Covering group
ریاضی میں، ٹوپولوجیکل گروپ H کا ایک کورنگ گروپ H کا ایک کورنگ اسپیس G ہے جس میں G ایک ٹوپولوجیکل گروپ ہے اور کورنگ میپ ایک مسلسل گروپ ہومومورفزم ہے۔ نقشہ p کو کورنگ ہومومورفزم کہا جاتا ہے۔ اکثر پائے جانے والا معاملہ ایک ڈبل کورنگ گروپ ہے، ایک ٹوپولوجیکل ڈبل کور جس میں H کا G میں انڈیکس 2 ہے۔ مثالوں میں اسپن گروپ، پن گروپ، اور میٹاپلیکٹک گروپ شامل ہیں۔ موٹے طور پر وضاحت کرتے ہوئے کہا گیا ہے کہ مثال کے طور پر میٹاپلیکٹک گروپ ایم پی 2 این سمپلیکٹک گروپ ایس پی 2 این کا ڈبل کور ہے اس کا مطلب ہے کہ سمپلیکٹک گروپ میں ایک عنصر کی نمائندگی کرنے والے میٹاپلیکٹک گروپ میں ہمیشہ دو عناصر ہوتے ہیں۔ خصوصیات G کو H کا ایک کورنگ گروپ ہونے دیں۔ کورنگ ہومومورفزم کا دانا K صرف H میں شناخت پر فائبر ہے اور G کا ایک مجرد عام ذیلی گروپ ہے۔ دانا K G میں بند ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G ہاؤز ڈورف ہو (اور اگر اور صرف اس صورت میں جب H ہاؤز ڈورف ہو)۔ دوسری سمت میں جاتے ہوئے، اگر G کوئی ٹپوولوجیکل گروپ ہے اور K G کا ایک مجرد نارمل ذیلی گروپ ہے تو حصص کا نقشہ p: G → G/K ایک کورنگ ہومومورفزم ہے۔ اگر G جڑا ہوا ہے تو K، ایک مجرد عام ذیلی گروہ ہونے کے ناطے، لازمی طور پر G کے مرکز میں واقع ہے اور اس لیے ابیلین ہے۔ اس صورت میں، H = G/K کا مرکز اس طرح دیا جاتا ہے جیسا کہ تمام کورنگ خالی جگہوں کے ساتھ ہوتا ہے، G کا بنیادی گروپ H کے بنیادی گروپ میں داخل ہوتا ہے۔ چونکہ ٹوپولوجیکل گروپ کا بنیادی گروپ ہمیشہ ابیلین ہوتا ہے، اس لیے ہر کورنگ گروپ ایک عام کورنگ اسپیس ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر G راستے سے جڑا ہوا ہے تو حصص گروپ K کے لیے آئسومورفک ہے۔ گروپ K صرف دائیں ضرب کے ذریعے ریشوں (جو صرف بائیں کوسیٹ ہیں) پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ گروپ G پھر H پر ایک پرنسپل K-بنڈل ہے۔ اگر G H کا ایک کورنگ گروپ ہے تو گروپ G اور H مقامی طور پر آئسومورفک ہیں۔ مزید برآں، مقامی طور پر جڑے ہوئے کسی بھی دو آئسومورفک گروپوں H1 اور H2 کو دیکھتے ہوئے، ایک ٹوپولوجیکل گروپ G موجود ہے جس میں مجرد عام ذیلی گروپ K1 اور K2 ایسے ہیں کہ H1 G/K1 کے لیے آئسومورفک ہے اور H2 G/K2 کے لیے آئسومورفک ہے۔ اگر G اور H دونوں راستے سے جڑے ہوئے ہیں اور مقامی طور پر راستے سے جڑے ہوئے ہیں، تو ریشہ میں عنصر e * کے کسی بھی انتخاب کے لیے، G پر ایک منفرد ٹپوولوجیکل گروپ ڈھانچہ موجود ہے، جس میں e * شناخت کے طور پر ہے، جس کے لیے احاطہ کرنے والا نقشہ p: G → H ایک ہومومورفزم ہے۔ تعمیر حسب ذیل ہے۔ فرض کریں کہ a اور b G کے عناصر ہیں اور f اور g کو G میں راستے ہونے دیں جو بالترتیب e * سے شروع ہوتے ہیں اور a اور b پر ختم ہوتے ہیں۔ راستے h کی وضاحت کریں: I → H بذریعہ h (t) = p (f (t)) p (g (t))۔ احاطہ کرنے والی جگہوں کی پاتھ لفٹنگ پراپرٹی سے ابتدائی نقطہ e * کے ساتھ h سے G کی ایک منفرد لفٹ ہوتی ہے۔ پروڈکٹ اے بی کو اس راستے کے اختتامی نقطہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ تعمیر کے لحاظ سے ہمارے پاس p (ab) = p (a) p (b) ہے۔ کسی کو یہ ظاہر کرنا چاہیے کہ یہ تعریف f اور g راستوں کے انتخاب سے آزاد ہے، اور یہ بھی کہ گروپ کی کارروائیاں مسلسل ہیں۔ متبادل طور پر، G پر گروپ قانون کو کورنگ میپ G × G → H × H کی لفٹنگ پراپرٹی کا استعمال کرتے ہوئے گروپ قانون H × H → H کو G سے اٹھا کر بنایا جا سکتا ہے۔ غیر منسلک کیس دلچسپ ہے اور اس کا مطالعہ کاغذات میں ٹیلر اور براؤن مکک نے کیا ہے جس کا حوالہ ذیل میں دیا گیا ہے۔ بنیادی طور پر ایک عالمگیر کور کے وجود میں رکاوٹ ہے جو کہ ایک ٹپوولوجیکل گروپ بھی ہے جیسے کہ کورنگ میپ ایک مورفزم ہے: یہ رکاوٹ G کے اجزاء کے گروپ کے تیسرے کوہمولوجی گروپ میں ہے جس میں شناخت پر G کے بنیادی گروپ میں کوفیشنٹس ہیں۔ اگر H ایک راستے سے جڑا ہوا، مقامی طور پر راستے سے جڑا ہوا، اور نیم مقامی طور پر صرف جڑا ہوا گروپ ہے تو اس کا ایک عالمگیر احاطہ ہے۔ پچھلی تعمیر سے عالمگیر احاطہ کو ایک ٹپوولوجیکل گروپ میں بنایا جا سکتا ہے جس میں احاطہ کا نقشہ ایک مسلسل ہومومورفزم ہے۔ اس گروپ کو ایچ کا یونیورسل کورنگ گروپ کہا جاتا ہے۔ ایک زیادہ براہ راست تعمیر بھی ہے جو ہم ذیل میں دیتے ہیں۔ فرض کریں کہ پی ایچ ایچ کا پاتھ گروپ ہے۔ یعنی پی ایچ ایچ میں راستوں کی جگہ ہے جو کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی کے ساتھ شناخت پر مبنی ہے۔ راستوں کا پروڈکٹ پوائنٹ وائز ضرب سے دیا جاتا ہے، یعنی۔ (fg) (t) = f (t) g (t)۔ یہ پی ایچ کو ٹپوولوجیکل گروپ کی ساخت دیتا ہے۔ ایک قدرتی گروپ ہومومورفزم پی۔ ایچ۔ ایچ ہے جو ہر راستے کو اپنے اختتامی نقطہ پر بھیجتا ہے۔ ایچ کا عالمگیر احاطہ نیل-ہوموٹوپک لوپس کے عام ذیلی گروپ کے ذریعہ پی ایچ کے حصص کے طور پر دیا جاتا ہے۔ پروجیکشن PH → H احاطہ کا نقشہ دینے والے حصص پر اترتا ہے۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ عالمگیر احاطہ محض جڑا ہوا ہے اور دانا صرف H کا بنیادی گروپ ہے۔ یعنی، ہمارے پاس ایک مختصر عین مطابق ترتیب ہے جہاں H کا عالمگیر احاطہ ہے۔ خاص طور پر، H کا عالمگیر احاطہ گروپ H میں راستوں کی ہوموٹوپی کلاسوں کی جگہ ہے جس میں راستوں کا نقطہ وار ضرب ہوتا ہے۔ کورنگ میپ ہر پاتھ کلاس کو اس کے اختتامی نقطہ پر بھیجتا ہے۔ احاطہ کرنے والے گروپوں کی جالی جیسا کہ اوپر سے پتہ چلتا ہے، اگر کسی گروپ کا ایک عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ ہے (اگر وہ راستے سے جڑا ہوا ہے، مقامی طور پر راستے سے جڑا ہوا ہے، اور سیمی لوکل طور پر صرف جڑا ہوا ہے)، مجرد مرکز کے ساتھ، تو تمام ٹپوولوجیکل گروپوں کا مجموعہ جو عالمگیر احاطہ کرنے والے گروپ کے ذریعے احاطہ کرتا ہے، ایک جالی بناتا ہے، جو عالمگیر احاطہ کرنے والے گروپ کے مرکز کے ذیلی گروپوں کی جالی سے مطابقت رکھتا ہے: ذیلی گروپوں کی شمولیت حصص کے گروپوں کے احاطہ سے مطابقت رکھتی ہے۔ زیادہ سے زیادہ عنصر عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ ہے جبکہ کم سے کم عنصر عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ ہے جو اس کا مرکز ہے۔ یہ الجبرائی طور پر عالمگیر کامل مرکزی توسیع (جسے مشابہت کے لحاظ سے "کورنگ گروپ" کہا جاتا ہے) سے زیادہ سے زیادہ عنصر کے طور پر مطابقت رکھتا ہے، اور ایک گروپ اپنے مرکز کو کم سے کم عنصر کے طور پر تبدیل کرتا ہے۔ یہ لائ گروپوں کے لیے خاص طور پر اہم ہے، کیونکہ یہ گروپ کسی خاص لائ الجبرا کے تمام (جڑے ہوئے) احساسات ہیں۔ بہت سے لائ گروپوں کے لیے مرکز اسکیلر میٹرکس کا گروپ ہوتا ہے، اور اس طرح گروپ موڈ اس کا مرکز لائ گروپ کی پروجیکشنائزیشن ہے۔ یہ کور لائ گروپوں کی پروجیکٹو نمائندگی کا مطالعہ کرنے میں اہم ہیں، اور اسپن نمائندگی اسپن گروپوں کی دریافت کا باعث بنتی ہیں: لائ گروپ کی پروجیکٹو نمائندگی گروپ کی لکیری نمائندگی سے آنے کی ضرورت نہیں ہے، بلکہ کچھ کورنگ گروپ کی لکیری نمائندگی سے آتی ہے، خاص طور پر یونیورسل کورنگ گروپ۔ محدود اینالاگ کورنگ گروپ یا شور کور کی طرف لے گیا، جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے۔ ایک اہم مثال SL2 (R) سے پیدا ہوتی ہے، جس کا مرکز {±1} اور بنیادی گروپ Z ہے۔ یہ سینٹر لیس پروجیکٹو اسپیشل لینیر گروپ پی ایس ایل 2 (آر) کا ڈبل کور ہے، جو مرکز کے ذریعے حصص کو لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ ایواساوا سڑنے سے، دونوں گروپ پیچیدہ اوپری نصف سطح پر دائرے کے بنڈل ہوتے ہیں، اور ان کا عالمگیر احاطہ نصف سطح پر ایک حقیقی لائن بنڈل ہوتا ہے جو تھرسٹن کی آٹھ جیومیٹریز میں سے ایک بناتا ہے۔ چونکہ ہاف پلین سکڑنے کے قابل ہے، اس لیے تمام بنڈل ڈھانچے معمولی ہیں۔ عالمگیر احاطہ میں SL2 (Z) کی ابتدائی تصویر تین تاروں پر چوٹی کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ لائ گروپس مندرجہ بالا تعریفیں اور تعمیرات سبھی لائ گروپس کے خصوصی معاملے پر لاگو ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، کئی گنا کا ہر احاطہ کئی گنا ہوتا ہے، اور احاطہ ہومومورفزم ایک ہموار نقشہ بن جاتا ہے۔ اسی طرح، ایک لائ گروپ کے کسی بھی مجرد عام ذیلی گروپ کو دیکھتے ہوئے حصص کا گروپ ایک لائ گروپ ہے اور حصص کا نقشہ ایک کورنگ ہومومورفزم ہے۔ دو لائ گروپ مقامی طور پر آئسومورفک ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے لائ الجبرا آئسومورفک ہوں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ لائ گروپوں کا ہومومورفزم φ: G → H ایک کورنگ ہومومورفزم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب لائ الجیبراس پر انڈیوسڈ نقشہ ایک آئسومورفزم ہو۔ چونکہ ہر لائ الجبرا کے لیے لائ الجبرا کے ساتھ ایک منفرد سیدھا جڑا ہوا لائ گروپ G ہوتا ہے، اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ جڑا ہوا لائ گروپ H کا عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ (منفرد) سیدھا جڑا ہوا لائ گروپ G ہے جس کا لائ الجبرا H جیسا ہی ہے۔ مثال کے طور پر دائرے کے گروپ T کا عالمگیر احاطہ کرنے والا گروپ حقیقی اعداد R کا اضافی گروپ ہے جس کا احاطہ ہومومورفزم ایکسپونینشیل فنکشن ایکسپونینشیل: R → T کے ذریعے دیا گیا ہے۔ ایکسپونینشیل نقشے کا دانا Z کے لیے آئسومورفک ہے۔ کسی بھی عدد n کے لیے ہمارے پاس دائرے کا ایک احاطہ کرنے والا گروپ ہے جو خود T → T ہے جو z کو zn پر بھیجتا ہے۔ اس ہومومورفزم کا دانا ایک چکور گروہ ہے جو اتحاد کے نویں جڑ پر مشتمل ہے۔ گردش گروپ ایس او (3) میں ایک عالمگیر احاطہ کے طور پر گروپ ایس یو (2) ہے جو کواٹرنیئنز میں ورسرز کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ ایک ڈبل کور ہے کیونکہ دانے کا آرڈر 2 ہوتا ہے۔ (سی ایف ٹینگلوئڈز۔) یک جہتی گروپ U (n) کا احاطہ کمپیکٹ گروپ T × SUV (n) کے ذریعے کیا جاتا ہے جس کا احاطہ ہومومورفزم p (z, A) = zA کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ عالمگیر احاطہ آر × ایس یو (این) ہے۔ خصوصی آرتھوگنل گروپ ایس او (این) میں ایک ڈبل کور ہوتا ہے جسے اسپن گروپ (این) کہا جاتا ہے۔ n ≤ 3 کے لیے، اسپن گروپ SO (n) کا عالمگیر احاطہ ہے۔ n ≤ 2 کے لیے، خصوصی لکیری گروپ SL (n، R) کا عالمگیر احاطہ میٹرکس گروپ نہیں ہے (یعنی۔ اس کی کوئی وفادار محدود جہتی نمائندگی نہیں ہے)۔ حوالہ جات ٹوپوولوجیکل گروپ جھوٹ گروپ