Polar decomposition
ریاضی میں، ایک مربع حقیقی یا پیچیدہ میٹرکس کی قطبی سڑنا اس شکل کی فیکٹرائزیشن ہے، جہاں ایک یکطرفہ میٹرکس ہے اور ایک مثبت نیم متعین ہرمیٹین میٹرکس ہے (ایک آرتھوگنل میٹرکس ہے اور حقیقی صورت میں ایک مثبت نیم متعین سمیٹرک میٹرکس ہے)، مربع اور ایک ہی سائز کا۔ بدیہی طور پر، اگر کسی حقیقی میٹرکس کی تشریح جہتی خلا کی لکیری تبدیلی کے طور پر کی جاتی ہے، تو قطبی سڑنا اسے گردش یا عکاسی میں الگ کرتا ہے، اور آرتھوگنل محوروں کے ایک سیٹ کے ساتھ خلا کی اسکیلنگ کرتا ہے۔ مربع میٹرکس کا قطبی سڑنا ہمیشہ موجود رہتا ہے۔ اگر الٹا ہے، تو سڑنا منفرد ہے، اور عنصر مثبت-یقینی ہوگا۔ اس صورت میں، اس شکل میں منفرد طور پر لکھا جا سکتا ہے، جہاں یک جہتی ہے اور میٹرکس کا منفرد سیلف ایڈجائنٹ لوگرتھم ہے۔ یہ سڑنا (میٹرکس) لائ گروپوں کے بنیادی گروپ کی گنتی میں مفید ہے۔ قطبی سڑنے کی تعریف اس طرح بھی کی جا سکتی ہے کہ جہاں ایک سمیٹرک مثبت-ڈیفائنٹ میٹرکس ہے جس میں وہی آئجین ویلیوز ہیں لیکن مختلف آئجین ویکٹرز ہیں۔ میٹرکس کے قطبی سڑنے کو ایک پیچیدہ نمبر کی قطبی شکل کے میٹرکس اینالاگ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جہاں اس کی مطلق قیمت (ایک غیر منفی حقیقی نمبر) ہے، اور یہ یونٹ کے معیار کے ساتھ ایک پیچیدہ نمبر ہے (دائرہ گروپ کا ایک عنصر)۔ اس تعریف کو نیم یک جہتی میٹرکس ہونے اور مثبت-سیمیڈفائنٹ ہرمیٹین میٹرکس ہونے کی ضرورت کے ذریعے آئتاکار میٹرکس تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ سڑنا ہمیشہ موجود رہتا ہے اور ہمیشہ منفرد ہوتا ہے۔ میٹرکس منفرد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا مکمل درجہ ہو۔ بدیہی تشریح ایک حقیقی مربع میٹرکس کی تشریح اس لکیری تبدیلی کے طور پر کی جا سکتی ہے جو ایک کالم ویکٹر کو لے جاتا ہے۔ پھر، قطبی سڑنے میں، عنصر ایک حقیقی آرتھونورمل میٹرکس ہے۔ اس کے بعد قطبی سڑنے کو لکیری تبدیلی کے اظہار کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس کی تعریف ہر آئجین ویکٹر کے ساتھ ایک پیمانے کے عنصر (کی کارروائی) کے ذریعے خلا کی اسکیلنگ میں کی جاتی ہے، اس کے بعد (کی کارروائی) کی گردش ہوتی ہے۔ متبادل طور پر، سڑنا اس تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے جس کی تعریف گردش () کے طور پر کی جاتی ہے جس کے بعد کچھ آرتھوگنل سمتوں کے ساتھ اسکیلنگ () ہوتی ہے۔ پیمانے کے عوامل ایک جیسے ہیں، لیکن سمت مختلف ہیں۔ خصوصیات کے پیچیدہ کنجوگیٹ کا قطبی سڑنا نوٹ کے ذریعہ دیا گیا ہے جو A کے تعین کنندہ کی متعلقہ قطبی سڑنا دیتا ہے، چونکہ اور۔ خاص طور پر، اگر ڈیٹرمیننٹ 1 ہے تو دونوں میں ڈیٹرمیننٹ 1 ہے۔ مثبت-سیمیڈفائنٹ میٹرکس P ہمیشہ منفرد ہوتا ہے، چاہے A واحد ہو، اور اس کی نشاندہی اس طرح کی جاتی ہے جہاں سے کنجوگیٹ ٹرانسپوز کی نشاندہی ہوتی ہے۔ پی کی انفرادیت اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ یہ اظہار اچھی طرح سے متعین ہے۔ انفرادیت کی ضمانت اس حقیقت سے ملتی ہے کہ یہ ایک مثبت-سیمیڈفائنٹ ہرمیٹین میٹرکس ہے اور اس لیے اس کا ایک منفرد مثبت-سیمیڈفائنٹ ہرمیٹین مربع جڑ ہے۔ اگر A الٹا ہے، تو P مثبت-یقینی ہے، اس طرح الٹا بھی ہے اور میٹرکس U کا تعین منفرد طور پر SVD سے تعلق کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ یہ اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ مثبت-یقینی ہے اور یک جہتی ہے۔ اس طرح، ایس وی ڈی کا وجود قطبی سڑنے کے وجود کے برابر ہے۔ کوئی بھی اس شکل میں سڑ سکتا ہے۔ یہاں پہلے کی طرح ہی ہے اور اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اسے بائیں قطبی سڑنا کہا جاتا ہے، جبکہ پچھلے سڑنے کو دائیں قطبی سڑنا کہا جاتا ہے۔ بائیں قطبی سڑن کو ریورس قطبی سڑن بھی کہا جاتا ہے۔ مربع الٹ قابل حقیقی میٹرکس کا قطبی سڑنا اس شکل کا ہوتا ہے جہاں ایک مثبت-یقینی میٹرکس ہوتا ہے اور یہ ایک آرتھوگنل میٹرکس ہوتا ہے۔ نارمل میٹرکس سے تعلق قطبی سڑنے والا میٹرکس نارمل ہوتا ہے اگر اور صرف اور کمیوٹ:، یا مساوی طور پر، وہ بیک وقت ڈائیگنلائز ہوتے ہیں۔ ساخت اور وجود کے ثبوت قطبی سڑنے کی تعمیر کے پیچھے بنیادی خیال اس سے ملتا جلتا ہے جو واحد قدر کے سڑنے کا حساب لگانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ نارمل میٹرکس کے لیے مشتق اگر نارمل ہے، تو یہ یک جہتی طور پر ایک اخترن میٹرکس کے مساوی ہے: کچھ یک جہتی میٹرکس اور کچھ اخترن میٹرکس کے لیے۔ اس سے اس کے قطبی سڑنے کا مشتق خاص طور پر سیدھا ہوتا ہے، جیسا کہ ہم پھر لکھ سکتے ہیں کہ ایک اخترن میٹرکس کہاں ہے جس میں عناصر کے مراحل، یعنی، کب، اور کب ہیں۔ قطبی سڑنا اس طرح، کے آئجین بیس میں ساتھ اور اخترن ہوتا ہے اور ان کی آئجین ویلیوز بالترتیب ان کے مراحل اور مطلق ویلیوز کے برابر ہوتی ہیں۔ الٹا میٹرکس کے لیے مشتق واحد قدر کے سڑنے سے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ایک میٹرکس الٹا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب (مساوی طور پر،) ہو۔ مزید برآں، یہ صرف اس صورت میں درست ہے جب کے تمام آئجن ویلیوز صفر نہ ہوں۔ اس صورت میں، قطبی سڑنا براہ راست تحریری اور مشاہدہ کرنے سے حاصل ہوتا ہے جو یک جہتی ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، ہم لکھنے کے سپیکٹرم سڑنے کا فائدہ اٹھا سکتے ہیں۔ اس اظہار میں، یک جہتی ہے کیونکہ ہے۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ یہ بھی یک جہتی ہے، ہم لکھنے کے لیے ایس وی ڈی کا استعمال کر سکتے ہیں، تاکہ جہاں دوبارہ تعمیر کے لحاظ سے یک جہتی ہو۔ یکسانیت کو براہ راست ظاہر کرنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ، ایس وی ڈی کو رینک-1 میٹرکس کے لحاظ سے اس طرح لکھنا کہ، یکسانیت کی اقدار کہاں ہیں، ہمارے پاس ایسی یکسانیت ہے جو براہ راست یکسانیت کا اشارہ کرتی ہے کیونکہ ایک میٹرکس یکسانیت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی یکسانیت کی اقدار میں یکسانیت مطلق قدر ہو۔ نوٹ کریں کہ کس طرح، مندرجہ بالا تعمیر سے، یہ اس طرح ہے کہ ایک الٹا میٹرکس کے قطبی سڑنے میں یکطرفہ میٹرکس کو منفرد طور پر بیان کیا گیا ہے۔ عام مشتق مربع میٹرکس کا ایس وی ڈی یکطرفہ میٹرکس کے ساتھ، اور ایک اخترن، مثبت نیم یقینی میٹرکس کے ساتھ پڑھتا ہے۔ صرف s یا s کا ایک اضافی جوڑا داخل کرنے سے، ہم قطبی سڑنے کی دو شکلیں حاصل کرتے ہیں: زیادہ عام طور پر، اگر کوئی آئتاکار میٹرکس ہے، تو اس کے SVD کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ اب کہاں ہے اور طول و عرض کے ساتھ آئسومیٹریز ہیں اور، بالترتیب، کہاں، اور پھر طول و عرض کے ساتھ ایک اخترن مثبت نیم یقینی مربع میٹرکس ہے۔ اب ہم لکھنے کے لیے مندرجہ بالا مساوات میں استعمال ہونے والی اسی استدلال کو لاگو کر سکتے ہیں، لیکن اب یہ عمومی یک جہتی میں نہیں ہے۔ بہر حال، اسی طرح کی حمایت اور رینج ہے، اور یہ مطمئن کرتا ہے اور۔ یہ ایک آئسومیٹری بن جاتا ہے جب اس کا عمل اس کی حمایت پر محدود ہوتا ہے، یعنی اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ایک جزوی آئسومیٹری ہے۔ اس زیادہ عام معاملے کی ایک واضح مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل میٹرکس کے ایس وی ڈی پر غور کریں: پھر ہمارے پاس ایک آئسومیٹری ہے، لیکن یک جہتی نہیں۔ دوسری طرف، اگر ہم اس کے سڑنے پر غور کریں تو ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ یہ جزوی آاسومیٹری ہے (لیکن آاسومیٹری نہیں)۔ ہلبرٹ اسپیس پر باؤنڈڈ آپریٹرز پیچیدہ ہلبرٹ اسپیس کے درمیان کسی بھی باؤنڈڈ لینیر آپریٹر A کی قطبی سڑنا جزوی آئسومیٹری اور غیر منفی آپریٹر کے پروڈکٹ کے طور پر ایک کینونکل فیکٹرائزیشن ہے۔ میٹرکس کے لیے قطبی سڑنا مندرجہ ذیل طور پر عام ہوتا ہے: اگر A ایک باؤنڈ لینیر آپریٹر ہے تو A کی بطور پروڈکٹ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ہوتی ہے A = UP جہاں U ایک جزوی آئسومیٹری ہے، P ایک غیر منفی سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہے اور U کی ابتدائی جگہ P کی حد کا بند ہونا ہے۔ آپریٹر U کو درج ذیل مسائل کی وجہ سے یک جہتی کے بجائے جزوی آئسومیٹری میں کمزور ہونا چاہیے۔ اگر A، l2 (N) پر یک طرفہ شفٹ ہے، تو |A | = {AA} 1/2 = I۔ لہذا اگر A = U |A |، تو U A ہونا چاہیے، جو یک جہتی نہیں ہے۔ قطبی سڑن کا وجود ڈگلس لیما کا نتیجہ ہے: آپریٹر سی کی تعریف سی (بی ایچ) سے کی جا سکتی ہے: = ایچ میں تمام ایچ کے لیے آہ، رن (بی) کے بند ہونے تک تسلسل سے بڑھایا جاتا ہے، اور تمام ایچ کے لیے آرتھوگنل تکمیل پر صفر سے۔ لیما اس کے بعد آتا ہے کیونکہ اے اے ≤ بی بی کا مطلب کیر (بی) کیر (اے) ہے۔ خاص طور پر۔ اگر اے اے = بی بی ہے، تو سی ایک جزوی آئسومیٹری ہے، جو منفرد ہے اگر کیر (بی) کیر (سی) ہے۔ عام طور پر، کسی بھی باؤنڈڈ آپریٹر A کے لیے، جہاں (AA) 1/2 عام فنکشنل کیلکولس کے ذریعہ دیا گیا AA کا منفرد مثبت مربع جڑ ہے۔ تو لیما کے مطابق، ہمارے پاس کچھ جزوی آئسومیٹری U ہے، جو کہ منفرد ہے اگر کیر (A) کیر (U) ہے۔ P کو (AA) 1/2 لیں اور قطبی سڑنا A = UP حاصل ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ایک مماثل دلیل کو A = P 'U کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جہاں P مثبت ہے اور U جزوی آاسومیٹری ہے۔ جب H محدود جہتی ہوتا ہے، تو U کو یک جہتی آپریٹر تک بڑھایا جا سکتا ہے ؛ یہ عام طور پر درست نہیں ہے (اوپر کی مثال دیکھیں)۔ متبادل طور پر، قطبی سڑنا واحد قدر سڑنا کے آپریٹر ورژن کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے۔ مسلسل فنکشنل کیلکولس کی خاصیت کے مطابق، |A | A کے ذریعہ تیار کردہ C *-الجبرا میں ہے۔ جزوی آاسومیٹری کے لیے بھی ایسا ہی لیکن کمزور بیان ہے: U، A کے ذریعے پیدا کردہ وان نیومن الجبرا میں ہے۔ اگر A الٹا ہے تو قطبی حصہ U بھی C *-الجبرا میں ہوگا۔ اگر A پیچیدہ ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان ایک بند، گھنے طور پر متعین غیر محدود آپریٹر ہے تو پھر بھی اس میں ایک (منفرد) قطبی سڑنا ہوتا ہے جہاں |A | ایک (ممکنہ طور پر غیر محدود) غیر منفی خود ملحقہ آپریٹر ہے جس کا ڈومین A ہے، اور U ایک جزوی آئسومیٹری ہے جو رینج رن (|A |) کی آرتھوگنل تکمیل پر غائب ہو رہی ہے۔ ثبوت اوپر کی طرح ہی لیما کا استعمال کرتا ہے، جو عام طور پر غیر محدود آپریٹرز کے لیے ہوتا ہے۔ اگر ڈوم (اے اے) = ڈوم (بی بی) اور اے اے ایچ = بی بی ایچ تمام ایچ۔ ڈوم (اے اے) کے لیے، تو ایک جزوی آئسومیٹری یو موجود ہے جیسے کہ اے = یو بی۔ یو منفرد ہے اگر ران (بی) ڈیڈ کیر (یو) ہے۔ آپریٹر اے کا بند اور گھنے طور پر متعین ہونا اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ آپریٹر اے اے سیلف ایڈجوائنٹ (گھنے ڈومین کے ساتھ) ہے اور اس لیے کسی کو (اے اے) 1/2 کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ لیما لگانے سے قطبی سڑنا ہوتا ہے۔ اگر کوئی غیر محدود آپریٹر A کسی وان نیومن الجبرا M سے وابستہ ہے، اور A = UP اس کی قطبی سڑنا ہے، تو U M میں ہے اور اسی طرح کسی بھی بوریل سیٹ B کے لیے P، 1B (P) کا سپیکٹرم پروجیکشن ہے۔ کواٹرنیئن پولر سڑنا کواٹرنیئنز H کی پولر سڑنا منفی ایک کے مربع جڑوں کے یونٹ 2 جہتی دائرے پر منحصر ہے، جسے "خالص کواٹرنیئنز" کہا جاتا ہے۔ اس دائرے پر کسی بھی r کو دیکھتے ہوئے، اور ایک زاویہ − π <a ≤ π، ورسر H کے یونٹ 3-دائرے پر ہے۔ a = 0 اور a = π کے لیے، ورسر 1 یا −1 ہے اس سے قطع نظر کہ r منتخب کیا گیا ہے۔ کواٹرنیئن q کا معیاری t اصل سے q تک کا یوکلیڈین فاصلہ ہے۔ جب کوئی کواٹرنیئن صرف ایک حقیقی عدد نہیں ہوتا ہے، تو ایک منفرد قطبی سڑنا ہوتا ہے۔ یہاں r، a، t سبھی کا منفرد طور پر اس طرح تعین کیا جاتا ہے کہ r ایک خالص کواٹرنیئن (یعنی r2 =-1) ہے، a 0 <a <π، اور t> 0 کو مطمئن کرتا ہے۔ کارٹیسی طیارہ میں، متبادل پلانر رنگ سڑنا مندرجہ ذیل طور پر پیدا ہوتا ہے: {{بلیٹڈ لسٹ | اگر، ایک دوہری نمبر کا قطبی سڑنا ہے، جہاں ؛ یعنی، ε نیلپوٹینٹ ہے۔ اس قطبی سڑنے میں، اکائی کے دائرے کو لکیر سے، قطبی زاویے کو ڈھلوان y/x سے تبدیل کر دیا گیا ہے، اور بائیں نصف سطح میں رداس x منفی ہے۔ | اگر، تو یونٹ ہائپربولا اور اس کے کنجوگیٹ کو یونٹ ہائپربولا کی شاخ کی بنیاد پر قطبی سڑنا بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس شاخ کو ہائپربولک زاویے a کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے اور یہ لکھا جاتا ہے کہ کہاں اور ریاضیاتی "ہائپربولک نمبر پلین"، کالج میتھمیٹکس جرنل 26:268-80 اسپلٹ کمپلیکس نمبروں کا استعمال ہوتا ہے۔ شاخ کا سراغ − eaj سے لگایا جاتا ہے۔ چونکہ جے سے ضرب دینے کا عمل لکیر کے پار ایک نقطہ کی عکاسی کرتا ہے، اس لیے دوسرے ہائپربولا کی شاخیں جیج یا-جیج سے معلوم ہوتی ہیں۔ لہذا کواڈرینٹس میں سے کسی ایک میں ایک نقطہ کی ایک شکل میں قطبی سڑنا ہوتا ہے: سیٹ میں ایسی مصنوعات ہوتی ہیں جو اسے کلین فور گروپ کے لیے آئسومورفک بناتی ہیں۔ واضح طور پر اس معاملے میں قطبی سڑنا اس گروپ کا ایک عنصر شامل ہے۔ میٹرکس پولر سڑنا کا عددی تعین پولر سڑنا A = UP کا تخمینہ لگانے کے لیے، عام طور پر یکطرفہ عنصر U کا تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ تکرار 1 "کے مربع جڑ کے لیے ہیرون کے طریقہ کار پر مبنی ہے اور ترتیب سے شروع کرتے ہوئے حساب کرتا ہے۔ الٹ اور ہرمائیٹ کنجگیشن کا مجموعہ منتخب کیا جاتا ہے تاکہ واحد قدر کے سڑنے میں، یکطرفہ عوامل یکساں رہیں اور تکرار واحد اقدار پر ہیرون کے طریقہ کار تک کم ہو جائے۔ اس بنیادی تکرار کو عمل کو تیز کرنے کے لیے بہتر بنایا جا سکتا ہے: کارٹن سڑنا الجبرائی قطبی سڑنا قطبی سڑنا ایک پیچیدہ پیمائش لائ گروپ سڑنا حوالہ جات کونوے، جے بی: فنکشنل تجزیہ میں ایک کورس بھی دیکھیں۔ ریاضی میں گریجویٹ ٹیکسٹ۔ نیویارک: سپرنگر 1990 ڈگلس، آر۔ جی۔ : ہلبرٹ اسپیس پر آپریٹرز کی میجرائزیشن، فیکٹرائزیشن، اور رینج کی شمولیت پر۔ پروک۔ آمیر۔ ریاضی۔ سوک۔ 17، 413-415 (1966)۔ لائ گروپ آپریٹر تھیوری میٹرکس تھیوری میٹرکس سڑنا