Euler–Rodrigues formula
ریاضی اور میکانکس میں، اویلر-روڈریگز فارمولا تین جہتوں میں ویکٹر کی گردش کو بیان کرتا ہے۔ یہ روڈریگس کے گردش کے فارمولے پر مبنی ہے، لیکن ایک مختلف پیرامیٹریزیشن کا استعمال کرتا ہے۔ لیون ہارڈ اویلر کی وجہ سے گردش کو چار اویلر پیرامیٹرز کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ روڈریگز فارمولا (اولینڈے روڈریگز کے نام سے منسوب)، ایک گھمایا ہوا نقطہ کی پوزیشن کا حساب لگانے کا ایک طریقہ، کچھ سافٹ ویئر ایپلی کیشنز، جیسے فلائٹ سمیلیٹر اور کمپیوٹر گیمز میں استعمال ہوتا ہے۔ تعریف اصل کے بارے میں ایک گردش کی نمائندگی چار حقیقی اعداد سے کی جاتی ہے،،،، اس طرح کہ جب گردش کا اطلاق ہوتا ہے، تو پوزیشن پر ایک نقطہ اپنی نئی پوزیشن ویکٹر فارمولیشن پر گھومتا ہے۔ پیرامیٹر کو اسکیلر پیرامیٹر اور ویکٹر پیرامیٹر کہا جا سکتا ہے۔ معیاری ویکٹر نوٹیشن میں، روڈریگز گردش فارمولا کمپیکٹ شکل سمیٹری پیرامیٹرز لیتا ہے اور اسی گردش کو بیان کرتا ہے۔ اس ہم آہنگی کے علاوہ، چار پیرامیٹرز کا ہر سیٹ تین جہتی جگہ میں ایک منفرد گردش کو بیان کرتا ہے۔ گردشوں کی ساخت دو گردشوں کی ساخت خود ایک گردش ہے۔ دو گردشوں کے اویلر پیرامیٹرز ہونے دیں۔ مرکب گردش (گردش 1 کے بعد گردش 2) کے پیرامیٹرز مندرجہ ذیل ہیں: اس کی جانچ کرنا سیدھا ہے، اگرچہ تکلیف دہ ہے۔ (یہ بنیادی طور پر اویلر کی چار مربع شناخت ہے، جسے روڈریگس بھی استعمال کرتے ہیں۔) گردش کا زاویہ اور گردش کا محور تین جہتوں میں کسی بھی مرکزی گردش کا تعین منفرد طور پر اس کے گردش کے محور (جس کی نمائندگی یونٹ ویکٹر کرتا ہے) اور گردش کے زاویے سے ہوتا ہے۔ اس گردش کے لیے اویلر پیرامیٹرز کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے لگایا جاتا ہے: نوٹ کریں کہ اگر 360 ڈگری کی مکمل گردش سے بڑھایا جائے تو سائن اور کوسین کے دلائل میں صرف 180 ڈگری کا اضافہ ہوتا ہے۔ نتیجے میں آنے والے پیرامیٹرز اصل اقدار کے برعکس ہیں، وہ ایک ہی گردش کی نمائندگی کرتے ہیں۔ خاص طور پر، شناخت کی تبدیلی (صفر گردش،) پیرامیٹر کی اقدار سے مطابقت رکھتی ہے۔ کسی بھی محور کے ارد گرد 180 ڈگری کی گردش کا نتیجہ ہوتا ہے۔ کواٹرنیئنز کے ساتھ تعلق اویلر پیرامیٹرز کو کواٹرنیئن کے کوفشنٹس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے ؛ اسکیلر پیرامیٹر حقیقی حصہ ہے، ویکٹر پیرامیٹرز، خیالی حصے ہیں۔ اس طرح ہمارے پاس کواٹرنیئن ہے جو اکائی کی لمبائی (یا ورسر) کا کواٹرنیئن ہے کیونکہ سب سے اہم بات یہ ہے کہ گردشوں کی تشکیل کے لیے مذکورہ بالا مساوات قطعی طور پر کواٹرنیئنوں کے ضرب کے لیے مساوات ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، ضرب کے ساتھ یونٹ کواٹرنیئنز کا گروپ، ماڈیولو منفی علامت، ساخت کے ساتھ گردشوں کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ایس یو (2) اسپن میٹرکس کے ساتھ تعلق لائ گروپ ایس یو (2) کو پیچیدہ میٹرکس میں تین جہتی گردشوں کی نمائندگی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کے اویلر پیرامیٹرز کے لحاظ سے، گردش سے مطابقت رکھنے والا ایس یو (2)-میٹرکس، متبادل طور پر، اس مجموعہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جہاں پالی اسپن میٹرکس ہیں۔ اس طرح، یولر پیرامیٹرز ایک ایس یو (2) میٹرکس میں حقیقی اور خیالی نقاط ہیں جو اسپن گروپ اسپن (3) کے ایک عنصر سے مطابقت رکھتے ہیں، جو آرتھوگنل گروپ ایس او (3) میں گردش کے لیے ڈبل کور میپنگ کے ذریعے نقشہ بناتے ہیں۔ یہ لائ گروپ ایس یو (2) ≈ اسپن (3) کی منفرد تین جہتی ناقابل تلافی نمائندگی کے طور پر محسوس ہوتا ہے۔ تین جہتوں میں گردش کی رسمیں کواٹرنیئنز اور تین جہتوں میں مقامی گردش ورسر اسپنرز ایس او (4) 3 ڈی گردش گروپ حوالہ جات تین جہتوں میں گردش یوکلڈین سمیٹریز لیون ہارڈ اویلر