Kelly criterion
امکان کے نظریہ میں، کیلی معیار (یا کیلی حکمت عملی یا کیلی بیٹ) شرط کو سائز دینے کا ایک فارمولا ہے۔ کیلی بیٹ کا سائز دولت کے لوگرتھم کی متوقع قیمت کو زیادہ سے زیادہ کرکے پایا جاتا ہے، جو متوقع ہندسی نمو کی شرح کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے برابر ہے۔ یہ فرض کرتا ہے کہ متوقع منافع معلوم ہے اور ایک بیٹٹر کے لیے بہترین ہے جو اپنی دولت کو لوگرتھمک طور پر اہمیت دیتا ہے۔ بیل لیبز کے ایک محقق جے ایل کیلی جونیئر نے 1956 میں معیار بیان کیا۔ بیان کردہ مفروضوں کے تحت، کیلی معیار طویل مدت میں کسی بھی دوسری حکمت عملی کے مقابلے میں زیادہ دولت کی طرف لے جاتا ہے (یعنی، نظریاتی زیادہ سے زیادہ واپسی جیسا کہ شرطوں کی تعداد لامحدود تک جاتی ہے)۔ جوئے کے لیے فارمولے کے عملی استعمال کا مظاہرہ کیا گیا ہے، اور یہی خیال سرمایہ کاری کے انتظام میں تنوع کی وضاحت کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ 2000 کی دہائی میں، کیلی طرز کا تجزیہ مرکزی دھارے کے سرمایہ کاری کے نظریہ کا ایک حصہ بن گیا اور یہ دعوی کیا گیا ہے کہ وارن بفیٹ اور بل گروس سمیت معروف کامیاب سرمایہ کار کیلی طریقوں کا استعمال کرتے ہیں۔ انٹرٹیمپورل پورٹ فولیو کا انتخاب بھی دیکھیں۔ جوا کا فارمولا جہاں شرط کھونے میں پوری شرط کھونا شامل ہوتا ہے، کیلی شرط یہ ہے: جہاں: موجودہ بینک رول کا حصہ ہے۔ جیتنے کا امکان ہے۔ نقصان کا امکان () ہے۔ جیت کے ساتھ حاصل ہونے والی شرط کا تناسب ہے۔ مثال کے طور پر، اگر 2 سے 1 مشکلات کی شرط پر $10 کی شرط لگائیں (جیتنے پر آپ کو $30 واپس کیے جاتے ہیں، آپ کو $20 جیتتے ہیں)، تو پھر۔ مثال کے طور پر، اگر کسی جوا میں جیتنے کا 60 فیصد امکان ہے (،)، اور جواری کو جیتنے والی شرط () پر 1 سے 1 مشکلات موصول ہوتی ہیں، تو بینک رول کی طویل مدتی نمو کی شرح کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے، جواری کو ہر موقع پر بینک رول کا 20 فیصد شرط لگانی چاہیے ()۔ اگر جواری کے پاس صفر برتری ہے، یعنی، اگر، تو معیار جواری کو کچھ بھی شرط نہ لگانے کی سفارش کرتا ہے۔ اگر کنارہ منفی () ہے تو فارمولہ منفی نتیجہ دیتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ جواری کو شرط کا دوسرا رخ اختیار کرنا چاہیے۔ مثال کے طور پر، امریکی رولیٹی میں، جب پہیے پر 18 سرخ نمبر اور 20 غیر سرخ نمبر ہوتے ہیں، تو بیٹٹر کو سرخ پر یکساں رقم کی ادائیگی () کی پیشکش کی جاتی ہے۔ کیلی شرط ہے، جس کا مطلب ہے کہ جواری کو اپنے بینک رول کے انیسویں حصے پر شرط لگانی چاہیے کہ سرخ نہیں آئے گا۔ رولیٹی میں موازنہ مشکلات کے ساتھ کوئی واضح اینٹی ریڈ شرط پیش نہیں کی جاتی ہے، لہذا کیلی جواری جو سب سے بہتر کر سکتا ہے وہ کچھ بھی نہیں ہے۔ سرمایہ کاری کا فارمولا کیلی فارمولے کی ایک زیادہ عام شکل جزوی نقصانات کی اجازت دیتی ہے، جو سرمایہ کاری کے لیے متعلقہ ہے: جہاں: سیکیورٹی پر لاگو ہونے والے اثاثوں کا حصہ ہے۔ اس بات کا امکان ہے کہ سرمایہ کاری کی قدر میں اضافہ ہو۔ اس بات کا امکان ہے کہ سرمایہ کاری کی قدر () میں کمی واقع ہو۔ وہ حصہ ہے جو منفی نتیجہ میں کھو جاتا ہے۔ اگر سیکیورٹی کی قیمت 10 فیصد گر جاتی ہے، تو یہ وہ حصہ ہے جو مثبت نتیجہ میں حاصل ہوتا ہے۔ اگر سیکیورٹی کی قیمت میں 10 فیصد اضافہ ہوتا ہے، تو۔ نوٹ کریں کہ کیلی معیار صرف معلوم نتائج کے امکانات کے لیے درست ہے، جو سرمایہ کاری کے معاملے میں نہیں ہے۔ خطرے سے بچنے والے سرمایہ کاروں کو مکمل کیلی حصہ کی سرمایہ کاری نہیں کرنی چاہیے۔ عام شکل کو مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جہاں: جیت-ہار کے امکان (ڈبلیو ایل پی) کا تناسب ہے، جو کہ جیتنے اور ہارنے کی شرط کا تناسب ہے۔ شرط کے نتائج کا جیت-نقصان کا تناسب (ڈبلیو ایل آر) ہے، جو جیتنے والا ترچھا ہے۔ یہ واضح ہے کہ، کم از کم، عوامل میں سے ایک یا 1 سے بڑا ہونا ضروری ہے (تو)۔ یہ بھی ممکن ہے کہ جیت اور ہار کے امکانات کا تناسب ناموافق ہو، لیکن کسی کے پاس اس وقت تک برتری ہو۔ کیلی فارمولا آسانی سے 1 سے زیادہ حصوں کا نتیجہ بن سکتا ہے، مثال کے طور پر، جب سائز کم ہوتا ہے (اور کے عوامل کے ساتھ اوپر کا اظہار دیکھیں)۔ یہ کسی حد تک متضاد طور پر ہوتا ہے، کیونکہ کیلی فریکشن فارمولا شرط کے بڑے سائز سے معاوضہ دیتا ہے۔ لیکن، زیادہ تر حقیقی حالات میں، کیلی فارمولے میں داخل ہونے والے تمام پیرامیٹرز کے بارے میں بڑی غیر یقینی صورتحال ہے۔ 1 سے زیادہ کیلی فریکشن کے معاملے میں، مارجن پر اضافی سیکیورٹیز خریدنے کے لیے لیوریج کا استعمال نظریاتی طور پر فائدہ مند ہے۔ بیٹنگ کی مثال-طرز عمل کا تجربہ ایک مطالعہ میں، ہر شریک کو 25 ڈالر دیے گئے اور اس سے کہا گیا کہ وہ ایک ایسے سکے پر یکساں رقم کی شرط لگائیں جو 60 فیصد وقت سر کرے۔ شرکاء کے پاس کھیلنے کے لیے 30 منٹ تھے، اس لیے وہ تقریبا 300 شرط لگا سکتے تھے، اور انعامات کی حد 250 ڈالر تھی۔ لیکن ٹیسٹ کے مضامین کا طرز عمل زیادہ سے زیادہ نہیں تھا: {{blockquote|Remarkably، 28 ٪ شرکاء ٹوٹ گئے، اور اوسط ادائیگی صرف $91 تھی۔ صرف 21 فیصد شرکاء زیادہ سے زیادہ تک پہنچے۔ 61 شرکاء میں سے 18 نے ایک ٹاس پر ہر چیز پر شرط لگائی، جبکہ دو تہائی تجربے کے کسی نہ کسی مرحلے پر دم پر جوا کھیلتے تھے۔ "بٹن ووڈ"، "غیر معقول ٹاسرز"، دی اکنامسٹ، 1 نومبر 2016۔ کیلی معیار کا استعمال کرتے ہوئے اور تجربے میں موجود مشکلات کی بنیاد پر (250 ڈالر کی حد اور ٹیسٹ کی محدود مدت کو نظر انداز کرتے ہوئے)، صحیح طریقہ یہ ہوگا کہ سکے کے ہر ٹاس پر کسی کے بینک رول کا 20 فیصد شرط لگائیں، جو ہر راؤنڈ میں 2.034% اوسط فائدہ کے لیے کام کرتا ہے۔ یہ ایک ہندسی اوسط ہے، نہ کہ 4 ٪ کی ریاضی کی شرح (r = 0.2 x (0.6-0.4) = 0.04)۔ 300 راؤنڈز کے بعد نظریاتی متوقع دولت $10,505 () تک پہنچ جاتی ہے اگر اسے محدود نہیں کیا گیا تھا۔ اس مخصوص کھیل میں، ٹوپی کی وجہ سے، ہر ٹاس پر پوٹ کے صرف 12 ٪ پر شرط لگانے کی حکمت عملی کے اور بھی بہتر نتائج برآمد ہوں گے (ٹوپی تک پہنچنے کا 95 ٪ امکان اور $242.03 کی اوسط ادائیگی)۔ کیلی معیار کے ثبوت ہیورسٹک ثبوت سیدھے سادے ہیں۔ کیلی معیار دولت کے لوگرتھم کی متوقع قیمت کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے (کسی فنکشن کی متوقع قیمت، تمام ممکنہ نتائج پر، اس نتیجے کی صورت میں فنکشن کی قیمت سے ضرب شدہ ہر خاص نتیجہ کے امکان کے مجموعے سے دی جاتی ہے)۔ ہم دولت کے 1 یونٹ سے شروع کرتے ہیں اور اس دولت کے ایک حصے کو اس نتیجے پر شرط لگاتے ہیں جو امکان کے ساتھ ہوتا ہے اور اس کے امکانات پیش کرتا ہے۔ جیتنے کا امکان ہے، اور اس صورت میں نتیجے میں آنے والی دولت کے برابر ہے۔ کھونے کا امکان ہے، اور اس صورت میں نتیجے میں آنے والی دولت کے برابر ہے۔ لہذا، متوقع ہندسی نمو کی شرح یہ ہے: ہم اس منحنی خطوط کا زیادہ سے زیادہ r (f کے فعل کے طور پر) تلاش کرنا چاہتے ہیں، جس میں مساوات کا مشتق تلاش کرنا شامل ہے۔ یہ ہر طرف کے لوگرتھم کو پہلے لے کر زیادہ آسانی سے پورا کیا جاتا ہے۔ نتیجے میں مساوات یہ ہے: لوگرتھمک دولت کی ترقی کو ظاہر کرنے کے ساتھ۔ اس قیمت کو تلاش کرنے کے لیے جس کے لیے شرح نمو کو زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے، جسے اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے، ہم مندرجہ بالا اظہار میں فرق کرتے ہیں اور اسے صفر کے برابر مقرر کرتے ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے: اس مساوات کو حل کرنے کے لیے دوبارہ ترتیب دینے سے کیلی کا معیار ملتا ہے: نوٹ کریں کہ یہ اظہار جوئے کے سادہ فارمولے تک کم ہو جاتا ہے جب، جب نقصان کے نتیجے میں شرط کا مکمل نقصان ہوتا ہے۔ برنولی 1738 کے ایک مضمون میں، ڈینیل برنولی نے تجویز کیا کہ، جب کسی کے پاس شرط یا سرمایہ کاری کا انتخاب ہوتا ہے، تو اسے نتائج کے سب سے زیادہ ہندسی اوسط کے ساتھ انتخاب کرنا چاہیے۔ یہ ریاضیاتی طور پر کیلی معیار کے مساوی ہے، حالانکہ محرک مختلف ہے (برنولی سینٹ پیٹرزبرگ پیراڈوکس کو حل کرنا چاہتا تھا)۔ برنولی مضمون کا انگریزی ترجمہ 1954 تک شائع نہیں ہوا تھا، لیکن یہ کام ریاضی دانوں اور ماہرین اقتصادیات میں اچھی طرح سے جانا جاتا تھا۔ اسٹاک مارکیٹ میں اطلاق ریاضیاتی مالیات میں، اگر سیکیورٹی وزن متوقع ہندسی نمو کی شرح کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے (جو لاگ ویلتھ کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے برابر ہے)، تو پورٹ فولیو ترقی کا بہترین ذریعہ ہے۔ ترقی کے بہترین محکموں کے حساب سے زبردست کوڑا کرکٹ کا سامنا کرنا پڑ سکتا ہے، مسائل کو ختم کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، درج ذیل معاملات اثاثوں کی متوقع واپسی اور ہم آہنگی کے ڈھانچے کو دیکھتے ہیں، لیکن یہ پیرامیٹرز بہترین تخمینے یا ماڈل ہیں جن میں اہم غیر یقینی صورتحال ہے۔ اگر پورٹ فولیو وزن بڑی حد تک تخمینہ کی غلطیوں کا ایک فعل ہے، تو ترقی کے بہترین پورٹ فولیو کی سابقہ پوسٹ کی کارکردگی سابقہ پیشن گوئی سے حیرت انگیز طور پر مختلف ہو سکتی ہے۔ پورٹ فولیو تھیوری میں پیرامیٹر کی غیر یقینی صورتحال اور تخمینہ کی غلطیاں ایک بڑا موضوع ہیں۔ نامعلوم خطرے کا مقابلہ کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ کیلی کے معیار (مثال کے طور پر نصف) سے کم سرمایہ کاری کی جائے۔ موٹے اندازے اب بھی مفید ہیں۔ اگر ہم اضافی واپسی 4 ٪ اور اتار چڑھاؤ 16 ٪ لیتے ہیں، تو سالانہ شارپ تناسب اور کیلی تناسب کا حساب 25 ٪ اور 150% لگایا جاتا ہے۔ ڈیلی شارپ تناسب اور کیلی تناسب 1.7 ٪ اور 150% ہیں۔ تیز تناسب سے مراد پی = (50 ٪ + 1.7%/4) کا روزانہ جیت کا امکان ہے، جہاں ہم نے فرض کیا کہ امکان بینڈوتھ ہے۔ اب ہم کے ساتھ اوپر کے لیے مجرد کیلی فارمولا لاگو کر سکتے ہیں، اور ہمیں کیلی فریکشن کے لیے ایک اور تخمینہ ملتا ہے۔ کیلی فریکشن کے یہ دونوں تخمینے کافی معقول معلوم ہوتے ہیں، پھر بھی ایک سمجھدار نقطہ نظر کیلی تناسب کو 50 ٪ (یعنی 50 ٪) سے مزید ضرب دینے کا مشورہ دیتا ہے۔ نصف کیلی)۔ ایڈورڈ او تھورپ اور ایک شریک مصنف کے ایک تفصیلی مقالے میں امریکی اسٹاک مارکیٹ ایس پی 500 انڈیکس کے لیے کیلی کے حصے کا تخمینہ 117% لگایا گیا ہے۔ ایکویٹی مارکیٹوں کے لیے اہم منفی خطرہ کیلی کے حصے کو بے وقوف تخمینے سے کم کرنے کی ایک اور وجہ ہے (مثال کے طور پر، نصف کیلی تک کم کرنا)۔ تنقید اگرچہ کیلی کی حکمت عملی کا طویل مدت میں کسی بھی دوسری حکمت عملی سے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرنے کا وعدہ زبردست معلوم ہوتا ہے، لیکن کچھ ماہرین اقتصادیات نے اس کے خلاف سختی سے بحث کی ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ کسی فرد کی مخصوص سرمایہ کاری کی رکاوٹیں زیادہ سے زیادہ ترقی کی شرح کی خواہش کو ختم کر سکتی ہیں۔ روایتی متبادل متوقع یوٹیلیٹی تھیوری ہے جس میں کہا گیا ہے کہ نتائج کی متوقع افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے شرطوں کا سائز ہونا چاہیے (لوگرتھمک یوٹیلیٹی والے فرد کے لیے، کیلی شرط متوقع افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے، اس لیے کوئی تنازعہ نہیں ہے ؛ اس کے علاوہ، کیلی کا اصل مقالہ واضح طور پر جوئے کے کھیلوں کے معاملے میں یوٹیلیٹی فنکشن کی ضرورت کو بیان کرتا ہے جو محدود طور پر کئی بار کھیلے جاتے ہیں)۔ یہاں تک کہ کیلی کے حامی بھی عام طور پر مختلف عملی وجوہات کی بناء پر فریکشنل کیلی (کیلی کی طرف سے تجویز کردہ رقم کا ایک مقررہ حصہ) کے لیے بحث کرتے ہیں، جیسے کہ اتار چڑھاؤ کو کم کرنا چاہتے ہیں، یا اپنے فائدے (کنارے) کے حسابات میں غیر متعین غلطیوں سے بچانا۔ بول چال کے لحاظ سے، کیلی معیار کے لیے درست امکانات کی اقدار کی ضرورت ہوتی ہے، جو حقیقی دنیا کے واقعات کے نتائج کے لیے ہمیشہ ممکن نہیں ہوتی ہیں۔ جب کوئی جواری جیتنے کے اپنے حقیقی امکان کو حد سے زیادہ اندازہ لگاتا ہے، تو حساب شدہ معیار کی قیمت زیادہ سے زیادہ سے ہٹ جائے گی، جس سے بربادی کا خطرہ بڑھ جائے گا۔ کیلی فارمولے کو 'ٹائم ڈائیورسفیکیشن' کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، جو مختلف ترتیب وار مدتوں کے دوران مساوی خطرہ مول لے رہا ہے (اثاثوں کی تنوع کے لیے مختلف اثاثوں میں مساوی خطرہ مول لینے کے برخلاف)۔ وقت کی تنوع اور اثاثوں کی تنوع کے درمیان واضح طور پر فرق ہے، جسے پال اے سیموئلسن نے اٹھایا تھا۔ اینسمبل ایوریج (یوٹیلیٹی حساب) اور ٹائم ایوریج (حقیقی زندگی میں ایک ہی ٹائم پاتھ پر کیلی ملٹی پیریڈ بیٹنگ) کے درمیان بھی فرق ہے۔ اس بحث کو ارگوڈیسیٹی بریکنگ کی ترغیب دے کر دوبارہ شروع کیا گیا۔ پھر بھی ارگوڈیسیٹی بریکنگ اور نائٹین کی غیر یقینی صورتحال کے درمیان فرق کو تسلیم کیا جانا چاہیے۔ اعلی درجے کی ریاضی سخت اور عمومی ثبوت کے لیے، کیلی کا اصل مقالہ یا ذیل میں درج کچھ دیگر حوالہ جات دیکھیں۔ کچھ اصلاحات شائع کی گئی ہیں۔ ہم عام خیال کو ظاہر کرنے اور کچھ بصیرت فراہم کرنے کے لیے (ایک 50:50 "یکساں رقم" شرط) کے ساتھ کیس کے لیے درج ذیل غیر سخت دلیل دیتے ہیں۔ جب، ایک کیلی بیٹر اپنی ابتدائی دولت سے گنا زیادہ شرط لگاتا ہے، جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے۔ اگر وہ جیت جاتے ہیں، تو ان کے پاس ایک شرط کے بعد ہے۔ اگر وہ ہار جاتے ہیں، تو ان کے پاس ہے۔ فرض کریں کہ وہ اس طرح کی شرط لگاتے ہیں، اور شرطوں کے اس سلسلے میں سے وقت جیتتے ہیں۔ نتیجے میں آنے والی دولت یہ ہوگی: نوٹ کریں کہ جیت اور ہار کا ترتیب نتیجے میں آنے والی دولت کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ فرض کریں کہ کوئی دوسرا بیٹر کسی مختلف رقم کی شرط لگاتا ہے، کچھ قیمت کے لیے (جہاں مثبت یا منفی ہو سکتا ہے)۔ ان کے پاس جیت کے بعد اور ہار کے بعد ہوگا۔ کیلی بیٹر کی طرح جیت اور نقصانات کے اسی سلسلے کے بعد، ان کے پاس ہوگا: اس کے حوالے سے اس کا مشتق لیں اور حاصل کریں: فنکشن کو زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے جب یہ مشتق صفر کے برابر ہوتا ہے، جو اس پر ہوتا ہے: جس کا مطلب ہے کہ لیکن جیتنے والی شرطوں کا تناسب بالآخر بڑی تعداد کے کمزور قانون کے مطابق: میں ضم ہو جائے گا۔ لہذا طویل عرصے میں، حتمی دولت کو صفر پر ترتیب دے کر زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کیلی حکمت عملی پر عمل کرنا۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کیلی میں ایک تعیناتی اور ایک غیر معمولی جزو دونوں ہیں۔ اگر کوئی K اور N کو جانتا ہے اور ہر بار شرط لگانے کے لیے دولت کا ایک مستقل حصہ چننا چاہتا ہے (بصورت دیگر کوئی دھوکہ دے سکتا ہے اور، مثال کے طور پر، Kth جیت کے بعد صفر شرط لگا سکتا ہے یہ جانتے ہوئے کہ باقی شرط ہار جائیں گی)، اگر کوئی شرط لگاتا ہے تو سب سے زیادہ رقم کے ساتھ ختم ہو جائے گا: ہر بار۔ یہ سچ ہے چاہے وہ چھوٹا ہو یا بڑا۔ کیلی کا "لانگ رن" حصہ ضروری ہے کیونکہ K پہلے سے معلوم نہیں ہے، بس جیسے جیسے بڑا ہوتا جائے گا، قریب آتا جائے گا۔ کوئی ایسا شخص جو کیلی سے زیادہ شرط لگاتا ہے اگر اسٹریچ کے لیے بہتر کر سکتا ہے ؛ کوئی ایسا شخص جو کیلی سے کم شرط لگاتا ہے اگر اسٹریچ کے لیے بہتر کر سکتا ہے، لیکن طویل عرصے میں، کیلی ہمیشہ جیت جاتا ہے۔ عمومی کیس کے لیے ہیورسٹک ثبوت مندرجہ ذیل ہے۔ ایک ہی آزمائش میں، اگر آپ اپنے سرمائے کے حصے کی سرمایہ کاری کرتے ہیں، اگر آپ کی حکمت عملی کامیاب ہوتی ہے، تو آزمائش کے اختتام پر آپ کا سرمایہ عنصر کے لحاظ سے بڑھتا ہے، اور اسی طرح، اگر حکمت عملی ناکام ہو جاتی ہے، تو آپ کا سرمایہ عنصر کے لحاظ سے کم ہو جاتا ہے۔ اس طرح آزمائشوں کے اختتام پر (کامیابیوں اور ناکامیوں کے ساتھ)، $1 کا ابتدائی سرمایہ زیادہ سے زیادہ فائدہ دیتا ہے، اور اس کے نتیجے میں، مطلوبہ نتیجہ کی طرف لے جانے کے حوالے سے ایڈورڈ او تھورپ نے عمومی کیس کے لیے اس فارمولے پر مزید تفصیلی بحث فراہم کی۔ وہاں، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ "کامیابیوں" کی تعداد اور آزمائشوں کی تعداد کے تناسب کے متبادل کا مطلب یہ ہے کہ آزمائشوں کی تعداد بہت زیادہ ہونی چاہیے، کیونکہ اس تناسب کی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے کیونکہ آزمائشوں کی تعداد لامحدود تک جاتی ہے۔ مختصر طور پر، ہر بار بیٹنگ ممکنہ طور پر دولت میں اضافے کی شرح کو صرف اس صورت میں زیادہ سے زیادہ کرے گی جہاں ٹرائلز کی تعداد بہت زیادہ ہو، اور ہر ٹرائل کے لیے یکساں ہو۔ عملی طور پر، یہ ایک ہی کھیل کو بار بار کھیلنے کی بات ہے، جہاں جیتنے کا امکان اور ادائیگی کی مشکلات ہمیشہ ایک جیسی ہوتی ہیں۔ مندرجہ بالا تحقیقی ثبوت میں، کامیابیوں اور ناکامیوں کا امکان صرف بہت بڑے پیمانے پر ہے۔ متعدد نتائج کیلی کے معیار کو بہت سے باہمی خصوصی نتائج پر جوئے پر عام کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ گھوڑے کی دوڑ میں۔ فرض کریں کہ کئی باہمی خصوصی نتائج ہیں۔ - th گھوڑے کے دوڑ جیتنے کا امکان یہ ہے کہ-th گھوڑے پر رکھی گئی شرطوں کی کل رقم ہے، اور ادائیگی کے امکانات کہاں ہیں۔ ، وہ منافع کی شرح ہے جہاں ٹریک ٹیک یا ٹیکس ہے، ٹریک ٹیک کی کٹوتی کے بعد آمدنی کی شرح ہے جب-واں گھوڑا جیتتا ہے۔ - th گھوڑے پر شرط لگانے کے لیے بیٹر کے فنڈز کا حصہ ہے۔ متعدد باہمی خصوصی نتائج کے ساتھ جوئے کے لیے کیلی کا معیار نتائج کے زیادہ سے زیادہ سیٹ کو تلاش کرنے کے لیے ایک الگورتھم فراہم کرتا ہے جس پر شرط لگانا مناسب ہے اور یہ زیادہ سے زیادہ سیٹ میں شامل نتائج پر شرط لگانے کے لیے بیٹر کی دولت کے زیادہ سے زیادہ حصوں کو تلاش کرنے کے لیے واضح فارمولا فراہم کرتا ہے۔ نتائج کے زیادہ سے زیادہ سیٹ کے لیے الگورتھم چار مراحل پر مشتمل ہوتا ہے: تمام ممکنہ (یا صرف بہت سے امید افزا) نتائج کے لیے متوقع آمدنی کی شرح کا حساب لگائیں: نتائج کو دوبارہ ترتیب دیں تاکہ نئی ترتیب میں اضافہ نہ ہو۔ اس طرح بہترین شرط ہوگی۔ سیٹ کریں (خالی سیٹ)،۔ اس طرح بہترین شرط پر پہلے غور کیا جائے گا۔ دہرائیں: اگر پھر سیٹ میں-th نتیجہ داخل کریں:، فارمولے کے مطابق دوبارہ حساب لگائیں: اور پھر سیٹ کریں، بصورت دیگر، سیٹ کریں اور تکرار کو روک دیں۔ اگر بہترین سیٹ خالی ہے تو بالکل بھی شرط نہ لگائیں۔ اگر زیادہ سے زیادہ نتائج کا مجموعہ خالی نہیں ہے، تو-th نتیجہ پر شرط لگانے کے لیے زیادہ سے زیادہ حصہ کا حساب اس فارمولے سے لگایا جا سکتا ہے: کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ جہاں دائیں طرف ریزرو ریٹ ہے۔ لہذا، ضرورت کی تشریح مندرجہ ذیل طور پر کی جا سکتی ہے:-th نتیجہ کو زیادہ سے زیادہ نتائج کے سیٹ میں شامل کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی متوقع آمدنی کی شرح ریزرو ریٹ سے زیادہ ہو۔ زیادہ سے زیادہ حصہ کے فارمولے کی تشریح ریزرو ریٹ کے مقابلے میں-th ہارس کی متوقع آمدنی کی شرح کو ٹریک کی کٹوتی کے بعد آمدنی سے تقسیم کیا جا سکتا ہے جب-th ہارس جیتتا ہے یا-th ہارس کے ریزرو ریٹ پر جیتنے کے امکان کو ٹریک کی کٹوتی کے بعد آمدنی سے تقسیم کیا جا سکتا ہے جب-th ہارس جیتتا ہے۔ بائنری گروتھ ایکسپوینٹ ہے اور دوگنا ہونے کا وقت ہے زیادہ سے زیادہ شرطوں کے انتخاب کا یہ طریقہ اس وقت بھی لاگو کیا جا سکتا ہے جب امکانات صرف کئی انتہائی امید افزا نتائج کے لیے معلوم ہوں، جبکہ باقی نتائج کے جیتنے کا کوئی امکان نہ ہو۔ اس صورت میں یہ ہونا چاہیے کہ اور. اسٹاک سرمایہ کاری دوسرے درجے کے ٹیلر کثیر الجہتی کو اہم معیار کے اچھے تخمینے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بنیادی طور پر، یہ اسٹاک سرمایہ کاری کے لیے مفید ہے، جہاں سرمایہ کاری کے لیے وقف کردہ حصہ سادہ خصوصیات پر مبنی ہوتا ہے جن کا اندازہ موجودہ تاریخی اعداد و شمار سے آسانی سے لگایا جا سکتا ہے-متوقع قیمت اور تغیر۔ یہ تخمینہ ایسے نتائج کی طرف لے جاتا ہے جو مضبوط ہوتے ہیں اور اصل معیار کی طرح ہی نتائج پیش کرتے ہیں۔ واحد اثاثوں (اسٹاک، انڈیکس فنڈ وغیرہ) کے لیے۔ )، اور خطرے سے پاک شرح، جیومیٹرک براؤنین موشن کے ذریعے سرمایہ کاری کے لیے زیادہ سے زیادہ حصہ حاصل کرنا آسان ہے۔ وقت () پر لوگن نارمل طور پر تقسیم شدہ اثاثہ کے ارتقاء کو کنٹرول کرنے والی سٹوچسٹک تفریق مساوات ہے جس کا حل یہ ہے کہ وینر عمل کہاں ہے، اور (فیصد بہاؤ) اور (فیصد اتار چڑھاؤ) مستقل ہیں۔ لوگرتھم کی توقعات کو مدنظر رکھتے ہوئے: پھر متوقع لاگ ریٹرن ایک اثاثہ سے بنے پورٹ فولیو اور خطرے سے پاک شرح ادا کرنے والے بانڈ پر غور کریں، جس میں بانڈ میں اور اس میں حصہ کی سرمایہ کاری کی گئی ہو۔ کے لیے مذکورہ بالا مساوات میں اس فریکشن کے ذریعے ترمیم کی جانی چاہیے، یعنی، متعلقہ حل کے ساتھ متوقع ایک مدت کی واپسی کی طرف سے دی جاتی ہے۔ تھورپ ایک ہی نتیجہ پر پہنچا لیکن ایک مختلف مشتق کے ذریعے۔ یاد رکھیں کہ یہ اثاثہ لاگ ریٹرن سے مختلف ہے۔ کیلی معیار کے بارے میں بات کرنے والی ویب سائٹس اور مضامین کی طرف سے کی جانے والی یہ ایک عام غلطی ہے۔ متعدد اثاثوں کے لیے، ایک ایسے بازار پر غور کریں جس میں غیر منقولہ واپسی کے ساتھ مربوط اسٹاک ہوں، اور واپسی کے ساتھ خطرے سے پاک بانڈ ہو۔ سرمایہ کار اپنے سرمائے کا ایک حصہ بانڈ میں ڈالتا ہے اور باقی بانڈ میں لگایا جاتا ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، فرض کریں کہ سرمایہ کار کا ابتدائی سرمایہ 1 کے برابر ہے۔ کیلی معیار کے مطابق کسی کو زیادہ سے زیادہ کرنا چاہیے ٹیلر سیریز کے ساتھ اس کی توسیع کرتے ہوئے ہم حاصل کرتے ہیں اس طرح ہم اصلاح کے مسئلے کو کواڈریٹک پروگرامنگ تک کم کر دیتے ہیں اور غیر محدود حل یہ ہے کہ ذرائع کا ویکٹر کہاں اور کہاں ہے اور اضافی واپسی کے دوسرے مخلوط غیر مرکزی لمحات کا میٹرکس ہے۔ فریکشنل کیلی کی حکمت عملیوں کے لیے ایک عددی الگورتھم بھی ہے اور بغیر کسی فائدہ کے اور بغیر کسی مختصر فروخت کی رکاوٹوں کے بہترین حل کے لیے۔ یہ بھی دیکھیں کہ گیمبلنگ اور انفارمیشن تھیوری کو برباد کرنے کا خطرہ پروبسٹنگ کا پیراڈوکس مرٹن کا پورٹ فولیو مسئلہ حوالہ جات بیرونی روابط بہترین فیصلے گیمبلنگ ریاضی انفارمیشن تھیوری ویگرنگ مضامین ثبوت پر مشتمل 1956 تعارف پورٹ فولیو تھیوری