Operad
ریاضی میں، آپریڈ ایک ایسا ڈھانچہ ہے جو تجریدی کارروائیوں پر مشتمل ہوتا ہے، ہر ایک میں ایک مقررہ محدود تعداد میں ان پٹ (دلائل) اور ایک آؤٹ پٹ ہوتا ہے، نیز ان کارروائیوں کو مرتب کرنے کے طریقے کی وضاحت بھی ہوتی ہے۔ ایک آپریڈ کو دیکھتے ہوئے، ایک الجبرہ کو اس سیٹ پر ٹھوس کارروائیوں کے ساتھ مل کر ایک سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو اس کی تجریدی کارروائیوں کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک لائ آپریڈ اس طرح کا ہوتا ہے کہ اس کے اوپر موجود الجبرا بالکل لائ الجبرا ہوتے ہیں۔ ایک لحاظ سے تجریدی طور پر ان کارروائیوں کو انکوڈ کرتا ہے جو تمام لائ الجبرا کے لیے عام ہیں۔ ایک آپریڈ اس کے الجبرا کے لیے ہوتا ہے کیونکہ ایک گروپ اس کی گروپ کی نمائندگی کے لیے ہوتا ہے۔ ہسٹری آپریڈز الجبرائی ٹوپولوجی میں شروع ہوتے ہیں۔ انہیں 1968 میں جے مائیکل بورڈ مین اور رینر ایم ووگٹ اور 1972 میں جے پیٹر مے نے تکراری لوپ خالی جگہوں کی خصوصیت کے لیے متعارف کرایا تھا۔ مارٹن مارکل، اسٹیو شنائڈر، اور جم اسٹیشف نے آپریڈز پر اپنی کتاب میں لکھا ہے: "نام آپریڈ اور رسمی تعریف سب سے پہلے 1970 کی دہائی کے اوائل میں جے پیٹر مے کی" دی جیومیٹری آف آئیٹریٹڈ لوپ اسپیسز "میں ظاہر ہوتی ہے، لیکن ایک سال یا اس سے زیادہ پہلے، بورڈ مین اور ووگٹ نے اسی تصور کو آپریٹرز کے ناموں کے زمرے کے تحت معیاری شکل میں بیان کیا، جو ایڈمز اور میک لین کے پی آر او پیز اور پی اے سی ٹی سے متاثر تھا۔ درحقیقت قبل از تاریخ کی کثرت موجود ہے۔ ویبل [وی] بتاتے ہیں کہ یہ تصور پہلی بار ایک صدی قبل اے این میں شروع ہوا تھا۔ وائٹ ہیڈ کا "اے ٹریٹائز آن یونیورسل الجبرا"، 1898 میں شائع ہوا۔ لفظ "اوپراڈ" مئی نے "آپریشنز" اور "موناڈ" (اور اس وجہ سے بھی کہ ان کی والدہ ایک اوپیرا گلوکارہ تھیں) کے مجموعہ کے طور پر تخلیق کیا تھا۔ 90 کی دہائی کے اوائل میں آپریڈز میں دلچسپی کی کافی تجدید ہوئی جب میکسم کونٹسیویچ، وکٹر گینزبرگ اور میخائل کاپرانوف کی ابتدائی بصیرت کی بنیاد پر دریافت کیا گیا کہ عقلی ہوموٹوپی تھیوری میں کچھ دوہری مظاہر کو آپریڈز کی کوزول دوہری کا استعمال کرتے ہوئے سمجھایا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد سے آپریڈز کو بہت سی ایپلی کیشنز ملی ہیں، جیسے کہ میکسم کونٹسیویچ اور تھامس ولواچر کے کام میں پوسن مینیفولڈز کی ڈیفارمیشن کوانٹائزیشن، ڈیلیگن قیاس، یا گراف ہومیولوجی۔ وجدان فرض کریں کہ یہ ایک سیٹ ہے اور ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں، کارٹیشین پروڈکٹ سے لے کر تمام افعال کا سیٹ۔ ہم ان افعال کو مرتب کر سکتے ہیں: دیئے گئے، فنکشن کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: سے دیئے گئے دلائل، ہم انہیں بلاکس میں تقسیم کرتے ہیں، پہلے میں دلائل ہوتے ہیں، دوسرے میں دلائل وغیرہ، اور پھر پہلے بلاک پر، دوسرے بلاک پر لاگو ہوتے ہیں، وغیرہ۔ اس کے بعد ہم اس طرح سے حاصل کردہ اقدار کی فہرست پر لاگو ہوتے ہیں۔ ہم دلائل کو بھی پرموٹ کر سکتے ہیں، یعنی۔ ہمارے پاس سمیٹرک گروپ کا ایک صحیح عمل ہے، جس کی تعریف فار، اور سے کی گئی ہے۔ ذیل میں دی گئی سمیٹرک آپریڈ کی تعریف ان دونوں کارروائیوں کی ضروری خصوصیات کو ظاہر کرتی ہے۔ تعریف غیر ہم آہنگی آپریڈ ایک غیر ہم آہنگی آپریڈ (جسے بعض اوقات بغیر کسی تغیرات کے آپریڈ کہا جاتا ہے، یا غیر یا سادہ آپریڈ) مندرجہ ذیل پر مشتمل ہوتا ہے: سیٹوں کی ایک ترتیب، جس کے عناصر کو-ary آپریشنز کہا جاتا ہے، ایک عنصر جسے شناخت کہا جاتا ہے، تمام مثبت انٹیجرز کے لیے، ایک کمپوزیشن فنکشن جو مندرجہ ذیل ہم آہنگی کے محوریوں کو مطمئن کرتا ہے: شناخت: ایسوسی ایٹیویٹی: ہم آہنگی آپریڈ ایک ہم آہنگی آپریڈ (جسے اکثر صرف آپریڈ کہا جاتا ہے) اوپر کے طور پر ایک غیر ہم آہنگی آپریڈ ہے، جس کے ساتھ ساتھ ہم آہنگی گروپ کی صحیح کارروائی ہوتی ہے، جسے مساوات سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اطمینان بخش ہوتا ہے: ایک ترتیب دی جاتی ہے، (جہاں دائیں ہاتھ کی طرف اشارہ ہوتا ہے)۔ اس تعریف میں تعدد عمل زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے اہم ہیں، بشمول لوپ خالی جگہوں کے لیے اصل ایپلی کیشن۔ مورفزم آپریڈز کا مورفزم ایک ترتیب پر مشتمل ہوتا ہے جو: شناخت کو محفوظ رکھتا ہے: ساخت کو محفوظ رکھتا ہے: ہر n-ary آپریشن اور آپریشن کے لیے، ترتیب کے اعمال کو محفوظ رکھتا ہے: اس لیے آپریڈز ایک زمرہ بناتے ہیں جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ دیگر زمروں میں اب تک آپریڈز کو صرف سیٹوں کے زمرے میں سمجھا گیا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی سمیٹرک مونوئڈل زمرہ C میں آپریڈز کی وضاحت کرنا ممکن ہے۔ اس صورت میں، ہر ایک C کا ایک آبجیکٹ ہے، ساخت C میں ایک مورفزم ہے (جہاں مونوئڈل زمرے کے ٹینسر پروڈکٹ کی نشاندہی ہوتی ہے)، اور سمیٹرک گروپ عناصر کے اعمال C میں آئسومورفزم کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ ایک عام مثال ٹوپولوجیکل خالی جگہوں اور مسلسل نقشوں کا زمرہ ہے، جس میں کارٹیشین پروڈکٹ کے ذریعہ مونوئڈل پروڈکٹ دیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، ایک ٹپوولوجیکل آپریڈ خالی جگہوں کی ترتیب (سیٹوں کے بجائے) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد آپریڈ کے ڈھانچے کے نقشے (سمٹرک گروپوں کی ساخت اور عمل) کو مسلسل سمجھا جاتا ہے۔ اس نتیجے کو ٹپوولوجیکل آپریڈ کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، آپریڈز کی مورفزم کی تعریف میں، یہ فرض کرنا ضروری ہوگا کہ اس میں شامل نقشے مسلسل ہیں۔ آپریڈز کی وضاحت کرنے کے لیے دیگر عام ترتیبات میں، مثال کے طور پر، ایک مواصلاتی رنگ پر ماڈیولز، چین کمپلیکس، گروپائڈز (یا یہاں تک کہ خود زمروں کا زمرہ)، کولجیبرا وغیرہ شامل ہیں۔ الجبرائی تعریف ایک مواصلاتی رنگ R کو دیکھتے ہوئے ہم R پر ماڈیولز کے زمرے پر غور کرتے ہیں۔ R پر ایک آپریڈ کو اینڈو فنکٹرز کے مونوئڈل زمرے میں ایک مونوئڈ آبجیکٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (یہ ایک موناڈ ہے) جو کچھ حد بندی کی شرط کو پورا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، "کثیر الجہتی اینڈو فنکٹرز" کے زمرے میں ایک مونوئڈ آبجیکٹ ایک آپریڈ ہے۔ اسی طرح، ایک سمیٹرک اوپراڈ کو-آبجیکٹ کے زمرے میں ایک مونوئڈ آبجیکٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جہاں اس کا مطلب ایک سمیٹرک گروپ ہے۔ مشترکہ انواع کے زمرے میں ایک مونوئڈ آبجیکٹ محدود سیٹوں میں ایک آپریڈ ہے۔ مندرجہ بالا معنوں میں ایک آپریڈ کو بعض اوقات عمومی رنگ سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، نیکولائی درووف نے اپنے عمومی بجتوں کو فلٹر شدہ کولمیٹس کے ساتھ اس سفر پر اینڈو فنکٹرز کے مونوئڈل زمرے میں مونوئڈ اشیاء کے طور پر بیان کیا ہے۔ یہ ایک رنگ کی عمومی شکل ہے کیونکہ ہر عام رنگ R ایک موناڈ کی وضاحت کرتا ہے جو X کے ذریعہ تیار کردہ آزاد R-ماڈیول کے بنیادی سیٹ پر ایک سیٹ X بھیجتا ہے۔ محوریات ایسوسی ایٹیویٹی محوریہ "ایسوسی ایٹیویٹی" کو سمجھنے کا مطلب یہ ہے کہ کارروائیوں کی ساخت ایسوسی ایٹیو ہے (فنکشن ایسوسی ایٹیو ہے)، زمرہ کے نظریہ میں محوریہ کے مترادف ہے کہ ؛ اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ کارروائیاں خود کارروائیوں کے طور پر ایسوسی ایٹیو ہیں۔ ذیل میں ایسوسی ایٹیو آپریڈ کے ساتھ موازنہ کریں۔ آپریڈ تھیوری میں ایسوسی ایٹیویٹی کا مطلب یہ ہے کہ تاثرات کو حذف شدہ کمپوزیشنز سے ابہام کے بغیر آپریشنز کو شامل کرتے ہوئے لکھا جا سکتا ہے، جس طرح آپریشنز کے لیے ایسوسی ایٹیویٹی مصنوعات کو خارج شدہ قوسین سے ابہام کے بغیر لکھنے کی اجازت دیتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک بائنری آپریشن ہے، جسے یا لکھا جاتا ہے۔ تاکہ یہ ایسوسی ایٹیو ہو یا نہ ہو۔ پھر جو عام طور پر لکھا جاتا ہے اسے غیر واضح طور پر آپریڈی طور پر لکھا جاتا ہے۔ یہ بھیجتا ہے (پہلے دو پر لاگو ہوتا ہے، اور تیسرے پر شناخت)، اور پھر بائیں طرف "ضرب" کرتا ہے۔ جب اسے ایک درخت کے طور پر دکھایا جاتا ہے تو یہ واضح ہوتا ہے: جس سے 3-ایری آپریشن ہوتا ہے: تاہم، اظہار ایک ترجیحی مبہم ہے: اس کا مطلب یہ ہو سکتا ہے، اگر اندرونی کمپوزیشن پہلے انجام دی جائیں، یا اس کا مطلب یہ ہو سکتا ہے، اگر بیرونی کمپوزیشن پہلے انجام دی جائیں (آپریشن دائیں سے بائیں پڑھے جاتے ہیں)۔ لکھنا، یہ بمقابلہ ہے۔ یعنی، ٹری میں "عمودی قوسین" غائب ہے: اگر کارروائیوں کی اوپری دو قطاریں پہلے تشکیل دی جاتی ہیں (لائن پر اوپر کی طرف قوسین ڈالتی ہیں ؛ اندرونی ساخت پہلے کرتی ہے)، تو درج ذیل نتائج: جو اس کے بعد 4-ایری آپریشن حاصل کرنے کے لیے غیر واضح طور پر تشخیص کرتا ہے۔ ایک تشریح شدہ اظہار کے طور پر: اگر کارروائیوں کی نچلی دو قطاریں پہلے تشکیل دی جاتی ہیں (لائن پر نیچے کی طرف قوسین ڈالتی ہیں ؛ بیرونی ساخت پہلے کرتی ہے)، تو مندرجہ ذیل نتائج: جو پھر 4-ایری آپریشن حاصل کرنے کے لیے غیر واضح طور پر اندازہ کرتا ہے: ایسوسی ایٹیویٹی کا آپریڈ محور یہ ہے کہ یہ ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں، اور اس طرح اظہار غیر واضح ہے۔ شناخت محوری (بائنری آپریشن کے لیے) شناخت محوری کو ایک درخت میں اس طرح دیکھا جا سکتا ہے: اس کا مطلب ہے کہ حاصل کیے گئے تین آپریشن برابر ہیں: شناخت کے ساتھ پہلے یا بعد میں کمپوز کرنے سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔ جہاں تک زمروں کا تعلق ہے، یہ شناخت کے محور کا ایک نتیجہ ہے۔ سیٹوں اور آپریڈ الجبرا میں اینڈومورفزم آپریڈ کی مثالیں سب سے بنیادی آپریڈ وہ ہیں جو اوپر "انٹوشن" کے سیکشن میں دیے گئے ہیں۔ کسی بھی سیٹ کے لیے، ہم تمام افعال پر مشتمل اینڈومورفزم آپریڈ حاصل کرتے ہیں۔ یہ آپریڈز اہم ہیں کیونکہ وہ آپریڈ الجبرا کی وضاحت کرنے کے لیے کام کرتے ہیں۔ اگر ایک اوپراڈ ہے، تو ایک اوپراڈ الجبرا ایک سیٹ اور ایک اوپراڈ مورفزم کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ بدیہی طور پر، اس طرح کی مورفزم ہر "تجریدی" آپریشن کو سیٹ پر "کنکریٹ"-ایری آپریشن میں بدل دیتی ہے۔ اس طرح ایک آپریڈ الجبرا ٹھوس کارروائیوں کے ساتھ ایک سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے جو آپریڈ کے ذریعہ خلاصہ طور پر بیان کردہ اصولوں پر عمل کرتا ہے۔ اگر k ایک فیلڈ ہے، تو ہم k پر محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے زمرے پر غور کر سکتے ہیں۔ یہ k پر عام ٹینسر پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے ایک مونوئڈل زمرہ بن جاتا ہے۔ اس کے بعد ہم اس زمرے میں اینڈومورفزم آپریڈز کی وضاحت کر سکتے ہیں، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ V ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس ہے۔ V کا اینڈومورفزم آپریڈ = لکیری نقشوں کی جگہ پر مشتمل ہے، (ساخت) دی گئی ہے،،،، ان کی ساخت نقشے کے ذریعہ دی گئی ہے، (شناخت) شناختی عنصر شناختی نقشہ ہے، (سمیٹرک گروپ ایکشن) ٹینسرز کے اجزاء کو ترتیب دے کر کام کرتا ہے۔ اگر ایک آپریڈ ہے، تو ایک k-لکیری آپریڈ الجبرا اوور ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس V اوور k اور ایک آپریڈ مورفزم کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ V پر کنکریٹ ملٹی لائنر آپریشنز کی وضاحت کرنے کے مترادف ہے جو کے آپریشنز کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ (آپریڈز اور آپریڈ الجبرا اور رنگز اور ماڈیولز کے درمیان مشابہت پر غور کریں: رنگ R پر ایک ماڈیول ایک ابیلین گروپ M کے ذریعہ رنگ ہومومورفزم کے ساتھ دیا جاتا ہے۔) ایپلی کیشنز کے لحاظ سے، مذکورہ بالا میں تغیرات ممکن ہیں: مثال کے طور پر، الجبرائی ٹوپولوجی میں، ویکٹر خالی جگہوں اور ان کے درمیان ٹینسر پروڈکٹ کے بجائے، کوئی ان کے درمیان (معقول) ٹوپولوجیکل خالی جگہوں اور کارٹیشین مصنوعات کا استعمال کرتا ہے۔ "لٹل تھنگ" آپریڈز لٹل 2-ڈسک آپریڈ ایک ٹپوولوجیکل آپریڈ ہے جہاں اصل پر مرکوز یونٹ ڈسک کے اندر این ڈسجوائنٹ ڈسک کی ترتیب شدہ فہرستوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ سمیٹرک گروپ چھوٹی ڈسکوں کی فہرست کو ترتیب دے کر اس طرح کی ترتیبات پر عمل کرتا ہے۔ چھوٹی ڈسکوں کے لیے آپریڈک کمپوزیشن کو دائیں طرف کے ساتھ والی شکل میں دکھایا گیا ہے، جہاں ایک عنصر کو ایک عنصر کے ساتھ بنایا گیا ہے جو ترتیب کو سکڑ کر حاصل کردہ عنصر کو حاصل کرتا ہے اور اسے کے لیے کی i-th ڈسک میں داخل کرتا ہے۔ اسی طرح، یونٹ بال کے اندر جداگانہ این-گیندوں کی ترتیبات پر غور کرکے چھوٹی این-ڈسک آپریڈ کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ اصل میں چھوٹے این-کیوب آپریڈ یا چھوٹے وقفے آپریڈ (جسے ابتدائی طور پر چھوٹے این-کیوب پی آر او پیز کہا جاتا ہے) کی تعریف مائیکل بورڈ مین اور رینر ووگٹ نے اسی طرح کی تھی، یونٹ ہائپر کیوب کے اندر جداگانہ محور سے منسلک این جہتی ہائپر کیوب (این جہتی وقفے) کی ترتیب کے لحاظ سے۔ بعد میں اسے مئی تک چھوٹے کنویکس باڈیز آپریڈ میں عام کیا گیا، اور "چھوٹی ڈسک" "لوک داستانوں" کا ایک معاملہ ہے جو "چھوٹے کنویکس باڈیز" سے ماخوذ ہے۔ جڑوں والے درخت گراف تھیوری میں، جڑوں والے درخت ایک قدرتی آپریڈ بناتے ہیں۔ یہاں، n پتوں والے تمام جڑوں والے درختوں کا مجموعہ ہے، جہاں پتوں کو 1 سے n تک شمار کیا جاتا ہے۔ یہ گروہ پتی کے لیبل کو تبدیل کرکے اس سیٹ پر کام کرتا ہے۔ آپریڈک کمپوزیشن i-th کے پتے کو i-th کے درخت کی جڑ سے بدل کر دی جاتی ہے، اس طرح n کے درختوں کو جوڑ کر اور ایک بڑا درخت بنا کر، جس کی جڑ کو جڑ کے برابر لیا جاتا ہے اور جس کے پتوں کو ترتیب میں شمار کیا جاتا ہے۔ سوئس چیز آپریڈ سوئس چیز آپریڈ ایک دو رنگوں کا ٹپوولوجیکل آپریڈ ہے جس کی وضاحت یونٹ این سیمی ڈسک اور این جہتی سیمی ڈسک کے اندر جداگانہ این جہتی ڈسک کی ترتیب کے لحاظ سے کی گئی ہے، جو یونٹ سیمی ڈسک کی بنیاد پر مرکوز ہے اور اس کے اندر بیٹھا ہے۔ آپریڈک کمپوزیشن یونٹ ڈسک کے اندر "لٹل" ڈسک کی دوسری یونٹ سیمی ڈسک میں "لٹل" ڈسک میں گلوئنگ کنفیگریشن اور یونٹ سیمی ڈسک کے اندر "لٹل" ڈسک اور سیمی ڈسک کی دوسری یونٹ سیمی ڈسک میں کنفیگریشن سے آتی ہے۔ سوئس چیز آپریڈ کی تعریف الیگزینڈر اے ورونوف نے کی تھی۔ اس کا استعمال میکسم کونٹسیویچ نے ہوکسچلڈ کوہمولوجی پر ڈیلیگن کے قیاس آرائی کے سوئس چیز ورژن کو وضع کرنے کے لیے کیا تھا۔ کونٹسیویچ کے قیاس کو جزوی طور پر پو ہو، اگور کریز، اور الیگزینڈر اے ورونوف اور پھر مکمل طور پر جسٹن تھامس نے ثابت کیا۔ ایسوسی ایٹیو آپریڈ آپریڈ کی مثالوں کی ایک اور کلاس وہ ہیں جو الجبرائی ڈھانچوں کے ڈھانچوں پر قبضہ کرتی ہیں، جیسے ایسوسی ایٹیو الجیبرا، کمیونیٹیٹو الجیبرا اور لائ الجیبرا۔ ان میں سے ہر ایک کو بائنری آپریشنز کے ذریعے تیار کردہ ان تینوں میں سے ہر ایک میں ایک حتمی طور پر پیش کردہ آپریڈ کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایسوسی ایٹیو آپریڈ بائنری آپریشن کے ذریعہ تیار کردہ ایک سمیٹرک آپریڈ ہے، جو صرف اس شرط کے تابع ہے کہ یہ شرط بائنری آپریشن کی ایسوسی ایٹیویٹی سے مطابقت رکھتی ہے۔ ضرب سے لکھنا، مندرجہ بالا شرط ہے۔ آپریشن کی اس ایسوسی ایٹیویٹی کو ساخت کی ایسوسی ایٹیویٹی کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے جو کسی بھی آپریڈ میں ہوتی ہے۔ اوپر ایسوسی ایٹیویٹی کا محور دیکھیں۔ ایسوسی ایٹیو آپریڈ میں، ہر ایک سمیٹرک گروپ کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جس پر صحیح ضرب کے ذریعے عمل ہوتا ہے۔ مرکب اپنے ان پٹ کو بلاکس میں مناسب کے مطابق اور بلاکس کے اندر ترتیب دیتا ہے۔ ایسوسی ایٹیو آپریڈ پر موجود الجبراز بالکل سیمی گروپس ہوتے ہیں: ایک واحد بائنری ایسوسی ایٹیو آپریشن کے ساتھ مل کر سیٹ ہوتے ہیں۔ ایسوسی ایٹیو آپریڈ پر کے-لکیری الجیبرا بالکل ایسوسی ایٹیو کے-الجیبرا ہوتے ہیں۔ ٹرمینل سمیٹرک آپریڈ ٹرمینل سمیٹرک آپریڈ وہ آپریڈ ہے جس میں ہر n کے لیے ایک واحد n-ary آپریشن ہوتا ہے، جس میں ہر ایک معمولی طور پر کام کرتا ہے۔ اس اوپراڈ پر موجود الجبراز متغیر نیم گروہ ہیں ؛ کے-لکیری الجبراز متغیر ملحقہ کے-الجبراز ہیں۔ بریڈ گروپوں سے کام کرتا ہے اسی طرح، ایک غیر آپریڈ ہوتا ہے جس کے لیے ہر ایک آرٹن بریڈ گروپ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ مزید برآں، اس غیر آپریڈ میں ایک بریڈڈ آپریڈ کی ساخت ہوتی ہے، جو سمٹرک سے لے کر بریڈ گروپوں تک آپریڈ کے تصور کو عام کرتی ہے۔ لکیری الجبرا لکیری الجبرا میں، حقیقی ویکٹر خالی جگہوں کو تمام لکیری امتزاج کے آپریڈ پر الجبرا سمجھا جا سکتا ہے۔ اس آپریڈ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جس میں اجزاء کو پرموٹ کرنے کے واضح عمل کے ساتھ، اور ویکٹروں کے ارتکاز کے ذریعہ دی گئی ساخت، جہاں۔ مثال کے طور پر ویکٹر کوفیشنٹس 2,3,-5,0, کے ساتھ لکیری امتزاج بنانے کے عمل کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ نقطہ نظر اس خیال کو باقاعدہ بناتا ہے کہ لکیری امتزاج ویکٹر اسپیس پر سب سے عام قسم کا آپریشن ہے-یہ کہتے ہوئے کہ ویکٹر اسپیس لکیری امتزاج کے اوپریڈ پر ایک الجبرا ہے بالکل یہ بیان ہے کہ ویکٹر اسپیس میں تمام ممکنہ الجبرائی کارروائیاں لکیری امتزاج ہیں۔ ویکٹر کے اضافے اور اسکیلر ضرب کی بنیادی کارروائیاں تمام لکیری امتزاج کے آپریڈ کے لیے ایک جنریٹنگ سیٹ ہیں، جبکہ لکیری امتزاج آپریڈ ویکٹر اسپیس پر تمام ممکنہ کارروائیوں کو کینونکل طور پر انکوڈ کرتا ہے۔ اسی طرح، افائن امتزاج، مخروطی امتزاج، اور کنویکس امتزاج کو ذیلی آپریڈز سے مطابقت رکھنے کے لیے سمجھا جا سکتا ہے جہاں ویکٹر کی اصطلاحات 1 سے جمع ہوتی ہیں، اصطلاحات بالترتیب تمام غیر منفی، یا دونوں ہوتی ہیں۔ گرافک طور پر، یہ لامحدود افائن ہائپرپلین، لامحدود ہائپر آکٹینٹ، اور لامحدود سمپلیکس ہیں۔ یہ اس بات کو باقاعدہ بناتا ہے کہ ہونے کا کیا مطلب ہے یا معیاری سمپلیکس ماڈل خالی جگہیں ہیں، اور اس طرح کے مشاہدات جیسے کہ ہر باؤنڈڈ کنویکس پولیٹوپ ایک سمپلیکس کی شبیہہ ہے۔ یہاں سب آپریڈز زیادہ محدود کارروائیوں اور اس طرح زیادہ عمومی نظریات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کمیونیٹیٹیو رنگ آپریڈ اور لائی آپریڈ کمیونیٹیٹیو رنگ آپریڈ ایک آپریڈ ہے جس کے الجیبرا کمیونیٹیٹیو رنگ ہوتے ہیں۔ اس کی تعریف متغیرات کے لیے کثیر الجہتی (دوبارہ نمبر والے متغیرات کے ساتھ) کو تبدیل کرکے دی گئی واضح کارروائی اور آپریڈک ساخت کے ساتھ کی گئی ہے۔ اسی طرح کے آپریڈ کی وضاحت کی جا سکتی ہے جس کے الجبرا کچھ فکسڈ بیس فیلڈ پر ایسوسی ایٹیو، کمیونیٹیٹو الجبرا ہوتے ہیں۔ اس اوپیراڈ کا کوزول دوہری لائ اوپیراڈ ہے (جس کے الجبرا لائ الجبرا ہیں)، اور اس کے برعکس۔ فری آپریڈز عام الجبرائی تعمیرات (مثال کے طور پر، فری الجبرا کی تعمیر) کو آپریڈز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ آئیے اس زمرے کی نشاندہی کریں جس کے آبجیکٹ سیٹ ہیں جن پر گروپ کام کرتا ہے۔ پھر ایک بھولنے والا فنکٹر ہوتا ہے، جو محض آپریڈک کمپوزیشن کو بھول جاتا ہے۔ اس بھولے ہوئے فنکٹر کے ساتھ بائیں طرف ملحقہ تعمیر کرنا ممکن ہے (یہ فری فنکٹر کی معمول کی تعریف ہے)۔ آپریشنز ای کے مجموعے کو دیکھتے ہوئے، ای پر فری آپریڈ ہے۔ کسی گروپ یا رنگ کی طرح، فری کنسٹرکشن جنریٹرز اور تعلقات کے لحاظ سے آپریڈ کو ظاہر کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ کسی آپریڈ کی آزادانہ نمائندگی سے، ہمارا مطلب ایک آزاد آپریڈ کے حصص کے طور پر لکھنا ہے جہاں ای جنریٹرز کو بیان کرتا ہے اور ایپیمورفزم کا دانا تعلقات کو بیان کرتا ہے۔ اے (سمیٹرک) اوپریڈ کو کواڈریٹک کہا جاتا ہے اگر اس میں ایسی فری پریزنٹیشن ہو جس میں جنریٹر اور رشتہ موجود ہو۔ کلون آپریڈز کا خاص معاملہ ہے جو ایک ساتھ دلائل کی شناخت کے تحت بھی بند ہوتے ہیں (کچھ ڈیٹا کا "دوبارہ استعمال")۔ کلونوں کو مساوی طور پر آپریڈز کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو ایک منیئن (یا کلونائڈ) بھی ہیں۔ ہوموٹوپی تھیوری میں کام کرتا ہے۔ میں، اسٹیشف لکھتے ہیں: آپریڈز خاص طور پر "ہوموٹوپی" کے اچھے تصور کے ساتھ زمروں میں اہم اور مفید ہیں، جہاں وہ اعلی ہوموٹوپیز کی درجہ بندی کو منظم کرنے میں کلیدی کردار ادا کرتے ہیں۔ پی آر او (زمرہ تھیوری) الجبرا اوور این اوپراڈ ہائر آرڈر اوپراڈ ای-آپریڈ سیوڈو الجبرا ملٹی کیٹیگری نوٹس سائٹیشنز حوالہ جات میگوئل اے مینڈیز (2015) بھی دیکھیں۔ کمبینٹوریکس اور کمپیوٹر سائنس میں آپریڈز سیٹ کریں۔ ریاضی میں اسپرنگر بریفس۔ ۔ سیموئیل گیراڈو (2018)۔ کمبینٹوریکس میں غیر متناسب آپریڈز۔ سپرنگر انٹرنیشنل پبلشنگ۔ ۔ بیرونی روابط https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html تجریدی الجبرا زمرہ نظریہ