Dirac–Kähler equation
نظریاتی طبیعیات میں، ڈیراک-کیلر مساوات، جسے ایوانینکو-لنڈاؤ-کیلر مساوات بھی کہا جاتا ہے، ڈیراک مساوات کا ہندسی ینالاگ ہے جس کی تعریف لیپلیس-ڈی رام آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے کسی بھی فرضی-ریمینیائی کئی گنا پر کی جا سکتی ہے۔ چار جہتی فلیٹ اسپیس ٹائم میں، یہ ڈیراک مساوات کی چار نقلوں کے برابر ہے جو لورینٹز تبدیلیوں کے تحت ایک دوسرے میں تبدیل ہو جاتی ہیں، حالانکہ مڑے ہوئے اسپیس ٹائم میں یہ اب درست نہیں ہے۔ ہندسی ڈھانچہ مساوات کو ایک قدرتی ڈسکریٹائزیشن دیتا ہے جو لیٹس فیلڈ تھیوری میں اسٹیگرڈ فرمیئن فارملزم کے مساوی ہے، جس سے ڈیراک-کیلر فرمیئنز کو اسٹیگرڈ فرمیئنز کی رسمی تسلسل کی حد بناتی ہے۔ یہ مساوات دمتری ایوانینکو اور لیو لینڈو نے 1928 میں دریافت کی تھی اور بعد میں 1962 میں ایرک کیلر نے اسے دوبارہ دریافت کیا۔ ریاضیاتی جائزہ چار جہتی یوکلڈین اسپیس ٹائم میں تفریق شکلوں کے ایک عام شعبوں کو سولہ بنیادی شکلوں کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جاتا ہے، جو اشاریہ جات کے سولہ ترتیب شدہ امتزاج پر چلتا ہے۔ ہر انڈیکس ایک سے چار تک چلتا ہے۔ یہاں اینٹیسیمیٹرک ٹینسر فیلڈز ہیں جبکہ متعلقہ تفریق فارم بیس عناصر ہیں۔ ہج اسٹار آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے، بیرونی مشتق کوڈ تفریق سے متعلق ہے۔ یہ لیپلیس-ڈی رام آپریٹر بناتے ہیں جسے تب سے لیپلاشین آپریٹر کے مربع جڑ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ڈیراک-کیلر مساوات یہ نوٹ کرنے سے متاثر ہوتی ہے کہ یہ بھی ڈیراک آپریٹر کی خاصیت ہے، جس سے نتیجہ نکلتا ہے۔ یہ مساوات معمول کے ڈیراک مساوات سے قریب سے متعلق ہے، ایک ایسا تعلق جو تفریق شکلوں کے بیرونی الجبرا اور کلفورڈ الجبرا کے درمیان قریبی تعلق سے ابھرتا ہے جس میں ڈیراک اسپنرز ناقابل تلافی نمائندگی ہیں۔ کلفورڈ الجبرا کو مطمئن کرنے کے لیے بنیادی عناصر کے لیے، بنیادی عناصر کے طور پر کام کرنے والے ایک نئے کلفورڈ پروڈکٹ کو متعارف کرانا ضروری ہے۔ اس پروڈکٹ کو استعمال کرتے ہوئے، تفریق فارم کی بنیاد پر عناصر پر لیپلیس-ڈی رام آپریٹر کا عمل اس طرح لکھا جاتا ہے کہ ڈیراک مساوات حاصل کرنے کے لیے، بنیاد کی تبدیلی کی جانی چاہیے، جہاں نئی بنیاد کو ڈیراک میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے بیان کردہ میٹرکس میں پیک کیا جا سکتا ہے۔ میٹرکس کو مطمئن کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے، کلفورڈ الجبرا کو ڈیراک الجبرا کی چار ناقابل تلافی کاپیوں میں تحلیل کر دیا گیا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس بنیاد پر کلفورڈ پروڈکٹ صرف ان کالم عناصر کو ملاتا ہے جن کی طرف سے اشاریہ بندی کی جاتی ہے۔ اس بنیاد پر تفریق کی شکل کو لکھنا ڈیراک-کیلر مساوات کو ڈیراک مساوات کے چار سیٹوں میں تبدیل کر دیتا ہے جسے ڈیراک مساوات کے ذریعہ انڈیکس کیا گیا ہے۔ کم سے کم جوڑی والی ڈیراک-کیلر مساوات مشتق کو کوویرینٹ مشتق کے ساتھ تبدیل کرکے پائی جاتی ہے جو پہلے کی طرح، یہ بھی ڈیراک مساوات کی چار کاپیوں کے برابر ہے۔ ابیلین معاملے میں، جبکہ غیر ابیلین معاملے میں اضافی رنگ کے اشارے ہوتے ہیں۔ ڈیراک-کیلر فرمیئن بھی رنگین اشاریہ جات کو اٹھاتا ہے، جس کے ساتھ یہ باضابطہ طور پر مقامی رنگین جگہوں کے ویکٹر بنڈل کے ساتھ تفریق شکلوں کے اتیہ-کیلر بنڈل کے وٹنی پروڈکٹ کے کراس سیکشنز سے مطابقت رکھتا ہے۔ ڈسکریٹائزیشن ایک قدرتی طریقہ ہے جس میں بیرونی الجبرا اور سادہ کمپلیکس کے درمیان خط و کتابت کا استعمال کرتے ہوئے ڈیراک-کیلر مساوات کو الگ کرنا ہے۔ چار جہتی جگہ میں ایک جالی کو ایک آسان کمپلیکس سمجھا جا سکتا ہے، جس کے سمپلیکس کو بیس پوائنٹ کے ساتھ-جہتی ہائپر کیوبز کی بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جاتا ہے اور اس کے ذریعے سمت کا تعین کیا جاتا ہے۔ پھر ایچ-چین ایک رسمی لکیری امتزاج ہے۔ ایچ-چینز ایک باؤنڈری آپریٹر کو تسلیم کرتے ہیں جس کی تعریف (ایچ-1)-سمپلیکس کے طور پر کی جاتی ہے جو ایچ-چین کی باؤنڈری بناتا ہے۔ ایک کوباؤنڈری آپریٹر کو اسی طرح ایک (ایچ + 1)-زنجیر حاصل کرنے کے لیے بیان کیا جا سکتا ہے۔ زنجیروں کی دوہری جگہ-کوچینز پر مشتمل ہوتی ہے، جو کہ لکیری افعال ہوتے ہیں جو ایچ-چینز پر کام کرتے ہیں اور انہیں حقیقی اعداد کی نقشہ سازی کرتے ہیں۔ باؤنڈری اور کوباؤنڈری آپریٹرز دوہری جگہ میں اسی طرح کے ڈھانچے کو تسلیم کرتے ہیں جسے ڈوئل باؤنڈری اور ڈوئل کوباؤنڈری کہا جاتا ہے جسے مطمئن کرنے کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ بیرونی الجبرا اور سادہ کمپلیکس کے درمیان خط و کتابت کے تحت، تفریق شکلیں کوچین کے مساوی ہوتی ہیں، جبکہ بیرونی مشتق اور کوڈ تفریق بالترتیب ڈوئل باؤنڈری اور ڈوئل کوباؤنڈری سے مطابقت رکھتی ہیں۔ لہذا، ڈیراک-کیلر مساوات کو سادہ کمپلیکس پر لکھا جاتا ہے جس کے نتیجے میں ڈیراک-کیلر فرمیئن جالی فیلڈ تھیوری میں پائے جانے والے اسٹگرڈ فرمیئن کے برابر ہے، جسے بنیاد کی واضح تبدیلی سے واضح طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ تسلسل ڈیراک-کیلر فرمیئن فرمیئن اسٹیگرڈ فرمیئنز کی رسمی تسلسل کی حد ہے۔ ڈیراک مساوات سے تعلق جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، فلیٹ اسپیس ٹائم میں ڈیراک-کیلر مساوات ڈیراک مساوات کی چار نقلوں کے برابر ہے، حالانکہ یہ اینٹی سمیٹرک ٹینسر فیلڈز کے لیے مساوات کا ایک مجموعہ ہے۔ انٹیجر اسپن ٹینسر فیلڈز کی نصف انٹیجر اسپنر فیلڈز کو بیان کرنے کی صلاحیت کی وضاحت اس حقیقت سے کی جاتی ہے کہ لورینٹز تبدیلیاں اندرونی ڈیراک-کیلر سمیٹری کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی ہیں، اس سمیٹری کے پیرامیٹرز اسکیلرز کے بجائے ٹینسر ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ لورینٹز تبدیلیاں مختلف گھماؤوں کو ایک ساتھ ملاتی ہیں اور ڈیراک فرمین کلفورڈ الجبرا کی نصف عدد گھماؤ کی نمائندگی کو سختی سے نہیں بول رہے ہیں۔ اس کے بجائے وہ متفرق شکلوں کی ایک مربوط سپرپوزیشن سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اعلی جہتوں میں، خاص طور پر جہتی سطحوں پر، ڈیراک-کیلر مساوات ڈیراک مساوات کے مساوی ہے۔ مڑے ہوئے خلائی وقت میں، ڈیراک-کیلر مساوات اب چار ڈیراک مساوات میں تحلیل نہیں ہوتی ہے۔ بلکہ یہ ایک ترمیم شدہ ڈیراک مساوات ہے جو اس صورت میں حاصل کی جاتی ہے جب ڈیراک آپریٹر لیپلیس آپریٹر کا مربع جڑ رہے، ایک ایسی خاصیت جو مڑے ہوئے خلائی وقت میں ڈیراک مساوات کے ذریعہ مشترکہ نہیں ہے۔ یہ لورینٹز انواریینس کی قیمت پر آتا ہے، حالانکہ ان اثرات کو پلانک ماس کی طاقتوں کے ذریعے دبایا جاتا ہے۔ مساوات اس لحاظ سے بھی مختلف ہے کہ جب بھی کچھ بیٹی نمبر غائب ہو جاتے ہیں تو کمپیکٹ کئی گنا پر اس کے صفر طریقوں کے وجود کی ہمیشہ ضمانت دی جاتی ہے، جو ہارمونک شکلوں کے ذریعہ دی جاتی ہے، ڈیراک مساوات کے برعکس جس میں مثبت منحنی خطوط کے ساتھ کئی گنا پر کبھی صفر طریقے نہیں ہوتے ہیں۔ مزید دیکھیں فرمیئن ڈبلنگ لیٹیس کیو سی ڈی حوالہ جات نظریاتی طبیعیات ڈیراک مساوات لیٹیس فیلڈ تھیوری لیو لینڈو