Étale morphism
الجبرائی جیومیٹری میں، ایک ایٹیل مورفزم () اسکیموں کی ایک مورفزم ہے جو رسمی طور پر ایٹیل اور مقامی طور پر محدود پیشکش کی ہوتی ہے۔ یہ پیچیدہ تجزیاتی ٹوپولوجی میں مقامی آئسومورفزم کے تصور کا الجبرائی ینالاگ ہے۔ وہ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کے مفروضوں کو مطمئن کرتے ہیں، لیکن چونکہ زرسکی ٹوپولوجی میں کھلے سیٹ اتنے بڑے ہوتے ہیں، اس لیے ضروری نہیں کہ وہ مقامی آئسومورفزم ہوں۔ اس کے باوجود، ایٹیل نقشے مقامی تجزیاتی آئسومورفزم کی بہت سی خصوصیات کو برقرار رکھتے ہیں، اور الجبرائی بنیادی گروپ اور ایٹیل ٹوپولوجی کی وضاحت میں مفید ہیں۔ لفظ ایٹیل ایک فرانسیسی صفت ہے، جس کا مطلب ہے "سست"، جیسا کہ "سست لہر" میں، یا، علامتی طور پر، پرسکون، غیر متحرک، آباد ہونے کے لیے کچھ بچا ہوا ہے۔ تعریف ایک رنگ ہومومورفزم ہونے دیں۔ یہ ایک-الجبرا بناتا ہے۔ ایک مونیک کثیر الجہتی کا انتخاب کریں اور ایک کثیر الجہتی کا انتخاب اس طرح کریں کہ اس کا مشتق ایک یونٹ ہو۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ معیاری étale ہے اگر اور منتخب کیا جا سکتا ہے تو یہ ایک-الجبرا کے طور پر آئسومورفک ہے اور کینونکل نقشہ ہے۔ اسکیموں کا مورفزم بننے دیں۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں درج ذیل میں سے کوئی مساوی خصوصیات ہوں: چپٹا اور غیر منظم ہو۔ یہ ایک ہموار مورفزم اور غیر منظم ہے۔ فلیٹ ہے، مقامی طور پر محدود پیشکش کا، اور ہر ایک کے لیے، فائبر پوائنٹس کا جداگانہ اتحاد ہے، جن میں سے ہر ایک بقیہ فیلڈ کی ایک محدود علیحدہ فیلڈ ایکسٹینشن کا سپیکٹرم ہے۔ چپٹا ہے، مقامی طور پر محدود پیشکش کا، اور بقیہ فیلڈ کے ہر الجبرائی بندش کے لیے، ہندسی ریشہ پوائنٹس کا جداگانہ اتحاد ہے، جن میں سے ہر ایک آئسومورفک ہے۔ رشتہ دار طول و عرض صفر کی ہموار مورفزم ہے۔ یہ ایک ہموار مورفزم اور مقامی طور پر نیم محدود مورفزم ہے۔ یہ مقامی طور پر محدود پیشکش کا ہے اور مقامی طور پر ایک معیاری ایٹیل مورفزم ہے، یعنی ہر ایک کے لیے، چلو۔ اس کے بعد ایک کھلا افائن پڑوس اور اس طرح کا ایک کھلا افائن پڑوس ہوتا ہے جو اس میں موجود ہوتا ہے اور اس طرح کہ اس سے متاثر ہونے والی رنگ ہومومورفزم معیاری ایٹیل ہوتی ہے۔ مقامی طور پر محدود پیشکش کا ہے اور رسمی طور پر étale ہے۔ یہ مقامی طور پر محدود پیشکش کا ہے اور مقامی رنگوں کے نقشوں کے لیے رسمی طور پر étale ہے، یعنی: آئیے ایک مقامی رنگ بنیں اور اس کا مثالی بنیں۔ سیٹ کریں اور، اور کینونکل بند وسرجن ہونے دیں۔ آئیے بند نقطہ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اس طرح کے مورفزم ہونے دیں۔ پھر اس طرح کی ایک منفرد مورفزم موجود ہے۔ فرض کریں کہ یہ مقامی طور پر نویتھیرین ہے اور f مقامی طور پر محدود قسم کا ہے۔ اندر آنے کے لیے، مکمل مقامی رنگوں پر انڈیوسڈ نقشہ ہونے دیں۔ پھر مندرجہ ذیل مساوی ہیں: étale ہے۔ ہر ایک کے لیے، مکمل مقامی رنگوں پر انڈیوسڈ نقشہ ایڈک ٹوپولوجی کے لیے رسمی طور پر étale ہے۔ ہر ان کے لیے، ایک فری-ماڈیول ہے اور فائبر ایک ایسا فیلڈ ہے جو بقیہ فیلڈ کی ایک محدود علیحدہ فیلڈ ایکسٹینشن ہے۔ (یہاں کا زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ہے۔) مندرجہ ذیل اضافی خصوصیات کے ساتھ مقامی رنگوں کے نقشوں کے لیے رسمی طور پر étale ہے۔ مقامی رنگ کو آرٹینین سمجھا جا سکتا ہے۔ اگر کا زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ہے، تو اسے مطمئن مانا جا سکتا ہے۔ آخر میں، بقیہ شعبوں پر مورفزم کو ایک آئسومورفزم سمجھا جا سکتا ہے۔ اگر اس کے علاوہ بقیہ فیلڈز پر موجود تمام نقشے آئسومورفزم ہیں، یا اگر علیحدہ طور پر بند ہیں، تو étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ان کے لیے، مکمل مقامی رنگوں پر انڈیوسڈ نقشہ ایک آئسومورفزم ہو۔ مثالیں کوئی بھی کھلا وسرجن étale ہے کیونکہ یہ مقامی طور پر ایک آئسومورفزم ہے۔ خالی جگہوں کو ڈھانپنا ایٹیل مورفزم کی مثالیں بناتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر رنگ میں ایک انٹیجر الٹا ہے تو یہ ایک ڈگری ایٹیل مورفزم ہے۔ کسی بھی ریمفائیڈ کورنگ میں ایک غیر ریمفائیڈ لوکس ہوتا ہے جو ایٹیل ہوتا ہے۔ محدود علیحدہ فیلڈ ایکسٹینشنز سے متاثر ہونے والے مورفزم ایٹیل ہیں-وہ ڈیک ٹرانسفارمیشنز کے گروپ کے ساتھ ریاضی کا احاطہ کرنے والی خالی جگہیں بناتے ہیں۔ شکل کا کوئی بھی رنگ ہومومورفزم، جہاں تمام کثیر الجہتی ہیں، اور جہاں جیکوبین ڈیٹرمیننٹ ایک یونٹ ہے، étale ہے۔ مثال کے طور پر مورفزم ایٹیل ہے اور ڈیک ٹرانسفارمیشنز کے گروپ کے ساتھ ایک ڈگری کورنگ اسپیس سے مطابقت رکھتا ہے۔ پچھلی مثال کو وسعت دیتے ہوئے، فرض کریں کہ ہمارے پاس ہموار پیچیدہ الجبرائی اقسام کی مورفزم ہے۔ چونکہ یہ مساوات کے ذریعے دیا گیا ہے، اس لیے ہم اس کی تشریح پیچیدہ کئی گنا کے نقشے کے طور پر کر سکتے ہیں۔ جب بھی کا جیکوبین غیر صفر ہوتا ہے، تو یہ مضمر فنکشن تھیوریم کے ذریعہ پیچیدہ کئی گنا کا مقامی آئسومورفزم ہوتا ہے۔ پچھلی مثال کے مطابق، غیر صفر جیکوبین ہونا ایٹیل ہونے کے مترادف ہے۔ X، Y مقامی طور پر نویتھیرین، ناقابل تلافی اور Y نارمل کے ساتھ محدود قسم کا ایک غالب مورفزم ہونے دیں۔ اگر f غیر منظم ہے، تو یہ étale ہے۔ فیلڈ K کے لیے، کوئی بھی K-الجبرا A لازمی طور پر چپٹا ہوتا ہے۔ لہذا، A ایک ایٹیل الجبرا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ غیر منظم ہو، جو اس کے مساوی بھی ہے کہ فیلڈ K کی علیحدہ بندش کہاں ہے اور دائیں ہاتھ کی طرف ایک محدود براہ راست مجموعہ ہے، جس کے تمام مجموعے ہیں۔ ایٹیل کے-الجیبراس کی یہ خصوصیت کلاسیکی گالوئس نظریہ کی دوبارہ تشریح کرنے میں ایک قدم ہے (دیکھیں گروتھینڈیک کا گالوئس نظریہ)۔ خصوصیات ایٹیل مورفزم ساخت اور بنیادی تبدیلی کے تحت محفوظ ہیں۔ ایٹیل مورفزم ماخذ اور بنیاد پر مقامی ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کھلی سبسکیمز کے ہر کور کے لیے کور کے ہر کھلی سبسکیمز کی پابندی étale ہے، اور یہ بھی کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب کھلی سبسکیمز کے ہر کور کے لیے محرک مورفزمز احاطہ کے ہر سبسکیمز کے لیے étale ہوں۔ خاص طور پر، اوپن افائنز پر ایٹل ہونے کی خاصیت کی جانچ کرنا ممکن ہے۔ ایٹیل مورفزم کے ایک محدود خاندان کی پیداوار ایٹیل ہے۔ مورفزم کے ایک محدود خاندان کو دیکھتے ہوئے، جداگانہ اتحاد étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ایک étale ہو۔ چلو اور، اور فرض کریں کہ غیر منظم ہے اور étale ہے. پھر étale ہے۔ خاص طور پر، اگر اور étale اوور ہیں، تو اور کے درمیان کوئی بھی-مورفزم étale ہے۔ نیم کمپیکٹ ایٹیل مورفزم نیم لامحدود ہیں۔ مورفزم ایک کھلا وسرجن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایٹل اور ریڈیکل ہو۔ اگر ایٹیل اور سرجیکٹو ہے، تو (محدود یا دوسری صورت میں)۔ الٹا فنکشن تھیوریم ایٹیل مورفزم f: X → Y مقامی ڈفیومورفزم کے الجبرائی ہم منصب ہیں۔ مزید واضح طور پر، ہموار اقسام کے درمیان مورفزم ایک نقطہ پر étale ہے اگر متعلقہ ٹینجینٹ خالی جگہوں کے درمیان فرق ایک آئسومورفزم ہے۔ یہ بالکل وہی شرط ہے جو اس بات کو یقینی بنانے کے لیے درکار ہے کہ کئی گنا کے درمیان نقشہ ایک مقامی ڈفیومورفزم ہے، یعنی۔ کسی بھی نقطہ y ω Y کے لیے، x کا ایک کھلا پڑوس U اس طرح ہے کہ f سے U کی پابندی ایک ڈفیومورفزم ہے۔ یہ نتیجہ الجبرائی جیومیٹری میں نہیں ہے، کیونکہ ٹوپولوجی بہت موٹی ہے۔ مثال کے طور پر، پیرابولہ y = x2 کے y-محور پر پروجیکشن f پر غور کریں۔ یہ مورفزم اصل (0، 0) کے علاوہ ہر نقطہ پر étale ہے، کیونکہ تفریق 2x کے ذریعہ دی گئی ہے، جو ان مقامات پر ختم نہیں ہوتی ہے۔ تاہم، f کا کوئی (Zariski-) مقامی الٹا نہیں ہے، صرف اس وجہ سے کہ مربع جڑ الجبرائی نقشہ نہیں ہے، کثیر الجہتی کے ذریعہ نہیں دیا گیا ہے۔ تاہم، ایٹیل ٹوپولوجی کا استعمال کرتے ہوئے، اس صورتحال کا ایک علاج موجود ہے۔ عین مطابق بیان مندرجہ ذیل ہے: اگر étale اور محدود ہے، تو Y میں پڑے کسی بھی نقطہ کے لیے، اس کی شبیہہ میں y پر مشتمل ایک étale مورفزم V → Y ہے (V کو y کے ایک étale کھلے پڑوس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے)، جیسے کہ جب ہم f کو V میں تبدیل کرتے ہیں، تو (پہلا ممبر V کی پری امیج ہوگا اگر V ایک Zariski کھلا پڑوس ہوتا) V کے لیے کھلے ذیلی سیٹوں کا ایک محدود جداگانہ اتحاد ہے۔ دوسرے الفاظ میں، Y میں étale-مقامی طور پر، مورفزم f ایک ٹپوولوجیکل محدود احاطہ ہے۔ متعلقہ طول و عرض n کی ہموار مورفزم کے لیے، مقامی طور پر X اور Y میں، f ایک افائن اسپیس میں ایک کھلا وسرجن ہے۔ یہ سبمرشنز پر اسٹرکچر تھیوریم کا ایٹیل اینالاگ ورژن ہے۔ پاکیزگی (الجبرائی جیومیٹری) حوالہ جات کتابچہ جے ایس ملن (2008) بھی دیکھیں۔ ایٹل کوہومولوجی پر لیکچرز اسکیموں کے مورفزم