Finite extensions of local fields
الجبرائی نمبر تھیوری میں، تکمیل کے ذریعے، کسی پرائم آئیڈیل کے ریمفیکیشن کے مطالعہ کو اکثر مقامی شعبوں کے معاملے تک کم کیا جا سکتا ہے جہاں ریمفیکیشن گروپس جیسے ٹولز کی مدد سے مزید تفصیلی تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ اس مضمون میں، ایک مقامی فیلڈ غیر آرکیمیڈین ہے اور اس میں بقیہ فیلڈ محدود ہے۔ غیر منظم توسیع محدود بقایا فیلڈز اور گالوئس گروپ کے ساتھ غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈز کی ایک محدود گالوئس توسیع ہے۔ پھر درج ذیل مساوی ہیں۔ (i) غیر منظم ہے۔ (ii) ایک فیلڈ ہے، جہاں کا زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ہے۔ (iii) (iv) جمود کا ذیلی گروہ معمولی ہے۔ (v) اگر یکسانیت کا عنصر ہے، تو یہ بھی ایک یکسانیت کا عنصر ہے۔ جب غیر منظم کیا جاتا ہے، (iv) (یا (iii)) سے، G کی شناخت کی جا سکتی ہے، جو کہ محدود چکور ہے۔ مندرجہ بالا کا مطلب یہ ہے کہ مقامی فیلڈ K کی محدود غیر رمفائیڈ ایکسٹینشنز اور K کے بقیہ فیلڈ کی محدود علیحدہ توسیع کے درمیان زمروں کی مساوات ہے۔ مکمل طور پر رمفائیڈ ایکسٹینشن پھر، محدود بقیہ فیلڈز اور گالوئس گروپ کے ساتھ غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈز کی ایک محدود گالوئس ایکسٹینشن ہونے دیں۔ مندرجہ ذیل مساوی ہیں۔ مکمل طور پر ریمفائیڈ اس کے جمود ذیلی گروپ کے ساتھ موافق ہے۔ جہاں ایک آئزنسٹین کثیر الجہتی کا جڑ ہے۔ اس معیار میں ایک یونیفارم شامل ہے۔ ابھینکر کا لیما انرامفائیڈ مورفزم حوالہ جات الجبرائی نمبر تھیوری بھی دیکھیں۔