Zariski geometry
ریاضی میں، زرسکی جیومیٹری ایک تجریدی ڈھانچے پر مشتمل ہوتی ہے جسے ایہود ہرشووسکی اور بورس زیلبر نے متعارف کرایا تھا، تاکہ الجبرائی منحنی خطوط پر زرسکی ٹوپولوجی اور اس کی تمام طاقتوں کی خصوصیت دی جا سکے۔ الجبرائی اقسام کے پروڈکٹ پر زرسکی ٹوپولوجی بہت کم ہی پروڈکٹ ٹوپولوجی ہوتی ہے، لیکن بند سیٹوں میں زیادہ امیر ہوتی ہے جس کی وضاحت مساوات کے ذریعہ کی جاتی ہے جو متغیرات کے دو سیٹوں کو ملاتی ہے۔ بیان کردہ نتیجہ یہ دیتا ہے کہ ایک بہت ہی قطعی معنی، خاص طور پر پروجیکٹو منحنی خطوط اور کمپیکٹ ریمن سطحوں پر لاگو ہوتا ہے۔ تعریف ایک زرسکی جیومیٹری ایک سیٹ X اور ہر سیٹ X، X2، X3 پر ایک ٹپوولوجیکل ڈھانچے پر مشتمل ہوتی ہے۔ (N) Xn میں سے ہر ایک نویتھیرین ٹپوولوجیکل اسپیس ہے، جس کا طول و عرض زیادہ سے زیادہ n ہے۔ نویتھیرین اسپیس کے لیے کچھ معیاری اصطلاحات اب فرض کی جائیں گی۔ (A) ہر Xn میں، ایک n-ٹپل میں مساوات کے ذریعہ بیان کردہ ذیلی سیٹ بند ہوتے ہیں۔ نقشہ سازی Xm → Xn کی تعریف بعض نقاط کو پیش کرنے اور دوسروں کو مستقل کے طور پر ترتیب دینے سے کی جاتی ہے، یہ سب مسلسل ہیں۔ (B) ایک پروجیکشن p: Xm → Xn اور Xm کے ایک ناقابل کٹوتی بند ذیلی سیٹ Y کے لیے، p (Y) اس کی بندش Z اور Z کے درمیان واقع ہے جہاں Z کا ایک مناسب بند ذیلی سیٹ ہے۔ (یہ ایک تجریدی سطح پر کوانٹیفایر کا خاتمہ ہے۔) (C) X ناقابل کٹوتی ہے۔ (D) Xm میں کسی بھی بند سیٹ کے پروجیکشن میں فائبر کے عناصر کی تعداد پر ایک یکساں پابند ہوتا ہے، سوائے ان صورتوں کے جہاں فائبر X ہے۔ (E) طول و عرض r کا Xm کا ایک بند ناقابل تلافی ذیلی سیٹ، جب ایک اخترن ذیلی سیٹ کے ساتھ کاٹا جاتا ہے جس میں s نقاط برابر مقرر ہوتے ہیں، تو طول و عرض کے تمام اجزاء کم از کم r − s + 1 ہوتے ہیں۔ مزید مطلوبہ شرط کو بہت کافی کہا جاتا ہے (cf. بہت کافی لائن بنڈل)۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ کچھ Xm کا ایک ناقابل کٹوتی بند ذیلی سیٹ P ہے، اور P × X2 کا ایک ناقابل کٹوتی بند ذیلی سیٹ Q ہے، جس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: (I) X2 میں دیئے گئے جوڑے (x, y)، (,)، P میں کچھ t کے لیے، Q میں (t, u, v) کے سیٹ میں (t, x, y) شامل ہے لیکن (t,,) نہیں (J) P کے مناسب بند ذیلی سیٹ سے باہر t کے لیے، X2 میں (x, y) کا سیٹ، (t, x, y) Q میں طول و عرض 1 کا ایک ناقابل کٹوتی بند سیٹ ہے۔ (K) X2 میں تمام جوڑوں (x, y)، (,) کے لیے، جو ایک مناسب بند ذیلی سیٹ کے باہر سے منتخب کیے گئے ہیں، P میں کچھ t اس طرح ہوتا ہے کہ Q میں (t, u, v) کے سیٹ میں (t, x, y) اور (t,,) شامل ہوتے ہیں۔ ہندسی طور پر یہ کہتا ہے کہ پوائنٹس (I) کو الگ کرنے، اور پوائنٹس (K) کو جوڑنے کے لیے کافی منحنی خطوط موجود ہیں ؛ اور یہ کہ اس طرح کے منحنی خطوط کو ایک ہی پیرامیٹرک خاندان سے لیا جا سکتا ہے۔ پھر ہرشووسکی اور زیلبر ثابت کرتے ہیں کہ ان حالات میں الجبرائی طور پر ایک بند فیلڈ K ہے، اور ایک غیر واحد الجبرائی وکر C ہے، اس طرح کہ اس کی طاقتوں کی زرسکی جیومیٹری اور ان کی زرسکی ٹوپولوجی دی گئی چیز کے لیے آئسومورفک ہے۔ مختصرا، جیومیٹری کو الجبرائز کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات ماڈل تھیوری الجبرائی منحنی خطوط ویکٹر بنڈل