Cayley–Bacharach theorem
ریاضی میں، کیلی-باچارچ تھیوریم پروجیکٹو طیارہ میں کیوبک منحنی خطوط (ڈگری تین کے طیارہ منحنی خطوط) کے بارے میں ایک بیان ہے۔ اصل شکل میں کہا گیا ہے: فرض کریں کہ دو کیوبک اور پروجیکٹو پلین میں نو (مختلف) پوائنٹس پر ملتے ہیں، جیسا کہ وہ عام طور پر الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہوتے ہیں۔ پھر ہر کیوبک جو کسی بھی آٹھ پوائنٹس سے گزرتا ہے وہ بھی نویں پوائنٹ سے گزرتا ہے۔ کیلی-باچارچ تھیوریم کی ایک زیادہ اندرونی شکل اس طرح پڑھتی ہے: الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہر کیوبک وکر جو آٹھ پوائنٹس کے دیئے گئے سیٹ سے گزرتا ہے وہ بھی نویں پوائنٹ (گنتی ضرب) سے گزرتا ہے جس کا انحصار صرف اس پر ہوتا ہے۔ کونکس پر ایک متعلقہ نتیجہ سب سے پہلے فرانسیسی جیومیٹر مشیل چیسلز نے ثابت کیا اور بعد میں آرتھر کیلی اور اساک بچارچ نے کیوبکس کو عام کیا۔ تفصیلات اگر سات پوائنٹس کسی کونک پر ہوتے ہیں، تو نویں پوائنٹ کو اس کونک پر منتخب کیا جا سکتا ہے، کیونکہ بیزوٹ کے نظریہ کی وجہ سے ہمیشہ پورا کونک موجود رہے گا۔ دوسرے معاملات میں، ہمارے پاس درج ذیل ہیں۔ اگر ان میں سے کوئی سات نکات کوکونک نہیں ہیں، تو کیوبک یکساں کثیر الجہتی کی ویکٹر اسپیس جو (کے افائن کونز) (دوہرے نکات کے لیے ضرب کے ساتھ) پر غائب ہو جاتی ہے، اس کی جہت دو ہوتی ہے۔ اس صورت میں، ہر کیوبک بھی کسی بھی دو مختلف کیوبک کے چوراہے سے گزرتا ہے، جس میں بیزوٹ کے نظریہ کی وجہ سے کم از کم نو پوائنٹس (الجبرائی بندش پر) ہوتے ہیں۔ ان نکات کا احاطہ صرف اس سے نہیں کیا جا سکتا، جو ہمیں فراہم کرتا ہے۔ چونکہ ڈیجینریٹ کونکس زیادہ سے زیادہ دو لائنوں کا اتحاد ہوتے ہیں، اس لیے ڈیجینریٹ کونک پر ہمیشہ سات میں سے چار پوائنٹس ہوتے ہیں جو کالینیئر ہوتے ہیں۔ نتیجتا: اگر غیر انحطاطی شنک پر کوئی سات نکات جھوٹ سے باہر نہیں ہیں، اور کسی لکیر پر کوئی چار نکات جھوٹ سے باہر نہیں ہیں، تو کیوبک یکساں کثیر الجہتی کی ویکٹر اسپیس جو (کے افائن شنک) پر غائب ہو جاتی ہے اس کی جہت دو ہوتی ہے۔ دوسری طرف، فرض کریں کہ کالینیئر ہیں اور ان میں سے کوئی بھی سات پوائنٹ کوکونک نہیں ہیں۔ پھر کوئی پانچ پوائنٹس اور کوئی تین پوائنٹس کالینیئر نہیں ہیں۔ چونکہ بیزاوٹ کے نظریہ کی وجہ سے ہمیشہ پوری لکیر پر مشتمل رہے گا، اس لیے کیوبک ہوموجینیئس کثیر الجہتی کی ویکٹر اسپیس جو (کے افائن شنک) پر غائب ہو جاتی ہے وہ کواڈریٹک ہوموجینیئس کثیر الجہتی کی ویکٹر اسپیس کے لیے آئسومورفک ہے جو غائب ہو جاتی ہے (کے افائن شنک)، جس کی جہت دو ہوتی ہے۔ اگرچہ دونوں جہتوں کے دو نتائج کے لیے شرائط کے سیٹ مختلف ہیں، لیکن وہ دونوں مکمل عمومی پوزیشنوں سے سختی سے کمزور ہیں: تین پوائنٹس کو کالینیئر ہونے کی اجازت ہے، اور چھ پوائنٹس کو کونک پر رہنے کی اجازت ہے (عام طور پر دو پوائنٹس ایک لائن کا تعین کرتے ہیں اور پانچ پوائنٹس ایک کونک کا تعین کرتے ہیں)۔ کیلی-باچارچ تھیوریم کے لیے، یہ ضروری ہے کہ کیوبکس کا ایک خاندان ایک واحد کے بجائے نو نکات سے گزرے۔ بیزوٹ کے نظریہ کے مطابق، الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر دو مختلف کیوبک منحنی خطوط جن میں کوئی مشترکہ ناقابل تلافی جزو نہیں ہے بالکل نو نکات میں ملتے ہیں (ضرب کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے)۔ کیلی-باچارچ تھیوریم اس طرح اس بات پر زور دیتا ہے کہ منحنی خطوط کے خاندان میں کسی بھی دو ممبروں کے چوراہے کا آخری نقطہ حرکت نہیں کرتا ہے اگر آٹھ چوراہے کے نکات (سات شریک کونک کے بغیر) پہلے ہی تجویز کیے گئے ہوں۔ ایپلی کیشنز ایک خاص معاملہ پاسکل کا نظریہ ہے، اس صورت میں زیر بحث دو کیوبک تمام انحطاط پذیر ہیں: ایک کونک (ایک ہیکساگون) پر چھ پوائنٹس دیئے جانے پر، مخالف اطراف کو بڑھا کر حاصل کردہ لائنوں پر غور کریں-اس سے تین لائنوں کے دو کیوبک ملتے ہیں، جو 9 پوائنٹس میں آپس میں ملتے ہیں-کونک پر 6 پوائنٹس، اور 3 دیگر۔ یہ 3 اضافی پوائنٹس ایک لائن پر ہوتے ہیں، کیونکہ کونک پلس کسی بھی دو پوائنٹس سے گزرنے والی لائن 8 پوائنٹس سے گزرنے والی کیوبک ہوتی ہے۔ دوسرا اطلاق پیپس کا ہیکساگون تھیوریم ہے، جو اوپر کی طرح ہے، لیکن چھ نکات کونک کے بجائے دو لائنوں پر ہیں۔ آخر میں، ایک تیسرا معاملہ ایلیپٹک وکر پوائنٹ ایڈیشن کی ایسوسی ایٹیویٹی کو ثابت کرنے کے لیے پایا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ پہلا کیوبک تین لائنوں BC، O (A + B) اور A (B + C) پر مشتمل ہے ؛ اور دوسرا کیوبک تین لائنوں AB، O (B + C) اور C (A + B) پر مشتمل ہے۔ مندرجہ ذیل آٹھ نکات دونوں کیوبک کے لیے مشترک ہیں: A، B، C، A + B،-A-B، B + C،-B-C، O۔ لہذا ان کے نویں نکات ایک جیسے ہونے چاہئیں-A-(B + C) =-(A + B)-C، جو ایسوسی ایٹیویٹی دیتا ہے۔ طول و عرض کی گنتی سے کوئی بھی کیلی-باچارچ تھیوریم کو سمجھ سکتا ہے، اور یہ ڈگری 3 کے لیے کیوں پیدا ہوتا ہے۔ سیدھے الفاظ میں، نو پوائنٹس ایک کیوبک کا تعین کرتے ہیں، لیکن عام طور پر ایک منفرد کیوبک کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس طرح اگر نو نکات ایک سے زیادہ کیوبک پر ہوتے ہیں، مساوی طور پر دو کیوبک (AS) کے چوراہے پر، تو وہ عام پوزیشن میں نہیں ہوتے ہیں-وہ ایک جہت سے حد سے زیادہ متعین ہوتے ہیں-اور اس طرح ان سے گزرنے والے کیوبک ایک اضافی رکاوٹ کو پورا کرتے ہیں، جیسا کہ "آٹھ کا مطلب نو" پراپرٹی میں ظاہر ہوتا ہے۔ عمومی رجحان کو سپرابونڈنس کہا جاتا ہے۔ سطحوں کے لیے ریمن-راک تھیوریم دیکھیں۔ تفصیلات رسمی طور پر، پہلے یاد رکھیں کہ ڈگری کے دو منحنی خطوط کو دیکھتے ہوئے، وہ وضاحتی مساوات کے پروجیکٹو لکیری امتزاج کو لے کر ڈگری منحنی خطوط کی پنسل (ایک پیرامیٹر لکیری نظام) کی وضاحت کرتے ہیں۔ یہ منحنی خطوط کے پیرامیٹر کی جگہ میں ایک پروجیکٹو لائن کا تعین کرنے والے دو نکات سے مطابقت رکھتا ہے، جو کہ محض پروجیکٹو اسپیس ہے۔ کیلی-باچارچ تھیوریم اعلی ڈگری کے لیے پیدا ہوتا ہے کیونکہ ڈگری کے دو منحنی خطوط کے انٹرسیکشن پوائنٹس کی تعداد، یعنی (بیزوٹ کے تھیوریم کے ذریعے)، ڈگری کے منحنی خطوط کی وضاحت کے لیے درکار پوائنٹس کی تعداد سے زیادہ تیزی سے بڑھتی ہے، جو ان کے ذریعے دی گئی ہے۔ تفصیل سے، ڈگری کے منحنی خطوط کا تعین کرنے کے لیے درکار پوائنٹس کی تعداد ڈگری کے مونومیلز کی تعداد ہے، مائنس 1 پروجیکٹیوائزیشن سے۔ پہلے چند کے لیے یہ پیداوار: 2 اور 1: دو پوائنٹس ایک لکیر کا تعین کرتے ہیں، دو لائنیں ایک پوائنٹ میں کاٹتی ہیں، 5 اور 4: پانچ پوائنٹس ایک کونک کا تعین کرتے ہیں، دو کونک چار پوائنٹس میں کاٹتے ہیں، 9 اور 9: نو پوائنٹس ایک کیوبک کا تعین کرتے ہیں، دو کیوبک نو پوائنٹس، 14 اور 16 میں کاٹتے ہیں۔ اس طرح یہ پہلے 3 کے لیے متفق ہیں، اور جب چوراہوں کی تعداد زیادہ ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دو کیوبک کے انٹرسیکشن کے 9 نکات کیوبک کے حوالے سے خصوصی پوزیشن میں ہوتے ہیں، اعلی ڈگری کے لیے ایک فورٹیری، لیکن نچلی ڈگری کے برعکس: دو لائنیں ایک پوائنٹ میں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، جو معمولی طور پر عام لکیری پوزیشن میں ہوتی ہیں، اور دو کواڈریٹکس چار پوائنٹس میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، جو (یہ فرض کرتے ہوئے کہ کواڈریٹکس ناقابل تلافی ہیں لہذا کوئی تین پوائنٹس کالینیئر نہیں ہیں) عام طور پر کواڈریٹک پوزیشن میں ہوتے ہیں کیونکہ پانچ پوائنٹس ایک کواڈریٹک کا تعین کرتے ہیں، اور کسی بھی چار پوائنٹس (عام لکیری پوزیشن میں) ان کے ذریعے کواڈریٹکس کی پنسل رکھتے ہیں، کیونکہ نظام کا تعین کم ہوتا ہے۔ کیوبک کے لیے، نو پوائنٹس ایک کیوبک کا تعین کرتے ہیں، لیکن عام طور پر وہ ایک منفرد کیوبک کا تعین کرتے ہیں-اس طرح ان میں سے دو مختلف کیوبک کا گزرنا (اور اس طرح ایک پنسل) خاص ہے-حل کی جگہ ایک جہت ہے جو توقع سے زیادہ ہے، اور اس طرح حل ایک اضافی رکاوٹ کو پورا کرتے ہیں، یعنی "8 کا مطلب 9" خاصیت ہے۔ زیادہ ٹھوس طور پر، کیونکہ تین متغیرات میں ڈگری تین کے یکساں کثیر الجہتی کی ویکٹر اسپیس کا طول و عرض ہوتا ہے، آٹھ (مختلف) پوائنٹس سے گزرنے والے کیوبک منحنی خطوط کا نظام طول و عرض کے ویکٹر اسپیس کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے (ایک نقطہ پر کثیر الجہتی کا غائب ہونا ایک واحد لکیری شرط عائد کرتا ہے)۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ طول و عرض بالکل دو ہے اگر کوئی چار پوائنٹس کالینیئر نہ ہوں اور کونک پر کوئی سات پوائنٹس نہ ہوں۔ کیلی-باچارچ تھیوریم کا اندازہ اس حقیقت سے لگایا جا سکتا ہے۔ ضمیمہ حوالہ جات کا لکیری نظام بھی دیکھیں فوٹنوٹس ببلیوگرافی مشیل چیسلز، ٹریٹی ڈیس سیکشنز کونکس، گوتھیر ولرز، پیرس، 1885۔ ایڈورڈ ڈی ڈیوس، انتھونی وی گیرامیٹا، اور فیروسیو اوریکیا، گورینسٹین الجیبراس اور کیلی-باچارچ تھیوریم، پروسیڈنگز آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی 93 (1985)، 593-597۔ ڈیوڈ آئزن بڈ، مارک گرین، اور جو ہیرس، کیلی-باچارچ تھیوریمز اور قیاس آرائیاں، بلیٹن آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی 33 (1996)، نمبر۔ 3، 295-324۔ الجبرائی منحنی خطوط پروجیکٹو جیومیٹری میں نظریات الجبرائی جیومیٹری میں نظریات