Inductive dimension
ٹوپولوجی کے ریاضیاتی میدان میں، ٹوپولوجیکل اسپیس X کا انڈکٹو طول و عرض یا تو دو اقدار کا ہوتا ہے، چھوٹا انڈکٹو طول و عرض انڈ (X) یا بڑا انڈکٹو طول و عرض انڈ (X)۔ یہ اس مشاہدے پر مبنی ہیں کہ، n-جہتی یوکلڈین خلا Rn میں، (n−1)-جہتی دائرے (یعنی، n-جہتی گیندوں کی حدود) کا طول و عرض n−1 ہے۔ لہذا مناسب کھلے سیٹوں کی حدود کے طول و عرض کے لحاظ سے خلا کے طول و عرض کی تعیین کرنا ممکن ہونا چاہیے۔ چھوٹے اور بڑے انڈکٹو طول و عرض ٹپوولوجیکل اسپیس کے لیے "طول و عرض" کے تصور کو حاصل کرنے کے تین سب سے عام طریقوں میں سے دو ہیں، اس طرح سے جو صرف ٹپوولوجی پر منحصر ہے (اور، نہ کہ، میٹرک اسپیس کی خصوصیات پر)۔ دوسرا لیبزگ کورنگ طول و عرض ہے۔ اصطلاح "ٹپوولوجیکل طول و عرض" کو عام طور پر لیبسگ کورنگ طول و عرض کے حوالے سے سمجھا جاتا ہے۔ "کافی اچھی" خالی جگہوں کے لیے، طول و عرض کی تین پیمائش برابر ہیں۔ رسمی تعریف ہم چاہتے ہیں کہ ایک نقطہ کا طول و عرض 0 ہو، اور ایک نقطہ کی خالی حد ہو، لہذا ہم اس سے شروع کرتے ہیں۔ پھر انڈکٹو طور پر، انڈ (X) سب سے چھوٹا n ہے کہ، x پر مشتمل ہر کھلے سیٹ U کے لیے، ایک کھلا سیٹ V ہوتا ہے جس میں x ہوتا ہے، جیسے کہ V کا بند ہونا U کا ذیلی سیٹ ہے، اور V کی حد کا چھوٹا انڈکٹو طول و عرض n−1 سے کم یا اس کے برابر ہوتا ہے۔ (اگر X ایک یوکلیڈین n جہتی خلا ہے، تو V کو x پر مرکوز ایک n جہتی گیند کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے۔) بڑے انڈکٹو طول و عرض کے لیے، ہم V کے انتخاب کو مزید محدود کرتے ہیں۔ Ind (X) سب سے چھوٹا n ہے کہ، X کے ہر کھلے سب سیٹ U کے ہر بند سب سیٹ F کے لیے، درمیان میں ایک کھلا V ہوتا ہے (یعنی، F V کا سب سیٹ ہے اور V کا بندش U کا سب سیٹ ہے)، اس طرح کہ V کی حد میں بڑی انڈکٹو طول و عرض n−1 سے کم یا اس کے برابر ہوتی ہے۔ طول و عرض کے درمیان تعلق لیبسگ کا احاطہ کرنے والا طول و عرض ہے۔ کسی بھی ٹپوولوجیکل اسپیس X کے لیے، ہمارے پاس اگر اور صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب یوریسوہن کا نظریہ یہ بتاتا ہے کہ جب X قابل گنتی بیس کے ساتھ ایک نارمل اسپیس ہے، تو ایسی خالی جگہیں بالکل علیحدہ اور پیمائش کے قابل X ہوتی ہیں (یوریسوہن کا پیمائش نظریہ دیکھیں)۔ نوبلنگ-پونٹریگین تھیوریم اس کے بعد بیان کرتا ہے کہ محدود طول و عرض والی ایسی خالی جگہوں کو ہومیومورفزم تک یوکلڈین خالی جگہوں کی ذیلی جگہوں کے طور پر، ان کی معمول کی ٹوپولوجی کے ساتھ نمایاں کیا جاتا ہے۔ مینجر-نوبلنگ تھیوریم (1932) میں کہا گیا ہے کہ اگر کمپیکٹ میٹرک علیحدہ اور طول و عرض کا ہے، تو یہ طول و عرض کی یوکلڈین جگہ کے ذیلی جگہ کے طور پر سرایت کرتا ہے۔ (جارج نوبلنگ کارل مینجر کا طالب علم تھا۔ انہوں نے نوبلنگ اسپیس متعارف کرایا، کم از کم کوآرڈینیٹ غیر معقول اعداد والے پوائنٹس پر مشتمل سب اسپیس، جس میں طول و عرض کی خالی جگہوں کو سرایت کرنے کے لیے عالمگیر خصوصیات ہیں۔) یہ فرض کرتے ہوئے کہ صرف X پیمائش قابل ہے، ہمارے پاس (میروسلاو کاٹیوٹوف) انڈ X ≤ Ind X = dim X ہے ؛ یا یہ فرض کرتے ہوئے کہ X کمپیکٹ اور ہاؤسڈورف (P. S. الیگزینڈرروف) dim X ≤ ind X ≤ Ind X ہے۔ یہاں یا تو عدم مساوات سخت ہو سکتی ہے ؛ ولادیمیر وی فلپوف کی ایک مثال سے پتہ چلتا ہے کہ دونوں تعمیلی جہتیں مختلف ہو سکتی ہیں۔ ایک علیحدہ میٹرک اسپیس X عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب جگہ کی ہر بند ذیلی جگہ اور ہر مسلسل نقشہ سازی کے لیے ایک مسلسل توسیع موجود ہو۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے کریلی، ٹونی، 2005، "پال یوریسوہن اور کارل مینجر: پیپرز آن ڈائیمینشن تھیوری" گریٹن گنیس، I.، ایڈ۔، لینڈ مارک رائٹنگز ان ویسٹرن میتھمیٹکس۔ ایلسیویئر: 844-55۔ آر اینگلکنگ، تھیوری آف ڈائیمنشنز۔ فائنائٹ اینڈ انفینٹ، ہیلڈرمین ورلاگ (1995)۔ وی وی فیڈورچک، طول و عرض تھیوری کے بنیادی اصول، انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز، جلد 17، جنرل ٹوپولوجی I، (1993) اے وی آرخینجلسکی اور ایل ایس پونٹریگین (ایڈز۔ )، سپرنگر-ورلاگ، برلن۔ وی۔ وی۔ فلیپوف، آن دی انڈکٹو ڈائیمینشن آف دی پروڈکٹ آف بائی کامپیکٹا، سوویت۔ ریاضی۔ ڈوکل۔، 13 (1972)، نمبر 1، 250-254۔ اے آر پیئرس، ڈائیمنشن تھیوری آف جنرل اسپیس، کیمبرج یونیورسٹی پریس (1975)۔ طول و عرض کا نظریہ