Banach measure
پیمائش کے نظریہ کے ریاضیاتی شعبے میں، بناچ پیمائش ایک مخصوص قسم کا مواد ہے جو انتخاب کے محور سے کمزور مسائل میں ہندسی رقبے کو باقاعدہ بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ روایتی طور پر، رقبے کے بدیہی تصورات کو کلاسیکی، قابل شمار اضافی پیمائش کے طور پر باقاعدہ بنایا جاتا ہے۔ اس کا بدقسمتی سے کچھ سیٹوں کو بغیر کسی واضح علاقے کے چھوڑنے کا اثر پڑتا ہے۔ اس کا نتیجہ یہ ہے کہ کچھ ہندسی تبدیلیاں علاقے کو غیر متغیر نہیں چھوڑتی ہیں، جو کہ بناچ-ترسکی پیراڈوکس کا مادہ ہے۔ اس مسئلے کو دور کرنے کے لیے بناچ پیمائش ایک قسم کا عمومی اقدام ہے۔ کسی سیٹ پر بناچ پیمائش ایک محدود، حتمی اضافی پیمائش ہے، جس کی وضاحت ہر ذیلی سیٹ کے لیے کی گئی ہے، اور جس کی قدر محدود ذیلی سیٹوں پر 0 ہے۔ ایک بناچ پیمائش جس پر اقدار لی جاتی ہیں} کو آن کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ ویتالی کے تضاد سے پتہ چلتا ہے، بناچ کے اقدامات کو قابل شمار اضافی اقدامات تک مضبوط نہیں کیا جا سکتا۔ اسٹیفن بناچ نے دکھایا کہ یوکلڈین طیارے کے لیے بناچ پیمائش کی وضاحت کرنا ممکن ہے، جو معمول کے لیبسگیو پیمائش کے مطابق ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر لیبسگیو پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ بھی بناچ پیمائش کے قابل ہے، جس کا مطلب ہے کہ دونوں اقدامات برابر ہیں۔ اس پیمائش کا وجود دو جہتوں میں بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس کی ناممکنیت کو ثابت کرتا ہے: محدود لیبسگ پیمائش کے دو جہتی سیٹ کو محدود طور پر بہت سے سیٹوں میں تحلیل کرنا ممکن نہیں ہے جنہیں مختلف پیمائش کے ساتھ ایک سیٹ میں دوبارہ جمع کیا جا سکتا ہے، کیونکہ اس سے بناچ پیمائش کی خصوصیات کی خلاف ورزی ہوگی جو لیبسگ پیمائش کو بڑھاتی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط اسٹیفن بناچ بائیو پیمائش (پیمائش کا نظریہ)