Kazhdan's property (T)
ریاضی میں، ایک مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپولوجیکل گروپ G کی خاصیت (T) ہوتی ہے اگر معمولی نمائندگی فیل ٹوپولوجی سے لیس اس کے یکطرفہ دوہری میں ایک الگ تھلگ نقطہ ہے۔ غیر رسمی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر G ہلبرٹ اسپیس پر یک جہتی سے کام کرتا ہے اور اس میں "تقریبا غیر متغیر ویکٹر" ہوتے ہیں، تو اس میں ایک غیر صفر غیر متغیر ویکٹر ہوتا ہے۔ ڈیوڈ کزدان (1967) کی طرف سے متعارف کرائی گئی رسمی تعریف، اسے ایک عین مطابق، مقداری معنی دیتی ہے۔ اگرچہ اصل میں ناقابل تلافی نمائندگی کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے، پراپرٹی (T) کو اکثر اس وقت بھی چیک کیا جا سکتا ہے جب یکطرفہ دوہری کا بہت کم یا کوئی واضح علم نہ ہو۔ پراپرٹی (ٹی) کے گروپ کی نمائندگی کے نظریہ، مقامی شعبوں پر الجبرائی گروپوں میں جالی، ایرگوڈک تھیوری، جیومیٹرک گروپ تھیوری، ایکسٹینڈرز، آپریٹر الجبرا اور نیٹ ورک کے نظریہ کے لیے اہم استعمال ہیں۔ تعریفیں مان لیں کہ G ایک σ-کمپیکٹ، مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپولوجیکل گروپ ہے اور π: G → U (H) ایک (پیچیدہ) ہلبرٹ اسپیس H پر G کی یکطرفہ نمائندگی ہے۔ اگر ε> 0 اور K G کا ایک کمپیکٹ سب سیٹ ہے، تو H میں ایک یونٹ ویکٹر ′ کو an (ε، K)-غیر متغیر ویکٹر کہا جاتا ہے اگر G پر درج ذیل شرائط G کے برابر ہیں جن میں قزدان کی پراپرٹی (T) ہے، اور ان میں سے کسی کو بھی پراپرٹی (T) کی تعریف کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ (1) معمولی نمائندگی فیل ٹوپولوجی کے ساتھ G کے یکطرفہ دوہری کا ایک الگ تھلگ نقطہ ہے۔ (2) G پر مسلسل مثبت قطعی افعال کی کوئی بھی ترتیب جو کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں طور پر 1 میں تبدیل ہوتی ہے، G پر یکساں طور پر 1 میں بدل جاتی ہے۔ (3) G کی ہر یکطرفہ نمائندگی جس میں کسی بھی ε> 0 اور کسی کمپیکٹ ذیلی سیٹ K کے لیے (ε، K)-متغیر یونٹ ویکٹر ہوتا ہے، اس میں غیر صفر غیر متغیر ویکٹر ہوتا ہے۔ (4) ایک ε> 0 موجود ہے اور G کا ایک کمپیکٹ سب سیٹ K اس طرح موجود ہے کہ G کی ہر یکطرفہ نمائندگی جس میں (ε، K)-غیر متغیر یونٹ ویکٹر ہوتا ہے، اس میں ایک غیر صفر غیر متغیر ویکٹر ہوتا ہے۔ (5) حقیقی ہلبرٹ جگہ پر G کے ہر مسلسل افائن آئسومیٹرک عمل کا ایک مقررہ نقطہ (خاصیت (FH)) ہوتا ہے۔ اگر H G کا ایک بند ذیلی گروہ ہے، تو جوڑی (G، H) کو مارگولس کی رشتہ دار خاصیت (T) کہا جاتا ہے اگر وہاں ایک ε> 0 موجود ہے اور G کا ایک کمپیکٹ سب سیٹ K اس طرح ہے کہ جب بھی G کی یکطرفہ نمائندگی میں ایک (ε، K)-غیر متغیر یونٹ ویکٹر ہوتا ہے، تو اس میں H کے ذریعہ طے شدہ غیر صفر ویکٹر ہوتا ہے۔ بحث کی تعریف (4) واضح طور پر تعریف (3) کا اشارہ کرتی ہے۔ الٹا ظاہر کرنے کے لیے، G کو مقامی طور پر ایک کمپیکٹ گروپ ہونا چاہیے جو (3) کو مطمئن کرتا ہے، تضاد کے ساتھ فرض کریں کہ ہر K اور ε کے لیے ایک یکطرفہ نمائندگی ہے جس میں (K، ε)-غیر متغیر یونٹ ویکٹر ہے اور اس میں کوئی غیر متغیر ویکٹر نہیں ہے۔ اس طرح کی تمام نمائندگی کے براہ راست مجموعے کو دیکھیں اور اس سے انکار ہو جائے گا (4)۔ (4) اور (5) (پراپرٹی (ایف ایچ)) کی مساوات ڈیلورم-گائیچارڈ تھیوریم ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ (5) کا مطلب ہے (4) اس مفروضے کی ضرورت ہے کہ G σ-کمپیکٹ (اور مقامی طور پر کمپیکٹ) ہے (بیکا اور دیگر، نظریہ 2.12.4)۔ جنرل پراپرٹیز پراپرٹی (T) کو کوٹینٹس کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے: اگر G کے پاس پراپرٹی (T) ہے اور H G کا کوٹینٹ گروپ ہے تو H کے پاس پراپرٹی (T) ہے۔ اسی طرح، اگر کسی گروپ G کی ہومومورفک امیج میں پراپرٹی (T) نہیں ہے تو خود G میں پراپرٹی (T) نہیں ہے۔ اگر G کی خاصیت (T) ہے تو G/[G، G] کمپیکٹ ہے۔ پراپرٹی (T) کے ساتھ کوئی بھی قابل شمار مجرد گروپ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ ایک قابل قبول گروہ جس میں خاصیت (T) ہو وہ لازمی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ سہولت اور خاصیت (ٹی) کسی نہ کسی لحاظ سے اس کے برعکس ہیں: وہ تقریبا غیر متغیر ویکٹرز کو تلاش کرنا آسان یا مشکل بناتے ہیں۔ کزدان تھیوریم: اگر کسی لائ گروپ G میں γ ایک جالی ہے تو γ کی خاصیت (T) ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کی خاصیت (T) ہو۔ اس طرح n ≤ 3 کے لیے، خصوصی لکیری گروپ SL (n، Z) کی خاصیت (T) ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر کمپیکٹ ٹپوولوجیکل گروپس میں پراپرٹی (T) ہوتی ہے۔ خاص طور پر، سرکل گروپ، پی-اڈک انٹیجرز کے اضافی گروپ Zp، کمپیکٹ اسپیشل یونٹیری گروپس ایس یو (این) اور تمام محدود گروپس کی خاصیت (ٹی) ہوتی ہے۔ حقیقی رینک کے سادہ حقیقی جھوٹ گروپوں میں کم از کم دو کی خاصیت (T) ہوتی ہے۔ گروپوں کے اس خاندان میں خصوصی لکیری گروپس SL (n, R) n ≤ 3 کے لیے اور خصوصی آرتھوگنل گروپس SO (p, q) p> q ≤ 2 کے لیے اور SO (p, p) p ≤ 3 کے لیے شامل ہیں۔ زیادہ عام طور پر، یہ مقامی فیلڈ پر کم از کم دو درجے کے سادہ الجبرائی گروپوں کے لیے ہوتا ہے۔ جوڑوں (آر این ایس ایل (این، آر)، آر این) اور (زیڈ این ایس ایل (این، زیڈ)، زیڈ این) میں این ≤ 2 کے لیے رشتہ دار خاصیت (ٹی) ہوتی ہے۔ n ≤ 2 کے لیے، غیر کمپیکٹ لائ گروپ ایس پی (این، 1) جو کہ دستخط کی کواٹرنیئنک ہرمیٹین شکل (این، 1) کی آئسومیٹریز کا ہے، حقیقی رینک 1 کا ایک سادہ لائ گروپ ہے جس کی خاصیت (ٹی) ہے۔ کزدان کے نظریہ کے مطابق، اس گروپ میں جالی کی خاصیت (T) ہوتی ہے۔ یہ تعمیر اہم ہے کیونکہ یہ جالی ہائپربولک گروپ ہیں ؛ اس طرح، ایسے گروپ ہیں جو ہائپربولک ہیں اور ان کی خاصیت (T) ہے۔ اس زمرے میں گروپوں کی واضح مثالیں ایس پی (این، 1) میں ریاضی کی جالی اور بعض چوتھائی عکاسی گروپوں کے ذریعے فراہم کی جاتی ہیں۔ ان گروپوں کی مثالیں جن کے پاس پراپرٹی (T) نہیں ہے ان میں انٹیجرز Z، حقیقی اعداد R اور p-adic نمبروں Qp کے اضافی گروپ شامل ہیں۔ خصوصی لکیری گروپ ایس ایل (2، زیڈ) اور ایس ایل (2، آر)، معمولی نمائندگی کے قریب تکمیلی سیریز کی نمائندگی کے وجود کے نتیجے میں، حالانکہ سیلبرگ کے نظریہ کے مطابق، ایس ایل (2، زیڈ) میں پرنسپل ہم آہنگی ذیلی گروپوں کے حوالے سے خاصیت (τ) ہے۔ غیر کمپیکٹ حل کرنے والے گروپ۔ غیر معمولی آزاد گروہ اور آزاد ابیلین گروہ۔ مجرد گروہ تاریخی طور پر پراپرٹی (T) مجرد گروہوں کے لیے قائم کی گئی تھی۔ انہیں پراپرٹی (T) کے ساتھ حقیقی یا p-adic لائ گروپوں میں جالی کے طور پر شامل کرکے۔ اب کئی براہ راست طریقے دستیاب ہیں۔ شالوم کا الجبرائی طریقہ اس وقت لاگو ہوتا ہے جب R a رنگ اور n ≤ 3 کے ساتھ γ = SL (n، R) ؛ یہ طریقہ اس حقیقت پر منحصر ہے کہ γ کو باؤنڈلی طور پر تیار کیا جا سکتا ہے، یعنی۔ آسان ذیلی گروپوں کے ایک محدود پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ ابتدائی ذیلی گروپ جو میٹرکس پر مشتمل ہوتے ہیں جو شناخت میٹرکس سے مختلف ہوتے ہیں۔ ہندسی طریقہ کار کی ابتدا گارلینڈ، گروموف اور پیئر پانسو کے نظریات سے ہوئی ہے۔ اس کا سب سے آسان امتزاج ورژن زک کی وجہ سے ہے: فرض کریں کہ ایک محدود ذیلی سیٹ S کے ذریعہ تیار کردہ ایک مجرد گروپ ہے، جو الٹا لینے کے تحت بند ہوتا ہے اور شناخت پر مشتمل نہیں ہوتا ہے، اور عمودی S کے ساتھ ایک محدود گراف کی وضاحت کرتا ہے اور جب بھی g−1h S میں ہوتا ہے تو g اور h کے درمیان ایک کنارے کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر یہ گراف جڑا ہوا ہے اور اسی سادہ بے ترتیب واک کے لیپلاسیئن کی سب سے چھوٹی غیر صفر آئجین ویلیو 1⁄2 سے زیادہ ہے، تو γ کی خاصیت (T) ہے۔ ایک زیادہ عمومی ہندسی ورژن، زک اور کی وجہ سے، بیان کرتا ہے کہ اگر ایک مجرد گروپ ہر ایک سرے پر لنک پر رکھے گئے ایک ہی گراف نظریاتی حالات کے ساتھ ایک قابل معاہدہ 2 جہتی سادہ کمپلیکس پر مناسب طریقے سے منقطع اور ہم آہنگ طور پر کام کرتا ہے، تو γ کی خاصیت (T) ہوتی ہے۔ پراپرٹی (ٹی) کے ساتھ ہائپربولک گروپوں کی بہت سی نئی مثالیں اس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے دکھائی جا سکتی ہیں۔ کمپیوٹر کی مدد سے یہ طریقہ ناروتاکا اوزاوا کی تجویز پر مبنی ہے اور اسے کئی محققین نے کامیابی کے ساتھ نافذ کیا ہے۔ یہ حقیقی گروپ الجبرا میں عدم مساوات کے لحاظ سے پراپرٹی (T) کی الجبرائی خصوصیت پر مبنی ہے، جس کے لیے کمپیوٹر پر عددی طور پر سیمی ڈفائنٹ پروگرامنگ کے مسئلے کو حل کرکے حل تلاش کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اس طریقہ کار نے کم از کم 5 درجے کے آزاد گروپ کے آٹومورفزم گروپ کے لیے پراپرٹی (T) کی تصدیق کی ہے۔ اس نتیجے کے لیے کوئی انسانی ثبوت معلوم نہیں ہے۔ ایپلی کیشنز گریگوری مارگولس نے اس حقیقت کو استعمال کیا کہ ایس ایل (این، زیڈ) (این ≤ 3 کے لیے) میں توسیع پذیر گراف کے واضح خاندانوں کی تعمیر کے لیے خاصیت (ٹی) ہے، یعنی اس خاصیت کے ساتھ گراف کہ ہر ذیلی سیٹ کی یکساں طور پر بڑی "حد" ہوتی ہے۔ اس تعلق کی وجہ سے متعدد حالیہ مطالعات ہوئے جن میں کزدان مستقل کا واضح تخمینہ لگایا گیا، کسی خاص گروپ کے لیے پراپرٹی (ٹی) کی مقدار اور ایک جنریٹنگ سیٹ۔ ایلن کونس نے قابل شمار بنیادی گروپ کے ساتھ ٹائپ II1 عوامل کی مثالیں تلاش کرنے کے لیے پراپرٹی (T) کے ساتھ مجرد گروپوں کا استعمال کیا، لہذا خاص طور پر پورے مثبت حقیقی R + نہیں۔ سورین پوپا نے بعد میں مجرد گروہوں کے لیے رشتہ دار پراپرٹی (ٹی) کا استعمال معمولی بنیادی گروپ کے ساتھ ایک قسم II1 عنصر تیار کرنے کے لیے کیا۔ پراپرٹی (ٹی) والے گروپوں کے پاس بھی سیر کی پراپرٹی ایف اے ہے۔ توشیکازو سنادا نے مشاہدہ کیا کہ ایک بند کئی گنا پر "مڑے ہوئے" لیپلاسیئن کے سپیکٹرم کے نچلے حصے کی مثبتیت بنیادی گروپ کی خاصیت (ٹی) سے متعلق ہے۔ یہ مشاہدہ بروکس کا نتیجہ دیتا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ ایک بند ریمینیئن کئی گنا M پر عالمگیر احاطہ کئی گنا پر لیپلاسیئن کے سپیکٹرم کا نچلا حصہ صفر کے برابر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب M کا بنیادی گروپ قابل قبول ہو۔ حوالہ جات۔ Lubotzky، A. اور A. Zuk، آن پراپرٹی (τ)، ظاہر ہونے کے لیے مونوگراف۔ ۔ ۔ ۔ یک جہتی نمائندگی تھیوری ٹوپوولوجیکل گروپ جیومیٹرک گروپ تھیوری کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت