Belyi's theorem
ریاضیات میں، الجبرائی منحنی خطوط پر بیلی کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ کوئی بھی غیر واحد الجبرائی منحنی خطوط C، جس کی تعریف الجبرائی نمبر کوفیشنٹس سے ہوتی ہے، ایک کمپیکٹ ریمن سطح کی نمائندگی کرتا ہے جو ریمن دائرے کا ایک وسیع احاطہ ہے، جو صرف تین نکات پر ہوتا ہے۔ یہ 1979 سے جی وی بیلی کا نتیجہ ہے۔ اس وقت یہ حیرت انگیز سمجھا جاتا تھا، اور اس نے گروتھینڈیک کو اپنا نظریہ ڈیسن ڈی انفینٹ تیار کرنے کی ترغیب دی، جو مشترکہ اعداد و شمار کا استعمال کرتے ہوئے الجبرائی نمبروں پر غیر واحد الجبرائی منحنی خطوط کو بیان کرتا ہے۔ اوپری نصف سطح کے حصص اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ زیر بحث ریمن کی سطح کو حصص H/γ کے طور پر لیا جا سکتا ہے (جہاں H اوپری نصف سطح ہے اور γ ماڈیولر گروپ میں محدود اشاریہ کا ایک ذیلی گروپ ہے) جسے کاسپس کے ذریعے کمپیکٹ کیا جاتا ہے۔ چونکہ ماڈیولر گروپ میں غیر ہم آہنگی والے ذیلی گروپ ہوتے ہیں، اس لیے یہ نتیجہ نہیں ہے کہ اس طرح کا کوئی منحنی خطوط ماڈیولر منحنی خطوط ہیں۔ بیلی فنکشن ایک ہولومورفک نقشہ ہے جو ایک کمپیکٹ ریمن سطح S سے پیچیدہ پروجیکٹو لائن P1 (C) تک صرف تین نکات پر پھیلا ہوا ہے، جسے موبیئس تبدیلی کے بعد لیا جا سکتا ہے۔ بیلی کے افعال کو مشترکہ طور پر ڈیسن ڈی اینفنٹس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ بیلی فنکشنز اور ڈیسینز ڈی اینفنٹس-لیکن بیلی کا نظریہ نہیں-کم از کم فیلکس کلین کے کام سے تعلق رکھتے ہیں۔ انہوں نے انہیں اپنے مضمون میں مونوڈرومی گروپ پی ایس ایل (2,11) کے ساتھ پیچیدہ پروجیکٹو لائن کے 11 گنا سرورق کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا۔ ایپلی کیشنز بیلی کا نظریہ بیلی افعال کے لیے ایک وجود کا نظریہ ہے، اور اس کے بعد الٹا گالوئس مسئلے میں بہت زیادہ استعمال ہوا ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا الجبرائی منحنی خطوط الجبرائی جیومیٹری میں نظریات