Kepler's equation
مداری میکانکس میں، کیپلر کی مساوات ایک مرکزی قوت کے تابع جسم کے مدار کی مختلف ہندسی خصوصیات سے متعلق ہے۔ اسے جوہانس کیپلر نے 1609 میں اپنے ایسٹرونومیا نووا کے باب 60 میں اخذ کیا تھا، اور اپنی کتاب V آف ایپیٹوم آف کوپرنیکن ایسٹرونومی (1621) میں کیپلر نے مساوات کا ایک تکراری حل پیش کیا۔ تاہم، یہ مساوات اور اس کا حل سب سے پہلے 9 ویں صدی میں حبش الحسیب مروازی کے پارلاکس کے مسائل سے متعلق کام میں ظاہر ہوا۔ مساوات نے طبیعیات اور ریاضی دونوں کی تاریخ میں، خاص طور پر کلاسیکی آسمانی میکانکس میں اہم کردار ادا کیا ہے۔ مساوات کیپلر کی مساوات وہ ہے جہاں اوسط بے ضابطگی ہے، سنکی بے ضابطگی ہے، اور سنکی پن ہے۔ 'سنکی بے ضابطگی' کیپلرین مدار میں حرکت کرنے والے نقطہ کی پوزیشن کا حساب لگانے کے لیے مفید ہے۔ مثال کے طور پر، اگر باڈی کوآرڈینیٹس پر پیری ایسٹرون سے گزرتا ہے، تو پھر کسی بھی وقت باڈی کی پوزیشن معلوم کرنے کے لیے، آپ پہلے وقت سے اوسط بے ضابطگی اور فارمولے کے ذریعے اوسط حرکت کا حساب لگائیں، پھر حاصل کرنے کے لیے اوپر کیپلر مساوات کو حل کریں، پھر کوآرڈینیٹس حاصل کریں: جہاں سے نیم بڑا محور، نیم چھوٹا محور ہے۔ کیپلر کی مساوات ایک ماورائی مساوات ہے کیونکہ سائن ایک ماورائی فعل ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے الجبرائی طور پر حل نہیں کیا جا سکتا۔ تشخیص کے لیے عام طور پر عددی تجزیہ اور سلسلہ کی توسیع کی ضرورت ہوتی ہے۔ متبادل شکلیں کیپلر کی مساوات کی کئی شکلیں ہیں۔ ہر شکل ایک مخصوص قسم کے مدار سے وابستہ ہے۔ معیاری کیپلر مساوات ایلیپٹک آربٹس () کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ ہائپربولک کیپلر مساوات ہائپربولک ٹریجیکٹوریز () کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ ریڈیل کیپلر مساوات لکیری (ریڈیل) ٹریجیکٹوریز () کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بارکر کی مساوات پیرابولک ٹریجیکٹوریز () کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ کب، مدار سرکلر ہوتا ہے۔ بڑھتے ہوئے دائرے کو انڈاکار بننے کا سبب بنتا ہے۔ جب، تین امکانات ہوتے ہیں: ایک پیرابولک ٹریجیکٹوری، کشش کے مرکز سے نکلنے والی لامحدود کرن کے ساتھ اندر یا باہر جانے والا ٹریجیکٹوری، یا ایک ٹریجیکٹوری جو کشش کے مرکز سے کسی نقطہ پر لائن کے حصے کے ساتھ آگے پیچھے جاتا ہے۔ 1 سے اوپر میں معمولی اضافے کے نتیجے میں ہائپربولک مدار ہوتا ہے جس کا موڑ زاویہ صرف 180 ڈگری سے کم ہوتا ہے۔ مزید اضافہ موڑ کے زاویے کو کم کرتا ہے، اور جیسے جیسے لامحدود کی طرف جاتا ہے، مدار لامحدود لمبائی کی سیدھی لکیر بن جاتا ہے۔ ہائپربولک کیپلر مساوات ہائپربولک کیپلر مساوات یہ ہے: ہائپربولک سنکی بے ضابطگی کہاں ہے۔ یہ مساوات M کو الپٹیکل مساوات: (جس میں اب خیالی ہے) کے دائیں طرف کے −1 گنا کے مربع جڑ کے طور پر نئی تعریف دے کر اخذ کی گئی ہے اور پھر اس کی جگہ اس طرح لے لی گئی ہے۔ شعاعی کیپلر مساوات شعاعی کیپلر مساوات یہ ہے: جہاں وقت کے متناسب ہے اور شعاع کے ساتھ کشش کے مرکز سے فاصلے کے متناسب ہے۔ یہ مساوات کیپلر کی مساوات کو 1/2 سے ضرب دے کر اور 1 پر ترتیب دے کر اخذ کی جاتی ہے: اور پھر متبادل الٹا مسئلہ بنانا کسی دی گئی قیمت کا حساب لگانا سیدھا ہے۔ تاہم، کب دیا جاتا ہے اس کا حل کافی زیادہ مشکل ہو سکتا ہے۔ کوئی بند شکل کا حل نہیں ہے۔ کوئی بھی لاگرانج الٹ کا استعمال کرتے ہوئے کیپلر کی مساوات کے حل کے لیے ایک لامحدود سیریز کا اظہار لکھ سکتا ہے، لیکن سیریز اور کے تمام امتزاج کے لیے یکجا نہیں ہوتی ہے (نیچے دیکھیں)۔ کیپلر کے مساوات کی حل پذیری پر الجھن چار صدیوں سے ادب میں برقرار ہے۔ خود کیپلر نے ایک عمومی حل تلاش کرنے کے امکان پر شک کا اظہار کیا: بیسیل افعال کا استعمال کرتے ہوئے فورئیر سیریز کی توسیع (کے حوالے سے) ہے۔ الٹا کیپلر مساوات الٹا کیپلر مساوات کی تمام حقیقی اقدار کے لیے کیپلر کی مساوات کا حل ہے: اس پیداوار کا اندازہ لگانا: ان سیریز کو انورس سیریز آپریشن کے ساتھ ریاضی میں دوبارہ پیش کیا جا سکتا ہے۔ انورس سیریز [سیریز [M-sin [M]، {M, 0,10}]] انورس سیریز [سیریز [M-e sin [M]، {M, 0,10}] یہ افعال سادہ میکلورین سیریز ہیں۔ ماورائی افعال کی ایسی ٹیلر سیریز کی نمائندگی کو ان افعال کی تعریفیں سمجھا جاتا ہے۔ لہذا، یہ حل الٹا کیپلر مساوات کی ایک رسمی تعریف ہے۔ تاہم، کسی دیئے گئے غیر صفر کا مکمل فنکشن نہیں ہے۔ درحقیقت، مشتق پیچیدہ اعداد کے لامحدود سیٹ پر صفر پر جاتا ہے جب صفر کے قریب ترین ان دو نکات پر ہوتا ہے (جہاں الٹا کوش کو مثبت سمجھا جاتا ہے)، اور ان اقدار پر انفینیٹی پر جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ میکلورین سیریز کے کنورجنس کا رداس ہے اور سیریز اس سے بڑی اقدار کے لیے کنورج نہیں کرے گی۔ سیریز کو ہائپربولک کیس کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، اس صورت میں کنورجنس کا رداس سیریز ہے جب کب کنورج ہوتا ہے۔ اگرچہ یہ حل ایک خاص ریاضیاتی معنوں میں سب سے آسان ہے، لیکن زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے دوسرے حل بہتر ہیں۔ متبادل طور پر، کیپلر کی مساوات کو عددی طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ اس کا حل کارل اسٹمپف نے 1968 میں دریافت کیا تھا، لیکن اس کی اہمیت کو تسلیم نہیں کیا گیا تھا۔ کوئی بھی میکلورین سیریز بھی لکھ سکتا ہے۔ یہ سلسلہ تب یکجا نہیں ہوتا جب لیپلیس کی حد سے بڑا ہوتا ہے (تقریبا 0.66)، اس کی قیمت سے قطع نظر (جب تک کہ اس کا ضرب نہ ہو)، لیکن اگر لیپلیس کی حد سے کم ہو تو یہ سب کے لیے یکجا ہوتا ہے۔ سیریز میں کوفشنٹس، پہلے کے علاوہ (جو کہ سادہ ہے)، مدت کے ساتھ وقتا فوقتا انحصار کرتے ہیں۔ الٹا شعاعی کیپلر مساوات الٹا شعاعی کیپلر مساوات () کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے: اس پیداوار کا اندازہ لگانا: ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے اس نتیجہ کو حاصل کرنے کے لیے: الٹا سلسلہ [سیریز [آرکسین [Sqrt [t]-Sqrt [(1-t) t]، {t, 0,15}] الٹا مسئلہ نیوٹن کے طریقہ کار کا عددی تخمینہ زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے، الٹا مسئلہ کو فنکشن کی جڑ ڈھونڈ کر عددی طور پر شمار کیا جا سکتا ہے: یہ نیوٹن کے طریقہ کار کے ذریعے بار بار کیا جا سکتا ہے: نوٹ کریں کہ اور اس حساب میں ریڈیئن کی اکائیوں میں ہیں۔ یہ تکرار اس وقت تک دہرایا جاتا ہے جب تک کہ مطلوبہ درستگی حاصل نہ ہو جائے (مثال کے طور پر۔ جب <مطلوبہ درستگی)۔ زیادہ تر انڈاکار مداروں کے لیے ایک ابتدائی قدر کافی ہے۔ کے ساتھ مداروں کے لیے، کی ابتدائی قدر استعمال کی جا سکتی ہے۔ متعدد کام درست (لیکن زیادہ پیچیدہ بھی) قیاس آرائیاں شروع کرتے ہیں۔ اگر یکساں طور پر 1 ہے، تو اس کا مشتق، جو نیوٹن کے طریقہ کار کے ڈینومینیٹر میں ہے، صفر کے قریب پہنچ سکتا ہے، جس سے مشتق پر مبنی طریقے جیسے نیوٹن-رافسن، سیکینٹ، یا ریگولا فالسی عددی طور پر غیر مستحکم ہو جاتے ہیں۔ اس صورت میں، بائیسیکشن کا طریقہ یقینی کنورجنس فراہم کرے گا، خاص طور پر چونکہ حل کو ایک چھوٹے سے ابتدائی وقفے میں محدود کیا جا سکتا ہے۔ جدید کمپیوٹرز پر 17 سے 18 تکرار میں 4 یا 5 ہندسوں کی درستگی حاصل کرنا ممکن ہے۔ اسی طرح کا نقطہ نظر کیپلر کی مساوات کی ہائپربولک شکل کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پیرابولک ٹریجیکٹوری کے معاملے میں، بارکر کی مساوات استعمال کی جاتی ہے۔ فکسڈ پوائنٹ تکرار ایک متعلقہ طریقہ اس بات کو نوٹ کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ دائیں طرف کے لیے دائیں طرف کے اظہار کو بار بار تبدیل کرنے سے تشخیص کے لیے ایک سادہ فکسڈ پوائنٹ ایٹریشن الگورتھم حاصل ہوتا ہے۔ یہ طریقہ کیپلر کے 1621 کے حل سے ملتا جلتا ہے۔ فنکشن E (e, M, n) E = M کے لیے k = 1 سے n E = M + e * sin E اگلا k ریٹرن E تکرار کی تعداد، کی قدر پر منحصر ہے۔ ہائپربولک شکل بھی اسی طرح ہے۔ یہ طریقہ اوپر کے نیوٹن کے طریقہ کار کے حل سے متعلق ہے جس میں چھوٹی مقدار میں ٹو فرسٹ آرڈر اور،۔ کیپلر کے سیاروں کی حرکت کے قوانین کیپلر کا مسئلہ کیپلر کا مسئلہ عمومی اضافیت میں ریڈیل ٹریجیکٹوری حوالہ جات بیرونی روابط کیپلر کا مساوات وولفرم میتھ ورلڈ میں طبیعیات کے جوہانس کیپلر آربٹس کے نام نہاد مساوات