4-manifold
ریاضی میں، 4-ضرب ایک 4 جہتی ٹپوولوجیکل کئی گنا ہے۔ ایک ہموار 4-مینی فولڈ ایک ہموار ساخت کے ساتھ 4-مینی فولڈ ہوتا ہے۔ طول و عرض چار میں، نچلے طول و عرض کے واضح برعکس، ٹپوولوجیکل اور ہموار کئی گنا بالکل مختلف ہیں۔ کچھ ٹپوولوجیکل 4-مینیفولڈز موجود ہیں جو کسی ہموار ڈھانچے کو تسلیم نہیں کرتے ہیں، اور یہاں تک کہ اگر کوئی ہموار ڈھانچہ موجود ہے، تو اسے منفرد ہونے کی ضرورت نہیں ہے (یعنی۔ ہموار 4-مینیفولڈ ہوتے ہیں جو ہومومورفک ہوتے ہیں لیکن ڈفیومورفک نہیں ہوتے ہیں)۔ طبیعیات میں 4-مینیفولڈ اہم ہیں کیونکہ عمومی اضافیت میں، اسپیس ٹائم کو ایک فرضی-ریمینیئن 4-مینیفولڈ کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے۔ ٹوپوولوجیکل 4-مینیفولڈز محض منسلک کمپیکٹ 4-مینیفولڈ کی ہوموٹوپی کی قسم صرف درمیانی جہتی ہومیولوجی پر چوراہے کی شکل پر منحصر ہے۔ ایک مشہور تھیوریم کا مطلب یہ ہے کہ کئی گنا کی ہومیومورفزم کی قسم کا انحصار صرف اس چوراہے کی شکل پر ہوتا ہے، اور ایک غیر متغیر پر جسے کربی-سیبین مین غیر متغیر کہا جاتا ہے، اور اس کے علاوہ یہ کہ غیر ماڈیولر شکل اور کربی-سیبین مین غیر متغیر کا ہر مجموعہ پیدا ہو سکتا ہے، سوائے اس کے کہ اگر شکل یکساں ہے، تو کربی-سیبین مین غیر متغیر دستخط/8 (موڈ 2) ہونا چاہیے۔ مثال: خاص صورت میں جب شکل 0 ہوتی ہے، تو اس سے 4 جہتی ٹوپولوجیکل پوائنکیری قیاس ظاہر ہوتا ہے۔ اگر شکل E8 جالی ہے، تو یہ ایک کئی گنا دیتا ہے جسے E8 کئی گنا کہا جاتا ہے، جو کسی بھی سادہ کمپلیکس کے لیے کئی گنا ہومومورفک نہیں ہے۔ اگر شکل ہے، تو کربی-سیبین مین غیر متغیر پر منحصر دو کئی گنا ہیں: ایک 2 جہتی پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس ہے، اور دوسرا ایک جعلی پروجیکٹو اسپیس ہے، جس میں ایک ہی ہوموٹوپی قسم ہے لیکن ہومیومورفک نہیں ہے (اور کوئی ہموار ڈھانچہ نہیں ہے)۔ جب شکل کی درجہ بندی تقریبا 28 سے زیادہ ہوتی ہے، تو مثبت قطعی غیر ماڈیولر شکلوں کی تعداد درجہ بندی کے ساتھ انتہائی تیزی سے بڑھنے لگتی ہے، لہذا اس سے متعلق محض منسلک ٹوپولوجیکل 4-مینیفولڈز کی بڑی تعداد موجود ہے (جن میں سے زیادہ تر لگ رہا ہے کہ تقریبا کوئی دلچسپی نہیں ہے)۔ فریڈمین کی درجہ بندی کو کچھ ایسے معاملات تک بڑھایا جا سکتا ہے جب بنیادی گروپ زیادہ پیچیدہ نہ ہو۔ مثال کے طور پر، جب ایسا ہوتا ہے، تو گروپ کی انگوٹی پر ہرمیٹین فارموں کا استعمال کرتے ہوئے اوپر کی طرح کی درجہ بندی ہوتی ہے۔ اگر بنیادی گروپ بہت بڑا ہے (مثال کے طور پر، 2 جنریٹرز پر ایک آزاد گروپ)، تو فریڈمین کی تکنیک ناکام ہوتی دکھائی دیتی ہے اور اس طرح کے کئی گنا کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں۔ کسی بھی حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے لیے ایک (ہموار) کمپیکٹ 4-مینی فولڈ کو اس کے بنیادی گروپ کے طور پر بنانا آسان ہے۔ چونکہ یہ بتانے کے لیے کوئی الگورتھم موجود نہیں ہے کہ آیا دو حتمی طور پر پیش کردہ گروپ آئسومورفک ہیں (یہاں تک کہ اگر ایک کو معمولی سمجھا جاتا ہے) یہ بتانے کے لیے کوئی الگورتھم نہیں ہے کہ آیا دو 4-مینیفولڈز کا ایک ہی بنیادی گروپ ہے۔ یہ ایک وجہ ہے کہ 4-مینیفولڈ پر زیادہ تر کام صرف سیدھے منسلک کیس پر غور کرتا ہے: بہت سے مسائل کا عمومی کیس پہلے ہی ناقابل حل معلوم ہے۔ ہموار 4-مینیفولڈز طول و عرض کے کئی گنا کے لیے زیادہ سے زیادہ 6 پر، کسی بھی پیس وائز لکیری (پی ایل) ڈھانچے کو بنیادی طور پر منفرد انداز میں ہموار کیا جا سکتا ہے، لہذا خاص طور پر 4 جہتی پی ایل مینیفولڈز کا نظریہ 4 جہتی ہموار کئی گنا کے نظریہ جیسا ہی ہے۔ ہموار 4-مینیفولڈ کے نظریہ میں ایک بڑا کھلا مسئلہ صرف منسلک کمپیکٹ کی درجہ بندی کرنا ہے۔ جیسا کہ ٹوپولوجیکل لوگوں کو جانا جاتا ہے، یہ دو حصوں میں تقسیم ہوتا ہے: کون سے ٹوپولوجیکل کئی گنا ہموار ہوتے ہیں؟ مختلف ہموار ڈھانچوں کو ہموار کئی گنا پر درجہ بندی کریں۔ پہلے مسئلے کا تقریبا مکمل جواب ہے جس میں سے محض منسلک کمپیکٹ 4-مینیفولڈز میں ہموار ڈھانچے ہوتے ہیں۔ سب سے پہلے، کربی-سیبین مین طبقے کو ختم ہونا چاہیے۔ اگر چوراہے کی شکل قطعی ہے تو ڈونلڈسن کا نظریہ ایک مکمل جواب دیتا ہے: ایک ہموار ڈھانچہ تب ہی ہوتا ہے جب شکل اخترن ہو۔ اگر شکل غیر معینہ مدت اور عجیب ہے تو ایک ہموار ڈھانچہ ہے۔ اگر فارم غیر معینہ مدت کا ہے اور یہاں تک کہ ہم یہ بھی فرض کر سکتے ہیں کہ اگر ضروری ہو تو سمتوں کو تبدیل کر کے یہ غیر مثبت دستخط کا ہے، اس صورت میں یہ کچھ m اور n کے لیے II1,1 کی m کاپیوں اور E8 (−1) کی 2n کاپیوں کے مجموعے کے لیے آئسومورفک ہے۔ اگر m ≤ 3n (تاکہ طول و عرض کم از کم 11/8 گنا |signature | ہو) تو ایک ہموار ڈھانچہ ہے، جو n K3 سطحوں کا منسلک مجموعہ اور S2 × S2 کی m−3n کاپیاں لے کر دیا گیا ہے۔ اگر m ≤ 2n (تو طول و عرض زیادہ سے زیادہ 10/8 گنا |signature | ہے) تو فروتا نے ثابت کیا کہ کوئی ہموار ڈھانچہ موجود نہیں ہے۔ اس سے 10/8 اور 11/8 کے درمیان ایک چھوٹا سا فرق رہ جاتا ہے جہاں جواب زیادہ تر نامعلوم ہوتا ہے۔ (سب سے چھوٹی صورت جس کا اوپر احاطہ نہیں کیا گیا ہے اس میں n = 2 اور m = 5 ہے، لیکن اس کو بھی مسترد کر دیا گیا ہے، لہذا سب سے چھوٹی جالی جس کا جواب فی الحال معلوم نہیں ہے وہ رینک 62 کی جالی II7,55 ہے جس میں n = 3 اور m = 7 ہے۔ اس شعبے میں حالیہ (2019 تک) پیش رفت کے لیے دیکھیں۔) "11/8 قیاس" بیان کرتا ہے کہ ہموار ڈھانچے موجود نہیں ہیں اگر طول و عرض 11/8 گنا |signature | سے کم ہے۔ اس کے برعکس، ہموار ڈھانچوں کو ہموار 4-گنا پر درجہ بندی کرنے کے دوسرے سوال کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں ؛ درحقیقت، ایک بھی ہموار 4-گنا نہیں ہے جہاں جواب معلوم ہو۔ ڈونلڈسن نے دکھایا کہ کچھ آسانی سے جڑے ہوئے کمپیکٹ 4-مینیفولڈ ہیں، جیسے ڈولگاچوف کی سطحیں، جن میں مختلف ہموار ڈھانچوں کی گنتی سے لامحدود تعداد ہے۔ R4 پر مختلف ہموار ڈھانچوں کی بے شمار تعداد موجود ہیں۔ غیر ملکی R4 دیکھیں۔ فنٹوشیل اور سٹرن نے دکھایا کہ کس طرح مختلف ہموار ڈھانچوں کی بڑی تعداد کی تعمیر کے لیے سرجری کا استعمال کیا جاتا ہے (صوابدیدی انٹیگرل کثیر الجہتی کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے) بہت سے مختلف کئی گنا پر، سیبرگ وٹن غیر متغیرات کا استعمال کرتے ہوئے یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ ہموار ڈھانچے مختلف ہیں۔ ان کے نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ آسانی سے جڑے ہوئے ہموار 4-مینیفولڈز کی کوئی بھی درجہ بندی بہت پیچیدہ ہوگی۔ یہ درجہ بندی کیسی نظر آسکتی ہے اس بارے میں فی الحال کوئی معقول قیاس آرائیاں موجود نہیں ہیں۔ (کچھ ابتدائی قیاس آرائیاں کہ تمام آسانی سے جڑے ہوئے ہموار 4-مینیفولڈ الجبرائی سطحوں کے جڑے ہوئے مجموعے ہو سکتے ہیں، یا سمپلیکٹک کئی گنا، ممکنہ طور پر الٹے رخ کے ساتھ، غلط ثابت ہوئے ہیں۔) 4 جہتوں میں خصوصی مظاہر کئی گنا کے بارے میں کئی بنیادی نظریات ہیں جنہیں کم سے کم 3 جہتوں میں کم جہتی طریقوں سے ثابت کیا جا سکتا ہے، اور کم سے کم 5 طول و عرض میں مکمل طور پر مختلف اعلی جہتی طریقوں سے، لیکن جو طول و عرض 4 میں غلط ہیں۔ یہاں کچھ مثالیں دی گئی ہیں: 4 کے علاوہ دیگر جہتوں میں، کربی-سیبین مین غیر متغیر پی ایل ڈھانچے کے وجود میں رکاوٹ فراہم کرتا ہے ؛ دوسرے لفظوں میں ایک کمپیکٹ ٹوپولوجیکل کئی گنا میں پی ایل ڈھانچہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب H4 (M, Z/2Z) میں اس کا کربی-سیبین مین غیر متغیر غائب ہو جائے۔ طول و عرض 3 اور اس سے نچلے حصے میں، ہر ٹپوولوجیکل کئی گنا ایک بنیادی طور پر منفرد پی ایل ڈھانچے کو تسلیم کرتا ہے۔ طول و عرض 4 میں بہت سی مثالیں موجود ہیں جن میں کربی-سیبنمین غیر متغیر لیکن کوئی پی ایل ڈھانچہ نہیں ہے۔ 4 کے علاوہ کسی بھی جہت میں، ایک کمپیکٹ ٹوپولوجیکل کئی گنا میں بنیادی طور پر الگ الگ پی ایل یا ہموار ڈھانچے کی صرف ایک محدود تعداد ہوتی ہے۔ طول و عرض 4 میں، کمپیکٹ مینیفولڈز میں گنتی کے لحاظ سے لامحدود تعداد میں غیر ڈائیفومورفک ہموار ڈھانچے ہو سکتے ہیں۔ چار واحد طول و عرض n ہے جس کے لیے Rn میں ایک غیر ملکی ہموار ساخت ہو سکتی ہے۔ R4 میں بے شمار غیر ملکی ہموار ڈھانچے ہیں۔ غیر ملکی R4 دیکھیں۔ ہموار پوئن کیری قیاس کا حل 4 کے علاوہ تمام جہتوں میں جانا جاتا ہے (یہ عام طور پر کم از کم 7 طول و عرض میں غلط ہوتا ہے ؛ غیر ملکی دائرہ دیکھیں)۔ پی ایل کئی گنا کے لیے پوئن کیری قیاس 4 کے علاوہ تمام جہتوں کے لیے ثابت ہوا ہے، لیکن یہ معلوم نہیں ہے کہ یہ 4 جہتوں میں درست ہے یا نہیں (یہ 4 جہتوں میں ہموار پوئن کیری قیاس کے برابر ہے)۔ ہموار ایچ-کوبورڈزم تھیوریم کوبورڈزم کے لیے ہے بشرطیکہ نہ تو کوبورڈزم اور نہ ہی اس کی حد کا طول و عرض 4 ہے۔ یہ ناکام ہو سکتا ہے اگر کوبورڈزم کی حد کا طول و عرض 4 ہو (جیسا کہ ڈونلڈسن نے دکھایا ہے)۔ اگر کوبورڈزم کا طول و عرض 4 ہے، تو یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا ایچ-کوبورڈزم تھیوریم برقرار ہے یا نہیں۔ طول و عرض کے 4 کے برابر نہ ہونے والے ٹپوولوجیکل کئی گنا میں ہینڈل باڈی سڑنا ہوتا ہے۔ طول و عرض 4 کے مینیفولڈز میں ہینڈل باڈی سڑنا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ ہموار ہوں۔ کمپیکٹ 4 جہتی ٹپوولوجیکل کئی گنا ہیں جو کسی بھی سادہ کمپلیکس کے لیے ہومومورفک نہیں ہیں۔ طول و عرض میں کم از کم 5 ٹوپولوجیکل کئی گنا کا وجود جو کسی سادہ کمپلیکس کے لیے ہومومورفک نہیں تھا ایک کھلا مسئلہ تھا۔ سیپرین منولسکو نے دکھایا کہ ہر جہت میں 5 سے بڑے یا اس کے برابر کئی گنا ہوتے ہیں، جو کسی سادہ کمپلیکس کے لیے ہومومورفک نہیں ہوتے ہیں۔ طول و عرض 4 میں وٹنی چال کی ناکامی فرینک کوئن کے مطابق، "طول و عرض 2n کے کئی گنا کے دو n جہتی ذیلی مینی فولڈ عام طور پر خود کو اور ایک دوسرے کو الگ تھلگ نکات میں کاٹتے ہیں۔ "وٹنی ٹرک" ان چوراہوں کو آسان بنانے کے لیے سرایت شدہ 2 ڈسک کے پار ایک آئسوٹوپی کا استعمال کرتا ہے۔ موٹے طور پر یہ 2-ڈسک کے سرایت کرنے کے لیے n-جہتی سرایت کے مطالعہ کو کم کر دیتا ہے۔ لیکن یہ کمی نہیں ہے جب طول و عرض 4 ہے: 2 ڈسک خود درمیانی جہتی ہیں، لہذا ان کو سرایت کرنے کی کوشش بالکل وہی مسائل کا سامنا کرتی ہے جو انہیں حل کرنا ہے۔ یہ وہ رجحان ہے جو طول و عرض 4 کو دوسروں سے الگ کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ کربی کیلکولس الجبرائی سطح 3-مینیفولڈ 5-مینیفولڈ اینریکس-کوڈائرا درجہ بندی کیسون ہینڈل اکبولٹ کارک حوالہ جات بیرونی روابط جیومیٹرک ٹوپولوجی کم جہتی ٹوپولوجی