Mode (statistics)
اعداد و شمار میں، موڈ وہ قدر ہے جو اکثر ڈیٹا ویلیوز کے سیٹ میں ظاہر ہوتی ہے۔ اگر ایک مجرد بے ترتیب متغیر ہے، تو موڈ وہ قدر ہے جس پر امکانی ماس فنکشن اپنی زیادہ سے زیادہ قیمت (یعنی) لیتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ وہ قدر ہے جس کے نمونے لینے کا سب سے زیادہ امکان ہے۔ شماریاتی اوسط اور میڈین کی طرح، موڈ ایک (عام طور پر) واحد نمبر میں، بے ترتیب متغیر یا آبادی کے بارے میں اہم معلومات کا اظہار کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ موڈ کی عددی قیمت عام تقسیم میں اوسط اور میڈین کی طرح ہی ہوتی ہے، اور یہ انتہائی منحنی تقسیم میں بہت مختلف ہو سکتی ہے۔ موڈ لازمی طور پر کسی دی گئی مجرد تقسیم کے لیے منفرد نہیں ہے، کیونکہ امکانی ماس فنکشن کئی نکات وغیرہ پر ایک ہی زیادہ سے زیادہ قدر لے سکتا ہے۔ سب سے زیادہ انتہائی معاملہ یکساں تقسیم میں ہوتا ہے، جہاں تمام اقدار یکساں طور پر کثرت سے ہوتی ہیں۔ مسلسل امکان کی تقسیم کا ایک طریقہ اکثر کوئی بھی قدر سمجھا جاتا ہے جس پر اس کے امکان کثافت فنکشن کی مقامی طور پر زیادہ سے زیادہ قیمت ہوتی ہے۔ جب مسلسل تقسیم کے امکانی کثافت فنکشن میں متعدد مقامی میکسیما ہوتے ہیں تو تمام مقامی میکسیما کو تقسیم کے طریقوں کے طور پر حوالہ دینا عام بات ہے، لہذا کوئی بھی چوٹی ایک موڈ ہے۔ اس طرح کی مسلسل تقسیم کو ملٹی موڈل (یونیموڈل کے برخلاف) کہا جاتا ہے۔ سمیٹرک یونوموڈل ڈسٹری بیوشن میں، جیسے کہ نارمل ڈسٹری بیوشن، اوسط (اگر متعین کیا جائے)، میڈین اور موڈ سب ایک ساتھ ہوتے ہیں۔ نمونوں کے لیے، اگر یہ معلوم ہو کہ وہ متناسب یک جہتی تقسیم سے تیار کیے گئے ہیں، تو نمونے کا مطلب آبادی کے انداز کے تخمینے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نمونے کا طریقہ نمونے کا طریقہ وہ عنصر ہے جو جمع کرنے میں اکثر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، نمونے کا طریقہ [1، 3، 6، 6، 6، 6، 7، 7، 12، 12، 17] 6 ہے۔ اعداد و شمار کی فہرست [1، 1، 2، 4، 4] کو دیکھتے ہوئے اس کا طریقہ منفرد نہیں ہے۔ ایسی صورت میں ڈیٹا سیٹ کو بموڈل کہا جاتا ہے، جبکہ دو سے زیادہ طریقوں والے سیٹ کو ملٹی ماڈل کہا جا سکتا ہے۔ مسلسل تقسیم کے نمونے کے لیے، جیسے کہ [0.935.، 1.211.، 2.430.، 3.668.، 3.874.]، تصور اپنی خام شکل میں ناقابل استعمال ہے، کیونکہ کوئی بھی دو اقدار بالکل ایک جیسی نہیں ہوں گی، اس لیے ہر قیمت بالکل ایک بار ہوگی۔ بنیادی تقسیم کے طریقے کا اندازہ لگانے کے لیے، معمول کا عمل یہ ہے کہ اعداد و شمار کو مساوی فاصلے کے وقفوں پر فریکوئنسی ویلیوز تفویض کرکے، جیسا کہ ہسٹوگرام بنانے کے لیے، مؤثر طریقے سے اقدار کو وقفوں کے درمیانی نکات سے تبدیل کیا جائے۔ اس کے بعد موڈ وہ قدر ہے جہاں ہسٹوگرام اپنے عروج پر پہنچ جاتا ہے۔ چھوٹے یا درمیانی سائز کے نمونوں کے لیے اس طریقہ کار کا نتیجہ وقفے کی چوڑائی کے انتخاب کے لیے حساس ہے اگر بہت تنگ یا بہت چوڑا منتخب کیا جائے۔ عام طور پر کسی کے پاس ڈیٹا کا ایک بڑا حصہ نسبتا کم تعداد میں وقفوں (5 سے 10) میں مرکوز ہونا چاہیے، جبکہ ان وقفوں سے باہر آنے والے ڈیٹا کا حصہ بھی بڑا ہوتا ہے۔ ایک متبادل نقطہ نظر دانا کثافت کا تخمینہ ہے، جو ممکنہ کثافت فنکشن کا مسلسل تخمینہ تیار کرنے کے لیے بنیادی طور پر نقطہ نمونوں کو دھندلا دیتا ہے جو موڈ کا تخمینہ فراہم کر سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل MATLAB (یا آکٹیو) کوڈ کی مثال نمونے کے موڈ کا حساب لگاتی ہے: X = ترتیب (x) ؛% x ایک کالم ویکٹر ڈیٹا سیٹ انڈیکس ہے = تلاش کریں (فرق ([X ؛ ریلیمکس])> 0) ؛% انڈیکس جہاں بار بار اقدار تبدیل ہوتی ہیں [موڈ ایل، i] = زیادہ سے زیادہ (فرق ([0 ؛ انڈیکس]) ؛ بار بار اقدار کے موڈ کی% طویل ترین استقامت لمبائی = X (انڈیکس (i)) ؛ الگورتھم کو نمونے کو چڑھتے ہوئے ترتیب میں ترتیب دینے کے لیے پہلے مرحلے کے طور پر درکار ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ ترتیب شدہ فہرست کے مجرد مشتق کا حساب لگاتا ہے، اور ان اشاریوں کو تلاش کرتا ہے جہاں یہ مشتق مثبت ہے۔ اگلا یہ اشاریہ جات کے اس سیٹ کے مجرد مشتق کا حساب لگاتا ہے، اشاریہ جات کے اس مشتق کا زیادہ سے زیادہ پتہ لگاتا ہے، اور آخر میں ترتیب شدہ نمونے کا اندازہ اس مقام پر کرتا ہے جہاں یہ زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے، جو بار بار اقدار کے پھیلاؤ کے آخری رکن سے مطابقت رکھتا ہے۔ اوسط، میڈین اور موڈ کا موازنہ استعمال اوسط اور میڈین کے برعکس، موڈ کا تصور "برائے نام ڈیٹا" کے لیے بھی معنی رکھتا ہے (یعنی، اوسط کے معاملے میں عددی اقدار پر مشتمل نہیں، یا یہاں تک کہ میڈین کے معاملے میں ترتیب شدہ اقدار پر مشتمل نہیں)۔ مثال کے طور پر، کوریائی خاندانی ناموں کا نمونہ لیتے ہوئے، یہ پایا جا سکتا ہے کہ "کم" کسی بھی دوسرے نام سے زیادہ کثرت سے آتا ہے۔ پھر "کم" نمونے کا طریقہ ہوگا۔ کسی بھی ووٹنگ کے نظام میں جہاں کثرت فتح کا تعین کرتی ہے، ایک واحد موڈل ویلیو فاتح کا تعین کرتی ہے، جبکہ ملٹی موڈل نتیجہ کے لیے کچھ ٹائی بریکنگ طریقہ کار کی ضرورت ہوگی۔ میڈین کے برعکس، موڈ کا تصور ویکٹر اسپیس سے اقدار کو فرض کرنے والے کسی بھی بے ترتیب متغیر کے لیے معنی رکھتا ہے، بشمول حقیقی اعداد (ایک جہتی ویکٹر اسپیس) اور انٹیجرز (جنہیں حقیقی میں سرایت شدہ سمجھا جا سکتا ہے)۔ مثال کے طور پر، طیارہ میں پوائنٹس کی تقسیم میں عام طور پر ایک اوسط اور ایک موڈ ہوگا، لیکن میڈین کا تصور لاگو نہیں ہوتا ہے۔ جب ممکنہ اقدار پر لکیری آرڈر ہوتا ہے تو میڈین سمجھ میں آتا ہے۔ میڈین سے لے کر اعلی جہتی خالی جگہوں کے تصور کی عمومی شکلیں ہندسی میڈین اور مرکز نقطہ ہیں۔ انفرادیت اور تعریف کچھ امکانات کی تقسیم کے لیے، متوقع قدر لامحدود یا غیر متعین ہو سکتی ہے، لیکن اگر اس کی وضاحت کی جائے تو یہ منفرد ہے۔ ایک (محدود) نمونے کا اوسط ہمیشہ متعین کیا جاتا ہے۔ میڈین وہ قدر ہے جو اس سے زیادہ نہ ہونے والے اور اس سے نیچے نہ آنے والے حصوں میں سے ہر ایک کم از کم 1/2 ہو۔ یہ لازمی طور پر منفرد نہیں ہے، لیکن کبھی بھی لامحدود یا مکمل طور پر غیر متعین نہیں ہے۔ اعداد و شمار کے نمونے کے لیے یہ "نصف" قدر ہوتی ہے جب اقدار کی فہرست کو بڑھتی ہوئی قیمت میں ترتیب دیا جاتا ہے، جہاں عام طور پر یکساں لمبائی کی فہرست کے لیے عددی اوسط کو "نصف" کے قریب دو اقدار میں سے لیا جاتا ہے۔ آخر میں، جیسا کہ پہلے کہا گیا ہے، موڈ لازمی طور پر منفرد نہیں ہے۔ بعض پیتھولوجیکل تقسیم (مثال کے طور پر، کینٹر کی تقسیم) کا کوئی متعین طریقہ نہیں ہے۔ ایک محدود ڈیٹا نمونے کے لیے، موڈ نمونے میں موجود اقدار میں سے ایک (یا زیادہ) ہوتا ہے۔ وضاحتیں فرض کرتے ہوئے، اور سادگی کی انفرادیت کے لیے، درج ذیل کچھ انتہائی دلچسپ خصوصیات ہیں۔ تینوں اقدامات میں درج ذیل خاصیت ہوتی ہے: اگر بے ترتیب متغیر (یا نمونے سے ہر قدر) لکیری یا افائن تبدیلی کے تابع ہے، جس کی جگہ لے لیتا ہے، تو اسی طرح اوسط، میڈین اور موڈ بھی ہیں۔ انتہائی چھوٹے نمونوں کے علاوہ، موڈ "آؤٹ لیئرز" (جیسے کبھی کبھار، نایاب، غلط تجرباتی ریڈنگ) کے لیے غیر حساس ہے۔ آؤٹ لیئر کی موجودگی میں میڈین بھی بہت مضبوط ہوتا ہے، جبکہ اوسط کافی حساس ہوتا ہے۔ مسلسل غیر معمولی تقسیم میں میڈین اکثر اوسط اور موڈ کے درمیان ہوتا ہے، تقریبا ایک تہائی راستہ اوسط سے موڈ میں جاتا ہے۔ فارمولے میں، میڈین ≈ (2 × اوسط + موڈ)/3۔ یہ قاعدہ، کارل پیئرسن کی وجہ سے، اکثر قدرے غیر ہم آہنگ تقسیموں پر لاگو ہوتا ہے جو معمول کی تقسیم سے ملتے جلتے ہیں، لیکن یہ ہمیشہ درست نہیں ہوتا ہے اور عام طور پر تینوں اعداد و شمار کسی بھی ترتیب میں ظاہر ہو سکتے ہیں۔ یونیموڈل ڈسٹری بیوشن کے لیے، موڈ اوسط کے معیاری انحراف کے اندر ہوتا ہے، اور موڈ کے بارے میں جڑ کا اوسط مربع انحراف معیاری انحراف اور دوگنا معیاری انحراف کے درمیان ہوتا ہے۔ منحرف تقسیم کی مثال منحرف تقسیم کی ایک مثال ذاتی دولت ہے: بہت کم لوگ بہت امیر ہوتے ہیں، لیکن ان میں سے کچھ انتہائی امیر ہوتے ہیں۔ تاہم، بہت سے لوگ کافی غریب ہیں۔ تقسیم کی ایک معروف کلاس جسے من مانی طور پر سکیو کیا جا سکتا ہے لاگ نارمل ڈسٹری بیوشن کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ عام تقسیم والے بے ترتیب متغیر کو بے ترتیب متغیر میں تبدیل کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔ پھر بے ترتیب متغیر کا لوگارتھم عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، لہذا یہ نام ہے۔ کا اوسط μ کو 0 لیتے ہوئے، کا میڈین 1 ہوگا، جو اس کے معیاری انحراف σ سے آزاد ہوگا۔ ایسا اس لیے ہے کیونکہ اس کی متناسب تقسیم ہے، اس لیے اس کا میڈین بھی 0 ہے۔ سے میں تبدیلی مونوٹونک ہے، اور اس لیے ہم اس کے لیے میڈین تلاش کرتے ہیں۔ جب معیاری انحراف σ = 0.25 ہوتا ہے، تو کی تقسیم کمزور ہوتی ہے۔ لاگ نارمل ڈسٹری بیوشن کے لیے فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں: درحقیقت، میڈین اوسط سے موڈ کے راستے میں تقریبا ایک تہائی ہے۔ جب ایک بڑا معیاری انحراف ہوتا ہے، تو کی تقسیم مضبوطی سے منحرف ہوتی ہے۔ اب یہاں، پیئرسن کا انگوٹھے کا اصول ناکام ہو جاتا ہے۔ وان زوئیٹ کی حالت وان زوئیٹ نے ایک عدم مساوات حاصل کی جو اس عدم مساوات کو برقرار رکھنے کے لیے کافی شرائط فراہم کرتی ہے۔ عدم مساوات کا طریقہ ≤ میڈین ≤ مین برقرار رہتا ہے اگر F (میڈین-) + F (میڈین +) ≤ 1 ان سب کے لیے جہاں F () تقسیم کا مجموعی تقسیم فنکشن ہے۔ یونیموڈل تقسیم یہ ایک یونیموڈل تقسیم کے لیے دکھایا جا سکتا ہے کہ میڈین اور اوسط (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 ایک دوسرے کے معیاری انحراف کے اندر ہیں۔ علامتوں میں، مطلق قدر کہاں ہے۔ میڈین اور موڈ کے درمیان اسی طرح کا تعلق ہے: وہ ایک دوسرے کے 31/2 ≈ 1.732 معیاری انحراف کے اندر ہیں: تاریخ اصطلاح موڈ 1895 میں کارل پیئرسن سے شروع ہوتی ہے۔ پیئرسن اصطلاح موڈ کو زیادہ سے زیادہ آرڈینٹ کے ساتھ بدل کر استعمال کرتا ہے۔ ایک فوٹ نوٹ میں وہ کہتے ہیں، "میں نے زیادہ سے زیادہ فریکوئنسی کے آرڈینٹ کے مطابق ابسیسا کے لیے ٹرم موڈ استعمال کرنا آسان پایا ہے۔" ارگ میکس مرکزی رجحان وضاحتی اعداد و شمار مومنٹ (ریاضی) خلاصہ اعداد و شمار یونیموڈل فنکشن حوالہ جات بیرونی لنکس A گائیڈ ٹو انڈرسٹینڈ اینڈ کیلکولیٹنگ دی موڈ مین، میڈین اینڈ موڈ مختصر ابتدائی ویڈیو از خان اکیڈمی کا مطلب خلاصہ شماریات مضامین مثال کے طور پر MATLAB/آکٹیو کوڈ