Folk theorem (game theory)
گیم تھیوری میں، لوک تھیوریمز تھیوریمز کی ایک کلاس ہیں جو بار بار کھیلوں میں نیش توازن ادائیگی پروفائلز کی کثرت کو بیان کرتی ہیں۔ اصل لوک نظریہ ایک لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل کے تمام نیش توازن کی ادائیگیوں سے متعلق تھا۔ اس نتیجے کو لوک نظریہ کہا گیا کیونکہ یہ 1950 کی دہائی میں گیم تھیوریسٹوں میں بڑے پیمانے پر جانا جاتا تھا، حالانکہ کسی نے اسے شائع نہیں کیا تھا۔ فریڈمین کا (1971) نظریہ ایک لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل کے کچھ ذیلی گیم کامل نیش توازن (ایس پی ای) کی ادائیگیوں سے متعلق ہے، اور اس طرح ایک مضبوط توازن تصور کا استعمال کرتے ہوئے اصل لوک نظریہ کو مضبوط کرتا ہے: نیش توازن کے بجائے ذیلی گیم کامل نیش توازن۔ لوک نظریہ تجویز کرتا ہے کہ اگر کھلاڑی کافی صبر اور دور اندیش ہوں (یعنی۔ اگر ڈسکاؤنٹ فیکٹر)، تو بار بار بات چیت کے نتیجے میں ایس پی ای توازن میں عملی طور پر کوئی اوسط ادائیگی ہو سکتی ہے۔ "عملی طور پر کوئی بھی" یہاں تکنیکی طور پر "قابل عمل" اور "انفرادی طور پر عقلی" کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ ترتیب اور تعریفیں ہم ایک بنیادی کھیل سے شروع کرتے ہیں، جسے اسٹیج گیم بھی کہا جاتا ہے، جو ایک این-پلیئر گیم ہے۔ اس کھیل میں، ہر کھلاڑی کے پاس منتخب کرنے کے لیے بہت سے اقدامات ہوتے ہیں، اور وہ بیک وقت اور دوسرے کھلاڑی کے انتخاب کے علم کے بغیر اپنے انتخاب کرتے ہیں۔ کھلاڑیوں کے اجتماعی انتخاب ایک ادائیگی پروفائل کی طرف لے جاتے ہیں، یعنی۔ ہر کھلاڑی کے لیے ادائیگی کے لیے۔ اجتماعی انتخاب سے لے کر ادائیگی کے پروفائلز تک کی نقشہ سازی کھلاڑیوں کو معلوم ہے، اور ہر کھلاڑی کا مقصد اپنی ادائیگی کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہے۔ اگر اجتماعی انتخاب کو x سے ظاہر کیا جاتا ہے، تو وہ ادائیگی جو کھلاڑی i وصول کرتا ہے، جسے پلیئر i کی افادیت بھی کہا جاتا ہے، کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ اس کے بعد ہم اس مرحلے کے کھیل کو محدود یا لامحدود کئی بار دہرانے پر غور کرتے ہیں۔ ہر تکرار میں، ہر کھلاڑی اپنے اسٹیج گیم آپشنز میں سے ایک کا انتخاب کرتا ہے، اور یہ انتخاب کرتے وقت، وہ پہلے کے تکرار میں دوسرے کھلاڑیوں کے انتخاب کو مدنظر رکھ سکتے ہیں۔ اس بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں، کھلاڑیوں میں سے کسی ایک کے لیے حکمت عملی ایک فیصلہ کن قاعدہ ہے جو اسٹیج گیم کے ہر تکرار میں کھلاڑی کے انتخاب کی وضاحت کرتا ہے، جو پہلے کے تکرار میں دوسرے تمام کھلاڑیوں کے انتخاب پر مبنی ہوتا ہے۔ ہر کھلاڑی کے لیے حکمت عملی کا انتخاب ایک حکمت عملی پروفائل ہے، اور یہ بار بار کھیلے جانے والے کھیل کے لیے ادائیگی پروفائل کی طرف لے جاتا ہے۔ اس طرح کی حکمت عملی کے پروفائل کو ادائیگی کے پروفائل میں ترجمہ کرنے کے کئی مختلف طریقے ہیں، جن کا خاکہ ذیل میں دیا گیا ہے۔ بار بار کھیلے جانے والے کھیل کے کسی بھی نیش توازن ادائیگی پروفائل کو دو خصوصیات کو پورا کرنا چاہیے: انفرادی معقولیت: ادائیگی کو جزو اسٹیج گیم کے من میکس ادائیگی پروفائل پر کمزور طور پر غلبہ حاصل کرنا چاہیے۔ یعنی، ہر کھلاڑی کی توازن ادائیگی کم از کم اتنی ہی بڑی ہونی چاہیے جتنی اس کھلاڑی کی کم از کم ادائیگی۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ایک کھلاڑی جو اپنی منی میکس ادائیگی سے کم حاصل کرتا ہے اسے ہمیشہ ہر تاریخ میں اپنی منی میکس حکمت عملی کھیل کر انحراف کرنے کی ترغیب ملتی ہے۔ فزیبلٹی: ادائیگی اسٹیج گیم کے ممکنہ ادائیگی پروفائلز کا ایک کنویکس مجموعہ ہونا چاہیے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ بار بار ہونے والے کھیل میں ادائیگی بنیادی کھیلوں میں ادائیگی کی صرف ایک اوسط اوسط ہوتی ہے۔ لوک تھیوریم جزوی طور پر متضاد دعوے ہیں: ان کا کہنا ہے کہ، بعض شرائط کے تحت (جو ہر لوک تھیوریم میں مختلف ہیں)، ہر ادائیگی پروفائل جو انفرادی طور پر عقلی اور قابل عمل دونوں ہے، کو بار بار کھیلے جانے والے کھیل کے نیش توازن ادائیگی پروفائل کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ مختلف لوک نظریات ہیں ؛ کچھ کا تعلق محدود طور پر دہرائے جانے والے کھیلوں سے ہے جبکہ دیگر کا تعلق لامحدود طور پر دہرائے جانے والے کھیلوں سے ہے۔ بغیر رعایت کے لامحدود طور پر دہرائے جانے والے کھیل غیر منقطع ماڈل میں، کھلاڑی صبر کرتے ہیں۔ وہ مختلف اوقات میں افادیت کے درمیان فرق نہیں کرتے ہیں۔ لہذا، بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں ان کی افادیت کی نمائندگی بنیادی کھیلوں میں افادیت کے مجموعے سے کی جاتی ہے۔ جب گیم لامحدود ہوتا ہے، تو لامحدود بار بار دہرائے جانے والے گیم میں یوٹیلیٹی کے لیے ایک عام ماڈل اوسط یوٹیلیٹی سے کمتر حد ہوتی ہے: اگر گیم کے نتیجے میں نتائج کا راستہ نکلتا ہے، جہاں تکرار t (t = 0,1,2،) پر کھلاڑیوں کے اجتماعی انتخاب کی نشاندہی ہوتی ہے، تو پلیئر i یوٹیلیٹی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ پلیئر i کا بنیادی گیم یوٹیلیٹی فنکشن کہاں ہے۔ رعایت کے بغیر ایک لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل کو اکثر "سپر گیم" کہا جاتا ہے۔ اس معاملے میں لوک نظریہ بہت آسان ہے اور اس میں کوئی پیشگی شرائط نہیں ہیں: بنیادی کھیل میں ہر انفرادی طور پر عقلی اور قابل عمل ادائیگی پروفائل بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں نیش توازن ادائیگی پروفائل ہے۔ ثبوت اس چیز کو استعمال کرتا ہے جسے سنگین یا سنگین محرک حکمت عملی کہا جاتا ہے۔ تمام کھلاڑی مقررہ ایکشن کھیل کر شروع کرتے ہیں اور اس وقت تک جاری رکھتے ہیں جب تک کہ کوئی انحراف نہ کرے۔ اگر کھلاڑی میں انحراف کرتا ہوں، تو دوسرے تمام کھلاڑی اس ایکشن کو چننے کا رخ کرتے ہیں جس کے بعد میں ہمیشہ کے لیے کھلاڑی کو منی میکس کرتا ہوں۔ انحراف سے ایک مرحلے کا فائدہ کھلاڑی i کی کل افادیت میں 0 کا حصہ ڈالتا ہے۔ انحراف کرنے والے کھلاڑی کی افادیت اس کی منی میکس ادائیگی سے زیادہ نہیں ہو سکتی۔ لہذا تمام کھلاڑی مطلوبہ راستے پر چلتے ہیں اور یہ درحقیقت ایک نیش توازن ہے۔ سبگیم پرفیکشن مندرجہ بالا نیش توازن ہمیشہ سبگیم پرفیکٹ نہیں ہوتا۔ اگر سزا دینے والوں کے لیے سزا مہنگی ہے تو سزا کا خطرہ قابل اعتبار نہیں ہے۔ ایک ذیلی کھیل کامل توازن کے لیے قدرے زیادہ پیچیدہ حکمت عملی کی ضرورت ہوتی ہے۔ سزا ہمیشہ کے لیے نہیں ہونی چاہیے ؛ یہ صرف ایک محدود وقت کے لیے ہونی چاہیے جو انحراف سے حاصل ہونے والے فوائد کو مٹانے کے لیے کافی ہو۔ اس کے بعد، دوسرے کھلاڑیوں کو توازن کے راستے پر واپس آنا چاہیے۔ ذرائع کی حد کا معیار اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ کسی بھی محدود وقت کی سزا کا حتمی نتیجہ پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے۔ لہذا، محدود وقت کی سزا ایک ذیلی کھیل کامل توازن ہے۔ اتحاد ذیلی کھیل کامل توازن: اگر کوئی اتحاد انحراف سے فائدہ نہیں اٹھا سکتا ہے تو توازن کو اتحاد نیش توازن کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی اتحاد کسی بھی تاریخ کے بعد انحراف سے فائدہ نہیں اٹھا سکتا ہے تو اسے اتحادی ذیلی کھیل-کامل توازن کہا جاتا ہے۔ ذرائع کی حد کے معیار کے ساتھ، ایک ادائیگی پروفائل اتحاد-نیش-توازن یا اتحاد-ذیلی کھیل-کامل-توازن میں قابل حصول ہے، اگر-اور-صرف-اگر یہ پیریٹو موثر اور کمزور-اتحاد-انفرادی طور پر-عقلی ہے۔ کچھ مصنفین کا دعوی ہے کہ ذرائع کی حد کا معیار غیر حقیقی ہے، کیونکہ اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی محدود وقت کے عرصے میں افادیت کل افادیت میں 0 کا حصہ ڈالتی ہے۔ تاہم، اگر کسی محدود وقت کے وقفے میں افادیت ایک مثبت قدر میں حصہ ڈالتی ہے، اور قیمت بے حساب ہے، تو پھر ایک محدود عددی افادیت کو لامحدود نتائج کی ترتیب سے منسوب کرنا ناممکن ہے۔ اس مسئلے کا ایک ممکنہ حل یہ ہے کہ، ہر لامحدود نتائج کی ترتیب کے لیے عددی افادیت کی وضاحت کرنے کے بجائے، ہم صرف دو لامحدود ترتیبات کے درمیان ترجیحی تعلق کی وضاحت کرتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ ایجنٹ (سختی سے) ترتیب پر نتائج کی ترتیب کو ترجیح دیتا ہے، اگر: مثال کے طور پر، ترتیب پر غور کریں اور۔ ذرائع کی حد کے معیار کے مطابق، وہ پلیئر I کو ایک ہی افادیت فراہم کرتے ہیں، لیکن اوورٹیکنگ معیار کے مطابق، پلیئر I سے بہتر ہے۔ مزید معلومات کے لیے اوورٹیکنگ معیار دیکھیں۔ اوورٹیکنگ معیار کے ساتھ لوک تھیوریم معنی کی حد کے معیار کے مقابلے میں قدرے کمزور ہیں۔ نیش توازن میں صرف ایسے نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں جو سختی سے انفرادی طور پر عقلی ہوں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ، اگر کوئی ایجنٹ انحراف کرتا ہے، تو وہ مختصر مدت میں فائدہ اٹھاتا ہے، اور یہ فائدہ صرف اس صورت میں ختم کیا جا سکتا ہے جب سزا انحراف کرنے والے کو معاہدے کے راستے سے سختی سے کم افادیت فراہم کرے۔ مندرجہ ذیل لوک نظریات اوورٹیکنگ معیار کے لیے جانے جاتے ہیں: سخت ساکن توازن: ایک نیش توازن کو سخت کہا جاتا ہے اگر ہر کھلاڑی توازن میں حاصل ہونے والے نتائج کی لامحدود ترتیب کو سختی سے ترجیح دیتا ہے، کسی بھی دوسرے ترتیب سے جو وہ ہٹ سکتا ہے۔ نیش توازن کو مستحکم کہا جاتا ہے اگر نتیجہ ہر وقت کے عرصے میں یکساں ہو۔ سخت-مستحکم-توازن میں نتیجہ حاصل کیا جا سکتا ہے اگر-اور-صرف-اگر ہر کھلاڑی کے لیے نتیجہ کھلاڑی کے منی میکس نتیجہ سے سختی سے بہتر ہو۔ سخت اسٹیشنری سبگیم-کامل توازن: سخت-اسٹیشنری-سبگیم-کامل-توازن میں نتیجہ حاصل کیا جا سکتا ہے، اگر ہر کھلاڑی کے لیے نتیجہ کھلاڑی کے منی میکس نتیجہ سے سختی سے بہتر ہو (نوٹ کریں کہ یہ "اگر-اور-صرف-اگر" نتیجہ نہیں ہے)۔ اوورٹیکنگ معیار کے ساتھ ذیلی گیم کامل توازن حاصل کرنے کے لیے، نہ صرف معاہدے کے راستے سے ہٹنے والے کھلاڑی کو سزا دینا ضروری ہے، بلکہ ہر اس کھلاڑی کو بھی جو منحرف کو سزا دینے میں تعاون نہیں کرتا ہے۔ "اسٹیشنری ایکویلیبریئم" تصور کو "پیریڈک ایکویلیبریئم" کے طور پر عام کیا جا سکتا ہے، جس میں نتائج کی ایک محدود تعداد کو وقتا فوقتا دہرایا جاتا ہے، اور ایک مدت میں ادائیگی نتائج میں ادائیگی کا ریاضی کا مطلب ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ادائیگی سختی سے منی میکس ادائیگی سے اوپر ہونی چاہیے۔ سخت مستحکم اتحاد کا توازن: اوورٹیکنگ معیار کے ساتھ، اگر کوئی نتیجہ اتحاد-نیش-توازن میں قابل حصول ہے، تو یہ پیریٹو موثر اور کمزور-اتحاد-انفرادی طور پر-عقلی ہے۔ دوسری طرف، اگر یہ پیریٹو موثر اور مضبوطی سے-اتحاد-انفرادی طور پر-عقلی ہے تو اسے سخت-مستحکم-اتحاد-توازن میں حاصل کیا جا سکتا ہے۔ رعایت کے ساتھ لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل فرض کریں کہ لامحدود بار بار دہرائے جانے والے کھیل میں کھلاڑی کی ادائیگی اوسط رعایتی معیار کے ذریعے رعایتی عنصر 0 <δ <1 کے ساتھ دی جاتی ہے: رعایتی عنصر اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ کھلاڑی کتنے صبر مند ہیں۔ عنصر متعارف کرایا جاتا ہے تاکہ ادائیگی کب محدود رہے۔ اس معاملے میں لوک تھیوریم کی ضرورت ہوتی ہے کہ بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں ادائیگی پروفائل سختی سے من میکس ادائیگی پروفائل پر حاوی ہو (یعنی، ہر کھلاڑی کو من میکس ادائیگی سے سختی سے زیادہ وصول ہوتا ہے)۔ پے آف پروفائل یو کے ساتھ اسٹیج گیم کا ایک حکمت عملی پروفائل بننے دیں جو سختی سے من میکس پے آف پروفائل پر حاوی ہے۔ کوئی بھی یو کے ساتھ کھیل کے نیش توازن کی وضاحت کر سکتا ہے جس کے نتیجے میں ادائیگی کا خاکہ مندرجہ ذیل ہے: 1. تمام کھلاڑی اے کھیل کر شروع کرتے ہیں اور اگر کوئی انحراف نہ ہو تو اے کھیلنا جاری رکھتے ہیں۔ 2. اگر کوئی ایک کھلاڑی، جیسے کہ پلیئر I، انحراف کر چکا ہے، تو اسٹریٹجی پروفائل m چلائیں جو ہمیشہ کے لیے میں کو کم کر دیتا ہے۔ 3. کثیرالجہتی انحراف کو نظر انداز کریں۔ اگر کھلاڑی میں 1 کی پیروی کرکے ہر مرحلے پر اپنی من میکس ادائیگی سے زیادہ حاصل کرتا ہوں، تو سزا سے ممکنہ نقصان یہ ہے کہ اگر δ 1 کے قریب ہے، تو یہ کسی بھی محدود ایک مرحلے کے فائدہ سے زیادہ ہے، جس سے حکمت عملی نیش توازن بن جاتی ہے۔ اس لوک تھیوریم کا ایک متبادل بیان توازن ادائیگی پروفائل یو کو انفرادی طور پر عقلی قابل عمل ادائیگی پروفائل ہونے کی اجازت دیتا ہے۔ اس کے لیے صرف ایک انفرادی طور پر عقلی قابل عمل ادائیگی پروفائل موجود ہونا ضروری ہے جو منی میکس ادائیگی پروفائل پر سختی سے حاوی ہو۔ پھر، لوک نظریہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ کسی بھی مطلوبہ درستگی کے لیے توازن میں u تک پہنچنا ممکن ہے (ہر ε کے لیے ایک نیش توازن موجود ہے جہاں ادائیگی کا خاکہ u سے دور ε ہے)۔ سبگیم پرفیکشن رعایتی گیمز میں سبگیم کامل توازن حاصل کرنا غیر منقطع گیمز کے مقابلے میں زیادہ مشکل ہے۔ سزا کی قیمت ختم نہیں ہوتی (جیسا کہ معنی کی حد کے معیار کے ساتھ)۔ سزا نہ دینے والوں کو لامتناہی سزا دینا ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا (جیسا کہ اوورٹیکنگ معیار کے ساتھ ہوتا ہے) کیونکہ رعایتی عنصر مستقبل میں سزاؤں کو موجودہ وقت کے لیے غیر متعلقہ بنا دیتا ہے۔ لہذا، ایک مختلف نقطہ نظر کی ضرورت ہے: سزا دینے والوں کو انعام دیا جانا چاہیے۔ اس کے لیے ایک اضافی مفروضہ درکار ہوتا ہے، کہ قابل عمل ادائیگی پروفائلز کا مجموعہ مکمل جہتی ہے اور کم سے کم زیادہ پروفائل اس کے اندرونی حصے میں ہے۔ حکمت عملی مندرجہ ذیل ہے۔ 1. تمام کھلاڑی اے کھیل کر شروع کرتے ہیں اور اگر کوئی انحراف نہ ہو تو اے کھیلنا جاری رکھتے ہیں۔ 2. اگر کوئی ایک کھلاڑی، جیسے کہ پلیئر I، انحراف شدہ ہے، تو اسٹریٹجی پروفائل m چلائیں جو کہ N پیریڈز کے لیے i کو کم سے کم کرتا ہے۔ (کافی بڑے N اور δ کا انتخاب کریں تاکہ کسی بھی کھلاڑی کو فیز 1 سے ہٹنے کی ترغیب نہ ملے۔) 3. اگر کوئی کھلاڑی فیز 2 سے انحراف نہیں کرتا ہے، تو تمام کھلاڑی جے  ऒत्त آئی کو ہمیشہ کے لیے جے منٹ میکس سے اوپر ε کا انعام ملتا ہے، جبکہ کھلاڑی آئی کو اس کا منٹ میکس ملتا رہتا ہے۔ (یہاں مکمل جہتی اور اندرونی مفروضے کی ضرورت ہے۔) 4. اگر کھلاڑی جے مرحلہ 2 سے ہٹ جاتا ہے، تو تمام کھلاڑی مرحلہ 2 کو جے کے ساتھ ہدف کے طور پر دوبارہ شروع کرتے ہیں۔ 5. کثیرالجہتی انحراف کو نظر انداز کریں۔ کھلاڑی جے § آئی کے پاس اب سزا کے مرحلے 2 سے ہٹنے کی کوئی ترغیب نہیں ہے۔ یہ سبگیم پرفیکٹ لوک تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ بغیر رعایت کے محدود طور پر دہرائے جانے والے کھیل فرض کریں کہ کسی کھیل میں کھلاڑی i کی ادائیگی جسے T بار بار دہرایا جاتا ہے، ایک سادہ ریاضی کے معنی سے دی جاتی ہے: اس معاملے کے لیے ایک لوک نظریہ میں درج ذیل اضافی ضرورت ہوتی ہے: بنیادی کھیل میں، ہر کھلاڑی i کے لیے، ایک نیش توازن ہوتا ہے جو سختی سے بہتر ہوتا ہے، i کے لیے، اس کی منی میکس ادائیگی سے۔ یہ ضرورت رعایتی لامحدود گیمز کی ضرورت سے زیادہ مضبوط ہے، جو بدلے میں غیر منقطع لامحدود گیمز کی ضرورت سے زیادہ مضبوط ہے۔ یہ ضرورت آخری مرحلے کی وجہ سے ضروری ہے۔ آخری مرحلے میں، واحد مستحکم نتیجہ بنیادی کھیل میں نیش توازن ہے۔ فرض کریں کہ ایک کھلاڑی میں نیش توازن سے کچھ حاصل نہیں کرتا (کیونکہ اس سے اسے صرف اس کی کم سے کم ادائیگی ملتی ہے)۔ پھر، اس کھلاڑی کو سزا دینے کا کوئی طریقہ نہیں ہے۔ دوسری طرف، اگر ہر کھلاڑی کے لیے ایک بنیادی توازن ہے جو کہ منی میکس سے سختی سے بہتر ہے، تو ایک بار بار کھیل کا توازن دو مراحل میں بنایا جا سکتا ہے: پہلے مرحلے میں، کھلاڑی مطلوبہ تعدد میں حکمت عملیوں کو تبدیل کرتے ہیں تاکہ مطلوبہ ادائیگی پروفائل کا تخمینہ لگایا جا سکے۔ آخری مرحلے میں، کھلاڑی باری باری ہر کھلاڑی کا ترجیحی توازن کھیلتے ہیں۔ آخری مرحلے میں، کوئی بھی کھلاڑی انحراف نہیں کرتا کیونکہ اعمال پہلے سے ہی کھیل کا بنیادی توازن ہوتے ہیں۔ اگر کوئی ایجنٹ پہلے مرحلے میں انحراف کرتا ہے، تو اسے آخری مرحلے میں من میکس کر کے سزا دی جا سکتی ہے۔ اگر کھیل کافی لمبا ہے، تو آخری مرحلے کا اثر نہ ہونے کے برابر ہے، اس لیے توازن کی ادائیگی مطلوبہ پروفائل تک پہنچ جاتی ہے۔ ایپلی کیشنز لوک تھیوریمز کا اطلاق متنوع شعبوں پر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: بشریات: ایک ایسی کمیونٹی میں جہاں تمام طرز عمل اچھی طرح سے جانا جاتا ہے، اور جہاں کمیونٹی کے اراکین کو معلوم ہوتا ہے کہ انہیں ایک دوسرے سے نمٹنا پڑتا رہے گا، پھر طرز عمل کا کوئی بھی نمونہ (روایات، ممنوع وغیرہ)۔ سماجی اصولوں کے مطابق اس وقت تک برقرار رکھا جا سکتا ہے جب تک کہ کمیونٹی کے افراد کمیونٹی میں رہنے سے بہتر ہوں کہ وہ کمیونٹی چھوڑ رہے ہوں (منی میکس حالت)۔ بین الاقوامی سیاست: ممالک کے درمیان معاہدوں کو مؤثر طریقے سے نافذ نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم، انہیں اس لیے رکھا جاتا ہے کیونکہ ممالک کے درمیان تعلقات طویل مدتی ہوتے ہیں اور ممالک ایک دوسرے کے خلاف "منی میکس حکمت عملی" استعمال کر سکتے ہیں۔ یہ امکان اکثر متعلقہ ممالک کے رعایتی عنصر پر منحصر ہوتا ہے۔ اگر کوئی ملک بہت بے چین ہے (مستقبل کے نتائج پر بہت کم توجہ دیتا ہے)، تو اسے سزا دینا مشکل ہو سکتا ہے (یا اسے قابل اعتماد طریقے سے سزا دینا)۔ دوسری طرف، ایم آئی ٹی کے ماہر معاشیات فرینکلن فشر نے نوٹ کیا ہے کہ لوک نظریہ مثبت نظریہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اولیگوپولی کے رویے پر غور کرتے ہوئے، لوک تھیوریم ماہر معاشیات کو یہ نہیں بتاتا کہ کمپنیاں کیا کریں گی، بلکہ یہ کہ اولیگوپولی کے عمومی نظریہ کے لیے لاگت اور طلب کے افعال کافی نہیں ہیں، اور ماہرین اقتصادیات کو اس سیاق و سباق کو شامل کرنا چاہیے جس کے اندر اولیگوپولی اپنے نظریہ میں کام کرتے ہیں۔ 2007 میں، بورگس اور دیگر۔ یہ ثابت کیا کہ، لوک نظریہ کے باوجود، عام صورت میں بار بار کھیلوں کے لیے نیش توازن کا حساب لگانا ایک شاٹ کے محدود کھیلوں کے لیے نیش توازن کا حساب لگانے سے آسان نہیں ہے، یہ ایک مسئلہ ہے جو پی پی اے ڈی پیچیدگی کی کلاس میں ہے۔ اس کا عملی نتیجہ یہ ہے کہ کوئی موثر (کثیر الجہتی وقت) الگورتھم معلوم نہیں ہے جو عام صورت میں لوک نظریات کے ذریعہ درکار حکمت عملیوں کا حساب لگاتا ہے۔ لوک نظریات کا خلاصہ درج ذیل جدول مختلف لوک نظریات کا کئی پہلوؤں میں موازنہ کرتا ہے: افق-چاہے اسٹیج گیم کو محدود طور پر دہرایا جائے یا لامحدود طور پر کئی بار۔ یوٹیلیٹیز-بار بار کھیلے جانے والے کھیل میں کھلاڑی کی افادیت کا تعین اسٹیج گیم کے تکرار میں کھلاڑی کی افادیت سے کیسے ہوتا ہے۔ جی (اسٹیج گیم) پر شرائط-آیا کوئی تکنیکی شرائط ہیں جو تھیوریم کے کام کرنے کے لیے ون شاٹ گیم میں ہونی چاہئیں۔ x پر شرائط (بار بار کھیلے جانے والے گیم کا ٹارگٹ پے آف ویکٹر)-چاہے تھیوریم انفرادی طور پر کسی عقلی اور قابل عمل پے آف ویکٹر کے لیے کام کرے، یا صرف ان ویکٹروں کے ذیلی سیٹ پر۔ توازن کی قسم-اگر تمام شرائط پوری ہو جائیں تو نظریہ کے ذریعہ کس قسم کے توازن کی ضمانت دی جاتی ہے-نیش یا سبگیم پرفیکٹ؟ سزا کی قسم-کھلاڑیوں کو انحراف کرنے سے روکنے کے لیے کس قسم کی سزا کی حکمت عملی استعمال کی جاتی ہے؟ نوٹ حوالہ جات لوک نظریہ کے تعارفی نوٹوں کا ایک مجموعہ۔ گیم تھیوری توازن تصورات تھیوریمز