Jacobi sum
ریاضی میں، جیکوبی مجموعہ ایک قسم کے حروف کا مجموعہ ہے جو ڈیرچلیٹ حروف کے ساتھ تشکیل پاتا ہے۔ سادہ مثالیں یہ ہوں گی کہ ڈیرچلیٹ حروف χ کے لیے جیکوبی جمح J (χ، si)، ایک پرائم نمبر p، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ جہاں خلاصہ تمام باقیات پر چلتا ہے (جس کے لیے نہ تو a اور نہ ہی 0 ہے)۔ جیکوبی جملوں بیٹا فنکشن کے محدود شعبوں کے لیے ینالاگ ہیں۔ اس طرح کی رقوم کو انیسویں صدی کے اوائل میں سی جی جے جیکوبی نے سائکلوٹومی کے نظریہ کے سلسلے میں متعارف کرایا تھا۔ جیکوبی جملوں J کو عام طور پر گاوس جمس g کی طاقتوں کے پروڈکٹس میں فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب کردار χsi غیر معمولی ہوتا ہے، تو گاما افعال کے لحاظ سے بیٹا فنکشن کے فارمولے سے مشابہت رکھتا ہے۔ چونکہ غیر معمولی گاؤس کے مجموعے g کی مطلق قیمت p ہوتی ہے، اس کے بعد اس کی مطلق قیمت p بھی ہوتی ہے جب حروف χsi، χ، si غیر معمولی ہوتے ہیں۔ جیکوبی جمح J چھوٹے سائکلوٹومک فیلڈز میں ہوتا ہے اس کے مقابلے میں غیر معمولی گاؤس جمح g۔ مثال کے طور پر کے مجموعوں میں اتحاد کا کوئی pth جڑ شامل نہیں ہوتا ہے، بلکہ صرف وہ اقدار شامل ہوتی ہیں جو اتحاد کی جڑوں کے سائکلوٹومک فیلڈ میں ہوتی ہیں۔ گاؤس کے جملوں کی طرح، جیکوبی جملوں نے اپنے سائکلوٹومک فیلڈز میں پرائم آئیڈیل فیکٹرائزیشن کو جانا ہے۔ دیکھیں اسٹکیلبرگر تھیوریم۔ جب χ لیجنڈری کی علامت ہے، تو عام طور پر جیکوبی جملوں کی اقدار اخترن شکلوں کے مقامی زیٹا افعال کے سلسلے میں ہوتی ہیں۔ لیجنڈری علامت پر نتیجہ کونک سیکشن پر پوائنٹس کی تعداد کے فارمولے کے برابر ہے جو پی عناصر کے میدان پر ایک پروجیکٹو لائن ہے۔ 1949 سے آندرے ویل کے ایک مقالے نے اس موضوع کو بہت زیادہ زندہ کیا۔ درحقیقت، 20 ویں صدی کے آخر میں ہس-ڈیونپورٹ کے تعلقات کے ذریعے، گاؤس کے رقوم کی طاقتوں کی رسمی خصوصیات ایک بار پھر موجودہ ہو گئی تھیں۔ عام جیکوبی جملوں کے ذریعے اخترن ہائپر سرفیس کے لیے مقامی زیٹا افعال کو لکھنے کے امکان کی طرف اشارہ کرنے کے ساتھ ساتھ، ویل (1952) نے جیکوبی جملوں کی خصوصیات کو ہیک حروف کے طور پر ظاہر کیا۔ ابیلین اقسام کا پیچیدہ ضرب قائم ہونے کے بعد یہ اہم ہونا تھا۔ سوال میں ہیک حروف بالکل وہی تھے جن کی مثال کے طور پر فرمیٹ منحنی خطوط کے ہس-ویل ایل-افعال کو ظاہر کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان کرداروں کے عین مطابق محرکات، ایک سوال جسے ویل نے کھلا چھوڑ دیا تھا، کا تعین بعد کے کام میں کیا گیا۔ حوالہ جات سائکلوٹومک فیلڈز