Geometric genus
الجبرائی جیومیٹری میں، ہندسی جینس الجبرائی اقسام اور پیچیدہ کئی گنا کا ایک بنیادی بائریشنل غیر متغیر ہے۔ تعریف ہندسی جینس کی تعریف غیر سنگل پیچیدہ پروجیکٹو اقسام کے لیے اور زیادہ عام طور پر پیچیدہ کئی گنا کے لیے ہج نمبر (سیر ڈوئلٹی کے برابر) کے طور پر کی جا سکتی ہے، یعنی کینونکل لکیری سسٹم کے طول و عرض کے علاوہ ایک۔ دوسرے لفظوں میں مختلف قسم کے پیچیدہ طول و عرض کے لیے یہ لکیری طور پر آزاد ہولومورفک شکلوں کی تعداد ہے جن پر پایا جانا ہے۔ یہ تعریف، اس کے بعد کے طول و عرض کے طور پر کسی بھی بیس فیلڈ پر لے جاتی ہے، جب کہ کیلر تفریق کا خول سمجھا جاتا ہے اور طاقت (اوپر) بیرونی طاقت، کینونکل لائن بنڈل ہے۔ جیومیٹرک جینس غیر متغیرات کی ترتیب کا پہلا غیر متغیر ہے جسے پلورجینرا کہا جاتا ہے۔ منحنی خطوط کا معاملہ پیچیدہ اقسام کے معاملے میں، (کی پیچیدہ لوکی) غیر سنگل منحنی خطوط ریمن سطحیں ہیں۔ جینس کی الجبرائی تعریف ٹپوولوجیکل تصور سے متفق ہے۔ نان سنگولر وکر پر، کینونکل لائن بنڈل کی ڈگری ہوتی ہے۔ جینس کا تصور ریمن-راک تھیوریم (الجبرائی منحنی خطوط کے لیے ریمن-راک تھیوریم بھی دیکھیں) اور ریمن-ہور وٹز فارمولے کے بیان میں نمایاں طور پر نمایاں ہے۔ ریمن-راک تھیوریم کے مطابق، ڈگری d کے ایک ناقابل کٹوتی طیارہ منحنی خطوط میں ہندسی جینس ہوتا ہے جہاں s انفرادیت کی تعداد ہے۔ اگر ڈگری کی کثیر الجہتی مساوات کے ذریعہ کاٹے گئے پروجیکٹو طیارہ میں ایک ناقابل تلافی (اور ہموار) ہائپر سرفیس ہے، تو اس کا عام لائن بنڈل سیر موڑنے والا شیف ہے، لہذا ملحقہ فارمولے کے ذریعہ، اس کا کینونکل لائن بنڈل واحد اقسام کے جینس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ ہندسی جینس کی تعریف کلاسیکی طور پر واحد منحنی خطوط پر کی جاتی ہے، یہ حکم دے کر کہ یہ معمول کی ہندسی جینس ہے۔ یعنی، چونکہ نقشہ سازی بائریشنل ہے، اس لیے تعریف کو بائریشنل انواریینس کے ذریعے بڑھایا جاتا ہے۔ جینس (ریاضی) ریاضیاتی جینس سطحوں کے متغیرات نوٹ حوالہ جات الجبرائی اقسام بھی دیکھیں۔