Enriques surface
ریاضی میں، اینریکس کی سطحیں الجبرائی سطحیں ہوتی ہیں جیسے کہ بے قاعدگی q = 0 اور کینونکل لائن بنڈل K غیر معمولی ہوتا ہے لیکن اس کا مربع معمولی ہوتا ہے۔ اینریکس کی سطحیں تمام پروجیکٹو ہوتی ہیں (اور اس لیے پیچیدہ نمبروں پر کیلر) اور جینس 0 کی الپٹک سطحیں ہوتی ہیں۔ خصوصیت کے شعبوں پر 2 نہیں وہ K3 سطحوں کے حصص ہیں جو ترتیب 2 کے ایک گروپ کے ذریعہ طے شدہ پوائنٹس کے بغیر کام کرتے ہیں اور ان کا نظریہ الجبرائی K3 سطحوں سے ملتا جلتا ہے۔ اینریکس کی سطحوں کا سب سے پہلے تفصیل سے مطالعہ اس سوال کے جواب کے طور پر کیا گیا تھا جس پر بحث کی گئی تھی کہ آیا q = pg = 0 والی سطح لازمی طور پر عقلی ہے، حالانکہ اس سے پہلے متعارف کرائی گئی کچھ ریئ ہم آہنگی بھی اینریکس کی سطحوں کی مثالیں ہیں۔ اینریکس کی سطحوں کی وضاحت دیگر شعبوں پر بھی کی جا سکتی ہے۔ 2 کے علاوہ خصوصیت کے شعبوں پر، یہ ظاہر ہوا کہ نظریہ پیچیدہ اعداد کے نظریہ سے ملتا جلتا ہے۔ خصوصیت 2 کے شعبوں میں تعریف میں ترمیم کی گئی ہے، اور دو نئے خاندان ہیں، جنہیں واحد اور سپر سنگلر اینریکس سرفیسز کہا جاتا ہے، جن کی وضاحت اس کے ذریعے کی گئی ہے۔ یہ دو اضافی خاندان خصوصیت 2 میں ترتیب 2 کی دو غیر مجرد الجبرائی گروپ اسکیموں سے متعلق ہیں۔ پیچیدہ اینریکس کی سطحوں کے متغیرات اگر n مساوی ہے تو پلورجینرا Pn 1 اور اگر n عجیب ہے تو 0 ہیں۔ بنیادی گروپ کا آرڈر 2 ہے۔ دوسرا کوہمولوجی گروپ H2 (X، Z) طول و عرض 10 اور دستخطی-8 کے منفرد یکساں غیر ماڈیولر جالی II1,9 اور ترتیب 2 کے گروپ کے مجموعے کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہج ڈائمنڈ: نشان زدہ اینریکس کی سطحیں ایک منسلک 10 جہتی خاندان کی تشکیل کرتی ہیں، جو ظاہر ہوتا ہے کہ عقلی ہے۔ خصوصیت 2 خصوصیت 2 میں اینریکس سطحوں کے کچھ نئے خاندان ہیں، جنہیں بعض اوقات نیم اینریکس سطحیں یا غیر کلاسیکی اینریکس سطحیں یا (سپر) واحد اینریکس سطحیں کہا جاتا ہے۔ ("واحد" کی اصطلاح کا مطلب یہ نہیں ہے کہ سطح میں انفرادیت ہے، لیکن اس کا مطلب یہ ہے کہ سطح کسی طرح سے "خاص" ہے۔) خصوصیت 2 میں اینریکس سطحوں کی تعریف میں ترمیم کی گئی ہے: ان کی تعریف کم سے کم سطحوں کے طور پر کی گئی ہے جن کی کینونکل کلاس K عددی طور پر 0 کے مساوی ہے اور جس کا دوسرا بیٹی نمبر 10 ہے۔ (2 کے علاوہ دیگر خصوصیات میں یہ معمول کی تعریف کے برابر ہے۔) اب اینریکس کی سطحوں کے 3 خاندان ہیں: کلاسیکی: مدھم (H1 (O)) = 0۔ اس کا مطلب ہے 2K = 0 لیکن K غیر صفر ہے، اور پیکٹ Z/2Z ہے۔ سطح گروپ اسکیم μ2 کے ذریعہ کم شدہ واحد گورینسٹین سطح کا ایک حصص ہے۔ واحد: مدھم (H1 (O)) = 1 اور فروبینیوس اینڈومورفزم کے ذریعہ غیر معمولی طور پر عمل کیا جاتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ K = 0، اور پکٹو μ2 ہے۔ سطح گروپ اسکیم Z/2Z کے ذریعہ K3 سطح کا ایک حصص ہے۔ سپر سنگولر: ڈم (H1 (O)) = 1 اور فروبینیوس اینڈومورفزم کے ذریعہ معمولی طور پر عمل کیا جاتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ K = 0، اور پیکٹ α2 ہے۔ سطح گروپ اسکیم α2 کے ذریعہ کم شدہ واحد گورینسٹین سطح کا حصص ہے۔ تمام اینریکس کی سطحیں انڈاکار یا نیم انڈاکار ہوتی ہیں۔ مثالیں ایک ریئ ہم آہنگی P3 میں کواڈریکس کے دیئے گئے 3 جہتی لکیری نظام کے کم از کم 2 کواڈریکس میں موجود لائنوں کا خاندان ہے۔ اگر لکیری نظام عام ہے تو ریئ ہم آہنگی ایک اینریکس سطح ہے۔ یہ اینریکس کی سطحوں کی ابتدائی مثالیں تھیں اور ہو سکتی ہیں۔ 3 جہتی پروجیکٹو اسپیس میں ڈگری 6 کی سطح لیں جس میں ٹیٹرا ہیڈرون کے کناروں کے ساتھ ڈبل لائنیں ہوں، جیسے کہ ڈگری 2 کے کچھ عام یکساں کثیر الجہتی Q کے لیے۔ پھر اس کی نارملائزیشن ایک اینریکس سطح ہے۔ یہ ان کے ذریعہ پائی جانے والی مثالوں کا خاندان ہے۔ ایک فکسڈ پوائنٹ فری انولوشن کے ذریعہ K3 سطح کا حصص ایک اینریکس سطح ہے، اور 2 کے علاوہ خصوصیت میں موجود تمام اینریکس سطحوں کو اس طرح بنایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر S K3 سطح w4 + x4 + y4 + z4 = 0 ہے اور T ترتیب 4 آٹومورفزم ہے جو (w, x, y, z) سے (w, ix,-y,-iz) لے جا رہا ہے تو T2 کے آٹھ فکسڈ پوائنٹس ہیں۔ ان آٹھ نکات کو اڑانے اور حصص کو T2 سے لینے سے ایک K3 سطح ملتی ہے جس میں فکسڈ پوائنٹ فری انوولیوشن T ہوتا ہے، اور اس کا حصص T سے اینریکس سطح ہوتا ہے۔ متبادل طور پر، اینریکس کی سطح کو اصل سطح کے حصص کو آرڈر 4 آٹومورفزم ٹی کے ذریعے لے کر اور حصص کے آٹھ واحد نکات کو حل کرکے بنایا جا سکتا ہے۔ ایک اور مثال پائی (یو، وی، ڈبلیو) + کیو (ایکس، وائی، زیڈ) = 0 کی شکل کے 3 کواڈریکس کے چوراہے کو لے کر اور (یو: وی: ڈبلیو: ایکس: وائی: زیڈ) کو (-ایکس:-وائی:-زیڈ: یو: وی: ڈبلیو) پر لے کر ارتقاء کے ذریعے حصص کو لے کر دی گئی ہے۔ عام کواڈریکس کے لیے یہ ارتقاء K3 سطح کا ایک فکسڈ پوائنٹ فری ارتقاء ہے لہذا حصص ایک اینریکس سطح ہے۔ یہ بھی دیکھیں الجبرائی سطحوں کی فہرست اینریکس-کوڈائرا درجہ بندی سپر سنگولر قسم کے حوالہ جات کمپیکٹ کمپلیکس سطحیں بذریعہ ولف پی بارتھ، کلاؤس ہولک، کرس اے ایم پیٹرز، انتونیئس وان ڈی وین یہ کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کے لیے معیاری حوالہ کتاب ہے۔ پیچیدہ سطحیں برائشنل جیومیٹری الجبرائی سطحیں