Dual curve
پروجیکٹو جیومیٹری میں، کسی دیئے گئے طیارہ منحنی خطوط کا دوہری منحنی خطوط دوہری پروجیکٹو طیارہ میں ایک منحنی خطوط پر مشتمل ہوتا ہے جس میں لکیروں کا مجموعہ ہوتا ہے۔ ایک منحنی خطوط سے اس کے دوہری تک کا نقشہ ہوتا ہے، جو ہر نقطہ کو نقطہ دوہری پر اس کی ٹینجینٹ لائن پر بھیجتا ہے۔ اگر الجبرائی ہے تو اس کا دوہری بھی ہے اور دوہری کی ڈگری کو اصل منحنی خطوط کی کلاس کہا جاتا ہے۔ دوہری کی مساوات، لائن کوآرڈینیٹس میں دی گئی ہے، کو ٹینجینشیل مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ دوہری ایک ارتقاء ہے: کے دوہری کا دوہری اصل منحنی ہے۔ دوہری منحنی خطوط کی تعمیر ہیملٹنین میکانکس کے تناظر میں لیجنڈر کی تبدیلی کے لیے ہندسی بنیاد ہے۔ مساوات کو پروجیکٹو طیارہ پر یکساں نقاط میں ایک منحنی خطوط کی مساوات ہونے دیں۔ ایک دوہری پروجیکٹو طیارہ میں اس کے لائن کوآرڈینیٹس کو نامزد کرنے کے ساتھ، ایک لائن کی مساوات ہونے دیں۔ یہ شرط کہ لکیر منحنی خطوط سے متصل ہے، اس شکل میں ظاہر کی جا سکتی ہے جو کہ منحنی خطوط کی متصل مساوات ہے۔ منحنی خطوط پر ایک نقطہ پر، ٹینجینٹ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے تو یہ منحنی خطوط کے لیے ایک ٹینجینٹ ہے اگر اسے ختم کیا جائے،،، اور ان مساوات سے، اس کے ساتھ، دوہری منحنی خطوط کی مساوات بھی ملتی ہے۔ مثال کے طور پر، کونک ہونے دیں۔ دوہری کو،، اور مساوات سے ہٹا کر پایا جاتا ہے۔ پہلی تین مساوات کو،، کے لیے آسانی سے حل کیا جاتا ہے، اور آخری مساوات میں تبدیل کرنے سے ڈینومینیٹرز سے کلیئرنگ پیدا ہوتی ہے، ڈوئل کی مساوات ہے۔ پروجیکٹو کوآرڈینیٹس میں پیرامیٹریکل طور پر بیان کردہ منحنی خطوط پر غور کریں۔ اس کی پروجیکٹو ٹینجینٹ لائن ایک لکیری طیارہ ہے جو ٹینجینسی کے نقطہ اور ٹینجینٹ ویکٹر کے ذریعہ پھیلا ہوا ہے، جس میں کراس پروڈکٹ کے ذریعہ دیئے گئے لکیری مساوات کے کوفیشنٹس ہیں: جو افائن کوآرڈینیٹس میں ہے: ایک انفلیکشن پوائنٹ کا ڈوئل ایک کاسپ دے گا اور ایک ہی ٹینجینٹ لائن کا اشتراک کرنے والے دو پوائنٹس ڈوئل پر سیلف انٹریکشن پوائنٹ دیں گے۔ پروجیکٹو تفصیل سے، کوئی بھی ڈوئل کے ڈوئل کا حساب لگا سکتا ہے: جو پروجیکٹو طور پر اصل منحنی خطوط کے مساوی ہے۔ دوہری منحنی خطوط کی خصوصیات اصل منحنی خطوط کی خصوصیات دوہری منحنی خطوط پر دوہری خصوصیات سے مطابقت رکھتی ہیں۔ تعارف کی تصویر میں، سرخ منحنی خطوط کی تین انفرادیت ہوتی ہیں-مرکز میں ایک نوڈ، اور نچلے دائیں اور نچلے بائیں طرف دو کاسپس۔ سیاہ منحنی خطوط کی کوئی انفرادیت نہیں ہے لیکن اس کے چار ممتاز نکات ہیں: دو سب سے اوپر والے نکات نوڈ (ڈبل پوائنٹ) سے مطابقت رکھتے ہیں، کیونکہ ان دونوں کی ایک ہی ٹینجینٹ لائن ہے، اس لیے دوہری منحنی خطوط میں ایک ہی نقطہ کا نقشہ بناتے ہیں، جبکہ دو انفلیکشن پوائنٹس کاسپس سے مطابقت رکھتے ہیں، کیونکہ ٹینجینٹ لائنیں پہلے ایک طرف جاتی ہیں پھر دوسری طرف (ڈھلوان بڑھتا ہے، پھر کم ہوتا ہے)۔ اس کے برعکس، ایک ہموار، کنویکس وکر پر ٹینجینٹ لائن کا زاویہ یکسانیت سے بدلتا ہے، اور اس کے نتیجے میں ہونے والا دوہری وکر بھی ہموار اور کنویکس ہوتا ہے۔ مزید برآں، اوپر کے دونوں منحنی خطوط میں عکاسی سمیٹری ہے: پروجیکٹو ڈوئلٹی ایک پروجیکٹو اسپیس میں سمیٹریز کو محفوظ رکھتی ہے، لہذا دوہری منحنی خطوط میں ایک ہی سمیٹری گروپ ہوتا ہے۔ اس صورت میں دونوں ہم آہنگی کو بائیں دائیں عکاسی کے طور پر محسوس کیا جاتا ہے۔ یہ اس بات کا ایک نمونے ہے کہ خلا اور دوہری جگہ کی شناخت کیسے کی گئی ہے-عام طور پر یہ مختلف خالی جگہوں کی ہم آہنگی ہیں۔ ڈگری اگر ایک طیارہ الجبرائی منحنی خطوط ہے، تو دوہری کی ڈگری دوہری طیارہ میں ایک لکیر کے ساتھ نقاط کے چوراہے کی تعداد ہے۔ چونکہ دوہری سطح میں ایک لکیر سطح میں ایک نقطہ سے مطابقت رکھتی ہے، اس لیے دوہری کی ڈگری اس کے لیے ٹینجینٹ کی تعداد ہے جسے کسی دیئے گئے نقطہ سے کھینچا جا سکتا ہے۔ وہ پوائنٹس جہاں یہ ٹینجینٹ منحنی خطوط کو چھوتے ہیں وہ دیئے گئے نقطہ کے حوالے سے منحنی خطوط اور قطبی منحنی خطوط کے درمیان چوراہے کے پوائنٹس ہیں۔ اگر منحنی خطوط کی ڈگری ہے تو قطبی خطوط کی ڈگری ہے اور اس لیے دیئے گئے نقطہ کے ذریعے کھینچے جانے والے ٹینجینٹ کی تعداد زیادہ سے زیادہ ہے۔ کسی لکیر کا دوہرا (ڈگری 1 کا منحنی خطوط) اس سے مستثنی ہے اور اسے دوہری جگہ (یعنی اصل لکیر) میں ایک نقطہ سمجھا جاتا ہے۔ ایک ہی نقطہ کے دوہرے کو لکیروں کا مجموعہ سمجھا جاتا ہے حالانکہ نقطہ ؛ یہ دوہری جگہ میں ایک لکیر بناتا ہے جو اصل نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اگر ہموار ہے (کوئی واحد پوائنٹ نہیں) تو ڈوئل کی زیادہ سے زیادہ ڈگری ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مخروط کا دوہرا بھی مخروط ہے۔ ہندسی طور پر، کونک سے اس کے ڈوئل تک کا نقشہ ایک سے ایک ہے (چونکہ کوئی لکیر کونک کے دو نکات پر ٹینجینٹ نہیں ہے، کیونکہ اس کے لیے ڈگری 4 کی ضرورت ہوتی ہے)، اور ٹینجینٹ لائن آسانی سے مختلف ہوتی ہے (جیسا کہ وکر کنویکس ہے، اس لیے ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان یکسوئی سے بدلتی ہے: ڈوئل میں کسپس کو اصل وکر میں ایک انفلیکشن پوائنٹ کی ضرورت ہوتی ہے، جس کے لیے ڈگری 3 کی ضرورت ہوتی ہے)۔ واحد پوائنٹس والے منحنی خطوط کے لیے، یہ نکات منحنی خطوط اور اس کے قطبی کے چوراہے پر بھی ہوں گے اور اس سے ممکنہ ٹینجینٹ لائنوں کی تعداد کم ہو جاتی ہے۔ پلکر فارمولے d کے لحاظ سے دوہری کی ڈگری اور کے واحد پوائنٹس کی تعداد اور اقسام دیتے ہیں۔ قطبی باہمی دوہری کو قطبی باہمی کی شکل میں ہوائی جہاز میں لوکس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس کی تعریف ایک فکسڈ کونک کے حوالے سے وکر کی ٹینجینٹ لائنوں کے قطبوں کے لوکس کے طور پر کی گئی ہے۔ کونک کو تقریبا ہمیشہ ایک دائرے کے طور پر لیا جاتا ہے، لہذا قطبی باہمی پیڈل کا الٹا ہوتا ہے۔ عامیاں اعلی جہتیں اسی طرح، اعلی جہتوں کو عام کرنا، ایک ہائپر سرفیس کو دیکھتے ہوئے، ہر نقطہ پر ٹینجینٹ اسپیس ہائپر پلین کا ایک خاندان دیتا ہے، اور اس طرح دوہری جگہ میں دوہری ہائپر سرفیس کی وضاحت کرتا ہے۔ پروجیکٹو اسپیس میں کسی بھی بند ذیلی قسم کے لیے، کسی نقطہ پر تمام ہائپرپلین ٹینجینٹ کا سیٹ پروجیکٹو اسپیس کے ڈوئل کی ایک بند ذیلی قسم ہے، جسے ڈوئل قسم کہا جاتا ہے۔ مثال اگر ایک ہائپر سرفیس کی تعریف ایک یکساں کثیر الجہتی کے ذریعہ کی گئی ہے، تو اس کی دوہری قسم میلان کے نقشے کی تصویر ہے جو دوہری پروجیکٹو اسپیس میں اترتی ہے۔ کسی نقطہ کی دوہری قسم ہائپرپلین ڈوئل پولیگن ہے۔ دوہری منحنی خطوط کی تعمیر اس صورت میں بھی کام کرتی ہے جب منحنی خطوط ٹکڑے ٹکڑے لکیری یا ٹکڑے ٹکڑے تفریق پذیر ہوں، لیکن اس کے نتیجے میں نقشہ انحطاط پذیر (اگر لکیری اجزاء ہوں) یا غیر متعین (اگر واحد نکات ہوں) ہو۔ کثیر الاضحی کے معاملے میں، ہر کنارے کے تمام نکات ایک ہی ٹینجینٹ لائن کا اشتراک کرتے ہیں، اور اس طرح ڈوئل کے ایک ہی ورٹیکس کا نقشہ بناتے ہیں، جبکہ ورٹیکس کی ٹینجینٹ لائن غیر متعین ہوتی ہے، اور اس کی تشریح دونوں کناروں کے درمیان زاویے کے ساتھ اس سے گزرنے والی تمام لائنوں کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ یہ پروجیکٹو دوہری کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے (لکیریں پوائنٹس پر نقشہ بناتی ہیں، اور لائنز پر اشارہ کرتی ہیں)، اور ہموار منحنی خطوط کی حد کے ساتھ جس میں کوئی لکیری جزو نہیں ہوتا ہے: جیسے جیسے ایک منحنی خطوط کسی کنارے پر چپٹے ہوتے ہیں، اس کی ٹینجینٹ لائنیں قریب اور قریب پوائنٹس پر نقشہ بناتی ہیں۔ جیسے جیسے ایک منحنی خطوط کسی سرے پر تیز ہوتا ہے، اس کی ٹینجینٹ لائنیں مزید پھیل جاتی ہیں۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی کنویکس پولی ہیڈرون یا شنک میں ایک پولی ہیڈرل ڈوئل ہوتا ہے، اور باؤنڈری ہائپر سرفیس H کے ساتھ کسی بھی کنویکس سیٹ X میں ایک کنویکس کنجوگیٹ X * ہوتا ہے جس کی باؤنڈری دوہری قسم H * ہوتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ہاؤف ٹرانسفارم گاؤس کا نقشہ نوٹس حوالہ جات منحنی خطوط پروجیکٹو جیومیٹری تفریقی جیومیٹری