Hirzebruch surface
ریاضی میں، ہرزبروچ کی سطح پروجیکٹو لائن پر ایک حکمرانی والی سطح ہے۔ ان کا مطالعہ کیا گیا۔ تعریف ہرزبرچ کی سطح-بنڈل ہے، جسے پروجیکٹو بنڈل کہا جاتا ہے، جو شیف سے منسلک ہوتا ہے۔ یہاں اشارے کا مطلب ہے: سیر موڑ شیف کی-th ٹینسر پاور ہے، الٹا شیف یا لائن بنڈل جو متعلقہ کارٹیئر ڈیوائزر کے ساتھ ایک واحد نقطہ ہے۔ سطح آئسومورفک ہے، اور ایک نقطہ پر اڑانے کے لیے آئسومورفک ہے لہذا کم سے کم نہیں ہے۔ ہرزبروچ کی سطح کی تعمیر کے لیے ایک طریقہ GIT کوٹینٹ کا استعمال کرنا ہے جہاں کا عمل اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس عمل کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے کہ پہلے دو عوامل کا عمل تعریف کرنے کے عمل سے آتا ہے، اور دوسرا عمل لائن بنڈلوں کے براہ راست مجموعہ کی تعمیر اور ان کے پروجیکشن کا مجموعہ ہے۔ براہ راست رقم کے لیے یہ حصص کی قسم کے ذریعے دیا جا سکتا ہے جہاں کا عمل اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ پھر، پروجیکشن ایک اور-ایکشن کے ذریعے دیا جاتا ہے جو ایک مساوات کلاس کو بھیجتا ہے۔ ان دونوں اعمال کو یکجا کرنے سے اصل حصص اوپر کی طرف ملتا ہے۔ ٹرانزیشن میپس اس بنڈل کی تعمیر کا ایک طریقہ ٹرانزیشن فنکشنز کا استعمال کرنا ہے۔ چونکہ افائن ویکٹر بنڈل لازمی طور پر معمولی ہوتے ہیں، اس کی طرف سے بیان کردہ چارٹس پر بنڈل کا مقامی ماڈل ہوتا ہے۔ پھر، منتقلی کے نقشے، منتقلی کے نقشوں سے متاثر ہوتے ہیں، جہاں افائن کوآرڈینیٹ فنکشن ہوتا ہے۔ خصوصیات P1 پر پروجیکٹو رینک 2 بنڈل نوٹ کریں کہ گروتھینڈیک کے نظریہ کے مطابق، کسی بھی رینک 2 ویکٹر بنڈل کے لیے اس طرح کے نمبر ہوتے ہیں کہ جیسا کہ پروجیکٹو بنڈل کو لینا لائن بنڈل کے ذریعے ٹینسرنگ کے تحت غیر متغیر ہے، اس سے وابستہ حکمرانی سطح ہرزبروچ سطح ہے کیونکہ اس بنڈل کو اس کے ذریعے ٹینسر کیا جا سکتا ہے۔ ہیرزبروچ کی سطحوں کے آئسومورفزم خاص طور پر، مندرجہ بالا مشاہدہ اور اس کے درمیان ایک آئسومورفزم دیتا ہے کیونکہ اس میں آئسومورفزم ویکٹر بنڈل موجود ہیں۔ متعلقہ سمیٹرک الجبرا کا تجزیہ یاد رکھیں کہ پروجیکٹو بنڈل کو ریلیٹو پروجیکٹ کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جا سکتا ہے، جو کہ الجیبراس کے درجہ بند شیف سے بنتا ہے۔ پہلے چند سمیٹرک ماڈیول خاص ہوتے ہیں کیونکہ اس میں ایک غیر معمولی اینٹی سمیٹرک-ماڈیول ہوتا ہے۔ ان شییوز کا خلاصہ ٹیبل میں کیا گیا ہے کیونکہ سمیٹرک شییوز کو انٹرسیکشن تھیوری ہرزبروچ کے ذریعے دیا گیا ہے کیونکہ ان پر ایک خاص عقلی منحنی خطوط ہوتے ہیں: سطح پروجیکٹو بنڈل ہے اور وکر صفر سیکشن ہے۔ اس منحنی خطوط میں سیلف انٹرسیکشن نمبر ہوتا ہے، اور یہ منفی سیلف انٹرسیکشن نمبر والا واحد ناقابل تلافی منحنی خطوط ہے۔ صفر سیلف انٹرسیکشن نمبر کے ساتھ صرف ناقابل تلافی منحنی خطوط ہرزبروچ کی سطح کے ریشے ہیں (فائبر بنڈل کے طور پر سمجھا جاتا ہے)۔ پیکارڈ گروپ منحنی خطوط اور ریشوں میں سے ایک سے پیدا ہوتا ہے، اور ان جنریٹرز میں انٹرسیکشن میٹرکس ہوتے ہیں لہذا دو جہتی یک جہتی شکل دو جہتی یک جہتی ہوتی ہے، اور اس پر منحصر ہے کہ یہ یکساں ہے یا عجیب۔ ہرزبروچ کی سطح () کو خصوصی منحنی خطوط پر ایک نقطہ پر اڑا دیا جاتا ہے اور اس نقطہ پر اڑا دیا جاتا ہے جو خصوصی منحنی خطوط پر نہیں ہوتا ہے۔ پروجیکٹو بنڈل حوالہ جات بیرونی لنکس مینی فولڈ اٹلس https://www.mathematik.uni-kl.de ~ gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf https://mathoverflow.net/q/122952 الجبرائی سطحیں پیچیدہ سطحیں دیکھیں۔