Null vector
ریاضی میں، ایک ویکٹر اسپیس X کو ایک متعلقہ کواڈریٹک فارم q کے ساتھ دیا گیا ہے، لکھا ہوا، ایک نیل ویکٹر یا آئسوٹروپک ویکٹر X کا ایک غیر صفر عنصر x ہے جس کے لیے۔ حقیقی دو لکیری شکلوں کے نظریہ میں، قطعی کواڈریٹک شکلیں اور آئسوٹروپک کواڈریٹک شکلیں الگ ہیں۔ وہ اس لحاظ سے ممتاز ہیں کہ صرف مؤخر الذکر کے لیے ایک غیر صفر صفر ویکٹر موجود ہے۔ ایک کواڈریٹک اسپیس جس میں نیل ویکٹر ہوتا ہے اسے سیوڈو-یوکلڈین اسپیس کہا جاتا ہے۔ ایک فرضی-یوکلڈین ویکٹر کی جگہ کو (غیر منفرد طور پر) آرتھوگنل ذیلی جگہوں A اور B میں تحلیل کیا جا سکتا ہے، جہاں q A پر مثبت-یقینی اور B پر منفی-یقینی ہے۔ X کا نیل شنک، یا آئسوٹروپک شنک، متوازن شعبوں کے اتحاد پر مشتمل ہوتا ہے: نیل شنک اصل کے ذریعے آئسوٹروپک لائنوں کا اتحاد بھی ہے۔ تقسیم الجبری ایک مرکب الجبرا جس میں ایک صفر ویکٹر ہوتا ہے ایک تقسیم شدہ الجبرا ہوتا ہے۔ کمپوزیشن الجبرا (A، +، ×، *) میں، کواڈریٹک شکل q (x) = x x * ہے۔ جب x ایک کالعدم ویکٹر ہوتا ہے تو x کے لیے کوئی ضرب الٹا نہیں ہوتا، اور چونکہ x  ऒत्त 0، A تقسیم الجبرا نہیں ہے۔ کیلی-ڈکسن کی تعمیر میں، تقسیم شدہ الجبرا سیریز بائی کامپلیکس نمبروں، بائیکاٹرنینوں اور بائیوکٹونینوں میں پیدا ہوتے ہیں، جو ایل ای ڈکسن (1919) کی وجہ سے پیچیدہ نمبر فیلڈ کو اس ڈبلنگ تعمیر کی بنیاد کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔ خاص طور پر، ان الجبرازوں کی دو خیالی اکائیاں ہوتی ہیں، جو نقل و حرکت کرتی ہیں لہذا ان کا پروڈکٹ، جب مربع ہوتا ہے، تو + 1 حاصل ہوتا ہے: پھر تو 1 + ہائی ایک کالعدم ویکٹر ہے۔ حقیقی ذیلی الجبراس، پیچیدہ نمبروں کو تقسیم کرتے ہیں، کواٹرنیئنز کو تقسیم کرتے ہیں، اور اسپلٹ آکٹونینس، ان کے صفر شنک کے ساتھ جو 0 bul A کے اندر اور باہر روشنی کی ٹریکنگ کی نمائندگی کرتے ہیں، اسپیس ٹائم ٹوپولوجی کا مشورہ دیتے ہیں۔ مثالیں منکوسکی اسپیس کے روشنی جیسے ویکٹر صفر ویکٹر ہیں۔ چار لکیری طور پر آزاد بائیکاٹرنین،،،، اور صفر ویکٹر ہیں اور خلائی وقت کی نمائندگی کے لیے استعمال ہونے والی ذیلی جگہ کے لیے ایک بنیاد کے طور پر کام کر سکتے ہیں۔ خالی ویکٹرز کا استعمال خلائی وقت کے کئی گنا کے لیے نیومین-پینروز رسمی نقطہ نظر میں بھی کیا جاتا ہے۔ لائ الجبرا کے ورما ماڈیول میں نیل ویکٹر ہوتے ہیں۔ حوالہ جات لکیری الجبرا کواڈریٹک شکلیں