Systems of Logic Based on Ordinals
سسٹمز آف لاجک بیسڈ آن آرڈینلز ریاضی دان ایلن ٹورنگ کا پی ایچ ڈی مقالہ تھا۔ ٹورنگ کا مقالہ کسی نئی قسم کی رسمی منطق کے بارے میں نہیں ہے، اور نہ ہی وہ آرڈینل یا رشتہ دار نمبرنگ سے اخذ کردہ نام نہاد 'رینکڈ منطق' کے نظام میں دلچسپی رکھتے تھے، جس میں سچائی کی ریاستوں کے درمیان تقابلی سچائی کی بنیاد پر موازنہ کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بجائے، ٹورنگ نے کینٹر کے انفنائٹس کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے گوڈیلیئن نامکمل حالت کو حل کرنے کے امکان کی تحقیقات کی۔ اس شرط کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے-محوریات کے محدود سیٹوں والے تمام نظاموں میں، ایک خصوصی یا شرط اظہار کی طاقت اور پروویبلٹی پر لاگو ہوتی ہے۔ کسی کے پاس طاقت ہو سکتی ہے اور کوئی ثبوت نہیں، یا ثبوت اور کوئی طاقت نہیں، لیکن دونوں نہیں۔ مقالہ گوڈل کے نظریہ کے بعد رسمی ریاضیاتی نظاموں کی ایک کھوج ہے۔ گوڈل نے دکھایا کہ کسی بھی رسمی نظام S کے لیے جو ریاضی کی نمائندگی کرنے کے لیے کافی طاقتور ہے، ایک نظریہ G ہے جو درست ہے لیکن نظام ثابت کرنے سے قاصر ہے۔ G کو ثبوت کی جگہ نظام میں ایک اضافی محوری کے طور پر شامل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم اس سے ایک نیا نظام S 'تشکیل پائے گا جس کی اپنی غیر ثابت شدہ حقیقی تھیوریم G' وغیرہ ہوگی۔ ٹورنگ کا مقالہ اس بات پر غور کرتا ہے کہ کیا ہوتا ہے اگر آپ اس عمل کو بار بار دہراتے ہیں، اصل نظریہ میں اضافہ کرنے کے لیے نئے محوروں کا ایک لامحدود مجموعہ تیار کرتے ہیں، اور یہاں تک کہ "ماضی کے لامحدود" جانے کے لیے ٹرانسفائنٹ ریکرشن کا استعمال کرنے میں ایک قدم آگے بڑھتے ہیں، جس سے نئے نظریات Gn کا ایک مجموعہ حاصل ہوتا ہے، جو ہر آرڈینل نمبر n کے لیے ایک ہے۔ مقالہ پرنسٹن میں الونزو چرچ کے تحت مکمل ہوا تھا اور ریاضی میں ایک کلاسک کام تھا جس نے آرڈینل منطق کا تصور متعارف کرایا تھا۔ مارٹن ڈیوس کا کہنا ہے کہ اگرچہ ٹورنگ کا کمپیوٹنگ اوریکل کا استعمال مقالہ کا ایک بڑا مرکز نہیں ہے، لیکن یہ نظریاتی کمپیوٹر سائنس میں انتہائی بااثر ثابت ہوا ہے، جیسے۔ کثیر الجہتی وقت کے درجہ بندی میں۔ حوالہ جات بیرونی لنکس https://rauterberg.employee.id.tue.nl/lecturenotes/DDM110%20CAS/Turing/Turing-1939%20Sysyems%20of%20logic%20based%20on%20ordinals.pdf https://www.dcc.fc.up.pt ~ ACM/ٹیورنگ-phd.pdf https://web.archive.org/web/20121023103503/https:// ویب اسپیس. پرنسٹن. ایڈو/صارفین/جیڈورڈز/ٹیورنگ% 20 سینٹینیل% 202012/مڈ% 20 آرکائیو% 20 فائلیں/12285 _ AC100 _ ٹیورنگ _ 1938. پی ڈی ایف رسمی منطق کے منطق سسٹمز کی تاریخ ایلن ٹیورنگ عام اعداد ریاضی کے کاغذات