Autoregressive model
اعداد و شمار، اکانومیٹرکس، اور سگنل پروسیسنگ میں، ایک آٹوریگریسو (اے آر) ماڈل بے ترتیب عمل کی ایک قسم کی نمائندگی ہے۔ اس طرح، یہ فطرت، معاشیات، رویے وغیرہ میں وقت کے لحاظ سے مختلف عمل کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ آٹوریگریسو ماڈل اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ آؤٹ پٹ متغیر کا انحصار لکیری طور پر اس کی اپنی پچھلی اقدار اور اسٹوکاسٹک اصطلاح (ایک نامکمل طور پر پیش گوئی کرنے والی اصطلاح) پر ہوتا ہے۔ اس طرح ماڈل اسٹوکاسٹک فرق مساوات (یا تکرار کا تعلق جس کو تفریق مساوات کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے) کی شکل میں ہوتا ہے۔ موونگ ایوریج (ایم اے) ماڈل کے ساتھ مل کر، یہ ایک خاص کیس اور ٹائم سیریز کے زیادہ عام آٹوریگریسو-موونگ ایوریج (اے آر ایم اے) اور آٹوریگریسو انٹیگریٹڈ موونگ ایوریج (اے آر آئی ایم اے) ماڈلز کا کلیدی جزو ہے، جس میں زیادہ پیچیدہ سٹوچسٹک ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ ویکٹر آٹوریگریسو ماڈل (وی اے آر) کا ایک خاص کیس بھی ہے، جو ایک سے زیادہ ارتقا پذیر بے ترتیب متغیر میں ایک سے زیادہ انٹرلاکنگ سٹوچسٹک فرق مساوات کے نظام پر مشتمل ہوتا ہے۔ موونگ ایوریج (ایم اے) ماڈل کے برعکس، آٹوریگریسو ماڈل ہمیشہ مستحکم نہیں ہوتا ہے کیونکہ اس میں یونٹ روٹ ہو سکتا ہے۔ تعریف نوٹیشن آرڈر پی کے آٹوریگریسو ماڈل کی نشاندہی کرتا ہے۔ اے آر (پی) ماڈل کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ ماڈل کے پیرامیٹرز کہاں ہیں، اور یہ سفید شور ہے۔ یہ بیک شفٹ آپریٹر B کا استعمال کرتے ہوئے مساوی طور پر لکھا جا سکتا ہے تاکہ، خلاصہ کی اصطلاح کو بائیں طرف منتقل کرتے ہوئے اور کثیر الجہتی نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ایک آٹوریگریسو ماڈل کو اس طرح ایک آل پول انفینٹ امپلس رسپانس فلٹر کے آؤٹ پٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس کا ان پٹ سفید شور ہے۔ ماڈل کے کمزور احساس میں مستحکم رہنے کے لیے کچھ پیرامیٹر کی رکاوٹیں ضروری ہیں۔ مثال کے طور پر، اے آر (1) ماڈل میں عمل مستحکم نہیں ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، اے آر (پی) ماڈل کے کمزور احساس کے مستحکم ہونے کے لیے، کثیر الجہتی کی جڑیں اکائی کے دائرے سے باہر ہونی چاہئیں، یعنی، ہر (پیچیدہ) جڑ کو مطمئن کرنا چاہیے (صفحات 89,92 دیکھیں)۔ جھٹکوں کا انٹرٹیمپورل اثر اے آر کے عمل میں، ایک بار کا جھٹکا مستقبل میں لامحدود طور پر تیار ہونے والے متغیر کی اقدار کو متاثر کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اے آر (1) ماڈل پر غور کریں۔ کہنے کے وقت t = 1 کے لیے غیر صفر قدر رقم سے متاثر ہوتی ہے۔ پھر اے آر مساوات کے لحاظ سے، یہ رقم سے متاثر ہوتا ہے۔ پھر اے آر مساوات کے لحاظ سے، یہ رقم سے متاثر ہوتا ہے۔ اس عمل کو جاری رکھنے سے پتہ چلتا ہے کہ اثر کبھی ختم نہیں ہوتا، حالانکہ اگر عمل مستحکم ہے تو اثر حد میں صفر کی طرف کم ہو جاتا ہے۔ کیونکہ ہر جھٹکا X اقدار کو ان کے ہونے کے وقت سے مستقبل میں لامحدود حد تک متاثر کرتا ہے، کوئی بھی قدر Xt ماضی میں لامحدود حد تک آنے والے جھٹکوں سے متاثر ہوتا ہے۔ یہ آٹوریگریشن کو دوبارہ لکھ کر بھی دیکھا جا سکتا ہے (جہاں مستقل اصطلاح کو یہ فرض کر کے دبا دیا گیا ہے کہ متغیر کو اس کے اوسط سے انحراف کے طور پر ماپا گیا ہے) جیسا کہ جب دائیں طرف کثیر الجہتی تقسیم کی جاتی ہے، تو بیک شفٹ آپریٹر میں کثیر الجہتی لاگو ہوتا ہے ایک لامحدود ترتیب-یعنی مساوات کے دائیں طرف ظاہر ہونے والی پسماندہ اقدار کی لامحدود تعداد۔ خصوصیت والی کثیر الجہتی اے آر (پی) عمل کی آٹوکوریلیشن فنکشن کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ کثیر الجہتی کی جڑیں کہاں ہیں جہاں بی بیک شفٹ آپریٹر ہے، آٹوریگریشن کی وضاحت کرنے والا فنکشن کہاں ہے، اور آٹوریگریشن میں کوفیشنٹس کہاں ہیں۔ فارمولہ صرف اس صورت میں درست ہے جب تمام جڑوں میں ضرب 1 ہو۔ اے آر (پی) عمل کا آٹوکوریلیشن فنکشن سڑتے ہوئے ایکسپونینشیلز کا مجموعہ ہے۔ ہر حقیقی جڑ آٹوکوریلیشن فنکشن میں ایک جزو کا حصہ بنتی ہے جو تیزی سے ختم ہوتی ہے۔ اسی طرح، پیچیدہ کنجوگیٹ جڑوں کا ہر جوڑا تیزی سے ڈمپڈ ارتعاش میں حصہ ڈالتا ہے۔ اے آر (پی) عمل کے گراف سب سے آسان اے آر عمل اے آر (0) ہے، جس کا شرائط کے درمیان کوئی انحصار نہیں ہے۔ صرف غلطی/اختراع/شور کی اصطلاح عمل کے آؤٹ پٹ میں حصہ ڈالتی ہے، لہذا شکل میں، اے آر (0) سفید شور سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثبت کے ساتھ اے آر (1) عمل کے لیے، عمل میں صرف پچھلی اصطلاح اور شور کی اصطلاح آؤٹ پٹ میں حصہ ڈالتی ہے۔ اگر 0 کے قریب ہے، تو پھر بھی عمل سفید شور کی طرح لگتا ہے، لیکن جیسے جیسے 1 کے قریب آتا ہے، آؤٹ پٹ کو شور کے مقابلے میں پچھلی اصطلاح سے زیادہ حصہ ملتا ہے۔ اس کے نتیجے میں لو پاس فلٹر کی طرح آؤٹ پٹ کی "ہموار" یا انضمام ہوتا ہے۔ اے آر (2) عمل کے لیے، پچھلی دو اصطلاحات اور شور کی اصطلاح آؤٹ پٹ میں حصہ ڈالتی ہیں۔ اگر دونوں اور مثبت ہیں، تو آؤٹ پٹ لو پاس فلٹر کی طرح ہوگا، جس میں شور کا ہائی فریکوئنسی حصہ کم ہو جائے گا۔ اگر مثبت ہے جبکہ منفی ہے، تو یہ عمل عمل کی شرائط کے درمیان نشان میں تبدیلیوں کی حمایت کرتا ہے۔ آؤٹ پٹ ارتعاش کرتا ہے۔ اس کا موازنہ کنارے کا پتہ لگانے یا سمت میں تبدیلی کا پتہ لگانے سے کیا جا سکتا ہے۔ مثال: ایک اے آر (1) عمل ایک اے آر (1) عمل اس طرح دیا جاتا ہے: جہاں صفر اوسط اور مستقل تغیر کے ساتھ سفید شور کا عمل ہے۔ (نوٹ: سبسکرپٹ کو چھوڑ دیا گیا ہے۔) یہ عمل کمزور احساس والا ساکن ہے اگر یہ ایک مستحکم فلٹر کے آؤٹ پٹ کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے جس کا ان پٹ سفید شور ہے۔ (اگر تب کا تغیر وقت کے وقفے t پر منحصر ہوتا ہے، تاکہ سیریز کا تغیر لامحدود کی طرف موڑ جائے کیونکہ t انفینیٹی کی طرف جاتا ہے، اور اس لیے کمزور احساس ساکن نہیں ہے۔) فرض کرتے ہوئے، کمزور احساس کی ساکنتا کی تعریف کے مطابق t کی تمام اقدار کے لیے اوسط یکساں ہے۔ اگر اوسط کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے، تو یہ اس کے بعد آتا ہے اور اس لیے تغیر یہ ہے کہ اس کا معیاری انحراف کہاں ہے۔ یہ نوٹ کرکے اور پھر یہ نوٹ کرکے دکھایا جا سکتا ہے کہ اوپر کی مقدار اس تعلق کا ایک مستحکم فکسڈ پوائنٹ ہے۔ آٹوکوویرینس اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ آٹوکوویرینس فنکشن ڈیک ٹائم (جسے ٹائم کانسٹینٹ بھی کہا جاتا ہے) کے ساتھ ختم ہو جاتا ہے۔ سپیکٹرم ڈینسٹی فنکشن آٹوکوویرینس فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ متفرق اصطلاحات میں یہ متفرق وقت کا فورئیر ٹرانسفارم ہوگا: یہ اظہار وقتا فوقتا اس کی متفرق نوعیت کی وجہ سے ہوتا ہے، جو ڈینومینیٹر میں کوسائن اصطلاح کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ اگر ہم یہ فرض کریں کہ نمونے لینے کا وقت () انحطاط کے وقت () سے بہت چھوٹا ہے، تو ہم اس کے لیے تسلسل کا تخمینہ استعمال کر سکتے ہیں: جس سے سپیکٹرم کثافت کے لیے لورینٹزیئن پروفائل حاصل ہوتا ہے: انحطاط کے وقت سے وابستہ کونیی تعدد کہاں ہے۔ کے لیے ایک متبادل اظہار پہلے تعریفی مساوات میں کے لیے متبادل بنا کر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ اس عمل کو جاری رکھتے ہوئے N اوقات کی پیداوار N کے قریب آنے والے انفینیٹی کے لیے، صفر کے قریب پہنچ جائے گی اور: یہ دیکھا جاتا ہے کہ سفید شور دانا اور مستقل اوسط کے ساتھ جڑا ہوا ہے۔ اگر سفید شور ایک گوسی عمل ہے تو یہ بھی ایک گوسی عمل ہے۔ دوسرے معاملات میں، مرکزی حد تھیوریم اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ تقریبا عام طور پر تقسیم کیا جائے گا جب ایک کے قریب ہو۔ کیونکہ، یہ عمل ایک ہندسی پیش رفت (ایکسپونینشیل گروتھ یا ڈیک) ہوگا۔ اس صورت میں، حل تجزیاتی طور پر پایا جا سکتا ہے: جس کے تحت ایک نامعلوم مستقل (ابتدائی حالت) ہے۔ اے آر (1) عمل کی واضح اوسط/فرق شکل اے آر (1) ماڈل مسلسل آرنسٹین-ایلن بیک عمل کی مجرد وقت کی مشابہت ہے۔ لہذا بعض اوقات مساوی شکل میں کاسٹ کیے گئے اے آر (1) ماڈل کی خصوصیات کو سمجھنا مفید ہوتا ہے۔ اس شکل میں، اے آر (1) ماڈل، عمل کے پیرامیٹر کے ساتھ:، جہاں اور ماڈل کا مطلب ہے۔ اسے شکل میں رکھ کر، اور پھر سیریز کو بڑھا کر، کوئی یہ دکھا سکتا ہے کہ:، اور۔ زیادہ سے زیادہ وقفے کا انتخاب اے آر (پی) عمل کا جزوی خود ارتباط پی سے بڑے وقفوں پر صفر کے برابر ہوتا ہے، لہذا مناسب زیادہ سے زیادہ وقفہ پی وہ ہوتا ہے جس کے بعد جزوی خود ارتباط تمام صفر ہوتے ہیں۔ اے آر پیرامیٹرز کا حساب کوفیشنٹس کا اندازہ لگانے کے بہت سے طریقے ہیں، جیسے کہ عام کم از کم مربع طریقہ کار یا لمحات کا طریقہ (یول واکر مساوات کے ذریعے)۔ اے آر (پی) ماڈل مساوات کے ذریعے دیا جاتا ہے یہ پیرامیٹرز پر مبنی ہوتا ہے جہاں i = 1,., p. ان پیرامیٹرز اور عمل کے کوویرینس فنکشن کے درمیان براہ راست خط و کتابت ہوتا ہے، اور اس خط و کتابت کو آٹو کوریلیشن فنکشن (جو خود کوویرینس سے حاصل ہوتا ہے) سے پیرامیٹرز کا تعین کرنے کے لیے الٹا کیا جا سکتا ہے۔ یہ یول واکر مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ یول واکر مساوات یول واکر مساوات، جو اڈنی یول اور گلبرٹ واکر کے نام سے منسوب ہیں، مساوات کے درج ذیل مجموعے ہیں۔ جہاں، حاصل کرنے والی مساوات۔ یہاں Xt کا آٹوکوویرینس فنکشن ہے، جو ان پٹ شور کے عمل کا معیاری انحراف ہے، اور کرونکر ڈیلٹا فنکشن ہے۔ کیونکہ انفرادی مساوات کا آخری حصہ غیر صفر صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب مساوات کے سیٹ کو میٹرکس کی شکل میں مساوات کی نمائندگی کرکے حل کیا جا سکتا ہے، اس طرح وہ مساوات حاصل کی جا سکتی ہے جسے سب کے لیے حل کیا جا سکتا ہے۔ m = 0 کے لیے بقیہ مساوات وہ ہے جو، ایک بار معلوم ہو جانے کے بعد، آٹوکوریلیشن فنکشن کے لحاظ سے حل کی جا سکتی ہے۔ اے آر پیرامیٹرز کا تعین آٹوکوریلیشن فنکشن کے پہلے پی + 1 عناصر سے ہوتا ہے۔ اس کے بعد مکمل آٹوکوریلیشن فنکشن کو بار بار حساب لگا کر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ کچھ کم ترتیب والے اے آر (پی) عمل پی = 1 کے لیے مثالیں۔ اس لیے پی = 2 اے آر (2) عمل کے لیے یول واکر مساوات یہ ہیں کہ یاد رکھیں کہ پہلی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے پیداوار کا تخمینہ اے آر پیرامیٹرز کا استعمال کرتے ہوئے حاصل ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا مساوات (یول واکر مساوات) اے آر (پی) ماڈل کے پیرامیٹرز کا تخمینہ لگانے کے لیے کئی راستے فراہم کرتی ہیں، نظریاتی کوویرینسز کو تخمینہ شدہ اقدار سے تبدیل کر کے۔ ان میں سے کچھ متغیرات کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: آٹوکوویرینسز یا آٹوکوریلیشنز کا تخمینہ۔ یہاں روایتی تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے ان میں سے ہر ایک اصطلاح کا الگ سے تخمینہ لگایا گیا ہے۔ ایسا کرنے کے مختلف طریقے ہیں اور ان کے درمیان انتخاب تخمینہ اسکیم کی خصوصیات کو متاثر کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، تغیر کے منفی تخمینے کچھ انتخاب کے ذریعے تیار کیے جا سکتے ہیں۔ کم سے کم مربع رجعت کے مسئلے کے طور پر تشکیل جس میں ایک عام کم سے کم مربع پیشن گوئی کا مسئلہ بنایا جاتا ہے، اسی سیریز کی p پچھلی اقدار پر Xt کی اقدار کی پیش گوئی کی بنیاد پر۔ اس کے بارے میں ایک پیشین گوئی کی اسکیم کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ اس مسئلے کے لیے عام مساوات کو یول واکر مساوات کی میٹرکس شکل کے تخمینے سے مطابقت رکھتے ہوئے دیکھا جا سکتا ہے جس میں ایک ہی وقفے کے آٹوکوویرینس کی ہر ظاہری شکل کو قدرے مختلف تخمینے سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ عام کم سے کم مربع پیشن گوئی کے مسئلے کی ایک توسیعی شکل کے طور پر تشکیل۔ یہاں پیشن گوئی کی مساوات کے دو سیٹوں کو ایک تخمینہ اسکیم اور عام مساوات کے ایک سیٹ میں ملایا جاتا ہے۔ ایک سیٹ فارورڈ پیشن گوئی مساوات کا مجموعہ ہے اور دوسرا پسماندہ پیشن گوئی مساوات کا ایک متعلقہ مجموعہ ہے، جو اے آر ماڈل کی پسماندہ نمائندگی سے متعلق ہے: یہاں Xt کی پیش گوئی شدہ اقدار اسی سیریز کی p مستقبل کی اقدار پر مبنی ہوں گی۔ اے آر پیرامیٹرز کا اندازہ لگانے کا یہ طریقہ جان پارکر برگ کی وجہ سے ہے، اور اسے برگ طریقہ کہا جاتا ہے: برگ اور بعد کے مصنفین نے ان مخصوص تخمینوں کو "زیادہ سے زیادہ اینٹروپی تخمینے" کہا، لیکن اس کے پیچھے استدلال تخمینہ شدہ اے آر پیرامیٹرز کے کسی بھی سیٹ کے استعمال پر لاگو ہوتا ہے۔ صرف فارورڈ پیشن گوئی کی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے تخمینہ اسکیم کے مقابلے میں، آٹوکوویرینسز کے مختلف تخمینے تیار کیے جاتے ہیں، اور تخمینوں میں استحکام کی مختلف خصوصیات ہوتی ہیں۔ برگ کے تخمینے خاص طور پر زیادہ سے زیادہ اینٹروپی سپیکٹرم کے تخمینے سے وابستہ ہیں۔ تخمینہ کے دیگر ممکنہ طریقوں میں زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ شامل ہے۔ زیادہ سے زیادہ امکان کی دو الگ الگ قسمیں دستیاب ہیں: ایک میں (وسیع پیمانے پر فارورڈ پیشن گوئی کم سے کم مربع اسکیم کے مساوی) سمجھا جانے والا امکان فنکشن یہ ہے کہ سیریز میں ابتدائی p اقدار کو دیکھتے ہوئے سیریز میں بعد کی اقدار کی مشروط تقسیم سے مطابقت رکھتا ہے۔ دوسرے میں، سمجھا جانے والا امکان فنکشن یہ ہے کہ مشاہدہ شدہ سیریز میں تمام اقدار کی غیر مشروط مشترکہ تقسیم سے مطابقت رکھتا ہے۔ ان طریقوں کے نتائج میں کافی فرق اس صورت میں ہو سکتا ہے جب مشاہدہ شدہ سلسلہ مختصر ہو، یا اگر عمل غیر استحکام کے قریب ہو۔ سپیکٹرم شور کے تغیر کے ساتھ اے آر (پی) عمل کی طاقت سپیکٹرم کثافت (پی ایس ڈی) اے آر (0) سفید شور کے لیے (اے آر (0)) اے آر (1) اے آر کے لیے (1) اگر ایف = 0 پر ایک واحد سپیکٹرم چوٹی ہو، جسے اکثر سرخ شور کہا جاتا ہے۔ جیسے جیسے 1 کے قریب ہوتا جاتا ہے، کم تعدد پر زیادہ طاقت ہوتی ہے، یعنی۔ زیادہ وقت گزرتا ہے۔ اس کے بعد یہ ایک لو پاس فلٹر ہوتا ہے، جب اسے فل سپیکٹرم لائٹ پر لگایا جاتا ہے، تو سرخ روشنی کے علاوہ سب کچھ فلٹر ہو جائے گا۔ اگر f = 0 پر کم از کم ہے، تو اسے اکثر نیلا شور کہا جاتا ہے۔ یہ اسی طرح ہائی پاس فلٹر کے طور پر کام کرتا ہے، نیلی روشنی کے علاوہ ہر چیز کو فلٹر کیا جائے گا۔ اے آر (2) اے آر (2) عمل کو ان کی جڑوں کی خصوصیات کے لحاظ سے تین گروپوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: کب، اس عمل میں پیچیدہ جڑوں کا ایک جوڑا ہوتا ہے، جس سے درمیانی تعدد کی چوٹی پیدا ہوتی ہے: بصورت دیگر اس عمل کی اصل جڑیں ہوتی ہیں، اور: جب یہ سفید شور پر سپیکٹرم چوٹی کے ساتھ لو پاس فلٹر کے طور پر کام کرتا ہے جب یہ سفید شور پر سپیکٹرم چوٹی کے ساتھ ہائی پاس فلٹر کے طور پر کام کرتا ہے۔ یہ عمل غیر مستحکم ہوتا ہے جب جڑیں اکائی دائرے سے باہر ہوتی ہیں۔ یہ عمل مستحکم ہوتا ہے جب جڑیں اکائی دائرے کے اندر ہوتی ہیں، یا مساوی طور پر جب کوفیشنٹس مثلث میں ہوتے ہیں۔ مکمل پی ایس ڈی فنکشن کو حقیقی شکل میں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: اعدادوشمار کے پیکجوں آر میں نفاذ، اعدادوشمار کے پیکیج میں اے آر فنکشن شامل ہے۔ آر، پیکیج استسا میں اے آر ماڈلز سمیت مختلف ماڈلز کو فٹ کرنے کے لیے سریما فنکشن شامل ہے۔ میٹ لیب کے اکانومیٹرکس ٹول باکس اور سسٹم آئیڈینٹیفیکیشن ٹول باکس میں آٹوریگریسو ماڈل میٹ لیب اور آکٹیو شامل ہیں: ٹی ایس اے ٹول باکس میں یونی ویریٹ، ملٹی ویریٹ اور انکولی آٹوریگریسو ماڈل کے لیے کئی تخمینہ افعال شامل ہیں۔ پی۔ ایم۔ سی۔ 3: بایسیائی اعداد و شمار اور ممکنہ پروگرامنگ فریم ورک پی لیگز کے ساتھ آٹوریگریسو طریقوں کی حمایت کرتا ہے۔ بیزلوپ وقت کے لحاظ سے مختلف پیرامیٹرز کے ساتھ اے آر-1 عمل کے لیے پیرامیٹر کے تخمینے اور ماڈل کے انتخاب کی حمایت کرتا ہے۔ ازگر: اعداد و شمار کے نمونوں میں نفاذ۔ امپلس رسپانس کسی نظام کا امپلس رسپانس، k کے فنکشن کے طور پر، ایک شاک ٹرم k پیریڈز کی قیمت میں تبدیلی کے جواب میں ایک ارتقا پذیر متغیر میں تبدیلی ہے۔ چونکہ اے آر ماڈل ویکٹر آٹوریگریسو ماڈل کا ایک خاص معاملہ ہے، اس لیے ویکٹر autoregression#impulse رسپانس میں امپلس رسپانس کا حساب یہاں لاگو ہوتا ہے۔ ایک بار آٹوریگریشن کے پیرامیٹرز کا تخمینہ لگانے کے بعد، آٹوریگریشن کو مستقبل میں وقفوں کی صوابدیدی تعداد کی پیش گوئی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پہلے اس مدت کا حوالہ دینے کے لیے t کا استعمال کریں جس کے لیے ڈیٹا ابھی تک دستیاب نہیں ہے۔ غلطی کی اصطلاح کو صفر کے برابر ترتیب دیتے ہوئے i = 1 کے لیے معلوم سابقہ اقدار Xt-i کو آٹوریگریسو مساوات میں تبدیل کریں (کیونکہ ہم Xt کو اس کی متوقع قیمت کے برابر ہونے کی پیش گوئی کرتے ہیں، اور غیر مشاہدہ شدہ غلطی کی اصطلاح کی متوقع قیمت صفر ہے)۔ آٹوریگریسو مساوات کی پیداوار پہلی غیر مشاہدہ شدہ مدت کی پیش گوئی ہے۔ اگلا، اگلے پیریڈ کا حوالہ دینے کے لیے t کا استعمال کریں جس کے لیے ڈیٹا ابھی تک دستیاب نہیں ہے۔ ایک بار پھر آٹوریگریسو مساوات کو پیشن گوئی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، ایک فرق کے ساتھ: X ایک پیریڈ کی قیمت جو اب پیشن گوئی کی جا رہی ہے اس سے پہلے معلوم نہیں ہے، اس لیے اس کی متوقع قیمت-پچھلے پیشن گوئی کے مرحلے سے پیدا ہونے والی پیش گوئی کی قیمت-اس کے بجائے استعمال کی جاتی ہے۔ پھر مستقبل کے ادوار کے لیے ایک ہی طریقہ کار استعمال کیا جاتا ہے، ہر بار پیشن گوئی کی مساوات کے دائیں طرف ایک اور پیشن گوئی کی قیمت کا استعمال کرتے ہوئے، یہاں تک کہ پی پیشن گوئی کے بعد، تمام پی دائیں طرف کی اقدار پچھلے مراحل سے پیش گوئی کی گئی اقدار ہیں۔ اس طریقے سے حاصل کی جانے والی پیش گوئیوں کے حوالے سے غیر یقینی کے چار ذرائع ہیں: (1) اس بارے میں غیر یقینی صورتحال کہ آیا آٹوریگریسو ماڈل درست ماڈل ہے ؛ (2) آٹوریگریسو مساوات کے دائیں جانب پسماندہ اقدار کے طور پر استعمال ہونے والی پیش گوئی شدہ اقدار کی درستگی کے بارے میں غیر یقینی صورتحال ؛ (3) آٹوریگریسو کوفیشنٹس کی حقیقی اقدار کے بارے میں غیر یقینی صورتحال ؛ اور (4) پیش گوئی کی جانے والی مدت کے لیے غلطی کی اصطلاح کی قیمت کے بارے میں غیر یقینی صورتحال۔ این-مرحلہ-آگے کی پیش گوئیوں کے لیے اعتماد کا وقفہ دینے کے لیے آخری تین میں سے ہر ایک کی مقدار اور امتزاج کیا جا سکتا ہے۔ دائیں طرف کے متغیرات کے لیے تخمینہ شدہ اقدار کی بڑھتی ہوئی تعداد کے استعمال کی وجہ سے اعتماد کا وقفہ وسیع تر ہو جائے گا کیونکہ این بڑھتا ہے۔ موونگ ایوریج ماڈل لکیری ڈفریینس ایکویشن پیشن گوئی تجزیات لکیری پیشن گوئی کوڈنگ گونج لیونسن تکرار اورنسٹین-یولین بیک عمل لامحدود امپلس رسپانس نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط آٹو ریگریشن تجزیہ (اے آر) بذریعہ پال بورک بذریعہ مارک تھوما آٹو کوریلیشن سگنل پروسیسنگ