Mark Naimark
مارک آرونوویچ نیمارک (5 دسمبر 1909-30 دسمبر 1978) ایک سوویت ریاضی دان تھے جنہوں نے فنکشنل تجزیہ اور ریاضیاتی طبیعیات میں اہم شراکت کی۔ لائف نیمارک 5 دسمبر 1909 کو اوڈیسا میں پیدا ہوا تھا، جو جدید دور کے یوکرین کا حصہ ہے، لیکن جو اس وقت روسی سلطنت کا حصہ تھا۔ ان کا خاندان یہودی تھا، ان کے والد آرون آئکوولوچ نیمارک ایک پیشہ ور فنکار تھے، اور ان کی والدہ زیفر موئسوینا تھیں۔ 1914 میں پہلی جنگ عظیم کے آغاز پر ان کی عمر چار سال تھی، اور جب 1917 میں ہنگامہ خیز روسی انقلاب شروع ہوا تو ان کی عمر سات سال تھی۔ ریاضی میں ابتدائی قابلیت کا مظاہرہ کرتے ہوئے، نیمارک نے روسی خانہ جنگی ختم ہونے کے فورا بعد 1924 میں پندرہ سال کی عمر میں ایک تکنیکی کالج میں داخلہ لیا۔ وہاں انہوں نے 1929 میں اوڈیسا انسٹی ٹیوٹ آف نیشنل ایجوکیشن میں فزکس اینڈ میتھمیٹکس فیکلٹی میں داخلہ لینے تک ایک فاؤنڈری میں کام کرتے ہوئے تعلیم حاصل کی۔ انہوں نے 1932 میں اپنی بیوی لاریسا پیٹروونا شچرباکووا سے شادی کی، جن سے ان کے دو بیٹے تھے۔ 1933 میں، نیمارک نے اوڈیسا اسٹیٹ یونیورسٹی میں تھیوری آف فنکشنز کے شعبہ میں گریجویٹ اسٹڈیز کا آغاز کیا۔ ان کی نگرانی فنکشنل تجزیہ کار مارک کرین نے کی، جنہوں نے 1936 میں اپنے امیدوار کا مقالہ مکمل کیا۔ کریین اس وقت بھی ایک نوجوان ریاضی دان تھے، جو نیمارک سے صرف دو سال بڑے تھے، لیکن انہوں نے پہلے ہی فنکشنل تجزیہ میں ایک تحقیقی گروپ بنایا تھا، اور انہوں نے سمیٹرک اور ہرمیٹین شکلوں پر نیمارک کے کچھ ابتدائی کاموں پر مل کر کام کیا۔ 1938 میں نیمارک نے اسٹیکلوف انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس میں اپنی ڈاکٹریٹ کی تعلیم کا آغاز کیا، جہاں انہوں نے سمیٹرک آپریٹرز کی سیلف ایڈجوائنٹ ایکسٹینشنز پر اپنا مشہور کام تیار کیا، اور اسرائیل گیلفنڈ کے ساتھ تعاون شروع کیا جو ایک دہائی سے زیادہ عرصے تک جاری رہا۔ انہوں نے 1941 میں ڈاکٹریٹ کی ڈگری حاصل کی، اور انہیں یو ایس ایس آر اکیڈمی آف سائنسز کے سیسمولوجیکل انسٹی ٹیوٹ میں چیئر بنایا گیا۔ 1941 میں ہٹلر نے سوویت یونین پر حملہ کیا، اور اسی سال یوکرین پر رومانیہ اور جرمنی کا قبضہ نیمارک کے آبائی شہر میں قتل عام کا باعث بنا۔ نیمارک نے جنگ کے دوران خصوصی ڈیوٹی (جسے "ہوم گارڈ" کہا جاتا ہے) میں شمولیت اختیار کی اور لیبر فرنٹ پر کام کیا، 1941 کے آخر میں سیسمولوجیکل انسٹی ٹیوٹ کے ساتھ تاشقند چلا گیا جب نازی فوج نے ماسکو کی طرف پیش قدمی کی، جہاں وہ 1943 تک رہا۔ جنگ کے بعد نیمارک ماسکو واپس آئے، جہاں انہوں نے مختلف اداروں میں کام کیا، اور 1954 میں ماسکو کے فزکو ٹیکنیکل انسٹی ٹیوٹ میں شعبہ ریاضی میں پروفیسر بن گئے۔ انہیں 1962 میں اسٹیکلوف انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس میں پروفیسر مقرر کیا گیا، جہاں وہ اپنے باقی کیریئر کے لیے رہے، اور سات ڈاکٹریٹ کے طالب علموں کی نگرانی کی۔ اپنی آخری کتاب، تھیوری آف گروپ ریپریزنٹیشنز کی تحریر کے دوران، نیمارک خود لکھنے کے لیے بہت بیمار تھا، اور اس لیے اس نے اسے اپنی بیوی کو حکم دے کر مکمل کیا۔ نیمارک طویل علالت کے بعد 69 سال کی عمر میں 30 دسمبر 1978 کو انتقال کر گئے، اور انہیں ماسکو کے کنٹسوو قبرستان میں دفنایا گیا۔ انہوں نے 123 مقالے اور پانچ کتابیں لکھی تھیں۔ نیمارک کے مفادات 1930 کی دہائی میں یو ایس ایس آر میں فنکشنل تجزیہ کے سنہری دور کے دوران تشکیل پائے تھے۔ کریین کے ساتھ ان کے ابتدائی کام میں الجبرائی مساوات کی جڑوں کی علیحدگی کے نظریہ کی ترقی شامل تھی۔ نیمارک نے بھی اس وقت تدریسی تکنیکوں میں دلچسپی لینا شروع کر دی، ایک ایسی دلچسپی جو ان کی ساری زندگی ان کے ساتھ رہی۔ اپنے ڈی ایس سی کے لیے اسٹیکلوف انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس جانے کے بعد۔ نیمارک نے سپیکٹرم تھیوری، سمیٹرک آپریٹرز کی توسیع، اور مقامی طور پر کمپیکٹ آپریٹرز کی نمائندگی کے نظریہ پر گہرائی سے کام کیا۔ 1930 اور 1940 کی دہائیوں میں اسرائیل گیلفینڈ کے ساتھ ان کے تعاون سے فنکشنل تجزیہ میں کئی بنیادی نتائج برآمد ہوئے، جن میں 1943 کا گیلفینڈ-نیمارک تھیوریم اور جی این ایس تھیوریم شامل ہیں۔ دوسری جنگ عظیم میں اپنی خدمات کے دوران نیمارک نے سیسمولوجی پر کئی مقالے لکھے اور عام تفریقی مساوات کے سپیکٹرم تھیوری کو تیار کرنے میں مدد کی۔ انہوں نے خاص طور پر مسلسل سپیکٹرم کے ساتھ دوسرے درجے کے واحد تفریق آپریٹرز پر کام کیا، ان کے سپیکٹرم کے سڑنے کو بیان کرنے اور سپیکٹرم کی انفرادیت کے تصور کا مطالعہ کرنے کے لیے آئجن فنکشنز کا استعمال کیا۔ ان کے نتائج کا خلاصہ مونوگراف لکیری ڈفریینشل آپریٹرز میں کیا گیا ہے، جو 1954 میں شائع ہوا تھا۔ 1956 میں نیمارک نے اپنا مونوگراف نارمڈ رنگز شائع کیا جس نے بناچ الجبرا کا پہلا جامع علاج پیش کیا اور اس میدان کی ترقی میں بہت زیادہ اثر انداز ہوا۔ ان کے 1958 کے مونوگراف لورینٹز گروپ کی لکیری نمائندگی نے ایس ایل (2، سی) سے شروع ہونے والے پیچیدہ کلاسیکی گروپوں کی بنیادی سیریز کی نمائندگی کے نظریہ کو تیار کرنے میں مدد کی۔ زیلوبینکو کے ساتھ انہوں نے بعد میں ان نتائج کو تمام پیچیدہ نیم سادہ جھوٹ گروپوں میں عام کیا۔ 1960 کی دہائی میں نیمارک کے مفادات نے غیر معینہ مدت کے میٹرک کے ساتھ خالی جگہوں میں گروپوں اور الجبرا کی نمائندگی کے نظریہ پر زیادہ توجہ مرکوز کی، جو ان کے آخری (1976) مونوگراف، دی تھیوری آف گروپ ریپریزنٹیشنز کا موضوع بن گیا۔ نیمارک کا نام فنکشنل تجزیہ میں کئی اہم نظریات سے وابستہ ہے: باؤنڈڈ آپریٹرز کے ذریعہ C *-الجیبراس کی نمائندگی پر گیلفینڈ-نیمارک تھیوریم سمیٹرک آپریٹرز کی توسیع پر نیمارک کا ڈائلشن تھیوریم گیلفینڈ-نیمارک-سیگل کنسٹرکشن (جی این ایس کنسٹرکشن) ہلبرٹ اسپیس پر کمپیکٹ آپریٹرز کے لحاظ سے C *-الجیبراس کی ناقابل تلافی نمائندگی پر سائکلک *-نمائندگی اور لکیری فنکشنل کے درمیان ایک خط و کتابت قائم کرتا ہے۔ بناچ کی جگہ پر دو گروپ کی نمائندگی کی نیمارک مساوات منتخب اشاعتیں کلاسیکی گروپوں کی یکطرفہ نمائندگی (آئی ایم گیلفینڈ، 1950 کے ساتھ) لکیری تفریقی آپریٹرز، 1954 نارمڈ رنگز، 1956 لورینٹز گروپ کی لکیری نمائندگی، 1958 تھیوری آف گروپ کی نمائندگی، 1976 (مذکورہ بالا تمام کتابیں روسی زبان میں لکھی گئی تھیں) نیمارک کا مسئلہ نیمارک کا ڈائلشن تھیوریم جی این ایس تھیوریم گیلفینڈ-نیمارک تھیوریم نیمارک مساوات حوالہ جات بیرونی روابط نیمارک، مارک اے نیمارک، مارک اے۔ نیمارک، مارک اے۔ فنکشنل گروپ تھیوریسٹ اوڈیشہ کے یہودی K میں دفن