Sphere–cylinder intersection
حقیقی تین جہتی خلا کے لیے تجزیاتی جیومیٹری کے نظریہ میں، دائرے اور سلنڈر کے درمیان چوراہے سے بننے والا منحنی خطہ ایک دائرہ، ایک نقطہ، خالی سیٹ، یا ایک خاص قسم کا منحنی خطہ ہو سکتا ہے۔ اس صورتحال کے تجزیے کے لیے، فرض کریں (عامیت کے نقصان کے بغیر) کہ سلنڈر کا محور z-محور کے ساتھ موافق ہے ؛ سلنڈر پر موجود پوائنٹس (رداس کے ساتھ) مطمئن کرتے ہیں۔ اس کے پوائنٹس مطمئن کرتے ہیں چوراہا دونوں مساوات کو مطمئن کرنے والے پوائنٹس کا مجموعہ ہے۔ ٹریویل معاملات کا دائرہ مکمل طور پر سلنڈر کے اندر واقع ہے اگر، دائرہ مکمل طور پر سلنڈر کے اندرونی حصے میں واقع ہے۔ چوراہا خالی سیٹ ہے۔ دائرہ سلنڈر کو ایک نقطہ پر چھوتا ہے اگر دائرہ سلنڈر () سے چھوٹا ہے اور دائرہ سلنڈر کے اندرونی حصے میں واقع ہے سوائے ایک نقطہ کے۔ چوراہا واحد نقطہ ہے۔ دائرے کا مرکز سلنڈر کے محور پر ہو اگر دائرے کا مرکز سلنڈر کے محور پر ہو۔ اس صورت میں، چوراہا رداس کے دو حلقوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ حلقے طیاروں میں واقع ہیں اگر، چوراہا طیارہ میں ایک واحد دائرہ ہے۔ غیر معمولی صورتوں میں اوپر دی گئی دو مساوات کو گھٹانے سے پتہ چلتا ہے کہ چونکہ یہ ایک کواڈریٹک فنکشن ہے، xz-پلین پر چوراہے کا پروجیکشن ایک آرتھوگنل پیرابولہ کا حصہ ہے۔ یہ صرف اس حقیقت کی وجہ سے ایک حصہ ہے کہ۔ پیرابولہ کا ورٹیکس نقطہ پر واقع ہے، جہاں انٹرسیکشن دو بند منحنی خطوط پر مشتمل ہے اگر، حالت پیرابولہ کو دو حصوں میں کاٹ دیتی ہے۔ اس صورت میں، دائرے اور سلنڈر کا چوراہا دو بند منحنی خطوط پر مشتمل ہوتا ہے، جو ایک دوسرے کی آئینہ دار تصاویر ہوتی ہیں۔ xy-پلین میں ان کا پروجیکشن رداس کے دائرے ہوتے ہیں۔ چوراہے کے ہر حصے کو ایک زاویے سے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے: منحنی خطوط مندرجہ ذیل انتہائی نکات پر مشتمل ہوتے ہیں: چوراہا ایک واحد بند منحنی خطوط ہے اگر دائرے اور سلنڈر کا چوراہا ایک ہی بند منحنی خطوط پر مشتمل ہو۔ اسے اسی پیرامیٹر مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جیسا کہ پچھلے حصے میں کیا گیا تھا، لیکن زاویہ کہاں تک محدود ہونا چاہیے۔ منحنی خطوط مندرجہ ذیل انتہائی نکات پر مشتمل ہوتے ہیں: محدود کیس اس صورت میں، سلنڈر اور دائرہ نقطہ پر ایک دوسرے سے متصل ہوتے ہیں۔ چوراہا آٹھ کی شکل سے ملتا جلتا ہے: یہ ایک بند منحنی خطہ ہے جو خود کو کاٹتا ہے۔ مندرجہ بالا پیرامیٹریزیشن بن جاتی ہے جہاں اب دو مکمل انقلابات سے گزرتا ہے۔ خاص صورت میں، چوراہے کو ویویانی کے منحنی خطوط کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس کی پیرامیٹر کی نمائندگی ہے دونوں اجسام کے چوراہے کا حجم، جسے بعض اوقات ویویانی کا حجم بھی کہا جاتا ہے، ویویانی کا منحنی خطوط تجزیاتی جیومیٹری کرویکل منحنی خطوط جیومیٹرک چوراہے بھی دیکھیں۔