Transpose of a linear map
لکیری الجبرا میں، دو ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان لکیری نقشے کا ٹرانسپوز، جس کی وضاحت ایک ہی فیلڈ پر کی گئی ہے، دو ویکٹر خالی جگہوں کے دوہری خالی جگہوں کے درمیان ایک محرک نقشہ ہے۔ لکیری نقشے کا ٹرانسپوز یا الجبرائی ملحقہ اکثر اصل لکیری نقشے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس تصور کو ملحقہ فنکٹروں کے ذریعے عام کیا جاتا ہے۔ تعریف آئیے ویکٹر اسپیس کی الجبرائی دوہری جگہ کی نشاندہی کریں اور ایک ہی فیلڈ پر ویکٹر خالی جگہیں بنیں اگر لکیری نقشہ ہے، تو اس کا الجبرائی ملحقہ یا دوہری، نقشہ کی طرف سے بیان کیا گیا ہے جس کے نتیجے میں فنکشنل کو پل بیک آف کہا جاتا ہے۔ اگر اور ٹی وی ایس ہیں تو ایک لکیری نقشہ کمزور طور پر مسلسل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہم اس کی پابندی کو ظاہر کرتے ہیں۔ نقشے کو ٹرانسپوز یا الجبرائی ملحقہ کہا جاتا ہے۔ درج ذیل شناخت ٹرانسپوز کی خصوصیت رکھتی ہے: پراپرٹیز کے ذریعہ بیان کردہ قدرتی جوڑی کہاں ہے۔ اسائنمنٹ سے لکیری آپریٹرز کی جگہ اور لکیری آپریٹرز کی جگہ کے درمیان ایک انجیکشن لکیری نقشہ تیار ہوتا ہے۔ ڈبل ڈوئل میں قدرتی انجکشن کے استعمال سے شناخت کی جا سکتی ہے۔ اگر اور لکیری نقشے ہیں تو اگر ایک (سرجیکٹو) ویکٹر اسپیس آئسومورفزم ہے تو پھر ٹرانسپوز بھی ہے۔ اگر اور معیاری خالی جگہیں ہیں تو اور اگر لکیری آپریٹر پابند ہے تو آپریٹر کا معیار کے معیار کے برابر ہے۔ یعنی اور اس کے علاوہ، قطبی فرض کریں کہ اب یہ ٹوپولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان اور مسلسل دوہری خالی جگہوں کے ساتھ اور بالترتیب ایک کمزور مسلسل لکیری آپریٹر ہے۔ آئیے کینونکل ڈوئل سسٹم کی نشاندہی کرتے ہیں، جس کی وضاحت کہاں سے کی گئی ہے اور کہا جاتا ہے کہ اگر کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے اور () (ریسپ) کی نشاندہی کرتے ہیں۔ )۔ اگر اور کنویکس ہیں، تو کمزور طور پر بند سیٹ جو اصل پر مشتمل ہیں اس کا مطلب ہے اگر اور پھر اور اگر اور مقامی طور پر کنویکس ہیں تو اناہیلیٹرز فرض کریں اور ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہیں ہیں اور ایک کمزور مسلسل لکیری آپریٹر (تو) ہے۔ کے دانے کی تصویر کے لیے آرتھوگنل کی ذیلی جگہ ہے: لکیری نقشہ انجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی شبیہہ کا کمزور گھنے ذیلی سیٹ ہو (یعنی، کی شبیہہ گھنے ہوتی ہے جب اسے کمزور ٹوپولوجی سے متاثر کیا جاتا ہے)۔ ٹرانسپوز تب مسلسل ہوتا ہے جب دونوں کمزور-* ٹوپولوجی (ریسپ) سے مالا مال ہوتے ہیں۔ دونوں مضبوط دوہری ٹوپولوجی سے مالا مال ہیں، دونوں کمپیکٹ کنویکس سبسیٹس پر یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی سے مالا مال ہیں، دونوں کمپیکٹ سبسیٹس پر یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی سے مالا مال ہیں)۔ (فریشیٹ خالی جگہوں کا سرجیکشن): اگر اور فریشیٹ خالی جگہیں ہیں تو مسلسل لکیری آپریٹر سرجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب (1) ٹرانسپوز انجیکٹو ہو، اور (2) ٹرانسپوز کی شبیہہ کمزور طور پر بند ہو (یعنی۔ کمزور-* بند) حصص خالی جگہوں کے ڈوئلز کا سب سیٹ مقامی طور پر کنویکس اسپیس کا ایک بند ویکٹر سب اسپیس ہونے دیں اور کینونکل حصص کے نقشے کی نشاندہی کریں فرض کریں کہ حصص کے نقشے سے متاثر ہونے والے حصص کی ٹوپولوجی سے مالا مال ہے پھر حصص کے نقشے کی منتقلی کی قدر کی جاتی ہے اور یہ ایک ٹی وی ایس-آئسومورفزم ہے۔ اگر بناچ اسپیس ہے تو یہ بھی ایک آئسومیٹری ہے۔ اس ٹرانسپوز کا استعمال کرتے ہوئے، حصص کی جگہ پر ہر مسلسل لکیری فنکشنل کی شناخت ویکٹر سب اسپیس کے ڈوئلز کے انیہیلیٹر میں ایک مسلسل لکیری فنکشنل کے ساتھ کی جاتی ہے۔ شمولیت کے نقشے کی نشاندہی کریں۔ شمولیت کے نقشے کا ٹرانسپوز وہ ہے جس کا دانا انیہیلیٹر ہے اور جو ہان-بناچ تھیوریم کے مطابق سرجیکٹو ہے۔ اگر لکیری نقشے کی نمائندگی میٹرکس کے ذریعے دو اڈوں کے حوالے سے کی جاتی ہے اور پھر اس کی نمائندگی ٹرانسپوز میٹرکس کے ذریعے کی جاتی ہے تو یہ نقشہ ویکٹر خالی جگہوں کی آئسومورفزم کو ایک میٹرکس کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ متبادل طور پر، جیسا کہ کالم ویکٹر پر دائیں طرف کام کرنے سے ظاہر ہوتا ہے، اسی میٹرکس سے ظاہر ہوتا ہے جو قطار ویکٹر پر بائیں طرف کام کرتا ہے۔ یہ نقطہ نظر کینونکل اندرونی پروڈکٹ سے متعلق ہیں جس پر قطار ویکٹر کی دوہری جگہ کے ساتھ کالم ویکٹر کی جگہ کی شناخت ہوتی ہے۔ ہرمیٹین ملحقہ سے تعلق وہ شناخت جو ٹرانسپوز کی خصوصیت رکھتی ہے، یعنی، رسمی طور پر ہرمیٹین ملحقہ کی تعریف سے ملتی جلتی ہے، تاہم، ٹرانسپوز اور ہرمیٹین ملحقہ ایک ہی نقشہ نہیں ہیں۔ ٹرانسپوز ایک نقشہ ہے اور کسی بھی ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان اور کسی اضافی ڈھانچے کی ضرورت کے بغیر لکیری نقشوں کے لیے بیان کیا جاتا ہے۔ ہرمیٹین ملحقہ نقشے اور صرف ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان لکیری نقشوں کے لیے بیان کیے گئے ہیں، کیونکہ اس کی تعریف ہلبرٹ جگہ پر اندرونی پروڈکٹ کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ لہذا ہرمیٹین ملحقہ کو ٹرانسپوز سے زیادہ ریاضیاتی ڈھانچے کی ضرورت ہوتی ہے۔ تاہم، ٹرانسپوز اکثر ایسے سیاق و سباق میں استعمال ہوتا ہے جہاں ویکٹر خالی جگہیں دونوں غیر پیدا شدہ دو لکیری شکل جیسے یوکلڈین ڈاٹ پروڈکٹ یا کسی اور اندرونی پروڈکٹ سے لیس ہوتی ہیں۔ اس صورت میں، غیر پیدا شدہ دو لکیری شکل کو اکثر ویکٹر خالی جگہوں اور ان کے ڈوئلز کے درمیان نقشہ بنانے کے لیے، نقشہ کے طور پر منتقل شدہ نقشے کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ایک پیچیدہ ہلبرٹ جگہ کے لیے، اندرونی پروڈکٹ سیسکویلینر ہے نہ کہ دو لکیری، اور یہ تبدیلیاں ٹرانسپوز کو ملحقہ نقشے میں تبدیل کر دیتی ہیں۔ مزید واضح طور پر: اگر اور ہلبرٹ خالی جگہیں ہیں اور ایک لکیری نقشہ ہے تو ٹرانسپوز اور ہرمیٹین ملحقہ جس کی ہم بالترتیب نشاندہی کریں گے اور متعلقہ ہیں۔ ہلبرٹ خالی جگہوں کے کینونکل اینٹی لینیر آئسومیٹریز اور ان کے ڈوئلز کی طرف اشارہ کریں۔ پھر نقشوں کی مندرجہ ذیل ترکیب ہے: فنکشنل تجزیہ کے لیے ایپلی کیشنز فرض کریں کہ اور یہ ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہیں ہیں اور یہ ایک لکیری نقشہ ہے، تو اس کی بہت سی خصوصیات اس میں جھلکتی ہیں۔ اگر اور کمزور طور پر بند ہیں، تو کنویکس سیٹ جن میں اصل موجود ہے، تو اس کا مطلب ہے۔ کی کی صفر جگہ آرتھوگنل کی ذیلی جگہ ہے جس کی حد انجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کی حد کمزور طور پر بند ہو۔ حوالہ جات کتابچہ فنکشنل تجزیہ لکیری الجبرا لکیری فنکشنلز بھی دیکھیں۔