Gelfand pair
ریاضی میں، گیلفینڈ جوڑا ایک جوڑا (G، K) ہے جو گروپ G اور ذیلی گروپ K (جسے G کا اویلر ذیلی گروپ کہا جاتا ہے) پر مشتمل ہوتا ہے جو محدود نمائندگی پر کسی خاص خاصیت کو مطمئن کرتا ہے۔ گیلفینڈ جوڑوں کا نظریہ خصوصی افعال کے کلاسیکی نظریہ میں کروی افعال کے موضوع اور تفریقی جیومیٹری میں ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کے نظریہ سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ وسیع پیمانے پر، نظریہ ہارمونک تجزیہ اور نمائندگی کے نظریہ کے لحاظ سے ان نظریات سے ان کے مواد کو خلاصہ کرنے کے لیے موجود ہے۔ جب G ایک محدود گروپ ہوتا ہے تو سب سے آسان تعریف، تقریبا بولتے ہوئے، یہ ہے کہ (K، K)-ڈبل کاسیٹ G کمیوٹ میں ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، ہیک الجبرا، G پر افعال کا الجبرا جو کہ K کے ذریعے دونوں طرف ترجمہ کے تحت غیر متغیر ہے، G پر ارتقاء کے لیے متغیر ہونا چاہیے۔ عام طور پر، گیلفینڈ جوڑے کی تعریف تقریبا یہ ہے کہ G کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی کی K پر پابندی 1 سے زیادہ ضرب کے ساتھ K کی معمولی نمائندگی پر مشتمل ہے۔ ہر معاملے میں کسی کو سمجھی جانے والی نمائندگی کی کلاس اور اس کے معنی کی وضاحت کرنی چاہیے۔ تعریفیں ہر علاقے میں، نمائندگی کی کلاس اور نمائندگی کے لیے کنٹینمنٹ کی تعریف قدرے مختلف ہے۔ اس طرح کے کئی معاملات میں واضح تعریفیں یہاں دی گئی ہیں۔ محدود گروپ کیس جب G ایک محدود گروپ ہوتا ہے تو درج ذیل مساوی ہوتے ہیں (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہوتا ہے۔ ارتقاء کے ذریعے بیان کردہ ضرب کے ساتھ G پر (K، K)-ڈبل غیر متغیر افعال کا الجبرا تبادلہ ہے۔ G کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی π کے لیے، π میں K-غیر متغیر ویکٹروں کی جگہ πK 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ G کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی π کے لیے، HomK (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے، جہاں C معمولی نمائندگی کو ظاہر کرتا ہے۔ K کے کوسیٹس پر G کی تعدد کی نمائندگی ضرب سے پاک ہے، یعنی یہ خصوصیت صفر میں الگ بالکل ناقابل تلافی نمائندگی کے براہ راست مجموعے میں تحلیل ہو جاتی ہے۔ ترتیب کی نمائندگی کا سنٹرلائزر الجبرا (شور الجبرا) تبادلہ ہے۔ (G/N، K/N) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے، جہاں N G کا ایک عام ذیلی گروپ ہے جو K میں موجود ہے۔ کمپیکٹ گروپ کیس جب G ایک کمپیکٹ ٹوپولوجیکل گروپ ہے تو درج ذیل مساوی ہیں: (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ (K، K)-ڈبل غیر متغیر کا الجبرہ G پر کمپیکٹلی سپورٹڈ مسلسل اقدامات کے ساتھ ضرب کے ساتھ ارتقاء کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل، مقامی طور پر کنویکس، ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے، π میں K-غیر متغیر ویکٹرز کی جگہ πK 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل، مقامی طور پر کنویکس، ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے ہوم کے (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ G کی نمائندگی L2 (G/K) ضرب سے پاک ہے یعنی۔ یہ الگ الگ یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی کا براہ راست مجموعہ ہے۔ جب G ایک لائ گروپ ہے اور K ایک کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے تو درج ذیل مساوی ہیں: (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ (K، K)-ڈبل غیر متغیر کا الجبرہ G پر کمپیکٹلی سپورٹڈ مسلسل اقدامات کے ساتھ ضرب کے ساتھ ارتقاء کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ G/K پر K-غیر متغیر تفریق آپریٹرز کا الجبرا D (G/K) K تبادلہ ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل، مقامی طور پر کنویکس، ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے، π میں K-غیر متغیر ویکٹرز کی جگہ πK 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل، مقامی طور پر کنویکس، ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے ہوم کے (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ G کی نمائندگی L2 (G/K) ضرب سے پاک ہے یعنی۔ یہ الگ الگ یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی کا ایک براہ راست لازمی جزو ہے۔ اس طرح کے گیلفینڈ جوڑوں کی درجہ بندی کے لیے دیکھیں۔ اس طرح کے گیلفینڈ جوڑوں کی کلاسیکی مثالیں (G، K) ہیں، جہاں G ایک تخفیف لائ گروپ ہے اور K ایک زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ کمپیکٹ ذیلی گروپ کے ساتھ مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپولوجیکل گروپ جب G مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپولوجیکل گروپ ہے اور K ایک کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے تو درج ذیل مساوی ہیں: (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ (K، K)-ڈبل غیر متغیر کا الجبرہ G پر کمپیکٹلی سپورٹڈ مسلسل اقدامات کے ساتھ ضرب کے ساتھ ارتقاء کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل مقامی طور پر متغیر ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے، π میں K-غیر متغیر ویکٹرز کی جگہ πK 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ G کی کسی بھی مسلسل، مقامی طور پر کنویکس، ناقابل کٹوتی نمائندگی π کے لیے، HomK (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ G کی نمائندگی L2 (G/K) ضرب سے پاک ہے یعنی۔ یہ الگ الگ یکطرفہ ناقابل تلافی نمائندگی کا ایک براہ راست لازمی جزو ہے۔ اس ترتیب میں، جی میں ایک ایواساوا-مونوڈ سڑنا ہے، یعنی جی کے کچھ قابل قابل ذیلی گروپ پی کے لیے جی = کے پی۔ یہ نیم سادہ لائ گروپوں کے ایواساوا سڑنے کا تجریدی ینالاگ ہے۔ بند ذیلی گروپ کے ساتھ جھوٹ گروپ جب G ایک جھوٹ گروپ ہوتا ہے اور K ایک بند ذیلی گروپ ہوتا ہے، تو اس جوڑے (G، K) کو عمومی گیلفینڈ جوڑا کہا جاتا ہے اگر ہلبرٹ اسپیس پر G کی کسی بھی ناقابل تلافی یکطرفہ نمائندگی π کے لیے ہوم کے (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہو، جہاں π ν ہموار ویکٹر کی ذیلی نمائندگی کو ظاہر کرتا ہے۔ بند ذیلی گروپ کے ساتھ مقامی فیلڈ پر تخفیف گروپ جب G کسی مقامی فیلڈ پر تخفیف گروپ ہوتا ہے اور K ایک بند ذیلی گروپ ہوتا ہے، تو ادب میں گیلفینڈ جوڑی کے تین (ممکنہ طور پر غیر مساوی) تصورات ظاہر ہوتے ہیں۔ ہم انہیں یہاں جی پی 1، جی پی 2، اور جی پی 3 کہیں گے۔ جی پی 1) جی کی کسی بھی ناقابل تلافی قابل قبول نمائندگی π کے لیے ہوم کے (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ جی پی 2) جی کی کسی بھی ناقابل تلافی قابل قبول نمائندگی π کے لیے ہمارے پاس ہے، جہاں ہموار دوہری کو ظاہر کرتا ہے۔ جی پی 3) ہلبرٹ اسپیس پر جی کی کسی بھی ناقابل تلافی یک جہتی نمائندگی کے لیے ہوم کے (π، C) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہوتا ہے۔ یہاں، قابل قبول نمائندگی قابل قبول نمائندگی کا معمول کا تصور ہے جب مقامی میدان غیر آرکیمیڈین ہو۔ جب مقامی میدان آرکیمیڈین ہوتا ہے، تو اس کے بجائے قابل قبول نمائندگی کا مطلب اعتدال پسند ترقی کی ہموار فریشیٹ نمائندگی ہے جیسے کہ متعلقہ ہریش-چندر ماڈیول قابل قبول ہو۔ اگر لوکل فیلڈ آرکیمیڈین ہے، تو جی پی 3 وہی ہے جو پچھلے معاملے میں بیان کردہ جنرلائزڈ گیلفینڈ پراپرٹی ہے۔ واضح طور پر، جی پی 1 این ڈی جی پی 2 این ڈی جی پی 3۔ مضبوط گیلفینڈ جوڑے ایک جوڑے (G، K) کو مضبوط گیلفینڈ جوڑا کہا جاتا ہے اگر جوڑا (G × K، αK) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے، جہاں αK ≤ G × K اخترن ذیلی گروہ ہے: {(k, k) G × K میں: k in K}۔ بعض اوقات، اس خاصیت کو ضرب ایک خاصیت بھی کہا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا معاملات میں سے ہر ایک میں مضبوط گیلفینڈ جوڑوں کے مطابق ڈھال لیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، G کو ایک محدود گروپ ہونے دیں۔ پھر درج ذیل مساوی ہیں۔ (جی، کے) ایک مضبوط گیلفینڈ جوڑی ہے۔ G غیر متغیر پر افعال کا الجبرا K کے ذریعے کنجگیشن کے حوالے سے (کنولوشن کے ذریعے بیان کردہ ضرب کے ساتھ) تبادلہ ہے۔ G کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی π اور K کی τ کے لیے، خلا HomK (τ، π) 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ G کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی π اور K کی τ کے لیے، خلا HomK (π، τ) 1 جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ گیلفینڈ پراپرٹی کے لیے معیار کمپیکٹ ذیلی گروپ کے ساتھ مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپوولوجیکل گروپ اس معاملے میں گیلفینڈ کی وجہ سے جوڑی (G، K) کے لیے گیلفینڈ ہونے کا ایک کلاسیکی معیار ہے: فرض کریں کہ G st کا ایک غیر متزلزل اینٹی آٹومورفزم σ موجود ہے۔ کوئی بھی (K، K) ڈبل کوسیٹ σ غیر متغیر ہے۔ پھر جوڑا (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ یہ معیار مندرجہ ذیل کے مساوی ہے: فرض کریں کہ G کا ایک غیر متزلزل اینٹی آٹومورفزم σ اس طرح موجود ہے کہ G پر کوئی بھی فنکشن جو K کے دائیں اور بائیں دونوں ترجمے کے حوالے سے غیر متغیر ہے، σ غیر متغیر ہے۔ پھر جوڑا (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ بند ذیلی گروپ کے ساتھ مقامی فیلڈ پر تخفیف گروپ اس معاملے میں جی پی 2 کو مطمئن کرنے کے لیے جوڑی (جی، کے) کے لیے گیلفینڈ اور کزدان کی وجہ سے ایک معیار ہے۔ فرض کریں کہ G کا ایک غیر متغیر اینٹی آٹومورفزم σ اس طرح موجود ہے کہ G پر کوئی بھی (K، K)-ڈبل غیر متغیر تقسیم σ-غیر متغیر ہے۔ پھر جوڑا (جی، کے) جی پی 2 کو مطمئن کرتا ہے۔ دیکھ لیں۔ اگر مذکورہ بالا بیان صرف مثبت قطعی تقسیم کے لیے ہے تو یہ جوڑا جی پی 3 کو مطمئن کرتا ہے (اگلا کیس دیکھیں)۔ خاصیت جی پی 1 اکثر جی پی 2 سے پیروی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ اس صورت میں ہوتا ہے جب G کا کوئی غیر متزلزل اینٹی آٹومورفزم موجود ہو جو K کو محفوظ رکھتا ہے اور ہر بند کنجوگیسی کلاس کو محفوظ رکھتا ہے۔ G = GL (n) کے لیے منتقلی اس طرح کے ارتقاء کے طور پر کام کر سکتی ہے۔ بند ذیلی گروپ کے ساتھ گروپ جھوٹ بولیں اس صورت میں جوڑی (G، K) کے لیے درج ذیل معیار ہے کہ اسے گیلفینڈ جوڑی کے طور پر عام کیا جائے۔ فرض کریں کہ جی ایس ٹی کا ایک غیر فعال اینٹی آٹومورفزم σ موجود ہے۔ G پر کوئی بھی K × K غیر متغیر مثبت قطعی تقسیم σ-غیر متغیر ہے۔ پھر جوڑا (G، K) ایک عام گیلفینڈ جوڑا ہے۔ دیکھ لیں۔ مضبوط گیلفینڈ پراپرٹی کے لیے معیار مندرجہ بالا تمام معیارات کو مضبوط گیلفینڈ جوڑوں کے لیے معیار میں تبدیل کیا جا سکتا ہے جس میں K × K کے دو طرفہ عمل کو K کے کنجگیشن ایکشن سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ٹوسٹڈ گیلفینڈ جوڑے گیلفینڈ جوڑے کے تصور کی عمومی شکل ٹوسٹڈ گیلفینڈ جوڑے کا تصور ہے۔ یعنی ایک جوڑی (G، K) کو گروپ K کے کردار χ کے حوالے سے ٹوسٹڈ گیلفینڈ جوڑی کہا جاتا ہے، اگر گیلفینڈ پراپرٹی صحیح ثابت ہوتی ہے جب معمولی نمائندگی کو کردار χ سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب K کمپیکٹ ہوتا ہے تو اس کا مطلب ہے کہ HomK (π، χ) کا طول و عرض 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ کوئی بھی گیلفینڈ جوڑوں کے لیے معیار کو مڑے ہوئے گیلفینڈ جوڑوں کے معاملے میں ڈھال سکتا ہے۔ سمیٹرک جوڑے گیلفینڈ کی خاصیت اکثر سمیٹرک جوڑوں سے مطمئن ہوتی ہے۔ ایک جوڑے (G، K) کو سمیٹرک جوڑا کہا جاتا ہے اگر G کی غیر متغیر آٹومورفزم θ اس طرح موجود ہو کہ K، θ-غیر متغیر عناصر کے گروپ کے منسلک اجزاء کا اتحاد ہے: Gθ۔ اگر G R پر جڑا ہوا تخفیف گروپ ہے اور K = Gθ ایک کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے تو (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ مثال: G = GL (n، R) اور K = O (n، R)، آرتھوگنل میٹرکس کا ذیلی گروپ۔ عام طور پر، یہ ایک دلچسپ سوال ہوتا ہے جب کسی مقامی فیلڈ پر کسی تخفیف گروپ کی ہم آہنگی والی جوڑی میں گیلفینڈ پراپرٹی ہوتی ہے۔ درجہ اول کے سمیٹرک جوڑوں کے لیے اس سوال کی تحقیقات کی گئی اور اعلی درجہ کے گیلفینڈ سمیٹرک جوڑے کی ایک مثال (GL (n + k)، GL (n) × GL (k)) ہے۔ یہ غیر آرکیمیڈین مقامی شعبوں میں اور بعد میں خصوصیت صفر کے تمام مقامی شعبوں میں ثابت ہوا۔ اعلی درجے کے سمیٹرک جوڑوں کے لیے اس سوال پر مزید تفصیلات کے لیے دیکھیں۔ گول جوڑے الجبرائی گروہوں کے تناظر میں گیلفینڈ جوڑوں کے اینالاگس کو گول جوڑا کہا جاتا ہے۔ یعنی الجبرائی گروپوں کے جوڑے (G، K) کو گول جوڑا کہا جاتا ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک مساوی شرط برقرار رہے۔ G میں ایک کھلا (B، K)-ڈبل کاسیٹ موجود ہے، جہاں B G کا بوریل ذیلی گروپ ہے۔ G میں (B، K)-ڈبل کاسیٹ کی ایک محدود تعداد ہے۔ G کی کسی بھی الجبرائی نمائندگی کے لیے، ہمارے پاس مدھم ہے۔ اس صورت میں خلا G/H کو کروی خلا کہا جاتا ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ مقامی فیلڈ پر کوئی بھی کروی جوڑا (G، K) گیلفینڈ پراپرٹی کے درج ذیل کمزور ورژن کو مطمئن کرتا ہے: G کی کسی بھی قابل قبول نمائندگی π کے لیے، اسپیس HomK (π، C) محدود جہتی ہے۔ مزید برآں، اس طول و عرض کی حد کا انحصار π پر نہیں ہے۔ یہ قیاس تمام ہم آہنگ جوڑوں سمیت گول جوڑوں کی ایک بڑی کلاس کے لیے ثابت ہوتا ہے۔ ایپلی کیشنز کی درجہ بندی گیلفینڈ جوڑے اکثر درج ذیل طریقے سے ناقابل تلافی نمائندگی کی درجہ بندی کے لیے استعمال ہوتے ہیں: (G، K) کو گیلفینڈ جوڑا ہونے دیں۔ اگر ہوم کے (π، سی) 1 جہتی ہے تو جی کی ایک ناقابل تلافی نمائندگی جسے کے-ممتاز کہا جاتا ہے۔ نمائندگی انڈ (سی) تمام کے-ممتاز نمائندگی کے لیے ایک نمونہ ہے یعنی۔ کوئی بھی K-ممتاز نمائندگی وہاں کثرت کے ساتھ بالکل 1 ظاہر ہوتی ہے۔ مڑے ہوئے گیلفینڈ جوڑوں کے لیے بھی ایسا ہی تصور موجود ہے۔ مثال: اگر G کسی مقامی فیلڈ پر ایک تخفیف گروپ ہے اور K اس کا زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے، تو K ممتاز نمائندگی کو کروی کہا جاتا ہے، اس طرح کی نمائندگی کو ساٹیک خط و کتابت کے ذریعے درجہ بندی کیا جا سکتا ہے۔ کروی نمائندگی کا تصور ہریش چندر ماڈیول کے تصور کی بنیاد پر ہے۔ مثال: اگر G کسی مقامی فیلڈ پر تقسیم شدہ تخفیف گروپ ہے اور K اس کا زیادہ سے زیادہ یک صلاحیت والا ذیلی گروپ ہے تو جوڑا (G، K) موڑ دیا گیا گیلفینڈ جوڑا ڈبلیو آر ٹی ہے۔ کوئی بھی غیر انحطاطی کردار si (دیکھیں،)۔ اس صورت میں K-ممتاز نمائندگی کو عام (یا غیر انحطاط) کہا جاتا ہے اور ان کی درجہ بندی کرنا آسان ہے۔ تقریبا کوئی بھی ناقابل تلافی نمائندگی عام ہے۔ انڈ (si) میں عام نمائندگی کی منفرد (اسکیلر تک) امبیڈنگ کو وائٹیکر ماڈل کہا جاتا ہے۔ G = GL (n) کے معاملے میں مندرجہ بالا نتیجہ کا ایک بہتر ورژن موجود ہے، یعنی ذیلی گروپس کی اور حروف ایس ٹی کی ایک محدود ترتیب موجود ہے۔ (جی، کی) ٹوسٹڈ گیلفینڈ جوڑی ڈبلیو آر ٹی ہے۔ اور کسی بھی ناقابل تلافی یکطرفہ نمائندگی کو بالکل ایک i (دیکھیں،) گیلفینڈ-زیٹلن کی تعمیر کے لیے ممتاز کیا جاتا ہے۔ کوئی بھی ناقابل تلافی نمائندگی کے لیے اڈوں کی تعمیر کے لیے گیلفینڈ کے جوڑوں کا بھی استعمال کر سکتا ہے: فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک ترتیب ہے۔ (جی آئی، جی آئی-1) ایک مضبوط گیلفینڈ جوڑی ہے۔ سادگی کے لیے فرض کریں کہ جی این کمپیکٹ ہے۔ پھر یہ Gn کی کسی بھی ناقابل تلافی نمائندگی سے ایک جہتی ذیلی نمائندگی کا کینونکل سڑنا دیتا ہے۔ جب Gn = U (n) (یکطرفہ گروپ) اس ساخت کو گیلفینڈ زیٹلن بیس کہتے ہیں۔ چونکہ U (n) کی نمائندگی GL (n) کی الجبرائی نمائندگی جیسی ہی ہے اس لیے ہم GL (n) کی کسی بھی الجبرائی ناقابل تلافی نمائندگی کی بنیاد بھی حاصل کرتے ہیں۔ تاہم کسی کو اس بات سے آگاہ ہونا چاہیے کہ تعمیر شدہ بنیاد کینونکل نہیں ہے کیونکہ یہ ایمبیڈنگز U (i) U (i + 1) کے انتخاب پر منحصر ہے۔ آٹومورفک شکلوں کے ادوار کی تقسیم گیلفینڈ جوڑوں کا ایک حالیہ استعمال آٹومورفک شکلوں کے ادوار کی تقسیم کے لیے ہے۔ فرض کریں کہ G ایک تخفیف گروپ ہے جس کی تعریف عالمی فیلڈ F پر کی گئی ہے اور K کو G کا الجبرائی ذیلی گروپ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ F کی کسی بھی جگہ کے لیے جوڑا (G، K) تکمیل کے بعد ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ فرض کریں کہ m G پر ایک آٹومورفک شکل ہے، پھر اس کا H-پیریڈ مقامی عوامل کی پیداوار کے طور پر تقسیم ہوتا ہے (یعنی۔ وہ عوامل جو صرف ہر جگہ پر m کے رویے پر منحصر ہوتے ہیں)۔ اب فرض کریں کہ ہمیں ایک پیچیدہ پیرامیٹر s کے ساتھ آٹومورفک شکلوں کا ایک خاندان دیا گیا ہے۔ پھر ان شکلوں کی مدت ایک تجزیاتی فنکشن ہے جو مقامی عوامل کے پروڈکٹ میں تقسیم ہوتی ہے۔ اکثر اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ فنکشن ایک مخصوص L-فنکشن ہے اور یہ اس L-فنکشن کے لیے ایک تجزیاتی تسلسل اور فنکشنل مساوات دیتا ہے۔ تبصرہ: عام طور پر وہ ادوار یکجا نہیں ہوتے ہیں اور انہیں باقاعدہ بنانا چاہیے۔ نمائندگی کے نظریہ کی عمومی کاری نمائندگی کے نظریہ کے لیے ایک ممکنہ نقطہ نظر یہ ہے کہ گروپ جی کے نمائندگی کے نظریہ کو گروپ جی ڈبلیو آر ٹی پر ہم آہنگ تجزیہ کے طور پر سمجھا جائے۔ G × G کا دو طرفہ عمل۔ درحقیقت، G کی تمام ناقابل کٹوتی نمائندگی کو جاننا G × G نمائندگی کے طور پر G پر افعال کی جگہ کے سڑنے کو جاننے کے مترادف ہے۔ اس نقطہ نظر میں نمائندگی کے نظریہ کو جوڑے (G × G، G) کو کسی بھی کروی جوڑے (G، K) سے تبدیل کر کے عام کیا جا سکتا ہے۔ پھر ہمیں خلا G/K پر ہارمونک تجزیہ کے سوال کی طرف لے جایا جائے گا۔ جی کا عمل۔ اب جوڑی (جی، کے) کے لیے گیلفینڈ پراپرٹی شور کے لیما کا ینالاگ ہے۔ اس نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی نمائندگی کے نظریہ کے کسی بھی تصور کو لے سکتا ہے اور انہیں کروی جوڑے کے معاملے میں عام کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، رشتہ دار ٹریس فارمولا اس طریقہ کار کے ذریعے ٹریس فارمولا سے حاصل کیا جاتا ہے۔ محدود گروپوں کی مثالیں گیلفینڈ جوڑوں کی چند عام مثالیں یہ ہیں: (سم (این + 1)، سم (این))، n + 1 پوائنٹس پر کام کرنے والا سمیٹرک گروپ اور ایک پوائنٹ اسٹیبلائزر جو قدرتی طور پر این پوائنٹس پر آئسومورفک ہے۔ (AGL (n, q)، GL (n, q))، افائن (عمومی لکیری) گروپ اور ایک پوائنٹ اسٹیبلائزر جو قدرتی طور پر عمومی لکیری گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ اگر (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے، تو (G/N، K/N) K کے ہر G-نارمل ذیلی گروپ N کے لیے ایک گیلفینڈ جوڑا ہے۔ بہت سے مقاصد کے لیے اس طرح کے کسی غیر شناخت والے عام ذیلی گروپ کے بغیر K پر غور کرنا کافی ہے۔ K کے کوسیٹس پر G کا عمل اس طرح وفادار ہے، لہذا اس کے بعد کوئی نقطہ اسٹیبلائزر K کے ساتھ پرموٹیشن گروپس G کو دیکھ رہا ہے۔ گیلفینڈ جوڑا ہونا IR (G) میں ہر χ کے برابر ہے۔ چونکہ فروبینیوس باہمی تعاون سے اور یہ تعدد عمل کی خصوصیت ہے، ایک تعدد گروپ ایک گیلفینڈ جوڑے کی وضاحت کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب تعدد کردار ایک نام نہاد ضرب سے پاک تعدد کردار ہو۔ اس طرح کے کثرت سے پاک تعدد حروف کا تعین اس میں چھٹپٹ گروہوں کے لیے کیا گیا تھا۔ یہ گیلفینڈ جوڑوں کے ساتھ محدود گروپوں کی مثالوں کی ایک کلاس کو جنم دیتا ہے: 2-عارضی گروپ۔ اگر کسی نقطہ کا اسٹیبلائزر K باقی نکات پر عارضی طور پر کام کرتا ہے تو ایک تعدد گروپ G 2-ٹرانزیکٹو ہوتا ہے۔ خاص طور پر، G جو کہ n + 1 پوائنٹس پر سمیٹرک گروپ ہے اور K جو کہ n پوائنٹس پر سمیٹرک گروپ ہے، ہر n ≤ 1 کے لیے گیلفینڈ جوڑا بناتا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ 2-عارضی تعدد عمل کا کردار کسی ناقابل تلافی کردار χ اور معمولی کردار 1، کے لیے 1 + χ کی شکل کا ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر G ایک ٹرانزیٹیو پرموٹیشن گروپ ہے جس کے پوائنٹ اسٹیبلائزر K کے زیادہ سے زیادہ چار مدار ہوتے ہیں (بشمول معمولی مدار جس میں صرف مستحکم نقطہ ہوتا ہے)، تو اس کا شور رنگ تبادلہ ہے اور (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے،۔ اگر G ڈگری کا ایک ابتدائی گروپ ہے جو پوائنٹ اسٹیبلائزر K کے ساتھ دو بار پرائم ہے، تو پھر (G، K) ایک گیلفینڈ جوڑا ہے،۔ گیلفینڈ جوڑوں (سم (این)، کے) کی درجہ بندی کی گئی تھی۔ موٹے طور پر، K کو مندرجہ ذیل گروپوں میں سے کسی ایک میں چھوٹے انڈیکس کے ذیلی گروپ کے طور پر شامل ہونا چاہیے جب تک کہ n 18 سے چھوٹا نہ ہو: سم (n-k) × سم (k)، سم (n/2) ڈبلیو آر سم (2)، سم (2) ڈبلیو آر سم (n/2) n ایون کے لیے، سم (n-5) × اے جی ایل (1,5)، سم (n-6) × پی جی ایل (2,5)، یا سم (n-9) × پی جے ایل (2,8)۔ کلاسیکی گروہوں کے لیے گیلفینڈ کے جوڑوں کی بھی تحقیقات کی گئی ہیں۔ کمپیکٹ کے (جی ایل (این، آر)، او (این، آر)) (جی ایل (این، سی)، یو (این)) (او (این + کے، آر)، او (این، آر) × او (کے، آر)) (یو (این + کے)، یو (این) × یو (کے)) (جی، کے) کے ساتھ سمیٹرک جوڑے جہاں جی ایک تخفیف لائ گروپ ہے اور کے ایک زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ Symmetric Gelfand جوڑے کی درجہ بندی ایک فرض کریں کہ F ایک مقامی فیلڈ ہے جس کی خصوصیت صفر ہے۔ (SL (n + 1, F)، GL (n, F)) n> 5 کے لیے۔ (ایس پی (2 این + 2، ایف)، ایس پی (2 این، ایف)) × ایس پی (2، ایف)) n> 4 کے لیے۔ (SO (V ≤ F)، SO (V)) جہاں V F پر ایک ویکٹر اسپیس ہے جس میں غیر انحطاط شدہ کواڈریٹک شکل ہے۔ اعلی درجہ کے ہم آہنگی والے جوڑے فرض کریں کہ F خصوصیت صفر کا مقامی میدان ہے۔ درج ذیل اعلی درجے کے سمیٹرک گیلفینڈ جوڑوں کی مثالیں ہیں: (G × G، ΔG): شور کے لیما سے پیروی کرتا ہے۔ (جی ایل (این + کے، ایف)، جی ایل (این، ایف) × جی ایل (کے، ایف))۔ (جی ایل (2 این، ایف)، ایس پی (2 این، ایف))۔ (او (این + کے، سی)، او (این، سی) × او (کے، سی))۔ (جی ایل (این، سی)، او (این، سی))۔ (جی ایل (این، ای)، جی ایل (این، ایف))، جہاں ای ایف کی کواڈریٹک ایکسٹینشن ہے۔ مضبوط گیلفینڈ جوڑے مندرجہ ذیل جوڑے مضبوط گیلفینڈ جوڑے ہیں: (سم (این + 1)، سم (این))، یہ غیر فعال اینٹی آٹومورفزم جی-1 کا استعمال کرتے ہوئے ثابت ہوتا ہے۔ (GL (n + 1, F)، GL (n, F)) جہاں F خصوصیت صفر کا ایک مقامی میدان ہے۔ (O (V ≤ F)، O (V)) جہاں V F پر ایک ویکٹر اسپیس ہے جس میں غیر انحطاط شدہ کواڈریٹک شکل ہے۔ U (V ≤ E)، U (V) جہاں E، F کی کواڈریٹک ایکسٹینشن ہے اور V، E کے اوپر ایک ویکٹر اسپیس ہے جس میں غیر انحطاط پذیر ہرمیٹین شکل ہے۔ ان چار مثالوں کو اس بیان کے طور پر دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے کہ درج ذیل گیلفینڈ جوڑے ہیں: (سم (این + 1) × سم (این)، Δ سم (این))۔ (GL (n + 1, F) × GL (n, F), α GL (n, F)) (O (V ≤ F) × O (V), α O (V) (U (V ≤ E) × U (V), α U (V)) بھی دیکھیں کروی فعل متناسب جوڑا کروی جوڑا نوٹ حوالہ جات گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ جھوٹ گروپوں کا ہارمونک تجزیہ