Mediant (mathematics)
ریاضی میں، دو حصوں کا میڈینٹ، جو عام طور پر چار مثبت عددوں پر مشتمل ہوتا ہے اور اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ یعنی، میڈینٹ کا نیومریٹر اور ڈینومینیٹر بالترتیب دیئے گئے حصوں کے نیومریٹرز اور ڈینومینیٹرز کے مجموعے ہیں۔ اسے بعض اوقات تازہ ترین رقم کہا جاتا ہے، کیونکہ فریکشن کے اضافے کے بارے میں سیکھنے کے ابتدائی مراحل میں یہ ایک عام غلطی ہے۔ تکنیکی طور پر، یہ درست فریکشنز (نان زیرو ڈینومینیٹر) پر ایک بائنری آپریشن ہے، جسے مناسب انٹیجرز کے ترتیب شدہ جوڑے کے طور پر سمجھا جاتا ہے، ایک ترجیحی جو کہ ریشنل نمبروں کے نقطہ نظر کو فریکشنز کی مساوات کلاسز کے طور پر نظر انداز کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، 1/1 اور 1/2 حصوں کا میڈینٹ 2/3 ہے۔ تاہم، اگر فریکشن 1/1 کو فریکشن 2/2 سے تبدیل کیا جائے، جو ایک مساوی فریکشن ہے جو ایک ہی عقلی نمبر 1 کو ظاہر کرتا ہے، تو فریکشن 2/2 اور 1/2 کا میڈینٹ 3/4 ہے۔ عقلی اعداد سے مضبوط تعلق کے لیے فریکشن کو سب سے کم اصطلاحات تک کم کرنے کی ضرورت پڑ سکتی ہے، اس طرح متعلقہ مساوات کی کلاسوں میں سے منفرد نمائندوں کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ سٹرن-بروکوٹ ٹری سب سے کم اصطلاحات میں ثالث کے ذریعے تمام مثبت عقلی اعداد کی گنتی فراہم کرتا ہے، جو خالصتا ایک سادہ الگورتھم کے مطابق ثالث کے تکراری حساب سے حاصل کیا جاتا ہے۔ میڈینٹ عدم مساوات: میڈینٹ کی ایک اہم خاصیت (اس کے نام کی بھی وضاحت) یہ ہے کہ یہ سختی سے ان دو حصوں کے درمیان واقع ہے جن میں وہ میڈینٹ ہے: اگر اور، تو یہ خاصیت دو رلیشنز اور کمپونینڈو اور ڈیویڈنڈو تھیوریمز سے ملتی ہے: اگر اور، تو کمپونینڈو: ڈیویڈنڈو: فرض کریں کہ فریکشن a/c اور b/d کا جوڑا تعین کن تعلق کو مطمئن کرتا ہے۔ پھر میڈینٹ کی خاصیت یہ ہے کہ یہ وقفہ (a/c، b/d) میں سب سے آسان حصہ ہے، اس معنی میں کہ یہ سب سے چھوٹے ڈینومینیٹر کے ساتھ حصہ ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر مثبت ڈینومینیٹر c 'والا فریکشن a/c اور b/d کے درمیان (سختی سے) واقع ہے، تو اس کے نیومریٹر اور ڈینومینیٹر کو دو مثبت حقیقی (درحقیقت عقلی) نمبروں کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ مثبت نوٹ کیوں ہونا چاہیے اور مثبت ہونا چاہیے۔ اس کے بعد تعین کن تعلق کا مطلب یہ ہے کہ دونوں کے لیے لکیری مساوات کے نظام کو حل کرتے ہوئے انٹیجر ہونا ضروری ہے۔ لہذا، الٹا بھی درست ہے: فرض کریں کہ کم شدہ حصوں a/c <b/d کی جوڑی کی خاصیت یہ ہے کہ وقفہ (a/c، b/d) میں موجود سب سے چھوٹے ڈینومینیٹر کے ساتھ کم شدہ حصہ دونوں حصوں کے میڈینٹ کے برابر ہے۔ پھر فیصلہ کن تعلق برقرار رہتا ہے۔ اس حقیقت کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے مثال کے طور پر پک تھیوریم کی مدد سے جو ایک طیارہ مثلث کے رقبے کو ظاہر کرتا ہے جس کے عمودی حصوں میں مثلث کے اندر جالی پوائنٹس (سختی سے) کے اندرونی نمبر اور مثلث کی حد پر جالی پوائنٹس کی حد کے لحاظ سے انٹیجر کوآرڈینیٹ ہوتے ہیں۔ تین عمودی v1 = (0، 0)، v2 = (a، c)، v3 = (b، d) والے مثلث پر غور کریں۔ اس کا رقبہ مثلث کے اندر ایک نقطہ کو پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے جہاں پک فارمولہ اب یہ ظاہر کرتا ہے کہ مثلث کے اندر ایک جالی نقطہ ہونا چاہیے جو تین عمودی سے مختلف ہے اگر (پھر مثلث کا رقبہ ہے)۔ متعلقہ فریکشن q1/q2 دیئے گئے (مفروضے کے لحاظ سے کم کیے گئے) فریکشنز کے درمیان (سختی سے) واقع ہے اور اس کا ڈینومینیٹر متعلقہ طور پر ہے، اگر p/q اور r/s یونٹ کے وقفے پر اس طرح کم کیے گئے فریکشنز ہیں کہ |ps − rq | = 1 (تاکہ وہ فیری ترتیب کی قطار کے ملحقہ عناصر ہوں) تو منکوسکی کا سوالیہ نشان فنکشن کہاں ہے۔ در حقیقت، ثالث عام طور پر مسلسل حصوں اور خاص طور پر فیری حصوں کے مطالعہ میں پائے جاتے ہیں۔ n ویں فیری ترتیب Fn کو کم شدہ حصوں a/b (کوپرائم a، b کے ساتھ) کی (شدت کے حوالے سے ترتیب دی گئی) ترتیب کے طور پر بیان کیا گیا ہے جیسے کہ b ≤ n۔ اگر دو حصے a/c <b/d Fn کے کسی حصے میں ملحقہ (پڑوسی) حصے ہیں تو اوپر بیان کردہ تعین کن تعلق عام طور پر درست ہے اور اس لیے درمیانی وقفہ (a/c، b/d) میں سب سے آسان حصہ ہے، اس معنی میں کہ یہ سب سے چھوٹے ڈینومینیٹر کے ساتھ حصہ ہے۔ اس طرح میڈینٹ پھر (پہلے) (c + d) ویں فیری ترتیب میں ظاہر ہوگا اور "اگلا" حصہ ہے جو a/c اور b/d کے درمیان کسی بھی فیری ترتیب میں داخل کیا جاتا ہے۔ اس سے یہ قاعدہ ملتا ہے کہ کس طرح فیری ترتیبات Fn کو بتدریج بڑھتے ہوئے n کے ساتھ بنایا جاتا ہے۔ ثالثوں کا گرافیکل تعین ایک مثبت عقلی نمبر اس شکل میں ہوتا ہے جہاں مثبت قدرتی اعداد ہوتے ہیں۔ ۔ مثبت عقلی اعداد کا مجموعہ، اس لیے خود کارٹیشین پروڈکٹ ہے ؛ یعنی۔ ۔ نقاط والا نقطہ عقلی عدد کی نمائندگی کرتا ہے، اور نقاط کی ابتدا کو اس نقطہ سے جوڑنے والے حصے کی ڈھلوان ہے۔ چونکہ کوپرائم ہونے کی ضرورت نہیں ہے، نقطہ ایک اور صرف ایک عقلی نمبر کی نمائندگی کرتا ہے، لیکن ایک عقلی نمبر کی نمائندگی ایک سے زیادہ نکات سے کی جاتی ہے۔ عقلی عدد کی تمام نمائشیں ہیں۔ یہ عقلی اعداد کی رسمی تعریف میں معمولی ترمیم ہے، جو انہیں مثبت اقدار تک محدود کرتی ہے، اور ترتیب شدہ جوڑے میں اصطلاحات کی ترتیب کو پلٹاتی ہے تاکہ حصے کی ڈھلوان عقلی نمبر کے برابر ہو جائے۔ دو نکات جہاں (ممکنہ طور پر مساوی) عقلی اعداد کی دو نمائندگی ہیں اور۔ نقاط کی ابتدا کو جوڑنے والے لکیر کے حصے متوازی ہندسے میں دو ملحقہ اطراف بناتے ہیں۔ نقاط کی ابتدا کے مخالف متوازی ہندسہ کا ورٹیکس نقطہ ہے، جو اور کا میڈینٹ ہے۔ متوازی ہندسہ کا رقبہ ہے، جو ویکٹر اور کے کراس پروڈکٹ کی شدت بھی ہے۔ یہ عقلی عدد مساوات کی رسمی تعریف کے مطابق ہے کہ رقبہ صفر ہے اگر اور مساوی ہے۔ اس صورت میں، ایک حصہ دوسرے کے ساتھ موافق ہوتا ہے، کیونکہ ان کی ڈھلوانیں برابر ہوتی ہیں۔ سٹرن بروکوٹ درخت میں دو مسلسل عقلی اعداد سے بنے متوازی ہندسے کا رقبہ ہمیشہ 1 ہوتا ہے۔ میڈینٹ کے تصور کو n حصوں میں عام کیا جا سکتا ہے، اور ایک عمومی میڈینٹ عدم مساوات برقرار ہے، یہ ایک ایسی حقیقت ہے جس پر ایسا لگتا ہے کہ سب سے پہلے کاچی نے توجہ دی تھی۔ مزید واضح طور پر، n حصوں کے وزن والے میڈینٹ کی تعریف (کے ساتھ) سے کی جاتی ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ان میں سے سب سے چھوٹے اور سب سے بڑے حصے کے درمیان کہیں ہے۔ میڈینٹ فیری سیکوینس سٹرن-بروکوٹ ٹری حوالہ جات بیرونی روابط میڈینٹ فریکشنز کٹ-دی-گٹ میتھ پیجز، کیون براؤن: جنرلائزڈ میڈینٹ فریکشنز (ریاضی) اعداد پر ابتدائی ریاضی کی کارروائیاں