Directional statistics
دشاتمک اعداد و شمار (سرکلر شماریات یا کروی اعداد و شمار بھی) اعداد و شمار کا ذیلی شعبہ ہے جو سمتوں (یوکلڈین اسپیس، Rn میں یونٹ ویکٹر)، محوروں (Rn میں اصل کے ذریعے لکیریں) یا Rn میں گردشوں سے متعلق ہے۔ زیادہ عام طور پر، دشاتمک اعداد و شمار اسٹیفل کئی گنا سمیت کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا پر مشاہدات سے متعلق ہیں۔ یہ حقیقت کہ 0 ڈگری اور 360 ڈگری ایک جیسے زاویے ہیں، لہذا مثال کے طور پر 180 ڈگری 2 ڈگری اور 358 ڈگری کا سمجھدار اوسط نہیں ہے، ایک مثال فراہم کرتا ہے کہ کچھ قسم کے ڈیٹا کے تجزیے کے لیے خصوصی شماریاتی طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے (اس معاملے میں، کونیی ڈیٹا)۔ اعداد و شمار کی دیگر مثالیں جنہیں دشاتمک سمجھا جا سکتا ہے ان میں عارضی ادوار پر مشتمل اعداد و شمار شامل ہیں (جیسے۔ دن کا وقت، ہفتہ، مہینہ، سال وغیرہ۔ )، کمپاس کی سمت، مالیکیولز میں ڈائی ہیڈرل اینگلز، سمت بندی، گردش وغیرہ۔ سرکلر ڈسٹری بیوشن لائن پر کسی بھی امکانی کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) کو اکائی کے رداس کے دائرے کے گرد "لپیٹا" جا سکتا ہے۔ یعنی، لپیٹے ہوئے متغیر کا پی ڈی ایف ہے۔ اس تصور کو سادہ رقم کی توسیع کے ذریعے کثیر متغیر سیاق و سباق تک بڑھایا جا سکتا ہے جو خصوصیت کی جگہ میں تمام جہتوں کا احاطہ کرتا ہے: جہاں-واں یوکلڈین بیس ویکٹر ہے۔ مندرجہ ذیل حصے کچھ متعلقہ سرکلر تقسیم کو ظاہر کرتے ہیں۔ وان میسس سرکلر ڈسٹری بیوشن ایک سرکلر ڈسٹری بیوشن ہے جسے، کسی بھی دوسرے سرکلر ڈسٹری بیوشن کی طرح، دائرے کے ارد گرد ایک مخصوص لکیری امکانی تقسیم کی لپیٹ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ وان میسس کی تقسیم کے لیے بنیادی لکیری امکان کی تقسیم ریاضیاتی طور پر ناقابل تلافی ہے ؛ تاہم، شماریاتی مقاصد کے لیے، بنیادی لکیری تقسیم سے نمٹنے کی کوئی ضرورت نہیں ہے۔ وان میسس کی تقسیم کی افادیت دو گنا ہے: یہ تمام سرکلر تقسیموں میں سب سے زیادہ ریاضیاتی طور پر قابل رسائی ہے، جس سے آسان شماریاتی تجزیہ کی اجازت ملتی ہے، اور یہ لپٹی ہوئی نارمل تقسیم کا قریب قریب تخمینہ ہے، جو لکیری نارمل تقسیم کے مترادف ہے، کیونکہ یہ بڑی تعداد میں چھوٹے کونیی انحراف کے مجموعے کے لیے محدود معاملہ ہے۔ در حقیقت، وان میسس کی تقسیم کو اکثر "سرکلر نارمل" تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے کیونکہ اس کے استعمال میں آسانی اور لپیٹے ہوئے نارمل تقسیم سے اس کا قریبی تعلق ہے (فشر، 1993)۔ وان میسس کی تقسیم کا پی ڈی ایف یہ ہے: آرڈر 0 کا ترمیم شدہ بیسیل فنکشن کہاں ہے۔ سرکلر یکساں تقسیم سرکلر یکساں تقسیم کا امکان کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس کے بارے میں اوپر وان میسس کے بارے میں بھی سوچا جا سکتا ہے۔ لپیٹے ہوئے نارمل ڈسٹری بیوشن (WN) کی پی ڈی ایف یہ ہے: جہاں μ اور σ بالترتیب غیر لپیٹے ہوئے ڈسٹری بیوشن کا اوسط اور معیاری انحراف ہیں اور جیکوبی تھیٹا فنکشن ہے: کہاں اور لپیٹے ہوئے کاچی ڈسٹری بیوشن لپیٹے ہوئے کاچی ڈسٹری بیوشن (WC) کی پی ڈی ایف یہ ہے: پیمانے کا عنصر کہاں ہے اور چوٹی کی پوزیشن کہاں ہے۔ لپیٹے ہوئے لیوی کی تقسیم لپیٹے ہوئے لیوی کی تقسیم (ڈبلیو ایل) کی پی ڈی ایف یہ ہے: جہاں خلاصہ کی قیمت کو صفر لیا جاتا ہے جب، پیمانے کا عنصر ہوتا ہے اور مقام کا پیمانہ ہوتا ہے۔ پروجیکٹڈ نارمل ڈسٹری بیوشن ایک سرکلر ڈسٹری بیوشن ہے جو ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن کے ساتھ بے ترتیب متغیر کی سمت کی نمائندگی کرتی ہے، جو یونٹ (n-1)-دائرے پر متغیر کے ریڈیل پروجیکشن کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے۔ اس کی وجہ سے، اور عام طور پر استعمال ہونے والی دیگر سرکلر تقسیموں کے برعکس، یہ ہم آہنگ نہیں ہے اور نہ ہی یک جہتی ہے۔ اعلی جہتی کئی گنا پر تقسیم دو جہتی دائرے (جیسے کینٹ کی تقسیم)، این جہتی دائرے (وان میسس-فشر کی تقسیم) یا ٹورس (بائی ویریٹ وان میسس کی تقسیم) پر بھی تقسیم موجود ہیں۔ میٹرکس وان میسس-فشر تقسیم سٹیفل کئی گنا پر ایک تقسیم ہے، اور اسے گردش میٹرکس پر امکان کی تقسیم کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بنگھم تقسیم N طول و عرض میں محوروں پر ایک تقسیم ہے، یا مساوی طور پر، (N−1) جہتی دائرے پر پوائنٹس پر شناخت شدہ اینٹیپوڈز کے ساتھ۔ مثال کے طور پر، اگر N = 2 ہے، تو محور طیارہ میں اصل کے ذریعے غیر ہدایت شدہ لکیریں ہیں۔ اس صورت میں، ہر محور طیارہ میں اکائی کے دائرے کو (جو کہ ایک جہتی دائرہ ہے) دو نکات پر کاٹتا ہے جو ایک دوسرے کے مخالف ہوتے ہیں۔ N = 4 کے لیے، بنگھم تقسیم اکائی کواٹرنیئنز (ورسرز) کی جگہ پر تقسیم ہے۔ چونکہ ایک ورسر گردش میٹرکس سے مطابقت رکھتا ہے، اس لیے N = 4 کے لیے بنگھم ڈسٹری بیوشن کو گردش کی جگہ پر امکانات کی تقسیم کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، بالکل میٹرکس-وون میسس-فشر ڈسٹری بیوشن کی طرح۔ یہ تقسیم مثال کے طور پر ارضیات، کرسٹلگرافی اور بائیو انفارمیٹکس میں استعمال ہوتی ہیں۔ لمحات سرکلر تقسیم کے خام ویکٹر (یا مثلثی) لمحات کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ لمبائی کا کوئی وقفہ کہاں ہے، سرکلر تقسیم کا پی ڈی ایف ہے، اور۔ چونکہ انٹیگرل اتحاد ہے، اور انضمام کا وقفہ محدود ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کسی بھی سرکلر ڈسٹری بیوشن کے لمحات ہمیشہ محدود اور اچھی طرح سے متعین ہوتے ہیں۔ نمونے کے لمحات کو یکساں طور پر بیان کیا جاتا ہے: آبادی کے نتیجے میں آنے والے ویکٹر، لمبائی، اور اوسط زاویہ کو متعلقہ نمونے کے پیرامیٹرز کے ساتھ مشابہت میں بیان کیا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ، اعلی لمحات کی لمبائی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: جبکہ اعلی لمحات کے کونیی حصے صرف ہوتے ہیں۔ تمام لمحات کی لمبائی 0 اور 1 کے درمیان ہوگی۔ مقام اور پھیلاؤ کے اقدامات مرکزی رجحان اور شماریاتی پھیلاؤ کے مختلف اقدامات کو آبادی اور اس آبادی سے تیار کردہ نمونے دونوں کے لیے بیان کیا جا سکتا ہے۔ مرکزی رجحان مقام کی سب سے عام پیمائش سرکلر اوسط ہے۔ آبادی کا سرکلر اوسط محض تقسیم کا پہلا لمحہ ہوتا ہے جبکہ نمونہ کا اوسط نمونے کا پہلا لمحہ ہوتا ہے۔ نمونے کا اوسط آبادی کے اوسط کے غیر جانبدار اندازے کے طور پر کام کرے گا۔ جب ڈیٹا مرکوز ہوتا ہے، تو میڈین اور موڈ کی تعریف لکیری کیس سے مشابہت کے ذریعے کی جا سکتی ہے، لیکن زیادہ منتشر یا ملٹی ماڈل ڈیٹا کے لیے، یہ تصورات مفید نہیں ہیں۔ منتشر سرکلر پھیلاؤ کے سب سے عام اقدامات یہ ہیں: نمونے کے لیے سرکلر تغیر کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: اور آبادی کے لیے دونوں کی اقدار 0 اور 1 کے درمیان ہوں گی۔ 0 اور انفینٹی کے درمیان ویلیوز کے ساتھ۔ معیاری انحراف کی یہ تعریف (تغیر کے مربع جڑ کے بجائے) مفید ہے کیونکہ لپٹی ہوئی معمول کی تقسیم کے لیے، یہ بنیادی معمول کی تقسیم کے معیاری انحراف کا تخمینہ ہے۔ اس لیے یہ سرکلر تقسیم کو معیاری انحراف کی چھوٹی اقدار کے لیے لکیری صورت کی طرح معیاری بنانے کی اجازت دے گا۔ یہ وان میسس کی تقسیم پر بھی لاگو ہوتا ہے جو لپیٹے ہوئے عام تقسیم کو قریب سے ظاہر کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ چھوٹے کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ 0 اور انفینٹی کے درمیان ویلیوز کے ساتھ۔ پھیلاؤ کی یہ پیمائش تغیر کے شماریاتی تجزیے میں مفید پائی جاتی ہے۔ اوسط کی تقسیم N پیمائشوں کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے z کی اوسط قیمت کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جس کا اظہار کہاں یا، متبادل طور پر اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں ایک سرکلر پی ڈی ایف پی (θ) کے لیے اوسط زاویہ () کی تقسیم اس طرح دی جائے گی: جہاں لمبائی کے کسی بھی وقفے پر ہے اور انٹیگرل اس رکاوٹ کے تابع ہے جو مستقل ہے، یا، متبادل طور پر، وہ اور مستقل ہے۔ زیادہ تر سرکلر تقسیم کے لیے اوسط کی تقسیم کا حساب تجزیاتی طور پر ممکن نہیں ہے، اور تغیر کا تجزیہ کرنے کے لیے عددی یا ریاضیاتی تخمینوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ مرکزی حد تھیوریم کا اطلاق نمونے کے ذرائع کی تقسیم پر کیا جا سکتا ہے۔ (مرکزی مضمون: مرکزی حد تھیوریم برائے دشاتمک اعداد و شمار)۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کی تقسیم بڑے نمونے کے سائز کی حد میں دو متغیر عام تقسیم تک پہنچتی ہے۔ فٹ اور اہمیت کی جانچ کی اچھائی چکور ڈیٹا کے لیے-(مثال کے طور پر، کیا یہ یکساں طور پر تقسیم کیا گیا ہے): ممکنہ طور پر ملٹی موڈل ڈیٹا کے لیے یونیموڈل کلسٹر کوئپر کے ٹیسٹ کے لیے ریلی ٹیسٹ۔ سرکلر ارتباط گتانک کمپلیکس نارمل ڈسٹری بیوشن لپیٹے ہوئے حوالہ جات پر مبنی ڈائریکشنل اعدادوشمار کی کتابیں بھی دیکھیں۔ بیٹ شیلٹ، ای۔ سرکلر اعدادوشمار ان بائیولوجی، اکیڈمک پریس، لندن، 1981۔ فشر، این۔ آئی۔، شماریاتی تجزیہ سرکلر ڈیٹا، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1993۔ فشر، این آئی، لیوس، ٹی، ایمبلٹن، بی جے جے۔ کروی ڈیٹا کا شماریاتی تجزیہ، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1993۔ جمالماڈکا ایس راؤ اور سین گپتا اے۔ سرکلر شماریات میں موضوعات، عالمی سائنسی، 2001۔ مارڈیا، کے وی اور جپ پی، ڈائریکشنل شماریات (دوسرا ایڈیشن)، جان ولی اینڈ سنز لمیٹڈ، 2000۔ لی، سی۔ اور ورڈیباؤٹ، ٹی۔، ماڈرن ڈائریکشنل شماریات، سی آر سی پریس ٹیلر اینڈ فرانسس گروپ، 2017۔ شماریاتی ڈیٹا کی اقسام شماریاتی نظریہ امکانات کی تقسیم کی اقسام