Riemann–Lebesgue lemma
ریاضی میں، ریمن-لیبسگ لیما، جس کا نام برنہارڈ ریمن اور ہنری لیبسگ کے نام پر رکھا گیا ہے، بیان کرتا ہے کہ ایل 1 فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم یا لیپلیس ٹرانسفارم انفینیٹی پر غائب ہو جاتا ہے۔ ہارمونک تجزیہ اور ایسمپٹوٹک تجزیہ میں یہ اہمیت کا حامل ہے۔ بیان ایک مربوط فنکشن ہونے دیں، یعنی۔ ایک قابل پیمائش فنکشن ہے اور اس کا فورئیر ٹرانسفارم ہونے دیں، یعنی۔ پھر لامحدود پر غائب ہو جاتا ہے: جیسا کہ۔ چونکہ انٹیگریبل فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم مسلسل ہوتا ہے، اس لیے فورئیر ٹرانسفارم ایک مسلسل فنکشن ہے جو انفینیٹی پر غائب ہو جاتا ہے۔ اگر انفینیٹی پر غائب ہونے والے مسلسل افعال کی ویکٹر اسپیس کی نشاندہی کرتا ہے، تو ریمن-لیبسگ لیما کو مندرجہ ذیل طریقے سے وضع کیا جا سکتا ہے: فورئیر ٹرانسفارمیشن کا نقشہ۔ ثبوت ہم یک جہتی کیس پر توجہ مرکوز کریں گے، اعلی جہتوں میں ثبوت ایک جیسا ہے۔ سب سے پہلے، فرض کریں کہ یہ مسلسل اور کمپیکٹ سپورٹڈ ہے۔ کیونکہ، متبادل کی طرف جاتا ہے۔ یہ اس کے لیے دوسرا فارمولا دیتا ہے۔ دونوں فارمولوں کا اوسط لیتے ہوئے، ہم مندرجہ ذیل تخمینے پر پہنچتے ہیں: کیونکہ مسلسل ہے، سب کے لیے یکجا ہوتا ہے۔ اس طرح، ڈومینٹڈ کنورجنس تھیوریم کی وجہ سے 0 پر یکجا ہوتا ہے۔ اگر ایک صوابدیدی انٹیگریبل فنکشن ہے، تو اس کا تخمینہ معمول میں ایک کمپیکٹ سپورٹڈ مسلسل فنکشن کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ اس کے لیے، ایک کمپیکٹلی سپورٹڈ مسلسل فنکشن کا انتخاب کریں۔ پھر چونکہ یہ کسی کے لیے بھی ہے، اس لیے اس کی پیروی کرتا ہے۔ دیگر ورژن ریمن-لیبسگ لیما مختلف دیگر حالات میں موجود ہے۔ اگر، تو ریمن-لیبسگ لیما بھی لیپلیس ٹرانسفارم کے لیے ہے، یعنی، جیسا کہ نصف سطح کے اندر ہے۔ ایک ورژن فورئیر سیریز کے لیے بھی ہے: اگر ایک باؤنڈڈ وقفہ پر ایک انٹیگریبل فنکشن ہے، تو اس کے فورئیر کوفیشنٹس 0 ہوتے ہیں۔ اس کے بعد وقفے سے باہر صفر تک توسیع کی جاتی ہے، اور پھر پوری حقیقی لائن پر ریمن-لیبسگ لیما کے ورژن کو لاگو کیا جاتا ہے۔ تاہم، ریمن-لیبسگ لیما من مانی تقسیم کے لیے نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کی تقسیم باضابطہ طور پر حقیقی لکیر پر ایک محدود انٹیگرل رکھتی ہے، لیکن اس کا فورئیر ٹرانسفارم ایک مستقل ہے اور انفینیٹی پر غائب نہیں ہوتا ہے۔ ایپلی کیشنز ریمن-لیبسگ لیما کو انٹیگرلز کے لیے ایسمپٹوٹک تخمینوں کی صداقت کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ سب سے تیز نزول کے طریقہ کار اور ساکن مرحلے کے طریقہ کار کے سخت علاج، دوسروں کے درمیان، ریمن-لیبسگ لیما پر مبنی ہیں۔ حوالہ جات غیر علامتی تجزیہ ہارمونک تجزیہ تجزیہ میں لیما تجزیہ میں نظریات ہارمونک تجزیہ میں نظریات برنہارڈ ریمن