Minkowski's question-mark function
ریاضی میں، منکووسکی کا سوالیہ نشان فنکشن، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، غیر معمولی فریکٹل خصوصیات والا فنکشن ہے، جس کی تعریف ہرمن منکووسکی نے 1904 میں کی تھی۔ یہ 1938 میں آرنود ڈینجوئے کے ذریعہ دیئے گئے عقلی کے بائنری پھیلاؤ سے کواڈریٹکس کے مسلسل فریکشن کی توسیع سے متعلق ایک اظہار کے ذریعے، یونٹ کے وقفے پر عقلی نمبروں کے لیے کواڈریٹک غیر معقول نمبروں کا نقشہ بناتا ہے۔ یہ عقلی اعداد کو ڈائڈک ریشنلز میں بھی نقشہ بناتا ہے، جیسا کہ سٹرن-بروکوٹ ٹری سے قریب سے متعلق ایک تکراری تعریف سے دیکھا جا سکتا ہے۔ تعریف اور وجدان سوالیہ نشان فنکشن کی وضاحت کرنے کے ایک طریقے میں محدود یا لامحدود بائنری ترتیبات کا استعمال کرتے ہوئے فریکشنل نمبروں کی نمائندگی کرنے کے دو مختلف طریقوں کے درمیان خط و کتابت شامل ہے۔ سب سے زیادہ واقف طور پر، ایک پوائنٹ کے نشان کے ساتھ 0 اور 1 کی سٹرنگ۔ "، جیسے" 11.001001000011111 ". کی تشریح کسی عدد کی بائنری نمائندگی کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اس صورت میں یہ نمبر ہے اسی ترتیب کی تشریح کرنے کا ایک مختلف طریقہ ہے، تاہم، مسلسل حصوں کا استعمال کرتے ہوئے۔ فریکشنل حصہ "0.001001000011111" کی تشریح اسی طرح بائنری نمبر کے طور پر کرتے ہوئے، 0 یا 1 کے ہر مسلسل بلاک کو اس کی رن لمبائی (یا، صفر کے پہلے بلاک کے لیے، اس کی رن لمبائی جمع ایک) سے تبدیل کریں، اس صورت میں ترتیب پیدا کریں۔ پھر، اس ترتیب کو مسلسل فریکشن کے کوفیشنٹس کے طور پر استعمال کریں: سوالیہ نشان فنکشن اس عمل کو الٹ دیتا ہے: یہ کسی دیئے گئے حقیقی نمبر کے مسلسل فریکشن کو رن لمبائی کے انکوڈڈ بائنری ترتیب میں ترجمہ کرتا ہے، اور پھر اس ترتیب کو بائنری نمبر کے طور پر دوبارہ بیان کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اوپر کی مثال کے طور پر۔ اس کی رسمی طور پر وضاحت کرنے کے لیے، اگر کسی غیر معقول نمبر میں (غیر اختتامی) مسلسل فریکشن کی نمائندگی ہوتی ہے تو سوالیہ نشان فنکشن کی قیمت کو لامحدود سیریز کی قیمت کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، اگر کسی عقلی نمبر میں اختتامی مسلسل فریکشن کی نمائندگی ہوتی ہے تو سوالیہ نشان فنکشن کی قیمت ایک محدود رقم ہوتی ہے، اسی طرح سوالیہ نشان فنکشن مسلسل فریکشن کو بائنری نمبروں کے طور پر دوبارہ بیان کرتا ہے، کینٹر فنکشن کو سہ رخی نمبروں کی بائنری نمبروں کے طور پر دوبارہ تشریح کرنے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ خود ہم آہنگی سوالیہ نشان واضح طور پر بصری طور پر خود سے ملتا جلتا ہے۔ خود مماثلتوں کا ایک مونوئڈ دو آپریٹرز کے ذریعہ پیدا کیا جا سکتا ہے اور یونٹ مربع پر کام کر سکتا ہے اور اس کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے: بصری طور پر، یونٹ مربع کو اس کے نچلے بائیں حصے تک سکڑ دیتا ہے، جبکہ اس کے مرکز کے ذریعے ایک نقطہ عکاسی انجام دیتا ہے۔ کے گراف پر ایک نقطہ یونٹ کے وقفے میں کچھ کے لیے نقاط رکھتا ہے۔ اس طرح کے نقطہ کو گراف کے ایک اور نقطہ میں تبدیل کیا جاتا ہے، کیونکہ یہ سب کے لیے درج ذیل شناختوں کو مطمئن کرتا ہے: ان دونوں آپریٹرز کو بار بار ملایا جا سکتا ہے، جس سے ایک مونوئڈ بنتا ہے۔ مونوئڈ کا ایک عمومی عنصر پھر مثبت انٹیجرز کے لیے ہوتا ہے۔ اس طرح کا ہر عنصر سوالیہ نشان فنکشن کی خود مماثلت کو بیان کرتا ہے۔ اس مونوئڈ کو بعض اوقات پیریڈ ڈبلنگ مونوئڈ کہا جاتا ہے، اور تمام پیریڈ ڈبلنگ فریکٹل منحنی خطوط میں اس کی طرف سے بیان کردہ سیلف سمیٹری ہوتی ہے (ڈی رام وکر، جس میں سوالیہ نشان ایک خاص معاملہ ہے، اس طرح کے منحنی خطوط کا ایک زمرہ ہے)۔ مونوئڈ کے عناصر مسلسل فریکشن کے ساتھ شناخت کے ذریعے عقلی کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ چونکہ دونوں اور انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ لکیری فریکشنل ٹرانسفارمیشنز ہیں، اس لیے مونوئڈ کو ماڈیولر گروپ کا ذیلی سیٹ سمجھا جا سکتا ہے۔ کواڈریٹک غیر معقول سوالیہ نشان فنکشن غیر ڈائڈک عقلی سے لے کر کواڈریٹک غیر معقول تک ون ٹو ون میپنگ فراہم کرتا ہے، اس طرح مؤخر الذکر کی گنتی کے واضح ثبوت کی اجازت دیتا ہے۔ درحقیقت، ان کو ڈائیڈک تبدیلی کے لیے دورانیے کے مداروں سے مطابقت رکھنے کے لیے سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ صرف چند مراحل میں واضح طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ڈائڈک سمیٹری دو چالوں کی وضاحت کریں: ایک بائیں حرکت اور ایک دائیں حرکت، جو یونٹ کے وقفے پر درست ہے اور اور اور سوالیہ نشان فنکشن پھر بائیں حرکت کی سمیٹری اور دائیں حرکت کی سمیٹری کی پابندی کرتا ہے جہاں فنکشن کی ساخت کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ من مانی طور پر جڑے ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، بائیں دائیں چالوں کی ترتیب پر غور کریں۔ سبسکرپٹ C اور D کو شامل کرتے ہوئے، اور، وضاحت کے لیے، کمپوزیشن آپریٹر کو چند جگہوں کے علاوہ تمام جگہوں پر چھوڑتے ہوئے، کسی کے پاس: L اور R حروف میں من مانی محدود لمبائی کے تار ڈائڈک ریشنلز سے مطابقت رکھتے ہیں، اس میں ہر ڈائڈک ریشنل کو انٹیجر n اور m دونوں کے لیے اور بٹس کی محدود لمبائی کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اس طرح، ہر ڈائڈک ریشنل سوالیہ نشان فنکشن کی کچھ سیلف سمیٹری کے ساتھ ایک سے ایک خط و کتابت میں ہوتا ہے۔ کچھ نوٹیشنل ریارنگمنٹ مذکورہ بالا کا اظہار قدرے آسان بنا سکتے ہیں۔ L اور R کے لیے کھڑے ہوں۔ فنکشن کی ترکیب اسے ایک مونوئڈ تک بڑھاتی ہے، جس میں کوئی لکھ سکتا ہے اور عام طور پر، ہندسوں A، B کے کچھ بائنری تاروں کے لیے، جہاں AB صرف اس طرح کے تاروں کا عام امتزاج ہے۔ اس کے بعد ڈائڈک مونوئڈ ایم اس طرح کی تمام محدود لمبائی بائیں دائیں چالوں کا مونوئڈ ہے۔ مونوئڈ کے عمومی عنصر کے طور پر لکھنا، سوالیہ نشان فنکشن کی ایک متعلقہ خود ہم آہنگی ہے: آئسومورفزم عقلی اور ڈائڈک عقلی کے درمیان ایک واضح نقشہ سازی حاصل کی جا سکتی ہے جو ایک عکاسی آپریٹر فراہم کرتی ہے اور یہ نوٹ کرتی ہے کہ دونوں اور چونکہ شناخت ہے، بائیں دائیں چالوں کی ایک من مانی تار کو صرف بائیں چالوں کی تار کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، اس کے بعد عکاسی، اس کے بعد مزید بائیں چالوں، عکاسی، اور اسی طرح، یعنی، جو اوپر سے واضح طور پر آئسومورفک ہے۔ فنکشن آرگمنٹ کی کچھ واضح ترتیب کا اندازہ لگانے سے ایک ڈائڈک عقلی ملتا ہے۔ واضح طور پر، یہ اس کے برابر ہے جہاں ہر ایک بائنری بٹ ہے، صفر بائیں حرکت سے مطابقت رکھتا ہے اور ایک دائیں حرکت سے مطابقت رکھتا ہے۔ چالوں کی مساوی ترتیب، جس کا جائزہ لیا جاتا ہے وہ ایک عقلی نمبر دیتا ہے۔ یہ واضح طور پر مسلسل فریکشن کے ذریعہ فراہم کیا گیا ہے اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے کہ یہ ایک عقلی ہے کیونکہ ترتیب محدود لمبائی کی تھی۔ یہ ڈائڈک عقلیتوں اور عقلیتوں کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت قائم کرتا ہے۔ ڈائڈک تبدیلی کے دورانیے کے مدار اب ڈائڈک تبدیلی کے دورانیے کے مداروں پر غور کریں۔ یہ بٹس کے ایک محدود ابتدائی "افراتفری" کے سلسلے پر مشتمل بٹ کے سلسلے سے مطابقت رکھتے ہیں، جس کے بعد لمبائی کا ایک بار بار سلسلہ ہوتا ہے۔ اس طرح کے دہرائے جانے والے تار ایک عقلی نمبر سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ بات آسانی سے واضح کی جا سکتی ہے۔ ایک لکھیں پھر واضح طور پر ابتدائی غیر تکرار ترتیب پر ٹیکنگ ہے، ایک واضح طور پر ایک عقلی نمبر ہے۔ در حقیقت، ہر عقلی عدد کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: ایک ابتدائی "بے ترتیب" ترتیب، جس کے بعد سائیکلنگ کا اعادہ ہوتا ہے۔ یعنی نقشے کے دورانیے کے مدار عقلی کے ساتھ ایک دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ دورانیے کے مدار مسلسل حصوں کے طور پر اس طرح کے دورانیے کے مداروں میں ایک مساوی دورانیے کا مسلسل حصہ ہوتا ہے، اوپر قائم کردہ آئسومورفزم کے مطابق۔ ایک ابتدائی "افراتفری" کا مدار ہوتا ہے، جس کی لمبائی کچھ محدود ہوتی ہے، اس کے بعد ایک تکراری ترتیب ہوتی ہے۔ تکرار کی ترتیب ایک وقفے وقفے سے مسلسل فریکشن پیدا کرتی ہے جو مطمئن کرتی ہے۔ اس مسلسل فریکشن کی شکل انٹیجرز کے ساتھ ہوتی ہے، اور شفٹ کے لیے لکھ کر تسلی بخش واضح اقدار حاصل کی جا سکتی ہیں، تاکہ جب کہ عکاسی اس کے ذریعے دی جائے۔ یہ دونوں میٹرکس غیر ماڈیولر ہیں، صوابدیدی پروڈکٹ غیر ماڈیولر رہتے ہیں، اور اس کے نتیجے میں فارم کا ایک میٹرکس ہوتا ہے جو مسلسل فریکشن کی عین مطابق قیمت دیتا ہے۔ چونکہ تمام میٹرکس اندراجات انٹیجرز ہیں، اس میٹرکس کا تعلق پروجیکٹو ماڈیولر گروپ سے ہے جو واضح طور پر حل کرتا ہے، اس بات کی تصدیق کرنا مشکل نہیں ہے کہ اس کے حل کواڈریٹک غیر معقول کی تعریف پر پورا اترتے ہیں۔ درحقیقت، ہر کواڈریٹک غیر معقول کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کواڈریٹک غیر معقولات ڈائڈک ٹرانسفارم کے دورانیے کے مداروں کے ساتھ ایک سے ایک خط و کتابت میں ہیں، جو (غیر ڈائڈک) عقلیتوں کے ساتھ ایک سے ایک خط و کتابت میں ہیں، جو ڈائڈک عقلیتوں کے ساتھ ایک سے ایک خط و کتابت میں ہیں۔ سوالیہ نشان فنکشن ہر معاملے میں خط و کتابت فراہم کرتا ہے۔ سوالیہ نشان فنکشن سختی سے بڑھتا ہوا اور مسلسل فنکشن ہے، لیکن بالکل مسلسل نہیں ہے۔ مشتق کی تعریف تقریبا ہر جگہ کی جاتی ہے، اور یہ صرف دو اقدار کو لے سکتا ہے، 0 (اس کی قیمت تقریبا ہر جگہ، بشمول تمام عقلی اعداد) اور۔ کسی پیمائش کے لیے کئی تعمیرات ہیں جو، جب مربوط ہوتی ہیں، تو سوالیہ نشان فنکشن حاصل کرتی ہیں۔ ایسی ہی ایک تعمیر حقیقی نمبر لائن پر فیری نمبروں کی کثافت کی پیمائش کرکے حاصل کی جاتی ہے۔ سوالیہ نشان کی پیمائش اس کی مثالی مثال ہے جسے بعض اوقات ملٹی فریکٹل اقدامات کہا جاتا ہے۔ سوالیہ نشان فنکشن عقلی نمبروں کو ڈائیڈک عقلی نمبروں میں نقشہ بناتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ وہ جن کی بیس دو نمائندگی ختم ہو جاتی ہے، جیسا کہ اوپر بیان کردہ تکراری تعمیر سے انڈکشن کے ذریعے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ یہ غیر ڈائڈک عقلی اعداد کے لیے کواڈریٹک غیر معقول اعداد کا نقشہ بناتا ہے۔ دونوں صورتوں میں یہ ان سیٹوں کے درمیان ایک آرڈر آئسومورفزم فراہم کرتا ہے، جس سے کنکریٹ کینٹر کا آئسومورفزم تھیوریم بنتا ہے جس کے مطابق ہر دو غیر محدود قابل گنتی گھنے لکیری آرڈر آرڈر-آئسومورفک ہوتے ہیں۔ یہ ایک عجیب فنکشن ہے، اور فنکشنل مساوات کو مطمئن کرتا ہے ؛ نتیجتا پیریڈ ایک کے ساتھ ایک عجیب پیریڈک فنکشن ہے۔ اگر غیر معقول ہے، تو یا تو دو سے زیادہ ڈگری کا الجبرائی ہے، یا ماورائے الہی ہے۔ سوالیہ نشان فنکشن میں 0، اور 1 پر فکسڈ پوائنٹس ہوتے ہیں، اور کم از کم دو مزید، وسط نقطہ کے بارے میں ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ ایک تقریبا 0.42037 ہے۔ موشچیوتن نے یہ قیاس کیا تھا کہ وہ صرف 5 فکسڈ پوائنٹس تھے۔ 1943 میں، رافیل سلیم نے یہ سوال اٹھایا کہ کیا سوالیہ نشان فنکشن کے فورئیر-اسٹیلٹجز کوفیشنٹس انفینیٹی پر غائب ہو جاتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، وہ جاننا چاہتا تھا کہ گبز کے اقدامات کے نتیجے کے ایک خاص معاملے کے طور پر، اردن اور ساہلسٹن نے اس کا مثبت جواب دیا تھا یا نہیں۔ منکوسکی سوالیہ نشان فنکشن کا گراف فریکٹل منحنی خطوط کا ایک خاص معاملہ ہے جسے ڈی رام منحنی خطوط کہا جاتا ہے۔ الگورتھم تکراری تعریف قدرتی طور پر کسی بھی حقیقی نمبر کے لیے کسی بھی مطلوبہ حد تک درستگی کے لیے فنکشن کو کمپیوٹ کرنے کے لیے خود کو ایک الگورتھم کے حوالے کرتی ہے، جیسا کہ درج ذیل سی فنکشن سے ظاہر ہوتا ہے۔ الگورتھم ان پٹ کی تلاش میں سٹرن-بروکوٹ ٹری سے اترتا ہے، اور راستے میں بائنری توسیع کی شرائط کا خلاصہ کرتا ہے۔ جب تک لوپ غیر متغیر مطمئن رہتا ہے تب تک فریکشن کو کم کرنے کی ضرورت نہیں ہے، کیونکہ یہ پہلے ہی سب سے کم شرائط میں ہے۔ ایک اور غیر متغیر ہے۔ اس پروگرام میں فار لوپ کا تجزیہ کسی حد تک وائل لوپ کی طرح کیا جا سکتا ہے، جس میں پہلی تین لائنوں میں مشروط بریک اسٹیٹمنٹ سے حالت معلوم ہوتی ہے۔ لوپ میں واحد بیانات جو ممکنہ طور پر غیر متغیرات کو متاثر کر سکتے ہیں وہ آخری دو لائنوں میں ہیں، اور یہ دونوں غیر متغیرات کی سچائی کو برقرار رکھنے کے لیے اس وقت تک دکھایا جا سکتا ہے جب تک کہ پہلی تین لائنیں لوپ سے باہر نکلے بغیر کامیابی سے عمل میں آئیں۔ لوپ کے باڈی کے لیے تیسرا غیر متغیر (فلوٹنگ پوائنٹ کی درستگی تک) ہے، لیکن چونکہ کسی بھی حالت کی جانچ سے پہلے لوپ کے آغاز میں آدھا ہو جاتا ہے، اس لیے ہمارا نتیجہ صرف یہ ہے کہ لوپ کے اختتام پر۔ اختتامی کو ثابت کرنے کے لیے، یہ نوٹ کرنا کافی ہے کہ لوپ کے ہر تکرار کے ساتھ مجموعہ q + s میں کم از کم 1 کا اضافہ ہوتا ہے، اور یہ کہ لوپ اس وقت ختم ہو جائے گا جب یہ رقم ابتدائی C ڈیٹا ٹائپ میں نمائندگی کرنے کے لیے بہت بڑی ہو۔ تاہم، عملی طور پر، مشروط وقفہ جب y + d = = y ہے جو مناسب وقت میں لوپ کے خاتمے کو یقینی بناتا ہے۔ / * منکوسکی کا سوالیہ نشان فنکشن */ڈبل منکوسکی (ڈبل x) {لمبا p = x ؛ لمبا q = 1، r = p + 1، s = 1، m، n ؛ ڈبل d = 1، y = p ؛ اگر (x <p | (p <0) ^ (r <= 0)) x واپس کرتا ہے ؛/* حد سے باہر؟ (x) = ~ x */کے لیے (؛) {/* غیر متغیرات: q * r-p * s = = 1 & & p/q <= x & & x <r/s */d/= 2 ؛ اگر (y + d = = y) ٹوٹ جائے ؛/* زیادہ سے زیادہ ممکنہ درستگی تک پہنچ جائے */m = p + r ؛ اگر ((m <0) ^ (p <0)) ٹوٹ جائے ؛/* زیادہ سے زیادہ رقم */n = q + s ؛ اگر (n <0) ٹوٹ جائے ؛/* زیادہ سے زیادہ رقم */اگر (x <(ڈبل) m/n) {r = m; s = n ؛} ورنہ {y + = d; p = m ؛ q = n ؛ : [0,1] → [0,1]، اسے اکائی وقفے پر واحد تقسیم کے مجموعی تقسیم فعل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ تقسیم اس کے وسط نقطہ کے بارے میں ہم آہنگ ہے، جس میں خام لمحات تقریبا m1 = 0.5، m2 = 0.290926، m3 = 0.186389 اور m4 = 0.126992 ہیں، اور اس طرح اوسط اور میڈین 0.5، تقریبا 0.2023 کا معیاری انحراف، 0 کی سکونیس، اور − 1.147 کے بارے میں اضافی کرٹوسس ہے۔ یہ بھی دیکھیں پومپیو مشتق حوالہ جات نوٹ تاریخی ذرائع کتابچہ ؛ ڈوور پبلکیشنز کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا، 1997 مزید پڑھنا بیرونی لنکس ایک وسیع کتابچہ فہرست سادہ IEEE 754 کا C + + De Rham منحنی خطوط میں نفاذ مسلسل حصوں مسلسل افعال مسلسل افعال مسلسل افعال مسلسل افعال مسلسل افعال کا نظریہ مسلسل افعال کا نظریہ مثال C کوڈ کے ساتھ مضامین ہرمن منکوسکی