Zeta function regularization
ریاضی اور نظریاتی طبیعیات میں، زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن ایک قسم کا ریگولرائزیشن یا سمیبلٹی طریقہ ہے جو متفرق جملوں یا مصنوعات کو محدود اقدار تفویض کرتا ہے، اور خاص طور پر کچھ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کے تعین کنندگان اور نشانات کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ تکنیک اب عام طور پر طبیعیات کے مسائل پر لاگو ہوتی ہے، لیکن اس کی ابتدا نمبر تھیوری میں ظاہر ہونے والے غیر مشروط جملوں کو درست معنی دینے کی کوششوں میں ہوتی ہے۔ تعریف ممکنہ طور پر متفرق سیریز کے مجموعے کی وضاحت کے لیے زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کہلانے والے کئی مختلف مجموعے کے طریقے ہیں۔ ایک طریقہ یہ ہے کہ اس کے زیٹا ریگولرائزڈ سم کو ζA (−1) کے طور پر بیان کیا جائے اگر اس کی وضاحت کی جائے، جہاں زیٹا فنکشن کو بڑے ری (ایس) کے لیے بیان کیا جاتا ہے اگر یہ مجموعہ یکجا ہوتا ہے، اور کہیں اور تجزیاتی تسلسل کے ذریعے۔ اس صورت میں جب an = n، زیٹا فنکشن عام ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ یہ طریقہ اویلر نے سیریز 1 + 2 + 3 + 4 +. سے ζ (−1) = − 1/12 کا "مجموعہ" کرنے کے لیے استعمال کیا تھا۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ فلیٹ اسپیس میں، جس میں لیپلاسین کی آئجین ویلیوز معلوم ہوتی ہیں، پارٹیشن فنکشن سے متعلق زیٹا فنکشن کو واضح طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ درجہ حرارت T = β−1 پر فلیٹ اسپیس ٹائم میں حجم V کے ایک بڑے خانے میں موجود اسکیلر فیلڈ φ پر غور کریں۔ پارٹیشن فنکشن کی تعریف یوکلڈین اسپیس پر تمام فیلڈز φ پر ایک پاتھ انٹیگرل کے ذریعے کی جاتی ہے جو τ = it ڈال کر حاصل کیا جاتا ہے جو باکس کی دیواروں پر صفر ہوتے ہیں اور جو τ میں پیریڈ β کے ساتھ پیریڈک ہوتے ہیں۔ اس صورت حال میں پارٹیشن فنکشن سے وہ فیلڈ φ کی تابکاری کی توانائی، اینٹروپی اور دباؤ کا حساب لگاتا ہے۔ فلیٹ خالی جگہوں کے معاملے میں جسمانی مقدار میں ظاہر ہونے والی آئجین ویلیوز عام طور پر معلوم ہوتی ہیں، جبکہ مڑے ہوئے خلا کے معاملے میں وہ معلوم نہیں ہوتے ہیں: اس معاملے میں آسپٹوٹک طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایک اور طریقہ ممکنہ طور پر متفرق لامحدود پروڈکٹ a1a2 کی وضاحت کرتا ہے۔ ایکسپ (−ζ′A (0)) ہونا۔ اس کا استعمال مثبت سیلف ایڈجوائنٹ آپریٹر A (ان کی درخواست میں ریمینیئن کئی گنا کا لیپلاسیئن) کے تعین کنندہ کی وضاحت کرنے کے لیے کیا گیا جس میں آئجین ویلیوز a1، a2،.، اور اس صورت میں زیٹا فنکشن رسمی طور پر A−s کا سراغ ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر A ایک کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا کا لیپلاسیئن ہے تو میناکشی سندرم-پلیجیل زیٹا فنکشن یکجا ہوتا ہے اور تمام پیچیدہ نمبروں کے لیے ایک مورومورفک فنکشن کے طور پر ایک تجزیاتی تسلسل رکھتا ہے، اور اسے کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا پر ایلیپٹک سیوڈو ڈفریٚنشل آپریٹرز A تک بڑھا دیا۔ لہذا ایسے آپریٹرز کے لیے زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے ڈیٹرمیننٹ کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ "تجزیاتی ٹورسن" دیکھیں۔ مڑے ہوئے خلائی اوقات میں پاتھ انٹیگرلز کا اندازہ کرنے کے لیے اس خیال کو استعمال کرنے کی تجویز پیش کی۔ انہوں نے زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کا مطالعہ کیا تاکہ تھرمل گریویٹن اور مادے کے کوانٹا کے لیے تقسیم کے افعال کا حساب مڑے ہوئے پس منظر میں جیسے کہ بلیک ہولز کے افق پر اور ڈی سیٹر پس منظر پر انورس میلن کی تبدیلی کے ذریعے حرارت کے مساوات کے دانے کے ٹریس سے تعلق کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکے۔ مثال پہلی مثال جس میں زیٹا فنکشن کو باقاعدہ بنانا دستیاب ہے، کاسیمیر اثر میں ظاہر ہوتا ہے، جو تین خلائی جہتوں میں کوانٹم فیلڈ کی بڑی شراکت کے ساتھ ایک ہموار جگہ میں ہوتا ہے۔ اس صورت میں ہمیں-3 پر ریمن زیٹا فنکشن کی قدر کا حساب لگانا چاہیے، جو واضح طور پر مختلف ہوتی ہے۔ تاہم، اسے تجزیاتی طور پر s =-3 تک جاری رکھا جا سکتا ہے جہاں امید ہے کہ کوئی قطب نہیں ہے، اس طرح اظہار کو ایک محدود قدر ملتی ہے۔ کام پر اس باقاعدگی کی ایک تفصیلی مثال مضمون میں کاسیمیر اثر کی تفصیلی مثال پر دی گئی ہے، جہاں نتیجے میں جمع بہت واضح طور پر ریمن زیٹا فنکشن ہے (اور جہاں بظاہر لیگرڈیمین تجزیاتی تسلسل ایک اضافی انفینٹی کو ہٹا دیتا ہے، جس سے جسمانی طور پر اہم محدود تعداد رہ جاتی ہے)۔ زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کی ایک مثال کوانٹم فیلڈ تھیوری میں کسی ذرہ فیلڈ کی توانائی کی ویکیوم متوقع قیمت کا حساب ہے۔ زیادہ عام طور پر، زیٹا فنکشن اپروچ کو فلیٹ اور مڑے ہوئے اسپیس ٹائم دونوں میں پوری توانائی-مومنٹم ٹینسر کو باقاعدہ بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ توانائی کی غیر منضبط قیمت خلا کے تمام محرک طریقوں کی صفر نکاتی توانائی کے مجموعے کے ذریعے دی جاتی ہے: یہاں، توانائی مومنٹم ٹینسر کا صفر جزو ہے اور مجموعہ (جو ایک لازمی ہو سکتا ہے) کو تمام (مثبت اور منفی) توانائی کے طریقوں پر پھیلا ہوا سمجھا جاتا ہے۔ مطلق قدر ہمیں یاد دلاتی ہے کہ توانائی کو مثبت سمجھا جاتا ہے۔ یہ مجموعہ، جیسا کہ لکھا گیا ہے، عام طور پر لامحدود ہوتا ہے (عام طور پر n میں لکیری ہوتا ہے)۔ رقم کو اس طرح لکھ کر باقاعدہ بنایا جا سکتا ہے کہ جہاں s کچھ پیرامیٹر ہے، جسے ایک پیچیدہ نمبر سمجھا جاتا ہے۔ 4 سے بڑے، حقیقی s کے لیے (تین جہتی خلا کے لیے)، مجموعہ واضح طور پر محدود ہے، اور اس طرح اکثر نظریاتی طور پر اس کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ زیٹا ریگولیرائزیشن مفید ہے کیونکہ اسے اکثر اس طرح سے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ جسمانی نظام کی مختلف ہم آہنگی کو محفوظ رکھا جائے۔ زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کا استعمال کنفارمل فیلڈ تھیوری، ری نارملائزیشن اور سٹرنگ تھیوری کے اہم اسپیس ٹائم طول و عرض کو طے کرنے میں کیا جاتا ہے۔ دیگر ریگولرائزیشنز سے تعلق زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن جہتی ریگولرائزیشن کے برابر ہے، دیکھیں۔ تاہم، زیٹا ریگولرائزیشن کا بنیادی فائدہ یہ ہے کہ جب بھی جہتی ریگولرائزیشن ناکام ہو تو اسے استعمال کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر اگر حساب کے اندر میٹرکس یا ٹینسرز ہوں۔ ڈیرچلیٹ سیریز زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن سے تعلق کسی ریاضی فنکشن f (n) پر کسی بھی رقم کے لیے ایک تجزیاتی ڈھانچہ فراہم کرتا ہے۔ اس طرح کی رقوم کو ڈیرچلیٹ سیریز کہا جاتا ہے۔ باقاعدہ شکل پیچیدہ s-طیارہ پر رقم کے انحراف کو سادہ قطبوں میں تبدیل کرتی ہے۔ عددی حسابات میں، زیٹا فنکشن کو باقاعدہ بنانا نامناسب ہے، کیونکہ یہ یکجا ہونے میں انتہائی سست ہے۔ عددی مقاصد کے لیے، زیادہ تیزی سے متغیر ہونے والا مجموعہ ایکسپونینشل ریگولرائزیشن ہے، جو اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اسے بعض اوقات f کی Z-تبدیلی کہا جاتا ہے، جہاں z = exp (−t) ہے۔ ایکسپونینشیل اور زیٹا ریگولیزیشن کی تجزیاتی ساخت متعلقہ ہے۔ ایکسپونینشیل رقم کو لارنٹ سیریز کے طور پر وسعت دینے سے پتہ چلتا ہے کہ زیٹا سیریز کا ڈھانچہ ہے۔ ایکسپونینشیل اور زیٹا ریگولیٹرز کی ساخت میلن ٹرانسفارم کے ذریعے متعلق ہے۔ گاما فنکشن کی لازمی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے ایک کو دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے: جو ایکسپونینشل اور زیٹا ریگولیٹرز سے متعلق شناخت کی طرف لے جاتا ہے، اور ایس-پلین میں قطبوں کو لارنٹ سیریز میں مختلف اصطلاحات میں تبدیل کرتا ہے۔ ہیٹ کرنل ریگولرائزیشن اس رقم کو بعض اوقات ہیٹ کرنل یا ہیٹ کرنل ریگولرائزڈ سم کہا جاتا ہے۔ یہ نام اس خیال سے نکلا ہے کہ اسے بعض اوقات ہیٹ کرنل کی آئجین ویلیوز کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ریاضی میں، اس طرح کی رقم کو عمومی ڈیرچلیٹ سیریز کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اوسط کے لیے اس کا استعمال ابیلین اوسط کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ لیپلیس-اسٹیلٹجز ٹرانسفارم سے قریب سے متعلق ہے، اس میں جہاں ایک سٹیپ فنکشن ہے، جس کے مراحل at ہیں۔ اس طرح کی سیریز کے کنورجنس کے لیے متعدد تھیوریم موجود ہیں۔ مثال کے طور پر، ہارڈی-لٹل ووڈ ٹوبیرین تھیوریم کے مطابق، اگر پھر سیریز فار ہاف پلین میں یکجا ہوتا ہے اور ہاف پلین کے ہر کمپیکٹ سب سیٹ پر یکساں طور پر متغیر ہوتا ہے۔ طبیعیات کی تقریبا تمام ایپلی کیشنز میں، ہسٹری ہے۔ ہیٹ کرنل اور زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کے طریقوں کے ساتھ باقاعدگی سے سیریز کے کنورجنس اور مساوات کو قائم کرنے کا زیادہ تر ابتدائی کام 1916 میں جی ایچ ہارڈی اور جے ای لٹل ووڈ نے کیا تھا اور یہ کاہن-میلن انٹیگرل کے اطلاق پر مبنی ہے۔ یہ کوشش نمبر تھیوری میں ظاہر ہونے والے مختلف غیر متعین، مشروط متغیر رقوم کے لیے اقدار حاصل کرنے کے لیے کی گئی تھی۔ جسمانی مسائل میں ریگولیٹر کے طور پر درخواست کے لحاظ سے، اس سے پہلے، جے اسٹیورٹ ڈوکر اور ریمنڈ کریچلی نے 1976 میں کوانٹم جسمانی مسائل کے لیے زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کا طریقہ تجویز کیا تھا۔ ایمیلیو الزالڈے اور دیگر نے انٹیگرلز کے لیے زیٹا ریگولرائزیشن پر مبنی ایک طریقہ بھی تجویز کیا ہے، یہاں ایک ریگولیٹر ہے اور ڈائیورجنٹ انٹیگرل کا انحصار حد میں موجود نمبروں پر ہوتا ہے دیکھیں ری نارملائزیشن۔ دیگر باقاعدگی جیسے جہتی باقاعدگی اور تجزیاتی باقاعدگی کے برعکس، زیٹا باقاعدگی میں کوئی جوابی اصطلاحات نہیں ہیں اور یہ صرف محدود نتائج دیتا ہے۔ حوالہ جات ٹام ایم اپاسٹول، "ماڈیولر فنکشنز اینڈ ڈیرچلیٹ سیریز ان نمبر تھیوری"، "سپرنگر-ورلاگ نیویارک" بھی دیکھیں۔ (باب 8 دیکھیں۔) " اے۔ بائٹسینکو، جی۔ کوگنولا، ای۔ الزالڈے، وی۔ موریٹی اور ایس۔ زربانی، "اینالیٹک ایسپیکٹس آف کوانٹم فیلڈز"، ورلڈ سائنٹفک پبلشنگ، 2003، جی۔ ایچ۔ ہارڈی اور جے ای۔ لٹل ووڈ، "ریمن زیٹا فنکشن کے نظریہ اور پرائمز کی تقسیم کے نظریہ میں شراکت"، ایکٹا میتھمیٹکا، 41 (1916) پی پی۔ (مثال کے طور پر، تھیوریم 2.12 دیکھیں) وی۔ موریٹی، "ڈائرکٹ زیڈ فنکشن اپروچ اینڈ ری نارملائزیشن آف ون لوپ اسٹریس ٹینسر ان وکرڈ اسپیس ٹائمز، فز۔ Rev.D 56,7797 "(1997)۔ ڈی۔ فرمی، ایل۔ پیزوچیرو، "مقامی زیٹا باقاعدگی اور اسکیلر کاسیمیر اثر۔ لازمی دانے پر مبنی ایک عمومی نقطہ نظر، "ورلڈ سائنٹیفک پبلشنگ، آئی ایس بی این: 978-981-3224-99-5 (ہارڈ کور)، آئی ایس بی این: 978-981-3225-01-5 (ای بک)۔ ڈی او آئی: 10.1142/10570 (2017)۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری سٹرنگ تھیوری ریاضیاتی تجزیہ زیٹا اور ایل فنکشن خلاصہ کے طریقے