Krein–Milman theorem
فنکشنل تجزیہ کے ریاضیاتی نظریہ میں، کریین-ملمین تھیوریم مقامی طور پر کنویکس ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس (ٹی وی ایس) میں کمپیکٹ کنویکس سیٹوں کے بارے میں ایک تجویز ہے۔ یہ نظریہ لامحدود جہتی خالی جگہوں کو عام کرتا ہے اور صوابدیدی کمپیکٹ کنویکس مندرجہ ذیل بنیادی مشاہدے کو ترتیب دیتا ہے: ایک کنویکس (یعنی۔ "بھرا ہوا") مثلث، بشمول اس کا دائرہ اور "اس کے اندر کا رقبہ"، اس کے تین عمودی حصوں کے کنویکس ہل کے برابر ہے، جہاں یہ عمودی حصے بالکل اس شکل کے انتہائی نکات ہیں۔ یہ مشاہدہ طیارہ بیان میں کسی بھی دوسرے کنویکس کثیر الاضحی کے لیے بھی ہے اور تعریفیں ابتدائی اور تعریفیں ایک حقیقی یا پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہوں گی۔ کسی بھی عنصر کے لیے اور ویکٹر اسپیس میں، سیٹ کو اور کے درمیان یا بند وقفہ کہا جاتا ہے یا اور کے درمیان کھلا وقفہ کہا جاتا ہے جب یہ مطمئن ہوتا ہے اور پوائنٹس اور ان وقفوں کے اختتامی نکات کہلاتے ہیں۔ وقفہ کو مناسب یا مناسب کہا جاتا ہے اگر اس کے اختتامی نکات الگ ہوں۔ وقفے اور ہمیشہ اپنے اختتامی نکات پر مشتمل ہوتے ہیں جبکہ اور کبھی بھی ان میں سے کسی بھی اختتامی نکات پر مشتمل نہیں ہوتے ہیں۔ اگر اور حقیقی لکیر میں پوائنٹس ہیں تو اوپر کی تعریف ایک بند وقفہ کے طور پر اس کی معمول کی تعریف کی طرح ہے۔ کسی بھی نقطہ کے لیے کہا جاتا ہے (سختی سے) اور اگر اس کا تعلق کھلی لکیر والے حصے سے ہے اگر یہ ایک ذیلی سیٹ ہے اور پھر اسے ایک انتہائی نقطہ کہا جاتا ہے اگر یہ اس کے کسی بھی دو نکات کے درمیان نہیں ہے۔ یعنی، اگر موجود ہے اور ایسا ہے اور اس مضمون میں، کے تمام انتہائی نکات کے سیٹ کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ مثال کے طور پر، سطح میں کسی بھی کنویکس کثیر الاضحی کے عمودی حصے اس کثیر الاضحی کے انتہائی نکات ہیں۔ بند یونٹ ڈسک کے انتہائی نکات یونٹ سرکل ہوتے ہیں۔ ہر کھلے وقفے اور انحطاطی بند وقفے میں کوئی انتہائی نکات نہیں ہوتے ہیں جبکہ غیر انحطاطی بند وقفے کے انتہائی نکات ہوتے ہیں اور ایک سیٹ کو کنویکس کہا جاتا ہے اگر کسی بھی دو نکات کے لیے لائن سیگمنٹ پر مشتمل ہو تو سب سے چھوٹے کنویکس سیٹ کو کنویکس ہل آف کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ ایک سیٹ کا بند کنویکس ہل سب سے چھوٹا بند اور کنویکس سیٹ ہوتا ہے جس سے ظاہر ہوتا ہے۔ یہ تمام بند کنویکس سبسیٹس کے چوراہے کے برابر بھی ہوتا ہے جس میں کنویکس ہل ہوتا ہے اور اس کی بندش ہوتی ہے۔ یعنی، جہاں دائیں ہاتھ کی طرف بند ہونے کی نشاندہی ہوتی ہے جبکہ بائیں ہاتھ کی طرف اشارہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، تین الگ الگ نکات کے کسی بھی سیٹ کا کنویکس ہل یا تو ایک بند لکیر کا حصہ بناتا ہے (اگر وہ کالینیئر ہیں) یا پھر ایک ٹھوس (یعنی "بھرا ہوا") مثلث، جس میں اس کا دائرہ بھی شامل ہے۔ اور سطح میں اکائی کا دائرہ کنویکس ہوتا ہے لیکن بند اکائی ڈسک کنویکس ہوتی ہے اور اس کے علاوہ، یہ ڈسک دائرے کے کنویکس ہل کے برابر ہوتی ہے۔ عام معیار کے ساتھ مربع-سمیبل ترتیبات کی علیحدہ ہلبرٹ اسپیس ایل پی اسپیس میں ایک کمپیکٹ سب سیٹ ہوتا ہے جس کا کنویکس ہل بند ہوتا ہے اور اس طرح کمپیکٹ بھی ہوتا ہے۔ تاہم، تمام مکمل ہاؤز ڈورف مقامی طور پر کنویکس خالی جگہوں کی طرح، اس کمپیکٹ سب سیٹ کا کنویکس ہل کمپیکٹ ہوگا۔ لیکن اگر ایک ہاؤز ڈورف مقامی طور پر کنویکس اسپیس مکمل نہیں ہے تو عام طور پر اس بات کی ضمانت دی جاتی ہے کہ جب بھی ہو وہ کمپیکٹ ہوگا۔ یہاں تک کہ ایک مثال (غیر مکمل) پری ہلبرٹ ویکٹر سب اسپیس میں بھی مل سکتی ہے۔ ہر کمپیکٹ سب سیٹ مکمل طور پر پابند ہے (جسے "پری کمپیکٹ" بھی کہا جاتا ہے) اور ہاؤز ڈورف مقامی طور پر کنویکس اسپیس کے مکمل طور پر پابند سب سیٹ کا بند کنویکس ہل مکمل طور پر پابند ہونے کی ضمانت دیتا ہے۔ بیان اس صورت میں جہاں کمپیکٹ سیٹ بھی کنویکس ہے، مندرجہ بالا تھیوریم میں اگلے تھیوریم کا پہلا حصہ ہوتا ہے، جسے اکثر کریین-ملمین تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ انتہائی نکات کا کنویکس ہل ایک کنویکس سب سیٹ بناتا ہے لہذا ثبوت کا بنیادی بوجھ یہ ظاہر کرنا ہے کہ کافی انتہائی نکات موجود ہیں تاکہ ان کا کنویکس ہل تمام کا احاطہ کرے۔ اس وجہ سے، مندرجہ بالا تھیوریم کے مندرجہ ذیل نتیجہ کو اکثر کریین-ملمین تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ اس نظریہ اور اس کے نتیجے کو دیکھنے کے لیے، اس مخصوص صورت پر غور کریں جہاں ایک کنویکس کثیر الاضحی ہے۔ اس صورت میں، کثیر الاضحی کے کونے (جو اس کے انتہائی نکات ہیں) وہ سب ہیں جو کثیر الاضحی کی شکل کو بحال کرنے کے لیے درکار ہیں۔ تھیوریم کا بیان غلط ہے اگر کثیر الاضحی کنویکس نہیں ہے، کیونکہ اس کے بعد کونوں کے طور پر پوائنٹس دیے ہوئے کثیر الاضحی کو کھینچنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ یہ ضرورت کہ کنویکس سیٹ کمپیکٹ ہو، تھیوریم کا درج ذیل مضبوط عمومی ورژن دینے کے لیے کمزور کیا جا سکتا ہے۔ اوپر کی پراپرٹی کو بعض اوقات یا کہا جاتا ہے۔ کمپیکٹنس کا مطلب کنویکس کمپیکٹنس ہے کیونکہ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محدود انٹرسیکشن پراپرٹی (ایف آئی پی) والے بند ذیلی سیٹوں کے ہر خاندان کا غیر خالی انٹرسیکشن ہو (یعنی اس کا دانا خالی نہیں ہے)۔ کنویکس کمپیکٹنس کی تعریف ایف آئی پی کے لحاظ سے کمپیکٹ خالی جگہوں کی اس خصوصیت سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ اس میں صرف وہ بند ذیلی سیٹ شامل ہوتے ہیں جو کنویکس بھی ہوتے ہیں (تمام بند ذیلی سیٹوں کے بجائے)۔ زیادہ عمومی ترتیبات ماحول کی جگہ کے لیے مقامی کنویکسٹی کا مفروضہ ضروری ہے، کیونکہ غیر مقامی کنویکس جگہ کے لیے ایک جوابی مثال بنائی گئی ہے جہاں لکیریٹی کی بھی ضرورت ہوتی ہے، کیونکہ بیان کیٹ (0) خالی جگہوں میں کمزور کمپیکٹ کنویکس سیٹوں کے لیے ناکام ہوتا ہے، جیسا کہ اس سے ثابت ہوتا ہے۔ تاہم، ثابت کیا کہ کریین-ملمین تھیوریم کمپیکٹ سی اے ٹی (0) خالی جگہوں کے لیے ہے۔ متعلقہ نتائج پچھلے مفروضوں کے تحت اگر ایک ذیلی سیٹ ہے اور بند کنویکس ہل سب کا ہے تو اس کا ہر انتہائی نقطہ بند ہونے سے تعلق رکھتا ہے۔ یہ نتیجہ کرین-ملمین تھیوریم کے (جزوی) نام سے جانا جاتا ہے۔ چوکیٹ-بشپ-ڈی لیو تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ ہر نقطہ امکانات کی پیمائش کا بیری سینٹر ہے جس کی حمایت انتخاب کے محور سے تعلق کے انتہائی نکات کے سیٹ پر کی جاتی ہے۔ زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری (ZF) محوری فریم ورک کے تحت، انتخاب کا محور (AC) اوپر دیئے گئے کریین-ملمین تھیوریم کے تمام ورژن کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے، بشمول بیان KM اور اس کی عمومی کاری SKM۔ انتخاب کا محور بھی بولین پرائم آئیڈیل تھیوریم (بی پی آئی) کا اشارہ کرتا ہے، لیکن اس کے مساوی نہیں ہے، جو بناچ-الاوگلو تھیوریم کے مساوی ہے۔ اس کے برعکس، کرین-ملمان تھیوریم کے ایم بولین پرائم آئیڈیل تھیوریم (بی پی آئی) کے ساتھ مل کر انتخاب کے محور کو ظاہر کرتا ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ اے سی صرف اس صورت میں برقرار رہتا ہے جب کے ایم اور بی پی آئی دونوں برقرار رہیں۔ اس کے بعد زیڈ ایف کے تحت، انتخاب کا محور مندرجہ ذیل بیان کے مساوی ہے: کسی بھی حقیقی معیاری جگہ کی مسلسل دوہری جگہ کی بند یونٹ بال کا ایک انتہائی نقطہ ہوتا ہے۔ مزید برآں، حقیقی ویکٹر خالی جگہوں (ایچ بی) کے لیے ہان-بناچ تھیوریم کے ساتھ ایس کے ایم بھی انتخاب کے محور کے مساوی ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ بی پی آئی کا مطلب ایچ بی ہے، لیکن یہ اس کے مساوی نہیں ہے (مختلف طریقے سے کہا جاتا ہے، بی پی آئی ایچ بی سے سختی سے مضبوط ہے)۔ تاریخ کے ذریعے ثابت کیا گیا اصل بیان یہاں بیان کردہ شکل سے کچھ کم عام تھا۔ اس سے پہلے، ثابت کیا کہ اگر 3 جہتی ہے تو اس کے انتہائی نکات کے سیٹ کے کنویکس ہل کے برابر ہے۔ اس دعوے کو کسی بھی محدود جہت کے معاملے تک بڑھایا گیا۔ کریین-ملمین تھیوریم اسے صوابدیدی مقامی طور پر کنویکس میں عام کرتا ہے ؛ تاہم، محدود سے لامحدود جہتی خالی جگہوں کو عام کرنے کے لیے، بندش کا استعمال کرنا ضروری ہے۔ سائٹیشنز ببلیوگرافی این۔ کے۔ نیکولسکیج (ایڈ۔) بھی دیکھیں۔ فنکشنل تجزیہ I. سپرنگر-ورلاگ، 1992۔ ایچ۔ ایل۔ روڈن، حقیقی تجزیہ۔ پرینٹس ہال، اینگل ووڈ کلفس، نیو جرسی، 1988۔ کنویکس ہلز اورینٹڈ میٹروئڈز تھیوریمز بشمول کنویکس جیومیٹری میں تھیوریمز مجرد جیومیٹری میں تھیوریمز فنکشنل تجزیہ میں تھیوریمز ٹوپوولوجیکل ویکٹر اسپیس