Christopher Deninger
کرسٹوفر ڈیننگر (پیدائش 8 اپریل 1958) مانسٹر یونیورسٹی میں ایک جرمن ریاضی دان ہے۔ ڈیننگر کی تحقیق ریاضی کی جیومیٹری پر مرکوز ہے، جس میں ایل فنکشنز کی ایپلی کیشنز بھی شامل ہیں۔ کیریئر ڈیننگر نے کرٹ میئر کی نگرانی میں 1982 میں کولون یونیورسٹی سے ڈاکٹریٹ کی ڈگری حاصل کی۔ 1992 میں انہوں نے مائیکل ریپوپورٹ، پیٹر شنائیڈر اور تھامس زنک کے ساتھ گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز انعام مشترکہ طور پر حاصل کیا۔ 1998 میں وہ برلن میں 1998 میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں مکمل اسپیکر تھے۔ 2012 میں وہ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے فیلو بن گئے۔ ریاضیاتی کام آرٹن-ورڈیئر دوہری 1984 اور 1987 کے درمیان کاغذات کی ایک سیریز میں، ڈیننگر نے آرٹن-ورڈیئر دوہری کی توسیع کا مطالعہ کیا۔ وسیع پیمانے پر، آرٹن-ورڈیئر دوہری، کلاس فیلڈ تھیوری کا ایک نتیجہ، پوئنکیئر دوہری کا ایک ریاضیاتی ینالاگ ہے، جو ایک کمپیکٹ کئی گنا پر شیف کوہمولوجی کے لیے ایک دوہری ہے۔ اس متوازی میں، نمبر فیلڈ میں انٹیجرز کا (سپیکٹرم کا) رنگ 3-مینی فولڈ سے مطابقت رکھتا ہے۔ مزور کے کام کے بعد، ڈیننگر (1984) نے فنکشن فیلڈز میں آرٹن-ورڈیئر دوہری پن کو بڑھایا۔ اس کے بعد ڈیننگر نے ان نتائج کو مختلف سمتوں میں بڑھایا، جیسے کہ نان ٹورسن شیوز (1986)، ریاضی کی سطحیں (1987)، نیز اعلی جہتی مقامی فیلڈز (ونگبرگ، 1986 کے ساتھ)۔ مؤخر الذکر کے کاغذات میں زیر غور بلوچ کے محرک کمپلیکس کی ظاہری شکل نے کئی مصنفین کے کام کو متاثر کیا، جن میں بلوچ کے کمپلیکس کو اعلی جہتی اسکیموں پر دوہری کمپلیکس کے طور پر شناخت کیا گیا۔ L-افعال کی خصوصی اقدار ڈیننگر کے مقالے کا ایک اور گروپ L-افعال اور ان کی خصوصی اقدار کا مطالعہ کرتا ہے۔ ایل-فنکشن کی ایک کلاسیکی مثال ریمن زیٹا فنکشن ζ (s) ہے، جس کے لیے ζ (2) = π2/6 جیسے فارمولے یولر کے بعد سے معلوم ہیں۔ ایک تاریخی مقالے میں، ایل فنکشنز کی خصوصی اقدار، یعنی انٹیجرز پر ایل فنکشنز کی اقدار کو بیان کرنے والے دور رس قیاس آرائیوں کا ایک مجموعہ تجویز کیا گیا تھا۔ بہت کھردری اصطلاحات میں، بییلنسن کے قیاس آرائیاں اس بات پر زور دیتی ہیں کہ Q پر ایک ہموار پروجیکٹو الجبرائی قسم X کے لیے، X کی محرک ہم آہنگی کا X کی ڈیلیگن ہم آہنگی سے گہرا تعلق ہونا چاہیے۔ اس کے علاوہ، بییلنسن کے قیاس کے مطابق، ان دونوں ہم آہنگی کے نظریات کے درمیان تعلق کی وضاحت کرنی چاہیے، پول آرڈرز اور انٹیجرز s پر L (hn (X)، s) کی اقدار۔ بلاچ اور بییلنسن نے اس قیاس کے ضروری حصوں کو اس صورت میں ثابت کیا جہاں X پیچیدہ ضرب اور s = 2 کے ساتھ ایک الپٹک وکر ہے۔ 1988 میں، ڈیننگر اینڈ ونگبرگ نے اس نتیجے کی ایک نمائش کی۔ 1989 اور 1990 میں، ڈیننگر نے اس نتیجے کو شمورا کے زیر غور کچھ الپٹک منحنی خطوط تک بڑھایا، بالکل بھی۔ ڈیننگر اور نارٹ (1995) نے اونچائی کی جوڑی کا اظہار کیا، جو بییلنسن کے قیاس آرائی کا ایک اہم جزو ہے، ایک خاص زمرے کے محرکات میں ایکسٹ گروپس کی قدرتی جوڑی کے طور پر۔ 1995 میں، ڈیننگر نے ڈیلیگن کوہمولوجی میں میسی مصنوعات کا مطالعہ کیا اور اس سے s = 3 پر ایک الپٹک وکر کے L-فنکشن کے لیے خصوصی قدر کے لیے ایک فارمولے کا قیاس کیا، جس کی بعد میں ڈیلیگن کوہمولوجی نے تصدیق کی۔ 2018 تک، بیلینسن کا قیاس اب بھی وسیع پیمانے پر کھلا ہے، اور ڈیننگر کی شراکت ان چند معاملات میں سے کچھ بنی ہوئی ہے جہاں بیلینسن کے قیاس پر کامیابی سے حملہ کیا گیا ہے (اس موضوع پر سروے میں ڈیننگر اینڈ شول (1991) شامل ہیں)۔ باقاعدگی سے تعین کرنے والوں کے ذریعے L-افعال ریمن ζ-فنکشن کی تعریف ہر پرائم نمبر p کے لیے یولر عوامل کے پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ ζ (s) کے لیے ایک فنکشنل مساوات حاصل کرنے کے لیے، کسی کو گاما فنکشن پر مشتمل ایک اضافی اصطلاح کے ساتھ ان کا ضرب کرنے کی ضرورت ہے: زیادہ عام L-افعال کی تعریف یولر پروڈکٹ کے ذریعے بھی کی جاتی ہے، جس میں، ہر محدود جگہ پر، کسی قسم X/Q کی l-adic کوہومولوجی پر کام کرنے والے فروبینیوس اینڈومورفزم کا تعین کرنے والا شامل ہوتا ہے، جبکہ لامحدود جگہ کے لیے یولر عنصر، سیر کے مطابق، X/Q سے منسلک ہج ڈھانچوں پر منحصر گاما افعال کے پروڈکٹ ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ریمن زیٹا فنکشن کے اویلر عوامل کے لیے یہ یکساں تفصیل پڑھتی ہے کہ یہاں p یا تو ایک پرائم نمبر یا انفینیٹی ہے، جو بالترتیب غیر آرکیمیڈین اویلر عوامل اور آرکیمیڈین اویلر عنصر سے مطابقت رکھتا ہے، اور Rp ایک پرائم نمبر p کے لیے R/log (p) Z پر محدود حقیقی قدر والی فورئیر سیریز کی جگہ ہے، اور R ≤ = R [exp (−2y)]۔ آخر میں، اس طرح کے افعال کو منتقل کرکے دی گئی R-کارروائی کا مشتق ہے۔ ڈیننگر (1994) نے بھی ε-عوامل کے لیے اسی طرح کے یکجا کرنے والے نقطہ نظر کا مظاہرہ کیا (جو s اور 1−s پر مکمل L-افعال کے درمیان تناسب کا اظہار کرتے ہیں)۔ ریاضی کی سائٹ ان نتائج کی وجہ سے ڈیننگر نے سپیک زیڈ کی کمپیکٹفیکیشن سے وابستہ "ریاضی کی سائٹ" Y کے وجود سے متعلق ایک پروگرام تجویز کیا۔ دیگر خصوصیات کے علاوہ، یہ سائٹ R کے ایکشن سے لیس ہوگی، اور ہر پرائم نمبر p لمبائی لاگ (p) کے R-ایکشن کے بند مدار سے مطابقت رکھتا ہے۔ مزید برآں، تجزیاتی نمبر تھیوری میں فارمولوں اور پودوں والی جگہوں پر حرکیات کے درمیان مماثلتوں نے ڈیننگر کو اس سائٹ پر فولیشن کے وجود کا قیاس کرنے پر مجبور کیا۔ مزید برآں، اس سائٹ کو ایک لامحدود جہتی کوہمولوجی تھیوری سے نوازا جانا چاہیے جیسے کہ ایک محرک M کا L-فنکشن یہاں M ایک محرک ہے، جیسے کہ بییلنسن کے قیاس میں پائے جانے والے محرکات hn (X)، اور F (M) کو محرک M سے منسلک Y پر شیف تصور کیا جاتا ہے۔ آپریٹر ≤ R-ایکشن کے ذریعہ دیئے گئے بہاؤ کا لامحدود جنریٹر ہے۔ ریمن مفروضہ، اس پروگرام کے مطابق، ہج تھیوری میں انٹرسیکشن جوڑی کی مثبتیت کے متوازی خصوصیات کا نتیجہ ہوگا۔ اس سائٹ پر لیفشیٹز ٹریس فارمولے کا ایک ورژن، جو اس قیاس آرائی کے سیٹ اپ کا حصہ ہوگا، ڈیننگر (1993) کے ذریعہ دوسرے ذرائع سے ثابت کیا گیا ہے۔ 2010 میں، ڈیننگر نے ثابت کیا کہ الجبرائی چکروں کے انٹرسیکشن تھیوری سے متعلق بیلنسن اور بلوچ کے کلاسیکی قیاس آرائیاں ان کے پروگرام کے مزید نتائج ہوں گے۔ اس پروگرام کا سروے ڈیننگر نے 1992 میں ریاضی دانوں کی یورپی کانگریس، 1998 میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں اپنے خطابات میں کیا تھا۔ 2002 میں، ڈیننگر نے ایک پتوں والی جگہ تعمیر کی جو ایک محدود فیلڈ پر ایک الپٹک وکر سے مطابقت رکھتی ہے، اور یہ ظاہر کیا کہ ایف پی پر ہموار مناسب قسم کے ہس-ویل زیٹا فنکشن کا اظہار ٹپوولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی پر مشتمل باقاعدہ تعین کاروں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ اس کے علاوہ، گٹھریوں اور پرائمز کے درمیان مشابہت کا ریاضیاتی ٹوپولوجی میں نتیجہ خیز مطالعہ کیا گیا ہے۔ تاہم، 2018 تک، سپیک زیڈ سے مطابقت رکھنے والی پودوں والی جگہ کی تعمیر مبہم ہے۔ پی-ایڈک منحنی خطوط پر ویکٹر بنڈل اینیٹ ورنر کے ساتھ مشترکہ کاغذات کا ایک سلسلہ پی-ایڈک منحنی خطوط پر ویکٹر بنڈل کا جائزہ لیتا ہے۔ اس مطالعے کو تحریک دینے والا ایک کلاسیکی نتیجہ نرسمہن-شیشادری نظریہ ہے، جو سمپسن خط و کتابت کا ایک سنگ بنیاد ہے۔ یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایک کمپیکٹ ریمن سطح X پر ایک ویکٹر بنڈل مستحکم ہے اگر یہ بنیادی گروپ π1 (X) کی یکطرفہ نمائندگی سے پیدا ہوتا ہے۔ ڈیننگر اینڈ ورنر (2005) میں اس کا ایک پی-ایڈک ینالاگ قائم کیا گیا: سی پی پر ہموار پروجیکٹو الجبرائی منحنی خطوط کے لیے، جو بیس کی تبدیلی سے حاصل ہوتا ہے، انہوں نے بعض ویکٹر بنڈلوں پر ریشوں پر ایٹیل بنیادی گروپ π1 (X) کا ایک عمل بنایا، بشمول ڈگری 0 کے اور ممکنہ طور پر مضبوطی سے سیمیسٹیبل کمی کے۔ 2005 کے ایک اور مقالے میں، انہوں نے وکر X کے بنیادی گروپ کی نتیجے میں ہونے والی نمائندگی کو X کی جیکوبین قسم کے ٹیٹ ماڈیول کی نمائندگی سے منسلک کیا۔ 2007 اور 2010 میں انہوں نے یہ کام جاری رکھتے ہوئے دکھایا کہ اس طرح کے ویکٹر بنڈل ایک تنکیان زمرہ بناتے ہیں جو ویکٹر بنڈل کی اس کلاس کو ایک مخصوص گروپ کی نمائندگی کے زمرے کے طور پر شناخت کرنے کے مترادف ہے۔ پودوں اور ہائزن برگ گروپ کئی مشترکہ کاغذات میں، ڈیننگر اور ولہیم سنگھوف نے مختلف نقطہ نظر سے عدد قدر والے میٹرکس، X = H/जात پر مشتمل معیاری جالی کے ذریعے n جہتی ہائزن برگ گروپ H کے کوٹینٹس کا مطالعہ کیا۔ 1984 میں، انہوں نے ایکس کے ای-غیر متغیر کو ζ (−n) کے لحاظ سے شمار کیا، جو من مانی طور پر بڑی ترتیب کے شعبوں کے مستحکم ہوموٹوپی گروپوں میں عناصر کی تعمیر کا باعث بنتا ہے۔ 1988 میں، انہوں نے نیلپوٹینٹ لائ الجبرا کی کوہمولوجی کے طول و عرض کے بارے میں تخمینے دینے کے لیے تجزیاتی نمبر تھیوری کے طریقے استعمال کیے۔ ہج تھیوری کی کلاسیکی حقیقت یہ ہے کہ کیلر مینیفولڈ پر کوئی بھی کوہمولوجی کلاس تسلیم کرتی ہے کہ ایک منفرد ہارمونک کو ریمینین پودوں کے ذریعہ عام کیا گیا تھا۔ ڈیننگر اور سنگھوف (2001) سے پتہ چلتا ہے کہ اوپر کی جگہ X پر پودے، جو صرف قدرے کمزور حالات کو پورا کرتے ہیں، اس طرح کی ہج نظریاتی خصوصیات کو تسلیم نہیں کرتے ہیں۔ 2001 کے ایک اور مشترکہ مقالے میں، انہوں نے ایک متحرک لیفشیٹز ٹریس فارمولا قائم کیا: یہ ہارمونک شکلوں پر ایک آپریٹر کے ٹریس سے متعلق ہے جو بند مداروں پر ظاہر ہونے والے مقامی نشانات (آر-ایکشن کے ساتھ بعض پودوں والی جگہوں پر) ہیں۔ یہ نتیجہ اوپر بیان کردہ ڈیننگر کے پروگرام کی تصدیق کے طور پر کام کرتا ہے اس معنی میں کہ یہ اس پروگرام کی طرف سے تجزیاتی پہلو پر کی گئی پیش گوئی کی تصدیق کرتا ہے، یعنی، پودوں والی جگہوں پر حرکیات سے متعلق۔ اینٹروپی اور ماہلر پیمائش کرتے ہیں۔ ڈیننگر کے کاغذات کا ایک اور گروپ اس جگہ کے گرد گھومتا ہے جہاں ایک مجرد گروپ ہے، f اس کے گروپ رنگ زیڈ جے کا ایک عنصر ہے، اور ٹوپی پونٹریگین ڈوئل کی نشاندہی کرتی ہے۔ اس کے علاوہ، یہ معلوم ہوا تھا کہ بعض کثیر الجہتی کی ماہلر پیمائش کو بعض L-افعال کی خصوصی اقدار کے لحاظ سے قابل اظہار سمجھا جاتا تھا۔ 1997 میں، ڈیننگر نے مشاہدہ کیا کہ ماہلر پیمائش کی تعریف میں انٹیگرینڈ کی ڈیلیگن کوہمولوجی کے لحاظ سے ایک قدرتی وضاحت ہے۔ بیلنسن قیاس کے معروف معاملات کا استعمال کرتے ہوئے، انہوں نے یہ نتیجہ اخذ کیا کہ m (f) بیلنسن ریگولیٹر کے تحت علامت {f, t1,., tn} کی شبیہہ ہے، جہاں تنوع f کے صفر سیٹ کے n جہتی ٹورس میں تکمیل ہے۔ اس سے ماہلر اقدامات کے لیے مذکورہ بالا فارمولوں کی تصوراتی وضاحت ہوئی۔ اور بعد میں 2009 میں ڈیننگر نے ان خیالات کو پی-ایڈک دنیا تک پہنچایا، بیلینسن ریگولیٹر کے نقشے کو ڈیلیگن کوہمولوجی میں ایک ریگولیٹر نقشے کے ذریعے سنٹومک کوہمولوجی میں تبدیل کیا، اور لوگرتھم جو پی-ایڈک لوگرتھم کے ذریعے اینٹروپی کی تعریف میں ظاہر ہوتا ہے۔ 2006 اور 2007 میں، ڈیننگر اور کلاؤس شمٹ نے اینٹروپی اور ماہلر کے اقدامات کے درمیان متوازی کو ابیلین گروپوں سے آگے بڑھایا، یعنی بقایا طور پر محدود، قابل گنتی مجرد قابل قبول گروپ۔ انہوں نے دکھایا کہ Xf پر γ-ایکشن تو اور صرف اس صورت میں وسیع ہوتا ہے جب f، γ کے L1-ارتقاء الجبرا میں الٹا ہو۔ مزید برآں، وان نیومن الجبرا این کے پر فگلڈ-کیڈیسن ڈیٹرمیننٹ کا لوگرتھم جو کہ این کے سے وابستہ ہے (جو زیڈ این کے لیے ماہلر پیمائش کی جگہ لے لیتا ہے) مندرجہ بالا عمل کی اینٹروپی سے اتفاق کرتا ہے۔ وٹ ویکٹرز جوآخم کنٹز اور ڈیننگر نے وٹ ویکٹرز پر مل کر کام کیا۔ 2014 کے آس پاس دو مقالے میں، انہوں نے مونوئڈ الجبرا ZR کی تکمیل کے لحاظ سے وٹ ویکٹروں کے دائرے کی پیشکش کر کے نظریہ کو آسان بنایا۔ یہ نقطہ نظر وٹ ویکٹروں کے اضافے کی کلاسیکی تعریف میں استعمال ہونے والے عالمگیر کثیرالجہتی سے گریز کرتا ہے۔ منتخب کتابچہ آرٹن ورڈیئر ڈوئلٹی ایل فنکشنز اور بیلینسن کا قیاس پی ایڈک ویکٹر بنڈل ہائزن برگ گروپ، لائ الجیبراس، اور پودوں کے اینٹروپی وٹ ویکٹر حوالہ جات بیرونی لنکس ویب سائٹ یونیورسٹی آف مانسٹر 1958 میں زندہ لوگ 20 ویں صدی کے جرمن ریاضی دان یونیورسٹی آف مانسٹر فیلوز آف امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی 21 ویں صدی کے جرمن ریاضی دانوں کا تعلیمی عملہ