Singular submodule
تجریدی الجبرا کی شاخوں میں جو رنگ تھیوری اور ماڈیول تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، ہر حق (ریسپ۔ بائیں) R-ماڈیول M میں ایک واحد ذیلی ماڈیول ہوتا ہے جو ان عناصر پر مشتمل ہوتا ہے جن کے اناہیلیٹر ضروری ہوتے ہیں۔ بائیں) آر میں آئیڈیل۔ سیٹ نوٹیشن میں اسے عام طور پر اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔ عام رنگوں کے لیے، ٹورسن سب ماڈیول ٹورس (ایم) کی ایک اچھی عمومی شکل ہے جس کی وضاحت اکثر ڈومینز کے لیے کی جاتی ہے۔ اس صورت میں کہ R ایک تبادلہ ڈومین ہے،۔ اگر R کوئی رنگ ہے، تو اس کی تعریف R کو دائیں ماڈیول کے طور پر دیکھتے ہوئے کی جاتی ہے، اور اس صورت میں R کا دو طرفہ آئیڈیل ہے جسے R کا دائیں واحد آئیڈیل کہا جاتا ہے۔ بائیں ہاتھ والے اینالاگ کی تعریف اسی طرح کی جاتی ہے۔ کے لیے ممکن ہے۔ تعریفیں یہاں متعدد تعریفیں ہیں جو واحد ذیلی ماڈیولز اور واحد آئیڈیلز کا مطالعہ کرتے وقت استعمال ہوتی ہیں۔ مندرجہ ذیل میں، M ایک R-ماڈیول ہے: اگر M کو واحد ماڈیول کہا جاتا ہے۔ اگر M کو نان سنگولر ماڈیول کہا جاتا ہے۔ R کو رائٹ نان سنگولر کہا جاتا ہے۔ بائیں واحد آئیڈیل کا استعمال کرتے ہوئے بائیں غیر سنگل رنگ کی تعریف اسی طرح کی جاتی ہے، اور کسی رنگ کا دائیں لیکن بائیں نہیں غیر سنگل ہونا مکمل طور پر ممکن ہے۔ اتحاد کے ساتھ رنگوں میں یہ ہمیشہ ہوتا ہے کہ، اور اس لیے "دائیں واحد رنگ" کی وضاحت عام طور پر اسی طرح نہیں کی جاتی ہے جس طرح واحد ماڈیول ہوتے ہیں۔ کچھ مصنفین نے "واحد رنگ" کا استعمال اس معنی کے لیے کیا ہے کہ "ایک غیر صفر واحد آئیڈیل ہے"، تاہم یہ استعمال ماڈیولز کے لیے صفتوں کے استعمال سے مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ خصوصیات واحد ذیلی ماڈیول کی کچھ عمومی خصوصیات میں شامل ہیں: جہاں M کے سوکل کی نشاندہی ہوتی ہے۔ اگر f، M سے N تک R-ماڈیولز کا ہومومورفزم ہے، تو۔ اگر N، M کا ذیلی ماڈیول ہے، تو۔ "واحد" اور "غیر واحد" خصوصیات موریٹا غیر متغیر خصوصیات ہیں۔ رنگ کے واحد آئیڈیلز میں رنگ کے مرکزی نیل پوٹینٹ عناصر ہوتے ہیں۔ نتیجتا، ایک مواصلاتی رنگ کا واحد آئیڈیل رنگ کے نیلراڈیکل پر مشتمل ہوتا ہے۔ ٹورسن سب ماڈیول کی ایک عمومی خاصیت یہ ہے کہ، لیکن یہ لازمی طور پر واحد سب ماڈیول کے لیے نہیں ہے۔ تاہم، اگر R ایک دائیں نان سنگولر رنگ ہے، تو۔ اگر N M کا ایک لازمی ذیلی ماڈیول ہے (دونوں صحیح ماڈیول) تو M/N واحد ہے۔ اگر M ایک آزاد ماڈیول ہے، یا اگر R صحیح نان سنگولر ہے، تو الٹا درست ہے۔ ایک نیم سادہ ماڈیول غیر سنگل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک پروجیکٹو ماڈیول ہو۔ اگر R ایک دائیں سیلف انجیکشن رنگ ہے، تو، جہاں J (R) R کا جیکبسن ریڈیکل ہے۔ مثالیں دائیں نان سنگولر رنگ ایک بہت وسیع کلاس ہیں، جن میں کم شدہ رنگ، دائیں (نیم) موروثی رنگ، وان نیومن باقاعدہ رنگ، ڈومینز، نیم سادہ رنگ، بیئر رنگ اور دائیں ریکارٹ رنگ شامل ہیں۔ تبادلے والے رنگوں کے لیے، نان سنگولر ہونا ایک کم شدہ رنگ ہونے کے برابر ہے۔ جانسن کا نظریہ (آر۔ ای۔ جانسن کی وجہ سے) کئی اہم مساوات پر مشتمل ہے۔ کسی بھی رنگ R کے لیے، درج ذیل مساوی ہیں: R صحیح نان سنگولر ہے۔ انجیکشن ہول ای (آر آر) ایک نان سنگولر رائٹ آر-ماڈیول ہے۔ اینڈومورفزم رنگ ایک سیمیپریمیٹو رنگ ہے (یعنی،)۔ کوٹینٹس کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ وان نیومن باقاعدہ ہے۔ دائیں نان سنگولرٹی کا دائیں سیلف انجیکشن بجتوں کے ساتھ بھی مضبوط تعامل ہوتا ہے۔ نظریہ: اگر R ایک رائٹ سیلف انجیکشن رنگ ہے، تو R پر درج ذیل شرائط مساوی ہیں: رائٹ نان سنگولر، وان نیومن ریگولر، رائٹ سیمی ہیرڈیٹری، رائٹ ریکارٹ، بیئر، سیمی پریمیٹو۔ کاغذ میں ان رنگوں کی کلاس کی خصوصیت کے لیے نان سنگولر ماڈیولز کا استعمال کیا گیا جن کی زیادہ سے زیادہ دائیں رنگ کی ایک مخصوص ساخت ہوتی ہے۔ نظریہ: اگر R ایک رنگ ہے، تو یہ ایک دائیں طرف کی مکمل لکیری رنگ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R میں ایک غیر واحد، وفادار، یکساں ماڈیول ہو۔ مزید برآں، مکمل لکیری رنگوں کا ایک محدود براہ راست پروڈکٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R میں محدود یکساں طول و عرض کے ساتھ ایک نان سنگولر، وفادار ماڈیول ہو۔ نصابی کتابیں بنیادی ذرائع ماڈیول تھیوری رنگ تھیوری