Torsion of a curve
تین جہتوں میں منحنی خطوط کی تفریقی جیومیٹری میں، منحنی خطوط کا ٹورسن اس بات کی پیمائش کرتا ہے کہ یہ کس قدر تیزی سے آسکولٹنگ پلین سے باہر گھوم رہا ہے۔ ایک ساتھ لیا جائے تو، خلائی منحنی خطوط کی منحنی خطوط اور ٹورسن ایک طیارہ منحنی خطوط کی منحنی خطوط کے مترادف ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ فرینیٹ-سیرٹ فارمولوں کے ذریعہ دیئے گئے فرینیٹ فریم کے لیے تفریقی مساوات کے نظام میں گتانک ہیں۔ تعریف آئیے ایک خلائی منحنی خطہ ہو جسے آرک کی لمبائی اور یونٹ ٹینجینٹ ویکٹر کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا گیا ہو۔ اگر کسی خاص نقطہ کی منحنیت صفر نہیں ہے تو اس مقام پر پرنسپل نارمل ویکٹر اور بائنورمل ویکٹر بالترتیب یونٹ ویکٹر ہیں، جہاں پرائم پیرامیٹر کے حوالے سے ویکٹر کے مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ ٹورسن دیئے گئے نقطہ پر بائنورمل ویکٹر کی گردش کی رفتار کی پیمائش کرتا ہے۔ یہ اس مساوات سے پایا جاتا ہے جس کا مطلب ہے کہ اس کے برابر ہے۔ تبصرہ: بائنورمل ویکٹر کا مشتق بائنورمل اور ٹینجینٹ دونوں کے لیے عمودی ہوتا ہے، اس لیے اسے پرنسپل نارمل ویکٹر کے متناسب ہونا پڑتا ہے۔ منفی علامت محض روایت کی بات ہے: یہ موضوع کی تاریخی ترقی کا ایک ضمنی نتیجہ ہے۔ ہندسی مطابقت: ٹورسن بائنورمل ویکٹر کی تبدیلی کی پیمائش کرتا ہے۔ ٹورسن جتنا بڑا ہوتا ہے، بائنورمل ویکٹر اتنی ہی تیزی سے ٹینجینٹ ویکٹر کے ذریعہ دیئے گئے محور کے گرد گھومتا ہے (گرافیکل عکاسی دیکھیں)۔ متحرک شکل میں بائنورمل ویکٹر کی گردش ٹورسن فنکشن کی چوٹیوں پر واضح طور پر نظر آتی ہے۔ خصوصیات غیر غائب ہونے والے منحنی خطوط کے ساتھ ایک طیارہ منحنی خطوط میں تمام نکات پر صفر ٹورسن ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، اگر غیر غائب ہونے والے منحنی خطوط کے ساتھ باقاعدہ منحنی خطوط کا ٹورسن یکساں طور پر صفر ہے، تو یہ منحنی خطوط ایک مقررہ سطح سے تعلق رکھتے ہیں۔ ہیلکس کا گھماؤ اور ٹورسن مستقل ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، کوئی بھی خلائی منحنی خطوط جس کا منحنی خطوط اور موڑ دونوں مستقل اور غیر صفر ہوتے ہیں، ہیلکس ہوتے ہیں۔ ٹورسن دائیں ہاتھ کی ہیلکس کے لیے مثبت ہے اور بائیں ہاتھ کی ہیلکس کے لیے منفی ہے۔ متبادل تفصیل آئیے خلائی منحنی خطوط کی پیرامیٹرک مساوات بنیں۔ فرض کریں کہ یہ ایک باقاعدہ پیرامیٹریزیشن ہے اور یہ کہ وکر کا منحنی پن ختم نہیں ہوتا ہے۔ تجزیاتی طور پر، اقدار کے ساتھ تین گنا تفریق پذیر فنکشن ہے اور ویکٹر لکیری طور پر آزاد ہیں۔ پھر ٹورسن کو مندرجہ ذیل فارمولے سے شمار کیا جا سکتا ہے: یہاں پرائمز مشتقات کو اس کے حوالے سے ظاہر کرتے ہیں اور کراس کراس پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ کیونکہ، اجزاء میں فارمولا نوٹ حوالہ جات تفریقی جیومیٹری منحنی منحنی خطوط (ریاضی) ru: جداگانہ جیومیٹری کریویخ #Кручение ہے۔