Christoffel symbols
ریاضی اور طبیعیات میں، کرسٹوفیل کی علامتیں نمبروں کی ایک صف ہیں جو میٹرک کنکشن کو بیان کرتی ہیں۔ میٹرک کنکشن سطحوں یا دیگر کئی گنا میٹرکس سے مالا مال افائن کنکشن کی ایک تخصص ہے، جس سے اس سطح پر فاصلے کی پیمائش کی جا سکتی ہے۔ تفریق جیومیٹری میں، ایک افائن کنکشن کو میٹرک کے حوالے کے بغیر بیان کیا جا سکتا ہے، اور بہت سے اضافی تصورات کی پیروی کی جاتی ہے: متوازی نقل و حمل، کوویرینٹ مشتقات، جیوڈیسکس وغیرہ۔ میٹرک کے تصور کی بھی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، جب کوئی میٹرک دستیاب ہوتا ہے، تو ان تصورات کو براہ راست کئی گنا کی "شکل" سے جوڑا جا سکتا ہے ؛ اس شکل کا تعین اس بات سے ہوتا ہے کہ میٹرک ٹینسر کے ذریعے ٹینجینٹ اسپیس کو کوٹینجینٹ اسپیس سے کیسے جوڑا جاتا ہے۔ مختصرا، کوئی یہ کہے گا کہ کئی گنا ایک متعلقہ (آرتھونورمل) فریم بنڈل ہوتا ہے، جس میں ہر "فریم" کوآرڈینیٹ فریم کا ممکنہ انتخاب ہوتا ہے۔ ایک غیر متغیر میٹرک کا مطلب ہے کہ فریم بنڈل کا ساخت گروپ آرتھوگنل گروپ ہے۔ نتیجے کے طور پر، اس طرح کا کئی گنا لازمی طور پر ایک (فرضی-) ریمینیئن کئی گنا ہے۔ کرسٹوفیل کی علامتیں کئی گنا پر نقاط کے لحاظ سے (فرضی-) ریمینیائی جیومیٹری کے تعلق کی ٹھوس نمائندگی فراہم کرتی ہیں۔ اضافی تصورات، جیسے متوازی نقل و حمل، جیوڈیسکس وغیرہ۔ اس کے بعد کرسٹوفیل کی علامتوں کے لحاظ سے اظہار کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، کسی دیئے گئے میٹرک ٹینسر کے لیے لامحدود تعداد میں میٹرک کنکشن ہوتے ہیں ؛ تاہم، ایک منفرد کنکشن ہے جو ٹورسن سے پاک ہے، لیوی-سیویٹا کنکشن۔ طبیعیات اور عمومی اضافیت میں یہ عام بات ہے کہ تقریبا خصوصی طور پر لیوی-سیویٹا کنکشن کے ساتھ کام کرنا، کوآرڈینیٹ فریموں (جسے ہولونومک کوآرڈینیٹ کہا جاتا ہے) میں کام کرکے جہاں ٹورسن غائب ہو جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، یوکلڈین خالی جگہوں میں، کرسٹوفیل کی علامتیں بیان کرتی ہیں کہ مقامی کوآرڈینیٹ بیس کس طرح ایک نقطہ سے دوسرے مقام پر تبدیل ہوتے ہیں۔ بنیادی جہتی کئی گنا کے ہر نقطہ پر، اس نقطہ کے آس پاس کے کسی بھی مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم کے لیے، کرسٹوفیل کی علامتوں کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس صف کی ہر اندراج ایک حقیقی نمبر ہے۔ کئی گنا پر لکیری کوآرڈینیٹ تبدیلیوں کے تحت، کرسٹوفیل کی علامتیں ٹینسر کے اجزاء کی طرح تبدیل ہو جاتی ہیں، لیکن عمومی کوآرڈینیٹ تبدیلیوں (ڈفیومورفزم) کے تحت وہ تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ کرسٹوفیل علامتوں کی زیادہ تر الجبرائی خصوصیات افائن کنکشن سے ان کے تعلقات کی پیروی کرتی ہیں۔ صرف چند ہی اس حقیقت کی پیروی کرتے ہیں کہ اسٹرکچر گروپ آرتھوگنل گروپ (یا عمومی اضافیت کے لیے لورینٹز گروپ) ہے۔ کرسٹوفیل کی علامتیں عملی حسابات انجام دینے کے لیے استعمال کی جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ریمن کرویچر ٹینسر کو مکمل طور پر کرسٹوفیل علامتوں اور ان کے پہلے جزوی مشتقات کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ عمومی اضافیت میں، تعلق کشش ثقل کے میدان کا کردار ادا کرتا ہے جس کے مطابق کشش ثقل کی صلاحیت میٹرک ٹینسر ہوتی ہے۔ جب کوآرڈینیٹ سسٹم اور میٹرک ٹینسر کچھ ہم آہنگی کا اشتراک کرتے ہیں تو ان میں سے بہت سے صفر ہوتے ہیں۔ کرسٹوفیل کی علامتوں کا نام ایلون برونو کرسٹوفیل (1829-1900) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ نوٹ ذیل میں دی گئی تعریفیں ریمینیئن مینیفولڈز اور سیوڈو ریمینیئن مینیفولڈز دونوں کے لیے درست ہیں، جیسے کہ عمومی اضافیت، اوپری اور نچلے اشاریہ جات (متضاد متغیر اور شریک متغیر اشاریہ جات) کے درمیان محتاط فرق کے ساتھ۔ فارمولے کسی بھی سائن کنونشن کے لیے ہوتے ہیں، جب تک کہ دوسری صورت میں نوٹ نہ کیا جائے۔ اس مضمون میں آئن سٹائن سمیشن کنونشن کا استعمال کیا گیا ہے، جس میں ویکٹرز بولڈ فونٹ سے اشارہ کیے گئے ہیں۔ لیوی-سیویتا کنکشن (یا چھدم-ریمینین کنکشن) کے کنکشن کوفیشنٹس کو مربوط بنیاد پر ظاہر کیا جاتا ہے جسے کرسٹوفیل کی علامتیں کہا جاتا ہے۔ ابتدائی تعریفیں-مینی فولڈ کے لیے ایک کوآرڈینیٹ سسٹم کو دیکھتے ہوئے، ٹینجینٹ ویکٹر اس بات کی وضاحت کرتے ہیں جسے مقامی بنیاد کہا جاتا ہے، کوآرڈینیٹ سسٹم کے حوالے سے، ٹینجینٹ اسپیس کو اس کے ڈومین کے ہر نقطہ پر۔ ان کا استعمال میٹرک ٹینسر کی وضاحت کے لیے کیا جا سکتا ہے: جہاں اسکیلر پروڈکٹ چھدم-/ ریمینیئن ڈھانچے سے آتا ہے ؛ اور اس کا الٹا: جو بدلے میں دوہری بنیاد کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: کچھ نصوص اس کے لیے لکھتے ہیں، تاکہ میٹرک ٹینسر خاص طور پر مبہم شکل اختیار کر لے۔ یہ روایت ویربین کے لیے علامت کے استعمال کو بھی غیر واضح طور پر چھوڑ دیتی ہے۔ یوکلڈین اسپیس میں تعریف یوکلڈین اسپیس میں، دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کے لیے ذیل میں دی گئی عمومی تعریف اس کے مساوی ثابت کی جا سکتی ہے: پہلی قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کو پھر انڈیکس کو کم کرنے کے ذریعے پایا جا سکتا ہے: دوبارہ ترتیب دیتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ (یہ فرض کرتے ہوئے کہ جزوی مشتق ٹینجینٹ اسپیس سے تعلق رکھتا ہے، جو غیر یوکلڈین مڑے ہوئے اسپیس پر نہیں ہو سکتا): الفاظ میں، کرسٹوفیل علامتوں کے ذریعے پیش کردہ صفوں سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح بنیاد ایک نقطہ سے دوسرے مقام پر تبدیل ہوتی ہے۔ اگر مشتق ٹینجینٹ اسپیس پر نہیں ہے، تو صحیح اظہار ٹینجینٹ اسپیس پر مشتق کا پروجیکشن ہے (نیچے کوویرینٹ مشتق دیکھیں)۔ دوسری قسم کی علامتیں بنیاد کے حوالے سے تبدیلی کو تحلیل کرتی ہیں، جبکہ پہلی قسم کی علامتیں اسے دوہری بنیاد کے حوالے سے تحلیل کرتی ہیں۔ اس شکل میں، نچلے یا آخری دو اشاریوں کی ہم آہنگی کو دیکھنا آسان ہے: اور اس کی تعریف اور اس حقیقت سے کہ جزوی مشتقات منتقل ہوتے ہیں (جب تک کہ کئی گنا اور ہم آہنگی کا نظام اچھی طرح سے برتاؤ کرے)۔ دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کے لیے وہی عددی اقدار بھی دوہری بنیاد کے مشتقات سے متعلق ہیں، جیسا کہ اظہار میں دیکھا گیا ہے: جسے ہم اس طرح ترتیب دے سکتے ہیں: پہلی قسم کی عام تعریف کرسٹوفیل علامتیں پہلی قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کو یا تو دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتوں اور میٹرک سے حاصل کیا جا سکتا ہے، یا صرف میٹرک سے، ایک متبادل اشارے کے طور پر کسی کو یہ بھی معلوم ہوتا ہے کہ یہ قابل غور ہے۔ دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتیں (ہم آہنگی کی تعریف) دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتیں-مربوط بنیاد پر-لیوی-سیویتا تعلق کے کنکشن کوفیشنٹس ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، دوسری قسم (بعض اوقات یا) کی کرسٹوفیل علامتوں کو منفرد کوفیشنٹس کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جیسے کہ کوآرڈینیٹ سمت (یعنی،) میں لیا جانے والا لیوی-سیویتا کنکشن کہاں ہے اور مقامی کوآرڈینیٹ (ہولونومک) کی بنیاد کہاں ہے۔ چونکہ اس کنکشن میں صفر ٹورسن ہوتا ہے، اور ہولونومک ویکٹر فیلڈز کمیوٹ ہوتے ہیں (یعنی) اس لیے اس بنیاد پر کنکشن کوفیشنٹس سمیٹرک ہوتے ہیں: اس وجہ سے، ٹورسن فری کنکشن کو اکثر سمیٹرک کہا جاتا ہے۔ کرسٹوفیل علامات کو میٹرک ٹینسر کے کوویرینٹ مشتق کے غائب ہونے سے اخذ کیا جا سکتا ہے: شارٹ ہینڈ نوٹیشن کے طور پر، نابلا علامت اور جزوی مشتق علامتوں کو اکثر چھوڑ دیا جاتا ہے، اور اس کے بجائے ایک سیمی کولن اور کوما کو انڈیکس کو ترتیب دینے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو مشتق کے لیے استعمال ہو رہا ہے۔ اس طرح، مندرجہ بالا کو بعض اوقات اس طرح لکھا جاتا ہے کہ علامتوں کو نچلے دو اشاریوں میں ہم آہنگ ہونے کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی اشاریہ جات کو ترتیب دے کر اور دوبارہ جمع کرکے میٹرک ٹینسر کے فنکشن کے طور پر کرسٹوفیل علامتوں کے لیے واضح طور پر حل کر سکتا ہے: میٹرکس کا الٹا کہاں ہے، جس کی تعریف (کرونکر ڈیلٹا کا استعمال کرتے ہوئے، اور سمشن کے لیے آئن سٹائن نوٹیشن) کے طور پر کی گئی ہے۔ اگرچہ کرسٹوفیل کی علامتیں انڈیکس نوٹیشن کے ساتھ ٹینسرز کی طرح ایک ہی نوٹیشن میں لکھی گئی ہیں، لیکن وہ نقاط کی تبدیلی کے تحت ٹینسرز کی طرح تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ اشاریہ جات کا سکڑنا اوپری اشاریہ کو نچلے اشاریہ جات میں سے کسی ایک کے ساتھ سکڑنا (جو ہم آہنگ ہوتے ہیں) اس طرف لے جاتا ہے کہ میٹرک ٹینسر کا تعین کنندہ کہاں ہے۔ اس شناخت کو ویکٹروں کے انحراف کا اندازہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ غیر ہولونومک بنیاد پر کنکشن کوفیشنٹس کرسٹوفیل علامتوں کو عام طور پر مربوط بنیاد پر بیان کیا جاتا ہے، جو کہ یہاں پر عمل کیا گیا کنونشن ہے۔ دوسرے لفظوں میں، نام کرسٹوفیل کی علامتیں صرف کوآرڈینیٹ (یعنی، ہولونومک) فریموں کے لیے مخصوص ہیں۔ تاہم، کنکشن کوفیشنٹس کو ٹینجینٹ ویکٹرز کی صوابدیدی (یعنی نان ہولونومک) بنیاد پر بھی واضح طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، واضح طور پر، میٹرک ٹینسر کے لحاظ سے، یہ وہ جگہ ہے جہاں بیس کے کمیوٹیشن کوفیشنٹس ہیں۔ یعنی، بیس ویکٹر کہاں ہیں اور لائ بریکٹ ہے۔ گول اور سلنڈریکل نقاط میں معیاری یونٹ ویکٹر غیر غائب ہونے والے تبادلوں کے گتانک کے ساتھ ایک بنیاد کی مثال پیش کرتے ہیں۔ اس طرح کے فریم میں کنکشن اور لیوی-سیویتا کنکشن کے درمیان فرق کو کونٹورشن ٹینسر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ رچی گردش کے گتانک (غیر متناسب تعریف) جب ہم بنیاد آرتھونورمل کا انتخاب کرتے ہیں: تب۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اور کنکشن کوفیشنٹس پہلے دو انڈیکس میں اینٹیسیمیٹرک بن جاتے ہیں: جہاں اس صورت میں، کنکشن کوفیشنٹس کو رچی گردش کوفیشنٹس کہا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، کوئی بھی رچی گردش کے گتانک کی وضاحت مندرجہ ذیل طور پر کر سکتا ہے: جہاں ایک آرتھونورمل نان ہولونومک بنیاد اور اس کی مشترکہ بنیاد ہے۔ متغیر کی تبدیلی کے تحت تبدیلی کا قانون متغیر کی تبدیلی کے تحت، کرسٹوفیل کی علامتیں اس طرح تبدیل ہو جاتی ہیں جہاں اوور لائن کوآرڈینیٹ سسٹم میں کرسٹوفیل کی علامتوں کی نشاندہی کرتی ہے۔ کرسٹوفیل کی علامت ٹینسر کے طور پر نہیں، بلکہ جیٹ بنڈل میں ایک آبجیکٹ کے طور پر تبدیل ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، کرسٹوفیل علامتوں کو کسی بھی مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم سے آزاد، کے فریم بنڈل کے جیٹ بنڈل پر افعال کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم کا انتخاب اس بنڈل کے مقامی حصے کا تعین کرتا ہے، جسے پھر کرسٹوفیل کی علامتوں کو افعال پر واپس لانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، حالانکہ یقینا یہ افعال پھر مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم کے انتخاب پر منحصر ہوتے ہیں۔ ہر نقطہ کے لیے، مربوط نظام موجود ہیں جن میں کرسٹوفیل کی علامتیں نقطہ پر غائب ہو جاتی ہیں۔ ان کو (جیوڈیسیک) نارمل کوآرڈینیٹس کہا جاتا ہے، اور اکثر ریمینین جیومیٹری میں استعمال ہوتے ہیں۔ کچھ دلچسپ خصوصیات ہیں جو براہ راست تبدیلی کے قانون سے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ لکیری تبدیلی کے لیے، تبدیلی کا غیر یکساں حصہ (دائیں ہاتھ کی طرف دوسری اصطلاح) یکساں طور پر غائب ہو جاتا ہے اور پھر ٹینسر کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ اگر ہمارے پاس کنکشن کے دو فیلڈز ہیں، جیسے کہ اور، تو ان کا فرق ایک ٹینسر ہے کیونکہ غیر یکساں اصطلاحات ایک دوسرے کو منسوخ کر دیتی ہیں۔ غیر یکساں اصطلاحات کا انحصار صرف اس بات پر ہے کہ نقاط کو کس طرح تبدیل کیا جاتا ہے، لیکن وہ خود کرسٹوفیل علامت سے آزاد ہیں۔ اگر کرسٹوفیل کی علامت ایک کوآرڈینیٹ سسٹم یعنی، میں اپنے نچلے اشاریوں کے بارے میں غیر متناسب ہے، تو وہ نقاط کی کسی بھی تبدیلی کے تحت غیر متناسب رہتے ہیں۔ اس خاصیت کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ ایسا مربوط نظام تلاش کرنا ناممکن ہے جس میں کرسٹوفیل علامت کے تمام عناصر ایک نقطہ پر صفر ہوں، جب تک کہ نچلے اشاریہ جات ہم آہنگ نہ ہوں۔ اس خاصیت کی نشاندہی البرٹ آئن سٹائن اور ایرون شروڈنگر نے آزادانہ طور پر کی تھی۔ ریمینیائی خلا میں کرسٹوفیل علامتوں کی متوازی نقل و حمل اور مشتق سے تعلق اگر کسی ویکٹر کو ریمینیائی کئی گنا پر کسی پیرامیٹر کے ذریعہ پیرامیٹرائزڈ منحنی خطوط پر متوازی طور پر منتقل کیا جاتا ہے، تو ویکٹر کے اجزاء کی تبدیلی کی شرح کی طرف سے دی جاتی ہے۔ اب صرف اس شرط کا استعمال کرتے ہوئے کہ اسکیلر پروڈکٹ دو صوابدیدی ویکٹروں سے تشکیل پاتا ہے اور تبدیل نہیں ہوتا ہے، کرسٹوفیل علامتوں کو حاصل کرنے کے لیے کافی ہے۔ دو صوابدیدی ویکٹرز کے لیے متوازی نقل و حمل کے اصول کو لاگو کرنا اور ڈمی انڈیکس کو دوبارہ لیبل کرنا اور (صوابدیدی) کے کوفیشنٹس کو جمع کرنا، ہم حاصل کرتے ہیں۔ یہ وہی مساوات ہے جو میٹرک ٹینسر کے کوویرینٹ مشتق کو جنرل ڈیفینیشن سیکشن میں غائب ہونے کی ضرورت سے حاصل ہوتی ہے۔ یہاں سے ماخوذ کرنا آسان ہے۔ مندرجہ بالا مساوات میں اشاریہ جات کو چکور طور پر ترتیب دے کر، ہم دو مزید مساوات حاصل کر سکتے ہیں اور پھر ان تینوں مساوات کو لکیری طور پر جوڑ کر، ہم میٹرک ٹینسر کے لحاظ سے اظہار کر سکتے ہیں۔ انڈیکس فری نوٹیشن سے تعلق اجزاء اور کے ساتھ ویکٹر فیلڈز ہونے دیں۔ یہاں، آئن سٹائن نوٹیشن استعمال کیا جاتا ہے، لہذا بار بار انڈیکس انڈیکس پر خلاصہ کی نشاندہی کرتے ہیں اور میٹرک ٹینسر کے ساتھ سنکچن انڈیکس کو بڑھانے اور کم کرنے کا کام کرتا ہے: ذہن میں رکھیں کہ اور وہ، کرونکر ڈیلٹا۔ روایت یہ ہے کہ میٹرک ٹینسر وہ ہے جس میں نچلے انڈیکس ہوں ؛ اس سے حاصل کرنے کا صحیح طریقہ لکیری مساوات کو حل کرنا ہے۔ یہ بیان کہ کنکشن ٹورسن سے پاک ہے، یعنی یہ اس بیان کے مساوی ہے کہ-ایک مربوط بنیاد پر-کرسٹوفیل کی علامت نچلے دو اشاریوں میں ہم آہنگ ہے: ٹینسر کی انڈیکس سے کم تبدیلی کی خصوصیات کوویرینٹ انڈیکس کے لیے پل بیک کے ذریعے دی جاتی ہیں، اور متضاد انڈیکس کے لیے پش فارورڈز۔ کوویرینٹ مشتقات پر مضمون انڈیکس فری نوٹیشن اور انڈیکسڈ نوٹیشن کے درمیان خط و کتابت کی اضافی بحث فراہم کرتا ہے۔ ٹینسرز کے کوویرینٹ مشتق اجزاء کے ساتھ ایک متضاد ویکٹر فیلڈ کا کوویرینٹ مشتق نتیجہ کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ کوویکٹر فیلڈ کا کوویرینٹ مشتق ہے۔ کرسٹوفیل علامت کی ہم آہنگی اب کسی بھی اسکیلر فیلڈ کے لیے ظاہر ہوتی ہے، لیکن عام طور پر اعلی آرڈر ٹینسر فیلڈز کے کوویرینٹ مشتقات نقل و حرکت نہیں کرتے ہیں (منحنی ٹینسر دیکھیں)۔ ٹائپ ٹینسر فیلڈ کا کوویریئنٹ مشتق یہ ہے کہ، اگر ٹینسر فیلڈ ملا ہوا ہے تو اس کا کوویریئنٹ مشتق ہے اور اگر ٹینسر فیلڈ قسم کا ہے تو اس کا کوویریئنٹ مشتق ٹینسرز کا کانٹراویرینٹ مشتق ہے۔ ویکٹر فیلڈ کے متضاد مشتق کو تلاش کرنے کے لیے، ہمیں پہلے اسے میٹرک ٹینسر ایپلی کیشنز کا استعمال کرتے ہوئے کوویریئنٹ مشتق میں تبدیل کرنا چاہیے۔ عمومی اضافیت میں کرسٹوفیل علامتوں کا آئن سٹائن کے نظریہ عمومی اضافیت میں کثرت سے استعمال ہوتا ہے، جہاں خلائی وقت کی نمائندگی لیوی-سیویٹا کنکشن کے ساتھ مڑے ہوئے 4 جہتی لورینٹز کئی گنا سے کی جاتی ہے۔ آئن سٹائن فیلڈ مساوات-جو مادے کی موجودگی میں خلائی وقت کی جیومیٹری کا تعین کرتی ہیں-رچی ٹینسر پر مشتمل ہوتی ہیں، اور اس لیے کرسٹوفیل علامتوں کا حساب لگانا ضروری ہے۔ ایک بار جیومیٹری کا تعین ہونے کے بعد، ذرات اور ہلکی بیموں کے راستوں کا حساب جیوڈیسیک مساوات کو حل کرکے کیا جاتا ہے جس میں کرسٹوفیل کی علامتیں واضح طور پر ظاہر ہوتی ہیں۔ کلاسیکی (غیر رشتہ دار) میکانکس میں آئیے عمومی نقاط ہوں اور عمومی رفتار ہوں، پھر یونٹ ماس کے لیے حرکی توانائی اس کے ذریعے دی جاتی ہے، جہاں میٹرک ٹینسر ہے۔ اگر، پوٹینشل فنکشن موجود ہے، تو فی یونٹ ماس جنرلائزڈ فورس کے متضاد اجزاء ہیں۔ میٹرک (یہاں خالصتا مقامی ڈومین میں) لائن عنصر سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اب جب کارٹیزین نقاط کو اپنایا جا سکتا ہے (جیسا کہ حوالہ کے جمود فریموں میں)، تو ہمارے پاس ایک یوکلڈین میٹرکس ہوتا ہے، کرسٹوفیل کی علامت ختم ہو جاتی ہے، اور مساوات نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون تک کم ہو جاتی ہے۔ منحنی خطوط میں (غیر جمود فریموں میں زبردستی، جہاں میٹرکس غیر یوکلڈین ہوتے ہیں اور چپٹے نہیں ہوتے ہیں)، سینٹری فیوگل فورس اور کوریولیس فورس جیسی فرضی قوتیں کرسٹوفیل علامتوں سے پیدا ہوتی ہیں، لہذا خالصتا مقامی منحنی خطوط سے۔ زمین کی سطح کے نقاط میں ایک کروی نقاط کا نظام دیا گیا ہے، جو زمین کی سطح پر پوائنٹس کو بیان کرتا ہے (ایک مثالی دائرے کے طور پر لگ بھگ)۔ ایک نقطہ x کے لیے، زمین کے مرکز (عام طور پر تقریبا زمین کے رداس) کا فاصلہ ہے۔ اور عرض البلد اور طول البلد ہیں۔ شمالی نصف کرہ مثبت ہے۔ مشتقات کو آسان بنانے کے لیے، زاویہ ریڈینس میں دیے جاتے ہیں (جہاں d sin (x)/dx = cos (x)، ڈگری ویلیوز 360/2 پائی کا ایک اضافی عنصر متعارف کراتی ہیں)۔ کسی بھی مقام پر، ٹینجینٹ کی سمت (اوپر)، (شمال) اور (مشرق) ہیں-آپ انڈیکس 1,2,3 بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ متعلقہ میٹرک ٹینسر میں صرف اخترن عناصر ہوتے ہیں (مربع ویکٹر کی لمبائی)۔ یہ کوآرڈینیٹ سسٹم کا ایک فائدہ ہے اور عام طور پر درست نہیں ہے۔ اب ضروری مقداروں کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ مثال: اس کے نتیجے میں دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتیں (میٹرکس میں "مشتق" اشاریہ کے ذریعہ ترتیب دی گئی ہیں): یہ اقدار ظاہر کرتی ہیں کہ ٹینجینٹ کی سمت (کالم:،،) کس طرح تبدیل ہوتی ہے، جسے بیرونی نقطہ نظر سے دیکھا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ خلا سے)، لیکن اصل مقام کی ٹینجینٹ سمتوں میں دی گئی ہے (قطاریں:،،)۔ مثال کے طور پر، غیر صفر مشتقات کو اندر سے لیں، جو شمال کی طرف حرکت سے مطابقت رکھتا ہے (مثبت dθ): نئی شمال کی سمت اوپر (R) سمت میں-R dθ سے تبدیل ہوتی ہے۔ تو شمال کی سمت زمین کے مرکز کی طرف نیچے کی طرف گھومے گی۔ اسی طرح اوپر کی سمت کو شمال کی طرف ایڈجسٹ کیا جائے گا۔ کی مختلف لمبائی اور 1/R کے عنصر کی طرف لے جاتی ہے۔ شمال کی طرف بڑھتے ہوئے، مشرقی ٹینجینٹ ویکٹر اپنی لمبائی (اخترن پر-ٹین (θ)) تبدیل کرتا ہے، یہ شمالی نصف کرہ پر سکڑ جائے گا (-ٹین (θ) dθ <0)، اور جنوبی نصف کرہ پر بڑھے گا (-ٹین (θ) dθ> 0)۔ یہ اثرات شاید حرکت کے دوران ظاہر نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ یہ وہ ایڈجسٹمنٹ ہیں جو پیمائش کو کوآرڈینیٹس میں رکھتی ہیں۔ اس کے باوجود، یہ فاصلے، طبیعیات کی مساوات وغیرہ کو متاثر کر سکتا ہے۔ اگر مثال کے طور پر۔ آپ کو تقریبا "جنوب" کی طرف اشارہ کرنے والے مقناطیسی میدان کی صحیح تبدیلی کی ضرورت ہے، "سچ" (ٹینسر) قدر حاصل کرنے کے لیے کرسٹوفیل علامتوں کا استعمال کرتے ہوئے شمال کی سمت کی تبدیلی سے اپنی پیمائش کو درست کرنا بھی ضروری ہو سکتا ہے۔ پہلی قسم کی کرسٹوفیل علامتیں میٹرک سے درست کردہ نقاط کا استعمال کرتے ہوئے ایک ہی تبدیلی کو ظاہر کرتی ہیں، جیسے۔ مشتق کے لیے: مڑے ہوئے خلائی وقت کے تفریق پذیر کئی گنا کی ریاضی کا بنیادی تعارف بھی دیکھیں۔ ریمینی جیومیٹری میں فارمولوں کی فہرست رچی کیلکولس ریمن-کرسٹوفیل ٹینسر گاؤس-کوڈازی مساوات کرسٹوفیل علامتوں کی مثال کی گنتی نوٹ حوالہ جات ریمینی جیومیٹری لورینٹزیئن کئی گنا ریاضیاتی نوٹیشن ریاضیاتی طبیعیات کنکشن (ریاضی)