Étale fundamental group
ایٹیل یا الجبرائی بنیادی گروپ الجبرائی جیومیٹری میں، اسکیموں کے لیے، ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے معمول کے بنیادی گروپ کا ایک ینالاگ ہے۔ ٹوپولوجیکل اینالاگ/غیر رسمی بحث الجبرائی ٹوپولوجی میں، ایک نوک دار ٹوپولوجیکل اسپیس کے بنیادی گروپ کو ہوموٹوپی کلاسوں کے گروپ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ تعریف حقیقی اور پیچیدہ کئی گنا جیسی جگہوں کے لیے اچھی طرح سے کام کرتی ہے، لیکن زرسکی ٹوپولوجی کے ساتھ الجبرائی قسم کے لیے ناپسندیدہ نتائج دیتی ہے۔ احاطہ کرنے والی جگہوں کی درجہ بندی میں، یہ دکھایا گیا ہے کہ بنیادی گروپ بالکل عالمگیر احاطہ کرنے والی جگہ کی ڈیک تبدیلیوں کا گروپ ہے۔ یہ زیادہ امید افزا ہے: الجبرائی اقسام کے محدود ایٹیل مورفزم ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے احاطہ کرنے کا مناسب ینالاگ ہیں۔ بدقسمتی سے، ایک الجبرائی قسم اکثر ایک "عالمگیر احاطہ" رکھنے میں ناکام رہتی ہے جو کہ محدود ہے، لہذا کسی کو اس کے محدود ایٹیل احاطے کے پورے زمرے پر غور کرنا چاہیے۔ اس کے بعد کوئی بھی ایٹیل بنیادی گروپ کو محدود آٹومورفزم گروپوں کی الٹی حد کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ رسمی تعریف ایک جڑی ہوئی اور مقامی طور پر نویتھیرین اسکیم ہونے دیں، ایک ہندسی نقطہ ہونے دیں اور جوڑوں کا زمرہ ہونے دیں جو کہ ایک اسکیم سے ایک محدود ایٹیل مورفزم ہے۔ اس زمرے میں مورفزم زیادہ اسکیمیں ہیں۔ اس زمرے میں سیٹوں کے زمرے کے لیے ایک قدرتی فنکٹر ہے، یعنی جیومیٹرک طور پر فنکٹر یہ اوور کا فائبر ہے اور تجریدی طور پر یہ یونڈا فنکٹر ہے جس کی نمائندگی اسکیموں کے زمرے میں کی جاتی ہے۔ فنکٹر عام طور پر نمائندگی کے قابل نہیں ہوتا ہے ؛ تاہم، یہ حقیقت میں گالوئس کے سرورق میں نمائندگی کے قابل ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہمارے پاس ایک پروجیکٹو سسٹم ہے، جو ایک ڈائریکٹڈ سیٹ کے ذریعہ انڈیکس کیا گیا ہے جہاں گالوئس کا احاطہ کرتا ہے، یعنی اس طرح کی محدود ایٹیل اسکیمیں۔ اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ ہم نے فنکٹروں کی ایک آئسومورفزم دی ہے۔ خاص طور پر، ہمارے پاس پروجیکٹو سسٹم کا ایک نمایاں نقطہ ہے۔ ایسے دو کے لیے نقشہ ایک گروپ ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے جو پروجیکٹو سسٹم سے آٹومورفزم گروپوں کا ایک پروجیکٹو سسٹم تیار کرتا ہے۔ اس کے بعد ہم مندرجہ ذیل تعریف کرتے ہیں: ایٹ کا ایٹیل بنیادی گروپ الٹا حد ٹوپولوجی کے ساتھ الٹا حد ہے۔ فنکٹر اب محدود اور مسلسل سیٹ کے زمرے میں ایک فنکٹر ہے، اور محدود اور مسلسل سیٹ کے زمرے کے درمیان زمروں کی مساوات قائم کرتا ہے۔ مثالیں اور تھیوریمز کی سب سے بنیادی مثال کسی فیلڈ کا ایٹیل بنیادی گروپ ہے۔ بنیادی طور پر تعریف کے مطابق، کے بنیادی گروپ کو مطلق گالوئس گروپ کے لیے آئسومورفک دکھایا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، کے ہندسی نقطہ کا انتخاب ایک علیحدہ بند توسیعی فیلڈ دینے کے مترادف ہے، اور اس بنیادی نقطہ کے حوالے سے étale بنیادی گروپ گالوئس گروپ کے ساتھ شناخت کرتا ہے۔ گالوئس گروپ کی اس تشریح کو گروتھینڈیک کا گالوئس نظریہ کہا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی فیلڈ پر کسی بھی ہندسی طور پر جڑی ہوئی قسم کے لیے (یعنی، ایسی ہے جو جڑی ہوئی ہے) خصوصیت صفر کے فیلڈ پر متفرق گروپوں کی اسکیموں کی ایک درست ترتیب ہوتی ہے۔ ایک ایسی اسکیم کے لیے جو محدود قسم کی ہوتی ہے، پیچیدہ اعداد، پیچیدہ تجزیاتی جگہ سے منسلک ایٹیل بنیادی گروپ اور معمول، ٹوپولوجیکل، بنیادی گروپ کے درمیان قریبی تعلق ہوتا ہے۔ الجبرائی بنیادی گروپ، جیسا کہ اسے عام طور پر اس معاملے میں کہا جاتا ہے، کی لامحدود تکمیل ہے۔ یہ ریمن کے وجود کے نظریہ کا نتیجہ ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ تمام محدود ایٹیل احاطے ان میں سے ایک سے نکلتے ہیں۔ خاص طور پر، (یعنی کھلی ریمن سطحوں) پر ہموار منحنی خطوط کے بنیادی گروپ کو اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے ؛ یہ الجبرائی بنیادی گروپ کا تعین کرتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، خصوصیت صفر کے کسی بھی الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ایک مناسب اسکیم کا بنیادی گروپ جانا جاتا ہے، کیونکہ الجبرائی طور پر بند فیلڈز کی توسیع آئسومورفک بنیادی گروپوں کو جنم دیتی ہے۔ مثبت خصوصیت اور قابو پانے والے بنیادی گروپ کے میدان پر اسکیمیں مثبت خصوصیت کے الجبرائی طور پر بند میدان کے لیے، نتائج مختلف ہوتے ہیں، کیونکہ اس صورت حال میں آرٹن-شریئر کا احاطہ موجود ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، افائن لائن کا بنیادی گروپ ٹپوولوجیکل طور پر حتمی طور پر پیدا نہیں ہوتا ہے۔ کسی اسکیم U کا ٹامڈ بنیادی گروپ معمول کے بنیادی گروپ کا ایک حصص ہے جس میں صرف ان کورز کو مدنظر رکھا جاتا ہے جن کے ساتھ ٹاملی ریمفائیڈ ہوتے ہیں، جہاں کچھ کمپیکٹائزیشن ہوتی ہے اور یہ ان کی تکمیل ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، افائن لائن کا کم بنیادی گروپ صفر ہے۔ خصوصیت پی کے میدان پر افائن اسکیمیں یہ پتہ چلتا ہے کہ ہر افائن اسکیم ایک-اسپیس ہے، اس معنی میں کہ ایٹیل ہوموٹوپی کی قسم کا تعین مکمل طور پر اس کے ایٹیل ہوموٹوپی گروپ سے ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ہندسی نقطہ کہاں ہے۔ مزید موضوعات زمرہ نظریاتی نقطہ نظر سے، بنیادی گروپ ایک فنکٹر ہے۔ الٹا گالوئس مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ بنیادی گروہوں (یا فیلڈ ایکسٹینشنز کے گالوئس گروپ) کے طور پر کون سے گروپ پیدا ہو سکتے ہیں۔ انابیلین جیومیٹری، مثال کے طور پر گروتھینڈیک کا سیکشن قیاس، اقسام کی ان کلاسوں کی نشاندہی کرنے کی کوشش کرتا ہے جن کا تعین ان کے بنیادی گروپوں سے ہوتا ہے۔ کسی اسکیم کے ایٹیل ہوموٹوپی قسم کے ذریعے اعلی ایٹیل ہوموٹوپی گروپوں کا مطالعہ کرتا ہے۔ پرو-ایٹل بنیادی گروپ نے ایٹل بنیادی گروپ کی ایک قسم متعارف کرائی ہے جسے پرو-ایٹل بنیادی گروپ کہا جاتا ہے۔ یہ محدود ایٹیل کور کے بجائے نقشوں پر غور کرکے بنایا گیا ہے جو دونوں ایٹیل ہیں اور مناسبیت کے قدر کے معیار کو پورا کرتے ہیں۔ ہندسی طور پر یونی برانچ اسکیموں کے لیے (مثال کے طور پر، عام اسکیمیں)، دونوں نقطہ نظر متفق ہیں، لیکن عام طور پر پرو-ایٹیل بنیادی گروپ ایک بہتر غیر متغیر ہے: اس کی لامحدود تکمیل ایٹیل بنیادی گروپ ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ایٹیل مورفزم بنیادی گروپ بنیادی گروپ اسکیم نوٹ حوالہ جات اسکیم تھیوری الجبرائی جیومیٹری کے ٹپوولوجیکل طریقے