Complete intersection
ریاضی میں، پروجیکٹو اسپیس میں الجبرائی قسم V ایک مکمل انٹرسیکشن ہے اگر V کا آئیڈیل بالکل کوڈم V عناصر سے پیدا ہوتا ہے۔ یعنی، اگر V کا طول و عرض m ہے اور پروجیکٹو اسپیس Pn میں واقع ہے، تو n − m یکساں کثیر الجہتی موجود ہونے چاہئیں: یکساں نقاط Xj میں، جو دیگر تمام یکساں کثیر الجہتی پیدا کرتے ہیں جو V پر غائب ہو جاتے ہیں۔ ہندسی طور پر، ہر فائی ایک ہائپر سرفیس کی وضاحت کرتا ہے۔ ان ہائپر سرفیس کا چوراہا V ہونا چاہیے۔ ہائپر سرفیس کا چوراہا ہمیشہ کم از کم m طول و عرض کا ہوگا، یہ فرض کرتے ہوئے کہ اسکیلرز کا فیلڈ الجبرائی طور پر بند فیلڈ ہے جیسے کہ پیچیدہ نمبر۔ بنیادی طور پر سوال یہ ہے کہ کیا ہم طول و عرض کو m تک لے جا سکتے ہیں، جس کے چوراہے میں کوئی اضافی پوائنٹ نہیں ہے؟ کوڈیمینشن ہوتے ہی اس حالت کی جانچ کرنا کافی مشکل ہے۔ تب V خود بخود ایک ہائپر سرفیس ہوتا ہے اور ثابت کرنے کے لیے کچھ نہیں ہوتا۔ مثالیں مکمل چوراہوں کی آسان مثالیں ہائپر سرفیس کے ذریعے دی جاتی ہیں جن کی تعریف ایک واحد کثیر الجہتی کے غائب ہونے والے لوکس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک کوئنٹک تین گنا کی مثال دیتا ہے۔ دو یا زیادہ واضح مثالوں (بیسٹیاری) کا استعمال کرتے ہوئے اعلی جہتی اقسام کے مکمل چوراہوں کی واضح مثالیں تلاش کرنا مشکل ہو سکتا ہے، لیکن، غیر مثالیں ٹوسٹڈ کیوبک کی طرف سے دی گئی 3 گنا قسم کی ایک واضح مثال ہے۔ مقامی مکمل چوراہوں کی تعمیر کے لیے ایک طریقہ یہ ہے کہ ایک پروجیکٹو مکمل چوراہوں کی قسم کو لے کر اسے اعلی جہتی پروجیکٹو اسپیس میں سرایت کیا جائے۔ اس کی ایک عمدہ مثال مڑے ہوئے کیوبک میں ہے: یہ ایک ہموار مقامی مکمل چوراہا ہے جس کا مطلب ہے کہ کسی بھی چارٹ میں اسے دو کثیر الجہتی کے غائب ہونے والے لوکس کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے، لیکن عالمی سطح پر اس کا اظہار دو سے زیادہ کثیر الجہتی کے غائب ہونے والے لوکس سے ہوتا ہے۔ ہم اسے بہت زیادہ لائن بنڈل کا استعمال کرتے ہوئے سرایت دے کر بنا سکتے ہیں۔ اگر ہم سرایت کو درج ذیل تعلقات دیتے ہیں: اس لیے مڑا ہوا کیوبک طول و عرض میں مختلف اقسام کا اتحاد ہے۔ ایک غیر مکمل چوراہے کی تعمیر کا ایک اور آسان طریقہ، جو کبھی بھی مقامی مکمل چوراہے نہیں ہو سکتا، دو مختلف اقسام کا اتحاد لینا ہے جہاں ان کے طول و عرض متفق نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک نقطہ پر ایک لکیر اور ایک طیارہ کا آپس میں ملنا اس رجحان کی ایک بہترین مثال ہے۔ یہ ملٹی گرین اسکیم کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ ایک مکمل چوراہے میں ایک ملٹی گرین ہوتا ہے، جسے ہائپر سرفیس کی وضاحت کی ڈگریوں کے ٹپل (مناسب طور پر اگرچہ ایک ملٹی سیٹ) کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، پی 3 میں کواڈریکس کو دوبارہ لینا، (2,2) ان میں سے دو کے مکمل چوراہے کا ملٹی گرین ہے، جو کہ جب وہ عام پوزیشن میں ہوتے ہیں تو ایک الپٹک وکر ہوتا ہے۔ پیچیدہ ہموار مکمل چوراہوں کے ہج نمبروں پر کونیہیکو کوڈیرا نے کام کیا تھا۔ عمومی پوزیشن مزید بہتر سوالات کے لیے، چوراہے کی نوعیت کو زیادہ قریب سے حل کرنا ہوگا۔ ہائپر سرفیس کو ٹرانسورسلٹی کی حالت کو پورا کرنے کے لیے درکار ہو سکتا ہے (جیسے ان کی ٹینجینٹ خالی جگہیں چوراہے کے مقامات پر عام پوزیشن میں ہوں)۔ انٹرسیکشن اسکیم تھیوریٹک ہو سکتا ہے، دوسرے لفظوں میں یہاں فائی (X0،.، Xn) کے ذریعہ تیار کردہ یکساں آئیڈیل کو V کا وضاحتی آئیڈیل ہونا ضروری ہو سکتا ہے، نہ کہ صرف صحیح ریڈیکل۔ تبادلہ الجبرہ میں، مکمل چوراہے کی حالت کا باقاعدہ ترتیب کی اصطلاحات میں ترجمہ کیا جاتا ہے، جس سے مقامی مکمل چوراہے کی تعریف کی اجازت ملتی ہے، یا کچھ لوکلائزیشن کے بعد ایک آئیڈیل میں باقاعدہ ترتیب کی وضاحت ہوتی ہے۔ چونکہ طول و عرض کے مکمل چوراہے ہائپرپلین حصوں کا چوراہا ہیں، اس لیے ہم اس کا اندازہ لگانے کے لیے لیفشیٹز ہائپرپلین تھیوریم کا استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے علاوہ، یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ یونیورسل کوفشنٹ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ہومیولوجی گروپ ہمیشہ ٹورسن فری ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مڈل ہومیولوجی گروپ کا تعین خلا کی اویلر خصوصیت سے ہوتا ہے۔ اویلر کی خصوصیت ہرزبروچ نے ملٹی ڈگری کے تمام مکمل چوراہوں کے طول و عرض کا حساب لگانے کے لیے ایک جنریٹنگ فنکشن دیا۔ یہ حوالہ جات بیرونی لنکس پڑھتا ہے۔ مینی فولڈ اٹلس الجبرائی جیومیٹری میں مکمل چوراہے۔