Hermite's problem
ہرمیٹ کا مسئلہ ریاضی میں ایک کھلا مسئلہ ہے جسے چارلس ہرمیٹ نے 1848 میں پیش کیا تھا۔ انہوں نے حقیقی اعداد کو قدرتی اعداد کی ترتیب کے طور پر ظاہر کرنے کا ایک طریقہ مانگا، جیسے کہ یہ ترتیب بالآخر بالکل وقتا فوقتا ہوتی ہے جب اصل نمبر کیوبک غیر معقول ہوتا ہے۔ محرک حقیقی اعداد لکھنے کا ایک معیاری طریقہ ان کی اعشاریہ نمائندگی سے ہے، جیسے: جہاں a0 ایک عدد ہے، x کا عدد حصہ، اور a1، a2، a3.0 اور 9 کے درمیان عدد ہیں۔ حقیقی عدد x ایک عقلی عدد ہے صرف اس صورت میں جب اس کی اعشاریہ توسیع بالآخر وقتا فوقتا ہو، یعنی اگر قدرتی اعداد N اور p ایسے ہوں کہ ہر n ≤ N کے لیے یہ صورت ہو کہ an + p = an۔ اعداد کو ظاہر کرنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ انہیں مسلسل حصوں کے طور پر لکھا جائے، جیسا کہ: جہاں a0 ایک عدد ہے اور a1، a2، a3 قدرتی اعداد ہیں۔ اس نمائندگی سے ہم x کو بازیافت کر سکتے ہیں کیونکہ اگر x ایک عقلی عدد ہے تو ترتیب (an) محدود طور پر کئی اصطلاحات کے بعد ختم ہو جاتی ہے۔ دوسری طرف، اویلر نے ثابت کیا کہ غیر معقول اعداد کو مسلسل حصوں کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے ایک لامحدود ترتیب کی ضرورت ہوتی ہے۔ مزید برآں، یہ ترتیب بالآخر وقتا فوقتا ہوتی ہے (دوبارہ، تاکہ قدرتی اعداد N اور p ایسے ہوں کہ ہر n ≤ N کے لیے ہمارے پاس an + p = an ہو)، اگر اور صرف اس صورت میں جب x ایک کواڈریٹک غیر معقول ہو۔ ہرمائیٹ کا سوال عقلی اعداد الجبرائی اعداد ہیں جو ڈگری 1 کے کثیر الجہتی کو مطمئن کرتے ہیں، جبکہ کواڈریٹک غیر معقول الجبرائی اعداد ہیں جو ڈگری 2 کے کثیر الجہتی کو مطمئن کرتے ہیں۔ اعداد کے ان دونوں سیٹوں کے لیے ہمارے پاس اس خاصیت کے ساتھ قدرتی اعداد (این) کی ترتیب بنانے کا ایک طریقہ ہے کہ ہر ترتیب ایک منفرد حقیقی نمبر دیتی ہے اور اس طرح کہ یہ حقیقی نمبر متعلقہ سیٹ سے تعلق رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ترتیب بالآخر پیریڈک ہو۔ 1848 میں، چارلس ہرمیٹ نے کارل گستاو جیکب جیکوبی کو ایک خط لکھا جس میں پوچھا گیا کہ کیا اس صورتحال کو عام کیا جا سکتا ہے، یعنی کیا کوئی ہر حقیقی عدد x کو قدرتی اعداد کی ایک ترتیب اس طرح تفویض کر سکتا ہے کہ یہ ترتیب بالآخر عین وقتا فوقتا ہوتی ہے جب x ایک کیوبک غیر معقول ہو، یعنی ڈگری 3 کا الجبرائی عدد ہو؟ یا، زیادہ عام طور پر، ہر قدرتی عدد d کے لیے کیا ہر حقیقی عدد x کو قدرتی اعداد کی ترتیب تفویض کرنے کا کوئی طریقہ ہے جو اس وقت منتخب کر سکتا ہے جب x ڈگری d کا الجبرائی ہو؟ نقطہ نظر وہ سلسلے جو ہرمائیٹ کے مسئلے کو حل کرنے کی کوشش کرتے ہیں اکثر کثیر جہتی مسلسل حصوں کو کہا جاتا ہے۔ جیکوبی نے خود ایک ابتدائی مثال پیش کی، جس میں حقیقی اعداد (x، y) کے ہر جوڑے کے مطابق ایک ترتیب تلاش کی گئی جو مسلسل حصوں کے اعلی جہتی ینالاگ کے طور پر کام کرتی ہے۔ انہوں نے امید ظاہر کی کہ (x، y) سے منسلک ترتیب بالآخر وقتا فوقتا ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب x اور y دونوں کیوبک نمبر فیلڈ سے تعلق رکھتے ہوں، لیکن ایسا کرنے سے قاصر تھے اور کیا یہ معاملہ حل نہیں ہوا ہے۔ 2015 میں، پہلی بار، کسی بھی کیوبک غیر معقول کے لیے وقتا فوقتا نمائندگی سہ رخی مسلسل حصوں کے ذریعے فراہم کی گئی ہے، یعنی کیوبک غیر معقول کو عقلی یا عدد اعداد کی وقتا فوقتا ترتیب کے طور پر لکھنے کا مسئلہ حل ہو گیا ہے۔ تاہم، وقتا فوقتا نمائندگی تمام حقیقی اعداد پر بیان کردہ الگورتھم سے اخذ نہیں کی جاتی ہے اور یہ صرف کیوبک غیر معقول کے کم از کم کثیر الجہتی کے علم سے شروع ہوتی ہے۔ مسلسل حصوں کو عام کرنے کے بجائے، اس مسئلے کا ایک اور نقطہ نظر منکووسکی کے سوالیہ نشان کے فنکشن کو عام کرنا ہے۔ یہ فنکشن؟ : [0,1] → [0,1] اس کے بعد سے کواڈریٹک غیر معقول اعداد کو بھی چنتا ہے؟ (x) عقلی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب x یا تو عقلی ہو یا کواڈریٹک غیر معقول نمبر ہو، اور اس کے علاوہ x عقلی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب؟ (x) ایک ڈائڈک عقلی ہے، اس طرح x ایک کواڈریٹک غیر معقول ہے بالکل کب؟ (x) ایک غیر ڈائڈک عقلی عدد ہے۔ یونٹ مربع [0، 1] × [0، 1] یا دو جہتی سمپلیکس میں اس فنکشن کی مختلف عمومییاں کی گئی ہیں، حالانکہ ابھی تک کسی نے بھی ہرمائیٹ کا مسئلہ حل نہیں کیا ہے۔ 2021 میں اولیگ کارپینکوف نے کیوبک ویکٹروں کے دورانیے کے نمائندے کو تلاش کرنے کے لیے دو گھٹاؤ الگورتھم تجویز کیے تھے۔ پہلا (الگورتھم) صرف مکمل طور پر حقیقی کیس کے لیے کام کرتا ہے۔ الگورتھم کے لیے ان پٹ کیوبک ویکٹر کے تین گنا ہوتے ہیں۔ کیوبک ویکٹر کوئی بھی ویکٹر ہوتا ہے جو ڈگری 3 کی توسیع پیدا کرتا ہے۔ اس صورت میں کیوبک ویکٹر کنجوگیٹ ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب الگورتھم کی آؤٹ پٹ پیریڈک ہو۔ دوسرا (ایچ اے پی ڈی الگورتھم) تمام معاملات (بشمول پیچیدہ کیوبک ویکٹرز) اور تمام جہتوں کے لیے کام کرنے کا قیاس کیا جاتا ہے۔ حوالہ جات مسلسل فریکشن الجبرائی نمبر تھیوری نمبر تھیوری میں حل نہ ہونے والے مسائل