Product measure
ریاضی میں، دو قابل پیمائش خالی جگہیں اور ان پر پیمائش دی گئی ہے، کوئی بھی اس جگہ پر قابل پیمائش جگہ اور مصنوع کی پیمائش حاصل کر سکتا ہے۔ تصوراتی طور پر، یہ سیٹوں کے کارٹیشین پروڈکٹ اور دو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی پروڈکٹ ٹوپولوجی کی وضاحت کرنے سے ملتا جلتا ہے، سوائے اس کے کہ پروڈکٹ کی پیمائش کے لیے بہت سے قدرتی انتخاب ہو سکتے ہیں۔ آئیے اور دو قابل پیمائش خالی جگہیں ہوں، یعنی، اور بالترتیب سگما الجبرا ہیں، اور ان خالی جگہوں پر پیمائش ہونے دیں۔ شکل کے ذیلی سیٹوں سے پیدا ہونے والے کارٹیشین پروڈکٹ پر سگما الجبرا سے ظاہر کریں، جہاں اور اس سگما الجبرا کو پروڈکٹ اسپیس پر ٹینسر پروڈکٹ σ-الجبرا کہا جاتا ہے۔ ایک پروڈکٹ پیمائش (جس کی نشاندہی بہت سے مصنفین بھی کرتے ہیں) کی تعریف قابل پیمائش جگہ پر ایک پیمائش کے طور پر کی گئی ہے جو سب کے لیے خاصیت کو مطمئن کرتی ہے۔ (ضرب کے اقدامات میں، جن میں سے کچھ لامحدود ہیں، اگر کوئی عنصر صفر ہے تو ہم پروڈکٹ کو صفر قرار دیتے ہیں۔) در حقیقت، جب خالی جگہیں-لامحدود ہوتی ہیں، تو پروڈکٹ کی پیمائش منفرد طور پر بیان کی جاتی ہے، اور ہر قابل پیمائش سیٹ E کے لیے، جہاں اور، جو دونوں قابل پیمائش سیٹ ہوتے ہیں۔ اس پیمائش کے وجود کی ضمانت ہان-کولموگوروف تھیوریم سے ملتی ہے۔ پروڈکٹ پیمائش کی انفرادیت کی ضمانت صرف اس صورت میں دی جاتی ہے کہ دونوں اور σ-لامحدود ہوں۔ یوکلڈین اسپیس Rn پر بوریل پیمائشوں کو حقیقی لائن R پر بوریل پیمائشوں کی n نقلوں کے پروڈکٹ کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر پروڈکٹ اسپیس کے دو عوامل مکمل پیمائش خالی جگہیں ہیں، تو پروڈکٹ اسپیس نہیں ہو سکتی ہے۔ نتیجتا، بوریل پیمائش کو لیبسیگ پیمائش میں بڑھانے کے لیے، یا مصنوعات کی جگہ پر لیبسیگ پیمائش دینے کے لیے دو لیبسیگ اقدامات کے پروڈکٹ کو بڑھانے کے لیے تکمیل کے طریقہ کار کی ضرورت ہے۔ دو اقدامات کے پروڈکٹ کی تشکیل کے برعکس تعمیر تحلیل ہے، جو کسی لحاظ سے ایک دی گئی پیمائش کو اقدامات کے ایک خاندان میں "تقسیم" کرتی ہے جسے اصل پیمائش دینے کے لیے مربوط کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر دو پیمائش کی جگہوں کو دیکھتے ہوئے، ان کے پروڈکٹ پر ہمیشہ ایک منفرد زیادہ سے زیادہ پروڈکٹ کی پیمائش ہوتی ہے، اس خاصیت کے ساتھ کہ اگر کسی قابل پیمائش سیٹ A کے لیے μmax (A) محدود ہے، تو کسی بھی پروڈکٹ کی پیمائش کے لیے μmax (A) = μ (A) ہے۔ خاص طور پر کسی بھی قابل پیمائش سیٹ پر اس کی قیمت کم از کم کسی بھی دوسرے پروڈکٹ پیمائش کی ہوتی ہے۔ یہ وہ پیمائش ہے جو کیریتھیوڈری ایکسٹینشن تھیوریم کے ذریعہ تیار کی گئی ہے۔ بعض اوقات ایک منفرد کم از کم پروڈکٹ پیمائش بھی ہوتی ہے، جو کہ μmin (S) = सुपार اے ایس، μmax (A) محدود μmax (A) کے ذریعہ دی جاتی ہے، جہاں A اور S کو قابل پیمائش سمجھا جاتا ہے۔ یہاں ایک مثال ہے جہاں کسی پروڈکٹ میں ایک سے زیادہ پروڈکٹ پیمائش ہوتی ہے۔ پروڈکٹ X × Y لیں، جہاں X لیبسیگ پیمائش کے ساتھ یونٹ کا وقفہ ہے، اور Y گنتی کی پیمائش کے ساتھ یونٹ کا وقفہ ہے اور تمام سیٹ قابل پیمائش ہیں۔ پھر کم سے کم پروڈکٹ کی پیمائش کے لیے کسی سیٹ کی پیمائش اس کے افقی حصوں کی پیمائش کا مجموعہ ہوتی ہے، جبکہ زیادہ سے زیادہ پروڈکٹ کی پیمائش کے لیے ایک سیٹ کی پیمائش لامحدود ہوتی ہے جب تک کہ وہ A × B کی شکل کے قابل شمار سیٹوں کے اتحاد میں موجود نہ ہو، جہاں یا تو A کی لیبسگ پیمائش 0 ہے یا B ایک واحد نقطہ ہے۔ (اس صورت میں پیمائش محدود یا لامحدود ہو سکتی ہے۔) خاص طور پر، اخترن میں کم سے کم پروڈکٹ پیمائش کے لیے پیمائش 0 ہوتی ہے اور زیادہ سے زیادہ پروڈکٹ پیمائش کے لیے پیمائش انفینیٹی ہوتی ہے۔ فوبانی تھیوریم حوالہ جات پیمائش (پیمائش تھیوری) انٹیگرل کیلکولس بھی دیکھیں۔