Falkner–Skan boundary layer
سیال حرکیات میں، فالکنر-سکان باؤنڈری پرت (جس کا نام وی ایم فالکنر اور سلویا ڈبلیو اسکین کے نام پر رکھا گیا ہے) مستحکم دو جہتی لیمینر باؤنڈری پرت کو بیان کرتی ہے جو پچر پر بنتی ہے، یعنی۔ وہ بہاؤ جس میں پلیٹ بہاؤ کے متوازی نہ ہو۔ یہ پلیٹ کی لمبائی کے ساتھ ایک مسلط دباؤ میلان کے ساتھ ایک فلیٹ پلیٹ پر بہاؤ کا بھی نمائندہ ہے، ایسی صورتحال جس کا سامنا اکثر ونڈ ٹنل کے بہاؤ میں ہوتا ہے۔ یہ فلیٹ پلیٹ بلاسیوس باؤنڈری پرت کی عمومی شکل ہے جس میں پلیٹ کے ساتھ دباؤ کا میلان صفر ہوتا ہے۔ پراینڈل کی باؤنڈری لیئر مساوات فاکنر-سکان نقطہ نظر کی بنیاد پراینڈل باؤنڈری لیئر مساوات ہیں۔ لڈوگ پرنڈل نے بہاؤ کو دو علاقوں میں تقسیم کرکے دیوار (پچر) کے ساتھ بہنے والے سیال کے لیے مساوات کو آسان بنایا: ایک دیوار کے قریب جس میں چپچپا پن کا غلبہ ہے، اور ایک دیوار کے قریب کی حد کے علاقے سے باہر جہاں چپچپا پن کو حل پر نمایاں اثرات کے بغیر نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ قریب دیوار کی حد پرت کے بہاؤ میں نیویئر-اسٹاک مساوات میں تقریبا نصف اصطلاحات نہ ہونے کے برابر ہیں (سوائے پلیٹ کے اگلے کنارے کے قریب ایک چھوٹے سے علاقے کے)۔ مساوات کے اس کم شدہ سیٹ کو پرانڈل باؤنڈری لیئر مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مستقل چپچپا اور کثافت کے ساتھ مستحکم غیر کمپریسبل بہاؤ کے لیے، یہ پڑھتے ہیں: ماس تسلسل:-مومنٹم:-مومنٹم: یہاں کوآرڈینیٹ سسٹم کا انتخاب پلیٹ کے متوازی بہاؤ کی سمت اور آزاد ندی کی طرف اشارہ کرنے والے کوآرڈینیٹ کے ساتھ کیا جاتا ہے، اور یہ اور رفتار کے اجزاء ہیں، دباؤ ہے، کثافت ہے اور متحرک چپچپا ہے۔ مختلف قسم کے بہاؤ کے لیے ان مساوات کے متعدد مماثلت والے حل پائے گئے ہیں۔ فالکنر اور اسکین نے 1930 میں ایک پچر کے ساتھ لیمینار کے بہاؤ کے معاملے کے لیے مماثلت کا حل تیار کیا۔ مماثلت کی اصطلاح اس خاصیت سے مراد ہے کہ بہاؤ میں مختلف پوزیشنوں پر رفتار کے پروفائلز باؤنڈری پرت کی موٹائی میں اسکیلنگ عوامل اور ایک خصوصیت والی باؤنڈری پرت کی رفتار کے علاوہ ملتے جلتے نظر آتے ہیں۔ اسکیلنگ کے یہ عوامل جزوی تفریقی مساوات کو نسبتا آسانی سے حل شدہ عام تفریقی مساوات کے سیٹ تک کم کر دیتے ہیں۔ فالکنر-سکان مساوات-فرسٹ آرڈر باؤنڈری لیئر فالکنر اور اسکین نے کسی یکساں رفتار کے میدان سے زاویہ کے ساتھ پچر پر غور کرکے بلاسس باؤنڈری لیئر کو عام کیا۔ فالکنر اور اسکین کا پہلا کلیدی مفروضہ یہ تھا کہ پرنڈل ایکس-مومنٹم مساوات میں دباؤ میلان کی اصطلاح کو اعلی رینالڈز نمبر کی حد میں برنولی مساوات کی تفریق شکل سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح: یہاں حد پرت کے کنارے پر کی رفتار ہے اور بیرونی خطے میں اویلر مساوات (سیال حرکیات) کا حل ہے۔ برنولی مساوات کا متبادل بنانے کے بعد، فالکنر اور اسکین نے نشاندہی کی کہ مماثلت کے حل اس وقت حاصل ہوتے ہیں جب باؤنڈری لیئر کی موٹائی اور رفتار اسکیلنگ کے عوامل کو x کے سادہ پاور افعال سمجھا جاتا ہے۔ یعنی، انہوں نے فرض کیا کہ رفتار کی مماثلت اسکیلنگ فیکٹر اس طرح دیا گیا ہے: جہاں پچر کی لمبائی ہے اور m ایک طول و عرض کے بغیر مستقل ہے۔ فالکنر اور اسکین نے یہ بھی فرض کیا کہ باؤنڈری لیئر موٹائی اسکیلنگ فیکٹر پورپوٹینل ہے: ماس کنزرویشن کو خود بخود یقینی بنایا جاتا ہے جب پرنڈل مومنٹم باؤنڈری لیئر مساوات کو اسٹریم فنکشن اپروچ کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جاتا ہے۔ اسٹریم فنکشن، اسکیلنگ عوامل کے لحاظ سے، اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے: کہاں اور رفتار اس کے ذریعہ دی جاتی ہے: اس کا مطلب ہے کہ غیر جہتی پرنڈل ایکس-مومنٹم مساوات جس میں مماثلت کی لمبائی اور رفتار اسکیلنگ عوامل کو اسٹریم فنکشن پر مبنی رفتار کے ساتھ مل کر استعمال کیا جاتا ہے اس کے نتیجے میں ایک مساوات پیدا ہوتی ہے جسے فالکنر-سکان مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے اور اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے: جہاں ہر ڈیش اس کے حوالے سے تفریق کی نمائندگی کرتا ہے (نوٹ کریں کہ ایک اور مساوی مساوات جس میں ایک مختلف شامل ہوتا ہے کبھی کبھی استعمال ہوتا ہے۔ یہ f اور اس کے مشتقات کو تبدیل کرتا ہے لیکن بالآخر اسی بیک آؤٹ اور حل کے نتیجے میں ہوتا ہے)۔ اس مساوات کو باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ او ڈی ای کے طور پر یقینی طور پر حل کیا جا سکتا ہے: پچر کا زاویہ، کچھ ہیرا پھیری کے بعد، اس طرح دیا جاتا ہے: معاملہ بلاسس باؤنڈری لیئر کے حل سے مطابقت رکھتا ہے۔ جب، مسئلہ ہائیمینز کے بہاؤ تک کم ہو جاتا ہے۔ یہاں، m <0 ایک منفی دباؤ میلان سے مطابقت رکھتا ہے (اکثر باؤنڈری پرت کی علیحدگی کے نتیجے میں) جبکہ m> 0 ایک سازگار دباؤ میلان کی نمائندگی کرتا ہے۔ 1937 میں ڈگلس ہارٹری نے دکھایا کہ فالکنر-سکان مساوات کے جسمانی حل صرف رینج میں موجود ہیں۔ m کی زیادہ منفی اقدار کے لیے، یعنی مضبوط منفی دباؤ کے میلان کے لیے، η = 0 پر باؤنڈری کنڈیشنز کو مطمئن کرنے والے تمام حلوں کی خاصیت یہ ہے کہ η کی اقدار کی حد کے لیے f (η)> 1 ہے۔ یہ جسمانی طور پر ناقابل قبول ہے کیونکہ اس کا مطلب یہ ہے کہ باؤنڈری لیئر میں رفتار مرکزی بہاؤ سے زیادہ ہے۔ مزید تفصیلات ولکوکس (2007) میں مل سکتی ہیں۔ ہاتھ میں f اور اس کے مشتقات کے حل کے ساتھ، فالکنر اور اسکین کی رفتار بن جاتی ہے: اور پرنڈل-مومنٹم مساوات کو-دباؤ میلان حاصل کرنے کے لیے دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے، /، (یہ = 1 اور = 2m/(m + 1) صورت کے لیے موزوں فارمولا ہے) جہاں فالکنر-سکان پروفائل کے لیے نقل مکانی کی موٹائی، کے ذریعے دی گئی ہے: اور پچر پر کام کرنے والا شیر تناؤ کمپریسیبل فالکنر-سکان باؤنڈری پرت کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہاں دیوار پر ایک مخصوص اینتھالپی کے ساتھ فالکنر-سکان باؤنڈری پرت کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ یہاں کثافت، چپچپا پن اور تھرمل چالکتا اب مستقل نہیں ہے۔ کم میک نمبر کے تخمینے میں، کمیت، رفتار اور توانائی کے تحفظ کے لیے مساوات بن جاتی ہے جہاں پرانڈل نمبر ہوتا ہے جس کا لاحقہ انفینیٹی پر تشخیص شدہ خصوصیات کی نمائندگی کرتا ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز بن جاتے ہیں۔ انکمپریسیبل باؤنڈری لیئر کے برعکس، مماثلت کا حل صرف اس صورت میں موجود ہو سکتا ہے جب تبدیلی برقرار رہے اور یہ صرف اس صورت میں ممکن ہے جب۔ ہاورتھ ٹرانسفارمیشن ہاورتھ-ڈوروڈنیٹسن کا استعمال کرتے ہوئے خود سے ملتے جلتے متغیرات کا تعارف مساوات کو کم کر کے ہو جاتے ہیں۔ مساوات کو ایک بار متعین ہونے کے بعد حل کیا جا سکتا ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز ہیں ہوا کے لیے عام طور پر استعمال ہونے والے تاثرات ہیں۔ اگر مستقل ہے، تو۔ بلاسیوس باؤنڈری لیئر حوالہ جات باؤنڈری لیئرز فلوڈ ڈائنامکس بھی دیکھیں۔