Menelaus's theorem
یوکلیڈین جیومیٹری میں، مینیلاس تھیوریم، جسے اسکندریہ کے مینیلاس کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، طیارہ جیومیٹری میں مثلث کے بارے میں ایک تجویز ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک مثلث ہے، اور ایک ٹرانسورسل لائن ہے جو بالترتیب پوائنٹس پر عبور کرتی ہے، جس سے الگ ہے۔ تھیوریم کے ایک کمزور ورژن میں کہا گیا ہے کہ جہاں "| |" مطلق قدر کی نشاندہی کرتا ہے (یعنی تمام حصوں کی لمبائی مثبت ہوتی ہے)۔ تھیوریم کو حصوں کی دستخط شدہ لمبائی کے بارے میں بیان میں مضبوط کیا جا سکتا ہے، جو کالینیئر پوائنٹس کی متعلقہ ترتیب کے بارے میں کچھ اضافی معلومات فراہم کرتا ہے۔ یہاں، لمبائی کو مثبت یا منفی اس کے مطابق لیا جاتا ہے کہ آیا لکیر کی کسی مقررہ سمت میں بائیں یا دائیں طرف ہے۔ مثال کے طور پر، جب درمیان ہو تو مثبت قدر اور بصورت دیگر منفی ہونے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مینیلاؤس تھیوریم کے دستخط شدہ ورژن میں مساوی طور پر کہا گیا ہے، کچھ مصنفین عوامل کو مختلف طریقے سے منظم کرتے ہیں اور بظاہر مختلف تعلق حاصل کرتے ہیں لیکن چونکہ ان میں سے ہر ایک عنصر اوپر کے متعلقہ عنصر کا منفی ہے، اس لیے تعلق ایک جیسا نظر آتا ہے۔ اس کے برعکس بھی درست ہے: اگر پوائنٹس کو بالترتیب اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ وہ کالینیئر ہوں۔ اس کے برعکس اکثر نظریہ کے حصے کے طور پر شامل کیا جاتا ہے۔ (نوٹ کریں کہ کمزور، غیر دستخط شدہ بیان کا الٹا ہونا لازمی طور پر درست نہیں ہے۔) یہ نظریہ سیوا کے نظریہ سے بہت ملتا جلتا ہے کہ ان کی مساوات صرف علامت میں مختلف ہوتی ہیں۔ کراس تناسب کے لحاظ سے ہر ایک کو دوبارہ لکھنے سے، دونوں نظریات کو پروجیکٹو ڈوئل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ثبوت ایک معیاری ثبوت سب سے پہلے، بائیں ہاتھ کی طرف کا نشان منفی ہوگا کیونکہ یا تو تینوں تناسب منفی ہیں، وہ صورت جہاں لکیر مثلث (نچلے خاکہ) سے چھوٹ جاتی ہے، یا ایک منفی ہے اور دیگر دو مثبت ہیں، وہ صورت جہاں مثلث کے دو اطراف کو عبور کرتا ہے۔ (پاسچ کا محور دیکھیں۔) شدت کی جانچ کرنے کے لیے، لکیر سے عمودی بنائیں اور ان کی لمبائی بالترتیب ہونے دیں۔ پھر اسی طرح کے مثلثوں کے ذریعہ یہ اس طرح ہوتا ہے کہ، لہذا، شدت کی جانچ کرنے کے لیے ایک آسان، اگر کم متناسب طریقے کے لیے، جہاں ملتا ہے اس کے متوازی کھینچیں۔ پھر اسی طرح کے مثلثوں سے اور نتیجہ ان مساوات کو ختم کرنے کے بعد آتا ہے۔ اس کے برعکس ایک نتیجہ کے طور پر ہوتا ہے۔ آئیے لکیروں پر دیے جائیں تاکہ مساوات برقرار رہے۔ وہ نقطہ بننے دیں جہاں سے گزرتا ہے۔ پھر نظریہ کے مطابق، مساوات بھی اس کے لیے ہوتی ہے۔ دونوں کا موازنہ کرتے ہوئے، لیکن زیادہ سے زیادہ ایک نقطہ کسی حصے کو دیئے گئے تناسب میں کاٹ سکتا ہے لہذا ہم جنس پرستی کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت مندرجہ ذیل ثبوت صرف افائن جیومیٹری کے تصورات کا استعمال کرتا ہے، خاص طور پر ہم جنس پرستی۔ چاہے کالینیئر ہوں یا نہ ہوں، مراکز کے ساتھ تین ہم جنستیں ہیں جو بالترتیب بھیجتے ہیں، بھیجتے ہیں اور بھیجتے ہیں۔ تینوں کی ساخت پھر ہم جنس پرستی کے ترجمے کے گروپ کا ایک عنصر ہے جو طے کرتا ہے، لہذا یہ مرکز کے ساتھ ہم جنس پرستی ہے، ممکنہ طور پر تناسب 1 کے ساتھ (ایسی صورت میں یہ شناخت ہے)۔ یہ ترکیب لکیر کو صرف اس صورت میں طے کرتی ہے جب اس کے ساتھ ہم آہنگ ہو (چونکہ پہلے دو ہم جنس پرست یقینی طور پر ٹھیک ہوتے ہیں، اور تیسرا ایسا صرف اس صورت میں کرتا ہے جب اس پر پڑا ہو)۔ لہذا کالینیئر ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ترکیب شناخت ہو، جس کا مطلب ہے کہ تین تناسبوں کے پروڈکٹ کی شدت 1 ہے: جو دی گئی مساوات کے مساوی ہے۔ تاریخ یہ غیر یقینی ہے کہ اصل میں تھیوریم کس نے دریافت کیا ؛ تاہم، سب سے قدیم موجودہ نمائش مینیلاؤس کے کرہ ارض میں ظاہر ہوتی ہے۔ اس کتاب میں، تھیوریم کے پلین ورژن کو تھیوریم کے کروی ورژن کو ثابت کرنے کے لیے لیما کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔ الماجسٹ میں، ٹولیمی نے اس نظریہ کو کروی فلکیات کے متعدد مسائل پر لاگو کیا ہے۔ اسلامی سنہری دور کے دوران، مسلم اسکالرز نے متعدد کام وقف کیے جو منیلوس کے نظریہ کے مطالعہ میں مصروف تھے، جسے انہوں نے "دی پروپوزیشن آن دی سیکنٹس" (شکل القتا) کہا۔ مکمل چوطرفہ کو ان کی اصطلاحات میں "فیگر آف سیکنٹس" کہا جاتا تھا۔ البیرونی کا کام، فلکیات کی کلیدیں، ان میں سے متعدد کاموں کی فہرست دیتا ہے، جن کی درجہ بندی مطالعات میں بطلیموس کے الماجسٹ پر تبصرے کے حصے کے طور پر کی جا سکتی ہے جیسا کہ النیرزی اور الخزین کے کاموں میں جہاں ہر ایک نے منیلوس کے نظریہ کے مخصوص واقعات کا مظاہرہ کیا جس کی وجہ سے سائن رول ہوا، یا آزاد مقالہ جات کے طور پر تشکیل شدہ کام جیسے: تھبیت ابن قرعہ کی تحریر کردہ "ٹریٹائز آن دی فگر آف سیکنٹس" (رسالہ فائی شکیل القتا)۔ حسن الدین سالار کی رازوں کی شکل کے اسرار سے پردہ ہٹانا (کاشف القیقہ 'ایک اسرار الشکال القطۃ')، جسے "دی بک آن دی فگر آف سیکنٹس" (کتاب الشکال القطۃ) بھی کہا جاتا ہے یا یورپ میں مکمل چوطرفہ پر مقالہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ گمشدہ مقالے کا حوالہ شراف الدین التسی اور ناصر الدین التسی نے دیا تھا۔ السیجی کا کام۔ طہدیب "از ابو نصر ابن عراق۔ روشدی رشید اور اتھانیس پاپاڈوپولوس، مینیلاؤس کی گولیاں: ابتدائی ترجمہ اور المہانی/الحراوی کا ورژن (تاریخی اور ریاضیاتی تبصروں کے ساتھ عربی نسخوں سے مینیلاؤس کی گولیوں کا تنقیدی ایڈیشن)، ڈی گروئٹر، سیریز: سائنٹیا گریکو عربیکا، 21، 2017، 890 صفحات۔ حوالہ جات بیرونی روابط مینیلاؤس تھیوریم کا متبادل ثبوت، پلینیٹ میتھ مینیلاؤس سے سیوا سیوا اور مینیلاؤس میٹ آن دی روڈز مینیلاؤس اور سیوا میتھ پیجز ڈیمو آف مینیلاؤس تھیوریم بذریعہ جے ویرینڈورف۔ وولفرم مظاہرے کا منصوبہ۔ مثلث کے بارے میں افائن جیومیٹری کے نظریات ثبوت پر مشتمل مضامین یوکلڈین طیارہ جیومیٹری