Torsion (algebra)
ریاضی میں، خاص طور پر رنگ تھیوری میں، ٹورسن عنصر ایک ماڈیول کا ایک عنصر ہے جو رنگ کے کسی غیر صفر تقسیم کار سے ضرب دینے پر صفر حاصل کرتا ہے۔ ماڈیول کا ٹورسن ذیلی ماڈیول ٹورسن عناصر کے ذریعہ تشکیل شدہ ذیلی ماڈیول ہے۔ ٹورسن ماڈیول ایک ماڈیول ہے جو اس کے ٹورسن سب ماڈیول کے برابر ہے۔ ایک ماڈیول ٹورسن سے پاک ہوتا ہے اگر اس کا ٹورسن سب ماڈیول صرف صفر عنصر پر مشتمل ہو۔ یہ اصطلاحات زیادہ عام طور پر ڈومین پر ماڈیولز کے لیے استعمال ہوتی ہیں، یعنی جب رنگ کے باقاعدہ عناصر اس کے تمام غیر صفر عناصر ہوتے ہیں۔ یہ اصطلاح ابیلین گروپوں پر لاگو ہوتی ہے ("ماڈیول" اور "سب ماڈیول" کی جگہ "گروپ" اور "سب گروپ" کے ساتھ)۔ اس کی اجازت اس حقیقت سے ملتی ہے کہ ابیلین گروپ عدد کے دائرے پر ماڈیول ہیں (درحقیقت، یہ اصطلاحات کی ابتدا ہے، جو ماڈیولز میں عام ہونے سے پہلے ابیلین گروپوں کے لیے متعارف کرائی گئی ہے)۔ ان گروہوں کے معاملے میں جو غیر متغیر ہیں، ایک ٹورسن عنصر محدود ترتیب کا ایک عنصر ہے۔ تبادلے کے معاملے کے برعکس، ٹورسن عناصر عام طور پر ذیلی گروہ نہیں بناتے ہیں۔ تعریف کسی رنگ R پر ماڈیول M کا عنصر m کو ماڈیول کا ٹورسن عنصر کہا جاتا ہے اگر رنگ کا کوئی باقاعدہ عنصر r موجود ہو (ایک ایسا عنصر جو نہ تو بائیں اور نہ ہی دائیں صفر تقسیم کنندہ ہو) جو m کو ختم کرتا ہے، یعنی، ایک انٹیگرل ڈومین میں (صفر تقسیم کنندگان کے بغیر ایک مواصلاتی رنگ)، ہر غیر صفر عنصر باقاعدہ ہوتا ہے، لہذا ایک انٹیگرل ڈومین پر ماڈیول کا ٹورسن عنصر انٹیگرل ڈومین کے غیر صفر عنصر سے ختم ہوتا ہے۔ کچھ مصنفین اسے ٹورسن عنصر کی تعریف کے طور پر استعمال کرتے ہیں، لیکن یہ تعریف زیادہ عام رنگوں پر اچھی طرح سے کام نہیں کرتی ہے۔ رنگ R پر ایک ماڈیول M کو ٹورسن ماڈیول کہا جاتا ہے اگر اس کے تمام عناصر ٹورسن عناصر ہوں، اور ٹورسن فری اگر صفر واحد ٹورسن عنصر ہو۔ اگر رنگ R متغیر ہے تو تمام ٹورسن عناصر کا مجموعہ M کا ذیلی ماڈیول بناتا ہے، جسے M کا ٹورسن ذیلی ماڈیول کہا جاتا ہے، جسے بعض اوقات T (M) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر R متغیر نہیں ہے، تو T (M) ذیلی ماڈیول ہو بھی سکتا ہے اور نہیں بھی۔ یہ اس میں دکھایا گیا ہے کہ R ایک دائیں ایسک کی انگوٹی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب T (M) تمام صحیح R-ماڈیولز کے لیے M کا ذیلی ماڈیول ہو۔ چونکہ دائیں نویتھیرین ڈومینز اوری ہیں، اس میں اس معاملے کا احاطہ کیا گیا ہے جب R ایک دائیں نویتھیرین ڈومین ہے (جو کہ تبادلہ نہیں ہوسکتا ہے)۔ زیادہ عام طور پر، M کو رنگ R پر ایک ماڈیول ہونے دیں اور S کو R کا ضرب بند ذیلی سیٹ ہونا چاہیے۔ M کا ایک عنصر m کو S-ٹورسن عنصر کہا جاتا ہے اگر S میں کوئی عنصر s موجود ہو جو m کو ختم کر دے، یعنی، خاص طور پر، کوئی بھی S کے لیے رنگ R کے باقاعدہ عناصر کا مجموعہ لے سکتا ہے اور اوپر کی تعریف کو بازیافت کر سکتا ہے۔ گروپ G کے کسی عنصر g کو گروپ کا ٹورسن عنصر کہا جاتا ہے اگر اس کی ترتیب محدود ہو، یعنی، اگر کوئی مثبت عدد m ہے جیسے کہ gm = e، جہاں e گروپ کے شناختی عنصر کو ظاہر کرتا ہے، اور gm g کی m نقلوں کے پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک گروپ کو ٹورسن (یا پیریڈک) گروپ کہا جاتا ہے اگر اس کے تمام عناصر ٹورسن عناصر ہیں، اور اگر اس کا واحد ٹورسن عنصر شناختی عنصر ہے۔ کسی بھی ابیلین گروپ کو انٹیجرز کے رنگ Z پر ایک ماڈیول کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، اور اس صورت میں ٹورسن کے دو تصورات ایک ساتھ آتے ہیں۔ مثال کے طور پر M کو کسی بھی رنگ R پر ایک آزاد ماڈیول ہونے دیں۔ پھر یہ ان تعریفوں کے فورا بعد آتا ہے کہ M ٹورسن سے پاک ہے (اگر رنگ R ڈومین نہیں ہے تو ٹورسن کو R کے غیر صفر تقسیم کاروں کے سیٹ S کے حوالے سے سمجھا جاتا ہے)۔ خاص طور پر، کوئی بھی آزاد ابیلین گروپ ٹورسن سے پاک ہوتا ہے اور فیلڈ K پر کوئی بھی ویکٹر اسپیس ٹورسن سے پاک ہوتی ہے جب اسے K پر ماڈیول کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ مثال 1 کے برعکس، کوئی بھی محدود گروپ (ابیلین یا نہیں) وقتا فوقتا اور حتمی طور پر تیار ہوتا ہے۔ برن سائیڈ کا مسئلہ، اس کے برعکس، پوچھتا ہے کہ کیا کوئی حتمی طور پر تیار شدہ پیریڈک گروپ محدود ہونا چاہیے؟ جواب عام طور پر "نہیں" ہے، چاہے مدت طے ہو۔ کسی فیلڈ کے ضرب گروپ کے ٹورسن عناصر اس کے اتحاد کی جڑیں ہیں۔ ماڈیولر گروپ میں، 2 × 2 انٹیجر میٹرکس کے گروپ ایس ایل (2، زیڈ) سے حاصل کردہ یونٹ ڈیٹرمیننٹ کے ساتھ اس کے مرکز کو فیکٹر کرکے، کسی بھی غیر معمولی ٹورسن عنصر کا یا تو آرڈر دو ہوتا ہے اور وہ عنصر ایس سے منسلک ہوتا ہے یا اس کا آرڈر تین ہوتا ہے اور عنصر ایس ٹی سے منسلک ہوتا ہے۔ اس صورت میں، ٹورسن عناصر ذیلی گروہ نہیں بناتے ہیں، مثال کے طور پر، S·ST = T، جس میں لامحدود ترتیب ہوتی ہے۔ ابیلین گروپ ق/زیڈ، جو عقلی اعداد ماڈیولو 1 پر مشتمل ہے، پیریڈک ہے، یعنی۔ ہر عنصر کی ایک محدود ترتیب ہوتی ہے۔ اسی طرح، ایک متغیر میں کثیر الجہتی کے رنگ R = K [t] پر ماڈیول K (t)/K [t] خالص ٹورسن ہے۔ ان دونوں مثالوں کو مندرجہ ذیل طور پر عام کیا جا سکتا ہے: اگر R ایک انٹیگرل ڈومین ہے اور Q اس کا فریکشن فیلڈ ہے، تو Q/R ایک ٹورسن R-ماڈیول ہے۔ (R/Z, +) کا ٹورسن ذیلی گروپ (Q/Z, +) ہے جبکہ گروپ (R, +) اور (Z, +) ٹورسن سے پاک ہیں۔ ذیلی گروپ کے ذریعہ ٹورسن سے پاک ابیلین گروپ کا حصّہ بالکل اس وقت ٹورسن سے پاک ہوتا ہے جب ذیلی گروپ خالص ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ اگر ہم V کو قدرتی انداز میں ایک F [L]-ماڈیول کے طور پر دیکھتے ہیں، تو (بہت سی چیزوں کے نتیجے میں، یا تو صرف محدود جہتی سے یا کیلی-ہیملٹن تھیوریم کے نتیجے میں)، V ایک ٹورسن F [L]-ماڈیول ہے۔ پرنسپل آئیڈیل ڈومین کا معاملہ فرض کریں کہ R ایک (تبادلہ) پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہے اور M ایک حتمی طور پر تیار کردہ R-ماڈیول ہے۔ پھر پرنسپل آئیڈیل ڈومین پر فائنٹلی جنریٹڈ ماڈیولز کے لیے اسٹرکچر تھیوریم ماڈیول M سے لے کر آئسومورفزم تک کی تفصیلی وضاحت دیتا ہے۔ خاص طور پر، یہ دعوی کرتا ہے کہ جہاں F محدود درجہ کا ایک آزاد R-ماڈیول ہے (صرف M پر منحصر ہے) اور T (M) M کا ٹورسن سب ماڈیول ہے۔ ایک نتیجہ کے طور پر، R پر کوئی بھی حتمی طور پر تیار کردہ ٹورسن فری ماڈیول مفت ہے۔ یہ نتیجہ زیادہ عام تبادلہ ڈومینز کے لیے نہیں ہے، یہاں تک کہ R = K [x, y] کے لیے بھی، جو دو متغیرات میں کثیر الجہتی کی انگوٹی ہے۔ غیر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے لیے، مندرجہ بالا براہ راست سڑنا درست نہیں ہے۔ ابیلین گروپ کا ٹورسن ذیلی گروپ اس کا براہ راست خلاصہ نہیں ہو سکتا ہے۔ ٹورسن اور لوکلائزیشن فرض کریں کہ R ایک تبادلہ ڈومین ہے اور M ایک R-ماڈیول ہے۔ فرض کریں کہ Q رنگ R کا حصص فیلڈ ہے۔ پھر اسکیلرز کی توسیع کے ذریعے M سے حاصل کردہ Q-ماڈیول پر غور کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ ق ایک فیلڈ ہے، اس لیے ق پر ماڈیول ایک ویکٹر اسپیس ہے، ممکنہ طور پر لامحدود جہتی۔ M سے MQ تک ابیلین گروپوں کا ایک کینونکل ہومومورفزم ہے، اور اس ہومومورفزم کا دانا قطعی طور پر ٹورسن سب ماڈیول T (M) ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر S رنگ R کا ضرب بند ذیلی سیٹ ہے، تو ہم R-ماڈیول M کی لوکلائزیشن پر غور کر سکتے ہیں، جو لوکلائزیشن آر ایس پر ایک ماڈیول ہے۔ ایم سے ایم ایس تک ایک کینونکل نقشہ ہے، جس کا دانا بالکل ایم کا ایس-ٹورسن سب ماڈیول ہے۔ اس طرح ایم کے ٹورسن سب ماڈیول کی تشریح ان عناصر کے مجموعے کے طور پر کی جا سکتی ہے جو "لوکلائزیشن میں غائب ہو جاتے ہیں"۔ یہی تشریح اوری کی حالت کو مطمئن کرنے والے رنگوں کے لیے غیر تبادلہ ترتیب میں برقرار ہے، یا زیادہ عام طور پر کسی بھی دائیں ڈینومینیٹر سیٹ S اور دائیں R-ماڈیول M کے لیے۔ ہومیولوجیکل الجبرا میں ٹورسن ہومیولوجیکل الجبرا میں ایک اہم کردار ادا کرتا ہے۔ اگر M اور N ایک مواصلاتی ڈومین R پر دو ماڈیول ہیں (مثال کے طور پر، دو ابیلین گروپ، جب R = Z)، تو ٹور فنکٹر R-ماڈیولز ٹوری (M، N) کا ایک خاندان پیدا کرتے ہیں۔ آر-ماڈیول ایم کا ایس-ٹورژن ٹور آر * کی عین ترتیب سے ٹور آر 1 (ایم، آر ایس/آر) کے لیے کینونکل طور پر آئسومورفک ہے: آر-ماڈیولز کی مختصر عین ترتیب سے ایک عین ترتیب حاصل ہوتی ہے، اس لیے یہ ایم کے لوکلائزیشن نقشے کا دانا ہے۔ فنکٹرز کی نشاندہی کرنے والی علامت الجبرائی ٹورشن کے ساتھ اس تعلق کی عکاسی کرتی ہے۔ یہی نتیجہ غیر مواصلاتی رنگوں کے ساتھ ساتھ اس وقت تک برقرار رہتا ہے جب تک کہ سیٹ S ایک دائیں ڈینومینیٹر سیٹ ہو۔ ابیلین اقسام ابیلین قسم کے ٹورسن عناصر ٹورسن پوائنٹس ہوتے ہیں یا، پرانی اصطلاحات میں، ڈویژن پوائنٹس ہوتے ہیں۔ الپٹک منحنی خطوط پر ان کا حساب تقسیم کثیر الجہتی کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ تجزیاتی ٹورسن ریاضی حرکیات فلیٹ ماڈیول انیہیلیٹر (رنگ تھیوری) ایک ابیلین گروپ کے ماڈیول رینک کی لوکلائزیشن رے-سنگر ٹورسن ٹورسن فری ابیلین گروپ یونیورسل گتانک تھیوریم حوالہ جات ذرائع ارنسٹ کنز، "کمیونیٹیٹو الجبرا اور الجبرائی جیومیٹری کا تعارف"، برکھاؤزر 1985، ارونگ کپلانسکی، "انفینٹ ابیلین گروپس"، مشی گن یونیورسٹی، 1954۔ ابیلین گروپ تھیوری ماڈیول تھیوری ہومیولوجیکل الجبرا