War of attrition (game)
گیم تھیوری میں، وار آف ایٹریشن ایک متحرک ٹائمنگ گیم ہے جس میں کھلاڑی رکنے کے لیے وقت کا انتخاب کرتے ہیں، اور بنیادی طور پر دوسرے کھلاڑیوں سے حاصل ہونے والے اسٹریٹجک فوائد اور وقت گزرنے کے ساتھ خرچ ہونے والے حقیقی اخراجات کا تبادلہ کرتے ہیں۔ اس کے بالکل برعکس پری ایمپشن گیم ہے، جس میں کھلاڑی رکنے کے لیے وقت کا انتخاب کرتے ہیں، اور بنیادی طور پر دوسرے کھلاڑیوں سے اسٹریٹجک اخراجات اور وقت گزرنے کے ساتھ ہونے والے حقیقی فوائد کا تبادلہ کرتے ہیں۔ یہ ماڈل اصل میں جان مینارڈ اسمتھ نے وضع کیا تھا ؛ بشپ اینڈ کیننگز نے ایک مخلوط ارتقائی طور پر مستحکم حکمت عملی (ای ایس ایس) کا تعین کیا تھا۔ ایک مثال دوسری قیمت کی تمام تنخواہ والی نیلامی ہے، جس میں انعام سب سے زیادہ بولی لگانے والے کھلاڑی کو جاتا ہے اور ہر کھلاڑی ہارنے والے کی کم بولی ادا کرتا ہے (اسے تمام تنخواہ والی مہر بند بولی دوسری قیمت کی نیلامی بناتا ہے)۔ کھیل کا جائزہ لینا یہ دیکھنے کے لیے کہ ایٹریشن کی جنگ کیسے کام کرتی ہے، تمام تنخواہوں کی نیلامی پر غور کریں: فرض کریں کہ ہر کھلاڑی کسی آئٹم پر بولی لگاتا ہے، اور جو سب سے زیادہ بولی لگاتا ہے وہ ویلیو V کا وسائل جیتتا ہے۔ ہر کھلاڑی اپنی بولی ادا کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر کوئی کھلاڑی بولی b لگاتا ہے، تو اس کی ادائیگی-b ہے اگر وہ ہار جاتا ہے، اور V-b اگر وہ جیت جاتا ہے۔ آخر میں، فرض کریں کہ اگر دونوں کھلاڑی ایک ہی رقم b کی بولی لگاتے ہیں، تو وہ V کی قیمت کو تقسیم کرتے ہیں، ہر ایک کو V/2-b حاصل ہوتا ہے۔ آخر میں، بولی ب کو وقت کے طور پر سوچیں، اور یہ کشیدگی کی جنگ بن جاتی ہے، کیونکہ زیادہ بولی مہنگی ہوتی ہے، لیکن زیادہ بولی انعام جیتتی ہے۔ یہ بنیاد کہ کھلاڑی کسی بھی نمبر پر بولی لگا سکتے ہیں، تمام تنخواہ، مہر بند بولی، دوسری قیمت کی نیلامی کے تجزیے کے لیے اہم ہے۔ بولی اس وسائل کی قیمت سے بھی تجاوز کر سکتی ہے جس پر مقابلہ کیا گیا ہے۔ یہ شروع میں غیر منطقی معلوم ہوتا ہے، کسی وسائل کے لیے اس کی قیمت سے زیادہ ادائیگی کرنا بظاہر احمقانہ ہے ؛ تاہم، یاد رکھیں کہ ہر بولی لگانے والا صرف کم بولی ادا کرتا ہے۔ لہذا، ایسا لگتا ہے کہ وسائل کی قیمت کے برابر یا اس سے کم رقم کے بجائے زیادہ سے زیادہ ممکنہ رقم کی بولی لگانا ہر کھلاڑی کے بہترین مفاد میں ہوگا۔ تاہم، ایک کیچ ہے ؛ اگر دونوں کھلاڑی V سے زیادہ بولی لگاتے ہیں، تو زیادہ بولی لگانے والا اتنا نہیں جیتتا جتنا کم ہارتا ہے۔ جو کھلاڑی کم قیمت کی بولی لگاتا ہے وہ b کھو دیتا ہے اور جو زیادہ بولی لگاتا ہے وہ b-V کھو دیتا ہے (جہاں، اس منظر نامے میں، b> V)۔ اس صورت حال کو عام طور پر پیرہیک فتح کہا جاتا ہے۔ اس طرح کی ٹائی کے لیے کہ b> V/2، وہ دونوں b-V/2 کھو دیتے ہیں۔ لوس اور رائفا نے مؤخر الذکر کی صورتحال کو "تباہ کن صورتحال" قرار دیا ؛ دونوں کھلاڑیوں کو تکلیف ہوتی ہے، اور کوئی فاتح نہیں ہوتا ہے۔ اس فرضی میٹرکس سے جو نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے وہ یہ ہے کہ بولی لگانے کی کوئی قیمت نہیں ہے جو تمام معاملات میں فائدہ مند ہو، اس لیے کوئی غالب حکمت عملی نہیں ہے۔ تاہم، خالص حکمت عملیوں میں متعدد غیر متناسب کمزور نیش ایکولبریا ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی کھلاڑی کسی بھی بولی b ≤ V کا پابند ہو سکتا ہے۔ دوسرے کھلاڑی کا بہترین جواب صفر بولی لگانا ہے کیونکہ ایسی کوئی بولی نہیں ہے جس کے ساتھ وہ انعام جیت سکیں اور مثبت ادائیگی حاصل کر سکیں۔ مثبت بولی والا کھلاڑی توازن میں کچھ نہیں ادا کرتا ہے۔ اس لیے ان کے پاس کم بولی لگانے کی ترغیب نہیں ہے۔ یہ توازن سبگیم کامل ہے۔ مخلوط حکمت عملیوں میں ایک متناسب توازن بھی ہوتا ہے۔ سمیٹرک نیش توازن کشیدگی کی جنگ کی ایک اور مقبول تشکیل مندرجہ ذیل ہے: دو کھلاڑی تنازعہ میں ملوث ہوتے ہیں۔ ہر کھلاڑی کے لیے آبجیکٹ کی قیمت ہے۔ وقت کو ایک مسلسل متغیر کے طور پر بنایا گیا ہے جو صفر سے شروع ہوتا ہے اور غیر معینہ مدت تک چلتا ہے۔ ہر کھلاڑی اس بات کا انتخاب کرتا ہے کہ دوسرے کھلاڑی کو اعتراض کب تسلیم کرنا ہے۔ ٹائی کی صورت میں، ہر کھلاڑی کو افادیت حاصل ہوتی ہے۔ وقت قیمتی ہے، ہر کھلاڑی وقت کی مدت میں یوٹیلیٹی کا ایک یونٹ استعمال کرتا ہے۔ یہ فارمولیشن قدرے زیادہ پیچیدہ ہے کیونکہ یہ ہر کھلاڑی کو آبجیکٹ کو مختلف قدر تفویض کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ دونوں کھلاڑی دوسرے کھلاڑی کی قدر جانتے ہیں۔ اس طرح، کھیل ایک مکمل معلومات کا کھیل ہے۔ منفرد ہم آہنگی نیش توازن کی تعریف t کے لیے درج ذیل بقا کی تقریب سے کی جاتی ہے: قیمت، ایک کھلاڑی i کے لیے جس کا مخالف وقت t پر وسائل کی قدر کرتا ہے، امکان ہے کہ t ≤ x۔ یہ حکمت عملی کسی بھی کھلاڑی کی جیت کی ضمانت نہیں دیتی۔ بلکہ، یہ بہترین حکمت عملی ہے کیونکہ آپ کا مخالف بھی اسی شکل کی حکمت عملی کھیلتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر، تو، کم قیمت والا کھلاڑی زیادہ قیمت والے کھلاڑی سے زیادہ دیر تک برقرار رہتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کم قیمت والے کھلاڑی کے جنگ جیتنے کا امکان زیادہ ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کوئی x موجود نہیں ہے کہ بقا کا فعل صفر کے برابر ہو۔ لہذا بولیوں کی تقسیم کو مکمل حمایت حاصل ہے۔ مزید برآں، دونوں کھلاڑیوں کو صفر کی متوقع ادائیگی ملتی ہے کیونکہ ان کی ادائیگی t = 0 پر صفر ہے اور ان کی متوقع ادائیگی t کی ہر قیمت پر برابر ہونی چاہیے۔ متحرک تشکیل اور ارتقاء کے لحاظ سے مستحکم حکمت عملی انوکھی ارتقاء کے لحاظ سے مستحکم حکمت عملی ہم آہنگی نیش توازن کے ساتھ موافق ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کوئی بھی ای ایس ایس نیش توازن ہونا چاہیے اور یہ حقیقت کہ کوئی خالص استقامت کا وقت ای ایس ایس نہیں ہو سکتا۔ یہ کہ کوئی خالص استقامت کا وقت ایک ای ایس ایس نہیں ہے، صرف ایکس کی ایک تخیلاتی ای ایس ایس بولی پر غور کرکے ظاہر کیا جا سکتا ہے، جسے ایکس + کی بولی سے شکست دی جائے گی۔ یہ بھی دکھایا گیا ہے کہ یہاں تک کہ اگر افراد صرف خالص حکمت عملی کھیل سکتے ہیں، تو تمام افراد کی حکمت عملی کی قیمت کا وقت اوسط حساب شدہ ای ایس ایس میں بالکل یکجا ہوتا ہے۔ اس طرح کی ترتیب میں، کوئی بھی مسابقتی افراد کے چکور رویے کا مشاہدہ کر سکتا ہے۔ ارتقاء گیم تھیوری بشپ-کیننگز تھیوریم روبنسٹائن سودے بازی ماڈل ہاک-ڈو گیم ڈالر نیلامی ایٹریشن وارفیئر حوالہ جات غیر تعاون پر مبنی کھیل بھی دیکھیں۔