Morley rank
ریاضیاتی منطق میں، مورلی رینک، جس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے، ایک نظریہ کے ماڈل کے ذیلی سیٹ کے سائز کی پیمائش کرنے کا ایک ذریعہ ہے، جو الجبرائی جیومیٹری میں طول و عرض کے تصور کو عام کرتا ہے۔ تعریف ایک نظریہ T کو ماڈل M کے ساتھ طے کریں۔ ایک فارمولہ φ کا مورلی رینک جو ایک قابل تعریف (پیرامیٹرز کے ساتھ) سب سیٹ S کی وضاحت کرتا ہے M ایک آرڈینل یا −1 یا φ ہے، جس کی تعریف پہلے بار بار اس بات سے کی جاتی ہے کہ کسی فارمولے کے لیے کم از کم α کے لیے مورلی رینک کا کیا مطلب ہے۔ اگر S خالی نہیں ہے تو مورلی کا درجہ کم از کم 0 ہے۔ α ایک جانشین آرڈینل کے لیے، مورلی رینک کم از کم α ہے اگر M کی کسی ابتدائی توسیع N میں، سیٹ S میں شمار کے لحاظ سے لامحدود طور پر بہت سے جداگانہ قابل تعریف سبسیٹ Si ہیں، جن میں سے ہر ایک کم از کم α−1 رینک کا ہے۔ α ایک غیر صفر حد آرڈینل کے لیے، مورلی رینک کم از کم α ہے اگر یہ α سے کم تمام β کے لیے کم از کم β ہے۔ اس کے بعد مورلے رینک کو α کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اگر یہ کم از کم α ہے لیکن کم از کم α + 1 نہیں ہے، اور اس کی تعریف φ کے طور پر کی جاتی ہے اگر یہ کم از کم تمام آرڈینلز α کے لیے α ہے، اور اگر S خالی ہے تو اس کی تعریف −1 کے طور پر کی جاتی ہے۔ ماڈل M کے قابل تعریف ذیلی سیٹ کے لیے (فارمولہ φ کے ذریعے بیان کردہ) مورلی رینک کی تعریف M کے کسی بھی α0-سیچوریٹڈ ابتدائی توسیع میں φ کے مورلی رینک کے طور پر کی جاتی ہے۔ خاص طور پر α0-سیچوریٹڈ ماڈلز کے لیے ذیلی سیٹ کا مورلی رینک ذیلی سیٹ کی وضاحت کرنے والے کسی بھی فارمولے کا مورلی رینک ہوتا ہے۔ اگر S کی وضاحت کرنے والے φ کا درجہ α ہے، اور S درجہ α کے n <ω ذیلی سیٹوں سے زیادہ نہیں ہے، تو φ کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں مورلی ڈگری n ہے۔ ایک محدود سیٹ کی وضاحت کرنے والے فارمولے میں مورلی کا درجہ 0 ہوتا ہے۔ مورلے رینک 1 اور مورلے ڈگری 1 والے فارمولے کو سختی سے کم سے کم کہا جاتا ہے۔ ایک مضبوط کم سے کم ڈھانچہ وہ ہے جہاں معمولی فارمولا x = x مضبوط طور پر کم سے کم ہو۔ مورلی کی درجہ بندی تھیوریم کے ثبوت میں اور ماڈل تھیوریٹک اسٹیبلٹی تھیوری کے بڑے شعبے میں مورلی رینک اور مضبوطی سے کم سے کم ڈھانچے کلیدی اوزار ہیں۔ مثالیں خالی سیٹ میں مورلی رینک −1 ہے، اور اس کے برعکس مورلی رینک −1 کی کوئی بھی چیز خالی ہے۔ ایک سب سیٹ میں مورلی رینک 0 ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ محدود اور خالی نہ ہو۔ اگر V الجبرائی طور پر بند فیلڈ K کے لیے K میں الجبرائی سیٹ ہے، تو V کا مورلی رینک اس کے معمول کے کرول طول و عرض جیسا ہی ہے۔ V کی مورلی ڈگری زیادہ سے زیادہ طول و عرض کے ناقابل تلافی اجزاء کی تعداد ہے۔ یہ الجبرائی جیومیٹری میں اس کی ڈگری کے برابر نہیں ہے، سوائے اس کے کہ جب اس کے زیادہ سے زیادہ طول و عرض کے اجزاء لکیری خالی جگہیں ہوں۔ عقلی اعداد، جو ایک ترتیب شدہ سیٹ کے طور پر سمجھے جاتے ہیں، کا مورلی رینک φ ہوتا ہے، کیونکہ اس میں قابل تعریف ذیلی سیٹوں کا ایک قابل شمار جداگانہ اتحاد ہوتا ہے جو خود آئسومورفک ہوتا ہے۔ چیرلن-زیلبر قیاس آرائی گروپ آف فائنٹ مورلی رینک U-رینک حوالہ جات الیگزینڈر بوروک، علی نیسن، "گروپس آف فائنٹ مورلی رینک"، آکسفورڈ یونیورسٹی بھی دیکھیں۔ پریس (1994) بی۔ ہارٹ اسٹیبلٹی تھیوری اور اس کے متغیرات (2000) پی پی۔ 131-148 ماڈل تھیوری، الجبرا اور جیومیٹری میں، ڈی۔ ہاسکل اور دیگر کے ذریعہ ترمیم شدہ، ریاضی۔ سائنس. ریز۔ انسٹا۔ شائع کریں۔ 39، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس، نیویارک، 2000۔ مورلے رینک کی رسمی تعریف پر مشتمل ہے۔ ڈیوڈ مارکر ماڈل تھیوری آف ڈفریینشل فیلڈز (2000) پی پی۔ 53-63 ماڈل تھیوری، الجبرا اور جیومیٹری میں، ڈی۔ ہاسکل اور دیگر کے ذریعہ ترمیم شدہ، ریاضی۔ سائنس. ریز۔ انسٹا۔ شائع کریں۔ 39، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس، نیویارک، 2000۔ ماڈل تھیوری