Matsubara frequency
تھرمل کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، متسوبرا فریکوئنسی سمیشن (جس کا نام ٹیکو متسوبرا کے نام پر رکھا گیا ہے) مجرد خیالی فریکوئنسیز کا مجموعہ ہے۔ یہ مندرجہ ذیل شکل اختیار کرتا ہے جہاں الٹا درجہ حرارت ہوتا ہے اور تعدد عام طور پر مندرجہ ذیل دو سیٹوں میں سے کسی ایک سے لی جاتی ہیں (کے ساتھ): بوسونک تعدد: فرمیوونک تعدد: اگر حد میں 0 سے زیادہ تیزی سے ہوتا ہے تو خلاصہ یکجا ہو جائے گا۔ بوسونک تعدد پر مجموعہ کو (کے ساتھ) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، جبکہ فرمیوونک تعدد پر اس کو (کے ساتھ) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ شماریاتی علامت ہے۔ تھرمل کوانٹم فیلڈ تھیوری کے علاوہ، متسوبرا فریکوئنسی سمیشن طریقہ بھی ٹھوس حالت طبیعیات کے لیے خاکہ سازی کے نقطہ نظر میں ایک اہم کردار ادا کرتا ہے، یعنی، اگر کوئی محدود درجہ حرارت پر خاکے پر غور کرے۔ عام طور پر، اگر کسی مخصوص فین مین خاکہ کو ایک انٹیگرل کے ذریعے دکھایا جاتا ہے، تو محدود درجہ حرارت پر یہ رقم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ خلاصہ رسمییت عمومی رسمییت متسوبرا فریکوئنسی سمیشن کا اندازہ کرنے کی چال یہ ہے کہ متسوبرا ویٹنگ فنکشن ایچ ای ای (زیڈ) کا استعمال کیا جائے جس میں سادہ قطبیں بالکل پر واقع ہوں۔ بوسون کیس η = + 1 اور فرمیئن کیس η = −1 میں وزن کے افعال مختلف ہوتے ہیں۔ ویٹنگ فنکشن کے انتخاب پر بعد میں بحث کی جائے گی۔ ویٹنگ فنکشن کے ساتھ، خلاصہ کو خیالی محور کے ارد گرد ایک کنٹور انٹیگرل سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ شکل میں ہے۔ 1، ویٹنگ فنکشن خیالی محور پر قطبوں (سرخ کراس) کو پیدا کرتا ہے۔ کنٹور انٹیگرل ان قطبوں کی باقیات کو اٹھاتا ہے، جو خلاصہ کے برابر ہے۔ اس طریقہ کار کو بعض اوقات سومر فیلڈ-واٹسن ٹرانسفارمیشن کہا جاتا ہے۔ g (z) (شکل میں سبز کراس) کے قطبوں کو گھیرنے کے لیے کنٹور لائنوں کی اخترتی سے۔ 2)، مجموعہ کو رسمی طور پر g (z) کے تمام قطبوں پر g (z) hη (z) کے بقیہ کا خلاصہ کرکے پورا کیا جا سکتا ہے، نوٹ کریں کہ ایک مائنس سائن پیدا ہوتا ہے، کیونکہ کنٹور کو قطبوں کو گھڑی کی سمت میں بند کرنے کے لیے خراب کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں منفی بقیہ ہوتا ہے۔ متسوبرا ویٹنگ فنکشن کا انتخاب بوسون تعدد پر سادہ قطبوں کو پیدا کرنے کے لیے، متسوبرا ویٹنگ فنکشن کی درج ذیل دو اقسام میں سے کسی ایک کا انتخاب کیا جا سکتا ہے جس پر منحصر ہے کہ کنورجنس کو کس نصف سطح میں کنٹرول کیا جانا ہے۔ بائیں ہاف پلین (Re z <0) میں کنورجنس کو کنٹرول کرتا ہے، جبکہ دائیں ہاف پلین (Re z> 0) میں کنورجنس کو کنٹرول کرتا ہے۔ یہاں بوس-آئن سٹائن ڈسٹری بیوشن فنکشن ہے۔ یہ معاملہ فرمیئن تعدد کے لیے یکساں ہے۔ متسوبرا ویٹنگ فنکشنز کی بھی دو قسمیں ہیں جو بائیں ہاف پلین (ری زیڈ <0) میں کنورجنس کو کنٹرول کرتے ہوئے سادہ پولز تیار کرتی ہیں، جبکہ دائیں ہاف پلین (ری زیڈ> 0) میں کنورجنس کو کنٹرول کرتی ہیں۔ یہاں فرمی-ڈیراک ڈسٹری بیوشن فنکشن ہے۔ گرین فنکشن کے حساب کی درخواست میں، g (z) میں ہمیشہ وہ ڈھانچہ ہوتا ہے جو 0 <τ <β دیئے گئے بائیں نصف سطح میں مختلف ہوتا ہے۔ کنورجنس کو کنٹرول کرنے کے لیے، پہلی قسم کے ویٹنگ فنکشن کو ہمیشہ منتخب کیا جاتا ہے۔ تاہم، اگر متسوبرا سمشن مختلف نہیں ہوتا ہے تو کنورجنس کو کنٹرول کرنے کی کوئی ضرورت نہیں ہے، اس صورت میں، متسوبرا ویٹنگ فنکشن کا کوئی بھی انتخاب یکساں نتائج کا باعث بنے گا۔ متسوبرا تعدد کے مجموعے کی جدول درج ذیل جدول میں کچھ سادہ عقلی افعال g (z) شامل ہیں۔ علامت η = ±1 شماریاتی علامت ہے، + 1 بوسون کے لیے اور-1 فرمین کے لیے۔ [1] چونکہ خلاصہ یکجا نہیں ہوتا ہے، اس لیے متسوبرا ویٹنگ فنکشن کے مختلف انتخاب پر نتیجہ مختلف ہو سکتا ہے۔ [2] (1 * 2) اسی اظہار کی نشاندہی کرتا ہے جو پہلے تھا لیکن انڈیکس 1 اور 2 کے ساتھ ایک دوسرے کے ساتھ تبدیل ہوا۔ طبیعیات میں اطلاق صفر درجہ حرارت کی حد اس حد میں متسوبرا تعدد کا مجموعہ خیالی محور پر خیالی تعدد کے انضمام کے برابر ہے۔ کچھ انٹیگرلز یکجا نہیں ہوتے ہیں۔ فریکوئنسی کٹ آف متعارف کروا کر انہیں باقاعدہ بنایا جانا چاہیے، اور پھر کی حد لینے سے پہلے انٹیگرل سے متفرق حصے (-منحصر) کو گھٹا دینا چاہیے۔ مثال کے طور پر، آزاد توانائی کو لوگرتھم کے انٹیگرل سے حاصل کیا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ صفر درجہ حرارت پر، آزاد توانائی کا تعلق صرف کیمیائی صلاحیت سے نیچے کی اندرونی توانائی سے ہوتا ہے۔ نیز ڈسٹری بیوشن فنکشن مندرجہ ذیل انٹیگرل کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو صفر درجہ حرارت پر سٹیپ فنکشن کے رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ گرین فنکشن سے متعلق ٹائم ڈومین خیالی وقت کے وقفے (0، β) پر بیان کردہ فنکشن G (τ) پر غور کریں۔ اسے فورئیر سیریز کے لحاظ سے دیا جا سکتا ہے، جہاں تعدد صرف 2/β کے فاصلے پر مجرد اقدار لیتا ہے۔ تعدد کا مخصوص انتخاب فنکشن G (τ) کی باؤنڈری کنڈیشن پر منحصر ہوتا ہے۔ طبیعیات میں، G (τ) کا مطلب سبز فنکشن کی خیالی وقت کی نمائندگی ہے۔ یہ بوسون فیلڈ کے لیے پیریڈک باؤنڈری کنڈیشن G (τ + β) = G (τ) کو مطمئن کرتا ہے۔ جبکہ کسی فرمیئن فیلڈ کے لیے باؤنڈری کنڈیشن اینٹی پیریڈک G (τ + β) = −G (τ) ہوتی ہے۔ فریکوئنسی ڈومین میں گرین فنکشن G (iω) کو دیکھتے ہوئے، اس کی خیالی وقت کی نمائندگی G (τ) کا اندازہ متسوبرا فریکوئنسی سمیشن کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ بوسون یا فرمیئن تعدد پر منحصر ہے جس کا خلاصہ کیا جانا ہے، نتیجے میں G (τ) مختلف ہو سکتا ہے۔ فرق کرنے کے لیے، نوٹ کے ساتھ وضاحت کریں کہ τ اصل وقفہ (0، β) میں محدود ہے۔ باؤنڈری کنڈیشن کو G (τ) کو اصل وقفے سے باہر بڑھانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اکثر استعمال ہونے والے کچھ نتائج درج ذیل جدول میں اخذ کیے گئے ہیں۔ آپریٹر سوئچنگ اثر چھوٹا خیالی وقت یہاں ایک اہم کردار ادا کرتا ہے۔ اگر چھوٹا سا خیالی وقت نشان بدلتا ہے تو آپریٹرز کا آرڈر بدل جائے گا۔ ڈسٹری بیوشن فنکشن کی تشخیص مشکل ہو جاتی ہے کیونکہ τ = 0 پر گرین فنکشن G (τ) کا تعطل ہوتا ہے۔ خلاصہ کا اندازہ کرنے کے لیے ویٹنگ فنکشن کے دونوں انتخاب قابل قبول ہیں، لیکن نتائج مختلف ہیں۔ یہ سمجھا جا سکتا ہے اگر ہم G (τ) کو τ = 0 سے تھوڑا سا دور دھکا دیں، پھر کنورجنس کو کنٹرول کرنے کے لیے، ہمیں کے لیے، اور کے لیے ویٹنگ فنکشن کے طور پر لینا چاہیے۔ بوسونز فرمیئنز فری انرجی بوسونز فرمیئنز خاکہ تشخیص اکثر سامنے آنے والے خاکے کا جائزہ یہاں سنگل موڈ کی ترتیب کے ساتھ لیا جاتا ہے۔ ایک سے زیادہ موڈ کے مسائل سے سپیکٹرم فنکشن انٹیگرل کے ذریعے رابطہ کیا جا سکتا ہے۔ فرمیئن سیلف انرجی پارٹیکل-ہول بلبلا پارٹیکل-پارٹیکل بلبل اپینڈکس: ڈسٹری بیوشن فنکشنز کی خصوصیات ڈسٹری بیوشن فنکشنز عام نوٹیشن کا مطلب یا تو بوس (η = + 1) یا فرمی (η = − 1) ڈسٹری بیوشن فنکشن ہے۔ اگر ضروری ہو تو، مخصوص نوٹیشن این بی اور این ایف کو بالترتیب بوس اور فرمی ڈسٹری بیوشن فنکشنز کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ہائپربولک فنکشنز سے تعلق بوس ڈسٹری بیوشن فنکشن کا تعلق ہائپربولک کوٹینجینٹ فنکشن سے ہے۔ فرمی ڈسٹری بیوشن فنکشن کا تعلق ہائپربولک ٹینجینٹ فنکشن بائی پیریٹی سے ہے۔ دونوں ڈسٹری بیوشن فنکشنز میں قطعی برابری نہیں ہے، دوسرا فارمولا فنکشن کے لحاظ سے ہے۔ بوس-فرمی ٹرانسمیوٹیشن بوس اور فرمی ڈسٹری بیوشن فنکشن متغیر کی شفٹ کے تحت فرمیوونک فریکوئنسی کے ذریعے ٹرانسمیوٹ ہوتے ہیں، تاہم بوسونک فریکوئنسی کے ذریعے شفٹ ہونے سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔ مشتق فرسٹ آرڈر پروڈکٹ کے لحاظ سے: صفر درجہ حرارت کی حد میں: فرق کا سیکنڈ آرڈر فارمولا کیس a = 0 کیس a → 0 کیس b → 0 فنکشن cη تعریف: بوس اور فرمی قسم کے لیے: ہائپربولک افعال سے تعلق یہ واضح ہے کہ مثبت قطعی ہے۔ عددی حساب میں زیادہ بہاؤ سے بچنے کے لیے، تانہ اور کوتھ افعال کا استعمال کیا جاتا ہے کیس a = 0 کیس b = 0 کم درجہ حرارت کی حد a = 0 کے لیے: b = 0 کے لیے: عام طور پر، یہ بھی دیکھیں کہ خیالی وقت تھرمل کوانٹم فیلڈ تھیوری بیرونی روابط اگسٹین نیٹو: متسوبرا فریکوئنسیز پر جملوں کی تشخیص۔ arXiv: hep-ph/9311210 Github repository: MatsubaraSum Matsubara فریکوئنسی سمیشن کے لیے ایک ریاضی پیکیج۔ اے۔ طہریدہکورڈی، ایس۔ کارنو، جے پی ایف۔ لی بلانک: ہبارڈ جیسے ماڈلز کے لیے الگورتھمک متسوبرا انضمام۔ arXiv: cond-Mat/1808.05188 حوالہ جات کوانٹم فیلڈ تھیوری