Degree of a continuous mapping
ٹوپولوجی میں، ایک ہی جہت کے دو کمپیکٹ پر مبنی کئی گنا کے درمیان مسلسل نقشہ سازی کی ڈگری ایک ایسی تعداد ہے جو نقشہ سازی کے تحت ڈومین کئی گنا رینج کے ارد گرد لپیٹ کی تعداد کی نمائندگی کرتی ہے۔ ڈگری ہمیشہ ایک عدد ہوتی ہے، لیکن سمتوں کے لحاظ سے مثبت یا منفی ہو سکتی ہے۔ نقشے کی ڈگری کی تعریف سب سے پہلے بروور نے کی تھی، جس نے ظاہر کیا کہ ڈگری ہوموٹوپی غیر متغیر (ہوموٹوپیز میں غیر متغیر) ہے، اور اسے بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ جدید ریاضی میں، نقشے کی ڈگری ٹوپولوجی اور جیومیٹری میں اہم کردار ادا کرتی ہے۔ طبیعیات میں، مسلسل نقشے کی ڈگری (مثال کے طور پر خلا سے کسی آرڈر پیرامیٹر سیٹ تک کا نقشہ) ٹوپولوجیکل کوانٹم نمبر کی ایک مثال ہے۔ Sn سے Sn تک کی ڈگری کی تعریفیں سب سے آسان اور سب سے اہم معاملہ-دائرے سے خود تک مسلسل نقشے کی ڈگری ہے (اس صورت میں، اسے گھومنے والا نمبر کہا جاتا ہے): آئیے ایک مسلسل نقشہ بنیں۔ پھر ایک ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے، جہاں th ہومیولوجی گروپ ہے۔ اس حقیقت پر غور کرتے ہوئے کہ، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ کچھ فکسڈ کے لیے فارم کا ہونا چاہیے۔ اس کو پھر ڈگری آف کہا جاتا ہے۔ کئی گنا کے درمیان الجبرائی ٹوپولوجی X اور Y کو بند منسلک مبنی m-جہتی کئی گنا ہونے دیں۔ کئی گنا کی واقفیت کا مطلب یہ ہے کہ اس کا ٹاپ ہومیولوجی گروپ Z کے لیے آئسومورفک ہے۔ واقفیت کا انتخاب کرنے کا مطلب ہے ٹاپ ہومیولوجی گروپ کے جنریٹر کا انتخاب کرنا۔ ایک مسلسل نقشہ f: X → Y Hm (X) سے Hm (Y) تک ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ چلو [X]، ریسپ۔ [Y] ایچ ایم (ایکس)، ریسپ کا منتخب شدہ جنریٹر ہو۔ Hm (Y) (یا X، Y کی بنیادی کلاس)۔ پھر f کی ڈگری کو f * ([X]) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر Y میں y اور f−1 (y) ایک محدود سیٹ ہے، تو f کی ڈگری کا حساب f−1 (y) میں ہر نقطہ پر X کے m-th مقامی ہومیولوجی گروپوں پر غور کرکے کیا جا سکتا ہے۔ تفریقی ٹوپولوجی تفریقی ٹوپولوجی کی زبان میں، ہموار نقشے کی ڈگری کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے: اگر f ایک ہموار نقشہ ہے جس کا ڈومین ایک کمپیکٹ کئی گنا ہے اور p، f کی باقاعدہ قیمت ہے، تو محدود سیٹ پر غور کریں۔ ڈائیفومورفزم یا تو واقفیت کا تحفظ یا واقفیت کا الٹ ہونا ہو سکتا ہے۔ فرض کریں کہ r پوائنٹس xi کی تعداد ہے جس پر f واقفیت کا تحفظ کر رہا ہے اور s وہ تعداد ہے جس پر f واقفیت کو الٹ رہا ہے۔ جب f کا کوڈومین جڑا ہوتا ہے، تو نمبر r − s، p کے انتخاب سے آزاد ہوتا ہے (حالانکہ n نہیں ہے!) اور ایک f کی ڈگری r − s ہونے کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ تعریف اوپر کی الجبرائی ٹوپولوجیکل تعریف کے ساتھ موافق ہے۔ یہی تعریف باؤنڈری کے ساتھ کمپیکٹ کئی گنا کے لیے کام کرتی ہے لیکن پھر f کو X کی باؤنڈری کو Y کی باؤنڈری پر بھیجنا چاہیے۔ ڈگری ماڈیولو 2 (ڈیگ 2 (ایف)) کی تعریف بھی پہلے کی طرح ہی کی جا سکتی ہے لیکن زیڈ 2 ہومیولوجی میں بنیادی کلاس کو لیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں ڈیگ 2 (ایف) زیڈ 2 کا ایک عنصر ہے (دو عناصر والی فیلڈ)، کئی گنا قابل سمت ہونے کی ضرورت نہیں ہے اور اگر این پہلے کی طرح پی کی ابتدائی تصاویر کی تعداد ہے تو ڈیگ 2 (ایف) این ماڈیولو 2 ہے۔ تفریق شکلوں کا انضمام (C ≤-) واحد ہومیولوجی اور ڈی رام کوہومولوجی کے درمیان جوڑی دیتا ہے:، جہاں ایک ہومیولوجی کلاس ہے جس کی نمائندگی ایک سائیکل اور ایک بند شکل ہے جو ڈی رام کوہومولوجی کلاس کی نمائندگی کرتی ہے۔ ایک ہموار نقشے کے لیے f: X → Y پر مبنی m-مینیفولڈز کے درمیان، ایک ایسا نقشہ ہے جہاں بالترتیب زنجیروں اور شکلوں پر f ≤ اور f ≤ نقشے بنائے جاتے ہیں۔ چونکہ f िऱ [X] = ڈگری f· [Y]، ہمارے پاس Y پر کسی بھی m-فارم ω کے لیے ہے۔ بند علاقے سے نقشے اگر ایک باؤنڈڈ ریجن ہے، ہموار، اور کی باقاعدہ قیمت ہے، تو ڈگری کی وضاحت اس فارمولے سے کی جاتی ہے جہاں ان کا جیکوبین میٹرکس ہے۔ ڈگری کی اس تعریف کو قدرتی طور پر غیر باقاعدہ اقدار کے لیے اس طرح بڑھایا جا سکتا ہے کہ جہاں ایک نقطہ قریب ہو۔ ڈگری مندرجہ ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتی ہے: اگر، تو ایسا موجود ہے کہ۔ سب کے لیے۔ ڈی کمپوزیشن پراپرٹی: اگر اور کے جدا جدا حصے ہیں۔ ہوموٹوپی انواریینس: اگر اور ہوموٹوپی کے ذریعے ہوموٹوپی کے مساوی ہیں جیسے کہ اور، تو فنکشن مقامی طور پر مستقل ہے۔ یہ خصوصیات ڈگری کو منفرد طور پر نمایاں کرتی ہیں اور ان کے ذریعے ڈگری کی تعریف محوری انداز میں کی جا سکتی ہے۔ اسی طرح، ہم حدود کے ساتھ کمپیکٹ پر مبنی کئی گنا کے درمیان نقشے کی ڈگری کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ نقشہ کی ڈگری ایک ہوموٹوپی غیر متغیر ہے۔ اس کے علاوہ دائرے سے خود تک مسلسل نقشوں کے لیے یہ ایک مکمل ہوموٹوپی غیر متغیر ہے، یعنی۔ دو نقشے ہوموٹوپک ہوتے ہیں اگر اور صرف اگر۔ دوسرے لفظوں میں، ڈگری اور کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے۔ مزید برآں، ہاپف تھیوریم بیان کرتا ہے کہ کسی بھی جہتی بند مبنی کئی گنا M کے لیے، دو نقشے ہوموٹوپک ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب n-دائرے کا ایک خود نقشہ n + 1 گیند سے n-دائرے تک نقشے تک توسیع پذیر ہو اگر اور صرف اگر۔ (یہاں فنکشن F f کو اس معنی میں بڑھاتا ہے کہ f سے F کی پابندی ہے۔) ڈگری کا حساب لگانا ایک این جہتی باکس بی (این وقفوں کا ایک پروڈکٹ) سے مسلسل فنکشن ایف کے ٹپوولوجیکل ڈگری ڈیگ (ایف، بی، 0) کا حساب لگانے کے لیے ایک الگورتھم ہے، جہاں ایف ریاضی کے تاثرات کی شکل میں دیا جاتا ہے۔ الگورتھم کا نفاذ ٹاپ ڈیگ میں دستیاب ہے-ڈگری کی گنتی کے لیے ایک سافٹ ویئر ٹول (ایل جی پی ایل-3)۔ کوورنگ نمبر بھی دیکھیں، جو اسی طرح کی ایک اصطلاح ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ گھومنے والے نمبر کو عام نہیں کرتا ہے بلکہ گیندوں کی کثافت (پولیٹوپ) کے ذریعہ ایک سیٹ کے کور کو بیان کرتا ہے، ایک پولی ہیڈرل ینالاگ ٹوپوولوجیکل ڈگری تھیوری نوٹ حوالہ جات بیرونی لنکس آئیے نقشہ سازی کی ڈگری سے واقف ہوں، ریڈ ٹی زیوالجیوک کے ذریعہ۔ الجبرائی ٹوپولوجی تفریقی ٹوپولوجی مسلسل افعال کا نظریہ