Square packing
مربع پیکنگ ایک پیکنگ کا مسئلہ ہے جہاں مقصد یہ طے کرنا ہے کہ کتنے ہم آہنگ مربعوں کو کسی بڑی شکل، اکثر مربع یا دائرے میں پیک کیا جا سکتا ہے۔ مربع میں مربع پیکنگ میں مربع پیکنگ یونٹ مربعوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد (سائیڈ لمبائی ایک کے مربع) کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے جسے سائیڈ لمبائی کے بڑے مربع کے اندر پیک کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایک عدد ہے، تو جواب یہ ہے کہ صوابدیدی غیر عدد کے لیے خالی جگہ کی درست-یا یہاں تک کہ غیر علامتی-مقدار ایک کھلا سوال ہے۔ یونٹ مربعوں کی پیکنگ کی اجازت دینے والی اس کی سب سے چھوٹی قیمت معلوم ہوتی ہے کہ کامل مربع کب ہے (اس صورت میں یہ ہے)، نیز 2، 3، 5، 6، 7، 8، 10، 13، 14، 15، 24، 34، 35، 46، 47، اور 48 کے لیے۔ ان میں سے زیادہ تر نمبروں کے لیے (صرف 5 اور 10 کے استثناء کے ساتھ)، پیکنگ محور سے منسلک مربعوں کے ساتھ قدرتی ہے، اور ہے، چھت (راؤنڈ اپ) فنکشن کہاں ہے۔ یہ اعداد و شمار 5 اور 10 مربعوں کے لیے زیادہ سے زیادہ پیکنگ دکھاتے ہیں، مربعوں کی دو سب سے چھوٹی تعداد جس کے لیے زیادہ سے زیادہ پیکنگ میں جھکا ہوا مربع شامل ہوتا ہے۔ سب سے چھوٹے غیر حل شدہ کیس میں 11 یونٹ مربع کو بڑے مربع میں پیک کرنا شامل ہے۔ 11 یونٹ مربعوں کو سائیڈ لمبائی کے مربع میں پیک نہیں کیا جا سکتا۔ اس کے برعکس، 11 مربعوں کی سب سے سخت معلوم پیکنگ والٹر ٹرمپ کے ذریعہ تقریبا 3.877084 کی طرف کی لمبائی کے ایک مربع کے اندر ہے۔ غیر علامتی نتائج سائیڈ لمبائی کی بڑی اقدار کے لیے، یونٹ مربعوں کی صحیح تعداد جو ایک مربع کو پیک کر سکتی ہے نامعلوم رہتی ہے۔ محور سے منسلک یونٹ مربعوں کے گرڈ کو پیک کرنا ہمیشہ ممکن ہے، لیکن اس سے ایک بڑا علاقہ، تقریبا، بے نقاب اور ضائع ہو سکتا ہے۔ اس کے بجائے، پال ایرڈس اور رونالڈ گراہم نے دکھایا کہ جھکی ہوئی اکائی کے چوکوں کے ذریعہ ایک مختلف پیکنگ کے لیے، ضائع شدہ جگہ کو نمایاں طور پر کم کیا جا سکتا ہے (یہاں لیٹ او نوٹیشن میں لکھا گیا ہے)۔ بعد میں گراہم اور فین چنگ نے ضائع شدہ جگہ کو مزید کم کر دیا۔ تاہم، جیسا کہ کلاز روتھ اور باب وان نے ثابت کیا، تمام حلوں کو کم از کم جگہ ضائع کرنی چاہیے۔ خاص طور پر، جب نصف عدد ہوتا ہے، تب ضائع شدہ جگہ کم از کم اس کے مربع جڑ کے متناسب ہوتی ہے۔ ضائع شدہ جگہ کی عین مطابق غیر علامتی نمو کی شرح، یہاں تک کہ نصف عدد کی طرف کی لمبائی کے لیے بھی، ایک کھلا مسئلہ بنی ہوئی ہے۔ یونٹ مربع کی کچھ تعداد کبھی بھی پیکنگ میں بہترین نمبر نہیں ہوتی ہیں۔ خاص طور پر، اگر سائز کا ایک مربع یونٹ مربع کی پیکنگ کی اجازت دیتا ہے، تو ایسا ہی ہونا چاہیے اور یونٹ مربع کی پیکنگ بھی ممکن ہے۔ دائرے میں مربع پیکنگ ایک دائرے میں مربع پیکنگ n یونٹ مربعوں کو ایک دائرے میں پیک کرنے کا ایک متعلقہ مسئلہ ہے جس کا رداس جتنا ممکن ہو اتنا چھوٹا ہے۔ اس مسئلے کے لیے، اچھے حل n سے لے کر 35 تک کے لیے جانے جاتے ہیں۔ n سے لے کر 12 تک کے لیے کم از کم حل یہ ہیں: مربع مربع میں سرکل پیکنگ بھی دیکھیں مربع مستطیل پیکنگ موونگ سوفی مسئلہ حوالہ جات بیرونی لنکس پیکنگ کے مسائل جیومیٹری میں حل نہ ہونے والے مسائل