Gibbs measure
ریاضی میں، گبز کی پیمائش، جس کا نام یوسیاہ ولارڈ گبز کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک امکان کی پیمائش ہے جو اکثر امکان کے نظریہ اور شماریاتی میکانکس کے بہت سے مسائل میں دیکھی جاتی ہے۔ یہ کینونکل اینسمبل کو لامحدود نظاموں میں عام کرنا ہے۔ کینونکل اینسمبل سسٹم X کے حالت x میں ہونے کا امکان دیتا ہے (مساوی طور پر، بے ترتیب متغیر X کی قیمت x ہے) جیسا کہ یہاں، حالتوں کی جگہ سے لے کر حقیقی اعداد تک ایک فنکشن ہے۔ طبیعیات کی ایپلی کیشنز میں، ترتیب x کی توانائی کے طور پر تشریح کی جاتی ہے۔ پیرامیٹر ایک آزاد پیرامیٹر ہے ؛ طبیعیات میں، یہ الٹا درجہ حرارت ہے۔ نارملائزنگ مستقل پارٹیشن فنکشن ہے۔ تاہم، لامحدود نظاموں میں، کل توانائی اب ایک محدود تعداد نہیں ہے اور اسے کینونکل اینسمبل کی امکانی تقسیم کی روایتی تعمیر میں استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ شماریاتی طبیعیات میں روایتی طریقوں نے گہری خصوصیات کی حد کا مطالعہ کیا کیونکہ ایک محدود نظام کا سائز انفینیٹی (تھرموڈینامک حد) کے قریب پہنچ جاتا ہے۔ جب انرجی فنکشن کو اصطلاحات کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جس میں ہر ایک میں ایک محدود ذیلی نظام سے صرف متغیرات شامل ہوتے ہیں، تو گبز پیمائش کا تصور ایک متبادل نقطہ نظر فراہم کرتا ہے۔ گبز کے اقدامات کو ڈوبرشین، لینفورڈ اور روئل جیسے امکانات کے تھیوریسٹوں نے تجویز کیا تھا اور محدود نظاموں کی حد لینے کے بجائے براہ راست لامحدود نظاموں کا مطالعہ کرنے کے لیے ایک فریم ورک فراہم کیا تھا۔ ایک پیمائش گبز کی پیمائش ہے اگر ہر محدود ذیلی نظام پر اس سے پیدا ہونے والے مشروط امکانات مستقل مزاجی کی شرط کو پورا کرتے ہیں: اگر محدود ذیلی نظام سے باہر تمام ڈگری آف فریڈم منجمد ہو جاتی ہے، تو ان باؤنڈری کنڈیشنز کے تابع ذیلی نظام کے لیے کینونکل اینسمبل گبز کی پیمائش میں موجود امکانات سے میل کھاتا ہے جو فریڈم کی منجمد ڈگریوں پر مشروط ہے۔ ہیمرسلی-کلفورڈ تھیوریم کا مطلب ہے کہ کوئی بھی امکانی پیمائش جو مارکوف پراپرٹی کو مطمئن کرتی ہے، (مقامی طور پر بیان کردہ) انرجی فنکشن کے مناسب انتخاب کے لیے گبز کی پیمائش ہے۔ لہذا، گبز کی پیمائش طبیعیات سے باہر کے وسیع مسائل پر لاگو ہوتی ہے، جیسے کہ ہاپ فیلڈ نیٹ ورک، مارکوف نیٹ ورک، مارکوف منطق نیٹ ورک، اور گیم تھیوری اور معاشیات میں محدود طور پر عقلی ممکنہ کھیل۔ مقامی (محدود رینج) تعاملات والے نظام میں گبز کی پیمائش کسی دی گئی متوقع توانائی کی کثافت کے لیے اینٹروپی کی کثافت کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے ؛ یا، مساوی طور پر، یہ آزاد توانائی کی کثافت کو کم سے کم کرتی ہے۔ ایک لامحدود نظام کی گبز پیمائش لازمی طور پر منفرد نہیں ہے، اس کے برعکس ایک محدود نظام کے کینونکل مجموعے کے برعکس، جو منفرد ہے۔ ایک سے زیادہ گبز پیمائش کا وجود شماریاتی مظاہر جیسے کہ ہم آہنگی توڑنے اور مرحلے کے بقائے باہمی سے وابستہ ہے۔ شماریاتی طبیعیات کسی نظام پر گبز کی پیمائش کا مجموعہ ہمیشہ کنویکس ہوتا ہے، اس لیے یا تو ایک منفرد گبز پیمائش ہوتی ہے (اس صورت میں نظام کو "ایرگوڈک" کہا جاتا ہے)، یا لامحدود تعداد میں ہوتے ہیں (اور نظام کو "نان ایرگوڈک" کہا جاتا ہے)۔ غیر ارگوڈک معاملے میں، گبز کے اقدامات کو بہت کم تعداد میں خصوصی گبز کے اقدامات کے کنویکس امتزاج کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جسے "خالص ریاستیں" کہا جاتا ہے (کوانٹم میکانکس میں خالص ریاستوں کے متعلقہ لیکن الگ تصور کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا)۔ فزیکل ایپلی کیشنز میں، ہیملٹنین (انرجی فنکشن) میں عام طور پر لوکیٹی کا کچھ احساس ہوتا ہے، اور خالص ریاستوں میں کلسٹر سڑنے کی خاصیت ہوتی ہے جو "دور سے الگ شدہ ذیلی نظام" آزاد ہوتے ہیں۔ عملی طور پر، جسمانی طور پر حقیقت پسندانہ نظام ان خالص حالتوں میں سے کسی ایک میں پائے جاتے ہیں۔ اگر ہیملٹنین میں ہم آہنگی ہے، تو ایک منفرد (یعنی۔ ایرگوڈک) گبز کی پیمائش لازمی طور پر ہم آہنگی کے تحت غیر متغیر ہوگی۔ لیکن متعدد کے معاملے میں (یعنی۔ غیر ارگوڈک) گبز پیمائش کرتے ہیں، ہیملٹنین کی ہم آہنگی کے تحت خالص ریاستیں عام طور پر غیر متغیر نہیں ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، نازک درجہ حرارت سے نیچے لامحدود فیرومیگنیٹک آئزنگ ماڈل میں، دو خالص ریاستیں ہیں، "زیادہ تر اوپر" اور "زیادہ تر نیچے" ریاستیں، جو ماڈل کی ہم آہنگی کے تحت آپس میں تبدیل ہوتی ہیں۔ مارکوف پراپرٹی کی ایک مثال آئزنگ ماڈل کے گبز پیمائش میں دیکھی جا سکتی ہے۔ کسی دی گئی گھماؤ کے حالت s میں ہونے کا امکان، اصولی طور پر، نظام کے دیگر تمام گھماؤوں کی حالتوں پر منحصر ہو سکتا ہے۔ اس طرح ہم امکان کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔ تاہم، ایک آئزنگ ماڈل میں صرف محدود رینج کے تعاملات کے ساتھ (مثال کے طور پر، قریب ترین پڑوسی تعاملات)، ہمارے پاس اصل میں، سائٹ کا پڑوس کہاں ہے۔ یعنی، سائٹ پر امکان صرف ایک محدود محلے میں گھماؤ پر منحصر ہے۔ یہ آخری مساوات مقامی مارکوف پراپرٹی کی شکل میں ہے۔ اس خاصیت کے ساتھ اقدامات کو بعض اوقات مارکوف بے ترتیب فیلڈز کہا جاتا ہے۔ زیادہ مضبوطی سے، اس کے برعکس بھی درست ہے: مارکوف پراپرٹی رکھنے والی کسی بھی مثبت امکان کی تقسیم (ہر جگہ غیر صفر کثافت) کو مناسب توانائی کی تقریب کے لیے گبز پیمائش کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ یہ ہیمرسلی-کلفورڈ تھیوریم ہے۔ جالی پر رسمی تعریف جو مندرجہ ذیل ہے وہ جالی پر بے ترتیب فیلڈ کے خصوصی کیس کی رسمی تعریف ہے۔ تاہم گبز پیمائش کا خیال اس سے کہیں زیادہ عام ہے۔ جالی پر گبز کے بے ترتیب میدان کی تعریف کے لیے کچھ اصطلاحات درکار ہوتی ہیں: جالی: ایک قابل گنتی سیٹ۔ سنگل اسپن اسپیس: ایک امکان کی جگہ۔ ترتیب کی جگہ:، کہاں اور۔ ترتیب اور ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، کی پابندی ہے۔ اگر اور، تو ترتیب وہ ترتیب ہے جس کی پابندیاں بالترتیب اور ہیں اور ہیں۔ کے تمام محدود ذیلی سیٹوں کا مجموعہ۔ ہر ذیلی سیٹ کے لیے، افعال کے خاندان سے پیدا ہونے والا-الجبرا ہے، جہاں۔ ان الجبروں کا اتحاد جیسا کہ مختلف ہوتا ہے جالی پر سلنڈر سیٹوں کا الجبرا ہے۔ پوٹینشل: افعال کا ایک خاندان جیسے کہ ہر ایک کے لیے-پیمائش کے قابل ہے، یعنی یہ صرف پابندی پر منحصر ہے (اور ایسا پیمائش کے ساتھ کرتا ہے)۔ سب کے لیے اور، مندرجہ ذیل سلسلہ موجود ہے: ہم محدود سیٹ A کے تمام نکات کے درمیان تعامل سے وابستہ کل توانائی (ہیملٹنین) میں شراکت کے طور پر تشریح کرتے ہیں۔ پھر ملنے والے تمام محدود سیٹوں A کی کل توانائی میں شراکت کے طور پر۔ نوٹ کریں کہ کل توانائی عام طور پر لامحدود ہوتی ہے، لیکن جب ہم ہر ایک کو "لوکلائز" کرتے ہیں تو یہ محدود ہو سکتی ہے، ہم امید کرتے ہیں۔ باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ ہیملٹنین، پوٹینشل کے لیے، کہاں سے متعین کیا جاتا ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز اور الٹا درجہ حرارت (پوٹینشل اور کے لیے) کے ساتھ پارٹیشن فنکشن کی تعریف اس بات سے کی جاتی ہے کہ پروڈکٹ کی پیمائش A پوٹینشل کہاں ہے-قابل قبول ہے اگر سب کے لیے محدود ہے اور۔ امکان کی پیمائش ایک-قابل قبول صلاحیت کے لیے گبز کی پیمائش ہے اگر یہ سب کے لیے ڈوبرشین-لینفورڈ-روئل (ڈی ایل آر) مساوات کو مطمئن کرتی ہے اور۔ ایک مثال مندرجہ بالا تعریفوں کو سمجھنے میں مدد کے لیے، قریب ترین پڑوسی تعاملات (جوڑی مستقل) اور مقناطیسی میدان () کے ساتھ آئزنگ ماڈل کی اہم مثال میں متعلقہ مقداریں یہ ہیں: جالی آسان ہے۔ سنگل اسپن اسپیس ہے پوٹینشل بولٹزمین ڈسٹری بیوشن ایکسپونینشل فیملی گبز الگورتھم گبز سیمپلنگ انٹرایکٹنگ پارٹیکل سسٹم پوٹینشل گیم سافٹ میکس سٹوچسٹک سیلولر آٹومیٹا حوالہ جات مزید پڑھنے کے اقدامات (پیمائش تھیوری) شماریاتی میکانکس گیم تھیوری توازن تصورات