Three-dimensional space
جیومیٹری میں، تین جہتی جگہ (تھری ڈی اسپیس، تھری اسپیس یا، شاذ و نادر ہی، سہ جہتی جگہ) ایک ریاضیاتی جگہ ہے جس میں کسی نقطہ کی پوزیشن کا تعین کرنے کے لیے تین اقدار (نقاط) کی ضرورت ہوتی ہے۔ سب سے زیادہ عام طور پر، یہ تین جہتی یوکلڈین اسپیس ہے، طول و عرض n = 3 کا یوکلڈین n-اسپیس جو فزیکل اسپیس کا نمونہ ہے۔ زیادہ عام تین جہتی خالی جگہوں کو 3-مینی فولڈ کہا جاتا ہے۔ یہ اصطلاح بول چال میں خلا کے ذیلی سیٹ، ایک سہ جہتی خطہ (یا تھری ڈی ڈومین)، ایک ٹھوس شخصیت کا بھی حوالہ دے سکتی ہے۔ تکنیکی طور پر، اعداد کے ایک ٹپل کو ایک جہتی یوکلڈین خلا میں کسی مقام کے کارٹیشین نقاط کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ان-ٹپلوں کے سیٹ کو عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور اس کی شناخت ایک جہتی یوکلڈین اسپیس اور کارٹیزین کوآرڈینیٹ سسٹم کے ذریعہ تشکیل پانے والے جوڑے سے کی جا سکتی ہے۔ جب، اس جگہ کو تین جہتی یوکلڈین جگہ کہا جاتا ہے (یا صرف "یوکلڈین جگہ" جب سیاق و سباق واضح ہو)۔ یہ جسمانی کائنات کے ایک نمونے کے طور پر کام کرتا ہے (جب نظریہ اضافیت پر غور نہیں کیا جاتا ہے)، جس میں تمام معلوم مادے موجود ہیں۔ اگرچہ یہ جگہ دنیا کو ماڈل بنانے کا سب سے زبردست اور مفید طریقہ ہے جیسا کہ یہ تجربہ کیا گیا ہے، یہ تین جہتوں میں خالی جگہوں کی ایک بڑی قسم کی صرف ایک مثال ہے جسے 3-مینیفولڈ کہا جاتا ہے۔ اس کلاسیکی مثال میں، جب تینوں اقدار مختلف سمتوں (نقاط) میں پیمائش کا حوالہ دیتی ہیں، تو کسی بھی تین سمتوں کا انتخاب کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ ان سمتوں میں ویکٹر ایک ہی 2-اسپیس (طیارہ) میں نہ ہوں۔ مزید برآں، اس معاملے میں، ان تینوں اقدار کو چوڑائی/چوڑائی، اونچائی/گہرائی، اور لمبائی کی اصطلاحات میں سے منتخب کردہ تین کے کسی بھی امتزاج سے لیبل کیا جا سکتا ہے۔ یوکلڈ کے عناصر کی تاریخ کی کتابیں 11 سے 13 تک تین جہتی جیومیٹری سے متعلق ہیں۔ کتاب الیون آرتھوگونالیٹی اور لکیروں اور طیاروں کے متوازی ہونے کے تصورات کو تیار کرتی ہے، اور ٹھوس اشیا کی وضاحت کرتی ہے جن میں متوازی پائپڈ، اہرام، پریزم، دائرے، آکٹھیڈرا، آئکوشیڈرا اور ڈوڈیکیہیڈرا شامل ہیں۔ بارہویں کتاب ٹھوسوں کی مماثلت کے تصورات کو فروغ دیتی ہے۔ کتاب XIII ایک دائرے میں پانچ باقاعدہ پلاٹونک ٹھوسوں کی تعمیر کو بیان کرتی ہے۔ 17 ویں صدی میں، تین جہتی خلا کو کارٹیشین نقاط کے ساتھ بیان کیا گیا تھا، جس میں تجزیاتی جیومیٹری کی آمد کے ساتھ رینے ڈیکارٹس نے اپنے کام لا گیومیٹری اور پیئر ڈی فرمیٹ میں ایڈ لوکوس پلانوس ایٹ سولڈوس آئساگوج (طیارہ اور ٹھوس لوسی کا تعارف) کے نسخے میں تیار کیا تھا، جو فرمیٹ کی زندگی کے دوران غیر شائع ہوا تھا۔ تاہم، صرف فرمیٹ کا کام تین جہتی خلا سے متعلق تھا۔ 19 ویں صدی میں، تین جہتی خلا کی جیومیٹری کی پیش رفت ولیم روون ہیملٹن کی چوتھائیوں کی ترقی کے ساتھ ہوئی۔ درحقیقت، یہ ہیملٹن ہی تھا جس نے اسکیلر اور ویکٹر کی اصطلاحات وضع کیں، اور ان کی تعریف سب سے پہلے کواٹرنیئنز کے لیے ان کے ہندسی فریم ورک کے اندر کی گئی۔ اس کے بعد سہ جہتی خلا کو کواٹرنیئنز کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جن میں اسکیلر جزو غائب ہو رہا تھا، یعنی۔ اگرچہ ہیملٹن نے واضح طور پر مطالعہ نہیں کیا، اس نے بالواسطہ طور پر بنیاد کے تصورات متعارف کروائے، جو یہاں کواٹرنیئن عناصر کے ساتھ ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ اور کراس پروڈکٹ کے ذریعہ دیئے گئے ہیں، جو اسکیلر حصے اور دو ویکٹر کواٹرنیئنز کے پروڈکٹ کے ویکٹر حصے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ جوزیا ولارڈ گبز تک نہیں تھا کہ ان دونوں مصنوعات کی شناخت ان کے اپنے طور پر کی گئی تھی، اور ڈاٹ اور کراس پروڈکٹ کے لیے جدید اشارے ان کے کلاس روم کے تدریسی نوٹوں میں متعارف کرائے گئے تھے، جو 1901 کی نصابی کتاب ویکٹر اینالیسس میں بھی پائے گئے تھے جو ایڈون بڈ ویل ولسن نے گبز کے لیکچرز پر مبنی لکھی تھی۔ نیز 19 ویں صدی کے دوران ویکٹر خالی جگہوں کی تجریدی رسم الخط میں پیش رفت ہوئی، ہرمن گراس مین اور جیوسیپی پیانو کے کام کے ساتھ، جن میں سے مؤخر الذکر نے سب سے پہلے ویکٹر خالی جگہوں کی جدید تعریف الجبرائی ساخت کے طور پر دی۔ یوکلڈین جیومیٹری کوآرڈینیٹ سسٹمز میں ریاضی میں، تجزیاتی جیومیٹری (جسے کارٹیشین جیومیٹری بھی کہا جاتا ہے) تین جہتی خلا میں ہر نقطہ کو تین نقاط کے ذریعے بیان کرتی ہے۔ تین کوآرڈینیٹ محور دیئے گئے ہیں، ہر ایک دوسرے دو سے عمودی طور پر اصل پر، جس مقام پر وہ عبور کرتے ہیں۔ انہیں عام طور پر لیبل کیا جاتا ہے، اور۔ ان محوروں سے متعلق، سہ جہتی خلا میں کسی بھی نقطہ کی پوزیشن حقیقی اعداد کے ایک ترتیب شدہ تین گنا سے دی جاتی ہے، ہر نمبر اس نقطہ کا فاصلہ اس اصل سے دیتا ہے جو دیئے گئے محور کے ساتھ ماپا جاتا ہے، جو اس کے فاصلے کے برابر ہے۔ دوسرے دو محوروں کے ذریعہ طے شدہ سطح سے نقطہ۔ تین جہتی خلا میں کسی نقطہ کے مقام کو بیان کرنے کے دیگر مقبول طریقوں میں بیلناکار نقاط اور کروی نقاط شامل ہیں، حالانکہ ممکنہ طریقوں کی ایک لامحدود تعداد موجود ہے۔ مزید معلومات کے لیے یوکلڈین اسپیس دیکھیں۔ ذیل میں مذکورہ بالا نظاموں کی تصاویر ہیں۔ لکیریں اور سطحیں دو الگ الگ نکات ہمیشہ ایک (سیدھی) لکیر کا تعین کرتے ہیں۔ تین الگ الگ نکات یا تو کالینیئر ہوتے ہیں یا ایک منفرد سطح کا تعین کرتے ہیں۔ دوسری طرف، چار الگ الگ نکات یا تو کالینیئر، کوپلینار ہو سکتے ہیں، یا پوری جگہ کا تعین کر سکتے ہیں۔ دو الگ الگ لکیریں یا تو ایک دوسرے کو کاٹ سکتی ہیں، متوازی ہو سکتی ہیں یا منحنی ہو سکتی ہیں۔ دو متوازی لکیریں، یا دو ایک دوسرے کو کاٹتی ہوئی لکیریں، ایک منفرد سطح پر ہوتی ہیں، اس لیے منحنی لکیریں ایسی لکیریں ہیں جو ایک مشترکہ سطح پر نہیں ملتی ہیں اور نہ ہی ہوتی ہیں۔ دو الگ الگ طیارے یا تو ایک مشترکہ لکیر میں مل سکتے ہیں یا متوازی ہو سکتے ہیں (یعنی، نہیں ملتے)۔ تین الگ الگ طیارے، جن میں سے کوئی بھی جوڑا متوازی نہیں ہے، یا تو ایک مشترکہ لکیر میں مل سکتے ہیں، ایک منفرد مشترکہ نقطہ میں مل سکتے ہیں، یا مشترکہ طور پر کوئی نقطہ نہیں رکھتے ہیں۔ آخری صورت میں، طیاروں کے ہر جوڑے کے چوراہے کی تین لائنیں باہمی طور پر متوازی ہوتی ہیں۔ ایک لکیر کسی دی گئی سطح میں ہو سکتی ہے، اس سطح کو ایک منفرد نقطہ میں کاٹ سکتی ہے، یا سطح کے متوازی ہو سکتی ہے۔ آخری صورت میں، طیارہ میں ایسی لکیریں ہوں گی جو دی گئی لکیر کے متوازی ہوں۔ ہائپرپلین ایک طول و عرض کی ذیلی جگہ ہے جو مکمل جگہ کے طول و عرض سے کم ہے۔ تین جہتی خلا کے ہائپرپلین دو جہتی ذیلی جگہیں ہیں، یعنی طیارے۔ کارٹیشین نقاط کے لحاظ سے، ہائپرپلین کے پوائنٹس ایک واحد لکیری مساوات کو پورا کرتے ہیں، لہذا اس 3-اسپیس میں طیاروں کو لکیری مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ ایک لکیر کو آزاد لکیری مساوات کے جوڑے کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے-ہر ایک ایسی سطح کی نمائندگی کرتا ہے جس میں یہ لکیر ایک مشترکہ چوراہے کے طور پر ہو۔ ویگنن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ R3 میں کسی بھی کواڈریلیٹرل کے مڈ پوائنٹ ایک متوازی ہندسہ بناتے ہیں، اور اس لیے وہ کوپلانار ہوتے ہیں۔ دائرے اور گیندیں 3-خلا میں ایک دائرہ (جسے 2-دائرہ بھی کہا جاتا ہے کیونکہ یہ ایک 2 جہتی شے ہے) مرکزی نقطہ سے ایک مقررہ فاصلے پر 3-خلا میں تمام نکات کے سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے۔ دائرے سے منسلک ٹھوس کو گیند (یا، زیادہ واضح طور پر 3 گیند) کہا جاتا ہے۔ گیند کا حجم اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور دائرے کی سطح کا رقبہ ہے ایک اور قسم کا دائرہ 4 گیند سے پیدا ہوتا ہے، جس کی تین جہتی سطح 3-دائرہ ہے: پوائنٹس یوکلڈین اسپیس کی ابتدا سے مساوی ہیں۔ اگر کسی نقطہ میں نقاط ہیں، تو پھر ان نکات کو یونٹ 3 کے دائرے پر خصوصیت دیتا ہے جو اصل پر مرکوز ہے۔ یہ 3-دائرہ 3-گنا کی ایک مثال ہے: ایک ایسی جگہ جو 3-D جگہ کی طرح 'مقامی طور پر نظر آتی ہے'۔ عین مطابق ٹپوولوجیکل اصطلاحات میں، 3-دائرے کے ہر نقطہ کا ایک پڑوس ہوتا ہے جو 3-D جگہ کے کھلے ذیلی سیٹ کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ پولی ٹاپس تین جہتوں میں، نو باقاعدہ پولی ٹاپس ہوتے ہیں: پانچ کنویکس پلاٹونک ٹھوس اور چار غیر کنویکس کیپلر-پوینسوٹ پولی ہیڈرا۔ انقلاب کی سطحیں ایک ایسی سطح جو اپنے سطح میں ایک مقررہ لکیر کے گرد ایک سطحی منحنی خطوط کو محور کے طور پر گھومنے سے پیدا ہوتی ہے، انقلاب کی سطح کہلاتی ہے۔ سطح کے منحنی خطوط کو سطح کا جنریٹریکس کہا جاتا ہے۔ سطح کا ایک حصہ، جو سطح کو ایک ایسی سطح کے ساتھ کاٹ کر بنایا گیا ہے جو محور پر عمودی (آرتھوگنل) ہے، ایک دائرہ ہے۔ سادہ مثالیں اس وقت ملتی ہیں جب جنریٹریکس ایک لکیر ہوتی ہے۔ اگر جنریٹریکس لائن محور لائن کو کاٹتی ہے، تو انقلاب کی سطح ایک دائیں سرکلر شنک ہوتی ہے جس کے ساتھ عمودی (چوٹی) چوراہے کا نقطہ ہوتا ہے۔ تاہم، اگر جنریٹریکس اور محور متوازی ہیں، تو انقلاب کی سطح ایک سرکلر سلنڈر ہے۔ کواڈریک سطحیں مخروطی حصوں کے ساتھ مشابہت میں، ان نکات کا مجموعہ جن کے کارٹیشین نقاط دوسری ڈگری کی عمومی مساوات کو پورا کرتے ہیں، یعنی، جہاں اور حقیقی اعداد ہیں اور تمام نہیں اور صفر ہیں، کواڈریک سطح کہا جاتا ہے۔ غیر انحطاطی کواڈریک سطحوں کی چھ قسمیں ہیں: ایک شیٹ کا ایلیپسائڈ ہائپربولائڈ دو شیٹس کا ایلیپٹک کون ایلیپٹک پیرابولائڈ ہائپربولک پیرابولائڈ انحطاطی کواڈریک سطحیں خالی سیٹ، ایک واحد نقطہ، ایک واحد لائن، ایک واحد طیارہ، طیاروں کا ایک جوڑا یا ایک کواڈریٹک سلنڈر (ایک سطح جس میں ہوائی جہاز میں غیر انحطاطی کونک سیکشن ہوتا ہے اور اس کونک کے ذریعے کی تمام لائنیں جو عام ہوتی ہیں) ہوتی ہیں۔ ایلیپٹک شنک کو بعض اوقات انحطاطی کواڈریک سطحوں کے طور پر بھی سمجھا جاتا ہے۔ ایک شیٹ کے ہائپربولائڈ اور ہائپربولک پیرابولائڈ دونوں حکمرانی کی سطحیں ہیں، جس کا مطلب ہے کہ وہ سیدھی لکیروں کے خاندان سے بنائے جا سکتے ہیں۔ در حقیقت، ہر ایک کے پاس لائن پیدا کرنے والے دو خاندان ہوتے ہیں، ہر خاندان کے افراد جداگانہ ہوتے ہیں اور ہر فرد ایک خاندان کو کاٹتا ہے، صرف ایک رعایت کے ساتھ، دوسرے خاندان کا ہر فرد۔ ہر خاندان کو ریگولیس کہا جاتا ہے۔ لکیری الجبرا میں تین جہتی خلا کو دیکھنے کا ایک اور طریقہ لکیری الجبرا میں پایا جاتا ہے، جہاں آزادی کا خیال اہم ہے۔ خلا کے تین طول و عرض ہوتے ہیں کیونکہ ڈبے کی لمبائی اس کی چوڑائی یا چوڑائی سے آزاد ہوتی ہے۔ لکیری الجبرا کی تکنیکی زبان میں، خلا سہ جہتی ہے کیونکہ خلا میں ہر نقطہ کو تین آزاد ویکٹروں کے لکیری امتزاج سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ڈاٹ پروڈکٹ، زاویہ، اور لمبائی ایک ویکٹر کو تیر کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ ویکٹر کی شدت اس کی لمبائی ہے، اور اس کی سمت تیر کے نکات کی سمت ہے۔ ایک ویکٹر کی نمائندگی حقیقی اعداد کے ترتیب شدہ تین گنا سے کی جا سکتی ہے۔ ان اعداد کو ویکٹر کے اجزاء کہا جاتا ہے۔ دو ویکٹروں کا ڈاٹ پروڈکٹ اور اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: ایک ویکٹر کی شدت کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اپنے ساتھ ویکٹر کا ڈاٹ پروڈکٹ وہ ہے جو ویکٹر کی یوکلڈین لمبائی کا فارمولا دیتا ہے۔ ویکٹروں کے اجزاء کے حوالے کے بغیر، دو غیر صفر یوکلڈین ویکٹروں کا ڈاٹ پروڈکٹ اور اس کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں اور کے درمیان کا زاویہ ہے۔ کراس پروڈکٹ کراس پروڈکٹ یا ویکٹر پروڈکٹ تین جہتی جگہ میں دو ویکٹروں پر بائنری آپریشن ہے اور اسے علامت × سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ویکٹر A اور B کا کراس پروڈکٹ A × B ایک ویکٹر ہے جو دونوں کے لیے عمودی ہے اور اس لیے ان پر مشتمل سطح کے لیے نارمل ہے۔ اس کے ریاضی، طبیعیات اور انجینئرنگ میں بہت سے استعمال ہیں۔ فنکشن زبان میں، کراس پروڈکٹ ایک فنکشن ہے۔ کراس پروڈکٹ کے اجزاء ہیں، اور اجزاء میں بھی لکھے جا سکتے ہیں، آئن سٹائن سمیشن کنونشن کا استعمال کرتے ہوئے جہاں لیوی-سیویتا علامت ہے۔ اس کی وہ ملکیت ہے۔ اس کی شدت کا تعلق شناخت کے درمیان اور اس کے لحاظ سے زاویہ سے ہے۔ خلا اور پروڈکٹ کسی فیلڈ پر الجبرا بناتے ہیں، جو نہ تو متغیر ہے اور نہ ہی ملحقہ ہے، بلکہ ایک لائ الجبرا ہے جس میں کراس پروڈکٹ لائ بریکٹ ہے۔ خاص طور پر، پروڈکٹ کے ساتھ مل کر جگہ، تین جہتی گردشوں کے لائ الجبرا کے لیے آئسومورفک ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ جھوٹ الجبرا کے محوریوں کو مطمئن کرنے کے لیے، ایسوسی ایٹیویٹی کے بجائے کراس پروڈکٹ جیکوبی شناخت کو مطمئن کرتا ہے۔ کسی بھی تین ویکٹر کے لیے اور ایک n طول و عرض میں ان سب کے لیے عمودی ویکٹر پیدا کرنے کے لیے ویکٹر کا پروڈکٹ لے سکتا ہے۔ لیکن اگر پروڈکٹ ویکٹر نتائج کے ساتھ غیر معمولی بائنری مصنوعات تک محدود ہے، تو یہ صرف تین اور سات جہتوں میں موجود ہے۔ خلاصہ تفصیل تین جہتی خلا کو حقیقی اعداد پر تین جہتی ویکٹر خلا کے طور پر بیان کرنا مفید ہو سکتا ہے۔ یہ ٹھیک ٹھیک طریقے سے مختلف ہے۔ تعریف کے مطابق، اس کی ایک بنیاد موجود ہے۔ یہ اور کے درمیان ایک آئسومورفزم سے مطابقت رکھتا ہے: آئسومورفزم کی تعمیر یہاں پائی جاتی ہے۔ تاہم، اس کے لیے کوئی 'ترجیحی' یا 'کینونکل بنیاد' نہیں ہے۔ دوسری طرف، اس کے لیے ایک ترجیحی بنیاد ہے، جو اس کی وضاحت کی وجہ سے ہے کہ اس کی نقلیں کارٹیشین پروڈکٹ ہیں، یعنی۔ یہ کینونکل پروجیکشنز کی تعریف کی اجازت دیتا ہے، جہاں۔ مثلا۔ اس کے بعد اس معیاری بنیاد کی تعریف کی اجازت دیتا ہے جس کی وضاحت کرونیکر ڈیلٹا کہاں ہے۔ مکمل طور پر لکھی گئی، معیاری بنیاد ہے۔ لہذا اسے تجریدی ویکٹر اسپیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس میں بنیاد کے انتخاب کی اضافی ساخت بھی شامل ہے۔ اس کے برعکس، کارٹیشین پروڈکٹ ڈھانچے سے شروع کر کے اور 'بھول کر'، یا اس کے مساوی بنیاد کے معیاری انتخاب سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ جنرل ویکٹر اسپیس کے برعکس، اسپیس کو بعض اوقات کوآرڈینیٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ جسمانی طور پر، تجریدی رسم الخط کا استعمال کرنا تصوراتی طور پر مطلوب ہے تاکہ جتنا ممکن ہو اتنا کم ڈھانچہ فرض کیا جا سکے اگر یہ کسی خاص مسئلے کے پیرامیٹرز کے ذریعہ نہیں دیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، گردشی ہم آہنگی کے مسئلے میں، تین جہتی خلا کی زیادہ ٹھوس وضاحت کے ساتھ کام کرنا محوروں کے ایک سیٹ کے مطابق بنیاد کا انتخاب فرض کرتا ہے۔ لیکن گردش کی ہم آہنگی میں، کوئی وجہ نہیں ہے کہ محوروں کے ایک سیٹ کو ترجیح دی جاتی ہے، محوروں کا وہی سیٹ جسے من مانی طور پر گھمایا گیا ہے۔ ایک اور طریقے سے بیان کیا گیا ہے، محوروں کا ترجیحی انتخاب جسمانی جگہ کی گردش کی ہم آہنگی کو توڑ دیتا ہے۔ کمپیوٹیشنل طور پر، ٹھوس حسابات کرنے کے لیے زیادہ ٹھوس تفصیل کے ساتھ کام کرنا ضروری ہے۔ افائن تفصیل ایک مزید تجریدی وضاحت اب بھی حقیقی اعداد پر تین جہتی افائن اسپیس کے طور پر فزیکل اسپیس کا نمونہ بنانا ہے۔ یہ افائن آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ اسے بعض اوقات تین جہتی یوکلڈین اسپیس کہا جاتا ہے۔ جس طرح ویکٹر اسپیس کی تفصیل 'ترجیحی بنیاد کو بھولنے' سے آئی ہے، اسی طرح افائن اسپیس کی تفصیل ویکٹر اسپیس کی 'اصل کو بھولنے' سے آتی ہے۔ یوکلڈین خالی جگہوں کو بعض اوقات یوکلڈین ویکٹر خالی جگہوں سے ممتاز کرنے کے لیے یوکلڈین افائن خالی جگہیں کہا جاتا ہے۔ یہ جسمانی طور پر پرکشش ہے کیونکہ یہ فزیکل اسپیس کے ترجمہ کو غیر متغیر بناتا ہے۔ ایک ترجیحی اصل ترجمہیاتی غیر متغیر کو توڑتا ہے۔ اندرونی پروڈکٹ کی جگہ مندرجہ بالا بحث میں ڈاٹ پروڈکٹ شامل نہیں ہے۔ ڈاٹ پروڈکٹ اندرونی پروڈکٹ کی ایک مثال ہے۔ فزیکل اسپیس کو ویکٹر اسپیس کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے جس میں اضافی طور پر اندرونی پروڈکٹ کی ساخت ہوتی ہے۔ اندرونی پروڈکٹ لمبائی اور زاویے کے تصورات کی وضاحت کرتا ہے (اور اس لیے خاص طور پر آرتھوگونالیٹی کا تصور)۔ کسی بھی اندرونی پروڈکٹ کے لیے، ایسی بنیادیں موجود ہیں جن کے تحت اندرونی پروڈکٹ ڈاٹ پروڈکٹ سے متفق ہے، لیکن ایک بار پھر، بہت سے مختلف ممکنہ بنیادیں ہیں، جن میں سے کسی کو بھی ترجیح نہیں دی جاتی ہے۔ وہ گردش کے لحاظ سے ایک دوسرے سے مختلف ہوتے ہیں، جو گردش کے گروپ SO (3) کا ایک عنصر ہے۔ کیلکولس گریڈینٹ، ڈائیورجنس اور کرل میں ایک آئتاکار کوآرڈینیٹ سسٹم میں، ایک (تفریق پذیر) فنکشن کا میلان انڈیکس نوٹیشن کے ذریعے دیا جاتا ہے اور لکھا جاتا ہے۔ ایک (تفریق پذیر) ویکٹر فیلڈ F = U i + V j + W k کا انحراف، یعنی ایک فنکشن، اسکیلر ویلیوڈ فنکشن کے برابر ہے: انڈیکس نوٹیشن میں، آئن سٹائن سمشن کنونشن کے ساتھ اسے کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں بڑھایا جاتا ہے (دیکھیں ڈیل کو گول اور سلنڈریکل کوآرڈینیٹ کی نمائندگی کے لیے سلنڈریکل اور گول کوآرڈینیٹس میں)، کرل ρ × F ہے، F کے لیے جو [Fx، Fy، Fz] پر مشتمل ہے: جہاں i، j، اور k یونٹ ویکٹر ہیں۔ یہ اس طرح پھیلتا ہے: انڈیکس نوٹیشن میں، آئن سٹائن سمیشن کنونشن کے ساتھ یہ وہ جگہ ہے جہاں مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک علامت، لیوی-سیویٹا علامت ہے۔ لائن، سرفیس، اور والیوم انٹیگرلز کچھ اسکیلر فیلڈ f: U: Rn → R کے لیے، پیس وائز ہموار وکر C کے ساتھ لائن انٹیگرل کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں r: [a, b] → C وکر C کا ایک من مانی بائیجیکٹو پیرامیٹریزیشن ہے جیسے کہ r (a) اور r (b) C کے اختتامی نکات دیتے ہیں اور۔ ویکٹر فیلڈ کے لیے F: U rn → Rn، r کی سمت میں ایک ٹکڑے ٹکڑے کے ہموار منحنی خطوط C r U کے ساتھ لائن انٹیگرل کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ جہاں ڈاٹ پروڈکٹ ہے اور r: [a, b] → C منحنی خطوط C کا ایک دو طرفہ پیرامیٹریزیشن ہے جیسے کہ r (a) اور r (b) C کے اختتامی نکات دیتے ہیں۔ ایک سطحی انٹیگرل سطحوں پر انضمام کے لیے متعدد انٹیگرلز کی عمومی شکل ہے۔ اسے لائن انٹیگرل کے ڈبل انٹیگرل اینالاگ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ سرفیس انٹیگرل کے لیے ایک واضح فارمولا تلاش کرنے کے لیے، ہمیں کسی دائرے پر عرض البلد اور طول البلد کی طرح S پر منحنی خطوط کے نظام پر غور کر کے دلچسپی کی سطح S کو پیرامیٹرائز کرنے کی ضرورت ہے۔ اس طرح کے پیرامیٹرائزیشن کو x (s، t) ہونے دیں، جہاں (s، t) طیارہ میں کسی علاقے T میں مختلف ہوتا ہے۔ پھر، سرفیس انٹیگرل اس طرح دیا جاتا ہے جہاں دائیں ہاتھ کی طرف سلاخوں کے درمیان اظہار x (s، t) کے جزوی مشتقات کے کراس پروڈکٹ کی شدت ہے، اور اسے سرفیس عنصر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ S پر ویکٹر فیلڈ v کو دیکھتے ہوئے، یہ ایک فنکشن ہے جو S a ویکٹر v (x) میں ہر x کو تفویض کرتا ہے، سرفیس انٹیگرل کو ایک اسکیلر فیلڈ کے سرفیس انٹیگرل کی تعریف کے مطابق جزو کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ ایک ویکٹر ہے۔ حجم انٹیگرل تین جہتی ڈومین یا خطے پر ایک انٹیگرل ہے۔ جب انٹیگرینڈ معمولی (اتحاد) ہوتا ہے، تو حجم انٹیگرل محض خطے کا حجم ہوتا ہے۔ اس کا مطلب کسی فنکشن کے R3 میں خطے D کے اندر ٹرپل انٹیگرل بھی ہو سکتا ہے اور اسے عام طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے: لائن انٹیگرلز کا بنیادی نظریہ لائن انٹیگرلز کا بنیادی نظریہ کہتا ہے کہ گریڈینٹ فیلڈ کے ذریعے لائن انٹیگرل کا اندازہ وکر کے اختتامی نکات پر اصل اسکیلر فیلڈ کا جائزہ لے کر کیا جا سکتا ہے۔ جانے دیں۔ پھر اسٹوکس تھیوریم اسٹوکس تھیوریم ایک ویکٹر فیلڈ F کے کرل کی سطح کے انٹیگرل کا تعلق یوکلڈین تھری اسپیس میں ایک سطح پر اس کے باؤنڈری پر ویکٹر فیلڈ کے لائن انٹیگرل سے کرتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ (تھری ڈی اسپیس میں حجم کی نمائندگی کرنے کی صورت میں) کا ایک ذیلی سیٹ ہے جو کمپیکٹ ہے اور اس کی پیس وائز ہموار باؤنڈری ہے (جس کے ساتھ اشارہ بھی کیا گیا ہے)۔ اگر ایک مسلسل تفریق پذیر ویکٹر فیلڈ ہے جس کی وضاحت پڑوس پر کی گئی ہے، تو انحراف تھیوریم کہتا ہے: بائیں طرف حجم پر حجم انٹیگرل ہے، دائیں طرف حجم کی حد پر سطح کا انٹیگرل ہے۔ بند کئی گنا عام طور پر باؤنڈری آف اورینٹڈ بائی آؤٹ ورڈ پوائنٹنگ نارملز ہوتی ہے، اور باؤنڈری کی آؤٹ ورڈ پوائنٹنگ یونٹ نارمل فیلڈ ہوتی ہے۔ (کے لیے شارٹ ہینڈ کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔) ٹوپولوجی میں تین جہتی خلا میں متعدد ٹوپولوجیکل خصوصیات ہیں جو اسے دیگر جہتی نمبروں کی خالی جگہوں سے ممتاز کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، تار کے ٹکڑے میں گرہ باندھنے کے لیے کم از کم تین جہتوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ تفریق جیومیٹری میں عام تین جہتی خالی جگہیں 3-مینیفولڈ ہوتی ہیں، جو مقامی طور پر ملتی جلتی ہوتی ہیں۔ محدود جیومیٹری میں طول و عرض کے بہت سے نظریات کو محدود جیومیٹری کے ساتھ آزمایا جا سکتا ہے۔ سب سے آسان مثال پی جی (3,2) ہے، جس میں فانو طیاروں کو اس کی 2 جہتی ذیلی جگہوں کے طور پر ہے۔ یہ گالوئس جیومیٹری کی ایک مثال ہے، جو محدود شعبوں کا استعمال کرتے ہوئے پروجیکٹو جیومیٹری کا مطالعہ ہے۔ اس طرح، کسی بھی گالوئس فیلڈ GF (q) کے لیے، تین جہتوں کی ایک پروجیکٹو اسپیس (3, q) ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، پی جی (3، ق) میں کوئی بھی تین سکیو لائنیں بالکل ایک ریگولیس میں موجود ہیں۔ تین جہتوں میں 3D گردش گردش کی رسمی کارروائیاں بھی دیکھیں جہتی تجزیہ ایک نقطہ سے ہوائی جہاز تک کا فاصلہ چار جہتی خلا تین جہتی گراف ٹھوس جیومیٹری دو جہتی خلا نوٹ حوالہ جات آرفکن، جارج بی اور ہنس جے ویبر۔ طبیعیات دانوں کے لیے ریاضیاتی طریقے، اکیڈمک پریس ؛ 6 ایڈیشن (21 جون 2005)۔ ۔ بیرونی روابط ابتدائی لکیری الجبرا-باب 8: یونیورسٹی آف کوئنز لینڈ سے تین جہتی جیومیٹری کیتھ میتھیوز، 1991 تجزیاتی جیومیٹری کثیر جہتی جیومیٹری تین جہتی کوآرڈینیٹ سسٹم 3 (نمبر) اسپیس