Biharmonic equation
ریاضی میں، بیہارمونک مساوات ایک چوتھے درجے کی جزوی تفریق مساوات ہے جو تسلسل میکانکس کے شعبوں میں پیدا ہوتی ہے، بشمول لکیری لچک کا نظریہ اور اسٹوکس کے بہاؤ کا حل۔ خاص طور پر، یہ پتلی ڈھانچوں کے ماڈلنگ میں استعمال ہوتا ہے جو بیرونی قوتوں پر لچکدار رد عمل ظاہر کرتے ہیں۔ نوٹیشن اسے یا یا جہاں لکھا جاتا ہے، جو ڈیل آپریٹر کی چوتھی طاقت ہے اور لیپلاسیئن آپریٹر (یا) کا مربع، بیہارمونک آپریٹر یا بیلاپلاسیئن آپریٹر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کارٹیشین نقاط میں، اسے طول و عرض میں اس طرح لکھا جا سکتا ہے: کیونکہ یہاں فارمولہ اشاریہ جات کا خلاصہ ہے، بہت سے ریاضی دان اشارے کو ترجیح دیتے ہیں کیونکہ سابقہ واضح کرتا ہے کہ چار نابلا آپریٹرز کے اشاریہ جات میں سے کون سا معاہدہ ہوا ہے۔ مثال کے طور پر، تین جہتی کارٹیزین کوآرڈینیٹس میں بیہارمونک مساوات کی شکل ہوتی ہے۔ ایک اور مثال کے طور پر، n-جہتی ریئل کوآرڈینیٹ اسپیس میں بغیر اصل کے، جہاں ظاہر ہوتا ہے کہ، صرف n = 3 اور n = 5 کے لیے، بیہارمونک مساوات کا حل ہے۔ بیہارمونک مساوات کا حل بیہارمونک فنکشن کہلاتا ہے۔ کوئی بھی ہارمونک فنکشن بائیو ہارمونک ہوتا ہے، لیکن اس کے برعکس ہمیشہ درست نہیں ہوتا ہے۔ دو جہتی قطبی نقاط میں، حیاتیاتی مساوات وہ ہے جسے متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ مشیل حل ہے۔ 2 جہتی جگہ 2 جہتی معاملے کا عمومی حل یہ ہے کہ کہاں، اور ہارمونک افعال ہیں اور اس کا ہارمونک کنجوگیٹ ہے۔ جس طرح 2 متغیرات میں ہارمونک افعال پیچیدہ تجزیاتی افعال سے قریب سے متعلق ہیں، اسی طرح 2 متغیرات میں بائیو ہارمونک افعال بھی ہیں۔ 2 متغیرات میں بیہارمونک فنکشن کی عمومی شکل کو کہاں اور تجزیاتی افعال کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ ہارمونک فنکشن حوالہ جات ایرک ڈبلیو ویسسٹین، سی آر سی کنسائز انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس، سی آر سی پریس، 2002 بھی دیکھیں۔ ایس آئی ہائیک، سائنس اور انجینئرنگ میں اعلی درجے کے ریاضیاتی طریقے، مارسل ڈیکر، 2000۔ بیرونی روابط ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات