Cartan's criterion
ریاضی میں، کارٹن کا معیار ایک لائ الجبرا کے لیے شرائط دیتا ہے جو خصوصیت 0 میں قابل حل ہے، جس کا مطلب ہے کہ لائ الجبرا کے لیے ایک متعلقہ معیار نیم آسان ہے۔ یہ قتل کی شکل کے تصور پر مبنی ہے، ایک ہم آہنگ دو لکیری شکل جس کی وضاحت فارمولے کے ذریعہ کی گئی ہے جہاں ٹر ایک لکیری آپریٹر کے نشان کو ظاہر کرتا ہے۔ معیار کے ذریعے متعارف کرایا گیا تھا۔ حل پذیری کے لیے کارٹن کا معیار حل پذیری کے لیے کارٹن کا معیار بیان کرتا ہے: خصوصیت صفر کے میدان پر ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس کے اینڈومورفزم کا ایک جھوٹ ذیلی الجبرا حل کرنے کے قابل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب بھی حقیقت یہ ہے کہ حل پزیر صورت میں جھوٹ کے نظریہ کی پیروی کرتا ہے جو زمینی میدان کے الجبرائی بندش پر اوپری مثلث شکل میں رکھتا ہے (ٹریس کو زمینی میدان کو بڑھانے کے بعد شمار کیا جا سکتا ہے)۔ اس کے برعکس اردن-چیولی سڑنے کی بنیاد پر نیل پوٹینسی کے معیار سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے (ثبوت کے لیے، لنک پر عمل کریں)۔ ملحقہ نمائندگی پر کارٹن کے معیار کو لاگو کرنے سے پتہ چلتا ہے: خصوصیت صفر کے میدان پر ایک محدود جہتی لائ الجبرا حل کرنے کے قابل ہے اگر اور صرف اس صورت میں (جہاں K قتل کی شکل ہے)۔ سیمی سمپلیسیٹی کے لیے کارٹن کا معیار، سیمی سمپلیسیٹی کے لیے کارٹن کا معیار بیان کرتا ہے: خصوصیت صفر کے میدان پر ایک محدود جہتی لائ الجبرا سیمی سمپل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کلنگ فارم غیر انحطاط پذیر ہو۔ اس نے ایک بہت ہی مختصر ثبوت دیا کہ اگر ایک محدود جہتی لائ الجبرا (کسی بھی خصوصیت میں) میں غیر انحطاط پذیر غیر متغیر دو لکیری شکل ہو اور کوئی غیر صفر ابیلین آئیڈیل نہ ہو، اور خاص طور پر اگر اس کی قاتل شکل غیر انحطاط پذیر ہو، تو یہ سادہ لائ الجبرا کا مجموعہ ہے۔ اس کے برعکس، یہ حل پذیری کے لیے کارٹن کے معیار سے آسانی سے پیروی کرتا ہے کہ ایک نیم سادہ الجبرا (خصوصیت 0 میں) کی غیر انحطاط شدہ قتل کی شکل ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر کارٹن کے معیار خصوصیت میں ناکام ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر: لائ الجبرا آسان ہے اگر k کی خصوصیت 2 نہیں ہے اور اس میں قتل کی شکل غائب ہو رہی ہے، حالانکہ اس کی ایک غیر صفر غیر متغیر دو لکیری شکل ہے جو اس کے ذریعہ دی گئی ہے۔ لائ الجبرا جس کے لیے بنیاد اور بریکٹ [ai, aj] = (i−j) ai + j آسان ہے لیکن اس کی کوئی غیر صفر غیر متغیر دو لکیری شکل نہیں ہے۔ اگر k کی خصوصیت 2 ہے تو سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ gl2 (k). k2 ایک قابل حل لائ الجبرا ہے، لیکن کلنگ فارم اس کے ماخوذ الجبرا sl2 (k). k2 پر یکساں طور پر صفر نہیں ہے۔ اگر ایک محدود جہتی لائ الجبرا نیل پوٹینٹ ہے، تو کلنگ فارم یکساں طور پر صفر ہے (اور زیادہ عام طور پر کلنگ فارم کسی بھی نیل پوٹینٹ آئیڈیل پر غائب ہو جاتا ہے)۔ اس کے برعکس غلط ہے: غیر نیل پوٹینٹ لائ الجیبرا ہوتے ہیں جن کی قتل کی شکل ختم ہو جاتی ہے۔ ایک مثال ایک ابیلین لائ الجبرا V کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے ذریعے دی گئی ہے جس میں 1 جہتی لائ الجبرا ہے جو V پر اینڈومورفزم b کے طور پر کام کرتا ہے جیسے کہ b نیلپوٹینٹ نہیں ہے اور Tr (b2) = 0 ہے۔ خصوصیت 0 میں، ہر تخفیف لائ الجبرا (جو ابیلین اور سادہ لائ الجبرا کا مجموعہ ہے) میں ایک غیر انحطاط پذیر غیر متغیر سمیٹرک دو لکیری شکل ہوتی ہے۔ تاہم اس کا الٹا غلط ہے: ایک غیر انحطاطی غیر متغیر سمیٹرک دو قطبی شکل والا لائ الجبرا سادہ اور ابیلین لائ الجبرا کا مجموعہ ہونا ضروری نہیں ہے۔ ایک عام جوابی مثال جی = ایل [ٹی]/ٹی این ایل [ٹی] ہے جہاں این> 1، ایل ایک سادہ پیچیدہ لائ الجبرا ہے جس میں دو لکیری شکل (،) ہے، اور جی پر دو لکیری شکل سی [ٹی] کے ٹن − 1 کے گتانک کو لے کر دی جاتی ہے جو ایل پر موجود شکل سے جڑا ہوا ہے۔ دو لکیری شکل غیر انحطاط پذیر ہے، لیکن لائ الجبرا سادہ اور ابیلین لائ الجبرا کا مجموعہ نہیں ہے۔ نوٹ حوالہ جات مزید دیکھیں ماڈیولر لائ الجبرا لائ الجبرا