Small stellated dodecahedron
جیومیٹری میں، چھوٹا اسٹیلٹڈ ڈوڈیکاہڈرون ایک کیپلر-پوینسوٹ پولی ہیڈرون ہے، جس کا نام آرتھر کیلی نے رکھا ہے، اور اس کی علامت شلافلی ہے۔ یہ چار نان کنویکس ریگولر پولی ہیڈرا میں سے ایک ہے۔ یہ 12 پینٹاگرامک چہروں پر مشتمل ہے، جس میں پانچ پینٹاگرام ہر سرے پر ملتے ہیں۔ یہ ایک ہی ورٹیکس ترتیب کا اشتراک کرتا ہے جیسا کہ کنویکس باقاعدہ آئکوساہڈرون۔ یہ عظیم آئکوساہیڈرون کے ساتھ ایک ہی کنارے کا انتظام بھی بانٹتا ہے، جس کے ساتھ یہ ایک انحطاط شدہ یکساں مرکب شکل بناتا ہے۔ یہ ڈوڈیکاہڈرون کے چار اسٹیلشنوں میں سے دوسرا ہے (بشمول اصل ڈوڈیکاہڈرون خود)۔ چھوٹے اسٹیل شدہ ڈوڈیکاہیڈرون کو بنیادی پولیٹوپ کے کناروں (1-چہروں) کی توسیع کے ذریعے پینٹاگرام، اس کے دو جہتی اینالاگ کے مطابق بنایا جا سکتا ہے یہاں تک کہ ایک نقطہ تک پہنچ جائے جہاں وہ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ ٹوپولوجی اگر پینٹاگرامک چہروں کو 5 مثلث چہروں کے طور پر سمجھا جاتا ہے، تو یہ پینٹاکس ڈوڈیکاہڈرون کی طرح ہی سطح کی ٹوپولوجی کا اشتراک کرتا ہے، لیکن بہت لمبے آئسوسلز مثلث چہروں کے ساتھ، پینٹاگنل اہرام کی اونچائی کو ایڈجسٹ کیا جاتا ہے تاکہ پینٹاگرام میں پانچ مثلث کوپلر بن جائیں۔ نازک زاویہ ڈوڈیکاہڈرون چہرے کے اوپر اٹان (2) ہے۔ اگر ہم اسے چہرے کے طور پر 12 پینٹاگرام رکھتے ہیں، ان پینٹاگراموں کے 30 کناروں اور 12 عمودی حصوں پر ملنے کے ساتھ، ہم اویلر کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے اس کی جینس کا حساب لگا سکتے ہیں اور یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ چھوٹے اسٹیلڈ ڈوڈیکاہڈرون کی جینس 4 ہے۔ یہ مشاہدہ، جو لوئس پوئنسوٹ نے کیا تھا، ابتدائی طور پر الجھن کا باعث تھا، لیکن فیلکس کلین نے 1877 میں دکھایا کہ چھوٹے اسٹیلڈ ڈوڈیکاہڈرون کو جینس 4 کی ریمن سطح کے ذریعے ریمن دائرے کے شاخ دار احاطے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس میں ہر پینٹاگرام کے مرکز میں شاخ کے نکات ہوتے ہیں۔ در حقیقت یہ ریمن کی سطح، جسے برائنز وکر کہا جاتا ہے، جینس 4 کی کسی بھی ریمن کی سطح کی سب سے زیادہ ہم آہنگی رکھتی ہے: ہم آہنگی گروپ آٹومورفزم امیجز کے طور پر کام کرتا ہے۔ آرٹ میں ایک چھوٹا سا اسٹیلٹڈ ڈوڈیکاہڈرون سینٹ مارک باسیلیکا، وینس میں ایک فرش موزیک میں دیکھا جا سکتا ہے جو تقریبا 1430 میں پاؤلو یوسیلو نے بنایا تھا۔ ایک ہی شکل ایم سی ایسچر کے دو لیتھوگراف کے لیے مرکزی ہے: تضاد (آرڈر اور افراتفری) (1950) اور کشش ثقل (1952)۔ متعلقہ پولی ہیڈرا اس کا کنویکس ہل باقاعدہ کنویکس آئکوساہڈرون ہے۔ یہ اپنے کناروں کو عظیم آئکوساہیڈرون کے ساتھ بھی بانٹتا ہے۔ دونوں کے ساتھ مرکب عظیم پیچیدہ آئیکوسیڈوڈیکاہیڈرون ہے۔ چار متعلقہ وردی پولی ہیڈرا ہیں، جو کٹوتی کی ڈگری کے طور پر بنائے گئے ہیں۔ دوہری ایک عظیم ڈوڈیکاہڈرون ہے۔ ڈوڈیکاڈیکاہڈرون ایک اصلاح ہے، جہاں کناروں کو پوائنٹس تک کاٹا جاتا ہے۔ کٹے ہوئے چھوٹے اسٹیل شدہ ڈوڈیکاہڈرون کو ایک انحطاط شدہ یکساں پولی ہیڈرون سمجھا جا سکتا ہے کیونکہ کناروں اور چوٹیوں کا ملاپ ہوتا ہے، لیکن اسے مکمل ہونے کے لیے شامل کیا جاتا ہے۔ بصری طور پر، یہ سطح پر ایک باقاعدہ ڈوڈیکاہڈرون کی طرح لگتا ہے، لیکن اس کے 24 چہرے اوور لیپنگ جوڑوں میں ہیں۔ سپائکس کو اس وقت تک کاٹا جاتا ہے جب تک کہ وہ ان کے نیچے پینٹاگرام کے سطح تک نہ پہنچ جائیں۔ 24 چہرے کٹے ہوئے چوٹیوں سے 12 پینٹاگون ہیں اور 12 ڈیکگن پہلے 12 پینٹاگون کو اوور لیپ کرتے ہوئے دوگنا زخم والے پینٹاگون کی شکل اختیار کرتے ہیں۔ مؤخر الذکر چہرے اصل پینٹاگرام کو کاٹ کر بنائے جاتے ہیں۔ جب ایک-گون کاٹا جاتا ہے، تو یہ ایک-گون بن جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک کٹا ہوا پینٹاگون ایک ڈیکگن بن جاتا ہے، لہذا پینٹاگرام کو کاٹنا دوگنا زخم والا پینٹاگون بن جاتا ہے (10 اور 2 کے درمیان مشترکہ عنصر کا مطلب ہے کہ ہم کثیر الاضحی کو مکمل کرنے کے لیے ہر سرے پر دو بار جاتے ہیں)۔ مزید پڑھنے کے لیے چھوٹے اسٹیلٹیڈ ڈوڈیکاہڈرون اور عظیم ڈوڈیکاہڈرون حوالہ جات کا مرکب دیکھیں مزید پڑھنے کے لیے بیرونی روابط پولی ہیڈرل اسٹیلیشن باقاعدہ پولی ہیڈرا کیپلر-پوینسوٹ پولی ہیڈرا