On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems
"über رسمی unentcheidbare Sätze der پرنسپیا میتھمیٹکا اینڈ ورونڈر سسٹم I" ("آن فارمللی انڈیسیڈیبل پروپوزیشنز آف پرنسپیا میتھمیٹکا اینڈ ریلیٹڈ سسٹمز I") کرٹ گوڈل کا ریاضیاتی منطق کا ایک مقالہ ہے۔ 17 نومبر 1930 کو پیش کیا گیا، یہ اصل میں جرمن میں موناتشیفٹے فر میتھمیٹک اینڈ فزیک کے 1931 کے حجم میں شائع ہوا تھا۔ کئی انگریزی ترجمے پرنٹ میں شائع ہوئے ہیں، اور اس مقالے کو کلاسیکی ریاضیاتی منطق کے کاغذات کے دو مجموعوں میں شامل کیا گیا ہے۔ اس مقالے میں گوڈل کے نامکمل نظریات شامل ہیں، جو اب منطق میں بنیادی نتائج ہیں جن کے ریاضی میں مستقل مزاجی کے ثبوت کے لیے بہت سے مضمرات ہیں۔ یہ مقالہ نئی تکنیکوں کو متعارف کرانے کے لیے بھی جانا جاتا ہے جو گوڈل نے نامکمل نظریات کو ثابت کرنے کے لیے ایجاد کی تھیں۔ خاکہ اور کلیدی نتائج قائم کیے گئے اہم نتائج گوڈل کے پہلے اور دوسرے نامکمل نظریات ہیں، جن کا ریاضیاتی منطق کے میدان پر بہت زیادہ اثر پڑا ہے۔ یہ مقالے میں بالترتیب تھیوریم VI اور XI کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ ان نتائج کو ثابت کرنے کے لیے، گوڈل نے ایک طریقہ متعارف کرایا جسے اب گوڈل نمبرنگ کہا جاتا ہے۔ اس طریقہ کار میں، فرسٹ آرڈر ریاضی میں ہر جملے اور رسمی ثبوت کو ایک مخصوص قدرتی نمبر تفویض کیا جاتا ہے۔ گوڈل سے پتہ چلتا ہے کہ ان ثبوتوں کی بہت سی خصوصیات کو ریاضی کے کسی بھی نظریہ کے اندر بیان کیا جا سکتا ہے جو ابتدائی تکراری افعال کی وضاحت کرنے کے لیے کافی مضبوط ہے۔ (ریکرسو افعال اور ابتدائی ریکرسو افعال کے لیے عصری اصطلاحات ابھی تک قائم نہیں ہوئی تھیں جب مقالہ شائع ہوا تھا۔ گوڈل نے لفظ ("ریکرسو") کا استعمال کیا جو اب ابتدائی ریکرسو افعال کے نام سے جانا جاتا ہے۔) اس کے بعد سے گوڈل نمبرنگ کا طریقہ ریاضیاتی منطق میں عام ہو گیا ہے۔ کیونکہ گوڈل نمبرنگ کا طریقہ نیا تھا، اور کسی بھی ابہام سے بچنے کے لیے، گوڈل نے قدیم تکراری افعال اور گوڈل نمبروں کو جوڑنے اور جانچنے کے لیے استعمال ہونے والے تعلقات کی 45 واضح رسمی تعریفوں کی ایک فہرست پیش کی۔ انہوں نے ان کا استعمال ایک ایسے فارمولے کی واضح تعریف دینے کے لیے کیا جو سچ ہے اور صرف اس صورت میں جب کسی جملے کا گوڈل نمبر ہو اور ایک قدرتی نمبر موجود ہو جو اس کے ثبوت کا گوڈل نمبر ہو۔ اس فارمولے کا نام ثبوت کے جرمن لفظ سے ماخوذ ہے۔ اس مقالے میں گوڈل کی ایجاد کردہ دوسری نئی تکنیک خود حوالہ جات کا استعمال تھا۔ گوڈل نے دکھایا کہ خود حوالہ کے کلاسیکی تضادات، جیسے کہ "یہ بیان غلط ہے"، کو ریاضی کے خود حوالہ رسمی جملوں کے طور پر دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، گوڈل کے پہلے نامکمل نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال ہونے والا جملہ کہتا ہے کہ "یہ بیان قابل تصدیق نہیں ہے"۔ یہ حقیقت کہ اس طرح کے خود حوالہ کا اظہار ریاضی کے اندر کیا جا سکتا ہے اس وقت تک معلوم نہیں تھا جب تک کہ گوڈل کا مقالہ شائع نہیں ہوا۔ الفریڈ ٹارسکی کا ان کی غیر معینہ تھیوریم پر آزاد کام اسی وقت کے آس پاس کیا گیا تھا لیکن 1936 تک شائع نہیں ہوا تھا۔ فوٹ نوٹ 48 اے میں، گوڈل نے کہا کہ کاغذ کا ایک منصوبہ بند دوسرا حصہ مستقل ثبوت اور ٹائپ تھیوری کے درمیان ایک تعلق قائم کرے گا (اس لیے کاغذ کے عنوان کے آخر میں "I"، جو پہلے حصے کی نشاندہی کرتا ہے)، لیکن گوڈل نے اپنی موت سے پہلے کاغذ کا دوسرا حصہ شائع نہیں کیا۔ تاہم، ڈائیلیکٹکا میں ان کے 1958 کے مقالے میں دکھایا گیا ہے کہ ریاضی کے لیے مستقل ثبوت دینے کے لیے ٹائپ تھیوری کو کس طرح استعمال کیا جا سکتا ہے۔ شائع شدہ انگریزی ترجمے ان کی زندگی کے دوران گوڈل کے مقالے کے تین انگریزی ترجمے چھاپے گئے، لیکن یہ عمل مشکل سے خالی نہیں تھا۔ پہلا انگریزی ترجمہ برنارڈ میلٹزر نے کیا تھا۔ یہ 1963 میں بیسک بکس کے ایک اسٹینڈ لون کام کے طور پر شائع ہوا تھا اور اس کے بعد ڈوور نے اسے دوبارہ شائع کیا اور ہاکنگ نے اسے دوبارہ شائع کیا (گاڈ کریئٹڈ دی انٹیجرز، رننگ پریس، 2005:1097 ff)۔ میلٹزر ورژن-جسے ریمنڈ سملیان نے 'اچھا ترجمہ' قرار دیا ہے-کا اسٹیفن باؤر-منگلبرگ (1966) نے منفی جائزہ لیا۔ ڈاسن کی گوڈل (ڈاسن 1997:216) کی سوانح عمری کے مطابق، خوش قسمتی سے، میلٹزر ترجمہ کو جلد ہی ایلیوٹ مینڈلسن کی طرف سے مارٹن ڈیوس کی انتھولوجی دی انڈیسیڈبل کے لیے تیار کردہ ایک بہتر ترجمہ سے تبدیل کر دیا گیا تھا۔ لیکن یہ بھی تقریبا آخری لمحے تک گوڈل کی توجہ میں نہیں لایا گیا تھا، اور نیا ترجمہ ابھی بھی مکمل طور پر ان کی پسند کے مطابق نہیں تھا۔ جب یہ بتایا گیا کہ کسی دوسرے متن کو تبدیل کرنے پر غور کرنے کے لیے کافی وقت نہیں ہے، تو انہوں نے اعلان کیا کہ مینڈلسن کا ترجمہ 'مجموعی طور پر بہت اچھا' تھا اور اس کی اشاعت پر اتفاق کیا۔ [اس کے بعد اسے اپنی تعمیل پر پچھتاوا ہوگا، کیونکہ شائع شدہ جلد میں ڈھلواں ٹائپگرافی اور متعدد غلط چھاپوں کی وجہ سے خلل پڑا تھا۔] ایلیٹ مینڈلسن کا ترجمہ مجموعہ دی انڈیسیڈبل (ڈیوس 1965:5 ff) میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس ترجمہ کو باؤر-منگلبرگ (1966) کی طرف سے بھی سخت جائزہ ملا، جس نے ٹائپگرافی کی غلطیوں کی تفصیلی فہرست دینے کے علاوہ وہ بھی بیان کیا جو اس کے خیال میں ترجمہ میں سنگین غلطیاں ہیں۔ جین وین ہیجینورٹ کا ترجمہ فرام فریج ٹو گوڈل: اے سورس بک ان میتھمیٹیکل لاجک (وین ہیجینورٹ 1967) کے مجموعے میں ظاہر ہوتا ہے۔ الونزو چرچ (1972) کے ایک جائزے میں اسے "سب سے محتاط ترجمہ جو کیا گیا ہے" کے طور پر بیان کیا گیا ہے لیکن اس پر کچھ مخصوص تنقید بھی کی گئی ہے۔ ڈاسن (1997:216) نوٹ کرتا ہے: گوڈل کا پسندیدہ ترجمہ جین وین ہیجینورٹ کا تھا۔ حجم کی تمہید میں وین ہیجینورٹ نے نوٹ کیا کہ گوڈل ان چار مصنفین میں سے ایک تھے جنہوں نے ذاتی طور پر ان کے کاموں کے ترجمے کو پڑھا اور منظور کیا تھا۔ منظوری کا یہ عمل مشکل تھا۔ گوڈل نے 1931 کے اپنے متن میں تبدیلیاں متعارف کروائیں، اور ان لوگوں کے درمیان مذاکرات "طویل" تھے: "نجی طور پر وین ہیجینورٹ نے اعلان کیا کہ گوڈل سب سے زیادہ کٹر شخص تھا جسے وہ کبھی جانتا تھا۔" ان کے درمیان "مجموعی طور پر ستر خطوط کا تبادلہ ہوا اور جرمن اور انگریزی الفاظ کے معانی اور استعمال میں باریکیوں سے متعلق سوالات کو حل کرنے کے لیے گوڈل کے دفتر میں دو بار ملاقات ہوئی۔" (ڈاسن 1997:216-217)۔ اگرچہ اصل مقالے کا ترجمہ نہیں ہے، لیکن ایک بہت ہی مفید چوتھا ورژن موجود ہے جو "بے یقینی پر گوڈل کے اصل 1931 کے مقالے (ڈیوس 1952:39) کے ساتھ ساتھ اس موضوع پر گوڈل کی اپنی توسیعات اور تفسیر سے کافی ملتا جلتا احاطہ کرتا ہے۔ یہ رسمی ریاضیاتی نظاموں کی غیر فیصلہ کن تجاویز (ڈیوس 1965:39 ff) کے طور پر ظاہر ہوتا ہے اور اسٹیفن کلین اور جے بارکلی روسر کے نقل کردہ لیکچرز کی نمائندگی کرتا ہے جبکہ گوڈل نے انہیں 1934 میں پرنسٹن، نیو جرسی میں انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں پیش کیا۔ ڈیوس نے اس ورژن میں غلطی کے دو صفحات اور گوڈل کی طرف سے اضافی اصلاحات شامل کی تھیں۔ یہ ورژن بھی قابل ذکر ہے کیونکہ اس میں گوڈل سب سے پہلے ہربرانڈ تجویز کو بیان کرتا ہے جس نے (عام، یعنی. ہربرانڈ-گوڈل) تکرار کی شکل۔ حوالہ جات اسٹیفن باؤر-منگلبرگ (1966)۔ غیر فیصلہ کن کا جائزہ: غیر فیصلہ کن تجاویز، ناقابل حل مسائل اور کمپیوٹیبل افعال پر بنیادی مقالے۔ جرنل آف سمبولک لاجک، جلد۔ 31، نمبر۔ 3. (ستمبر 1966)، پی پی۔ 484-494۔ الونزو چرچ (1972)۔ ریاضیاتی منطق میں ایک ماخذ کتاب کا جائزہ 1879-1931۔ جرنل آف سمبولک لاجک، جلد۔ 37، نہیں۔ 2. (جون 1972)، صفحہ 405۔ مارٹن ڈیوس، ایڈ۔ (1965)۔ غیر فیصلہ کن: غیر فیصلہ کن تجاویز، ناقابل حل مسائل اور کمپیوٹیبل افعال پر بنیادی کاغذات، ریوین، نیویارک۔ ری پرنٹ، ڈوور، 2004.. مارٹن ڈیوس، (2000)۔ انجنز آف لاجک: میتھمیٹکس اینڈ دی اوریجن آف دی کمپیوٹر، ڈبلیو ڈبلیو نارٹن اینڈ کمپنی، نیویارک۔ پی بی کے۔ کرٹ گوڈل (1931)، "über formal unentcheidbare Sätze der Philipia Mathematica und verwandter سسٹم I"۔ ریاضی اور طبیعیات 38:173-198۔ ۔ سپرنگر لنک کے ذریعے آن لائن دستیاب ہے۔ کرٹ گوڈل (1958)۔ "آپ کو کوئی خاص فائدہ نہیں ہوگا۔" ڈائیلیکٹکا v. 12، pp. 280-287۔ انگریزی ترجمہ میں دوبارہ شائع کیا گیا گوڈل کی کلیکٹڈ ورکس، جلد II، سولومن فیفرمین اور دیگر۔، ایڈز۔ آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، 1990۔ جین وین ہیجینورٹ، ایڈ۔ (1967)۔ فریج سے گوڈل تک: ریاضیاتی منطق پر ایک ماخذ کتاب 1879-1931۔ ہارورڈ یونیورسٹی پریس۔ برنارڈ میلٹزر (1962)۔ پرنسپیا میتھمیٹکا اور متعلقہ نظاموں کی باضابطہ طور پر ناقابل فیصلہ تجاویز پر۔ کرٹ گوڈل کے ذریعہ جرمن اصل کا ترجمہ، 1931۔ بنیادی کتابیں، 1962۔ دوبارہ شائع شدہ، ڈوور، 1992۔ ریمنڈ سملیان (1966)۔ اصول ریاضی اور متعلقہ نظاموں کی باضابطہ طور پر ناقابل فیصلہ تجاویز کا جائزہ۔ امریکی ریاضیاتی ماہانہ، جلد۔ 73، نمبر۔ 3. (مارچ 1966)، پی پی۔ 319-322۔ جان ڈبلیو ڈاسن، (1997)۔ منطقی الجھن: کرٹ گوڈل، اے کے پیٹرز، ویلسلی، میساچوسٹس کی زندگی اور کام۔ ۔ بیرونی روابط "پرنسپیا میتھمیٹکا اور متعلقہ سسٹمز I کی باضابطہ طور پر ناقابل فیصلہ تجاویز پر"۔ ترجمہ مارٹن ہرزل نے کیا، 27 نومبر 2000۔ ولہیلم کے ایسلر (پروفیسر ایم۔ آف لاجک، گوئٹے-یونیورسٹی فرینکفرٹ ایم مین) ویب پیج ریاضیاتی منطق ریاضی کے کاغذات 1931 سائنس 1931 دستاویزات میں کام اصل میں جرمن رسالوں میں شائع ہوا کام اصل میں سائنس اور ٹیکنالوجی کے رسالوں میں شائع ہوا منطق ادب کرٹ گوڈل کے کام