Continuous geometry
ریاضی میں، مسلسل جیومیٹری پیچیدہ پروجیکٹو جیومیٹری کا ایک ینالاگ ہے جسے اس نے متعارف کرایا ہے، جہاں ذیلی جگہ کے طول و عرض کے ایک مجرد سیٹ میں ہونے کے بجائے، یہ یونٹ وقفے کا ایک عنصر ہو سکتا ہے۔ وان نیومن کو طول و عرض کی مسلسل رینج لینے والے طول و عرض کے فنکشن کے ساتھ وان نیومن الجبرا کی دریافت سے تحریک ملی، اور پروجیکٹو اسپیس کے علاوہ مسلسل جیومیٹری کی پہلی مثال ہائپر فائنائٹ ٹائپ II فیکٹر کے پروجیکشن تھے۔ تعریف مینجر اور برخوف نے پروجیکٹو خلا کی لکیری ذیلی جگہوں کی جالی کے لحاظ سے پروجیکٹو جیومیٹری کے لیے محوریات دیے۔ مسلسل جیومیٹری کے لیے وان نیومن کے محوریات ان محوریات کی ایک کمزور شکل ہیں۔ ایک مسلسل جیومیٹری ایک جالی L ہے جس کی درج ذیل خصوصیات L ماڈیولر ہے۔ ایل مکمل ہے۔ جالی کی کارروائیاں، ایک مخصوص تسلسل کی خاصیت کو پورا کرتی ہیں، جہاں A ایک ہدایت شدہ سیٹ ہے اور اگر ہے تو، اور وہی شرط جس میں، اور الٹا ہوتا ہے۔ L میں ہر عنصر کی ایک تکمیل ہوتی ہے (ضروری نہیں کہ منفرد ہو)۔ کسی عنصر a کی تکمیل ایک عنصر b ہے جس کے ساتھ، جہاں 0 اور 1 ایل کے کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ عناصر ہیں۔ ایل ناقابل تلافی ہے: اس کا مطلب یہ ہے کہ صرف منفرد تکمیل والے عناصر 0 اور 1 ہیں۔ مثالیں محدود جہتی پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس، یا اس کے بجائے لکیری ذیلی جگہوں کا مجموعہ، ایک مسلسل جیومیٹری ہے، جس کے طول و عرض مجرد سیٹ میں اقدار لیتے ہیں۔ ایک محدود قسم II وان نیومن الجبرا کے تخمینے ایک مسلسل جیومیٹری تشکیل دیتے ہیں جس کے طول و عرض یونٹ کے وقفے میں اقدار لیتے ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کوئی بھی آرتھوکمپلیمینٹڈ مکمل ماڈیولر جالی ایک مسلسل جیومیٹری ہے۔ اگر V کسی فیلڈ (یا ڈویژن رنگ) F پر ایک ویکٹر اسپیس ہے، تو V کی ذیلی جگہوں کے لیٹس پی جی (V) سے لے کر اس طول و عرض کو 2 سے ضرب دینے والی ذیلی جگہوں کے لیٹس تک ایک قدرتی نقشہ موجود ہے۔ لہذا ہم اس کی براہ راست حد لے سکتے ہیں۔ اس میں ایک جہتی فنکشن ہے جو 0 اور 1 کے درمیان تمام ڈائڈک ریشنلز کی اقدار لیتا ہے۔ اس کی تکمیل ایک مسلسل جیومیٹری ہے جس میں ہر جہت کے عناصر ہوتے ہیں۔ یہ جیومیٹری F طول و عرض پر مسلسل جیومیٹری کے ذریعہ تعمیر کی گئی تھی، اور اسے F طول و عرض پر مسلسل جیومیٹری کہا جاتا ہے۔ یہ سیکشن اس کے کچھ نتائج کا خلاصہ کرتا ہے۔ یہ نتائج وان نیومن الجیبراس میں پروجیکشنز پر وان نیومن کے کام سے ملتے جلتے ہیں، اور اس سے متاثر ہوئے ہیں۔ ایل کے دو عناصر اے اور بی کو نقطہ نظر کہا جاتا ہے، لکھا جاتا ہے، اگر ان کی مشترکہ تکمیل ہو۔ یہ L پر ایک مساوات کا تعلق ہے ؛ اس بات کا ثبوت کہ یہ عارضی ہے کافی مشکل ہے۔ مساوات کی کلاسیں A، B، L کی کل ترتیب ہوتی ہے جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ اگر A میں کچھ a اور B میں کچھ b کے ساتھ ہے۔ (یہ A میں تمام a اور B میں b کے لیے ضروری نہیں ہے۔) طول و عرض فنکشن D کو L سے یونٹ وقفہ تک مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اگر مساوات کی کلاسیں A اور B عناصر a اور b پر مشتمل ہیں تو ان کے مجموعے کو مساوات کی کلاس کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ورنہ رقم کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے۔ مثبت عدد n کے لیے، پروڈکٹ nA کی تعریف A کی n نقلوں کے مجموعے کے طور پر کی جاتی ہے، اگر اس رقم کی وضاحت کی جائے۔ مساوات کی کلاسوں A اور B کے لیے A نہیں {0} کے ساتھ انٹیجر کو منفرد انٹیجر کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مساوات کی کلاسوں A اور B کے لیے A ناٹ {0} کے ساتھ حقیقی نمبر کی حد کے طور پر تعریف کی گئی ہے کیونکہ C ایک کم سے کم ترتیب سے گزرتا ہے: اس کا مطلب یہ ہے کہ یا تو C میں کم سے کم غیر صفر عنصر ہوتا ہے، یا غیر صفر عناصر کی ایک لامحدود ترتیب ہوتی ہے جس میں سے ہر ایک زیادہ سے زیادہ پچھلے عنصر کا نصف ہوتا ہے۔ D (a) کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جہاں {a} اور {1} مساوات کی کلاسیں ہیں جن میں a اور 1 شامل ہیں۔ D کی شبیہہ مکمل اکائی وقفہ، یا کسی مثبت عدد n کے لیے اعداد کا مجموعہ ہو سکتا ہے۔ L کے دو عناصر D کے تحت ایک ہی شبیہہ رکھتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ نقطہ نظر ہوں، تو یہ مساوات کی کلاسوں سے اکائی وقفے کے ذیلی سیٹ میں انجکشن دیتا ہے۔ طول و عرض فنکشن D کی خصوصیات ہیں: اگر پھر D (a * b) + D (a * b) = D (a) + D (b) اگر اور صرف اگر، اور صرف اگر کوآرڈینیٹائزیشن تھیوریم۔ پروجیکٹو جیومیٹری میں، ویبلن-ینگ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ کم از کم 3 طول و عرض کی پروجیکٹو جیومیٹری ڈویژن رنگ پر ویکٹر اسپیس کی پروجیکٹو جیومیٹری کے لیے آئسومورفک ہے۔ اسے یہ کہتے ہوئے دہرایا جا سکتا ہے کہ پروجیکٹو جیومیٹری میں ذیلی جگہیں ڈویژن رنگ پر میٹرکس الجبرا کے پرنسپل رائٹ آئیڈیلز سے مطابقت رکھتی ہیں۔ نیومن نے اسے مسلسل جیومیٹریز، اور زیادہ عام طور پر تکمیل شدہ ماڈیولر لیٹیسیس کے لیے عام کیا، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ ان کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ اگر ایک مکمل شدہ ماڈیولر جالی L کی ترتیب کم از کم 4 ہے، تو L کے عناصر وان نیومن باقاعدہ رنگ کے پرنسپل رائٹ آئیڈیلز سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مزید واضح طور پر اگر جالی کی ترتیب n ہے تو وان نیومن باقاعدہ انگوٹی کو ایک اور وان نیومن باقاعدہ انگوٹی R پر n بائی n میٹرکس رنگ Mn (R) کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ یہاں ایک مکمل ماڈیولر جالی کی ترتیب n ہوتی ہے اگر اس میں n عناصر کی یکساں بنیاد ہو، جہاں ایک بنیاد n عناصر a1 ہے، ایسی کہ اگر، اور، اور ایک بنیاد کو یکساں کہا جاتا ہے اگر کوئی دو عناصر نقطہ نظر ہیں۔ جالی کا آرڈر منفرد ہونا ضروری نہیں ہے ؛ مثال کے طور پر، کسی بھی جالی کا آرڈر 1 ہوتا ہے۔ یہ شرط کہ جالی کی ترتیب کم از کم 4 ہے اس شرط سے مطابقت رکھتی ہے کہ طول و عرض ویبلن-ینگ تھیوریم میں کم از کم 3 ہے، کیونکہ ایک پروجیکٹو اسپیس میں طول و عرض کم از کم 3 ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں کم از کم 4 آزاد پوائنٹس کا مجموعہ ہو۔ اس کے برعکس، وان نیومن باقاعدہ رنگ کے بنیادی دائیں آئیڈیل ایک مکمل ماڈیولر جالی بناتے ہیں۔ فرض کریں کہ R ایک وان نیومن باقاعدہ رنگ ہے اور L اس کی اصل دائیں آئیڈیلز کی جالی ہے، تاکہ L ایک مکمل شدہ ماڈیولر جالی ہے۔ نیومن نے دکھایا کہ L ایک مسلسل جیومیٹری ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R ایک ناقابل تلافی مکمل درجہ بندی کی انگوٹی ہو۔ حوالہ جات پروجیکٹو جیومیٹری وان نیومن الجیبراس لیٹس تھیوری