Tverberg's theorem
مجرد جیومیٹری میں، ٹوربرگ کا نظریہ، جو سب سے پہلے 1966 میں ہیلج ٹوربرگ نے بیان کیا تھا، اس کا نتیجہ ہے کہ ڈی جہتی یوکلیڈین خلا میں کافی حد تک بہت سے نکات کو متصادم کنویکس ہلز کے ساتھ ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، کسی بھی مثبت عدد d، r اور پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ کے لیے ایک نقطہ x موجود ہوتا ہے (ضروری نہیں کہ دیئے گئے پوائنٹس میں سے ایک ہو) اور دیئے گئے پوائنٹس کو r ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، جیسے کہ x کا تعلق تمام ذیلی سیٹوں کے کنویکس ہل سے ہو۔ اس تھیوریم کے نتیجے میں ہونے والی تقسیم کو ٹوربرگ پارٹیشن کہا جاتا ہے۔ خاص صورت r = 2 کو ریڈون نے پہلے ثابت کیا تھا، اور اسے ریڈون تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مثال کیس d = 1 میں کہا گیا ہے کہ حقیقی لکیر پر کسی بھی 2r-1 پوائنٹ کو آر سبسیٹس میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جس میں کنویکس ہلز کو کاٹنا ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر پوائنٹس x1 <x2 <. <x2r <x2r-1 ہیں، تو 1 میں i کے لیے AI = {xi, x2r-i} میں تقسیم، r اس شرط کو پورا کرتا ہے (اور یہ منفرد ہے)۔ r = 2 کے لیے، ٹوربرگ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ کسی بھی d + 2 پوائنٹس کو دو ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جن میں کنویکس ہلز کو کاٹنا ہوتا ہے۔ اسے ریڈون تھیوریم کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں، عام پوزیشن میں پوائنٹس کے لیے، پارٹیشن منفرد ہے۔ صورت r = 3 اور d = 2 میں کہا گیا ہے کہ سطح کے کسی بھی سات نکات کو تین ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جن میں متصادم کنویکس ہلز ہوتے ہیں۔ یہ مثال ایک مثال دکھاتی ہے جس میں سات نکات ایک باقاعدہ ہیپٹگن کے عمودی ہوتے ہیں۔ جیسا کہ مثال سے پتہ چلتا ہے، پوائنٹس کے ایک ہی سیٹ کے بہت سے مختلف ٹوربرگ پارٹیشنز ہو سکتے ہیں۔ ان سات پوائنٹس کو سات مختلف طریقوں سے تقسیم کیا جا سکتا ہے جو ایک دوسرے کی گردش سے مختلف ہوتے ہیں۔ ٹوربرگ کے نظریہ کی ایک مساوی تشکیل یہ ہے: فرض کریں کہ d، r مثبت عدد ہوں، اور فرض کریں کہ N: = (d + 1) (r-1)۔ اگر f کسی N-جہتی سمپلیکس سے Rd تک کوئی افائن فنکشن ہے، تو وہاں r کے جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ چہرے ہیں جن کی تصاویر f کے نیچے ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ یعنی: ایسے چہرے موجود ہیں جن کے چہرے F1،.، Fr ہیں اور۔ وہ مساوی ہیں کیونکہ سمپلیکس پر کوئی بھی افائن فنکشن منفرد طور پر اس کے عمودی حصوں کی تصاویر سے طے ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، فرض کریں کہ f، ایک افائن فنکشن ہے جو ΔN سے Rd تک ہے۔ آئیے کہ یہ ΔN کے عمودی حصے ہیں، اور ان کی تصاویر کو f کے نیچے ہونے دیں۔ اصل تشکیل کے ذریعے، r کو جداگانہ ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ ((xi) i اج میں) ج [r] میں اوور لیپنگ کنویکس ہل کے ساتھ۔ کیونکہ f افائن ہے، اج میں (xi) i کا کنویکس ہل چہرے کی شبیہہ ہے جو [r] میں تمام جے کے لیے اج میں عمودی (vi) i کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ یہ چہرے جوڑی کے لحاظ سے مختلف ہیں، اور ان کی تصاویر f کے نیچے ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں-جیسا کہ نئی تشکیل میں دعوی کیا گیا ہے۔ ٹوپولوجیکل ٹوربرگ تھیوریم اس فارمولیشن کو عمومی بناتا ہے۔ یہ f کو کسی بھی مسلسل فعل کی اجازت دیتا ہے-ضروری نہیں کہ افائن ہو۔ لیکن، فی الحال یہ صرف اس صورت میں ثابت ہوتا ہے جہاں r ایک پرائم پاور ہے: فرض کریں کہ d ایک مثبت عدد ہے، اور فرض کریں کہ r ایک پرائم نمبر کی پاور ہے۔ فرض کریں کہ N: = (d + 1) (r-1)۔ اگر f ایک N-جہتی سمپلیکس سے Rd تک کوئی مسلسل فنکشن ہے، تو وہاں r جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ چہرے ہیں جن کی تصاویر f کے نیچے ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ یعنی: ایسے چہرے موجود ہیں جن میں F1،.، Fr of ΔN ایسے ہیں کہ اور۔ ثبوت ٹپوولوجیکل ٹوربرگ تھیوریم کو بارانی، شلوسمین اور سوزکس نے پرائم r کے لیے ثابت کیا تھا۔ ماتوسک حذف شدہ جوڑوں کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت پیش کرتا ہے۔ تھیوریم کو اوزیدین اور بعد میں وولوویکوف اور سرکاریا نے r کے لیے ایک پرائم پاور ثابت کیا۔ روٹا کا بنیادی قیاس ٹوربرگ قسم کے نظریات اور فریکشنل ہیلی پراپرٹی بھی دیکھیں۔ کنویکس جیومیٹری میں نظریات مجرد جیومیٹری میں جیومیٹرک ٹرانسورسل تھیوری کنویکس ہلز