Dual representation
ریاضی میں، اگر ایک گروپ ہے اور ویکٹر اسپیس پر اس کی لکیری نمائندگی ہے، تو ڈوئل ویکٹر اسپیس پر ڈوئل نمائندگی کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: ٹرانسپوز ہے، یعنی، = سب کے لیے۔ دوہری نمائندگی کو متضاد نمائندگی بھی کہا جاتا ہے۔ اگر ایک لائ الجبرا ہے اور ویکٹر اسپیس پر اس کی نمائندگی ہے، تو ڈوئل ویکٹر اسپیس پر ڈوئل نمائندگی کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے: = سب کے لیے۔ اس تعریف کا محرک یہ ہے کہ لائ گروپ کی نمائندگی کے دوہرے سے وابستہ لائ الجبرا کی نمائندگی کا حساب مندرجہ بالا فارمولے سے لگایا جاتا ہے۔ لیکن جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کے دوہرے کی تعریف سمجھ میں آتی ہے چاہے وہ جھوٹ گروپ کی نمائندگی سے نہ آئے۔ دونوں صورتوں میں، دوہری نمائندگی معمول کے لحاظ سے ایک نمائندگی ہے۔ اگر ایک (محدود جہتی) نمائندگی ناقابل تلافی ہے، تو دوہری نمائندگی بھی ناقابل تلافی ہے-لیکن ضروری نہیں کہ اصل نمائندگی کے لیے آئسومورفک ہو۔ دوسری طرف، کسی بھی نمائندگی کے ڈوئل کا ڈوئل اصل نمائندگی کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ یک جہتی نمائندگی کسی گروپ کی یک جہتی نمائندگی پر غور کریں، اور آئیے ہم ایک غیر معمولی بنیاد پر کام کریں۔ اس طرح، یک جہتی میٹرکس کے گروپ میں نقشہ جات۔ پھر دوہری نمائندگی کی تعریف میں تجریدی ٹرانسپوز کی شناخت عام میٹرکس ٹرانسپوز کے ساتھ کی جا سکتی ہے۔ چونکہ میٹرکس کا ملحقہ ٹرانسپوز کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے، اس لیے ٹرانسپوز ملحقہ کا کنجوگیٹ ہے۔ اس طرح، کے الٹا کے ملحقہ کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے۔ لیکن چونکہ یک جہتی سمجھا جاتا ہے، اس کے الٹا کا ملحقہ منصفانہ ہے۔ اس بحث کا نتیجہ یہ ہے کہ جب آرتھونورمل بنیاد پر یکطرفہ نمائندگی کے ساتھ کام کیا جاتا ہے، تو یہ صرف اس کا پیچیدہ امتزاج ہوتا ہے۔ ایس یو (2) اور ایس یو (3) معاملات ایس یو (2) کی نمائندگی کے نظریہ میں، ہر ناقابل تلافی نمائندگی کا دوہرا نمائندگی کے لیے آئسومورفک ثابت ہوتا ہے۔ لیکن ایس یو (3) کی نمائندگی کے لیے، لیبل کے ساتھ ناقابل تلافی نمائندگی کا دوہرا لیبل کے ساتھ ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ خاص طور پر، ایس یو (3) (سب سے زیادہ وزن کے ساتھ) کی معیاری تین جہتی نمائندگی اس کے دوہری کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ طبیعیات کے ادب میں کوارک کے نظریہ میں، معیاری نمائندگی اور اس کے دوہرے کو "اور" کہا جاتا ہے۔ مزید عام طور پر، سیمی سمپل لائ الجبرا (یا کمپیکٹ لائ گروپوں کے قریب سے متعلق نمائندگی کے نظریہ) کے نمائندگی کے نظریہ میں، دوہری نمائندگی کے وزن اصل نمائندگی کے وزن کے منفی ہوتے ہیں۔ (اعداد و شمار دیکھیں۔) اب، کسی دیئے گئے لائ الجبرا کے لیے، اگر ایسا ہونا چاہیے کہ آپریٹر ویل گروپ کا ایک عنصر ہے، تو نقشے کے نیچے ہر نمائندگی کا وزن خود بخود غیر متغیر ہوتا ہے۔ اس طرح کے لائ الجبرا کے لیے، ہر ناقابل تلافی نمائندگی اس کے ڈوئل کے لیے آئسومورفک ہوگی۔ (یہ صورتحال ایس یو (2) کے لیے ہے، جہاں ویل گروپ ہے۔) اس خاصیت کے ساتھ لی الجیبرا میں عجیب آرتھوگنل لی الجیبرا (قسم) اور سمپلیکٹک لی الجیبرا (قسم) شامل ہیں۔ اگر، کسی دیئے گئے لائ الجبرا کے لیے، ویل گروپ میں نہیں ہے، تو ایک ناقابل تلافی نمائندگی کا ڈوئل عام طور پر اصل نمائندگی کے لیے آئسومورفک نہیں ہوگا۔ یہ سمجھنے کے لیے کہ یہ کیسے کام کرتا ہے، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ ہمیشہ ایک منفرد ویل گروپ عنصر ہوتا ہے جو بنیادی ویل چیمبر کے منفی کو بنیادی ویل چیمبر میں نقشہ بناتا ہے۔ پھر اگر ہمارے پاس سب سے زیادہ وزن کے ساتھ ناقابل تلافی نمائندگی ہے، تو دوہری نمائندگی کا سب سے کم وزن ہوگا۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ دوہری نمائندگی کا سب سے زیادہ وزن ہوگا۔ چونکہ ہم یہ فرض کر رہے ہیں کہ وہ ویل گروپ میں نہیں ہے، ہو نہیں سکتا، جس کا مطلب ہے کہ نقشہ شناخت نہیں ہے۔ یقینا، یہ اب بھی ہو سکتا ہے کہ کچھ خاص انتخاب کے لیے، ہمارے پاس ہو۔ مثال کے طور پر، ملحقہ نمائندگی ہمیشہ اس کے دوہری کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ ایس یو (3) (یا اس کے پیچیدہ لائ الجبرا) کے معاملے میں، ہم 120 ڈگری کے زاویے پر دو جڑوں پر مشتمل بیس کا انتخاب کر سکتے ہیں، تاکہ تیسرا مثبت جڑ ہو۔ اس صورت میں، عنصر پرپینڈکولر لائن کے بارے میں عکاسی ہے۔ پھر نقشہ لائن کے ذریعے کے بارے میں عکاسی کرتا ہے۔ اس کے بعد خود دوہری نمائشیں وہ ہوتی ہیں جو لائن کے ساتھ ہوتی ہیں۔ یہ فارم کے لیبل کے ساتھ نمائشیں ہیں، جو وہ نمائشیں ہیں جن کے وزن کے خاکے باقاعدہ ہیکساگون ہیں۔ تحریک نمائندگی کے نظریہ میں، ویکٹر میں اور لکیری فنکشنل دونوں کو کالم ویکٹر سمجھا جاتا ہے تاکہ نمائندگی بائیں طرف سے (میٹرکس ضرب کے ذریعے) کام کر سکے۔ کے لیے ایک بنیاد اور دوہری بنیاد کو دیکھتے ہوئے، ایک لکیری فنکشنل کے عمل کو میٹرکس ضرب کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں سپر اسکرپٹ میٹرکس ٹرانسپوز ہے۔ مطابقت کی ضرورت ہوتی ہے دی گئی تعریف کے ساتھ، جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کے لیے ممکنہ گروپ کی نمائندگی کے ساتھ مستقل مزاجی کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، اگر کسی لائ گروپ کی نمائندگی ہے، تو اس کے ذریعہ اس کے لائ الجبرا کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ اگر دوہری ہے، تو اس کی متعلقہ لائ الجبرا کی نمائندگی مثال کے طور پر دی گئی ہے۔ مطلق قدر 1 کے پیچیدہ اعداد کے گروپ پر غور کریں۔ شور کے لیما کے نتیجے میں، ناقابل تلافی نمائشیں تمام ایک جہتی ہیں۔ ناقابل تلافی نمائندگی کو انٹیجرز کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے اور واضح طور پر اس کے طور پر دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد دوہری نمائندگی اس ایک ایک میٹرکس کے ٹرانسپوز کا الٹا ہے، یعنی، یعنی نمائندگی کا دوہرا ہے۔ جنرلائزیشن ایک عام رنگ ماڈیول دوہری نمائندگی کو تسلیم نہیں کرتا ہے۔ تاہم، ہوپف الجبرا کے ماڈیول ایسا کرتے ہیں۔ کیریلوف کیریکٹر فارمولا حوالہ جات کی نمائندگی کی پیچیدہ کنجوگیٹ نمائندگی ٹینسر پروڈکٹ بھی دیکھیں۔ گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ