Semi-differentiability
ریاضی کی ایک شاخ کیلکولس میں، حقیقی متغیر کے حقیقی قدر والے فنکشن f کی یک طرفہ تفریق پذیری اور نیم تفریق پازیبلٹی کے تصورات تفریق پازیبلٹی سے کمزور ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، فنکشن f کو ایک نقطہ a پر صحیح تفریق کے قابل کہا جاتا ہے، اگر، تقریبا بولتے ہوئے، ایک مشتق کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ فنکشن کی دلیل x دائیں سے a کی طرف بڑھتا ہے، اور بائیں تفریق کے قابل a پر اگر مشتق کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ x بائیں سے a کی طرف بڑھتا ہے۔ ایک جہتی صورت ریاضی میں، بائیں مشتق اور دائیں مشتق مشتق (فنکشن کی تبدیلی کی شرح) ہیں جن کی تعریف کسی فنکشن کی دلیل کے ذریعے صرف ایک سمت (بائیں یا دائیں یعنی کم یا زیادہ اقدار) میں حرکت کے لیے کی جاتی ہے۔ تعریف f ایک حقیقی قدر والے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے جس کی وضاحت حقیقی اعداد کے ذیلی سیٹ I پر کی گئی ہے۔ اگر ایک لمٹ پوائنٹ ہے اور یک طرفہ حد ایک حقیقی نمبر کے طور پر موجود ہے، تو f کو a پر دائیں تفریق کے قابل کہا جاتا ہے اور حد ष्ण + f (a) کو a پر f کا صحیح مشتق کہا جاتا ہے۔ اگر ایک لمٹ پوائنٹ ہے اور یک طرفہ حد ایک حقیقی نمبر کے طور پر موجود ہے، تو f کو a پر لیفٹ ڈفریٚنٹایبل کہا جاتا ہے اور حد ष्णول-f (a) کو a پر f کا لیفٹ مشتق کہا جاتا ہے۔ اگر ایک حد نقطہ ہے اور اگر f بائیں اور دائیں طرف a پر تفریق کے قابل ہے، تو f کو a پر نیم تفریق کے قابل کہا جاتا ہے۔ اگر بائیں اور دائیں مشتقات برابر ہیں، تو ان کی قدر معمول ("دو طرفہ") مشتقات کی طرح ہی ہے۔ کوئی بھی سمیٹرک مشتق کی وضاحت بھی کر سکتا ہے، جو بائیں اور دائیں مشتقات کے ریاضی کے اوسط کے برابر ہے (جب وہ دونوں موجود ہوں)، لہذا سمیٹرک مشتق اس وقت موجود ہو سکتا ہے جب معمول مشتق موجود نہ ہو۔ تبصرے اور مثالیں ایک فنکشن اپنے ڈومین کے اندرونی نقطہ a پر تب ہی تفریق پذیر ہوتا ہے جب یہ a پر نیم تفریق پذیر ہو اور بائیں مشتق دائیں مشتق کے برابر ہو۔ نیم تفریق پذیر فنکشن کی ایک مثال، جو تفریق کے قابل نہیں ہے، a = 0 پر مطلق قدر فنکشن ہے۔ اگر کوئی فنکشن ایک نقطہ a پر نیم تفریق پذیر ہے، تو اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ a پر مسلسل ہے۔ اشارے کی فنکشن 1 [0, ini) ہر حقیقی a پر صحیح تفریق پذیر ہے، لیکن صفر پر متضاد ہے (نوٹ کریں کہ اس اشارے کی فنکشن کو صفر پر تفریق پذیر نہیں چھوڑا گیا ہے)۔ اگر ایک حقیقی قدر، تفریق پذیر فنکشن f، جس کی تعریف حقیقی لکیر کے وقفہ I پر کی گئی ہے، ہر جگہ صفر مشتق ہے، تو یہ مستقل ہے، جیسا کہ اوسط قدر تھیوریم کے اطلاق سے ظاہر ہوتا ہے۔ تفریق کے مفروضے کو f کے تسلسل اور یک طرفہ تفریق کے لیے کمزور کیا جا سکتا ہے۔ دائیں تفریق کے قابل افعال کے لیے ورژن ذیل میں دیا گیا ہے، بائیں تفریق کے قابل افعال کے لیے ورژن یکساں ہے۔ بائیں یا دائیں طرف کام کرنے والے متفرق آپریٹرز ایک اور عام استعمال انفیکس نوٹیشن میں بائنری آپریٹرز کے طور پر سمجھے جانے والے مشتقات کو بیان کرنا ہے، جس میں مشتقات کو بائیں یا دائیں آپریڈز پر لاگو کیا جانا ہے۔ یہ مفید ہے، مثال کے طور پر، جب پوسن بریکٹ کی عمومی وضاحت کی جاتی ہے۔ فنکشن f اور g کے جوڑے کے لیے، بائیں اور دائیں مشتقات کو بالترتیب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ برا کیٹ نوٹیشن میں، مشتق آپریٹر دائیں اوپرینڈ پر باقاعدہ مشتق کے طور پر یا بائیں طرف منفی مشتق کے طور پر کام کر سکتا ہے۔ اعلی جہتی صورت اس مندرجہ بالا تعریف کو دشاتمک مشتق کے کمزور ورژن کا استعمال کرتے ہوئے Rn کے ذیلی سیٹوں پر بیان کردہ حقیقی قدر والے افعال f کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ a، f کے ڈومین کا ایک اندرونی نقطہ ہے۔ پھر f کو اس نقطہ a پر نیم تفریقی کہا جاتا ہے اگر ہر سمت کے لیے r کے ساتھ حد حقیقی نمبر کے طور پر موجود ہو۔ اس طرح نیم تفریق گیٹاکس تفریق سے کمزور ہے، جس کے لیے کوئی شخص صرف مثبت اقدار تک محدود کیے بغیر h → 0 سے اوپر کی حد لیتا ہے۔ مثال کے طور پر، فنکشن پر نیم تفریق پذیر ہے، لیکن وہاں گیٹاوکس تفریق پذیر نہیں ہے۔ درحقیقت، کے ساتھ (نوٹ کریں کہ یہ عمومی کاری n = 1 کی اصل تعریف کے مساوی نہیں ہے کیونکہ یک طرفہ حد پوائنٹس کے تصور کو اندرونی پوائنٹس کے مضبوط تصور سے تبدیل کر دیا گیا ہے۔) خصوصیات Rn کے کنویکس اوپن سب سیٹ پر کوئی بھی کنویکس فنکشن نیم تفریق پذیر ہے۔ اگرچہ ایک متغیر کا ہر نیم تفریق پذیر فعل مسلسل ہے ؛ یہ اب کئی متغیرات کے لیے درست نہیں ہے۔ حقیقی قدر والے فنکشنز کے بجائے، کوئی بھی فنکشنز کو Rn یا بناچ اسپیس میں ویلیوز لینے پر غور کر سکتا ہے۔ مشتق سمت مشتق جزوی مشتق گریڈیئنٹ گیٹکس مشتق فریچیٹ مشتق مشتق (عمومی) ڈینی مشتق حوالہ جات حقیقی تجزیہ تفریق کیلکولس ثبوت پر مشتمل مضامین افعال اور نقشہ سازی