Point groups in two dimensions
جیومیٹری میں، دو جہتی نقطہ گروپ یا روسیٹ گروپ ہندسی ہم آہنگی (آئسومیٹریز) کا ایک گروپ ہے جو کسی سطح میں کم از کم ایک نقطہ طے رکھتا ہے۔ اس طرح کا ہر گروپ آرتھوگنل گروپ O (2) کا ایک ذیلی گروپ ہے، بشمول O (2) خود۔ اس کے عناصر گردش اور عکاسی ہیں، اور اس طرح کا ہر گروپ جس میں صرف گردش ہوتی ہے، خصوصی آرتھوگنل گروپ SO (2) کا ایک ذیلی گروپ ہے، بشمول SO (2) خود۔ یہ گروپ R/Z کے لیے آئسومورفک ہے اور پہلا یکطرفہ گروپ، U (1)، ایک گروپ جسے سرکل گروپ بھی کہا جاتا ہے۔ دو جہتی نقطہ گروپ محوری تین جہتی نقطہ گروپوں کی بنیاد کے طور پر اہم ہیں، جس میں محوری کوآرڈینیٹ میں عکاسی کا اضافہ ہوتا ہے۔ وہ جانداروں کی ہم آہنگی میں بھی اہم ہیں، جیسے اسٹار فش اور جیلی فش، اور حیاتیات کے حصے، جیسے پھول۔ متفرق گروپ متفرق دو جہتی نقطہ گروپوں کے دو خاندان ہیں، اور ان کی وضاحت پیرامیٹر n کے ساتھ کی جاتی ہے، جو گروپ میں گردشوں کے گروپ کی ترتیب ہے۔ انٹیل سے مراد ہرمن-موگین نوٹیشن یا بین الاقوامی نوٹیشن ہے، جو اکثر کرسٹلگرافی میں استعمال ہوتا ہے۔ لامحدود حد میں، یہ گروہ یک جہتی لائن گروپ بن جاتے ہیں۔ اگر کوئی گروپ دو جہتی جالی یا گرڈ کی ہم آہنگی ہے، تو کرسٹلگرافک پابندی تھیوریم دونوں خاندانوں کے لیے n کی قدر کو 1، 2، 3، 4، اور 6 تک محدود کرتا ہے۔ اس طرح 10 دو جہتی کرسٹلگرافک پوائنٹ گروپس ہیں: C1، C2، C3، C4، C6، D1، D2، D3، D4، D6 گروپس کو مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے: Cn۔ ایک عنصر سے پیدا ہوتا ہے جسے Cn بھی کہا جاتا ہے، جو زاویے 2π/n کی طرف سے گردش سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے عناصر E (شناخت)، Cn، Cn2،.، Cnn−1، گردش کے زاویہ 0، 2π/n، 4π/n،.، 2 (n−1) π/n کے مطابق ہیں۔ ڈی این۔ عنصر Cn اور عکاسی σ سے پیدا ہوتا ہے۔ اس کے عناصر گروپ Cn کے عناصر ہیں، جن میں عناصر σ، Cnσ، Cn2σ،.، Cnn−1σ شامل ہیں۔ یہ اضافی زاویہ 0، π/n، 2π/n،.، (n−1) π/n کے ساتھ لائنوں کے پار عکاسی سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اس طرح Dn Cn اور گروپ (E، σ) کا ایک نیم براہ راست پروڈکٹ ہے۔ ان تمام گروپوں میں الگ الگ تجریدی گروپ ہیں، سوائے C2 اور D1 کے، جو تجریدی گروپ Z2 کا اشتراک کرتے ہیں۔ تمام چکور گروہ ابیلین یا تبادلہ پذیر ہوتے ہیں، لیکن ڈائی ہیڈرل گروپوں میں سے صرف دو ہیں: D1 ~ Z2 اور D2 ~ Z2 × Z2۔ در حقیقت، D3 سب سے چھوٹا غیر ایبلین گروپ ہے۔ یکساں n کے لیے، ہرمن-موگین علامت nm مکمل علامت nmm کا مخفف ہے، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ H-M علامت میں n، n گنا گردشوں کی نشاندہی کرتا ہے، جبکہ m عکاسی یا آئینے کے طیاروں کی نشاندہی کرتا ہے۔ زیادہ عام گروپ یہ گروپ آسانی سے دو جہتی آرتھوگنل میٹرکس کے ساتھ بنائے جاتے ہیں۔ مسلسل چکور گروپ ایس او (2) یا سی اور اس کے ذیلی گروپوں میں ایسے عناصر ہوتے ہیں جو گردش میٹرکس ہوتے ہیں: جہاں ایس او (2) میں کوئی ممکنہ θ ہوتا ہے۔ حیرت کی بات نہیں کہ ایس او (2) اور اس کے ذیلی گروہ تمام ابیلین ہیں ؛ گردش کے زاویوں کا اضافہ ہوتا ہے۔ مجرد چکور گروپوں Cn کے لیے، عناصر Cnk = R (2πk/n) مسلسل ڈائیڈرل گروپ O (2) یا D φ اور عکاسی کے ساتھ اس کے ذیلی گروپوں میں ایسے عناصر ہوتے ہیں جن میں نہ صرف گردش میٹرکس ہوتے ہیں، بلکہ عکاسی میٹرکس بھی ہوتے ہیں: جہاں O (2) میں کوئی ممکنہ θ ہوتا ہے۔ تاہم، عکاسی کے ساتھ O (2) کے واحد ابیلین ذیلی گروہ D1 اور D2 ہیں۔ مجرد ڈائیڈرل گروپوں Dn کے لیے، عناصر Cnkσ = S (2πk/n) جب کوئی قطبی نقاط کا استعمال کرتا ہے، تو ان گروپوں کا ایک جہتی ہم آہنگی والے گروپوں سے تعلق واضح ہو جاتا ہے۔ ایس او (2) کے ذیلی گروپوں کی اقسام: محدود چکور ذیلی گروپ سی این (این ≤ 1) ؛ ہر این کے لیے ایک آئسومیٹری گروپ ہوتا ہے، تجریدی گروپ کی قسم Zn حتمی طور پر تیار کردہ گروپوں کا، ہر ایک آئسومورفک Zm Zn کی شکل میں سے ایک ہے جو سی این اور ایم کے ذریعے پیدا ہوتا ہے جو موڑ کی غیر معقول تعداد کے ساتھ آزاد گردش کرتا ہے، اور ایم، این ≤ 1 ؛ ہر جوڑے (ایم، این) کے لیے بے شمار بہت سے آئسومیٹری گروپ ہوتے ہیں، جو سب تجریدی گروپ کی طرح ہوتے ہیں ؛ جوڑے کے لیے (1، 1) گروپ چکور ہوتا ہے۔ دیگر قابل گنتی ذیلی گروہ۔ مثال کے طور پر، ایک انٹیجر n کے لیے، متعدد موڑ کی تمام گردشوں سے پیدا ہونے والا گروپ جو کہ n بے شمار ذیلی گروپوں کی منفی انٹیجر پاور کے برابر ہوتا ہے، بشمول SO (2) خود۔ SO (2) کے ہر ذیلی گروپ کے لیے O (2) کے ذیلی گروپوں کی ایک متعلقہ بے شمار کلاس ہوتی ہے جو تجریدی گروپ کے طور پر باہمی طور پر آئسومورفک ہوتی ہے: ایک کلاس میں ہر ذیلی گروپ پہلے بیان کردہ ذیلی گروپ کے ذریعے پیدا ہوتا ہے اور اصل کے ذریعے ایک لائن میں ایک واحد عکاسی ہوتی ہے۔ یہ (عمومی) ڈائیڈرل گروپ ہیں، جن میں خلاصہ گروپ کی قسم ڈہن کے محدود ڈی این (این ≤ 1) شامل ہیں۔ n = 1 کے لیے عام اشارہ Cs ہے، تجریدی گروپ کی قسم Z2 کا۔ او (2) کے ٹپوولوجیکل ذیلی گروپوں کے طور پر، صرف محدود آئسومیٹری گروپ اور ایس او (2) اور او (2) بند ہیں۔ یہ گروہ دو الگ الگ خاندانوں میں آتے ہیں، اس کے مطابق کہ آیا وہ صرف گردشوں پر مشتمل ہیں، یا عکاسی کو شامل کرتے ہیں۔ چکور گروہ، Cn (تجریدی گروپ کی قسم Zn)، 360°/n کے ذریعے گردشوں اور تمام عدد ضرب پر مشتمل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، چار ٹانگوں والے سٹول میں ہم آہنگی گروپ C4 ہوتا ہے، جو 0°، 90°، 180°، اور 270° کی طرف سے گردش پر مشتمل ہوتا ہے۔ مربع کا ہم آہنگی گروپ ڈائیڈرل گروپوں کے خاندان سے تعلق رکھتا ہے، ڈی این (تجریدی گروپ کی قسم ڈہن)، جس میں گردش کے طور پر بہت سے عکاسی شامل ہیں۔ دائرے کی لامحدود گردش کی ہم آہنگی عکاسی کی ہم آہنگی کو بھی ظاہر کرتی ہے، لیکن رسمی طور پر دائرہ گروپ S1 دہ (S1) سے الگ ہے کیونکہ مؤخر الذکر میں واضح طور پر عکاسی شامل ہے۔ ایک لامحدود گروپ کو مسلسل ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ہمارے پاس 360°/کی طرف سے گردش کے تمام عدد ضرب کا ایک گروپ ہے، جس میں 180° کی طرف سے گردش شامل نہیں ہے۔ اس کے اطلاق پر منحصر ہے، ایک الٹی سمت میں تفصیل کی من مانی باریک سطح تک یکسانیت کو اس سمت میں مکمل یکسانیت کے برابر سمجھا جا سکتا ہے، ایسی صورت میں ان ہم آہنگی گروپوں کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ n = 1، 2، 3، 4، اور 6 کے لیے Cn اور Dn کو ٹرانسلیشنل سمیٹری کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے، بعض اوقات ایک سے زیادہ طریقوں سے۔ اس طرح یہ 10 گروہ 17 وال پیپر گروپوں کو جنم دیتے ہیں۔ ہم آہنگی گروپ 2D ہم آہنگی گروپ آئسومیٹری گروپوں سے مطابقت رکھتے ہیں، سوائے اس کے کہ O (2) اور SO (2) کے مطابق ہم آہنگی کو صرف ویکٹر فیلڈز کے لیے لاگو عمومی ہم آہنگی کے تصور میں ممتاز کیا جا سکتا ہے۔ نیز، اطلاق کے لحاظ سے، متوازی سمت میں من مانی طور پر باریک تفصیل تک یکسانیت کو اس سمت میں مکمل یکسانیت کے برابر سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ درجہ بندی کو بہت آسان بناتا ہے: ہم اپنے آپ کو O (2) کے بند ٹپوولوجیکل ذیلی گروپوں تک محدود رکھ سکتے ہیں: محدود اور O (2) (سرکلر سمیٹری)، اور ویکٹر فیلڈز SO (2) کے لیے۔ یہ گروپ ایک جہتی ہم آہنگی والے گروپوں سے بھی مطابقت رکھتے ہیں، جب ایک دائرے میں لپیٹے جاتے ہیں۔ ٹرانسلیشنل سمیٹری E (2) کے ساتھ امتزاج O (2) اور ترجمہ گروپ T کا ایک سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، O (2) E (2) کا ایک ذیلی گروپ ہے جو E (2) کے حصص گروپ کے لیے T: O (2) E (2)/T کی طرف سے آئسومورفک ہے۔ ایک "قدرتی" سرجیکٹو گروپ ہومومورفزم p: E (2) → E (2)/T ہے، جو E (2) کے ہر عنصر g کو T کے کوسیٹ میں بھیجتا ہے جس سے g کا تعلق ہے، یعنی: p (g) = gT، جسے بعض اوقات E (2) کا E (2)/T یا O (2) پر کینونکل پروجیکشن کہا جاتا ہے۔ اس کا دانا T ہے۔ E (2) کے ہر ذیلی گروپ کے لیے ہم اس کی شبیہہ پر p کے تحت غور کر سکتے ہیں: ایک نقطہ گروپ جس میں کوسیٹ شامل ہوتے ہیں جس سے ذیلی گروپ کے عناصر تعلق رکھتے ہیں، دوسرے لفظوں میں، آئسومیٹریز کے ٹرانسلیشنل حصوں کو نظر انداز کر کے حاصل کردہ نقطہ گروپ۔ E (2) کے ہر مجرد ذیلی گروپ کے لیے، کرسٹلگرافک پابندی تھیوریم کی وجہ سے، یہ پوائنٹ گروپ یا تو Cn ہے یا n = 1، 2، 3، 4، یا 6 کے لیے Dn قسم کا ہے۔ n = 1، 2، 3، 4، اور 6 کے لیے Cn اور Dn کو ٹرانسلیشنل سمیٹری کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے، بعض اوقات ایک سے زیادہ طریقوں سے۔ اس طرح یہ 10 گروپ 17 وال پیپر گروپوں کو جنم دیتے ہیں، اور n = 1 اور 2 والے چار گروپ بھی 7 فریز گروپوں کو جنم دیتے ہیں۔ وال پیپر گروپوں میں سے ہر ایک کے لیے پی 1، پی 2، پی 3، پی 4، پی 6، تمام آئسومیٹری گروپوں کے پی کے نیچے کی تصویر (یعنی۔ ای (2)/ٹی یا او (2) پر "پروجیکشنز" سبھی متعلقہ سی این کے برابر ہیں ؛ نیز دو فریز گروپ سی 1 اور سی 2 سے مطابقت رکھتے ہیں۔ پی 6 ایم کے آئسومیٹری گروپوں میں سے ہر ایک کو ڈی 6 قسم کے پوائنٹ گروپوں میں سے ایک میں نقشہ بنایا جاتا ہے۔ دیگر 11 وال پیپر گروپوں کے لیے، ہر آئسومیٹری گروپ کو ڈی 1، ڈی 2، ڈی 3، یا ڈی 4 کی اقسام کے پوائنٹ گروپوں میں سے ایک میں نقشہ بنایا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ پانچ فریز گروپ D1 اور D2 سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک ہیکساگونل ترجمہ جالی کے لیے دو مختلف گروپ D3 ہوتے ہیں، جو P31m اور p3m1 کو جنم دیتے ہیں۔ ہر قسم D1، D2، اور D4 کے لیے بالترتیب 3، 4، اور 2 وال پیپر گروپوں کے درمیان فرق کا تعین گروپ میں ہر عکاسی سے وابستہ ٹرانسلیشن ویکٹر سے ہوتا ہے: چونکہ آئسومیٹریز ٹرانسلیشنل اجزاء سے قطع نظر ایک ہی کوسیٹ میں ہوتی ہیں، اسی آئینے کے ساتھ ایک عکاسی اور گلائڈ عکاسی ایک ہی کوسیٹ میں ہوتی ہے۔ اس طرح، جیسے آئسومیٹری گروپس۔ قسم p4m اور p4g دونوں کو قسم D4 کے پوائنٹ گروپوں میں نقشہ بنایا گیا ہے۔ کسی دیئے گئے آئسومیٹری گروپ کے لیے، گروپ کے عناصر کے ذریعہ گروپ میں ترجمہ کے کنجوگیٹس ایک ترجمہ گروپ (ایک جالی) پیدا کرتے ہیں-یہ آئسومیٹری گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے جو صرف اس ترجمہ پر منحصر ہوتا ہے جس کے ساتھ ہم نے شروعات کی تھی، اور آئسومیٹری گروپ سے وابستہ پوائنٹ گروپ۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ گلائڈ عکاسی کے ذریعے ترجمہ کا کنجوگیٹ اسی طرح ہوتا ہے جیسے متعلقہ عکاسی کے ذریعے ہوتا ہے: ترجمہ ویکٹر عکاسی کرتا ہے۔ اگر آئسومیٹری گروپ میں n-فولڈ گردش ہوتی ہے تو جالی میں ایون n کے لیے n-فولڈ سمیٹری اور عجیب n کے لیے 2n-فولڈ سمیٹری ہوتی ہے۔ اگر، ترجمہ پر مشتمل ایک مجرد آئسومیٹری گروپ کی صورت میں، ہم اسے کم سے کم لمبائی کے ترجمہ کے لیے لاگو کرتے ہیں، تو، دو ملحقہ سمتوں میں ترجمے کے ویکٹر فرق پر غور کرتے ہوئے، یہ n ≤ 6 کے بعد آتا ہے، اور عجیب n کے لیے 2n ≤ 6، اس لیے n = 1، 2، 3، 4، یا 6 (کرسٹلگرافک پابندی تھیوریم)۔ تین جہتوں میں پوائنٹ گروپ پوائنٹ گروپس بھی دیکھیں چار جہتوں میں پوائنٹ گروپس ایک جہتی ہم آہنگی گروپ بیرونی لنکس، جیومیٹرک ٹرانسفارمیشنز اور وال پیپر گروپس: جیومیٹرک پیٹرن کی ہم آہنگی (آئسومیٹریز کے مجرد گروپس)، لانس ڈریگر کے ذریعہ۔ پوائنٹ گروپس اینڈ کرسٹل سسٹمز، بذریعہ یی-شو وی، پی پی۔ 4-5 جیومیٹری سینٹر: 2.1 کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں ہم آہنگی کے فارمولے (دو جہتیں) یوکلڈین ہم آہنگی گروپ تھیوری