Oscillatory integral
ریاضیاتی تجزیے میں آکسیلیٹری انٹیگرل تقسیم کی ایک قسم ہے۔ آسکیلیٹری انٹیگرلز بہت سے سخت دلائل دیتے ہیں جو، سادہ سطح پر، متفرق انٹیگرلز کا استعمال کرتے دکھائی دیتے ہیں۔ آسکیلیٹری انٹیگرلز کے طور پر بہت سی تفریقی مساوات کے لیے لگ بھگ حل آپریٹرز کی نمائندگی کرنا ممکن ہے۔ تعریف ایک آسکیلیٹری انٹیگرل کو رسمی طور پر لکھا جاتا ہے کہ درج ذیل خصوصیات کے ساتھ کہاں اور کہاں فنکشنز کی وضاحت کی گئی ہے: فنکشن حقیقی قدر والا، ڈگری 1 کا مثبت-یکساں، اور اس سے دور لامحدود طور پر تفریق پذیر ہے۔ اس کے علاوہ، ہم فرض کرتے ہیں کہ اس کی حمایت پر کوئی اہم نکات نہیں ہیں۔ اس طرح کے فنکشن کو عام طور پر فیز فنکشن کہا جاتا ہے۔ کچھ سیاق و سباق میں زیادہ عام افعال پر غور کیا جاتا ہے اور پھر بھی انہیں فیز افعال کہا جاتا ہے۔ فنکشن کچھ لوگوں کے لیے علامتی کلاسوں میں سے ایک سے تعلق رکھتا ہے۔ بدیہی طور پر، یہ علامتی کلاسیں ڈگری کے مثبت یکساں افعال کے تصور کو عام کرتی ہیں۔ فیز فنکشن کی طرح، کچھ معاملات میں فنکشن کو زیادہ عام، یا صرف مختلف کلاسوں میں لیا جاتا ہے۔ جب، رسمی انٹیگرل تعریف سب کے لیے یکجا ہو جاتی ہے، اور اس کی تعریف پر مزید بحث کی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، جب، آکسیلیٹری انٹیگرل کو اب بھی تقسیم کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، حالانکہ انٹیگرل یکجا نہیں ہوسکتا ہے۔ اس صورت میں تقسیم کی تعریف اس حقیقت کو استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے جس کا تخمینہ ان افعال سے لگایا جا سکتا ہے جن میں ایکسپونینشیل ڈیک ہوتا ہے۔ ایسا کرنے کا ایک ممکنہ طریقہ یہ طے کرنا ہے کہ معتدل تقسیم کے معنی میں حد کہاں لی گئی ہے۔ حصوں کے لحاظ سے انضمام کا استعمال کرتے ہوئے، یہ ظاہر کرنا ممکن ہے کہ یہ حد اچھی طرح سے بیان کی گئی ہے، اور یہ کہ ایک تفریق آپریٹر موجود ہے جس کے نتیجے میں شوارٹز اسپیس میں کسی پر کام کرنے والی تقسیم اس طرح دی جاتی ہے جہاں یہ انٹیگرل بالکل یکجا ہوتا ہے۔ آپریٹر کو منفرد طور پر بیان نہیں کیا گیا ہے، لیکن اسے اس طرح سے منتخب کیا جا سکتا ہے جو صرف فیز فنکشن، علامت کی ترتیب، اور پر منحصر ہے۔ درحقیقت، کسی بھی عدد کو دیکھتے ہوئے، ایک آپریٹر تلاش کرنا ممکن ہے تاکہ اوپر کا انٹیگرینڈ کافی بڑے کے لیے پابند ہو۔ یہ علامتی کلاسوں کی تعریف کا بنیادی مقصد ہے۔ مثالیں بہت سی واقف تقسیموں کو آسکیلیٹری انٹیگرلز کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اگر ہم اوپر سے اس آکسیلیٹری انٹیگرل کے ساتھ ساتھ گاؤسیئن کے فورئیر ٹرانسفارم کی وضاحت کرنے کا پہلا طریقہ لاگو کرتے ہیں، تو ہم افعال کی ایک معروف ترتیب حاصل کرتے ہیں جو ڈیلٹا فنکشن کا تخمینہ لگاتے ہیں: اس معاملے میں ایک آپریٹر مثال کے طور پر دیا جاتا ہے کہ متغیرات کے حوالے سے لیپلاسیئن کہاں ہے، اور اس سے بڑا کوئی عدد ہے۔ درحقیقت، اس کے ساتھ ہمارے پاس ہے اور یہ انٹیگرل بالکل یکجا ہوتا ہے۔ کسی بھی تفریقی آپریٹر کے شوارٹز دانا کو آسلٹری انٹیگرل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ درحقیقت اگر کہاں، تو پھر کا دانا لگرینجین تقسیم سے تعلق کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ کسی بھی لگرینجین تقسیم کو مقامی طور پر آکسیلیٹری انٹیگرلز کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے، دیکھیں۔ اس کے برعکس، کوئی بھی آکسیلیٹری انٹیگرل ایک لاگرانجین ڈسٹری بیوشن ہے۔ یہ تقسیم کی ان اقسام کی درست وضاحت دیتا ہے جن کی نمائندگی آکسیلیٹری انٹیگرلز کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ریمن-لیبسگ لیما وین ڈیر کورپٹ لیما حوالہ جات ریاضیاتی تجزیہ عمومی افعال فنکشنل تجزیہ شوارٹز تقسیم