Riemann–Roch theorem for surfaces
ریاضی میں، سطحوں کے لیے ریمن-راک تھیوریم الجبرائی سطح پر لکیری نظاموں کے طول و عرض کو بیان کرتا ہے۔ اس کی کلاسیکی شکل سب سے پہلے اور کے ذریعہ اس کے ابتدائی ورژن ملنے کے بعد دی گئی تھی۔ شیف تھیوریٹک ورژن ہرزبروچ کی وجہ سے ہے۔ ریمن-راک تھیوریم کی ایک شکل بیان کرتی ہے کہ اگر D کسی غیر سنگل پروجیکٹو سطح پر تقسیم کنندہ ہے تو جہاں χ ہولومورفک اویلر کی خصوصیت ہے، ڈاٹ۔ انٹرسیکشن نمبر ہے، اور K کینونکل ڈیوائزر ہے۔ مستقل χ (0) معمولی بنڈل کی ہولومورفک اویلر خصوصیت ہے، اور یہ 1 + پی اے کے برابر ہے، جہاں پی اے سطح کی ریاضی کی نسل ہے۔ موازنہ کے لیے، وکر کے لیے ریمن-راک تھیوریم بیان کرتا ہے کہ χ (D) = χ (0) + ڈگری (D)۔ نویتھر کا فارمولا نویتھر کا فارمولا بتاتا ہے کہ جہاں χ = χ (0) ہولومورفک اویلر کی خصوصیت ہے، c12 = (K. K) ایک چرن نمبر ہے اور کینونکل کلاس K کا سیلف انٹرسیکشن نمبر ہے، اور e = c2 ٹوپولوجیکل اویلر کی خصوصیت ہے۔ اسے ریمن-روچ تھیوریم میں اصطلاح χ (0) کو ٹپوولوجیکل اصطلاحات سے تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس سے سطحوں کے لیے ہرزبروچ-ریمن-روچ تھیوریم ملتا ہے۔ سطحوں کے لیے، ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم بنیادی طور پر نویتر فارمولے کے ساتھ مل کر سطحوں کے لیے ریمن-راک تھیوریم ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، یاد رکھیں کہ کسی سطح پر ہر تقسیم کنندہ D کے لیے ایک الٹا ہونے والا شیف L = O (D) ہوتا ہے جیسے کہ D کا لکیری نظام کم و بیش L کے حصوں کی جگہ ہوتا ہے۔ سطحوں کے لیے ٹوڈ کلاس ہے، اور شیف L کا چرن کردار صرف ہے، اس لیے ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ خوش قسمتی سے اسے واضح شکل میں درج ذیل لکھا جا سکتا ہے۔ پہلے D = 0 ڈالنے سے پتہ چلتا ہے کہ (نویتھر کا فارمولا) الٹا ہونے والے شیوز (لائن بنڈل) کے لیے دوسرا چرن کلاس غائب ہو جاتا ہے۔ دوسرے کوہمولوجی کلاسوں کی مصنوعات کو پکارڈ گروپ میں انٹرسیکشن نمبروں سے پہچانا جا سکتا ہے، اور ہمیں سطحوں کے لیے ریمن روچ کا ایک زیادہ کلاسیکی ورژن ملتا ہے: اگر ہم چاہیں تو، ہم ایچ 2 (او (ڈی) کو ایچ 0 (او (کے − ڈی) کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے سیر ڈوئلٹی کا استعمال کر سکتے ہیں، لیکن منحنی خطوط کے معاملے کے برعکس عام طور پر ایچ 1 (او (ڈی)) اصطلاح کو ایسی شکل میں لکھنے کا کوئی آسان طریقہ نہیں ہے جس میں شیف کوہمولوجی شامل نہ ہو (حالانکہ عملی طور پر یہ اکثر غائب ہو جاتا ہے)۔ ابتدائی ورژن سطحوں کے لیے ریمن-راک تھیوریم کی ابتدائی شکلوں کو اکثر مساوات کے بجائے عدم مساوات کے طور پر بیان کیا جاتا تھا، کیونکہ پہلے کوہمولوجی گروپوں کی کوئی براہ راست ہندسی وضاحت نہیں تھی۔ ایک عام مثال اس طرح دی گئی ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ جہاں r ایک تقسیم کار D کے مکمل لکیری نظام |D | کا طول و عرض ہے (تو r = h0 (O (D) −1) n D کی ورچوئل ڈگری ہے، جو سیلف انٹرسیکشن نمبر (D. D) π کے ذریعہ دی گئی ہے، جو D کی ورچوئل جینس ہے، جو 1 + (D. D + K. D) کے برابر ہے/2a سطح کی ریاضی کی جینس χ (OF) −1 ہے I D کی خاصیت کا اشاریہ ہے، جو ڈم H0 (O (K − D) کے برابر ہے (جو سیر ڈوئلٹی کے لحاظ سے ڈم H2 (O (D)) کے برابر ہے)۔ اس عدم مساوات کے دونوں پہلوؤں کے درمیان فرق کو تقسیم کنندہ D کی سپرابونڈنس s کہا جاتا تھا۔ اس عدم مساوات کا ریمن-راک تھیوریم کے شیف تھیوریٹک ورژن سے موازنہ کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ D کی سپرابونڈنس s = dim H1 (O (D)) کے ذریعہ دی گئی ہے۔ تقسیم کنندہ D کو باقاعدہ کہا جاتا تھا اگر i = s = 0 (یا دوسرے الفاظ میں اگر O (D) کے تمام اعلی کوہمولوجی گروپ غائب ہو جائیں) اور سپرابونڈنٹ اگر s> 0 ہو۔ حوالہ جات الجبرائی ہندسہ میں ٹپوولوجیکل طریقے بذریعہ فریڈرک ہرزبروچ الجبرائی ہندسہ میں نظریات الجبرائی سطحیں الجبرائی ہندسہ کے ٹپوولوجیکل طریقے