Kerr–Newman metric
کیر-نیومین میٹرک عمومی اضافیت میں آئن سٹائن-میکس ویل مساوات کا سب سے عام غیر علامتی طور پر چپٹا، ساکن حل ہے جو برقی طور پر چارج شدہ، گھومنے والی کمیت کے ارد گرد کے علاقے میں خلائی وقت کی جیومیٹری کو بیان کرتا ہے۔ یہ گردش کو بیان کرنے کے علاوہ برقی مقناطیسی میدان کی فیلڈ توانائی کو مدنظر رکھتے ہوئے کیر میٹرک کو عام کرتا ہے۔ یہ مختلف الیکٹرو ویکیوم حلوں کی ایک بڑی تعداد میں سے ایک ہے، یعنی آئن سٹائن-میکس ویل مساوات کے حل جو برقی مقناطیسی میدان کی فیلڈ توانائی کے لیے ذمہ دار ہیں۔ اس طرح کے حلوں میں کشش ثقل کے میدان سے وابستہ برقی چارج کے علاوہ کوئی اور چارج شامل نہیں ہوتا ہے، اور اس طرح انہیں ویکیوم حل کہا جاتا ہے۔ یہ حل فلکی طبیعیات کے مظاہر کو بیان کرنے کے لیے خاص طور پر مفید نہیں رہا ہے، کیونکہ مشاہدہ شدہ فلکیاتی اشیاء میں قابل تعریف خالص برقی چارج نہیں ہوتا ہے، اور ستاروں کے مقناطیسی میدان دوسرے عمل کے ذریعے پیدا ہوتے ہیں۔ حقیقت پسندانہ بلیک ہولز کے نمونے کے طور پر، یہ انفالنگ بیرونک مادے، روشنی (صفر دھول) یا تاریک مادے کی کسی بھی تفصیل کو چھوڑ دیتا ہے، اور اس طرح تارکیی بڑے پیمانے پر بلیک ہولز اور فعال کہکشاں کے مرکزے کی نامکمل وضاحت فراہم کرتا ہے۔ حل نظریاتی اور ریاضیاتی دلچسپی کا ہے کیونکہ یہ مزید تحقیق کے لیے کافی آسان سنگ بنیاد فراہم کرتا ہے۔ کیر-نیومین حل غیر صفر کائناتی مستقل کے ساتھ آئن سٹائن-میکس ویل مساوات کے زیادہ عمومی درست حل کا ایک خاص معاملہ ہے۔ تاریخ دسمبر 1963 میں کیر اور شیلڈ نے کیر-چائلڈ میٹرکس دریافت کیے جس نے آئن سٹائن کو وہ تمام خالی جگہیں دیں جو منکوسکی کی جگہ کے عین مطابق لکیری خلل ہیں۔ 1964 کے اوائل میں رائے کیر نے اسی پراپرٹی کے ساتھ آئن سٹائن-میکس ویل کی تمام جگہوں کی تلاش کی۔ فروری 1964 تک وہ خصوصی کیس جہاں کیر-چائلڈ خالی جگہوں کو چارج کیا گیا تھا (اس میں کیر-نیومین حل بھی شامل ہے) معلوم تھا لیکن عام کیس جہاں خصوصی ہدایات بنیادی منکوسکی جگہ کے جیوڈیکس نہیں تھے وہ بہت مشکل ثابت ہوا۔ یہ مسئلہ جارج ڈیبنی کو حل کرنے کی کوشش کے لیے دیا گیا تھا لیکن مارچ 1964 تک اسے ترک کر دیا گیا۔ اس وقت کے قریب ایزرا ٹی نیومین نے قیاس آرائی کے ذریعے چارج شدہ کیر کا حل تلاش کیا۔ 1965 میں، ایزرا "ٹیڈ" نیومین نے ایک بلیک ہول کے لیے آئن سٹائن کی فیلڈ مساوات کا محوری حل دریافت کیا جو گھومنے والا اور برقی طور پر چارج شدہ دونوں ہے۔ میٹرک ٹینسر کے اس فارمولے کو کیر-نیومین میٹرک کہا جاتا ہے۔ یہ غیر چارج شدہ اسپننگ پوائنٹ ماس کے لیے کیر میٹرک کی عمومی شکل ہے، جسے رائے کیر نے دو سال قبل دریافت کیا تھا۔ چار متعلقہ حلوں کا خلاصہ مندرجہ ذیل جدول کے ذریعے کیا جا سکتا ہے: جہاں Q جسم کے برقی چارج کی نمائندگی کرتا ہے اور J اس کے گھماؤ کونیی رفتار کی نمائندگی کرتا ہے۔ نیومین کے نتیجے کے حل کا جائزہ چار جہتوں میں برقی مقناطیسی میدان کی موجودگی میں آئن سٹائن کی مساوات کے سب سے آسان ساکن، محوری، غیر علامتی طور پر چپٹے حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ اسے بعض اوقات آئن سٹائن کی مساوات کا "الیکٹرو ویکیوم" حل کہا جاتا ہے۔ کسی بھی کیر-نیومین ماخذ کا گردش محور اس کے مقناطیسی محور کے ساتھ سیدھا ہوتا ہے۔ اس طرح، کیر-نیومین ماخذ عام طور پر مشاہدہ شدہ فلکیاتی اجسام سے مختلف ہے، جس کے لیے گردش کے محور اور مقناطیسی لمحے کے درمیان کافی زاویہ ہوتا ہے۔ خاص طور پر، نہ تو سورج، اور نہ ہی نظام شمسی کے کسی سیارے میں مقناطیسی میدان گھومنے والے محور کے ساتھ منسلک ہوتے ہیں۔ اس طرح، جبکہ کیر حل سورج اور سیاروں کے کشش ثقل کے میدان کو بیان کرتا ہے، مقناطیسی میدان ایک مختلف عمل سے پیدا ہوتے ہیں۔ اگر کیر-نیومین پوٹینشل کو کلاسیکی الیکٹران کے لیے ایک نمونہ سمجھا جاتا ہے، تو یہ ایک ایسے الیکٹران کی پیش گوئی کرتا ہے جس میں نہ صرف مقناطیسی دو قطبی مومنٹ ہوتا ہے، بلکہ دیگر کثیر قطبی مومنٹ بھی ہوتے ہیں، جیسے کہ برقی کواڈروپول مومنٹ۔ ایک الیکٹران کواڈروپول مومنٹ کا ابھی تک تجرباتی طور پر پتہ نہیں چلا ہے۔ یہ صفر معلوم ہوتا ہے۔ G = 0 کی حد میں برقی مقناطیسی میدان وہ ہوتے ہیں جو ایک رنگ کے اندر چارج شدہ گھومنے والی ڈسک کے ہوتے ہیں جہاں میدان لامحدود ہوتے ہیں۔ اس ڈسک کے لیے کل فیلڈ انرجی لامحدود ہے، اور اس لیے یہ G = 0 کی حد لامحدود خود توانائی کے مسئلے کو حل نہیں کرتی ہے۔ غیر چارج شدہ گھومنے والی کمیت کے لیے کیر میٹرک کی طرح، کیر-نیومین اندرونی حل ریاضیاتی طور پر موجود ہے لیکن شاید کاچی افق کے استحکام کے مسائل کی وجہ سے جسمانی طور پر حقیقت پسندانہ گھومنے والے بلیک ہول کے اصل میٹرک کا نمائندہ نہیں ہے، جس کی وجہ بڑے پیمانے پر افراط زر کی وجہ سے ہے۔ اگرچہ یہ کیر میٹرک کی عمومی شکل کی نمائندگی کرتا ہے، لیکن اسے فلکی طبیعیات کے مقاصد کے لیے بہت اہم نہیں سمجھا جاتا ہے، کیونکہ کسی کو توقع نہیں ہے کہ حقیقت پسندانہ بلیک ہولز میں ایک اہم برقی چارج ہوتا ہے (ان سے توقع کی جاتی ہے کہ ان میں ایک معمولی مثبت چارج ہوتا ہے، لیکن صرف اس وجہ سے کہ پروٹون الیکٹران سے بہت زیادہ رفتار رکھتا ہے، اور اس طرح الیکٹروسٹیٹک پسپائی پر قابو پانے اور افق کے پار رفتار کے ذریعے لے جانے کا زیادہ امکان ہے)۔ کیر-نیومین میٹرک ایونٹ کے افق کے ساتھ بلیک ہول کی وضاحت صرف اس صورت میں کرتا ہے جب مشترکہ چارج اور کونیی رفتار کافی کم ہو: ایک الیکٹران کی کونیی رفتار J اور چارج Q (مناسب طور پر جیومیٹریزڈ یونٹس میں متعین) دونوں اس کی کمیت M سے تجاوز کرتے ہیں، ایسی صورت میں میٹرک کا کوئی ایونٹ افق نہیں ہوتا ہے اور اس طرح بلیک ہول الیکٹران جیسی کوئی چیز نہیں ہو سکتی-صرف ایک ننگی گھومتی رنگ کی انفرادیت۔ اس طرح کے میٹرک میں کئی بظاہر غیر جسمانی خصوصیات ہوتی ہیں، جیسے کہ رنگ کی کائناتی سنسرشپ مفروضے کی خلاف ورزی، اور رنگ کے فوری آس پاس کی وجہ سے تشدد کرنے والے بند ٹائم لائک منحنی خطوط کی ظاہری شکل۔ روسی تھیوریسٹ الیگزینڈر بورنسکی کے 2009 کے ایک مقالے میں الیکٹران کو اسرائیل (1970) اور لوپیز (1984) کے پچھلے ماڈلز کی عمومی شکل سمجھا گیا، جس نے کیر-نیومین میٹرک کی "منفی" شیٹ کو کاٹ دیا، اور کیر-نیومین حل کا منبع حاصل کیا۔ لوپیز کی کٹائی نے کیر-نیومین میٹرک کو ایک کٹ آف کے ذریعے باقاعدہ بنایا:، یکسانیت کی جگہ ایک فلیٹ باقاعدہ خلائی وقت، نام نہاد "بلبلے" نے لے لی۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ لوپیز کا بلبلہ ہگس سمیٹری بریکنگ میکانزم کی طرح فیز ٹرانزیشن سے مطابقت رکھتا ہے، بورنسکی نے دکھایا کہ کشش ثقل سے تیار کردہ رنگ سنگلٹی الیکٹران ماڈل کے سپر کنڈکٹنگ کور کو ریگولرائزیشن کے ذریعے تشکیل دیتی ہے اور اسے فیز ٹرانزیشن کے سپرسیمیٹرک لینڈو-گینزبرگ فیلڈ ماڈل کے ذریعے بیان کیا جانا چاہیے: بورنسکی کے انٹرمیڈیٹ کام کو چھوڑ کر، ہم حالیہ نئی تجویز پر آتے ہیں: اسرائیل اور لوپیز کی طرف سے کاٹ دی گئی کے این حل کی منفی شیٹ کو پوزیٹرون کی شیٹ کے طور پر سمجھنا۔ یہ ترمیم کے این حل کو کیو ای ڈی کے ماڈل کے ساتھ متحد کرتی ہے، اور ویکٹر پوٹینشل کے فریم کو کھینچ کر بننے والی ولسن لائنوں کے اہم کردار کو ظاہر کرتی ہے۔ نتیجے کے طور پر، ترمیم شدہ کے این حل الیکٹران پوزیٹرون ویکیوم کی اضافی توانائی کی شراکت کی وجہ سے کیر کی کشش ثقل کے ساتھ ایک مضبوط تعامل حاصل کرتا ہے اور کامپٹن سائز کا کیر-نیومین رشتہ دار سرکلر سٹرنگ بناتا ہے۔ معاملات کو محدود کرنا کیر-نیومین میٹرک کو محدود معاملات میں عمومی اضافیت میں دوسرے درست حلوں تک کم ہوتے دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ کم ہو جاتا ہے: کیر میٹرک جیسا کہ چارج Q صفر پر جاتا ہے۔ ریسنر-نورڈسٹروم میٹرک بطور کونیی مومنٹم J (یا a =) صفر پر جاتا ہے۔ شوارز چائلڈ میٹرک کو چارج Q اور کونیی مومنٹم J (یا a) دونوں کے طور پر صفر پر لے جایا جاتا ہے۔ منکوسکی کی جگہ اگر کمیت M، چارج Q، اور گردشی پیرامیٹر a سب صفر ہیں۔ متبادل طور پر، اگر کشش ثقل کو ہٹانے کا ارادہ کیا گیا ہے، تو منکووسکی کی جگہ اس وقت پیدا ہوتی ہے جب کشش ثقل کا مستقل G صفر ہو، ماس اور چارج کو صفر پر لے جانے کے بغیر۔ اس صورت میں، برقی اور مقناطیسی میدان محض ایک چارج شدہ مقناطیسی دو قطبی کے میدانوں سے زیادہ پیچیدہ ہوتے ہیں ؛ صفر کشش ثقل کی حد معمولی نہیں ہے۔ میٹرک کیر-نیومین میٹرک ماس M، چارج Q اور اینگولر مومنٹم J کے ساتھ گھومنے والے چارجڈ بلیک ہول کے لیے اسپیس ٹائم کی جیومیٹری کو بیان کرتا ہے۔ اس میٹرک کا فارمولا اس بات پر منحصر ہے کہ کون سے کوآرڈینیٹ یا کوآرڈینیٹ حالات منتخب کیے جاتے ہیں۔ دو شکلیں ذیل میں دی گئی ہیں: بوئیر-لنڈکوسٹ کوآرڈینیٹس، اور کیر-چائلڈ کوآرڈینیٹس۔ آئن سٹائن فیلڈ مساوات کے حل کا تعین کرنے کے لیے صرف کشش ثقل میٹرک کافی نہیں ہے ؛ برقی مقناطیسی تناؤ ٹینسر بھی دیا جانا چاہیے۔ دونوں ہر سیکشن میں فراہم کیے گئے ہیں۔ بوئیر-لنڈکوسٹ کوآرڈینیٹس اس میٹرک کو ظاہر کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ اس کے لائن عنصر کو کروی نقاط کے ایک خاص سیٹ میں لکھا جائے، جسے بوئیر-لنڈکوسٹ کوآرڈینیٹس بھی کہا جاتا ہے: جہاں کوآرڈینیٹس معیاری کروی کوآرڈینیٹ سسٹم ہیں، اور لمبائی کے پیمانے: کو مختصر کرنے کے لیے متعارف کرایا گیا ہے۔ یہاں rs بڑے جسم کا شوارزچلڈ رداس ہے، جس کا تعلق اس کے کل کمیت مساوی M سے ہے جہاں G کشش ثقل کا مستقل ہے، اور rQ ایک لمبائی کا پیمانہ ہے جو کمیت کے برقی چارج Q سے مطابقت رکھتا ہے جہاں ε0 خلا کی اجازت ہے۔ بوئیر-لنڈکوسٹ شکل میں برقی مقناطیسی فیلڈ ٹینسر بوئیر-لنڈکوسٹ نقاط میں برقی مقناطیسی صلاحیت ہے جبکہ میکسویل ٹینسر کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ کرسٹوفیل علامتوں کے ساتھ مل کر حرکت کی دوسری ترتیب کی مساوات حاصل کی جا سکتی ہیں جہاں ٹیسٹ پارٹیکل کی فی کمیت چارج ہے۔ کیر-چائلڈ کوآرڈینیٹس کیر-نیومین میٹرک کا اظہار کارٹیشین کوآرڈینیٹس کے ایک خاص سیٹ کا استعمال کرتے ہوئے کیر-چائلڈ کی شکل میں کیا جا سکتا ہے، جسے 1965 میں کیر اور شیلڈ نے تجویز کیا تھا۔ میٹرک مندرجہ ذیل ہے۔ غور کریں کہ k ایک یونٹ ویکٹر ہے۔ یہاں M گھومنے والی شے کی مستقل کمیت ہے، Q گھومنے والی شے کا مستقل چارج ہے، η منکوسکی میٹرک ہے، اور a = J/M گھومنے والی شے کا مستقل گردشی پیمانہ ہے۔ یہ سمجھا جاتا ہے کہ ویکٹر مثبت z-محور کے ساتھ ہوتا ہے، یعنی۔ ۔ مقدار r رداس نہیں ہے، بلکہ اس کی واضح طور پر اس طرح تعریف کی گئی ہے: نوٹ کریں کہ جب گردش پیرامیٹر a صفر کے قریب پہنچتا ہے تو مقدار r معمول کا رداس R بن جاتی ہے۔ حل کی اس شکل میں، اکائیوں کا انتخاب کیا جاتا ہے تاکہ روشنی کی رفتار اتحاد (c = 1) ہو۔ آئن سٹائن-میکس ویل مساوات کا مکمل حل فراہم کرنے کے لیے، کیر-نیو مین حل میں نہ صرف میٹرک ٹینسر کے لیے ایک فارمولا شامل ہے، بلکہ برقی مقناطیسی صلاحیت کے لیے ایک فارمولا بھی شامل ہے: ماخذ (آر۔ اے) سے بڑے فاصلے پر، یہ مساوات ریسنر-نورڈسٹروم میٹرک تک کم ہو جاتی ہیں: کیر-نیو مین میٹرک کی کیر-چائلڈ شکل میں، میٹرک ٹینسر کا تعین کنندہ ہر جگہ منفی کے برابر ہوتا ہے، یہاں تک کہ ماخذ کے قریب بھی۔ کیر-چائلڈ کی شکل میں برقی مقناطیسی میدان برقی مقناطیسی میدان کی طاقت ٹینسر حاصل کرنے کے لیے چار پوٹینشل میں فرق کر کے برقی اور مقناطیسی میدان معمول کے مطابق حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ تین جہتی ویکٹر نوٹیشن پر تبدیل کرنا آسان ہوگا۔ جامد برقی اور مقناطیسی میدان ویکٹر پوٹینشل اور اسکیلر پوٹینشل سے اس طرح اخذ کیے جاتے ہیں: کیر-نیومین فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے کیر-چائلڈ کی شکل میں چار پوٹینشل کے لیے، کمیت کے صفر پر جانے کی حد میں، فیلڈز کے لیے درج ذیل جامع فارمولہ حاصل ہوتا ہے: اس آخری مساوات میں اومیگا () کی مقدار کولمب پوٹینشل سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ رداس ویکٹر کو ایک خیالی مقدار سے منتقل کیا جاتا ہے۔ اس پیچیدہ صلاحیت پر انیسویں صدی کے اوائل میں فرانسیسی ریاضی دان پال ایمیل ایپل نے بحث کی تھی۔ ناقابل کٹوتی کمیت کل کمیت مساوی M، جس میں برقی میدان توانائی اور گردش توانائی شامل ہے، اور ناقابل کٹوتی کمیت میران کا تعلق ہے جس کے ذریعے حاصل کرنے کے لیے الٹا کیا جا سکتا ہے۔ برقی طور پر چارج کرنے اور/یا کسی غیر جانبدار اور جامد جسم کو گھمانے کے لیے، نظام پر توانائی کا اطلاق کرنا پڑتا ہے۔ بڑے پیمانے پر توانائی کے مساوی ہونے کی وجہ سے، اس توانائی میں بڑے پیمانے پر مساوی بھی ہوتا ہے ؛ اس لیے M ہمیشہ میران سے زیادہ ہوتا ہے۔ اگر مثال کے طور پر بلیک ہول کی گردش توانائی پینروز کے عمل کے ذریعے نکالی جاتی ہے، تو بقیہ بڑے پیمانے پر توانائی ہمیشہ میر سے زیادہ یا اس کے برابر رہے گی۔ اہم سطحوں کو 0 پر ترتیب دینے اور حل کرنے سے اندرونی اور بیرونی واقعہ کا افق ملتا ہے، جو بوئیر-لنڈکوسٹ کوآرڈینیٹ پر واقع ہے۔ اس مرحلے کو دہرانے سے اندرونی اور بیرونی ایرگوسفیئر کی حرکت کی مساوات ملتی ہیں۔ مختصر ہونے کے لیے، ہم مزید غیر جہتی مقداروں کا استعمال کرتے ہیں جو اس کے خلاف معمول کی جاتی ہیں، اور، جہاں کم ہوتی ہے اور جہاں کم ہوتی ہے، اور چارج کے ٹیسٹ پارٹیکل کے لیے حرکت کی مساوات کل توانائی اور محوری کونیی رفتار کے لیے بن جاتی ہیں۔ کارٹر مستقل ہے: جہاں ٹیسٹ پارٹیکل کی کونیی رفتار کا پولائڈیل جزو، اور مداری جھکاؤ کا زاویہ ہے۔ اور ذرات کے ساتھ اور ان کے لیے بھی محفوظ مقدار ہوتی ہے۔ فریم گھسیٹنے پر مبنی کونیی رفتار ہے۔ کوآرڈینیٹ مشتقات اور مقامی 3-رفتار کے درمیان تعلق ریڈیل کے لیے، پولائڈیل کے لیے، محوری کے لیے اور کل مقامی رفتار کے لیے ہے، جہاں جریشن کا محوری رداس (مقامی دائرہ کو 2π سے تقسیم کیا گیا ہے)، اور کشش ثقل کے وقت کے پھیلاؤ کا جزو ہے۔ اس لیے کسی غیر جانبدار ذرہ کے لیے مقامی شعاعی فرار کی رفتار حوالہ جات کتابچہ بیرونی لنکس ہیں جو خود ایزرا ٹی نیومین ایس آر میڈ ایزی کے شریک مصنف ہیں، باب 11: چارج شدہ اور گھومنے والے بلیک ہولز اور ان کے تھرموڈینامکس عمومی اضافیت میں درست حل مساوات میٹرک ٹینسرز