Locally profinite group
ریاضی میں، ایک مقامی طور پر متفرق گروہ ایک ہاؤزڈورف ٹپوولوجیکل گروپ ہے جس میں شناختی عنصر کے ہر پڑوس میں ایک کمپیکٹ اوپن ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ اسی طرح، ایک مقامی طور پر متفرق گروپ ایک ٹپوولوجیکل گروپ ہے جو ہاؤزڈورف ہے، مقامی طور پر کمپیکٹ، اور مکمل طور پر منقطع ہے۔ مزید برآں، ایک مقامی طور پر پروفائنٹ گروپ کمپیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ پروفائنٹ ہو ؛ یہ اصطلاحات کی وضاحت کرتا ہے۔ مقامی طور پر متفرق گروہوں کی بنیادی مثالیں مجرد گروپ اور پی-اڈک لائ گروپ ہیں۔ غیر مثالیں حقیقی لائ گروپ ہیں، جن میں کوئی چھوٹا ذیلی گروپ پراپرٹی نہیں ہے۔ مقامی طور پر متفرق گروپ میں، ایک بند ذیلی گروپ مقامی طور پر متفرق ہوتا ہے، اور ہر کمپیکٹ ذیلی گروپ ایک کھلے کمپیکٹ ذیلی گروپ میں موجود ہوتا ہے۔ مثالیں مقامی طور پر متفرق گروہوں کی اہم مثالیں الجبرائی نمبر تھیوری سے آتی ہیں۔ فرض کریں کہ F ایک غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈ ہے۔ پھر F اور دونوں مقامی طور پر غیر متزلزل ہیں۔ زیادہ عام طور پر، میٹرکس رنگ اور عمومی لکیری گروپ مقامی طور پر غیر متزلزل ہوتے ہیں۔ مقامی طور پر پروفائنٹ گروپ کی ایک اور مثال غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈ کا مطلق ویل گروپ ہے: یہ اس حقیقت کے برعکس ہے کہ اس طرح کا مطلق گالوئس گروپ پروفائنٹ (خاص طور پر کمپیکٹ) ہے۔ مقامی طور پر متفرق گروپ کی نمائندگی G کو مقامی طور پر متفرق گروپ ہونے دیں۔ پھر ایک گروپ ہومومورفزم مسلسل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا دانا کھلا ہو۔ G کی ایک پیچیدہ نمائندگی ہونے دیں۔ اسے ہموار کہا جاتا ہے اگر V ایک اتحاد ہے جہاں K تمام کھلے کمپیکٹ ذیلی گروپوں پر چلتا ہے۔ K کو قابل قبول کہا جاتا ہے اگر یہ ہموار ہے اور کسی بھی کھلے کمپیکٹ ذیلی گروپ K کے لیے محدود جہتی ہے۔ اب ہم ایک کمبل مفروضہ بناتے ہیں جو تمام کھلے کمپیکٹ ذیلی گروپوں K کے لیے زیادہ سے زیادہ قابل گنتی ہے۔ دوہری جگہ G کے ذریعے دی گئی کارروائی کو انجام دیتی ہے۔ عام طور پر، ہموار نہیں ہے۔ اس طرح، ہم یہ طے کرتے ہیں کہ کہاں کام کر رہا ہے اور سیٹ کرتے ہیں۔ اس کے بعد ہموار نمائندگی کو متضاد یا ہموار دوہری کہا جاتا ہے۔ G کی ہموار نمائندگی کے زمرے سے متضاد فنکٹر خود ہی درست ہے۔ مزید برآں، درج ذیل مساوی ہیں۔ قابل قبول ہے۔ قابل قبول ہے۔ کینونکل G-ماڈیول نقشہ ایک آئسومورفزم ہے۔ کب قابل قبول ہے، ناقابل تلافی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ناقابل تلافی ہو۔ ابتدا میں گنتی کا مفروضہ واقعی ضروری ہے، کیونکہ ایک مقامی طور پر غیر متزلزل گروہ موجود ہے جو ایک ناقابل تلافی ہموار نمائندگی کو تسلیم کرتا ہے جو ناقابل تلافی نہیں ہے۔ مقامی طور پر غیر متزلزل گروپ کا ہیک الجبرا، آئیے مقامی طور پر ایک غیر ماڈیولر غیر متزلزل گروپ بنیں جو تمام کھلے کمپیکٹ ذیلی گروپوں K کے لیے زیادہ سے زیادہ قابل گنتی ہو، اور ایک بائیں ہار کی پیمائش ہو۔ آئیے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ مقامی طور پر مستقل افعال کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ کی طرف سے دی گئی ضرب کی ساخت کے ساتھ ضروری نہیں کہ یونیٹل ایسوسی ایٹیو-الجبرا بن جائے۔ اسے G کا ہیک الجبرا کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ الجبرہ مقامی طور پر لامتناہی گروہوں کی ہموار نمائندگی کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔ درحقیقت، ایک کے پاس درج ذیل ہیں: G کی ہموار نمائندگی کو دیکھتے ہوئے، ہم V پر ایک نئی کارروائی کی وضاحت کرتے ہیں: اس طرح، ہمارے پاس ہموار نمائندگی کے زمرے سے لے کر غیر انحطاط-ماڈیولز کے زمرے تک فنکٹر ہے۔ یہاں، "غیر انحطاط" کا مطلب ہے۔ پھر حقیقت یہ ہے کہ فنکٹر ایک مساوات ہے۔ حوالہ جات کورین بلونڈل، تخفیف پ-اڈک گروپوں کا بنیادی نمائندگی نظریہ ٹوپولوجیکل گروپس