Hecke character
نمبر تھیوری میں، ہیک کردار ایک ڈیرچلیٹ کردار کی عمومی شکل ہے، جسے ایرک ہیک نے ڈیرچلیٹ ایل افعال سے بڑے ایل افعال کی ایک کلاس کی تعمیر کے لیے متعارف کرایا تھا، اور ڈیڈیکائنڈ زیٹا افعال کے لیے ایک قدرتی ترتیب اور کچھ دیگر جن میں ریمن زیٹا فنکشن کے مترادف فنکشنل مساوات ہیں۔ کبھی کبھی ہیک کردار کے لیے استعمال ہونے والا نام جرمن اصطلاح گربنچارکٹر ہے (اکثر گرسنچارکٹر، گروسنچارکٹر، وغیرہ لکھا جاتا ہے)۔ آئیڈلز کا استعمال کرتے ہوئے تعریف ایک ہیک کردار نمبر فیلڈ یا گلوبل فنکشن فیلڈ کے آئیڈل کلاس گروپ کا ایک کردار ہے۔ یہ منفرد طور پر آئیڈل گروپ کے ایک کردار سے مطابقت رکھتا ہے جو پروجیکشن نقشے کے ساتھ ترکیب کے ذریعے پرنسپل آئیڈلز پر معمولی ہے۔ یہ تعریف ایک کردار کی تعریف پر منحصر ہے، جو مصنفین کے درمیان قدرے مختلف ہوتی ہے: اس کی تعریف غیر صفر پیچیدہ اعداد کے ہومومورفزم کے طور پر کی جا سکتی ہے (جسے "کواسیچارکٹر" بھی کہا جاتا ہے)، یا C ("یونٹری") میں یونٹ سرکل کے ہومومورفزم کے طور پر۔ (آئیڈل کلاس گروپ کے) کسی بھی قوسیچارکٹر کو منفرد طور پر ایک یک جہتی کردار کے اوقات معمول کی حقیقی طاقت کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اس لیے دونوں تعریفوں میں کوئی بڑا فرق نہیں ہے۔ ہیک کردار χ کا موصل سب سے بڑا مثالی m ہے کہ χ ایک ہیک کردار موڈ m ہے۔ یہاں ہم کہتے ہیں کہ χ ایک ہیک کردار موڈ m ہے اگر χ (آئیڈل گروپ پر ایک کردار کے طور پر سمجھا جاتا ہے) محدود آئیڈلز کے گروپ پر معمولی ہے جس کا ہر v-adic جزو 1 + mOv میں ہوتا ہے۔ آئیڈیلز کا استعمال کرتے ہوئے تعریف ہیک کردار کی اصل تعریف، جو ہیک پر واپس جاتی ہے، فریکشنل آئیڈیلز پر ایک کردار کے لحاظ سے تھی۔ کسی عدد فیلڈ K کے لیے، فرض کریں کہ m = mfm ≤ ایک K-ماڈیولس ہے، mf کے ساتھ، "محدود حصہ"، جو کہ K اور m ≤ کا ایک لازمی آئیڈیل ہے، "لامحدود حصہ"، جو کہ K کی حقیقی جگہوں کا ایک (رسمی) پروڈکٹ ہے۔ آئیے میں K کے فریکشنل آئیڈلز کے گروپ کو نسبتا پرائم سے mf کی طرف اشارہ کرتا ہوں اور آئیے Pm پرنسپل فریکشنل آئیڈلز کے ذیلی گروپ کو ظاہر کرتا ہے (a) جہاں a اپنے عوامل کی ضرب کے مطابق m کی ہر جگہ پر 1 کے قریب ہے: mf میں ہر محدود جگہ v کے لیے، آرڈ (a−1) کم از کم اتنا ہی بڑا ہوتا ہے جتنا کہ mf میں v کے لیے ایکسپونینٹ، اور ہر حقیقی سرایت کے تحت a مثبت ہوتا ہے۔ ماڈیولس m کے ساتھ ہیک کیریکٹر ایک گروپ ہومومورفزم ہے جو IM سے نان زیرو کمپلیکس نمبروں میں اس طرح ہے کہ آئیڈلز (a) پر Pm میں اس کی قیمت K کے تمام آرکیمیڈین تکمیل کے ضرب گروپوں کے پروڈکٹ سے نان زیرو کمپلیکس نمبروں کے لیے مسلسل ہومومورفزم کی قدر کے برابر ہے جہاں ہومومورفزم کے ہر مقامی جزو کا ایک ہی حقیقی حصہ (ایکسپونینٹ میں) ہوتا ہے۔ (یہاں ہم K پر مختلف آرکیمیڈین مقامات سے مطابقت رکھنے والے سرایتوں کا استعمال کرتے ہوئے K کی آرکیمیڈین تکمیل کے پروڈکٹ میں a کو سرایت کرتے ہیں۔) اس طرح رے کلاس گروپ ماڈیولو m پر ایک ہیک کردار کی وضاحت کی جا سکتی ہے، جو کہ حصہ Im/Pm ہے۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، ہیک نے مکمل طور پر مثبت جنریٹر کو قبول کرنے والوں کے لیے بنیادی نظریات پر رویے کے بارے میں شرط لگائی۔ لہذا، اوپر دی گئی تعریف کے لحاظ سے، انہوں نے واقعی صرف ماڈیولی کے ساتھ کام کیا جہاں تمام حقیقی مقامات نمودار ہوئے۔ لامحدود حصہ m φ کا کردار اب ایک لامحدود قسم کے تصور کے تحت شامل کیا گیا ہے۔ تعریفوں کے درمیان تعلق مثالی تعریف آئیڈیلک سے کہیں زیادہ پیچیدہ ہے، اور اس کی تعریف کے لیے ہیک کا محرک ایل فنکشنز کی تعمیر کرنا تھا (جسے بعض اوقات ہیک ایل فنکشنز کہا جاتا ہے) جو ڈیرچلیٹ ایل فنکشن کے تصور کو عقلی سے دوسرے نمبر فیلڈز تک بڑھاتا ہے۔ ہیک کردار χ کے لیے، اس کے L-فنکشن کی تعریف ڈیرچلیٹ سیریز کے طور پر کی گئی ہے جو ہیک کردار کے ماڈیولس m کے نسبتا پرائم انٹیگرل آئیڈیلز پر انجام دی جاتی ہے۔ نوٹیشن N (I) کا مطلب مثالی معیار ہے۔ ذیلی گروپس پی ایم پر ہیک حروف کے رویے کو کنٹرول کرنے والی عام حقیقی حصے کی حالت کا مطلب ہے کہ یہ ڈیرچلیٹ سیریز کسی دائیں نصف سطح میں بالکل متصل ہیں۔ ہیک نے ثابت کیا کہ ان ایل فنکشنز کا پورے پیچیدہ سطح پر ایک مورومورفک تسلسل ہوتا ہے، جو کہ s = 1 پر ترتیب 1 کے سادہ قطب کے علاوہ تجزیاتی ہوتے ہیں جب کردار معمولی ہوتا ہے۔ ابتدائی ہیک حروف کے لیے (ابتدائی ڈیرچلیٹ حروف کی طرح ماڈیولس سے متعلق تعریف کی گئی ہے)، ہیک نے دکھایا کہ یہ L-افعال کسی کردار کے L-فنکشن کی اقدار اور اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ کردار کے L-فنکشن سے متعلق ایک فعال مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ آئیڈل کلاس گروپ کے ایک کردار پر غور کریں، جسے یونٹ سرکل میں ایک نقشہ کے طور پر لیا جاتا ہے جو پرنسپل آئیڈلز پر 1 ہے اور تمام لامحدود مقامات پر مشتمل ایک غیر معمولی محدود سیٹ S پر ہے۔ پھر si مثالی گروپ IS کا ایک کردار χ پیدا کرتا ہے، بنیادی آئیڈیلز پر آزاد ابیلین گروپ جو S میں نہیں ہے۔ ہر پرائم p کے لیے ایک یکساں عنصر π لیں جو S میں نہیں ہے اور آئیڈل کلاسز کے لیے IS سے ایک نقشہ Π کی وضاحت کریں جس میں ہر p کو آئیڈل کی کلاس میں میپ کریں جو کہ p کوآرڈینیٹ میں π اور ہر جگہ 1 ہے۔ فرض کریں کہ χ، Π اور si کا مرکب ہے۔ پھر χ کو مثالی گروپ پر ایک کردار کے طور پر اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ مخالف سمت میں، آئی ایس کے قابل قبول کردار χ کو دیکھتے ہوئے ایک منفرد آئیڈل کلاس کردار si سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہاں قابل قبول سیٹ S پر مبنی ماڈیولس m کے وجود سے مراد ہے کہ حروف χ ان آئیڈیلز پر 1 ہے جو 1 موڈ m ہیں۔ حروف اس معنی میں 'بڑے' ہیں کہ جب انفینیٹی ٹائپ غیر معمولی طور پر موجود ہوتی ہے تو اس کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ یہ حروف محدود ترتیب کے نہیں ہیں۔ محدود ترتیب والے ہیک کے تمام حروف، ایک لحاظ سے، کلاس فیلڈ تھیوری کے مطابق ہیں: ان کے ایل فنکشنز آرٹن ایل فنکشنز ہیں، جیسا کہ آرٹن کے باہمی تعاون سے ظاہر ہوتا ہے۔ لیکن یہاں تک کہ گوسیائی فیلڈ جیسے سادہ فیلڈ میں بھی ہیک حروف ہوتے ہیں جو سنجیدہ طریقے سے محدود ترتیب سے آگے جاتے ہیں (نیچے دی گئی مثال دیکھیں)۔ پیچیدہ ضرب کے نظریہ میں بعد میں ہونے والی پیشرفتوں نے اشارہ کیا کہ 'بڑے' حروف کی مناسب جگہ الجبرائی اقسام (یا حتی کہ محرکات) کی ایک اہم کلاس کے لیے ہس-ویل ایل-افعال فراہم کرنا تھا۔ خصوصی معاملات ایک ڈیرچلیٹ کردار محدود ترتیب کا ایک ہیک کردار ہے۔ اس کا تعین مکمل طور پر مثبت پرنسپل آئیڈیلز کے سیٹ پر اقدار کے ذریعے کیا جاتا ہے جو کسی ماڈیولس m کے حوالے سے 1 ہیں۔ ہلبرٹ کردار موصل 1 کا ڈیرچلیٹ کردار ہے۔ ہلبرٹ حروف کی تعداد فیلڈ کے کلاس گروپ کی ترتیب ہے۔ کلاس فیلڈ تھیوری ہلبرٹ حروف کی شناخت ہلبرٹ کلاس فیلڈ کے گالوئس گروپ کے کرداروں سے کرتی ہے۔ مثالیں عقلی اعداد کے میدان کے لیے، آئیڈل کلاس گروپ مثبت حقیقی R + کے پروڈکٹ کے لیے p-adic انٹیجرز کے تمام یونٹ گروپوں کے ساتھ آئسومورفک ہے۔ لہذا ایک قوسیچارکٹر کو ڈیرچلیٹ کردار کے ساتھ معمول کی طاقت کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ کنڈکٹر 1 کے گاؤسی انٹیجرز کا ایک ہیک کردار χ، s خیالی کے لیے χ ((a)) = |a |s (a/|a |) 4n اور n ایک انٹیجر کی شکل کا ہوتا ہے، جہاں a آئیڈیل (a) کا جنریٹر ہے۔ واحد اکائیاں i کی طاقتیں ہیں، لہذا ایکسپوینٹ میں 4 کا عنصر اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ آئیڈیل پر کردار کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے۔ ٹیٹ کا مقالہ ہیک کا L (s، χ) کے لیے فنکشنل مساوات کا اصل ثبوت ایک واضح تھیٹا فنکشن کا استعمال کرتا ہے۔ ایمل آرٹن کی نگرانی میں لکھے گئے جان ٹیٹ کے 1950 کے پرنسٹن ڈاکٹریٹ کے مقالے میں، کسی بھی خاص افعال کی ضرورت کو دور کرنے کے لیے، پونٹریگین دوہری کو منظم طریقے سے لاگو کیا گیا۔ اسی طرح کا نظریہ کینکیچی ایواساوا نے آزادانہ طور پر تیار کیا تھا جو ان کی 1950 کی آئی سی ایم تقریر کا موضوع تھا۔ بورباکی کے ایک سیمینار میں بعد میں ہونے والی اصلاح سے پتہ چلتا ہے کہ ٹیٹ کے ثبوت کے کچھ حصوں کا اظہار تقسیم کے نظریہ کے ذریعے کیا جا سکتا ہے: تقسیم کی جگہ (شوارٹز-بروہاٹ ٹیسٹ افعال کے لیے) K کے ایڈیل گروپ پر ایک دیئے گئے χ کے ذریعے آئیڈلز کے عمل کے تحت تبدیل ہوتی ہے جس کا طول و عرض 1 ہوتا ہے۔ الجبرائی ہیک حروف الجبرائی ہیک کردار ایک ہیک کردار ہے جو الجبرائی اقدار لیتا ہے: انہیں ویل نے 1947 میں قسم A0 کے نام سے متعارف کرایا تھا۔ اس طرح کے حروف کلاس فیلڈ تھیوری اور پیچیدہ ضرب کے نظریہ میں پائے جاتے ہیں۔ درحقیقت E کو ایک ایلیپٹک وکر مان لیں جس کی تعریف ایک نمبر فیلڈ F پر پیچیدہ ضرب کے ساتھ خیالی کواڈریٹک فیلڈ K سے کی گئی ہے، اور فرض کریں کہ K F میں موجود ہے۔ پھر F کے لیے ایک الجبرائی ہیک کردار χ ہے، جس میں غیر معمولی سیٹ S کے ساتھ لامحدود مقامات کے ساتھ مل کر E کی خراب کمی کے پرائمز کا مجموعہ ہے۔ اس کردار کی خاصیت یہ ہے کہ اچھی کمی کے پرائم آئیڈیل p کے لیے، ویلیو χ (p) فروبینیوس اینڈومورفزم کی خصوصیت والی کثیر الجہتی کی جڑ ہے۔ نتیجے کے طور پر، ای کے لیے ہس-ویل زیٹا فنکشن دو ڈیرچلیٹ سیریز کا پروڈکٹ ہے، χ اور اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ کے لیے۔ نوٹ حوالہ جات جے ٹیٹ، نمبر فیلڈز میں فورئیر تجزیہ اور ہیک کے زیٹا افعال (ٹیٹ کا 1950 کا مقالہ)، الجبرائی نمبر تھیوری ایڈ جے ڈبلیو ایس کیسلز، اے فروہلچ (1967) پی پی میں دوبارہ شائع ہوا۔ نمبر تھیوری زیٹا اور ایل فنکشنز