Integral of the secant function
کیلکولس میں، سیکینٹ فنکشن کے انٹیگرل کا اندازہ مختلف طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے اور اینٹی ڈراویٹو کو ظاہر کرنے کے متعدد طریقے ہیں، جن میں سے سبھی کو مثلثی شناختوں کے ذریعے مساوی دکھایا جا سکتا ہے، یہ فارمولا مختلف مثلثی انٹیگرلز کا اندازہ کرنے کے لیے مفید ہے۔ خاص طور پر، اس کا استعمال سیکینٹ کیوبڈ کے انٹیگرل کا اندازہ کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے، جو اگرچہ بظاہر خاص ہے، لیکن ایپلی کیشنز میں اکثر سامنے آتا ہے۔ سے شروع ہونے والی سیکینٹ فنکشن کا قطعی انٹیگرل الٹا گڈرمینین فنکشن ہے، عددی ایپلی کیشنز کے لیے، مذکورہ بالا تمام تاثرات کے نتیجے میں کچھ دلائل کی اہمیت ختم ہو جاتی ہے۔ الٹا ہائپربولک سائن کے لحاظ سے ایک متبادل اظہار حقیقی دلائل کے لیے عددی طور پر اچھی طرح سے برتاؤ کیا جاتا ہے۔ سیکینٹ فنکشن کا انٹیگرل تاریخی طور پر انٹیگرل کیلکولس کی زیادہ تر ترقی سے پہلے، اپنی نوعیت کے پہلے انٹیگرلز میں سے ایک تھا جس کا جائزہ لیا گیا تھا۔ یہ اہم ہے کیونکہ یہ مرکیٹر پروجیکشن کا عمودی کوآرڈینیٹ ہے، جو مستقل کمپاس اثر کے ساتھ سمندری نیویگیشن کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس بات کا ثبوت کہ مختلف اینٹی ڈرایٹوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹیوٹ مرکیٹر پروجیکشن آرڈینٹ کے لیے روایتی حل مطلق قدر کی علامتوں کے بغیر لکھا جا سکتا ہے کیونکہ عرض البلد اور، ہائپربولک شکلوں کے درمیان واقع ہے۔ لہذا، تاریخ سیکینٹ فنکشن کا لازمی حصہ "سترہویں صدی کے وسط کے بقایا کھلے مسائل" میں سے ایک تھا، جسے جیمز گریگوری نے 1668 میں حل کیا تھا۔ اس نے اپنے نتائج کا اطلاق سمندری میزوں سے متعلق ایک مسئلے پر کیا۔ 1599 میں، ایڈورڈ رائٹ نے عددی طریقوں سے انٹیگرل کا جائزہ لیا-جسے آج ہم ریمن سمز کہیں گے۔ وہ کارٹوگرافی کے مقاصد کے لیے حل چاہتے تھے-خاص طور پر ایک درست مرکیٹر پروجیکشن کی تعمیر کے لیے۔ 1640 کی دہائی میں، نیویگیشن، سروے اور دیگر ریاضیاتی موضوعات کے استاد، ہنری بانڈ نے رائٹ کی عددی طور پر مرتب کردہ سیکینٹ کے انٹیگرل کی اقدار کی میز کا موازنہ ٹینجینٹ فنکشن کے لوگرتھمز کی میز سے کیا، اور اس کے نتیجے میں یہ قیاس کیا کہ یہ قیاس وسیع پیمانے پر مشہور ہوا، اور 1665 میں، آئزک نیوٹن اس سے واقف تھے۔ تشخیص ایک معیاری متبادل کے ذریعہ (گریگوری کا نقطہ نظر) مختلف حوالوں میں پیش کردہ سیکینٹ انٹیگرل کا اندازہ کرنے کے ایک معیاری طریقہ میں عددی اور ڈینومینیٹر کو ضرب دینا اور پھر متبادل کا استعمال کرنا شامل ہے۔ یہ متبادل سیکینٹ اور ٹینجینٹ کے مشتقات سے حاصل کیا جا سکتا ہے جو ایک ساتھ شامل کیے گئے ہیں، جن میں سیکینٹ ایک مشترکہ عنصر کے طور پر ہے۔ ان کو شامل کرنے سے شروع کرتے ہوئے ملتا ہے کہ اس طرح رقم کا مشتق اس رقم سے ضرب کے برابر ہوتا ہے۔ یہ عدد اور ڈینومینیٹر میں ضرب دینے اور درج ذیل متبادلات انجام دینے کے قابل بناتا ہے: انٹیگرل کا اندازہ اس طرح کیا جاتا ہے: جیسا کہ دعوی کیا گیا ہے۔ یہ فارمولا جیمز گریگوری نے دریافت کیا تھا۔ جزوی حصوں اور متبادل کے ذریعے (بیرو کا نقطہ نظر) اگرچہ گریگوری نے 1668 میں اپنے ایکسرسیٹیشنس جیومیٹری میں قیاس کو ثابت کیا، لیکن اس ثبوت کو ایک ایسی شکل میں پیش کیا گیا جس سے جدید قارئین کے لیے اسے سمجھنا تقریبا ناممکن ہو جاتا ہے۔ آئزک بیرو نے 1670 کے اپنے لیکشنس جیومیٹری میں پہلا "قابل فہم" ثبوت دیا، حالانکہ وہ بھی "اس وقت کے ہندسی فقرے میں شامل" تھا۔ بیرو کا نتیجہ کا ثبوت انضمام میں جزوی حصوں کا ابتدائی استعمال تھا۔ جدید اشارے کے مطابق ڈھال لیا گیا، بیرو کا ثبوت اس طرح شروع ہوا: متبادل،، توقع کے مطابق، لہذا کے لازمی حصے کو کم کر دیتا ہے۔ مطلق قدر لینا ضروری نہیں ہے کیونکہ اور ہمیشہ حقیقی اقدار کے لیے غیر منفی ہوتے ہیں۔ ٹینجینٹ ہاف اینگل سبسیٹیشن اسٹینڈرڈ کے تحت ٹینجینٹ ہاف اینگل سبسیٹیشن لہذا سیکینٹ فنکشن کا انٹیگرل پہلے کی طرح ہے۔ غیر معیاری انٹیگرل کو ٹینجینٹ ہاف اینگل متبادل کے کسی حد تک غیر معیاری ورژن کا استعمال کرکے بھی اخذ کیا جاسکتا ہے، جو کہ 2013 میں شائع ہونے والے اس خاص انٹیگرل کے معاملے میں آسان ہے، مندرجہ ذیل ہے: متبادل: دو مسلسل متبادل کے ذریعے انٹیگرل کو انٹیگرینڈ میں ہیرا پھیری اور دو بار متبادل کے ذریعے بھی حل کیا جا سکتا ہے۔ تعریف اور شناخت کا استعمال کرتے ہوئے، انٹیگرل کو سبسٹیوٹنگ کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، انٹیگرل کو کم کر دیتا ہے۔ کم شدہ انٹیگرل کا اندازہ، اور پھر شناخت کا استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے۔ انٹیگرل کو اب ایک سادہ انٹیگرل تک کم کر دیا گیا ہے، اور بیک-سبسٹیوٹنگ دیتا ہے جو انٹیگرل کی ہائپربولک شکلوں میں سے ایک ہے۔ اسی طرح کی حکمت عملی کوسیکینٹ، ہائپربولک سیکینٹ، اور ہائپربولک کوسیکینٹ افعال کو مربوط کرنے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے۔ دیگر ہائپربولک شکلیں دیگر دو ہائپربولک شکلوں کو براہ راست تلاش کرنا بھی ممکن ہے، دوبارہ ایک آسان اصطلاح سے ضرب اور تقسیم کرکے: جہاں کا مطلب ہے کیونکہ سبسٹیوٹنگ، ایک معیاری انٹیگرل میں گھٹ جاتا ہے: سائن فنکشن کہاں ہے۔ اسی طرح: متبادل،، ایک معیاری انٹیگرل میں گھٹ جاتا ہے: پیچیدہ ایکسپونینشل فارم کا استعمال کرتے ہوئے متبادل کے تحت تو انٹیگرل کو اس طرح حل کیا جا سکتا ہے: چونکہ انضمام کا مستقل کچھ بھی ہو سکتا ہے، اس لیے اضافی مستقل اصطلاح کو اس میں جذب کیا جا سکتا ہے۔ آخر میں، اگر تھیٹا حقیقی قدر والا ہے، تو ہم مساوات کو اس کی سب سے زیادہ واقف شکل میں لانے کے لیے مطلق قدر بریکٹ کے ساتھ اس کی نشاندہی کر سکتے ہیں: گڈرمینین اور لیمبرٹین ہائپربولک سیکینٹ فنکشن کا انٹیگرل گڈرمینین فنکشن کی وضاحت کرتا ہے: سیکینٹ فنکشن کا انٹیگرل لیمبرٹین فنکشن کی وضاحت کرتا ہے، جو گڈرمینین فنکشن کا الٹا ہے: ان افعال کا سامنا نقشہ پروجیکشن کے نظریہ میں ہوتا ہے: طول البلد اور عرض البلد والے دائرے پر کسی نقطہ کے مرکیٹر پروجیکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: سیکینٹ کیوبڈ نوٹوں کے انٹیگرل بھی دیکھیں حوالہ جات انٹیگرل کیلکولس