Cyclic homology
غیر متغیر جیومیٹری اور ریاضی کی متعلقہ شاخوں میں، سائکلک ہومیولوجی اور سائکلک کوہمولوجی ایسوسی ایٹیو الجبرا کے لیے کچھ (شریک) ہومیولوجی نظریات ہیں جو کئی گنا کی ڈی رام (شریک) ہومیولوجی کو عام کرتے ہیں۔ ان تصورات کو 1980 کی دہائی میں بورس سیگن (ہومیولوجی) اور ایلین کونس (کوہمولوجی) نے آزادانہ طور پر متعارف کرایا تھا۔ ان غیر متغیرات کے ریاضی کی کئی پرانی شاخوں کے ساتھ بہت سے دلچسپ تعلقات ہیں، جن میں ڈی رام تھیوری، ہوکسچلڈ (کو) ہومیولوجی، گروپ کوہمولوجی، اور کے تھیوری شامل ہیں۔ نظریہ کی ترقی میں تعاون کرنے والوں میں میکس کروبی، یوری ایل ڈیلیٹسکی، بورس فیگن، جین لوک برائلنسکی، ماریس ووڈزکی، جین لوئس لوڈے، وکٹر نسٹور، ڈینیل کویلن، جوآخم کنٹز، رسزارڈ نیسٹ، رالف میئر، اور مائیکل پشنیگ شامل ہیں۔ تعریف کے بارے میں اشارے خصوصیت صفر کے میدان پر ایک رنگ اے کی چکور ہم آہنگی کی پہلی تعریف، جسے ایچ سی این (اے) یا ایچ این ایل (اے) سے ظاہر کیا جاتا ہے، اے کے ہوکسچلڈ ہومیولوجی کمپلیکس سے متعلق مندرجہ ذیل واضح سلسلہ کمپلیکس کے ذریعے آگے بڑھا، جسے کونس کمپلیکس کہا جاتا ہے: کسی بھی قدرتی نمبر این ≤ 0 کے لیے، آپریٹر کی وضاحت کریں جو اے کے این-th ٹینسر پروڈکٹ پر قدرتی چکور کارروائی پیدا کرتا ہے: یاد رکھیں کہ اے کے ہوکسچلڈ کمپلیکس گروپوں کو خود اے میں کوفیشنٹس کے ساتھ ترتیب دے کر دیا جاتا ہے۔ پھر کونس کمپلیکس کے اجزاء کو اس طرح بیان کیا گیا ہے، اور تفریق اس حصص کے لیے ہوکسچلڈ تفریق کی پابندی ہے۔ کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ ہوکسچلڈ تفریق واقعی سکے متغیرات کی اس جگہ کو مدنظر رکھتی ہے۔ کونس نے بعد میں ایک ابیلین زمرے میں سائیکلک آبجیکٹ کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے سائیکلک ہومیولوجی کے لیے ایک زیادہ واضح نقطہ نظر پایا، جو سادہ آبجیکٹ کے تصور سے مشابہت رکھتا ہے۔ اس طرح، سائیکلک ہومیولوجی (اور کوہمولوجی) کی تشریح ایک اخذ شدہ فنکٹر کے طور پر کی جا سکتی ہے، جس کا واضح طور پر حساب (بی، بی)-بائیکمپلیکس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ اگر فیلڈ k عقلی اعداد پر مشتمل ہے، تو کونس کمپلیکس کے لحاظ سے تعریف اسی ہم آہنگی کا حساب لگاتی ہے۔ سائیکلک ہومیولوجی کی نمایاں خصوصیات میں سے ایک ہوکسچلڈ اور سائیکلک ہومیولوجی کو جوڑنے والی ایک لمبی عین ترتیب کا وجود ہے۔ اس طویل عین مطابق ترتیب کو وقتا فوقتا ترتیب کہا جاتا ہے۔ کمیوٹیٹیو بجتوں کا معاملہ کمیوٹیٹیو الجبرا کی سائیکلک کوہمولوجی خصوصیت صفر کے فیلڈ k پر ایک افائن الجبرائی قسم پر باقاعدہ افعال کا حساب گروتھینڈیک کے الجبرائی ڈی رام کمپلیکس کے لحاظ سے لگایا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اگر V = Spec A کی قسم ہموار ہے، تو A کی چکور ہم آہنگی کا اظہار V کی ڈی رام ہم آہنگی کے لحاظ سے کیا جاتا ہے: یہ فارمولا غیر متغیر الجبرا A کے 'غیر متغیر سپیکٹرم' کے لیے ڈی رام ہم آہنگی کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ تجویز کرتا ہے، جسے کونس نے بڑے پیمانے پر تیار کیا تھا۔ سائیکلک ہومیولوجی کے متغیرات سائیکلک ہومیولوجی کا ایک محرک کے تھیوری کے تخمینے کی ضرورت تھی جس کی وضاحت، کے تھیوری کے برعکس، ایک سلسلہ کمپلیکس کی ہومیولوجی کے طور پر کی گئی ہے۔ سائیکلک کوہمولوجی درحقیقت کے تھیوری کے ساتھ جوڑی سے مالا مال ہے، اور امید ہے کہ یہ جوڑی غیر انحطاط پذیر ہوگی۔ متعدد اقسام کی وضاحت کی گئی ہے جن کا مقصد ٹوپولوجی کے ساتھ الجبرا کے ساتھ بہتر فٹ ہونا ہے، جیسے فریچیٹ الجبرا،-الجبرا وغیرہ۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کے تھیوری بغیر کسی اضافی ساخت کے الجبرا کے مقابلے میں ٹپوولوجیکل الجبرا جیسے بناچ الجبرا یا سی * الجبرا پر بہت بہتر برتاؤ کرتی ہے۔ چونکہ، دوسری طرف، سائیکلک ہومیولوجی C *-algebras پر انحطاط پذیر ہوتی ہے، اس لیے ترمیم شدہ نظریات کی وضاحت کرنے کی ضرورت پیش آئی۔ ان میں ایلن کونس کی وجہ سے مکمل سائیکلک ہومیولوجی، رالف میئر کی وجہ سے تجزیاتی سائیکلک ہومیولوجی یا مائیکل پشنیگ کی وجہ سے ایسمپٹوٹک اور مقامی سائیکلک ہومیولوجی شامل ہیں۔ آخری ایک کے تھیوری کے بہت قریب ہے کیونکہ یہ کے کے تھیوری کے دو متغیر چرن کردار سے مالا مال ہے۔ ایپلی کیشنز سائیکلک ہومیولوجی کی ایپلی کیشنز میں سے ایک اتیا-سنگر انڈیکس تھیوریم کے نئے ثبوت اور عمومی معلومات تلاش کرنا ہے۔ ان عامیوں میں اسپیکٹرل ٹرپل پر مبنی انڈیکس تھیوریمز اور پوئسون ڈھانچوں کی اخترتی کی مقدار شامل ہیں۔ ایک کمپیکٹ ہموار کئی گنا پر ایک الپٹک آپریٹر D K ہومیولوجی میں کلاس کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کلاس کا ایک غیر متغیر آپریٹر کا تجزیاتی اشاریہ ہے۔ اسے ایچ سی (سی (ایم)) میں عنصر 1 کے ساتھ کلاس [ڈی] کی جوڑی کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ سائیکلک کوہمولوجی کو نہ صرف ہموار کئی گنا کے لیے بلکہ غیر متغیر جیومیٹری میں ظاہر ہونے والے پودوں، آربی فولڈز اور واحد خالی جگہوں کے لیے بھی ایلیپٹک تفریقی آپریٹرز کے اعلی غیر متغیرات حاصل کرنے کے ایک طریقے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ الجبرائی K-تھیوری کے حسابات سائکلوٹومک ٹریس نقشہ الجبرائی K-تھیوری (ایک رنگ A کا، کہو) سے لے کر سائیکلک ہومیولوجی تک کا نقشہ ہے: کچھ حالات میں، اس نقشے کو اس نقشے کے ذریعے K-تھیوری کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس سمت میں ایک اہم نتیجہ ایک تھیوریم ہے: یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایک نیلپوٹینٹ دو طرفہ آئیڈیل I کے حوالے سے A کے رشتہ دار K-تھیوری اور رشتہ دار سائیکلک ہومیولوجی (A اور A/I کے K-تھیوری یا سائیکلک ہومیولوجی کے درمیان فرق کی پیمائش) کے درمیان نقشہ n ≤1 کے لیے ایک آئسومورفزم ہے۔ اگرچہ گڈولی کا نتیجہ من مانی رنگوں کے لیے ہے، لیکن فوری کمی سے پتہ چلتا ہے کہ یہ بنیادی طور پر صرف ایک بیان ہے۔ ق پر مشتمل نہ ہونے والے رنگوں کے لیے، کے تھیوری سے قریبی تعلق برقرار رکھنے کے لیے سائیکلک ہومیولوجی کو ٹاپولوجیکل سائیکلک ہومیولوجی سے تبدیل کیا جانا چاہیے۔ (اگر ق اے میں موجود ہے، تو سائیکلک ہومیولوجی اور اے کی ٹپوولوجیکل سائیکلک ہومیولوجی متفق ہیں۔) یہ اس حقیقت کے مطابق ہے کہ (کلاسیکی) ہوکسچلڈ ہومیولوجی ٹوپولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی کے مقابلے میں کم اچھی طرح سے برتاؤ کرتی ہے جو کہ ق پر مشتمل نہ ہونے والے رنگوں کے لیے ہے۔ گڈولی کے نتیجے کی ایک دور رس عمومی کاری ثابت ہوئی، جس میں کہا گیا ہے کہ ایک مواصلاتی رنگ اے کے لیے تاکہ ہینسیلیئن لیما آئیڈیل I کے حوالے سے برقرار رہے، رشتہ دار K-تھیوری متعلقہ ٹوپولوجیکل سائیکلک ہومیولوجی کے لیے آئسومورفک ہے (دونوں کو Q کے ساتھ ٹینسر کیے بغیر)۔ ان کا نتیجہ ایک تھیوریم کو بھی گھیرے ہوئے ہے، اس بات پر زور دیتے ہوئے کہ اس صورت حال میں رشتہ دار K-تھیوری سپیکٹرم ماڈیولو ایک انٹیجر n جو A میں الٹا ہے غائب ہو جاتا ہے۔ کویلن کے محدود فیلڈز کے کے تھیوری کے حساب کو ثابت کرنے کے لیے گیبر کے نتیجہ اور سوسلن کی سختی کا استعمال کیا۔ غیر تبادلہ جیومیٹری نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ایرراٹا بیرونی روابط ہوکسچلڈ اور سائیکلک ہومیولوجی ہومیولوجیکل الجبرا پر ایک ذاتی نوٹ