Elliptic surface
ریاضی میں، الپٹک سطح ایک ایسی سطح ہے جس میں الپٹک ریشے ہوتے ہیں، دوسرے لفظوں میں الجبرائی منحنی خطوط سے جڑے ریشوں کے ساتھ ایک مناسب مورفزم اس طرح کہ تقریبا تمام ریشے جینس 1 کے ہموار منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ (الجبرائی طور پر بند فیلڈ جیسے کہ پیچیدہ اعداد پر، یہ ریشے الپٹک منحنی خطوط ہوتے ہیں، شاید کسی منتخب کردہ ماخذ کے بغیر۔) یہ جینرک فائبر کے جینس ون کے ہموار منحنی ہونے کے برابر ہے۔ یہ مناسب بنیادی تبدیلی کے بعد ہوتا ہے۔ سطح اور بیس وکر کو غیر سنگل (پیچیدہ کئی گنا یا باقاعدہ اسکیمیں، سیاق و سباق کے لحاظ سے) سمجھا جاتا ہے۔ وہ ریشے جو الپٹک منحنی خطوط نہیں ہوتے ہیں انہیں واحد ریشے کہا جاتا ہے اور ان کی درجہ بندی کونیہیکو کوڈیرا نے کی تھی۔ ایلپٹک اور سنگل فائبر دونوں سٹرنگ تھیوری میں اہم ہیں، خاص طور پر ایف تھیوری میں۔ ایلیپٹک سطحیں سطحوں کی ایک بڑی کلاس بناتی ہیں جن میں سطحوں کی بہت سی دلچسپ مثالیں ہوتی ہیں، اور پیچیدہ کئی گنا اور ہموار 4-مینیفولڈ کے نظریات میں نسبتا اچھی طرح سے سمجھی جاتی ہیں۔ وہ نمبر فیلڈز پر ایلیپٹک منحنی خطوط سے ملتے جلتے ہیں (ان کے ساتھ مماثلت ہے)۔ مثال کسی بھی منحنی خطوط کے ساتھ کسی بھی انڈاکار منحنی خطوط کی پیداوار ایک انڈاکار سطح ہوتی ہے (جس میں کوئی واحد ریشے نہیں ہوتے ہیں)۔ کوڈائرا طول و عرض 1 کی تمام سطحیں الپٹک سطحیں ہیں۔ ہر پیچیدہ اینریکس کی سطح الپٹک ہوتی ہے، اور اس میں پروجیکٹو لائن کے اوپر ایک الپٹک فائبر ہوتا ہے۔ کوڈائرا سطحوں پر ڈولگاچوف سطحوں پر شیوڈا ماڈیولر سطحوں پر کوڈائرا کی واحد ریشوں کی میز پر ہوتا ہے۔ ایلیپٹک ریشے کے زیادہ تر ریشے (غیر سنگل) ایلیپٹک منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ بقیہ ریشوں کو واحد ریشے کہا جاتا ہے: ان کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے، اور ہر ایک عقلی منحنی خطوط کے اتحاد پر مشتمل ہوتا ہے، ممکنہ طور پر انفرادیت یا غیر صفر ضرب کے ساتھ (لہذا ریشے غیر کم شدہ اسکیمیں ہو سکتے ہیں)۔ کوڈائرا اور نیرون نے آزادانہ طور پر ممکنہ ریشوں کی درجہ بندی کی، اور ٹیٹ کے الگورتھم کو نمبر فیلڈ پر ایلیپٹک وکر کے ریشوں کی قسم تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل جدول میں کم سے کم ایلیپٹک فائبرشن کے ممکنہ ریشوں کی فہرست دی گئی ہے۔ ("کم سے کم" کا مطلب تقریبا وہ ہے جسے "چھوٹے" کے ذریعے فیکٹر نہیں کیا جا سکتا ؛ واضح طور پر، واحد ریشوں میں کوئی ہموار عقلی منحنی خطوط نہیں ہونے چاہئیں جن میں سیلف انٹرسیکشن نمبر −1 ہو۔) یہ دیتا ہے: فائبر کے لیے کوڈائرا کی علامت، فائبر کے لیے آندرے نیرون کی علامت، فائبر کے ناقابل تلافی اجزاء کی تعداد (ٹائپ I0 کے علاوہ تمام عقلی) اجزاء کا انٹرسیکشن میٹرکس۔ یہ یا تو 1 × 1 صفر میٹرکس ہے، یا ایک افائن کارٹن میٹرکس ہے، جس کا ڈائنکن خاکہ دیا گیا ہے۔ ہر فائبر کی ضرب کو ڈائنکن خاکہ میں دکھایا گیا ہے۔ یہ ٹیبل مندرجہ ذیل طور پر پایا جا سکتا ہے۔ ہندسی دلائل سے پتہ چلتا ہے کہ فائبر کے اجزاء کا انٹرسیکشن میٹرکس منفی سیمیڈفائنٹ، منسلک، ہم آہنگ ہونا چاہیے، اور اس میں −1 (کم سے کم) کے برابر کوئی اخترن اندراج نہیں ہونا چاہیے۔ اس طرح کا میٹرکس ADE قسم کے افائن ڈائنکن خاکہ کے کارٹن میٹرکس کا 0 یا ایک سے زیادہ ہونا چاہیے۔ انٹرسیکشن میٹرکس تین مستثنیات کے ساتھ فائبر کی قسم کا تعین کرتا ہے: اگر انٹرسیکشن میٹرکس 0 ہے تو فائبر یا تو ایلیپٹک وکر (ٹائپ I0) ہو سکتا ہے، یا اس کا ڈبل پوائنٹ (ٹائپ I1)، یا کاسپ (ٹائپ II) ہو سکتا ہے۔ اگر انٹرسیکشن میٹرکس افائن A1 ہے، تو انٹرسیکشن ضرب 2 کے ساتھ 2 اجزاء ہیں۔ وہ یا تو آرڈر 1 (ٹائپ I2) کے ساتھ 2 پوائنٹس میں، یا آرڈر 2 (ٹائپ III) کے ساتھ ایک پوائنٹ پر مل سکتے ہیں۔ اگر انٹرسیکشن میٹرکس افائن A2 ہے، تو وہاں 3 اجزاء ہیں جن میں سے ہر ایک دوسرے دو سے ملتا ہے۔ وہ یا تو جوڑوں میں 3 مختلف پوائنٹس (ٹائپ I3) پر مل سکتے ہیں، یا سب ایک ہی پوائنٹ (ٹائپ IV) پر مل سکتے ہیں۔ monodromy ہر واحد ریشہ کے ارد گرد monodromy تعین کنندہ 1 کے ساتھ 2 × 2 عدد میٹرکس کے گروپ SL (2، Z) میں ایک اچھی طرح سے متعین کنجوگیسی کلاس ہے۔ مونوڈرومی اس طریقے کو بیان کرتا ہے کہ جب ہم ایک واحد فائبر کے گرد گھومتے ہیں تو ہموار فائبر کا پہلا ہومیولوجی گروپ (جو Z2 کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے) تبدیل ہوتا ہے۔ واحد ریشوں سے وابستہ ان کنجوگیسی کلاسوں کے نمائندے اس طرح دیے گئے ہیں: قسم II، III، IV، I0 *، IV *، III *، یا II * کے واحد ریشوں کے لیے، مونوڈرومی SL (2، Z) میں محدود ترتیب رکھتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی عکاسی کرتا ہے کہ ایک ایلیپٹک فائبرشن میں اس طرح کے فائبر میں ممکنہ اچھی کمی ہوتی ہے۔ یعنی، بیس وکر کے ایک وسیع محدود احاطہ کے بعد، واحد ریشہ کو ہموار الپٹک وکر سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ کون سا ہموار منحنی خطوط ظاہر ہوتا ہے اسے میز میں جے-انویرنٹ کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ پیچیدہ اعداد پر، جے-غیر متغیر 0 والا منحنی خطوط ترتیب 6 کے آٹومورفزم گروپ کے ساتھ منفرد الپٹک منحنی خطوط ہیں، اور جے-غیر متغیر 1728 والا منحنی خطوط ترتیب 4 کے آٹومورفزم گروپ کے ساتھ منفرد الپٹک منحنی خطوط ہیں۔ (دیگر تمام الپٹک منحنی خطوط میں آرڈر 2 کا آٹومورفزم گروپ ہوتا ہے۔) ایک حصے کے ساتھ ایلیپٹک فائبرشن کے لیے، جسے جیکوبین ایلیپٹک فائبرشن کہا جاتا ہے، ہر فائبر کے ہموار لوکس میں ایک گروپ ڈھانچہ ہوتا ہے۔ واحد ریشوں کے لیے، ہموار لوکس پر اس گروپ کی ساخت کو میز میں بیان کیا گیا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ بیس فیلڈ پیچیدہ نمبر ہے۔ (ایک افائن ڈائنکن خاکہ کے ذریعہ دیئے گئے انٹرسیکشن میٹرکس کے ساتھ ایک واحد فائبر کے لیے، ہموار لوکس کے اجزاء کا گروپ ڈائنکن خاکہ کے ساتھ محض منسلک سادہ لائ گروپ کے مرکز میں آئسومورفک ہوتا ہے، جیسا کہ یہاں درج ہے۔) واحد ریشوں کے گروپ ڈھانچے کو جاننا ایک الپٹک فائبرشن (حصوں کے گروپ) کے مورڈیل-ویل گروپ کی گنتی کے لیے مفید ہے، خاص طور پر اس کے ٹورسن ذیلی گروپ میں۔ کینونکل بنڈل فارمولا یہ سمجھنے کے لیے کہ الپٹک سطحیں سطحوں کی درجہ بندی میں کس طرح فٹ ہوتی ہیں، کم از کم الپٹک سطح f: X → S کے کینونکل بنڈل کا حساب لگانا ضروری ہے۔ پیچیدہ نمبروں پر، کوڈائرا نے مندرجہ ذیل کینونکل بنڈل فارمولے کو ثابت کیا: یہاں f کے متعدد ریشوں (اگر کوئی ہوں) کو اس طرح لکھا جاتا ہے، ایک انٹیجر کے لیے کم از کم 2 اور ایک ڈیویزر کے لیے جس کے کوفشنٹس میں سب سے بڑا مشترکہ تقسیم 1 کے برابر ہوتا ہے، اور L ہموار منحنی S پر کچھ لائن بنڈل ہوتا ہے۔ اگر S پروجیکٹو (یا مساوی طور پر، کمپیکٹ) ہے، تو L کی ڈگری کا تعین X اور S کی ہولومورفک یولر خصوصیات سے ہوتا ہے: ڈگری (L) = χ (X) کینونکل بنڈل فارمولے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ KX S پر کسی Q-ڈیوائزر کے پل بیک کے برابر Q-لکیری ہے۔ یہاں یہ ضروری ہے کہ الپٹک سطح X → S کم سے کم ہو۔ کینجی یونو کے کام کی بنیاد پر، تاکاؤ فوجیٹا (1986) نے کینونکل بنڈل فارمولے کا ایک مفید ورژن دیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کس طرح KX ہموار ریشوں کی تغیر پر منحصر ہے۔ یعنی، ایک ق-لکیری مساوات ہے جہاں امتیازی تقسیم کنندہ بی ایس ایف کے واحد ریشوں سے وابستہ ایس پر ایک واضح موثر ق-تقسیم کنندہ ہے، اور ماڈیولی تقسیم کنندہ ایم ایس ہے، جہاں جے: ایس → پی 1 وہ فنکشن ہے جو ہموار ریشوں کے جے-غیر متغیر کو دیتا ہے۔ (اس طرح ایم ایس، تقسیم کار طبقے کے گروپ سی ایل (ایس) اور پکارڈ گروپ پک (ایس) کے درمیان شناخت کا استعمال کرتے ہوئے، تقسیم کاروں کی ایک ق-لکیری مساوات کی کلاس ہے۔) خاص طور پر، ایس پروجیکٹو کے لیے، ماڈیولی ڈیوائزر ایم ایس میں غیر منفی ڈگری ہوتی ہے، اور اس کی ڈگری صفر ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب الپٹک سطح آئسوٹریوئل ہو، جس کا مطلب ہے کہ تمام ہموار ریشے آئسومورفک ہوں۔ فوجیٹا کے فارمولے میں امتیازی تقسیم کار کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جہاں c (p) لاگ کینونکل حد ہے۔ یہ 0 اور 1 کے درمیان ایک واضح عقلی عدد ہے، جو واحد ریشے کی قسم پر منحصر ہے۔ واضح طور پر، ایل سی ٹی ایک ہموار ریشے یا قسم کے لیے 1 ہے، اور یہ ایک سے زیادہ ریشے کے لیے 1/میٹر، 1/2 کے لیے، II کے لیے 5/6، III کے لیے 3/4، IV کے لیے 2/3، IV * کے لیے 1/3، III * کے لیے 1/4، اور II * کے لیے 1/6 ہے۔ کینونکل بنڈل فارمولا (فوجیٹا کی شکل میں) کو یوجیرو کاواماتا اور دیگر نے کسی بھی جہت کے کالابی-یو اقسام کے خاندانوں میں عام کیا ہے۔ لوگرتھمک تبدیلیاں ایک الپٹک سطح یا ریشے کی لوگرتھمک تبدیلی (مرکز p کے ساتھ ترتیب m کی) بیس اسپیس کے ایک پوائنٹ p پر ضرب 1 کے ریشے کو کثرت m کے ریشے میں بدل دیتی ہے۔ اسے الٹا کیا جا سکتا ہے، لہذا اعلی کثرت کے ریشوں کو سب کو کثرت 1 کے ریشوں میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور اس کا استعمال تمام متعدد ریشوں کو ختم کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ لوگرتھمک تبدیلیاں کافی پرتشدد ہو سکتی ہیں: وہ کوڈائرا طول و عرض کو تبدیل کر سکتی ہیں، اور الجبرائی سطحوں کو غیر الجبرائی سطحوں میں تبدیل کر سکتی ہیں۔ مثال: فرض کریں کہ L، C کا جالی Z + iZ ہے، اور E کو الپٹک وکر C/L ہونے دیں۔ پھر E × C سے C تک کا پروجیکشن نقشہ ایک ایلیپٹک فائبرشن ہے۔ ہم دکھائیں گے کہ 0 سے زیادہ فائبر کو ضرب 2 کے فائبر سے کیسے تبدیل کیا جائے۔ ترتیب 2 کی E × C کی ایک آٹومورفزم ہے جو (c، s) سے (c + 1/2، −s) کا نقشہ بناتی ہے۔ ہم اس گروپ ایکشن کے ذریعے X کو E × C کا حصص ہونے دیتے ہیں۔ ہم (سی، ایس) سے ایس 2 کی نقشہ سازی کرکے ایکس کو سی کے اوپر فائبر کی جگہ بناتے ہیں۔ ہم (c، s) سے (c-log (s)/2πi، s2) کی نقشہ سازی کے ذریعے X مائنس فائبر سے 0 سے E × C مائنس فائبر سے 0 تک ایک آئسومورفزم بناتے ہیں۔ (0 سے زیادہ دو ریشے غیر آئسومورفک الپٹک منحنی خطوط ہیں، لہذا فائبرشن X یقینی طور پر تمام C پر فائبرشن E × C کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔) پھر فائبرشن X میں 2 سے 0 کی ضرب کا فائبر ہوتا ہے، اور بصورت دیگر E × C کی طرح لگتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ X مرکز 0 کے ساتھ ترتیب 2 سے E × C کی لوگرتھمک تبدیلی کو لاگو کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ اینریکس-کوڈائرا درجہ بندی نیرون کم از کم ماڈل نوٹ حوالہ جات کمپلیکس سطحیں برائشنل جیومیٹری الجبرائی سطحیں ریاضیاتی درجہ بندی کے نظام بھی دیکھیں۔