Skolem's paradox
ریاضیاتی منطق اور فلسفے میں، سکولیم کا تضاد ایک بظاہر تضاد ہے جو نیچے کی طرف لووینہیم-سکولیم تھیوریم سے پیدا ہوتا ہے۔ تھورالف سکولم (1922) وہ پہلا شخص تھا جس نے نظریہ کے بظاہر متضاد پہلوؤں پر تبادلہ خیال کیا، اور سیٹ تھیوریٹک تصورات کی اضافیت کو دریافت کیا جسے اب غیر حل پذیری کہا جاتا ہے۔ اگرچہ یہ رسل کے پیراڈوکس کی طرح ایک حقیقی اینٹی نومی نہیں ہے، اس نتیجے کو عام طور پر پیراڈوکس کہا جاتا ہے اور اسکولیم (1922: صفحہ 295) نے اسے "متضاد صورتحال" کے طور پر بیان کیا تھا۔ اسکولیم کا تضاد یہ ہے کہ فرسٹ آرڈر منطق میں سیٹ تھیوری کی ہر قابل گنتی محوریت، اگر یہ مستقل ہے، تو اس کا ایک ایسا نمونہ ہے جو قابل گنتی ہے۔ یہ متضاد معلوم ہوتا ہے کیونکہ ان ہی محوریوں سے، ایک ایسا جملہ ثابت کرنا ممکن ہے جو بدیہی طور پر کہتا ہے (یا جو نظریہ کے معیاری ماڈل میں قطعی طور پر کہتا ہے) کہ ایسے سیٹ موجود ہیں جو قابل شمار نہیں ہیں۔ اس طرح بظاہر تضاد یہ ہے کہ ایک ماڈل جو خود قابل گنتی ہے، اور جس میں اس لیے صرف قابل گنتی سیٹ ہوتے ہیں، پہلے درجے کے جملے کو مطمئن کرتا ہے جو بدیہی طور پر کہتا ہے کہ "بے شمار سیٹ ہیں"۔ پیراڈوکس کی ریاضیاتی وضاحت، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ ریاضی میں تضاد نہیں ہے، اسکولیم (1922) نے دی تھی۔ اسکولیم کے کام کو ارنسٹ زرمیلو نے سختی سے قبول کیا، جس نے فرسٹ آرڈر منطق کی حدود کے خلاف بحث کی، لیکن نتیجہ جلد ہی ریاضیاتی برادری نے قبول کر لیا۔ سکولیم کے تضاد کے فلسفیانہ مضمرات کا بہت زیادہ مطالعہ ہوا ہے۔ انکوائری کی ایک لائن سوال کرتی ہے کہ کیا یہ دعوی کرنا درست ہے کہ کوئی بھی فرسٹ آرڈر جملے میں دراصل کہا گیا ہے کہ "بے شمار سیٹ ہیں"۔ اس سوچ کی لکیر کو یہ سوال کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے کہ آیا کوئی سیٹ مطلق معنوں میں بے شمار ہے۔ حال ہی میں، ہلیری پٹنم کے مقالے "ماڈلز اینڈ ریئلٹی" اور اس کے جوابات نے اسکولم کے نتائج کے فلسفیانہ پہلوؤں میں نئی دلچسپی پیدا کی۔ پس منظر سیٹ تھیوری کے ابتدائی نتائج میں سے ایک، جو 1874 میں جارج کینٹر نے شائع کیا تھا، بے شمار سیٹوں کا وجود تھا، جیسے کہ قدرتی اعداد کا پاور سیٹ، حقیقی اعداد کا سیٹ، اور کینٹر سیٹ۔ ایک لامحدود سیٹ X قابل شمار ہے اگر کوئی فنکشن ہے جو X اور قدرتی اعداد کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت دیتا ہے، اور اگر ایسا کوئی خط و کتابت فنکشن نہ ہو تو ناقابل شمار ہے۔ جب زرمیلو نے 1908 میں سیٹ تھیوری کے لیے اپنے محوری اصولوں کی تجویز پیش کی تو انہوں نے کینٹر کے نظریہ کو ان سے ثابت کیا تاکہ ان کی طاقت کا مظاہرہ کیا جا سکے۔ لووینہیم (1915) اور سکولیم (1920، 1923) نے لووینہیم-سکولیم تھیوریم کو ثابت کیا۔ اس تھیوریم کی نیچے کی شکل سے پتہ چلتا ہے کہ اگر ایک قابل شمار فرسٹ آرڈر محوریت کو کسی لامحدود ڈھانچے سے مطمئن کیا جاتا ہے، تو وہی محوریات کچھ قابل شمار ساخت سے مطمئن ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر سیٹ تھیوری کے زرمیلو کے محوریوں کے فرسٹ آرڈر ورژن تسلی بخش ہیں، تو وہ کچھ قابل شمار ماڈل میں تسلی بخش ہیں۔ سیٹ تھیوری کے کسی بھی مستقل فرسٹ آرڈر محوریات کے لیے بھی یہی سچ ہے۔ متضاد نتیجہ اور اس کے ریاضیاتی مضمرات سکولیم (1922) نے ایک طرف لووینہیم-سکولیم تھیوریم کے درمیان بظاہر تضاد کی نشاندہی کی، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ زرمیلو کے محوریات کا ایک قابل شمار نمونہ موجود ہے، اور دوسری طرف کینٹر کا تھیوریم، جس میں کہا گیا ہے کہ بے شمار سیٹ موجود ہیں، اور جو زرمیلو کے محوریات سے ثابت ہوتا ہے۔ "جہاں تک میں جانتا ہوں،" سکولیم لکھتا ہے، "کسی نے بھی اس عجیب و غریب اور بظاہر متضاد صورتحال کی طرف توجہ نہیں دی۔ محوریوں کی وجہ سے ہم اعلی بنیادی باتوں کے وجود کو ثابت کر سکتے ہیں۔ تو پھر، یہ کیسے ہو سکتا ہے کہ پورے ڈومین B [زرمیلو کے محوریوں کا ایک قابل شمار ماڈل] کو پہلے ہی محدود مثبت عددوں کے ذریعے شمار کیا جا سکتا ہے؟ " (سکولیم 1922، صفحہ 295، ترجمہ باؤر-منگلبرگ)۔ مزید خاص طور پر، B کو زرمیلو کے محوریات کا قابل شمار نمونہ بننے دیں۔ پھر B میں کچھ سیٹ u ایسا ہے کہ B فرسٹ آرڈر کے فارمولے کو یہ کہتے ہوئے مطمئن کرتا ہے کہ u بے شمار ہے۔ مثال کے طور پر، u کو B میں حقیقی اعداد کے مجموعے کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ اب، چونکہ B قابل گنتی ہے، اس لیے صرف بہت سے عناصر c ایسے ہیں جیسے کہ B کے مطابق c ± u، کیونکہ B میں شروع کرنے کے لیے صرف بہت سے عناصر c ہیں۔ اس طرح یہ ظاہر ہوتا ہے کہ آپ کو قابل شمار ہونا چاہیے۔ یہ اسکولیم کا تضاد ہے۔ سکولیم نے وضاحت کی کہ کوئی تضاد کیوں نہیں تھا۔ سیٹ تھیوری کے ایک مخصوص ماڈل کے تناظر میں، "سیٹ" کی اصطلاح کسی من مانی سیٹ کی طرف اشارہ نہیں کرتی، بلکہ صرف ایک سیٹ کی طرف اشارہ کرتی ہے جو دراصل ماڈل میں شامل ہوتا ہے۔ گنتی کی تعریف کے لیے ضروری ہے کہ ایک مخصوص ون ٹو ون خط و کتابت، جو خود ایک سیٹ ہے، موجود ہونا چاہیے۔ اس طرح یہ تسلیم کرنا ممکن ہے کہ ایک مخصوص سیٹ u قابل گنتی ہے، لیکن سیٹ تھیوری کے کسی خاص ماڈل میں قابل گنتی نہیں ہے، کیونکہ ماڈل میں ایسا کوئی سیٹ نہیں ہے جو اس ماڈل میں u اور قدرتی اعداد کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت فراہم کرتا ہو۔ ماڈل کی تشریح سے لے کر ان سیٹوں کے ہمارے روایتی تصورات تک، اس کا مطلب یہ ہے کہ اگرچہ یو ایک بے شمار سیٹ کا نقشہ بناتا ہے، لیکن یو کے بارے میں ہمارے بدیہی تصور میں بہت سے عناصر ہیں جن کا ماڈل میں کوئی متعلقہ عنصر نہیں ہے۔ تاہم، ماڈل مستقل ہے، کیونکہ ان عناصر کی عدم موجودگی کا مشاہدہ فرسٹ آرڈر منطق کے ذریعے نہیں کیا جا سکتا۔ حقیقی کے طور پر u کے ساتھ، یہ گمشدہ عناصر ناقابل وضاحت نمبروں کے مطابق ہوں گے۔ اسکولیم نے اس صورتحال کو بیان کرنے کے لیے "رشتہ دار" کی اصطلاح استعمال کی، جہاں ایک ہی سیٹ سیٹ تھیوری کے دو ماڈلز میں شامل ہے، ایک ماڈل میں قابل گنتی ہے اور دوسرے ماڈل میں قابل گنتی نہیں ہے۔ انہوں نے اپنے مقالے میں اسے "سب سے اہم" نتیجہ قرار دیا۔ معاصر سیٹ تھیوریسٹ ایسے تصورات کو مطلق کے طور پر بیان کرتے ہیں جو عارضی ماڈل کے انتخاب پر منحصر نہیں ہوتے ہیں۔ ان کے نقطہ نظر سے، سکولیم کا پیراڈوکس صرف یہ ظاہر کرتا ہے کہ گنتی پہلی ترتیب کی منطق میں مطلق خاصیت نہیں ہے۔ (کونین 1980 صفحہ 141 ؛ اینڈرٹن 2001 صفحہ 152 ؛ برجیس 1977 صفحہ 406)۔ سکولیم نے اپنے کام کو (فرسٹ آرڈر) سیٹ تھیوری کی تنقید کے طور پر بیان کیا، جس کا مقصد اس کی کمزوری کو ایک بنیادی نظام کے طور پر واضح کرنا تھا: "مجھے یقین تھا کہ یہ اتنا واضح تھا کہ سیٹوں کے لحاظ سے محوریت ریاضی کی تسلی بخش حتمی بنیاد نہیں تھی کہ ریاضی دان زیادہ تر حصے کے لیے اس سے زیادہ فکر مند نہیں ہوں گے۔ لیکن حالیہ دنوں میں میں نے حیرت سے دیکھا ہے کہ بہت سے ریاضی دانوں کا خیال ہے کہ سیٹ تھیوری کے یہ محرکات ریاضی کے لیے مثالی بنیاد فراہم کرتے ہیں، اس لیے مجھے لگا کہ تنقید کا وقت آگیا ہے۔ " (ایبنگ ہاؤس اور وین ڈیلن، 2000، صفحہ 147) ریاضیاتی برادری کی طرف سے استقبالیہ سیٹ تھیوری میں ابتدائی تحقیق کا ایک مرکزی مقصد سیٹ تھیوری کے لیے فرسٹ آرڈر محوریت تلاش کرنا تھا جو کہ درجہ بند تھا، جس کا مطلب ہے کہ محوریات کا بالکل ایک ماڈل ہوگا، جو تمام سیٹوں پر مشتمل ہوگا۔ سکولیم کے نتیجے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ممکن نہیں ہے، جس سے ریاضی کی بنیاد کے طور پر سیٹ تھیوری کے استعمال کے بارے میں شکوک و شبہات پیدا ہوتے ہیں۔ پہلے درجے کی منطق کے نظریہ کو تیار ہونے میں کچھ وقت لگا کہ ریاضی دانوں کو اسکولیم کے نتیجے کی وجہ سمجھنے میں کافی وقت لگا۔ 1920 کی دہائی کے دوران پیراڈوکس کا کوئی حل وسیع پیمانے پر قبول نہیں کیا گیا۔ فرینکل (1928) نے اب بھی نتیجہ کو ایک اینٹی نومی کے طور پر بیان کیا: "نہ تو ابھی تک اینٹی نومی پر کتابیں بند کی گئی ہیں، اور نہ ہی اس کی اہمیت اور ممکنہ حل پر ابھی تک اتفاق رائے ہوا ہے۔" (وین ڈیلن اور ایبنگہاؤس، 2000، صفحہ 147)۔ 1925 میں، وان نیومن نے سیٹ تھیوری کا ایک نیا محوری نظریہ پیش کیا، جو این بی جی سیٹ تھیوری میں تیار ہوا۔ سکولیم کے 1922 کے مقالے سے بہت واقف، وان نیومن نے اپنے محوریات کے قابل شمار نمونوں کی تفصیل سے تفتیش کی۔ اپنے اختتامی ریمارکس میں، وان نیومن نے تبصرہ کیا ہے کہ سیٹ تھیوری، یا لامحدود ماڈل کے ساتھ کوئی دوسرا نظریہ نہیں ہے۔ اسکولیم کے تضاد کے اثرات کے بارے میں بات کرتے ہوئے، انہوں نے لکھا: "اس وقت ہم اس بات پر توجہ دینے کے علاوہ اور کچھ نہیں کر سکتے کہ ہمارے پاس سیٹ تھیوری کے بارے میں تحفظات کو برقرار رکھنے کے لیے یہاں ایک اور وجہ ہے اور یہ کہ فی الحال اس نظریہ کی بحالی کا کوئی طریقہ معلوم نہیں ہے۔" (ایبنگ ہاؤس اور وین ڈیلن، 2000، صفحہ 148) زرمیلو نے پہلے تو اسکولیم پیراڈوکس کو ایک دھوکہ سمجھا (وین ڈیلن اور ایبنگ ہاؤس، 2000، صفحہ 148 ایف ایف۔) اور 1929 میں شروع ہونے والے اس کے خلاف بات کی۔ اسکولیم کا نتیجہ صرف اس پر لاگو ہوتا ہے جسے اب فرسٹ آرڈر منطق کہا جاتا ہے، لیکن زرمیلو نے فائنٹری میٹامیتھمیٹکس کے خلاف دلیل دی جو فرسٹ آرڈر منطق کی بنیاد رکھتی ہے (کاناموری 2004، صفحہ 519 ایف ایف۔)۔ زرمیلو نے استدلال کیا کہ اس کے محوریات کا مطالعہ دوسرے درجے کی منطق میں کیا جانا چاہیے، ایک ایسی ترتیب جس میں اسکولیم کا نتیجہ لاگو نہیں ہوتا ہے۔ زرمیلو نے 1930 میں دوسرے درجے کی محوریت شائع کی اور اس تناظر میں درجہ بندی کے کئی نتائج ثابت کیے۔ سکولیم کے مقالے کے بعد سیٹ تھیوری کی بنیادوں پر زرمیلو کے مزید کام نے ان کی مجموعی درجہ بندی کی دریافت اور لامحدود منطق کو باقاعدہ بنانے کا باعث بنا (وین ڈیلن اور ایبنگہاؤس، 2000، نوٹ 11)۔ فرینکل اور دیگر۔ (1973، پی پی۔ 303-304) وضاحت کریں کہ 1920 کی دہائی میں نظریہ سازوں کو قائم کرنے کے لیے سکولم کا نتیجہ اتنا حیران کن کیوں تھا۔ گوڈل کا مکمل نظریہ اور کمپیکٹنس تھیوریم 1929 تک ثابت نہیں ہوئے تھے۔ ان نظریات نے اس طریقے کو روشن کیا کہ فرسٹ آرڈر منطق برتاؤ کرتی ہے اور اس کی حتمی نوعیت کو قائم کیا، حالانکہ گوڈل کا مکمل نظریہ کا اصل ثبوت پیچیدہ تھا۔ لیون ہینکن کا مکمل نظریہ کا متبادل ثبوت، جو اب ایک مستقل فرسٹ آرڈر تھیوری کے قابل گنتی ماڈل بنانے کے لیے ایک معیاری تکنیک ہے، 1947 تک پیش نہیں کیا گیا تھا۔ اس طرح، 1922 میں، فرسٹ آرڈر منطق کی مخصوص خصوصیات جو اسکولیم کے تضاد سے گزرنے کی اجازت دیتی ہیں، ابھی تک سمجھ میں نہیں آئی تھیں۔ اب یہ معلوم ہو گیا ہے کہ سکولیم کا پیراڈوکس فرسٹ آرڈر منطق کے لیے منفرد ہے۔ اگر سیٹ تھیوری کا مطالعہ مکمل سیمنٹکس کے ساتھ ہائر آرڈر منطق کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے، تو اس میں کوئی قابل شمار ماڈل نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ سیمنٹکس استعمال کیے جا رہے ہیں۔ موجودہ ریاضیاتی رائے موجودہ ریاضیاتی منطق اسکولیم کے تضاد کو سیٹ تھیوری میں کسی بھی قسم کی مہلک خامی کے طور پر نہیں دیکھتے ہیں۔ کلین (1967، صفحہ 324) نے نتیجہ کو "مکمل تضاد کے معنی میں تضاد نہیں، بلکہ ایک قسم کی بے ضابطگی" کے طور پر بیان کیا ہے۔ اسکولیم کی اس دلیل کا جائزہ لینے کے بعد کہ نتیجہ متضاد نہیں ہے، کلین نے یہ نتیجہ اخذ کیا: "گنتی کا کوئی مطلق تصور نہیں ہے"۔ ہنٹر (1971، صفحہ 208) اس تضاد کو "شاید ہی کوئی تضاد" کے طور پر بیان کرتا ہے۔ فرینکل اور دیگر۔ (1973، صفحہ 304) وضاحت کرتے ہیں کہ عصری ریاضی دان پہلے درجے کے نظریات کی درجہ بندی کی کمی سے زیادہ پریشان نہیں ہیں جتنا کہ وہ گوڈل کے نامکمل نظریہ کے اس نتیجے سے پریشان ہیں کہ پہلے درجے کے محوروں کا کوئی مستقل، موثر اور کافی مضبوط مجموعہ مکمل نہیں ہے۔ سیٹ تھیوری کے مطالعہ میں زیڈ ایف کے قابل شمار ماڈل عام اوزار بن چکے ہیں۔ مثال کے طور پر فورسنگ کی وضاحت اکثر قابل شمار ماڈلز کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ یہ حقیقت کہ زیڈ ایف کے یہ قابل شمار ماڈل اب بھی اس نظریہ کو مطمئن کرتے ہیں کہ بے شمار سیٹ موجود ہیں اسے پیتھولوجی نہیں سمجھا جاتا ہے۔ وین ہیجینورٹ (1967) نے اسے "رسمی نظاموں کی ایک نئی اور غیر متوقع خصوصیت" کے طور پر بیان کیا ہے (وین ہیجینورٹ 1967، صفحہ 290)۔ حوالہ جات اسٹیفن کول کلین، (1952، 1971 ترمیم کے ساتھ، 1991 کی 10 ویں پرنٹنگ)، انٹروڈکشن ٹو میٹامیتھمیٹکس، نارتھ ہالینڈ پبلشنگ کمپنی، ایمسٹرڈیم NY بھی دیکھیں۔ ۔ cf صفحات 420-432: §75۔ محوری نظام، اسکولیم کا تضاد، قدرتی تعداد کی ترتیب۔ اسٹیفن کول کلین، (1967)۔ ریاضیاتی منطق۔ انگریزی ترجمہ: بیرونی روابط وان پراٹ کا اپنے تعلیمی آباؤ اجداد اسکولیم کی 120 ویں سالگرہ کا جشن مور کی پیراڈوکس کی بحث سے ماخوذ (آرکائیو کا لنک، اصل ٹوٹا ہوا لنک ہے) اندرونی ماڈل تھیوری ریاضیاتی پیراڈوکس ماڈل تھیوری ڈی: لووینہیم-اسکولیم-Theorem#Das اسکولیم-پیراڈوکسن