Tate's thesis
نمبر تھیوری میں، ٹیٹ کا مقالہ 1950 کا پی ایچ ڈی مقالہ ہے جو پرنسٹن یونیورسٹی میں ایمل آرٹن کی نگرانی میں مکمل ہوا۔ اس میں، ٹیٹ نے مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کے آئیڈلز پر ترجمہ غیر متغیر انضمام کا استعمال کیا تاکہ زیٹا فنکشن کو ہیک کردار سے موڑ دیا جائے، یعنی۔ ایک ہیک ایل فنکشن، ایک زیٹا انٹیگرل کے لیے نمبر فیلڈ کا اور اس کی خصوصیات کا مطالعہ کرتا ہے۔ ہارمونک تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے، زیادہ واضح طور پر پوئسون سمیشن فارمولہ، انہوں نے زیٹا انٹیگرل اور ہیک ایل فنکشن کی فنکشنل مساوات اور میرومورفک تسلسل کو ثابت کیا۔ اس نے مڑے ہوئے زیٹا فنکشن کے قطبوں کا بھی پتہ لگایا۔ ان کے کام کو ہیک ایل فنکشن کے فنکشنل مساوات کے ثبوت پر ایرک ہیک کے کام کی ایک خوبصورت اور طاقتور اصلاح کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایرک ہیک نے الجبرائی نمبر فیلڈ سے وابستہ ایک عمومی تھیٹا سیریز اور انٹیجرز کی اپنی رنگ میں ایک جالی کا استعمال کیا۔ آئیواساوا-ٹیٹ تھیوری کینکیچی آئیواساوا نے دوسری جنگ عظیم کے دوران آزادانہ طور پر بنیادی طور پر ایک ہی طریقہ (ٹیٹ کے مقالے میں مقامی نظریہ کے ینالاگ کے بغیر) دریافت کیا اور اس کا اعلان 1950 کی انٹرنیشنل کانگریس آف میتھمیٹیشنس کے مقالے اور 1952 میں لکھے گئے جین ڈیوڈونی کو لکھے گئے اپنے خط میں کیا۔ اس لیے اس نظریہ کو اکثر ایواساوا-ٹیٹ نظریہ کہا جاتا ہے۔ ایواساوا نے ڈیوڈونی کو لکھے گئے اپنے خط میں کئی صفحات پر نہ صرف ایل-فنکشن کے مورومورفک تسلسل اور فنکشنل مساوات کو اخذ کیا ہے، بلکہ اس نے کلاس نمبر اور یونٹس پر ڈیرچلیٹ کے تھیوریم کی حد کو بھی مرکزی حساب کے فوری ضمنی مصنوعات کے طور پر ثابت کیا ہے۔ مثبت خصوصیت کا نظریہ ایک دہائی قبل ارنسٹ وٹ، ولفریڈ شمڈ، اور اوسوالڈ ٹیچملر نے تیار کیا تھا۔ ایواساوا-ٹیٹ تھیوری کئی ڈھانچوں کا استعمال کرتی ہے جو کلاس فیلڈ تھیوری سے آتے ہیں، تاہم یہ کلاس فیلڈ تھیوری کا کوئی گہرا نتیجہ استعمال نہیں کرتا ہے۔ عمومی ایواساوا-ٹیٹ تھیوری کو 1972 میں راجر گوڈمنٹ اور ہرے جیکٹ کے ذریعہ الجبرائی نمبر فیلڈ اور اس کے ایڈیلک گروپ کی آٹومورفک نمائندگی پر عمومی لکیری گروپ GL (n) تک بڑھایا گیا تھا جس نے لینگ لینڈز خط و کتابت کی بنیادیں بنائیں۔ ٹیٹ کے مقالے کو گوڈمنٹ جیکٹ کے کام کے جی ایل (1) کیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ سائنس 1950 کے دستاویزات میں بنیادی نمبر تھیوری حوالہ جات الجبرائی نمبر تھیوری زیٹا اور L-افعال 1950 بھی دیکھیں۔