Non-linear sigma model
کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، ایک غیر لکیری σ ماڈل ایک اسکیلر فیلڈ کو بیان کرتا ہے جو ایک غیر لکیری کئی گنا میں اقدار کو لے جاتا ہے جسے ٹارگٹ مینیفولڈ T کہا جاتا ہے۔ غیر لکیری σ-ماڈل کو متعارف کرایا گیا تھا، جس نے اسے اپنے ماڈل میں σ نامی اسپن لیس میسن سے مطابقت رکھنے والے فیلڈ کے نام پر رکھا تھا۔ یہ مضمون بنیادی طور پر غیر لکیری سگما ماڈل کی مقدار سے متعلق ہے۔ براہ کرم عام تعریفوں اور کلاسیکی (غیر کوانٹم) فارمولیشن اور نتائج کے لیے سگما ماڈل پر بنیادی مضمون کا حوالہ دیں۔ تفصیل ہدف کئی گنا T ایک ریمینیئن میٹرک g سے لیس ہے۔ یہ منکوسکی اسپیس M (یا کسی اور جگہ) سے T تک کا ایک تفریق پذیر نقشہ ہے۔ عصری چیرل شکل میں لگرینجین کثافت اس طرح دی گئی ہے جہاں ہم نے + −− میٹرک کے دستخط کا استعمال کیا ہے اور جزوی مشتق T × M کے جیٹ بنڈل کے ایک حصے کے ذریعہ دیا گیا ہے اور یہ صلاحیت ہے۔ کوآرڈینیٹ نوٹیشن میں، کوآرڈینیٹس کے ساتھ، a = 1،.، n جہاں n T کا طول و عرض ہے، دو سے زیادہ جہتوں میں، غیر لکیری σ ماڈل ایک جہتی جوڑی مستقل پر مشتمل ہوتے ہیں اور اس طرح غیر معمولی طور پر دوبارہ قابل قدر نہیں ہوتے ہیں۔ اس کے باوجود، وہ جالی کی تشکیل اور اصل میں کینتھ جی ولسن کی تجویز کردہ ڈبل توسیع دونوں میں ری نارملائزیشن گروپ کے ایک غیر معمولی بالائے بنفشی فکسڈ پوائنٹ کی نمائش کرتے ہیں۔ دونوں طریقوں میں، او (این)-سمیٹرک ماڈل کے لیے پایا جانے والا غیر معمولی ری نارملائزیشن-گروپ فکسڈ پوائنٹ، دو سے زیادہ طول و عرض میں، ترتیب شدہ کو بے ترتیب مرحلے سے الگ کرنے والے اہم نقطہ کو محض بیان کرنے کے لیے دیکھا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ، بہتر جالی یا کوانٹم فیلڈ تھیوری کی پیش گوئیوں کا موازنہ تنقیدی مظاہر پر لیبارٹری کے تجربات سے کیا جا سکتا ہے، کیونکہ O (n) ماڈل جسمانی ہائزن برگ فیرومیگنیٹ اور متعلقہ نظاموں کو بیان کرتا ہے۔ لہذا مندرجہ بالا نتائج دو جہتوں سے اوپر O (n)-ہم آہنگی ماڈل کے جسمانی رویے کو صحیح طریقے سے بیان کرنے میں بے وقوف پرچربیشن تھیوری کی ناکامی کی طرف اشارہ کرتے ہیں، اور زیادہ نفیس غیر پرچربیٹو طریقوں جیسے کہ لیٹس فارمولیشن کی ضرورت کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ وہ صرف موثر فیلڈ نظریات کے طور پر سامنے آسکتے ہیں۔ فاصلے کے پیمانے کے ارد گرد نئی طبیعیات کی ضرورت ہوتی ہے جہاں دو نقطہ جڑے ہوئے ارتباط فنکشن ہدف کے کئی گنا کے منحنی خطوط کی طرح ایک ہی ترتیب کا ہوتا ہے۔ اسے نظریہ کی یو وی تکمیل کہا جاتا ہے۔ غیر لکیری σ ماڈلز کی ایک خاص کلاس ہے جس میں اندرونی ہم آہنگی گروپ G * ہے۔ اگر G ایک جھوٹ گروپ ہے اور H ایک جھوٹ ذیلی گروپ ہے، تو حصص کی جگہ G/H ایک کئی گنا ہے (کچھ تکنیکی پابندیوں کے تابع جیسے کہ H ایک بند ذیلی سیٹ ہے) اور یہ G کی ایک یکساں جگہ بھی ہے یا دوسرے الفاظ میں، G کا غیر لکیری احساس ہے۔ بہت سے معاملات میں، G/H کو ریمینیائی میٹرک سے لیس کیا جا سکتا ہے جو کہ G-غیر متغیر ہے۔ یہ ہمیشہ ایسا ہی ہوتا ہے، مثال کے طور پر، اگر G کمپیکٹ ہے۔ ایک غیر لکیری σ ماڈل جس میں G/H ہدف کئی گنا کے طور پر G-غیر متغیر ریمینیئن میٹرک اور صفر پوٹینشل کے ساتھ ہو، کوشیئنٹ اسپیس (یا کوسیٹ اسپیس) غیر لکیری ماڈل کہا جاتا ہے۔ پاتھ انٹیگرلز کا حساب لگاتے وقت، فنکشنل پیمائش کو g کے تعین کنندہ کے مربع جڑ سے "وزن" کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، ری نارملائزیشن یہ ماڈل سٹرنگ تھیوری میں متعلقہ ثابت ہوا جہاں دو جہتی کئی گنا کو ورلڈ شیٹ کہا جاتا ہے۔ اس کی عمومی بحالی کی تعریف ڈینیل فریڈن نے فراہم کی تھی۔ انہوں نے دکھایا کہ نظریہ ایک ری نارملائزیشن گروپ مساوات کو قبول کرتا ہے، جو پرٹربیشن تھیوری کے سرکردہ ترتیب میں، ہدف کئی گنا کے رچی ٹینسر کی شکل میں ہے۔ یہ ایک ریکی بہاؤ کی نمائندگی کرتا ہے، ایک مقررہ نقطہ کے طور پر ہدف کئی گنا کے لیے آئن سٹائن فیلڈ مساوات کی اطاعت کرتا ہے۔ اس طرح کے فکسڈ پوائنٹ کا وجود متعلقہ ہے، کیونکہ یہ پرٹربیشن تھیوری کی اس ترتیب پر یہ عطا کرتا ہے کہ کوانٹم اصلاحات کی وجہ سے کنفارمل انویرینس ختم نہیں ہوتا ہے، تاکہ اس ماڈل کا کوانٹم فیلڈ تھیوری سمجھدار (ری نارمل ایبل) ہو۔ مزید ذائقہ-چیرل بے ضابطگیوں کی نمائندگی کرنے والے غیر لکیری تعاملات کو شامل کرنے سے ویس-زومینو-وٹن ماڈل کا نتیجہ نکلتا ہے، جو بہاؤ کی جیومیٹری کو بڑھا کر ٹورسن کو شامل کرتا ہے، ری نارملائزیشن کو محفوظ رکھتا ہے اور ساتھ ہی ساتھ ایک اورکت فکسڈ پوائنٹ کی طرف لے جاتا ہے، ٹیلی پیرالیلزم ("جیومیٹروسٹاسس") کی وجہ سے۔ O (3) غیر لکیری سگما ماڈل ایک مشہور مثال، جو اس کی ٹپوولوجیکل خصوصیات کی وجہ سے خاص دلچسپی کا حامل ہے، O (3) غیر لکیری ماڈل ہے جو 1 + 1 طول و عرض میں ہے، جس میں لاگرانجین کثافت ہے جہاں nl = (n1, n2, n3) رکاوٹ کے ساتھ nl ⋅ nl = 1 اور = 1,2 ہے۔ یہ ماڈل ٹپوولوجیکل محدود ایکشن حل کی اجازت دیتا ہے، کیونکہ لامحدود خلائی وقت پر لاگرانجین کثافت کو ختم ہونا ضروری ہے، جس کا مطلب ہے کہ ñ = لامحدود پر مستقل ہے۔ لہذا، محدود عمل کے حل کی کلاس میں، کوئی بھی انفنٹی پر پوائنٹس کو ایک واحد نقطہ کے طور پر شناخت کر سکتا ہے، یعنی۔ اس خلائی وقت کی شناخت ریمن دائرے سے کی جا سکتی ہے۔ چونکہ این۔ ای۔ فیلڈ ایک دائرے پر بھی رہتا ہے، اس لیے نقشہ سازی ثبوت میں ہے، جس کے حلوں کو 2 دائرے کے دوسرے ہوموٹوپی گروپ کے ذریعے درجہ بند کیا جاتا ہے: ان حلوں کو او (3) انسٹانٹن کہا جاتا ہے۔ اس ماڈل کو 1 + 2 طول و عرض میں بھی سمجھا جا سکتا ہے، جہاں ٹوپولوجی اب صرف مقامی سلائسز سے آتی ہے۔ یہ R2 کے طور پر انفنٹی پر ایک نقطہ کے ساتھ ماڈل کیے گئے ہیں، اور اس لیے 1 + 1 طول و عرض میں O (3) انسٹنٹن کی طرح ہی ٹوپولوجی رکھتے ہیں۔ انہیں سگما ماڈل لمپس کہا جاتا ہے۔ سگما ماڈل چیرل ماڈل لٹل ہگس اسکائیریمیون، غیر لکیری سگما ماڈلز میں ایک سولٹون پولیکوف ایکشن ڈبلیو زیڈ ڈبلیو ماڈل فوبینی اسٹڈی میٹرک، ایک میٹرک جو اکثر غیر لکیری سگما ماڈلز کے ساتھ استعمال ہوتا ہے۔ رچی فلو اسکیل انواریینس حوالہ جات بیرونی روابط کوانٹم فیلڈ تھیوری ریاضیاتی طبیعیات