Theil–Sen estimator
غیر پیرامیٹرک اعداد و شمار میں، تھیل-سین تخمینہ ایک ایسا طریقہ ہے جس میں تمام لائنوں کی ڈھلوانوں کے میڈین کو پوائنٹس کے جوڑوں کے ذریعے منتخب کرکے جہاز میں نمونے کے نکات (سادہ لکیری رجعت) کے لیے ایک لائن کو مضبوطی سے فٹ کیا جاتا ہے۔ اسے سین کا ڈھلوان تخمینہ کار، ڈھلوان کا انتخاب، واحد میڈین طریقہ، کینڈل مضبوط لائن فٹ طریقہ، اور کینڈل-تھیل مضبوط لائن بھی کہا جاتا ہے۔ اس کا نام ہنری تھیل اور پرنب کے سین کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے بالترتیب 1950 اور 1968 میں اس طریقہ کار پر مقالے شائع کیے، اور موریس کینڈل کے نام پر کیونکہ اس کا تعلق کینڈل تاؤ رینک ارتباط گتانک سے ہے۔ عام کم از کم مربع رجعت کے مقابلے میں تھیل سین رجعت کے کئی فوائد ہیں۔ یہ آؤٹ لیئرز کے لیے غیر حساس ہے۔ یہ اہمیت کی جانچ کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے یہاں تک کہ جب بقایا عام طور پر تقسیم نہیں ہوتے ہیں۔ یہ سکویڈ اور ہیٹروسکیڈاسٹک ڈیٹا کے لیے غیر تیز رفتار سادہ لکیری رجعت (کم سے کم مربع) سے نمایاں طور پر زیادہ درست ہو سکتا ہے، اور شماریاتی طاقت کے لحاظ سے عام طور پر تقسیم شدہ ڈیٹا کے لیے بھی کم سے کم مربع کے خلاف اچھی طرح سے مقابلہ کرتا ہے۔ اسے "لکیری رجحان کا اندازہ لگانے کے لیے سب سے مشہور غیر پیرامیٹرک تکنیک" کہا گیا ہے۔ پیرامیٹرز کو مؤثر طریقے سے کمپیوٹ کرنے کے لیے تیز الگورتھم موجود ہیں۔ تعریف جیسا کہ بیان کیا گیا ہے، دو جہتی پوائنٹس کے سیٹ کا تھیل سین تخمینہ لگانے والا ڈھلوانوں کا میڈین ہے جس کا تعین نمونے کے پوائنٹس کے تمام جوڑوں سے ہوتا ہے۔ اس تعریف کو اس معاملے کو سنبھالنے کے لیے بڑھایا جس میں دو ڈیٹا پوائنٹس کا ایک ہی کوآرڈینیٹ ہوتا ہے۔ سین کی تعریف میں، کوئی بھی ڈھلوانوں کا میڈین لیتا ہے جس کی وضاحت صرف مختلف نقاط والے نکات کے جوڑوں سے کی جاتی ہے۔ ایک بار ڈھلوان کا تعین ہو جانے کے بعد،-انٹرسیپٹ کو اقدار کا میڈین مقرر کر کے نمونے کے نکات سے ایک لکیر کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ فٹ لائن پھر کوفیشنٹس والی لائن ہوتی ہے اور سلوپ-انٹرسیپٹ کی شکل میں ہوتی ہے۔ جیسا کہ سین نے مشاہدہ کیا، ڈھلوان کا یہ انتخاب کینڈل تاؤ رینک ارتباط گتانک کو تقریبا صفر بنا دیتا ہے، جب اسے ان سے وابستہ بقایا جات کے ساتھ اقدار کا موازنہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ بدیہی طور پر، اس سے پتہ چلتا ہے کہ فٹ لائن ڈیٹا پوائنٹ کے اوپر یا نیچے کتنی دور گزرتی ہے اس کا تعلق اس بات سے نہیں ہے کہ آیا وہ پوائنٹ ڈیٹا سیٹ کے بائیں یا دائیں طرف ہے۔ کا انتخاب کینڈل گتانک کو متاثر نہیں کرتا ہے، لیکن میڈین بقایا تقریبا صفر ہونے کا سبب بنتا ہے۔ یعنی، فٹ لائن پوائنٹس کی مساوی تعداد سے اوپر اور نیچے سے گزرتی ہے۔ ڈھلوان کے تخمینے کے لیے اعتماد کے وقفے کا تعین لائنوں کی ڈھلوانوں کے درمیانی 95 فیصد پر مشتمل وقفے کے طور پر کیا جا سکتا ہے جس کا تعین پوائنٹس کے جوڑوں کے ذریعے کیا جاتا ہے اور پوائنٹس کے جوڑوں کے نمونے لے کر اور نمونے والی ڈھلوانوں کے 95 فیصد وقفے کا تعین کر کے تیزی سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ تخروپن کے مطابق، تقریبا 600 نمونے کے جوڑے ایک درست اعتماد کے وقفے کا تعین کرنے کے لیے کافی ہیں۔ تغیرات تھیل-سین تخمینہ کار کی ایک تغیر، کا بار بار میڈین رجعت، ہر نمونے کے نقطہ کے لیے، اس نقطہ سے گزرنے والی لکیروں کی ڈھلوانوں کا میڈین طے کرتا ہے، اور پھر ان میڈینوں کے میڈین کے طور پر مجموعی تخمینہ کار کا تعین کرتا ہے۔ یہ تھیل سین تخمینہ کار سے زیادہ تعداد میں آؤٹ لیئرز کو برداشت کر سکتا ہے، لیکن اسے مؤثر طریقے سے کمپیوٹ کرنے کے لیے معروف الگورتھم زیادہ پیچیدہ اور کم عملی ہیں۔ ایک مختلف قسم نمونے کے پوائنٹس کو ان کے-کوآرڈینیٹس کے درجہ سے جوڑتی ہے: سب سے چھوٹے کوآرڈینیٹ والے پوائنٹ کو میڈین کوآرڈینیٹ کے اوپر پہلے پوائنٹ کے ساتھ جوڑا جاتا ہے، دوسرے سب سے چھوٹے پوائنٹ کو میڈین کے اوپر اگلے پوائنٹ کے ساتھ جوڑا جاتا ہے، اور اسی طرح۔ اس کے بعد یہ پوائنٹس کے ان جوڑوں کے ذریعہ طے شدہ لائنوں کی ڈھلوانوں کے میڈین کا حساب لگاتا ہے، اور تھیل-سین تخمینہ کار سے نمایاں طور پر کم جوڑوں کا جائزہ لے کر رفتار حاصل کرتا ہے۔ وزن والے میڈینز پر مبنی تھیل-سین تخمینہ کے تغیرات کا بھی مطالعہ کیا گیا ہے، اس اصول کی بنیاد پر کہ نمونوں کے جوڑے جن کے-کوآرڈینیٹ زیادہ مختلف ہوتے ہیں ان میں درست ڈھلوان ہونے کا امکان زیادہ ہوتا ہے اور اس وجہ سے ان کا وزن زیادہ ہونا چاہیے۔ موسمی اعداد و شمار کے لیے، نمونے کے نکات کے صرف ان جوڑوں پر غور کر کے اعداد و شمار میں موسمی تغیرات کو ہموار کرنا مناسب ہو سکتا ہے جن کا تعلق ایک ہی مہینے یا سال کے ایک ہی موسم سے ہے، اور جوڑوں کے اس زیادہ پابند سیٹ کے ذریعے طے شدہ لائنوں کی ڈھلوانوں کا میڈین تلاش کرنا۔ شماریاتی خصوصیات تھیل سین تخمینہ کار سادہ لکیری رجعت میں حقیقی ڈھلوان کا ایک غیر جانبدار تخمینہ کار ہے۔ رسپانس ایرر کی بہت سی تقسیموں کے لیے، اس تخمینہ کار میں کم سے کم مربع تخمینہ کے مقابلے میں اعلی غیر علامتی کارکردگی ہوتی ہے۔ کم کارکردگی والے تخمینوں کو موثر غیر جانبدار تخمینوں کے اسی نمونے کے تغیر کو حاصل کرنے کے لیے زیادہ آزاد مشاہدات کی ضرورت ہوتی ہے۔ تھیل سین تخمینہ لگانے والا کم سے کم مربع تخمینہ لگانے والے سے زیادہ مضبوط ہے کیونکہ یہ آؤٹ لیئرز کے لیے بہت کم حساس ہے۔ اس کے معنی کا ایک بریک ڈاؤن پوائنٹ ہے کہ یہ اپنی درستگی کو کم کیے بغیر ان پٹ ڈیٹا پوائنٹس کے 29.3% تک کی من مانی بدعنوانی کو برداشت کر سکتا ہے۔ تاہم، طریقہ کار کی اعلی جہتی عمومی کاری کے لیے بریک ڈاؤن پوائنٹ کم ہو جاتا ہے۔ ایک اعلی بریک ڈاؤن پوائنٹ، 50 ٪، ایک مختلف مضبوط لائن فٹنگ الگورتھم کے لیے ہے، جو سیگل کا بار بار میڈین تخمینہ ہے۔ تھیل-سین تخمینہ اس کے رسپانس متغیر کی ہر لکیری تبدیلی کے تحت مساوی ہے، جس کا مطلب ہے کہ پہلے ڈیٹا کو تبدیل کرنا اور پھر لائن کو فٹ کرنا، یا پہلے لائن کو فٹ کرنا اور پھر اسے اسی طرح تبدیل کرنا، دونوں ایک ہی نتیجہ پیدا کرتے ہیں۔ تاہم، یہ پیشن گوئی کرنے والے اور رسپانس متغیر دونوں کی افائن تبدیلیوں کے تحت مساوی نہیں ہے۔ الگورتھم اور نفاذ نمونے کے نکات کے ایک سیٹ کی میڈین سلوپ کا حساب بالکل پوائنٹس کے جوڑوں کے ذریعے تمام لائنوں کا حساب لگا کر، اور پھر لکیری ٹائم میڈین فائنڈنگ الگورتھم کا اطلاق کرکے کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، پوائنٹس کے جوڑوں کے نمونے لے کر اس کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ یہ مسئلہ، پروجیکٹو دوہری کے تحت، لائنوں کے انتظام میں کراسنگ پوائنٹ تلاش کرنے کے مسئلے کے مساوی ہے جس میں اس طرح کے تمام کراسنگ پوائنٹس کے درمیان میڈین-کوآرڈینیٹ ہوتا ہے۔ بروٹ فورس کواڈریٹک ٹائم الگورتھم کے مقابلے میں ڈھلوان کے انتخاب کو بالکل لیکن زیادہ موثر طریقے سے انجام دینے کے مسئلے کا کمپیوٹیشنل جیومیٹری میں بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا گیا ہے۔ تھیل-سین تخمینہ کار کو بالکل وقت پر کمپیوٹ کرنے کے لیے کئی مختلف طریقے معلوم ہیں، یا تو تعیناتی طور پر یا بے ترتیب الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے۔ سیگل کا بار بار میڈین تخمینہ بھی اسی وقت کے پابند میں بنایا جا سکتا ہے۔ کمپیوٹیشن کے ماڈلز میں جن میں ان پٹ کوآرڈینیٹ انٹیجر ہوتے ہیں اور جن میں انٹیجرز پر بٹ وائز آپریشنز میں مستقل وقت لگتا ہے، بے ترتیب متوقع وقت میں تھیل-سین تخمینہ کار کو اور بھی تیزی سے بنایا جا سکتا ہے۔ تقریبا میڈین رینک کے ساتھ ڈھلوان کے لیے ایک تخمینہ لگانے والا، جو تھیل-سین تخمینہ لگانے والے کی طرح ہی بریک ڈاؤن پوائنٹ رکھتا ہے، ڈیٹا اسٹریم ماڈل میں برقرار رکھا جا سکتا ہے (جس میں نمونے کے نکات کو ایک الگورتھم کے ذریعے ایک ایک کر کے پروسیس کیا جاتا ہے جس میں پورے ڈیٹا سیٹ کی نمائندگی کرنے کے لیے کافی مستقل اسٹوریج نہیں ہوتی ہے) ε-نیٹ پر مبنی الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے۔ آر شماریات پیکج میں، تھیل-سین تخمینہ کار اور سیگل کا بار بار میڈین تخمینہ کار دونوں ایم بی ایل ایم لائبریری کے ذریعے دستیاب ہیں۔ یو ایس جیولوجیکل سروے کے ذریعہ تھیل سین تخمینہ کے لیے ایک مفت اسٹینڈ لون ویژول بیسک ایپلی کیشن، کے ٹی آر لائن دستیاب کرائی گئی ہے۔ تھیل-سین تخمینہ کار کو پائیتھن میں سائنس اور سائنس سیکھنے کی لائبریریوں کے حصے کے طور پر بھی لاگو کیا گیا ہے۔ ایپلی کیشنز تھیل سین تخمینہ کا اطلاق فلکیات پر اس کی سنسر شدہ رجعت ماڈل کو سنبھالنے کی صلاحیت کی وجہ سے کیا گیا ہے۔ بائیو فزکس میں، ریموٹ سینسنگ ایپلی کیشنز کے لیے اس کے استعمال کا مشورہ دیتے ہیں جیسے کہ "حساب میں سادگی، اعتماد کے وقفوں کے تجزیاتی تخمینے، آؤٹ لیئرز کے لیے مضبوطی، بقایا کے حوالے سے قابل جانچ مفروضے اور پیمائش کی غلطیوں کے حوالے سے ترجیحی معلومات کو محدود کرنے" کی وجہ سے عکاسی کے اعداد و شمار سے پتی کے رقبے کا تخمینہ۔ پانی کے معیار جیسے موسمی ماحولیاتی اعداد و شمار کی پیمائش کے لیے، سکویڈ ڈیٹا کی موجودگی میں اس کی اعلی درستگی کی وجہ سے تھیل-سین تخمینہ کی موسمی طور پر ایڈجسٹ شدہ قسم کو کم سے کم مربع تخمینہ کے لیے ترجیحی قرار دیا گیا ہے۔ کمپیوٹر سائنس میں سافٹ ویئر ایجنگ کے رجحانات کا اندازہ لگانے کے لیے تھیل سین طریقہ استعمال کیا گیا ہے۔ موسمیات اور موسمیات میں، اس کا استعمال ہوا کے واقع ہونے اور رفتار کے طویل مدتی رجحانات کا اندازہ لگانے کے لیے کیا گیا ہے۔ تخمینہ شدہ رجحان ڈھلوانوں کو متاثر کرنے والے ایک اور مسئلے کے لیے ریگریشن ڈائلیوشن بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ مضبوط رجعت کمپیوٹیشنل جیومیٹری