Hamiltonian Monte Carlo
ہیملٹنین مونٹی کارلو الگورتھم (اصل میں ہائبرڈ مونٹی کارلو کے نام سے جانا جاتا ہے) بے ترتیب نمونوں کی ترتیب حاصل کرنے کے لیے ایک مارکوف چین مونٹی کارلو طریقہ ہے جو ہدف امکانات کی تقسیم کے مطابق تقسیم ہونے میں یکجا ہوتا ہے جس کے لیے براہ راست نمونے لینا مشکل ہوتا ہے۔ اس ترتیب کو ہدف کی تقسیم (متوقع اقدار) کے حوالے سے انٹیگرلز کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہیملٹنین مونٹی کارلو میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم کی ایک مثال سے مطابقت رکھتا ہے، جس میں ہیملٹنین حرکیات کے ارتقاء کو وقت کی واپسی اور حجم کو محفوظ رکھنے والے عددی انٹیگریٹر (عام طور پر لیپفروگ انٹیگریٹر) کا استعمال کرتے ہوئے نقل کیا جاتا ہے تاکہ ریاستی جگہ میں ایک نئے مقام پر جانے کی تجویز پیش کی جا سکے۔ میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم میں گوسیئن بے ترتیب واک پروپوزل ڈسٹری بیوشن کے استعمال کے مقابلے میں، ہیملٹنین مونٹی کارلو دور دراز کی ریاستوں میں نقل و حرکت کی تجویز پیش کرکے مسلسل نمونے لینے والی ریاستوں کے درمیان ارتباط کو کم کرتا ہے جو سمپلیکٹک انٹیگریٹر کا استعمال کرتے وقت مصنوعی ہیملٹنین متحرک کی تقریبا توانائی کے تحفظ کی خصوصیات کی وجہ سے قبولیت کا زیادہ امکان برقرار رکھتا ہے۔ کم ارتباط کا مطلب ہے کہ کسی دی گئی مونٹی کارلو غلطی کے لیے ہدف کے امکانات کی تقسیم کے حوالے سے انٹیگرلز کا تخمینہ لگانے کے لیے کم مارکوف چین نمونوں کی ضرورت ہے۔ الگورتھم کو اصل میں سائمن ڈوین، انتھونی کینیڈی، برائن پینڈلٹن اور ڈنکن رویتھ نے 1987 میں لیٹس کوانٹم کروموڈینامکس میں حساب کتاب کے لیے تجویز کیا تھا۔ 1996 میں، ریڈفورڈ ایم نیل نے دکھایا کہ کس طرح اس طریقہ کو شماریاتی مسائل کے وسیع تر طبقے، خاص طور پر مصنوعی عصبی نیٹ ورک کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، متعلقہ کثافت کے میلان کی فراہمی کے بوجھ نے اعداد و شمار اور دیگر مقداری مضامین میں الگورتھم کو وسیع پیمانے پر اپنانے میں تاخیر کی، یہاں تک کہ 2010 کی دہائی کے وسط میں اسٹین کے ڈویلپرز نے خودکار تفریق کے ساتھ مل کر ایچ ایم سی کو نافذ کیا۔ الگورتھم فرض کریں کہ نمونے کے لیے ہدف کی تقسیم () کے لیے ہے اور نمونوں کی ایک زنجیر درکار ہے۔ ہیملٹن کی مساوات وہ ہیں جہاں پوزیشن اور مومنٹم ویکٹر کا بالترتیب واں جزو ہے اور ہیملٹنین ہے۔ آئیے ایک ماس میٹرکس ہے جو ہم آہنگ اور مثبت قطعی ہے، پھر ہیملٹنین ہے جہاں ممکنہ توانائی ہے۔ کسی ہدف کے لیے ممکنہ توانائی دی جاتی ہے جو بولٹزمین کے عنصر سے آتی ہے۔ الگورتھم کے لیے لیپ مینڈک کے مراحل کی تعداد کے لیے ایک مثبت عدد اور قدم کے سائز کے لیے ایک مثبت عدد کی ضرورت ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ سلسلہ پر ہے۔ جانے دیں۔ سب سے پہلے، ایک بے ترتیب گوسیائی مومنٹم سے کھینچا جاتا ہے۔ اگلا، ذرہ وقت کے لیے ہیملٹنین حرکیات کے تحت چلے گا، یہ چھلانگ مینڈک الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے ہیملٹن کی مساوات کو عددی طور پر حل کرکے کیا جاتا ہے۔ لیپ فرگ الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے وقت کے بعد پوزیشن اور مومنٹم ویکٹر یہ ہیں کہ ان مساوات کا اطلاق اور حاصل کرنے کے اوقات پر کیا جانا ہے۔ چھلانگ مینڈک الگورتھم غیر تعامل کرنے والے کلاسیکی ذرات کی حرکت کا ایک تخمینہ حل ہے۔ اگر درست ہے، تو حل تصادفی طور پر پیدا ہونے والی ابتدائی توانائی کی تقسیم کو کبھی تبدیل نہیں کرے گا، کیونکہ کلاسیکی ممکنہ توانائی کے میدان کی موجودگی میں ہر ذرہ کے لیے توانائی محفوظ ہوتی ہے۔ تھرموڈینامک توازن کی تقسیم تک پہنچنے کے لیے، ذرات کا ارد گرد کے حرارت کے غسل کے ساتھ کسی نہ کسی طرح کا تعامل ہونا ضروری ہے، تاکہ پورا نظام بولٹزمین کی تقسیم کے مطابق امکانات کے ساتھ مختلف توانائیاں لے سکے۔ نظام کو تھرموڈینامک توازن کی تقسیم کی طرف منتقل کرنے کا ایک طریقہ میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے ذرات کی حالت کو تبدیل کرنا ہے۔ تو پہلے، چھلانگ مینڈک کا مرحلہ، پھر میٹروپولیس-ہیسٹنگ کا مرحلہ لاگو ہوتا ہے۔ سے منتقلی وہ جگہ ہے جہاں اسے حاصل کرنے کے لیے دہرایا جاتا ہے۔ کوئی یو-ٹرن سیمپلر نہیں یو-ٹرن سیمپلر (این یو ٹی ایس) خود بخود کنٹرول کرنے والی ایک توسیع ہے۔ ٹیوننگ اہم ہے۔ مثال کے طور پر، یک جہتی معاملے میں، پوٹینشل وہ ہے جو ایک سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کی پوٹینشل سے مطابقت رکھتا ہے۔ بہت بڑے کے لیے، ذرہ ارتعاش کرے گا اور اس طرح کمپیوٹیشنل وقت ضائع کرے گا۔ بہت چھوٹے کے لیے، ذرہ بے ترتیب چہل قدمی کی طرح برتاؤ کرے گا۔ نرمی سے، این یو ٹی ایس ہیملٹنین حرکیات کو وقت میں آگے اور پیچھے دونوں طرف بے ترتیب طور پر چلاتا ہے جب تک کہ یو-ٹرن کی حالت مطمئن نہ ہو جائے۔ جب ایسا ہوتا ہے تو ایم سی ایم سی نمونے کے لیے راستے سے ایک بے ترتیب نقطہ کا انتخاب کیا جاتا ہے اور اس عمل کو اس نئے نقطہ سے دہرایا جاتا ہے۔ تفصیل سے، لیپ مینڈک کے قدموں کے راستے کا پتہ لگانے کے لیے ایک بائنری ٹری بنایا گیا ہے۔ ایم سی ایم سی کا نمونہ تیار کرنے کے لیے، ایک تکراری طریقہ کار انجام دیا جاتا ہے۔ ایک سلائس متغیر کا نمونہ لیا جاتا ہے۔ آئیے اور بالترتیب آگے والے ذرہ کی پوزیشن اور مومنٹم بنیں۔ اسی طرح، اور پسماندہ ذرہ کے لیے۔ ہر تکرار میں، بائنری ٹری بے ترتیب یکساں طور پر منتخب کرتا ہے تاکہ آگے کے ذرہ کو وقت میں آگے یا پیچھے والے ذرہ کو وقت میں پیچھے کی طرف منتقل کیا جا سکے۔ نیز ہر تکرار کے لیے، چھلانگ مینڈک کے مراحل کی تعداد میں 2 کا عنصر بڑھ جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، پہلی تکرار میں، آگے کا ذرہ 1 لیپ مینڈک قدم کا استعمال کرتے ہوئے وقت کے ساتھ آگے بڑھتا ہے۔ اگلی تکرار میں، پسماندہ ذرہ 2 چھلانگ والے مینڈک کے مراحل کا استعمال کرتے ہوئے وقت کے ساتھ پیچھے کی طرف بڑھتا ہے۔ تکراری طریقہ کار اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک کہ یو-ٹرن کی شرط پوری نہ ہو جائے، یعنی جب ہیملٹنین غلط ہو جائے یا جہاں، مثال کے طور پر،۔ ایک بار یو-ٹرن کی حالت پوری ہونے کے بعد، اگلا ایم سی ایم سی نمونہ، بائنری ٹری کے ذریعے معلوم کیے گئے لیپ مینڈک کے راستے کو یکساں طور پر نمونے لے کر حاصل کیا جاتا ہے جو مطمئن کرتا ہے۔ یہ عام طور پر مطمئن ہوتا ہے اگر باقی ایچ ایم سی پیرامیٹرز سمجھدار ہوں۔ مونٹی کارلو سالماتی ماڈلنگ کے لیے متحرک مونٹی کارلو طریقہ کار سافٹ ویئر اسٹین میٹروپولیس ایڈجسٹ لینجین الگورتھم حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی روابط ہیملٹنین مونٹی کارلو شروع سے آپٹیمائزیشن اور مونٹی کارلو طریقے مونٹی کارلو طریقے مارکوف چین مونٹی کارلو