Ordinary differential equation
ریاضی میں، ایک عام تفریقی مساوات (ODE) ایک تفریقی مساوات (DE) ہے جو صرف ایک آزاد متغیر پر منحصر ہے۔ دوسرے DE کی طرح، اس کا نامعلوم ایک (یا زیادہ) فنکشن پر مشتمل ہوتا ہے اور اس میں ان افعال کے مشتقات شامل ہوتے ہیں۔ اصطلاح "عام" جزوی تفریقی مساوات کے برعکس استعمال ہوتی ہے جو ایک آزاد متغیر کے حوالے سے ہو سکتی ہے۔ تفریقی مساوات لکیری تفریقی مساوات ایک تفریقی مساوات ہے جس کی تعریف نامعلوم فنکشن اور اس کے مشتقات میں لکیری کثیر الجہتی کے ذریعہ کی جاتی ہے، یہ اس شکل کی مساوات ہے جہاں،، اور صوابدیدی تفریقی افعال ہیں جن کو لکیری ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اور متغیر کے نامعلوم فنکشن کے یکے بعد دیگرے مشتقات ہیں۔ عام تفریق مساوات میں، لکیری تفریق مساوات کئی وجوہات کی بناء پر نمایاں کردار ادا کرتی ہیں۔ زیادہ تر ابتدائی اور خصوصی افعال جن کا سامنا طبیعیات اور اطلاقی ریاضی میں ہوتا ہے وہ لکیری تفریقی مساوات کے حل ہیں (دیکھیں ہولونومک فنکشن)۔ جب جسمانی مظاہر کو غیر لکیری مساوات کے ساتھ ماڈل کیا جاتا ہے، تو انہیں عام طور پر آسان حل کے لیے لکیری تفریق مساوات کے ذریعے تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ چند غیر لکیری او ڈی ایز جنہیں واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے عام طور پر مساوات کو مساوی لکیری او ڈی ای میں تبدیل کر کے حل کیا جاتا ہے (دیکھیں، مثال کے طور پر ریکاٹی مساوات)۔ کچھ او ڈی ایز کو معروف افعال اور انٹیگرلز کے لحاظ سے واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ جب یہ ممکن نہ ہو تو حل کی ٹیلر سیریز کا حساب لگانے کے لیے مساوات مفید ہو سکتی ہے۔ لاگو کردہ مسائل کے لیے، عام تفریقی مساوات کے لیے عددی طریقے حل کا تخمینہ فراہم کر سکتے ہیں۔ پس منظر عام تفریق مساوات (او ڈی ای) ریاضی اور سماجی اور قدرتی علوم کے بہت سے سیاق و سباق میں پیدا ہوتی ہیں۔ تبدیلی کی ریاضیاتی وضاحتیں تفریق اور مشتقات کا استعمال کرتی ہیں۔ مختلف تفریق، مشتقات اور افعال مساوات کے ذریعے منسلک ہو جاتے ہیں، جیسے کہ تفریق مساوات ایک ایسا نتیجہ ہے جو متحرک طور پر بدلتے ہوئے مظاہر، ارتقاء اور تغیر کو بیان کرتا ہے۔ اکثر، مقداروں کو دیگر مقداروں کی تبدیلی کی شرح (مثال کے طور پر، وقت کے حوالے سے نقل مکانی کے مشتقات)، یا مقداروں کے میلان کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، جس طرح وہ تفریقی مساوات میں داخل ہوتے ہیں۔ مخصوص ریاضیاتی شعبوں میں جیومیٹری اور تجزیاتی میکانکس شامل ہیں۔ سائنسی شعبوں میں زیادہ تر طبیعیات اور فلکیات (آسمانی میکانکس)، موسمیات (موسمی ماڈلنگ)، کیمسٹری (رد عمل کی شرح)، حیاتیات (متعدی بیماریاں، جینیاتی تغیر)، ماحولیات اور آبادی ماڈلنگ (آبادی کا مقابلہ)، معاشیات (اسٹاک کے رجحانات، شرح سود اور مارکیٹ کے توازن کی قیمتوں میں تبدیلیاں) شامل ہیں۔ بہت سے ریاضی دانوں نے تفریقی مساوات کا مطالعہ کیا ہے اور اس میدان میں تعاون کیا ہے، جن میں نیوٹن، لیبنز، برنولی خاندان، ریکاٹی، کلیراٹ، ڈی المبرٹ اور اویلر شامل ہیں۔ ایک سادہ سی مثال نیوٹن کا حرکت کا دوسرا قانون ہے-قوت F کے تحت کسی شے کی نقل مکانی x اور وقت t کے درمیان تعلق تفریق مساوات کے ذریعے دیا جاتا ہے جو مستقل کمیت m کے ذرہ کی حرکت کو محدود کرتا ہے۔ عام طور پر، F وقت t پر ذرہ کی پوزیشن x (t) کا ایک فعل ہے۔ نامعلوم فعل x (t) تفریق مساوات کے دونوں اطراف ظاہر ہوتا ہے، اور اشارہ F (x (t) میں ظاہر ہوتا ہے۔ تعریفیں مندرجہ ذیل میں، y ایک منحصر متغیر ہے جو آزاد متغیر x کے نامعلوم فعل کی نمائندگی کرتا ہے۔ تفریق کے لیے اشارے مصنف پر منحصر ہوتے ہیں اور اس پر کہ کون سا اشارے ہاتھ میں موجود کام کے لیے سب سے زیادہ مفید ہے۔ اس تناظر میں، لیبنز کا نوٹیشن تفریق اور انضمام کے لیے زیادہ مفید ہے، جبکہ لگرینج کا نوٹیشن اعلی ترتیب کے مشتقات کو کمپیکٹ انداز میں پیش کرنے کے لیے زیادہ مفید ہے، اور نیوٹن کا نوٹیشن اکثر طبیعیات میں وقت کے حوالے سے کم ترتیب کے مشتقات کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ عمومی تعریف F دی گئی ہے، x، y، اور y کے مشتقات کی ایک تقریب۔ پھر اس شکل کی مساوات کو ترتیب n کی ایک واضح عام تفریق مساوات کہا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، ترتیب n کی ایک مضمر عام تفریق مساوات یہ شکل اختیار کرتی ہے: مزید درجہ بندی موجود ہیں: ODEs کا نظام متعدد جوڑی تفریق مساوات کا ایک نظام تشکیل دیتی ہیں۔ اگر y ایک ویکٹر ہے جس کے عناصر فنکشن ہیں ؛ y (x) = [y1 (x)، y2 (x)،.، ym (x)]، اور F y اور اس کے مشتقات کا ایک ویکٹر ویلیوڈ فنکشن ہے، تو آرڈر n اور طول و عرض m کی عام تفریقی مساوات کا ایک واضح نظام ہے۔ کالم ویکٹر کی شکل میں: یہ ضروری نہیں کہ لکیری ہوں۔ مضمر ینالاگ یہ ہے: جہاں 0 = (0، 0،.، 0) صفر ویکٹر ہے۔ میٹرکس کی شکل میں فارم کے نظام کے لیے، کچھ ذرائع یہ بھی چاہتے ہیں کہ جیکوبین میٹرکس غیر سنگل ہو تاکہ اسے ایک مضمر او ڈی ای [نظام] کہا جا سکے۔ اس جیکوبین غیر سنگلریٹی حالت کو پورا کرنے والا ایک مضمر او ڈی ای نظام کو ایک واضح او ڈی ای نظام میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ انہی ذرائع میں، واحد جیکوبین کے ساتھ مضمر او ڈی ای نظام کو تفریقی الجبرائی مساوات (ڈی اے ای) کہا جاتا ہے۔ یہ فرق محض اصطلاحات میں سے ایک نہیں ہے۔ ڈی اے ای کی بنیادی طور پر مختلف خصوصیات ہیں اور عام طور پر (غیر واحد) او ڈی ای نظاموں کے مقابلے میں حل کرنے میں زیادہ شامل ہوتے ہیں۔ ممکنہ طور پر اضافی مشتقات کے لیے، ہیسیئن میٹرکس وغیرہ کو بھی اس اسکیم کے مطابق غیر واحد سمجھا جاتا ہے، حالانکہ نوٹ کریں کہ ایک سے زیادہ ترتیب کے کسی بھی او ڈی ای کو پہلے ترتیب کے او ڈی ای کے نظام کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے (اور عام طور پر لکھا جاتا ہے)، جو جیکوبین انفرادیت کے معیار کو اس درجہ بندی کے لیے تمام ترتیبات پر جامع ہونے کے لیے کافی بناتا ہے۔ او ڈی ایز کے نظام کے رویے کو فیز پورٹریٹ کے استعمال کے ذریعے دیکھا جا سکتا ہے۔ حل ایک تفریقی مساوات کو دیکھتے ہوئے ایک فنکشن، جہاں I ایک وقفہ ہے، کو F کے لیے حل یا انٹیگرل وکر کہا جاتا ہے، اگر u، I پر n گنا تفریق پذیر ہے، اور دو حل دیے گئے ہیں اور، u کو v کی توسیع کہا جاتا ہے اگر اور A حل جس میں کوئی توسیع نہیں ہے اسے زیادہ سے زیادہ حل کہا جاتا ہے۔ تمام R پر بیان کردہ حل کو عالمی حل کہا جاتا ہے۔ n ویں ترتیب کی مساوات کا عمومی حل ایک ایسا حل ہے جس میں انضمام کے n صوابدیدی آزاد مستقلات ہوتے ہیں۔ ایک خاص حل عام حل سے مستقلات کو مخصوص اقدار پر ترتیب دے کر اخذ کیا جاتا ہے، جسے اکثر سیٹ 'ابتدائی شرائط یا باؤنڈری کنڈیشنز' کو پورا کرنے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ واحد حل ایک ایسا حل ہے جو عمومی حل میں صوابدیدی مستقلات کو قطعی اقدار تفویض کرکے حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ لکیری او ڈی ای کے تناظر میں، اصطلاحات کا مخصوص حل او ڈی ای کے کسی بھی حل کا بھی حوالہ دے سکتا ہے (ضروری نہیں کہ ابتدائی شرائط کو پورا کرے)، جسے پھر یکساں حل (یکساں او ڈی ای کا عمومی حل) میں شامل کیا جاتا ہے، جو پھر اصل او ڈی ای کا عمومی حل بناتا ہے۔ یہ اس مضمون میں قیاس آرائی کے طریقہ کار کے حصے میں استعمال ہونے والی اصطلاح ہے، اور غیر متعین گتانک کے طریقہ کار اور پیرامیٹرز کی تغیرات پر بحث کرتے وقت اکثر استعمال ہوتی ہے۔ محدود مدت کے حل غیر لکیری خود مختار او ڈی ایز کے لیے کچھ شرائط کے تحت محدود مدت کے حل تیار کرنا ممکن ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ یہاں اس کی اپنی حرکیات سے، نظام اختتامی وقت پر صفر کی قدر تک پہنچ جائے گا اور اس کے بعد ہمیشہ صفر میں رہے گا۔ یہ محدود مدت کے حل پوری حقیقی لکیر پر تجزیاتی افعال نہیں ہو سکتے، اور چونکہ وہ اپنے اختتامی وقت پر غیر لپشیٹز افعال ہوں گے، اس لیے وہ لپشیٹز تفریقی مساوات کے حل کی انفرادیت تھیوریم میں شامل نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوات: محدود مدت کے حل کو تسلیم کرتا ہے: نظریہ واحد حل عام اور جزوی تفریقی مساوات کے واحد حل کا نظریہ لیبنز کے زمانے سے ہی تحقیق کا موضوع تھا، لیکن صرف انیسویں صدی کے وسط سے ہی اس پر خصوصی توجہ دی گئی ہے۔ اس موضوع پر ایک قیمتی لیکن کم معروف کام ہوٹین (1854) کا ہے۔ ڈاربوکس (1873 سے) اس نظریہ کے رہنما تھے، اور ان حلوں کی ہندسی تشریح میں انہوں نے مختلف مصنفین، خاص طور پر کاسوراٹی اور کیلی کے ذریعہ کام کیا۔ مؤخر الذکر کے لیے (1872) پہلی ترتیب کے تفریقی مساوات کے واحد حل کا نظریہ واجب ہے جیسا کہ تقریبا 1900 میں قبول کیا گیا تھا۔ کواڈریچروں میں کمی تفریق مساوات سے نمٹنے کی ابتدائی کوشش میں کواڈریچروں میں کمی کو مدنظر رکھا گیا تھا۔ چونکہ اٹھارہویں صدی کے الجبرائی ماہرین کی امید تھی کہ وہ نویں ڈگری کی عمومی مساوات کو حل کرنے کے لیے کوئی طریقہ تلاش کریں گے، اسی لیے تجزیہ کاروں کی امید تھی کہ وہ کسی بھی تفریقی مساوات کو مربوط کرنے کے لیے ایک عمومی طریقہ تلاش کریں گے۔ تاہم، گاؤس (1799) نے دکھایا کہ پیچیدہ تفریقی مساوات کے لیے پیچیدہ اعداد درکار ہوتے ہیں۔ لہذا، تجزیہ کاروں نے افعال کے مطالعہ کو تبدیل کرنا شروع کیا، اس طرح ایک نیا اور زرخیز میدان کھل گیا۔ کاچی وہ پہلا شخص تھا جس نے اس نظریے کی اہمیت کو سراہا۔ اس کے بعد، اصل سوال یہ نہیں تھا کہ آیا کوئی حل معلوم افعال کے ذریعے ممکن ہے یا ان کے انٹیگرلز کے ذریعے، بلکہ یہ تھا کہ آیا دی گئی تفریق مساوات آزاد متغیر یا متغیر کی فنکشن کی تعریف کے لیے کافی ہے، اور، اگر ایسا ہے تو، خصوصیت کی خصوصیات کیا ہیں۔ فوچسی نظریہ فوکس کی دو یادوں نے ایک نئے نقطہ نظر کو متاثر کیا، جس کی وضاحت بعد میں تھام اور فروبینیوس نے کی۔ کولیٹ 1869 میں شروع ہونے والے ایک نمایاں شراکت دار تھے۔ غیر لکیری نظام کو مربوط کرنے کا ان کا طریقہ 1868 میں برٹرینڈ کو بتایا گیا۔ کلیبش (1873) نے اپنے نظریہ ابیلین انٹیگرلز کے متوازی خطوط پر اس نظریہ پر حملہ کیا۔ چونکہ مؤخر الذکر کو بنیادی منحنی خطوط کی خصوصیات کے مطابق درجہ بندی کیا جا سکتا ہے جو عقلی تبدیلی کے تحت تبدیل نہیں ہوتا ہے، کلیبش نے متناسب ایک سے ایک تبدیلی کے تحت متعلقہ سطحوں f = 0 کی غیر متغیر خصوصیات کے مطابق تفریق مساوات کے ذریعے بیان کردہ ماورائے افعال کی درجہ بندی کرنے کی تجویز پیش کی۔ جھوٹ کا نظریہ 1870 سے، سوفس لی کے کام نے تفریقی مساوات کے نظریہ کو ایک بہتر بنیاد پر رکھا۔ انہوں نے دکھایا کہ پرانے ریاضی دانوں کے انضمام کے نظریات، لائ گروپوں کا استعمال کرتے ہوئے، ایک مشترکہ ماخذ کا حوالہ دیا جا سکتا ہے، اور یہ کہ عام تفریق مساوات جو ایک ہی لامحدود تبدیلیوں کو تسلیم کرتی ہیں، انضمام کی موازنہ مشکلات پیش کرتی ہیں۔ انہوں نے رابطے کی تبدیلی کے موضوع پر بھی زور دیا۔ تفریقی مساوات کے بارے میں جھوٹ کے گروپ تھیوری کی تصدیق کی گئی ہے، یعنی: (1) یہ تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے جانے جانے والے بہت سے ایڈہاک طریقوں کو متحد کرتا ہے، اور (2) یہ حل تلاش کرنے کے لیے طاقتور نئے طریقے فراہم کرتا ہے۔ اس نظریہ کا اطلاق عام اور جزوی تفریقی مساوات دونوں پر ہوتا ہے۔ ایک عمومی حل کا نقطہ نظر تفریق مساوات کی ہم آہنگی کی خاصیت کا استعمال کرتا ہے، حل کے حل کی مسلسل لامحدود تبدیلیاں (لائ تھیوری)۔ مسلسل گروپ تھیوری، لائ الجیبرا، اور تفریقی جیومیٹری کو مربوط مساوات پیدا کرنے کے لیے لکیری اور غیر لکیری (جزوی) تفریقی مساوات کی ساخت کو سمجھنے، اس کے لکس جوڑوں، ریکرشن آپریٹرز، بیکلنڈ ٹرانسفارم کو تلاش کرنے، اور آخر میں ڈی ای کے درست تجزیاتی حل تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ریاضیات، طبیعیات، انجینئرنگ اور دیگر شعبوں میں پیدا ہونے والی تفریقی مساوات پر ہم آہنگی کے طریقوں کا اطلاق کیا گیا ہے۔ اسٹرم-لیوویل نظریہ اسٹرم-لیوویل نظریہ ایک خاص قسم کی سیکنڈ آرڈر لکیری عام تفریق مساوات کا نظریہ ہے۔ ان کے حل آئجین ویلیوز اور دوسرے درجے کی یکساں لکیری مساوات کے ذریعے بیان کردہ لکیری آپریٹرز کے متعلقہ آئجین فنکشنز پر مبنی ہوتے ہیں۔ ان مسائل کی شناخت اسٹرم-لیوویل مسائل (ایس ایل پی) کے طور پر کی گئی ہے اور ان کا نام جے سی ایف کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اسٹرم اور جے لیوویل، جنہوں نے 1800 کی دہائی کے وسط میں ان کا مطالعہ کیا۔ ایس ایل پیز میں آئجین ویلیوز کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، اور متعلقہ آئجین فنکشن ایک مکمل، آرتھوگنل سیٹ بناتے ہیں، جو آرتھوگنل توسیع کو ممکن بناتا ہے۔ یہ اطلاقی ریاضی، طبیعیات اور انجینئرنگ میں ایک کلیدی خیال ہے۔ ایس ایل پی بعض جزوی تفریقی مساوات کے تجزیے میں بھی مفید ہیں۔ حل کا وجود اور انفرادیت کئی نظریات ہیں جو مقامی اور عالمی سطح پر او ڈی ایز پر مشتمل ابتدائی قدر کے مسائل کے حل کے وجود اور انفرادیت کو قائم کرتے ہیں۔ دو اہم نظریات ہیں {| کلاس = "وکیٹیبل" |-! نظریہ! مفروضہ! نتیجہ۔-|Peano وجود تھیوریم۔ |F مسلسل۔ |local صرف وجود۔-|Picard-Lindelöf تھیوریم۔ |F Lipschitz مسلسل۔ |local وجود اور انفرادیت۔-|} اپنی بنیادی شکل میں یہ دونوں تھیوریم صرف مقامی نتائج کی ضمانت دیتے ہیں، حالانکہ مؤخر الذکر کو عالمی نتیجہ دینے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، اگر گرون وال کی عدم مساوات کی شرائط پوری ہو جائیں۔ نیز، اوپر دیے گئے لپشٹز جیسے انفرادیت کے نظریات ڈی اے ای سسٹمز پر لاگو نہیں ہوتے، جن کے متعدد حل صرف ان کے (غیر لکیری) الجبرائی حصے سے نکل سکتے ہیں۔ مقامی وجود اور انفرادیت تھیوریم کو آسان بنایا گیا تھیوریم کو صرف اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: مساوات اور ابتدائی قدر کے مسئلے کے لیے: اگر X-Y سطح میں ایک بند مستطیل میں F اور ष्णف/ष्णف مسلسل ہیں، جہاں a اور b حقیقی ہیں (علامتی طور پر:) اور کارٹیشین پروڈکٹ کی نشاندہی کرتے ہیں، مربع بریکٹ بند وقفوں کی نشاندہی کرتے ہیں، تو کچھ کے لیے ایک وقفہ ہوتا ہے جہاں مذکورہ مساوات اور ابتدائی قدر کے مسئلے کا حل مل سکتا ہے۔ یعنی ایک حل ہے اور یہ منفرد ہے۔ چونکہ F کے لکیری ہونے پر کوئی پابندی نہیں ہے، اس کا اطلاق غیر لکیری مساوات پر ہوتا ہے جو F (x، y) کی شکل اختیار کرتی ہیں، اور اس کا اطلاق مساوات کے نظاموں پر بھی کیا جا سکتا ہے۔ عالمی انفرادیت اور حل کا زیادہ سے زیادہ دائرہ جب پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم کے مفروضوں کو مطمئن کیا جاتا ہے، تو مقامی وجود اور انفرادیت کو عالمی نتیجہ تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر: ہر ابتدائی شرط (x0، y0) کے لیے ایک منفرد زیادہ سے زیادہ (ممکنہ طور پر لامحدود) کھلا وقفہ موجود ہے کہ کوئی بھی حل جو اس ابتدائی شرط کو پورا کرتا ہے وہ حل کی ایک پابندی ہے جو اس ابتدائی شرط کو ڈومین سے مطمئن کرتا ہے۔ اس صورت میں کہ، محدود وقت میں بالکل دو امکانات کے دھماکے ہوتے ہیں: تعریف کا ڈومین چھوڑ دیتا ہے: جہاں ω وہ کھلا سیٹ ہے جس میں F کی وضاحت کی گئی ہے، اور یہ اس کی حد ہے۔ نوٹ کریں کہ حل کا زیادہ سے زیادہ ڈومین ہمیشہ ایک وقفہ ہوتا ہے (انفرادیت حاصل کرنے کے لیے) اس سے چھوٹا ہو سکتا ہے جو (x0، y0) کے مخصوص انتخاب پر منحصر ہو۔ مثال۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ F (x, y) = y2، جو کہ C1 ہے اور اس لیے مقامی طور پر Lipschitz مسلسل، پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم کو مطمئن کرتا ہے۔ اس طرح کی سادہ ترتیب میں بھی حل کا زیادہ سے زیادہ ڈومین تمام نہیں ہو سکتا کیونکہ حل وہ ہے جس کا زیادہ سے زیادہ ڈومین ہو: اس سے واضح طور پر ظاہر ہوتا ہے کہ زیادہ سے زیادہ وقفہ ابتدائی حالات پر منحصر ہو سکتا ہے۔ Y کے ڈومین کو وجود کے طور پر لیا جا سکتا ہے لیکن یہ ایک ایسے ڈومین کی طرف لے جائے گا جو وقفہ نہیں ہے، تاکہ ابتدائی حالت کے مخالف رخ کو ابتدائی حالت سے منقطع کر دیا جائے، اور اس وجہ سے اس کے ذریعہ منفرد طور پر تعین نہیں کیا جائے گا۔ زیادہ سے زیادہ ڈومین اس لیے نہیں ہے کہ جو مندرجہ بالا تھیوریم کے مطابق دو ممکنہ صورتوں میں سے ایک ہے۔ اگر مساوات کی ترتیب کو کم کیا جا سکے تو تفریقی مساوات کو حل کرنا عام طور پر آسان ہوتا ہے۔ فرسٹ آرڈر سسٹم میں کمی آرڈر n کی کوئی بھی واضح تفریقی مساوات، n فرسٹ آرڈر تفریقی مساوات کے نظام کے طور پر لکھی جا سکتی ہے جس میں i = 1,2,., n کے لیے نامعلوم افعال کے ایک نئے خاندان کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ فرسٹ آرڈر کے جوڑے ہوئے تفریقی مساوات کا n-جہتی نظام پھر ویکٹر نوٹیشن میں زیادہ کمپیکٹ ہوتا ہے: جہاں عین مطابق حل کا خلاصہ کچھ تفریقی مساوات کے حل ہوتے ہیں جنہیں عین مطابق اور بند شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں کئی اہم کلاسیں دی گئی ہیں۔ نیچے دیے گئے جدول میں،،،،، اور، کے کوئی بھی مربوط افعال ہیں ؛ اور حقیقی دیے گئے مستقلات ہیں ؛ صوابدیدی مستقلات ہیں (عام طور پر پیچیدہ)۔ تفریق مساوات اپنی مساوی اور متبادل شکلوں میں ہوتی ہیں جو انضمام کے ذریعے حل کی طرف لے جاتی ہیں۔ انٹیگرل حلوں میں، λ اور ε انضمام کے ڈمی متغیرات ہیں (خلاصہ میں اشاریوں کے تسلسل اینالاگس)، اور اشارے کا مطلب صرف اس کے حوالے سے ضم کرنا ہے، پھر انضمام کے متبادل کے بعد، مستقل (واضح طور پر بیان کردہ) کو شامل کیے بغیر۔ علیحدہ مساوات عام فرسٹ آرڈر مساوات عام سیکنڈ آرڈر مساوات nth آرڈر مساوات کے لیے لکیری اندازہ لگانے کا طریقہ جب کسی ODE کو حل کرنے کے دیگر تمام طریقے ناکام ہو جاتے ہیں، یا ان صورتوں میں جہاں ہمیں اس بارے میں کچھ ادراک ہوتا ہے کہ DE کا حل کیسا نظر آسکتا ہے، تو بعض اوقات DE کو حل کرنا صرف حل کا اندازہ لگا کر اور اس کی توثیق کر کے ممکن ہوتا ہے۔ اس طریقہ کار کو استعمال کرنے کے لیے، ہم صرف تفریقی مساوات کے حل کا اندازہ لگاتے ہیں، اور پھر اس حل کو تفریقی مساوات میں جوڑتے ہیں تاکہ اس بات کی تصدیق کی جا سکے کہ آیا یہ مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ اگر ایسا ہوتا ہے تو ہمارے پاس ڈی ای کا ایک خاص حل ہے، بصورت دیگر ہم دوبارہ شروع کرتے ہیں اور دوسرا اندازہ لگانے کی کوشش کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر ہم اندازہ لگا سکتے ہیں کہ ڈی ای کے حل کی شکل ہے: کیونکہ یہ ایک بہت ہی عام حل ہے جو جسمانی طور پر سینوسائڈل انداز میں برتاؤ کرتا ہے۔ فرسٹ آرڈر او ڈی ای کے معاملے میں جو غیر یکساں ہے ہمیں پہلے ڈی ای کے یکساں حصے کا ڈی ای حل تلاش کرنے کی ضرورت ہے، جسے بصورت دیگر خصوصیت مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے، اور پھر اندازہ لگا کر پوری غیر یکساں مساوات کا حل تلاش کرنا ہوگا۔ آخر میں، ہم او ڈی ای کا کل حل حاصل کرنے کے لیے ان دونوں حلوں کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں، یعنی: اوپن سورس کمپیوٹر الجبرا سسٹم میکسیما کو حل کرنے والے او ڈی ای کے لیے سافٹ ویئر۔ او ڈی ای کے انضمام اور تجزیہ کے لیے ایک مفت (آرٹسٹک لائسنس 2) سافٹ ویئر پیکیج۔ میٹ لیب، ایک تکنیکی کمپیوٹنگ ایپلی کیشن (میٹرکس لیبوریٹری) گنو آکٹیو، ایک اعلی سطحی زبان، بنیادی طور پر عددی حسابات کے لیے ہے۔ اسکیلاب، عددی حساب کے لیے ایک اوپن سورس ایپلی کیشن۔ میپل، علامتی حساب کے لیے ایک ملکیتی ایپلی کیشن۔ ریاضی، ایک ملکیتی ایپلی کیشن جس کا مقصد بنیادی طور پر علامتی حسابات کے لیے ہے۔ سمپی، ایک ازگر پیکیج جو او ڈی ایز کو علامتی طور پر حل کر سکتا ہے جولیا (پروگرامنگ زبان)، ایک اعلی سطحی زبان جس کا مقصد بنیادی طور پر عددی حسابات کے لیے ہے۔ سیج میتھ، ایک اوپن سورس ایپلی کیشن جو ریاضی کی کئی شاخوں پر پھیلی صلاحیتوں کی ایک وسیع رینج کے ساتھ ازگر جیسی نحو کا استعمال کرتی ہے۔ سائنس پائی، ایک ازگر پیکیج جس میں او ڈی ای انضمام ماڈیول شامل ہے۔ چیبفن، ایک اوپن سورس پیکیج، جو MATLAB میں لکھا گیا ہے، افعال کے ساتھ 15 ہندسوں کی درستگی تک کمپیوٹنگ کے لیے۔ جی این یو آر، ایک اوپن سورس کمپیوٹیشنل ماحول ہے جو بنیادی طور پر اعداد و شمار کے لیے ہے، جس میں او ڈی ای حل کرنے کے لیے پیکیجز شامل ہیں۔ باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ بھی دیکھیں تفریق مساوات کی مثالیں لیپلیس ٹرانسفارم جو تفریق مساوات پر لاگو ہوتا ہے متحرک نظاموں اور تفریق مساوات کے موضوعات کی فہرست میٹرکس تفریق مساوات غیر متعین گتانک کا طریقہ تکراری تعلق نوٹ حوالہ جات۔ پولینن، اے ڈی اور وی ایف زیتسیو، ہینڈ بک آف ایکزیکٹ سولیوشنز فار آرڈینری ڈفریٚنشل ایکویشنز (دوسرا ایڈیشن)، چیپ مین اینڈ ہال/سی آر سی پریس، بوکا ریٹن، 2003۔ ببلیوگرافی ڈبلیو جانسن، عام اور جزوی تفریقی مساوات پر ایک مقالہ، جان ولی اینڈ سنز، 1913، یونیورسٹی آف مشی گن ہسٹوریکل میتھ کلیکشن وٹولڈ ہوریوکس میں، عام تفریقی مساوات پر لیکچرز، ڈوور اشاعت،۔ اے۔ ڈی۔ پولیانن، وی۔ ایف۔ زیتسیو، اور اے۔ موسیاکس، ہینڈ بک آف فرسٹ آرڈر پارشیل ڈفریٚنشل ایکویشنز، ٹیلر اینڈ فرانسس، لندن، 2002۔ ڈی۔ زولینگر، ہینڈ بک آف ڈفریٚنشل ایکویشنز (تیسرا ایڈیشن)، اکیڈمک پریس، بوسٹن، 1997۔ بیرونی روابط ایکیو ورلڈ: ریاضیاتی مساوات کی دنیا، جس میں ان کے حل کے ساتھ عام تفریقی مساوات کی فہرست موجود ہے۔ آن لائن نوٹس/تفریقی مساوات بذریعہ پال ڈاکنز، لامار یونیورسٹی۔ تفریقی مساوات، ایس۔ او۔ ایس۔ ریاضی۔ ہولسٹک نیومریکل میتھڈز انسٹی ٹیوٹ، یونیورسٹی آف ساؤتھ فلوریڈا سے تفریقی مساوات کے تجزیاتی حل پر ایک پرائمر۔ عام تفریقی مساوات اور متحرک نظام لیکچر جیرالڈ ٹیشل کے نوٹ۔ مختلف سوالات پر نوٹ: انجینئروں کے لیے تفریقی مساوات یو آئی یو سی کے جیری لیبل کی تفریقی مساوات پر ایک تعارفی نصابی کتاب۔ اسکیلاب کا استعمال کرتے ہوئے او ڈی ای کے ساتھ ماڈلنگ اوپنیرنگ ٹیم کے ذریعہ اسکیلاب معیاری پروگرامنگ زبان کا استعمال کرتے ہوئے او ڈی ای کے ذریعہ بیان کردہ فزیکل سسٹم کا ماڈل بنانے کے بارے میں ایک سبق۔ ایک عام تفریقی مساوات کو Wolfram|Alpha تفریقی کیلکولس تفریقی مساوات میں حل کرنا