Følner sequence
ریاضی میں، کسی گروپ کے لیے فولنر ترتیب سیٹوں کی ایک ترتیب ہے جو کسی خاص شرط کو پورا کرتی ہے۔ اگر کسی گروپ کے اپنے آپ پر اس کے عمل کے حوالے سے فولنر ترتیب ہے، تو گروپ قابل قبول ہے۔ فولنر جالوں کے ایک زیادہ عام تصور کی تعریف اسی طرح کی جا سکتی ہے، اور یہ بے شمار گروہوں کے مطالعہ کے لیے موزوں ہے۔ فولنر ترتیبات کا نام ایرلنگ فولنر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف ایک گروپ کو دیکھتے ہوئے جو ایک قابل شمار سیٹ پر کام کرتا ہے، ایکشن کے لیے ایک فولنر سیکوینس محدود ذیلی سیٹوں کا ایک سلسلہ ہے جس میں سے خارج ہوتا ہے اور جو کسی بھی گروپ عنصر کے ذریعے کام کرنے پر "بہت زیادہ حرکت نہیں کرتا"۔ واضح طور پر، ہر ایک کے لیے، کچھ ایسا موجود ہے جو سب کے لیے، اور تمام گروپ عناصر کے لیے موجود ہے۔ اوپر استعمال شدہ اشارے کی وضاحت: سیٹ کے بائیں طرف کام کرنے کا نتیجہ ہے۔ یہ سب کے لیے شکل کے عناصر پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہم آہنگی فرق آپریٹر ہے، یعنی، بالکل ایک سیٹ میں عناصر کا مجموعہ ہے اور۔ کسی سیٹ کی بنیادی حیثیت ہے۔ اس طرح، یہ تعریف جو کہتی ہے وہ یہ ہے کہ کسی بھی گروپ عنصر کے لیے، اس کے عناصر کا تناسب جیسے جیسے بڑا ہوتا جاتا ہے 0 پر جاتا ہے۔ پیمائش کی جگہ پر کام کرنے والے مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کی ترتیب میں ایک زیادہ عمومی تعریف ہے۔ محدود ہونے کے بجائے، سیٹوں کے لیے محدود، غیر صفر پیمائش کی ضرورت ہوتی ہے، اور اس لیے فولنر کی ضرورت وہی ہوگی، جو مجرد معاملے سے مشابہت رکھتی ہے۔ معیاری معاملہ اس گروپ کا ہے جو بائیں ترجمہ کے ذریعے خود پر عمل کرتا ہے، اس صورت میں زیر بحث پیمائش کو عام طور پر ہار پیمائش سمجھا جاتا ہے۔ مثالیں کسی بھی محدود گروپ میں معمولی طور پر ہر ایک کے لیے ایک فولنر ترتیب ہوتی ہے۔ انٹیجرز کے گروپ پر غور کریں، جو اضافے کے ذریعے خود پر عمل کرتے ہیں۔ آئیے اور کے درمیان انٹیجرز پر مشتمل ہوں۔ پھر اور کے درمیان انٹیجرز پر مشتمل ہوتا ہے۔ بڑے کے لیے، سمیٹرک فرق کا سائز ہوتا ہے، جبکہ سائز ہوتا ہے۔ نتیجے کا تناسب ہے، جو بڑا ہونے پر 0 پر جاتا ہے۔ فولنر ترتیب کی اصل تعریف کے ساتھ، ایک گروپ میں فولنر ترتیب ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ قابل گنتی اور قابل قبول ہو۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ میں ایک فولنر تسلسل ہوتا ہے (عمومی تعریف کے ساتھ) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ قابل قبول اور دوسرا قابل گنتی ہو۔ سہولت کا ثبوت ہمارے پاس ایک گروپ اور ایک فولنر تسلسل ہے، اور ہمیں ایک پیمائش کی وضاحت کرنے کی ضرورت ہے، جو فلسفیانہ طور پر یہ بتاتا ہے کہ کسی بھی ذیلی سیٹ کا کتنا حصہ لیتا ہے۔ قدرتی تعریف جو ہماری فولنر ترتیب کو استعمال کرتی ہے وہ یہ ہوگی۔ یقینا، یہ حد لازمی طور پر موجود نہیں ہے۔ اس تکنیکی صلاحیت پر قابو پانے کے لیے ہم قدرتی اعداد پر ایک الٹرا فلٹر لیتے ہیں جس میں وقفے ہوتے ہیں۔ پھر ہم باقاعدہ حد کے بجائے الٹرا لمٹ کا استعمال کرتے ہیں: یہ پتہ چلتا ہے کہ الٹرا لمٹ میں وہ تمام خصوصیات ہیں جن کی ہمیں ضرورت ہے۔ یعنی، امکان کی پیمائش ہے۔ یعنی، چونکہ الٹرا لمٹ باقاعدہ حد کے ساتھ موافق ہوتا ہے جب یہ موجود ہوتا ہے۔ حتمی طور پر اضافی ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ الٹرا لمٹ اضافی کے ساتھ سفر کرتے ہیں جیسا کہ باقاعدہ حدود کرتے ہیں۔ غیر متغیر چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد سے یہ فولنر ترتیب کی تعریف کے مطابق ہے۔ حوالہ جات جیومیٹرک گروپ تھیوری