Hilbert class field
الجبرائی نمبر تھیوری میں، نمبر فیلڈ K کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ E، K کی زیادہ سے زیادہ ابیلین غیر رمفائیڈ ایکسٹینشن ہے۔ K پر اس کی ڈگری K کی کلاس نمبر کے برابر ہے اور K پر E کا گالوئس گروپ K میں پرائم آئیڈلز کے لیے فروبینیوس عناصر کا استعمال کرتے ہوئے K کے آئیڈیل کلاس گروپ کے لیے مستند طور پر آئسومورفک ہے۔ اس تناظر میں، K کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ نہ صرف محدود مقامات (کلاسیکی آئیڈیل نظریاتی تشریح) پر غیر رمفائیڈ ہے بلکہ K کے لامحدود مقامات پر بھی ہے۔ یعنی، K کی ہر حقیقی سرایت E کی حقیقی سرایت (E کی پیچیدہ سرایت کے بجائے) تک پھیلی ہوئی ہے۔ مثال کے طور پر اگر K کے انٹیجرز کی رنگ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے، خاص طور پر اگر، تو K اس کا اپنا ہلبرٹ کلاس فیلڈ ہے۔ امتیازی سلوک کرنے دیں۔ میدان میں امتیازی ہے اور اسی طرح K کی ہر جگہ غیر منظم توسیع ہے، اور یہ ابیلین ہے۔ منکوسکی باؤنڈ کا استعمال کرتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ K کا کلاس نمبر 2 ہے۔ لہذا، اس کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ ہے۔ K کا غیر پرنسپل آئیڈیل (2، (1 +)/2) ہے، اور L میں یہ پرنسپل آئیڈیل ((1 +)/2) بن جاتا ہے۔ میدان میں کلاس نمبر 3 ہے۔ اس کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ x3-x-1 کی جڑ سے مل کر بنایا جا سکتا ہے، جس میں ڈسکریمیننٹ-23 ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ آرکیمیڈین پرائمز پر ریمفیکیشن کو کیوں مدنظر رکھنا چاہیے، 3 کے مربع جڑ کو Q سے ملانے سے حاصل ہونے والے حقیقی کواڈریٹک فیلڈ K پر غور کریں۔ اس فیلڈ میں کلاس نمبر 1 اور ڈسکریمیننٹ 12 ہے، لیکن ڈسکریمیننٹ 9 = 32 کی توسیع K (i)/K کو K میں تمام پرائم آئیڈیلز پر غیر منظم کیا جاتا ہے، لہذا K 1 سے زیادہ ڈگری کی محدود ابیلین ایکسٹینشنز کو قبول کرتا ہے جس میں K کے تمام محدود پرائم غیر منظم ہوتے ہیں۔ یہ K کے خود K ہونے کے ہلبرٹ کلاس فیلڈ سے متصادم نہیں ہے: K کی ہر مناسب محدود ابیلین توسیع کو کسی نہ کسی جگہ پر پھیلنا چاہیے، اور توسیع K (i)/K میں آرکیمیڈین مقامات پر اثر پڑتا ہے: K کی حقیقی سرایت K (i) کے پیچیدہ (حقیقی کے بجائے) سرایت تک پھیلی ہوئی ہے۔ پیچیدہ ضرب کے نظریہ کے مطابق، ایک خیالی کواڈریٹک فیلڈ کا ہلبرٹ کلاس فیلڈ انٹیجرز کی رنگ کے لیے جنریٹر پر ایلیپٹک ماڈیولر فنکشن کی قدر سے پیدا ہوتا ہے (بطور Z-ماڈیول)۔ تاریخ کسی دیئے گئے نمبر فیلڈ K کے لیے (تنگ) ہلبرٹ کلاس فیلڈ کے وجود کا قیاس فلپ فرٹ ونگلر نے کیا اور اسے ثابت کیا۔ ہلبرٹ کلاس فیلڈ کا وجود کسی دیئے گئے فیلڈ کے مثالی کلاس گروپ کی ساخت کا مطالعہ کرنے کا ایک قیمتی ذریعہ ہے۔ اضافی خصوصیات ہلبرٹ کلاس فیلڈ E مندرجہ ذیل کو بھی مطمئن کرتا ہے: E K اور [E: K] = hK کی ایک محدود گالوئس ایکسٹینشن ہے، جہاں hK K کا کلاس نمبر ہے۔ K کا آئیڈیل کلاس گروپ E کے گالوئس گروپ کے لیے K پر آئسومورفک ہے۔ OK کا ہر آئیڈیل رنگ ایکسٹینشن OE (پرنسپل آئیڈیل تھیوریم) کے پرنسپل آئیڈیل تک پھیلا ہوا ہے۔ اوکے کا ہر پرائم آئیڈیل پی او ای میں ایچ کے/ایف پرائم آئیڈیل کے پروڈکٹ میں تحلیل ہو جاتا ہے، جہاں ایف اوکے کے آئیڈیل کلاس گروپ میں [پی] کی ترتیب ہے۔ درحقیقت، ای وہ منفرد فیلڈ ہے جو پہلی، دوسری اور چوتھی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ واضح تعمیرات اگر K خیالی کواڈریٹک ہے اور A ایک الپٹک وکر ہے جس میں K کے انٹیجرز کی انگوٹی سے پیچیدہ ضرب ہوتی ہے، تو A سے K کے جے-انویرنٹ سے متصل ہلبرٹ کلاس فیلڈ دیتا ہے۔ کلاس فیلڈ تھیوری میں، ایک دیئے گئے ماڈیولس کے حوالے سے رے کلاس فیلڈ کا مطالعہ کیا جاتا ہے، جو کہ پرائم آئیڈیلز (بشمول، ممکنہ طور پر، آرکیمیڈین والے) کا ایک رسمی پروڈکٹ ہے۔ رے کلاس فیلڈ ایک زیادہ سے زیادہ ابیلین ایکسٹینشن ہے جو ماڈیولس کو تقسیم کرنے والے پرائمز کے باہر غیر منظم ہوتی ہے اور ماڈیولس کو تقسیم کرنے والے پرائمز پر ایک خاص رمفیکیشن کی حالت کو پورا کرتی ہے۔ ہلبرٹ کلاس فیلڈ پھر ٹریوئل ماڈیولس 1 کے حوالے سے رے کلاس فیلڈ ہے۔ تنگ کلاس فیلڈ رے کلاس فیلڈ ہے جو ماڈیولس کے حوالے سے ہے جو تمام لامحدود پرائمز پر مشتمل ہے۔ مثال کے طور پر، اوپر کی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ یہ کا تنگ کلاس فیلڈ ہے۔ نوٹ حوالہ جات جے ایس ملن، کلاس فیلڈ تھیوری (کورس نوٹ http://www.jmilne.org/math پر دستیاب ہیں)۔ نوٹوں کا تعارفی باب دیکھیں، خاص طور پر صفحہ 4۔ کلاس فیلڈ تھیوری