Absolute Galois group
ریاضی میں، K فیلڈ کا مطلق گالوئس گروپ GK K کے اوپر Ksep کا گالوئس گروپ ہے، جہاں Ksep K کی علیحدہ بندش ہے۔ متبادل طور پر یہ K کے الجبرائی بندش کے تمام آٹومورفزمز کا گروپ ہے جو K کو ٹھیک کرتا ہے۔ مطلق گالوئس گروپ اندرونی آٹومورفزم تک اچھی طرح سے متعین ہے۔ یہ ایک غیر متزلزل گروہ ہے۔ (جب K ایک کامل فیلڈ ہے، تو Ksep ایک الجبرائی بندش K کے کالگ کی طرح ہے۔ خصوصیت صفر کے K کے لیے، یا K ایک محدود فیلڈ ہے۔) مثالیں الجبرائی طور پر بند فیلڈ کا مطلق گالوئس گروپ معمولی ہے۔ حقیقی اعداد کا مطلق گالوئس گروپ دو عناصر کا ایک چکور گروہ ہے (پیچیدہ امتزاج اور شناخت کا نقشہ)، کیونکہ C R اور [C: R] = 2 کی علیحدہ بندش ہے۔ ایک محدود فیلڈ K کا مطلق گالوئس گروپ گروپ کے لیے آئسومورفک ہے (اشارے کے لیے، الٹا حد دیکھیں۔) فروبینیوس آٹومورفزم ایف آر جی کے کا ایک کینونکل (ٹوپولوجیکل) جنریٹر ہے۔ (یاد رکھیں کہ کالگ میں تمام x کے لیے Fr (x) = xq، جہاں q K میں عناصر کی تعداد ہے۔) پیچیدہ کوفیشنٹس کے ساتھ عقلی افعال کی فیلڈ کا مطلق گالوئس گروپ آزاد ہے (ایک غیر متزلزل گروپ کے طور پر)۔ یہ نتیجہ ایڈرین ڈوڈی کی وجہ سے ہے اور اس کی ابتدا ریمن کے وجود کے نظریہ سے ہوئی ہے۔ زیادہ عام طور پر، C کو الجبرائی طور پر بند فیلڈ اور x کو متغیر ہونے دیں۔ پھر K = C (x) کا مطلق گالوئس گروپ C کی بنیادی حیثیت کے برابر درجہ سے آزاد ہے۔ یہ نتیجہ ڈیوڈ ہاربیٹر اور فلورین پاپ کی وجہ سے ہے، اور بعد میں ڈین ہاران اور موشے جارڈن نے بھی الجبرائی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا۔ فرض کریں کہ K p-adic نمبروں Qp کی ایک محدود توسیع ہے۔ پی § 2 کے لیے، اس کا مطلق گالوئس گروپ [کے: کیو پی] + 3 عناصر سے پیدا ہوتا ہے اور جنریٹرز اور تعلقات کے ذریعے اس کی واضح وضاحت ہوتی ہے۔ یہ اووی جینسن اور کے ونگبرگ کا نتیجہ ہے۔ کچھ نتائج p = 2 کے معاملے میں معلوم ہوتے ہیں، لیکن Q2 کی ساخت معلوم نہیں ہے۔ ایک اور صورت جس میں مطلق گالوئس گروپ کا تعین کیا گیا ہے وہ الجبرائی اعداد کے میدان کے سب سے بڑے مکمل طور پر حقیقی ذیلی میدان کے لیے ہے۔ مسائل عقلی اعداد کے مطلق گالوئس گروپ کے لیے کوئی براہ راست وضاحت معلوم نہیں ہے۔ اس معاملے میں، یہ بیلی کے نظریہ سے ملتا ہے کہ مطلق گالوئس گروپ گروتھینڈیک (سطحوں پر نقشے) کے ڈیسن ڈی اینفنٹس پر ایک وفادار عمل رکھتا ہے، جس سے ہم الجبرائی نمبر فیلڈز کے گالوئس نظریہ کو "دیکھنے" کے قابل بنتے ہیں۔ فرض کریں کہ K عقلی اعداد کی زیادہ سے زیادہ ابیلین توسیع ہے۔ پھر شفاریویچ کا قیاس اس بات پر زور دیتا ہے کہ K کا مطلق گالوئس گروپ ایک آزاد پروفینیٹ گروپ ہے۔ ایک دلچسپ مسئلہ جان میناک اور نگوین ڈوین ٹین کے غائب ہونے کے بارے میں قیاس آرائی کو حل کرنا ہے-میسی کی مصنوعات کے لیے۔ کچھ عمومی نتائج ہر پروفینیٹ گروپ کچھ گالوئس ایکسٹینشن کے گالوئس گروپ کے طور پر پایا جاتا ہے، تاہم ہر پروفینیٹ گروپ مطلق گالوئس گروپ کے طور پر نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، آرٹن-شریئر تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ واحد محدود مطلق گالوئس گروپ یا تو معمولی ہیں یا آرڈر 2 کے ہیں، یعنی صرف دو آئسومورفزم کلاسیں ہیں۔ ہر پروجیکٹو پروفینیٹ گروپ کو فرضی الجبرائی طور پر بند فیلڈ کے مطلق گالوئس گروپ کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ یہ نتیجہ الیگزینڈر لوبوٹزکی اور لو وین ڈین ڈریس کی وجہ سے ہے۔ حوالہ جات ماخذ گالوئس نظریہ