Kleinian group
ریاضی میں، کلینیائی گروپ ہائپربولک 3-اسپیس کے واقفیت کو محفوظ رکھنے والے آئسومیٹریز کے گروپ کا ایک مجرد ذیلی گروپ ہے۔ مؤخر الذکر، جس کے ساتھ قابل شناخت ہے، ان کے مرکز کے ذریعہ تعین کنندہ 1 کے 2 سے 2 پیچیدہ میٹرکس کا حصص گروپ ہے، جو شناخت میٹرکس اور اس کے پروڈکٹ پر مشتمل ہوتا ہے۔ ریمن دائرے کی واقفیت کو محفوظ رکھنے والی کنفارمل تبدیلیوں کے طور پر، اور اوپن یونٹ بال کی واقفیت کو محفوظ رکھنے والی کنفارمل تبدیلیوں کے طور پر اس کی قدرتی نمائندگی ہے۔ موبیئس تبدیلیوں کے گروپ کا تعلق غیر واقفیت-محفوظ آئسومیٹری گروپ کے طور پر بھی ہے۔ لہذا، ایک کلینین گروپ کو ان جگہوں میں سے کسی ایک پر کام کرنے والے ایک مجرد ذیلی گروپ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ عمومی کلینین گروہوں کے نظریہ کی بنیاد اینڈ نے رکھی تھی، جنہوں نے ان کا نام فیلکس کلین کے نام پر رکھا۔ شاٹکی گروہوں کے خصوصی کیس کا مطالعہ چند سال قبل، 1877 میں، شاٹکی نے کیا تھا۔ تعریف کلینیائی گروپ کی ایک جدید تعریف ایک ایسے گروپ کے طور پر ہے جو 3 گیند پر ہائپربولک آئسومیٹریز کے مجرد گروپ کے طور پر کام کرتا ہے۔ ہائپربولک 3-اسپیس کی ایک قدرتی حد ہوتی ہے۔ بال ماڈل میں، اس کی شناخت 2-دائرے سے کی جا سکتی ہے۔ ہم اسے انفینیٹی کا دائرہ کہتے ہیں، اور اس کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ ایک ہائپربولک آئسومیٹری انفینیٹی پر دائرے کے کنفارمل ہومومورفزم تک پھیلا ہوا ہے (اور اس کے برعکس، انفینیٹی پر دائرے پر ہر کنفارمل ہومومورفزم پوائنٹینیئر ایکسٹینشن کے ذریعے گیند پر ہائپربولک آئسومیٹری تک منفرد طور پر پھیلا ہوا ہے۔ یہ پیچیدہ تجزیے کا ایک معیاری نتیجہ ہے کہ ریمن دائرے پر کنفارمل ہومومورفزم بالکل موبیئس تبدیلیاں ہیں، جن کی مزید شناخت پروجیکٹو لکیری گروپ پی جی ایل (2، سی) کے عناصر کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اس طرح، کلینیائی گروپ کو پی جی ایل (2، سی) کے ذیلی گروپ کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ کلاسیکی طور پر، ایک کلینین گروپ کو ریمن دائرے کے غیر خالی کھلے ذیلی سیٹ پر مناسب طریقے سے متضاد طور پر کام کرنے کی ضرورت تھی، لیکن جدید استعمال کسی بھی مجرد ذیلی گروپ کی اجازت دیتا ہے۔ جب ایک ہائپربولک 3-مینیفولڈ کے بنیادی گروپ کے لیے γ آئسومورفک ہوتا ہے، تو حصص کی جگہ H3/γ کئی گنا کا کلینین ماڈل بن جاتا ہے۔ بہت سے مصنفین کلینین ماڈل اور کلینین گروپ کی اصطلاحات کو ایک دوسرے کے ساتھ بدل کر استعمال کرتے ہیں، جس سے ایک دوسرے کے لیے کھڑا ہوتا ہے۔ تفریق کا مطلب ہے کہ ہائپربولک 3-اسپیس کے اندرونی حصوں میں محدود اسٹیبلائزر ہوتے ہیں، اور گروپ کے تحت مجرد مدار ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، ایک پوائنٹ p کا مدار عام طور پر بند گیند کی حد پر جمع ہو جائے گا۔ γp کے جمع ہونے والے پوائنٹس کے سیٹ کو γ کا لمٹ سیٹ کہا جاتا ہے، اور عام طور پر اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ تکمیل کو منقطع کا ڈومین یا عام سیٹ یا باقاعدہ سیٹ کہا جاتا ہے۔ ایلفورس کے فائنٹنیس تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر گروپ فائنٹلی طور پر تیار کیا جاتا ہے تو یہ محدود قسم کا ریمن سطح کا آربی فولڈ ہے۔ یونٹ بال B3 اپنی مطابقت پذیر ساخت کے ساتھ ہائپربولک 3-اسپیس کا پوئنکیئر ماڈل ہے۔ جب ہم میٹرک کے لحاظ سے اس کے بارے میں سوچتے ہیں، تو میٹرک کے ساتھ یہ 3 جہتی ہائپربولک اسپیس H3 کا ماڈل ہوتا ہے۔ B3 کے کنفارمل سیلف میپس کا سیٹ آئسومیٹریز کا سیٹ بن جاتا ہے (یعنی۔ اس شناخت کے تحت H3 کے فاصلے کے تحفظ کے نقشے)۔ اس طرح کے نقشے مطابقت پذیر خود نقشوں تک محدود ہیں، جو موبیئس تبدیلیاں ہیں۔ آئسومورفزم ہیں واقفیت کو محفوظ رکھنے والی تبدیلیوں پر مشتمل ان گروپوں کے ذیلی گروپ پروجیکٹو میٹرکس گروپ کے لیے تمام آئسومورفک ہیں: پی ایس ایل (2، سی) پیچیدہ پروجیکٹو لائن پی 1 (سی) کے ساتھ یونٹ دائرے کی معمول کی شناخت کے ذریعے۔ تغیرات کلینیائی گروپ کی تعریف میں کچھ تغیرات ہیں: بعض اوقات کلینیائی گروپوں کو پی ایس ایل (2، سی). 2 (یعنی پی ایس ایل (2، سی) کے پیچیدہ امتزاج کے ذریعے توسیع شدہ) کے ذیلی گروپ ہونے کی اجازت ہے، دوسرے الفاظ میں واقفیت الٹ عناصر ہیں، اور بعض اوقات انہیں حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے، اور بعض اوقات انہیں ریمن دائرے کے غیر خالی کھلے ذیلی سیٹ پر مناسب طریقے سے متضاد طور پر کام کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اقسام ایک کلینیائی گروپ کو محدود قسم کا کہا جاتا ہے اگر اس کے منقطع ہونے والے خطے میں گروپ ایکشن کے تحت اجزاء کے مداروں کی ایک محدود تعداد ہو، اور اس کے اسٹیبلائزر کے ذریعہ ہر جزو کا حصص ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے جس میں محدود طور پر بہت سے پوائنٹس کو ہٹا دیا گیا ہے، اور احاطہ کو محدود طور پر بہت سے پوائنٹس پر پھیلایا گیا ہے۔ کلینیائی گروپ کو حتمی طور پر تیار کردہ کہا جاتا ہے اگر اس میں جنریٹرز کی محدود تعداد ہو۔ ایلفورس فائنٹنیس تھیوریم کہتا ہے کہ ایسا گروپ محدود قسم کا ہوتا ہے۔ اگر H3/स्कृत کا حجم محدود ہو تو کلینیائی گروپ کے پاس محدود کوولیوم ہوتا ہے۔ محدود کوولیوم کا کوئی بھی کلینین گروپ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ کلینیائی گروپ کو ہندسی طور پر محدود کہا جاتا ہے اگر اس کے بنیادی پولی ہیڈرون (ہائپربولک 3-اسپیس میں) محدود طور پر کئی اطراف کے ساتھ ہو۔ ایلفورس نے دکھایا کہ اگر لمٹ سیٹ پورا ریمن کرہ نہیں ہے تو اس کی پیمائش 0 ہے۔ ایک کلینیائی گروپ کو ریاضی کہا جاتا ہے اگر یہ کواٹرنیئن الجبرا A کی ترتیب کے گروپ کے معیار 1 عناصر کے مطابق ہو جو بالکل ایک پیچیدہ جگہ کے ساتھ ایک نمبر فیلڈ k پر تمام حقیقی مقامات پر ریمفائیڈ ہو۔ ریاضی کلینیائی گروہوں میں محدود کوولیوم ہوتے ہیں۔ ایک کلینیائی گروپ کو کوکمپیکٹ کہا جاتا ہے اگر H3/k کمپیکٹ ہے، یا مساوی طور پر SL (2، C)/k کمپیکٹ ہے۔ کوکمپیکٹ کلینیائی گروہوں میں محدود کوولیوم ہوتے ہیں۔ ایک کلینین گروپ کو ٹپوولوجیکل طور پر ٹام کہا جاتا ہے اگر یہ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے اور اس کا ہائپربولک کئی گنا حد کے ساتھ ایک کمپیکٹ کئی گنا کے اندرونی حصے میں ہومومورفک ہوتا ہے۔ کلینیائی گروپ کو ہندسی طور پر کم کہا جاتا ہے اگر اس کے سرے یا تو ہندسی طور پر محدود ہوں یا محض انحطاط پذیر ہوں۔ ایک کلینین گروپ کو ٹائپ 1 کا کہا جاتا ہے اگر لمٹ سیٹ پورا ریمن کرہ ہے، اور دوسری صورت میں ٹائپ 2 کا۔ مثال کلینیائی گروپوں بیاانچی گروپوں کے ماڈیولی اسپیس کے ذریعے ماسکٹ کا ٹکڑا ایک بیاانچی گروپ پی ایس ایل (2، او ڈی) کی شکل کا کلینیائی گروپ ہے، جہاں ایک مثبت مربع سے پاک عدد d کے لیے خیالی کواڈریٹک فیلڈ کے انٹیجرز کی انگوٹی ہے۔ ابتدائی اور قابل تخفیف کلینیائی گروپ ایک کلینیائی گروپ کو ابتدائی کہا جاتا ہے اگر اس کا حد سیٹ محدود ہو، اس صورت میں حد سیٹ میں 0، 1، یا 2 پوائنٹس ہوتے ہیں۔ ابتدائی کلینیائی گروہوں کی مثالوں میں محدود کلینیائی گروپ (خالی حد سیٹ کے ساتھ) اور لامحدود چکور کلینیائی گروپ شامل ہیں۔ کلیئنین گروپ کو ریڈوسیبل کہا جاتا ہے اگر تمام عناصر کا ریمن دائرے پر ایک مشترکہ فکسڈ پوائنٹ ہو۔ کم کرنے کے قابل کلینیائی گروہ ابتدائی ہیں، لیکن کچھ ابتدائی محدود کلینیائی گروہ کم کرنے کے قابل نہیں ہیں۔ فوچیائی گروہ کوئی بھی فوچیائی گروہ (پی ایس ایل (2، آر) کا ایک مجرد ذیلی گروہ) ایک کلینیائی گروہ ہے، اور اس کے برعکس کوئی بھی کلینیائی گروہ جو حقیقی لکیر کو محفوظ رکھتا ہے (ریمن دائرے پر اپنی کارروائی میں) ایک فوچیائی گروہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، ہر کلینیائی گروہ جو ریمن دائرے میں ایک دائرے یا سیدھی لکیر کو محفوظ رکھتا ہے، ایک فوچیائی گروہ سے منسلک ہوتا ہے۔ کویبی گروپس کلینیائی گروپ G کا ایک عنصر ایک ذیلی گروپ H زیادہ سے زیادہ مندرجہ ذیل خصوصیات کے تابع ہے: H کا ایک سیدھا جڑا ہوا غیر متغیر جزو D A ہے جس میں H کے عنصر H کا کنفارمل بائیجیکشن کے ذریعے کنجوگیٹ پیرابولک یا ایلیپٹک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب h ہے۔ G کا کوئی بھی پیرابولک عنصر D کے باؤنڈری پوائنٹ کو H میں طے کرتا ہے۔ کلینیائی گروپ کو کوئبی گروپ کہا جاتا ہے اگر اس کے تمام عوامل ابتدائی یا فوچیئن ہوں۔ ایک کلینیائی گروہ جو اردن کے منحنی خطوط کو محفوظ رکھتا ہے اسے ایک نیم فوچیائی گروہ کہا جاتا ہے۔ جب اردن کا منحنی خط ایک دائرہ یا سیدھی لکیر ہوتا ہے تو یہ صرف مطابقت پذیر تبدیلیوں کے تحت فوچیائی گروہوں سے منسلک ہوتے ہیں۔ محدود طور پر پیدا ہونے والے نیم فوچیائی گروہ نیم رسمی تبدیلیوں کے تحت فوچیائی گروہوں سے منسلک ہوتے ہیں۔ حد سیٹ غیر متغیر اردن وکر میں موجود ہے، اور اگر یہ اردن وکر کے برابر ہے تو گروپ کو پہلی قسم کا کہا جاتا ہے، اور بصورت دیگر اسے دوسری قسم کا کہا جاتا ہے۔ شٹکی گروپس Ci کو جداگانہ بند ڈسکوں کے محدود مجموعے کے باؤنڈری سرکلز ہونے دیں۔ ہر دائرے میں الٹ سے پیدا ہونے والے گروپ نے ایک کینٹر سیٹ کی حد مقرر کی ہے، اور حصص H3/G ایک آئینے کا مدار ہے جس میں بنیادی جگہ ایک گیند ہے۔ یہ ایک ہینڈل باڈی کے ذریعہ دوگنا احاطہ کرتا ہے۔ متعلقہ انڈیکس 2 ذیلی گروپ ایک کلینین گروپ ہے جسے شاٹکی گروپ کہا جاتا ہے۔ کرسٹلگرافک گروپ T کو ہائپربولک 3-اسپیس کا وقتا فوقتا ٹیسیلیشن ہونے دیں۔ ٹیسلیشن کی ہم آہنگی کا گروپ ایک کلینین گروپ ہے۔ ہائپربولک 3-مینیفولڈ کے بنیادی گروپ کسی بھی مبنی ہائپربولک 3-مینیفولڈ کا بنیادی گروپ ایک کلینین گروپ ہے۔ ان کی بہت سی مثالیں ہیں، جیسے اعداد و شمار 8 گرہ کی تکمیل یا سیفرٹ-ویبر کی جگہ۔ اس کے برعکس اگر کلینیائی گروپ میں کوئی غیر معمولی ٹورسن عناصر نہیں ہیں تو یہ ہائپربولک 3-مینی فولڈ کا بنیادی گروپ ہے۔ ڈیجینریٹ کلینین گروپ ایک کلینین گروپ کو ڈیجینریٹ کہا جاتا ہے اگر یہ ابتدائی نہیں ہے اور اس کی حد سیٹ آسانی سے منسلک ہے۔ اس طرح کے گروپوں کو نیم فوچیائی گروپوں کی ایک مناسب حد لے کر اس طرح بنایا جا سکتا ہے کہ باقاعدہ پوائنٹس کے دو اجزاء میں سے ایک خالی سیٹ پر سکڑ جائے۔ ان گروپوں کو سنگل ڈیجینریٹ کہا جاتا ہے۔ اگر باقاعدہ سیٹ کے دونوں اجزاء خالی سیٹ پر معاہدہ کرتے ہیں، تو لمٹ سیٹ اسپیس فلنگ وکر بن جاتا ہے اور گروپ کو ڈبل ڈیجینریٹ کہا جاتا ہے۔ انحطاط پذیر کلینیائی گروہوں کے وجود کو سب سے پہلے بالواسطہ طور پر دکھایا گیا تھا، اور پہلی واضح مثال جارجینسن نے پائی تھی۔ انہوں نے فرضی انوسوف نقشوں سے وابستہ دوگنا انحطاط پذیر گروہوں اور خلا کو بھرنے والے منحنی خطوط کی مثالیں دیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ ایہلفورز پیمائش قیاس آرائی کثافت تھیوریم برائے کلینیائی گروپس اینڈنگ لیمینیشن تھیوریم ٹیمینس تھیوریم (مارڈن کا قیاس) حوالہ جات بیرونی روابط سے ایک نیم فوچیائی گروپ کے حد سیٹ کی تصویر۔ سے کلینیائی گروپ کے حد سیٹ کی تصویر۔ یہ لمٹ سیٹ کی پہلی تصاویر میں سے ایک تھی۔ اسی حد کے سیٹ کی ایک کمپیوٹر ڈرائنگ اینیمیشنز آف کلینین گروپ کی حد میک مولن ڈسکریٹ گروپوں کے ذریعہ کلینین گروپوں سے متعلق تصاویر سیٹ کرتی ہے جھوٹ گروپ آٹومورفک فارم 3-مینیفولڈ