Schwarz lemma
ریاضی میں، شوارز لیما، جس کا نام ہرمن امانڈس شوارز کے نام پر رکھا گیا ہے، کھلی یونٹ ڈسک سے خود تک ہولومورفک افعال کے بارے میں پیچیدہ تجزیے کا نتیجہ ہے۔ لیما گہرے نظریات سے کم مشہور ہے، جیسے کہ ریمن میپنگ تھیوریم، جسے ثابت کرنے میں مدد ملتی ہے۔ تاہم، یہ ہولومورفک افعال کی سختی کو پکڑنے والے آسان ترین نتائج میں سے ایک ہے۔ بیان آئیے اصل پر مرکوز پیچیدہ سطح میں کھلی یونٹ ڈسک ہو، اور ایک ہولومورفک نقشہ اس طرح اور اس پر ہو۔ پھر سب کے لیے، اور۔ مزید برآں، اگر کچھ غیر صفر کے لیے یا پھر کچھ کے ساتھ۔ ثبوت اس فنکشن پر زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کا سیدھا سیدھا اطلاق ہے جو پورے فنکشن پر ہولومورفک ہے، بشمول اصل پر (کیونکہ اصل پر تفریق پذیر ہے اور صفر کو طے کرتا ہے)۔ اب اگر اصل پر مرکوز رداس کی بند ڈسک کی نشاندہی کرتا ہے، تو زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول کا مطلب یہ ہے کہ، کسی کے لیے، اس کی حد پر موجود ہے جو ہمیں ملتا ہے۔ اس کے علاوہ، فرض کریں کہ کچھ غیر صفر کے لیے، یا۔ پھر، کسی وقت۔ تو زیادہ سے زیادہ ماڈیولس کے اصول کے مطابق، ایک مستقل کے برابر ہے۔ لہذا، جیسا کہ آپ چاہتے ہیں۔ شوارز پک تھیوریم شوارز لیما کا ایک متغیر، جسے شوارز پک تھیوریم (جارج پک کے بعد) کہا جاتا ہے، یونٹ ڈسک کے تجزیاتی آٹومورفزم کی خصوصیت رکھتا ہے، یعنی۔ یونٹ ڈسک کی خود سے دو طرفہ ہولومورفک نقشہ سازی: ہولومورفک ہونے دیں۔ پھر، سب کے لیے، اور، سب کے لیے، اظہار پوائنٹس کا فاصلہ ہے، پوئنکیری میٹرک میں، یعنی۔ طول و عرض دو میں ہائپربولک جیومیٹری کے لیے پوئنکیر ڈسک ماڈل میں میٹرک۔ اس کے بعد شوارز پک تھیوریم بنیادی طور پر یہ بتاتا ہے کہ یونٹ ڈسک کا ہولومورفک نقشہ خود میں پوئنکیری میٹرک میں پوائنٹس کے فاصلے کو کم کرتا ہے۔ اگر مساوات اوپر کی دو عدم مساوات میں سے کسی ایک میں برقرار رہتی ہے (جو یہ کہنے کے مترادف ہے کہ ہولومورفک نقشہ پوئنکیری میٹرک میں فاصلے کو محفوظ رکھتا ہے)، تو یونٹ ڈسک کا ایک تجزیاتی آٹومورفزم ہونا چاہیے، جو یونٹ ڈسک کی نقشہ سازی کرنے والے موبیئس ٹرانسفارمیشن کے ذریعے دیا گیا ہے۔ اوپری نصف سطح پر ایک مماثل بیان اس طرح کیا جا سکتا ہے: ہولومورفک ہونے دیں۔ پھر، سب کے لیے، یہ اوپر بیان کردہ شوارز پک تھیوریم کا ایک آسان نتیجہ ہے: کسی کو صرف یہ یاد رکھنے کی ضرورت ہے کہ کیلی ٹرانسفارم اوپری نصف سطح کو یونٹ ڈسک پر مطابقت سے نقشہ بناتا ہے۔ پھر، نقشہ ایک ہولومورفک نقشہ ہے۔ اس نقشے پر شوارز پک تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، اور آخر میں فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے نتائج کو آسان بناتے ہوئے، ہمیں مطلوبہ نتیجہ ملتا ہے۔ نیز، سب کے لیے، اگر مساوات ایک یا دوسرے تاثرات کے لیے ہے، تو حقیقی کوفیشنٹس کے ساتھ موبیئس تبدیلی ہونی چاہیے۔ یعنی، اگر مساوات برقرار رہتی ہے، تو اور کے ساتھ۔ شوارز پک تھیوریم کا ثبوت شوارز پک تھیوریم کا ثبوت شوارز کے لیما اور اس حقیقت سے ملتا ہے کہ شکل کی موبیئس تبدیلی اکائی دائرے کو خود سے نقشہ بناتی ہے۔ موبیئس تبدیلیوں کو ٹھیک کریں اور ان کی وضاحت کریں چونکہ اور موبیئس تبدیلی الٹا ہے، اس لیے کمپوزیشن کا نقشہ اور یونٹ ڈسک کو خود ہی نقشہ بنایا جاتا ہے۔ اس طرح ہم شوارز لیما کا اطلاق کر سکتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ اب کالنگ (جو اب بھی یونٹ ڈسک میں ہوگی) مطلوبہ نتیجہ اخذ کرتی ہے تھیوریم کے دوسرے حصے کو ثابت کرنے کے لیے، ہم بائیں ہاتھ کی طرف کو فرق کے حصے میں دوبارہ ترتیب دیتے ہیں اور جانے دیتے ہیں۔ مزید عمومی اور متعلقہ نتائج شوارز-ایلفورس-پک تھیوریم ہائپربولک مینیفولڈز کے لیے ایک ہم آہنگ تھیوریم فراہم کرتا ہے۔ ڈی برانجز تھیوریم، جسے پہلے بیبرباخ قیاس کے نام سے جانا جاتا تھا، لیما کی ایک اہم توسیع ہے، جس میں اے ٹی کے اعلی مشتقات پر پابندیاں دی گئی ہیں۔ کویبی 1/4 تھیوریم اس معاملے میں ایک متعلقہ تخمینہ فراہم کرتا ہے جو غیر مساوی ہے۔ نیوانلننا-پک انٹرپولیشن حوالہ جات جورجن جوسٹ، کمپیکٹ ریمن سرفیسز (2002)، سپرنگر-ورلاگ، نیویارک بھی دیکھیں۔ (سیکشن 2.3 دیکھیں) ریمن تجزیہ میں لیما کو ظاہر کرتا ہے پیچیدہ تجزیہ میں نظریات ثبوت پر مشتمل مضامین