Disjunctive sum
مشترکہ کھیلوں کی ریاضی میں، دو کھیلوں کا مجموعہ یا اختلاط مجموعہ ایک ایسا کھیل ہے جس میں دونوں کھیل متوازی طور پر کھیلے جاتے ہیں، جس میں ہر کھلاڑی کو فی باری صرف ایک کھیل میں منتقل ہونے کی اجازت ہوتی ہے۔ سم گیم اس وقت ختم ہوتا ہے جب دونوں متوازی کھیلوں میں سے کسی میں بھی کوئی حرکت باقی نہیں رہتی ہے، جس مقام پر (عام کھیل میں) حرکت کرنے والا آخری کھلاڑی جیت جاتا ہے۔ اس عمل کو کسی بھی تعداد میں کھیلوں کی اختلاط رقم تک بڑھایا جا سکتا ہے، پھر کھیل کو متوازی طور پر کھیل کر اور ہر باری میں بالکل ایک کھیل میں منتقل کر کے۔ یہ بنیادی عمل ہے جو غیر جانبدار کھیلوں کے لیے اسپراگ-گرینڈی تھیوریم میں استعمال ہوتا ہے اور جس کی وجہ سے متعصبانہ کھیلوں کے لیے مشترکہ گیم تھیوری کا میدان شروع ہوا۔ عام کھیلوں پر اطلاق غیر متزلزل رقوم ان کھیلوں میں پیدا ہوتی ہیں جو قدرتی طور پر ان اجزاء یا خطوں میں تقسیم ہو جاتے ہیں جو تعامل نہیں کرتے سوائے اس کے کہ ہر کھلاڑی کو کھیلنے کے لیے صرف ایک جزو کا انتخاب کرنا ہوتا ہے۔ اس طرح کے کھیلوں کی مثالیں گو، نیم، اسپراؤٹس، ڈومینئرنگ، گیم آف دی ایمیزونز، اور نقشہ رنگنے والے کھیل ہیں۔ اس طرح کے کھیلوں میں، ہر جزو کو آسان بنانے کے لیے الگ سے تجزیہ کیا جا سکتا ہے جو اس کے نتائج یا دوسرے کھیلوں کے ساتھ اس کے اختلاط کے نتائج کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ ایک بار یہ تجزیہ انجام دیے جانے کے بعد، اجزاء کو ایک وقت میں دو کھیلوں کا اختلاط مجموعہ لے کر، انہیں اصل کھیل کی طرح ہی نتائج کے ساتھ ایک ہی کھیل میں ملا کر جوڑا جا سکتا ہے۔ ریاضی سم آپریشن کو باضابطہ بنایا گیا تھا۔ یہ ایک متغیر اور ملحقہ عمل ہے: اگر دو کھیلوں کو ملایا جاتا ہے، تو نتیجہ یکساں ہوتا ہے اس سے قطع نظر کہ وہ کس ترتیب میں جڑے ہوئے ہیں، اور اگر دو سے زیادہ کھیلوں کو ملایا جاتا ہے، تو نتیجہ یکساں ہوتا ہے اس سے قطع نظر کہ وہ کس طرح گروپ کیے گئے ہیں۔ گیم G کی نفی-G (دو کھلاڑیوں کے کرداروں کی تجارت سے تشکیل پانے والا گیم) اختلاط رقم کے تحت ایک اضافی الٹا تشکیل دیتا ہے: گیم G +-G ایک صفر گیم ہے (جو بھی دوسرے نمبر پر جاتا ہے وہ جیت جاتا ہے) جس میں ایک سادہ بازگشت کی حکمت عملی کا استعمال کیا جاتا ہے جس میں دوسرا کھلاڑی دوسرے گیم میں پہلے کھلاڑی کی حرکت کو بار بار نقل کرتا ہے۔ کسی بھی دو گیمز G اور H کے لیے، گیم H + G + −G کا نتیجہ وہی ہوتا ہے جو خود H کا ہوتا ہے (حالانکہ اس میں دستیاب چالوں کا ایک بڑا مجموعہ ہو سکتا ہے)۔ ان خصوصیات کی بنیاد پر، مشترکہ کھیلوں کی کلاس کو ابیلین گروپ کی ساخت کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، حالانکہ عناصر کے ایک سیٹ کے بجائے (جیسا کہ گروپوں کے لیے زیادہ معیاری ہے) عناصر کی ایک مناسب کلاس کے ساتھ۔ کھیلوں کے ایک اہم ذیلی طبقے کے لیے جسے حقیقی اعداد کہا جاتا ہے، ایک ضرب آپریٹر موجود ہے جو اس گروپ کو ایک میدان تک پھیلاتا ہے۔ غیر جانبدار مسیر پلے گیمز کے لیے، رقوم کا ایک مماثل نظریہ تیار کیا جا سکتا ہے، لیکن ان میں سے کم خصوصیات کے ساتھ: یہ کھیل صرف ایک غیر معمولی الٹا عنصر کے ساتھ ایک تبادلہ مونوئڈ بناتے ہیں، جسے اسٹار (*) کہا جاتا ہے، جو ترتیب دو کا ہوتا ہے۔ حوالہ جات۔ مشترکہ گیم تھیوری