Ramond–Ramond field
نظریاتی طبیعیات میں، رامونڈ-رامونڈ فیلڈز ٹائپ II سپر گریویٹی تھیوریز کے 10 جہتی اسپیس ٹائم میں تفریقی فارم فیلڈز ہیں، جو ٹائپ II سٹرنگ تھیوری کی کلاسیکی حدود ہیں۔ فیلڈز کی صفوں کا انحصار اس بات پر ہے کہ کس قسم II کے نظریہ پر غور کیا جاتا ہے۔ جیسا کہ جوزف پولچنسکی نے 1995 میں استدلال کیا، ڈی-برینز وہ چارج شدہ اشیاء ہیں جو پی-فارم الیکٹرو ڈائنامکس کے اصولوں کے مطابق ان شعبوں کے ذرائع کے طور پر کام کرتی ہیں۔ یہ قیاس کیا گیا ہے کہ کوانٹم آر آر فیلڈز تفریقی شکلیں نہیں ہیں، بلکہ ان کی درجہ بندی مڑے ہوئے کے تھیوری کے ذریعے کی جاتی ہے۔ صفت "رامونڈ-رامونڈ" اس حقیقت کی عکاسی کرتی ہے کہ آر این ایس رسمی نظام میں، یہ فیلڈز رامونڈ-رامونڈ سیکٹر میں ظاہر ہوتے ہیں جس میں تمام ویکٹر فرمیئنس وقتا فوقتا ہوتے ہیں۔ لفظ "رامونڈ" کے دونوں استعمال پیئر رامونڈ کی طرف اشارہ کرتے ہیں، جنہوں نے 1971 میں اس طرح کے باؤنڈری کنڈیشنز (نام نہاد رامونڈ باؤنڈری کنڈیشنز) اور ان شعبوں کا مطالعہ کیا جو انہیں مطمئن کرتے ہیں۔ فیلڈز کی وضاحت ہر تھیوری میں فیلڈز جیسا کہ میکسویل کے نظریہ برقی مقناطیسیت اور اس کی عمومی کاری میں، پی-فارم برقی حرکیات، رامونڈ-رامونڈ (آر آر) فیلڈز جوڑوں میں آتے ہیں جو پی-فارم پوٹینشل سی پی اور اے (پی + 1)-فارم فیلڈ طاقت جی پی + 1 پر مشتمل ہوتے ہیں۔ میدان کی طاقت، ہمیشہ کی طرح ممکنہ Gp + 1 = dCp کے بیرونی مشتق کے طور پر بیان کی جاتی ہے۔ جیسا کہ اس طرح کے نظریات میں ہمیشہ ہوتا ہے، اگر کوئی ٹپوولوجیکل طور پر غیر معمولی ترتیبات یا چارج شدہ مادے (ڈی-برینز) کی اجازت دیتا ہے تو کنکشن کی وضاحت صرف اسپیس ٹائم کے ہر کوآرڈینیٹ پیچ پر کی جاتی ہے، اور مختلف پیچوں پر اقدار کو ٹرانزیشن فنکشنز کا استعمال کرتے ہوئے چپکا دیا جاتا ہے۔ برقی مقناطیسیت کے معاملے کے برعکس، ایک غیر معمولی نیو-شوارز 3-فارم فیلڈ طاقت کی موجودگی میں اوپر بیان کردہ فیلڈ کی طاقت اب گیج غیر متغیر نہیں ہے اور اسی طرح کسی دیئے گئے پیچ کے ڈیراک سٹرنگ آف کے ساتھ پیچ وائز کی وضاحت کرنے کی بھی ضرورت ہے جس کی تشریح خود کو ڈی-برین کے طور پر کی جاتی ہے۔ یہ اضافی پیچیدگی سٹرنگ تھیوری کے کچھ زیادہ دلچسپ مظاہر کے لیے ذمہ دار ہے، جیسے کہ ہاننی وٹن ٹرانزیشن۔ پی کی اجازت شدہ اقدار کے انتخاب کا انحصار نظریہ پر ہوتا ہے۔ قسم IIA سپر گریویٹی میں، p = 1 اور p = 3 کے لیے فیلڈز موجود ہیں۔ قسم IIB سپر گریویٹی میں، دوسری طرف، p = 0، p = 2 اور p = 4 کے لیے فیلڈز ہیں، حالانکہ p = 4 فیلڈ خود دوہری حالت G5 = * G5 کو پورا کرنے کے لیے پابند ہے جہاں * ہج اسٹار ہے۔ خود دوہری حالت کو لاگرانجین کے ذریعہ اضافی فیلڈز کو متعارف کرائے بغیر یا تھیوری کے مینیفیسٹ سپر پوئنکیئر انواریینس کو تباہ کیے بغیر مسلط نہیں کیا جا سکتا، اس طرح ٹائپ IIB سپر گریویٹی کو غیر لاگرانجین تھیوری سمجھا جاتا ہے۔ ایک تیسرا نظریہ، جسے بڑے پیمانے پر یا رومن IIA سپر گریویٹی کہا جاتا ہے، میں فیلڈ کی طاقت G0 شامل ہے، جسے رومن ماس کہا جاتا ہے۔ صفر شکل ہونے کی وجہ سے اس کا کوئی متعلقہ تعلق نہیں ہے۔ مزید برآں، حرکت کی مساوات یہ عائد کرتی ہیں کہ رومی کمیت مستقل ہے۔ کوانٹم تھیوری میں جوزف پولچنسکی نے دکھایا ہے کہ G0 ایک انٹیجر ہے، جو D8-برین کو عبور کرتے ہوئے ایک سے چھلانگ لگاتا ہے۔ جمہوری تشکیل ٹائپ II سٹرنگ تھیوریز کی جمہوری تشکیل کو استعمال کرنا اکثر آسان ہوتا ہے، جسے پال ٹاؤنسینڈ نے پی-برین ڈیموکریسی میں متعارف کرایا تھا۔ ڈی-برین ویس-زومینو ایکشنز، ٹی-ڈوئلٹی اور کاسمولوجیکل کانسٹینٹ مائیکل گرین میں، کرس ہل اور پال ٹاؤنسینڈ نے فیلڈ کی طاقتوں کی تعمیر کی اور گیج کی تبدیلیوں کو پایا جو انہیں غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں۔ آخر میں D = 10 سپرسیمیٹری اور D8-O8 ڈومین والز کی نئی فارمولیشنز میں مصنفین نے فارمولیشن مکمل کی، جس میں ایک لگرینجین فراہم کیا گیا اور فرمینز کے کردار کی وضاحت کی گئی۔ اس فارمولیشن میں آئی آئی اے میں تمام یکساں فیلڈ کی طاقت اور آئی آئی بی میں تمام عجیب فیلڈ کی طاقت شامل ہیں۔ اضافی میدان کی طاقتوں کی تعریف ستارے کی حالت Gp = * G10−p سے کی جاتی ہے۔ مستقل مزاجی کی جانچ کے طور پر، نوٹ کریں کہ ستارے کی حالت G5 کی خود دوہری کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے، اس طرح جمہوری تشکیل میں اتنی ہی تعداد میں آزادی ہوتی ہے جتنی اصل تشکیل میں ہوتی ہے۔ اسی طرح برقی مقناطیسیت میں برقی اور مقناطیسی صلاحیت دونوں کو بیک وقت شامل کرنے کی کوششوں کے لیے، دوہری گیج صلاحیت کو جمہوری طور پر وضع کردہ لاگرانجین میں اس طرح سے شامل نہیں کیا جا سکتا ہے جو نظریہ کے واضح مقام کو برقرار رکھے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ دوہری صلاحیت ستارے کی حالت کو مربوط کرکے اصل صلاحیت سے حاصل کی جاتی ہے۔ رامونڈ-رامونڈ گیج تبدیلیاں ٹائپ II سپر گریویٹی لینگریجین متعدد مقامی ہم آہنگی کے تحت غیر متغیر ہیں، جیسے کہ ڈفیومورفزم اور مقامی سپرسیمیٹری تبدیلیاں۔ اس کے علاوہ مختلف فارم فیلڈز نیو-شوارز اور رامونڈ-رامونڈ گیج تبدیلیوں کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ جمہوری تشکیل میں گیج پوٹینشل کی رامونڈ-رامونڈ گیج تبدیلیاں جو ایکشن کو غیر متغیر چھوڑ دیتی ہیں وہ ہیں جہاں H نیو-شوارز 3 فارم فیلڈ کی طاقت ہے اور گیج کے پیرامیٹرز q-فارم ہیں۔ چونکہ گیج تبدیلیاں مختلف تبدیلیوں کو ملاتی ہیں، اس لیے یہ ضروری ہے کہ گیج پیرامیٹرز کے ایک ہی سیٹ کا استعمال کرتے ہوئے ہر آر آر فارم کو بیک وقت تبدیل کیا جائے۔ ایچ پر منحصر اصطلاحات، جن کا برقی مقناطیسیت میں کوئی مشابہت نہیں ہے، چرن سائمنز اصطلاحات کے عمل میں شراکت کو محفوظ رکھنے کے لیے ضروری ہیں جو ٹائپ II سپر گریویٹی نظریات میں موجود ہیں۔ نوٹ کریں کہ ایک ہی گیج کی تبدیلی کے مطابق متعدد گیج پیرامیٹرز ہیں، خاص طور پر ہم لیمبڈا میں کوئی بھی (ڈی + ایچ) بند فارم شامل کر سکتے ہیں۔ اس طرح کوانٹم تھیوری میں ہمیں گیج کی تبدیلیوں کا اندازہ بھی لگانا چاہیے، اور پھر ان کا اندازہ لگانا چاہیے، جب تک کہ طول و عرض کافی کم نہ ہوں۔ فادیف-پوپوف کوانٹائزیشن میں یہ بھوتوں کے مینار کو شامل کرنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر، اس صورت میں جس میں H غائب ہو جاتا ہے، اس کے نتیجے میں بننے والی ساخت خلائی وقت کی ڈیلیگن کوہمولوجی ہے۔ غیر معمولی H کے لیے، ڈیراک کوانٹائزیشن کی شرط کو شامل کرنے کے بعد، یہ قیاس کیا گیا ہے کہ یہ تفریق K-تھیوری سے مطابقت رکھتا ہے۔ نوٹ کریں کہ، گیج کی تبدیلیوں میں H اصطلاحات کی بدولت، فیلڈ کی طاقت بھی غیر معمولی طور پر بدل جاتی ہے۔ فیلڈ کی بہتر طاقت اکثر بہتر فیلڈ کی طاقتوں کو متعارف کراتی ہے جو گیج میں غیر متغیر ہوتی ہیں۔ اگرچہ وہ گیج غیر متغیر ہیں، بہتر فیلڈ کی طاقت نہ تو بند ہوتی ہے اور نہ ہی مقدار میں ہوتی ہے، اس کے بجائے وہ صرف مڑے ہوئے بند ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ وہ حرکت کی مساوات کو مطمئن کرتے ہیں، جو کہ صرف بیانچی شناخت ہے۔ وہ اس معنی میں "موڑ-مقدار" بھی ہیں کہ کوئی بھی اصل فیلڈ کی طاقت میں واپس تبدیل ہو سکتا ہے جس کے کمپیکٹ سائیکلوں پر انٹیگرلز کو مقدار میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ یہ اصل فیلڈ کی طاقت ہے جو ڈی-برین چارج کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے، اس معنی میں کہ کسی بھی سکڑنے والے پی-سائیکل پر اصل پی-فارم فیلڈ کی طاقت جی پی کا لازمی حصہ اس سائیکل سے منسلک ڈی (8-پی)-برین چارج کے برابر ہے۔ چونکہ ڈی-برین چارج کو مقداری بنایا جاتا ہے، اس لیے جی پی کو مقداری بنایا جاتا ہے نہ کہ فیلڈ کی بہتر طاقت کو۔ فیلڈ مساوات مساوات اور بیانچی شناخت ہمیشہ کی طرح پی-فارم گیج نظریات میں، فارم فیلڈز کو کلاسیکی فیلڈ مساوات اور بیانچی شناختوں کی پابندی کرنی چاہیے۔ سابقہ اس شرط کا اظہار کرتا ہے کہ مختلف شعبوں کے حوالے سے عمل کی تغیرات معمولی ہونی چاہئیں۔ اب ہم اپنی توجہ ان فیلڈ مساوات تک محدود رکھیں گے جو رامونڈ-رامونڈ (آر آر) فیلڈز کی تغیرات سے آتی ہیں، لیکن عملی طور پر ان کو نیو-شوارز بی-فیلڈ، گریویٹن، ڈلاٹن اور ان کے سپر پارٹنرز گریویٹینو اور ڈلاٹینو کی تغیرات سے آنے والی فیلڈ مساوات کے ساتھ مکمل کرنے کی ضرورت ہے۔ جمہوری تشکیل میں، میدان کی طاقت جی پی + 1 کے لیے بیانچی شناخت اس کے ہج ڈوئل جی 9-پی کے لیے کلاسیکی فیلڈ مساوات ہے، اور اس لیے یہ ہر آر آر فیلڈ کے لیے بیانچی شناختوں کو مسلط کرنے کے لیے کافی ہوگی۔ یہ صرف وہ شرائط ہیں جن کی آر آر پوٹینشل سی پی مقامی طور پر وضاحت کی گئی ہے، اور اس لیے ان پر کام کرنے والا بیرونی مشتق نیلپوٹینٹ ڈی-برینز آر آر فیلڈز کے لیے ذرائع ہیں۔ بہت سی ایپلی کیشنز میں کوئی بھی آر آر فیلڈز کے لیے ذرائع شامل کرنا چاہتا ہے۔ ان ذرائع کو ڈی-برینز کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ کلاسیکی برقی مقناطیسیت میں کوئی بھی لاگرانجین کثافت میں (10-پی) فارم کرنٹ میں پی-فارم پوٹینشل کے جوڑے سی پی کو شامل کرکے ذرائع کو شامل کر سکتا ہے۔ سٹرنگ تھیوری لٹریچر میں عام روایت یہ معلوم ہوتی ہے کہ اس اصطلاح کو عمل میں واضح طور پر نہ لکھیں۔ کرنٹ حرکت کی مساوات کو تبدیل کرتا ہے جو سی پی کے تغیر سے آتا ہے۔ جیسا کہ برقی مقناطیسیت میں مقناطیسی مونو پولز کا معاملہ ہے، یہ ماخذ بھی دوہری بیاانچی شناخت کو کالعدم قرار دیتا ہے کیونکہ یہ ایک ایسا نقطہ ہے جس پر دوہری فیلڈ کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے۔ حرکت کی ترمیم شدہ مساوات میں حرکت کی مساوات صفر کے بجائے بائیں ہاتھ کی طرف ظاہر ہوتی ہے۔ مستقبل کی سادگی کے لیے، ہم p اور 7−p کا بھی تبادلہ کریں گے، پھر ایک ماخذ کی موجودگی میں حرکت کی مساوات ہے۔ (9-p) شکل ڈی پی-برین کرنٹ ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ایک (p + 1) جہتی توسیعی شے کے عالمی حجم کے لیے پوائن کیئر ڈوئل ہے جسے ڈی پی-برین کہا جاتا ہے۔ نام کی اسکیم میں ایک کی تضاد تاریخی ہے اور اس حقیقت سے آتی ہے کہ ڈی پی-برین کے ذریعے پھیلی ہوئی پی + 1 سمتوں میں سے ایک اکثر وقت کی طرح ہوتی ہے، جس سے پی مقامی سمتوں کو چھوڑ دیا جاتا ہے۔ مذکورہ بالا بیانچی شناخت کی تشریح اس معنی میں کی گئی ہے کہ ڈی پی-برین برقی مقناطیسیت میں مقناطیسی مونو پولز کے ساتھ مشابہت میں، مقناطیسی طور پر آر آر پی-فارم C7−p کے تحت چارج ہوتا ہے۔ اگر اس کے بجائے کوئی اس بیانچی شناخت کو سی پی + 1 کے لیے فیلڈ مساوات سمجھتا ہے، تو کوئی کہتا ہے کہ ڈی پی-برین (پی + 1)-فارم سی پی + 1 کے تحت برقی طور پر چارج ہوتا ہے۔ حرکت کی مذکورہ مساوات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ماحول کے بہاؤ سے ڈی پی-برین چارج حاصل کرنے کے دو طریقے ہیں۔ سب سے پہلے، کوئی بھی کسی سطح پر dG8−p کو ضم کر سکتا ہے، جو اس سطح سے منقطع ہونے والا Dp-برین چارج دے گا۔ دوسرا طریقہ اسٹوکس تھیوریم کے ذریعے پہلے سے متعلق ہے۔ کوئی بھی G8 − p کو ایک سائیکل میں ضم کر سکتا ہے، اس سے اس سائیکل سے منسلک Dp-برین چارج حاصل ہوگا۔ کوانٹم تھیوری میں ڈی پی-برین چارج کی کوانٹائزیشن کا مطلب فیلڈ کی طاقتوں جی کی کوانٹائزیشن ہے، لیکن فیلڈ کی بہتر طاقتوں کی نہیں۔ ایف۔ ٹوسٹڈ کے تھیوری کی تشریح یہ قیاس کیا گیا ہے کہ آر آر فیلڈز کے ساتھ ساتھ ڈی-برینز کو ٹوسٹڈ کے تھیوری کے ذریعہ درجہ بند کیا گیا ہے۔ اس فریم ورک میں، حرکت کی مذکورہ بالا مساوات کی قدرتی تشریحات ہیں۔ بہتر فیلڈ کی طاقت F کے لیے حرکت کی ماخذ آزاد مساوات کا مطلب یہ ہے کہ تمام Fp کا رسمی مجموعہ H-ٹوسٹڈ ڈی رام کوہمولوجی کا ایک عنصر ہے۔ یہ ڈی رام کوہمولوجی کا ایک ورژن ہے جس میں تفریق بیرونی مشتق d نہیں ہے، بلکہ اس کے بجائے (d + H) ہے جہاں H نیو-شوارز 3 شکل ہے۔ نوٹ کریں کہ (d + H)، جیسا کہ کوہمولوجی کو اچھی طرح سے متعین کرنے کے لیے ضروری ہے، صفر کے لیے مربع ہے۔ فیلڈ کی بہتر طاقت F کلاسیکی نظریہ میں رہتی ہے، جہاں کوانٹم سے کلاسیکی میں منتقلی کی تشریح عقلی کے ذریعہ ٹینسرنگ کے طور پر کی جاتی ہے۔ لہذا ایف کو مڑے ہوئے کے تھیوری کا کوئی عقلی ورژن ہونا چاہیے۔ اس طرح کا ایک عقلی ورژن، درحقیقت مڑے ہوئے K-تھیوری کی ایک خاص کلاس، پہلے ہی سے معلوم ہے۔ یہ مڑی ہوئی چرن کلاس ہے جس کی وضاحت مڑی ہوئی کے تھیوری اور بنڈل جربس کے کے تھیوری میں پیٹر بوکنیگٹ، ایلن ایل کیری، ورگیس متھائی، مائیکل کے مرے اور ڈینی سٹیونسن نے کی ہے اور مڑی ہوئی کے تھیوری: مساوی اور ہولومورفک معاملات میں چرن کردار میں توسیع کی گئی ہے۔ مصنفین نے دکھایا ہے کہ مڑے ہوئے چرن حروف ہمیشہ ایچ-مڑے ہوئے ڈی رام کوہمولوجی کے عناصر ہوتے ہیں۔ بہتر فیلڈ کی طاقتوں کے برعکس، اصل فیلڈ کی طاقت G غیر متزلزل، لازمی ہم آہنگی کی کلاسیں ہیں۔ اس کے علاوہ جی گیج غیر متغیر نہیں ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ان کی منفرد طور پر وضاحت نہیں کی گئی ہے بلکہ اس کے بجائے انہیں صرف مساوات کی کلاسوں کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ مڑے ہوئے K-تھیوری کی اتیا ہرزبروچ سپیکٹرل سیکوینس کی تعمیر میں ہم آہنگی کی کلاسوں سے مطابقت رکھتے ہیں، جن کی وضاحت صرف ان اصطلاحات تک کی جاتی ہے جو تفریق آپریٹرز کی کسی بھی سیریز کے تحت بند ہوتی ہیں۔ ماخذ کی اصطلاحات K-تھیوری کلاس کے وجود میں رکاوٹیں دکھائی دیتی ہیں۔ حرکت کی دیگر مساوات، جیسے کہ این ایس بی-فیلڈ کو تبدیل کرنے سے حاصل ہونے والی، کے تھیوری کی تشریحات نہیں رکھتی ہیں۔ ان اصلاحات کو کے تھیوری فریم ورک میں شامل کرنا ایک کھلا مسئلہ ہے۔ اس مسئلے پر مزید معلومات کے لیے یہاں کلک کریں۔ کالب-رامونڈ فیلڈ نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں چرن-سائمنز کی اصطلاحات کے ساتھ نظریات میں مختلف فیلڈ طاقتوں کا ایک اچھا تعارف چرن-سائمنز کی اصطلاحات اور ڈونلڈ مارولف کی تھری نوشنز آف چارج ہے۔ 10 جہتی سپر گریویٹیز کی جمہوری تشکیل ڈی = 10 سپرسیمیٹری اور ڈی 8-او 8 ڈومین والز کی نئی فارمولیشنز میں مل سکتی ہے جو ایرک برگشوف، ریناٹا کلوش، ٹامس اورٹن، ڈیڈیرک روسٹ اور انٹون وان پروین نے بنائی ہیں۔ اس میں بہت سی تفصیلات شامل ہیں جو ٹاؤنسینڈ کے اصل مقالے میں موجود نہیں ہیں، لیکن توجہ کو ٹپوولوجیکل طور پر معمولی نیو-شوارز 3-فارم تک محدود کرتی ہے۔ سٹرنگ تھیوری