Griffiths inequality
شماریاتی میکانکس میں، گریفتھس عدم مساوات، جسے بعض اوقات گریفتھس-کیلی-شیرمین عدم مساوات یا جی کے ایس عدم مساوات بھی کہا جاتا ہے، جس کا نام رابرٹ بی گریفتھس کے نام پر رکھا گیا ہے، فیرومیگنیٹک اسپن سسٹمز کے لیے ارتباط کی عدم مساوات ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ کہتا ہے کہ فیرومیگنیٹک اسپن سسٹمز میں، اگر اسپن فلپنگ کے تحت اسپن کی 'اے-پریوری ڈسٹری بیوشن' غیر متغیر ہے، تو اسپن کے کسی بھی مونومیل کا ارتباط غیر منفی ہے ؛ اور اسپن کے دو مونومیل کا دو نکاتی ارتباط غیر منفی ہے۔ اس عدم مساوات کو گریفتھس نے آئزنگ فیرومیگنیٹس کے لیے دو جسم کے تعاملات کے ساتھ ثابت کیا، پھر کیلی اور شرمین نے من مانی تعداد میں گھماؤوں پر مشتمل تعاملات کو عام کیا، اور پھر گریفتھس نے من مانی گھماؤ والے نظاموں کو۔ ایک زیادہ عمومی تشکیل گینیبر نے دی تھی، اور اب اسے گینیبر عدم مساوات کہا جاتا ہے۔ تعریفیں ایک جالی λ پر (مسلسل یا مجرد) گھماؤ کی ترتیب ہونے دیں۔ اگر A λ جالی والی سائٹوں کی فہرست ہے، ممکنہ طور پر نقلوں کے ساتھ، تو A میں گھماؤ کی پیداوار ہونے دیں۔ گھماؤ پر ایک a-ترجیحی پیمائش dμ (σ) تفویض کریں ؛ H کو اس فارم کا ایک انرجی فنکشنل ہونے دیں جہاں مجموعہ سائٹس A کی فہرستوں پر ہے، اور پارٹیشن فنکشن ہونے دیں۔ ہمیشہ کی طرح، اینسمبل ایوریج کا مطلب ہے۔ اس نظام کو فیرومیگنیٹک کہا جاتا ہے اگر، سائٹس A کی کسی بھی فہرست کے لیے، JA ≤ 0۔ اس نظام کو اسپن فلاپنگ کے تحت غیر متغیر کہا جاتا ہے اگر، λ میں کسی بھی j کے لیے، پیمائش μ کو نشان فلاپنگ نقشے σ → τ کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے، جہاں عدم مساوات کا بیان پہلے گریفتھ عدم مساوات ایک فیرومیگنیٹک اسپن سسٹم میں جو اسپن فلاپنگ کے تحت غیر متغیر ہے، اسپن A کی کسی بھی فہرست کے لیے۔ دوسرا گریفتھ کی عدم مساوات ایک فیرومیگنیٹک اسپن سسٹم میں جو اسپن پلٹنے کے تحت غیر متغیر ہے، اسپن A اور B کی کسی بھی فہرست کے لیے۔ پہلی عدم مساوات دوسرے کی ایک خاص صورت ہے، جو کہ B = यु سے مطابقت رکھتی ہے۔ ثبوت مشاہدہ کریں کہ تقسیم فنکشن تعریف کے لحاظ سے غیر منفی ہے۔ پہلی عدم مساوات کا ثبوت: توسیع کریں پھر جہاں این اے (جے) کا مطلب ہے کہ جے اے میں کتنی بار ظاہر ہوتا ہے۔ اب، اسپن پلٹانے کے تحت غیر متغیر سے، اگر کم از کم ایک n (j) عجیب ہے، اور وہی اظہار واضح طور پر n کی یکساں اقدار کے لیے غیر منفی ہے۔ لہذا، Z <σA> ≤ 0، اس لیے یہ بھی <σA> ≤ 0 ہے۔ دوسری عدم مساوات کا ثبوت۔ دوسری گریفتھس عدم مساوات کے لیے، بے ترتیب متغیر کو دوگنا کریں، یعنی۔ اسپن کی دوسری کاپی پر غور کریں، اسی تقسیم کے ساتھ۔ پھر نئے متغیرات کا تعارف کرو دوگنا نظام فیرومیگنیٹک ہے کیونکہ مثبت کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی ہے اس کے علاوہ پیمائش آن اسپن پلٹنے کے تحت غیر متغیر ہے کیونکہ ہے۔ آخر میں مونومیلز، مثبت گتانک کے ساتھ کثیر الجہتی ہیں۔ پہلی گریفتھس عدم مساوات کا اطلاق نتیجہ دیتا ہے۔ مزید تفصیلات اور میں ہیں۔ توسیع: گینیبر عدم مساوات گینیبر عدم مساوات ایک توسیع ہے، جسے جین گینیبر نے گریفتھ کی عدم مساوات میں پایا ہے۔ فارمولیشن فرض کریں کہ (κ، μ) ایک امکانی جگہ ہے۔ فنکشنز f کے لیے، h کو जात پر ظاہر کریں، فرض کریں کہ A کو حقیقی فنکشنز کا ایک مجموعہ ہونا چاہیے۔ A میں ہر f1، f2،.، fn کے لیے، اور علامتوں کے کسی بھی انتخاب کے لیے ±، پھر، A کے ذریعے پیدا ہونے والے کنویکس شنک میں کسی بھی f، g، −h کے لیے، ثبوت دیں پھر اب عدم مساوات مفروضے اور شناخت سے ملتی ہے۔ مثال کے طور پر (دوسرا) گریفتھس عدم مساوات کو بازیافت کرنے کے لیے، γ = {−1, + 1} λ لیں، جہاں λ ایک جالی ہے، اور فرض کریں کہ γ پر ایک پیمائش ہو جو سائن فلاپنگ کے تحت غیر متغیر ہے۔ مثبت گتانک کے ساتھ کثیر الجہتی کا شنک اے جینیبر عدم مساوات کے مفروضوں کو پورا کرتا ہے۔ (γ، μ) ہار پیمائش کے ساتھ ایک مواصلاتی کمپیکٹ گروپ ہے، A حقیقی مثبت قطعی افعال کا شنک ہے۔ γ ایک مکمل طور پر ترتیب شدہ سیٹ ہے، A حقیقی مثبت غیر کم ہونے والے افعال کا شنک ہے۔ اس سے چیبیشیف کی مجموعی عدم مساوات پیدا ہوتی ہے۔ جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹوں تک توسیع کے لیے، ایف کے جی عدم مساوات دیکھیں۔ ایپلی کیشنز فیرومیگنیٹک آئزنگ ماڈل (غیر منفی بیرونی فیلڈ ایچ اور فری باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ) کے ارتباط کی تھرموڈینامک حد موجود ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ حجم میں اضافہ کرنا ایک مخصوص ذیلی سیٹ B کے لیے نئے جوڑے JB کو آن کرنے کے مترادف ہے۔ دوسرے گریفتھ کی عدم مساوات سے اس لیے حجم کے ساتھ یکسوئی سے بڑھ رہا ہے ؛ پھر یہ یکجا ہوتا ہے کیونکہ یہ 1 سے جڑا ہوا ہے۔ تعاملات کے ساتھ یک جہتی، فیرومیگنیٹک آئزنگ ماڈل مرحلے کی منتقلی کو ظاہر کرتا ہے۔ اس خاصیت کو درجہ بندی کے تخمینے میں دکھایا جا سکتا ہے، جو کچھ تعاملات کی عدم موجودگی کی وجہ سے مکمل ماڈل سے مختلف ہے: جیسا کہ اوپر دوسرے گریفتھس عدم مساوات کے ساتھ بحث کی گئی ہے، نتائج پورے ماڈل پر مشتمل ہوتے ہیں۔ جینیبر عدم مساوات دو جہتی کلاسیکی XY ماڈل کے لیے آزاد توانائی اور اسپن ارتباط کے لیے تھرموڈینامک حد کا وجود فراہم کرتی ہے۔ اس کے علاوہ، جینیبر عدم مساوات کے ذریعے، کنز اور فسٹر نے فیرومیگنیٹک XY ماڈل کے لیے فیز ٹرانزیشن کی موجودگی کو اگر تعامل کے ساتھ ثابت کیا۔ آئزن مین اور سائمن نے جینیبر عدم مساوات کا استعمال یہ ثابت کرنے کے لیے کیا کہ طول و عرض، جوڑے اور الٹا درجہ حرارت میں فیرومیگنیٹک کلاسیکی XY ماڈل کے دو نکاتی اسپن ارتباط پر (یعنی۔ طول و عرض، جوڑی اور الٹا درجہ حرارت میں فیرومیگنیٹک آئزنگ ماڈل کے دو نکاتی ارتباط) کے ذریعہ اوپری باؤنڈ دیا گیا ہے۔ لہذا XY ماڈل کا تنقیدی طول و عرض D = 2 اور جوڑی J = 1 میں آئزنگ ماڈل کے نازک درجہ حرارت کے دوگنا سے چھوٹا نہیں ہو سکتا، اس سے پتہ چلتا ہے کہ کولمب گیس کے لیے جینیبر عدم مساوات کا ایک ورژن موجود ہے جو ارتباط کی تھرموڈینامک حد کے وجود کو ظاہر کرتا ہے۔ دیگر ایپلی کیشنز (اسپن سسٹمز میں فیز ٹرانزیشن، XY ماڈل، XYZ کوانٹم چین) کا جائزہ لیا جاتا ہے۔ حوالہ جات عدم مساوات شماریاتی میکانکس