Proofs of quadratic reciprocity
نمبر تھیوری میں، پائیتھاگورین تھیوریم کی طرح کواڈریٹک ریسیکروٹی کے قانون نے غیر معمولی طور پر بڑی تعداد میں ثبوت پیش کیے ہیں۔ کواڈریٹک ریسیکروٹی کے قانون کے کئی سو ثبوت شائع کیے گئے ہیں۔ ثبوت کا خلاصہ ابتدائی مشترکہ ثبوتوں میں سے دو ایسے ہیں جو دوہری گنتی کی اقسام کا اطلاق کرتے ہیں۔ گوتھولڈ آئزنسٹین کی طرف سے ایک جالی پوائنٹس شمار کرتا ہے۔ دوسرا زولوٹریف کے لیما کا اطلاق کرتا ہے، جس کا اظہار چینی بقیہ تھیوریم کے ذریعہ کیا گیا ہے اور کسی ترتیب کے دستخط کا حساب لگاتا ہے۔ سب سے چھوٹا معلوم ثبوت ڈبل گنتی کا ایک آسان ورژن بھی استعمال کرتا ہے، یعنی ڈبل گنتی ماڈیولو ایک فکسڈ پرائم۔ آئزنسٹین کا ثبوت آئزنسٹین کا کواڈریٹک باہمی تعاون کا ثبوت گاؤس کے تیسرے ثبوت کی سادگی ہے۔ یہ ہندسی طور پر زیادہ بدیہی ہے اور اس میں کم تکنیکی ہیرا پھیری کی ضرورت ہوتی ہے۔ روانگی کا نقطہ "آئزنسٹائن کا لیما" ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ الگ الگ اوڑ پرائمز p، q کے لیے، جہاں فلور فنکشن (x سے کم یا اس کے برابر سب سے بڑا انٹیجر) کی نشاندہی ہوتی ہے، اور جہاں مجموعہ کو یکساں انٹیجرز u = 2، 4، 6،، p−1 پر لیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ نتیجہ گاؤس کے لیما سے بہت ملتا جلتا ہے، اور اسی طرح ثابت کیا جا سکتا ہے (ذیل میں ثبوت دیا گیا ہے)۔ (q/p) کی اس نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے، مرکزی دلیل کافی خوبصورت ہے۔ مجموعہ درج ذیل خاکہ میں مثلث ABC کے اندرونی حصے میں یکساں x-ہم آہنگی کے ساتھ جالی پوائنٹس کی تعداد شمار کرتا ہے: کیونکہ ہر کالم میں پوائنٹس کی ایک یکساں تعداد ہوتی ہے (یعنی q−1 پوائنٹس)، اس لیے BCYX خطے میں اس طرح کے جالی پوائنٹس کی تعداد خطہ CZY میں ایسے پوائنٹس کی تعداد کے برابر ہے: پھر دونوں محوروں میں خاکہ پلٹ کر، ہم دیکھتے ہیں کہ CZY کے اندر یکساں x-ہم آہنگی کے ساتھ پوائنٹس کی تعداد AXY کے اندر موجود پوائنٹس کی تعداد کے برابر ہے جس میں عجیب x-ہم آہنگی ہوتی ہے۔ یہ نوٹ کر کے اسے ریاضیاتی طور پر جائز قرار دیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ یہ ہے کہ جہاں μ AXY کے اندرونی حصے میں جالی پوائنٹس کی کل تعداد ہے۔ پی اور کیو کو تبدیل کرنے سے، ایک ہی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ جہاں ν ڈبلیو وائی اے کے اندرونی حصے میں جالی پوائنٹس کی تعداد ہے۔ چونکہ بذات خود لائن AY پر کوئی جالی پوائنٹس نہیں ہیں (کیونکہ p اور q نسبتا پرائم ہیں)، اور چونکہ مستطیل WYXA میں پوائنٹس کی کل تعداد ہے اس لیے ہم آئزنسٹائن کے لیما کا ثبوت حاصل کرتے ہیں۔ 1 ≤ u ≤ p−1 کی حد میں ایک یکساں عدد کے لیے، r (u) سے q ماڈیولو p کے سب سے کم مثبت باقیات کو ظاہر کریں۔ (مثال کے طور پر، p = 11، q = 7 کے لیے، ہم u = 2، 4، 6، 8، 10 کی اجازت دیتے ہیں، اور r (u) کی متعلقہ اقدار 3، 6، 9، 1، 4 ہیں۔) اعداد (−1) r (u) r (u)، جنہیں پھر سے کم از کم مثبت باقیات ماڈیولو p کے طور پر مانا جاتا ہے، سبھی یکساں ہیں (ہماری چلتی ہوئی مثال میں، وہ 8، 6، 2، 10، 4 ہیں۔) مزید برآں، وہ سب الگ الگ ہیں، کیونکہ اگر (−1) r (u) r (u) ष्ण (−1) r (t) r (t) (موڈ p)، تو ہم u ष्ण ± t (موڈ p) حاصل کرنے کے لیے q سے تقسیم کر سکتے ہیں۔ یہ u ष्ण t (موڈ p) کو مجبور کرتا ہے، کیونکہ u اور t دونوں یکساں ہیں، جبکہ p عجیب ہے۔ چونکہ ان میں سے بالکل (p−1)/2 ہیں اور وہ الگ الگ ہیں، اس لیے انہیں صرف یکساں عدد 2، 4،.، p−1 کی دوبارہ ترتیب ہونا چاہیے۔ دوسری طرف، r (u) اور فلور فنکشن کی تعریف کے مطابق، اور چونکہ p عجیب ہے اور u یکساں ہے، اس کا مطلب ہے کہ اور r (u) ہم آہنگ ماڈیولو 2 ہیں۔ آخر میں یہ ظاہر کرتا ہے کہ ہم ختم ہو چکے ہیں کیونکہ بائیں ہاتھ کی طرف (q/p) کے لیے صرف ایک متبادل اظہار ہے۔ لیما میں ضمیمہ یہ لیما بنیادی طور پر بیان کرتا ہے کہ دوگنا ہونے کے بعد کم سے کم باقیات کی تعداد جو عجیب ہوتی ہے (q/p) کی قیمت دیتی ہے۔ یہ آسانی سے گاؤس لیما سے آتا ہے۔ نیز، اس کا مطلب یہ ہے کہ اور r (u) یا تو ہم آہنگ ماڈیولو 2 ہیں، یا متضاد، صرف u کی برابری پر منحصر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ بقیہ (میں) ہم آہنگ ہیں، اور اس طرح کہاں۔ مثال کے طور پر، کی پچھلی مثال کا استعمال کرتے ہوئے، باقیات ہیں اور فرش فنکشن دیتا ہے۔ ہم آہنگی کا نمونہ ہے۔ کواڈریٹک گاؤس کے جملوں کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت گاؤس کے جملوں کا استعمال کرتے ہوئے کواڈریٹک ریسیپروسیٹی کا ثبوت زیادہ عام اور کلاسیکی ثبوتوں میں سے ایک ہے۔ یہ ثبوت دو مختلف طریقوں سے واحد اقدار کے حسابات کا موازنہ کرکے کام کرتے ہیں، ایک یولر کے معیار کا استعمال کرتے ہوئے اور دوسرا بائنومیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے۔ یولر کے معیار کو کس طرح استعمال کیا جاتا ہے اس کی ایک مثال کے طور پر، ہم اسے ایک عجیب پرائم p کے تعین کے پہلے اضافی کیس کا فوری ثبوت دینے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں: یولر کے معیار کے مطابق، لیکن چونکہ مساوات کے دونوں اطراف ±1 ہیں اور p عجیب ہے، اس لیے ہم اس کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ دوسرا ضمیمہ کیس لیٹ، اتحاد اور سیٹ کا ایک قدیم 8 واں جڑ ہے۔ چونکہ اور ہم اسے دیکھتے ہیں۔ کیونکہ یہ ایک الجبرائی عدد ہے، اگر p ایک عجیب پرائم ہے تو اس کے بارے میں بات کرنا سمجھ میں آتا ہے۔ (رسمی طور پر ہم الجبرائی انٹیجرز کو p سے پیدا ہونے والے آئیڈیل کے ساتھ فیکٹر کرکے تشکیل پانے والی مواصلاتی رنگ پر غور کر رہے ہیں۔ کیونکہ یہ الجبرائی عدد نہیں ہے، 1، 2،، p اس کے الگ الگ عناصر ہیں۔) اویلر کے معیار کا استعمال کرتے ہوئے، یہ اس طرح ہے کہ ہم پھر یہ کہہ سکتے ہیں کہ لیکن ہم بائنومیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے بھی حساب لگا سکتے ہیں۔ چونکہ بائنومیئل توسیع میں کراس ٹرمز تمام p کے عوامل پر مشتمل ہوتے ہیں، ہم اسے پاتے ہیں۔ ہم اسے دو صورتوں میں تقسیم کر کے اس کا مزید درست اندازہ لگا سکتے ہیں۔ ۔ پرائم ماڈیولو 8 کے لیے یہ واحد آپشن ہیں اور ان دونوں صورتوں کا حساب ایکسپونینشل فارم کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ ہم اسے تمام عجیب پرائمز p کے لیے مختصر طور پر لکھ سکتے ہیں کیونکہ ان دونوں تاثرات کو جوڑ کر اور ان سے ضرب دے کر ہم یہ پاتے ہیں۔ چونکہ دونوں اور ہیں ± 1 اور 2 الٹا ماڈیولو p ہے، اس لیے ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ عمومی کیس عمومی ثبوت کا خیال مندرجہ بالا ضمیمہ کیس کی پیروی کرتا ہے: ایک الجبرائی عدد تلاش کریں جو کسی طرح p کے لیے لیجنڈری علامتوں کو انکوڈ کرتا ہے، پھر اس الجبرائی عدد ماڈیولو q کی qth طاقت کو دو مختلف طریقوں سے گن کر لیجنڈری علامتوں کے درمیان تعلق تلاش کریں، ایک یولر کے معیار کا استعمال کرتے ہوئے دوسرا بائنومیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے۔ آئیے کہ اتحاد کی ابتدائی پیتھ روٹ کہاں ہے۔ یہ ایک کواڈریٹک گاؤس کا مجموعہ ہے۔ ان گاؤس جملوں کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ کہاں۔ اسے اگلے ثبوت کے تناظر میں رکھنے کے لیے، گاؤس کے مجموعے کے انفرادی عناصر سائکلوٹومک فیلڈ میں ہیں لیکن مندرجہ بالا فارمولا سے پتہ چلتا ہے کہ مجموعہ خود ایل میں موجود منفرد کواڈریٹک فیلڈ کا جنریٹر ہے۔ پھر، چونکہ کواڈریٹک گاؤس کا مجموعہ الجبرائی عدد ہے، ہم اس کے ساتھ ماڈیولر ریاضی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس بنیادی فارمولے اور یولر کے معیار کا استعمال کرتے ہوئے ہم پاتے ہیں کہ اس لیے بائنومیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، ہم یہ بھی پاتے ہیں کہ، اگر ہم a کو ضرب الٹا ہونے دیں، تو ہم اس رقم کو متبادل کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ لکھ سکتے ہیں، جو رقم کی حد کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ چونکہ، ہم پھر ان دو تاثرات کو استعمال کرتے ہوئے لکھ سکتے ہیں، اور ان کے ذریعے ضرب دے سکتے ہیں۔ چونکہ الٹا ماڈیولو q ہے، اور لیجنڈری کی علامتیں یا تو ± 1 ہیں، اس کے بعد ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ الجبرائی نمبر تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت یہاں پیش کیا گیا ثبوت کسی بھی طرح سے سب سے آسان معلوم نہیں ہے۔ تاہم، یہ کافی گہرا ہے، اس معنی میں کہ یہ آرٹن کے باہمی تعاون کے کچھ نظریات کو تحریک دیتا ہے۔ سائکلوٹومک فیلڈ سیٹ اپ فرض کریں کہ p ایک عجیب پرائم ہے۔ یہ عمل سائکلوٹومک فیلڈ کے اندر ہوتا ہے جہاں ζp اتحاد کا ایک ابتدائی pth جڑ ہے۔ سائکلوٹومک فیلڈز کا بنیادی نظریہ ہمیں مطلع کرتا ہے کہ ایک کینونکل آئسومورفزم ہے جو عنصر کو مطمئن کرنے والے آٹومورفزم σa کو بھیجتا ہے۔ خاص طور پر، یہ آئسومورفزم انجیکٹو ہے کیونکہ کسی فیلڈ کا ضرب گروپ ایک چکور گروپ ہے: اب G کے عناصر کے مربعوں کے ذیلی گروہ H پر غور کریں۔ چونکہ G چکور ہے، H کا G میں اشاریہ 2 ہے، اس لیے گالوئس خط و کتابت کے تحت H سے مطابقت رکھنے والا ذیلی میدان Q کی کواڈریٹک توسیع ہونا چاہیے۔ (درحقیقت یہ ایل میں موجود ق کی منفرد کواڈریٹک توسیع ہے۔) گوسیائی دور کا نظریہ اس بات کا تعین کرتا ہے کہ کون سا ہے ؛ یہ پتہ چلتا ہے، جہاں اس مقام پر ہم اپنے فریم ورک سے ابھرتے ہوئے کواڈریٹک باہمی کا اشارہ دیکھنا شروع کرتے ہیں۔ ایک طرف، H کی شبیہہ قطعی طور پر (غیر صفر) مربع بقیہ ماڈیولو p پر مشتمل ہے۔ دوسری طرف، H کا تعلق p (یا ممکنہ طور پر −p) کے مربع جڑ کو لینے کی کوشش سے ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر اب q ایک پرائم ہے (p سے مختلف)، تو ہم نے دکھایا ہے کہ فریبینئس آٹومورفزم انٹیجرز کے دائرے میں، q پر جھوٹ بولنے والے کسی بھی غیر منظم پرائم آئیڈیل β کا انتخاب کریں، اور β سے وابستہ فریبینئس آٹومورفزم ہونے دیں۔ اس کی خصوصیت یہ ہے کہ (اس طرح کے فریبینئس عنصر کا وجود الجبرائی نمبر تھیوری مشینری پر کافی حد تک منحصر ہے۔) اس کے بارے میں ہمیں جس اہم حقیقت کی ضرورت ہے وہ یہ ہے کہ L کے کسی بھی ذیلی فیلڈ K کے لیے، درحقیقت، δ کو β سے نیچے OK کا کوئی آئیڈیل ہونا چاہیے (اور اس لیے q سے اوپر)۔ پھر، چونکہ کسی کے لیے، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ δ کے لیے فروبینیوس ہے۔ اس سے متعلق ایک معیاری نتیجہ یہ ہے کہ اس کی ترتیب متعلقہ جمود ڈگری کے برابر ہے۔ یعنی، بائیں ہاتھ کی طرف 1 کے برابر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب φ K کو درست کرتا ہے، اور دائیں ہاتھ کی طرف ایک کے برابر ہے اگر اور صرف q K میں مکمل طور پر تقسیم ہو جائے، تو ہم ہو گئے ہیں۔ اب، چونکہ اتحاد کی پیتھ جڑیں الگ الگ ماڈیولو β ہیں (یعنی۔ کثیر الجہتی Xp−1 خصوصیت q) میں الگ کرنے کے قابل ہے، ہمارے پاس یہ ہونا چاہیے، جو کہ پہلے بیان کردہ آٹومورفزم σq کے ساتھ موافق ہے۔ K کو کواڈریٹک فیلڈ سمجھتے ہوئے جس میں ہم دلچسپی رکھتے ہیں، ہم مساوات حاصل کرتے ہیں ثبوت کو مکمل کرتے ہوئے آخر میں ہمیں یہ ظاہر کرنا ہوگا کہ ایک بار جب ہم یہ کر چکے ہیں، تو کواڈریٹک ریسیکروٹی کا قانون اس کے بعد سے فورا باہر نکل جاتا ہے۔ آخری مساوات کو ظاہر کرنے کے لیے، پہلے فرض کریں کہ اس معاملے میں، کچھ عدد x (q سے تقسیم نہیں) ہے جو کہ کسی عدد c کے لیے کہتے ہیں۔ آئیے اور K کے آئیڈیل پر غور کریں۔ یہ یقینی طور پر پرنسپل آئیڈیل (q) کو تقسیم کرتا ہے۔ یہ (q) کے برابر نہیں ہو سکتا، کیونکہ یہ q سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ یہ یونٹ آئیڈیل نہیں ہو سکتا، کیونکہ تب یہ q سے تقسیم ہوتا ہے، جو دوبارہ ناممکن ہے۔ لہذا (q) کو K میں تقسیم ہونا چاہیے۔ اس کے برعکس، فرض کریں کہ (q) تقسیم ہوتا ہے، اور β کو q کے اوپر K کا پرائم ہونا چاہیے۔ اس کے بعد ہم کچھ کا انتخاب کر سکتے ہیں دراصل، چونکہ کواڈریٹک فیلڈز کے ابتدائی نظریہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ K کے انٹیجرز کی رنگ بالکل اسی طرح ہے کہ a اور b کے ڈینومینیٹرز 2 کے برابر ہیں۔ چونکہ q ष्ण 2، ہم محفوظ طریقے سے a اور b کو 2 سے ضرب دے سکتے ہیں، اور فرض کر سکتے ہیں کہ جہاں اب a اور b Z میں ہیں۔ اس صورت میں ہمارے پاس ایسا ہے تاہم، q b کو تقسیم نہیں کر سکتا، تب سے q بھی a کو تقسیم کرتا ہے، جو ہمارے انتخاب سے متصادم ہے۔ ابتدائی نمبر تھیوری پر ہر نصابی کتاب (اور الجبرائی نمبر تھیوری پر کافی تعداد میں) کواڈریٹک ریسیکروٹی کا ثبوت رکھتی ہے۔ دو خاص طور پر قابل ذکر ہیں: ان میں کواڈریٹک اور اعلی طاقت کے باہمی قوانین اور ان کی تاریخ پر بحث دونوں کے بہت سے ثبوت (کچھ مشقوں میں) ہیں۔ اس کی بے پناہ کتابچہ میں 196 مختلف شائع شدہ ثبوتوں کے لیے ادبی حوالہ جات شامل ہیں۔ کواڈریٹک باہمی تعاون (اور بہت سی مشقیں) کے بہت سے ثبوت بھی ہیں، اور کیوبک اور بائیکاڈریٹک معاملات کا بھی احاطہ کرتا ہے۔ مشق 13.26 (p 202) کا کہنا ہے کہ یہ سب اس کتاب میں اب تک دیئے گئے کواڈریٹک باہمی قانون کے ثبوتوں کی تعداد کو شمار کریں اور ایک اور وضع کریں۔ بیرونی روابط ایف۔ لیمرمیئر کی تاریخ اور کواڈریٹک ریسیپروسیٹی قانون (332 ثبوت) الجبرائی نمبر تھیوری کے ثبوتوں کی کتابچہ نگاری آرٹیکل ثبوت