Boustrophedon transform
ریاضی میں، بوسٹروفیڈن ٹرانسفارم ایک ایسا طریقہ کار ہے جو ایک ترتیب سے دوسری ترتیب کا نقشہ بناتا ہے۔ تبدیل شدہ ترتیب کا حساب ایک "اضافی" آپریشن کے ذریعے کیا جاتا ہے، جسے اس طرح لاگو کیا جاتا ہے جیسے کہ ایک مثلث صف کو بوسٹروفیڈن (زگ زیگ-یا سرپینٹائن جیسے) انداز میں بھرنا-جیسا کہ "رسٹر اسکین" ساٹوتھ جیسے انداز کے برخلاف ہے۔ تعریف بوسٹروفیڈن تبدیلی ایک عددی، ترتیب پیدا کرنے والی تبدیلی ہے، جس کا تعین "اضافی" عمل سے ہوتا ہے۔ عام طور پر، ایک ترتیب دی گئی ہے:، بوسٹروفیڈن ٹرانسفارم ایک اور ترتیب دیتا ہے:، جہاں ممکنہ طور پر اس کے مساوی بیان کیا گیا ہے۔ پوری تبدیلی کو خود تصور کیا جا سکتا ہے (یا تصور کیا جا سکتا ہے) جیسا کہ شکل 1 میں دکھایا گیا ہے مثلث کو بھر کر تعمیر کیا جا رہا ہے۔ بوسٹروفیڈن مثلث عددی آئسوسلز مثلث (شکل 1) کو پر کرنے کے لیے، آپ ان پٹ ترتیب سے شروع کرتے ہیں، اور بوسٹروفیڈن اسکین (زگ زیگ-یا سرپینٹائن نما) نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے، فی قطار میں ایک قدر (ان پٹ ترتیب سے) رکھتے ہیں۔ مثلث کا اوپری ورٹیکس ان پٹ ویلیو ہوگا، جو آؤٹ پٹ ویلیو کے مساوی ہے، اور ہم اس اوپری صف کو صف 0 کے طور پر نمبر دیتے ہیں۔ بعد کی قطاریں (مثلث کی بنیاد پر نیچے جانے والی) کو لگاتار (0 سے) عدد کے طور پر شمار کیا جاتا ہے-آئیے اس وقت بھری جانے والی صف کی تعداد کو ظاہر کریں۔ یہ قطاریں صف نمبر () کے مطابق اس طرح بنائی گئی ہیں: تمام صفوں کے لیے، نمبر والے، صف میں بالکل ویلیوز ہوں گی۔ اگر عجیب ہے، تو قیمت کو صف کے دائیں سرے پر رکھیں۔ اس صف کے اندرونی حصے کو دائیں سے بائیں پر کریں، جہاں ہر ویلیو (انڈیکس:) ویلیو سے دائیں (انڈیکس:) اور اوپری دائیں ویلیو (انڈیکس:) کے درمیان "اضافے" کا نتیجہ ہے۔ آؤٹ پٹ ویلیو ایک عجیب صف کے بائیں سرے پر ہوگی (جہاں عجیب ہے)۔ اگر یکساں ہے، تو ان پٹ ویلیو کو قطار کے بائیں سرے پر رکھیں۔ اس صف کے اندرونی حصے کو بائیں سے دائیں پر کریں، جہاں ہر قدر (اشاریہ:) اس کے بائیں طرف کی قدر (اشاریہ:) اور اس کے اوپری بائیں طرف کی قدر (اشاریہ:) کے درمیان "اضافے" کا نتیجہ ہے۔ آؤٹ پٹ ویلیو یکساں صف کے دائیں سرے پر ہوگی (جہاں یکساں ہے)۔ ان "اضافی" کارروائیوں کی بصری نمائندگی کے لیے شکل 1 میں تیر کا حوالہ دیں۔ اقدار کی دی گئی، محدود ان پٹ ترتیب: کے لیے، مثلث میں بالکل قطاریں ہوں گی، جیسے کہ رینج میں ایک عدد: (خصوصی)۔ دوسرے لفظوں میں، آخری صف ہے۔ تکرار کا تعلق ایک زیادہ رسمی تعریف تکرار کا تعلق استعمال کرتی ہے۔ نمبروں کی وضاحت کریں (k ≤ n ≤ 0 کے ساتھ)۔ پھر تبدیل شدہ ترتیب کی تعریف (فار اور گریٹر انڈیکس) کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اس تعریف کے مطابق، جوڑوں پر پابندیوں سے باہر (اوپر کے رشتے سے) اقدار کے لیے درج ذیل تعریفیں نوٹ کریں: خصوصی معاملات a0 = 1، an = 0 (n> 0) کی صورت میں، نتیجے میں آنے والے مثلث کو سیڈل-اینٹرنگر-آرنولڈ مثلث کہا جاتا ہے اور ان نمبروں کو اینٹرنگر نمبر کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں تبدیل شدہ ترتیب bn میں موجود اعداد کو اویلر اپ/ڈاؤن نمبر کہا جاتا ہے۔ یہ انٹیجر سیکوینسز کے آن لائن انسائیکلوپیڈیا پر ترتیب A000111 ہے۔ یہ n حروف پر متبادلات کی تعداد کو شمار کرتے ہیں اور ان کا تعلق اویلر نمبروں اور برنولی نمبروں سے ہے۔ الجبرائی تعریف (زبانیں) بوسٹروفیڈن ٹرانسفارم کے ہندسی ڈیزائن کی بنیاد پر، ان پٹ ویلیوز () سے آؤٹ پٹ ویلیوز () تک کے تعلقات کی الجبرائی تعریفیں مختلف الجبرا ("عددی ڈومینز") کے لیے بیان کی جا سکتی ہیں۔ یوکلڈین (حقیقی) اقدار یوکلڈین () الجبرا برائے ریئل ()-ویلیوڈ اسکیلرز میں، تبدیل شدہ بوسٹروفیڈن ریئل ویلیو ان پٹ ویلیو سے متعلق ہے، جیسا کہ:، الٹا تعلق (آؤٹ پٹ سے ان پٹ) کے ساتھ اس طرح بیان کیا گیا ہے:، جہاں "اوپر/نیچے" نمبروں کی ترتیب ہے-جسے سیکینٹ یا ٹینجینٹ نمبر بھی کہا جاتا ہے۔ ایکسپونینشیل جنریٹنگ فنکشن ایک سیکوینس (an) کی ایکسپونینشیل جنریٹنگ فنکشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ بوسٹروفیڈن ٹرانسفارم (bn) کی ایکسپونینشیل جنریٹنگ فنکشن کا تعلق اصل سیکوینس (an) سے ہے۔ یونٹ سیکوینس کی ایکسپونینشیل جنریٹنگ فنکشن 1 ہے، لہذا اوپر/نیچے کے نمبروں کا سیکنڈ x + ٹین x ہے۔ حوالہ جات انٹیجر سیکوینس نمبرز کے مثلث ترتیبات تبدیل ہوتے ہیں۔