Elementary symmetric polynomial
ریاضی میں، خاص طور پر مواصلاتی الجبرا میں، ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے ایک قسم کا بنیادی بلڈنگ بلاک ہیں، اس معنی میں کہ کسی بھی ہم آہنگی کثیر کو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی میں کثیر الجہتی کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، کوئی بھی سمیٹرک کثیر الجہتی ایک ایسے اظہار کے ذریعے دیا جاتا ہے جس میں صرف اضافہ اور مستقل اور ابتدائی سمیٹرک کثیر الجہتی کا ضرب شامل ہوتا ہے۔ ہر مثبت عدد کے لیے متغیرات میں ڈگری کا ایک ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہوتا ہے، اور یہ مختلف متغیرات کے تمام الگ الگ پروڈکٹ کو ایک ساتھ جوڑ کر تشکیل پاتا ہے۔ تعریف متغیرات میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی، کے لیے لکھے گئے، کی تعریف اور اسی طرح کی جاتی ہے، جو عام طور پر اس کے ساتھ ختم ہوتی ہے، کیونکہ ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں تاکہ اگر۔ (بعض اوقات، ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی میں شامل کیا جاتا ہے، لیکن اسے چھوڑنا عام طور پر نتائج اور خصوصیات کی آسان تشکیل کی اجازت دیتا ہے۔) اس طرح، اس سے کم یا اس کے برابر ہر مثبت عدد کے لیے متغیرات میں ڈگری کا بالکل ایک ابتدائی ہم آہنگی کثیر موجود ہے۔ جس کی ڈگری ہو اسے بنانے کے لیے، ہم متغیرات کے-سبسٹ کے تمام پروڈکٹ کا مجموعہ لیتے ہیں۔ (اس کے برعکس، اگر کوئی متغیرات کے ملٹی سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک ہی عمل انجام دیتا ہے، یعنی تکرار کے ساتھ متغیرات لینا، تو وہ مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی پر پہنچ جاتا ہے۔) ایک انٹیجر پارٹیشن کو دیکھتے ہوئے (یعنی مثبت انٹیجرز کی ایک محدود غیر بڑھتی ہوئی ترتیب)، ایک ہم آہنگی کثیر کی وضاحت کرتا ہے، جسے ابتدائی ہم آہنگی کثیر بھی کہا جاتا ہے۔ بعض اوقات اس کے بجائے اشارے کا استعمال کیا جاتا ہے۔ مثالیں درج ذیل میں پہلی چار مثبت اقدار کے لیے ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کی فہرست دی گئی ہے۔ کے لیے: کے لیے: کے لیے: خصوصیات ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی اس وقت ظاہر ہوتے ہیں جب ہم ایک مونوک کثیر الجہتی کی لکیری فیکٹرائزیشن کو بڑھاتے ہیں: ہماری شناخت ہوتی ہے۔ یعنی، جب ہم متغیرات کے لیے عددی اقدار کو تبدیل کرتے ہیں، تو ہم مونیک غیر متغیر کثیر (متغیر کے ساتھ) حاصل کرتے ہیں جن کی جڑیں متبادل اقدار ہیں اور جن کے گتانک-ان کی علامت تک-ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں۔ جڑوں اور کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کے درمیان یہ تعلقات ویتاہ کے فارمولے کہلاتے ہیں۔ مربع میٹرکس کی خصوصیت والی کثیر الجہتی ویت کے فارمولوں کے اطلاق کی ایک مثال ہے۔ اس کثیر الجہتی کی جڑیں میٹرکس کی آئجن ویلیوز ہیں۔ جب ہم ان آئجین ویلیوز کو ابتدائی ہم آہنگی والے کثیر الجہتی میں تبدیل کرتے ہیں، تو ہم ان کی علامت تک خصوصیت والے کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس حاصل کرتے ہیں، جو میٹرکس کے غیر متغیر ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، ٹریس (اخترن کے عناصر کا مجموعہ) کی قدر ہے، اور اس طرح آئجن ویلیوز کا مجموعہ ہے۔ اسی طرح، تعین کنندہ-علامت تک-خصوصیت والی کثیر الجہتی کی مستقل اصطلاح ہے، یعنی۔ کی قدر۔ اس طرح مربع میٹرکس کا تعین آئجن ویلیوز کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ متغیرات میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کا مجموعہ متغیرات میں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی انگوٹی پیدا کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر، انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ سمیٹرک پولینومیئلز کی رنگ انٹیگرل پولینومیئل رنگ کے برابر ہوتی ہے۔ (مزید عمومی بیان اور ثبوت کے لیے نیچے دیکھیں۔) یہ حقیقت غیر متغیر نظریہ کی بنیادوں میں سے ایک ہے۔ اسی خاصیت والے ہم آہنگی کثیر الجہتی کے ایک اور نظام کے لیے مکمل ہم آہنگ ہم آہنگی کثیر الجہتی دیکھیں، اور اسی طرح کے، لیکن قدرے کمزور، خاصیت والے نظام کے لیے پاور سم ہم آہنگی کثیر الجہتی دیکھیں۔ سمیٹرک پولینومیئلز کا بنیادی نظریہ کسی بھی مواصلاتی رنگ کے لیے، متغیرات میں سمیٹرک پولینومیئلز کی رنگ کو بائے میں کوفیشنٹس کے ساتھ ظاہر کرتا ہے۔ یہ کے لیے n ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی میں ایک کثیر الجہتی رنگ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر ہم آہنگ کثیر الجہتی میں کسی کثیر الجہتی کے لیے ایک منفرد نمائندگی ہوتی ہے۔ ایک ہی بات کہنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ رنگ ہومومورفزم جو اور کے درمیان ایک آئسومورفزم کی وضاحت کرتا ہے۔ ثبوت خاکہ تھیوریم کو متغیرات کی تعداد کے حوالے سے ڈبل انڈکشن کے ذریعے سمیٹرک یکساں کثیر الجہتی کے لیے ثابت کیا جا سکتا ہے اور فکسڈ کے لیے یکساں کثیر الجہتی کی ڈگری کے حوالے سے۔ اس کے بعد عمومی معاملہ ایک صوابدیدی ہم آہنگی کثیر کو اس کے یکساں اجزاء میں تقسیم کرتا ہے (جو دوبارہ ہم آہنگی والے ہوتے ہیں)۔ اس صورت میں نتیجہ معمولی ہوتا ہے کیونکہ ایک متغیر میں ہر کثیر الجہتی خود بخود ہم آہنگ ہوتا ہے۔ اب فرض کریں کہ نظریہ متغیرات کے لیے تمام کثیر الجہتی اور ڈگری کے ساتھ متغیرات میں تمام ہم آہنگ کثیر الجہتی کے لیے ثابت ہو چکا ہے۔ یہاں "لیکونری پارٹ" کو تمام مونومیلز کے مجموعے کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس میں متغیرات کا صرف ایک مناسب ذیلی سیٹ ہوتا ہے، یعنی، جہاں کم از کم ایک متغیر غائب ہوتا ہے۔ چونکہ متناسب ہے، اس لیے لیکونری حصے کا تعین اس کی اصطلاحات سے ہوتا ہے جس میں صرف متغیرات ہوتے ہیں، یعنی جن پر مشتمل نہیں ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر: اگر اور ایک ہی ڈگری رکھنے میں دو یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں، اور اگر ہر یک مداری سے پہلے کا گتانک جس میں صرف متغیرات ہوتے ہیں اس کے متعلقہ گتانک کے برابر ہوتا ہے، تو پھر اور اس کے برابر لیکونری حصے ہوتے ہیں۔ (اس کی وجہ یہ ہے کہ ہر یک مدتی جو لیکونری حصے میں ظاہر ہو سکتا ہے اس میں کم از کم ایک متغیر کی کمی ہونی چاہیے، اور اس طرح متغیرات کو یک مدتی میں ترتیب دے کر تبدیل کیا جا سکتا ہے جس میں صرف متغیرات ہوتے ہیں۔) لیکن جن اصطلاحات میں صرف متغیرات ہوتے ہیں وہ قطعی طور پر وہ اصطلاحات ہیں جو 0 پر ترتیب دینے کے عمل کو برقرار رکھتی ہیں، لہذا ان کا مجموعہ برابر ہوتا ہے، جو متغیرات میں ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی ہے جس کی طرف ہم اشارہ کریں گے۔ انڈکٹو مفروضے کے مطابق، اس کثیر الجہتی کو کچھ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں دوگنا اشاریہ متغیرات میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کی نشاندہی کرتا ہے۔ اب کثیر الجہتی پر غور کریں پھر ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی ہے، اسی ڈگری کا، جو مطمئن کرتا ہے (پہلی مساوات ہوتی ہے کیونکہ 0 میں ترتیب دینے سے، سب کے لیے ملتا ہے)۔ دوسرے لفظوں میں، ہر مونومیل سے پہلے کا گتانک جس میں صرف متغیرات ہوتے ہیں اس کے متعلقہ گتانک کے برابر ہوتا ہے۔ جیسا کہ ہم جانتے ہیں، اس سے پتہ چلتا ہے کہ کا لیکونری حصہ اصل کثیر الجہتی کے ساتھ موافق ہے۔ لہذا فرق کا کوئی لیکونری حصہ نہیں ہے، اور اس وجہ سے یہ تمام متغیرات کے پروڈکٹ سے تقسیم ہوتا ہے، جو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے برابر ہے۔ پھر لکھنا، حصص ایک یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی ہے جس کی ڈگری (حقیقت میں زیادہ سے زیادہ ڈگری) سے کم ہے جسے تعمیری مفروضے کے ذریعے ابتدائی ہم آہنگی افعال میں کثیر الجہتی کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ کے لیے نمائندگی کو یکجا کرنا اور اس کے لیے ایک کثیر الجہتی نمائندگی مل جاتی ہے۔ نمائندگی کی انفرادیت کو اسی طرح تعمیری طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے۔ (یہ اس حقیقت کے برابر ہے کہ کثیر الجہتی الجبرائی طور پر رنگ پر آزاد ہیں۔) یہ حقیقت کہ کثیر الجہتی نمائندگی منفرد ہے اس کا مطلب ہے کہ اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ متبادل ثبوت مندرجہ ذیل ثبوت بھی انڈکٹو ہے، لیکن اس میں ان ہم آہنگی کے علاوہ دیگر کثیر الجہتی شامل نہیں ہیں، اور یہ ابتدائی ہم آہنگی والے میں ایک ہم آہنگی کثیر کو مؤثر طریقے سے کثیر الجہتی کے طور پر لکھنے کے لیے کافی براہ راست طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ سمٹرک کثیر الجہتی کو ڈگری کا یکساں فرض کریں ؛ مختلف یکساں اجزاء کو الگ سے الگ کیا جا سکتا ہے۔ متغیرات میں مونومیلز کو لغت کے لحاظ سے ترتیب دیں، جہاں انفرادی متغیرات کو ترتیب دیا جاتا ہے، دوسرے لفظوں میں کثیر الجہتی کی غالب اصطلاح وہ ہوتی ہے جس کی سب سے زیادہ موجود طاقت ہوتی ہے، اور ان میں سے ایک جس کی سب سے زیادہ طاقت ہوتی ہے، وغیرہ۔ مزید برآں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے تمام پروڈکٹ کو پیرامیٹرائز کریں جن کی ڈگری ہوتی ہے (وہ حقیقت میں یکساں ہیں) جیسا کہ ذیل میں تقسیم کے ذریعے ہے۔ پروڈکٹ میں انفرادی ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کو ترتیب دیں تاکہ بڑے اشاریہ جات والے پہلے آئیں، پھر اس طرح کے ہر عنصر کے لیے خانوں کا ایک کالم بنائیں، اور ان کالموں کو بائیں سے دائیں ترتیب دیں تاکہ ایک نوجوان خاکہ تشکیل دیا جا سکے جس میں تمام خانوں پر مشتمل ہو۔ اس خاکہ کی شکل ایک تقسیم ہے، اور اس کی ہر تقسیم ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے بالکل ایک پروڈکٹ کے لیے پیدا ہوتی ہے، جس کی طرف ہم اشارہ کریں گے) (یہ صرف اس وجہ سے موجود ہے کہ روایتی طور پر یہ پروڈکٹ ٹرانسپوز پارٹیشن سے وابستہ ہے)۔ ثبوت کا لازمی جزو مندرجہ ذیل سادہ خاصیت ہے، جو متغیرات میں مونومیلز کے لیے ملٹی انڈیکس نوٹیشن کا استعمال کرتا ہے۔ لیما۔ کی اہم اصطلاح ہے۔ ثبوت۔ پروڈکٹ کی لیڈنگ ٹرم ہر عنصر کی لیڈنگ ٹرمز کا پروڈکٹ ہے (یہ سچ ہے جب بھی کوئی مونومیل آرڈر استعمال کرتا ہے، جیسے کہ یہاں استعمال ہونے والا لیکسیگرافک آرڈر)، اور عنصر کی لیڈنگ ٹرم واضح طور پر ہوتی ہے۔ نتیجے میں یک جہتی میں انفرادی متغیرات کے واقعات کو شمار کرنے کے لیے، متغیرات کی تعداد سے متعلق عنصر سے مطابقت رکھنے والے ینگ ڈائیگرام کے کالم کو پر کریں، پھر پہلی صف کے تمام خانوں میں 1، دوسری صف کے تمام خانوں میں 2، اور اسی طرح، جس کا مطلب ہے کہ معروف اصطلاح ہے۔ اب لیڈنگ مونومیل پر لیکسیگرافک آرڈر میں انڈکشن کے ذریعے یہ ثابت ہوتا ہے کہ ڈگری کے کسی بھی نان زیرو ہوموجینیئس سمیٹرک پولینومیل کو ایلیمنٹری سمیٹرک پولینومیل میں پولینومیل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ چونکہ سمیٹرک ہے، اس کے لیڈنگ مونومیل میں کمزور طور پر کم ہونے والے ایکسپوینٹس ہوتے ہیں، لہذا یہ کچھ کے پارٹیشن کے ساتھ ہوتا ہے۔ اس اصطلاح کا گتانک ہو، پھر یہ یا تو صفر ہو یا ایک سمیٹرک کثیر الجہتی ہو جس میں سختی سے چھوٹا لیڈنگ مونومیل ہو۔ اس فرق کو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی میں کثیر الجہتی کے طور پر تعمیری طور پر لکھنا، اور اس میں دوبارہ اضافہ کرنا، کے لیے مطلوبہ کثیر الجہتی اظہار حاصل کرتا ہے۔ یہ حقیقت کہ یہ اظہار منفرد ہے، یا اس کے مساوی ہے کہ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے تمام پروڈکٹ (مونومیلز) لکیری طور پر آزاد ہیں، بھی آسانی سے ثابت ہوتا ہے۔ لیما سے پتہ چلتا ہے کہ ان تمام مصنوعات میں مختلف معروف مونومیلز ہیں، اور یہ کافی ہے: اگر ان کا غیر معمولی لکیری امتزاج صفر تھا، تو کوئی غیر صفر گتانک کے ساتھ لکیری امتزاج میں شراکت پر توجہ مرکوز کرتا ہے اور (متغیرات میں کثیر الجہتی کے طور پر) سب سے بڑا معروف مونومیل ؛ اس شراکت کی معروف اصطلاح کو لکیری امتزاج کی کسی اور شراکت سے منسوخ نہیں کیا جا سکتا، جو ایک تضاد دیتا ہے۔ سمیٹرک کثیر الجہتی مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی شور کثیر الجہتی نیوٹن کی شناخت نیوٹن کی عدم مساوات میکلاورن کی عدم مساوات میک موہن ماسٹر تھیوریم سمیٹرک فنکشن نمائندگی تھیوری حوالہ جات یکساں کثیر الجہتی سمیٹرک افعال ثبوت پر مشتمل مضامین