Matching pennies
میچنگ پینیز گیم تھیوری میں استعمال ہونے والے ایک سادہ کھیل کا نام ہے۔ یہ دو کھلاڑیوں کے درمیان کھیلا جاتا ہے، یکساں اور عجیب۔ ہر کھلاڑی کے پاس ایک پیسہ ہوتا ہے اور اسے خفیہ طور پر پیسہ سر یا دم میں بدلنا ہوتا ہے۔ اس کے بعد کھلاڑی بیک وقت اپنے انتخاب کا انکشاف کرتے ہیں۔ اگر پینیز مماثل ہیں (دونوں سر یا دونوں دم)، تو ایون دونوں پینیز رکھتا ہے، لہذا اوڈ میں سے ایک جیتتا ہے (ایون کے لیے + 1، اوڈ کے لیے-1)۔ اگر پینیز مماثل نہیں ہیں (ایک سر اور ایک دم) اوڑ دونوں پینیز رکھتا ہے، تو اوڑ سے ایک ملتا ہے (-1 کے لیے اوڑ، + 1 کے لیے اوڑ)۔ تھیوری میچنگ پینیز ایک صفر رقم کا کھیل ہے کیونکہ ہر شریک کا فائدہ یا افادیت کا نقصان دوسرے شرکاء کی افادیت کے نقصانات یا فوائد سے بالکل متوازن ہوتا ہے۔ اگر شرکاء کے کل فوائد کو جوڑا جاتا ہے اور ان کے کل نقصانات کو گھٹا دیا جاتا ہے، تو رقم صفر ہوگی۔ کھیل کو پے آف میٹرکس میں لکھا جا سکتا ہے (دائیں طرف کی تصویر-ایون کے نقطہ نظر سے)۔ میٹرکس کا ہر سیل دونوں کھلاڑیوں کی ادائیگیوں کو ظاہر کرتا ہے، جس میں ایون کی ادائیگیاں پہلے درج ہوتی ہیں۔ مماثل پیسوں کا استعمال بنیادی طور پر مخلوط حکمت عملیوں کے تصور اور ایک مخلوط حکمت عملی نیش توازن کی وضاحت کے لیے کیا جاتا ہے۔ اس کھیل میں کوئی خالص حکمت عملی نیش توازن نہیں ہے کیونکہ کوئی خالص حکمت عملی (سر یا دم) نہیں ہے جو بہترین ردعمل کا بہترین جواب ہو۔ دوسرے لفظوں میں، خالص حکمت عملیوں کا کوئی جوڑا نہیں ہے کہ اگر کوئی کھلاڑی یہ بتائے کہ دوسرا کیا کرے گا تو وہ تبدیل نہیں کرنا چاہے گا۔ اس کے بجائے، اس کھیل کا منفرد نیش توازن مخلوط حکمت عملیوں میں ہے: ہر کھلاڑی مساوی امکانات کے ساتھ سروں یا دم کا انتخاب کرتا ہے۔ اس طرح، ہر کھلاڑی دوسرے کو سروں یا دم کے انتخاب کے درمیان لاتعلق بنا دیتا ہے، اس لیے کسی بھی کھلاڑی کو دوسری حکمت عملی آزمانے کی ترغیب نہیں ملتی ہے۔ مخلوط حکمت عملیوں کے لیے بہترین ردعمل کے افعال کو نیچے شکل 1 میں دکھایا گیا ہے: جب کوئی بھی کھلاڑی توازن کا مظاہرہ کرتا ہے، تو ہر ایک کی متوقع ادائیگی صفر ہوتی ہے۔ متغیرات میٹرکس میں ادائیگیوں کو تبدیل کرنا توازن نقطہ کو تبدیل کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، دائیں طرف دکھائی گئی میز میں، ایون کے پاس 7 جیتنے کا موقع ہے اگر وہ اور اوڈ دونوں ہیڈز کھیلتے ہیں۔ اس کھیل میں توازن کے نقطہ کا حساب لگانے کے لیے، نوٹ کریں کہ مخلوط حکمت عملی کھیلنے والے کھلاڑی کو اپنے دو اعمال کے درمیان لاتعلق ہونا چاہیے (بصورت دیگر وہ خالص حکمت عملی پر چلا جائے گا)۔ اس سے ہمیں دو مساوات ملتی ہیں: ایون پلیئر کے لیے، ہیڈز کھیلتے وقت متوقع ادائیگی ہوتی ہے اور ٹیلز کھیلتے وقت (جہاں اوڈ کا ہیڈز کھیلنے کا امکان ہوتا ہے)، اور یہ برابر ہونے چاہئیں، لہذا۔ آڈ پلیئر کے لیے، ہیڈز کھیلتے وقت متوقع ادائیگی ہوتی ہے اور ٹیلز کھیلتے وقت (جہاں ایون کا ہیڈز کھیلنے کا امکان ہوتا ہے)، اور یہ برابر ہونے چاہئیں، لہذا۔ نوٹ کریں کہ چونکہ آڈ کی ہیڈز-امکان ہے اور ایون کی ہیڈز-امکان ہے، اس لیے ایون کی ادائیگی میں تبدیلی آڈ کی توازن کی حکمت عملی کو متاثر کرتی ہے نہ کہ ایون کی اپنی توازن کی حکمت عملی کو۔ یہ شروع میں غیر منطقی ہو سکتا ہے۔ استدلال یہ ہے کہ توازن میں، انتخاب یکساں طور پر پرکشش ہونے چاہئیں۔ ایون کے لیے + 7 کا امکان + 1 کے مقابلے میں بہت پرکشش ہے، لہذا توازن کو برقرار رکھنے کے لیے، اوڈ کے کھیل کو دونوں انتخاب کی متوقع اقدار کی تلافی اور برابری کے لیے اس نتیجے کے امکان کو کم کرنا چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ توازن میں اوڈ ہیڈ کو کم کثرت سے اور دم کو زیادہ کثرت سے کھیلے گا۔ لیبارٹری کے تجربات انسانی کھلاڑی ہمیشہ توازن کی حکمت عملی نہیں کھیلتے ہیں۔ لیبارٹری کے تجربات کئی ایسے عوامل کو ظاہر کرتے ہیں جو کھلاڑیوں کو توازن کی حکمت عملی سے ہٹاتے ہیں، خاص طور پر اگر مماثل پیسوں کو بار بار کھیلا جائے: انسان بے ترتیب کرنے میں اچھے نہیں ہوتے ہیں۔ وہ اپنے اعمال کو ہیڈز سے ٹیلز میں اور اس کے برعکس بدل کر "بے ترتیب" ترتیب پیدا کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں، لیکن وہ اپنے اعمال کو اکثر بدل دیتے ہیں (جواری کی غلط فہمی کی وجہ سے)۔ اس سے ماہر کھلاڑیوں کے لیے کامیابی کے 50 فیصد سے زیادہ امکانات کے ساتھ اپنے اگلے اقدامات کی پیش گوئی کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔ اس طرح، ایک مثبت متوقع ادائیگی قابل حصول ہو سکتی ہے۔ انسانوں کو نمونوں کا پتہ لگانے کے لیے تربیت دی جاتی ہے۔ وہ مخالف کی ترتیب میں نمونوں کا پتہ لگانے کی کوشش کرتے ہیں، یہاں تک کہ جب اس طرح کے نمونے موجود نہ ہوں، اور اسی کے مطابق اپنی حکمت عملی کو ایڈجسٹ کرتے ہیں۔ انسانوں کا طرز عمل تشکیل کے اثرات سے متاثر ہوتا ہے۔ جب عجیب کھلاڑی کو "گمراہ کن" کا نام دیا جاتا ہے اور یکساں کھلاڑی کو "قیاس آرائی کرنے والا" کا نام دیا جاتا ہے، تو سابقہ بے ترتیب کرنے کی کوشش پر توجہ مرکوز کرتا ہے اور مؤخر الذکر ایک نمونے کا پتہ لگانے کی کوشش پر توجہ مرکوز کرتا ہے، اور اس سے قیاس آرائی کرنے والے کی کامیابی کے امکانات بڑھ جاتے ہیں۔ مزید برآں، یہ حقیقت کہ جب کوئی میچ ہوتا ہے تو جیت بھی اسے ایک فائدہ دیتی ہے، کیونکہ لوگ مماثلت کے مقابلے میں مماثلت میں بہتر ہوتے ہیں (محرک-ردعمل مطابقت کے اثر کی وجہ سے)۔ مزید برآں، جب ادائیگی میٹرکس غیر متناسب ہوتا ہے، تو دوسرے عوامل انسانی رویے کو متاثر کرتے ہیں یہاں تک کہ جب کھیل کو دہرایا نہیں جاتا ہے: کھلاڑی کسی ایکشن کو کھیلنے کے امکان کو بڑھاتے ہیں جس سے انہیں زیادہ ادائیگی ملتی ہے، جیسے۔ اوپر پے آف میٹرکس میں، ایون زیادہ ہیڈز کھیلنے کا رجحان رکھتا ہے۔ یہ بدیہی طور پر قابل فہم ہے، لیکن یہ نیش توازن نہیں ہے: جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، کسی کھلاڑی کے اختلاط کا امکان صرف دوسرے کھلاڑی کی ادائیگی پر منحصر ہونا چاہیے، نہ کہ اس کی اپنی ادائیگی پر۔ اس انحراف کو مقداری ردعمل کے توازن کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مقداری-ردعمل-توازن میں، بہترین ردعمل کے منحنی خطوط تیز نہیں ہوتے جیسا کہ ایک معیاری نیش توازن میں ہوتے ہیں۔ بلکہ، وہ اس عمل سے آسانی سے بدل جاتے ہیں جس کا امکان 0 ہے اس عمل سے جس کا امکان 1 ہے (دوسرے لفظوں میں، جبکہ نیش توازن میں، ایک کھلاڑی امکان 1 کے ساتھ بہترین جواب اور امکان 0 کے ساتھ بدترین جواب کا انتخاب کرتا ہے، مقداری ردعمل میں توازن کھلاڑی اعلی امکان کے ساتھ بہترین جواب کا انتخاب کرتا ہے جو 1 سے چھوٹا ہوتا ہے اور بدترین جواب چھوٹے امکان کے ساتھ جو 0 سے زیادہ ہوتا ہے)۔ توازن نقطہ دونوں کھلاڑیوں کے ہموار منحنی خطوط کا چوراہا نقطہ ہے، جو نیش توازن نقطہ سے مختلف ہے۔ خود ادائیگی کے اثرات خطرے سے نفرت سے کم ہوتے ہیں۔ کھلاڑی اعلی فوائد کو کم سمجھتے ہیں اور اعلی نقصانات کو زیادہ سمجھتے ہیں۔ یہ مقداری ردعمل کے منحنی خطوط کو منتقل کرتا ہے اور مقداری ردعمل کے توازن کے نقطہ کو تبدیل کرتا ہے۔ یہ بظاہر محدود طور پر دہرائے جانے والے صفر رقم کے کھیلوں میں رسک سے بچنے کی غیر مطابقت کے حوالے سے نظریاتی نتائج سے متصادم ہے۔ حقیقی زندگی کا ڈیٹا لیبارٹری کے تجربات کے نتائج کو کئی بنیادوں پر تنقید کا نشانہ بنایا گیا ہے۔ لیب کے تجربات میں کھیل مصنوعی اور سادہ ہوتے ہیں اور حقیقی زندگی کے رویے کی نقل نہیں کرتے ہیں۔ لیب کے تجربات میں ادائیگی چھوٹی ہوتی ہے، اس لیے مضامین کو بہتر طریقے سے کھیلنے کے لیے زیادہ ترغیب نہیں ملتی ہے۔ حقیقی زندگی میں، بازار اس طرح کی غیر معقولیت کو سزا دے سکتا ہے اور کھلاڑیوں کو زیادہ عقلی سلوک کرنے کا سبب بن سکتا ہے۔ مالیاتی ادائیگیوں کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے علاوہ مضامین میں دیگر تحفظات ہوتے ہیں، جیسے کہ بے وقوف نظر آنے سے بچنا یا تجربہ کار کو خوش کرنا۔ لیب کے تجربات مختصر ہوتے ہیں اور مضامین کے پاس زیادہ سے زیادہ حکمت عملی سیکھنے کے لیے کافی وقت نہیں ہوتا ہے۔ ان مشکلات پر قابو پانے کے لیے کئی مصنفین نے پیشہ ورانہ کھیلوں کے شماریاتی تجزیے کیے ہیں۔ یہ بہت زیادہ ادائیگی کے ساتھ صفر رقم والے کھیل ہیں، اور کھلاڑیوں نے ماہر بننے کے لیے اپنی زندگی وقف کر دی ہے۔ اکثر اس طرح کے کھیل اسٹریٹجک طور پر مماثل پیسوں سے ملتے جلتے ہوتے ہیں: فٹ بال پینلٹی کک میں، ککر کے پاس دو آپشن کک بائیں یا دائیں کک ہوتی ہیں اور گول کیپر کے پاس دو آپشن ہوتے ہیں-بائیں چھلانگ لگائیں یا دائیں چھلانگ لگائیں۔ جب انتخاب مماثل نہیں ہوتے ہیں تو ککر کے گول اسکور کرنے کا امکان زیادہ ہوتا ہے، اور جب انتخاب مماثل ہوتے ہیں تو کم ہوتا ہے۔ عام طور پر، ادائیگی غیر متناسب ہوتی ہے کیونکہ ہر ککر کی ٹانگ مضبوط ہوتی ہے (عام طور پر دائیں ٹانگ) اور مخالف سمت (بائیں) پر لات مارتے وقت اس کے امکانات بہتر ہوتے ہیں۔ ککروں اور گولیوں کے اعمال کی باریکی سے جانچ پڑتال میں یہ پایا گیا کہ ان کے اعمال نیش توازن کی پیش گوئی سے نمایاں طور پر ہٹتے نہیں ہیں۔ ٹینس سرو اور ریٹرن کے کھیلوں میں بھی ایسی ہی صورتحال ہوتی ہے۔ یہ پایا گیا کہ جیت کی شرح منی میکس مفروضے کے مطابق ہے، لیکن کھلاڑیوں کے انتخاب بے ترتیب نہیں ہیں: یہاں تک کہ پیشہ ور ٹینس کھلاڑی بھی بے ترتیب کرنے میں اچھے نہیں ہیں، اور اپنے اعمال کو اکثر تبدیل کرتے ہیں۔ اوڈز اینڈ ایونز بھی دیکھیں-ایک ہی اسٹریٹجک ڈھانچے والا کھیل، جو سکوں کے بجائے انگلیوں سے کھیلا جاتا ہے۔ راک پیپر کینچی-ایک ایسا ہی کھیل جس میں ہر کھلاڑی کے پاس دو کے بجائے تین حکمت عملی ہوتی ہیں۔ برابری کا کھیل-ایک غیر متعلقہ (اور بہت زیادہ پیچیدہ) دو کھلاڑیوں کا منطق کھیل، جو رنگین گراف پر کھیلا جاتا ہے۔ حوالہ جات غیر تعاون پر مبنی کھیل