Concentration inequality
امکان کے نظریہ میں، ارتکاز کی عدم مساوات اس بات کی حدود فراہم کرتی ہیں کہ کس طرح ایک بے ترتیب متغیر کسی قدر (عام طور پر، اس کی متوقع قدر) سے ہٹ جاتا ہے۔ کلاسیکی امکانی نظریہ کی بڑی تعداد کا قانون بتاتا ہے کہ آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے، بہت ہلکے حالات میں، بڑے امکان کے ساتھ ان کی توقع کے قریب ہوتے ہیں۔ اس طرح کے مجموعے بے ترتیب متغیرات کی سب سے بنیادی مثالیں ہیں جو ان کے اوسط کے ارد گرد مرکوز ہیں۔ حالیہ نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ اس طرح کا طرز عمل آزاد بے ترتیب متغیرات کے دیگر افعال کے ذریعے مشترکہ ہے۔ ارتکاز کی عدم مساوات کو اس کے استعمال کے لیے بے ترتیب متغیر کے بارے میں کتنی معلومات کی ضرورت ہے اس کے مطابق ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ مارکوف کی عدم مساوات ایک بے ترتیب متغیر ہے جو غیر منفی (تقریبا یقینی طور پر) ہے۔ پھر، ہر مستقل کے لیے، مارکوف کی عدم مساوات کی درج ذیل توسیع کو نوٹ کریں: اگر سختی سے بڑھتا ہوا اور غیر منفی فعل ہے، تو چیبیشیف کی عدم مساوات چیبیشیف کی عدم مساوات کے لیے بے ترتیب متغیر پر درج ذیل معلومات کی ضرورت ہوتی ہے: متوقع قیمت محدود ہے۔ تغیر محدود ہے۔ پھر، ہر مستقل، یا مساوی کے لیے، کا معیاری انحراف کہاں ہے۔ چیبیشیف کی عدم مساوات کو عام کردہ مارکوف کی عدم مساوات کے ایک خاص معاملے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس کا اطلاق بے ترتیب متغیر پر ہوتا ہے۔ Vysochanskij-Petunin عدم مساوات X کو یک جہتی تقسیم کے ساتھ ایک بے ترتیب متغیر ہونے دیں، جس کا مطلب ہے μ اور محدود، غیر صفر تغیر σ2۔ پھر، کسی کے لیے (نسبتا ابتدائی ثبوت کے لیے مثال کے طور پر دیکھیں۔ )۔ یک طرفہ ویسوچانسکیج-پیٹونن عدم مساوات ایک غیر معمولی بے ترتیب متغیر کے لیے اور یک طرفہ ویسوچانسکیج-پیٹونن عدم مساوات مندرجہ ذیل ہے: پیلے-زیگمنڈ عدم مساوات کینٹیلی کی عدم مساوات گاؤس کی عدم مساوات چرنوف کی حدود عام چرنوف باؤنڈ کے لیے مومنٹ جنریٹنگ فنکشن کی ضرورت ہوتی ہے، جس کی تعریف ہمیشہ موجود ہوتی ہے، لیکن یہ لامحدود ہو سکتی ہے۔ مارکوف کی عدم مساوات سے، ہر ایک کے لیے: اور ہر ایک کے لیے: مختلف تقسیم اور پیرامیٹر کی مختلف اقدار کے لیے مختلف چرنوف حدود ہیں۔ زیادہ ارتکاز کی عدم مساوات کی تالیف کے لیے دیکھیں۔ آزاد باؤنڈڈ متغیرات کے مجموعوں پر حدود آئیے آزاد بے ترتیب متغیرات اس طرح ہوں کہ، تمام کے لیے i: تقریبا یقینی طور پر۔ ان کا مجموعہ، اس کی متوقع قیمت اور اس کا تغیر ہونے دیں: رقم اور اس کی متوقع قیمت کے درمیان فرق کو باندھنا اکثر دلچسپ ہوتا ہے۔ کئی عدم مساوات کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ 1. ہوفڈنگ کی عدم مساوات کا کہنا ہے کہ: 2. بے ترتیب متغیر مارٹنگیل کا ایک خاص معاملہ ہے، اور۔ لہذا، ازوما کی عدم مساوات کی عمومی شکل کو بھی استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس سے اسی طرح کی حد حاصل ہوتی ہے: یہ ہوفڈنگ کی عمومی شکل ہے کیونکہ یہ دیگر اقسام کے مارٹنگیلز کے ساتھ ساتھ سپر مارٹنگیلز اور سب مارٹنگیلز کو بھی سنبھال سکتی ہے۔ فین اور دیگر دیکھیں۔ (2015)۔ نوٹ کریں کہ اگر ازوما کی عدم مساوات کی آسان شکل استعمال کی جائے تو باؤنڈ میں ایکسپونینٹ 4 کے عنصر سے بدتر ہوتا ہے۔ 3. سم فنکشن، n متغیرات کے فنکشن کا ایک خاص معاملہ ہے۔ یہ فنکشن باؤنڈ طریقے سے تبدیل ہوتا ہے: اگر متغیر i کو تبدیل کیا جاتا ہے، تو f کی قدر زیادہ سے زیادہ تبدیل ہوتی ہے۔ لہذا، میکڈیرمڈ کی عدم مساوات کو بھی استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس سے ایک جیسی حد حاصل ہوتی ہے: یہ ہوفڈنگ کی ایک مختلف عمومی شکل ہے کیونکہ یہ سم فنکشن کے علاوہ دیگر افعال کو سنبھال سکتی ہے، جب تک کہ وہ پابند انداز میں تبدیل ہوں۔ 4. بینیٹ کی عدم مساوات ہوفڈنگ کے مقابلے میں کچھ بہتری پیش کرتی ہے جب خلاصہ کے تغیرات ان کی تقریبا یقینی حدود سی کے مقابلے میں چھوٹے ہوتے ہیں۔ یہ کہتا ہے کہ: جہاں 5۔ برنسٹین کی عدم مساوات میں سے پہلی کا کہنا ہے کہ: یہ ہوفڈنگ کی عمومی شکل ہے کیونکہ یہ بے ترتیب متغیرات کو نہ صرف تقریبا یقینی پابند بلکہ تقریبا یقینی پابند اور تغیر پابند دونوں کے ساتھ سنبھال سکتا ہے۔ 6. چونکہ آزاد متغیرات کے مجموعے کے معاملے میں چرنوف حدود کی ایک خاص طور پر آسان شکل ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ متغیرات مطمئن ہیں۔ پھر ہمارے پاس نچلی دم کی عدم مساوات ہے: اگر مطمئن ہو تو، ہمارے پاس اوپری دم کی عدم مساوات ہے: اگر یہ ہے، اور اس کا تغیر ہے، تو چرنوف عدم مساوات کا ایک عام ورژن ہے: 7۔ اسی طرح کی حدود میں پایا جا سکتا ہے: ریڈماچر distribution#Bounds جملوں پر ایفرون-اسٹین عدم مساوات ایفرون-اسٹین عدم مساوات (یا عدم مساوات کو متاثر کرتی ہے، یا ایم جی تغیر پر پابند ہے) کسی عمومی فعل کے تغیر کو محدود کرتی ہے۔ فرض کریں کہ، سب کے ساتھ آزاد ہیں اور سب کے لیے یکساں تقسیم رکھتے ہیں۔ اس کے بعد ایک ثبوت مثال کے طور پر مل سکتا ہے۔ بریٹگنول-ہیوبر-کیرول عدم مساوات کثیر الجہتی تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے ویکٹر اور متوقع اقدار کے ویکٹر کے درمیان فرق کو محدود کرتی ہے۔ ایک سادہ ثبوت (ضمیمہ سیکشن) میں ظاہر ہوتا ہے۔ اگر ایک بے ترتیب ویکٹر پیرامیٹرز کے ساتھ کثیر الجہتی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے اور مطمئن ہوتا ہے تو یہ عدم مساوات کل تغیر کے فاصلے کو پابند کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ میسن اور وین زوئیٹ کی عدم مساوات کثیر الجہتی بے ترتیب ویکٹرز کے لیے میسن اور وین زوئیٹ کی عدم مساوات کلاسیکی چی مربع کے اعداد و شمار میں معمولی ترمیم سے متعلق ہے۔ بے ترتیب ویکٹر کو پیرامیٹرز کے ساتھ کثیر الجہتی طور پر تقسیم کیا جائے اور اس طرح کہ ہر ایک کے لیے ایسے مستقلات موجود ہیں جو سب کے لیے اور اطمینان بخش ہیں اور ہمارے پاس ڈوورٹزکی-کیفر-وولفوٹز عدم مساوات ہے۔ ڈوورٹزکی-کیفر-وولفوٹز عدم مساوات حقیقی اور تجرباتی مجموعی تقسیم فنکشن کے درمیان فرق کو محدود کرتی ہے۔ قدرتی نمبر کو دیکھتے ہوئے، مجموعی تقسیم فنکشن F (·) کے ساتھ حقیقی قدر والے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات ہونے دیں۔ تو یہ امکان ہے کہ ایک واحد بے ترتیب متغیر اس سے چھوٹا ہے، اور بے ترتیب متغیرات کی اوسط تعداد ہے جو اس سے چھوٹے ہیں۔ پھر مخالف ارتکاز عدم مساوات مخالف ارتکاز عدم مساوات، دوسری طرف، اس بات کی ایک اوپری حد فراہم کرتی ہیں کہ بے ترتیب متغیر کسی مقدار کے ارد گرد کتنا توجہ مرکوز کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، راؤ اور یہودایف ظاہر کرتے ہیں کہ کچھ ایسی چیزیں موجود ہیں جو ہائپر کیوب کی زیادہ تر سمتوں کے لیے درج ذیل درست ہیں: جہاں کافی بڑے سائز کے ذیلی سیٹ سے یکساں طور پر کھینچا جاتا ہے۔ اس طرح کی عدم مساوات کئی شعبوں میں اہمیت کی حامل ہیں، بشمول مواصلاتی پیچیدگی (مثال کے طور پر، گیپ ہیمنگ کے مسئلے کے ثبوت میں) اور گراف تھیوری۔ پالے-زیگمنڈ اور کھنچائن عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے آزاد ریڈماچر بے ترتیب متغیرات کے وزن والے مجموعوں کے لیے ایک دلچسپ مخالف ارتکاز عدم مساوات حاصل کی جا سکتی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط کارتک سریدھرن، "ارتکاز کی عدم مساوات کا ایک نرم تعارف"-کارنیل یونیورسٹی ممکنہ عدم مساوات