Klein paradox
1929 میں، طبیعیات دان آسکر کلین نے ممکنہ رکاوٹ سے الیکٹران کے بکھرنے کے واقف مسئلے پر ڈیراک مساوات کا اطلاق کرکے ایک حیرت انگیز نتیجہ حاصل کیا۔ غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس میں، ایک رکاوٹ میں الیکٹران ٹنلنگ کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، جس میں ایکسپونینشل ڈیمپنگ ہوتی ہے۔ تاہم، کلین کے نتیجے سے پتہ چلتا ہے کہ اگر پوٹینشل کم از کم الیکٹران ماس کی ترتیب کا ہے، تو رکاوٹ تقریبا شفاف ہے۔ مزید برآں، جیسے جیسے پوٹینشل انفینٹی کے قریب پہنچتا ہے، عکاسی کم ہوتی جاتی ہے اور الیکٹران ہمیشہ منتقل ہوتا ہے۔ پیراڈوکس کا فوری اطلاق نیوٹرون کی دریافت سے پہلے نیوکلئس کے اندر غیر جانبدار ذرات کے لیے ردرفورڈ کے پروٹون الیکٹران ماڈل پر تھا۔ پیراڈوکس نے نیوکلئس کے اندر محدود الیکٹران کے تصور پر کوانٹم مکینیکل اعتراض پیش کیا۔ اس واضح اور درست تضاد سے پتہ چلتا ہے کہ کسی الیکٹران کو کسی ممکنہ کنویں کے ذریعے نیوکلئس کے اندر محدود نہیں رکھا جا سکتا۔ اس تضاد کے معنی پر اس وقت شدید بحث ہوئی۔ کمیت کے بغیر ذرات توانائی اور رفتار کے ساتھ اونچائی کے ممکنہ مرحلے تک پہنچنے والے کمیت کے بغیر رشتہ دار ذرہ پر غور کریں۔ ذرہ کی لہر فنکشن، وقت سے آزاد ڈیراک مساوات کی پیروی کرتی ہے: اور یہ پالی میٹرکس ہے: یہ فرض کرتے ہوئے کہ ذرہ بائیں طرف سے پھیل رہا ہے، ہم دو حل حاصل کرتے ہیں-ایک قدم سے پہلے، خطے (1) میں اور ایک صلاحیت کے تحت، خطے (2) میں: جہاں گتانک، اور پیچیدہ اعداد ہیں۔ آنے والے اور منتقل شدہ دونوں لہر افعال مثبت گروپ کی رفتار (Fig.1 میں نیلی لکیریں) سے وابستہ ہیں، جبکہ عکاسی شدہ لہر فنکشن منفی گروپ کی رفتار سے وابستہ ہے۔ (سبز لکیریں Fig.1 میں) اب ہم ترسیل اور عکاسی کے گتانک کا حساب لگانا چاہتے ہیں، وہ امکانی طول و عرض کے دھاروں سے اخذ کیے گئے ہیں۔ ڈیراک مساوات سے وابستہ امکانی کرنٹ کی تعریف یہ ہے: اس صورت میں: ترسیل اور عکاسی کے گتانک یہ ہیں: پر لہر فنکشن کا تسلسل، پیداوار: اور اس طرح ترسیل کا گتانک 1 ہے اور کوئی عکاسی نہیں ہے۔ پیراڈوکس کی ایک تشریح یہ ہے کہ ایک ممکنہ قدم ماس لیس ریلیٹیوسٹک پارٹیکل کی گروپ ویلیوٹی کی سمت کو الٹا نہیں کر سکتا۔ یہ وضاحت اوپر بیان کردہ واحد ذرہ حل کے لیے بہترین موزوں ہے۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری کے تناظر میں ادب میں دیگر، زیادہ پیچیدہ تشریحات تجویز کی گئی ہیں، جہاں غیر محدود ٹنلنگ کو ممکنہ طور پر ذرہ-اینٹی پارٹیکل جوڑوں کے وجود کی وجہ سے دکھایا گیا ہے۔ بڑے پیمانے پر کیس بڑے پیمانے پر کیس کے لیے، حسابات مذکورہ بالا سے ملتے جلتے ہیں۔ نتائج اتنے ہی حیران کن ہیں جتنا کہ ماس لیس کیس میں۔ ترسیل کا گتانک ہمیشہ صفر سے بڑا ہوتا ہے، اور جیسے جیسے ممکنہ مرحلہ انفینیٹی کی طرف جاتا ہے 1 تک پہنچ جاتا ہے۔ کلین زون اگر ذرہ کی توانائی حد میں ہے، تو نتیجہ کل عکاسی کے بجائے جزوی عکاسی ہوگا۔ اگرچہ روایتی ریزولوشن کوانٹم فیلڈ تھیوری (ہینسن 1981) کے تناظر میں ذرہ مخالف ذرات کے جوڑے کی پیداوار کا استعمال کرتا ہے، لیکن ایک آسان ریزولوشن موجود ہے جو رکاوٹ کے تحت منفی توانائی کے حل کے بکھرنے کے لیے جسمانی جوڑے کی پیداوار کو تبدیل کرتا ہے (الہائداری 2009)۔ اس حکمت عملی کا اطلاق ایک لامحدود مربع کنویں کے لیے ڈیراک مساوات کے تجزیاتی حل حاصل کرنے کے لیے بھی کیا گیا تھا۔ دیگر صورتوں میں ان نتائج کو اعلی جہتوں، اور دیگر اقسام کی صلاحیتوں، جیسے لکیری قدم، مربع رکاوٹ، ہموار صلاحیت وغیرہ تک بڑھایا گیا۔ گرافین میں الیکٹران کی نقل و حمل میں بہت سے تجربات ماس لیس ذرات کے لیے کلین پیراڈوکس پر انحصار کرتے ہیں۔ مزید پڑھنے کے لیے پیراڈوکس حوالہ جات کی فہرست دیکھیں۔ جسمانی پیراڈوکس