Tate module
ریاضی میں، ایک ابیلین گروپ کا ٹیٹ ماڈیول، جس کا نام جان ٹیٹ کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک ابیلین گروپ اے سے بنایا گیا ماڈیول ہے۔ اکثر، یہ تعمیر مندرجہ ذیل صورتحال میں کی جاتی ہے: G ایک فیلڈ K پر ایک تبادلہ گروپ اسکیم ہے، Ks K کی علیحدہ بندش ہے، اور A = G (Ks) (G کے Ks-ویلیوڈ پوائنٹس)۔ اس صورت میں، A کا ٹیٹ ماڈیول K کے مطلق گالوئس گروپ کی کارروائی سے لیس ہے، اور اسے G کا ٹیٹ ماڈیول کہا جاتا ہے۔ تعریف ایک ابیلین گروپ A اور ایک پرائم نمبر p کو دیکھتے ہوئے، A کا p-adic ٹیٹ ماڈیول ہے جہاں A [pn] A کا pn ٹورسن ہے (یعنی۔ ضرب-بہ-pn نقشے کا دانا)، اور الٹا حد مثبت انٹیجرز n پر ہوتی ہے جس میں ضرب-بہ-p نقشہ A [pn + 1] → A [pn] کے ذریعہ دی گئی منتقلی کی مورفزم ہوتی ہے۔ اس طرح، ٹیٹ ماڈیول اے کے تمام پی-پاور ٹورسن کو انکوڈ کرتا ہے۔ یہ Zp-ماڈیول کے ڈھانچے سے لیس ہے مثال کے طور پر ٹیٹ ماڈیول جب ابیلین گروپ A، K کے علیحدہ ہونے والے کلوزر Ks میں اتحاد کی جڑوں کا گروپ ہوتا ہے، تو A کے p-adic ٹیٹ ماڈیول کو بعض اوقات ٹیٹ ماڈیول کہا جاتا ہے (جہاں p اور K کا انتخاب خاموش طور پر سمجھا جاتا ہے)۔ یہ Zp پر ایک فری رینک ون ماڈیول ہے جس میں K کے مطلق گالوئس گروپ GK کی لکیری ایکشن ہے۔ اس طرح، یہ ایک گالوئس نمائندگی ہے جسے K کا p-adic سائکلوٹومک کردار بھی کہا جاتا ہے۔ اسے ضرب گروپ اسکیم Gm، K اوور K کا ٹیٹ ماڈیول بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ ایک ابیلین قسم کا ٹیٹ ماڈیول ایک فیلڈ K پر ابیلین قسم G کو دیکھتے ہوئے، G کے Ks-ویلیوڈ پوائنٹس ایک ابیلین گروپ ہیں۔ G کا p-adic ٹیٹ ماڈیول Tp (G) ایک گالوئس نمائندگی ہے (مطلق گالوئس گروپ، GK، K کا)۔ ابیلین اقسام پر کلاسیکی نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ اگر K کی خصوصیت صفر ہے، یا خصوصیت l جہاں پرائم نمبر p ष्णول ہے، تو Tp (G) رینک 2d کے Zp پر ایک آزاد ماڈیول ہے، جہاں d G کا طول و عرض ہے۔ دوسری صورت میں، یہ اب بھی آزاد ہے، لیکن رینک 0 سے d تک کوئی بھی قدر لے سکتا ہے (مثال کے طور پر ہاسی وٹ میٹرکس دیکھیں)۔ اس صورت میں جہاں p K کی خصوصیت کے برابر نہیں ہے، G کا p-adic ٹیٹ ماڈیول ایٹیل کوہمولوجی کا دوہرا ہے۔ ٹیٹ قیاس آرائی کا ایک خاص معاملہ ٹیٹ ماڈیولز کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ K اپنے پرائم فیلڈ پر حتمی طور پر پیدا ہوتا ہے (مثال کے طور پر۔ ایک محدود فیلڈ، ایک الجبرائی نمبر فیلڈ، ایک گلوبل فنکشن فیلڈ)، جس کی خصوصیت p سے مختلف ہے، اور A اور B K پر دو ابیلین اقسام ہیں۔ ٹیٹ قیاس اس کے بعد پیش گوئی کرتا ہے کہ جہاں HomK (A، B) A سے B تک ابیلین اقسام کے مورفزم کا گروپ ہے، اور دائیں طرف Tp (A) سے Tp (B) تک GK-لکیری نقشوں کا گروپ ہے۔ وہ کیس جہاں K ایک محدود فیلڈ ہے خود ٹیٹ نے 1960 کی دہائی میں ثابت کیا تھا۔ گرڈ فالٹنگز نے اپنے مشہور "مورڈیل پیپر" میں اس معاملے کو ثابت کیا جہاں K ایک نمبر فیلڈ ہے۔ جکوبین کے معاملے میں ایک منحنی خطوط C پر ایک محدود فیلڈ k پر خصوصیت پرائم سے p تک، ٹیٹ ماڈیول کی شناخت جامع توسیع کے گالوئس گروپ کے ساتھ کی جا سکتی ہے جہاں k کی توسیع ہے جس میں اتحاد کے تمام p-پاور کے جڑ ہوتے ہیں اور A (p) کا زیادہ سے زیادہ غیر منظم ابیلین p-ایکسٹینشن ہے۔ نمبر فیلڈ کا ٹیٹ ماڈیول ایک محدود فیلڈ پر منحنی خطوط کے فنکشن فیلڈ کے لیے ٹیٹ ماڈیول کی تفصیل الجبرائی نمبر فیلڈ کے ٹیٹ ماڈیول کی تعریف تجویز کرتی ہے، جو کہ عالمی فیلڈ کی دوسری کلاس ہے، جسے کینکیچی ایواساوا نے متعارف کرایا تھا۔ نمبر فیلڈ K کے لیے ہم کلومیٹر کو پی ایم-پاور روٹس آف یونٹی، کلومیٹر کا اتحاد اور اے (پی) کی زیادہ سے زیادہ غیر منظم ابیلین پی-ایکسٹینشن کے ذریعے توسیع کی نشاندہی کرنے دیتے ہیں۔ تب Tp (K) ایک پرو-p-گروپ ہے اور اس لیے ایک Zp-ماڈیول ہے۔ کلاس فیلڈ تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی ٹی پی (کے) کو معمول کے تحت کلومیٹر کے کلاس گروپ سی ایم کی الٹی حد کے لیے آئسومورفک کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ ایواساوا نے ٹی پی (کے) کو تکمیل زیڈ پی [[ٹی]] پر ایک ماڈیول کے طور پر ظاہر کیا اور اس سے کلاس گروپس سی ایم کی ترتیب میں پی کے ایکسپونینٹ کے لیے ایک فارمولا ظاہر ہوتا ہے۔ فیریرو-واشنگٹن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ μ صفر ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ٹیٹ قیاس آرائی ٹیٹ ٹوسٹ ایواساوا تھیوری نوٹس حوالہ جات ابیلین اقسام کا سیکشن 13