Peregrine soliton
پیریگرین سولٹن (یا پیریگرین بریتھر) غیر لکیری شروڈنگر مساوات کا ایک تجزیاتی حل ہے۔ یہ حل 1983 میں یونیورسٹی آف برسٹل کے شعبہ ریاضی کے محقق ہوول پیریگرین نے تجویز کیا تھا۔ اہم خصوصیات معمول کے بنیادی سولٹن کے برعکس جو پھیلاؤ کے دوران اپنے پروفائل کو برقرار رکھ سکتا ہے، پیریگرین سولٹن ایک ڈبل اسپیٹیو-عارضی لوکلائزیشن پیش کرتا ہے۔ لہذا، مسلسل پس منظر پر ایک کمزور ارتعاش سے شروع کرتے ہوئے، پیریگرین سولٹون اپنے طول و عرض میں بتدریج اضافے اور اس کی عارضی مدت کے تنگ ہونے سے گزرتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ کمپریشن کے مقام پر، طول و عرض مسلسل پس منظر کی سطح سے تین گنا زیادہ ہوتا ہے (اور اگر کوئی شدت کو آپٹکس میں متعلقہ سمجھتا ہے، تو چوٹی کی شدت اور آس پاس کے پس منظر کے درمیان ایک عنصر 9 ہوتا ہے)۔ زیادہ سے زیادہ دباؤ کے اس نقطہ کے بعد، لہر کا طول و عرض کم ہو جاتا ہے اور اس کی چوڑائی بڑھ جاتی ہے۔ پیریگرین سولٹن کی یہ خصوصیات ان مقداری معیار کے ساتھ مکمل طور پر مطابقت رکھتی ہیں جو عام طور پر لہر کو بدمعاش لہر کے طور پر اہل بنانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ لہذا، پیریگرین سولٹن ان لہروں کی تشکیل کی وضاحت کرنے کے لیے ایک پرکشش مفروضہ ہے جن کا طول و عرض زیادہ ہے اور وہ کہیں سے ظاہر ہو سکتی ہیں اور بغیر کسی نشان کے غائب ہو سکتی ہیں۔ ریاضیاتی اظہار اسپاٹیو-ٹیمپورل ڈومین میں پیریگرین سولٹن ایک جہتی غیر لکیری شروڈنگر مساوات کا حل ہے جسے عام اکائیوں میں درج ذیل لکھا جا سکتا ہے: اسپاٹیل کوآرڈینیٹ اور ٹیمپورل کوآرڈینیٹ کے ساتھ۔ گہرے پانی میں سطح کی لہر کا لفافہ ہونا۔ منتشر بے ضابطہ ہے اور غیر لکیری خود مرکوز ہے (نوٹ کریں کہ عام طور پر منتشر میڈیم کے لیے اسی طرح کے نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں جو ایک غیر متغیر غیر لکیری کے ساتھ مل کر ہوتے ہیں)۔ پیریگرین تجزیاتی اظہار ہے: تاکہ عارضی اور مقامی زیادہ سے زیادہ اور کے لیے حاصل کیا جائے۔ سپیکٹرم ڈومین میں مقامی تعدد کے مطابق پیریگرین سولٹون کو ریاضیاتی طور پر ظاہر کرنا بھی ممکن ہے: ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہونے کے ساتھ۔ یہ ایک ماڈیولس سے مطابقت رکھتا ہے (مستقل مسلسل پس منظر کے ساتھ یہاں خارج کر دیا گیا ہے): کوئی بھی محسوس کر سکتا ہے کہ کسی بھی وقت کے لیے، سپیکٹرم کا ماڈیولس ایک عام مثلث کی شکل ظاہر کرتا ہے جب اسے لوگرتھمک پیمانے پر پلاٹ کیا جاتا ہے۔ وسیع ترین سپیکٹرم کے لیے حاصل کیا جاتا ہے، جو اسپاٹیو-عارضی غیر لکیری ڈھانچے کے زیادہ سے زیادہ دباؤ سے مطابقت رکھتا ہے۔ پیریگرین سولٹن کی مختلف تشریحات ایک عقلی سولٹن کے طور پر پیریگرین سولٹن ایک فرسٹ آرڈر عقلی سولٹن ہے۔ ایک اخمیدیف سانس لینے والے کے طور پر پیریگرین سولٹن کو خلائی دورانیے کے اخمیدیف سانس لینے کے محدود کیس کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے جب مدت لامحدود ہو جاتی ہے۔ ایک کزنیتسوو-ما سولٹن کے طور پر پیریگرین سولٹن کو وقتا فوقتا کزنیتسوو-ما سانس لینے والے کے محدود کیس کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے جب مدت انفینیٹی کی طرف جاتی ہے۔ تجرباتی مظاہرہ ایچ پیریگرین کی ریاضیاتی پیش گوئیاں ابتدائی طور پر ہائیڈرو ڈائنامکس کے شعبے میں قائم کی گئی تھیں۔ تاہم یہ اس جگہ سے بہت مختلف ہے جہاں پہلی بار تجرباتی طور پر پیریگرین سولٹون تیار کیا گیا ہے اور اس کی خصوصیت کی گئی ہے۔ آپٹکس میں نسل 2010 میں، پیریگرین کے ابتدائی کام کے 25 سال سے زیادہ عرصے بعد، محققین نے اس مشابہت کا فائدہ اٹھایا جو آپٹیکل فائبر میں پیریگرین سولٹون پیدا کرنے کے لیے ہائیڈرو ڈائنامکس اور آپٹکس کے درمیان کھینچا جا سکتا ہے۔ در حقیقت، فائبر آپٹکس میں روشنی کا ارتقاء اور گہرے پانی میں سطح کی لہروں کا ارتقاء دونوں غیر لکیری شروڈنگر مساوات کے مطابق ہیں (تاہم نوٹ کریں کہ مقامی اور عارضی متغیرات کو تبدیل کرنا پڑتا ہے)۔ اس طرح کی مشابہت کو ماضی میں آپٹیکل فائبر میں آپٹیکل سولٹون پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ مزید واضح طور پر، غیر لکیری شروڈنگر مساوات کو نظری ریشوں کے تناظر میں درج ذیل جہتی شکل میں لکھا جا سکتا ہے: دوسرے درجے کے منتشر ہونے کے ساتھ (غیر معمولی سمجھا جاتا ہے، یعنی) اور غیر لکیری کیر گتانک ہونے کی وجہ سے۔ اور بالترتیب پھیلاؤ کا فاصلہ اور عارضی کوآرڈینیٹ ہیں۔ اس تناظر میں، پیریگرین سولٹون کا درج ذیل جہتی اظہار ہے: ایک غیر لکیری لمبائی ہے جس کی تعریف مسلسل پس منظر کی طاقت کے طور پر کی گئی ہے۔ ایک مدت ہے جس کی وضاحت کی گئی ہے۔ خصوصی طور پر معیاری نظری مواصلاتی اجزاء کا استعمال کرتے ہوئے، یہ دکھایا گیا ہے کہ ایک لگ بھگ ابتدائی حالت کے ساتھ بھی (اس کام کے معاملے میں، ایک ابتدائی سینوسائڈل مار)، مثالی پیریگرین سولٹون کے بہت قریب ایک پروفائل تیار کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، غیر مثالی ان پٹ کی حالت سب اسٹرکچرز کی طرف لے جاتی ہے جو زیادہ سے زیادہ کمپریشن کے نقطہ کے بعد ظاہر ہوتے ہیں۔ ان ذیلی ڈھانچوں میں پیریگرین سولٹون کے قریب ایک پروفائل بھی ہوتا ہے، جسے ڈاربوکس ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرتے ہوئے تجزیاتی طور پر سمجھایا جا سکتا ہے۔ عام مثلث سپیکٹرم کی شکل کی بھی تجرباتی طور پر تصدیق کی گئی ہے۔ ہائیڈرو ڈائنامکس میں پیداوار آپٹکس میں ان نتائج کی تصدیق 2011 میں ہائیڈرو ڈائنامکس میں 15 میٹر لمبے پانی کے لہر ٹینک میں کیے گئے تجربات سے ہوئی ہے۔ 2013 میں، کیمیائی ٹینکر جہاز کے پیمانے کے ماڈل کا استعمال کرتے ہوئے تکمیلی تجربات نے جہاز پر ممکنہ تباہ کن اثرات پر تبادلہ خیال کیا ہے۔ طبیعیات کے دیگر شعبوں میں نسل پلازما کی طبیعیات میں کیے گئے دیگر تجربات نے غیر لکیری شروڈنگر مساوات کے زیر انتظام دیگر شعبوں میں پیریگرین سولٹونس کے ظہور کو بھی اجاگر کیا ہے۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات بریدر روگ لہر، آپٹیکل روگ لہریں نوٹ اور حوالہ جات سولیٹنز فلوڈ ڈائنامکس لہریں غیر لکیری آپٹکس پانی کی لہریں بھی دیکھیں۔