Donaldson–Thomas theory
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی جیومیٹری، ڈونلڈسن تھامس تھیوری ڈونلڈسن تھامس غیر متغیرات کا نظریہ ہے۔ کالابی-یو تین گنا پر شیوز کی ایک کمپیکٹ ماڈیولی جگہ کو دیکھتے ہوئے، اس کا ڈونلڈسن-تھامس غیر متغیر اس کے پوائنٹس کا ورچوئل نمبر ہے، یعنی ورچوئل بنیادی کلاس کے خلاف کوہمولوجی کلاس 1 کا لازمی حصہ ہے۔ ڈونلڈسن تھامس غیر متغیر کیسن غیر متغیر کا ایک ہولومورفک ینالاگ ہے۔ غیر متغیرات کو متعارف کرایا گیا تھا۔ ڈونلڈسن تھامس غیر متغیرات کا الجبرائی تین فولڈوں کے گروموف وٹن غیر متغیرات اور راہول پنڈاریپانڈے اور تھامس کی وجہ سے مستحکم جوڑوں کے نظریہ سے قریبی تعلق ہے۔ ڈونلڈسن تھامس کا نظریہ جسمانی طور پر کچھ بی پی ایس ریاستوں سے متاثر ہوتا ہے جو سٹرنگ اور گیج تھیوری پی جی 5 میں پائے جاتے ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ غیر متغیرات کا انحصار مطالعہ کیے جانے والے ماڈیولی خالی جگہوں کے ماخوذ زمرے پر استحکام کی حالت پر ہوتا ہے۔ بنیادی طور پر، یہ استحکام کے حالات کالابی-یو کئی گنا کی کیلر ماڈیولی جگہ کے نکات سے مطابقت رکھتے ہیں، جیسا کہ آئینے کی ہم آہنگی میں سمجھا جاتا ہے، اور اس کے نتیجے میں ذیلی زمرہ متعلقہ ایس سی ایف ٹی کے لیے بی پی ایس ریاستوں کا زمرہ ہے۔ تعریف اور مثالیں گروموف وٹن غیر متغیرات کا بنیادی خیال ریمن کی سطحوں سے ہموار ہدف تک کے فرضی ہولومورفک نقشوں کا مطالعہ کرکے خلا کی جیومیٹری کی تحقیقات کرنا ہے۔ اس طرح کے تمام نقشوں کا ماڈیولی اسٹیک ایک ورچوئل بنیادی کلاس کو تسلیم کرتا ہے، اور اس اسٹیک پر انٹرسیکشن تھیوری عددی غیر متغیرات پیدا کرتی ہے جو اکثر عددی معلومات پر مشتمل ہوسکتی ہے۔ اسی طرح کی روح میں، ڈونلڈسن تھامس تھیوری کا نقطہ نظر الجبرائی میں منحنی خطوط کا ان کی مساوات کے ذریعے تین گنا مطالعہ کرنا ہے۔ زیادہ درست طریقے سے، کسی جگہ پر مثالی شیوز کا مطالعہ کرکے۔ یہ ماڈیولی جگہ ایک ورچوئل بنیادی کلاس کو بھی تسلیم کرتی ہے اور کچھ عددی غیر متغیرات پیدا کرتی ہے جو عددی ہیں۔ جبکہ گروموف وٹن تھیوری میں، نقشوں کو ڈومین وکر کے متعدد کور اور منہدم اجزاء ہونے کی اجازت ہے، ڈونلڈسن تھامس تھیوری شیوز میں موجود نیلپوٹنٹ معلومات کی اجازت دیتی ہے، تاہم، یہ انٹیجر ویلیوڈ غیر متغیر ہیں۔ ڈیوش مولک، آندرے اوکونکوف، نکیتا نیکراسوف اور راہول پنڈاریپانڈے کی وجہ سے گہرے قیاس آرائیاں ہیں، جو بڑھتی ہوئی عامیت میں ثابت ہوئیں کہ الجبرائی تین فولڈوں کے گروموف وٹن اور ڈونلڈسن تھامس کے نظریات دراصل مساوی ہیں۔ زیادہ ٹھوس طور پر، متغیرات کی مناسب تبدیلی کے بعد ان کے پیدا کرنے والے افعال برابر ہوتے ہیں۔ کالابی-یو تھری فولڈز کے لیے، ڈونلڈسن-تھامس غیر متغیرات کو ماڈیولی اسپیس پر وزن والے اویلر کی خصوصیت کے طور پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ ان غیر متغیرات، محرک ہال الجبرا، اور کوانٹم ٹورس پر افعال کی انگوٹی کے درمیان حالیہ روابط بھی رہے ہیں۔ کوئنٹک تین گنا پر لائنوں کی ماڈیولی جگہ 2875 پوائنٹس کا ایک مجرد مجموعہ ہے۔ پوائنٹس کا ورچوئل نمبر پوائنٹس کی اصل تعداد ہے، اور اس لیے اس ماڈیولی اسپیس کا ڈونلڈسن تھامس غیر متغیر عدد 2875 ہے۔ اسی طرح کونکس کی ماڈیولی جگہ کا ڈونلڈسن تھامس غیر متغیر 609250 ہے۔ تعریف کالابی-یو تین گنا اور ایک فکسڈ کوہمولوجی کلاس کے لیے چرن کردار کے ساتھ مربوط شیوز کا ایک وابستہ ماڈیولی اسٹیک ہے۔ عام طور پر، یہ لامحدود قسم کا ایک غیر الگ شدہ آرٹن اسٹیک ہے جس پر عددی غیر متغیرات کی وضاحت کرنا مشکل ہے۔ اس کے بجائے، ایسے مربوط شیوز کو پیرامیٹرائز کرنے والے کھلے سب اسٹیکس ہوتے ہیں جن پر استحکام کی شرط عائد ہوتی ہے، یعنی۔ - مستحکم چھلکے۔ ان ماڈیولی اسٹیکوں میں بہت اچھی خصوصیات ہوتی ہیں، جیسے کہ محدود قسم سے الگ ہونا۔ واحد تکنیکی دشواری یہ ہے کہ ان میں فکسڈ شیف کی اخترتی کی رکاوٹوں کے وجود کی وجہ سے خراب انفرادیت ہوسکتی ہے۔ خاص طور پر اب کیونکہ کالابی-یو ہے، سیر دوہری کا مطلب ہے جو طول و عرض 0 کا ایک کامل رکاوٹ نظریہ دیتا ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب ہومیولوجیکل ڈگری میں متعلقہ ورچوئل بنیادی کلاسس ہے۔ اس کے بعد ہم ڈی ٹی غیر متغیر کی وضاحت کر سکتے ہیں جو استحکام کی حالت اور کوہمولوجی کلاس پر منحصر ہے۔ تھامس نے ثابت کیا کہ ایک ہموار خاندان کے لیے اوپر بیان کردہ غیر متغیر تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ ابتدا میں محققین نے گیسیکر استحکام کی حالت کا انتخاب کیا، لیکن حالیہ برسوں میں دیگر ڈی ٹی-متغیرات کا مطالعہ دیگر استحکام کے حالات کی بنیاد پر کیا گیا ہے، جس کی وجہ سے دیوار کو عبور کرنے کے فارمولے سامنے آئے ہیں۔ حقائق ماڈیولی اسپیس M کا ڈونلڈسن تھامس غیر متغیر M کی وزن والی اویلر خصوصیت کے برابر ہے۔ وزن کی تقریب M میں ہر نقطہ سے وابستہ ہے جو ہائپرپلین انفرادیت کے ملنور نمبر کا ایک ینالاگ ہے۔ شیوز کے ماڈیولی خالی جگہوں کے بجائے، ماڈیولی خالی جگہوں کو ماخوذ زمرہ اشیاء کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اس سے پنڈھاریپانڈے-تھامس غیر متغیرات ملتے ہیں جو کالابی-یو کے مستحکم جوڑوں کو 3 گنا گنتے ہیں۔ انٹیجر ویلیوڈ غیر متغیرات کے بجائے، کوئی محرک غیر متغیرات پر غور کرتا ہے۔ عددی جیومیٹری گروموف وٹن غیر متغیر ہلبرٹ اسکیم کوانٹم کوہمولوجی حوالہ جات الجبرائی جیومیٹری سٹرنگ تھیوری بھی دیکھیں۔