Point-biserial correlation coefficient
پوائنٹ بائیسیریل ارتباط گتانک (آر پی بی) ایک ارتباط گتانک ہے جو اس وقت استعمال ہوتا ہے جب ایک متغیر (جیسے۔ Y) ڈائکوٹومس ہے ؛ Y یا تو "قدرتی طور پر" ڈائکوٹومس ہو سکتا ہے، جیسے کہ کوئی سکہ سر پر اترتا ہے یا دم، یا مصنوعی طور پر ڈائکوٹومسڈ متغیر۔ زیادہ تر حالات میں یہ مشورہ نہیں دیا جاتا ہے کہ متغیرات کو مصنوعی طور پر ڈائکوٹومائز کیا جائے۔ جب کسی نئے متغیر کو مصنوعی طور پر ڈائکوٹومیائز کیا جاتا ہے تو نئے ڈائکوٹومس متغیر کو ایک بنیادی تسلسل کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایسا ہے تو، دو طرفہ ارتباط زیادہ مناسب حساب ہوگا۔ پوائنٹ-بائیسیریل ارتباط ریاضیاتی طور پر پیئرسن (پروڈکٹ مومنٹ) ارتباط کے مساوی ہے ؛ یعنی، اگر ہمارے پاس ایک مسلسل ماپا متغیر X اور ایک ڈائکوٹومس متغیر Y ہے، تو rXY = rpb۔ یہ ڈائکوٹومس متغیر کو دو الگ الگ عددی اقدار تفویض کرکے دکھایا جا سکتا ہے۔ حساب آر پی بی کا حساب لگانے کے لیے فرض کریں کہ ڈائکوٹومس متغیر Y کی دو اقدار 0 اور 1 ہیں۔ اگر ہم سیٹ کردہ ڈیٹا کو دو گروپوں میں تقسیم کرتے ہیں، گروپ 1 جس نے Y پر "1" ویلیو حاصل کی اور گروپ 2 جس نے Y پر "0" ویلیو حاصل کی، تو پوائنٹ-بائیسیریل ارتباط گتانک کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے: جہاں آبادی کے ہر ممبر کے لیے ڈیٹا دستیاب ہونے پر استعمال ہونے والا معیاری انحراف ہے: M1 گروپ 1 کے تمام ڈیٹا پوائنٹس کے لیے مسلسل متغیر X پر اوسط ویلیو ہے، اور M0 گروپ 2 کے تمام ڈیٹا پوائنٹس کے لیے مسلسل متغیر X پر اوسط ویلیو ہے۔ مزید برآں، n1 گروپ 1 میں ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد ہے، n0 گروپ 2 میں ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد ہے اور n کل نمونے کا سائز ہے۔ یہ فارمولا ایک کمپیوٹیشنل فارمولا ہے جو حساب میں مراحل کو کم کرنے کے لیے rXY کے فارمولے سے اخذ کیا گیا ہے۔ rXY کے مقابلے میں حساب لگانا آسان ہے۔ ایک مساوی فارمولا ہے جو ایس این-1 کا استعمال کرتا ہے: جہاں ایس این-1 معیاری انحراف ہے جو اس وقت استعمال ہوتا ہے جب اعداد و شمار صرف آبادی کے نمونے کے لیے دستیاب ہوتے ہیں: ایس این-1 کا استعمال کرتے ہوئے فارمولے کا ورژن مفید ہے اگر کوئی پروگرامنگ زبان یا دیگر ترقیاتی ماحول میں پوائنٹ-بائیسیریل ارتباط گتانک کا حساب لگا رہا ہو جہاں ایس این-1 کا حساب لگانے کے لیے کوئی فنکشن دستیاب ہو، لیکن ایس این کا حساب لگانے کے لیے کوئی فنکشن دستیاب نہ ہو۔ گلاس اینڈ ہاپکنز کی کتاب شماریاتی طریقے تعلیم اور نفسیات میں، (تیسرا ایڈیشن) پوائنٹ بائیسیریل فارمولے کا درست ورژن پر مشتمل ہے۔ اس کے علاوہ نقطہ بزیریل ارتباط گتانک کا مربع لکھا جا سکتا ہے: ہم اس صفر مفروضے کی جانچ کر سکتے ہیں کہ ارتباط آبادی میں صفر ہے۔ ایک چھوٹا سا الجبرا ظاہر کرتا ہے کہ ارتباط گتانک کی اہمیت کا اندازہ لگانے کے لیے معمول کا فارمولا، جب آر پی بی پر لاگو ہوتا ہے، تو وہ غیر جوڑے والے ٹی-ٹیسٹ کے فارمولے جیسا ہی ہوتا ہے اور اسی طرح طالب علم کی ٹی-تقسیم کے ساتھ (n1 + n0−2) ڈگری آف فریڈم کی پیروی کرتا ہے جب صفر مفروضہ درست ہوتا ہے۔ پوائنٹ بائیسیریل گتانک کا ایک نقصان یہ ہے کہ Y کی تقسیم جتنی آگے 50/50 سے ہوگی، اقدار کی حد اتنی ہی زیادہ محدود ہوگی جو گتانک لے سکتا ہے۔ اگر یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ X کو عام طور پر تقسیم کیا گیا ہے، تو ایک بہتر وضاحتی اشاریہ بائیسیریل گتانک کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں u اس نقطہ پر صفر اوسط اور یونٹ تغیر کے ساتھ عام تقسیم کا آرڈیینیٹ ہے جو تقسیم کو تناسب n0/n اور n1/n میں تقسیم کرتا ہے۔ اس کا حساب لگانا آسان نہیں ہے، اور بزیریل گتانک عملی طور پر بڑے پیمانے پر استعمال نہیں ہوتا ہے۔ بزیریئل ارتباط کا ایک مخصوص معاملہ اس صورت میں ہوتا ہے جہاں X متعدد ڈائکوٹومس متغیرات کا مجموعہ ہوتا ہے جن میں سے Y ایک ہے۔ اس کی ایک مثال یہ ہے کہ جہاں ایکس ایک ٹیسٹ پر کسی شخص کا کل اسکور ہے جو n ڈائکوٹملی اسکور شدہ آئٹمز پر مشتمل ہوتا ہے۔ دلچسپی کا اعدادوشمار (جو ایک امتیازی اشاریہ ہے) کسی دی گئی شے کے جوابات اور متعلقہ کل ٹیسٹ اسکور کے درمیان ارتباط ہے۔ وسیع استعمال میں تین حسابات ہیں، سب کو پوائنٹ-بائیسیریل ارتباط کہا جاتا ہے: (i) آئٹم کے اسکور اور آئٹم کے اسکور سمیت کل ٹیسٹ اسکور کے درمیان پیئرسن کا ارتباط، (ii) آئٹم کے اسکور کو چھوڑ کر آئٹم کے اسکور اور کل ٹیسٹ اسکور کے درمیان پیئرسن کا ارتباط، اور (iii) ٹیسٹ کے اسکور میں آئٹم کے اسکور کو شامل کرنے کی وجہ سے ہونے والے تعصب کے لیے ایڈجسٹ کردہ ارتباط۔ ارتباط (iii) نقطہ بزیریئل گتانک کا قدرے مختلف ورژن رینک بزیریئل ہے جو اس جگہ ہوتا ہے جہاں متغیر X صفوں پر مشتمل ہوتا ہے جبکہ Y ڈائکوٹومس ہوتا ہے۔ ہم گتانک کا حساب اسی طرح لگا سکتے ہیں جس طرح X مسلسل ہے لیکن اس کا وہی نقصان ہوگا کہ اس کی اقدار کی حد زیادہ محدود ہو جاتی ہے کیونکہ Y کی تقسیم زیادہ غیر مساوی ہو جاتی ہے۔ اس کے گرد چکر لگانے کے لیے، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ گتانک کی سب سے بڑی قیمت ہوگی جہاں سب سے چھوٹی صف تمام 0s کے مخالف ہیں اور سب سے بڑی صف 1s کے مخالف ہیں۔ اس کی سب سے چھوٹی قیمت وہاں ہوتی ہے جہاں الٹا ہوتا ہے۔ یہ اقدار بالترتیب جمع اور مائنس (n1 + n0)/2 ہیں۔ اس لیے ہم اس قدر کا باہمی استعمال مشاہدہ شدہ اوسط صفوں کے درمیان فرق کو دوبارہ حاصل کرنے کے لیے کر سکتے ہیں جو کہ جمع ایک سے مائنس ایک تک کے وقفے پر ہے۔ نتیجہ یہ ہے کہ جہاں M1 اور M0 بالترتیب ڈائکوٹومس متغیر کے 1 اور 0 اسکور کے مطابق صفوں کے ذرائع ہیں۔ یہ فارمولا، جو معاہدوں اور الٹ کی گنتی سے حساب کو آسان بناتا ہے، جین وی گلاس (1966) کی وجہ سے ہے۔ اس کا استعمال اس آبادی میں صفر ارتباط کے صفر مفروضے کی جانچ کے لیے ممکن ہے جہاں سے نمونہ لیا گیا تھا۔ اگر rrb کا حساب اوپر کے طور پر کیا جاتا ہے تو اس کا چھوٹا اور نمونے کے سائز n1 اور n0 کے ساتھ من وٹنی U کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے جب کالعدم مفروضہ درست ہوتا ہے۔ نوٹ میک کولم، رابرٹ سی، اور دیگر۔ 2002۔ مقداری متغیرات کی ڈائکوٹومیزیشن کے عمل پر۔ نفسیاتی طریقے 7 (1): 19-40۔ حوالہ جات بیرونی روابط پوائنٹ بائیسیریل گتانک (کیتھ کالکنز، 2005) ارتباط کے اشارے