Differential equation
ریاضیات میں تفریق مساوات ایک ایسی مساوات ہے جو ایک یا زیادہ نامعلوم افعال اور ان کے مشتقات سے متعلق ہے۔ ایپلی کیشنز میں، افعال عام طور پر جسمانی مقداروں کی نمائندگی کرتے ہیں، مشتقات ان کی تبدیلی کی شرحوں کی نمائندگی کرتے ہیں، اور تفریق مساوات دونوں کے درمیان تعلقات کی وضاحت کرتی ہے۔ اس طرح کے تعلقات مشترک ہیں ؛ اس لیے تفریقی مساوات انجینئرنگ، طبیعیات، معاشیات اور حیاتیات سمیت بہت سے شعبوں میں نمایاں کردار ادا کرتی ہیں۔ تفریق مساوات کا مطالعہ بنیادی طور پر ان کے حلوں (افعال کا مجموعہ جو ہر مساوات کو مطمئن کرتا ہے)، اور ان کے حلوں کی خصوصیات کے مطالعہ پر مشتمل ہوتا ہے۔ صرف سب سے آسان تفریقی مساوات واضح فارمولوں کے ذریعے گھلنشیل ہوتی ہیں ؛ تاہم، کسی دی گئی تفریقی مساوات کے حل کی بہت سی خصوصیات کا تعین ان کا درست حساب لگائے بغیر کیا جا سکتا ہے۔ اکثر جب حل کے لیے ایک بند شکل کا اظہار دستیاب نہیں ہوتا ہے، تو حل کا تخمینہ کمپیوٹر کا استعمال کرتے ہوئے عددی طور پر لگایا جا سکتا ہے۔ متحرک نظاموں کا نظریہ تفریق مساوات کے ذریعے بیان کردہ نظاموں کے کوالٹی تجزیہ پر زور دیتا ہے، جبکہ ایک مقررہ حد تک درستگی کے ساتھ حل کا تعین کرنے کے لیے بہت سے عددی طریقے تیار کیے گئے ہیں۔ تفریقی مساوات نیوٹن اور لیبنز کے کیلکولس کی ایجاد کے ساتھ وجود میں آئیں۔ آئزک نیوٹن نے اپنے 1671 کے کام میتھوڈس فلکسیونم ایٹ سیریم انفینیٹرم کے باب 2 میں تین قسم کی تفریقی مساوات کو درج کیا: ان تمام صورتوں میں، (یا اور) کا ایک نامعلوم فعل ہے، اور یہ ایک دی گئی فعل ہے۔ وہ ان مثالوں اور دیگر کو لامحدود سیریز کا استعمال کرتے ہوئے حل کرتا ہے اور حل کی غیر انفرادیت پر تبادلہ خیال کرتا ہے۔ جیکب برنولی نے 1695 میں برنولی تفریق مساوات کی تجویز پیش کی۔ یہ اس شکل کی ایک عام تفریقی مساوات ہے جس کے لیے اگلے سال لیبنز نے اسے آسان بنا کر حل حاصل کیا۔ تاریخی طور پر، میوزیکل انسٹرومنٹ جیسے کمپن کرنے والے تار کے مسئلے کا مطالعہ جین لی رونڈ ڈی المبرٹ، لیون ہارڈ اویلر، ڈینیل برنولی اور جوزف لوئس لگرینج نے کیا تھا۔ 1746 میں، ڈی ایلمبرٹ نے یک جہتی لہر مساوات دریافت کی، اور دس سالوں کے اندر اویلر نے تین جہتی لہر مساوات دریافت کی۔ یولر-لاگرانج مساوات 1750 کی دہائی میں یولر اور لاگرانج نے ٹاٹوکرون کے مسئلے کے مطالعے کے سلسلے میں تیار کی تھی۔ یہ ایک منحنی خطوط کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے جس پر ایک وزن والا ذرہ ایک مقررہ وقت میں ایک مقررہ نقطہ پر گر جائے گا، جو نقطہ آغاز سے آزاد ہے۔ لگرینج نے 1755 میں اس مسئلے کو حل کیا اور اس کا حل اویلر کو بھیجا۔ دونوں نے لگرینج کا طریقہ مزید تیار کیا اور اسے میکانکس پر لاگو کیا، جس کی وجہ سے لگرینجین میکانکس کی تشکیل ہوئی۔ 1822 میں، فورئیر نے حرارت کے بہاؤ پر اپنا کام تھیوری اینالیٹک ڈی لا چیلیور (دی اینالیٹک تھیوری آف ہیٹ) میں شائع کیا، جس میں انہوں نے اپنی استدلال کو نیوٹن کے کولنگ کے قانون پر مبنی کیا، یعنی کہ دو ملحقہ مالیکیولز کے درمیان حرارت کا بہاؤ ان کے درجہ حرارت کے انتہائی چھوٹے فرق کے متناسب ہے۔ اس کتاب میں فورئیر کی حرارت کے کنڈکٹو پھیلاؤ کے لیے اپنی حرارت کی مساوات کی تجویز شامل تھی۔ یہ جزوی تفریق مساوات اب ریاضیاتی طبیعیات کے نصاب کا ایک مشترکہ حصہ ہے۔ مثال کلاسیکی میکانکس میں، کسی شے کی حرکت کو اس کی پوزیشن اور رفتار سے بیان کیا جاتا ہے کیونکہ وقت کی قیمت مختلف ہوتی ہے۔ نیوٹن کے قوانین ان متغیرات کو وقت کی تقریب کے طور پر جسم کی نامعلوم پوزیشن کے لیے تفریقی مساوات کے طور پر متحرک طور پر (جسم پر کام کرنے والی پوزیشن، رفتار، ایکسلریشن اور مختلف قوتوں کو دیکھتے ہوئے) ظاہر کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ بعض صورتوں میں، اس تفریقی مساوات (جسے حرکت کی مساوات کہا جاتا ہے) کو واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ تفریق مساوات کا استعمال کرتے ہوئے حقیقی دنیا کے مسئلے کو ماڈلنگ کرنے کی ایک مثال صرف کشش ثقل اور ہوا کی مزاحمت پر غور کرتے ہوئے ہوا سے گرنے والی گیند کی رفتار کا تعین ہے۔ زمین کی طرف گیند کا ایکسلریشن کشش ثقل کی وجہ سے ہوا کی مزاحمت کی وجہ سے ہونے والی ایکسلریشن مائنس ڈیسلریشن ہے۔ کشش ثقل کو مستقل سمجھا جاتا ہے، اور ہوا کی مزاحمت کو گیند کی رفتار کے متناسب نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ گیند کی ایکسلریشن، جو اس کی رفتار سے ماخوذ ہے، رفتار پر منحصر ہے (اور رفتار وقت پر منحصر ہے)۔ رفتار کو وقت کی تقریب کے طور پر تلاش کرنے میں تفریق مساوات کو حل کرنا اور اس کی صداقت کی تصدیق کرنا شامل ہے۔ متفرق مساوات کو کئی اقسام میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ مساوات کی خصوصیات کو بیان کرنے کے علاوہ، تفریقی مساوات کی یہ کلاسیں حل کے نقطہ نظر کے انتخاب کو مطلع کرنے میں مدد کر سکتی ہیں۔ عام طور پر استعمال ہونے والے امتیازات میں یہ شامل ہے کہ آیا مساوات عام یا جزوی، لکیری یا غیر لکیری، اور یکساں یا متنوع ہے۔ یہ فہرست مکمل نہیں ہے۔ تفریقی مساوات کی بہت سی دیگر خصوصیات اور ذیلی کلاسیں ہیں جو مخصوص سیاق و سباق میں بہت مفید ثابت ہو سکتی ہیں۔ ایک عام تفریق مساوات (ODE) ایک ایسی مساوات ہے جس میں ایک حقیقی یا پیچیدہ متغیر، اس کے مشتقات، اور اس کے کچھ دیئے گئے افعال کی نامعلوم فنکشن ہوتی ہے۔ نامعلوم فنکشن کی نمائندگی عام طور پر ایک متغیر (اکثر ظاہر کیا جاتا ہے) کے ذریعے کی جاتی ہے، جس پر، اس لیے انحصار کرتا ہے۔ اس طرح اکثر مساوات کا آزاد متغیر کہا جاتا ہے۔ "عام" کی اصطلاح جزوی تفریق مساوات کی اصطلاح کے برعکس استعمال ہوتی ہے، جو ایک سے زیادہ آزاد متغیر کے حوالے سے ہو سکتی ہے۔ لکیری تفریقی مساوات وہ تفریقی مساوات ہیں جو نامعلوم فعل اور اس کے مشتقات میں لکیری ہوتی ہیں۔ ان کا نظریہ اچھی طرح سے تیار ہے، اور بہت سے معاملات میں کوئی انٹیگرلز کے لحاظ سے اپنے حل کا اظہار کر سکتا ہے۔ طبیعیات میں پائے جانے والے زیادہ تر ODE لکیری ہوتے ہیں۔ لہذا، زیادہ تر خاص افعال کو لکیری تفریق مساوات کے حل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (دیکھیں ہولونومک فنکشن)۔ چونکہ، عام طور پر، تفریقی مساوات کے حل کا اظہار بند شکل کے اظہار سے نہیں کیا جا سکتا، اس لیے عددی طریقے عام طور پر کمپیوٹر پر تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں۔ جزوی تفریقی مساوات (پی ڈی ای) ایک تفریقی مساوات ہے جس میں نامعلوم کثیر متغیر افعال اور ان کے جزوی مشتقات ہوتے ہیں۔ (یہ عام تفریقی مساوات کے برعکس ہے، جو ایک واحد متغیر کے افعال اور ان کے مشتقات سے متعلق ہیں۔) پی ڈی ایز کا استعمال کئی متغیرات کے افعال سے متعلق مسائل کو مرتب کرنے کے لیے کیا جاتا ہے، اور یا تو بند شکل میں حل کیے جاتے ہیں، یا متعلقہ کمپیوٹر ماڈل بنانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ پی ڈی ایز کو فطرت میں مختلف قسم کے مظاہر جیسے آواز، حرارت، الیکٹروسٹیٹکس، الیکٹرو ڈائنامکس، سیال کے بہاؤ، لچک، یا کوانٹم میکانکس کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان بظاہر الگ جسمانی مظاہر کو پی ڈی ایز کے لحاظ سے اسی طرح باقاعدہ بنایا جا سکتا ہے۔ جس طرح عام تفریقی مساوات اکثر یک جہتی متحرک نظاموں کا نمونہ بناتی ہیں، اسی طرح جزوی تفریقی مساوات اکثر کثیر جہتی نظاموں کا نمونہ بناتی ہیں۔ اسٹوکاسٹک جزوی تفریق مساوات بے ترتیب ماڈلنگ کے لیے جزوی تفریق مساوات کو عام کرتی ہیں۔ غیر لکیری تفریق مساوات غیر لکیری تفریق مساوات ایک تفریق مساوات ہے جو نامعلوم فنکشن میں لکیری مساوات نہیں ہے اور اس کے مشتقات (فنکشن کے دلائل میں لکیری یا غیر لکیری کو یہاں نہیں سمجھا جاتا ہے)۔ غیر لکیری تفریق مساوات کو درست طریقے سے حل کرنے کے بہت کم طریقے ہیں۔ جو معلوم ہیں وہ عام طور پر مخصوص ہم آہنگی والی مساوات پر منحصر ہوتے ہیں۔ غیر لکیری تفریق مساوات طویل وقت کے وقفوں پر بہت پیچیدہ رویے کی نمائش کر سکتی ہیں، جو افراتفری کی خصوصیت ہے۔ یہاں تک کہ وجود کے بنیادی سوالات، انفرادیت، اور غیر لکیری تفریقی مساوات کے حل کی توسیع پذیری، اور غیر لکیری پی ڈی ایز کے لیے ابتدائی اور باؤنڈری ویلیو کے مسائل کی اچھی پوزیشن مشکل مسائل ہیں اور خاص صورتوں میں ان کے حل کو ریاضیاتی نظریہ میں ایک اہم پیش رفت سمجھا جاتا ہے۔ نیویئر-اسٹاک کا وجود اور نرمی)۔ تاہم، اگر تفریق مساوات کسی بامعنی جسمانی عمل کی صحیح طریقے سے وضع کردہ نمائندگی ہے، تو کوئی اس کے حل کی توقع کرتا ہے۔ لکیری تفریق مساوات اکثر غیر لکیری مساوات کے تخمینے کے طور پر ظاہر ہوتی ہیں۔ یہ تخمینے صرف محدود شرائط کے تحت درست ہیں۔ مثال کے طور پر، ہارمونک آسکیلیٹر مساوات غیر لکیری پنڈلم مساوات کا ایک تخمینہ ہے جو چھوٹے طول و عرض کے ارتعاش کے لیے درست ہے۔ مساوات کی ترتیب اور ڈگری تفریق مساوات کی ترتیب نامعلوم فنکشن کے مشتق کی اعلی ترین ترتیب ہے جو تفریق مساوات میں ظاہر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مساوات جس میں صرف فرسٹ آرڈر مشتقات ہوتے ہیں وہ فرسٹ آرڈر تفریق مساوات ہوتی ہے، ایک مساوات جس میں سیکنڈ آرڈر مشتقات ہوتا ہے وہ سیکنڈ آرڈر تفریق مساوات ہوتی ہے، اور اسی طرح۔ جب اسے نامعلوم فعل اور اس کے مشتقات میں کثیر الجہتی مساوات کے طور پر لکھا جاتا ہے، تو اس کی تفریقی مساوات کی ڈگری، سیاق و سباق کے لحاظ سے، نامعلوم فعل کے سب سے زیادہ مشتق میں کثیر الجہتی ڈگری، یا نامعلوم فعل اور اس کے مشتقات میں اس کی کل ڈگری ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ایک لکیری تفریق مساوات میں دونوں معانی کے لیے ڈگری ایک ہوتی ہے، لیکن غیر لکیری تفریق مساوات پہلے معنی کے لیے ڈگری ایک کی ہوتی ہے لیکن دوسرے کے لیے نہیں۔ تفریقی مساوات جو قدرتی مظاہر کو بیان کرتی ہیں ان میں تقریبا ہمیشہ صرف پہلے اور دوسرے درجے کے مشتقات ہوتے ہیں، لیکن کچھ مستثنیات ہیں، جیسے کہ پتلی فلم کی مساوات، جو کہ چوتھے درجے کی جزوی تفریقی مساوات ہے۔ مثالوں کے پہلے گروپ میں u x کی ایک نامعلوم فنکشن ہے، اور c اور ω وہ مستقلات ہیں جن کے بارے میں معلوم ہونا چاہیے۔ عام اور جزوی تفریق مساوات دونوں کی دو وسیع درجہ بندی لکیری اور غیر لکیری تفریق مساوات کے درمیان، اور یکساں تفریق مساوات اور متنوع مساوات کے درمیان فرق پر مشتمل ہے۔ ہیٹروجینیئس فرسٹ آرڈر لکیری مستقل گتانک عام تفریق مساوات: یکساں سیکنڈ آرڈر لکیری عام تفریق مساوات: یکساں سیکنڈ آرڈر لکیری مستقل گتانک عام تفریق مساوات جو ہارمونک آسکیلیٹر کو بیان کرتی ہے: ہیٹروجینیئس فرسٹ آرڈر غیر لکیری عام تفریق مساوات: سیکنڈ آرڈر غیر لکیری (سائن فنکشن کی وجہ سے) لمبائی L کے پنڈلم کی حرکت کو بیان کرنے والی عام تفریق مساوات: مثالوں کے اگلے گروپ میں، نامعلوم فنکشن u کا انحصار دو متغیر x اور t یا x اور y پر ہوتا ہے۔ یکساں فرسٹ آرڈر لکیری جزوی تفریق مساوات: یکساں سیکنڈ آرڈر لکیری مستقل جزوی تفریق مساوات الپٹک قسم، لیپلیس مساوات: یکساں تھرڈ آرڈر غیر لکیری نہ صرف ان کے حل اکثر غیر واضح ہوتے ہیں، بلکہ یہ بھی دلچسپی کے قابل ذکر موضوعات ہیں کہ آیا حل منفرد ہیں یا بالکل موجود ہیں۔ فرسٹ آرڈر ابتدائی قدر کے مسائل کے لیے، پیانو وجود تھیوریم حالات کا ایک مجموعہ دیتا ہے جس میں حل موجود ہوتا ہے۔ xy-طیارہ میں کسی بھی نقطہ کو دیکھتے ہوئے، کچھ آئتاکار خطے کی وضاحت کریں، جیسے کہ اور اس کے اندرونی حصے میں ہے۔ اگر ہمیں ایک تفریقی مساوات اور یہ شرط دی جائے کہ کب، تو اس مسئلے کا مقامی طور پر حل ہے اگر اور دونوں مسلسل ہیں۔ یہ حل کچھ وقفے پر اس کے مرکز کے ساتھ موجود ہے۔ حل منفرد نہیں ہو سکتا۔ (دیگر نتائج کے لیے عام تفریق مساوات دیکھیں۔) تاہم، یہ صرف پہلے آرڈر کی ابتدائی قیمت کے مسائل میں ہماری مدد کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس n ویں ترتیب کی لکیری ابتدائی قدر کا مسئلہ تھا: اس طرح کہ کسی بھی غیر صفر کے لیے، اگر اور کسی وقفے پر مسلسل ہیں، تو منفرد ہے اور موجود ہے۔ ایک تاخیر تفریق مساوات (ڈی ڈی ای) ایک واحد متغیر کے فنکشن کے لیے ایک مساوات ہے، جسے عام طور پر وقت کہا جاتا ہے، جس میں ایک مخصوص وقت پر فنکشن کا مشتق ابتدائی اوقات میں فنکشن کی اقدار کے لحاظ سے دیا جاتا ہے۔ انٹیگرل مساوات کو تفریقی مساوات کے ینالاگ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جہاں مشتقات پر مشتمل مساوات کے بجائے، مساوات انٹیگرلز پر مشتمل ہوتی ہے۔ انٹیگرو ڈفریٚنشل مساوات (آئی ڈی ای) ایک ایسی مساوات ہے جو تفریق مساوات کے پہلوؤں اور انٹیگرل مساوات کو یکجا کرتی ہے۔ سٹوکاسٹک تفریق مساوات (ایس ڈی ای) ایک ایسی مساوات ہے جس میں نامعلوم مقدار ایک سٹوکاسٹک عمل ہے اور اس مساوات میں کچھ معروف سٹوکاسٹک عمل شامل ہیں، مثال کے طور پر، پھیلاؤ مساوات کے معاملے میں وینر عمل۔ سٹوچسٹک پارشل ڈفریٚنشل ایکویشن (ایس پی ڈی ای) ایک ایسی مساوات ہے جو ایس ڈی ایز کو کوانٹم فیلڈ تھیوری اور شماریاتی میکانکس میں ایپلی کیشنز کے ساتھ خلائی وقت کے شور کے عمل کو شامل کرنے کے لیے عام کرتی ہے۔ الٹرا میٹرک چھدم تفریقی مساوات ایک ایسی مساوات ہے جس میں الٹرا میٹرک جگہ میں p-adic نمبر ہوتے ہیں۔ ریاضیاتی ماڈل جن میں الٹرا میٹرک سیڈو-تفریقی مساوات شامل ہوتی ہیں وہ تفریقی آپریٹرز کے بجائے سیڈو-تفریقی آپریٹرز کا استعمال کرتے ہیں۔ تفریق الجبرائی مساوات (ڈی اے ای) ایک تفریق مساوات ہے جو تفریق اور الجبرائی اصطلاحات پر مشتمل ہے، جو مضمر شکل میں دی گئی ہے۔ تفریق مساوات کا نظریہ تفریق مساوات کے نظریہ سے قریب سے متعلق ہے، جس میں نقاط صرف مجرد اقدار کو فرض کرتے ہیں، اور تعلقات میں نامعلوم فعل کی اقدار یا قریبی نقاط پر افعال اور اقدار شامل ہوتی ہیں۔ تفریق مساوات کے عددی حلوں کا حساب لگانے یا تفریق مساوات کی خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے بہت سے طریقوں میں تفریق مساوات کے حل کا تخمینہ اسی تفریق مساوات کے حل کے ذریعے شامل ہوتا ہے۔ تفریق مساوات کا مطالعہ خالص اور اطلاقی ریاضی، طبیعیات اور انجینئرنگ میں ایک وسیع میدان ہے۔ ان تمام مضامین کا تعلق مختلف اقسام کی تفریقی مساوات کی خصوصیات سے ہے۔ خالص ریاضی حلوں کے وجود اور انفرادیت پر توجہ مرکوز کرتی ہے، جبکہ اطلاقی ریاضی حلوں کا تخمینہ لگانے کے طریقوں کے سخت جواز پر زور دیتی ہے۔ تفریقی مساوات آسمانی حرکت سے لے کر پل کے ڈیزائن تک، نیوران کے درمیان تعاملات تک، عملی طور پر ہر جسمانی، تکنیکی یا حیاتیاتی عمل کی ماڈلنگ میں اہم کردار ادا کرتی ہیں۔ تفریقی مساوات جیسے کہ حقیقی زندگی کے مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال ہونے والی مساوات لازمی طور پر براہ راست حل کرنے کے قابل نہیں ہو سکتی ہیں، یعنی۔ بند فارم حل نہیں ہیں۔ اس کے بجائے، عددی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ طبیعیات اور کیمسٹری کے بہت سے بنیادی قوانین کو تفریقی مساوات کے طور پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ حیاتیات اور معاشیات میں، تفریقی مساوات کو پیچیدہ نظاموں کے رویے کا نمونہ بنانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ تفریق مساوات کا ریاضیاتی نظریہ سب سے پہلے ان علوم کے ساتھ مل کر تیار ہوا جہاں مساوات کی ابتدا ہوئی تھی اور جہاں نتائج کا اطلاق ہوا تھا۔ تاہم، متنوع مسائل، جو بعض اوقات بالکل الگ الگ سائنسی شعبوں میں پیدا ہوتے ہیں، یکساں تفریقی مساوات کو جنم دے سکتے ہیں۔ جب بھی ایسا ہوتا ہے، مساوات کے پیچھے ریاضیاتی نظریہ کو متنوع مظاہر کے پیچھے ایک متحد اصول کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ماحول میں روشنی اور آواز کے پھیلاؤ اور تالاب کی سطح پر لہروں پر غور کریں۔ ان سب کو ایک ہی دوسرے درجے کی جزوی تفریقی مساوات، لہر کی مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، جو ہمیں روشنی اور آواز کو لہروں کی شکلوں کے طور پر سوچنے کی اجازت دیتی ہے، بالکل پانی میں واقف لہروں کی طرح۔ حرارت کی ترسیل، جس کا نظریہ جوزف فورئیر نے تیار کیا تھا، ایک اور دوسرے درجے کی جزوی تفریق مساوات، حرارت کی مساوات کے زیر انتظام ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ پھیلاؤ کے بہت سے عمل، اگرچہ بظاہر مختلف ہیں، ایک ہی مساوات کے ذریعے بیان کیے گئے ہیں ؛ مثال کے طور پر فنانس میں بلیک-شولز مساوات کا تعلق حرارت کی مساوات سے ہے۔ مختلف سائنسی شعبوں میں نام حاصل کرنے والی تفریقی مساوات کی تعداد موضوع کی اہمیت کا گواہ ہے۔ نامزد تفریقی مساوات کی فہرست دیکھیں۔ سافٹ ویئر کچھ سی اے ایس سافٹ ویئر تفریقی مساوات کو حل کر سکتے ہیں۔ یہ سی اے ایس سافٹ ویئر اور ان کے کمانڈ قابل ذکر ہیں: میپل: ڈی سولیو میتھمیٹکا: ڈی سولیو [] میکسما: اوڈ 2 (مساوات، وائی، ایکس) سیج میتھ: ڈی سولیو () سمپی: sympy.solvers.ode.dsolve (مساوات) ایکس کاس: ڈی سولیو (وائی '= کے * وائی، وائی) یہ بھی دیکھیں عین مطابق تفریق مساوات فنکشنل تفریق مساوات ابتدائی حالت انٹیگرل مساوات عام تفریق مساوات کے لیے عددی طریقے جزوی تفریق مساوات کے لیے عددی طریقے پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم وجود اور حلوں کی انفرادیت پر تکرار کا تعلق، جسے' فرق مساوات 'کے نام سے بھی جانا جاتا ہے تفریق مساوات کا خلاصہ تفریق مساوات نظام حوالہ جات مزید پڑھنا یونیورسٹی آف مشی گن ہسٹوریکل میتھ کلیکشن میں بیرونی لنکس پر لیکچرز ریاضیات تفریقی مساوات کے ذریعے ماڈلنگ کا تعارف تنقیدی تبصروں کے ساتھ تفریقی مساوات کے ذریعے ماڈلنگ کا تعارف۔ ویب علامتی او ڈی ای ٹول پر ریاضیاتی معاون، میکسما کا استعمال کرتے ہوئے عام تفریقی مساوات کے درست حل جسمانی نظاموں کے او ڈی ای اور ڈی اے ای ماڈلز کا مجموعہ میٹ لیب ماڈل مختلف سوالات پر نوٹ: انجینئروں کے لیے تفریقی مساوات یو آئی یو سی خان اکیڈمی کے جیری لیبل کی تفریقی مساوات پر ایک تعارفی نصابی کتاب تفریقی مساوات پر ویڈیو پلے لسٹ تفریقی مساوات میں پہلے سال کے کورس میں شامل موضوعات۔ تفریق مساوات پر میتھ ڈسکس ویڈیو پلے لسٹ