Rotation system
مشترکہ ریاضی میں، گردش کے نظام (جسے مشترکہ سرایت یا مشترکہ نقشے بھی کہا جاتا ہے) ہر سرے کے ارد گرد گراف کے کناروں کی سرکلر ترتیب کو بیان کرتے ہوئے گراف کے سرایت کو قابل سمت سطحوں پر انکوڈ کرتے ہیں۔ گردش کے نظام کی ایک زیادہ رسمی تعریف میں تغیرات کے جوڑے شامل ہیں۔ اس طرح کا جوڑا سطح پر ملٹی گراف، سطح، اور ملٹی گراف کے 2 سیل ایمبیڈنگ کا تعین کرنے کے لیے کافی ہے۔ ہر گردش کی اسکیم ایک بند سمت والی سطح پر جڑے ہوئے ملٹی گراف کی ایک منفرد 2 سیل سرایت کی وضاحت کرتی ہے (واقفیت-محفوظ ٹپوولوجیکل مساوات تک)۔ اس کے برعکس، منسلک ملٹی گراف G کی کسی بھی منسلک بند سطح پر سرایت ایک منفرد گردش کے نظام کی وضاحت کرتی ہے جس میں G اس کے بنیادی ملٹی گراف کے طور پر ہوتا ہے۔ گردش کے نظام اور 2 سیل ایمبیڈنگ کے درمیان یہ بنیادی مساوات پہلی بار 1890 کی دہائی میں لوتھر ہیفٹر نے دوہری شکل میں طے کی تھی اور 1950 کی دہائی کے دوران رنگیل نے اسے بڑے پیمانے پر استعمال کیا تھا۔ آزادانہ طور پر، ایڈمنڈز نے تھیوریم کی ابتدائی شکل دی اور ان کے مطالعے کی تفصیلات کو ینگز نے مقبول بنایا۔ ملٹی گراف کی عمومی شکل گروس اور الپرٹ نے پیش کی تھی۔ گردش کے نظام کا تعلق رینگولڈ اور دیگر کے استعمال کردہ گردش کے نقشوں سے ہے، لیکن ان جیسا نہیں ہے۔ (2002) گراف کے زگ زگ پروڈکٹ کی وضاحت کرنے کے لیے۔ گردش کا نظام ہر سرے کے ارد گرد کناروں کی سرکلر ترتیب کی وضاحت کرتا ہے، جبکہ گردش کا نقشہ ہر سرے پر کناروں کی (غیر سرکلر) ترتیب کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے علاوہ، گردش کے نظام کو کسی بھی گراف کے لیے بیان کیا جا سکتا ہے، جبکہ رینگولڈ اور دیگر کے طور پر۔ ان کی وضاحت کریں گردش کے نقشے باقاعدہ گراف تک محدود ہیں۔ رسمی تعریف رسمی طور پر، ایک گردش کے نظام کو ایک جوڑے (σ، θ) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جہاں σ اور θ ایک ہی گراؤنڈ سیٹ B پر کام کرنے والی ترتیبات ہیں، θ ایک فکسڈ پوائنٹ فری انوولیوشن ہے، اور σ اور θ کے ذریعہ تیار کردہ گروپ <σ، θ> B پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ ایک مربوط سطح پر جڑے ہوئے ملٹی گراف G کے 2 سیل ایمبیڈنگ سے گردش کا نظام حاصل کرنے کے لیے، B کو G کے ڈارٹس (یا جھنڈے، یا نصف کنارے) پر مشتمل ہونے دیں ؛ یعنی، G کے ہر کنارے کے لیے ہم B کے دو عناصر بناتے ہیں، کنارے کے ہر اختتامی نقطہ کے لیے ایک۔ یہاں تک کہ جب کسی کنارے کا دونوں اختتامی نکات ایک ہی ہوتے ہیں، تب بھی ہم اس کنارے کے لیے دو ڈارٹس بناتے ہیں۔ ہم θ (b) کو اسی کنارے سے بنا ہوا دوسرا ڈارٹ ہونے دیتے ہیں جیسا کہ b ؛ یہ واضح طور پر ایک انوولیوشن ہے جس میں کوئی فکسڈ پوائنٹ نہیں ہے۔ ہم σ (b) کو گھڑی کی سمت میں ڈارٹ ہونے دیتے ہیں جو b سے ایک ہی سرے پر واقع کناروں کی چکور ترتیب میں ہوتا ہے، جہاں "گھڑی کی سمت" کی تعریف سطح کی سمت سے کی جاتی ہے۔ اگر ایک ملٹی گراف ایک سمت کے قابل لیکن غیر سمت کی سطح پر سرایت شدہ ہے، تو یہ عام طور پر دو گردش کے نظام سے مطابقت رکھتا ہے، سطح کے دو سمتوں میں سے ہر ایک کے لیے ایک۔ ان دونوں گردش کے نظاموں میں ایک ہی ارتقاء θ ہے، لیکن ایک گردش کے نظام کے لیے تعدد σ دوسرے گردش کے نظام کے لیے متعلقہ تعدد کا الٹا ہے۔ گردش کے نظام سے سرایت کو بازیافت کرنا گردش کے نظام سے ملٹی گراف کو بازیافت کرنے کے لیے، ہم σ کے ہر مدار کے لیے ایک ورٹیکس بناتے ہیں، اور θ کے ہر مدار کے لیے ایک کنارے بناتے ہیں۔ ایک ورٹیکس ایک کنارے کے ساتھ واقع ہوتا ہے اگر ان دونوں مداروں کا غیر خالی چوراہا ہو۔ اس طرح، فی سرے کے واقعات کی تعداد مدار کا سائز ہے، اور فی کنارے کے واقعات کی تعداد بالکل دو ہے۔ اگر ایک گردش کا نظام جڑے ہوئے ملٹی گراف G کے 2 سیل ایمبیڈنگ سے اخذ کیا گیا ہے، تو گردش کے نظام سے اخذ کردہ گراف G کے لیے آئسومورفک ہے۔ گردش کے نظام سے اخذ کردہ گراف کو کسی سطح پر نصب کرنے کے لیے، σθ کے ہر مدار کے لیے ایک ڈسک بنائیں، اور جب بھی e سے مطابقت رکھنے والے دو ڈارٹس ان ڈسکوں سے مطابقت رکھنے والے دو مداروں سے تعلق رکھتے ہیں تو ایک کنارے e کے ساتھ دو ڈسکوں کو ایک ساتھ چپکائیں۔ نتیجہ اخذ شدہ ملٹی گراف کا 2 سیل ایمبیڈنگ ہے، جن میں سے دو سیل σθ کے مداروں سے مطابقت رکھنے والی ڈسک ہیں۔ اس سرایت کی سطح کو اس طرح سے ترتیب دیا جا سکتا ہے کہ ہر سرے کے ارد گرد کناروں کی گھڑی کی سمت ترتیب σ کے ذریعہ دی گئی گھڑی کی سمت ترتیب کے برابر ہو۔ سرایت کی سطح کی خصوصیت یولر فارمولے کے مطابق ہم گردش کے نظام کے ذریعہ بیان کردہ بند سمت کی سطح کی جینس g کا اندازہ لگا سکتے ہیں (یعنی وہ سطح جس پر بنیادی ملٹی گراف 2 سیل سرایت شدہ ہے)۔ اس پر توجہ دیں، اور۔ ہم دیکھتے ہیں کہ جہاں پرموٹیشن کے مداروں کے سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ مشترکہ نقشہ نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ٹوپوولوجیکل گراف تھیوری