Seifert surface
ریاضی میں، سیفرٹ سطح (جرمن ریاضی دان ہربرٹ سیفرٹ کے نام سے منسوب) ایک قابل سمت سطح ہے جس کی حد ایک دی گئی گرہ یا لنک ہے۔ اس طرح کی سطحوں کو منسلک گانٹھ یا ربط کی خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، بہت سے گانٹھ کے غیر متغیرات کا حساب سیفرٹ کی سطح کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے لگایا جاتا ہے۔ سیفرٹ سطحیں بھی اپنے آپ میں دلچسپ ہیں، اور کافی تحقیق کا موضوع ہیں۔ خاص طور پر، ایل کو یوکلڈین 3-اسپیس (یا 3-دائرے میں) میں ایک ٹام پر مبنی گرہ یا لنک ہونے دیں۔ سیفرٹ سطح ایک کمپیکٹ، منسلک، مبنی سطح S ہے جو 3-اسپیس میں سرایت کرتی ہے جس کی حد L ایسی ہے کہ L پر واقفیت صرف S کی طرف سے حوصلہ افزائی کی جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ یوکلڈین 3-اسپیس میں غیر خالی حد کے ساتھ کوئی بھی کمپیکٹ، منسلک، مبنی سطح اس کے باؤنڈری لنک سے وابستہ سیفرٹ سطح ہے۔ ایک واحد گانٹھ یا لنک میں بہت سی مختلف غیر مساوی سیفرٹ سطحیں ہو سکتی ہیں۔ سیفرٹ کی سطح پر مبنی ہونی چاہیے۔ سطحوں کو گانٹھوں سے جوڑنا ممکن ہے جو متصل نہیں ہیں اور نہ ہی قابل سمت ہیں۔ مثالیں معیاری موبیئس پٹی میں باؤنڈری کے لیے انکنٹ ہوتا ہے لیکن یہ انکنٹ کے لیے سیفرٹ سطح نہیں ہے کیونکہ یہ قابل سمت نہیں ہے۔ ٹریفوئل گانٹھ کے معمول کے کم سے کم کراسنگ پروجیکشن کا "چیکر بورڈ" رنگ تین نصف موڑ کے ساتھ ایک موبیئس پٹی دیتا ہے۔ پچھلی مثال کی طرح، یہ سیفرٹ سطح نہیں ہے کیونکہ یہ قابل سمت نہیں ہے۔ سیفرٹ کے الگورتھم کو اس خاکہ پر لاگو کرنا، جیسا کہ توقع کی جاتی ہے، سیفرٹ کی سطح پیدا کرتا ہے۔ اس معاملے میں، یہ جینس جی = 1 کا ایک پنکچرڈ ٹورس ہے، اور سیفرٹ میٹرکس وجود اور سیفرٹ میٹرکس ہے۔ یہ ایک نظریہ ہے کہ کسی بھی لنک میں ہمیشہ سیفرٹ کی سطح منسلک ہوتی ہے۔ یہ نظریہ سب سے پہلے 1930 میں فرینکل اور پونٹریگین نے شائع کیا تھا۔ ایک مختلف ثبوت 1934 میں ہربرٹ سیفرٹ نے شائع کیا تھا اور اس پر انحصار کرتا ہے جسے اب سیفرٹ الگورتھم کہا جاتا ہے۔ الگورتھم ایک سیفرٹ سطح پیدا کرتا ہے، جس میں گرہ یا لنک کا پروجیکشن دیا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ لنک میں m اجزاء ہیں (گانٹھ کے لیے)، خاکہ میں d کراسنگ پوائنٹس ہیں، اور کراسنگ کو حل کرنے سے (گانٹھ کی سمت کو محفوظ رکھتے ہوئے) f دائرے حاصل ہوتے ہیں۔ اس کے بعد سطح کو ڈی بینڈ لگا کر f جدا جدا ڈسکوں سے بنایا جاتا ہے۔ ہومیولوجی گروپ 2 جی جنریٹرز پر آزاد ابیلین ہے، جہاں کی جینس ہے۔ انٹرسیکشن فارم کیو آن اسکیو سمٹرک ہے، اور میٹرکس کی جی کاپیوں کے براہ راست مجموعہ کے برابر 2 جی سائیکلوں کی بنیاد ہے۔ 2 جی × 2 جی انٹیجر سیفرٹ میٹرکس کا لنکنگ نمبر آئی کے یوکلڈین 3-اسپیس (یا 3-دائرے میں) میں ہوتا ہے اور اے جے کا "پش آف" کی مثبت سمت میں ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر، یہ یاد کرتے ہوئے کہ سیفرٹ کی سطحیں بائی کولرڈ ہیں، مطلب یہ ہے کہ ہم ایمبیڈنگ کو ایمبیڈنگ تک بڑھا سکتے ہیں، کچھ نمائندہ لوپ کو دیکھتے ہوئے جو اندرونی حصے میں ہومیولوجی جنریٹر ہے، مثبت پش آؤٹ ہے اور منفی پش آؤٹ ہے۔ اس کے ساتھ، ہمارے پاس جہاں V * = (v (j, i)) ٹرانسپوز میٹرکس ہے۔ ہر انٹیجر 2 جی × 2 جی میٹرکس کے ساتھ جینس جی سیفرٹ کی سطح کے ساتھ ایک گانٹھ کے سیفرٹ میٹرکس کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ الیگزینڈر کثیرالجہتی کا حساب سیفرٹ میٹرکس سے کیا جاتا ہے جس کے ذریعے غیر متعین میں زیادہ سے زیادہ 2 جی ڈگری کا کثیرالجہتی ہوتا ہے۔ الیگزینڈر کثیرالجہتی سیفرٹ سطح کے انتخاب سے آزاد ہے اور گرہ یا لنک کا غیر متغیر ہے۔ گانٹھ کا دستخط سمیٹرک سیفرٹ میٹرکس کا دستخط ہے۔ یہ پھر گانٹھ یا لنک کا ایک غیر متغیر ہے۔ گانٹھ سیفرٹ کی سطحوں کی نسل بالکل منفرد نہیں ہوتی: جینس جی اور سیفرٹ میٹرکس وی کی سیفرٹ سطح S کو ٹپوولوجیکل سرجری کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں جینس جی + 1 اور سیفرٹ میٹرکس کی سیفرٹ سطح S′ ہوتی ہے۔ ایک گانٹھ K کی جینس وہ گانٹھ ہے جس کی وضاحت K کے لیے سیفرٹ کی سطح کی کم سے کم جینس G کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر: ایک انکنٹ-جو تعریف کے مطابق، ڈسک کی حد ہے-میں جینس صفر ہوتا ہے۔ مزید برآں، انکنٹ جینس زیرو کے ساتھ گرہ ہے۔ ٹریفوئل گرہ میں جینس 1 ہوتا ہے، جیسا کہ آٹھ نمبر کی گرہ میں ہوتا ہے۔ (p, q)-ٹورس گانٹھ کی جینس (p−1) (q−1)/2 ہے۔ گانٹھ کے الیگزینڈر کثیرالجہتی کی ڈگری اس کی جینس سے دوگنا نچلی حد ہوتی ہے۔ جینس کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ یہ گانٹھ کے مجموعے کے حوالے سے اضافی ہے: عام طور پر، گانٹھ کی جینس کا حساب لگانا مشکل ہے، اور سیفرٹ الگورتھم عام طور پر کم سے کم جینس کی سیفرٹ سطح پیدا نہیں کرتا ہے۔ اس وجہ سے دیگر متعلقہ غیر متغیرات بعض اوقات مفید ہوتے ہیں۔ گانٹھ کی کینونکل جینس تمام سیفرٹ سطحوں کی سب سے کم جینس ہے جسے سیفرٹ الگورتھم کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے، اور فری جینس تمام سیفرٹ سطحوں کی سب سے کم جینس ہے جس کی تکمیل ایک ہینڈل باڈی ہے۔ (سیفرٹ الگورتھم کے ذریعہ تیار کردہ سیفرٹ سطح کی تکمیل ہمیشہ ایک ہینڈل باڈی ہوتی ہے۔) کسی بھی گانٹھ کے لیے عدم مساوات واضح طور پر برقرار رہتی ہے، لہذا خاص طور پر یہ غیر متغیرات جینس پر اوپری حدود رکھتے ہیں۔ گانٹھ کی نسل این پی سے مکمل ہے جو ایان اگول، جوئل ہاس اور ولیم تھرسٹن کے کام سے ہے۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ ایک ہی نسل کی سیفرٹ سطحیں ہیں جو 4 گیند میں ٹپوولوجیکل یا آسانی سے آئسوٹوپک نہیں بنتی ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ کراس کیپ نمبر آرف غیر متغیر ایک گانٹھ کا ٹکڑا جینس حوالہ جات بیرونی روابط جیک وین وجک کا سیفرٹ ویو پروگرام سیفرٹ کے الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے بنائی گئی گانٹھوں کی سیفرٹ سطحوں کا تصور کرتا ہے۔ جیومیٹرک ٹوپولوجی ناٹ تھیوری سطحیں