Whitehead product
ریاضی میں، وائٹ ہیڈ پروڈکٹ کسی جگہ کے ہوموٹوپی گروپوں پر ایک درجہ بند نیم-جھوٹ الجبرا ڈھانچہ ہے۔ اس کی تعریف جے ایچ سی وائٹ ہیڈ نے کی تھی۔ متعلقہ ایم ایس سی کوڈ ہے: 55Q15، وائٹ ہیڈ پروڈکٹس اور جنرلائزیشن۔ تعریف عناصر کو دیکھتے ہوئے، وائٹ ہیڈ بریکٹ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: پروڈکٹ کو ایک سیل کو پچر کی رقم سے جوڑ کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ منسلک نقشہ ایک نقشہ نمائندگی کرتا ہے اور نقشوں کے ذریعے اور پھر منسلک نقشے کے ساتھ ان کے پچر کو مرتب کرتا ہے، کیونکہ نتیجے میں آنے والے نقشے کی ہوموٹوپی کلاس نمائندوں کے انتخاب پر منحصر نہیں ہوتی ہے، اور اس طرح درجہ بندی کا ایک اچھی طرح سے طے شدہ عنصر حاصل ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ درجہ بندی میں 1 کی شفٹ ہوتی ہے (ہوموٹوپی گروپوں کی انڈیکسنگ کے مقابلے میں)، اسی طرح ڈگری ہوتی ہے ؛ مساوی طور پر، (ترتیب ایل کو درجہ بند نیم-لی الجبرا بنانا)۔ اس طرح ہر درجہ بند جزو پر عمل کرتا ہے۔ خصوصیات وائٹ ہیڈ پروڈکٹ مندرجہ ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: بلینیریٹی۔ گریڈیڈ سمیٹری۔ درجہ بند جیکوبی شناخت۔ بعض اوقات وائٹ ہیڈ پروڈکٹ آپریشن کے ساتھ مل کر کسی جگہ کے ہوموٹوپی گروپس کو گریڈیڈ کواسی-لائی الجبرا کہا جاتا ہے۔ یہ میسی ٹرپل پروڈکٹ کے ذریعے ثابت ہوتا ہے۔ آئی ایف کے عمل سے تعلق، پھر وائٹ ہیڈ بریکٹ کا تعلق آن کے معمول کے عمل سے ہے جہاں بائی کے امتزاج کو ظاہر کرتا ہے۔ کیونکہ، یہ کم ہو جاتا ہے جس میں معمول کا کمیوٹیٹر ہوتا ہے۔ یہ مشاہدہ کرکے بھی دیکھا جا سکتا ہے کہ ٹورس کا-خلیہ-کنکال میں کمیوٹیٹر کے ساتھ منسلک ہوتا ہے۔ ایچ-اسپیس پر وائٹ ہیڈ مصنوعات منسلک ایچ-اسپیس کے لیے، وائٹ ہیڈ کی تمام مصنوعات غائب ہو جاتی ہیں۔ پچھلے ذیلی حصے کے مطابق، یہ دونوں حقائق کی عمومی شکل ہے کہ H-خالی جگہوں کے بنیادی گروہ ابیلین ہیں، اور یہ کہ H-خالی جگہیں سادہ ہیں۔ سسپنشن کلاسوں کے تمام وائٹ ہیڈ پروڈکٹ، سسپنشن ہومومورفزم کے دانے میں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہوپف کا نقشہ کہاں ہے۔ یہ مشاہدہ کرکے دکھایا جا سکتا ہے کہ ہوپف غیر متغیر ایک آئسومورفزم کی وضاحت کرتا ہے اور واضح طور پر نقشے کے کوفائبر کے کوہمولوجی رنگ کا حساب لگاتا ہے۔ پونٹریگین-تھام کی تعمیر کا استعمال کرتے ہوئے ایک براہ راست ہندسی دلیل ہے، اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ ایک باقاعدہ نقطہ کی ابتدائی تصویر ہوپف لنک کی نقل ہے۔ ν-گروپائڈز کے لیے ایپلی کیشنز یاد رکھیں کہ ایک ν-گروپائڈ گروپائڈز کی ایک-زمرہ عمومی کاری ہے جس کا قیاس الجبرائی رسم الخط میں ہوموٹوپی قسم کے ڈیٹا کو انکوڈ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ اشیاء خلا میں پوائنٹس ہیں، مورفزم پوائنٹس کے درمیان راستوں کی ہوموٹوپی کلاسیں ہیں، اور اعلی مورفزم ان پوائنٹس کی اعلی ہوموٹوپیز ہیں۔ وائٹ ہیڈ پروڈکٹ کا وجود اس کی بنیادی وجہ ہے کہ ν-گروپائڈز کے تصور کی وضاحت کرنا اس طرح کا ایک مشکل کام ہے۔ یہ دکھایا گیا کہ کسی بھی سخت-گروپائڈ میں صرف معمولی وائٹ ہیڈ مصنوعات ہوتی ہیں، اس لیے سخت گروپائڈز کبھی بھی ہوموٹوپی قسم کے شعبوں کا نمونہ نہیں بنا سکتے، جیسے کہ۔ جنرلائزڈ وائٹ ہیڈ پروڈکٹ میسی پروڈکٹ ٹوڈا بریکٹ حوالہ جات ہوموٹوپی تھیوری لائ الجبرا بھی دیکھیں۔