Root test
ریاضی میں، روٹ ٹیسٹ ایک لامحدود سیریز کے کنورجنس (کنورجنس ٹیسٹ) کے لیے ایک معیار ہے۔ یہ اس مقدار پر منحصر ہے کہ سیریز کی شرائط کہاں ہیں، اور یہ بتاتا ہے کہ اگر یہ مقدار ایک سے کم ہے تو سیریز بالکل یکجا ہو جاتی ہے، لیکن اگر یہ ایک سے زیادہ ہے تو مختلف ہو جاتی ہے۔ یہ خاص طور پر پاور سیریز کے سلسلے میں مفید ہے۔ جڑ ٹیسٹ کی وضاحت جڑ ٹیسٹ سب سے پہلے آگسٹن لوئس کاچی نے تیار کیا تھا جس نے اسے اپنی نصابی کتاب کورس ڈی اینالیس (1821) میں شائع کیا تھا۔ اس طرح، اسے بعض اوقات کاچی روٹ ٹیسٹ یا کاچیز ریڈیکل ٹیسٹ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کسی سیریز کے لیے روٹ ٹیسٹ اس نمبر کا استعمال کرتا ہے جہاں "لم سپ" حد کو اعلی، ممکنہ طور پر + φ سے ظاہر کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر یکجا ہوتا ہے تو یہ C کے برابر ہوتا ہے اور اس کے بجائے جڑ ٹیسٹ میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جڑ ٹیسٹ میں کہا گیا ہے کہ: اگر C <1 تو سلسلہ بالکل یکجا ہو جاتا ہے، اگر C> 1 تو سلسلہ جدا ہو جاتا ہے، اگر C = 1 اور حد اوپر سے سختی سے قریب آتی ہے تو سلسلہ جدا ہو جاتا ہے، بصورت دیگر ٹیسٹ بے نتیجہ ہوتا ہے (سلسلہ جدا ہو سکتا ہے، یکجا ہو سکتا ہے یا مشروط طور پر یکجا ہو سکتا ہے)۔ کچھ سلسلے ایسے ہیں جن کے لیے C = 1 اور سلسلہ یکجا ہوتے ہیں، مثال کے طور پر۔ ، اور کچھ اور بھی ہیں جن کے لیے C = 1 اور سلسلہ جدا ہوتا ہے، مثال کے طور پر۔ ۔ پاور سیریز پر اطلاق یہ ٹیسٹ ایک پاور سیریز کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے جہاں کوفیشنٹس cn، اور سینٹر p پیچیدہ نمبر ہیں اور دلیل z ایک پیچیدہ متغیر ہے۔ اس سلسلے کی اصطلاحات پھر an = cn (z−p) n کے ذریعہ دی جائیں گی۔ اس کے بعد ایک جڑ ٹیسٹ کو اوپر کی طرح an پر لاگو کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ بعض اوقات اس طرح کی سیریز کو "p کے ارد گرد" پاور سیریز کہا جاتا ہے، کیونکہ کنورجنس کا رداس سب سے بڑے وقفے کا رداس R ہوتا ہے یا p پر مرکوز ڈسک اس طرح ہوتی ہے کہ سیریز تمام پوائنٹس z کے لیے سختی سے اندرونی حصے میں کنورج ہو جائے گی (وقفے یا ڈسک کی حد پر کنورجنس کو عام طور پر الگ سے چیک کرنا پڑتا ہے)۔ اس طرح کی پاور سیریز پر لاگو ہونے والے روٹ ٹیسٹ کا ایک نتیجہ کاچی-ہڈمارڈ تھیوریم ہے: کنورجنس کا رداس بالکل اس بات کا خیال رکھ رہا ہے کہ اگر ڈینومینیٹر 0 ہے تو ہمارا واقعی مطلب φ ہے۔ ثبوت سیریز کے ارتکاز کا ثبوت موازنہ ٹیسٹ کا ایک اطلاق ہے۔ اگر تمام n ≤ N (N کچھ فکسڈ نیچرل نمبر) کے لیے ہمارے پاس ہے، تو۔ چونکہ ہندسی سلسلہ یکجا ہوتا ہے اسی طرح موازنہ ٹیسٹ کے ذریعے ہوتا ہے۔ اس لیے σan بالکل یکجا ہوتا ہے۔ اگر لامحدود طور پر بہت سے n کے لیے، تو an 0 پر یکجا ہونے میں ناکام رہتا ہے، اس لیے سلسلہ متفرق ہے۔ نتیجہ کا ثبوت: ایک پاور سیریز βan = βcn (z−p) n کے لیے، ہم اوپر سے دیکھتے ہیں کہ سیریز یکجا ہوتی ہے اگر کوئی N موجود ہو تو اس طرح کہ تمام n ωN کے لیے ہمارے پاس تمام n ωN کے برابر ہے، جس کا مطلب ہے کہ سیریز کو یکجا کرنے کے لیے ہمارے پاس کافی بڑے n کے لیے ہونا چاہیے۔ یہ اس طرح کہنے کے برابر ہے کہ اب صرف دوسری جگہ جہاں کنورجنس ممکن ہے وہ ہے جب (چونکہ پوائنٹس> 1 مختلف ہوں گے) اور یہ کنورجنس کے رداس کو تبدیل نہیں کرے گا کیونکہ یہ صرف وقفہ یا ڈسک کی حد پر پڑے ہوئے پوائنٹس ہیں، لہذا مثال 1: جڑ ٹیسٹ کا اطلاق اور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ چونکہ سیریز مختلف ہوتی ہے۔ مثال 2: روٹ ٹیسٹ کنورجنس کو ظاہر کرتا ہے کیونکہ اس مثال سے پتہ چلتا ہے کہ روٹ ٹیسٹ تناسب ٹیسٹ سے کس طرح مضبوط ہے۔ تناسب ٹیسٹ اس سیریز کے لیے بے نتیجہ ہے اگر عجیب ہے (اگرچہ یکساں نہیں ہے)، کیونکہ روٹ ٹیسٹ کی درجہ بندی روٹ ٹیسٹ کی درجہ بندی تناسب ٹیسٹ کی درجہ بندی کی طرح بنائی گئی ہے (تناسب ٹیسٹ کا سیکشن 4.1 دیکھیں، اور زیادہ خاص طور پر وہاں ذیلی سیکشن 4.1 دیکھیں)۔ مثبت اصطلاحات والی سیریز کے لیے ہمارے پاس کنورجنس/ڈائیورجنس کے لیے درج ذیل ٹیسٹ ہیں۔ ایک عدد ہونے دیں، اور قدرتی لوگرتھم کے ویں تکرار کو ظاہر کریں، یعنی۔ اور کسی کے لیے بھی۔ فرض کریں کہ، جب بڑا ہو تو، اس شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے (خالی رقم کو 0 سمجھا جاتا ہے۔) سیریز یکجا ہو جاتی ہے، اگر سیریز مختلف ہو جاتی ہے، اگر بصورت دیگر، ٹیسٹ بے نتیجہ ہے۔ ثبوت چونکہ، پھر ہمارے پاس اس سے، ٹیلر کی توسیع سے دائیں ہاتھ کی طرف لاگو ہوتا ہے، ہم حاصل کرتے ہیں: لہذا، (خالی پروڈکٹ 1 پر سیٹ ہے۔) حتمی نتیجہ کنورجنس کے انٹیگرل ٹیسٹ سے آتا ہے۔ تناسب ٹیسٹ کنورجنٹ سیریز بھی دیکھیں حوالہ جات آگسٹن-لوئس کاچی کنورجنس ٹیسٹ ثبوت پر مشتمل مضامین pl: Kryteria zbieznosschi szeregó w#Kryterium کاچی ایگو