Triangulation (topology)
ریاضی میں، مثلث ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کو ٹکڑے ٹکڑے لکیری خالی جگہوں سے تبدیل کرنے کی وضاحت کرتا ہے، یعنی۔ ایک مناسب سادہ کمپلیکس میں ہومیومورفزم کا انتخاب۔ ایک سادہ کمپلیکس کے لیے ہومومورفک ہونے کی وجہ سے خالی جگہوں کو مثلث کہا جاتا ہے۔ مثلث کے ریاضی کی مختلف شاخوں میں مختلف استعمال ہیں، مثال کے طور پر الجبرائی ٹوپولوجی میں، پیچیدہ تجزیہ میں یا ماڈلنگ میں۔ محرک ایک طرف، بعض اوقات ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی غیر ضروری معلومات کو بھولنا مفید ہوتا ہے: اصل خالی جگہوں کو سادہ کمپلیکس سے تبدیل کرنے سے اہم خصوصیات کو پہچاننے اور سمجھی جانے والی چیز کی بہتر تفہیم حاصل کرنے میں مدد مل سکتی ہے۔ دوسری طرف، سادہ کمپلیکس مشترکہ کردار کی اشیاء ہیں اور اس لیے کوئی انہیں ان کے مشترکہ نمونے سے بڑھتی ہوئی مقدار تفویض کر سکتا ہے، مثال کے طور پر، اویلر کی خصوصیت۔ مثلث اب اس طرح کی مقدار کو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر تفویض کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مثلث کے وجود اور انفرادیت سے متعلق تحقیقات نے ٹوپولوجی میں ایک نئی شاخ قائم کی، یعنی پیس وائز-لکیری-ٹوپولوجی (مختصر پی ایل-ٹوپولوجی)۔ اس کا بنیادی مقصد سادہ کمپلیکس کی ٹپوولوجیکل خصوصیات اور اس کی عمومی شکل، سیل کمپلیکس ہے۔ سادہ کمپلیکس خلاصہ سادہ کمپلیکس ایک سیٹ کے اوپر ایک تجریدی آسان کمپلیکس غیر خالی ذیلی سیٹوں کا ایک ایسا نظام ہے جس میں: ہر ایک کے لیے ؛ اگر اور۔ کے عناصر کو سمپلیسیس کہا جاتا ہے، کے عناصر کو عمودی کہتے ہیں۔ عمودی کے ساتھ ایک سمپلیکس تعریف کے لحاظ سے طول و عرض رکھتا ہے۔ تجریدی سادہ کمپلیکس کے طول و عرض کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ تجریدی سادہ کمپلیکس کو ہندسی اشیاء کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ اس کے لیے جیومیٹرک سمپلیکس کی اصطلاح درکار ہوتی ہے۔ ہندسی آسانیاں آئیے اس میں مکمل طور پر آزاد نکات ہوں، یعنی۔ ویکٹر لکیری طور پر آزاد ہوتے ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ یہ سیٹ سمپلیکس ہے جس کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ تعریف کے لحاظ سے اس کی جہت ہے۔ ان نکات کو عمودی کہا جاتا ہے، عمودی کے ذریعے پھیلی ہوئی آسانیوں کو چہرے کہا جاتا ہے اور حد کو اس کے چہروں کے اتحاد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ جہتی معیاری سمپلیکس وہ سمپلیکس ہے جو یونٹ ویکٹرز کے ذریعے پھیلا ہوا ہے جیومیٹرک سمپلیکل کمپلیکس ایک جیومیٹرک سمپلیکل کمپلیکس جیومیٹرک سمپلیسیس کا ایک اتحاد ہے جس میں اگر ایک سمپلیکس ہے، تو اس کے تمام چہرے اندر ہیں۔ اگر دو الگ الگ آسانیاں ہیں، تو ان کے اندرونی حصے جداگانہ ہیں۔ بند سیٹ کو منتخب کرکے سیٹ کو ٹوپوولوجیکل اسپیس کے طور پر محسوس کیا جاسکتا ہے جو سب کے لیے بند ہے۔ یہ ذکر کیا جانا چاہیے کہ عام طور پر، سادہ کمپلیکس اس کی قدرتی ٹوپولوجی فراہم نہیں کرے گا۔ اس صورت میں کہ کمپلیکس میں ہر نقطہ صرف بہت سی آسانیوں میں مضمر ہے، دونوں ٹوپولوجیز موافق ہیں۔ ہر ہندسی کمپلیکس کو کسی بھی سمپلیکس میں ظاہر ہونے والے عمودی سیٹ کو گراؤنڈ سیٹ کے طور پر منتخب کرکے ایک تجریدی کمپلیکس سے جوڑا جا سکتا ہے اور ذیلی سیٹوں کے نظام کے طور پر جس کے ذیلی سیٹ آسانیوں کے عمودی سیٹوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک فطری سوال یہ ہے کہ اگر اس کے برعکس، کوئی تجریدی سادہ کمپلیکس ہندسی کمپلیکس سے مطابقت رکھتا ہے۔ عام طور پر، جیسا کہ یہاں ذکر کیا گیا ہندسی تعمیر کافی لچکدار نہیں ہے: مثال کے طور پر لامحدود جہت کے تجریدی سادہ کمپلیکس پر غور کریں۔ تاہم، مندرجہ ذیل مزید تجریدی تعمیر کسی بھی قسم کے تجریدی سادہ کمپلیکس کے لیے ایک ٹپوولوجیکل جگہ فراہم کرتی ہے: آئیے کسی سیٹ کے اوپر ایک تجریدی سادہ کمپلیکس ہو۔ آسانیوں کا اتحاد منتخب کریں، لیکن ہر ایک طول و عرض کافی بڑا ہے، اس طرح کہ اگر تجریدی ہندسی سمپلیکس کا طول و عرض ہو تو ہندسی سمپلیکس طول و عرض کا ہو۔ اگر، کے چہرے سے پہچانا جا سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں ٹوپوولوجیکل اسپیس گلوئنگ ہے جو ہر شمولیت کے لیے گلوئنگ کو متاثر کرتی ہے، تو ایک مطلوبہ ٹوپوولوجیکل اسپیس کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔ جیسا کہ پچھلی تعمیر میں، گلوئنگ سے متاثر ٹوپولوجی کے ذریعہ، اس جگہ میں بند سیٹ وہ ذیلی سیٹ ہیں جو ہر سمپلیکس کی سب اسپیس ٹوپولوجی میں بند ہوتے ہیں۔ سادہ کمپلیکس، جو طول و عرض کی تمام آسانیوں پر مشتمل ہوتا ہے، اس کا-th کنکال کہلاتا ہے۔ ایک سادہ کمپلیکس کے سرے کے قدرتی پڑوس کو سمپلیکس کا ستارہ سمجھا جاتا ہے، اس کی حد لنک ہے۔ سادہ نقشے اس زمرے میں زیر غور نقشے سادہ نقشے ہیں: مان لیں، سیٹوں کے اوپر تجریدی سادہ کمپلیکس ہوں،۔ سادہ نقشہ ایک فنکشن ہے جو ہر سمپلیکس کو سمپلیکس پر نقش کرتا ہے۔ آسانیوں پر افائن لکیری توسیع کے ذریعے، کمپلیکس کے ہندسی احساسات کے درمیان ایک نقشہ تیار ہوتا ہے۔ مثالیں لیٹ اینڈ لیٹ۔ متعلقہ ہندسی کمپلیکس مرکز کے ساتھ ایک ستارہ ہے۔ جانے دو اور جانے دو۔ اس کا ہندسی احساس ایک ٹیٹرا ہیڈرون ہے۔ اوپر کی طرح رہنے دیں اور جانے دیں۔ ہندسی سادہ کمپلیکس ٹیٹرا ہیڈرون کی حد ہے۔ تعریف ٹپوولوجیکل اسپیس کا مثلث ایک ہومومورفزم ہے جہاں ایک آسان کمپلیکس ہے۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہیں لازمی طور پر مثلث کو تسلیم نہیں کرتی ہیں اور اگر وہ کرتے ہیں تو، یہ ضروری نہیں کہ منفرد ہو۔ مثالیں سادہ کمپلیکس کو شناخت کے لحاظ سے مثلث بنایا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ اوپر دکھائی گئی مثالوں میں ہے۔ بند اکائی کی گیند ٹیٹرا ہیڈرون کے لیے ہومومورفک ہوتی ہے لہذا یہ مثلث کو قبول کرتی ہے، یعنی ہومومورفزم۔ محدود کرنے سے ہومیومورفزم حاصل ہوتا ہے۔ ٹورس مثلث کو تسلیم کرتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، ٹورس کو ایک مربع کے طور پر سمجھیں جہاں متوازی چہرے ایک ساتھ چپکے ہوئے ہیں۔ اس مربع کو مثلث بنایا جا سکتا ہے جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے: پروجیکٹو طیارہ ایک مثلث کو قبول کرتا ہے (سی ڈبلیو کمپلیکس دیکھیں) کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ تفریق پذیر کئی گنا مثلث کو قبول کرتے ہیں۔ خالی جگہوں کے متغیر مثلث ان کے وقف کردہ سادہ کمپلیکس سے خالی جگہوں پر بڑھتے ہوئے مشترکہ غیر متغیرات کو تفویض کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ یہ ایسی خصوصیات ہیں جو ایک سادہ نقشے کے ذریعے آئسومورفک کمپلیکس کے برابر ہیں اور اس طرح ایک ہی مشترکہ نمونہ رکھتے ہیں۔ یہ ڈیٹا ہومیومورفزم تک ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی درجہ بندی کے لیے مفید ہو سکتا ہے لیکن صرف اس وجہ سے کہ خصوصیات بھی ٹپوولوجیکل غیر متغیر ہیں، یعنی، وہ منتخب کردہ مثلث پر منحصر نہیں ہیں۔ یہاں درج کردہ اعداد و شمار کے لیے، یہ معاملہ ہے۔ تفصیلات اور واحد ہومیولوجی سے تعلق کے لیے، دیکھیں ٹپوولوجیکل انویرینس ہومیولوجی ویا ٹرائینگولیشن، کوئی بھی ایک سلسلہ کمپلیکس کو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر تفویض کر سکتا ہے جو اس کے سادہ کمپلیکس سے پیدا ہوتے ہیں اور اس کی سادہ ہومیولوجی کا حساب لگا سکتا ہے۔ کمپیکٹ خالی جگہیں ہمیشہ محدود مثلث کو تسلیم کرتی ہیں اور اس وجہ سے ان کے ہومیولوجی گروپ حتمی طور پر پیدا ہوتے ہیں اور ان میں سے صرف بہت سے ختم نہیں ہوتے ہیں۔ بیٹی نمبرز یا اویلر کی خصوصیت کے طور پر دیگر اعداد و شمار ہومیولوجی سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ بیٹٹی نمبرز اور اویلر کی خصوصیات کو ایک محدود سادہ کمپلیکس ہونے دیں۔ - th بیٹی-نمبر کو خالی جگہوں کے-th سادہ ہومیولوجی-گروپ کا درجہ قرار دیا گیا ہے۔ یہ نمبر خالی جگہوں کی ہندسی خصوصیات کو انکوڈ کرتے ہیں: مثال کے طور پر بیٹی نمبر منسلک اجزاء کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثلث، بند سمت والی سطحوں کے لیے، ہولڈز جہاں سطح کی نسل کی نشاندہی کرتا ہے: اس لیے اس کا پہلا بیٹی نمبر سطح کے ہینڈلز کی دوگنی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ مندرجہ بالا تبصرے کے ساتھ، کمپیکٹ خالی جگہوں کے لیے تمام بیٹی نمبر محدود ہیں اور تقریبا تمام صفر ہیں۔ لہذا، کوئی بھی ان کا متبادل مجموعہ تشکیل دے سکتا ہے جسے کمپلیکس کا اویلر چارکٹرسٹک کہا جاتا ہے، جو ایک دلکش ٹپوولوجیکل غیر متغیر ہے۔ ہومیومورفزم تک ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کی درجہ بندی کے لیے ان غیر متغیرات کو استعمال کرنے کے لیے ہومیومورفزم سے متعلق خصوصیات کی غیر متغیرات کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس سوال کا ایک مشہور نقطہ نظر 20 ویں صدی کے آغاز میں یہ ظاہر کرنے کی کوشش تھی کہ ایک ہی ٹپوولوجیکل اسپیس کے کوئی بھی دو مثلث ایک مشترکہ ذیلی تقسیم کو تسلیم کرتے ہیں۔ اس مفروضے کو ہاپٹورموٹنگ (جرمن: مرکزی مفروضہ) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایک سادہ کمپلیکس ہونے دیں۔ ایک کمپلیکس کو آئی ایف ایف کی ذیلی تقسیم کہا جاتا ہے: کا ہر سمپلیکس ایک سمپلیکس میں موجود ہوتا ہے اور کا ہر سمپلیکس اس میں آسانیوں کا ایک محدود اتحاد ہوتا ہے۔ وہ شرائط اس بات کو یقینی بناتی ہیں کہ ذیلی تقسیم سادہ کمپلیکس کو ایک سیٹ کے طور پر یا ٹپوولوجیکل اسپیس کے طور پر تبدیل نہیں کرتے ہیں۔ سادہ کمپلیکس کے درمیان نقشے کو ٹکڑے ٹکڑے لکیری کہا جاتا ہے اگر اس میں ایسی اصلاح ہو جو ہر سمپلیکس پر ٹکڑے ٹکڑے لکیری ہو۔ دو کمپلیکس جو ٹکڑے ٹکڑے لکیری بائیجیکشن کے ذریعے دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں انہیں مشترکہ آئسومورفک کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، دو کمپلیکس جن میں مشترکہ اصلاح ہوتی ہے وہ مشترکہ طور پر مساوی ہوتے ہیں۔ ہومیولوجی گروپ مشترکہ مساوات کے لیے غیر متغیر ہیں اور اس لیے ہاپٹورموٹنگ سادہ ہومیولوجی گروپوں کی ٹوپولوجیکل انواریینس دے گا۔ 1918 میں سکندر نے واحد ہم جنس پرستی کا تصور متعارف کرایا۔ اس کے بعد، مثلث سے پیدا ہونے والے زیادہ تر غیر متغیرات کی جگہ واحد ہم آہنگی سے پیدا ہونے والے غیر متغیرات نے لے لی۔ ان نئے غیر متغیرات کے لیے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ وہ ہومومورفزم اور یہاں تک کہ ہوموٹوپی مساوات کے حوالے سے بھی غیر متغیر تھے۔ مزید برآں یہ دکھایا گیا کہ واحد اور سادہ ہومیولوجی گروپ آپس میں ملتے ہیں۔ اس حل نے ہومیومورفزم کے اعداد و شمار کی غیر متغیریت کو ظاہر کیا ہے۔ ہاپٹورموٹنگ کی اہمیت ختم ہو گئی لیکن یہ ٹوپولوجی میں ایک نئی شاخ کے لیے ابتدائی تھا: پیس وائز لینیر (مختصر پی ایل-ٹوپولوجی) ٹوپولوجی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کی ٹوپولوجیکل خصوصیات کا جائزہ لیتی ہے۔ ہاؤپٹورموٹنگ (مرکزی قیاس کے لیے جرمن) میں کہا گیا ہے کہ دو مثلث ہمیشہ ایک مشترکہ ذیلی تقسیم کو تسلیم کرتے ہیں۔ اصل میں، اس کا مقصد ہومیومورفزم کے حوالے سے مشترکہ غیر متغیرات کی غیر متغیریت کو ثابت کرنا تھا۔ یہ مفروضہ کہ اس طرح کے ذیلی تقسیم عام طور پر موجود ہیں بدیہی ہے، کیونکہ ذیلی تقسیم سادہ خالی جگہوں کے لیے تعمیر کرنا آسان ہے، مثال کے طور پر کم جہتی کئی گنا کے لیے۔ درحقیقت یہ مفروضہ طول و عرض کے کئی گنا اور تفریق کے قابل کئی گنا کے لیے ثابت ہوا تھا لیکن اسے عام طور پر غلط ثابت کیا گیا: یہ ظاہر کرنے کا ایک اہم ذریعہ کہ مثلث ایک مشترکہ ذیلی تقسیم کو تسلیم نہیں کرتے ہیں۔ یعنی ان کے بنیادی کمپلیکس مشترکہ طور پر آئسومورفک نہیں ہیں جو کہ ریڈمیسٹر ٹورسن کا مشترکہ غیر متغیر ہے۔ ریڈمیسٹر-ٹورسن ہاپٹورموٹنگ کو غلط ثابت کرنے کے لیے مشترکہ غیر متغیرات کا استعمال کرنا مددگار ہے جو ٹپوولوجیکل غیر متغیرات نہیں ہیں۔ ایک مشہور مثال ریڈمیسٹر-ٹورسن ہے۔ اسے سی ڈبلیو کمپلیکس کے ایک ٹپل کو تفویض کیا جا سکتا ہے: اگر یہ خصوصیت ٹوپولوجیکل غیر متغیر ہوگی لیکن اگر عام طور پر نہیں۔ ہاپٹورموٹنگ کے لیے ایک نقطہ نظر ریڈمیسٹر-ٹورسن کی مختلف اقدار کے ساتھ ہومومورفک خالی جگہوں کو تلاش کرنا تھا۔ یہ غیر متغیر ابتدائی طور پر لینس خالی جگہوں کی درجہ بندی کے لیے استعمال کیا گیا تھا اور ہاپٹورموٹنگ کے پہلے جوابی نمونے لینس خالی جگہوں کی بنیاد پر بنائے گئے تھے: لینس خالی جگہوں کی درجہ بندی اس کی اصل تشکیل میں، لینس خالی جگہیں 3-مینی فولڈ ہیں، جو 3-دائرے کے حصص خالی جگہوں کے طور پر تعمیر کی گئی ہیں: قدرتی اعداد ہونے دیں، جیسے کہ کوپرائم ہیں۔ لینس کی جگہ کو فری گروپ ایکشن کے مدار کی جگہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ مختلف ٹپلوں کے لیے، لینس کی جگہیں ہوموٹوپی کے مساوی ہوں گی لیکن ہومیومورفک نہیں ہوں گی۔ لہذا انہیں کلاسیکی غیر متغیرات کی مدد سے بنیادی گروپ کے طور پر نہیں بلکہ ریڈمیسٹر-ٹورسن کے استعمال سے ممتاز کیا جا سکتا ہے۔ دو لینس خالی جگہیں ہومومورفک ہیں، اگر اور صرف اگر۔ اس صورت میں اگر دو لینس خالی جگہیں سادہ-ہوموٹوپی-مساوی ہوں۔ اس حقیقت کو ہاؤپٹورموٹنگ کے لیے مندرجہ ذیل مثالوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ ایسی خالی جگہیں ہیں جو غیر ہومیومورفک لینس خالی جگہوں سے حاصل ہوتی ہیں جن میں مختلف ریڈمیسٹر ٹورسن ہوتا ہے۔ مزید فرض کریں کہ ترمیم ریڈمیسٹر ٹورسن کو متاثر نہیں کرتی ہے بلکہ اس طرح کی ہے کہ ترمیم کے بعد ہومیومورفک ہیں۔ نتیجے میں خالی جگہیں ہاپٹورموٹنگ کو غلط ثابت کریں گی۔ مثلث کا وجود کمپیوٹیشنل مسائل کے لیے ٹھوس مثلث کے سوال کے علاوہ، خالی جگہوں کے بارے میں ایسے بیانات ہیں جنہیں ثابت کرنا آسان ہے کیونکہ وہ سادہ کمپلیکس ہیں۔ خاص طور پر کئی گنا دلچسپی رکھتے ہیں۔ طول و عرض کے ٹپوولوجیکل کئی گنا ہمیشہ مثلث ہوتے ہیں لیکن طول و عرض کے لیے غیر مثلث کئی گنا ہوتے ہیں، من مانی لیکن تین سے بڑے کے لیے۔ مزید برآں، تفریق پذیر کئی گنا ہمیشہ مثلث کو تسلیم کرتے ہیں۔ پی ایل-اسٹرکچرز مینی فولڈز خالی جگہوں کی ایک اہم کلاس ہیں۔ یہ فطری ہے کہ ان کا نہ صرف مثلث ہونا ضروری ہے بلکہ اس کے علاوہ ایک ٹکڑے ٹکڑے لکیری اٹلس، ایک پی ایل-ڈھانچہ کو داخل کرنا ضروری ہے: آئیے ایک آسان کمپلیکس ایسا ہو کہ ہر نقطہ ایک کھلے محلے کو اس طرح تسلیم کرے کہ اس کا مثلث اور ٹکڑے ٹکڑے لکیری ہومومورفزم ہو۔ پھر کہا جاتا ہے کہ طول و عرض کا ایک ٹکڑے ٹکڑے لکیری (پی ایل) کئی گنا ہے اور پی ایل اٹلس کے ساتھ مل کر مثلث کو پی ایل ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ ایک اہم لیما مندرجہ ذیل ہے: آئیے ایک ٹپوولوجیکل اسپیس بنیں۔ یہ ایک جہتی کئی گنا کے مساوی ہے اور ایک پی ایل ساخت کو تسلیم کرتا ہے۔ ایک مثلث اس طرح کا ہوتا ہے کہ ہر سرے کا ربط ایک دائرہ ہوتا ہے۔ ہر سرے کے ربط کے ہر مثلث کے لیے ایک دائرہ ہوتا ہے۔ دوسرے اور تیسرے بیان کی مساوات اس وجہ سے ہے کہ کسی سرے کا ربط مشترکہ آئسومورفزم تک منتخب کردہ مثلث سے آزاد ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ تفریق کے قابل کئی گنا ایک پی ایل ڈھانچے کے ساتھ ساتھ طول و عرض کے کئی گنا کو بھی تسلیم کرتے ہیں۔ مثلث قیاس آرائی کے لیے جوابی مثالیں یقینا پی ایل ساخت کے وجود کے قیاس آرائی کے لیے مخالف مثالیں ہیں۔ مزید برآں، مثلث خالی جگہوں کی مثالیں موجود ہیں جو پی ایل ڈھانچے کو تسلیم نہیں کرتی ہیں۔ ایک جہتی پی ایل-ہومیولوجی-دائرے پر غور کریں۔ ڈبل معطلی ایک ٹپوولوجیکل دائرہ ہے۔ مثلث پر سسپنشن آپریشن کے ذریعے حاصل کردہ مثلث کا انتخاب کرنے کے نتیجے میں آسان کمپلیکس ایک پی ایل-کئی گنا نہیں ہے، کیونکہ ایک ایسا ورٹیکس ہے جو دائرہ نہیں ہے۔ تعریف کے ساتھ پیدا ہونے والا ایک سوال یہ ہے کہ کیا پی ایل-ڈھانچے ہمیشہ منفرد ہوتے ہیں: ایک ہی جگہ کے لیے دو پی ایل-ڈھانچوں کو دیکھتے ہوئے، کیا کوئی ہومومورفزم ہے جو دونوں پی ایل-ڈھانچوں کے حوالے سے ٹکڑے ٹکڑے لکیری ہو؟ یہ مفروضہ ہاپٹورموٹنگ سے ملتا جلتا ہے اور درحقیقت ایسی خالی جگہیں ہیں جن میں مختلف پی ایل-ڈھانچے ہیں جو مساوی نہیں ہیں۔ پی۔ ایل۔ مساوی خالی جگہوں کے مثلث کو پاچنر چالوں کے ذریعے ایک دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے: پاچنر حرکت پچنر چالوں کو مثلث کو جوڑنے کا ایک طریقہ ہے: آئیے ایک آسان کمپلیکس بنیں۔ دو آسانیوں کے لیے جوائن وہ پوائنٹس ہیں جو اندر اور اندر کے پوائنٹس کے درمیان سیدھے راستوں پر پڑے ہوتے ہیں۔ اس طرح کا انتخاب کریں کہ کسی بھی ایسے شخص کے لیے جو جھوٹ نہ بولیں۔ ایک نیا کمپلیکس، کے ذریعے تبدیل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس تبدیلی کو پچنر حرکت کہا جاتا ہے۔ پاچنر کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ جب بھی دو مثلث شدہ کئی گنا پی ایل کے مساوی ہوتے ہیں، تو پاچنر چالوں کا ایک سلسلہ ہوتا ہے جو دونوں کو دوسرے میں تبدیل کر دیتا ہے۔ سی ڈبلیو کمپلیکس ایک ایسی ہی لیکن آسان کمپلیکس سے زیادہ لچکدار تعمیر سی ڈبلیو کمپلیکس میں سے ایک ہے۔ اس کی ساخت اس طرح ہے: ایک خلیہ بند جہتی اکائی گیند ہے، ایک کھلا خلیہ اس کا اندرونی حصہ ہے۔ ایک ٹپوولوجیکل جگہ بننے دیں، ایک مسلسل نقشہ بننے دیں۔ کہا جاتا ہے کہ گلوئنگ ایک سیل پر گلوئنگ کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے۔ سیل کمپلیکس ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا ایک اتحاد ہے جیسے کہ ایک مجرد سیٹ ہے جس میں سے ہر ایک کو خلیوں کے خاندان پر چپکنے سے حاصل کیا جاتا ہے۔ ہر سادہ کمپلیکس ایک سی ڈبلیو کمپلیکس ہے، الٹا درست نہیں ہے۔ سی ڈبلیو کمپلیکس کی تعمیر کو سیلولر ہومیولوجی کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ سیلولر ہومیولوجی اور سادہ ہومیولوجی ایک دوسرے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کمپیوٹیشنل مسائل کے لیے، خالی جگہوں کو سی ڈبلیو کمپلیکس سمجھنا اور سیلولر سڑنے کے ذریعے ان کی ہم آہنگی کا تعین کرنا بعض اوقات آسان ہوتا ہے، ایک مثال پروجیکٹو طیارہ ہے: سی ڈبلیو کمپلیکس کے طور پر اس کی تعمیر کے لیے تین خلیوں کی ضرورت ہوتی ہے، جبکہ اس کا سادہ کمپلیکس 54 آسانیوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ دیگر ایپلی کیشنز کئی گنا کی درجہ بندی 1 جہتی کئی گنا کو مثلث بنا کر، یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ وہ ہمیشہ حقیقی لکیر اور اکائی دائرے کی نقلوں کو جدا کرنے کے لیے ہومومورفک ہوتے ہیں۔ اس کے علاوہ، سطحیں، یعنی۔ 2-مینیفولڈز، کو مکمل طور پر درجہ بند کیا جا سکتا ہے: آئیے ایک کمپیکٹ سطح بنیں۔ اگر قابل سمت ہے، تو یہ 2-دائرے کے لیے ہومومورفک ہے جس میں کچھ کے لیے طول و عرض کی ٹوری منسلک ہے۔ اگر قابل سمت نہیں ہے، تو یہ کچھ لوگوں کے لیے طول و عرض کی ٹوری کے ساتھ کلین بوتل کے لیے ہومومورفک ہے۔ اس نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے سطح کا ایک بنیادی کثیر الاضحی تشکیل دیا جاتا ہے: یہ مثلث کے ذریعے حاصل کردہ سادہ ساخت کا استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے۔ سادہ کمپلیکس پر نقشے خالی جگہوں کو ایک آسان ڈھانچے کی ساخت دینے سے خالی جگہوں پر بیان کردہ نقشوں کو سمجھنے میں مدد مل سکتی ہے۔ نقشوں کو اکثر سادہ تخمینہ تھیوریم کے ذریعے سادہ نقشے سمجھا جا سکتا ہے: سادہ تخمینہ آئیے، سیٹوں کے اوپر تجریدی سادہ کمپلیکس ہوں،۔ سادہ نقشہ ایک فنکشن ہے جو ہر سمپلیکس کو سمپلیکس پر نقش کرتا ہے۔ آسانیوں پر افین لکیری توسیع کے ذریعے، کمپلیکس کے ہندسی احساسات کے درمیان ایک نقشہ تیار ہوتا ہے۔ ہندسی کمپلیکس میں ہر نقطہ بالکل ایک سمپلیکس کے اندرونی حصے میں ہوتا ہے، جو اس کی حمایت کرتا ہے۔ اب ایک مسلسل نقشے پر غور کریں۔ ایک سادہ نقشے کو اگر اور صرف اس صورت میں ایک آسان تخمینہ کہا جاتا ہے جب ہر ایک کو اندر کی حمایت پر نقشہ بنایا جائے۔ اگر اس طرح کا تخمینہ موجود ہے، تو کوئی بھی ہوموٹوپی بنا سکتا ہے جسے ہر سمپلیکس پر اس کی وضاحت کرکے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ وہاں یہ ہمیشہ موجود رہتا ہے، کیونکہ آسانیاں قابل معاہدہ ہوتی ہیں۔ آسان تخمینہ تھیوریم ہر مسلسل فنکشن کے لیے کم از کم اصلاح کے بعد ایک آسان تخمینہ کے وجود کی ضمانت دیتا ہے، مثال کے طور پر اس کے تکرار شدہ باریسینٹرک ذیلی تقسیم سے تبدیل کر کے۔ نظریہ الجبرائی ٹوپولوجی میں بعض بیانات کے لیے ایک اہم کردار ادا کرتا ہے تاکہ سادہ نقشوں پر مسلسل نقشوں کے رویے کو کم کیا جا سکے، مثال کے طور پر لیفشیٹز کے فکسڈ پوائنٹ تھیوریم میں۔ لیفشیٹز کا فکسڈ پوائنٹ تھیوریم لیفشیٹز نمبر یہ معلوم کرنے کے لیے ایک مفید ٹول ہے کہ آیا کوئی مسلسل فنکشن فکسڈ پوائنٹس کو قبول کرتا ہے یا نہیں۔ اس ڈیٹا کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جاتا ہے: فرض کریں کہ یہ ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ہیں جو محدود مثلث کو تسلیم کرتی ہیں۔ ایک مسلسل نقشہ کسی فیلڈ میں کوفیشنٹس کے ساتھ اس کے سادہ ہومیولوجی گروپوں کے درمیان ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ یہ-ویکٹر اسپیس کے درمیان لکیری نقشے ہیں، لہذا ان کے ٹریس کا تعین کیا جا سکتا ہے اور ان کے متبادل مجموعہ کو لیفشیٹز نمبر آف کہا جاتا ہے۔ اگر، یہ نمبر اویلر کی خصوصیت ہے۔ فکس پوائنٹ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ جب بھی، ایک فکسڈ پوائنٹ ہوتا ہے۔ ثبوت میں یہ پہلے صرف سادہ نقشوں کے لیے دکھایا جاتا ہے اور پھر تخمینہ تھیوریم کے ذریعے کسی بھی مسلسل افعال کے لیے عام کیا جاتا ہے۔ بروور کا فکس پوائنٹ تھیوریم اس معاملے کا علاج کرتا ہے جہاں یونٹ بال کی اینڈومورفزم ہے۔ کیونکہ اس کے تمام ہم جنس پرست گروہ غائب ہو جاتے ہیں، اور ہمیشہ شناخت ہوتے ہیں، اس لیے اس کا ایک تعین ہوتا ہے۔ ریمن-ہروٹز کا فارمولا ریمن-ہروٹز فارمولا واضح مثلث کا استعمال کیے بغیر ایک کمپیکٹ، منسلک ریمن سطح کی جنس کا تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ثبوت کے لیے تجریدی معنوں میں سطحوں کے لیے مثلث کے وجود کی ضرورت ہوتی ہے: معلوم جنس والی سطح پر ایک غیر مستقل ہولومورفک فنکشن ہونے دیں۔ سطحوں کی جنس اور جہاں ہے کے درمیان تعلق نقشے کی ڈگری کو ظاہر کرتا ہے۔ رقم کو اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے کیونکہ یہ فنکشن کے صرف ریمفائنگ پوائنٹس کو شمار کرتا ہے۔ اس فارمولے کا پس منظر یہ ہے کہ ریمن کی سطحوں پر ہولومورفک افعال رمفائیڈ کورنگ ہیں۔ فارمولہ ریمفائنگ پوائنٹس کے قریب سادہ ڈھانچے کی شبیہہ کا جائزہ لے کر پایا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بھی دیکھیں مثلث (جیومیٹری) مثلث میش لٹریچر ایلن ہیچر: الجبرائی ٹوپولوجی، کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج/نیویارک/میلبورن 2006، آئی ایس بی این 0-521-79160-ایکس جیمز آر منکریس: بینڈ 1984۔ ایڈسن ویزلی، مینلو پارک، کیلیفورنیا 1984، آئی ایس بی این 0-201-04586-9 مارشل ایم کوہن: سادہ موموٹوپی تھیوری میں ایک کورس۔ میں: ریاضی میں گریجویٹ ٹیکسٹ۔ 1973، آئی ایس ایس این 0072-5285، ڈوئی: 10.1007/978-1-4684-9372-6۔ ٹوپولوجی الجبرائی ٹوپولوجی ہندسی ٹوپولوجی کئی گنا مثلث پر ڈھانچے (جیومیٹری)