Representation theory of SU(2)
جھوٹ گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ کے مطالعہ میں، ایس یو (2) کی نمائندگی کا مطالعہ نیم سادہ جھوٹ گروپوں کی نمائندگی کے مطالعہ کے لیے بنیادی ہے۔ یہ ایک لائ گروپ کا پہلا معاملہ ہے جو ایک کمپیکٹ گروپ اور غیر ایبلین گروپ دونوں ہے۔ پہلی شرط کا مطلب ہے کہ نمائندگی کا نظریہ مجرد ہے: نمائندگی بنیادی ناقابل تلافی نمائندگی کے مجموعے کے براہ راست مجموعے ہیں (پیٹر ویل تھیوریم کے زیر انتظام)۔ دوسرے کا مطلب یہ ہے کہ 1 سے زیادہ طول و عرض میں ناقابل تلافی نمائشیں ہوں گی۔ ایس یو (2) ایس او (3) کا عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ ہے، اور اس لیے اس کی نمائندگی کے نظریہ میں مؤخر الذکر کا نظریہ شامل ہے، جو اس کے لیے ایک سرجیکٹو ہومومورفزم ہے۔ یہ نظریاتی طبیعیات میں غیر رشتہ دار اسپن کی وضاحت کے لیے ایس یو (2) کی اہمیت کو واضح کرتا ہے ؛ دیگر جسمانی اور تاریخی سیاق و سباق کے لیے نیچے دیکھیں۔ جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے، ایس یو (2) کی محدود جہتی ناقابل کٹوتی نمائندگی ایک غیر منفی عدد کے ذریعہ انڈیکس کی جاتی ہیں اور ان کا طول و عرض ہوتا ہے۔ طبیعیات کے ادب میں، نمائندگی کو مقدار کے ذریعہ لیبل کیا جاتا ہے، جہاں پھر یا تو ایک عدد یا نصف عدد ہوتا ہے، اور طول و عرض ہوتا ہے۔ جھوٹ الجبرا کی نمائندگی گروپ کی نمائندگی ایس یو (2) کے جھوٹ الجبرا کی نمائندگی پر غور کرکے پائی جاتی ہے۔ چونکہ گروپ ایس یو (2) سیدھا جڑا ہوا ہے، اس لیے اس کے لائ الجبرا کی ہر نمائندگی کو گروپ کی نمائندگی میں ضم کیا جا سکتا ہے۔ ہم ذیل میں گروپ کی سطح پر نمائندگی کی واضح تعمیر دیں گے۔ حقیقی اور پیچیدہ جھوٹ الجبرا حقیقی جھوٹ الجبرا کی ایک بنیاد ہوتی ہے (یہ بنیادی میٹرکس پاؤلی میٹرکس سے منسلک ہوتے ہیں اور) میٹرکس کواٹرنیئنز کی نمائندگی کرتے ہیں: روایتی 2 × 2 شناختی میٹرکس کہاں ہے: نتیجتا، میٹرکس کے کمیونیٹر بریکٹ مطمئن ہوتے ہیں اس کے بعد پیچیدہ جھوٹ الجبرا میں منتقل ہونا آسان ہوتا ہے (ٹریس صفر کے ساتھ اسکیو سیلف ایڈجوائنٹ میٹرکس اور ٹریس صفر کے ساتھ سیلف ایڈجوائنٹ میٹرکس ٹریس صفر کے ساتھ تمام میٹرکس دیتا ہے۔) جب تک ہم حقیقی سے پیچیدہ ہونے والے اس حصے پر نمائندگی کے ساتھ کام کر رہے ہیں، لائ الجبرا بے ضرر ہے۔ پیچیدگی کی طرف بڑھنے کی وجہ یہ ہے کہ یہ ہمیں ایک ایسی قسم کی اچھی بنیاد بنانے کی اجازت دیتا ہے جو حقیقی جھوٹ الجبرا میں موجود نہیں ہے۔ پیچیدہ لائ الجبرا تین عناصر کے ذریعہ پھیلا ہوا ہے، اور، واضح طور پر، گروپ کے ضرب کی میز کا غیر معمولی/غیر یکساں حصہ ہے جہاں 2 × 2 تمام صفر میٹرکس ہے۔ لہذا ان کے تبادلوں کے تعلقات 2 کے عنصر تک ہوتے ہیں، عناصر، اور ان کی شناخت بالترتیب کونیی مومنٹم آپریٹرز، اور کے ساتھ کی جا سکتی ہے۔ 2 کا عنصر ریاضی اور طبیعیات کے کنونشنوں کے درمیان ایک تضاد ہے۔ ہم آنے والے نتائج میں دونوں کنونشنوں کا ذکر کرنے کی کوشش کریں گے۔ وزن اور نمائندگی کی ساخت اس ترتیب میں، کے لیے آئجن ویلیوز کو نمائندگی کے وزن کے طور پر حوالہ دیا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل ابتدائی نتیجہ تجزیہ میں ایک اہم قدم ہے۔ فرض کریں کہ یہ آئجین ویلیو کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر ہے، یعنی، پھر دوسرے الفاظ میں، یا تو صفر ویکٹر ہے یا آئجین ویلیو کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر ہے اور یا تو صفر ہے یا آئجین ویلیو کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر ہے۔ اس طرح، آپریٹر ایک ریزنگ آپریٹر کے طور پر کام کرتا ہے، وزن میں 2 کا اضافہ کرتا ہے، جبکہ کم کرنے والے آپریٹر کے طور پر کام کرتا ہے۔ فرض کریں کہ اب یہ پیچیدہ لائ الجبرا کی ایک ناقابل تلافی، محدود جہتی نمائندگی ہے۔ اس کے بعد صرف محدود طور پر بہت سی آئجن ویلیوز ہو سکتی ہیں۔ خاص طور پر، اس پراپرٹی کے ساتھ کچھ حتمی آئجن ویلیو ہونی چاہیے جو آئجن ویلیو نہیں ہے۔ آئیے اس آئجین ویلیو کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر بنیں تو ہمارے پاس ہونا چاہیے یا پھر مندرجہ بالا شناخت ہمیں بتائے گی کہ یہ آئجین ویلیو کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر ہے۔ اب، اگر صفر ویکٹر نہیں ہے، تو یہ آئجن ویلیو کے ساتھ ایک آئجن ویکٹر ہے کیونکہ، ایک بار پھر، صرف محدود طور پر بہت سے آئجن ویکٹر ہیں، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ کچھ کے لیے (اور پھر سب کے لیے) صفر ہونا چاہیے۔ چونکہ کم از کم ایک ہے اور ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ یہ غیر منفی عدد کے برابر ہونا چاہیے۔ اس طرح ہم ویکٹروں کا ایک سلسلہ حاصل کرتے ہیں، جو اس طرح کام کرتا ہے اور اس طرح کام کرتا ہے (ہم نے اوپر کے فارمولوں میں اس کی موجودہ معلوم قیمت کے ساتھ تبدیل کر دیا ہے)۔ چونکہ ویکٹر الگ الگ آئجن ویلیوز کے لیے آئجن ویکٹر ہوتے ہیں، اس لیے انہیں لکیری طور پر آزاد ہونا چاہیے۔ مزید برآں، پیچیدہ لائ الجبرا کے عمل کے تحت کا دورانیہ واضح طور پر غیر متغیر ہے۔ اس طرح ہم اس بات کی مکمل وضاحت حاصل کرتے ہیں کہ ایک ناقابل تلافی نمائندگی کیسی ہونی چاہیے۔ یعنی، خلا کی بنیاد اور لائ الجبرا کے جنریٹر کس طرح کام کرتے ہیں اس کی مکمل وضاحت۔ اس کے برعکس، کسی بھی چیز کے لیے ہم صرف مندرجہ بالا فارمولوں کا استعمال کرکے اور یہ جانچ کر کے کہ تبادلوں کے تعلقات برقرار ہیں، ایک نمائندگی تشکیل دے سکتے ہیں۔ اس نمائندگی کو پھر ناقابل تلافی دکھایا جا سکتا ہے۔ نتیجہ: ہر غیر منفی عدد کے لیے سب سے زیادہ وزن کے ساتھ ایک منفرد ناقابل کٹوتی نمائندگی ہوتی ہے۔ ہر ناقابل کٹوتی نمائندگی ان میں سے کسی ایک کے برابر ہوتی ہے۔ سب سے زیادہ وزن والی نمائندگی کا طول و عرض ہوتا ہے جس میں ہر وزن میں کثرت ہوتی ہے۔ کاسیمیر عنصر ہم اب (کواڈریٹک) کاسیمیر عنصر کو متعارف کراتے ہیں، جو اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ ہم عالمگیر لفافے والے الجبرا کے ایک عنصر کے طور پر یا ہر ناقابل تلافی نمائندگی میں ایک آپریٹر کے طور پر دیکھ سکتے ہیں۔ سب سے زیادہ وزن کے ساتھ نمائندگی پر ایک آپریٹر کے طور پر دیکھتے ہوئے، ہم آسانی سے حساب لگا سکتے ہیں کہ ہر ایک کے ساتھ نقل و حرکت کرتا ہے۔ اس طرح، شور کے لیما کے ذریعے، ہر ایک کے لیے شناخت کے ایک اسکیلر ملٹیپل کے طور پر کام کرتا ہے۔ ہم اس بنیاد کے لحاظ سے درج ذیل لکھ سکتے ہیں: جسے کم کیا جا سکتا ہے۔ سب سے زیادہ وزن کے ساتھ نمائندگی میں آئجن ویلیو کا حساب سب سے زیادہ وزن والے ویکٹر پر لگا کر کیا جا سکتا ہے، جسے اس طرح ختم کیا جاتا ہے، ہمیں ملتا ہے۔ طبیعیات کے ادب میں، کاسیمیر کو آئجن ویلیو کے لحاظ سے چیزوں کو لیبل کرنے کے طور پر معمول بنایا جاتا ہے، پھر اس کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے کہ کثیر الجہتی پر گروپ کی نمائندگی ایکشن چونکہ ایس یو (2) آسانی سے جڑا ہوا ہے، ایک عمومی نتیجہ ظاہر کرتا ہے کہ اس کے (پیچیدہ) لائ الجبرا کی ہر نمائندگی۔ تاہم، گروپ کی سطح پر نمائندگی کا واضح ادراک کرنا مطلوب ہے۔ گروپ کی نمائندگی کو دو پیچیدہ متغیرات میں کثیر الجہتی کی جگہوں پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، ہر غیر منفی عدد کے لیے، ہم دو پیچیدہ متغیرات میں ڈگری کے یکساں کثیر الجہتی کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ پھر کا طول و عرض ہے۔ ہر ایک پر ایس یو (2) کا ایک قدرتی عمل ہے، جو اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ متعلقہ جھوٹ الجبرا کی نمائندگی محض وہی ہے جو پچھلے حصے میں بیان کی گئی ہے۔ (کثیر الجہتی کی جگہ پر جھوٹ الجبرا کے عمل کے لیے ایک واضح فارمولہ کے لیے یہاں دیکھیں۔) کردار نمائندگی کا کردار اس کے ذریعہ دیا گیا فنکشن ہے۔ کمپیکٹ گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ میں حروف اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ کردار کو آسانی سے ایک کلاس فنکشن کے طور پر دیکھا جاتا ہے، یعنی کنجگیشن کے تحت غیر متغیر۔ ایس یو (2) کے معاملے میں، یہ حقیقت کہ کردار ایک کلاس فنکشن ہے اس کا مطلب ہے کہ اس کا تعین ایس یو (2) میں اخترن میٹرکس پر مشتمل زیادہ سے زیادہ ٹورس پر اس کی قیمت سے ہوتا ہے، کیونکہ عناصر سپیکٹرم تھیوریم کے ساتھ آرتھوگونلی طور پر اخترن ہوتے ہیں۔ چونکہ سب سے زیادہ وزن کے ساتھ ناقابل تلافی نمائندگی کا وزن ہوتا ہے، اس لیے یہ دیکھنا آسان ہے کہ متعلقہ کردار مطمئن کرتا ہے۔ یہ اظہار ایک محدود ہندسی سلسلہ ہے جسے آسان بنایا جا سکتا ہے۔ یہ آخری اظہار ایس یو (2) کیس کے لیے ویل کردار کے فارمولے کا صرف بیان ہے۔ دراصل، کمپیکٹ گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ کے ویل کے اصل تجزیے کے بعد، کوئی بھی نمائندگی کو مکمل طور پر گروپ کے نقطہ نظر سے درجہ بندی کر سکتا ہے، بغیر کسی لائ الجبرا کی نمائندگی کا استعمال کیے۔ اس نقطہ نظر میں، ویل کردار فارمولا پیٹر ویل تھیوریم کے ساتھ درجہ بندی میں ایک لازمی کردار ادا کرتا ہے۔ اس کہانی کا ایس یو (2) کیس یہاں بیان کیا گیا ہے۔ ایس او (3) کی نمائندگی سے تعلق نوٹ کریں کہ یا تو نمائندگی کے تمام وزن یکساں ہیں (اگر یکساں ہیں) یا تمام وزن عجیب ہیں (اگر عجیب ہیں)۔ جسمانی لحاظ سے، یہ فرق اہم ہے: یکساں وزن والی نمائشیں گردش گروپ ایس او (3) کی عام نمائندگی سے مطابقت رکھتی ہیں۔ اس کے برعکس، عجیب وزن والی نمائندگی ایس او (3) کی ڈبل ویلیوڈ (اسپنوریل) نمائندگی سے مطابقت رکھتی ہے، جسے پروجیکٹو نمائندگی بھی کہا جاتا ہے۔ طبیعیات کے کنونشنوں میں، یکساں ہونا ایک عدد ہونے سے مطابقت رکھتا ہے جبکہ عجیب ہونا نصف عدد ہونے سے مطابقت رکھتا ہے۔ ان دونوں صورتوں کو بالترتیب انٹیجر اسپن اور ہاف انٹیجر اسپن کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ کی عجیب، مثبت اقدار والی نمائندگی ایس یو (2) کی وفادار نمائندگی ہیں، جبکہ غیر منفی کے ساتھ ایس یو (2) کی نمائندگی، حتی کہ وفادار نہیں ہیں۔ ایک اور نقطہ نظر بوریل-ویل-باٹ تھیوریم کی مثال کے تحت دیکھیں۔ سب سے اہم ناقابل تلافی نمائشیں اور ان کی ایپلی کیشنز ایس یو (2) کی نمائشیں یوکلڈین 3-اسپیس کے گردش گروپ کا دوہرا احاطہ ہونے کی وجہ سے غیر رشتہ دار اسپن کو بیان کرتی ہیں۔ رشتہ دار اسپن کو ایس ایل 2 (سی) کی نمائندگی کے نظریہ سے بیان کیا گیا ہے، جو ایس یو (2) کا ایک سپر گروپ ہے، جو اسی طرح گردش گروپ کے رشتہ دار ورژن ایس او + (1 ؛ 3) کا احاطہ کرتا ہے۔ ایس یو (2) سمیٹری آئسوبارک اسپن اور کمزور آئسوپین کے تصورات کی بھی حمایت کرتی ہے، جسے اجتماعی طور پر آئسوپین کہا جاتا ہے۔ (یعنی طبیعیات کے کنونشن میں) کے ساتھ نمائندگی 2 نمائندگی ہے، جو ایس یو (2) کی بنیادی نمائندگی ہے۔ جب ایس یو (2) کے کسی عنصر کو ایک پیچیدہ میٹرکس کے طور پر لکھا جاتا ہے، تو یہ محض کالم 2-ویکٹروں کا ضرب ہوتا ہے۔ اسے طبیعیات میں اسپن-1⁄2 کے طور پر جانا جاتا ہے اور، تاریخی طور پر، کواٹرنیئنز کے ضرب کے طور پر (زیادہ واضح طور پر، اکائی کواٹرنیئن سے ضرب)۔ اس نمائندگی کو گردش گروپ ایس او (3) کی دوہری قیمت والی پروجیکٹو نمائندگی کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ (یعنی،) کے ساتھ نمائندگی 3 نمائندگی، ملحقہ نمائندگی ہے۔ یہ 3-d گردشوں کو بیان کرتا ہے، جو کہ SO (3) کی معیاری نمائندگی ہے، اس لیے حقیقی اعداد اس کے لیے کافی ہیں۔ طبیعیات دان اسے بڑے پیمانے پر اسپن-1 ذرات کی وضاحت کے لیے استعمال کرتے ہیں، جیسے کہ ویکٹر میسون، لیکن اسپن تھیوری کے لیے اس کی اہمیت بہت زیادہ ہے کیونکہ یہ جسمانی 3-اسپیس کی جیومیٹری پر اسپن اسٹیٹس کو لنگر انداز کرتا ہے۔ یہ نمائندگی 2 کے ساتھ بیک وقت ابھری جب ولیم روون ہیملٹن نے ورسرز متعارف کروائے، جو کہ ایس یو (2) کے عناصر کے لیے ان کی اصطلاح ہے۔ نوٹ کریں کہ ہیملٹن نے معیاری گروپ تھیوری کی اصطلاحات کا استعمال نہیں کیا کیونکہ اس کا کام لائ گروپ کی ترقی سے پہلے تھا۔ (یعنی) بعض بیرون کے لیے ذرہ طبیعیات میں نمائندگی کا استعمال کیا جاتا ہے، جیسے کہ δ۔ یہ بھی دیکھیں کہ گردش آپریٹر (ویکٹر اسپیس) گردش آپریٹر (کوانٹم میکانکس) ایس او کی نمائندگی کا نظریہ (3) ایس او (3) اور ایس یو (2) کے درمیان تعلق ایس ایل 2 کا نمائندگی کا نظریہ (آر) برقی کمزور تعامل گردش گروپ ایس او (3) § لائ الجبرا پر ایک نوٹ حوالہ جات جیرارڈ ٹی ہوفٹ (2007)، طبیعیات میں لائ گروپ، باب 5 "سیڑھی آپریٹرز" تین جہتوں میں لائ گروپوں کی گردش کی نمائندگی کا نظریہ