Landau prime ideal theorem
الجبرائی نمبر تھیوری میں، پرائم آئیڈیل تھیوریم پرائم نمبر تھیوریم کی نمبر فیلڈ جنرلائزیشن ہے۔ یہ ایک نمبر فیلڈ K کے پرائم آئیڈیلز کی تعداد کو گننے کے لیے ایک آسپٹوٹک فارمولا فراہم کرتا ہے، جس میں زیادہ سے زیادہ X کا معیار ہوتا ہے۔ مثال کیا توقع کی جائے گوسیائی انٹیجرز کے لیے پہلے سے ہی دیکھا جا سکتا ہے۔ وہاں 4n + 1 کی شکل کے کسی بھی پرائم نمبر p کے لیے، عام p کے دو گوسیائی پرائمز کے پروڈکٹ کے طور پر p عوامل۔ 4n + 3 کی شکل کے پرائمز پرائم رہتے ہیں، جس سے معیاری p2 کا گوسیائی پرائم ملتا ہے۔ لہذا، ہمیں اندازہ لگانا چاہیے کہ r ریاضی کی ترقی 4n + 1 میں پرائمز کو کہاں شمار کرتا ہے، اور r′ ریاضی کی ترقی 4n + 3 میں۔ پرائمز پر ڈیرچلیٹ تھیوریم کی مقداری شکل کے مطابق، r (Y) اور r′ (Y) میں سے ہر ایک غیر علامتی طور پر ہوتا ہے۔ لہذا، 2r (X) اصطلاح غالب ہے، اور غیر علامتی طور پر عام نمبر فیلڈز ہیں۔ یہ عمومی نمونہ عام طور پر نمبر فیلڈز کے لیے ہے، تاکہ پرائم آئیڈیل تھیوریم پر ایک پرائم نمبر کے آئیڈیلز کا غلبہ ہو۔ جیسا کہ ایڈمنڈ لینڈو نے ثابت کیا، زیادہ سے زیادہ X پر معمول کے لیے وہی غیر علامتی فارمولا ہمیشہ برقرار رہتا ہے۔ تحقیقی طور پر اس کی وجہ یہ ہے کہ K کے ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کے لوگرتھمک مشتق میں ہمیشہ ایک سادہ قطب ہوتا ہے جس میں s = 1 پر بقیہ −1 ہوتا ہے۔ پرائم نمبر تھیوریم کی طرح، لوگرتھمک انٹیگرل فنکشن کے لحاظ سے ایک زیادہ درست تخمینہ دیا جا سکتا ہے۔ معیاری ≤ X کے پرائم آئیڈلز کی تعداد وہ ہے جہاں k پر منحصر cK ایک مستقل ہے۔ تجریدی تجزیاتی نمبر تھیوری بھی دیکھیں تجزیاتی نمبر تھیوری میں حوالہ جات تھیوری الجبرائی نمبر تھیوری میں تھیوریم