Reflection principle (Wiener process)
سٹاکاسٹک عمل کے لیے امکان کے نظریہ میں، وینر عمل کے لیے عکاسی کا اصول بیان کرتا ہے کہ اگر وینر عمل f (t) کا راستہ وقت t = s پر f (s) = a کی قدر تک پہنچ جاتا ہے، تو وقت s کے بعد آنے والے راستے میں وہی تقسیم ہوتی ہے جو a کی قدر کے بارے میں آنے والے راستے کی عکاسی ہوتی ہے۔ مزید رسمی طور پر، عکاسی کا اصول وینر عمل، یا براؤنین حرکت کی بالادستی کی تقسیم سے متعلق ایک لیما سے مراد ہے۔ نتیجہ وقت t تک براؤنین حرکت کی بالادستی کی تقسیم کا تعلق وقت t پر عمل کی تقسیم سے ہے۔ یہ براؤنین حرکت کی مضبوط مارکوف خاصیت کا نتیجہ ہے۔ بیان اگر ایک وینر عمل ہے، اور ایک حد ہے (جسے کراسنگ پوائنٹ بھی کہا جاتا ہے)، تو لیما کہتا ہے: یہ فرض کرتے ہوئے کہ وینر کے عمل کے تسلسل کی وجہ سے، وینر کے عمل کا ہر راستہ (ایک نمونہ احساس) جس پر ویلیو/لیول/حد/کراسنگ پوائنٹ پر یا اس سے اوپر ختم ہوتا ہے، وقت () پہلی بار کسی ابتدائی وقت میں ایک حد () کو عبور کر چکا ہوگا (پہنچ گیا ہوگا)۔ (یہ وقفے پر کئی بار سطح کو عبور کر سکتا ہے، ہم سب سے پہلے لیتے ہیں۔) اس طرح کے ہر راستے کے لیے، آپ ایک اور راستے کی وضاحت کر سکتے ہیں جو اصل راستے سے سطح کے ارد گرد ذیلی وقفے پر عکاسی کرتا ہے یا عمودی طور پر پلٹ جاتا ہے۔ یہ عکاسی شدہ راستے وینر کے عمل کے نمونے بھی ہیں جو وقفے پر قدر تک پہنچتے ہیں، لیکن نیچے ختم ہوتے ہیں۔ اس طرح وقفے پر پہنچنے والے تمام راستوں میں سے آدھا نیچے ختم ہوگا، اور آدھا اوپر ختم ہوگا۔ لہذا، اوپر ختم ہونے کا امکان پہنچنے کا نصف ہے۔ ایک مضبوط شکل میں، عکاسی کا اصول کہتا ہے کہ اگر رکنے کا وقت ہے تو وینر کے عمل کا عکاسی بھی ایک وینر عمل ہے، جہاں: اور اشارے کا فنکشن اور اسی طرح بیان کیا گیا ہے۔ مضبوط شکل اصل لیما کو منتخب کرکے ظاہر کرتی ہے۔ ثبوت کراسنگ پوائنٹ a تک پہنچنے کے لیے سب سے ابتدائی رکنے کا وقت تقریبا یقینی طور پر ایک محدود رکنے کا وقت ہے۔ پھر ہم مضبوط مارکوف پراپرٹی کا اطلاق یہ نتیجہ اخذ کرنے کے لیے کر سکتے ہیں کہ اس کے بعد کا رشتہ دار راستہ بھی براؤنین حرکت سے آزاد ہے۔ پھر آخری وقت کے لیے امکان کی تقسیم وقت کے وقفے میں حد پر یا اس سے اوپر ہے جسے اس طرح ختم کیا جا سکتا ہے۔ مشروط توقعات کے لیے ٹاور پراپرٹی کے لحاظ سے، دوسری اصطلاح کم ہو جاتی ہے: چونکہ یہ ایک معیاری براؤنین حرکت ہے جو اس سے آزاد ہے اور اس کے اس سے کم ہونے کا امکان ہے۔ لیما کا ثبوت اسے پہلی مساوات کی دوسری لائن میں تبدیل کر کے مکمل کیا جاتا ہے۔ ۔ عکاسی کا اصول اکثر براؤنین حرکت کی تقسیم کی خصوصیات کو آسان بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ محدود وقفے پر براؤنین حرکت پر غور کرنے کے بعد عکاسی کا اصول ہمیں یہ ثابت کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ زیادہ سے زیادہ، اطمینان بخش، آرکسین کی تقسیم ہے۔ یہ لیوی آرکسین قوانین میں سے ایک ہے۔ حوالہ جات اسٹوچسٹک کیلکولس امکانی تھیوریمز