Nesbitt's inequality
ریاضی میں، نیسبیٹ کی عدم مساوات بیان کرتی ہے کہ مثبت حقیقی اعداد a، b اور c کے لیے، یہ مشکل اور بہت زیادہ مطالعہ شدہ شاپیرو عدم مساوات کا ایک ابتدائی خصوصی کیس (N = 3) ہے، اور کم از کم 50 سال پہلے شائع ہوا تھا۔ کوئی متعلقہ اوپری حد نہیں ہے کیونکہ عدم مساوات میں 3 حصوں میں سے کسی کو بھی من مانی طور پر بڑا بنایا جا سکتا ہے۔ ثبوت پہلا ثبوت: AM-HM عدم مساوات AM-HM عدم مساوات کے ذریعہ، کلیئرنگ ڈینومینیٹرز کی پیداوار جس سے ہم پروڈکٹ کو بڑھا کر اور ڈینومینیٹرز کی طرح جمع کرکے حاصل کرتے ہیں۔ اس کے بعد یہ براہ راست حتمی نتیجہ تک آسان ہوجاتا ہے۔ دوسرا ثبوت: دوبارہ ترتیب فرض کریں کہ ہمارے پاس اس کی وضاحت ہے۔ دونوں ترتیبات کا اسکیلر پروڈکٹ دوبارہ ترتیب کی عدم مساوات کی وجہ سے زیادہ سے زیادہ ہے اگر انہیں ایک ہی طرح ترتیب دیا جائے، کال کریں اور ویکٹر کو ایک اور دو سے منتقل کیا جائے، تو ہمارے پاس ہے: اضافہ ہماری مطلوبہ نیسبیٹ کی عدم مساوات کو ظاہر کرتا ہے۔ تیسرا ثبوت: مربعوں کا مجموعہ مندرجہ ذیل شناخت سب کے لیے درست ہے یہ واضح طور پر ثابت کرتا ہے کہ بائیں طرف مثبت a، b اور c سے کم نہیں ہے۔ نوٹ: ہر عقلی عدم مساوات کو مناسب مربع شناخت میں تبدیل کر کے ظاہر کیا جا سکتا ہے، ہلبرٹ کا سترہواں مسئلہ دیکھیں۔ چوتھا ثبوت: کاچی-شوارز ویکٹر کی پیداوار پر کاچی-شوارز عدم مساوات کو مدعو کرنا جسے حتمی نتیجہ میں تبدیل کیا جا سکتا ہے جیسا کہ ہم نے AM-HM ثبوت میں کیا تھا۔ پانچواں ثبوت: AM-GM Let۔ اس کے بعد ہم درج ذیل کو حاصل کرنے کے لیے اے ایم-جی ایم عدم مساوات کا اطلاق کرتے ہیں کیونکہ پیداوار کے حق میں تبدیل کرنا جو پھر حتمی نتیجہ تک آسان ہو جاتا ہے۔ چھٹا ثبوت: ٹیٹو کا لیما ٹیٹو کا لیما، جو کاچی-شوارز عدم مساوات کا براہ راست نتیجہ ہے، کہتا ہے کہ حقیقی اعداد کی کسی بھی ترتیب اور مثبت اعداد کی کسی بھی ترتیب کے لیے، ہم لیما آن اینڈ استعمال کرتے ہیں۔ یہ دیتا ہے، اس کے نتیجے میں، یعنی، ساتواں ثبوت: یکسانیت کا استعمال جیسا کہ عدم مساوات کا بائیں طرف یکساں ہے، ہم فرض کر سکتے ہیں۔ اب وضاحت کریں، اور۔ مطلوبہ عدم مساوات، یا، مساوی طور پر، میں بدل جاتی ہے۔ یہ واضح طور پر ٹیٹو کی لیما سے سچ ہے۔ آٹھواں ثبوت: جینسن عدم مساوات فنکشن کی وضاحت کریں اور اس پر غور کریں۔ اس فنکشن کو کنویکس میں دکھایا جا سکتا ہے اور، جینسن عدم مساوات کو مدعو کرتے ہوئے، ہمیں ایک سیدھا حساب نویں ثبوت دیتا ہے: دو متغیر عدم مساوات میں کمی ڈینومینیٹرز کو صاف کرنے سے، اب یہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے کہ، اس کے لیے تین بار خلاصہ کرنے اور ثبوت کو مکمل کرنے کے لیے۔ جیسا کہ ہم کر چکے ہیں۔ حوالہ جات آئن آئنسکو، رومانیہ کا ریاضیاتی گزٹ، جلد XXXII (15 ستمبر 1926-15 اگست 1927)، صفحہ 120 بیرونی لنکس اس عدم مساوات کے مزید ثبوت کے لیے اے او پی ایس دیکھیں۔ عدم مساوات