Modulo (mathematics)
ریاضی میں، اصطلاح ماڈیولو ("کے ماڈیولس کے حوالے سے"، ماڈیولس کا لاطینی ابلیٹو جس کا خود مطلب ہے "ایک چھوٹی پیمائش") اکثر اس بات پر زور دینے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ دو الگ الگ ریاضیاتی اشیاء کو مساوی سمجھا جا سکتا ہے-اگر ان کے فرق کو کسی اضافی عنصر کے ذریعے شمار کیا جائے۔ اسے ابتدائی طور پر ریاضی میں ماڈیولر ریاضی کے تناظر میں کارل فریڈرک گاؤس نے 1801 میں متعارف کرایا تھا۔ اس کے بعد سے، اس اصطلاح نے بہت سے معنی حاصل کیے ہیں-کچھ درست اور کچھ غیر واضح (جیسے "ماڈیولو" کو "سوائے" کے برابر کرنا)۔ زیادہ تر حصے کے لیے، یہ اصطلاح اکثر اس شکل کے بیانات میں پائی جاتی ہے: A، B ماڈیولو C جیسا ہی ہے جو اکثر "A، B سے C تک جیسا ہی ہے" کے مساوی ہوتا ہے، اور اس کا مطلب ہے کہ A اور B ایک جیسے ہیں-سوائے C کے ذریعے بیان کردہ یا بیان کردہ اختلافات کے۔ ہسٹری ماڈیولو ایک ریاضیاتی اصطلاح ہے جسے ریاضی میں کارل فریڈرک گاؤس کی 1801 میں لکھی گئی کتاب ڈسکوزیشنز ارتھمیٹی میں متعارف کرایا گیا تھا۔ انٹیجرز a، b اور n کو دیکھتے ہوئے، اظہار "a ष्ण b (موڈ n)"، جس کا تلفظ "a b ماڈیولو n سے ہم آہنگ ہے"، کا مطلب ہے کہ a − b n کا ایک انٹیجر ملٹیپل ہے، یا مساوی طور پر، a اور b دونوں ایک ہی بقیہ کا اشتراک کرتے ہیں جب n سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ یہ ماڈیولس کا لاطینی ابلیٹو ہے، جس کا مطلب خود "ایک چھوٹی پیمائش" ہے۔ اس اصطلاح نے کئی سالوں میں بہت سے معنی حاصل کیے ہیں-کچھ درست اور کچھ غیر واضح۔ سب سے عام عین مطابق تعریف محض ایک مساوات کے تعلق R کے لحاظ سے ہے، جہاں a مساوی (یا ہم آہنگ) b ماڈیولو R اگر aRb ہے۔ مزید غیر رسمی طور پر، اصطلاح فارم کے بیانات میں پائی جاتی ہے: A B ماڈیولو C جیسا ہی ہے جس کا مطلب ہے کہ A اور B ایک جیسے ہیں-سوائے C کے حساب کردہ یا وضاحت کردہ اختلافات کے۔ استعمال اصل استعمال گاؤس کا اصل مقصد "ماڈیولو" کو مندرجہ ذیل طور پر استعمال کرنا تھا: انٹیجرز a، b اور n کو دیکھتے ہوئے، اظہار a ष्ण b (موڈ n) (جس کا تلفظ "a b b b ماڈیولو n سے ہم آہنگ ہے") کا مطلب ہے کہ a − b n کا ایک انٹیجر ملٹیپل ہے، یا مساوی طور پر، a اور b دونوں n سے تقسیم ہونے پر ایک ہی بقیہ چھوڑ دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر: 13 63 ماڈیولو 10 سے ہم آہنگ ہے جس کا مطلب ہے کہ 13 − 63 10 کا ملٹیپل ہے (مساوی)۔ کمپیوٹنگ اور کمپیوٹر سائنس میں، اصطلاح کو کئی طریقوں سے استعمال کیا جا سکتا ہے: کمپیوٹنگ میں، یہ عام طور پر ماڈیولو آپریشن ہے: دو اعداد (یا تو انٹیجر یا حقیقی)، a اور n دیے جانے پر، ایک ماڈیولو n کچھ رکاوٹوں کے تحت a کی n سے عددی تقسیم کا بقیہ ہے۔ زمرہ نظریہ میں جیسا کہ فنکشنل پروگرامنگ پر لاگو ہوتا ہے، "آپریٹنگ ماڈیولو" ایک خاص اصطلاح ہے جس سے مراد کسی فنکٹر کو کسی زمرے میں نمایاں کرکے یا بقیہ کی وضاحت کرکے نقشہ سازی کرنا ہے۔ ساخت "ماڈیولو" کی اصطلاح مختلف ریاضیاتی ڈھانچوں کا حوالہ دیتے وقت مختلف طریقے سے استعمال کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر: کسی گروپ کے دو اراکین a اور b ایک عام ذیلی گروپ کے لیے ہم آہنگ ماڈیولو ہوتے ہیں، اگر اور صرف اس صورت میں جب ab−1 عام ذیلی گروپ کا رکن ہو (مزید کے لیے کوٹینٹ گروپ اور آئسومورفزم تھیوریم دیکھیں)۔ اگر ان کے درمیان فرق آئیڈیل میں ہو تو رنگ یا الجبرا کے دو اراکین ہم آہنگ ماڈیولو اور آئیڈیل ہوتے ہیں۔ فعل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، کسی گروپ (یا رنگ) سے ایک عام ذیلی گروپ (یا ایک آئیڈیل) کو فیکٹر کرنے کے عمل کو اکثر "ماڈنگ آؤٹ" کہا جاتا ہے۔ یا "اب ہم ماڈ آؤٹ کرتے ہیں"۔ لامحدود سیٹ کے دو ذیلی سیٹ مساوی ماڈیولو محدود سیٹ ہوتے ہیں اگر ان کا سمیٹرک فرق محدود ہو، یعنی آپ پہلے ذیلی سیٹ سے ایک محدود ٹکڑا ہٹا سکتے ہیں، پھر اس میں ایک محدود ٹکڑا شامل کر سکتے ہیں، اور نتیجے کے طور پر دوسرا ذیلی سیٹ حاصل کر سکتے ہیں۔ نقشوں کی ایک مختصر عین مطابق ترتیب حصص کی جگہ کی تعریف کی طرف لے جاتی ہے کہ وہ ایک خلائی ماڈیولو دوسرے کے طور پر ہے۔ اس طرح، مثال کے طور پر، کہ ایک کوہمولوجی بند شکلوں کی جگہ ہے جو عین مطابق شکلوں کو ماڈیولو کرتی ہے۔ موڈنگ آؤٹ عام طور پر، موڈنگ آؤٹ کسی حد تک غیر رسمی اصطلاح ہے جس کا مطلب ہے چیزوں کو مساوی قرار دینا جسے بصورت دیگر الگ سمجھا جائے گا۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ترتیب 1.4.2.8.5.7 کو ترتیب 1.4.2.2.5.5 کی طرح ہی سمجھا جانا چاہیے، کیونکہ ہر ایک دوسرے کا چکور طور پر منتقل شدہ ورژن ہے: اس صورت میں، ایک "چکور شفٹوں سے باہر نکل رہا ہے"۔ ریاضیاتی اصطلاحات کی بنیادی طور پر منفرد فہرست بھی دیکھیں حوالہ جات تک جارگن فائل ریاضیاتی اصطلاحات میں ماڈیولو بیرونی روابط