Dual lattice
جالی کے نظریہ میں، دوہری جالی ایک تعمیر ہے جو دوہری ویکٹر کی جگہ سے ملتی جلتی ہے۔ بعض معاملات میں، جالی کے دوہری جالی کی جیومیٹری کی جیومیٹری کا باہمی ہے، ایک نقطہ نظر جو اس کے بہت سے استعمال کی بنیاد رکھتا ہے۔ جالی نظریہ، نظریاتی کمپیوٹر سائنس، کرپٹوگرافی اور ریاضی کے اندر دوہری جالی کے بہت سے استعمال ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ پوسن سمشن فارمولے کے بیان میں استعمال ہوتا ہے، منتقلی تھیوریمز جالی کی جیومیٹری اور اس کے دوہری کے درمیان روابط فراہم کرتے ہیں، اور بہت سے جالی الگورتھم دوہری جالی کا استحصال کرتے ہیں۔ طبیعیات/کیمسٹری کی ایپلی کیشنز پر زور دینے والے مضمون کے لیے، باہمی جالی دیکھیں۔ یہ مضمون دوہری جالی کے ریاضیاتی تصور پر مرکوز ہے۔ تعریف چلو ایک جالی ہے۔ یعنی کچھ میٹرکس کے لیے۔ دوہری جالی لکیری فنکشنلز کا مجموعہ ہے جس پر ہر نقطہ پر انٹیجر ویلیوز لی جاتی ہیں: اگر ڈاٹ پروڈکٹ کے استعمال سے شناخت کی جاتی ہے، تو ہم لکھ سکتے ہیں۔ اس کی مدت میں ویکٹروں تک محدود رہنا ضروری ہے، بصورت دیگر نتیجہ خیز شے جالی نہیں ہے۔ وسیع یوکلڈین خالی جگہوں کی اس شناخت کے باوجود، اس بات پر زور دیا جانا چاہیے کہ ایک جالی اور اس کا دوہری بنیادی طور پر مختلف قسم کی اشیاء ہیں۔ ایک یوکلڈین جگہ میں ویکٹر پر مشتمل ہوتا ہے، اور دوسرا اس جگہ پر لکیری افعال کے ایک سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے۔ ان خطوط پر، کوئی بھی مزید تجریدی تعریف مندرجہ ذیل طور پر بھی دے سکتا ہے: تاہم، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ دوہری کو صرف فنکشنلز کے ایک تجریدی ابیلین گروپ کے طور پر نہیں سمجھا جاتا ہے، بلکہ یہ ایک قدرتی اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ آتا ہے:، جہاں کی ایک آرتھونورمل بنیاد ہے۔ (مساوی طور پر، کوئی یہ اعلان کر سکتا ہے کہ، ایک آرتھونورمل بنیاد کے لیے، دوہری ویکٹر، جن کی طرف سے تعریف کی گئی ہے وہ ایک آرتھونورمل بنیاد ہیں۔) جالی کے نظریہ میں دوہری کے کلیدی استعمال میں سے ایک اس کے دوہری کی جیومیٹری کے ساتھ ابتدائی جالی کی جیومیٹری کا تعلق ہے، جس کے لیے ہمیں اس اندرونی پروڈکٹ کی ضرورت ہے۔ اوپر دی گئی ٹھوس تفصیل میں، ڈوئل پر اندرونی پروڈکٹ عام طور پر مضمر ہوتا ہے۔ خصوصیات ہم دوہری جالی کی کچھ ابتدائی خصوصیات کی فہرست دیتے ہیں: اگر جالی کے لیے بنیاد دینے والا میٹرکس ہے، تو مطمئن ہوتا ہے۔ اگر ایک میٹرکس جالی کے لیے بنیاد دیتا ہے، تو دوہری جالی کے لیے بنیاد دیتا ہے۔ اگر مکمل درجہ دوہری جالی کی بنیاد دیتا ہے: پچھلی حقیقت اس بات کو ظاہر کرتی ہے۔ یہ مساوات ویکٹر اسپیس کی معمول کی شناخت کے تحت اس کے ڈبل ڈوئل کے ساتھ، یا اس ترتیب میں جہاں اندرونی پروڈکٹ نے اپنے ڈوئل کے ساتھ شناخت کی ہے۔ دو جالیاں ٹھیک کریں۔ پھر اگر اور صرف اگر۔ جالی کا تعین کرنے والا اس کے دوہرے کے تعین کرنے والے کا باہمی ہے: اگر غیر صفر اسکیلر ہے، تو۔ اگر گردش میٹرکس ہے، تو۔ اگر سب کے لیے ہو تو جالی کو لازمی کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ جالی مکمل درجہ کی ہے۔ اس کے دوہرے کے ساتھ یوکلڈین اسپیس کی شناخت کے تحت، ہمارے پاس وہ لازمی جالی کے لیے ہے۔ اسے یاد رکھیں، اگر اور پھر۔ اس سے یہ ایک لازمی جالی کے لیے اس کے بعد آتا ہے۔ ایک لازمی جالی کو غیر ماڈیولر کہا جاتا ہے اگر، جو، اوپر کے مطابق، مثال کے طور پر، اوپر درج کردہ خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، ہاتھ یا کمپیوٹر کے ذریعے جالی کے دوہرے کا مؤثر طریقے سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ ریاضی اور کمپیوٹر سائنس میں اہمیت کے حامل کچھ جالیں ایک دوسرے کے لیے دوہری ہیں، اور ہم کچھ کو یہاں درج کرتے ہیں۔ ابتدائی مثالیں دوہری ہے۔ کا دوہرا ہے۔ آئیے انٹیجر ویکٹروں کی جالی ہوں جن کے نقاط کا مجموعہ یکساں ہو۔ پھر، یعنی ڈوئل وہ جالی ہے جو تمام ایس ویکٹر کے ساتھ انٹیجر ویکٹرز کے ذریعہ تیار کی جاتی ہے۔ ق-ایری جالیں مثالوں کی ایک اہم کلاس، خاص طور پر جالی کرپٹوگرافی میں، ق-ایری جالی کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ ایک میٹرکس کے لیے جس کی ہم وضاحت کرتے ہیں ؛ ان کو بالترتیب امیج اور دانا q-ary جالی کہا جاتا ہے۔ پھر، یوکلڈین اسپیس کو اس کے دوہری کے ساتھ شناخت کرنے کے بعد، ہمارے پاس یہ ہے کہ میٹرکس کی شبیہہ اور دانا q-ary جالیں دوہری ہیں، اسکیلر تک۔ خاص طور پر اور۔ (ثبوت ایک مشق کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔) منتقلی تھیوریمز ہر پارٹیشن انٹیجر ویلیوز میں سے ہر ایک کے مطابق سطح کے سیٹوں کے مطابق ہوتی ہے۔ پیداوار کی سطح کے سیٹ کے چھوٹے انتخاب ان کے درمیان زیادہ فاصلے کے ساتھ ؛ خاص طور پر، تہوں کے درمیان فاصلہ ہے۔ اس طرح استدلال کرتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ چھوٹے ویکٹروں کو تلاش کرنا غیر اوور لیپنگ شعبوں کے سب سے بڑے سائز پر ایک نچلی حد فراہم کرتا ہے جسے پوائنٹس کے ارد گرد رکھا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، جالی کی خصوصیات اور اس کی دوہری خصوصیات سے متعلق نظریات کو منتقلی کے نظریات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس حصے میں ہم پیچیدگی کے نظریہ کے کچھ نتائج کے ساتھ ان میں سے کچھ کی وضاحت کرتے ہیں۔ ہم کچھ اصطلاحات یاد کرتے ہیں: جالی کے لیے، آئیے سب سے چھوٹی رداس والی گیند کی نشاندہی کریں جس میں لکیری طور پر آزاد ویکٹرز کا ایک مجموعہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کے مختصر ترین ویکٹر کی لمبائی ہے۔ کے احاطہ کے رداس کو ظاہر کرتے ہیں۔ اس اشارے میں، اس حصے کے تعارف میں مذکور نچلی حد یہ بتاتی ہے کہ۔ اس دعوے کے لیے ہمیشہ ایک مؤثر طریقے سے چیک کرنے کے قابل سرٹیفکیٹ ہوتا ہے کہ جالی میں ایک مختصر غیر صفر ویکٹر ہوتا ہے، یعنی ویکٹر خود۔ بناسکیک کی منتقلی تھیوریم کا ایک اہم نتیجہ یہ ہے کہ، جس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ جالی میں کوئی شارٹ ویکٹر نہیں ہوتا، کوئی بھی شارٹ ویکٹر پر مشتمل دوہری جالی کی بنیاد دکھا سکتا ہے۔ ان خیالات کا استعمال کرتے ہوئے کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ جالی کے مختصر ترین ویکٹر کو n (مسئلہ) کے عنصر کے اندر لگانا ہے۔ دیگر منتقلی کے نظریات: یہ تعلق منکوسکی کے مختصر ترین ویکٹر پر پابند ہونے سے ہوتا ہے۔ یعنی، اور، جس سے دعوی اس کے بعد ہوتا ہے۔ دوہری جالی عام پوئسون سمشن فارمولے کے بیان میں استعمال ہوتی ہے۔ مزید پڑھنا حوالہ جات لیٹیس تھیوری