Q-Gaussian distribution
ق-گوسیئن ایک امکان کی تقسیم ہے جو مناسب رکاوٹوں کے تحت سیلیس اینٹروپی کو زیادہ سے زیادہ کرنے سے پیدا ہوتی ہے۔ یہ Tsallis کی تقسیم کی ایک مثال ہے۔ ق-گوسیئن اسی طرح گوسیئن کی عمومی شکل ہے جس طرح سیلیس اینٹروپی معیاری بولٹزمین-گبس اینٹروپی یا شینن اینٹروپی کی عمومی شکل ہے۔ عام تقسیم کو q → 1 کے طور پر بازیافت کیا جاتا ہے۔ کیو-گوسیئن کا اطلاق شماریاتی میکانکس، ارضیات، اناٹومی، فلکیات، معاشیات، مالیات اور مشین لرننگ کے شعبوں میں مسائل پر کیا گیا ہے۔ تقسیم اکثر 1 <q <3 کے لیے گوسیئن کے مقابلے میں اس کی بھاری دم کے لیے پسند کی جاتی ہے۔ ق-گوسیائی تقسیم کے لیے ایک باؤنڈڈ بے ترتیب متغیر کی پی ڈی ایف ہے۔ یہ حیاتیات اور دیگر شعبوں میں ق-گوسیائی تقسیم کو گوسیائی تقسیم سے زیادہ موزوں بناتا ہے تاکہ بیرونی سٹوکاسٹیٹی کے اثر کو نمونہ بنایا جا سکے۔ 2008 میں کلاسیکی مرکزی حد تھیوریم کا ایک عمومی ق-اینالاگ تجویز کیا گیا تھا، جس میں آزادی کی رکاوٹ یعنی ڈی۔ متغیرات کو اس حد تک نرمی دی جاتی ہے جس کی وضاحت q پیرامیٹر کے ذریعہ کی جاتی ہے، جس میں آزادی کو q → 1 کے طور پر بازیافت کیا جاتا ہے۔ تاہم، اس طرح کے نظریہ کا ثبوت اب بھی موجود نہیں ہے۔ بھاری دم والے علاقوں میں، تقسیم طالب علم کی ٹی تقسیم کے برابر ہے جس میں q اور ڈگری آف فریڈم کے درمیان براہ راست نقشہ سازی ہوتی ہے۔ ان تقسیموں میں سے کسی ایک کا استعمال کرنے والا پریکٹیشنر اسی تقسیم کو دو مختلف طریقوں سے پیرامیٹرائز کر سکتا ہے۔ ق-گوسیائی شکل کا انتخاب اس صورت میں پیدا ہو سکتا ہے جب نظام غیر وسیع ہو، یا اگر چھوٹے نمونوں کے سائز سے تعلق کی کمی ہو۔ خصوصیت امکان کثافت فنکشن معیاری q-گوسیئن میں امکان کثافت فنکشن ہے جہاں q-ایکسپونینشل ہے اور معمول کا عنصر نوٹ کے ذریعہ دیا گیا ہے کہ q-گوسیئن تقسیم کے لیے ایک باؤنڈڈ بے ترتیب متغیر کا پی ڈی ایف ہے۔ مجموعی کثافت فنکشن کے لیے ہائپر جیومیٹرک فنکشن کہاں ہے۔ چونکہ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے لیکن x لامحدود ہے، اس لیے پیفاف ٹرانسفارمیشن کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جس طرح نارمل ڈسٹری بیوشن پہلے لمحے اور دوسرے لمحے کی فکسڈ ویلیوز کے لیے زیادہ سے زیادہ انفارمیشن اینٹروپی ڈسٹری بیوشن ہے (فکسڈ زیروتھ مومنٹ کے ساتھ جو نارملائزیشن کی حالت سے مطابقت رکھتا ہے)، اسی طرح q-گوسیئن ڈسٹری بیوشن ان تین لمحات کی فکسڈ ویلیوز کے لیے زیادہ سے زیادہ Tsallis اینٹروپی ڈسٹری بیوشن ہے۔ متعلقہ تقسیم طالب علم کی ٹی تقسیم اگرچہ اسے اینٹروپی کی ایک دلچسپ متبادل شکل کے ذریعے جائز قرار دیا جا سکتا ہے، لیکن شماریاتی طور پر یہ طالب علم کی ٹی تقسیم کا ایک چھوٹا سا ریپارامیٹریزیشن ہے جسے 1908 میں ڈبلیو گوسیٹ نے چھوٹے نمونے کے اعداد و شمار کو بیان کرنے کے لیے متعارف کرایا تھا۔ گوسیٹ کی اصل پیشکش میں ڈگری آف فریڈم پیرامیٹر ν کو نمونے کے سائز سے متعلق ایک مثبت عدد کے طور پر محدود کیا گیا تھا، لیکن یہ آسانی سے مشاہدہ کیا جاتا ہے کہ گوسیٹ کی کثافت فنکشن ν کی تمام حقیقی اقدار کے لیے درست ہے۔ اسکیلڈ ریپرامیٹریزیشن متبادل پیرامیٹرز q اور β متعارف کراتی ہے جو ν سے متعلق ہیں۔ ν ڈگری آف فریڈم کے ساتھ طالب علم کی t-تقسیم کو دیکھتے ہوئے، مساوی q-گوسیئن کا الٹا ہوتا ہے جب بھی، فنکشن محض طالب علم کی t-تقسیم کا ایک چھوٹا ورژن ہوتا ہے۔ بعض اوقات یہ استدلال کیا جاتا ہے کہ تقسیم طالب علم کی ٹی تقسیم کو منفی اور یا غیر عدد ڈگری آف فریڈم میں عام کرنا ہے۔ تاہم، طالب علم کی ٹی تقسیم کا نظریہ آزادی کی تمام حقیقی ڈگریوں تک معمولی طور پر پھیلا ہوا ہے، جہاں تقسیم کی حمایت ν <0 کے معاملے میں اب لامحدود کے بجائے کمپیکٹ ہے۔ تین پیرامیٹر ورژن جیسا کہ صفر پر مرکوز بہت سی تقسیموں کے ساتھ، ق-گوسیئن کو محل وقوع کے پیرامیٹر کو شامل کرنے کے لیے معمولی طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد کثافت کی وضاحت بے ترتیب انحراف پیدا کرکے کی جاتی ہے۔ باکس مولر ٹرانسفارم کو عام کیا گیا ہے تاکہ ق-گوسیوں سے بے ترتیب نمونے لینے کی اجازت دی جا سکے۔ معیاری باکس مولر تکنیک مندرجہ ذیل فارم کی مساوات سے آزاد عام طور پر تقسیم شدہ متغیرات کے جوڑے تیار کرتی ہے۔ عمومی باکس مولر تکنیک ق-گوسیائی انحراف کے جوڑے پیدا کر سکتی ہے جو آزاد نہیں ہیں۔ عملی طور پر، یکساں طور پر تقسیم شدہ متغیرات کے جوڑے سے صرف ایک انحراف پیدا ہوگا۔ مندرجہ ذیل فارمولا مخصوص پیرامیٹر q کے ساتھ q-گوسیئن سے انحراف پیدا کرے گا اور q-لوگارتھم کہاں ہے اور ان انحراف کو ایپلی کیشنز فزکس کے ذریعہ صوابدیدی q-گوسیئن سے انحراف پیدا کرنے کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ اختلاط نظری جالی میں ٹھنڈے ایٹموں کی رفتار کی تقسیم ایک q-گوسیئن ہے۔ ق-گاؤسی تقسیم کو دو قوتوں کے تابع کسی بڑے پیمانے کی یک جہتی حرکت کی پوزیشن کے غیر علامتی امکان کثافت فعل کے طور پر بھی حاصل کیا جاتا ہے: اس قسم کی ایک تعیناتی قوت (ایک لامحدود ممکنہ کنویں کا تعین) اور ایک اسٹاکسٹک سفید شور قوت، جہاں ایک سفید شور ہے۔ نوٹ کریں کہ اوور ڈیمپڈ/چھوٹے بڑے پیمانے پر تخمینہ میں مذکورہ بالا کنورجنس ناکام ہو جاتا ہے، جیسا کہ حال ہی میں دکھایا گیا ہے۔ نیویارک اسٹاک ایکسچینج، نیس ڈیک اور دوسری جگہوں پر مالیاتی واپسی کی تقسیم کو ق-گوسیئن کے طور پر تعبیر کیا گیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ کانسٹینٹو سیلیس سیلیس کے اعداد و شمار سیلیس اینٹروپی سیلیس ڈسٹری بیوشن ق-ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن ق-گوسیئن پروسیس نوٹس مزید پڑھنا جونیپر، جے۔ (2007)، سینٹر آف فل ایمپلائمنٹ اینڈ ایکویٹی، دی یونیورسٹی آف نیو کیسل، آسٹریلیا بیرونی روابط سیلیس شماریات، غیر وسیع نظاموں کے لیے شماریاتی میکانکس اور لانگ رینج انٹرایکشنز شماریاتی میکانکس مسلسل تقسیم غیر لامحدود تغیرات کے ساتھ امکان کی تقسیم