Free Lie algebra
ریاضی میں، K فیلڈ پر ایک آزاد جھوٹ الجبرا ایک سیٹ X کے ذریعہ تیار کردہ ایک جھوٹ الجبرا ہے، جس میں متبادل K-بلینیریٹی اور جیکوبی شناخت کے تعریفی تعلقات کے علاوہ کوئی مسلط تعلقات نہیں ہیں۔ تعریف ایک سیٹ X سے پیدا ہونے والے آزاد جھوٹ الجبرا کی تعریف مندرجہ ذیل ہے: فرض کریں کہ X ایک سیٹ ہے اور X سے لے کر ایک جھوٹ الجبرا L میں سیٹوں (فنکشن) کی مورفزم ہے۔ جھوٹ الجبرا L کو X پر آزاد کہا جاتا ہے اگر یہ عالمگیر مورفزم ہے۔ یعنی، اگر کسی جھوٹ الجبرا A کے لیے سیٹوں کی مورفزم کے ساتھ، ایک منفرد جھوٹ الجبرا مورفزم ہے۔ ایک سیٹ X کو دیکھتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ X کے ذریعہ تیار کردہ ایک منفرد فری لائ الجبرا موجود ہے۔ زمرہ نظریہ کی زبان میں، X کی طرف سے تیار کردہ لائ الجبرا کو ایک سیٹ X بھیجنے والا فنکٹر سیٹ کے زمرے سے لے کر لائ الجبرا کے زمرے میں مفت فنکٹر ہوتا ہے۔ یعنی اسے بھولے ہوئے فنکٹر کے قریب چھوڑ دیا جاتا ہے۔ ایکس سیٹ پر آزاد جھوٹ الجبرا قدرتی طور پر درجہ بند ہوتا ہے۔ فری لائی الجبرا کا 1 درجہ بند جزو اس سیٹ پر صرف فری ویکٹر اسپیس ہے۔ کوئی بھی متبادل طور پر ویکٹر اسپیس V پر فری لائ الجبرا کی وضاحت کر سکتا ہے جیسا کہ فیلڈ K پر لائ الجبرا سے لے کر فیلڈ K پر ویکٹر اسپیس تک بھولنے والے فنکٹر کے ساتھ بائیں طرف منسلک ہوتا ہے-لائ الجبرا ڈھانچے کو بھولنا، لیکن ویکٹر اسپیس ڈھانچے کو یاد رکھنا۔ ایک سیٹ X پر آزاد جھوٹ الجبرا کا عالمگیر لفافہ الجبرا X کے ذریعہ تیار کردہ آزاد ایسوسی ایٹیو الجبرا ہے۔ پوئن کیری-برخوف-وٹ تھیوریم کے مطابق یہ فری لائ الجبرا کے سمیٹرک الجبرا کی طرح "ایک ہی سائز" ہے (مطلب یہ ہے کہ اگر دونوں اطراف کو ایکس ڈگری 1 کے عناصر دے کر درجہ بند کیا جائے تو وہ درجہ بند ویکٹر خالی جگہوں کے طور پر آئسومورفک ہیں)۔ یہ کسی بھی ڈگری کے فری لائ الجبرا کے ٹکڑے کی جہت کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ارنسٹ وٹ نے دکھایا کہ ایک m-عنصر سیٹ پر فری لائ الجبرا میں ڈگری k کے بنیادی کمیوٹیٹرز کی تعداد ہار کثیر کے ذریعے دی جاتی ہے: موبیئس فنکشن کہاں ہے۔ ایک محدود سیٹ پر آزاد جھوٹ الجبرا کے عالمگیر لفافے والے الجبرا کا درجہ بند دوہری شفل الجبرا ہے۔ یہ بنیادی طور پر اس کی پیروی کرتا ہے کیونکہ عالمگیر لفافے والے الجبرا میں ہوپف الجبرا کی ساخت ہوتی ہے، اور شفل پروڈکٹ اس الجبرا میں ملٹی پلیکیشن کے عمل کو بیان کرتا ہے۔ شفل پروڈکٹ اور کوملٹیپلیکیشن کے درمیان باہمی تعلق کی تفصیلی وضاحت کے لیے ٹینسر الجبرا دیکھیں۔ ہال سیٹ آزاد جھوٹ الجبرا کی ایک واضح بنیاد ہال سیٹ کے لحاظ سے دی جا سکتی ہے، جو کہ ایکس پر آزاد میگما کے اندر ایک خاص قسم کا ذیلی سیٹ ہے۔ آزاد میگما کے عناصر بائنری درخت ہوتے ہیں، جن کے پتوں پر X کے عناصر کا لیبل ہوتا ہے۔ ہال سیٹ گروپوں پر فلپ ہال کے کام کی بنیاد پر متعارف کرائے گئے تھے۔ اس کے بعد، ولہیلم میگنس نے دکھایا کہ وہ نچلی مرکزی سیریز کے ذریعہ دیئے گئے آزاد گروپ پر فلٹریشن سے وابستہ درجہ بند لائ الجبرا کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ یہ خط و کتابت فلپ ہال اور وٹ کی وجہ سے گروپ تھیوری میں مواصلاتی شناختوں سے متاثر ہوا تھا۔ لنڈن کے الفاظ ہال کے الفاظ کا ایک خاص معاملہ ہیں، اور اس لیے خاص طور پر لنڈن کے الفاظ سے مطابقت رکھنے والے آزاد جھوٹ الجبرا کی بنیاد ہے۔ اسے لنڈن بیس کہا جاتا ہے، جس کا نام راجر لنڈن کے نام پر رکھا گیا ہے۔ (اسے چن-فاکس-لنڈن بنیاد یا لنڈن-شیرشوف بنیاد بھی کہا جاتا ہے، اور یہ بنیادی طور پر شیرشوف بنیاد کی طرح ہے۔) اس حروف تہجی پر آزاد جھوٹ الجبرا کی بنیاد پر ترتیب شدہ حروف تہجی میں لنڈن الفاظ سے ایک بیجیکشن γ ہے جس کی وضاحت مندرجہ ذیل ہے: اگر کسی لفظ کی لمبائی 1 ہے تو (آزاد جھوٹ الجبرا کے جنریٹر کے طور پر سمجھا جاتا ہے)۔ اگر ڈبلیو کی لمبائی کم از کم 2 ہے، تو لنڈن الفاظ کے لیے یو، وی کے ساتھ وی کے ساتھ زیادہ سے زیادہ وقت تک لکھیں ("معیاری فیکٹرائزیشن")۔ پھر۔ شرشوف وٹ تھیوریم اور یہ ظاہر کیا کہ آزاد جھوٹ الجبرا کا کوئی بھی جھوٹ ذیلی الجبرا خود ایک آزاد جھوٹ الجبرا ہے۔ ایپلی کیشنز سیمی سمپل لائ الجبرا پر سیر کا تھیوریم جنریٹرز اور رلیشنز میں سے سیمی سمپل الجبرا بنانے کے لیے فری لائ الجبرا کا استعمال کرتا ہے۔ لنک گروپ کے ملنور غیر متغیرات لنک کے اجزاء پر آزاد جھوٹ الجبرا سے متعلق ہیں، جیسا کہ اس مضمون میں بحث کی گئی ہے۔ آپریڈ کی تعمیر میں فری لائ الجبرا کے استعمال کے لیے لائ آپریڈ بھی دیکھیں۔ فری آبجیکٹ فری الجبرا فری گروپ حوالہ جات لائ الجبرا فری الجبرائی ڈھانچے کی خصوصیات بھی دیکھیں۔