Plethysm
الجبرا میں، پلیتھزم سمیٹرک افعال پر ایک عمل ہے جسے ڈڈلی ای لٹل ووڈ نے متعارف کرایا، جس نے اسے {λ} χ {μ} سے ظاہر کیا۔ اس عمل کے لیے لفظ "پلیتھزم" (یونانی لفظ πληθyσμodς کے بعد جس کا مطلب "ضرب" ہے) بعد میں متعارف کرایا گیا، جس نے کہا کہ یہ نام ایم۔ ایل۔ کلارک نے تجویز کیا تھا۔ اگر سمیٹرک فنکشنز کی شناخت لیمبڈا رنگز میں آپریشنز کے ساتھ کی جاتی ہے، تو پلیتھزم آپریشنز کی ساخت سے مطابقت رکھتا ہے۔ نمائندگی کے نظریہ میں فرض کریں کہ V پیچیدہ اعداد پر ایک ویکٹر اسپیس ہے، جسے عام لکیری گروپ GL (V) کی نمائندگی سمجھا جاتا ہے۔ ہر نوجوان خاکہ λ GL (V)-نمائندگی کے زمرے میں شور فنکٹر Lλ (-) سے مطابقت رکھتا ہے۔ دو نوجوان خاکے λ اور μ کو دیکھتے ہوئے، Lλ (Lμ (V)) کے گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی کے براہ راست مجموعے میں سڑنے پر غور کریں۔ عمومی لکیری گروپ کی نمائندگی کے نظریہ سے ہم جانتے ہیں کہ ہر مجموعہ نوجوان خاکہ کے لیے آئسومورفک ہے۔ لہذا کچھ غیر منفی ضرب کے لیے ایک آئسومورفزم ہے۔ (بیرونی) کثرت کا مسئلہ ضرب کے لیے ایک اظہار تلاش کرنا ہے۔ اس تشکیل کا کلاسیکی سوال سے گہرا تعلق ہے۔ GL (V)-نمائندگی Lλ (V) کا کردار مدھم (V) متغیرات میں ایک سمیٹرک فنکشن ہے، جسے شیر کثیر الجہتی sλ کے نام سے جانا جاتا ہے جو نوجوان خاکہ λ سے مطابقت رکھتا ہے۔ شور کثیر الجہتی سمیٹرک افعال کی جگہ میں ایک بنیاد بناتے ہیں۔ لہذا دو ہم آہنگی افعال کی کثرت کو سمجھنے کے لیے اس بنیاد پر ان کے تاثرات کو جاننا کافی ہوگا اور دو صوابدیدی شور کثیر الجہتی {sλ} χ {sμ} کی کثرت کے لیے ایک اظہار۔ اعداد و شمار کا دوسرا ٹکڑا قطعی طور پر Lλ (Lμ (V)) کا کردار ہے۔ حوالہ جات سمیٹرک افعال