Diffie–Hellman problem
ڈفی ہیلمین مسئلہ (ڈی ایچ پی) ایک ریاضیاتی مسئلہ ہے جسے سب سے پہلے وائٹ فیلڈ ڈفی اور مارٹن ہیلمین نے خفیہ نگاری کے تناظر میں تجویز کیا تھا۔ اس مسئلے کا محرک یہ ہے کہ بہت سے حفاظتی نظام یک طرفہ افعال کا استعمال کرتے ہیں: ریاضیاتی کارروائیاں جو حساب کرنے میں تیز ہوتی ہیں، لیکن الٹنا مشکل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، وہ پیغام کو خفیہ کرنے کے قابل بناتے ہیں، لیکن خفیہ کاری کو تبدیل کرنا مشکل ہے۔ اگر ڈی ایچ پی کو حل کرنا آسان ہوتا تو یہ نظام آسانی سے ٹوٹ جاتے۔ دشواری کی تفصیل ڈفی ہیلمین مسئلہ کو غیر رسمی طور پر اس طرح بیان کیا گیا ہے: ایک عنصر جی اور جی ایکس اور جی کی اقدار کو دیکھتے ہوئے، جی ایکس آئی کی قیمت کیا ہے؟ رسمی طور پر، g کسی گروپ کا ایک جنریٹر ہے (عام طور پر ایک محدود فیلڈ یا ایک ایلیپٹک وکر گروپ کا ضرب گروپ) اور x اور y بے ترتیب طور پر منتخب کردہ عدد ہیں۔ مثال کے طور پر، ڈفی-ہیلمین کلیدی تبادلے میں، ایک جاسوسی کرنے والا پروٹوکول کے حصے کے طور پر جی ایکس اور جی کے تبادلے کا مشاہدہ کرتا ہے، اور دونوں فریق مشترکہ کلیدی جی ایکس آئی کا حساب لگاتے ہیں۔ ڈی ایچ پی کو حل کرنے کا ایک تیز طریقہ ایک جاسوسی کرنے والے کو ڈفی-ہیلمین کلیدی تبادلے اور اس کے بہت سے متغیرات بشمول ایل گیمل خفیہ کاری کی رازداری کی خلاف ورزی کرنے کی اجازت دے گا۔ کمپیوٹیشنل پیچیدگی خفیہ نگاری میں، بعض گروپوں کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ڈی ایچ پی سخت ہے، اور اسے اکثر ڈفی ہیلمین مفروضہ کہا جاتا ہے۔ یہ مسئلہ چند دہائیوں سے جانچ پڑتال میں باقی ہے اور ابھی تک کسی "آسان" حل کی تشہیر نہیں کی گئی ہے۔ 2006 تک، ڈی ایچ پی کو حل کرنے کے لیے جانا جانے والا سب سے موثر ذریعہ مجرد لوگرتھم مسئلہ (ڈی ایل پی) کو حل کرنا ہے، جو کہ g اور gx دیے گئے x کو تلاش کرنا ہے۔ درحقیقت، (ڈین بوئر، موریر، ولف، بونے اور لپٹن کی طرف سے) یہ ظاہر کرنے کی طرف نمایاں پیش رفت کی گئی ہے کہ بہت سے گروپوں میں ڈی ایچ پی تقریبا اتنا ہی مشکل ہے جتنا کہ ڈی ایل پی۔ آج تک اس بات کا کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ڈی ایچ پی یا ڈی ایل پی ایک مشکل مسئلہ ہے، سوائے عام گروپوں کے (نیچیو اور شوپ کے ذریعے)۔ اس بات کا ثبوت کہ دونوں میں سے کوئی بھی مسئلہ مشکل ہے اس کا مطلب ہے کہ P  ऒत्त NP۔ دیگر اقسام ڈفی-ہیلمین مسئلے کی بہت سی شکلوں پر غور کیا گیا ہے۔ سب سے اہم قسم فیصلہ کن ڈفی ہیلمین مسئلہ (ڈی ڈی ایچ پی) ہے، جو کہ جی، جی ایکس، اور جی کو دیکھتے ہوئے جی ایکس آئی کو بے ترتیب گروپ عنصر سے ممتاز کرنا ہے۔ بعض اوقات ڈی ایچ پی کو ڈی ڈی ایچ پی سے زیادہ واضح طور پر ممتاز کرنے کے لیے کمپیوٹیشنل ڈفی ہیلمین مسئلہ (سی ڈی ایچ پی) کہا جاتا ہے۔ حال ہی میں جوڑی والے گروپ مقبول ہو گئے ہیں، اور ان گروپوں میں ڈی ڈی ایچ پی آسان ہے، پھر بھی ڈی ایچ پی کو اب بھی مشکل سمجھا جاتا ہے۔ ڈی ایچ پی کے کم اہم متغیرات کے لیے حوالہ جات دیکھیں۔ حوالہ جات بی۔ ڈین بوئر، ڈفی-ہیلمین کریپٹولوجی میں ایڈوانسز-کریپٹو 88، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹر سائنس 403، سپرنگر، پی۔ 530، 1988 میں بعض پرائمز کے لیے مجرد لاگ کی طرح مضبوط ہیں۔ یو۔ ایم۔ موریر اور ایس۔ ولف، ڈفی-ہیلمین اوریکل ان ایڈوانسز ان کرپٹولوجی-کریپٹو 96، (این۔ کوبلٹز، ایڈ۔ )، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹر سائنس 1070، سپرنگر، پی پی۔ 268-282، 1996۔ D. Boneh اور R. J. Lipton، بلیک باکس فیلڈز کے لیے الگورتھم اور کریپٹولوجی میں ایڈوانسز میں کرپٹوگرافی پر ان کا اطلاق-CRYPTO 96، (N. Koblitz، ed. )، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹر سائنس 1070، سپرنگر، پی پی۔ 283-297، 1996۔ اے۔ مجریو، این۔ پی۔ اسمارٹ اور ایف۔ ورکاوٹیرن، عملی ایپلی کیشنز میں استعمال ہونے والے الپٹک منحنی خطوط کے لیے ڈی ایچ پی اور ڈی ایل پی کے درمیان مساوات، ایل ایم ایس جے کمپیوٹ۔ ریاضی۔، 7، پی پی۔ 50-72، 2004۔ [www.lms.ac.uk] دیکھیں۔ ڈی آر ایل براؤن اور آر پی گیلینٹ، دی اسٹیٹک ڈفی-ہیلمین پروبلم، آئی اے سی آر ای پرنٹ 2004/306۔ وی۔ آئی۔ نیچیو، مجرد لوگرتھم کے لیے ایک متعین الگورتھم کی پیچیدگی، ریاضیاتی نوٹ، 55 (2)، پی پی۔ 165-172، 1994۔ V. شوپ، کریپٹولوجی میں ایڈوانسز میں مجرد لوگرتھمز اور متعلقہ مسائل کے لیے زیریں حدود-EUROCRYPT 97، (W. Fumy، ed. )، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹر سائنس 1233، سپرنگر، پی پی۔ 256-266، 1997۔ کمپیوٹیشنل سختی کے مفروضے محدود فیلڈز