Representation up to homotopy
ہوموٹوپی تک کی نمائندگی کے کئی معنی ہیں۔ قدیم ترین میں سے ایک محدود ہیملٹنین نظاموں کے 'جسمانی' تناظر میں ظاہر ہوا۔ ضروری خیال یہ ہے کہ حصص کے ریزولوشن پر مضبوط ہوموٹوپی تک کی نمائندگی کے حصص پر غیر نمائندگی کو اٹھایا جائے۔ تفریق جیومیٹری میں ایک تصور کے طور پر، یہ لائ الجبرا کی نمائندگی کے تصور کو لائ البروئڈز اور غیر معمولی ویکٹر بنڈلوں میں عام کرتا ہے۔ اس طرح اسے آباد اور کرینک نے متعارف کرایا تھا۔ ایک محرک کے طور پر باقاعدہ لائ الجیبرائڈ (A، ρ، [.،]) پر غور کریں۔ (باقاعدہ معنی یہ ہے کہ اینکر ρ کا مستقل درجہ ہوتا ہے) جہاں ہمارے پاس بالترتیب g (A) = ker ρ اور ν (A) = TM/IM ρ پر دو قدرتی A-کنکشن ہوتے ہیں: لائ الجیبرائڈ A کے ڈیفارمیشن تھیوری میں ایک طویل عین مطابق ترتیب ہوتی ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ڈیفارمیشنز کے لیے صحیح کوہومولوجی (یہاں Hdef کے طور پر ظاہر کی گئی ہے) دو ماڈیولز g (A) اور ν (A) کے براہ راست مجموعہ سے آتی ہے اور اسے ملحقہ نمائندگی کہا جانا چاہیے۔ تاہم نوٹ کریں کہ زیادہ عام صورت میں جہاں ρ کا مستقل درجہ نہیں ہے ہم آسانی سے نمائندگی g (A) اور ν (A) کی وضاحت نہیں کر سکتے۔ اس کے بجائے ہمیں 2 ٹرم کمپلیکس A → TM اور اس پر ایک نمائندگی پر غور کرنا چاہیے۔ یہ یہاں بیان کردہ تصور کی طرف لے جاتا ہے۔ تعریف لیٹ (A، ρ، [.،]) ایک ہموار کئی گنا M پر ایک لی الجیبرائڈ ہو اور ω (A) کو اس کے لی الجیبرائڈ کمپلیکس کی نشاندہی کرنے دیں۔ مزید یہ کہ E، M پر ایک Z درجہ بند ویکٹر بنڈل ہے اور (A، E) = (A) (E) اس کی Z درجہ بند A-زنجیر ہے جس کی اقدار E میں ہیں۔ E پر A کی ہوموٹوپی تک کی نمائندگی ایک تفریقی آپریٹر D ہے جو نقشہ سازی لیبنز اصول کو پورا کرتا ہے اور مربع کو صفر تک پہنچاتا ہے، یعنی۔ D2 = 0۔ ہوموٹوپی آپریٹرز جیسا کہ اوپر متعارف کرایا گیا ہے، ہوموٹوپی تک کی نمائندگی درج ذیل ڈیٹا کے مساوی ہے، ایک ڈگری 1 آپریٹر، جو کہ 0 سے مربع کرتا ہے، ایک A-کنکشن، جو کہ E پر مطابقت رکھتا ہے، ایک اینڈ (E) ویلیوڈ A-2-فارم کل ڈگری 1 کا ω2 ہے، اس طرح کہ منحنی پن کل ڈگری 1 کے اینڈ (E) ویلیوڈ A-p-فارم ωp کو پورا کرتا ہے جو ہوموٹوپی تعلقات کو پورا کرتا ہے۔ خط و کتابت کو ہومومورفزم کے طور پر نمایاں کیا جاتا ہے ایک ہی لائ الجیبرائڈ اے کی ہوموٹوپی (ای، ڈی ای) اور (ایف، ڈی ایف) تک کی نمائندگی کے درمیان ہومومورفزم ایک ڈگری 0 نقشہ ہے جو کہ تفریق کے ساتھ منتقل ہوتا ہے، یعنی۔ ایک آئسومورفزم اب ایک الٹا ہومومورفزم ہے۔ ہم ہومومورفزم کی مساوات کی کلاسوں کے ساتھ مل کر ہوموٹوپی تک کی نمائندگی کی مساوات کی کلاسوں کے زمرے کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ایک کوچین نقشہ، ایک کنکشن، اور اعلی ہوموٹوپیز میں D کے مذکورہ بالا سڑنے کے معنی میں، ہم φ کو φ0 + φ1 + کے طور پر بھی سڑ سکتے ہیں۔ اس کے ساتھ اور پھر مطابقت کی حالت پڑھتی ہے۔ مثالیں لائ الجبروئڈز کی معمول کی نمائندگی ہیں یا زیادہ خاص طور پر لائ الجبراس، یعنی۔ ماڈیول۔ ایک اور مثال ایک پی-فارم ωp کے ذریعے دی گئی ہے جس کے ساتھ E = M × R [0] ωR [p] اور آپریٹر D = ρ + ωp ہے جہاں ρ معمولی بنڈل M × R پر فلیٹ کنکشن ہے۔ ہوموٹوپی تک کی نمائندگی کو دیکھتے ہوئے D = ऱॆ + ρ + ω2 + کے طور پر۔ ہم کنجگیشن کے ذریعے ہوموٹوپی تک ایک نئی نمائندگی تشکیل دے سکتے ہیں، یعنی۔ D "'= ष्णم − ρ + ω2 − ω3 + −۔ مشترکہ نمائندگی لی الجیبرائڈ دی گئی ہے (A، ρ، [.،]) اس کے ویکٹر بنڈل پر ایک کنکشن کے ساتھ مل کر ہم دو متعلقہ اے-کنکشنز کی وضاحت مندرجہ ذیل طور پر کر سکتے ہیں۔ مزید برآں، ہم مخلوط منحنی پن کو اس طرح متعارف کر سکتے ہیں کہ یہ منحنی پن کنکشن کے ساتھ لائ بریکٹ کی مطابقت کی پیمائش کرتا ہے اور یہ اے کی دو شرائط میں سے ایک ہے جو ٹی ایم کے ساتھ مل کر لائ الجبروئڈز کی ایک مماثل جوڑی بناتا ہے۔ پہلا مشاہدہ یہ ہے کہ اینکر نقشہ ρ سے سجایا گیا یہ اصطلاح، اسی کے مطابق، دونوں کنکشنز کے منحنی پن کو ظاہر کرتا ہے۔ دوم ہم تینوں اجزاء کو ہوموٹوپی تک کی نمائندگی سے ملا سکتے ہیں: ایک اور مشاہدہ یہ ہے کہ ہوموٹوپی تک کے نتیجے میں ہونے والی نمائندگی منتخب کردہ کنکشن سے آزاد ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ دو A-رابطوں کے درمیان فرق ایک (A−1-فارم اینڈ (E ") میں اقدار کے ساتھ ہے۔ حوالہ جات لی الجیبراس کی نمائندگی کا نظریہ تفریقی جیومیٹری