Zero to the power of zero
صفر سے صفر کی طاقت، جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے، ایک ریاضیاتی اظہار ہے جسے سیاق و سباق کے لحاظ سے یا تو 1 کے طور پر بیان کیا جاتا ہے یا غیر متعین چھوڑ دیا جاتا ہے۔ الجبرا اور کمبینٹوریکس میں، ایک عام طور پر وضاحت کرتا ہے۔ ریاضیاتی تجزیے میں، اظہار کو بعض اوقات غیر متعین چھوڑ دیا جاتا ہے۔ کمپیوٹر پروگرامنگ زبانوں اور سافٹ ویئر میں بھی اس اظہار کو سنبھالنے کے مختلف طریقے ہیں۔ متفرق متغیرات قدرتی تعداد کے متغیرات پر مشتمل بہت سے وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والے فارمولوں کو اس طرح بیان کرنے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، کی درج ذیل تین تشریحات اتنی ہی معنی رکھتی ہیں جتنی وہ مثبت عددوں کے لیے کرتی ہیں: ایک خالی پروڈکٹ کے طور پر کی تشریح اسے قدر تفویض کرتی ہے۔ کی مشترکہ تشریح ایک-عنصر سیٹ سے عناصر کے 0-ٹپل کی تعداد ہے۔ بالکل ایک 0-ٹپل ہے۔ کی سیٹ تھیوریٹک تشریح خالی سیٹ سے لے کر عنصر سیٹ تک افعال کی تعداد ہے۔ بالکل ایسا ہی ایک فنکشن ہے، یعنی خالی فنکشن۔ یہ تینوں دینے میں مہارت رکھتے ہیں۔ کثیر الجہتی اور پاور سیریز کثیر الجہتی کا اندازہ کرتے وقت، اس کی تعریف کرنا آسان ہے۔ ایک (حقیقی) کثیر الجہتی شکل کا ایک اظہار ہے، جہاں ایک غیر متعین ہے، اور گتانک حقیقی اعداد ہیں۔ کثیر الجہتی کو اصطلاح کے لحاظ سے شامل کیا جاتا ہے، اور تقسیم کے قانون اور متغیرات کے لیے معمول کے قوانین کو لاگو کرکے ضرب دی جاتی ہے۔ ان کارروائیوں کے ساتھ، کثیر الجہتی ایک رنگ بناتے ہیں۔ کی ضرب شناخت کثیر الجہتی ہے ؛ یعنی، اوقات کوئی بھی کثیر الجہتی منصفانہ ہے۔ نیز، کثیر الجہتی کا اندازہ حقیقی تعداد میں مہارت حاصل کر کے کیا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، کسی بھی دی گئی حقیقی تعداد کے لیے، ایک منفرد یونٹل-الجبرا ہومومورفزم ہوتا ہے۔ کیونکہ یکجا ہے۔ یعنی ہر حقیقی عدد کے لیے، بشمول 0۔ یہی دلیل کسی بھی رنگ سے تبدیل ہونے پر لاگو ہوتی ہے۔ بہت سی کثیر الجہتی شناختوں کے لیے تعریف ضروری ہے۔ مثال کے طور پر، بائنومیل تھیوریم صرف اگر کے لیے ہے۔ اسی طرح، پاور سیریز کے رنگوں کی تمام تخصصات کے لیے 1 کے طور پر تعریف کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، شناختوں کو صرف اس صورت میں پسند کیا جاتا ہے اور برقرار رکھا جاتا ہے۔ کثیر الجہتی کے لیے مسلسل فنکشن کی وضاحت کرنے کے لیے، کسی کو اس کی وضاحت کرنی چاہیے۔ کیلکولس میں، پاور رول صرف اگر کے لیے درست ہے۔ الجبرائی کارروائیوں میں شامل حدود کا اندازہ اکثر ذیلی تاثرات کو ان کی حدود سے تبدیل کر کے کیا جا سکتا ہے۔ اگر نتیجہ خیز اظہار اصل حد کا تعین نہیں کرتا ہے، تو اظہار کو غیر متعین شکل کے طور پر جانا جاتا ہے۔ اظہار ایک غیر متعین شکل ہے: حقیقی قدر والے افعال کو دیکھتے ہوئے اور قریب آتے ہوئے (جیسا کہ ایک حقیقی نمبر کے قریب آتا ہے یا) کے ساتھ، کی حد کوئی غیر منفی حقیقی نمبر ہو سکتی ہے یا، یا یہ اور کے لحاظ سے مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، نیچے دی گئی ہر حد میں (یک طرفہ حد) کے ساتھ ایک فنکشن شامل ہے، لیکن ان کی اقدار مختلف ہیں: اس طرح، دو متغیر فنکشن، اگرچہ سیٹ پر مسلسل ہے، اسے مسلسل فنکشن تک نہیں بڑھایا جا سکتا، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کوئی کس طرح تعریف کرنے کا انتخاب کرتا ہے۔ دوسری طرف، اگر اور کسی نمبر کے کھلے پڑوس پر تجزیاتی افعال ہیں، تو جب کسی بھی طرف سے مثبت آتا ہے۔ فنکشن کے محدود رویے کا مطالعہ کرکے یہ اور زیادہ عمومی نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ کمپلیکس ایکسپوینٹس کمپلیکس ڈومین میں، فنکشن کو نان زیرو کے لیے برانچ کا انتخاب کرکے اور اس کی وضاحت کرکے بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس کی وضاحت نہیں ہوتی ہے کیونکہ اس کی کوئی شاخ نہیں ہے جس کی وضاحت کی گئی ہے، پڑوس میں رہنے دیں۔ تاریخ بطور قدر 1752 میں، اویلر نے انٹروڈکٹو ان اینالائسین انفینیٹورم میں لکھا اور واضح طور پر اس کا ذکر کیا۔ اویلر کی کتاب انسٹی ٹیوشنز کیلکولی ڈفریٚنشل کے 1787 کے ایڈیشن میں ماسچیرونی سے منسوب ایک تشریح نے "جواز" کے ساتھ ساتھ ایک اور زیادہ شامل جواز پیش کیا۔ 1830 کی دہائی میں، لبری نے اس دعوے کو درست ثابت کرنے کی کوشش میں کئی مزید دلائل شائع کیے، حالانکہ یہ قائل کرنے سے بہت دور تھے، یہاں تک کہ اس وقت کے سختی کے معیارات کے لحاظ سے بھی۔ ایک محدود فارم کے طور پر، یولر نے ترتیب دیتے وقت، ذکر کیا کہ اس کے نتیجے میں فنکشن کی اقدار "بہت بڑی چھلانگ" لیتی ہیں، کے لیے، سے، کے لیے۔ 1814 میں، فاف نے اسے ثابت کرنے کے لیے ایک سکویز تھیوریم دلیل کا استعمال کیا۔ دوسری طرف، 1821 میں کاچی نے وضاحت کی کہ کیوں مثبت اعداد اور نقطہ نظر کی حد کو کسی مقررہ تعلق سے محدود کرتے ہوئے اور اس کے درمیان کسی بھی قدر کو مناسب طریقے سے منتخب کرکے فرض کیا جا سکتا ہے۔ انہوں نے نتیجہ اخذ کیا کہ کسی مخصوص رکاوٹ کے بغیر مکمل دو متغیر فنکشن کی حد "غیر متعین" ہے۔ اس جواز کے ساتھ، انہوں نے غیر متعین شکلوں کی میز جیسے تاثرات کے ساتھ درج کیا۔ بظاہر کاچی کے کام سے بے خبر، موبیئس نے 1834 میں، فاف کی دلیل کی بنیاد پر، غلط دعوی کیا کہ جب بھی کسی نمبر کے قریب آتا ہے (ممکنہ طور پر اس سے مثبت سمجھا جاتا ہے)۔ موبیئس نے کیس کو کم کر دیا، لیکن پھر یہ فرض کرنے کی غلطی کی کہ ہر ایک اور کسی مسلسل فنکشن کے غائب نہ ہونے اور کچھ غیر منفی عدد کی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، جو تجزیاتی افعال کے لیے درست ہے، لیکن عام طور پر نہیں۔ ایک گمنام مبصر نے اس بلاجواز اقدام کی طرف اشارہ کیا ؛ پھر ایک اور مبصر جس نے اپنے نام پر صرف "ایس" کے طور پر دستخط کیے تھے، نے واضح جوابی مثالیں فراہم کیں اور اس صورت حال کا اظہار کرتے ہوئے لکھا کہ "بہت سی مختلف اقدار ہو سکتی ہیں"۔ موجودہ صورتحال کچھ مصنفین اس کی تعریف اس لیے کرتے ہیں کیونکہ یہ بہت سے نظریہ بیانات کو آسان بناتا ہے۔ بینسن (1999) کے مطابق، "وضاحت کرنے کا انتخاب سہولت پر مبنی ہے، درستگی پر نہیں۔ اگر ہم وضاحت کرنے سے گریز کرتے ہیں، تو کچھ دعوے غیر ضروری طور پر عجیب ہو جاتے ہیں۔ ۔ اتفاق رائے تعریف کا استعمال کرنا ہے، حالانکہ ایسی نصابی کتابیں ہیں جو وضاحت کرنے سے گریز کرتی ہیں۔ " نوتھ (1992) زیادہ مضبوطی سے دعوی کرتا ہے کہ "ہونا چاہیے" ؛ وہ قدر، جو برابر ہونی چاہیے، اور محدود شکل (جہاں کی حد کے لیے ایک مخفف) کے درمیان فرق کرتا ہے، جو ایک غیر متعین شکل ہے: "کاچی اور لبری دونوں صحیح تھے، لیکن لبری اور اس کے محافظوں کو یہ سمجھ نہیں آیا کہ سچائی ان کے ساتھ کیوں تھی۔" دوسرے مصنفین غیر متعین چھوڑ دیتے ہیں کیونکہ یہ ایک غیر متعین شکل ہے: اس کا مطلب نہیں ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ کوئی مصنف 1 کے علاوہ کوئی مخصوص قدر تفویض نہیں کرتا ہے۔ آئی ای ای ای فلوٹنگ پوائنٹ معیار زیادہ تر فلوٹنگ پوائنٹ لائبریریوں کے ڈیزائن میں آئی ای ای ای 754-2008 فلوٹنگ پوائنٹ معیار استعمال ہوتا ہے۔ یہ پاور کی کمپیوٹنگ کے لیے متعدد کارروائیوں کی سفارش کرتا ہے: پاون (جس کا ایکسپونینٹ ایک انٹیجر ہے) جیسا کہ سمجھا جاتا ہے ؛ دیکھیں۔ پاو (جس کا ارادہ غیر این اے این نتیجہ واپس کرنا ہے جب ایکسپونینٹ ایک انٹیجر ہوتا ہے، جیسے پاون) کے طور پر مانا جاتا ہے۔ غیر متعین شکل کی وجہ سے پوور NaN (ناٹ-اے-نمبر) کے طور پر مانتا ہے۔ دیکھیں۔ پاؤ ورژن بنیادی طور پر مطابقت کے لیے C99 کے پاؤ فنکشن سے متاثر ہے۔ یہ زیادہ تر واحد پاور فنکشن والی زبانوں کے لیے مفید ہے۔ پاور فنکشنز کے متضاد استعمال اور مختلف نقطہ نظر (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) کی وجہ سے پاون اور پاور کی مختلف قسمیں متعارف کرائی گئی ہیں۔ پروگرامنگ زبانیں سی اور سی + + معیارات (ڈومین کی غلطی ہو سکتی ہے) کے نتیجے کی وضاحت نہیں کرتے ہیں۔ لیکن C کے لیے، C99 کے طور پر، اگر معیاری ضمیمہ F کی حمایت کی جاتی ہے، تو حقیقی فلوٹنگ پوائنٹ کی اقسام کا نتیجہ ہونا ضروری ہے کیونکہ ایسی اہم ایپلی کیشنز ہیں جن کے لیے یہ قدر NaN سے زیادہ مفید ہے (مثال کے طور پر، مجرد متغیرات کے ساتھ) ؛ پیچیدہ اقسام پر نتیجہ متعین نہیں کیا جاتا ہے، چاہے معلوماتی ضمیمہ G کی حمایت کی گئی ہو۔ جاوا کا معیار،. NET فریم ورک کا طریقہ System.Math.Pow، جولیا، اور ازگر بھی ایسا ہی مانتے ہیں۔ کچھ زبانیں دستاویز کرتی ہیں کہ ان کا ایکسپوینٹیشن آپریشن سی ریاضیاتی لائبریری کے پاؤ فنکشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ لوا اور پرل کے * * آپریٹر کا معاملہ ہے (جہاں یہ واضح طور پر ذکر کیا گیا ہے کہ 0 * * 0 کا نتیجہ پلیٹ فارم پر منحصر ہے)۔ ریاضیاتی اور سائنسی سافٹ ویئر اے پی ایل، آر، اسٹیٹا، سیج میتھ، میٹ لیب، میگما، جی اے پی، سنگلر، پی اے آر آئی/جی پی، اور جی این یو آکٹیو کا جائزہ لیتے ہیں۔ ریاضی اور میکسیما آسان بن جاتے ہیں یہاں تک کہ اگر کوئی رکاوٹیں نہیں رکھی جاتی ہیں ؛ تاہم، اگر براہ راست درج کیا جاتا ہے، تو اسے غلطی یا غیر متعین سمجھا جاتا ہے۔ سیج میتھ آسان نہیں کرتا ہے۔ میپل، میتھمیٹکا اور پی اے آر آئی/جی پی انٹیجر اور فلوٹنگ پوائنٹ ویلیوز کے درمیان مزید فرق کرتے ہیں: اگر ایکسپونینٹ انٹیجر ٹائپ کا صفر ہے، تو وہ بیس کی قسم کا a واپس کرتے ہیں۔ ویلیو صفر کے فلوٹنگ پوائنٹ ایکسپونینٹ کے ساتھ ایکسپونینٹیشن کو غیر متعین، غیر متعین یا غلطی سمجھا جاتا ہے۔ 0/0 حوالہ جات بیرونی لنکس sci.math عمومی سوالات: کیا ہے؟ (صفر سے صفر کی طاقت) کس چیز کے برابر ہے؟ پر AskAMathematician.com متغیر ریاضیاتی تجزیہ کمپیوٹر ریاضی کمپیوٹر کی غلطیاں 0 (نمبر) سافٹ ویئر بے ضابطگیاں 1 (نمبر)