Orientation (vector space)
حقیقی ویکٹر اسپیس کی واقفیت یا صرف ویکٹر اسپیس کی واقفیت صوابدیدی انتخاب ہے جس میں ترتیب شدہ بیس "مثبت" پر مبنی ہوتے ہیں اور جو "منفی" پر مبنی ہوتے ہیں۔ تین جہتی یوکلڈین جگہ میں، دائیں ہاتھ کے اڈوں کو عام طور پر مثبت طور پر مبنی قرار دیا جاتا ہے، لیکن انتخاب من مانی ہوتا ہے، کیونکہ انہیں منفی رخ بھی تفویض کیا جا سکتا ہے۔ منتخب کردہ واقفیت کے ساتھ ایک ویکٹر اسپیس کو اورینٹڈ ویکٹر اسپیس کہا جاتا ہے، جبکہ جس کی واقفیت منتخب نہیں ہوتی ہے، اسے کہا جاتا ہے۔ ریاضی میں، واقفیت ایک وسیع تر تصور ہے کہ، دو جہتوں میں، کسی کو یہ کہنے کی اجازت دیتا ہے کہ جب کوئی سائیکل گھڑی کی سمت یا گھڑی کی مخالف سمت میں جاتا ہے، اور تین جہتوں میں جب کوئی شخصیت بائیں ہاتھ یا دائیں ہاتھ کی ہوتی ہے۔ حقیقی اعداد پر لکیری الجبرا میں، واقفیت کا تصور صوابدیدی محدود جہت میں معنی رکھتا ہے، اور یہ ایک قسم کی غیر متناسبیت ہے جو عکاسی کو سادہ نقل مکانی کے ذریعے نقل کرنا ناممکن بناتی ہے۔ اس طرح، تین جہتوں میں، صرف نقل مکانی کا اطلاق کرکے انسانی شخصیت کے بائیں ہاتھ کو شکل کے دائیں ہاتھ میں بنانا ناممکن ہے، لیکن آئینے میں موجود شکل کی عکاسی کرکے ایسا کرنا ممکن ہے۔ نتیجے کے طور پر، تین جہتی یوکلڈین خلا میں، دو ممکنہ بنیادی سمتوں کو دائیں ہاتھ اور بائیں ہاتھ (یا دائیں چیرل اور بائیں چیرل) کہا جاتا ہے۔ تعریف V کو ایک محدود جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس ہونے دیں اور b1 اور b2 کو V کے لیے دو ترتیب شدہ بیس ہونے دیں۔ لکیری الجبرا میں یہ ایک معیاری نتیجہ ہے کہ ایک منفرد لکیری تبدیلی A: V → V موجود ہے جو b1 کو b2 پر لے جاتی ہے۔ بیس b1 اور b2 کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اگر A کا مثبت تعین کنندہ ہے تو ان کا رخ ایک ہی ہے (یا مستقل طور پر مبنی ہے) ؛ بصورت دیگر ان کا رخ مخالف ہے۔ ایک ہی واقفیت رکھنے کی خاصیت V کے لیے تمام ترتیب شدہ اڈوں کے سیٹ پر مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتی ہے۔ اگر V غیر صفر ہے، تو اس تعلق سے قطعی طور پر دو مساوات کی کلاسیں طے ہوتی ہیں۔ V پر واقفیت ایک مساوات کلاس کے لیے + 1 اور دوسرے کے لیے-1 کی تفویض ہے۔ ہر ترتیب شدہ بنیاد ایک یا دوسری مساوات کی کلاس میں رہتی ہے۔ اس طرح V کے لیے مراعات یافتہ ترتیب شدہ بنیاد کا کوئی بھی انتخاب ایک واقفیت کا تعین کرتا ہے: مراعات یافتہ بنیاد کی واقفیت کلاس کو مثبت قرار دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، آر این پر معیاری بنیاد آر این پر ایک معیاری واقفیت فراہم کرتی ہے (بدلے میں، معیاری بنیاد کی واقفیت کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کی واقفیت پر منحصر ہے جس پر یہ بنایا گیا ہے)۔ V اور Rn کے درمیان لکیری آئسومورفزم کا کوئی بھی انتخاب پھر V پر واقفیت فراہم کرے گا۔ بنیاد میں عناصر کی ترتیب اہم ہے۔ مختلف ترتیب کے ساتھ دو بیس کچھ ترتیب سے مختلف ہوں گے۔ اس ترتیب کے دستخط ± 1 ہیں یا نہیں اس کے مطابق ان کی سمت ایک جیسی/مخالف ہوگی۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ پرموٹیشن میٹرکس کا تعین کرنے والا متعلقہ پرموٹیشن کے دستخط کے برابر ہوتا ہے۔ اسی طرح، A کو ویکٹر اسپیس Rn سے Rn کی غیر واحد لکیری نقشہ سازی ہونے دیں۔ یہ نقشہ سازی واقفیت کو محفوظ رکھتی ہے اگر اس کا تعین مثبت ہو۔ مثال کے طور پر، R3 میں Z کارٹیشین محور کے ارد گرد ایک زاویہ α کی طرف سے گردش واقفیت کو محفوظ رکھتی ہے: جبکہ XY کارٹیشین طیارہ کی طرف سے عکاسی واقفیت کو محفوظ نہیں کر رہی ہے: صفر جہتی صورت میں واقفیت کا تصور صفر جہتی صورت میں انحطاط کا شکار ہو جاتا ہے۔ ایک صفر جہتی ویکٹر اسپیس کا صرف ایک نقطہ ہوتا ہے، صفر ویکٹر۔ نتیجتا، صفر جہتی ویکٹر اسپیس کی واحد بنیاد خالی سیٹ ہے۔ لہذا، ترتیب شدہ اڈوں کی ایک واحد مساوات کلاس ہے، یعنی وہ کلاس جس کا واحد ممبر خالی سیٹ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ صفر جہتی خلا کی سمت بندی ایک فعل ہے اس لیے کسی نقطہ کو مثبت اور منفی، دو مختلف طریقوں سے سمت بندی کرنا ممکن ہے۔ کیونکہ صرف ایک ہی ترتیب شدہ بنیاد ہے، ایک صفر جہتی ویکٹر کی جگہ ترتیب شدہ بنیاد کے ساتھ صفر جہتی ویکٹر کی جگہ کے برابر ہے۔ انتخاب کرنا یا اس لیے ہر صفر جہتی ویکٹر کی جگہ کی ہر بنیاد کی سمت کا انتخاب کرنا۔ اگر تمام صفر جہتی ویکٹر خالی جگہوں کو یہ واقفیت تفویض کی جاتی ہے، تو، کیونکہ صفر جہتی ویکٹر خالی جگہوں میں موجود تمام آئسومورفزم ترتیب شدہ بنیاد کو محفوظ رکھتے ہیں، وہ واقفیت کو بھی محفوظ رکھتے ہیں۔ یہ اعلی جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے معاملے کے برعکس ہے جہاں واقفیت کا انتخاب کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے تاکہ یہ تمام آئسومورفزم کے تحت محفوظ رہے۔ تاہم، ایسے حالات ہیں جہاں مختلف نکات کو مختلف سمت دینا مطلوب ہے۔ مثال کے طور پر، کیلکولس کے بنیادی نظریہ کو اسٹوکس کے نظریہ کی مثال کے طور پر سمجھیں۔ بند وقفہ حد کے ساتھ ایک جہتی کئی گنا ہے، اور اس کی حد سیٹ ہے۔ کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا درست بیان حاصل کرنے کے لیے، نقطہ کو مثبت سمت میں ہونا چاہیے، جبکہ نقطہ کو منفی سمت میں ہونا چاہیے۔ ایک لائن پر یک جہتی کیس ایک ایسی لائن سے متعلق ہے جسے دو سمتوں میں سے کسی ایک میں عبور کیا جا سکتا ہے۔ جس طرح ایک دائرے کی دو سمت ہوتی ہیں اسی طرح ایک لکیر کی بھی دو سمت ہوتی ہیں۔ لائن سیگمنٹ (لائن کا ایک منسلک ذیلی سیٹ) کے معاملے میں، دو ممکنہ سمتوں کے نتیجے میں ڈائریکٹڈ لائن سیگمنٹ ہوتے ہیں۔ ایک قابل سمت سطح میں بعض اوقات منتخب سمت ہوتی ہے جو سطح پر عمودی لکیر کی سمت سے ظاہر ہوتی ہے۔ متبادل نقطہ نظر کثیر لکیری الجبرا کسی بھی n جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس V کے لیے ہم V کی kth بیرونی طاقت تشکیل دے سکتے ہیں، جسے λkV سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ طول و عرض کی ایک حقیقی ویکٹر جگہ ہے۔ ویکٹر اسپیس λnV (جسے اوپری بیرونی طاقت کہا جاتا ہے) اس لیے طول و عرض 1 ہے۔ یعنی، λnV صرف ایک حقیقی لکیر ہے۔ اس لائن پر کون سی سمت مثبت ہے اس کا کوئی ترجیحی انتخاب نہیں ہے۔ واقفیت صرف اس طرح کا انتخاب ہے۔ λnV پر کوئی بھی غیر صفر لکیری شکل ω یہ اعلان کر کے V کی سمت کا تعین کرتی ہے کہ x مثبت سمت میں ہے جب ω (x)> 0 ہو۔ بنیادی نقطہ نظر سے جڑنے کے لیے ہم کہتے ہیں کہ مثبت پر مبنی بنیادیں وہ ہیں جن پر ω ایک مثبت نمبر کا اندازہ کرتا ہے (چونکہ ω ایک n-شکل ہے اس لیے ہم اس کا اندازہ n ویکٹروں کے ترتیب شدہ سیٹ پر کر سکتے ہیں، جس سے R کا عنصر ملتا ہے)۔ شکل ω کو واقفیت کی شکل کہا جاتا ہے۔ اگر {ei} V کے لیے ایک مراعات یافتہ بنیاد ہے اور {ei ऱ्ऱं} دوہری بنیاد ہے، تو معیاری واقفیت دینے والی واقفیت کی شکل ہے۔ فیصلہ کن نقطہ نظر کے ساتھ اس کا تعلق یہ ہے: اینڈومورفزم کے تعین کنندہ کو اوپری بیرونی طاقت پر محرک عمل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ لائ گروپ تھیوری فرض کریں کہ B، V کے لیے تمام ترتیب شدہ اڈوں کا مجموعہ ہے۔ پھر عمومی لکیری گروپ GL (V) B پر آزادانہ اور عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ (فینسی زبان میں، بی ایک جی ایل (وی)-ٹورسر ہے)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کئی گنا کے طور پر، بی (غیر کینونکی طور پر) جی ایل (وی) کے لیے ہومومورفک ہے۔ نوٹ کریں کہ گروپ GL (V) جڑا ہوا نہیں ہے، بلکہ اس کے مطابق دو جڑے ہوئے اجزاء ہیں کہ آیا تبدیلی کا تعین کنندہ مثبت ہے یا منفی (سوائے GL0 کے، جو کہ معمولی گروپ ہے اور اس طرح ایک واحد جڑا ہوا جزو ہے ؛ یہ صفر جہتی ویکٹر اسپیس پر کینونکل واقفیت سے مطابقت رکھتا ہے)۔ GL (V) کے شناختی جزو کو GL + (V) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور یہ مثبت تعین کے ساتھ ان تبدیلیوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ B پر GL + (V) کا عمل عارضی نہیں ہے: دو مدار ہیں جو B کے منسلک اجزاء سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ مدار بالکل وہی مساوات کی کلاسیں ہیں جن کا حوالہ اوپر دیا گیا ہے۔ چونکہ B میں کوئی ممتاز عنصر نہیں ہے (یعنی۔ ایک مراعات یافتہ بنیاد) کوئی فطری انتخاب نہیں ہے کہ کون سا جزو مثبت ہے۔ اس کا موازنہ جی ایل (وی) سے کریں جس میں ایک مراعات یافتہ جزو ہوتا ہے: شناخت کا جزو۔ B اور GL (V) کے درمیان ہومیومورفزم کا ایک مخصوص انتخاب ایک مراعات یافتہ بنیاد کے انتخاب کے برابر ہے اور اس لیے ایک واقفیت کا تعین کرتا ہے۔ مزید رسمی طور پر:، اور این-فریموں کا سٹیفل کئی گنا ایک-ٹورسر ہے، اسی طرح ایک ٹورسر بھی ہے، یعنی اس کے 2 پوائنٹس، اور ان میں سے ایک کا انتخاب ایک واقفیت ہے۔ ہندسی الجبرا ہندسی الجبرا کی مختلف اشیاء تین صفات یا خصوصیات کے ساتھ چارج ہوتی ہیں: رویہ، واقفیت اور شدت۔ مثال کے طور پر، ایک ویکٹر کا ایک رویہ ہوتا ہے جو اس کے متوازی سیدھی لکیر کے ذریعہ دیا جاتا ہے، ایک واقفیت جو اس کے احساس سے دی جاتی ہے (اکثر تیر کے سر سے اشارہ کیا جاتا ہے) اور اس کی لمبائی سے دی گئی شدت۔ اسی طرح، تین جہتوں میں ایک بائی ویکٹر کا ایک رویہ ہوتا ہے جو اس سے وابستہ طیاروں کے خاندان کی طرف سے دیا جاتا ہے (ممکنہ طور پر ان طیاروں کے لیے مشترکہ نارمل لائن کی طرف سے متعین کیا جاتا ہے)، ایک واقفیت (بعض اوقات ہوائی جہاز میں مڑے ہوئے تیر کی طرف سے ظاہر کیا جاتا ہے) جو اس کی حد (اس کی گردش) کے سفر کے احساس کے انتخاب کی طرف اشارہ کرتا ہے، اور ایک شدت جو متوازی ہندسے کے رقبے کی طرف سے دی جاتی ہے جس کی وضاحت اس کے دو ویکٹروں کے ذریعے کی جاتی ہے۔ کئی گنا پر واقفیت n جہتی تفریق پذیر کئی گنا پر ہر نقطہ p میں ایک ٹینجینٹ اسپیس TpM ہوتی ہے جو کہ ایک n جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس ہے۔ ان میں سے ہر ایک ویکٹر خالی جگہ کو ایک واقفیت تفویض کی جا سکتی ہے۔ کچھ رخ ایک نقطہ سے دوسرے مقام پر "آسانی سے مختلف" ہوتے ہیں۔ بعض ٹپوولوجیکل پابندیوں کی وجہ سے، یہ ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا ہے۔ ایک کئی گنا جو اپنی ٹینجینٹ خالی جگہوں کے لیے سمتوں کے ہموار انتخاب کو تسلیم کرتا ہے اسے قابل سمت کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں سائن کنونشن تین جہتوں میں گردش کی رسمیں چیرالیٹی (ریاضی) دائیں ہاتھ کا قاعدہ یکساں اور عجیب تغیرات کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم ایک ویکٹر بنڈل کا سیوڈوویکٹر واقفیت حوالہ جات بیرونی روابط لکیری الجبرا تجزیاتی جیومیٹری واقفیت (جیومیٹری)