Complex measure
ریاضی میں، خاص طور پر پیمائش کا نظریہ، ایک پیچیدہ پیمائش پیمائش کے تصور کو پیچیدہ اقدار کی اجازت دے کر عام کرتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک سیٹ کی اجازت دیتا ہے جس کا سائز (لمبائی، رقبہ، حجم) ایک پیچیدہ نمبر ہے۔ تعریف رسمی طور پر، پیمائش کے قابل جگہ پر ایک پیچیدہ پیمائش ایک پیچیدہ قدر والا فنکشن ہے جو سگما اضافی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، سے تعلق رکھنے والے جداگانہ سیٹوں کی کسی بھی ترتیب کے لیے، کسی کے پاس ہے۔ کسی بھی ترتیب (بیجیکشن) کے لیے، یہ اس کے بعد ہوتا ہے جو غیر مشروط طور پر یکجا ہوتا ہے (اس لیے بالکل)۔ ایک پیچیدہ پیمائش کے حوالے سے انضمام ایک پیچیدہ پیمائش کے حوالے سے ایک پیچیدہ قیمت والے قابل پیمائش فنکشن کے انٹیگرل کی وضاحت اسی طرح کی جا سکتی ہے جس طرح غیر منفی پیمائش کے حوالے سے حقیقی قیمت والے قابل پیمائش فنکشن کے لیبسگ انٹیگرل کی وضاحت آسان افعال کے ساتھ قابل پیمائش فنکشن کا تخمینہ لگا کر کی جا سکتی ہے۔ جس طرح عام انضمام کے معاملے میں، یہ زیادہ عمومی انٹیگرل موجود نہیں ہو سکتا، یا اس کی قیمت لامحدود (پیچیدہ انفینٹی) ہو سکتی ہے۔ ایک اور نقطہ نظر یہ ہے کہ انضمام کا نظریہ شروع سے تیار نہ کیا جائے، بلکہ غیر منفی پیمائش کے حوالے سے حقیقی قدر والے فنکشن کے لازمی کے پہلے سے دستیاب تصور کا استعمال کیا جائے۔ اس مقصد کے لیے، یہ ایک فوری جانچ ہے کہ کسی پیچیدہ پیمائش کے حقیقی اور خیالی حصے μ1 اور μ2 محدود قدر والے دستخط شدہ اقدامات ہیں۔ کوئی بھی ان اقدامات پر ہان-جارڈن سڑنے کا اطلاق کر سکتا ہے تاکہ انہیں اس طرح تقسیم کیا جا سکے اور جہاں μ1 +، μ1 −، μ2 +، μ2 − محدود قدر والے غیر منفی اقدامات ہیں (جو کسی لحاظ سے منفرد ہیں)۔ پھر، ایک قابل پیمائش فنکشن f کے لیے جو اس لمحے کے لیے حقیقی قدر کا حامل ہے، کوئی اس وقت تک وضاحت کر سکتا ہے جب تک کہ دائیں ہاتھ کی طرف اظہار کی وضاحت کی گئی ہو، یعنی، چاروں انٹیگرلز موجود ہیں اور جب ان کو جوڑتے ہیں تو کسی کا سامنا نہیں ہوتا ہے۔ اب ایک پیچیدہ قدر والے قابل پیمائش فنکشن کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی اپنے حقیقی اور خیالی اجزاء کو الگ الگ مربوط کر سکتا ہے جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے اور اس کی وضاحت کر سکتا ہے، جیسا کہ توقع کی جاتی ہے، ایک پیچیدہ پیمائش کی تغیر اور قطبی سڑنا۔ ایک پیچیدہ پیمائش کے لیے، کوئی اس کی تغیر، یا مطلق قدر کی وضاحت کرتا ہے، |μ | اس فارمولے کے ذریعے جہاں A، σ میں ہے اور بالادستی جداگانہ سیٹوں (An) n کے تمام ترتیبات پر چلتی ہے جس کا اتحاد A ہے۔ پیمائش کے قابل ذیلی سیٹوں میں سیٹ A کی صرف محدود تقسیموں کو لے کر، ایک مساوی تعریف حاصل ہوتی ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ |μ | ایک غیر منفی محدود پیمائش ہے۔ جس طرح ایک پیچیدہ عدد کو قطبی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے، اسی طرح ایک پیچیدہ پیمائش کے لیے قطبی سڑنا ہوتا ہے: حقیقی اقدار کے ساتھ ایک قابل پیمائش فنکشن θ موجود ہے جس کا مطلب کسی بھی بالکل مربوط قابل پیمائش فنکشن f، یعنی f کو مطمئن کرنا ہے۔ یہ ثابت کرنے کے لیے ریڈون نیکوڈیم تھیوریم کا استعمال کیا جا سکتا ہے کہ تغیر ایک پیمائش ہے اور قطبی سڑنے کا وجود ہے۔ پیچیدہ پیمائشوں کی جگہ دو پیچیدہ پیمائشوں کا مجموعہ ایک پیچیدہ پیمائش ہے، جیسا کہ ایک پیچیدہ پیمائش کا مجموعہ ایک پیچیدہ عدد سے ہوتا ہے۔ یہ کہنا ہے کہ، پیمائش کی جگہ (X،  निष्प) پر تمام پیچیدہ اقدامات کا مجموعہ پیچیدہ نمبروں پر ویکٹر کی جگہ بناتا ہے۔ مزید برآں، کل تغیر کی تعریف ایک معمول کے طور پر کی گئی ہے، جس کے حوالے سے پیچیدہ اقدامات کی جگہ ایک بناچ جگہ ہے۔ یہ بھی دیکھیں Riesz نمائندگی تھیوریم دستخط شدہ پیمائش ویکٹر پیمائش بیرونی روابط ریاضی پر پیچیدہ پیمائش عالمی پیمائش (پیمائش نظریہ) پیچیدہ اعداد