Birkhoff interpolation
ریاضی میں، برخوف انٹرپولیشن کثیر الجہتی انٹرپولیشن کی توسیع ہے۔ یہ ڈگری کے کثیر الجہتی کو تلاش کرنے کے مسئلے سے مراد ہے کہ صرف کچھ مشتقات مخصوص نکات پر مخصوص اقدار رکھتے ہیں: جہاں ڈیٹا پوائنٹس اور غیر منفی انٹیجرز دیئے جاتے ہیں۔ یہ ہرمائیٹ انٹرپولیشن سے اس لحاظ سے مختلف ہے کہ نچلے مشتقات یا خود کثیر الجہتی کی وضاحت کیے بغیر کچھ نکات پر مشتقات کی وضاحت کرنا ممکن ہے۔ یہ نام جارج ڈیوڈ برخوف سے مراد ہے، جس نے پہلی بار 1906 میں اس مسئلے کا مطالعہ کیا تھا۔ حلوں کا وجود اور انفرادیت لگرینج انٹرپولیشن اور ہرمائیٹ انٹرپولیشن کے برعکس، برخوف انٹرپولیشن کے مسئلے کا ہمیشہ منفرد حل نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی کواڈریٹک کثیر الجہتی نہیں ہے جیسے کہ اور۔ دوسری طرف، برخوف انٹرپولیشن مسئلہ جہاں اور کی اقدار دی جاتی ہیں ہمیشہ ایک منفرد حل ہوتا ہے۔ برخوف انٹرپولیشن کے نظریہ میں ایک اہم مسئلہ ان مسائل کی درجہ بندی کرنا ہے جن کا منفرد حل ہے۔ شینبرگ اس مسئلے کو مندرجہ ذیل طور پر مرتب کرتا ہے۔ آئیے شرائط کی تعداد (جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے) کی نشاندہی کریں اور انٹرپولیشن پوائنٹس کی تعداد ہونے دیں۔ ایک میٹرکس کو دیکھتے ہوئے، جن کی تمام اندراجات یا تو ہیں یا، ایسی ہیں کہ بالکل اندراجات ہیں، پھر متعلقہ مسئلہ اس طرح کا تعین کرنا ہے کہ میٹرکس کو واقع میٹرکس کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، پچھلے پیراگراف میں مذکور انٹرپولیشن کے مسائل کے لیے انسیڈینس میٹرکس یہ ہیں: اب سوال یہ ہے کہ: کیا کسی دیئے گئے انسیڈینس میٹرکس کے ساتھ برخوف انٹرپولیشن کے مسئلے کا انٹرپولیشن پوائنٹس کے کسی بھی انتخاب کے لیے کوئی منفرد حل ہے؟ انٹرپولیشن پوائنٹس کے معاملے کو جارج پولیا نے 1931 میں نمٹا تھا۔ آئیے انسیڈینس میٹرکس کے پہلے کالموں میں اندراجات کے مجموعے کو ظاہر کرتے ہیں: پھر برخوف انٹرپولیشن کے مسئلے کا ایک منفرد حل ہے اگر اور صرف اگر۔ شینبرگ نے دکھایا کہ یہ تمام اقدار کے لیے ایک ضروری شرط ہے۔ کچھ مثالیں کسی تفریق پذیر فنکشن پر غور کریں، جیسے کہ۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ کوئی برخوف انٹرپولیشن کواڈریٹک کثیر الجہتی نہیں ہے جہاں: چونکہ، کوئی کثیر الجہتی کو (مربع کو مکمل کرکے) لکھ سکتا ہے جہاں محض انٹرپولیشن گتانک ہیں۔ انٹرپولیشن کثیر الجہتی کا مشتق اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس کا مطلب ہے، تاہم یہ مضحکہ خیز ہے، کیونکہ ضروری نہیں ہے۔ انسیڈینس میٹرکس اس طرح دیا گیا ہے: ایک تفریق پذیر فنکشن پر غور کریں، اور اس کے ساتھ ظاہر کریں۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ واقعی برخوف انٹرپولیشن کواڈریٹک کثیر الجہتی ہے جیسے کہ اور۔ نوڈس پر انٹرپولیٹنگ کثیر الجہتی کی تعمیر کریں، جیسے کہ۔ اس طرح کثیر الجہتی: برخوف انٹرپولیٹنگ کثیر الجہتی ہے۔ انسیڈینس میٹرکس اس طرح دیا جاتا ہے: ایک قدرتی نمبر، اور ایک تفریق پذیر فنکشن کو دیکھتے ہوئے، کیا کوئی کثیر الجہتی ایسی ہے کہ: اور ساتھ کے لیے؟ لگرینج/نیوٹن کثیرالجہتی (وہی انٹرپولیٹنگ کثیرالجہتی، ان کا حساب لگانے اور اظہار کرنے کے لیے مختلف شکل) بنائیں جو مطمئن ہو، پھر کثیرالجہتی برخوف انٹرپولیٹنگ کثیرالجہتی ہے جو مندرجہ بالا شرائط کو مطمئن کرتی ہے۔ انسیڈینس میٹرکس اس طرح دیا جاتا ہے: ایک قدرتی نمبر، اور ایک تفریق پذیر فنکشن کو دیکھتے ہوئے، کیا کوئی کثیر الجہتی ایسی ہے کہ: اور کے لیے؟ at اور کے انٹرپولیٹنگ کثیر الجہتی کے طور پر اس طرح بنائیں کہ۔ پھر تکرار کی وضاحت کریں۔ اس کے بعد برخوف انٹرپولیٹنگ کثیر الجہتی ہے۔ واقعات میٹرکس اس کے ذریعہ دیا گیا ہے: حوالہ جات انٹرپولیشن