Inverse quadratic interpolation
عددی تجزیے میں، الٹا کواڈریٹک انٹرپولیشن ایک جڑ تلاش کرنے والا الگورتھم ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ f (x) = 0 کی شکل کی مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک الگورتھم ہے۔ خیال یہ ہے کہ f کے الٹا کا تخمینہ لگانے کے لیے کواڈریٹک انٹرپولیشن کا استعمال کیا جائے۔ یہ الگورتھم شاذ و نادر ہی اپنے طور پر استعمال ہوتا ہے، لیکن یہ اہم ہے کیونکہ یہ مشہور برینٹ کے طریقہ کار کا حصہ بنتا ہے۔ طریقہ الٹا کواڈریٹک انٹرپولیشن الگورتھم کی تعریف تکرار کے تعلق سے کی جاتی ہے جہاں fk = f (xk)۔ جیسا کہ تکرار کے تعلق سے دیکھا جا سکتا ہے، اس طریقہ کار کے لیے تین ابتدائی اقدار، x0، x1 اور x2 کی ضرورت ہوتی ہے۔ طریقہ کار کی وضاحت ہم تین سابقہ تکرار، xn−2، xn−1 اور xn کو ان کی فنکشن ویلیوز، fn−2، fn−1 اور fn کے ساتھ استعمال کرتے ہیں۔ f پیداوار کے الٹا پر کواڈریٹک انٹرپولیشن کرنے کے لیے لگرینج انٹرپولیشن فارمولا کا اطلاق ہم f کی جڑ تلاش کر رہے ہیں، لہذا ہم مندرجہ بالا مساوات میں y = f (x) = 0 کو متبادل بناتے ہیں اور اس کے نتیجے میں مذکورہ بالا ریکرشن فارمولا ہوتا ہے۔ غیر علامتی طرز عمل بہت اچھا ہوتا ہے: عام طور پر، ایک بار قریب آنے کے بعد تکرار xn تیزی سے جڑ میں ضم ہو جاتے ہیں۔ تاہم، اگر ابتدائی اقدار اصل جڑ کے قریب نہ ہوں تو کارکردگی اکثر کافی خراب ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی بھی موقع پر فنکشن کی دو اقدار fn−2، fn−1 اور fn یکجا ہو جائیں تو الگورتھم مکمل طور پر ناکام ہو جاتا ہے۔ اس طرح، الٹا کواڈریٹک انٹرپولیشن شاذ و نادر ہی اسٹینڈ الون الگورتھم کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔ اس کنورجنس کی ترتیب تقریبا 1.84 ہے جیسا کہ سیکینٹ میتھڈ تجزیہ سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ جڑ تلاش کرنے کے دیگر طریقوں کے ساتھ موازنہ جیسا کہ تعارف میں بتایا گیا ہے، برینٹ کے طریقہ کار میں الٹا کواڈریٹک انٹرپولیشن استعمال کیا جاتا ہے۔ الٹا کواڈریٹک انٹرپولیشن کا جڑ تلاش کرنے کے کچھ دوسرے طریقوں سے بھی گہرا تعلق ہے۔ کواڈریٹک انٹرپولیشن کے بجائے لکیری انٹرپولیشن کا استعمال سیکینٹ طریقہ فراہم کرتا ہے۔ f کے الٹا کے بجائے f کو انٹرپولیٹ کرنے سے مولر کا طریقہ معلوم ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ جانشینی پیرابولک انٹرپولیشن ایک متعلقہ طریقہ ہے جو جڑوں کے بجائے انتہا کو تلاش کرنے کے لیے پیرابولس کا استعمال کرتا ہے۔ حوالہ جات جیمز ایف ایپرسن، عددی طریقوں اور تجزیہ کا تعارف، صفحات 182-185، ولی-انٹرسائنس، 2007۔ جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم