Stiefel manifold
ریاضی میں، سٹیفل کئی گنا تمام آرتھونورمل کے-فریموں کا مجموعہ ہے یعنی یہ ویکٹروں کے ترتیب شدہ آرتھونورمل کے-ٹپل کا مجموعہ ہے۔ اس کا نام سوئس ریاضی دان ایڈورڈ سٹیفل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اسی طرح کوئی بھی آرتھونورمل کے-فریموں کے پیچیدہ سٹیفل کئی گنا اور آرتھونورمل کے-فریموں کے کواٹرنیئنک سٹیفل کئی گنا کی وضاحت کر سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، تعمیر کا اطلاق کسی بھی حقیقی، پیچیدہ، یا چوتھائی اندرونی پروڈکٹ کی جگہ پر ہوتا ہے۔ کچھ سیاق و سباق میں، ایک غیر کمپیکٹ سٹیفل کئی گنا کو تمام لکیری طور پر آزاد کے-فریموں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے یا یہ ہوموٹوپی کے مساوی ہے، کیونکہ کمپیکٹ سٹیفل کئی گنا غیر کمپیکٹ کا ایک اخترتی واپسی ہے، جو گرام شمڈٹ کے ذریعہ ہے۔ غیر کمپیکٹ فارم کے بارے میں بیانات کمپیکٹ فارم کے لیے ان سے مطابقت رکھتے ہیں، جو عام لکیری گروپ کے ساتھ آرتھوگنل گروپ (یا یکطرفہ یا سمپلیکٹک گروپ) کی جگہ لیتے ہیں۔ ٹپولوجی لیٹ اسٹینڈ فار یا سٹیفل مینیفولڈ کو n × k میٹرکس کے ایک سیٹ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں k-فریم کو k کالم ویکٹرز کے میٹرکس کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ آرتھونورملٹی کی حالت کا اظہار A * A = کے ذریعے کیا جاتا ہے جہاں A * A کے کنجوگیٹ ٹرانسپوز کو ظاہر کرتا ہے اور k × k شناختی میٹرکس کو ظاہر کرتا ہے۔ اس ٹوپولوجی کے ساتھ ایک کمپیکٹ کئی گنا ہے جس کی جہت ایک یکساں جگہ کے طور پر دی گئی ہے۔ ہر سٹیفل کئی گنا کو قدرتی انداز میں کلاسیکی گروپ کے عمل کے لیے ایک یکساں جگہ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کے-فریم کی ہر آرتھوگنل تبدیلی کے نتیجے میں ایک اور کے-فریم ہوتا ہے، اور کوئی بھی دو کے-فریم کچھ آرتھوگنل تبدیلی سے متعلق ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، آرتھوگنل گروپ O (n) عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ کسی دیئے گئے فریم کا اسٹیبلائزر ذیلی گروپ O (n−k) کا ذیلی گروپ آئسومورفک ہے جو اس فریم کے ذریعے پھیلی ہوئی جگہ کے آرتھوگنل تکمیل پر غیر معمولی طور پر کام کرتا ہے۔ اسی طرح یکطرفہ گروپ U (n) اسٹیبلائزر ذیلی گروپ U (n−k) کے ساتھ عارضی طور پر کام کرتا ہے اور سمپلیکٹک گروپ Sp (n) اسٹیبلائزر ذیلی گروپ Sp (n−k) کے ساتھ عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ ہر معاملے میں ایک یکساں جگہ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: جب k = n ہوتا ہے، تو متعلقہ عمل آزاد ہوتا ہے تاکہ اسٹیفل کئی گنا متعلقہ کلاسیکی گروپ کے لیے ایک بنیادی یکساں جگہ ہو۔ جب k سختی سے n سے کم ہوتا ہے تو خصوصی آرتھوگنل گروپ SO (n) بھی اسٹیبلائزر ذیلی گروپ کے ساتھ SO (n−k) پر آئسومورفک کے ساتھ عارضی طور پر کام کرتا ہے تاکہ یہ خاص یکطرفہ گروپ کے عمل کے لیے یکساں ہو۔ اس طرح k = n−1 کے لیے، سٹیفل کئی گنا متعلقہ خصوصی کلاسیکی گروپ کے لیے ایک بنیادی یکساں جگہ ہے۔ یکساں پیمائش سٹیفل کئی گنا ایک یکساں پیمائش سے لیس کیا جا سکتا ہے، یعنی۔ ایک بوریل پیمائش جو اوپر بیان کردہ گروہوں کے عمل کے تحت غیر متغیر ہے۔ مثال کے طور پر، جو یوکلڈین سطح میں اکائی دائرے کے لیے آئسومورفک ہے، اس کی یکساں پیمائش کے طور پر دائرے پر واضح یکساں پیمائش (آرک کی لمبائی) ہوتی ہے۔ گوسیئن بے ترتیب میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے اس پیمائش کا نمونہ لینا سیدھا ہے: اگر ایک بے ترتیب میٹرکس ہے جس میں آزاد اندراجات ہیں جو معیاری عام تقسیم کے مطابق یکساں طور پر تقسیم کیے گئے ہیں اور اے = کیو آر اے کی کیو آر فیکٹرائزیشن ہے، تو میٹرکس، آزاد بے ترتیب متغیر ہیں اور کیو کو یکساں پیمائش کے مطابق تقسیم کیا جاتا ہے۔ یہ نتیجہ بارٹلیٹ سڑنے کے نظریہ کا نتیجہ ہے۔ خاص صورتوں میں A 1-فریم ایک یونٹ ویکٹر کے سوا کچھ نہیں ہے، لہذا اسٹیفل کئی گنا صرف یونٹ کا دائرہ ہے۔ لہذا: 2-فریم کو دیکھتے ہوئے، پہلا ویکٹر Sn−1 میں ایک نقطہ کی وضاحت کرتا ہے اور دوسرا اس مقام پر دائرے کے لیے یونٹ ٹینجینٹ ویکٹر ہے۔ اس طرح، سٹیفل کئی گنا کو یونٹ ٹینجینٹ بنڈل کے ساتھ پہچانا جا سکتا ہے جب k = n یا n − 1 ہم نے پچھلے حصے میں دیکھا کہ یہ ایک بنیادی یکساں جگہ ہے، اور اس وجہ سے متعلقہ کلاسیکی گروپ کے لیے ڈفیومورفک ہے: فنکٹوریالٹی ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان ایک آرتھوگنل شمولیت کو دیکھتے ہوئے k آرتھونورمل ویکٹرز کے ایک سیٹ کی شبیہہ آرتھونورمل ہے، لہذا اسٹیفل کئی گنا کی ایک محرک بند شمولیت ہے، اور یہ فنکٹوریل ہے۔ مزید باریکی سے، ایک n-جہتی ویکٹر اسپیس X کو دیکھتے ہوئے، دوہری بنیاد کی تعمیر X کے لیے اڈوں اور دوہری جگہ کے لیے اڈوں کے درمیان ایک بائیجیکشن دیتی ہے جو مسلسل ہے، اور اس طرح ٹاپ سٹیفل مینیفولڈز کی ہومیومورفزم حاصل ہوتی ہے۔ یہ ویکٹر خالی جگہوں کے آئسومورفزم کے لیے بھی فنکٹوریل ہے۔ ایک پرنسپل بنڈل کے طور پر اسٹیفل کئی گنا سے لے کر کے-طیاروں کے گراس مینین تک ایک قدرتی پروجیکشن ہوتا ہے جس میں اس فریم کے ذریعے پھیلی ذیلی جگہ پر ایک کے-فریم بھیجا جاتا ہے۔ ایک دیئے گئے نقطہ P پر فائبر خلا P میں موجود تمام آرتھونورمل k-فریموں کا مجموعہ ہے۔ اس پروجیکشن میں ایک پرنسپل G-بنڈل کی ساخت ہے جہاں G ڈگری k کا متعلقہ کلاسیکی گروپ ہے۔ ٹھوسیت کے لیے حقیقی کیس لیں۔ O (k) کا ایک قدرتی صحیح عمل ہے جس پر ایک k-فریم اس جگہ میں گھومتا ہے جس پر یہ پھیلا ہوا ہے۔ یہ عمل آزاد ہے لیکن عارضی نہیں ہے۔ اس عمل کے مدار قطعی طور پر آرتھونورمل کے-فریم ہیں جو کسی دی گئی کے-جہتی ذیلی جگہ پر پھیلے ہوئے ہیں۔ یعنی، وہ نقشے کے ریشے ہیں۔ پیچیدہ اور چوتھائی معاملات میں اسی طرح کے دلائل پائے جاتے ہیں۔ اس کے بعد ہمارے پاس اصل بنڈلوں کی ایک ترتیب ہوتی ہے: جی آن کے قدرتی عمل کے ذریعے ان اصل بنڈلوں سے وابستہ ویکٹر بنڈل گراس مینین پر صرف ٹاٹولوجیکل بنڈل ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، سٹیفل کئی گنا ایک گراس مینین پر ٹاٹولوجیکل بنڈل سے وابستہ آرتھوگنل، یکطرفہ، یا سمپلیکٹک فریم بنڈل ہے۔ جب کوئی حد تک پہنچ جاتا ہے، تو یہ بنڈل کلاسیکی گروہوں کے لیے عالمگیر بنڈل بن جاتے ہیں۔ ہوموٹوپی سٹیفل کئی گنا ریشوں کے ایک خاندان میں فٹ ہوتے ہیں: اس طرح خلا کا پہلا غیر معمولی ہوموٹوپی گروپ طول و عرض n−k میں ہوتا ہے۔ مزید برآں، یہ نتیجہ سٹیفل-وہٹنی کلاسوں کی رکاوٹ-نظریاتی تعریف میں استعمال ہوتا ہے۔ فلیگ مینیفولڈ میٹرکس لینجین ڈسٹری بیوشن حوالہ جات متفرق جیومیٹری یکساں خالی جگہیں فائبر بنڈل مینیفولڈز بھی دیکھیں۔