Generalized Jacobian
الجبرائی جیومیٹری میں ایک عمومی جیکوبین ایک متغیر الجبرائی گروپ ہے جو ایک منحنی خطوط کے ساتھ منحنی خطوط سے وابستہ ہے، جو مکمل منحنی خطوط کی جیکوبین قسم کو عمومی بناتا ہے۔ انہیں میکس ویل روزنلیچٹ نے 1954 میں متعارف کرایا تھا، اور اسے ابیلین گالوئس گروپ کے ساتھ منحنی خطوط کے وسیع احاطے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کسی منحنی خطوط کے عمومی جیکوبیئن ایک مواصلاتی افائن الجبرائی گروپ کے ذریعہ منحنی خطوط کے جیکوبیئن کی توسیع ہیں، جو شیوللی کے ساخت کے نظریہ کی غیر معمولی مثالیں دیتے ہیں۔ تعریف فرض کریں کہ C ایک مکمل نان سنگولر وکر ہے، m C پر ایک موثر تقسیم کنندہ ہے، S m کا سپورٹ ہے، اور P C پر ایک فکسڈ بیس پوائنٹ ہے جو S میں نہیں ہے۔ عمومی جیکوبین Jm ایک تبادلہ الجبرائی گروپ ہے جس کا عقلی نقشہ f C سے Jm تک ہے کہ: f P کو Jm کی شناخت پر لے جاتا ہے۔ f، S سے باہر باقاعدہ ہے۔ f (D) = 0 جب بھی D، C پر کسی عقلی فعل g کا تقسیم کنندہ ہوتا ہے، اس طرح کہ g ष्ण 1 موڈ m۔ اس کے علاوہ Jm ان خصوصیات کے ساتھ عالمگیر گروپ ہے، اس معنی میں کہ C سے کسی گروپ میں کوئی عقلی نقشہ جس میں اوپر کے عوامل کی خصوصیات Jm کے ذریعے منفرد ہوتی ہیں۔ گروپ Jm بیس پوائنٹ P کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے، حالانکہ P کو تبدیل کرنے سے ترجمہ کے ذریعے f کا نقشہ بدل جاتا ہے۔ عام شدہ جیکوبین کی ساخت m = 0 کے لیے عام شدہ جیکوبین Jm صرف معمول کا جیکوبین J ہے، طول و عرض g کی ایک ابیلین قسم، C کی جینس۔ m کے لیے ایک غیر صفر موثر تقسیم کنندہ عام شدہ جیکوبین J کی ایک توسیع ہے جو ایک منسلک مواصلاتی افائن الجبرائی گروپ Lm طول و عرض ڈگری (m) −1 کے ذریعے ہے۔ لہذا ہمارے پاس ایک عین مطابق ترتیب 0 → Lm → Jm → J → 0 ہے۔ گروپ Lm بنیادی فیلڈ کے ضرب گروپ Gm کے ذریعہ گروپ Ri کے پروڈکٹ کا ایک حصص 0 → Gm → ΠUPI (ni) → Lm → 0 ہے۔ پروڈکٹ m کی حمایت میں پوائنٹس پائی پر چلتا ہے، اور گروپ یو پی آئی (این آئی) مقامی رنگ ماڈیولو کے الٹ عناصر کا گروپ ہے جو 1 موڈ پنی ہیں۔ یو پی آئی (این آئی) گروپ کا طول و عرض این آئی ہے، جو کہ ایم میں پائی کے پائے جانے کی تعداد ہے۔ یہ ضرب گروپ جی ایم کا طول و عرض این آئی-1 کے یک صلاحیت گروپ کے ذریعہ پروڈکٹ ہے، جو خصوصیت 0 میں این آئی-1 اضافی گروپوں کے پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ پیچیدہ عام شدہ جیکوبیئن پیچیدہ اعداد پر، عام شدہ جیکوبیئن کا الجبرائی ڈھانچہ عام شدہ جیکوبیئن کے تجزیاتی ڈھانچے کا تعین کرتا ہے جو اسے ایک پیچیدہ لائ گروپ بناتا ہے۔ عمومی جیکوبین کے بنیادی تجزیاتی ذیلی گروہ کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ (یہ ہمیشہ الجبرائی ساخت کا تعین نہیں کرتا ہے کیونکہ دو غیر آئسومورفک مواصلاتی الجبرائی گروپ تجزیاتی گروپوں کے طور پر آئسومورفک ہو سکتے ہیں۔) فرض کریں کہ C ایک منحنی خطوط ہے جس میں S کی حمایت کے ساتھ ایک موثر تقسیم کنندہ m ہے۔ ہومیولوجی گروپ H1 (C−S) سے لے کر پیچیدہ ویکٹر اسپیس ω (−m) (m پر قطبوں کے ساتھ 1 شکلیں) کے دوہری ω (−m) * تک کا ایک قدرتی نقشہ ہے جو 1-سائیکل پر 1-فارم کے انٹیگرل سے متاثر ہوتا ہے۔ تجزیاتی عمومی جیکوبین پھر حصص گروپ ω (−m) */H1 (C −S) ہے۔ حوالہ جات الجبرائی گروہ الجبرائی منحنی خطوط