Class number formula
نمبر تھیوری میں، کلاس نمبر فارمولا نمبر فیلڈ کے بہت سے اہم غیر متغیرات کو اس کے ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کی ایک خاص قدر سے جوڑتا ہے۔ کلاس نمبر فارمولے کا عمومی بیان ہم مندرجہ ذیل اعداد و شمار سے شروع کرتے ہیں: ایک نمبر فیلڈ ہے۔ ، جہاں کے حقیقی سرایت کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے، اور اس کے پیچیدہ سرایت کی تعداد ہے۔ ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن ہے۔ کلاس نمبر، کے مثالی کلاس گروپ میں عناصر کی تعداد ہے۔ کا ریگولیٹر ہے۔ میں موجود اتحاد کی جڑوں کی تعداد ہے۔ توسیع کا امتیازی سلوک ہے۔ پھر: نظریہ (کلاس نمبر فارمولا)۔ یہ بالکل کے لیے یکجا ہوتا ہے اور ایک مورومورفک فنکشن تک پھیلا ہوا ہے جس کی وضاحت تمام کمپلیکس کے لیے صرف ایک سادہ پول کے ساتھ کی گئی ہے، بقیہ کے ساتھ یہ سب سے عام "کلاس نمبر فارمولا" ہے۔ خاص صورتوں میں، مثال کے طور پر جب سائکلوٹومک ایکسٹینشن ہوتی ہے، تو مخصوص اور زیادہ بہتر کلاس نمبر فارمولے ہوتے ہیں۔ کلاس نمبر فارمولے کے ثبوت کا خیال سب سے زیادہ آسانی سے اس وقت دیکھا جا سکتا ہے جب K = Q (i) ہو۔ اس صورت میں، K میں انٹیجرز کی انگوٹی گاؤسی انٹیجرز ہے۔ ایک ابتدائی ہیرا پھیری سے پتہ چلتا ہے کہ s = 1 پر ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کی باقیات ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کی ڈیرچلیٹ سیریز کی نمائندگی کے کوفیشنٹس کی اوسط ہے۔ ڈیرچلیٹ سیریز کا n-th گتانک بنیادی طور پر غیر منفی عددوں کے دو مربعوں کے مجموعے کے طور پر n کی نمائندگی کی تعداد ہے۔ لہذا کوئی بھی نمائندگی کی اوسط تعداد کا حساب لگا کر s = 1 پر ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کے بقیہ کا حساب لگا سکتا ہے۔ جیسا کہ گاؤس دائرے کے مسئلے پر مضمون میں، کوئی بھی اصل پر مرکوز ایک چوتھائی دائرے کے اندر جالی کے نکات کی تعداد کا تخمینہ لگا کر اس کا حساب لگا سکتا ہے، یہ نتیجہ اخذ کرتے ہوئے کہ باقیات پائی کا ایک چوتھائی ہے۔ جب K ایک صوابدیدی خیالی کواڈریٹک نمبر فیلڈ ہے تو ثبوت بہت ملتا جلتا ہے۔ عام صورت میں، ڈیرچلیٹ کی اکائی تھیوریم کے مطابق، K کے انٹیجرز کے دائرے میں اکائیوں کا گروپ لامحدود ہے۔ اس کے باوجود کوئی بھی حقیقی اور پیچیدہ سرایتوں کے کلاسیکی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے باقیات کی گنتی کو جالی پوائنٹ گنتی کے مسئلے تک کم کر سکتا ہے اور ثبوت کو مکمل کرنے کے لیے خطے کے حجم کے لحاظ سے کسی خطے میں جالی پوائنٹس کی تعداد کا تخمینہ لگا سکتا ہے۔ ڈیرچلیٹ کلاس نمبر فارمولا پیٹر گستاو لیجین ڈیرچلیٹ نے 1839 میں کواڈریٹک فیلڈز کے لیے کلاس نمبر فارمولا کا ثبوت شائع کیا، لیکن یہ آئیڈیلز کی کلاسوں کے بجائے کواڈریٹک شکلوں کی زبان میں بیان کیا گیا تھا۔ ایسا معلوم ہوتا ہے کہ گاؤس اس فارمولے کو 1801 میں پہلے ہی سے جانتے تھے۔ یہ نمائش ڈیوینپورٹ کے بعد ہے۔ فرض کریں کہ d ایک بنیادی ڈسکریمیننٹ ہے، اور ڈسکریمیننٹ d کے ساتھ کواڈریٹک شکلوں کی مساوات کی کلاسوں کی تعداد کے لیے h (d) لکھیں۔ پھر ایک ڈیرچلیٹ کردار ہے۔ اس پر مبنی ڈیرچلیٹ ایل سیریز کے لیے لکھیں۔ d> 0 کے لیے، t> 0، u> 0 کو پیل مساوات کا حل ہونے دیں جس کے لیے u سب سے چھوٹا ہے، اور لکھیں (پھر یا تو حقیقی کواڈریٹک فیلڈ کی بنیادی اکائی ہے یا کسی بنیادی اکائی کا مربع ہے۔) d <0 کے لیے، ڈسکریمیننٹ d کی کواڈریٹک شکلوں کے آٹومورفزم کی تعداد کے لیے w لکھیں ؛ یعنی، پھر ڈیرچلیٹ نے دکھایا کہ یہ اوپر دیے گئے نظریہ 1 کا ایک خاص معاملہ ہے: کواڈریٹک فیلڈ K کے لیے، ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن منصفانہ ہے، اور بقیہ ہے۔ ڈیرچلیٹ نے یہ بھی دکھایا کہ ایل سیریز کو ایک محدود شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جو کلاس نمبر کے لیے ایک محدود شکل دیتا ہے۔ فرض کریں کہ پرائم کنڈکٹر کے ساتھ ابتدائی ہے۔ اگر K ق کی گالوئس توسیع ہے، تو آرٹن ایل فنکشنز کا نظریہ اس پر لاگو ہوتا ہے۔ اس میں ریمن زیٹا فنکشن کا ایک عنصر ہے، جس میں بقیہ ایک کا قطب ہوتا ہے، اور حصص s = 1 پر باقاعدہ ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کلاس نمبر فارمولے کے دائیں ہاتھ کی طرف کو بائیں ہاتھ کی طرف ΠL (1، ρ) dim ρ کے برابر کیا جا سکتا ہے جس میں ρ طول و عرض dim (ρ) کے گال (K/Q) کی ناقابل تلافی غیر معمولی پیچیدہ لکیری نمائندگی کی کلاسوں پر چل رہا ہے۔ یہ باقاعدہ نمائندگی کے معیاری سڑنے کے مطابق ہے۔ عقلیتوں کی ابیلین توسیعات یہ مذکورہ بالا کا معاملہ ہے، جس میں گال (K/Q) ایک ابیلین گروپ ہے، جس میں کنڈکٹر کہلانے والے کچھ ماڈیولس f کے لیے تمام ρ کو ڈیرچلیٹ حروف (کلاس فیلڈ تھیوری کے ذریعے) سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ لہذا تمام L (1) اقدار ڈیرچلیٹ L-افعال کے لیے ہوتی ہیں، جس کے لیے ایک کلاسیکی فارمولا ہوتا ہے، جس میں لوگرتھم شامل ہوتے ہیں۔ کرونکر-ویبر تھیوریم کے مطابق، تجزیاتی کلاس نمبر فارمولے کے لیے درکار تمام اقدار پہلے ہی اس وقت ہوتی ہیں جب سائکلوٹومک فیلڈز پر غور کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں مزید تشکیل ممکن ہے، جیسا کہ کمر نے دکھایا ہے۔ ریگولیٹر، 'لوگرتھمک اسپیس' میں حجم کا حساب جیسا کہ سائکلوٹومک فیلڈ کی اکائیوں کے لوگرتھم سے تقسیم کیا جاتا ہے، سائکلوٹومک اکائیوں کے لوگرتھم کے طور پر پہچانے جانے والے L (1) کی مقدار کے خلاف مقرر کیا جا سکتا ہے۔ اس کے نتیجے کے فارمولے یہ بتاتے ہیں کہ کلاس نمبر کا تعین یونٹس کے پورے گروپ میں سائکلوٹومک یونٹس کے انڈیکس سے ہوتا ہے۔ ایواساوا تھیوری میں، ان خیالات کو مزید اسٹیکلبرجر تھیوریم کے ساتھ ملایا گیا ہے۔ برومر-سٹارک قیاس آرائی اسمتھ-منکوسکی-سیگل ماس فارمولا نوٹ حوالہ جات الجبرائی نمبر تھیوری کواڈریٹک فارمز بھی دیکھیں۔