Thomson problem
تھامسن کے مسئلے کا مقصد کسی اکائی دائرے کی سطح پر محدود الیکٹرانوں کی کم از کم الیکٹروسٹیٹک ممکنہ توانائی کی ترتیب کا تعین کرنا ہے جو کولمب کے قانون کے ذریعہ دی گئی قوت سے ایک دوسرے کو پسپا کرتے ہیں۔ طبیعیات دان جے جے تھامسن نے 1904 میں ایک جوہری ماڈل پیش کرنے کے بعد یہ مسئلہ پیش کیا، جسے بعد میں بیر پڈنگ ماڈل کہا گیا، جو نیوٹرلی چارجڈ ایٹموں کے اندر منفی طور پر چارج شدہ الیکٹرانوں کے وجود کے بارے میں ان کے علم پر مبنی تھا۔ متعلقہ مسائل میں کم از کم توانائی کی ترتیب کی جیومیٹری کا مطالعہ اور کم از کم توانائی کے بڑے رویے کا مطالعہ شامل ہے۔ ریاضیاتی بیان مساوی چارج والے الیکٹرانوں کے ہر جوڑے کے درمیان پائے جانے والی برقی تعامل توانائی (الیکٹران کے ابتدائی چارج کے ساتھ) کولمب کے قانون کے ذریعہ دی جاتی ہے، جہاں برقی مستقل ہوتا ہے اور دائرے پر پوائنٹس پر واقع الیکٹرانوں کے ہر جوڑے کے درمیان کا فاصلہ ہوتا ہے۔ اور (کولمب مستقل) کی آسان اکائیاں عامیت کے نقصان کے بغیر استعمال کی جاتی ہیں۔ پھر، ہر N-الیکٹران ترتیب کی کل الیکٹروسٹیٹک ممکنہ توانائی کو پھر تمام جوڑی کے لحاظ سے تعامل توانائیوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ N مختلف نکات کی تمام ممکنہ ترتیبات کی عالمی کم سے کم عام طور پر عددی کم سے کم الگورتھم کے ذریعے پائی جاتی ہے۔ تھامسن کا مسئلہ ریاضی دان اسٹیو سمیل کے تجویز کردہ اٹھارہ غیر حل شدہ ریاضی کے مسائل میں سے ساتویں سے متعلق ہے-"2 دائرے پر پوائنٹس کی تقسیم"۔ بنیادی فرق یہ ہے کہ اسمیل کے مسئلے میں کم سے کم کرنے کا فنکشن الیکٹروسٹیٹک پوٹینشیل نہیں ہے بلکہ ایک لوگرتھمک پوٹینشیل ہے جو ایک دوسرے فرق کے ذریعے دیا گیا ہے کہ اسمیل کا سوال کل پوٹینشیل کے ایسمپٹوٹک رویے کے بارے میں ہے جب پوائنٹس کی تعداد N انفینیٹی پر جاتی ہے، نہ کہ N کی ٹھوس اقدار کے لیے۔ مثال دو الیکٹرانوں کے لیے تھامسن مسئلے کا حل اس وقت حاصل ہوتا ہے جب دونوں الیکٹران اصل کے مخالف اطراف میں جتنا ممکن ہو اتنا دور ہوتے ہیں، یا معلوم درست حل ریاضیاتی طور پر درست کم از کم توانائی کی ترتیب کو صرف مٹھی بھر صورتوں میں سختی سے شناخت کیا گیا ہے۔ N = 1 کے لیے حل معمولی ہے۔ واحد الیکٹران اکائی دائرے کی سطح پر کسی بھی مقام پر رہ سکتا ہے۔ ترتیب کی کل توانائی کو صفر کے طور پر بیان کیا گیا ہے کیونکہ الیکٹران کا چارج چارج کے دیگر ذرائع کی وجہ سے برقی میدان کے تابع نہیں ہے۔ N = 2 کے لیے، بہترین ترتیب اینٹی پوڈل پوائنٹس پر الیکٹرانوں پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہ پہلے یک جہتی حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ N = 3 کے لیے، الیکٹران کسی بھی بڑے دائرے کے ارد گرد مساوی مثلث کے عمودی حصوں پر رہتے ہیں۔ عظیم دائرے کو اکثر دائرے کے ارد گرد ایک خط استوا کی وضاحت کرنے کے لیے سمجھا جاتا ہے اور طیارہ کے عمودی دو نکات کو اکثر قطبوں کے طور پر سمجھا جاتا ہے جو کئی-این الیکٹران حلوں کی برقی جامد ترتیبات کے بارے میں بات چیت میں مدد کرتے ہیں۔ نیز، یہ پہلے دو جہتی حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ N = 4 کے لیے، الیکٹران ایک باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون کے چوٹیوں پر رہتے ہیں۔ دلچسپی کی بات یہ ہے کہ یہ پہلے تین جہتی حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ N = 5 کے لیے، 2010 میں ایک ریاضیاتی طور پر سخت کمپیوٹر ایڈیڈ حل رپورٹ کیا گیا تھا جس میں الیکٹران مثلث ڈائپرامڈ کے عمودی حصوں پر رہتے ہیں۔ دلچسپی کی بات یہ ہے کہ پانچ یا اس سے زیادہ الیکٹرانوں والے کسی بھی N حل کے لیے الیکٹرانوں کے تمام جوڑوں کے درمیان عالمی مساوی فاصلہ ظاہر کرنا ناممکن ہے۔ N = 6 کے لیے، الیکٹران ایک باقاعدہ آکٹاہیڈرون کے عمودی حصوں پر رہتے ہیں۔ اس ترتیب کا تصور اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ چار الیکٹران خط استوا کے ارد گرد مربع کے کونوں میں رہتے ہیں اور باقی دو قطبوں پر رہتے ہیں۔ N = 12 کے لیے، الیکٹران ایک باقاعدہ آئکوساہیڈرون کے چوٹیوں پر رہتے ہیں۔ N = 4، 6، اور 12 الیکٹرانوں کے لیے تھامسن مسئلے کے ہندسی حل پلاٹونک ٹھوس ہوتے ہیں جن کے چہرے تمام ہم آہنگ مساوی مثلث ہوتے ہیں۔ N = 8 اور 20 کے عددی حل بقیہ دو پلاٹونک ٹھوسوں کی باقاعدہ کنویکس پولی ہیڈرل ترتیب نہیں ہیں جن کے چہرے بالترتیب مربع اور پنٹاگونل ہیں۔ عامیاں کوئی بھی صوابدیدی صلاحیتوں کے ساتھ تعامل کرنے والے ذرات کی زمینی حالتوں کے بارے میں بھی پوچھ سکتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر عین مطابق ہونے کے لیے، f کو ایک گھٹتا ہوا حقیقی قدر والا فنکشن ہونے دیں، اور توانائی کے فنکشنل کی وضاحت کریں روایتی طور پر، جسے ریز-دانے بھی کہا جاتا ہے۔ مربوط ریز دانے کے لیے لینڈکوف کا 1972 کا کام دیکھیں۔ غیر مربوط ریز دانے کے لیے، پوپی سیڈ بیگل تھیوریم کا خیال ہے، ہارڈن اور سیف کا 2004 کا کام دیکھیں۔ قابل ذکر صورتوں میں شامل ہیں: α = ini، ٹیمس کا مسئلہ (پیکنگ) ؛ α = 1، تھامسن کا مسئلہ ؛ α = 0، فاصلے کی پیداوار کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے، جسے بعد میں وائٹ کا مسئلہ کہا جاتا ہے ؛ α = −1: زیادہ سے زیادہ اوسط فاصلے کا مسئلہ۔ اعلی طول و عرض کے دائرے پر N پوائنٹس کی تشکیل پر بھی غور کیا جا سکتا ہے۔ گول ڈیزائن دیکھیں۔ حل الگورتھم اس مسئلے پر کئی الگورتھم کا اطلاق کیا گیا ہے۔ ملینیم کے بعد سے توجہ توانائی کی تقریب پر لاگو ہونے والے مقامی اصلاح کے طریقوں پر مرکوز رہی ہے، حالانکہ بے ترتیب چہل قدمی نے اپنی ظاہری شکل اختیار کر لی ہے: محدود عالمی اصلاح (الٹسچولر اور دیگر۔ 1994)، سب سے تیز نزول (کلاکسٹن اور بینسن 1966، ایربر اور ہاکنی 1991)، بے ترتیب واک (وینراچ اور دیگر۔ 1990)، جینیاتی الگورتھم (مورس اور دیگر۔ 1996) اگرچہ اس کا مقصد ہر این-الیکٹران کیس کی عالمی الیکٹروسٹیٹک ممکنہ توانائی کو کم کرنا ہے، لیکن کئی الگورتھمک ابتدائی معاملات دلچسپی کے حامل ہیں۔ مسلسل کروی خول چارج اس کی سطح پر پھیلے ہوئے چارج کے مسلسل کروی خول کی توانایٔی عام طور پر تھامسن کے ہر مسئلے کے حل کی توانایٔی سے زیادہ ہوتی ہے۔ نوٹ: یہاں N کو ایک مسلسل متغیر کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے جو گول خول میں تقسیم ہونے والے لامحدود تقسیم شدہ چارج، Q کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گول خول پورے خول میں ایک واحد الیکٹران کے چارج کی یکساں تقسیم کی نمائندگی کرتا ہے۔ بے ترتیب تقسیم شدہ پوائنٹ چارجز دائرے کی سطح پر خالصتا بے ترتیب انداز میں تقسیم ہونے والے الیکٹرانوں کے نظام کی عالمی توانائی کے ذریعے دی جاتی ہے اور عام طور پر، تھامسن کے ہر مسئلے کے حل کی توانائی سے زیادہ ہوتی ہے۔ یہاں، N ایک مجرد متغیر ہے جو نظام میں الیکٹرانوں کی تعداد کو شمار کرتا ہے۔ نیز۔ چارج پر مرکوز تقسیم تھامسن مسئلے کے ہر Nth حل کے لیے ایک th ترتیب ہوتی ہے جس میں دائرے کی ابتدا پر ایک الیکٹران شامل ہوتا ہے جس کی توانائی محض Nth حل کی توانائی میں N کا اضافہ ہوتی ہے۔ یعنی، اس طرح، اگر بالکل معلوم ہے، تو بالکل معلوم ہے۔ عام طور پر، اس سے بڑا ہے، لیکن اور کے مقابلے میں ہر تھامسن حل کے قابل ذکر طور پر قریب ہے۔ لہذا، چارج پر مبنی تقسیم ایک چھوٹے "توانائی کے فرق" کی نمائندگی کرتی ہے جسے عبور کر کے تھامسن کے ہر مسئلے کے حل تک پہنچنا الگورتھم کے مقابلے میں ہے جو دوسرے دو چارج کنفیگریشن سے شروع ہوتا ہے۔ دیگر سائنسی مسائل سے تعلقات تھامسن کا مسئلہ جے جے تھامسن کے بیر پڈنگ ماڈل کا ایک فطری نتیجہ ہے جو اس کے یکساں مثبت پس منظر چارج کی عدم موجودگی میں ہے۔ اگرچہ تجرباتی شواہد تھامسن کے بیر پڈنگ ماڈل کو ایک مکمل جوہری ماڈل کے طور پر ترک کرنے کا باعث بنے، لیکن تھامسن کے مسئلے کے عددی توانائی کے حل میں مشاہدہ کی جانے والی بے ضابطگیاں عناصر کی پوری پیریڈک ٹیبل میں قدرتی طور پر پائے جانے والے ایٹموں میں الیکٹران شیل بھرنے سے مطابقت رکھتی ہیں۔ تھامسن کا مسئلہ دیگر فزیکل ماڈلز کے مطالعہ میں بھی کردار ادا کرتا ہے جن میں ملٹی الیکٹران بلبلے اور پال ٹریپس میں محدود مائع دھات کے قطروں کی سطح کی ترتیب شامل ہیں۔ عام تھامسن مسئلہ پیدا ہوتا ہے، مثال کے طور پر، پروٹین ذیلی اکائیوں کے انتظامات کا تعین کرنے میں جو کروی وائرس کے خولوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ اس ایپلی کیشن میں "ذرات" خول پر ترتیب شدہ پروٹین ذیلی اکائیوں کے کلسٹر ہوتے ہیں۔ دیگر احساسات میں کولائڈوسومز میں کولائڈ ذرات کے باقاعدہ انتظامات شامل ہیں، جو فعال اجزاء جیسے منشیات، غذائی اجزاء یا زندہ خلیوں، کاربن ایٹموں کے فلرین پیٹرن، اور وی ایس ای پی آر تھیوری کے احاطہ کے لیے تجویز کیے گئے ہیں۔ طویل فاصلے تک لوگرتھمک تعاملات کی ایک مثال ابرکوسوف ورٹیسیس کے ذریعہ فراہم کی گئی ہے جو کم درجہ حرارت پر ایک سپر کنڈکٹنگ دھاتی خول میں بنتے ہیں جس کے مرکز میں ایک بڑا مونوپول ہوتا ہے۔ سب سے چھوٹی معلوم توانائی کی تشکیل مندرجہ ذیل جدول میں ترتیب میں پوائنٹس (چارجز) کی تعداد ہے، توانائی ہے، ہم آہنگی کی قسم شونفلیز نوٹیشن میں دی گئی ہے (تین جہتوں میں پوائنٹ گروپس دیکھیں)، اور چارجز کی پوزیشنیں ہیں۔ زیادہ تر ہم آہنگی کی اقسام کے لیے پوزیشنوں کا ویکٹر مجموعہ (اور اس طرح برقی ڈائپول مومنٹ) صفر ہونا ضروری ہے۔ پوائنٹس کے کنویکس ہل سے بننے والے پولی ہیڈرون پر بھی غور کرنے کا رواج ہے۔ اس طرح، عمودی حصوں کی تعداد ہے جہاں کناروں کی دی گئی تعداد ملتی ہے، کناروں کی کل تعداد ہے، مثلث چہروں کی تعداد ہے، چوطرفہ چہروں کی تعداد ہے، اور قریب ترین چارج جوڑے سے وابستہ ویکٹروں کے ذریعہ سب سے چھوٹا زاویہ ہے۔ نوٹ کریں کہ کنارے کی لمبائی عام طور پر برابر نہیں ہوتی ہے۔ اس طرح، N = 2، 3، 4، 6، 12، اور جیوڈیسیک پولی ہیڈرا کے معاملات کے علاوہ، کنویکس ہل صرف آخری کالم میں درج اعداد و شمار کے مساوی ہے۔ ایک قیاس کے مطابق، اگر p، m پوائنٹس کے کنویکس ہل سے بننے والا پولی ہیڈرون ہے، q، p کے چوطرفہ چہروں کی تعداد ہے، تو m الیکٹرانوں کا حل f (m) ہے: حوالہ جات نوٹ۔ ۔ ترتیبات دوبارہ پرنٹ کی گئیں۔ اس ویب پیج میں دوبارہ پیش کردہ ترتیبات میں سب سے کم معلوم توانائی کے ساتھ بہت سی الیکٹران ترتیبات شامل ہیں: https://www.hars.us۔ الیکٹروسٹیٹکس الیکٹران سرکل پیکنگ ریاضی میں غیر حل شدہ مسائل