Schur polynomial
ریاضی میں، شور کثیر الجہتی، جس کا نام اسائی شور کے نام پر رکھا گیا ہے، n متغیرات میں کچھ ہم آہنگی کثیر الجہتی ہیں، جو پارٹیشن کے ذریعہ انڈیکس کیے جاتے ہیں، جو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی اور مکمل ہم آہنگ ہم آہنگی کثیر الجہتی کو عام کرتے ہیں۔ نمائندگی کے نظریہ میں وہ عام لکیری گروپوں کی کثیر الجہتی ناقابل تلافی نمائندگی کے کردار ہیں۔ شور کثیر الجہتی تمام ہم آہنگی کثیر الجہتی کی جگہ کے لیے ایک لکیری بنیاد بناتے ہیں۔ شور کثیر الجہتی کے کسی بھی پروڈکٹ کو غیر منفی انٹیگرل کوفشنٹس کے ساتھ شور کثیر الجہتی کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ان کوفشنٹس کی اقدار کو لٹل ووڈ-رچرڈسن اصول کے ذریعہ مشترکہ طور پر دیا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، سکیو شور کثیر الجہتی پارٹیشن کے جوڑوں سے وابستہ ہوتے ہیں اور ان کی خصوصیات شور کثیر الجہتی سے ملتی جلتی ہوتی ہیں۔ تعریف (جیکوبی کا بائلٹرننٹ فارمولا) شور کثیرالجہتی کو انٹیجر پارٹیشنز کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے۔ تقسیم کو دیکھتے ہوئے، جہاں، اور ہر ایک غیر منفی عدد ہے، افعال تعین کنندہ کی خصوصیات کے لحاظ سے متبادلات کثیر الجہتی ہیں۔ ایک کثیر الجہتی متبادل ہوتا ہے اگر یہ متغیرات کی کسی بھی منتقلی کے تحت نشان کو تبدیل کرتا ہے۔ چونکہ وہ متبادلات ہوتے ہیں، اس لیے وہ سب وینڈرمنڈے ڈیٹرمیننٹ کے ذریعے قابل تقسیم ہوتے ہیں۔ شور کثیر الجہتی کو تناسب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اسے جیکوبی کا بائیالٹرننٹ فارمولا کہا جاتا ہے۔ یہ ویل کردار کے فارمولے کا ایک خاص معاملہ ہے۔ یہ ایک سمیٹرک فنکشن ہے کیونکہ نیومریٹر اور ڈینومینیٹر دونوں باری باری ہوتے ہیں، اور ایک کثیر الجہتی ہے کیونکہ تمام باری باری کثیر الجہتی وینڈرمنڈے ڈیٹرمیننٹ سے تقسیم ہوتے ہیں۔ متغیرات میں ڈگری شور کثیر الجہتی متغیرات میں یکساں ڈگری سمیٹرک کثیر الجہتی کی جگہ کے لیے ایک لکیری بنیاد ہیں۔ تقسیم کے لیے، شور کثیر الجہتی مونومیلز کا مجموعہ ہے، جہاں خلاصہ شکل کی تمام نیم معیاری نوجوان جھانکیوں پر ہوتا ہے۔ متغیرات کا وزن دیتے ہیں، دوسرے لفظوں میں ہر ایک میں تعداد کے واقعات کو شمار کرتا ہے۔ اسے لنڈسٹروم-گیسل-وائنوٹ لیما (جیسا کہ اس صفحہ پر بیان کیا گیا ہے) کا استعمال کرتے ہوئے پہلے گیمبیلی فارمولے کی تعریف کے مساوی دکھایا جا سکتا ہے۔ شور کثیر الاضلاعات کو یک جہتی ہم آہنگی افعال کے لکیری امتزاج کے طور پر غیر منفی عدد گتانک کے ساتھ ظاہر کیا جا سکتا ہے جسے کوسٹکا نمبر کہا جاتا ہے، کوسٹکا نمبر نیم معیاری نوجوان ٹیبلو کی تعداد سے دیے جاتے ہیں جس کی شکل λ اور وزن μ ہے۔ جیکوبی-ٹروڈی شناخت پہلا جیکوبی-ٹروڈی فارمولا شور کثیر الاضلاعہ کو مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الاضلاعات کے لحاظ سے ایک تعین کنندہ کے طور پر ظاہر کرتا ہے، جہاں۔ دوسرا جیکوبی-ٹروڈی فارمولا شور کثیر الجہتی کو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لحاظ سے ایک تعین کنندہ کے طور پر ظاہر کرتا ہے، جہاں اور کنجوگیٹ پارٹیشن ہے۔ دونوں شناختوں میں، منفی سبسکرپٹ والے افعال کو صفر قرار دیا جاتا ہے۔ گیمبیلی شناخت ایک اور تعیناتی شناخت گیمبیلی کا فارمولا ہے، جو ینگ ڈایگرام میں موجود ہک پارٹیشنز کے لحاظ سے من مانی پارٹیشن کے لیے شور فنکشن کا اظہار کرتا ہے۔ فروبینیوس کے اشارے میں، تقسیم کی نشاندہی کی جاتی ہے جہاں، پوزیشن میں موجود ہر اخترن عنصر کے لیے، ایک ہی قطار میں دائیں طرف والے خانوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے اور اسی کالم میں اس کے نیچے موجود خانوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے (بالترتیب بازو اور ٹانگ کی لمبائی)۔ گیمبلی شناخت اس پارٹیشن سے مطابقت رکھنے والے شور فنکشن کو ہک پارٹیشن کے لیے ان کے تعین کنندہ کے طور پر ظاہر کرتی ہے۔ کاچی شناخت شور افعال کے لیے کاچی شناخت (اب لامحدود طور پر بہت سے متغیرات میں)، اور اس کی دوہری حالت یہ ہے کہ اور جہاں مجموعہ تمام پارٹیشنوں λ پر لیا جاتا ہے، اور، بالترتیب مکمل سمیٹرک افعال اور ابتدائی سمیٹرک افعال کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگر مجموعہ کو متغیرات میں شور کثیر الجہتی کے پروڈکٹ پر لیا جاتا ہے، تو اس مجموعہ میں صرف لمبائی کی تقسیم شامل ہوتی ہے کیونکہ بصورت دیگر شور کثیر الجہتی غائب ہو جاتے ہیں۔ سمیٹرک افعال کے دیگر خاندانوں میں ان شناختوں کی بہت سی عامیاں ہیں۔ مثال کے طور پر، میکڈونلڈ کثیر الجہتی، شوبرٹ کثیر الجہتی اور گروتھینڈک کثیر الجہتی کاچی جیسی شناختوں کو تسلیم کرتے ہیں۔ مزید شناخت شور کثیر الجہتی کو ہال لٹل ووڈ کثیر الجہتی کے فارمولے کی تخصص کے ذریعے بھی شمار کیا جاسکتا ہے، جہاں ترتیبات کا ذیلی گروہ اس طرح ہے کہ تمام i، اور w اشاریہ جات کو ترتیب دے کر متغیرات پر عمل کرتے ہیں۔ مرناگھن-ناکیاما قاعدہ مرناگھن-ناکیاما قاعدہ، شور کثیر الجہتی کے لحاظ سے، شور کثیر الجہتی کے ساتھ پاور سممیٹرک فنکشن کے پروڈکٹ کا اظہار کرتا ہے: جہاں مجموعہ تمام پارٹیشنوں پر اس طرح ہوتا ہے کہ μ/λ سائز r کا رم ہک ہے اور ht (μ/λ) خاکہ میں قطاروں کی تعداد ہے۔ لٹل ووڈ-رچرڈسن قاعدہ اور پیری کا فارمولا لٹل ووڈ-رچرڈسن کوفیشنٹس تین پارٹیشنوں پر منحصر ہیں، جیسے کہ، جن میں سے شور افعال کو ضرب دی جا رہی ہے، اور شور فنکشن دیتا ہے جس کا یہ لکیری امتزاج میں کوفیشنٹ ہے۔ دوسرے الفاظ میں وہ کوفیشنٹس اس طرح ہیں کہ لٹل ووڈ-رچرڈسن قاعدہ میں کہا گیا ہے کہ یہ سکیو شکل اور وزن کی لٹل ووڈ-رچرڈسن ٹیبلو کی تعداد کے برابر ہے۔ پیری کا فارمولا لٹل ووڈ-رچرڈسن اصول کا ایک خاص معاملہ ہے، جو پروڈکٹ کو شور کثیر الجہتی کے لحاظ سے ظاہر کرتا ہے۔ دوہری ورژن شور کثیر الجہتی کے لحاظ سے ظاہر ہوتا ہے۔ شور کثیر الجہتی کی تشخیص میں اندراجات کے ساتھ شکل کی نیم معیاری نوجوان جھانکیوں کی تعداد ملتی ہے۔ مثال کے طور پر ویل کردار کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس فارمولے میں، ینگ ڈائیگرام کی ہر صف کی چوڑائی کی نشاندہی کرنے والا ٹپل، صفر کے ساتھ اس وقت تک پھیلا ہوا ہے جب تک کہ اس کی لمبائی نہ ہو۔ عناصر کا مجموعہ ہے۔ ہک لمبائی کا فارمولا بھی دیکھیں جو مقررہ λ کے لیے ایک ہی مقدار کا حساب لگاتا ہے۔ مثال مندرجہ ذیل توسیعی مثال سے ان خیالات کو واضح کرنے میں مدد ملنی چاہیے۔ معاملے n = 3، d = 4 پر غور کریں۔ فیررس خاکے یا کسی اور طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ زیادہ سے زیادہ تین حصوں میں 4 کی صرف چار پارٹیشنز ہیں۔ ہمارے پاس اور اسی طرح، وینڈرمونڈے ڈیٹرمیننٹ کہاں ہے۔ خلاصہ: تین متغیرات میں ہر یکساں ڈگری-چار ہم آہنگ کثیر الجہتی کو ان چار شور کثیر الجہتی کے منفرد لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور اس امتزاج کو دوبارہ مناسب خاتمے کی ترتیب کے لیے گروبنر بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ظاہر ہے کہ یہ ایک سمیٹرک کثیر الجہتی ہے جو ڈگری چار کا یکساں ہے، اور ہمارا تعلق نمائندگی کے نظریہ سے ہے۔ شور کثیر الجہتی سمیٹرک گروپوں، عام لکیری گروپوں، اور یکطرفہ گروپوں کے نمائندگی کے نظریہ میں پائے جاتے ہیں۔ ویل کردار کے فارمولے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ شور کثیر الجہتی عام لکیری گروپوں کی محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی کے حروف ہیں، اور شور کے کام کو دوسرے کمپیکٹ اور نیم سادہ لائ گروپوں میں عام کرنے میں مدد کرتا ہے۔ اس تعلق کے لیے کئی تاثرات پیدا ہوتے ہیں، جن میں سے ایک سب سے اہم سمٹرک پاور افعال کے لحاظ سے شور افعال sλ کی توسیع ہے۔ اگر ہم χ کو سمیٹرک گروپ کی نمائندگی کے کردار کے لیے لکھتے ہیں جو پارٹیشن λ کے ذریعے انڈیکس کیا گیا ہے جس کا اندازہ پارٹیشن ρ کے ذریعے انڈیکس کیے گئے سائیکل ٹائپ کے عناصر پر کیا جاتا ہے، تو جہاں ρ = (1r1,2r2,3r3,.) کا مطلب ہے کہ پارٹیشن ρ میں k لمبائی کے rk حصے ہیں۔ اس کا ثبوت R. اسٹینلے کے اینومریٹو کمبینٹوریکس والیوم 2، کورلری 7.17.5 میں پایا جا سکتا ہے۔ انٹیجرز χ کا حساب مرناگن-ناکیاما اصول کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ شور مثبتیت نمائندگی کے نظریہ کے ساتھ تعلق کی وجہ سے، ایک سمیٹرک فنکشن جو شور افعال میں مثبت طور پر پھیلتا ہے خاص دلچسپی کا باعث ہے۔ مثال کے طور پر، اسکیو شور افعال عام شور افعال میں مثبت طور پر پھیلتے ہیں، اور کوفیشنٹس لٹل ووڈ-رچرڈسن کوفیشنٹس ہوتے ہیں۔ اس کا ایک خاص معاملہ شور افعال میں مکمل یکساں سمیٹرک افعال ایچ ایل کی توسیع ہے۔ یہ سڑنا اس بات کی عکاسی کرتا ہے کہ کس طرح ایک پرموٹیشن ماڈیول کو ناقابل تلافی نمائندگی میں تحلیل کیا جاتا ہے۔ شور مثبتیت کو ثابت کرنے کے طریقے کسی دی گئی سمیٹرک فنکشن F کی شور مثبتیت کو ثابت کرنے کے کئی طریقے ہیں۔ اگر F کو مشترکہ انداز میں بیان کیا گیا ہے، تو ایک براہ راست نقطہ نظر نیم معیاری نوجوان جھانکیوں کے ساتھ بائیجیکشن تیار کرنا ہے۔ ایڈیل مین-گرین خط و کتابت اور رابنسن-شینسٹڈ-نوتھ خط و کتابت اس طرح کے بیجیکشن کی مثالیں ہیں۔ زیادہ ساخت والا بائیجیکشن نام نہاد کرسٹل کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت ہے۔ اس طریقہ کو ایک مخصوص گراف ڈھانچے کی وضاحت کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو بنیادی مشترکہ اشیاء پر مقامی اصولوں کے ساتھ بیان کیا گیا ہے۔ اسی طرح کا ایک خیال دوہری مساوات کا تصور ہے۔ یہ نقطہ نظر گراف ڈھانچے کا بھی استعمال کرتا ہے، لیکن ان اشیاء پر جو بنیادی قواسیسمٹرک بنیاد میں توسیع کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس کا آر ایس کے-خط و کتابت سے گہرا تعلق ہے۔ عامیاں اسکیو شور فنکشنز اسکیو شور فنکشنز sλ/μ کا انحصار دو پارٹیشنوں λ اور μ پر ہوتا ہے، اور اس کی وضاحت پراپرٹی سے کی جا سکتی ہے۔ یہاں، اندرونی پروڈکٹ ہال اندرونی پروڈکٹ ہے، جس کے لیے شور کثیر الجہتی ایک آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں۔ عام شور کثیر الجہتی کی طرح، ان کا حساب لگانے کے بے شمار طریقے ہیں۔ اسی طرح کی جیکوبی-ٹروڈی شناختیں یہ ہیں کہ سکیو شور کثیر الجہتی کی ایک مشترکہ تشریح بھی ہے، یعنی یہ سکیو شکل کی تمام نیم معیاری نوجوان جھانکیوں (یا کالم سخت جھانکیوں) کا مجموعہ ہے۔ اسکیو شور کثیر الجہتی شور کثیر الجہتی میں مثبت طور پر پھیلتے ہیں۔ کوفیشنٹس کے لیے ایک قاعدہ لٹل ووڈ-رچرڈسن اصول کے ذریعے دیا گیا ہے۔ ڈبل شور کثیر الجہتی ڈبل شور کثیر الجہتی کو منتقل شدہ شور کثیر الجہتی کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ان کثیر الجہتی کا فیکٹوریل شور کثیر الجہتی سے بھی گہرا تعلق ہے۔ ایک پارٹیشن، اور ایک ترتیب کو دیکھتے ہوئے کوئی بھی ڈبل شور کثیر الجہتی کی وضاحت کر سکتا ہے جہاں رقم کو تمام الٹا نیم معیاری شکل کی نوجوان جھانکیوں، اور انٹیجر اندراجات پر لیا جاتا ہے۔ یہاں باکس میں موجود قدر کی نشاندہی ہوتی ہے اور یہ باکس کا مواد ہے۔ لٹل ووڈ-رچرڈسن کوفشنٹس (ترتیب a پر منحصر) کے لیے ایک مشترکہ اصول اے۔ آئی مولیو نے دیا تھا۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ منتقل شدہ شور کثیرالجہتی میں غیر منفی لٹل ووڈ-رچرڈسن گتانک ہوتے ہیں۔ منتقل شدہ شور کثیر الجہتی کو اور مہارت دے کر ڈبل شور کثیر الجہتی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ڈبل شور کثیر الجہتی ڈبل شبرٹ کثیر الجہتی کے خصوصی معاملات ہیں۔ فیکٹوریل شور کثیر الجہتی فیکٹوریل شور کثیر الجہتی کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ تقسیم λ، اور دوگنا لامحدود ترتیب کو دیکھتے ہوئے۔، a−1، a0، a1،۔ کوئی بھی فیکٹوریئل شور کثیر الجہتی sλ (x|a) کی وضاحت کر سکتا ہے جہاں مجموعہ کو تمام نیم معیاری نوجوان ٹیبلوکس T کی شکل λ پر لیا جاتا ہے، اور 1،، n میں انٹیجر اندراجات۔ یہاں T (α) باکس میں α کی قیمت کی نشاندہی کرتا ہے اور c (α) باکس کا مواد ہے۔ ایک تعین کرنے والا فارمولا بھی ہے، جہاں (y|a) k = (y−a1). (y−ak)۔ یہ واضح ہے کہ اگر ہم تمام i کو چھوڑ دیں تو ہم معمول کے شور کثیر الجہتی sλ کو بازیافت کرتے ہیں۔ n متغیرات میں ڈبل شور کثیر الجہتی اور فیکٹوریل شور کثیر الجہتی شناخت sλ (x | |a) = sλ (x|u) کے ذریعے متعلق ہیں جہاں a − i + 1 = ui ہے۔ دیگر عمومییاں شور کثیرالجہتی کی متعدد عمومییاں ہیں: ہال لٹل ووڈ کثیرالجہتی شفٹڈ شور کثیرالجہتی فلیگڈ شور کثیرالجہتی اسٹینلے ہم آہنگی افعال (جسے مستحکم شبرٹ کثیرالجہتی بھی کہا جاتا ہے) کلیدی کثیرالجہتی (جسے ڈیمازور حروف بھی کہا جاتا ہے) نیم ہم آہنگی شور کثیرالجہتی قطار سخت شور کثیرالجہتی جیک کثیرالجہتی ماڈیولر شور کثیرالجہتی لوپ شور افعال میکڈونلڈ کثیرالجہتی شور کثیرالجہتی سمپلیکٹک اور آرتھوگنل گروپ کے لیے۔ کے-شور افعال گروتھینڈیک کثیر الجہتی (کے-شور کثیر الجہتی کا نظریاتی ینالاگ) ایل ایل ٹی کثیر الجہتی بھی دیکھیں شور فنکٹر لٹل ووڈ-رچرڈسن قاعدہ، جہاں کسی کو شور کثیر الجہتی پر مشتمل کچھ شناخت ملتی ہے۔ حوالہ جات یکساں کثیر الجہتی غیر متغیر نظریہ محدود گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ سمیٹرک افعال آرتھوگنل کثیر الجہتی