Multipole radiation
کثیر قطبی تابکاری دور دراز ذرائع کی وقت پر منحصر تقسیم سے برقی مقناطیسی یا کشش ثقل کی تابکاری کی وضاحت کے لیے ایک نظریاتی ڈھانچہ ہے۔ ان آلات کا اطلاق جسمانی مظاہر پر کیا جاتا ہے جو مختلف لمبائی کے پیمانوں پر پائے جاتے ہیں-کہکشاں کے تصادم کی وجہ سے کشش ثقل کی لہروں سے لے کر جوہری انحطاط کے نتیجے میں گاما تابکاری تک۔ ملٹی پول تابکاری کا تجزیہ اسی طرح کی ملٹی پول توسیعی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے جو جامد ذرائع سے فیلڈز کو بیان کرتی ہیں، تاہم تجزیہ کی تفصیلات میں اہم اختلافات ہیں کیونکہ ملٹی پول تابکاری کے فیلڈز جامد فیلڈز سے بالکل مختلف سلوک کرتے ہیں۔ یہ مضمون بنیادی طور پر برقی مقناطیسی کثیر قطبی تابکاری سے متعلق ہے، حالانکہ کشش ثقل کی لہروں کا علاج ایک جیسا ہے۔ برقی مقناطیسی تابکاری برقی چارج اور برقی کرنٹ کے ماخذ نظام کی ساختی تفصیلات پر منحصر ہے۔ اگر ساخت نامعلوم یا پیچیدہ ہو تو براہ راست تجزیہ ناقابل تلافی ہو سکتا ہے۔ ملٹی پول تجزیہ تابکاری کو بڑھتی ہوئی پیچیدگی کے لمحات میں الگ کرنے کا ایک طریقہ پیش کرتا ہے۔ چونکہ برقی مقناطیسی میدان اعلی ترتیب کے لمحات کے مقابلے میں نچلے ترتیب کے لمحات پر زیادہ انحصار کرتا ہے، اس لیے ساخت کو تفصیل سے جانے بغیر برقی مقناطیسی میدان کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ کثیر قطبی تابکاری کی خصوصیات لمحات کی لکیریتا چونکہ میکسویل کی مساوات لکیری ہیں، اس لیے برقی میدان اور مقناطیسی میدان ماخذ کی تقسیم پر لکیری طور پر منحصر ہیں۔ لکیریٹی مختلف ملٹی پول لمحات کے فیلڈز کو آزادانہ طور پر شمار کرنے اور نظام کی کل فیلڈ دینے کے لیے ایک ساتھ شامل کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ یہ سپرپوزیشن کا معروف اصول ہے۔ ملٹی پول لمحات کا اصل انحصار ملٹی پول لمحات کا حساب ایک مقررہ توسیعی نقطہ کے حوالے سے کیا جاتا ہے جسے کسی دیئے گئے کوآرڈینیٹ سسٹم کی ابتدا سمجھا جاتا ہے۔ اصل کا ترجمہ کرنے سے نظام کے کثیر قطبی لمحات میں تبدیلی آتی ہے سوائے پہلے غیر غائب ہونے والے لمحے کے۔ مثال کے طور پر، چارج کا مونو پول لمحہ محض نظام میں کل چارج ہوتا ہے۔ اصل کو تبدیل کرنا اس لمحے کبھی نہیں بدلے گا۔ اگر مونو پول مومنٹ صفر ہے تو نظام کا ڈائپول مومنٹ ترجمہ غیر متغیر ہوگا۔ اگر مونوپول اور ڈائپول دونوں لمحات صفر ہیں تو کواڈروپول لمحہ ترجمہ غیر متغیر ہے، اور اسی طرح۔ چونکہ اعلی درجے کے لمحات اصل کی پوزیشن پر منحصر ہوتے ہیں، اس لیے انہیں نظام کی غیر متغیر خصوصیات نہیں سمجھا جا سکتا۔ فاصلے پر فیلڈ کا انحصار کثیر قطبی لمحے سے فیلڈ کا انحصار کوآرڈینیٹ سسٹم کے حوالے سے اصل سے فاصلے اور تشخیصی نقطہ کی کونیی واقفیت دونوں پر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ایک ساکن قطبی پیمانے سے برقی مقناطیسی میدان کا شعاعی انحصار۔ یعنی برقی مونو پول مومنٹ اسکیل سے برقی میدان الٹا فاصلہ مربع کے طور پر ہوتا ہے۔ اسی طرح، برقی دو قطبی مومنٹ ایک ایسا فیلڈ بناتا ہے جو الٹا فاصلہ کیوبڈ وغیرہ کے طور پر اسکیل کرتا ہے۔ جیسے جیسے فاصلہ بڑھتا ہے، ہائی آرڈر لمحات کی شراکت لو آرڈر لمحات کی شراکت سے بہت کم ہو جاتی ہے، اس لیے حساب کو آسان بنانے کے لیے ہائی آرڈر لمحات کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ تابکاری لہروں کا شعاعی انحصار جامد شعبوں سے مختلف ہے کیونکہ یہ لہریں توانائی کو نظام سے دور لے جاتی ہیں۔ چونکہ توانائی کو محفوظ رکھنا ضروری ہے، سادہ ہندسی تجزیہ سے پتہ چلتا ہے کہ کروی تابکاری، رداس کی توانائی کی کثافت کو اس طرح پیمانے پر ہونا چاہیے۔ جیسے جیسے ایک کروی لہر پھیلتی ہے، لہر کی مقررہ توانائی کو سطح کے رقبے کے پھیلتے ہوئے دائرے میں پھیلنا چاہیے۔ اس کے مطابق، وقت پر منحصر ہر کثیر قطبی لمحے کو تابکار توانائی کی کثافت میں حصہ ڈالنا چاہیے جو لمحے کی ترتیب سے قطع نظر پیمائش کرتا ہے۔ لہذا، ہائی آرڈر لمحات کو اتنی آسانی سے ضائع نہیں کیا جا سکتا جتنا کہ جامد صورت میں ہوتا ہے۔ اس کے باوجود، کسی نظام کے کثیر قطبی گتانک عام طور پر بڑھتی ہوئی ترتیب کے ساتھ کم ہو جاتے ہیں، عام طور پر، اس لیے تابکاری کے شعبوں کو اب بھی اعلی ترتیب کے لمحات کو کاٹ کر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ وقت پر منحصر برقی مقناطیسی میدان ذرائع وقت پر منحصر ذرائع کی تقسیم کا اظہار فورئیر تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ یہ علیحدہ تعدد کو آزادانہ طور پر تجزیہ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ چارج کی کثافت اور موجودہ کثافت کی طرف سے دی جاتی ہے۔ سہولت کے لیے، اس نقطہ سے آگے صرف ایک کونیی تعدد ω پر غور کیا جاتا ہے۔ اس طرح متعدد تعدد کے نتائج کو عام کرنے کے لیے سپرپوزیشن اصول کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ ویکٹر کی مقدار بولڈ میں ظاہر ہوتی ہے۔ جسمانی مقداروں کی نمائندگی کرنے کے لیے پیچیدہ مقداروں کے حقیقی حصے کو لینے کا معیاری رواج استعمال کیا جاتا ہے۔ ابتدائی ذرات کی اندرونی کونیی رفتار (دیکھیں اسپن (طبیعیات)) کچھ ماخذ مواد سے برقی مقناطیسی تابکاری کو بھی متاثر کر سکتی ہے۔ ان اثرات کو مدنظر رکھتے ہوئے، نظام کی اندرونی مقناطیسیت کو مدنظر رکھنا ہوگا۔ تاہم سادگی کے لیے، ان اثرات کو عمومی کثیر قطبی تابکاری کی بحث کے لیے موخر کر دیا جائے گا۔ ذرائع کی تقسیم کو وقت پر منحصر برقی صلاحیت اور مقناطیسی صلاحیت φ اور A بالترتیب حاصل کرنے کے لیے مربوط کیا جا سکتا ہے۔ فارمولوں کا اظہار لورینز گیج میں ایس آئی اکائیوں میں کیا جاتا ہے۔ ان فارمولوں میں c خلا میں روشنی کی رفتار ہے، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہے، اور ماخذ نقطہ x′ سے تشخیصی نقطہ x تک یوکلڈین فاصلہ ہے۔ پیداوار کے اوپر وقت پر منحصر منبع کی تقسیم کو مربوط کرنا۔ یہ فارمولے کثیر قطبی تابکاری کے تجزیے کی بنیاد فراہم کرتے ہیں۔ قریب کے میدان میں کثیر قطبی توسیع قریب کا میدان کسی ماخذ کے ارد گرد کا وہ خطہ ہے جہاں برقی مقناطیسی میدان کا نیم مستحکم انداز میں جائزہ لیا جا سکتا ہے۔ اگر ملٹی پول اصل سے ہدف کا فاصلہ تابکاری کی طول موج سے بہت کم ہے، تو۔ نتیجے کے طور پر، اس خطے میں ایکسپونینشیل کا تخمینہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے: ٹیلر کی توسیع دیکھیں۔ اس تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے، بقیہ انحصار وہی ہے جو ایک جامد نظام کے لیے ہے، وہی تجزیہ لاگو ہوتا ہے۔ بنیادی طور پر، قریب کے میدان میں صلاحیت کا اندازہ صرف نظام کا ایک سنیپ شاٹ لے کر اور اسے جامد مان کر کیا جا سکتا ہے-اس لیے اسے نیم جامد کہا جاتا ہے۔ قریب اور دور فیلڈ اور ملٹی پول توسیع دیکھیں۔ خاص طور پر، الٹا فاصلہ کروی ہم آہنگی کا استعمال کرتے ہوئے بڑھایا جاتا ہے جو کروی کثیر قطبی گتانک حاصل کرنے کے لیے الگ سے مربوط ہوتے ہیں۔ دور کے میدان میں کثیر قطبی توسیع: کثیر قطبی تابکاری اعلی تعدد ماخذ سے بڑے فاصلے پر، درج ذیل تخمینے ہوتے ہیں: چونکہ بڑے فاصلے پر صرف پہلے درجے کی اصطلاح اہم ہوتی ہے، اس لیے توسیعات یکجا ہو کر ایک مختلف کثیر قطبی لمحے سے مطابقت رکھنے والی ہر طاقت دیتی ہیں۔ پہلے چند لمحات کا براہ راست ذیل میں جائزہ لیا گیا ہے۔ برقی مونوپول تابکاری، عدم وجود صفر ترتیب کی اصطلاح، اسکیلر پوٹینشل پر لاگو ہوتی ہے جہاں کل چارج فریکوئنسی پر ارتعاش کرنے والا برقی مونوپول مومنٹ ہوتا ہے۔ چارج کے تحفظ کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ اگر نظام بند ہے تو کل چارج میں اتار چڑھاؤ نہیں آسکتا ہے جس کا مطلب ہے کہ ارتعاش طول و عرض q صفر ہونا چاہیے۔ اس لیے۔ متعلقہ فیلڈز اور تابکار طاقت بھی صفر ہونی چاہیے۔ برقی دو قطبی تابکاری برقی دو قطبی ممکنہ برقی دو قطبی تابکاری ویکٹر صلاحیت پر صفر ترتیب کی اصطلاح کا اطلاق کرکے حاصل کی جا سکتی ہے۔ حصوں کی پیداوار اور چارج تسلسل مساوات کے ذریعہ انضمام سے پتہ چلتا ہے کہ اس کے بعد اسکیلر پوٹینشل پر فرسٹ آرڈر کی اصطلاح کو لاگو کرکے اسی طرح کے نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ نظام کے برقی دو قطبی مومنٹ کا طول و عرض ہے، جو صلاحیت کو برقی دو قطبی شعبوں کے طور پر ظاہر کرنے کی اجازت دیتا ہے ایک بار وقت پر منحصر صلاحیت کو سمجھنے کے بعد، وقت پر منحصر برقی میدان اور مقناطیسی میدان کا حساب معمول کے مطابق کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، یا خلا کے ماخذ سے پاک علاقے میں، مقناطیسی میدان اور برقی میدان کے درمیان تعلق کو یہ حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ خالی جگہ کی رکاوٹ کہاں ہے۔ برقی اور مقناطیسی میدان جو اوپر کی صلاحیتوں سے مطابقت رکھتے ہیں وہ کروی تابکاری کی لہروں کے مطابق ہوتے ہیں۔ خالص برقی دو قطبی طاقت طاقت کی کثافت، توانائی فی یونٹ رقبہ فی یونٹ وقت، پوائنٹنگ ویکٹر کے ذریعے ظاہر کی جاتی ہے۔ اس کے بعد وقت کی اوسط طاقت کی کثافت فی یونٹ ٹھوس زاویہ کے ذریعہ دی جاتی ہے ڈاٹ پروڈکٹ اخراج کی شدت کو نکالتا ہے اور 1/2 کا عنصر وقت کے ساتھ اوسط سے آتا ہے۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، تابکاری توانائی کی کثافت کے شعاعی انحصار کو منسوخ کرتا ہے۔ خالص برقی ڈایٔی پول پر اطلاق یہ بتاتا ہے کہ جہاں θ کی پیمائش کی جاتی ہے۔ کسی دائرے پر انضمام سے تابکاری کی کل طاقت حاصل ہوتی ہے: مقناطیسی دو قطبی تابکاری مقناطیسی دو قطبی صلاحیت ویکٹر صلاحیت پر لاگو ہونے والی پہلی ترتیب کی اصطلاح، مقناطیسی دو قطبی تابکاری اور برقی کواڈروپول تابکاری دیتی ہے۔ انٹیگرینڈ کو J اور x′ میں سمیٹرک اور اینٹی سمیٹرک حصوں میں الگ کیا جا سکتا ہے۔ دوسری اصطلاح میں کرنٹ کی وجہ سے موثر مقناطیسیت ہوتی ہے اور انضمام مقناطیسی دو قطبی مومنٹ دیتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس کی شکل اسی طرح کی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ مقناطیسی ڈایپول سے مقناطیسی میدان برقی ڈایپول سے برقی میدان کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ اسی طرح، مقناطیسی دو قطبی سے برقی میدان برقی دو قطبی سے مقناطیسی میدان کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ پچھلے نتائج پر تبدیلیاں لینے سے مقناطیسی دو قطبی نتائج برآمد ہوتے ہیں۔ مقناطیسی ڈایٔی پول فیلڈز خالص مقناطیسی ڈایٔی پول پاور مقناطیسی ڈایٔی پول کے ذریعے فی یونٹ ٹھوس زاویے سے خارج ہونے والی اوسط طاقت وہ جگہ ہے جہاں θ کو مقناطیسی ڈایٔی پول کے حوالے سے ماپا جاتا ہے۔ برقی کواڈروپول تابکاری برقی کواڈروپول پوٹینشل پچھلے حصے سے انٹیگرینڈ کے سمیٹرک حصے کو حصوں اور چارج تسلسل مساوات کے ذریعے انضمام کا اطلاق کرکے حل کیا جا سکتا ہے جیسا کہ برقی دو قطبی تابکاری کے لیے کیا گیا تھا۔ یہ ٹریس لیس الیکٹرک کواڈروپول مومنٹ ٹینسر سے مطابقت رکھتا ہے۔ دوسرے اشاریہ کو نارمل ویکٹر کے ساتھ معاہدہ کرنے سے ویکٹر کی صلاحیت کو برقی کواڈروپول فیلڈز کے طور پر ظاہر کرنے کی اجازت ملتی ہے جس کے نتیجے میں مقناطیسی اور برقی فیلڈز یہ ہیں: خالص برقی کواڈروپول پاور برقی کواڈروپول کے ذریعہ فی یونٹ ٹھوس زاویے سے خارج ہونے والی اوسط طاقت وہ جگہ ہے جہاں θ کو مقناطیسی ڈائپول کے حوالے سے ماپا جاتا ہے۔ تابکاری کی جانے والی کل طاقت یہ ہے: عمومی کثیر قطبی تابکاری جیسے جیسے ماخذ کی تقسیم کا کثیر قطبی لمحہ بڑھتا ہے، اب تک استعمال کیے گئے براہ راست حسابات جاری رکھنا بہت مشکل ہو جاتے ہیں۔ اعلی لمحات کے تجزیے کے لیے زیادہ عمومی نظریاتی مشینری کی ضرورت ہوتی ہے۔ پہلے کی طرح، ایک واحد ماخذ تعدد پر غور کیا جاتا ہے۔ لہذا چارج، کرنٹ، اور اندرونی مقناطیسی کثافت بالترتیب اس کے ذریعہ دی جاتی ہیں۔ نتیجے میں پیدا ہونے والے برقی اور مقناطیسی میدان ذرائع کی طرح ہی وقت پر انحصار کرتے ہیں۔ ان تعریفیں اور تسلسل کی مساوات کا استعمال میکسویل کی مساوات کو اس طرح لکھنے کی اجازت دیتا ہے کہ ان مساوات کو آخری مساوات کے کرل کو لے کر اور شناخت کو لاگو کرکے جوڑا جا سکتا ہے۔ یہ غیر یکساں ہیلم ہولٹز مساوات کی ویکٹر شکلیں دیتا ہے۔ لہر مساوات کے حل یکساں لہر مساوات جو ماخذ سے پاک خطے میں تعدد کے ساتھ برقی مقناطیسی تابکاری کو بیان کرتی ہیں اس کی شکل ہوتی ہے۔ ویو فنکشن کو ویکٹر کروی ہم آہنگی کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں عام ویکٹر کروی ہم آہنگی ہیں اور کروی ہینکل افعال ہیں۔ کروی بیسیل فنکشن دیکھیں۔ تفریق آپریٹر خاصیت کے ساتھ کونیی مومنٹم آپریٹر ہے۔ کوفیشنٹس اور بالترتیب پھیلنے اور سکڑنے والی لہروں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ تو تابکاری کے لیے۔ دیگر کوفشنٹس کا تعین کرنے کے لیے، لہر کی مساوات کے لیے گرین فنکشن کا اطلاق ہوتا ہے۔ اگر ماخذ مساوات ہے تو حل یہ ہے: سبز فنکشن کو ویکٹر کروی ہم آہنگی میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ایک تفریقی آپریٹر ہے جو ماخذ فنکشن پر کام کرتا ہے۔ اس طرح، لہر کی مساوات کا حل یہ ہے: برقی کثیر قطبی فیلڈز برقی کثیر قطبی لہر کی مساوات پر مذکورہ بالا حل کو لاگو کرنے سے مقناطیسی میدان کا حل ملتا ہے: برقی میدان یہ ہے: انٹیگرینڈ پر شناختوں کو لاگو کرکے فارمولے کو آسان بنایا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں گرین تھیوریم اور حصوں کے ذریعے انضمام فارمولے کو جوڑتا ہے۔ کروی بیسل فنکشن کو یہ فرض کر کے بھی آسان بنایا جا سکتا ہے کہ تابکاری کی لمبائی کا پیمانہ ماخذ لمبائی کے پیمانے سے بہت بڑا ہے، جو زیادہ تر اینٹینا کے لیے درست ہے۔ صرف سب سے کم ترتیب کی اصطلاحات کو برقرار رکھنے کے نتیجے میں برقی ملٹی پول کوفشنٹس کے لیے آسان شکل میں نتیجہ نکلتا ہے: جامد صورت میں برقی ملٹی پول مومنٹ کی طرح ہے اگر اسے جامد چارج کی تقسیم پر لاگو کیا جائے جبکہ ماخذ مواد کی اندرونی مقناطیسیت سے پیدا ہونے والے برقی ملٹی پول مومنٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ مقناطیسی ملٹی پول فیلڈز مقناطیسی ملٹی پول لہر مساوات کے لیے مندرجہ بالا حل کا اطلاق برقی میدان کے لیے حل فراہم کرتا ہے: مقناطیسی میدان یہ ہے: پہلے کی طرح، فورمولہ آسان بناتا ہے: صرف سب سے کم ترتیب کی اصطلاحات کو برقرار رکھنے سے مقناطیسی ملٹی پول کوفشنٹس کے لیے آسان شکل میں نتیجہ نکلتا ہے: مؤثر مقناطیسیت سے مقناطیسی ملٹی پول مومنٹ ہے جبکہ اندرونی مقناطیسیت سے مطابقت رکھتا ہے۔ عمومی حل برقی اور مقناطیسی ملٹی پول فیلڈز کل فیلڈز دینے کے لیے یکجا ہوتے ہیں: نوٹ کریں کہ ریڈیل فنکشن کو فار فیلڈ کی حد میں آسان بنایا جا سکتا ہے۔ اس طرح تابکاری کا شعاعی انحصار بحال ہو جاتا ہے۔ ملٹی پول توسیع کروی ہم آہنگی ویکٹر کروی ہم آہنگی قریب اور دور فیلڈ کواڈروپول فارمولا حوالہ جات برقی مقناطیسی تابکاری بھی دیکھیں۔