Riemann invariant
ریمن غیر متغیر ریاضیاتی تبدیلیاں ہیں جو تحفظ مساوات کے نظام پر بنائی گئی ہیں تاکہ انہیں زیادہ آسانی سے حل کیا جا سکے۔ ریمن غیر متغیر جزوی تفریقی مساوات کے خصوصیت والے منحنی خطوط کے ساتھ مستقل ہوتے ہیں جہاں وہ نام غیر متغیر حاصل کرتے ہیں۔ انہیں سب سے پہلے برن ہارڈ ریمن نے گیس ڈائنامکس میں طیارہ لہروں پر اپنے کام میں حاصل کیا تھا۔ ریاضیاتی نظریہ تحفظ مساوات کے مجموعے پر غور کریں: میٹرکس کے عناصر کہاں ہیں اور کہاں ہیں اور ویکٹر کے عناصر کہاں ہیں۔ یہ پوچھا جائے گا کہ کیا اس مساوات کو دوبارہ لکھنا ممکن ہے۔ ایسا کرنے کے لیے منحنی خطوط کو ویکٹر فیلڈ کے ذریعے متعین کردہ سطح میں متعارف کرایا جائے گا۔ بریکٹ میں موجود اصطلاح کو کل مشتق کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جائے گا جہاں آخری دو مساوات کا موازنہ کرتے ہوئے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے جو ہمیں ملتی ہیں جنہیں اب خصوصیت کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے جہاں ہمارے پاس وہ شرائط ہونی چاہئیں جہاں ضروری شرط دینے کے لیے اسے ختم کیا جا سکتا ہے لہذا ایک غیر معمولی حل تعین کنندہ ہے۔ ریمن غیر متغیرات کے لیے ہم اس معاملے سے متعلق ہیں جب میٹرکس ایک شناختی میٹرکس ہوتا ہے تو نوٹ کریں کہ ویکٹر صفر ہونے کی وجہ سے یہ یکساں ہے۔ خصوصیت کی شکل میں نظام اس کے ساتھ ہے کہ میٹرکس کا لیفٹ آئجین ویوکٹر کہاں ہے اور میٹرکس کی آئجین ویلیوز کی خصوصیت کی رفتار ہے جو مطمئن کرتی ہے۔ ان خصوصیت والی مساوات کو آسان بنانے کے لیے ہم تبدیلیاں اس طرح کر سکتے ہیں جو اس کو مربوط کرنے میں مدد کے لیے ایک انٹیگریٹنگ فیکٹر کو ضرب دی جا سکتی ہے۔ تو اس نظام میں اب خصوصیت کی شکل ہے جس پر اخترن نظام کے مساوی ہے اس نظام کا حل عمومی ہوڈوگراف طریقہ سے دیا جا سکتا ہے۔ مثال کثافت اور رفتار کے لحاظ سے لکھی گئی یک جہتی اویلر مساوات پر غور کریں کہ آواز کی رفتار آئسینٹروپک مفروضے کی وجہ سے متعارف کرائی گئی ہے۔ اس نظام کو میٹرکس کی شکل میں لکھیں جہاں آئجن ویلیوز اور آئجن ویکٹرز کے اوپر کے تجزیے سے میٹرکس تلاش کرنے کی ضرورت ہے۔ آئجین ویلیوز دینے کے لیے مطمئن پائی جاتی ہیں اور آئجین ویکٹرز وہاں پائے جاتے ہیں جہاں ریمن غیر متغیر ہوتے ہیں (اور گیس ڈائنامکس میں بڑے پیمانے پر استعمال ہونے والے اشارے ہیں)۔ مستقل مخصوص حرارت والی کامل گیس کے لیے، مساوات دینے کے لیے ریمن غیر متغیرات دینے کے لیے تعلق ہے، مخصوص حرارت کا تناسب کہاں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، خصوصیت والے منحنی خطوط کہاں اور کہاں ہیں۔ اسے ہوڈوگراف کی تبدیلی سے حل کیا جا سکتا ہے۔ ہوڈوگرافک سطح میں، اگر تمام خصوصیات ایک ہی منحنی خطوط میں گر جائیں، تو ہم سادہ لہریں حاصل کرتے ہیں۔ اگر پی ڈی ای کے نظام کی میٹرکس شکل اس شکل میں ہے تو الٹا میٹرکس سے اس وقت تک ضرب دینا ممکن ہو سکتا ہے جب تک کہ میٹرکس کا تعین کنندہ صفر نہ ہو۔ سادہ لہر حوالہ جات غیر متغیر نظریہ جزوی تفریق مساوات تحفظ مساوات برن ہارڈ ریمن بھی دیکھیں۔