Gauss–Kuzmin–Wirsing operator
ریاضی میں، گاؤس-کزمین-ویرسنگ آپریٹر گاؤس نقشے کا ٹرانسفر آپریٹر ہے جو ایک مثبت نمبر کو اس کے باہمی کے فریکشنل حصے میں لے جاتا ہے۔ (یہ تفریق جیومیٹری میں گاؤس کے نقشے کی طرح نہیں ہے۔) اس کا نام کارل گاؤس، روڈین کزمین اور ایڈورڈ ویرسنگ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ یہ مسلسل حصوں کے مطالعہ میں ہوتا ہے ؛ اس کا تعلق ریمن زیٹا فنکشن سے بھی ہے۔ نقشوں اور مسلسل حصوں سے تعلق گاؤس کا نقشہ گاؤس فنکشن (نقشہ) ایچ ہے: جہاں فرش کے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے۔ مثبت عدد n کے لیے اس میں x = 1/n پر جمپ منقطعیوں کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ ایک ہموار کثیر الجہتی کے ذریعے اس کا تخمینہ لگانا مشکل ہے۔ نقشوں پر آپریٹر گاؤس-کزمین-ویرسنگ آپریٹر آپریٹر کی آئجین ویلیوز کے طور پر افعال پر کام کرتا ہے اس آپریٹر کا پہلا آئجین فنکشن ہے جو λ1 = 1 کی آئجین ویلیو سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ آئجن فنکشن ایک مسلسل فریکشن توسیع میں دیئے گئے عدد کے واقع ہونے کا امکان دیتا ہے، اور اسے گاؤس-کزمین تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ جزوی طور پر اس کی پیروی کرتا ہے کیونکہ گاؤس کا نقشہ مسلسل حصوں کے لیے ٹرنکیٹنگ شفٹ آپریٹر کے طور پر کام کرتا ہے: اگر کسی نمبر 0 <x <1 کی مسلسل فریکشن نمائندگی ہے، تو پھر آئجن ویلیو آسان ہے، اور چونکہ آپریٹر گاؤس-کزمین پیمائش کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے، آپریٹر پیمائش کے حوالے سے ایرگوڈک ہے۔ یہ حقیقت کھنچن کے مستقل کے وجود کے ایک مختصر ثبوت کی اجازت دیتی ہے۔ اضافی آئجین ویلیوز کو عددی طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ اگلی آئجین ویلیو λ2 = − 0.3036630029 ہے۔ اور اس کی مطلق قیمت کو گاؤس-کزمین-ویرسنگ مستقل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اضافی آئجین فنکشنز کے لیے تجزیاتی شکلیں معلوم نہیں ہیں۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا آئجین ویلیوز غیر معقول ہیں۔ آئیے ایک مطلق قدر کے مطابق گاؤس-کزمین-ویرسنگ آپریٹر کی آئجین ویلیوز کو ترتیب دیں: 1995 میں فلپ فلاجولیٹ اور بریگیٹ ویلی نے یہ قیاس کیا تھا کہ 2018 میں گیڈریس الکاؤسکاس نے ایک قابل اعتماد دلیل دی تھی کہ اس قیاس کو زیادہ مضبوط بیان میں بہتر بنایا جا سکتا ہے: یہاں فنکشن باؤنڈ ہے، اور یہ ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ مسلسل سپیکٹرم آئجین ویلیوز ایک مجرد سپیکٹرم بناتے ہیں، جب آپریٹر حقیقی نمبر لائن کے یونٹ وقفے پر افعال پر عمل کرنے تک محدود ہوتا ہے۔ مزید وسیع پیمانے پر، چونکہ گاؤس کا نقشہ بائر کی جگہ پر شفٹ آپریٹر ہے، اس لیے جی کے ڈبلیو آپریٹر کو فنکشن کی جگہ پر ایک آپریٹر کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے (جسے بناچ کی جگہ سمجھا جاتا ہے، جس میں بیس افعال کو پروڈکٹ ٹوپولوجی کے سلنڈروں پر اشارے کے افعال کے طور پر لیا جاتا ہے)۔ بعد کے معاملے میں، اس میں ایک مسلسل سپیکٹرم ہوتا ہے، جس میں پیچیدہ سطح کی یونٹ ڈسک میں آئجن ویلیوز ہوتے ہیں۔ یعنی سلنڈر کو دیکھتے ہوئے آپریٹر G اسے بائیں طرف منتقل کرتا ہے: اشارے کے فنکشن کو لیتے ہوئے جو سلنڈر پر 1 (کب) ہے، اور بصورت دیگر صفر ہے، کسی کے پاس وہ ہے۔ سیریز پھر آئجن ویلیو کے ساتھ ایک آئجن فنکشن ہے۔ یعنی، جب بھی خلاصہ یکجا ہوتا ہے: یعنی، کب۔ ایک خاص معاملہ اس وقت پیدا ہوتا ہے جب کوئی شفٹ آپریٹر کی ہار پیمائش پر غور کرنا چاہتا ہے، یعنی ایک فنکشن جو شفٹ کے تحت غیر متغیر ہے۔ یہ منکووسکی پیمائش کے ذریعے دیا گیا ہے۔ یعنی، ایک کے پاس وہ ہے۔ ریمن زیٹا فنکشن سے تعلق جی کے ڈبلیو آپریٹر کا تعلق ریمن زیٹا فنکشن سے ہے۔ نوٹ کریں کہ زیٹا فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جس کا مطلب یہ ہے کہ متغیر کی تبدیلی سے۔ میٹرکس عناصر ایک فنکشن f (x) اور کے لیے x = 1 پر ٹیلر سیریز کی توسیع پر غور کریں۔ یعنی جی (ایکس) کے لیے بھی اسی طرح لکھیں اور لکھیں۔ توسیع x = 1 کے بارے میں کی جاتی ہے کیونکہ GKW آپریٹر x = 0 پر ناقص سلوک کرتا ہے۔ توسیع تقریبا 1 − x کی جاتی ہے تاکہ ہم x کو ایک مثبت عدد 0 ≤ x ≤ 1 رکھ سکیں۔ پھر جی کے ڈبلیو آپریٹر ٹیلر کوفیشنٹس پر کام کرتا ہے جہاں جی کے ڈبلیو آپریٹر کے میٹرکس عناصر دیئے جاتے ہیں۔ یہ آپریٹر انتہائی اچھی طرح سے تشکیل پایا ہے، اور اس طرح بہت ہی عددی طور پر ٹریک ایبل ہے۔ گاوس-کزمین مستقل کو آسانی سے اعلی درستگی کے لیے عددی طور پر اوپری بائیں n کو n حصے سے اخترن کر کے شمار کیا جاتا ہے۔ کوئی معلوم بند شکل کا اظہار نہیں ہے جو اس آپریٹر کو اخترن کرتا ہے ؛ یعنی، آئجین ویکٹرز کے لیے کوئی بند شکل کے تاثرات معلوم نہیں ہیں۔ ریمن زیٹا کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں مندرجہ بالا میٹرکس عناصر کے ذریعہ دیا گیا ہے: خلاصہ انجام دیتے ہوئے، کسی کو ملتا ہے: یولر-ماسچیرونی مستقل کہاں ہے۔ یہ اسٹیلٹجز مستقلات کے ینالاگ کو ادا کرتے ہیں، لیکن گرتے ہوئے فیکٹوریئل توسیع کے لیے۔ لکھنے سے حاصل ہوتا ہے: a0 = − 0.0772156. اور a1 = − 0.00474863. وغیرہ۔ اقدار تیزی سے چھوٹی ہو جاتی ہیں لیکن ارتعاش پذیر ہوتی ہیں۔ ان اقدار پر کچھ واضح رقوم انجام دی جا سکتی ہیں۔ گرنے والے فیکٹوریئل کو سٹرلنگ نمبر کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی کے طور پر دوبارہ ظاہر کرکے، اور پھر حل کرکے ان کا اسٹیلٹجز مستقل سے واضح طور پر تعلق ہو سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، ریمن زیٹا کو کثیر الجہتی کے شیفر ترتیب کے لحاظ سے توسیع کے طور پر دوبارہ ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ریمن زیٹا کی اس توسیع کی تحقیقات درج ذیل حوالوں میں کی گئی ہے۔ حوالہ جات جنرل حوالہ جات اے کے طور پر کوفیشنٹس کم ہو رہے ہیں۔ جی ہاں۔ کھنچن، مسلسل فریکشنز، 1935، انگریزی ترجمہ یونیورسٹی آف شکاگو پریس، 1961 (سیکشن 15 دیکھیں)۔ کے۔ آئی۔ بابینکو، آن اے پروبلم آف گاؤس، سوویت میتھمیٹیکل ڈوکلاڈی 19:136-140 (1978) کے۔ آئی۔ بابینکو اور ایس۔ پی۔ جوروف، آن دی ڈسکریٹائزیشن آف اے پروبلم آف گاؤس، سوویت میتھمیٹیکل ڈوکلاڈی 19:731-735 (1978)۔ اے۔ ڈرنر، آن اے تھیوریم آف گاؤس-کزمین-لیوی۔ آرک۔ ریاضی۔ 58، 251-256، (1992)۔ اے۔ جے۔ میکلیوڈ، گاؤس-کزمین مسلسل فریکشن مسئلہ کی اعلی درستگی عددی اقدار۔ کمپیوٹر ریاضی۔ ایپل۔ 26، 37-44، (1993)۔ ای۔ ویرسنگ، آن دی تھیوریم آف گاؤس-کزمین-لیوی اینڈ اے فروبینیوس ٹائپ تھیوریم فار فنکشن سپیسز۔ ایکٹا اریتھ۔ 24، 507-528، (1974)۔ مزید پڑھنے کے لیے کیتھ بریگز، گاوس-کزمین-ویرسنگ مستقل کا ایک عین حساب (2003) (حوالہ جات کا ایک بہت وسیع مجموعہ پر مشتمل ہے۔) فلپ فلاجولیٹ اور بریگیٹ ویلی، آن دی گاؤس-کزمین-ویرسنگ کانسٹینٹ (1995)۔ لنس ویپسٹاس برنولی آپریٹر، گاؤس-کزمین-ویرسنگ آپریٹر، اور ریمن زیٹا (2004) (پی ڈی ایف) بیرونی لنکس ڈائنامکل سسٹمز کے حصوں کو جاری رکھا