Common knowledge (logic)
عام علم ایجنٹوں کے ایک گروپ کے لیے ایک خاص قسم کا علم ہے۔ ایجنٹوں G کے ایک گروپ میں p کا عام علم ہوتا ہے جب G کے تمام ایجنٹ p کو جانتے ہیں، وہ سب جانتے ہیں کہ وہ p کو جانتے ہیں، وہ سب جانتے ہیں کہ وہ سب جانتے ہیں کہ وہ p کو جانتے ہیں، اور اسی طرح لامحدود۔ اسے اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یہ تصور پہلی بار فلسفیانہ ادب میں ڈیوڈ کیلوگ لیوس نے اپنے مطالعہ کنونشن (1969) میں متعارف کرایا تھا۔ ماہر سماجیات مورس فریڈیل نے 1969 کے ایک مقالے میں عام علم کی وضاحت کی۔ اسے سب سے پہلے ایک سیٹ نظریاتی فریم ورک میں ریاضیاتی تشکیل رابرٹ اومن (1976) نے دی تھی۔ کمپیوٹر سائنس دانوں نے 1980 کی دہائی میں شروع ہونے والے عام طور پر علمی منطق اور خاص طور پر عام علم کے موضوع میں دلچسپی پیدا کی۔ اس تصور پر مبنی متعدد پہیلیاں ہیں جن کی جان کونوے جیسے ریاضی دانوں نے بڑے پیمانے پر تحقیقات کی ہیں۔ فلسفی اسٹیفن شیفر نے اپنی 1972 کی کتاب معنی میں آزادانہ طور پر ایک تصور تیار کیا جسے انہوں نے "باہمی علم" کہا جو کہ لیوس اور فریڈل کے 1969 کے "عام علم" کی طرح کام کرتا ہے۔ اگر کوئی قابل اعتماد اعلان عوامی طور پر کیا جاتا ہے، تو یہ عام علم بن جاتا ہے ؛ تاہم، اگر اسے نجی طور پر ہر ایجنٹ کو منتقل کیا جاتا ہے، تو یہ باہمی علم بن جاتا ہے لیکن عام علم نہیں۔ یہاں تک کہ اگر یہ حقیقت کہ "گروپ کا ہر ایجنٹ p جانتا ہے" () ہر ایجنٹ کو نجی طور پر منتقل کیا جاتا ہے، تب بھی یہ عام علم نہیں ہے: لیکن، اگر کوئی ایجنٹ عوامی طور پر پی کے بارے میں اپنے علم کا اعلان کرتا ہے، تو یہ عام علم بن جاتا ہے کہ وہ پی کو جانتے ہیں۔ )۔ اگر ہر ایجنٹ عوامی طور پر پی کے بارے میں اپنے علم کا اعلان کرتا ہے، تو پی عام علم بن جاتا ہے۔ مثال پہیلی عام علم کا خیال اکثر انڈکشن پہیلیوں کی کچھ اقسام کے ذریعے متعارف کرایا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ کیچڑ بچوں کی پہیلی): ایک جزیرے پر، ایسے لوگ ہیں جن کی آنکھیں نیلی ہیں، اور باقی لوگوں کی آنکھیں سبز ہیں۔ پہیلی کے آغاز میں، جزیرے پر کوئی بھی اپنی آنکھوں کا رنگ نہیں جانتا ہے۔ اصول کے مطابق، اگر جزیرے پر کسی شخص کو کبھی پتہ چلتا ہے کہ اس کی آنکھیں نیلی ہیں، تو اس شخص کو طلوع آفتاب کے وقت جزیرہ چھوڑنا چاہیے ؛ جو بھی اس طرح کی دریافت نہیں کرتا وہ ہمیشہ طلوع آفتاب تک سوتا رہتا ہے۔ جزیرے پر، ہر شخص ہر دوسرے شخص کی آنکھوں کا رنگ جانتا ہے، کوئی عکاسی کرنے والی سطحیں نہیں ہیں، اور آنکھوں کے رنگ کا کوئی رابطہ نہیں ہے۔ کسی وقت، ایک بیرونی شخص جزیرے پر آتا ہے، جزیرے کے تمام لوگوں کو اکٹھا کرتا ہے، اور مندرجہ ذیل عوامی اعلان کرتا ہے: "کم از کم آپ میں سے ایک کی آنکھیں نیلی ہیں"۔ اس کے علاوہ، بیرونی شخص کو سب سچے ہونے کے لیے جانتے ہیں، اور سب جانتے ہیں کہ سب یہ جانتے ہیں، اور اسی طرح: یہ عام علم ہے کہ وہ سچے ہیں، اور اس طرح یہ عام علم بن جاتا ہے کہ کم از کم ایک جزیرے والا ہے جس کی آنکھیں نیلی ہیں ()۔ مسئلہ: حتمی نتیجہ تلاش کرنا، یہ فرض کرتے ہوئے کہ جزیرے کے تمام افراد مکمل طور پر منطقی ہیں (ہر شریک کا علم علمی منطق کے لیے محوری اسکیم کی پابندی کرتا ہے) اور یہ بھی عام علم ہے۔ حل جواب یہ ہے کہ، اعلان کے بعد چوتھی صبح کو، تمام نیلی آنکھوں والے لوگ جزیرہ چھوڑ دیں گے۔ ثبوت حل کو تعمیری دلیل کے ساتھ دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر k = 1 (یعنی، بالکل ایک نیلی آنکھوں والا شخص ہے)، تو وہ شخص پہچان لے گا کہ صرف ان کی نیلی آنکھیں ہیں (دوسروں میں صرف سبز آنکھیں دیکھ کر) اور پہلی صبح ہی چلا جائے گا۔ اگر k = 2، تو کوئی بھی پہلی صبح کو نہیں چھوڑے گا، اور غیر فعالیت (اور ہر ایجنٹ کے لیے علم کی مضمر کمی) کا مشاہدہ ہر کوئی کرتا ہے، جو پھر عام علم بھی بن جاتا ہے ()۔ دو نیلی آنکھوں والے لوگ، صرف ایک شخص کو نیلی آنکھوں کے ساتھ دیکھتے ہیں، اور یہ کہ پہلی صبح کو کوئی نہیں چھوڑا (اور اس طرح کہ k> 1 ؛ اور یہ بھی کہ دوسرا نیلی آنکھوں والا شخص یہ نہیں سوچتا کہ ان کے علاوہ ہر کوئی نیلی آنکھوں والا نہیں ہے، لہذا دوسرا نیلی آنکھوں والا شخص)، دوسری صبح کو روانہ ہو جائے گا۔ محرک طور پر، یہ استدلال کیا جا سکتا ہے کہ پہلے k−1 طلوع آفتاب پر کوئی بھی نہیں چھوڑے گا اگر اور صرف اس صورت میں جب کم از کم k نیلی آنکھوں والے لوگ ہوں۔ نیلی آنکھوں والے، دوسروں کے درمیان k−1 نیلی آنکھوں والے لوگوں کو دیکھنا اور یہ جاننا کہ کم از کم k ہونا چاہیے، یہ استدلال کریں گے کہ ان کی آنکھیں نیلی ہونی چاہئیں اور وہ وہاں سے چلے جائیں گے۔ کے> 1 کے لیے، باہر کا شخص جزیرے کے شہریوں کو صرف وہی بتا رہا ہے جو وہ پہلے سے جانتے ہیں: کہ ان میں نیلی آنکھوں والے لوگ بھی ہیں۔ تاہم، اس حقیقت کے اعلان سے پہلے، حقیقت عام علم نہیں ہے، بلکہ باہمی علم ہے۔ k = 2 کے لیے، یہ محض "فرسٹ آرڈر" علم () ہے۔ ہر نیلی آنکھوں والا شخص جانتا ہے کہ نیلی آنکھوں والا کوئی ہے، لیکن ہر نیلی آنکھوں والا شخص نہیں جانتا کہ دوسرے نیلی آنکھوں والے شخص کو بھی یہی علم ہے۔ k = 3 کے لیے، یہ "سیکنڈ آرڈر" علم () ہے۔ ہر نیلی آنکھوں والا شخص جانتا ہے کہ دوسرا نیلی آنکھوں والا شخص جانتا ہے کہ تیسرے شخص کی نیلی آنکھیں ہیں، لیکن کوئی نہیں جانتا کہ اس علم کے ساتھ تیسرا نیلی آنکھوں والا شخص ہے، جب تک کہ باہر والا اپنا بیان نہ دے۔ عام طور پر: k> 1 کے لیے، یہ "(k−1) th آرڈر" علم () ہے۔ ہر نیلی آنکھوں والا شخص جانتا ہے کہ نیلی آنکھوں والا دوسرا شخص جانتا ہے کہ نیلی آنکھوں والا تیسرا شخص یہ جانتا ہے۔ (کل k−1 سطحوں کے لیے دہرائیں) ایک kth شخص کی نیلی آنکھیں ہوتی ہیں، لیکن کوئی نہیں جانتا کہ اس علم کے ساتھ "kth" نیلی آنکھوں والا شخص موجود ہے، جب تک کہ باہر والا اپنا بیان نہ دے۔ اس لیے عام علم کا تصور ایک واضح اثر رکھتا ہے۔ یہ جاننا کہ ہر کوئی جانتا ہے فرق پڑتا ہے۔ جب باہر والے کا عوامی اعلان (ایک ایسی حقیقت جو پہلے سے ہی سب کو معلوم ہے، جب تک کہ k = 1 نہ ہو تو نیلی آنکھوں والا ایک شخص اعلان تک نہیں جان پائے گا) عام علم بن جاتا ہے، تو اس جزیرے کے نیلی آنکھوں والے لوگ بالآخر اپنی حیثیت کا اندازہ لگاتے ہیں، اور چلے جاتے ہیں۔ خاص طور پر: مفت ہے (یعنی۔ باہر کے بیان سے پہلے جانا جاتا ہے) آئی ایف ایف۔ ایک گزرتے ہوئے دن کے ساتھ جہاں کوئی نہیں چھوڑتا، اگلے دن کا مطلب ہے۔ کے لیے اس طرح پہنچ جاتا ہے اگر اس کے لیے پہنچ جاتا ہے۔ باہر والا دیتا ہے۔ فارملائزیشن ماڈل منطق (نحو کی خصوصیت) عام علم کو ملٹی ماڈل منطق سسٹمز میں منطقی تعریف دی جا سکتی ہے جس میں ماڈل آپریٹرز کی علمی طور پر تشریح کی جاتی ہے۔ تجویز کردہ سطح پر، اس طرح کے نظام تجویز کردہ منطق کی توسیع ہیں۔ توسیع ایجنٹوں کے گروپ G کے تعارف پر مشتمل ہے، اور n موڈل آپریٹرز کی (i = 1،.، n کے ساتھ) اس مطلوبہ معنی کے ساتھ کہ "ایجنٹ میں جانتا ہوں"۔ اس طرح کی (جہاں منطقی کیلکولس کا فارمولا ہے) کو "ایجنٹ میں جانتا ہوں" پڑھا جاتا ہے۔ ہم ایک آپریٹر ای جی کی تعریف اس مطلوبہ معنی کے ساتھ کر سکتے ہیں کہ "گروپ جی میں ہر کوئی جانتا ہے" اسے محوریہ کے ساتھ بیان کر کے اظہار کو مختصر کر کے اور اس کی وضاحت کر کے، عام علم کو محوریہ کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، ایک پیچیدگی ہے۔ علمی منطق کی زبانیں عام طور پر حتمی ہوتی ہیں، جبکہ اوپر کا محور عام علم کو فارمولوں کے لامحدود امتزاج کے طور پر بیان کرتا ہے، اس لیے زبان کا ایک اچھی طرح سے تشکیل شدہ فارمولا نہیں ہے۔ اس مشکل پر قابو پانے کے لیے عام علم کی ایک مقررہ نقطہ تعریف دی جا سکتی ہے۔ بدیہی طور پر، عام علم کو "مساوات" کا مقررہ نقطہ سمجھا جاتا ہے۔ یہاں، الیف ناٹ ہے۔ اس طرح، ایک ایسا فارمولا تلاش کرنا ممکن ہے جس کا مطلب ہے، جس کی حد میں، ہم عام علم کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ اس تعریف سے یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ اگر عام علم ہے، تو عام علم بھی ہے ()۔ اس نحو کی خصوصیت کو نام نہاد کرپکے ڈھانچے کے ذریعے بامعنی مواد دیا جاتا ہے۔ ایک کرپکے ڈھانچہ ریاستوں (یا ممکنہ دنیاؤں) S، n رسائی کے تعلقات کے ایک سیٹ کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جس کی وضاحت کی گئی ہے، بدیہی طور پر اس کی نمائندگی کرتا ہے جسے میں کسی بھی ریاست سے ممکن سمجھتا ہوں، اور ایک ویلیوایشن فنکشن جو ہر ریاست میں، زبان میں ہر قدیم تجویز کو سچائی کی قیمت تفویض کرتا ہے۔ نالج آپریٹر کے لیے کرپکے سیمنٹکس یہ شرط لگا کر دیا جاتا ہے کہ تمام ریاستوں میں ایس آئی ایف ایف سچ ہے۔ کامن نالج آپریٹر کے لیے سیمنٹکس، پھر، ایجنٹوں کے ہر گروپ G کے لیے، ریفلیکسیو (موڈل محور T) اور ٹرانزیٹیو کلوزر (موڈل محور 4) لے کر دیا جاتا ہے، G میں موجود تمام ایجنٹوں i کے لیے، اس طرح کا تعلق کہتے ہیں، اور یہ شرط لگاتے ہوئے کہ s iff حالت میں درست ہے، تمام حالتوں میں درست ہے۔ سیٹ تھیوریٹک (سیمنٹک کریکٹرائزیشن) متبادل طور پر (ابھی تک مساوی طور پر) عام علم کو سیٹ تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے باقاعدہ بنایا جا سکتا ہے (یہ وہ راستہ تھا جو نوبل انعام یافتہ رابرٹ اومن نے اپنے 1976 کے بنیادی مقالے میں اختیار کیا تھا)۔ اسٹیٹس S کے سیٹ سے شروع کرتے ہوئے۔ ایک ایونٹ E کو پھر اسٹیٹس S کے سیٹ کے سب سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہر ایجنٹ i کے لیے، S، Pi پر پارٹیشن کی وضاحت کریں۔ یہ تقسیم کسی ریاست میں ایجنٹ کے علم کی حالت کی نمائندگی کرتی ہے۔ بدیہی طور پر، اگر دو ریاستیں s1 اور s2 کسی ایجنٹ کی تقسیم کے ایک ہی حصے کے عناصر ہیں، تو اس کا مطلب ہے کہ s1 اور s2 اس ایجنٹ کے لیے ناقابل تفرقہ ہیں۔ عام طور پر، ریاست s میں، ایجنٹ i جانتا ہے کہ Pi (s) میں سے ایک ریاست حاصل کرتی ہے، لیکن کون سی نہیں۔ (یہاں پائی ایس پر مشتمل پائی کے منفرد عنصر کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس ماڈل میں ایسے معاملات کو خارج کر دیا گیا ہے جن میں ایجنٹ ایسی چیزوں کو جانتے ہیں جو سچ نہیں ہیں۔) نالج فنکشن K کو اب مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے: یعنی کی (ای) ریاستوں کا مجموعہ ہے جہاں ایجنٹ کو پتہ چل جائے گا کہ ایونٹ ای حاصل کرتا ہے۔ یہ ای کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ اوپر موڈل منطق کی تشکیل کی طرح، اس خیال کے لیے ایک آپریٹر کہ "ہر کوئی جانتا ہے" کو ای کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ موڈل آپریٹر کی طرح، ہم E فنکشن کو دہرائیں گے، اور۔ اس کا استعمال کرتے ہوئے ہم پھر ایک کامن نالج فنکشن کی وضاحت کر سکتے ہیں، اوپر بیان کردہ نحو نقطہ نظر کے ساتھ مساوات آسانی سے دیکھی جا سکتی ہے: ایک اومن ڈھانچے پر غور کریں جیسا کہ ابھی بیان کیا گیا ہے۔ ہم ایک نامہ نگار کرپکے ڈھانچے کی وضاحت ایک ہی جگہ S لے کر کر کر سکتے ہیں، رسائی کے تعلقات جو تقسیم کے مطابق مساوات کی کلاسوں کی وضاحت کرتے ہیں، اور ایک ویلیوایشن فنکشن اس طرح کہ یہ سب میں ابتدائی تجویز p کے لیے صحیح قیمت حاصل کرتا ہے اور صرف ریاستیں ایسی ہیں کہ، ابتدائی تجویز p سے مطابقت رکھنے والے اومن ڈھانچے کا واقعہ کہاں ہے۔ یہ دیکھنا مشکل نہیں ہے کہ پچھلے حصے میں بیان کردہ عام علم تک رسائی فنکشن سب کے لیے تقسیم کے بہترین عام کھردری سے مطابقت رکھتا ہے، جو کہ 1976 کے مضمون میں اومن کی طرف سے دی گئی عام علم کی حتمی خصوصیت بھی ہے۔ عام علم کا استعمال ڈیوڈ لیوس نے کنونشن کے اپنے اولین گیم تھیوریٹیکل اکاؤنٹ میں کیا تھا۔ اس لحاظ سے، عام علم ایک ایسا تصور ہے جو اب بھی ماہر لسانیات اور زبان کے فلسفیوں کے لیے مرکزی حیثیت رکھتا ہے (کلارک 1996 دیکھیں) جس میں زبان کے بارے میں ایک لیوسیائی، روایتی بیان کو برقرار رکھا گیا ہے۔ رابرٹ اومن نے عام علم کی ایک سیٹ نظریاتی تشکیل متعارف کرائی (نظریاتی طور پر اوپر دیے گئے کے مساوی) اور نام نہاد معاہدہ تھیوریم کو ثابت کیا جس کے ذریعے: اگر دو ایجنٹوں کے پاس کسی خاص واقعے پر مشترکہ پیشگی امکان ہے، اور پوسٹرر امکانات مشترکہ علم ہیں، تو اس طرح کے پوسٹرر امکانات برابر ہیں۔ معاہدے کے نظریہ پر مبنی اور ملگروم کے ذریعہ ثابت کردہ نتیجہ سے پتہ چلتا ہے کہ مارکیٹ کی کارکردگی اور معلومات سے متعلق کچھ شرائط کو دیکھتے ہوئے قیاس آرائی پر مبنی تجارت ناممکن ہے۔ گیم تھیوری میں عام علم کا تصور مرکزی حیثیت رکھتا ہے۔ کئی سالوں سے یہ خیال کیا جاتا رہا ہے کہ کھیل میں کھلاڑیوں کے لیے معقولیت کے عمومی علم کا مفروضہ بنیادی تھا۔ یہ پتہ چلتا ہے (اومن اور برینڈن برگر 1995) کہ، دو کھلاڑیوں کے کھیلوں میں، نیش توازن کی حکمت عملیوں کے لیے علمی حالت کے طور پر عقلیت کے عام علم کی ضرورت نہیں ہے۔ کمپیوٹر سائنس دان تقسیم شدہ نظاموں کے بارے میں استدلال کرنے کے لیے علمی منطق (اور عام علم) کو شامل کرنے والی زبانوں کا استعمال کرتے ہیں۔ اس طرح کے نظام سادہ پیشگی علمی منطق سے زیادہ پیچیدہ منطق پر مبنی ہو سکتے ہیں، دیکھیں وولڈریج ریزنگ اباوٹ آرٹیفیشل ایجنٹس، 2000 (جس میں وہ علمی اور عارضی آپریٹرز کو شامل کرتے ہوئے فرسٹ آرڈر منطق کا استعمال کرتا ہے) یا وین ڈیر ہوک اور دیگر۔ "متبادل وقت مہاماری منطق"۔ اپنی 2007 کی کتاب، دی اسٹف آف تھاٹ: لینگویج ایز اے ونڈو انٹو ہیومن نیچر میں، سٹیون پنکر عام علم کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے اس بات کا تجزیہ کرتے ہیں کہ اس میں کس طرح کی بالواسطہ تقریر شامل ہے۔ مقبول ثقافت میں مزاحیہ فلم ہاٹ لیڈ اور کولڈ فٹ منطق کے سلسلے کی ایک مثال ہے جو عام علم سے ٹوٹ جاتی ہے۔ ڈینور کڈ اپنے اتحادیوں کو بتاتا ہے کہ ریٹل سنیک شہر میں ہے، لیکن یہ کہ اس کا [بچہ] "کنارے" پر ہے: "وہ یہاں ہے اور میں جانتا ہوں کہ وہ یہاں ہے، اور وہ جانتا ہے کہ میں جانتا ہوں کہ وہ یہاں ہے، لیکن وہ نہیں جانتا کہ میں جانتا ہوں کہ میں جانتا ہوں کہ وہ یہاں ہے۔" لہذا دونوں مرکزی کرداروں کو اصل حقیقت معلوم ہے (ریٹل سنیک یہاں ہے)، لیکن یہ "عام علم" نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ سچ ہے یہاں تک کہ اگر بچہ غلط ہے: شاید ریٹل سنیک کو معلوم ہو کہ بچہ جانتا ہے کہ وہ جانتا ہے کہ وہ جانتا ہے، زنجیر پھر بھی ٹوٹ جاتی ہے کیونکہ بچہ یہ نہیں جانتا ہے۔ کچھ لمحوں بعد، ریٹلسنک بچے کا سامنا کرتا ہے۔ ہم بچے کو یہ محسوس کرتے ہوئے دیکھتے ہیں کہ اس کا احتیاط سے بنایا ہوا "کنارہ" عام علم میں گر گیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں عالمی کھیل باہمی علم (منطق) تکثیری لاعلمی اسٹیفن شیفر کا شکار دو جنرلوں کا ایک ناقابل اعتماد چینل پر عام علم کے قیام کی ناممکنیت کا مسئلہ نوٹ نصابی کتابیں دیکھیں علم کے بارے میں استدلال فیگن، ہالپرن، موسی اور وارڈی (1995)، اور کمپیوٹر سائنس کے لیے مہاکاوی منطق میئر اور وین ڈیر ہوک (1995)۔ ساختی طور پر ایک جیسا مسئلہ ہربرٹ گینٹس (2000) نے فراہم کیا ہے ؛ وہ اسے "دی ویمن آف سیویٹن" کہتے ہیں۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے اومن، رابرٹ (1976) "اتفاق رائے سے اتفاق" اینلز آف شماریات 4 (6): 1236-1239۔ اومن رابرٹ اور ایڈم برینڈن برگر (1995) "ایپیسٹیمک کنڈیشنز فار نیش ایکولبریئم" اکانومیٹریکا 63 (5): 1161-1180۔ کلارک، ہربرٹ (1996) زبان کا استعمال کرتے ہوئے، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ لیوس، ڈیوڈ (1969) کنونشن: ایک فلسفیانہ مطالعہ آکسفورڈ: بلیک برن۔ جے-جے ایچ۔ میئر اور ڈبلیو وین ڈیر ہوک ایپیسٹیمک لاجک فار کمپیوٹر سائنس اینڈ آرٹیفیشل انٹیلی جنس، جلد 41، کیمبرج ٹریکٹس ان تھیوریٹیکل کمپیوٹر سائنس، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1995۔ باب 3 دیکھیں۔ سیکشن 13.4 دیکھیں ؛ مفت آن لائن ڈاؤن لوڈ کیا جا سکتا ہے۔ جنٹس، ہربرٹ (2000) گیم تھیوری ارتقا پذیر پرنسٹن یونیورسٹی پریس۔ گینٹس، ہربرٹ (2009) دی باؤنڈز آف ریزن پرنسٹن یونیورسٹی پریس۔ بیرونی روابط پروفیسر ٹیرنس تاؤ کا بلاگ پوسٹ (فروری 2008) کار، کریم۔ "لانگ رن میں ہم سب مر چکے ہیں،" "لانگ رن میں ہم سب مر چکے ہیں II" "دو گنا نظر میں۔ نیلے آنکھوں والے جزیرے کے مسئلے کی تفصیلی وضاحت، حل کے ساتھ۔ physics.harvard.edu "گرین آئیڈ ڈریگنز پروبلم"، "گرین آئیڈ ڈریگنز سولیوشن" (ستمبر 2002) گیم تھیوری منطق میں تصورات فکسڈ پوائنٹس (ریاضی) علم کی منتقلی علمیات میں سماجی علمی منطق تصورات