Serre spectral sequence
ریاضی میں، سیری سپیکٹرم سیکوینس (بعض اوقات لیری-سیری سپیکٹرم سیکوینس لیری سپیکٹرم سیکوینس میں جین لیری کے پہلے کام کو تسلیم کرنے کے لیے) الجبرائی ٹوپولوجی کا ایک اہم ذریعہ ہے۔ یہ ہومیولوجیکل الجبرا کی زبان میں، بیس اسپیس B اور فائبر F کی (شریک) ہومیولوجی کے لحاظ سے ایک (سیر) فائبرشن کی کل جگہ X کی واحد (شریک) ہومیولوجی کا اظہار کرتا ہے۔ نتیجہ جین-پیئر سیر کے اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں ہے۔ کوہومولوجی سپیکٹرم سیکوینس کو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا سیر فائبرشن ہونے دیں، اور ایف کو (راستے سے جڑا ہوا) فائبر ہونے دیں۔ سیرے کوہمولوجی سپیکٹرم کی ترتیب درج ذیل ہے: یہاں، کم از کم معیاری آسان بنانے والے حالات کے تحت،-اصطلاح میں گتانک گروپ F کا q-th انٹیگرل کوہمولوجی گروپ ہے، اور بیرونی گروپ اس گروپ میں گتانک کے ساتھ B کا واحد کوہمولوجی ہے۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، مختلف ریشوں کی کوہمولوجی کے ذریعہ B پر مقامی گتانک نظام کے حوالے سے کوہمولوجی کا مطلب ہے۔ مثال کے طور پر یہ فرض کرتے ہوئے کہ B محض جڑا ہوا ہے، یہ معمول کی ہم آہنگی پر گر جاتا ہے۔ راستے سے منسلک بیس کے لیے، تمام مختلف ریشے ہوموٹوپی کے مساوی ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، ان کی کوہمولوجی آئسومورفک ہے، لہذا "دی" فائبر کا انتخاب کوئی ابہام نہیں دیتا ہے۔ محاصرے کا مطلب کل جگہ X کی مربوط ہم آہنگی ہے۔ یہ سپیکٹرم سیکوینس جوڑے کے کوہومولوجی کے طویل عین مطابق سیکوینس سے بنے ایک عین مطابق جوڑے سے اخذ کیا جا سکتا ہے، جہاں بی کے پی-سکیلٹن پر فائبرشن کی پابندی ہے۔ مزید واضح طور پر، اس اشارے کا استعمال کرتے ہوئے، f کی تعریف ہر ٹکڑے کو محدود کرکے کی جاتی ہے، g کی تعریف جوڑے کی لمبی عین ترتیب میں کوباؤنڈری نقشے کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے، اور h کی تعریف اس تک محدود کرکے کی جاتی ہے۔ ہومیولوجی سپیکٹرم کی ترتیب اسی طرح کوہمولوجی سپیکٹرم کی ترتیب کے لیے، ہومیولوجی کے لیے ایک ہے: جہاں اشارے اوپر والے اشاروں سے دوہرے ہوتے ہیں۔ مثال کے حسابات ہوپف فائبرشن یاد رکھیں کہ ہوپف فائبرشن اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ لیری-سیری سپیکٹرل سیکوینس کا-پیج پڑھتا ہے کہ فرق نیچے اور دائیں جاتا ہے۔ اس طرح واحد تفریق جو ضروری نہیں ہے وہ ہے، کیونکہ باقی کے پاس ڈومین یا کوڈومین 0 ہے (چونکہ وہ E2-پیج پر ہیں)۔ خاص طور پر، یہ ترتیب E2 = E ≤ پر انحطاط پذیر ہوتی ہے۔ E3 صفحہ پڑھتا ہے کہ سپیکٹرم کی ترتیب یعنی دلچسپ حصوں کا جائزہ لیتے ہوئے، ہمارے پاس ہے اور دونوں کی کوہمولوجی کو جاننا صفر ہے، لہذا تفریق ایک آئسومورفزم ہے۔ ایک پیچیدہ پروجیکٹو قسم پر دائرہ بنڈل ایک پیچیدہ این جہتی پروجیکٹو قسم کو دیکھتے ہوئے سرایت سے آنے کے لیے لائن بنڈلوں کا ایک کینونکل خاندان ہے۔ یہ عالمی حصوں کے ذریعہ دیا جاتا ہے جو بھیجتے ہیں۔ اگر ہم ایک رینک ویکٹر بنڈل بناتے ہیں جو کہ ویکٹر بنڈلوں کا ایک محدود وٹنی مجموعہ ہے تو ہم ایک دائرہ بنڈل بنا سکتے ہیں جس کے ریشے دائرے ہیں۔ اس کے بعد، ہم انٹیگرل کوہمولوجی کا حساب لگانے کے لیے یولر کلاس کے ساتھ سیر سپیکٹرم سیکوینس کا استعمال کر سکتے ہیں۔ صفحہ کے ذریعے دیا گیا ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ صرف غیر معمولی تفریق-پیج پر دی گئی ہیں اور ان کی وضاحت یولر کلاس کے ساتھ کاپی کرکے کی جاتی ہے۔ اس صورت میں یہ ٹاپ چرن کلاس کی طرف سے دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، K3 سطح کے لیے ویکٹر بنڈل پر غور کریں۔ پھر، سپیکٹرم کی ترتیب اس طرح پڑھتی ہے کہ لیفشیٹز کلاس کا مربع کے لیے تفریق ہے۔ اس صورت میں، واحد غیر معمولی تفریق یہ ہے کہ پھر ہم اس حساب کو صرف غیر معمولی کوہمولوجی گروپوں کو بنیادی پاتھ اسپیس فائبرشن نوٹ کرکے ختم کر سکتے ہیں۔ ہم پہلے ایک بنیادی مثال سے شروع کرتے ہیں۔ پاتھ اسپیس فائبرشن پر غور کریں۔ ہم بیس اور کل اسپیس کی ہومیولوجی جانتے ہیں، لہذا ہمارا انٹوشن ہمیں بتاتا ہے کہ سیر سپیکٹرم سیکوینس ہمیں لوپ اسپیس کی ہومیولوجی بتانے کے قابل ہونا چاہیے۔ یہ ایک ایسے معاملے کی مثال ہے جہاں ہم E φ صفحہ (کل جگہ کی ہومیولوجی) کا استعمال کرتے ہوئے فائبرشن کی ہومیولوجی کا مطالعہ کر سکتے ہیں تاکہ یہ کنٹرول کیا جا سکے کہ E2 صفحہ پر کیا ہو سکتا ہے۔ لہذا یاد رکھیں کہ اس طرح ہم جانتے ہیں کہ جب q = 0 ہوتا ہے، تو ہم صرف باقاعدہ انٹیجر ویلیوڈ ہومیولوجی گروپس Hp (Sn + 1) کو دیکھ رہے ہوتے ہیں جن کی ویلیو ڈگری 0 اور n + 1 میں ہوتی ہے اور ہر جگہ ویلیو 0 ہوتی ہے۔ تاہم، چونکہ راستے کی جگہ سکڑنے کے قابل ہے، اس لیے ہم جانتے ہیں کہ جب تک ترتیب E φ تک پہنچتی ہے، سب کچھ 0 ہو جاتا ہے سوائے p = q = 0 پر گروپ کے۔ ایسا ہونے کا واحد طریقہ یہ ہے کہ اگر کسی دوسرے گروپ میں آئسومورفزم ہو۔ تاہم، صرف وہ جگہیں جہاں ایک گروپ غیر صفر ہو سکتا ہے وہ کالم p = 0 یا p = n + 1 میں ہیں لہذا یہ آئسومورفزم کوڈمین کے ساتھ صفحہ En + 1 پر ہونا چاہیے۔ تاہم، اس گروپ میں a ڈالنے کا مطلب ہے کہ Hn + 1 (Sn + 1 ؛ Hn (F)) پر a ہونا چاہیے۔ انڈکٹو طور پر اس عمل کو دہرانے سے پتہ چلتا ہے کہ ہر جگہ n اور 0 کے انٹیجر ملٹیپلز پر ہائی (ωSn + 1) کی قدر ہوتی ہے۔ پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کی کوہومولوجی رنگ ہم فائبرشن کو استعمال کرنے کی کوہومولوجی کا حساب لگاتے ہیں: اب، E2 پیج پر، 0,0 کوآرڈینیٹ میں ہمارے پاس رنگ کی شناخت ہے۔ 0, 1 کوآرڈینیٹ میں، ہمارے پاس ایک عنصر i ہے جو پیدا کرتا ہے تاہم، ہم جانتے ہیں کہ لمٹ پیج تک، 2n + 1 ڈگری میں صرف غیر معمولی جنریٹر ہو سکتے ہیں جو ہمیں بتاتے ہیں کہ جنریٹر i کو 2,0 کوآرڈینیٹ میں کسی عنصر x کی خلاف ورزی کرنی ہوگی۔ اب، یہ ہمیں بتاتا ہے کہ 2,1 کوآرڈینیٹ میں ایک عنصر ix ہونا چاہیے۔ اس کے بعد ہم دیکھتے ہیں کہ لیبنز اصول کے مطابق d (ix) = x2 ہمیں بتاتا ہے کہ 4,0 کوآرڈینیٹ x2 ہونا چاہیے کیونکہ ڈگری 2n + 1 تک کوئی غیر معمولی ہم آہنگی نہیں ہو سکتی۔ اس دلیل کو انڈکٹو طور پر 2n + 1 تک دہرانے سے کوآرڈینیٹ 2n، 1 میں ixn ملتا ہے جو اس ڈگری میں واحد جنریٹر ہونا چاہیے اس طرح ہمیں بتاتا ہے کہ 2n + 1,0 کوآرڈینیٹ 0 ہونا چاہیے۔ سپیکٹرم سیکوینس کی افقی نچلی صف کو پڑھنے سے ہمیں کوہمولوجی رنگ ملتا ہے اور یہ ہمیں بتاتا ہے کہ اس کا جواب ہے۔ لامحدود پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کی صورت میں، حدود لینے سے جواب ملتا ہے کہ تین دائرے کا چوتھا ہوموٹوپی گروپ۔ سیر سپیکٹرم سیکوینس کا ایک زیادہ نفیس اطلاق کمپیوٹیشن ہے۔ یہ خاص مثال ایک منظم تکنیک کی وضاحت کرتی ہے جسے کوئی دائرے کے اعلی ہوموٹوپی گروپوں کے بارے میں معلومات حاصل کرنے کے لیے استعمال کر سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل فبریشن پر غور کریں جو ایک آئسومورفزم ہے جہاں ایلن برگ-میک لین کی جگہ ہے۔ اس کے بعد ہم نقشے کو فائبرشن میں مزید تبدیل کرتے ہیں۔ یہ عمومی علم ہے کہ تکرار شدہ فائبر بیس اسپیس کی لوپ اسپیس ہے لہذا ہماری مثال میں ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ فائبر ہے۔ لیکن ہم جانتے ہیں کہ اب ہم کوہمولوجیکل سیر سپیکٹرم کی ترتیب کو دیکھتے ہیں: ہمیں لگتا ہے کہ ہمارے پاس ڈگری 3 کوہمولوجی کے لیے ایک جنریٹر ہے، جسے کہا جاتا ہے۔ چونکہ کل ہم آہنگی میں ڈگری 3 میں کچھ بھی نہیں ہے، اس لیے ہم جانتے ہیں کہ اسے آئسومورفزم کے ذریعے ختم کیا جانا چاہیے۔ لیکن واحد عنصر جو اس کا نقشہ بنا سکتا ہے وہ کوہمولوجی رنگ کا جنریٹر اے ہے، لہذا ہمارے پاس ہے۔ لہذا کپ پروڈکٹ ڈھانچے کے ذریعہ، ڈگری 4 میں جنریٹر، جنریٹر کو 2 سے ضرب دے کر نقشہ بناتا ہے اور ڈگری 6 میں کوہمولوجی کا جنریٹر 3 سے ضرب دے کر نقشہ بناتا ہے، وغیرہ۔ خاص طور پر ہم یہ پاتے ہیں کہ لیکن اب جب سے ہم نے ایکس کے نچلے ہوموٹوپی گروپس (یعنی 4 سے کم ڈگری والے گروپس) کو تکراری فائبرشن کا استعمال کرتے ہوئے ختم کر دیا ہے، ہم جانتے ہیں کہ ہوریوکس تھیوریم کے ذریعے ہمیں یہ بتاتے ہوئے کہ کورلری: ثبوت: ہوپف فائبرشن کے لیے ہوموٹوپی گروپس کی لمبی عین ترتیب لیں۔ یہ بھی دیکھیں گیسن ترتیب حوالہ جات سیری سپیکٹرم ترتیب الجبرائی ٹوپولوجی پر زیادہ تر نصابی کتابوں میں شامل ہے، مثال کے طور پر۔ ایلن ہیچر، سپیکٹرل سیکوینسز ایڈون اسپینر، الجبرائی ٹوپولوجی، سپرنگر نیز جیمز ڈیوس، پال کرک، الجبرائی ٹوپولوجی میں لیکچر نوٹ سیر سپیکٹرم سیکوینس کے بہت سارے اچھے استعمال فراہم کرتے ہیں۔ ایک خوبصورت تعمیر اینڈریاس ڈریس، زور سپیکٹرالسیکوئنز ایینر فاسرنگ، انوینشنز میتھمیٹیکی 3 (1967)، 172-178، EuDML کی وجہ سے ہے۔ سادہ سیٹوں کے معاملے کا علاج پال گورز، رک جارڈین، سادہ ہوموٹوپی تھیوری، برکھاؤزر الجبرائی ٹوپولوجی سپیکٹرم سیکوینس میں کیا جاتا ہے۔