Examples of vector spaces
اس صفحہ میں ویکٹر خالی جگہوں کی کچھ مثالیں دی گئی ہیں۔ اس صفحہ پر استعمال ہونے والی اصطلاحات کی تعریف کے لیے ویکٹر اسپیس دیکھیں۔ یہ بھی دیکھیں: طول و عرض، بنیاد۔ نوٹ۔ آئیے F ایک صوابدیدی فیلڈ کی نشاندہی کرتا ہے جیسے کہ حقیقی نمبر R یا پیچیدہ نمبر C۔ ٹریوئل یا زیرو ویکٹر اسپیس ویکٹر اسپیس کی سب سے آسان مثال ٹریوئل ہے: {0}، جس میں صرف زیرو ویکٹر ہوتا ہے (ویکٹر اسپیس آرٹیکل میں تیسرا محور دیکھیں)۔ ویکٹر کے اضافے اور اسکیلر ضرب دونوں معمولی ہیں۔ اس ویکٹر اسپیس کے لیے ایک بنیاد خالی سیٹ ہے، تاکہ {0} F پر 0 جہتی ویکٹر اسپیس ہو۔ F پر ہر ویکٹر اسپیس اس کے لیے ایک سب اسپیس آئسومورفک پر مشتمل ہے۔ صفر ویکٹر کی جگہ نظریاتی طور پر لکیری آپریٹر L کی صفر جگہ سے مختلف ہے، جو کہ L کا دانا ہے۔ (اتفاق سے، L کی صفر جگہ صفر جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب L انجیکشن والا ہو۔) فیلڈ اگلی آسان ترین مثال خود فیلڈ F ہے۔ ویکٹر کا اضافہ صرف فیلڈ کا اضافہ ہے، اور اسکیلر ضرب صرف فیلڈ کا ضرب ہے۔ اس خاصیت کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ فیلڈ ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ F کا کوئی بھی غیر صفر عنصر ایک بنیاد کے طور پر کام کرتا ہے لہذا F اپنے آپ میں ایک جہتی ویکٹر کی جگہ ہے۔ فیلڈ ایک خاص ویکٹر اسپیس ہے ؛ درحقیقت یہ F پر تبادلہ الجبرہ کی سب سے آسان مثال ہے۔ اس کے علاوہ، F کی صرف دو ذیلی جگہیں ہیں: {0} اور خود F۔ کوآرڈینیٹ اسپیس ویکٹر اسپیس کی ایک بنیادی مثال درج ذیل ہے۔ کسی بھی مثبت عدد n کے لیے، F کے عناصر کے تمام n-ٹپلوں کا مجموعہ F پر ایک n-جہتی ویکٹر اسپیس بناتا ہے جسے بعض اوقات کوآرڈینیٹ اسپیس کہا جاتا ہے اور Fn کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ Fn کا ایک عنصر لکھا جاتا ہے جہاں ہر xi F کا ایک عنصر ہے۔ Fn پر کارروائیوں کی تعریف عام طور پر، F حقیقی اعداد کا میدان ہے، اس صورت میں ہم حقیقی کوآرڈینیٹ اسپیس Rn حاصل کرتے ہیں۔ پیچیدہ اعداد کا میدان پیچیدہ کوآرڈینیٹ اسپیس Cn دیتا ہے۔ ایک پیچیدہ عدد کی a + b شکل سے پتہ چلتا ہے کہ C خود ایک دو جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس ہے جس میں نقاط (a، b) ہیں۔ اسی طرح، کواٹرنیئنز اور آکٹونیئنز بالترتیب چار اور آٹھ جہتی حقیقی ویکٹر خالی جگہیں ہیں، اور Cn ایک 2n جہتی حقیقی ویکٹر خالی جگہ ہے۔ ویکٹر اسپیس Fn کی ایک معیاری بنیاد ہوتی ہے: جہاں 1 F میں ضرب شناخت کی نشاندہی کرتا ہے۔ لامحدود کوآرڈینیٹ اسپیس F ≤ F سے عناصر کے لامحدود ترتیبات کی جگہ کو اس طرح ظاہر کرتا ہے کہ صرف محدود طور پر بہت سے عناصر غیر صفر ہوتے ہیں۔ یعنی، اگر ہم کسی عنصر کو F ≤ کے طور پر لکھتے ہیں تو xi کی صرف ایک محدود تعداد غیر صفر ہوتی ہے (یعنی، نقاط ایک خاص نقطہ کے بعد تمام صفر ہو جاتے ہیں)۔ اضافہ اور اسکیلر ضرب محدود کوآرڈینیٹ اسپیس کے طور پر دی گئی ہیں۔ F ≤ کی جہت شمار کے لحاظ سے لامحدود ہے۔ ایک معیاری بنیاد ویکٹر ای آئی پر مشتمل ہوتی ہے جس میں i-th سلاٹ میں 1 اور دوسری جگہوں پر صفر ہوتے ہیں۔ یہ ویکٹر اسپیس ویکٹر اسپیس F کی گنتی کے لحاظ سے بہت سی کاپیوں کا شریک پروڈکٹ (یا براہ راست مجموعہ) ہے۔ یہاں محدود حالت کے کردار کو نوٹ کریں۔ کوئی بھی F میں عناصر کے صوابدیدی ترتیبات پر غور کر سکتا ہے، جو ایک ہی کارروائیوں کے ساتھ ایک ویکٹر اسپیس بھی تشکیل دیتے ہیں، جسے اکثر FN سے ظاہر کیا جاتا ہے-نیچے دیکھیں۔ ایف این ایف کی گنتی کے لحاظ سے بہت سی نقلوں کا پروڈکٹ ہے۔ زورن کے لیما کے مطابق، ایف این کی ایک بنیاد ہے (کوئی واضح بنیاد نہیں ہے)۔ بنیاد میں بے شمار لامحدود عناصر ہیں۔ چونکہ طول و عرض مختلف ہیں، اس لیے ایف این، ایف این کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ یہ بات قابل غور ہے کہ ایف این، ایف این کی دوہری جگہ کے لیے (آئسومورفک) ہے، کیونکہ ایف این آئی سے ایف تک کا لکیری نقشہ ٹی، ایف این آئی کے بنیادی عناصر پر اس کی اقدار ٹی (ای آئی) کے ذریعے منفرد طور پر طے کیا جاتا ہے، اور یہ اقدار من مانی ہو سکتی ہیں۔ اس طرح کوئی یہ دیکھتا ہے کہ ایک ویکٹر اسپیس کو اس کے ڈبل ڈوئل کے لیے آئسومورفک ہونے کی ضرورت نہیں ہے اگر یہ محدود جہتی کیس کے برعکس لامحدود جہتی ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں کا پروڈکٹ n ویکٹر خالی جگہوں سے شروع ہوتا ہے، یا ان کا شمار کے لحاظ سے لامحدود مجموعہ، ہر ایک ایک ہی فیلڈ کے ساتھ، ہم اوپر کی طرح پروڈکٹ اسپیس کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ میٹرکس ایف ایم × این کو ایف میں اندراجات کے ساتھ ایم × این میٹرکس کے سیٹ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پھر ایف ایم × این ایف پر ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ ویکٹر کا اضافہ صرف میٹرکس کا اضافہ ہے اور اسکیلر ضرب کی وضاحت واضح طریقے سے کی جاتی ہے (ہر اندراج کو ایک ہی اسکیلر سے ضرب دے کر)۔ صفر ویکٹر صرف صفر میٹرکس ہے۔ Fm × n کا طول و عرض mn ہے۔ بنیاد کا ایک ممکنہ انتخاب میٹرکس ہے جس میں ایک اندراج 1 کے برابر ہے اور دیگر تمام اندراجات 0 ہیں۔ جب m = n میٹرکس مربع ہوتا ہے اور ایسے دو میٹرکس کا میٹرکس ضرب تیسرا پیدا کرتا ہے۔ طول و عرض n2 کی یہ ویکٹر جگہ کسی فیلڈ پر الجبرا بناتی ہے۔ کثیر الجہتی ویکٹر خالی جگہیں ایک متغیر F میں گتانک کے ساتھ کثیر الجہتی کا مجموعہ F پر ایک ویکٹر خالی جگہ ہے، جسے F [x] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ویکٹر کے اضافے اور اسکیلر ضرب کی وضاحت واضح انداز میں کی جاتی ہے۔ اگر کثیر الجہتی کی ڈگری غیر محدود ہے تو F [x] کا طول و عرض شمار کے لحاظ سے لامحدود ہے۔ اگر اس کے بجائے ایک کثیر الجہتی تک محدود ہے جس کی ڈگری n سے کم یا اس کے برابر ہے، تو ہمارے پاس طول و عرض n + 1 کے ساتھ ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ F [x] کے لیے ایک ممکنہ بنیاد یک جہتی بنیاد ہے: اس بنیاد کے حوالے سے کسی کثیر الجہتی کے نقاط اس کے کوفیشنٹس ہوتے ہیں، اور نقشہ جو کثیر الجہتی کو اس کے کوفیشنٹس کی ترتیب میں بھیجتا ہے وہ F [x] سے لامحدود کوآرڈینیٹ اسپیس F φ تک لکیری آئسومورفزم ہے۔ حقیقی کوفشنٹس اور n سے کم یا اس کے برابر ڈگری کے ساتھ کثیر الجہتی کی ویکٹر جگہ کو اکثر Pn سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ متعدد متغیرات F میں کوفیشنٹس کے ساتھ متعدد متغیرات میں کثیر الجہتی کا مجموعہ F پر ویکٹر اسپیس ہے جس کی نشاندہی F [x1, x2,., xr] سے ہوتی ہے۔ یہاں r متغیرات کی تعداد ہے۔ فنکشن خالی جگہیں فنکشن خالی جگہ پر مرکزی مضمون دیکھیں، خاص طور پر فنکشنل تجزیہ سیکشن۔ فرض کریں کہ X ایک غیر خالی صوابدیدی سیٹ ہے اور V F پر ایک صوابدیدی ویکٹر اسپیس ہے۔ X سے V تک کے تمام افعال کی جگہ نقطہ وار اضافے اور ضرب کے تحت F پر ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ یعنی، فرض کریں کہ f: X → V اور g: X → V دو افعال کی نشاندہی کرتے ہیں، اور فرض کریں کہ α کو F میں۔ ہم اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ دائیں طرف کی کارروائیاں V میں کہاں ہیں۔ صفر ویکٹر مستقل فنکشن کے ذریعے دیا جاتا ہے جو V میں صفر ویکٹر کو سب کچھ بھیجتا ہے۔ X سے V تک تمام افعال کی جگہ کو عام طور پر VX سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر X محدود ہے اور V محدود جہتی ہے تو VX کا طول و عرض |X | (مدھم V) ہے، بصورت دیگر خلا لامحدود جہتی ہے (اگر X لامحدود ہے تو بے شمار)۔ ریاضی میں پیدا ہونے والی بہت سی ویکٹر خالی جگہیں کسی فنکشن کی جگہ کی ذیلی جگہیں ہوتی ہیں۔ ہم کچھ اور مثالیں پیش کرتے ہیں۔ جنرلائزڈ کوآرڈینیٹ اسپیس X کو ایک صوابدیدی سیٹ ہونے دیں۔ X سے F تک کے تمام افعال کی جگہ پر غور کریں جو X میں پوائنٹس کی ایک محدود تعداد کے علاوہ سب پر غائب ہو جاتے ہیں۔ یہ جگہ FX کی ایک ویکٹر سب اسپیس ہے، جو X سے F تک کے تمام ممکنہ افعال کی جگہ ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، نوٹ کریں کہ دو محدود سیٹوں کا اتحاد محدود ہے، تاکہ اس جگہ میں دو افعال کا مجموعہ اب بھی ایک محدود سیٹ سے باہر غائب ہو جائے۔ اوپر بیان کردہ جگہ کو عام طور پر (FX) 0 سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے درج ذیل وجوہات کی بناء پر عمومی کوآرڈینیٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ اگر X 1 اور n کے درمیان اعداد کا مجموعہ ہے تو یہ جگہ آسانی سے کوآرڈینیٹ اسپیس Fn کے مساوی نظر آتی ہے۔ اسی طرح، اگر X قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے، N، تو یہ جگہ صرف F φ ہے۔ (FX) 0 کے لیے ایک کینونکل بیس افعال کا مجموعہ ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ (FX) 0 کا طول و عرض اس لیے X کی کارڈینالیٹی کے برابر ہے۔ اس طرح ہم کسی بھی فیلڈ پر کسی بھی طول و عرض کی ویکٹر اسپیس بنا سکتے ہیں۔ مزید برآں، ہر ویکٹر اسپیس اس شکل میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہے۔ بنیاد کا کوئی بھی انتخاب (FX) 0 کے لیے کینونکل پر بنیاد بھیج کر آئسومورفزم کا تعین کرتا ہے۔ جنرلائزڈ کوآرڈینیٹ اسپیس کو ایف کی |X | کاپیوں کے براہ راست مجموعہ کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے (یعنی۔ ایکس میں ہر پوائنٹ کے لیے ایک): حد کی حالت براہ راست رقم کی تعریف میں بنائی گئی ہے۔ اس کا موازنہ F کی |X | کاپیوں کے براہ راست پروڈکٹ سے کریں جو فنکشن کی مکمل جگہ FX دے گی۔ لکیری نقشے خود لکیری الجبرا کے تناظر میں پیدا ہونے والی ایک اہم مثال لکیری نقشوں کی ویکٹر اسپیس ہے۔ آئیے L (V، W) V سے W تک کے تمام لکیری نقشوں کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے (یہ دونوں F پر ویکٹر خالی جگہیں ہیں)۔ پھر ایل (وی، ڈبلیو) ڈبلیو وی کی ذیلی جگہ ہے کیونکہ یہ اضافہ اور اسکیلر ضرب کے تحت بند ہے۔ نوٹ کریں کہ L (Fn، Fm) کو قدرتی طریقے سے میٹرکس Fm × n کی جگہ سے پہچانا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، محدود جہتی خالی جگہوں V اور W کے لیے مناسب اڈوں کا انتخاب کرکے، L (V، W) کی شناخت Fm × n سے بھی کی جا سکتی ہے۔ یہ شناخت عام طور پر بنیاد کے انتخاب پر منحصر ہوتی ہے۔ مسلسل افعال اگر X کوئی ٹپوولوجیکل خلا ہے، جیسے کہ اکائی وقفہ [0,1]، تو ہم X سے R تک کے تمام مسلسل افعال کی جگہ پر غور کر سکتے ہیں۔ یہ RX کا ایک ویکٹر سب اسپیس ہے کیونکہ کسی بھی دو مسلسل افعال کا مجموعہ مسلسل ہے اور اسکیلر ضرب مسلسل ہے۔ تفریقی مساوات R سے R تک کے تمام افعال کی جگہ کا ذیلی سیٹ جو (کافی حد تک تفریق پذیر) افعال پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک مخصوص تفریقی مساوات کو پورا کرتا ہے، آر آر کی ذیلی جگہ ہے اگر مساوات لکیری ہو۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ تفریق ایک لکیری عمل ہے، یعنی، (a f + b g) ′ = a f′ + b g′، جہاں ′ تفریق آپریٹر ہے۔ فیلڈ ایکسٹینشنز فرض کریں کہ K، F (cf. فیلڈ ایکسٹینشن)۔ پھر F کو K میں عناصر کے اسکیلر ضرب کو محدود کرکے K پر ایک ویکٹر اسپیس سمجھا جا سکتا ہے (ویکٹر کے اضافے کو نارمل کے طور پر بیان کیا گیا ہے)۔ اس ویکٹر اسپیس کا طول و عرض، اگر یہ موجود ہے، تو اسے توسیع کی ڈگری کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، پیچیدہ اعداد C حقیقی اعداد R پر دو جہتی ویکٹر کی جگہ بناتے ہیں۔ اسی طرح، حقیقی اعداد R عقلی اعداد Q پر ایک ویکٹر کی جگہ بناتے ہیں جس میں (بے شمار) لامحدود جہت ہوتی ہے، اگر ہیمل کی بنیاد موجود ہو۔ اگر V F پر ویکٹر کی جگہ ہے تو اسے K پر ویکٹر کی جگہ بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ طول و عرض کا تعلق فارمولا dimKV = (dimFV) (dimKF) سے ہے۔ مثال کے طور پر، Cn، جسے حقیقی پر ویکٹر کی جگہ سمجھا جاتا ہے، کا طول و عرض 2n ہے۔ کسی بھی فیلڈ پر صفر جہتی اسپیس کے معمولی کیس کے علاوہ، فیلڈ F پر ایک ویکٹر اسپیس میں عناصر کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب F ایک محدود فیلڈ ہو اور ویکٹر اسپیس کا ایک محدود طول و عرض ہو۔ اس طرح ہمارے پاس Fq ہے، جو q عناصر کے ساتھ منفرد محدود فیلڈ (آئسومورفزم تک) ہے۔ یہاں q ایک پرائم کی طاقت ہونی چاہیے (q = p پرائم کے ساتھ پی ایم)۔ پھر Fq پر کسی بھی n جہتی ویکٹر اسپیس V میں qn عناصر ہوں گے۔ نوٹ کریں کہ V میں عناصر کی تعداد بھی ایک پرائم کی طاقت ہے (کیونکہ ایک پرائم پاور کی طاقت پھر سے ایک پرائم پاور ہے)۔ اس طرح کی جگہ کی بنیادی مثال کوآرڈینیٹ اسپیس (Fq) n ہے۔ یہ ویکٹر خالی جگہیں محدود گروپوں، نمبر تھیوری، اور کرپٹوگرافی کی نمائندگی کے نظریہ میں اہم اہمیت کی حامل ہیں۔ نوٹ حوالہ جات ویکٹر خالی جگہیں