Automorphic L-function
ریاضی میں، ایک آٹومورفک L-فنکشن ایک پیچیدہ متغیر s کا ایک فنکشن L (s، π، r) ہے، جو ایک عالمی میدان پر ایک تخفیف گروپ G کی آٹومورفک نمائندگی سے وابستہ ہے اور لینگ لینڈز ڈوئل گروپ LG of G کی ایک محدود جہتی پیچیدہ نمائندگی r ہے، جو ڈیرچلیٹ کردار کی ڈیرچلیٹ L-سیریز اور ماڈیولر شکل کی میلن تبدیلی کو عام کرتا ہے۔ ان کا تعارف کرایا گیا۔ اور آٹومورفک ایل فنکشنز کے سروے دیے۔ آٹومورفک افعال کی خصوصیات میں درج ذیل خصوصیات ہونی چاہئیں (جو کچھ معاملات میں ثابت ہو چکی ہیں لیکن پھر بھی دوسرے معاملات میں قیاس آرائی پر مبنی ہیں)۔ ایل-فنکشن مقامی افعال کی جگہوں پر ایک پروڈکٹ ہونا چاہیے۔ یہاں آٹومورفک نمائندگی مقامی گروپوں کی نمائندگی کا ایک ٹینسر پروڈکٹ ہے۔ ایل-فنکشن سے توقع کی جاتی ہے کہ وہ تمام کمپلیکس کے میرومورفک فنکشن کے طور پر ایک تجزیاتی تسلسل رکھتا ہے، اور ایک فنکشنل مساوات کو پورا کرتا ہے جہاں عنصر "مقامی مستقلات" کا پروڈکٹ ہوتا ہے جن میں سے تقریبا سبھی 1 ہوتے ہیں۔ عام لکیری گروپوں نے ٹیٹ کے مقالے میں طریقہ کار کی عمومی کاری کا استعمال کرتے ہوئے معیاری نمائندگی (نام نہاد معیاری L-افعال) اور تصدیق شدہ تجزیاتی تسلسل اور فعال مساوات کے ساتھ عام لکیری گروپوں کے لیے آٹومورفک L-افعال کی تعمیر کی۔ لینگ لینڈز پروگرام میں ہر جگہ جی ایل (ایم) اور جی ایل (این) کی نمائندگی کی رینکن-سیلبرگ مصنوعات ہیں۔ نتیجے میں رینکن-سیلبرگ ایل-افعال متعدد تجزیاتی خصوصیات کو پورا کرتے ہیں، ان کی فعال مساوات کو سب سے پہلے لینگ لینڈز-شاہی طریقہ کار کے ذریعے ثابت کیا گیا۔ عام طور پر، لینگ لینڈز فنکٹوریلیٹی قیاس آرائیوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ منسلک تخفیف گروپ کے آٹومورفک L-افعال عام لکیری گروپوں کے آٹومورفک L-افعال کی مصنوعات کے برابر ہیں۔ لینگ لینڈز فنکٹوریالیٹی کا ثبوت آٹومورفک ایل فنکشنز کی تجزیاتی خصوصیات کی مکمل تفہیم کی طرف بھی لے جائے گا۔ حوالہ جات آٹومورفک فارمز زیٹا اور ایل فنکشنز لینگ لینڈز پروگرام