Hamburger moment problem
ریاضی میں، ہیمبرگر مومنٹ کا مسئلہ، جسے ہنس لڈوگ ہیمبرگر کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، اس طرح وضع کیا گیا ہے: ایک ترتیب (m0، m1، m2،.) دی گئی ہے، کیا حقیقی لکیر پر کوئی مثبت بوریل پیمائش موجود ہے (مثال کے طور پر، بے ترتیب متغیر کی مجموعی تقسیم فنکشن کے ذریعہ طے شدہ پیمائش) جیسے کہ دوسرے الفاظ میں، مسئلے کے مثبت جواب کا مطلب یہ ہے کہ (m0، m1، m2،.) کسی مثبت بوریل پیمائش کے لمحات کی ترتیب ہے۔ اسٹیلٹجیس مومنٹ کا مسئلہ، ووروبیوف مومنٹ کا مسئلہ، اور ہاؤزڈورف مومنٹ کا مسئلہ ایک جیسے ہیں لیکن حقیقی لکیر کو (اسٹیلٹجیس اور ووروبیوف ؛ لیکن ووروبیوف اس مسئلے کو میٹرکس تھیوری کے لحاظ سے مرتب کرتا ہے)، یا ایک باؤنڈڈ وقفہ (ہاؤزڈورف) سے تبدیل کرتا ہے۔ خصوصیت ہیمبرگر مومنٹ کا مسئلہ حل کرنے کے قابل ہے (یعنی، (mn) لمحات کا ایک سلسلہ ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب غیر منفی عددوں پر متعلقہ ہینکل دانا مثبت قطعی ہو، یعنی پیچیدہ اعداد کے ہر صوابدیدی ترتیب (cj) j ≤ 0 کے لیے جو حتمی ہیں (یعنی۔ cj = 0 سوائے ج کی بہت سی اقدار کے)۔ دعووں کے "صرف اگر" حصے کے لیے صرف اس بات کو نوٹ کریں جو غیر منفی ہے اگر غیر منفی ہے۔ ہم متصادم کے لیے ایک دلیل تیار کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ Z + غیر منفی عدد ہیں اور F0 (Z +) محدود حمایت کے ساتھ پیچیدہ قابل قدر ترتیبات کے خاندان کو ظاہر کرتا ہے۔ مثبت ہینکل دانا اے محدود حمایت کے ساتھ پیچیدہ قدر والے ترتیبات کے خاندان پر ایک (ممکنہ طور پر انحطاط پذیر) سیسکویلینئر پروڈکٹ کو جنم دیتا ہے۔ یہ بدلے میں ایک ہلبرٹ اسپیس دیتا ہے جس کا عام عنصر ایک مساوات کلاس ہے جسے [f] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ این F0 (Z +) میں عنصر ہے جس کی تعریف این (m) = δnm سے ہوتی ہے۔ اس لیے، "شفٹ" آپریٹر T، T [en] = [en + 1] کے ساتھ، ہم آہنگ ہے۔ دوسری طرف، مطلوبہ اظہار سے پتہ چلتا ہے کہ μ ایک سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر کی سپیکٹرم پیمائش ہے۔ (مزید واضح طور پر بیان کیا گیا ہے، ذیل میں بیان کردہ آپریٹر اور ویکٹر [1] کے لیے سپیکٹرم پیمائش ہے۔) اگر ہم ایک "فنکشن ماڈل" تلاش کر سکتے ہیں کہ سمیٹرک آپریٹر T کا ضرب x ہو، تو T کی سیلف ایڈجوائنٹ ایکسٹینشن کا سپیکٹرم ریزولوشن اس دعوے کو ثابت کرتا ہے۔ ایک فنکشن ماڈل قدرتی آئسومورفزم کے ذریعہ F0 (Z +) سے کثیر الجہتی کے خاندان کو دیا جاتا ہے، ایک واحد حقیقی متغیر اور پیچیدہ گتانک میں: n ≤ 0 کے لیے، xn کے ساتھ en کی شناخت کریں۔ ماڈل میں، آپریٹر T کا ضرب x اور ایک گھنے طور پر بیان کردہ سمیٹرک آپریٹر ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ٹی میں ہمیشہ سیلف ایڈجائنٹ ایکسٹینشنز ہوتی ہیں۔ ان میں سے ایک ہونے دیں اور اس کی سپیکٹرم پیمائش μ ہو۔ تو دوسری طرف، اس وجود کے متبادل ثبوت کے لیے جو صرف اسٹیلٹجز انٹیگرلز کا استعمال کرتا ہے، یہ بھی دیکھیں، خاص طور پر تھیوریم 3.2 میں۔ حلوں کی انفرادیت حل ایک کنویکس سیٹ بناتے ہیں، اس لیے اس مسئلے کے پاس یا تو لامحدود حل ہوتے ہیں یا ایک منفرد حل ہوتا ہے۔ (n + 1) × (n + 1) ہینکل میٹرکس پر غور کریں۔ A کی مثبتیت کا مطلب ہے کہ ہر n کے لیے، ڈیٹ (Δn) ≤0۔ اگر کسی n کے لیے ڈیٹ (Δn) = 0 ہے، تو یہ محدود جہتی ہے اور T سیلف ایڈجوائنٹ ہے۔ تو اس صورت میں ہیمبرگر مومنٹ کے مسئلے کا حل منفرد ہے اور ٹی کی سپیکٹرم پیمائش ہونے کے ناطے، اس کی حمایت محدود ہے۔ زیادہ عام طور پر، حل منفرد ہوتا ہے اگر مستقل C اور D ایسے ہوں کہ تمام n کے لیے، |mn | ≤ CDnn! ۔ یہ زیادہ عام کارلمین کی حالت کے مطابق ہے۔ ایسی مثالیں ہیں جہاں حل منفرد نہیں ہے ؛ مثال کے طور پر دیکھیں۔ مزید نتائج کوئی بھی دیکھ سکتا ہے کہ ہیمبرگر مومنٹ کا مسئلہ حقیقی لکیر پر آرتھوگنل کثیر الجہتی سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ گرام-شمڈٹ طریقہ کار آرتھوگنل کثیر الجہتی کی بنیاد فراہم کرتا ہے جس میں آپریٹر: میں سہ رخی جیکوبی میٹرکس کی نمائندگی ہوتی ہے۔ یہ بدلے میں مثبت ہینکل دانے کے سہ رخی ماڈل کی طرف لے جاتا ہے۔ ٹی کے کیلی ٹرانسفارم کا ایک واضح حساب بائیں نصف سطح پر تجزیاتی افعال کی نیوانلننا کلاس کے ساتھ تعلق کو ظاہر کرتا ہے۔ غیر متغیر ترتیب کی طرف گزرتے ہوئے، یہ کریین کے فارمولے کو متحرک کرتا ہے جو جزوی آئسومیٹریز کی توسیع کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ مجموعی تقسیم فنکشن اور امکانی کثافت فنکشن اکثر مومنٹ جنریٹنگ فنکشن میں الٹا لیپلیس ٹرانسفارم کو لاگو کرکے پایا جا سکتا ہے بشرطیکہ یہ فنکشن یکجا ہو۔ حوالہ جات۔ امکان کے مسائل پیمائش کا نظریہ فنکشنل تجزیہ مومنٹ (ریاضی) ریاضیاتی مسائل