Malfatti circles
جیومیٹری میں، مالفٹی حلقے ایک دیئے گئے مثلث کے اندر تین دائرے ہوتے ہیں جیسے کہ ہر دائرہ مثلث کے دوسرے دو اور دو اطراف سے متصل ہوتا ہے۔ ان کا نام جیان فرانسیسکو مالفاٹی کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ان حلقوں کی تعمیر کے مسئلے کا ابتدائی مطالعہ اس غلط عقیدے میں کیا تھا کہ ان کا مثلث کے اندر کسی بھی تین جداگانہ حلقوں کا سب سے بڑا ممکنہ کل رقبہ ہوگا۔ مالفٹی کا مسئلہ مالفٹی حلقوں کی تعمیر کے مسئلے اور مثلث کے اندر تین رقبے کو زیادہ سے زیادہ کرنے والے حلقوں کو تلاش کرنے کے مسئلے دونوں کا حوالہ دینے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ مالفٹی حلقوں کی ایک سادہ تعمیر ان کے ذریعہ دی گئی تھی، اور اس کے بعد سے بہت سے ریاضی دانوں نے اس مسئلے کا مطالعہ کیا ہے۔ مالفتی نے خود تین حلقوں کے ریڈیائی کے لیے ایک فارمولا فراہم کیا، اور انہیں دو مثلث مراکز، مثلث کے اجیما-مالفتی پوائنٹس کی وضاحت کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثلث میں تین حلقوں کے کل رقبے کو زیادہ سے زیادہ کرنے کا مسئلہ مالفٹی حلقوں کے ذریعے کبھی حل نہیں ہوتا۔ اس کے بجائے، بہترین حل ہمیشہ ایک لالچی الگورتھم کے ذریعے پایا جا سکتا ہے جو دیئے گئے مثلث کے اندر سب سے بڑا دائرہ، پہلے دائرے سے باہر مثلث کے تین جڑے ہوئے ذیلی سیٹوں کے اندر سب سے بڑا دائرہ، اور پہلے دو حلقوں سے باہر مثلث کے پانچ جڑے ہوئے ذیلی سیٹوں کے اندر سب سے بڑا دائرہ تلاش کرتا ہے۔ اگرچہ یہ طریقہ کار پہلی بار 1930 میں وضع کیا گیا تھا، لیکن اس کی درستگی 1994 تک ثابت نہیں ہوئی تھی۔ مالفٹی کے مسئلے نے سنگ مرمر کے سہ رخی چشمے سے تین بیلناکار کالموں کو کاٹنے کا مسئلہ کھڑا کیا، جس سے کالموں کا کل حجم زیادہ سے زیادہ ہو گیا۔ اس نے فرض کیا کہ اس مسئلے کا حل پچر کے مثلث کراس سیکشن کے اندر تین ٹینجینٹ حلقوں کے ذریعے دیا گیا تھا۔ یعنی، مزید تجریدی طور پر، اس نے قیاس کیا کہ تین مالفٹی حلقوں کا ایک دیئے گئے مثلث کے اندر کسی بھی تین جداگانہ حلقوں کا زیادہ سے زیادہ کل رقبہ ہے۔ مالفٹی کے کام کو فرانسیسی زبان میں وسیع تر قارئین کے لیے جوزف ڈیاز گیرگون نے اپنی انیلز (1811) کی پہلی جلد میں مقبول کیا، جس پر دوسری اور دسویں میں مزید بحث کی گئی۔ تاہم، گیرگون نے صرف سرکل ٹینجینسی کا مسئلہ بیان کیا، نہ کہ رقبے کو زیادہ سے زیادہ کرنے والا۔ مالفٹی کا یہ مفروضہ کہ دونوں مسائل مساوی ہیں غلط ہے۔ ، جو اصل اطالوی متن پر واپس گئے، انہوں نے مشاہدہ کیا کہ کچھ مثلثوں کے لیے ایک لالچی الگورتھم کے ذریعے ایک بڑا رقبہ حاصل کیا جا سکتا ہے جو مثلث کے اندر زیادہ سے زیادہ رداس کا ایک واحد دائرہ لکھتا ہے، مثلث کے باقی تین کونوں میں سے ایک کے اندر دوسرا دائرہ لکھتا ہے، جو سب سے چھوٹا زاویہ ہے، اور باقی پانچ ٹکڑوں میں سے سب سے بڑے کے اندر تیسرا دائرہ لکھتا ہے۔ مساوی مثلث کے لیے رقبے میں فرق چھوٹا ہوتا ہے، صرف 1 فیصد سے زیادہ، لیکن جیسا کہ بتایا گیا ہے، ایک انتہائی تیز چوٹی والے آئسوسلز مثلث کے لیے، زیادہ سے زیادہ دائرے (مثلث کی بنیاد کے اوپر ایک دوسرے کے اوپر ڈھیر کیے ہوئے) مالفٹی حلقوں کے رقبے سے تقریبا دوگنا ہوتے ہیں۔ درحقیقت، مالفٹی حلقے کبھی بھی بہترین نہیں ہوتے۔ یہ 1960 کی دہائی میں عددی حسابات کے ذریعے دریافت کیا گیا تھا، اور بعد میں سختی سے ثابت ہوا کہ لوب-رچمنڈ طریقہ کار ہمیشہ سب سے بڑے رقبے والے تین حلقے پیدا کرتا ہے، اور یہ کہ یہ ہمیشہ مالفٹی حلقوں سے بڑے ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ، کسی بھی عدد کے لیے، لالچی الگورتھم کسی دیئے گئے مثلث کے اندر دائرے کے رقبے کو زیادہ سے زیادہ کرنے والے سیٹ کو تلاش کرتا ہے۔ قیاس کے لیے درست جانا جاتا ہے۔ ایک مثلث کے اندر ایک دوسرے سے متصل تین حلقوں کی تعمیر کا مسئلہ 18 ویں صدی کے جاپانی ریاضی دان اجیما نونبو نے مالفتی کے کام سے پہلے پیش کیا تھا، اور اجیما کے کاموں کے ایک غیر شائع شدہ مجموعہ میں شامل کیا گیا تھا جو اجیما کی موت کے ایک سال بعد اس کے طالب علم کوساکا ماکوٹو نے بنایا تھا۔ اس سے پہلے بھی، گیلیو دی سیکو دا مونٹی پلسیانو کے 1384 کے نسخے میں اسی مسئلے پر غور کیا گیا تھا، جو اب اٹلی کے سینا کی میونسپل لائبریری میں ہے۔ ایک مخصوص آئسوسلز مثلث کے لیے، مسئلہ کے ایک خاص معاملے کا مطالعہ کیا۔ مالفٹی کے کام کے بعد سے، مالفٹی کے تین ٹینجینٹ حلقوں کی تعمیر کے طریقوں پر کافی کام ہوا ہے۔ رچرڈ کے گائے لکھتے ہیں کہ اس مسئلے پر ادب "وسیع، وسیع پیمانے پر بکھرے ہوئے، اور ہمیشہ اپنے بارے میں آگاہ نہیں ہوتا ہے"۔ خاص طور پر، بٹینجینٹس پر مبنی ایک سادہ ہندسی تعمیر پیش کی گئی۔ دوسرے مصنفین نے اس کے بعد دعوی کیا ہے کہ اسٹینر کی پیشکش میں ثبوت کی کمی تھی، جسے بعد میں اس نے فراہم کیا، لیکن گائے اس وقت سے اسٹینر کے اپنے دو کاغذات میں بکھرے ہوئے ثبوت کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ مسئلے کی الجبرائی فارمولیشن پر مبنی حلوں میں وہ شامل ہیں جن میں،،، اور شامل ہیں۔ الجبرائی حل حلقوں اور دیئے گئے مثلث کے درمیان اندرونی اور بیرونی ٹینجینسی کے درمیان فرق نہیں کرتے ہیں۔ اگر مسئلے کو کسی بھی قسم کی ٹینجینسی کی اجازت دینے کے لیے عام کیا جاتا ہے، تو دیئے گئے مثلث میں 32 مختلف حل ہوں گے اور اس کے برعکس باہمی ٹینجینٹ حلقوں کا تین گنا آٹھ مختلف مثلثوں کا حل ہوگا۔ ان حلوں کی گنتی کو کریڈٹ دیتے ہیں، لیکن نوٹ کرتے ہیں کہ حلوں کی تعداد کی یہ گنتی پہلے ہی ایک تبصرہ میں دی گئی تھی۔ یہ مسئلہ اور اس کی عمومییاں 19 ویں صدی کی بہت سی دیگر ریاضیاتی اشاعتوں کا موضوع تھیں، اور اس کی تاریخ اور ریاضی تب سے جاری مطالعہ کا موضوع رہے ہیں۔ جیومیٹری پر کتابوں میں بھی یہ اکثر موضوع رہا ہے۔ اور 19 ویں صدی کے نیپولین ریاضی میں مالفٹی حلقوں سے متعلق ایک واقعہ بیان کرتے ہیں۔ 1839 میں، ونسنزو فلوٹی، ایک مصنوعی جیومیٹر، نے جیومیٹری کے تین مسائل کے حل کے لیے ایک چیلنج پیش کیا، جن میں سے ایک مالفٹی کے حلقوں کی تعمیر تھی۔ ایسا کرنے میں ان کا ارادہ مصنوعی سے تجزیاتی تکنیکوں کی برتری کو ظاہر کرنا تھا۔ تجزیاتی جیومیٹری کے ایک حریف اسکول کے طالب علم فارچونٹو پڈولا کی طرف سے حل دیے جانے کے باوجود، فلوٹی نے یہ انعام اپنے ہی طالب علم نکولا ٹروڈی کو دیا، جس کے حل فلوٹی کو معلوم تھے جب اس نے اپنا چیلنج پیش کیا تھا۔ حال ہی میں، مالفٹی حلقوں کی تعمیر کے مسئلے کو کمپیوٹر الجبرا سسٹمز کے لیے ٹیسٹ کے مسئلے کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔ سٹینر کی تعمیر اگرچہ مالفٹی حلقوں پر ابتدائی کام میں تجزیاتی جیومیٹری کا استعمال کیا گیا تھا، لیکن مندرجہ ذیل سادہ مصنوعی تعمیر فراہم کی گئی تھی۔ ایک دائرہ جو مثلث کے دو اطراف سے متصل ہو، جیسا کہ مالفٹی کے حلقے ہیں، مثلث کے زاویہ دو حصوں میں سے کسی ایک پر مرکوز ہونا چاہیے (شکل میں سبز)۔ یہ دو حصوں والے مثلث کو تین چھوٹے مثلثوں میں تقسیم کرتے ہیں، اور اسٹینر کی مالفٹی حلقوں کی تعمیر ان تین چھوٹے مثلثوں میں سے ہر ایک کے اندر مختلف تین دائرے (شکل میں دکھائے گئے) کھینچ کر شروع ہوتی ہے۔ عام طور پر یہ حلقے جداگانہ ہوتے ہیں، اس لیے دو حلقوں کے ہر جوڑے میں چار بٹینجینٹ ہوتے ہیں (دونوں کو چھونے والی لکیریں)۔ ان میں سے دو بٹینجینٹ اپنے حلقوں کے درمیان سے گزرتے ہیں: ایک زاویہ بائیسیکٹر ہے، اور دوسرے کو شکل میں سرخ ڈیشڈ لائن کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ دیئے گئے مثلث کے تینوں اطراف کو، اور کے طور پر لیبل کریں، اور ان تین بٹینجینٹس کو لیبل کریں جو زاویے کے بزیکٹر نہیں ہیں، اور، جہاں دو حلقوں کا بٹینجینٹ ہے جو طرف کو نہیں چھوتا ہے، یہ ان دو حلقوں کا بٹینجینٹ ہے جو طرف کو نہیں چھوتے ہیں، اور یہ ان دو حلقوں کا بٹینجینٹ ہے جو طرف کو نہیں چھوتے ہیں۔ پھر تین مالفٹی حلقے تین ٹینجینشیل کواڈری لیٹرلز کے کندہ شدہ حلقے ہیں، اور۔ سمیٹری کی صورت میں دو ڈیشڈ حلقے ایک بائیسیکٹر پر ایک نقطہ کو چھو سکتے ہیں، جس سے دو بٹینجینٹ وہاں موافق ہو جاتے ہیں، لیکن پھر بھی مالفٹی کے حلقوں کے لیے متعلقہ کواڈریلیٹرل قائم ہوتے ہیں۔ تین بٹینجینٹ، اور تیسرے کندہ شدہ دائرے کے ساتھ ٹینجینسی کے مقام پر مثلث کے اطراف کو عبور کرتے ہیں، اور ان اندرونی حلقوں کے مراکز کے جوڑوں کو جوڑنے والی لکیروں کے پار زاویہ دو حصوں کی عکاسی کے طور پر بھی پائے جا سکتے ہیں۔ رداس فارمولا تین مالفٹی حلقوں میں سے ہر ایک کے رداس کا تعین ایک فارمولے کے طور پر کیا جا سکتا ہے جس میں تین اطراف کی لمبائی، اور مثلث، انریڈیئس، سیمی پیریمیٹر، اور تین فاصلے، اور مثلث کے انسینٹر سے بالترتیب مخالف اطراف کے عمودی حصے تک شامل ہیں۔ تین ریڈیائی کے فارمولے یہ ہیں: متعلقہ فارمولے کو مثلث کی مثالیں تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جن کی طرف کی لمبائی، انراڈی، اور مالفٹی ریڈیائی تمام عقلی اعداد یا تمام عدد ہیں۔ مثال کے طور پر، پہلو کی لمبائی 28392، 21000، اور 25872 والے مثلث کا انریڈیئس 6930 اور مالفٹی ریڈی 3969، 4900، اور 4356 ہے۔ ایک اور مثال کے طور پر، پہلو کی لمبائی 152460، 165000، اور 190740 والے مثلث میں انریڈیئس 47520 اور مالفٹی ریڈیائی 27225، 30976، اور 32400 ہے۔ اجیما-مالفٹی پوائنٹس ایک مثلث ABC اور اس کے تین مالفٹی حلقوں کو دیکھتے ہوئے، D، E، اور F کو وہ نکات ہونے دیں جہاں دو حلقے بالترتیب مخالف عمودی A، B، اور C ایک دوسرے کو چھوتے ہیں۔ پھر تین لائنیں AD، BE، اور CF ایک ہی مثلث مرکز میں ملتی ہیں جسے دائرے کے مسئلے میں اجیما اور مالفٹی کی شراکت کے بعد پہلا اجیما-مالفٹی پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ دوسرا اجیما-مالفتی نقطہ تین لکیروں کا ملاپ نقطہ ہے جو مالفتی حلقوں کی ٹینجینسی کو مثلث کے محوری حلقوں کے مراکز سے جوڑتا ہے۔ مالفٹی حلقوں سے وابستہ دیگر مثلث مراکز میں یف-مالفٹی نقطہ بھی شامل ہے، جو اسی طرح تشکیل پایا ہے جیسے تین باہمی ٹینجینٹ حلقوں سے پہلا مالفٹی نقطہ جو دیئے گئے مثلث کے اطراف سے گزرتی ہوئی لکیروں سے ٹینجینٹ ہیں، لیکن وہ جزوی طور پر مثلث کے باہر واقع ہیں، اور تین مالفٹی حلقوں کا بنیادی مرکز (وہ نقطہ جہاں ان کی تعمیر میں استعمال ہونے والے تین بٹینجینٹ ملتے ہیں)۔ ایک مساوی مثلث میں سرکل پیکنگ ایک آئسوسیلس دائیں مثلث میں سرکل پیکنگ بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ وال میں جاری رکھا۔ 11 (1896)، پی۔ 25-27۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ یہ بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ مارٹن کی کتاب کے سرورق میں مالفٹی حلقوں کی ایک مثال پیش کی گئی ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ آرٹیماس مارٹن کے ذریعہ تجویز کردہ ؛ تجویز کنندہ اور ایشر بی ایونز کے ذریعہ حل کیا گیا ؛ مارٹن کے سوال 4401 کا موازنہ کریں، اس جلد میں بھی، پی پی۔ 102-103، ایک بار پھر ایونز اور مارٹن نے حل کیا۔ مزید نوٹ کریں کہ مارٹن نے 1869 کے لیے دی لیڈیز اینڈ جنٹل مینز ڈائری (جو 1868 کے آخر میں شائع ہوئی) میں ایک ہندسی حل طلب کیا تھا، جس کا حل اگلے سال کے لیے ایل ڈی جی میں پی پی۔ اس مسئلے کے ورژن پھر 1879 سے دی میتھمیٹیکل وزیٹر میں نظر آتے ہیں، جس کی ترمیم مارٹن نے کی تھی۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ جیسا کہ اور کے ذریعے حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ کے طور پر اور الگ سے دوبارہ چھاپا گیا۔ خاص طور پر سیکشن 14، پی پی دیکھیں۔ اینگل مین کے دوبارہ پرنٹ کا 25-27۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ یہ بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط کاٹ-دی-گانٹھ سرکل پیکنگ پر مالفٹی کا مسئلہ مثلث کے لیے متعین دائرے