Coherent states in mathematical physics
مربوط حالتوں کو جسمانی سیاق و سباق میں متعارف کرایا گیا ہے، پہلے کوانٹم میکانکس میں نیم کلاسیکی حالتوں کے طور پر، پھر کوانٹم آپٹکس کی ریڑھ کی ہڈی کے طور پر اور انہیں مضمون میں اس روح میں بیان کیا گیا ہے۔ مربوط ریاستیں (یہ بھی دیکھیں)۔ تاہم، انہوں نے عام کرنے کی ایک بہت بڑی قسم پیدا کی ہے، جس کی وجہ سے ریاضیاتی طبیعیات میں ادب کی زبردست مقدار پیدا ہوئی ہے۔ اس مضمون میں، ہم اس سلسلے میں تحقیق کی اہم سمتوں کا خاکہ بناتے ہیں۔ مزید تفصیلات کے لیے ہم کئی موجودہ سروے کا حوالہ دیتے ہیں۔ ایک عمومی تعریف ایک پیچیدہ، الگ ہونے والا ہلبرٹ اسپیس، مقامی طور پر کمپیکٹ اسپیس اور ایک پیمائش ہو۔ ہر ایک کے لیے، ایک ویکٹر کو ظاہر کریں۔ فرض کریں کہ ویکٹروں کے اس سیٹ میں درج ذیل خصوصیات ہیں: نقشہ سازی کمزور طور پر مسلسل ہے، یعنی، ہر ویکٹر کے لیے، فنکشن مسلسل ہے (کی ٹوپولوجی میں)۔ شناخت کا حل ہلبرٹ اسپیس پر کمزور معنوں میں ہے، یعنی، کسی بھی دو ویکٹرز کے لیے، مندرجہ ذیل مساوات برقرار رکھتی ہے: مندرجہ بالا دو خصوصیات کو مطمئن کرنے والے ویکٹرز کا ایک مجموعہ عمومی مربوط حالتوں کا خاندان کہلاتا ہے۔ کینونکل یا اسٹینڈرڈ کوہرینٹ اسٹیٹس (سی سی ایس) کی پچھلی تعریف (آرٹیکل کوہرینٹ اسٹیٹ میں دی گئی) کو بازیافت کرنے کے لیے، پیچیدہ سطح کو لینا کافی ہے اور بعض اوقات شناخت کی حالت کے حل کو کمزور حالت سے تبدیل کر دیا جاتا ہے، جس میں ویکٹر محض ایک کل سیٹ بناتے ہیں اور افعال، جیسا کہ گزرتا ہے، ایک دوبارہ پیدا ہونے والی دانا ہلبرٹ اسپیس تشکیل دیتے ہیں۔ دونوں صورتوں میں مقصد یہ یقینی بنانا ہے کہ ایک صوابدیدی ویکٹر ان ویکٹروں کے لکیری (لازمی) امتزاج کے طور پر قابل اظہار ہو۔ درحقیقت، شناخت کے حل سے فوری طور پر یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کہاں۔ یہ ویکٹر مربع مربوط، مسلسل افعال ہیں اور دوبارہ پیدا کرنے والی خاصیت کو مطمئن کرتے ہیں جہاں دوبارہ پیدا کرنے والا دانا ہے، جو درج ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ کچھ مثالیں ہم اس حصے میں کچھ زیادہ عام طور پر استعمال ہونے والی مربوط حالتوں کو اوپر دی گئی عمومی ساخت کی مثال کے طور پر پیش کرتے ہیں۔ غیر لکیری مربوط ریاستیں سی سی ایس کی عمومی شکل کا ایک بڑا طبقہ ان کے تجزیاتی ڈھانچے میں سادہ ترمیم کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ مثبت اعداد () کی ایک لامحدود ترتیب ہونے دیں۔ کنونشن سیٹ کے مطابق وضاحت کریں۔ اسی فوک اسپیس میں جس میں سی سی ایس کو بیان کیا گیا تھا، اب ہم توسیع کے ذریعے متعلقہ خراب یا غیر لکیری مربوط حالتوں کی وضاحت کرتے ہیں۔ یہ عمومی مربوط ریاستیں فوک اسپیس میں حد سے زیادہ مکمل ہوتی ہیں اور رداس کے پیچیدہ سطح، سیریز کے کنورجنس کے رداس (سی سی ایس کے معاملے میں،) میں ایک کھلی ڈسک ہونے کی وجہ سے شناخت کے حل کو پورا کرتی ہیں۔ پیمائش عام طور پر فارم (کے لیے) کی ہوتی ہے، جہاں اس کا تعلق تھرو دی مومنٹ کنڈیشن سے ہوتا ہے۔ ایک بار پھر، ہم دیکھتے ہیں کہ فوک اسپیس میں ایک صوابدیدی ویکٹر کے لیے، فنکشن اس شکل کا ہے، جہاں ڈومین پر ایک تجزیاتی فنکشن ہے۔ ان مربوط حالتوں سے وابستہ دوبارہ پیش کرنے والا دانا باروت-گیرارڈیلو مربوط حالت ہے۔ سی سی ایس کیس کے ساتھ مشابہت کے ذریعے، کوئی بھی ویکٹرز، اور اس کے ملحقہ آپریٹر پر اس کے عمل سے ایک عمومی اناہیلیشن آپریٹر کی وضاحت کر سکتا ہے۔ مقدار کی صحیح اقدار پر منحصر ہے، یہ دونوں آپریٹرز، شناخت اور ان کے تمام کمیوٹیٹرز کے ساتھ مل کر، مختلف قسم کے خراب کوانٹم الجبرا سمیت الجبرا کی ایک وسیع رینج پیدا کر سکتے ہیں۔ اصطلاح 'غیر لکیری'، جیسا کہ اکثر ان عمومی مربوط حالتوں پر لاگو ہوتا ہے، کوانٹم آپٹکس سے دوبارہ آتا ہے جہاں حالتوں کے بہت سے ایسے خاندان تابکاری کے میدان اور ایٹموں کے درمیان تعامل کا مطالعہ کرنے میں استعمال ہوتے ہیں، جہاں تعامل کی طاقت خود تابکاری کی تعدد پر منحصر ہوتی ہے۔ یقینا، ان مربوط حالتوں میں عام طور پر سی سی ایس کی گروپ نظریاتی یا کم سے کم غیر یقینی خصوصیات نہیں ہوں گی (زیادہ عام ہو سکتی ہیں)۔ آپریٹرز اور اوپر بیان کردہ عام قسم کے سیڑھی آپریٹرز کے نام سے بھی جانے جاتے ہیں۔ جب ایسے آپریٹر لائ الجیبراس کی نمائندگی کے جنریٹر کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں، تو ان کے آئجین ویکٹرز کو عام طور پر باروت-گیرارڈیلو مربوط ریاستیں کہا جاتا ہے۔ ایک عام مثال فوک اسپیس پر ایس یو (1,1) کے لائ الجبرا کی نمائندگی سے حاصل کی جاتی ہے۔ Gazeau-Klauder مربوط ریاستیں غیر لکیری مربوط ریاستوں کے مذکورہ بالا اظہار کی غیر تجزیاتی توسیع اکثر خالص نقطہ سپیکٹرم والے جسمانی ہیملٹنین سے وابستہ عمومی مربوط ریاستوں کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ یہ مربوط ریاستیں، جنہیں گیزو-کلاڈر مربوط ریاستیں کہا جاتا ہے، ایکشن اینگل متغیرات کے ذریعہ لیبل کی جاتی ہیں۔ فرض کریں کہ ہمیں فزیکل ہیملٹنین دیا گیا ہے، جس کے ساتھ، یعنی، اس میں انرجی آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز ہیں، جنہیں ہم ہلبرٹ اسپیس آف اسٹیٹس کے لیے ایک آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں۔ آئیے آئجین ویلیوز کو طول و عرض کے بغیر مقداروں کی ترتیب کو متعارف کراتے ہوئے اس طرح لکھیں: پھر، سب کے لیے اور، گیزو-کلاڈر مربوط حالتوں کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ جہاں دوبارہ ایک معمول کا عنصر ہے، جو صرف اس پر منحصر ہوتا ہے۔ یہ مربوط ریاستیں عارضی استحکام کی حالت اور عمل کی شناخت کو مطمئن کرتی ہیں، اگرچہ یہ عمومی مربوط ریاستیں ایک حد سے زیادہ سیٹ بناتی ہیں، لیکن شناخت کا حل عام طور پر اوپر کی طرح ایک لازمی تعلق کے ذریعہ نہیں دیا جاتا ہے، بلکہ اس کے بجائے بوہر کے معنی میں ایک لازمی طور پر دیا جاتا ہے، جیسے کہ یہ تقریبا پیریڈک افعال کے نظریہ میں استعمال ہوتا ہے۔ دراصل گیزو-کلاڈر سی ایس کی تعمیر کو ویکٹر سی ایس اور ڈیجینریٹ سپیکٹرا والے ہیملٹنین تک بڑھایا جا سکتا ہے، جیسا کہ علی اور باگاریلو نے دکھایا ہے۔ حرارت کے دانے کی ہم آہنگ ریاستیں ایک اور قسم کی ہم آہنگ حالت اس وقت پیدا ہوتی ہے جب کسی ایسے ذرہ پر غور کیا جائے جس کی تشکیل کی جگہ ایک کمپیکٹ لائ گروپ کے گروپ کئی گنا ہے۔ کے ہال نے ہم آہنگ ریاستیں متعارف کروائیں جن میں یوکلڈین اسپیس پر معمول کے گوسیئن کو K پر حرارت کے دانے سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ ہم آہنگ ریاستوں کے لیے پیرامیٹر کی جگہ کی "پیچیدگی" ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایسا ہے تو پیچیدگی ہے۔ ان مربوط حالتوں میں اس شناخت کا حل ہوتا ہے جو پیچیدگی پر سیگل-برگمین کی جگہ کی طرف لے جاتا ہے۔ ہال کے نتائج کو سٹینزل کے ذریعہ شعبوں سمیت کمپیکٹ سمیٹرک خالی جگہوں تک بڑھایا گیا۔ اس معاملے میں حرارت کے دانے کی مربوط حالتوں کا اطلاق تھامین اور اس کے ساتھیوں نے نظریہ کوانٹم کشش ثقل میں کیا ہے۔ اگرچہ تعمیر میں دو مختلف لائ گروپ شامل ہیں، گرمی کے دانے کی مربوط ریاستیں پیریلوموف قسم کی نہیں ہیں۔ گروپ تھیوریٹیکل اپروچ گلمور اور پیریلوموف نے آزادانہ طور پر محسوس کیا کہ مربوط حالتوں کی تعمیر کو بعض اوقات گروپ تھیوریٹیکل مسئلہ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، آئیے کچھ دیر کے لیے سی سی ایس کے معاملے پر واپس جائیں۔ وہاں، درحقیقت، نقل مکانی کرنے والا آپریٹر ہائزن برگ گروپ (جسے ویل-ہائزن برگ گروپ بھی کہا جاتا ہے) کے ایک عنصر کے فوک اسپیس میں نمائندے کے سوا کچھ نہیں ہے، جس کا لائ الجبرا اور سے تیار ہوتا ہے۔ تاہم، سی سی ایس کے ساتھ آگے بڑھنے سے پہلے، پہلے عمومی کیس لیں۔ مقامی طور پر ایک کمپیکٹ گروپ ہونے دیں اور فرض کریں کہ یکطرفہ آپریٹرز کے ذریعہ ہلبرٹ اسپیس پر اس کی مسلسل، ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ اس نمائندگی کو مربع انٹیگریبل کہا جاتا ہے اگر کوئی غیر صفر ویکٹر موجود ہو جس کے لیے انٹیگرل یکجا ہوتا ہے۔ یہاں بائیں غیر متغیر ہار پیمائش ہے۔ ایک ویکٹر جس کے لیے کہا جاتا ہے کہ وہ قابل قبول ہے، اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس طرح کے ایک ویکٹر کا وجود اس طرح کے ویکٹروں کے پورے گھنے سیٹ کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ مزید برآں، اگر گروپ غیر ماڈیولر ہے، یعنی، اگر بائیں اور دائیں غیر متغیر اقدامات موافق ہیں، تو ایک قابل قبول ویکٹر کا وجود اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ ہر ویکٹر قابل قبول ہے۔ مربع مربوط نمائندگی اور قابل قبول ویکٹر کو دیکھتے ہوئے، آئیے ویکٹروں کی وضاحت کریں۔ یہ ویکٹر کینونکل مربوط حالتوں کے مشابہت ہیں، جو وہاں ہائزن برگ گروپ کی نمائندگی کے لحاظ سے لکھے گئے ہیں (تاہم، نیچے گلمور-پیریلوموف سی ایس پر سیکشن دیکھیں)۔ اگلا، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ شناخت کا حل برقرار رہتا ہے۔ اس طرح، ویکٹر عمومی مربوط حالتوں کا ایک خاندان تشکیل دیتے ہیں۔ تمام ویکٹروں کے لیے افعال پیمائش اور اس طرح کے افعال کے سیٹ کے حوالے سے مربع مربوط ہیں، جو حقیقت میں ٹوپولوجی میں مسلسل ہیں، کی ایک بند ذیلی جگہ بناتے ہیں۔ مزید برآں، نقشہ سازی اور اس کے درمیان ایک لکیری آئسومیٹری ہے اور اس آئسومیٹری کے تحت نمائندگی کو بائیں طرف کی باقاعدہ نمائندگی کی ذیلی نمائندگی کے ساتھ نقشہ بنایا جاتا ہے۔ ایک مثال: ویولیٹس مندرجہ بالا تعمیر کی ایک عام مثال لائن کے افائن گروپ کے ذریعہ فراہم کی گئی ہے۔ یہ اس قسم کے تمام 2 × 2 میٹرکس کا گروپ ہے، اور اس کے ساتھ حقیقی اعداد ہیں۔ ہم کی طرف سے دی گئی کارروائی کے ساتھ بھی لکھیں گے۔ یہ گروپ غیر یک جہتی ہے، جس میں بائیں غیر متغیر پیمائش (دائیں غیر متغیر پیمائش) کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ افائن گروپ کی ہلبرٹ اسپیس پر یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ ویکٹر حقیقی متغیر کے قابل پیمائش افعال ہیں اور اس نمائندگی کے (یکطرفہ) آپریٹرز ان پر اس طرح کام کرتے ہیں کہ اگر کوئی فنکشن اس طرح ہے کہ اس کا فورئیر ٹرانسفارم (قبولیت) کی حالت کو مطمئن کرتا ہے تو اسے قابل قبول ویکٹر دکھایا جا سکتا ہے، یعنی، اس طرح، اوپر بیان کردہ عمومی تعمیر کے بعد، ویکٹر عمومی مربوط حالتوں کے خاندان کی وضاحت کرتے ہیں اور ایک پر شناخت کا حل ہوتا ہے۔ سگنل تجزیہ ادب میں، ایک ویکٹر جو اوپر کی قبولیت کی حالت کو پورا کرتا ہے اسے مدر ویولیٹ کہا جاتا ہے اور عمومی مربوط حالتوں کو ویولیٹ کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد سگنلز کی شناخت ویکٹروں کے ساتھ کی جاتی ہے اور اس فنکشن کو سگنل کا مسلسل ویولیٹ ٹرانسفارم کہا جاتا ہے۔ اس تصور کو دو جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے، اس گروپ کو طیارہ کے نام نہاد سمیلیٹیڈ گروپ سے تبدیل کیا جا رہا ہے، جس میں طیارہ کے ترجمے، گردش اور عالمی پھیلاؤ شامل ہیں۔ نتیجے میں 2 ڈی ویولیٹس، اور ان کی کچھ عمومی شکلیں، امیج پروسیسنگ میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہیں۔ گلمور-پیریلوموف مربوط ریاستیں اوپر بیان کردہ گروپ کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے مربوط ریاستوں کی تعمیر کافی نہیں ہے۔ پہلے سے ہی یہ سی سی ایس حاصل نہیں کر سکتا، کیونکہ یہ ہائزن برگ گروپ کے عناصر کے ذریعہ انڈیکس نہیں کیے جاتے ہیں، بلکہ اس کے مرکز کے ذریعہ مؤخر الذکر کے حصص کے نکات کے ذریعہ ہوتے ہیں، یہ حصص قطعی طور پر ہوتے ہیں۔ کلیدی مشاہدہ یہ ہے کہ ہائزن برگ گروپ کا مرکز ویکیوم ویکٹر کو ایک مرحلے تک غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے۔ اس خیال کو عام کرتے ہوئے، گلمور اور پیریلوموف ایک مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ اور ہلبرٹ اسپیس پر ایک یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی پر غور کرتے ہیں، ضروری نہیں کہ مربع مربوط ہو۔ ایک ویکٹر کو یونٹ کے معیار میں طے کریں، اور ان تمام عناصر پر مشتمل ذیلی گروپ سے ظاہر کریں جو اسے ایک مرحلے تک غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں، یعنی، جہاں کا حقیقی قدر والا فنکشن ہے۔ بائیں کوسیٹ کی جگہ اور اس میں ایک صوابدیدی عنصر ہونے دیں۔ کوسیٹ نمائندے کا انتخاب کرتے ہوئے، ہر کوسیٹ کے لیے، ہم ویکٹرز کی وضاحت کرتے ہیں۔ کوسیٹ نمائندے کے مخصوص انتخاب پر ان ویکٹرز کا انحصار صرف ایک مرحلے کے ذریعے ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر اس کے بجائے، ہم نے ایک ہی کوسیٹ کے لیے ایک مختلف نمائندہ لیا، تو کچھ کے لیے، ہمارے پاس ہوگا۔ لہذا، کوانٹم میکانکی طور پر، دونوں ایک ہی جسمانی حالت کی نمائندگی کرتے ہیں اور خاص طور پر، پروجیکشن آپریٹر صرف کوسیٹ پر منحصر ہوتا ہے۔ اس طرح سے بیان کردہ ویکٹروں کو گلمور-پیریلوموف مربوط ریاستیں کہا جاتا ہے۔ چونکہ یہ سمجھا جاتا ہے کہ یہ ناقابل تلافی ہے، اس لیے ان تمام ویکٹروں کا مجموعہ جس سے گزرتا ہے گھنے ہوتے ہیں۔ عمومی مربوط حالتوں کی اس تعریف میں، شناخت کا کوئی حل پیش نہیں کیا گیا ہے۔ تاہم، اگر قدرتی عمل کے تحت کوئی غیر متغیر پیمائش کی جاتی ہے، اور اگر رسمی آپریٹر کی تعریف پابند ہے، تو یہ لازمی طور پر شناخت کا ایک ضرب ہے اور شناخت کا حل دوبارہ حاصل کیا جاتا ہے۔ گلمور-پیریلوموف مربوط حالتوں کو کوانٹم گروپوں کے لیے عام کیا گیا ہے، لیکن اس کے لیے ہم ادب کا حوالہ دیتے ہیں۔ مزید عمومی کاری: کوسیٹ خالی جگہوں پر مربوط ریاستیں پیریلوموف کی تعمیر کو کسی بھی مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کے لیے مربوط ریاستوں کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ دوسری طرف، خاص طور پر گلمور-پیریلوموف کی تعمیر کی ناکامی کی صورت میں، گروپ کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے عمومی مربوط ریاستوں کی دیگر تعمیرات موجود ہیں، جو گروپ کے یکساں خالی جگہوں پر مربع انضمام کے تصور کو عام کرتی ہیں۔ مختصر طور پر، اس نقطہ نظر میں ایک یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی کے ساتھ شروع ہوتا ہے اور ایک ویکٹر، ایک ذیلی گروپ اور ایک سیکشن کو تلاش کرنے کی کوشش کرتا ہے جہاں، ایک باؤنڈڈ، مثبت آپریٹر ہے جس میں باؤنڈڈ انورس ہے اور اس پر ایک نیم غیر متغیر پیمائش ہے۔ یہ فرض نہیں کیا جاتا ہے کہ عمل کے تحت ایک مرحلے تک غیر متغیر ہو اور واضح طور پر، بہترین صورتحال یہ ہے کہ شناخت کا ایک ضرب کب ہو۔ اگرچہ کسی حد تک تکنیکی، یہ عمومی تعمیر اس قسم کے نیم براہ راست پروڈکٹ گروپوں کے لیے بہت زیادہ استعداد کا حامل ہے، جہاں اس کا ایک بند ذیلی گروپ ہے۔ اس طرح، یہ بہت سے جسمانی طور پر اہم گروہوں کے لیے مفید ہے، جیسے کہ پوئن کیئر گروپ یا یوکلڈین گروپ، جن کی سابقہ تعریف کے معنی میں مربع مربوط نمائندگی نہیں ہے۔ خاص طور پر، آپریٹر کی وضاحت کرنے والی لازمی شرط اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ کسی بھی ویکٹر کو عمومی مربوط حالتوں کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے، یعنی جو کسی بھی قسم کی مربوط حالتوں کا بنیادی مقصد ہے۔ ہم اب معیاری صورتحال سے ہٹ کر مربوط حالتوں کی تعمیر کا ایک عمومی طریقہ پیش کرتے ہیں، جو ان اشیاء کی ساخت پر چند مشاہدات سے شروع ہوتا ہے جو کچھ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر کی آئجین اسٹیٹس کی سپرپوزیشن کے طور پر ہوتے ہیں، جیسا کہ معیاری CS کے لیے ہارمونک آسکیلیٹر ہیملٹنین تھا۔ یہ کوانٹم میکانکس کا جوہر ہے کہ اس سپرپوزیشن میں ممکنہ ذائقہ ہوتا ہے۔ حقیقت کے طور پر، ہم دیکھتے ہیں کہ کینونکل مربوط حالتوں کی ممکنہ ساخت میں دو امکانات کی تقسیم شامل ہوتی ہے جو ان کی تعمیر کی بنیاد رکھتی ہے۔ ایک طرح کی دوہری حیثیت میں، جب کوانٹم سسٹم مربوط حالت میں ہوتا ہے تو محرکات کا پتہ لگانے کے امکان پر حکمرانی کرنے والی ایک پوئسون تقسیم ہوتی ہے، اور پیچیدہ پیرامیٹرز کے سیٹ پر گاما تقسیم، زیادہ واضح طور پر ریڈیل متغیر کے مربع کی حد پر ہوتی ہے۔ عام کرنا اس دوہری اسکیم کی پیروی کرتا ہے۔ آئیے ایک پیمائش سے لیس پیرامیٹرز کا ایک مجموعہ اور اس سے وابستہ پیچیدہ قدر والے افعال کی ہلبرٹ جگہ، جس کے حوالے سے مربع انٹیگریبل ہے۔ آئیے ہم ایک محدود یا قابل گنتی آرتھونورمل سیٹ میں انتخاب کرتے ہیں: لامحدود گنتی کی صورت میں، اس سیٹ کو (اہم) حد کی شرط کی پابندی کرنی چاہیے: آئیے ایک علیحدہ پیچیدہ ہلبرٹ اسپیس ہو جس کے عناصر کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت میں آرتھونورمل بنیاد ہو۔ مندرجہ بالا دو شرائط سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ عام مربوط حالتوں کا کنبہ، جس کی تعریف شناخت کو حل کرنے سے کی جاتی ہے: اس طرح کا رشتہ ہمیں کسی فنکشن سے منسلک کرکے پیرامیٹرز کے سیٹ کی مربوط حالت یا فریم کوانٹائزیشن کو نافذ کرنے کی اجازت دیتا ہے جو مناسب شرائط کو پورا کرتا ہے۔ مندرجہ ذیل آپریٹر میں: آپریٹر سمیٹرک ہے اگر حقیقی قدر ہے، اور یہ سیلف ایڈجائنٹ ہے (بطور کواڈریٹک فارم) اگر حقیقی اور نیم پابند ہے۔ آپریٹر کے لیے اصل ایک اوپری علامت ہے، عام طور پر غیر منفرد۔ اسے خاندان کے حوالے سے کلاسیکی قابل مشاہدہ کہا جائے گا اگر نام نہاد نچلی علامت، کے طور پر بیان کردہ ہلکی فعال خصوصیات کو اصل سیٹ کو دی گئی مزید ٹپوولوجیکل خصوصیات کے مطابق درست بنایا جائے۔ کوانٹم ریاستوں کی جگہ کی اس تعمیر کا ایک آخری نقطہ اس کے شماریاتی پہلوؤں سے متعلق ہے۔ درحقیقت دو امکانات کی تقسیم کے درمیان ایک باہمی تعامل ہے: مربوط ریاستیں بھی دیکھیں۔