SnapPea
سنیپپیا ایک مفت سافٹ ویئر ہے جو ریاضی دانوں، خاص طور پر کم جہتی ٹپوولوجسٹوں، ہائپربولک 3-مینیفولڈز کا مطالعہ کرنے میں مدد کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ بنیادی ڈویلپر جیفری ویکس ہیں، جنہوں نے اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے کے حصے کے طور پر پہلا ورژن بنایا، جس کی نگرانی ولیم تھرسٹن نے کی۔ اسے اسی نام کے غیر متعلقہ اینڈرائڈ میلویئر کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ تازہ ترین ورژن 3.0d3 ہے۔ مارک کلر، ناتھن ڈن فیلڈ اور تعاون کاروں نے اسنیپپیا دانا اور تحریری ازگر توسیعی ماڈیولز کو بڑھایا ہے جو دانا کو ازگر پروگرام یا مترجم میں استعمال کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ وہ ازگر میں لکھا ہوا ایک گرافیکل یوزر انٹرفیس بھی فراہم کرتے ہیں جو زیادہ تر آپریٹنگ سسٹمز کے تحت چلتا ہے (نیچے بیرونی لنکس دیکھیں)۔ اسنیپ پی کے اعترافات کی فہرست میں درج ذیل لوگوں کو کریڈٹ دیا گیا ہے: کولن ایڈمز، بل اروسن، پیٹ کالاہان، جو کرسٹی، ڈیو گبائی، چارلی گن، مارٹن ہلڈی برانڈ، کریگ ہڈسن، ڈیان ہوفوس، اے سی منوہرن، ال مارڈن، ڈک میک گیہی، روب میئر ہاف، لی موشر، والٹر نیومن، کارلو پیٹرونیو، مارک فلپس، ایلن ریڈ، اور ماکوٹو ساکوما۔ سی سورس کوڈ پر جیفری ویکس نے بڑے پیمانے پر تبصرہ کیا ہے اور اس میں حوالہ جات سے وابستہ ریاضی کی مفید وضاحتیں شامل ہیں۔ اسنیپ پائی کی طرح اسنیپ پی کیرنل بھی جی این یو جی پی ایل 2 + کے تحت جاری کیا گیا ہے۔ الگورتھم اور افعال سنیپپیا کے بنیادی حصے میں دو اہم الگورتھم ہیں۔ دی گئی لنک تکمیل کے کم سے کم مثالی مثلث کو تلاش کرنے کی پہلی کوششیں۔ دوسرا ایک کسپڈ ہائپربولک 3-مینی فولڈ کے کینونکل سڑنے کا حساب لگاتا ہے۔ اسنیپپیا کے تقریبا تمام دیگر افعال کسی نہ کسی طرح ان میں سے کسی ایک سڑنے پر انحصار کرتے ہیں۔ کم از کم مثالی مثلث SnapPea مختلف فارمیٹس میں ڈیٹا ان پٹ کرتا ہے۔ لنک کے خاکہ کو دیکھتے ہوئے، سنیپپیا مثالی طور پر لنک کی تکمیل کو مثلث بنا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ مقامی طور پر کم سے کم مثالی مثلث تلاش کرنے کے لیے آسانیوں کا ایک سلسلہ انجام دیتا ہے۔ ایک بار ایک مناسب مثالی مثلث مل جانے کے بعد، سنیپپیا ایک ہائپربولک ڈھانچہ تلاش کرنے کی کوشش کر سکتا ہے۔ اپنے پرنسٹن لیکچر نوٹوں میں، تھرسٹن نے ہر ہائپربولک ٹیٹراہیڈرون کی ہندسی شکل کو ایک پیچیدہ نمبر اور پیچیدہ متغیرات کی غیر لکیری مساوات کے ایک سیٹ کے ذریعے بیان کرنے کا ایک طریقہ نوٹ کیا جس کا حل 3-مینی فولڈ پر ایک مکمل ہائپربولک میٹرک دے گا۔ یہ مساوات کنارے کی مساوات اور کاسپ (مکمل) مساوات پر مشتمل ہوتی ہیں۔ اسنیپپیا حل تلاش کرنے کے لیے نیوٹن کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ایک تکراری طریقہ استعمال کرتا ہے۔ اگر کوئی حل موجود نہیں ہے، تو اس کی اطلاع صارف کو دی جاتی ہے۔ مثلث کی مقامی کم سے کم کا مقصد اس امکان کو بڑھانا ہے کہ اس طرح کا حل موجود ہے، کیونکہ تحقیقی طور پر کوئی توقع کر سکتا ہے کہ اس طرح کے مثلث کو انحطاط یا ٹیٹراہیڈرا کے اوور لیپنگ کے بغیر "سیدھا" کیا جائے گا۔ لنک تکمیل پر ہائپربولک ڈھانچے کی اس تفصیل سے، اسنیپپیا پھر زیادہ ہائپربولک 3-مینیفولڈ حاصل کرنے کے لیے کسپس پر ہائپربولک ڈیہن فلنگ انجام دے سکتا ہے۔ اسنیپپیا ایسا کسی بھی ڈھلوان کو لے کر کرتا ہے جو کچھ ڈیہن فلنگ مساوات کا تعین کرتا ہے (تھرسٹن کے نوٹوں میں بھی بیان کیا گیا ہے)، اور پھر ان مساوات اور کنارے کی مساوات کا حل دینے کے لیے مثالی ٹیٹراہیڈرا کی شکلوں کو ایڈجسٹ کرتا ہے۔ تقریبا تمام ڈھلوانوں کے لیے، یہ لنک تکمیل پر ایک نامکمل ہائپربولک ڈھانچہ دیتا ہے، جس کی تکمیل ڈیہن سے بھرے کئی گنا پر ایک ہائپربولک ڈھانچہ دیتی ہے۔ اس کا حجم ایڈجسٹڈ ٹیٹراہیڈرا کے حجم کا مجموعہ ہے۔ کینونکل سڑنا سنیپپیا عام طور پر کسی دیئے گئے مثالی مثلث سے کسپڈ ہائپربولک 3-مینی فولڈ کے کینونکل سڑنے کا حساب لگانے کے قابل ہوتا ہے۔ اگر نہیں، تو یہ تصادفی طور پر دوبارہ مثلث بن جاتا ہے اور دوبارہ کوشش کرتا ہے۔ یہ کبھی ناکام ہونے کے لیے نہیں جانا گیا۔ کینونکل سڑنا اسنیپپیا کو شناخت کے مسئلے کو ایک مشترکہ سوال میں بدل کر دو کسپڈ ہائپربولک 3-مینیفولڈز کو الگ کرنے کی اجازت دیتا ہے، یعنی۔ یہ چیک کرنا کہ آیا دونوں کئی گنا میں مشترکہ طور پر مساوی کینونکل سڑنا ہے۔ سنیپپیا یہ بھی جانچنے کے قابل ہے کہ آیا دو بند ہائپربولک 3-مینیفولڈ آئسومیٹرک ہیں یا نہیں، مختصر جیوڈیکس کو کھود کر کاسپڈ ہائپربولک 3-مینیفولڈ بناتے ہیں اور پھر پہلے کی طرح کینونکل سڑنا استعمال کرتے ہیں۔ شناخت الگورتھم سنیپپیا کو دو ہائپربولک گانٹھوں یا لنکس کو الگ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ہفتوں وغیرہ، نقلوں کی فہرستوں کو نکالنے کے لیے الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے ہائپربولک 3-مینیفولڈز کی مختلف مردم شماری کو مرتب کرنے میں بھی کامیاب رہے۔ مزید برآں، کینونکل سڑنے سے، سنیپپیا قابل ہے: فورڈ ڈومین کا حساب لگائیں سمیٹری گروپ کا حساب لگائیں کمپیوٹیبل غیر متغیر مردم شماری سنیپپیا کے پاس منظم مطالعہ کے لیے ہائپربولک 3-مینیفولڈز کے کئی ڈیٹا بیس دستیاب ہیں۔ بند مردم شماری یہ بھی دیکھیں کہ ریجینا اسنیپپیا کے پہلوؤں کو شامل کرتی ہے۔ کمپیوٹیشنل ٹوپولوجی حوالہ جات بیرونی روابط اسنیپ پی جیف ویکس کی سائٹ اسنیپ پائی کلر اور ڈن فیلڈ کی توسیع اورب ڈیمین ہرڈ کی توسیع، اجازت دیتی ہے: مکمل طور پر جیوڈیسیک باؤنڈری آربی فولڈز کے ساتھ ہائپربولک کئی گنا جہاں آربی فولڈ لوکس میں سہ رخی عمودی 3-مینیفولڈ کمپیوٹیشنل ٹوپولوجی عددی سافٹ ویئر سی فری میتھمیٹکس سافٹ ویئر میں پروگرام کردہ مفت سافٹ ویئر