Infinity Laplacian
ریاضی میں، انفینیٹی لیپلیس (یا-لیپلیس) آپریٹر ایک دوسرے درجے کا جزوی تفریق آپریٹر ہے، جسے عام طور پر مختصر کیا جاتا ہے۔ پہلا ورژن اس انفرادیت سے گریز کرتا ہے جو میلان کے غائب ہونے پر ہوتا ہے، جبکہ دوسرا ورژن میلان میں آرڈر صفر کا یکساں ہوتا ہے۔ زبانی طور پر، دوسرا ورژن میلان کی سمت میں دوسرا مشتق ہے۔ انفینٹی لیپلیس مساوات کے معاملے میں، دونوں تعریفیں مساوی ہیں۔ اگرچہ مساوات میں دوسرے مشتقات شامل ہوتے ہیں، عام طور پر (عمومی) حل دو بار تفریق کے قابل نہیں ہوتے ہیں، جیسا کہ معروف ایرونسن حل سے ظاہر ہوتا ہے۔ اس وجہ سے حلوں کا صحیح تصور وہ ہے جو چپچپا حلوں کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ مساوات کے چپچپا حل کو انفینیٹی ہارمونک افعال کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ یہ اصطلاح اس حقیقت سے پیدا ہوتی ہے کہ انفینیٹی لیپلیس آپریٹر سب سے پہلے مطلق کم سے کم کے مطالعہ میں پیدا ہوا، اور اسے ایک خاص معنوں میں پی-لیپلاسیئن کی حد کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ابھی حال ہی میں، انفینٹی لیپلیس مساوات کے چپچپا حل کی شناخت بے ترتیب ٹگ آف وار گیمز سے ادائیگی کے افعال کے ساتھ کی گئی ہے۔ گیم تھیوری کے نقطہ نظر نے جزوی تفریق مساوات کی سمجھ کو نمایاں طور پر بہتر بنایا ہے۔ مجرد ورژن اور گیم تھیوری معمول کے ہارمونک افعال کی ایک وضاحتی خاصیت اوسط قدر کی خاصیت ہے۔ اس کا ایک قدرتی اور اہم مجرد ورژن ہے: ایک محدود یا لامحدود گراف پر ایک حقیقی قدر والا فنکشن اگر سب کے لیے ہو تو ذیلی سیٹ پر مجرد ہم آہنگ ہوتا ہے۔ اسی طرح، میلان کی سمت میں غائب ہونے والے دوسرے مشتق کا ایک قدرتی مجرد ورژن ہوتا ہے: اس مساوات میں، ہم نے میکس اور منٹ کے بجائے سپ اور انف کا استعمال کیا کیونکہ گراف کو مقامی طور پر محدود ہونا ضروری نہیں ہے (یعنی، محدود ڈگری رکھنے کے لیے): ایک اہم مثال یہ ہے کہ ڈومین میں پوائنٹس کا سیٹ کب ہے، اور اگر ان کا یوکلڈین فاصلہ زیادہ سے زیادہ ہے۔ اس مثال کی اہمیت درج ذیل میں ہے۔ ہموار باؤنڈری اور مسلسل فنکشن کے ساتھ ایک باؤنڈڈ اوپن سیٹ پر غور کریں۔ - صورت میں، f سے D کی ہارمونک توسیع کا تخمینہ چھوٹے میش سائز کے ساتھ ایک جالی لے کر، 2d سے کم ڈگری کے ساتھ عمودی سیٹ ہونے دے کر، قدرتی تخمینہ لے کر، اور پھر V کی منفرد مجرد ہارمونک توسیع لے کر دیا جاتا ہے۔ تاہم، مثالوں سے یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ-صورت کے لیے کام نہیں کرتا ہے۔ اس کے بجائے، جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، کسی کو اوپر بیان کردہ لمبائی کے تمام کناروں کے ساتھ تسلسل گراف لینا چاہئے۔ اب، فرام ٹو کے-ہارمونک ایکسٹینشن کو دیکھنے کا ایک ممکنہ طریقہ یہ ہے کہ، سادہ بے ترتیب واک کہاں سے شروع ہوتی ہے، اور مارنے کا وقت ہے۔ - کیس کے لیے، ہمیں گیم تھیوری کی ضرورت ہے۔ مقام پر ایک ٹوکن شروع کیا جاتا ہے، اور دیا جاتا ہے۔ دو کھلاڑی ہوتے ہیں، ہر موڑ پر وہ ایک منصفانہ سکہ پلٹاتے ہیں، اور فاتح ٹوکن کو موجودہ مقام کے کسی بھی پڑوسی کو منتقل کر سکتا ہے۔ کھیل اس وقت ختم ہوتا ہے جب ٹوکن کسی وقت اور مقام پر پہنچ جاتا ہے، جس مقام پر پہلے کھلاڑی کو دوسرے کھلاڑی سے رقم ملتی ہے۔ لہذا، پہلا کھلاڑی زیادہ سے زیادہ کرنا چاہتا ہے، جبکہ دوسرا کھلاڑی اسے کم کرنا چاہتا ہے۔ اگر دونوں کھلاڑی بہتر طریقے سے کھیلتے ہیں (جس کا گیم تھیوری میں اچھی طرح سے متعین معنی ہے)، تو پہلے کھلاڑی کو متوقع ادائیگی ایک مجرد انفینیٹی ہارمونک فنکشن ہے، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ پی-لیپلاسیئن کے لیے گیم تھیوری کا ایک نقطہ نظر بھی ہے، جو سادہ بے ترتیب چہل قدمی اور مذکورہ بالا بے ترتیب ٹگ آف وار گیم کے درمیان مداخلت کرتا ہے۔ ذرائع۔ تفریقی آپریٹرز ایلیپٹک جزوی تفریقی مساوات