Ternary Golay code
کوڈنگ تھیوری میں، ٹرنیری گولے کوڈز دو قریب سے متعلق غلطی کو درست کرنے والے کوڈز ہیں۔ عام طور پر سہ رخی گولی کوڈ کے نام سے جانا جانے والا کوڈ ایک-کوڈ ہے، یعنی یہ سہ رخی حروف تہجی پر ایک لکیری کوڈ ہے۔ کوڈ کا رشتہ دار فاصلہ اتنا ہی بڑا ہے جتنا ممکنہ طور پر سہ رخی کوڈ کے لیے ہو سکتا ہے، اور اس لیے سہ رخی گولی کوڈ ایک بہترین کوڈ ہے۔ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ ایک [12، 6، 6] لکیری کوڈ ہے جو [11، 6، 5] کوڈ میں صفر جمع چیک ہندسہ شامل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ محدود گروپ تھیوری میں، توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ کو بعض اوقات ٹرنیری گولے کوڈ کہا جاتا ہے۔ خصوصیات ٹرنیری گولی کوڈ ٹرنیری گولی کوڈ 36 = 729 کوڈ ورڈز پر مشتمل ہے۔ اس کا پیریٹی چیک میٹرکس ہے کوئی بھی دو مختلف کوڈ ورڈز کم از کم 5 پوزیشنوں میں مختلف ہوتے ہیں۔ لمبائی 11 کے ہر سہ رخی لفظ کا بالکل ایک کوڈ ورڈ سے زیادہ سے زیادہ 2 کا ہیمنگ فاصلہ ہوتا ہے۔ کوڈ کو محدود فیلڈ F3 (یعنی گالوئس فیلڈ GF (3)) پر لمبائی 11 کے کواڈریٹک ریسیڈیو کوڈ کے طور پر بھی بنایا جا سکتا ہے۔ 11 کھیلوں کے ساتھ فٹ بال پول میں استعمال کیا جاتا ہے، ٹرنیری گولے کوڈ 729 شرطوں سے مطابقت رکھتا ہے اور زیادہ سے زیادہ 2 غلط نتائج کے ساتھ بالکل ایک شرط کی ضمانت دیتا ہے۔ ہیمنگ ویٹ 5 کے ساتھ کوڈ ورڈز کا سیٹ 3-(11,5,4) ڈیزائن ہے۔ گولے کے ذریعہ دیا گیا جنریٹر میٹرکس (1949، ٹیبل 1۔) (اصل) ٹرنیری گولے کوڈ کا آٹومورفزم گروپ میتھیو گروپ M11 ہے، جو چھٹپٹ سادہ گروپوں میں سب سے چھوٹا ہے۔ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ کا مکمل وزن شمار کنندہ ہے۔ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ کا آٹومورفزم گروپ 2.M12 ہے، جہاں M12 میتھیو گروپ M12 ہے۔ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ کو فیلڈ F3 پر آرڈر 12 کے ہڈمارڈ میٹرکس کی قطاروں کے دورانیے کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ توسیعی کوڈ کے تمام کوڈ ورڈز پر غور کریں جن میں صرف چھ غیر صفر ہندسے ہیں۔ پوزیشنوں کے وہ سیٹ جن پر یہ غیر صفر ہندسے پائے جاتے ہیں وہ اسٹینر سسٹم S (5، 6، 12) بناتے ہیں۔ توسیعی ٹرنیری گولے کوڈ کے لیے ایک جنریٹر میٹرکس ہے اس جنریٹر میٹرکس کے لیے متعلقہ پیریٹی چیک میٹرکس ہے، جہاں میٹرکس کے ٹرانسپوز کو ظاہر کرتا ہے۔ اس کوڈ کے لیے ایک متبادل جنریٹر میٹرکس ہے اور اس کا پیریٹی چیک میٹرکس ہے۔ بنیادی محدود فیلڈ کے تین عناصر کی نمائندگی یہاں کے بجائے کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یہ بھی سمجھا جاتا ہے کہ (یعنی 1 کا اضافی الٹا) اور۔ ان محدود فیلڈ عناصر کے پروڈکٹ انٹیجرز سے ملتے جلتے ہیں۔ صف اور کالم کے مجموعے کا ماڈیولو 3 سے جائزہ لیا جاتا ہے۔ میٹرکس کی قطاروں کے لکیری امتزاج، یا ویکٹر کے اضافے سے کوڈ میں موجود تمام ممکنہ الفاظ پیدا ہوتے ہیں۔ اسے قطاروں کا دورانیہ کہا جاتا ہے۔ جنریٹر میٹرکس کی کسی بھی دو قطاروں کا اندرونی پروڈکٹ ہمیشہ صفر ہوگا۔ ان قطاروں، یا ویکٹروں کو آرتھوگنل کہا جاتا ہے۔ جنریٹر اور پیریٹی چیک میٹرکس کا میٹرکس پروڈکٹ، تمام صفروں کا میٹرکس ہے، اور ارادے کے لحاظ سے۔ درحقیقت، یہ اس کے جنریٹر میٹرکس کے حوالے سے کسی بھی پیریٹی چیک میٹرکس کی تعریف کی ایک مثال ہے۔ ہسٹری اینڈ ایپلی کیشنز دی ٹرنیری گولے کوڈ نے شائع کیا تھا۔ اسے آزادانہ طور پر دو سال قبل فن لینڈ کے فٹ بال پول کے شوقین جوہانی ورٹاکالیو نے دریافت کیا تھا، جس نے اسے 1947 میں فٹ بال میگزین ویکاجا کے 27، 28 اور 33 ایشوز میں شائع کیا تھا۔ ٹرنیری گولے کوڈ کو غلطی برداشت کرنے والے کوانٹم کمپیوٹنگ کے نقطہ نظر کے لیے مفید ثابت کیا گیا ہے جسے جادوئی حالت آستین کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ برلیکمپ-وان لنٹ-سیڈل گراف بائنری گولے کوڈ حوالہ جات مزید پڑھنا کوڈنگ تھیوری محدود فیلڈز جا: 3