Fredholm alternative
ریاضی میں، فریڈہولم متبادل، جس کا نام ایوار فریڈہولم کے نام پر رکھا گیا ہے، فریڈہولم کے نظریات میں سے ایک ہے اور یہ فریڈہولم نظریہ کا نتیجہ ہے۔ اس کا اظہار کئی طریقوں سے کیا جا سکتا ہے، لکیری الجبرا کے تھیوریم کے طور پر، انٹیگرل مساوات کے تھیوریم کے طور پر، یا فریڈہولم آپریٹرز پر تھیوریم کے طور پر۔ نتیجہ کے ایک حصے میں کہا گیا ہے کہ کمپیکٹ آپریٹر کے سپیکٹرم میں غیر صفر کمپلیکس نمبر ایک آئجن ویلیو ہے۔ لکیری الجبرا اگر V ایک n جہتی ویکٹر اسپیس ہے اور ایک لکیری ٹرانسفارمیشن ہے، تو مندرجہ ذیل میں سے بالکل ایک ہے: V میں ہر ویکٹر v کے لیے V میں ایک ویکٹر u ہے تاکہ۔ دوسرے لفظوں میں: T سرجیکٹو ہے (اور اسی طرح بائیجیکٹو بھی، کیونکہ V محدود جہتی ہے)۔ میٹرکس کے لحاظ سے ایک زیادہ ابتدائی تشکیل مندرجہ ذیل ہے۔ ایک m × n میٹرکس A اور ایک m × 1 کالم ویکٹر b کو دیکھتے ہوئے، مندرجہ ذیل میں سے بالکل ایک کو برقرار رکھنا چاہیے: یا تو: A x = b کا حل x ہے یا: AT y = 0 کا حل y ہے جس میں yTb  ऒत्त 0 ہے۔ دوسرے لفظوں میں، A x = b کا حل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی بھی y کے لیے اس طرح کہ AT y = 0، اس کے بعد yTb = 0 ہو۔ انٹیگرل مساوات کو ایک انٹیگرل کرنل ہونے دیں، اور یکساں مساوات، فریڈہولم انٹیگرل مساوات، اور غیر یکساں مساوات پر غور کریں۔ فریڈہولم متبادل یہ بیان ہے کہ، ہر غیر صفر فکسڈ کمپلیکس نمبر کے لیے، یا تو پہلی مساوات کا غیر معمولی حل ہوتا ہے، یا دوسری مساوات میں سب کا حل ہوتا ہے۔ اس بیان کے درست ہونے کے لیے ایک کافی شرط یہ ہے کہ آئتاکار پر مربع انٹیگریبل ہو (جہاں a اور/یا b مائنس یا پلس انفینیٹی ہو سکتے ہیں)۔ اس طرح کے K کے ذریعہ بیان کردہ انٹیگرل آپریٹر کو ہلبرٹ-شمٹ انٹیگرل آپریٹر کہا جاتا ہے۔ فریڈ ہولم آپریٹرز کے بارے میں فنکشنل تجزیہ کے نتائج ان نتائج کو لامحدود جہتوں کے معیاری ویکٹر خالی جگہوں کو مکمل کرنے کے لیے عام کرتے ہیں۔ یعنی، بناچ خالی جگہیں۔ انٹیگرل مساوات کو آپریٹر نوٹیشن کے لحاظ سے درج ذیل طریقے سے اصلاح کی جا سکتی ہے۔ ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کے ساتھ معنی (کسی حد تک غیر رسمی طور پر) لکھیں، جسے تقسیم، یا عمومی فنکشن سمجھا جاتا ہے، دو متغیرات میں۔ پھر ارتقاء کے ذریعے، ایک لکیری آپریٹر کو شامل کرتا ہے جو بناچ کے فنکشن کی جگہ پر کام کرتا ہے جس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس زبان میں، انٹیگرل مساوات کے لیے فریڈہولم متبادل کو محدود جہتی لکیری الجبرا کے لیے فریڈہولم متبادل کے مترادف دیکھا جاتا ہے۔ جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے، دانا کے ساتھ ارتقاء کے ذریعے دیا گیا آپریٹر ہلبرٹ-شمٹ انٹیگرل آپریٹر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایسے آپریٹر ہمیشہ کمپیکٹ ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، فریڈ ہوم متبادل درست ہوتا ہے جب کوئی کمپیکٹ آپریٹر ہوتا ہے۔ فریڈہولم متبادل کو مندرجہ ذیل شکل میں دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے: ایک نان زیرو یا تو ایک آئجن ویلیو ہے یا حل شدہ ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے ڈومین میں ہے۔ فریڈہولم متبادل کو لکیری ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل کو حل کرنے کے لیے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ بنیادی نتیجہ یہ ہے کہ: اگر مساوات اور مناسب بناچ خالی جگہوں کو صحیح طریقے سے ترتیب دیا گیا ہے، تو یا تو (1) یکساں مساوات کا ایک غیر معمولی حل ہے، یا (2) غیر یکساں مساوات کو اعداد و شمار کے ہر انتخاب کے لیے منفرد طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ دلیل اس طرح ہے۔ ایک عام سادہ سے سمجھنے والا الپٹک آپریٹر ایل لیپلاسیئن اور کچھ نچلے درجے کی اصطلاحات ہوں گے۔ مناسب باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ مل کر اور ایک مناسب بناچ اسپیس X پر اظہار کیا گیا (جو باؤنڈری کنڈیشنز اور حل کی مطلوبہ باقاعدگی دونوں کو انکوڈ کرتا ہے)، L X سے اپنے آپ میں ایک غیر باؤنڈ آپریٹر بن جاتا ہے، اور کوئی یہ حل کرنے کی کوشش کرتا ہے کہ f bul X ڈیٹا کے طور پر کام کرنے والا کوئی فنکشن ہے جس کے لیے ہم حل چاہتے ہیں۔ فریڈہولم متبادل، الپٹک مساوات کے نظریہ کے ساتھ مل کر، ہمیں اس مساوات کے حل کو منظم کرنے کے قابل بنائے گا۔ ایک ٹھوس مثال ایک ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ ہوگا جیسا کہ باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ ضمیمہ کیا جاتا ہے جہاں ωRn ہموار باؤنڈری کے ساتھ ایک باؤنڈڈ اوپن سیٹ ہے اور h (x) ایک فکسڈ گتانک فنکشن ہے (ایک پوٹینشل، شروڈنگر آپریٹر کے معاملے میں)۔ فنکشن f ωX وہ متغیر ڈیٹا ہے جس کے لیے ہم مساوات کو حل کرنا چاہتے ہیں۔ یہاں کوئی X کو ω پر تمام مربع مربوط افعال کی جگہ L2 (ω) کے طور پر لے گا، اور پھر ڈوم (L) سوبولیو جگہ W2,2 (ω) ω W (ω) ہے، جو ω پر تمام مربع مربوط افعال کے سیٹ کے مترادف ہے جن کے کمزور پہلے اور دوسرے مشتقات موجود ہیں اور مربع مربوط ہیں، اور جو ω پر صفر حد کی شرط کو پورا کرتے ہیں۔ اگر X کو صحیح طریقے سے منتخب کیا گیا ہے (جیسا کہ اس مثال میں ہے)، تو μ0>> 0 کے لیے آپریٹر L + μ0 مثبت ہے، اور پھر الپٹک تخمینوں کو استعمال کرتے ہوئے، کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ L + μ0: Dom (L) → X ایک بائیجیکشن ہے، اور اس کا الٹا ایک کمپیکٹ، ہر جگہ متعین آپریٹر K ہے جو X سے X تک ہے، جس کی شبیہہ Dom (L) کے برابر ہے۔ ہم اس طرح کے ایک μ0 کو ٹھیک کرتے ہیں، لیکن اس کی قیمت اہم نہیں ہے کیونکہ یہ صرف ایک ٹول ہے۔ اس کے بعد ہم فریڈ ہوم متبادل کو، جو کمپیکٹ آپریٹرز کے لیے اوپر بیان کیا گیا ہے، باؤنڈری ویلیو کے مسئلے (*)-(* *) کے حل کے بارے میں ایک بیان میں تبدیل کر سکتے ہیں۔ فریڈہولم متبادل، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، اس بات پر زور دیتا ہے: ہر λωR کے لیے، یا تو λ، K کی ایک آئجن ویلیو ہے، یا آپریٹر K−λ، X سے خود تک دو طرفہ ہے۔ آئیے دونوں متبادلات کو تلاش کریں جب وہ باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کے لیے کھیلتے ہیں۔ فرض کریں کہ λ  ऒत्त 0 ہے۔ پھر یا تو (A) λ، K′ کی آئجین ویلیو ہے، اس کا حل ہے، (L + μ0) h = λ − 1h ′-μ0 + λ − 1، L کی آئجین ویلیو ہے۔ (B) آپریٹر K − λ: X → X ایک بیجیکشن ′ (K − λ) (L + μ0) = ID − λ (L + μ0): Dom (L) → X ایک بیجیکشن ہے، ′L + μ0 − λ−1: Dom (L) → X ایک بیجیکشن ہے۔ - μ0 + λ−1 کو λ سے تبدیل کرنا، اور صورت λ = −μ0 کو الگ الگ علاج کرنا، اس سے ایک الپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کے لیے درج ذیل فریڈہولم متبادل حاصل ہوتا ہے: ہر λ ωR کے لیے، یا تو یکساں مساوات (L−λ) u = 0 کا غیر معمولی حل ہوتا ہے، یا غیر یکساں مساوات (L−λ) u = f ہر دیئے گئے ڈیٹم f ωX کے لیے ایک منفرد حل u ωd (L) رکھتا ہے۔ مؤخر الذکر فنکشن u اوپر پیش کردہ باؤنڈری ویلیو مسئلہ (*)-(* *) کو حل کرتا ہے۔ یہ ڈائکوٹومی ہے جس کا دعوی اوپر (1)-(2) میں کیا گیا تھا۔ کمپیکٹ آپریٹرز کے لیے سپیکٹرم تھیوریم کے مطابق، یہ بھی حاصل ہوتا ہے کہ λ کا سیٹ جس کے لیے حل پذیری ناکام ہوتی ہے وہ R (L کی آئجن ویلیوز) کا ایک مجرد ذیلی سیٹ ہے۔ آئجین ویلیوز سے وابستہ آئجین فنکشنز کو "گونج" کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جو مساوات کی حل پذیری کو روکتا ہے۔ کمپیکٹ آپریٹرز کا سپیکٹرل تھیوری فرکاس کا لیما حوالہ جات اے جی رام، "فریڈ ہولم متبادل کا ایک سادہ ثبوت اور فریڈ ہولم آپریٹرز کی خصوصیت"، امریکن میتھمیٹیکل منتھلی، 108 (2001) پی۔ 855 بھی دیکھیں۔ فریڈہولم تھیوری لکیری الجبرا