Toda lattice
ٹوڈا جالی، جو ان کے ذریعہ متعارف کرائی گئی ہے، ٹھوس حالت طبیعیات میں ایک جہتی کرسٹل کے لیے ایک سادہ نمونہ ہے۔ یہ مشہور ہے کیونکہ یہ غیر لکیری مکمل طور پر مربوط نظام کی ابتدائی مثالوں میں سے ایک ہے۔ یہ قریب ترین پڑوسی تعامل کے ساتھ ذرات کی ایک زنجیر کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جسے ہیملٹنین اور حرکت کی مساوات کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے جہاں-th ذرہ کی اس کی توازن پوزیشن سے نقل مکانی ہے، اور یہ اس کی رفتار (کمیت)، اور ٹوڈا صلاحیت ہے۔ سولٹن حل سولٹن حل اکیلی لہریں ہیں جو وقت کے ساتھ پھیلتی ہیں اور ان کی شکل اور سائز میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے اور ایک دوسرے کے ساتھ ذرہ نما انداز میں تعامل کرتی ہیں۔ مساوات کا عمومی N-سولٹن حل یہ ہے کہ کہاں اور کہاں کے ساتھ۔ انٹیگریبلٹی ٹوڈا لیٹس مکمل طور پر انٹیگریبل سسٹم کی ایک مثالی مثال ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے فلاشکا کے متغیرات کا استعمال اس طرح کیا جاتا ہے کہ ٹوڈا لیٹس پڑھتا ہے۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ نظام مکمل طور پر مربوط ہے، ایک لکس جوڑا تلاش کرنا کافی ہے، یعنی دو آپریٹرز ایل (ٹی) اور پی (ٹی) ہلبرٹ اسپیس میں مربع خلاصہ ترتیب کے اس طرح کہ لکس مساوات (جہاں [ایل، پی] = ایل پی-پی ایل دو آپریٹرز کا لائ کمیونیٹر ہے) فلاشکا کے متغیرات کے وقت مشتق کے برابر ہے۔ انتخاب جہاں f (n + 1) اور f (n-1) شفٹ آپریٹر ہیں، اس کا مطلب ہے کہ مختلف t کے لیے آپریٹر L (t) یکطرفہ طور پر مساوی ہیں۔ میٹرکس کی خاصیت یہ ہے کہ اس کی آئجین ویلیوز وقت کے ساتھ غیر متغیر ہیں۔ یہ آئجین ویلیوز حرکت کے آزاد انٹیگرلز کی تشکیل کرتی ہیں، اس لیے ٹوڈا جالی مکمل طور پر انٹیگریبل ہے۔ خاص طور پر، ٹوڈا جالی کو جیکوبی آپریٹر ایل کے لیے الٹا بکھرنے والی تبدیلی کی وجہ سے حل کیا جا سکتا ہے۔ بنیادی نتیجہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ بڑے ٹی کے لیے صوابدیدی (کافی تیزی سے) ابتدائی حالات کو غیر علامتی طور پر سڑنا سولٹونس کے مجموعے اور سڑتے ہوئے منتشر حصے میں تقسیم ہوتا ہے۔ لکس جوڑی لائ بائل الجبرا پوسن-لی گروپ حوالہ جات یوجین گٹکن، انٹیگریبل ہیملٹونیئنز کے ساتھ ایکسپونینشیل پوٹینشل، فزکا 16 ڈی (1985) 398-404 بھی دیکھیں۔ بیرونی روابط سائنس ورلڈ جی ٹیشل میں ای ڈبلیو ویسسٹین، ٹوڈا لیٹیس، دی ٹوڈا لیٹیس جے فز ٹوڈا لیٹیس کے پچاس سال پر ایک خصوصی شمارہ بالکل قابل حل ماڈل انٹیگریبل سسٹمز سولٹنز لیٹیس ماڈل