Primary ideal
ریاضی میں، خاص طور پر متغیر الجبرا میں، ایک متغیر رنگ A کا ایک مناسب آئیڈیل Q کو پرائمری کہا جاتا ہے اگر جب بھی xy Q کا عنصر ہو تو x یا yn بھی Q کا ایک عنصر ہے، کسی n> 0 کے لیے۔ مثال کے طور پر، انٹیجرز Z کی رنگ میں، (pn) ایک پرائمری آئیڈیل ہے اگر p ایک پرائم نمبر ہے۔ کموٹیٹو رنگ تھیوری میں پرائمری آئیڈیلز کا تصور اہم ہے کیونکہ نویتھیرین رنگ کے ہر آئیڈیل میں ایک پرائمری سڑنا ہوتا ہے، یعنی اسے محدود طور پر بہت سے پرائمری آئیڈیلز کے چوراہے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اس نتیجے کو لاسکر-نویتر تھیوریم کہا جاتا ہے۔ نتیجتا، نویتھیرین رنگ کا ایک ناقابل تلافی آئیڈیل بنیادی ہے۔ پرائمری آئیڈیلز کو نان کمیونیٹیٹو رنگز میں عام کرنے کے مختلف طریقے موجود ہیں، لیکن اس موضوع کا مطالعہ اکثر کمیونیٹیٹو رنگز کے لیے کیا جاتا ہے۔ لہذا، اس مضمون میں موجود انگوٹھیوں کو شناخت کے ساتھ مواصلاتی حلقے سمجھا جاتا ہے۔ مثالیں اور خصوصیات تعریف کو زیادہ ہم آہنگ انداز میں دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے: ایک آئیڈیل پرائمری ہے اگر، جب بھی، ہمارے پاس یا ہو۔ (یہاں کے بنیاد پرست کی نشاندہی کرتا ہے۔) R کا ایک مثالی Q بنیادی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R/Q میں ہر صفر تقسیم کنندہ نیل پوٹینٹ ہو۔ (اس کا موازنہ پرائم آئیڈیلز کے معاملے سے کریں، جہاں P پرائم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R/P میں ہر صفر تقسیم کنندہ دراصل صفر ہو۔) کوئی بھی پرائم آئیڈیل پرائمری ہوتا ہے، اور اس کے علاوہ ایک آئیڈیل پرائم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ پرائمری اور سیمی پرائم ہو (جسے کمیونیٹیٹو کیس میں ریڈیکل آئیڈیل بھی کہا جاتا ہے)۔ ہر پرائمری آئیڈیل پرائمل ہے۔ اگر ق ایک پرائمری آئیڈیل ہے، تو ق کا ریڈیکل لازمی طور پر ایک پرائم آئیڈیل P ہے، اور اس آئیڈیل کو ق کا متعلقہ پرائم آئیڈیل کہا جاتا ہے۔ اس صورت حال میں ق کو پی-پرائمری کہا جاتا ہے۔ دوسری طرف، ایک آئیڈیل جس کا ریڈیکل پرائم ہے ضروری نہیں کہ پرائمری ہو: مثال کے طور پر، اگر، اور، پھر پرائم ہے اور، لیکن ہمارے پاس ہے، اور تمام n> 0 کے لیے، تو پرائمری نہیں ہے۔ کی بنیادی سڑنا ہے ؛ یہاں ہے-پرائمری اور ہے-پرائمری۔ تاہم، ایک آئیڈیل جس کا ریڈیکل زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے، بنیادی ہوتا ہے۔ ریڈیکل کے ساتھ ہر آئیڈیل سب سے چھوٹے-پرائمری آئیڈیل میں موجود ہوتا ہے: تمام عناصر جیسے کچھ کے لیے۔ سب سے چھوٹا-بنیادی آئیڈیل جس پر مشتمل ہے اسے کی علامتی طاقت کہا جاتا ہے۔ اگر P ایک زیادہ سے زیادہ پرائم آئیڈیل ہے، تو P کی طاقت پر مشتمل کوئی بھی آئیڈیل P-پرائمری ہے۔ تمام P-پرائمری آئیڈیلز کو P کی پاورز ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن کم از کم ان میں P کی پاور ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر آئیڈیل (x, y2) رنگ k [x, y] میں آئیڈیل P = (x, y) کے لیے P-پرائمری ہے، لیکن P کی پاور نہیں ہے، تاہم اس میں P2 ہوتا ہے۔ اگر A ایک نویتھیرین رنگ ہے اور P ایک پرائم آئیڈیل ہے، تو اس کا دانا، A سے لے کر P پر A کی لوکلائزیشن تک کا نقشہ، تمام P-پرائمری آئیڈیلز کا انٹرسیکشن ہے۔ - پرائمری آئیڈیلز کا ایک محدود غیر خالی پروڈکٹ-پرائمری ہے لیکن-پرائمری آئیڈیلز کا ایک لامحدود پروڈکٹ-پرائمری نہیں ہو سکتا ہے۔ کیونکہ مثال کے طور پر، زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے ساتھ ایک نویتھیرین مقامی رنگ میں، (کرل انٹرسیکشن تھیوریم) جہاں ہر ایک-پرائمری ہے، مثال کے طور پر مقامی رنگ کے زیادہ سے زیادہ (اور اس وجہ سے پرائم اور اس وجہ سے پرائمری) آئیڈیل کا لامحدود پروڈکٹ صفر آئیڈیل پیدا کرتا ہے، جو اس معاملے میں پرائمری نہیں ہے (کیونکہ صفر تقسیم کنندہ نیلپوٹینٹ نہیں ہے)۔ درحقیقت، ایک نویتھیرین رنگ میں،-پرائمری آئیڈیلز کا ایک غیر خالی پروڈکٹ-پرائمری ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس طرح کا کوئی عدد موجود ہو۔ فوٹ نوٹ حوالہ جات ابتدائی آئیڈیلز پر، لاڈیسلاس فوکس بیرونی روابط ریاضی کے انسائیکلوپیڈیا میں بنیادی آئیڈیل مواصلاتی الجبرا آئیڈیلز (رنگ تھیوری)