Padé approximant
ریاضی میں، پیڈ کا تخمینہ دی گئی ترتیب کے عقلی فعل کے ذریعہ کسی مخصوص نقطہ کے قریب کسی فنکشن کا "بہترین" تخمینہ ہے۔ اس تکنیک کے تحت، لگ بھگ پاور سیریز اس فنکشن کی پاور سیریز سے متفق ہے جس کا یہ تخمینہ لگا رہا ہے۔ یہ تکنیک 1890 کے آس پاس ہنری پیڈ نے تیار کی تھی، لیکن جارج فروبینیوس کے پاس واپس جاتی ہے، جس نے اس خیال کو متعارف کرایا اور پاور سیریز کے عقلی تخمینوں کی خصوصیات کی تحقیقات کی۔ پیڈ کا تخمینہ اکثر اس کی ٹیلر سیریز کو کاٹنے سے فنکشن کا بہتر تخمینہ دیتا ہے، اور یہ اب بھی کام کر سکتا ہے جہاں ٹیلر سیریز یکجا نہیں ہوتی ہے۔ ان وجوہات کی بناء پر پیڈے کے تخمینے کمپیوٹر کے حسابات میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ انہیں ڈیوفنٹائن تخمینہ اور ماورائی نمبر تھیوری میں معاون افعال کے طور پر بھی استعمال کیا گیا ہے، حالانکہ تیز نتائج کے لیے ایڈہاک طریقے-کچھ معنوں میں پیڈ تھیوری سے متاثر-عام طور پر ان کی جگہ لے لیتے ہیں۔ چونکہ پیڈ تخمینہ ایک عقلی فعل ہے، اس لیے ایک مصنوعی واحد نقطہ تخمینہ کے طور پر ظاہر ہو سکتا ہے، لیکن اس سے بوریل-پیڈ تجزیہ کے ذریعے بچا جا سکتا ہے۔ کثیر نکاتی خلاصہ کے طریقہ کار کے نقطہ نظر سے پیڈے کا تخمینہ تراشنے والی ٹیلر سیریز سے بہتر تخمینہ ہونے کی وجہ واضح ہے۔ چونکہ بہت سے ایسے معاملات ہیں جن میں انفینٹی پر ایسمپٹوٹک توسیع 0 یا مستقل ہو جاتی ہے، اس کی تشریح "نامکمل دو نکاتی پیڈ تخمینہ" کے طور پر کی جا سکتی ہے، جس میں عام پیڈ تخمینہ ٹیلر سیریز کو کاٹنے کے طریقہ کار کو بہتر بناتا ہے۔ تعریف ایک فنکشن f اور دو انٹیجرز m ≤ 0 اور n ≤ 1 کو دیکھتے ہوئے، آرڈر [m/n] کا پیڈ تخمینہ وہ عقلی فنکشن ہے جو f (x) کے ساتھ اعلی ترین ممکنہ ترتیب سے اتفاق کرتا ہے، جو مساوی طور پر، اگر میکلورین سیریز (0 پر ٹیلر سیریز) میں توسیع کی جاتی ہے، تو اس کی پہلی اصطلاحات کی پہلی اصطلاحات کے برابر ہوں گی، اور اس طرح جب یہ موجود ہوتا ہے، پیڈ تخمینہ دیئے گئے m اور n کے لیے ایک رسمی پاور سیریز کے طور پر منفرد ہوتا ہے۔ اوپر بیان کردہ پیڈ تخمینہ کو کمپیوٹیشن کے طور پر بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ دیئے گئے x کے لیے، پیڈ تخمینہ کو وین کے ایپسلون الگورتھم اور اس سے دیگر ترتیب کی تبدیلیوں کے ذریعے بھی شمار کیا جا سکتا ہے۔ پیڈ لگ بھگ کا حساب لگانے کا ایک طریقہ کثیر الجہتی سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے لیے توسیعی یوکلڈین الگورتھم کے ذریعے ہے۔ رشتہ کسی عنصر کے وجود کے مساوی ہے جیسے کہ جس کی تشریح کثیر الجہتی کے توسیعی سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے حساب میں ایک قدم کی بیزوٹ شناخت کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ یاد رکھیں کہ، دو کثیر الجہتی p اور q کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کا حساب لگانے کے لیے، ایک طویل تقسیم کے ذریعے بقیہ ترتیب k = 1، 2، 3، کے ساتھ، تک کا حساب لگاتا ہے۔ توسیع شدہ سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کی بیزاوٹ شناختوں کے لیے ہر مرحلے میں بیزاوٹ شناخت حاصل کرنے کے لیے بیک وقت دو کثیر الجہتی ترتیبات کا حساب لگاتا ہے۔ [m/n] تخمینہ کے لیے، اس طرح ایک توسیع شدہ یوکلڈین الگورتھم انجام دیتا ہے اور اسے آخری لمحے پر روکتا ہے جس کی ڈگری n یا اس سے چھوٹی ہوتی ہے۔ پھر کثیر الجہتی [m/n] پیڈ کا تخمینہ دیتے ہیں۔ اگر کوئی توسیعی سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے حساب کے تمام مراحل کا حساب لگاتا ہے، تو کوئی پیڈ ٹیبل کا مخالف اخترن حاصل کرے گا۔ ریمن-پیڈ زیٹا فنکشن ایک متفرق سیریز کے دوبارہ مجموعہ کا مطالعہ کرنے کے لیے، کہیں کہ پیڈ یا محض عقلی زیٹا فنکشن کو متعارف کرانا مفید ہو سکتا ہے کیونکہ فنکشن f (x) کی ترتیب (m، n) کا پیڈ تخمینہ کہاں ہے۔ s = 0 پر زیٹا ریگولرائزیشن ویلیو کو متفرق سیریز کا مجموعہ سمجھا جاتا ہے۔ اس پیڈ زیٹا فنکشن کے لیے فنکشنل مساوات وہ ہے جہاں پیڈ تخمینہ میں aj اور bj گتانک ہیں۔ سبسکرپٹ '0' کا مطلب ہے کہ پیڈ ترتیب [0/0] کا ہے اور اس لیے ہمارے پاس ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ ڈی لاگ پیڈ طریقہ پیڈ تخمینہ کو اہم نکات اور افعال کے نمائندوں کو نکالنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تھرموڈینامکس میں، اگر کوئی فنکشن f (x) ایک نقطہ x = r کے قریب غیر تجزیاتی انداز میں برتاؤ کرتا ہے، تو کوئی x = r کو ایک اہم نقطہ اور p کو f کا متعلقہ اہم متغیر کہتا ہے۔ اگر f کی سیریز کی توسیع کی کافی اصطلاحات معلوم ہوں، تو کوئی تقریبا تنقیدی نکات اور تنقیدی متغیرات کو بالترتیب پیڈ کے قطبوں اور باقیات سے نکال سکتا ہے، جہاں۔ عامیاں ایک پیڈ کا تخمینہ ایک متغیر میں ایک فنکشن کا تخمینہ لگاتا ہے۔ دو متغیرات میں ایک تخمینہ کو چشولم تخمینہ (جے ایس آر چشولم کے بعد) کہا جاتا ہے، متعدد متغیرات میں کینٹربری تخمینہ (کینٹ یونیورسٹی میں گریوز موریس کے بعد)۔ دو نکاتی پیڈ کا تخمینہ روایتی پیڈ کا تخمینہ میکلورین کی توسیع کو ایک دی گئی ترتیب تک دوبارہ پیش کرنے کے لیے طے کیا جاتا ہے۔ لہذا، توسیعی نقطہ کے علاوہ قیمت کا تخمینہ ناقص ہو سکتا ہے۔ اس سے 2 نکاتی پیڈ تخمینہ سے بچا جاتا ہے، جو کہ ایک قسم کا ملٹی پوائنٹ سمیشن طریقہ ہے۔ پر، اس معاملے پر غور کریں کہ ایک فنکشن جس کا اظہار ایسمپٹوٹک رویے سے ہوتا ہے: اور پر، اضافی ایسمپٹوٹک رویے: کے بڑے رویے کو منتخب کرنے سے، تقریبا افعال جیسے کہ بیک وقت پیڈ تخمینہ تیار کرکے ایسمپٹوٹک رویے کو دوبارہ پیش کرتے ہیں، مختلف معاملات میں پایا جا سکتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، اس مقام پر، جہاں عام پیڈ تخمینہ میں تخمینہ کی درستگی بدترین ہو سکتی ہے، 2-پوائنٹ پیڈ تخمینہ کی اچھی درستگی کی ضمانت دی جاتی ہے۔ لہذا، 2 نکاتی پیڈ تخمینہ ایک ایسا طریقہ ہو سکتا ہے جو عالمی سطح پر اس کے لیے ایک اچھا تخمینہ دیتا ہے۔ ایسے معاملات میں جہاں کثیر الجہتی یا منفی طاقتوں کی سیریز، ایکسپونینشل فنکشن، لوگرتھمک فنکشن کے ذریعہ اظہار کیا جاتا ہے یا، ہم 2 نکاتی پیڈ کو لگ بھگ لاگو کر سکتے ہیں۔ اعلی درستگی کے ساتھ تفریق مساوات کا تخمینہ حل دینے کے لیے اس کا استعمال کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ نیز، ریمن زیٹا فنکشن کے غیر معمولی صفر کے لیے، پہلے غیر معمولی صفر کا تخمینہ حقیقی محور پر غیر علامتی رویے سے کچھ درستگی کے ساتھ لگایا جا سکتا ہے۔ ملٹی پوائنٹ پیڈ تخمینہ 2 نکاتی پیڈ تخمینہ کی مزید توسیع ملٹی پوائنٹ پیڈ تخمینہ ہے۔ یہ طریقہ کسی فنکشن کے یکسانیت کے نکات کا علاج کرتا ہے جس کا تخمینہ لگانا ہے۔ ان صورتوں پر غور کریں جب کسی فنکشن کی انفرادیت کا اظہار انڈیکس کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ 2 نکاتی پیڈ کے تخمینہ کے علاوہ، جس میں معلومات شامل ہیں، یہ طریقہ ڈائیورجنگ کی خاصیت کو کم کرنے کے لیے لگ بھگ ہے۔ نتیجے کے طور پر، چونکہ فنکشن کی خاصیت کی معلومات حاصل کی جاتی ہے، اس لیے کسی فنکشن کا تخمینہ زیادہ درستگی کے ساتھ انجام دیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر جیکوبی بیسیل فریسنل بھی دیکھیں پیڈ ٹیبل بھاسکر اول کا سائن تخمینہ فارمولا حوالہ جات ادب بیکر، جی اے، جونیئر ؛ اور گریوز موریس، پی پیڈ اپروکسیمینٹس۔ کیمبرج یو۔ پی، 1996۔ بیکر، جی اے، جونیئر پیڈ لگ بھگ، اسکالرپیڈیا، 7 (6): 9756۔ بریزنسکی، سی۔ ریڈیو زگلیا، ایم۔ ایکسٹریپولیشن میتھڈز۔ نظریہ اور عمل۔ نارتھ ہالینڈ، 1991۔ فروبینیوس، جی۔ ؛، [جرنل فر ڈائی رین اینڈ انجیوانڈے میتھمیٹک (کریلیز جرنل)]۔ جلد 1881، شمارہ 90، صفحات 1-17۔ گریگ، ڈبلیو۔ بی۔ پیڈ ٹیبل اور اس کا عددی تجزیہ کے بعض الگورتھم سے تعلق [ایس آئی اے ایم ریویو]، جلد۔ 14، نہیں۔ 1، 1972، پی پی۔ 1-62۔ پیڈ، ایچ۔، تھیسس، [این۔ ایکول اور نہیں۔ (3)، 9، 1892، پی پی۔ 1-93 ضمیمہ۔ ۔ بیرونی روابط پیڈے اپروکسیمینٹس، اولیکسینڈر پاولک، دی وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ۔ ڈیٹا تجزیہ مختصر کتاب: پیڈ اپروکسیمیشن، روڈولف کے بوک یورپی لیبارٹری برائے پارٹیکل فزکس، سی ای آر این۔ سین ویو، سکاٹ ڈیٹالو، آخری بار رسائی حاصل کی گئی 2010-11-11۔ وقت کی تاخیر کے ساتھ ماڈلز کے پیڈ تخمینہ کے لیے MATLAB فنکشن۔ مسلسل فریکشن عددی تجزیہ عقلی افعال