Loop group
ریاضی میں، لوپ گروپ ایک ٹپوولوجیکل گروپ G میں لوپس کا ایک گروپ ہے جس میں ضرب کی وضاحت پوائنٹ وائز ہوتی ہے۔ تعریف اپنی سب سے عام شکل میں ایک لوپ گروپ کئی گنا سے لے کر ٹوپولوجیکل گروپ تک مسلسل نقشہ سازی کا ایک گروپ ہے۔ مزید خاص طور پر، پیچیدہ سطح میں دائرے کو، اور مسلسل نقشوں کی جگہ کو ظاہر کرنے دیں، یعنی۔ کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی سے لیس۔ ایک عنصر کو لوپ ان کہا جاتا ہے۔ اس طرح کے لوپس کا پوائنٹ وائز ضرب ایک ٹپوولوجیکل گروپ کی ساخت فراہم کرتا ہے۔ کے ساتھ پیرامیٹرائز کریں، اور ایسوسی ایٹیویٹی کے ساتھ ضرب کی وضاحت کریں۔ الٹا کی طرف سے دیا جاتا ہے اور جگہ کی طرف سے شناخت کو فری لوپ گروپ آن کہا جاتا ہے۔ لوپ گروپ فری لوپ گروپ کا کوئی بھی ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ لوپ گروپ کی ایک اہم مثال پر مبنی لوپس کا گروپ ہے۔ اس کی تعریف تشخیصی نقشے کے دانے کے طور پر کی گئی ہے، اور اس لیے اس کا ایک بند عام ذیلی گروہ ہے۔ (یہاں، وہ نقشہ ہے جو اس کی قیمت پر لوپ بھیجتا ہے۔) نوٹ کریں کہ ہم مستقل لوپس کے ذیلی گروپ کے طور پر سرایت کر سکتے ہیں۔ نتیجتا، ہم ایک منقسم عین ترتیب پر پہنچ جاتے ہیں۔ جگہ ایک نیم براہ راست پروڈکٹ کے طور پر تقسیم ہوتی ہے۔ ہم لوپ کی جگہ کے طور پر بھی سوچ سکتے ہیں۔ اس نقطہ نظر سے، لوپس کے ارتکاز کے حوالے سے ایک ایچ-اسپیس ہے۔ اس کے چہرے پر، ایسا لگتا ہے کہ یہ دو بہت ہی مختلف مصنوعات کے نقشے فراہم کرتا ہے۔ تاہم، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کنکیٹی نیشن اور پوائنٹ وائز ضرب ہوموٹوپک ہیں۔ اس طرح، کے ہوموٹوپی تھیوری کے لحاظ سے، یہ نقشے متغیر ہیں۔ لوپ گروپس کا استعمال چو-لیان ٹرنگ اور کیرن اولنبیک کے ذریعہ بیکلینڈ کے سولٹون مساوات میں تبدیل ہونے کے رجحان کی وضاحت کے لیے کیا گیا تھا۔ نوٹ حوالہ جات یہ بھی دیکھیں لوپ اسپیس لوپ الجبرا کواسی گروپ ٹوپولوجیکل گروپس سولٹنز