Choice function
ایک چوائس فنکشن (سلیکٹر، سلیکشن) ایک ریاضیاتی فنکشن f ہے جس کی وضاحت غیر خالی سیٹوں کے کچھ مجموعہ X پر کی گئی ہے اور اس مجموعہ میں ہر سیٹ S کا کچھ عنصر S کو f (S) کے ذریعے تفویض کرتا ہے۔ f (S) S کو S کے کسی عنصر سے جوڑتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، f X کے لیے ایک چوائس فنکشن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا تعلق X کے براہ راست پروڈکٹ سے ہو۔ ایک مثال X = {{1,4,7}، {9}، {2,7}} لیں۔ پھر وہ فنکشن جو سیٹ {1,4,7} کو 7، 9 سے {9}، اور 2 سے {2,7} تفویض کرتا ہے، X پر ایک چوائس فنکشن ہے۔ تاریخ اور اہمیت ارنسٹ زرمیلو (1904) نے انتخاب کے افعال کے ساتھ ساتھ انتخاب کے محور (AC) کو متعارف کرایا اور اچھی طرح سے ترتیب دینے والے نظریہ کو ثابت کیا، جس میں کہا گیا ہے کہ ہر سیٹ کو اچھی طرح سے ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ اے سی کا کہنا ہے کہ نان ایمپٹی سیٹوں کے ہر سیٹ کا ایک چوائس فنکشن ہوتا ہے۔ اے سی کی ایک کمزور شکل، قابل گنتی انتخاب (اے سی ω) کا محور بیان کرتا ہے کہ غیر خالی سیٹوں کے ہر قابل گنتی سیٹ کا ایک انتخاب فنکشن ہوتا ہے۔ تاہم، AC یا ACω کی عدم موجودگی میں، کچھ سیٹوں کو اب بھی ایک چوائس فنکشن دکھایا جا سکتا ہے۔ اگر نان ایمپٹی سیٹوں کا ایک محدود سیٹ ہے، تو کوئی بھی اس کے ہر ممبر میں سے ایک عنصر کو چن کر ایک چوائس فنکشن تشکیل دے سکتا ہے۔ اس کے لیے صرف محدود طور پر بہت سے انتخاب کی ضرورت ہوتی ہے، لہذا نہ ہی AC یا ACω کی ضرورت ہوتی ہے۔ اگر کا ہر ممبر ایک غیر خالی سیٹ ہے، اور یونین اچھی طرح سے ترتیب دی گئی ہے، تو کوئی بھی کے ہر ممبر کا سب سے کم عنصر منتخب کر سکتا ہے۔ اس صورت میں، یونین کے ویل آرڈر کا صرف ایک انتخاب کرکے ہر رکن کو بیک وقت اچھی طرح سے ترتیب دینا ممکن تھا، اس لیے نہ تو AC اور نہ ہی ACω کی ضرورت تھی۔ (اس مثال سے پتہ چلتا ہے کہ ویل آرڈرنگ تھیوریم سے مراد AC ہے۔ اس کے برعکس بھی سچ ہے، لیکن کم معمولی ہے۔) ملٹی ویلیوڈ نقشے کا چوائس فنکشن X اور Y کے دو سیٹوں کو دیکھتے ہوئے، فرض کریں کہ F، X سے Y تک کا ایک ملٹی ویلیوڈ نقشہ ہے (مساوی طور پر، X سے Y کے پاور سیٹ تک کا فنکشن ہے)۔ ایک فنکشن کو F کا انتخاب کہا جاتا ہے، اگر: زیادہ باقاعدہ انتخاب کے افعال کا وجود، یعنی مسلسل یا قابل پیمائش انتخاب تفریقی شمولیت، زیادہ سے زیادہ کنٹرول، اور ریاضیاتی معاشیات کے نظریہ میں اہم ہے۔ سلیکشن تھیوریم دیکھیں۔ بورباکی تاؤ فنکشن نکولس بورباکی نے اپنی بنیادوں کے لیے ایپسلون کیلکولس کا استعمال کیا جس کی ایک علامت تھی جس کی تشریح کسی ایسی چیز (اگر کوئی موجود ہو) کے انتخاب کے طور پر کی جا سکتی ہے جو کسی دی گئی تجویز کو مطمئن کرے۔ لہذا اگر پیش گوئی ہے، تو ایک خاص شے ہے جو مطمئن کرتی ہے (اگر کوئی موجود ہے، بصورت دیگر یہ ایک صوابدیدی شے کو واپس کرتی ہے)۔ لہذا ہم چوائس فنکشن سے کوانٹیفائر حاصل کر سکتے ہیں، مثال کے طور پر اس کے مساوی تھا۔ تاہم، بورباکی کا چوائس آپریٹر معمول سے زیادہ مضبوط ہے: یہ ایک عالمی چوائس آپریٹر ہے۔ یعنی یہ عالمی انتخاب کے محوری اصول کو ظاہر کرتا ہے۔ ہلبرٹ کو اس بات کا احساس اس وقت ہوا جب انہوں نے ایپسلون کیلکولس متعارف کرایا۔ شمار کے قابل انتخاب کا محور بھی دیکھیں منحصر انتخاب کا محور ہاؤزڈورف پیراڈوکس ہیمیکونٹینیوٹی نوٹس حوالہ جات سیٹ تھیوری میں بنیادی تصورات انتخاب کا محور