Spray (mathematics)
تفریق جیومیٹری میں، اسپرے ٹینجینٹ بنڈل TM پر ایک ویکٹر فیلڈ H ہے جو بیس مینیفولڈ M پر عام تفریق مساوات کے ایک کواسیلینر سیکنڈ آرڈر سسٹم کو انکوڈ کرتا ہے۔ عام طور پر اسپرے کو اس معنی میں یکساں ہونا ضروری ہے کہ اس کے لازمی منحنی خطوط t → φHt (φ) ω TM مثبت ریپرمیٹرائزیشن میں اصول φHt (φ) (φ) کی پابندی کرتا ہے۔ اگر اس ضرورت کو ختم کر دیا جائے تو H کو سیمی اسپری کہا جاتا ہے۔ سپرے قدرتی طور پر ریمینیئن اور فنسلر جیومیٹری میں جیوڈیسیک سپرے کے طور پر پیدا ہوتے ہیں جن کے لازمی منحنی خطوط قطعی طور پر مقامی لمبائی کو کم کرنے والے منحنی خطوط کے ٹینجینٹ منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ سیمی اسپری قدرتی طور پر لاگرانجین میکانکس میں ایکشن انٹیگرلز کے انتہائی منحنی خطوط کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ ان تمام مثالوں کو عام کرتے ہوئے، M پر کوئی بھی (ممکنہ طور پر غیر لکیری) کنکشن سیمی اسپرے H کو جنم دیتا ہے، اور اس کے برعکس، کوئی بھی سیمی اسپرے H M پر ٹورسن سے پاک غیر لکیری کنکشن کو جنم دیتا ہے۔ اگر اصل کنکشن ٹورسن سے پاک ہے تو یہ H کے ذریعے پیدا کردہ کنکشن کے ساتھ موافق ہوتا ہے، اور یکساں ٹورسن سے پاک کنکشن مکمل اسپرے کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت میں ہوتے ہیں۔ رسمی تعریفیں M کو ایک تفریق پذیر کئی گنا اور (TM، πTM، M) اس کا ٹینجینٹ بنڈل ہونے دیں۔ پھر TM پر ایک ویکٹر فیلڈ H (یعنی ڈبل ٹینجینٹ بنڈل TTM کا ایک حصہ) M پر ایک سیمی اسپری ہے، اگر مندرجہ ذیل تین مساوی شرائط میں سے کوئی بھی ہو: (πTM) * Hx = x. JH = V، جہاں J TM پر ٹینجینٹ ڈھانچہ ہے اور V TM پر کینونکل ویکٹر فیلڈ ہے۔ جے ای ڈی ایچ = ایچ، جہاں جے: ٹی ٹی ایم → ٹی ٹی ایم کینونکل فلپ ہے اور ایچ کو ٹی ایم → ٹی ٹی ایم کی نقشہ سازی کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ M پر ایک سیمی اسپری H ایک (مکمل) سپرے ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی بھی مساوی شرائط برقرار رہیں: Hλx = λ * (λHx)، جہاں λ *: TTM → TTM ضرب کا پش فارورڈ ہے λ: TM → TM ایک مثبت اسکیلر λ> 0 کے ذریعہ۔ کینونکل ویکٹر فیلڈ V کے ساتھ H کا لائ مشتق [V، H] = H کو مطمئن کرتا ہے۔ H کے انٹیگرل منحنی خطوط t → φHt (x) bul TM\ 0 کسی بھی λ> 0 کے لیے φHt (λx) = λφHλt (x) کو مطمئن کرتے ہیں۔ ہر ٹینجینٹ اسپیس پر کوآرڈینیٹ کی بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے) مقامی کوآرڈینیٹس سے وابستہ مقامی کوآرڈینیٹس ہونے دیں۔ پھر ایک سیمی اسپرے ہے کہ آیا اس میں ٹی ایم پر ہر متعلقہ کوآرڈینیٹ سسٹم پر فارم کی مقامی نمائندگی ہے۔ سیمی اسپرے H ایک (مکمل) اسپرے ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب اسپرے کے گتانک جی لگرینجین میکانکس میں سیمی اسپرے کو مطمئن کرتے ہیں۔ ایک جسمانی نظام کو لگرینجین میکانکس میں لگرینجین فنکشن L: TM → R کے ذریعے کسی ترتیب کی جگہ M کے ٹینجینٹ بنڈل پر بنایا گیا ہے۔ متحرک قانون ہیملٹنین اصول سے حاصل کیا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ نظام کی حالت کا وقت ارتقاء γ: [a, b] → M ایکشن انٹیگرل کے لیے ساکن ہے۔ ٹی ایم پر منسلک نقاط میں ایکشن انٹیگرل کی پہلی تبدیلی اس طرح پڑھتی ہے جہاں X: [a, b] → R تغیر γs سے وابستہ تغیر ویکٹر فیلڈ ہے: [a, b] → M کے ارد گرد γ (t) = γ0 (t)۔ اس پہلے تغیر کے فارمولے کو مندرجہ ذیل تصورات کو متعارف کروا کر زیادہ معلوماتی شکل میں دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے: کے ساتھ کوویکٹر کی کنجوگیٹ مومنٹم ہے۔ اس کے ساتھ متعلقہ ایک شکل ہلبرٹ شکل ہے جو لگرینجین سے وابستہ ہے۔ کے ساتھ دو لکیری شکل پر لاگرانجین کا بنیادی ٹینسر ہے۔ اگر بنیادی ٹینسر ہر وقت غیر انحطاط پذیر ہو تو لاگرانجین لیجنڈر کی حالت کو مطمئن کرتا ہے۔ پھر کے الٹا میٹرکس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ لاگرانجین سے وابستہ توانائی ہے۔ اگر لیجنڈری کی حالت مطمئن ہو جاتی ہے، تو dα ω2 (TM) ایک سمپلیکٹک شکل ہے، اور TM پر ہیملٹنین فنکشن E کے مطابق ایک منفرد ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H موجود ہے۔ (xi، yi) کو TM پر متعلقہ نقاط میں ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H کے اجزاء ہونے دیں۔ پھر اور اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H سپرے کوفیشنٹس کے ساتھ کنفیگریشن اسپیس M پر ایک سیمی اسپری ہے۔ اب پہلا تغیراتی فارمولا اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے اور ہم دیکھتے ہیں کہ γ [a, b] → M فکسڈ اینڈ پوائنٹس کے ساتھ ایکشن انٹیگرل کے لیے اسٹیشنری ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ٹینجینٹ وکر γ ': [a, b] → TM ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H کے لیے ایک انٹیگرل وکر ہو۔ لہذا مکینیکل سسٹمز کی حرکیات کو ایکشن انٹیگرلز سے پیدا ہونے والے سیمی اسپری کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ جیوڈیسیک سپرے ریمینیئن اور فنسلر مینیفولڈز کی مقامی طور پر لمبائی کو کم کرنے والے منحنی خطوط کو جیوڈیسیکس کہا جاتا ہے۔ لگرینجین میکانکس کے فریم ورک کا استعمال کرتے ہوئے ان منحنی خطوط کو سپرے ڈھانچے کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے۔ ٹی ایم پر لگرینجین فنکشن کی وضاحت کریں جہاں F: TM → R فنسلر فنکشن ہے۔ ریمینیائی معاملے میں F2 (x، ω) = gij (x) ωx استعمال کیا جاتا ہے۔ اب اوپر والے حصے سے تصورات متعارف کروائیں۔ ریمینیائی معاملے میں یہ پتہ چلتا ہے کہ بنیادی ٹینسر گیج (x، ω) محض ریمینیائی میٹرک گیج (x) ہے۔ عام صورت میں فنسلر فنکشن کی یکسانیت کی حالت مندرجہ ذیل فارمولوں کو ظاہر کرتی ہے: کلاسیکی مکینیکل کے لحاظ سے آخری مساوات بتاتی ہے کہ نظام میں موجود تمام توانائی (M، L) حرکی شکل میں ہے۔ مزید برآں، کوئی یکسانیت کی خصوصیات حاصل کرتا ہے جس میں سے آخری کہتا ہے کہ اس مکینیکل سسٹم کے لیے ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H ایک مکمل سپرے ہے۔ بنیادی فنسلر (یا ریمینیئن) کئی گنا کی مستقل رفتار جیوڈیکس کو اس اسپرے کے ذریعے درج ذیل وجوہات کی بناء پر بیان کیا گیا ہے: چونکہ فنسلر خالی جگہوں کے لیے gx مثبت قطعی ہے، اس لیے فنکشنل لمبائی کے لیے ہر مختصر کافی مستحکم منحنی خطوط لمبائی کو کم کرنا ہے۔ ایکشن انٹیگرل کے لیے ہر اسٹیشنری وکر مستقل رفتار کا ہوتا ہے، کیونکہ توانائی خود بخود حرکت کا مستقل ہوتا ہے۔ مستقل رفتار کے کسی بھی منحنی خطوط کے لیے ایکشن انٹیگرل اور لمبائی فنکشنل کا تعلق اس سے ہوتا ہے۔ لہذا، ایک منحنی خطوط ایکشن انٹیگرل کے لیے صرف اس صورت میں مستحکم ہوتا ہے جب وہ مستقل رفتار کا ہو اور لمبائی فنکشنل کے لیے مستحکم ہو۔ ہیملٹنین ویکٹر فیلڈ H کو فنسلر مینیفولڈ (M، F) کا جیوڈیسیک اسپرے کہا جاتا ہے اور متعلقہ بہاؤ φHt (ω) کو جیوڈیسیک بہاؤ کہا جاتا ہے۔ غیر لکیری کنکشن کے ساتھ خط و کتابت ہموار کئی گنا پر ایک سیمی اسپری اس کے افقی اور عمودی پروجیکشن کے ذریعے سلٹ ٹینجینٹ بنڈل پر ایہرسمان کنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ TM\ 0 پر اس کنکشن میں ہمیشہ ایک غائب ہونے والا ٹورسن ٹینسر ہوتا ہے، جس کی تعریف فریلیچر-نجینہوئس بریکٹ T = [[J, v] کے طور پر کی جاتی ہے۔ مزید ابتدائی اصطلاحات میں ٹورسن کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ TM\0 پر کینونکل ویکٹر فیلڈ V کا تعارف اور انڈیوسڈ کنکشن کے ملحقہ ڈھانچے θ کو سیمی اسپری کے افقی حصے کو hH = θV کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ سیمی اسپرے کا عمودی حصہ ε = vH پہلا اسپرے غیر متغیر کے طور پر جانا جاتا ہے، اور سیمی اسپرے H خود ہی تحلیل ہو جاتا ہے۔ پہلا اسپرے غیر متغیر عام تفریق مساوات کے ذریعے غیر لکیری کنکشن کے تناؤ سے متعلق ہے۔ لہذا، پہلا اسپرے غیر متغیر ε (اور اسی وجہ سے پورا نیم اسپرے H) غیر لکیری کنکشن سے بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ اس رشتے سے یہ بھی دیکھا جا سکتا ہے کہ محرک کنکشن یکساں ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب H ایک مکمل اسپرے ہو۔ اسپرے اور سیمی اسپرے کے جیکوبی فیلڈز سیمی اسپرے کے جیکوبی فیلڈز کے لیے ایک اچھا ذریعہ سیکشن 4.4 ہے، جو بوکتارو اور میرون کی عوامی طور پر دستیاب کتاب فنسلر-لگرینج جیومیٹری کی سیمی اسپرے کی جیکوبی مساوات ہے۔ خاص طور پر ان کا متحرک کوویرینٹ مشتق کا تصور نمایاں ہے۔ ایک اور مقالے بوکتارو میں، کانسٹینٹینیسکو اور ڈہل اس تصور کو کوسمبی بائیڈرویٹو آپریٹر سے جوڑتے ہیں۔ کوسمبی کے طریقوں کے اچھے تعارف کے لیے، مضمون دیکھیں، کوسمبی-کارٹن-چرن نظریہ کیا ہے؟ حوالہ جات۔ ۔ تفریقی جیومیٹری فنسلر جیومیٹری