Lindelöf hypothesis
ریاضی میں، لنڈیلوف مفروضہ فن لینڈ کے ریاضی دان ارنسٹ لیونارڈ لنڈیلوف (دیکھیں) کا ایک قیاس ہے جو تنقیدی لکیر پر ریمن زیٹا فنکشن کی نشوونما کی شرح کے بارے میں ہے۔ یہ مفروضہ ریمن مفروضے سے ظاہر ہوتا ہے۔ یہ کہتا ہے کہ کسی بھی ε> 0 کے لیے، جیسا کہ t انفینیٹی کی طرف جاتا ہے (بگ O نوٹیشن دیکھیں)۔ چونکہ ε کو ایک چھوٹی قدر سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، اس لیے قیاس کو مندرجہ ذیل طور پر دہرایا جا سکتا ہے: کسی بھی مثبت ε کے لیے، μ فنکشن اگر σ حقیقی ہے، تو μ (σ) کو تمام حقیقی اعداد کا لامحدود اس طرح بیان کیا جاتا ہے کہ ζ (σ + iT) = O (Ta)۔ یہ چیک کرنا معمولی بات ہے کہ σ> 1 کے لیے μ (σ) = 0، اور زیٹا فنکشن کی فنکشنل مساوات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ μ (σ) = μ (1−σ) − σ + 1/2۔ Phragmén-Lindelöf تھیوریم کا مطلب ہے کہ μ ایک کنویکس فنکشن ہے۔ لنڈیلف مفروضہ بیان کرتا ہے کہ μ (1/2) = 0، جو کہ μ کی مذکورہ بالا خصوصیات کے ساتھ مل کر یہ ظاہر کرتا ہے کہ μ (σ) σ ≤1/2 کے لیے 0 اور σ ≤1/2 کے لیے 1/2 − σ ہے۔ لنڈیلوف کی کنویکسٹی کا نتیجہ ایک ساتھ مل کر m (1) = 0 اور m (0) = 1/2 کا مطلب ہے کہ 0 ≤ m (1/2) ≤ 1/4۔ 1/4 کی اوپری حد کو ہارڈی اور لٹل ووڈ نے ویل کے اندازا فنکشنل مساوات میں ایکسپونینشل جملوں کا تخمینہ لگانے کے طریقہ کار کو لاگو کرکے 1/6 تک کم کر دیا تھا۔ اس کے بعد سے کئی مصنفین نے اسے لمبا اور تکنیکی ثبوت استعمال کرتے ہوئے 1/6 سے قدرے کم کر دیا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل جدول میں ہے: ریمن مفروضے سے تعلق (1918-1919) سے پتہ چلتا ہے کہ لنڈیلف مفروضہ زیٹا فنکشن کے صفر کے بارے میں درج ذیل بیان کے مساوی ہے: ہر ε> 0 کے لیے، حقیقی حصے کے ساتھ صفر کی تعداد کم از کم 1/2 + ε اور T اور T + 1 کے درمیان خیالی حصہ o (لاگ (T)) ہے کیونکہ T کا رجحان لامحدود ہے۔ ریمن مفروضے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اس خطے میں کوئی صفر نہیں ہیں اور اسی طرح لنڈیلوف مفروضے سے مراد ہے۔ ٹی اور ٹی + 1 کے درمیان خیالی حصے والے صفر کی تعداد او (لاگ (ٹی)) کے طور پر جانی جاتی ہے، اس لیے لنڈیلوف مفروضہ اس سے قدرے زیادہ مضبوط معلوم ہوتا ہے جو پہلے ہی ثابت ہو چکا ہے، لیکن اس کے باوجود اس نے اسے ثابت کرنے کی تمام کوششوں کی مزاحمت کی ہے۔ زیٹا فنکشن کی طاقتوں (یا لمحات) کے ذرائع لنڈیلوف مفروضہ اس بیان کے مساوی ہے کہ تمام مثبت عدد k اور تمام مثبت حقیقی اعداد ε کے لیے۔ یہ k = 1 یا 2 کے لیے ثابت ہوا ہے، لیکن صورت k = 3 بہت مشکل معلوم ہوتی ہے اور اب بھی ایک کھلا مسئلہ ہے۔ انٹیگرل کے ایسمپٹوٹک رویے کے بارے میں ایک بہت زیادہ درست قیاس ہے: یہ خیال کیا جاتا ہے کہ کچھ مستقلات کے لیے سی کے، جے اور ہیئر ایس پی۔ یہ لٹل ووڈ کی طرف سے k = 1 کے لیے اور k = 2 کے لیے ثابت کیا گیا ہے (اس نتیجے کو بڑھاتے ہوئے کہ کس نے اہم اصطلاح پائی)۔ جب k 6 ہوتا ہے تو لیڈنگ کوفشنٹ کے لیے ویلیو تجویز کی، اور اعلی k کے لیے کوفشنٹس کی ویلیوز کے لیے کچھ قیاس آرائیاں تجویز کرنے کے لیے بے ترتیب میٹرکس تھیوری کا استعمال کیا۔ لیڈنگ کوفشنٹس کو ایک ایلیمنٹری فیکٹر کا پروڈکٹ، پرائمز پر ایک مخصوص پروڈکٹ، اور n × n ینگ ٹیبلو کی تعداد سمجھا جاتا ہے جو ترتیب 1، 1، 2، 42، 24024، 701149020 کے ذریعے دی گئی ہے۔ دیگر نتائج pn سے n-th پرائم نمبر کی نشاندہی کرتے ہوئے، البرٹ انگھم کے نتیجے سے پتہ چلتا ہے کہ لنڈیلوف مفروضہ اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ، کسی بھی ε> 0 کے لیے، اگر n کافی بڑا ہے۔ تاہم، یہ نتیجہ بڑے پرائم گیپ قیاس کے مقابلے میں بہت کمزور ہے۔ ریمن زیٹا فنکشن کا تعلق افعال کے ایک زیادہ عام خاندان سے ہے جسے ایل فنکشن کہتے ہیں۔ 2010 میں، پی جی ایل (2) کیس میں ایل فنکشنز کے لیے سب کنویکسٹی تخمینے حاصل کرنے کے نئے طریقے جوزف برنسٹین اور آندرے ریزنیکوف نے اور جی ایل (1) اور جی ایل (2) کیس میں اکشے وینکٹیش اور فلپ مشیل نے اور 2021 میں جی ایل (این) کیس کے لیے پال نیلسن نے دیے تھے۔ نوٹ اور حوالہ جات 2001 پی بی کے ری پرنٹ قیاس زیٹا اور ایل فنکشن نمبر تھیوری میں حل شدہ مسائل تجزیاتی نمبر تھیوری