Upper and lower probabilities
اوپری اور نچلے امکانات غیر واضح امکانات کی نمائندگی ہیں۔ جب کہ امکان کا نظریہ ایک واحد نمبر، امکان کا استعمال کرتا ہے، یہ بیان کرنے کے لیے کہ کسی واقعہ کے ہونے کا کتنا امکان ہے، یہ طریقہ دو نمبروں کا استعمال کرتا ہے: واقعہ کا اوپری امکان اور واقعہ کا کم امکان۔ چونکہ فریکوینٹسٹ اعدادوشمار میٹاپروبیبلٹیز کی اجازت نہیں دیتے ہیں، اس لیے فریکوینٹسٹس کو نئے حل پیش کرنے پڑے ہیں۔ سیڈرک اسمتھ اور آرتھر ڈیمپسٹر میں سے ہر ایک نے اوپری اور نچلے امکانات کا نظریہ تیار کیا۔ گلین شیفر نے ڈیمپسٹر کا نظریہ مزید تیار کیا، اور اب اسے ڈیمپسٹر-شیفر نظریہ یا چوکیٹ (1953) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ان مصنفین کے کام میں ایک پاور سیٹ میں سمجھا جاتا ہے، ایک ماس فنکشن جو حالات کو مطمئن کرتا ہے۔ اس کے نتیجے میں، ایک ماس دو غیر اضافی مسلسل اقدامات سے وابستہ ہوتا ہے جسے عقیدہ اور پلاسبلٹی کہا جاتا ہے جس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: جہاں لامحدود ہے وہاں ایسا ہو سکتا ہے کہ کوئی وابستہ ماس فنکشن نہ ہو۔ ہالپرن (2003) کا صفحہ 36 دیکھیں۔ امکانی اقدامات عقیدے کے افعال کا ایک خاص معاملہ ہے جس میں ماس فنکشن صرف ایونٹ اسپیس کے سنگلٹنوں کو مثبت ماس تفویض کرتا ہے۔ اوپری اور نچلے امکانات کا ایک مختلف تصور ترتیب دے کر امکانات کی تقسیم کے کلاس سی سے حاصل کردہ نچلے اور اوپری لفافوں کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ اوپری اور نچلے امکانات کا تعلق بھی امکانی منطق سے ہے: دیکھیں گیرلا (1994)۔ یہ بھی مشاہدہ کریں کہ ضرورت کی پیمائش کو کم امکان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے اور امکان کی پیمائش کو زیادہ امکان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ امکان کا نظریہ مبہم پیمائش کا نظریہ وقفہ محدود عنصر امکان کی حدود تجزیہ حوالہ جات غیر ملکی امکانات امکان کی حدود تجزیہ ڈیمپسٹر-شیفر نظریہ بھی دیکھیں۔