Bell series
ریاضی میں، بیل سیریز ایک رسمی پاور سیریز ہے جو ریاضی کے افعال کی خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بیل سیریز کو ایرک ٹیمپل بیل نے متعارف کرایا اور تیار کیا۔ ریاضیاتی فنکشن اور ایک پرائم کو دیکھتے ہوئے، رسمی پاور سیریز کی وضاحت کریں، جسے ماڈیولو کی بیل سیریز کہا جاتا ہے: دو ضرب افعال کو یکساں دکھایا جا سکتا ہے اگر ان کی تمام بیل سیریز برابر ہوں۔ اسے بعض اوقات انفرادیت تھیوریم کہا جاتا ہے: ضرب افعال کو دیکھتے ہوئے اور، ایک کے پاس ہے اگر اور صرف اگر: تمام پرائمز کے لیے۔ دو سیریز کو ضرب دی جا سکتی ہے (بعض اوقات ضرب تھیوریم کہا جاتا ہے): کسی بھی دو ریاضی کے افعال کے لیے اور، ان کا ڈیرچلیٹ ارتقاء ہونے دیں۔ پھر ہر پرائم کے لیے، کسی کے پاس: خاص طور پر، اس سے ڈیرچلیٹ کے الٹا بیل سیریز تلاش کرنا معمولی ہو جاتا ہے۔ اگر مکمل طور پر ضرب ہے، تو رسمی طور پر: مثالیں درج ذیل معروف ریاضی کے افعال کی بیل سیریز کا ایک جدول ہے۔ موبیئس فنکشن ہے موبیئس فنکشن مربع میں اویلر کا ٹوٹیئنٹ ہے ڈیرچلیٹ کنولیوشن کی ضرب شناخت ہے لیوویل فنکشن میں پاور فنکشن آئی ڈی کے ہے یہاں، آئی ڈی کے مکمل طور پر ضرب فنکشن ہے۔ ڈیوائزر فنکشن کا مستقل فنکشن، ویلیو 1 کے ساتھ، مطمئن کرتا ہے، یعنی، جیومیٹرک سیریز ہے۔ اگر پرائم اومیگا فنکشن کی طاقت ہے، تو فرض کریں کہ f ضرب ہے اور g کوئی ریاضیاتی فنکشن ہے جو تمام پرائمز p اور کے لیے اطمینان بخش ہے۔ پھر اگر ترتیب k کے موبیئس فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے، تو بیل نمبر حوالہ جات ریاضیاتی افعال ریاضیاتی سیریز بھی دیکھیں۔