Phragmén–Lindelöf principle
پیچیدہ تجزیے میں، فرگمین-لنڈیلوف اصول (یا طریقہ)، جو سب سے پہلے 1908 میں لارز ایڈورڈ فرگمین (1863-1937) اور ارنسٹ لیونارڈ لنڈیلوف (1870-1946) نے وضع کیا تھا، ایک ایسی تکنیک ہے جو ایک غیر محدود ڈومین پر ہولومورفک فنکشن (یعنی) کی حد کو ثابت کرنے کے لیے ایک معاون، پیرامیٹرائزڈ فنکشن کو استعمال کرتی ہے جب آن کی ترقی کو محدود کرنے والی ایک اضافی (عام طور پر ہلکی) حالت دی جاتی ہے۔ یہ زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کی عمومی شکل ہے، جو صرف باؤنڈڈ ڈومینز پر لاگو ہوتا ہے۔ پس منظر پیچیدہ افعال کے نظریہ میں، یہ معلوم ہوتا ہے کہ کسی محصور علاقے کے اندرونی حصے میں ہولومورفک (پیچیدہ تفریق پذیر) فنکشن کا ماڈیولس (مطلق قدر) خطے کی حدود پر اس کے ماڈیولس سے جڑا ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر کوئی غیر مستقل فنکشن کسی باؤنڈڈ ریجن میں ہولومورفک ہے اور اس کے بند ہونے پر مسلسل ہے، تو سب کے لیے۔ اسے زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کہا جاتا ہے۔ (درحقیقت، چونکہ کمپیکٹ اور مسلسل ہے، اس لیے حقیقت میں کچھ ایسی چیزیں موجود ہیں۔) زیادہ سے زیادہ ماڈیولس کا اصول عام طور پر یہ نتیجہ اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ ہولومورفک فنکشن کسی خطے میں یہ ظاہر کرنے کے بعد پابند ہوتا ہے کہ وہ اس کی حد پر پابند ہے۔ تاہم، زیادہ سے زیادہ ماڈیولس کا اصول پیچیدہ سطح کے غیر محدود علاقے پر لاگو نہیں کیا جا سکتا۔ ایک ٹھوس مثال کے طور پر، آئیے لامحدود پٹی میں ہولومورفک فنکشن کے رویے کا جائزہ لیں۔ اگرچہ، اس طرح کہ یہ حد پر پابند ہے، مثبت حقیقی محور کے ساتھ ہونے پر بغیر کسی حد کے تیزی سے بڑھتا ہے۔ یہاں دشواری مثبت حقیقی محور کے ساتھ انتہائی تیز رفتار ترقی سے پیدا ہوتی ہے۔ اگر ترقی کی شرح "بہت تیز" نہ ہونے کی ضمانت دی جاتی ہے، جیسا کہ ایک مناسب ترقی کی شرط کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے، تو خطے کی حدود کا مطلب یہ ہے کہ حقیقت میں پورے خطے میں پابند ہے، مؤثر طریقے سے زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کو غیر محدود علاقوں تک بڑھا کر، یہ ظاہر کرنے کے لیے فراگمین-لنڈیلوف اصول کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ تکنیک کا خاکہ فرض کریں کہ ہمیں ایک ہولومورفک فنکشن اور ایک غیر محدود خطہ دیا گیا ہے، اور ہم اسے دکھانا چاہتے ہیں۔ ایک عام Phragmén-Lindelöf دلیل میں، ہم ایک مخصوص ضرب عنصر متعارف کراتے ہیں جو ترقی کو "زیر" کرنے کے لیے تسلی بخش ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ (i): سب کے لیے ہولومورفک ہے اور ایک مناسب باؤنڈڈ ذیلی خطے کی حد پر ہے ؛ اور (ii) کا غیر علامتی طرز عمل ہمیں اس کے لیے قائم کرنے کی اجازت دیتا ہے (یعنی، باؤنڈڈ ذیلی علاقے کی بندش سے باہر کا غیر باؤنڈڈ حصہ)۔ یہ ہمیں زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کو لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے تاکہ پہلے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکے اور پھر نتیجہ کو سب تک بڑھایا جا سکے۔ آخر میں، ہم ہر ایک کے لیے ایسا کرنے دیتے ہیں تاکہ یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکے۔ پیچیدہ تجزیہ کے ادب میں، مختلف اقسام کے غیر محدود علاقوں پر لاگو ہونے والے فراگمین-لنڈیلوف اصول کی بہت سی مثالیں موجود ہیں، اور اس اصول کے ایک ورژن کو بھی ذیلی ہارمونک اور سپر ہارمونک افعال کی طرح لاگو کیا جا سکتا ہے۔ درخواست کی مثال مندرجہ بالا مثال کو جاری رکھنے کے لیے، ہم ہولومورفک فنکشن پر ترقی کی شرط عائد کر سکتے ہیں جو اسے "اڑانے" سے روکتا ہے اور فراگمین-لنڈیلوف اصول کو لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اس مقصد کے لیے، اب ہم اس شرط کو شامل کرتے ہیں کہ کچھ حقیقی مستقلات کے لیے اور سب کے لیے۔ اس کے بعد یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ سب کے لیے اس کا مطلب یہ ہے کہ حقیقت میں یہ سب کے لیے ہے۔ اس طرح، ہمارے پاس مندرجہ ذیل تجویز ہے: تجویز۔ آئیے ہولومورفک آن اور مسلسل رہیں، اور فرض کریں کہ حقیقی مستقل موجود ہیں جیسے کہ سب کے لیے اور سب کے لیے۔ پھر سب کے لیے۔ نوٹ کریں کہ یہ نتیجہ اس وقت ناکام ہو جاتا ہے جب، بالکل اسی طرح جیسا کہ پچھلے حصے میں محرک جوابی مثال سے ظاہر ہوتا ہے۔ اس بیان کا ثبوت ایک عام Phragmén-Lindelöf دلیل کو استعمال کرتا ہے: ثبوت: (خاکہ) ہم ہر ایک معاون فنکشن کے لیے اس کے ذریعے طے اور وضاحت کرتے ہیں۔ مزید برآں، کسی دیئے گئے کے لیے، ہم عمودی کے اندر بند پیچیدہ سطح میں کھلے مستطیل کی تعریف کرتے ہیں۔ اب فنکشن کو ٹھیک کریں اور اس پر غور کریں۔ اسے اس طرح دکھایا جا سکتا ہے۔ یہ ہمیں اس طرح کی تلاش کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ جب بھی اور. کیونکہ یہ ایک پابند علاقہ ہے، اور سب کے لیے، زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کا مطلب یہ ہے کہ سب کے لیے۔ چونکہ جب بھی اور حقیقت میں سب کے لیے ہوتا ہے۔ آخر میں، کیونکہ جیسا کہ ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ سب کے لیے۔ ق۔ ای۔ ڈی۔ پیچیدہ سطح میں کسی شعبے کے لیے Phragmén-Lindelöf اصول ایک خاص طور پر مفید بیان Phragmén-Lindelöf اصول کا استعمال کرتے ہوئے ثابت ہوتا ہے کہ پیچیدہ سطح کے کسی شعبے پر ہولومورفک افعال کو پابند کرتا ہے اگر وہ اس کی حد پر پابند ہو۔ اس بیان کو ہارڈی کے غیر یقینی اصول کا ایک پیچیدہ تجزیاتی ثبوت دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کوئی فنکشن اور اس کا فورئیر ٹرانسفارم دونوں تیزی سے ختم نہیں ہو سکتے۔ تجویز۔ فرض کریں کہ ایک فنکشن مرکزی زاویے کے سیکٹر میں ہولومورفک ہے، اور اس کی حد پر مسلسل ہے۔ اگر سب کے لیے، اور سب کے لیے، کہاں اور، تو یہ سب کے لیے بھی ہے۔ ریمارکس شرط () کو اسی نتیجے پر پہنچایا جا سکتا ہے۔ خاص صورتوں میں عملی طور پر نقطہ 0 کو اکثر ریمن دائرے کے نقطہ φ میں تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ یہ اس اصول کا ایک ورژن دیتا ہے جو سٹرپس پر لاگو ہوتا ہے، مثال کے طور پر پیچیدہ سطح میں مستقل حقیقی حصے کی دو لائنوں سے جڑا ہوا ہے۔ یہ خاص معاملہ بعض اوقات لنڈیلوف تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کارلسن تھیوریم خیالی محور پر پابند افعال پر اصول کا اطلاق ہے۔ ہڈمارڈ تھری لائنز تھیوریم حوالہ جات (Corr.) بھی دیکھیں۔ (باب 5 دیکھیں) پیچیدہ تجزیے میں ریاضیاتی اصول نظریہ