Leibniz formula for π
ریاضی میں، لیبنز فارمولا، جس کا نام گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز کے نام پر رکھا گیا ہے، بتاتا ہے کہ ایک متبادل سلسلہ ہے۔ اسے بعض اوقات مادھو-لیبنز سلسلہ کہا جاتا ہے کیونکہ اسے پہلی بار سنگمگرام کے ہندوستانی ریاضی دان مادھو یا ان کے پیروکاروں نے 14 ویں-15 ویں صدی میں دریافت کیا تھا (مادھو سلسلہ دیکھیں)، اور بعد میں اسے آزادانہ طور پر جیمز گریگوری نے 1671 میں اور لیبنز نے 1673 میں دوبارہ دریافت کیا۔ الٹا ٹینجینٹ فنکشن کے لیے ٹیلر سیریز، جسے اکثر گریگوری کی سیریز کہا جاتا ہے، یہ ہے: لیبنز فارمولا ایک خاص معاملہ ہے۔ یہ ماڈیولس 4 کے غیر پرنسپل ڈیرچلیٹ کردار کا ڈیرچلیٹ-سیریز بھی ہے جس کا جائزہ لیا گیا ہے، اور اس وجہ سے، ڈیرچلیٹ بیٹا فنکشن کی قیمت۔ ثبوت ثبوت 1 آخری اصطلاح میں صرف انٹیگرل کو مدنظر رکھتے ہوئے، ہمارے پاس ہے: لہذا، نچوڑ تھیوریم کے مطابق، ہمارے پاس لیبنز سیریز رہ گئی ہے: ثبوت 2 آئیے، جب سیریز کو یکساں طور پر کنورج کیا جائے، تو پھر ثبوت مکمل ہے، جہاں، سیریز کو لیبنز ٹیسٹ کے ذریعے کنورج کیا جانا ہے، اور یہ بھی، اسٹولز اینگل کے اندر سے آتا ہے، لہذا ایبل کے تھیوریم سے یہ درست ہے۔ کنورجنس لیبنز کا فارمولا انتہائی آہستہ آہستہ یکجا ہوتا ہے: یہ ذیلی لکیری کنورجنس کو ظاہر کرتا ہے۔ سیریز کے براہ راست خلاصہ کا استعمال کرتے ہوئے 10 درست اعشاریہ مقامات کا حساب لگانے کے لیے قطعی طور پر پانچ ارب اصطلاحات کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ (کسی کو کالابریس ایرر باؤنڈ لاگو کرنے کی ضرورت ہوتی ہے)۔ 4 درست اعشاریہ مقامات (0.00005 کی غلطی) حاصل کرنے کے لیے 5000 اصطلاحات درکار ہیں۔ کالابریس یا جانسنباؤ غلطی کی حدود سے بھی بہتر دستیاب ہیں۔ تاہم، لیبنز فارمولا کو مختلف کنورجنس ایکسلریشن تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے اعلی درستگی (سینکڑوں ہندسوں یا اس سے زیادہ) کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، شینکس ٹرانسفارمیشن، یولر ٹرانسفارمیشن یا وان وجنگارڈن ٹرانسفارمیشن، جو کہ باری باری سیریز کے عام طریقے ہیں، لیبنز سیریز کے جزوی جملوں پر مؤثر طریقے سے لاگو کیے جا سکتے ہیں۔ مزید برآں، اصطلاحات کو جوڑی کے لحاظ سے جوڑنے سے غیر متبادل سلسلہ ملتا ہے جس کا اندازہ رچرڈسن ایکسٹراپولیشن یا یولر-میکلورین فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے تھوڑی تعداد میں اصطلاحات سے اعلی درستگی تک کیا جا سکتا ہے۔ اس سلسلے کو ایبل-پلانا فارمولے کے ذریعے ایک لازمی میں بھی تبدیل کیا جا سکتا ہے اور عددی انضمام کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے اس کا جائزہ لیا جا سکتا ہے۔ غیر معمولی طرز عمل اگر سیریز کو صحیح وقت پر کاٹا جاتا ہے، تو تخمینہ کی اعشاریہ توسیع الگ تھلگ ہندسوں یا ہندسوں کے گروپوں کے علاوہ بہت سے اور ہندسوں کے لیے کے ساتھ متفق ہوگی۔ مثال کے طور پر، پانچ ملین اصطلاحات لینے سے پیداوار حاصل ہوتی ہے جہاں نشان زد ہندسے غلط ہوتے ہیں۔ در حقیقت غلطیوں کی پیش گوئی کی جا سکتی ہے۔ وہ اویلر نمبروں کے ذریعے اسمسپٹوٹک فارمولے کے مطابق پیدا ہوتے ہیں جہاں 4 سے تقسیم ہونے والا عدد ہوتا ہے۔ اگر دس کی طاقت کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے، تو صحیح رقم میں ہر اصطلاح ایک محدود اعشاریہ حصہ بن جاتی ہے۔ یہ فارمولا الٹرنیٹنگ سیریز کے لیے یولر-بول سمیشن فارمولے کا ایک خاص معاملہ ہے، جو کنورجنس ایکسلریشن تکنیک کی ایک اور مثال فراہم کرتا ہے جسے لیبنز سیریز پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ 1992 میں، جوناتھن بوروین اور مارک لیمبر نے لیبنز فارمولے کے ساتھ 5,263 اعشاریہ مقامات کا حساب لگانے کے لیے پہلے ہزار اویلر نمبروں کا استعمال کیا۔ اویلر پروڈکٹ لیبنز فارمولا کی تشریح منفرد غیر پرنسپل ڈیرچلیٹ کردار ماڈیولو 4 کا استعمال کرتے ہوئے ڈیرچلیٹ سیریز کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ دیگر ڈیرچلیٹ سیریز کی طرح، یہ لامحدود رقم کو ہر پرائم نمبر کے لیے ایک اصطلاح کے ساتھ لامحدود پروڈکٹ میں تبدیل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اس طرح کی مصنوعات کو یولر پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ یہ ہے: اس پروڈکٹ میں، ہر اصطلاح ایک سپر پارٹیکیولر تناسب ہے، ہر عدد ایک عجیب پرائم نمبر ہے، اور ہر ڈینومینیٹر عدد کے 4 کا قریب ترین ضرب ہے۔ حوالہ جات پر مشتمل فارمولوں کی فہرست بھی دیکھیں بیرونی لنکس لیبنز فارمولا C میں، x86 FPU اسمبلی، x 86-64 SSE3 اسمبلی، اور DEC الفا اسمبلی پائی الگورتھم ثبوت پر مشتمل مضامین گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز ریاضیاتی سیریز