Representation theory of the Galilean group
غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس میں، گیلیلین گروپ کی نمائندگی کے نظریہ کے لحاظ سے ماس اور اسپن (عام طور پر وگنر کے رشتہ دار میکانکس کی درجہ بندی میں بیان کیا گیا ہے) کے وجود کا ایک بیان دیا جا سکتا ہے، جو کہ غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس کا اسپیس ٹائم سمیٹری گروپ ہے۔ طول و عرض میں، یہ () پر افائن گروپ کا ذیلی گروپ ہے، جس کا لکیری حصہ میٹرک () اور (آزاد) دوہری میٹرک () دونوں کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے۔ طول و عرض کے لیے بھی اسی طرح کی تعریف لاگو ہوتی ہے۔ ہم اس گروپ کی پروجیکٹو نمائندگی میں دلچسپی رکھتے ہیں، جو کہ ایک جہتی لائ گروپ، سی ایف کے ذریعہ گیلیلین گروپ کے یونیورسل کورنگ گروپ کی غیر معمولی مرکزی توسیع کی یک جہتی نمائندگی کے مساوی ہیں۔ مضمون گیلیلین گروپ اپنے لائ الجبرا کی مرکزی توسیع کے لیے۔ ان کا سروے کرنے کے لیے محرک نمائندگی کا طریقہ استعمال کیا جائے گا۔ ہم یہاں (مرکزی طور پر توسیعی، برگمین) لائ الجبرا پر توجہ مرکوز کرتے ہیں، کیونکہ اس کا تجزیہ کرنا آسان ہے اور ہم ہمیشہ فروبینئس تھیوریم کے ذریعے نتائج کو مکمل لائ گروپ تک بڑھا سکتے ہیں۔ وقت کے ترجمے کا جنریٹر ہے (ہیملٹنین)، پائی ترجمے کا جنریٹر ہے (مومنٹم آپریٹر)، سی آئی گیلیلین بوسٹ کا جنریٹر ہے، اور لیج کا مطلب گردش کا جنریٹر ہے (اینگولر مومنٹم آپریٹر)۔ مرکزی چارج ایک کاسیمیر غیر متغیر ہے۔ ماس شیل غیر متغیر ایک اضافی کاسیمیر غیر متغیر ہے۔ طول و عرض میں، تیسرا کاسیمیر غیر متغیر ہے، جہاں کسی حد تک رشتہ دار میکانکس کے پالی-لوبنسکی سڈوویکٹر سے مشابہت رکھتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، طول و عرض میں، غیر متغیرات مذکورہ بالا ماس شیل غیر متغیر اور مرکزی چارج کا اور اس کے ساتھ ساتھ ایک فعل ہوں گے۔ شور کے لیما کا استعمال کرتے ہوئے، ایک ناقابل تلافی یک جہتی نمائندگی میں، یہ تمام کاسیمیر غیر متغیر شناخت کے ضرب ہیں۔ ان کوفیشنٹس کو بالترتیب اور اور (طول و عرض کی صورت میں) کہتے ہیں۔ یہ یاد کرتے ہوئے کہ ہم یہاں یک جہتی نمائندگی پر غور کر رہے ہیں، ہم دیکھتے ہیں کہ ان آئجن ویلیوز کو حقیقی اعداد ہونا چاہیے۔ اس طرح، اور۔ (آخری کیس پہلے کیس سے ملتا جلتا ہے۔) طول و عرض میں، جب میں، ہم تیسرے غیر متغیر کے لیے لکھ سکتے ہیں، جہاں گھماؤ، یا اندرونی کونیی رفتار کی نمائندگی کرتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، طول و عرض میں، جنریٹر اور ان کا تعلق بالترتیب کل کونیی مومنٹم اور سینٹر آف ماس مومنٹ سے ہوگا۔ خالص نمائندگی-نظریاتی نقطہ نظر سے، کسی کو تمام نمائندگی کا مطالعہ کرنا پڑے گا۔ لیکن، یہاں، ہم صرف کوانٹم میکانکس کے استعمال میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ وہاں، توانائی کی نمائندگی کرتا ہے، جسے نیچے پابند کرنا پڑتا ہے، اگر تھرموڈینامک استحکام کی ضرورت ہو۔ پہلے اس معاملے پر غور کریں جہاں غیر صفر ہے۔ رکاوٹ کے ساتھ (،) جگہ پر غور کرتے ہوئے ہم دیکھتے ہیں کہ گیلیلین بوسٹ اس ہائپر سرفیس پر عارضی طور پر کام کرتے ہیں۔ درحقیقت، توانایٔی کو ہیملٹنین مانتے ہوئے، اس کے حوالے سے تفریق کرتے ہوئے، اور ہیملٹن کی مساوات کو لاگو کرتے ہوئے، ہم بڑے پیمانے پر رفتار کا تعلق حاصل کرتے ہیں۔ ہائپر سرفیس کو اس رفتار سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ مدار پر ایک نقطہ کے استحکام پر غور کریں، ()، جہاں رفتار ہے۔ منتقلی کی وجہ سے، ہم جانتے ہیں کہ یکطرفہ ایرپ ان توانائی مومنٹم آئجین ویلیوز کے ساتھ ایک غیر معمولی لکیری ذیلی جگہ پر مشتمل ہے۔ (یہ ذیلی جگہ صرف ایک سخت ہلبرٹ جگہ میں موجود ہے، کیونکہ مومنٹم سپیکٹرم مسلسل ہے۔) ذیلی جگہ،، اور کے ذریعے پھیلی ہوئی ہے۔ ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ ایرپ کی ذیلی جگہ تمام آپریٹرز کے تحت کیسے تبدیل ہوتی ہے لیکن کونیی رفتار۔ نوٹ کریں کہ گردش کا ذیلی گروپ اسپن (3) ہے۔ ہمیں اس کے ڈبل کور کو دیکھنا ہوگا، کیونکہ ہم پروجیکٹو نمائندگی پر غور کر رہے ہیں۔ اسے چھوٹا گروپ کہا جاتا ہے، یہ نام یوجین وگنر نے دیا ہے۔ ان کا انڈیوسڈ نمائندگی کا طریقہ یہ بتاتا ہے کہ ایرپ ہائپر سرفیس کے اوپر ویکٹر بنڈل میں موجود تمام ریشوں کے براہ راست مجموعے سے دیا جاتا ہے، جن کے ریشے ایک یک جہتی ایرپ ہوتے ہیں۔ اس کے علاوہ کوئی نہیں ہے۔ (ایس یو (2) کی نمائندگی کا نظریہ دیکھیں، جہاں یہ دکھایا گیا ہے کہ کے یکطرفہ ارپس کو ایک نصف کے غیر منفی عدد کے ضرب سے نشان زد کیا گیا ہے۔ اسے تاریخی وجوہات کی بنا پر اسپن کہا جاتا ہے۔) نتیجتا، کیونکہ، یکطرفہ ایرپس کی درجہ بندی، اور ایک اسپن کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ کے سپیکٹرم کو دیکھتے ہوئے، یہ واضح ہے کہ اگر منفی ہے، تو کا سپیکٹرم نیچے پابند نہیں ہے۔ لہذا، صرف مثبت کمیت کا معاملہ جسمانی ہوتا ہے۔ اب معاملے پر غور کریں۔ یکسانیت کے لحاظ سے، غیر مثبت ہے۔ فرض کریں کہ یہ صفر ہے۔ یہاں، یہ بوسٹ کے ساتھ ساتھ گردش بھی ہے جو چھوٹے گروپ کو تشکیل دیتی ہے۔ اس چھوٹے سے گروپ کا کوئی بھی یک جہتی ایرپ بھی گیلیلین گروپ کے ایک پروجیکٹو ایرپ کو جنم دیتا ہے۔ جہاں تک ہم بتا سکتے ہیں، صرف اس صورت میں جو چھوٹے گروپ کے تحت معمولی طور پر تبدیل ہوتا ہے اس کی کوئی جسمانی تشریح ہوتی ہے، اور یہ غیر ذرہ حالت، خلا سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس معاملے میں جہاں غیر متغیر منفی ہے اضافی تبصرے کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ = 0 اور غیر صفر کے لیے نمائندگی کی کلاس سے مطابقت رکھتا ہے۔ بریڈیون، لکسن، ٹیچیون کی درجہ بندی کو پوئنکیئر گروپ کے نمائندگی کے نظریہ سے ایک مماثل درجہ بندی تک بڑھاتے ہوئے، یہاں، کوئی ان حالتوں کو سنکرون کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ وہ (ممکنہ طور پر بڑے) فاصلے پر غیر صفر مومنٹم کی فوری منتقلی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ان کے ساتھ منسلک، اوپر سے، ایک "ٹائم" آپریٹر ہے جس کی شناخت منتقلی کے وقت سے کی جا سکتی ہے۔ ان حالتوں کو قدرتی طور پر فوری ایکشن-ایٹ-اے-ڈسٹنس فورسز کے کیریئر کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ این۔ بی۔ جہتی گیلیلی گروپ میں، بوسٹ جنریٹر کو ہیلیکیٹی کے مترادف کردار ادا کرنے کے ساتھ تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ گیلیلی-کوویرینٹ ٹینسر فارمولیشن تھیوری آف دی پوئن کیئر گروپ وگنر کی درجہ بندی پالی-لوبنسکی سڈوویکٹر ریپریزنٹیشن تھیوری آف دی ڈفیومورفزم گروپ روٹیشن آپریٹر حوالہ جات برگمین، وی۔ (1954) بھی دیکھیں۔ "آن یونٹری رے ریپریزنٹیشنز آف کنٹینیوئس گروپس"، اینلز آف میتھمیٹکس، سیکنڈ سیریز، 59، نمبر۔ 1 (جنوری، 1954)، پی پی۔ 1-46۔ گلمور، رابرٹ (2006)۔ لائ گروپس، لائ الجیبرا، اور ان کی کچھ ایپلی کیشنز (ریاضی پر ڈوور کتابیں) گردشی ہم آہنگی کوانٹم میکانکس لائ گروپس کی نمائندگی کا نظریہ