Branched covering
ریاضی میں، برانچڈ کورنگ ایک نقشہ ہے جو تقریبا ایک کورنگ نقشہ ہے، سوائے ایک چھوٹے سے سیٹ کے۔ ٹوپولوجی میں، نقشہ ایک شاخ دار احاطہ ہے اگر یہ ہر جگہ کا احاطہ کرنے والا نقشہ ہے سوائے کسی گھنے سیٹ کے جسے برانچ سیٹ کہا جاتا ہے۔ مثالوں میں حلقوں کے پچر سے ایک دائرے تک کا نقشہ شامل ہے، جہاں نقشہ ہر دائرے پر ہومومورفزم ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں الجبرائی جیومیٹری میں، برانچڈ کورنگ کی اصطلاح الجبرائی قسم سے دوسرے میں مورفزم کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے، دو جہتیں ایک جیسی ہوتی ہیں، اور جہت 0 کا ہونے کا عام فائبر۔ اس صورت میں، (زرسکی ٹوپولوجی کے لیے) کا ایک کھلا مجموعہ ہوگا جو گھنے میں ہوگا، اس طرح کہ (سے، یعنی) کی پابندی غیر منظم ہے۔ سیاق و سباق پر منحصر ہے، ہم اسے مضبوط ٹوپولوجی کے لیے مقامی ہومومورفزم کے طور پر، پیچیدہ اعداد پر، یا عام طور پر ایک ایٹیل مورفزم کے طور پر لے سکتے ہیں (کچھ قدرے مضبوط مفروضوں کے تحت، چپٹے پن اور علیحدگی پر)۔ عام طور پر، اس طرح کی مورفزم ٹپوولوجیکل معنوں میں کورنگ اسپیس سے مشابہت رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اور دونوں کمپیکٹ ریمن سطحیں ہیں، تو ہمیں صرف وہی درکار ہوتا ہے جو ہولومورفک ہو اور مستقل نہ ہو، اور پھر پوائنٹس کا ایک محدود مجموعہ ہوتا ہے، جس کے باہر ہمیں ایک ایماندارانہ احاطہ ملتا ہے۔ ریمیفیکیشن لوکس غیر معمولی پوائنٹس کے سیٹ کو ریمیفیکیشن لوکس کہا جاتا ہے (یعنی۔ یہ سب سے بڑے ممکنہ کھلے سیٹ کی تکمیل ہے)۔ عام طور پر مونوڈرومی کورنگ کی چادروں پر کام کرنے کے بنیادی گروپ کے مطابق ہوتی ہے (اس ٹپوولوجیکل تصویر کو عام بیس فیلڈ کے معاملے میں بھی درست بنایا جا سکتا ہے)۔ کمر ایکسٹینشنز برانچڈ کورنگ آسانی سے کمر ایکسٹینشنز کے طور پر تعمیر کیے جاتے ہیں، یعنی۔ فنکشن فیلڈ کی الجبرائی توسیع کے طور پر۔ ہائپرلیپٹک منحنی خطوط پروٹو ٹائپک مثالیں ہیں۔ غیر ریمفائیڈ کورنگ ایک غیر ریمفائیڈ کورنگ پھر ایک خالی ریمفیکیشن لوکس کا واقعہ ہے۔ الپٹک وکر کی مثالیں منحنی خطوط کے مورفزم رمفائیڈ کورنگ کی بہت سی مثالیں فراہم کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوات کا الپٹک وکر ہونے دیں-محور پر کا پروجیکشن ایک رمفائیڈ کور ہے جس میں ریمیفیکیشن لوکس دیا گیا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ فائبر کی ان تین اقدار کے لیے ڈبل پوائنٹ ہوتا ہے جبکہ فائبر کی کسی بھی دوسری قیمت کے لیے دو الگ الگ پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے (الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر)۔ یہ پروجیکشن فنکشن فیلڈز کی ڈگری دو کی الجبرائی توسیع کو جنم دیتا ہے: اس کے علاوہ، اگر ہم بنیادی مواصلاتی رنگوں کے فریکشن فیلڈز کو لیتے ہیں، تو ہمیں مورفزم ملتا ہے لہذا یہ پروجیکشن ڈگری 2 برانچڈ کورنگ ہے۔ اسے پروجیکٹو لائن سے متعلق پروجیکٹو ایلیپٹک وکر کے ڈگری 2 برانچڈ کور کی تعمیر کے لیے یکساں بنایا جا سکتا ہے۔ طیارہ الجبرائی وکر پچھلی مثال کو مندرجہ ذیل طریقے سے کسی بھی الجبرائی طیارہ وکر کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ آئیے مساوات کے ذریعہ بیان کردہ ایک طیارہ منحنی خطوط ہوں، جہاں دو غیر متعین میں ایک علیحدہ اور ناقابل کٹوتی کثیر الجہتی ہے۔ اگر ان کی ڈگری ہے، تو فائبر مختلف پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے، سوائے ان کی اقدار کی ایک محدود تعداد کے۔ اس طرح، یہ پروجیکشن ڈگری کا ایک شاخ دار احاطہ ہے۔ کی غیر معمولی اقدار ان کے گتانک کی جڑیں ہیں، اور کے حوالے سے ڈسکریمیننٹ کی جڑیں ہیں۔ ڈسکریمیننٹ کی جڑ کے اوپر، کم از کم ایک وسیع نقطہ ہوتا ہے، جو یا تو ایک اہم نقطہ ہوتا ہے یا ایک واحد نقطہ ہوتا ہے۔ اگر یہ بھی ان کے گتانک کی جڑ ہے، تو یہ ریمفائیڈ پوائنٹ "ایٹ انفینیٹی" ہے۔ ان کے گتانک کی جڑ کے اوپر، منحنی خطوط کی ایک لامحدود شاخ ہوتی ہے، اور فائبر میں پوائنٹس سے بھی کم ہوتے ہیں۔ تاہم، اگر کوئی پروجیکشن کو اور-محور کی پروجیکٹو تکمیل تک بڑھاتا ہے، اور اگر ڈسکریمیننٹ کی جڑ نہیں ہے، تو پروجیکشن کے پڑوس پر احاطہ بن جاتا ہے۔ یہ حقیقت کہ یہ پروجیکشن ڈگری کا ایک شاخ دار احاطہ ہے، فنکشن فیلڈز پر غور کرکے بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ در حقیقت، یہ پروجیکشن ڈگری مختلف رمفیکیشنز کی فیلڈ ایکسٹینشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہم مختلف رمفیکیشن ڈگریوں کے ساتھ لائن کے برانچڈ کورنگز کو بھی عام کر سکتے ہیں۔ فارم کے کثیر الجہتی پر غور کریں جب ہم مختلف نکات کا انتخاب کرتے ہیں، مختلف کے غائب ہونے والے لوکس کے ذریعہ دیئے گئے ریشے۔ کسی بھی مقام پر جہاں فیکٹرائزیشن میں لکیری اصطلاحات میں سے کسی ایک کی ضرب ایک سے بڑھ جاتی ہے، وہاں ایک ریمفیکیشن ہوتا ہے۔ اسکیم نظریاتی مثالیں الپٹک منحنی خطوط منحنی خطوط کے مورفزم اسکیموں کے وسیع احاطے کی بہت سی مثالیں فراہم کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک افائن الپٹک وکر سے ایک لائن تک مورفزم ایک ریمفائیڈ کور ہے جس میں ریمیفیکیشن لوکس دیا گیا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ فائبر میں کسی بھی مقام پر اسکیم ہوتی ہے۔ نیز، اگر ہم بنیادی مواصلاتی رنگوں کے فریکشن فیلڈز کو لیتے ہیں، تو ہمیں فیلڈ ہومومورفزم ملتا ہے جو ڈگری دو کی الجبرائی توسیع ہے۔ اس لیے ہمیں افائن لائن پر ایک الپٹک وکر کا ڈگری 2 برانچ کور ملا۔ اسے پروجیکٹو ایلیپٹک وکر کی مورفزم کی تعمیر کے لیے یکساں بنایا جا سکتا ہے۔ ہائپرلیپٹک وکر ایک ہائپرلیپٹک وکر افائن لائن کے اوپر ڈگری کور کی عمومی شکل فراہم کرتا ہے، اس فارم کے کثیر الجہتی کے ذریعہ بیان کردہ افائن اسکیم پر غور کرکے جہاں افائن لائن کے اعلی ڈگری کورنگ کے لیے ہم مورفزم لے کر پچھلی مثال کو عام کر سکتے ہیں جہاں کوئی بار بار جڑیں نہیں ہیں۔ پھر ریمفیکیشن لوکس دیا جاتا ہے جہاں ریشے دیے جاتے ہیں۔ پھر، ہمیں فریکشن فیلڈز کا ایک انڈیوسڈ مورفزم ملتا ہے۔ اس کے ساتھ ہدف کا ایک-ماڈیول آئسومورفزم ہوتا ہے۔ لہذا احاطہ ڈگری کا ہوتا ہے۔ سپرلیپٹک منحنی خطوط ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کی عمومی شکل اور مثالوں کے پچھلے خاندان کی ایک تخصص ہے کیونکہ وہ اس شکل کے کثیر الجہتی سے افائن اسکیموں کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں جہاں اور اس کی جڑیں بار بار نہیں ہوتی ہیں۔ پروجیکٹو اسپیس کے رامفائیڈ کورنگز مثالوں کی ایک اور مفید کلاس پروجیکٹو اسپیس کے رامفائیڈ کورنگز سے آتی ہے۔ ایک یکساں کثیر الجہتی کو دیکھتے ہوئے ہم پروجیکٹو اسکیموں کی مورفزم پر غور کرکے ریمیفیکیشن لوکس کے ساتھ ایک رمفائیڈ کور کی تعمیر کر سکتے ہیں۔ ایپلی کیشنز برانچڈ کورنگز تبدیلیوں کے سمیٹری گروپ کے ساتھ آتے ہیں۔ چونکہ سمیٹری گروپ میں ریمیفیکیشن لوکس کے نکات پر اسٹیبلائزر ہوتے ہیں، اس لیے برانچڈ کورنگز کو آربی فولڈز، یا ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیکس کی مثالوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں ایٹیل مورفزم آربی فولڈ اسٹیک (ریاضی) حوالہ جات کمپلیکس کئی گنا الجبرائی اقسام