Artin–Tits group
گروپ تھیوری کے ریاضیاتی شعبے میں، آرٹن گروپس، جنہیں آرٹن-ٹٹس گروپس یا عمومی چوٹی گروپس بھی کہا جاتا ہے، لامحدود مجرد گروپس کا ایک خاندان ہے جس کی وضاحت سادہ پیشکشوں سے ہوتی ہے۔ ان کا کاکسٹر گروپوں سے گہرا تعلق ہے۔ مثالوں میں فری گروپس، فری ابیلین گروپس، بریڈ گروپس، اور رائٹ اینگلڈ آرٹن ٹیٹس گروپس شامل ہیں۔ ان گروہوں کا نام ایمل آرٹن کے نام پر رکھا گیا ہے، جو 1920 سے 1940 کی دہائی میں چوٹی کے گروہوں پر ان کے ابتدائی کام کی وجہ سے تھے، اور جیکس ٹٹس جنہوں نے 1960 کی دہائی میں گروہوں کے ایک زیادہ عام طبقے کا نظریہ تیار کیا تھا۔ آرٹن-ٹٹس پریزنٹیشن ایک گروپ پریزنٹیشن ہے جہاں جنریٹرز کا ایک (عام طور پر محدود) سیٹ ہوتا ہے اور آرٹن-ٹٹس تعلقات کا ایک مجموعہ ہوتا ہے، یعنی مختلف شکل کے لیے فارم کے تعلقات، جہاں دونوں اطراف کی لمبائی برابر ہوتی ہے، اور مختلف جنریٹرز کے ہر جوڑے کے لیے زیادہ سے زیادہ ایک رشتہ موجود ہوتا ہے۔ آرٹن-ٹٹس گروپ ایک ایسا گروپ ہے جو آرٹن-ٹٹس پریزنٹیشن کو تسلیم کرتا ہے۔ اسی طرح، ایک آرٹن-ٹٹس مونوئڈ ایک مونوئڈ ہے جو، ایک مونوئڈ کے طور پر، آرٹن-ٹٹس پریزنٹیشن کو تسلیم کرتا ہے۔ متبادل طور پر، ایک آرٹن-ٹٹس گروپ کو جنریٹرز کے سیٹ کے ذریعے متعین کیا جا سکتا ہے اور، ہر ان کے لیے، قدرتی نمبر جو الفاظ کی لمبائی ہے اور ایسا تعلق جو جوڑتا ہے اور، اگر کوئی ہو۔ روایت کے مطابق، جب کوئی تعلق نہیں ہوتا ہے تو کوئی ڈالتا ہے۔ رسمی طور پر، اگر ہم لمبائی اور لمبائی کے متبادل پروڈکٹ کو ظاہر کرنے کی وضاحت کرتے ہیں، تو اس سے شروع ہوتا ہے-تاکہ، وغیرہ۔ - آرٹن-ٹٹس تعلقات شکل اختیار کرتے ہیں انٹیجرز کو ایک سمیٹرک میٹرکس میں منظم کیا جا سکتا ہے، جسے گروپ کا کاکسٹر میٹرکس کہا جاتا ہے۔ اگر آرٹن-ٹیٹس گروپ کی آرٹن-ٹیٹس پریزنٹیشن ہے، تو ان میں سے ہر ایک کے لیے رشتہ شامل کر کے حاصل کیا گیا حصص کاکسٹر گروپ ہے۔ اس کے برعکس، اگر ایک کاکسٹر گروپ عکاسی کے ذریعے پیش کیا جاتا ہے اور تعلقات کو ہٹا دیا جاتا ہے، تو اس طرح حاصل کردہ توسیع ایک آرٹن-ٹٹس گروپ ہے۔ مثال کے طور پر،-اسٹرینڈ بریڈ گروپ سے وابستہ کاکسٹر گروپ کے تمام تغیرات کا سمیٹرک گروپ ہے۔ مثال آزاد گروپ ہے جس پر مبنی ہے ؛ یہاں سب کے لیے۔ آزاد ابیلین گروپ ہے جس پر مبنی ہے ؛ یہاں سب کے لیے۔ سٹرینڈز پر چوٹی گروپ ہے ؛ یہاں کے لیے، اور کے لیے۔ عام خصوصیات آرٹن-ٹٹس مونوئڈز ان کے تقسیم کے تعلقات کی تحقیقات کی بنیاد پر گارسائڈ طریقوں کے اہل ہیں، اور اچھی طرح سے سمجھے جاتے ہیں: آرٹن-ٹٹس مونوئڈز منسوخ کرنے والے ہوتے ہیں، اور وہ سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کاروں اور مشروط کم سے کم عام ضرب کو تسلیم کرتے ہیں (جب بھی مشترکہ ضرب ہوتی ہے تو کم سے کم عام ضرب موجود ہوتی ہے)۔ اگر آرٹن-ٹٹس مونوئڈ ہے، اور اگر متعلقہ کاکسٹر گروپ ہے، تو انٹو کا ایک (سیٹ تھیوریٹک) سیکشن ہے، اور اس کا ہر عنصر ("لالچی نارمل فارم") کی تصویر میں عناصر کی ترتیب کے طور پر ایک ممتاز سڑنا قبول کرتا ہے۔ عام آرٹن ٹیٹس گروپوں کے لیے بہت کم نتائج معلوم ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، عام معاملے میں درج ذیل بنیادی سوالات کھلے رہتے ہیں:-لفظ اور کنجوگی کے مسائل کو حل کرنا-جن کے بارے میں فیصلہ کن ہونے کا قیاس کیا جاتا ہے،-ٹورسن کا تعین کرنا-جس کو معمولی سمجھا جاتا ہے،-مرکز کا تعین کرنا-جس کے بارے میں قیاس کیا جاتا ہے کہ جب گروپ براہ راست پروڈکٹ نہیں ہے ("ناقابل تلافی کیس")،-کوہومولوجی کا تعین کرنا-خاص طور پر قیاس کو حل کرنا، یعنی ایک ایسیکلک کمپلیکس تلاش کرنا جس کا بنیادی گروپ سمجھا جاتا ہے۔ مخصوص ذیلی خاندانوں پر مشتمل جزوی نتائج ذیل میں جمع کیے گئے ہیں۔ چند معروف عمومی نتائج میں، کوئی بھی ذکر کر سکتا ہے: آرٹن-ٹٹس گروپ لامحدود قابل گنتی ہیں۔ آرٹن-ٹٹس گروپ میں، عناصر کے مربعوں کو جوڑنے والا واحد تعلق اگر میں ہے (جان کرسپ اور لوئس پیرس)۔ ہر آرٹن-ٹٹس پریزنٹیشن کے لیے، آرٹن-ٹٹس مونوئڈ (پیرس) کے ذریعہ پیش کردہ آرٹن-ٹٹس گروپ میں ایمبیڈز کے ذریعے پیش کیا جاتا ہے۔ ہر (حتمی طور پر تیار کردہ) آرٹن-ٹٹس مونوئڈ ایک محدود گارسائڈ خاندان (میتھیو ڈائر اور کرسٹوف ہولویگ) کو تسلیم کرتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، آرٹن ٹٹس مونوئڈز میں عام دائیں ضرب کا وجود فیصلہ کن ہے، اور ملٹی فریکشنز میں کمی مؤثر ہے۔ آرٹن ٹیٹس گروپوں کی مخصوص کلاسیں آرٹن گروپوں کی کئی اہم کلاسوں کو کاکسٹر میٹرکس کی خصوصیات کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ آرٹن-ٹٹس گروپ کو کروی قسم کا کہا جاتا ہے اگر متعلقہ کاکسٹر گروپ محدود ہے-متبادل اصطلاح "آرٹن-ٹٹس گروپ آف فائنٹ ٹائپ" سے گریز کیا جانا چاہیے، اس کی ابہام کی وجہ سے: ایک "محدود قسم کا گروپ" صرف وہی ہے جو ایک محدود جنریٹنگ سیٹ کو تسلیم کرتا ہے۔ یاد رکھیں کہ ایک مکمل درجہ بندی معلوم ہے، 'ناقابل تلافی اقسام' کو لامحدود سیریز،،، اور چھ غیر معمولی گروپوں،،،، اور کے طور پر لیبل کیا جا رہا ہے۔ ایک کروی آرٹن ٹیٹس گروپ کے معاملے میں، گروپ مونوئڈ کے لیے حصوں کا ایک گروپ ہے، جس سے مطالعہ بہت آسان ہو جاتا ہے۔ اوپر بیان کردہ ہر مسئلہ کو کروی آرٹن-ٹٹس گروپوں کے لیے مثبت انداز میں حل کیا جاتا ہے: لفظ اور کنجوگی کے مسائل فیصلہ کن ہوتے ہیں، ان کا ٹورسن معمولی ہوتا ہے، ناقابل تلافی صورت میں مرکز یکجا ہوتا ہے، اور ہم آہنگی کا تعین کیا جاتا ہے (پیئر ڈیلیگن، ہندسی طریقوں سے، ایگبرٹ بریسکورن اور کیوجی سائٹو، مشترکہ طریقوں سے)۔ کروی قسم کے خالص آرٹن-ٹٹس گروپ کو ایک محدود ہائپرپلین ترتیب کی تکمیل کے بنیادی گروپ کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ گول قسم کے آرٹن-ٹٹس گروپ دو خودکار گروپ (روتھ چارنی) ہیں۔ جدید اصطلاحات میں، آرٹن-ٹٹس گروپ ایک گارسائڈ گروپ ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ متعلقہ مونوئڈ کے لیے حصوں کا ایک گروپ ہے اور ایک منفرد نارمل فارم کے ہر عنصر کے لیے موجود ہے جو عناصر کی (کاپیاں) اور ان کے الٹ ("سمیٹرک لالچی نارمل فارم") دائیں زاویے والے آرٹن گروپوں کی ایک محدود ترتیب پر مشتمل ہوتا ہے۔ ایک آرٹن-ٹٹس گروپ کو دائیں زاویے والا کہا جاتا ہے اگر کاکسٹر میٹرکس کے تمام گتانک یا تو ہوں یا، یعنی، تمام تعلقات تبادلے کے تعلقات ہوں۔ نام (آزاد) جزوی طور پر تبادلہ گروپ، گراف گروپ، ٹریس گروپ، سیمی فری گروپ یا یہاں تک کہ مقامی طور پر آزاد گروپ بھی عام ہیں۔ آرٹن ٹیٹس گروپوں کے اس طبقے کے لیے، عام طور پر ایک مختلف لیبلنگ اسکیم استعمال کی جاتی ہے۔ لیبل والے عمودی حصوں پر کوئی بھی گراف ایک میٹرکس کی وضاحت کرتا ہے، جس کے لیے اگر عمودی حصے اور کسی کنارے سے جڑے ہوئے ہیں، اور بصورت دیگر۔ دائیں زاویہ والے آرٹن-ٹٹس گروپوں کی کلاس میں محدود رینک کے آزاد گروپ شامل ہیں، جو کہ بغیر کناروں والے گراف سے مطابقت رکھتے ہیں، اور حتمی طور پر تیار کردہ آزاد ابیلین گروپ، جو مکمل گراف سے مطابقت رکھتے ہیں۔ رینک r کے ہر دائیں زاویے والے آرٹن گروپ کو رینک کے دائیں زاویے والے آرٹن گروپ کی ایچ این این توسیع کے طور پر بنایا جا سکتا ہے، جس میں مفت پروڈکٹ اور براہ راست پروڈکٹ انتہائی صورتوں میں ہوتے ہیں۔ اس تعمیر کی عمومی کاری کو گروپوں کا گراف پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ دائیں زاویہ والا آرٹن گروپ اس پروڈکٹ کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں گراف پروڈکٹ کا ہر ورٹیکس/آپریڈ رینک ون (لامحدود چکور گروپ) کا ایک آزاد گروپ ہوتا ہے۔ دائیں زاویہ والے آرٹن-ٹٹس گروپ کے لفظ اور کنجوگی کے مسائل فیصلہ کن ہیں، لکیری وقت میں سابقہ، گروپ ٹورسن سے پاک ہے، اور ایک واضح سیلولر محدود ہے (جان کرسپ، ایڈی گوڈیل، اور برٹ وائیسٹ)۔ ہر دائیں زاویہ والا آرٹن ٹٹس گروپ ایک محدود جہتی سی اے ٹی (0) کیوب کمپلیکس، اس کے "سالویٹی کمپلیکس" پر آزادانہ اور ہم آہنگ طریقے سے کام کرتا ہے۔ ایک ایپلی کیشن کے طور پر، کوئی بھی دائیں زاویہ والے آرٹن گروپس اور ان کے سالویٹی کمپلیکس کو محدود خصوصیات کے ساتھ گروپ بنانے کے لیے استعمال کر سکتا ہے (ملڈین بیسٹوینا اور نوئل بریڈی) (ایان لیری) بھی دیکھیں۔ بڑی قسم کے آرٹن-ٹٹس گروپ (اور ایک کاکسٹر گروپ) کو تمام جنریٹرز کے لیے بڑی قسم کا کہا جاتا ہے۔ اگر تمام جنریٹرز کے لیے تو اسے اضافی بڑی قسم کا کہا جاتا ہے۔ اضافی بڑی قسم کے آرٹن ٹیٹس گروپ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کے اہل ہیں۔ ایک ایپلیکیشن کے طور پر، اضافی بڑی قسم کے آرٹن-ٹٹس گروپ ٹورسن سے پاک ہوتے ہیں اور ان میں قابل حل ازدواجی مسئلہ ہوتا ہے (کینتھ ایپل اور پال شوپ)۔ اضافی بڑی قسم کے آرٹن-ٹٹس گروپ بائی آٹومیٹک (ڈیوڈ پیفر) ہوتے ہیں۔ بڑی قسم کے آرٹن گروپ باقاعدہ جیوڈیکسکس (ڈیریک ہولٹ اور سارہ ریس) کے ساتھ خودکار شارٹلیکس ہوتے ہیں۔ دیگر اقسام آرٹن ٹیٹس گروپوں کے بہت سے دوسرے خاندانوں کی شناخت اور تفتیش کی گئی ہے۔ یہاں ہم ان میں سے دو کا ذکر کرتے ہیں۔ آرٹن ٹائٹس گروپ کو ایف سی قسم ("فلیگ کمپلیکس") کا کہا جاتا ہے اگر، اس طرح کے ہر ذیلی سیٹ کے لیے کہ سب کے لیے، گروپ کروی قسم کا ہو۔ اس طرح کے گروہ ایک سی اے ٹی (0) کیوبکل کمپلیکس پر باہمی طور پر کام کرتے ہیں، اور اس کے نتیجے میں، کوئی بھی ان کے عناصر کے لیے ایک عقلی عام شکل تلاش کر سکتا ہے اور لفظ مسئلہ (جو الٹوبیلی اور چارنی) کا حل نکال سکتا ہے۔ ایک متبادل نارمل شکل ملٹی فریکشن کمی کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے، جو ایک ناقابل کٹوتی کثیر کٹوتی کے ذریعے ایک منفرد اظہار دیتی ہے جو براہ راست کروی صورت (دہورنوئے) میں ایک ناقابل کٹوتی حصے کے ذریعے اظہار کو بڑھاتی ہے۔ اگر متعلقہ کاکسٹر گروپ افائن ہے تو ایک آرٹن-ٹٹس گروپ کو افائن قسم کا کہا جاتا ہے۔ وہ چار لامحدود خاندانوں کے توسیعی ڈائنکن خاکے سے مطابقت رکھتے ہیں،، کے لیے، اور کے لیے، اور پانچ چھٹپٹ اقسام،،،، اور کے لیے۔ افائن آرٹن-ٹٹس گروپ یوکلڈین قسم کے ہوتے ہیں: متعلقہ کاکسٹر گروپ یوکلڈین اسپیس پر ہندسی طور پر کام کرتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، ان کا مرکز معمولی ہے، اور ان کا لفظ کا مسئلہ فیصلہ کن ہے (جون میک کامونڈ اور رابرٹ سولوے)۔ 2019 میں، تمام افائن آرٹن ٹیٹس گروپوں (ماریو سالویٹی اور جیوانی پاؤلینی) کے لیے قیاس آرائی کے ثبوت کا اعلان کیا گیا۔ یہ بھی دیکھیں کہ فری جزوی طور پر تبادلہ خیال کرنے والا مونوئڈ آرٹینین گروپ (ایک غیر متعلقہ تصور) غیر تبادلہ خیال کرپٹوگرافی ایلیمنٹری ابیلین گروپ حوالہ جات مزید پڑھنے والے چوٹی والے گروپ