Opposite ring
ریاضی میں، خاص طور پر تجریدی الجبرا میں، ایک رنگ کا مخالف ایک اور رنگ ہے جس میں وہی عناصر اور اضافی عمل ہوتا ہے، لیکن ضرب الٹی ترتیب میں انجام دی جاتی ہے۔ مزید واضح طور پر، رنگ کا مخالف وہ رنگ ہے جس کے ضرب کی تعریف R میں سب کے لیے کی جاتی ہے۔ مخالف رنگ کو ملٹی ماڈیولز کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو کہ بموڈیولز کی عمومی شکل ہے۔ وہ بائیں اور دائیں ماڈیولز کے درمیان تعلق کو واضح کرنے میں بھی مدد کرتے ہیں (دیکھیں)۔ مونوئڈز، گروپس، رنگز، اور الجبرا سبھی کو ایک ہی شے کے ساتھ زمرہ جات کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ مخالف زمرے کی تعمیر مخالف گروپ، مخالف رنگ وغیرہ کو عام بناتی ہے۔ آٹومورفزم اور اینٹی آٹومورفزم سے تعلق اس حصے میں مخالف رنگ میں ضرب کی علامت کو ستارے سے ہیرے میں تبدیل کیا جاتا ہے، تاکہ کسی غیر معمولی عمل کے ساتھ الجھن سے بچا جا سکے۔ ایک انگوٹھی جس میں آئسومورفک مخالف انگوٹی ہوتی ہے اسے خود مخالف انگوٹی کہا جاتا ہے، جس کا نام اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ یہ بنیادی طور پر اسی رنگ کی ہوتی ہے۔ تمام مواصلاتی حلقے خود مخالف ہوتے ہیں۔ آئیے اینٹی آئسومورفزم کی وضاحت کرتے ہیں، جہاں کے لیے۔ چونکہ یہ درحقیقت ایک اینٹی آئسومورفزم ہے۔ اینٹی آئسومورفزم کی تعریف عام طور پر سیمی گروپس، مونوئڈز، گروپس، رنگز، آر این جیز، الجبرا کے لیے کی جا سکتی ہے۔ رنگز (اور آر این جی ایس) کے معاملے میں ہم عمومی مساوات حاصل کرتے ہیں۔ ایک انگوٹھی خود مخالف ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں کم از کم ایک اینٹی آٹومورفزم ہو۔ ثبوت:: خود مخالف ہونے دیں۔ اگر ایک آئسومورفزم ہے، تو، اینٹی آئسومورفزم اور آئسومورفزم کی ساخت ہونے کے ناطے، اپنے آپ میں ایک اینٹی آئسومورفزم ہے، لہذا اینٹی آٹومورفزم ہے۔ : اگر ایک اینٹی آٹومورفزم ہے، تو دو اینٹی آئسومورفزم کی ساخت کے طور پر ایک آئسومورفزم ہے۔ تو خود مخالف ہے۔ اور اگر خود مخالف ہے اور آٹومورفزم کا گروپ محدود ہے، تو اینٹی آٹومورفزم کی تعداد آٹومورفزم کی تعداد کے برابر ہے۔ ثبوت: مفروضے اور مذکورہ بالا مساوات سے اینٹی آٹومورفزم موجود ہیں۔ اگر ہم ان میں سے کسی ایک کو چنتے ہیں اور اس کی نشاندہی کرتے ہیں، تو نقشہ، جہاں سے گزرتا ہے، واضح طور پر انجیکشن والا ہے لیکن سرجیکٹو بھی ہے، کیونکہ ہر اینٹی آٹومورفزم کچھ آٹومورفزم کے لیے ہے۔ یہ اسی طرح ثابت کیا جا سکتا ہے، کہ انہی مفروضوں کے تحت آئسومورفزم کی تعداد سے لے کر ان کے اینٹی آٹومورفزم کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ اگر کچھ اینٹی آٹومورفزم بھی ایک آٹومورفزم ہے، تو ہر ایک کے لیے چونکہ سب کے لیے بیجیکٹو ہے اور، اس لیے رنگ تبادلہ ہے اور تمام اینٹی آٹومورفزم آٹومورفزم ہیں۔ متضاد طور پر، اگر کوئی رنگ غیر متغیر (اور خود مخالف) ہے، تو کوئی اینٹی آٹومورفزم ایک آٹومورفزم نہیں ہے۔ تمام آٹومورفزموں کے گروپ کو تمام اینٹی آٹومورفزموں کے ساتھ مل کر ظاہر کریں۔ مندرجہ بالا ریمارکس کا مطلب یہ ہے کہ اگر کوئی رنگ (یا آر این جی) غیر متغیر اور خود مخالف ہے۔ اگر یہ تبادلہ یا غیر خود مخالف ہے، تو۔ مثالیں اتحاد کے ساتھ سب سے چھوٹی غیر تبادلہ والی رنگ اس طرح کی سب سے چھوٹی رنگ میں آٹھ عناصر ہوتے ہیں اور یہ آئسومورفزم تک آرڈر 8 کے اتحاد کے ساتھ 11 رنگوں میں واحد غیر تبادلہ والی رنگ ہے۔ اس میں اضافی گروپ ہوتا ہے۔ ظاہر ہے کہ اینٹی آئسومورفک ہے، جیسا کہ ہمیشہ ہوتا ہے، لیکن یہ بھی آئسومورفک ہے۔ ذیل میں جمع اور ضرب کی میزیں ہیں، اور مخالف رنگ میں ضرب، جو کہ ایک ٹرانسپوزڈ ٹیبل ہے۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ دونوں حلقے آئسومورفک ہیں، ٹیبل کے ذریعے دیا گیا نقشہ لیں۔ نقشہ عناصر کو صرف دو جوڑوں میں تبدیل کرتا ہے: اور۔ اس کے مطابق ضرب کی میز میں موجود عناصر کا نام تبدیل کریں (دلائل اور اقدار)۔ اگلا، دلائل کو چڑھتے ہوئے ترتیب میں واپس لانے کے لیے قطاروں اور کالموں کو دوبارہ ترتیب دیں۔ ٹیبل بالکل ضرب کی ٹیبل بن جاتی ہے۔ اضافی گروپ کی میز میں اسی طرح کی تبدیلیاں ایک ہی ٹیبل حاصل کرتی ہیں، اسی طرح اس گروپ کی آٹومورفزم بھی ہے، اور چونکہ یہ درحقیقت ایک رنگ آئسومورفزم ہے۔ نقشہ غیر قانونی ہے، یعنی۔ ، تو = اور یہ ایک آئسومورفزم ہے۔ لہذا، آئسومورفزم کی وضاحت کے لیے تعدد کی دوبارہ تشریح کی جا سکتی ہے اور پھر اسی تعدد کے ذریعے دی گئی ایک اینٹی آٹومورفزم ہے۔ انگوٹھی میں بالکل دو آٹومورفزم ہوتے ہیں: شناخت اور، یعنی۔ لہذا اس کے مکمل گروپ میں چار عناصر ہوتے ہیں جن میں سے دو اینٹی آٹومورفزم ہوتے ہیں۔ ترتیب 4 کا کوئی عنصر نہیں ہے، اس لیے گروپ چکور نہیں ہے اور گروپ (یا کلین گروپ) ہونا چاہیے، جس کی تصدیق حساب سے کی جا سکتی ہے۔ اس رنگ کا "سمیٹری گروپ" مستطیل کے سمیٹری گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ 27 عناصر کے ساتھ غیر متغیر رنگ 3 عناصر کے ساتھ میدان پر اوپری مثلث 2 x 2 میٹرکس کی رنگ میں 27 عناصر ہوتے ہیں اور یہ ایک غیر متغیر رنگ ہے۔ یہ آئسومورفزم تک منفرد ہے، یعنی اتحاد کے ساتھ تمام غیر مواصلاتی حلقے اور 27 عناصر اس کے لیے آئسومورفک ہیں۔ "بک آف دی رنگز" میں درج سب سے بڑے غیر متغیر رنگ میں 27 عناصر ہوتے ہیں، اور یہ آئسومورفک بھی ہوتا ہے۔ اس حصے میں عناصر کے لیے "کتاب" کا اشارہ استعمال کیا گیا ہے۔ دو چیزوں کو ذہن میں رکھنا چاہیے: کہ جس عنصر سے ظاہر ہوتا ہے وہ اتحاد ہے اور وہ اتحاد نہیں ہے۔ کا اضافی گروپ ہے۔ تمام آٹومورفزموں کے گروپ میں 6 عناصر ہوتے ہیں: چونکہ یہ خود مخالف ہے، اس میں 6 اینٹی آٹومورفزم بھی ہوتے ہیں۔ ایک آئسومورفزم ہے جس کی تصدیق "دی بک" میں کارروائیوں کے جدولوں کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے جیسے کہ پہلی مثال میں نام تبدیل کر کے اور دوبارہ ترتیب دے کر۔ اس بار تبدیلیاں آپریشنز کے اصل جدولوں میں کی جانی چاہئیں۔ نتیجہ ضرب کی میز ہے اور اضافہ کی میز میں کوئی تبدیلی نہیں ہے۔ اس طرح، ایک اینٹی آٹومورفزم اسی ترتیب کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ دیگر پانچ کا حساب لگایا جا سکتا ہے (ضرب اشارے میں ساخت کی علامت کو گرایا جا سکتا ہے): گروپ میں ترتیب 2 کے 7 عناصر ہوتے ہیں (3 آٹومورفزم اور 4 اینٹی آٹومورفزم) اور اس کی شناخت ڈائیڈرل گروپ کے طور پر کی جا سکتی ہے (چھوٹے گروپوں کی فہرست دیکھیں)۔ ہندسی مشابہت میں رنگ میں 3-اینٹی پریزم کے سمیٹری گروپ کے لیے "سمیٹری گروپ" آئسومورفک ہوتا ہے، جو کہ شینفلیز نوٹیشن میں پوائنٹ گروپ ہے یا مختصر طور پر 3 جہتی خلا کے لیے ہرمن-موگین نوٹیشن ہے۔ اتحاد کے ساتھ سب سے چھوٹے غیر خود مخالف حلقے 9 سے 15 تک کے آرڈرز کے اتحاد کے ساتھ تمام حلقے تبادلہ پذیر ہوتے ہیں، اس لیے وہ خود مخالف ہوتے ہیں۔ انگوٹھیاں، جو خود مخالف نہیں ہیں، پہلی بار آرڈر 16 کے رنگوں میں ظاہر ہوتی ہیں۔ 50 رنگوں کی کل تعداد میں سے 4 مختلف غیر خود مخالف رنگ ہیں جن میں اتحاد کے ساتھ 16 عناصر (37 تبادلہ اور 13 غیر تبادلہ) ہیں۔ انہیں ایک جوڑے میں ایک دوسرے کے مخالف رنگوں کے دو جوڑوں میں جوڑا جا سکتا ہے، اور لازمی طور پر ایک ہی اضافی گروپ کے ساتھ، کیونکہ رنگوں کا اینٹی آئسومورفزم ان کے اضافی گروپوں کا ایک آئسومورفزم ہے۔ انگوٹھیوں کا ایک جوڑا اور اس میں اضافی گروپ ہوتا ہے اور دوسرا جوڑا اور گروپ ہوتا ہے۔ ان کی کارروائیوں کی میزیں اس مضمون میں پیش نہیں کی گئی ہیں، کیونکہ وہ حوالہ شدہ ماخذ میں مل سکتی ہیں، اور اس بات کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ، وہ مخالف ہیں، لیکن آئسومورفک نہیں ہیں۔ جوڑی کے لیے بھی یہی سچ ہے اور، تاہم، "دی بک آف دی رنگز" میں درج انگوٹھی برابر نہیں ہے بلکہ صرف اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ بقیہ 13−4 = 9 غیر متغیر حلقے خود مخالف ہیں۔ دو جنریٹرز کے ساتھ آزاد الجبرا جنریٹرز کے ساتھ کسی فیلڈ پر آزاد الجبرا میں الفاظ کے ضرب سے ضرب ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، پھر مخالف الجبرا میں ضرب دی جاتی ہے جس کے ذریعے عناصر برابر نہیں ہوتے ہیں۔ کواٹرنیئن الجبرا ایک فیلڈ پر کواٹرنیئن الجبرا ایک ڈویژن الجبرا ہے جس کی تعریف تین جنریٹرز کے ذریعے تعلقات کے ساتھ کی جاتی ہے۔ تمام عناصر اس شکل کے ہوتے ہیں، جہاں مثال کے طور پر، اگر، تو معمول کا کواٹرنیئن الجبرا ہوتا ہے۔ اگر کے ضرب کو ظاہر کیا جاتا ہے، تو اس میں ضرب کی میز ہوتی ہے {| کلاس = "وکیبل" سٹائل = "متن-صف بندی: مرکز" | +! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! | | |} پھر ضرب کے ساتھ مخالف الجبرا میں ٹیبل {| کلاس = "وکیٹیبل" سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: سینٹر" | + ہے! ! ! ! |-! | | | |-! | | | |-! ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ وہ برابر ہیں، کیونکہ ان کی کارروائیاں برابر ہیں، یعنی۔ ۔ خصوصیات دو رنگ R1 اور R2 آئسومورفک ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے متعلقہ مخالف رنگ آئسومورفک ہوں۔ رنگ کے مخالف کا مخالف اس سے ملتا جلتا ہے، یعنی روپپ =۔ ایک انگوٹھی اور اس کی مخالف انگوٹھی مخالف آئسومورفک ہوتی ہیں۔ ایک رنگ تب اور صرف اس صورت میں تبادلہ پذیر ہوتا ہے جب اس کا عمل اس کے مخالف عمل کے ساتھ موافق ہو۔ رنگ کے بائیں آئیڈیل اس کے مخالف کے دائیں آئیڈیل ہوتے ہیں۔ ڈویژن رنگ کا مخالف رنگ ڈویژن رنگ ہوتا ہے۔ رنگ کے اوپر بائیں ماڈیول اس کے برعکس دائیں ماڈیول ہوتا ہے، اور اس کے برعکس۔ نوٹس حوالہ جات حوالہ جات بھی دیکھیں مخالف گروپ مخالف زمرہ رنگ تھیوری