Wirtinger's inequality for functions
ورٹنگر کے نام سے منسوب دیگر عدم مساوات کے لیے، ورٹنگر کی عدم مساوات دیکھیں۔ تجزیہ کے ریاضیاتی میدان میں، ورٹنگر کی عدم مساوات ایک واحد متغیر کے افعال کے لیے ایک اہم عدم مساوات ہے، جس کا نام ولہیلم ورٹنگر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اس کا استعمال ایڈولف ہروٹز نے 1901 میں طیارہ میں منحنی خطوط کے لیے آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کا ایک نیا ثبوت دینے کے لیے کیا تھا۔ مختلف قسم کے قریب سے متعلق نتائج کو آج ورٹنگر کی عدم مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے، ان سب کو پوئنکیری عدم مساوات کی کچھ شکلوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ نظریہ ورٹنگر عدم مساوات کے کئی غیر مساوی ورژن ہیں: اوسط قدر صفر اور ساتھ کے وقفے پر ایک مسلسل اور تفریق پذیر فنکشن ہونے دیں۔ پھر اور مساوات تب ہی برقرار رہتی ہے جب اور صرف اس صورت میں جب کچھ اعداد کے لیے اور۔ ساتھ وقفے پر ایک مسلسل اور تفریق پذیر فنکشن ہونے دیں۔ پھر اور مساوات تب ہوتی ہے جب اور صرف اس صورت میں جب کچھ تعداد کے لیے ہو۔ اوسط قدر صفر کے ساتھ وقفے پر ایک مسلسل اور تفریق پذیر فنکشن ہونے دیں۔ پھر اور مساوات تب ہوتی ہے جب اور صرف اس صورت میں جب کچھ تعداد کے لیے ہو۔ ان کے اختلافات کے باوجود، ان کا ایک دوسرے سے گہرا تعلق ہے، جیسا کہ سپیکٹرم جیومیٹری کے لحاظ سے ذیل میں دیے گئے بیان سے دیکھا جا سکتا ہے۔ ان سب کو پوئنکیری عدم مساوات کی مختلف شکلوں کے خصوصی معاملات کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے، جس میں زیادہ سے زیادہ پوئنکیری مستقل کی واضح طور پر شناخت کی جاتی ہے۔ درمیانی ورژن بھی فریڈرک کی عدم مساوات کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں ایک بار پھر بہترین مستقل کی نشاندہی کی گئی ہے۔ ثبوت ورٹنگر عدم مساوات کے تین ورژن مختلف ذرائع سے ثابت کیے جا سکتے ہیں۔ اس کی وضاحت مندرجہ ذیل میں تین ورٹنگر عدم مساوات میں سے ہر ایک کے لیے ایک مختلف قسم کے ثبوت سے کی گئی ہے۔ ہر معاملے میں، شامل انٹیگرلز میں متغیرات کی لکیری تبدیلی سے، صرف ایک خاص انتخاب کے لیے تھیوریم کو ثابت کرنے میں عامیت کا کوئی نقصان نہیں ہوتا ہے۔ فورئیر سیریز اوپر دی گئی پہلی ورٹنگر عدم مساوات پر غور کریں۔ بننے کے لئے لے لو. چونکہ ڈیرچلیٹ کی شرائط پوری ہوتی ہیں، اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں اور اس حقیقت کا کہ کی اوسط قیمت صفر ہے اس کا مطلب ہے کہ۔ پارسیول کی شناخت سے، اور چونکہ تمام خلاصہ غیر منفی ہیں، اس لیے ورٹنگر کی عدم مساوات ثابت ہوتی ہے۔ مزید برآں یہ دیکھا گیا ہے کہ مساوات صرف اور صرف اس صورت میں ہوتی ہے جب سب کے لیے ہو۔ یہ مثلثی اضافی فارمولوں کے استعمال سے بیان کردہ حالت کے مساوی ہے۔ حصوں کے لحاظ سے انضمام اوپر دی گئی دوسری ورٹنگر عدم مساوات پر غور کریں۔ بننے کے لئے لے لو. کوئی بھی تفریق پذیر فنکشن کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے شناخت کے انضمام کو مطمئن کرتا ہے اور باؤنڈری کنڈیشنز پھر ظاہر کرتے ہیں کہ یہ ورٹنگر کی عدم مساوات کو ثابت کرتا ہے، کیونکہ دوسرا انٹیگرل واضح طور پر غیر منفی ہے۔ مزید برآں، ورٹنگر عدم مساوات میں مساوات کو اس کے مساوی دیکھا جاتا ہے، جس کا عمومی حل (جیسا کہ متغیرات کی علیحدگی سے شمار کیا جاتا ہے) ایک صوابدیدی نمبر کے لیے ہوتا ہے۔ کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے مذکورہ بالا اطلاق میں ایک لطیفہ ہے، کیونکہ یہ ایسا معاملہ نہیں ہے جو ہر فنکشن کے لیے مسلسل پھیلا ہوا ہو۔ اسے مندرجہ ذیل طریقے سے حل کیا جاتا ہے۔ یہ ہولڈر عدم مساوات کی پیروی کرتا ہے اور جو ظاہر کرتا ہے کہ جب تک محدود ہے، اس کی حد صفر میں بدل جاتی ہے۔ چونکہ کی چھوٹی مثبت اقدار کے لیے، یہ سکویز تھیوریم کی پیروی کرتا ہے جو صفر میں بدلتے ہوئے صفر میں بدل جاتا ہے۔ بالکل اسی طرح، یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ صفر میں بدل جاتا ہے۔ فنکشنل تجزیہ اوپر دی گئی تیسری ورٹنگر عدم مساوات پر غور کریں۔ بننے کے لئے لے لو. اوسط قدر صفر پر ایک مسلسل فنکشن کو دیکھتے ہوئے، آئیے اس فنکشن کو ظاہر کریں جس کی اوسط قدر صفر ہے، اور اور کے ساتھ۔ مستقل کوفشنٹس کے ساتھ عام تفریقی مساوات کے بنیادی تجزیے سے، کے آئجن ویلیوز غیر صفر انٹیجرز کے لیے ہیں، جن میں سے سب سے بڑا ہے۔ کیونکہ یہ ایک باؤنڈڈ اور سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہے، اس کی پیروی کرتا ہے کہ تمام اوسط ویلیو صفر کے لیے، جہاں مساوات حصوں کے انضمام کی وجہ سے ہے۔ آخر میں، اوسط قدر صفر پر کسی بھی مسلسل تفریق پذیر فنکشن کے لیے، آئیے کمپیکٹلی سپورٹڈ مسلسل تفریق پذیر فنکشنز کا ایک سلسلہ ہو جس پر کنورج ہوتا ہے۔ پھر وضاحت کریں پھر ہر ایک کی اوسط قیمت صفر کے ساتھ ہوتی ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ اوسط قیمت صفر ہے۔ لہذا مذکورہ بالا عدم مساوات کا اطلاق جائز ہے اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ اس کی جگہ لینا ممکن ہے، اور اس طرح ورٹنگر عدم مساوات کو ثابت کیا جاسکتا ہے، جیسے ہی اس کی تصدیق ہوتی ہے کہ اس میں ضم ہوجاتا ہے۔ ہولڈر یا جینسن کی عدم مساوات کو لکھ کر اور ان کا اطلاق کرکے اس کی تصدیق معیاری طریقے سے کی جاتی ہے۔ یہ ورٹنگر کی عدم مساوات کو ثابت کرتا ہے۔ اس صورت میں جس میں وہ ایک فنکشن ہے جس کے لیے ورٹنگر عدم مساوات میں مساوات ہوتی ہے، تب تغیرات کے حساب میں ایک معیاری دلیل یہ کہتی ہے کہ اس کے ساتھ اویلر-لاگرانج مساوات کا کمزور حل ہونا چاہیے، اور اس طرح کی مساوات کا باقاعدگی کا نظریہ، اس کے بعد مستقل گتانک کے ساتھ عام تفریقی مساوات کا معمول کا تجزیہ، یہ ظاہر کرتا ہے کہ کچھ تعداد کے لیے۔ اس دلیل کو مکمل طور پر رسمی اور درست بنانے کے لیے، زیر بحث فنکشن خالی جگہوں کے بارے میں زیادہ محتاط رہنا ضروری ہے۔ سپیکٹرم جیومیٹری سپیکٹرم جیومیٹری کی زبان میں، اوپر ورٹنگر عدم مساوات کے تین ورژن کو مختلف یک جہتی ریمینیئن کئی گنا پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی آئجین ویلیو اور متعلقہ آئجین فنکشنز کے بارے میں تھیوریمز کے طور پر دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے: لمبائی کے ریمینی دائرے پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی آئجین ویلیو ہے، اور متعلقہ آئجین فنکشنز دو کوآرڈینیٹ افعال کے لکیری امتزاج ہیں۔ وقفے پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی ڈیرچلیٹ آئجن ویلیو ہے اور اسی طرح کے آئجن فنکشن صوابدیدی غیر صفر نمبروں کے لیے دیے جاتے ہیں۔ وقفے پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی نیومن آئجن ویلیو ہے اور اسی طرح کے آئجن فنکشن صوابدیدی غیر صفر نمبروں کے لیے دیے جاتے ہیں۔ ان کو اعلی جہتی خالی جگہوں کے بارے میں بیانات تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ریمینی دائرے کو کسی دائرے، حقیقی پروجیکٹو اسپیس، یا ٹورس (صوابدیدی طول و عرض کے) کے یک جہتی ورژن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یہاں دیئے گئے پہلے ورژن میں ورٹنگر کی عدم مساوات کو پھر مندرجہ ذیل میں سے کسی کے معاملے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: یونٹ-ریڈیئس-جہتی دائرے پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی آئجن ویلیو ہے، اور متعلقہ آئجن فنکشنز کوآرڈینیٹ افعال کے لکیری امتزاج ہیں۔ - جہتی حقیقی پروجیکٹو اسپیس پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی آئجن ویلیو (یونٹ-ریڈیئس دائرے سے کورنگ میپ کے ذریعہ دی گئی معمول کے ساتھ) ہے، اور متعلقہ آئجن فنکشنز یونٹ دائرے (اور پھر حقیقی پروجیکٹو اسپیس) پر یکساں کواڈریٹک کثیرالجہتی کی پابندیاں ہیں۔ - جہتی ٹورس پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی آئجین ویلیو (خود کے ساتھ لمبائی کے دائرے کے-فولڈ پروڈکٹ کے طور پر دی گئی ہے) ہے، اور متعلقہ آئجین فنکشنز حلقوں پر آئجین فنکشنز کے-فولڈ پروڈکٹ کے صوابدیدی لکیری امتزاج ہیں۔ ورٹنگر عدم مساوات کے دوسرے اور تیسرے ورژن کو یوکلڈین اسپیس میں میٹرک گیندوں پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کے پہلے ڈیرچلیٹ اور نیومین آئجن ویلیوز کے بارے میں بیانات تک بڑھایا جا سکتا ہے: یونٹ بال پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کا پہلا ڈیرچلیٹ آئجن ویلیو پہلی قسم کے بیسیل فنکشن کے سب سے چھوٹے مثبت صفر کا مربع ہے۔ یونٹ بال پر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی نیومن آئجین ویلیو پہلی قسم کے بیسیل فنکشن کے پہلے مشتق کے سب سے چھوٹے مثبت صفر کا مربع ہے۔ آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات پر اطلاق اوپر دی گئی پہلی شکل میں، ورٹنگر عدم مساوات کو طیارہ میں منحنی خطوط کے لیے آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ ایڈولف ہروٹز نے 1901 میں پایا تھا۔ ہوائی جہاز میں دائرے کی ایک قابل تفریق سرایت ہونے دیں۔ دائرے کو اس طرح پیرامیٹرائز کرنا جس کی رفتار مستقل ہو، منحنی خطوط کی لمبائی اس کے ذریعہ دی جاتی ہے اور منحنی خطوط سے منسلک رقبہ (اسٹوکس تھیوریم کی وجہ سے) اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ چونکہ انٹیگرل کی تعریف کا انٹیگرینڈ مستقل سمجھا جاتا ہے، اس لیے اسے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ پہلا انٹیگرل واضح طور پر غیر منفی ہے۔ منحنی خطوط کے رقبے یا لمبائی کو تبدیل کیے بغیر، کسی تعداد کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے، تاکہ اوسط قدر صفر ہو۔ پھر ورٹنگر عدم مساوات کو یہ دیکھنے کے لیے لاگو کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا انٹیگرل بھی غیر منفی ہے، اور اس لیے جو آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات ہے۔ مزید برآں، آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات میں مساوات کا مطلب ورٹنگر عدم مساوات میں مساوات اور مساوات دونوں ہے، جو من مانی تعداد اور پھر کے لیے ہے۔ ان مساوات کا مطلب یہ ہے کہ کی تصویر سطح میں ایک گول دائرہ ہے۔ حوالہ جات فوریر تجزیہ عدم مساوات تجزیہ میں نظریات