Grassmann number
ریاضیاتی طبیعیات میں، گراس مین نمبر، جس کا نام ہرمن گراس مین کے نام پر رکھا گیا ہے (جسے اینٹی کمیونیٹنگ نمبر یا سپرن نمبر بھی کہا جاتا ہے)، پیچیدہ اعداد پر بیرونی الجبرا کا ایک عنصر ہے۔ 1 جہتی الجبرا کا خاص معاملہ دوہری نمبر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ گراس مین نمبروں نے طبیعیات میں فرمیوونک فیلڈز کے لیے ایک پاتھ انٹیگرل نمائندگی کے اظہار کے لیے ابتدائی استعمال دیکھا، حالانکہ اب وہ بڑے پیمانے پر سپر اسپیس کی بنیاد کے طور پر استعمال ہوتے ہیں، جس پر سپرسیمیٹری بنائی جاتی ہے۔ غیر رسمی بحث گراس مین نمبر اینٹی کمیونٹنگ عناصر یا اشیاء کے ذریعہ تیار کیے جاتے ہیں۔ نقل و حمل مخالف اشیاء کا خیال ریاضی کے متعدد شعبوں میں پیدا ہوتا ہے: وہ عام طور پر تفریقی جیومیٹری میں دیکھے جاتے ہیں، جہاں تفریقی شکلیں مخالف نقل و حمل ہوتی ہیں۔ متفرق شکلوں کو عام طور پر مشتقات کے لحاظ سے کئی گنا پر بیان کیا جاتا ہے ؛ تاہم، کوئی بھی اس صورت حال پر غور کر سکتا ہے جہاں کوئی کسی بھی بنیادی کئی گنا کے وجود کو "بھول جاتا ہے" یا "نظر انداز" کرتا ہے، اور "بھول جاتا ہے" یا "نظر انداز" کرتا ہے کہ شکلوں کو مشتقات کے طور پر بیان کیا گیا تھا، اور اس کے بجائے، صرف ایسی صورتحال پر غور کریں جہاں کسی کے پاس ایسی اشیاء ہوں جو نقل و حمل کے خلاف ہوں، اور ان میں کوئی دوسری پہلے سے طے شدہ یا پہلے سے سمجھی جانے والی خصوصیات نہ ہوں۔ اس طرح کی اشیاء الجبرا بناتی ہیں، اور خاص طور پر گراس مین الجبرا یا بیرونی الجبرا۔ گراس مین نمبر اس الجبرا کے عناصر ہیں۔ "نمبر" کی اپیل اس حقیقت سے جائز ہے کہ وہ "عام" نمبروں کے برعکس سلوک نہیں کرتے ہیں: انہیں شامل کیا جا سکتا ہے، ضرب دی جا سکتی ہے اور تقسیم کیا جا سکتا ہے: وہ تقریبا ایک فیلڈ کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ مزید کیا جا سکتا ہے: کوئی گراس مین نمبروں کے کثیر الجہتی پر غور کر سکتا ہے، جس سے ہولومورفک افعال کا خیال آتا ہے۔ کوئی بھی اس طرح کے افعال کے مشتقات لے سکتا ہے، اور پھر اینٹی مشتقات پر بھی غور کر سکتا ہے۔ ان خیالات میں سے ہر ایک کو احتیاط سے بیان کیا جا سکتا ہے، اور عام ریاضی کے مساوی تصورات سے معقول حد تک مطابقت رکھتا ہے۔ مشابہت یہیں نہیں رکتی: کسی کی سپر میتھمیٹکس کی ایک پوری شاخ ہوتی ہے، جہاں یوکلڈین اسپیس کا ینالاگ سپر اسپیس ہوتا ہے، کئی گنا کا ینالاگ ایک سپر مینی فولڈ ہوتا ہے، لائ الجبرا کا ینالاگ ایک لائ سپر الجبرا ہوتا ہے اور اسی طرح۔ گراس مین نمبرز وہ بنیادی تعمیر ہیں جو یہ سب ممکن بناتی ہیں۔ یقینا، کوئی بھی کسی دوسرے شعبے، یا یہاں تک کہ رنگ کے لیے بھی اسی طرح کے پروگرام کا تعاقب کر سکتا ہے، اور یہ درحقیقت ریاضی میں وسیع پیمانے پر اور عام طور پر کیا جاتا ہے۔ تاہم، سپر میتھمیٹکس طبیعیات میں ایک خاص اہمیت رکھتا ہے، کیونکہ اینٹی کمیونٹنگ رویے کو فرمینز کے کوانٹم مکینیکل رویے سے مضبوطی سے پہچانا جا سکتا ہے: اینٹی کمیونیکیشن پالی اخراج کے اصول کا ہے۔ اس طرح، گراس مین نمبروں، اور سپر میتھمیٹکس کا مطالعہ، عام طور پر، طبیعیات میں ان کی افادیت سے مضبوطی سے کارفرما ہے۔ خاص طور پر، کوانٹم فیلڈ تھیوری، یا زیادہ تنگ طور پر، سیکنڈ کوانٹائزیشن میں، ایک لیڈر آپریٹرز کے ساتھ کام کرتا ہے جو ملٹی پارٹیکل کوانٹم اسٹیٹس بناتے ہیں۔ فرمینوں کے لیے سیڑھی چلانے والے فیلڈ کوانٹا بناتے ہیں جس میں لازمی طور پر اینٹی سمیٹرک ویو فنکشنز ہونے چاہئیں، کیونکہ یہ پالی اخراج کے اصول سے مجبور ہوتا ہے۔ اس صورت حال میں، گراس مین نمبر فوری طور پر اور براہ راست ایک لہر فنکشن سے مطابقت رکھتا ہے جس میں کچھ (عام طور پر غیر متعین) تعداد میں فرمین ہوتے ہیں۔ جب فرمینوں کی تعداد مقررہ اور محدود ہوتی ہے، تو اینٹی کمیونیکیشن تعلقات اور اسپنرز کے درمیان ایک واضح تعلق اسپن گروپ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس گروپ کو کلفورڈ الجبرا میں یونٹ لمبائی کے ویکٹروں کے ذیلی سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، اور قدرتی طور پر اینٹی کمیونٹنگ ویل اسپنرز میں فیکٹرائز ہوتا ہے۔ مخالف تبادلہ اور اسپنرز کے طور پر اظہار دونوں اسپن گروپ کے لیے قدرتی انداز میں پیدا ہوتے ہیں۔ مختصرا، گراس مین نمبروں کے بارے میں یہ سوچا جا سکتا ہے کہ وہ گھومنے سے پیدا ہونے والے رشتوں کو ترک کرتے ہیں، اور صرف مخالف تبادلوں کی وجہ سے رشتوں کو برقرار رکھتے ہیں۔ عام وضاحت اور خصوصیات گراس مین نمبر انفرادی عناصر یا بیرونی الجبرا کے نکات ہیں جو گراس مین متغیرات یا گراس مین سمتوں یا سپرچارجز کے ایک سیٹ سے پیدا ہوتے ہیں، جن میں ممکنہ طور پر لامحدود ہوتے ہیں۔ "گراس مین متغیرات" کی اصطلاح کا استعمال تاریخی ہے ؛ وہ متغیر نہیں ہیں، بذات خود ؛ انہیں یک جہتی الجبرا کے بنیادی عناصر کے طور پر بہتر سمجھا جاتا ہے۔ اصطلاحات اس حقیقت سے آتی ہیں کہ ایک بنیادی استعمال انٹیگرلز کی وضاحت کرنا ہے، اور یہ کہ انٹیگریشن کا متغیر گراس مین ویلیوڈ ہے، اور اس طرح، زبان کے غلط استعمال سے، گراس مین متغیر کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، سمت کا تصور سپر اسپیس کے تصور سے آتا ہے، جہاں عام یوکلڈین اسپیس کو اضافی گراس مین کی قدر والی "سمتوں" کے ساتھ بڑھایا جاتا ہے۔ چارج کی اپیل فزکس میں چارجز کے تصور سے آتی ہے، جو فزیکل سمیٹریز کے جنریٹرز سے مطابقت رکھتی ہے (نویتھر تھیوریم کے ذریعے)۔ سمجھی جانے والی ہم آہنگی یہ ہے کہ ایک واحد گراس مین متغیر سے ضرب فرمین اور بوسون کے درمیان درجہ بندی کو تبدیل کرتی ہے۔ اس پر ذیل میں مزید تفصیل سے تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ گراس مین متغیر ایک ویکٹر اسپیس (طول و عرض کے) کے بنیادی ویکٹر ہیں۔ وہ کسی فیلڈ پر الجبرا بناتے ہیں، جس میں فیلڈ کو عام طور پر پیچیدہ اعداد کے طور پر لیا جاتا ہے، حالانکہ کوئی دوسرے فیلڈز پر غور کر سکتا ہے، جیسے کہ حقیقی۔ الجبرہ ایک یک جہتی الجبرا ہے، اور جنریٹر اینٹی کمیونٹنگ ہیں: چونکہ وہ پیچیدہ نمبروں پر ویکٹر اسپیس کے عناصر ہیں، اس لیے وہ تعریف کے مطابق پیچیدہ نمبروں کے ساتھ منتقل ہوتے ہیں۔ یعنی، کمپلیکس کے لیے، جنریٹرز کے مربع غائب ہو جاتے ہیں: کیونکہ دوسرے لفظوں میں، گراس مین متغیر صفر کی غیر صفر مربع جڑ ہے۔ رسمی تعریف رسمی طور پر، بنیاد کے ساتھ ایک جہتی پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ گراس مین الجبرا جس کے گراس مین متغیرات کو بیرونی الجبرا کے طور پر بیان کیا گیا ہے، یعنی جہاں بیرونی پروڈکٹ ہے اور براہ راست مجموعہ ہے۔ اس الجبرا کے انفرادی عناصر کو گراس مین نمبرز کہا جاتا ہے۔ تعریف قائم ہونے کے بعد گراس مین نمبر لکھتے وقت پچر کی علامت کو چھوڑنا معیاری ہے۔ ایک عام گراس مین نمبر کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ کہاں سختی سے بڑھ رہے ہیں-ٹیپل کے ساتھ، اور وہ پیچیدہ، مکمل طور پر رینک کے اینٹیسیمیٹرک ٹینسر ہیں۔ ایک بار پھر،، اور (تابع)، اور بڑے محدود پروڈکٹ، کو یہاں دیکھا جا سکتا ہے کہ وہ ذیلی جگہوں کے بنیادی ویکٹر کا کردار ادا کر رہے ہیں۔ لکیری طور پر آزاد گراس مین متغیرات کے ذریعہ تیار کردہ گراس مین الجبرا کا طول و عرض ہے۔ یہ مندرجہ بالا رقم پر لاگو ہونے والے بائنومیل تھیوریم سے ملتا ہے، اور یہ حقیقت کہ متغیرات کا-فولڈ پروڈکٹ اوپر کے اینٹی کمیونیکیشن تعلقات کے ذریعہ غائب ہونا چاہیے۔ کا طول و عرض منتخب، بائنومیل گتانک کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ کے خصوصی کیس کو دوہری نمبر کہا جاتا ہے، اور اسے ولیم کلفورڈ نے 1873 میں متعارف کرایا تھا۔ اگر لامحدود جہتی ہے تو، مندرجہ بالا سلسلہ ختم نہیں ہوتا ہے اور ایک اس کی وضاحت کرتا ہے۔ عام عنصر اب ہے جہاں بعض اوقات جسم اور سپر نمبر کی روح کہا جاتا ہے۔ خصوصیات محدود جہتی صورت میں (ایک ہی اصطلاح کا استعمال کرتے ہوئے) روح نیل پوٹینٹ ہے، یعنی۔ لیکن یہ ضروری نہیں کہ لامحدود جہتی معاملے میں ایسا ہو۔ اگر محدود جہتی ہے، تو اور اگر لامحدود جہتی فائنائٹ بمقابلہ گنتی کے قابل جنریٹر کے سیٹ ہیں تو ادب میں عام طور پر دو الگ الگ قسم کے سپر نمبر ظاہر ہوتے ہیں: جن میں جنریٹر کی محدود تعداد ہوتی ہے، عام طور پر = 1، 2، 3 یا 4، اور جن میں گنتی کے لحاظ سے لامحدود تعداد میں جنریٹر ہوتے ہیں۔ یہ دونوں حالات اتنے غیر متعلقہ نہیں ہیں جتنے وہ پہلے لگ سکتے ہیں۔ سب سے پہلے، ایک سپر منی فولڈ کی تعریف میں، ایک قسم میں گنتی کے لحاظ سے لامحدود تعداد میں جنریٹر استعمال ہوتے ہیں، لیکن پھر ایک ٹوپولوجی کو استعمال کیا جاتا ہے جو طول و عرض کو مؤثر طریقے سے ایک چھوٹی سی محدود تعداد تک کم کر دیتا ہے۔ دوسری صورت میں، کوئی بھی جنریٹر کی ایک محدود تعداد سے شروع کر سکتا ہے، لیکن دوسری مقدار کے دوران، جنریٹر کی ایک لامحدود تعداد کی ضرورت پیدا ہوتی ہے: ہر ممکنہ رفتار کے لیے ایک ایک جو ایک فرمیئن لے جا سکتا ہے۔ انوولیوشن، فیلڈ کا انتخاب پیچیدہ اعداد کو عام طور پر گراس مین نمبروں کی تعریف کے لیے فیلڈ کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے، جیسا کہ حقیقی اعداد کے برخلاف ہوتا ہے، کیونکہ جب کنجگیشن یا انوولیوشن متعارف کرایا جاتا ہے تو یہ کچھ عجیب و غریب طرز عمل سے بچتا ہے۔ گراس مین نمبروں پر آپریٹر * متعارف کرانا عام بات ہے کہ: جنریٹر کب ہے، اور اس طرح کہ کوئی گراس مین نمبروں z پر غور کر سکتا ہے جس کے لیے، اور ان (سپر) کو حقیقی قرار دے سکتا ہے، جبکہ جو اطاعت کرتے ہیں انہیں (سپر) خیالی کہا جاتا ہے۔ یہ تعریفیں بالکل ٹھیک ہوتی ہیں، چاہے گراس مین نمبر حقیقی اعداد کو بیس فیلڈ کے طور پر استعمال کریں۔ تاہم، ایسی صورت میں، اگر جنریٹرز کی تعداد 4 سے کم ہو تو بہت سے کوفیشنٹس غائب ہونے پر مجبور ہو جاتے ہیں۔ اس طرح، روایت کے مطابق، گراس مین نمبروں کی تعریف عام طور پر پیچیدہ نمبروں پر کی جاتی ہے۔ دیگر کنونشن ممکن ہیں ؛ مذکورہ بالا کو بعض اوقات ڈیوٹ کنونشن کہا جاتا ہے ؛ راجرز ارتقاء کے لیے کام کرتے ہیں۔ اس کنونشن میں، حقیقی سپر نمبرز میں ہمیشہ حقیقی گتانک ہوتے ہیں ؛ جبکہ ڈیوٹ کنونشن میں، حقیقی سپر نمبرز میں حقیقی اور خیالی دونوں گتانک ہو سکتے ہیں۔ اس کے باوجود، عام طور پر ڈیوٹ کنونشن کے ساتھ کام کرنا سب سے آسان ہے۔ تجزیہ گراس مین متغیرات کی ایک عجیب تعداد کی مصنوعات ایک دوسرے کے ساتھ مخالف نقل و حرکت ؛ اس طرح کی مصنوعات کو اکثر اے نمبر کہا جاتا ہے۔ گراس مین متغیرات کی یکساں تعداد کی مصنوعات (تمام گراس مین نمبروں کے ساتھ) سفر کرتی ہیں۔ انہیں اکثر سی نمبر کہا جاتا ہے۔ اصطلاحات کے غلط استعمال سے، اے نمبر کو بعض اوقات اینٹی کمیونیٹنگ سی نمبر کہا جاتا ہے۔ یکساں اور عجیب ذیلی جگہوں میں یہ سڑنا الجبرا پر درجہ بندی فراہم کرتا ہے۔ اس طرح گراس مین الجبرا سپر کمیونیٹیٹو الجبرا کی مثالی مثالیں ہیں۔ نوٹ کریں کہ سی-نمبرز کا ذیلی الجبرا تشکیل دیتے ہیں، لیکن اے-نمبرز ایسا نہیں کرتے (وہ ذیلی جگہ ہیں، ذیلی الجبرا نہیں)۔ گراس مین نمبروں کی تعریف ریاضیاتی تجزیے کو انجام دینے کی اجازت دیتی ہے، پیچیدہ اعداد پر تجزیے کی مشابہت میں۔ یعنی، کوئی بھی سپر ہولومورفک افعال کی وضاحت کر سکتا ہے، مشتقات کی وضاحت کر سکتا ہے، نیز انٹیگرلز کی وضاحت کر سکتا ہے۔ دوہری تعداد پر مضمون میں کچھ بنیادی تصورات کو زیادہ تفصیل سے تیار کیا گیا ہے۔ عام اصول کے طور پر، جنریٹرز کی لامحدود تعداد کے ساتھ گراس مین نمبروں کے ساتھ کام کرکے عام ریاضیاتی اداروں کے سپر سمیٹرک اینالاگس کی وضاحت کرنا عام طور پر آسان ہوتا ہے: زیادہ تر تعریفیں سیدھی ہو جاتی ہیں، اور انہیں متعلقہ بوسونک تعریفوں سے لیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک واحد گراس مین نمبر کو ایک جہتی جگہ پیدا کرنے کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ ایک ویکٹر اسپیس،-جہتی سپر اسپیس، پھر ان یک جہتی کارٹیشین پروڈکٹ کے-فولڈ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ بنیادی طور پر جنریٹرز کے ساتھ الجبرا کے مساوی ہے، لیکن اس کے لیے کام کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسپنر اسپیس اسپنر اسپیس کی تعریف ویل اسپنرز (اور اینٹی اسپنرز) کی جگہ کے گراس مین یا بیرونی الجبرا کے طور پر کی گئی ہے، جس میں n فرمینز کے لہر افعال کا تعلق ہوتا ہے۔ گراس مین نمبروں پر انضمام انٹیگرلز کو بیریزین انٹیگرلز (بعض اوقات گراس مین انٹیگرلز کہا جاتا ہے) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فرمی فیلڈ کے لیے پاتھ انٹیگرل کو دوبارہ پیش کرنے کے لیے، گراس مین انٹیگریشن کی تعریف میں درج ذیل خصوصیات ہونی چاہئیں: لکیریٹی پارشل انٹیگریشن فارمولا۔ مزید برآں، کسی بھی فنکشن کی ٹیلر توسیع دو اصطلاحات کے بعد ختم ہو جاتی ہے کیونکہ، اور کوانٹم فیلڈ تھیوری کو اضافی طور پر انٹیگریشن متغیرات کی شفٹ کے تحت انواریینس کی ضرورت ہوتی ہے جیسے کہ اس شرط کو پورا کرنے والا واحد لکیری فنکشن ایک مستقل (روایتی طور پر 1) بار ہوتا ہے، لہذا بیریزین نے اس کی وضاحت کی۔ اس کے نتیجے میں گراس مین مقدار کے انضمام کے لیے درج ذیل اصول سامنے آتے ہیں: اس طرح ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ گراس مین نمبر کے انضمام اور تفریق کی کارروائیاں یکساں ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری کے پاتھ انٹیگرل فارمولیشن میں فرمیوونک اینٹی کمیونیٹنگ فیلڈز کے لیے گراس مین مقداروں کے درج ذیل گوسیئن انٹیگرل کی ضرورت ہے، جس میں A ایک N × N میٹرکس ہے: کنونشن اور پیچیدہ انضمام ایک سے زیادہ گراس مین نمبروں کو مربوط کرنے پر ابہام پیدا ہوتا ہے۔ کنونشن جو سب سے اندرونی انٹیگرل پہلے انجام دیتا ہے کچھ مصنفین آپریٹرز کے ہرمیٹین کنجگیشن کی طرح پیچیدہ کنجگیشن کی بھی وضاحت کرتے ہیں، اضافی کنونشن کے ساتھ ہم آزاد گراس مین نمبروں کے طور پر علاج کر سکتے ہیں، اور اپنا سکتے ہیں۔ اس طرح ایک گاؤسی انٹیگرل ایک عام گاؤسیئن کی طرح ایک عنصر کا اندازہ کرتا ہے اور اس کا ایک اضافی عنصر مؤثر طریقے سے متعارف کراتا ہے، یکسانیت ثابت کرنے کے بعد، ہم ایک عام گاؤسیئن انٹیگرل کا اندازہ کر سکتے ہیں جس میں آئجین ویلیوز کے ساتھ ہرمیٹین میٹرکس شامل ہوتا ہے، میٹرکس کی نمائندگی گراس مین نمبروں کو میٹرکس کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، دو گراس مین نمبروں سے پیدا ہونے والے گراس مین الجبرا پر غور کریں۔ ان گراس مین نمبروں کی نمائندگی 4 × 4 میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے: عام طور پر، n جنریٹرز پر گراس مین الجبرا کی نمائندگی 2n × 2n مربع میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ جسمانی طور پر، ان میٹرکس کو قبضے کی تعداد کی بنیاد پر n ایک جیسے فرمین کی ہلبرٹ جگہ پر کام کرنے والے ریزنگ آپریٹرز کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ چونکہ ہر فرمیئن کے لیے قبضہ نمبر 0 یا 1 ہے، اس لیے 2n ممکنہ بنیادی ریاستیں ہیں۔ ریاضیاتی طور پر، ان میٹرکس کی تشریح گراس مین الجبرا پر بائیں بیرونی ضرب کے مطابق لکیری آپریٹرز کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ عامیاں گراس مین نمبروں میں کچھ عامیاں ہیں۔ ان کے لیے N متغیرات کے لحاظ سے اصولوں کی ضرورت ہوتی ہے جیسے: جہاں اشاریہ جات کا خلاصہ تمام تغیرات پر کیا جاتا ہے تاکہ اس کے نتیجے میں: کچھ N> 2 کے لیے۔ یہ N-ٹینسرز کے ہائپر ڈیٹرمینینٹس کا حساب لگانے کے لیے مفید ہیں جہاں N> 2 اور 2 سے بڑی طاقتوں کے لیے کثیر الجہتی کے تفریق کا حساب لگانے کے لیے بھی۔ محدود کرنے والا معاملہ بھی ہے کیونکہ N انفینٹی کی طرف مائل ہوتا ہے جس صورت میں اعداد پر تجزیاتی افعال کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، N = 3 کے معاملے میں ایک واحد گراس مین نمبر کی نمائندگی میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے: تاکہ۔ دو گراس مین نمبروں کے لیے میٹرکس کا سائز 10 × 10 ہوگا۔ مثال کے طور پر، دو گراس مین متغیرات کے ساتھ N = 3 کے قوانین کا مطلب یہ ہے کہ: تاکہ یہ دکھایا جا سکے کہ اور اس طرح جو 2 × 2 × 2 ٹینسر کے ہائپر ڈیٹرمیننٹ کی تعریف دیتا ہے جیسا کہ گراس مینین ہرمن گراس مین (ماہر لسانیات اور ریاضی دان) سپر اسپیس بیرونی الجبرا نوٹ حوالہ جات ہائپر کمپلیکس نمبرز سپرسیمیٹری کوانٹم فیلڈ تھیوری