Schubert calculus
ریاضی میں، شوبرٹ کیلکولس الجبرائی جیومیٹری کی ایک شاخ ہے جسے انیسویں صدی میں ہرمن شوبرٹ نے متعارف کرایا تھا، تاکہ پروجیکٹو جیومیٹری (عددی جیومیٹری کا حصہ) کے گنتی کے مختلف مسائل کو حل کیا جا سکے۔ یہ کئی اور جدید نظریات کا پیش خیمہ تھا، مثال کے طور پر خصوصیت کی کلاسیں، اور خاص طور پر اس کے الگورتھمک پہلو اب بھی موجودہ دلچسپی کے حامل ہیں۔ شبرٹ کیلکولس کی اصطلاح بعض اوقات ویکٹر اسپیس کی لکیری ذیلی جگہوں کی عددی جیومیٹری کے معنی میں استعمال ہوتی ہے، جو تقریبا گراس مینین کے کوہمولوجی رنگ کو بیان کرنے کے مساوی ہے۔ بعض اوقات اس کا مطلب الجبرائی اقسام کی زیادہ عمومی عددی جیومیٹری کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو سادہ لائ گروپوں کی یکساں خالی جگہیں ہیں۔ اس سے بھی زیادہ عام طور پر، شوبرٹ کیلکولس کو اکثر عام کوہمولوجی کے نظریات میں مماثل سوالات کے مطالعہ کو شامل کرنے کے لیے سمجھا جاتا ہے۔ شوبرٹ کی طرف سے متعارف کرائی گئی اشیاء شوبرٹ خلیات ہیں، جو گراس مینین میں مقامی طور پر بند سیٹ ہیں جن کی وضاحت کسی دیئے گئے پرچم کے ساتھ پروجیکٹو اسپیس میں لکیری سب اسپیس کے واقعات کے حالات سے ہوتی ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے شوبرٹ قسم دیکھیں۔ ان خلیوں کا انٹرسیکشن تھیوری، جسے متعلقہ کوہمولوجی کلاسوں کے گراس مینین کے کوہمولوجی رنگ میں پروڈکٹ ڈھانچے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، اصولی طور پر ان صورتوں کی پیش گوئی کی اجازت دیتا ہے جہاں خلیوں کے چوراہوں کے نتیجے میں پوائنٹس کا ایک محدود مجموعہ ہوتا ہے، جو ممکنہ طور پر عددی سوالات کے ٹھوس جوابات ہوتے ہیں۔ ایک اہم نتیجہ یہ ہے کہ شوبرٹ خلیات (یا اس کے بجائے، ان کے زرسکی بند ہونے کی کلاسیں، شوبرٹ سائیکل یا شوبرٹ اقسام) پورے کوہمولوجی رنگ میں پھیلے ہوئے ہیں۔ مشترکہ پہلو بنیادی طور پر شوبرٹ سائیکلوں کے کمپیوٹنگ چوراہوں کے سلسلے میں پیدا ہوتے ہیں۔ گراس مینین، جو کہ ایک یکساں جگہ ہے، سے لے کر اس پر عمل کرنے والے عمومی لکیری گروپ تک، اسی طرح کے سوالات بروہاٹ سڑنے اور پیرابولک ذیلی گروپوں کی درجہ بندی (بلاک ٹرینگولر میٹرکس کے طور پر) میں شامل ہیں۔ شوبرٹ کے نظام کو سخت بنیاد پر رکھنا ہلبرٹ کا پندرہواں مسئلہ تھا۔ تعمیراتی شوبرٹ کیلکولس کو گراس مینین کے چو رنگ کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جا سکتا ہے، جہاں پیدا کرنے والے چکروں کی نمائندگی ہندسی طور پر متعین ڈیٹا کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ایک مقررہ جہتی ویکٹر اسپیس میں-طیاروں کے گراس مینین کو اس طرح ظاہر کریں، اور اس کی چو رنگ کو اس طرح ظاہر کریں۔ نوٹ کریں کہ گراس مینین کو بعض اوقات اس صورت میں ظاہر کیا جاتا ہے جب ویکٹر کی جگہ واضح طور پر نہیں دی جاتی ہے یا جیسے کہ ماحول کی جگہ اور اس کی جہتی ذیلی جگہوں کو ان کے پروجیکشن سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ انٹیجرز کے ہر کمزور طور پر کم ہوتے ہوئے-ٹپل کے لیے ایک (من مانی) مکمل پرچم کا انتخاب کرنا، جہاں یعنی وزن کی ہر تقسیم کے لیے جس کا نوجوان خاکہ آئتاکار میں فٹ بیٹھتا ہے، ہم ایک شوبرٹ قسم (یا شوبرٹ سائیکل) کو جوڑتے ہیں، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ یہ شوبرٹ سیل کی، زرسکی ٹوپولوجی میں، بندش ہے جو چو رنگ کے بجائے سیلولر ہومیولوجی پر غور کرتے وقت استعمال ہوتی ہے۔ مؤخر الذکر جداگانہ افائن خالی جگہیں ہیں، طول و عرض کی، جن کا اتحاد ہے۔ چونکہ ہومولوجی کلاس، جسے شوبرٹ کلاس کہا جاتا ہے، مکمل پرچم کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے، اس لیے اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ یہ کلاسیں لکیری طور پر آزاد ہیں اور چو رنگ کو اپنے لکیری دورانیہ کے طور پر پیدا کرتی ہیں۔ متعلقہ انٹرسیکشن تھیوری کو شوبرٹ کیلکولس کہا جاتا ہے۔ شوبرٹ کلاس کے ساتھ دی گئی ترتیب کے لیے عام طور پر صرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ ایک واحد عدد (یعنی افقی تقسیم) کے ذریعہ دی گئی شوبرٹ کلاسیں خصوصی کلاسیں کہلاتی ہیں۔ نیچے دیے گئے گیمبیلی فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ان خصوصی کلاسوں سے تمام شوبرٹ کلاسز تیار کی جا سکتی ہیں۔ کچھ ذرائع میں، شوبرٹ خلیوں اور شوبرٹ کی اقسام کو مختلف طور پر لیبل کیا جاتا ہے، بالترتیب، جہاں تکمیلی تقسیم ہے، حصوں کے ساتھ، جس کا نوجوان خاکہ آئتاکار کے اندر ایک کی تکمیل ہے (الٹا، افقی اور عمودی دونوں)۔ ایک اور لیبلنگ کنونشن کے لیے اور ہے اور، بالترتیب، جہاں ملٹی انڈیکس کی تعریف یا، متبادل طور پر، کے ذریعے کی جاتی ہے۔ وضاحت تعریف کی وضاحت کے لیے، ایک عام سطح پر غور کریں۔ اس کے ساتھ صرف ایک صفر چوراہا ہوگا، جبکہ مثال کے طور پر، میں، ایک-طیارہ پانچ آزاد یکساں لکیری مساوات کے نظام کا حل جگہ ہے۔ یہ مساوات عام طور پر اس وقت پھیلیں گی جب ان کے ساتھ ذیلی جگہ تک محدود ہو، اس صورت میں حل کی جگہ (کے ساتھ کا چوراہا) صرف صفر ویکٹر پر مشتمل ہوگا۔ تاہم، اگر، اور لازمی طور پر غیر صفر چوراہا ہوگا۔ مثال کے طور پر، کے انٹرسیکشن کا متوقع طول و عرض اور ہے، کا انٹرسیکشن اور متوقع طول و عرض ہے، اور اسی طرح۔ شوبرٹ قسم کی تعریف میں کہا گیا ہے کہ ساتھ کی پہلی قیمت عام طور پر پیرامیٹر کے لحاظ سے متوقع قیمت سے کم ہوتی ہے۔ ان رکاوٹوں کے ذریعہ دیئے گئے-پلین پھر ان کی خصوصی ذیلی اقسام کی وضاحت کرتے ہیں۔ خصوصیات کی شمولیت تمام-ٹپلوں پر جزوی ترتیب ہے جہاں ہر ایک کے لیے اگر۔ اس سے شوبرٹ اقسام کی شمولیت ہوتی ہے جس سے اشاریہ جات میں اضافہ ظاہر ہوتا ہے جو ذیلی اقسام کی اور بھی بڑی تخصص سے مطابقت رکھتا ہے۔ طول و عرض کا فارمولا ایک شوبرٹ قسم کا طول و عرض تقسیم کے وزن کے برابر ہوتا ہے۔ متبادل طور پر، اوپر بتائے گئے نوٹیشنل کنونشن میں، اس کا کوڈیمینشن جہتی آئتاکار ینگ ڈایگرام میں تکمیلی پارٹیشن کا وزن ہے۔ یہ گراس مینینوں کی شمولیت کے تحت مستحکم ہے۔ یعنی، شمولیت کی تعریف کی گئی ہے، کیونکہ، پراپرٹی اور شمولیت کی وضاحت ہر-طیارہ میں اضافی بنیادی عنصر کو شامل کرکے، ایک-طیارہ دینے کے ساتھ ساتھ انٹرسیکشن پروڈکٹ بھی کرتا ہے۔ انٹرسیکشن پروڈکٹ سب سے پہلے پیری اور گیمبیلی فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے قائم کیا گیا تھا۔ پیری فارمولا خاص صورت میں، ایک صوابدیدی شوبرٹ کلاس کے ساتھ پروڈکٹ کا ایک واضح فارمولا ہے جس کے ذریعہ تقسیم کے وزن کہاں ہیں۔ اسے پیری فارمولا کہا جاتا ہے، اور جب گیمبیلی فارمولے کے ساتھ ملایا جائے تو اسے کسی بھی دو شوبرٹ کلاسوں کے انٹرسیکشن پروڈکٹ کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اور کسی بھی لمبائی کے پارٹیشن کے لیے گیمبیلی فارمولا شوبرٹ کلاسز کو ایک میٹرکس کے تعین کنندہ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جس میں اندراجات کے طور پر خصوصی کلاسز ہوں۔ اسے گیمبلی فارمولا کہا جاتا ہے۔ اس کی شکل پہلی جیکوبی-ٹروڈی شناخت جیسی ہی ہے، جو مکمل سمیٹرک افعال کے لحاظ سے من مانی شور افعال کو تعین کنندگان کے طور پر ظاہر کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، اور جنرل کیس شوبرٹ کلاسوں کے کسی بھی جوڑے کے درمیان انٹرسیکشن پروڈکٹ اس طرح دیا جاتا ہے کہ لٹل ووڈ-رچرڈسن کوفیشنٹس کہاں ہیں۔ پیری فارمولا اس کا ایک خاص معاملہ ہے، جب اس کی لمبائی ہوتی ہے۔ چرن کلاسوں کے ساتھ تعلق دو قدرتی ویکٹر بنڈلوں کی چرن کلاسوں کا استعمال کرتے ہوئے گراس مینین کے کوہمولوجی رنگ، یا چو رنگ کی ایک آسان وضاحت ہے۔ ہمارے پاس ویکٹر بنڈلوں کی عین مطابق ترتیب ہے جہاں ٹاٹولوجیکل بنڈل ہے جس کا فائبر، کسی بھی عنصر کے اوپر خود سب اسپیس ہے، رینک کا معمولی ویکٹر بنڈل ہے، فائبر کے ساتھ اور رینک کا حصص ویکٹر بنڈل ہے، فائبر کے ساتھ۔ بنڈلوں کی چرن کلاسیں اور وہ تقسیم کہاں ہے جس کا نوجوان خاکہ لمبائی کے ایک کالم پر مشتمل ہے اور ٹاٹولوجیکل ترتیب پھر چو رنگ کی پیشکش دیتا ہے کیونکہ تجزیہ کردہ کلاسیکی مثالوں میں سے ایک گراس مینین ہے کیونکہ یہ لائنوں کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ چو رنگ کا استعمال کرتے ہوئے، شوبرٹ کیلکولس کو کیوبک سطح کیوبک سطح پر لائنوں کی تعداد کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ چو رنگ چو رنگ میں پریزنٹیشن ہوتی ہے اور ایک درجہ بند ابیلین گروپ کے طور پر یہ ایک کیوبک سطح پر لائنوں کے ذریعہ دیا جاتا ہے یاد رکھیں کہ اس میں ایک لائن طول و عرض کو دو ذیلی جگہ دیتی ہے، لہذا اس کا ایک عنصر ہے۔ نیز، کسی لکیر کی مساوات کو اس کے حصے کے طور پر دیا جا سکتا ہے۔ چونکہ کیوبک سطح کو عام یکساں کیوبک کثیر الجہتی کے طور پر دیا جاتا ہے، اس لیے اسے عام حصے کے طور پر دیا جاتا ہے۔ ایک لکیر اگر اور صرف اس صورت میں جب سیکشن غائب ہو جائے تو اس کی ذیلی قسم ہے۔ لہذا، اویلر کلاس کو ان پوائنٹس کی تعداد حاصل کرنے کے لیے مربوط کیا جا سکتا ہے جہاں عام سیکشن غائب ہو جاتا ہے۔ اویلر کلاس حاصل کرنے کے لیے، کل چرن کلاس کا حساب لگانا ضروری ہے، جسے تقسیم فارمولہ کے طور پر دیا گیا ہے پھر رسمی مساوات کے طور پر پڑھتا ہے جہاں اور رسمی لائن بنڈلوں کے لیے۔ تقسیم کرنے والی مساوات تعلقات اور دیتا ہے۔ چونکہ رسمی لائن بنڈلوں کے براہ راست مجموعے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جن کی کل چرن کلاس ہے اس کے بعد اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ اور چونکہ ٹاپ کلاس ہے، تو انٹیگرل تب ہوتا ہے۔ عددی جیومیٹری چو رنگ انٹرسیکشن تھیوری گراس مینین گیمبیلی کا فارمولا پیری کا فارمولا چرن کلاس کوئنٹک تین گنا آئینے کی ہم آہنگی کا قیاس حوالہ جات سمر اسکول نوٹ http://homepages.math.uic.edu ~ coskun/poland. ایچ ٹی ایم ایل فلپ گریفتھس اور جوزف ہیرس (1978)، الجبرا جیومیٹری کے اصول، باب 1.5 ڈیوڈ آئزن بڈ اور جوزف ہیرس (2016)، "3264 اور وہ سب: الجبرائی جیومیٹری میں دوسرا کورس"۔ الجبرائی جیومیٹری یکساں خالی جگہوں کی ٹوپولوجی