Coleman–Mandula theorem
نظریاتی طبیعیات میں، کولمین-منڈولا تھیوریم ایک غیر جانے والا تھیوریم ہے جس میں کہا گیا ہے کہ اسپیس ٹائم اور اندرونی ہم آہنگی صرف معمولی انداز میں مل سکتی ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اندرونی ہم آہنگی سے وابستہ چارجز کو ہمیشہ لورینٹز اسکیلرز کے طور پر تبدیل ہونا چاہیے۔ نو-گو تھیوریم کی کچھ قابل ذکر مستثنیات کنفارمل سمیٹری اور سپرسیمیٹری ہیں۔ اس کا نام سڈنی کولمین اور جیفری منڈولا کے نام پر رکھا گیا ہے جنہوں نے اسے 1967 میں تیزی سے عام کیے جانے والے نو-گو تھیوریمز کے سلسلے کے اختتام کے طور پر ثابت کیا تھا کہ اندرونی ہم آہنگی کو خلائی وقت کی ہم آہنگی کے ساتھ کیسے جوڑا جا سکتا ہے۔ سپرسیمیٹرک جنرلائزیشن کو ہاگ-لوپوزانسکی-سونیئس تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ تاریخ 1960 کی دہائی کے اوائل میں، آٹھ گنا طریقے سے وابستہ عالمی ہم آہنگی کو ایک ہی گھماؤ کے ہیڈرون کے لیے ہیڈرون سپیکٹرم کو کامیابی سے بیان کرنے کے لیے دکھایا گیا تھا۔ اس کی وجہ سے عالمی ہم آہنگی کو ذائقہ اور گھماؤ دونوں کو ملا کر ایک بڑی ہم آہنگی تک بڑھانے کی کوششیں کی گئیں، یہ خیال اس سے ملتا جلتا ہے جس پر پہلے 1937 میں یوجین وگنر نے جوہری طبیعیات میں ہم آہنگی کے لیے غور کیا تھا۔ یہ غیر رشتہ دار ماڈل مختلف گھماؤ کے ویکٹر اور سڈوسکلر میسون کو 35 جہتی ملٹی پلیٹس میں متحد کرتا ہے اور اس نے دو بیریون ڈیکوپلیٹس کو 56 جہتی ملٹی پلیٹس میں بھی متحد کیا۔ اگرچہ یہ ہیڈرون سپیکٹرم کے مختلف پہلوؤں کو بیان کرنے میں معقول حد تک کامیاب رہا، لیکن کوانٹم کروموڈینامکس کے نقطہ نظر سے یہ کامیابی محض کوارک کے درمیان قوت کے ذائقہ اور گھومنے کی آزادی کا نتیجہ ہے۔ اس غیر رشتہ دار ماڈل کو مکمل طور پر رشتہ دار ماڈل میں عام کرنے کی بہت سی کوششیں کی گئیں، لیکن یہ سب ناکام رہے۔ اس وقت یہ بھی ایک کھلا سوال تھا کہ کیا کوئی ایسی ہم آہنگی موجود ہے جس کے لیے مختلف کمیتوں کے ذرات ایک ہی ضرب سے تعلق رکھتے ہوں۔ اس طرح کی ہم آہنگی پھر میسون اور بیرون میں پائے جانے والے بڑے پیمانے پر تقسیم کا سبب بن سکتی ہے۔ یہ بعد میں ہی سمجھا گیا کہ یہ اس کے بجائے اندرونی ہم آہنگی کے ٹوٹنے کا نتیجہ ہے۔ ان دونوں محرکات نے بغیر جانے والے نظریات کا ایک سلسلہ شروع کیا تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ خلائی وقت کی ہم آہنگی اور اندرونی ہم آہنگی کو کسی بھی طرح سے نہیں بلکہ معمولی طریقے سے جوڑا جا سکتا ہے۔ پہلی قابل ذکر تھیوریم کو 1964 میں ولیم میک گلین نے ثابت کیا تھا، جس کے بعد 1965 میں لوچلن او رائفرٹی نے عمومی شکل دی تھی۔ ان کوششوں کا اختتام 1967 میں سڈنی کولمین اور جیفری منڈولا کے سب سے عام نظریہ کے ساتھ ہوا۔ بعد کے سالوں میں اس نظریہ کو بہت کم نوٹس دیا گیا۔ نتیجے کے طور پر، تھیوریم نے سپرسیمیٹری کی ابتدائی ترقی میں کوئی کردار ادا نہیں کیا، جو اس کے بجائے 1970 کی دہائی کے اوائل میں دوہری گونج والے ماڈلز کے مطالعہ سے ابھرا، جو سٹرنگ تھیوری کے پیش خیمہ ہیں، بجائے اس کے کہ نو-گو تھیوریم پر قابو پانے کی کسی بھی کوشش سے۔ اسی طرح، ہیگ-لوپوسزاینسکی-سونیئس تھیوریم، جو کہ کولمین-منڈولا تھیوریم کی ایک سپرسیمیٹرک جنرلائزیشن ہے، 1975 میں اس وقت ثابت ہوئی جب سپرسیمیٹری کا مطالعہ پہلے ہی جاری تھا۔ ایک ایسے نظریہ پر غور کریں جسے ایس میٹرکس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے اور جو مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے۔ سمیٹری گروپ ایک لائ گروپ ہے جس میں پوئن کیئر گروپ ایک ذیلی گروپ کے طور پر شامل ہوتا ہے، کسی بھی کمیت کے نیچے، ذرہ اقسام کی صرف ایک محدود تعداد ہوتی ہے، کوئی بھی دو ذرات کی حالت تقریبا تمام توانائیوں پر کچھ رد عمل سے گزرتی ہے، لچکدار دو جسم بکھرنے کے طول و عرض تقریبا تمام توانائیوں اور زاویوں پر بکھرنے والے زاویے کے تجزیاتی افعال ہیں، ایک تکنیکی مفروضہ کہ گروپ جنریٹر مومنٹم اسپیس میں تقسیم ہوتے ہیں۔ کولمین-منڈولا تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اس نظریہ کا سمیٹری گروپ لازمی طور پر پوئن کیری گروپ اور ایک اندرونی سمیٹری گروپ کا براہ راست پروڈکٹ ہے۔ آخری تکنیکی مفروضہ غیر ضروری ہے اگر نظریہ کوانٹم فیلڈ تھیوری کے ذریعے بیان کیا گیا ہو اور اس کی ضرورت صرف نظریہ کو وسیع تر سیاق و سباق میں لاگو کرنے کے لیے ہو۔ نظریہ کو کیوں برقرار رکھنا چاہیے اس کے لیے ایک متحرک دلیل ایڈورڈ وٹن نے فراہم کی تھی۔ دلیل یہ ہے کہ پوئن کیئر سمیٹری لچکدار بکھرنے پر ایک بہت مضبوط رکاوٹ کے طور پر کام کرتی ہے، جس سے صرف بکھرنے کا زاویہ نامعلوم رہ جاتا ہے۔ کوئی بھی اضافی خلائی وقت پر منحصر ہم آہنگی طول و عرض کا حد سے زیادہ تعین کرے گی، جس سے وہ صرف مجرد بکھرے ہوئے زاویوں پر غیر صفر بن جائیں گے۔ چونکہ یہ بکھرے ہوئے زاویوں کی تجزیات کے مفروضے سے متصادم ہے، اس طرح کی اضافی خلائی وقت پر منحصر ہم آہنگی کو مسترد کر دیا جاتا ہے۔ حدود رسمی ہم آہنگی نظریہ ماس لیس ذرات کے نظریہ پر لاگو نہیں ہوتا ہے، ان کے ساتھ ایک اضافی خلائی وقت پر منحصر ہم آہنگی کے طور پر مطابقت پذیر ہم آہنگی کی اجازت دیتا ہے۔ خاص طور پر، اس گروپ کا الجبرا کنفارمل الجبرا ہے، جو ڈلاٹن جنریٹر اور اسپیشل کنفارمل ٹرانسفارمیشن جنریٹر کے تبادلوں کے تعلقات کے ساتھ پوئن کیری الجبرا پر مشتمل ہوتا ہے۔ کولمین-منڈولا تھیوریم یہ فرض کرتی ہے کہ واحد سمیٹری الجیبرا لائ الجیبرا ہیں، لیکن تھیوریم کو لائ سپر الجیبرا پر غور کرنے کے بجائے عام کیا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے سے اضافی اینٹی کمیونیٹیٹنگ جنریٹرز کی اجازت ملتی ہے جنہیں سپرچارجز کہا جاتا ہے جو لورینٹز ٹرانسفارمیشن کے تحت اسپنرز کے طور پر تبدیل ہوتے ہیں۔ یہ توسیع سپر پوئنکیئر الجبرا کو جنم دیتی ہے، جس سے وابستہ ہم آہنگی کو سپرسیمیٹری کہا جاتا ہے۔ ہیگ-لوپوسزاینسکی-سونیئس تھیوریم کولمین-منڈولا تھیوریم کی لائ سپر الجیبراس کی عمومی شکل ہے، جس میں یہ کہا گیا ہے کہ سپرسیمیٹری واحد نئی خلائی وقت پر منحصر سمیٹری ہے جس کی اجازت ہے۔ ماس لیس پارٹیکلز والی تھیوری کے لیے، تھیوریم کو دوبارہ کنفارمل سمیٹری سے بچایا جاتا ہے جو کہ سپرسیمیٹری کے علاوہ بھی موجود ہو سکتا ہے جو ایک سپر کنفارمل الجبرا دیتا ہے۔ کم جہتیں ایک یا دو جہتی نظریہ میں واحد ممکنہ بکھرنا آگے اور پیچھے کی طرف بکھرنا ہے لہذا بکھرنے والے زاویوں کی تجزیاتی صلاحیت اب ممکن نہیں ہے اور نظریہ اب برقرار نہیں ہے۔ اس کے بعد خلائی وقت پر منحصر اندرونی ہم آہنگی ممکن ہے، جیسے کہ بڑے پیمانے پر تھرنگ ماڈل میں جو ہمیشہ اعلی ٹینسوریل رینک کے محفوظ چارجز کے لامحدود ٹاور کو تسلیم کر سکتا ہے۔ کوانٹم گروپ غیر مقامی ہم آہنگی والے ماڈل جن کے چارجز ملٹی پارٹیکل اسٹیٹس پر اس طرح کام نہیں کرتے جیسے کہ وہ ایک پارٹیکل اسٹیٹس کا ٹینسر پروڈکٹ ہوں، تھیوریم سے بچ جاتے ہیں۔ اس طرح کی چوری عام طور پر کوانٹم گروپ سمیٹریز کے لیے پائی جاتی ہے جو تھیوریم سے گریز کرتی ہیں کیونکہ متعلقہ الجبرا اب لائ الجبرا نہیں ہے۔ دیگر حدود پوئن کیئر گروپ کے علاوہ دیگر خلائی وقت کی ہم آہنگی کے لیے، جیسے کہ ڈی سیٹر پس منظر والے نظریات یا گیلیلین انویرینس کے ساتھ غیر رشتہ دار فیلڈ نظریات، تھیوریم اب لاگو نہیں ہوتا ہے۔ یہ مجرد ہم آہنگی کے لیے بھی نہیں ہے، کیونکہ یہ لائ گروپ نہیں ہیں، یا بے ساختہ ٹوٹی ہوئی ہم آہنگی کے لیے نہیں ہیں کیونکہ یہ S-میٹرکس کی سطح پر کام نہیں کرتے اور اس طرح S-میٹرکس کے ساتھ نقل و حرکت نہیں کرتے ہیں۔ مزید پڑھنے کے لیے کولمین-منڈولا تھیوریم پر کولمین-منڈولا تھیوریم کوانٹم میکانکس نو-گو تھیوریمز میں کوانٹم-منڈولا تھیوریم کوانٹم فیلڈ تھیوری سپرسیمیٹری تھیوریم