Real coordinate space
ریاضی میں، طول و عرض کی حقیقی کوآرڈینیٹ جگہ، جسے ظاہر کیا جاتا ہے یا حقیقی اعداد کے-tuples کا مجموعہ ہے، یہ حقیقی اعداد کے تمام ترتیبات کا مجموعہ ہے۔ خصوصی معاملات کو حقیقی لکیر اور حقیقی کوآرڈینیٹ طیارہ کہا جاتا ہے۔ اجزاء کے لحاظ سے اضافے اور اسکیلر ضرب کے ساتھ، یہ ایک حقیقی ویکٹر اسپیس ہے، اور اس کے عناصر کو کوآرڈینیٹ ویکٹر کہا جاتا ہے۔ حقیقی ویکٹر اسپیس کے عناصر کی کسی بھی بنیاد پر نقاط ویکٹر اسپیس کی طرح ہی طول و عرض کی حقیقی نقاط کی جگہ بناتے ہیں۔ اسی طرح، طول و عرض کی یوکلڈین جگہ کے نکات کے کارٹیشین نقاط طول و عرض کی ایک حقیقی مربوط جگہ بناتے ہیں۔ ویکٹرز، پوائنٹس اور کوآرڈینیٹ ویکٹرز کے درمیان یہ ایک سے ایک خط و کتابت کوآرڈینیٹ اسپیس اور کوآرڈینیٹ ویکٹر کے ناموں کی وضاحت کرتے ہیں۔ یہ حقیقی کوآرڈینیٹ خالی جگہوں کا مطالعہ کرنے کے لیے ہندسی اصطلاحات اور طریقوں کو استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے، اور اس کے برعکس، جیومیٹری میں کیلکولس کے طریقوں کو استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ جیومیٹری کا یہ نقطہ نظر 17 ویں صدی میں رینے ڈیکارٹس نے متعارف کرایا تھا۔ یہ بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے، کیونکہ یہ یوکلڈین خالی جگہوں میں پوائنٹس کا پتہ لگانے اور ان کے ساتھ کمپیوٹنگ کی اجازت دیتا ہے۔ تعریف اور ڈھانچے کسی بھی قدرتی عدد کے لیے سیٹ حقیقی اعداد () کے تمام-tuples پر مشتمل ہوتا ہے۔ اسے "-جہتی حقیقی جگہ" یا "حقیقی جگہ" کہا جاتا ہے۔ اس طرح ایک عنصر ایک-ٹپل ہے، اور لکھا جاتا ہے جہاں ہر ایک حقیقی نمبر ہے۔ لہذا، کثیر متغیر کیلکولس میں، کئی حقیقی متغیرات کے فنکشن کا ڈومین اور حقیقی ویکٹر ویلیوڈ فنکشن کا کوڈومین کچھ کے لیے ذیلی سیٹ ہیں۔ حقیقی جگہ میں کئی مزید خصوصیات ہیں، خاص طور پر: اجزاء کے لحاظ سے اضافے اور اسکیلر ضرب کے ساتھ، یہ ایک حقیقی ویکٹر جگہ ہے۔ ہر جہتی حقیقی ویکٹر کی جگہ اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ ڈاٹ پروڈکٹ کے ساتھ (اجزاء کے ٹرم پروڈکٹ کے لحاظ سے اصطلاح کا مجموعہ)، یہ ایک اندرونی پروڈکٹ اسپیس ہے۔ ہر جہتی حقیقی اندرونی پروڈکٹ کی جگہ اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہر اندرونی پروڈکٹ اسپیس کے طور پر، یہ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہے، اور ایک ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس ہے۔ یہ ایک یوکلڈین اسپیس اور ایک حقیقی افائن اسپیس ہے، اور ہر یوکلڈین یا افائن اسپیس اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ ایک تجزیاتی کئی گنا ہے، اور اسے تمام کئی گنا کا پروٹو ٹائپ سمجھا جا سکتا ہے، کیونکہ، تعریف کے مطابق، ایک کئی گنا، ہر نقطہ کے قریب، اس کے کھلے ذیلی سیٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ یہ ایک الجبرائی قسم ہے، اور ہر حقیقی الجبرائی قسم کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ ریاضی کی یہ خصوصیات اور ڈھانچے اسے ریاضی کے تقریبا تمام شعبوں اور ان کے اطلاق کے ڈومینز، جیسے شماریات، امکانی نظریہ، اور طبیعیات کے بہت سے حصوں میں بنیادی بناتے ہیں۔ متعدد متغیرات کے فنکشن کا ڈومین حقیقی متغیرات کے کسی بھی فنکشن کو (یعنی اس کے ڈومین کے ساتھ) پر ایک فنکشن سمجھا جا سکتا ہے۔ علیحدہ طور پر زیر غور کئی متغیرات کے بجائے حقیقی جگہ کا استعمال اشارے کو آسان بنا سکتا ہے اور معقول تعریفیں تجویز کر سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل فارم کی فنکشن کمپوزیشن پر غور کریں: جہاں فنکشنز اور مسلسل ہیں۔ اگر مسلسل (by) مسلسل (by) ہے تو ضروری نہیں کہ مسلسل ہو۔ تسلسل ایک مضبوط حالت ہے: قدرتی ٹوپولوجی میں تسلسل (جس پر ذیل میں بحث کی گئی ہے)، جسے کثیر متغیر تسلسل بھی کہا جاتا ہے، جو ساخت کے تسلسل کے لیے کافی ہے۔ ویکٹر اسپیس کوآرڈینیٹ اسپیس لکیریٹی کی ساخت کے اضافے کے ساتھ حقیقی اعداد کے میدان پر ایک جہتی ویکٹر اسپیس بناتا ہے، اور اکثر اب بھی اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ صفر ویکٹر کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور ویکٹر کا اضافی الٹا اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ ڈھانچہ اہم ہے کیونکہ کوئی بھی جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس ویکٹر اسپیس کے لیے آئسومورفک ہے۔ میٹرکس نوٹیشن معیاری میٹرکس نوٹیشن میں، میٹرکس کے ہر عنصر کو عام طور پر کالم ویکٹر کے طور پر اور بعض اوقات قطار ویکٹر کے طور پر لکھا جاتا ہے: کوآرڈینیٹ اسپیس کو پھر تمام کالم ویکٹرز کی جگہ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، یا تمام قطار ویکٹرز کے ساتھ عام میٹرکس آپریشنز کے ساتھ اضافہ اور اسکیلر ضرب۔ اس کے بعد سے لکیری تبدیلیوں کو میٹرکس کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جو بائیں ضرب کے ذریعے کے عناصر (جب کے عناصر کالم ویکٹر ہوتے ہیں) اور دائیں ضرب کے ذریعے کے عناصر (جب وہ قطار ویکٹر ہوتے ہیں) پر عمل کرتے ہیں۔ بائیں ضرب کا فارمولا، میٹرکس ضرب کا ایک خاص معاملہ، یہ ہے: کوئی بھی لکیری تبدیلی ایک مسلسل فعل ہے (نیچے دیکھیں)۔ نیز، ایک میٹرکس ایک کھلے نقشے کی وضاحت کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب میٹرکس کا درجہ اس کے برابر ہو۔ معیاری بنیاد کوآرڈینیٹ اسپیس ایک معیاری بنیاد کے ساتھ آتا ہے: یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ ایک بنیاد ہے، نوٹ کریں کہ ایک صوابدیدی ویکٹر کو جیومیٹرک خصوصیات کی شکل میں منفرد طور پر لکھا جا سکتا ہے اور واقفیت کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ حقیقی اعداد، بہت سے دوسرے شعبوں کے برعکس، ایک ترتیب شدہ فیلڈ کی تشکیل کرتے ہیں جس پر ایک واقفیت کا ڈھانچہ حاصل ہوتا ہے۔ خود کا کوئی بھی مکمل درجے کا لکیری نقشہ اس کے میٹرکس کے تعین کنندہ کی علامت کے لحاظ سے خلا کی سمت کو محفوظ یا الٹ دیتا ہے۔ اگر کوئی تعدد کو مربوط کرتا ہے (یا، دوسرے الفاظ میں، بنیاد کے عناصر)، تو نتیجے میں واقفیت تعدد کی برابری پر منحصر ہوگی۔ صفر جیکوبین سے بچنے کے لیے ان کی فضیلت کے لحاظ سے اس میں موجود ڈومینز یا ڈومینز کو واقفیت کے تحفظ اور واقفیت کے الٹ میں بھی درجہ بند کیا جاتا ہے۔ اس کے تفریقی شکلوں کے نظریہ کے لیے اہم نتائج ہیں، جن کے استعمال میں برقی حرکیات شامل ہیں۔ اس ڈھانچے کا ایک اور مظہر یہ ہے کہ نقطہ عکاسی کی مساوات کے لحاظ سے مختلف خصوصیات ہیں۔ یہاں تک کہ یہ واقفیت کو محفوظ رکھتا ہے، جبکہ عجیب کے لیے یہ الٹا ہوتا ہے (نامناسب گردش بھی دیکھیں)۔ افائن اسپیس کو ایک افائن اسپیس کے طور پر سمجھا جاتا ہے وہی جگہ ہے، جہاں ویکٹر اسپیس کے طور پر ترجمے کے ذریعے کام کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک ویکٹر کو "دو نکات کے درمیان فرق" کے طور پر سمجھنا پڑتا ہے، جو عام طور پر دو نکات کو جوڑنے والے ایک ڈائریکٹڈ لائن سیگمنٹ کے ذریعے دکھایا جاتا ہے۔ فرق یہ کہتا ہے کہ اس بات کا کوئی مستند انتخاب نہیں ہے کہ اصل کو افائن اسپیس میں کہاں جانا چاہیے، کیونکہ اس کا ترجمہ کہیں بھی کیا جا سکتا ہے۔ کنویکسٹی ایک حقیقی ویکٹر اسپیس میں، جیسے کہ، کوئی کنویکس شنک کی وضاحت کر سکتا ہے، جس میں اس کے ویکٹروں کے تمام غیر منفی لکیری امتزاج ہوتے ہیں۔ ایک افائن اسپیس میں متعلقہ تصور ایک کنویکس سیٹ ہے، جو صرف کنویکس امتزاج کی اجازت دیتا ہے (غیر منفی لکیری امتزاج جو 1 کا مجموعہ ہے)۔ عالمگیر الجبرا کی زبان میں، ویکٹر اسپیس کوفیشنٹس کی محدود ترتیبات کی عالمگیر ویکٹر اسپیس پر ایک الجبرا ہے، جو ویکٹرز کے محدود مجموعوں سے مطابقت رکھتا ہے، جبکہ ایک افائن اسپیس اس اسپیس میں عالمگیر افائن ہائپرپلین پر ایک الجبرا ہے (محدود ترتیبات کا مجموعہ 1)، ایک شنک عالمگیر آرتھینٹ پر ایک الجبرا ہے (غیر منفی نمبروں کے محدود ترتیبات کا)، اور ایک کنویکس سیٹ عالمگیر سمپلیکس پر ایک الجبرا ہے (غیر منفی نمبروں کے محدود ترتیبات کا مجموعہ 1)۔ یہ محوریوں کو "نقاط پر (ممکنہ) پابندیوں کے ساتھ جمع" کے لحاظ سے جیومیٹریز کرتا ہے۔ کنویکس تجزیہ کا ایک اور تصور ایک کنویکس فنکشن سے لے کر حقیقی اعداد تک ہے، جس کی تعریف پوائنٹس کے کنویکس امتزاج پر اس کی قیمت اور ان پوائنٹس میں اقدار کے مجموعے کے درمیان عدم مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یوکلڈین اسپیس ڈاٹ پروڈکٹ ویکٹر اسپیس پر معیار کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر ہر ویکٹر کا اپنا یوکلڈین معیار ہے، تو پوائنٹس کے کسی بھی جوڑے کے لیے فاصلے کی وضاحت کی جاتی ہے، جو اس کے افائن ڈھانچے کے علاوہ ایک میٹرک اسپیس ڈھانچہ فراہم کرتا ہے۔ جہاں تک ویکٹر خلائی ساخت کا تعلق ہے، ڈاٹ پروڈکٹ اور یوکلڈین فاصلہ عام طور پر بغیر کسی خاص وضاحت کے موجود سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، حقیقی جگہ اور یوکلڈین جگہ الگ الگ اشیاء ہیں، سختی سے بات کرتے ہوئے۔ کسی بھی یوکلڈین-اسپیس میں ایک مربوط نظام ہوتا ہے جہاں ڈاٹ پروڈکٹ اور یوکلڈین فاصلے کی شکل اوپر دکھائی گئی ہوتی ہے، جسے کارٹیزین کہا جاتا ہے۔ لیکن یوکلڈین اسپیس پر بہت سے کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم موجود ہیں۔ اس کے برعکس، یوکلڈین میٹرک کے لیے مذکورہ فارمولہ معیاری یوکلڈین ڈھانچے کی وضاحت کرتا ہے، لیکن یہ واحد ممکن فارمولہ نہیں ہے۔ در حقیقت، کوئی بھی مثبت-یقینی کواڈریٹک شکل اپنے "فاصلے" کی وضاحت کرتی ہے، لیکن یہ یوکلڈین سے اس لحاظ سے بہت مختلف نہیں ہے کہ میٹرک کی اس طرح کی تبدیلی اس کی کچھ خصوصیات کو محفوظ رکھتی ہے، مثال کے طور پر مکمل میٹرک اسپیس ہونے کی خاصیت۔ اس سے یہ بھی ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی مکمل درجے کی لکیری تبدیلی، یا اس کی افائن تبدیلی، فاصلے کو کسی مقررہ سے زیادہ نہیں بڑھاتی ہے، اور فاصلے کو اوقات سے چھوٹا نہیں بناتی، ایک مقررہ محدود تعداد گنا چھوٹا ہوتا ہے۔ میٹرک افعال کی مذکورہ بالا مساوات درست رہتی ہے اگر اس کی جگہ لے لی جائے، جہاں ڈگری 1 کا کوئی کنویکس مثبت یکساں فعل ہے، یعنی۔ ویکٹر کا معیار (مفید مثالوں کے لیے منکووسکی کا فاصلہ دیکھیں)۔ اس حقیقت کی وجہ سے کہ کوئی بھی "قدرتی" میٹرک یوکلڈین میٹرک سے خاص طور پر مختلف نہیں ہے، پیشہ ورانہ ریاضیاتی کاموں میں بھی ہمیشہ یوکلڈین اسپیس سے ممتاز نہیں ہوتا ہے۔ الجبرائی اور تفریقی جیومیٹری میں اگرچہ کئی گنا کی تعریف کے لیے یہ ضروری نہیں ہے کہ اس کے ماڈل کی جگہ ہونی چاہیے، لیکن تفریقی جیومیٹری میں یہ انتخاب سب سے عام اور تقریبا خصوصی ہے۔ دوسری طرف، وٹنی ایمبیڈنگ تھیوریمز کا کہنا ہے کہ کسی بھی حقیقی تفریق پذیر-جہتی کئی گنا میں سرایت کی جا سکتی ہے۔ دیگر ظاہری شکل زیر غور دیگر ڈھانچوں میں ایک فرضی یوکلڈین جگہ، سمپلیکٹک ڈھانچہ (یکساں)، اور رابطہ ڈھانچہ (عجیب) شامل ہیں۔ یہ تمام ڈھانچے، اگرچہ ہم آہنگی سے پاک انداز میں بیان کیے جا سکتے ہیں، لیکن ہم آہنگی میں معیاری (اور معقول حد تک آسان) شکلوں کو تسلیم کرتے ہیں۔ ایک حقیقی ویکٹر سب اسپیس بھی ہے جس میں سے پیچیدہ کنجگیشن کے لیے غیر متغیر ہے۔ پیچیدگی بھی دیکھیں۔ آر این میں پولی ٹاپس پولی ٹاپس کے تین خاندان ہیں جن کی خالی جگہوں میں، کسی کے لیے بھی سادہ نمائندگی ہوتی ہے، اور کسی حقیقی جگہ میں کسی بھی افائن کوآرڈینیٹ سسٹم کو دیکھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہائپر کیوب کے عمودی حصوں میں نقاط ہوتے ہیں جہاں ہر ایک صرف دو اقدار میں سے ایک پر لیتا ہے، عام طور پر 0 یا 1۔ تاہم، کسی بھی دو اعداد کو 0 اور 1 کے بجائے منتخب کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر اور 1۔ ایک-ہائپر کیوب کو حقیقی لائن پر یکساں وقفوں (جیسے یونٹ وقفہ) کے کارٹیشین پروڈکٹ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ ایک جہتی ذیلی سیٹ کے طور پر اسے عدم مساوات کے نظام کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے: کے لیے، اور کے لیے۔ کراس پولیٹوپ کے ہر ورٹیکس میں، کچھ کے لیے، کوآرڈینیٹ ±1 کے برابر ہوتا ہے اور دیگر تمام کوآرڈینیٹ 0 کے برابر ہوتے ہیں (جیسے کہ یہ سائن کرنے کے لیے واں معیاری بیس ویکٹر ہے)۔ یہ ہائپر کیوب کا دوہری پولیٹوپ ہے۔ ایک جہتی ذیلی سیٹ کے طور پر اسے ایک واحد عدم مساوات کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے جو مطلق قدر کے عمل کو استعمال کرتا ہے: لیکن اس کا اظہار لکیری عدم مساوات کے نظام کے ساتھ بھی کیا جا سکتا ہے۔ تیسرا پولیٹوپ جس میں محض قابل شمار نقاط ہیں وہ معیاری سمپلیکس ہے، جس کے عمودی حصے معیاری بیس ویکٹر اور اصل ہیں۔ ایک جہتی ذیلی سیٹ کے طور پر اسے لکیری عدم مساوات کے نظام کے ساتھ بیان کیا گیا ہے: تمام "≤" کو "<" سے تبدیل کرنے سے ان پولی ٹاپس کے اندرونی حصے ملتے ہیں۔ ٹوپولوجیکل خصوصیات کی ٹوپولوجیکل ساخت (جسے معیاری ٹوپولوجی، یوکلڈین ٹوپولوجی، یا معمول کی ٹوپولوجی کہا جاتا ہے) نہ صرف کارٹیشین پروڈکٹ سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ یہ اوپر زیر بحث یوکلڈین میٹرک سے متاثر قدرتی ٹوپولوجی سے بھی ملتا جلتا ہے: یوکلڈین ٹوپولوجی میں ایک سیٹ کھلا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے ہر پوائنٹ کے ارد گرد ایک کھلی گیند ہو۔ نیز، ایک لکیری ٹپوولوجیکل اسپیس ہے (اوپر لکیری نقشوں کا تسلسل دیکھیں)، اور اس کی لکیری ساخت کے ساتھ مطابقت رکھنے والی صرف ایک ممکن (غیر معمولی) ٹپوولوجی ہے۔ چونکہ خود سے بہت سے کھلے لکیری نقشے ہیں جو آئسومیٹریز نہیں ہیں، اس لیے بہت سے یوکلڈین ڈھانچے ہو سکتے ہیں جن پر ایک ہی ٹوپولوجی سے مطابقت ہے۔ دراصل، یہ لکیری ڈھانچے پر بھی زیادہ انحصار نہیں کرتا ہے: خود پر بہت سے غیر لکیری ڈفیومورفزم (اور دیگر ہومیومورفزم) ہیں، یا اس کے حصے جیسے یوکلڈین اوپن بال یا ہائپر کیوب کا اندرونی حصہ)۔ اس کی ٹوپولوجیکل جہت ہے۔ ٹوپولوجی پر ایک اہم نتیجہ، جو سطحی سے بہت دور ہے، بروور کا ڈومین کا غیر متغیر ہے۔ (اس کی سب اسپیس ٹوپولوجی کے ساتھ) کا کوئی بھی ذیلی سیٹ جو کسی دوسرے کھلے ذیلی سیٹ کے لیے ہومومورفک ہے خود کھلا ہے۔ اس کا ایک فوری نتیجہ یہ ہے کہ اگر کے لیے ہومومورفک نہیں ہے-ایک بدیہی طور پر "واضح" نتیجہ جس کے باوجود ثابت کرنا مشکل ہے۔ ٹپوولوجیکل طول و عرض میں فرق کے باوجود، اور ایک سادہ ادراک کے برعکس، کم جہتی حقیقی جگہ کو مسلسل اور سرجیکٹو طور پر نقشہ بنانا ممکن ہے۔ ایک مسلسل (اگرچہ ہموار نہیں) جگہ بھرنے والا وکر (کی تصویر) ممکن ہے۔ مثال کے طور پر n ≤ 1 کے معاملات کچھ نیا پیش نہیں کرتے: کیا حقیقی لکیر ہے، جبکہ (خالی کالم ویکٹر پر مشتمل جگہ) ایک سنگلٹن ہے، جسے صفر ویکٹر کی جگہ سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، ان کو نظریات کے معمولی معاملات کے طور پر شامل کرنا مفید ہے جو مختلف بیان کرتے ہیں۔ n = 2 (x، y) کا معاملہ جہاں x اور y حقیقی اعداد ہیں، کارٹیشین طیارہ P کے طور پر تیار کیا گیا ہے۔ مزید ڈھانچہ یوکلیڈین ویکٹروں کے ساتھ منسلک کیا گیا ہے جو P میں ہدایت شدہ لائن حصوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ طیارہ کو حقیقی میدان میں X2 + 1 = 0 کی جڑوں کو جوڑ کر فیلڈ ایکسٹینشن کے طور پر بھی تیار کیا گیا ہے۔ جڑ i P پر گھڑی کی مخالف سمت کے ساتھ چوتھائی موڑ کے طور پر کام کرتا ہے۔ یہ جڑ گروپ {i,-1,-i, + 1} Z/4Z پیدا کرتی ہے۔ جب (x، y) کو x + y i لکھا جاتا ہے تو یہ ایک پیچیدہ عدد ہوتا ہے۔ زیڈ/2 زیڈ کی طرف سے ایک اور گروپ ایکشن، جہاں اداکار کو جے کے طور پر ظاہر کیا گیا ہے، طیارہ (x، y) ′ (y، x) کو پلٹانے کے لیے لائن y = x کا استعمال کرتا ہے، جو نقاط کا تبادلہ ہے۔ اس صورت میں P کے نکات x + yj لکھے جاتے ہیں اور اسپلٹ کمپلیکس نمبرز کہلاتے ہیں۔ یہ اعداد، ج جے = + 1 کے مطابق ہم آہنگی کے لحاظ سے اضافے اور ضرب کے ساتھ، ایک رنگ بناتے ہیں جو فیلڈ نہیں ہے۔ P پر ایک اور رنگ ڈھانچہ (x، y) کے لیے x + y e لکھنے کے لیے نیل پوٹینٹ e کا استعمال کرتا ہے۔ P پر e کا عمل طیارہ کو ایک لکیر تک کم کر دیتا ہے: اسے x-ہم آہنگی میں پروجیکشن میں تحلیل کیا جا سکتا ہے، پھر نتیجہ کو y-محور میں سہ ماہی موڑ دیا جا سکتا ہے: e (x + y e) = x e چونکہ e2 = 0 ہے۔ ایک عدد x + y e ایک دوہرا عدد ہے۔ دوہرے نمبر ایک رنگ بناتے ہیں، لیکن، چونکہ e کا کوئی ضرب الٹا نہیں ہوتا ہے، اس لیے یہ ایک گروپ پیدا نہیں کرتا ہے اس لیے عمل ایک گروپ ایکشن نہیں ہے۔ P سے (0,0) کو چھوڑ کر [x: y] پروجیکٹو کوآرڈینیٹس بنتے ہیں جو حقیقی پروجیکٹو لائن، ایک جہتی جگہ کو بیان کرتے ہیں۔ چونکہ اصل کو خارج کر دیا گیا ہے، اس لیے تناسب x/y اور y/x میں سے کم از کم ایک موجود ہے۔ پھر [x: y] = [x/y: 1] یا [x: y] = [1: y/x]۔ پروجیکٹو لائن P1 (R) ایک ٹپوولوجیکل کئی گنا ہے جس کا احاطہ دو کوآرڈینیٹ چارٹس، [z: 1] → z یا [1: z] → z سے ہوتا ہے، جو ایک اٹلس بناتے ہیں۔ دونوں چارٹس کے زیر احاطہ پوائنٹس کے لیے ٹرانزیشن فنکشن پوائنٹ کے کھلے پڑوس پر ضرب الٹ ہے، جو کئی گنا میں ضرورت کے مطابق ہومومورفزم فراہم کرتا ہے۔ حقیقی پروجیکٹو لائن کا ایک اطلاق کیلی-کلین میٹرک جیومیٹری میں پایا جاتا ہے۔ n = 3 n = 4 کا تصور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے کہ پوائنٹس، جہاں ہر ایک یا تو 0 یا 1 ہے، ایک ٹیسریکٹ (تصویر میں)، 4-ہائپر کیوب (اوپر دیکھیں) کے عمودی ہیں۔ کا پہلا بڑا استعمال ایک اسپیس ٹائم ماڈل ہے: تین مقامی نقاط کے علاوہ ایک عارضی۔ یہ عام طور پر نظریہ اضافیت سے وابستہ ہے، حالانکہ گیلیلی کے بعد سے ایسے ماڈلز کے لیے چار جہتیں استعمال کی جاتی تھیں۔ نظریہ کا انتخاب مختلف ساخت کی طرف لے جاتا ہے، حالانکہ: گیلیلین اضافیت میں ہم آہنگی مراعات یافتہ ہے، لیکن آئن سٹائینین اضافیت میں ایسا نہیں ہے۔ خصوصی اضافیت منکووسکی خلا میں قائم کی گئی ہے۔ عمومی اضافیت مڑے ہوئے خالی جگہوں کا استعمال کرتی ہے، جن کے بارے میں زیادہ تر عملی مقاصد کے لیے مڑے ہوئے میٹرک کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ ان میں سے کوئی بھی ڈھانچہ (مثبت-یقینی) میٹرک فراہم نہیں کرتا ہے۔ یوکلڈین ریاضی دانوں کی توجہ بھی اپنی طرف متوجہ کرتا ہے، مثال کے طور پر کواٹرنیئنز سے اس کے تعلق کی وجہ سے، جو خود ایک 4 جہتی حقیقی الجبرا ہے۔ کچھ معلومات کے لیے 4 جہتی یوکلڈین جگہ میں گردش دیکھیں۔ تفریقی جیومیٹری میں، یہ واحد صورت ہے جہاں غیر معیاری تفریقی ساخت کو تسلیم کیا جاتا ہے: غیر ملکی R4 دیکھیں۔ ایک پر اصول ویکٹر کی جگہ پر بہت سے اصولوں کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ کچھ عام مثالیں پی-نارم ہیں، جن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ مثبت عدد کہاں ہے۔ معاملہ بہت اہم ہے، کیونکہ یہ بالکل یوکلیڈین معیار ہے۔ - معمول یا زیادہ سے زیادہ معیار، جس کی تعریف سب کے لیے کی گئی ہے۔ یہ تمام پی-معیارات کی حد ہے: ایک واقعی حیرت انگیز اور مددگار نتیجہ یہ ہے کہ اس پر بیان کردہ ہر معیار مساوی ہے۔ اس کا مطلب ہے دو صوابدیدی اصولوں کے لیے اور آپ ہمیشہ مثبت حقیقی اعداد تلاش کر سکتے ہیں، جیسے کہ سب کے لیے۔ یہ تمام اصولوں کے سیٹ پر مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔ اس نتیجے کے ساتھ آپ چیک کر سکتے ہیں کہ ویکٹروں کی ایک ترتیب اگر اور صرف اس صورت میں مل جاتی ہے جب وہ اس کے ساتھ مل جاتی ہے۔ یہاں ایک خاکہ ہے کہ اس نتیجے کا ثبوت کیسا نظر آسکتا ہے: مساوات کے تعلق کی وجہ سے یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ اس پر موجود ہر معیار یوکلیڈین معیار کے برابر ہے۔ آئیے ایک من مانی معمول بنیں۔ ثبوت کو دو مراحل میں تقسیم کیا گیا ہے: ہم ظاہر کرتے ہیں کہ ایک موجود ہے، جیسا کہ سب کے لیے ہے۔ اس مرحلے میں آپ اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ ہر ایک کو معیاری بنیاد کے لکیری امتزاج کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: پھر کاچی-شوارز عدم مساوات کے ساتھ جہاں۔ اب ہمیں ایسا تلاش کرنا ہے، جو سب کے لیے ہو۔ فرض کریں کہ ایسا کوئی نہیں ہے۔ پھر ہر a کے لیے موجود ہے، جیسے کہ۔ کی طرف سے دوسری ترتیب کی وضاحت کریں۔ یہ ترتیب پابند ہے کیونکہ۔ لہذا بولزانو-ویرسٹراس تھیوریم کی وجہ سے حد کے ساتھ ایک متغیر تسلسل موجود ہے۔ اب ہم دکھاتے ہیں کہ لیکن، جو کہ ایک تضاد ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اور۔ اس کا مطلب ہے، تو۔ دوسری طرف، کیونکہ۔ یہ کبھی درست نہیں ہو سکتا، اس لیے مفروضہ غلط تھا اور اس طرح کا ایک وجود موجود ہے۔ سپر اسکرپٹ نوٹیشن جیومیٹرک اسپیس ریئل پروجیکٹو اسپیس کی نظریاتی وضاحت کے لیے ایکسپونینشل آبجیکٹ بھی دیکھیں۔ فوٹ نوٹ حوالہ جات این ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس تجزیاتی جیومیٹری ملٹی ویری ایبل کیلکولس ریاضیاتی تجزیہ