Enriques–Kodaira classification
ریاضی میں، اینریکس-کوڈائرا درجہ بندی کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کی دس کلاسوں میں درجہ بندی ہے۔ ان کلاسوں میں سے ہر ایک کے لیے، کلاس کی سطحوں کو ماڈیولی اسپیس کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ زیادہ تر کلاسوں کے لیے ماڈیولی خالی جگہیں اچھی طرح سے سمجھی جاتی ہیں، لیکن عام قسم کی سطحوں کی کلاس کے لیے ماڈیولی خالی جگہیں واضح طور پر بیان کرنے کے لیے بہت پیچیدہ لگتی ہیں، حالانکہ کچھ اجزاء معلوم ہیں۔ میکس نویتھر نے الجبرائی سطحوں کا منظم مطالعہ شروع کیا، اور گائیڈو کاسٹیلنوو نے درجہ بندی کے اہم حصوں کو ثابت کیا۔ پیچیدہ پروجیکٹو سطحوں کی درجہ بندی کو بیان کیا۔ بعد میں درجہ بندی کو غیر الجبرائی کمپیکٹ سطحوں کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا گیا۔ مثبت خصوصیت میں سطحوں کی مماثل درجہ بندی اس کے ذریعہ شروع کی گئی تھی اور اس کے ذریعہ مکمل کی گئی تھی۔ یہ خصوصیت 0 پروجیکٹو کیس سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ کسی کو خصوصیت 2 میں واحد اور سپر سنگلر اینریکس سطحیں بھی ملتی ہیں، اور خصوصیات 2 اور 3 میں نیم ہائپرلیپٹک سطحیں بھی ملتی ہیں۔ درجہ بندی کا بیان کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کی اینریکس-کوڈائرا درجہ بندی میں کہا گیا ہے کہ ہر نان سنگولر کم سے کم کمپیکٹ پیچیدہ سطح اس صفحے پر درج 10 اقسام میں سے بالکل ایک ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ عقلی، حکمرانی (جینس> 0)، ٹائپ VII، K3، اینریکس، کوڈائرا، ٹورک، ہائپرلیپٹک، مناسب طور پر نیم الپٹک، یا عام قسم کی سطحوں میں سے ایک ہے۔ عام قسم کے علاوہ سطحوں کی 9 کلاسوں کے لیے، اس بات کی کافی مکمل وضاحت ہے کہ تمام سطحیں کیسی نظر آتی ہیں (جو کلاس VII کے لیے عالمی کروی خول کے قیاس پر منحصر ہے، جو اب بھی 2009 میں غیر ثابت ہے)۔ عام قسم کی سطحوں کے لیے ان کی واضح درجہ بندی کے بارے میں زیادہ معلومات نہیں ہیں، حالانکہ بہت سی مثالیں ملی ہیں۔ مثبت خصوصیت (،) میں الجبرائی سطحوں کی درجہ بندی خصوصیت 0 میں الجبرائی سطحوں سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ کوئی کوڈائرا سطحیں یا ٹائپ VII کی سطحیں نہیں ہیں، اور خصوصیت 2 میں اینریکس سطحوں کے کچھ اضافی خاندان ہیں، اور خصوصیات 2 اور 3 میں ہائپرلیپٹک سطحیں ہیں، اور خصوصیات 2 اور 3 میں کوڈائرا طول و عرض 1 میں ایک کواسیلیپٹک ریشوں کی بھی اجازت دیتا ہے۔ ان اضافی خاندانوں کو مندرجہ ذیل طور پر سمجھا جا سکتا ہے: خصوصیت 0 میں یہ سطحیں محدود گروپوں کے ذریعہ سطحوں کے کوٹینٹ ہیں، لیکن محدود خصوصیات میں محدود گروپ اسکیموں کے ذریعہ کوٹینٹ لینا بھی ممکن ہے جو étale نہیں ہیں۔ آسکر زرسکی نے کچھ سطحوں کو مثبت خصوصیت میں بنایا جو یکجا لیکن عقلی نہیں ہیں، جو لازم و ملزوم توسیع (زرسکی سطحوں) سے اخذ کی گئی ہیں۔ مثبت خصوصیت میں سیر نے دکھایا کہ یہ اس سے مختلف ہو سکتا ہے، اور اگوسا نے دکھایا کہ جب وہ برابر ہوتے ہیں تب بھی وہ بے قاعدگی (پکارڈ قسم کی جہت) سے زیادہ ہو سکتے ہیں۔ سطحوں کے متغیر ہاج نمبر اور کوڈائرا طول و عرض درجہ بندی میں استعمال ہونے والی کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کے سب سے اہم غیر متغیرات کو مختلف مربوط شیف کوہمولوجی گروپوں کے طول و عرض کے لحاظ سے دیا جا سکتا ہے۔ بنیادی لوگ پلورجینرا اور ہج نمبر ہیں جن کی وضاحت مندرجہ ذیل ہے: K کینونکل لائن بنڈل ہے جس کے حصے ہولومورفک 2 شکلیں ہیں۔ انہیں پلورجینرا کہا جاتا ہے۔ وہ بائریشنل غیر متغیر ہیں، یعنی اڑانے کے تحت غیر متغیر ہیں۔ سیبرگ وٹن تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے، رابرٹ فریڈمین اور جان مورگن نے دکھایا کہ پیچیدہ کئی گنا کے لیے وہ صرف بنیادی سمت والے ہموار 4-کئی گنا پر انحصار کرتے ہیں۔ غیر کیلر سطحوں کے لیے پلوریجینرا کا تعین بنیادی گروپ کے ذریعے کیا جاتا ہے، لیکن کیلر سطحوں کے لیے ایسی سطحوں کی مثالیں موجود ہیں جو ہومومورفک ہیں لیکن ان کے طول و عرض پلوریجینرا اور کوڈائرا سے مختلف ہیں۔ انفرادی پلورجینرا اکثر استعمال نہیں ہوتے ہیں۔ ان کے بارے میں سب سے اہم چیز ان کی نمو کی شرح ہے، جسے کوڈائرا طول و عرض سے ماپا جاتا ہے۔ کوڈائرا طول و عرض ہے: یہ (بعض اوقات −1 لکھا جاتا ہے) اگر پلورجینرا تمام 0 ہوں، اور بصورت دیگر سب سے چھوٹا عدد (سطحوں کے لیے 0، 1، یا 2) ایسا ہے جو پابند ہو۔ اینریکس نے اس تعریف کا استعمال نہیں کیا: اس کے بجائے اس نے اور کی اقدار کا استعمال کیا۔ یہ مندرجہ ذیل خط و کتابت کو دیکھتے ہوئے کوڈائرا طول و عرض کا تعین کرتے ہیں: ہولومورفک آئی-فارمز کا خول کہاں ہے، ہج نمبرز ہیں، جو اکثر ہج ہیرے میں ترتیب دیے جاتے ہیں: سیر دوہری اور ایک پیچیدہ سطح کے ہج نمبرز کا انحصار صرف سطح کے مبنی حقیقی ہم آہنگی کے دائرے پر ہوتا ہے، اور برازیلی تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہوتے ہیں سوائے اس کے کہ ایک نقطہ کو اڑانے کے تحت 1 کا اضافہ ہوتا ہے۔ اگر سطح کیلر ہے تو اور صرف تین آزاد ہج نمبر ہیں۔ اگر سطح کمپیکٹ ہے تو ہج نمبروں سے متعلق مساوی یا غیر متغیرات بہت سے غیر متغیرات ہیں جنہیں (کم از کم پیچیدہ سطحوں کے لیے) ہج نمبروں کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: بیٹی نمبر: خصوصیت p> 0 میں بیٹی نمبروں کی تعریف l-adic کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے اور ان تعلقات کو پورا کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ اویلر کی خصوصیت یا اویلر نمبر: بے ضابطگی کو پکارڈ کی قسم اور البانیز کی قسم کے طول و عرض کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اور اسے q سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ پیچیدہ سطحوں کے لیے (لیکن ہمیشہ بنیادی خصوصیت کی سطحوں کے لیے نہیں) ہندسی جینس: ریاضی کی جینس: معمولی بنڈل کی ہولومورفک اویلر خصوصیت (عام طور پر اوپر بیان کردہ اویلر نمبر ای سے مختلف ہے): نویتھر کے فارمولے کے مطابق یہ ٹوڈ جینس کے برابر بھی ہے۔ پیچیدہ سطحوں کے لیے دوسرے کوہومولوجی گروپ کے دستخط کو اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے: اس طرح کی زیادہ سے زیادہ مثبت اور منفی قطعی ذیلی جگہوں کے طول و عرض ہیں: c2 = e اور چرن نمبر ہیں، جن کی تعریف چرن کلاسوں میں کئی گنا سے زیادہ مختلف کثیر الجہتی کے انٹیگرلز کے طور پر کی گئی ہے۔ دیگر غیر متغیرات کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کے مزید غیر متغیرات ہیں جو درجہ بندی میں اتنے زیادہ استعمال نہیں ہوتے ہیں۔ ان میں الجبرائی غیر متغیرات جیسے کہ تقسیم کار ماڈیولو لکیری مساوات کا پیکارڈ گروپ پک (X)، اس کا حصص پیکارڈ نمبر ρ کی درجہ بندی کے ساتھ نیرون-سیوری گروپ این ایس (X)، بنیادی گروپ π1 اور انٹیگرل ہومیولوجی اور کوہومولوجی گروپوں جیسے ٹپوولوجیکل غیر متغیرات، اور بنیادی ہموار 4-گنا کے غیر متغیرات جیسے سیبرگ وٹن غیر متغیرات اور ڈونلڈسن غیر متغیرات شامل ہیں۔ کم سے کم نمونے اور اڑانا کوئی بھی سطح غیر سنگل سطح کے لیے بائریشنل ہوتی ہے، لہذا زیادہ تر مقاصد کے لیے یہ غیر سنگل سطحوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے کافی ہے۔ کسی سطح پر کسی بھی نقطہ کو دیکھتے ہوئے، ہم اس نقطہ کو اڑا کر ایک نئی سطح بنا سکتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ہم اسے پروجیکٹو لائن کی کاپی سے تبدیل کرتے ہیں۔ اس مضمون کے مقصد کے لیے، ایک غیر سنگل سطح X کو کم سے کم کہا جاتا ہے اگر اسے کسی نقطہ کو اڑا کر کسی دوسری غیر سنگل سطح سے حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ کاسٹیلنووو کے سنکچن تھیوریم کے مطابق، یہ کہنے کے مترادف ہے کہ X میں کوئی (−1) منحنی خطوط نہیں ہیں (خود کٹوتی نمبر −1 کے ساتھ ہموار عقلی منحنی خطوط)۔ (کم سے کم ماڈل پروگرام کی زیادہ جدید اصطلاحات میں، ایک ہموار پروجیکٹو سطح X کو کم سے کم کہا جائے گا اگر اس کا کینونکل لائن بنڈل KX NEF ہو۔ ایک ہموار پروجیکٹو سطح کا اس مضبوط معنوں میں کم سے کم نمونہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا کوڈائرا طول و عرض غیر منفی ہو۔) ہر سطح X کم سے کم غیر سنگل سطح کے لیے بائریشنل ہے، اور یہ کم سے کم غیر سنگل سطح منفرد ہے اگر X میں کوڈائرا طول و عرض کم از کم 0 ہو یا الجبرائی نہ ہو۔ کوڈائرا طول و عرض کی الجبرائی سطحیں ایک سے زیادہ کم سے کم غیر سنگل سطح کے لیے بائریشنل ہو سکتی ہیں، لیکن ان کم سے کم سطحوں کے درمیان تعلق کو بیان کرنا آسان ہے۔ مثال کے طور پر، P1 × P1 کو ایک نقطہ پر اڑا دیا جاتا ہے اور P2 کو دو بار اڑا دیا جاتا ہے۔ لہذا تمام کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کو بائریشنل آئسومورفزم تک درجہ بندی کرنے کے لیے یہ (کم و بیش) کم سے کم غیر سنگل سطحوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے کافی ہے۔ کوڈائرا طول و عرض کی سطحوں کو کوڈائرا طول و عرض کی الجبرائی سطحوں کو درج ذیل درجہ بندی کیا جا سکتا ہے۔ اگر q> 0 ہے تو البانی قسم کے نقشے میں ریشے ہوتے ہیں جو پروجیکٹو لائنیں ہوتے ہیں (اگر سطح کم سے کم ہے) لہذا سطح ایک حکمرانی والی سطح ہے۔ اگر q = 0 یہ دلیل کام نہیں کرتی ہے کیونکہ البانی قسم ایک نقطہ ہے، لیکن اس معاملے میں کاسٹیلنووو کے نظریہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سطح عقلی ہے۔ غیر الجبرائی سطحوں کے لیے کوڈائرا نے سطحوں کی ایک اضافی کلاس پائی، جسے ٹائپ VII کہا جاتا ہے، جو اب بھی اچھی طرح سے سمجھ میں نہیں آتی ہیں۔ عقلی سطحوں عقلی سطح کا مطلب پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ P2 کے لیے سطح بائریشنل ہے۔ یہ سب الجبرائی ہیں۔ کم از کم عقلی سطحیں خود P2 ہیں اور ہرزبروچ سطحیں n = 0 یا n ≤ 2 کے لیے σn ہیں۔ (ہرزبروچ کی سطح σn، O (0) + O (n) شیف سے وابستہ P1 پر P1 بنڈل ہے۔ سطح σ0 P1 × P1 کے لیے آئسومورفک ہے، اور σ1 P2 کے لیے آئسومورفک ہے جو ایک نقطہ پر اڑا دیا جاتا ہے لہذا کم سے کم نہیں ہے۔) متغیرات: پلورجینرا تمام 0 ہیں اور بنیادی گروپ معمولی ہے۔ ہج ڈائمنڈ: مثالیں: پی 2، پی 1 × پی 1 = ایس ایس 0، ہرزبروچ سطحیں ایس این، کواڈریکس، کیوبک سطحیں، ڈیل پیزو سطحیں، ویرونیز سطح۔ ان میں سے بہت سی مثالیں غیر کم سے کم ہیں۔ جینس جی کی حکمرانی والی سطحیں> 0 جینس جی کی حکمرانی والی سطحوں میں جینس جی کے منحنی خطوط پر ہموار مورفزم ہوتا ہے جس کے ریشے P1 لائنیں ہوتے ہیں۔ یہ سب الجبرائی ہیں۔ (جینس 0 کی سطحیں ہرزبروچ ہیں اور عقلی ہیں۔) کوئی بھی حکمرانی کی سطح ایک منفرد منحنی خطوط C کے لیے P1 × C کے بائریشنل طور پر مساوی ہے، اس لیے بائریشنل مساوات تک حکمرانی کی سطحوں کی درجہ بندی بنیادی طور پر منحنی خطوط کی درجہ بندی کے برابر ہے۔ ایک حکمرانی سطح جو P1 × P1 کے لیے آئسومورفک نہیں ہے اس کا ایک منفرد حکم ہے (P1 × P1 میں دو ہیں)۔ متغیرات: پلورجینرا تمام 0 ہیں۔ ہج ڈائمنڈ: مثالیں: P1 کے ساتھ جینس> 0 کے کسی بھی منحنی خطوط کا پروڈکٹ۔ کلاس VII کی سطحیں یہ سطحیں کبھی الجبرائی یا کیلر نہیں ہوتیں۔ کم سے کم b2 = 0 کے ساتھ بوگومولوف کی طرف سے درجہ بندی کی گئی ہے، اور یا تو ہوپف سطحیں یا انوئی سطحیں ہیں۔ مثبت دوسرے بیٹی نمبر کی مثالوں میں انوئی-ہرزبروچ سطحیں، انوکی سطحیں، اور زیادہ عام طور پر کاٹو سطحیں شامل ہیں۔ عالمی کروی خول کے قیاس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ مثبت دوسرے بیٹی نمبر والی تمام کم سے کم کلاس VII سطحیں کاٹو سطحیں ہیں، جو کم و بیش ٹائپ VII سطحوں کی درجہ بندی کو مکمل کریں گی۔ متغیرات: q = 1، h1,0 = 0۔ تمام پلورجینرا 0 ہیں۔ ہج ڈائمنڈ: کوڈائرا طول و عرض 0 کی سطحیں ان سطحوں کی درجہ بندی نویتھر کے فارمولے سے شروع کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ کوڈائرا طول و عرض 0 کے لیے، K کا اپنے ساتھ صفر انٹرسیکشن نمبر ہے، لہذا ہم اس پر پہنچتے ہیں: مزید یہ کہ چونکہ κ = 0 ہمارے پاس ہے: اسے پچھلی مساوات کے ساتھ جوڑنے سے ملتا ہے: عام طور پر 2h0,1 ≤ b1، لہذا بائیں طرف تین اصطلاحات غیر منفی عدد ہیں اور اس مساوات کے صرف چند حل ہیں۔ الجبرائی سطحوں کے لیے 2h0,1 − b1 0 اور 2pg کے درمیان ایک یکساں عدد ہے۔ کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کے لیے 2h0,1 − b1 = 0 یا 1۔ کیلر سطحوں کے لیے 2h0,1 − b1 = 0 اور h1,0 = h0,1۔ ان حالات کے زیادہ تر حل سطحوں کی کلاسوں سے مطابقت رکھتے ہیں، جیسا کہ مندرجہ ذیل ٹیبل میں ہے: K3 سطحیں یہ کوڈیرا طول و عرض 0 کی کم سے کم کمپیکٹ پیچیدہ سطحیں ہیں جن میں q = 0 اور معمولی کینونکل لائن بنڈل ہیں۔ وہ سب کیلر مینیفولڈ ہیں۔ تمام K3 سطحیں ڈفیومورفک ہیں، اور ان کی ڈفیومورفزم کلاس محض 4 گنا جڑے ہوئے ہموار گھماؤ کی ایک اہم مثال ہے۔ متغیرات: دوسرا ہم آہنگی گروپ H2 (X، Z) طول و عرض 22 اور دستخط −16 کے منفرد یکساں غیر ماڈیولر جالی II3,19 کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہج ڈائمنڈ: مثالیں: پی 3 (سی) کمر سطحوں میں ڈگری 4 ہائپر سرفیس۔ یہ آٹومورفزم a → − a کے ذریعہ ایک ابیلین سطح کو حصص سے نکال کر حاصل کیے جاتے ہیں، پھر 16 واحد نکات کو اڑا دیتے ہیں۔ ایک نشان زدہ K3 سطح ایک K3 سطح ہے جس میں II3,19 سے H2 (X، Z) تک آئسومورفزم ہے۔ نشان زدہ K3 سطحوں کی ماڈیولی جگہ طول و عرض 20 کی غیر ہاؤس ڈورف ہموار تجزیاتی جگہ سے جڑی ہوئی ہے۔ الجبرائی K3 سطحیں اس کی 19 جہتی ذیلی اقسام کا قابل شمار مجموعہ بناتی ہیں۔ ابیلین سطحیں اور دو جہتی پیچیدہ ٹوری دو جہتی پیچیدہ ٹوری میں ابیلین سطحیں شامل ہیں۔ یک جہتی پیچیدہ ٹوری محض انڈاکار منحنی خطوط ہیں اور تمام الجبرائی ہیں، لیکن ریمن نے دریافت کیا کہ طول و عرض 2 کی زیادہ تر پیچیدہ ٹوری الجبرائی نہیں ہیں۔ الجبرائی بالکل 2 جہتی ابیلین اقسام ہیں۔ ان کا زیادہ تر نظریہ اعلی جہتی ٹوری یا ابیلین اقسام کے نظریہ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ انیسویں صدی میں دو الپٹک منحنی خطوط (آئزوجینی تک) کی پیداوار ہونے کا معیار ایک مقبول مطالعہ تھا۔ متغیرات: پلورجینرا تمام 1 ہیں۔ سطح S1 × S1 × S1 × S1 سے مختلف ہے لہذا بنیادی گروپ Z4 ہے۔ ہج ڈائمنڈ: مثالیں: دو الپٹک منحنی خطوط کی پیداوار۔ جینس 2 وکر کا جیکوبین۔ جالی کے لحاظ سے C2 کا کوئی بھی حصّہ۔ کوڈائرا سطحیں یہ کبھی الجبرائی نہیں ہوتیں، حالانکہ ان میں غیر مستقل مورومورفک افعال ہوتے ہیں۔ انہیں عام طور پر دو ذیلی اقسام میں تقسیم کیا جاتا ہے: بنیادی کوڈائرا سطحیں معمولی کینونکل بنڈل کے ساتھ، اور ثانوی کوڈائرا سطحیں جو آرڈر 2، 3، 4، یا 6 کے محدود گروپوں کے ذریعہ ان کے مساوی ہیں، اور جن میں غیر معمولی کینونکل بنڈل ہوتے ہیں۔ ثانوی کوڈائرا سطحوں کا بنیادی سطحوں سے وہی تعلق ہوتا ہے جو اینریکس کی سطحوں کا کے 3 سطحوں سے ہوتا ہے، یا بیلپٹک سطحوں کا ابیلین سطحوں سے ہوتا ہے۔ متغیرات: اگر سطح k = 1، 2، 3، 4، 6 ترتیب کے گروپ کے ذریعہ کسی بنیادی کوڈیرا سطح کا حصص ہے، تو پلورجینرا Pn 1 ہے اگر n k سے قابل تقسیم ہے اور بصورت دیگر 0 ہے۔ ہج ڈائمنڈ: مثالیں: ایک الپٹک منحنی خطوط پر ایک غیر معمولی لائن بنڈل لیں، صفر حصے کو ہٹا دیں، پھر ریشوں کو Z سے حصہ دیں جو کسی پیچیدہ نمبر z کی طاقتوں سے ضرب کے طور پر کام کرتا ہے۔ یہ ایک بنیادی کوڈائرا سطح دیتا ہے۔ اینریکس کی سطحیں یہ پیچیدہ سطحیں ہیں جیسے کہ q = 0 اور کینونکل لائن بنڈل غیر معمولی ہے، لیکن اس میں معمولی مربع ہے۔ اینریکس کی تمام سطحیں الجبرائی ہیں (اور اس لیے کیلر)۔ وہ ترتیب 2 کے ایک گروپ کے ذریعہ K3 سطحوں کے حصص ہیں اور ان کا نظریہ الجبرائی K3 سطحوں سے ملتا جلتا ہے۔ متغیرات: اگر n یکساں ہے تو پلورجینرا Pn 1 ہے اور اگر n عجیب ہے تو 0 ہے۔ بنیادی گروپ کا آرڈر 2 ہے۔ دوسرا کوہمولوجی گروپ H2 (X، Z) طول و عرض 10 اور دستخط −8 اور ترتیب 2 کے گروپ کے منفرد یکساں غیر ماڈیولر جالی II1,9 کے مجموعے کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہج ڈائمنڈ: نشان زدہ اینریکس کی سطحیں ایک منسلک 10 جہتی خاندان کی تشکیل کرتی ہیں، جسے واضح طور پر بیان کیا گیا ہے۔ خصوصیت 2 میں اینریکس سطحوں کے کچھ اضافی خاندان ہیں جنہیں واحد اور سپر سنگلر اینریکس سطحیں کہا جاتا ہے۔ تفصیلات کے لیے اینریکس سطحوں پر مضمون دیکھیں۔ ہائپرلیپٹک (یا بائیلیپٹک) سطحیں پیچیدہ اعداد کے اوپر یہ آٹومورفزم کے ایک محدود گروپ کے ذریعہ دو ایلیپٹک منحنی خطوط کے پروڈکٹ کے حصص ہیں۔ محدود گروپ Z/2Z، Z/2Z + Z/2Z، Z/3Z، Z/3Z + Z/3Z، Z/4Z، Z/4Z + Z/2Z، یا Z/6Z ہو سکتا ہے، جس سے ایسی سطحوں کے سات خاندان ملتے ہیں۔ خصوصیات 2 یا 3 کے شعبوں میں کچھ اضافی خاندان ہیں جو غیر انوکھی گروپ اسکیم کے ذریعے کوٹینٹ لے کر دیے گئے ہیں۔ تفصیلات کے لیے ہائپرلیپٹک سطحوں پر مضمون دیکھیں۔ ہاج ڈائمنڈ: کوڈائرا طول و عرض کی سطح 1 ایک انڈاکار سطح ایک ایسی سطح ہے جو انڈاکار ریشے سے لیس ہوتی ہے (ایک منحنی خطوط بی کے لیے ایک سرجیکٹو ہولومورفک نقشہ ایسا ہے کہ تمام لیکن محدود طور پر بہت سے ریشے جینس 1 کے ہموار ناقابل تلافی منحنی خطوط ہوتے ہیں)۔ اس طرح کے ریشے میں عام فائبر بی کے فنکشن فیلڈ پر ایک جینس 1 وکر ہے۔ اس کے برعکس، ایک وکر کے فنکشن فیلڈ پر جینس 1 وکر دی گئی ہے، اس کا نسبتا کم سے کم ماڈل ایک ایلیپٹک سطح ہے۔ کوڈیرا اور دیگر نے تمام الپٹک سطحوں کی کافی مکمل وضاحت کی ہے۔ خاص طور پر، کوڈیرا نے ممکنہ واحد ریشوں کی مکمل فہرست دی۔ الپٹک سطحوں کا نظریہ مجرد ویلیوایشن رنگز (مثال کے طور پر، پی-ایڈک انٹیجرز کی رنگ) اور ڈیڈیکائنڈ ڈومینز (مثال کے طور پر، نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کی رنگ) پر الپٹک منحنی خطوط کے مناسب باقاعدہ ماڈلز کے نظریہ سے مشابہت رکھتا ہے۔ محدود خصوصیت 2 اور 3 میں کوئی بھی نیم الپٹک سطحیں بھی حاصل کر سکتا ہے، جن کے ریشے تقریبا تمام ایک نوڈ کے ساتھ عقلی منحنی خطوط ہو سکتے ہیں، جو "انحطاط شدہ الپٹک منحنی خطوط" ہیں۔ کوڈائرا طول و عرض 1 کی ہر سطح ایک الپٹک سطح ہے (یا خصوصیات 2 یا 3 میں ایک نیم الپٹک سطح)، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے: ایک الپٹک سطح میں کوڈائرا طول و عرض، 0، یا 1 ہو سکتا ہے۔ تمام اینریکس سطحیں، تمام ہائپرلیپٹک سطحیں، تمام کوڈیرا سطحیں، کچھ کے 3 سطحیں، کچھ ابیلین سطحیں، اور کچھ عقلی سطحیں ایلیپٹک سطحیں ہیں، اور ان مثالوں میں کوڈیرا کا طول و عرض 1 سے کم ہے۔ ایک انڈاکار سطح جس کا بیس وکر B کم از کم 2 جینس کا ہوتا ہے ہمیشہ کوڈائرا طول و عرض 1 رکھتا ہے، لیکن کوڈائرا طول و عرض کچھ انڈاکار سطحوں کے لیے بھی 1 ہو سکتا ہے جن میں B جینس 0 یا 1 کا ہوتا ہے۔ متغیرات: مثال: اگر E ایک الپٹک وکر ہے اور B کم از کم 2 جینس کا وکر ہے، تو E × B کوڈائرا طول و عرض 1 کی ایک الپٹک سطح ہے۔ کوڈیرا طول و عرض 2 کی سطحیں (عام قسم کی سطحیں) یہ سب الجبرائی ہیں، اور کسی نہ کسی لحاظ سے زیادہ تر سطحیں اس طبقے میں ہیں۔ گیسیکر نے دکھایا کہ عام قسم کی سطحوں کے لیے ایک موٹے ماڈیولی اسکیم ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ چرن نمبروں c اور c2 کی کسی بھی مقررہ اقدار کے لیے، ایک نیم پروجیکٹو اسکیم ہے جو عام قسم کی سطحوں کو ان چرن نمبروں کے ساتھ درجہ بندی کرتی ہے۔ تاہم ان اسکیموں کو واضح طور پر بیان کرنا ایک بہت مشکل مسئلہ ہے، اور چرن نمبروں کے بہت کم جوڑے ہیں جن کے لیے یہ کیا گیا ہے (سوائے اس کے کہ جب اسکیم خالی ہو!) متغیرات: ایسی کئی شرائط ہیں جن کو عام قسم کی کم سے کم پیچیدہ سطح کے چرن نمبروں کو پورا کرنا ضروری ہے: (بوگومولوف-میاکا-یو عدم مساوات) (نویتر عدم مساوات) ان شرائط کو پورا کرنے والے انٹیجرز کے زیادہ تر جوڑے عام قسم کی کسی پیچیدہ سطح کے لیے چرن نمبر ہوتے ہیں۔ مثال: سب سے آسان مثالیں کم از کم 2 جینس کے دو منحنی خطوط کی پیداوار ہیں، اور پی 3 میں کم از کم 5 ڈگری کا ہائپر سرفیس ہے۔ دیگر تعمیرات کی ایک بڑی تعداد معلوم ہے۔ تاہم، ایسی کوئی معروف تعمیر نہیں ہے جو چرن کی بڑی تعداد کے لیے عام قسم کی "عام" سطحیں پیدا کر سکے ؛ درحقیقت یہ بھی معلوم نہیں ہے کہ عام قسم کی "عام" سطح کا کوئی معقول تصور موجود ہے یا نہیں۔ بہت سی دوسری مثالیں ہیں جو پائی گئی ہیں، جن میں زیادہ تر ہلبرٹ ماڈیولر سطحیں، جعلی پروجیکٹو طیارے، بارلو سطحیں وغیرہ شامل ہیں۔ الجبرائی سطحوں کے حوالہ جات کی فہرست بھی دیکھیں-کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں کے لیے معیاری حوالہ کتاب ؛ (سافٹ کور)-بشمول درجہ بندی کے لیے ایک زیادہ ابتدائی تعارف بیرونی لنکس لی سطحی الجبریچے اینریکس-کوڈائرا کی درجہ بندی کا ایک انٹرایکٹو تصور ہے، پیٹر بیلمینز اور جوہان کوملین کمپلیکس کی سطحوں پر برائشنل جیومیٹری الجبرائی سطحیں ریاضیاتی درجہ بندی کے نظام