Double centralizer theorem
تجریدی الجبرا کی شاخ میں جسے رنگ تھیوری کہا جاتا ہے، ڈبل سنٹرلائزر تھیوریم کئی اسی طرح کے نتائج میں سے کسی ایک کا حوالہ دے سکتا ہے۔ یہ نتائج ایک رنگ R کے ذیلی رنگ S کے سنٹرلائزر سے متعلق ہیں، جسے اس مضمون میں CR (S) سے ظاہر کیا گیا ہے۔ یہ ہمیشہ ایسا معاملہ ہوتا ہے کہ سی آر (سی آر (ایس)) ایس پر مشتمل ہوتا ہے، اور ایک ڈبل سنٹرلائزر تھیوریم آر اور ایس پر شرائط دیتا ہے جو اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ سی آر (سی آر (ایس)) ایس کے برابر ہے۔ تھیوریم موٹیویشن کے بیانات آر کے ذیلی رنگ ایس کا سینٹرلائزر واضح طور پر سی آر (سی آر (ایس)) ایس کے ذریعہ دیا جاتا ہے، لیکن ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا ہے کہ کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ دونوں سیٹ برابر ہیں۔ ڈبل سینٹرلائزر تھیوریم ایسے حالات پیش کرتے ہیں جن کے تحت کوئی یہ نتیجہ اخذ کر سکتا ہے کہ مساوات واقع ہوتی ہے۔ دلچسپی کا ایک اور خاص معاملہ ہے۔ M کو دائیں R ماڈیول مان لیں اور M کو قدرتی بائیں E-ماڈیول ڈھانچہ دیں، جہاں E اینڈ (M) ہے، جو ابیلین گروپ M کی اینڈومورفزم کی رنگ ہے۔ mr (x) = xr کے ذریعہ دیا گیا ہر نقشہ mr M کا ایک اضافی اینڈومورفزم بناتا ہے، یعنی E کا ایک عنصر۔ نقشہ r → mr رنگ E میں R کی رنگ ہومومورفزم ہے، اور ہم R کے ذریعے E کے اندر R کی شبیہہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ اس کینونکل نقشے کا دانا انیہیلیٹر این (ایم آر) ہے۔ لہذا، رنگوں کے لیے ایک آئسومورفزم تھیوریم کے مطابق، آر ایم کوشیئنٹ رنگ آر/این (ایم آر) کے لیے آئسومورفک ہے۔ واضح طور پر جب M ایک وفادار ماڈیول ہے، تو R اور RM آئسومورفک حلقے ہیں۔ تو اب ای ایک رنگ ہے جس میں آر ایم سب رنگ کے طور پر ہے، اور سی ای (آر ایم) تشکیل دی جا سکتی ہے۔ تعریف کے مطابق کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ سی ای (آر ایم) = اینڈ (ایم آر)، ایم کے آر ماڈیول اینڈومورفزم کی انگوٹی۔ اس طرح اگر ایسا ہوتا ہے کہ سی ای (سی ای (آر ایم)) = آر ایم، تو یہ سی ای (اینڈ (ایم آر)) = آر ایم کہنے کے مترادف ہے۔ مرکزی سادہ الجبرا شاید سب سے عام ورژن مرکزی سادہ الجبرا کا ورژن ہے، جیسا کہ یہ اس میں ظاہر ہوتا ہے: نظریہ: اگر A کسی فیلڈ F پر ایک محدود جہتی مرکزی سادہ الجبرا ہے اور B A کا ایک سادہ ذیلی الجبرا ہے، تو CA (CA (B)) = B، اور اس کے علاوہ طول و عرض آرٹینین بجتوں کو مطمئن کرتے ہیں۔ آرٹینین بجتوں کے لیے درج ذیل عمومی ورژن (جس میں محدود جہتی الجبرا شامل ہیں) میں ظاہر ہوتا ہے۔ ایک سادہ آر ماڈیول یو آر کو دیکھتے ہوئے، ہم آر یو اور ای = اینڈ (یو) سمیت مذکورہ بالا محرک سیکشن سے نوٹیشن لیں گے۔ مزید برآں، ہم R-ہومومورفزم پر مشتمل E کی ذیلی رنگ کے لیے D = اینڈ (UR) لکھیں گے۔ شور کے لیما کے مطابق، D ایک ڈویژن رنگ ہے۔ نظریہ: R کو ایک سادہ دائیں ماڈیول UR کے ساتھ ایک صحیح آرٹینین رنگ ہونے دیں، اور RU، D اور E کو پچھلے پیراگراف کی طرح دیا جائے۔ پھر۔ تبصرے اس ورژن میں، بجتوں کا انتخاب جیکبسن ڈینسٹی تھیوریم کو ثابت کرنے کے ارادے سے کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ صرف یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ مرکزی سادہ الجبرا ورژن کے برعکس، ایک مخصوص ذیلی رنگ میں سنٹرلائزر پراپرٹی ہوتی ہے۔ چونکہ الجبراس کی وضاحت عام طور پر مواصلاتی رنگوں پر کی جاتی ہے، اور اوپر کے تمام شامل رنگ غیر متغیر ہو سکتے ہیں، اس لیے یہ واضح ہے کہ الجبراس لازمی طور پر شامل نہیں ہیں۔ اگر U اضافی طور پر ایک وفادار ماڈیول ہے، تاکہ R ایک دائیں ابتدائی رنگ ہے، تو RU رنگ R کے لیے آئسومورفک ہے۔ پولینومیل آئیڈینٹیٹی رنگز میں، پولینومیل آئیڈینٹیٹی رنگز کے لیے ایک ورژن دیا جاتا ہے۔ علامت Z (R) کو رنگ R کے مرکز کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جائے گا۔ نظریہ: اگر R ایک سادہ کثیر الجہتی شناختی رنگ ہے، اور A R کا ایک سادہ Z (R) ذیلی الجبرا ہے، تو CR (CR (A)) = A۔ تبصرے اس ورژن کو مرکزی سادہ الجبرا ورژن اور آرٹینین رنگ ورژن کے درمیان سمجھا جا سکتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ سادہ کثیر الجہتی شناخت کے حلقے آرٹینین ہیں، لیکن آرٹینین ورژن کے برعکس، یہ نتیجہ اب بھی آر وان نیومن الجیبراس کے تمام مرکزی سادہ ذیلی رنگوں سے مراد ہے۔ وان نیومن بائیکوموٹنٹ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ ہلبرٹ اسپیس ایچ پر باؤنڈڈ آپریٹرز بی (ایچ) کے الجبرا کا *-ذیلی الجبرا اے ایک وان نیومن الجبرا ہے (یعنی۔ کمزور طور پر بند ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب A = CB (H) CB (H) (A)۔ ڈبل سینٹرلائزر پراپرٹی ایک ماڈیول ایم کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں ڈبل سینٹرلائزر پراپرٹی ہے یا اگر سی ای (سی ای (آر ایم) = آر ایم ہے تو یہ ایک متوازن ماڈیول ہے، جہاں ای = اینڈ (ایم) اور آر ایم موٹیوشن سیکشن میں دیے گئے ہیں۔ اس اصطلاح میں، ڈبل سنٹرلائزر تھیوریم کے آرٹینین رنگ ورژن میں کہا گیا ہے کہ دائیں آرٹینین رنگوں کے لیے سادہ دائیں ماڈیول متوازن ماڈیول ہیں۔ نوٹ حوالہ جات رنگ تھیوری میں 1994 کے اصل نظریات کا ری پرنٹ