Symmetric derivative
ریاضی میں، سمیٹرک مشتق ایک ایسا عمل ہے جو عام مشتق کو عام کرتا ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ حد کے تحت اظہار کو بعض اوقات سمیٹرک فرق کوشیئنٹ کہا جاتا ہے۔ کسی فنکشن کو ایک نقطہ x پر متناسب طور پر تفریق کے قابل کہا جاتا ہے اگر اس نقطہ پر اس کا متناسب مشتق موجود ہو۔ اگر کوئی فنکشن کسی نقطہ پر تفریق کے قابل (معمول کے لحاظ سے) ہے، تو یہ متناسب طور پر تفریق کے قابل بھی ہے، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے۔ ایک معروف جوابی مثال مطلق ویلیو فنکشن ہے، جو اس پر تفریق کے قابل نہیں ہے، لیکن یہاں سمیٹرک مشتق 0 کے ساتھ سمیٹرک طور پر تفریق کے قابل ہے۔ تفریق پذیر افعال کے لیے، سمیٹرک فرق کا حصص معمول کے فرق کے حصص سے مشتق کا بہتر عددی تخمینہ فراہم کرتا ہے۔ کسی دیئے گئے نقطہ پر سمیٹرک مشتق اس مقام پر بائیں اور دائیں مشتقات کے ریاضی کے اوسط کے برابر ہوتا ہے، اگر مؤخر الذکر دونوں موجود ہوں۔ نہ تو رول کا نظریہ اور نہ ہی اوسط قدر کا نظریہ سمیٹرک مشتق کے لیے ہے۔ کچھ اسی طرح کے لیکن کمزور بیانات ثابت ہوئے ہیں۔ مثالیں مطلق ویلیو فنکشن مطلق ویلیو فنکشن کے لیے، سمیٹرک مشتق کے لیے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس اس پر ہے۔ لہذا مطلق ویلیو فنکشن کا سمیٹرک مشتق پر موجود ہے اور صفر کے برابر ہے، حالانکہ اس کا عام مشتق اس مقام پر موجود نہیں ہے (منحنی خطوط میں "تیز" موڑ کی وجہ سے)۔ نوٹ کریں کہ اس مثال میں 0 پر بائیں اور دائیں دونوں مشتقات موجود ہیں، لیکن وہ غیر مساوی ہیں (ایک −1 ہے، جبکہ دوسرا + 1 ہے) ؛ ان کی اوسط 0 ہے، جیسا کہ توقع کی جاتی ہے۔ فنکشن x − 2 فنکشن کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ پھر، اس فنکشن کے لیے سمیٹرک مشتق موجود ہے، جبکہ اس کا عام مشتق وہاں وکر میں تعطل کی وجہ سے موجود نہیں ہے۔ مزید برآں، نہ تو بائیں اور نہ ہی دائیں مشتق 0 پر محدود ہے، یعنی۔ یہ ایک لازمی تعطل ہے۔ ڈیرچلیٹ فنکشن، جس کی تعریف ڈیرچلیٹ فنکشن کے طور پر کی گئی ہے، ہر ایک پر سمیٹرک مشتق ہے، لیکن کسی میں بھی سمیٹرک طور پر تفریق کے قابل نہیں ہے۔ سمیٹرک مشتق عقلی اعداد پر موجود ہے لیکن غیر معقول اعداد پر نہیں۔ نیم-معنی-قدر تھیوریم سمیٹرک مشتق معمول کے اوسط-قدر تھیوریم (لاگرانج کے) کی پابندی نہیں کرتا ہے۔ ایک جوابی مثال کے طور پر، symmetric مشتق کی شبیہہ ہوتی ہے، لیکن f کے لیے سیکینٹس میں ڈھلوانوں کی ایک وسیع رینج ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، وقفے پر، اوسط قدر تھیوریم یہ حکم دے گا کہ ایک نقطہ موجود ہے جہاں (symmetric) مشتق قدر لیتا ہے A تھیوریم کچھ حد تک رول کے تھیوریم سے مشابہت رکھتا ہے لیکن symmetric مشتق کے لیے 1967 میں سی ای آل نے قائم کیا تھا، جس نے اسے نیم رول تھیوریم کا نام دیا تھا۔ اگر بند وقفے پر مسلسل ہے اور کھلے وقفے پر ہم آہنگی سے تفریق پذیر ہے، اور، پھر دو نکات موجود ہیں، اس طرح کہ، اور۔ ایک لیما جسے آل نے بھی اس تھیوریم کے ایک قدم کے طور پر قائم کیا ہے اس میں کہا گیا ہے کہ اگر بند وقفے پر مسلسل ہے اور کھلے وقفے پر ہم آہنگی سے تفریق پذیر ہے، اور اس کے علاوہ، تو ایک نقطہ موجود ہے جہاں ہم آہنگی مشتق غیر منفی ہے، یا اوپر استعمال شدہ اشارے کے ساتھ۔ اسی طرح، اگر، تو ایک نقطہ موجود ہے جہاں. سمیٹریکل ڈفریٚنٹایبل فنکشن کے لیے کواسی-مین-ویلیو تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اگر بند وقفے پر مسلسل اور کھلے وقفے پر سمیٹریکل ڈفریٚنٹایبل ہے، تو اس طرح موجود ہے کہ ایک ایپلی کیشن کے طور پر، 0 پر مشتمل وقفے کے لیے کواسی-مین-ویلیو تھیوریم پیش گوئی کرتا ہے کہ کسی بھی سیکنڈ کا سلوپ −1 اور 1 کے درمیان ہے۔ اگر کے سمیٹرک مشتق میں ڈاربوکس پراپرٹی ہے، تو (کی شکل) باقاعدہ اوسط ویلیو تھیوریم (لاگرانج کا) رکھتا ہے، یعنی۔ اس میں اس طرح موجود ہے کہ نتیجے کے طور پر، اگر کوئی فنکشن مسلسل ہے اور اس کا سمیٹرک مشتق بھی مسلسل ہے (اس طرح ڈاربوکس پراپرٹی ہے)، تو فنکشن معمول کے لحاظ سے تفریق پذیر ہے۔ عامیاں یہ تصور اعلی ترتیب کے سمیٹرک مشتقات اور این جہتی یوکلڈین خالی جگہوں کو بھی عام کرتا ہے۔ دوسرا سمیٹرک مشتق دوسرے سمیٹرک مشتق کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ اگر (معمول کے مطابق) دوسرا مشتق موجود ہے، تو دوسرا سمیٹرک مشتق موجود ہے اور اس کے برابر ہے۔ دوسرا سمیٹرک مشتق موجود ہو سکتا ہے، تاہم، اس صورت میں بھی جب (عام) دوسرا مشتق موجود نہ ہو۔ مثال کے طور پر، سائن فنکشن پر غور کریں، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ سائن فنکشن صفر پر مسلسل نہیں ہے، اور اس لیے اس کے لیے دوسرا مشتق موجود نہیں ہے۔ لیکن دوسرا سمیٹرک مشتق اس کے لیے موجود ہے: مرکزی تفریق اسکیم بھی دیکھیں مشتق سمیٹرک طور پر مسلسل فنکشن کی کثافت نقطہ عمومی حوالہ جات بیرونی لنکس سمیٹرک فرق کوٹینٹ (وولفرم مظاہر پروجیکٹ) تفریق حساب سے مشتق کا تخمینہ لگانا۔