Regular singular point
ریاضی میں، پیچیدہ سطح میں عام تفریقی مساوات کے نظریہ میں، کے نکات کو عام نکات میں درجہ بند کیا جاتا ہے، جن پر مساوات کے گتانک تجزیاتی افعال ہوتے ہیں، اور واحد نکات، جن پر کچھ گتانک کی انفرادیت ہوتی ہے۔ پھر واحد پوائنٹس کے درمیان، ایک باقاعدہ واحد پوائنٹ کے درمیان ایک اہم فرق کیا جاتا ہے، جہاں حل کی ترقی (کسی بھی چھوٹے شعبے میں) الجبرائی فنکشن سے محدود ہوتی ہے، اور ایک بے قاعدہ واحد پوائنٹ، جہاں مکمل حل سیٹ کو اعلی نمو کی شرح والے افعال کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ فرق ہوتا ہے، مثال کے طور پر، ہائپر جیومیٹرک مساوات کے درمیان، تین باقاعدہ واحد پوائنٹس کے ساتھ، اور بیسیل مساوات جو ایک لحاظ سے محدود صورت ہے، لیکن جہاں تجزیاتی خصوصیات کافی حد تک مختلف ہیں۔ رسمی تعریفیں مزید واضح طور پر، میرومورفک افعال کے ساتھ-th آرڈر کی ایک عام لکیری تفریقی مساوات پر غور کریں۔ مساوات کا مطالعہ ریمن دائرے پر کیا جانا چاہیے تاکہ انفینیٹی کے نقطہ کو ممکنہ واحد نقطہ کے طور پر شامل کیا جا سکے۔ اگر ضرورت ہو تو ایک موبیئس تبدیلی کا اطلاق پیچیدہ طیارہ کے محدود حصے میں منتقل کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے، ذیل میں بیسیل تفریق مساوات کی مثال دیکھیں۔ پھر اشارے کی مساوات پر مبنی فروبینیوس طریقہ ممکنہ حل تلاش کرنے کے لیے لاگو کیا جا سکتا ہے جو پیچیدہ سطح میں دی گئی کسی بھی چیز کے قریب پاور سیریز گنا پیچیدہ طاقتیں ہیں جہاں انٹیجر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ یہ فنکشن موجود ہو سکتا ہے، لہذا، صرف اس شاخ کی بدولت جو باہر نکلتی ہے، یا ارد گرد کسی پنکچر ڈسک کی ریمن سطح پر ہوتی ہے۔ یہ ایک عام نقطہ کے لیے کوئی مشکل پیش نہیں کرتا (لازارس فوکس 1866)۔ باقاعدہ واحد نقطہ کب ہے، جس کی تعریف کے مطابق اس کا مطلب ہے کہ زیادہ سے زیادہ ترتیب کا قطب ہے، فروبینیوس طریقہ بھی کام کرنے اور قریب میں آزاد حل فراہم کرنے کے لیے بنایا جا سکتا ہے۔ بصورت دیگر نقطہ ایک بے قاعدہ انفرادیت ہے۔ اس صورت میں تجزیاتی تسلسل کے ذریعے حل سے متعلق مونوڈروم گروپ کے پاس عام طور پر کہنے کے لیے کم ہے، اور حل کا مطالعہ کرنا مشکل ہے، سوائے ان کے غیر علامتی پھیلاؤ کے لحاظ سے۔ بے قاعدہ یکسانیت کی بے قاعدگی کو پوئنکیری رینک () سے ماپا جاتا ہے۔ باقاعدگی کی حالت ایک قسم کی نیوٹن کثیر الاضحی حالت ہے، اس معنی میں کہ اجازت شدہ کھمبے ایک خطے میں ہوتے ہیں، جب اس کے خلاف پلاٹ کیا جاتا ہے، تو محوروں پر 45° پر ایک لکیر سے جڑے ہوتے ہیں۔ ایک عام تفریق مساوات جس کے واحد نکات، بشمول انفینیٹی کے نقطہ، باقاعدہ واحد نکات ہوتے ہیں، فوچیئن عام تفریق مساوات کہلاتی ہے۔ دوسرے درجے کی تفریقی مساوات کے لیے مثالیں اس صورت میں مندرجہ بالا مساوات کو کم کر دیا جاتا ہے: ایک درج ذیل صورتوں میں فرق کرتا ہے: نقطہ ایک عام نقطہ ہے جب افعال اور تجزیاتی ہوتے ہیں۔ پوائنٹ ایک باقاعدہ واحد نقطہ ہے اگر پول 1 پر آرڈر کرنے کے لیے ہو اور پول 2 پر آرڈر کرنے کے لیے ہو۔ بصورت دیگر نقطہ ایک بے قاعدہ واحد نقطہ ہے۔ ہم متبادل اور رلیشنز کا استعمال کرتے ہوئے چیک کر سکتے ہیں کہ آیا انفینیٹی پر کوئی بے قاعدہ واحد نقطہ موجود ہے: اس طرح ہم مساوات کو مساوات میں تبدیل کر سکتے ہیں، اور چیک کر سکتے ہیں کہ کیا ہوتا ہے۔ اگر اور کثیر الجہتی کے حصص ہیں، تو لامحدود x پر ایک بے قاعدہ واحد نقطہ ہوگا جب تک کہ اس کے ڈینومینیٹر میں کثیر الجہتی اس کے عدد کی ڈگری سے کم از کم ایک زیادہ نہ ہو اور اس کا ڈینومینیٹر اس کے عدد کی ڈگری سے کم از کم دو زیادہ ڈگری کا نہ ہو۔ ذیل میں ریاضیاتی طبیعیات کی عام تفریقی مساوات کی کئی مثالیں دی گئی ہیں جن میں واحد نکات اور معروف حل ہیں۔ بیسیل تفریق مساوات یہ دوسری ترتیب کی ایک عام تفریق مساوات ہے۔ یہ بیلناکار نقاط میں لیپلیس کی مساوات کے حل میں پایا جاتا ہے: ایک صوابدیدی حقیقی یا پیچیدہ نمبر (بیسیل فنکشن کی ترتیب) کے لیے۔ سب سے عام اور اہم خصوصی معاملہ یہ ہے کہ ایک عدد کہاں ہے۔ اس مساوات کو x2 سے تقسیم کرنے سے پتہ چلتا ہے: اس صورت میں پہلی ترتیب کا ایک قطب ہے۔ جب، پر دوسرے آرڈر کا پول ہے۔ اس طرح اس مساوات میں 0 پر باقاعدہ یکسانیت ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ کیا ہوتا ہے جب کسی کو موبیئس ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرنا پڑتا ہے، مثال کے طور پر۔ الجبرا انجام دینے کے بعد: اب at میں پہلی ترتیب کا پول ہے، لیکن چوتھی ترتیب کا پول ہے۔ اس طرح، اس مساوات میں ایک بے قاعدہ یکسانیت ہوتی ہے جو کہ x کے مطابق φ پر ہوتی ہے۔ لیجنڈری تفریقی مساوات یہ دوسری ترتیب کی ایک عام تفریقی مساوات ہے۔ یہ لیپلیس کی مساوات کے حل میں کروی نقاط میں پایا جاتا ہے: مربع بریکٹ کو کھولنے سے ملتا ہے: اور اس سے تقسیم کرتے ہوئے: اس تفریقی مساوات میں ±1 اور φ پر باقاعدہ واحد نکات ہوتے ہیں۔ ہرمیٹ تفریق مساوات ایک ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے ایک جہتی وقت آزاد شروڈنگر مساوات کو حل کرنے میں اس عام سیکنڈ آرڈر تفریق مساوات کا سامنا کرتی ہے۔ اس صورت میں پوٹینشل انرجی V (x) یہ ہے: یہ مندرجہ ذیل عام سیکنڈ آرڈر تفریق مساوات کی طرف لے جاتا ہے: اس تفریق مساوات میں φ پر بے قاعدہ یکسانیت ہے۔ اس کے حل ہرمائیٹ کثیر الجہتی ہیں۔ ہائپر جیومیٹرک مساوات مساوات کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ دونوں اطراف کو اس طرح تقسیم کیا جائے: اس تفریقی مساوات میں 0، 1 اور φ پر باقاعدہ واحد نکات ہوتے ہیں۔ ایک حل ہائپر جیومیٹرک فنکشن ہے۔ حوالہ جات ای۔ ٹی۔ کاپسن، این انٹروڈکشن ٹو دی تھیوری آف فنکشنز آف اے کمپلیکس ویری ایبل (1935) اے۔ آر۔ فورسیتھ تھیوری آف ڈفریینشل ایکویشنز جلد۔ IV: عام لکیری مساوات (کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1906) ایڈورڈ گورسیٹ، ریاضیاتی تجزیہ میں ایک کورس، جلد II، حصہ II: تفریقی مساوات پی پی۔ 128 − ایف ایف۔ (جن اینڈ کمپنی، بوسٹن، 1917) ای۔ ایل۔ انس، عام تفریقی مساوات، ڈوور پبلکیشنز (1944) ٹی۔ ایم۔ میک رابرٹ فنکشنز آف اے کمپلیکس ویریبل پی۔ 243 (میک ملن، لندن، 1917) ای۔ ٹی۔ وٹیکر اور جی۔ این۔ واٹسن اے کورس آف ماڈرن اینالیسس پی۔ 188 − ایف۔ ایف۔ (کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1915) عام تفریق مساوات پیچیدہ تجزیہ