Ore condition
ریاضیات میں، خاص طور پر الجبرا کے شعبے میں جسے رنگ تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، ایسک کنڈیشن ایک ایسی حالت ہے جسے Øystein Ore نے متعارف کرایا ہے، جس کا تعلق کمیونیٹیٹو رنگوں سے آگے بڑھنے، فریکشنز کے فیلڈ کی تعمیر، یا زیادہ عام طور پر رنگ کی لوکلائزیشن کے سوال سے ہے۔ کسی رنگ R کے ضرب والے ذیلی سیٹ S کے لیے صحیح ایسک کی شرط یہ ہے کہ انٹرسیکشن کے لیے اور۔ ایک (غیر متغیر) ڈومین جس کے لیے غیر صفر عناصر کا مجموعہ صحیح ایسک کی حالت کو پورا کرتا ہے اسے رائٹ ایسک ڈومین کہا جاتا ہے۔ بائیں کیس کی وضاحت بھی اسی طرح کی گئی ہے۔ عام خیال مقصد ضرب ذیلی سیٹ S کے حوالے سے فریکشن R [S−1] کی دائیں رنگ کی تعمیر کرنا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہم فارم کے عناصر کے ساتھ −1 کے طور پر کام کرنا چاہتے ہیں اور سیٹ R [S−1] پر رنگ کا ڈھانچہ رکھنا چاہتے ہیں۔ مسئلہ یہ ہے کہ پروڈکٹ کی کوئی واضح تشریح نہیں ہے (جیسا کہ −1) (bt−1) ؛ درحقیقت، ہمیں s−1 ماضی b کو "منتقل" کرنے کے لیے ایک طریقہ درکار ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہمیں s−1b کو بطور پروڈکٹ b1s1−1 دوبارہ لکھنے کے قابل ہونے کی ضرورت ہے۔ فرض کریں کہ پھر بائیں طرف s سے اور دائیں طرف s1 سے ضرب دیتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے۔ لہذا ہم a اور s کے لیے a1 اور s1 کے ساتھ اور اس طرح کے وجود کی ضرورت کو دیکھتے ہیں۔ چونکہ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ ہر انٹیگرل ڈومین فریکشن کے فیلڈ (ایمبیڈنگ کے ذریعے) کی ایک ذیلی رنگ ہے اس طرح کہ ہر عنصر s غیر صفر کے ساتھ rs−1 کی شکل کا ہو، اس لیے یہ پوچھنا فطری ہے کہ کیا وہی تعمیر ایک غیر تبادلہ ڈومین لے سکتی ہے اور اسی پراپرٹی کے ساتھ ایک ڈویژن رنگ (ایک غیر تبادلہ فیلڈ) کو منسلک کر سکتی ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ جواب بعض اوقات "نہیں" ہوتا ہے، یعنی ایسے ڈومینز ہوتے ہیں جن میں "حصوں کی دائیں تقسیم کی انگوٹی" نہیں ہوتی ہے۔ ہر دائیں ایسک ڈومین R کے لیے، ایک منفرد (قدرتی R-آئسومورفزم تک) ڈویژن رنگ D ہوتا ہے جس میں R ایک ذیلی رنگ کے طور پر ہوتا ہے کہ D کا ہر عنصر R میں r کے لیے rs−1 اور R میں s غیر صفر کی شکل کا ہوتا ہے۔ اس طرح کے ڈویژن رنگ D کو R کے دائیں حصوں کی رنگ کہا جاتا ہے، اور R کو D میں دائیں ترتیب کہا جاتا ہے۔ بائیں حصوں اور بائیں ترتیب کے رنگ کے تصور کو یکساں طور پر بیان کیا جاتا ہے، جس میں D کے عناصر s−1r کی شکل کے ہوتے ہیں۔ یہ یاد رکھنا ضروری ہے کہ D میں R کے صحیح ترتیب ہونے کی تعریف میں یہ شرط شامل ہے کہ D مکمل طور پر rs−1 کی شکل کے عناصر پر مشتمل ہونا چاہیے۔ ایسک کی شرائط میں سے کسی ایک کو مطمئن کرنے والے کسی بھی ڈومین کو ڈویژن رنگ کا سب رنگ سمجھا جا سکتا ہے، تاہم اس کا خود بخود یہ مطلب نہیں ہے کہ R D میں لیفٹ آرڈر ہے، کیونکہ یہ ممکن ہے کہ D میں ایک عنصر ہو جو s−1r کی شکل کا نہ ہو۔ اس طرح R کے لیے یہ ممکن ہے کہ وہ دائیں طرف کا نہ کہ بائیں طرف کا ایسک ڈومین ہو۔ بدیہی طور پر، یہ شرط کہ D کے تمام عناصر rs−1 کی شکل کے ہوں، یہ کہتی ہے کہ R، D کا ایک "بڑا" R-ذیلی ماڈیول ہے۔ درحقیقت یہ شرط اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ آر آر، ڈی آر کا ایک لازمی ذیلی ماڈیول ہے۔ آخر میں، ڈویژن رنگ میں ڈومین کی ایک مثال بھی ہے جو نہ تو ایسک حالت کو مطمئن کرتی ہے (نیچے کی مثالیں دیکھیں)۔ ایک اور فطری سوال یہ ہے کہ "ڈویژن رنگ کی سب رنگ اوری کو کب درست کرتی ہے؟" ایک خصوصیت یہ ہے کہ ڈویژن رنگ D کی ذیلی رنگ R ایک دائیں اوری ڈومین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب D ایک فلیٹ لیفٹ R-ماڈیول ہو۔ ایسک کنڈیشنز کا ایک مختلف، مضبوط ورژن عام طور پر اس صورت کے لیے دیا جاتا ہے جہاں R ڈومین نہیں ہے، یعنی کہ u کے ساتھ ایک مشترکہ ملٹی پل c = au = bv ہونا چاہیے، v صفر ڈیوائزر نہیں۔ اس صورت میں، اوری کا نظریہ ایک اوور رنگ کے وجود کی ضمانت دیتا ہے جسے (دائیں یا بائیں) کلاسیکی رنگ آف کوٹینٹس کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر مواصلاتی ڈومینز خود بخود اوری ڈومینز ہوتے ہیں، کیونکہ غیر صفر a اور b کے لیے، اب غیر صفر ہے۔ دائیں نویتھیرین ڈومینز، جیسے کہ صحیح پرنسپل آئیڈیل ڈومینز، بھی صحیح اوری ڈومینز کے طور پر جانے جاتے ہیں۔ اس سے بھی زیادہ عام طور پر، الفریڈ گولڈی نے ثابت کیا کہ ایک ڈومین R صحیح اوری ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آر آر کا طول و عرض محدود یکساں ہو۔ یہ بھی سچ ہے کہ دائیں بیزاوٹ ڈومینز دائیں اوری ہیں۔ ڈویژن رنگ کا ایک ذیلی ڈومین جو دائیں یا بائیں اوری نہیں ہے: اگر F کوئی فیلڈ ہے، اور دو علامتوں x اور y پر فری مونوئڈ ہے، تو مونوئڈ رنگ کسی بھی اوری کی شرط کو پورا نہیں کرتا ہے، لیکن یہ ایک فری آئیڈیل رنگ ہے اور اس طرح درحقیقت ڈویژن رنگ کا سب رنگ ہے۔ ضرب والے سیٹ ایسک کی حالت کو دیگر ضرب والے ذیلی سیٹوں میں عام کیا جا سکتا ہے، اور اسے اور میں نصابی کتاب کی شکل میں پیش کیا جاتا ہے۔ رنگ R کے سب سیٹ S کو رائٹ ڈینومینیٹر سیٹ کہا جاتا ہے اگر یہ ہر a کے لیے درج ذیل تین شرائط کو پورا کرتا ہے، b R میں، اور s، t S میں: st S میں ؛ (سیٹ S ضرب سے بند ہے۔) aS θ sR خالی نہیں ہے ؛ (سیٹ S صحیح قابل اجازت ہے۔) اگر، تو S میں کچھ u ہے جس کے ساتھ ؛ (سیٹ S صحیح ریورسیبل ہے۔) اگر S ایک دائیں ڈینومینیٹر سیٹ ہے، تو کوئی بھی صحیح حصوں کی رنگ آر ایس-1 کی تعمیر کر سکتا ہے اسی طرح جیسے کمیونیٹیٹو کیس۔ اگر S کو باقاعدہ عناصر کا مجموعہ سمجھا جائے (وہ عناصر a R میں ایسے ہیں کہ اگر b R میں غیر صفر ہے، تو اب اور با غیر صفر ہیں)، تو صحیح ایسک کی شرط صرف اس بات کی ضرورت ہے کہ S ایک صحیح ڈینومینیٹر سیٹ ہو۔ مواصلاتی لوکلائزیشن کی بہت سی خصوصیات اس زیادہ عمومی ترتیب میں ہوتی ہیں۔ اگر S ایک دائیں ڈینومینیٹر ہے جو رنگ R کے لیے سیٹ کیا گیا ہے، تو بائیں R-ماڈیول rs−1 چپٹا ہے۔ مزید برآں، اگر M ایک صحیح R-ماڈیول ہے، تو S-ٹورسن، ایک R-سب ماڈیول آئسومورفک ہے، اور ماڈیول قدرتی طور پر ایک ماڈیول MS−1 کے لیے آئسومورفک ہے جو "فریکشنز" پر مشتمل ہوتا ہے جیسا کہ تبادلے کے معاملے میں ہوتا ہے۔ نوٹوں کے حوالہ جات بیرونی روابط پلینیٹ میتھ کا صفحہ اوری کی حالت پر پلینیٹ میتھ کا صفحہ اوری کے نظریہ پر پلینیٹ میتھ کا صفحہ کلاسیکی رنگ آف کوٹینٹس رنگ تھیوری پر