Bloch group
ریاضی میں، بلوچ گروپ بلوچ-سسلن کمپلیکس کا ایک ہم آہنگی گروپ ہے، جس کا نام اسپینسر بلوچ اور آندرے سسلن کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اس کا پولی لوگرتھم، ہائپربولک جیومیٹری اور الجبرائی K-تھیوری سے گہرا تعلق ہے۔ بلاچ-وگنر فنکشن ڈیلوگرتھم فنکشن وہ فنکشن ہے جس کی وضاحت پاور سیریز کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اسے تجزیاتی تسلسل کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے، جہاں انضمام کا راستہ 1 سے + ≤ تک کٹ سے بچتا ہے۔ بلاچ-وگنر فنکشن کا تعلق ڈیلوگرتھم فنکشن سے ہے، اگر یہ فنکشن کئی قابل ذکر خصوصیات سے لطف اندوز ہوتا ہے، جیسے۔ آخری مساوات ڈیلوگرتھم کے لیے ایبل کی فنکشنل مساوات کا ایک متغیر ہے۔ تعریف K کو ایک فیلڈ ہونے دیں اور علامتوں [x] کے ذریعہ تیار کردہ آزاد ابیلین گروپ کے طور پر بیان کریں۔ ایبل کی فنکشنل مساوات کا مطلب یہ ہے کہ D2 عناصر کے ذریعہ پیدا ہونے والے Z (K) کے ذیلی گروپ D (K) پر غائب ہو جاتا ہے A (K) کے حصص کو ذیلی گروپ D (K) سے ظاہر کرتا ہے۔ بلوچ-سسلن کمپلیکس کو مندرجہ ذیل کوچین کمپلیکس کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو ڈگری ایک اور دو میں مرکوز ہے، جہاں، پھر بلوچ گروپ کی تعریف بلوچ نے کی تھی۔ بلوچ-سسلن کمپلیکس کو ایک عین ترتیب کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہ دعوی فیلڈز کے لیے K2 پر متسوموٹو تھیوریم کی وجہ سے ہے۔ K3 اور بلوچ گروپ کے درمیان تعلقات اگر c عنصر کی نشاندہی کرتا ہے اور فیلڈ لامحدود ہے، تو سوسلن نے ثابت کیا کہ عنصر c کا انحصار x کے انتخاب پر نہیں ہے، اور جہاں GM (K) GL (K) کا ذیلی گروپ ہے، جو یک جہتی میٹرکس پر مشتمل ہے، اور BGM (K) + کویلن کی جمع تعمیر ہے۔ مزید برآں، K3M ملنور کے K-گروپ کی نشاندہی کرتا ہے، پھر ایک عین ترتیب موجود ہے جہاں K3 (K) ind = coker (K3M (K) → K3 (K)) اور ٹور (K *، K *) ~ Z/2 کے ذریعے ٹور (K *، K *) کی منفرد غیر معمولی توسیع ہے۔ تین جہتوں میں ہائپربولک جیومیٹری سے تعلقات بلاچ-وگنر فنکشن، جس کی وضاحت کی گئی ہے، کے درج ذیل معنی ہیں: آئیے 3 جہتی ہائپربولک اسپیس اور اس کا ہاف اسپیس ماڈل۔ عناصر کو انفنٹی پر پوائنٹس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایک ٹیٹرا ہیڈرون، جس کے تمام عمودی حصے لامحدود پر ہوتے ہیں، ایک مثالی ٹیٹرا ہیڈرون کہلاتا ہے۔ ہم اس طرح کے ٹیٹرا ہیڈرون کو اس کے (دستخط شدہ) حجم سے ظاہر کرتے ہیں جہاں عمودی ہیں۔ پھر مستقل تک مناسب میٹرک کے تحت ہم اس کا کراس تناسب حاصل کر سکتے ہیں: خاص طور پر،۔ کے پانچ اصطلاحات کے تعلق کی وجہ سے، غیر انحطاطی مثالی ٹیٹراہیڈرون کی حد کا حجم 0 کے برابر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے علاوہ، ایک ہائپربولک کئی گنا دیا جائے تو، کوئی اس جگہ پر سڑ سکتا ہے جہاں مثالی ٹیٹراہیڈرہ ہیں۔ جن کے تمام سرے لامحدود پر ہیں۔ یہاں کچھ پیچیدہ اعداد ہیں۔ ہر مثالی ٹیٹراہیڈرون ایک کے لیے آئسومیٹرک ہوتا ہے جس کے عمودی حصے کچھ کے ساتھ ہوتے ہیں۔ یہاں ٹیٹرا ہیڈرون کے عمودی حصوں کا کراس تناسب ہے۔ اس طرح ٹیٹرا ہیڈرون کا حجم صرف ایک ہی پیرامیٹر پر منحصر ہوتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ مثالی ٹیٹراہیڈرون کے لیے، بلاچ-وگنر ڈیلوگرتھم کہاں ہے۔ عام ہائپربولک 3-مینی فولڈ کے لیے انہیں چپکانے سے حاصل ہوتا ہے۔ موسٹو رگڈیٹی تھیوریم سب کے لیے حجم کی صرف ایک ہی قیمت کی ضمانت دیتا ہے۔ ڈیلو گیریتھم کو تریلوگریتھم یا اس سے بھی زیادہ پولیلوگریتھم سے تبدیل کرنے کے ذریعے، بلاچ گروپ کے تصور کو گونچاروف اور زاجیر نے بڑھایا۔ یہ وسیع پیمانے پر قیاس کیا جاتا ہے کہ وہ عام کردہ بلوچ گروپ Bn الجبرائی K-تھیوری یا محرک ہم آہنگی سے متعلق ہونے چاہئیں۔ دوسری سمتوں میں بلوچ گروپ کی عمومی شکلیں بھی ہیں، مثال کے طور پر، نیومن کے ذریعہ بیان کردہ توسیعی بلوچ گروپ۔ حوالہ جات (یہ 1826 کا مخطوطہ صرف بعد از مرگ شائع ہوا تھا۔) الجبرائی ٹوپولوجی