Lambert series
ریاضی میں، لیمبرٹ سیریز، جسے جوہان ہینرچ لیمبرٹ کا نام دیا گیا ہے، ایک سلسلہ ہے جو اس شکل اختیار کر رہا ہے۔ اسے ڈینومینیٹر کو بڑھا کر باضابطہ طور پر دوبارہ شروع کیا جا سکتا ہے: جہاں نئی سیریز کے کوفیشنٹس کو مستقل فنکشن 1 (n) = 1 کے ساتھ an کے ڈیرچلیٹ کنولیوشن کے ذریعے دیا جاتا ہے: اس سیریز کو موبیئس الٹ فارمولے کے ذریعے الٹا کیا جا سکتا ہے، اور یہ موبیئس ٹرانسفارم کی ایک مثال ہے۔ مثال کے طور پر چونکہ یہ آخری مجموعہ ایک عام نمبر تھیوریٹک مجموعہ ہے، لیمبرٹ سیریز میں استعمال ہونے پر تقریبا کوئی بھی قدرتی ضرب فنکشن بالکل قابل خلاصہ ہوگا۔ اس طرح، مثال کے طور پر، کسی کے پاس نمبر n کے مثبت تقسیم کاروں کی تعداد کہاں ہے۔ اعلی ترتیب کے مجموعہ تقسیم کار افعال کے لیے، کسی کے پاس کوئی پیچیدہ نمبر ہے اور تقسیم کار فنکشن ہے۔ خاص طور پر، لیمبرٹ سیریز کے لیے جو کسی کو ملتا ہے وہ پارٹیشن نمبروں کے لیے معمول کی جنریٹنگ فنکشن کا (عنصر تک) لوگرتھمک مشتق ہے۔ پچھلی شناخت سے متعلق اضافی لیمبرٹ سیریز میں وہ شامل ہیں جو موبیئس فنکشن کے مختلف قسموں کے لیے ذیل میں دیئے گئے ہیں۔ موبیئس فنکشن پر متعلقہ لیمبرٹ سیریز میں کسی بھی پرائم کے لیے درج ذیل شناخت شامل ہیں: اوپر دی گئی پہلی شناخت کا ثبوت ان لیمبرٹ سیریز کی ملٹی سیکشن (یا بائیسیکشن) شناخت سے مندرجہ ذیل شکل میں ہوتا ہے جہاں ہم ریاضی کی تقریب f کی لیمبرٹ سیریز جنریٹنگ فنکشن ہونے کی نشاندہی کرتے ہیں: پچھلی مساوات میں دوسری شناخت اس حقیقت سے ہوتی ہے کہ بائیں ہاتھ کی رقم کے کوفیشنٹس اس طرح دیے جاتے ہیں کہ فنکشن کہاں ضرب ہے۔ اویلر کے ٹوٹینٹ فنکشن کے لیے: وان مینگولٹ فنکشن کے لیے: لیوویل کے فنکشن کے لیے: دائیں طرف رامانوجن تھیٹا فنکشن، یا جیکوبی تھیٹا فنکشن سے ملتے جلتے مجموعے کے ساتھ۔ نوٹ کریں کہ لیمبرٹ سیریز جس میں an مثلثی افعال ہیں، مثال کے طور پر، an = sin (2nx)، کا اندازہ جیکوبی تھیٹا افعال کے لوگرتھمک مشتقات کے مختلف امتزاج سے کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، ہم پچھلی جنریٹنگ فنکشن کی توسیع کو مثبت قدرتی اعداد کے لیے طاقتوں کی خصوصیت کی تقریب کو ظاہر کر کے اور عام کردہ m-Liouville lambda فنکشن کو ریاضی کی تقریب کو مطمئن کرنے کے لیے بیان کر کے بڑھا سکتے ہیں۔ عام طور پر، اگر ہم لیمبرٹ سیریز لکھتے ہیں جس پر ریاضی کے افعال پیدا ہوتے ہیں، تو افعال کے اگلے جوڑے ان کے لیمبرٹ سیریز کے پیدا کرنے والے افعال کے ذریعے ظاہر کیے گئے دیگر معروف ارتقاء سے مطابقت رکھتے ہیں جہاں ڈیرچلیٹ ارتقاء کے لیے ضرب شناخت ہے، طاقتوں کے لیے شناختی فنکشن ہے، مربعوں کے لیے خصوصیت کے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے، جو اس کے مختلف بنیادی عوامل کی تعداد کو شمار کرتا ہے (پرائم اومیگا فنکشن دیکھیں)، اردن کا ٹوٹیئنٹ فنکشن ہے، اور تقسیم کنکشن ہے (ڈیرچلیٹ ارتقاء دیکھیں)۔ خلاصہ میں حرف q کا روایتی استعمال ایک تاریخی استعمال ہے، جو نام کے طور پر ایلیپٹک منحنی خطوط اور تھیٹا افعال کے نظریہ میں اس کی ابتدا کا حوالہ دیتا ہے۔ متبادل فارم ایک کو تبدیل کرنے سے سیریز کے لیے ایک اور عام فارم حاصل ہوتا ہے، جیسا کہ پہلے تھا۔ اس شکل میں لیمبرٹ سیریز کی مثالیں، کے ساتھ، عجیب عدد اقدار کے لیے ریمن زیٹا فنکشن کے تاثرات میں پائی جاتی ہیں۔ تفصیلات کے لیے زیٹا مستقل دیکھیں۔ موجودہ استعمال ادب میں ہم لیمبرٹ سیریز کو مختلف قسم کے رقوم پر لاگو ہوتے ہوئے پاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، چونکہ یہ ایک پولی لوگرتھم فنکشن ہے، اس لیے ہم فارم کے کسی بھی مجموعے کو لیمبرٹ سیریز کے طور پر حوالہ دے سکتے ہیں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ پیرامیٹرز مناسب طور پر محدود ہیں۔ اس طرح جو تمام پیچیدہ q کے لیے ہے جو اکائی دائرے پر نہیں ہے، اسے لیمبرٹ سیریز کی شناخت سمجھا جائے گا۔ یہ شناخت ہندوستانی ریاضی دان ایس رامانوجن کے شائع کردہ کچھ شناختوں سے سیدھے سادے انداز میں ملتی ہے۔ رامانوجن کے کاموں کی ایک بہت ہی مکمل کھوج بروس برنڈٹ کے کاموں میں مل سکتی ہے۔ فیکٹرائزیشن تھیوریمز حال ہی میں 2017-2018 پر شائع ہونے والی کسی حد تک نئی تعمیر کا تعلق اس فارم کے نام نہاد لیمبرٹ سیریز فیکٹرائزیشن تھیوریمز سے ہے جہاں محدود پارٹیشن افعال کا متعلقہ مجموعہ یا فرق ہے جو مختلف حصوں کی یکساں (بالترتیب، عجیب) تعداد میں تمام پارٹیشنوں میں s کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ آئیے الٹا ہونے والی نچلی مثلث ترتیب کی نشاندہی کرتے ہیں جس کی پہلی چند اقدار نیچے دیے گئے جدول میں دکھائی گئی ہیں۔ لیمبرٹ سیریز فیکٹرائزیشن تھیوریم کی توسیع کی ایک اور خصوصیت اس طرح دی گئی ہے کہ (لامحدود) q-پوچھیمر علامت کہاں ہے۔ پچھلی مساوات کے دائیں طرف کے الٹا میٹرکس پروڈکٹ الٹا میٹرکس پروڈکٹ سے مطابقت رکھتے ہیں جن کی نچلی مثلث اندراجات پارٹیشن فنکشن کے لحاظ سے دی گئی ہیں اور تقسیم کار کے ذریعے موبیئس فنکشن کے مجموعے۔ اگلے ٹیبل میں ان متعلقہ الٹا میٹرکس کی پہلی کئی قطاریں درج ہیں۔ ہم انٹرلییوڈ پینٹاگونل نمبروں کی ترتیب کو ظاہر کرنے دیتے ہیں، یعنی، تاکہ پینٹاگونل نمبر تھیوریم کی شکل میں توسیع کی جائے۔ پھر کسی بھی لیمبرٹ سیریز کے لیے جو ترتیب پیدا کرتا ہے، ہمارے پاس اوپر دیئے گئے فیکٹرائزیشن تھیوریم کا متعلقہ الٹا تعلق ہے۔ لیمبرٹ سیریز فیکٹرائزیشن تھیوریم پر یہ کام اس شکل کی مزید عمومی توسیع تک بڑھایا گیا ہے جہاں کوئی (پارٹیشن سے متعلق) باہمی پیدا کرنے والی فنکشن ہے، کوئی ریاضی کی فنکشن ہے، اور جہاں ترمیم شدہ کوفیشنٹس کو توسیع دی جاتی ہے۔ مندرجہ بالا توسیع میں متعلقہ الٹا میٹرکس مطمئن ہوتے ہیں تاکہ جیسا کہ اوپر لیمبرٹ فیکٹرائزیشن تھیوریم کے پہلے ورژن میں ہم دائیں ہاتھ کے کوفیشنٹس کے لیے ایک الٹا تعلق حاصل کریں۔ پھر ہمارے پاس ان افعال کو شامل کرنے کے لیے درج ذیل تکرار کے تعلقات ہیں اور پینٹاگونل نمبرز میں ثابت ہوتے ہیں: لیمبرٹ سیریز کے مشتق مشتقات کو سیریز کے لحاظ سے اصطلاح کے لحاظ سے تفریق کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ہمارے پاس لیمبرٹ سیریز کے ٹرم وائز مشتقات کے لیے درج ذیل شناخت ہیں جہاں پچھلی مساوات میں بریکٹ والے مثلث گتانک پہلی اور دوسری قسم کے سٹرلنگ نمبروں کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اب اگر ہم کسی کے لیے افعال کی وضاحت کرتے ہیں جہاں ایورسن کے کنونشن کی نشاندہی ہوتی ہے، تو ہمارے پاس لیمبرٹ سیریز کے مشتقات کے لیے کوفیشنٹس ہیں۔