Enumerative geometry
ریاضی میں، عددی جیومیٹری الجبرائی جیومیٹری کی وہ شاخ ہے جس کا تعلق ہندسی سوالات کے حل کی تعداد کی گنتی سے ہے، بنیادی طور پر انٹرسیکشن تھیوری کے ذریعے۔ تاریخ اپولونیئس کا مسئلہ عددی جیومیٹری کی ابتدائی مثالوں میں سے ایک ہے۔ یہ مسئلہ ان حلقوں کی تعداد اور تعمیر کے بارے میں پوچھتا ہے جو تین دیئے گئے حلقوں، نکات یا لکیروں سے متصل ہیں۔ عام طور پر، تین دیئے گئے حلقوں کے مسئلے کے آٹھ حل ہوتے ہیں، جنہیں 23 کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، ہر ٹینجینسی کی حالت حلقوں کی جگہ پر ایک چوتھائی شرط عائد کرتی ہے۔ تاہم، دیئے گئے حلقوں کے خصوصی انتظامات کے لیے، حل کی تعداد 0 (کوئی حل نہیں) سے چھ تک کوئی بھی عدد بھی ہو سکتی ہے۔ ایسا کوئی انتظام نہیں ہے جس کے لیے اپولونیئس کے مسئلے کے سات حل ہوں۔ کلیدی ٹولز ابتدائی سے لے کر زیادہ جدید تک کے متعدد ٹولز میں شامل ہیں: طول و عرض کی گنتی بیزاوٹ کے نظریہ شوبرٹ کیلکولس، اور کوہمولوجی میں زیادہ عام طور پر خصوصیت والی کلاسیں کوہمولوجی کے ساتھ چوراہوں کی گنتی کا تعلق پوائنکیری دوہری ہے منحنی خطوط، نقشوں اور دیگر ہندسی اشیاء کے ماڈیولی خالی جگہوں کا مطالعہ، بعض اوقات کوانٹم کوہمولوجی کے نظریہ کے ذریعے۔ کوانٹم کوہمولوجی، گروموف وٹن غیر متغیرات اور آئینے کی ہم آہنگی کے مطالعہ نے کلیمینز کے قیاس آرائی میں نمایاں پیش رفت کی۔ عددی جیومیٹری کا انٹرسیکشن تھیوری سے بہت قریب سے تعلق ہے۔ شبرٹ کیلکولس اینمریٹو جیومیٹری نے انیسویں صدی کے آخر میں ہرمن شبرٹ کے ہاتھوں شاندار ترقی دیکھی۔ انہوں نے اسے اس مقصد کے لیے شوبرٹ کیلکولس متعارف کرایا، جس نے وسیع تر علاقوں میں بنیادی ہندسی اور ٹپوولوجیکل قدر ثابت کی ہے۔ عددی جیومیٹری کی مخصوص ضروریات کو اس وقت تک پورا نہیں کیا گیا جب تک کہ 1960 اور 1970 کی دہائیوں میں ان پر کچھ مزید توجہ نہیں دی گئی (جیسا کہ مثال کے طور پر اسٹیون کلیمین نے نشاندہی کی تھی)۔ انٹرسیکشن نمبروں کی سختی سے وضاحت کی گئی تھی (آندرے ویل نے اپنے بنیادی پروگرام 1942-6 کے حصے کے طور پر، اور پھر بعد میں)، لیکن اس سے عددی سوالات کا مناسب دائرہ ختم نہیں ہوا۔ پھج عوامل اور ہلبرٹ کا پندرہواں مسئلہ ناییو طول و عرض کی گنتی کا اطلاق اور بیزاوٹ کا نظریہ غلط نتائج دیتا ہے، جیسا کہ درج ذیل مثال سے ظاہر ہوتا ہے۔ ان مسائل کے جواب میں، الجبرائی جیومیٹرز نے مبہم "فج فیکٹرز" متعارف کروائے، جن کا صرف کئی دہائیوں بعد سختی سے جواز پیش کیا گیا۔ مثال کے طور پر، پروجیکٹو طیارہ میں دی گئی پانچ لکیروں کے شنک حصوں کو گن لیں۔ کونکس طول و عرض 5 کی ایک پروجیکٹو اسپیس تشکیل دیتے ہیں، جو ان کے چھ کوفیشنٹس کو یکساں نقاط کے طور پر لیتے ہیں، اور پانچ پوائنٹس ایک کونک کا تعین کرتے ہیں، اگر پوائنٹس عام لکیری پوزیشن میں ہوں، کیونکہ کسی دیئے گئے پوائنٹ سے گزرنا لکیری حالت عائد کرتا ہے۔ اسی طرح، کسی دی گئی لکیر L (ٹینجینسی ضرب دو کے ساتھ انٹرسیکشن ہے) کی ٹینجینسی ایک کواڈریٹک حالت ہے، لہذا P5 میں کواڈریک کا تعین کیا جاتا ہے۔ تاہم اس طرح کے تمام کواڈریکس پر مشتمل تقسیم کاروں کا لکیری نظام بیس لوکس کے بغیر نہیں ہے۔ در حقیقت اس طرح کے ہر کواڈریک میں ویرونیز سطح ہوتی ہے، جو کونکس (aX + bY + cZ) 2 = 0 کو پیرامیٹرائز کرتی ہے جسے 'ڈبل لائنز' کہا جاتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ایک دوہری لکیر طیارہ میں ہر لکیر کو کاٹتی ہے، کیونکہ پروجیکٹو طیارہ میں لکیریں ضرب دو کے ساتھ کاٹتی ہیں کیونکہ یہ دوگنی ہوتی ہے، اور اس طرح اسی چوراہے کی حالت (ضرب دو کا چوراہا) کو ایک غیر پیدا شدہ شنک کے طور پر مطمئن کرتی ہے جو کہ لکیر سے متصل ہے۔ جنرل بیزاوٹ تھیوریم کا کہنا ہے کہ 5 خلا میں 5 عمومی کواڈریکس 32 = 25 پوائنٹس میں آپس میں ٹکرائیں گے۔ لیکن یہاں متعلقہ کواڈریکس عمومی پوزیشن میں نہیں ہیں۔ 32 سے، 31 کو گھٹا کر ویرونیز سے منسوب کیا جانا چاہیے، تاکہ صحیح جواب چھوڑا جا سکے (جیومیٹری کے نقطہ نظر سے)، یعنی 1۔ چوراہوں کو 'انحطاط پذیر' معاملات سے منسوب کرنے کا یہ عمل 'فج فیکٹر' کا ایک عام ہندسی تعارف ہے۔ ہلبرٹ کا پندرہواں مسئلہ ان مداخلتوں کی بظاہر من مانی نوعیت پر قابو پانا تھا۔ یہ پہلو خود شوبرٹ کیلکولس کے بنیادی سوال سے بالاتر ہے۔ کلیمینز کا قیاس 1984 میں ایچ کلیمینز نے ایک کوئنٹک تین گنا پر عقلی منحنی خطوط کی تعداد کی گنتی کا مطالعہ کیا اور مندرجہ ذیل قیاس پر پہنچے۔ ایک عام کوئنٹک تین گنا، ایک مثبت عدد ہونے دیں، پھر صرف ایک محدود تعداد میں عقلی منحنی خطوط ہوتے ہیں جن کی ڈگری آن ہوتی ہے۔ اس قیاس آرائی کو اس معاملے میں حل کر لیا گیا ہے، لیکن اب بھی اس سے زیادہ کے لیے کھلا ہے۔ 1991 میں سٹرنگ کے نظریاتی نقطہ نظر سے کوئنٹک پر آئینے کی ہم آہنگی کے بارے میں مقالہ سب کے لیے ڈگری d عقلی منحنی خطوط کی تعداد دیتا ہے۔ اس سے پہلے، الجبرائی جیومیٹر ان اعداد کا حساب صرف اس کے لیے لگا سکتے تھے۔ مثالیں الجبرائی جیومیٹری میں گنتی کی کچھ تاریخی طور پر اہم مثالوں میں شامل ہیں: 2 خلا میں 4 عمومی لکیروں سے ملنے والی لکیروں کی تعداد 8 3 عمومی حلقوں سے متصل حلقوں کی تعداد (اپولونیئس کا مسئلہ)۔ 27 ہموار کیوبک سطح پر لکیروں کی تعداد (سالمن اور کیلی) 2875 عام کوئنٹک پر لکیروں کی تعداد تین گنا 3264 عام پوزیشن میں 5 طیارہ کونکس پر کونکس ٹینجینٹ کی تعداد (چیسلز) 609250 عام کوئنٹک پر کونکس کی تعداد تین گنا 4407296 8 عام کواڈریک سطحوں پر کونکس ٹینجینٹ کی تعداد 666841088 3-اسپیس 5819539783680 میں عام پوزیشن میں 9 دی گئی کواڈریک سطحوں پر ٹینجینٹ کواڈریک سطحوں کی تعداد 3-اسپیس لنکس انٹرسیکشن تھیوری الجبرائی جیومیٹری میں عام پوزیشن میں 12 دی گئی کواڈریک سطحوں پر موڑ شدہ کیوبک ٹینجینٹ کی تعداد