Complex conjugate of a vector space
ریاضی میں، ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس کا پیچیدہ کنجوگیٹ ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہے، جس میں وہی عناصر اور اضافی گروپ کی ساخت ہوتی ہے لیکن جس کے اسکیلر ضرب میں اسکیلرز کا کنجوگیشن شامل ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کا اسکیلر ضرب مطمئن کرتا ہے جہاں کا اسکیلر ضرب ہے اور اس کا اسکیلر ضرب ہے۔ خط کا مطلب ایک ویکٹر ہے جو ایک پیچیدہ نمبر ہے، اور اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ مزید ٹھوس طور پر، پیچیدہ کنجوگیٹ ویکٹر اسپیس وہی بنیادی ویکٹر اسپیس ہے (پوائنٹس کا ایک ہی سیٹ، ایک ہی ویکٹر کا اضافہ اور حقیقی اسکیلر ضرب) جس میں کنجوگیٹ لکیری کمپلیکس ڈھانچہ (مختلف ضرب) ہے۔ محرک اگر اور وہ پیچیدہ ویکٹر خالی جگہیں ہیں، تو ایک فنکشن انٹیلینئر ہے اگر کنجوگیٹ ویکٹر اسپیس کے استعمال کے ساتھ، ایک انٹیلینئر نقشہ کو ایک عام لکیری نقشہ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ لکیریٹی کو نوٹ کرکے چیک کیا جاتا ہے: اس کے برعکس، کسی بھی لکیری نقشے کی وضاحت مخالف رنگ کی وضاحت کرنے میں وہی بنیادی اصول ہے جس سے دائیں-ماڈیول کو بائیں-ماڈیول، یا مخالف زمرے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے تاکہ ایک متضاد فنکٹر کو پیچیدہ کنجوگیشن فنکٹر کی قسم کے عام فنکٹر کے طور پر سمجھا جا سکے۔ ایک لکیری نقشہ ایک متعلقہ لکیری نقشے کو جنم دیتا ہے جس میں وہی عمل ہوتا ہے جو اسکیلر ضرب کو محفوظ کرتا ہے کیونکہ اس طرح، اگر اور محدود جہتی ہیں اور نقشہ پیچیدہ میٹرکس کے ذریعے بیسز اور بیسز کے حوالے سے بیان کیا گیا ہے تو نقشہ کو پیچیدہ کنجوگیٹ کے ذریعے بیسز اور کنجوگیٹ کی ساخت کے حوالے سے بیان کیا گیا ہے۔ ویکٹر خالی جگہیں اور پیچیدہ نمبروں پر ایک ہی جہت رکھتی ہیں اور اس لیے پیچیدہ ویکٹر خالی جگہوں کے طور پر آئسومورفک ہیں۔ تاہم، سے لے کر تک کوئی قدرتی آئسومورفزم نہیں ہے۔ ڈبل کنجوگیٹ ہلبرٹ اسپیس کے کمپلیکس کنجوگیٹ سے ملتا جلتا ہے۔ ہلبرٹ اسپیس (یا تو محدود یا لامحدود جہتی) کو دیکھتے ہوئے، اس کا کمپلیکس کنجوگیٹ وہی ویکٹر اسپیس ہے جو اس کی مسلسل ڈوئل اسپیس ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کوئی بھی مسلسل لکیری فنکشنل آن کسی فکسڈ ویکٹر کا اندرونی ضرب ہے، اور اس کے برعکس۔ اس طرح، ایک ویکٹر کے ساتھ پیچیدہ کنجوگیٹ کو خاص طور پر محدود جہت کے معاملے میں، اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے (وی-ڈیگر، ایک قطار ویکٹر جو کہ کالم ویکٹر میں کنجوگیٹ ٹرانسپوز ہے)۔ کوانٹم میکانکس میں، کیٹ ویکٹر سے کنجوگیٹ کو-ایک برا ویکٹر کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے (برا کیٹ نوٹیشن دیکھیں)۔ کنجوگیٹ بنڈل حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے بوڈینیچ، پی اور ٹراٹ مین، اے بھی دیکھیں۔ اسپنوریل شطرنج بورڈ۔ سپرنگر-ورلاگ، 1988۔ (پیچیدہ کنجوگیٹ ویکٹر خالی جگہوں پر سیکشن 3.3، پیج میں بحث کی گئی ہے۔ 26)۔ لکیری الجبرا ویکٹر اسپیس