Abel's identity
ریاضی میں، ایبل کی شناخت (جسے ایبل کا فارمولا یا ایبل کی تفریق مساوات کی شناخت بھی کہا جاتا ہے) ایک ایسی مساوات ہے جو اصل تفریق مساوات کے گتانک کے لحاظ سے یکساں دوسرے درجے کی لکیری عام تفریق مساوات کے دو حلوں کے برونسکیان کا اظہار کرتی ہے۔ اس تعلق کو نویں ترتیب کی لکیری عام تفریق مساوات کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ اس شناخت کا نام ناروے کے ریاضی دان نیلز ہنریک ایبل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ چونکہ ایبل کی شناخت تفریق مساوات کے مختلف لکیری طور پر آزاد حلوں سے متعلق ہے، اس لیے اسے دوسرے سے ایک حل تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ حل سے متعلق مفید شناخت فراہم کرتا ہے، اور دیگر تکنیکوں کے ایک حصے کے طور پر بھی مفید ہے جیسے کہ پیرامیٹرز کی تغیر کا طریقہ۔ یہ خاص طور پر بیسیل کی مساوات جیسی مساوات کے لیے مفید ہے جہاں حل کی سادہ تجزیاتی شکل نہیں ہوتی ہے، کیونکہ ایسی صورتوں میں برونسکیئن کا براہ راست حساب لگانا مشکل ہوتا ہے۔ یکساں لکیری تفریق مساوات کے فرسٹ آرڈر سسٹمز کی عمومی شکل لیوویل کے فارمولے کے ذریعے دی گئی ہے۔ بیان حقیقی یا پیچیدہ قدر والے مسلسل افعال p اور q کے ساتھ حقیقی لکیر کے وقفہ I پر ایک یکساں لکیری دوسرے درجے کی عام تفریق مساوات پر غور کریں۔ ایبل کی شناخت بتاتی ہے کہ دو حقیقی یا پیچیدہ قدر والے حلوں کا برونسکیان اور اس تفریق مساوات کا، یعنی تعین کنندہ کے ذریعہ بیان کردہ فعل، ہر نقطہ کے تعلق کو مطمئن کرتا ہے۔ تبصرے خاص طور پر، جب تفریق مساوات حقیقی قدر کی ہوتی ہے، تو ورنسکیان ہمیشہ یا تو یکساں طور پر صفر ہوتا ہے، ہمیشہ مثبت ہوتا ہے، یا ہر نقطہ پر ہمیشہ منفی ہوتا ہے (نیچے ثبوت دیکھیں)۔ مؤخر الذکر معاملات دونوں حلوں کی نشاندہی کرتے ہیں اور لکیری طور پر آزاد ہیں (ثبوت کے لیے Wronskian دیکھیں)۔ یہ فرض کرنا ضروری نہیں ہے کہ حلوں کے دوسرے مشتق اور مسلسل ہیں۔ ایبل کا نظریہ خاص طور پر مفید ہے اگر، کیونکہ اس کا مطلب یہ ہے کہ مستقل ہے۔ پروڈکٹ رول کا استعمال کرتے ہوئے Wronskian کو تفریق کرنے کا ثبوت دیتا ہے (مختصر کے لیے دلیل کو لکھنا اور چھوڑنا) اصل تفریقی مساوات میں کے لیے حل کرنے سے اس نتیجے کو دوسرے مشتقات کو تبدیل کرنے کے لیے Wronskian فنکشن کے مشتق میں تبدیل کرنے کا نتیجہ ملتا ہے اور دیتا ہے۔ یہ ایک فرسٹ آرڈر لکیری تفریقی مساوات ہے، اور یہ ظاہر کرنا باقی ہے کہ Abel کی شناخت منفرد حل دیتی ہے، جو قیمت کو حاصل کرتی ہے۔ چونکہ فنکشن مسلسل آن ہے، اس لیے یہ ہر بند اور پابند ذیلی وقفے پر پابند ہے اور اس لیے انٹیگریبل ہے، اس لیے یہ ایک اچھی طرح سے متعین فنکشن ہے۔ پروڈکٹ رول، چین رول، ایکسپونینشل فنکشن کے مشتق اور کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے دونوں اطراف کو الگ کرنا، کے لیے تفریقی مساوات کی وجہ سے حاصل ہوتا ہے۔ لہذا، مستقل ہونا پڑتا ہے، کیونکہ بصورت دیگر ہم اوسط قدر تھیوریم سے تضاد حاصل کریں گے (پیچیدہ قدر والے معاملے میں حقیقی اور خیالی حصے پر الگ سے لاگو ہوتا ہے)۔ چونکہ، ایبل کی شناخت فار کی تعریف کو حل کرنے کے بعد ہوتی ہے۔ عمومی کاری وقفہ پر افعال کا ورنسکیان وہ فعل ہے جس کی وضاحت تعین کنندہ کرتا ہے۔ ترتیب کی ایک یکساں لکیری عام تفریق مساوات پر غور کریں: حقیقی لائن کے وقفے پر حقیقی یا پیچیدہ قدر والے مسلسل فعل کے ساتھ۔ اس n ویں ترتیب کے تفریق مساوات کے حلوں کے ذریعے آتے ہیں۔ پھر ایبل کی شناخت کی عمومی شکل میں کہا گیا ہے کہ یہ برونسکی تعلق کو مطمئن کرتا ہے: ہر نقطہ کے لیے۔ براہ راست ثبوت مختصر ہونے کے لیے، ہم دلیل کے لیے لکھتے ہیں اور اسے چھوڑ دیتے ہیں۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ ورنسکیان فرسٹ آرڈر لکیری تفریق مساوات کو حل کرتا ہے کیونکہ ثبوت کا بقیہ حصہ پھر کیس کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ اس صورت میں ہمارے پاس ہے اور کے لیے تفریق مساوات کے لیے کے ساتھ موافق ہے۔ لہذا، مندرجہ ذیل میں فرض کریں۔ Wronskian کا مشتق تعریف شدہ تعین کنندہ کا مشتق ہے۔ یہ تعین کنندگان کے لیے لیبنز فارمولے سے ملتا ہے کہ اس مشتق کا حساب ہر صف کو الگ الگ کر کے کیا جا سکتا ہے، لہذا، نوٹ کریں کہ توسیع سے ہر تعین کنندہ ایک جیسی قطاروں کا ایک جوڑا رکھتا ہے، سوائے آخری کے۔ چونکہ لکیری طور پر منحصر قطاروں والے تعین کنندگان 0 کے برابر ہوتے ہیں، ایک صرف آخری کے ساتھ رہ جاتا ہے: چونکہ ہر ایک عام تفریق مساوات کو حل کرتا ہے، ہمارے پاس ہر ایک کے لیے ہوتا ہے۔ لہذا، مندرجہ بالا ڈیٹرمیننٹ کی آخری صف میں اس کی پہلی صف کے اوقات کا اضافہ، اس کی دوسری صف کا گنا، اور اسی طرح جب تک کہ اس کی آخری صف کے اگلے اوقات تک، کے مشتق کے لیے ڈیٹرمیننٹ کی قیمت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے اور ہمیں لیوویل کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت ملتا ہے۔ حل یکساں لکیری تفریق مساوات کے-جہتی فرسٹ آرڈر سسٹم کا مربع میٹرکس قابل قدر حل تشکیل دیتے ہیں۔ اس میٹرکس کا سراغ ہے، لہذا ایبل کی شناخت براہ راست لیوویل کے فارمولے سے ملتی ہے۔ حوالہ جات ایبل، این۔ ایچ۔، "پریسس ڈی یون تھیوری ڈیس فونکشنز ایلپٹیکس" جے۔ رین اینجیو۔ ریاضی۔، 4 (1829) پی پی۔ 309-348۔ بوائس، ڈبلیو۔ ای۔ اور دیپریم، آر۔ سی۔ (1986)۔ ابتدائی تفریقی مساوات اور باؤنڈری ویلیو کے مسائل، چوتھا ایڈیشن۔ نیویارک: ولی۔ ریاضیاتی شناختوں کے ثبوت پر مشتمل مضامین عام تفریق مساوات نیلز ہنریک ایبل