System of imprimitivity
امتیاز کے نظام کا تصور ریاضی میں استعمال ہوتا ہے، خاص طور پر الجبرا اور تجزیہ میں، دونوں گروپ کی نمائندگی کے نظریہ کے تناظر میں۔ اسے جارج میکی نے مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں کی محرک یکطرفہ نمائندگی کے اپنے نظریہ کی بنیاد کے طور پر استعمال کیا تھا۔ سب سے آسان کیس، اور وہ سیاق و سباق جس میں اس خیال کو پہلی بار دیکھا گیا تھا، وہ محدود گروپوں کا ہے (قدیم تعدد گروپ دیکھیں)۔ ایک گروپ G اور ذیلی گروپ H اور K پر غور کریں، جس میں K H میں موجود ہے۔ پھر G میں H کے بائیں کوسیٹ ہر ایک K کے بائیں کوسیٹ کا اتحاد ہیں۔ صرف یہی نہیں، بلکہ G کے کسی بھی عنصر g کا ترجمہ (ایک طرف) اس سڑنے کا احترام کرتا ہے۔ انڈیوسڈ نمائندگی کے ساتھ تعلق یہ ہے کہ کوسیٹس پر پرموٹیشن نمائندگی انڈیوسڈ نمائندگی کا خاص معاملہ ہے، جس میں ایک نمائندگی کو معمولی نمائندگی سے متاثر کیا جاتا ہے۔ اس معاملے میں جامع ساخت، جس کا ترجمہ کے ذریعے احترام کیا جاتا ہے، یہ ظاہر کرتا ہے کہ یا تو K G کا زیادہ سے زیادہ ذیلی گروہ ہے، یا اس میں امتیاز کا ایک نظام ہے (تقریبا، مکمل "اختلاط" کی کمی)۔ دوسرے معاملات میں اس کو عام کرنے کے لیے، تصور کو دوبارہ ظاہر کیا جاتا ہے: پہلے K-کوسیٹ پر G مستقل پر افعال کے لحاظ سے، اور پھر پروجیکشن آپریٹرز کے لحاظ سے (مثال کے طور پر گروپ الجبرا کے عناصر کے K-کوسیٹ پر اوسط)۔ میکی نے اس خیال کو ترتیب کی جگہ پر کام کرنے والے اضافیت گروپوں کے تحفظ پر مبنی کوانٹائزیشن تھیوری کی وضاحت کے لیے بھی استعمال کیا۔ یوجین وگنر اور دیگر کا یہ عمومی کام اور اکثر کینونکل کوانٹائزیشن میں ایک اہم خیال سمجھا جاتا ہے۔ مثال عام تعریفوں کو تحریک دینے کے لیے، محدود گروپوں اور محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں پر ان کی نمائندگی کے معاملے میں، سب سے پہلے ایک تعریف وضع کی جاتی ہے۔ اگر G ایک محدود گروپ ہے اور U ایک محدود جہتی پیچیدہ ویکٹر اسپیس H پر G کی نمائندگی کرتا ہے۔ H کے عناصر پر G کا عمل اس طرح سے H کے ویکٹر ذیلی جگہوں W پر G کے عمل کو جنم دیتا ہے: اگر X H کے ذیلی جگہوں کا ایک مجموعہ ہے جس میں X کے عناصر ذیلی جگہوں پر G کے عمل سے متغیر ہوتے ہیں اور H X کے عناصر کا (اندرونی) الجبرائی براہ راست مجموعہ ہے، یعنی، پھر (U, X) G کے لیے غیر جانبداری کا ایک نظام ہے۔ اوپر کی تعریف میں دو دعووں کو برقرار رکھنا چاہیے: W کے لیے خالی جگہیں W کو H میں پھیلنا چاہیے، اور خالی جگہیں W bul X کو لکیری طور پر آزاد ہونا چاہیے، یعنی، برقرار رکھنا چاہیے۔ اگر X کے عناصر پر G کا عمل عارضی ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ یہ عدم امتیاز کا ایک عارضی نظام ہے۔ اگر G ایک محدود گروپ ہے، G0 G کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ G کی نمائندگی U کو G0 کی نمائندگی V سے اس صورت میں اور صرف اس صورت میں حوصلہ افزائی کی جاتی ہے جب مندرجہ ذیل موجود ہوں: عدم امتیاز کا ایک عارضی نظام (U، X) اور ایک ذیلی جگہ W0 bul X ایسا ہے کہ G0 G کے عمل کے تحت W کا اسٹیبلائزر ذیلی گروپ ہے، یعنی۔ اور V W0 پر G0 کی نمائندگی کے مساوی ہے جو کہ H bul G0 کے لیے Uh | W0 کے ذریعے دی گئی ہے۔ نوٹ کریں کہ اس تعریف کے مطابق، نمائندگی کے درمیان تعلق سے متاثر ہوتا ہے۔ ہم یہ دکھانا چاہیں گے کہ دراصل نمائندگی پر ایک نقشہ سازی ہے جو اس تعلق سے مطابقت رکھتی ہے۔ محدود گروپوں کے لیے کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ نمائندگی U کے کردار پر غور کر کے نمائندگی کے مساوات پر ایک اچھی طرح سے متعین انڈسنگ کنسٹرکشن موجود ہے۔ اگر G کی نمائندگی U کو G0 کی نمائندگی V سے متاثر کیا جاتا ہے، تو اس طرح کردار فنکشن χU (اور اس لیے خود U) کا تعین مکمل طور پر χV سے ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر G کو ایک محدود گروپ مان لیں اور G پر پیچیدہ قدر والے افعال کی جگہ H پر غور کریں۔ H پر G کی بائیں طرف کی باقاعدہ نمائندگی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ اب H کو ایک جہتی خالی جگہوں Wx کا الجبرائی براہ راست مجموعہ سمجھا جا سکتا ہے، x ω G کے لیے، جہاں خالی جگہیں Wx کو Lg سے ترتیب دیا جاتا ہے۔ ناقابل تسخیر کے لامحدود جہتی نظام پچھلے حصے میں دی گئی محدود جہتی تعریف کو عام کرنے کے لیے، H کے ویکٹر سب اسپیس کے سیٹ X کے لیے ایک مناسب متبادل کی ضرورت ہے جو نمائندگی U کے ذریعے پرموٹ کیا جاتا ہے۔ جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، H کی ذیلی جگہوں پر مبنی ایک سادہ نقطہ نظر کام نہیں کرے گا ؛ مثال کے طور پر L2 (R) پر R کی ترجمے کی نمائندگی میں اس لحاظ سے کوئی امتیاز کا نظام نہیں ہے۔ براہ راست رقم کے سڑنے کی صحیح تشکیل پروجیکشن ویلیوڈ اقدامات کے لحاظ سے وضع کی گئی ہے۔ میکی کی اصل تشکیل کا اظہار مقامی طور پر کمپیکٹ سیکنڈ کاؤنٹیبل (ایل سی ایس سی) گروپ جی، ایک معیاری بوریل اسپیس ایکس اور ایک بوریل گروپ ایکشن کے لحاظ سے کیا گیا تھا۔ تعریفیں بہت زیادہ عمومی سیاق و سباق میں دی جا سکتی ہیں، لیکن میکی کے ذریعہ استعمال کیا گیا اصل سیٹ اپ اب بھی کافی عام ہے اور اس میں کم تکنیکی خصوصیات کی ضرورت ہوتی ہے۔ تعریف۔ مان لیں کہ G ایک ایل سی ایس سی گروپ ہے جو ایک معیاری بوریل اسپیس X پر کام کرتا ہے۔ (G، X) پر مبنی بے ضابطگی کا نظام ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس H پر مشتمل ہوتا ہے اور ایک جوڑا جس میں H پر A مضبوطی سے مسلسل یکطرفہ نمائندگی U: g → Ug of G پر مشتمل ہوتا ہے۔ H کے تخمینوں میں اقدار کے ساتھ X کے بوریل سیٹوں پر ایک پروجیکشن ویلیوڈ پیمائش π ؛ جو مثال کو مطمئن کرتی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ تمام g ω G اور G کے بوریل سبسیٹس A کے لیے۔ فرض کریں کہ π (A) کو A کے انڈیکیٹر فنکشن سے ضرب کیا جائے اور Ug آپریٹر ہو۔ پھر (U، π) L2μ (X) پر (G، X) کی بے ضابطگی کا نظام ہے۔ استثنی کے اس نظام کو بعض اوقات استثنی کا کوپمین نظام کہا جاتا ہے۔ ممانعت کے یکساں نظام ایک ممانعت کا نظام ضرب n کا یکساں ہوتا ہے، جہاں 1 ≤ n ≤ ω صرف اس صورت میں اور صرف اس صورت میں جب X پر متعلقہ پروجیکشن ویلیوڈ پیمائش π ضرب n کی یکساں ہو۔ در حقیقت، X بوریل سیٹوں کے قابل شمار جداگانہ خاندان {Xn} 1 ≤ n ≤ ω میں ٹوٹ جاتا ہے جیسے کہ π Xn پر ضرب n کا یکساں ہوتا ہے۔ یہ دکھانا بھی آسان ہے کہ Xn G غیر متغیر ہے۔ لیما۔ امتیاز کا کوئی بھی نظام یکساں نظاموں کا ایک آرتھوگنل براہ راست مجموعہ ہوتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگر X پر G کا عمل عارضی ہے، تو X پر عدم امتیاز کا کوئی بھی نظام یکساں ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر X پر G کا عمل ایرگوڈک ہے (جس کا مطلب ہے کہ X کو X کے غیر متغیر مناسب بوریل سیٹوں سے کم نہیں کیا جا سکتا) تو X پر امتیاز کا کوئی بھی نظام یکساں ہے۔ اب ہم اس بات پر تبادلہ خیال کرتے ہیں کہ کس طرح امتیازی سلوک کے یکساں نظاموں کی ساخت کو اس شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے جو اوپر کی مثال میں دی گئی کوپمین کی نمائندگی کو عمومی بناتا ہے۔ مندرجہ ذیل میں، ہم فرض کرتے ہیں کہ μ ایک معیاری بوریل G-اسپیس X پر ایک σ-لامحدود پیمائش ہے جیسے کہ G کا عمل μ کی پیمائش کلاس کا احترام کرتا ہے۔ یہ حالت غیر متغیر سے کمزور ہے، لیکن یہ اوپر کی مثال میں کوپمین آپریٹر کی طرح یکطرفہ ترجمہ آپریٹر کی تعمیر کے لیے کافی ہے۔ G، μ کی پیمائش کی کلاس کا احترام کرتا ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ ریڈون-نیکوڈیم مشتق ہر g ω G کے لیے اچھی طرح سے متعین ہے، جہاں یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ s کا ایک ورژن ہے جو مشترکہ طور پر بریل پیمائش کے قابل ہے، یعنی بریل پیمائش کے قابل ہے اور (g، x) ω G × X کی تقریبا تمام اقدار کو مطمئن کرتا ہے۔ فرض کریں کہ H ایک علیحدہ ہلبرٹ جگہ ہے، U (H) H پر یکطرفہ آپریٹر۔ ایک یکطرفہ کوکیکل ایک بوریل میپنگ ہے جو تقریبا تمام (g، h، x) کے لیے تقریبا تمام x ωX کے لیے ہے۔ ایک یک جہتی کوکیکل سخت ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مذکورہ بالا تعلقات سب کے لیے ہوں (جی، ایچ، ایکس)۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کسی بھی یک جہتی کوکیکل کے لیے ایک سخت یک جہتی کوکیکل ہوتا ہے جو تقریبا ہر جگہ اس کے برابر ہوتا ہے (وردراجن، 1985)۔ نظریہ۔ وضاحت کریں پھر U ہلبرٹ اسپیس پر G کی یک جہتی نمائندگی ہے۔ مزید برآں، اگر کسی بھی بوریل سیٹ A کے لیے، π (A) پروجیکشن آپریٹر ہے تو (U، π) (G، X) کی امتیاز کا نظام ہے۔ اس کے برعکس، امتیاز کا کوئی بھی یکساں نظام اس شکل کا ہوتا ہے، کسی پیمائش σ-لامحدود پیمائش کے لیے۔ یہ پیمائش مساوات کی پیمائش کرنے کے لیے منفرد ہے، یعنی، ایسی دو پیمائشوں میں پیمائش کے ایک ہی سیٹ 0 ہوتے ہیں۔ عدم امتیاز کے یکساں نظاموں اور کوکیکلز کے درمیان خط و کتابت کے بارے میں بہت کچھ کہا جا سکتا ہے۔ تاہم جب X پر G کا عمل عارضی ہوتا ہے، تو خط و کتابت خاص طور پر واضح شکل اختیار کرتا ہے جو کہ کوکیکل φ کو عمل کے ایک مقررہ نقطہ ذیلی گروپ تک محدود کرکے حاصل کردہ نمائندگی کی بنیاد پر ہوتا ہے۔ ہم اس معاملے پر اگلے حصے میں غور کرتے ہیں۔ مثال ایک علیحدہ ہلبرٹ جگہ H پر (G، X) کی ناممکنیت کا نظام (U، π) تب اور صرف اس صورت میں ناقابل کٹوتی ہے جب تمام آپریٹرز کے تحت صرف بند ذیلی جگہیں UG اور π (A) g کے لیے غیر متغیر ہوں اور G کا عنصر اور X کا A a بوریل ذیلی سیٹ H یا {0} ہوں۔ اگر (U، π) ناقابل کٹوتی ہے، تو π یکساں ہے۔ مزید برآں، پچھلے نظریہ کے مطابق X پر متعلقہ پیمائش ایرگوڈک ہے۔ محرک نمائشیں اگر X ایک بوریل G جگہ اور x bul X ہے، تو فکسڈ پوائنٹ ذیلی گروپ G کا ایک بند ذیلی گروپ ہے۔ چونکہ ہم صرف یہ فرض کر رہے ہیں کہ X پر G کا عمل بوریل ہے، یہ حقیقت غیر معمولی ہے۔ اسے ثابت کرنے کے لیے، کوئی بھی اس حقیقت کو استعمال کر سکتا ہے کہ ایک معیاری بوریل جی-اسپیس کو ایک کمپیکٹ جی-اسپیس میں شامل کیا جا سکتا ہے جس میں عمل مسلسل ہوتا ہے۔ نظریہ۔ فرض کریں کہ G X پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ پھر X پر ایک σ-لامحدود نیم غیر متغیر پیمائش ہے جو مساوات کی پیمائش کرنے کے لیے منفرد ہے (یعنی ایسی کسی بھی دو پیمائشوں میں پیمائش صفر کے ایک ہی سیٹ ہوتے ہیں)۔ اگر φ ایک سخت یکطرفہ کوکیکل ہے تو فکسڈ پوائنٹ ذیلی گروپ Gx پر φ کی پابندی H پر Gx کی ایک بوریل قابل پیمائش یکطرفہ نمائندگی U ہے (یہاں U (H) میں مضبوط آپریٹر ٹوپولوجی ہے)۔ تاہم، یہ معلوم ہے کہ ایک بوریل پیمائش کے قابل یکطرفہ نمائندگی تقریبا ہر جگہ (ہار پیمائش کے حوالے سے) ایک مضبوط مسلسل یکطرفہ نمائندگی کے برابر ہے۔ یہ پابندی کی نقشہ سازی ایک بنیادی خط و کتابت قائم کرتی ہے: نظریہ۔ فرض کریں کہ G X پر عارضی طور پر نیم غیر متغیر پیمائش μ کے ساتھ کام کرتا ہے۔ (G، X) کی عدم امتیاز کے نظاموں کی یک جہتی مساوات کی کلاسوں اور Gx کی نمائندگی کی یک جہتی مساوات کی کلاسوں سے ایک بائیجیکشن ہے۔ مزید برآں، یہ بائیجیکشن ناقابل تخفیف کو برقرار رکھتا ہے، یعنی (G، X) کی ناقابل تسخیر کا ایک نظام ناقابل تخفیف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب Gx کی متعلقہ نمائندگی ناقابل تخفیف ہو۔ Gx کی نمائندگی V کو دیکھتے ہوئے G کی متعلقہ نمائندگی کو V سے متاثر نمائندگی کہا جاتا ہے۔ (وردراجن، 1985) کا نظریہ 6.2 دیکھیں۔ گروپ کی نمائندگی کے نظریے پر اطلاق عدم امتیاز کے نظام قدرتی طور پر ایک گروپ G کی نمائندگی کے تعین میں پیدا ہوتے ہیں جو کہ ایک گروپ H کے ذریعہ ایک ابیلین گروپ N کا نیم براہ راست پروڈکٹ ہے جو N کے آٹومورفزم کے ذریعہ کام کرتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ N G کا ایک عام ذیلی گروپ ہے اور H G کا ایک ذیلی گروپ ہے جیسے کہ G = NH اور N θH = {e} (جس میں e G کا شناختی عنصر ہے)۔ اس کی ایک اہم مثال غیر یکساں لورینٹز گروپ ہے۔ اوپر کے طور پر G، H اور N کو فکس کریں اور X کو N کی کریکٹر اسپیس ہونے دیں۔ خاص طور پر، H تھیوریم کے لحاظ سے X پر عمل کرتا ہے۔ G کی نمائندگی کی یکطرفہ مساوات کی کلاسوں اور (H، X) پر مبنی امتیاز کے نظام کی یکطرفہ مساوات کی کلاسوں کے درمیان ایک باہمی تعامل ہے۔ یہ خط و کتابت باہم جڑنے والے آپریٹرز کو محفوظ رکھتا ہے۔ خاص طور پر، G کی نمائندگی تب اور صرف اس صورت میں ناقابل تلافی ہوتی ہے جب اس سے متعلقہ نظام ناقابل تلافی ہو۔ یہ نتیجہ خاص دلچسپی کا حامل ہوتا ہے جب X پر H کا عمل ایسا ہوتا ہے کہ X پر ہر ایرگوڈک نیم غیر متغیر پیمائش عارضی ہوتی ہے۔ اس صورت میں، اس طرح کی ہر پیمائش نقشے کے ذریعہ X پر ہار پیمائش کی تصویر (ایک مکمل طور پر محدود ورژن) ہے۔ اس صورت میں ایک ضروری شرط یہ ہے کہ H غیر متغیر بوریل سیٹوں کا ایک قابل شمار مجموعہ موجود ہو جو H کے مداروں کو الگ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر R4 کے کردار کی جگہ پر لورینٹز گروپ کے عمل کے لیے یہ معاملہ ہے۔ مثال: ہائزن برگ گروپ ہائزن برگ گروپ اس شکل کے 3 × 3 حقیقی میٹرکس کا گروپ ہے: یہ گروپ کا نیم براہ راست پروڈکٹ ہے اور ابیلین نارمل ذیلی گروپ H میں عام میٹرکس کو [w] اور N میں عام میٹرکس کو [s، t] سے ظاہر کرتا ہے۔ پھر ڈبلیو ٹرانسپوز میٹرکس کے ذریعے ضرب کے ذریعے R2 کے دوہرے پر عمل کرتا ہے۔ یہ ہمیں مدار اور نمائندگی کے نظریہ کا مکمل تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مدار کی ساخت: مدار دو کلاسوں میں آتے ہیں: ایک افقی لکیر جو غیر صفر قدر y0 پر y-محور کو کاٹتی ہے۔ اس صورت میں، ہم اس لائن پر نیم غیر متغیر پیمائش کو لیبسیگ پیمائش کے طور پر لے سکتے ہیں۔ ایکس محور فکسڈ پوائنٹ ذیلی گروپوں پر ایک واحد نقطہ (x0,0): یہ بھی مدار کے لحاظ سے دو کلاسوں میں آتے ہیں: معمولی ذیلی گروپ {0} گروپ H خود درجہ بندی: یہ ہمیں ہائزن برگ گروپ کی تمام ناقابل تلافی نمائندگی کو مکمل طور پر درجہ بندی کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ان کو R − {0} پر مشتمل سیٹ کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ یہ لامحدود جہتی ہیں۔ جوڑے (x0، λ) bul R × R. x0 ایکس محور پر واحد نقطہ مدار کا ابسیسا ہے اور λ H کے دوہرے کا ایک عنصر ہے۔ یہ ایک جہتی ہیں۔ ہم این اور ایچ کیس 1 کی پابندیوں کو بیان کرکے ان نمائندگی کے لیے واضح فارمولے لکھ سکتے ہیں۔ متعلقہ نمائندگی π اس شکل کی ہے: یہ لیبسیگ پیمائش اور کیس 2 کے حوالے سے L2 (R) پر کام کرتا ہے۔ متعلقہ نمائندگی 1 جہتی کردار حوالہ جات جی ڈبلیو میکی، دی تھیوری آف یونٹری گروپ ریپریزنٹیشنز، یونیورسٹی آف شکاگو پریس، 1976 کے ذریعہ دی گئی ہے۔ وی ایس وردراجن، جیومیٹری آف کوانٹم تھیوری، سپرنگر-ورلاگ، 1985۔ ڈیوڈ ایڈورڈز، دی میتھمیٹیکل فاؤنڈیشنز آف کوانٹم میکینکس، سنتھس، جلد 42، نمبر 1/ستمبر، 1979، پی پی۔ 1-70۔ یک جہتی نمائندگی تھیوری ٹوپوولوجیکل گروپس پرموٹیشن گروپس فنکشنل تجزیہ