Fatou–Lebesgue theorem
ریاضی میں، فاتو-لیبسگیو تھیوریم ان افعال کے انٹیگرلز سے کمتر اور اعلی حد تک افعال کی ترتیب کی کمتر اور اعلی حد (لیبسگیو کے معنی میں) کے انٹیگرلز سے متعلق عدم مساوات کا ایک سلسلہ قائم کرتا ہے۔ اس تھیوریم کا نام پیئر فاتو اور ہنری لیون لیبسگ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اگر افعال کی ترتیب نقطہ کے لحاظ سے یکجا ہوتی ہے، تو عدم مساوات مساوات میں بدل جاتی ہیں اور نظریہ لیبسگیو کے غالب کنورجنس تھیوریم تک کم ہو جاتا ہے۔ نظریہ کا بیان فرض کریں کہ f1، f2،. ایک پیمائش کی جگہ (S، β، μ) پر بیان کردہ حقیقی قدر کے قابل پیمائش افعال کی ترتیب کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اگر S پر کوئی لیبسگیو انٹیگریبل فنکشن g موجود ہے جو مطلق قدر میں ترتیب پر حاوی ہے، جس کا مطلب ہے کہ تمام قدرتی اعداد n کے لیے |fn | ≤ g، تو تمام fn کے ساتھ ساتھ کمتر حد اور fn سے اعلی حد انٹیگریبل ہیں اور یہاں کمتر حد اور fn سے اعلی حد کو پوائنٹ وائز لیا جاتا ہے۔ ان محدود افعال کی مطلق قدر کا انٹیگرل اوپر g کے انٹیگرل سے جڑا ہوتا ہے۔ چونکہ درمیانی عدم مساوات (حقیقی اعداد کے سلسلے کے لیے) ہمیشہ درست ہوتی ہے، اس لیے دیگر عدم مساوات کی سمتوں کو یاد رکھنا آسان ہوتا ہے۔ ثبوت تمام fn کے ساتھ ساتھ کمتر حد اور fn سے اعلی حد قابل پیمائش ہیں اور مطلق قدر میں g کے زیر تسلط ہیں، اس لیے انٹیگریبل ہیں۔ پہلی عدم مساوات فاتو کے لیما کو غیر منفی افعال fn + g پر لاگو کرنے اور لیبسیگ انٹیگرل کی لکیریٹی کا استعمال کرنے کے بعد ہوتی ہے۔ آخری عدم مساوات الٹا فاتو لیما ہے۔ چونکہ جی بھی |fn | کی اعلی حد پر غالب ہے، لیبسگ انٹیگرل کی یکسانیت سے۔ یہی تخمینے ایف این سے اعلی حد کے لیے ہیں۔ حقیقی اور فعال تجزیہ میں حوالہ جات کے موضوعات بذریعہ جیرالڈ ٹیشل، ویانا یونیورسٹی۔ بیرونی روابط حقیقی تجزیہ میں نظریات پیمائش کے نظریہ میں نظریات ثبوت پر مشتمل مضامین