Weierstrass point
ریاضی میں، پیچیدہ اعداد پر بیان کردہ غیر واحد الجبرائی منحنی خطوط پر ایک ویئراسٹراس نقطہ ایک ایسا نقطہ ہے جس پر زیادہ افعال ہوتے ہیں، جن کے قطبوں کو صرف ریمن-راک تھیوریم کی پیش گوئی سے محدود کیا جاتا ہے۔ اس تصور کا نام کارل ویرسٹراس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں پر غور کریں جہاں مورومورفک افعال کی جگہ ہے جس کی ترتیب کم از کم ہے اور جس میں کوئی دوسرا پول نہیں ہے۔ ہم تین چیزیں جانتے ہیں: طول و عرض کم از کم 1 ہے، کیونکہ مستقل افعال آن ہیں۔ یہ غیر کم ہوتا ہے۔ اور ریمن-راک تھیوریم سے طول و عرض بالآخر بالکل 1 سے بڑھ جاتا ہے جیسے ہی ہم دائیں طرف بڑھتے ہیں۔ در حقیقت اگر جینس ہے، تو-th اصطلاح کا طول و عرض اس ترتیب کے بارے میں ہمارے علم کے لیے جانا جاتا ہے لہذا ہم اس کے بارے میں کیا جانتے ہیں؟ اندراجات یہ ہیں کہ وہ ہر بار زیادہ سے زیادہ 1 سے اضافہ کر سکتے ہیں (یہ ایک سادہ دلیل ہے: اس کا طول و عرض زیادہ سے زیادہ 1 ہے کیونکہ اگر اور اس میں قطب کی ایک ہی ترتیب ہے، تو پھر نچلے ترتیب کا ایک قطب ہوگا اگر مستقل کو منسوخ کرنے کے لیے منتخب کیا جائے۔ اہم اصطلاح)۔ یہاں سوالیہ نشان ہیں، لہذا معاملات یا مزید بحث کی ضرورت نہیں ہے اور ویئراسٹراس پوائنٹس کو جنم نہیں دیتے ہیں۔ اس لیے فرض کریں۔ وہاں اقدامات ہوں گے، اور ایسے اقدامات ہوں گے جہاں کوئی اضافہ نہیں ہوگا۔ ایک غیر ویئراسٹراس پوائنٹ اس وقت ہوتا ہے جب انکریمنٹ ہر ممکن حد تک دائیں طرف ہوتے ہیں: یعنی۔ ترتیب ایسا لگتا ہے جیسے کوئی اور معاملہ ویئراسٹراس پوائنٹ ہے۔ کے لیے ویئراسٹراس گیپ اس قدر کی قدر ہے کہ کسی بھی فنکشن پر بالکل-فولڈ پول نہیں ہوتا ہے۔ خلا کی ترتیب غیر ویئراسٹراس پوائنٹ کے لیے ہوتی ہے۔ ویئراسٹراس پوائنٹ کے لیے اس میں کم از کم ایک زیادہ نمبر ہوتا ہے۔ (ویئراسٹراس گیپ تھیوریم یا لکین سیٹز یہ بیان ہے کہ خلا ضرور ہونا چاہیے۔) ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے لیے، مثال کے طور پر، ہمارے پاس صرف ڈبل پول کے ساتھ ایک فنکشن ہو سکتا ہے۔ اس کی طاقتوں میں ترتیب کے قطبین وغیرہ ہوتے ہیں۔ لہذا، اس طرح کے a میں خلا کی ترتیب ہوتی ہے۔ عام طور پر اگر خلا کی ترتیب ویئراسٹراس پوائنٹ کا وزن ہے تو یہ ایک گنتی تھیوریم کی وجہ سے متعارف کرایا جاتا ہے: ریمن کی سطح پر ویئسٹراس پوائنٹس کے وزن کا مجموعہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ہائپرلیپٹک ویئسٹراس پوائنٹ کا وزن ہوتا ہے۔ لہذا، ان میں سے (زیادہ سے زیادہ) ہیں۔ ہائپرلیپٹک وکر سے پروجیکٹو لائن تک ڈگری دو کے رمفائیڈ کورنگ کے ریمفیکیشن پوائنٹس تمام ہائپرلیپٹک ویرسٹراس پوائنٹس ہیں اور یہ جینس کے ہائپرلیپٹک وکر پر موجود تمام ویرسٹراس پوائنٹس کو ختم کر دیتے ہیں۔ خلا کے بارے میں مزید معلومات کلفورڈ کے نظریہ کو لاگو کرنے سے ملتی ہیں۔ افعال کی ضرب غیر گیپس کو ایک عددی سیمی گروپ ڈھانچہ دیتی ہے، اور ایڈولف ہروٹز کے ایک پرانے سوال میں ہونے والے سیمی گروپوں کی خصوصیت کے لیے کہا گیا ہے۔ آر۔ او کے ذریعہ ایک نئی ضروری شرط پائی گئی۔ 1980 میں بوچوئٹز اور انہوں نے 16 خلا کے ساتھ غیر منفی انٹیجرز کے ذیلی گروپ کی ایک مثال دی جو جینس 16 کے منحنی خطوط پر ایک نقطہ پر غیر خلا کے سیمی گروپ کے طور پر نہیں ہوتا ہے (دیکھیں)۔ مثبت خصوصیت کے میدان پر غیر سنگلر منحنی خطوط کے لیے ویئراسٹراس پوائنٹ کی تعریف 1939 میں ایف کے شمٹ نے دی تھی۔ مثبت خصوصیت زیادہ عام طور پر، خصوصیت کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر بیان کردہ غیر واحد الجبرائی منحنی خطوط کے لیے، تمام لیکن محدود طور پر بہت سے پوائنٹس کے لیے فرق نمبر ایک مقررہ ترتیب ہے۔ ان پوائنٹس کو غیر ویئراسٹراس پوائنٹس کہا جاتا ہے۔ جن کے فرق کی ترتیب کے تمام نکات مختلف ہوتے ہیں انہیں ویئراسٹراس پوائنٹس کہا جاتا ہے۔ اگر تب منحنی خطوط کو کلاسیکی منحنی خطوط کہا جاتا ہے۔ ورنہ اسے غیر کلاسیکی کہا جاتا ہے۔ خصوصیت صفر میں، تمام منحنی خطوط کلاسیکی ہوتے ہیں۔ ہرمیٹین منحنی خطوط غیر کلاسیکی منحنی خطوط کی ایک مثال ہیں۔ یہ پروجیکٹو منحنی خطوط ہیں جن کی وضاحت مساوات کے ذریعہ محدود فیلڈ پر کی گئی ہے، جہاں ایک پرائم پاور ہے۔ نوٹ حوالہ جات الجبرائی منحنی خطوط ریمن کی سطحیں