Green–Kubo relations
گرین-کوبو تعلقات (میلویل ایس گرین 1954، ریوگو کوبو 1957) وقت کے ارتباط افعال کے انٹیگرلز کے لحاظ سے نقل و حمل کے گتانک کے لیے درست ریاضیاتی اظہار دیتے ہیں: تھرمل اور مکینیکل نقل و حمل کے عمل تھرموڈینامک نظاموں کو کسی فیلڈ کے اطلاق کی وجہ سے توازن کی طرف آرام کرنے سے روکا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ برقی یا مقناطیسی میدان)، یا اس وجہ سے کہ نظام کی حدود متعلقہ حرکت (شیر) میں ہوتی ہیں یا مختلف درجہ حرارت وغیرہ پر برقرار رہتی ہیں۔ یہ عدم توازن نظام کی دو کلاسیں پیدا کرتا ہے: مکینیکل عدم توازن نظام اور تھرمل عدم توازن نظام۔ برقی نقل و حمل کے عمل کی معیاری مثال اوھم کا قانون ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ، کم از کم کافی چھوٹے اطلاق شدہ وولٹیج کے لیے، کرنٹ I اطلاق شدہ وولٹیج V کے لکیری متناسب ہے، جیسے جیسے اطلاق شدہ وولٹیج میں اضافہ ہوتا ہے کوئی لکیری رویے سے انحراف دیکھنے کی توقع کرتا ہے۔ متناسبیت کا گتانک برقی چالکتا ہے جو برقی مزاحمت کا باہمی ہے۔ مکینیکل نقل و حمل کے عمل کی معیاری مثال نیوٹن کا وسکوسیٹی کا قانون ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ شیر کا دباؤ تناؤ کی شرح کے لکیری متناسب ہے۔ تناؤ کی شرح x-سمت میں، y-کوآرڈینیٹ کے حوالے سے، تبدیلی کی رفتار کی شرح ہے۔ نیوٹن کا وسکوسیٹی کا قانون بتاتا ہے کہ جیسے جیسے تناؤ کی شرح بڑھتی ہے ہم لکیری رویے سے انحراف دیکھنے کی توقع کرتے ہیں۔ ایک اور معروف تھرمل ٹرانسپورٹ عمل فورئیر کا حرارت کی ترسیل کا قانون ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ مختلف درجہ حرارت پر برقرار دو اجسام کے درمیان حرارت کا بہاؤ درجہ حرارت کے میلان (درجہ حرارت کے فرق کو مقامی علیحدگی سے تقسیم کیا جاتا ہے) کے متناسب ہوتا ہے۔ لکیری آئینی تعلق اس بات سے قطع نظر کہ نقل و حمل کے عمل کو تھرمل یا میکانکی طور پر متحرک کیا جاتا ہے، چھوٹے فیلڈ کی حد میں یہ توقع کی جاتی ہے کہ ایک بہاؤ اطلاق شدہ فیلڈ کے لکیری متناسب ہوگا۔ لکیری صورت میں بہاؤ اور قوت کو ایک دوسرے سے مربوط کہا جاتا ہے۔ تھرموڈینامک قوت F اور اس کے کنجوگیٹ تھرموڈینامک فلکس J کے درمیان تعلق کو لکیری آئینی تعلق کہا جاتا ہے، L (0) کو لکیری ٹرانسپورٹ گتانک کہا جاتا ہے۔ متعدد قوتوں اور بہاؤ کے بیک وقت کام کرنے کی صورت میں، بہاؤ اور قوتوں کا تعلق لکیری ٹرانسپورٹ گتانک میٹرکس سے ہوگا۔ خصوصی صورتوں کے علاوہ، یہ میٹرکس ہم آہنگ ہے جیسا کہ اونساگر باہمی تعلقات میں ظاہر کیا گیا ہے۔ 1950 کی دہائی میں گرین اور کوبو نے لکیری ٹرانسپورٹ گتانک کے لیے ایک درست اظہار ثابت کیا جو صوابدیدی درجہ حرارت T، اور کثافت کے نظاموں کے لیے درست ہے۔ انہوں نے ثابت کیا کہ لکیری ٹرانسپورٹ کوفیشنٹس کا بالکل تعلق کنجوگیٹ فلکس میں توازن کے اتار چڑھاؤ کے وقت پر انحصار سے ہے، جہاں (k بولٹزمین مستقل کے ساتھ)، اور V نظام کا حجم ہے۔ انٹیگرل توازن فلکس آٹوکوویرینس فنکشن پر ہے۔ صفر وقت پر آٹوکوویرینس مثبت ہوتا ہے کیونکہ یہ توازن میں بہاؤ کی اوسط مربع قدر ہوتی ہے۔ نوٹ کریں کہ توازن میں بہاؤ کی اوسط قیمت تعریف کے لحاظ سے صفر ہے۔ طویل اوقات میں وقت t، J (t) پر بہاؤ، اس کی قدر کے ساتھ بہت پہلے J (0) سے غیر مربوط ہوتا ہے اور آٹوکوریلیشن فنکشن صفر ہو جاتا ہے۔ یہ قابل ذکر تعلق اکثر سالماتی حرکیات کمپیوٹر تخروپن میں لکیری نقل و حمل کے گتانک کا حساب لگانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ دیکھیں ایونز اور موریس، "شماریاتی میکانکس آف نانکولیبریئم مائع"، اکیڈمک پریس 1990۔ غیر لکیری ردعمل اور عارضی وقت کے ارتباط کے افعال 1985 میں ڈینس ایونز اور موریس نے غیر لکیری نقل و حمل کے گتانک کے لیے دو عین مطابق اتار چڑھاؤ کے تاثرات اخذ کیے-مول میں ایونز اور موریس دیکھیں۔ فز، 54، 629 (1985)۔ ایونز نے بعد میں استدلال کیا کہ یہ رسپانس تھیوری میں کم از کم آزاد توانائی کے طور پر آزاد توانائی کی انتہا کے نتائج ہیں۔ ایونز اور موریس نے ثابت کیا کہ تھرموسٹیٹڈ نظام میں جو t = 0 پر توازن پر ہے، غیر لکیری ٹرانسپورٹ گتانک کا حساب نام نہاد عارضی وقت ارتباط فنکشن کے اظہار سے کیا جا سکتا ہے: جہاں توازن () فلکس آٹوکوریلیشن فنکشن کو تھرموسٹیٹڈ فیلڈ پر منحصر عارضی آٹوکوریلیشن فنکشن سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ وقت صفر پر لیکن بعد کے اوقات میں جب سے فیلڈ کا اطلاق ہوتا ہے۔ ایونز اور موریس کی طرف سے اخذ کردہ ایک اور عین مطابق اتار چڑھاؤ کا اظہار غیر لکیری ردعمل کے لیے نام نہاد کاواساکی اظہار ہے: کاواساکی اظہار کے دائیں ہاتھ کی طرف کی مجموعی اوسط کا اندازہ تھرموسٹیٹ اور بیرونی میدان دونوں کے اطلاق کے تحت کیا جانا ہے۔ پہلی نظر میں ٹرانزینٹ ٹائم کورلیشن فنکشن (ٹی ٹی سی ایف) اور کاواساکی کا اظہار ان کی فطری پیچیدگی کی وجہ سے محدود استعمال کا معلوم ہو سکتا ہے۔ تاہم، ٹی ٹی سی ایف نقل و حمل کے گتانک کا حساب لگانے کے لیے کمپیوٹر کے تخروپن میں کافی مفید ہے۔ دونوں تاثرات کو نئے اور مفید اتار چڑھاؤ کے تاثرات کی مقدار جیسے مخصوص حرارت، عدم توازن والی مستحکم حالتوں میں حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح انہیں غیر مستحکم مستحکم حالتوں کے لیے ایک قسم کی پارٹیشن فنکشن کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اتار چڑھاؤ تھیوریم اور مرکزی حد تھیوریم سے ماخوذ ایک تھرموسٹیٹڈ مستحکم حالت کے لیے، ڈسپیشن فنکشن کے ٹائم انٹیگرلز کا تعلق ڈسپیٹیو فلکس، J سے مساوات کے ذریعے ہوتا ہے۔ اس لیے یہ نظام میں بے ساختہ اینٹروپی کی پیداوار کے برابر ہے۔ خود بخود اینٹروپی کی پیداوار لکیری ناقابل واپسی تھرموڈینامکس میں کلیدی کردار ادا کرتی ہے-دیکھیں ڈی گروٹ اور مزور "غیر توازن تھرموڈینامکس" ڈوور۔ اتار چڑھاؤ تھیوریم (ایف ٹی) صوابدیدی اوسط اوقات کے لیے درست ہے، ٹی۔ آئیے ایف ٹی کو طویل وقت کی حد میں لاگو کرتے ہیں جبکہ بیک وقت فیلڈ کو کم کرتے ہیں تاکہ پروڈکٹ کو مستقل رکھا جائے، خاص طریقے سے ہم دوہری حد لیتے ہیں، اس وجہ سے کہ بہاؤ کی اوسط قیمت کا منفی اوسط سے دور معیاری انحراف کی ایک مقررہ تعداد رہتا ہے جیسے جیسے اوسط وقت بڑھتا ہے (تقسیم کو تنگ کرتا ہے) اور فیلڈ کم ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ جیسے جیسے اوسط وقت لمبا ہوتا جاتا ہے اوسط بہاؤ اور اس کے منفی کے قریب تقسیم، مرکزی حد تھیوریم کے ذریعہ درست طریقے سے بیان کی جاتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ تقسیم اوسط اور اس کے منفی کے قریب گوسیئن ہے تاکہ ان دونوں تعلقات کو یکجا کرنے سے نتیجہ برآمد ہوتا ہے (کچھ تکلیف دہ الجبرا کے بعد!) لکیری صفر فیلڈ ٹرانسپورٹ گتانک کے لیے عین مطابق گرین-کوبو تعلق، یعنی، ایف ٹی سے گرین-کوبو تعلقات کے ثبوت کی تفصیلات یہ ہیں۔ صرف ابتدائی کوانٹم میکانکس کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت رابرٹ زوانزگ نے دیا تھا۔ خلاصہ یہ عدم توازن شماریاتی میکانکس میں اتار چڑھاؤ تھیوریم (ایف ٹی) کی بنیادی اہمیت کو ظاہر کرتا ہے۔ ایف ٹی تھرموڈینامکس کے دوسرے قانون کی عمومی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے بعد دوسرے قانون کی عدم مساوات اور کاواساکی شناخت کو ثابت کرنا آسان ہے۔ جب مرکزی حد تھیوریم کے ساتھ ملایا جاتا ہے، تو ایف ٹی توازن کے قریب لکیری ٹرانسپورٹ کوفشنٹس کے لیے گرین-کوبو تعلقات کو بھی ظاہر کرتا ہے۔ تاہم، ایف ٹی گرین-کوبو تعلقات سے زیادہ عام ہے کیونکہ، ان کے برعکس، ایف ٹی کا اطلاق توازن سے دور اتار چڑھاؤ پر ہوتا ہے۔ اس حقیقت کے باوجود، ابھی تک کوئی بھی ایف ٹی سے غیر لکیری رسپانس تھیوری کے لیے مساوات حاصل کرنے میں کامیاب نہیں ہوا ہے۔ ایف ٹی کا مطلب یہ نہیں ہے یا اس کی ضرورت نہیں ہے کہ وقت کی اوسط کھپت کی تقسیم گوسیئن ہے۔ بہت سی مثالیں معلوم ہوتی ہیں جب تقسیم غیر گوسیائی ہوتی ہے اور پھر بھی ایف ٹی اب بھی امکانات کے تناسب کو درست طریقے سے بیان کرتا ہے۔ کثافت میٹرکس اتار چڑھاؤ تھیوریم اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم گرین کا فنکشن (بہت سے جسم کا نظریہ) لنڈبلڈ مساوات لکیری رسپانس فنکشن حوالہ جات نظریاتی طبیعیات تھرموڈینامک مساوات شماریاتی میکانکس غیر توازن تھرموڈینامکس