Second derivative
کیلکولس میں، کسی فنکشن کا دوسرا مشتق، یا دوسرا ترتیب مشتق، کے مشتق کا مشتق ہوتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، دوسرے مشتق کو "تبدیلی کی شرح کی تبدیلی کی شرح" کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے ؛ مثال کے طور پر، وقت کے حوالے سے کسی شے کی پوزیشن کا دوسرا مشتق شے کا فوری ایکسلریشن، یا وہ شرح ہے جس پر شے کی رفتار وقت کے حوالے سے تبدیل ہو رہی ہے۔ لیبنز نوٹیشن میں: جہاں ایکسلریشن ہے، رفتار ہے، وقت ہے، پوزیشن ہے، اور d فوری "ڈیلٹا" یا تبدیلی ہے۔ آخری اظہار وقت کے حوالے سے پوزیشن () کا دوسرا مشتق ہے۔ فنکشن کے گراف پر، دوسرا مشتق گراف کے منحنی پن یا کنکیوٹی سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثبت دوسرے مشتق کے ساتھ کسی فنکشن کا گراف اوپر کی طرف کنکیو ہوتا ہے، جبکہ منفی دوسرے مشتق منحنی خطوط کے ساتھ کسی فنکشن کا گراف مخالف سمت میں ہوتا ہے۔ دوسرا مشتق طاقت کا قاعدہ پہلے مشتق کے لیے طاقت کا قاعدہ، اگر دو بار لاگو کیا جائے تو، دوسرا مشتق طاقت کا قاعدہ مندرجہ ذیل پیدا کرے گا: نوٹیشن کسی فنکشن کے دوسرے مشتق کو عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ یعنی: مشتقات کے لیے لیبنز کے اشارے کا استعمال کرتے وقت، ایک آزاد متغیر کے حوالے سے ایک منحصر متغیر کا دوسرا مشتق لکھا جاتا ہے۔ یہ اشارے مندرجہ ذیل فارمولے سے اخذ کیے گئے ہیں: مثال کے طور پر فنکشن کو دیکھتے ہوئے مشتق فنکشن کا دوسرا مشتق مشتق ہے، یعنی گراف کنکیوٹی سے تعلق۔ کسی فنکشن کا دوسرا مشتق گراف کی کنکیوٹی کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک فنکشن جس کا دوسرا مشتق مثبت ہے وہ کنکیو اپ ہوگا (جسے کنویکس بھی کہا جاتا ہے)، جس کا مطلب ہے کہ ٹینجینٹ لائن فنکشن کے گراف کے نیچے ہوگی۔ اسی طرح، ایک فنکشن جس کا دوسرا مشتق منفی ہے وہ کنکیو ڈاؤن ہوگا (جسے صرف کنکیو بھی کہا جاتا ہے)، اور اس کی ٹینجینٹ لائنیں فنکشن کے گراف کے اوپر ہوں گی۔ اگر کسی فنکشن کا دوسرا مشتق نشان بدلتا ہے، تو فنکشن کا گراف کنکیو سے نیچے کنکیو اپ میں تبدیل ہو جائے گا، یا اس کے برعکس۔ ایک نقطہ جہاں یہ واقع ہوتا ہے اسے انفلیکشن پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ دوسرا مشتق مسلسل ہے، اسے کسی بھی انفلیکشن پوائنٹ پر صفر کی قدر لینی چاہیے، حالانکہ ہر وہ نقطہ جہاں دوسرا مشتق صفر ہو ضروری نہیں کہ وہ انفلیکشن کا نقطہ ہو۔ دوسرا مشتق ٹیسٹ دوسرے مشتق اور گراف کے درمیان تعلق کو یہ جانچنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا کسی فنکشن کے لیے ایک ساکن نقطہ (یعنی ایک نقطہ جہاں) مقامی زیادہ سے زیادہ ہے یا مقامی کم سے کم۔ خاص طور پر، اگر، تو اس میں مقامی زیادہ سے زیادہ ہے۔ اگر، تو مقامی کم از کم ہے۔ اگر، دوسرا مشتق ٹیسٹ نقطہ کے بارے میں کچھ نہیں کہتا ہے، تو ایک ممکنہ موڑ نقطہ۔ دوسرا مشتق ان نتائج کو پیدا کرنے کی وجہ کو حقیقی دنیا کی مشابہت کے ذریعے دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک ایسی گاڑی پر غور کریں جو پہلے بہت تیز رفتار سے آگے بڑھ رہی ہو، لیکن منفی ایکسلریشن کے ساتھ۔ واضح طور پر، اس مقام پر جہاں رفتار صفر تک پہنچ جاتی ہے گاڑی کی پوزیشن ابتدائی پوزیشن سے زیادہ سے زیادہ فاصلہ ہوگی-اس وقت کے بعد، رفتار منفی ہو جائے گی اور گاڑی الٹ جائے گی۔ کم از کم کے لیے بھی یہی بات درست ہے، ایک ایسی گاڑی کے لیے جس کی ابتدا میں رفتار بہت منفی ہوتی ہے لیکن ایکسلریشن مثبت ہوتی ہے۔ حد دوسرے مشتق کے لیے ایک حد لکھنا ممکن ہے: اس حد کو دوسرا سمیٹرک مشتق کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ دوسرا سمیٹرک مشتق اس وقت بھی موجود ہو سکتا ہے جب (معمول کے مطابق) دوسرا مشتق موجود نہ ہو۔ دائیں طرف کے اظہار کو فرق کوٹینٹ کے فرق کوٹینٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: اس حد کو ترتیبات کے لیے دوسرے فرق کے مسلسل ورژن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تاہم، مذکورہ بالا حد کے وجود کا مطلب یہ نہیں ہے کہ فنکشن کا دوسرا مشتق ہے۔ مندرجہ بالا حد صرف دوسرے مشتق کا حساب لگانے کا امکان دیتی ہے-لیکن کوئی تعریف فراہم نہیں کرتی ہے۔ ایک جوابی مثال سائن فنکشن ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: سائن فنکشن صفر پر مسلسل نہیں ہے، اور اس لیے دوسرا مشتق موجود نہیں ہے۔ لیکن مندرجہ بالا حد اس کے لیے موجود ہے: کواڈریٹک تخمینہ جس طرح پہلا مشتق لکیری تخمینوں سے متعلق ہے، اسی طرح دوسرا مشتق کسی فنکشن کے لیے بہترین کواڈریٹک تخمینہ سے متعلق ہے۔ یہ کواڈریٹک فنکشن ہے جس کے پہلے اور دوسرے مشتقات ایک دیئے گئے نقطہ پر کے جیسے ہی ہیں۔ نقطہ کے ارد گرد کسی فنکشن کے لیے بہترین کواڈریٹک تخمینہ کا فارمولا یہ ہے کہ یہ کواڈریٹک تخمینہ پر مرکوز فنکشن کے لیے دوسرے درجے کا ٹیلر کثیر الجہتی ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز کے بہت سے امتزاج کے لیے دوسرے مشتق کے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کے لیے واضح فارمولے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، فرض کرتے ہوئے اور یکساں ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز (یعنی آئجین ویوکٹر کہاں ہے)، آئجین ویلیوز ہیں اور متعلقہ آئجین ویوکٹرز (جسے آئجین فنکشن بھی کہا جاتا ہے) یہاں ہیں، دیگر معروف صورتوں کے لیے، دوسرے مشتق کے آئجین ویلیوز اور آئجین ویوکٹرز دیکھیں۔ اعلی جہتوں کی عمومی کاری ہیسیئن دوسرا مشتق دوسرے جزوی مشتقات کے تصور کے ذریعے اعلی جہتوں کی عمومی کاری کرتا ہے۔ کسی فنکشن کے لیے، ان میں تین سیکنڈ آرڈر پارٹیلز اور مکسڈ پارٹیلز شامل ہیں۔ اگر فنکشن کی امیج اور ڈومین دونوں میں پوٹینشل ہے، تو یہ ایک سمیٹرک میٹرکس میں ایک ساتھ فٹ ہوتے ہیں جسے ہیسیئن کہا جاتا ہے۔ اس میٹرکس کی آئجین ویلیوز کو دوسرے مشتق ٹیسٹ کے ملٹی ویری ایبل اینالاگ کو لاگو کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ (دوسرا جزوی مشتق ٹیسٹ بھی دیکھیں۔) لیپلاسیئن دوسرے مشتق کی ایک اور عام عمومی شکل لیپلاسیئن ہے۔ یہ تفریقی آپریٹر (یا) ہے جس کی تعریف کسی فنکشن کا لیپلاسیئن میلان کے انحراف، اور ہیسیئن میٹرکس کے نشان کے برابر ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ چیرپینیس، فوری فیز فائنائٹ فرق کا دوسرا مشتق، جو دوسرے مشتق کا تخمینہ لگانے کے لیے استعمال ہوتا ہے دوسرا جزوی مشتق ٹیسٹ دوسرے مشتق کی سمیٹری حوالہ جات مزید پڑھنا پرنٹ آن لائن کتابیں بیرونی لنکس غیر مساوی فاصلے والے نکات سے دوسرا مشتق ریاضیاتی تجزیہ تفریقی کیلکولس افعال اور حساب میں نقشہ سازی لکیری آپریٹرز