Cyclically ordered group
ریاضی میں، چکور ترتیب والا گروپ ایک سیٹ ہے جس میں گروپ کی ساخت اور چکور ترتیب دونوں ہوتے ہیں، اس طرح کہ بائیں اور دائیں ضرب دونوں چکور ترتیب کو برقرار رکھتے ہیں۔ چکور ترتیب والے گروہوں کا سب سے پہلے 1947 میں لاڈیسلاو ریگر نے گہرائی سے مطالعہ کیا تھا۔ وہ چکور گروہوں کی عمومی شکل ہیں: لامحدود چکور گروپ اور محدود چکور گروپ۔ چونکہ لکیری ترتیب ایک چکور ترتیب کو جنم دیتی ہے، اس لیے چکور ترتیب والے گروپ بھی لکیری ترتیب والے گروپوں کی عمومی شکل ہیں: عقلی نمبر، حقیقی نمبر وغیرہ۔ کچھ سب سے اہم چکور ترتیب والے گروہ نہ تو پچھلے زمرے میں آتے ہیں: دائرہ گروپ اور اس کے ذیلی گروپ، جیسے عقلی پوائنٹس کا ذیلی گروپ۔ لکیری گروپوں کے حصص چکور ترتیب شدہ گروپوں کو حصص کے طور پر پیش کرنا فطری ہے: ایک کے پاس اور ہے۔ یہاں تک کہ ایک بار لکیری گروپ جیسے، جب ایک دائرے میں جھکا ہوتا ہے، تو اس کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ ظاہر کیا کہ یہ تصویر ایک عام رجحان ہے۔ کسی بھی ترتیب شدہ گروپ اور کسی بھی مرکزی عنصر کے لیے جو ایک کو فائنل ذیلی گروپ تیار کرتا ہے، کوشیئنٹ گروپ ایک چکور ترتیب شدہ گروپ ہے۔ مزید برآں، ہر چکور ترتیب شدہ گروپ کو اس طرح کے حصص گروپ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ دائرے کا گروپ دوسری سمت میں ریگر کے نتائج پر بنایا گیا۔ ایک چکور ترتیب شدہ گروپ اور ایک ترتیب شدہ گروپ کو دیکھتے ہوئے، پروڈکٹ ایک چکور ترتیب شدہ گروپ ہے۔ خاص طور پر، اگر دائرہ گروپ ہے اور ایک ترتیب شدہ گروپ ہے، تو اس کا کوئی بھی ذیلی گروپ چکور ترتیب والا گروپ ہے۔ مزید برآں، ہر چکور ترتیب شدہ گروپ کو اس طرح کے پروڈکٹ کے ذیلی گروپ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آرکیمیڈین لکیری ترتیب شدہ گروپ کے ساتھ مشابہت سے، کوئی بھی آرکیمیڈین سائیکلکل ترتیب شدہ گروپ کو ایک ایسے گروپ کے طور پر بیان کر سکتا ہے جس میں عناصر کا کوئی جوڑا نہیں ہوتا ہے جیسے کہ ہر مثبت عدد کے لیے۔ چونکہ صرف مثبت سمجھا جاتا ہے، اس لیے یہ اس کے لکیری ہم منصب سے زیادہ مضبوط حالت ہے۔ مثال کے طور پر، اب اہل نہیں ہے، کیونکہ ہر ایک کے لیے ہوتا ہے۔ شیورزکووسکی کے ثبوت کے نتیجے کے طور پر، ہر آرکیمیڈین سائیکلکل طور پر ترتیب دیا گیا گروپ خود کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ یہ نتیجہ اوٹو ہولڈر کے 1901 کے نظریہ سے مشابہت رکھتا ہے کہ ہر آرکیمیڈین لکیری ترتیب شدہ گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ ٹوپولوجی ہر کمپیکٹ سائیکلکل ترتیب شدہ گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ متعلقہ ڈھانچوں سے پتہ چلتا ہے کہ چکور ترتیب والے گروپوں کی ایک مخصوص ذیلی زمرہ، "کمزور اکائی کے ساتھ پروجیکٹیبل آئی سی-گروپس"، ایم وی-الجبرا کے ایک مخصوص ذیلی زمرہ، "پروجیکٹیبل ایم وی-الجبرا" کے مساوی ہے۔ نوٹ حوالہ جات مزید پڑھنا۔ کا ترجمہ۔ Sibirskii Matematicheskii Zhurnal سے ترجمہ، 46-53 منظم گروپس سرکلز