Fenchel's duality theorem
ریاضی میں، فینچل کا دوہری نظریہ کنویکس افعال کے نظریہ کا نتیجہ ہے جس کا نام ورنر فینچل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ فرض کریں کہ f، Rn پر ایک مناسب کنویکس فنکشن ہے اور g، Rn پر ایک مناسب کنکیو فنکشن ہے۔ پھر، اگر باقاعدگی کے حالات مطمئن ہیں، جہاں f * f کا کنویکس کنجوگیٹ ہے (جسے فینچل-لیجنڈر ٹرانسفارم بھی کہا جاتا ہے) اور g * g کا کنکیو کنجوگیٹ ہے۔ یعنی، ریاضیاتی نظریہ X اور Y کو بناچ خالی جگہیں ہونے دیں، اور کنویکس افعال ہوں اور ایک پابند لکیری نقشہ ہوں۔ پھر فینچل کے مسائل: کمزور دوہری پن کو پورا کرنا، یعنی۔ ۔ نوٹ کریں کہ بالترتیب f، g کے کنویکس کنجوگیٹس ہیں، اور ملحقہ آپریٹر ہیں۔ اس دوہرے مسئلے کے لیے پرٹربیشن فنکشن کے ذریعے دیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ f، g، اور A مطمئن کرتے ہیں یا تو f اور g نچلے نیم مسلسل ہیں اور الجبرائی اندرونی کہاں ہے اور، جہاں h کچھ فنکشن ہے، وہ سیٹ ہے، یا وہ پوائنٹس کہاں ہیں جہاں فنکشن مسلسل ہے۔ پھر مضبوط دوہری حیثیت برقرار رہتی ہے، یعنی۔ ۔ اگر تب بالادستی حاصل ہو جاتی ہے۔ یک جہتی مثال مندرجہ ذیل شکل میں، مساوات کے بائیں جانب کم سے کم کرنے کا مسئلہ واضح کیا گیا ہے۔ ایک x کو اس طرح تبدیل کرنے کی کوشش کرتا ہے کہ x پر کنویکس اور کنکیو منحنی خطوط کے درمیان عمودی فاصلہ جتنا ممکن ہو اتنا چھوٹا ہو۔ شکل میں عمودی لکیر کی پوزیشن (لگ بھگ) زیادہ سے زیادہ ہے۔ اگلا اعداد و شمار مندرجہ بالا مساوات کے دائیں طرف زیادہ سے زیادہ مسئلے کی وضاحت کرتا ہے۔ دونوں منحنی خطوط میں سے ہر ایک پر ٹینجینٹ اس طرح کھینچے جاتے ہیں کہ دونوں ٹینجینٹ کی ڈھلوان p ایک جیسی ہو۔ مسئلہ یہ ہے کہ p کو اس طرح ایڈجسٹ کیا جائے کہ دونوں ٹینجینٹ ایک دوسرے سے زیادہ سے زیادہ دور ہوں (زیادہ واضح طور پر، اس طرح کہ وہ نکات جہاں وہ y-محور کو کاٹتے ہیں وہ ایک دوسرے سے زیادہ سے زیادہ دور ہوں)۔ ان دونوں ٹینجینٹس کو دھاتی سلاخوں کے طور پر تصور کریں جن کے درمیان عمودی چشمے ہیں جو انہیں الگ کرتے ہیں اور ان دو پیرابولوں کے خلاف جو جگہ پر لگے ہوئے ہیں۔ فینچل کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ دونوں مسائل کا حل ایک ہی ہے۔ کم سے کم عمودی علیحدگی والے پوائنٹس بھی زیادہ سے زیادہ علیحدہ متوازی ٹینجینٹس کے لیے ٹینجینسی پوائنٹس ہیں۔ تجزیہ کنویکس اصلاح میں لیجنڈری ٹرانسفارمیشن کنویکس کنجوگیٹ موریو کا نظریہ وولف ڈوئلٹی ورنر فینچل حوالہ جات کے نظریات بھی دیکھیں۔