Mordell curve
الجبرا میں، مورڈیل وکر y2 = x3 + n کی شکل کا ایک الپٹک وکر ہے، جہاں n ایک فکسڈ نان زیرو انٹیجر ہے۔ ان منحنی خطوط کا لوئس مورڈیل نے ان کے انٹیجر پوائنٹس کے تعین کے نقطہ نظر سے قریب سے مطالعہ کیا تھا۔ انہوں نے دکھایا کہ ہر مورڈیل وکر میں صرف محدود طور پر بہت سے انٹیجر پوائنٹس (x، y) ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، کامل چوکوں اور کامل کیوب کے فرق لامحدود ہوتے ہیں۔ اس سوال سے کہ بیکر کے طریقہ کار سے اصولی طور پر کتنی تیزی سے نمٹا گیا۔ فرضی طور پر اس مسئلے کو مارشل ہال کے قیاس سے نمٹا گیا ہے۔ اگر (x، y) مورڈیل منحنی خطوط پر ایک عدد نقطہ ہے، تو (x،-y) بھی ایسا ہی ہے۔ n کی کچھ اقدار ہیں جن کے لیے متعلقہ مورڈیل وکر کا کوئی انٹیجر حل نہیں ہے۔ یہ اقدار ہیں: 6، 7، 11، 13، 14، 20، 21، 23، 29، 32، 34، 39، 42،۔ - 3،-5،-6،-9،-10،-12،-14،-16،-17،-21،-22،.. وہ مخصوص صورت جہاں n = −2 کو فرمیٹ کا سینڈوچ نظریہ بھی کہا جاتا ہے۔ حل کی فہرست درج ذیل مورڈیل وکر y2 = x3 + n کے حل کی فہرست ہے جو کہ |n | ≤ 25 کے لیے ہے۔ صرف y ≤0 کے ساتھ حل دکھائے گئے ہیں۔ 1998 میں، جے گیبل، اے پیتھو، ایچ جی زیمر نے 0 <|n | ≤ 104 کے لیے تمام انٹیجر پوائنٹس پائے۔ 2015 میں، ایم اے بینیٹ اور اے غادرمارزی نے 0 <|n | ≤ 107 کے لیے انٹیجر پوائنٹس کا حساب لگایا۔ حوالہ جات بیرونی روابط جے گیبل،-10000 ≤ n ≤ 10000 M کے لیے مورڈیل کے منحنی خطوط پر ڈیٹا۔ بینیٹ،-107 ≤ n ≤ 107 کے لیے مورڈیل منحنی خطوط پر ڈیٹا الجبرائی منحنی خطوط ڈیوفنٹائن مساوات ایلیپٹک منحنی خطوط