Midpoint method
عددی تجزیے میں، اطلاقی ریاضی کی ایک شاخ، مڈپوائنٹ طریقہ عددی طور پر تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک مرحلہ وار طریقہ ہے، واضح مڈپوائنٹ طریقہ فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جو کہ مبہم مڈپوائنٹ طریقہ ہے۔ یہاں، قدم کا سائز-ایک چھوٹا مثبت نمبر ہے، اور یہ حساب شدہ تخمینہ قدر ہے۔ واضح مڈپوائنٹ طریقہ کو بعض اوقات ترمیم شدہ اویلر طریقہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، مضمر طریقہ سب سے آسان کولاکیشن طریقہ ہے، اور، ہیملٹنین حرکیات، ایک سمپلیکٹک انٹیگریٹر پر لاگو ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ترمیم شدہ اویلر طریقہ ہیون کے طریقہ کار کا حوالہ دے سکتا ہے، مزید وضاحت کے لیے رنج کٹہ طریقوں کی فہرست دیکھیں۔ طریقہ کار کا نام اس حقیقت سے آتا ہے کہ اوپر کے فارمولے میں، حل کی ڈھلوان دینے والے فنکشن کا اندازہ اس وسط نقطہ پر کیا جاتا ہے جس کے درمیان قیمت معلوم ہوتی ہے اور جس پر قیمت تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہندسی تشریح طریقہ کار کی بہتر بدیہی تفہیم دے سکتی ہے (دائیں طرف کی شکل دیکھیں)۔ اویلر کے بنیادی طریقہ کار میں، a کے منحنی خطوط کا استعمال کرتے ہوئے حساب لگایا جاتا ہے۔ اگلی قیمت وہاں پائی جاتی ہے جہاں ٹینجینٹ عمودی لکیر کو کاٹتا ہے۔ تاہم، اگر دوسرا مشتق صرف اور کے درمیان مثبت ہے، یا صرف منفی ہے (جیسا کہ خاکہ میں ہے)، تو وکر تیزی سے ٹینجینٹ سے دور ہو جائے گی، جس کی وجہ سے بڑھتی ہوئی بڑی غلطیاں ہوں گی۔ خاکہ اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ وسط نقطہ (اوپری، سبز لکیر کے حصے) پر موجود ٹینجینٹ ممکنہ طور پر اس وقفے میں منحنی خطوط کا زیادہ درست تخمینہ دے گا۔ تاہم، اس مڈپوائنٹ ٹینجینٹ کا درست حساب نہیں لگایا جا سکا کیونکہ ہم وکر کو نہیں جانتے (یہی حساب لگایا جانا ہے)۔ اس کے بجائے، اس ٹینجینٹ کا اندازہ وسط نقطہ پر کی قدر کا اندازہ لگانے کے لیے اصل اویلر کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جاتا ہے، پھر اس کے ساتھ ٹینجینٹ کی ڈھلوان کا حساب لگایا جاتا ہے۔ آخر میں، سے کی قیمت کا حساب لگانے کے لیے بہتر ٹینجینٹ استعمال کیا جاتا ہے۔ اس آخری مرحلے کی نمائندگی خاکہ میں سرخ راگ سے کی جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ درمیانی نقطہ پر کی قدر کا اندازہ لگانے میں غلطی کی وجہ سے سرخ تانڈ سبز حصے (حقیقی ٹینجینٹ) کے بالکل متوازی نہیں ہے۔ مڈپوائنٹ طریقہ کار کے ہر مرحلے پر مقامی غلطی ترتیب کی ہوتی ہے، جو ترتیب کی عالمی غلطی دیتی ہے۔ اس طرح، اگرچہ یولر کے طریقہ کار سے زیادہ کمپیوٹیشنل طور پر گہرا ہے، لیکن مڈپوائنٹ طریقہ کی غلطی عام طور پر تیزی سے کم ہوتی جاتی ہے۔ یہ طریقے اعلی درجے کے طریقوں کی ایک کلاس کی مثالیں ہیں جنہیں رنگے کٹہ طریقے کہا جاتا ہے۔ مڈپوائنٹ طریقہ کار کا اخذ مڈپوائنٹ طریقہ یولر طریقہ کار کی ایک اصلاح ہے اور اسی طرح سے اخذ کیا گیا ہے۔ اویلر کے طریقہ کار کو اخذ کرنے کی کلید تخمینہ مساوات ہے جو ڈھلوان کے فارمولے سے حاصل کی جاتی ہے اور اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے کہ درمیانی نقطہ کے طریقوں کے لیے، جب (2) کے بجائے ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ کوئی اس مساوات کو تلاش کرنے کے لیے استعمال نہیں کر سکتا جب کہ کوئی نہیں جانتا ہے کہ (3) زیادہ درست ہے۔ اس کے بعد حل یہ ہے کہ ٹیلر سیریز کی توسیع کو بالکل اسی طرح استعمال کیا جائے جیسے کہ حل کرنے کے لیے اویلر طریقہ استعمال کیا جائے: جو، جب پلگ ان کیا جاتا ہے (4)، ہمیں اور واضح مڈ پوائنٹ طریقہ (1e) دیتا ہے۔ مضمر طریقہ (1i) لائن سیگمنٹ کے وسط نقطہ سے آدھے مرحلے پر قدر کا تخمینہ لگا کر حاصل کیا جاتا ہے اور اس طرح مضمر رانج کٹہ طریقہ میں نتائج کے لیے تخمینہ داخل کیا جاتا ہے جس میں مرحلہ سائز کے ساتھ مضمر اویلر طریقہ شامل ہوتا ہے۔ مضمر طریقہ کار کی ٹائم سمیٹری کی وجہ سے، مقامی غلطی کی یکساں ڈگری کی تمام اصطلاحات منسوخ ہو جاتی ہیں، تاکہ مقامی غلطی خود بخود ترتیب میں آ جائے۔ واضح مڈپوائنٹ طریقہ کار میں دوبارہ نتائج کے تعین میں مضمر کو واضح اویلر طریقہ سے تبدیل کرنا۔ ریکٹینگل طریقہ ہیون کا طریقہ لیپفروگ انضمام اور ویرلیٹ انضمام نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ عددی تفریقی مساوات رانج-کٹہ طریقے