Loop algebra
ریاضی میں، لوپ الجیبرا لی الجیبرا کی بعض اقسام ہیں، جو نظریاتی طبیعیات میں خاص دلچسپی رکھتے ہیں۔ تعریف کسی فیلڈ پر جھوٹ الجبرا کے لیے، اگر لارنٹ کثیر الجہتی کی جگہ ہے، تو وراثت میں ملنے والے بریکٹ جیومیٹرک تعریف کے ساتھ اگر ایک جھوٹ الجبرا ہے، تو ساتھ کا ٹینسر پروڈکٹ، دائرے کے کئی گنا پر (پیچیدہ) ہموار افعال کا الجبرا (مساوی طور پر، کسی دی گئی مدت کے ہموار پیچیدہ قدر والے دورانیے کے افعال)، ایک لامحدود جہتی جھوٹ الجبرا ہے جس میں یہاں دیئے گئے جھوٹ بریکٹ کے عناصر ہیں اور اس کے عناصر ہیں اور ہیں۔ یہ قطعی طور پر وہ نہیں ہے جو ہموار پابندی کی وجہ سے، ہر پوائنٹ کے لیے ایک، کی لامحدود بہت سی کاپیوں کے براہ راست پروڈکٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے بجائے، اس کے بارے میں ہموار نقشے کے لحاظ سے سوچا جا سکتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ایک ہموار پیرامیٹرائزڈ لوپ۔ اسی لیے اسے لوپ الجبرا کہا جاتا ہے۔ گریڈیشن لکیری سب اسپیس ہونے کی تعریف کرتے ہوئے بریکٹ کسی پروڈکٹ تک محدود رہتا ہے اس لیے لوپ الجبرا کو ایک درجہ بند لائ الجبرا ڈھانچہ دیتا ہے۔ خاص طور پر، بریکٹ 'صفر موڈ' ذیلی الجبرا تک محدود ہے۔ مشتق لوپ الجبرا پر ایک قدرتی مشتق ہے، جسے روایتی طور پر اداکاری کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور اسی طرح رسمی طور پر اس کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ افائن لائ الجبرا کی وضاحت کرنا ضروری ہے، جو طبیعیات، خاص طور پر کنفارمل فیلڈ تھیوری میں استعمال ہوتے ہیں۔ لوپ گروپ اسی طرح، ایک لائ گروپ سے تمام ہموار نقشوں کا ایک مجموعہ ایک لامحدود جہتی لائ گروپ بناتا ہے (اس معنی میں کہ ہم اس پر فنکشنل مشتقات کی وضاحت کر سکتے ہیں) جسے لوپ گروپ کہا جاتا ہے۔ لوپ گروپ کا لائ الجبرا متعلقہ لوپ الجبرا ہے۔ اگر ایک نیم سادہ لائ الجبرا ہے، تو اس کے لوپ الجبرا کی ایک غیر معمولی مرکزی توسیع ایک افائن لائ الجبرا کو جنم دیتی ہے۔ مزید یہ کہ یہ مرکزی توسیع منفرد ہے۔ مرکزی توسیع ایک مرکزی عنصر کو منسلک کرکے دی جاتی ہے، یعنی سب کے لیے، اور لوپ الجبرا پر بریکٹ کو تبدیل کرتے ہوئے جہاں کلنگ فارم ہے۔ مرکزی توسیع، ایک ویکٹر اسپیس کے طور پر ہے، (اس کی معمول کی تعریف میں، زیادہ عام طور پر، ایک صوابدیدی فیلڈ کے طور پر لیا جا سکتا ہے)۔ لائ الجبرا کوہمولوجی کی زبان کا استعمال کرتے ہوئے، مرکزی توسیع کو لوپ الجبرا پر 2-سائیکل کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ نقشہ تسلی بخش ہے پھر بریکٹ میں جو اضافی اصطلاح شامل کی گئی ہے وہ افائن لائ الجبرا ہے۔ طبیعیات میں، مرکزی توسیع کو بعض اوقات افائن لائ الجبرا کہا جاتا ہے۔ ریاضی میں، یہ ناکافی ہے، اور مکمل افائن لائ الجبرا ویکٹر اسپیس ہے جہاں اوپر بیان کردہ مشتق ہے۔ اس جگہ پر، قتل کی شکل کو غیر انحطاطی شکل تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور اس طرح افائن لائ الجبرا کے جڑ کے نظام کے تجزیے کی اجازت دیتا ہے۔ حوالہ جات جھوٹے الجبرا