Dense submodule
تجریدی الجبرا میں، خاص طور پر ماڈیول تھیوری میں، ماڈیول کا گھنے ذیلی ماڈیول ایک لازمی ذیلی ماڈیول کے تصور کی اصلاح ہے۔ اگر N، M کا گھنے ذیلی ماڈیول ہے، تو یہ متبادل طور پر کہا جا سکتا ہے کہ "N-M ایک عقلی توسیع ہے"۔ گھنے ذیلی ماڈیول غیر مواصلاتی رنگ تھیوری میں کوٹینٹس کے رنگوں سے جڑے ہوتے ہیں۔ یہاں ظاہر ہونے والے زیادہ تر نتائج سب سے پہلے، اور میں قائم کیے گئے تھے۔ یہ بات ذہن میں رکھنی چاہیے کہ یہ اصطلاحات عمومی ٹوپولوجی میں گھنے ذیلی سیٹ کے تصور سے مختلف ہیں۔ گھنے ذیلی ماڈیول کی وضاحت کے لیے کسی ٹوپولوجی کی ضرورت نہیں ہے، اور ٹوپولوجی والے ماڈیول میں گھنے ذیلی ماڈیول ٹوپولوجی طور پر گھنے ہو سکتے ہیں یا نہیں بھی ہو سکتے ہیں۔ تعریف یہ مضمون اور میں ظاہر ہونے والی نمائش میں ترمیم کرتا ہے۔ فرض کریں کہ R ایک رنگ ہے، اور M ایک دائیں R ماڈیول ہے جس میں ذیلی ماڈیول N ہے۔ M کے کسی عنصر y کے لیے، نوٹ کریں کہ اظہار y−1 صرف رسمی ہے کیونکہ ماڈیول-عنصر y کے الٹا ہونے کی بات کرنا معنی خیز نہیں ہے، لیکن اشارے سے یہ تجویز کرنے میں مدد ملتی ہے کہ y−1N سیٹ ہمیشہ R کا صحیح آئیڈیل ہے۔ M کا ایک ذیلی ماڈیول N ایک گھنے ذیلی ماڈیول کے طور پر کہا جاتا ہے اگر M میں تمام x اور y کے لیے x §0 کے ساتھ، R میں ایک r موجود ہو تاکہ xr ≤ {0} اور yr N میں ہو۔ دوسرے الفاظ میں، متعارف کردہ نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، سیٹ اس صورت میں۔ واضح طور پر پھر، ہر گھنے ذیلی ماڈیول ایک لازمی ذیلی ماڈیول ہے۔ اگر M ایک نان سنگولر ماڈیول ہے، تو N M میں ڈینس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ M میں ضروری ہو۔ A رنگ ایک رائٹ نان سنگولر رنگ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے لازمی رائٹ آئیڈیلز تمام ڈینس رائٹ آئیڈیلز ہوں۔ اگر N اور N 'M کے گھنے ذیلی ماڈیول ہیں، تو N θ N' بھی ایسا ہی ہے۔ اگر N گاڑھا ہے اور N-K-M، تو K بھی گاڑھا ہے۔ اگر R میں B ایک گھنے دائیں آئیڈیل ہے، تو R میں کسی بھی y کے لیے y − 1B ہے۔ مثال کے طور پر اگر R کے مرکز میں x ایک غیر زیرو ڈیوائزر ہے، تو xR R کا گھنے دائیں آئیڈیل ہے۔ اگر I R کا دو طرفہ آئیڈیل ہے، تو I دائیں آئیڈیل کے طور پر گھنے ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب I کا بایاں انیہیلیٹر صفر ہو، یعنی۔ خاص طور پر مواصلاتی رنگوں میں، گھنے آئیڈیل بالکل وہی آئیڈیل ہوتے ہیں جو وفادار ماڈیول ہوتے ہیں۔ ہر دائیں آر ماڈیول ایم میں زیادہ سے زیادہ ضروری توسیع ای (ایم) ہوتی ہے جو اس کا انجیکشن ہول ہے۔ زیادہ سے زیادہ گھنے توسیع کا استعمال کرتے ہوئے مماثل تعمیر کے نتیجے میں عقلی ہل (M) ہوتا ہے جو E (M) کا ذیلی ماڈیول ہے۔ جب کسی ماڈیول میں کوئی مناسب عقلی توسیع نہیں ہوتی ہے، تاکہ ′ (M) = M، تو ماڈیول کو عقلی طور پر مکمل کہا جاتا ہے۔ اگر R صحیح نان سنگولر ہے، تو یقینا (M) = E (M) ہے۔ انجیکشن ہول کے اندر عقلی ہول کی آسانی سے شناخت کی جاتی ہے۔ فرض کریں کہ S = اینڈ آر (E (M)) انجیکشن ہول کی اینڈومورفزم رنگ ہے۔ پھر انجیکشن ہول کا ایک عنصر x عقلی ہول میں ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب x کو S میں موجود تمام نقشوں کے ذریعے صفر پر بھیجا جائے جو M پر صفر ہوں۔ علامتوں میں، عام طور پر S میں ایسے نقشے ہو سکتے ہیں جو M پر صفر ہیں اور پھر بھی کچھ x کے لیے غیر صفر ہیں جو M میں نہیں ہیں، اور ایسا x عقلی ہول میں نہیں ہوگا۔ کوٹینٹس کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ R کے گھنے دائیں آئیڈیلز کے سلسلے میں کوٹینٹس کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ کو دو طریقوں سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ایک طریقہ میں، (R) کو ایک مخصوص اینڈومورفزم رنگ کے لیے ماڈیول آئسومورفک دکھایا گیا ہے، اور رنگ ڈھانچے کو اس آئسومورفزم کے پار لیا جاتا ہے تاکہ (R) کو رنگ ڈھانچے کے ساتھ شامل کیا جا سکے، جو کہ کوٹینٹس کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ کا ہے۔ دوسرے طریقہ کار میں، کوٹینٹس کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ کی شناخت R کے گھنے دائیں آئیڈیلز سے R میں ہومومورفزم کی مساوات کی کلاسوں کے ایک سیٹ کے ساتھ کی جاتی ہے۔ مساوات کا تعلق کہتا ہے کہ دو افعال مساوی ہیں اگر وہ R کے گھنے دائیں آئیڈیل پر متفق ہوں۔ حوالہ جات ماڈیول تھیوری رنگ تھیوری