Theta divisor
ریاضی میں، تھیٹا تقسیم کنندہ الجبری جیومیٹری کے معنی میں تقسیم کنندہ ہے جس کی وضاحت پیچیدہ اعداد (اور بنیادی طور پر پولرائزڈ) پر ایک ابیلین قسم A پر متعلقہ ریمن تھیٹا فنکشن کے صفر لوکس کے ذریعہ کی گئی ہے۔ اس لیے یہ طول و عرض مدھم A−1 کی A کی الجبرائی ذیلی قسم ہے۔ کلاسیکی نظریہ برنہارڈ ریمن کے کلاسیکی نتائج ایک اور طریقے سے θ کو بیان کرتے ہیں، اس صورت میں کہ A الجبرائی منحنی خطوط (کمپیکٹ ریمن سطح) C کی جیکوبین قسم J ہے۔ C پر بیس پوائنٹ P کے انتخاب کے لیے، C سے J کی ایک معیاری نقشہ سازی، J کی تشریح کے ذریعے ڈگری 0 کے C پر تقسیم کاروں کی لکیری مساوات کلاسوں کے طور پر۔ یعنی، Q پر C نقشہ جات میں Q − P کی کلاس کے لیے۔ پھر چونکہ J ایک الجبرائی گروپ ہے، اس لیے C کو J پر k اوقات میں شامل کیا جا سکتا ہے، جس سے ذیلی اقسام Wk کو جنم ملتا ہے۔ اگر جی سی کی جینس ہے، تو ریمن نے ثابت کیا کہ جی پر Wg−1 کا ترجمہ ہے۔ انہوں نے یہ بھی بیان کیا کہ Wg−1 پر کون سے نکات غیر واحد ہیں: وہ ڈگری g−1 کے موثر تقسیم کاروں D سے مطابقت رکھتے ہیں جن میں مستقلات کے علاوہ کوئی متعلقہ مورومورفک افعال نہیں ہیں۔ زیادہ کلاسیکی زبان میں، یہ D C پر تقسیم کاروں کے لکیری نظام میں حرکت نہیں کرتے، اس معنی میں کہ وہ غیر مستقل فعل کے قطبی تقسیم کار پر حاوی نہیں ہوتے ہیں۔ ریمن نے ریمن سنگلٹی تھیوریم کو مزید ثابت کیا، Wg−1 پر ایک نقطہ p = کلاس (D) کی ضرب کو قطبی تقسیم کار D کے غلبہ کے ساتھ لکیری طور پر آزاد مورومورفک افعال کی تعداد کے طور پر شناخت کیا، یا اس کے مساوی طور پر h0 (O (D))، C پر کارٹیئر تقسیم کار کے طور پر D سے وابستہ ہولومورفک لائن بنڈل کے لکیری طور پر آزاد عالمی حصوں کی تعداد۔ بعد میں کام ریمن سنگلٹی تھیوریم کو 1973 میں جارج کیمپف نے بڑھایا، جو ڈیوڈ ممفورڈ اور آندرے-میئر کے کام پر مبنی تھا، تاکہ Wk پر 1 ≤ k ≤ g−1 کے لیے پوائنٹس p = کلاس (D) کی انفرادیت کی وضاحت کی جا سکے۔ خاص طور پر انہوں نے ان کی ضرب کا حساب ڈی (ریمن-کیمپف سنگلٹی تھیوریم) سے وابستہ آزاد مورومورفک افعال کی تعداد کے لحاظ سے بھی کیا۔ مزید واضح طور پر، کیمپف نے جے کو مقامی طور پر پی کے قریب میٹرکس کے ایک خاندان سے نقشہ بنایا جو ایک عین ترتیب سے آتا ہے جو ایچ 0 (او (ڈی)) کا حساب لگاتا ہے، اس طرح کہ ڈبلیو کے زیادہ سے زیادہ رینک سے کم میٹرکس کے لوکس سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے بعد ضرب متعلقہ رینک لوکس پر موجود نقطہ سے متفق ہوتی ہے۔ واضح طور پر، اگر h0 (O (D)) = r + 1 ہے، تو کلاس (D) میں Wk کی ضرب بائنومیل گتانک ہے جب k = g−1، یہ r + 1، ریمن کا فارمولا ہے۔ نوٹ حوالہ جات تھیٹا افعال الجبرائی منحنی خطوط برنہارڈ ریمن