Vector fields on spheres
ریاضی میں، شعبوں پر ویکٹر فیلڈز کی بحث تفریق ٹوپولوجی کا ایک کلاسیکی مسئلہ تھا، جس کا آغاز بال تھیوریم سے ہوتا تھا، اور ڈویژن الجبرا کی درجہ بندی پر ابتدائی کام تھا۔ خاص طور پر، سوال یہ ہے کہ جہتی یوکلڈین خلا میں کسی دائرے پر کتنے لکیری طور پر آزاد ہموار کہیں صفر ویکٹر فیلڈز بنائے جا سکتے ہیں۔ ایک قطعی جواب 1962 میں فرینک ایڈمز نے فراہم کیا تھا۔ یہ پہلے سے ہی معلوم تھا، کلفورڈ الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے براہ راست تعمیر سے، کہ کم از کم اس طرح کے فیلڈز موجود تھے (نیچے تعریف دیکھیں)۔ ایڈمز نے ہوموٹوپی تھیوری اور ٹوپوولوجیکل کے تھیوری کا اطلاق یہ ثابت کرنے کے لیے کیا کہ مزید آزاد ویکٹر فیلڈز نہیں مل سکتے۔ لہذا نقطہ وار لکیری طور پر آزاد ویکٹر فیلڈز کی صحیح تعداد ہے جو () جہتی دائرے پر موجود ہیں۔ تکنیکی تفصیلات تفصیل سے، یہ سوال 'گول شعبوں' اور ان کے ٹینجینٹ بنڈلوں پر لاگو ہوتا ہے: درحقیقت چونکہ تمام غیر ملکی شعبوں میں آئسومورفک ٹینجینٹ بنڈل ہوتے ہیں، ریڈون-ہور وٹز نمبر کسی بھی ہوموٹوپی دائرے کے ٹینجینٹ بنڈل کے لکیری طور پر آزاد حصوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد کا تعین کرتے ہیں۔ عجیب کے معاملے کا خیال پوئن کیری-ہاپف انڈیکس تھیوریم کے ذریعے رکھا جاتا ہے (دیکھیں ہیری بال تھیوریم)، لہذا کیس ایون اس کی توسیع ہے۔ ایڈمز نے دکھایا کہ ()-دائرے پر مسلسل (ہموار یہاں مختلف نہیں ہوگا) نقطہ وار لکیری آزاد ویکٹر فیلڈز کی زیادہ سے زیادہ تعداد بالکل ہے۔ کھیتوں کی تعمیر کا تعلق حقیقی کلفورڈ الجبرا سے ہے، جو کہ ایک نظریہ ہے جس میں پیریڈیسٹی ماڈیولو 8 ہے جو یہاں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ گرام-شمڈٹ عمل کے ذریعہ، (نقطہ وار) لکیری آزادی یا فیلڈز کے لیے پوچھنا یکساں ہے جو ہر نقطہ پر آرتھونورمل بنیاد دیتے ہیں۔ ریڈون-ہور وٹز نمبر ریڈون-ہور وٹز نمبر جوہان ریڈون (1922) اور ایڈولف ہور وٹز (1923) کے ابتدائی کام میں ہر وٹز کے مسئلے پر کواڈریٹک شکلوں پر پائے جاتے ہیں۔ اگر کسی طاق عدد کے ضرب اور دو کی طاقت کے طور پر لکھا جائے تو لکھیں۔ پھر۔ کی پہلی چند اقدار ہیں (سے): 2، 4، 2، 8، 2، 4، 2، 9، 2، 4، 2، 8، 2، 4، 2، 10،۔ عجیب کے لیے، فنکشن کی قیمت ایک ہے۔ یہ اعداد دیگر متعلقہ علاقوں میں بھی پائے جاتے ہیں۔ میٹرکس تھیوری میں، ریڈون-ہور وٹز نمبر حقیقی میٹرکس کے لکیری سب اسپیس کے زیادہ سے زیادہ سائز کو شمار کرتا ہے، جس کے لیے ہر غیر صفر میٹرکس ایک مماثلت کی تبدیلی ہے، یعنی۔ آرتھوگنل میٹرکس اور اسکیلر میٹرکس کا پروڈکٹ۔ کواڈریٹک شکلوں میں، ہروٹز کا مسئلہ کواڈریٹک شکلوں کے درمیان ضرب شناخت کا مطالبہ کرتا ہے۔ کلاسیکی نتائج پر 1952 میں بینو ایکمین نے نظر ثانی کی۔ ان کا اطلاق اب کوڈنگ تھیوری اور نظریاتی طبیعیات سمیت شعبوں میں کیا جاتا ہے۔ حوالہ جات تفریقی ٹوپولوجی ٹوپولوجی میں نظریات