Complete intersection ring
کمیونیٹیٹو الجبرا میں، ایک مکمل انٹرسیکشن رنگ ایک کمیونیٹیٹو رنگ ہے جو مختلف اقسام کے کوآرڈینیٹ رنگوں سے ملتا جلتا ہے جو مکمل انٹرسیکشن ہوتے ہیں۔ غیر رسمی طور پر، ان کے بارے میں تقریبا مقامی رنگوں کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جن کی تعریف "کم از کم ممکنہ" تعلقات کی تعداد کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ نویتھیرین مقامی رنگوں کے لیے، شمولیت کا مندرجہ ذیل سلسلہ ہے: تعریف ایک مقامی مکمل چوراہا رنگ ایک نویتھیرین مقامی رنگ ہے جس کی تکمیل ایک باقاعدہ ترتیب سے پیدا ہونے والے آئیڈیل کے ذریعے ایک باقاعدہ مقامی رنگ کا حصّہ ہے۔ تکمیل کرنا ایک معمولی تکنیکی پیچیدگی ہے جو اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ تمام مقامی حلقے باقاعدہ حلقے نہیں ہیں۔ ان رنگوں کے لیے جو باقاعدہ مقامی رنگوں کے حصص ہیں، جو الجبرائی جیومیٹری میں پائے جانے والے زیادہ تر مقامی رنگوں کا احاطہ کرتے ہیں، تعریف میں تکمیل لینا ضروری نہیں ہے۔ ایک متبادل اندرونی تعریف ہے جو باقاعدہ مقامی رنگ میں رنگ کو سرایت کرنے پر منحصر نہیں ہے۔ اگر R زیادہ سے زیادہ آئیڈیل m کے ساتھ ایک نویتھیرین لوکل رنگ ہے، تو m/m2 کے طول و عرض کو R کا ایمبیڈنگ طول و عرض ایم بی ڈم (R) کہا جاتا ہے۔ m/m2 کے جنریٹرز کے کم سے کم نظام کے حوالے سے کوزول کمپلیکس کی ہومیولوجی کے طور پر ایک درجہ بند الجبرا H (R) کی وضاحت کریں۔ آئسومورفزم تک یہ صرف R پر منحصر ہے اور m کے جنریٹرز کے انتخاب پر نہیں۔ H1 (R) کے طول و عرض کو ε1 سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے R کا پہلا انحراف کہا جاتا ہے۔ یہ تب اور صرف اس صورت میں غائب ہوتا ہے جب R باقاعدہ ہو۔ نویتھیرین لوکل رنگ کو مکمل انٹرسیکشن رنگ کہا جاتا ہے اگر اس کا سرایت کرنے والا طول و عرض طول و عرض اور پہلا انحراف کا مجموعہ ہو: ایم بی ڈم (آر) = ڈم (آر) + ε1 (آر)۔ مقامی مکمل انٹرسیکشن رنگز کی ایک تکراری خصوصیت بھی ہے جسے مندرجہ ذیل تعریف کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ R ایک مکمل نویتھیرین لوکل رنگ ہے۔ اگر R کا طول و عرض 0 سے زیادہ ہے اور x زیادہ سے زیادہ آئیڈیل میں ایک عنصر ہے جو صفر ڈیویزر نہیں ہے تو R ایک مکمل انٹرسیکشن رنگ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R/(x) ہو۔ (اگر زیادہ سے زیادہ آئیڈیل مکمل طور پر صفر تقسیم کاروں پر مشتمل ہے تو R ایک مکمل انٹرسیکشن رنگ نہیں ہے۔) اگر R کا طول و عرض 0 ہے، تو ظاہر کریں کہ یہ ایک مکمل انٹرسیکشن رنگ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کا فٹنگ آئیڈیل غیر صفر ہو۔ مثالیں باقاعدہ مقامی حلقے مکمل چوراہے والے حلقے ہوتے ہیں، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے: انگوٹھی ایک 0 جہتی مکمل چوراہے والی انگوٹی ہے جو باقاعدہ نہیں ہے۔ مکمل انٹرسیکشن نہیں مقامی طور پر مکمل انٹرسیکشن رنگ کی ایک مثال جو مکمل انٹرسیکشن رنگ نہیں ہے اس کی لمبائی 3 ہے کیونکہ یہ ویکٹر اسپیس کے طور پر آئسومورفک ہے۔ جوابی مثال مکمل چوراہے والے مقامی حلقے گورینسٹین کے حلقے ہیں، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے: انگوٹی ایک 0 جہتی گورینسٹین کی انگوٹی ہے جو مکمل چوراہے والی انگوٹی نہیں ہے۔ ایک-ویکٹر اسپیس کے طور پر یہ رنگ آئسومورفک ہے، جہاں، اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ گورینسٹین ہے کیونکہ ٹاپ ڈگری جزو طول و عرض ہے اور یہ پوائن کیئر پراپرٹی کو مطمئن کرتا ہے۔ یہ ایک مقامی مکمل انٹرسیکشن رنگ نہیں ہے کیونکہ آئیڈیل-ریگولر نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ایک صفر تقسیم کنندہ ہے۔ حوالہ جات مواصلاتی الجبرا