Vector area
3 جہتی جیومیٹری اور ویکٹر کیلکولس میں، ایریا ویکٹر ایک ویکٹر ہے جو رقبے کی مقدار کو ایک سمت کے ساتھ جوڑتا ہے، اس طرح تین جہتوں میں ایک مبنی رقبے کی نمائندگی کرتا ہے۔ تین جہتوں میں ہر پابند سطح کو ایک منفرد ایریا ویکٹر کے ساتھ منسلک کیا جا سکتا ہے جسے اس کا ویکٹر ایریا کہا جاتا ہے۔ یہ سرفیس نارمل کے سرفیس انٹیگرل کے برابر ہے، اور معمول (اسکیلر) سرفیس ایریا سے الگ ہے۔ ویکٹر ایریا کو دو جہتوں میں دستخط شدہ ایریا کی تین جہتی عمومی کاری کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تعریف اسکیلر ایریا اور یونٹ نارمل کی ایک محدود پلینر سطح کے لیے، ویکٹر ایریا کی تعریف اس یونٹ نارمل کے طور پر کی جاتی ہے جو رقبے کے لحاظ سے اسکیل کیا جاتا ہے: فلیٹ فیسٹ علاقوں کے ایک سیٹ پر مشتمل ایک قابل سمت سطح کے لیے، سطح کا ویکٹر ایریا اس جگہ سے دیا جاتا ہے جہاں ایریا کا یونٹ نارمل ویکٹر ہے۔ پابند، مبنی مڑے ہوئے سطحوں کے لیے جو کافی اچھی طرح سے برتاؤ کرتے ہیں، ہم اب بھی ویکٹر ایریا کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ سب سے پہلے، ہم سطح کو لامحدود عناصر میں تقسیم کرتے ہیں، جن میں سے ہر ایک مؤثر طریقے سے چپٹا ہے۔ رقبے کے ہر لامحدود عنصر کے لیے، ہمارے پاس ایک ایریا ویکٹر ہے، جو کہ لامحدود بھی ہے۔ مقامی اکائی ویکٹر کہاں پر پرپینڈکولر ہے۔ انضمام سطح کے لیے ویکٹر کا رقبہ دیتا ہے۔ خصوصیات کسی سطح کے ویکٹر رقبے کی تشریح اس سطح کے (دستخط شدہ) متوقع رقبے یا "سائے" کے طور پر کی جا سکتی ہے جس میں یہ سب سے بڑا ہے ؛ اس کی سمت اس سطح کے نارمل سے دی جاتی ہے۔ مڑے ہوئے یا پہلو کے لیے (یعنی۔ غیر طیارہ) سطح، ویکٹر کا رقبہ اصل سطح کے رقبے سے شدت میں چھوٹا ہوتا ہے۔ ایک انتہائی مثال کے طور پر، ایک بند سطح من مانی طور پر بڑا رقبہ رکھتی ہے، لیکن اس کا ویکٹر رقبہ لازمی طور پر صفر ہوتا ہے۔ حدود کا اشتراک کرنے والی سطحوں کے بہت مختلف علاقے ہو سکتے ہیں، لیکن ان کا ویکٹر کا رقبہ ایک ہی ہونا چاہیے-ویکٹر کا رقبہ مکمل طور پر حد سے طے ہوتا ہے۔ یہ اسٹوکس تھیوریم کے نتائج ہیں۔ متوازی ہندسہ کا ویکٹر رقبہ دو ویکٹروں کے کراس پروڈکٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے جو اس پر پھیلا ہوا ہے۔ یہ ایک ہی ویکٹر کے ذریعے بنائے گئے مثلث کے (ویکٹر) رقبے سے دوگنا ہوتا ہے۔ عام طور پر، کسی بھی سطح کا ویکٹر رقبہ جس کی حد سیدھی لکیر کے حصوں کی ترتیب پر مشتمل ہوتی ہے (دو جہتوں میں ایک کثیر الاضحی سے مشابہت رکھتی ہے) کا حساب سطح کی مثلث سازی کے مطابق کراس پروڈکٹ کی ایک سیریز کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ یہ جوتے کے فارمولے کو تین جہتوں میں عام کرنا ہے۔ اسٹوکس تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے جو مناسب طور پر منتخب کردہ ویکٹر فیلڈ پر لاگو ہوتا ہے، ویکٹر ایریا کے لیے ایک باؤنڈری انٹیگرل اخذ کیا جا سکتا ہے: جہاں کی باؤنڈری ہے، یعنی۔ ایک یا زیادہ پر مبنی بند جگہ کے منحنی خطوط۔ یہ گرین کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے دو جہتی رقبے کے حساب سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایپلی کیشنز ایریا ویکٹرز کا استعمال سطح کے انٹیگرلز کا حساب لگاتے وقت کیا جاتا ہے، جیسے کہ کسی سطح کے ذریعے ویکٹر فیلڈ کے بہاؤ کا تعین کرتے وقت۔ فلکس فیلڈ کے ڈاٹ پروڈکٹ اور (لامحدود) ایریا ویکٹر کے انٹیگرل کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ جب فیلڈ سطح پر مستقل ہوتا ہے تو انٹیگرل فیلڈ کے ڈاٹ پروڈکٹ اور سطح کے ویکٹر ایریا کو آسان بناتا ہے۔ طیاروں پر رقبے کا تخمینہ کسی ہوائی جہاز پر متوقع رقبہ ویکٹر ایریا S کے ڈاٹ پروڈکٹ اور ٹارگٹ پلین یونٹ نارمل کے ذریعے دیا جاتا ہے: مثال کے طور پر، ہوائی جہاز پر متوقع رقبہ ویکٹر ایریا کے-جزو کے برابر ہوتا ہے، اور یہ اس جگہ کے برابر بھی ہوتا ہے جہاں ہوائی جہاز نارمل اور-محور کے درمیان زاویہ ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ بیویکٹر، جو کسی بھی تعداد میں طول و عرض ڈی گوا کے نظریہ میں ایک مبنی علاقے کی نمائندگی کرتا ہے، ویکٹر ایریا کے آرتھوگنل اجزاء میں سڑنے پر کراس پروڈکٹ نارمل سرفیس انٹیگرل نوٹ ایریا ویکٹرز (ریاضی اور طبیعیات) تجزیاتی جیومیٹری