Kosmann lift
تفریق جیومیٹری میں، ریمینیئن کئی گنا پر ایک ویکٹر فیلڈ کی کوس مین لفٹ، جس کا نام یویٹ کوس مین-شوارزباخ کے نام پر رکھا گیا ہے، اس کی قدرتی لفٹ کے آرتھونورمل فریم بنڈل پر کینونکل پروجیکشن ہے جس کی وضاحت لکیری فریموں کے بنڈل پر کی گئی ہے۔ کسی بھی تخفیف شدہ جی-ڈھانچے کے لیے عام فہمیاں موجود ہیں۔ تعارف عام طور پر، فائبر بنڈل کا ایک ذیلی بنڈل اور ایک ویکٹر فیلڈ کو دیکھتے ہوئے، اس کی پابندی ایک ویکٹر فیلڈ "ساتھ" پر نہیں ہے (یعنی، ٹینجینٹ)۔ اگر کوئی کینونکل ایمبیڈنگ کی طرف اشارہ کرتا ہے، تو پل بیک بنڈل کا ایک حصہ ہے، جہاں اور فائبر بنڈل کا ٹینجینٹ بنڈل ہے۔ آئیے فرض کریں کہ ہمیں پل بیک بنڈل کا کوس مین سڑنا دیا گیا ہے، جیسے کہ، ہر ایک پر ایک ویکٹر سب اسپیس ہے اور ہم ایک ویکٹر بنڈل کو فرض کرتے ہیں، جسے کوس مین سڑنے کا ٹرانسورسل بنڈل کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد ایک ٹینجینٹ ویکٹر فیلڈ میں تقسیم ہونے کی پابندی اور ایک ٹرانسورس ویکٹر فیلڈ ویکٹر بنڈل کا ایک حصہ ہونے کی وجہ سے تعریف آئیے دی گئی میٹرک کے ساتھ ایک مبنی جہتی ریمینیئن کئی گنا کا مبنی آرتھونورمل فریم بنڈل بنیں۔ یہ اسٹرکچر گروپ کے ساتھ لکیری فریموں کے ٹینجینٹ فریم بنڈل کا ایک پرنسپل سب بنڈل ہے۔ تعریف کے مطابق، کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ ہمیں کلاسیکی تخفیف ساخت دی گئی ہے۔ خصوصی آرتھوگنل گروپ کا ایک تخفیف لائ ذیلی گروپ ہے۔ در حقیقت، ایک براہ راست مجموعہ سڑنا موجود ہے، جہاں کا لائ الجبرا ہے، کا لائ الجبرا ہے، اور سمیٹرک میٹرکس کا-غیر متغیر ویکٹر سب اسپیس ہے، یعنی۔ سب کے لیے کینونکل ایمبیڈنگ ہونے دیں۔ اس کے بعد یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ پل بیک بنڈل کی ایک کینونکل کوسمین سڑنا موجود ہے جیسے کہ، ہر ایک پر اس کے ذیلی بنڈل کا فائبر ہوتا ہے۔ یہاں، کا عمودی ذیلی بنڈل ہے اور ہر ایک پر فائبر سمیٹرک میٹرکس کی ویکٹر اسپیس کے لیے آئسومورفک ہے۔ مندرجہ بالا کینونکل اور مساوی سڑنے سے، یہ اس طرح ہوتا ہے کہ ایک-متغیر ویکٹر فیلڈ کی پابندی ایک-متغیر ویکٹر فیلڈ میں تقسیم ہو جاتی ہے، جسے کوسمان ویکٹر فیلڈ کہا جاتا ہے، اور ایک ٹرانسورس ویکٹر فیلڈ۔ خاص طور پر، بیس کئی گنا پر ایک عام ویکٹر فیلڈ کے لیے، یہ اس طرح ہے کہ اس کی قدرتی لفٹ پر پابندی ایک غیر متغیر ویکٹر فیلڈ میں تقسیم ہو جاتی ہے، جسے کوس مین لفٹ آف، اور ایک ٹرانسورس ویکٹر فیلڈ کہا جاتا ہے۔ فریم بنڈل اورتھونورمل فریم بنڈل پرنسپل بنڈل اسپن بنڈل کنکشن (ریاضی) جی-ڈھانچہ اسپن کئی گنا اسپن ڈھانچہ نوٹ حوالہ جات فائبر بنڈل ویکٹر کئی گنا پر ریمینیئن جیومیٹری ڈھانچے بنڈل کرتا ہے