L-semi-inner product
ریاضی میں سیمی-انر-پروڈکٹ کے دو مختلف تصورات ہیں۔ پہلا، اور زیادہ عام، ایک اندرونی پروڈکٹ کا ہے جو سختی سے مثبت ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ یہ مضمون دوسرے سے نمٹے گا، جسے لومر کے معنی میں ایل-سیمی-انر پروڈکٹ یا سیمی-انر پروڈکٹ کہا جاتا ہے، جو ایک اندرونی پروڈکٹ ہے جس کے لیے کنجوگیٹ سمیٹرک ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ فنکشنل تجزیہ میں ہلبرٹ خلائی قسم کے دلائل کو بناچ خالی جگہوں تک بڑھانے کے مقصد سے اسے گنٹر لومر نے وضع کیا تھا۔ بعد میں جائلز نے بنیادی خصوصیات کی کھوج کی۔ تعریف ہم دوبارہ ذکر کرتے ہیں کہ یہاں پیش کی گئی تعریف معیاری فنکشنل تجزیہ کی نصابی کتابوں میں "سیمی-انر پروڈکٹ" سے مختلف ہے، جہاں "سیمی-انر پروڈکٹ" اندرونی مصنوعات کی تمام خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے (بشمول کنجوگیٹ سمیٹری) سوائے اس کے کہ اسے سختی سے مثبت ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک سیمی-انر-پروڈکٹ، ایل-سیمی-انر پروڈکٹ، یا پیچیدہ اعداد کے میدان پر لکیری ویکٹر اسپیس کے لیے لومر کے معنی میں سیمی-انر پروڈکٹ ایک فنکشن ہے جسے عام طور پر اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، جیسے کہ تمام غیر منفی-تعریف کے لیے: پہلی دلیل میں لکیریٹی، جس کا مطلب ہے: پہلی دلیل میں اضافیت: پہلی دلیل میں یکسانیت: دوسری دلیل میں یکسانیت کو جوڑنا: کاچی-شوارز عدم مساوات: اندرونی مصنوعات سے فرق ایک سیمی-انر-پروڈکٹ اندرونی مصنوعات سے مختلف ہے جس میں یہ عام طور پر کنجوگیٹ سمیٹرک نہیں ہے، یعنی عام طور پر۔ یہ کہنے کے مترادف ہے کہ دوسرے لفظوں میں، نیم معمولی مصنوعات عام طور پر اس کے دوسرے متغیر کے بارے میں غیر لکیری ہوتی ہیں۔ معیاری جگہوں کے لیے سیمی-انر-پروڈکٹس اگر لکیری ویکٹر اسپیس کے لیے سیمی-انر-پروڈکٹ ہے تو اس پر ایک معیار کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے برعکس، اگر معمول کے ساتھ ایک معیاری ویکٹر کی جگہ ہے تو اس پر ہمیشہ ایک (لازمی طور پر منفرد نہیں) نیم-اندرونی-پروڈکٹ موجود ہوتا ہے جو اس لحاظ سے معمول کے مطابق ہوتا ہے کہ مثال کے طور پر یوکلڈین کی جگہ میں مستقل نیم-اندرونی-پروڈکٹ ہوتا ہے: جہاں عام طور پر، پیمائش کی جگہ پر-مربوط افعال کی جگہ جہاں معمول کے ساتھ مستقل نیم-معمولی-پروڈکٹ ہوتا ہے: ایپلی کیشنز لومر کے خیال کے بعد، نیم-معمولی-مصنوعات کو بڑے پیمانے پر بانچ خالی جگہوں پر لکیری آپریٹرز کا مطالعہ کرنے کے لیے لاگو کیا گیا تھا۔ 2007 میں، ڈیر اور لی نے بناچ خالی جگہوں میں بڑے مارجن کی درجہ بندی تیار کرنے کے لیے نیم معمولی مصنوعات کا اطلاق کیا۔ حال ہی میں، مشین لرننگ کے لیے دانا بناچ خالی جگہوں کو دوبارہ پیش کرنے کے تصور کو قائم کرنے میں نیم معمولی مصنوعات کو مرکزی آلے کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔ نیم معمولی مصنوعات کو فریموں کے نظریہ، بناچ خالی جگہوں کے لیے ریز اڈوں کو قائم کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات فنکشنل تجزیہ بھی دیکھیں