Thin set (Serre)
ریاضی میں، سیری کے معنی میں ایک پتلا سیٹ، جس کا نام جین پیئر سیری کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک مخصوص قسم کا ذیلی سیٹ ہے جو الجبرائی جیومیٹری میں کسی دیئے گئے فیلڈ K پر بنایا گیا ہے، اجازت شدہ کارروائیوں کے ذریعہ جو ایک قطعی معنوں میں 'ناممکن' ہیں۔ دو بنیادی چیزیں یہ ہیں: ایک کثیر الجہتی مساوات کو حل کرنا جو معاملہ ہو یا نہ ہو ؛ K کے اندر ایک کثیر الجہتی کو حل کرنا جو ہمیشہ فیکٹرائز نہیں ہوتا ہے۔ کسی کو محدود اتحاد لینے کی بھی اجازت ہے۔ فارمولیشن مزید واضح طور پر، V کو K پر الجبرائی قسم ہونے دیں (یہاں مفروضے یہ ہیں: V ایک ناقابل کٹوتی سیٹ ہے، ایک نیم پروجیکٹو قسم، اور K کی خصوصیت صفر ہے)۔ ٹائپ I پتلی سیٹ V (K) کا ایک ذیلی سیٹ ہے جو زرسکی گھنے نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ایک الجبرائی سیٹ میں واقع ہے جو کہ ڈی سے کم طول و عرض کی الجبرائی اقسام کا ایک محدود اتحاد ہے، وی کا طول و عرض۔ ایک قسم II پتلی سیٹ الجبرائی مورفزم (بنیادی طور پر ایک کثیر الجہتی نقشہ سازی) φ کی ایک شبیہہ ہے، جس کا اطلاق کسی دوسرے ڈی جہتی الجبرائی قسم V′ کے K-پوائنٹس پر ہوتا ہے، جو بنیادی طور پر V پر ڈگری e> 1 کے ساتھ ایک وسیع احاطہ کے طور پر نقشہ بناتا ہے۔ مزید تکنیکی طور پر یہ کہتے ہوئے، ٹائپ II کا ایک پتلا سیٹ φ (V′ (K)) کا کوئی بھی ذیلی سیٹ ہے جہاں V′ وہی مفروضوں کو پورا کرتا ہے جیسے V اور φ جیومیٹر کے نقطہ نظر سے عام طور پر سرجیکٹو ہے۔ اس لیے فنکشن فیلڈز کی سطح پر ہمارے پاس [K (V): K (V′)] = e> 1 ہے۔ اگرچہ V کا ایک عام نقطہ v، V′ میں u کے ساتھ φ (u) ہے، لیکن K (V) میں پڑے v سے ہم عام طور پر صرف یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ u کے نقاط K پر ڈگری e مساوات کو حل کرنے سے آتے ہیں۔ اس کے بعد تھیوری آف پتلی سیٹوں کا پورا مقصد یہ سمجھنا ہے کہ زیر بحث گھلنشیلتا ایک نایاب واقعہ ہے۔ یہ کلاسیکی ہلبرٹ اریڈیوسیبلٹی تھیوریم کو مزید ہندسی اصطلاحات میں تشکیل دیتا ہے۔ ایک پتلا سیٹ، عام طور پر، قسم I اور II کے پتلے سیٹوں کے محدود اتحاد کا ذیلی سیٹ ہے۔ پتلی اصطلاح کو اس حقیقت سے جائز قرار دیا جا سکتا ہے کہ اگر A، Q پر لکیر کا ایک پتلا ذیلی مجموعہ ہے تو زیادہ سے زیادہ H پر اونچائی والے A کے پوائنٹس کی تعداد ′H ہے: زیادہ سے زیادہ H پر اونچائی کے لازمی پوائنٹس کی تعداد ہے، اور یہ نتیجہ بہترین ممکن ہے۔ ایس۔ ڈی۔ کوہن کا نتیجہ، بڑی چھلنی کے طریقہ کار پر مبنی، اس نتیجے کو بڑھاتا ہے، اونچائی کی تقریب کے لحاظ سے پوائنٹس کی گنتی کرتا ہے اور مضبوط معنوں میں یہ ظاہر کرتا ہے کہ ایک پتلی سیٹ ان کا کم تناسب رکھتی ہے (اس پر سرے کے لیکچرز آن مورڈیل-ویل تھیوریم میں تفصیل سے بحث کی گئی ہے)۔ A کو Q پر افائن n-اسپیس میں ایک پتلا سیٹ ہونے دیں اور N (H) کو زیادہ سے زیادہ H پر سادہ اونچائی کے لازمی نکات کی تعداد کی نشاندہی کرنے دیں۔ پھر ہلبرٹین فیلڈز A ہلبرٹین قسم V پر K وہ ہے جس کے لیے V (K) پتلا نہیں ہے: یہ V کا بائریشنل غیر متغیر ہے۔ A ہلبرٹین فیلڈ K وہ ہے جس کے لیے K پر مثبت جہت کی ہلبرٹین قسم موجود ہے: یہ اصطلاح لینگ نے 1962 میں متعارف کرائی تھی۔ اگر K ہلبرٹین ہے تو K پر پروجیکٹو لائن ہلبرٹین ہے، لہذا اسے تعریف کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ عقلی نمبر فیلڈ Q ہلبرٹین ہے، کیونکہ ہلبرٹ کے اڈرڈیوسیبلٹی تھیوریم کا نتیجہ یہ ہے کہ Q پر پروجیکٹو لائن ہلبرٹین ہے: درحقیقت، کوئی بھی الجبرائی نمبر فیلڈ ہلبرٹین ہے، پھر ہلبرٹ اڈرڈیوسیبلٹی تھیوریم کے مطابق۔ زیادہ عام طور پر ہلبرٹین فیلڈ کی ایک محدود ڈگری توسیع ہلبرٹین ہے اور کوئی بھی حتمی طور پر پیدا شدہ لامحدود فیلڈ ہلبرٹین ہے۔ ہلبرٹین فیلڈز کے مستقل معیار پر کئی نتائج موجود ہیں۔ خاص طور پر ہلبرٹینٹی کو محدود علیحدہ توسیع اور ابیلین توسیع کے تحت محفوظ کیا گیا ہے۔ اگر N ہلبرٹین فیلڈ کی گالوئس توسیع ہے، تو اگرچہ N کو خود ہلبرٹین ہونے کی ضرورت نہیں ہے، ویساؤر کے نتائج اس بات پر زور دیتے ہیں کہ N کی کوئی بھی مناسب محدود توسیع ہلبرٹین ہے۔ اس سمت میں سب سے عام نتیجہ ہاران کا ڈائمنڈ تھیوریم ہے۔ ان نتائج اور مزید پر بحث فریڈ جارڈن کے فیلڈ ریاضی میں ظاہر ہوتی ہے۔ ہلبرٹین ہونا پیمانے کے دوسرے سرے پر الجبرائی طور پر بند ہونے سے ہے: مثال کے طور پر پیچیدہ اعداد کے تمام سیٹ پتلے ہوتے ہیں۔ وہ، دیگر مقامی فیلڈز (حقیقی اعداد، p-adic اعداد) کے ساتھ ہلبرٹین نہیں ہیں۔ ڈبلیو ڈبلیو اے پراپرٹی کسی نمبر فیلڈ پر مختلف قسم کے V کے لیے ڈبلیو ڈبلیو اے پراپرٹی (کمزور 'کمزور تخمینہ'، sic) کمزور تخمینہ ہے (cf. الجبرائی گروپوں میں تخمینہ)، K کے مقامات کے محدود سیٹوں کے لیے کچھ دیئے گئے محدود سیٹ سے گریز کرنا۔ مثال کے طور پر K = Q لیں: یہ ضروری ہے کہ V (Q) تمام پروڈکٹس کے لیے ΠV (Qp) میں گھنے ہو جو کہ پرائم نمبرز p کے محدود سیٹوں پر ہو، جس میں کسی سیٹ {p1,., pM} میں سے کوئی بھی شامل نہ ہو جو ایک بار اور ہمیشہ کے لیے دیا گیا ہو۔ ایکڈہل نے ثابت کیا ہے کہ ڈبلیو ڈبلیو اے برائے وی کا مطلب ہے کہ وی ہلبرٹین ہے۔ درحقیقت کولیئٹ-تھیلین کا قیاس ہے کہ ڈبلیو ڈبلیو اے کسی بھی یک جہتی قسم کے لیے ہے، جو اس لیے ایک مضبوط بیان ہے۔ یہ قیاس الٹا گالوئس مسئلے کا مثبت جواب دے گا۔ حوالہ جات ڈیوفنٹائن جیومیٹری فیلڈ (ریاضی)