Kolmogorov–Zurbenko filter
اعداد و شمار کے اندر، کولموگوروف-زربینکو (کے زیڈ) فلٹر کو سب سے پہلے اے این کولموگوروف نے تجویز کیا تھا اور اس کی باضابطہ وضاحت زربینکو نے کی تھی۔ یہ لمبائی m کے حرکت پذیر اوسط فلٹر کے تکرار کا ایک سلسلہ ہے، جہاں m ایک مثبت، عجیب عدد ہے۔ کے زیڈ فلٹر کا تعلق لو پاس فلٹرز کی کلاس سے ہے۔ کے زیڈ فلٹر کے دو پیرامیٹرز ہوتے ہیں، حرکت پذیر اوسط ونڈو کی لمبائی m اور حرکت پذیر اوسط کی تکرار k کی تعداد۔ اسے ایک خصوصی ونڈو فنکشن کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے جو سپیکٹرم رساو کو ختم کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ پس منظر اے این کولموگوروف کو بحر الکاہل میں ہنگامہ آرائی کے مطالعے کے دوران کے زیڈ فلٹر کا اصل خیال آیا تھا۔ کولموگوروف کو ابھی ابھی ہنگامہ آرائی کے توانائی سپیکٹر میں 5/3 کے قانون کے لیے بین الاقوامی بلزان انعام ملا تھا۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ بحر الکاہل میں 5/3 قانون کی پابندی نہیں کی گئی، جس سے بڑی تشویش پیدا ہوئی۔ سٹینڈرڈ فاسٹ فورئیر ٹرانسفارم (ایف ایف ٹی) کو شور اور غیر مستحکم سمندری ماحول نے مکمل طور پر بے وقوف بنا دیا۔ کے زیڈ فلٹریشن نے مسئلہ حل کیا اور اس ڈومین میں کولموگوروف کے قانون کے ثبوت کو فعال کیا۔ فلٹر کی تعمیر مسلسل فورئیر ٹرانسفارم کے اہم تصورات اور ان کے مجرد ینالاگوں پر انحصار کرتی تھی۔ کے زیڈ فلٹر کا الگورتھم اعلی آرڈر کے فرق کے طور پر مجرد افعال کے لیے اعلی آرڈر مشتقات کی تعریف سے آیا ہے۔ یہ یقین کرتے ہوئے کہ گاؤسی ونڈو میں لامحدود نرمی واقعی ایک مجرد دنیا کا ایک خوبصورت لیکن غیر حقیقی تخمینہ تھا، کولموگوروف نے محدود حمایت کے ساتھ ایک حتمی طور پر تفریق پذیر ٹیپرنگ ونڈو کا انتخاب کیا، اور اس مجرد کیس کے لیے یہ ریاضیاتی تعمیر تخلیق کی۔ کے زیڈ فلٹر مضبوط اور تقریبا بہترین ہے۔ چونکہ اس کا آپریشن ایک سادہ موونگ ایوریج (ایم اے) ہے، اس لیے کے زیڈ فلٹر گمشدہ ڈیٹا ماحول میں اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے، خاص طور پر کثیر جہتی ٹائم سیریز میں جہاں گمشدہ ڈیٹا کا مسئلہ مقامی کم ہونے کی وجہ سے پیدا ہوتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر کی ایک اور اچھی خصوصیت یہ ہے کہ دونوں پیرامیٹرز کی واضح تشریح ہے تاکہ اسے مختلف شعبوں کے ماہرین آسانی سے اپنا سکیں۔ مقبول شماریاتی سافٹ ویئر آر میں ٹائم سیریز، طول البلد اور مقامی ڈیٹا کے لیے چند سافٹ ویئر پیکجز تیار کیے گئے ہیں، جو کے زیڈ فلٹر اور مختلف علاقوں میں اس کی توسیع کے استعمال میں سہولت فراہم کرتے ہیں۔ I.Zurbenko جرزی نیمین اور الزبتھ اسکاٹ کے ساتھ یو سی برکلے میں پوسٹ ڈاکٹریٹ کی پوزیشن نے مرے روزن بلیٹ، رابرٹ شوموے، ہیرالڈ کریمر، ڈیوڈ برلنگر، ہربرٹ رابنز، ولفریڈ ڈکسن، ایمانوئل پارزن کے ساتھ رابطوں میں معاون ایپلی کیشنز کے بہت سے خیالات فراہم کیے۔ تعریف کے زیڈ فلٹر آئیے ایک حقیقی قدر والی ٹائم سیریز ہو، کے زیڈ فلٹر پیرامیٹرز کے ساتھ اور اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں کوفیشنٹس مساوات سے حاصل کردہ کثیر الجہتی کوفیشنٹس کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ ایک اور نقطہ نظر سے، کے زیڈ فلٹر پیرامیٹرز کے ساتھ ہوتا ہے اور اسے پوائنٹس کے موونگ ایوریج (ایم اے) فلٹر کے وقت کے تکرار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اسے تکرار کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ پہلا تکرار عمل پر ایم اے فلٹر کا اطلاق کرنا ہے دوسرا تکرار ایم اے آپریشن کو پہلے تکرار کے نتیجے پر لاگو کرنا ہے، عام طور پر kth تکرار (k−1) th تکرار پر ایم اے فلٹر کا اطلاق ہوتا ہے۔ ایم اے کے سادہ آپریشن کا تکرار عمل کمپیوٹیشنل طور پر بہت آسان ہے۔ خصوصیات فلٹرز کے پروڈکٹ کا امپلس رسپانس فنکشن امپلس رسپانس کا ارتقاء ہے۔ KZ فلٹر کے کوفیشنٹس کی تشریح اس وقفے پر k یکساں مجرد تقسیم کے ارتقاء کے ذریعے حاصل کردہ تقسیم کے طور پر کی جا سکتی ہے جہاں m ایک عجیب عدد ہے۔ لہذا، گتانک ایک ٹیپرنگ ونڈو بناتا ہے جس میں محدود سپورٹ ہوتی ہے۔ کے زیڈ فلٹر کا بنیادی وزن لمبائی پر مرکوز ہوتا ہے جس کے باہر وزن صفر ہو جاتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر کے امپلس رسپانس فنکشن میں مسلسل مشتق ہوتے ہیں اور یہ غیر علامتی طور پر گاؤسیئن تقسیم شدہ ہوتا ہے۔ امپلس رسپانس فنکشن کے کناروں پر صفر مشتق اس سے تیزی سے زوال پذیر فنکشن بناتے ہیں، جو ہائی فریکوئنسی ریزولوشن میں حل ہو رہا ہے۔ کے زیڈ فلٹر کا انرجی ٹرانسفر فنکشن یہ ہے کہ یہ ایک کم پاس والا فلٹر ہے جس کی کٹ آف فریکوئنسی ایم اے فلٹر کے مقابلے میں، کے زیڈ فلٹر کٹ آف فریکوئنسی سے اوپر فریکوئنسی اجزاء کو کم کرنے کے لحاظ سے بہت بہتر کارکردگی رکھتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر بنیادی طور پر ایک تکراری ایم اے فلٹر ہے۔ اس کا حساب لگانا آسان ہے اور گمشدہ ڈیٹا سے نمٹنے کے لیے سیدھے سیدھے طریقے کی اجازت دیتا ہے۔ اس طریقہ کار کا اہم حصہ وقفے کے اندر لاپتہ مشاہدات کو نظر انداز کرتے ہوئے ایم پوائنٹس کے وقفے کے اندر دستیاب معلومات کی سادہ اوسط ہے۔ اسی خیال کو آسانی سے مقامی ڈیٹا تجزیہ تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ گمشدہ اقدار کا کے زیڈ فلٹر کے ٹرانسفر فنکشن پر بہت کم اثر پڑتا ہے۔ صوابدیدی k اس ٹرانسفر فنکشن کی k پاور فراہم کرے گا اور سائیڈ لوب ویلیو کو کم کر دے گا۔ یہ ایک بہترین لو پاس فلٹر ہوگا۔ عملی مقاصد کے لیے 3 سے 5 کی حد کے اندر کے کا انتخاب عام طور پر کافی ہوتا ہے، جب باقاعدہ ایم اے (کے = 1) تقریبا 5 فیصد کا مضبوط سپیکٹرم رساو فراہم کر رہا ہوتا ہے۔ بہترین KZ فلٹر مضبوط اور تقریبا بہترین ہے۔ چونکہ اس کا عمل ایک سادہ حرکت پذیری اوسط ہے، اس لیے کے زیڈ فلٹر گمشدہ ڈیٹا ماحول میں اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے، خاص طور پر کثیر جہتی وقت اور جگہ میں جہاں گمشدہ ڈیٹا مقامی کم ہونے سے پیدا ہونے والے مسائل کا سبب بن سکتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر کی ایک اور اچھی خصوصیت یہ ہے کہ دونوں پیرامیٹرز میں سے ہر ایک کی واضح تشریحات ہیں تاکہ اسے مختلف شعبوں کے ماہرین آسانی سے اپنا سکیں۔ وقت کی سیریز، طول البلد اور مقامی ڈیٹا کے لیے سافٹ ویئر کے نفاذ کو مقبول شماریاتی پیکیج آر میں تیار کیا گیا ہے، جو کے زیڈ فلٹر کے استعمال اور مختلف علاقوں میں اس کی توسیع کو آسان بناتا ہے۔ پیریڈوگرام کو ہموار کرنے کے لیے کے زیڈ فلٹر کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ سٹاکاسٹک عمل کی ایک کلاس کے لیے، زربینکو نے بدترین صورت حال پر غور کیا جہاں کسی عمل کے بارے میں دستیاب واحد معلومات اس کی سپیکٹرم کثافت اور ہلڈر کی حالت کے ذریعہ مقدار میں ہموار ہے۔ اس نے سپیکٹرم ونڈو کی زیادہ سے زیادہ بینڈوتھ حاصل کی، جو سپیکٹرم کثافت کی بنیادی ہموار پر منحصر ہے۔ زربینکو نے کولموگوروف-زربینکو (کے زیڈ) ونڈو کی کارکردگی کا موازنہ دوسری عام طور پر استعمال ہونے والی سپیکٹرم ونڈوز سے کیا جن میں بارٹلیٹ ونڈو، پارزن ونڈو، ٹوکی ہیمنگ ونڈو اور یونیفارم ونڈو شامل ہیں اور دکھایا کہ کے زیڈ ونڈو کا نتیجہ زیادہ سے زیادہ قریب ہے۔ ایک تجریدی مجرد تعمیر کے طور پر تیار کیا گیا، کے زیڈ فلٹریشن مضبوط اور شماریاتی طور پر تقریبا بہترین ہے۔ ایک ہی وقت میں، اس کی قدرتی شکل کی وجہ سے، اس کے کمپیوٹیشنل فوائد ہیں، جو اعداد و شمار کے ساتھ جگہ/وقت کے مسائل کا تجزیہ کرنے کی اجازت دیتے ہیں جس میں 90 ٪ مشاہدات غائب ہیں، اور جو کئی مختلف جسمانی مظاہر کے گندا امتزاج کی نمائندگی کرتے ہیں۔ "ناقابل حل" مسائل کے لیے اکثر واضح جوابات مل سکتے ہیں۔ کچھ ریاضیاتی پیشرفتوں کے برعکس، کے زیڈ مختلف شعبوں کے ماہرین کے ذریعہ موافقت پذیر ہے کیونکہ اس کے پیچھے ایک واضح جسمانی تشریح ہے۔ کے زیڈ فلٹر کی توسیعات میں کے زیڈ انکولی (کے زیڈ اے) فلٹر، مقامی کے زیڈ فلٹر اور کے زیڈ فورئیر ٹرانسفارم (کے زیڈ ایف ٹی) شامل ہیں۔ یانگ اور زربینکو نے کے زیڈ فلٹر اور اس کی توسیع کا تفصیلی جائزہ فراہم کیا۔ آر پیکیجز کے زیڈ فلٹریشن کو نافذ کرنے کے لیے بھی دستیاب ہیں۔ کے زیڈ ایف ٹی کے زیڈ ایف ٹی فلٹر وقتا فوقتا آنے والے اشاروں یا بھاری شور سے ڈھکے موسمی کی تعمیر نو کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ موسمی غیر مستحکم ہونے کی کلیدی شکلوں میں سے ایک ہے جو اکثر ٹائم سیریز میں دیکھا جاتا ہے۔ اسے عام طور پر ٹائم سیریز کے اندر پیریڈک اجزاء کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ سپیکٹرم تجزیہ موسمی کے ساتھ ٹائم سیریز کا تجزیہ کرنے کا ایک طاقتور ذریعہ ہے۔ اگر کوئی عمل مستحکم ہے، تو اس کا سپیکٹرم بھی ایک مسلسل شکل ہے۔ پیشن گوئی کی سادگی کے لیے اس کا پیرامیٹرک طور پر علاج کیا جا سکتا ہے۔ اگر کسی سپیکٹرم میں لائنیں ہوتی ہیں، تو یہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ یہ عمل مستحکم نہیں ہے اور اس میں وقتا فوقتا ہوتے ہیں۔ اس صورت حال میں، پیرامیٹرک فٹنگ کے نتیجے میں عام طور پر کم توانائی کے ساتھ موسمی بقایا ہوتے ہیں۔ یہ موسم سے لے کر موسم کی مختلف حالتوں کی وجہ سے ہے۔ اس مسئلے سے بچنے کے لیے بینڈ پاس فلٹرز سمیت غیر پیرامیٹرک طریقوں کی سفارش کی جاتی ہے۔ کولموگوروف-زربینکو فورئیر ٹرانسفارم (کے زیڈ ایف ٹی) ایسے فلٹرز میں سے ایک ہے۔ بہت سی ایپلی کیشنز کا مقصد شور والے ماحول سے ہائی ریزولوشن ویولیٹ کی تعمیر نو کرنا ہے۔ یہ ثابت ہوا کہ کے زیڈ ایف ٹی سپیکٹرم ڈومین میں بہترین ممکنہ ریزولوشن فراہم کرتا ہے۔ یہ نظریاتی طور پر سب سے چھوٹے فاصلے کے کنارے پر دو اشاروں کو الگ کرنے کی اجازت دیتا ہے، یا وقتا فوقتا اشاروں کی تشکیل نو کرتا ہے جو بھاری شور سے ڈھکے ہوتے ہیں اور وقت میں بے قاعدگی سے مشاہدہ کیے جاتے ہیں۔ اس کی وجہ سے، کے زیڈ ایف ٹی مختلف ایپلی کیشنز کے لیے ایک منفرد موقع فراہم کرتا ہے۔ آر سافٹ ویئر میں کے زیڈ ایف ٹی کو نافذ کرنے کے لیے ایک کمپیوٹر الگورتھم فراہم کیا گیا ہے۔ کے زیڈ ایف ٹی بنیادی طور پر ایک بینڈ پاس فلٹر ہے جس کا تعلق ایک منفرد ٹائم ونڈو کے ساتھ شارٹ ٹائم فورئیر ٹرانسفارم (ایس ٹی ایف ٹی) کے زمرے سے ہے۔ کے زیڈ ایف ٹی کمپیوٹر بے ترتیب نمبر جنریٹر کے نتیجے میں سفید شور کی مستقل سپیکٹرم کثافت سے چھوٹے انحراف کو آسانی سے بے نقاب کرتا ہے۔ اس طرح کے کمپیوٹر کی بے ترتیب تعداد کی نسلیں طویل عرصے میں پیش گوئی کے قابل ہو جاتی ہیں۔ کولموگوروف کی پیچیدگی بے ترتیب نمبروں کے غیر متوقع ترتیبات پیدا کرنے کا موقع فراہم کرتی ہے۔ رسمی طور پر، ہمارے پاس ایک عمل ہے، m اور k پیرامیٹرز کے ساتھ KZFT فلٹر، فریکوئنسی ν0 پر شمار کیا جاتا ہے، ایک آؤٹ پٹ عمل پیدا کرتا ہے، جس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: جہاں اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے:،،.،، اور کثیر الجہتی گتانک اس کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ بظاہر فلٹر عمل میں فلٹر کے اطلاق کے برابر ہے۔ اسی طرح، کے زیڈ ایف ٹی فلٹر کو کے زیڈ فلٹر کی طرح تکرار کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ کے زیڈ ایف ٹی کے مربع کی اوسط ایس ادوار کے دوران وقت میں مومنٹ ٹی کے ارد گرد 2 ایس آر 0 مشاہدات کی بنیاد پر فریکوئنسی ν0 یا کے زیڈ پیریڈوگرام (کے زیڈ پی) پر لہر کے مربع طول و عرض کا تخمینہ فراہم کرے گی: کے زیڈ ایف ٹی کی ٹرانسفر فنکشن شکل 2 میں فراہم کی گئی ہے جس میں بینڈوتھ کے ساتھ بہت تیز فریکوئنسی ریزولوشن ہے۔ ایک پیچیدہ قدر والے عمل کے لیے، نتیجہ تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ ایک حقیقی قدر والے عمل کے لیے، یہ حقیقی اور پیچیدہ ڈومینز میں توانائی کو یکساں طور پر تقسیم کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک ہی تعدد ν0 پر کوسائن یا سائن لہر کی تشکیل نو کرتا ہے۔ اس کے بعد تعدد ν0 کے ساتھ کسی نامعلوم لہر کے طول و عرض اور مرحلے کو صحیح طریقے سے دوبارہ تشکیل دیتا ہے۔ نیچے دی گئی شکل کے زیڈ ایف ٹی فلٹریشن کی پاور ٹرانسفر فنکشن فراہم کر رہی ہے۔ یہ واضح طور پر ظاہر کرتا ہے کہ اس نے دلچسپی کی تعدد ν0 = 0.4 کو مکمل طور پر قبضہ کر لیا ہے اور عملی طور پر سائیڈ لوبز سے کوئی سپیکٹرم رساو فراہم نہیں کرتا ہے جو فلٹریشن کے پیرامیٹر k کے ذریعے کنٹرول کرتا ہے۔ عملی مقاصد کے لیے 3 سے 5 کی حد کے اندر کے کا انتخاب عام طور پر کافی ہوتا ہے، جب باقاعدہ ایف ایف ٹی (کے = 1) تقریبا 5 فیصد کا مضبوط رساو فراہم کر رہا ہو۔ مثال: گمشدہ اقدار کے ساتھ ڈیٹا سیٹس کے سپیکٹرے کا درست تعین کرنے کے لیے کے زیڈ ایف ٹی الگورتھم کی صلاحیت کی جانچ کرنے کے لیے مصنوعی سگنل نارمل بے ترتیب شور این (0,16) کا استعمال کیا گیا۔ عملی غور و فکر کے لیے، گمشدہ اقدار کا فیصد p = 70 ٪ پر اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا کہ آیا سپیکٹرم غالب تعدد کو پکڑنا جاری رکھ سکتا ہے۔ m = 600 اور k = 3 تکرار کی وسیع تر ونڈو لمبائی کا استعمال کرتے ہوئے، مصنوعی طول البلد ڈیٹا سیٹ کے لیے سپیکٹرم کا تعین کرنے کے لیے انکولی طور پر ہموار KZP الگورتھم کا استعمال کیا گیا۔ شکل 3 میں یہ واضح ہے کہ فی یونٹ وقت 0.08 اور 0.10 چکروں کی غالب تعدد سگنل کی موروثی تعدد کے طور پر قابل شناخت ہیں۔ طول البلد مشاہدات کے اعلی شور میں سرایت شدہ اصل سگنل کی KZFT تعمیر نو (گمشدہ شرح 60 ٪۔) آر سافٹ ویئر کے کے زیڈ اے پیکیج میں کے زیڈ ایف ٹی فلٹر میں ایک پیرامیٹر f = فریکوئنسی ہے۔ سپیکٹرم میں پائے جانے والے ہر معروف غالب تعدد کے لیے اس پیرامیٹر کی وضاحت کرتے ہوئے، ہر تعدد (0.08 اور 0.10 سائیکل فی یونٹ ٹائم) کے بارے میں سگنل کی تشکیل نو کے لیے m = 300 اور k = 3 پیرامیٹرز کے ساتھ KZFT فلٹر کریں۔ دوبارہ تعمیر شدہ سگنل کا تعین کے زیڈ ایف ٹی فلٹر کو دو بار (ایک بار ہر غالب تعدد کے بارے میں) لگا کر اور پھر ہر فلٹر کے نتائج کا خلاصہ کرکے کیا گیا۔ حقیقی سگنل اور دوبارہ تعمیر شدہ سگنل کے درمیان ارتباط 96.4% تھا ؛ شکل 4 میں دکھایا گیا ہے۔ اصل مشاہدات پیچیدہ، پوشیدہ دورانیے کا کوئی اندازہ فراہم نہیں کرتے ہیں، جسے الگورتھم کے ذریعے مکمل طور پر دوبارہ تعمیر کیا گیا تھا۔ خام ڈیٹا اکثر پوشیدہ تعدد پر مشتمل ہوتا ہے۔ چند مقررہ تعدد لہروں کا امتزاج اشاروں کے مرکب کی شناخت کو پیچیدہ بنا سکتا ہے، لیکن پھر بھی وقت کے ساتھ پیش گوئی کے قابل رہتا ہے۔ اشاعتوں سے پتہ چلتا ہے کہ ماحولیاتی دباؤ چاند کی کشش ثقل اور سورج کی روزانہ کی مدت کے نتیجے میں پوشیدہ دورانیے پر مشتمل ہے۔ ماحولیاتی سمندری لہروں کے ان وقتا فوقتا آنے والے اشاروں کی تعمیر نو انتہائی موسم میں موجود بہت سی بے ضابطگیوں کی وضاحت اور پیش گوئی کی اجازت دیتی ہے۔ سیاروں کی کشش ثقل کے نتیجے میں سورج پر اسی طرح کی سمندری لہریں موجود ہونی چاہئیں۔ سورج کی اپنے محوروں کے گرد گردش ایک کرنٹ کا سبب بنے گی، جو زمین پر استوائی کرنٹ کی طرح ہے۔ کرنٹ کے ارد گرد خلل یا کنارے سورج کی سطح پر بے ضابطگیوں کا سبب بنیں گے۔ انتہائی مقناطیسی پلازما میں افقی گردش کے کنارے ایک عمودی دھماکہ پیدا کریں گے جو گہرے، گرم پلازما کو سورج کی سطح کے اوپر لے جائے گا۔ ہر سیارہ سورج پر ایک مخصوص تعدد کے ساتھ ایک سمندری لہر پیدا کرتا ہے۔ بعض اوقات کوئی بھی دو لہریں مرحلے میں آئیں گی اور دیگر اوقات مرحلے سے باہر ہوں گی۔ نتیجے میں آنے والا طول و عرض مختلف تعدد کے ساتھ ارتعاش کرے گا۔ ڈی زیڈ الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے سن اسپاٹ ڈیٹا کے سپیکٹرم کا تخمینہ 9.9 اور 11.7 سال کے قریب وقفوں کے ساتھ دو تیز فریکوئنسی لائنیں فراہم کرتا ہے۔ ان تعدد لائنوں کو جپٹر اور سیٹرن (9.9) اور وینس اور زمین (11.7) کی وجہ سے ہونے والی تعدد کے فرق کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ 9. 9 اور 11.7 کے درمیان فرق تعدد 64 سال کی مدت کے ساتھ تعدد پیدا کرتا ہے۔ ان تمام ادوار کی شناخت سن اسپاٹ ڈیٹا میں کی جا سکتی ہے۔ 64 سالہ مدت کا جزو فی الحال زوال پذیر موڈ میں ہے۔ یہ زوال مستقبل قریب میں زمین پر ٹھنڈک کا اثر ڈال سکتا ہے۔ متعدد سیاروں کے مشترکہ اثرات کا معائنہ سورج کی سرگرمی میں کچھ طویل ادوار کو ظاہر کر سکتا ہے اور زمین پر آب و ہوا کے اتار چڑھاؤ کی وضاحت کرنے میں مدد کر سکتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر کا کے زیڈ اے انکولی ورژن، جسے کے زیڈ انکولی (کے زیڈ اے) فلٹر کہا جاتا ہے، بھاری شور سے ڈھکے غیر پیرامیٹرک سگنلز میں وقفوں کی تلاش کے لیے تیار کیا گیا تھا۔ کے زیڈ اے فلٹر سب سے پہلے ممکنہ وقت کے وقفوں کی نشاندہی کرتا ہے جب وقفہ ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ ونڈو کے سائز کو کم کرکے ان وقت کے وقفوں کا زیادہ احتیاط سے جائزہ لیتا ہے تاکہ ہموار نتائج کا حل بڑھے۔ بریک پوائنٹ کا پتہ لگانے کی ایک مثال کے طور پر، ہم ایک طویل مدتی رجحان کی تقلید کرتے ہیں جس میں موسمی اور شور میں دفن وقفہ ہوتا ہے۔ شکل 2 ایک موسمی سائن لہر کا ایک پلاٹ ہے جس کا طول و عرض 1 یونٹ ہے، عام طور پر تقسیم شدہ شور ()، اور وقفے کے ساتھ بیس سگنل ہے۔ چیزوں کو مزید مشکل بنانے کے لیے، بیس سگنل میں 1 یونٹ کا مجموعی طور پر نیچے کی طرف رجحان اور 0.5 یونٹ کا اوپر کی طرف وقفہ ہوتا ہے۔ نیچے کی طرف رجحان اور وقفہ اصل اعداد و شمار میں شاید ہی نظر آتے ہیں۔ بیس سگنل ایک سٹیپ فنکشن ہے، ساتھ اور ساتھ۔ اصل ڈیٹا پر لو پاس ہموار کرنے والے فلٹر کے اطلاق کے نتیجے میں وقفے کو زیادہ ہموار کیا جاتا ہے جیسا کہ شکل 6 میں دکھایا گیا ہے۔ وقفے کی پوزیشن اب واضح نہیں ہے۔ کے زیڈ فلٹر (کے زیڈ اے) کے انکولی ورژن کے استعمال سے وقفہ ملتا ہے جیسا کہ شکل 5 بی میں دکھایا گیا ہے۔ کے زیڈ اے کی تعمیر تکرار شدہ ہموار فلٹر کے زیڈ کے انکولی ورژن پر مبنی ہے۔ خیال یہ ہے کہ KZ کے ساتھ پائے جانے والے رجحانات کی بنیاد پر فلٹرنگ ونڈو کا سائز تبدیل کیا جائے۔ یہ فلٹر کو ان علاقوں میں زوم کرنے کا سبب بنے گا جہاں ڈیٹا تبدیل ہو رہا ہے۔ تبدیلی جتنی تیز ہوگی، زوم اتنا ہی سخت ہوگا۔ کے زیڈ اے کی تعمیر میں پہلا قدم کے زیڈ کا استعمال کرنا ہے۔ جہاں کے تکرار ہے اور کیو فلٹر کی لمبائی ہے، جہاں ایک تکرار حرکت پذیری اوسط ہے جہاں اصل ڈیٹا اور فلٹر شدہ ڈیٹا ہیں۔ یہ نتیجہ فلٹر کا انکولی ورژن بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ فلٹر بالترتیب سر اور دم (qf اور qb) پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں f = سر اور b = دم) ڈیٹا کے جواب میں سائز میں ایڈجسٹ ہوتا ہے، مؤثر طریقے سے ان علاقوں کو زوم کرتا ہے جہاں ڈیٹا تیزی سے تبدیل ہو رہا ہے۔ ڈیٹا میں وقفے کے جواب میں ہیڈ کیو ایف سکڑ جاتا ہے۔ KZ سے بنایا گیا فرق ویکٹر ؛ مشتق 'کے مجرد مساوی کو تلاش کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ نتیجہ فلٹرنگ ونڈو کے سر اور دم (بالترتیب qf اور qb) کے سائز کا تعین کرتا ہے۔ اگر ڈھلوان مثبت ہے تو سر سکڑ جائے گا اور دم مکمل سائز ('، پھر اور) کے ساتھ پھیل جائے گی۔ اگر ڈھلوان منفی ہے تو کھڑکی کا سر مکمل سائز کا ہوگا جبکہ دم سکڑ جائے گی ('، پھر اور۔ کے زیڈ اے کا تفصیلی کوڈ دستیاب ہے۔ کے زیڈ اے الگورتھم میں غیر پیرامیٹرک نقطہ نظر کے تمام عام فوائد ہیں۔ اس کے لیے زیر تفتیش ٹائم سیریز کے کسی مخصوص ماڈل کی ضرورت نہیں ہے۔ یہ بھاری شور سے ڈھکے ہوئے کسی بھی نوعیت کے کم فریکوئنسی سگنل پر اچانک تبدیلیوں کی تلاش کرتا ہے۔ کے زیڈ اے بریک کا پتہ لگانے کے لیے بہت زیادہ حساسیت ظاہر کرتا ہے، یہاں تک کہ بہت کم سگنل سے شور کے تناسب کے ساتھ بھی ؛ وقفے کے وقت کا پتہ لگانے کی درستگی بھی بہت زیادہ ہے۔ شور والی دو جہتی تصاویر کو بحال کرنے کے لیے کے زیڈ اے الگورتھم کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک دو سطحی فنکشن f (x، y) ہو سکتا ہے جو کہ ایک سیاہ اور سفید تصویر ہو جسے شدید شور سے نقصان پہنچا ہو، یا ایک کثیر سطحی رنگین تصویر ہو سکتی ہے۔ بریک (رنگ کی تبدیلی) کا پتہ لگانے کے لیے KZA کو لائن بہ لائن لگایا جا سکتا ہے، پھر مختلف لائنوں پر بریک پوائنٹس کو باقاعدہ KZ فلٹر کے ذریعے ہموار کیا جائے گا۔ مقامی KZA کا مظاہرہ شکل 7 میں فراہم کیا گیا ہے۔ سپیکٹرم میں تیز فریکوئنسی لائنوں کے تعین کا تعین انکولی طور پر ہموار پیریڈوگرام کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ الگورتھم کا مرکزی خیال KZ پیریڈوگرام کے لوگارتھم کو موافقت کے ساتھ ہموار کرنا ہے۔ ہموار کرنے کی حد کل اینٹروپی سے مشروط اینٹروپی کے کچھ مقررہ فیصد کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے۔ تقریبا بولتے ہوئے، الگورتھم فریکوئنسی پیمانے کے بجائے انفارمیشن پیمانے پر یکساں طور پر کام کرتا ہے۔ یہ الگورتھم KZP میں پیرامیٹر k = 1 کے لیے ڈیرنزو-زربینکو الگورتھم کے طور پر بھی جانا جاتا ہے اور سافٹ ویئر میں فراہم کیا جاتا ہے۔ مقامی کے زیڈ فلٹر مقامی کے زیڈ فلٹر کو وقت اور جگہ میں ریکارڈ شدہ متغیر پر لگایا جا سکتا ہے۔ فلٹر کے پیرامیٹرز کو وقت اور جگہ میں الگ سے منتخب کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر جسمانی احساس کا اطلاق کیا جا سکتا ہے کہ خلا میں اوسط کا کون سا پیمانہ معقول ہے اور وقت میں اوسط کا کون سا پیمانہ معقول ہے۔ پیرامیٹر k فلٹر کے ریزولوشن کی تیز رفتار کو کنٹرول کر رہا ہے یا فریکوئنسی کے رساو کو دبا رہا ہے۔ مقامی کے زیڈ فلٹر کے لیے الگورتھم آر سافٹ ویئر میں دستیاب ہیں۔ نتائج کے وقت کے پیرامیٹر کو ورچوئل ٹائم سمجھا جا سکتا ہے، پھر خلا میں فلٹریشن کے نتائج کی تصاویر کو ورچوئل ٹائم میں "مووی" کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ ہم وقت t، طول البلد x اور عرض البلد y کی تقریب کے طور پر درجہ حرارت T (t، x، y) کے عالمی ریکارڈ پر لاگو 3D مقامی KZ فلٹر کے اطلاق کا مظاہرہ کر سکتے ہیں۔ عالمی آب و ہوا کے اتار چڑھاؤ کے اجزاء کے پیرامیٹرز کو منتخب کرنے کے لیے وقت t کے لیے 25 ماہ، طول بلد کے لیے 3° اور عرض بلد کے لیے کے زیڈ فلٹریشن کا انتخاب کیا گیا۔ پیمانہ k کو ترازو کی قراردادوں کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے 5 کے برابر منتخب کیا گیا تھا۔ نتیجہ "مووی" کی واحد سلائیڈ نیچے شکل 8 میں فراہم کی گئی ہے۔ وقت اور جگہ میں آب و ہوا کے اتار چڑھاؤ کی نشاندہی کرنے کے لیے عرض البلد کے ساتھ کم معیاری اوسط کوسین مربع درجہ حرارت کی تقسیم کو گھٹا دیا گیا۔ ہم 2007 کے لیے گلوب پر کوسین مربع قانون سے درجہ حرارت کے اتار چڑھاؤ کی بے ضابطگیاں دیکھ سکتے ہیں۔ درجہ حرارت کی بے ضابطگیاں دائیں طرف اعداد و شمار کے پیمانے میں فراہم کردہ گلوب پر ظاہر ہوتی ہیں۔ یہ یورپ اور شمالی افریقہ میں بہت زیادہ مثبت بے ضابطگی ظاہر کرتا ہے، جو پچھلے 100 سالوں سے بڑھ رہے تھے۔ مطلق نمی متغیر اہم علاقائی آب و ہوا کی تبدیلیوں کی ذمہ داری برقرار رکھے ہوئے ہے کیونکہ اسے حال ہی میں زربینکو اگور اور اسمتھ ڈیوین نے کولموگوروف-زربینکو فلٹرز میں اسپاٹیوٹیمپورل تجزیہ میں ظاہر کیا تھا۔ کے زیڈ فلٹریشن کے نتیجے "مووی" میں وہ بے ضابطگیاں وقت کے ساتھ آہستہ آہستہ تبدیل ہو رہی ہیں، مشاہدہ شدہ بے ضابطگیوں کی سست شدت کی نشاندہی وقت کے ساتھ کی گئی۔ مختلف پیمانوں کے اتار چڑھاؤ جیسے ایل نینو پیمانے اور دیگر کی شناخت مقامی کے زیڈ فلٹریشن سے بھی کی جا سکتی ہے۔ ان ترازو کی ہائی ڈیفینیشن "مووی" شمالی امریکہ میں فراہم کی جاتی ہے۔ مختلف متغیر کے لیے کے زیڈ فلٹریشن کے ذریعے مختلف پیمانوں کا انتخاب کیا جا سکتا ہے اور متعلقہ ملٹی ویریٹ تجزیہ دیگر کوویریٹس کے مقابلے میں متغیر نتائج کی تحقیقات کے لیے اعلی کارکردگی کے نتائج فراہم کر سکتا ہے۔ کے زیڈ فلٹر ریزولوشن روایتی طریقوں کے مقابلے میں غیر معمولی طور پر اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے اور درحقیقت کمپیوٹیشنل طور پر بہترین ہے۔ نفاذ ڈبلیو یانگ اور آئی زربینکو۔ kzft: کولموگوروف-زربینکو فورئیر ٹرانسفارم اور ایپلی کیشن۔ آر پیکج، 2006۔ بی۔ بند کریں اور میں۔ زربینکو۔ kza: تصویر کا پتہ لگانے کے لیے کولموگوروف-زربینکو انکولی الگورتھم۔ R پیکیج، 2016 (https://cran.r-project.org/web/packages/kza) اینڈریاس ویلر اور مائیکل گروسنکلاس (یونیورسٹی آف کونسٹنز، جرمنی) کی 1 جہتی صفوں کے لیے KZ اور KZA جاوا کا نفاذ (https://web.archive.org/web/20140914054417/http:// dbis. uni-konstanz.de/research/social-media-stream-analysis) میتھیو شوفر (یونیورسٹی آف لوزان، سوئٹزرلینڈ) کے KZ، KZFT اور KZP کا ازگر کا نفاذ (https://github.com/MathieuSchopfer/kolmogorov-zurbenko-filter) حوالہ جات شماریاتی سگنل پروسیسنگ فلٹر تھیوری