Collinearity
جیومیٹری میں، پوائنٹس کے ایک سیٹ کی کالینیریٹی ایک ہی لائن پر ان کے پڑنے کی خاصیت ہے۔ اس خاصیت کے ساتھ پوائنٹس کے ایک سیٹ کو کالینیئر کہا جاتا ہے (بعض اوقات کالینیئر کے طور پر ہجے کیا جاتا ہے)۔ زیادہ عام طور پر، یہ اصطلاح سیدھی ہوئی اشیاء کے لیے استعمال کی گئی ہے، یعنی چیزیں "لائن میں" یا "قطار میں" ہوتی ہیں۔ کسی بھی جیومیٹری میں، کسی لائن پر پوائنٹس کے سیٹ کو کالینیئر کہا جاتا ہے۔ یوکلڈین جیومیٹری میں اس تعلق کو "سیدھی لکیر" پر قطار میں پڑے پوائنٹس کے ذریعے بدیہی طور پر دیکھا جاتا ہے۔ تاہم، زیادہ تر جیومیٹریز (بشمول یوکلڈین) میں ایک لکیر عام طور پر ایک قدیم (غیر متعین) آبجیکٹ کی قسم ہوتی ہے، اس لیے ضروری نہیں کہ اس طرح کے تصورات مناسب ہوں۔ جیومیٹری کے لیے ایک ماڈل اس بات کی تشریح پیش کرتا ہے کہ پوائنٹس، لائنیں اور دیگر آبجیکٹ کی اقسام ایک دوسرے سے کس طرح متعلق ہیں اور کالینیریٹی جیسے تصور کی تشریح اس ماڈل کے تناظر میں کی جانی چاہیے۔ مثال کے طور پر، کروی ہندسہ میں، جہاں معیاری نمونے میں لکیروں کی نمائندگی دائرے کے بڑے حلقوں کے ذریعے کی جاتی ہے، کالینیئر پوائنٹس کے سیٹ ایک ہی عظیم دائرے پر ہوتے ہیں۔ اس طرح کے نکات یوکلیڈین معنوں میں "سیدھی لکیر" پر نہیں ہوتے ہیں، اور انہیں قطار میں نہیں سمجھا جاتا ہے۔ کسی جیومیٹری کی نقشہ سازی جو لکیروں کو لکیریں بھیجتی ہے اسے کولی نیشن کہا جاتا ہے۔ یہ کولی نیریٹی پراپرٹی کو محفوظ رکھتی ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں کے لکیری نقشے (یا لکیری افعال)، جو ہندسی نقشوں کے طور پر دیکھے جاتے ہیں، لکیروں سے لکیروں کا نقشہ بناتے ہیں۔ یعنی، وہ کالینیئر پوائنٹ سیٹوں کو کالینیئر پوائنٹ سیٹوں کا نقشہ بناتے ہیں اور اسی طرح، کولی نیشن ہوتے ہیں۔ پروجیکٹو جیومیٹری میں ان لکیری نقشوں کو ہوموگرافس کہا جاتا ہے اور یہ صرف ایک قسم کی کولی نیشن ہیں۔ یوکلڈین جیومیٹری میں مثلث کی مثالیں کسی بھی مثلث میں پوائنٹس کے درج ذیل سیٹ کالینیئر ہوتے ہیں: آرتھو سینٹر، سرکم سینٹر، سینٹرائڈ، ایگزیٹر پوائنٹ، ڈی لانگچیمپس پوائنٹ، اور نو نکاتی دائرے کا مرکز کالینیئر ہوتے ہیں، یہ سب ایک لائن پر آتے ہیں جسے یولر لائن کہا جاتا ہے۔ ڈی لانگچیمپس پوائنٹ میں دیگر کالینیریٹیز بھی ہیں۔ کوئی بھی ورٹیکس، ایک ایکسرکل کے ساتھ مخالف جانب کی ٹینجینسی، اور ناگیل پوائنٹ ایک لکیر میں کالینیئر ہوتے ہیں جسے مثلث کا اسپلٹر کہا جاتا ہے۔ کسی بھی طرف کا وسط نقطہ، وہ نقطہ جو مثلث کی حد کے ساتھ دونوں سمتوں میں اس سے مساوی فاصلہ رکھتا ہے (لہذا یہ دونوں نکات دائرے کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہیں)، اور سپیکر دائرے کا مرکز ایک لکیر میں کالینیئر ہوتا ہے جسے مثلث کا کلیئر کہا جاتا ہے۔ (سپیکر دائرہ درمیانی مثلث کا اندرونی دائرہ ہے، اور اس کا مرکز مثلث کے دائرے کی کمیت کا مرکز ہے۔) کوئی بھی ورٹیکس، اندرونی دائرے کے ساتھ مخالف سمت کی ٹینجینسی، اور جرگون پوائنٹ کالینیئر ہوتے ہیں۔ مثلث کے دائرے کے کسی بھی نقطہ سے، مثلث کے تین توسیعی اطراف میں سے ہر ایک پر قریب ترین نکات دائرے پر موجود نقطہ کی سمسن لائن میں کالینیئر ہوتے ہیں۔ اونچائی کے پاؤں کو جوڑنے والی لکیریں مخالف اطراف کو کالینیئر پوائنٹس پر کاٹتی ہیں۔ مثلث کا محرک، اونچائی کا وسط نقطہ، اور اس طرف کے نسبت محوری دائرے کے ساتھ متعلقہ طرف کا رابطہ نقطہ کالینیئر ہوتے ہیں۔ مینیلاؤس تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ مثلث کے مخالف عمودی اطراف (کچھ توسیعی) پر تین نکات بالترتیب کالینیئر ہوں گے اگر اور صرف اس صورت میں جب حصے کی لمبائی کے درج ذیل پروڈکٹ برابر ہوں: انسینٹر، سینٹرائڈ، اور سپیکر سرکل کا مرکز کالینیئر ہوں۔ دائرے کا مرکز، بروکارڈ مڈ پوائنٹ، اور مثلث کا لیموائن پوائنٹ کالینیئر ہوتے ہیں۔ مثلث کے آرتھو سینٹر پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہوئی دو عمودی لکیریں مثلث کے توسیعی اطراف میں سے ہر ایک کو کاٹتی ہیں۔ چوراہے کے ان نکات کے تینوں اطراف کے مڈپوائنٹس ڈروز-فرننی لائن میں کالینیئر ہیں۔ کواڈری لیٹرل ایک کنویکس کواڈری لیٹرل میں جس کے مخالف اطراف ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں اور، کے وسط نکات کالینیئر ہوتے ہیں اور ان میں سے گزرنے والی لکیر کو نیوٹن لائن کہا جاتا ہے (بعض اوقات نیوٹن-گاؤس لائن کے نام سے بھی جانا جاتا ہے)۔ اگر کواڈری لیٹرل ایک ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل ہے، تو اس کا انسینٹر بھی اسی لائن پر ہے۔ کنویکس کواڈریلیٹرل میں، کواسی آرتھوسینٹر، "ایریا سینٹرائڈ"، اور کواسی سرکمسینٹر اس ترتیب میں کالینیئر ہوتے ہیں، اور۔ (دیکھیں Quadrilateral#Remarkable نکات اور لکیریں کنویکس کواڈریلیٹرل میں۔) ٹینجینشیل کواڈریلیٹرل کی دیگر کالینیریٹیز ٹینجینشیل quadrilateral#Collinear پوائنٹس میں دی گئی ہیں۔ ایک چکور چوطرفہ میں، سرکم سینٹر، ورٹیکس سینٹرائڈ (دو بائیمیڈینس کا چوراہا)، اور اینٹی سینٹر کالینیئر ہوتے ہیں۔ ایک چکور چوطرفہ میں، ایریا سینٹرائڈ، ورٹیکس سینٹرائڈ، اور ڈائیگنلز کا چوراہا کالینیئر ہوتا ہے۔ ٹینجینشیل ٹریپیزائڈ میں، دونوں اڈوں کے ساتھ اندرونی دائرے کی ٹینجینسی انسینٹر کے ساتھ کالینیئر ہوتی ہیں۔ ٹینجینشیل ٹریپیزائڈ میں، ٹانگوں کے درمیانی نکات انسینٹر کے ساتھ ملحقہ ہوتے ہیں۔ ہیکساگونز پاسکل تھیوریم (جسے ہیکسگرامم مسٹیکم تھیوریم بھی کہا جاتا ہے) میں کہا گیا ہے کہ اگر ایک صوابدیدی چھ پوائنٹس کو کونک سیکشن (یعنی ایلیپس، پیرابولہ یا ہائپربولا) پر منتخب کیا جائے اور کسی بھی ترتیب میں لائن کے حصوں سے مل کر ہیکساگون تشکیل دیا جائے تو ہیکساگون کے مخالف اطراف کے تین جوڑے (اگر ضروری ہو تو توسیع شدہ) تین پوائنٹس میں ملتے ہیں جو سیدھی لائن پر ہوتے ہیں، جسے ہیکساگون کی پاسکل لائن کہا جاتا ہے۔ اس کے برعکس بھی درست ہے: بریکینریج-میکلورین تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر مسدس کے مخالف اطراف سے گزرنے والی لائنوں کے تین جوڑوں کے تین چوراہے ایک لکیر پر پڑے ہیں، تو مسدس کے چھ عمودی کونک پر پڑے ہیں، جو پاپس کے مسدس تھیوریم کی طرح انحطاط پذیر ہو سکتے ہیں۔ کونک سیکشنز مونگے کے نظریہ کے مطابق، ایک سطح کے کسی بھی تین حلقوں کے لیے، جن میں سے کوئی بھی مکمل طور پر دوسرے میں سے کسی ایک کے اندر نہیں ہے، تین جوڑی لائنوں کے تین انٹرسیکشن پوائنٹس، ہر ایک بیرونی طور پر دو حلقوں سے متصل، کالینیئر ہوتے ہیں۔ ایک ایلیپس میں، مرکز، دو فوکیز، اور منحنی خطوط کے سب سے چھوٹے رداس والے دو عمودی حصے کالینیئر ہوتے ہیں، اور مرکز اور منحنی خطوط کے سب سے بڑے رداس والے دو عمودی حصے کالینیئر ہوتے ہیں۔ ہائپربولا میں، مرکز، دو فوکیز، اور دو عمودی کالینیئر ہوتے ہیں۔ شنک یکساں کثافت والے مخروطی ٹھوس کی کمیت کا مرکز بیس کے مرکز سے ورٹیکس تک کے راستے کا ایک چوتھائی حصہ، دونوں کو ملانے والی سیدھی لکیر پر واقع ہوتا ہے۔ ٹیٹراہیڈرون ٹیٹراہیڈرون کا سنٹرائڈ اس کے مونگے پوائنٹ اور سرکم سینٹر کے درمیان کا درمیانی نقطہ ہوتا ہے۔ یہ نکات ٹیٹرا ہیڈرون کی یولر لائن کی وضاحت کرتے ہیں جو مثلث کی یولر لائن سے مشابہت رکھتی ہے۔ ٹیٹرا ہیڈرون کے بارہ نکاتی دائرے کا مرکز بھی اویلر لائن پر واقع ہے۔ کوآرڈینیٹ جیومیٹری میں، جہتی خلا میں، تین یا اس سے زیادہ الگ الگ پوائنٹس کا ایک مجموعہ کولینیئر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان ویکٹروں کے کوآرڈینیٹس کا میٹرکس رینک 1 یا اس سے کم کا ہو۔ مثال کے طور پر، تین پوائنٹس دیے گئے ہیں اگر میٹرکس رینک 1 یا اس سے کم کا ہے، تو پوائنٹس کالینیئر ہیں۔ مساوی طور پر، کے ہر ذیلی سیٹ کے لیے، اگر میٹرکس رینک 2 یا اس سے کم کا ہے، تو پوائنٹس کالینیئر ہیں۔ خاص طور پر، طیارہ () میں تین نکات کے لیے، مندرجہ بالا میٹرکس مربع ہوتا ہے اور پوائنٹس کالینیئر ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا تعین کنندہ صفر ہو۔ چونکہ یہ 3 × 3 تعین کنندہ مثلث کے رقبے سے دوگنا زیادہ یا منفی ہوتا ہے اور ان تین نکات کو عمودی طور پر، یہ اس بیان کے مساوی ہے کہ تین پوائنٹس کالینیئر ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان نکات کے ساتھ مثلث کا رقبہ صفر ہو۔ کم از کم تین الگ الگ پوائنٹس کے سیٹ کو سیدھا کہا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ تمام پوائنٹس کالینیئر ہیں، اگر اور صرف اس صورت میں جب، ان میں سے ہر تین پوائنٹس کے لیے، کیلی-مینجر ڈیٹرمیننٹ کا درج ذیل ڈیٹرمیننٹ صفر ہو (جس کے معنی اور، وغیرہ کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ ): یہ تعین کنندہ، ہیرون کے فارمولے کے مطابق، طرف کی لمبائی کے ساتھ مثلث کے رقبے کے مربع کے −16 گنا کے برابر ہے۔ اس لیے یہ جانچنا کہ آیا یہ تعین کنندہ صفر کے برابر ہے، یہ جانچنے کے برابر ہے کہ آیا عمودی مثلث کا رقبہ صفر ہے (اس لیے عمودی حصے کالینیئر ہیں)۔ مساوی طور پر، کم از کم تین الگ الگ نکات کا مجموعہ کالینیئر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، ان میں سے ہر تین نکات کے لیے جن میں سے ہر ایک سے بڑا یا برابر ہو، مثلث کی عدم مساوات مساوات کے ساتھ برقرار رہے۔ نمبر تھیوری دو اعداد اور کوپرائم نہیں ہیں-یعنی، وہ 1 کے علاوہ ایک مشترکہ عنصر کا اشتراک کرتے ہیں-اگر اور صرف اس صورت میں جب عمودی طور پر مربع جالی پر پلاٹ کیے گئے مستطیل کے لیے، کم از کم ایک اندرونی نقطہ اور کے ساتھ کالینیئر ہو۔ ہم آہنگی (طیارہ دوہری) مختلف طیارہ جیومیٹریز میں ان کے درمیان تعلقات کو برقرار رکھتے ہوئے "پوائنٹس" اور "لائنوں" کے کرداروں کو تبدیل کرنے کے تصور کو طیارہ دوہری کہا جاتا ہے۔ کالینیئر پوائنٹس کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے، پلین ڈوئلٹی کے ذریعے ہم لائنوں کا ایک سیٹ حاصل کرتے ہیں جو سبھی ایک مشترکہ پوائنٹ پر ملتے ہیں۔ لائنوں کے اس سیٹ کی خاصیت (ایک مشترکہ نقطہ پر ملنے) کو کنکرنسی کہا جاتا ہے، اور لائنوں کو ہم آہنگی والی لائنیں کہا جاتا ہے۔ اس طرح، ہم آہنگی یک جہتی کا طیارہ دوہری تصور ہے۔ کالینیریٹی گراف ایک جزوی جیومیٹری دی گئی ہے، جہاں دو پوائنٹس زیادہ سے زیادہ ایک لائن کا تعین کرتے ہیں، کا کالینیریٹی گراف ایک گراف ہے جس کے عمودی پوائنٹس ہیں، جہاں دو عمودی ملحقہ ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ ایک لائن کا تعین کریں۔ اعداد و شمار اور اکانومیٹرکس میں استعمال اعداد و شمار میں، کالینیریٹی سے مراد دو وضاحتی متغیرات کے درمیان لکیری تعلق ہے۔ اگر دونوں کے درمیان قطعی لکیری تعلق ہو تو دو متغیرات بالکل کالینیئر ہوتے ہیں، اس لیے ان کے درمیان ارتباط 1 یا-1 کے برابر ہوتا ہے۔ یعنی، اور بالکل کالینیئر ہیں اگر کوئی پیرامیٹرز موجود ہیں اور اس طرح کہ، تمام مشاہدات کے لیے، ہمارے پاس ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر مختلف مشاہدات کو سطح میں پلاٹ کیا گیا ہے، تو یہ نکات اس مضمون میں پہلے بیان کردہ معنی میں کالینیئر ہیں۔ کامل ملٹی کالینیریٹی سے مراد ایسی صورتحال ہے جس میں تمام مشاہدات کے مطابق، ایک سے زیادہ رجعت ماڈل میں وضاحتی متغیرات بالکل لکیری طور پر متعلق ہیں۔ عملی طور پر، ہم شاذ و نادر ہی ڈیٹا سیٹ میں کامل ملٹی کالینیریٹی کا سامنا کرتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، ملٹی کالینیریٹی کا مسئلہ اس وقت پیدا ہوتا ہے جب دو یا زیادہ آزاد متغیرات کے درمیان "مضبوط لکیری تعلق" ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ جہاں کا تغیر نسبتا چھوٹا ہوتا ہے۔ لیٹرل کالینیریٹی کا تصور اس روایتی نقطہ نظر پر پھیلتا ہے، اور وضاحتی اور معیار (یعنی، وضاحت شدہ) متغیرات کے درمیان کالینیریٹی سے مراد ہے۔ دیگر علاقوں میں استعمال اینٹینا صفوں ٹیلی مواصلات میں، ایک کالینیئر (یا شریک لکیری) اینٹینا صف ڈائپول اینٹینا کی ایک صف ہے جو اس انداز میں نصب ہوتی ہے کہ ہر اینٹینا کے متعلقہ عناصر متوازی اور سیدھے ہوتے ہیں، یعنی وہ ایک مشترکہ لکیر یا محور کے ساتھ واقع ہوتے ہیں۔ کالینیریٹی مساوات دو مساوات کا ایک مجموعہ ہے، جو فوٹوگرامٹری اور کمپیوٹر سٹیریو وژن میں استعمال ہوتا ہے، جو کسی امیج (سینسر) کے سطح (دو جہتوں میں) میں نقاط کو آبجیکٹ نقاط (تین جہتوں میں) سے جوڑتا ہے۔ فوٹو گرافی کی ترتیب میں، مساوات کیمرے کے نظری مرکز کے ذریعے شے کے ایک نقطہ کے مرکزی پروجیکشن کو امیج (سینسر) طیارہ میں تصویر پر غور کرکے اخذ کی جاتی ہیں۔ تین نکات، آبجیکٹ پوائنٹ، امیج پوائنٹ اور آپٹیکل سینٹر، ہمیشہ کالینیئر ہوتے ہیں۔ یہ کہنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ آبجیکٹ پوائنٹس کو ان کے امیج پوائنٹس کے ساتھ جوڑنے والے لائن سیگمنٹ آپٹیکل سینٹر میں ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ پیپس کا ہیکساگون تھیوریم نمبر تھری ان لائن مسئلہ واقع (جیومیٹری) #Collinearity کوپلانیریٹی نوٹس حوالہ جات واقع جیومیٹری بھی دیکھیں۔