Fuchsian model
ریاضی میں، فوچیان ماڈل ایک فوچیان گروپ کے ذریعہ اوپری نصف سطح H کے حصص کے طور پر ہائپربولک ریمن سطح R کی نمائندگی ہے۔ ہر ہائپربولک ریمن سطح اس طرح کی نمائندگی کو تسلیم کرتی ہے۔ اس تصور کا نام لازارس فوکس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ایک زیادہ درست تعریف یونیفارمائزیشن تھیوریم کے مطابق، ریمن کی ہر سطح یا تو ایلیپٹک، پیرابولک یا ہائپربولک ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر یہ نظریہ بیان کرتا ہے کہ ایک ریمن سطح جو ریمن دائرے (الپٹک کیس) کے لیے آئسومورفک نہیں ہے یا ایک مجرد ذیلی گروپ (پیرابولک کیس) کے ذریعے پیچیدہ سطح کا حصص نہیں ہے، اسے مناسب طریقے سے منقطع اور آزادانہ طور پر کام کرنے والے ذیلی گروپ کے ذریعے ہائپربولک طیارہ کا حصص ہونا چاہیے۔ ہائپربولک پلین کے لیے پوئن کیئر ہاف پلین ماڈل میں بائیو ہولومورفک ٹرانسفارمیشنز کا گروپ ہوموگرافیوں کے ذریعے کام کرنے والا گروپ ہے، اور یونیفارمائزیشن تھیوریم کا مطلب ہے کہ ایک مجرد، ٹورسن سے پاک ذیلی گروپ موجود ہے جس سے ریمن کی سطح آئسومورفک ہے۔ اس طرح کے گروپ کو فوچیان گروپ کہا جاتا ہے، اور اس آئسومورفزم کو فوچیان ماڈل کہا جاتا ہے۔ فوچیان ماڈل اور ٹیچملر اسپیس آئیے ایک بند ہائپربولک سطح بنیں اور ایک فوچیان گروپ بنیں تاکہ یہ فوچیان ماڈل کے لیے ہو۔ اس سیٹ کو پوائنٹ وائز کنورجنس کی ٹوپولوجی کے ساتھ عطا کریں (جسے بعض اوقات "الجبرائی کنورجنس" کہا جاتا ہے)۔ اس خاص معاملے میں اس ٹوپولوجی کی تعریف سب سے زیادہ آسانی سے اس طرح کی جا سکتی ہے: گروپ حتمی طور پر پیدا ہوتا ہے کیونکہ یہ بنیادی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ایک جنریٹنگ سیٹ ہونے دیں: پھر کسی کا تعین عناصر کے ذریعہ کیا جاتا ہے اور اس لیے ہم نقشے کے ذیلی سیٹ کے ساتھ شناخت کر سکتے ہیں۔ پھر ہم اسے سب اسپیس ٹوپولوجی دیتے ہیں۔ نیلسن آئسومورفزم تھیوریم (یہ معیاری اصطلاحات نہیں ہے اور اس نتیجہ کا براہ راست تعلق ڈہن نیلسن تھیوریم سے نہیں ہے) اس کے بعد مندرجہ ذیل بیان ہے: ثبوت بہت آسان ہے: ہومیومورفزم کا انتخاب کریں اور اسے ہائپربولک پلین پر اٹھائیں۔ ڈفیومورفزم لینے سے نیم رسمی نقشہ حاصل ہوتا ہے کیونکہ یہ کمپیکٹ ہے۔ اس نتیجے کو ٹیچ مولر کی جگہ کے لیے دو ماڈلز کے درمیان مساوات کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: بنیادی گروپ کی مجرد وفادار نمائندگی کا مجموعہ ماڈیولو کنجوگیسی میں اور نشان زد ریمن سطحوں کا مجموعہ جہاں ایک کواسیکونفارم ہومیومورفزم ماڈیولو ایک قدرتی مساوات کا تعلق ہے۔ کلینین ماڈل بھی دیکھیں، جو 3-مینیفولڈ بنیادی کثیر الاضحی حوالہ جات متسوزاکی، کے۔ تانیگوچی، ایم۔: ہائپربولک مینیفولڈ اور کلینین گروپس کے لیے ایک ہم آہنگ تعمیر ہے۔ آکسفورڈ (1998)۔ ہائپربولک جیومیٹری ریمن سطحیں