Join (topology)
ٹوپولوجی میں، ریاضی کا ایک شعبہ، دو ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کا جوڑ اور، جسے اکثر یا سے ظاہر کیا جاتا ہے، ایک ٹوپولوجیکل خالی جگہ ہے جو دونوں خالی جگہوں کے جداگانہ اتحاد کو لے کر بنتی ہے، اور ہر نقطہ میں شامل ہونے والے لائن کے حصوں کو جوڑتی ہے۔ کسی جگہ کا اپنے ساتھ جوڑ کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ جوڑ کی تعریف مختلف سیاق و سباق میں قدرے مختلف طریقوں سے کی جاتی ہے جیومیٹرک سیٹ اگر اور یوکلڈین اسپیس کے ذیلی سیٹ ہیں، تو:، یعنی، ایک نقطہ اور ایک نقطہ کے درمیان تمام لائن سیگمنٹ کا سیٹ۔ کچھ مصنفین تعریف کو ان ذیلی سیٹوں تک محدود رکھتے ہیں جو جوڑنے کے قابل ہیں: کوئی بھی دو مختلف لائن-سیگمنٹ، جو A کے ایک نقطہ کو B کے ایک نقطہ سے جوڑتے ہیں، زیادہ سے زیادہ ایک مشترکہ اختتامی نقطہ پر ملتے ہیں (یعنی، وہ اپنے اندرونی حصے میں ایک دوسرے کو نہیں کاٹتے ہیں)۔ ہر دو ذیلی سیٹوں کو "جوڑنے کے قابل" بنایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اندر ہے اور اندر ہے، تو اور شامل ہونے کے قابل ہیں۔ مندرجہ بالا شکل m = n = 1 کے لیے ایک مثال دکھاتی ہے، جہاں اور لائن سیگمنٹ ہیں۔ مثال دو آسانیوں کا جوڑ ایک سمپلیکس ہے: ایک n-جہتی اور ایک m-جہتی سمپلیکس کا جوڑ ایک (m + n + 1)-جہتی سمپلیکس ہے۔ کچھ خاص معاملات یہ ہیں: دو جداگانہ نکات کا جوڑ ایک وقفہ ہے (m = n = 0)۔ ایک نقطہ اور وقفہ کا جوڑ ایک مثلث ہے (m = 0، n = 1)۔ دو لائن سیگمنٹس کا جوڑ ایک ٹھوس ٹیٹرا ہیڈرون یا ڈسپینائڈ کے لیے ہومومورفک ہے، جو دائیں طرف (m = n = 1) کے اوپر کی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ ایک نقطہ اور ایک (n-1) جہتی سمپلیکس کا جوڑ ایک n جہتی سمپلیکس ہے۔ کسی نقطہ اور کثیر الاضحی (یا کسی بھی کثیر الاضحی) کا جوڑ ایک اہرام ہوتا ہے، جیسے کسی نقطہ اور مربع کا جوڑ مربع اہرام ہوتا ہے۔ کسی نقطہ اور مکعب کا جوڑ کیوبک اہرام ہوتا ہے۔ کسی نقطہ اور دائرے کا جوڑ شنک ہوتا ہے، اور کسی نقطہ اور دائرے کا جوڑ ہائپرکون ہوتا ہے۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہیں اگر اور کوئی ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ہیں، تو: جہاں سلنڈر اصل خالی جگہوں سے منسلک ہوتا ہے اور سلنڈر کے چہروں کے قدرتی تخمینوں کے ساتھ: عام طور پر یہ واضح طور پر فرض کیا جاتا ہے کہ اور خالی نہیں ہیں، اس صورت میں تعریف کو اکثر تھوڑا مختلف انداز میں بیان کیا جاتا ہے: سلنڈر کے چہروں کو خالی جگہوں سے جوڑنے کے بجائے اور، ان چہروں کو صرف منسلک تخمینوں کے ذریعہ تجویز کردہ انداز میں منہدم کر دیا جاتا ہے: ہم حصص کی جگہ بناتے ہیں جہاں مساوات کا تعلق اختتامی نکات پر پیدا ہوتا ہے، یہ گر جاتا ہے۔ اگر اور یوکلڈین خلا کے پابند ذیلی مجموعے ہیں، اور اور، جہاں اس طرح کی جداگانہ ذیلی جگہیں ہیں کہ ان کے افائن ہل کا طول و عرض (مثال کے طور پر۔ دو غیر چھیدنے والی غیر متوازی لکیریں)، پھر ٹوپولوجیکل تعریف ہندسی تعریف تک کم ہو جاتی ہے، یعنی "جیومیٹرک جوائن" "ٹوپولوجیکل جوائن" کے لیے ہومومورفک ہے: تجریدی سادہ کمپلیکس اگر اور کوئی تجریدی سادہ کمپلیکس ہیں، تو ان کا جوائن ایک تجریدی آسان کمپلیکس ہے جس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: ورٹیکس سیٹ اور کا ایک جداگانہ اتحاد ہے۔ کی آسانیاں ایک سمپلیکس کے تمام جداگانہ اتحاد ہیں جن کا سمپلیکس: (خاص صورت میں جس میں اور جداگانہ ہیں، جوڑ سادہ ہے)۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ اور، یعنی، ایک ہی نقطہ کے ساتھ دو سیٹ۔ پھر، جو ایک لائن سیگمنٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ A اور B کے ورٹیکس سیٹ جداگانہ ہیں ؛ بصورت دیگر، ہمیں انہیں جداگانہ بنانا چاہیے تھا۔ مثال کے طور پر، جہاں a1 اور a2 V (A) میں واحد عنصر کی دو کاپیاں ہیں۔ ٹوپوولوجیکل طور پر، نتیجہ ایک ہی ہے-ایک لائن سیگمنٹ۔ فرض کریں اور۔ پھر، جو مثلث کی نمائندگی کرتا ہے۔ فرض کریں اور، یعنی، دو سیٹ جن میں دو مجرد پوائنٹس ہیں۔ پھر پہلوؤں کے ساتھ ایک کمپلیکس ہے، جو "مربع" کی نمائندگی کرتا ہے۔ مشترکہ تعریف مندرجہ ذیل معنوں میں ٹپوولوجیکل تعریف کے مساوی ہے: ہر دو تجریدی سادہ کمپلیکس کے لیے اور، ہومومورفک ہے، جہاں کمپلیکس کے کسی بھی ہندسی احساس کو ظاہر کرتا ہے۔ نقشہ جات دو نقشے دیئے گئے ہیں اور ان کے جوڑ کی تعریف جوڑ میں ہر نقطہ کی نمائندگی کی بنیاد پر کی گئی ہے، کچھ کے لیے: خاص صورتوں میں ٹپوولوجیکل اسپیس کا شنک، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، ایک نقطہ کے ساتھ جوڑ ہے۔ ٹوپولوجیکل اسپیس کی معطلی، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، اس کے ساتھ جوڑ ہے (0 جہتی دائرہ، یا، دو نکات والی مجرد جگہ)۔ دو خالی جگہوں کا جوڑ ہومومورفزم یعنی ہومومورفزم تک متغیر ہے۔ ۔ ایسوسی ایٹیویٹی یہ سچ نہیں ہے کہ اوپر بیان کردہ جوائن آپریشن صوابدیدی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے لیے ہومومورفزم تک ایسوسی ایٹیو ہے۔ تاہم، مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے ہمارے پاس ہے۔ لہذا، کوئی بھی اپنے ساتھ کسی جگہ کے کے-ٹائمز جوائن کی وضاحت کر سکتا ہے، (کے ٹائمز)۔ ایک مختلف جوائن آپریشن کی وضاحت کرنا ممکن ہے جو ایک ہی بنیادی سیٹ کا استعمال کرتا ہے لیکن ایک مختلف ٹوپولوجی کا استعمال کرتا ہے، اور یہ آپریشن تمام ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے لیے معاون ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے اور، جوڑتا ہے اور موافق ہوتا ہے۔ ہوموٹوپی مساوات اگر اور ہوموٹوپی کے مساوی ہیں، تو اور ہوموٹوپی کے مساوی بھی ہیں۔ کم شدہ جوڑ دیا ہوا بیس پوائنٹڈ سی ڈبلیو کمپلیکس اور، "کم شدہ جوڑ" سمیش پروڈکٹ کے کم شدہ معطلی کے لیے ہومومورفک ہے۔ نتیجتا، چونکہ معاہدہ قابل ہے، اس لیے ایک ہوموٹوپی مساوات موجود ہے۔ یہ مساوات آئسومورفزم کو قائم کرتی ہے۔ ہوموٹوپیکل کنیکٹوٹی دو مثلث خالی جگہوں کو دیکھتے ہوئے، ان کے جوڑ کا ہوموٹوپیکل کنیکٹوٹی () کم از کم اس کے حصوں کی کنیکٹوٹی کا مجموعہ ہے: مثال کے طور پر، دو منقطع پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہونے دیں۔ پوائنٹس کے درمیان ایک 1 جہتی سوراخ ہے، تو. جوڑ ایک مربع ہے، جو ایک دائرے کے لیے ہومومورفک ہے جس میں 2 جہتی سوراخ ہے، لہذا۔ اس مربع کا تیسری کاپی کے ساتھ جوڑ ایک آکٹا ہیڈرون ہے، جو ہومومورفک ہے، جس کا سوراخ 3 جہتی ہے۔ عام طور پر، کی n نقلوں کا جوڑ اور کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ خلاصہ کمپلیکس A کا حذف شدہ جوڑ ایک تجریدی کمپلیکس ہے جس میں A کے جداگانہ چہروں کے تمام جداگانہ اتحاد ہوتے ہیں: مثال کے طور پر فرض کریں (ایک نقطہ)۔ پھر، یعنی ایک مجرد جگہ جس میں دو جداگانہ نکات ہوں (یاد رکھیں کہ = ایک وقفہ)۔ فرض کریں (دو نکات)۔ پھر پہلوؤں (دو جداگانہ کناروں) کے ساتھ ایک کمپلیکس ہے۔ فرض کریں (ایک کنارے)۔ پھر پہلوؤں (ایک مربع) کے ساتھ ایک کمپلیکس ہے۔ یاد کریں کہ یہ ایک ٹھوس ٹیٹرا ہیڈرون کی نمائندگی کرتا ہے۔ فرض کریں کہ A ایک (n-1) جہتی سمپلیکس (n عمودی کے ساتھ) کی نمائندگی کرتا ہے۔ پھر جوڑ ایک (2n-1) جہتی سمپلیکس (2n عمودی کے ساتھ) ہے: یہ تمام نکات (x1,., x2n) کا مجموعہ ہے جس میں غیر منفی نقاط ہوتے ہیں جیسے کہ x1 +. + x2n = 1۔ حذف شدہ جوڑ کو اس سمپلیکس کا ذیلی مجموعہ سمجھا جا سکتا ہے: یہ اس سمپلیکس میں تمام پوائنٹس (x1,., x2n) کا مجموعہ ہے، اس طرح کہ صرف غیر صفر نقاط x1،., xn میں کچھ k نقاط ہیں، اور xn + 1،., x2n میں تکمیلی n-k نقاط ہیں۔ خصوصیات حذف شدہ جوائن آپریشن جوائن کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ یعنی ہر دو تجریدی کمپلیکس A اور B کے لیے: ثبوت۔ بائیں ہاتھ کے کمپلیکس میں ہر ایک سمپلیکس اس شکل کا ہوتا ہے، جہاں، اور جداگانہ ہوتا ہے۔ جداگانہ اتحاد کی خصوصیات کی وجہ سے، مؤخر الذکر شرط اس کے مساوی ہے: جداگانہ ہیں اور جداگانہ ہیں۔ دائیں ہاتھ کے کمپلیکس میں ہر ایک سمپلیکس اس شکل کا ہوتا ہے، جہاں، اور جداگانہ ہوتے ہیں اور جداگانہ ہوتے ہیں۔ لہذا دونوں اطراف میں آسانیوں کے سیٹ بالکل ایک جیسے ہیں۔ خاص طور پر، خود کے ساتھ n-جہتی سمپلیکس کا حذف شدہ جوڑ n-جہتی کراس پولیٹوپ ہے، جو n-جہتی دائرے کے لیے ہومومورفک ہے۔ عمومی کاری ایک سادہ کمپلیکس A کے n-فولڈ k کے لحاظ سے حذف شدہ جوڑ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں "k کے لحاظ سے جداگانہ" کا مطلب ہے کہ k کے ہر ذیلی سیٹ میں ایک خالی intersection.In مخصوص ہوتا ہے، n-فولڈ n کے لحاظ سے حذف شدہ جوڑ میں n چہروں کے تمام جداگانہ جوڑ ہوتے ہیں جن کا چوراہا خالی ہوتا ہے، اور n-فولڈ 2 کے لحاظ سے حذف شدہ جوڑ چھوٹا ہوتا ہے: اس میں صرف n چہروں کے جداگانہ جوڑ ہوتے ہیں جو جوڑے کے لحاظ سے جداگانہ ہوتے ہیں۔ 2 گنا 2 لحاظ سے حذف شدہ جوڑ صرف اوپر بیان کردہ سادہ حذف شدہ جوڑ ہے۔ m پوائنٹس کے ساتھ ایک مجرد جگہ کے n-فولڈ 2-وار حذف شدہ جوڑ کو (m، n)-چیز بورڈ کمپلیکس کہا جاتا ہے۔ ڈیسپینشن حوالہ جات ہیچر، ایلن، الجبرائی ٹوپولوجی بھی دیکھیں۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج، 2002۔ xii + 544 پی پی۔ اور براؤن، رونالڈ، ٹوپولوجی اور گروپائڈز سیکشن 5.7 شامل ہوتے ہیں۔ ڈھانچوں پر الجبرائی ٹوپولوجی آپریشنز