Series multisection
ریاضی میں، پاور سیریز کا ملٹی سیکشن ایک نیا پاور سیریز ہے جو اصل سیریز سے بغیر کسی تبدیلی کے نکالی گئی مساوی فاصلے والی اصطلاحات پر مشتمل ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، اگر کسی کو پاور سیریز دی جائے تو اس کا ملٹی سیکشن اس شکل کی ایک پاور سیریز ہے جہاں p، q عدد ہیں، جس میں 0 ≤ p <q ہے۔ سیریز ملٹیسیکشن افعال پیدا کرنے کی عام تبدیلیوں میں سے ایک کی نمائندگی کرتا ہے۔ تجزیاتی افعال کی ضرب ایک تجزیاتی فنکشن کی سیریز کے کثیر حصے میں فنکشن کے لحاظ سے ایک بند شکل کا اظہار ہوتا ہے: جہاں اتحاد کا ایک ابتدائی q-th جڑ ہے۔ اس اظہار کو اکثر یونٹی فلٹر کی جڑ کہا جاتا ہے۔ یہ حل سب سے پہلے تھامس سمپسن نے دریافت کیا تھا۔ یہ اظہار خاص طور پر اس لحاظ سے مفید ہے کہ یہ ایک لامحدود رقم کو ایک محدود رقم میں تبدیل کر سکتا ہے۔ یہ، مثال کے طور پر، گاؤس کے ڈیگاما تھیوریم کے معیاری ثبوت کے ایک کلیدی مرحلے میں استعمال ہوتا ہے، جو عقلی اقدار p/q پر تشخیص شدہ ڈیگاما فنکشن کو ایک بند شکل کا حل دیتا ہے۔ مثالیں تقسیم عام طور پر، سیریز کے دو حصے سیریز کے یکساں اور عجیب حصے ہوتے ہیں۔ جیومیٹرک سیریز پر غور کریں مندرجہ بالا سیریز میں ترتیب دینے سے، اس کے ملٹیسیکشنز کو آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ یاد رکھنا کہ ملٹیسیکشنز کا مجموعہ اصل سیریز کے برابر ہونا چاہیے، ہم واقف شناخت ایکسپونینشل فنکشن کو بازیافت کرتے ہیں۔ تجزیاتی افعال کے لیے مذکورہ فارمولے کے ذریعے ایکسپونینشل فنکشن کو الگ کیا جاتا ہے۔ بائیسیکشنز معمولی طور پر ہائپربولک فنکشنز ہیں: ہائیر آرڈر ملٹیسیکشنز کو یہ نوٹ کرتے ہوئے پایا جاتا ہے کہ ایسی تمام سیریز کو حقیقی لائن کے ساتھ حقیقی قدر کا ہونا چاہیے۔ حقیقی حصہ لینے اور معیاری مثلثی شناختوں کا استعمال کرتے ہوئے، فارمولوں کو واضح طور پر حقیقی شکل میں لکھا جا سکتا ہے کیونکہ انہیں کرونیکر ڈیلٹا نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ لکیری تفریق مساوات کے حل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، سہ رخیں ہیں اور چوتھائی بائنومیل سیریز ہیں x = 1 پر بائنومیل توسیع کا ضرب مرحلہ q کے ساتھ بائنومیل کوفیشنٹس کے مجموعے کے لیے درج ذیل شناخت فراہم کرتا ہے: حوالہ جات سوموس، مائیکل اے ملٹیسیکشن آف q-سیریز، 2006۔ الجبرہ مجموعہ ریاضیاتی تجزیہ پیچیدہ تجزیہ ریاضیاتی سیریز