Tight binding
ٹھوس حالت طبیعیات میں، تنگ بائنڈنگ ماڈل (یا ٹی بی ماڈل) الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے کے حساب کے لیے ایک نقطہ نظر ہے جس میں ہر جوہری مقام پر واقع الگ تھلگ ایٹموں کے لیے لہر افعال کی سپرپوزیشن پر مبنی لہر افعال کا ایک تخمینہ سیٹ استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ طریقہ کیمسٹری میں استعمال ہونے والے ایل سی اے او طریقہ (جوہری مدار کے طریقہ کار کے لکیری امتزاج) سے قریب سے متعلق ہے۔ سخت بائنڈنگ ماڈل کا اطلاق مختلف قسم کے ٹھوس مادوں پر کیا جاتا ہے۔ ماڈل بہت سے معاملات میں اچھے معیاری نتائج دیتا ہے اور اسے دوسرے ماڈلز کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے جو بہتر نتائج دیتے ہیں جہاں تنگ بائنڈنگ ماڈل ناکام ہو جاتا ہے۔ اگرچہ تنگ بائنڈنگ ماڈل ایک الیکٹران ماڈل ہے، لیکن یہ ماڈل مزید جدید حسابات کے لیے بھی بنیاد فراہم کرتا ہے جیسے سطح کی حالتوں کا حساب اور مختلف قسم کے کئی جسم کے مسائل اور قوسی پارٹیکل حسابات پر اطلاق۔ تعارف اس الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے کے ماڈل کے نام "ٹائٹ بائنڈنگ" سے پتہ چلتا ہے کہ یہ کوانٹم مکینیکل ماڈل ٹھوس مادوں میں مضبوطی سے جڑے الیکٹرانوں کی خصوصیات کو بیان کرتا ہے۔ اس ماڈل میں الیکٹرانوں کو اس ایٹم سے مضبوطی سے جڑا ہونا چاہیے جس سے وہ تعلق رکھتے ہیں اور ان کا ٹھوس کے آس پاس کے ایٹموں پر حالتوں اور صلاحیت کے ساتھ محدود تعامل ہونا چاہیے۔ نتیجے کے طور پر، الیکٹران کی لہر فنکشن اس آزاد ایٹم کے جوہری مدار سے ملتی جلتی ہوگی جس سے اس کا تعلق ہے۔ الیکٹران کی توانائی بھی آزاد ایٹم یا آئن میں الیکٹران کی آئنائزیشن توانائی کے قریب ہوگی کیونکہ پڑوسی ایٹموں پر پوٹینشلز اور ریاستوں کے ساتھ تعامل محدود ہے۔ اگرچہ ایک ذرہ تنگ بائنڈنگ ہیملٹنین کی ریاضیاتی تشکیل پہلی نظر میں پیچیدہ لگ سکتی ہے، لیکن ماڈل بالکل پیچیدہ نہیں ہے اور اسے بدیہی طور پر آسانی سے سمجھا جا سکتا ہے۔ صرف تین قسم کے میٹرکس عناصر ہیں جو نظریہ میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ ان تین قسم کے عناصر میں سے دو کو صفر کے قریب ہونا چاہیے اور اکثر نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ ماڈل میں سب سے اہم عناصر انٹراٹومک میٹرکس عناصر ہیں، جنہیں صرف کیمسٹ بانڈ انرجیز کہتے ہیں۔ عام طور پر اس ماڈل میں جوہری توانائی کی کئی سطحیں اور جوہری مدار شامل ہیں۔ یہ پیچیدہ بینڈ ڈھانچے کا باعث بن سکتا ہے کیونکہ آربیٹلز مختلف پوائنٹ گروپ کی نمائندگی سے تعلق رکھتے ہیں۔ باہمی جالی اور برلوئن زون اکثر ٹھوس کے کرسٹل سے مختلف خلائی گروپ سے تعلق رکھتے ہیں۔ برلوئن زون میں اعلی ہم آہنگی والے پوائنٹس مختلف پوائنٹ گروپ کی نمائندگی سے تعلق رکھتے ہیں۔ جب عناصر کی جالی یا سادہ مرکبات جیسے سادہ نظاموں کا مطالعہ کیا جاتا ہے تو اکثر تجزیاتی طور پر اعلی ہم آہنگی والے نکات میں آئجین اسٹیٹس کا حساب لگانا بہت مشکل نہیں ہوتا ہے۔ لہذا تنگ بائنڈنگ ماڈل ان لوگوں کے لیے اچھی مثالیں فراہم کر سکتا ہے جو گروپ تھیوری کے بارے میں مزید جاننا چاہتے ہیں۔ تنگ بائنڈنگ ماڈل کی ایک طویل تاریخ ہے اور اسے بہت سے طریقوں سے اور بہت سے مختلف مقاصد اور مختلف نتائج کے ساتھ لاگو کیا گیا ہے۔ ماڈل اپنے طور پر کھڑا نہیں ہوتا ہے۔ ماڈل کے کچھ حصوں کو دیگر قسم کے حسابات اور ماڈلز جیسے تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل کے ذریعے بھرا یا بڑھایا جا سکتا ہے۔ ماڈل خود، یا اس کے کچھ حصے، دوسرے حسابات کی بنیاد کے طور پر کام کر سکتے ہیں۔ کنڈکٹو پولیمر، نامیاتی سیمی کنڈکٹر اور مالیکیولر الیکٹرانکس کے مطالعہ میں، مثال کے طور پر، تنگ بائنڈنگ جیسے ماڈلز کا اطلاق کیا جاتا ہے جس میں اصل تصور میں ایٹموں کے کردار کو مربوط نظاموں کے مالیکیولر آربیٹلز سے تبدیل کیا جاتا ہے اور جہاں انٹراٹومک میٹرکس عناصر کو انٹر یا انٹرا مالیکیولر ہوپنگ اور ٹنلنگ پیرامیٹرز سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ ان کنڈکٹرز میں تقریبا سبھی میں بہت ہی انیسوٹروپک خصوصیات ہوتی ہیں اور بعض اوقات تقریبا مکمل طور پر ایک جہتی ہوتے ہیں۔ تاریخی پس منظر 1928 تک، سالماتی مدار کا خیال رابرٹ مولکن نے پیش کیا تھا، جو فریڈرک ہنڈ کے کام سے کافی متاثر تھے۔ سالماتی مداروں کا تخمینہ لگانے کے لیے ایل سی اے او طریقہ 1928 میں بی این فنکلسٹین اور جی ای ہورووٹز نے متعارف کرایا تھا، جبکہ ٹھوس مادوں کے لیے ایل سی اے او طریقہ فیلکس بلوچ نے 1928 میں اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے کے حصے کے طور پر تیار کیا تھا، جو ایل سی اے او-ایم او نقطہ نظر کے ساتھ ساتھ اور اس سے آزاد تھا۔ الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے کا تخمینہ لگانے کے لیے ایک بہت آسان انٹرپولیشن اسکیم، خاص طور پر ٹرانزیشن میٹلز کے ڈی-بینڈز کے لیے، پیرامیٹرائزڈ ٹائٹ بائنڈنگ طریقہ ہے جس کا تصور 1954 میں جان کلارک سلیٹر اور جارج فریڈ کوسٹر نے کیا تھا، جسے بعض اوقات ایس کے ٹائٹ بائنڈنگ طریقہ کہا جاتا ہے۔ ایس کے ٹائٹ بائنڈنگ طریقہ کار کے ساتھ، کسی ٹھوس پر الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے کے حسابات کو مکمل سختی کے ساتھ انجام دینے کی ضرورت نہیں ہے جیسا کہ اصل بلوچ کے نظریہ میں ہے بلکہ، پہلے اصولوں کے حسابات صرف اعلی ہم آہنگی والے مقامات پر کیے جاتے ہیں اور بینڈ کا ڈھانچہ ان نکات کے درمیان بریلون زون کے بقیہ حصے میں انٹرپولیٹ کیا جاتا ہے۔ اس نقطہ نظر میں، مختلف جوہری مقامات کے درمیان تعاملات کو خلل سمجھا جاتا ہے۔ کئی قسم کے تعاملات موجود ہیں جن پر ہمیں غور کرنا چاہیے۔ کرسٹل ہیملٹنین تقریبا جوہری ہیملٹنین کا مجموعہ ہے جو مختلف مقامات پر واقع ہے اور جوہری لہر کے افعال کرسٹل میں ملحقہ جوہری مقامات کو اوورلیپ کرتے ہیں، اور اس لیے عین مطابق لہر فنکشن کی درست نمائندگی نہیں ہیں۔ اگلے حصے میں کچھ ریاضیاتی تاثرات کے ساتھ مزید وضاحتیں ہیں۔ مضبوطی سے مربوط مواد کے بارے میں حالیہ تحقیق میں سخت بائنڈنگ کا نقطہ نظر بنیادی تخمینہ ہے کیونکہ 3-ڈی ٹرانزیشن میٹل الیکٹرانوں جیسے انتہائی مقامی الیکٹران بعض اوقات مضبوطی سے مربوط طرز عمل کو ظاہر کرتے ہیں۔ اس صورت میں، الیکٹران-الیکٹران تعامل کے کردار پر متعدد جسموں کی طبیعیات کی تفصیل کا استعمال کرتے ہوئے غور کیا جانا چاہیے۔ تنگ بائنڈنگ ماڈل عام طور پر الیکٹرانک بینڈ کی ساخت اور جامد نظام میں بینڈ کے فرق کے حساب کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ تاہم، بے ترتیب مرحلے کے تخمینہ (آر پی اے) ماڈل جیسے دیگر طریقوں کے ساتھ مل کر، نظاموں کے متحرک ردعمل کا بھی مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔ 2019 میں، بینوارتھ اور دیگر۔ بنیادی طور پر ڈھانچوں اور غیر ہم آہنگ تعامل توانائیوں کے حساب کے لیے GFN2-xTB طریقہ متعارف کرایا۔ ریاضیاتی تشکیل ہم جوہری مداروں کو متعارف کراتے ہیں، جو ایک واحد الگ تھلگ ایٹم کے ہیملٹنین کے آئجن فنکشن ہیں۔ جب ایٹم کو کرسٹل میں رکھا جاتا ہے، تو یہ جوہری لہر فنکشن ملحقہ جوہری مقامات کو اوورلیپ کرتا ہے، اور اسی طرح کرسٹل ہیملٹنین کے حقیقی آئجن فنکشن نہیں ہوتے ہیں۔ جب الیکٹران مضبوطی سے جڑے ہوتے ہیں تو اوورلیپ کم ہوتا ہے، جو کہ ڈسکرپٹر "ٹائٹ بائنڈنگ" کا ماخذ ہوتا ہے۔ نظام کے حقیقی ہیملٹنین کو حاصل کرنے کے لیے درکار جوہری صلاحیت میں کوئی بھی اصلاح، چھوٹی سمجھی جاتی ہے: جہاں کرسٹل جالی میں سائٹ پر واقع ایک ایٹم کی جوہری صلاحیت کو ظاہر کرتا ہے۔ وقت سے آزاد واحد الیکٹران شروڈنگر مساوات کا حل پھر جوہری مداروں کے لکیری امتزاج کے طور پر تخمینہ لگایا جاتا ہے:، جہاں m-th جوہری توانائی کی سطح سے مراد ہے۔ ٹرانسلیشنل سمیٹری اور نارملائزیشن بلاچ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ کرسٹل میں ویو فنکشن صرف ایک فیز فیکٹر کے ذریعے ترجمہ کے تحت تبدیل ہو سکتا ہے: ویو فنکشن کا ویو ویکٹر کہاں ہے۔ نتیجتا، کوفیشنٹس مطمئن ہوتے ہیں۔ متبادل کے ذریعے، ہم تلاش کرتے ہیں (جہاں RHS میں ہم نے ڈمی انڈیکس کو تبدیل کیا ہے) یا ویو فنکشن کو یونٹی میں نارملائز کرتے ہیں: لہذا نارملائزیشن اس طرح سیٹ ہوتی ہے جہاں αm (Rp) ایٹمک اوورلیپ انٹیگرلز ہیں، جنہیں اکثر نظر انداز کیا جاتا ہے جس کے نتیجے میں اور تنگ بائنڈنگ ہیملٹنین ویو فنکشن کے لیے تنگ بائنڈنگ فارم کا استعمال کرتے ہوئے، اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ صرف m-th ایٹمک انرجی لیول m-th انرجی بینڈ کے لیے اہم ہے، بلاچ انرجیز اس شکل کی ہوتی ہیں۔ یہاں آخری مرحلے میں یہ فرض کیا گیا کہ اوورلیپ انٹیگرل صفر ہے اور اس طرح۔ توانائی تب بن جاتی ہے جہاں ایم m-th جوہری سطح کی توانائی ہے، اور، اور نیچے زیر بحث تنگ بائنڈنگ میٹرکس عناصر ہیں۔ تنگ بائنڈنگ میٹرکس عناصر عناصر پڑوسی ایٹموں پر صلاحیت کی وجہ سے جوہری توانائی کی تبدیلی ہیں۔ یہ اصطلاح زیادہ تر معاملات میں نسبتا چھوٹی ہوتی ہے۔ اگر یہ بڑا ہے تو اس کا مطلب ہے کہ پڑوسی ایٹموں پر پوٹینشل کا مرکزی ایٹم کی توانائی پر بڑا اثر پڑتا ہے۔ اصطلاحات کی اگلی کلاس ملحقہ ایٹموں پر جوہری مدار m اور l کے درمیان انٹراٹومک میٹرکس عنصر ہے۔ اسے بانڈ انرجی یا ٹو سینٹر انٹیگرل بھی کہا جاتا ہے اور یہ ٹائٹ بائنڈنگ ماڈل میں غالب اصطلاح ہے۔ اصطلاحات کی آخری کلاس ملحقہ ایٹموں پر جوہری مدار m اور l کے درمیان اوورلیپ انٹیگرلز کی نشاندہی کرتی ہے۔ یہ بھی، عام طور پر چھوٹے ہوتے ہیں ؛ اگر نہیں، تو پالی پسپائی کا مرکزی ایٹم کی توانائی پر غیر معمولی اثر پڑتا ہے۔ میٹرکس عناصر کی تشخیص جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے-میٹرکس عناصر کی اقدار آئنائزیشن توانائی کے مقابلے میں اتنی بڑی نہیں ہوتیں کیونکہ مرکزی ایٹم پر پڑوسی ایٹموں کی صلاحیت محدود ہوتی ہے۔ اگر نسبتا چھوٹا نہیں ہے تو اس کا مطلب یہ ہے کہ مرکزی ایٹم پر پڑوسی ایٹم کی صلاحیت بھی کم نہیں ہے۔ اس صورت میں یہ ایک اشارہ ہے کہ تنگ بائنڈنگ ماڈل کسی وجہ سے بینڈ کے ڈھانچے کی وضاحت کے لیے بہت اچھا ماڈل نہیں ہے۔ بین جوہری فاصلے بہت کم ہو سکتے ہیں یا مثال کے طور پر جالی میں ایٹموں یا آئنوں پر چارج غلط ہے۔ انٹراٹومک میٹرکس عناصر کا براہ راست حساب لگایا جا سکتا ہے اگر جوہری لہر کے افعال اور صلاحیت کو تفصیل سے جانا جائے۔ اکثر ایسا نہیں ہوتا۔ ان میٹرکس عناصر کے لیے پیرامیٹرز حاصل کرنے کے بے شمار طریقے ہیں۔ پیرامیٹرز کیمیائی بانڈ توانائی کے اعداد و شمار سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ برلوئن زون میں کچھ اعلی سمیٹری پوائنٹس پر توانائیاں اور آئجین اسٹیٹس کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے اور میٹرکس عناصر میں انٹیگرلز کی اقدار کو دوسرے ذرائع سے بینڈ ڈھانچے کے ڈیٹا کے ساتھ ملایا جا سکتا ہے۔ انٹراٹومک اوورلیپ میٹرکس عناصر چھوٹے یا نظر انداز ہونے چاہئیں۔ اگر وہ بڑے ہیں تو یہ ایک بار پھر اشارہ ہے کہ تنگ بائنڈنگ ماڈل کچھ مقاصد کے لیے محدود قیمت کا ہے۔ مثال کے طور پر بڑا اوورلیپ بہت کم انٹراٹومک فاصلے کا اشارہ ہے۔ دھاتوں اور منتقلی کی دھاتوں میں وسیع ایس-بینڈ یا ایس پی-بینڈ کو موجودہ بینڈ ڈھانچے کے حساب سے اگلے قریبی پڑوسی میٹرکس عناصر اور اوورلیپ انٹیگرلز کے تعارف کے ذریعے بہتر طور پر فٹ کیا جا سکتا ہے لیکن اس طرح فٹ بیٹھتا ہے جو دھات کے الیکٹرانک ویو فنکشن کے لیے بہت مفید ماڈل نہیں دیتا ہے۔ گھنے مواد میں وسیع بینڈوں کو تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل کے ذریعے بہتر طریقے سے بیان کیا جاتا ہے۔ تنگ بائنڈنگ ماڈل خاص طور پر ان صورتوں میں اچھی طرح سے کام کرتا ہے جہاں بینڈ کی چوڑائی چھوٹی ہوتی ہے اور الیکٹران مضبوطی سے مقامی ہوتے ہیں، جیسے ڈی-بینڈ اور ایف-بینڈ کے معاملے میں۔ ماڈل کھلے کرسٹل ڈھانچوں جیسے ہیرے یا سلکان کے معاملے میں بھی اچھے نتائج دیتا ہے، جہاں پڑوسیوں کی تعداد کم ہے۔ اس ماڈل کو ہائبرڈ این ایف ای-ٹی بی ماڈل میں تقریبا مفت الیکٹران ماڈل کے ساتھ آسانی سے جوڑا جا سکتا ہے۔ ونیئر افعال سے تعلق بلاچ افعال الیکٹرانک حالتوں کو پیریڈک کرسٹل لیٹس میں بیان کرتے ہیں۔ بلاچ افعال کو ایک فورئیر سیریز کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے جہاں Rn ایک پیریڈک کرسٹل لیٹس میں ایک ایٹم سائٹ کی نشاندہی کرتا ہے، k بلاچ کی فنکشن کا ویو ویکٹر ہے، r الیکٹران پوزیشن ہے، m بینڈ انڈیکس ہے، اور مجموعہ تمام N ایٹم سائٹس پر ہے۔ بلاچ فنکشن ایک توانائی ایم (کے) کے مطابق پیریڈک کرسٹل پوٹینشل میں الیکٹران کی لہر فنکشن کے لیے ایک عین مطابق ایجینسلیوشن ہے، اور یہ پورے کرسٹل حجم میں پھیلا ہوا ہے۔ فورئیر ٹرانسفارم تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے، m-th انرجی بینڈ کے لیے ایک مقامی طور پر مقامی لہر فنکشن کو متعدد بلوچ کے افعال سے بنایا جا سکتا ہے: ان حقیقی خلائی لہر افعال کو ونیئر افعال کہا جاتا ہے، اور جوہری سائٹ Rn سے کافی قریب سے مقامی ہوتے ہیں۔ یقینا، اگر ہمارے پاس عین مطابق وینیئر افعال ہیں، تو عین مطابق بلاچ افعال الٹا فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ تاہم براہ راست بلاچ فنکشنز یا ونیئر فنکشنز کا حساب لگانا آسان نہیں ہے۔ ٹھوسوں کے الیکٹرانک ڈھانچوں کے حساب میں ایک لگ بھگ نقطہ نظر ضروری ہے۔ اگر ہم الگ تھلگ ایٹموں کے انتہائی معاملے پر غور کریں تو، ونیئر فنکشن ایک الگ تھلگ جوہری مدار بن جائے گا۔ یہ حد جوہری لہر فنکشن کے انتخاب کو ونیئر فنکشن کے لیے ایک تخمینی شکل کے طور پر تجویز کرتی ہے، نام نہاد تنگ بائنڈنگ تخمینہ۔ دوسرا کوانٹائزیشن الیکٹرانک ڈھانچے کی جدید وضاحتیں جیسے ٹی-جے ماڈل اور ہبارڈ ماڈل تنگ بائنڈنگ ماڈل پر مبنی ہیں۔ سخت بائنڈنگ کو دوسرے کوانٹائزیشن فارملزم کے تحت کام کرکے سمجھا جا سکتا ہے۔ ایٹم آربیٹل کو ایک بنیادی حالت کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، تنگ بائنڈنگ فریم ورک میں دوسرے کوانٹائزیشن ہیملٹنین آپریٹر کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے:،-تخلیق اور تخفیف آپریٹرز-اسپن پولرائزیشن-ہوپنگ انٹیگرل-قریب ترین پڑوسی انڈیکس-دوسری اصطلاحات کا ہرمیٹین کنجوگیٹ۔ یہاں، ہوپنگ انٹیگرل تنگ بائنڈنگ ماڈل میں ٹرانسفر انٹیگرل سے مطابقت رکھتا ہے۔ کے انتہائی معاملات پر غور کرتے ہوئے، کسی الیکٹران کے لیے پڑوسی مقامات پر اچھلنا ناممکن ہے۔ یہ معاملہ الگ تھلگ جوہری نظام ہے۔ اگر ہوپنگ کی اصطلاح کو آن کیا جائے تو الیکٹران دونوں جگہوں پر رہ سکتے ہیں جو ان کی حرکی توانائی کو کم کر سکتے ہیں۔ مضبوطی سے مربوط الیکٹران نظام میں، الیکٹران-الیکٹران تعامل پر غور کرنا ضروری ہے۔ یہ اصطلاح اس تعامل میں لکھی جا سکتی ہے۔ ہیملٹنین میں براہ راست کولمب تعامل توانائی اور الیکٹرانوں کے درمیان تعامل توانائی کا تبادلہ شامل ہے۔ اس الیکٹران الیکٹران تعامل توانائی سے متاثر ہونے والی کئی نئی طبیعیات ہیں، جیسے کہ میٹل انسولیٹر ٹرانزیشنز (ایم آئی ٹی)، اعلی درجہ حرارت کی سپر کنڈکٹیویٹی، اور کئی کوانٹم مرحلے کی ٹرانزیشن۔ مثال: یک جہتی s-بینڈ یہاں تنگ بائنڈنگ ماڈل کو جوہری مقامات کے درمیان a اور σ بانڈز کے فاصلے کے ساتھ سیدھی لکیر میں ایک واحد s-آربیٹل والے ایٹموں کی تار کے لیے s-بینڈ ماڈل کے ساتھ دکھایا گیا ہے۔ ہیملٹنین کے لگ بھگ آئجین اسٹیٹس کو تلاش کرنے کے لیے، ہم جوہری مداروں کا ایک لکیری مجموعہ استعمال کر سکتے ہیں جہاں N = سائٹس کی کل تعداد اور اس کے ساتھ ایک حقیقی پیرامیٹر ہے۔ (اس لہر فنکشن کو لیڈنگ فیکٹر 1/ऱ्ऱं این کے ذریعے اتحاد کے لیے معمول بنایا جاتا ہے بشرطیکہ جوہری لہر کے افعال کے اوورلیپ کو نظر انداز کیا جائے۔) یہ فرض کرتے ہوئے کہ صرف قریب ترین پڑوسی اوورلیپ ہے، ہیملٹنین کے واحد غیر صفر میٹرکس عناصر کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ توانائی Ei منتخب کردہ جوہری مدار سے مطابقت رکھنے والی آئنائزیشن توانائی ہے اور U پڑوسی ایٹموں کی صلاحیت کے نتیجے میں مدار کی توانائی کی تبدیلی ہے۔ عناصر، جو سلیٹر اور کوسٹر انٹراٹومک میٹرکس عناصر ہیں، بانڈ توانائیاں ہیں۔ اس یک جہتی ایس-بینڈ ماڈل میں ہمارے پاس بانڈ توانائی کے ساتھ ایس-آربیٹلز کے درمیان صرف-بانڈ ہوتے ہیں۔ ہمسایہ ایٹموں پر حالتوں کے درمیان اوورلیپ S ہے۔ ہم مندرجہ بالا مساوات کا استعمال کرتے ہوئے حالت کی توانائی حاصل کر سکتے ہیں: جہاں، مثال کے طور پر، اور اس طرح اس حالت کی توانائی کو توانائی کے پھیلاؤ کی واقف شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے: توانائی کے لیے ہے اور حالت تمام جوہری مداروں کے مجموعے پر مشتمل ہے۔ اس حالت کو بانڈنگ آربیٹلز کے سلسلے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ توانائی کے لیے ہے اور حالت جوہری مداروں کے مجموعے پر مشتمل ہے جو مرحلے سے باہر ایک عنصر ہیں۔ اس حالت کو غیر بندھن والے مداروں کے سلسلے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ آخر میں توانائی کے لیے ہے اور حالت جوہری مداروں کے ایک متبادل مجموعہ پر مشتمل ہے۔ اس حالت کو اینٹی بانڈنگ آربیٹلز کے سلسلے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس مثال کو آسانی سے تین جہتوں تک بڑھایا جاتا ہے، مثال کے طور پر، صرف این اے کی جگہ قریب ترین پڑوسی ویکٹر مقامات کو متعارف کروا کر جسم پر مرکوز مکعب یا چہرے پر مرکوز مکعب جالی تک۔ اسی طرح، طریقہ کار کو ہر جگہ پر متعدد مختلف جوہری مداروں کا استعمال کرتے ہوئے متعدد بینڈوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اوپر دی گئی عمومی تشکیل سے پتہ چلتا ہے کہ ان توسیعات کو کیسے پورا کیا جا سکتا ہے۔ انٹراٹومک میٹرکس عناصر کی جدول 1954 میں جے سی سلیٹر اور جی ایف کوسٹر نے شائع کیا، بنیادی طور پر ٹرانزیشن میٹل ڈی بینڈز کے حساب کے لیے، انٹراٹومک میٹرکس عناصر کی ایک میز جسے کیوبک ہارمونک آربیٹلز سے بھی براہ راست اخذ کیا جا سکتا ہے۔ میز میٹرکس عناصر کو ملحقہ ایٹموں پر دو کیوبک ہارمونک آربیٹلز، i اور j کے درمیان ایل سی اے او دو مرکز بانڈ انٹیگرلز کے افعال کے طور پر ظاہر کرتی ہے۔ بانڈ انٹیگرلز مثال کے طور پر ہیں، اور سگما، پائی اور ڈیلٹا بانڈز کے لیے (نوٹ کریں کہ ان انٹیگرلز کا انحصار ایٹموں کے درمیان فاصلے پر بھی ہونا چاہیے، یعنی۔ ایک فنکشن ہیں، حالانکہ یہ ہر بار واضح طور پر بیان نہیں کیا جاتا ہے۔) انٹراٹومک ویکٹر کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے جہاں ڈی ایٹموں کے درمیان فاصلہ ہے اور l، m اور n پڑوسی ایٹم کی سمت کوسائن ہیں۔ تمام انٹراٹومک میٹرکس عناصر کو واضح طور پر درج نہیں کیا گیا ہے۔ میٹرکس عناصر جو اس ٹیبل میں درج نہیں ہیں، ان کو ٹیبل میں موجود دیگر میٹرکس عناصر کے اشاریہ جات اور کوسائن کی سمتوں کی ترتیب سے بنایا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ مداری اشاریہ جات کو تبدیل کرنا لینے کے مترادف ہے، یعنی۔ ۔ مثلا۔ الیکٹرانک بینڈ ڈھانچہ تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل بلاچ کی تھیوریمز کرونگ-پینی ماڈل فرمی سرفیس ونیئر فنکشن ہبارڈ ماڈل ٹی-جے ماڈل ایفیکٹو ماس اینڈرسن کا قاعدہ ڈائنمیکل تھیوری آف ڈفریکشن سالڈ اسٹیٹ فزکس لکیری امتزاج جوہری مدار سالماتی مداری طریقہ (ایل سی اے او) ہولسٹین-ہیرنگ طریقہ پیئرلز متبادل ہکل طریقہ حوالہ جات این ڈبلیو ایشکرافٹ اور این ڈی مرمین، سالڈ اسٹیٹ فزکس (تھامسن لرننگ، ٹورنٹو، 1976)۔ اسٹیفن بلنڈیل میگنیٹزم ان کنڈینسڈ میٹر (آکسفورڈ، 2001)۔ S.Maekawa اور دیگر۔ فزکس آف ٹرانزیشن میٹل آکسائڈز (سپرنگر-ورلاگ برلن ہیڈلبرگ، 2004)۔ جان سنگلٹن بینڈ تھیوری اینڈ الیکٹرانک پراپرٹیز آف سالڈز (آکسفورڈ، 2001)۔ مزید پڑھنے والے بیرونی روابط کرسٹل فیلڈ تھیوری، ٹائٹ بائنڈنگ میتھڈ، اور ای پاورینی، ای کوچ، ایف اینڈرز، اور ایم جیریل میں جان ٹیلر ایفیکٹ (ایڈز۔ ): مربوط الیکٹران: ماڈلز سے لے کر مواد تک، جولائی 2012، ٹائٹ بائنڈنگ اسٹوڈیو: ٹائٹ بائنڈنگ ہیملٹنین الیکٹرانک ڈھانچے کے طریقوں کے پیرامیٹرز کو تلاش کرنے کے لیے ایک تکنیکی سافٹ ویئر پیکیج الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے