Bethe lattice
شماریاتی میکانکس اور ریاضی میں، بیتھ جالی (جسے باقاعدہ درخت بھی کہا جاتا ہے) ایک لامحدود جڑا ہوا سائیکل سے پاک گراف ہے جہاں تمام عمودی حصوں میں پڑوسیوں کی تعداد یکساں ہوتی ہے۔ بیتھ جالی کو 1935 میں ہنس بیتھ نے طبیعیات کے ادب میں متعارف کرایا تھا۔ اس طرح کے گراف میں، ہر نوڈ z پڑوسیوں سے جڑا ہوا ہے ؛ فیلڈ کے لحاظ سے نمبر z کو کوآرڈینیشن نمبر یا ڈگری کہا جاتا ہے۔ اس کی مخصوص ٹپوولوجیکل ساخت کی وجہ سے، اس گراف پر جالی کے ماڈلز کے شماریاتی میکانکس کو اکثر دوسرے جالی کے مقابلے میں حل کرنا آسان ہوتا ہے۔ حل ان نظاموں کے لیے اکثر استعمال ہونے والے بیتھ انساتز سے متعلق ہیں۔ بنیادی خصوصیات بیتھ جالی کے ساتھ کام کرتے وقت، گراف کی مقامی خصوصیات پر غور کرتے وقت حوالہ نقطہ کے طور پر استعمال ہونے کے لیے، کسی دیئے گئے سرے کو جڑ کے طور پر نشان زد کرنا اکثر آسان ہوتا ہے۔ تہوں کے سائز ایک بار جب کسی سرے کو جڑ کے طور پر نشان زد کیا جاتا ہے، تو ہم دوسرے سرے کو جڑ سے ان کے فاصلے کی بنیاد پر تہوں میں گروپ کر سکتے ہیں۔ جڑ سے فاصلے پر چوٹیوں کی تعداد ہے، کیونکہ جڑ کے علاوہ ہر ایک چوٹی جڑ سے ایک بڑے فاصلے پر چوٹیوں سے متصل ہے، اور جڑ 1 کے فاصلے پر چوٹیوں سے متصل ہے۔ شماریاتی میکانکس میں بیتھ جالی شماریاتی میکانکس میں دلچسپی رکھتی ہے بنیادی طور پر اس لیے کہ بیتھ جالی پر جالی کے نمونوں کو دوسرے جالی کے مقابلے میں حل کرنا اکثر آسان ہوتا ہے، جیسے کہ دو جہتی مربع جالی۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ چکروں کی کمی کچھ زیادہ پیچیدہ تعاملات کو دور کرتی ہے۔ اگرچہ بیتھ جالی دیگر جالی کی طرح جسمانی مواد میں تعاملات کا قریب سے تخمینہ نہیں لگاتا ہے، پھر بھی یہ مفید بصیرت فراہم کر سکتا ہے۔ آئزنگ ماڈل فیرو میگنیٹزم کا ایک ریاضیاتی ماڈل ہے، جس میں کسی مادے کی مقناطیسی خصوصیات کو جالی کے ہر نوڈ پر "اسپن" کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، جو کہ + 1 یا-1 ہوتا ہے۔ ماڈل ایک مستقل سے بھی لیس ہے جو ملحقہ نوڈس کے درمیان تعامل کی طاقت کی نمائندگی کرتا ہے، اور ایک مستقل بیرونی مقناطیسی میدان کی نمائندگی کرتا ہے۔ بیتھ لیٹس پر آئزنگ ماڈل کی تعریف پارٹیشن فنکشن میگنیٹائزیشن کے ذریعے کی گئی ہے۔ مقامی مقناطیسیت کا حساب لگانے کے لیے، ہم ایک ورٹیکس کو ہٹا کر لیٹس کو کئی ایک جیسے حصوں میں توڑ سکتے ہیں۔ یہ ہمیں ایک تکرار کا رشتہ فراہم کرتا ہے جو ہمیں n خولوں کے ساتھ کیلی ٹری کی مقناطیسیت کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے (بیتھ جالی کا محدود ینالاگ) جہاں اور تکرار کے تعلق کو پورا کرنے کی اقدار۔ اس صورت میں جب نظام فیرومیگنیٹک ہوتا ہے، تو مذکورہ ترتیب یکجا ہو جاتی ہے، لہذا ہم بیتھ جالی پر مقناطیسیت کا اندازہ کرنے کے لیے حد لے سکتے ہیں۔ ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ x کہاں کا حل ہے۔ اس مساوات کے 1 یا 3 حل ہیں۔ اس صورت میں جہاں 3 ہیں، ترتیب سب سے چھوٹی کب اور سب سے بڑی کب میں ضم ہو جائے گی۔ آزاد توانائی آئزنگ ماڈل میں جالی کے ہر مقام پر مفت توانائی f پہلے کی طرح، کہاں اور ہے کے ذریعے دی جاتی ہے۔ ریاضی میں بے ترتیب چہل قدمی کا واپسی کا امکان اس بات کا امکان ہے کہ کسی دیئے گئے سرے سے شروع ہونے والی ڈگری کی جالی پر بے ترتیب چہل قدمی بالآخر اس سرے پر واپس آتی ہے۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے، اگر ہم کچھ فاصلے پر ہیں تو اپنے ابتدائی مقام پر واپس آنے کا امکان ہونے دیں۔ ہمارے پاس سب کے لیے تکرار کا تعلق ہے، کیونکہ ابتدائی سرے کے علاوہ ہر مقام پر ابتدائی سرے سے دور جانے والے کنارے ہوتے ہیں اور 1 کنارہ اس کی طرف جاتا ہے۔ اس مساوات کو مجموعی طور پر خلاصہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے۔ ہمارے پاس ہے، جیسا کہ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ہم ابھی ابتدائی سرے پر واپس آئے ہیں، لہذا، یہ وہ قدر ہے جو ہم چاہتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ دو جہتی مربع جالی پر بے ترتیب چلنے کے معاملے کے بالکل برعکس ہے، جس میں مشہور طور پر 1 کی واپسی کا امکان ہے۔ اس طرح کی جالی 4-باقاعدہ ہوتی ہے، لیکن 4-باقاعدہ بیتھ جالی کی واپسی کا امکان 1/3 ہوتا ہے۔ بند چہل قدمی کی تعداد نیچے سے ڈگری کے ساتھ بیتھ لیٹیس کے دیئے گئے سرے سے شروع ہونے والی لمبائی کی بند چہل قدمی کی تعداد کو آسانی سے باندھ سکتا ہے۔ ہر قدم کو یا تو ایک بیرونی قدم (ابتدائی سرے سے دور) یا اندرونی قدم (ابتدائی سرے کی طرف) کے طور پر غور کرنے سے، ہم دیکھتے ہیں کہ لمبائی کے کسی بھی بند قدم میں بالکل بیرونی قدم اور اندرونی قدم ہونے چاہئیں۔ ہو سکتا ہے کہ ہم نے کسی بھی مقام پر بیرونی قدموں سے زیادہ اندرونی قدم نہ اٹھائے ہوں، اس لیے قدم کی سمتوں (یا تو اندر یا باہر) کی ترتیبات کی تعداد th کاتالان نمبر سے دی جاتی ہے۔ ہر بیرونی قدم کے لیے کم از کم انتخاب ہوتے ہیں، اور ہر اندرونی قدم کے لیے ہمیشہ بالکل 1 انتخاب ہوتا ہے، اس لیے بند چہل قدمی کی تعداد کم از کم ہوتی ہے۔ یہ باؤنڈ تنگ نہیں ہے، کیونکہ اصل میں ابتدائی سرے سے بیرونی قدم کے لیے انتخاب موجود ہیں، جو شروع میں اور چہل قدمی کے دوران کسی بھی وقت ہوتا ہے۔ چہل قدمی کی صحیح تعداد کا حساب لگانا مشکل ہے، اور یہ اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں گاؤس ہائپر جیومیٹرک فنکشن ہے۔ ہم اس حقیقت کو-ریگولر گراف کی دوسری سب سے بڑی آئجن ویلیو کو باندھنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ چلو عمودی کے ساتھ ایک باقاعدہ گراف، اور اس کے ملحقہ میٹرکس ہونے دو. پھر لمبائی کے بند راستوں کی تعداد ہے۔ بند چہل قدمی کی تعداد کم از کم کسی خاص سرے سے شروع ہونے والی ڈگری کے ساتھ بیتھ جالی پر بند چہل قدمی کی تعداد سے کئی گنا زیادہ ہے، کیونکہ ہم بیتھ جالی پر چہل قدمی کا نقشہ بنا سکتے ہیں اور اس پر چہل قدمی کا نقشہ کسی دیئے گئے سرے سے شروع کر سکتے ہیں اور صرف ان راستوں پر واپس جا سکتے ہیں جو پہلے سے چل رہے تھے۔ اکثر زیادہ چہل قدمی ہوتی ہے، کیونکہ ہم اضافی چہل قدمی کرنے کے لیے سائیکلوں کا استعمال کر سکتے ہیں۔ کی سب سے بڑی آئجین ویلیو ہے، اور کسی آئجین ویلیو کی دوسری سب سے بڑی مطلق ویلیو ہونے کی وجہ سے، ہمارے پاس یہ ہے۔ یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ جیسے جیسے ترقی ہوتی ہے، ہم یہ دیکھنے کے مقابلے میں بہت تیزی سے بڑھنے دے سکتے ہیں کہ صرف محدود طور پر بہت سے باقاعدہ گراف ہیں جن کے لیے کسی آئجن ویلیو کی دوسری سب سے بڑی مطلق قیمت زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے، کسی کے لیے بھی۔ یہ (n, d, λ) گراف کے مطالعہ میں ایک دلچسپ نتیجہ ہے۔ کیلی گراف اور کیلی کے درختوں سے تعلق یکساں ہم آہنگی نمبر 2n کا ایک بیتھ گراف فری جنریٹنگ سیٹ کے حوالے سے رینک n کے فری گروپ کے غیر متزلزل کیلی گراف کے لیے آئسومورفک ہے۔ جھوٹ گروپوں میں جالیں بیتھ جالیں بعض ہائپربولک جھوٹ گروپوں کے مجرد ذیلی گروپوں کے طور پر بھی پائی جاتی ہیں، جیسے کہ فوچیائی گروپ۔ اس طرح، وہ لائ گروپ میں جالی کے معنی میں بھی جالی ہیں۔ کرسٹل حوالہ جات جالی ماڈل درخت (گراف تھیوری) بھی دیکھیں۔