Line group
لائن گروپ کسی لائن کے ساتھ حرکت کرنے سے وابستہ ہم آہنگی کو بیان کرنے کا ریاضیاتی طریقہ ہے۔ ان ہم آہنگی میں اس لکیر کے ساتھ دہرانا شامل ہے، جس سے اس لکیر کو ایک جہتی جالی بناتی ہے۔ تاہم، لائن گروپوں میں ایک سے زیادہ جہتیں ہو سکتی ہیں، اور وہ ان جہتوں کو اس کی آاسومیٹریز یا سمیٹری تبدیلیوں میں شامل کر سکتے ہیں۔ جگہ کے مکمل طول و عرض میں ایک پوائنٹ گروپ لے کر، اور پھر پوائنٹ گروپ کے ہر عنصر میں لائن کے ساتھ ترجمے یا آفسیٹ شامل کر کے، ایک اسپیس گروپ بنانے کے انداز میں، ایک لائن گروپ کی تعمیر کرتا ہے۔ ان آفسیٹس میں ریپیٹس، اور ریپیٹ کا ایک حصہ، ہر عنصر کے لیے ایک حصہ شامل ہے۔ سہولت کے لیے، فریکشنز کو ریپیٹ کے سائز تک اسکیل کیا جاتا ہے۔ اس طرح وہ لائن کے یونٹ سیل سیگمنٹ کے اندر ہوتے ہیں۔ یک جہتی دو یک جہتی لائن گروپ ہیں۔ وہ مجرد دو جہتی نقطہ گروپوں Cn اور Dn کی لامحدود حدود ہیں: دو جہتی 7 فریز گروپ ہیں، جن میں لکیر کے ساتھ عکاسی، لکیر پر عمودی عکاسی، اور دو جہتوں میں 180° گردش شامل ہیں۔ تین جہتی تین جہتی لائن گروپوں کے 13 لامحدود خاندان ہیں، جو محوری تین جہتی پوائنٹ گروپوں کے 7 لامحدود خاندانوں سے اخذ کیے گئے ہیں۔ جیسا کہ عام طور پر خلائی گروپوں کے ساتھ ہوتا ہے، ایک ہی پوائنٹ گروپ والے لائن گروپوں میں آفسیٹ کے مختلف نمونے ہو سکتے ہیں۔ ہر خاندان محور کے ارد گرد گردشوں کے ایک گروپ پر مبنی ہوتا ہے جس کی ترتیب n ہوتی ہے۔ گروپ ہرمن-موگین نوٹیشن میں درج ہوتے ہیں، اور پوائنٹ گروپوں کے لیے، شونفلیز نوٹیشن۔ ایسا لگتا ہے کہ لائن گروپوں کے لیے کوئی موازنہ اشارے نہیں ہیں۔ ان گروپوں کی تشریح وال پیپر گروپوں کے نمونوں کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے جو سلنڈر کے گرد n بار لپٹے ہوتے ہیں اور سلنڈر کے محور کے ساتھ لامحدود طور پر دہرائے جاتے ہیں، بالکل تین جہتی پوائنٹ گروپوں اور فریز گروپوں کی طرح۔ ان گروپوں کا ایک جدول: آفسیٹ کی اقسام یہ ہیں: کوئی نہیں۔ محور کے ساتھ آفسیٹ میں محور کے ارد گرد یونٹ سیل کی تکرار کے اندر اس کے ارد گرد کوئی آفسیٹ شامل نہیں ہوتے ہیں۔ ہیلیکیٹی q کے ساتھ ہیلیکل آفسیٹ۔ محور کے ساتھ ایک یونٹ آفسیٹ کے لیے، اس کے ارد گرد q کا آفسیٹ ہوتا ہے۔ ایک نقطہ جس کے بار بار آفسیٹ ہوتے ہیں وہ ہیلکس کا سراغ لگاتا ہے۔ زگ زگ آفسیٹ۔ محور کے ارد گرد یونٹ سیل سے متعلق 1/2 کا ہیلیکل آفسیٹ۔ نوٹ کریں کہ وال پیپر گروپ پی ایم، پی جی، سی ایم، اور پی ایم جی دو بار ظاہر ہوتے ہیں۔ ہر ظاہری شکل کی لکیر گروپ کے محور سے متعلق ایک مختلف سمت ہوتی ہے ؛ عکاسی متوازی (ایچ) یا عمودی (وی)۔ دوسرے گروپوں کی ایسی کوئی واقفیت نہیں ہے: پی 1، پی 2، پی ایم ایم، پی جی جی، سی ایم ایم۔ اگر پوائنٹ گروپ ایک کرسٹلگرافک پوائنٹ گروپ، کسی تین جہتی جالی کی ہم آہنگی کے لیے پابند ہے، تو اس کے نتیجے میں آنے والے لائن گروپ کو راڈ گروپ کہا جاتا ہے۔ راڈ کے 75 گروپ ہیں۔ کاکسٹر نوٹیشن آئتاکار وال پیپر گروپوں پر مبنی ہے، جس میں عمودی محور سمیٹری آرڈر n یا 2n کے سلنڈر میں لپٹا ہوا ہے۔ تسلسل کی حد پر جاتے ہوئے، n سے ≤ کے ساتھ، ممکنہ پوائنٹ گروپ C ≤، C ≤ h، C ≤ v، D ≤، اور D ≤ h بن جاتے ہیں، اور لائن گروپوں میں زگ زیگ کے استثناء کے ساتھ مناسب ممکنہ آفسیٹ ہوتے ہیں۔ ہیلیکل سمیٹری گروپ Cn (q) اور Dn (q) ہیلیکل اشیاء کی سمیٹریز کا اظہار کرتے ہیں۔ Cn (q) ایک ہی سمت میں مبنی n ہیلیکس کے لیے ہے، جبکہ Dn (q) n غیر مبنی ہیلیکس اور 2n ہیلیکس کے لیے ہے جو متبادل سمتوں کے ساتھ ہیں۔ ق کی علامت کو الٹا کرنے سے آئینے کی شبیہہ پیدا ہوتی ہے، جو ہیلیکس کی چیرالیٹی یا ہینڈنیس کو الٹ دیتی ہے۔ نیوکلک ایسڈ، ڈی این اے اور آر این اے، اپنی ہیلیکل سمیٹری کے لیے مشہور ہیں۔ نیوکلک ایسڈ کی ایک اچھی طرح سے متعین سمت ہوتی ہے، جو سنگل اسٹرینڈز C1 (q) دیتی ہے۔ ڈبل تاروں کی مخالف سمت ہوتی ہے اور وہ ہیلکس محور کے مخالف سمتوں پر ہوتے ہیں، جس سے انہیں D1 (q) ملتا ہے۔ پوائنٹ گروپ اسپیس گروپ ایک جہتی سمیٹری گروپ فریز گروپ راڈ گروپ حوالہ جات یوکلڈین سمیٹریز ڈسکریٹ گروپس بھی دیکھیں۔