Cartan subalgebra
ریاضی میں، کارٹن ذیلی الجبرا، جسے اکثر سی ایس اے کے طور پر مختصر کیا جاتا ہے، ایک لائ الجبرا کا ایک نیلپوٹینٹ ذیلی الجبرا ہے جو خود کو معمول پر لاتا ہے (اگر سب کے لیے، تو)۔ انہیں ایلی کارٹن نے اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں متعارف کرایا تھا۔ یہ خصوصیت کے میدان پر نیم سادہ جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کے نظریہ کو کنٹرول کرتا ہے۔ ایک محدود جہتی نیم سادہ میں خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر جھوٹ الجبرا (مثال کے طور پر، ایک کارٹن ذیلی الجبرا ایک زیادہ سے زیادہ ابیلین ذیلی الجبرا کی طرح ہے جو عناصر x پر مشتمل ہے کہ ملحقہ اینڈومورفزم نیم آسان ہے (یعنی، اخترن)۔ بعض اوقات اس خصوصیت کو محض کارٹن subalgebra.pg 211 کی تعریف کے طور پر لیا جاتا ہے۔ عام طور پر، ذیلی الجبرا کو ٹورال کہا جاتا ہے اگر یہ نیم سادہ عناصر پر مشتمل ہو۔ الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر، ایک ٹورل سب الجبرہ خود بخود ابیلین ہوتا ہے۔ اس طرح، خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر، کارٹن ذیلی الجبرا کو زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ کاک-موڈی الجبرا اور عمومی کاک-موڈی الجبرا میں بھی ذیلی الجبرا ہوتے ہیں جو نیم سادہ لائ الجبرا (خصوصیت صفر کے میدان پر) کے کارٹن ذیلی الجبرا کی طرح ہی کردار ادا کرتے ہیں۔ وجود اور انفرادیت کارٹن سب الجیبرا محدود جہتی لائ الجیبرا کے لیے موجود ہوتے ہیں جب بھی بیس فیلڈ لامحدود ہوتا ہے۔ کارٹن ذیلی الجبرا کی تعمیر کا ایک طریقہ باقاعدہ عنصر کے ذریعے ہے۔ ایک محدود میدان میں، وجود کا سوال اب بھی کھلا ہے۔ خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر ایک محدود جہتی نیم سادہ جھوٹ الجبرا کے لیے، ایک آسان نقطہ نظر ہے: تعریف کے مطابق، ایک ٹورل ذیلی الجبرا ایک ذیلی الجبرا ہے جو نیم سادہ عناصر پر مشتمل ہوتا ہے (ایک عنصر نیم آسان ہوتا ہے اگر اس سے متاثر ہونے والی ملحقہ اینڈومورفزم اخترن ہے)۔ ایک کارٹن ذیلی الجبرا پھر ایک زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا کی طرح ہی ہے اور زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا کا وجود دیکھنا آسان ہے۔ خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر ایک محدود جہتی لائ الجبرا میں، تمام کارٹن ذیلی الجبرہ الجبرا کے آٹومورفزم کے تحت کنجوگیٹ ہوتے ہیں، اور خاص طور پر تمام آئسومورفک ہوتے ہیں۔ کارٹن ذیلی الجبرا کی مشترکہ جہت کو پھر الجبرا کا درجہ کہا جاتا ہے۔ ایک محدود جہتی پیچیدہ نیم سادہ لائ الجبرا کے لیے، کارٹن ذیلی الجبرا کا وجود قائم کرنا بہت آسان ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک کمپیکٹ حقیقی شکل کا وجود ہے۔ اس صورت میں، کمپیکٹ گروپ کے زیادہ سے زیادہ ٹورس کے لائ الجبرا کی پیچیدگی کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ اگر ایک لکیری لائ الجبرا (ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس V کے اینڈومورفزم کے لائ الجبرا کا ایک لائ سب الجبرا) الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہے، تو کوئی بھی کارٹن سب الجبرا کا زیادہ سے زیادہ ٹورل سب الجبرا کا سنٹرلائزر ہے۔ اگر نیم سادہ ہے اور میدان کی خصوصیت صفر ہے، تو ایک زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا خود کو معمول پر لانا ہے، اور اسی طرح متعلقہ کارٹن ذیلی الجبرا کے برابر ہے۔ اگر اس کے علاوہ نیم سادہ ہے، تو ملحقہ نمائندگی لکیری لائ الجبرا کے طور پر پیش کی جاتی ہے، تاکہ کا ذیلی الجبرا کارٹن ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا ہو۔ مثالیں کوئی بھی نیل پوٹینٹ لائ الجبرا اس کا اپنا کارٹن ذیلی الجبرا ہے۔ کارٹن ذیلی الجبرا، ایک فیلڈ پر میٹرکس کا لائ الجبرا، تمام اخترن میٹرکس کا الجبرا ہے۔ ٹریسل لیس میٹرکس کے خصوصی لائ الجبرا کے لیے، اس میں کارٹن ذیلی الجبرا ہوتا ہے جہاں مثال کے طور پر، کارٹن ذیلی الجبرا میٹرکس کمیونیٹر کے ذریعہ دیئے گئے لائ بریکٹ کے ساتھ میٹرکس کا ذیلی الجبرا ہوتا ہے۔ لی الجبرا آف بائی میٹرکس آف ٹریس میں دو غیر مربوط کارٹن ذیلی الجبراز ہوتے ہیں۔ کارٹن ذیلی الجبرا کا طول و عرض عام طور پر ابیلین ذیلی الجبرا کا زیادہ سے زیادہ طول و عرض نہیں ہے، یہاں تک کہ پیچیدہ سادہ لائ الجبرا کے لیے بھی۔ مثال کے طور پر، بائی میٹرکس آف ٹریس کے لائ الجبرا میں رینک کا کارٹن سب الجبرہ ہوتا ہے لیکن اس میں طول و عرض کا زیادہ سے زیادہ ابیلین سب الجبرہ ہوتا ہے جو کسی بھی بائی میٹرکس کے ساتھ فارم کے تمام میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے۔ کوئی بھی براہ راست دیکھ سکتا ہے کہ یہ ابیلین ذیلی الجبرا کارٹن ذیلی الجبرا نہیں ہے، کیونکہ یہ سختی سے اوپری مثلث میٹرکس کے نیلپوٹینٹ الجبرا میں موجود ہے (یا، چونکہ یہ اخترن میٹرکس کے ذریعہ معمول پر آتا ہے)۔ سیمی سمپل لائ الجبرا کے کارٹن سب الجیبرا محدود جہتی سیمی سمپل لائ الجبرا کے لیے خصوصیت 0 کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر، ایک کارٹن سب الجبرہ میں درج ذیل خصوصیات ہوتی ہیں: ابیلین ہے، ملحقہ نمائندگی کے لیے، شبیہہ سیمی سمپل آپریٹرز (یعنی ڈائیگنل ایبل میٹرکس) پر مشتمل ہوتی ہے۔ (جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، کارٹن ذیلی الجبرا کو درحقیقت ایک ذیلی الجبرا کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو مذکورہ بالا دو خصوصیات رکھنے والوں میں زیادہ سے زیادہ ہے۔) ان دونوں خصوصیات کا کہنا ہے کہ آپریٹرز بیک وقت ڈائیگنلائز ہوتے ہیں اور یہ کہ جہاں کے طور پر ایک براہ راست مجموعہ سڑنا ہے۔ جانے دیں۔ پھر ایک جڑ کا نظام ہے اور، اس کے علاوہ، یعنی، کا سنٹرلائزر اس کے ساتھ موافق ہے۔ مندرجہ بالا سڑنے کو پھر اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، ہر ایک کے لیے طول و عرض ایک ہے اور اس طرح: مزید معلومات کے لیے نیم سادہ جھوٹ algebra#Structure بھی دیکھیں۔ دوہری کارٹن ذیلی الجبرا کے ساتھ ڈی کمپوزنگ نمائشیں خصوصیت کے میدان پر ایک جھوٹ الجبرا اور ایک جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کو دیکھتے ہوئے اس کے کارٹن ذیلی الجبرا سے جھوٹ الجبرا کے سڑنے سے متعلق ایک سڑنا ہے۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں، جسے وزن کے لیے وزن کی جگہ کہا جاتا ہے، تو ان وزن کی جگہوں کے لحاظ سے نمائندگی کا ایک سڑنا ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، جب بھی ہم وزن کا استعمال کرتے ہوئے-نمائندگی کی درجہ بندی کو ناقابل تلافی نمائندگی کہتے ہیں۔ لیکن، یہ پتہ چلتا ہے کہ ان وزنوں کو لائ الجبرا کی ناقابل تلافی نمائندگی کی درجہ بندی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی کے لیے جزوی ترتیب کے حوالے سے ایک منفرد وزن موجود ہے۔ مزید برآں، اس طرح دیا گیا ہے کہ ہر مثبت جڑ کے لیے ایک منفرد ناقابل تلافی نمائندگی موجود ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ جڑ کا نظام اسپلٹنگ کارٹن سب الجبرہ کی نمائندگی کے نظریہ کے بارے میں تمام معلومات پر مشتمل ہے۔ غیر الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر، تمام کارٹن سب الجبرہ کنجوگیٹ نہیں ہوتے ہیں۔ ایک اہم کلاس کارٹن سب الجبراس کو تقسیم کر رہی ہے: اگر کوئی لائ الجبرا ایک تقسیم کارٹن سب الجبرہ کو تسلیم کرتا ہے تو اسے اسپلٹ ایبل کہا جاتا ہے، اور اس جوڑے کو اسپلٹ لائ الجبرا کہا جاتا ہے۔ الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہر نیم سادہ لائ الجبرا اسپلٹ ایبل ہوتا ہے۔ کوئی بھی دو تقسیم کارٹن الجبرا کنجوگیٹ ہوتے ہیں، اور وہ الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر نیم سادہ لائ الجبرا میں کارٹن الجبرا سے ملتے جلتے فنکشن کو پورا کرتے ہیں، لہذا نیم سادہ لائ الجبرا (درحقیقت، تقسیم تخفیف لائ الجبرا) الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر نیم سادہ لائ الجبرا کے ساتھ بہت سی خصوصیات کا اشتراک کرتے ہیں۔ تاہم، غیر الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہر نیم سادہ لائ الجبرا کو تقسیم نہیں کیا جا سکتا۔ کارٹن ذیلی گروپ ایک لائ گروپ کا کارٹن ذیلی گروپ ان ذیلی گروپوں میں سے ایک ہے جن کا لائ الجبرا کارٹن ذیلی الجبرا ہے۔ ذیلی گروپ کے شناختی جزو میں ایک ہی لائ الجبرا ہوتا ہے۔ کوئی معیاری روایت نہیں ہے جس کے لیے اس پراپرٹی کے ساتھ ذیلی گروپوں میں سے ایک کو کارٹن ذیلی گروپ کہا جاتا ہے، خاص طور پر منقطع گروپوں کے معاملے میں۔ ایک کمپیکٹ منسلک لائ گروپ کا کارٹن ذیلی گروپ ایک زیادہ سے زیادہ منسلک ابیلین ذیلی گروپ (ایک زیادہ سے زیادہ ٹورس) ہے۔ اس کا لائ الجبرا ایک کارٹن ذیلی الجبرا ہے۔ منقطع کمپیکٹ لائ گروپوں کے لیے کارٹن ذیلی گروپ کی کئی غیر مساوی تعریفیں ہیں۔ ایسا لگتا ہے کہ سب سے زیادہ عام ڈیوڈ ووگن کی طرف سے دیا گیا ہے، جو کارٹن ذیلی گروہ کو عناصر کے اس گروپ کے طور پر بیان کرتا ہے جو ایک مقررہ زیادہ سے زیادہ ٹورس کو معمول پر لاتا ہے اور بنیادی ویل چیمبر کو ٹھیک کرتا ہے۔ اسے بعض اوقات بڑا کارٹن ذیلی گروہ کہا جاتا ہے۔ ایک چھوٹا کارٹن ذیلی گروہ بھی ہے، جس کی تعریف زیادہ سے زیادہ ٹورس کے مرکز کے طور پر کی گئی ہے۔ ان کارٹن ذیلی گروہوں کو عام طور پر ابیلین ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ کارٹن ذیلی گروپوں کی مثالیں GL2 (R) میں ذیلی گروپ جو کہ اخترن میٹرکس پر مشتمل ہے۔ حوالہ جات نوٹ جھوٹ الجبرا اور ان کی نمائندگی لامحدود جہتی جھوٹ الجبرا حوالہ جات جھوٹ الجبرا