Local cohomology
الجبرائی جیومیٹری میں، مقامی کوہمولوجی رشتہ دار کوہمولوجی کا الجبرائی ینالاگ ہے۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک نے اسے 1961 میں ہارورڈ میں ہونے والے سیمیناروں میں متعارف کرایا جو اس نے لکھا تھا، اور آئی ایچ ای ایس میں ایس جی اے 2 کے طور پر لکھے گئے 1961-2 میں-کے طور پر دوبارہ شائع کیا گیا۔ الجبرائی قسم (یا اسکیم) کے کھلے ذیلی سیٹ پر بیان کردہ فنکشن (زیادہ عام طور پر، ایک قوسیکورینٹ شیف کا ایک حصہ) کو دیکھتے ہوئے، مقامی کوہمولوجی اس فنکشن کو بڑے ڈومین تک بڑھانے میں رکاوٹ کی پیمائش کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، عقلی فعل کی تعریف صرف کسی فیلڈ پر افائن لائن کی تکمیل پر کی جاتی ہے، اور اسے پوری جگہ پر کسی فعل تک نہیں بڑھایا جا سکتا۔ مقامی کوہمولوجی ماڈیول (جہاں کا کوآرڈینیٹ رنگ ہے) کوہمولوجی کلاس کے غیر غائب ہونے میں اس کا پتہ لگاتا ہے۔ اسی طرح، افائن سطح میں محور اور محور سے دور بیان کیا جاتا ہے، لیکن اسے-محور کی تکمیل یا صرف-محور کی تکمیل تک نہیں بڑھایا جا سکتا (اور نہ ہی اسے اس طرح کے افعال کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے) ؛ یہ رکاوٹ مقامی کوہومولوجی ماڈیول میں غیر صفر کلاس سے قطعی طور پر مطابقت رکھتی ہے۔ الجبرائی جیومیٹری سے باہر، مقامی ہم آہنگی نے تبادلہ الجبرہ، امتزاج، اور بعض قسم کی جزوی تفریق مساوات میں استعمال پایا ہے۔ تعریف نظریہ کی سب سے عام ہندسی شکل میں، حصوں کو ایک ٹوپولوجیکل اسپیس پر، ایک بند ذیلی سیٹ میں سپورٹ کے ساتھ، ابیلین گروپوں کے ایک ڈھیر کے طور پر سمجھا جاتا ہے، مقامی کوہمولوجی گروپوں کی تشکیل کے اخذ کردہ فنکٹر نظریہ کی الجبرائی شکل میں، اسپیس X ایک مواصلاتی رنگ R کا سپیکٹرم سپیک (R) ہے (اس پورے مضمون میں نویتھیرین سمجھا جاتا ہے) اور ڈھیر F ایک R-ماڈیول M سے وابستہ قوسیکورینٹ ڈھیر ہے، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ بند سبسکیم Y کی تعریف ایک آئیڈیل I سے کی جاتی ہے۔ اس صورت حال میں، فنکٹر (F) I-ٹورسن فنکٹر سے مطابقت رکھتا ہے، جو کہ اناہیلیٹرز کا اتحاد ہے یعنی M کے عناصر جو I کی کچھ طاقت سے ختم ہو جاتے ہیں۔ ایک صحیح اخذ شدہ فنکٹر کے طور پر، I کے حوالے سے مقامی کوہمولوجی ماڈیول سلسلہ کمپلیکس کا ith کوہمولوجی گروپ ہے جو ماڈیول کے انجیکشن ریزولوشن کا I-ٹورسن حصہ لینے سے حاصل ہوتا ہے۔ چونکہ R-ماڈیولز اور R-ماڈیول ہومومورفزم پر مشتمل ہوتا ہے، اس لیے مقامی کوہمولوجی گروپوں میں سے ہر ایک میں R-ماڈیول کی قدرتی ساخت ہوتی ہے۔ آئی-ٹورشن حصے کو متبادل طور پر اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے اور اس وجہ سے، آر-ماڈیول ایم کی مقامی ہم آہنگی ایکسٹ ماڈیولز کی براہ راست حد سے متفق ہے، یہ ان تعریفوں میں سے کسی ایک کی پیروی کرتی ہے جو تبدیل نہیں ہوگی اگر ایک ہی ریڈیکل والے دوسرے آئیڈیل سے تبدیل کیا جائے۔ اس سے یہ بھی پتہ چلتا ہے کہ مقامی ہم آہنگی I کے لیے جنریٹرز کے کسی بھی انتخاب پر منحصر نہیں ہے، یہ ایک ایسی حقیقت ہے جو چیچ کمپلیکس پر مشتمل مندرجہ ذیل تعریف میں متعلقہ ہو جاتی ہے۔ کوزول اور چیچ کمپلیکس کا استعمال مقامی کوہومولوجی کی ماخوذ فنکٹر تعریف کے لیے ماڈیول کے انجیکشن ریزولوشن کی ضرورت ہوتی ہے، جو اسے واضح حسابات میں استعمال کے لیے ناقابل رسائی بنا سکتا ہے۔ چیچ کمپلیکس کو بعض سیاق و سباق میں زیادہ عملی سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، بیان کریں کہ وہ مقامی کوہومولوجی کی چیچ پیچیدہ تعریف پیش کرنے سے پہلے "کسی دیئے گئے ماڈیول کے لیے ان میں سے کسی ایک [انجیکٹو] قسم کی قراردادوں کو اصل میں تیار کرنے کے مسئلے" کو "بنیادی طور پر نظر انداز" کرتے ہیں، اور چیچ کوہومولوجی کو "کسی اسکیم پر نیم مربوط شیوز کی کوہومولوجی کی کمپیوٹنگ کے لیے ایک عملی طریقہ" کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ اور "حساب کے لیے اچھی طرح سے موزوں" ہونے کے طور پر۔ چیچ کمپلیکس کو کوزول کمپلیکس کے کولیمیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جہاں یہ پیدا ہوتا ہے۔ مقامی کوہومولوجی ماڈیولز کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: کوزول کمپلیکس میں وہ خاصیت ہوتی ہے جو ایک سلسلہ پیچیدہ مورفزم کو جنم دے کر ضرب دیتی ہے جو کہ ہوموٹوپک سے صفر تک ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس سے ختم ہو جاتا ہے۔ سیٹوں کے کولیمیٹ میں ایک غیر صفر نقشے میں تمام لیکن محدود طور پر بہت سے کوزول کمپلیکس کے نقشے ہوتے ہیں، اور جو آئیڈیل میں کسی عنصر سے ختم نہیں ہوتے ہیں۔ کوزول کمپلیکس کا یہ کولیمیٹ چیچ کمپلیکس کے لیے آئسومورفک ہے، جس کی نشاندہی ذیل میں کی گئی ہے۔ جہاں ith مقامی کوہمولوجی ماڈیول کے حوالے سے مندرجہ بالا سلسلہ کمپلیکس کے ith کوہمولوجی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، مقامی کوہمولوجی ماڈیولز (خصوصیت صفر میں) کی کمپیوٹنگ کے وسیع تر مسئلے پر اور میں تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ بنیادی خصوصیات چونکہ مقامی کوہمولوجی کو مشتق فنکٹر کے طور پر بیان کیا گیا ہے، آر-ماڈیولز کی کسی بھی مختصر عین ترتیب کے لیے، تعریف کے مطابق، مقامی کوہمولوجی میں ایک قدرتی لمبی عین ترتیب ہے۔ شیف کوہمولوجی کا ایک طویل عین ترتیب بھی ہے جو مقامی کوہمولوجی ماڈیولز کے ساتھ ایکس اور اوپن سیٹ U = X\ Y کے عام شیف کوہمولوجی کو جوڑتا ہے۔ ایکس پر بیان کردہ کواسیکوہرنٹ شیف ایف کے لیے، اس کی شکل ہوتی ہے۔ اس ترتیب میں جہاں ایکس ایک افائن اسکیم ہے اور Y ایک آئیڈیل I کا غائب ہونے والا مجموعہ ہے، کوہمولوجی گروپ اس کے لیے غائب ہو جاتے ہیں۔ اگر، یہ ایک عین ترتیب کی طرف لے جاتا ہے جہاں درمیانی نقشہ حصوں کی پابندی ہے۔ اس پابندی کے نقشے کے ہدف کو مثالی تبدیلی بھی کہا جاتا ہے۔ شیف کوہمولوجی کے ساتھ مذکورہ بالا آئسومورفزم کی وجہ سے، مقامی کوہمولوجی کو خالص الجبری اصطلاحات میں اسکیم پر متعدد بامعنی ٹپوولوجیکل تعمیرات کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، X میں کھلے سیٹوں U اور V کے جوڑے کے حوالے سے میئر-ویتورس ترتیب کی مقامی ہم آہنگی میں ایک قدرتی ینالاگ ہے، جو بالترتیب آئیڈیل I اور J کے جوڑے سے مطابقت رکھنے والے بند ذیلی سیٹوں کی تکمیل سے دیا جاتا ہے۔ اس ترتیب میں کسی بھی-ماڈیول کی شکل ہوتی ہے۔ مقامی ہم آہنگی کی معدومیت کو الجبرائی سیٹ کی وضاحت کرنے کے لیے درکار مساوات کی کم سے کم تعداد (جسے ریاضی کا درجہ کہا جاتا ہے) کو پابند کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایک ہی ریڈیکل ہے، اور عناصر کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے، تو جنریٹرز پر چیچ کمپلیکس کی ڈگری میں کوئی اصطلاح نہیں ہے۔ تمام آئیڈیلز میں جنریٹرز کی سب سے کم تعداد جیسے کہ ریاضی کا درجہ، ظاہر کیا جاتا ہے۔ چونکہ اس حوالے سے مقامی ہم آہنگی کا حساب اس طرح کے کسی آئیڈیل کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے، اس کے لیے اس کی پیروی کی جاتی ہے۔ درجہ بند مقامی کوہمولوجی اور پروجیکٹو جیومیٹری جب درجہ بند کیا جاتا ہے، تو یکساں عناصر کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے، اور ایک درجہ بند ماڈیول ہوتا ہے، تو مقامی کوہمولوجی ماڈیول پر ایک قدرتی درجہ بندی ہوتی ہے جو اور کی درجہ بندی کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ اس مضمون میں ظاہر کردہ مقامی ہم آہنگی کی تمام بنیادی خصوصیات درجہ بند ڈھانچے کے ساتھ مطابقت رکھتی ہیں۔ اگر حتمی طور پر پیدا کیا جاتا ہے اور مثبت ڈگری رکھنے والے عناصر سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہے، تو درجہ بند اجزاء حتمی طور پر تیار کیے جاتے ہیں اور کافی بڑے ہونے پر غائب ہو جاتے ہیں۔ وہ صورت جہاں مثبت ڈگری کے تمام عناصر سے پیدا ہونے والا آئیڈیل (جسے بعض اوقات غیر متعلقہ آئیڈیل کہا جاتا ہے) خاص طور پر خاص ہوتا ہے، کیونکہ اس کا تعلق پروجیکٹو جیومیٹری سے ہوتا ہے۔ اس صورت میں، ایک آئسومورفزم ہے جہاں پروجیکٹو اسکیم وابستہ ہے، اور سیر موڑ کی نشاندہی کرتی ہے۔ اس آئسومورفزم کی درجہ بندی کی جاتی ہے، جو تمام ڈگریوں میں ہوتی ہے۔ یہ آئسومورفزم مقامی کوہمولوجی کو پروجیکٹو اسکیموں کی عالمی کوہمولوجی سے جوڑتا ہے۔ مثال کے طور پر، کاسٹیلنوو-ممفورڈ باقاعدگی کو مقامی کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے وضع کیا جا سکتا ہے جہاں اس طرح کی اعلی ترین ڈگری کی نشاندہی ہوتی ہے۔ مقامی ہم آہنگی کا استعمال باقاعدگی سے متعلق کچھ اوپری پابند نتائج کو ثابت کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ مثال ٹاپ لوکل کوہمولوجی چیچ کمپلیکس کا استعمال کرتے ہوئے، اگر لوکل کوہمولوجی ماڈیول اور کے لیے رسمی حصوں کی تصاویر کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ یہ حصہ ایک غیر صفر عنصر سے مطابقت رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایسا کوئی نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر، پھر اگر ایک فیلڈ ہے اور متغیرات میں ایک کثیر الجہتی رنگ ہے، تو مقامی کوہمولوجی ماڈیول کو ویکٹر اسپیس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس کی بنیاد (کیچ کوہمولوجی کلاسز) کے ذریعہ دی گئی ہے۔ ایک-ماڈیول کے طور پر، ضرب 1 سے کم ہوتی ہے، شرط کے تابع ہے کیونکہ عناصر کے ساتھ ضرب دے کر طاقتوں میں اضافہ نہیں کیا جا سکتا، ماڈیول حتمی طور پر پیدا نہیں ہوتا ہے۔ H1 کی مثالیں اگر جانا جاتا ہے (کہاں)، تو ماڈیول کو بعض اوقات واضح طور پر ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے۔ اگر اور، پھر اور ایک ویکٹر اسپیس کے طور پر، پہلا مقامی کوہمولوجی ماڈیول، ایک 1 جہتی ویکٹر اسپیس ہے جو اس کے ذریعہ پیدا ہوتا ہے۔ اگر اور، پھر اور، اسی طرح ماڈیولز کے غیر متغیرات سے بنیادی تعلق کے ساتھ ایک لامحدود جہتی ویکٹر اسپیس ہے۔ کسی ماڈیول کا طول و عرض dimR (M) (اس کی حمایت کے کرول طول و عرض کے طور پر بیان کیا گیا ہے) مقامی کوہومولوجی ماڈیولز کے لیے ایک اوپری باؤنڈ فراہم کرتا ہے: اگر R مقامی ہے اور M حتمی طور پر تیار کیا گیا ہے، تو یہ باؤنڈ تیز ہے، یعنی۔ گہرائی (جس کی تعریف باقاعدہ ایم-سیکوینس کی زیادہ سے زیادہ لمبائی کے طور پر کی جاتی ہے ؛ جسے ایم کا گریڈ بھی کہا جاتا ہے) ایک تیز نچلی باؤنڈ فراہم کرتا ہے، یعنی یہ سب سے چھوٹا عدد n ہے جس سے یہ دونوں باؤنڈ مل کر مقامی رنگوں پر کوہن-میکالے ماڈیولز کی خصوصیت حاصل کرتے ہیں: وہ قطعی طور پر وہ ماڈیول ہیں جہاں ایک این کے علاوہ سب کے لیے غائب ہو جاتے ہیں۔ مقامی دوہری تھیوریم سیر دوہری کا ایک مقامی ینالاگ ہے۔ طول و عرض کی کوہن-میکالے مقامی رنگ کے لیے جو کہ گورینسٹین مقامی رنگ کی ہومومورفک تصویر ہے (مثال کے طور پر، اگر مکمل ہے)، اس میں کہا گیا ہے کہ قدرتی جوڑی ایک بہترین جوڑی ہے، جہاں اس کے لیے ڈوئلائزنگ ماڈیول ہے۔ میٹلیس ڈوئلٹی فنکٹر کے لحاظ سے، مقامی ڈوئلٹی تھیوریم کو درج ذیل آئسومورفزم کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ بیان آسان ہے جب، جو اس مفروضے کے مساوی ہے جو کہ گورینسٹین ہے۔ یہ معاملہ ہے، مثال کے طور پر، اگر باقاعدہ ہے۔ ایپلی کیشنز ابتدائی ایپلی کیشنز لیفشیٹز ہائپرپلین تھیوریمز کے ینالاگس کے لیے تھیں۔ عام طور پر اس طرح کے نظریات بتاتے ہیں کہ ہومیولوجی یا کوہمولوجی کو الجبرائی قسم کے ہائپرپلین حصے پر سپورٹ کیا جاتا ہے، سوائے کچھ 'نقصان' کے جسے کنٹرول کیا جا سکتا ہے۔ یہ نتائج الجبرائی بنیادی گروپ اور پکارڈ گروپ پر لاگو ہوتے ہیں۔ ایپلی کیشن کی ایک اور قسم کنیکٹنس تھیوریمز ہیں جیسے گروتھینڈیک کا کنیکٹنس تھیوریم (برٹینی تھیوریم کا ایک مقامی ینالاگ) یا فلٹن-ہینسن کنیکٹنس تھیوریم کی وجہ سے اور۔ مؤخر الذکر اس بات پر زور دیتا ہے کہ الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر پی آر میں دو پروجیکٹو اقسام V اور W کے لیے، Z = V θ W کا ربط طول و عرض (یعنی، Z کے بند ذیلی سیٹ T کا کم سے کم طول و عرض جسے Z سے ہٹانا پڑتا ہے تاکہ تکمیل Z\ T منقطع ہو جائے) c (Z) ± dim V + dim W−r−1 سے پابند ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ڈم V + ڈم W> r ہو تو Z جڑا ہوا ہے۔ پولی ہیڈرل جیومیٹری میں، میک مولن کے اپر باؤنڈ تھیوریم کی آسان شکل کے اسٹینلے کے 1975 کے ثبوت کے ایک کلیدی جزو میں یہ ظاہر کرنا شامل ہے کہ متعلقہ آسان کمپلیکس کا اسٹینلے-ریزنر رنگ کوہن-میکالے ہے، اور ہوکسٹر کے فارمولے کے ذریعے مقامی کوہمولوجی اس حساب میں ایک اہم ٹول ہے۔ لوکل ہومیولوجی بھی دیکھیں-ایک خلائی فالٹنگز کے انیہیلیٹر تھیوریم کے شنک کے مقامی ہومیولوجی کا ٹپوولوجیکل ینالاگ اور کمپیوٹیشن دیتا ہے نوٹ انٹروڈکٹری ریفرنس ہنیکے، کریگ ؛ ٹیلر، امیلیا، لیکچرز آن لوکل کوہومولوجی حوالہ جات کتاب کا جائزہ بذریعہ ہارٹشورن شیف تھیوری الجبرائی جیومیٹری کے ٹپوولوجیکل طریقے کوہومولوجی تھیوریز کمیونیٹو الجبرا ڈوئلٹی تھیوریز