Four-dimensional space
چار جہتی خلا (4D) تین جہتی خلا (3D) کے تصور کی ریاضیاتی توسیع ہے۔ سہ جہتی خلا اس مشاہدے کا سب سے آسان ممکنہ خلاصہ ہے کہ روزمرہ کی دنیا میں اشیاء کے سائز یا مقامات کو بیان کرنے کے لیے صرف تین نمبروں کی ضرورت ہوتی ہے، جنہیں طول و عرض کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک آئتاکار ڈبے کا حجم اس کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی (اکثر لیبل، اور) کی پیمائش اور ضرب سے پایا جاتا ہے۔ عام خلا کے اس تصور کو یوکلڈین اسپیس کہا جاتا ہے کیونکہ یہ یوکلڈ کی جیومیٹری سے مطابقت رکھتا ہے، جو اصل میں روزمرہ کی زندگی کے مقامی تجربات سے خلاصہ کیا گیا تھا۔ چوتھی جہت کو شامل کرنے کا خیال جین لی رونڈ ڈی المبرٹ کی "طول و عرض" میں ظاہر ہوتا ہے۔ 1754 میں شائع ہوا، لیکن تین جہتوں سے زیادہ کی ریاضی صرف 19 ویں صدی میں ابھری۔ کسی بھی تعداد میں جہتوں کے ساتھ یوکلڈین اسپیس کا عمومی تصور 1853 سے پہلے سوئس ریاضی دان لڈوگ شلافلی نے مکمل طور پر تیار کیا تھا۔ شلافلی کے کام کو ان کی زندگی کے دوران بہت کم توجہ ملی اور یہ صرف بعد از مرگ 1901 میں شائع ہوا، لیکن اس دوران چوتھے یوکلڈین طول و عرض کو دوسروں نے دوبارہ دریافت کیا۔ 1880 میں چارلس ہاورڈ ہنٹن نے اسے ایک مضمون میں مقبول کیا، "چوتھی جہت کیا ہے؟" "، جس میں انہوں نے لکیروں، چوکوں اور کیوب کی خصوصیات کی مرحلہ وار عمومی کاری کے ساتھ" چار جہتی کیوب "کے تصور کی وضاحت کی۔ ہنٹن کے طریقہ کار کی سب سے آسان شکل 2 ڈی جگہ میں دو عام 3 ڈی کیوب کھینچنا ہے، ایک دوسرے کو گھیرے ہوئے، "غیر مرئی" فاصلے سے الگ، اور پھر ان کے مساوی عمودی حصوں کے درمیان لکیریں کھینچنا ہے۔ یہ ساتھ والی حرکت پذیری میں دیکھا جا سکتا ہے جب بھی یہ کسی بڑے بیرونی مکعب کے اندر ایک چھوٹا اندرونی مکعب دکھاتا ہے۔ اس معاملے میں دو کیوب کے عمودی حصوں کو جوڑنے والی آٹھ لائنیں "غیر مرئی" چوتھی جہت میں ایک ہی سمت کی نمائندگی کرتی ہیں۔ اس کے بعد سے اعلی جہتی خالی جگہیں (تین سے زیادہ) جدید ریاضی اور طبیعیات کو باضابطہ طور پر ظاہر کرنے کی بنیادوں میں سے ایک بن گئی ہیں۔ ان موضوعات کے بڑے حصے اس طرح کی جگہوں کو استعمال کیے بغیر اپنی موجودہ شکلوں میں موجود نہیں ہو سکتے۔ آئن سٹائن کا نظریہ اضافیت 4 ڈی خلا میں وضع کیا گیا ہے، حالانکہ یوکلڈین 4 ڈی خلا میں نہیں۔ آئن سٹائن کے خلائی وقت کے تصور میں ایک منکووسکی ڈھانچہ ہے جو غیر یوکلڈین جیومیٹری پر مبنی ہے جس میں تین مقامی جہتیں اور ایک عارضی جہت ہے، بجائے اس کے کہ شلفلی کے یوکلڈین 4 ڈی اسپیس کے چار ہم آہنگ مقامی جہتیں ہوں۔ یوکلڈین 4 ڈی جگہ میں واحد مقامات کو ویکٹر یا این-ٹپل کے طور پر دیا جا سکتا ہے، یعنی نمبروں کی ترتیب شدہ فہرستوں کے طور پر۔ یہ تب ہی ہوتا ہے جب اس طرح کے مقامات کو زیادہ پیچیدہ شکلوں میں ایک ساتھ جوڑا جاتا ہے کہ اعلی جہتی خالی جگہوں کی مکمل دولت اور ہندسی پیچیدگی سامنے آتی ہے۔ اس پیچیدگی کا اشارہ آسان ترین ممکنہ باقاعدہ 4 ڈی اشیاء میں سے ایک، ٹیسیراکٹ، جو تھری ڈی کیوب سے مشابہت رکھتا ہے، کے ساتھ 2 ڈی حرکت پذیری میں دیکھا جا سکتا ہے۔ تاریخ لاگرانج نے اپنی (شائع شدہ 1788، جو 1755 کے آس پاس کیے گئے کام پر مبنی ہے) میں لکھا ہے کہ میکانکس کو چار جہتی خلا میں کام کرنے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے-خلا کی تین جہتیں، اور ایک وقت۔ 1827 کے اوائل میں، موبیئس نے محسوس کیا کہ ایک چوتھا مقامی طول و عرض تین جہتی شکل کو اس کے آئینے کی شبیہہ پر گھمانے کی اجازت دے گا۔ یوکلڈین خلا کا عمومی تصور کسی بھی تعداد میں جہتوں کے ساتھ سوئس ریاضی دان لڈوگ شلافلی نے 19 ویں صدی کے وسط میں مکمل طور پر تیار کیا تھا، ایک ایسے وقت میں جب کیلی، گراس مین اور موبیئس واحد دوسرے لوگ تھے جنہوں نے کبھی تین جہتوں سے زیادہ میں جیومیٹری کے امکان کا تصور کیا تھا۔ 1853 تک شلافلی نے تمام باقاعدہ پولی ٹاپس دریافت کر لیے تھے جو اعلی جہتوں میں موجود ہیں، بشمول پلاٹونک ٹھوسوں کے چار جہتی اینالاگس۔ چار مقامی جہتوں کے ریاضی، جسے کواٹرنیئنز کہا جاتا ہے، کی تعریف ولیم روون ہیملٹن نے 1843 میں کی تھی۔ یہ ملحقہ الجبرا تین جہتوں میں ویکٹر تجزیہ کی سائنس کا ذریعہ تھا جیسا کہ مائیکل جے کرو نے ویکٹر تجزیہ کی تاریخ میں بیان کیا ہے۔ اس کے فورا بعد، ٹیسرینز اور کوکواٹرنیئنز کو R پر دیگر چار جہتی الجبرا کے طور پر متعارف کرایا گیا۔ 1886 میں، وکٹر شلیگل نے شلیگل خاکے کے ساتھ چار جہتی اشیاء کو دیکھنے کا اپنا طریقہ بیان کیا۔ چوتھی جہت کے پہلے مقبول نمائندوں میں سے ایک چارلس ہاورڈ ہنٹن تھے، جن کا آغاز 1880 میں ڈبلن یونیورسٹی میگزین میں شائع ہونے والے اپنے مضمون چوتھی جہت کیا ہے؟ سے ہوا۔ انہوں نے اپنی کتاب اے نیو ایرا آف تھاٹ میں ٹیسریکٹ، انا اور کاتا کی اصطلاحات وضع کیں اور کتاب فورتھ ڈائیمینشن میں کیوب کا استعمال کرتے ہوئے چوتھے طول و عرض کو دیکھنے کا ایک طریقہ متعارف کرایا۔ ہنٹن کے خیالات نے "چرچ آف فورتھ ڈائیمینشن" کے بارے میں ایک خیالی تصور کو متاثر کیا جسے مارٹن گارڈنر نے سائنٹفک امریکن میں اپنے جنوری 1962 کے "میتھمیٹیکل گیمز کالم" میں پیش کیا تھا۔ اعلی جہتی غیر یوکلڈین خالی جگہوں کو برن ہارڈ ریمن کے 1854 کے مقالے کے ذریعہ ایک مضبوط بنیاد پر رکھا گیا تھا، جس میں انہوں نے "پوائنٹ" کو نقاط کی کوئی بھی ترتیب سمجھا تھا۔ 1908 میں، ہرمن منکووسکی نے ایک مقالہ پیش کیا جس میں خلائی وقت کی چوتھی جہت کے طور پر وقت کے کردار کو مستحکم کیا گیا، جو آئن سٹائن کے خصوصی اور عمومی اضافیت کے نظریات کی بنیاد ہے۔ لیکن خلائی وقت کی جیومیٹری، غیر یوکلڈین ہونے کے ناطے، شلفلی کے ذریعے دریافت کردہ اور ہنٹن کے ذریعے مقبول کردہ جیومیٹری سے بہت مختلف ہے۔ منکوسکی خلا کے مطالعہ کے لیے ریمن کی ریاضی کی ضرورت تھی جو چار جہتی یوکلڈین خلا سے بالکل مختلف ہے، اور اس طرح بالکل مختلف خطوط پر تیار ہوئی۔ یہ علیحدگی مقبول تخیل میں کم واضح تھی، جس میں افسانے اور فلسفے کے کاموں نے فرق کو دھندلا دیا تھا، لہذا 1973 میں ایچ ایس ایم کاکسٹر نے لکھنے پر مجبور محسوس کیا: ویکٹر ریاضیاتی طور پر، ایک چار جہتی جگہ چار مقامی جہتوں والی جگہ ہے، یہ ایک ایسی جگہ ہے جس میں ایک نقطہ کی وضاحت کے لیے چار پیرامیٹرز کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک عام نقطہ میں پوزیشن ویکٹر ہو سکتا ہے، جو اس کے برابر ہو۔ یہ چار معیاری بیس ویکٹر کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے، اس طرح دیا گیا ہے کہ عام ویکٹر ویکٹرز ایڈ، سبٹریکٹ اور اسکیل ہے جیسا کہ تین جہتوں میں ہے۔ یوکلیڈین سہ جہتی خلا کا ڈاٹ پروڈکٹ چار جہتوں میں عام ہوتا ہے کیونکہ اسے ویکٹر کے معمول یا لمبائی کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور دو غیر صفر ویکٹروں کے درمیان زاویے کا حساب یا وضاحت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کیونکہ منکوسکی اسپیس ٹائم چار جہتی جگہ ہے جس کی وضاحت جیومیٹری کے ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ سے مختلف غیر انحطاطی جوڑی کے ذریعے کی جاتی ہے: مثال کے طور پر، پوائنٹس کے درمیان مربع شدہ فاصلہ اور یوکلیڈین اور منکوسکیئن دونوں 4-خالی جگہوں میں 3 ہے، جبکہ اس کے درمیان مربع شدہ فاصلہ یوکلیڈین جگہ میں 4 اور منکوسکی جگہ میں 2 ہے۔ بڑھتے ہوئے میٹرک فاصلے کو کم کرتا ہے۔ یہ اضافیت کے بہت سے معروف واضح "تضادات" کی طرف لے جاتا ہے۔ کراس پروڈکٹ کی تعریف چار جہتوں میں نہیں کی گئی ہے۔ اس کے بجائے، بیرونی پروڈکٹ کو کچھ ایپلی کیشنز کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور اس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: یہ بائی ویکٹر ویلیوڈ ہے، جس میں بائی ویکٹر چار جہتوں میں بیس کے ساتھ چھ جہتی لکیری اسپیس بناتے ہیں۔ ان کا استعمال چار جہتوں میں گردش پیدا کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ آرتھوگنالیٹی اور الفاظ روزمرہ کی زندگی کی واقف تین جہتی جگہ میں، تین مربوط محور ہوتے ہیں-عام طور پر لیبل شدہ، اور-ہر محور کے ساتھ آرتھوگنل (یعنی۔ عمودی) دوسرے دو کے لیے۔ اس جگہ کی چھ بنیادی سمتوں کو اوپر، نیچے، مشرق، مغرب، شمال اور جنوب کہا جا سکتا ہے۔ ان محوروں کے ساتھ پوزیشنوں کو اونچائی، طول بلد اور عرض بلد کہا جا سکتا ہے۔ ان محوروں کے ساتھ ناپی جانے والی لمبائی کو اونچائی، چوڑائی اور گہرائی کہا جا سکتا ہے۔ تقابلی طور پر، چار جہتی خلا میں ایک اضافی کوآرڈینیٹ محور ہوتا ہے، جو دیگر تینوں کے لیے آرتھوگنل ہوتا ہے، جسے عام طور پر لیبل کیا جاتا ہے۔ دو اضافی بنیادی سمتوں کو بیان کرنے کے لیے، چارلس ہاورڈ ہنٹن نے اینا اور کاتا کی اصطلاحات وضع کیں، جو یونانی الفاظ سے ہیں جن کا مطلب بالترتیب "اوپر کی طرف" اور "نیچے سے" ہے۔ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، ہرمن منکووسکی نے روشنی کی محدود رفتار سمیت کاسمولوجی پر بحث کرنے کے لیے چار جہتوں کے خیال کا استحصال کیا۔ وقت کے طول و عرض کو تین جہتی خلا میں شامل کرتے ہوئے، اس نے ایک متبادل پرپینڈکیولرٹی، ہائپربولک آرتھوگونالیٹی کی وضاحت کی۔ یہ تصور اس کی کائنات میں برقی مقناطیسی تعلقات کے لیے موزوں ایک ترمیم شدہ بیک وقت کے ساتھ اس کی چار جہتی جگہ فراہم کرتا ہے۔ منکوسکی کی دنیا نے روایتی مطلق خلا اور وقت کی کاسمولوجی سے وابستہ مسائل پر قابو پالیا جو پہلے تین خلائی جہتوں اور ایک وقت کے طول و عرض کی کائنات میں استعمال ہوتا تھا۔ جیومیٹری چار جہتی خلا کی جیومیٹری تین جہتی خلا کے مقابلے میں بہت زیادہ پیچیدہ ہے، جس کی وجہ آزادی کی اضافی ڈگری ہے۔ جس طرح تین جہتوں میں دو جہتی کثیر الاضحی سے بنے پولی ہیڈرا ہوتے ہیں، اسی طرح چار جہتوں میں پولی ہیڈرا سے بنے پولی کورا ہوتے ہیں۔ تین جہتوں میں، 5 باقاعدہ پولی ہیڈرا ہوتے ہیں جنہیں پلاٹونک ٹھوس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ چار جہتوں میں، 6 کنویکس باقاعدہ 4-پولی ٹاپس ہوتے ہیں، جو پلاٹونک ٹھوسوں کے ینالاگ ہوتے ہیں۔ باقاعدگی کے لیے حالات کو آرام دینے سے مزید 58 کنویکس وردی 4-پولی ٹاپس پیدا ہوتے ہیں، جو تین جہتوں میں 13 نیم باقاعدہ آرکیمیڈین ٹھوسوں سے ملتے جلتے ہیں۔ کنویکسٹی کے لیے حالات کو آرام دینے سے مزید 10 نان کنویکس باقاعدہ 4-پولی ٹاپس پیدا ہوتے ہیں۔ تین جہتوں میں، ایک دائرے کو سلنڈر بنانے کے لیے نکالا جا سکتا ہے۔ چار جہتوں میں سلنڈر جیسی کئی مختلف اشیاء ہوتی ہیں۔ ایک دائرے کو کروی سلنڈر حاصل کرنے کے لیے نکالا جا سکتا ہے (کروی "کیپس" والا سلنڈر، جسے کروی سلنڈر کہا جاتا ہے)، اور ایک سلنڈر کو کروی پرنزم (ایک کیوبائنڈر) حاصل کرنے کے لیے نکالا جا سکتا ہے۔ ڈوسیلینڈر حاصل کرنے کے لیے دو حلقوں کا کارٹیشین پروڈکٹ لیا جا سکتا ہے۔ تینوں چار جہتی جگہ میں "رول" کر سکتے ہیں، ہر ایک اپنی خصوصیات کے ساتھ۔ تین جہتوں میں، منحنی خطوط گانٹھ بنا سکتے ہیں لیکن سطحیں نہیں بن سکتی ہیں (جب تک کہ وہ خود کو الگ نہ کریں)۔ چار جہتوں میں، تاہم، منحنی خطوط کا استعمال کرتے ہوئے بنائی گئی گانٹھوں کو چوتھی سمت میں بے دخل کرکے معمولی طور پر کھولا جا سکتا ہے-لیکن 2 ڈی سطحیں 4 ڈی جگہ میں غیر معمولی، غیر خود کو الگ کرنے والی گانٹھ بنا سکتی ہیں۔ چونکہ یہ سطحیں دو جہتی ہیں، اس لیے وہ تھری ڈی اسپیس میں تاروں کے مقابلے میں بہت زیادہ پیچیدہ گانٹھ بنا سکتی ہیں۔ کلین بوتل اس طرح کی گٹھری دار سطح کی ایک مثال ہے۔ ایسی ہی ایک اور سطح حقیقی پروجیکٹو طیارہ ہے۔ ہائپر سپیئر یوکلڈین 4-اسپیس میں پوائنٹس کا مجموعہ جو ایک مقررہ نقطہ سے یکساں فاصلہ رکھتا ہے ایک ہائپر سرفیس بناتا ہے جسے 3-کرہ کہا جاتا ہے۔ بند جگہ کا ہائپر حجم یہ ہے: یہ عمومی اضافیت میں فریڈمین-لیماٹری-رابرٹسن-واکر میٹرک کا حصہ ہے جہاں فنکشن کے ذریعہ کائنات کی کائناتی عمر کے معنی کے ساتھ تبدیل کیا جاتا ہے۔ وقت کے ساتھ بڑھنے یا سکڑنے کا مطلب کائنات کو پھیلانا یا منہدم کرنا ہے، جو اندر کی بڑے پیمانے پر کثافت پر منحصر ہے۔ انسانوں میں چار جہتی ادراک ورچوئل رئیلٹی کا استعمال کرتے ہوئے تحقیق سے پتہ چلتا ہے کہ انسان، تین جہتی دنیا میں رہنے کے باوجود، خصوصی مشق کے بغیر، ان کی لمبائی (ایک جہتی) اور زاویہ (دو جہتی) کی بنیاد پر چار جہتی خلا میں سرایت شدہ لکیر کے حصوں کے بارے میں مقامی فیصلے کر سکتے ہیں۔ محققین نے نوٹ کیا کہ "ہمارے مطالعے میں شرکاء نے ان کاموں میں کم سے کم مشق کی تھی، اور یہ ایک کھلا سوال ہے کہ کیا 4 ڈی ورچوئل ماحول میں ادراکی تجربے میں اضافے کے ساتھ زیادہ پائیدار، قطعی، اور امیر 4 ڈی نمائشیں حاصل کرنا ممکن ہے"۔ ایک اور تحقیق میں انسانوں کی 2 ڈی، 3 ڈی اور 4 ڈی میز میں خود کو سمت دینے کی صلاحیت کا تجربہ کیا گیا ہے۔ ہر بھولبلییا بے ترتیب لمبائی کے چار راستے کے حصوں پر مشتمل ہوتی ہے اور آرتھوگنل بے ترتیب موڑ کے ساتھ منسلک ہوتی ہے، لیکن بغیر شاخوں یا لوپس کے (یعنی. اصل میں بھولبلییا)۔ گرافیکل انٹرفیس جان میکینٹوش کے مفت 4 ڈی میز گیم پر مبنی تھا۔ حصہ لینے والے افراد کو راستے سے گزرنا پڑتا تھا اور آخر میں ابتدائی مقام پر لکیری سمت کا اندازہ لگانا پڑتا تھا۔ محققین نے پایا کہ کچھ شرکاء 4 ڈی میں کچھ مشق کے بعد ذہنی طور پر اپنے راستے کو مربوط کرنے میں کامیاب رہے (کم جہتی معاملات موازنہ اور شرکاء کے لیے طریقہ سیکھنے کے لیے تھے)۔ تاہم، 2020 کے جائزے میں اس بات پر زور دیا گیا کہ یہ مطالعات کس طرح ایک چھوٹے سے موضوع کے نمونے اور بنیادی طور پر کالج کے طلباء پر مشتمل ہیں۔ اس نے دیگر مسائل کی طرف بھی اشارہ کیا جنہیں مستقبل کی تحقیق کو حل کرنا ہے: نمونوں کا خاتمہ (یہ، مثال کے طور پر، مطلوبہ کام کو حل کرنے کی حکمت عملیوں کی وجہ سے ہو سکتا ہے جو 4 ڈی نمائندگی/4 ڈی استدلال اور موافقت کے عمل کو تیز کرنے کے لیے محققین کی طرف سے دی گئی رائے کا استعمال نہیں کرتے ہیں) اور بین موضوع کی تغیر پذیری پر تجزیہ (اگر 4 ڈی ادراک ممکن ہے، تو اس کا حصول انسانوں کے ذیلی سیٹ تک، کسی مخصوص نازک دور تک، یا لوگوں کی توجہ یا محرک تک محدود ہو سکتا ہے)۔ مزید برآں، یہ طے نہیں کیا گیا ہے کہ آیا 4 جہت کو پیش کرنے کا کوئی زیادہ مناسب طریقہ ہے (کیونکہ 4 جہت کو پیش کرنے کے طریقے پر کوئی پابندی نہیں ہے)۔ محققین نے یہ بھی قیاس کیا کہ 4 ڈی ادراک کے انسانی حصول کے نتیجے میں دماغ کے بصری علاقوں اور اینٹورہنل پرانتستا کو چالو کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایسا ہے تو وہ تجویز کرتے ہیں کہ اسے 4 ڈی خلائی ادراک کے حصول کے مضبوط اشارے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مصنفین نے یہ سمجھنے کے لیے مختلف قسم کے نیورل نیٹ ورک آرکیٹیکچرز (مختلف ترجیحی مفروضوں کے ساتھ) کا استعمال کرنے کا بھی مشورہ دیا کہ کون سے سیکھنے کے قابل ہیں یا نہیں۔ جہتی مشابہت چار جہتی خلا کی نوعیت کو سمجھنے کے لیے، ایک آلہ جسے جہتی مشابہت کہا جاتا ہے عام طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ جہتی مشابہت اس بات کا مطالعہ ہے کہ () طول و عرض کا طول و عرض سے کیا تعلق ہے، اور پھر یہ اندازہ لگانا کہ طول و عرض کا () طول و عرض سے کیا تعلق ہوگا۔ جہتی مشابہت ایڈون ایبٹ نے کتاب فلیٹ لینڈ میں استعمال کی تھی، جس میں ایک مربع کے بارے میں ایک کہانی بیان کی گئی ہے جو دو جہتی دنیا میں رہتا ہے، جیسے کاغذ کے ٹکڑے کی سطح۔ اس مربع کے نقطہ نظر سے، ایک سہ جہتی وجود میں بظاہر خدا جیسی طاقتیں ہوتی ہیں، جیسے کہ محفوظ سے اشیاء کو کھولے بغیر (انہیں تیسرے طول و عرض میں منتقل کرکے) ہٹانے کی صلاحیت، دو جہتی نقطہ نظر سے ہر چیز کو دیکھنے کی صلاحیت۔ دیواروں کے پیچھے بند ہے، اور تیسرے طول و عرض میں چند انچ دور کھڑے ہو کر مکمل طور پر پوشیدہ رہنا۔ جہتی مشابہت کا اطلاق کرکے، کوئی یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ ایک چار جہتی وجود تین جہتی نقطہ نظر سے اسی طرح کے کارناموں کے قابل ہوگا۔ روڈی رکر نے اپنے ناول اسپیس لینڈ میں اس کی وضاحت کی ہے، جس میں مرکزی کردار کا سامنا چار جہتی مخلوقات سے ہوتا ہے جو ایسی طاقتوں کا مظاہرہ کرتے ہیں۔ کراس سیکشن جیسا کہ ایک تین جہتی شے دو جہتی سطح سے گزرتی ہے، اس سطح میں دو جہتی مخلوق صرف اس سطح کے اندر تین جہتی شے کے کراس سیکشن کا مشاہدہ کرے گی۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی دائرہ کاغذ کی شیٹ سے گزرتا ہے، تو کاغذ میں موجود مخلوق کو پہلے ایک نقطہ نظر آئے گا۔ ایک دائرہ آہستہ آہستہ بڑا ہوتا جاتا ہے، یہاں تک کہ یہ دائرے کے قطر تک پہنچ جاتا ہے، اور پھر پھر چھوٹا ہو جاتا ہے، یہاں تک کہ یہ ایک نقطہ تک سکڑ جاتا ہے اور غائب ہو جاتا ہے۔ 2 ڈی مخلوق کسی دائرے کو اسی طرح نہیں دیکھے گی جس طرح تین جہتی مخلوق کرتی ہے ؛ بلکہ، وہ اپنے 1 ڈی "ریٹنا" پر دائرے کا صرف ایک جہتی پروجیکشن دیکھتے ہیں۔ اسی طرح، اگر کوئی چار جہتی شے تین جہتی (ہائپر) سطح سے گزرتی ہے، تو کوئی بھی چار جہتی شے کے تین جہتی کراس سیکشن کا مشاہدہ کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ہائپر سپیئر پہلے ایک نقطہ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے، پھر ایک بڑھتے ہوئے دائرے کے طور پر (جب تک کہ یہ ہائپر سپیئر کے "ہائپر ڈائیمیٹر" تک نہ پہنچ جائے)، دائرے کے ساتھ پھر ایک نقطہ تک سکڑ جاتا ہے اور پھر غائب ہو جاتا ہے۔ چوتھی جہت کے پہلوؤں کو دیکھنے کا یہ ذریعہ ناول فلیٹ لینڈ اور چارلس ہاورڈ ہنٹن کے کئی کاموں میں بھی استعمال کیا گیا تھا۔ اور، اسی طرح، تین جہتی مخلوق (جیسے کہ 2 ڈی ریٹنا والے انسان) بیک وقت 2 ڈی شکل کے تمام پہلوؤں اور اندرونی حصوں کو دیکھ سکتے ہیں، ایک 4 ڈی وجود تمام چہروں اور 3 ڈی شکل کے اندرونی حصے کو ایک ساتھ دیکھ سکتا ہے۔ پروجیکشن اعلی جہتوں کو دیکھنے میں جہتی مشابہت کا ایک مفید اطلاق پروجیکشن میں ہے۔ پروجیکشن طول و عرض میں کسی n جہتی شے کی نمائندگی کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ مثال کے طور پر، کمپیوٹر اسکرینز دو جہتی ہوتی ہیں، اور تین جہتی لوگوں، مقامات اور چیزوں کی تمام تصاویر کو ایک ہموار سطح پر اشیاء کو پیش کرکے دو جہتوں میں پیش کیا جاتا ہے۔ ایسا کرنے سے اسکرین (گہرائی) کے طول و عرض آرتھوگنل کو ہٹا دیا جاتا ہے اور بالواسطہ معلومات سے تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ آنکھ کا ریٹنا بھی رسیپٹرز کی دو جہتی صف ہے لیکن دماغ بالواسطہ معلومات (جیسے شیڈنگ، فور شارٹننگ، بائنوکولر وژن وغیرہ) سے اندازہ لگا کر تین جہتی اشیاء کی نوعیت کو سمجھ سکتا ہے۔ فنکار اکثر دو جہتی تصاویر کو تین جہتی گہرائی کا وہم دینے کے لیے نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہیں۔ جیسا کہ اعداد و شمار میں دکھایا گیا ہے، طیارہ کی سطح پر گھومنے والے ٹیسریکٹ کے فرضی گرڈ ماڈل کے ذریعے ڈالا گیا سایہ بھی تخمینوں کا نتیجہ ہے۔ اسی طرح، چوتھی جہت میں موجود اشیاء کو ریاضیاتی طور پر واقف تین جہتوں پر پیش کیا جا سکتا ہے، جہاں ان کا زیادہ آسانی سے جائزہ لیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، چار جہتی آنکھ کا 'ریٹنا' ریسیپٹرز کی تین جہتی صف ہے۔ اس طرح کی آنکھ والا ایک فرضی وجود اپنے ریٹنا میں تین جہتی تصاویر میں بالواسطہ معلومات سے چار جہتی گہرائی کا اندازہ لگا کر چار جہتی اشیاء کی نوعیت کا ادراک کرے گا۔ آنکھ کے ریٹنا میں تین جہتی اشیاء کا نقطہ نظر پروجیکشن پیش گوئی جیسے نمونے متعارف کراتا ہے، جس کی دماغ تیسری جہت میں گہرائی کے طور پر تشریح کرتا ہے۔ اسی طرح، چار جہتوں سے نقطہ نظر پروجیکشن اسی طرح کے پیشگی اثرات پیدا کرتا ہے۔ جہتی مشابہت کا اطلاق کرکے، کوئی ان اثرات سے چار جہتی "گہرائی" کا اندازہ لگا سکتا ہے۔ اس اصول کی مثال کے طور پر، تصاویر کی درج ذیل ترتیب تین جہتی مکعب کے مختلف نظاروں کا موازنہ تین جہتی خلا میں چار جہتی ٹیسریکٹ کے مماثل تخمینوں سے کرتی ہے۔ سائے پروجیکشن سے قریب سے متعلق ایک تصور سائے کا کاسٹنگ ہے۔ اگر کسی تین جہتی شے پر روشنی چمکتی ہے تو دو جہتی سایہ ڈالا جاتا ہے۔ جہتی مشابہت سے، دو جہتی دنیا میں دو جہتی شے پر چمکنے والی روشنی ایک جہتی سایہ ڈالے گی، اور ایک جہتی دنیا میں ایک جہتی شے پر روشنی صفر جہتی سایہ ڈالے گی، یعنی غیر روشنی کا ایک نقطہ۔ دوسرے راستے پر چلتے ہوئے، کوئی یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ چار جہتی دنیا میں چار جہتی شے پر چمکنے والی روشنی تین جہتی سایہ ڈالے گی۔ اگر مکعب کا تار فریم اوپر سے روشن کیا جاتا ہے، تو فلیٹ دو جہتی سطح پر نتیجے میں سایہ مربع کے اندر ایک مربع ہوتا ہے جس کے متعلقہ کونے جڑے ہوتے ہیں۔ اسی طرح، اگر کسی ٹیسریکٹ کے تار فریم کو "اوپر" (چوتھے طول و عرض میں) سے روشن کیا جاتا ہے، تو اس کا سایہ درمیانی ہوا میں معطل ایک اور تین جہتی مکعب کے اندر تین جہتی مکعب کا ہوگا (چار جہتی نقطہ نظر سے ایک "چپٹی" سطح)۔ (نوٹ کریں کہ، تکنیکی طور پر، یہاں دکھائی گئی بصری نمائندگی چار جہتی تار فریم کے اعداد و شمار کے تین جہتی سائے کی دو جہتی تصویر ہے۔) باؤنڈنگ والیوم جہتی مشابہت اعلی جہتوں میں اشیاء کی بنیادی خصوصیات کا اندازہ لگانے میں بھی مدد کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، دو جہتی اشیاء ایک جہتی حدود سے جڑی ہوتی ہیں: ایک مربع چار کناروں سے جڑا ہوتا ہے۔ تین جہتی اشیاء دو جہتی سطحوں سے جڑی ہوتی ہیں: ایک مکعب 6 مربع چہروں سے جڑا ہوتا ہے۔ جہتی مشابہت کا اطلاق کرتے ہوئے، کوئی یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ ایک چار جہتی مکعب، جسے ٹیسریکٹ کہا جاتا ہے، تین جہتی حجم سے جڑا ہوا ہے۔ اور درحقیقت، یہ معاملہ ہے: ریاضی سے پتہ چلتا ہے کہ ٹیسریکٹ 8 کیوب سے جڑا ہوا ہے۔ یہ جاننا یہ سمجھنے کی کلید ہے کہ ٹیسریکٹ کے تین جہتی پروجیکشن کی تشریح کیسے کی جائے۔ ٹیسریکٹ پروجیکٹ کی حدود تصویر میں حجم تک، نہ کہ محض دو جہتی سطحوں تک۔ بصری دائرہ کار لوگ تین جہتی جگہ میں مخلوق کے طور پر ایک مقامی خود ادراک رکھتے ہیں، لیکن بصری طور پر ایک کم جہت سے محدود ہیں: آنکھ دنیا کو ریٹنا کی سطح پر دو جہتوں کے پروجیکشن کے طور پر دیکھتی ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک چار جہتی وجود دنیا کو ایک ہائپر سرفیس کے تخمینوں میں دیکھنے کے قابل تھا، صرف ایک جہت سے کم، یعنی تین جہتوں تک، یہ دیکھنے کے قابل ہوگا، مثال کے طور پر، ایک غیر واضح خانے کے تمام چھ چہرے بیک وقت، اور حقیقت میں، باکس کے اندر کیا ہے ایک ہی وقت میں، جس طرح لوگ کاغذ کے ٹکڑے پر چاروں طرف اور بیک وقت ایک مستطیل کے اندرونی حصے کو دیکھ سکتے ہیں۔ وجود 3 جہتی ذیلی جگہ میں تمام نکات کو بیک وقت سمجھنے کے قابل ہوگا، بشمول ٹھوس 3 جہتی اشیاء کی اندرونی ساخت، جو چیزیں انسانی نقطہ نظر سے دو جہتی تخمینوں پر تین جہتوں میں مبہم ہیں۔ دماغ دو جہتوں میں تصاویر وصول کرتے ہیں اور سہ جہتی اشیاء کی تصویر بنانے میں مدد کے لیے استدلال کا استعمال کرتے ہیں۔ حدود واقف نچلے طول و عرض سے مشابہت کے ذریعے استدلال کرنا ایک بہترین بدیہی رہنما ہو سکتا ہے، لیکن اس بات کا خیال رکھنا چاہیے کہ ایسے نتائج کو قبول نہ کیا جائے جن کی زیادہ سختی سے جانچ نہیں کی گئی ہے۔ مثال کے طور پر، دو جہتوں () میں ایک دائرے سے منسلک رقبے کے فارمولوں اور تین جہتوں () میں ایک دائرے سے منسلک حجم پر غور کریں۔ کوئی اندازہ لگا سکتا ہے کہ چار جہتی خلا میں دائرے سے منسلک حجم کا ایک عقلی ضرب ہے، لیکن صحیح حجم ہے۔ طول و عرض سے طول و عرض کو جوڑنے والے تکرار کے تعلق سے تمام جہتوں میں حجم کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ ادب میں سائنس فکشن متون میں متوازی یا متبادل کائناتوں یا وجود کے دیگر خیالی طیاروں کا حوالہ دیتے وقت اکثر "طول و عرض" کے تصور کا ذکر کیا جاتا ہے۔ یہ استعمال اس خیال سے اخذ کیا گیا ہے کہ متوازی/متبادل کائناتوں/وجود کے طیاروں کا سفر کرنے کے لیے کسی کو معیاری کائناتوں کے علاوہ کسی سمت/طول و عرض میں سفر کرنا چاہیے۔ درحقیقت، دوسری کائنات/سطحیں ہمارے اپنے سے صرف ایک چھوٹے سے فاصلے پر ہیں، لیکن فاصلہ چوتھے (یا اس سے زیادہ) مقامی (یا غیر مقامی) طول و عرض میں ہے، معیاری نہیں۔ حقیقی ہندسی جہت کے حوالے سے سب سے زیادہ مشہور سائنس فکشن کہانیوں میں سے ایک، اور اکثر ایسے معاملات کی تحقیقات شروع کرنے والوں کے لیے ایک نقطہ آغاز کے طور پر تجویز کی جاتی ہے، ایڈون اے ایبٹ کا 1884 کا ناول فلیٹ لینڈ ہے۔ آئزک ایسموف نے سگنیٹ کلاسیکس 1984 ایڈیشن کے اپنے پیش لفظ میں فلیٹ لینڈ کو "طول و عرض کو سمجھنے کے انداز میں بہترین تعارف" کے طور پر بیان کیا۔ دیگر جہتوں کا خیال بہت سی ابتدائی سائنس فکشن کہانیوں میں شامل کیا گیا تھا، مثال کے طور پر، میلز جے بروئر کی دی اپینڈکس اینڈ دی سپیکٹیکلز (1928) اور مرے لینسٹر کی دی ففتھ ڈائیمینشن کیٹپلٹ (1931) میں نمایاں طور پر نمودار ہوا ؛ اور 1940 کی دہائی تک سائنس فکشن میں بے قاعدگی سے نمودار ہوا۔ دیگر جہتوں پر مشتمل کلاسیکی کہانیوں میں رابرٹ اے ہینلین کی-اینڈ ہی بلٹ اے کروکڈ ہاؤس (1941) شامل ہے، جس میں کیلیفورنیا کا ایک معمار ایک گھر کو ٹیسریکٹ کے تین جہتی پروجیکشن کی بنیاد پر ڈیزائن کرتا ہے۔ ایلن ای۔ نورس کا ٹائیگر بائی دی ٹیل اینڈ دی کائنات (دونوں 1951) ؛ اور والٹر ٹیوس کی دی افتھ آف اوفتھ (1957)۔ ایک اور حوالہ میڈلین ایل اینگل کا ناول اے رنکل ان ٹائم (1962) ہے، جس میں پانچویں جہت کو "کائنات کو ٹیسرکٹ کرنے" یا خلا کو تیزی سے منتقل کرنے کے لیے "فولڈنگ" کے طریقے کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔ چوتھی اور پانچویں جہتیں بھی ولیم سلیٹر کی کتاب دی بوائے ہو ریورسیڈ ہیملف کے کلیدی اجزاء ہیں۔ فلسفہ میں ایمانوئل کانٹ نے 1783 میں لکھا: "کہ ہر جگہ خلا (جو خود کسی دوسری جگہ کی حد نہیں ہے) کی تین جہتیں ہیں اور یہ کہ خلا، عام طور پر، زیادہ جہتیں نہیں رکھ سکتی، اس تجویز پر مبنی ہے کہ تین سے زیادہ لکیریں ایک نقطہ میں صحیح زاویہ پر ایک دوسرے کو کاٹ نہیں سکتی ہیں۔ اس تجویز کو تصورات سے بالکل نہیں دکھایا جا سکتا، لیکن یہ فوری طور پر وجدان پر اور درحقیقت خالص وجدان پر مبنی ہے کیونکہ یہ غیر منطقی طور پر (واضح طور پر) یقینی ہے۔ " "اسپیس ہیز فور ڈائیمنشنز" ایک مختصر کہانی ہے جو 1846 میں جرمن فلسفی اور تجرباتی ماہر نفسیات گستاو فیچنر نے "ڈاکٹر میسس" کے فرضی نام سے شائع کی تھی۔ کہانی کا مرکزی کردار ایک سایہ ہے جو دوسرے سائے سے واقف ہے اور بات چیت کرنے کے قابل ہے، لیکن جو دو جہتی سطح پر پھنس گیا ہے۔ فیچنر کے مطابق، یہ "شیڈو مین" تیسری جہت کو ایک وقت کے طور پر تصور کرے گا۔ یہ کہانی افلاطون کی دی ریپبلک (380 قبل مسیح) میں پیش کردہ "ایلگوری آف دی کیو" سے مضبوط مماثلت رکھتی ہے۔ سائمن نیوکومب نے 1898 میں بلیٹن آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے لیے "دی فلاسفی آف ہائپر اسپیس" کے عنوان سے ایک مضمون لکھا۔ لنڈا ڈیلیمپل ہینڈرسن نے بیسویں صدی کے اوائل کے فن میں چوتھی جہت کے بارے میں اپنے 1983 کے مقالے میں "ہائپر اسپیس فلاسفی" کی اصطلاح تیار کی، جو ایسی تحریر کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے جو مابعد الطبیعاتی موضوعات کو تلاش کرنے کے لیے اعلی جہتوں کا استعمال کرتی ہے۔ "ہائپر اسپیس فلسفیوں" کی مثالوں میں چارلس ہاورڈ ہنٹن، پہلے مصنف، 1888 میں، لفظ "ٹیسیراکٹ" استعمال کرنے والے ؛ اور روسی خفیہ ماہر پی ڈی اوسپینسکی شامل ہیں۔ مزید پڑھیں 4-پولیٹوپ 4-مینی فولڈ غیر ملکی R4 چار جہتی کھیلوں کی فہرست طبیعیات میں وقت خلائی ٹائم حوالہ جات مزید پڑھنا اینڈریو فورسیتھ (1930) جیومیٹری آف فور ڈائیمنشنز، انٹرنیٹ آرکائیو سے لنک۔ صفحہ 68 کا خلاصہ ای۔ ایچ۔ نیویل (1921) دی فورتھ ڈائیمینشن، کیمبرج یونیورسٹی پریس، یونیورسٹی آف مشی گن ہسٹوریکل میتھ کلیکشن سے لنک۔ بیرونی لنکس "طول و عرض" ویڈیوز، چار جہتی اشیاء کو دیکھنے کے کئی مختلف طریقے دکھاتے ہوئے سائنس نیوز کا مضمون جس میں "طول و عرض" ویڈیوز کا خلاصہ کیا گیا ہے، کلپس کے ساتھ فلیٹ لینڈ: کئی جہتوں کا ایک رومانس (دوسرا ایڈیشن) 4 ڈی-3 ڈی اینالاگز کے فریم بہ فریم اینیمیشنز طول و عرض کثیر جہتی جیومیٹری خصوصی اضافیت سائنس فکشن تھیمز 4 (نمبر)