Weak derivative
ریاضی میں، ایک کمزور مشتق کسی فنکشن (مضبوط مشتق) کے مشتق کے تصور کی عمومی شکل ہے جو ان افعال کے لیے ہے جو تفریق کے قابل نہیں سمجھے جاتے ہیں، لیکن صرف انٹیگریبل ہوتے ہیں، یعنی ایل پی اسپیس میں ہوتے ہیں۔ حصوں کے لحاظ سے انضمام کا طریقہ یہ ہے کہ تفریق پذیر افعال کے لیے اور ہمارے پاس A فنکشن u 'ہے جو کہ u کا کمزور مشتق ہے اس کی وضاحت بنیادی طور پر اس ضرورت سے کی جاتی ہے کہ یہ مساوات باؤنڈری پوائنٹس () پر غائب ہونے والے تمام لامحدود تفریق پذیر افعال کے لیے ہونی چاہیے۔ تعریف لیبسگیو جگہ میں ایک فنکشن ہونے دیں۔ ہم کہتے ہیں کہ ان تمام لامحدود تفریق پذیر افعال کے لیے ایک کمزور مشتق ہے۔ جہتوں کو عام کرنا، اگر اور کچھ کھلے سیٹ کے لیے مقامی طور پر مربوط افعال کی جگہ میں ہیں، اور اگر ایک ملٹی انڈیکس ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ یہ-کمزور مشتق ہے اگر سب کے لیے، یعنی تمام لامحدود تفریق پذیر افعال کے لیے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ۔ اگر اس کا مشتق کمزور ہے، تو اسے اکثر اس لیے لکھا جاتا ہے کیونکہ کمزور مشتقات منفرد ہوتے ہیں (کم از کم، پیمائش صفر کے ایک سیٹ تک، نیچے دیکھیں)۔ مثالیں مطلق ویلیو فنکشن، جس پر تفریق قابل نہیں ہے، ایک کمزور مشتق ہے جسے سائن فنکشن کہا جاتا ہے، اور اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ یہ u کے لیے واحد کمزور مشتق نہیں ہے: کوئی بھی w جو تقریبا ہر جگہ v کے برابر ہے وہ بھی u کے لیے ایک کمزور مشتق ہے۔ (خاص طور پر، اوپر v (0) کی تعریف غیر ضروری ہے اور اسے کسی بھی مطلوبہ حقیقی نمبر r سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔) عام طور پر، یہ کوئی مسئلہ نہیں ہے، کیونکہ Lp خالی جگہوں اور Sobolev خالی جگہوں کے نظریہ میں، تقریبا ہر جگہ برابر افعال کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ عقلی اعداد کی خصوصیت فنکشن کہیں بھی تفریق کے قابل نہیں ہے پھر بھی اس کا مشتق کمزور ہے۔ چونکہ عقلی اعداد کی لیبسگیو پیمائش صفر ہے، اس لیے اس کا ایک کمزور مشتق ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ہمارے وجدان سے متفق ہے کیونکہ جب ایل پی اسپیس کے ممبر کے طور پر سمجھا جاتا ہے، تو اس کی شناخت صفر فنکشن سے ہوتی ہے۔ تقریبا ہر جگہ تفریق کے قابل ہونے کے باوجود، کینٹر فنکشن c کا کوئی کمزور مشتق نہیں ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ c کے کسی بھی کمزور مشتق کو تقریبا ہر جگہ c کے کلاسیکی مشتق کے برابر ہونا پڑے گا، جو تقریبا ہر جگہ صفر ہے۔ لیکن صفر فنکشن سی کا کمزور مشتق نہیں ہے، جیسا کہ ایک مناسب ٹیسٹ فنکشن کے مقابلے میں دیکھا جا سکتا ہے۔ زیادہ نظریاتی طور پر، c کا کوئی کمزور مشتق نہیں ہے کیونکہ اس کا تقسیم مشتق، یعنی کینٹر کی تقسیم، ایک واحد پیمائش ہے اور اس لیے اسے کسی فنکشن کے ذریعے ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ اگر دو فنکشن ایک ہی فنکشن کے کمزور مشتقات ہیں، تو وہ برابر ہیں سوائے لیبسگیو پیمائش صفر والے سیٹ کے، یعنی وہ تقریبا ہر جگہ برابر ہیں۔ اگر ہم افعال کی مساوات کی کلاسوں پر غور کریں کہ دو افعال مساوی ہیں اگر وہ تقریبا ہر جگہ برابر ہیں، تو کمزور مشتق منفرد ہے۔ نیز، اگر u روایتی معنوں میں تفریق پذیر ہے تو اس کا کمزور مشتق اس کے روایتی (مضبوط) مشتق سے یکساں (اوپر دیے گئے معنی میں) ہے۔ اس طرح کمزور مشتق مضبوط مشتق کی عمومی شکل ہے۔ مزید برآں، جملوں اور افعال کے پروڈکٹس کے مشتقات کے کلاسیکی اصول بھی کمزور مشتقات کے لیے ہوتے ہیں۔ توسیعات یہ تصور سوبولیو خالی جگہوں میں کمزور حلوں کی تعریف کو جنم دیتا ہے، جو تفریق مساوات کے مسائل اور فعال تجزیہ کے لیے مفید ہیں۔ ذیلی مشتق ویل کا لیما (لیپلیس مساوات) حوالہ جات عمومی افعال فنکشنل تجزیہ مشتق عمومیات کی عمومییاں بھی دیکھیں۔