Pickands–Balkema–De Haan theorem
پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم بے ترتیب متغیر کی دم کی غیر علامتی تقسیم دیتا ہے، جب اس کی حقیقی تقسیم نامعلوم ہوتی ہے۔ اسے اکثر انتہائی قدر کے نظریہ میں دوسرا نظریہ کہا جاتا ہے۔ پہلے تھیوریم (فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم) کے برعکس، جس کا تعلق زیادہ سے زیادہ نمونے سے ہے، پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم ایک حد سے اوپر کی اقدار کو بیان کرتا ہے۔ اس تھیوریم کا نام ریاضی دان جیمز پکینڈس، گوس بالکیما، اور لارنس ڈی ہان کے نام پر ہے۔ مشروط اضافی تقسیم فنکشن بے ترتیب متغیر کے نامعلوم تقسیم فنکشن کے لیے، پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم ایک مخصوص حد سے اوپر متغیر کے مشروط تقسیم فنکشن کو بیان کرتا ہے۔ یہ نام نہاد مشروط اضافی تقسیم فنکشن ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جہاں بنیادی تقسیم کا یا تو محدود یا لامحدود صحیح اختتامی نقطہ ہے۔ فنکشن ایک حد سے زیادہ اضافی قیمت کی تقسیم کو بیان کرتا ہے، یہ دیکھتے ہوئے کہ حد سے تجاوز کر گیا ہے۔ بیان کو مشروط اضافی تقسیم فنکشن ہونے دیں۔ پکینڈز، بالکیما اور ڈی ہان نے پیش کیا کہ بنیادی تقسیم کے افعال کی ایک بڑی کلاس کے لیے، اور بڑے پیمانے پر، مندرجہ ذیل معنوں میں، عمومی پیریٹو تقسیم کے ذریعے اچھی طرح سے تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ ایسے افعال موجود ہیں، جن کے ساتھ غیر انحطاطی تقسیم میں کنورج ہوتا ہے، تو ایسی حد عمومی پیریٹو تقسیم کے برابر ہے:، جہاں، اگر، اگر یہاں σ> 0 ہے، اور y ≤ 0 جب k ≤ 0 اور 0 ≤ y ≤ − σ/k جب k <0 ہے۔ ان خاص صورتوں کو ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن کے نام سے بھی جانا جاتا ہے جس کا مطلب ہے، اگر k = 0، یکساں تقسیم، اگر k =-1، پیریٹو ڈسٹری بیوشن، اگر k> 0۔ بنیادی تقسیم افعال کی کلاس کا تعلق تقسیم افعال کی کلاس سے ہے جو فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم کو مطمئن کرتی ہے۔ چونکہ عام شدہ پیریٹو تقسیم کا ایک خاص معاملہ ایک طاقت کا قانون ہے، اس لیے بعض اوقات انتہائی واقعات کی ماڈلنگ کے لیے طاقت کے قانون کے استعمال کا جواز پیش کرنے کے لیے پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم استعمال کیا جاتا ہے۔ نظریہ کو تقسیم کی ایک وسیع رینج کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا گیا ہے۔ اگرچہ توسیعی ورژن کا احاطہ کرتا ہے، مثال کے طور پر نارمل اور لاگ نارمل ڈسٹری بیوشن، پھر بھی مسلسل ڈسٹری بیوشن موجود ہیں جن کا احاطہ نہیں کیا گیا ہے۔ مستحکم تقسیم کے حوالہ جات ممکنہ نظریہ انتہائی قدر ڈیٹا امکانات کی تقسیم کی دم بھی دیکھیں۔