Hopfian object
کیٹیگری تھیوری کہلانے والی ریاضی کی شاخ میں، ایک ہاپفین آبجیکٹ ایک ایسی چیز ہے جس میں A کا A پر کوئی بھی ایپیمورفزم لازمی طور پر ایک آٹومورفزم ہے۔ دوہری تصور ایک کوفوفین آبجیکٹ کا ہے، جو ایک آبجیکٹ B ہے اس طرح کہ B سے B میں ہر مونومورفزم لازمی طور پر ایک آٹومورفزم ہے۔ ان دونوں حالات کا مطالعہ گروہوں، رنگوں، ماڈیولز اور ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمروں میں کیا گیا ہے۔ اصطلاحات "ہاپفین" اور "کوفوفین" 1960 کی دہائی سے ابھری ہیں، اور کہا جاتا ہے کہ یہ ہینز ہاپف اور سطحوں کے بنیادی گروہوں پر اپنے کام میں ہاپفین گروپ کے تصور کے ان کے استعمال کے اعزاز میں ہیں۔ خصوصیات دونوں شرائط کو ان کے زمرے میں حد بندی کے حالات کی اقسام کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، Zermelo-Fraenkel سیٹ تھیوری کو انتخاب کے محور کے ساتھ فرض کرتے ہوئے اور سیٹوں کے زمرے میں کام کرتے ہوئے، ہاپفین اور کوفوفین آبجیکٹ قطعی طور پر محدود سیٹ ہیں۔ اس سے یہ دیکھنا آسان ہے کہ تمام محدود گروہ، محدود ماڈیول اور محدود حلقے اپنے زمروں میں ہاپفین اور کوفوفین ہیں۔ ہاپفین آبجیکٹ اور کوفوفین آبجیکٹ پروجیکٹو آبجیکٹ اور انجیکشن آبجیکٹ کے ساتھ ابتدائی تعامل رکھتے ہیں۔ دو نتائج یہ ہیں: ایک انجیکٹو ہاپفین آبجیکٹ کوفوفین ہے۔ ایک پروجیکٹو کوفوفین آبجیکٹ ہوفوفین ہے۔ پہلے بیان کا ثبوت مختصر ہے: فرض کریں کہ A ایک انجیکٹو ہاپفین آبجیکٹ ہے، اور فرض کریں کہ f A سے A تک ایک انجیکٹو مورفزم ہے۔ انجیکشن کے ذریعے، شناخت کے ذریعے ایف عوامل اے پر آئی اے کا نقشہ بناتے ہیں، جس سے مورفزم جی حاصل ہوتا ہے جیسے کہ جی ایف = آئی اے۔ نتیجے کے طور پر، g ایک سرجیکٹو مورفزم ہے اور اس لیے ایک آٹومورفزم ہے، اور پھر f لازمی طور پر g کا الٹا آٹومورفزم ہے۔ اس ثبوت کو دوسرے بیان کو ثابت کرنے کے لیے دوہرا کیا جا سکتا ہے۔ ہاپفین اور کوفوفین گروپس ہاپفین اور کوفوفین ماڈیولز یہاں ماڈیولز کے زمرے میں کئی بنیادی نتائج ہیں۔ یہ خاص طور پر یاد رکھنا ضروری ہے کہ آر آر کا بطور ماڈیول ہاپفین یا کوفوفین ہونا آر کے بطور رنگ ہاپفین یا کوفوفین ہونے سے مختلف ہے۔ ایک نویتھیرین ماڈیول ہاپفین ہے، اور ایک آرٹینین ماڈیول کو ہاپفین ہے۔ ماڈیول آر آر امید افزا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آر براہ راست محدود رنگ ہو۔ متناسب طور پر، یہ دونوں ماڈیول آر آر کے ہاپفین ہونے کے برابر بھی ہیں۔ مذکورہ بالا کے برعکس، آر آر یا آر آر ماڈیول کوفوفین ہو سکتے ہیں یا کسی بھی امتزاج میں نہیں۔ ایک طرف رنگ کوفوفین کی مثال دی گئی تھی لیکن دوسری طرف نہیں۔ تاہم، اگر ان دونوں ماڈیولز میں سے کوئی بھی کوفوفین ہے، تو R دونوں طرف سے ہوفوفین ہے (چونکہ R بائیں یا دائیں ماڈیول کے طور پر پروجیکٹو ہے) اور براہ راست محدود ہے۔ ہاپفین اور کوفوفین بجتی ہیں بجتی کے زمرے میں صورتحال ماڈیولز کے زمرے سے بالکل مختلف ہے۔ اتحاد کے ساتھ رنگوں کے زمرے میں مورفزم شناخت کو محفوظ رکھنے کے لیے ضروری ہیں، یعنی 1 سے 1 بھیجنے کے لیے۔ اگر R آئیڈیلز پر چڑھتے ہوئے سلسلہ کی حالت کو پورا کرتا ہے، تو R ہوپفین ہے۔ یہ نویتھیرین ماڈیولز کی حقیقت کے ساتھ مشابہت سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ تاہم "کوفوفین" کے لیے ہم منصب کا خیال موجود نہیں ہے، کیونکہ اگر f شناخت کو محفوظ رکھنے والے R میں R سے ایک رنگ ہومومورفزم ہے، اور f کی شبیہہ R نہیں ہے، تو شبیہہ یقینی طور پر R کی مثالی نہیں ہے۔ کسی بھی صورت میں، اس سے پتہ چلتا ہے کہ یک طرفہ نویتھیرین یا آرٹینین رنگ ہمیشہ ہوفوفین ہوتا ہے۔ کوئی بھی سادہ رنگ ہاپفین ہوتا ہے، کیونکہ کسی بھی اینڈومورفزم کا دانا ایک آئیڈیل ہوتا ہے، جو ایک سادہ رنگ میں لازمی طور پر صفر ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، میں، غیر الکحل فیلڈ کی ایک مثال دی گئی تھی۔ ایک قابل شمار جہتی ویکٹر اسپیس کی مکمل لکیری رنگ اینڈ ڈی (وی) ایک ہاپفین رنگ ہے جو ایک ماڈیول کے طور پر ہاپفین نہیں ہے، کیونکہ اس میں صرف تین آئیڈلز ہیں، لیکن یہ براہ راست محدود نہیں ہے۔ کاغذ ایک کوفوفین رنگ کی مثال بھی دیتا ہے جو ایک ماڈیول کے طور پر کوفوفین نہیں ہے۔ اس کے علاوہ، یہ بھی دکھایا گیا ہے کہ بولین رنگ R اور اس سے وابستہ اسٹون اسپیس X کے لیے، رنگ R رنگوں کے زمرے میں ہوپفین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X ٹپوولوجیکل اسپیس کے زمرے میں ہوپفین ہو، اور R ایک رنگ کے طور پر ہوپفین ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب X ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کے طور پر ہوپفین ہو۔ ہاپفین اور کوفوفین ٹپوولوجیکل خالی جگہوں میں، کمپیکٹ کئی گنا پر نتائج کا ایک سلسلہ شامل ہے۔ سب سے پہلے، صرف کمپیکٹ کئی گنا جو ہاپفین ہیں وہ محدود مجرد خالی جگہیں ہیں۔ دوسرا، باؤنڈری کے بغیر کمپیکٹ مینیفولڈ ہمیشہ کوفوفین ہوتے ہیں۔ آخر میں، غیر خالی حد کے ساتھ کمپیکٹ کئی گنا کوفوفین نہیں ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط ہاپفین گروپ شریک ہاپفین گروپ زمرہ تھیوری گروپ تھیوری ماڈیول تھیوری رنگ تھیوری