Alexander duality
ریاضی میں، الیگزینڈر ڈوئلٹی سے مراد ایک ڈوئلٹی تھیوری ہے جو 1915 میں جے ڈبلیو الیگزینڈر کے نتیجے میں شروع کی گئی تھی، اور اس کے بعد مزید تیار ہوئی، خاص طور پر پاول الیگزینڈرروف اور لیو پونٹریگین نے۔ یہ یوکلڈین اسپیس، ایک دائرے، یا دیگر کئی گنا میں ذیلی جگہ X کی تکمیل کی ہومیولوجی تھیوری کی خصوصیات پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ ہسپانوی-سفید سر دوہری کی طرف سے عام کیا جاتا ہے. شعبوں کے لیے عمومی بیان طول و عرض n کے دائرے کی ایک کمپیکٹ، مقامی طور پر سکڑنے والی ذیلی جگہ ہونے دیں۔ پھر اگر کم شدہ ہومیولوجی یا کم شدہ کوہمولوجی کا مطلب ہے، کسی دیئے گئے ابیلین گروپ میں کوفیشنٹس کے ساتھ، تو سب کے لیے ایک آئسومورفزم ہے۔ نوٹ کریں کہ ہم مفروضے کے حصے کے طور پر مقامی معاہدہ کو چھوڑ سکتے ہیں اگر ہم چیچ کوہومولوجی کا استعمال کرتے ہیں، جو مقامی امراض سے نمٹنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ ایپلی کیشنز یہ گانٹھ اور لنک تکمیل کی ہم آہنگی کے حساب کے لیے مفید ہے۔ یاد رکھیں کہ گانٹھ ایک سرایت ہے اور ایک لنک گانٹھوں کا ایک جداگانہ اتحاد ہے، جیسے کہ بورومین بجتی ہے۔ پھر، اگر ہم لنک/گرہ کو اس طرح لکھتے ہیں، جو ہمارے پاس ہے، کوہمولوجی گروپوں کی گنتی کے لیے ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ پھر، میسی مصنوعات کا استعمال کرتے ہوئے مختلف لنکس کے درمیان فرق کرنا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، بورومین رنگوں کے لیے، ہومیولوجی گروپس تعمیری شیوز کے لیے الیگزینڈر ڈوئلٹی ہیں۔ ہموار کئی گنا کے لیے، الیگزینڈر ڈوئلٹی ابیلین گروپس کے شیوز کے لیے ورڈیئر ڈوئلٹی کا باضابطہ نتیجہ ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر ہم ایک ہموار کئی گنا کی نشاندہی کرتے ہیں اور ہم ایک بند ذیلی جگہ (جیسے کہ ایک سائیکل کی نمائندگی کرنے والی ذیلی جگہ، یا ذیلی منی فولڈ) ہونے دیتے ہیں جس کی نمائندگی شمولیت سے ہوتی ہے، اور اگر ایک فیلڈ ہے، تو اگر-ویکٹر خالی جگہوں کا ایک خول ہے تو ہمارے پاس درج ذیل آئسومورفزم ہے، جہاں بائیں طرف کا کوہمولوجی گروپ کمپیکٹ طور پر سپورٹ شدہ کوہمولوجی ہے۔ ہم اس بیان کو مزید کھول سکتے ہیں تاکہ اس کا مطلب بہتر طور پر سمجھ سکیں۔ سب سے پہلے، اگر مستقل شیف ہے اور ایک ہموار ذیلی منی فولڈ ہے، تو ہمیں ملتا ہے، جہاں دائیں طرف کا کوہمولوجی گروپ مقامی کوہمولوجی ہے جس میں سپورٹ ہے۔ مزید تخفیف کے ذریعے، کی ہم آہنگی کی شناخت کوہمولوجی کے ساتھ کرنا ممکن ہے۔ یہ الجبرائی جیومیٹری میں پروجیکٹو اقسام کے کوہمولوجی گروپوں کی گنتی کے لیے مفید ہے، اور جیکوبین رنگ کا استعمال کرتے ہوئے ڈگری کے ہائپر سرفیس کے ہج ڈھانچے کی بنیاد بنانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ سکندر کا 1915 کا نتیجہ سکندر کے اصل کام کا حوالہ دیتے ہوئے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ایکس ایک سادہ کمپلیکس ہے۔ سکندر کے پاس جدید آلات بہت کم تھے، اور اس کا نتیجہ صرف بیٹی نمبروں کے لیے تھا، جس میں کوفیشنٹس ماڈیولو 2 لیے گئے تھے۔ مثالوں سے کیا توقع کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر 3 دائرے میں کلفورڈ ٹورس کی تعمیر سے پتہ چلتا ہے کہ ٹھوس ٹورس کی تکمیل ایک اور ٹھوس ٹورس ہے ؛ جو دوسرے کے بند ہونے پر کھلا رہے گا، لیکن اس سے اس کی ہم آہنگی متاثر نہیں ہوتی ہے۔ ٹھوس توری میں سے ہر ایک ہوموٹوپی نقطہ نظر سے ایک دائرہ ہے۔ اگر ہم صرف دائرے کے بیٹی نمبر 1، 1، 0، 0 لکھیں (تک، چونکہ ہم 3 دائرے میں ہیں)، تو 0، 0، 1، 1 کے طور پر الٹا کریں اور پھر 0، 1، 1، 0 حاصل کرنے کے لیے ایک کو بائیں طرف منتقل کریں، ایک مشکل ہے، کیونکہ ہمیں وہ نہیں مل رہا ہے جس سے ہم نے شروعات کی تھی۔ دوسری طرف وہی طریقہ کار کم شدہ بیٹی نمبروں پر لاگو ہوتا ہے، جس کے لیے ابتدائی بیٹی نمبر 1 سے کم ہوتا ہے، 0، 1، 0، 0 سے شروع ہوتا ہے اور 0، 0، 1، 0 دیتا ہے جہاں سے 0، 1، 0، 0 آتا ہے۔ تکمیل کے کم ہونے والے بیٹی نمبروں کی پیش گوئی کرتے ہوئے یہ کام کرتا ہے۔ یہاں پروٹو ٹائپ اردن وکر تھیوریم ہے، جو ٹپوولوجیکل طور پر ریمن دائرے میں ایک دائرے کی تکمیل سے متعلق ہے۔ یہ بھی وہی کہانی بیان کرتا ہے۔ ہمارے پاس دائرے کے ایماندار بیٹی نمبر 1، 1، 0 ہیں، اور اس لیے پلٹ کر 0، 1، 1 اور بائیں طرف منتقل ہو کر 1، 1، 0 ہیں۔ یہ اردن تھیوریم کے بیانات سے کچھ مختلف پیش کرتا ہے، جو یہ ہے کہ دو اجزاء ہیں، جن میں سے ہر ایک معاہدہ پذیر ہے (شینفلیز تھیوریم، جو یہاں استعمال کیا گیا ہے اس کے بارے میں درست ہے)۔ یعنی ایماندار بیٹی نمبروں میں صحیح جواب 2، 0، 0 ہے۔ ایک بار پھر، یہ کم شدہ بیٹی نمبر ہیں جو کام کرتے ہیں۔ ان کے ساتھ، ہم 0، 1، 0 سے شروع کرتے ہیں اور 1، 0، 0 کے ساتھ ختم کرتے ہیں۔ ان دو مثالوں سے، لہذا، سکندر کی تشکیل کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے: کم شدہ بیٹی نمبروں کا تعلق تکمیل سے ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا الجبرائی ٹوپولوجی دوہری نظریات