Bauer–Fike theorem
ریاضی میں، باؤر-فائیک تھیوریم ایک پیچیدہ قدر والے ڈائیگنلائزبل میٹرکس کے آئجن ویلیو کے پرٹربیشن تھیوری کا ایک معیاری نتیجہ ہے۔ اس کے مادہ میں، یہ عین مطابق میٹرکس کے مناسب طریقے سے منتخب کردہ آئجن ویلیو سے ایک پریشان میٹرکس آئجن ویلیو کے انحراف کے لیے ایک مطلق اوپری حد بیان کرتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ جو کہتا ہے وہ یہ ہے کہ آئجین ویلیوز کی حساسیت کا تخمینہ آئجین ویکٹرز کے میٹرکس کی کنڈیشن نمبر سے لگایا جاتا ہے۔ اس نظریہ کو فریڈرک ایل باؤر اور سی ٹی فائیک نے 1960 میں ثابت کیا تھا۔ ترتیب مندرجہ ذیل میں ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ: ایک ڈائیگنلائزڈ میٹرکس ہے ؛ غیر سنگل آئجین ویکٹر میٹرکس اس طرح ہے کہ، جہاں ایک ڈائیگنل میٹرکس ہے۔ اگر الٹا ہے، تو اس کے کنڈیشن نمبر کو-نارم سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: باؤر-فائیک تھیوریم باؤر-فائیک تھیوریم۔ آئیے ایک آئجن ویلیو بنیں۔ پھر ایسا موجود ہے کہ: ثبوت۔ ہم فرض کر سکتے ہیں، بصورت دیگر لے سکتے ہیں اور نتیجہ معمولی طور پر درست ہے۔ چونکہ یہ ایک آئجن ویلیو ہے، ہمارے پاس ہے اور اسی طرح۔ تاہم ہمارا مفروضہ، اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ: اور اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں: یہ ایک آئجن ویلیو ہونے کا انکشاف کرتا ہے۔ اس مثال میں یہ ہمیں دیتا ہے: لیکن یہ ایک اخترن میٹرکس ہے، جس کا-معیار آسانی سے شمار کیا جاتا ہے: جہاں سے: ایک متبادل تشکیل نظریہ کو عددی طریقوں کے مطابق بہتر بنانے کے لیے بھی تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ در حقیقت، حقیقی آئجین سسٹم کے مسائل سے نمٹنے کے لیے، اکثر ایک عین مطابق میٹرکس ہوتا ہے، لیکن صرف ایک لگ بھگ آئجین ویلیو-آئجین ویکٹر جوڑے کو جانتا ہے، اور غلطی کو پابند کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ مندرجہ ذیل ورژن مدد میں آتا ہے۔ باؤر-فک نظریہ (متبادل تشکیل)۔ آئیے ایک لگ بھگ آئجین ویلیو-آئجین ویکٹر جوڑا بنیں، اور۔ پھر ایسا موجود ہے کہ: ثبوت۔ ہم فرض کر سکتے ہیں، بصورت دیگر لے سکتے ہیں اور نتیجہ معمولی طور پر درست ہے۔ تو موجود ہے، لہذا ہم لکھ سکتے ہیں: چونکہ اخترن قابل ہے ؛ دونوں اطراف کے-معیار کو لیتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں: تاہم ایک اخترن میٹرکس ہے اور اس کا-معیار آسانی سے شمار کیا جاتا ہے: جہاں سے: ایک رشتہ دار باؤنڈ باؤر-فائیک تھیوریم کی دونوں فارمولیشنز ایک مطلق باؤنڈ حاصل کرتی ہیں۔ جب بھی کسی رشتہ دار باؤنڈ کی ضرورت ہوتی ہے تو درج ذیل نتیجہ مفید ہوتا ہے: کورلری۔ فرض کریں کہ یہ الٹا ہے اور یہ ایک آئجن ویلیو ہے۔ پھر ایسا موجود ہے کہ: نوٹ کریں۔ رسمی طور پر رشتہ دار تغیر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ رشتہ دار تغیر ہے۔ ثبوت۔ چونکہ یہ ایک آئجین ویلیو ہے اور، بائیں سے ضرب دے کر ہمارے پاس: اگر ہم سیٹ کرتے ہیں: تو ہمارے پاس ہے: جس کا مطلب ہے کہ یہ ایک آئجین ویلیو ہے، ایک آئجین ویکٹر کے طور پر۔ اب، کے آئجین ویلیوز ہیں، جبکہ اس میں وہی آئجین ویکٹر میٹرکس ہے۔ باؤر-فائیک تھیوریم کو آئجین ویلیو کے ساتھ لاگو کرنے سے ہمیں یہ ملتا ہے: نارمل میٹرکس کا معاملہ اگر نارمل ہے، تو یہ ایک یک جہتی میٹرکس ہے، لہذا: تاکہ۔ باؤر-فائیک تھیوریم پھر بن جاتا ہے: یا متبادل تشکیل میں: جو ظاہر ہے کہ اگر ہرمیٹین میٹرکس ہے تو سچ رہتا ہے۔ اس صورت میں، تاہم، ایک بہت زیادہ مضبوط نتیجہ ہوتا ہے، جسے آئجین ویلیوز پر ویل کا نظریہ کہا جاتا ہے۔ ہرمیٹین کیس میں کوئی باؤر-فائیک تھیوریم کو اس شکل میں بھی دہرا سکتا ہے کہ نقشہ جو کسی میٹرکس کو اس کے سپیکٹرم سے جوڑتا ہے، اس کے کمپیکٹ سبسیٹس کے سیٹ پر ہاؤزڈورف فاصلے کے حوالے سے ایک غیر توسیعی فنکشن ہے۔ حوالہ جات سپیکٹرم تھیوری تجزیہ میں نظریات ثبوتوں پر مشتمل مضامین