Adjunction formula
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی جیومیٹری اور پیچیدہ کئی گنا کے نظریہ میں، ملحقہ فارمولا مختلف قسم کے کینونکل بنڈل اور اس قسم کے اندر ایک ہائپر سرفیس سے متعلق ہے۔ یہ اکثر اچھی طرح سے رویے والی جگہوں جیسے پروجیکٹو اسپیس میں سرایت شدہ اقسام کے بارے میں حقائق کا اندازہ لگانے یا انضمام کے ذریعے تھیوریمز کو ثابت کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ہموار اقسام کے لیے ایڈجنکشن ایک ہموار ذیلی قسم کے لیے فارمولا X کو ایک ہموار الجبرائی قسم یا ہموار پیچیدہ کئی گنا اور Y کو X کی ہموار ذیلی قسم ہونے دیں۔ شمولیت کے نقشے کو i سے اور X میں Y کے مثالی ڈھیر کو x سے ظاہر کریں۔ i کے لیے غیر معمولی عین ترتیب وہ ہے جہاں ω کوٹینجینٹ بنڈل کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس عین مطابق ترتیب کا تعین ایک قدرتی آئسومورفزم ہے جہاں لائن بنڈل کے دوہرے کو ظاہر کرتا ہے۔ ہموار تقسیم کار کا مخصوص معاملہ فرض کریں کہ D X پر ایک ہموار تقسیم کار ہے۔ اس کا عام بنڈل ایکس پر ایک لائن بنڈل تک پھیلا ہوا ہے، اور ڈی کا مثالی خول اس کے دوہرے سے مطابقت رکھتا ہے۔ عام بنڈل ہے، جو، اوپر کے فارمولے کے ساتھ مل کر، دیتا ہے۔ کینونکل کلاسوں کے لحاظ سے، یہ کہتا ہے کہ ان دونوں فارمولوں کو ملانے کا فارمولا کہا جاتا ہے۔ مثال ڈگری ڈی ہائپر سرفیس ہموار ڈگری ہائپر سرفیس کو دیکھتے ہوئے ہم ملحقہ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے اس کے کینونکل اور اینٹی کینونکل بنڈلوں کا حساب لگا سکتے ہیں۔ یہ اس طرح پڑھتا ہے جو آئسومورفک ہے۔ ڈگریوں کے ہموار مکمل چوراہے کے لیے، غیر معمولی بنڈل اس کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے، لہذا فیصلہ کن بنڈل ہے اور اس کا دوہری ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ یہ تمام مکمل چوراہوں کے لیے اسی انداز میں عام ہوتا ہے۔ کواڈریک سطح میں منحنی خطوط ایک کواڈریک سطح کے طور پر سرایت کرتے ہیں جو ایک غیر سنگلر سمیٹرک میٹرکس سے آنے والے کواڈریٹک کثیر کے غائب ہونے والے لوکس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد ہم اپنی توجہ منحنی خطوط پر محدود کر سکتے ہیں۔ ہم ہر ایک پر کوٹینجینٹ بنڈلوں کا براہ راست مجموعہ استعمال کرنے کے کوٹینجینٹ بنڈل کا حساب لگا سکتے ہیں، لہذا یہ ہے۔ پھر، کینونکل شیف اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جسے ویکٹر بنڈلوں کے براہ راست مجموعے کے پٹریوں کے سڑنے کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے۔ پھر، ملحقہ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، کسی حصے کے غائب ہونے والے لوکس کے ذریعہ بیان کردہ منحنی خطوط کا حساب پوئنکیئر ریسیڈیو کے طور پر لگایا جا سکتا ہے۔ پابندی کے نقشے کو پوئنکیئر ریسیڈیو کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ X ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ پھر حصوں پر، پوئن کیری کے باقیات کو مندرجہ ذیل طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک کھلا سیٹ U طے کریں جس پر D فنکشن f کے غائب ہونے سے دیا جاتا ہے۔ U کے اوپر کسی بھی حصے کو s/f کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جہاں s U پر ہولومورفک فنکشن ہے۔ η کو ωX کے U پر ایک سیکشن ہونے دیں۔ پوائن کیری ریسیڈیو وہ نقشہ ہے، جو ویکٹر فیلڈ کو حجم کی شکل η پر لگانے سے بنتا ہے، پھر ہولومورفک فنکشن s سے ضرب دیتا ہے۔ اگر U مقامی کوآرڈینیٹس z1،.، zn کو اس طرح تسلیم کرتا ہے کہ کچھ i، ऱॆسمف/سلمزی §0 کے لیے، تو اس کا اظہار بھی کیا جا سکتا ہے۔ پوائن کیری ریسیڈیو کو دیکھنے کا ایک اور طریقہ پہلے ملحقہ فارمولے کو آئسومورفزم کے طور پر دوبارہ بیان کرتا ہے۔ پہلے کی طرح ایک کھلے سیٹ U پر، اس کا ایک حصہ شکل کے ساتھ ہولومورفک فنکشن s کا پروڈکٹ ہے۔ پوائن کیری باقیات وہ نقشہ ہے جو ωD کے ایک حصے اور کے ایک حصے کا پچر پروڈکٹ لیتا ہے۔ ملحقہ کا الٹنا ملحقہ فارمولا غلط ہوتا ہے جب غیر معمولی عین ترتیب ایک مختصر عین ترتیب نہیں ہوتی ہے۔ تاہم، اس ناکامی کو X کی انفرادیت کو D کی انفرادیت سے جوڑنے کے لیے استعمال کرنا ممکن ہے۔ اس قسم کے نظریات کو انضمام کا الٹ کہا جاتا ہے۔ وہ جدید برائشنل جیومیٹری میں ایک اہم ذریعہ ہیں۔ ہوائی جہاز کے منحنی خطوط کا کینونکل ڈیوائزر ایک ہموار ہوائی خطوط ہونا چاہیے جسے ڈگری یکساں کثیر الجہتی کے ذریعے کاٹا جاتا ہے۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ کینونکل ڈیوائزر وہ جگہ ہے جہاں ہائپرپلین ڈیوائزر ہے۔ افائن چارٹ میں سب سے پہلے کام کریں۔ مساوات کہاں اور بن جاتی ہے۔ ہم واضح طور پر تفریق کے تقسیم کار کا حساب لگائیں گے کسی بھی مقام پر یا تو یہ ایک مقامی پیرامیٹر ہے یا اس طرح ایک مقامی پیرامیٹر ہے۔ دونوں صورتوں میں نقطہ پر غائب ہونے کی ترتیب صفر ہے۔ اس طرح تقسیم کنندہ میں تمام شراکتیں انفینیٹی پر لائن پر ہوتی ہیں۔ اب لائن پر نظر ڈالیں۔ فرض کریں کہ چارٹ میں نقاط اور نقاط کے ساتھ دیکھنا کافی ہے۔ منحنی خطوط کی مساوات غائب ہونے کی ترتیب کے ساتھ اس طرح بن جاتی ہے۔ لہذا جو ملحقہ فارمولے سے متفق ہے۔ منحنی خطوط پر اطلاق طیارہ منحنی خطوط کے لیے جینس ڈگری فارمولا ملحقہ فارمولے سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ مان لیں کہ سی۔ پی۔ 2 ڈگری ڈی اور جینس جی کا ہموار طیارہ منحنی ہو۔ مان لیں کہ ایچ پی۔ 2 میں ہائپرپلین کی کلاس ہے، یعنی لائن کی کلاس۔ P2 کی کینونکل کلاس −3H ہے۔ نتیجتا، ملحقہ فارمولا کہتا ہے کہ C کی پابندی C کی کینونکل کلاس کے برابر ہے۔ یہ پابندی C تک محدود انٹرسیکشن پروڈکٹ کی طرح ہے، اور اس لیے C کی کینونکل کلاس کی ڈگری ہے۔ ریمن-راک تھیوریم کے مطابق، g−1 = (d−3) d−g + 1، جس سے فارمولا ظاہر ہوتا ہے۔ اسی طرح، اگر C کواڈریک سطح P1 × P1 پر بائیڈیگری (d1, d2) کے ساتھ ایک ہموار منحنی خطوط ہے (جس کا مطلب ہے کہ d1، d2 ہر پروجیکشن کے فائبر کے ساتھ اس کی انٹرسیکشن ڈگری ہیں)، کیونکہ P1 × P1 کی کینونکل کلاس میں بائیڈیگری (−2, −2) ہے، تو ملانے کا فارمولا ظاہر کرتا ہے کہ C کی کینونکل کلاس بائیڈیگریز (d1, d2) اور (d1 −2, d2 −2) کے تقسیم کاروں کا انٹرسیکشن پروڈکٹ ہے۔ P1 × P1 پر انٹرسیکشن فارم بائیڈیگری اور بائیلینیرٹی کی تعریف کے مطابق ہے، لہذا ریمن-راک کو لاگو کرنے سے ملتا ہے یا ایک وکر C کی جینس جو P3 میں دو سطحوں D اور E کا مکمل انٹرسیکشن ہے اس کا حساب بھی ملانے کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ d اور e بالترتیب D اور E کی ڈگریاں ہیں۔ ایڈجنکشن فارمولا کو D پر لاگو کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ اس کا کینونکل ڈیوائزر ہے، جو کہ اور D کا انٹرسیکشن پروڈکٹ ہے۔ E کے ساتھ دوبارہ ایسا کرنا، جو اس لیے ممکن ہے کیونکہ C ایک مکمل انٹرسیکشن ہے، ظاہر کرتا ہے کہ کینونکل ڈیوائزر C پروڈکٹ ہے، یعنی اس کی ڈگری ہے۔ ریمن-راک تھیوریم کے مطابق، اس کا مطلب یہ ہے کہ C کی جینس زیادہ عام طور پر ہے، اگر C Pn میں ڈگریوں کے ہائپر سرفیس کا مکمل چوراہا ہے، تو ایک انڈکٹو کمپیوٹیشن سے پتہ چلتا ہے کہ C کی کینونکل کلاس ہے۔ ریمن-راک تھیوریم کا مطلب ہے کہ اس منحنی خطوط کی جینس کم جہتی ٹوپولوجی میں ہے۔ آئیے S ایک پیچیدہ سطح ہے (خاص طور پر ایک 4 جہتی کئی گنا) اور ایک ہموار (غیر واحد) منسلک پیچیدہ منحنی خطوط ہے۔ پھر سی کی جینس کہاں ہے، خود کٹوتیوں کی نشاندہی کرتی ہے اور کرونکر جوڑی کی نشاندہی کرتی ہے۔ لوگرتھمک فارم پوائن کیئر ریسیڈیو تھام قیاس آرائی حوالہ جات انٹرسیکشن تھیوری دوسرا ایڈیشن، ولیم فلٹن، سپرنگر، مثال 3.2.12 بھی دیکھیں۔ الجبرائی جیومیٹری کے اصول، گریفتھس اور ہیرس، ولی کلاسیکی لائبریری، پی پی 146-147۔ الجبرائی جیومیٹری، رابن ہارٹشورن، سپرنگر جی ٹی ایم 52، پروپوزیشن II.8.20۔ الجبرائی جیومیٹری