Prime decomposition of 3-manifolds
ریاضی میں، 3-مینیفولڈز کے لیے پرائم ڈکمپزیشن تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ہر کمپیکٹ، اورینٹیبل 3-مینیفولڈ پرائم 3-مینیفولڈز کے ایک منفرد (ہومیومورفزم تک) محدود مجموعہ کا منسلک مجموعہ ہے۔ کئی گنا پرائم ہوتا ہے اگر اسے ایک سے زیادہ کئی گنا کے جڑے ہوئے مجموعے کے طور پر پیش نہیں کیا جا سکتا، جن میں سے کوئی بھی ایک ہی جہت کا دائرہ نہیں ہے۔ یہ شرط ضروری ہے کیونکہ طول و عرض کے کسی بھی کئی گنا M کے لیے یہ درست ہے کہ (جہاں کا مطلب ہے اور کا جڑا ہوا مجموعہ)۔ اگر ایک پرائم 3-مینی فولڈ ہے تو یا تو یہ ہے یا اس پر غیر متصل بنڈل ہے یا یہ ناقابل تلافی ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوئی بھی سرایت شدہ 2-کرہ ایک گیند کو پابند کرتا ہے۔ لہذا تھیوریم کو یہ کہنے کے لیے دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے کہ ناقابل تلافی 3-مینیفولڈز اور فائبر بنڈلوں میں ایک منفرد جڑا ہوا مجموعہ سڑنا ہے۔ بنیادی سڑنا غیر متغیر 3-مینیفولڈز کے لیے بھی ہوتا ہے، لیکن انفرادیت کے بیان میں قدرے ترمیم کی جانی چاہیے: ہر کمپیکٹ، غیر متصل 3-مینیفولڈ ناقابل تلافی 3-مینیفولڈز اور غیر متصل بنڈلوں کا ایک جڑا ہوا مجموعہ ہے۔ یہ رقم اس وقت تک منفرد ہے جب تک کہ ہم یہ واضح کرتے ہیں کہ ہر مجموعہ یا تو ناقابل تلافی ہے یا اس پر غیر متصل بنڈل ہے۔ ثبوت عام سطح کی تکنیکوں پر مبنی ہے جو ہیلموتھ کنیسر کی طرف سے شروع ہوئی ہے۔ وجود کو کنیسر نے ثابت کیا تھا، لیکن انفرادیت کی صحیح تشکیل اور ثبوت 30 سال سے زیادہ بعد جان ملنور نے کیا تھا۔ حوالہ جات 3-نقاط تفریقی جیومیٹری میں نظریات کو ظاہر کرتے ہیں