Potential theory
ریاضی اور ریاضیاتی طبیعیات میں، پوٹینشل تھیوری ہارمونک افعال کا مطالعہ ہے۔ "پوٹینشل تھیوری" کی اصطلاح 19 ویں صدی کی طبیعیات میں اس وقت وضع کی گئی تھی جب یہ محسوس کیا گیا تھا کہ اس وقت معلوم ہونے والی فطرت کی دو بنیادی قوتیں، یعنی کشش ثقل اور الیکٹروسٹیٹک فورس، کو کشش ثقل کی صلاحیت اور الیکٹروسٹیٹک صلاحیت نامی افعال کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل بنایا جا سکتا ہے، یہ دونوں پوسن کی مساوات کو پورا کرتے ہیں-یا خلا میں، لیپلیس کی مساوات۔ پوٹینشل تھیوری اور پوئیسن کی مساوات کے نظریہ کے درمیان اس حد تک کافی حد تک اوورلیپ ہے کہ ان دونوں شعبوں کے درمیان فرق کرنا ناممکن ہے۔ فرق موضوع سے زیادہ زور دینے والا ہے اور مندرجہ ذیل فرق پر منحصر ہے: پوٹینشل تھیوری مساوات کی خصوصیات کے برخلاف افعال کی خصوصیات پر مرکوز ہے۔ مثال کے طور پر، ہارمونک افعال کی انفرادیت کے بارے میں نتیجہ کو ممکنہ نظریہ سے تعلق رکھنے والا کہا جائے گا جبکہ حل باؤنڈری ڈیٹا پر کس طرح انحصار کرتا ہے اس کے نتیجے کو لیپلیس مساوات کے نظریہ سے تعلق رکھنے والا کہا جائے گا۔ یہ کوئی سخت اور تیز فرق نہیں ہے، اور عملی طور پر دونوں شعبوں کے درمیان کافی حد تک اوورلیپ ہوتا ہے، جس میں ایک کے دوسرے میں استعمال ہونے کے طریقے اور نتائج ہوتے ہیں۔ جدید ممکنہ نظریہ کا امکان اور مارکوف زنجیروں کے نظریہ سے بھی گہرا تعلق ہے۔ مسلسل صورت میں، اس کا تجزیاتی نظریہ سے گہرا تعلق ہے۔ محدود ریاستی جگہ کے معاملے میں، اس کنکشن کو ریاستی جگہ پر برقی نیٹ ورک متعارف کروا کر متعارف کرایا جا سکتا ہے، جس میں منتقلی کے امکانات کے الٹا متناسب پوائنٹس اور صلاحیت کے متناسب کثافت کے درمیان مزاحمت ہوتی ہے۔ یہاں تک کہ محدود صورت میں بھی، ممکنہ نظریہ میں لیپلاسیئن کے ینالاگ I-K کا اپنا زیادہ سے زیادہ اصول، انفرادیت کا اصول، توازن کا اصول اور دیگر ہوتے ہیں۔ ہم آہنگی ہارمونک افعال کے مطالعہ میں ایک مفید نقطہ آغاز اور منظم کرنے کا اصول لیپلیس مساوات کی ہم آہنگی پر غور کرنا ہے۔ اگرچہ یہ اصطلاح کے معمول کے معنوں میں ہم آہنگی نہیں ہے، لیکن ہم اس مشاہدے سے شروع کر سکتے ہیں کہ لیپلیس مساوات لکیری ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ پوٹینشل تھیوری میں مطالعہ کا بنیادی مقصد افعال کی لکیری جگہ ہے۔ یہ مشاہدہ خاص طور پر اہم ثابت ہوگا جب ہم بعد کے حصے میں موضوع کے لیے فنکشن اسپیس کے نقطہ نظر پر غور کریں گے۔ جہاں تک اصطلاح کے معمول کے معنوں میں ہم آہنگی کا تعلق ہے، ہم اس نظریہ سے شروع کر سکتے ہیں کہ-جہتی لیپلیس مساوات کی ہم آہنگی بالکل-جہتی یوکلڈین اسپیس کی مطابقت پذیر ہم آہنگی ہیں۔ اس حقیقت کے کئی مضمرات ہیں۔ سب سے پہلے، کوئی بھی ہارمونک افعال پر غور کر سکتا ہے جو کنفارمل گروپ یا اس کے ذیلی گروپوں (جیسے گردشوں یا ترجموں کا گروپ) کی ناقابل تلافی نمائندگی کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ اس انداز میں آگے بڑھتے ہوئے، لیپلیس مساوات کے حل کو منظم طریقے سے حاصل کیا جاتا ہے جو کہ کروی ہارمونک حل اور فورئیر سیریز جیسے متغیرات کی علیحدگی سے پیدا ہوتے ہیں۔ ان حلوں کی لکیری سپرپوزیشن لے کر، کوئی بھی ہارمونک افعال کی بڑی کلاسیں پیدا کر سکتا ہے جنہیں مناسب ٹوپولوجیز کے تحت تمام ہارمونک افعال کی جگہ میں گھنے دکھایا جا سکتا ہے۔ دوسرا، کیلون ٹرانسفارم اور تصاویر کے طریقہ کار جیسے ہارمونک افعال پیدا کرنے کے لیے کلاسیکی چالوں اور تکنیکوں کو سمجھنے کے لیے کنفارمل سمیٹری کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تیسرا، ایک ڈومین میں ہارمونک افعال کو دوسرے ڈومین میں ہارمونک افعال میں نقش کرنے کے لیے کنفارمل ٹرانسفارمز کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کی تعمیر کی سب سے عام مثال ڈسک پر ہارمونک افعال کو نصف سطح پر ہارمونک افعال سے جوڑنا ہے۔ چوتھا، کنفارمل ریمینیئن مینیفولڈز پر ہارمونک افعال کو ہارمونک افعال تک بڑھانے کے لیے کنفارمل سمیٹری کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ شاید اس طرح کی سب سے آسان توسیع یہ ہے کہ پورے Rn پر بیان کردہ ہارمونک فنکشن (واحد پوائنٹس کے مجرد سیٹ کے ممکنہ استثناء کے ساتھ) کو جہتی دائرے پر ہارمونک فنکشن کے طور پر سمجھا جائے۔ مزید پیچیدہ حالات بھی ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی ریمن سرفیس تھیوری کا ایک اعلی جہتی ینالاگ حاصل کر سکتا ہے جس میں Rn کے برانچڈ کور پر ایک کثیر قدر والے ہارمونک فنکشن کو ایک واحد قدر والے فنکشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے یا کوئی ہارمونک فنکشن کو مان سکتا ہے جو کنفارمل گروپ کے ایک مجرد ذیلی گروپ کے تحت غیر متغیر ہیں۔ دو جہتیں اس حقیقت سے کہ کنفارمل ٹرانسفارمز کا گروپ دو جہتوں میں لامحدود جہتی اور دو سے زیادہ جہتوں کے لیے محدود جہتی ہے، کوئی یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ دو جہتوں میں پوٹینشیل تھیوری دیگر جہتوں میں پوٹینشیل تھیوری سے مختلف ہے۔ یہ درست ہے اور درحقیقت، جب کسی کو یہ احساس ہوتا ہے کہ کوئی بھی دو جہتی ہارمونک فنکشن ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن کا حقیقی حصہ ہے، تو وہ دیکھتا ہے کہ دو جہتی ممکنہ نظریہ کا موضوع کافی حد تک پیچیدہ تجزیہ کے مترادف ہے۔ اس وجہ سے، پوٹینشل تھیوری کی بات کرتے وقت، ان تھیوریمز پر توجہ مرکوز کی جاتی ہے جو تین یا اس سے زیادہ جہتوں میں ہوتے ہیں۔ اس سلسلے میں، ایک حیران کن حقیقت یہ ہے کہ پیچیدہ تجزیے میں اصل میں دریافت ہونے والے بہت سے نتائج اور تصورات (جیسے شوارز تھیوریم، موریرا تھیوریم، ویئراسٹراس-کاسوراٹی تھیوریم، لارنٹ سیریز، اور ہٹنے کے قابل، قطبوں اور ضروری انفرادیت کے طور پر انفرادیت کی درجہ بندی) کسی بھی جہت میں ہارمونک افعال کے نتائج کو عام بناتے ہیں۔ پیچیدہ تجزیہ کے کون سے نظریات کسی بھی جہت میں ممکنہ نظریہ کے نظریات کے خصوصی معاملات ہیں اس پر غور کرنے سے، کوئی بھی یہ محسوس کر سکتا ہے کہ دو جہتوں میں پیچیدہ تجزیہ کے بارے میں کیا خاص ہے اور زیادہ عام نتائج کی محض دو جہتی مثال کیا ہے۔ مقامی طرز عمل ممکنہ نظریہ میں ایک اہم موضوع ہارمونک افعال کے مقامی طرز عمل کا مطالعہ ہے۔ شاید مقامی رویے کے بارے میں سب سے بنیادی نظریہ لیپلیس کی مساوات کے لیے باقاعدگی کا نظریہ ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ہارمونک افعال تجزیاتی ہیں۔ ایسے نتائج ہیں جو ہارمونک افعال کے سطح کے سیٹوں کی مقامی ساخت کو بیان کرتے ہیں۔ بوچر کا نظریہ ہے، جو مثبت ہارمونک افعال کی الگ تھلگ انفرادیت کے رویے کی خصوصیت رکھتا ہے۔ جیسا کہ آخری حصے میں اشارہ کیا گیا ہے، کوئی بھی ہارمونک افعال کی الگ تھلگ انفرادیت کو ہٹنے کے قابل انفرادیت، قطبوں اور ضروری انفرادیت کے طور پر درجہ بندی کر سکتا ہے۔ عدم مساوات ہارمونک افعال کے مطالعہ کے لیے ایک نتیجہ خیز نقطہ نظر ان عدم مساوات پر غور کرنا ہے جنہیں وہ پورا کرتے ہیں۔ شاید اس طرح کی سب سے بنیادی عدم مساوات، جس سے زیادہ تر دیگر عدم مساوات حاصل کی جا سکتی ہیں، زیادہ سے زیادہ اصول ہے۔ ایک اور اہم نتیجہ لیوویل کا نظریہ ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ پورے Rn پر بیان کردہ واحد باؤنڈڈ ہارمونک افعال درحقیقت مستقل افعال ہیں۔ ان بنیادی عدم مساوات کے علاوہ، کسی کے پاس ہارنیک کی عدم مساوات ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ باؤنڈڈ ڈومینز پر مثبت ہارمونک افعال تقریبا مستقل ہیں۔ ان عدم مساوات کا ایک اہم استعمال ہارمونک افعال یا ذیلی ہارمونک افعال کے خاندانوں کی ہم آہنگی کو ثابت کرنا ہے، دیکھیں ہارنیک کا نظریہ۔ یہ کنورجنس تھیوریمز مخصوص خصوصیات کے ساتھ ہارمونک افعال کے وجود کو ثابت کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ ہارمونک افعال کی جگہیں چونکہ لیپلیس مساوات لکیری ہے، اس لیے کسی دیئے گئے ڈومین پر بیان کردہ ہارمونک افعال کا مجموعہ درحقیقت ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ مناسب اصولوں اور/یا اندرونی مصنوعات کی وضاحت کرکے، کوئی بھی ہارمونک افعال کے سیٹ کی نمائش کر سکتا ہے جو ہلبرٹ یا بناچ خالی جگہوں کی تشکیل کرتے ہیں۔ اس انداز میں، ہارڈی اسپیس، بلوچ اسپیس، برگمین اسپیس اور سوبولیو اسپیس جیسی جگہیں حاصل ہوتی ہیں۔ سبہارمونک فنکشن کیلوگ تھیوریم حوالہ جات ایس ایکسلر، پی بورڈن، ڈبلیو رامی (2001) بھی دیکھیں۔ ہارمونک فنکشن تھیوری (دوسرا ایڈیشن)۔ سپرنگر-ورلاگ۔ ۔ او ڈی کیلوگ (1969)۔ ممکنہ نظریہ کی بنیادیں۔ ڈوور پبلکیشنز۔ ۔ ایل ایل ہیلمز (1975)۔ ممکنہ نظریہ کا تعارف۔ آر۔ ای۔ کریگر۔ جے ایل ڈوب۔ کلاسیکی ممکنہ نظریہ اور اس کا ممکنہ مخالف حصہ، سپرنگر-ورلاگ، برلن ہیڈلبرگ نیویارک۔ جزوی تفریقی مساوات ریاضیاتی طبیعیات