Variational inequality
ریاضی میں، متغیر عدم مساوات ایک ایسی عدم مساوات ہے جس میں ایک فنکشنل شامل ہوتا ہے، جسے کسی دیئے گئے متغیر کی تمام ممکنہ اقدار کے لیے حل کرنا ہوتا ہے، جو عام طور پر ایک کنویکس سیٹ سے تعلق رکھتے ہیں۔ متغیر عدم مساوات کا ریاضیاتی نظریہ ابتدائی طور پر توازن کے مسائل سے نمٹنے کے لیے تیار کیا گیا تھا، خاص طور پر سائنورینی مسئلہ: اس ماڈل کے مسئلے میں، شامل فعالیت کو شامل ممکنہ توانائی کی پہلی تغیر کے طور پر حاصل کیا گیا تھا۔ لہذا، اس کی ایک متغیر اصل ہے، جسے عمومی تجریدی مسئلہ کے نام سے یاد کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد سے نظریہ کے اطلاق کو بڑھا کر معاشیات، مالیات، اصلاح اور گیم تھیوری کے مسائل کو شامل کیا گیا ہے۔ تاریخ متغیر عدم مساوات سے متعلق پہلا مسئلہ سائنورینی کا مسئلہ تھا، جسے انتونیو سائنورینی نے 1959 میں پیش کیا تھا اور 1963 میں گیٹانو فچیرا نے حل کیا تھا، حوالہ جات کے مطابق اور: نظریہ کے پہلے مقالے تھے اور،۔ بعد میں، گائیڈو اسٹیمپچیا نے جزوی تفریقی مساوات کے لیے باقاعدگی کے مسئلے کا مطالعہ کرنے کے لیے لکش-ملگرام تھیوریم میں اپنی عمومی کاری کو ثابت کیا اور اس قسم کی عدم مساوات سے متعلق تمام مسائل کے لیے "متغیر عدم مساوات" کا نام وضع کیا۔ جارجز ڈوواٹ نے 1965 میں بریکسن میں ایک کانفرنس میں شرکت کے بعد اپنے گریجویٹ طلباء کو فچیرا کے کام کا مطالعہ کرنے اور اس میں توسیع کرنے کی ترغیب دی، جہاں فچیرا نے سائنورینی کے مسئلے کے بارے میں اپنا مطالعہ پیش کیا، جیسا کہ رپورٹ: اس طرح یہ نظریہ پورے فرانس میں بڑے پیمانے پر مشہور ہوا۔ نیز 1965 میں، اسٹیمپچیا اور جیکس لوئس لائنز نے اس کے پہلے کے نتائج میں توسیع کرتے ہوئے کاغذ میں ان کا اعلان کیا: ان کے نتائج کے مکمل ثبوت بعد میں کاغذ میں شائع ہوئے۔ تعریف اس کے بعد، متغیر عدم مساوات کی تعریف درج ذیل ہے۔ بناچ اسپیس کو دیکھتے ہوئے، خلا کے دوہری جگہ کا ایک ذیلی سیٹ، اور ایک فعال، متغیر عدم مساوات کا مسئلہ مندرجہ ذیل عدم مساوات سے تعلق رکھنے والے متغیر کے لیے حل کرنے کا مسئلہ ہے: دوہری جوڑی کہاں ہے۔ عام طور پر، تغیراتی عدم مساوات کے مسئلے کو کسی بھی محدود یا لامحدود جہتی بناچ جگہ پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ مسئلہ کے مطالعہ میں تین واضح مراحل درج ذیل ہیں: حل کے وجود کو ثابت کریں: یہ مرحلہ مسئلہ کی ریاضیاتی درستگی کو ظاہر کرتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کم از کم ایک حل موجود ہے۔ دیئے گئے حل کی انفرادیت کو ثابت کریں: یہ مرحلہ مسئلہ کی جسمانی درستگی کو ظاہر کرتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ حل کو جسمانی رجحان کی نمائندگی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک خاص طور پر اہم قدم ہے کیونکہ متغیر عدم مساوات کی شکل میں زیادہ تر مسائل جسمانی اصل کے ہیں۔ حل تلاش کریں یا اس کی باقاعدگی ثابت کریں۔ مثالیں حقیقی متغیر کے حقیقی قدر والے فنکشن کی کم سے کم قیمت تلاش کرنے کا مسئلہ یہ ایک معیاری مثال کا مسئلہ ہے، جس کی اطلاع دی گئی ہے: بند وقفے پر تفریق پذیر فنکشن کی کم سے کم قیمت تلاش کرنے کے مسئلے پر غور کریں۔ ایک نقطہ ہونے دیں جہاں کم سے کم ہوتا ہے۔ تین صورتیں واقع ہو سکتی ہیں: اگر پھر اگر پھر تو ان ضروری شرائط کو تلاش کرنے کے مسئلے کے طور پر خلاصہ کیا جا سکتا ہے کہ مطلق کم از کم کو سابقہ عدم مساوات کے حل (اگر ایک سے زیادہ ہو) کے درمیان تلاش کیا جانا چاہیے: نوٹ کریں کہ حل ایک حقیقی تعداد ہے، لہذا یہ ایک محدود جہتی تغیراتی عدم مساوات ہے۔ عام محدود جہتی تغیراتی عدم مساوات میں عمومی مسئلے کی تشکیل مندرجہ ذیل ہے: ایک ذیلی سیٹ اور نقشہ سازی کو دیکھتے ہوئے، اس سے وابستہ محدود جہتی تغیراتی عدم مساوات کا مسئلہ اس طرح کے ایک جہتی ویکٹر کو تلاش کرنے پر مشتمل ہوتا ہے کہ ویکٹر اسپیس پر معیاری اندرونی پروڈکٹ کہاں ہے۔ سگنورینی مسئلے کے لیے تغیراتی عدم مساوات تاریخی سروے میں، گیٹانو فچیرا نے سگنورینی مسئلے کے اپنے حل کی ابتداء کو بیان کیا ہے: مسئلہ ایک انسوٹروپک غیر یکساں لچکدار جسم کی لچکدار توازن کی تشکیل کو تلاش کرنے پر مشتمل ہے جو تین جہتی یوکلڈین اسپیس کے ذیلی سیٹ میں واقع ہے جس کی حد ایک سخت رگڑ کے بغیر سطح پر ہے اور صرف اس کی بڑے پیمانے پر قوتوں کے تابع ہے۔ مسئلے کا حل موجود ہے اور قابل قبول نقل مکانی کے سیٹ میں (عین مطابق مفروضوں کے تحت) منفرد ہے۔ نقل مکانی کے ویکٹروں کا مجموعہ مبہم باؤنڈری کنڈیشنز کے نظام کو مطمئن کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آئن سٹائن نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے لکھے گئے درج ذیل فنکشنل کہاں اور کہاں ہوں، جہاں، سب کے لیے، رابطہ کی سطح (یا زیادہ عام طور پر ایک رابطہ سیٹ) ہے، جسم پر لاگو ہونے والی جسمانی قوت ہے، جس پر لاگو ہونے والی سطح کی طاقت ہے، لامحدود تناؤ ٹینسر ہے، کاچی تناؤ ٹینسر ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ لچکدار ممکنہ توانائی کہاں ہے اور لچکدار ٹینسر ہے۔ تکمیل کا نظریہ تفریقی تغیراتی عدم مساوات توازن کے مسائل کے لیے توسیعی ریاضیاتی پروگرامنگ توازن کی رکاوٹوں کے ساتھ ریاضیاتی پروگرامنگ رکاوٹ کا مسئلہ متحرک نظام سائنورینی مسئلہ یکطرفہ رابطہ حوالہ جات تاریخی حوالہ جات۔ لچکدار نظریہ اور ریاضیاتی تجزیہ کے نتیجہ خیز تعامل کے بارے میں ایک تاریخی مقالہ: گیٹانو فچیرا کے ذریعہ متغیر عدم مساوات کے نظریہ کی تخلیق §5، صفحات 282-284 میں بیان کی گئی ہے۔ ۔ متغیر عدم مساوات کے میدان کو بیان کرنے والا ایک مختصر تحقیقی سروے، یکطرفہ رکاوٹوں کے ساتھ تسلسل میکانکس کے مسائل کا قطعی طور پر ذیلی میدان۔ ۔ تغیراتی عدم مساوات کے نظریہ کی پیدائش جسے تیس سال بعد یاد کیا گیا (عنوان کا انگریزی ترجمہ) ایک تاریخی مقالہ ہے جو اس کے بانی کے نقطہ نظر سے تغیراتی عدم مساوات کے نظریہ کے آغاز کو بیان کرتا ہے۔ سائنسی کام۔ ایک مختصر تحقیقی نوٹ جس میں سائنورینی مسئلے کے حل کا اعلان اور وضاحت (ثبوت کے بغیر) کی گئی ہے۔ ۔ پہلا مقالہ جہاں سائنورینی مسئلے کے لیے وجود اور انفرادیت کا نظریہ ثابت ہوتا ہے۔ ۔ کا انگریزی ترجمہ۔ ۔ ، گیلیکا پر دستیاب ہے۔ کاغذ کے نتائج کا اعلان۔ ۔ متغیر عدم مساوات کے نظریہ پر مصنفین کے تجریدی نقطہ نظر کو بیان کرنے والا ایک اہم مقالہ۔ ۔ ، گیلیکا پر دستیاب ہے۔ وہ مقالہ جس میں اسٹیمپچیا کی لکش-ملگرام تھیوریم کی عمومی شکل شامل ہے۔ بیرونی روابط الیشیو فیگالی، سائنورینی مسئلے کے عالمی یکساں حل پر، جزوی تفریق مساوات متغیرات کا حساب