Riesz function
ریاضی میں، ریز فنکشن ایک مکمل فنکشن ہے جس کی تعریف مارسل ریز نے ریمن مفروضے کے سلسلے میں، پاور سیریز کے ذریعے کی ہے۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں تو ہم اسے صفر کے ارد گرد ہائپربولک (یا مساوی طور پر، عام) کوٹینجینٹ کی لارنٹ سیریز کی ترقی کے کوفیشنٹس کے لحاظ سے بیان کر سکتے ہیں۔ اگر تب F کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ k کو بڑھانے کے لیے ζ (2k) کی اقدار ایک کے قریب پہنچتی ہیں، اور ریز فنکشن کے لیے سیریز کا اس کے ساتھ موازنہ کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک پورے فنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ متبادل طور پر، F کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ یہ D. E. Knuth کے اشارے میں بڑھتی ہوئی فیکٹوریل طاقت کی نشاندہی کرتا ہے اور Bn نمبر برنولی نمبر ہے۔ سیریز متبادل اصطلاحات میں سے ایک ہے اور x کی تیزی سے منفی اقدار کے لیے فنکشن تیزی سے مائنس انفینیٹی کی طرف جاتا ہے۔ x کی مثبت اقدار زیادہ دلچسپ اور نازک ہوتی ہیں۔ ریز معیار یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ 1/2 سے بڑے کسی بھی ایکسپونینٹ ای کے لیے، جہاں یہ بڑا O نوٹیشن ہے ؛ مثبت اور منفی دونوں اقدار کو لینا۔ ریز نے دکھایا کہ ریمن مفروضہ اس دعوے کے مساوی ہے کہ مذکورہ بالا 1/4 سے بڑے کسی بھی ای کے لیے درست ہے۔ اسی مقالے میں، اس نے ایک قدرے مایوس کن نوٹ بھی شامل کیا: "جی نی سیس پاس اینکور ڈیسیڈر سی سیٹی کنڈیشن فیسلٹیرا لا ویریفیکیشن ڈی لا ہائپوتھیس" ("مجھے نہیں معلوم کہ یہ فیصلہ کیسے کیا جائے کہ آیا یہ حالت مفروضے کی تصدیق میں سہولت فراہم کرے گی")۔ ریز فنکشن کا میلن ٹرانسفارم ریز فنکشن کا تعلق اس کے میلن ٹرانسفارم کے ذریعے ریمن زیٹا فنکشن سے ہے۔ اگر ہم لیتے ہیں تو ہم دیکھتے ہیں کہ اگر پھر یکجا ہوتا ہے، جبکہ نمو کی حالت سے ہمارے پاس ہے کہ اگر پھر یکجا ہوتا ہے۔ اسے ایک ساتھ رکھتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ ریز فنکشن کا میلن ٹرانسفارم پٹی پر بیان کیا گیا ہے۔ اس پٹی پر، ہمارے پاس (cf. رامانوجن کا ماسٹر تھیوریم) الٹا میلن ٹرانسفارم سے، اب ہمیں ریز فنکشن کے لیے ایک اظہار ملتا ہے، جہاں c مائنس ایک اور مائنس ایک نصف کے درمیان ہے۔ اگر ریمن مفروضہ درست ہے، تو ہم انضمام کی لکیر کو منفی ایک چوتھائی سے کم کسی بھی قدر پر منتقل کر سکتے ہیں، اور اس لیے ہمیں ریز فنکشن اور ریمن مفروضے کے لیے ترقی کی چوتھی جڑ کی شرح کے درمیان مساوات ملتی ہے۔ جے گارشیا (حوالہ جات دیکھیں) نے بوریل ریزمیشن کو استعمال کرنے کی لازمی نمائندگی دی اور یہ ریز فنکشن کے 'x' حساب کا جزوی حصہ ہے۔ F کے میکلورین سیریز کے گتانک مطلق قدر میں اس وقت تک بڑھتے ہیں جب تک کہ وہ-1.753 کی 40 ویں مدت پر اپنی زیادہ سے زیادہ حد تک نہ پہنچ جائیں۔ 109 ویں مدت تک وہ مطلق قدر میں ایک سے نیچے گر چکے ہیں۔ کے لیے بہت درست قدر دینے کے لیے پہلی 1000 اصطلاحات لینا کافی ہے۔ تاہم، اس کے لیے 1000 ڈگری کے کثیر الجہتی کا اندازہ لگانے کی ضرورت ہوگی یا تو بڑے عدد یا ڈینومینیٹر کے کوفیشنٹس کے ساتھ عقلی ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے، یا 100 ہندسوں سے زیادہ کے فلوٹنگ پوائنٹ کمپیوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے۔ ایک متبادل یہ ہے کہ اوپر بیان کردہ الٹا میلن ٹرانسفارم کا استعمال کریں اور عددی طور پر انٹیگریٹ کریں۔ نہ ہی نقطہ نظر کمپیوٹیشنل طور پر آسان ہے۔ ایک اور نقطہ نظر کنورجنس کی ایکسلریشن کا استعمال کرنا ہے۔ چونکہ ζ (2k) ایک کے قریب آتا ہے جیسے جیسے k بڑا ہوتا جاتا ہے، اس سیریز کے نقطہ نظر کی شرائط۔ درحقیقت، ریز نے نوٹ کیا کہ: کنورجنس کو تیز کرنے کے لیے کمر کے طریقہ کار کا استعمال کنورجنس کی بہتر شرح دیتا ہے۔ اس عمل کو جاری رکھنا ریز فنکشن کے لیے ایک نئی سیریز کی طرف لے جاتا ہے جس میں بہت بہتر کنورجنس خصوصیات ہیں: یہاں μ موبیئس میو فنکشن ہے، اور اصطلاحات کی دوبارہ ترتیب کو مطلق کنورجنس کے ذریعے جائز قرار دیا جاتا ہے۔ اب ہم کمر کا طریقہ دوبارہ لاگو کر سکتے ہیں، اور وہ اصطلاحات لکھ سکتے ہیں جو بالآخر n کی الٹا چوتھی طاقت کے طور پر کم ہو جاتی ہیں۔ مندرجہ بالا سیریز ہر جگہ بالکل متغیر ہیں، اور اس وجہ سے اصطلاح کے لحاظ سے مختلف اصطلاحات ہو سکتی ہیں، جس سے ریز فنکشن کے مشتق کے لیے درج ذیل اظہار ہوتا ہے: جسے ریمن مفروضے کو فرض کرتے ہوئے مارک وولف کے طور پر دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے جس سے پتہ چلتا ہے کہ بڑے x کے لیے: زیٹا فنکشن کے پہلے غیر معمولی صفر کا خیالی حصہ کہاں ہے، اور۔ یہ 1964 میں ہربرٹ ولف کے ذریعہ ثابت کردہ ریز فنکشن کے صفر کے بارے میں عمومی نظریات سے متفق ہے۔ ریز فنکشن کی ظاہری شکل 0 سے 50 کی حد کے لیے ایک پلاٹ اوپر دیا گیا ہے۔ جہاں تک یہ جاتا ہے، یہ بہت تیز رفتار ترقی کی نشاندہی نہیں کرتا ہے اور شاید ریمن مفروضے کی سچائی کے لیے اچھی طرح سے اشارہ کرتا ہے۔ ہارڈی لٹل ووڈ معیار جی ایچ ہارڈی اور جے ای لٹل ووڈ نے اسی طرح کے طریقوں سے ثابت کیا کہ ریمن مفروضہ اس دعوے کے مساوی ہے کہ-1/4 سے بڑے کسی بھی متغیر کے لیے درج ذیل درست ہوں گے: نوٹ حوالہ جات ٹچمارش، ای سی، دی تھیوری آف ریمن زیٹا فنکشن، دوسرا نظر ثانی شدہ (ہیتھ براؤن) ایڈیشن، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، 1986، [سیکشن 14.32] زیٹا اور L-افعال