Normal family
ریاضی میں، پیچیدہ تجزیہ کے لیے خصوصی اطلاق کے ساتھ، ایک نارمل فیملی مسلسل افعال کی جگہ کا ایک پری کمپیکٹ سب سیٹ ہے۔ غیر رسمی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ خاندان میں افعال وسیع پیمانے پر پھیلے ہوئے نہیں ہیں، بلکہ کسی حد تک "کلسٹرڈ" انداز میں ایک دوسرے پر قائم رہتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ مسلسل افعال کا ایک کمپیکٹ خاندان خود بخود ایک عام خاندان ہے۔ بعض اوقات، اگر عام خاندان F میں ہر فنکشن کسی خاص خاصیت کو مطمئن کرتا ہے (جیسے۔ ہولومورفک ہے)، پھر خاصیت سیٹ F کے ہر حد نقطہ کے لیے بھی ہوتی ہے۔ مزید رسمی طور پر، X اور Y کو ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ہونے دیں۔ مسلسل افعال کے سیٹ میں ایک قدرتی ٹوپولوجی ہوتی ہے جسے کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔ ایک نارمل فیملی اس ٹوپولوجی کے حوالے سے ایک پری کمپیکٹ سب سیٹ ہے۔ اگر Y ایک میٹرک اسپیس ہے، تو کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی کمپیکٹ کنورجنس کی ٹوپولوجی کے مساوی ہے، اور ہم ایک ایسی تعریف حاصل کرتے ہیں جو کلاسیکی کے قریب ہے: مسلسل افعال کے مجموعے F کو نارمل فیملی کہا جاتا ہے اگر F میں افعال کی ہر ترتیب میں ایک تسلسل ہوتا ہے جو X کے کمپیکٹ سبسیٹس پر یکساں طور پر ایکس سے وائی تک مسلسل فنکشن میں بدل جاتا ہے۔ یعنی، F میں افعال کی ہر ترتیب کے لیے، X سے Y تک ایک تسلسل اور ایک مسلسل فعل اس طرح ہوتا ہے کہ X میں موجود ہر کمپیکٹ سب سیٹ K کے لیے درج ذیل ہوتا ہے: Y کا میٹرک کہاں ہے۔ ہولومورفک افعال کے عام خاندان یہ تصور پیچیدہ تجزیے میں پیدا ہوا، یعنی ہولومورفک افعال کا مطالعہ۔ اس صورت میں، X پیچیدہ طیارہ کا ایک کھلا ذیلی مجموعہ ہے، Y پیچیدہ طیارہ ہے، اور Y پر میٹرک اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ کاچی کے انٹیگرل تھیوریم کے نتیجے میں، ہولومورفک افعال کا ایک سلسلہ جو کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے اسے ہولومورفک فنکشن میں ضم ہونا چاہیے۔ یعنی عام خاندان کا ہر حد نقطہ ہولومورفک ہوتا ہے۔ ہولومورفک افعال کے نارمل خاندان ریمن میپنگ تھیوریم کو ثابت کرنے کا تیز ترین طریقہ فراہم کرتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، اگر خالی جگہیں X اور Y ریمن کی سطحیں ہیں، اور Y یونیفارمائزیشن تھیوریم سے آنے والے میٹرک سے لیس ہے، تو ہولومورفک افعال کے عام خاندان کا ہر حد نقطہ بھی ہولومورفک ہے۔ مثال کے طور پر، اگر Y ریمن کا دائرہ ہے، تو یکسانیت کا میٹرک کروی فاصلہ ہے۔ اس صورت میں، X سے Y تک ہولومورفک فنکشن کو میرومورفک فنکشن کہا جاتا ہے، اور اس لیے میرومورفک فنکشن کے نارمل فیملی کا ہر لمٹ پوائنٹ ایک میرومورفک فنکشن ہوتا ہے۔ معیار ہولومورفک افعال کے کلاسیکی تناظر میں، کئی معیارات ہیں جو یہ قائم کرنے کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں کہ ایک خاندان نارمل ہے: مونٹل کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ مقامی طور پر پابند ہولومورفک افعال کا ایک خاندان نارمل ہے۔ مونٹل-کیریتھیوڈری تھیوریم بیان کرتا ہے کہ مورومورفک افعال کا خاندان جو توسیعی پیچیدہ سطح میں تین الگ الگ اقدار کو چھوڑ دیتا ہے وہ نارمل ہے۔ ہولومورفک افعال کے خاندان کے لیے، یہ قدر انفینیٹی کو چھوڑ کر ہر فنکشن کو ایک مورومورفک فنکشن کے طور پر دیکھ کر دو اقدار کی ضرورت کو کم کر دیتا ہے۔ مارٹی کا نظریہ مورومورفک افعال کے تناظر میں معمول کے مساوی ایک معیار فراہم کرتا ہے: ڈومین سے پیچیدہ طیارہ تک مورومورفک افعال کا ایک خاندان ایک عام خاندان ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب U کے ہر کمپیکٹ سب سیٹ K کے لیے ایک مستقل C موجود ہو تاکہ K میں ہر اور ہر z کے لیے ہمارے پاس ہو۔ درحقیقت، بائیں طرف کا اظہار ریمن دائرے پر آرکلینتھ عنصر کو پیچیدہ طیارہ تک سٹیریوگرافک پروجیکشن کے الٹا کے ذریعے کھینچنے کا فارمولا ہے۔ پال مونٹل نے پہلی بار 1911 میں "نارمل فیملی" کی اصطلاح تیار کی۔ چونکہ ایک عام خاندان کا تصور پیچیدہ تجزیہ کے لیے مسلسل بہت اہم رہا ہے، اس لیے مونٹل کی اصطلاحات آج بھی استعمال ہوتی ہیں، حالانکہ جدید نقطہ نظر سے، کچھ ریاضی دانوں کی طرف سے پری کمپیکٹ سب سیٹ کے جملے کو ترجیح دی جا سکتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی کا تصور تصور کو عام اور واضح کرتا ہے، لیکن بہت سے ایپلی کیشنز میں اصل تعریف زیادہ عملی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ بنیادی معمول کی جانچ نوٹس حوالہ جات مارٹی، فریڈرک: ریچرچس سر لا ری پارٹیشن ڈیس ویلیورس ڈی یون فنکشن میرومورفی۔ این۔ فیس۔ سائنس. یونیورسٹی۔ ٹولوز، 1931، 28، این 3، پی۔ 183-261۔ مسلسل افعال کا نظریہ فنکشن خالی جگہوں کی ٹوپولوجی پیچیدہ تجزیہ