Discriminant of an algebraic number field
ریاضی میں، الجبرائی نمبر فیلڈ کا ڈسکریمیننٹ ایک عددی غیر متغیر ہے جو، ڈھیلے الفاظ میں، الجبرائی نمبر فیلڈ (انٹیجرز کی رنگ) کے سائز کی پیمائش کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر، یہ انٹیجرز کی انگوٹی کے بنیادی ڈومین کے مربع حجم کے متناسب ہے، اور یہ اس بات کو منظم کرتا ہے کہ کون سے پرائمز کو ریمفائی کیا جاتا ہے۔ ڈسکریمیننٹ نمبر فیلڈ کے سب سے بنیادی غیر متغیرات میں سے ایک ہے، اور کئی اہم تجزیاتی فارمولوں میں پایا جاتا ہے جیسے کہ K کے ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کی فنکشنل مساوات، اور K کے لیے تجزیاتی کلاس نمبر فارمولا۔ ہرمائیٹ کا ایک تھیوریم بیان کرتا ہے کہ باؤنڈڈ ڈسکریمیننٹ کے صرف بہت سے نمبر فیلڈز ہیں، تاہم اس مقدار کا تعین اب بھی ایک کھلا مسئلہ ہے، اور موجودہ تحقیق کا موضوع ہے۔ K کے ڈسکریمیننٹ کو K کے مطلق ڈسکریمیننٹ کے طور پر حوالہ دیا جا سکتا ہے تاکہ اسے نمبر فیلڈز کے ایکسٹینشن K/L کے متعلقہ ڈسکریمیننٹ سے ممتاز کیا جا سکے۔ مؤخر الذکر L کے انٹیجرز کی رنگ میں ایک آئیڈیل ہے، اور مطلق ڈسکریمیننٹ کی طرح یہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ K/L میں کون سے پرائمز کو ریمفائی کیا گیا ہے۔ یہ مطلق تفریق کی عمومی شکل ہے جو L کو Q سے بڑا ہونے کی اجازت دیتی ہے ؛ درحقیقت، جب L = Q، K/Q کا رشتہ دار تفریق K کے مطلق تفریق سے پیدا ہونے والا Z کا بنیادی آئیڈیل ہے۔ تعریف K کو الجبرائی نمبر فیلڈ ہونے دیں، اور OK کو اس کے انٹیجرز کی رنگ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ b1,., bn OK کی ایک لازمی بنیاد ہے (یعنی۔ Z-ماڈیول کے طور پر ایک بنیاد)، اور {σ1,., σn} کو پیچیدہ اعداد میں K کے سرایت کا مجموعہ ہونے دیں (یعنی۔ انجیکٹو رنگ ہومومورفزم K → C)۔ K کا ڈسکریمیننٹ n بائی n میٹرکس B کے تعین کنندہ کا مربع ہے جس کا (i، j)-اندراج σi (bj) ہے۔ علامتی طور پر، مساوی طور پر، K سے Q تک کا سراغ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، ٹریس فارم کو میٹرکس کے طور پر بیان کریں جس کا (i, j)-اندراج TrK/Q (bibj) ہے۔ یہ میٹرکس بی ٹی بی کے برابر ہے، لہذا K کے ڈسکریمیننٹ کا مربع اس میٹرکس کا تعین کنندہ ہے۔ K میں انٹیگرل بیس b1،.، bn کے ساتھ کسی آرڈر کا ڈسکریمیننٹ اسی طرح بیان کیا گیا ہے۔ مثالیں کواڈریٹک نمبر فیلڈز: فرض کریں کہ d ایک مربع فری انٹیجر ہے، پھر اس کا ڈسکریمیننٹ ایک انٹیجر ہے جو کواڈریٹک نمبر فیلڈ کے ڈسکریمیننٹ کے طور پر ہوتا ہے اسے بنیادی ڈسکریمیننٹ کہا جاتا ہے۔ سائکلوٹومک فیلڈز: فرض کریں کہ n> 2 ایک عدد ہے، فرض کریں کہ ζn اتحاد کا ایک ابتدائی n واں جڑ ہے، اور فرض کریں کہ Kn = Q (ζn) n واں سائکلوٹومک فیلڈ ہے۔ Kn کا ڈسکریمیننٹ اس طرح دیا جاتا ہے کہ اویلر کا ٹوٹینٹ فنکشن کہاں ہے، اور ڈینومینیٹر میں پروڈکٹ پرائمز p سے زیادہ ہے جو n کو تقسیم کرتا ہے۔ پاور بیس: اس صورت میں جہاں انٹیجرز کی رنگ کی پاور انٹیگرل بیس ہوتی ہے، یعنی، OK = Z [α] کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، K کا ڈسکریمیننٹ α کے کم از کم کثیر الجہتی کے ڈسکریمیننٹ کے برابر ہوتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، کوئی بھی OK کی لازمی بنیاد کو b1 = 1، b2 = α، b3 = α2،.، bn = αn−1 منتخب کر سکتا ہے۔ پھر، تعریف میں میٹرکس وینڈرمونڈے میٹرکس ہے جو αi = σi (α) سے وابستہ ہے، جس کا تعین کرنے والا مربع ہے جو بالکل کم از کم کثیر الجہتی کے امتیازی کی تعریف ہے۔ فرض کریں کہ K = Q (α) وہ نمبر فیلڈ ہے جو کثیر الجہتی x3 − x2 − 2x − 8 کے جڑ α سے مل کر حاصل ہوتا ہے۔ یہ رچرڈ ڈیڈیکنڈ کی ایک نمبر فیلڈ کی اصل مثال ہے جس کی انٹیجرز کی رنگ پاور بیس نہیں رکھتی ہے۔ ایک انٹیگرل بیس {1, α, α (α + 1)/2} کے ذریعے دی جاتی ہے اور K کا ڈسکریمیننٹ −503 ہے۔ بار بار ڈسکریمیننٹ: کواڈریٹک فیلڈ کا ڈسکریمیننٹ منفرد طور پر اس کی شناخت کرتا ہے، لیکن عام طور پر، اعلی درجے کے نمبر فیلڈز کے لیے یہ سچ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، امتیازی 3969 کے دو غیر آئسومورفک کیوبک فیلڈز ہیں۔ وہ بالترتیب کثیر الجہتی یا جڑ سے مل کر حاصل کیے جاتے ہیں۔ بنیادی نتائج برل تھیوریم: ڈسکریمیننٹ کی علامت (−1) r2 ہے جہاں r2 K کی پیچیدہ جگہوں کی تعداد ہے۔ A پرائم p K میں تب ہوتا ہے جب p تقسیم کرتا ہے۔ اسٹیکلبرگر تھیوریم: منکووسکی کا باؤنڈ: آئیے n توسیع K/Q کی ڈگری اور r2 کو K کے پیچیدہ مقامات کی تعداد کی نشاندہی کرتا ہے، پھر منکووسکی کا تھیوریم: اگر K Q نہیں ہے، تو |ΔK |> 1 (یہ براہ راست منکووسکی باؤنڈ سے آتا ہے)۔ ہرمیٹ-منکوسکی تھیوریم: فرض کریں کہ N ایک مثبت عدد ہے۔ صرف محدود طور پر بہت سے (آئسومورفزم تک) الجبرائی نمبر فیلڈز K ہیں جن کے ساتھ |ΔK | <N ہے۔ ایک بار پھر، یہ منکووسکی سے ملتا ہے جو ہرمائیٹ کے نظریہ کے ساتھ جڑا ہوا ہے (کہ صرف محدود طور پر بہت سے الجبرائی نمبر فیلڈز ہیں جن میں تجویز کردہ ڈسکریمیننٹ ہے)۔ تاریخ عام الجبرائی نمبر فیلڈ، K، کے ڈسکریمیننٹ کی تعریف 1871 میں ڈیڈیکنڈ نے دی تھی۔ اس موقع پر، وہ پہلے سے ہی امتیازی سلوک اور اثر کے درمیان تعلق کو جانتے تھے۔ ہرمیٹ کا نظریہ ڈسکریمیننٹ کی عمومی تعریف سے پہلے ہے جس کا ثبوت چارلس ہرمیٹ نے 1857 میں شائع کیا تھا۔ 1877 میں، الیگزینڈر وان برل نے امتیازی سلوک کی علامت کا تعین کیا۔ لیوپولڈ کرونکر نے سب سے پہلے 1882 میں منکووسکی کا نظریہ بیان کیا، حالانکہ پہلا ثبوت 1891 میں ہرمن منکووسکی نے دیا تھا۔ اسی سال، منکووسکی نے امتیازی سلوک پر اپنا پابند شائع کیا۔ انیسویں صدی کے اختتام کے قریب، لڈوگ اسٹیکلبرگر نے ڈسکریمیننٹ ماڈیولو فور کے بقیہ پر اپنا نظریہ حاصل کیا۔ متعلقہ تبعیض اوپر بیان کردہ تبعیض کو بعض اوقات K کا مطلق تبعیض کہا جاتا ہے تاکہ اسے نمبر فیلڈز K/L کی توسیع کے رشتہ دار تبعیض ΔK/L سے ممتاز کیا جا سکے، جو کہ OL میں مثالی ہے۔ رشتہ دار تبعیض کی تعریف مطلق تبعیض سے ملتے جلتے انداز میں کی گئی ہے، لیکن اس بات کو ذہن میں رکھنا چاہیے کہ OL میں آئیڈیلز پرنسپل نہیں ہو سکتے ہیں اور یہ کہ OK کی کوئی OL بنیاد نہیں ہو سکتی ہے۔ فرض کریں کہ {σ1,., σn} C میں K کے سرایت کا مجموعہ ہے جو L پر شناخت ہے۔ اگر b1,., bn، K اوور L کی کوئی بنیاد ہے، تو فرض کریں کہ d (b1,., bn) n کے تعین کنندہ کا مربع ہے جس کا (i, j)-اندراج σi (bj) ہے۔ پھر، K/L کا رشتہ دار امتیاز d (b1,., bn) سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہے کیونکہ {b1,., bn} K/L کے تمام انٹیگرل بیسز پر مختلف ہوتا ہے۔ (یعنی۔ اس پراپرٹی کے ساتھ بیسز جو تمام i کے لیے b ω ٹھیک ہے۔) متبادل طور پر، K/L کا رشتہ دار امتیازی K/L کے مختلف کا معیار ہے۔ جب L = Q ہوتا ہے، تو رشتہ دار ڈسکریمیننٹ αK/Q Z کا بنیادی آئیڈیل ہوتا ہے جو مطلق ڈسکریمیننٹ αK سے پیدا ہوتا ہے۔ ٹاور آف فیلڈز میں K/L/F رشتہ دار امتیازی سلوک کا تعلق اس سے ہوتا ہے جہاں رشتہ دار معیار کی نشاندہی ہوتی ہے۔ ریمیفیکیشن رشتہ دار ڈسکریمیننٹ فیلڈ ایکسٹینشن K/L کے ریمیفیکیشن ڈیٹا کو منظم کرتا ہے۔ L کا ایک پرائم آئیڈیل p K میں تب ہوتا ہے جب، اور صرف اس صورت میں جب، یہ رشتہ دار ڈسکریمیننٹ ΔK/L کو تقسیم کرتا ہے۔ ایک ایکسٹینشن کو غیر منظم کیا جاتا ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، ڈسکریمیننٹ یونٹ آئیڈیل ہو۔ اوپر سے جڑے ہوئے منکوسکی سے پتہ چلتا ہے کہ ق کی کوئی غیر معمولی غیر منظم توسیعات نہیں ہیں۔ ق سے بڑے فیلڈز میں غیر رمفائیڈ ایکسٹینشنز ہو سکتی ہیں: مثال کے طور پر، کسی بھی فیلڈ کے لیے جس کا کلاس نمبر ایک سے زیادہ ہو، اس کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ ایک غیر معمولی غیر رمفائیڈ ایکسٹینشن ہے۔ روٹ ڈسکریمیننٹ ڈگری n نمبر فیلڈ K کے روٹ ڈسکریمیننٹ کی تعریف فارمولے سے کی جاتی ہے۔ ٹاور آف فیلڈز میں رشتہ دار ڈسکریمیننٹ کے درمیان تعلق سے پتہ چلتا ہے کہ روٹ ڈسکریمیننٹ غیر منظم توسیع میں تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ غیر علامتی نچلی حدود غیر منفی عقلی اعداد ρ اور σ، دونوں 0 نہیں، اور ایک مثبت عدد n اس طرح دیا گیا ہے کہ جوڑا (r، 2s) = (ρn، σn) Z × 2Z میں ہے، αn (ρ، σ) کو rdK کا لامحدود ہونے دیں کیونکہ K ڈگری n نمبر فیلڈز پر r حقیقی سرایت اور 2s پیچیدہ سرایت کے ساتھ ہوتا ہے، اور α (ρ، σ) کو α (ρ، σ) کو α (ρ، σ) کو α (ρ، σ) ہونے دیں۔ پھر، اور عمومی ریمن مفروضہ مضبوط باؤنڈ کا اشارہ کرتا ہے۔ ایک نچلی باؤنڈ بھی ہے جو تمام ڈگریوں میں برقرار رہتی ہے، نہ کہ صرف غیر علامتی طور پر: مکمل طور پر حقیقی فیلڈز کے لیے، روٹ ڈسکریمیننٹ> 14 ہے، 1229 مستثنیات کے ساتھ۔ غیر علامتی اوپری حدود دوسری طرف، ایک لامحدود کلاس فیلڈ ٹاور کا وجود α (ρ، σ) کی اقدار پر اوپری حدود دے سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، m = 3·5·7·11·19 کے ساتھ Q () پر لامحدود کلاس فیلڈ ٹاور من مانی طور پر بڑی ڈگری کے فیلڈز پیدا کرتا ہے جس میں جڑ ڈسکریمیننٹ 2 ≈ 296.276 ہوتا ہے، لہذا α (0,1) <296.276۔ ٹیمیلی ریمفائیڈ ٹاورز کا استعمال کرتے ہوئے، حاجیر اور مائیر نے دکھایا ہے کہ α (1,0) <954.3 اور α (0,1) <82.2، مارٹینیٹ کی سابقہ حدود میں بہتری لا رہے ہیں۔ دیگر مقداروں سے تعلق جب OK کے بنیادی ڈومین کا حجم سرایت کیا جاتا ہے (بعض اوقات ایک مختلف پیمائش استعمال کی جاتی ہے اور حاصل کردہ حجم ہوتا ہے، جہاں r2 K کے پیچیدہ مقامات کی تعداد ہے)۔ اس حجم میں اس کی ظاہری شکل کی وجہ سے، ڈسکریمیننٹ K کے ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کی فنکشنل مساوات میں بھی ظاہر ہوتا ہے، اور اسی وجہ سے تجزیاتی کلاس نمبر فارمولا، اور براؤر-سیگل تھیوریم میں ظاہر ہوتا ہے۔ K/L کا رشتہ دار امتیازی K/L کے گالوئس گروپ کی باقاعدہ نمائندگی کا آرٹن کنڈکٹر ہے۔ یہ K/L کے گالوئس گروپ کے حروف کے آرٹن کنڈکٹرز کے ساتھ ایک تعلق فراہم کرتا ہے، جسے کنڈکٹر-ڈسکریمیننٹ فارمولا کہا جاتا ہے۔ نوٹ حوالہ جات بنیادی ذرائع ثانوی ذرائع مزید پڑھنا الجبرائی نمبر تھیوری