Chomp
چومپ ایک دو کھلاڑیوں کا حکمت عملی کا کھیل ہے جو چھوٹے مربع خلیوں سے بنے آئتاکار گرڈ پر کھیلا جاتا ہے، جسے چاکلیٹ بار کے بلاکس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ کھلاڑی اسے باری باری لے کر ایک بلاک کا انتخاب کرتے ہیں اور "اسے کھائیں" (بورڈ سے ہٹا دیں)، ان کے ساتھ جو اس کے نیچے اور اس کی دائیں طرف ہیں۔ اوپری بائیں بلاک کو "زہر آلود" کیا جاتا ہے اور جو کھلاڑی اسے کھاتا ہے وہ ہار جاتا ہے۔ چومپ کی چاکلیٹ بار کی تشکیل ڈیوڈ گیل کی وجہ سے ہے، لیکن ایک مساوی کھیل جس کا اظہار ایک مقررہ عدد کے تقسیم کاروں کے انتخاب کے لحاظ سے کیا گیا تھا، اس سے پہلے فریڈرک شوہ نے شائع کیا تھا۔ چومپ پوزیٹ گیم کا ایک خاص معاملہ ہے جہاں جزوی طور پر ترتیب دیا گیا سیٹ جس پر گیم کھیلا جاتا ہے وہ کل آرڈرز کا پروڈکٹ ہوتا ہے جس میں کم سے کم عنصر (زہریلا بلاک) ہٹا دیا جاتا ہے۔ مثال کھیل ذیل میں 5 × 4 بار سے شروع ہونے والے ایک عام کھیل میں چالوں کا سلسلہ دکھایا گیا ہے: کھلاڑی اے نیچے دائیں کونے سے دو بلاکس کھاتا ہے ؛ کھلاڑی بی نیچے کی صف سے تین کھاتا ہے ؛ کھلاڑی اے زہریلے بلاک کے دائیں طرف والے بلاک کو چنتا ہے اور گیارہ بلاکس کھاتا ہے ؛ کھلاڑی بی باقی کالم سے تین بلاکس کھاتا ہے، جس سے صرف زہریلا بلاک رہ جاتا ہے۔ کھلاڑی اے کو آخری بلاک کھانا چاہیے اور اس لیے ہار جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ یہ ثابت ہے کہ کھلاڑی اے 5×4 بار سے شروع کرتے وقت جیت سکتا ہے، اس لیے اے کی کم از کم ایک چال غلطی ہے۔ کھیل کی پوزیشنیں m × n چومپ میں انٹرمیڈیٹ پوزیشنیں انٹیجر پارٹیشنز (مثبت انٹیجرز کی غیر بڑھتی ہوئی ترتیب) λ1 ≤ λ2 ≤··· ≤ λr ہیں، جس میں λ1 ≤ n اور r ≤ m ہیں۔ ان کا نمبر بائنومیل گتانک ہے، جو m اور n کے ساتھ تیزی سے بڑھتا ہے۔ گیم چومپ جیتنا غیر جانبدار دو کھلاڑیوں کے کامل انفارمیشن گیمز کے زمرے سے تعلق رکھتا ہے، جس کی وجہ سے اسپراگ-گرینڈی تھیوریم کی وجہ سے نیم بھی اس کا تجزیہ کر سکتا ہے۔ 1 × 1 کے علاوہ کسی بھی آئتاکار ابتدائی پوزیشن کے لیے، پہلا کھلاڑی جیت سکتا ہے۔ اسے حکمت عملی چوری کرنے والی دلیل کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ دوسرے کھلاڑی کے پاس پہلے کھلاڑی کی کسی بھی ابتدائی حرکت کے خلاف جیت کی حکمت عملی ہے۔ پھر فرض کریں کہ پہلا کھلاڑی صرف نیچے دائیں ہاتھ کا مربع لیتا ہے۔ ہمارے مفروضے کے مطابق، دوسرے کھلاڑی کے پاس اس کا جواب ہوتا ہے جو فتح کو مجبور کرے گا۔ لیکن اگر اس طرح کا جیتنے والا ردعمل موجود ہوتا، تو پہلا کھلاڑی اسے اپنی پہلی حرکت کے طور پر کھیل سکتا تھا اور اس طرح زبردستی فتح حاصل کر سکتا تھا۔ اس لیے دوسرے کھلاڑی کے پاس جیتنے کی حکمت عملی نہیں ہو سکتی۔ کمپیوٹر معقول سائز کے دو جہتی بورڈوں پر اس کھیل کے لیے جیتنے والی چالوں کا آسانی سے حساب لگا سکتے ہیں۔ تاہم، جیسے جیسے عہدوں کی تعداد میں تیزی سے اضافہ ہوتا ہے، یہ بڑے بورڈوں کے لیے ناقابل عمل ہے۔ مربع ابتدائی پوزیشن کے لیے (یعنی کسی بھی n ≤ 2 کے لیے n × n)، جیتنے کی حکمت عملی آسانی سے واضح طور پر دی جا سکتی ہے۔ پہلے کھلاڑی کو دوسرے کو ایک قطار کی ایل شکل کے ساتھ پیش کرنا چاہیے اور صرف ایک کالم، اسی لمبائی کا، زہریلے مربع پر منسلک ہونا چاہیے۔ پھر، دوسرا کھلاڑی ایل کے ایک بازو پر جو کچھ بھی کرتا ہے، پہلا کھلاڑی دوسرے بازو پر اسی حرکت کے ساتھ جواب دیتا ہے، ہمیشہ دوسرے کھلاڑی کو دوبارہ سمیٹرک ایل شکل کے ساتھ پیش کرتا ہے۔ آخر میں، یہ ایل واحد زہریلے مربع میں تبدیل ہو جائے گا، اور دوسرا کھلاڑی ہار جائے گا۔ چومپ تھری ڈائیمینشنل چومپ کی عمومی شکلوں میں بلاکس کے کیوبائڈ کی ابتدائی چاکلیٹ بار ہوتی ہے جسے (i, j, k) کے طور پر انڈیکس کیا جاتا ہے۔ ایک اقدام یہ ہے کہ کسی بھی بلاک کے ساتھ ایک بلاک کو ایک ساتھ لیا جائے جس کے تمام انڈیکس منتخب کردہ بلاک کے متعلقہ انڈیکس سے زیادہ یا برابر ہوں۔ اسی طرح چومپ کو کسی بھی تعداد میں جہتوں میں عام کیا جا سکتا ہے۔ چمپ کو بعض اوقات عددی طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ایک ابتدائی قدرتی نمبر دیا جاتا ہے، اور کھلاڑی متبادل طور پر ابتدائی نمبر کے مثبت تقسیم کاروں کا انتخاب کرتے ہیں، لیکن پہلے سے منتخب کردہ تقسیم کار میں سے 1 یا متعدد کا انتخاب نہیں کر سکتے ہیں۔ یہ گیم ماڈل n-جہتی چومپ ہے، جہاں ابتدائی قدرتی نمبر میں n پرائم فیکٹر ہوتے ہیں اور چومپ بورڈ کے طول و عرض کو پرائمز کے ایکسپوینٹس کے ذریعے اس کی پرائم فیکٹرائزیشن میں دیا جاتا ہے۔ آرڈینل چومپ ایک لامحدود بورڈ پر اس کے کچھ طول و عرض کے آرڈینل نمبروں کے ساتھ کھیلا جاتا ہے: مثال کے طور پر 2 × (ω + 4) بار۔ کسی بھی بلاک کو چننا اور منتخب کردہ بلاک کے متعلقہ انڈیکس سے زیادہ یا برابر دونوں انڈیکس والے تمام بلاکس کو ہٹانا ایک اقدام ہے۔ ω × ω × ω چومپ کا معاملہ ایک قابل ذکر کھلا مسئلہ ہے ؛ جیتنے والی پہلی حرکت تلاش کرنے پر $100 کا انعام پیش کیا گیا ہے۔ زیادہ عام طور پر، چومپ کو کسی بھی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ پر کم سے کم عنصر کے ساتھ کھیلا جا سکتا ہے۔ ایک اقدام تمام بڑے عناصر کے ساتھ کسی بھی عنصر کو ہٹانا ہے۔ ایک کھلاڑی سب سے کم عنصر لے کر ہار جاتا ہے۔ چومپ کی تمام اقسام کو مسیر پلے کنونشن کا استعمال کرتے ہوئے زہر کا سہارا لیے بغیر بھی کھیلا جا سکتا ہے: جو کھلاڑی آخری چاکلیٹ بلاک کھاتا ہے اسے زہر نہیں دیا جاتا، بلکہ صرف آخری کھلاڑی ہونے کی وجہ سے ہار جاتا ہے۔ یہ اپنے طور پر چومپ کھیلتے وقت عام اصول سے ملتا جلتا ہے، لیکن چومپ گیمز کا اختلافی مجموعہ کھیلتے وقت مختلف ہوتا ہے، جہاں صرف آخری چاکلیٹ بلاک ہار جاتا ہے۔ نیم ہیکنبش حوالہ جات بیرونی لنکس گیم کے بارے میں مزید معلومات ونڈوز کے لیے ایک فری ویئر ورژن آن لائن کھیلیں چومپ آن لائن 14 تک کے سائز کے لیے تمام جیتنے والے کاٹنے تجریدی حکمت عملی کے کھیل ریاضیاتی کھیل مشترکہ گیم تھیوری کاغذ اور پنسل کھیل