Tangent cone
جیومیٹری میں، ٹینجینٹ شنک ٹینجینٹ اسپیس کے تصور کی یکسانیت کے ساتھ بعض خالی جگہوں کے معاملے میں کئی گنا تک عمومی شکل ہے۔ غیر لکیری تجزیے میں تعریفیں غیر لکیری تجزیے میں، ٹینجینٹ شنک کی بہت سی تعریفیں ہیں، جن میں ملحقہ شنک، بولگنڈ کا کنٹینجنٹ شنک، اور کلارک ٹینجینٹ شنک شامل ہیں۔ یہ تینوں شنک ایک کنویکس سیٹ کے ساتھ موافق ہوتے ہیں، لیکن وہ زیادہ عام سیٹوں پر مختلف ہو سکتے ہیں۔ کلارک ٹینجینٹ شنک کو بناچ اسپیس کا ایک غیر خالی بند ذیلی سیٹ ہونے دیں۔ کلارک کا ٹینجینٹ شنک، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، تمام ویکٹروں پر مشتمل ہوتا ہے، جیسے کہ صفر کی طرف جھکاؤ رکھنے والی کسی بھی ترتیب کے لیے، اور کسی بھی ترتیب کی طرف جھکاؤ رکھنے کے لیے، ایک ایسی ترتیب موجود ہوتی ہے، جس میں کلارک کا ٹینجینٹ شنک ہمیشہ متعلقہ کنٹینجنٹ شنک کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے (اور اس کے ساتھ موافق ہوتا ہے، جب سوال میں سیٹ کنویکس ہوتا ہے)۔ اس میں بند کنویکس شنک ہونے کی اہم خاصیت ہے۔ کنویکس جیومیٹری میں تعریف فرض کریں کہ K ایک حقیقی ویکٹر اسپیس V کا ایک بند کنویکس سب سیٹ ہے اور K کی باؤنڈری ہے۔ ایک نقطہ x ω ω ω K پر K کے لیے ٹھوس ٹینجینٹ شنک x سے نکلنے والی تمام نصف لائنوں (یا کرنوں) سے بننے والے شنک کی بندش ہے اور کم از کم ایک نقطہ y میں K کو x سے الگ کرتا ہے۔ یہ V میں ایک کنویکس شنک ہے اور اسے K پر مشتمل V کی بند نصف جگہوں کے چوراہے کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے اور x پر K کے معاون ہائپرپلین سے گھرا ہوا ہے۔ ٹھوس ٹینجینٹ شنک کی باؤنڈری TK، K کے لیے ٹینجینٹ شنک ہے اور x پر ऱ्ऱं K ہے۔ اگر یہ V کا ایک افائن سب اسپیس ہے تو نقطہ x کو ष्ण کے کا ہموار نقطہ کہا جاتا ہے اور ष्ण کے کو x پر تفریق کے قابل کہا جاتا ہے اور TK x پر ष्ण کے کے لیے عام ٹینجینٹ اسپیس ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں تعریف X کو آئیڈیل کی وضاحت کے ساتھ، افائن اسپیس میں سرایت شدہ ایک افائن الجبرائی قسم ہونے دیں۔ کسی بھی کثیر الجہتی f کے لیے، آئیے سب سے کم ڈگری f کا یکساں جزو، f کی ابتدائی اصطلاح، اور آئیے یکساں آئیڈیل جو سب کے لیے ابتدائی اصطلاحات سے تشکیل پاتا ہے، I کا ابتدائی آئیڈیل۔ اصل میں X کے لیے ٹینجینٹ شنک آئیڈیل کے ذریعے بیان کردہ Zariski بند ذیلی سیٹ ہے۔ کوآرڈینیٹ سسٹم کو منتقل کرنے سے، یہ تعریف اصل کی جگہ کے من مانی نقطہ تک پھیل جاتی ہے۔ ٹینجینٹ شنک ایک باقاعدہ نقطہ پر ٹینجینٹ اسپیس کے تصور کی توسیع کے طور پر کام کرتا ہے، جہاں X سب سے زیادہ قریب سے ایک تفریق پذیر کئی گنا سے ملتا جلتا ہے، تمام X سے۔ (اس کے ایک نقطہ پر ٹینجینٹ شنک خالی ہے جو X میں موجود نہیں ہے۔) مثال کے طور پر، نوڈل وکر اصل پر واحد ہے، کیونکہ f (x, y) = y2 − x3 − x2 کے دونوں جزوی مشتقات (0,0) پر غائب ہو جاتے ہیں۔ اس طرح اصل میں سی کے لیے زرسکی ٹینجینٹ اسپیس پورا طیارہ ہے، اور اس کا طول و عرض خود منحنی خطوط (دو بمقابلہ ایک) سے زیادہ ہے۔ دوسری طرف، ٹینجینٹ شنک اصل میں C کی دو شاخوں کے ساتھ ٹینجینٹ لائنوں کا اتحاد ہے، اس کی وضاحت کرنے والا آئیڈیل k [x] کا پرنسپل آئیڈیل ہے جو f کی ابتدائی اصطلاح سے پیدا ہوتا ہے، یعنی y2 − x2 = 0۔ ٹینجینٹ شنک کی تعریف کو تجریدی الجبرائی اقسام، اور یہاں تک کہ عام نویتھیرین اسکیموں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ X ایک الجبرائی قسم ہے، x X کا ایک نقطہ ہے، اور (OX، x، m) x پر X کی مقامی انگوٹی ہے۔ پھر x پر ٹینجینٹ شنک، m-adic فلٹریشن کے حوالے سے OX، x کے متعلقہ درجہ بند رنگ کا سپیکٹرم ہے: اگر ہم اپنی پچھلی مثال پر نظر ڈالیں تو ہم دیکھ سکتے ہیں کہ درجہ بند ٹکڑوں میں وہی معلومات ہوتی ہیں۔ تو پھر اگر ہم متعلقہ درجہ بند رنگ کو وسعت دیتے ہیں تو ہم دیکھ سکتے ہیں کہ کثیر الجہتی جو ہماری قسم کی وضاحت کرتا ہے کون مونگے شنک عام شنک حوالہ جات کنویکس جیومیٹری الجبرائی جیومیٹری متغیر تجزیہ بھی دیکھیں۔