Essential spectrum
ریاضی میں، باؤنڈڈ آپریٹر کا لازمی سپیکٹرم (یا، زیادہ عام طور پر، ایک گھنے طور پر بیان کردہ بند لکیری آپریٹر کا) اس کے سپیکٹرم کا ایک خاص ذیلی مجموعہ ہے، جس کی تعریف اس قسم کی شرط سے کی جاتی ہے جس میں کہا گیا ہے کہ، تقریبا بولتے ہوئے، "الٹا ہونے میں بری طرح ناکام" ہوتا ہے۔ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کا لازمی سپیکٹرم رسمی طور پر، X کو ہلبرٹ اسپیس ہونے دیں اور T کو X پر سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہونے دیں۔ تعریف T کا لازمی سپیکٹرم، جسے عام طور پر σess (T) کہا جاتا ہے، تمام پیچیدہ اعداد λ کا مجموعہ ہے جو کہ فریڈہولم آپریٹر نہیں ہے، جہاں X پر شناختی آپریٹر کو ظاہر کرتا ہے، تاکہ X میں موجود تمام x کے لیے۔ (ایک آپریٹر فریڈہولم ہے اگر اس کا دانا اور کوکنل محدود جہتی ہوں۔) خصوصیات لازمی سپیکٹرم ہمیشہ بند رہتا ہے، اور یہ سپیکٹرم کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ چونکہ T سیلف ایڈجائنٹ ہے، اس لیے سپیکٹرم حقیقی محور پر موجود ہے۔ کمپیکٹ پرٹربیشن کے تحت ضروری سپیکٹرم غیر متغیر ہے۔ یعنی، اگر K X پر ایک کمپیکٹ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہے، تو T اور اس کا لازمی سپیکٹرم موافق ہوتا ہے۔ یہ وضاحت کرتا ہے کہ اسے لازمی سپیکٹرم کیوں کہا جاتا ہے: ویل (1910) نے اصل میں ایک مخصوص تفریقی آپریٹر کے لازمی سپیکٹرم کو حدود کے حالات سے آزاد سپیکٹرم کے طور پر بیان کیا۔ ضروری سپیکٹرم کے لیے ویل کا معیار مندرجہ ذیل ہے۔ سب سے پہلے، ایک عدد λ T کے سپیکٹرم میں ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب خلا X میں کوئی ترتیب موجود ہو اور اس کے علاوہ، λ لازمی سپیکٹرم میں ہوتا ہے اگر کوئی ترتیب اس شرط کو پورا کرتی ہے، لیکن اس طرح کہ اس میں کوئی متغیر تسلسل نہ ہو (یہ معاملہ ہے اگر، مثال کے طور پر، ایک آرتھونورمل ترتیب ہے) ؛ اس طرح کی ترتیب کو واحد ترتیب کہا جاتا ہے۔ مجرد سپیکٹرم لازمی سپیکٹرم سپیکٹرم σ کا ایک ذیلی سیٹ ہے، اور اس کی تکمیل کو مجرد سپیکٹرم کہا جاتا ہے، لہذا اگر T سیلف ایڈجوائنٹ ہے، تو، تعریف کے مطابق، ایک نمبر λ T کے مجرد سپیکٹرم میں ہے اگر یہ محدود ضرب کی ایک الگ تھلگ آئجن ویلیو ہے، جس کا مطلب ہے کہ خلا کا طول و عرض محدود لیکن غیر صفر طول و عرض ہے اور یہ کہ ایک ε> 0 ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ μ اور λ برابر ہیں۔ (بناچ خالی جگہوں میں عام نان سیلفاجائنٹ آپریٹرز کے لیے، تعریف کے مطابق، ایک نمبر مجرد سپیکٹرم میں ہوتا ہے اگر یہ ایک عام آئجن ویلیو ہے ؛ یا، مساوی طور پر، اگر یہ سپیکٹرم کا ایک الگ تھلگ نقطہ ہے اور متعلقہ ریز پروجیکٹر کا درجہ محدود ہے۔) بناچ خالی جگہوں میں بند آپریٹرز کا لازمی سپیکٹرم X کو بناچ خالی جگہ ہونے دیں اور گھنے ڈومین کے ساتھ X پر ایک بند لکیری آپریٹر ہونے دیں۔ ضروری سپیکٹرم کی کئی تعریفیں ہیں، جو مساوی نہیں ہیں۔ لازمی سپیکٹرم تمام λ کا مجموعہ ہے جو نیم فریڈہولم نہیں ہے (ایک آپریٹر نیم فریڈہولم ہوتا ہے اگر اس کی حد بند ہو اور اس کا دانا یا اس کا کوکنل محدود جہتی ہو)۔ لازمی سپیکٹرم تمام λ کا مجموعہ ہے جس کی حد بند نہیں ہے یا اس کا دانا لامحدود جہتی ہے۔ لازمی سپیکٹرم تمام λ کا مجموعہ ہے جو فریڈہولم نہیں ہے (ایک آپریٹر فریڈہولم ہے اگر اس کی حد بند ہے اور اس کے دانے اور اس کے کوکنل دونوں محدود جہتی ہیں)۔ لازمی سپیکٹرم تمام λ کا مجموعہ ہے جو انڈیکس صفر کے ساتھ فریڈہولم نہیں ہے (فریڈہولم آپریٹر کا انڈیکس دانا کے طول و عرض اور کوکنل کے طول و عرض کے درمیان فرق ہے)۔ لازمی سپیکٹرم σess کا اتحاد ہے، 1 (T) جس کے تمام اجزاء ریزولوینٹ سیٹ کے ساتھ نہیں کاٹتے ہیں۔ اوپر بیان کردہ ضروری سپیکٹرم میں سے ہر ایک بند ہے۔ مزید برآں، اور ان میں سے کوئی بھی شمولیت سخت ہو سکتی ہے۔ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کے لیے، ضروری سپیکٹرم کی مذکورہ بالا تمام تعریفیں موافق ہیں۔ لازمی سپیکٹرم کے رداس کی وضاحت اس طرح کریں کہ اگرچہ سپیکٹرم مختلف ہو سکتا ہے، لیکن رداس تمام k کے لیے یکساں ہے۔ سیٹ کی تعریف ویل کے معیار کے مساوی ہے: تمام λ کا مجموعہ ہے جس کے لیے ایک واحد ترتیب موجود ہے۔ لازمی سپیکٹرم k = 1,2,3، 4 کے لیے کمپیکٹ پرٹربیشن کے تحت غیر متغیر ہے، لیکن k = 5 کے لیے نہیں۔ سیٹ سپیکٹرم کا وہ حصہ دیتا ہے جو کمپیکٹ پرٹربیشن سے آزاد ہے، یعنی جہاں X (D. E.) پر کمپیکٹ آپریٹرز کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ ایڈمنڈز اور ڈبلیو ڈی۔ ایونز، 1987)۔ بند گھنے طور پر متعین آپریٹر T کے سپیکٹرم کو ایک جداگانہ اتحاد میں تحلیل کیا جا سکتا ہے، جہاں T کا مجرد سپیکٹرم ہے۔ یہ بھی دیکھیں سپیکٹرم (فنکشنل تجزیہ) ریزولوینٹ فارملزم سپیکٹرم کی تحلیل (فنکشنل تجزیہ) مجرد سپیکٹرم (ریاضی) سپیکٹرم آف ایک آپریٹر تھیوری فریڈ ہولم تھیوری حوالہ جات سیلف ایڈجوائنٹ کیس پر بحث کی گئی ہے۔ عام آپریٹرز کے لیے سپیکٹرم کی بحث D. E. میں مل سکتی ہے۔ ایڈمنڈز اور ڈبلیو ڈی۔ ایونز (1987)، سپیکٹرل تھیوری اینڈ ڈفریٚنشل آپریٹرز، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس۔ ۔ لازمی سپیکٹرم کی اصل تعریف H. Weyl (1910)، über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwick ꯂꯪجن ولکرلیچر فنکٹیئنن، Mathematische Enalen 68، 220-269 پر واپس جاتی ہے۔ سپیکٹرم تھیوری