Hahn decomposition theorem
ریاضی میں، ہان سڑن تھیوریم، جس کا نام آسٹریا کے ریاضی دان ہنس ہان کے نام پر رکھا گیا ہے، کہتا ہے کہ کسی بھی قابل پیمائش جگہ اور-الجبرا پر بیان کردہ کسی بھی دستخط شدہ پیمائش کے لیے، دو قابل پیمائش سیٹ موجود ہیں، اور، اس طرح کے: اور۔ اس طرح کے ہر ایک کے لیے، جس کے پاس، یعنی، ایک مثبت سیٹ ہے۔ اس طرح کے ہر ایک کے لیے، ایک ہے، یعنی، ایک منفی سیٹ ہے۔ مزید برآں، یہ سڑنا بنیادی طور پر منفرد ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ اوپر کی تین شرائط کو پورا کرنے کے لیے پیمائش کے قابل ذیلی سیٹوں کے کسی بھی دوسرے جوڑے کے لیے، ہم آہنگی کے فرق اور صفر اس مضبوط معنی میں سیٹ ہوتے ہیں کہ ان میں سے ہر پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ کی پیمائش صفر ہوتی ہے۔ اس کے بعد اس جوڑے کو دستخط شدہ پیمائش کا ہان سڑنا کہا جاتا ہے۔ اردن پیمائش سڑنا ہان سڑنا تھیوریم کا ایک نتیجہ ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ہر دستخط شدہ پیمائش میں دو مثبت اقدامات کے فرق میں ایک منفرد سڑنا ہوتا ہے، اور، جن میں سے کم از کم ایک محدود ہوتا ہے، جیسے کہ ہر پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ کے لیے اور ہر پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ کے لیے، کسی بھی ہان سڑنے کے لیے۔ ہم بالترتیب مثبت اور منفی حصے کو کہتے ہیں۔ اس جوڑے کو اردن کا سڑنا (یا بعض اوقات ہان-جارڈن سڑنا) کہا جاتا ہے۔ دونوں اقدامات کی تعریف ہر اور کسی بھی ہان کے سڑنے کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اردن کا سڑنا منفرد ہے، جبکہ ہان کا سڑنا صرف بنیادی طور پر منفرد ہے۔ اردن کے سڑنے کا نتیجہ مندرجہ ذیل ہے: ایک محدود دستخط شدہ پیمائش کے اردن کے سڑنے کو دیکھتے ہوئے، کسی کے پاس کسی کے لیے بھی ہے۔ مزید برآں، اگر محدود غیر منفی اقدامات کے جوڑے کے لیے، تو آخری اظہار کا مطلب یہ ہے کہ اردن کا سڑنا غیر منفی اقدامات کے فرق میں کم سے کم سڑنا ہے۔ یہ اردن کے سڑنے کی کم سے کم خاصیت ہے۔ اردن کے سڑنے کا ثبوت: اردن کی پیمائش کے سڑنے کے وجود، انفرادیت اور کم سے کم ہونے کے ابتدائی ثبوت کے لیے دیکھیں فشر (2012)۔ ہان سڑن تھیوریم کی تیاری کا ثبوت: فرض کریں کہ قیمت نہیں لیتا ہے (بصورت دیگر اس کے مطابق سڑتا ہے)۔ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، ایک منفی سیٹ ایک ایسا سیٹ ہے جو ہر قابل پیمائش ذیلی سیٹ کے لیے ہوتا ہے۔ دعوی: فرض کریں کہ یہ مطمئن کرتا ہے۔ پھر اس طرح کا ایک منفی سیٹ ہوتا ہے۔ دعوے کا ثبوت: وضاحت کریں۔ انڈکٹو طور پر فرض کریں کہ اس کے لیے تعمیر کیا گیا ہے۔ آئیے ان کے تمام پیمائش کے قابل ذیلی سیٹوں کی بالادستی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ یہ بالادستی ایک ترجیحی حد تک لامحدود ہو سکتی ہے۔ جیسا کہ خالی سیٹ کی تعریف میں ایک ممکنہ امیدوار ہے، اور جیسا کہ ہمارے پاس ہے۔ کی تعریف کے مطابق، انڈکشن مرحلے کو ختم کرنے کے لیے ایک پیمائش کے قابل سب سیٹ موجود ہے جو سیٹ کو مطمئن کرتا ہے۔ آخر میں، وضاحت کریں کہ چونکہ سیٹ جداگانہ ذیلی سیٹ ہیں، اس لیے یہ دستخط شدہ پیمائش کی سگما اضافی سے ہوتا ہے جو اس سے ظاہر ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ ایک منفی سیٹ نہیں تھا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ موجود ہوگا جو مطمئن کرتا ہے۔ پھر ہر ایک کے لیے، لہذا دائیں طرف کی سیریز کو اس کی طرف موڑنا پڑے گا، جس کا مطلب ہے کہ، جو کہ ایک تضاد ہے۔ لہذا، ایک منفی سیٹ ہونا چاہیے۔ سڑنے کی تعمیر: سیٹ کریں۔ انڈکٹو طور پر، دیئے گئے، کے تمام پیمائش کے قابل ذیلی سیٹوں کے لامحدود کے طور پر بیان کریں۔ یہ لامحدود ترجیحی ہو سکتا ہے۔ جیسا کہ تعریف میں ایک ممکنہ امیدوار ہے، اور جیسا کہ، ہمارے پاس ہے۔ لہذا، ایک پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ موجود ہے کہ اوپر کے دعوے کے مطابق، ایک منفی سیٹ ایسا ہے کہ۔ انڈکشن مرحلہ ختم کرنے کے لیے سیٹ کریں۔ آخر میں، وضاحت کریں کہ چونکہ سیٹ جداگانہ ہیں، ہمارے پاس ہر پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ کے لیے ہے جو کی سگما اضافیت سے ہے۔ خاص طور پر، اس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک منفی سیٹ ہے۔ اگلا، وضاحت کریں۔ اگر ایک مثبت سیٹ نہ ہوتا، تو اس کے ساتھ ایک پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ موجود ہوتا۔ پھر سب کے لیے اور جس کی اجازت نہیں ہے۔ لہذا، ایک مثبت سیٹ ہے۔ انفرادیت کے بیان کا ثبوت: فرض کریں کہ یہ ہان کا ایک اور سڑنا ہے۔ پھر ایک مثبت سیٹ اور ایک منفی سیٹ بھی ہے۔ لہذا، اس کے ہر قابل پیمائش ذیلی سیٹ کی پیمائش صفر ہے۔ اسی بات کا اطلاق ہوتا ہے۔ جیسا کہ یہ ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ ق۔ ای۔ ڈی۔ حوالہ جات بیرونی روابط PlanetMath میں ہان سڑن تھیوریم۔ پیمائش کے نظریہ میں نظریات ثبوتوں پر مشتمل مضامین