Partial isometry
ریاضیاتی فنکشنل تجزیے میں جزوی آئسومیٹری ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان ایک لکیری نقشہ ہے جیسے کہ یہ اس کے دانے کی آرتھوگنل تکمیل پر ایک آئسومیٹری ہے۔ اس کے دانے کی آرتھوگنل تکمیل کو ابتدائی ذیلی جگہ کہا جاتا ہے اور اس کی حد کو حتمی ذیلی جگہ کہا جاتا ہے۔ جزوی آاسومیٹریز قطبی سڑنے میں ظاہر ہوتے ہیں۔ عمومی تعریف جزوی آاسومیٹری کے تصور کی تعریف دیگر مساوی طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ اگر U ایک آئسومیٹرک نقشہ ہے جس کی وضاحت ہلبرٹ اسپیس H کے بند ذیلی سیٹ H1 پر کی گئی ہے تو ہم اس شرط سے تمام H کے لیے U کی توسیع W کی وضاحت کر سکتے ہیں کہ H1 کی آرتھوگنل تکمیل پر W صفر ہو۔ اس طرح جزوی آئسومیٹری کو بعض اوقات بند جزوی طور پر متعین آئسومیٹرک نقشے کے طور پر بھی بیان کیا جاتا ہے۔ جزوی آاسومیٹریز (اور پروجیکشنز) کی تعریف انولوشن کے ساتھ سیمی گروپ کی زیادہ تجریدی ترتیب میں کی جا سکتی ہے۔ تعریف یہاں والے کے ساتھ موافق ہے۔ محدود جہتوں میں خصوصیت محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں میں، ایک میٹرکس ایک جزوی آئسومیٹری ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی حمایت پر پروجیکشن ہو۔ اس کا موازنہ آئسومیٹری کی زیادہ مطالبہ کرنے والی تعریف سے کریں: ایک میٹرکس ایک آئسومیٹری ہے اگر اور صرف اگر۔ دوسرے لفظوں میں، آئسومیٹری ایک انجیکشن جزوی آئسومیٹری ہے۔ کسی بھی محدود جہتی جزوی آئسومیٹری کی نمائندگی، بنیاد کے کسی انتخاب میں، شکل کے میٹرکس کے طور پر کی جا سکتی ہے، یعنی ایک میٹرکس کے طور پر جس کے پہلے کالم ایک آئسومیٹری بناتے ہیں، جبکہ دیگر تمام کالم یکساں طور پر 0 ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ کسی بھی آئسومیٹری کے لیے، ہرمیٹین کنجوگیٹ ایک جزوی آئسومیٹری ہے، حالانکہ ہر جزوی آئسومیٹری کی یہ شکل نہیں ہوتی، جیسا کہ دی گئی مثالوں میں واضح طور پر دکھایا گیا ہے۔ آپریٹر الجیبراس آپریٹر الجیبراس کے لیے ابتدائی اور آخری ذیلی جگہیں متعارف کراتا ہے: C *-الجیبراس C *-الجیبراس کے لیے کسی کے پاس C *-پراپرٹی کی وجہ سے مساوات کا سلسلہ ہوتا ہے۔ حتمی پروجیکشن W * W ریسپ ہونا ہے۔ ڈبلیو ڈبلیو *۔ پروجیکشنز کی ایک جوڑی کو مساوات کے تعلق سے تقسیم کیا جاتا ہے: یہ C *-الجبراس کے لیے K-تھیوری اور وان نیومن الجبرا میں پروجیکشنز کے مرے-وان نیومن تھیوری میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔ اسپیشل کلاسز پروجیکشن کوئی بھی آرتھوگنل پروجیکشن مشترکہ ابتدائی اور حتمی سب اسپیس کے ساتھ ہوتا ہے: ایمبیڈنگ کوئی بھی آئسومیٹرک ایمبیڈنگ مکمل ابتدائی سب اسپیس کے ساتھ ہوتی ہے: یونٹریز کوئی بھی یونٹری آپریٹر مکمل ابتدائی اور آخری سب اسپیس کے ساتھ ہوتا ہے: (ان کے علاوہ کہیں زیادہ جزوی آئسومیٹریز ہوتی ہیں۔) مثال نیل پوٹینٹس دو جہتی کمپلیکس ہلبرٹ اسپیس پر میٹرکس ایک جزوی آئسومیٹری ہے جس میں ابتدائی ذیلی جگہ اور حتمی ذیلی جگہ عام محدود جہتی مثالیں ہیں۔ یہ واضح طور پر ایک آئسومیٹری نہیں ہے، کیونکہ کالم آرتھونورمل نہیں ہیں۔ تاہم، اس کی حمایت اور کی مدت ہے، اور اس جگہ پر کے عمل کو محدود کرتے ہوئے، یہ ایک آئسومیٹری (اور خاص طور پر، ایک یک جہتی) بن جاتا ہے۔ اسی طرح کوئی اس بات کی تصدیق کر سکتا ہے کہ، یعنی، یہ اس کی حمایت پر پروجیکشن ہے۔ جزوی آاسومیٹریز لازمی طور پر مربع میٹرکس سے مطابقت نہیں رکھتی ہیں۔ مثال کے طور پر غور کریں، یہ میٹرکس اور کی مدت کو سپورٹ کرتا ہے، اور اس جگہ پر ایک آئسومیٹری (اور خاص طور پر، شناخت کے طور پر) کے طور پر کام کرتا ہے۔ پھر بھی ایک اور مثال، جس میں یہ وقت اس کی حمایت پر غیر معمولی آئسومیٹری کی طرح کام کرتا ہے، یہ ہے کہ ایک آسانی سے اس کی تصدیق کر سکتا ہے، اور، اس کی حمایت اور اس کی حد کے درمیان کے آئسومیٹرک رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ لیفٹ شفٹ اور رائٹ شفٹ مربع خلاصہ ترتیبات پر آپریٹرز جو اس سے متعلق ہیں وہ ابتدائی ذیلی جگہ اور حتمی ذیلی جگہ کے ساتھ جزوی آئسومیٹریز ہیں: حوالہ جات جان بی کونوے (1999)۔ "اے کورس ان آپریٹر تھیوری"، اے ایم ایس بک اسٹور، ایلن ایل ٹی پیٹرسن (1999)۔ "گروپائڈز، انورس سیمی گروپس، اور ان کے آپریٹر الجبرا"، سپرنگر، مارک وی۔ لاسن (1998)۔ "الٹا سیمی گروپس: جزوی ہم آہنگی کا نظریہ۔" عالمی سائنسی بیرونی روابط اہم خصوصیات اور ثبوت متبادل ثبوت آپریٹر تھیوری C *-algebras سیمی گروپ تھیوری