Mittag-Leffler polynomials
ریاضی میں، میٹاگ-لیفلر کثیر الجہتی وہ کثیر الجہتی ہیں جن کا مطالعہ gn (x) یا Mn (x) کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ Mn (x) میکسنر کثیر الجہتی Mn (x ؛ b، c) کا ایک خاص معاملہ ہے جو b = 0، c =-1 پر ہے۔ تعریف اور افعال پیدا کرنے کی مثالیں میٹاگ-لیفلر کثیر الجہتی کی وضاحت بالترتیب پیدا کرنے والے افعال کے ذریعہ کی جاتی ہے اور ان میں دو متغیر پیدا کرنے والا فنکشن بھی ہوتا ہے۔ ان کے اعداد کے کوفیشنٹس او ای آئی ایس میں پائے جا سکتے ہیں، حالانکہ بغیر کسی حوالہ کے، اور ان کے کوفیشنٹس بھی او ای آئی ایس میں ہیں۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل"! n! ! جی این (ایکس)! ! ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ بھی۔ واضح فارمولے واضح فارمولے ہیں (آخری فوری طور پر ظاہر ہوتا ہے، ایک قسم کا عکاسی فارمولا)، اور، جسے اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے، جہاں گرنے والے فیکٹوریئل کی نشاندہی ہوتی ہے۔ گوسی ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے لحاظ سے، ہمارے پاس عکاسی کا فارمولا ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، کیونکہ، ہمارے پاس عکاسی کا فارمولا ہے۔ تکرار کے فارمولے کثیر الجہتی کی تعریف تکرار کے طور پر، اور سے شروع کی جا سکتی ہے۔ ایک اور تکرار فارمولا، جو پچھلے یکساں فارمولوں میں سے ایک عجیب فارمولہ پیدا کرتا ہے اور اس کے برعکس، دوبارہ اس سے شروع ہوتا ہے۔ جہاں تک اس کا تعلق ہے، ہمارے پاس کئی مختلف تکرار کے فارمولے ہیں: تکرار کے فارمولے (3) کے حوالے سے، کثیر الجہتی فرق مساوات کا منفرد کثیر الجہتی حل ہے، جسے معمول بنایا گیا ہے۔ مزید نوٹ کریں کہ (2) اور (3) ایک دوسرے کے لیے دوہرے ہیں اس معنی میں کہ ہم عکاسی کے فارمولے کو شناختوں میں سے ایک پر لاگو کر سکتے ہیں اور پھر دوسرے کو تبدیل کر کے حاصل کر سکتے ہیں۔ (جیسا کہ کثیر الجہتی ہیں، توثیق قدرتی سے لے کر تمام حقیقی اقدار تک پھیلی ہوئی ہے۔) ابتدائی اقدار کی ٹیبل (ان اقدار کو او ای آئی ایس میں "این-ڈائیمینشنل کراس پولی ٹاپس کے لیے فگرریٹ نمبرز" بھی کہا جاتا ہے) ریکرشن فارمولا (1) کی وضاحت کر سکتی ہے، جس کا مطلب یہ لیا جا سکتا ہے کہ ہر اندراج تین پڑوسی اندراجات کا مجموعہ ہے: اس کے بائیں طرف، اوپر اور اوپر بائیں، جیسے۔ ۔ یہ مرکزی اخترن کے حوالے سے عکاسی کے فارمولے کی بھی وضاحت کرتا ہے، جیسے۔ ۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل"! ! ! 1!! 2! ! 3! ! 4! ! 5! ! 6! ! 7! ! 8! ! 9! ! 10۔-! 1 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" 2 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |2 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |4 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |6 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |8 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |10 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |12 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |14 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |16 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |18 | سٹائل = " 3 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |3 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |9 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |19 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |3 3 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |51 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |73 | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |9 9 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |129 | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = " 4 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |4 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |16 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |4 4 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |96 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |180 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |304 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |476 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن" 5 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |5 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |25 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |85 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |225 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |5 01 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |985 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" 6 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |6 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |36 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |146 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |456 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |1182 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" 7 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |7 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |49 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |231 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |833 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = " 8 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |8 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |64 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |344 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل "| | سٹائل =" ٹیکسٹ-الائن: رائٹ " 9 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |9 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" |81 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ ؛" | | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن" 10 | سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | 10 | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | اسٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" ؛ | | آرتھوگونالیٹی ریلیشنز درج ذیل آرتھوگونالیٹی ریلیشنز کے لیے: (نوٹ کریں کہ یہ ایک پیچیدہ نہیں ہے۔ چونکہ ہر ایک ایک یکساں یا ایک عجیب کثیر الجہتی ہے، اس لیے خیالی دلائل صرف اپنے کوفیشنٹس کے لیے متبادل علامات پیدا کرتے ہیں۔ مزید برآں، اگر اور مختلف برابری ہے، تو انٹیگرل معمولی طور پر غائب ہو جاتا ہے۔) بائنومیئل شناخت بائنومیئل قسم کی شیفر ترتیب ہونے کی وجہ سے، مٹاگ-لیفلر کثیر الجہتی بھی بائنومیئل شناخت کو مطمئن کرتے ہیں۔ ایک ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے طور پر نمائندگی کی بنیاد پر، براہ راست انٹیگرلز کے طور پر نمائندگی کرنے کے کئی طریقے ہیں، ان میں سے کچھ پیچیدہ کے لیے بھی درست ہیں، مثال کے طور پر۔ ۔ انٹیگرل خاندانوں کی بند شکلیں زیٹا اقدار کے لحاظ سے بند شکل کے تاثرات کے ساتھ انٹیگرلز کے کئی خاندان ہیں جہاں میٹاگ-لیفلر کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کوفیشنٹس کے طور پر پائے جاتے ہیں۔ ان تمام انٹیگرلز کو ایک ایسی شکل میں لکھا جا سکتا ہے جس میں یا تو ایک عنصر ہو یا، اور میٹاگ-لیفلر کثیرالجہتی کی ڈگری مختلف ہوتی ہے۔ ان انٹیگرلز کو طے کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ان کے لیے متعلقہ تکراری فارمولے حاصل کیے جائیں جیسا کہ مٹاگ-لیفلر کثیر الجہتی حصوں کے ذریعے انضمام کا استعمال کرتے ہوئے۔ 1. مثال کے طور پر، ان انٹیگرلز کی امبرل نوٹیشن میں بند شکل ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ کثیر الجہتی کو وسعت دینے کے بعد، ہر پاور کو زیٹا ویلیو سے تبدیل کرنا پڑتا ہے۔ ای۔ جی۔ سے ہم حاصل کرتے ہیں۔ 2. اسی طرح امبرل نوٹیشن میں، جہاں توسیع کے بعد، ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن سے تبدیل ہونا پڑتا ہے، ان کی بند شکل ہوتی ہے۔ 3. مندرجہ ذیل کے لیے اور، اور تسلسل کے ذریعے مکمل کرنے کے لیے ایک ہی امبرل نوٹیشن ہے۔ نوٹ کریں کہ اس کے لیے، یہ انٹیگرلز 4 کے لیے ایک بند شکل بھی دیتا ہے۔ کے لیے، وضاحت کریں۔ اگر یکساں ہے اور ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں، تو ہمارے پاس امبرل نوٹیشن ہے، یعنی۔ اس کی جگہ، نوٹ کریں کہ یہاں صرف عجیب زیٹا اقدار (عجیب) پائی جاتی ہیں (جب تک کہ ڈینومینیٹرز کو یکساں زیٹا اقدار کے طور پر کاسٹ نہ کیا جائے)، مثال کے طور پر۔ 5. اگر عجیب ہے، تو وہی انٹیگرل تشخیص کرنے کے لیے بہت زیادہ شامل ہے، بشمول ابتدائی۔ پھر بھی یہ پتہ چلتا ہے کہ اگر ہم مساوی طور پر وضاحت کرتے ہیں تو نمونہ برقرار رہتا ہے۔ پھر امبرل نوٹیشن میں درج ذیل بند شکل ہوتی ہے، جس کی جگہ:، مثال کے طور پر۔ نوٹ کریں کہ ریمن کی فنکشنل مساوات کے لوگرتھمک مشتق کی وجہ سے، جو اویلر کے عکاسی فارمولے کو لاگو کرنے کے بعد لیا گیا ہے، ان تاثرات کو اس کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ 6. کیونکہ، وہی انٹیگرل مختلف ہوتا ہے کیونکہ انٹیگرینڈ فار کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ لیکن اسی ڈگری کے فرق کے ساتھ ایسے دو انٹیگرلز کا فرق اچھی طرح سے متعین ہے اور بہت ہی ملتے جلتے نمونوں کو ظاہر کرتا ہے، مثال کے طور پر۔ ۔ دوسری قسم کے سٹرلنگ کثیر الجہتی پولی-برنولی نمبر حوالہ جات کثیر الجہتی کے برنولی کثیر الجہتی بھی دیکھیں۔