Hankel transform
ریاضی میں، ہینکل ٹرانسفارم کسی بھی دی گئی فنکشن f (r) کو پہلی قسم کے بےسل افعال کی لامحدود تعداد کے وزن کے مجموعے کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ مجموعہ میں بیسیل افعال تمام ایک ہی ترتیب ν کے ہوتے ہیں، لیکن r محور کے ساتھ اسکیلنگ فیکٹر k میں مختلف ہوتے ہیں۔ مجموعہ میں ہر بیسیل فنکشن کا ضروری گتانک، اسکیلنگ فیکٹر کے فنکشن کے طور پر تبدیل شدہ فنکشن تشکیل دیتا ہے۔ ہینکل تبدیلی ایک لازمی تبدیلی ہے اور اسے سب سے پہلے ریاضی دان ہرمن ہینکل نے تیار کیا تھا۔ اسے فورئیر-بیسل ٹرانسفارم کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ جس طرح ایک لامحدود وقفے کے لیے فورئیر ٹرانسفارم کا تعلق ایک محدود وقفے پر فورئیر سیریز سے ہے، اسی طرح ایک لامحدود وقفے پر ہینکل ٹرانسفارم کا تعلق ایک محدود وقفے پر فورئیر-بیسل سیریز سے ہے۔ تعریف فنکشن f (r) کی ترتیب کا ہینکل ٹرانسفارم اس طرح دیا جاتا ہے کہ پہلی قسم کی ترتیب کا بیسیل فنکشن کہاں ہے۔ کے الٹا ہینکل ٹرانسفارم کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جس کی نیچے بیان کردہ آرتھوگونالیٹی ریلیشن شپ کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے تصدیق کی جا سکتی ہے۔ تعریف کا ڈومین فنکشن f (r) کے ہینکل ٹرانسفارم کو الٹنا ہر اس نقطہ پر درست ہے جس پر f (r) مسلسل ہے، بشرطیکہ فنکشن (0، φ) میں بیان کیا گیا ہو، ٹکڑے ٹکڑے مسلسل ہو اور (0، φ) میں ہر محدود ذیلی وقفے میں پابند تغیر کا ہو، اور تاہم، فورئیر ٹرانسفارم کی طرح، ڈومین کو کثافت دلیل کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے تاکہ کچھ افعال کو شامل کیا جا سکے جن کا اوپر کا انٹیگرل محدود نہیں ہے، مثال کے طور پر۔ متبادل تعریف ایک متبادل تعریف میں کہا گیا ہے کہ g (r) کا ہینکل ٹرانسفارم ہے۔ دو تعریفیں متعلق ہیں: اگر، تو اس کا مطلب یہ ہے کہ، پچھلی تعریف کی طرح، ہینکل ٹرانسفارم کی اس طرح سے تعریف بھی اس کا اپنا الٹا ہے: واضح ڈومین میں اب شرط ہے لیکن اسے بڑھایا جا سکتا ہے۔ اوپر دیئے گئے حوالہ کے مطابق، ہم انٹیگرل کو حد کے طور پر لے سکتے ہیں کیونکہ اوپری حد انفینیٹی (لیبزگ انٹیگرل کے بجائے ایک نامناسب انٹیگرل) تک جاتی ہے، اور اس طرح ہینکل ٹرانسفارم اور اس کا الٹا کام L2 (0، φ) میں تمام افعال کے لیے ہوتا ہے۔ لیپلیس کی مساوات کو تبدیل کرنا ہینکل ٹرانسفارم کو لیپلیس کی مساوات کو تبدیل کرنے اور حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس کا اظہار سلنڈریکل کوآرڈینیٹس میں ہوتا ہے۔ ہینکل ٹرانسفارم کے تحت، بیسیل آپریٹر ایک ضرب بن جاتا ہے۔ محوری ہم آہنگی کے معاملے میں، جزوی تفریق مساوات کو اس طرح تبدیل کیا جاتا ہے جو تبدیل شدہ متغیر میں ایک عام تفریق مساوات ہے۔ آرتھوگونالیٹی بیسیل افعال وزن کے عنصر r کے حوالے سے ایک آرتھوگنل بنیاد بناتے ہیں: پلانچریل تھیوریم اور پارسیول کا تھیوریم اگر f (r) اور g (r) ایسے ہیں کہ ان کا ہینکل تبدیل ہو جاتا ہے اور اچھی طرح سے بیان کیا جاتا ہے، تو پلانچریل تھیوریم پارسیول کے تھیوریم کو بیان کرتا ہے، جو کہ پلانچریل تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ ان نظریات کو آرتھوگونالیٹی پراپرٹی کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ کثیر جہتی فورئیر تبدیلی سے تعلق ہینکل تبدیلی اس وقت ظاہر ہوتی ہے جب کوئی ہائپرسفیرکل نقاط میں کثیر جہتی فورئیر تبدیلی لکھتا ہے، یہی وجہ ہے کہ ہینکل تبدیلی اکثر سلنڈریکل یا کروی توازن کے ساتھ جسمانی مسائل میں ظاہر ہوتی ہے۔ ایک جہتی ویکٹر کے فنکشن پر غور کریں۔ اس کے-جہتی فورئیر ٹرانسفارم کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ اسے ہائپرسفیرکل کوآرڈینیٹس میں دوبارہ لکھنے کے لیے، ہم ہوائی جہاز کی لہر کے سڑنے کو-جہتی ہائپرسفیرکل ہارمونکس میں استعمال کر سکتے ہیں: جہاں اور کہاں-اسپیس اور-اسپیس میں تمام ہائپرسفیرکل زاویوں کے سیٹ ہیں۔ یہ ہائپرسفیرکل کوآرڈینیٹس میں جہتی فورئیر ٹرانسفارم کے لیے درج ذیل اظہار دیتا ہے: اگر ہم توسیع کرتے ہیں اور ہائپرسفیرکل ہارمونکس میں: ہائپرسفیرکل کوآرڈینیٹس میں فورئیر ٹرانسفارم کو آسان بناتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ہائپرسفیرکل ہارمونک کی شکل میں کونیی انحصار کے ساتھ افعال اسے کثیر جہتی فورئیر ٹرانسفارم پر برقرار رکھتے ہیں، جبکہ ریڈیل حصہ ہینکل ٹرانسفارم سے گزرتا ہے (جیسے کچھ اضافی عوامل تک)۔ خاص صورتوں میں فورئیر دو جہتوں میں تبدیل ہوتا ہے اگر ایک دو جہتی فنکشن کو ملٹی پول سیریز میں بڑھایا جاتا ہے، تو اس کا دو جہتی فورئیر ٹرانسفارم-th آرڈر ہینکل ٹرانسفارم کے ذریعے دیا جاتا ہے (اس معاملے میں کونیی رفتار کا کردار ادا کرتا ہے، جسے پچھلے حصے میں ظاہر کیا گیا تھا)۔ اگر تین جہتی فنکشن کو گول ہارمونکس پر ملٹی پول سیریز میں بڑھایا جاتا ہے، تو اس کا تین جہتی فورئیر ٹرانسفارم ترتیب کے ہینکل ٹرانسفارم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ نصف عدد ترتیب کی اس قسم کی ہینکل تبدیلی کو کروی بیسل تبدیلی بھی کہا جاتا ہے۔ جہتوں میں فورئیر ٹرانسفارم (ریڈیل سمیٹرک کیس) اگر کوئی-جہتی فنکشن کونیی نقاط پر منحصر نہیں ہے، تو اس کا-جہتی فورئیر ٹرانسفارم بھی کونیی نقاط پر منحصر نہیں ہے اور اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے جو کہ ایک عنصر تک ترتیب کا ہینکل ٹرانسفارم ہے۔ ایک محدود رداس کے اندر 2D افعال اگر ایک کثیر قطبی سلسلہ میں دو جہتی فعل کو بڑھایا جاتا ہے اور توسیعی گتانک اصل کے قریب کافی ہموار ہوتے ہیں اور رداس کے باہر صفر ہوتے ہیں، تو ریڈیل حصے کو پاور سیریز میں اس طرح بڑھایا جا سکتا ہے کہ دو جہتی فورئیر ٹرانسفارم بن جاتا ہے جہاں آخری مساوات § 6.567.1 کی پیروی کرتی ہے۔ توسیعی گتانک مجرد فورئیر ٹرانسفارم تکنیکوں کے ساتھ قابل رسائی ہیں: اگر ریڈیل فاصلے کو فورئیر-چیبیشیف سیریز کے ساتھ ماپا جائے تو گتانک ظاہر ہوتے ہیں جیسے کہ دوبارہ توسیعی پیداوار کا استعمال کرتے ہوئے اس کے مجموعے کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ یہ تیز ہینکل تبدیلی کی تکنیکوں کا ایک ذائقہ ہے۔ فورئیر اور ایبل ٹرانسفارمز سے تعلق ہینکل ٹرانسفارمز انٹیگرل آپریٹرز کے ایف ایچ اے سائیکل کا ایک رکن ہے۔ دو جہتوں میں، اگر ہم ایبل ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر، فورئیر ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر، اور زیروتھ آرڈر ہینکل ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر بیان کرتے ہیں، تو سرکلر سمیٹرک افعال کے لیے پروجیکشن سلائس تھیوریم کا خاص معاملہ یہ بتاتا ہے کہ دوسرے لفظوں میں، ایبل ٹرانسفارم کو 1 جہتی فنکشن میں لاگو کرنا اور پھر اس نتیجے پر فورئیر ٹرانسفارم کو لاگو کرنا اس فنکشن میں ہینکل ٹرانسفارم کو لاگو کرنے کے مترادف ہے۔ اس تصور کو اعلی جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ عددی تشخیص ہینکل تبدیلی کی عددی تشخیص کے لیے ایک آسان اور موثر نقطہ نظر اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ اسے متغیرات کی لوگرتھمک تبدیلی کے ذریعے ارتقاء کی شکل میں ڈالا جا سکتا ہے۔ ان نئے متغیرات میں، ہینکل تبدیلی پڑھتی ہے جہاں اب تیز فورئیر تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے پیچیدگی کے ساتھ عددی حساب لگایا جا سکتا ہے۔ الگورتھم کو فورئیر ٹرانسفارم کے لیے ایک معروف تجزیاتی اظہار کا استعمال کرتے ہوئے مزید آسان بنایا جا سکتا ہے: پیرامیٹرز کا زیادہ سے زیادہ انتخاب خاص طور پر اس کے ایسمپٹوٹک رویے کی خصوصیات پر منحصر ہوتا ہے اور اس الگورتھم کو "نیم تیز ہینکل ٹرانسفارم"، یا صرف "تیز ہینکل ٹرانسفارم" کے نام سے جانا جاتا ہے۔ چونکہ یہ لوگرتھمک متغیرات میں تیز رفتار فورئیر تبدیلی پر مبنی ہے، اس لیے اسے لوگرتھمک گرڈ پر بیان کرنا پڑتا ہے۔ یکساں گرڈ پر بیان کردہ افعال کے لیے، متعدد دیگر الگورتھم موجود ہیں، جن میں سیدھا چوتھائی، پروجیکشن-سلائس تھیوریم پر مبنی طریقے، اور بیسیل افعال کی ایسمپٹوٹک توسیع کا استعمال کرنے والے طریقے شامل ہیں۔ کچھ ہینکل ٹرانسفارم جوڑے دوسری قسم کا ایک ترمیم شدہ بیسیل فنکشن ہے۔ پہلی قسم کا مکمل ایلیپٹک انٹیگرل ہے۔ یہ اظہار قطبی نقاط میں لیپلیس آپریٹر کے اظہار کے ساتھ موافق ہے جو ایک کروی سمیٹرک فنکشن پر لاگو ہوتا ہے۔ زرنائیک کثیر الجہتی کا ہینکل ٹرانسفارم بنیادی طور پر بیسیل فنکشنز (نول 1976) ہیں: یکساں کے لیے۔ فورئیر ٹرانسفارم انٹیگرل ٹرانسفارم ایبل ٹرانسفارم فورئیر بیسل سیریز نیومن کثیر الجہتی Y اور H ٹرانسفارمز حوالہ جات انٹیگرل ٹرانسفارمز بھی دیکھیں۔