Character group
ریاضی میں، کریکٹر گروپ پیچیدہ قدر والے افعال کے لحاظ سے کسی گروپ کی نمائندگی کا گروپ ہوتا ہے۔ ان افعال کو یک جہتی میٹرکس کی نمائندگی کے طور پر سوچا جا سکتا ہے اور اسی طرح گروپ حروف کے خاص معاملات ہیں جو کریکٹر تھیوری کے متعلقہ تناظر میں پیدا ہوتے ہیں۔ جب بھی کسی گروپ کی نمائندگی میٹرکس کے ذریعے کی جاتی ہے، تو میٹرکس کے ٹریس کے ذریعے بیان کردہ فنکشن کو کریکٹر کہا جاتا ہے ؛ تاہم، یہ ٹریس عام طور پر گروپ نہیں بناتے ہیں۔ ان یک جہتی حروف کی کچھ اہم خصوصیات عام طور پر حروف پر لاگو ہوتی ہیں: حروف ازدواجی کلاسوں پر غیر متغیر ہوتے ہیں۔ ناقابل تلافی نمائندگی کے حروف آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ محدود ابیلین گروپوں کے لیے کریکٹر گروپ کی بنیادی اہمیت نمبر تھیوری میں ہے، جہاں اسے ڈیرچلیٹ حروف کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ چکور گروہ کا کردار گروپ مجرد فورئیر تبدیلی کے نظریہ میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپوں کے لیے، کردار گروپ (تسلسل کے مفروضے کے ساتھ) فورئیر تجزیہ کے لیے مرکزی ہے۔ ابتدائی ایک ابیلین گروپ ہونے دیں۔ غیر صفر پیچیدہ اعداد پر گروپ کی نقشہ سازی کرنے والے فنکشن کو ایک کردار کہا جاتا ہے اگر یہ ایک گروپ ہومومورفزم ہے-یعنی، اگر سب کے لیے۔ اگر کسی محدود گروپ کا کردار ہے، تو ہر فنکشن ویلیو اتحاد کی جڑ ہے، کیونکہ ہر ایک کے لیے ایسا موجود ہے، اور اسی وجہ سے۔ ہر حرف f G کی کنجوگیسی کلاسوں پر ایک مستقل ہے، یعنی f (hgh−1) = f (g)۔ اس وجہ سے، ایک کردار کو بعض اوقات کلاس فنکشن کہا جاتا ہے۔ ترتیب n کے ایک محدود ابیلین گروپ میں بالکل n الگ حروف ہوتے ہیں۔ ان کی نشاندہی f1،.، fn سے کی جاتی ہے۔ فنکشن f1 معمولی نمائندگی ہے، جو سب کے لیے دی گئی ہے۔ اسے G کا بنیادی کردار کہا جاتا ہے ؛ دیگر کو غیر بنیادی کردار کہا جاتا ہے۔ تعریف اگر G ایک ابیلین گروپ ہے، تو حروف fk کا مجموعہ پوائنٹ وائز ضرب کے تحت ایک ابیلین گروپ بناتا ہے۔ یعنی حروف کی پیداوار اور اس کی تعریف سب کے لیے ہوتی ہے۔ یہ گروپ G کا کریکٹر گروپ ہے اور بعض اوقات اس کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کا شناختی عنصر بنیادی کردار f1 ہے، اور کسی کردار fk کا الٹا اس کا باہمی 1/fk ہے۔ اگر ترتیب n کا محدود ہے، تو یہ بھی ترتیب n کا ہے۔ اس صورت میں، چونکہ سب کے لیے، کسی کردار کا الٹا پیچیدہ کنجوگیٹ کے برابر ہوتا ہے۔ متبادل تعریف کردار گروپ 29 کی ایک اور تعریف ہے جو صرف کے بجائے ہدف کے طور پر استعمال ہوتی ہے۔ پیچیدہ ٹوری کا مطالعہ کرتے وقت یہ مفید ہے کیونکہ ایک پیچیدہ ٹورس میں جالی کا کردار گروپ ایپل-ہمبرٹ تھیوریم کے ذریعے دوہری ٹورس کے لیے کینونکل طور پر آئسومورفک ہوتا ہے۔ یعنی، ہم کریکٹر گروپ میں واضح عناصر کا اظہار اس طرح کر سکتے ہیں: یاد رکھیں کہ اس میں موجود عناصر کا اظہار اس لیے کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہم جالی کو بنیادی حقیقی ویکٹر اسپیس کے ذیلی گروپ کے طور پر سمجھتے ہیں، تو ہومومورفزم کو نقشے کے طور پر فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔ یہ ہومومورفزم کی ابتدائی خصوصیات سے ملتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ہمیں مطلوبہ فیکٹرائزیشن دیتا ہے۔ گروپ کے طور پر ہمارے پاس کردار گروپ کی آئسومورفزم ہے، ایک گروپ کے طور پر، کے ہومومورفزم کے گروپ کے ساتھ۔ چونکہ کسی بھی ابیلین گروپ کے لیے، ہم پیچیدہ ایکسپونینشل کے ساتھ کمپوز کرنے کے بعد، ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ جو متوقع نتیجہ ہے۔ مثالیں حتمی طور پر پیدا شدہ ابیلین گروپ چونکہ ہر حتمی طور پر پیدا شدہ ابیلین گروپ آئسومورفک ہے، اس لیے تمام حتمی طور پر پیدا شدہ صورتوں میں کریکٹر گروپ کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ عالمگیر خصوصیات، اور محدود مصنوعات اور شریک پروڈکٹس کے درمیان آئسومورفزم سے، ہمارے پاس آئسومورفک کے کردار گروپ ہیں، پہلی صورت کے لیے، یہ آئسومورفک ہے، دوسرے کا حساب ان نقشوں کو دیکھ کر کیا جاتا ہے جو جنریٹر کو اتحاد کے-th جڑوں کی مختلف طاقتوں پر بھیجتے ہیں۔ حروف کی آرتھوگونالیٹی میٹرکس A = A (G) پر غور کریں جس کے میٹرکس عناصر ہیں جہاں G کا kth عنصر ہے۔ A کی jth صف میں اندراجات کا مجموعہ اگر، اور کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ A کے kth کالم میں اندراجات کا مجموعہ اگر، اور کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ آئیے A کے کنجوگیٹ ٹرانسپوز کو ظاہر کرتے ہیں۔ پھر۔ اس سے حروف کے لیے مطلوبہ آرتھوگونالیٹی رشتہ ظاہر ہوتا ہے: یعنی، کرونیکر ڈیلٹا کہاں ہے اور اس کا پیچیدہ امتزاج ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ پونٹریگین دوہری حوالہ جات نمبر تھیوری گروپ تھیوری کا باب 6 دیکھیں گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ