Jackson q-Bessel function
ریاضی میں، جیکسن q-بیسل فنکشن (یا بنیادی بیسل فنکشن) بیسل فنکشن کے تین q-ینالاگس میں سے ایک ہے جسے اس نے متعارف کرایا ہے۔ تیسرا جیکسن q-بیسل فنکشن ہان-ایکسٹن q-بیسل فنکشن جیسا ہی ہے۔ تعریف تین جیکسن q-بیسل افعال q-پوچھیمر علامت اور بنیادی ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے لحاظ سے دیے گئے ہیں۔ انہیں مسلسل حد سے بیسل فنکشن تک کم کیا جا سکتا ہے: پہلے اور دوسرے جیکسن q-بیسل فنکشن () کے درمیان ایک کنکشن فارمولا ہے: انٹیجر آرڈر کے لیے، q-بیسل فنکشنز پراپرٹیز نیگیٹیو انٹیجر آرڈر کو پورا کرتے ہیں۔ تعلقات () کا استعمال کرتے ہوئے: ہم زیرو ہان حاصل کرتے ہیں جس کا ذکر کیا گیا ہے کہ اس میں لامحدود تعداد میں حقیقی صفر () ہیں۔ اسماعیل نے ثابت کیا کہ تمام غیر صفر جڑوں کے لیے حقیقی () ہیں۔ ق-بیسل افعال کا تناسب فنکشن مکمل طور پر مونوٹونک فنکشن () ہے۔ تکرار کے تعلقات پہلے اور دوسرے جیکسن ق-بیسل فنکشن میں درج ذیل تکرار کے تعلقات ہیں (دیکھیں اور): عدم مساوات جب، دوسرا جیکسن ق-بیسل فنکشن مطمئن ہوتا ہے: (دیکھیں۔) کے لیے، (دیکھیں۔) جنریٹنگ فنکشن مندرجہ ذیل فارمولے بیسیل فنکشن کے لیے جنریٹنگ فنکشن کے q-ینالاگ ہیں (دیکھیں): q-ایکسپونینشیل فنکشن ہے۔ متبادل نمائشیں مربوط نمائشیں دوسرے جیکسن ق-بیسل فنکشن میں درج ذیل مربوط نمائشیں ہیں (دیکھیں اور): q-پوچھیمر علامت کہاں ہے۔ یہ نمائندگی حد میں بیسیل فنکشن کی لازمی نمائندگی تک کم ہو جاتی ہے۔ ہائپر جیومیٹرک نمائشیں دوسرے جیکسن ق بیسل فنکشن میں درج ذیل ہائپر جیومیٹرک نمائشیں ہیں (دیکھیں،): دوسرے فارمولے کے فوری نتیجے کے طور پر ایک غیر علامتی توسیع حاصل کی جا سکتی ہے۔ دیگر ہائپر جیومیٹرک نمائندگی کے لیے، دیکھیں۔ ترمیم شدہ q-بیسل افعال ترمیم شدہ بیسیل افعال کے q-ینالاگ کی تعریف جیکسن q-بیسل فنکشن (اور) کے ساتھ کی گئی ہے: ترمیم شدہ q-بیسل افعال کے درمیان تعلق کا ایک فارمولا ہے: تکرار کے تعلقات جیکسن q-بیسل افعال کے تکرار کے تعلق اور ترمیم شدہ q-بیسل افعال کی تعریف کے ذریعے، درج ذیل تکرار کا تعلق حاصل کیا جا سکتا ہے (اسی تعلق کو بھی مطمئن کرتا ہے) (): دیگر تکرار کے تعلقات کے لیے، دیکھیں۔ مسلسل فریکشن کی نمائندگی ترمیم شدہ q-بیسل فنکشنز کا تناسب ایک مسلسل فریکشن () بناتا ہے: متبادل نمائندگی ہائپر جیومیٹرک نمائندگی فنکشن میں درج ذیل نمائندگی ہوتی ہے (): انٹیگرل نمائندگی ترمیم شدہ q-بیسل فنکشنز میں درج ذیل انٹیگرل نمائندگی ہوتی ہے (): یہ بھی دیکھیں q-بیسل کثیر الجہتی حوالہ جات خصوصی افعال Q-ینالاگس