Lychrel number
لائکرل نمبر ایک قدرتی نمبر ہے جو بار بار اپنے ہندسوں کو الٹا کرنے اور نتیجے میں آنے والے نمبروں کو شامل کرنے کے تکراری عمل کے ذریعے پیلینڈروم نہیں بنا سکتا۔ اس عمل کو بعض اوقات عمل سے وابستہ سب سے مشہور نمبر کے بعد 196-الگورتھم کہا جاتا ہے۔ بیس ٹین میں، ابھی تک کوئی لائکرل نمبر موجود ثابت نہیں ہوا ہے، لیکن 196 سمیت بہت سے، تحقیقی اور شماریاتی بنیادوں پر مشتبہ ہیں۔ "لیچرل" نام ویڈ وان لینڈنگھم نے اپنی گرل فرینڈ کے پہلے نام "چیرل" کے ایک کھردری اناگرام کے طور پر وضع کیا تھا۔ ریورس اینڈ ایڈ کا عمل ریورس اینڈ ایڈ کا عمل کسی نمبر کا مجموعہ اور اس کے ہندسوں کی ترتیب کو الٹ کر بننے والی تعداد پیدا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر 56 + 65 = 121۔ ایک اور مثال کے طور پر، 125 + 521 = 646۔ کچھ اعداد بار بار الٹنے اور اضافے کے بعد تیزی سے پیلینڈروم بن جاتے ہیں، اور اس وجہ سے وہ لائکرل نمبر نہیں ہوتے ہیں۔ تمام ایک ہندسوں اور دو ہندسوں کے اعداد بالآخر بار بار الٹ اور اضافے کے بعد پیلینڈروم بن جاتے ہیں۔ 10, 000 سے کم تمام اعداد میں سے تقریبا 80 ٪ چار یا اس سے کم مراحل میں پیلینڈروم میں حل ہوتے ہیں۔ ان میں سے تقریبا 90 ٪ سات مراحل یا اس سے کم میں حل ہوتے ہیں۔ غیر لیکریل نمبروں کی چند مثالیں یہ ہیں: ایک تکرار کے بعد 56 پیلینڈرومک ہو جاتا ہے: 56+65 = 121۔ 57 دو تکرار کے بعد پیلینڈرومک ہو جاتا ہے: 57+75 = 132، 132+231 = 363۔ 59 تین تکرار کے بعد پیلینڈروم بن جاتا ہے: 59+95 = 154، 154+451 = 605، 605+506 = 1111 89 پیلینڈروم 8813200023188 تک پہنچنے کے لیے غیر معمولی طور پر بڑے 24 تکرار (10,000 سے کم کسی بھی نمبر کا سب سے زیادہ جو پیلینڈروم میں حل ہونے کے لیے جانا جاتا ہے) لیتا ہے۔ 10, 911 55 مراحل کے بعد پیلینڈروم 46687315966684224866951378664 (28 ہندسوں) تک پہنچتے ہیں۔ 1,186,060، 307,891,929، 990 119 ہندسوں کے پیلینڈروم 44562665878976462243784897665387038888478366259842585563436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544 تک پہنچنے کے لیے 261 تکرار لیتا ہے، جو کہ سب سے زیادہ تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبر کا سابقہ عالمی ریکارڈ تھا۔ اسے 30 نومبر 2005 کو جیسن ڈوسیٹ کے الگورتھم اور پروگرام (بینجمن ڈیسپریس کے ریورسل-ایڈیشن کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے) کے ذریعے حل کیا گیا تھا۔ 23 جنوری، 2017 کو ایک روسی اسکول کے لڑکے، آندرے ایس شیبیٹوف نے اپنی ویب سائٹ پر اعلان کیا کہ اسے پہلے 126 نمبروں (ان میں سے 125 نے پہلے کبھی اطلاع نہیں دی) کا ایک سلسلہ ملا ہے جو 119 ہندسوں کے پیلینڈروم تک پہنچنے کے لیے بالکل 261 قدم اٹھاتا ہے۔ یہ سلسلہ او ای آئی ایس میں اے 281506 کے طور پر شائع ہوا تھا۔ یہ ترتیب 1,186,060، 307,891,929، 990 سے شروع ہوئی-اس وقت تک جیسن ڈوسیٹ کو 2005 میں پایا جانے والا واحد عوامی نمبر تھا۔ 12 مئی 2017 کو اس ترتیب کو مجموعی طور پر 108864 اصطلاحات تک بڑھا دیا گیا اور اس میں 261 مراحل کی تاخیر کے ساتھ پہلے 108864 تاخیر شدہ پیلینڈروم شامل تھے۔ توسیع شدہ ترتیب 1,999,291، 987,030,606، 810 کے ساتھ ختم ہوئی-یہ اس کی سب سے بڑی اور آخری مدت ہے۔ 26 اپریل 2019 کو، روب وین نوبلین نے سب سے زیادہ تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبر کے لیے ایک نیا عالمی ریکارڈ مرتب کیا: 12,000,700، 000,025,339، 936,491، 148 تکرار لے کر ایک 142 ہندسوں کے پیلینڈروم 6634344554418817836515449762249922269477578658804522289750565967788776956505798222540884856875774962229942266679445156387188144554434366 تک پہنچ گیا۔ 5 جنوری 2021 کو، انٹون اسٹیفانوف نے دو نئے سب سے زیادہ تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبروں کا حساب لگایا: 13968441660506503386020 اور 13568441660506503386420 289 تکرار لے کر اسی 142 ہندسوں کے پیلینڈروم تک پہنچ جاتے ہیں جیسا کہ روب وین نوبلن نمبر۔ 14 دسمبر 2021 کو، دمتری ماسلوف نے سب سے زیادہ تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبر کے لیے ایک نیا عالمی ریکارڈ مرتب کیا: 1,000,206، 827,388,999، 999,095,750 132 ہندسوں کے پیلینڈروم 880226615529884733302652697686444333433887733883465996765424854458424567699564388337788334333444646867962562033374888925516622088 او ای آئی ایس ترتیب A326414 میں 19353600 اصطلاحات ہیں جن میں فی الحال 288 مراحل کی تاخیر معلوم ہے۔ A281506 سے کوئی بھی نمبر اعلی آرڈر 261-مرحلہ پیلینڈروم کی تعمیر کے لیے بنیادی بنیاد کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 1,999,291، 987,030,606، 810 کی بنیاد پر درج ذیل نمبر 19992919870306068100000000000000000000000000000000000000000000000001999291987030606810 بھی 238 ہندسوں کا پیلینڈروم 445626658789764376224378489766570388884783662598425855634369552482663874888830785667984873422 بن جاتا ہے۔ سب سے چھوٹا عدد جو پیلینڈروم بنانے کے لیے نہیں جانا جاتا وہ 196 ہے۔ اس لیے یہ سب سے چھوٹا لائکرل نمبر امیدوار ہے۔ لیکریل نمبر کے ہندسوں کے صفر میں ختم نہ ہونے کے الٹ جانے کے نتیجے میں آنے والا نمبر بھی ایک لیکریل نمبر ہے۔ عمل کی رسمی تعریف ایک قدرتی عدد ہونے دیں۔ ہم نمبر بیس b> 1 کے لیے لائکرل فنکشن کی وضاحت کرتے ہیں، مندرجہ ذیل ہونے کے لیے: بیس میں نمبر میں ہندسوں کی تعداد کہاں ہے، اور نمبر کے ہر ہندسوں کی قیمت ہے۔ ایک عدد ایک لائکرل عدد ہے اگر کوئی قدرتی عدد موجود نہ ہو، جہاں ثبوت کی-th تکرار نہیں پائی جاتی ہے۔ دوسرے اڈوں میں (یہ بیس 2 کی طاقتیں ہیں، جیسے بائنری اور ہیکساڈیسیمل)، بعض اعداد کو بار بار الٹ اور اضافے کے بعد کبھی بھی پیلینڈروم نہیں بنانے کے لیے ثابت کیا جا سکتا ہے، لیکن 196 اور دیگر بیس 10 نمبروں کے لیے ایسا کوئی ثبوت نہیں ملا ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ 196 اور دیگر اعداد جنہوں نے ابھی تک پیلینڈروم حاصل نہیں کیا ہے وہ لیکریل نمبر ہیں، لیکن بیس ٹین میں کوئی نمبر ابھی تک لیکریل ثابت نہیں ہوا ہے۔ جن نمبروں کو غیر لیکریل نہیں دکھایا گیا ہے انہیں غیر رسمی طور پر "امیدوار لیکریل" نمبر کہا جاتا ہے۔ امیدواروں کے پہلے چند نمبر ہیں: 196، 295، 394، 493، 592، 689، 691، 788، 790، 879، 887، 978، 986، 1495، 1497، 1585، 1587، 1675، 1677، 1765، 1767، 1855، 1857، 1945، 1947، 1997۔ بولڈ میں موجود اعداد مشتبہ لائکرل بیج کے اعداد ہیں (نیچے دیکھیں)۔ جیسن ڈوسیٹ، ایان پیٹرز اور بینجمن ڈیسپریس کے کمپیوٹر پروگراموں نے دیگر لائکرل امیدواروں کو تلاش کیا ہے۔ درحقیقت، بینجمن ڈیسپریس کے پروگرام نے 17 ہندسوں سے کم کے تمام مشتبہ لائکرل بیج نمبروں کی نشاندہی کی ہے۔ ویڈ وان لینڈنگھم کی سائٹ پر ہر ہندسوں کی لمبائی کے لیے پائے جانے والے مشتبہ لیکرل بیج نمبروں کی کل تعداد درج ہے۔ بروٹ فورس کا طریقہ جو اصل میں جان واکر نے استعمال کیا تھا اسے تکرار کے طرز عمل سے فائدہ اٹھانے کے لیے بہتر بنایا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، واگن سویٹ نے ایک ایسا پروگرام وضع کیا جو ہر تکرار کے صرف پہلے اور آخری چند ہندسوں کو محفوظ کرتا ہے، جس سے ہر پورے تکرار کو فائل میں محفوظ کیے بغیر لاکھوں تکرار میں ہندسوں کے نمونوں کی جانچ کی جا سکتی ہے۔ تاہم، اب تک کوئی الگورتھم تیار نہیں کیا گیا ہے جو الٹ پلٹ اور اضافی تکرار کے عمل کو روک سکے۔ دھاگے، بیج اور رشتہ دار نمبر تھریڈ کی اصطلاح، جو جیسن ڈوسیٹ نے تیار کی ہے، ان اعداد کی ترتیب سے مراد ہے جو الٹے اور اضافی عمل کے ذریعے پیلینڈروم کا باعث بن سکتے ہیں یا نہیں۔ کوئی بھی دیا ہوا بیج اور اس سے وابستہ رشتہ دار نمبر ایک ہی دھاگے پر یکجا ہوں گے۔ دھاگے میں اصل بیج یا رشتہ دار نمبر شامل نہیں ہوتا ہے، لیکن صرف وہ نمبر شامل ہوتے ہیں جو ان کے یکجا ہونے کے بعد دونوں کے لیے مشترک ہوتے ہیں۔ بیج کے اعداد لیکریل نمبروں کا ایک ذیلی مجموعہ ہیں، جو کہ ہر غیر پیلینڈروم پیدا کرنے والے دھاگے کی سب سے چھوٹی تعداد ہے۔ ایک بیج نمبر خود ایک پیلینڈروم ہو سکتا ہے۔ پہلی تین مثالیں اوپر کی فہرست میں بولڈ میں دکھائی گئی ہیں۔ کن نمبر لیکریل نمبروں کا ایک ذیلی مجموعہ ہے، جس میں دھاگے کے تمام نمبر شامل ہوتے ہیں، سوائے بیج کے، یا کوئی بھی نمبر جو ایک تکرار کے بعد دیئے گئے دھاگے پر یکجا ہوتا ہے۔ یہ اصطلاح کوجی یاماشیتا نے 1997 میں متعارف کرائی تھی۔ 196 پیلینڈروم کویسٹ کیونکہ 196 (بیس-10) سب سے چھوٹا امیدوار لیکریل نمبر ہے، اس نے سب سے زیادہ توجہ حاصل کی ہے۔ 1980 کی دہائی میں، 196 پیلینڈروم کے مسئلے نے مائیکرو کمپیوٹر کے شوقین افراد کی توجہ مبذول کروائی، جس میں جم بٹر فیلڈ اور دیگر کے سرچ پروگرام کئی ماس مارکیٹ کمپیوٹنگ میگزینوں میں شائع ہوئے۔ 1985 میں جیمز کلمین کا ایک پروگرام 28 دنوں سے زیادہ تک ناکام رہا، 12,954 پاس کے ذریعے سائیکل چلا کر 5366 ہندسوں تک پہنچ گیا۔ جان واکر نے اپنا 196 پیلینڈروم کویسٹ 12 اگست 1987 کو سن 3/260 ورک سٹیشن پر شروع کیا۔ انہوں نے الٹ اور اضافی تکرار انجام دینے اور ہر قدم کے بعد پیلینڈروم کی جانچ کرنے کے لیے ایک سی پروگرام لکھا۔ پروگرام کم ترجیح کے ساتھ پس منظر میں چلتا تھا اور ہر دو گھنٹے بعد ایک فائل پر ایک چیک پوائنٹ تیار کرتا تھا اور جب سسٹم بند ہوتا تھا، تو اب تک پہنچنے والے نمبر اور تکرار کی تعداد کو ریکارڈ کرتا تھا۔ یہ ہر شٹ ڈاؤن کے بعد آخری چیک پوائنٹ سے خود بخود دوبارہ شروع ہو جاتا ہے۔ یہ تقریبا تین سال تک جاری رہا، پھر 24 مئی 1990 کو اس پیغام کے ساتھ (ہدایت کے مطابق) ختم کر دیا گیا: پاس 2,415,836 پر اسٹاپ پوائنٹ پہنچ گیا۔ نمبر میں 1,000,000 ہندسے ہوتے ہیں۔ 2,415,836 تکرار کے بعد پیلینڈروم تک پہنچے بغیر 196 دس لاکھ ہندسوں کی تعداد میں بڑھ گیا تھا۔ واکر نے اپنے نتائج کو آخری چیک پوائنٹ کے ساتھ انٹرنیٹ پر شائع کیا، اور دوسروں کو اب تک پہنچ چکے نمبر کا استعمال کرتے ہوئے تلاش دوبارہ شروع کرنے کی دعوت دی۔ 1995 میں، ٹم ارون اور لیری سمکنز نے ایک ملٹی پروسیسر کمپیوٹر استعمال کیا اور پیلینڈروم تلاش کیے بغیر صرف تین مہینوں میں دو ملین ہندسوں کے نشان تک پہنچ گئے۔ اس کے بعد جیسن ڈوسیٹ نے بھی اس کی پیروی کی اور مئی 2000 میں 12.5 ملین ہندسوں تک پہنچ گیا۔ ویڈ وان لینڈنگھم نے جیسن ڈوسیٹ کے پروگرام کو 13 ملین ہندسوں تک پہنچنے کے لیے استعمال کیا، یہ ریکارڈ یس میگ: کینیڈا کے سائنس میگزین فار کڈز میں شائع ہوا۔ جون 2000 سے، ویڈ وان لینڈنگھم مختلف شائقین کے لکھے ہوئے پروگراموں کا استعمال کرتے ہوئے پرچم اٹھا رہے ہیں۔ یکم مئی 2006 تک، وان لینڈنگھم 300 ملین ہندسوں کے نشان تک پہنچ چکا تھا (ہر 5 سے 7 دن میں ایک ملین ہندسوں کی شرح سے)۔ تقسیم شدہ پروسیسنگ کا استعمال کرتے ہوئے، 2011 میں رومان ڈولبیو نے 413,930,770 ہندسوں کے ساتھ ایک نمبر تیار کرنے کے لیے ایک ارب تکرار مکمل کیے، اور فروری 2015 میں ان کا حساب ایک ارب ہندسوں کے ساتھ ایک نمبر پر پہنچ گیا۔ ابھی تک پیلینڈروم نہیں ملا ہے۔ دیگر ممکنہ لائکرل نمبر جن کو بھی بار بار الٹ اضافے کے اسی بروٹ فورس طریقہ کار کا نشانہ بنایا گیا ہے ان میں 879، 1997 اور 7059 شامل ہیں: انہیں کئی ملین تکرار پر لے جایا گیا ہے جس میں کوئی پیلینڈروم نہیں ملا ہے۔ بیس 2 میں دیگر بیس 10110 (اعشاریہ میں 22) ایک لائکرل نمبر ثابت ہوا ہے، کیونکہ 4 مراحل کے بعد یہ 10110100 تک پہنچ جاتا ہے، 8 مراحل کے بعد یہ 1011101000 تک پہنچ جاتا ہے، 12 مراحل کے بعد یہ 101111010000 تک پہنچ جاتا ہے، اور عام طور پر 4n مراحل کے بعد یہ 10 پر مشتمل نمبر تک پہنچ جاتا ہے، اس کے بعد n + 1 والے، اس کے بعد 01، اس کے بعد n + 1 صفر ہوتے ہیں۔ یہ نمبر واضح طور پر پیلینڈروم نہیں ہو سکتا، اور ترتیب میں موجود دیگر نمبروں میں سے کوئی بھی پیلینڈروم نہیں ہے۔ لائکرل نمبر مندرجہ ذیل اڈوں میں موجود ثابت ہوئے ہیں: 11، 17، 20، 26 اور 2 کی تمام طاقتیں۔ کسی بھی بیس میں بیس سے چھوٹا کوئی لائکرل نمبر نہیں ہوتا ہے۔ در حقیقت، کسی بھی بیس بی میں، کوئی بھی ایک ہندسوں کا نمبر پیلینڈروم بنانے کے لیے دو سے زیادہ تکرار نہیں لیتا ہے۔ b> 4 کے لیے، اگر k <b/2 ہے تو k ایک تکرار کے بعد پیلینڈرومک بن جاتا ہے: k + k = 2k، جو بیس b میں ایک ہندسوں کا ہوتا ہے (اور اس طرح ایک پیلینڈروم)۔ اگر k> b/2 ہے، تو k دو تکرار کے بعد پیلینڈرومک ہو جاتا ہے۔ ہر بیس میں سب سے چھوٹا نمبر جو ممکنہ طور پر لائکرل نمبر ہو سکتا ہے وہ یہ ہے: منفی انٹیجرز تک توسیع لائکرل نمبروں کو ہر انٹیجر کی نمائندگی کے لیے دستخط شدہ ہندسوں کی نمائندگی کے استعمال سے منفی انٹیجرز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ارتھمیٹک ڈائنامکس پیلینڈرومک نمبر حوالہ جات بیرونی روابط جان واکر-تین سال کے کمپیوٹنگ ٹم ارون-تقریبا دو ماہ کے کمپیوٹنگ جیسن ڈوسیٹ-عالمی ریکارڈ-196 پیلینڈروم کویسٹ، سب سے زیادہ تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبر بینجمن ڈیسپریس 196 اور دیگر لائکرل نمبرز بذریعہ ویڈ وان لینڈنگھم میتھ پیجز-ڈیجیٹ ریورسل سمز لیڈنگ ٹو پیلینڈرومز نمبر فائل تمام معروف تاخیر شدہ پیلینڈرومک نمبرز-دمتری ماسلوف، ایم ڈی پی این پروجیکٹ تاخیر شدہ پیلینڈروم کی جانچ-دمتری ماسلوف، ایم ڈی پی این پروجیکٹ ارتھمیٹک ڈائنامکس بیس پر منحصر انٹیجر سیکوینس نمبر تھیوری میں حل شدہ مسائل