Ex-tangential quadrilateral
یوکلیڈین جیومیٹری میں، ایک ایکس ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل ایک کنویکس کواڈری لیٹرل ہوتا ہے جہاں چاروں اطراف کی توسیع کواڈری لیٹرل سے باہر ایک دائرے میں ٹینجینٹ ہوتی ہے۔ اسے ایک اسکرپٹیبل کواڈلیلیٹرل بھی کہا جاتا ہے۔ دائرے کو اس کا ایکسرکل، اس کا رداس ایکسرڈیئس اور اس کا مرکز ایکسینٹر (شکل میں) کہا جاتا ہے۔ ایکسینٹر چھ زاویے والے دو حصوں کے چوراہے پر واقع ہے۔ یہ دو مخالف عمودی زاویوں پر اندرونی زاویے کے دو حصوں، دوسرے دو عمودی زاویوں پر بیرونی زاویے کے دو حصوں (ضمنی زاویے کے دو حصوں)، اور ان زاویوں پر بیرونی زاویے کے دو حصوں ہیں جہاں مخالف اطراف کی توسیع ایک دوسرے کو کاٹتی ہے (دائیں طرف کی شکل دیکھیں، جہاں ان چھ میں سے چار بکھرے ہوئے لکیر کے حصے ہیں)۔ ایکس ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل کا ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل سے گہرا تعلق ہے (جہاں چاروں اطراف ایک دائرے میں ٹینجینٹ ہوتے ہیں)۔ ایک ایکسرکل کا دوسرا نام ایک مخصوص دائرہ ہے، لیکن یہ نام کنویکس کواڈریلیٹرل کے ایک طرف کے دائرے کے ٹینجینٹ اور ملحقہ دونوں اطراف کی توسیع کے لیے بھی استعمال کیا گیا ہے۔ اس تناظر میں تمام کنویکس کواڈری لیٹرلز کے چار مخصوص حلقے ہوتے ہیں، لیکن ان میں زیادہ سے زیادہ ایک ایکسرکل ہو سکتا ہے۔ خصوصی صورتوں میں پتنگیں سابق ٹینجینشیل کواڈریلیٹرلز کی مثالیں ہیں۔ متوازی لوگرام (جس میں مربع، رومبی اور مستطیل شامل ہیں) کو لامحدود ایکسرڈیئس کے ساتھ ایکسر ٹینجینشیل کواڈریلیٹرل سمجھا جا سکتا ہے کیونکہ وہ اگلے حصے میں خصوصیات کو پورا کرتے ہیں، لیکن ایکسرکل مخالف اطراف کی توسیع کے دونوں جوڑوں کے لیے ٹینجینٹ نہیں ہو سکتا (کیونکہ وہ متوازی ہیں)۔ کنویکس کواڈری لیٹرل جن کی اطراف کی لمبائی ریاضی کی ترقی کو تشکیل دیتی ہے وہ ہمیشہ ایکس ٹینجینشیل ہوتے ہیں کیونکہ وہ ملحقہ اطراف کی لمبائی کے لیے نیچے دی گئی خصوصیت کو پورا کرتے ہیں۔ خصوصیات ایک کنویکس کواڈری لیٹرل سابق ٹینجینشیل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب چھ ہم آہنگی والے زاویہ بزیکٹر ہوں۔ یہ دو مخالف عمودی زاویوں پر اندرونی زاویے کے دو حصوں ہیں، دوسرے دو عمودی زاویوں پر بیرونی زاویے کے دو حصوں ہیں، اور ان زاویوں پر بیرونی زاویے کے دو حصوں ہیں جہاں مخالف اطراف کی توسیع ایک دوسرے کو کاٹتی ہے۔ حساب کے مقصد کے لیے، ایک زیادہ مفید خصوصیت یہ ہے کہ یکے بعد دیگرے اطراف کے ساتھ ایک کنویکس کواڈری لیٹرل سابق ٹینجینشیل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دو ملحقہ اطراف کا مجموعہ دوسرے دو اطراف کے مجموعے کے برابر ہو۔ یہ دو مختلف طریقوں سے ممکن ہے: یا یہ 1846 میں جیکب اسٹینر نے ثابت کیا تھا۔ پہلی صورت میں، ایکسرکل سب سے بڑے عمودی سے باہر ہوتا ہے یا، جبکہ دوسری صورت میں یہ سب سے بڑے عمودی سے باہر ہوتا ہے یا، بشرطیکہ چوطرفہ کے اطراف پہلوؤں کے حوالے سے ان خصوصیات کو یکجا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ مخالف اطراف کے درمیان فرق کی مطلق اقدار مخالف اطراف کے دو جوڑوں کے لیے برابر ہوتی ہیں، یہ مساوات ٹینجینشیل کواڈریلیٹرلز کے لیے پٹو تھیوریم سے قریب سے متعلق ہیں، جہاں مخالف اطراف کے جوڑے مخالف اطراف کے دو جوڑوں کے لیے برابر ہوتے ہیں۔ ارکوہارٹ کا نظریہ اگر ایک کنویکس کواڈریلیٹرل میں مخالف اطراف ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں اور، تو دائیں طرف کے مضمرات کا نام ایل ایم ارکوہارٹ (1902-1966) کے نام پر رکھا گیا ہے حالانکہ یہ 1841 میں آگسٹس ڈی مورگن نے بہت پہلے ثابت کیا تھا۔ ڈینیل پیڈو نے اسے یوکلڈین جیومیٹری کا سب سے ابتدائی نظریہ قرار دیا کیونکہ اس کا تعلق صرف سیدھی لکیروں اور فاصلے سے ہے۔ یہ کہ درحقیقت ایک مماثلت ہے موافاک حاجی کی طرف سے ثابت کیا گیا تھا، جو دائیں طرف کی مساوات کو ایک چوتھائی کے لیے ایک اور ضروری اور کافی شرط بناتا ہے۔ ٹینجینشیل کواڈری لیٹرلز (ٹیبل میں بائیں کالم) کی کچھ میٹرک خصوصیات میں سابق ٹینجینشیل کواڈری لیٹرلز (ٹیبل میں درمیانی اور دائیں کالم) کے لیے بہت ملتے جلتے ہم منصب ہیں، جیسا کہ نیچے دیے گئے ٹیبل میں دیکھا جا سکتا ہے۔ اس طرح ایک کنویکس کواڈریلیٹرل میں مناسب سرے کے باہر (کالم پر منحصر) ایک اندرونی دائرہ یا ایک ایکسرکل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب نیچے دی گئی پانچ ضروری اور کافی شرائط میں سے کوئی ایک مطمئن ہو۔ اس ٹیبل میں اشارے مندرجہ ذیل ہیں: ایک کنویکس کواڈریلیٹرل میں، ڈائیگنلز ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ مثلثوں میں سرکمراڈی ہیں ؛ اطراف سے اونچائی ہیں،، بالترتیب انہی چار مثلثوں میں ؛ عمودی سے بالترتیب فاصلے ہیں ؛ بالترتیب زاویہ ہیں ؛ اور حلقوں میں ریڈی ہیں جو بالترتیب بیرونی طور پر اطراف سے متصل ہیں اور ہر طرف کے لیے ملحقہ دونوں اطراف کی توسیع ہیں۔ رقبہ اطراف کے ساتھ ایک سابق ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل کا رقبہ ہوتا ہے نوٹ کریں کہ یہ وہی فارمولا ہے جو ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل کے رقبے کے لیے ہے اور یہ بھی اسی طرح بریٹ شنائڈر کے فارمولے سے اخذ کیا گیا ہے۔ ایکس ٹریڈیئس مسلسل اطراف کے ساتھ ایک ایکس ٹینجینشیل کواڈریلیٹرل کے لیے ایکس ریڈیئس اس طرح دیا جاتا ہے کہ کواڈریلیٹرل کا رقبہ کہاں ہے۔ دیئے گئے اطراف کے ساتھ ایک ایکس ٹینجینشیل کواڈریلیٹرل کے لیے، ایکسٹریڈیئس زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے جب کواڈریلیٹرل بھی چکور ہوتا ہے (اور اس لیے ایک ایکس بائیسینٹرک کواڈریٹرل)۔ یہ فارمولے اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ تمام متوازی ہندسے میں لامحدود خلاصہ کیوں ہوتا ہے۔ اگر ایک ایکس ٹینجینشیل کواڈریلیٹرل کا بھی ایک دائرہ ہوتا ہے، تو اسے ایکس بائیسینٹرک کواڈریلیٹرل کہا جاتا ہے۔ پھر، چونکہ اس کے دو مخالف ضمیمہ زاویے ہیں، اس لیے اس کا رقبہ دیا جاتا ہے جس کے ذریعے دو مرکزی چوطرفہ کے برابر ہوتا ہے۔ اگر سرکم سینٹر اور ایکسینٹر کے درمیان فاصلہ ہے، تو پھر سرکمریڈیئس اور ایکسریڈیئس بالترتیب کہاں ہیں۔ یہ وہی مساوات ہے جو فوس کے نظریہ کے طور پر دو مرکزی چوطرفہ کے لیے ہے۔ لیکن کے لیے حل کرتے وقت، ہمیں بائیسینٹرک کے مقابلے میں سابق بائیسینٹرک کواڈریلیٹرل کے لیے کواڈریٹک مساوات کی دوسری جڑ کا انتخاب کرنا چاہیے۔ لہذا، سابق دو مرکز کے لیے ہمارے پاس اس فارمولے سے اس کی پیروی ہوتی ہے جس کا مطلب ہے کہ دائرہ اور ایکسرکل کبھی بھی ایک دوسرے کو نہیں کاٹ سکتے۔ مکمل کواڈرینگل سائیکلک کواڈریلیٹرل حوالہ جات کو بھی دیکھیں۔