Functional (mathematics)
ریاضی میں فنکشنل ایک مخصوص قسم کا فنکشن ہوتا ہے۔ اصطلاح کی صحیح تعریف ذیلی فیلڈ (اور بعض اوقات یہاں تک کہ مصنف) کے لحاظ سے مختلف ہوتی ہے۔ لکیری الجبرا میں، یہ ایک لکیری شکل کا مترادف ہے، جو کہ ایک ویکٹر اسپیس سے اس کے اسکیلرز کے میدان میں لکیری نقشہ سازی ہے (یعنی، یہ دوہری جگہ کا ایک عنصر ہے) فنکشنل تجزیہ اور متعلقہ شعبوں میں، یہ عام طور پر کسی جگہ سے حقیقی یا پیچیدہ اعداد کے میدان میں نقشہ سازی کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ فنکشنل تجزیہ میں، اصطلاح لکیری فارم کا مترادف ہے ؛ یعنی، یہ ایک اسکیلر ویلیو والا لکیری نقشہ ہے۔ مصنف پر منحصر ہے، اس طرح کی نقشہ سازی کو لکیری سمجھا جا سکتا ہے یا نہیں، یا پوری جگہ پر اس کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ کمپیوٹر سائنس میں، یہ ایک اعلی ترتیب والے فنکشن کا مترادف ہے، جو ایک ایسا فنکشن ہے جو ایک یا ایک سے زیادہ افعال کو دلائل کے طور پر لیتا ہے یا انہیں واپس کرتا ہے۔ یہ مضمون بنیادی طور پر دوسرے تصور سے متعلق ہے، جو 18 ویں صدی کے اوائل میں تغیرات کے حساب کے حصے کے طور پر سامنے آیا تھا۔ پہلا تصور، جو زیادہ جدید اور تجریدی ہے، ایک علیحدہ مضمون میں لکیری شکل کے نام سے تفصیل سے زیر بحث ہے۔ تیسرا تصور اعلی درجے کے افعال پر کمپیوٹر سائنس کے مضمون میں تفصیلی ہے۔ اس صورت میں جہاں جگہ افعال کی جگہ ہے، فنکشنل "فنکشن کا فنکشن" ہے، اور کچھ پرانے مصنفین دراصل "فنکشنل" کی اصطلاح کو "فنکشن کا فنکشن" کے معنی میں بیان کرتے ہیں۔ تاہم، یہ حقیقت کہ افعال کی جگہ ریاضیاتی طور پر ضروری نہیں ہے، اس لیے یہ پرانی تعریف اب رائج نہیں ہے۔ یہ اصطلاح تغیرات کے کیلکولس سے نکلتی ہے، جہاں کوئی ایسی فنکشن کی تلاش کرتا ہے جو کسی دیئے گئے فنکشنل کو کم سے کم (یا زیادہ سے زیادہ) کرے۔ طبیعیات میں ایک خاص طور پر اہم اطلاق کسی ایسے نظام کی حالت کی تلاش ہے جو عمل کو کم سے کم (یا زیادہ سے زیادہ) کرے، یا دوسرے الفاظ میں لاگرانجین کا وقت لازمی ہو۔ تفصیلات دوہری نقشہ سازی ایک فنکشن ہے، جہاں کسی فنکشن کی دلیل ہوتی ہے۔ ایک ہی وقت میں، کسی فنکشن کی نقشہ سازی ایک فنکشنل ہے ؛ یہاں، ایک پیرامیٹر ہے۔ بشرطیکہ یہ ویکٹر اسپیس سے بنیادی اسکیلر فیلڈ تک ایک لکیری فنکشن ہے، مندرجہ بالا لکیری نقشے ایک دوسرے کے لیے دوہرے ہیں، اور فنکشنل تجزیہ میں دونوں کو لکیری فنکشنل کہا جاتا ہے۔ ڈیفائنٹ انٹیگرل انٹیگرل جیسے فنکشنلز کی ایک خاص کلاس بناتے ہیں۔ وہ ایک فنکشن کو ایک حقیقی نمبر میں نقشہ بناتے ہیں، بشرطیکہ اس کی حقیقی قدر ہو۔ مثالوں میں کسی سیٹ پر کسی فنکشن کے مثبت فنکشن کے معیار کے گراف کے نیچے کا رقبہ شامل ہے جو کہ 2 جہتی یوکلڈین اسپیس میں کسی وکر کی آرکلینتھ ہے۔ اندرونی پروڈکٹ اسپیس میں ایک اندرونی پروڈکٹ کی جگہ اور ایک فکسڈ ویکٹر کے ذریعہ بیان کردہ نقشہ ایک لکیری فنکشنل ہے۔ ایسے ویکٹروں کا سیٹ جو صفر ہے وہ ایک ویکٹر سب اسپیس ہے جسے نل اسپیس یا فنکشنل کا دانا کہا جاتا ہے، یا نشاندہی کی آرتھوگنل تکمیل۔ مثال کے طور پر، اندرونی پروڈکٹ کو فکسڈ فنکشن کے ساتھ لینا لوکلٹی پر مربع انٹیگریبل افعال کے ہلبرٹ اسپیس پر ایک (لکیری) فنکشنل کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر کسی فنکشنل کی قیمت کو ان پٹ وکر کے چھوٹے حصوں کے لیے شمار کیا جا سکتا ہے اور پھر کل قیمت تلاش کرنے کے لیے خلاصہ کیا جا سکتا ہے، تو فنکشنل کو مقامی کہا جاتا ہے۔ ورنہ اسے غیر مقامی کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر: مقامی ہے جبکہ غیر مقامی ہے۔ یہ عام طور پر اس وقت ہوتا ہے جب انٹیگرلز کسی مساوات کے عددی اور ڈینومینیٹر میں الگ الگ ہوتے ہیں جیسے کہ مرکز کمیت کے حساب میں۔ فنکشنل مساوات روایتی استعمال اس وقت بھی لاگو ہوتا ہے جب کوئی فنکشنل مساوات کے بارے میں بات کرتا ہے، جس کا مطلب فنکشنلز کے درمیان مساوات ہے: فنکشنلز کے درمیان مساوات کو 'حل کرنے کے لیے مساوات' کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے، جس کے حل خود فنکشن ہوتے ہیں۔ اس طرح کی مساوات میں متغیر نامعلوم کے کئی سیٹ ہو سکتے ہیں، جیسے کہ جب یہ کہا جاتا ہے کہ ایک اضافی نقشہ وہ ہے جو کاچی کی فعال مساوات کو مطمئن کرتا ہے: مشتق اور انضمام لاگرانجین میکانکس میں فعال مشتقات استعمال ہوتے ہیں۔ وہ فنکشنلز کے مشتق ہیں ؛ یعنی، وہ اس بارے میں معلومات رکھتے ہیں کہ جب ان پٹ فنکشن تھوڑی مقدار میں تبدیل ہوتا ہے تو فنکشنل کیسے تبدیل ہوتا ہے۔ رچرڈ فین مین نے کوانٹم میکانکس کی تاریخوں کی تشکیل پر اپنے مجموعے میں فنکشنل انٹیگرلز کو مرکزی خیال کے طور پر استعمال کیا۔ اس استعمال کا مطلب کچھ فنکشن کی جگہ پر لیا گیا انٹیگرل ہے۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات افعال کی اقسام