Indecomposable continuum
پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی میں، ایک ناقابل تشکیل تسلسل ایک تسلسل ہے جو ناقابل تشکیل ہے، یعنی۔ اس کا اظہار اس کے کسی بھی دو مناسب ذیلی امتزاج کے اتحاد کے طور پر نہیں کیا جا سکتا۔ 1910 میں، ایل۔ ای۔ جے بروور وہ پہلا شخص تھا جس نے ایک ناقابل تنسیخ تسلسل کو بیان کیا۔ غیر کمپوز ایبل کنٹینوا کو ٹپوولوجسٹوں نے جوابی مثالوں کے ذریعہ کے طور پر استعمال کیا ہے۔ وہ متحرک نظاموں میں بھی پائے جاتے ہیں۔ تعریفیں تسلسل ایک غیر خالی کمپیکٹ منسلک میٹرک جگہ ہے۔ آرک، این-کرہ اور ہلبرٹ کیوب راستے سے جڑے ہوئے تسلسل کی مثالیں ہیں۔ ٹپوولوجسٹ کا سائن وکر ایک مثال ہے غیر راستے سے جڑا ہوا تسلسل، وارسا دائرہ ایک راستے سے جڑا ہوا تسلسل ہے جو مقامی طور پر راستے سے جڑا نہیں ہے۔ تسلسل کا ذیلی سلسلہ ایک بند، جڑا ہوا ذیلی مجموعہ ہے۔ ایک جگہ غیر پیدا شدہ ہوتی ہے اگر وہ کسی ایک نقطہ کے برابر نہ ہو۔ ایک تسلسل سڑنے کے قابل ہوتا ہے اگر دو ذیلی کنٹینوا موجود ہوں اور اس طرح کے کہ اور لیکن۔ یہ اس کے بعد آتا ہے اور غیر پیدا شدہ ہوتا ہے۔ ایک تسلسل جو سڑنے کے قابل نہیں ہے وہ ایک ناقابل تلافی تسلسل ہے۔ ایک تسلسل جس میں ہر ذیلی کنٹینم ناقابل تشکیل ہے اسے موروثی طور پر ناقابل تشکیل کہا جاتا ہے۔ ایک ناقابل تلافی تسلسل کا مرکب ایک زیادہ سے زیادہ سیٹ ہے جس میں کوئی بھی دو نکات کسی مناسب سب کانٹینیم کے اندر ہوتے ہیں۔ ایک تسلسل اور اگر کے درمیان ناقابل تلافی ہے اور کوئی مناسب سب کانٹینیم دونوں نکات پر مشتمل نہیں ہے۔ غیر پیدا شدہ ناقابل تلافی میٹرک تسلسل کے لیے، ایک بے شمار ذیلی سیٹ موجود ہے جو کسی بھی دو نکات کے درمیان ناقابل تلافی ہے۔ 1910 میں ایل۔ ای۔ جے بروور نے ایک ناقابل تنسیخ تسلسل کو بیان کیا جس نے آرتھر مورٹز شینفلیز کے اس قیاس کو غلط قرار دیا کہ اگر کھلے ہیں اور جڑے ہوئے ہیں، تو اس میں جداگانہ سیٹ ایسے ہیں کہ پھر دو بند، جڑے ہوئے مناسب ذیلی سیٹوں کا اتحاد ہونا ضروری ہے۔ زیگمنٹ جینیزیوسکی نے بالٹی ہینڈل کے ایک ورژن سمیت اس طرح کے مزید ناقابل تلافی تسلسل کو بیان کیا۔ تاہم، جانیسزوسکی نے ان تسلسل کی ناقابل تلافی پر توجہ مرکوز کی۔ 1917 میں کونیزو یونیاما نے واڈا کی جھیلوں (جس کا نام ٹیکو واڈا کے نام پر رکھا گیا ہے) کو بیان کیا جس کی مشترکہ حد ناقابل تلافی ہے۔ 1920 کی دہائی میں وارسا اسکول آف میتھمیٹکس ان فنڈامینٹا میتھمیٹیکی نے ان کا مطالعہ پیتھولوجیکل جوابی مثالوں کے بجائے اپنی خاطر کرنا شروع کیا۔ اسٹیفن مزورکیوز وہ پہلے شخص تھے جنہوں نے غیر مطابقت پذیری کی تعریف دی۔ 1922 میں برونسلاو ناسٹر نے فرضی آرک کو بیان کیا، جو موروثی طور پر ناقابل تنسیخ تسلسل کی پہلی مثال ہے۔ بالٹی ہینڈل مثال ناقابل تلافی کنٹینوا اکثر گھونسلے والے چوراہوں کی ترتیب کی حد کے طور پر، یا (زیادہ عام طور پر) کنٹینوا کی ترتیب کی الٹی حد کے طور پر تعمیر کیے جاتے ہیں۔ بکتھنڈل، یا بروور-جینیسزوسکی-ناسٹر تسلسل، کو اکثر ناقابل تلافی تسلسل کی سب سے آسان مثال سمجھا جاتا ہے، اور اس طرح تعمیر کیا جا سکتا ہے (اوپری دائیں دیکھیں)۔ متبادل طور پر، طیارہ میں-محور کے وقفے پر پیش کردہ کینٹر ٹرنیری سیٹ لیں۔ فرض کریں کہ مرکز کے ساتھ اور اختتامی نکات کے ساتھ-محور کے اوپر سیمی سرکلز کا خاندان ہو (جو اس نقطہ کے بارے میں ہم آہنگ ہے)۔ فرض کریں کہ وقفہ کے وسط نقطہ کے مرکز کے ساتھ اور اختتامی نکات کے ساتھ-محور کے نیچے سیمی سرکلز کا خاندان ہے۔ فرض کریں کہ وقفہ کے وسط نقطہ کے مرکز کے ساتھ اور اختتامی نکات کے ساتھ-محور کے نیچے سیمی سرکلز کا خاندان ہے۔ پھر ان سب کا اتحاد بالٹی ہینڈل ہے۔ بالٹی ہینڈل کسی بھی بوریل ٹرانسورسل کو تسلیم نہیں کرتا، یعنی کوئی بوریل سیٹ نہیں ہے جس میں ہر مرکب سے بالکل ایک پوائنٹ موجود ہو۔ خصوصیات ایک لحاظ سے، 'زیادہ تر' مسلسل ناقابل تلافی ہیں۔ میٹرک کے ساتھ ایک سیل، تمام غیر خالی بند ذیلی سیٹوں کا مجموعہ، اور ہاؤزڈورف میٹرک سے لیس تمام منسلک ممبروں کی ہائپر اسپیس کو اس کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ پھر کے نان ڈیجینریٹ انڈی کمپوز ایبل سب کانٹینوا کا سیٹ گھنے ہوتا ہے۔ متحرک نظاموں میں 1932 میں جارج برخوف نے اپنے "قابل ذکر بند منحنی خطوط" کو بیان کیا، جو کہ اینولس کا ایک ہومومورفزم ہے جس میں ایک غیر متغیر تسلسل موجود ہے۔ میری چارپینٹیئر نے دکھایا کہ یہ تسلسل ناقابل تنسیخ تھا، جو ناقابل تنسیخ تسلسل سے متحرک نظاموں تک کی پہلی کڑی تھی۔ ایک مخصوص چھوٹے ہارسشو نقشے کا غیر متغیر سیٹ بالٹی ہینڈل ہے۔ مارسی بارج اور دیگر نے متحرک نظاموں میں ناقابل تلافی تسلسل کا بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا ہے۔ انڈی کمپوزیبلٹی (تعمیری ریاضی) لیکس آف واڈا بھی دیکھیں، طیارہ کے تین کھلے ذیلی مجموعے جن کی حد ایک ناقابل کمپوزیبل تسلسل ہے۔ سولینائڈ سیرپنسکی قالین حوالہ جات بیرونی لنکس بروور کی اس کے ناقابل کمپوزیبل تسلسل کی تصویر کی وضاحت کرتے ہیں جو جریدے کے اگلے سرورق پر ظاہر ہوتا ہے۔ تسلسل کا نظریہ