Convex analysis
کنویکس تجزیہ ریاضی کی وہ شاخ ہے جو کنویکس افعال اور کنویکس سیٹوں کی خصوصیات کے مطالعہ کے لیے وقف ہے، اکثر کنویکس منیمائزیشن میں ایپلی کیشنز کے ساتھ، اصلاح کے نظریہ کا ایک ذیلی ڈومین۔ کنویکس سیٹ کچھ ویکٹر اسپیس کا ایک ذیلی سیٹ ہے اگر یہ مندرجہ ذیل مساوی شرائط میں سے کسی کو پورا کرتا ہے: اگر حقیقی ہے اور پھر اگر حقیقی ہے اور اس کے ساتھ پورے، توسیعی حقیقی اعداد میں قابل قدر ایک نقشہ ہوگا جس میں ایک ڈومین ہوگا جو کسی ویکٹر اسپیس کا کنویکس ذیلی سیٹ ہے۔ نقشہ اگر کسی حقیقی اور کسی کے ساتھ ہے اگر یہ سچ رہتا ہے کہ جب متعین عدم مساوات () کو سخت عدم مساوات سے تبدیل کیا جاتا ہے تو اسے کہا جاتا ہے۔ کنویکس افعال کا تعلق کنویکس سیٹوں سے ہے۔ خاص طور پر، فنکشن کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک کنویکس سیٹ ہو۔ توسیعی حقیقی قدر والے افعال کے کتبے کنویکس تجزیہ میں ایک کردار ادا کرتے ہیں جو حقیقی تجزیہ میں حقیقی قدر والے فنکشن کے گراف کے ذریعے ادا کیے گئے کردار کے مترادف ہے۔ خاص طور پر، ایک توسیعی حقیقی قدر والے فنکشن کا نوشتہ ہندسی وجدان فراہم کرتا ہے جسے فارمولے میں مدد کرنے یا قیاس آرائیوں کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فنکشن کو اگر اور متبادل طور پر کہا جاتا ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ ڈومین میں کچھ موجود ہے جس پر اور اس کے برابر بھی ہے۔ الفاظ میں، ایک فنکشن یہ ہے کہ اگر اس کا ڈومین خالی نہیں ہے، تو یہ کبھی بھی ویلیو نہیں لیتا ہے اور یہ بھی یکساں طور پر اس کے برابر نہیں ہے۔ اگر ایک مناسب کنویکس فنکشن ہے تو کچھ ویکٹر موجود ہوتا ہے اور کچھ ایسا ہوتا ہے کہ ہر جگہ کے لیے ان ویکٹروں کے ڈاٹ پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ کنویکس کنجوگیٹ ایک توسیعی حقیقی قدر والی فنکشن (ضروری نہیں کہ کنویکس) کا فنکشن (مسلسل) دوہری جگہ سے ہے اور جہاں بریکٹ کینونکل ڈوئلٹی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ذیلی تفریقی سیٹ اور فینچل-نوجوان عدم مساوات اگر اور پھر ہے۔ مثال کے طور پر، اہم خاص معاملے میں جہاں ایک معیار ہے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگر پھر یہ تعریف کم ہو کر: اور کسی کے لیے اور جسے کہا جاتا ہے۔ یہ عدم مساوات ایک مساوات ہے (یعنی) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ اس طرح ہے کہ ذیلی تفریقی سیٹ کا براہ راست تعلق کنویکس کنجوگیٹ بائیکونجگیٹ سے ہے۔ کسی فنکشن کا کنجوگیٹ کنجوگیٹ ہے، جسے عام طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے کہ بائیکونجگیٹ مضبوط یا کمزور دوہری ہولڈ (پرٹربیشن فنکشن کے ذریعے) ظاہر کرنے کے لیے مفید ہے۔ کسی کے لیے بھی عدم مساوات کی پیروی کرتا ہے۔ مناسب افعال کے لیے، اگر اور صرف اس صورت میں جب فینچل-موریؤ تھیوریم کے مطابق کنویکس اور زیریں نیم مسلسل ہو۔ کنویکس منیمائزیشن A () ان شکلوں میں سے ایک ہے جو کنویکس فنکشن اور کنویکس سب سیٹ ڈوئل پروبلم دیے جانے پر تلاش کی جاتی ہے۔ آپٹیمائزیشن تھیوری میں کہا گیا ہے کہ آپٹیمائزیشن کے مسائل کو دو میں سے کسی ایک نقطہ نظر سے دیکھا جا سکتا ہے، ابتدائی مسئلہ یا دوہری مسئلہ۔ عام طور پر دو دوہری جوڑوں کو مقامی طور پر کنویکس خالی جگہوں سے الگ کیا جاتا ہے اور پھر فنکشن کو دیکھتے ہوئے ہم ابتدائی مسئلے کو اس طرح تلاش کرنے کے طور پر بیان کر سکتے ہیں کہ اگر رکاوٹ کے حالات ہیں، تو ان کو فنکشن میں بنایا جا سکتا ہے کہ اشارہ فنکشن کہاں ہے۔ پھر ایک پرٹربیشن فنکشن کو اس طرح ہونے دیں کہ منتخب کردہ پرٹربیشن فنکشن کے حوالے سے یہ دیا جاتا ہے کہ دونوں متغیرات میں کنویکس کنجوگیٹ کہاں ہے۔ دوہری فرق عدم مساوات کے دائیں اور بائیں ہاتھ کے اطراف کا فرق ہے۔ یہ اصول کمزور دوہری کے برابر ہے۔ اگر دونوں اطراف ایک دوسرے کے برابر ہیں، تو کہا جاتا ہے کہ مسئلہ مضبوط دوہری کو مطمئن کرتا ہے۔ مضبوط دوہری کو برقرار رکھنے کے لیے بہت سی شرائط ہیں جیسے: ابتدائی اور دوہری مسائل سے متعلق پرٹربیشن فنکشن کہاں ہے اور اس کا بائیکونجوگیٹ ہے ؛ ابتدائی مسئلہ ایک لکیری آپٹیمائزیشن کا مسئلہ ہے ؛ کنویکس آپٹیمائزیشن کے مسئلے کے لیے سلیٹر کی حالت۔ لاگرانج ڈوئلٹی عدم مساوات کی رکاوٹوں کے ساتھ ایک کنویکس کم سے کم مسئلہ کے لیے، لاگرانجین ڈوئل مسئلہ کے تابع ہے جہاں معروضی فنکشن لاگرانج ڈوئل فنکشن ہے جس کی وضاحت مندرجہ ذیل ہے: نوٹ بیرونی حوالہ جات تجزیہ بھی دیکھیں