Symmetric polynomial
ریاضی میں، ہم آہنگی کثیر متغیر متغیرات میں ایک کثیر الجہتی ہے، اس طرح کہ اگر کسی متغیر کو آپس میں تبدیل کیا جائے تو ایک ہی کثیر الجہتی حاصل ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی ہے اگر کسی کے پاس سبسکرپٹس کی کسی بھی ترتیب کے لیے ہے۔ سمٹرک کثیر الجہتی قدرتی طور پر ایک متغیر میں کثیر الجہتی کی جڑوں اور اس کے کوفشنٹس کے درمیان تعلق کے مطالعہ میں پیدا ہوتے ہیں، کیونکہ کوفشنٹس کو جڑوں میں کثیر الجہتی تاثرات کے ذریعے دیا جا سکتا ہے، اور تمام جڑیں اس ترتیب میں یکساں کردار ادا کرتی ہیں۔ اس نقطہ نظر سے ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی سب سے بنیادی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں۔ درحقیقت، ایک نظریہ جسے سمیٹرک کثیر الجہتی کا بنیادی نظریہ کہا جاتا ہے بیان کرتا ہے کہ کسی بھی سمیٹرک کثیر الجہتی کا اظہار ابتدائی سمیٹرک کثیر الجہتی کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مونیک کثیر الجہتی کی جڑوں میں ہر ہم آہنگی کثیر الجہتی اظہار کو متبادل طور پر کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس میں کثیر الجہتی اظہار کے طور پر دیا جاسکتا ہے۔ ہم آہنگی کثیر الجہتی بھی خود ایک دلچسپ ڈھانچہ بناتے ہیں، آزادانہ طور پر کسی کثیر الجہتی کی جڑوں سے کسی بھی تعلق سے۔ اس تناظر میں مخصوص ہم آہنگی کثیر الجہتی کے دیگر مجموعے، جیسے کہ مکمل یکساں، پاور سم، اور شور کثیر الجہتی ابتدائی کے ساتھ ساتھ اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ نتیجے میں بننے والے ڈھانچے، اور خاص طور پر سمیٹرک افعال کی انگوٹی، امتزاج اور نمائندگی کے نظریہ میں بہت اہمیت کے حامل ہیں۔ مثال دو متغیرات X1 اور X2 میں درج ذیل کثیر الجہتی متناسب ہیں: جیسا کہ تین متغیرات X1، X2، X3 میں درج ذیل کثیر الجہتی ہے: متغیرات کی کسی بھی تعداد میں مخصوص متناسب کثیر الجہتی بنانے کے بہت سے طریقے ہیں (نیچے مختلف اقسام دیکھیں)۔ کسی حد تک مختلف ذائقہ کی ایک مثال یہ ہے کہ جہاں پہلے ایک کثیر الجہتی تعمیر کیا جاتا ہے جو متغیرات کے ہر تبادلے کے تحت نشان کو تبدیل کرتا ہے، اور مربع لینے سے یہ مکمل طور پر ہم آہنگ ہوجاتا ہے (اگر متغیرات مونیک کثیر الجہتی کی جڑوں کی نمائندگی کرتے ہیں، تو یہ کثیر الجہتی اس کا امتیازی ہوتا ہے)۔ دوسری طرف، دو متغیرات میں کثیر الجہتی ہم آہنگ نہیں ہے، کیونکہ اگر ایک کا تبادلہ ہوتا ہے اور ایک کو مختلف کثیر الجہتی ملتا ہے،۔ اسی طرح تین متغیرات میں تین متغیرات کے چکور تغیرات کے تحت صرف ہم آہنگی ہوتی ہے، جو کہ ہم آہنگی کثیر ہونے کے لیے کافی نہیں ہے۔ تاہم، مندرجہ ذیل ہم آہنگی ہے: ایپلی کیشنز گالوئس تھیوری ایک سیاق و سباق جس میں ہم آہنگی کثیر الجہتی افعال پائے جاتے ہیں وہ کسی دیئے گئے فیلڈ میں n جڑوں والے ڈگری n کے مونیک یونی ویریٹ کثیر الجہتی کے مطالعہ میں ہے۔ یہ n جڑیں کثیر الجہتی کا تعین کرتی ہیں، اور جب انہیں آزاد متغیر سمجھا جاتا ہے، تو کثیر الجہتی کے گتانک جڑوں کے ہم آہنگ کثیر الجہتی افعال ہوتے ہیں۔ مزید برآں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی بنیادی تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ n جڑوں کی ایک کثیر الجہتی فنکشن f کو جڑوں کے ذریعہ طے شدہ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کی (ایک اور) کثیر الجہتی فنکشن کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f کو ہم آہنگی کثیرالجہتی کے ذریعہ دیا جائے۔ اس سے اس نقشے کو الٹ کر، ہم آہنگی کو "توڑ کر" کثیر الجہتی مساوات کو حل کرنے کا نقطہ نظر حاصل ہوتا ہے-کثیر الجہتی (جڑوں میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی) کے کوفیشنٹس کو دیکھتے ہوئے، کوئی جڑ کو کیسے بازیافت کر سکتا ہے؟ اس سے جڑوں کے پرموٹیشن گروپ کا استعمال کرتے ہوئے کثیر الجہتی کے حل کا مطالعہ ہوتا ہے، جو اصل میں لگرینج ریزولوینٹس کی شکل میں ہوتے ہیں، جو بعد میں گالوئس تھیوری میں تیار ہوئے۔ کسی مونک یونی ویریٹ کثیر الجہتی کی جڑوں کے ساتھ تعلق کسی فیلڈ K میں کوفیشنٹس کے ساتھ ڈگری n کے t میں ایک مونک کثیر الجہتی پر غور کریں۔ کچھ ممکنہ طور پر بڑے فیلڈ میں p کے n جڑ x1،.، xn موجود ہیں (مثال کے طور پر اگر K حقیقی اعداد کا فیلڈ ہے تو جڑیں پیچیدہ اعداد کے فیلڈ میں موجود ہوں گی) ؛ کچھ جڑیں برابر ہو سکتی ہیں، لیکن حقیقت یہ ہے کہ کسی کے پاس تمام جڑیں ہیں اس تعلق سے اظہار کیا جاتا ہے۔ کوفیشنٹس کا موازنہ کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ حقیقت میں ویت کے فارمولوں کی صرف مثالیں ہیں۔ وہ ظاہر کرتے ہیں کہ کثیر الجہتی کے تمام کوفیشنٹس جڑوں کے لحاظ سے ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی اظہار کے ذریعے دیئے جاتے ہیں: اگرچہ کسی دیئے گئے کثیر الجہتی P کے لیے جڑوں کے درمیان کوالٹی کے فرق ہو سکتے ہیں (جیسے بیس فیلڈ K میں جھوٹ بولنا یا نہیں، سادہ یا متعدد جڑیں ہونا)، ان میں سے کوئی بھی ان تاثرات میں جڑوں کے ہونے کے طریقے کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ اب کوئی بھی نقطہ نظر کو تبدیل کر سکتا ہے، پی کو بیان کرنے کے لیے بنیادی پیرامیٹرز کے طور پر کوفشنٹس کے بجائے جڑوں کو لے کر، اور انہیں کسی مناسب فیلڈ میں مستقل کے بجائے غیر متعین سمجھ کر ؛ کوفشنٹس آئی پھر صرف مذکورہ بالا مساوات کے ذریعہ دیئے گئے مخصوص سمیٹرک کثیر الجہتی بن جاتے ہیں۔ وہ کثیر الجہتی، نشان کے بغیر، x1،.، xn میں ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے نام سے جانے جاتے ہیں۔ ایک بنیادی حقیقت، جسے سمیٹرک کثیر الجہتی کے بنیادی نظریہ کے نام سے جانا جاتا ہے، بیان کرتا ہے کہ n متغیرات میں کوئی بھی سمیٹرک کثیر الجہتی ان ابتدائی سمیٹرک کثیر الجہتی کے لحاظ سے کثیر الجہتی اظہار کے ذریعے دیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ مونیک کثیر الجہتی کے جڑوں میں کسی بھی ہم آہنگی کثیر الجہتی اظہار کو کثیر الجہتی کے کوفشنٹس میں کثیر الجہتی کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے، اور خاص طور پر اس کی قیمت بیس فیلڈ K میں ہوتی ہے جس میں وہ کوفشنٹس ہوتے ہیں۔ اس طرح، جب جڑوں میں صرف اس طرح کے ہم آہنگ کثیر الجہتی تاثرات کے ساتھ کام کیا جاتا ہے، تو ان جڑوں کے بارے میں کچھ خاص جاننا، یا K سے زیادہ کسی بڑے میدان میں حساب لگانا غیر ضروری ہے جس میں وہ جڑیں پڑ سکتی ہیں۔ در حقیقت جڑوں کی اقدار خود ہی غیر متعلقہ ہو جاتی ہیں، اور کوفشنٹس اور سمیٹرک کثیر الجہتی تاثرات کے درمیان ضروری تعلقات صرف سمیٹرک کثیر الجہتی کے لحاظ سے کمپیوٹیشن کے ذریعے پائے جا سکتے ہیں۔ اس طرح کے تعلقات کی ایک مثال نیوٹن کی شناخت ہے، جو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لحاظ سے جڑوں کی کسی بھی مقررہ طاقت کا مجموعہ ظاہر کرتی ہے۔ متغیرات X1، X2،.، Xn میں چند قسم کے متناسب کثیر الجہتی ہوتے ہیں جو بنیادی ہوتے ہیں۔ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہر غیر منفی عدد k کے لیے، ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ایک (X1،.، Xn) k مختلف متغیرات کے تمام الگ الگ پروڈکٹ کا مجموعہ ہے۔ (کچھ مصنفین اس کے بجائے اسے σk سے ظاہر کرتے ہیں۔) k = 0 کے لیے صرف خالی پروڈکٹ ہے لہذا e0 (X1,., Xn) = 1، جبکہ k> n کے لیے کوئی پروڈکٹ بالکل نہیں بنایا جا سکتا، لہذا ان صورتوں میں ek (X1, X2,., Xn) = 0 ہے۔ بقیہ n ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ان متغیرات میں تمام ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے بلڈنگ بلاکس ہیں: جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، زیر غور متغیرات میں کوئی بھی ہم آہنگی کثیر ان ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی سے صرف ضرب اور اضافے کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جا سکتی ہے۔ در حقیقت کسی کے پاس درج ذیل مزید تفصیلی حقائق ہوتے ہیں: X1 میں کوئی بھی ہم آہنگ کثیر الجہتی P،.، Xn کو کثیر الجہتی ek (X1،.، Xn) میں 1 ≤ k ≤ n کے ساتھ کثیر الجہتی اظہار کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ اظہار کثیر الجہتی تاثرات کی مساوات تک منفرد ہے۔ اگر P میں لازمی گتانک ہوتے ہیں، تو کثیر الجہتی اظہار میں بھی لازمی گتانک ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، n = 2 کے لیے، متعلقہ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی e1 (X1، X2) = X1 + X2، اور e2 (X1، X2) = X1X2 ہیں۔ مندرجہ بالا مثالوں کی فہرست میں پہلی کثیر الجہتی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے (اس ثبوت کے لیے کہ یہ ہمیشہ ممکن ہے سمیٹرک کثیر الجہتی کا بنیادی نظریہ دیکھیں)۔ مونومیل سمیٹرک پولینومیئلز پاورز اور ابتدائی سمیٹرک پولینومیئلز کے پروڈکٹ کافی پیچیدہ تاثرات پر کام کرتے ہیں۔ اگر کوئی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے بنیادی اضافی بلڈنگ بلاکس تلاش کرتا ہے، تو ایک زیادہ فطری انتخاب ان ہم آہنگی کثیر الجہتی کو لینا ہے جس میں صرف ایک قسم کی یک جہتی ہوتی ہے، جس میں ہم آہنگی حاصل کرنے کے لیے صرف وہی کاپیاں درکار ہوتی ہیں۔ X1،.، Xn میں کسی بھی مونومیل کو X1α1.Xnαn کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جہاں ایکسپوینٹس αi قدرتی اعداد ہیں (ممکنہ طور پر صفر) ؛ α = (α1،.، αn) لکھنا اسے Xα سے مختصر کیا جا سکتا ہے۔ یک مدتی ہم آہنگی کثیر الجہتی mα (X1،.، Xn) کی تعریف تمام یک مدتی xβ کے مجموعے کے طور پر کی گئی ہے جہاں β (α1،.، αn) کے تمام الگ الگ تغیرات پر محیط ہے۔ مثال کے طور پر کسی کے پاس، واضح طور پر mα = mβ ہوتا ہے جب β، α کا تعدد ہوتا ہے، تو کوئی عام طور پر صرف ان mα پر غور کرتا ہے جس کے لیے α1 ≤ α2 ≤. ≤ αn، دوسرے الفاظ میں جس کے لیے α ایک عدد کی تقسیم ہے۔ یہ مونومیل سمیٹرک کثیر الجہتی ایک ویکٹر اسپیس کی بنیاد بناتے ہیں: ہر سمیٹرک کثیر الجہتی P کو مونومیل سمیٹرک کثیر الجہتی کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے پی میں پائے جانے والے مختلف قسم کے مونومیل کو الگ کرنا کافی ہے۔ خاص طور پر اگر پی میں انٹیجر کوفیشنٹس ہیں، تو لکیری امتزاج بھی ایسا ہی ہوگا۔ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی مونومیل ہم آہنگی کثیر الجہتی کے مخصوص معاملات ہیں: 0 ≤ k ≤ n کے لیے جہاں α k کی k حصوں 1 میں تقسیم ہے (اس کے بعد n − k صفر)۔ پاور-سم سمیٹرک کثیر الجہتی ہر عدد k ≤ 1 کے لیے، مونومیل سمیٹرک کثیر الجہتی m (k, 0,., 0) (X1,., Xn) خاص دلچسپی کا حامل ہے۔ یہ پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ تمام سمیٹرک کثیر الجہتی کو پہلے n پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی سے اضافے اور ضرب کے ذریعے حاصل کیا جاسکتا ہے، جس میں ممکنہ طور پر عقلی گتانک شامل ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، X1،.، Xn میں کسی بھی سمیٹرک کثیر الجہتی کو پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی p1 (X1،.، Xn)،.، pn (X1،.، Xn) میں عقلی گتانک کے ساتھ کثیر الجہتی اظہار کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، k> n کے لیے بقیہ پاور مجموعہ کثیر الجہتی pk (X1,., Xn) کو پہلے n پاور مجموعہ کثیر الجہتی میں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ابتدائی اور مکمل یکساں کثیر الجہتی کی صورت حال کے برعکس، n متغیرات میں ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی کو لازمی کوفیشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی فنکشن ہونے کی ضرورت نہیں ہے جس میں پاور مجموعہ ہم آہنگ کثیر الجہتی کے لازمی کوفیشنٹس ہوں۔ مثال کے طور پر، n = 2 کے لیے، ہم آہنگ کثیر الجہتی کا اظہار ہوتا ہے۔ تین متغیرات کا استعمال کرتے ہوئے ایک کو ایک مختلف اظہار ملتا ہے۔ متعلقہ اظہار دو متغیرات کے لیے بھی درست تھا (یہ X3 کو صفر پر سیٹ کرنے کے لیے کافی ہے)، لیکن چونکہ اس میں p3 شامل ہے، اس لیے اسے n = 2 کے بیان کی وضاحت کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکا۔ مثال سے پتہ چلتا ہے کہ پہلے n پاور مجموعہ کثیر الجہتی کے لحاظ سے دی گئی مونومیل سمیٹرک کثیر الجہتی کے اظہار میں عقلی گتانک شامل ہیں یا نہیں اس کا انحصار n پر ہو سکتا ہے۔ لیکن ابتدائی سمیٹرک کثیر الجہتی کو ظاہر کرنے کے لیے عقلی گتانک ہمیشہ درکار ہوتے ہیں (سوائے مستقل کے، اور e1 جو پہلے پاور مجموعہ کے ساتھ موافق ہوتا ہے) پاور مجموعہ کثیر الجہتی کے لحاظ سے۔ نیوٹن کی شناخت ایسا کرنے کے لیے ایک واضح طریقہ فراہم کرتی ہے۔ اس میں n تک کے انٹیجرز کے ذریعے تقسیم شامل ہے، جو عقلی گتانک کی وضاحت کرتا ہے۔ ان تقسیموں کی وجہ سے، مذکور بیان عام طور پر ناکام ہو جاتا ہے جب کوفیشنٹس کو محدود خصوصیت کے میدان میں لیا جاتا ہے۔ تاہم، یہ عقلی اعداد پر مشتمل کسی بھی رنگ میں کوفیشنٹس کے ساتھ درست ہے۔ مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی ہر غیر منفی عدد k کے لیے، مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی hk (X1،.، Xn) متغیر X1،.، Xn میں ڈگری k کے تمام الگ الگ مونومیلز کا مجموعہ ہے۔ مثال کے طور پر کثیر الجہتی hk (X1،.، Xn) X1،.، Xn میں ڈگری k کے تمام الگ الگ یک جہتی ہم آہنگی کثیر الجہتی کا مجموعہ بھی ہے، مثال کے طور پر دی گئی مثال کے طور پر ان متغیرات میں موجود تمام ہم آہنگی کثیر الجہتی کو مکمل ہم آہنگی سے بنایا جا سکتا ہے: X1، Xn میں کوئی بھی ہم آہنگی کثیر الجہتی کو مکمل ہم آہنگی ہم آہنگی کثیر الجہتی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر: X1،.، Xn میں کسی بھی ہم آہنگ کثیر الجہتی P کو کثیر الجہتی hk (X1،.، Xn) میں 1 ≤ k ≤ n کے ساتھ کثیر الجہتی اظہار کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اگر P میں لازمی گتانک ہوتے ہیں، تو کثیر الجہتی اظہار میں لازمی گتانک بھی ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، n = 2 کے لیے، متعلقہ مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں اور۔ جیسا کہ پاور جملوں کے معاملے میں، دیا گیا بیان خاص طور پر ایچ این (ایکس 1،.، ایکس این) سے آگے کے مکمل یکساں ہم آہنگی والے کثیر الجہتی پر لاگو ہوتا ہے، جس سے انہیں اس نقطہ تک کے لحاظ سے ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ جب متغیرات کی تعداد میں اضافہ ہوتا ہے تو اس کے نتیجے میں شناخت غلط ہو جاتی ہے۔ مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کا ایک اہم پہلو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی سے ان کا تعلق ہے، جسے تمام k> 0، اور متغیرات کی کسی بھی تعداد n کے لیے شناخت کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ e0 (X1,., Xn) اور h0 (X1,., Xn) دونوں 1 کے برابر ہیں، اس لیے کوئی بھی ان مجموعوں کی پہلی یا آخری اصطلاح کو الگ کر سکتا ہے۔ سابقہ مساوات کا ایک مجموعہ دیتا ہے جو کسی کو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لحاظ سے مسلسل مکمل ہم آہنگی کثیر الجہتی کو بار بار ظاہر کرنے کی اجازت دیتا ہے، اور مؤخر الذکر مساوات کا ایک مجموعہ دیتا ہے جو الٹا کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ واضح طور پر ظاہر کرتا ہے کہ کسی بھی ہم آہنگی کثیر کو 1 ≤ k ≤ n کے ساتھ hk (X1،.، Xn) کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے: ایک پہلے ہم آہنگی کثیر کو ابتدائی ہم آہنگی کثیر کے لحاظ سے ظاہر کرتا ہے، اور پھر ان کو مذکور مکمل ہم آہنگ کے لحاظ سے ظاہر کرتا ہے۔ سمٹرک کثیر الجہتی کی ایک اور کلاس شور کثیر الجہتی کی ہے، جو نمائندگی کے نظریہ کے لیے سمٹرک کثیر الجہتی کی ایپلی کیشنز میں بنیادی اہمیت کی حامل ہیں۔ تاہم انہیں دوسری قسم کے خصوصی ہم آہنگی کثیر الجہتی کی طرح بیان کرنا اتنا آسان نہیں ہے۔ تفصیلات کے لیے مرکزی مضمون دیکھیں۔ الجبرا میں سمیٹرک کثیر الجہتی لکیری الجبرا، نمائندگی تھیوری، اور گالوئس تھیوری کے لیے اہم ہیں۔ وہ امتزاج میں بھی اہم ہیں، جہاں ان کا زیادہ تر مطالعہ سمیٹرک افعال کے دائرے کے ذریعے کیا جاتا ہے، جو ہر وقت متغیرات کی ایک مقررہ تعداد کو لے جانے سے بچتا ہے۔ متوازی سے متوازی کثیر الجہتی متبادل کثیر الجہتی ہیں: کثیر الجہتی جو، اندراجات کی ترتیب کے تحت غیر متغیر ہونے کے بجائے، ترتیب کی علامت کے مطابق تبدیل ہوتے ہیں۔ یہ وینڈرمنڈے کثیر الجہتی اور ایک ہم آہنگ کثیر الجہتی کے تمام پروڈکٹ ہیں، اور ہم آہنگ کثیر الجہتی کے دائرے کی ایک مربع توسیع بناتے ہیں: وینڈرمنڈے کثیر الجہتی امتیازی کا مربع جڑ ہے۔ سمیٹرک فنکشن نیوٹن کی شناخت اسٹینلے سمیٹرک فنکشن مور ہیڈ کی عدم مساوات حوالہ جات میکڈونلڈ، آئی جی بھی دیکھیں۔ (1979)، سمیٹرک فنکشنز اینڈ ہال پولینومیئلز۔ آکسفورڈ ریاضیاتی مونوگراف۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ آئی۔ جی۔ میکڈونلڈ (1995)، سمیٹرک فنکشنز اینڈ ہال پولینومیلز، سیکنڈ ایڈیشن۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ (پیپر بیک، 1998)۔ رچرڈ پی۔ اسٹینلے (1999)، انیومریٹو کمبینٹوریکس، جلد۔ 2. کیمبرج: کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ کثیر الجہتی