Orthogonal polynomials
ریاضی میں، آرتھوگنل کثیر الجہتی ترتیب کثیر الجہتی کا ایک خاندان ہے جس میں ترتیب میں کوئی بھی دو مختلف کثیر الجہتی کسی اندرونی پروڈکٹ کے تحت ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والے آرتھوگنل کثیر الجہتی کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی ہیں، جو ہرمیٹ کثیر الجہتی، لاگویر کثیر الجہتی اور جیکوبی کثیر الجہتی پر مشتمل ہیں۔ گیگن باؤر کثیر الجہتی جیکوبی کثیر الجہتی کی سب سے اہم کلاس بناتے ہیں۔ ان میں چیبیشیف کثیر الجہتی، اور لیجنڈری کثیر الجہتی بطور خاص معاملات شامل ہیں۔ آرتھوگنل کثیر الجہتی کا میدان 19 ویں صدی کے آخر میں پی ایل چیبیشیف کے مسلسل حصوں کے مطالعے سے تیار ہوا اور اس کا تعاقب اے نے کیا۔ اے مارکوف اور ٹی جے اسٹیلٹجز۔ وہ مختلف شعبوں میں ظاہر ہوتے ہیں: عددی تجزیہ (چوتھائی اصول)، امکان کا نظریہ، نمائندگی کا نظریہ (جھوٹ گروپوں، کوانٹم گروپوں اور متعلقہ اشیاء کا)، عددی امتزاج، الجبرائی امتزاج، ریاضیاتی طبیعیات (بے ترتیب میٹرکس کا نظریہ، مربوط نظام وغیرہ)۔ )، اور نمبر تھیوری۔ کچھ ریاضی دان جنہوں نے آرتھوگنل کثیر الجہتی پر کام کیا ہے ان میں گابر زیگو، سرگئی برنسٹین، نوم اخیزر، آرتھر ایرڈلی، یاکوف جیرونیمس، وولف گینگ ہان، تھیوڈور سیو چیہارا، مراد اسماعیل، ولید السالم، رچرڈ اسکی، اور ریہوئل لوباٹو شامل ہیں۔ حقیقی پیمائش کے لیے 1-متغیر کیس کی تعریف حقیقی اعداد پر کسی بھی غیر کم ہونے والی فنکشن کو دیکھتے ہوئے، ہم کسی فنکشن f کے لیبسگیو-اسٹیلٹجز انٹیگرل کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ اگر یہ انٹیگرل تمام کثیر الجہتی f کے لیے محدود ہے، تو ہم کثیر الجہتی f اور g کے جوڑوں پر ایک اندرونی پروڈکٹ کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ یہ آپریشن تمام کثیر الجہتی کے ویکٹر اسپیس پر ایک مثبت سیمیڈفائنٹ اندرونی پروڈکٹ ہے، اور مثبت قطعی ہے اگر فنکشن α میں نمو کے پوائنٹس کی لامحدود تعداد ہو۔ یہ معمول کے مطابق آرتھوگونالیٹی کے تصور کو جنم دیتا ہے، یعنی کہ دو کثیر الجہتی آرتھوگنل ہیں اگر ان کا اندرونی پروڈکٹ صفر ہے۔ پھر آرتھوگنل کثیر الجہتی کی ترتیب کی تعریف تعلقات سے کی جاتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ ترتیب مونومیلز 1، x، x2 کی ترتیب سے حاصل کی جاتی ہے۔ اس اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے گرام-شمڈٹ عمل کے ذریعے۔ عام طور پر ترتیب آرتھونورمل ہونا ضروری ہے، یعنی، تاہم، بعض اوقات دیگر معمول کا استعمال کیا جاتا ہے۔ بالکل مسلسل کیس بعض اوقات ہمارے پاس حقیقی لائن (جہاں اور اجازت ہے) میں کچھ وقفے پر سپورٹ کے ساتھ ایک غیر منفی فنکشن ہوتا ہے۔ اس طرح کے اے کو ویٹ فنکشن کہا جاتا ہے۔ تاہم، آرتھوگنل کثیر الجہتی کی بہت سی مثالیں موجود ہیں جہاں پیمائش میں غیر صفر پیمائش کے ساتھ پوائنٹس ہوتے ہیں جہاں فنکشن متضاد ہوتا ہے، لہذا اوپر کی طرح وزن کے فنکشن کے ذریعہ نہیں دیا جاسکتا ہے۔ آرتھوگنل کثیر الجہتی کی مثالیں سب سے زیادہ استعمال ہونے والے آرتھوگنل کثیر الجہتی حقیقی وقفے میں حمایت کے ساتھ پیمائش کے لیے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ اس میں شامل ہیں: کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی (جیکوبی کثیر الجہتی، لیگوری کثیر الجہتی، ہرمائیٹ کثیر الجہتی، اور ان کے خصوصی معاملات گیگن باؤر کثیر الجہتی، چیبیشیف کثیر الجہتی اور لیجنڈری کثیر الجہتی)۔ ولسن کثیر الجہتی، جو جیکوبی کثیر الجہتی کو عام کرتے ہیں۔ ان میں خاص صورتوں کے طور پر بہت سے آرتھوگنل کثیر الجہتی شامل ہیں، جیسے کہ میکسنر-پولاکزیک کثیر الجہتی، مسلسل ہان کثیر الجہتی، مسلسل دوہری ہان کثیر الجہتی، اور کلاسیکی کثیر الجہتی، جو اسکی اسکیم کے ذریعہ بیان کیے گئے ہیں۔ متفرق آرتھوگنل کثیر الجہتی کچھ متفرق پیمائش کے حوالے سے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ بعض اوقات پیمائش کو محدود حمایت حاصل ہوتی ہے، اس صورت میں آرتھوگنل کثیر الجہتی کا خاندان لامحدود ترتیب کے بجائے محدود ہوتا ہے۔ ریکہ کثیر الجہتی متفرق آرتھوگنل کثیر الجہتی کی مثالیں ہیں، اور خاص صورتوں میں ہان کثیر الجہتی اور دوہری ہان کثیر الجہتی شامل ہیں، جن میں بدلے میں خصوصی صورتوں میں میکسنر کثیر الجہتی، کراؤٹ چوک کثیر الجہتی، اور چارلیئر کثیر الجہتی شامل ہیں۔ میکسنر نے تمام آرتھوگنل شیفر ترتیبات کی درجہ بندی کی: صرف ہرمائیٹ، لاگویر، چارلیئر، میکسنر، اور میکسنر-پولاکزیک ہیں۔ کچھ معنوں میں کراؤٹ چوک کو بھی اس فہرست میں ہونا چاہیے، لیکن وہ ایک محدود ترتیب ہیں۔ یہ چھ خاندان این ای ایف-کیو وی ایف سے مطابقت رکھتے ہیں اور بعض لیوی عمل کے لیے مارٹنگیل کثیر الجہتی ہیں۔ چھیدے ہوئے آرتھوگنل کثیر الجہتی، جیسے کہ چھیدے ہوئے الٹراسفریکل کثیر الجہتی، چھیدے ہوئے جیکوبی کثیر الجہتی، اور چھیدے ہوئے پولاکزیک کثیر الجہتی، نے تکرار کے تعلقات میں ترمیم کی ہے۔ پیچیدہ سطح میں کچھ منحنی خطوط کے لیے آرتھوگنل کثیر الجہتی پر بھی غور کیا جا سکتا ہے۔ سب سے اہم معاملہ (حقیقی وقفوں کے علاوہ) وہ ہوتا ہے جب وکر اکائی دائرہ ہوتا ہے، جو اکائی دائرے پر آرتھوگنل کثیر الجہتی دیتا ہے، جیسے کہ راجرز-سیگو کثیر الجہتی۔ آرتھوگنل کثیر الجہتی کے کچھ خاندان ایسے ہیں جو ہوائی علاقوں جیسے مثلث یا ڈسک پر آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ انہیں بعض اوقات جیکوبی کثیر الجہتی کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، زرنائیک کثیر الجہتی یونٹ ڈسک پر آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے مختلف آرڈرز کے درمیان آرتھوگونالیٹی کا فائدہ جنرلائزڈ فریکوئنسی ڈویژن ملٹی پلیکسنگ (جی ایف ڈی ایم) ڈھانچے پر لاگو ہوتا ہے۔ وقت تعدد جالی کے ہر گرڈ میں ایک سے زیادہ علامتوں کو لے جایا جا سکتا ہے۔ حقیقی لکیر پر غیر منفی پیمائش کے ذریعہ بیان کردہ ایک متغیر کے آرتھوگنل کثیر الجہتی خصوصیات میں درج ذیل خصوصیات ہیں۔ لمحات سے تعلق آرتھوگنل کثیر الجہتی Pn کو لمحات کے لحاظ سے اس طرح ظاہر کیا جاسکتا ہے: جہاں مستقلات cn من مانی ہیں (Pn کی معمول پر منحصر ہے)۔ یہ براہ راست مونومیلز پر گرام-شمڈٹ کے عمل کو لاگو کرنے سے آتا ہے، جس میں ہر کثیر الجہتی کو پچھلے کے حوالے سے آرتھوگنل ہونا پڑتا ہے۔ مثال کے طور پر، تجویز کردہ کے ساتھ آرتھوگونالیٹی جس کی شکل ہونی چاہیے جو پہلے دیے گئے اظہار کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ تکرار کا تعلق کثیر الجہتی Pn اس شکل کے تکرار کے تعلق کو پورا کرتا ہے جہاں An 0 نہیں ہے۔ اس کے برعکس بھی درست ہے ؛ فیورڈ کا نظریہ دیکھیں۔ کرسٹوفیل-ڈاربوکس فارمولا صفر اگر پیمائش dα کو وقفہ [a، b] پر سپورٹ کیا جاتا ہے، تو Pn کے تمام صفر [a، b] میں ہوتے ہیں۔ مزید برآں، صفروں میں درج ذیل انٹرلیسنگ پراپرٹی ہوتی ہے: اگر m <n، تو Pm کے کسی بھی دو صفر کے درمیان Pn کا صفر ہوتا ہے۔ صفر کی برقی مستحکم تشریحات دی جا سکتی ہیں۔ مشترکہ تشریح 1980 کی دہائی سے، ایکس جی وائنوٹ، جے لیبل، وائی این یہ، ڈی فوٹا، اور دیگر کے کام کے ساتھ، تمام کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کے لیے مشترکہ تشریحات پائی گئیں۔ آرتھوگنل کثیر الجہتی کی دیگر اقسام کثیر متغیر آرتھوگنل کثیر الجہتی میکڈونلڈ کثیر الجہتی کئی متغیرات میں آرتھوگنل کثیر الجہتی ہوتے ہیں، جو ایک افائن جڑ کے نظام کے انتخاب پر منحصر ہوتے ہیں۔ ان میں خصوصی معاملات کے طور پر کثیر متغیر آرتھوگنل کثیر الجہتی کے بہت سے دوسرے خاندان شامل ہیں، جن میں جیک کثیر الجہتی، ہال-لٹل ووڈ کثیر الجہتی، ہیک مین-اوپڈم کثیر الجہتی، اور کورن ونڈر کثیر الجہتی شامل ہیں۔ ایسکی-ولسن کثیر الجہتی رینک 1 کے کسی خاص غیر کم شدہ جڑ کے نظام کے لیے میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا خاص معاملہ ہیں۔ متعدد آرتھوگنل کثیر الجہتی ایک متغیر میں کثیر الجہتی ہوتے ہیں جو پیمائش کے ایک محدود خاندان کے حوالے سے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ سوبولیو آرتھوگنل کثیر الجہتی یہ سوبولیو اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے آرتھوگنل کثیر الجہتی ہیں، یعنی۔ مشتقات کے ساتھ ایک اندرونی پروڈکٹ۔ مشتقات کو شامل کرنے کے کثیر الجہتی کے لیے بڑے نتائج ہوتے ہیں، عام طور پر وہ کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کی کچھ اچھی خصوصیات کا اشتراک نہیں کرتے ہیں۔ میٹرکس کے ساتھ آرتھوگنل کثیر الاضلاعات میٹرکس کے ساتھ آرتھوگنل کثیر الاضلاعات میں یا تو گتانک ہوتے ہیں جو میٹرکس ہوتے ہیں یا غیر متعین میٹرکس ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ اپیل سیکوینس اسکی اسکیم آف ہائپر جیومیٹرک آرتھوگنل پولینومیئلز فیورڈ تھیوریم پولینومیل سیکوینسز آف بائنومیل ٹائپ بائیوورتھوگنل پولینومیئلز جنرلائزڈ فورئیر سیریز سیکنڈری پیمائش شیفر سیکوینس اسٹرم-لیوویل تھیوری امبرل کیلکولس پلانچیرل-روٹاچ ایسمپٹوٹکس حوالہ جات سی۔ چن، اے۔ میرونوف، اے۔ موروزوف، اے۔ سلیپٹسوو،۔ ثبوت پر مشتمل مضامین