Langlands–Deligne local constant
ریاضی میں، لینگ لینڈز-ڈیلیگن مقامی مستقل، جسے مقامی ایپسلون عنصر یا مقامی آرٹن جڑ نمبر (s کے ابتدائی حقیقی فعل تک) بھی کہا جاتا ہے، ایک ابتدائی فعل ہے جو مقامی میدان کے ویل گروپ کی نمائندگی سے وابستہ ہے۔ فنکشنل مساوات L (ρ, s) = ε (ρ, s) L (ρ, s, 1−s) ایک آرٹن L-فنکشن کی ایک ابتدائی فنکشن ہوتی ہے جس میں ایک مستقل ε (ρ, s) ظاہر ہوتا ہے، جو کہ آرٹن روٹ نمبر کے نام سے ایک مستقل کے برابر ہوتا ہے جو کہ s کا ایک ابتدائی حقیقی فنکشن ہوتا ہے، اور لینگ لینڈز نے دریافت کیا کہ ε (ρ, s) کو کینونکل طریقے سے ایک پروڈکٹ ε (ρ, s) = Πε (ρv, s, siv) کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ نشان تک مقامی مستقل ε (ρv، s، siv) کے وجود کو ثابت کیا۔ استعمال شدہ مقامی طریقوں سے مقامی مستقلات کے وجود کا اصل ثبوت کافی لمبا اور پیچیدہ تھا، اور کبھی شائع نہیں ہوا۔ بعد میں عالمی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک آسان ثبوت دریافت کیا۔ خصوصیات مقامی مستقلات ε (ρ، s، siE) کا انحصار ویل گروپ کی نمائندگی ρ اور E کے اضافی گروپ کے کردار siE کے انتخاب پر ہوتا ہے۔ وہ درج ذیل شرائط کو پورا کرتے ہیں: اگر ρ 1 جہتی ہے تو ε (ρ، s، siE) ٹیٹ کے مقالے کے ذریعہ اس سے وابستہ مستقل ہے جو مقامی L-فنکشن کی فعال مساوات میں مستقل ہے۔ ε (ρ1 ≈ ρ2، s، siE) = ε (ρ1، s، siE) ε (ρ2، s، siE)۔ نتیجے کے طور پر، ε (ρ، s، siE) کو ورچوئل نمائندگی ρ کے لیے بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ اگر ρ طول و عرض 0 کی ورچوئل نمائندگی ہے اور E میں K موجود ہے تو ε (ρ، s، siE) = ε (IndE/Kρ، s، siK) انڈیوسڈ حروف پر براؤر کا نظریہ اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ یہ تینوں خصوصیات مقامی مستقلات کی خصوصیت رکھتی ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ویل گروپ کی حقیقی (آرتھوگنل) نمائندگی کے لیے مقامی مستقلات معمولی ہیں۔ نوٹیشنل کنونشن مقامی مستقلات کو ظاہر کرنے کے لیے کئی مختلف کنونشن ہیں۔ پیرامیٹر s بے کار ہے اور اسے نمائندگی ρ کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے، کیونکہ ε (ρ، s، siE) = ε (ρ | |s، 0، siE) ایک مناسب کردار کے لیے۔ ڈیلیگن میں ایک اضافی پیرامیٹر ڈی ایکس شامل ہے جس میں مقامی میدان پر ہار پیمائش کا انتخاب ہوتا ہے۔ دیگر کنونشن ہار پیمائش کے انتخاب کو طے کرکے اس پیرامیٹر کو چھوڑ دیتے ہیں: یا تو ہار پیمائش جو si (لینگ لینڈز کے ذریعہ استعمال کی جاتی ہے) کے حوالے سے خود دوہری ہے، یا ہار پیمائش جو E پیمائش 1 کے انٹیجرز دیتی ہے۔ یہ مختلف روایات ابتدائی اصطلاحات سے مختلف ہیں جو مثبت حقیقی اعداد ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط نمائندگی نظریہ زیٹا اور ایل فنکشن کلاس فیلڈ تھیوری