Maximum principle
جزوی تفریق مساوات اور ہندسی تجزیہ کے ریاضیاتی شعبوں میں، زیادہ سے زیادہ اصول ان نتائج اور تکنیکوں کا مجموعہ ہے جو ایلیپٹک اور پیرابولک تفریق مساوات کے مطالعہ میں بنیادی اہمیت کے حامل ہیں۔ سب سے آسان صورت میں، دو متغیرات کے فنکشن پر غور کریں جیسے کہ کمزور زیادہ سے زیادہ اصول، اس ترتیب میں، کہتا ہے کہ ڈومین کے کسی بھی اوپن پری کمپیکٹ سب سیٹ کے لیے، کے بند ہونے پر زیادہ سے زیادہ حد پر حاصل کیا جاتا ہے۔ مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول کہتا ہے کہ، جب تک کہ ایک مستقل فعل نہ ہو، زیادہ سے زیادہ بھی اپنے آپ میں کہیں بھی حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ اس طرح کے بیانات دی گئی تفریقی مساوات کے حل کی ایک حیرت انگیز معیاری تصویر پیش کرتے ہیں۔ اس طرح کی کوالٹی تصویر کو کئی قسم کے تفریقی مساوات تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ بہت سے حالات میں، تفریقی مساوات کے حل کے بارے میں درست مقداری نتائج اخذ کرنے کے لیے اس طرح کے زیادہ سے زیادہ اصولوں کا بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ ان کے میلان کے سائز پر کنٹرول۔ کوئی واحد یا سب سے عام زیادہ سے زیادہ اصول نہیں ہے جو ایک ہی وقت میں تمام حالات پر لاگو ہوتا ہے۔ کنویکس آپٹیمائزیشن کے میدان میں، ایک یکساں بیان ہے جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایک کمپیکٹ کنویکس سیٹ پر کنویکس فنکشن کا زیادہ سے زیادہ حد پر حاصل ہوتا ہے۔ وجدان مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول کی جزوی تشکیل یہاں ہم سب سے آسان صورت پر غور کرتے ہیں، حالانکہ اسی سوچ کو مزید عمومی منظرناموں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یوکلڈین اسپیس کا ایک کھلا ذیلی سیٹ ہونے دیں اور اس پر ایک فنکشن ہونے دیں کہ جہاں ہر ایک کے لیے اور 1 اور کے درمیان، ایک فنکشن ہے۔ کچھ انتخاب ٹھیک کریں۔ لکیری الجبرا کے سپیکٹرم تھیوریم کے مطابق، میٹرکس کی تمام آئجین ویلیوز حقیقی ہیں، اور آئجین ویکٹرز پر مشتمل ہونے کی ایک آرتھونورمل بنیاد ہے۔ 1 سے لے کر 1 تک کے لیے آئجین ویلیوز کو متعلقہ آئجین ویکٹرز کے ذریعے ظاہر کریں۔ زیادہ سے زیادہ اصول کا جوہر یہ سادہ مشاہدہ ہے کہ اگر ہر آئجن ویلیو مثبت ہے (جو تفریق مساوات کی "ایلیپٹیسیٹی" کی ایک خاص تشکیل کے مترادف ہے) تو مندرجہ بالا مساوات حل کے دشاتمک دوسرے مشتقات کا ایک خاص توازن عائد کرتی ہے۔ خاص طور پر، اگر دشاتمک دوسرے مشتقات میں سے ایک منفی ہے، تو دوسرا مثبت ہونا چاہیے۔ ایک فرضی نقطہ پر جہاں زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے، تمام دشاتمک سیکنڈ مشتقات خود بخود غیر مثبت ہوتے ہیں، اور مندرجہ بالا مساوات کے ذریعہ "توازن" کی نمائندگی کرنے کے بعد تمام دشاتمک سیکنڈ مشتقات کو یکساں طور پر صفر ہونے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس ابتدائی استدلال کو مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول کی ایک لامحدود تشکیل کی نمائندگی کرنے کے لیے استدلال کیا جا سکتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ، کچھ اضافی مفروضوں (جیسے تسلسل) کے تحت، یہ مستقل ہونا چاہیے اگر کوئی نقطہ موجود ہو جہاں زیادہ سے زیادہ ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر کوئی زیادہ عمومی جزوی تفریق مساوات پر غور کرتا ہے تو مندرجہ بالا استدلال متاثر نہیں ہوتا ہے کیونکہ اضافی اصطلاح کسی بھی فرضی زیادہ سے زیادہ نقطہ پر خود بخود صفر ہوتی ہے۔ استدلال بھی غیر متاثر ہوتا ہے اگر کوئی زیادہ عام حالت پر غور کرتا ہے جس میں کوئی ایک واضح تضاد ہونے کے اضافی مظاہر کو بھی نوٹ کر سکتا ہے اگر اس حالت میں فرضی زیادہ سے زیادہ نقطہ پر سخت عدم مساوات (بجائے) ہو۔ یہ رجحان کلاسیکی کمزور زیادہ سے زیادہ اصول کے رسمی ثبوت میں اہم ہے۔ مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول کا غیر اطلاق تاہم، مندرجہ بالا استدلال اب اس صورت میں لاگو نہیں ہوتا ہے جب کوئی اس حالت پر غور کرتا ہے کیونکہ اب "توازن" کی حالت، جیسا کہ ایک فرضی زیادہ سے زیادہ نقطہ پر اندازہ کیا جاتا ہے، صرف یہ کہتا ہے کہ واضح طور پر غیر مثبت مقداروں کی اوسط غیر مثبت ہے۔ یہ معمولی طور پر درست ہے، اور اس لیے کوئی بھی اس سے کوئی غیر معمولی نتیجہ نہیں نکال سکتا۔ یہ کسی بھی تعداد میں ٹھوس مثالوں سے ظاہر ہوتا ہے، جیسے کہ یہ حقیقت کہ اور اصل پر مشتمل کسی بھی کھلے علاقے پر، فنکشن یقینی طور پر زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے۔ لکیری ایلیپٹک پی ڈی ای کے لیے کلاسیکی کمزور زیادہ سے زیادہ اصول ضروری خیال آئیے یوکلڈین اسپیس کے ایک کھلے ذیلی سیٹ کی نشاندہی کریں۔ اگر کسی ہموار فنکشن کو کسی نقطہ پر زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے، تو خود بخود: میٹرکس عدم مساوات کے طور پر ہوتا ہے۔ جزوی تفریقی مساوات کو کسی فنکشن کے مختلف مشتقات کے درمیان الجبرائی تعلق کے نفاذ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ لہذا، اگر جزوی تفریقی مساوات کا حل ہے، تو یہ ممکن ہے کہ پہلے اور دوسرے مشتقات پر مذکورہ بالا شرائط اس الجبرائی تعلق سے متصادم ہوں۔ یہ زیادہ سے زیادہ اصول کا جوہر ہے۔ واضح طور پر، اس خیال کا اطلاق زیر بحث مخصوص جزوی تفریق مساوات پر مضبوطی سے منحصر ہے۔ مثال کے طور پر، اگر تفریقی مساوات کو حل کرتا ہے تو ڈومین کے کسی بھی مقام پر ہونا واضح طور پر ناممکن ہے۔ لہذا، مندرجہ بالا مشاہدے کے بعد، زیادہ سے زیادہ قدر حاصل کرنا ناممکن ہے۔ اگر اس کے بجائے تفریقی مساوات کو حل کیا جائے تو اس طرح کا تضاد نہیں ہوگا، اور اب تک دیا گیا تجزیہ کچھ بھی دلچسپ نہیں ہے۔ اگر تفریقی مساوات کو حل کیا جائے تو وہی تجزیہ ظاہر کرے گا کہ اس کی قدر کم سے کم نہیں ہو سکتی۔ اس طرح کے تجزیے کا امکان جزوی تفریقی مساوات تک محدود نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی فنکشن ایسا ہے جو ایک قسم کی "غیر مقامی" تفریقی مساوات ہے، تو دائیں ہاتھ کی طرف کی خودکار سخت مثبتیت، اوپر کی طرح اسی تجزیے سے ظاہر ہوتی ہے، جو زیادہ سے زیادہ قدر حاصل نہیں کر سکتی۔ اس قسم کے تجزیے کے اطلاق کو مختلف طریقوں سے بڑھانے کے بہت سے طریقے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ایک ہارمونک فنکشن ہے، تو مندرجہ بالا قسم کا تضاد براہ راست نہیں ہوتا ہے، کیونکہ ایک ایسے نقطہ کا وجود جہاں ہر جگہ ضرورت سے متصادم نہ ہو۔ تاہم، کوئی بھی صوابدیدی حقیقی عدد کے لیے، اس کے ذریعے بیان کردہ فعل پر غور کر سکتا ہے۔ یہ دیکھنا سیدھا ہے کہ مندرجہ بالا تجزیے کے ذریعے، اگر تب زیادہ سے زیادہ قدر حاصل نہیں ہو سکتی۔ کوئی بھی حد کو 0 پر غور کرنا چاہے گا تاکہ یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکے کہ یہ بھی زیادہ سے زیادہ قیمت حاصل نہیں کر سکتا۔ تاہم، زیادہ سے زیادہ کے بغیر افعال کی ترتیب کی نقطہ وار حد کے لیے زیادہ سے زیادہ ہونا ممکن ہے۔ بہر حال، اگر کوئی باؤنڈری ایسی ہے کہ اس کی باؤنڈری کے ساتھ مل کر کمپیکٹ ہو، تو یہ فرض کرتے ہوئے کہ اسے مسلسل باؤنڈری تک بڑھایا جا سکتا ہے، تو یہ فوری طور پر اس کے بعد آتا ہے کہ دونوں اور پر زیادہ سے زیادہ قیمت حاصل کریں۔ چونکہ ہم نے دکھایا ہے کہ، ایک فنکشن کے طور پر، زیادہ سے زیادہ نہیں ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کسی کے لیے بھی زیادہ سے زیادہ پوائنٹ آن ہے۔ یہ، بذات خود، اس امکان کو مسترد نہیں کرتا ہے کہ زیادہ سے زیادہ بھی کہیں حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ "مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول" کا مواد ہے، جس کے لیے مزید تجزیہ کی ضرورت ہے۔ مندرجہ بالا مخصوص فنکشن کا استعمال بہت غیر ضروری تھا۔ جو کچھ اہم تھا وہ ایک ایسا فنکشن ہونا تھا جو مسلسل حد تک پھیلا ہوا ہو اور جس کا لیپلاسیئن سختی سے مثبت ہو۔ لہذا ہم، مثال کے طور پر، اسی اثر کے ساتھ استعمال کر سکتے تھے۔ لکیری ایلیپٹک پی ڈی ای کے لیے کلاسیکی مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول ثبوت کا خلاصہ آئیے یوکلڈین اسپیس کا ایک کھلا ذیلی مجموعہ ہے۔ دوگنا تفریق پذیر فنکشن ہونے دیں جو اپنی زیادہ سے زیادہ قدر حاصل کرتا ہے۔ فرض کریں کہ کوئی تلاش کر سکتا ہے (یا اس کے وجود کو ثابت کر سکتا ہے): ایک کمپیکٹ ذیلی سیٹ، غیر خالی اندرونی کے ساتھ، جیسے کہ اندرونی حصے میں سب کے لیے، اور ایسا کہ ساتھ کی حد پر موجود ہے۔ ایک مسلسل فنکشن جو اندرونی اور ساتھ دو بار تفریق پذیر ہے اور اس طرح کہ کسی کی حد پر ہے پھر کی حد پر ؛ کمزور زیادہ سے زیادہ اصول کے مطابق، کسی کے پاس ہے۔ یہ سب کے لیے کہنے کے لیے دوبارہ منظم کیا جا سکتا ہے۔ اگر کوئی اس کا انتخاب کر سکتا ہے تاکہ دائیں ہاتھ کی طرف واضح طور پر مثبت نوعیت ہو، تو یہ اس حقیقت سے تضاد فراہم کرے گا جو کہ زیادہ سے زیادہ نقطہ نظر ہے، تاکہ اس کا میلان غائب ہو جائے۔ ثبوت مندرجہ بالا "پروگرام" انجام دیا جا سکتا ہے۔ ایک کروی اینولس بننے کا انتخاب کریں۔ کوئی اپنے مرکز کو بند سیٹ کے مقابلے بند سیٹ کے قریب ایک نقطہ کے طور پر منتخب کرتا ہے، اور بیرونی رداس کو اس مرکز سے فاصلے کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ اس مؤخر الذکر سیٹ پر ایک نقطہ ہونا چاہیے جو فاصلے کا احساس کرتا ہے۔ اندرونی رداس من مانی ہے۔ وضاحت کریں اب کی حد دو شعبوں پر مشتمل ہے ؛ بیرونی دائرے پر، ایک کے پاس ہے ؛ کے انتخاب کی وجہ سے، ایک اس دائرے پر ہے، اور اس طرح حد کے اس حصے پر، ضرورت کے ساتھ ساتھ برقرار ہے۔ اندرونی دائرے پر، ایک ہے۔ اندرونی دائرے کے تسلسل اور کمپیکٹنس کی وجہ سے، کوئی اس طرح کا انتخاب کر سکتا ہے۔ چونکہ اس اندرونی دائرے پر مستقل ہے، اس لیے کوئی اس طرح کا انتخاب کر سکتا ہے کہ اندرونی دائرے پر، اور اس لیے کی پوری حد پر۔ براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے کہ مختلف حالات ہیں جن کے تحت دائیں ہاتھ کی طرف کو غیر منفی ہونے کی ضمانت دی جا سکتی ہے۔ نیچے دی گئی تھیوریم کا بیان دیکھیں۔ آخر میں، نوٹ کریں کہ اینولس کی اندرونی طرف اشارہ کرنے والی ریڈیل لائن کے ساتھ اٹ کا دشاتمک مشتق سختی سے مثبت ہے۔ جیسا کہ مندرجہ بالا خلاصہ میں بیان کیا گیا ہے، یہ اس بات کو یقینی بنائے گا کہ ایٹ کا ایک دشاتمک مشتق غیر صفر ہے، جو کھلے سیٹ پر زیادہ سے زیادہ پوائنٹ ہونے کے برخلاف ہے۔ نظریہ کا بیان ہوپف (1927) کے اصل بیان کے بعد، موری اور سمولر کی کتابوں میں نظریہ کا بیان درج ذیل ہے: تسلسل کے مفروضے کا نقطہ یہ ہے کہ مسلسل افعال کمپیکٹ سیٹوں پر پابند ہوتے ہیں، یہاں متعلقہ کمپیکٹ سیٹ ثبوت میں ظاہر ہونے والا کروی اینولس ہے۔ مزید برآں، اسی اصول کے مطابق، ایک ایسی تعداد موجود ہے کہ اینولس میں سب کے لیے، میٹرکس میں تمام آئجن ویلیوز ان سے زیادہ یا برابر ہوتی ہیں۔ اس کے بعد، ثبوت میں ظاہر ہونے کے طور پر، ان حدود کے مقابلے میں بڑا ہوتا ہے۔ ایونز کی کتاب کی تشکیل قدرے کمزور ہے، جس میں ایک مثبت عدد سمجھا جاتا ہے جو اندر موجود تمام کے آئجن ویلیوز کی نچلی حد ہے۔ ثبوت کے کام کرنے کے لیے یہ تسلسل کے مفروضے واضح طور پر سب سے زیادہ عام ممکن نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل گلبرگ اور ٹروڈنگر کا نظریہ کا بیان ہے، اسی ثبوت کی پیروی کرتے ہوئے: کوئی بھی ان بیانات کو عام طور پر دوسرے درجے کی لکیری ایلیپٹک مساوات تک نہیں بڑھا سکتا، جیسا کہ پہلے ہی ایک جہتی معاملے میں دیکھا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، عام تفریقی مساوات {{math|y {{}} + 2y0}} میں سینوسائڈل حل ہوتے ہیں، جن میں یقینی طور پر اندرونی میکسیما ہوتا ہے۔ یہ اعلی جہتی کیس تک پھیلا ہوا ہے، جہاں اکثر "آئجن فنکشن" مساوات کے حل ہوتے ہیں جن میں اندرونی میکسما ہوتا ہے۔ سی کی علامت متعلقہ ہے، جیسا کہ یک جہتی معاملے میں بھی دیکھا جاتا ہے ؛ مثال کے طور پر {{math|y "کے حل متغیر ہیں، اور اس طرح کے افعال کے زیادہ سے زیادہ کردار سینوسائڈل افعال سے بالکل مختلف ہیں۔ زیادہ سے زیادہ ماڈیولس کا اصول ہوپف زیادہ سے زیادہ اصول نوٹس حوالہ جات تحقیقی مضامین کالابی، ای۔ ای۔ ہوپف کے زیادہ سے زیادہ اصول کی توسیع جس میں ریمینیائی جیومیٹری پر اطلاق ہوتا ہے۔ ڈیوک ریاضی۔ جے۔ 25 (1958)، 45-56۔ چینگ، ایس۔ وائی۔ ؛ یاؤ، ایس ٹی۔ ریمینیئن کئی گنا اور ان کی ہندسی ایپلی کیشنز پر تفریقی مساوات۔ کوم۔ خالص ایپل۔ ریاضی۔ 28 (1975)، نمبر۔ 3، 333-354۔ گیڈاس، بی۔ ؛ نی، وی منگ ؛ نیرنبرگ، ایل۔ ہم آہنگی اور زیادہ سے زیادہ اصول کے ذریعے متعلقہ خصوصیات۔ کوم۔ ریاضی۔ فزیکل۔ 68 (1979)، نمبر۔ 3، 209-243۔ گیڈاس، بی۔ ؛ نی، وی منگ ؛ نیرن برگ، ایل۔ غیر لکیری الپٹک مساوات کے مثبت حلوں کی سمیٹری۔ ریاضیاتی تجزیہ اور ایپلی کیشنز، حصہ اے، پی پی۔ 369-402، ایڈو. ریاضی میں۔ فراہم کریں۔ اسٹڈ۔، 7 اے، اکیڈمک پریس، نیویارک-لندن، 1981۔ ہیملٹن، رچرڈ ایس۔ مثبت منحنی آپریٹر کے ساتھ فور-مینیفولڈ۔ جے۔ متفرق جیوم۔ 24 (1986)، نمبر۔ 2، 153-179۔ ای۔ ہاپف۔ ڈفریٚنشل گلائچنگن زویٹر آرڈننگ وام ایلپٹیشین ٹائپس۔ سیتبر۔ آگے بڑھو۔ اکد۔ وس۔ برلن 19 (1927)، 147-152۔ ہوپف، ایبرہارڈ۔ سیکنڈ آرڈر کی لکیری ایلیپٹک تفریق مساوات پر ایک تبصرہ۔ پروک۔ آمیر۔ ریاضی۔ ایس او سی۔ 3 (1952)، 791-793۔ نیرنبرگ، لوئس۔ پیرابولک مساوات کے لیے ایک مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول۔ کوم۔ خالص ایپل۔ ریاضی۔ 6 (1953)، 167-177۔ اوموری، ہیدیکی۔ ریمینیئن مینیفولڈز کے آئسومیٹرک وسرجن۔ جے۔ ریاضی۔ ایس او سی۔ جے پی این۔ 19 (1967)، 205-214۔ یاؤ، شنگ تنگ۔ مکمل ریمینیئن کئی گنا پر ہارمونک افعال۔ کوم۔ خالص ایپل۔ ریاضی۔ 28 (1975)، 201-228۔ کریبرگ، ایچ۔ جے۔ اے۔ اقتصادی عمل میں زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے زیادہ سے زیادہ اصول پر، 1969 (ٹرونڈہیم، این ٹی ایچ، سوسیالونومسک انسٹی ٹیوٹ https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in-economic-processes/oclc/23714026) ٹیکسٹ بکس ایونز، لارنس سی۔ جزوی تفریقی مساوات۔ دوسرا ایڈیشن۔ ریاضی میں گریجویٹ اسٹڈیز، 19. امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر آئی، 2010۔ xxii + 749 پی پی۔ فریڈمین، ایونر۔ پیرابولک قسم کی جزوی تفریق مساوات۔ پرینٹس-ہال، انکارپوریٹڈ، اینگل ووڈ کلفس، این جے 1964 xiv + 347 پی پی۔ گلبرگ، ڈیوڈ ؛ ٹروڈنگر، نیل ایس۔ دوسرے آرڈر کی جزوی تفریق مساوات۔ 1998 کے ایڈیشن کا ری پرنٹ۔ ریاضی میں کلاسیکی۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2001۔ xiv + 517 پی پی۔ لیڈیزینسکاجا، او۔ A. ؛ سولوونیکوف، V. A. ؛ یورالشیوا، N. N. پارابولک قسم کی لکیری اور قوسیلینیئر مساوات۔ ایس سمتھ کے ذریعے روسی سے ترجمہ کیا گیا۔ ریاضیاتی مونوگراف کے ترجمے، جلد۔ 23 امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر۔ آئی۔ 1968 xi + 648 پی۔ پی۔ لیڈیزینکایا، اولگا اے۔ اورالٹسوا، نینا این۔ لکیری اور کواسیلینر ایلیپٹک مساوات۔ اسکرپٹا ٹیکنیکا، انکارپوریٹڈ کے ذریعہ روسی سے ترجمہ کیا گیا۔ ترجمہ ایڈیٹر: لیون ایہرنپریس۔ اکیڈمک پریس، نیویارک-لندن 1968 xviii + 495 پی پی۔ لیبرمین، گیری ایم۔ سیکنڈ آرڈر پیرابولک تفریق مساوات۔ ورلڈ سائنٹیفک پبلشنگ کمپنی، انکارپوریٹڈ، ریور ایج، این جے، 1996۔ xii + 439 پی پی۔ موری، چارلس بی، جونیئر۔ تغیرات کے حساب میں متعدد انٹیگرلز۔ 1966 کے ایڈیشن کا ری پرنٹ۔ ریاضی میں کلاسیکی۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2008۔ x + 506 پی پی۔ پروٹر، مرے ایچ۔ وینبرجر، ہنس ایف۔ تفریقی مساوات میں زیادہ سے زیادہ اصول۔ 1967 کے اصل کا درست ری پرنٹ۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1984۔ x + 261 پی پی۔ اسمولر، جوئل۔ شاک ویوز اور رد عمل کے پھیلاؤ کی مساوات۔ دوسرا ایڈیشن۔ گرونڈلیہرن ڈیر میتھمیٹشین وسینشافٹن [ریاضیاتی علوم کے بنیادی اصول]، 258۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1994۔ XXIV + 632 پی پی۔ ہارمونک افعال جزوی تفریق مساوات ریاضیاتی اصول