Lagrangian Grassmannian
ریاضی میں، لگرینجین گراس مینین ایک حقیقی سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس V کی لگرینجین ذیلی جگہوں کا ہموار کئی گنا ہے۔ اس کا طول و عرض n (n + 1) ہے (جہاں V کا طول و عرض 2n ہے)۔ اس کی شناخت یکساں جگہ سے کی جا سکتی ہے، جہاں یکطرفہ گروپ اور آرتھوگنل گروپ ہے۔ ولادیمیر آرنلڈ کے بعد اسے λ (n) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ لگرینجین گراس مینین، وی کے عام گراس مینین کا ذیلی پیمانہ ہے۔ ایک پیچیدہ لگرینجین گراس مینین، طول و عرض 2n کے پیچیدہ سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس V کے لگرینجین ذیلی مقامات کا پیچیدہ یکساں کئی گنا ہے۔ اس کی شناخت پیچیدہ جہت n (n + 1) کی یکساں جگہ سے کی جا سکتی ہے، جہاں کمپیکٹ سمپلیکٹک گروپ ہے۔ ایک یکساں جگہ کے طور پر یہ دیکھنے کے لیے کہ لگرینجین گراس مینین λ (n) کی شناخت اس کے ساتھ کی جا سکتی ہے، نوٹ کریں کہ یہ ایک 2n جہتی حقیقی ویکٹر جگہ ہے، جس میں اس کے معمول کے اندرونی پروڈکٹ کا خیالی حصہ اسے سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس بناتا ہے۔ اس کے بعد لاگرانجین ذیلی جگہیں حقیقی طول و عرض n کی حقیقی ذیلی جگہیں ہیں جن پر اندرونی پروڈکٹ کا خیالی حصہ غائب ہو جاتا ہے۔ ایک مثال ہے۔ یکطرفہ گروپ ان ذیلی جگہوں کے سیٹ پر عارضی طور پر کام کرتا ہے، اور اس کا استحکام آرتھوگنل گروپ ہے۔ یہ یکساں خالی جگہوں کے نظریہ کی پیروی کرتا ہے کہ λ (n) کی یکساں جگہ کے طور پر آئسومورفک ہے۔ ٹوپولوجی لاگرانجین گراس مینین اور پیچیدہ لاگرانجین گراس مینین کی مستحکم ٹوپولوجی کو مکمل طور پر سمجھا جاتا ہے، کیونکہ یہ خالی جگہیں باٹ پیریڈکٹی تھیوریم میں ظاہر ہوتی ہیں:، اور-اس طرح وہ انڈیکسنگ (طول و عرض) میں تبدیلی تک، مستحکم آرتھوگنل گروپ کے بالکل ہوموٹوپی گروپ ہیں۔ خاص طور پر، کا بنیادی گروپ لامحدود چکور ہے۔ اس لیے اس کا پہلا ہومیولوجی گروپ بھی لامحدود چکور ہے، جیسا کہ اس کا پہلا کوہمولوجی گروپ ہے، جس میں ایک ممتاز جنریٹر ہے جو اکائی دائرے کی نقشہ سازی کے طور پر یکیاتی میٹرکس کے تعین کنندہ کے مربع کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ آرنلڈ نے دکھایا کہ یہ ماسلوف انڈیکس کی وضاحت کی طرف لے جاتا ہے، جسے وی پی ماسلوف نے متعارف کرایا تھا۔ V کے لگرینجین سب میانی فولڈ M کے لیے، درحقیقت، ایک نقشہ سازی ہوتی ہے جو ہر نقطہ پر اس کے ٹینجینٹ اسپیس کی درجہ بندی کرتی ہے (cf. گاؤس کا نقشہ)۔ ماسلوف انڈیکس اس نقشہ سازی کے ذریعے پل بیک ہے، جس کے ممتاز جنریٹر میں ہے۔ ماسلوف انڈیکس سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس کے سمپلیکٹومورفزم کے راستے کو ماسلوف انڈیکس تفویض کیا جاسکتا ہے، جس کا نام وی پی ماسلوف کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اگر راستہ لوپ ہے تو یہ ایک عدد ہوگا، اور عام طور پر نصف عدد ہوگا۔ اگر یہ راستہ سمپلیکٹک کئی گنا پر ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ کے دورانیے کے مدار پر سمپلیکٹک ویکٹر بنڈل کو معمولی بنانے یا رابطہ کئی گنا پر ریب ویکٹر فیلڈ سے پیدا ہوتا ہے، تو اسے کونلی-زینڈر انڈیکس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ کاچی-ریمن قسم کے آپریٹرز کے سپیکٹرم بہاؤ کا حساب لگاتا ہے جو فلور ہومیولوجی میں پیدا ہوتے ہیں۔ یہ اصل میں ڈبلیو کے بی تخمینہ کے مطالعہ میں ظاہر ہوا اور کوانٹائزیشن، کوانٹم افراتفری ٹریس فارمولوں، اور سمپلیکٹک جیومیٹری اور ٹوپولوجی کے مطالعہ میں کثرت سے ظاہر ہوتا ہے۔ اسے لکیری لگرینجین سب مینفولڈز کے لیے ماسلوف انڈیکس کے لحاظ سے اوپر بیان کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات V. I. آرنلڈ، کوانٹائزیشن کے حالات میں داخل ہونے والی خصوصیت والی کلاس، فنکشنل نیی انلیز آئی ایگو پریلوزینیہ، 1967، 1,1، 1-14،۔ وی۔ پی۔ ماسلوف، تھیوری ڈیس پرٹربیشنز اینڈ میتھوڈس ایسمپٹوٹکس۔ 1972 ماسلوف انڈیکس سے متعلق مختلف ماخذ مواد۔ علامتی جیومیٹری یکساں خالی جگہوں کی ٹوپولوجی ریاضیاتی مقدار بندی