Split-quaternion
تجریدی الجبرا میں، تقسیم کواٹرنیئنز یا کواٹرنیئنز ایک الجبرائی ڈھانچہ بناتے ہیں جسے جیمز کاکل نے 1849 میں مؤخر الذکر کے نام سے متعارف کرایا تھا۔ وہ حقیقی اعداد پر طول و عرض چار کا ایک ملحقہ الجبرا بناتے ہیں۔ 20 ویں صدی میں رنگوں اور الجبرا کی کوآرڈینیٹ فری تعریفوں کے تعارف کے بعد، یہ ثابت ہوا کہ اسپلٹ کواٹرنیئنز کا الجبرا حقیقی میٹرکس کے رنگ کے لیے آئسومورفک ہے۔ لہذا تقسیم شدہ چوتھائیوں کے مطالعہ کو حقیقی میٹرکس کے مطالعہ تک کم کیا جا سکتا ہے، اور اس سے یہ واضح ہو سکتا ہے کہ 20 ویں اور 21 ویں صدی کے ریاضیاتی ادب میں تقسیم شدہ چوتھائیوں کے بہت کم ذکر کیوں ہیں۔ تعریف تقسیم کواٹرنیئنز چار بنیادی عناصر کے لکیری امتزاج (حقیقی گتانک کے ساتھ) ہیں جو مندرجہ ذیل پروڈکٹ کے اصولوں کو پورا کرتے ہیں:،،،۔ ایسوسی ایٹیویٹی سے، ان تعلقات کا مطلب ہے، اور بھی۔ تو، تقسیم کواٹرنیئنز ایک بنیاد کے طور پر طول و عرض چار کی ایک حقیقی ویکٹر جگہ بناتے ہیں۔ وہ تمام تقسیم شدہ چوتھائیوں میں تقسیم کے ذریعے مذکورہ بالا پروڈکٹ کے اصولوں کو بڑھا کر ایک غیر متغیر رنگ بھی بناتے ہیں۔ آئیے مربع میٹرکس پر غور کریں وہ اسی ضرب کی میز کو مطمئن کرتے ہیں جیسا کہ متعلقہ تقسیم کواٹرنیئنز۔ چونکہ یہ میٹرکس دو بائی دو میٹرکس کی بنیاد بناتے ہیں، اس لیے منفرد لکیری فنکشن جو (بالترتیب) نقشہ بناتی ہے وہ تقسیم کواٹرنیئنز سے دو بائی دو حقیقی میٹرکس میں الجبرا آئسومورفزم کو جنم دیتی ہے۔ مندرجہ بالا ضرب کے قوانین کا مطلب یہ ہے کہ آٹھ عناصر اس ضرب کے تحت ایک گروپ بناتے ہیں، جو ڈائیڈرل گروپ D4 کے لیے آئسومورفک ہے، جو ایک مربع کا سمیٹری گروپ ہے۔ درحقیقت، اگر کوئی کسی ایسے مربع پر غور کرتا ہے جس کے عمودی حصے وہ نکات ہیں جن کے نقاط ہیں یا، میٹرکس ایک موڑ کے چوتھائی حصے کی گھڑی کی سمت گردش ہے، تو یہ پہلے اخترن کے ارد گرد کی ہم آہنگی ہے، اور محور کے ارد گرد کی ہم آہنگی ہے۔ خصوصیات 1843 میں ہیملٹن کے متعارف کردہ کواٹرنیئنز کی طرح، وہ ایک چار جہتی حقیقی ایسوسی ایٹیو الجبرا بناتے ہیں۔ لیکن 2 × 2 میٹرکس کے حقیقی الجبرا کی طرح-اور کواٹرنیئنز کے حقیقی الجبرا کے برعکس-تقسیم شدہ کواٹرنیئنز میں غیر معمولی صفر تقسیم کار، نیل پوٹینٹ عناصر، اور آئیڈیم پوٹینٹس ہوتے ہیں۔ (مثال کے طور پر، ایک آئیڈیمپوٹینٹ زیرو ڈیوائزر ہے، اور نیلپوٹینٹ ہے۔) حقیقی اعداد پر الجبرہ کے طور پر، تقسیم شدہ کواٹرنیئنز کا الجبرا 2 × 2 حقیقی میٹرکس کے الجبرا کے لیے اوپر بیان کردہ آئسومورفزم کے لحاظ سے آئسومورفک ہے۔ یہ آئسومورفزم ہر تقسیم کواٹرنیئن کو 2 × 2 میٹرکس کے ساتھ شناخت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ لہذا اسپلٹ کواٹرنیئنز کی ہر خاصیت میٹرکس کی اسی طرح کی خاصیت سے مطابقت رکھتی ہے، جسے اکثر مختلف نام دیا جاتا ہے۔ اسپلٹ کواٹرنیئن کا کنجوگیٹ ہے۔ میٹرکس کے لحاظ سے، کنجوگیٹ کوفیکٹر میٹرکس ہے جو اخترن اندراجات کے تبادلے اور دیگر دو اندراجات کے نشان کو تبدیل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ اس کے کنجوگیٹ کے ساتھ اسپلٹ کواٹرنیئن کا پروڈکٹ آئسوٹروپک کواٹرٹک فارم ہے: جسے اسپلٹ کواٹرنیئن کا معیار یا متعلقہ میٹرکس کا تعین کنندہ کہا جاتا ہے۔ تقسیم شدہ کواٹرنیئن کا حقیقی حصہ ہے۔ یہ متعلقہ میٹرکس کے ٹریس کے برابر ہے۔ دو تقسیم شدہ چوتھائیوں کے پروڈکٹ کا معیار ان کے اصولوں کا پروڈکٹ ہے۔ مساوی طور پر، میٹرکس کے پروڈکٹ کا تعین کنندہ ان کے تعین کنندگان کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ تقسیم کواٹرنیئنز اور 2 × 2 میٹرکس ایک کمپوزیشن الجبرا بناتے ہیں۔ چونکہ غیر صفر اسپلٹ کواٹرنیئنز ہوتے ہیں جن کا معیار صفر ہوتا ہے، اسپلٹ کواٹرنیئنز ایک "اسپلٹ کمپوزیشن الجبرا" بناتے ہیں-اسی لیے ان کا نام ہے۔ غیر صفر معیار کے ساتھ ایک تقسیم کواٹرنیئن کا ضرب الٹا ہوتا ہے، یعنی۔ میٹرکس کے لحاظ سے، یہ کریمر اصول کے مساوی ہے جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایک میٹرکس الٹا ہے اگر اور صرف اس کا تعین کنندہ غیر صفر ہو، اور، اس صورت میں، میٹرکس کا الٹا تعین کنندہ کے ذریعہ کوفیکٹر میٹرکس کا حصّہ ہے۔ تقسیم کواٹرنیئنز اور 2 × 2 میٹرکس کے درمیان آئسومورفزم سے پتہ چلتا ہے کہ غیر صفر معیار کے ساتھ تقسیم کواٹرنیئنز کا ضرب گروپ آئسومورفک ہے اور معمول کے تقسیم کواٹرنیئنز کا گروپ پیچیدہ میٹرکس کے طور پر نمائندگی کے ساتھ آئسومورفک ہے۔ پیچیدہ اندراجات کے ساتھ میٹرکس کے یونیٹل ایسوسی ایٹیو سب الجبرہ کے طور پر تقسیم کواٹرنیئنز کی نمائندگی ہوتی ہے۔ اس نمائندگی کی تعریف الجبرا ہومومورفزم سے کی جا سکتی ہے جو میٹرکس میں ایک تقسیم کواٹرنین کا نقشہ بناتا ہے۔ یہاں، (اٹالک) خیالی اکائی ہے، جسے تقسیم کواٹرنین بیس عنصر (سیدھا رومن) کے ساتھ الجھن میں نہ ڈالا جائے۔ اس ہومومورفزم کی شبیہہ میٹرکس کی انگوٹی ہے جو اس شکل کے میٹرکس سے بنتی ہے جہاں سپر اسکرپٹ ایک پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ یہ ہومومورفزم میٹرکس پر بالترتیب اسپلٹ کواٹرنیئنز کا نقشہ بناتا ہے اس بات کا ثبوت کہ یہ نمائندگی ایک الجبرا ہومومورفزم ہے سیدھا ہے لیکن اس کے لیے کچھ بورنگ حسابات کی ضرورت ہوتی ہے، جن سے اسپلٹ کواٹرنیئنز کے اظہار سے حقیقی میٹرکس کے طور پر شروع کر کے، اور میٹرکس مماثلت کا استعمال کر کے بچا جا سکتا ہے۔ آئیے میٹرکس بنیں پھر، اسپلٹ کواٹرنیئنز کی نمائندگی پر حقیقی میٹرکس کے طور پر لاگو ہوتا ہے، مندرجہ بالا الجبرا ہومومورفزم میٹرکس کی مماثلت ہے۔ یہ تقریبا فوری طور پر اس بات کی پیروی کرتا ہے کہ ایک پیچیدہ میٹرکس کے طور پر پیش کردہ تقسیم شدہ کواٹرنیئن کے لیے، کنجوگیٹ کوفیکٹرز کا میٹرکس ہے، اور معیار تعین کنندہ ہے۔ پیچیدہ میٹرکس کے طور پر تقسیم شدہ کواٹرنیئنز کی نمائندگی کے ساتھ۔ معیار کے کواٹرنیئنز کے میٹرکس بالکل خصوصی یکطرفہ گروپ ایس یو (1,1) کے عناصر ہیں۔ یہ ہائپربولک جیومیٹری میں پوئن کیری ڈسک ماڈل کی ہائپربولک حرکتوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اسپلٹ کمپلیکس نمبروں سے جنریشن اسپلٹ کواٹرنیئنز ایل ای ڈکسن اور ایڈرین البرٹ کے طریقہ کار کی طرح ترمیم شدہ کیلی ڈکسن تعمیر کے ذریعے پیدا کیا جا سکتا ہے۔ ڈویژن الجبراس C، H، اور O کے لیے۔ ضرب کا اصول اس وقت استعمال ہوتا ہے جب حقیقی تقسیم کے معاملات میں دوگنا پروڈکٹ تیار کیا جاتا ہے۔ دوگنا کنجوگیٹ تاکہ اگر a اور b اسپلٹ کمپلیکس نمبرز اور اسپلٹ کواٹرنیئن ہیں تو اسٹریٹیفیکیشن اس حصے میں، ایک واحد اسپلٹ کواٹرنیئن سے پیدا ہونے والے حقیقی ذیلی الجبروں کا مطالعہ اور درجہ بندی کی جاتی ہے۔ ایک تقسیم شدہ کواٹرنیئن ہونے دیں۔ اس کا اصل حصہ ہے۔ اس کا غیر حقیقی حصہ بننے دیں۔ ایک کے پاس ہے، اور اس لیے اس کے بعد یہ ایک حقیقی عدد ہے اگر اور صرف ایک حقیقی عدد (اور) ہو یا خالصتا غیر حقیقی تقسیم شدہ کواٹرنیئن (اور) ہو۔ اس سے پیدا ہونے والی ذیلی الجبرا کی ساخت سیدھی سی ہے۔ ایک کے پاس ہے اور یہ ایک تبادلہ الجبرہ ہے۔ اس کا طول و عرض دو ہے سوائے اس کے کہ اگر حقیقی ہے (اس صورت میں، ذیلی الجبرا سادہ ہے)۔ جن غیر حقیقی عناصر کا مربع حقیقی ہے ان کی شکل تین صورتوں کے ساتھ ہوتی ہے جن پر غور کرنا ہوتا ہے، جن کی تفصیل اگلے ذیلی حصوں میں دی گئی ہے۔ نیل پوٹینٹ کیس مندرجہ بالا اشارے کے ساتھ، اگر (یعنی، اگر نیل پوٹینٹ ہے)، تو، یعنی، اس کا مطلب یہ ہے کہ وہاں موجود ہے اور اس طرح اور یہ ان تمام تقسیم شدہ چوتھائیوں کا ایک پیرامیٹریزیشن ہے جن کا غیر حقیقی حصہ نیل پوٹینٹ ہے۔ یہ دائرے کے نکات کے لحاظ سے ان ذیلی الجبروں کی ایک پیرامیٹرائزیشن بھی ہے: شکل کے تقسیم-کواٹرنیئنز ایک دائرہ بناتے ہیں ؛ نیلپوٹینٹ عنصر سے پیدا ہونے والا ذیلی الجبرا دائرے کا بالکل ایک نقطہ پر مشتمل ہوتا ہے ؛ اور دائرے میں کوئی دوسرا نقطہ نہیں ہوتا ہے۔ نیل پوٹینٹ عنصر سے پیدا ہونے والا الجبرا دوہری اعداد کے سطح کے لیے اور اس کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ ڈی کمپوز ایبل کیس یہ وہ معاملہ ہے جہاں۔ اس کے بعد مساوات کی دو چادروں کے ہائپربولائڈ سے تعلق رکھتا ہے لہذا، حقیقی اعداد ایسے ہیں کہ اور یہ تمام تقسیم شدہ چوتھائیوں کا ایک پیرامیٹریزیشن ہے جس کے غیر حقیقی حصے میں مثبت معیار ہوتا ہے۔ یہ دو چادروں کے ہائپربولائڈ کے مخالف نکات کے جوڑوں کے ذریعہ متعلقہ ذیلی الجبراس کی ایک پیرامیٹرائزیشن بھی ہے: شکل کے تقسیم کواٹرنیئنز دو چادروں کا ہائپربولائڈ بناتے ہیں۔ مثبت معیار کے غیر حقیقی حصے کے ساتھ تقسیم کواٹرنیئن کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی الجبرا اس ہائپربولائڈ پر بالکل دو مخالف نکات پر مشتمل ہوتا ہے، ہر شیٹ پر ایک ؛ اور ہائپربولائڈ میں کوئی دوسرا نقطہ نہیں ہوتا ہے۔ مثبت معیار کے غیر حقیقی حصے کے ساتھ تقسیم کواٹرنیئن سے پیدا ہونے والا الجبرا پیچیدہ اعداد کے میدان کے لیے اور اس کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ ناقابل تلافی معاملہ یہ وہ معاملہ ہے جہاں۔ اس کے بعد مساوات کی ایک شیٹ کے ہائپربولائڈ سے تعلق رکھتا ہے۔ لہذا، حقیقی اعداد ایسے ہیں کہ اور یہ ان تمام تقسیم شدہ چوتھائیوں کا ایک پیرامیٹریزیشن ہے جن کے غیر حقیقی حصے کا منفی معیار ہے۔ یہ ایک شیٹ کے ہائپربولائڈ کے مخالف نکات کے جوڑوں کے ذریعہ متعلقہ ذیلی الجبراس کی ایک پیرامیٹرائزیشن بھی ہے: فارم کے تقسیم کواٹرنیئنز ایک شیٹ کا ہائپربولائڈ بناتے ہیں۔ منفی معیار کے غیر حقیقی حصے کے ساتھ تقسیم کواٹرنیئن کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی الجبرا اس ہائپربولائڈ پر بالکل دو مخالف نکات پر مشتمل ہوتا ہے۔ اور ہائپربولائڈ میں کوئی دوسرا نقطہ نہیں ہوتا ہے۔ تقسیم کواٹرنیئن کی طرف سے پیدا کردہ الجبرا منفی معیار کے غیر حقیقی حصے کے ساتھ تقسیم پیچیدہ نمبروں کی انگوٹی کے لیے اور اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ جیسا کہ اوپر دیکھا گیا ہے، معیار کے خالص غیر حقیقی تقسیم کواٹرنیئنز ایک شیٹ کا ہائپربولائڈ، دو شیٹس کا ہائپربولائڈ اور غیر حقیقی کواٹرنیئنز کی جگہ میں ایک سرکلر شنک بناتے ہیں۔ یہ سطحیں جوڑی کے لحاظ سے غیر متصل ہوتی ہیں اور ایک دوسرے کو نہیں کاٹتی ہیں۔ ان کی تکمیل چھ جڑے ہوئے علاقوں پر مشتمل ہوتی ہے: دو شیٹس کے ہائپربولائڈ کے کنکیو سائیڈ پر واقع دو علاقے، جہاں دو شیٹس کے ہائپربولائڈ اور شنک کے درمیان دو علاقے ہوتے ہیں، جہاں شنک اور ایک شیٹ کے ہائپربولائڈ کے درمیان کا خطہ جہاں ایک شیٹ کے ہائپربولائڈ سے باہر کا خطہ ہوتا ہے، جہاں اس درجہ بندی کو ایک مقررہ معیار کے تقسیم کواٹرنیئنز پر غور کرکے بہتر بنایا جا سکتا ہے: ہر حقیقی تعداد کے لیے معمول کے خالص غیر حقیقی تقسیم کواٹرنیئنز ایک ہائپربولائڈ بناتے ہیں۔ یہ تمام ہائپربولائڈز مندرجہ بالا شنک سے غیر متصل ہیں، اور ان میں سے کوئی بھی سطح کسی دوسرے کو نہیں کاٹتی ہے۔ چونکہ خالص غیر حقیقی تقسیم کواٹرنیئنز کا مجموعہ ان سطحوں کا جداگانہ اتحاد ہے، اس لیے یہ مطلوبہ درجہ بندی فراہم کرتا ہے۔ کلر اسپیس اسپلٹ کواٹرنیئنز کا اطلاق رنگین توازن پر کیا گیا ہے۔ ماڈل سے مراد الجبرہ کی نمائندگی کرنے والے سمیٹرک میٹرکس کے جارڈن الجبرا ہیں۔ یہ ماڈل ٹرائکرومیسی کو ہیرنگ کی مخالفیت کے ساتھ ملاتا ہے اور رنگین فاصلے کے لیے ہائپربولک جیومیٹری کے کیلی-کلین ماڈل کا استعمال کرتا ہے۔ تاریخی نوٹ کوکواٹرنیئنز کو ابتدائی طور پر (اس نام کے تحت) 1849 میں جیمز کاکل نے لندن-ایڈنبرگ-ڈبلن فلسفیانہ میگزین میں متعارف کرایا تھا۔ کاکل کے تعارفی مقالے کو کواٹرنیئن سوسائٹی کی 1904 کی کتابچہ نگاری میں یاد کیا گیا۔ الیگزینڈر میک فارلن نے 1900 میں پیرس میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں تقریر کرتے ہوئے اسپلٹ کواٹرنیئن ویکٹروں کی ساخت کو ایک کروی نظام قرار دیا۔ میکفرلین نے بلیٹن آف دی کواٹرنیئن سوسائٹی میں 1910 کے مضمون "یونیفیکیشن اینڈ ڈیولپمنٹ آف دی پرنسپلز آف دی الجبری آف اسپیس" میں "ہائپربولائڈل ہم منصب کو کروی تجزیہ" سمجھا۔ اکائی دائرے پر 1910 میں ہنس بیک نے غور کیا تھا۔ مثال کے طور پر، ڈائیڈرل گروپ صفحہ 419 پر ظاہر ہوتا ہے۔ تقسیم شدہ چوتھائی ڈھانچے کا ذکر اینلز آف میتھمیٹکس میں بھی مختصر طور پر کیا گیا ہے۔ مترادفات پیرا کواٹرنیئنز (ایوانوف اور زمکووی 2005، موہاؤپٹ 2006) پیرا کواٹرنیئنک ڈھانچوں کے ساتھ مینیفولڈز کا مطالعہ تفریقی جیومیٹری اور سٹرنگ تھیوری میں کیا جاتا ہے۔ پیرا کواٹرنیئنک ادب میں، کی جگہ لے لی گئی ہے۔ ایکسپریکل سسٹم (میکفرلین 1900) اسپلٹ کواٹرنیئنز (روزن فیلڈ 1988) اینٹیکواٹرنیئنز (روزن فیلڈ 1988) سیوڈوکواٹرنیئنز (یاگلوم 1968 روزن فیلڈ 1988) پالی میٹرکس اسپلٹ-بائیکواٹرنیئنز اسپلٹ-آکٹونیئنز ڈوئل کواٹرنیئنز حوالہ جات مزید پڑھیں بروڈی، ڈورجے سی، اور ایوا-ماریا گریف۔ "پیچیدہ میکانکس اور کوکواٹرنیئنز پر"۔ جرنل آف فزکس اے: ریاضیاتی اور نظریاتی 44.7 (2011): 072001۔ ایوانوف، اسٹیفن ؛ زمکووئے، سائمن (2005)، "پیراہیرمیٹین اینڈ پیراکواٹرنیئنک مینیفولڈز"، ڈفریینشیل جیومیٹری اینڈ ایٹس ایپلی کیشنز 23، پی پی۔ 205-234،،۔ موہاؤپت، تھامس (2006)، "خصوصی جیومیٹری میں نئی پیش رفت"،۔ اوزڈیمیر، ایم۔ (2009) "دی روٹس آف اے اسپلٹ کواٹرنیئن"، اپلائیڈ میتھمیٹکس لیٹرز 22:258-63۔ اوزڈیمیر، ایم اینڈ اے ایرگن (2006) "منکوسکی 3-اسپیس میں ٹائم لائک کواٹرنیئنز کے ساتھ گردش"، جرنل آف جیومیٹری اینڈ فزکس 56:322-36۔ پوگوروئی، اناتولی اور ریمن ایم روڈریگز-ڈگنینو (2008) کوکواٹرنیئن الجبرا کی کچھ الجبرائی اور تجزیاتی خصوصیات، اپلائیڈ کلفورڈ الجیبراس میں پیش رفت۔ ساخت الجیبراس کواٹرنیئنز ہائپربولک جیومیٹری خصوصی اضافیت