Borel's lemma
ریاضی میں، بوریل کا لیما، جس کا نام ایمیل بوریل کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک اہم نتیجہ ہے جو تھیوری آف ایسمپٹوٹک ایکسٹینشنز اور جزوی تفریقی مساوات میں استعمال ہوتا ہے۔ بیان فرض کریں کہ یوکلڈین اسپیس Rn میں U ایک کھلا سیٹ ہے، اور فرض کریں کہ f0، f1،. U پر ہموار افعال کا ایک سلسلہ ہے۔ اگر I R میں کوئی کھلا وقفہ ہے جس میں 0 (ممکنہ طور پر I = R) ہے، تو ایک ہموار فنکشن F (t، x) موجود ہے جس کی وضاحت I × U پر کی گئی ہے، جیسے کہ U میں k ≤ 0 اور x کے لیے۔ بوریل کے لیما کے ثبوت تجزیہ پر بہت سی نصابی کتابوں میں مل سکتے ہیں، بشمول اور، جس سے نیچے دیا گیا ثبوت لیا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ایک چھوٹے سے وقفے I = (−ε, ε) کے لیے نتیجہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے، کیونکہ اگر (−ε, ε) میں کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ ایک ہموار ٹکرانے والی فنکشن ہے جو 0 کے قریب 1 کے برابر ہے، تو si (t) ⋅F (t, x) R × U پر حل دیتا ہے۔ اسی طرح δ ⋅ Zn پر مراکز کے ساتھ کھلی گیندوں کے ذریعے ڈھکنے کے ماتحت Rn پر یکسانیت کی ہموار تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ تمام fm کو کسی مقررہ بند گیند C میں کمپیکٹ سپورٹ حاصل ہے۔ ہر m کے لیے، جہاں εm کو کافی چھوٹا منتخب کیا گیا ہے وہ |α | <m کے لیے ہے۔ ان تخمینوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر مجموعہ یکساں طور پر متغیر ہے اور اس لیے یہ ایک ہموار فنکشن ہے۔ تعمیراتی نوٹ: بالکل وہی تعمیر لاگو کی جا سکتی ہے، معاون جگہ U کے بغیر، وقفہ I پر ہموار فنکشن پیدا کرنے کے لیے جس کے لیے 0 پر مشتقات ایک صوابدیدی ترتیب بناتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات تجزیہ میں جزوی تفریق مساوات لیمااس غیر علامتی تجزیہ