Local-density approximation
مقامی کثافت کا تخمینہ (ایل ڈی اے) ڈینسٹی فنکشنل تھیوری (ڈی ایف ٹی) میں ایکسچینج-کوریلیشن (ایکس سی) فنکشنل انرجی کے تخمینوں کی ایک کلاس ہے جو خلا میں ہر نقطہ پر الیکٹرانک کثافت کی قیمت پر مکمل طور پر منحصر ہے (اور، مثال کے طور پر، کثافت کے مشتق یا کوہن-شام مدار)۔ بہت سے نقطہ نظر ایکس سی توانائی کے مقامی تخمینے حاصل کر سکتے ہیں۔ تاہم، بہت زیادہ کامیاب مقامی تخمینے وہ ہیں جو یکساں الیکٹران گیس (ایچ ای جی) ماڈل سے اخذ کیے گئے ہیں۔ اس سلسلے میں، ایل ڈی اے عام طور پر ایچ ای جی تخمینہ پر مبنی فنکشنلز کا مترادف ہے، جو اس کے بعد حقیقت پسندانہ نظاموں (مالیکیولز اور ٹھوس) پر لاگو ہوتے ہیں۔ عام طور پر، ایک اسپن غیر قطبی نظام کے لیے، تبادلے سے متعلق توانائی کے لیے مقامی کثافت کا تخمینہ اس طرح لکھا جاتا ہے جہاں ρ الیکٹرانک کثافت ہے اور εxc چارج کثافت ρ کی یکساں الیکٹران گیس کے فی ذرہ تبادلے سے متعلق توانائی ہے۔ تبادلے اور ارتباط کی توانائی کو تبادلے اور ارتباط کی اصطلاحات میں لکیری طور پر تحلیل کیا جاتا ہے، تاکہ Ex اور Ec کے لیے الگ الگ تاثرات تلاش کیے جائیں۔ تبادلے کی اصطلاح ایچ ای جی کے لیے ایک سادہ تجزیاتی شکل اختیار کرتی ہے۔ ارتباط کی کثافت کے لیے صرف محدود تاثرات بالکل معلوم ہیں، جس کی وجہ سے εc کے لیے متعدد مختلف تخمینے ہوتے ہیں۔ مقامی کثافت کے تخمینے تبادلے کے ارتباط کی توانائی کے لیے زیادہ نفیس تخمینوں کی تعمیر میں اہم ہیں، جیسے کہ عمومی میلان کے تخمینے (جی جی اے) یا ہائبرڈ فنکشنل، کسی بھی اندازے کے تبادلے کے ارتباط کی مطلوبہ خاصیت کے طور پر یہ ہے کہ یہ غیر متغیر کثافت کے لیے ایچ ای جی کے عین نتائج کو دوبارہ پیش کرتا ہے۔ اس طرح، ایل ڈی اے اکثر اس طرح کے افعال کا ایک واضح جزو ہوتے ہیں۔ مقامی کثافت کا تخمینہ سب سے پہلے 1965 میں والٹر کوہن اور لو جیو شام نے متعارف کرایا تھا۔ ایپلی کیشنز مقامی کثافت کے تخمینے، جیسا کہ جی جی اے کے ساتھ، ٹھوس ریاست کے طبیعیات دانوں کے ذریعہ ابتدائی ڈی ایف ٹی مطالعات میں سیمی کنڈکٹر مواد بشمول سیمی کنڈکٹنگ آکسائڈز اور اسپنٹرونکس میں الیکٹرانک اور مقناطیسی تعاملات کی تشریح کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال کیے جاتے ہیں۔ ان کمپیوٹیشنل مطالعات کی اہمیت نظام کی پیچیدگیوں سے پیدا ہوتی ہے جو پہلے اصولوں پر مبنی تجزیہ کی ضرورت کے لیے ترکیب کے پیرامیٹرز کے لیے اعلی حساسیت لاتے ہیں۔ ڈوپڈ سیمی کنڈکٹنگ آکسائڈز میں فرمی سطح اور بینڈ ڈھانچے کی پیش گوئی اکثر سی اے ایس ٹی ای پی اور ڈی ایم او ایل 3 جیسے تخروپن پیکجوں میں شامل ایل ڈی اے کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ تاہم بینڈ گیپ ویلیوز میں کم تخمینہ لگانا جو اکثر ایل ڈی اے اور جی جی اے کے تخمینوں سے وابستہ ہوتا ہے، اس طرح کے نظاموں میں نجاست ثالثی چالکتا اور/یا کیریئر ثالثی مقناطیسیت کی غلط پیش گوئیوں کا باعث بن سکتا ہے۔ 1998 میں شروع ہونے والے، آئجین ویلیوز کے لیے ریلیگ تھیوریم کے اطلاق نے ایل ڈی اے پوٹینشلز کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ تر درست، حساب شدہ بینڈ کے فرق کو جنم دیا ہے۔ ڈی ایف ٹی کے دوسرے نظریہ کی غلط فہمی ایل ڈی اے اور جی جی اے کے حساب سے بینڈ گیپ کے زیادہ تر کم تخمینے کی وضاحت کرتی دکھائی دیتی ہے، جیسا کہ ڈی ایف ٹی کے دو نظریات کے بیانات کے سلسلے میں ڈینسٹی فنکشنل تھیوری کی وضاحت میں بیان کیا گیا ہے۔ صرف کثافت پر منحصر εxc کے لیے یکساں الیکٹران گیس کا تخمینہ متعدد طریقوں سے تیار کیا جا سکتا ہے۔ سب سے کامیاب نقطہ نظر یکساں الیکٹران گیس پر مبنی ہے۔ یہ نظام کو غیر جانبدار رکھتے ہوئے مثبت پس منظر چارج کے ساتھ N تعامل کرنے والے الیکٹرانوں کو حجم V میں رکھ کر بنایا جاتا ہے۔ اس کے بعد N اور V کو اس انداز میں انفینیٹی پر لے جایا جاتا ہے جو کثافت (ρ = N/V) کو محدود رکھتا ہے۔ یہ ایک مفید تخمینہ ہے کیونکہ کل توانائی صرف حرکی توانائی، الیکٹروسٹیٹک تعامل توانائی اور تبادلے سے متعلق توانائی کی شراکت پر مشتمل ہوتی ہے، اور یہ کہ لہر فنکشن طیاروں کی لہروں کے لحاظ سے قابل اظہار ہے۔ خاص طور پر، مستقل کثافت ρ کے لیے، تبادلے کی توانائی کی کثافت ρ1⁄3 کے متناسب ہوتی ہے۔ ایکسچینج فنکشنل ایچ ای جی کی ایکسچینج انرجی ڈینسٹی کو تجزیاتی طور پر جانا جاتا ہے۔ تبادلے کے لیے ایل ڈی اے اس اظہار کو اس اندازے کے تحت استعمال کرتا ہے کہ ایک ایسے نظام میں جہاں کثافت یکساں نہیں ہے، تبادلے کی توانائی کو ایچ ای جی کے نتائج کو نقطہ نظر سے لاگو کرکے حاصل کیا جاتا ہے، جس سے اظہار ملتا ہے کہ ایچ ای جی کی ارتباط توانائی کے لیے ارتباط فعال تجزیاتی تاثرات لامحدود کمزور اور لامحدود مضبوط ارتباط کے مطابق اعلی اور کم کثافت کی حدود میں دستیاب ہیں۔ کثافت ρ والے HEG کے لیے، ارتباط توانائی کی کثافت کی اعلی کثافت کی حد ہے اور کم حد جہاں وگنر سیٹز پیرامیٹر طول و عرض کے بغیر ہے۔ اس کی تعریف ایک دائرے کے رداس کے طور پر کی گئی ہے جو بالکل ایک الیکٹران پر مشتمل ہے، جسے بوہر رداس سے تقسیم کیا گیا ہے۔ وگنر سیٹز پیرامیٹر کا تعلق کثافت سے ہے کیونکہ کثافت کی مکمل رینج کے لیے ایک تجزیاتی اظہار کئی جسم پرٹربیشن تھیوری کی بنیاد پر تجویز کیا گیا ہے۔ حساب شدہ ارتباط توانائیاں کوانٹم مونٹی کارلو تخروپن کے نتائج سے 2 ملی ہارٹری کے اندر متفق ہیں۔ ایچ ای جی کی توانائی کے لیے درست کوانٹم مونٹی کارلو تخروپن کثافت کی کئی درمیانی اقدار کے لیے انجام دیے گئے ہیں، جس کے نتیجے میں ارتباط توانائی کثافت کی درست اقدار فراہم ہوتی ہیں۔ اسپن پولرائزیشن گھماؤ پولرائزڈ نظاموں میں کثافت کے افعال کی توسیع تبادلے کے لیے سیدھی ہے، جہاں عین مطابق اسپن اسکیلنگ معلوم ہے، لیکن ارتباط کے لیے مزید تخمینوں کو استعمال کرنا ضروری ہے۔ ڈی ایف ٹی میں ایک اسپن پولرائزڈ سسٹم دو اسپن کثافتوں، ρα اور ρβ کو ρ = ρα + ρβ کے ساتھ استعمال کرتا ہے، اور مقامی اسپن کثافت تخمینہ (ایل ایس ڈی اے) کی شکل ہے۔ تبادلے کی توانائی کے لیے، صحیح نتیجہ (نہ صرف مقامی کثافت کے تخمینوں کے لیے) اسپن غیر پولرائزڈ فنکشنل کے لحاظ سے جانا جاتا ہے: ارتباط توانائی کثافت کے اسپن انحصار کو رشتہ دار اسپن پولرائزیشن متعارف کروا کر دیکھا جاتا ہے: برابر اور اسپن کثافت کے ساتھ ڈائیمیگنیٹک اسپن غیر پولرائزڈ صورتحال سے مطابقت رکھتا ہے جبکہ فیرومیگنیٹک صورتحال سے مطابقت رکھتا ہے جہاں ایک اسپن کثافت ختم ہو جاتی ہے۔ کل کثافت اور رشتہ دار پولرائزیشن، εc (ρ، ς) کی دی گئی اقدار کے لیے اسپن ارتباط توانائی کی کثافت اس طرح بنائی گئی ہے کہ انتہائی اقدار کو انٹرپولیٹ کیا جا سکے۔ ایل ڈی اے ارتباط افعال کے ساتھ مل کر کئی شکلیں تیار کی گئی ہیں۔ تبادلے-ارتباط کی صلاحیت مقامی کثافت کے تخمینے کے لیے تبادلے-ارتباط کی توانائی سے مطابقت رکھنے والی تبادلے-ارتباط کی صلاحیت محدود نظاموں میں، ایل ڈی اے کی صلاحیت ایک تیز رفتار شکل کے ساتھ غیر علامتی طور پر ختم ہو جاتی ہے۔ یہ نتیجہ غلطی میں ہے ؛ حقیقی تبادلہ-ارتباط کی صلاحیت کولمبک انداز میں بہت آہستہ کم ہوتی ہے۔ مصنوعی طور پر تیز رفتار انحطاط خود کو کوہن-شام مداروں کی تعداد میں ظاہر کرتا ہے جو ممکنہ طور پر باندھ سکتے ہیں (یعنی کتنے مداروں میں صفر سے کم توانائی ہوتی ہے)۔ ایل ڈی اے پوٹینشل ریڈبرگ سیریز کو سپورٹ نہیں کر سکتا اور وہ ریاستیں جو یہ باندھتی ہیں ان میں توانائی کی مقدار بہت زیادہ ہوتی ہے۔ اس کے نتیجے میں سب سے زیادہ قبضہ شدہ مالیکیولر آربیٹل (HOMO) توانائی توانائی میں بہت زیادہ ہوتی ہے، تاکہ کوپمینز تھیوریم پر مبنی آئنائزیشن پوٹینشل کے لیے کوئی پیش گوئیاں ناقص ہوں۔ مزید برآں، ایل ڈی اے الیکٹران سے بھرپور انواع کی ناقص وضاحت فراہم کرتا ہے جیسے کہ آئن جہاں یہ اکثر اضافی الیکٹران کو باندھنے سے قاصر ہوتا ہے، غلطی سے انواع کو غیر مستحکم ہونے کی پیش گوئی کرتا ہے۔ اسپن پولرائزیشن کے معاملے میں، ایکسچینج-ارتباط کی صلاحیت اسپن انڈیکس حاصل کرتی ہے۔ تاہم، اگر کوئی صرف تبادلے کے ارتباط کے تبادلے کے حصے پر غور کرتا ہے، تو وہ ایک ایسی صلاحیت حاصل کرتا ہے جو اسپن انڈیکس میں اخترن ہے: حوالہ جات کثافت فنکشنل تھیوری