Moduli of algebraic curves
الجبرائی جیومیٹری میں، (الجبرائی) منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ ایک ہندسی جگہ (عام طور پر ایک اسکیم یا الجبرائی اسٹیک) ہے جس کے نکات الجبرائی منحنی خطوط کی آئسومورفزم کلاسوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس طرح یہ ماڈیولی اسپیس کا ایک خاص معاملہ ہے۔ الجبرائی منحنی خطوط کی کلاسوں پر لاگو پابندیوں پر منحصر ہے، متعلقہ ماڈیولی مسئلہ اور ماڈیولی کی جگہ مختلف ہے۔ ایک ہی ماڈیولی مسئلے کے لیے باریک اور موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کے درمیان بھی فرق کرتا ہے۔ سب سے بنیادی مسئلہ ایک مقررہ نسل کے ہموار مکمل منحنی خطوط کے ماڈیولی کا ہے۔ پیچیدہ اعداد کے میدان میں یہ دی گئی جینس کی کمپیکٹ ریمن سطحوں سے قطعی طور پر مطابقت رکھتے ہیں، جس کے لیے برن ہارڈ ریمن نے ماڈیولی خالی جگہوں کے بارے میں پہلے نتائج کو ثابت کیا، خاص طور پر ان کے طول و عرض ("پیرامیٹرز کی تعداد جس پر پیچیدہ ساخت کا انحصار ہوتا ہے")۔ مستحکم منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک ان کے آئسومورفزم کے ساتھ مل کر ہموار پروجیکٹو منحنی خطوط کے خاندانوں کی درجہ بندی کرتے ہیں۔ کب، اس اسٹیک کو نئے "باؤنڈری" پوائنٹس کو شامل کرکے کمپیکٹ کیا جا سکتا ہے جو مستحکم نوڈل منحنی خطوط (ان کے آئسومورفزم کے ساتھ مل کر) سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک منحنی خطوط مستحکم ہوتا ہے اگر وہ مکمل ہو، جڑا ہوا ہو، اس میں دوہرے نکات کے علاوہ کوئی انفرادیت نہ ہو، اور اس میں آٹومورفزم کا صرف ایک محدود گروہ ہو۔ نتیجے میں اسٹیک کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ دونوں ماڈیولی اسٹیک منحنی خطوط کے عالمگیر خاندانوں کو لے جاتے ہیں۔ اوپر کے دونوں اسٹیکوں میں طول و عرض ہے ؛ اس لیے ایک مستحکم نوڈل وکر کو پیرامیٹرز کی اقدار کا انتخاب کرکے مکمل طور پر متعین کیا جا سکتا ہے، کب۔ نچلی نسل میں، آٹومورفزم کے ہموار خاندانوں کی موجودگی کا حساب ان کی تعداد کو گھٹا کر دینا چاہیے۔ جینس صفر کا بالکل ایک پیچیدہ منحنی خطہ ہے، ریمن دائرہ، اور اس کے آئسومورفزم کا گروپ پی جی ایل (2) ہے۔ اسی طرح، جینس 1 میں، منحنی خطوط کی ایک جہتی جگہ ہوتی ہے، لیکن اس طرح کے ہر منحنی خطوط میں آٹومورفزم کا ایک جہتی گروپ ہوتا ہے۔ لہذا، اسٹیک کا طول و عرض 0 ہے۔ تعمیر اور ناقابل کٹوتی یہ ایک غیر معمولی نظریہ ہے، جسے پیئر ڈیلیگن اور ڈیوڈ ممفورڈ نے ثابت کیا ہے کہ ماڈیولی اسٹیک ناقابل کٹوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے دو مناسب سب اسٹیکس کے اتحاد کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ وہ ہلبرٹ اسکیم میں ٹرائی کینونکل سرایت شدہ منحنی خطوط (ہر منحنی خطوط کے لیے بہت زیادہ کے سرایت سے) میں مستحکم منحنی خطوط کے لوکس کا تجزیہ کرکے یہ ثابت کرتے ہیں جن میں ہلبرٹ کثیر الجہتی ہوتا ہے۔ پھر، اسٹیک ماڈیولی اسپیس کی تعمیر ہے۔ ڈیفارمیشن تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے، ڈیلیگن اور ممفورڈ دکھاتے ہیں کہ یہ اسٹیک ہموار ہے اور مستحکم منحنی خطوط کے درمیان آئسومورفزم کے اسٹیک کا استعمال کرتے ہیں، یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ اس میں محدود اسٹیبلائزرز ہیں، اس لیے یہ ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک ہے۔ مزید برآں، وہ اس کی ایک درجہ بندی تلاش کرتے ہیں، جہاں ہموار مستحکم منحنی خطوط کا ذیلی حصہ ہے اور اس کا ایک ناقابل تلافی جزو ہے۔ وہ (جی آئی ٹی کوشیئنٹ کے طور پر) کے اجزاء کا تجزیہ کرتے ہیں۔ اگر اس کے متعدد اجزاء موجود ہوتے تو ان میں سے کوئی بھی مکمل نہیں ہوتا۔ نیز، کے کسی بھی جزو میں غیر سنگل منحنی خطوط ہونے چاہئیں۔ نتیجتا، واحد لوکس جڑا ہوا ہے، اس لیے یہ اس کے ایک جزو میں موجود ہے۔ مزید برآں، چونکہ ہر جزو ایک دوسرے کو کاٹتا ہے، اس لیے تمام اجزاء کو ایک ہی جزو میں ہونا چاہیے، اس لیے موٹی جگہ ناقابل تلافی ہے۔ الجبرائی اسٹیکس کے عمومی نظریہ سے، اس کا مطلب ہے کہ اسٹیک کا حصہ ناقابل تلافی ہے۔ درستگی، یا آربی فولڈز کے لیے کمپیکٹنس، منحنی خطوط پر مستحکم کمی کے نظریہ سے پیروی کرتا ہے۔ یہ ابیلین اقسام کی مستحکم کمی کے حوالے سے گروتھینڈیک کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے، اور اس کی مساوات کو curves.section 5.2 موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کی مستحکم کمی کے ساتھ دکھایا جا سکتا ہے۔ کوئی بھی موٹے ماڈیولی خالی جگہوں پر بھی غور کر سکتا ہے جو ہموار یا مستحکم منحنی خطوط کی آئسومورفزم کلاسوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ان موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کا اصل میں ماڈیولی اسٹیک کے تصور کو متعارف کرانے سے پہلے مطالعہ کیا گیا تھا۔ در حقیقت، ماڈیولی اسٹیک کا خیال ڈیلیگن اور ممفورڈ نے موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کی پروجیکٹوٹی کو ثابت کرنے کی کوشش میں متعارف کرایا تھا۔ حالیہ برسوں میں، یہ واضح ہو گیا ہے کہ منحنی خطوط کا ڈھیر دراصل زیادہ بنیادی شے ہے۔ موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کا طول و عرض اسٹیکس جیسا ہی ہوتا ہے جب ؛ تاہم، جینس صفر میں موٹے ماڈیولی جگہ کا طول و عرض صفر ہوتا ہے، اور جینس ایک میں، اس کا طول و عرض ایک ہوتا ہے۔ کم جینس ماڈیولی خالی جگہوں کی مثالیں جینس 0 جینس منحنی خطوط کے ماڈیولی خالی جگہ کی جیومیٹری کا تعین ڈیفارمیشن تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے قائم کیا جا سکتا ہے۔ جینس وکر کے لیے ماڈیولی کی تعداد، مثال کے طور پر۔ ، کوہمولوجی گروپ کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ سیر ڈوئلٹی کے ساتھ یہ کوہمولوجی گروپ ڈوئلائزنگ شیف کے لیے آئسومورفک ہے۔ لیکن، ریمن-راک کا استعمال کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ کینونکل بنڈل کی ڈگری ہے، لہذا ڈگری ہے، اس لیے کوئی عالمی حصے نہیں ہیں، جس کا مطلب یہ ہے کہ جینس منحنی خطوط کی کوئی اخترتی نہیں ہے۔ یہ ثابت کرتا ہے کہ یہ صرف ایک نقطہ ہے، اور صرف جینس کے منحنی خطوط کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ واحد تکنیکی دشواری الجبرائی گروپ کا آٹومورفزم گروپ ہے، جو تین پوائنٹس طے ہونے کے بعد سخت ہوجاتا ہے، لہذا زیادہ تر مصنفین کا مطلب ہوتا ہے۔ جینس 1 کیس ماڈیولی خالی جگہوں کے پہلے اچھی طرح سے سمجھے جانے والے معاملات میں سے ایک ہے، کم از کم پیچیدہ نمبروں پر، کیونکہ ایلیپٹک منحنی خطوط کی آئسومورفزم کلاسوں کی درجہ بندی جے-انویرنٹ کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ ٹپوولوجیکل طور پر، صرف افائن لائن ہے، لیکن اسے انفینیٹی پر ایک مستحکم وکر کا اضافہ کرکے بنیادی ٹپوولوجیکل اسپیس کے ساتھ اسٹیک پر کمپیکٹ کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک واحد کسپ کے ساتھ ایک الپٹک وکر ہے۔ جنرل کیس اوور کی تعمیر اصل میں ڈیلیگن اور ریپوپورٹ نے مکمل کی تھی۔ نوٹ کریں کہ زیادہ تر مصنفین جینس ون منحنی خطوط کے معاملے کو ایک نشان زدہ نقطہ کے ساتھ گروپ کی ابتدا سمجھتے ہیں کیونکہ بصورت دیگر ایک فرضی ماڈیولی جگہ میں اسٹیبلائزر گروپ میں منحنی خطوط کے ذریعہ دیئے گئے نقطہ پر اسٹیبلائزر گروپ ہوتا، کیونکہ الپٹک منحنی خطوط میں ابیلین گروپ کا ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ اس فرضی ماڈیولی جگہ میں غیر ضروری تکنیکی پیچیدگی کا اضافہ کرتا ہے۔ دوسری طرف، ایک ہموار ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک ہے۔ جینس 2 میں یہ ایک کلاسیکی نتیجہ ہے کہ اس طرح کے تمام منحنی خطوط ہائپرلیپٹک، پی جی 298 ہیں لہذا ریمن-ہور وٹز فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے منحنی خطوط کے برانچ لوکس سے ماڈیولی اسپیس کا مکمل تعین کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ ایک صوابدیدی جینس 2 وکر کچھ منفرد طور پر بیان کردہ فارم کے کثیر الجہتی کے ذریعہ دی جاتی ہے، اس طرح کے منحنی خطوط کے لیے پیرامیٹر کی جگہ اس طرح دی جاتی ہے جہاں لوکس سے مطابقت رکھتی ہے۔ ویٹڈ پروجیکٹو اسپیس ایک ویٹڈ پروجیکٹو اسپیس اور ریمن-ہور وٹز فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ایک ہائپرلیپٹک وکر کو اس فارم کے کثیر الجہتی کے طور پر بیان کیا جاسکتا ہے جہاں کے حصوں کے لیے پیرامیٹرز ہوتے ہیں۔ پھر، حصوں کا لوکس جس میں کوئی ٹرپل روٹ نہیں ہوتا ہے، ہر منحنی خطوط پر مشتمل ہوتا ہے جس کی نمائندگی ایک نقطہ کرتا ہے۔ جینس 3 یہ منحنی خطوط کی پہلی ماڈیولی جگہ ہے جس میں ہائپرلیپٹک لوکس اور نان ہائپرلیپٹک لوکس دونوں ہوتے ہیں۔ غیر ہائپرلیپٹک منحنی خطوط تمام ڈگری 4 کے طیارہ منحنی خطوط کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں (جینس ڈگری فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے)، جو ہائپر سرفیس کی ہلبرٹ اسکیم میں ہموار لوکس کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیے جاتے ہیں۔ پھر، ماڈیولی کی جگہ کو سب اسٹیکس کے ذریعے مستحکم کیا جاتا ہے۔ برائشنل جیومیٹری یونیریشنلٹی قیاس پچھلے تمام معاملات میں، ماڈیولی خالی جگہوں کو یونیریشنل پایا جا سکتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ ایک غالب عقلی مورفزم موجود ہے اور یہ طویل عرصے سے توقع کی جارہی تھی کہ یہ تمام نسلوں میں درست ہوگا۔ درحقیقت، سیوری نے یہ ثابت کر دیا تھا کہ یہ نسل کے لیے درست ہے۔ اگرچہ، یہ پتہ چلتا ہے کہ جینس کے لیے اس طرح کی تمام ماڈیولی خالی جگہیں عام قسم کی ہیں، یعنی وہ یک جہتی نہیں ہیں۔ انہوں نے موٹے ماڈیولی خالی جگہوں کے کوڈیرا طول و عرض کا مطالعہ کرکے اسے پورا کیا اور اس کے لیے تلاش کیا۔ در حقیقت، کے لیے، اور اس لیے عام قسم کا ہے۔ ہندسی مضمرات یہ ہندسی طور پر اہم ہے کیونکہ اس کا مطلب ہے کہ حکمرانی شدہ قسم پر کوئی بھی لکیری نظام عالمگیر منحنی خطوط پر مشتمل نہیں ہو سکتا۔ باؤنڈری کی سٹریٹیفیکیشن ماڈیولی اسپیس میں باؤنڈری پر ایک قدرتی سٹریٹیفیکیشن ہوتی ہے جس کے پوائنٹس واحد جینس منحنی خطوط کی نمائندگی کرتے ہیں۔ یہ پرتوں میں تحلیل ہو جاتا ہے، جہاں کے لیے۔ جہاں عمل دو نشان زدہ نکات کو پارموٹ کرتا ہے۔ جب بھی برابر ہو۔ ان لوکی کے اوپر پڑے منحنی خطوط ڈبل پوائنٹ پر جڑے ہوئے منحنی خطوط کے ایک جوڑے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک واحد ڈبل پوائنٹ انفرادیت پر جینس وکر کی معمول سازی۔ ایک ہی جینس کے منحنی خطوط کا ایک جوڑا جو دوہرے نقطہ پر ترتیب تک جڑا ہوا ہے۔ جینس 2 کے لیے درجہ بندی جینس کے معاملے کے لیے، ایک درجہ بندی دی گئی ہے۔ ان سطحوں کا مزید تجزیہ چو رنگ پروپوزیشن 9.1 کے جنریٹرز کو دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نشان زدہ منحنی خطوط کا ماڈیولی جو کہ نوڈس سے جوڑی کے لحاظ سے الگ اور الگ، این نشان زدہ پوائنٹس کے ساتھ جینس جی نوڈل منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر غور کرکے بھی مسئلہ کو تقویت بخش سکتا ہے۔ اس طرح کے نشان زدہ منحنی خطوط کو مستحکم کہا جاتا ہے اگر نشان زدہ نکات کو طے کرنے والے منحنی خطوط کا ذیلی گروہ محدود ہو۔ ہموار (یا مستحکم) جینس جی منحنی خطوط کے نتیجے میں ماڈیولی اسٹیکس کو n نشان زدہ پوائنٹس کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے (یا)، اور ان کا طول و عرض ہوتا ہے۔ خاص دلچسپی کا ایک معاملہ ایک نشان زدہ نقطہ کے ساتھ جینس 1 منحنی خطوط کا ماڈیولی اسٹیک ہے۔ یہ الپٹک منحنی خطوط کا اسٹیک ہے۔ لیول 1 ماڈیولر شکلیں اس اسٹیک پر لائن بنڈلوں کے حصے ہیں، اور لیول N ماڈیولر شکلیں ایلپٹک منحنی خطوط کے اسٹیک پر لائن بنڈلوں کے حصے ہیں جن کی سطح N ساخت (تقریبا ترتیب N کے نکات کی نشاندہی) ہے۔ باؤنڈری جیومیٹری کمپیکٹفائیڈ ماڈیولی خالی جگہوں کی ایک اہم خاصیت یہ ہے کہ ان کی حد کو جنرا کے لیے ماڈیولی خالی جگہوں کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ایک نشان زدہ، مستحکم، نوڈل وکر کو دیکھتے ہوئے کوئی بھی اس کے دوہری گراف کو منسلک کر سکتا ہے، ایک گراف جس کے عمودی حصوں کو غیر منفی انٹیجرز کے ذریعہ لیبل کیا جاتا ہے اور اس میں لوپس، متعدد کناروں اور نمبر والے نصف کنارے بھی ہوتے ہیں۔ یہاں گراف کے عمودی نوڈل وکر کے ناقابل تلافی اجزاء سے مطابقت رکھتے ہیں، کسی عمودی کی لیبلنگ متعلقہ جزو کی ریاضی کی نسل ہے، کنارے منحنی خطوط کے نوڈس سے مطابقت رکھتے ہیں اور نصف کنارے نشانات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک دیئے گئے دوہری گراف کے ساتھ منحنی خطوط کے لوکس کی بندش ایک محدود گروپ کے ذریعہ منحنی خطوط کے کمپیکٹفائیڈ ماڈیولی خالی جگہوں کے پروڈکٹ کے اسٹیک کوٹینٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ پروڈکٹ میں ورٹیکس V سے مطابقت رکھنے والے عنصر میں لیبلنگ سے لیا گیا جینس GV ہوتا ہے اور نشانات کی تعداد V پر باہر جانے والے کناروں اور نصف کناروں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ کل جینس G GV کا مجموعہ اور گراف میں بند چکروں کی تعداد ہے۔ مستحکم منحنی خطوط جن کے دوہری گراف میں ایک ورٹیکس کا لیبل ہوتا ہے (اس لیے دیگر تمام عمودی حصوں میں ہوتا ہے اور گراف ایک درخت ہوتا ہے) کو "عقلی دم" کہا جاتا ہے اور ان کی ماڈیولی جگہ کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ مستحکم منحنی خطوط جن کا دوہری گراف ایک درخت ہے انہیں "کمپیکٹ ٹائپ" کہا جاتا ہے (کیونکہ جیکوبین کمپیکٹ ہے) اور ان کی ماڈیولی اسپیس کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ نشان زدہ منحنی خطوط کا ماڈیولی وٹن قیاس ٹاٹولوجیکل رنگ گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم حوالہ جات کلاسیکی حوالہ جات منحنی خطوط کے ماڈیولی پر کتابیں کوہومولوجی اور انٹرسیکشن تھیوری بیرونی لنکس "ٹوپولوجی اور جیومیٹری آف ماڈیولی اسپیس آف وکرز" "مستحکم نقشوں کا ماڈیولی، گروموف-وٹن انویرنٹس، اور کوانٹم کوہومولوجی" ماڈیولی تھیوری الجبرائی اقسام