Fitting subgroup
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرا کے شعبے میں جسے گروپ تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، ایک محدود گروپ G کا فٹنگ ذیلی گروپ F، جس کا نام ہنس فٹنگ کے نام پر رکھا گیا ہے، G کا منفرد سب سے بڑا نارمل نیل پوٹینٹ ذیلی گروپ ہے۔ بدیہی طور پر، یہ سب سے چھوٹے ذیلی گروپ کی نمائندگی کرتا ہے جو G کی ساخت کو "کنٹرول" کرتا ہے جب G قابل حل ہوتا ہے۔ جب G حل کرنے کے قابل نہیں ہوتا ہے، تو اسی طرح کا کردار عمومی فٹنگ ذیلی گروپ F * ادا کرتا ہے، جو فٹنگ ذیلی گروپ اور G کے اجزاء کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ ایک من مانی (ضروری نہیں کہ محدود) گروپ G کے لیے، فٹنگ ذیلی گروپ کو G کے نیلپوٹنٹ نارمل ذیلی گروپوں کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ لامحدود گروپوں کے لیے، فٹنگ ذیلی گروپ ہمیشہ نیلپوٹنٹ نہیں ہوتا ہے۔ اس مضمون کا بقیہ حصہ خصوصی طور پر محدود گروہوں سے متعلق ہے۔ فٹنگ ذیلی گروپ ایک محدود گروپ کے فٹنگ ذیلی گروپ کی نیل پوٹینسی کی ضمانت فٹنگ کے نظریہ سے ملتی ہے جس میں کہا گیا ہے کہ G کے عام نیل پوٹینٹ ذیلی گروپوں کے محدود مجموعہ کا پروڈکٹ ایک بار پھر ایک عام نیل پوٹینٹ ذیلی گروپ ہے۔ اسے واضح طور پر G کے تمام پرائمز p پر G کے p-کور کے پروڈکٹ کے طور پر بھی بنایا جا سکتا ہے جو G کی ترتیب کو تقسیم کرتا ہے۔ اگر G ایک محدود غیر معمولی حل کرنے والا گروپ ہے تو فٹنگ ذیلی گروپ ہمیشہ غیر معمولی ہوتا ہے، یعنی۔ اگر G ष्ण 1 محدود قابل حل ہے، تو F (G) ष्ण 1 ہے۔ اسی طرح G/F (G) کا فٹنگ ذیلی گروپ غیر معمولی ہوگا اگر G خود نیل پوٹینٹ نہیں ہے، جس سے فٹنگ لمبائی کے تصور کو جنم ملتا ہے۔ چونکہ ایک محدود حل پزیر گروپ کے فٹنگ ذیلی گروپ کا اپنا سنٹرلائزر ہوتا ہے، اس لیے یہ نیل پوٹینٹ گروپوں کے وفادار آٹومورفزم گروپوں کے ذریعے نیل پوٹینٹ گروپوں کی توسیع کے طور پر محدود حل پزیر گروپوں کو سمجھنے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ نیل پوٹینٹ گروپ میں، ہر اہم عنصر ہر عنصر کے ذریعے مرکزی ہوتا ہے۔ حالت کو کسی حد تک آرام دیتے ہوئے، اور ایک عام محدود گروپ کے عناصر کے ذیلی گروپ کو لے کر جو ہر اہم عنصر کو مرکزی بناتا ہے، کسی کو صرف فٹنگ ذیلی گروپ دوبارہ مل جاتا ہے: پی-نیلپوٹینٹ گروپوں کی عمومی شکل اسی طرح کی ہوتی ہے۔ کسی گروپ کا عمومی فٹنگ ذیلی گروپ اے جزو ایک ذیلی عام نیم سادہ ذیلی گروپ ہے۔ (اگر کوئی گروپ کسی سادہ گروپ کی کامل مرکزی توسیع ہے تو وہ نیم سادہ ہوتا ہے۔) کسی گروپ کی پرت E (G) یا L (G) تمام اجزاء کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ ہے۔ گروپ کے کسی بھی دو اجزاء کی آمد و رفت، لہذا پرت سادہ گروپوں کے پروڈکٹ کی ایک بہترین مرکزی توسیع ہے، اور اس ڈھانچے کے ساتھ G کا سب سے بڑا عام ذیلی گروپ ہے۔ عمومی فٹنگ ذیلی گروپ F * (G) پرت اور فٹنگ ذیلی گروپ کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ ہے۔ پرت فٹنگ ذیلی گروپ کے ساتھ سفر کرتی ہے، لہذا عمومی فٹنگ ذیلی گروپ پی گروپوں اور سادہ گروپوں کے پروڈکٹ کی مرکزی توسیع ہے۔ پرت زیادہ سے زیادہ عام نیم سادہ ذیلی گروہ بھی ہے، جہاں کسی گروپ کو نیم سادہ کہا جاتا ہے اگر یہ سادہ گروپوں کے پروڈکٹ کی کامل مرکزی توسیع ہو۔ عمومی فٹنگ ذیلی گروپ کی یہ تعریف اس کے کچھ مطلوبہ استعمال سے متاثر ہو سکتی ہے۔ جی کے ایک عام ذیلی گروپ ایچ کی شناخت کرنے کی کوشش کرنے کے مسئلے پر غور کریں جس میں اس کا اپنا سنٹرلائزر اور فٹنگ گروپ ہوتا ہے۔ اگر C H کا سنٹرلائزر ہے تو ہم یہ ثابت کرنا چاہتے ہیں کہ C H میں موجود ہے۔ اگر نہیں، تو C/Z (H) کا ایک کم سے کم خصوصیت والا ذیلی گروپ M/Z (H) منتخب کریں، جہاں Z (H) H کا مرکز ہے، جو کہ C اور H کے چوراہے کے برابر ہے۔ پھر M/Z (H) سادہ یا چکور گروپوں کی پیداوار ہے کیونکہ یہ خصوصیت کے لحاظ سے آسان ہے۔ اگر M/Z (H) چکور گروہوں کی پیداوار ہے تو M کو فٹنگ ذیلی گروپ میں ہونا چاہیے۔ اگر M/Z (H) غیر ایبلین سادہ گروپوں کی پیداوار ہے تو M کا ماخوذ ذیلی گروپ M/Z (H) پر ایک عام نیم سادہ ذیلی گروپ کی نقشہ سازی ہے۔ لہذا اگر H میں فٹنگ ذیلی گروپ اور تمام عام نیم سادہ ذیلی گروپ ہوتے ہیں، تو M/Z (H) کو معمولی ہونا چاہیے، لہذا H میں اس کا اپنا سنٹرلائزر ہوتا ہے۔ عمومی فٹنگ ذیلی گروپ سب سے چھوٹا ذیلی گروپ ہے جس میں فٹنگ ذیلی گروپ اور تمام عام نیم سادہ ذیلی گروپ ہوتے ہیں۔ عمومی فٹنگ ذیلی گروپ کو اہم عوامل کے عمومی مرکز کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک غیر ایبلین نیم سادہ گروہ خود کو مرکزی نہیں بنا سکتا، لیکن یہ خود پر اندرونی آٹومورفزم کے طور پر کام کرتا ہے۔ ایک گروپ کو نیم نیل پوٹینٹ کہا جاتا ہے اگر ہر عنصر ہر اہم عنصر پر اندرونی آٹومورفزم کے طور پر کام کرتا ہے۔ عام فٹنگ ذیلی گروپ منفرد سب سے بڑا سب نارمل نیم نیل پوٹینٹ ذیلی گروپ ہے، اور یہ ان تمام عناصر کے سیٹ کے برابر ہے جو پورے گروپ کے ہر اہم عنصر پر اندرونی آٹومورفزم کے طور پر کام کرتے ہیں: یہاں ایک عنصر جی ایچ سی جی (ایچ/کے) میں ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایچ میں کچھ ایچ ایسا ہو کہ ایچ میں ہر ایکس کے لیے، xg ष्ण xh موڈ کے۔ خصوصیات اگر جی ایک محدود قابل حل گروپ ہے، تو فٹنگ ذیلی گروپ میں اس کا اپنا سنٹرلائزر ہوتا ہے۔ فٹنگ ذیلی گروپ کا سنٹرلائزر فٹنگ ذیلی گروپ کا مرکز ہے۔ اس صورت میں، عمومی فٹنگ ذیلی گروپ فٹنگ ذیلی گروپ کے برابر ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر G ایک محدود گروپ ہے، تو عمومی فٹنگ ذیلی گروپ میں اس کا اپنا سنٹرلائزر ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی لحاظ سے عمومی فٹنگ ذیلی گروپ G کو کنٹرول کرتا ہے، کیونکہ G ماڈیولو F * (G) کا سنٹرلائزر F * (G) کے آٹومورفزم گروپ میں موجود ہے، اور F * (G) کا سینٹرلائزر F * (G) میں موجود ہے۔ خاص طور پر گروپوں کی صرف ایک محدود تعداد ہے جس میں عمومی فٹنگ ذیلی گروپ دیا گیا ہے۔ ایپلی کیشنز ایک محدود گروپ کے غیر معمولی پی-ذیلی گروپوں کے نارملائزرز کو پی-لوکل ذیلی گروپ کہا جاتا ہے اور وہ گروپ کی ساخت پر بہت زیادہ کنٹرول رکھتے ہیں (جس کی وجہ سے مقامی تجزیہ کہا جاتا ہے)۔ اگر F * (G) ہر p-مقامی ذیلی گروپ کے لیے ایک p-گروپ ہے، تو ایک محدود گروپ کو خصوصیت p قسم کا کہا جاتا ہے، کیونکہ خصوصیت p کے میدان پر بیان کردہ جھوٹ کی قسم کے کسی بھی گروپ میں یہ خاصیت ہوتی ہے۔ محدود سادہ گروپوں کی درجہ بندی میں، یہ اندازہ لگانے کی اجازت دیتا ہے کہ ایک سادہ گروپ کو کس میدان میں بیان کیا جانا چاہیے۔ نوٹ کریں کہ چند گروپ ایک سے زیادہ پی کے لیے خصوصیت پی قسم کے ہوتے ہیں۔ اگر ایک سادہ گروپ دی گئی خصوصیت پی کے فیلڈ پر لائ قسم کا نہیں ہے، تو پی-لوکل ذیلی گروپوں میں عام طور پر عمومی فٹنگ ذیلی گروپ میں اجزاء ہوتے ہیں، حالانکہ ان گروپوں کے لیے بہت سی مستثنیات ہیں جن کا درجہ چھوٹا ہوتا ہے، چھوٹے فیلڈز پر بیان کیا جاتا ہے، یا چھٹپٹ ہوتے ہیں۔ یہ محدود سادہ گروپوں کی درجہ بندی کے لیے استعمال ہوتا ہے، کیونکہ اگر پی-لوکل ذیلی گروپ کا کوئی معروف جزو ہے، تو اکثر پورے گروپ کی شناخت کرنا ممکن ہے۔ ان کے زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپوں کے عمومی فٹنگ ذیلی گروپوں کی ساخت اور سرایت کے ذریعے محدود سادہ گروپوں کا تجزیہ ہیلمٹ بینڈر نے شروع کیا تھا اور اسے بینڈر کے طریقہ کار کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ خاص طور پر غیر معمولی صورتوں میں موثر ہے جہاں اجزاء یا سگنلائزر فنکٹر لاگو نہیں ہوتے ہیں۔ حوالہ جات محدود گروہ فنکشنل ذیلی گروہ