Fuzzy sphere
ریاضی میں، مبہم دائرہ غیر تبادلہ جیومیٹری کی سب سے آسان اور سب سے زیادہ مستند مثالوں میں سے ایک ہے۔ عام طور پر، کسی دائرے پر بیان کردہ افعال ایک نقل مکانی کرنے والے الجبرا کی تشکیل کرتے ہیں۔ ایک مبہم دائرہ ایک عام دائرے سے مختلف ہوتا ہے کیونکہ اس پر افعال کا الجبرا تبادلہ نہیں ہوتا ہے۔ یہ کروی ہم آہنگی سے پیدا ہوتا ہے جس کا گھماؤ l زیادہ سے زیادہ کچھ j کے برابر ہوتا ہے۔ دو کروی ہم آہنگی کے پروڈکٹ کی اصطلاحات جن میں کروی ہم آہنگی شامل ہوتی ہے جس میں جے سے زیادہ گھماؤ ہوتا ہے، کو پروڈکٹ میں آسانی سے خارج کر دیا جاتا ہے۔ یہ کٹوتی ایک لامحدود جہتی تبادلہ الجبرہ کی جگہ ایک جہتی غیر تبادلہ الجبرہ لے لیتی ہے۔ اس دائرے کو دیکھنے کا سب سے آسان طریقہ یہ ہے کہ افعال کے اس کٹے ہوئے الجبرا کو کسی محدود جہتی ویکٹر اسپیس پر میٹرکس الجبرا کے طور پر محسوس کیا جائے۔ تین جے جہتی میٹرکس لیں جو لائ الجبرا ایس یو (2) کی جے جہتی ناقابل تلافی نمائندگی کی بنیاد بناتے ہیں۔ وہ تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں، جہاں مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک علامت ہے، اور میٹرکس پروڈکٹ کے ذریعے جے جہتی میٹرکس کا الجبرا تیار کرتے ہیں۔ اس نمائندگی میں ایس یو (2) کاسیمیر آپریٹر کی قیمت یہ ہے کہ جہاں I جے جہتی شناختی میٹرکس ہے۔ اس طرح، اگر ہم 'نقاط' کی وضاحت کرتے ہیں جہاں r دائرے کا رداس ہے اور k ایک پیرامیٹر ہے، جو r اور j سے متعلق ہے، تو کاسیمیر آپریٹر سے متعلق مندرجہ بالا مساوات کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، جو کہ تین جہتی خلا میں سرایت شدہ رداس r کے دائرے پر نقاط کے لیے معمول کا تعلق ہے۔ اس جگہ پر کوئی انٹیگرل کی وضاحت کر سکتا ہے، جہاں F فنکشن f سے مطابقت رکھنے والا میٹرکس ہے۔ مثال کے طور پر، یونٹی کا انٹیگرل، جو تبادلے کے معاملے میں دائرے کی سطح دیتا ہے، یہاں اس کے برابر ہے جو دائرے کی سطح کی قیمت میں یکجا ہوتا ہے اگر کوئی j کو انفینیٹی پر لے جائے۔ نوٹس جینز ہوپی، "میمبرینز اینڈ میٹرکس ماڈلز"، لیکچرز جو سمر اسکول کے دوران 'کوانٹم فیلڈ تھیوری-فرام اے ہیملٹنین پوائنٹ آف ویو' پر پیش کیے گئے، 2-9 اگست 2000، جان میڈور، این انٹروڈکشن ٹو نان کمیونیٹیٹو ڈفریینشل جیومیٹری اینڈ اس فزیکل ایپلی کیشنز، لندن میتھمیٹیکل سوسائٹی لیکچر نوٹ سیریز۔ 257، کیمبرج یونیورسٹی پریس 2002 حوالہ جات جے ہوپ، کوانٹم تھیوری آف اے ماس لیس ریلیٹیوسٹک سرفیس اینڈ اے ٹو ڈائیمینشنل باؤنڈ اسٹیٹ پروبلم۔ پی ایچ ڈی مقالہ، میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی، 1982۔ ریاضیاتی کوانٹائزیشن غیر تبادلہ جیومیٹری