Znám's problem
نمبر تھیوری میں، زنیم کا مسئلہ پوچھتا ہے کہ انٹیجرز کے کون سے سیٹوں کی خاصیت یہ ہے کہ سیٹ میں موجود ہر انٹیجر سیٹ میں موجود دوسرے انٹیجرز کے پروڈکٹ کا ایک مناسب تقسیم کنندہ ہے، پلس 1۔ زینام کا مسئلہ سلوواک ریاضی دان اسٹیفن زینام کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اسے 1972 میں تجویز کیا تھا، حالانکہ دوسرے ریاضی دانوں نے اسی وقت کے آس پاس اسی طرح کے مسائل پر غور کیا تھا۔ سلویسٹر کی ترتیب کی ابتدائی اصطلاحات تقریبا اس مسئلے کو حل کرتی ہیں، سوائے اس کے کہ آخری منتخب کردہ اصطلاح ایک مناسب تقسیم کار ہونے کے بجائے ایک اور دوسروں کے پروڈکٹ کے برابر ہوتی ہے۔ ظاہر کیا کہ ہر ایک کے لیے (مناسب) زنیم مسئلے کا کم از کم ایک حل ہے۔ سورج کا حل سلویسٹر کی ترتیب کی طرح ایک تکرار پر مبنی ہے، لیکن ابتدائی اقدار کے ایک مختلف سیٹ کے ساتھ۔ زنیم کا مسئلہ مصری حصوں سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ کسی بھی مقررہ کے لیے صرف محدود طور پر بہت سے حل ہوتے ہیں۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا صرف عجیب اعداد کا استعمال کرتے ہوئے زنیم کے مسئلے کا کوئی حل ہے، اور کئی دوسرے کھلے سوالات باقی ہیں۔ زنیم کا مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ انٹیجرز کے کون سے سیٹوں میں یہ خاصیت ہوتی ہے کہ سیٹ میں موجود ہر انٹیجر سیٹ میں موجود دوسرے انٹیجرز کے پروڈکٹ کا مناسب تقسیم کنندہ ہے، پلس 1۔ یعنی، یہ دیا گیا ہے کہ انٹیجرز کے کون سے سیٹ ایسے ہیں کہ، ہر ایک کے لیے، تقسیم ہوتے ہیں لیکن برابر نہیں ہوتے ہیں۔ ایک قریب سے متعلق مسئلہ انٹیجرز کے سیٹوں سے متعلق ہے جس میں سیٹ میں ہر انٹیجر ایک تقسیم کنندہ ہے، لیکن ضروری نہیں کہ ایک مناسب تقسیم کنندہ ہو، ایک کے علاوہ سیٹ میں موجود دوسرے انٹیجرز کے پروڈکٹ کا۔ ایسا لگتا ہے کہ اس مسئلے کا نام ادب میں نہیں رکھا گیا ہے، اور اسے نامناسب زنیم مسئلہ کہا جائے گا۔ زینم کے مسئلے کا کوئی بھی حل نامناسب زینم مسئلے کا بھی حل ہے، لیکن ضروری نہیں کہ اس کے برعکس ہو۔ زنیم کے مسئلے کا نام سلوواک ریاضی دان اسٹیفن زنیم کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1972 میں اس کی تجویز پیش کی تھی۔ اس نے زنیم کے لیے نامناسب مسئلہ پیش کیا تھا، اور آزادانہ طور پر زنیم کے لیے نامناسب مسئلے کے تمام حل تلاش کیے تھے۔ اس سے ظاہر ہوا کہ زنیم کا مسئلہ ناقابل حل ہے، اور اس کا حل تلاش کرنے کا سہرا جے جانک کو دیا۔ مثال کے طور پر سلویسٹر کی ترتیب ایک عدد ترتیب ہے جس میں ہر اصطلاح ایک اور پچھلی اصطلاحات کا پروڈکٹ ہے۔ ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات یہ ہیں کہ ترتیب کو جلد روکنا اس طرح کا ایک سیٹ تیار کرتا ہے جو تقریبا زینم کے مسئلے کی شرائط پر پورا اترتا ہے، سوائے اس کے کہ سب سے بڑی قیمت مناسب تقسیم کار ہونے کے بجائے ایک اور دوسری اصطلاحات کے پروڈکٹ کے برابر ہوتی ہے۔ اس طرح، یہ نامناسب زینم مسئلے کا حل ہے، لیکن زینم کے مسئلے کا حل نہیں ہے جیسا کہ عام طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مناسب Znám مسئلے کا ایک حل، کیونکہ، ہے۔ چند حسابات سے پتہ چلے گا کہ مصری حصوں سے تعلق نامناسب زینم مسئلے کا کوئی بھی حل مساوات کے حل کے مساوی ہے (اقدار کے پروڈکٹ کے لحاظ سے تقسیم کے ذریعے) جہاں نیز ہر ایک کو ایک عدد ہونا چاہیے، اور اس کے برعکس ایسا کوئی بھی حل نامناسب زینم مسئلے کے حل سے مطابقت رکھتا ہے۔ تاہم، تمام معروف حل ہوتے ہیں، لہذا وہ مساوات کو مطمئن کرتے ہیں یعنی، وہ اکائی حصوں کے مجموعے کے طور پر نمبر ایک کے مصری حصے کی نمائندگی کی طرف لے جاتے ہیں۔ زینم کے مسئلہ کے مطالعہ پر کئی حوالہ شدہ مقالے بھی اس مساوات کے حل ہیں۔ سطحوں پر انفرادیت کی درجہ بندی کے لیے، ٹوپولوجی میں مساوات کے اطلاق کی وضاحت کریں، اور غیر متعین محدود آٹومیٹا کے نظریہ کے لیے ایک اطلاق کی وضاحت کریں۔ حلوں کی تعداد کسی بھی مسئلے کے لیے زنیم کے حل کی تعداد محدود ہے، اس لیے ہر ایک کے لیے حل کی کل تعداد شمار کرنا سمجھ میں آتا ہے۔ ظاہر کیا کہ ہر ایک کے لیے (مناسب) زنیم مسئلے کا کم از کم ایک حل ہے۔ سورج کا حل سلویسٹر کی ترتیب کی طرح ایک تکرار پر مبنی ہے، لیکن ابتدائی اقدار کے ایک مختلف سیٹ کے ساتھ۔ کی چھوٹی اقدار کے حل کی تعداد، جس سے شروع ہوتی ہے، ترتیب 2، 5، 18، 96 بناتی ہے۔ فی الحال، چند حل اور کے لیے جانے جاتے ہیں، لیکن یہ واضح نہیں ہے کہ ان اقدار کے لیے کتنے حل دریافت نہیں ہوئے ہیں۔ تاہم، اگر طے نہ کیا جائے تو لامحدود طور پر بہت سے حل ہیں: ظاہر کیا کہ ہر ایک کے لیے کم از کم 39 حل ہیں، جو پہلے کے نتائج کو بہتر بناتے ہیں جو کم حل کے وجود کو ثابت کرتے ہیں۔ قیاس کریں کہ ہر قدر کے لیے حل کی تعداد یکسانیت کے ساتھ بڑھتی ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا صرف عجیب اعداد کا استعمال کرتے ہوئے زنیم کے مسئلے کا کوئی حل ہے یا نہیں۔ ایک رعایت کے ساتھ، تمام معروف حل 2 سے شروع ہوتے ہیں۔ اگر زنیم کے مسئلے یا نامناسب زنیم کے مسئلے کے حل میں موجود تمام اعداد پرائم ہیں، تو ان کا پروڈکٹ ایک بنیادی سیوڈوپرفیکٹ نمبر ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ اس قسم کے لامحدود حل موجود ہیں یا نہیں۔ حوالہ جات نوٹس ذرائع۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط نمبر تھیوری انٹیجر سیکوینس مصری فریکشن ریاضیاتی مسائل