Dirichlet–Jordan test
ریاضی میں، ڈیرچلیٹ-جارڈن ٹیسٹ ایک حقیقی قدر والے، پیریڈک فنکشن f کے تسلسل کے نقطہ پر اس کی فورئیر سیریز کے مجموعے کے برابر ہونے کے لیے کافی شرائط فراہم کرتا ہے۔ مزید برآں، تعطل کے مقامات پر فورئیر سیریز کے رویے کا بھی تعین کیا جاتا ہے (یہ تعطل کی اقدار کا وسط نقطہ ہے)۔ یہ فورئیر سیریز کے کنورجنس کے لیے بہت سی شرائط میں سے ایک ہے۔ اصل ٹیسٹ پیٹر گستاو لیجین ڈیرچلیٹ نے 1829 میں پیس وائز مونوٹون افعال کے لیے قائم کیا تھا۔ اسے 19 ویں صدی کے آخر میں کیملی جورڈن نے باؤنڈڈ ویری ایشن کے افعال تک بڑھایا تھا (باؤنڈڈ ویری ایشن کا کوئی بھی فنکشن دو بڑھتے ہوئے افعال کا فرق ہے)۔ فورئیر سیریز کے لیے ڈیرچلیٹ-جارڈن ٹیسٹ ڈیرچلیٹ-جارڈن ٹیسٹ میں کہا گیا ہے کہ اگر کوئی پیریڈک فنکشن کسی پیریڈ پر باؤنڈڈ ویری ایشن کا ہے، تو فورئیر سیریز ڈومین کے ہر پوائنٹ پر کنورج ہوتی ہے۔ مزید برآں، اگر ہر جگہ مسلسل ہے، تو کنورجنس یکساں ہے۔ پیریڈ 2π کے پیریڈک فنکشن کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے، فورئیر سیریز کوفیشنٹس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے اور فورئیر سیریز کے جزوی مجموعے ہیں۔ اینالاگس بیان اس بات سے قطع نظر رکھتا ہے کہ f کی پیریڈ کیا ہے، یا فورئیر سیریز کا کون سا ورژن منتخب کیا گیا ہے۔ ٹیسٹ کا ایک پوائنٹ وائز ورژن بھی ہے: اگر ایک پیریڈک فنکشن ہے، اور اس کے پڑوس میں باؤنڈڈ تغیر کا ہے، تو فوریر سیریز اوپر کی حد میں ضم ہو جاتی ہے جیسا کہ فورئیر انٹیگرلز کے لیے اردن ٹیسٹ حقیقی لائن پر فورئیر ٹرانسفارم کے لیے، ٹیسٹ کا ایک ورژن بھی ہے۔ فرض کریں کہ یہ نقطہ کے پڑوس میں باؤنڈڈ تغیر کا ہے۔ پھر اگر کھلے وقفے میں مسلسل ہے، تو بائیں ہاتھ کی طرف کا انٹیگرل وقفے میں یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے، اور دائیں ہاتھ کی طرف کی حد ہے۔ ٹیسٹ کا یہ ورژن (اگرچہ سختی کے جدید مطالبات کو پورا نہیں کرتا ہے) تاریخی طور پر ڈیرچلیٹ سے پہلے کا ہے، جو جوزف فورئیر کی وجہ سے ہے۔ سگنل پروسیسنگ میں ڈیرچلیٹ کے حالات سگنل پروسیسنگ میں، ٹیسٹ کو اکثر ڈیرچلیٹ کی وجہ سے اصل شکل میں برقرار رکھا جاتا ہے: ایک پیس وائز مونوٹون باؤنڈ پیریڈک فنکشن میں ایک کنورجنٹ فورئیر سیریز ہوتی ہے جس کی قیمت ہر نقطہ پر فنکشن کی بائیں اور دائیں حدود کا ریاضی کا مطلب ہوتی ہے۔ ٹکڑے ٹکڑے کی یکسانیت کی شرط صرف محدود طور پر بہت سے مقامی انتہا کے ہونے کے برابر ہے، یعنی، کہ فنکشن صرف اپنے تغیر کو محدود طور پر کئی بار تبدیل کرتا ہے۔ (ڈیرچلیٹ اس کے علاوہ ضروری ہے کہ فنکشن میں صرف محدود طور پر بہت سی تعطل ہوں، لیکن یہ رکاوٹ غیر ضروری طور پر سخت ہے۔) کوئی بھی سگنل جو لیبارٹری میں جسمانی طور پر تیار کیا جا سکتا ہے ان حالات کو پورا کرتا ہے۔ جیسا کہ اردن ٹیسٹ کے پوائنٹ وائز کیس میں، باؤنڈنیس کی شرط میں نرمی کی جا سکتی ہے اگر فنکشن کو ایک مدت کے دوران بالکل انٹیگریبل (یعنی) سمجھا جائے، بشرطیکہ یہ اس پوائنٹ کے پڑوس میں ٹیسٹ کی دیگر شرائط کو پورا کرے جہاں حد لی گئی ہے۔ تجزیہ میں ڈینی ٹیسٹ حوالہ جات بیرونی لنکس فورئیر سیریز کے نظریات بھی دیکھیں۔