Fixed points of isometry groups in Euclidean space
آئسومیٹری گروپ کا فکسڈ پوائنٹ وہ پوائنٹ ہوتا ہے جو گروپ کے ہر آئسومیٹری کے لیے فکسڈ پوائنٹ ہوتا ہے۔ یوکلڈین اسپیس میں کسی بھی آئسومیٹری گروپ کے لیے فکسڈ پوائنٹس کا سیٹ یا تو خالی ہوتا ہے یا ایک افائن اسپیس ہوتا ہے۔ کسی شے کے لیے، کوئی بھی منفرد مرکز اور، زیادہ عام طور پر، شے کے حوالے سے منفرد خصوصیات والا کوئی بھی نقطہ اس کے ہم آہنگی گروپ کا ایک مقررہ نقطہ ہوتا ہے۔ خاص طور پر یہ کسی شکل کے مرکز کے لیے لاگو ہوتا ہے، اگر یہ موجود ہے۔ جسمانی جسم کے معاملے میں، اگر ہم آہنگی کے لیے نہ صرف شکل بلکہ کثافت کو بھی مدنظر رکھا جائے، تو یہ کمیت کے مرکز پر لاگو ہوتا ہے۔ اگر کسی شے کے سمیٹری گروپ کے فکسڈ پوائنٹس کا سیٹ سنگلٹن ہے تو اس شے کا سمیٹری کا ایک مخصوص مرکز ہوتا ہے۔ مرکز اور کمیت کا مرکز، اگر متعین کیا جائے، تو یہ نقطہ ہے۔ "سینٹر آف سمیٹری" کا ایک اور معنی ایک نقطہ ہے جس کے حوالے سے انورژن سمیٹری لاگو ہوتی ہے۔ اس طرح کے نقطہ کو منفرد ہونے کی ضرورت نہیں ہے ؛ اگر ایسا نہیں ہے تو، ٹرانسلیشنل سمیٹری ہے، لہذا اس طرح کے بہت سے نکات لامحدود ہیں۔ دوسری طرف، مثال کے طور پر۔ C3h اور D2 سمیٹری پہلے معنوں میں سمیٹری کا ایک مرکز ہے، لیکن کوئی الٹ نہیں ہے۔ اگر کسی شے کے ہم آہنگی گروپ کے کوئی مقررہ نکات نہیں ہیں تو وہ شے لامحدود ہے اور اس کا مرکز اور کمیت کا مرکز غیر متعین ہے۔ اگر کسی شے کے ہم آہنگی گروپ کے فکسڈ پوائنٹس کا مجموعہ ایک لکیر یا طیارہ ہے تو شے کا مرکز اور کمیت کا مرکز، اگر بیان کیا گیا ہے، اور کوئی دوسرا نقطہ جس میں شے کے حوالے سے منفرد خصوصیات ہیں، اس لکیر یا سطح پر ہیں۔ 1 ڈی لائن صرف معمولی آئسومیٹری گروپ پوری لائن کو فکسڈ چھوڑتا ہے۔ نقطہ عکاسی سے پیدا ہونے والے گروپ ایک نقطہ طے چھوڑ دیتے ہیں۔ 2 ڈی طیارہ صرف معمولی آئسومیٹری گروپ C1 پورے طیارے کو فکسڈ چھوڑ دیتا ہے۔ لائن سی ایس کسی بھی لائن کے حوالے سے اس لائن کو فکسڈ چھوڑ دیتی ہے۔ پوائنٹ کسی بھی پوائنٹ کے حوالے سے دو جہتوں میں پوائنٹ گروپ اس پوائنٹ کو فکسڈ چھوڑ دیتے ہیں۔ تھری ڈی اسپیس صرف معمولی آئسومیٹری گروپ C1 پوری جگہ کو فکسڈ چھوڑ دیتا ہے۔ ہوائی جہاز سی ایس ہوائی جہاز کے حوالے سے اس ہوائی جہاز کو فکسڈ چھوڑ دیتا ہے۔ لائن آئسومیٹری گروپ جو ایک لائن کو فکسڈ چھوڑتے ہیں وہ آئسومیٹریز ہیں جن میں اس لائن کے پرپینڈکولر ہر پلین میں لائن اور طیاروں کے انٹرسیکشن پوائنٹ کے حوالے سے دو جہتوں میں مشترکہ 2D پوائنٹ گروپ ہوتے ہیں۔ Cn (n> 1) اور Cnv (n> 1) بغیر عکاسی سمیٹری کے سلنڈریکل سمیٹری محور کے معاملات کے عمودی سطح میں جس میں سمیٹری گروپ سلنڈریکل سمیٹری پوائنٹ کا ایک لامحدود ذیلی سیٹ ہے۔ تین جہتوں میں دیگر تمام پوائنٹ گروپ کوئی فکسڈ پوائنٹ نہیں۔ آئسومیٹری گروپ ترجمے یا سکرو آپریشن پر مشتمل ہے۔ صوابدیدی طول و عرض نقطہ آئسومیٹری گروپ کی ایک مثال، جو ہر جہت میں لاگو ہوتی ہے، وہ ہے جو کسی نقطہ میں الٹ کے ذریعے پیدا ہوتی ہے۔ ایک n-جہتی متوازی نقشہ اس طرح کے الٹ کے تحت غیر متغیر شے کی ایک مثال ہے۔ حوالہ جات سلاوک وی جبلان، سمیٹری، آرنیمنٹ اینڈ ماڈیولرٹی، K & E سیریز آن ناٹس اینڈ ایوریتھنگ کا جلد 30، ورلڈ سائنٹفک، 2002۔ یوکلڈین سمیٹریز گروپ تھیوری فکسڈ پوائنٹس (ریاضی) ہندسی مراکز