LSZ reduction formula
کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، لیمن-سمنزک-زیمرمین (ایل ایس زیڈ) تخفیف فارمولا کوانٹم فیلڈ تھیوری کے وقت کے مطابق ارتباط افعال سے ایس میٹرکس عناصر (بکھرے ہوئے طول و عرض) کا حساب لگانے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ اس راستے کا ایک قدم ہے جو کچھ کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لاگرانجین سے شروع ہوتا ہے اور قابل پیمائش مقداروں کی پیش گوئی کی طرف لے جاتا ہے۔ اس کا نام تین جرمن طبیعیات دانوں ہیری لیمن، کرٹ سمنزک اور وولف ہارٹ زیمرمین کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اگرچہ ایل ایس زیڈ کا تخفیف فارمولا باؤنڈ اسٹیٹس، ماس لیس پارٹیکلز اور ٹپوولوجیکل سولٹونس کو سنبھال نہیں سکتا، لیکن اسے باؤنڈ اسٹیٹس کا احاطہ کرنے کے لیے عام کیا جا سکتا ہے، جامع فیلڈز کے استعمال سے جو اکثر غیر مقامی ہوتے ہیں۔ مزید برآں، طریقہ کار، یا اس کے متغیرات، نظریاتی طبیعیات کے دیگر شعبوں میں بھی نتیجہ خیز ثابت ہوئے ہیں۔ مثال کے طور پر، شماریاتی طبیعیات میں ان کا استعمال اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم کی خاص طور پر عمومی تشکیل حاصل کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ ان اینڈ آؤٹ فیلڈز S-میٹرکس عناصر ان اسٹیٹس اور آؤٹ اسٹیٹس کے درمیان منتقلی کے طول و عرض ہیں۔ ان اسٹیٹ ذرات کے نظام کی حالت کو بیان کرتا ہے جو، دور ماضی میں، تعامل سے پہلے، مخصوص مومینٹا کے ساتھ آزادانہ طور پر حرکت کر رہے تھے اور، اس کے برعکس، ایک آؤٹ اسٹیٹ ذرات کے نظام کی حالت کو بیان کرتی ہے جو تعامل کے طویل عرصے بعد، مخصوص مومینٹا کے ساتھ آزادانہ طور پر حرکت کر رہے ہوں گے۔ ان اور آؤٹ اسٹیٹس ہائزن برگ کی تصویر میں ریاستیں ہیں لہذا ان کے بارے میں یہ نہیں سوچا جانا چاہیے کہ وہ کسی مقررہ وقت پر ذرات کو بیان کریں گے، بلکہ اس کے پورے ارتقاء میں ذرات کے نظام کو بیان کریں گے، تاکہ S-میٹرکس عنصر: ذرات کے ایک سیٹ کے لیے امکانی طول و عرض ہے جو تعامل کے لیے مخصوص مومینٹا کے ساتھ تیار کیا گیا تھا اور بعد میں مومینٹا کے ساتھ ذرات کے ایک نئے سیٹ کے طور پر ماپا جائے۔ ان اور آؤٹ اسٹیٹس کی تعمیر کا آسان طریقہ مناسب فیلڈ آپریٹرز کی تلاش کرنا ہے جو صحیح فراہم کرتے ہیں۔ ان شعبوں کو بالترتیب ان اور آؤٹ فیلڈز کہا جاتا ہے: صرف خیالات کو درست کرنے کے لیے، فرض کریں کہ ہم ایک کلین گورڈن فیلڈ سے نمٹتے ہیں جو کسی ایسے طریقے سے تعامل کرتا ہے جس سے ہمیں کوئی تعلق نہیں ہے: اس میں خود تعامل یا دوسرے شعبوں کے ساتھ تعامل ہو سکتا ہے، جیسے کہ یوکاوا تعامل۔ اس لاگرانجین سے، یولر-لاگرانج مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، حرکت کی مساوات مندرجہ ذیل ہے: جہاں، اگر مشتق جوڑوں پر مشتمل نہیں ہے: ہم توقع کر سکتے ہیں کہ ان فیلڈ آزاد فیلڈ کے غیر علامتی رویے سے مشابہت رکھتی ہے، یہ مفروضہ بناتے ہوئے کہ کرنٹ کے ذریعہ بیان کردہ ماضی میں تعامل نہ ہونے کے برابر ہے، کیونکہ ذرات ایک دوسرے سے دور ہیں۔ اس مفروضے کو اڈیبیٹک مفروضہ کہا جاتا ہے۔ تاہم خود تعامل کبھی ختم نہیں ہوتا اور بہت سے دوسرے اثرات کے علاوہ، یہ لاگرانجین کمیت اور بوسون کے جسمانی کمیت کے درمیان فرق کا سبب بنتا ہے۔ اس حقیقت کو حرکت کی مساوات کو مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ لکھ کر مدنظر رکھنا چاہیے: اس مساوات کو کلین گورڈن آپریٹر کے ریٹرڈڈ گرین فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے باضابطہ طور پر حل کیا جا سکتا ہے: جس سے ہمیں غیر علامتی رویے سے تعامل کو تقسیم کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ حل یہ ہے کہ: عنصر ایک معمول کا عنصر ہے جو بعد میں کام آئے گا، میدان حرکت کی مساوات سے وابستہ یکساں مساوات کا حل ہے: اور اس لیے یہ ایک آزاد میدان ہے جو آنے والی غیر متزلزل لہر کو بیان کرتا ہے، جبکہ حل کی آخری اصطلاح تعامل کی وجہ سے لہر کی خلل پیدا کرتی ہے۔ میدان درحقیقت وہ میدان ہے جس کی ہم تلاش کر رہے تھے، کیونکہ یہ تعامل کرنے والے میدان کے غیر علامتی رویے کو بیان کرتا ہے، حالانکہ یہ بیان بعد میں مزید درست کیا جائے گا۔ یہ ایک آزاد اسکیلر فیلڈ ہے لہذا اسے طیارہ لہروں میں بڑھایا جا سکتا ہے: جہاں: فیلڈ کے لحاظ سے کوفیشنٹس کے لیے الٹا فنکشن آسانی سے حاصل کیا جا سکتا ہے اور اسے خوبصورت شکل میں رکھا جا سکتا ہے: جہاں: فورئیر کوفیشنٹس تخلیق کے الجبرا اور اینہیلیشن آپریٹرز کو مطمئن کرتے ہیں: اور انہیں معمول کے مطابق ریاستوں میں بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: انٹرایکٹنگ فیلڈ اور ان فیلڈ کے درمیان تعلق استعمال کرنا بہت آسان نہیں ہے، اور ریٹرڈ گرین فنکشن کی موجودگی ہمیں کچھ اس طرح لکھنے پر آمادہ کرتی ہے: مضمر طور پر یہ مفروضہ بناتے ہوئے کہ جب ذرات ایک دوسرے سے دور ہوتے ہیں تو تمام تعاملات نہ ہونے کے برابر ہو جاتے ہیں۔ پھر بھی کرنٹ میں خود تعاملات بھی ہوتے ہیں جیسے کہ بڑے پیمانے پر تبدیلی پیدا کرنے والے۔ جیسے جیسے ذرات الگ ہوتے ہیں یہ تعاملات ختم نہیں ہوتے ہیں، اسی طرح تعاملی میدان اور اندرونی میدان کے درمیان غیر علامتی تعلقات قائم کرنے میں بہت زیادہ احتیاط برتی جانی چاہیے۔ صحیح نسخے کے لیے، جیسا کہ لیمن، سمنزک اور زیمرمین نے تیار کیا ہے، دو معمول کی حالتوں اور کلین گورڈن مساوات کے معمول کے حل کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان ٹکڑوں کے ساتھ کوئی بھی ایک درست اور مفید لیکن بہت کمزور غیر علامتی تعلق بیان کر سکتا ہے: دوسرا ممبر درحقیقت وقت سے آزاد ہے جیسا کہ فرق کرنے اور یاد رکھنے سے دکھایا جا سکتا ہے کہ دونوں اور کلین گورڈن مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ مناسب تبدیلیوں کے ساتھ ایک آؤٹ فیلڈ کی تعمیر کے لیے انہی اقدامات پر عمل کیا جا سکتا ہے جو ریاستوں کی تعمیر کرتا ہے۔ خاص طور پر آؤٹ فیلڈ کی تعریف یہ ہے: کلین گورڈن آپریٹر کا ایڈوانسڈ گرین فنکشن کہاں ہے۔ آؤٹ فیلڈ اور انٹرایکٹنگ فیلڈ کے درمیان کمزور ایسمپٹوٹک تعلق یہ ہے: اسکیلرز کے لیے کمی کا فارمولا ایسمپٹوٹک تعلقات وہ سب ہیں جو ایل ایس زیڈ کمی کے فارمولے کو حاصل کرنے کے لیے درکار ہیں۔ مستقبل کی سہولت کے لیے ہم میٹرکس عنصر سے شروع کرتے ہیں: جو کہ ایس میٹرکس عنصر سے قدرے زیادہ عام ہے۔ درحقیقت، آؤٹ اسٹیٹ اور ان اسٹیٹ کے درمیان متعدد فیلڈز کے ٹائم آرڈرڈ پروڈکٹ کی متوقع قیمت ہے۔ آؤٹ اسٹیٹ میں خلا سے لے کر غیر متعین تعداد میں ذرات تک کچھ بھی ہو سکتا ہے، جن کے مومینٹا کا خلاصہ انڈیکس کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ حالت میں کم از کم مومنٹم کا ایک ذرہ ہوتا ہے، اور ممکنہ طور پر بہت سے دوسرے، جن کے مومینٹا کا خلاصہ انڈیکس کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اگر ٹائم آرڈر شدہ پروڈکٹ میں کوئی فیلڈز نہیں ہیں، تو ظاہر ہے کہ یہ ایک S-میٹرکس عنصر ہے۔ مومنٹم والے ذرہ کو کری ایشن آپریٹر کے استعمال سے ان اسٹیٹ سے 'نکالا' جا سکتا ہے: جہاں پر پرائم اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ ایک ذرہ نکال لیا گیا ہے۔ اس مفروضے کے ساتھ کہ باہر کی حالت میں رفتار والا کوئی ذرہ موجود نہیں ہے، یعنی ہم آگے بکھرنے کو نظر انداز کر رہے ہیں، ہم لکھ سکتے ہیں: کیونکہ بائیں طرف عمل کرنے سے صفر ملتا ہے۔ تعمیراتی آپریٹرز کو ان اور آؤٹ فیلڈز کے لحاظ سے ظاہر کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے: اب ہم ایسمپٹوٹک حالت کو لکھنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں: پھر ہم دیکھتے ہیں کہ فیلڈ کو ٹائم آرڈرڈ پروڈکٹ کے اندر لایا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ دائیں طرف کب اور بائیں طرف ظاہر ہوتا ہے جب: درج ذیل میں، ٹائم آرڈرڈ پروڈکٹ پر انحصار ہی اہمیت رکھتا ہے، لہذا ہم سیٹ کرتے ہیں: اسے واضح طور پر ٹائم انٹیگریشن کو انجام دے کر دکھایا جا سکتا ہے کہ: تاکہ، واضح ٹائم مشتق کے ذریعے، ہمارے پاس: اس کی تعریف کے مطابق ہم دیکھتے ہیں کہ یہ کلین گورڈن مساوات کا حل ہے، جسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: حصوں کے لیے اظہار میں تبدیل کرنا اور حصوں کے ذریعے انٹیگریٹ کرنا، ہم اس پر پہنچتے ہیں: یعنی: اس نتیجے سے شروع کرنا، اور اسی راستے پر چل کر ایک اور ذرہ کر سکتا ہے۔ ایک بہت ہی مماثل معمول بیرونی حالت سے ذرات نکال سکتا ہے، اور دونوں کو وقت کے حکم کردہ پروڈکٹ کے دائیں اور بائیں دونوں طرف خلا حاصل کرنے کے لیے دہرایا جا سکتا ہے، جس سے عمومی فارمولا سامنے آتا ہے: جو کلین گورڈن اسکیلرز کے لیے ایل ایس زیڈ میں کمی کا فارمولا ہے۔ اگر یہ ارتباط فنکشن کے فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جائے تو یہ بہت بہتر نظر آنے والا پہلو حاصل کرتا ہے: ایل ایس زیڈ کمی فارمولے میں متبادل کے لیے الٹا تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے، کچھ کوششوں کے ساتھ، درج ذیل نتیجہ حاصل کیا جا سکتا ہے: معمول کے عوامل کو ایک طرف رکھتے ہوئے، یہ فارمولہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایس میٹرکس عناصر قطبوں کے باقیات ہیں جو ارتباط افعال کے فورئیر ٹرانسفارم میں پیدا ہوتے ہیں کیونکہ چار لمحات کو شیل پر رکھا جاتا ہے۔ فرمینوں کے لیے تخفیف کا فارمولا یاد رکھیں کہ مقداری فری فیلڈ ڈیراک مساوات کے حل کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں میٹرک دستخط زیادہ تر پلس ہوتا ہے، رفتار اور گھماؤ کے بی قسم کے ذرات کے لیے ایک اینہیلیشن آپریٹر ہوتا ہے، گھماؤ کے ڈی قسم کے ذرات کے لیے ایک تخلیق آپریٹر ہوتا ہے، اور اسپنرز اور مطمئن اور۔ لورینٹز غیر متغیر پیمائش کو اس طرح لکھا جاتا ہے، کے ساتھ۔ اب ایک بکھرنے والے واقعہ پر غور کریں جس میں غیر تعامل کرنے والے ذرات کی حالت ہوتی ہے جو اصل میں تعامل کے علاقے تک پہنچتے ہیں، جہاں بکھرنا ہوتا ہے، اس کے بعد باہر جانے والے غیر تعامل کرنے والے ذرات کی حالت ہوتی ہے۔ اس عمل کے لیے امکان کا طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے جہاں آسانی کے لیے فیلڈ آپریٹرز کا کوئی اضافی ٹائم آرڈر شدہ پروڈکٹ داخل نہیں کیا گیا ہے۔ جس صورتحال پر غور کیا جائے گا وہ بی قسم کے ذرات کا بی قسم کے ذرات میں بکھرنا ہوگا۔ فرض کریں کہ ان اسٹیٹ مومینٹا اور اسپن والے ذرات پر مشتمل ہے، جبکہ آؤٹ اسٹیٹ مومینٹا اور اسپن کے ذرات پر مشتمل ہے۔ اس کے بعد ان اور آؤٹ اسٹیٹس کو ایک فری فیلڈ کری ایشن آپریٹر کی پیداوار سے ایک ان پارٹیکل نکال کر دیا جاتا ہے جو ایک کم پارٹیکل کے ساتھ اسٹیٹ پر کام کرتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ باہر جانے والے کسی بھی ذرہ کی وہی رفتار نہیں ہے، ہم پھر لکھ سکتے ہیں جہاں پر پرائم اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ ایک ذرہ نکال لیا گیا ہے۔ اب یاد رکھیں کہ آزاد نظریہ میں، بی قسم کے ذرہ آپریٹرز کو الٹا تعلق کا استعمال کرتے ہوئے فیلڈ کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے۔ ایسمپٹوٹک فری فیلڈز کو اور کے ذریعے ظاہر کرتے ہوئے، ہم ڈیراک فیلڈ کے لیے درکار کمزور ایسمپٹوٹک حالت کو پاتے ہیں، جو اسکیلر فیلڈز کے لیے یکساں ہے، اور اسی طرح آؤٹ فیلڈ کے لیے بھی۔ بکھرنے کا طول و عرض تب ہوتا ہے جہاں اب اندرونی پروڈکٹ میں تعامل کا میدان ظاہر ہوتا ہے۔ وقت مشتق کے انٹیگرل کے لحاظ سے حدود کو دوبارہ لکھتے ہوئے، ہمارے پاس ہے جہاں برڈ ڈیراک فیلڈ کے میٹرکس عناصر کے قطار ویکٹر کو لکھا جاتا ہے۔ اب، یاد رکھیں کہ یہ ڈیراک مساوات کا حل ہے: اس کے لیے حل کرنا، اسے انٹیگرل میں پہلی اصطلاح میں تبدیل کرنا، اور حصوں کے ذریعے انٹیگریشن انجام دینا، ڈیراک انڈیکس نوٹیشن میں تبدیل ہونا (بار بار انڈیکس پر جملوں کے ساتھ) ایک صاف اظہار کی اجازت دیتا ہے، جس میں مربع بریکٹ میں مقدار کو ایک تفریقی آپریٹر کے طور پر سمجھا جانا ہے: انٹیگرل میں ظاہر ہونے والے میٹرکس عنصر پر اگلے غور کریں۔ آؤٹ اسٹیٹ کری ایشن آپریٹر کو نکال کر اور متعلقہ ان اسٹیٹ آپریٹر کو گھٹا کر، اس مفروضے کے ساتھ کہ آنے والے کسی بھی ذرہ کی رفتار ایک جیسی نہیں ہے، ہمیں یاد رکھنا ہوگا کہ، جہاں، ہم انورس ریلیشن کے ملحقہ کا استعمال کرتے ہوئے ان فیلڈز میں اینہیلیشن آپریٹرز کو تبدیل کر سکتے ہیں۔ ایسمپٹوٹک تعلق کو لاگو کرتے ہوئے، ہمیں پتہ چلتا ہے کہ ایک ٹائم آرڈرنگ علامت نمودار ہوئی ہے، کیونکہ پہلی اصطلاح بائیں طرف درکار ہوتی ہے، جبکہ دوسری اصطلاح دائیں طرف درکار ہوتی ہے۔ پہلے کی طرح ہی مراحل پر عمل کرتے ہوئے، یہ اظہار کم ہو کر کم ہو جاتا ہے۔ اس کے بعد باقی اندر اور باہر کی حالتوں کو اسی طرح نکالا اور کم کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ڈی قسم کے ذرات کے بکھرنے کے لیے بھی یہی طریقہ کار کیا جا سکتا ہے، جس کے لیے 's کو' s سے تبدیل کیا جاتا ہے، اور 's اور' s کو تبدیل کیا جاتا ہے۔ فیلڈ کی طاقت کو معمول پر لانا ان اور آؤٹ فیلڈز کی تعریف میں نارملائزیشن فیکٹر کی وجہ کو خلا اور واحد ذرہ حالت کے درمیان چار لمحات آن شیل کے ساتھ اس تعلق کو لے کر سمجھا جا سکتا ہے: یہ یاد رکھتے ہوئے کہ دونوں اور اسکیلر فیلڈز ہیں اور ان کے لورینٹز ٹرانسفارم کے مطابق: چار مومنٹم آپریٹر کہاں ہے، ہم لکھ سکتے ہیں: دونوں طرف کلین گورڈن آپریٹر کا اطلاق کرتے ہوئے، یہ یاد رکھتے ہوئے کہ چار لمحات آن شیل ہیں اور یہ آپریٹر کا گرین فنکشن ہے، ہم حاصل کرتے ہیں: لہذا ہم اس رشتے پر پہنچتے ہیں: جو عنصر کی ضرورت کا سبب بنتا ہے۔ ان فیلڈ ایک آزاد فیلڈ ہے، لہذا یہ صرف ایک ذرہ کی حالت کو ویکیوم سے جوڑ سکتا ہے۔ یعنی خلا اور متعدد ذرات کی حالت کے درمیان اس کی متوقع قیمت کالعدم ہے۔ دوسری طرف، تعامل کا میدان بہت سے ذرات کی حالتوں کو خلا سے بھی جوڑ سکتا ہے، تعامل کی بدولت، لہذا آخری مساوات کے دونوں اطراف پر متوقع اقدار مختلف ہیں، اور درمیان میں معمول کے عنصر کی ضرورت ہے۔ دائیں ہاتھ کی طرف کا حساب واضح طور پر کیا جا سکتا ہے، تخلیق اور انہیلیشن آپریٹرز میں ان فیلڈ کو بڑھا کر: اور ہم حاصل کرتے ہیں کے درمیان تبادلوں کے تعلق کا استعمال کرتے ہوئے: تعلق کی طرف لے جاتا ہے: جس کے ذریعے کی قیمت کا حساب لگایا جا سکتا ہے، بشرطیکہ کوئی شخص حساب لگانا جانتا ہو۔ حوالہ جات کوانٹم فیلڈ تھیوری