Minimal coupling
تجزیاتی میکانکس اور کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، کم سے کم جوڑی سے مراد ان شعبوں کے درمیان جوڑی ہے جس میں صرف چارج کی تقسیم شامل ہوتی ہے نہ کہ چارج کی تقسیم کے اعلی کثیر قطبی لمحات۔ یہ کم سے کم جوڑا، مثال کے طور پر، پالی جوڑے کے برعکس ہے، جس میں براہ راست لاگرانجین میں ایک الیکٹران کا مقناطیسی لمحہ شامل ہوتا ہے۔ برقی حرکیات برقی حرکیات میں، تمام برقی مقناطیسی تعاملات کے لیے کم سے کم جوڑا کافی ہے۔ ذرات کے اعلی لمحات کم سے کم جوڑے اور غیر صفر گھماؤ کے نتائج ہیں۔ برقی مقناطیسی میدان میں غیر رشتہ دار چارج شدہ ذرہ کارٹیشین نقاط میں، برقی مقناطیسی میدان میں غیر رشتہ دار کلاسیکی ذرہ کا لاگرانجین (ایس آئی اکائیوں میں) ہے: جہاں ذرہ کا برقی چارج ہے، برقی اسکیلر صلاحیت ہے، اور مقناطیسی ویکٹر صلاحیت کے اجزاء ہیں جو سب واضح طور پر اور پر منحصر ہو سکتے ہیں۔ یہ لاگرانجین، یولر-لاگرانج مساوات کے ساتھ مل کر، لورینٹز قوت کا قانون تیار کرتا ہے اور اسے کم سے کم جوڑا کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ گیج کی تبدیلی کے دوران اسکیلر پوٹینشل اور ویکٹر پوٹینشل کی اقدار بدل جائیں گی، اور خود لاگرانجین اضافی اصطلاحات بھی اٹھائے گا، لیکن لاگرانجین میں اضافی اصطلاحات اسکیلر فنکشن کے کل وقت مشتق میں اضافہ کرتی ہیں، اور اس وجہ سے اب بھی وہی پیدا ہوتی ہیں۔ اویلر-لاگرانج مساوات۔ کینونکل مومینٹا نوٹ کے ذریعہ دیئے گئے ہیں کہ کینونکل مومینٹا گیج غیر متغیر نہیں ہیں، اور جسمانی طور پر قابل پیمائش نہیں ہیں۔ تاہم، حرکی مومینٹا گیج غیر متغیر اور جسمانی طور پر قابل پیمائش ہیں۔ ہیملٹنین، جیسا کہ لیگرانجین کی لیجنڈری تبدیلی، اس لیے ہے۔ یہ مساوات کوانٹم میکانکس میں کثرت سے استعمال ہوتی ہے۔ گیج ٹرانسفارمیشن کے تحت، جہاں f (r, t) جگہ اور وقت کا کوئی اسکیلر فنکشن ہے، مذکورہ بالا لگرینجین، کینونکل مومینٹا اور ہیملٹنین ٹرانسفارم جس کی طرح اب بھی وہی ہیملٹن کی مساوات پیدا کرتا ہے: کوانٹم میکانکس میں، ویو فنکشن گیج ٹرانسفارمیشن کے دوران مقامی U (1) گروپ ٹرانسفارمیشن سے بھی گزرے گا، جس کا مطلب ہے کہ تمام جسمانی نتائج مقامی U (1) ٹرانسفارمیشن کے تحت غیر متغیر ہونے چاہئیں۔ برقی مقناطیسی میدان میں رشتہ دار چارج شدہ ذرہ کسی ذرہ (باقی کمیت اور چارج) کے لیے رشتہ دار لاگرانجین اس طرح دیا جاتا ہے: اس طرح ذرہ کی کینونکل مومنٹم یعنی حرکی مومنٹم اور ممکنہ مومنٹم کا مجموعہ ہے۔ اس کے نتیجے میں قوت کی مساوات (یولر-لاگرانج مساوات کے مساوی) حاصل ہوتی ہے۔ مندرجہ بالا مشتق ویکٹر کیلکولس شناخت کا استعمال کرتا ہے: رشتہ دار (حرکی) رفتار کے فعل کے طور پر ہیملٹنین کے لیے ایک مساوی اظہار، ہے۔ اس کا فائدہ یہ ہے کہ حرکی رفتار کو تجرباتی طور پر ماپا جا سکتا ہے جبکہ کینونکل رفتار نہیں۔ نوٹ کریں کہ ہیملٹنین (کل توانائی) کو رشتہ دار توانائی (حرکی + آرام)، اور ممکنہ توانائی کے مجموعے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ افراط زر کائناتی افراط زر کے مطالعے میں، اسکیلر فیلڈ کا کم سے کم جوڑ عام طور پر کشش ثقل کے ساتھ کم سے کم جوڑ سے مراد ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ انفلاٹن فیلڈ کے لیے عمل اسکیلر منحنیت سے منسلک نہیں ہے۔ کشش ثقل سے اس کا واحد جوڑ میٹرک (پلانک اکائیوں میں) سے تعمیر کردہ لورینٹز غیر متغیر پیمائش سے جوڑنا ہے: کہاں، اور گیج کوویرینٹ مشتق کا استعمال کرتے ہوئے۔ حوالہ جات گیج کے نظریات ہیملٹنین میکانکس لگرینجین میکانکس