Rule of marteloio
مارٹیلویو کی حکمرانی بحری حساب کی قرون وسطی کی ایک تکنیک ہے جو کمپاس کی سمت، فاصلہ اور ایک سادہ مثلثی میز کا استعمال کرتی ہے جسے ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو کہا جاتا ہے۔ اصول نے ملاحوں کو بتایا کہ ٹولیٹا اور بنیادی ریاضی کی مدد سے مثلثوں کو حل کرنے کے ذریعے دو مختلف نیویگیشن کورسز کے درمیان گزرگاہ کو کیسے پلاٹ کیا جائے۔ جو لوگ اعداد میں ہیرا پھیری سے بے چین ہوتے ہیں وہ بصری ٹنڈو ای کواڈرو (دائرہ اور مربع) کا سہارا لے سکتے ہیں اور تقسیم کاروں کے ساتھ اپنا جواب حاصل کر سکتے ہیں۔ فلکیاتی نیویگیشن کی ترقی سے پہلے 14 ویں اور 15 ویں صدی کے دوران بحیرہ روم کے نیویگیٹرز عام طور پر مارٹیلویو کی حکمرانی کا استعمال کرتے تھے۔ etymology etymology وینیشیائی زبان سے آتی ہے۔ اپنے 1436 کے اٹلس میں، وینس کے کپتان اور نقشہ نگار آندریا بیانکو نے نمبروں کی ایک میز متعارف کروائی جسے انہوں نے ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو ("ٹیبل آف مارٹیلویو") کہا، اور اسے ریکسن ڈی مارٹیلویو ("مارٹیلویو کی وجہ") کے طور پر استعمال کرنے کا طریقہ۔ خود مارٹیلو کے معنی غیر یقینی ہیں۔ سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر قبول شدہ مفروضہ، سب سے پہلے اے ای نے پیش کیا۔ نورڈنسکیلڈ، یہ ہے کہ مارٹیلویو کا تعلق "ہتھوڑا" (وینس میں "مارٹیلو") سے ہے، جو اس چھوٹے ہتھوڑے کا حوالہ دیتا ہے جو وقت گزرنے کو نشان زد کرنے کے لیے جہاز پر سوار جہاز کی گھنٹی کو مارنے کے لیے استعمال ہوتا تھا۔ یہ تجویز کیا گیا ہے کہ-اویو لاحقہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ مارٹیلویو کا مطلب نہ تو بالکل ہتھوڑا ہے اور نہ ہی ہتھوڑا مارنے والا، بلکہ "ہتھوڑا مارنا" ہے، جس کا مقصد ہر چار گھنٹے بعد گھڑی کی تبدیلی سے "ہتھوڑا مارنا، ڈن، ریکیٹ" کی نشاندہی کرنا ہے۔ چونکہ گھڑی کی تبدیلی کے دوران ڈیک پر بہت سے ہاتھ تھے، اس لیے جہاز کے پائلٹ کے لیے یہ ایک موزوں لمحہ ہوگا کہ وہ اثر میں تبدیلی (اگر ضروری ہو) کا حکم دے۔ متبادل مفروضے (جیسا کہ تقریبا قبول نہیں کیا گیا ہے) یہ ہیں کہ "مارٹیلویو" ماری لوگیو (جس کا مطلب ہے "سمندر کی حکمرانی")، یا ماری ٹیلا (جس کا مطلب ہے "سمندری نیٹ ورک") سے ہے، یا یہ کہ یہ یونانی ہومارٹولوجیم (جس کا مطلب ہے "ساتھی ٹکڑا")، یا یونانی امیریلوجیم (جس کا مطلب ہے "روزانہ کا حساب") سے ماخوذ ہے، یا یہ کہ یہ شمالی فرانسیسی میٹیلوٹ سے ہو سکتا ہے، جو بدلے میں بریٹن مارٹولوڈ (جس کا مطلب ہے "ملاح") سے آتا ہے۔ مقصد قرون وسطی میں یورپی نیویگیشن میں "مارٹیلویو کی حکمرانی" کا استعمال کیا گیا تھا، خاص طور پر 14 ویں اور 16 ویں صدی کے درمیان بحیرہ روم میں، حالانکہ اس کی جڑیں پرانی ہو سکتی ہیں۔ جغرافیائی نقاط کی آمد اور یورپ میں آسمانی نیویگیشن کی ترقی سے پہلے یہ "کمپاس اور چارٹ" کے ذریعے نیویگیشن کا ایک لازمی حصہ تھا۔ قرون وسطی کی نیویگیشن دو پیرامیٹرز، سمت اور فاصلے پر منحصر تھی۔ جہاز پر، سمت کا تعین ملاح کے کمپاس سے کیا جاتا تھا (جو 1300 کے آس پاس ابھرا تھا)۔ فاصلے کی پیمائش مردہ حساب سے کی جاتی تھی، (یعنی، فاصلہ = رفتار × وقت)، جہاں وقت کو آدھے گھنٹے کے شیشے سے ماپا جاتا تھا، اور رفتار کی ریڈنگ کو چپ لاگ کی کسی نہ کسی شکل کے ساتھ لیا جاتا تھا (قدیم طریقہ، جو 14 ویں اور 15 ویں صدی میں استعمال ہوتا تھا، اس میں لکڑی یا فلوٹسم کا ایک ٹکڑا جہاز کے اوپر باندھنا شامل تھا۔ عملے کو جہاز کی لمبائی سے آگے چپ کو تیرنے میں لگنے والے وقت کو نشان زد کرنے کے لیے تال میل میں لگا ہوا تھا)۔ کمپاس کی سمت اور نقطہ A اور نقطہ B کے درمیان کے فاصلے کو جاننے کے لیے کورس کی منصوبہ بندی کرنا ضروری ہے۔ بندرگاہوں کے ایک دوسرے کے مقابلے کہاں ہیں اس کا علم نیویگیٹرز نے سمندر میں طویل تجربے سے حاصل کیا تھا۔ یہ معلومات بعض اوقات پائلٹ کی ہینڈ بک میں جمع اور لکھی جاتی تھی، جسے پورٹولانو (اطالوی میں "پورٹ بک"، یونانی پیری پلس، پرتگالی روٹیرو اور انگریزی رٹر کے مساوی) کہا جاتا تھا۔ ان ہینڈ بک کو سمندری نقشوں کی ایک کلاس کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جاتا تھا جسے پورٹولن چارٹ کہا جاتا ہے۔ پورٹولن چارٹ 13 ویں صدی کے آخر میں جینوا میں تیار ہونے لگے، اور جلد ہی وینس اور میجرکا میں پھیل گئے۔ پورٹولن چارٹس طول بلد اور عرض البلد کی لکیروں سے گرڈ نہیں کیے گئے تھے، بلکہ کمپاس رمب لائنوں کے جال سے بنائے گئے تھے، جس سے ملاحوں کو صرف مقامات کے درمیان فاصلے اور سمت کا اندازہ ہوتا تھا۔ ہینڈ بک یا پورٹولن چارٹ کے ذریعے، ایک نیویگیٹر فوری طور پر دیکھ سکتا تھا کہ، مثال کے طور پر، پیسا جینوا کے 85 میل جنوب مشرق میں (روایتی کمپاس گلاب کے نام میں "سائروکو") پڑا ہوا ہے، اور اس لیے جینوا سے پیسا جانے والا جہاز صرف اس فاصلے کے لیے اس اثر کو برقرار رکھے گا۔ تاہم، زیادہ تر سیلنگ کورسز تقریبا اتنے صاف ستھرے نہیں تھے۔ میجرکا سے نیپلز جانے کا خواہش مند ایک ملاح بتا سکتا تھا کہ مؤخر الذکر تقریبا 600 میل مشرق ("لیونٹے") کی طرف تھا-لیکن جزیرہ سارڈینیا راستے میں ہے، اس لیے راستے میں جہاز کا اثر تبدیل کرنا ضروری ہے۔ یہ کرنے سے کہیں زیادہ آسان ہے، کیونکہ اس دور میں جغرافیائی نقاط موجود نہیں تھے۔ سمندر میں جہاز کی صحیح پوزیشن کا تعین کرنے کا واحد طریقہ ماضی کے اثر اور طے شدہ فاصلے کے ذریعے حساب لگانا ہوگا۔ جزائر ایک متوقع رکاوٹ تھے-سارڈینیا کو عبور کرنا محض ایک مقررہ فاصلے کے لیے جنوب مشرق کی طرف سفر کرنے اور پھر بقیہ کے لیے اثر کو شمال مشرق ("گریکو") میں تبدیل کرنے کی بات ہوگی۔ زیادہ پریشانی یہ ہے کہ اگر جہاز کو تیز ہواؤں کی وجہ سے اس کے مطلوبہ راستے سے اڑا دیا گیا تھا، یا اسے بار بار اثر بدلتے ہوئے ٹیکنگ میں مشغول ہونا پڑا تھا۔ یہ اپنے مطلوبہ راستے پر کیسے لوٹتا ہے؟ یہی وہ جگہ ہے جہاں مارٹیلویو کی حکمرانی آئی۔ ٹریورس کا مسئلہ مارٹیلویو کی حکمرانی نے سمندر میں اثر کو تبدیل کرنے کے مسئلے کو حل کیا۔ مزید خاص طور پر، اس نے ایک نیویگیٹر کو ایک نیوی گیشنل کورس سے دوسرے نیوی گیشنل کورس تک سفر طے کرنے میں مدد کی۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک جہاز کورسیکا سے جینوا کی طرف روانہ ہونا تھا، جو تقریبا 130 میل تک سیدھے شمال ("ٹرامونٹانا") کا راستہ تھا۔ لیکن ہوائیں تعاون پر مبنی نہیں ہیں، اور جہاز کو تقریبا 70 میل تک شمال مغرب ("مایسٹرو") سفر کرنے پر مجبور کیا گیا۔ یہ اپنے اصل راستے پر کیسے لوٹتا ہے؟ شمال مشرق ("گریکو") کی طرف اس کے اثر کو دوبارہ ترتیب دینا کافی سمجھدار لگتا ہے، لیکن اسے اس اثر پر کب تک سفر کرنا چاہیے؟ ایک نیویگیٹر کو کیسے پتہ چلے گا کہ جہاز کب اپنے پرانے راستے پر پہنچ گیا ہے اور اسے دوبارہ شمال کی طرف مڑنا چاہیے؟ پرانے کورس کو اوورشوٹ کرنے یا انڈرشوٹ کرنے سے کیسے بچا جائے؟ یہ مثلث کو حل کرنے کا ریاضیاتی مسئلہ ہے۔ اگر کوئی نیویگیٹر جانتا ہے کہ جہاز نے غلط راستے پر کتنی دیر سفر کیا ہے، تو وہ اپنے مطلوبہ راستے سے اس کے موجودہ فاصلے کا حساب لگا سکتا ہے، اور اندازہ لگا سکتا ہے کہ اسے اپنے پرانے راستے کو بحال کرنے تک کتنی دیر تک نئے راستے پر واپس جانا ہوگا۔ کورسیکا سے جینوا کی مثال میں، ایک مضمر مثلث ACD ہے، جس کا ایک رخ دیا گیا ہے (اصل NW کورس پر AC = 70 میل)، A پر 45° زاویہ (اصل کورس NW اور مطلوبہ کورس N کے درمیان فرق کا زاویہ) اور C پر 90° کا دوسرا زاویہ (اصل کورس NW اور ریٹرن کورس NE کے درمیان فرق کا زاویہ)۔ نیویگیٹر کے لیے چیلنج یہ معلوم کرنا ہے کہ کسی کو این ای ریٹرن کورس پر کتنی دیر تک سفر کرنا چاہیے (سائیڈ سی ڈی کی لمبائی، جسے ریٹورنو کہا جاتا ہے) اور جب تک کوئی سیدھا ہو جاتا ہے اس وقت تک مطلوبہ کورس پر کتنا آگے بڑھ چکا ہوتا ہے (ہائپوٹینوس اے ڈی کی لمبائی، یا جسے کل ایوانزو کہا جاتا ہے)۔ یہ ابتدائی مثلثی ہے، جس میں ایک طرف (70) اور دو زاویہ (45° اور 90°) دیے گئے دو اطراف کو حل کیا جاتا ہے۔ یہ تیزی سے سائنس کے قانون کو لاگو کرکے کیا جاتا ہے: حل ریٹورنو = 70 میل اور کل ایوانزو = 98.99 میل۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر جہاز اپنی موجودہ پوزیشن (سی) سے این ای کو برداشت کرتا ہے، تو یہ این ای بیرنگ پر 70 میل کی سفر کے بعد اپنے اصل مطلوبہ راستے پر پہنچ جائے گا۔ جب تک یہ اپنے جنکشن پوائنٹ (D) تک پہنچتا ہے، یہ اپنے اصل مطلوبہ راستے کے 98.99 میل کا احاطہ کر چکا ہوگا۔ وہاں یہ اپنے اثر N کو سیدھا کر سکتا ہے اور باقی 30 میل یا اس سے زیادہ جینوا تک سفر کر سکتا ہے۔ بدقسمتی سے، 14 ویں اور 15 ویں صدی کے ابتدائی تعلیمی سطحوں والے قرون وسطی کے ملاحوں کو ممکنہ طور پر سائنس کے قانون کا علم نہیں تھا یا وہ آسانی سے اس میں ہیرا پھیری نہیں کرتے تھے۔ نتیجے کے طور پر، قرون وسطی کے نیویگیٹرز کو حساب کے آسان اور زیادہ قابل رسائی طریقہ کار کی ضرورت تھی۔ رولز ریمن لول کی "ملیریا" مجارکا کے عالم-عالم ریمن لول، وہ پہلے مصنف تھے جنہوں نے جہاز رانی کے گزرگاہ کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے ایک اصول کا حوالہ دیا۔ اپنی آربر سائنٹیا (1295) میں، جیومیٹری سے متعلق سوالات کے حصے میں، لول لکھتے ہیں: ایسا لگتا ہے کہ لل جس چیز کی وضاحت کرنے کی کوشش کر رہا ہے وہ یہ ہے کہ ایک جہاز دراصل ای کا سفر کر رہا ہے، لیکن ایس ای کا سفر کرنے کا ارادہ رکھتا ہے، یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ اس کا جنوب مشرق کی طرف کتنا فاصلہ پہلے ہی طے ہو چکا ہے-جسے اطالوی "اونزار" کہتے ہیں، لیکن ایسا لگتا ہے کہ لل "ملیریا ان ماری" کہتے ہیں۔ لل بالکل واضح نہیں کرتا کہ کیسے، لیکن صرف ایک "آلہ" کا حوالہ دیتا ہے، ممکنہ طور پر کسی قسم کی مثلثی میز۔ لول کا مطلب یہ ہے کہ ملاح غلط راستے پر اصل میں طے شدہ فاصلے کو دونوں راستوں کے درمیان زاویہ کی کوسائن سے ضرب دے کر مطلوبہ راستے پر ملیریا کا حساب لگا سکتے ہیں۔ ملیریا میں ماری = سفر کا فاصلہ × کوس (θ) جہاں θ دونوں راستوں کے درمیان فرق کا زاویہ ہے۔ لول کی مثال کا استعمال کرتے ہوئے، ایک جہاز جس کا مقصد جنوب مشرق میں سفر کرنا تھا ("ایکسالوچ" کا مطلب "سائروکو" کے لیے کاتالان ہے) لیکن اس کے بجائے اسے مشرق میں سفر کرنے پر مجبور کیا گیا ("لیونٹ")، تو فرق کا زاویہ θ = 45° ہے۔ غلط راستے پر 100 میل کے بعد، مطلوبہ راستے پر ملیریا 100 × cos 45° = 70.71 ہے۔ غلط راستے پر جہاز رانی کو 200 میل تک دوگنا کرنے سے 141.42 میل (= 200 cos 45°) کے مطلوبہ راستے پر ملیریا دوگنا ہو جائے گا۔ (خاکہ کے لحاظ سے، ماری میں للز ملیریا کو دائیں زاویہ والے مثلث کی تعمیر کے ذریعے ماپا جاتا ہے جس میں اصل راستے پر طے شدہ راستے تک کے فاصلے سے ایک تار چلایا جاتا ہے، جو بعد میں 90 ڈگری کے زاویے پر ملتا ہے)۔ لل اپنی آرس میگنا جنرلس ایٹ الٹیما (1305 میں لکھی گئی) میں تھوڑی زیادہ واضح ہے۔ اپنی مثال کو الٹتے ہوئے، ایک جہاز کے ساتھ جو حقیقت میں جنوب مشرق کی طرف سفر کر رہا ہے لیکن مشرق کی طرف سفر کرنے کا ارادہ رکھتا ہے، لل نوٹ کرتا ہے کہ جنوب مشرق کی طرف ہر چار میل کے لیے، یہ مشرق کی طرف جانے والے راستے پر "تین میل" (دراصل 2.83) حاصل کرتا ہے۔ اس طرح، لول نوٹ کرتا ہے، جہاز موجودہ راستے پر ہر 100 میل کے لیے اپنے مطلوبہ راستے سے "25 میل" (دراصل 29 میل) کھو دیتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اپنے حصوں میں، ریمن لال اصول کی سفارش نہیں کر رہے ہیں، بلکہ اس کی اطلاع دے رہے ہیں، اس بات پر زور دیتے ہوئے کہ یہ اصول پہلے سے ہی معاصر ملاحوں کے ذریعہ عملی طور پر جانا جاتا تھا اور استعمال کیا جاتا تھا۔ یہ شاید حیرت انگیز نہیں ہے-اگرچہ عیسائی یورپ میں مثلثی صرف اپنی ابتدائی حالت میں تھی، لیکن عرب ریاضی میں سائن اور کوسین ٹیبل پہلے ہی معلوم تھے۔ سلطنت میجرکا، جو 1230 کی دہائی تک مسلم حکمرانی کے تحت تھی، لول کے زمانے میں ایک کثیر الثقافتی مرکز بنی رہی، جس میں یہودی برادریاں پھل پھول رہی تھیں، جن میں سے بہت سے ریاضی اور فلکیات میں مہارت رکھتے تھے، اور جن کے ملاحوں کا بحیرہ روم کے پار وسیع رابطہ تھا۔ یہ بات ناممکن نہیں ہے کہ میجرکن نیویگیٹرز کے ہاتھ میں کسی قسم کی مثلثی میز تھی۔ بہر حال، 1295 میں ریمن لول کی طرف سے اس ٹیبل کا صحیح مواد اور ترتیب غیر یقینی ہے۔ اینڈریا بیانکو کی "ٹولیٹا" ہمیں لول کے ایک صدی سے زیادہ عرصے بعد ایک ملاح کی مثلثی میز کی پہلی جھلک ملتی ہے۔ اپنے 1436 کے پورٹولن اٹلس کے پہلے فولیو میں، وینس کی کپتان آندریا بیانکو نے ریکسن ڈی مارٹیلویو کی وضاحت کی ہے کہ ٹریورس کا حساب کیسے لگایا جائے اور کورس کو کیسے بازیافت کیا جائے۔ وہ ایک سادہ مثلثی میز رکھتا ہے جسے وہ ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو کہتا ہے اور تجویز کرتا ہے کہ ملاح میز کو یاد میں رکھیں۔ ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو کو مندرجہ ذیل طور پر متعین کیا گیا ہے: ٹولیٹا میں اعداد کا تخمینہ جدید فارمولوں سے لگایا جا سکتا ہے: ایلارگر = ایونزر = ریٹورنو = ایونزو دی ریٹورنو = جہاں q = چوتھائی ہواؤں کی تعداد (چوتھائی ہواؤں کی تعداد میں ظاہر ہونے والے فرق کا زاویہ)۔ (نوٹ کریں کہ اعداد چوتھائی ہوا کی معمول کی تعریف، 11.25 ° کے بجائے، 11.15 ° وقفوں پر طے شدہ چوتھائی ہواؤں کے ساتھ کام کرتے ہیں)۔ ٹولیٹا ایک سادہ میز ہے جس میں نمبروں کے کئی کالم ہوتے ہیں۔ پہلے کالم میں اصل اور مطلوبہ کورسز کے درمیان فرق کا زاویہ ہے، جس کا اظہار چوتھائی ہواؤں کی تعداد سے ہوتا ہے۔ ایک بار جب اس فرق کا تعین ہو جاتا ہے، تو دوسرا کالم الرگر ("چوڑا ہونا"، جہاز کا موجودہ فاصلہ مطلوبہ راستے سے ہے) دیتا ہے جبکہ تیسرا کالم اونزار کو بتاتا ہے ("ایڈوانس"، مطلوبہ راستے پر کتنا فاصلہ پہلے ہی موجودہ اثر پر سفر کرکے طے کیا جا چکا ہے-یہ ریمن لل کے ملیریا دی ماری کے مساوی ہے)۔ موجودہ راستے پر 100 میل کے سفر کے لیے بیانکو کی میز پر الرگر اور اونزار کے نمبر دکھائے گئے ہیں۔ مثال: فرض کریں کہ ایک جہاز جس کا مقصد نقطہ A سے نقطہ B تک مشرق ("لیونٹے") کو لے کر سفر کرنا ہے۔ لیکن فرض کریں کہ ہواؤں نے اسے جنوب مشرق سے مشرق کی طرف سفر کرنے پر مجبور کیا (SEbE، "کوارٹ ڈی سائروکو ورسو لیونٹے")۔ جنوب مشرق سے تین چوتھائی ہوائیں (یا 33.75 °) مشرق سے دور ہیں (32 نکاتی کمپاس پر، مشرق سے چوتھائی ہواؤں کی ترتیب میں، 1 چوتھائی مشرق سے جنوب، 2 چوتھائی مشرق سے جنوب مشرق، 3 چوتھائی جنوب مشرق سے مشرق)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ نیویگیٹر کو ٹولیٹا پر تیسری صف، q = 3، سے مشورہ کرنا چاہیے۔ فرض کریں کہ جہاز SE-by-E اثر پر 100 میل کا سفر طے کیا۔ مطلوبہ مشرق کی طرف کے راستے سے اپنے فاصلے کو چیک کرنے کے لیے، ملاح الارگر کالم پر متعلقہ اندراج کو پڑھے گا اور فوری طور پر دیکھے گا کہ وہ مطلوبہ راستے سے 55 میل دور ہے۔ اونزار کالم اسے مطلع کرتا ہے کہ موجودہ ایس ای بی ای کورس پر 100 میل سفر کرنے کے بعد، اس نے مطلوبہ ای کورس کا 83 میل کا فاصلہ طے کیا ہے۔ اگلا مرحلہ اس بات کا تعین کرنا ہے کہ مطلوبہ راستے پر کیسے لوٹنا ہے۔ مثال کو جاری رکھتے ہوئے، مشرق کی طرف کے مطلوبہ راستے پر واپس جانے کے لیے، ہمارے ملاح کو جہاز کے اثر کو شمال مشرقی سمت میں دوبارہ ترتیب دینا پڑتا ہے۔ لیکن مختلف شمال مشرقی زاویے ہیں-این بی ای، این این ای، این ای، ای این ای، وغیرہ۔ ملاح کے پاس اثر کا انتخاب ہوتا ہے-اگر وہ تیز زاویے سے واپس آتا ہے (مثال کے طور پر۔ شمال سے مشرق کی طرف)، وہ زیادہ نرم میلان سے زیادہ تیزی سے مطلوبہ راستے پر واپس آئے گا (مثال کے طور پر۔ مشرق سے شمال)۔ وہ جو بھی زاویہ منتخب کرتا ہے، اسے یہ اندازہ لگانا ہوگا کہ اسے اپنے پرانے راستے تک پہنچنے کے لیے اس اثر پر کتنی دیر سفر کرنا ہوگا۔ اگر وہ بہت لمبا سفر کرتا ہے، تو اسے حد سے تجاوز کرنے کا خطرہ ہے۔ واپسی کے کورس کا حساب لگانا وہی ہے جس کے لیے ٹولیٹا کے آخری تین کالم ہیں۔ چوتھے کالم میں، واپسی کے زاویوں کو مطلوبہ کورس کے اثر سے چوتھائیوں کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے (موجودہ کورس کے اثر سے نہیں)۔ ہماری مثال میں، ملاح نے مشرق کی طرف جانے کا ارادہ کیا، لیکن وہ 100 میل تک جنوب مشرق کی طرف سفر کر رہا ہے۔ ہواؤں کو دیکھتے ہوئے، وہ فیصلہ کرتا ہے کہ جہاز کو مشرق-شمال مشرق (ای این ای، "گریکو-لیونٹے") کو دوبارہ ترتیب دے کر اصل راستے پر واپس آنا بہتر ہے۔ ای این ای مطلوبہ اثر، مشرق سے دو چوتھائی ہوائیں اوپر ہے، لہذا اب وہ میز کے چوتھے کالم پر دوسری صف ("چوتھائی = 2") کو دیکھتا ہے۔ پانچواں کالم ریٹورنو ہے، وہ فاصلہ جو اسے اصل کورس کو بازیافت کرنے کے لیے منتخب کردہ واپسی کے زاویے پر طے کرنا ہوتا ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ اس نے ای این ای اثر (ق = 2) کے ذریعے واپس آنے کا انتخاب کیا ہے، پھر اسے ریٹورنو کالم کی دوسری صف کو پڑھنا چاہیے، جس میں نمبر 26 دکھایا گیا ہے۔ یہ ان میلوں کی مطلوبہ تعداد کی نمائندگی کرتا ہے جو اسے ہر 10 میل کے لیے ای این ای بیرنگ پر سفر کرنا پڑتا ہے۔ یاد رکھیں، اس کا الارگر (مطلوبہ راستے سے فاصلہ) 55 میل تھا۔ لہذا اپنے مطلوبہ راستے پر واپس آنے کے لیے اسے ای این ای پر 5.5 × 26 = 143 میل کا سفر کرنا ہوگا۔ دوسرے لفظوں میں، اسے 143 میل تک اپنا ای این ای اثر برقرار رکھنے کی ضرورت ہے ؛ ایک بار جب یہ فاصلہ طے ہو جائے تو اسے اپنے جہاز کو مشرق کی طرف سیدھا کرنا چاہیے، اور وہ بالکل مطلوبہ راستے پر واپس آ جائے گا۔ چھٹا اور آخری کالم (ایوانزو دی ریٹورنو) اس مطلوبہ راستے کی لمبائی بتاتا ہے جو اس نے اپنے واپسی کے سفر سے اچھی کی ہے۔ اس کا اظہار فی 10 میل الارگر کے لحاظ سے بھی کیا جاتا ہے۔ اس کا الارار 55 تھا، اور اس کا واپسی کا زاویہ ENE تھا (اس طرح q = 2)، اس کا مطلب ہے کہ اس کا ایوانزو دی ریٹورنو 5.5 × 24 = 132 ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر سب کچھ ٹھیک رہا، اور ہمارا ملاح 143 میل (ریٹورنو) تک اپنا ای این ای اثر رکھتا ہے، تو اس واپسی کے دوران، اس نے اپنے مطلوبہ مشرق کی طرف کے راستے (ایوانزو دی ریٹورنو) پر اضافی 132 میل کا فاصلہ طے کیا ہوگا۔ آخر میں، اس کی پوری مہم جوئی کے ذریعہ مشرق کی طرف ہونے والے کل فاصلے (کل اوانزو) کا حساب لگانے کے لیے، اسے انحراف (83 میل) کے دوران اوانزر کے علاوہ اوانزو دی ریٹورنو (132 میل) کو شامل کرنا ہوگا۔ اس طرح مجموعی طور پر، اس نے مطلوبہ راستے پر 83 + 132 = 215 میل کا فاصلہ طے کیا ہے۔ نقشے پر ابتدائی نقطہ (اے) سے اس فاصلے کی پیمائش کرتے ہوئے، ملاح اپنی صحیح موجودہ پوزیشن کا پتہ لگا سکتا ہے۔ یہ ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو کا سب سے آسان استعمال ہے۔ یہ، جڑ میں، ایک مثلثی میز ہے۔ تاہم، یہ ایک ہی بار میں ٹریورس کے مسئلے سے نمٹتا نہیں ہے، جیسا کہ سائنس کے قانون میں ہے، بلکہ اس مسئلے کو دو دائیں زاویہ والے مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے جسے وہ یکے بعد دیگرے حل کرتا ہے۔ جدید مثلثیات الارگر کا حساب لگانے کے مرحلے کو ختم کر دے گی، اور براہ راست ریٹورنو کا حساب لگائے گی-لیکن اس کے لیے، کسی کو مکمل سائن ٹیبل سے لیس ہونے کی ضرورت ہے۔ ٹولیٹا ایک سادہ میز ہے، جس سے مشورہ کرنا اور حساب کتاب کرنا آسان ہے، اور نیویگیٹرز کے ذریعے حفظ کیے جانے کے لیے کافی کمپیکٹ ہے (جیسا کہ بیانکو تجویز کرتے ہیں)۔ تین کی حکمرانی ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو کا اظہار اچھے گول نمبروں، 100 اور 10 کے لیے کیا جاتا ہے۔ لیکن، عملی طور پر، ایک جہاز عام طور پر واپس آنے کی کوشش کرنے سے پہلے 100 میل کا سفر نہیں کرتا، لیکن کچھ اور فاصلہ، جیسے 65 میل۔ اس کا حساب لگانا تناسب کو حل کرنے کا ایک آسان مسئلہ ہے۔ مثال کے طور پر، اگر جہاز نے جنوب مشرق سے 65 میل کا سفر طے کیا تھا، تو مطلوبہ مشرق کی طرف کے راستے سے الارگر کا حساب لگانا صرف مندرجہ ذیل کو حل کرنے کی بات ہے: جہاں 55 100 میل کے لیے الارگر ہے (جیسا کہ میز کے دوسرے کالم میں q = 3 پر دیا گیا ہے)۔ یہ آسانی سے سادہ "رول آف تھری" کے ذریعے کیا جاتا ہے، جو کراس ضرب کا ایک طریقہ ہے، جس میں تین نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے چوتھے کے لیے مسلسل ضرب اور تقسیم کے ذریعے حل کیا جاتا ہے: لہذا، ایس ای پر ای کے ذریعے 65 میل تک سفر کرنے کا مطلب الارگر = = 35.75 میل ہے۔ اونزار وغیرہ۔ موازنہ سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ اگرچہ "تین کی حکمرانی" پہلے ہی 14 ویں صدی میں جانا جاتا تھا، لیکن قرون وسطی کے ملاحوں کے لیے ضرب اور تقسیم کو انجام دینے کی مہارت مشکل ہو سکتی ہے جو بڑے پیمانے پر ناخواندہ معاشرے سے تعلق رکھتے تھے۔ تاہم، یہ ناقابل رسائی نہیں تھا۔ جیسا کہ آندریا بیانکو نے زور دیا، نیویگیٹرز کو "جاننا چاہیے کہ کس طرح اچھی طرح سے ضرب دی جائے اور اچھی طرح سے تقسیم کیا جائے" ("سیور بین مولٹی پلیچر ای بین پارٹیر") یہ وہ جگہ ہے جہاں ہم تجارت اور نیویگیشن کا اہم انٹرفیس دیکھتے ہیں۔ تجارت کی ریاضی-عربی اعداد، ضرب، تقسیم، فریکشن، سامان کی خریداری اور فروخت اور دیگر تجارتی لین دین کا حساب لگانے کے لیے درکار اوزار-بنیادی طور پر نیویگیشن کی ریاضی کی طرح ہی تھی۔ اور اس قسم کی ریاضی اباکس اسکولوں میں پڑھائی جاتی تھی جو 13 ویں صدی میں شمالی اٹلی کے تجارتی مراکز میں تاجروں کے بیٹوں کو تربیت دینے کے لیے قائم کیے گئے تھے، اسی طبقے میں جہاں سے اطالوی نیویگیٹرز لیے گئے تھے۔ بطور مورخ ای جی آر ٹیلر نوٹ کرتے ہیں، "ملاح پہلے پیشہ ور گروہ تھے جنہوں نے اپنے روزمرہ کے کام میں ریاضی کا استعمال کیا" سرکل اینڈ اسکوائر ان لوگوں کے لیے جو اعداد میں ہیرا پھیری کے اعلی فن سے پریشان تھے، ایک متبادل تھا۔ یہ بصری آلہ تھا جسے "دائرے اور مربع" (ٹونڈو ای کواڈرو) کے نام سے جانا جاتا تھا، جسے اینڈریا بیانکو نے بھی اپنے 1436 اٹلس میں فراہم کیا تھا۔ دائرہ ایک 32 ہوا کمپاس گلاب (یا رمب لائنوں کا مجموعہ) تھا۔ دائرہ 8 × 8 مربع گرڈ کے ساتھ کندہ کیا گیا تھا۔ مرکز میں کمپاس گلاب کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے-درحقیقت، دائرے کو خود نظر انداز کیا جا سکتا ہے، کیونکہ ایسا لگتا ہے کہ اس کا گرڈ کے پار چلنے والی کرنوں کی تعمیر کے علاوہ کوئی دوسرا مقصد نہیں ہے۔ دلچسپی کا گلاب مربع گرڈ کے اوپری بائیں کونے میں ہے۔ اس کونے سے کمپاس رمب لائنوں کا ایک سلسلہ نکلتا ہے۔ اپنی اصل 1436 ٹونڈو ای کواڈرو میں، بیانکو کے پاس سولہ خارج ہونے والی کرنیں ہیں-یعنی، بیانکو میں نصف چوتھائی ہوائیں، یا آٹھویں ہوائیں (اوٹاوا) شامل ہیں، تاکہ خارج ہونے والی کرنیں 5.625 ڈگری کے وقفوں پر ہوں۔ دائرے اور مربع کی دیگر تعمیرات، جیسے۔ کارنارو اٹلس، چوتھائی ہوا کے فاصلے (11.25 ڈگری) پر نکلنے والی صرف آٹھ کرنوں کا استعمال کرتا ہے۔ بصری طور پر، یہ کرنیں 32 ونڈ کمپاس گلاب کے نچلے دائیں حصے کی نقل کرتی ہیں: مشرق (0q)، E سے S (1q)، ESE (2q)، SE سے E (3q)، SE (4q)، SE سے S (5q)، SSE (6q)، S سے E (7q) اور جنوب (8q)۔ گرڈ کے اوپر ایک فاصلہ بار پیمانہ ہوتا ہے، جو ذیلی اکائیوں کے ساتھ نشان زد ہوتا ہے۔ پیمانے پر اعداد کے دو سیٹ ہوتے ہیں، ایک ہر گرڈ مربع کی 20 میل سے پیمائش کرنے کے لیے، دوسرا ہر گرڈ مربع کی 100 میل سے پیمائش کرنے کے لیے (خاکہ دیکھیں)۔ اوپری بار 20 میٹر فی مربع پیمانہ ہے، جس میں ہر سیاہ ڈاٹ ایک میل کی نشاندہی کرتا ہے۔ نچلی بار 100 میٹر فی مربع پیمانہ ہے، جہاں ایک یونٹ مربع کی لمبائی کو دو مساوی 50 میٹر ذیلی مربعوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور نقطوں اور سرخ لکیروں کا ایک مجموعہ اسے مزید 10 میل کی لمبائی میں توڑ دیتا ہے۔ لہذا اس بات پر منحصر ہے کہ کوئی کس پیمانے کا انتخاب کرتا ہے، پورے گرڈ (آٹھ مربع) کی طرف کی لمبائی 160 میل تک (20 میٹر فی مربع پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے) یا 800 میل تک (100 میٹر فی مربع پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے) ناپی جا سکتی ہے۔ تقسیم کاروں کے ساتھ کروب سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح ایک نیویگیٹر کو اعداد میں ہیرا پھیری کرنے کے بجائے بصری پیمائش کے ذریعے الارگر اور اونزار کا حساب لگانے کے لیے گرڈ کا استعمال کرنا چاہیے۔ مثال: فرض کریں کہ جہاز نے مطلوبہ راستے سے نیچے دو چوتھائی ہواؤں پر 120 میل کا سفر کیا ہے (مثال کے طور پر۔ ای ایس ای میں سفر کیا، جب مطلوبہ راستہ مشرق میں ہو)۔ تقسیم کاروں اور 20 میٹر پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے، نیویگیٹر اپنے تقسیم کاروں کے ساتھ 120 میل کی پیمائش کر سکتا ہے۔ پھر اوپری بائیں کونے (اے) پر ایک سرے کو ترتیب دیتے ہوئے، وہ ای ایس ای رے (= مشرقی رے کے نیچے دو چوتھائی ہوائیں، یا گرڈ کے افقی اوپری حصے) کے ساتھ ڈیوائڈرز کو رکھتا ہے اور اس جگہ کو نشان زد کرتا ہے (خاکہ پر نقطہ بی)۔ پھر سیدھے کنارے والے حکمران کا استعمال کرتے ہوئے مشرقی کرن تک ایک لکیر کھینچتی ہے، اور اسی جگہ C کو نشان زد کرتی ہے۔ فوری طور پر یہ دیکھنا آسان ہے کہ دائیں زاویہ والا مثلث ABC بنایا گیا ہے۔ لمبائی بی سی ایلارگر (مطلوبہ کورس سے فاصلہ) ہے، جسے 46 میل کے طور پر ماپا جا سکتا ہے (اسے بصری طور پر دو گرڈ مربعوں کے علاوہ ایک بٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، یعنی 20 میٹر + 20 میٹر اور ایک چھوٹا سا ٹکڑا جس کا تخمینہ 6 میٹر کے طور پر کیا جا سکتا ہے تقسیم کاروں اور 20 میٹر بار پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے)۔ لمبائی اے سی اونزار (فاصلہ اچھا بنایا گیا) ہے، جو 111 میل ہے-بصری طور پر، پانچ گرڈ مربع اور ایک بٹ، یا (20 × 5) + 11، تقسیم کاروں اور دوبارہ پیمانے سے ماپا جاتا ہے۔ اس طرح "دائرہ اور مربع" ضرب اور تقسیم یا تین کی حکمرانی کے ذریعے نمبروں میں ہیرا پھیری کرتا ہے۔ نیویگیٹر صرف پیمائش کے ذریعے اونزار اور الارگر کا بصری اندازہ لگا سکتا ہے۔ یہ طریقہ کسی بھی مطلوبہ اثر اور انحراف کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، کیونکہ واحد مقصد مثلث کو تقسیم اور پیمانے کے ذریعے حل کرنا ہے۔ مثلا۔ ہماری پہلی کورسیکا سے جینوا مثال کا استعمال کرتے ہوئے، جہاں مطلوبہ اثر شمال تھا لیکن جہاز دراصل شمال مغرب کی طرف روانہ ہوا، نیویگیٹر ڈیوائڈرز کو 70 میل کی لمبائی پر سیٹ کرے گا اور اسے چوتھی چوتھائی ہوا کے ساتھ رکھے گا (= ٹنڈو ای کواڈرو میں ایس ای رے، کیونکہ این ڈبلیو شمال سے چار چوتھائی ہوائیں دور ہے)۔ وہ بالکل اسی طرح الارگر اور اونزار کا حساب لگاتا-گرڈ کے افقی اوپری حصے پر ایک لکیر کھینچیں، مربعوں کی پیمائش کریں، وغیرہ۔ ٹنڈو ای کواڈرو آلہ عرب سائن کواڈرینٹ (روبل مجیاب) سے بہت ملتا جلتا ہے، جس میں کونے کی کرنیں سایڈست پلمب لائن کے کردار کی نقل کرتی ہیں۔ دیگر ایپلی کیشنز اگرچہ ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو (اور اس کا بصری ہم منصب، ٹنڈو ای کواڈرو) ایک مطلوبہ کورس کی بازیابی کے واضح کام کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے، لیکن انہیں نیوی گیشنل مسائل کی بہت سی کلاسوں کے لیے مزید طریقوں سے استعمال کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ متعدد اثرات والی تبدیلیوں وغیرہ کے ساتھ ایک کورس تیار کرنا۔ مثلث مارٹیلویو کی حکمرانی کی دلچسپ ایپلی کیشنز میں سے ایک مثلث کے لیے ہے، جیسے۔ ساحل کے تاریخی نشان سے جہاز کے فاصلے کا تعین کرنا۔ (یہ روڈس کے وینس کے نیویگیٹر مائیکل کی نوٹ بک میں آخری مشق کی کوشش تھی، جسے ہم یہاں نقل کرتے ہیں۔) مثال: فرض کریں کہ این ڈبلیو ("مایسٹرو") پر سفر کرنے والے جہاز کو ایک شام مغرب کی وجہ سے ایک تاریخی نشان ("پونینٹے") نظر آتا ہے، لیکن فاصلہ نامعلوم ہے۔ فرض کریں کہ جہاز رات بھر شمال مغرب کے راستے پر سفر جاری رکھے ہوئے ہے، اور اگلی صبح، 40 میل بعد، اس نے محسوس کیا کہ تاریخی نشان اب اپنی موجودہ پوزیشن کا مغرب-جنوب مغرب (ڈبلیو ایس ڈبلیو، "پونینٹے-لیبیکیو") ہے۔ جہاز سے تاریخی نشان کا فاصلہ تلاش کرنا صرف مارٹیلویو کے اصول کا اطلاق ہے۔ مسئلے کو حل کرنے کے لیے، شام کی پوزیشن (نقشے پر اے) سے شروع کریں اور جہاز اور تاریخی نشان (لمبائی اے بی) کے درمیان فاصلے کو مطلوبہ راستہ سمجھیں، اور جہاز کے اصل راستے (این ڈبلیو) کو انحراف سمجھیں۔ صبح (C) میں جہاز کی پوزیشن سے تاریخی نشان کے فاصلے کا پتہ لگانا BC کے فاصلے کو حساب شدہ ریٹورنو کے طور پر سمجھنے کی بات ہے۔ چونکہ ہمیں ریٹورنو کا حساب لگانے کے لیے الارگر کو جاننے کی ضرورت ہے، یہ ایک دو مراحل والا طریقہ کار ہے۔ سب سے پہلے، نوٹ کریں کہ این ڈبلیو ڈبلیو کے اوپر چار چوتھائی ہوائیں ہیں، لہذا ٹولیٹا کو دیکھتے ہوئے، q = 4 صف میں، ایلارگر این ڈبلیو کورس پر ہر 100 میل کے لیے 71 میل ہے۔ لیکن جہاز نے راتوں رات صرف 40 میل کا سفر طے کیا، اس لیے ہمیں 71/100 = x/40 کے تناسب کو حل کرنا ہوگا، جس کا تین ذرائع کے اصول کے مطابق x = الارگر = 28.4 میل ہے۔ دوسرے لفظوں میں، A سے C تک 40 میل کے فاصلے پر راتوں رات NW سفر کرنے سے، جہاز اب اپنے "مطلوبہ" مغرب کی طرف کے راستے سے 28.4 میل دور ہے۔ اب ریٹورنو کے لیے۔ تاریخی نشان، جیسا کہ نوٹ کیا گیا ہے، جہاز کی صبح کی پوزیشن (سی) کا ڈبلیو ایس ڈبلیو ہے۔ لہذا تاریخی مقام پر "واپسی" کے لیے، جہاز کو اپنے اثر کو اپنے موجودہ این ڈبلیو اثر سے ڈبلیو ایس ڈبلیو اثر میں تبدیل کرنا ہوگا-یعنی این ڈبلیو سے نیچے 6 چوتھائی ہوائیں۔ تاہم، ٹولیٹا "مطلوبہ" سمت (اس معاملے میں، مغرب) کے لحاظ سے چوتھائی ہواؤں کی وضاحت کرتا ہے، اور ڈبلیو ایس ڈبلیو مغرب کے نیچے دو چوتھائی ہوائیں ہیں، لہذا ہمیں q = 2 قطار کو دیکھنے کی ضرورت ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ریٹورنو ہر 10 میل ایلارگر کے لیے 26 میل ہے۔ چونکہ الارگر 28.4 ہے، اس کا مطلب ہے کہ ریٹورنو 26 × 2.84 = 73.84 ہے۔ اور یہ ہمارے پاس ہے۔ تاریخی نشان جہاز کی صبح کی پوزیشن سے 73.84 میل دور ہے۔ (کہانی کو مکمل کرنے کے لیے، ہم یہ معلوم کرنا چاہیں گے کہ اس تاریخی نشان سے پہلے کی شام کا فاصلہ کتنا تھا (یعنی۔ نقطہ A سے تاریخی نشان B تک)۔ یہ صرف ریٹورنو میں اوانزار اور اوانزو کو شامل کرنے کی بات ہے۔ فوری حساب سے پتہ چلتا ہے کہ اوانزار (@q = 4، 40 میل کے لیے) 28.4 میل (= 71 × 40/100) ہے اور اوانزو دی ریٹورنو (@q = 2 28.4 میل الگار کے لیے)، 2.84 × 24 = 68.16 ہے۔ تو کل ایونزو = 28.4 + 68.16 = 96.56 میل۔ یہ تاریخی نشان اور اس سے پہلے کی شام جہاز کے درمیان کا فاصلہ تھا۔) مقامات تلاش کرنا مارٹیلویو کے اصول کو ہدف کے طور پر اونزار کے ساتھ بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ فرض کریں کہ ایک جہاز ٹورڈسیلاس لائن کو تلاش کرنے کے ارادے سے نکلتا ہے، میریڈیئن قانونی طور پر کیپ وردے کے مغرب میں 370 لیگوں پر 1494 کے معاہدے میں مقرر کیا گیا ہے۔ جہاز کو کیپ وردے سے نکلنے کی ضرورت نہیں ہے اور اسے تلاش کرنے کے لیے ویسٹ بیرنگ پر مسلسل سفر کرنا پڑتا ہے۔ بلکہ، یہ زیادہ آسان اثر پر نکل سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ ایس ڈبلیو)، اور مغرب کو ایک "مطلوبہ" کورس کے طور پر سمجھیں۔ لہذا مارٹیلویو اصول کا استعمال کرتے ہوئے، یہ اس وقت تک چل سکتا ہے جب تک کہ "مطلوبہ" ویسٹ کورس پر موجود اونزار 370 لیگ تک نہ پہنچ جائے۔ درحقیقت، اسے کیپ وردے سے نکلنے کی بھی ضرورت نہیں ہے، لیکن یہ کسی دوسری جگہ سے نکل سکتا ہے، جیسے سیویل، اور کیپ وردے کے معلوم فاصلے اور اثر کا استعمال کر سکتا ہے (یعنی۔ سیویل) اور مارٹیلویو کی حکمرانی کا حساب لگانے کے لیے کہ یہ آخر کار ٹورڈسیلاس مریڈین تک کب پہنچ گیا ہے۔ اس میں چند قدم لگتے ہیں۔ فرض کریں کہ کیپ وردے (نقشے پر بی) سیویل کے جنوب مغرب میں 400 لیگز ہیں (نقشے پر اے)، لیکن جہاز کھلے سمندر میں ٹورڈسیلاس میریڈیئن تک پہنچنے کے لیے سیویل سے سیدھے مغرب میں جانے کا ارادہ رکھتا ہے۔ جہاز چلانے میں کتنی دیر لگتی ہے؟ مارٹیلویو کے اصول کے ذریعے اس کو حل کرنے کا طریقہ یہ ہے کہ مسئلے کو الٹا پیش کیا جائے: مغرب کو مطلوبہ اثر کے طور پر اور ایس ڈبلیو کو اصل کورس کے طور پر سمجھیں۔ ایس ڈبلیو ڈبلیو سے نیچے چار چوتھائی ہوائیں ہیں، لہذا ٹولیٹا کو q = 4 کے لیے دیکھتے ہوئے، اونزار ہر 100 میل کے سفر کے لیے 71 ہے۔ لہذا اگر کوئی جہاز "اصل" ایس ڈبلیو کورس پر کیپ وردے تک 400 لیگوں میں سفر کرتا ہے، تو وہ "مطلوبہ" ویسٹورڈ کورس پر 284 لیگوں (= 71 × 4) کا اونزار حاصل کرے گا۔ یقینا یہ جہاز دراصل ایس ڈبلیو سے کیپ وردے نہیں جا رہا ہے، بلکہ ڈبلیو سے کھلے سمندر میں جا رہا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، جب جہاز سیویل سے مغرب کی طرف روانہ ہوتا ہے، تو وہ جانتا ہے کہ اس سے پہلے کہ وہ کیپ وردے مریڈیئن (نقشے پر پوائنٹ سی) تک پہنچ جائے، اسے مغرب کی طرف 284 لیگوں کو چلانے کی ضرورت ہے، اور اس کے بعد اسے صرف ٹورڈسیلاس لائن تک 370 لیگوں کی گنتی شروع کرنی چاہیے۔ دوسرے لفظوں میں، اسے ٹورڈسیلاس لائن (نقشے پر پوائنٹ ڈی) تک پہنچنے کے لیے سیویل کے مغرب میں کل 284 + 370 = 654 لیگوں کا سفر کرنا پڑتا ہے۔ اگرچہ یہ خاص مثال مارٹیلویو کی حکمرانی کی لچک کو ظاہر کرتی ہے، لیکن یہ اس کی ایک اہم خرابی کو بھی ظاہر کرتی ہے: نتیجہ زمین کے منحنی پن کو مکمل طور پر نظر انداز کرتا ہے، یعنی۔ حقیقت یہ ہے کہ طول البلد مریدین لائنیں قطب شمالی پر یکجا ہوتی ہیں، اور اس طرح اعلی عرض البلد پر تنگ ہوتی ہیں۔ مارٹیلویو کے مشورے کے برعکس، کیپ وردے کے مغرب میں 370 لیگز سیویل کے مغرب میں 654 لیگز کی طرح طول البلد مریڈین پر نہیں ہیں۔ چونکہ سیویل کیپ وردے کے شمال میں واقع ہے، اس لیے مریدین کیپ وردے کے عرض البلد کے مقابلے سیویل کے عرض البلد پر ایک دوسرے کے قریب جمع ہوتے ہیں۔ سیویل کے مغرب میں سفر کرنے والا جہاز، درحقیقت، 654 لیگز (پوائنٹ D) کے سفر کرنے سے پہلے ہی حقیقی ٹورڈسیلاس میریڈیئن (نقشے پر پوائنٹ T) تک پہنچ جائے گا۔ مارٹیلویو کی حکمرانی میں ملاح چارٹ پر ہوائی مثلث کھینچ کر راستوں کی منصوبہ بندی کرتے ہیں، گویا کہ دنیا کی سطح چپٹی ہو۔ اگرچہ یہ بحیرہ روم کے کمپیکٹ عرض البلد تک محدود جہاز رانی کے لیے کافی عملی ہو سکتا ہے، لیکن یہ بڑے پیمانے پر کافی گمراہ کن ہے۔ "لیگوں کی رجمنٹ" سے تعلق 15 ویں اور 16 ویں صدی کے آخر میں، سمندری فلکیات کی بہتری اور عرض البلد کے متوازی کے تعارف نے نیویگیٹرز کو سمندر میں اپنی پوزیشن کا تعین آسمانی ریڈنگ کے ذریعے کرنے کا موقع فراہم کیا، بجائے اس کے کہ وہ سفر کے فاصلے کے تخمینے پر انحصار کریں۔ مارٹیلویو کی حکمرانی کا جانشین "لیگز کی رجمنٹ" (رجمنٹو داس لیگواس) تھا، جسے بحر اوقیانوس میں سفر کرنے والے پرتگالی نیویگیٹرز استعمال کرتے تھے۔ یا، ولیم بورن (1571) کی طرف سے متعارف کرائی گئی اصطلاح استعمال کرنے کے لیے، "رول ٹو رائز یا لی اے ڈگری"، جسے "ٹیبل آف لیگز" یا "رول فار رائزنگ دی پول" بھی کہا جاتا ہے۔ یہ سب سے پہلے پرتگالی نیویگیشن دستی ریجیمنٹو ڈو ایسٹرو لیبیو ای ڈو کواڈرینٹے (لزبن میں 1509 عیسوی میں شائع ہوا، لیکن 1480 عیسوی میں لکھا گیا) میں لکھا گیا تھا۔ اسے مارٹن کورٹیس ڈی الباکر نے اپنے 1551 کے بریو کمپینڈیو لا ایسفیرا وائی ڈیل آرٹے ڈی نیوگر میں مقبول کیا تھا۔ "لیگز کی رجمنٹ" مارٹیلویو کی حکمرانی سے زیادہ مختلف نہیں ہے۔ لیگز کی رجمنٹ ہمیشہ مغرب-مشرق کے اثر کو "مطلوبہ راستہ" سمجھتی ہے اور اقدامات اس سے انحراف طے کرتے ہیں۔ مزید خاص طور پر، لیگ ٹیبل الارگر کی ایک مقررہ قیمت پر غور کرتا ہے-1 عرض البلد ڈگری (یا، وقت کی پیمائش میں، 17.5 (پرتگالی) لیگ، یا مساوی طور پر 70 (اطالوی) میل) پر سیٹ کیا گیا ہے۔ اس کے بعد یہ جہاز رانی کی سمت کی ہر مختلف چوتھائی ہوا (ہمیشہ مطلوبہ راستے سے دور ہونے کے بجائے شمال-جنوبی محور سے دور چوتھائیوں کے طور پر نامزد کیا جاتا ہے)، ریلیور اور افاسٹر دیتا ہے۔ ریلیور اصل راستے پر لیگوں کی تعداد ہے جو ایک جہاز کو پہلے سے طے شدہ 1 ڈگری عرض البلد (ابتدائی متوازی سے الارگر کی 17.5 لیگ) کا احاطہ کرنے کے لیے سفر کرنا چاہیے۔ افاسٹر محض مغربی-مشرقی اثر پر متعلقہ اونزار ہے۔ مثال: فرض کریں کہ کوئی جہاز ایسٹ-ساؤتھ ایسٹ (ای ایس ای) بیرنگ پر نکلتا ہے۔ یہ جنوب سے اوپر چھ چوتھائی ہوائیں ہیں (یاد رکھیں: مارٹیلویو کے برعکس، لیگز کی رجمنٹ ہمیشہ شمال-جنوبی مریدین سے دور چوتھائی ہواؤں کی پیمائش کرتی ہے)۔ لیگ ٹیبل کی کسی بھی رجمنٹ کو دیکھنا (مثال کے طور پر۔ مارٹن کورٹیس ڈی الباکر، 1551)، ق = 6 کے لیے، ٹیبل ریلیور کو 45 لیگز اور افاسٹر کو 42 لیگز کے طور پر دیتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ای ایس ای بیرنگ پر سفر کرنے والے جہاز کو ایک ڈگری عرض البلد (مارٹیلویو زبان استعمال کرنے کے لیے مشرقی بیرنگ سے ایلارگر کی 17.5 لیگز) کا احاطہ کرنے کے لیے 45.73 لیگز کا سفر کرنا پڑے گا، اور متعلقہ افاسٹر (مارٹیلویو اصطلاحات میں ایوانزر) 42.25 لیگز ہوں گی۔ اگر، اس کے بجائے، جہاز ایس ای بیرنگ پر روانہ ہوا تھا، یعنی جنوب سے چار چوتھائی ہوائیں، تو q = 4 پر لیگز ٹیبل کی رجمنٹ کی متعلقہ اقدار ریلیور = 24 اور افاسٹر = 17 ہیں۔ نوٹ کریں کہ ایس ای اثر تیزی سے 1 ڈگری الارار تک پہنچ جاتا ہے (یعنی۔ ای ایس ای اثر سے چھوٹا ریلیور)، اور اس میں کم افاسٹر (این ایس مریڈین کے قریب) ہوگا۔ ریاضیاتی طور پر، ریلیور = 17.5/cos θ افاسٹر = 17.5 × ٹین θ جہاں θ = 11.25 × چوتھائی ہواؤں کی تعداد شمال-جنوبی محور سے دور ہے۔ اصطلاحات میں فرق کے باوجود، خاص طور پر عرض البلد ڈگریوں کا استعمال، مارٹیلویو اور لیگز کی رجمنٹ کی حکمرانی بہت مماثل ہے-وہ دونوں طیارہ چارٹ پر مثلث کو حل کرنے کے بارے میں ہیں۔ مارٹیلویو پر رجمنٹ کا فائدہ میز میں عرض البلد کے متوازی کا تعارف ہے، تاکہ فلکیاتی مشاہدے (کواڈرینٹ، ایسٹرولیب وغیرہ کے ذریعے) کے ذریعے پوزیشن کی جانچ کی جا سکے۔ )، اور فاصلے اور سمت کے نااخت کے تخمینوں پر مکمل طور پر انحصار کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ رجمنٹ کے ساتھ، جغرافیائی نقاط کو نیویگیشن کی رہنمائی کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ٹوڈسیلاس لائن (کیپ وردے کے مغرب میں میریڈیئن 370 لیگز) کی تلاش ایک عین عرض البلد کے حوالے سے بہت آسان ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ دو جہاز کیپ وردے (17° این) سے روانہ ہوتے ہیں، ایک مغرب میں نارتھ بیرنگ کے ذریعے (ڈبلیو بی این، جو مغرب سے ایک چوتھائی اوپر ہے، یا شمالی محور سے ق = 7)، دوسرا مغرب-شمال مغربی بیرنگ کے ذریعے (ڈبلیو این ڈبلیو، مغرب سے دو چوتھائی اوپر، یا شمالی محور سے ق = 6)۔ لیگز کی رجمنٹ کا استعمال کرتے ہوئے، عین طول بلد کا حساب لگانا ممکن ہے جب وہ ٹورڈسیلاس مریڈین کو عبور کریں گے-صرف 370 لیگز کو مغرب میں مختلف بیرنگ پر مضمر افاسٹر کے ذریعہ تقسیم کریں۔ ڈبلیو بی این جہاز 21°21 'این عرض البلد تک پہنچنے پر مریڈیئن تک پہنچ جائے گا، جبکہ ڈبلیو این ڈبلیو جہاز 29° این عرض البلد تک پہنچنے پر اس تک پہنچ جائے گا۔ لہذا گھنٹہ گلاس اور اسپیڈ ریڈنگ کے ساتھ لیگوں کو شمار کرنے کے بجائے، جہاز صرف اثر برقرار رکھ سکتے ہیں، اور اپنے عرض البلد کا اندازہ کرنے کے لیے وقتا فوقتا فلکیاتی مشاہدات کر سکتے ہیں۔ "ٹراورس سیلنگ" سے تعلق ٹولیٹا ڈی مارٹیلویو جدید "ٹراورس ٹیبل" کا آبائی ہے جو زیادہ جدید نیویگیشن میں استعمال ہوتا ہے۔ جدید نام میں، ٹریورس "ایک جہاز کی طرف سے بنایا گیا منحنی راستہ ہے جب وہ کئی لگاتار سمتوں میں سفر کرتا ہے" اور ٹریورس کو حل کرنا "ایک واحد راستہ اور فاصلہ تلاش کرنے کا طریقہ ہے جو ایک جہاز کو دو یا زیادہ راستوں اور فاصلے کے طور پر ایک ہی جگہ پر لے آئے گا"۔ مارٹیلویو زبان میں، جب "ٹریورس کو حل کرتے ہیں"، تو دی گئی معلوم معلومات "اصل کورس" اور "ریٹورنو" ہوتی ہے، جبکہ نامعلوم "مطلوبہ اثر" اور "کل ایوانزو" ہوتے ہیں۔ ٹراورس ٹیبلز ہر منحنی کورس کے حصوں کے لیے تین اقدار کا استعمال کرتی ہیں-فاصلہ (ضلع۔ )، عرض البلد کا فرق (D.Lat، N-S محور کے ساتھ حرکت) اور روانگی (ڈیپ.، E-W محور کے ساتھ حرکت)، مؤخر الذکر دو کا حساب فارمولوں کے ذریعہ کیا جاتا ہے: عرض البلد کا فرق = فاصلہ × cos θ روانگی = فاصلہ × sin θ جہاں θ N-S محور سے کورس کا کونیی فرق ہے اگر θ کی اقدار 45° سے کم ہیں۔ تاہم، اگر زاویہ 45° سے زیادہ ہے، تو θ کو E-W محور سے فرق کے زاویے کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اور فارمولے پلٹ جاتے ہیں، یعنی۔ عرض البلد کا فرق فارمولا روانگی بن جاتا ہے، اور روانگی کا فارمولا عرض البلد کا فرق ہے)۔ یا، اس سے بھی زیادہ آسانی سے، θ کو قریب ترین اصل ہوا (N، S، E، W) سے فرق کے زاویے کے طور پر شمار کریں، فارمولوں کو چلائیں اور پھر بڑی تعداد کو مناسب کالم (D.Lat) میں رکھیں۔ یا ڈی۔)۔ ہر کورس کے حصے کے لیے، نیویگیٹر متعلقہ تینوں (ضلع، D.Lat.، ڈپ۔) داخل کرتا ہے۔ اور شروع سے اختتامی نقطہ تک مضمر اثر اور اس اثر پر طے شدہ فاصلے کا حساب لگا سکتے ہیں۔ اس کے بعد وہ عرض البلد اور روانگی کے مجموعی فرق کو حاصل کرنے کے لیے عرض البلد اور روانگی کے تمام اختلافات کو جمع اور گھٹا کر جوڑتا ہے، اور اسے واپس مجموعی اثر اور فاصلے میں تبدیل کر دیتا ہے۔ مخطوطات کے ذرائع ریمن لل کے مشاورتی 1295 ریمارکس کو ایک طرف رکھتے ہوئے، مارٹیلویو کا قدیم ترین حوالہ 1390 کا ہے، جو جینوا کے ایک خاص اوبرٹو فوگلیٹو کی ماں کی جائیداد کی فہرست میں ہے، جہاں ایک اندراج میں یونم martelogium.item کارٹا اونا پرو نیوگانڈو لکھا ہوا ہے۔ پہلی واضح ظاہری شکل اور وضاحت وینس کی کپتان آندریا بیانکو کا 1436 اٹلس ہے۔ اس کے بعد سے مارٹیلویو کی حکمرانی سے متعلق دیگر ابتدائی نسخے ملے ہیں، جن میں شامل ہیں: 15 ویں صدی کا ایک گمنام وینیشین کوڈیکس، 1428 کے بعد، جو کبھی ڈوج مارکو فوسکارینی کے مجموعے کا حصہ تھا، اب کھو گیا ہے۔ روڈس کے وینشین مرینر مائیکل کا لبرل (c. 1434-36) (محترمہ نجی مجموعہ میں) انکونا کے گرازیوسو بیننکاسا کا ایڈریاٹک پورٹولانو، مرتب کیا گیا 1435-45 (محترمہ انکونا، اٹلی میں بیبلیوٹیکا کمیونیل لوسیانو بیننکاسا میں)۔ وینیشین پورٹولانو مخطوطہ الکیون ریکشن ڈی مرینری بذریعہ پیٹرو دی ورسی، c. 1444 (Ms.It.IV۔ 170 وینس، اٹلی میں بیبلیوٹیکا نازیونیل مارسیانا میں) وینیشین نیول ٹرمپٹر کا لبرو جسے موڈون کے زورزی ٹرومبیٹا کے نام سے جانا جاتا ہے، تاریخ c. 1444-49 (کاٹن ایم ایس ٹائٹس A.XXVI لندن، برطانیہ میں برٹش لائبریری میں) گمنام وینیشین مخطوطہ جسے آرٹے وینیزیانا ڈیل نیویگر کے نام سے جانا جاتا ہے، c. 1444-45 (محترمہ C.M.17 پادوا، اٹلی میں بیبلیوٹیکا ڈیل میوزیو سیوکو ڈی پڈووا میں)۔ راگیونی اینٹک اسپیٹنٹی ڈیل آرٹے ڈیل میری ایٹ فیبریچے ڈی ویسلی (محترمہ این وی ٹی 19، گرین وچ، یوکے کے نیشنل میری ٹائم میوزیم میں)۔ کارنارو اٹلس، ایک سابقہ مخطوطات کی c. 1489 کاپی، (لندن میں برٹش لائبریری میں Ms.Egerton 73) 15 ویں صدی کا گمنام وینیشین پورٹولانو (محترمہ 3345 * (Fosc.307) ویانا، آسٹریا میں Østerreichische Nationalbibliothek (±NB) میں) نوٹ بیرونی وسائل Altante Bianco، 1436 پر Internetculturale.it ؛ اعلی ریزولوشن Geoweb.sbn.venezia.it پر۔ میک گی، ڈی۔ اور دیگر۔ (2003 کے بعد) مائیکل آف روڈس: ایک قرون وسطی کا ملاح اور اس کی مخطوطات کی ویب سائٹ (20 جولائی، 2011 تک رسائی حاصل کی گئی)۔ (اصل میں ایم آئی ٹی میں ڈبنر انسٹی ٹیوٹ فار دی ہسٹری آف سائنس اینڈ ٹیکنالوجی کے زیر اہتمام، جس کی میزبانی اب میوزیو گیلیلیو انسٹی ٹیوٹ اور میوزیم آف دی ہسٹری آف سائنس نے فلورنس، اٹلی میں کی ہے) حوالہ جات ایکزل، اے ڈی۔ (2001) کمپاس کا پہیلی: وہ ایجاد جس نے دنیا کو تبدیل کر دیا نیویارک: ہارکورٹ۔ البرٹس، ای۔ اے۔ (1893) لی کنسٹرزیونی ناوالے ای ایل آرٹی ڈیلا نیویگیزیون ال ٹیمپو دی کرسٹوفورو کولمبو، پیٹ چہارم، جلد۔ 1 کولمبیا کے سینٹیناریو ڈیلا سکوپرٹا ڈیل امریکہ میں سے ایک۔ روم: منسٹرو ڈیلا پبلکا ایسٹروزیون۔ البوکرک، ایل۔ ڈی (1970) "اے نیوگاؤ ایسٹرونومیکا"، اے کورٹیساؤ میں، ایڈیٹر، 1969-70، ہسٹوریا دا کارٹوگرافیا پورٹوگیوسا، جلد۔ 2. لزبن: جنٹا ڈی انویسٹیگاؤس ڈو الٹرمار، پی۔ (جیسا کہ 1975 میں دوبارہ شائع ہوا، ایسٹوڈوس ڈی ہسٹوریا، جلد۔ 3. کوئمبرا: یو سی ببلیوٹیکا جیرل آن لائن) البوکرک، لوئس ڈی (1973) "اے ٹریٹاڈو ڈی ٹورڈیسلہاس ای ڈفیکلڈیڈس ٹیکنیکس دا سوا ایپلیکاؤ رگوروسا" ایل ٹریٹاڈو ڈی ٹورڈیسلس وائی سو پروجیکٹ، جلد۔ 1، پی پی۔ 119-366۔ (جیسا کہ 1974 میں دوبارہ شائع ہوا، ایسٹوڈوس ڈی ہسٹوریا، جلد۔ 2. کوئمبرا: یو سی ببلیوٹیکا جیرل۔ پی پی۔ 221p56 بریزنگ، اے۔ (1881) "لا ٹولیٹا ڈی مارٹیلوجو اینڈ ڈائی لوکسوڈرومیشین کارٹن"، زیٹس کرافٹ فر وسینشافٹلیچے جیوگرافی، جلد۔ II، پنڈت۔ 1 (پی پی۔ 129-33)، Pt. 2 (pp. 180-95)۔ برمیلین، جی۔ (2010) ڈی جارڈین اور اے شیل گیلاش میں "کلیئر سیلنگ ود ٹرگونومیٹری"، ایڈیٹرز، میتھمیٹیکل ٹائم کیپسول: ریاضی کے کلاس روم کے لیے تاریخی ماڈیول۔ ریاضیاتی ایسوسی ایشن آف امریکہ۔ کیمبل، ٹی۔ (1987) "تیرہویں صدی کے آخر سے لے کر 1500 تک کے پورٹولن چارٹس"، جے بی ہارلے اور ڈی ووڈورڈ میں، ایڈیٹرز، دی ہسٹری آف کارٹوگرافی، جلد۔ 1-ماقبل تاریخی، قدیم اور قرون وسطی کے یورپ اور بحیرہ روم میں نقشہ سازی۔ شکاگو: یونیورسٹی آف شکاگو پریس، پی پی۔ 371-63 آن لائن (PDF) کورٹساؤ، اے۔ (1969) ہسٹری آف پرتگالی کارٹوگرافی۔ کوئمبرا: جنٹا ڈی انویسٹیگاؤس ڈو الٹرمار کوٹر، سی۔ ایچ۔ (1978) "ارلی ٹیبلولر، گرافیکل اینڈ انسٹرومینٹل، پلین سیلنگ کے مسائل کو حل کرنے کے طریقے"، ریوسٹا دا یونیورسیڈیڈ ڈی کوئمبرا، جلد۔ 26، پی پی۔ 3-20 آف پرنٹ ڈی اویزاک، ایم اے پی۔ مارکوئس (1874) اپرسس ہسٹوریکس سر لا روز ڈیس وینٹس: لیٹرے اے مسٹر ہنری ناردوچی۔ روم: سیویلی آن لائن ڈیسیمونی، سی۔ (1888) "لی کارٹے ناٹیچے اطالوی ڈیل میڈیو ایوو، ایک پروپوزیٹو دی ان لبرو ڈیل پروفیسر۔ فشر"، اٹی ڈیلا سوسائٹی لیگور دی اسٹوریہ پیٹریہ، جلد۔ 19، پی پی۔ 225-66۔ ڈفی، بیلی ڈبلیو، اور جارج ڈی وینیئس (1977) پرتگالی سلطنت کی بنیادیں، 1415-1580 منیاپولیس، ایم این: یونیورسٹی آف مینیسوٹا پریس۔ ایڈسن، ای۔ (2007) عالمی نقشہ، 1300-1492: روایت اور تبدیلی کی استقامت۔ بالٹیمور، ایم ڈی: جانز ہاپکنز یونیورسٹی پریس۔ فارملیونی، ویسینزیو (1783) ساگیو سولہ ناٹیکا اینٹیکا ڈی وینیزیانی، کون انا السٹرازیون ڈی الکون کارٹے آئیڈروگرافک اینٹیچ ڈیلا بیبلیوٹیکا ڈی ایس مارکو، چی ڈائمونسٹرینو ایل آئیسول اینٹیلی پرائما ڈیلا سکوپرٹا ڈی کرسٹوفورو کولمبو۔ وینس۔ آن لائن گیلچیچ، ای۔ (1892) "آئی پرائمی پاسی ڈیلا سائنس ناٹیکا"، ریوسٹا میریٹیما، جلد۔ 25، پی پی۔ 71-102 کیلی، جے ای۔ (2000) قرون وسطی کے اواخر میں اینالاگ اور ڈیجیٹل نیویگیشن، میلروس پارک، پنسلوانیا: سم ٹائم پبلشرز کیلی، جے ای۔ (1995) "پورٹولین چارٹس کی ابتداء اور استعمال پر تناظر"، کارٹوگرافکا، جلد۔ 32 (3)، پی پی۔ 1-16۔ آن لائن کریٹسچمر، کے۔ (1909) ڈائی اٹالینشین پورٹولین ڈیس مٹلالٹرز: این بیتراگ زر گیسچیچٹے ڈیر کارٹوگرافی اینڈ ناٹک۔ برلن: مٹلر اینڈ سوہن لانگ، پی۔ آئی۔، ڈی۔ میک گی اور اے۔ ایم۔ اسٹہل، ایڈیٹرز، (2009) دی بک آف مائیکل آف روڈس: ایک پندرہویں صدی کا مخطوطہ۔ 3 جلدوں، کیمبرج، ماس: ایم۔ آئی۔ ٹی۔ پریس کریں۔ ماسیرو، ایف۔ (1984) "لا ریکسن ڈی مارٹیلویو"، اسٹڈی وینیزیانی، جلد۔ 8، پی پی۔ 393-412۔ میری فیلڈ، جے۔ (1883) ٹریٹائز آن نیویگیشن۔ لندن: اسپوٹس ووڈ۔ آن لائن موریلی، جیکوپو (1810) لیٹرا راریسیما دی کرسٹوفورو کولمبو۔ باسانو: اسٹیمپریا ریمنڈینیا آن لائن نورڈنسکیلڈ، ایڈولف ایرک (1897) پیریپلس: چارٹس اور سیلنگ ڈائریکشنز کی ابتدائی تاریخ پر ایک مضمون، ٹر۔ فرانسس اے بیتھر، اسٹاک ہوم: نورسٹیڈ۔ پیری، جے ایچ۔ (1974) سمندر کی دریافت، 1984 ایڈیشن، برکلے: یونیورسٹی آف کیلیفورنیا پریس۔ آن لائن رامون لل (1305) آرس میگنا جنرلس اینڈ الٹیما، 1517 ایڈیشن، آن لائن، خاص طور پر۔ حصہ 10، "ڈی نیویگیشن"، فو۔ 93، p.213 رامون لل (1295) L 'arbre de ciència، 1635 لاطینی ایڈیشن: Arborन्नॆرسٹی وینیرابیلیس ایٹ سیئلیٹیوس الیومینیٹی پیٹریس راومنڈی لیولی مائیوریینسس لیونز: پیلہوٹے۔ آن لائن رینڈلز، ڈبلیو جی ایل "(1998) XVth صدی میں پرتگال میں سمندری فلکیات کا ظہور"، جرنل آف نیویگیشن، جلد۔ 51، پی پی۔ 46-57۔ روزی، ایف۔ (2009) لانگ کے جلد 2 کا "تعارف"، میک گی اور اسٹال، ایڈیٹرز، بک آف مائیکل آف روڈس۔ (آن لائن) روج، ایس۔ (1900) "Der Periplus Nordenskiölds"، ڈوئچے جغرافیائی بلیٹر جلد۔ 23، نمبر۔ 4، پی پی۔ 161-228 سیزگن، F. (2007) اسلام میں ریاضیاتی جغرافیہ اور نقشہ سازی اور مغرب میں ان کا تسلسل۔ انسٹی ٹیوٹ فار دی ہسٹری آف عربی اسلامک سائنس ٹیلر، ای جی آر۔ (1950) "فائیو سینچریز آف ڈیڈ ریکننگ"، جرنل آف نیویگیشن، جلد۔ 3، پی پی۔ 280-85۔ ٹیلر، ای جی آر۔ (1956) دی ہیون فائنڈنگ آرٹ: اے ہسٹری آف نیویگیشن فرام اوڈیسیس ٹو کیپٹن کک، 1971 ایڈیشن۔ لندن: ہولس اینڈ کارٹر۔ ٹیلر، ای جی آر۔ (1960) "ریاضی اور تیرہویں صدی میں نیویگیٹر"، جرنل آف نیویگیشن، جلد۔ 13، پی پی۔ 1-12۔ ٹوالڈو، جیوسیپی (1782) "لیٹر اے سوا ایکسلینزا ال۔ سگ۔ کیو۔ جیوکوپو نانی، اس سے پہلے کہ آپ اس پر نظر رکھیں۔ ریگولا ڈی نیویگیٹر پریکٹیکاٹا دا وینیزیانی، سگگی دی اسٹڈی وینیسی: اسٹورٹی۔ پی پی۔ 40-61 ورنٹ، جے۔ (2008) "جیمز اول کے تحت اراگون کے تاج کی سائنسی دنیا" رامون لل اور اسلام میں، مکالمے کا آغاز۔ بارسلونا: IEMed.، pp. 99-114۔ واٹرس، ڈی ڈبلیو۔ (1988) "بارٹولومیو ڈیاس کے سفر سے متعلق XVIth صدی کے کچھ نیویگیشن اور ہائیڈروگرافک مسائل پر عکاسی"، ریوسٹا دا یونیورسیڈیڈ ڈی کوئمبرا، جلد۔ 34، پی پی۔ 275 347. آف پرنٹ ٹریگونومیٹری نیویگیشن کارٹوگرافی قرون وسطی کی یورپی ریاضی