Lerch zeta function
ریاضی میں، لرچ زیٹا فنکشن، جسے بعض اوقات ہرٹز-لرچ زیٹا فنکشن کہا جاتا ہے، ایک خاص فنکشن ہے جو ہرٹز زیٹا فنکشن اور پولی لوگرتھم کو عام کرتا ہے۔ اس کا نام چیک ریاضی دان میتھیاس لرچ کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1887 میں فنکشن کے بارے میں ایک مقالہ شائع کیا تھا۔ تعریف لرچ زیٹا فنکشن ایک متعلقہ فنکشن کے ذریعہ دی گئی ہے، لرچ ماورائی، کے ذریعہ دی گئی ہے۔ ماورائی صرف کسی حقیقی عدد کے لیے یکجا ہوتا ہے، جہاں:، یا، اور۔ ان دونوں کا تعلق ہے، کیونکہ انٹیگرل نمائندگی لرچ ٹرانسڈیننٹ کی ایک انٹیگرل نمائندگی ہے: ثبوت گاما فنکشن کی انٹیگرل تعریف کو لکھنے اور پھر رقم اور انٹیگرل کو تبدیل کرنے پر مبنی ہے۔ نتیجے میں انٹیگرل نمائندگی Re (s)> 0، اور Re (a)> 0 کے لیے یکجا ہوتی ہے۔ یہ تجزیاتی طور پر یونٹ ڈسک کے باہر Z تک جاری رہتا ہے۔ انٹیگرل فارمولا یہ بھی ہے کہ اگر z = 1، Re (s)> 1، اور Re (a)> 0 ؛ دیکھیں ہرٹز زیٹا فنکشن۔ ایک کنٹور انٹیگرل نمائندگی اس طرح دی جاتی ہے جہاں C مثبت حقیقی محور کے گرد گھڑی کی مخالف سمت میں ہینکل کنٹور ہے، جو انٹیگرینڈ کے قطبوں میں سے کسی بھی نقطہ (انٹیجر k کے لیے) کو گھیرے ہوئے نہیں ہے۔ انٹیگرل Re (a)> 0 فرض کرتا ہے۔ دیگر انٹیگرل نمائشیں ایک ہرمیٹ جیسی انٹیگرل نمائندگی کے لیے اور اس کے لیے دی جاتی ہے۔ اسی طرح کی نمائندگی میں مثبت z کے لیے ہولڈنگ اور ہولڈنگ شامل ہیں (اور زیادہ عام طور پر جہاں بھی انٹیگرل یکجا ہوتے ہیں)۔ مزید برآں، آخری فارمولا Lipschitz فارمولا کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ خصوصی معاملات لرچ زیٹا فنکشن اور لرچ ٹرانسڈیننٹ مختلف خصوصی افعال کو عام کرتے ہیں۔ ہرٹز زیٹا فنکشن ایک خاص معاملہ ہے پولی لوگرتھم ایک اور خاص معاملہ ہے: ریمن زیٹا فنکشن مذکورہ بالا دونوں کا ایک خاص معاملہ ہے: دیگر خاص معاملات میں شامل ہیں: ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن: ڈیرچلیٹ بیٹا فنکشن: لیجنڈری چی فنکشن: پولی گاما فنکشن: شناخت λ عقلی کے لیے، خلاصہ اتحاد کی جڑ ہے، اور اس طرح اسے ہرٹز زیٹا فنکشن پر ایک محدود رقم کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ اور کے ساتھ۔ پھر اور۔ مختلف شناختوں میں شامل ہیں: اور سیریز کی نمائندگی لرچ ماورائی کے لیے ایک سیریز کی نمائندگی اس کے ذریعے دی جاتی ہے (نوٹ جو کہ ایک بائنومیل گتانک ہے۔) یہ سلسلہ تمام s کے لیے درست ہے، اور پیچیدہ z کے لیے Re (z) <1/2 کے ساتھ درست ہے۔ ہرٹز زیٹا فنکشن کے لیے اسی طرح کی سیریز کی نمائندگی سے عمومی مشابہت کو نوٹ کریں۔ پہلے پیرامیٹر میں ایک ٹیلر سیریز آرتھر ایرڈلی نے دی تھی۔ اسے مندرجہ ذیل سیریز کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جو اس کے لیے درست ہے۔ اگر n ایک مثبت عدد ہے، تو دگما فنکشن کہاں ہے۔ تیسرے متغیر میں ٹیلر سیریز اس طرح دی جاتی ہے کہ پوچھممر کی علامت کہاں ہے۔ a = −n پر سیریز n = 0 کے لیے ایک خاص صورت میں درج ذیل سیریز ہوتی ہے جہاں پولی لوگرتھم ہوتا ہے۔ نامکمل گاما فنکشن کے لیے اور اس کے لیے ایک ایسمپٹوٹک سیریز ایک عام ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے طور پر نمائندگی غیر علامتی توسیع ہے پولی لوگرتھم فنکشن کو لیٹ فار اور کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو بڑے اور فکسڈ کے لیے ایک ایسمپٹوٹک توسیع ہے اور اس کے ذریعے دیا گیا ہے، جہاں پوچھیمر کی علامت ہے۔ آئیے اس کے ٹیلر کوفیشنٹس ہوں۔ پھر فکسڈ اور اس کے لیے۔ سافٹ ویئر دی لرچ ٹرانسسینڈنٹ کو میپل اور میتھمیٹکا میں لرچ فائی کے طور پر اور ایم پی میتھ اور سمپی میں لرچ فائی کے طور پر لاگو کیا گیا ہے۔ حوالہ جات۔ ۔ (دیکھیں § 1.11، "فنکشن χ (z، s، v)"، صفحہ 27)۔ (تعارف میں مختلف بنیادی شناخت شامل ہیں۔) ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط۔ راموناس گرنکسٹس، ہوم پیج (2005) (متعدد حوالہ جات اور پری پرنٹس فراہم کرتا ہے۔) زیٹا اور ایل فنکشنز