Symmetric product of an algebraic curve
ریاضی میں، الجبرائی منحنی خطوط C کا n-فولڈ سمیٹرک پروڈکٹ، عوامل کو تبدیل کرنے والے n حروف پر سمیٹرک گروپ Sn کے گروپ ایکشن کے ذریعے n-فولڈ کارٹیشین پروڈکٹ C × C ×. × C یا Cn کی حصص کی جگہ ہے۔ یہ ایک ہموار الجبرائی قسم کے طور پر موجود ہے جس کی نشاندہی σnC سے ہوتی ہے۔ اگر C ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے، تو اس لیے σnC ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ منحنی خطوط کی کلاسیکی جیومیٹری کے سلسلے میں اس کی دلچسپی یہ ہے کہ اس کے پوائنٹس ڈگری n کے C پر موثر تقسیم کاروں سے مطابقت رکھتے ہیں، یعنی غیر منفی انٹیجر کوفیشنٹس والے پوائنٹس کے رسمی مجموعے۔ سی کے لیے پروجیکٹو لائن (جیسے کہ ریمن کرہ ≤ {≤} ≤ S2)، اس کے nth سمیٹرک پروڈکٹ βnC کو جہت n کی پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس سے پہچانا جا سکتا ہے۔ اگر G میں جینس g ≤ 1 ہے تو βnC کا جکوبین قسم C کے J سے گہرا تعلق ہے۔ زیادہ درست طریقے سے n کو g تک کی اقدار لینے کے لیے وہ نیچے سے J کے قریب اندازوں کی ترتیب بناتے ہیں: J میں J میں ان کی تصاویر J پر اضافے کے تحت ہوتی ہیں (تھیٹا-ڈیویزر دیکھیں) جس میں جہت n ہوتی ہے اور J کو خصوصی تقسیم کاروں کی وجہ سے ہونے والی کچھ شناختوں کے ساتھ پر کرتی ہیں۔ g = n کے لیے ہمارے پاس اصل میں ج کے بائریشنل طور پر مساوی ایس جی سی ہے۔ جیکوبین سمیٹرک پروڈکٹ کا ایک بلوئنگ ڈاؤن ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ فنکشن فیلڈز کی سطح پر C کے فنکشن فیلڈ کی لکیری طور پر جداگانہ کاپیاں لے کر اور ان کے مرکب کے اندر سمیٹرک گروپ کے فکسڈ سب فیلڈ کو لے کر J کی تعمیر ممکن ہے۔ یہ آندرے ویل کی جے کو 'بائریشنل ڈیٹا' سے ایک تجریدی قسم کے طور پر بنانے کی تکنیک کا ذریعہ ہے۔ جے کی تعمیر کے دوسرے طریقے، مثال کے طور پر پکارڈ کی قسم کے طور پر، اب ترجیح دی جاتی ہے لیکن اس کا مطلب یہ ہے کہ سی ایف (x1) + پر کسی بھی عقلی فنکشن ایف کے لیے۔ + ایف (xg) جے پر عقلی فنکشن کے طور پر سمجھ میں آتا ہے، xi کے ایف کے قطبوں سے دور رہنے کے لیے۔ n> g کے لیے اضافی ریشوں کے ذریعے ایس این سی سے جے کی نقشہ سازی اسے جے کے اوپر جوڑتی ہے۔ جب این کافی بڑا ہوتا ہے (تقریبا دوگنا جی) تو یہ ایک پروجیکٹو اسپیس بنڈل (پکارڈ بنڈل) بن جاتا ہے۔ اس کا تفصیل سے مطالعہ کیا گیا ہے، مثال کے طور پر کیمپف اور مکائی نے۔ بیٹی نمبرز اور سمیٹرک پروڈکٹ کی یولر خصوصیت C کو پیچیدہ نمبروں C پر جینس g کا ہموار پروجیکٹو وکر ہونے دیں۔ تمام n = 0، 1، 2، کے لیے سمیٹرک پروڈکٹس کے بیٹی نمبر b (σnC)، جنریٹنگ فنکشن کے ذریعے دیے جاتے ہیں اور ان کی یولر خصوصیات e (σnC) جنریٹنگ فنکشن کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ یہاں ہم نے پچھلے فارمولے میں u =-1 اور y =-p سیٹ کیا ہے۔ نوٹ حوالہ جات الجبرائی منحنی خطوط سمیٹرک افعال