Kuiper's theorem
ریاضی میں، کوئپر تھیوریم (نیکولاس کوئپر کے بعد) ایک لامحدود جہتی، پیچیدہ ہلبرٹ اسپیس H پر آپریٹرز کی ٹوپولوجی کا نتیجہ ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ H کے الٹا باؤنڈڈ اینڈومورفزم کی اسپیس GL (H) ایسی ہے کہ آپریٹرز پر معمول کی ٹوپولوجی کے لیے کسی بھی محدود کمپلیکس Y سے GL (H) تک کے تمام نقشے مستقل کے لیے ہوموٹوپک ہیں۔ ایک اہم نتیجہ، جسے کوئپر تھیوریم بھی کہا جاتا ہے، یہ ہے کہ یہ گروپ کمزور طور پر سکڑ سکتا ہے، یعنی۔ اس کے تمام ہوموٹوپی گروپ معمولی ہیں۔ اس نتیجے کے ٹپوولوجیکل کے تھیوری میں اہم استعمال ہیں۔ عام لکیری گروپ کی عمومی ٹوپولوجی محدود جہتی H کے لیے، یہ گروپ ایک پیچیدہ عمومی لکیری گروپ ہوگا اور بالکل بھی قابل معاہدہ نہیں ہوگا۔ در حقیقت یہ اس کے زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ کے مساوی ہوموٹوپی ہے، H کا یکطرفہ گروپ U۔ اس بات کا ثبوت کہ پیچیدہ عمومی لکیری گروپ اور یکطرفہ گروپ کی ایک ہی ہوموٹوپی قسم ہے، گرام شمڈٹ عمل کے ذریعے، یا میٹرکس پولر سڑنے کے ذریعے ہے، اور الگ ہونے والے ہلبرٹ اسپیس کے لامحدود جہتی معاملے میں لے جاتا ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ اوپری مثلث میٹرکس کی جگہ سکڑتی ہے جیسا کہ بالکل واضح طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ بنیادی رجحان یہ ہے کہ لامحدود بہت سے جہتوں میں منتقل ہونے سے یکطرفہ گروہوں کی زیادہ تر ٹپوولوجیکل پیچیدگی ختم ہو جاتی ہے۔ لیکن بوٹس یکطرفہ گروپ کے حصے کو دیکھیں، جہاں انفینیٹی کا راستہ زیادہ محدود ہے، اور اس کے نتیجے میں گروپ میں غیر معمولی ہوموٹوپی گروپ ہوتے ہیں۔ تاریخی سیاق و سباق اور شعبوں کی ٹوپولوجی یہ ایک حیرت انگیز حقیقت ہے کہ لامحدود جہتی ہلبرٹ اسپیس H میں یونٹ کا دائرہ، جسے بعض اوقات S φ سے ظاہر کیا جاتا ہے، ایک سکڑنے والی جگہ ہے، جبکہ کوئی محدود جہتی دائرے سکڑنے کے قابل نہیں ہیں۔ یہ نتیجہ، جو یقینی طور پر کوئپر سے کئی دہائیاں پہلے جانا جاتا ہے، ریاضیاتی لوک داستانوں کی حیثیت رکھتا ہے، لیکن اکثر اس کا حوالہ دیا جاتا ہے۔ در حقیقت مزید سچ ہے: S ≤ H کے لیے ڈفیومورفک ہے، جو یقینی طور پر اس کی کنویکسٹی کی وجہ سے سکڑ سکتا ہے۔ ایک نتیجہ یہ ہے کہ ایچ میں یونٹ بال کے لیے بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کی توسیع کے لیے ہموار جوابی مثالیں موجود ہیں۔ اس طرح کی جوابی مثالوں کا وجود جو ہومومورفزم ہیں، 1943 میں شیزو کاکوتانی نے دکھایا تھا، جنہوں نے پہلی بار یونٹ دائرے کے سکڑنے کا ثبوت لکھا ہوگا۔ لیکن نتیجہ ویسے بھی بنیادی طور پر معلوم تھا (1935 میں آندرے نیکولائیوچ ٹائکونوف نے ظاہر کیا کہ یونٹ کا دائرہ یونٹ بال کا پیچھے ہٹنا تھا)۔ باؤنڈڈ آپریٹرز کے گروپ پر نتیجہ ڈچ ریاضی دان نیکولاس کوئپر نے ثابت کیا، ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس کے معاملے کے لیے ؛ علیحدگی کی پابندی بعد میں ختم کر دی گئی۔ وہی نتیجہ، لیکن معیاری ٹوپولوجی کے بجائے مضبوط آپریٹر ٹوپولوجی کے لیے، 1963 میں جیکس ڈکسمیر اور ایڈرین ڈوڈی نے شائع کیا تھا۔ دائرے اور آپریٹرز کے گروپ کا ہندسی تعلق یہ ہے کہ اکائی دائرہ یکطرفہ گروپ U کے لیے ایک یکساں جگہ ہے۔ اکائی دائرے کے واحد ویکٹر v کا اسٹیبلائزر v کی آرتھوگنل تکمیل کا یکائی گروپ ہے۔ اس لیے ہوموٹوپی لمبی عین ترتیب پیش گوئی کرتی ہے کہ اکائی دائرے کے تمام ہوموٹوپی گروپ معمولی ہوں گے۔ یہ قریبی ٹپوولوجیکل تعلقات کو ظاہر کرتا ہے، لیکن اپنے آپ میں کافی نہیں ہے، کیونکہ کسی نقطہ کی شمولیت صرف ایک کمزور ہوموٹوپی مساوات ہوگی، اور اس کا مطلب براہ راست صرف سی ڈبلیو کمپلیکس کے لیے معاہدہ ہے۔ کوئپر کے دو سال بعد شائع ہونے والے ایک مقالے میں، رچرڈ پیلیس نے اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے کافی لامحدود جہتی کئی گنا پر تکنیکی نتائج فراہم کیے۔ بوٹس یونٹری گروپ ایک اور لامحدود جہتی یونٹری گروپ ہے، جو ہوموٹوپی تھیوری میں بڑی اہمیت کا حامل ہے، جس پر بوٹس پیریڈکٹی تھیوریم لاگو ہوتا ہے۔ یہ یقینی طور پر معاہدہ نہیں ہے۔ کوئپر کے گروپ سے فرق کی وضاحت کی جا سکتی ہے: باٹ کا گروپ وہ ذیلی گروپ ہے جس میں ایک دیا ہوا آپریٹر غیر معمولی طور پر صرف ایک ذیلی جگہ پر کام کرتا ہے جو ایک مقررہ آرتھونورمل بنیاد (ای آئی) کے پہلے این کے ذریعے پھیلا ہوا ہے، کچھ این کے لیے، جو بقیہ بیس ویکٹر پر شناخت ہے۔ فائبر بنڈلوں کے عمومی نظریہ کو دیکھتے ہوئے ایک فوری نتیجہ یہ ہے کہ ہر ہلبرٹ بنڈل ایک معمولی بنڈل ہے۔ اس پر آزادانہ طور پر عمل کرنے والے بعض گروپوں کے لیے جگہوں کی درجہ بندی کی ہندسی تعمیر فراہم کرتا ہے، جیسے کہ دو عناصر کے ساتھ چکور گروپ اور دائرہ گروپ۔ باٹ کے معنی میں یکطرفہ گروپ U میں پیچیدہ ویکٹر بنڈلوں کے لیے درجہ بندی کی جگہ BU ہے (U (n) کے لیے درجہ بندی کی جگہ دیکھیں)۔ کوئپر تھیوریم سے آنے والا ایک گہرا اطلاق اتیہ-جینیچ تھیوریم (کلاؤس جینیچ اور مائیکل اتیہ کے بعد) کا ثبوت ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ H پر فریڈہولم آپریٹرز کی جگہ، معیاری ٹوپولوجی کے ساتھ، فنکٹر K (.) کی نمائندگی کرتی ہے۔ ہوموٹوپی تھیوری کے معنی میں ٹپوولوجیکل (پیچیدہ) کے تھیوری۔ یہ عطیہ عطیہ کی طرف سے دیا گیا ہے۔ بناچ خالی جگہوں کا معاملہ لامحدود جہت کے کسی بھی بناچ خالی جگہ پر الٹا آپریٹرز کے بارے میں بھی یہی سوال اٹھایا جا سکتا ہے۔ یہاں صرف جزوی نتائج ہیں۔ کچھ کلاسیکی ترتیب خالی جگہوں میں ایک ہی خاصیت ہوتی ہے، یعنی کہ الٹا آپریٹرز کا گروپ معاہدہ پذیر ہوتا ہے۔ دوسری طرف، ایسی مثالیں موجود ہیں جہاں یہ منسلک جگہ ہونے میں ناکام رہتا ہے۔ جہاں تمام ہوموٹوپی گروپوں کو معمولی سمجھا جاتا ہے، کچھ معاملات میں معاہدہ نامعلوم رہ سکتا ہے۔ حوالہ جات K-تھیوری آپریٹر تھیوری ہلبرٹ سپیس تھیوریمز ان ٹوپولوجی ٹوپولوجی آف لائ گروپس