Maximal subgroup
ریاضی میں، سب سے زیادہ ذیلی گروہ کی اصطلاح الجبرا کے مختلف شعبوں میں قدرے مختلف چیزوں کے معنی کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ گروپ تھیوری میں، گروپ G کا زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ H ایک مناسب ذیلی گروپ ہے، اس طرح کہ کوئی مناسب ذیلی گروپ K سختی سے H پر مشتمل نہیں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، H G کے ذیلی گروپوں کے جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ کا ایک زیادہ سے زیادہ عنصر ہے جو G کے برابر نہیں ہیں۔ زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ دلچسپی کے حامل ہیں کیونکہ ان کا G کی ابتدائی ترتیبی نمائندگی کے ساتھ براہ راست تعلق ہے۔ ان کا محدود گروپ تھیوری کے مقاصد کے لیے بھی بہت زیادہ مطالعہ کیا جاتا ہے: مثال کے طور پر دیکھیں فریٹینی ذیلی گروپ، زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپوں کا چوراہا۔ سیمی گروپ تھیوری میں، سیمی گروپ S کا زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ S کا ایک ذیلی گروپ ہے (یعنی ایک ذیلی گروپ جو سیمی گروپ آپریشن کے تحت ایک گروپ بناتا ہے) جو S کے دوسرے ذیلی گروپ میں مناسب طریقے سے موجود نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ، یہاں، اس بات کی کوئی ضرورت نہیں ہے کہ ایک زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ مناسب ہو، لہذا اگر S حقیقت میں ایک گروپ ہے تو اس کا منفرد زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ (بطور سیمی گروپ) خود S ہے۔ ذیلی گروپوں، اور خاص طور پر زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپوں پر غور کرتے ہوئے، سیمی گروپ اکثر سیمی گروپ تھیوری میں گروپ تھیوریٹک تکنیکوں کو لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ سیمی گروپ کے آئیڈیمپوٹینٹ عناصر اور سیمی گروپ کے زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپوں کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہوتا ہے: ہر آئیڈیمپوٹینٹ عنصر ایک منفرد زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ کا شناختی عنصر ہوتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ کا وجود ایک محدود گروپ کا کوئی بھی مناسب ذیلی گروپ کچھ زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ میں موجود ہوتا ہے، کیونکہ مناسب ذیلی گروپ شمولیت کے تحت ایک محدود جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ بناتے ہیں۔ تاہم، ایسے لامحدود ابیلین گروہ ہیں جن میں زیادہ سے زیادہ ذیلی گروہ نہیں ہیں، مثال کے طور پر پرفر گروپ۔ زیادہ سے زیادہ عام ذیلی گروپ اسی طرح، G کے ایک عام ذیلی گروپ N کو G کا زیادہ سے زیادہ عام ذیلی گروپ (یا زیادہ سے زیادہ مناسب عام ذیلی گروپ) کہا جاتا ہے اگر N <G اور G کا کوئی عام ذیلی گروپ K ایسا نہیں ہے کہ N <K <G۔ ہمارے پاس مندرجہ ذیل نظریہ ہے: نظریہ: گروپ G کا ایک عام ذیلی گروپ N ایک زیادہ سے زیادہ عام ذیلی گروپ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب حصص G/N آسان ہو۔ ہس کے خاکے یہ ہس کے خاکے سمیٹرک گروپ S4، ڈائیڈرل گروپ D4، اور C23 کے ذیلی گروپوں کی جالی دکھاتے ہیں، جو چکور گروپ C2 کی تیسری براہ راست طاقت ہے۔ زیادہ سے زیادہ ذیلی گروہ ہاسی خاکہ کے کنارے سے خود گروپ سے (ہاسی خاکہ کے اوپر) جڑے ہوئے ہیں۔ حوالہ جات ذیلی گروپ کی خصوصیات