Repeated game
گیم تھیوری میں، دہرایا ہوا گیم ایک وسیع فارم گیم ہے جو کسی بیس گیم (جسے اسٹیج گیم کہا جاتا ہے) کی متعدد تکرار پر مشتمل ہوتا ہے۔ اسٹیج گیم عام طور پر اچھی طرح سے مطالعہ شدہ 2 افراد کے کھیلوں میں سے ایک ہے۔ بار بار کھیلے جانے والے کھیل اس خیال کو ظاہر کرتے ہیں کہ ایک کھلاڑی کو دوسرے کھلاڑیوں کے مستقبل کے اعمال پر ان کے موجودہ عمل کے اثرات کو مدنظر رکھنا ہوگا۔ اس اثر کو بعض اوقات ان کی ساکھ کہا جاتا ہے۔ سنگل اسٹیج گیم یا سنگل شاٹ گیم غیر بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کے نام ہیں۔ بار بار کھیلے جانے والے کھیل کی حقیقی زندگی کی مثال کے لیے، دو گیس اسٹیشنوں پر غور کریں جو ایک دوسرے سے متصل ہیں۔ وہ قیمتوں کو عوامی طور پر پوسٹ کرکے مقابلہ کرتے ہیں اور ان کی ایک ہی اور مستقل معمولی قیمت سی (پٹرول کی تھوک قیمت) ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ جب وہ دونوں پی = 10 وصول کرتے ہیں، تو ان کا مشترکہ منافع زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے، جس کے نتیجے میں سب کے لیے زیادہ منافع ہوتا ہے۔ اس حقیقت کے باوجود کہ یہ ان کے لیے بہترین نتیجہ ہے، وہ انحراف کرنے کے لیے حوصلہ افزائی کرتے ہیں۔ قیمت کو معمولی طور پر کم کرکے، کوئی بھی اپنے حریفوں کے تمام صارفین کو چرا سکتا ہے، جس سے ان کی آمدنی (تقریبا) دوگنی ہو جاتی ہے۔ پی = سی، جہاں ان کا منافع صفر ہے، اس منافع کے انحراف کے بغیر واحد قیمت ہے۔ دوسرے لفظوں میں، قیمتوں کے مقابلے کے کھیل میں، واحد نیش توازن ناکارہ ہے (گیس اسٹیشنوں کے لیے) جو دونوں پی = سی چارج کرتے ہیں۔ یہ ایک مستثنی سے زیادہ ایک قاعدہ ہے: ایک اسٹیجڈ گیم میں، نیش توازن واحد نتیجہ ہے جو ایک ایجنٹ مستقل طور پر ایک تعامل میں حاصل کر سکتا ہے، اور یہ عام طور پر ان کے لیے ناکارہ ہوتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ایجنٹ صرف اپنے ذاتی مفادات کے بارے میں فکر مند ہوتے ہیں اور ان کے اعمال سے حریفوں کو ہونے والے فوائد یا اخراجات کے بارے میں فکر مند نہیں ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، گیس اسٹیشن منافع کماتے ہیں یہاں تک کہ اگر کوئی دوسرا گیس اسٹیشن ملحقہ ہو۔ سب سے اہم وجوہات میں سے ایک یہ ہے کہ ان کا تعامل یک بار نہیں ہوتا ہے۔ اس حالت کو بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کے ذریعے پیش کیا جاتا ہے، جس میں دو گیس اسٹیشن غیر معینہ مدت کی حد t = 0، 1، 2، میں قیمتوں (اسٹیج گیمز) کے لیے مقابلہ کرتے ہیں۔ محدود بمقابلہ لامحدود بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کو وسیع پیمانے پر دو کلاسوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، محدود اور لامحدود، اس بات پر منحصر ہے کہ کھیل کتنی دیر تک کھیلا جا رہا ہے۔ محدود کھیل وہ ہوتے ہیں جن میں دونوں کھلاڑی جانتے ہیں کہ کھیل ایک مخصوص (اور محدود) راؤنڈ میں کھیلا جا رہا ہے، اور یہ کہ کھیل یقینی طور پر ختم ہو جاتا ہے اس کے بعد کئی راؤنڈ کھیلے جا چکے ہوتے ہیں۔ عام طور پر، محدود گیمز کو بیک ورڈ انڈکشن کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ لامحدود کھیل وہ ہوتے ہیں جن میں کھیل لامحدود تعداد میں کھیلا جا رہا ہوتا ہے۔ لامحدود تعداد میں راؤنڈز والا کھیل بھی (کھیلنے کی حکمت عملی کے لحاظ سے) اس کھیل کے مساوی ہوتا ہے جس میں کھیل کے کھلاڑی نہیں جانتے کہ کھیل کتنے راؤنڈز کے لیے کھیلا جا رہا ہے۔ لامحدود گیمز (یا ایسے گیمز جنہیں نامعلوم تعداد میں بار بار دہرایا جا رہا ہے) کو بیک ورڈ انڈکشن کے ذریعے حل نہیں کیا جا سکتا کیونکہ بیک ورڈ انڈکشن کو شروع کرنے کے لیے کوئی "آخری راؤنڈ" نہیں ہے۔ یہاں تک کہ اگر ہر راؤنڈ میں کھیلا جانے والا کھیل ایک جیسا ہے، اس کھیل کو محدود یا لامحدود تعداد میں بار بار دہرانا، عام طور پر، بہت مختلف نتائج (توازن) کے ساتھ ساتھ بہت مختلف بہترین حکمت عملیوں کا باعث بن سکتا ہے۔ لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر مطالعہ کیے جانے والے بار بار دہرائے جانے والے کھیل ایسے کھیل ہیں جنہیں لامحدود تعداد میں دہرایا جاتا ہے۔ تکرار شدہ قیدی کے مخمصے کے کھیلوں میں، یہ پایا جاتا ہے کہ ترجیحی حکمت عملی اسٹیج گیم کی نیش حکمت عملی کھیلنا نہیں ہے، بلکہ تعاون کرنا اور سماجی طور پر زیادہ سے زیادہ حکمت عملی کھیلنا ہے۔ لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل میں حکمت عملیوں کا ایک لازمی حصہ ان کھلاڑیوں کو سزا دینا ہے جو اس تعاون پر مبنی حکمت عملی سے ہٹ جاتے ہیں۔ سزا ایک حکمت عملی کھیلنا ہو سکتا ہے جس کی وجہ سے باقی کھیل کے لیے دونوں کھلاڑیوں کو کم ادائیگی ہوتی ہے (جسے ٹرگر حکمت عملی کہا جاتا ہے)۔ ایک کھلاڑی عام طور پر سماجی طور پر زیادہ سے زیادہ حکمت عملی کھیلنے کے بجائے اپنے انعام کو بڑھانے کے لیے خود غرضانہ طور پر کام کرنے کا انتخاب کر سکتا ہے۔ تاہم، اگر یہ معلوم ہو کہ دوسرا کھلاڑی ایک محرک حکمت عملی پر عمل پیرا ہے، تو کھلاڑی مستقبل میں کم ادائیگی حاصل کرنے کی توقع کرتا ہے اگر وہ اس مرحلے پر انحراف کرتا ہے۔ ایک موثر محرک حکمت عملی اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ تعاون کرنے سے کھلاڑی کو اب خود غرضانہ طور پر کام کرنے اور مستقبل میں دوسرے کھلاڑی کی سزا کا سامنا کرنے سے زیادہ فائدہ ہوتا ہے۔ تھیوریمز میں بہت سے نتائج ہیں جو اس بات سے متعلق ہیں کہ بار بار کھیلوں میں سماجی طور پر زیادہ سے زیادہ توازن کیسے حاصل کیا جائے اور اسے برقرار رکھا جائے۔ ان نتائج کو اجتماعی طور پر "لوک نظریات" کہا جاتا ہے۔ بار بار کھیلے جانے والے کھیل کی ایک اہم خصوصیت وہ طریقہ ہے جس میں کھلاڑی کی ترجیحات کا نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ بہت سے مختلف طریقے ہیں جن میں ترجیحی تعلق کو لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل میں ماڈل کیا جا سکتا ہے، لیکن دو کلیدی طریقے یہ ہیں: ذرائع کی حد-اگر کھیل کے نتائج کے راستے میں نتیجہ نکلتا ہے اور پلیئر آئی کے پاس بنیادی گیم یوٹیلیٹی فنکشن ہے، تو پلیئر آئی کی افادیت یہ ہے: ڈسکاؤنٹنگ-اگر پلیئر آئی کی گیم کی قیمت رعایتی عنصر کے لحاظ سے وقت کے ساتھ کم ہوتی ہے، تو پلیئر یوٹیلیٹی ہے: کافی صبر کرنے والے کھلاڑیوں کے لیے (مثال کے طور پر۔ جن کی قدر کافی زیادہ ہے)، یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ہر حکمت عملی جس کی ادائیگی منی میکس ادائیگی سے زیادہ ہے وہ نیش توازن ہو سکتی ہے-حکمت عملیوں کا ایک بہت بڑا مجموعہ۔ محدود طور پر بار بار کھیلے جانے والے کھیل بار بار کھیلے جانے والے کھیل فوری فوائد اور طویل مدتی ترغیبات کے درمیان تعامل کے مطالعہ کی اجازت دیتے ہیں۔ حتمی طور پر دہرایا جانے والا کھیل ایک ایسا کھیل ہے جس میں ایک ہی شاٹ والے مرحلے کا کھیل متعدد مجرد اوقات، یا راؤنڈز میں بار بار کھیلا جاتا ہے۔ ہر ٹائم پیریڈ کو 0 <t ≤ T سے انڈیکس کیا جاتا ہے جہاں T پیریڈز کی کل تعداد ہے۔ ایک کھلاڑی کی آخری ادائیگی ہر راؤنڈ سے ان کی ادائیگیوں کا مجموعہ ہے۔ مقررہ اور معلوم وقت کے ادوار کے ساتھ ان بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کے لیے، اگر اسٹیج گیم میں ایک منفرد نیش توازن ہے، تو بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں ہر راؤنڈ میں اسٹیج گیم توازن کھیلنے کی ایک منفرد ذیلی گیم کامل نیش توازن حکمت عملی پروفائل ہوتی ہے۔ اس کا اندازہ بیکورڈ انڈکشن کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے۔ منفرد اسٹیج گیم نیش توازن کو آخری راؤنڈ میں کھیلا جانا چاہیے اس سے قطع نظر کہ پہلے راؤنڈ میں کیا ہوا تھا۔ یہ جانتے ہوئے، کھلاڑیوں کو دوسرے سے آخری راؤنڈ میں منفرد اسٹیج گیم نیش توازن سے ہٹنے کی کوئی ترغیب نہیں ہے، اور اسی طرح اس منطق کو کھیل کے پہلے راؤنڈ میں لاگو کیا جاتا ہے۔ کسی کھیل کا اس کے اختتامی نقطہ سے یہ 'بے نقاب' چین اسٹور پیراڈوکس میں دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر اسٹیج گیم میں ایک سے زیادہ نیش توازن ہے، تو بار بار ہونے والے گیم میں متعدد ذیلی گیم کامل نیش توازن ہو سکتا ہے۔ اگرچہ نیش توازن آخری راؤنڈ میں کھیلا جانا چاہیے، ایک سے زیادہ توازن کی موجودگی انعام اور سزا کی حکمت عملیوں کے امکان کو متعارف کراتی ہے جو پہلے راؤنڈز میں اسٹیج گیم نیش توازن سے انحراف کی حمایت کرنے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہیں۔ دوسری طرف، وقت کے ادوار کی نامعلوم یا غیر متعین تعداد کے ساتھ محدود طور پر دہرائے جانے والے کھیلوں کو ایسا سمجھا جاتا ہے جیسے وہ ایک لامحدود بار بار دہرایا جانے والا کھیل ہو۔ ان کھیلوں میں بیکورڈ انڈکشن کا اطلاق ممکن نہیں ہے۔ حتمی طور پر بار بار دہرائے جانے والے کھیلوں میں تعاون کی مثالیں مثال 1: ایک سے زیادہ نیش ایکویلیبریا کے ساتھ دو مراحل کا بار بار دہرایا جانے والا کھیل مثال 1 متعدد خالص حکمت عملی کے ساتھ دو مراحل کا بار بار دہرایا جانے والا کھیل نیش ایکویلیبریا دکھاتا ہے۔ چونکہ یہ توازن پلیئر 2 کے لیے ادائیگی کے لحاظ سے واضح طور پر مختلف ہے، پلیئر 1 کھیل کے متعدد مراحل پر ایک حکمت عملی پیش کر سکتا ہے جس میں پلیئر 2 کے لیے سزا یا انعام کا امکان شامل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کھلاڑی 1 تجویز کر سکتا ہے کہ وہ پہلے راؤنڈ میں (اے، ایکس) کھیلیں۔ اگر کھلاڑی 2 راؤنڈ ایک میں تعمیل کرتا ہے، تو کھلاڑی 1 دوسرے راؤنڈ میں توازن (اے، زیڈ) کھیل کر انہیں انعام دے گا، جس سے دو راؤنڈز (7، 9) میں کل ادائیگی ہوگی۔ اگر کھلاڑی 2 پہلے راؤنڈ میں متفقہ (A، X) کھیلنے کے بجائے (A، Z) سے ہٹ جاتا ہے، تو کھلاڑی 1 دوسرے راؤنڈ میں (B، Y) توازن کھیل کر انہیں سزا دینے کی دھمکی دے سکتا ہے۔ یہ مؤخر الذکر صورتحال ادائیگی (5، 7) کا باعث بنتی ہے، جس سے دونوں کھلاڑیوں کی حالت بدتر ہو جاتی ہے۔ اس طرح، مستقبل کے دور میں سزا کا خطرہ پہلے دور میں ایک باہمی تعاون، غیر توازن کی حکمت عملی کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ چونکہ کسی بھی محدود طور پر دہرائے جانے والے کھیل کا آخری راؤنڈ، اپنی نوعیت کے مطابق، مستقبل کی سزا کے خطرے کو دور کرتا ہے، آخری راؤنڈ میں بہترین حکمت عملی ہمیشہ کھیل کے توازن میں سے ایک ہوگی۔ یہ مثال 1 میں پیش کردہ کھیل میں توازن کے درمیان ادائیگی کا فرق ہے جو سزا/انعام کی حکمت عملی کو قابل عمل بناتا ہے (کھیل کی حکمت عملی پر سزا اور انعام کے اثر و رسوخ کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، 'پبلک گڈز گیم ود پینشمنٹ اینڈ فار ریوارڈ' دیکھیں)۔ مثال 2: منفرد نیش توازن کے ساتھ دو مراحل کا دہرایا ہوا کھیل مثال 2 'ایک منفرد نیش توازن کے ساتھ دو مراحل کا دہرایا ہوا کھیل دکھاتا ہے۔ چونکہ یہاں صرف ایک توازن ہے، اس لیے کسی بھی کھلاڑی کے لیے کھیل کے دوسرے راؤنڈ میں سزا کی دھمکی دینے یا انعام کا وعدہ کرنے کا کوئی طریقہ کار نہیں ہے۔ اس طرح، واحد حکمت عملی جس کی ذیلی گیم کامل نیش توازن کے طور پر حمایت کی جا سکتی ہے وہ ہے کھیل کی منفرد نیش توازن حکمت عملی (D، N) ہر راؤنڈ میں کھیلنا۔ اس صورت میں، اس کا مطلب ہے کہ دو مراحل (n = 2) کے لیے ہر مرحلے (D، N) کو کھیلنا، لیکن یہ مراحل n کی کسی بھی محدود تعداد کے لیے درست ہوگا۔ تشریح کرنے کے لیے: اس نتیجے کا مطلب یہ ہے کہ ایک معروف، محدود وقت کے افق کی موجودگی کھیل کے ہر ایک دور میں تعاون کو سبوتاژ کرتی ہے۔ تکرار شدہ کھیلوں میں تعاون صرف اس صورت میں ممکن ہے جب راؤنڈز کی تعداد لامحدود یا نامعلوم ہو۔ بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کو حل کرنا عام طور پر، بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کو لوک نظریات کے ذریعہ فراہم کردہ حکمت عملیوں کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے حل کیا جاتا ہے۔ پیچیدہ بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کو مختلف تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے جن میں سے زیادہ تر لکیری الجبرا اور فرضی کھیل میں ظاہر ہونے والے تصورات پر بہت زیادہ انحصار کرتے ہیں۔ یہ کٹوتی کی جا سکتی ہے کہ آپ لامحدود بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں میں توازن کی ادائیگی کی خصوصیت کا تعین کر سکتے ہیں۔ دو ادائیگیوں کے درمیان متبادل کے ذریعے، جیسے کہ a اور f، اوسط ادائیگی پروفائل a اور f کے درمیان اوسط اوسط ہو سکتی ہے۔ نامکمل معلومات بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں میں کچھ نامکمل معلومات شامل ہو سکتی ہیں۔ نامکمل معلومات کے ساتھ بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کا آغاز اومن اور ماسلر نے کیا۔ اگرچہ ایسی صورتحال کا علاج کرنا آسان ہے جہاں ایک کھلاڑی کو مطلع کیا جاتا ہے اور دوسرے کو نہیں، اور جب ہر کھلاڑی کو موصول ہونے والی معلومات آزاد ہوتی ہیں، تو دونوں اطراف کی نامکمل معلومات اور آزاد نہ ہونے والے اشاروں کے ساتھ صفر رقم کے کھیلوں سے نمٹنا ممکن ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط گیم تھیوریٹک سولیوشن ٹو پوکر یوزنگ فکٹیٹئس پلے گیم تھیوری ریپیٹڈ گیمز اور چین اسٹور پیراڈوکس گیم تھیوری گیم کلاسز پر ریپیٹڈ گیمز پر نوٹ کرتا ہے