Plimpton 322
پلمپٹن 322 ایک بابل کی مٹی کی تختہ ہے، جو بابل کی ریاضی کی ایک مثال پر مشتمل ہے۔ جی اے میں اس کا نمبر 322 ہے۔ کولمبیا یونیورسٹی میں پلمپٹن کلیکشن۔ یہ تختہ، جس کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ یہ تقریبا 1800 قبل مسیح میں لکھی گئی تھی، اس دور کے کونیفارم رسم الخط میں چار کالموں اور نمبروں کی 15 قطاریں ہیں۔ اس جدول میں تین میں سے دو نمبروں کی فہرست دی گئی ہے جنہیں اب پایتھاگورین ٹرپل کہا جاتا ہے، یعنی انٹیجرز، اور تسلی بخش۔ جدید نقطہ نظر سے، اس طرح کے ٹرپل کی تعمیر کا طریقہ ایک اہم ابتدائی کامیابی ہے، جو یونانی اور ہندوستانی ریاضی دانوں کے اس مسئلے کا حل دریافت کرنے سے بہت پہلے سے جانا جاتا ہے۔ ساتھ ہی، کسی کو یاد رکھنا چاہیے کہ ٹیبلٹ کا مصنف ایک پیشہ ور ریاضی دان کے بجائے ایک لکھاری تھا۔ یہ تجویز کیا گیا ہے کہ اس کا ایک مقصد اسکول کے مسائل کے لیے مثالیں پیش کرنا ہو سکتا ہے۔ ٹیبلٹ کی نوعیت اور مقصد پر اہم علمی بحث ہوئی ہے۔ اس ٹیبلٹ کے پڑھنے کے قابل مقبول علاج کے لیے ریاضی میں ایکسپوزیٹری ایکسی لینس کے لیے لیسٹر آر فورڈ ایوارڈ کے وصول کنندہ یا مزید مختصر طور پر دیکھیں۔ ایک وسیع کتابچہ کے ساتھ، ٹیبلٹ کے نمبروں کی تشریح کا ایک زیادہ تفصیلی اور تکنیکی بحث ہے۔ پلمپٹن 322 جزوی طور پر ٹوٹا ہوا ہے، تقریبا 13 سینٹی میٹر چوڑا، 9 سینٹی میٹر لمبا اور 2 سینٹی میٹر موٹا ہے۔ نیویارک کے ناشر جارج آرتھر پلمپٹن نے یہ گولی ایک آثار قدیمہ کے ڈیلر ایڈگر جے سے خریدی تھی۔ بینکوں نے، تقریبا 1922 میں، اور اسے اپنے باقی مجموعے کے ساتھ 1930 کی دہائی کے وسط میں کولمبیا یونیورسٹی کو وراثت میں دیا۔ بینکوں کے مطابق، یہ گولی سینکریہ سے آئی تھی، جو جنوبی عراق میں قدیم شہر لارسا سے مطابقت رکھتی ہے۔ خیال کیا جاتا ہے کہ یہ تختہ تقریبا 1800 قبل مسیح میں درمیانی تاریخ کا استعمال کرتے ہوئے لکھا گیا تھا، جو جزوی طور پر اس کے کونیفارم رسم الخط کے لیے استعمال ہونے والی تحریر کے انداز پر مبنی ہے: لکھتا ہے کہ یہ تحریر "کئی سال پہلے کے 4000-3500 کے جنوبی عراق کے دستاویزات کی خصوصیت ہے"۔ مزید خاص طور پر، لارسا کے دیگر ٹیبلٹس کے ساتھ فارمیٹنگ کی مماثلتوں کی بنیاد پر جن پر واضح تاریخیں لکھی ہوئی ہیں، پلمپٹن 322 شاید 1822-1784 قبل مسیح کی مدت کا ہو سکتا ہے۔ رابسن بتاتے ہیں کہ پلمپٹن 322 اس دور کے ریاضیاتی دستاویزات کے بجائے دیگر انتظامی دستاویزات کی طرح ہی لکھا گیا تھا۔ مواد پلمپٹن 322 کا بنیادی مواد نمبروں کی ایک میز ہے، جس میں چار کالم اور پندرہ قطاریں ہیں، بابل کے جنسی اشارے میں۔ چوتھا کالم صرف ایک صف نمبر ہے، جس کی ترتیب 1 سے 15 تک ہے۔ دوسرے اور تیسرے کالم زندہ بچ جانے والی گولی میں مکمل طور پر نظر آتے ہیں۔ تاہم، پہلے کالم کے کنارے کو توڑ دیا گیا ہے، اور لاپتہ ہندسوں کے بارے میں دو مستقل ایکسٹراپولیشنز ہیں۔ یہ تشریحات صرف اس بات میں مختلف ہیں کہ ہر نمبر 1 کے برابر اضافی ہندسے سے شروع ہوتا ہے یا نہیں۔ قوسین میں دکھائے گئے مختلف اخراج کے ساتھ، پہلے اور چوتھے کالم کے خراب حصے جن کے مواد کا اندازہ اٹالیکس میں دکھایا گیا ہے، اور نیچے مربع بریکٹ میں عام طور پر تجویز کردہ اصلاحات کے ساتھ بولڈ فیس میں دکھائی گئی چھ قیاس شدہ غلطیاں، یہ نمبر صف 15 میں اصلاح کے دو ممکنہ متبادل دکھائے گئے ہیں: تیسرے کالم میں 53 کو اس کی دوگنی قیمت سے تبدیل کیا جانا چاہیے، 1.46، یا دوسرے کالم میں 56 کو اس کی نصف قیمت سے تبدیل کیا جانا چاہیے، 28۔ یہ ممکن ہے کہ ان کالموں کے بائیں طرف ٹیبلٹ کے ٹوٹے ہوئے حصے میں اضافی کالم موجود ہوں۔ بابل کے سیکساجسیمل نوٹیشن میں ہر نمبر کو ضرب دینے کے لیے 60 کی طاقت کی وضاحت نہیں کی گئی، جس سے ان نمبروں کی تشریح مبہم ہو جاتی ہے۔ دوسرے اور تیسرے کالموں میں موجود اعداد کو عام طور پر عدد سمجھا جاتا ہے۔ پہلے کالم میں موجود اعداد کو صرف فریکشن کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور ان کی تمام اقدار 1 اور 2 کے درمیان ہوتی ہیں (فرض کریں کہ ابتدائی 1 موجود ہے-اگر وہ موجود نہیں ہے تو وہ 0 اور 1 کے درمیان ہوتی ہیں)۔ یہ کٹے ہوئے حصے درست ہوتے ہیں، نہ کہ کٹے ہوئے یا گول اندازے۔ ان مفروضوں کے تحت ٹیبلٹ کا اعشاریہ ترجمہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ پہلے کالم میں زیادہ تر عین مطابق سیکسیجیمل حصوں میں اختتامی اعشاریہ توسیع نہیں ہوتی ہے اور انہیں سات اعشاریہ مقامات پر گول کیا گیا ہے۔ * پہلے کی طرح، صف 15 کی متبادل ممکنہ اصلاح میں دوسرے کالم میں 28 اور تیسرے کالم میں 53 ہیں۔ صف 11 کے دوسرے اور تیسرے کالموں میں اندراجات، ممکنہ طور پر صف 15 کے علاوہ دیگر تمام قطاروں کے برعکس، ایک مشترکہ عنصر پر مشتمل ہیں۔ یہ ممکن ہے کہ 45 اور 1.15 کو 3/4 اور 5/4 کے طور پر سمجھا جائے، جو بابل کی ریاضی میں واقف (3,4,5) دائیں مثلث کی معیاری (0.75,1، 1.25) اسکیلنگ کے مطابق ہے۔ ہر صف میں، دوسرے کالم میں موجود نمبر کی تشریح دائیں مثلث کے چھوٹے پہلو کے طور پر کی جا سکتی ہے، اور تیسرے کالم میں موجود نمبر کی تشریح مثلث کے ہائپوٹینوس کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ تمام صورتوں میں، لمبا پہلو بھی ایک عدد ہوتا ہے، جو پائیتھاگورین ٹرپل کے دو عناصر بناتا ہے۔ پہلے کالم میں نمبر یا تو فریکشن ہے (اگر "1" شامل نہیں ہے) یا (اگر "1" شامل ہے)۔ ہر صورت میں، لمبا رخ ایک باقاعدہ عدد ہے، یعنی 60 کی طاقت کا ایک عدد تقسیم کنندہ یا، مساوی طور پر، 2، 3، اور 5 کی طاقتوں کا پروڈکٹ۔ یہی وجہ ہے کہ پہلے کالم میں موجود اعداد درست ہوتے ہیں، کیونکہ ایک عدد کو باقاعدہ عدد سے تقسیم کرنے سے ایک اختتامی جنسی عدد پیدا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ٹیبل کی لائن 1 کی تشریح ایک مثلث کو مختصر پہلو 119 اور ہائپوٹینوس 169 کے ساتھ بیان کرنے کے طور پر کی جا سکتی ہے، جس سے لمبا رخ ظاہر ہوتا ہے، جو کہ ایک باقاعدہ نمبر (23·3·5) ہے۔ کالم 1 میں نمبر یا تو (169/120) 2 یا (119/120) 2 ہے۔ کالم کے عنوانات ہر کالم کا ایک عنوان ہوتا ہے، جو اکادی زبان میں لکھا جاتا ہے۔ کچھ الفاظ سمیری لوگوگرام ہیں، جنہیں قارئین اکادیائی الفاظ کے لیے کھڑے ہونے کے طور پر سمجھتے ہوں گے۔ ان میں شامل ہیں ÍB.SI8، اکادیائی میتھرٹم ("مربع") کے لیے، MU.BI.IM، اکادیائی شمسو ("اس کی لکیر") کے لیے، اور SAG، اکادیائی پوٹم ("چوڑائی") کے لیے۔ چوتھے کالم میں ہر نمبر سے پہلے سمیروگرام کے آئی ہوتا ہے، جو، کے مطابق، "انہیں آرڈینل نمبروں کا کردار دیتا ہے"۔ اوپر سیکساجسیمل ٹیبل میں، ترچھے ہوئے الفاظ اور الفاظ کے کچھ حصے متن کے ان حصوں کی نمائندگی کرتے ہیں جو ٹیبلٹ کو پہنچنے والے نقصان یا ناجائز ہونے کی وجہ سے پڑھنے کے قابل نہیں ہیں، اور جنہیں جدید اسکالرز نے دوبارہ تعمیر کیا ہے۔ اصطلاحات ÍB.SI8 اور تکلتم کو غیر ترجمہ شدہ چھوڑ دیا گیا ہے کیونکہ ان کے عین معنی کے بارے میں بحث جاری ہے۔ کالم 2 اور 3 کے عنوانات کا ترجمہ "چوڑائی کا مربع" اور "اخترن کا مربع" کے طور پر کیا جا سکتا ہے، لیکن (پی پی۔ 173-174) کا استدلال ہے کہ اصطلاح ÍB.SI8 مربع کے رقبے یا مربع کی طرف کا حوالہ دے سکتی ہے، اور اس صورت میں اسے "مربع طرف" یا شاید "مربع جڑ" کے طور پر سمجھا جانا چاہیے۔ اسی طرح (صفحہ 526) مشاہدہ کریں کہ یہ اصطلاح اکثر ان مسائل میں ظاہر ہوتی ہے جہاں مربع کو مکمل کرنے کا استعمال حل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جسے اب مربع مساوات کے طور پر سمجھا جائے گا، جس تناظر میں یہ مکمل مربع کے پہلو کی طرف اشارہ کرتا ہے، لیکن یہ اس بات کی نشاندہی کرنے کے لیے بھی کام کر سکتا ہے کہ "کہ لکیری طول و عرض یا لکیر کے حصے کا مطلب ہے"۔ (پی پی۔ 35، 39)، دوسری طرف، ایسی مثالوں کو ظاہر کرتا ہے جہاں یہ اصطلاح مختلف قسم کے مختلف ریاضیاتی کارروائیوں کے نتائج سے مراد ہے اور ترجمہ "" چوڑائی (یا اخترن) کی تعداد کو حل کرنے "کی تجویز پیش کرتا ہے۔ اسی طرح، (صفحہ 300) ترجمہ "جڑ" کی تجویز کرتا ہے۔ کالم 1 میں، سرخی کی دونوں لائنوں کے پہلے حصے خراب ہو جاتے ہیں۔ پہلے لفظ کو تکلتی (تکلتم کی ایک شکل) کے طور پر دوبارہ تخلیق کیا، ایک ایسی ریڈنگ جسے بعد کے بیشتر محققین نے قبول کیا ہے۔ سرخی کو عام طور پر اس وقت تک ناقابل ترجمہ سمجھا جاتا تھا جب تک کہ لائن 2 کے ٹوٹے ہوئے حصے میں 1 ڈالنے کی تجویز پیش نہیں کی گئی تھی اور غیر قانونی آخری لفظ کو سمجھنے میں کامیاب رہا، جس سے اوپر کی میز میں دی گئی ریڈنگ پیدا ہوئی۔ ایک تفصیلی لسانی تجزیے کی بنیاد پر، رابسن نے ٹیکلٹم کا ترجمہ "ہولڈنگ اسکوائر" کے طور پر کرنے کی تجویز پیش کی ہے۔ قدیم بابل کی ریاضی میں لفظ کے نسبتا کم معروف واقعات کا جائزہ لیں۔ اگرچہ وہ نوٹ کرتے ہیں کہ، تقریبا تمام صورتوں میں، یہ مربع کو مکمل کرنے کے عمل میں کسی شکل میں شامل کردہ معاون مربع کے لکیری طول و عرض سے مراد ہے، اور یہ کواڈریٹک کو حل کرنے کے آخری مرحلے میں گھٹا دی گئی مقدار ہے، وہ رابسن سے متفق ہیں کہ اس مثال میں اسے مربع کے رقبے کے حوالے سے سمجھا جانا چاہیے۔ دوسری طرف، تجویز کرتا ہے کہ سرخی کے ٹوٹے ہوئے حصے میں تکلٹم سے پہلے a-sha ("علاقہ") ہو سکتا ہے۔ اب اس بات پر وسیع پیمانے پر اتفاق ہے کہ سرخی چوڑائی (مختصر طرف) پر مربعوں اور لمبائی (لمبی طرف) 1 کے ساتھ ایک مستطیل کے اخترن کے درمیان تعلق کو بیان کرتی ہے: اخترن پر مربع سے 1 رقبے کو گھٹانا ("پھاڑنا") چوڑائی پر مربع کے رقبے کو چھوڑ دیتا ہے۔ غلطیاں جیسا کہ اوپر کی میز میں اشارہ کیا گیا ہے، زیادہ تر اسکالرز کا خیال ہے کہ ٹیبلٹ میں چھ غلطیاں ہیں، اور، صف 15 میں دو ممکنہ اصلاحات کو چھوڑ کر، اس بارے میں وسیع پیمانے پر اتفاق ہے کہ صحیح اقدار کیا ہونی چاہئیں۔ ٹیبلٹ کی گنتی کے طریقہ کار کے حوالے سے غلطیاں کیسے ہوئیں اور ان کا کیا مطلب ہے اس بارے میں کم اتفاق ہے۔ غلطیوں کا خلاصہ درج ذیل ہے۔ صف 2، کالم 1 (غیر حاضر 1s اور 10s کے لیے 50 اور 6 کے درمیان خالی جگہیں چھوڑنے کو نظر انداز کرنا) اور صف 9، کالم 2 (8 کے لیے 9 لکھنا) کی غلطیوں کو عالمی سطح پر ورک ٹیبلٹ (یا ممکنہ طور پر ٹیبل کی سابقہ کاپی سے) سے کاپی کرنے میں معمولی غلطیاں سمجھا جاتا ہے۔ قطار 8، کالم 1 میں غلطی (دو جنسی ہندسوں 45 14 کو ان کے مجموعہ، 59 سے تبدیل کرتے ہوئے) ٹیبلٹ پر موجود کچھ ابتدائی کاغذات میں نظر نہیں آئی ہے۔ اسے بعض اوقات (مثال کے طور پر) کام کی گولی سے نقل کرنے کے عمل میں لکھاری کی طرف سے کی گئی ایک سادہ غلطی کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، جیسا کہ اس میں بحث کی گئی ہے، متعدد اسکالرز نے تجویز پیش کی ہے کہ اس غلطی کو تعداد کی طرف لے جانے والے حساب میں ایک غلطی کے طور پر زیادہ معقول طور پر بیان کیا گیا ہے، مثال کے طور پر، ضرب کرتے وقت لکھاری کا درمیانی صفر (صفر ہندسوں کی نمائندگی کرنے والی خالی جگہ) کو نظر انداز کرنا۔ غلطی کی یہ وضاحت میز کی تعمیر کے طریقہ کار کے لیے دونوں اہم تجاویز کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ (نیچے دیکھیں۔) باقی تین غلطیوں کا اثر اس طریقے پر پڑتا ہے جس میں گولی کا حساب لگایا گیا تھا۔ صف 13، کالم 2 میں نمبر 7.12.1، صحیح قدر کا مربع ہے، 2.41۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ کالم 2 میں لمبائی کا حساب متعلقہ مربع کے رقبے کے مربع جڑ کو لے کر کیا گیا تھا، یا یہ کہ لمبائی اور رقبے کو ایک ساتھ شمار کیا گیا تھا، اس غلطی کی وضاحت یا تو مربع جڑ لینے میں غفلت کے طور پر کی جا سکتی ہے، یا کسی ورک ٹیبلٹ سے غلط نمبر کاپی کرنا۔ اگر صف 15 میں غلطی کو کالم 2 میں 28 کے بجائے 56 لکھنے کے طور پر سمجھا جاتا ہے، تو اس غلطی کی وضاحت ٹریلنگ پارٹ الگورتھم کے غلط استعمال کے نتیجے میں کی جا سکتی ہے، جس کی ضرورت ہوتی ہے اگر ٹیبل کو باہمی جوڑوں کے ذریعے شمار کیا گیا ہو جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ یہ غلطی کالم 2 اور 3 میں نمبروں کے لیے عام باقاعدہ عوامل کو ہٹانے کے لیے ایک تکراری طریقہ کار کو لاگو کرنے کے مترادف ہے جو کالموں میں سے کسی ایک میں غلط تعداد ہے۔ صف 2، کالم 3 میں موجود نمبر کا صحیح نمبر سے کوئی واضح تعلق نہیں ہے، اور یہ نمبر کیسے حاصل کیا گیا اس کی تمام وضاحتیں متعدد غلطیوں کو پیش کرتی ہیں۔ مشاہدہ کیا گیا کہ 3.12.01 3.13 کی سادہ غلط کاپی ہو سکتی ہے۔ اگر یہ معاملہ تھا، تو غلط نمبر 3.13 کی وضاحت صف 15 میں غلطی کی وضاحت سے ملتی جلتی ہے۔ عام اتفاق رائے سے مستثنی ہے، جہاں، اسی مصنف () کے پہلے تجزیے سے ہٹ کر، یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ صف 15 میں اعداد غلطی میں نہیں ہیں، بلکہ مطلوبہ طور پر لکھے گئے تھے، اور یہ کہ صف 2، کالم 3 میں واحد غلطی 3.13 کو 3.12.01 کے طور پر غلط لکھ رہی تھی۔ اس مفروضے کے تحت، کالم 2 اور 3 کی "سامنے اور اخترن کے عنصر سے کم کور" کے طور پر دوبارہ تشریح کرنا ضروری ہے۔ کسی نمبر کا فیکٹر کم شدہ کور وہ نمبر ہے جس میں کامل مربع باقاعدہ عوامل کو ہٹا دیا گیا ہے۔ فیکٹر کم شدہ کور کا حساب لگانا قدیم بابل کی ریاضی میں مربع جڑوں کا حساب لگانے کے عمل کا حصہ تھا۔ فریبرگ کے مطابق، "پلمپٹن 322 کے مصنف کا یہ ارادہ کبھی نہیں تھا کہ وہ اپنے نارملائزڈ ڈائیگنل ٹرپل کی سیریز (جس کی لمبائی ہر ٹرپل میں 1 کے برابر ہے) کو ابتدائی ڈائیگنل ٹرپل کی اسی سیریز (سامنے، لمبائی، اور ڈائیگنل کے برابر انٹیجرز کے بغیر مشترکہ عوامل) تک کم کرے۔" میز کی تعمیر اسکالرز اب بھی اس بات پر اختلاف کرتے ہیں کہ یہ نمبر کیسے تیار کیے گئے تھے۔ اور دونوں میز کی تعمیر کے طریقہ کار کے لیے دو اہم تجاویز کی نشاندہی کرتے ہیں: جوڑے پیدا کرنے کا طریقہ، جس میں تجویز کیا گیا ہے، اور باہمی جوڑوں کا طریقہ، جسے بروئنز نے تجویز کیا ہے اور ووئلز نے اس کی وضاحت کی ہے، اور فریبرگ۔ جوڑے پیدا کرنا جدید اصطلاحات استعمال کرنے کے لیے، اگر p اور q قدرتی اعداد ہیں جیسے کہ p> q تو (p2 − q2,2pq, p2 + q2) ایک پایتھاگورین ٹرپل بناتا ہے۔ ٹرپل ابتدائی ہے، یعنی تین مثلث اطراف کا کوئی مشترکہ عنصر نہیں ہے، اگر p اور q کوپرائم ہیں اور دونوں عجیب نہیں ہیں۔ نیوگی باؤر اور سیکس تجویز کرتے ہیں کہ ٹیبلٹ پی اور کیو کو کوپرائم باقاعدہ اعداد کے طور پر منتخب کرکے تیار کیا گیا تھا (لیکن دونوں عجیب ہو سکتے ہیں-صف 15 دیکھیں) اور کمپیوٹنگ ڈی = پی 2 + کیو 2، ایس = پی 2 − کیو 2، اور ایل = 2 پی کیو (تاکہ ایل بھی ایک باقاعدہ نمبر ہو)۔ مثال کے طور پر، p = 12 اور q = 5 ترتیب دے کر لائن 1 تیار کی جائے گی۔ بک اور رابسن دونوں نوٹ کرتے ہیں کہ کالم 1 کی موجودگی اس تجویز میں پراسرار ہے، کیونکہ اس کا تعمیر میں کوئی کردار نہیں ہے، اور یہ کہ تجویز اس بات کی وضاحت نہیں کرتی ہے کہ میز کی قطاریں کیوں ترتیب دی گئی ہیں، بجائے اس کے کہ، یا کی قیمت کے مطابق، جو، اس مفروضے کے تحت، ٹیبلٹ کے ٹوٹے ہوئے حصے میں بائیں طرف کالموں پر درج ہو سکتی ہیں۔ رابسن کا یہ بھی استدلال ہے کہ یہ تجویز اس بات کی وضاحت نہیں کرتی ہے کہ میز میں غلطیاں ممکنہ طور پر کیسے پیدا ہو سکتی ہیں اور یہ اس وقت کے ریاضیاتی کلچر کے مطابق نہیں ہے۔ باہمی جوڑے باہمی جوڑی کی تجویز میں، نقطہ آغاز ایک واحد باقاعدہ سیکساجسیمل فریکشن x ہے جس کے ساتھ اس کا باہمی، 1/x ہے۔ "ریگولر سیکساجسیمل فریکشن" کا مطلب ہے کہ x 2، 3، اور 5 کی (ممکنہ طور پر منفی) طاقتوں کا پروڈکٹ ہے۔ مقدار (x−1/x)/2، 1، اور (x + 1/x)/2 پھر تشکیل پاتے ہیں جسے اب عقلی پائیتھاگورین ٹرپل کہا جائے گا۔ مزید برآں، تینوں اطراف میں محدود جنسی نمائندگی ہے۔ اس تجویز کے وکلاء اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ باقاعدہ باہمی جوڑے (x، 1/x) تقریبا اسی وقت اور جگہ سے مختلف مسئلے میں ظاہر ہوتے ہیں جیسا کہ پلمپٹن 322، یعنی رقبہ 1 کے ایک مستطیل کے اطراف کو تلاش کرنے کا مسئلہ جس کا لمبا پہلو اس کے مختصر پہلو سے ایک دی گئی لمبائی c سے تجاوز کرتا ہے (جسے آج کل کواڈریٹک مساوات کے حل کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے)۔ ٹیبلٹ، YBC 6967 کا تجزیہ کرتا ہے، جس میں اس طرح کے مسئلے کو درمیانی اقدار v1 = c/2، v2 = v12، v3 = 1 + v2، اور v4 = v 31/2 کی ترتیب کا حساب لگا کر حل کیا جاتا ہے، جس سے کوئی x = v4 + v1 اور 1/x = v4 − v1 کا حساب لگا سکتا ہے۔ اگرچہ v3 کے مربع جڑ کا حساب لگانے کی ضرورت ہوگی، عام طور پر ان جوابات کے نتیجے میں جن میں محدود جنسی نمائندگی نہیں ہوتی ہے، YBC 6967 پر مسئلہ ترتیب دیا گیا تھا-جس کا مطلب ہے کہ c کی قیمت مناسب طور پر منتخب کی گئی تھی-تاکہ ایک اچھا جواب دیا جا سکے۔ در حقیقت، اس سے اوپر کی وضاحت کی اصل یہ ہے کہ x ایک باقاعدہ سیکساجسیمل فریکشن ہے: اس طرح x کا انتخاب اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ x اور 1/x دونوں میں محدود سیکساجسیمل نمائشیں ہوں۔ ایک اچھے جواب کے ساتھ کسی مسئلے کو انجینئر کرنے کے لیے، مسئلہ ترتیب دینے والے کو صرف اس طرح کے x کا انتخاب کرنے کی ضرورت ہوگی اور ابتدائی ڈیٹم c کو x−1/x کے برابر ہونے دیں۔ ضمنی اثر کے طور پر، یہ ایک عقلی پائیتھاگورین ٹرپل پیدا کرتا ہے، جس کی ٹانگیں v1 اور 1 اور ہائپوٹینوس v4 ہوتی ہیں۔ اس بات کی نشاندہی کی جانی چاہیے کہ YBC 6967 پر مسئلہ دراصل مساوات کو حل کرتا ہے، جس میں اوپر v3 کے اظہار کو v3 = 60 + v2 سے تبدیل کرنا شامل ہے۔ عقلی ٹرپل حاصل کرنے کا ضمنی اثر اس طرح ختم ہو جاتا ہے کیونکہ اطراف v1،، اور v4 بن جاتے ہیں۔ اس تجویز میں یہ فرض کرنا ضروری ہے کہ بابل کے لوگ مسئلے کی دونوں شکلوں سے واقف تھے۔ رابسن کا استدلال ہے کہ پلمپٹن 322 کے کالموں کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے: پہلے کالم میں v3 = ((x + 1/x)/2) 2 = 1 + (c/2) 2، دوسرے کالم میں مناسب ضرب a کے لیے a·v1 = a· (x−1/x)/2، اور تیسرے کالم میں a·v4 = a· (x + 1/x)/2۔ اس تشریح میں، x اور 1/x (یا ممکنہ طور پر v1 اور v4) ٹیبلٹ پر پہلے کالم کے بائیں طرف ٹوٹے ہوئے حصے میں نمودار ہوئے ہوں گے۔ لہذا کالم 1 کی موجودگی کو حساب میں ایک درمیانی مرحلے کے طور پر بیان کیا گیا ہے، اور قطاروں کی ترتیب x (یا v1) کی نزولی اقدار سے ہوتی ہے۔ کالم 2 اور 3 میں اقدار کا حساب لگانے کے لیے استعمال ہونے والا ضرب a، جسے سائیڈ لینتھ کی ری اسکیلنگ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، "ٹریلنگ پارٹ الگورتھم" کے اطلاق سے پیدا ہوتا ہے، جس میں دونوں اقدار کو بار بار دونوں کے آخری سیکسیجیمل ہندسوں میں مشترک کسی بھی باقاعدہ عنصر کے باہمی سے ضرب دی جاتی ہے، جب تک کہ ایسا کوئی مشترکہ عنصر باقی نہ رہے۔ جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے، ٹیبلٹ میں موجود تمام غلطیوں کی باہمی جوڑی کی تجویز میں فطری وضاحتیں ہیں۔ دوسری طرف، رابسن بتاتے ہیں کہ کالم 2 اور 3 کا کردار اور ضرب کی ضرورت اس تجویز سے واضح نہیں ہے، اور تجویز کرتا ہے کہ ٹیبلٹ کے مصنف کا مقصد YBC 6967 پر حل کردہ قسم کے کواڈریٹک مسائل کے لیے نہیں، بلکہ "کسی قسم کے دائیں مثلث کے مسائل کے لیے" پیرامیٹرز فراہم کرنا تھا۔ وہ یہ بھی نوٹ کرتی ہیں کہ میز تیار کرنے کے لیے استعمال ہونے والا طریقہ اور جس استعمال کے لیے اس کا ارادہ کیا گیا تھا وہ ایک جیسا ہونا ضروری نہیں ہے۔ اس خیال کے لیے مضبوط اضافی حمایت کہ ٹیبلٹ پر نمبرز باہمی جوڑوں کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیے گئے تھے، دو ٹیبلٹس، ایم ایس 3052 اور ایم ایس 3971، شوین کلیکشن سے آتے ہیں۔ جاران فریبرگ نے دونوں گولیوں کا ترجمہ اور تجزیہ کیا اور دریافت کیا کہ دونوں میں ابتدائی نقطہ کے طور پر باہمی جوڑوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک مستطیل کے اخترن اور اطراف کی لمبائی کے حساب کی مثالیں موجود ہیں۔ یہ دونوں تختیاں قدیم بابل کی ہیں، جن کی عمر تقریبا پلمپٹن 322 کے برابر ہے، اور خیال کیا جاتا ہے کہ دونوں لارسا کے قریب اروک سے آئی ہیں۔ دونوں گولیوں کا مزید تجزیہ کیا گیا۔ ایم ایس 3971 پانچ مسائل کی فہرست پر مشتمل ہے، جن میں سے تیسرا "آپ کو پانچ ترازو دیکھنے کے لیے" سے شروع ہوتا ہے اور "پانچ ترازو" کے ساتھ اختتام پذیر ہوتا ہے۔ مسئلہ کے پانچ حصوں میں سے ہر ایک کے لیے دیا گیا ڈیٹا ایک باہمی جوڑے پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہر حصے کے لیے ایک مستطیل کے اخترن اور چوڑائی (مختصر رخ) دونوں کی لمبائی کا حساب لگایا جاتا ہے۔ لمبائی (لمبی طرف) بیان نہیں کی گئی ہے لیکن حساب سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اسے 1 لیا گیا ہے۔ جدید اصطلاحات میں، حساب مندرجہ ذیل طور پر آگے بڑھتا ہے: x اور 1/x دیا گیا ہے، پہلے حساب (x + 1/x)/2، اخترن۔ پھر چوڑائی کا حساب لگائیں۔ پانچ حصوں میں سے پہلے پر مشتمل ٹیبلٹ کے حصے کو نقصان پہنچنے کی وجہ سے، ابتدائی ڈیٹا کے نشانات اور حل کے علاوہ، اس حصے کے مسئلے کا بیان کھو گیا ہے۔ دیگر چار حصے، زیادہ تر حصے کے لیے برقرار ہیں، اور سب میں بہت ملتے جلتے متن ہیں۔ اخترن کو باہمی جوڑے کے مجموعے کا نصف لینے کی وجہ برقرار متن میں نہیں بتائی گئی ہے۔ چوڑائی کا حساب (x−1/x)/2 کے مساوی ہے، لیکن یہ کہ حساب کا یہ زیادہ براہ راست طریقہ استعمال نہیں کیا گیا ہے، اخترن کے مربع کو اطراف کے مربعوں کے مجموعے سے متعلق اصول کو ترجیح دی گئی ہے۔ ایم ایس 3052 کے دوسرے مسئلے کے متن کو بھی بری طرح نقصان پہنچا ہے، لیکن جو باقی ہے وہ ایم ایس 3971، مسئلہ 3 کے پانچ حصوں کی طرح تشکیل شدہ ہے۔ مسئلہ ایک اعداد و شمار پر مشتمل ہے، جو، فریبرگ کے مطابق، ممکنہ طور پر "بغیر کسی اخترن کے مستطیل" ہے۔ اس بات پر زور دیتے ہیں کہ متن کے محفوظ حصے واضح طور پر لمبائی 1 بتاتے ہیں اور واضح طور پر 1 کا حساب لگاتے ہیں جو لمبائی کے مربع کے طور پر چوڑائی کا حساب لگانے کے عمل میں اخترن کے مربع سے گھٹا دیا جاتا ہے۔ دونوں گولیوں پر چھ مسائل کے لیے ابتدائی اعداد و شمار اور حساب شدہ چوڑائی اور اخترن نیچے دیے گئے جدول میں دیے گئے ہیں۔ ٹیبلٹ کو پہنچنے والے نقصان کی وجہ سے MS 3971 §3a کے پیرامیٹرز غیر یقینی ہیں۔ ایم ایس 3052 سے مسئلے کے پیرامیٹرز معیاری (3,4,5) دائیں مثلث کی بازیافت سے مطابقت رکھتے ہیں، جو پلمپٹن 322 کی صف 11 کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ ایم ایس 3971 کے مسائل میں سے کوئی بھی پیرامیٹر پلمپٹن 322 کی کسی بھی قطار سے میل نہیں کھاتا ہے۔ جیسا کہ ذیل میں بحث کی گئی ہے، پلمپٹن 322 کی تمام قطاروں میں x ≤ 9/5 ہے، جبکہ ایم ایس 3971 پر موجود تمام مسائل میں x <9/5 ہے۔ ایم ایس 3971 کے پیرامیٹرز، تاہم، تمام ڈی سولا پرائس کی پلمپٹن 322 کی میز کی مجوزہ توسیع کی قطاروں سے مطابقت رکھتے ہیں، جن پر ذیل میں بھی تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ اس بات پر زور دیا جانا چاہیے کہ وائی بی سی 6967 پر دشواری میں باہمی جوڑی کا کردار ایم ایس 3052 اور ایم ایس 3971 (اور توسیع کے ذریعے، پلمپٹن 322 پر) سے مختلف ہے۔ YBC 6967 کے مسئلے میں، باہمی جوڑے کے اراکین رقبہ 1 کے مستطیل کے اطراف کی لمبائی ہیں۔ ایکس اور 1/ایکس کے ہندسی معنی ایم ایس 3052 اور ایم ایس 3971 پر موجود مسائل کے بقایا متن میں بیان نہیں کیے گئے ہیں۔ ایسا لگتا ہے کہ مقصد محدود جنسی طول و عرض کی چوڑائی اور اخترن کے ساتھ آئتاکار پیدا کرنے کے لیے ایک معروف طریقہ کار کا اطلاق کرنا تھا۔ اس بات کی بھی نشاندہی کی جانی چاہیے کہ ٹریلنگ پوائنٹ الگورتھم کو ان مسائل میں سائیڈ لینتھ کو ری سیل کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا گیا تھا۔ تجاویز کا موازنہ باہمی جوڑی کی تجویز میں مقدار x جنریٹنگ جوڑی کی تجویز میں p/q کے تناسب سے مطابقت رکھتی ہے۔ درحقیقت، جب کہ دونوں تجاویز حساب کے طریقہ کار میں مختلف ہیں، نتائج کے درمیان ریاضیاتی فرق بہت کم ہے کیونکہ دونوں ایک ہی تین گنا پیدا کرتے ہیں، اس صورت میں 2 کے مجموعی عنصر کے علاوہ جہاں p اور q دونوں عجیب ہیں۔ (بدقسمتی سے، ٹیبلٹ میں یہ واحد جگہ ہے جہاں یہ ہوتا ہے وہ صف 15 میں ہے، جس میں ایک غلطی ہوتی ہے اور اس لیے اسے تجاویز کے درمیان فرق کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔) باہمی جوڑی کی تجویز کے حامی اس بات پر مختلف ہیں کہ آیا x کا حساب ایک بنیادی p اور q سے کیا گیا تھا، لیکن ٹیبلٹ کے حساب میں استعمال ہونے والے صرف p/q اور q/p کے امتزاج کے ساتھ یا آیا x براہ راست دوسرے ذرائع سے حاصل کیا گیا تھا، جیسے کہ باہمی ٹیبل۔ مؤخر الذکر مفروضے کے ساتھ ایک دشواری یہ ہے کہ x یا 1/x کی کچھ مطلوبہ اقدار چار جگہ والے سیکساجسیمل نمبر ہیں، اور کوئی چار جگہ والی باہمی میزیں معلوم نہیں ہیں۔ نیوگی باؤر اور سیکس نے درحقیقت اپنے اصل کام میں باہمی جوڑوں کے استعمال کے امکان کو نوٹ کیا تھا، اور اسی وجہ سے اسے مسترد کر دیا تھا۔ تاہم، رابسن کا استدلال ہے کہ قدیم بابل کے دور کے معروف ذرائع اور کمپیوٹیشنل طریقے استعمال شدہ x کی تمام اقدار کا محاسبہ کر سکتے ہیں۔ جوڑوں کا انتخاب نیوجباؤر اور سیکس نوٹ کرتے ہیں کہ ٹیبلٹ میں مثلث کے طول و عرض تقریبا آئسوسلز دائیں مثلث (مختصر ٹانگ کے ساتھ، 119، تقریبا لمبی ٹانگ کے برابر، 120) سے لے کر 30° اور 60° کے قریب شدید زاویہ والے دائیں مثلث تک ہوتے ہیں، اور یہ کہ زاویہ تقریبا 1° کے مراحل میں کافی یکساں انداز میں کم ہوتا ہے۔ وہ تجویز کرتے ہیں کہ p، q جوڑوں کو جان بوجھ کر اس مقصد کو ذہن میں رکھتے ہوئے منتخب کیا گیا تھا۔ جنریٹنگ-پیئر فریم ورک کے اندر کام کرتے ہوئے، یہ مشاہدہ کیا گیا کہ ٹیبل کی ہر قطار ایک q سے تیار ہوتی ہے جو 1 ≤ q <60 کو مطمئن کرتی ہے، یعنی یہ کہ q ہمیشہ ایک ہندسوں کا جنسی عدد ہوتا ہے۔ تناسب p/q میز کی صف 1 میں اپنی سب سے بڑی قیمت، 12/5 = 2.4 لیتا ہے، اور اس لیے ہمیشہ اس سے کم ہوتا ہے، ایک ایسی شرط جو اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ p2 − q2 لمبی ٹانگ ہے اور 2pq مثلث کی مختصر ٹانگ ہے اور جس سے، جدید اصطلاحات میں، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ لمبائی p2 − q2 کی ٹانگ کے مخالف زاویہ 45° سے کم ہے۔ تناسب صف 15 میں سب سے کم ہے جہاں تقریبا 31.9 ڈگری کے زاویے کے لیے p/q = 9/5 ہے۔ مزید برآں، 9/5 اور 12/5 کے درمیان بالکل 15 باقاعدہ تناسب ہیں جن میں q ایک واحد ہندسوں کا جنسی عدد ہے، اور یہ ٹیبلٹ کی قطاروں کے ساتھ ایک سے دوسرے کے خط و کتابت میں ہیں۔ انہوں نے یہ بھی نشاندہی کی کہ اعداد کا یکساں فاصلہ شاید ڈیزائن کے مطابق نہیں رہا ہوگا: یہ محض جدول میں زیر غور اعداد کی حد میں باقاعدہ تعداد کے تناسب کی کثافت سے بھی پیدا ہو سکتا ہے۔ ڈی سولا پرائس کی طرف سے یہ دلیل دی گئی تھی کہ تناسب کے لیے قدرتی نچلی حد 1 ہوگی، جو 0° کے زاویے سے مطابقت رکھتی ہے۔ انہوں نے پایا کہ اس ضرورت کو برقرار رکھتے ہوئے کہ q ایک ہندسوں کا سیکسیجیسیمل نمبر ہے، ٹیبلٹ کی طرف سے نمائندگی کرنے والوں کے علاوہ 23 جوڑے ہیں، کل 38 جوڑوں کے لیے۔ وہ نوٹ کرتا ہے کہ ٹیبلٹ پر کالموں کے درمیان عمودی اسکورنگ کو پیچھے کی طرف جاری رکھا گیا ہے، جس سے پتہ چلتا ہے کہ لکھاری کا میز کو بڑھانے کا ارادہ ہو سکتا ہے۔ ان کا دعوی ہے کہ دستیاب جگہ 23 اضافی قطاروں کو صحیح طریقے سے ایڈجسٹ کرے گی۔ باہمی جوڑی کی تجویز کے حامیوں نے بھی اس اسکیم کی وکالت کی ہے۔ اس تجویز کو براہ راست خطاب نہیں کرتا ہے، لیکن اس بات سے اتفاق کرتا ہے کہ میز "مکمل" نہیں تھی۔ وہ نوٹ کرتی ہیں کہ باہمی جوڑی کی تجویز میں، ٹیبلٹ میں ظاہر ہونے والا ہر x زیادہ سے زیادہ چار جگہ کا جنسی عدد ہوتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ چار جگہ کا باہمی ہوتا ہے، اور یہ کہ x اور 1/x میں جگہوں کی کل تعداد کبھی بھی 7 سے زیادہ نہیں ہوتی ہے۔ اگر ان خصوصیات کو ضروریات کے طور پر لیا جاتا ہے، تو ٹیبلٹ سے x "لاپتہ" کی بالکل تین اقدار ہیں، جن کے بارے میں ان کا کہنا ہے کہ انہیں خارج کر دیا گیا ہوگا کیونکہ وہ مختلف طریقوں سے غیر اپیل ہیں۔ وہ اس اسکیم کی "حیران کن طور پر ایڈہاک" نوعیت کو تسلیم کرتی ہے، جو بنیادی طور پر ٹیبلٹ کے مصنف کے انتخاب کے معیار کو تقسیم کرنے کی تمام کوششوں پر تنقید کرنے کے لیے ایک بیان بازی کے آلے کے طور پر کام کرتی ہے۔ مقصد اور تصنیف نے نمبر تھیوریٹک تشریح کے لیے استدلال کیا، لیکن یہ بھی مانا کہ ٹیبل میں اندراجات ایک جان بوجھ کر انتخاب کے عمل کا نتیجہ ہیں جس کا مقصد کچھ مخصوص حدود کے اندر کالم 1 میں اقدار میں کافی باقاعدگی سے کمی حاصل کرنا ہے۔ اور دونوں ایک مثلثی وضاحت کے وجود کا ذکر کرتے ہیں، جسے رابسن مختلف عمومی تاریخوں اور غیر شائع شدہ کاموں کے مصنفین سے منسوب کرتے ہیں، لیکن جو اس مشاہدے سے اخذ کیا جا سکتا ہے کہ پہلے کالم کی اقدار کو ہر صف کے ذریعہ بیان کردہ دائیں مثلث کے مختصر رخ کے مخالف زاویہ کے مربع سیکنڈ یا ٹینجینٹ (گمشدہ ہندسے پر منحصر ہے) کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور قطاروں کو ان زاویوں کے ذریعہ تقریبا ایک ڈگری اضافے میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر آپ پہلے کالم میں نمبر لیتے ہیں، (1) کو چھوٹ دیتے ہیں، اور اس کا مربع جڑ حاصل کرتے ہیں، اور پھر اسے کالم دو میں نمبر میں تقسیم کرتے ہیں، تو نتیجہ مثلث کے لمبے حصے کی لمبائی ہوگی۔ نتیجتا، پہلے کالم میں نمبر کا مربع جڑ (مائنس ایک) وہی ہے جسے ہم آج مختصر رخ کے مخالف زاویے کا ٹینجینٹ کہیں گے۔ اگر (1) کو شامل کیا جائے تو اس نمبر کا مربع جڑ سیکنڈ ہے۔ ٹیبلٹ کی ان ابتدائی وضاحتوں سے متصادم، یہ دعوی کرتا ہے کہ تاریخی، ثقافتی اور لسانی شواہد سے پتہ چلتا ہے کہ ٹیبلٹ کو "باقاعدہ باہمی جوڑوں کی فہرست" سے بنایا گیا ہے۔ رابسن لسانی بنیادوں پر استدلال کرتے ہیں کہ مثلثی نظریہ "تصوراتی طور پر غیر تاریخی" ہے: یہ بہت سے دوسرے نظریات پر منحصر ہے جو اس وقت سے بابل کی ریاضی کے ریکارڈ میں موجود نہیں ہیں۔ 2003 میں، ایم اے اے نے رابسن کو ان کے کام کے لیے لیسٹر آر فورڈ ایوارڈ سے نوازا، یہ کہتے ہوئے کہ "اس بات کا امکان نہیں ہے کہ پلمپٹن 322 کا مصنف یا تو پیشہ ور یا شوقیہ ریاضی دان تھا۔ زیادہ امکان ہے کہ وہ ایک استاد رہا ہو اور پلمپٹن 322 مشقوں کا ایک مجموعہ تھا۔ " رابسن ایک ایسا نقطہ نظر اختیار کرتی ہے جسے جدید اصطلاحات میں الجبرائی کے طور پر نمایاں کیا جائے گا، حالانکہ وہ اسے ٹھوس ہندسی اصطلاحات میں بیان کرتی ہے اور دلیل دیتی ہے کہ بابلیوں نے بھی اس نقطہ نظر کی تشریح ہندسی طور پر کی ہوگی۔ اس طرح، گولی کی تشریح ورزش کی مشقوں کا ایک سلسلہ دینے کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ یہ اس وقت کے تحریری اسکولوں کے مخصوص ریاضیاتی طریقوں کا استعمال کرتا ہے، اور یہ اس دور میں منتظمین کے ذریعہ استعمال ہونے والی دستاویز کی شکل میں لکھا جاتا ہے۔ لہذا، رابسن کا استدلال ہے کہ مصنف شاید ایک لکھاری، لارسا میں ایک بیوروکریٹ تھا۔ ٹیبلٹ کا تکراری ریاضیاتی سیٹ اپ، اور اسی طرح کے ٹیبلٹس جیسے کہ بی ایم 80209، ایک استاد کو ایک دوسرے کی طرح لیکن مختلف ڈیٹا کے ساتھ مسائل کو ترتیب دینے کی اجازت دینے میں مفید ثابت ہوتا۔ آئی ایم 67118 ماسکو ریاضیاتی پیپرس رائنڈ ریاضیاتی پیپرس وائی بی سی 7289 نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط کونیفارم ڈیجیٹل لائبریری انیشی ایٹو (سی ڈی ایل آئی) کیٹلاگ میں اندراجات، بشمول اعلی معیار کی ڈیجیٹل تصاویر: پلمپٹن 322، سی ڈی ایل آئی ویکی مضمون وائی بی سی 6967 ایم ایس 3052 ایم ایس 3971 مزید پڑھنا۔ ۔ ۔ نمائشیں "پایتھاگورس سے پہلے: قدیم بابل کے ریاضی کی ثقافت"، انسٹی ٹیوٹ فار دی اسٹڈی آف دی اینسینٹ ورلڈ، نیویارک یونیورسٹی، 12 نومبر-17 دسمبر 2010۔ پلمپٹن 322 کی تصویر اور تفصیل شامل ہے)۔ ۔ پلمپٹن 322 پر تنازعہ کا ذکر کرتے ہوئے "بیفور پائیتھاگورس" نمائش کا جائزہ۔ "جیولز ان ہیر کراؤن: ٹریژرز فرام دی اسپیشل کلیکشنز آف کولمبیاز لائبریریز"، نایاب کتاب اور مخطوطات لائبریری، کولمبیا یونیورسٹی، 8 اکتوبر 2004-28 جنوری 2005۔ آئٹم 158 کی تصویر اور تفصیل: پلمپٹن کونیفارم 322۔ بابل کے ریاضی کے مخطوطات مٹی کی تختیاں 18 ویں صدی قبل مسیح کے کام 1922 عراق میں 1922 آثار قدیمہ کی دریافتیں کولمبیا یونیورسٹی لائبریریاں دھی قر گورنریٹ