History of the separation axioms
عمومی ٹوپولوجی میں علیحدگی کے محوریات کی تاریخ کو پیچیدہ بنایا گیا ہے، جس میں بہت سے معنی ایک ہی اصطلاحات کے لیے مقابلہ کرتے ہیں اور بہت سی اصطلاحات ایک ہی تصور کے لیے مقابلہ کرتی ہیں۔ ابتداء ٹوپوولوجیکل اسپیس کی موجودہ عمومی تعریف سے پہلے، بہت سی تعریفیں پیش کی جاتی تھیں، جن میں سے کچھ نے کچھ علیحدگی کے محرکات کو فرض کیا (جو اب ہم سمجھتے ہیں)۔ مثال کے طور پر، 1914 میں فیلکس ہاؤزڈورف کی طرف سے دی گئی تعریف جدید تعریف کے علاوہ ہاؤزڈورف علیحدگی کے محور کے مساوی ہے۔ علیحدگی کے محوریات، ایک گروپ کے طور پر، پیمائش کے مطالعہ میں اہم ہو گئے: یہ سوال کہ کس ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کو میٹرک اسپیس کی ساخت دی جا سکتی ہے۔ میٹرک خالی جگہیں علیحدگی کے تمام محوریات کو پورا کرتی ہیں۔ لیکن حقیقت میں، ایسی جگہوں کا مطالعہ کرنا جو صرف کچھ محوریات کو پورا کرتی ہیں، مکمل پیمائش کے تصور کو بڑھانے میں مدد کرتی ہیں۔ علیحدگی کے محوریات جن کا سب سے پہلے اس طرح سے ایک ساتھ مطالعہ کیا گیا تھا وہ قابل رسائی خالی جگہوں، ہاؤس ڈورف خالی جگہوں، باقاعدہ خالی جگہوں اور عام خالی جگہوں کے محوریات تھے۔ ٹاپولوجسٹوں نے خالی جگہوں کی ان کلاسوں کو T1، T2، T3، اور T4 کے نام تفویض کیے ہیں۔ بعد میں نمبر کے اس نظام کو T0، T2 1⁄2، T3 1⁄2 (یا Tπ)، T5، اور T6 کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا گیا۔ لیکن اس ترتیب کے اپنے مسائل تھے۔ خیال یہ سمجھا جاتا تھا کہ ہر ٹی آئی جگہ ایک خاص قسم کی ٹی جے جگہ ہے اگر آئی> جے۔ لیکن یہ لازمی طور پر درست نہیں ہے، کیونکہ تعریفیں مختلف ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک باقاعدہ جگہ (جسے T3 کہا جاتا ہے) کا ہاؤزڈورف جگہ (جسے T2 کہا جاتا ہے) ہونا ضروری نہیں ہے، کم از کم باقاعدہ جگہوں کی آسان ترین تعریف کے مطابق نہیں۔ مختلف تعریفیں ہر مصنف نے T0، T1، اور T2 پر اتفاق کیا۔ دیگر محوریات کے لیے، تاہم، مختلف مصنفین نمایاں طور پر مختلف تعریفیں استعمال کر سکتے ہیں، اس پر منحصر ہے کہ وہ کس چیز پر کام کر رہے تھے۔ یہ اختلافات پیدا ہو سکتے ہیں کیونکہ، اگر کوئی یہ فرض کرتا ہے کہ ٹپوولوجیکل اسپیس T1 محور کو مطمئن کرتی ہے، تو مختلف تعریفیں (زیادہ تر معاملات میں) مساوی ہیں۔ اس طرح، اگر کوئی یہ مفروضہ کرنے جا رہا ہے، تو وہ سب سے آسان تعریف استعمال کرنا چاہے گا۔ لیکن اگر کوئی یہ مفروضہ نہیں بناتا ہے، تو سب سے آسان تعریف سب سے زیادہ مفید تصور کے لیے صحیح نہیں ہو سکتی ؛ کسی بھی صورت میں، یہ ٹی جے کے ذریعے ٹی کے (عارضی) انضمام کو تباہ کر دے گی، (مثال کے طور پر) غیر ہاؤزڈورف باقاعدہ خالی جگہوں کی اجازت دے گی۔ پیمائش کے مسئلے پر کام کرنے والے ٹوپولوجسٹ عام طور پر T1 فرض کرتے ہیں ؛ آخر کار، تمام میٹرک خالی جگہیں T1 ہیں۔ اس طرح، انہوں نے ٹی کے لیے آسان ترین تعریفیں استعمال کیں۔ پھر، ان مواقع کے لیے جب وہ T1 نہیں مانتے تھے، انہوں نے زیادہ پیچیدہ تعریفوں کے لیے الفاظ ("باقاعدہ" اور "عام") استعمال کیے، تاکہ ان کا موازنہ آسان تعریفوں سے کیا جا سکے۔ یہ نقطہ نظر 1970 کے آخر میں لن اے اسٹین اور جے آرتھر سیباچ، جونیئر کے ذریعہ ٹوپولوجی میں کاؤنٹر ایکسپلز کی اشاعت کے ساتھ استعمال کیا گیا تھا۔ اس کے برعکس، 1955 میں جان ایل کیلی کی قیادت میں جنرل ٹوپولوجسٹ، عام طور پر T1 کو نہیں مانتے تھے، اس لیے انہوں نے شروع سے ہی سب سے بڑی عامیت میں علیحدگی کے محوریات کا مطالعہ کیا۔ انہوں نے ٹی کے لیے زیادہ پیچیدہ تعریفیں استعمال کیں، تاکہ ان کے پاس ہمیشہ ٹی سے ٹی جے سے متعلق ایک اچھی خاصیت رہے۔ پھر، آسان تعریفوں کے لیے، انہوں نے الفاظ استعمال کیے (دوبارہ، "باقاعدہ" اور "عام")۔ دونوں کنونشنوں کو "اصل" معانی کی پیروی کرنے کے لیے کہا جا سکتا ہے ؛ T1 خالی جگہوں کے لیے مختلف معنی ایک جیسے ہیں، جو کہ اصل سیاق و سباق تھا۔ لیکن نتیجہ یہ ہوا کہ مختلف مصنفین نے مختلف اصطلاحات کو بالکل مخالف طریقوں سے استعمال کیا۔ الجھن میں اضافہ کرتے ہوئے، کچھ ادب ایک محوریہ اور اس جگہ کے درمیان ایک اچھا فرق مشاہدہ کرے گا جو محوریہ کو مطمئن کرتا ہے، تاکہ ایک T3 جگہ کو محوریہ T3 اور T0 کو مطمئن کرنے کی ضرورت پڑ سکے (مثال کے طور پر، انسائیکلوپیڈک ڈکشنری آف میتھمیٹکس میں، دوسرا ایڈیشن)۔ 1970 کے بعد سے، عمومی ٹپوولوجسٹ کی اصطلاحات مقبولیت میں بڑھ رہی ہیں، بشمول ریاضی کی دیگر شاخوں میں، جیسے تجزیہ۔ لیکن استعمال اب بھی مستقل نہیں ہے۔ مکمل طور پر ہاؤسڈورف، یوریسوہن، اور ٹی 2 خالی جگہیں اسٹین اور سیباچ ایک یوریسوہن خالی جگہ کو "کسی بھی دو نکات کے لیے یوریسوہن فنکشن والی جگہ" کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ ولارڈ اسے مکمل طور پر ہاؤز ڈورف کی جگہ کہتے ہیں۔ اسٹین اور سیباچ ایک مکمل طور پر ہاؤز ڈورف اسپیس یا T2 اسپیس کو ایک ایسی جگہ کے طور پر بیان کرتے ہیں جس میں ہر دو پوائنٹس بند محلوں سے الگ ہوتے ہیں، جسے ولارڈ یوریسوہن اسپیس یا T2 اسپیس کہتے ہیں۔ جان ایل کیلی ؛ جنرل ٹوپولوجی ؛ اسٹیفن ولارڈ، جنرل ٹوپولوجی، ایڈیسن ویسلے، 1970۔ ڈوور پبلکیشنز، نیویارک، 2004 کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا۔ (ڈوور ایڈیشن)۔ علیحدگی کے محرکات