Reflection principle
سیٹ تھیوری میں، جو ریاضی کی ایک شاخ ہے، عکاسی کا اصول کہتا ہے کہ ایسے سیٹ تلاش کرنا ممکن ہے جو کسی بھی دی گئی خاصیت کے حوالے سے، تمام سیٹوں کی کلاس سے ملتے جلتے ہوں۔ عکاسی کے اصول کی کئی مختلف شکلیں ہیں جو اس بات پر منحصر ہیں کہ "مشابہت" کا کیا مطلب ہے۔ عکاسی کے اصول کی کمزور شکلیں ZF سیٹ تھیوری کی تھیوریمز ہیں، جبکہ مضبوط شکلیں سیٹ تھیوری کے لیے نئی اور بہت طاقتور محور ہو سکتی ہیں۔ "عکاسی کا اصول" نام اس حقیقت سے آیا ہے کہ تمام سیٹوں کی کائنات کی خصوصیات ایک چھوٹے سیٹ تک "عکاسی" ہوتی ہیں۔ محرک عکاسی کے اصول کے ایک سادہ ورژن میں کہا گیا ہے کہ "کائنات کی تمام سیٹوں کی کسی بھی خاصیت کے لیے ہم ایک ہی خاصیت کے ساتھ ایک سیٹ تلاش کر سکتے ہیں"۔ یہ ایک فوری تضاد کی طرف لے جاتا ہے: تمام سیٹوں کی کائنات تمام سیٹوں پر مشتمل ہے، لیکن اس خاصیت کے ساتھ کوئی سیٹ نہیں ہے کہ اس میں تمام سیٹیں شامل ہیں۔ مفید (اور غیر متضاد) عکاسی کے اصولوں کو حاصل کرنے کے لیے ہمیں اس بارے میں زیادہ محتاط رہنے کی ضرورت ہے کہ "پراپرٹی" سے ہمارا کیا مطلب ہے اور ہم کن خصوصیات کی اجازت دیتے ہیں۔ عکاسی کے اصول اس خیال کو وضع کرنے کی کوششوں سے وابستہ ہیں کہ کوئی بھی تصور، خیال، یا بیان سیٹوں کی کائنات کے بارے میں ہمارے پورے نقطہ نظر پر قبضہ نہیں کر سکتا۔ کرٹ گوڈل نے اسے اس طرح بیان کیا: جارج کینٹر نے مطلق انفینٹی پر اسی طرح کے خیالات کا اظہار کیا: اس تعداد میں تمام کارڈینالیٹی خصوصیات مطمئن ہیں، جس میں ایک چھوٹا کارڈینل ہوتا ہے۔ غیر متضاد عکاسی کے اصولوں کو تلاش کرنے کے لیے ہم مندرجہ ذیل غیر رسمی طور پر بحث کر سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس سیٹ بنانے کے طریقوں کا کچھ مجموعہ A ہے (مثال کے طور پر، پاور سیٹ، سب سیٹ، متبادل کا محور وغیرہ)۔ ہم ان تمام طریقوں کو بار بار لاگو کرکے حاصل کردہ تمام سیٹوں کو لینے کا تصور کر سکتے ہیں، اور ان سیٹوں کو کلاس X میں تشکیل دے سکتے ہیں، جسے کسی سیٹ تھیوری کے ماڈل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ لیکن اس نظریے کی روشنی میں، V مٹھی بھر کارروائیوں سے ختم نہیں ہوتا ہے، بصورت دیگر اسے نیچے سے آسانی سے بیان کیا جاسکتا ہے، اس اصول کو (V کی) ناممکنیت کہا جاتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، V، X سے بڑا ہے۔ سیٹ X پر A میں طریقوں کو لاگو کرنے کے نتیجے میں V سے چھوٹا مجموعہ بھی ہوگا، کیونکہ A میں کارروائیوں کے تحت X کی شبیہہ سے V ختم نہیں ہوتا ہے۔ پھر ہم سیٹ بنانے کے لیے درج ذیل نیا اصول متعارف کرا سکتے ہیں: "کلیکشن اے میں تمام طریقوں کو بار بار لاگو کرکے کسی سیٹ سے حاصل کردہ تمام سیٹوں کا مجموعہ بھی ایک سیٹ ہے"۔ اس اصول کو اے میں شامل کرنے کے بعد، وی اب بھی اس نئے اے میں کارروائیوں سے ختم نہیں ہوتا ہے۔ اس عمل کو مزید اور مزید دہرایا جا سکتا ہے، سیٹ A میں زیادہ سے زیادہ کارروائیوں کا اضافہ اور بڑے اور بڑے ماڈل X حاصل کرنا۔ ہر X اس لحاظ سے V سے مشابہت رکھتا ہے کہ وہ A میں کارروائیوں کے تحت بند ہونے کی V کے ساتھ جائیداد کا اشتراک کرتا ہے۔ ہم اس غیر رسمی دلیل کو دو طریقوں سے استعمال کر سکتے ہیں۔ ہم اسے (جیسے) ZF سیٹ تھیوری میں باقاعدہ بنانے کی کوشش کر سکتے ہیں ؛ ایسا کرنے سے ہم ZF سیٹ تھیوری کے کچھ تھیوریم حاصل کرتے ہیں، جنہیں ریفلیکشن تھیوریم کہتے ہیں۔ متبادل طور پر ہم اس دلیل کو سیٹ تھیوری کے لیے نئے محوریات متعارف کرانے کی ترغیب دینے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں، جیسے کہ کچھ محوریات جو بڑے کارڈینلز کے وجود پر زور دیتے ہیں۔ ZF سیٹ تھیوری میں پچھلے حصے کے عکاسی کے اصول کے لیے دلیل کو باقاعدہ بنانے کی کوشش میں، خصوصیات A کے مجموعہ کے بارے میں کچھ شرائط شامل کرنا ضروری ثابت ہوتا ہے (مثال کے طور پر، A محدود ہو سکتا ہے)۔ ایسا کرنے سے کئی قریب سے متعلق "عکاسی تھیوریمز" پیدا ہوتے ہیں جن میں سے سبھی کا کہنا ہے کہ ہم ایک ایسا سیٹ تلاش کر سکتے ہیں جو تقریبا ZFC کا ایک ماڈل ہے۔ مضبوط عکاسی کے اصولوں کے برعکس، یہ ZFC میں قابل ثبوت ہیں۔ زیڈ ایف سی کے لیے عکاسی کے سب سے عام اصولوں میں سے ایک تھیوریم اسکیما ہے جسے مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: پیرامیٹرز والے کسی بھی فارمولے کے لیے، اگر سچ ہے (سیٹ تھیوریٹک کائنات میں)، تو پھر مجموعی درجہ بندی کی ایک سطح ہوتی ہے۔ اسے لیوی-مونٹیگ عکاسی کے اصول، یا لیوی عکاسی کے اصول کے نام سے جانا جاتا ہے، جس کی بنیادی طور پر اور میں تحقیق کی گئی ہے۔ اس عکاسی کے اصول کا ایک اور ورژن کہتا ہے کہ ZFC کے فارمولوں کی کسی بھی محدود تعداد کے لیے ہم مجموعی درجہ بندی میں ایک سیٹ تلاش کر سکتے ہیں جیسے کہ سیٹ میں موجود تمام فارمولے مطلق ہوں (جس کا مطلب ہے کہ وہ صرف اس صورت میں برقرار رہتے ہیں جب وہ تمام سیٹوں کی کائنات میں موجود ہوں)۔ تو یہ کہتا ہے کہ سیٹ تمام سیٹوں کی کائنات سے ملتا جلتا ہے، کم از کم جہاں تک فارمولوں کی دی گئی محدود تعداد کا تعلق ہے۔ زیڈ ایف سی کے لیے ایک اور عکاسی کا اصول ایک تھیوریم اسکیما ہے جسے مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: آئیے زیادہ سے زیادہ آزاد متغیرات کے ساتھ ایک فارمولا بنیں۔ پھر ZFC یہ ثابت کرتا ہے کہ جہاں سے تعلق کی نشاندہی ہوتی ہے (یعنی، شکل میں اور بالترتیب اور کے ذریعہ ظاہر ہونے والے تمام مقداریوں کی جگہ لینا)۔ زیڈ ایف سی میں عکاسی کے اصول کی ایک اور شکل یہ کہتی ہے کہ زیڈ ایف سی کے محوریات کے کسی بھی محدود سیٹ کے لیے ہم ان محوریات کو مطمئن کرنے والا قابل شمار عارضی ماڈل تلاش کر سکتے ہیں۔ (خاص طور پر یہ ثابت کرتا ہے کہ، جب تک کہ متضاد نہ ہو، ZFC حتمی طور پر محوری نہیں ہے کیونکہ اگر ایسا ہوتا تو یہ اپنے ماڈل کے وجود کو ثابت کرتا، اور اس وجہ سے گوڈل کے دوسرے نامکمل نظریہ سے متصادم، اپنی مستقل مزاجی کو ثابت کرتا۔) عکاسی تھیوریم کے اس ورژن کا لووینہیم-سکولیم تھیوریم سے گہرا تعلق ہے۔ اگر ایک مضبوط ناقابل رسائی کارڈینل ہے، تو اس کا ایک بند غیر محدود ذیلی سیٹ ہے، جیسے کہ ہر ایک کے لیے، شناخت فنکشن سے ایک ابتدائی سرایت ہے۔ ریاضی کے لیے عکاسی کے اصولوں پر ریاضی کے نظریات کے لیے غور کیا جا سکتا ہے جو عام طور پر ZFC سے بہت کمزور ہوتے ہیں۔ کیونکہ، ایک ماڈل ایک ایسا ماڈل ہے جس میں بیانات کی درست سچائی اقدار ہوتی ہیں، جہاں وہ تجزیاتی درجہ بندی کی ویں سطح پر ہوتا ہے۔ سیکنڈ آرڈر ریاضی کے ذیلی نظام کا قابل گنتی ماڈل قدرتی اعداد کے سیٹوں کے قابل گنتی سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے، جسے ان کے ذیلی سیٹ کے طور پر انکوڈ کیا جا سکتا ہے۔ نظریہ ایک-ماڈل کے وجود کو ثابت کرتا ہے، جسے a-model.Theorem VII.2.16 کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ فارمولوں کے لیے-ماڈل عکاسی کا اصول یہ بتاتا ہے کہ کسی بھی فارمولے کے لیے اس کے واحد فری سیٹ متغیر کے طور پر، سب کے لیے، اگر ہوتا ہے، تو ایک قابل شمار کوڈڈ-ماڈل ہوتا ہے جہاں ایسا ہوتا ہے۔ منحصر انتخاب کے اسکیما کے ذریعہ کی توسیع خود ساختہ ہے۔ کسی بھی چیز کے لیے، نظام-عکاسی کے مساوی ہے formulas.Theorem VII.7.6-ماڈل عکاسی کا تعلق سیٹ تھیوریٹک عکاسی سے ہے، مثال کے طور پر کمزور سیٹ تھیوری کے پی پر،-فارمولوں کی عکاسی کے اسکیما کو ٹرانزیٹیو سیٹوں (تمام فارمولوں کے لیے) میں شامل کرنے سے وہی-مطابقت پذیری حاصل ہوتی ہے جس کے علاوہ فارمولوں کے لیے-ماڈل عکاسی کا اسکیما ہوتا ہے۔ جیسا کہ نئے محوریات برنیز کلاس تھیوری پال برنیز نے سیٹ تھیوری کے ایک ورژن کے لیے ایک محوری اصول کے طور پر عکاسی کے اصول کا استعمال کیا (نہ کہ وان نیومن-برنیز-گوڈل سیٹ تھیوری، جو کہ ایک کمزور نظریہ ہے)۔ اس کے عکاسی کے اصول میں تقریبا یہ کہا گیا ہے کہ اگر کوئی کلاس کسی خاصیت کے ساتھ ہے، تو کوئی ایک عارضی سیٹ تلاش کر سکتا ہے جس میں وہی خاصیت ہو جب اسے "کائنات" کا ذیلی سیٹ سمجھا جائے۔ یہ کافی طاقتور محور ہے اور اس سے کئی چھوٹے بڑے کارڈینلز، جیسے ناقابل رسائی کارڈینلز کا وجود ظاہر ہوتا ہے۔ (موٹے طور پر، زیڈ ایف سی میں تمام آرڈینلز کی کلاس اس حقیقت کے علاوہ ایک ناقابل رسائی کارڈینل ہے کہ یہ ایک سیٹ نہیں ہے، اور عکاسی کے اصول کو پھر یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ایک سیٹ ہے جس کی ایک ہی خاصیت ہے، دوسرے الفاظ میں یہ ایک ناقابل رسائی کارڈینل ہے۔) بدقسمتی سے، اسے براہ راست زیڈ ایف سی میں محوری شکل نہیں دی جا سکتی، اور کلاس تھیوری جیسے مورس-کیلی سیٹ تھیوری کو عام طور پر استعمال کرنا پڑتا ہے۔ برنیز کے عکاسی کے اصول کی مستقل مزاجی ایک ω-ایرڈس کارڈینل کے وجود سے ظاہر ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، برنیز کے کلاس تھیوری کے محرکات یہ ہیں: ایکسٹینشنیلٹی کلاس کی تفصیلات: مفت کے بغیر کسی بھی فارمولے کے لیے، ذیلی سیٹ: عکاسی: کسی بھی فارمولے کے لیے، فاؤنڈیشن کا انتخاب جہاں پاور سیٹ کی نشاندہی ہوتی ہے۔ اکیہیرو کناموری کے مطابق، 1961 کے ایک مقالے میں، برنیز نے مفت کے بغیر کسی بھی فارمولے کے لیے عکاسی کے خاکے پر غور کیا، جہاں یہ دعوی کیا گیا ہے کہ یہ عارضی ہے۔ اس مشاہدے سے شروع کرتے ہوئے کہ سیٹ پیرامیٹرز ظاہر ہو سکتے ہیں اور اس میں شقوں کو متعارف کروا کر ان پر قابو پانے کی ضرورت پڑ سکتی ہے، برنیز نے صرف اس اسکیما کے ساتھ جوڑی، اتحاد، انفینیٹی اور متبادل قائم کیا، جس کے نتیجے میں ZF کی قابل ذکر اقتصادی پیشکش حاصل ہوتی ہے۔ دیگر ایکرمن سیٹ تھیوری کی کچھ فارمولیشنز عکاسی کے اصول کا استعمال کرتی ہیں۔ ایکرمن کے محور میں کہا گیا ہے کہ، کسی بھی فارمولے کا ذکر نہ کرنے پر، پیٹر کویلنر نے ظاہر کیا کہ عکاسی کے اصولوں کا ایک عام طبقہ جسے "اندرونی طور پر جائز" سمجھا جاتا ہے وہ یا تو متضاد یا کمزور ہے، اس لحاظ سے کہ وہ ایرڈس کارڈینل سے مطابقت رکھتے ہیں۔ تاہم، عکاسی کے زیادہ طاقتور اصول ہیں، جن کا مختلف بڑے بنیادی محوریوں سے گہرا تعلق ہے۔ تقریبا ہر معروف بڑے بنیادی محوری کے لیے ایک معروف عکاسی کا اصول ہے جو اس کا اشارہ کرتا ہے، اور اس کے برعکس سب سے زیادہ طاقتور معروف عکاسی کے اصولوں کو معروف بڑے بنیادی محوریوں سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کی ایک مثال مکمل محور ہے، جس سے مراد تمام محدود n کے لیے سپر-این-بگ کارڈینلز کا وجود ہے اور اس کی مستقل مزاجی I3 رینک-ان-رینک کارڈینل سے ظاہر ہوتی ہے۔ یہ کہتے ہوئے ایک محوریہ شامل کریں کہ آرڈ ایک ماہلو کارڈینل ہے-آرڈینلز سی کی ہر بند غیر محدود کلاس کے لیے (پیرامیٹرز کے ساتھ فارمولے کے ذریعے اس کی تعریف کی جا سکتی ہے)، سی میں ایک باقاعدہ آرڈینل ہے۔ اس سے کسی کو مضبوط ناقابل رسائی کارڈینلز اور کسی بھی آرڈینل پر بہت کچھ حاصل کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط میزر سسٹم ثبوت: http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html سیٹ تھیوری ریاضیاتی اصول