Mixing (mathematics)
ریاضی میں، اختلاط طبیعیات سے شروع ہونے والا ایک تجریدی تصور ہے: روزمرہ کی دنیا میں اختلاط کے ناقابل واپسی تھرموڈینامک عمل کو بیان کرنے کی کوشش: جیسے۔ اختلاط پینٹ، اختلاط مشروبات، صنعتی اختلاط۔ یہ تصور ایرگوڈک تھیوری میں ظاہر ہوتا ہے-اسٹاکسٹک عمل اور پیمائش کے تحفظ کے متحرک نظاموں کا مطالعہ۔ اختلاط کے لیے کئی مختلف تعریفیں موجود ہیں، جن میں مضبوط اختلاط، کمزور اختلاط اور ٹپوولوجیکل اختلاط شامل ہیں، جس میں آخری پیمائش کی وضاحت کی ضرورت نہیں ہے۔ اختلاط کی کچھ مختلف تعریفیں درجہ بندی کے مطابق ترتیب دی جا سکتی ہیں ؛ اس طرح مضبوط اختلاط کا مطلب کمزور اختلاط ہے۔ مزید برآں، کمزور اختلاط (اور اس طرح مضبوط اختلاط بھی) کا مطلب ایرگوڈیسیٹی ہے: یعنی، ہر نظام جو کمزور اختلاط ہے وہ بھی ایرگوڈک ہے (اور اس لیے کوئی کہتا ہے کہ اختلاط ایرگوڈیسیٹی سے "مضبوط" حالت ہے)۔ اختلاط کی ریاضیاتی تعریف کا مقصد اختلاط کے روزمرہ کے عام عمل کو پکڑنا ہے، جیسے پینٹ، مشروبات، کھانا پکانے کے اجزاء، صنعتی عمل کا اختلاط، دھوئیں سے بھرے کمرے میں دھواں وغیرہ۔ ریاضیاتی سختی فراہم کرنے کے لیے، اس طرح کی وضاحتیں پیمائش کو محفوظ رکھنے والے متحرک نظام کی تعریف سے شروع ہوتی ہیں، جسے اس طرح لکھا جاتا ہے۔ سیٹ کو بھرنے کے لیے کل جگہ سمجھا جاتا ہے: اختلاط کا کٹورا، دھوئیں سے بھرا کمرہ وغیرہ۔ پیمائش کو خلا کے قدرتی حجم اور اس کی ذیلی جگہوں کی وضاحت کے لیے سمجھا جاتا ہے۔ ذیلی جگہوں کے مجموعے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور کسی بھی ذیلی سیٹ کا سائز ہے ؛ سائز اس کا حجم ہے۔ بے وقوفانہ طور پر، کوئی بھی پاور سیٹ ہونے کا تصور کر سکتا ہے ؛ یہ بالکل کام نہیں کرتا، کیونکہ کسی جگہ کے تمام ذیلی سیٹوں کا حجم نہیں ہوتا ہے (مشہور طور پر، بناچ-ترسکی پیراڈوکس)۔ اس طرح، روایتی طور پر، قابل پیمائش ذیلی سیٹوں پر مشتمل ہوتا ہے-وہ ذیلی سیٹیں جن کا حجم ہوتا ہے۔ اسے ہمیشہ ایک بوریل سیٹ سمجھا جاتا ہے-ذیلی سیٹوں کا مجموعہ جو چوراہوں، اتحادوں اور سیٹ تکمیل کو لے کر تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ ان کو ہمیشہ قابل پیمائش سمجھا جا سکتا ہے۔ نظام کے وقت کے ارتقاء کو نقشے کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ کچھ ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، اس کا نقشہ عام طور پر اس کا ایک مسخ شدہ ورژن ہوگا-اسے ٹکڑے ٹکڑے کیا جاتا ہے یا پھیلایا جاتا ہے، جوڑ دیا جاتا ہے یا ٹکڑوں میں کاٹا جاتا ہے۔ ریاضیاتی مثالوں میں بیکر کا نقشہ اور گھڑسواری کا نقشہ شامل ہیں، دونوں روٹی بنانے سے متاثر ہیں۔ سیٹ کا حجم یکساں ہونا چاہیے ؛ اسکواشنگ/اسٹریچنگ سے جگہ کا حجم تبدیل نہیں ہوتا، صرف اس کی تقسیم ہوتی ہے۔ اس طرح کا نظام "پیمائش کا تحفظ" (رقبے کا تحفظ، حجم کا تحفظ) ہے۔ ایک رسمی دشواری اس وقت پیدا ہوتی ہے جب کوئی نقشے کے نیچے ان کے سائز کو محفوظ رکھنے کی ضرورت کے ساتھ سیٹوں کے حجم کو ہم آہنگ کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ مسئلہ اس لیے پیدا ہوتا ہے کیونکہ، عام طور پر، کسی فنکشن کے ڈومین میں کئی مختلف نکات اس کی حد میں ایک ہی نقطہ پر نقشہ بنا سکتے ہیں ؛ یعنی، اس کے ساتھ ہو سکتا ہے۔ اس سے بھی بدتر بات یہ ہے کہ ایک پوائنٹ کا کوئی سائز نہیں ہوتا۔ الٹا نقشے کے ساتھ کام کرنے سے ان مشکلات سے بچا جا سکتا ہے۔ یہ کسی بھی دیئے گئے ذیلی سیٹ کو ان حصوں کا نقشہ بنائے گا جو اسے بنانے کے لیے جمع کیے گئے تھے: یہ حصے ہیں۔ اس میں یہ اہم خاصیت ہے کہ چیزیں کہاں سے آئیں اس کا "سراغ نہ کھوئے"۔ زیادہ مضبوطی سے، اس کی اہم خاصیت یہ ہے کہ کوئی بھی (پیمائش کو محفوظ رکھنے والا) نقشہ کسی نقشے کا الٹا ہوتا ہے۔ حجم کو محفوظ رکھنے والے نقشے کی مناسب تعریف وہ ہے جس کے لیے وہ تمام ٹکڑوں کے حصوں کو بیان کرتا ہے جو اس سے آئے تھے۔ اب نظام کے وقت کے ارتقاء کا مطالعہ کرنے میں دلچسپی ہے۔ اگر کوئی سیٹ بالآخر ایک طویل عرصے تک آتا ہے (یعنی، اگر بڑے پیمانے پر قریب آتا ہے)، تو نظام کو ایرگوڈک کہا جاتا ہے۔ اگر ہر سیٹ اس طرح سے برتاؤ کرتا ہے، تو نظام ایک قدامت پسند نظام ہے، جسے ایک تخفیف نظام کے برعکس رکھا گیا ہے، جہاں کچھ ذیلی سیٹ بھٹک جاتے ہیں، جنہیں کبھی واپس نہیں کیا جاتا ہے۔ ایک مثال یہ ہوگی کہ پانی نیچے کی طرف بہہ رہا ہے-ایک بار جب یہ نیچے گر جائے گا، تو یہ دوبارہ کبھی اوپر نہیں آئے گا۔ تاہم، اس دریا کے نچلے حصے میں بننے والی جھیل اچھی طرح سے مل سکتی ہے۔ ایرگوڈک سڑنے کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ہر ایرگوڈک نظام کو دو حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: قدامت پسند حصہ، اور تحلیل کرنے والا حصہ۔ اختلاط ارگوڈیسیٹی سے زیادہ مضبوط بیان ہے۔ مکسنگ اس ایرگوڈک پراپرٹی کو کسی بھی دو سیٹوں کے درمیان رکھنے کے لیے کہتا ہے، نہ کہ صرف کسی سیٹ اور سیٹ کے درمیان۔ تعریف: کسی بھی دو غیر خالی سیٹوں کو دیکھتے ہوئے، ایک نظام کو (ٹوپوولوجیکل طور پر) اختلاط کہا جاتا ہے اگر کوئی عدد ایسا ہو کہ، سب کے لیے اور، ایک کے پاس وہ ہو۔ یہاں، سیٹ انٹرسیکشن کی نشاندہی کرتا ہے اور یہ خالی سیٹ ہے۔ ٹوپولوجیکل اختلاط کی مذکورہ تعریف اختلاط کا غیر رسمی خیال فراہم کرنے کے لیے کافی ہونی چاہیے (یہ رسمی تعریف کے مساوی ہے، جو ذیل میں دی گئی ہے)۔ تاہم، اس میں اور کے حجم کا کوئی ذکر نہیں کیا گیا، اور درحقیقت، ایک اور تعریف ہے جو واضح طور پر حجم کے ساتھ کام کرتی ہے۔ کئی، دراصل ؛ ایک میں مضبوط اختلاط اور کمزور اختلاط دونوں ہوتے ہیں۔ وہ غیر مساوی ہوتے ہیں، حالانکہ ایک مضبوط اختلاط کا نظام ہمیشہ کمزور اختلاط ہوتا ہے۔ پیمائش پر مبنی تعریفیں ٹپوولوجیکل اختلاط کی تعریف کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتی ہیں: ایسے نظام ہیں جو ایک ہیں، لیکن دوسرے نہیں۔ عام صورتحال ابر آلود رہتی ہے: مثال کے طور پر، تین سیٹوں کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی 3-اختلاط کی وضاحت کر سکتا ہے۔ 2020 تک، یہ معلوم نہیں ہے کہ 2-اختلاط کا مطلب 3-اختلاط ہے یا نہیں۔ (اگر کوئی ارگوڈیسیٹی کو "1-اختلاط" سمجھتا ہے، تو یہ واضح ہے کہ 1-اختلاط کا مطلب 2-اختلاط نہیں ہے ؛ ایسے نظام ہیں جو ارگوڈک ہیں لیکن اختلاط نہیں کرتے ہیں۔) مضبوط اختلاط کا تصور سیٹوں کے جوڑے کے حجم کے حوالے سے بنایا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، رنگین رنگ کے ایک سیٹ پر غور کریں جسے کسی قسم کے چپچپا مائع، جیسے مکئی کا شربت، یا شیمپو، یا اس طرح کے کپ میں ملایا جا رہا ہے۔ عملی تجربے سے پتہ چلتا ہے کہ چپچپا سیالوں کو ملانا کافی مشکل ہو سکتا ہے: عام طور پر کنٹینر کے کچھ کونے ہوتے ہیں جہاں ڈائی کو ملانا مشکل ہوتا ہے۔ اس مشکل سے پہنچنے والے کونے کو سیٹ کریں۔ اختلاط کا سوال یہ ہے کہ، کیا کافی عرصے کے بعد، نہ صرف اس میں گھس سکتا ہے بلکہ اسی تناسب سے بھی بھر سکتا ہے جو کہیں اور ہوتا ہے؟ ایک فقرہ مضبوط اختلاط کی تعریف کو اس ضرورت کے طور پر بیان کرتا ہے کہ وقت کا پیمانہ الگ اور وقت میں کام کرتا ہے، تاکہ ٹیسٹ کا حجم طے کرتے ہوئے کوئی اختلاط کر رہا ہو۔ پروڈکٹ تھوڑا زیادہ لطیف ہے۔ تصور کریں کہ حجم کل حجم کا 10 ٪ ہے، اور یہ کہ رنگ کا حجم بھی بڑے کل کا 10 ٪ ہوگا۔ اگر یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، تو یہ 10 ٪ پر قبضہ کر رہا ہے، جو خود کل کا 10 ٪ ہے، اور اس لیے، آخر میں، اختلاط کے بعد، اس کا حصہ کل حجم کا 1 ٪ ہے۔ یعنی، حجم کا یہ پروڈکٹ امکانات میں بیس تھیوریم سے زیادہ مشابہت رکھتا ہے۔ یہ کوئی حادثہ نہیں ہے، بلکہ اس کا نتیجہ ہے کہ پیمائش کا نظریہ اور امکان کا نظریہ ایک ہی نظریہ ہے: وہ ایک ہی محوریات (کولموگوروف محوریات) کا اشتراک کرتے ہیں، یہاں تک کہ وہ مختلف اشارے استعمال کرتے ہیں۔ تعریف میں استعمال کرنے کے بجائے استعمال کرنے کی وجہ قدرے لطیف ہے، لیکن یہ انہی وجوہات کی پیروی کرتی ہے کہ پیمائش کے تحفظ کے نقشے کے تصور کی وضاحت کے لیے کیوں استعمال کیا گیا۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ کونے میں کتنا رنگ ملا ہوا ہے، کوئی یہ دیکھنا چاہتا ہے کہ یہ رنگ کہاں سے آیا ہے (غالبا، یہ ماضی میں کسی وقت اوپر ڈالا گیا تھا)۔ اس بات کو یقینی بنانا چاہیے کہ ہر وہ جگہ جہاں سے یہ "آیا" ہو آخر کار اس میں گھل مل جاتا ہے۔ متحرک نظاموں میں اختلاط ایک پیمائش کو محفوظ رکھنے والا متحرک نظام ہے، جس میں T وقت ارتقاء یا شفٹ آپریٹر ہے۔ نظام کو مضبوط اختلاط کہا جاتا ہے اگر، کسی کے لیے، ایک مجرد عدد n کے بجائے مسلسل متغیر کے ذریعے پیرامیٹرائزڈ شفٹوں کے لیے، وہی تعریف لاگو ہوتی ہے، جس کی جگہ g مسلسل وقت کا پیرامیٹر ہوتا ہے۔ ایک متحرک نظام کو کمزور اختلاط کہا جاتا ہے اگر کسی کے پاس ہو۔ دوسرے الفاظ میں، مضبوط اختلاط ہے اگر معمول کے لحاظ سے، کمزور اختلاط اگر سیسارو کے لحاظ سے، اور ایرگوڈک اگر سیسرو کے لحاظ سے۔ لہذا، مضبوط اختلاط کا مطلب کمزور اختلاط ہے، جس کا مطلب ایرگوڈیسیٹی ہے۔ تاہم، اس کے برعکس درست نہیں ہے: ایسے ایرگوڈک متحرک نظام موجود ہیں جو کمزور طور پر اختلاط نہیں کر رہے ہیں، اور کمزور طور پر متحرک نظاموں کو ملا رہے ہیں جو مضبوطی سے اختلاط نہیں کر رہے ہیں۔ چاکون نظام تاریخی طور پر ایک ایسے نظام کی پہلی مثال تھی جو کمزور اختلاط ہے لیکن مضبوط اختلاط نہیں ہے۔ ایل 2 فارمولیشن ارگوڈیسیٹی، کمزور اختلاط اور پیمائش کو محفوظ رکھنے والے متحرک نظام کے مضبوط اختلاط کی خصوصیات کو بھی مشاہدہ کی اوسط سے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ وان نیومن کے ایرگوڈک تھیوریم کے مطابق، متحرک نظام کی ایرگوڈیسیٹی اس خاصیت کے مساوی ہے کہ، کسی بھی فنکشن کے لیے، ترتیب مضبوطی سے یکجا ہوتی ہے اور سیسیرو کے معنی میں، یعنی، ایک متحرک نظام کمزور طور پر اختلاط ہو رہا ہے اگر، کسی بھی فنکشن کے لیے اور ایک متحرک نظام مضبوطی سے اختلاط ہو رہا ہے اگر، کسی بھی فنکشن کے لیے ترتیب کمزور طور پر یکجا ہو جائے یعنی، کسی بھی فنکشن کے لیے چونکہ نظام کو پیمائش کے تحفظ کے طور پر فرض کیا جاتا ہے، یہ آخری لائن یہ کہنے کے مساوی ہے کہ کوویرینس تاکہ بے ترتیب متغیرات اور بڑھتے ہوئے آرتھوگنل بن جائیں۔ دراصل، چونکہ یہ کسی بھی فنکشن کے لیے کام کرتا ہے اس لیے کوئی بھی غیر رسمی طور پر اختلاط کو اس خاصیت کے طور پر دیکھ سکتا ہے کہ بے ترتیب متغیرات اور بڑھتے ہوئے آزاد ہو جاتے ہیں۔ متحرک نظاموں کی مصنوعات دو ماپا ہوا متحرک نظام دیا گیا ہے اور کوئی بھی کارٹیشین پروڈکٹ کی وضاحت کرکے ایک متحرک نظام تشکیل دے سکتا ہے۔ پھر ہمارے پاس کمزور اختلاط کی درج ذیل خصوصیات ہیں: تجویز۔ ایک متحرک نظام کمزور اختلاط ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، کسی ایرگوڈک متحرک نظام کے لیے، نظام بھی ایرگوڈک ہو۔ تجویز۔ ایک متحرک نظام کمزور اختلاط ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ ایرگوڈک بھی ہو۔ اگر ایسا ہے تو پھر کمزور اختلاط بھی ہے۔ عامیاں اوپر دی گئی تعریف کو بعض اوقات مضبوط 2-اختلاط کہا جاتا ہے، تاکہ اسے اختلاط کے اعلی آرڈرز سے ممتاز کیا جا سکے۔ ایک مضبوط 3-اختلاط نظام کو ایک ایسے نظام کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کے لیے تمام قابل پیمائش سیٹوں A، B، C کے لیے موزوں ہے۔ ہم اسی طرح مضبوط K-اختلاط کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ ایک ایسا نظام جو تمام k = 2,3,4 کے لیے مضبوط k-اختلاط ہو، اسے تمام آرڈرز کا اختلاط کہا جاتا ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ مضبوط 2-اختلاط کا مطلب مضبوط 3-اختلاط ہے یا نہیں۔ یہ معلوم ہے کہ مضبوط ایم-مکسنگ کا مطلب ایرگوڈیسیٹی ہے۔ دائرے کی غیر معقول گردشوں کی مثالیں، اور ٹورس پر زیادہ عام طور پر ناقابل تلافی ترجمے، ایرگوڈک ہوتے ہیں لیکن لیبسیگ پیمائش کے حوالے سے نہ تو مضبوطی سے اور نہ ہی کمزور طور پر اختلاط ہوتے ہیں۔ افراتفری کے طور پر سمجھے جانے والے بہت سے نقشے کچھ اچھی طرح سے منتخب شدہ غیر متغیر پیمائش کے لیے مضبوطی سے اختلاط کر رہے ہیں، جن میں شامل ہیں: ڈیاڈک نقشہ، آرنلڈ کا بلی کا نقشہ، گھڑسواری کے نقشے، کولموگوروف آٹومورفزم، اور انوسوف بہاؤ (منفی منحنی خطوط کے کمپیکٹ کئی گنا کے یونٹ ٹینجینٹ بنڈل پر جیوڈیسیک بہاؤ۔) اختلاط کی ایک شکل کو کسی پیمائش کی اپیل کے بغیر بیان کیا جا سکتا ہے، صرف نظام کی ٹوپولوجی کا استعمال کرتے ہوئے۔ ایک مسلسل نقشہ کو ٹپوولوجیکل طور پر ٹرانزیکٹو کہا جاتا ہے اگر، غیر خالی کھلے سیٹوں کے ہر جوڑے کے لیے، ایک عدد n موجود ہو جہاں f کا n واں تکرار ہو۔ آپریٹر تھیوری میں، ایک ٹپوولوجیکل طور پر ٹرانزیکٹو باؤنڈ لینیر آپریٹر (ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس پر ایک مسلسل لکیری نقشہ) کو عام طور پر ہائپر سائیکلک آپریٹر کہا جاتا ہے۔ ایک متعلقہ خیال کا اظہار گھومتے ہوئے سیٹ کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ لیما: اگر X ایک مکمل میٹرک اسپیس ہے جس میں کوئی الگ تھلگ نقطہ نہیں ہے، تو f ٹپوولوجیکل طور پر عارضی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی ہائپر سائیکلک پوائنٹ موجود ہو، یعنی ایک نقطہ x ایسا ہو کہ اس کا مدار X میں گھنے ہو۔ ایک نظام کو ٹپوولوجیکل طور پر اختلاط کہا جاتا ہے اگر، کھلے سیٹوں کو دیا جائے اور، ایک عدد N موجود ہو، جیسے کہ، سب کے لیے، ایک کے پاس ہے۔ ایک مسلسل وقت کے نظام کے لیے، بہاؤ سے تبدیل کیا جاتا ہے، جس میں g مسلسل پیرامیٹر ہوتا ہے، اس ضرورت کے ساتھ کہ ایک غیر خالی چوراہا سب کے لیے ہو۔ ایک کمزور ٹوپولوجیکل اختلاط وہ ہے جس میں شفٹ آپریٹر کے کوئی غیر مستقل مسلسل (ٹوپولوجی کے حوالے سے) آئجن فنکشن نہ ہوں۔ ٹوپولوجیکل اختلاط کا نہ تو مطلب ہے، اور نہ ہی کمزور یا مضبوط اختلاط سے اس کا مطلب ہے: ایسے نظاموں کی مثالیں موجود ہیں جو کمزور اختلاط ہیں لیکن ٹوپولوجیکل اختلاط نہیں ہیں، اور ایسی مثالیں جو ٹوپولوجیکل اختلاط ہیں لیکن مضبوط اختلاط نہیں ہیں۔ اسٹوکاسٹک عمل میں اختلاط ایک امکانی جگہ پر ایک اسٹوکاسٹک عمل ہونے دیں۔ ترتیب کی جگہ جس میں عمل کے نقشوں کو ٹوپولوجی، پروڈکٹ ٹوپولوجی سے نوازا جا سکتا ہے۔ اس ٹوپولوجی کے کھلے سیٹوں کو سلنڈر سیٹ کہا جاتا ہے۔ یہ سلنڈر سیٹ ایک σ-الجبرا، بوریل σ-الجبرا پیدا کرتے ہیں۔ یہ سب سے چھوٹا σ-الجبرا ہے جس میں ٹوپولوجی ہوتی ہے۔ کسی فنکشن کی وضاحت کریں، جسے مضبوط اختلاط گتانک کہا جاتا ہے، جیسا کہ سب کے لیے۔ علامت، کے ساتھ σ-الجبرا کے ذیلی-σ-الجبرا کی نشاندہی کرتا ہے۔ یہ سلنڈر سیٹوں کا مجموعہ ہے جو اوقات a اور b کے درمیان متعین ہوتے ہیں، یعنی۔ کے ذریعہ پیدا کردہ σ-الجبرا۔ کہا جاتا ہے کہ اگر ایسا ہے تو اس عمل کو مضبوطی سے ملایا جاتا ہے۔ یعنی، ایک مضبوطی سے اختلاط کا عمل ایسا ہوتا ہے جو ہر وقت اور تمام واقعات پر یکساں ہو، وقت سے پہلے کے واقعات اور وقت کے بعد کے واقعات آزاد ہونے کی طرف مائل ہوتے ہیں ؛ زیادہ بول چال میں، یہ عمل، ایک مضبوط معنوں میں، اپنی تاریخ کو بھول جاتا ہے۔ مارکوف کے عمل میں اختلاط فرض کریں کہ یہ ایک ساکن مارکوف عمل تھا جس میں ساکن تقسیم تھی اور آئیے بوریل پیمائش کے قابل افعال کی جگہ کی نشاندہی کریں جو پیمائش کے حوالے سے مربع مربوط ہیں۔ مشروط توقع آپریٹر کو بھی ظاہر کرتے ہیں آخر میں، مربع مربوط افعال کی جگہ کو اوسط صفر کے ساتھ ظاہر کرتے ہیں۔ عمل کے ρ-اختلاط گتانک ہیں۔ اس عمل کو ρ-اختلاط کہا جاتا ہے اگر یہ گتانک صفر پر یکجا ہوتے ہیں، اور "ρ-اختلاط ایکسپونینشیل ڈیک ریٹ کے ساتھ" اگر کچھ کے لیے۔ ایک مستحکم مارکوف عمل کے لیے، کوفیشنٹس ρt یا تو ایک ایکسپونینشیل ریٹ سے ختم ہو سکتے ہیں، یا ہمیشہ ایک کے برابر ہو سکتے ہیں۔ عمل کے α-اختلاط گتانک ہیں۔ اس عمل کو α-اختلاط کہا جاتا ہے اگر یہ گتانک صفر پر یکجا ہو جاتے ہیں، تو یہ "α-اختلاط کے ساتھ اختلاط کی شرح" ہے اگر کچھ کے لیے، اور یہ α-اختلاط کے ساتھ ذیلی اختلاط کی شرح کے ساتھ ہے اگر کچھ غیر بڑھتی ہوئی تقریب کے لیے۔ α-اختلاط گتانک ہمیشہ ρ-اختلاط سے چھوٹے ہوتے ہیں:، لہذا اگر عمل ρ-اختلاط ہے، تو یہ لازمی طور پر α-اختلاط بھی ہوگا۔ تاہم، کب، یہ عمل اب بھی α-اختلاط ہو سکتا ہے، جس میں سب-ایکسپونینشیل ڈیک کی شرح ہو۔ اگر یہ کوفشنٹس صفر پر یکجا ہوتے ہیں تو اس عمل کو β-اختلاط کہا جاتا ہے، اگر یہ کچھ کے لیے ایکسپونینشیل ڈیک کی شرح کے ساتھ β-اختلاط ہے، اور یہ ذیلی ایکسپونینشیل ڈیک کی شرح کے ساتھ β-اختلاط ہے اگر کچھ غیر بڑھتے ہوئے فنکشن کے لیے تسلی بخش ہے۔ ایک سختی سے مستحکم مارکوف عمل β-اختلاط ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک اپیروڈک بار بار آنے والی ہیرس زنجیر ہو۔ β-اختلاط گتانک ہمیشہ α-اختلاط سے بڑے ہوتے ہیں، لہذا اگر کوئی عمل β-اختلاط کر رہا ہے تو یہ بھی α-اختلاط ہوگا۔ β-اختلاط اور ρ-اختلاط کے درمیان کوئی براہ راست تعلق نہیں ہے: ان میں سے کوئی بھی دوسرے کا مطلب نہیں ہے۔ حوالہ جات وی۔ آئی۔ آرنلڈ اور اے۔ ایویز، ایرگوڈک پروبلمز آف کلاسیکل میکینکس، (1968) ڈبلیو۔ اے۔ بینجمن، انکارپوریٹڈ اچم کلینکے، پروبیبلٹی تھیوری، (2006) سپرنگر ایرگوڈک تھیوری