McShane integral
ریاضی کی اس شاخ میں جسے انٹیگریشن تھیوری کہا جاتا ہے، میک شین انٹیگرل، جسے ایڈورڈ جے میک شین نے تخلیق کیا ہے، ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل کی ایک ترمیم ہے۔ میک شین انٹیگرل لیبسیگ انٹیگرل کے مساوی ہے۔ تعریف فری ٹیگڈ پارٹیشن حقیقی لائن کے بند وقفے کو دیکھتے ہوئے، کی ایک فری ٹیگڈ پارٹیشن ایک سیٹ ہے جہاں اور ہر ٹیگ۔ حقیقت یہ ہے کہ ٹیگز کو ذیلی وقفوں سے باہر ہونے کی اجازت ہے اسی وجہ سے پارٹیشن کو فری کہا جاتا ہے۔ ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل اور میک شین انٹیگرل کی تعریفوں کے درمیان بھی یہی فرق ہے۔ کسی فنکشن اور فری ٹیگڈ پارٹیشن کے لیے، گیج کی وضاحت کریں اس تناظر میں ایک مثبت فنکشن کو گیج کہا جاتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ ایک مفت ٹیگ شدہ پارٹیشن-ٹھیک ہے اگر تمام بدیہی طور پر، گیج ذیلی وقفوں کی چوڑائی کو کنٹرول کرتا ہے۔ ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل کی طرح، یہ لچک فراہم کرتا ہے (خاص طور پر دشواری والے نکات کے قریب) جو ریمن انٹیگرل کے ذریعہ نہیں دیا گیا ہے۔ میک شین انٹیگرل ویلیو میک شین انٹیگرل ہے اگر ہر ایک کے لیے ہم ایک گیج تلاش کر سکتے ہیں جو کہ میک شین کی تعریف کے مطابق اگر کوئی فنکشن انٹیگریبل ہے، تو پھر ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل بھی ہے۔ دونوں انٹیگرلز اس کی انفرادیت کے حوالے سے موافق ہیں۔ مندرجہ بالا تعریف کی وضاحت کے لیے ہم مندرجہ ذیل مثالوں میں بیان کردہ افعال کی میک شین انٹیگریبلٹی کا تجزیہ کرتے ہیں، جنہیں پہلے ہی ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل کے نام سے جانا جاتا ہے (اس ویکیپیڈیا "ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل" کی سائٹ کا پیراگراف 3 دیکھیں)۔ مثال 1 آئیے ایسا ہو کہ اور اگر جیسا کہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے، تو یہ فنکشن ریمن انٹیگریبل ہے اور کورسپونڈنٹ انٹیگرل اس کے برابر ہے۔ اس مقصد کے لیے، کسی دی گئی چیز کے لیے، آئیے گیج کا انتخاب اس طرح کریں کہ اگر کسی بھی فری ٹیگ شدہ پارٹیشن کو ترتیبات میں تقسیم کیا جا سکے جیسے، کے لیے، کے لیے، اور، کہاں، اس طرح کہ اس طرح، ہمارے پاس ریمن کا مجموعہ ہے اور اس کے نتیجے میں۔ لہذا اگر ایک فری ٹیگ شدہ-فائن پارٹیشن ہے تو ہمارے پاس، ہر ایک کے لیے، اور، ہر ایک کے لیے ہے۔ چونکہ ان وقفوں میں سے ہر ایک باقی تمام کے اندرونی حصے کو اوورلیپ نہیں کرتا ہے، اس لیے ہم حاصل کرتے ہیں اس طرح میک شین انٹیگریبل ہے اور اگلی مثال ریمن اور میک شین انٹیگرلز کے درمیان فرق کے وجود کو ثابت کرتی ہے۔ مثال 2 معروف ڈیرچلیٹ فنکشن کو جس کے ذریعے کوئی ریمن انٹیگریبل نہیں ہونا جانتا ہے۔ ہم دکھائیں گے کہ یہ میک شین کے لحاظ سے مربوط ہے اور اس کا لازمی صفر ہے۔ وقفے کے تمام عقلی اعداد کے سیٹ سے اشارہ کرتے ہوئے، کسی بھی چیز کے لیے درج ذیل گیج وضع کریں۔ کسی بھی ٹھیک فری ٹیگ شدہ پارٹیشن کے لیے اس کے ریمن سم پر غور کریں۔ اس بات کو مدنظر رکھتے ہوئے کہ جب بھی غیر معقول ہو، ہم ترتیب شدہ جوڑوں کی ترتیب میں خارج کر سکتے ہیں جو تشکیل پاتے ہیں، وہ جوڑے جہاں غیر معقول ہیں۔ بقیہ اس قسم کے تسلسل ہیں کہ، چونکہ ان وقفوں میں سے ہر ایک بقیہ کے اندرونی حصے کو اوورلیپ نہیں کرتا ہے، اس لیے ان ترتیبات میں سے ہر ایک ریمن کے مجموعے میں اس قسم کے ذیلی مجموعوں کو جنم دیتا ہے۔ اس طرح، جو یہ ثابت کرتا ہے کہ ڈیرچلیٹ کا فنکشن میک شین انٹیگریبل ہے اور مشتقات کے ساتھ اس کا تعلق ایک وقفے پر بیان کردہ حقیقی افعال کے لیے، ہین اسٹاک-کرزویل اور میک شین انٹیگرل دونوں نیچے بیان کردہ ابتدائی خصوصیات کو پورا کرتے ہیں، جہاں ہم ان میں سے کسی بھی انٹیگرل کی قدر کو غیر واضح طور پر ظاہر کرتے ہیں۔ اگر انٹیگریبل آن ہے تو اس کے ہر ذیلی وقفے پر انٹیگریبل ہے۔ اگر انٹیگریبل ہے اور پھر انٹیگریبل ہے اور۔ اگر مسلسل آن ہے تو انٹیگریبل آن ہے۔ اگر مونوٹونس آن ہے تو انٹیگریبل آن ہے۔ ایک تفریق پذیر اور سختی سے یکسانیت پر مبنی فعل ہونے دیں۔ پھر اگر اور صرف اس صورت میں انٹیگریبل ہے جب انٹیگریبل ہے۔ ایسی صورت میں۔ اگر انٹیگریبل آن ہے تو انٹیگریبل آن اور ہر ایک کے لیے ہے۔ آئیے اور مربوط رہیں۔ پھر: اور پر انٹیگریبل ہے۔ ایم۔ مذکورہ بالا انٹیگرلز کے حوالے سے، ان خصوصیات کے ثبوت ایک جیسے ہیں سوائے نامہ نگار کی تعریفوں کے اختلافات میں معمولی تغیرات کے (دیکھیں واشک فیفر [سیکنڈ۔ 6. 1)۔ اس طرح دونوں انٹیگرلز کے درمیان ایک خاص متوازی کا مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ تاہم ایک ناقابل فہم ٹوٹنا اس وقت ہوتا ہے جب دیگر خصوصیات کا تجزیہ کیا جاتا ہے، جیسے کہ مطلق انٹیگریبلٹی اور انٹیگریبل تفریق پذیر افعال کے مشتقات کی انٹیگریبلٹی۔ اس معاملے پر درج ذیل نظریات موجود ہیں (دیکھیں [Prop.2.2.3 e Th. 6. 1. 2)۔ نظریہ 1 (میک شین انٹیگرل کی مطلق انٹیگریبلٹی پر) اگر میک شین انٹیگریبل ہے تو میک شین بھی اور پر انٹیگریبل ہے۔ نظریہ 2 (ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل کا بنیادی نظریہ) اگر اس پر تفریق قابل ہے، تو ہین اسٹاک-کرزویل اور پر انٹیگریبل ہے۔ ان نظریات کی وضاحت کے لیے ہم مثال 2.4.12 کی بنیاد پر درج ذیل مثال کا تجزیہ کرتے ہیں۔ مثال 3 آئیے فنکشن پر غور کریں: ظاہر ہے کہ کسی بھی وقت تفریق کے قابل ہے اور تفریق کے قابل بھی، اس کے ساتھ ساتھ، چونکہ۔ مزید برآں چونکہ فنکشن مسلسل ہے اور، نظریہ 2 کے مطابق، فنکشن ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل ہے پھر 6 اور 7 کی خصوصیات کے ذریعہ، وہی فنکشن کے ساتھ ہوتا ہے لیکن فنکشن مذکورہ بالا انٹیگرلز میں سے کسی کے لیے بھی انٹیگریبل نہیں ہے۔ درحقیقت، بصورت دیگر، اس طرح کے کسی بھی انٹیگرل کی طرف اشارہ کرتے ہوئے، ہمارے پاس کسی بھی مثبت عدد کے لیے ضروری ہونا چاہیے۔ پھر متغیر کی تبدیلی کے ذریعے، ہمیں خاصیت 5: کو مدنظر رکھتے ہوئے حاصل کرنا چاہیے۔ جیسا کہ ایک صوابدیدی مثبت عدد ہے اور ہم ایک تضاد حاصل کرتے ہیں۔ اس مثال سے ہم درج ذیل متعلقہ نتائج کا نتیجہ اخذ کرنے کے قابل ہیں: I) نظریہ 1 اب ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل کے لیے درست نہیں ہے کیونکہ یہ ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل ہے اور نہیں ہے۔ II) نظریہ 2 میک شین انٹیگرل کے لیے نہیں ہے۔ بصورت دیگر میک شین کو مربوط ہونے کے ساتھ ساتھ نظریہ 1 کے مطابق ہونا چاہیے، جو کہ مضحکہ خیز ہے۔ III)، اس طرح، ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل فنکشن کی ایک مثال ہے جو میک شین انٹیگریبل نہیں ہے۔ یعنی میک شین انٹیگریبل فنکشنز کی کلاس ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگریبل فنکشنز کی ایک سخت ذیلی کلاس ہے۔ لیبسیگ انٹیگرل کے ساتھ تعلق میک شین انٹیگرل کا زیادہ حیران کن نتیجہ درج ذیل نظریہ میں بیان کیا گیا ہے، جس کا اعلان پہلے ہی تعارف میں کیا جا چکا ہے۔ نظریہ 3 لیٹ۔ پھر میک شین انٹیگریبل لیبسیگ انٹیگریبل ہے۔ نامہ نگار انٹیگرلز موافق ہوتے ہیں۔ یہ حقیقت یہ نتیجہ اخذ کرنے کے قابل بناتی ہے کہ میک شین انٹیگرل کے ساتھ ریمن جملوں کے ارد گرد انضمام کے نظریہ کا ایک قسم کا اتحاد تشکیل دیتا ہے، جو بالآخر اس نظریہ کی ابتدا ہے۔ ابھی تک اس طرح کے نظریہ کا کوئی فوری ثبوت معلوم نہیں ہے۔ واشک فیفر میں [Ch. 4] یہ لیبسگ انٹیگرل کی پہلے سے معلوم خصوصیات کے ساتھ تعلق میں پیمائش کے نظریہ سمیت میک شین انٹیگرل کے نظریہ کی ترقی کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ مزید برآں رسل گورڈن کی کتاب کی طرف، اس موضوع پر ہم قارئین کی توجہ رابرٹ میک لیوڈ کے کاموں کی طرف بھی مبذول کراتے ہیں۔ 8]، [Ch. 10] اور ڈگلس کرٹز اور چارلس سوارٹز۔ میک شین انٹیگرل کا ایک اور نقطہ نظر یہ ہے کہ اسے میزر تھیوری کا استعمال کیے بغیر لیبسگ انٹیگرل کی نئی تشکیل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو کہ فریجیس ریز اور بیلا زی کے کورسز کے متبادل کے طور پر ہے۔ ناگی [Ch.II] یا سرج لینگ [Ch. X، §4 ضمیمہ] (یہ بھی دیکھیں)۔ ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل حوالہ جات ریاضیاتی انضمام کی تعریفیں بھی دیکھیں۔