Pseudotensor
طبیعیات اور ریاضی میں، ایک سڈوٹینسر عام طور پر ایک ایسی مقدار ہوتی ہے جو واقفیت کو محفوظ رکھنے والے کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کے تحت ٹینسر کی طرح تبدیل ہوتی ہے (مثال کے طور پر۔ ایک مناسب گردش) لیکن ایک واقفیت-الٹ کوآرڈینیٹ تبدیلی (مثال کے طور پر، ایک نامناسب گردش) کے تحت اضافی طور پر نشان کو تبدیل کرتا ہے، جو ایک ایسی تبدیلی ہے جس کا اظہار مناسب گردش کے بعد عکاسی کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک سڈووویکٹر کی عمومی شکل ہے۔ ٹینسر یا سیوڈوٹینسر کے نشان کا اندازہ کرنے کے لیے، اسے کچھ ویکٹروں کے ساتھ معاہدہ کرنا پڑتا ہے، جتنا اس کا درجہ ہے، اس جگہ سے تعلق رکھتا ہے جہاں گردش کی جاتی ہے جبکہ ٹینسر کوآرڈینیٹس کو غیر متاثر رکھا جاتا ہے (اس سے مختلف جو کوئی بیس کی صورت میں کرتا ہے تبدیلی)۔ نامناسب گردش کے تحت ایک سیڈوٹینسر اور ایک ہی رینک کے مناسب ٹینسر کی مختلف علامت ہوگی جو رینک کے یکساں یا عجیب ہونے پر منحصر ہے۔ بعض اوقات محوروں کا الٹنا ایک سیوڈوٹینسر کے رویے کو دیکھنے کے لیے ایک نامناسب گردش کی مثال کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، لیکن یہ صرف اس صورت میں کام کرتا ہے جب ویکٹر اسپیس کے طول و عرض عجیب ہوں بصورت دیگر الٹنا بغیر کسی اضافی عکاسی کے ایک مناسب گردش ہو۔ سیوڈوٹینسر (اور اسی طرح سیوڈوویکٹر کے لیے) کا ایک دوسرا معنی ہے، جو عمومی اضافیت تک محدود ہے۔ ٹینسرز سخت تبدیلی کے قوانین کی پابندی کرتے ہیں، لیکن اس لحاظ سے سڈوٹینسرز اتنے پابند نہیں ہیں۔ نتیجتا، جیسے جیسے حوالہ کا فریم تبدیل ہوتا جائے گا، عام طور پر، ایک سڈوٹینسر کی شکل بدل جائے گی۔ ایک ایسی مساوات جس میں سڈوٹینسرز ہوتے ہیں جو ایک فریم میں ہوتے ہیں ضروری نہیں کہ ایک مختلف فریم میں ہوں۔ یہ سیڈوٹینسرز کو محدود مطابقت کا حامل بناتا ہے کیونکہ جن مساوات میں وہ ظاہر ہوتے ہیں وہ شکل میں غیر متغیر نہیں ہوتے ہیں۔ تعریف دو بالکل مختلف ریاضیاتی اشیاء کو مختلف سیاق و سباق میں سڈوٹینسر کہا جاتا ہے۔ پہلا سیاق و سباق بنیادی طور پر ایک ٹینسر ہے جسے ایک اضافی سائن فیکٹر سے ضرب دی جاتی ہے، اس طرح کہ جب کوئی عام ٹینسر نہیں ہوتا ہے تو سیوڈوٹینسر عکاسی کے تحت سائن کو تبدیل کرتا ہے۔ ایک تعریف کے مطابق، اس قسم کا سڈوٹینسر پی ایک ہندسی شے ہے جس کے اجزاء کو صوابدیدی بنیادوں پر شمار کیا جاتا ہے اور بنیاد کی تبدیلی کے تحت تبدیلی کے اصول کی پابندی کی جاتی ہے۔ یہاں نئے اور پرانے اڈوں میں سیوڈوٹینسر کے اجزاء ہیں، بالترتیب، متضاد اشاریہ جات کے لیے منتقلی میٹرکس ہے، کوویرینٹ اشاریہ جات کے لیے منتقلی میٹرکس ہے، اور یہ تبدیلی کا اصول صرف عنصر کی موجودگی سے عام ٹینسر کے اصول سے مختلف ہے۔ دوسرا سیاق و سباق جہاں لفظ "سیوڈوٹینسر" استعمال ہوتا ہے وہ عمومی اضافیت ہے۔ اس نظریہ میں، کشش ثقل کے میدان کی توانائی اور رفتار کو توانائی مومنٹم ٹینسر کے ذریعے بیان نہیں کیا جا سکتا۔ اس کے بجائے، ایسی اشیاء کو متعارف کرایا جاتا ہے جو صرف محدود مربوط تبدیلیوں کے حوالے سے ٹینسر کے طور پر برتاؤ کرتی ہیں۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، ایسی اشیاء بالکل ٹینسر نہیں ہیں۔ اس طرح کے سیڈوٹینسر کی ایک مشہور مثال لینڈو-لفشٹز سیڈوٹینسر ہے۔ مثالیں غیر متصل کئی گنا پر، کوئی بھی غیر متصل ہونے کی وجہ سے عالمی سطح پر حجم کی شکل کی وضاحت نہیں کر سکتا، لیکن کوئی بھی حجم عنصر کی وضاحت کر سکتا ہے، جو رسمی طور پر ایک کثافت ہے، اور اسے اضافی علامت موڑ (سائن بنڈل کے ساتھ ٹینسرنگ) کی وجہ سے فرضی حجم کی شکل بھی کہا جا سکتا ہے۔ حجم عنصر پہلی تعریف کے مطابق ایک سڈوٹینسر کثافت ہے۔ کثیر جہتی انضمام میں متغیرات کی تبدیلی جیکوبین میٹرکس کے تعین کنندہ کی مطلق قدر کے عنصر کو شامل کرنے کے ذریعے حاصل کی جا سکتی ہے۔ مطلق قدر کا استعمال انضمام (حجم) عنصر کو مثبت رکھنے کے رواج کی تلافی کے لیے نامناسب ہم آہنگی کی تبدیلیوں کے لیے ایک علامت کی تبدیلی متعارف کراتا ہے۔ اس طرح، ایک انٹیگرینڈ پہلی تعریف کے مطابق سڈوٹینسر کثافت کی ایک مثال ہے۔ کئی گنا پر ایک افائن کنکشن کی کرسٹوفیل علامتوں کو نقاط کے حوالے سے ویکٹر فیلڈ کے مربوط اظہار کے جزوی مشتقات کی اصلاح کی اصطلاحات کے طور پر سوچا جا سکتا ہے تاکہ اسے ویکٹر فیلڈ کا کوویرینٹ مشتق پیش کیا جا سکے۔ اگرچہ افائن کنکشن خود نقاط کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے، لیکن اس کی کرسٹوفیل علامتیں کرتی ہیں، جو انہیں دوسری تعریف کے مطابق ایک سیڈوٹینسر مقدار بناتی ہیں۔ سیڈوٹینسر کے لیے حوالہ جات بیرونی لنکس میتھ ورلڈ کی تفصیل بھی دیکھیں۔ عمومی اضافیت میں تفریقی جیومیٹری ٹینسر ٹینسر