Direct image functor
ریاضی میں، براہ راست امیج فنکٹر شیف تھیوری میں ایک تعمیر ہے جو عالمی حصوں کے فنکٹر کو رشتہ دار کیس میں عام کرتی ہے۔ یہ ٹوپولوجی اور الجبرائی جیومیٹری میں بنیادی اہمیت کا حامل ہے۔ ٹپوولوجیکل اسپیس X پر بیان کردہ ایک شیف F اور ایک مسلسل نقشہ f: X → Y کو دیکھتے ہوئے، ہم Y پر ایک نئے شیف f ≤ F کی وضاحت کر سکتے ہیں، جسے براہ راست امیج شیف یا f کے ساتھ F کا پش فارورڈ شیف کہا جاتا ہے، جیسے کہ f ≤ F کے عالمی حصے F کے عالمی حصوں کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ یہ تفویض X پر شیوز کے زمرے سے Y پر شیوز کے زمرے میں ایک فنکٹر f ≤ کو جنم دیتی ہے، جسے براہ راست امیج فنکٹر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اسی طرح کی تعمیرات بہت سے دوسرے الجبرائی اور ہندسی سیاق و سباق میں موجود ہیں، جن میں ایک اسکیم پر نیم مربوط شییوز اور ایٹیل شییوز شامل ہیں۔ تعریف f: X → Y کو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا ایک مسلسل نقشہ ہونے دیں، اور Sh (-) کو ٹپوولوجیکل جگہ پر ابیلین گروپوں کے شیوز کے زمرے کی نشاندہی کرنے دیں۔ براہ راست امیج فنکٹر X پر ایک شیف F کو اس کی براہ راست امیج پر بھیجتا ہے، جس کی وضاحت Y کے کھلے ذیلی سیٹوں U پر Y کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یہ Y پر ایک شیف ثابت ہوتا ہے، اور اسے F کے ساتھ F کا براہ راست امیج شیف یا پش فارورڈ شیف کہا جاتا ہے۔ چونکہ شیفس φ: F → G کا X پر مورفزم ایک واضح انداز میں Y پر شیفس f ≤ (φ): f ≤ (F) → f ≤ (G) کی مورفزم کو جنم دیتا ہے، ہمارے پاس واقعی یہ ہے کہ f ≤ ایک فنکٹر ہے۔ مثال اگر Y ایک نقطہ ہے، اور f: X → Y منفرد مسلسل نقشہ ہے، تو Sh (Y) ابیلین گروپوں کا زمرہ Ab ہے، اور براہ راست امیج فنکٹر f ≤: Sh (X) → Ab عالمی حصوں کے فنکٹر کے برابر ہے۔ متغیرات اگر ابیلین گروپوں کے شیئوں کے بجائے سیٹوں کے شیئوں سے نمٹنا ہے، تو وہی تعریف لاگو ہوتی ہے۔ اسی طرح، اگر f: (X, OX) → (Y, OY) رنگڈ خالی جگہوں کی مورفزم ہے، تو ہم OX-ماڈیولز کے شییوز کے زمرے سے OY-ماڈیولز کے شییوز کے زمرے میں ایک براہ راست امیج فنکٹر حاصل کرتے ہیں۔ مزید برآں، اگر f اب نیم کمپیکٹ اور نیم الگ الگ اسکیموں کی مورفزم ہے، تو f ≤ نیم مربوط ہونے کی خاصیت کو محفوظ رکھتا ہے، لہذا ہم نیم مربوط شیوز کے زمروں کے درمیان براہ راست امیج فنکٹر حاصل کرتے ہیں۔ اسی طرح کی تعریف ٹوپوئی پر شییوز پر لاگو ہوتی ہے، جیسے کہ ایٹیل شییوز۔ وہاں، مندرجہ بالا پری امیج f−1 (U) کے بجائے، Y پر U اور X کے فائبر پروڈکٹ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ شیف کیٹیگریز بنانے والی خصوصیات اور براہ راست امیج فنکٹر خود ہی ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے سے لے کر زمروں کے زمرے تک فنکٹر کی وضاحت کرتے ہیں: مسلسل نقشے f: X → Y اور g: Y → Z دیے گئے ہیں، ہمارے پاس (gf) ≤ = g ≤ f ≤ ہے۔ براہ راست امیج فنکٹر الٹا امیج فنکٹر کے بالکل قریب ہے، جس کا مطلب ہے کہ X، Y پر بالترتیب کسی بھی مسلسل اور شییوز کے لیے، ایک قدرتی آئسومورفزم ہے: اگر f ایک بند ذیلی جگہ X-Y کی شمولیت ہے تو f ऱ्ऱं عین مطابق ہے۔ دراصل، اس معاملے میں f ऱ्ऱं X پر شییوز کے زمرے اور X پر سپورٹ شدہ Y پر شییوز کے زمرے کے درمیان ایک مساوات ہے۔ اس کے بعد اس حقیقت سے پتہ چلتا ہے کہ کا ڈنٹھل اگر ہے اور بصورت دیگر صفر ہے (یہاں Y میں X کی بندش استعمال ہوتی ہے)۔ اگر f افائن اسکیموں کی مورفزم ہے جس کا تعین رنگ ہومومورفزم کے ذریعے کیا جاتا ہے، تو نیم مربوط شیوز پر براہ راست امیج فنکٹر f ≤ کی شناخت φ کے ساتھ اسکیلرز فنکٹر کی پابندی کے ساتھ ہوتی ہے۔ اعلی براہ راست تصاویر براہ راست تصویری فنکٹر کو درست چھوڑ دیا جاتا ہے، لیکن عام طور پر درست نہیں ہوتا ہے۔ لہذا کوئی بھی براہ راست تصویر کے صحیح اخذ کردہ فنکٹروں پر غور کر سکتا ہے۔ انہیں اعلی براہ راست تصاویر کہا جاتا ہے اور Rq f ≤ کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ اوپر کی طرح اعلی براہ راست تصاویر کے لیے بھی ایسا ہی اظہار ہے: ایکس پر ایک شیف ایف کے لیے، شیف آر کیو ایف۔ (ایف) پری شیف سے وابستہ شیف ہے، جہاں ایچ کیو شیف کوہمولوجی کی نشاندہی کرتا ہے۔ الجبرائی جیومیٹری اور نیم کمپیکٹ اور نیم الگ الگ اسکیموں کی مورفزم کے تناظر میں، اسی طرح کسی کے پاس نیم مربوط شیوز کے (غیر محدود) اخذ کردہ زمروں کے درمیان فنکٹر کے طور پر صحیح اخذ شدہ فنکٹر ہوتا ہے۔ اس صورت حال میں، ہمیشہ صحیح ملحقہ کو تسلیم کرتے ہیں۔ یہ قریب سے متعلق ہے، لیکن عام طور پر غیر معمولی الٹا امیج فنکٹر کے مساوی نہیں ہے، جب تک کہ یہ بھی مناسب نہ ہو۔ مناسب بنیادی تبدیلی تھیوریم حوالہ جات، خاص طور پر بھی دیکھیں۔ سیکشن II. 4 شیف تھیوری تھیوری آف کنٹینیوئس فنکشنز