Hardy field
ریاضی میں، ہارڈی فیلڈ ایک ایسا فیلڈ ہے جو انفینٹی پر حقیقی قدر والے افعال کے جراثیم پر مشتمل ہوتا ہے جو تفریق کے تحت بند ہوتے ہیں۔ ان کا نام انگریز ریاضی دان جی ایچ ہارڈی کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف ابتدائی طور پر کم از کم ہارڈی فیلڈز کی تعریف انفینیٹی پر حقیقی افعال کے جراثیم کے لحاظ سے کی گئی تھی۔ خاص طور پر ہم فنکشنز کے مجموعے H پر غور کرتے ہیں جو تمام بڑے حقیقی اعداد کے لیے بیان کیے گئے ہیں، یعنی فنکشنز f جو کہ نقشہ (u، ≤) کو حقیقی اعداد R کے لیے بناتے ہیں، کسی حقیقی نمبر کے لیے جو f پر منحصر ہے۔ یہاں اور باقی مضمون میں ہم کہتے ہیں کہ کسی فنکشن میں "آخر کار" ایک خاصیت ہوتی ہے اگر اس میں تمام کافی بڑے x کے لیے پراپرٹی ہو، تو مثال کے طور پر ہم کہتے ہیں کہ H میں ایک فنکشن f بالآخر صفر ہوتا ہے اگر کوئی حقیقی نمبر U ایسا ہو کہ تمام x ≤ U کے لیے f (x) = 0 ہو۔ ہم H پر یہ کہہ کر مساوات کا تعلق تشکیل دے سکتے ہیں کہ f g کے مساوی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f − g بالآخر صفر ہو۔ اس تعلق کی مساوات کی کلاسوں کو انفینٹی پر جراثیم کہا جاتا ہے۔ اگر H افعال کے معمول کے اضافے اور ضرب کے تحت ایک فیلڈ بناتا ہے تو اسی طرح H ماڈیولو انڈسڈ ایڈیشن اور ضرب کی کارروائیوں کے تحت اس مساوات کے تعلق کو تشکیل دے گا۔ مزید برآں، اگر H میں ہر فنکشن بالآخر تفریق پذیر ہے اور H میں کسی فنکشن کا مشتق بھی H میں ہے تو H ماڈیولو مذکورہ بالا مساوات کا تعلق ہارڈی فیلڈ کہلاتا ہے۔ اس طرح ہارڈی فیلڈ کے عناصر مساوات کی کلاسیں ہیں اور ان افعال کی کلاس کو ظاہر کرنے کے لیے ان کو ظاہر کیا جانا چاہیے جو بالآخر نمائندہ فنکشن f کے برابر ہوتے ہیں۔ تاہم، عملی طور پر عناصر کو عام طور پر صرف نمائندوں کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، لہذا [f] ≤ کے بجائے کوئی صرف f لکھے گا۔ مثال کے طور پر اگر F، R کا ذیلی فیلڈ ہے تو ہم F کے عناصر کو مستقل افعال کے طور پر غور کر کے اسے ہارڈی فیلڈ کے طور پر سمجھ سکتے ہیں، یعنی F میں موجود نمبر α کو مستقل فنکشن fα کے طور پر جو R سے α میں ہر x کا نقشہ بناتا ہے۔ یہ ایک فیلڈ ہے کیونکہ F ہے، اور چونکہ اس فیلڈ میں ہر فنکشن کا مشتق 0 ہے جو کہ F میں ہونا چاہیے، یہ ایک ہارڈی فیلڈ ہے۔ ہارڈی فیلڈ کی ایک کم معمولی مثال R پر عقلی افعال کا فیلڈ ہے، جسے R (x) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ P (x)/Q (x) فارم کے افعال کا مجموعہ ہے جہاں P اور Q حقیقی کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی ہیں۔ چونکہ کثیر الجہتی ق میں الجبرا کے بنیادی نظریہ کے مطابق صرف محدود طور پر بہت سے صفر ہو سکتے ہیں، اس طرح کے عقلی فعل کی تعریف تمام کافی بڑے x کے لیے کی جائے گی، خاص طور پر تمام x کے لیے جو Q کے سب سے بڑے حقیقی جڑ سے بڑے ہیں۔ عقلی افعال کو جوڑنے اور ضرب دینے سے زیادہ عقلی افعال ملتے ہیں، اور حصص کے اصول سے پتہ چلتا ہے کہ عقلی فعل کا مشتق پھر سے ایک عقلی فعل ہے، لہذا R (x) ایک ہارڈی فیلڈ بناتا ہے۔ ایک اور مثال افعال کا میدان ہے جس کا اظہار معیاری ریاضی کی کارروائیوں، متغیرات، اور لوگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، اور شکل کے کچھ وقفے پر اچھی طرح سے بیان کیا جاتا ہے۔ اس طرح کے افعال کو بعض اوقات ہارڈی ایل فنکشن کہا جاتا ہے۔ بہت بڑے ہارڈی فیلڈز (جن میں ذیلی فیلڈ کے طور پر ہارڈی ایل فنکشنز ہوتے ہیں) کی تعریف ٹرانس سیریز کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ خصوصیات ہارڈی فیلڈ کا ہر عنصر بالآخر یا تو سختی سے مثبت، سختی سے منفی، یا صفر ہوتا ہے۔ یہ ان حقائق کے بالکل فورا بعد ہوتا ہے کہ ہارڈی فیلڈ میں عناصر بالآخر تفریق پذیر ہوتے ہیں اور اس لیے مسلسل ہوتے ہیں اور آخر کار یا تو ان کا ضرب الٹا ہوتا ہے یا صفر ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ ہارڈی فیلڈز میں پیریڈک فنکشن جیسے سائن اور کوسین فنکشن موجود نہیں ہو سکتے۔ پیریڈک افعال کے اس اجتناب کا مطلب یہ بھی ہے کہ ہارڈی فیلڈ میں ہر عنصر کی لامحدود پر (ممکنہ طور پر لامحدود) حد ہوتی ہے، لہذا اگر f H کا عنصر ہے، تو R ≤ {− ≤، + ≤} میں موجود ہے۔ اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ اگر g − f بالآخر سختی سے مثبت ہے تو ہم f <g کہہ کر H پر آرڈر دے سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ کہنے کے مترادف نہیں ہے کہ f <g اگر f کی حد g کی حد سے کم ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم شناخت فنکشن f (x) = x اور ایکسپونینشیل فنکشن g (x) = ex کے جراثیم پر غور کریں تو چونکہ g (x) − f (x)> 0 تمام x کے لیے ہمارے پاس وہ g> f ہے۔ لیکن وہ دونوں لامحدود ہوتے ہیں۔ اس لحاظ سے ترتیب ہمیں بتاتی ہے کہ تمام غیر محدود افعال کتنی تیزی سے انفینٹی کی طرف ہٹ جاتے ہیں۔ یہاں تک کہ محدود حدود کا برابر ہونا بھی کافی نہیں ہے: f (x) = 1/x اور g (x) = 0 پر غور کریں۔ ماڈل تھیوری میں ہارڈی فیلڈز کا جدید نظریہ حقیقی افعال تک محدود نہیں ہے بلکہ حقیقی بند فیلڈز کو وسعت دینے والے بعض ڈھانچوں میں بیان کردہ افعال تک محدود ہے۔ درحقیقت، اگر R کسی فیلڈ کی کم سے کم توسیع ہے، تو R میں غیر متعین افعال کا مجموعہ جو تمام کافی بڑے عناصر کے لیے بیان کیا جاتا ہے، ایک ہارڈی فیلڈ بناتا ہے جس کی نشاندہی H (R) ہوتی ہے۔ حقیقی ترتیب میں ہارڈی فیلڈز کی خصوصیات اب بھی اس زیادہ عمومی ترتیب میں موجود ہیں۔ حوالہ جات غیر علامتی تجزیہ ماڈل تھیوری فیلڈ (ریاضی) الجبرائی ڈھانچے