Fraunhofer diffraction equation
آپٹکس میں، فرونہوفر ڈفریکشن مساوات کا استعمال لہروں کے ڈفریکشن کو ماڈل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جب ڈفریکشن پیٹرن کو ڈفریکٹنگ آبجیکٹ سے طویل فاصلے پر دیکھا جاتا ہے، اور یہ بھی جب اسے امیجنگ لینس کے فوکل پلین پر دیکھا جاتا ہے۔ اس مساوات کا نام جوزف وان فرونہوفر کے اعزاز میں رکھا گیا تھا حالانکہ وہ حقیقت میں نظریہ کی ترقی میں شامل نہیں تھے۔ یہ مضمون مساوات کو مختلف ریاضیاتی شکلوں میں دیتا ہے، اور ڈفریکٹنگ ایپرچرز کی کئی مختلف شکلوں کے لیے، خاص طور پر عام طور پر واقع یک رنگ طیارہ لہر کے لیے، فرونہوفر ڈفریکشن پیٹرن کا تفصیلی حساب فراہم کرتا ہے۔ فرونہوفر ڈفریکشن کی کوالٹی پر مبنی بحث کہیں اور مل سکتی ہے۔ تعریف جب روشنی کی بیم کو کسی رکاوٹ سے جزوی طور پر بلاک کیا جاتا ہے، تو کچھ روشنی شے کے گرد بکھری رہتی ہے، اور اکثر سائے کے کنارے پر ہلکی اور سیاہ بینڈ نظر آتی ہیں-اس اثر کو ڈفریکشن کہا جاتا ہے۔ کرچوف ڈفریکشن مساوات ایک اظہار فراہم کرتی ہے، جو لہر کی مساوات سے ماخوذ ہے، جو ایک یپرچر کے ذریعے ڈفریکٹ ہونے والی لہر کو بیان کرتی ہے۔ اس مساوات کے تجزیاتی حل زیادہ تر ترتیبات کے لیے دستیاب نہیں ہیں۔ فرونہوفر ڈفریکشن مساوات ایک تخمینہ ہے جس کا اطلاق اس وقت کیا جا سکتا ہے جب دور کے میدان میں ڈفریکٹڈ لہر کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، اور اس وقت بھی جب ایک لینس کو ڈفریکٹڈ روشنی کو فوکس کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ بہت سی مثالوں میں، فرونہوفر مساوات کا ایک سادہ تجزیاتی حل دستیاب ہے-ان میں سے کئی ذیل میں اخذ کیے گئے ہیں۔ کارٹیسی کوآرڈینیٹس میں اگر یپرچر طیارہ میں ہے، یپرچر میں اصل کے ساتھ اور طول موج λ کی یک رنگ لہر سے روشن ہے، پیچیدہ طول موج کے ساتھ لہر کی تعداد، اور متفرق لہر کا مشاہدہ مثبت محور کے ساتھ غیر بنیادی سطح میں کیا جاتا ہے، جہاں اصل کے حوالے سے نقطہ کی سمت کوسائنز ہیں۔ ڈفریکٹڈ لہر کا پیچیدہ طول و عرض فرونہوفر ڈفریکشن مساوات کے ذریعے اس طرح دیا گیا ہے: اس مساوات سے یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ ڈفریکشن پیٹرن کی شکل صرف دیکھنے کی سمت پر منحصر ہوتی ہے، اس لیے ڈفریکشن پیٹرن سائز میں تبدیل ہوتا ہے لیکن دیکھنے کے فاصلے کی تبدیلی کے ساتھ شکل میں نہیں۔ فرونہوفر ڈفریکشن مساوات کا اظہار مختلف ریاضیاتی مساوی شکلوں میں کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ مندرجہ بالا مساوات میں لازمی تعدد پر تشخیص شدہ یپرچر فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ اس طرح، ہم مساوات کو فورئیر ٹرانسفارم کے لحاظ سے بھی لکھ سکتے ہیں: جہاں کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ فورئیر ٹرانسفارم فارمولیشن ڈفریکشن کے مسائل کو حل کرنے میں بہت مفید ثابت ہو سکتی ہے۔ ایک اور شکل یہ ہے: جہاں بالترتیب مشاہداتی نقطہ اور یپرچر میں ایک نقطہ کی نمائندگی کرتا ہے، اور بالترتیب یپرچر اور ڈفریکٹڈ لہروں میں خلل کے لہر ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے، اور یپرچر پر خلل کی شدت کی نمائندگی کرتا ہے۔ قطبی نقاط میں جب ڈفریکٹنگ یپرچر میں سرکلر سمیٹری ہوتی ہے، تو کارٹیشین نقاط کے بجائے قطبی کا استعمال کرنا مفید ہوتا ہے۔ یپرچر میں ایک نقطہ میں نقاط ہوتے ہیں: اور پیچیدہ طول و عرض کے ذریعہ دیا جاتا ہے، اور رقبہ ρ′dρ′dω′ میں تبدیل ہو جاتا ہے، بیسل فنکشن کی لازمی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے: ہمارے پاس جہاں انضمام ہوتا ہے کیونکہ مساوات سرکلر سمیٹرک ہے، یعنی۔ کوئی انحصار نہیں ہے۔ اس صورت میں، ہمارے پاس یپرچر فنکشن کے فورئیر-بیسل یا ہینکل ٹرانسفارم کے برابر ہے، مثال یہاں عام طور پر واقع یک رنگ طیارہ لہر کے ساتھ فرونہوفر ڈفریکشن کی مثالیں دی گئی ہیں۔ ہر صورت میں، ڈفریکٹنگ آبجیکٹ طیارہ میں واقع ہوتا ہے، اور واقع طیارہ لہر کا پیچیدہ طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے کہ لہر کی خلل کی شدت کہاں ہے، طول موج کہاں ہے، روشنی کی رفتار کہاں ہے، وقت = لہر نمبر ہے اور فیز وقت پر صفر ہے۔ وقت پر منحصر عنصر کو پورے حساب کتاب میں خارج کر دیا جاتا ہے، کیونکہ یہ مستقل رہتا ہے، اور جب شدت کا حساب لگایا جاتا ہے تو اس کا اوسط نکل جاتا ہے۔ پر شدت طول و عرض کے اوقات اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ کے متناسب ہے۔ یہ مشتقات زیادہ تر معیاری آپٹکس کتابوں میں، مختلف اشاروں کا استعمال کرتے ہوئے قدرے مختلف شکلوں میں پائی جا سکتی ہیں۔ یہاں ماڈل کیے گئے ہر نظام کے لیے ایک حوالہ دیا گیا ہے۔ استعمال شدہ فورئیر ٹرانسفارمز یہاں مل سکتے ہیں۔ تنگ آئتاکار سلٹ یپرچر چوڑائی کا ایک سلٹ ہے جو-محور کے ساتھ واقع ہے، انضمام کے ذریعے حل یہ فرض کرتے ہوئے کہ سلٹ کا مرکز واقع ہے، اوپر کی پہلی مساوات، کی تمام اقدار کے لیے ہے: یولر کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، اسے آسان بنایا جا سکتا ہے: کہاں۔ سنک فنکشن کو بعض اوقات اس طرح بیان کیا جاتا ہے اور یہ مختلف نصوص میں مشتقات کو دیکھتے وقت الجھن کا باعث بن سکتا ہے۔ اسے اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے: z-محور اور اصل سے ملنے والی لکیر کے درمیان زاویہ کہاں ہے اور کب۔ فورئیر ٹرانسفارم حل پھسلن کو ریکٹ فنکشن کے ذریعے اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے: اس فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم اس طرح دیا جاتا ہے کہ فورئیر ٹرانسفارم فریکوئنسی کہاں ہے، اور فنکشن کو یہاں اس طرح بیان کیا گیا ہے کہ فورئیر ٹرانسفارم فریکوئنسی یہاں ہے، جس سے نوٹ ملتا ہے کہ فنکشن کو یہاں مستقل مزاجی برقرار رکھنے کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ شدت طول و عرض کے مربع کے متناسب ہوتی ہے، اور اس لیے یپرچرز آئتاکار یپرچر ہوتا ہے جب چوڑائی W اور اونچائی H کا ایک آئتاکار پھسلنا طول موج کی یک رنگ طیارہ لہر کے ذریعے عام طور پر روشن کیا جاتا ہے (عام زاویے پر پھسلنا روشن کیا جاتا ہے)، پیچیدہ طول و عرض کو پچھلے حصے کے اسی طرح کے تجزیے کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے، جس کا اطلاق دو آزاد آرتھوگنل جہتوں پر ہوتا ہے: شدت اس طرح دی جاتی ہے جہاں اور محور مشاہدے کے جہاز یا تصویری جہاز (اوپر کے اعداد و شمار میں بیان کردہ) پر ٹرانسورس سمتوں کی وضاحت کرتے ہیں، اور یہ شبیہہ کے جہاز پر پھسلن والے مرکز اور مشاہدے کے نقطہ کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ عملی طور پر، تمام سلٹ محدود سائز کے ہوتے ہیں لہذا (چوڑائی W کی وضاحت شدہ) اور (اونچائی H کی وضاحت شدہ) محوروں کے ساتھ، دونوں الٹی سمتوں پر تفریق پیدا کرتے ہیں۔ اگر پھسلن کی اونچائی H اس کی چوڑائی W سے بہت زیادہ ہے، تو عمودی (اونچائی یا محور کے ساتھ) ڈفریکشن فرنجز کا فاصلہ افقی (چوڑائی یا محور کے ساتھ) فرنجز کے فاصلے سے بہت کم ہے۔ اگر عمودی فریج کا فاصلہ نسبتا اتنا بڑا H سے اتنا کم ہے، تو عمودی فریجز کا مشاہدہ اتنا سخت ہے کہ مشاہدے کی سطح یا تصویری سطح پر منحرف لہر کی شدت کے نمونے کا مشاہدہ کرنے والا شخص صرف افقی فریجز کو ان کی تنگ اونچائی کے ساتھ پہچانتا ہے۔ یہی وجہ ہے کہ اونچائی سے لمبے سلٹ یا سلٹ سرنی جیسے ڈفریکشن گریٹنگ کا تجزیہ عام طور پر صرف چوڑائی کے ساتھ طول و عرض میں کیا جاتا ہے۔ اگر روشن کرنے والا بیم پھسلن کی پوری اونچائی کو روشن نہیں کرتا ہے، تو عمودی کناروں کے فاصلے کا تعین پھسلن کی اونچائی کے ساتھ لیزر بیم کے طول و عرض سے ہوتا ہے۔ نیچے دیے گئے دو ٹکڑوں کے نمونے کی قریبی جانچ سے پتہ چلتا ہے کہ مرکزی مقامات کے اوپر اور نیچے بہت باریک عمودی انحراف کے کنارے ہیں، ساتھ ہی ساتھ زیادہ واضح افقی کنارے بھی ہیں۔ سرکلر یپرچر یپرچر کا قطر ہوتا ہے۔ اگر ہم متبادل بناتے ہیں اور انضمام کی حدود 0 ہو جاتی ہیں اور ہمیں پٹنگ مل جاتی ہے، تو ہمیں فورئیر-بیسل ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل ملتا ہے۔ ہم یپرچر فنکشن کو ایک سٹیپ فنکشن کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ اس فنکشن کے لیے فورئیر-بیسل ٹرانسفارم اس رشتے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں ٹرانسفارم فریکوئنسی ہے جو اور کے برابر ہے۔ اس طرح، ہمیں شدت ملتی ہے شدت اس طرح دی جاتی ہے: ڈفریکشن پیٹرن کی شکل یہ ہوای ڈفریکشن پیٹرن کے نام سے جانا جاتا ہے ڈفریکٹڈ پیٹرن عام محور کے بارے میں ہم آہنگ ہوتا ہے۔ گاؤسی پروفائل والا یپرچر، مثال کے طور پر، ایک گاؤسی پروفائل والا یپرچر، ایک فوٹو گرافی سلائیڈ جس کی ترسیل میں گاؤسی تغیر ہوتا ہے، تاکہ اصل سے r "کے فاصلے پر واقع یپرچر میں ایک نقطہ پر طول و عرض فورئیر-بیسل ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل دے کر دیا جائے۔ فورئیر-بیسل یا ہینکل ٹرانسفارم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ پہلی قسم کے آرڈر کا بیسل فنکشن کہاں ہے۔ ہینکل ٹرانسفارم دے رہا ہے اور شدت شدت اس طرح دی گئی ہے: یہ فنکشن دائیں طرف پلاٹ کیا گیا ہے، اور یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ، آئتاکار یا سرکلر یپرچرز کے ذریعہ تیار کردہ ڈفریکشن پیٹرن کے برعکس، اس میں کوئی ثانوی حلقے نہیں ہیں۔ یہ ایک ایسے عمل میں استعمال کیا جا سکتا ہے جسے اپوڈائزیشن کہا جاتا ہے-یپرچر ایک فلٹر سے ڈھکا ہوتا ہے جس کی ترسیل گوسی فنکشن کے طور پر مختلف ہوتی ہے، جس سے کوئی ثانوی بجتی نہیں ہوتی ہے۔ سلٹس ٹو سلٹس وہ نمونہ جو اس وقت ہوتا ہے جب روشنی دو سلٹس سے ایک دوسرے سے الگ ہو جاتی ہے طبیعیات میں کافی دلچسپی رکھتا ہے، سب سے پہلے ینگ کے مداخلت کے تجربے کے ذریعے روشنی کے لہر کے نظریہ کو قائم کرنے میں اس کی اہمیت کی وجہ سے، اور دوسرا اس وجہ سے کہ کوانٹم میکانکس میں ڈبل سلٹ کے تجربے میں ایک سوچ کے تجربے کے طور پر اس کا کردار ہے۔ سرخ لیزر کا استعمال کرتے ہوئے تنگ سلٹس right|thumb |Two سلٹ مداخلت ہمارے پاس دو لمبی سلٹس ہیں جو طول موج کی طیارہ لہر سے روشن ہوتی ہیں۔ پھسلیاں سطح میں، محور کے متوازی، فاصلے سے الگ ہوتی ہیں اور اصل کے بارے میں متناسب ہوتی ہیں۔ پھسلن کی چوڑائی طول موج کے مقابلے میں چھوٹی ہوتی ہے۔ انضمام کے ذریعے حل واقع روشنی کو پھسلن کے ذریعے یکساں کروی لہروں میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ دونوں پھسلیوں سے ایک دی گئی سمت میں سفر کرنے والی لہروں کے مختلف مراحل ہوتے ہیں۔ ابتدا سے متعلق اوپری اور نچلی پھسلیوں سے لہروں کا مرحلہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے اور خلاصہ شدہ لہروں کا پیچیدہ طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے: فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل یپرچر کو فنکشن کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے: ڈیلٹا فنکشن کہاں ہے۔ ہمارے پاس ہے اور دے رہے ہیں یہ وہی اظہار ہے جو انضمام کے ذریعے اوپر اخذ کیا گیا ہے۔ شدت یہ مشترکہ لہروں کی شدت کو اس طرح دیتا ہے: محدود چوڑائی کی پھسلن پھسلن کی چوڑائی، محدود ہے۔ انضمام کے ذریعے حل ڈفریکٹڈ پیٹرن اس طرح دیا جاتا ہے: فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل یپرچر فنکشن اس طرح دیا جاتا ہے: اس فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم اس طرح دیا جاتا ہے کہ فورئیر ٹرانسفارم فریکوئنسی کہاں ہے، اور فنکشن کو یہاں اس طرح بیان کیا گیا ہے اور ہمارے پاس ہے یا یہ وہی اظہار ہے جو انضمام کے ذریعے اخذ کیا گیا تھا۔ شدت کی شدت اس طرح دی جاتی ہے: یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ شدت کے نمونے کی شکل انفرادی سلٹ ڈفریکشن پیٹرن کی پیداوار ہے، اور مداخلت کا نمونہ جو نہ ہونے کے برابر چوڑائی کے سلٹس کے ساتھ حاصل کیا جائے گا۔ یہ دائیں طرف کی تصویر میں دکھایا گیا ہے جس میں لیزر بیم کے ذریعے سنگل سلٹ ڈفریکشن اور دو ایک جیسی سلٹس کے ذریعے دیا گیا ڈفریکشن/انٹرفیرنس پیٹرن بھی دکھایا گیا ہے۔ گریٹنگز بورن اینڈ ولف میں گریٹنگ کی تعریف "کسی بھی ترتیب کے طور پر کی گئی ہے جو کسی واقعے کی لہر پر طول و عرض یا مرحلے، یا دونوں کی وقتا فوقتا تغیرات عائد کرتا ہے۔" تنگ سلٹ گریٹنگ ایک سادہ گریٹنگ ایک اسکرین پر مشتمل ہوتی ہے جس کی چوڑائی واقع روشنی کی طول موج سے نمایاں طور پر کم ہوتی ہے جس کی سلٹ علیحدگی ہوتی ہے۔ انضمام کے ذریعے حل ایک زاویے پر منحرف لہر کا پیچیدہ طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے: چونکہ یہ ایک ہندسی سلسلہ کا مجموعہ ہے۔ فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل یپرچر اس فنکشن کے فورئیر ٹرانسفارم کے ذریعے دیا جاتا ہے: 20 اور 50 تنگ سلٹ گریٹنگ ڈفریکشن پیٹرن میں مرکزی زیادہ سے زیادہ کی شدت thumb|200px |right |Detail شدت اس طرح دی جاتی ہے: اس فنکشن میں میکسما اور منیما کا ایک سلسلہ ہوتا ہے۔ باقاعدگی سے وقفہ "پرنسپل میکسیما" ہوتے ہیں، اور پرنسپل میکسیما کے درمیان بہت کم میکسیما ہوتے ہیں۔ پرنسپل میکسیما اس وقت ہوتا ہے جب اور اس لیے اہم ڈفریکٹڈ بیم زاویوں پر واقع ہوتے ہیں: یہ عام طور پر واقع روشنی کے لیے گریٹنگ مساوات ہے۔ چھوٹے انٹرمیڈیٹ میکسما کی تعداد پھسلن کی تعداد کے برابر ہوتی ہے، اور ان کے سائز اور شکل کا تعین بھی اس کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ = 50 کے لیے پیٹرن کی شکل پہلی شکل میں دکھائی گئی ہے۔ 20 اور 50 سلٹس گریٹنگز کے لیے تفصیلی ڈھانچہ دوسرے خاکے میں دکھایا گیا ہے۔ محدود چوڑائی سلٹ گریٹنگ اب گریٹنگ میں N "چوڑائی کے ٹکڑے ہوتے ہیں اور فاصلہ انضمام کا استعمال کرتے ہوئے حل ہوتا ہے طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے: فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے حل یپرچر فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: کنولیوشن تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، جس میں کہا گیا ہے کہ اگر ہمارے پاس دو فنکشن ہیں اور، اور ہمارے پاس جہاں کنولیوشن آپریشن کی نشاندہی ہوتی ہے، تو ہم یپرچر فنکشن کو اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔ اہم ڈفریکٹڈ چوٹیوں کے سائز کو انفرادی سلٹس کے ڈفریکشن پیٹرن کے ساتھ ماڈیول کیا جاتا ہے۔ دیگر گریٹنگز اوپر دیے گئے فورئیر ٹرانسفارم طریقہ کو کسی بھی دورانیے کے ڈھانچے کے لیے تفریق کی شکل تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جہاں ڈھانچے کا فورئیر ٹرانسفارم جانا جاتا ہے۔ گڈ مین اس طریقہ کو سینوسائڈل طول و عرض اور فیز ماڈیولیشن گریٹنگ کے ساتھ حاصل کردہ ڈفریکشن پیٹرن کے لیے تاثرات حاصل کرنے کے لیے استعمال کرتا ہے۔ یہ ہولوگرافی میں خاص دلچسپی رکھتے ہیں۔ توسیعات غیر معمول کی روشنی اگر یپرچر کو کسی سمت میں یک رنگ طیارہ لہر کے واقعے سے روشن کیا جاتا ہے، تو اوپر دی گئی فرونہوفر مساوات کا پہلا ورژن بن جاتا ہے: مذکورہ بالا ہر نظام کو ماڈل بنانے کے لیے استعمال ہونے والی مساوات کو صرف مستقل ضرب میں ہونے والی تبدیلیوں سے تبدیل کیا جاتا ہے اور اس لیے روشنی کے مختلف نمونوں کی شکل ہوگی، سوائے اس کے کہ اب وہ واقع طیارہ لہر کی سمت کے ارد گرد مرکوز ہوں گے۔ گریٹنگ مساوات غیر یک رنگ روشنی بن جاتی ہے۔ فرونہوفر ڈفریکشن کی مذکورہ بالا تمام مثالوں میں، روشن روشنی کی طول موج کو بڑھانے کا اثر ڈفریکشن ڈھانچے کے سائز کو کم کرنا ہے، اور اس کے برعکس، جب طول موج کو کم کیا جاتا ہے، تو پیٹرن کا سائز بڑھ جاتا ہے۔ اگر روشنی مونو کرومیٹک نہیں ہے، یعنی۔ یہ مختلف طول موج کی ایک رینج پر مشتمل ہوتا ہے، ہر طول موج کو اپنے پڑوسیوں سے قدرے مختلف سائز کے نمونے میں الگ کیا جاتا ہے۔ اگر طول موج کا پھیلاؤ اوسط طول موج سے نمایاں طور پر چھوٹا ہے، تو انفرادی نمونے سائز میں بہت کم مختلف ہوں گے، اور اس لیے بنیادی تفریق پھر بھی قدرے کم تضاد کے ساتھ ظاہر ہوگی۔ جیسے جیسے طول موج کے پھیلاؤ میں اضافہ ہوتا ہے، مشاہدہ کیے جانے والے "کناروں" کی تعداد کم ہوتی جاتی ہے۔ کرچوف کا ڈفریکشن فارمولا فریسنل ڈفریکشن ہیوجینز اصول ایئر ڈسک فورئیر آپٹکس حوالہ جات ڈفریکشن فورئیر تجزیہ بھی دیکھیں۔