Λ-ring
الجبرا میں، ایک λ-رنگ یا لیمبڈا رنگ ایک مواصلاتی رنگ ہے جس پر کچھ آپریشن λn ہوتے ہیں جو ویکٹر خالی جگہوں کی بیرونی طاقتوں کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ K-تھیوری میں سمجھے جانے والے بہت سے حلقے قدرتی λ-رنگ ڈھانچہ رکھتے ہیں۔ λ-رنگ کثیر الجہتی کے دائرے پر ہم آہنگی افعال کے عمل کا مطالعہ کرنے، بہت سے کلاسیکی نتائج کی بازیابی اور توسیع کے لیے ایک طاقتور رسمی نظام بھی فراہم کرتے ہیں۔ λ-رنگوں کو متعارف کرایا گیا۔ λ-رنگوں کے بارے میں مزید معلومات کے لیے دیکھیں، اور۔ محرک اگر V اور W کسی فیلڈ k پر محدود جہتی ویکٹر خالی جگہیں ہیں، تو ہم براہ راست مجموعہ V ≤ W، ٹینسر پروڈکٹ V ≤ W، اور V کی n-th بیرونی طاقت، λn (V) تشکیل دے سکتے ہیں۔ یہ سب پھر سے k پر محدود جہتی ویکٹر خالی جگہیں ہیں۔ براہ راست مجموعہ، ٹینسر پروڈکٹ اور بیرونی طاقت کے وہی تین آپریشن بھی دستیاب ہوتے ہیں جب کسی محدود گروپ کی k-لکیری نمائندگی کے ساتھ کام کرتے ہیں، جب کسی ٹپوولوجیکل جگہ پر ویکٹر بنڈلوں کے ساتھ کام کرتے ہیں، اور زیادہ عام حالات میں۔ λ-رنگز کو ان تینوں کارروائیوں کی عام الجبرائی خصوصیات کو خلاصہ کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے، جہاں ہم براہ راست سم آپریشن کے حوالے سے رسمی الٹا کی بھی اجازت دیتے ہیں۔ (یہ رسمی الٹا گروتھینڈیک گروپوں میں بھی ظاہر ہوتے ہیں، یہی وجہ ہے کہ زیادہ تر λ-رنگوں کے بنیادی اضافی گروپ گروتھینڈیک گروپ ہیں۔) رنگ میں اضافہ براہ راست رقم سے مطابقت رکھتا ہے، رنگ میں ضرب ٹینسر پروڈکٹ سے مطابقت رکھتی ہے، اور λ-کارروائیاں بیرونی طاقتوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ مثال کے طور پر، آئسومورفزم تمام λ-رنگوں میں درست فارمولے سے مطابقت رکھتا ہے، اور آئسومورفزم تمام λ-رنگوں میں درست فارمولے سے مطابقت رکھتا ہے۔ متوازی لیکن (بہت زیادہ) زیادہ پیچیدہ فارمولے اعلی درجے کے λ-آپریٹرز کو کنٹرول کرتے ہیں۔ ویکٹر بنڈلوں کے ساتھ تحریک اگر ہمارے پاس ہموار اسکیم پر ویکٹر بنڈلوں کی ایک مختصر درست ترتیب ہے تو مقامی طور پر، کافی چھوٹے کھلے پڑوس کے لیے ہمارے پاس آئسومورفزم ہے۔ لہذا ایک λ-رنگ میں بنیادی تعلق کو ظاہر کرتے ہوئے، کہ تعریف A λ-رنگ ایک مواصلاتی رنگ R ہے جس میں کارروائیوں کے ساتھ مل کر λn: R → R ہر غیر منفی عدد n کے لیے۔ ان کارروائیوں کے لیے درج ذیل خصوصیات کی ضرورت ہوتی ہے جو R میں موجود تمام x، y اور تمام n کے لیے درست ہوں، m ≤ 0: λ0 (x) = 1 λ1 (x) = x λn (1) = 0 اگر n ≤ 2 λn (x + y) = σi + j = n λi (x) λj (y) λn (xy) = Pn (λ1 (x)،، λn (λn) ان کثیر الجہتی کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ ای 1،.، ای ایم این متغیر ایکس 1،.، ایکس ایم این میں ابتدائی ہم آہنگ کثیر الجہتی ہیں۔ پھر Pn، m nm متغیرات میں منفرد کثیر الجہتی ہے جس میں انٹیجر گتانک ہوتے ہیں جیسے کہ Pn، m (e1،.، emn) اظہار میں tn کا گتانک ہے (ایسا کثیر الجہتی موجود ہے، کیونکہ اظہار xi میں ہم آہنگ ہے اور ابتدائی ہم آہنگ کثیر الجہتی تمام ہم آہنگ کثیر الجہتی پیدا کرتے ہیں۔) اب فرض کریں کہ e1،.، en متغیر X1،.، Xn اور f1،.، fn میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں جو متغیر Y1،.، Yn میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں۔ پھر Pn 2n متغیرات میں منفرد کثیر الجہتی ہے جس میں انٹیجر گتانک ہوتے ہیں جیسے کہ اظہار تغیرات میں tn کا گتانک ہوتا ہے۔ اوپر بیان کردہ λ-رنگوں کو کچھ مصنفین "خصوصی λ-رنگز" کہتے ہیں، جو زیادہ عام تصور کے لیے "λ-رنگ" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں جہاں λn (1)، λn (xy) اور λm (λn (x)) پر شرائط کو چھوڑ دیا جاتا ہے۔ مثالیں انٹیجرز کی رنگ Z، بائنومیل کوفیشنٹس کے ساتھ بطور آپریشن (جس کی تعریف منفی x کے لیے بھی کی جاتی ہے) ایک λ-رنگ ہے۔ درحقیقت، یہ Z پر واحد λ-ساخت ہے۔ یہ مثال اوپر موٹیویشن سیکشن میں مذکور محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے معاملے سے قریب سے متعلق ہے، ہر ویکٹر کی جگہ کو اس کے طول و عرض سے شناخت کرتی ہے اور اسے یاد رکھتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی بائنومیل رنگ ایک λ-رنگ بن جاتا ہے اگر ہم λ-کارروائیوں کو بائنومیل کوفیشنٹس، λn (x) = () کے طور پر بیان کریں۔ ان λ-رنگوں میں، ایڈمز کے تمام آپریشن شناخت ہیں۔ ٹوپولوجیکل اسپیس X کا K-تھیوری K (X) ایک λ-رنگ ہے، جس میں ویکٹر بنڈل کی بیرونی طاقتوں کو لے کر لیمبڈا آپریشن ہوتے ہیں۔ گروپ G اور بیس فیلڈ k کو دیکھتے ہوئے، نمائندگی کی انگوٹی R (G) ایک λ-رنگ ہے۔ λ-کارروائیاں گروپ G کی k-لکیری نمائندگی کی بیرونی طاقتوں سے متاثر ہوتی ہیں۔ سمیٹرک افعال کی انگوٹی λZ ایک λ-رنگ ہے۔ انٹیجر کوفشنٹس پر λ-کارروائیوں کی وضاحت بائنومیل کوفشنٹس کے ذریعے کی جاتی ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، اور اگر e1، e2،. ابتدائی سمیٹرک افعال کو ظاہر کرتے ہیں، تو ہم λn (e1) = en سیٹ کرتے ہیں۔ λ-کارروائیوں کے لیے محوریات کا استعمال کرتے ہوئے، اور یہ حقیقت کہ افعال ایک الجبرائی طور پر آزاد ہیں اور رنگ λZ پیدا کرتے ہیں، اس تعریف کو ایک منفرد انداز میں بڑھایا جا سکتا ہے تاکہ λZ کو λ-رنگ میں تبدیل کیا جا سکے۔ درحقیقت، یہ ایک جنریٹر پر فری λ-رنگ ہے، جنریٹر e1 ہے۔ ()۔ مزید خصوصیات اور تعریفیں ہر λ-رنگ کی خصوصیت 0 ہوتی ہے اور اس میں λ-رنگ Z بطور λ-سبرنگ ہوتا ہے۔ تبادلہ الجبرہ کے بہت سے تصورات کو λ-رنگوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، λ-رنگ R اور S کے درمیان ایک λ-ہومومورفزم ایک رنگ ہومومورفزم ہے f: R → S اس طرح کہ f (λn (x)) = λn (f (x)) R میں موجود تمام x اور تمام n ≤ 0 کے لیے۔ λ-رنگ R میں ایک λ-مثالی R میں ایک مثالی I ہے جیسے کہ λn (x) εI R میں تمام x اور تمام n ≤ 1 کے لیے۔ اگر x ایک λ-رنگ کا عنصر ہے اور m ایک غیر منفی عدد ہے جیسے کہ تمام n> m کے لیے λm (x)  ऒत्त 0 اور λn (x) = 0، تو ہم مدھم (x) = m لکھتے ہیں اور عنصر x کو محدود جہتی کہتے ہیں۔ تمام عناصر کو محدود جہتی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ہمارے پاس مدھم (x + y) ≤ مدھم (x) + مدھم (y) ہے اور عناصر کا پروڈکٹ ہے۔ چرن کلاس سمیٹرک فنکشن K-تھیوری ایڈمز آپریشن پلیتھسٹک ایکسپونینشل حوالہ جات ایکسپو 0 اور V آف رنگ تھیوری K-تھیوری بھی دیکھیں۔