Screw theory
سکرو تھیوری ویکٹروں کے جوڑوں کا الجبرائی حساب ہے، جیسے قوتیں اور لمحات یا کونیی اور لکیری رفتار، جو متحرک اجسام کے حرکیات اور حرکیات میں پیدا ہوتے ہیں۔ ریاضیاتی فریم ورک کو سر رابرٹ اسٹاویل بال نے 1876 میں کینیمیٹکس اور میکانزم کے اسٹیٹکس (سخت باڈی میکانکس) میں استعمال کے لیے تیار کیا تھا۔ سکرو تھیوری لکیروں کی جیومیٹری کے لیے ایک ریاضیاتی تشکیل فراہم کرتی ہے جو سخت جسم کی حرکیات کا مرکز ہے، جہاں لکیریں مقامی حرکت کے سکرو محور اور قوتوں کے عمل کی لکیریں بناتی ہیں۔ ویکٹرز کی جوڑی جو کسی لائن کے پلکر کوآرڈینیٹس بناتی ہے وہ یونٹ سکرو کی وضاحت کرتی ہے، اور عام پیچ حقیقی اعداد کے جوڑے سے ضرب اور ویکٹرز کے اضافے سے حاصل کیے جاتے ہیں۔ سکرو تھیوری کا ایک اہم نتیجہ یہ ہے کہ ویکٹروں کا استعمال کرتے ہوئے پوائنٹس کے لیے ہندسی حسابات میں ویکٹروں کو پیچ سے تبدیل کرکے حاصل کردہ لائنوں کے لیے متوازی ہندسی حسابات ہوتے ہیں۔ اسے منتقلی کا اصول کہا جاتا ہے۔ سکرو تھیوری روبوٹ میکانکس، مکینیکل ڈیزائن، کمپیوٹیشنل جیومیٹری اور ملٹی باڈی ڈائنامکس میں ایک اہم ذریعہ بن گیا ہے۔ یہ جزوی طور پر پیچ اور دوہری چوتھائیوں کے درمیان تعلقات کی وجہ سے ہے جو سخت جسم کی حرکتوں کو انٹرپولیٹ کرنے کے لیے استعمال کیے گئے ہیں۔ سکرو تھیوری کی بنیاد پر، متوازی میکانزم (متوازی ہیرا پھیری یا متوازی روبوٹ) کی قسم کی ترکیب کے لیے ایک موثر نقطہ نظر بھی تیار کیا گیا ہے۔ بنیادی نظریات میں پوئنسوٹ تھیوریم (لوئس پوئنسوٹ، 1806) اور چیسلز تھیوریم (مشیل چیسلز، 1832) شامل ہیں۔ فیلکس کلین نے سکرو تھیوری کو ایلیپٹک جیومیٹری اور اپنے ایرلینجن پروگرام کے اطلاق کے طور پر دیکھا۔ انہوں نے ایلیپٹک جیومیٹری، اور کیلی-کلین میٹرک کے ساتھ یوکلڈین جیومیٹری کا ایک نیا نظریہ بھی تیار کیا۔ ایک وان اسٹاؤڈ کونک اور میٹرک کے لیے سمیٹرک میٹرکس کا استعمال، جو پیچ پر لگایا جاتا ہے، ہاروی لپکن نے بیان کیا ہے۔ دیگر نمایاں شراکت داروں میں جولیس پلکر، ڈبلیو کے کلفورڈ، ایف ایم ڈمنٹبرگ، کینتھ ایچ ہنٹ، جے آر فلپس شامل ہیں۔ بنیادی تصورات ایک سخت جسم کی مقامی نقل مکانی کی تعریف ایک لکیر کے گرد گردش اور اسی لکیر کے ساتھ ترجمہ سے کی جا سکتی ہے، جسے سکرو نقل مکانی کہا جاتا ہے۔ اسے چیسلز تھیوریم کہا جاتا ہے۔ سکرو کی نقل مکانی کی وضاحت کرنے والے چھ پیرامیٹرز پلکر ویکٹر کے چار آزاد اجزاء ہیں جو سکرو محور کی وضاحت کرتے ہیں، اس لائن کے ساتھ گردش کے زاویے اور لکیری سلائیڈ کے ساتھ مل کر، اور ویکٹروں کا ایک جوڑا بناتے ہیں جسے سکرو کہا جاتا ہے۔ موازنہ کے لیے، چھ پیرامیٹرز جو ایک مقامی نقل مکانی کی وضاحت کرتے ہیں وہ تین اویلر زاویوں سے بھی دیے جا سکتے ہیں جو گردش اور ترجمہ ویکٹر کے تین اجزاء کی وضاحت کرتے ہیں۔ سکرو ایک چھ جہتی ویکٹر ہے جو تین جہتی ویکٹروں کے جوڑے سے بنایا گیا ہے، جیسے کہ قوتیں اور ٹارک اور لکیری اور کونیی رفتار، جو مقامی سخت جسم کی حرکت کے مطالعہ میں پیدا ہوتی ہے۔ سکرو کے اجزاء خلا میں ایک لائن کے پلکر کوآرڈینیٹس اور اس لائن کے ارد گرد لائن اور مومنٹ کے ساتھ ویکٹر کے طول و عرض کی وضاحت کرتے ہیں۔ موڑ ایک سکرو ہے جو ایک محور کے ارد گرد کونیی رفتار اور اس محور کے ساتھ لکیری رفتار کے طور پر ایک سخت جسم کی رفتار کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ جسم کے تمام نکات میں محور کے ساتھ رفتار کا ایک ہی جزو ہوتا ہے، تاہم محور سے جتنا زیادہ فاصلہ ہوگا اس محور پر عمودی سطح میں رفتار اتنی ہی زیادہ ہوگی۔ اس طرح، حرکت پذیر سخت باڈی میں رفتار ویکٹرز کے ذریعہ تشکیل پانے والا ہیلیکوڈیل فیلڈ چپٹا ہو جاتا ہے جس طرح آگے پوائنٹس موڑ کے محور سے ریڈیئل ہوتے ہیں۔ باڈی میں وہ نکات جو مستقل موڑ حرکت سے گزر رہے ہیں، فکسڈ فریم میں ہیلیکس کا سراغ لگاتے ہیں۔ اگر اس سکرو حرکت میں صفر پچ ہے تو ٹریجیکٹوریز حلقوں کا سراغ لگاتے ہیں، اور حرکت خالص گردش ہے۔ اگر سکرو موشن میں لامحدود پچ ہے تو ٹریجیکٹوریز ایک ہی سمت میں تمام سیدھی لکیریں ہیں۔ رنچ وہ قوت اور ٹارک ویکٹر جو نیوٹن کے قوانین کو کسی سخت جسم پر لاگو کرنے میں پیدا ہوتے ہیں انہیں رنچ نامی سکرو میں جمع کیا جا سکتا ہے۔ ایک قوت کے اطلاق کا ایک نقطہ اور عمل کی ایک لکیر ہوتی ہے، اس لیے یہ خلا میں ایک لکیر کے پلکر نقاط کی وضاحت کرتی ہے اور اس کی پچ صفر ہوتی ہے۔ دوسری طرف ٹارک ایک خالص لمحہ ہے جو خلا میں کسی لکیر سے جڑا نہیں ہوتا ہے اور یہ ایک لامحدود پچ سکرو ہے۔ ان دو طول و عرض کا تناسب سکرو کی پچ کی وضاحت کرتا ہے۔ پیچ کا الجبرا ایک سکرو کو ایک ترتیب شدہ جوڑا ہونے دیں جہاں اور تین جہتی حقیقی ویکٹر ہیں۔ ان ترتیب شدہ جوڑوں کا مجموعہ اور فرق اجزاء کے لحاظ سے شمار کیا جاتا ہے۔ پیچ کو اکثر دوہری ویکٹر کہا جاتا ہے۔ اب، حقیقی اعداد کے ترتیب شدہ جوڑے کو متعارف کروائیں â = (a، b) جسے دوہری اسکیلر کہا جاتا ہے۔ ان اعداد کے اضافے اور تخفیف کو جزو کے لحاظ سے ہونے دیں، اور ضرب کی تعریف اس طرح کریں کہ سکرو S = (S, V) کا دوہری اسکیلر سے ضرب Â = (a, b) کو جزو کے لحاظ سے شمار کیا جاتا ہے، آخر میں، فارمولوں کے ذریعے سکرو کے ڈاٹ اور کراس پروڈکٹ کو متعارف کروائیں: جو ایک دوہری اسکیلر ہے، اور جو ایک سکرو ہے۔ پیچ کے ڈاٹ اور کراس پروڈکٹ ویکٹر الجبرا کی شناختوں کو مطمئن کرتے ہیں، اور ویکٹرز کے الجبرا میں براہ راست متوازی حسابات کی اجازت دیتے ہیں۔ دوہری اسکیلر = (φ، d) کو دوہری زاویے کی وضاحت کرنے دیں، پھر سائن اور کوسین کی لامحدود سیریز کی تعریفیں وہ تعلقات پیدا کرتی ہیں جو دوہری اسکیلر بھی ہیں۔ عام طور پر، دوہری متغیر کی تقریب کی تعریف f (′) = (f (φ)، df′ (φ)) کے طور پر کی جاتی ہے، جہاں df′ (φ) f (φ) کا مشتق ہے۔ یہ تعریفیں مندرجہ ذیل نتائج کی اجازت دیتی ہیں: یونٹ سکرو ایک لکیر کے پلکر کوآرڈینیٹ ہوتے ہیں اور اس تعلق کو پورا کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ P قوت F کے اطلاق کا نقطہ ہے اور P کو ایک مقررہ فریم میں اس نقطہ کا پتہ لگانے والا ویکٹر ہونے دیں۔ رنچ W = (F، P × F) ایک سکرو ہے۔ ایک سخت باڈی پر عمل کرنے والی تمام قوتوں فائی، i = 1،., n سے حاصل ہونے والی نتیجہ خیز قوت اور مومنٹ محض انفرادی رنچز وائی کا مجموعہ ہے، یعنی نوٹ کریں کہ دو مساوی لیکن مخالف قوتوں F اور −F کی صورت میں بالترتیب پوائنٹس A اور B پر کام کرنے سے نتیجہ برآمد ہوتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ شکل کے پیچوں کو خالص لمحات کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ موڑ ایک سخت جسم کے موڑ کی وضاحت کرنے کے لیے، ہمیں اس کی حرکت پر غور کرنا چاہیے جس کی وضاحت مقامی نقل مکانی کے پیرامیٹرائزڈ سیٹ، D (t) = ([A (t)]، d (t) سے ہوتی ہے، جہاں [A] ایک گردش میٹرکس ہے اور d ایک ترجمہ ویکٹر ہے۔ یہ ایک نقطہ p کا سبب بنتا ہے جو حرکت پذیر باڈی کوآرڈینیٹس میں فکسڈ فریم میں ایک منحنی خطوط P (t) کا سراغ لگانے کے لیے فکسڈ ہوتا ہے، P کی رفتار وہ جگہ ہے جہاں v حرکت پذیر فریم کی ابتدا کی رفتار ہے، یعنی dd/dt۔ اب حاصل کرنے کے لیے اس مساوات میں p = [AT] (P−d) کو تبدیل کریں، جہاں [ω] = [dA/dt] [AT] کونیی رفتار میٹرکس ہے اور ω کونیی رفتار ویکٹر ہے۔ سکرو حرکت پذیر جسم کا موڑ ہے۔ ویکٹر V = v + d × ω جسم میں اس نقطہ کی رفتار ہے جو مقررہ فریم کی ابتدا سے مطابقت رکھتی ہے۔ دو اہم خاص صورتیں ہیں: (i) جب d مستقل ہے، یعنی v = 0 ہے، تو موڑ ایک لکیر کے ارد گرد خالص گردش ہے، پھر موڑ ہے اور (ii) جب [ω] = 0 ہے، یعنی باڈی گھومتی نہیں ہے بلکہ صرف v کی سمت میں سلائڈ کرتی ہے، تو موڑ ایک خالص سلائیڈ ہے جو کہ ریولیوٹ جوڑوں کے ذریعہ دی گئی ہے۔ ایک ریولیوٹ جوڑے کے لیے، گردش کے محور کو نقطہ q سے گزرنے دیں اور ویکٹر ω کے ساتھ ہدایت کی جائے، پھر جوڑوں کے لیے موڑ، پریسمٹک جوڑوں کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ایک پریسمٹک جوڑوں کے لیے، ویکٹر v کو سلائیڈ کی سمت کی وضاحت کرنے دیں، پھر جوڑوں کے لیے موڑ اس طرح دیا جاتا ہے، پیچ کے لیے مربوط تبدیلیاں۔ کسی شے کی نقل مکانی کی تعریف D = ([A]، d) سے کی جائے، جہاں [A] گردش میٹرکس ہے اور d ترجمہ ویکٹر ہے۔ جسم میں دو پوائنٹس p اور q کی طرف سے بیان کردہ لکیر پر غور کریں، جس میں پلکر کوآرڈینیٹس ہیں، پھر فکسڈ فریم میں ہمارے پاس تبدیل شدہ پوائنٹ کوآرڈینیٹس P = [A] p + d اور Q = [A] q + d ہیں، جو حاصل کرتے ہیں۔ اس طرح، ایک مقامی نقل مکانی پلکر کے نقاط کی طرف سے دی گئی لائنوں کے لیے تبدیلی کی وضاحت کرتی ہے۔ میٹرکس [D] اسکیو-سمیٹرک میٹرکس ہے جو کراس پروڈکٹ آپریشن انجام دیتا ہے، یعنی [D] y = d × y۔ مقامی نقل مکانی D = ([A]، d) سے حاصل کردہ 6 × 6 میٹرکس کو دوہری میٹرکس میں جمع کیا جا سکتا ہے جو حاصل کرنے کے لیے سکرو s = (s. v.) پر چلتا ہے، دوہری میٹرکس [Â] = ([A]، [DA]) میں ڈیٹرمیننٹ 1 ہوتا ہے اور اسے دوہری آرتھوگنل میٹرکس کہا جاتا ہے۔ جھوٹے الجبرا کے عناصر کے طور پر موڑ ایک سخت جسم کی حرکت پر غور کریں جس کی وضاحت پیرامیٹرائزڈ 4x4 یکساں تبدیلی سے ہوتی ہے، یہ اشارہ P = (X, Y, Z, 1)، اور P = (X, Y, Z) کے درمیان فرق نہیں کرتا ہے، جو امید ہے کہ سیاق و سباق میں واضح ہے۔ اس حرکت کی رفتار کو جسم میں پوائنٹس کے راستوں کی رفتار کا حساب لگا کر بیان کیا جاتا ہے، ڈاٹ وقت کے حوالے سے مشتق کی نشاندہی کرتا ہے، اور چونکہ p مستقل ہے اس لیے اس کا مشتق صفر ہے۔ اس کے راستے P (t) پر کام کرکے P کی رفتار حاصل کرنے کے لیے p کے لیے الٹا تبدیلی کو رفتار کی مساوات میں تبدیل کریں، یہی وہ جگہ ہے جہاں یاد رکھیں کہ [ω] کونیی رفتار میٹرکس ہے۔ میٹرکس [S] یکساں تبدیلیوں کے لائ گروپ ایس ای (3) کے لائ الجبرا سی (3) کا ایک عنصر ہے۔ [S] کے اجزاء موڑ سکرو کے اجزاء ہیں، اور اسی وجہ سے [S] کو اکثر موڑ بھی کہا جاتا ہے۔ میٹرکس [S] کی تعریف سے، ہم عام تفریق مساوات تشکیل دے سکتے ہیں، اور حرکت [T (t)] کے لیے پوچھ سکتے ہیں جس میں مستقل موڑ میٹرکس [S] ہو۔ حل میٹرکس ایکسپونینشیل ہے۔ اس فارمولیشن کو اس طرح عام کیا جا سکتا ہے کہ ایس ای (این) میں ابتدائی ترتیب جی (0)، اور سی (این) میں موڑ، ایک نئے مقام اور واقفیت میں یکساں تبدیلی کو فارمولے کے ساتھ شمار کیا جا سکتا ہے، جہاں θ تبدیلی کے پیرامیٹرز کی نمائندگی کرتا ہے۔ سکرو بذریعہ عکاسی تبدیلی کی جیومیٹری میں، تبدیلی کا بنیادی تصور عکاسی (ریاضی) ہے۔ پلانر ٹرانسفارمیشنز میں ایک ترجمہ متوازی لکیروں میں عکاسی کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے، اور گردش ایک دوسرے کو عبور کرنے والی لکیروں کے جوڑے میں عکاسی کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے۔ اسی طرح کے تصورات سے سکرو کی تبدیلی پیدا کرنے کے لیے کسی کو خلا میں طیاروں کا استعمال کرنا چاہیے: متوازی طیاروں کو سکرو محور کے لیے عمودی ہونا چاہیے، جو کہ ایک دوسرے کو عبور کرنے والے طیاروں کے چوراہے کی لکیر ہے جو سکرو کی گردش پیدا کرتی ہے۔ اس طرح طیاروں میں چار عکاسی سکرو کی تبدیلی کو متاثر کرتی ہیں۔ الٹا جیومیٹری کی روایت پروجیکٹو جیومیٹری کے کچھ نظریات کو ادھار لیتی ہے اور تبدیلی کی ایک ایسی زبان فراہم کرتی ہے جو تجزیاتی جیومیٹری پر منحصر نہیں ہے۔ ہومگرافی سکرو کی نقل مکانی سے متاثر ہونے والی گردش کے ساتھ ترجمہ کے امتزاج کو ایکسپونینشیل میپنگ کے ساتھ واضح کیا جا سکتا ہے۔ ٹرانسفارمیشن جیومیٹری میں یہ خیال سوفس لی نے ایک صدی سے بھی پہلے پیش کیا تھا۔ اس سے پہلے بھی، ولیم روون ہیملٹن نے اکائی کواٹرنیئنز کی ورسر شکل کو ایکسپ (اے آر) = کوس اے + آر سین اے کے طور پر ظاہر کیا۔ یہ خیال یولر کے فارمولے میں بھی ہے جو پیچیدہ سطح میں اکائی کے دائرے کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ چونکہ ε2 = 0 دوہری اعداد کے لیے، ایکسپ (aε) = 1 + aε، ایکسپونینشیل سیریز کی دیگر تمام اصطلاحات غائب ہو رہی ہیں۔ فرض کریں کہ F = {1 + εr: r bul H}، ε2 = 0۔ نوٹ کریں کہ F گردش q → p−1 qp کے تحت اور ترجمہ (1 + εr) (1 + εs) = 1 + ε (r + s) کے تحت کسی بھی ویکٹر کواٹرنیئنز r اور s کے لیے مستحکم ہے۔ F دوہری کواٹرنیئنز کی آٹھ جہتی جگہ میں ایک 3 فلیٹ ہے۔ یہ 3-فلیٹ F جگہ کی نمائندگی کرتا ہے، اور تعمیر شدہ ہوموگرافی، F تک محدود، جگہ کی سکرو نقل مکانی ہے۔ a کو محور r کے ارد گرد مطلوبہ موڑ کا نصف زاویہ اور سکرو محور پر نقل مکانی کا نصف زاویہ ہونے دیں۔ پھر z = exp ((a + bε) r) اور z * = exp ((a − bε) r) بنائیں۔ اب ہوماگرافی ہے z * کا الٹا ایسا ہے، ہوماگرافی q کو q بھیجتی ہے۔ ولیم کنگڈن کلفورڈ نے حرکیات کے لیے دوہری چوتھائیوں کے استعمال کا آغاز کیا، اس کے بعد الیگزینڈر کوٹلنیکوف، ایڈورڈ اسٹڈی (جیومیٹری ڈیر ڈائنمین)، اور ولہیم بلاشکے آئے۔ تاہم، سوفس لائی کا نقطہ نظر دہرایا گیا ہے۔ 1940 میں، جولین کولج نے جیومیٹریکل طریقوں کی تاریخ کے صفحہ 261 پر سکرو کی نقل مکانی کے لیے دوہری چوتھائیوں کے استعمال کو بیان کیا۔ انہوں نے آرتھر بوکھیم کے 1885 کے تعاون کو نوٹ کیا۔ کولج نے اپنی تفصیل صرف ان اوزاروں پر مبنی کی جو ہیملٹن نے حقیقی کواٹرنیئنز کے لیے استعمال کیے تھے۔ ظاہر ہے کہ دوہری کواٹرنیئن کے دائرے کی اکائیوں کا گروپ ایک لائ گروپ ہے۔ ایک ذیلی گروپ میں لائ الجبرا ہوتا ہے جو پیرامیٹرز a r اور b s سے پیدا ہوتا ہے، جہاں a، b ω R، اور r، s ω H۔ یہ چھ پیرامیٹرز یونٹس کا ایک ذیلی گروپ، یونٹ سپیئر پیدا کرتے ہیں۔ یقینا اس میں F اور ورسرز کا 3-دائرہ شامل ہے۔ کسی سخت باڈی پر عمل کرنے والی قوتوں کا کام F1، F2 قوتوں کے مجموعے پر غور کریں۔ Fn ایک سخت باڈی میں X1، X2، Xn پوائنٹس پر عمل کرتا ہے۔ xi، i = 1،.، n کے راستوں کی تعریف گردش [A (t)] کے ساتھ سخت جسم کی حرکت اور جسم میں ایک حوالہ نقطہ کے ترجمہ d (t) سے کی جاتی ہے، جہاں xi حرکت پذیر جسم میں نقاط ہیں۔ ہر نقطہ xi کی رفتار وہ ہے جہاں ω کونیی رفتار ویکٹر ہے اور v d (t) کا مشتق ہے۔ ہر نقطہ کی نقل مکانی δri = viδt پر قوتوں کا کام اس کے ذریعے دیا جاتا ہے کہ حرکت پذیر باڈی کے موڑ کے لحاظ سے ہر نقطہ کی رفتار کی وضاحت کریں تاکہ یہ مساوات حاصل کی جا سکے۔ اس مساوات کو وسعت دیں اور حاصل کرنے کے لیے ω اور v کے گتانک جمع کریں۔ حرکت پذیر باڈی کے موڑ کا تعارف کریں اور اس کے بعد اس پر کام کرنے والی رنچ شکل اختیار کرتی ہے۔ 6 × 6 میٹرکس [Π] پیچ کا استعمال کرتے ہوئے کام کے حساب کو آسان بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے، تاکہ جہاں اور [I] 3 × 3 شناختی میٹرکس ہو۔ باہمی پیچ اگر موڑ پر رنچ کا ورچوئل کام صفر ہے، تو رنچ کی قوتیں اور ٹارک موڑ کے مقابلے میں رکاوٹ قوتیں ہیں۔ رنچ اور موڑ کو باہمی کہا جاتا ہے، یعنی اگر پیچ W اور T باہمی ہوں۔ روبوٹکس میں موڑ روبوٹک نظام کے مطالعہ میں موڑ کے اجزاء کو اکثر کام کے حساب میں 6 × 6 میٹرکس [Π] کی ضرورت کو ختم کرنے کے لیے منتقل کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں موڑ کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ کام کا حساب اس شکل اختیار کرتا ہے۔ اس صورت میں، اگر رنچ ڈبلیو موڑ ٹی کے ساتھ باہمی ہے۔ یہ بھی دیکھیں سکرو محور نیوٹن-اویلر مساوات جسم کی سخت حرکتوں اور لوڈنگ کو بیان کرنے کے لیے پیچ کا استعمال کرتی ہیں۔ موڑ (ریاضی) موڑ (عقلی مثلث) حوالہ جات بیرونی روابط جو رونی ولیم کنگڈن کلفورڈ، ڈیپارٹمنٹ آف ڈیزائن اینڈ انوویشن، اوپن یونیورسٹی، لندن۔ روی بناور روبوٹکس، جیومیٹری اور کنٹرول مکینیکل انجینئرنگ میکینکس پر نوٹ کرتے ہیں۔