Integral curve
ریاضی میں، انٹیگرل وکر ایک پیرامیٹرک وکر ہے جو کسی عام تفریقی مساوات یا مساوات کے نظام کے مخصوص حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ نام انٹیگرل منحنی خطوط کو مختلف دوسرے ناموں سے جانا جاتا ہے، جو تفریق مساوات یا ویکٹر فیلڈ کی نوعیت اور تشریح پر منحصر ہے۔ طبیعیات میں، برقی میدان یا مقناطیسی میدان کے لیے لازمی منحنی خطوط کو فیلڈ لائنیں کہا جاتا ہے، اور سیال کی رفتار کے میدان کے لیے لازمی منحنی خطوط کو اسٹریم لائنز کہا جاتا ہے۔ متحرک نظاموں میں، تفریقی مساوات کے لیے مربوط منحنی خطوط جو کسی نظام کو کنٹرول کرتے ہیں، کو ٹریجیکٹوریز یا آربٹس کہا جاتا ہے۔ تعریف فرض کریں کہ F ایک جامد ویکٹر فیلڈ ہے، یعنی کارٹیسی کوآرڈینیٹس (F1، F2،.، Fn) کے ساتھ ایک ویکٹر ویلیوڈ فنکشن ہے، اور یہ کہ x (t) کارٹیسی کوآرڈینیٹس (x1 (t)، x2 (t)، xn (t) کے ساتھ ایک پیرامیٹرک وکر ہے۔ پھر x (t) F کا ایک انٹیگرل وکر ہے اگر یہ عام تفریقی مساوات کے خود مختار نظام کا حل ہے، تو اس طرح کے نظام کو واحد ویکٹر مساوات کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، یہ مساوات بتاتی ہے کہ منحنی خطوط کے ساتھ کسی بھی نقطہ x (t) پر منحنی خطوط کا ویکٹر ٹینجینٹ قطعی طور پر ویکٹر F (x (t)) ہے، اور اس لیے وکر x (t) ویکٹر فیلڈ F کے ہر نقطہ پر ٹینجینٹ ہے۔ اگر کوئی دی گئی ویکٹر فیلڈ لپشٹز مسلسل ہے، تو پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم کا مطلب ہے کہ چھوٹے وقت کے لیے ایک منفرد بہاؤ موجود ہے۔ مثال اگر تفریق مساوات کو ویکٹر فیلڈ یا سلوپ فیلڈ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، تو متعلقہ انٹیگرل منحنی خطوط ہر نقطہ پر فیلڈ کے لیے ٹینجینٹ ہوتے ہیں۔ متفرق کئی گنا کو عام کرنا تعریف فرض کریں کہ ایم کلاس سی آر کا ایک بنچ کئی گنا ہے جس میں r ≤ 2 ہے۔ ہمیشہ کی طرح، TM M کے ٹینجینٹ بنڈل کو اس کے قدرتی پروجیکشن πM: TM → M کے ساتھ ظاہر کرتا ہے جو M پر ایک ویکٹر فیلڈ ٹینجینٹ بنڈل TM کا ایک کراس سیکشن ہے، یعنی۔ اس مقام پر ایک ٹینجینٹ ویکٹر کے کئی گنا M کے ہر نقطہ پر ایک تفویض۔ فرض کریں کہ X کلاس CR−1 کے M پر ایک ویکٹر فیلڈ ہے اور فرض کریں کہ p ωM۔ وقت t0 پر p سے گزرنے والے X کے لیے ایک انٹیگرل وکر ایک وکر ہے α: J → M کلاس CR−1 کا، جس کی تعریف حقیقی لائن R کے کھلے وقفے J پر کی گئی ہے جس میں t0 موجود ہے، اس طرح کہ عام تفریقی مساوات سے تعلق ایک ویکٹر فیلڈ X کے لیے انٹیگرل وکر α کی مذکورہ تعریف، جو وقت t0 پر p سے گزرتا ہے، یہ کہنے کے مترادف ہے کہ α عام تفریقی مساوات/ابتدائی قیمت کے مسئلے کا مقامی حل ہے۔ یہ اس معنی میں مقامی ہے کہ اس کی وضاحت صرف J میں اوقات کے لیے کی گئی ہے، اور ضروری نہیں کہ تمام t ωt0 (t ≤ t0 چھوڑ دیں) کے لیے ہو۔ اس طرح، مربوط منحنی خطوط کے وجود اور انفرادیت کو ثابت کرنے کا مسئلہ وہی ہے جو عام تفریقی مساوات/ابتدائی قدر کے مسائل کا حل تلاش کرنے اور یہ ظاہر کرنے کا ہے کہ وہ منفرد ہیں۔ وقت مشتق پر تبصرے مذکورہ بالا میں، α′ (t) وقت t پر α کے مشتق کی نشاندہی کرتا ہے، وقت t پر "سمت α اشارہ کر رہا ہے"۔ زیادہ تجریدی نقطہ نظر سے، یہ فریچیٹ مشتق ہے: خاص صورت میں کہ M Rn کا کچھ کھلا ذیلی سیٹ ہے، یہ واقف مشتق ہے جہاں α1،.، αn معمول کے ہم آہنگی کی سمتوں کے حوالے سے α کے لیے نقاط ہیں۔ اسی چیز کو محرک نقشوں کے لحاظ سے اور بھی تجریدی طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ J کا ٹینجینٹ بنڈل TJ معمولی بنڈل J × R ہے اور اس بنڈل کا ایک کینونکل کراس سیکشن ι اس طرح ہے کہ ι (t) = 1 (یا، زیادہ واضح طور پر، (t، 1) bulι) تمام t bul J کے لیے۔ منحنی خطوط α ایک بنڈل نقشہ α *: TJ * TM کو شامل کرتا ہے تاکہ مندرجہ ذیل خاکہ نقل و حرکت کرے: پھر وقت مشتق α′ ساخت α′ = α * o ι ہے، اور α′ (t) کسی نقطہ t ω J پر اس کی قیمت ہے۔ حوالہ جات تفریقی جیومیٹری عام تفریقی مساوات