Alexiewicz norm
ریاضی میں-خاص طور پر، انضمام کے نظریہ میں-الیکسیویز معیار ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل سے وابستہ ایک لازمی معیار ہے۔ الیکسیویکس کا معیار ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل افعال کی جگہ کو ایک ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس میں بدل دیتا ہے جو بیرلڈ ہے لیکن مکمل نہیں ہے۔ الیکسیویکس معیار کا نام پولینڈ کے ریاضی دان آندریج الیکسیویکس کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اسے 1948 میں متعارف کرایا تھا۔ تعریف HK (R) کو ان تمام افعال f: R → R کی جگہ کی نشاندہی کرنے دیں جن کا ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل محدود ہے۔ یہ HK (R) پر ایک نیم معمول کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر وہ افعال جو تقریبا ہر جگہ برابر ہیں، ان کی نشاندہی کی جاتی ہے، تو یہ طریقہ کار تقریبا ہر جگہ مساوات کے تعلق سے HK (R) کے حصص پر ایک حقیقی معیار کی وضاحت کرتا ہے۔ (نوٹ کریں کہ واحد مستقل فنکشن f: R → R جو انٹیگریبل ہے وہ ہے جس کی مستقل قدر صفر ہے۔) خصوصیات الیکسیویکس کا معیار HK (R) کو ایک ٹوپولوجی کے ساتھ عطا کرتا ہے جو بیرلڈ لیکن نامکمل ہے۔ الیکسیویکس معیار جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے اس کے ذریعہ بیان کردہ معیار کے مساوی ہے۔ الیکسیویکس معیار کے حوالے سے HK (R) کی تکمیل کو اکثر A (R) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور یہ معتدل تقسیم کی جگہ کی ذیلی جگہ ہے، جو شوارٹز جگہ کا دوہری ہے۔ مزید واضح طور پر، A (R) ان ٹمپریڈ ڈسٹری بیوشنوں پر مشتمل ہوتا ہے جو کلیکشن میں فنکشنز کے ڈسٹری بیوشنل مشتق ہوتے ہیں۔ لہذا، اگر f ωA (R)، تو f ایک ٹمپریڈ ڈسٹری بیوشن ہے اور مندرجہ بالا کلیکشن میں ایک مسلسل فنکشن F موجود ہے جیسے کہ ہر کمپیکٹ سپورٹڈ C ω ٹیسٹ فنکشن φ: R → R کے لیے۔ اس صورت میں، یہ مانا جاتا ہے کہ ٹرانسلیشن آپریٹر الیکسیویز کے معیار کے حوالے سے مسلسل ہے۔ یعنی، اگر f ω HK (R) اور x ω R کے لیے f کا x سے ترجمہ Txf کی تعریف تب حوالہ جات کے اصولوں (ریاضی) سے کی جاتی ہے۔