Lafforgue's theorem
ریاضی میں، لافورگ کا نظریہ، لارنٹ لافورگ کی وجہ سے، الجبرائی فنکشن فیلڈز پر عام لکیری گروپوں کے لیے لینگ لینڈز پروگرام کو مکمل کرتا ہے، ان گروپوں پر آٹومورفک شکلوں اور گالوئس گروپوں کی نمائندگی کے درمیان خط و کتابت دے کر۔ لینگ لینڈز کے قیاس آرائیوں کو الجبرائی فنکشن فیلڈ کے ویل گروپ کی نمائندگی اور فنکشن فیلڈ پر الجبرائی گروپوں کی نمائندگی کے درمیان ایک خط و کتابت کے ذریعے متعارف کرایا گیا اور بیان کیا گیا، جس سے ابیلین گالوئس گروپوں سے لے کر غیر ابیلین گالوئس گروپوں تک فنکشن فیلڈز کے کلاس فیلڈ تھیوری کو عام کیا گیا۔ جی ایل 1 کے لیے لینگ لینڈز کے قیاس آرائیاں جی ایل 1 (کے) کے لیے لینگ لینڈز کے قیاس آرائیاں کلاس فیلڈ تھیوری سے پیروی کرتی ہیں (اور بنیادی طور پر اس کے مساوی ہیں)۔ مزید واضح طور پر آرٹن نقشہ آئیڈل کلاس گروپ سے ویل گروپ کی ابیلینائزیشن کا نقشہ فراہم کرتا ہے۔ جی ایل این (ایف) کی آٹومورفک نمائندگی لینگ لینڈز کے خط و کتابت میں ظاہر ہونے والی جی ایل این (ایف) کی نمائندگی آٹومورفک نمائندگی ہیں۔ جی ایل این (ایف) کے لیے لافورگ کا نظریہ یہاں ایف کچھ مثبت خصوصیت پی کا ایک عالمی میدان ہے، اور ایل کچھ پرائم ہے جو پی کے برابر نہیں ہے۔ لافورگ کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ اس کے درمیان ایک بائیجیکشن σ ہے: GLn (F) کی کاسپائڈل نمائندگی کی مساوات کلاسیں π، اور F کے مطلق گالوئس گروپ کے طول و عرض n کی ناقابل تلافی l-adic نمائندگی کی مساوات کلاسیں σ (π) جو F کے ہر مقام پر L-فنکشن کو محفوظ رکھتی ہیں۔ لافورگ کے نظریہ کے ثبوت میں ہر کاسپائڈل نمائندگی π کے لیے مطلق گالوئس گروپ کی نمائندگی σ (π) کی تعمیر شامل ہے۔ ایسا کرنے کا خیال رینک n کے شٹوکاس کے ماڈیولی اسٹیک کی l-adic کوہمولوجی میں دیکھنا ہے جس میں تمام N کے لیے مطابقت پذیر سطح N ڈھانچے ہیں۔ کوہمولوجی میں π χσ (π) χσ (π) χ کی شکل کے ذیلی اجزاء شامل ہیں جو π سے σ (π) کی تعمیر کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ ایک بڑا مسئلہ یہ ہے کہ ماڈیولی اسٹیک محدود قسم کا نہیں ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کی ہم آہنگی کا مطالعہ کرنے میں زبردست تکنیکی مشکلات ہیں۔ لافورگ کے نظریہ سے مراد رامانوجن-پیٹرسن کا قیاس ہے کہ اگر جی ایل این (ایف) کے لیے ایک آٹومورفک شکل میں محدود ترتیب کا مرکزی کردار ہے، تو ہر غیر منظم جگہ پر متعلقہ ہیک آئجن ویلیوز کی مطلق قیمت 1 ہے۔ لافورگ کے نظریہ سے یہ قیاس ظاہر ہوتا ہے کہ محدود ترتیب کے تعیناتی کردار کے ساتھ مطلق گالوئس گروپ کی ایک ناقابل تلافی محدود جہتی l-adic نمائندگی وزن 0 کی خالص ہے۔ لوکل لینگ لینڈز کے قیاس آرائیاں حوالہ جات لافورگ، لارنٹ (2002)، "چوٹوکاس ڈی ڈرینفیلڈ، فارمولے ڈیس ٹریسز ڈی آرتھر-سیلبرگ اور خط و کتابت ڈی لینگ لینڈز" بھی دیکھیں۔ (ڈرنفیلڈ شٹوکاس، آرتھر سیلبرگ ٹریس فارمولا اور لینگ لینڈز خط و کتابت) پروسیڈنگز آف دی انٹرنیشنل کانگریس آف میتھمیٹیشنس، جلد۔ I (بیجنگ، 2002)، 383-400، ہائیر ایڈ۔ پریس، بیجنگ، 2002۔ جیرارڈ لاؤمن (2002)، "دی ورک آف لارنٹ لافورگ"، پروسیڈنگز آف دی آئی سی ایم، بیجنگ 2002، جلد۔ 1، 91-97، جی لاؤمون (2000)، "لا خط و کتابت ڈی لینگ لینڈز سر لیس کورپس ڈی فونکشنز (ڈی اپریس لارنٹ لافورگ)" (فنکشن فیلڈز پر لینگ لینڈز خط و کتابت (لارنٹ لافورگ کے مطابق))، سیمینائر بورباکی، 52 ای اینی، 1999-2000، نہیں۔ 873۔ بیرونی روابط لافورگ کی اشاعتیں الجبرائی نمبر تھیوری میں رابرٹ لینگ لینڈز تھیوریمز کا کام لائ گروپوں کی نمائندگی تھیوری آٹومورفک فارمز قیاس آرائیاں کلاس فیلڈ تھیوری لینگ لینڈز پروگرام تھیوریمز ان ریپریزنٹیشن تھیوری