CR manifold
ریاضی میں، ایک سی آر کئی گنا، یا کاچی-ریمن کئی گنا، ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس میں حقیقی ہائپر سرفیس کے نمونے پر بنائے گئے ہندسی ڈھانچے کے ساتھ مل کر ایک تفریق پذیر کئی گنا ہے، یا زیادہ عام طور پر پچر کے کنارے پر بنایا گیا ہے۔ رسمی طور پر، ایک سی آر کئی گنا ایک ترجیحی پیچیدہ تقسیم ایل کے ساتھ مل کر ایک تفریق پذیر کئی گنا ایم ہے، یا دوسرے الفاظ میں پیچیدہ ٹینجینٹ بنڈل کا ایک پیچیدہ ذیلی بنڈل ہے جیسے کہ (ایل باضابطہ طور پر مربوط ہے)۔ سب بنڈل ایل کو کئی گنا ایم پر سی آر ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ سی آر کا مخفف "کاچی-ریمن" یا "کمپلیکس-ریئل" ہے۔ تعارف اور محرک سی آر ڈھانچے کا تصور پیچیدہ جگہ میں ہائپر سرفیس (یا اعلی کوڈیمینشن کے کچھ حقیقی ذیلی مینیفولڈ) ہونے کی خاصیت کو اندرونی طور پر ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کی خصوصیات کا مطالعہ کرکے بیان کرنے کی کوشش کرتا ہے جو ہائپر سرفیس سے متصل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ M مساوات کے ذریعہ دی گئی ہائپر سرفیس ہے جہاں z اور w معمول کے پیچیدہ نقاط ہیں۔ ہولومورفک ٹینجینٹ بنڈل ویکٹروں کے تمام لکیری امتزاج پر مشتمل ہوتا ہے۔ L کی تقسیم M پر ان ویکٹروں کے تمام امتزاج پر مشتمل ہوتی ہے جو M سے ٹینجینٹ ہوتے ہیں۔ ٹینجینٹ ویکٹروں کو M کے لیے متعین مساوات کو ختم کرنا چاہیے، لہذا L کے پیچیدہ اسکیلر ملٹیپلز پر مشتمل ہوتا ہے۔ خاص طور پر، L ہولومورفک ویکٹر فیلڈز پر مشتمل ہوتا ہے جو F کو ختم کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ L، M پر ایک CR ڈھانچہ دیتا ہے، [L، L] = 0 کے لیے (چونکہ L ایک جہتی ہے) اور چونکہ ष्णم/ष्णم اور ष्णم/ष्णم اپنے پیچیدہ کنجوگیٹس سے لکیری طور پر آزاد ہیں۔ زیادہ عام طور پر، فرض کریں کہ M ایک حقیقی ہائپر سرفیس ہے جس میں مساوات F (z1,., zn) = 0 کی وضاحت کی گئی ہے۔ پھر سی آر ڈھانچہ ایل بنیادی ہولومورفک ویکٹروں کے ان لکیری امتزاج پر مشتمل ہوتا ہے: جو متعین فنکشن کو ختم کر دیتے ہیں۔ اس معاملے میں، پہلے کی طرح اسی وجہ سے۔ مزید برآں، [L, L] L چونکہ F کو ختم کرنے والے ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کا کمیونیکیٹر ایک بار پھر ایک ہولومورفک ویکٹر فیلڈ ہے جو F کو ختم کرتا ہے۔ سرایت شدہ اور تجریدی CR کئی گنا ہے۔ سرایت شدہ CR کئی گنا (ہائپر سرفیس اور پیچیدہ جگہ میں پٹریوں کے کناروں) اور تجریدی CR کئی گنا (جو پیچیدہ تقسیم L کے ذریعہ دیئے گئے ہیں) کے نظریات کے درمیان ایک واضح تضاد ہے۔ بہت سی رسمی ہندسی خصوصیات ایک جیسی ہیں۔ ان میں شامل ہیں: کنویکسٹی کا تصور (لیوی فارم کے ذریعہ فراہم کردہ) ایک تفریقی آپریٹر، جو ڈولبیو آپریٹر سے مشابہت رکھتا ہے، اور ایک متعلقہ کوہمولوجی (ٹینجینشیل کاچی-ریمن کمپلیکس)۔ سرایت شدہ سی آر کئی گنا کچھ اضافی ساخت رکھتے ہیں، حالانکہ: کاچی-ریمن مساوات کے لیے نیومن اور ڈیرچلیٹ کا مسئلہ۔ یہ مضمون پہلے سرایت شدہ سی آر کئی گنا کی جیومیٹری کا علاج کرتا ہے، یہ دکھاتا ہے کہ ان ڈھانچوں کو اندرونی طور پر کیسے بیان کیا جائے، اور پھر ان کو تجریدی ترتیب میں عام کرتا ہے۔ ایمبیڈڈ سی آر مینیفولڈز ابتدائی ایمبیڈڈ سی آر مینیفولڈز، سب سے پہلے اور سب سے اہم، پیچیدہ ٹینجینٹ بنڈل کے ذیلی بنڈلوں کی ایک جوڑی کی وضاحت کریں: پیچیدہ ویکٹر پر مشتمل ہوتے ہیں جو اینٹی ہولومورفک افعال کو ختم کرتے ہیں۔ ہولومورفک نقاط میں: ہولومورفک افعال کو ختم کرنے والے پیچیدہ ویکٹروں پر مشتمل ہوتا ہے۔ نقاط میں: ڈولبیئولٹ کمپلیکس کے خصوصیت والے اناہیلیٹر بھی متعلقہ ہیں: نقاط میں، نقاط میں، ان کے بیرونی پروڈکٹ کو خود واضح اشارے ω (p, q)، اور ڈولبیئولٹ آپریٹر اور ان خالی جگہوں کے درمیان اس کے پیچیدہ کنجوگیٹ نقشے کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے: مزید برآں، اس کے ذریعے معمول کے بیرونی مشتق کا ایک سڑنا ہوتا ہے۔ پیچیدہ خلا کے حقیقی ذیلی مینیفولڈ ایک حقیقی ذیلی مینیفولڈ ہونے چاہئیں، جسے مقامی طور پر ہموار حقیقی قدر والے افعال کے نظام کے لوکس کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ اس نظام کے تفریق کا پیچیدہ لکیری حصہ زیادہ سے زیادہ درجہ رکھتا ہے، اس معنی میں کہ تفریق مندرجہ ذیل آزادی کی شرط کو پورا کرتی ہے: نوٹ کریں کہ یہ شرط مضمر فنکشن تھیوریم کو لاگو کرنے کے لیے ضرورت سے زیادہ سختی سے مضبوط ہے: خاص طور پر، M حقیقی جہت کا کئی گنا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ M، CR کوڈیمینشن k کا ایک عام سرایت شدہ CR ذیلی مینیفولڈ ہے۔ صفت عام اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ ٹینجینٹ اسپیس پیچیدہ اعداد سے زیادہ ٹینجینٹ اسپیس پر پھیلا ہوا ہے۔ زیادہ تر ایپلی کیشنز میں، k = 1، اس صورت میں کئی گنا کو ہائپر سرفیس قسم کا کہا جاتا ہے۔ تمام تعریفی افعال کو ختم کرنے والے ویکٹروں کا ذیلی بنڈل بننے دیں۔ نوٹ کریں کہ، ہائپر سرفیس پر مربوط تقسیم کے لیے معمول کے تحفظات کے مطابق، L غیر متزلزل ہے۔ مزید برآں، آزادی کی شرط کا مطلب یہ ہے کہ L مستقل رینک n − k کا ایک بنڈل ہے۔ اس کے بعد، فرض کریں کہ k = 1 (تاکہ CR کئی گنا ہائپر سرفیس قسم کا ہو)، جب تک کہ دوسری صورت میں نوٹ نہ کیا جائے۔ لیوی فارم M کو ہائپر سرفیس قسم کا ایک سی آر کئی گنا ہونے دیں جس میں واحد تعریفی فنکشن F = 0 ہے۔ ایم کی لیوی شکل، جس کا نام یوجینیو ایلیا لیوی کے نام پر رکھا گیا ہے، ہرمیٹین 2 شکل ہے۔ یہ ایل ایم پر ایک میٹرک کا تعین کرتا ہے۔ اگر ایچ مثبت قطعی ہے (یا اگر ایچ مثبت سیمیڈفائنٹ ہے تو سڈوکونویکس) تو اسے سختی سے سڈوکونویکس (ایف <0 کی طرف سے) کہا جاتا ہے۔ سی آر مینیفولڈ کے نظریہ میں بہت سے تجزیاتی وجود اور انفرادیت کے نتائج کا انحصار سیڈوکونویکسٹی پر ہوتا ہے۔ یہ نام سڈوکونویکس ڈومینز کے مطالعہ سے آتا ہے: ایم ایک (سختی سے) سڈوکونویکس ڈومین کی حد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ڈومین کی طرف سے سی آر کئی گنا کے طور پر (سختی سے) سڈوکونویکس ہو۔ (پلوریسبھرمونک افعال اور سٹین کئی گنا دیکھیں۔) خلاصہ سی آر ڈھانچے حقیقی طول و عرض n کے حقیقی کئی گنا M پر ایک تجریدی سی آر ڈھانچہ پیچیدہ ٹینجینٹ بنڈل کے ایک پیچیدہ ذیلی بنڈل L پر مشتمل ہوتا ہے جو رسمی طور پر مربوط ہوتا ہے، اس معنی میں کہ [L, L] L، جس کا اپنے پیچیدہ کنجوگیٹ کے ساتھ صفر چوراہا ہوتا ہے۔ سی آر ڈھانچے کا سی آر کوڈیمینشن وہ جگہ ہے جہاں ڈم ایل پیچیدہ طول و عرض ہے۔ کے = 1 کی صورت میں، سی آر ڈھانچہ ہائپر سرفیس قسم کا کہا جاتا ہے۔ تجریدی سی آر ڈھانچوں کی زیادہ تر مثالیں ہائپر سرفیس قسم کی ہیں۔ لیوی فارم اور سڈوکونویکسٹی فرض کریں کہ ایم ہائپر سرفیس قسم کا سی آر کئی گنا ہے۔ لیوی فارم ویکٹر ویلیوڈ 2 فارم ہے، جس کی وضاحت ایل پر کی گئی ہے، جس میں لائن بنڈل میں اقدار کے ساتھ ایچ ایل پر سیسکویلینئر فارم کی وضاحت کرتا ہے کیونکہ یہ اس بات پر منحصر نہیں ہے کہ انضمام کی حالت کے ذریعہ ایل کے حصوں تک وی اور ڈبلیو کو کیسے بڑھایا جاتا ہے۔ یہ شکل اسی اظہار کے ذریعے بنڈل پر ہرمیٹین شکل تک پھیلی ہوئی ہے۔ توسیعی شکل کو بعض اوقات لیوی شکل بھی کہا جاتا ہے۔ لیوی شکل کو متبادل طور پر دوہری کے لحاظ سے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ کوٹینجینٹ بنڈل کے لائن سب بنڈل پر غور کریں جو V کو ختم کر رہا ہے۔ ہر مقامی حصے کے لیے، فرض کریں کہ فارم hα ایک پیچیدہ قدر والی ہرمیٹین شکل ہے جو α سے وابستہ ہے۔ لیوی فارم کی عمومییاں اس وقت موجود ہوتی ہیں جب کئی گنا ہائپر سرفیس قسم کا نہیں ہوتا ہے، ایسی صورت میں فارم اب لائن بنڈل میں اقدار نہیں مانتا، بلکہ ویکٹر بنڈل میں ہوتا ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی، لیوی شکل کی نہیں، بلکہ ساخت کے لیے لیوی شکلوں کے مجموعے کی بات کر سکتا ہے۔ تجریدی سی آر مینیفولڈز پر، مضبوطی سے سیڈو-کنویکس قسم کی، لیوی شکل ایک سیڈو-ہرمیٹین میٹرک کو جنم دیتی ہے۔ میٹرک کی وضاحت صرف ہولومورفک ٹینجینٹ ویکٹروں کے لیے کی گئی ہے اور اسی طرح یہ انحطاط پذیر ہے۔ اس کے بعد کوئی اس میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے کنکشن اور ٹورسن اور متعلقہ کرویچر ٹینسرز کی وضاحت کر سکتا ہے مثال کے طور پر رچی کرویچر اور اسکیلر کرویچر۔ یہ ایک مماثل سی آر یامابی مسئلے کو جنم دیتا ہے جس کا سب سے پہلے ڈیوڈ جیریسن اور جان لی نے مطالعہ کیا تھا۔ سی آر مینیفولڈز سے وابستہ تعلق کی وضاحت اور مطالعہ سب سے پہلے سڈنی ایم ویبسٹر نے مساوات کے مسئلے کے مطالعہ پر اپنے مقالے میں کیا تھا اور آزادانہ طور پر تناکا نے بھی اس کی وضاحت اور مطالعہ کیا تھا۔ ان تصورات کے بیانات مضامین میں مل سکتے ہیں۔ سی آر جیومیٹری کے بنیادی سوالات میں سے ایک یہ پوچھنا ہے کہ ایک تجریدی سی آر ڈھانچے سے مالا مال ہموار کئی گنا کو کچھ میں سرایت شدہ کئی گنا کے طور پر کب محسوس کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح ہم نہ صرف کئی گنا کو سرایت کر رہے ہیں، بلکہ ہم عالمی سرایت کا بھی مطالبہ کرتے ہیں کہ خلاصہ کئی گنا کو سرایت کرنے والے نقشے کو سرایت شدہ کئی گنا کے حوصلہ افزائی شدہ سی آر ڈھانچے کو پیچھے ہٹانا چاہیے (اس حقیقت سے آتا ہے کہ یہ بیٹھتا ہے) تاکہ پل بیک سی آر ڈھانچہ تجریدی سی آر ڈھانچے سے بالکل متفق ہو۔ اس طرح گلوبل ایمبیڈنگ ایک دو حصہ کی شرط ہے۔ یہاں سوال دو حصوں میں تقسیم ہوتا ہے۔ کوئی بھی مقامی سرایت یا عالمی سرایت کے لیے پوچھ سکتا ہے۔ تجریدی طور پر بیان کردہ، کمپیکٹ سی آر ڈھانچوں کے لیے گلوبل ایمبیڈیبلٹی ہمیشہ درست ہوتی ہے جو مضبوطی سے سیڈوکونویکس ہوتے ہیں، یعنی لیوی فارم مثبت قطعی ہوتی ہے، جب لوئس بوٹیٹ ڈی مونول کے نتیجے میں کئی گنا کی حقیقی جہت 5 یا اس سے زیادہ ہوتی ہے۔ طول و عرض 3 میں، عالمی سرایت میں رکاوٹیں ہیں۔ تین شعبوں پر معیاری سی آر ڈھانچے کی چھوٹی پریشانیاں پیدا کرنے سے جو خلاصہ سی آر ڈھانچہ حاصل ہوتا ہے، وہ عالمی سطح پر سرایت کرنے میں ناکام رہتا ہے۔ اسے بعض اوقات روسی مثال کہا جاتا ہے۔ حقیقت میں یہ مثال ہنس گروئرٹ سے ملتی ہے اور الڈو اینڈریوٹی اور یم ٹونگ سیو کے ایک مقالے میں بھی نظر آتی ہے۔ جوزف جے کوہن کے نتیجے میں کہا گیا ہے کہ عالمی سرایت اس شرط کے مساوی ہے کہ کوہن لیپلاسیئن کی حد بند ہے۔ بند رینج کی یہ حالت سی آر غیر متغیر حالت نہیں ہے۔ طول و عرض 3 میں، سیگن چینیلو، ہنگ-لن چیؤ اور پال سی یانگ کے ذریعہ سی آر غیر متغیر حالات کا ایک غیر متغیر مجموعہ پایا گیا ہے جو کمپیکٹ مینیفولڈز پر بیان کردہ تجریدی مضبوطی سے سڈو-کنویکس سی آر ڈھانچوں کے لیے عالمی سرایت کی ضمانت دیتا ہے۔ اس مفروضے کے تحت کہ سی آر پینٹز آپریٹر غیر منفی ہے اور سی آر یامابی مستقل مثبت ہے، کسی میں عالمی سرایت ہوتی ہے۔ دوسری شرط کو غیر سی آر غیر متغیر حالت میں کمزور کیا جا سکتا ہے جس میں تجریدی کئی گنا کے ویبسٹر منحنی خطوط کو نیچے مثبت مستقل سے پابند کرنے کا مطالبہ کیا جا سکتا ہے۔ یہ مصنفین کو کوہن کے لیپلاسیئن کی پہلی مثبت آئجین ویلیو پر تیز نچلی حد حاصل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ نچلی حد آندرے لچنروویز کی سی آر جیومیٹری میں اینالاگ ہے جو ریمینیئن جیومیٹری میں کمپیکٹ مینیفولڈز کے لیے لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی پہلی مثبت آئجن ویلیو کے لیے پابند ہے۔ طول و عرض 3 میں سی آر پینٹز آپریٹر کی غیر منفییت ایک سی آر غیر متغیر حالت ہے جیسا کہ حقیقی طول و عرض 3 کے سی آر کئی گنا پر سی آر پینٹز آپریٹر کی کنفارمل کوویرینٹ خصوصیات کے ذریعہ درج ذیل ہے، جس کا مشاہدہ سب سے پہلے کینگو ہیرچی نے کیا تھا۔ پینٹز آپریٹر کا سی آر ورژن، نام نہاد سی آر پینٹز آپریٹر سب سے پہلے سی رابن گراہم اور جان لی کے کام میں ظاہر ہوتا ہے۔ آپریٹر کو حقیقی طول و عرض 5 اور اس سے زیادہ میں مطابقت سے متغیر نہیں جانا جاتا ہے، لیکن صرف حقیقی طول و عرض 3 میں۔ یہ ہمیشہ حقیقی طول و عرض 5 اور اس سے زیادہ میں ایک غیر منفی آپریٹر ہوتا ہے۔ کوئی یہ پوچھ سکتا ہے کہ کیا تمام کمپیکٹ طور پر سرایت شدہ سی آر مینیفولڈز میں غیر منفی پینٹز آپریٹرز ہیں۔ یہ اوپر زیر بحث ایمبیڈنگ تھیوریمز کے لیے ایک قسم کا متصادم سوال ہے۔ اس سمت میں جیفری کیس، سگون چینیلو اور پال سی یانگ نے استحکام کا نظریہ ثابت کیا ہے۔ یعنی، اگر کوئی کمپیکٹ سی آر کئی گنا کے خاندان سے شروع ہوتا ہے اور خاندان کا سی آر ڈھانچہ پیرامیٹر کے حوالے سے حقیقی تجزیاتی انداز میں تبدیل ہوتا ہے اور کئی گنا کے خاندان کا سی آر یامابی مستقل نیچے یکساں طور پر ایک مثبت مستقل سے جڑا ہوتا ہے، تو سی آر پینٹز آپریٹر پورے خاندان کے لیے غیر منفی رہتا ہے، بشرطیکہ خاندان کے ایک رکن کے پاس اس کا سی آر پینٹز آپریٹر غیر منفی ہو۔ الٹا سوال آخر کار یویا ٹیکوچی نے حل کیا۔ انہوں نے ثابت کیا کہ سرایت شدہ، کمپیکٹ سی آر-3 مینیفولڈز کے لیے جو سختی سے سیڈوکونویکس ہیں، اس سرایت شدہ مینیفولڈ سے وابستہ سی آر پینٹز آپریٹر غیر منفی ہے۔ ڈینیل برنز اور چارلس ایپسٹین کی وجہ سے 3 جہتی دائرے کے لیے معیاری سی آر ڈھانچے کی چھوٹی پریشانیوں کے لیے عالمی سرایت کے نتائج بھی موجود ہیں۔ یہ نتائج پرٹربیشن اصطلاح کے فورئیر کوفیشنٹس پر مفروضوں کو قیاس کرتے ہیں۔ خلاصہ سی آر کئی گنا کا احساس کچھ میں ایک ہموار کئی گنا کے طور پر ایک پیچیدہ قسم کو پابند کرے گا جس میں عام طور پر انفرادیت ہو سکتی ہے۔ یہ پیچیدہ سطح مرتفع کے مسئلے کا مواد ہے جس کا مطالعہ ایف ریز ہاروی اور ایچ بلین لاسن کے مضمون میں کیا گیا ہے۔ اسٹیفن ایس۔ ٹی۔ یاؤ کے پیچیدہ سطح مرتفع کے مسئلے پر مزید کام بھی ہے۔ خلاصہ سی آر ڈھانچوں کی مقامی سرایت حقیقی طول و عرض 3 میں درست نہیں ہے، کیونکہ لوئس نیرن برگ کی ایک مثال (نیچے مذکور چن اور می-چی شا کی کتاب بھی نیرن برگ کے ثبوت کی پیش کش کرتی ہے)۔ ایل نیرن برگ کی مثال کو ہنس لیوی کے غیر حل پزیر پیچیدہ ویکٹر فیلڈ کی ہموار خلل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کوئی بھی ہائزن برگ گروپ پر اینٹی ہولومورفک ویکٹر فیلڈ سے شروع کر سکتا ہے جو اوپر بیان کردہ ویکٹر فیلڈ میں دو لکیری طور پر آزاد پہلے انٹیگرل ہوتے ہیں۔ یعنی یکساں مساوات کے دو حل ہیں، چونکہ ہم حقیقی جہت تین میں ہیں اس لیے رسمی انٹیگریبلٹی کی حالت سادہ ہے، جو کہ خودکار ہے۔ نوٹ کریں کہ لیوی فارم سختی سے مثبت قطعی ہے جیسا کہ ایک سادہ حساب دیتا ہے، جہاں ہولومورفک ویکٹر فیلڈ L اس کے ذریعہ دیا گیا ہے، پہلے انٹیگرلز جو لکیری طور پر آزاد ہیں ہمیں سی آر ڈھانچے کو گراف کے طور پر محسوس کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ نیرن برگ ایک واحد، غیر معدوم ہونے والے پیچیدہ ویکٹر فیلڈ کی تعمیر کرتا ہے جس کی وضاحت اصل کے پڑوس میں کی گئی ہے۔ اس کے بعد ظاہر ہوتا ہے کہ اگر، تو پھر مستقل ہونا پڑتا ہے۔ اس طرح ویکٹر فیلڈ میں کوئی پہلا انٹیگرل نہیں ہوتا ہے۔ ویکٹر فیلڈ ہائزن برگ گروپ کے لیے اینٹی ہولومورفک ویکٹر فیلڈ سے بنایا گیا ہے جسے اوپر ایک ہموار پیچیدہ قدر والے فنکشن کے ذریعے پریشان کرکے دکھایا گیا ہے جیسا کہ نیچے دکھایا گیا ہے: اس طرح اس نئے ویکٹر فیلڈ P میں، مستقل کے علاوہ کوئی پہلا انٹیگرل نہیں ہے اور اس لیے اس پریشان سی آر ڈھانچے کو کسی بھی طرح سے کسی بھی گراف کے طور پر محسوس کرنا ممکن نہیں ہے۔ ایل نیرن برگ کے کام کو ہاورڈ جیکوبوٹز اور فرانکوئس ٹریوز نے ایک عام نتیجہ تک بڑھایا ہے۔ حقیقی طول و عرض 9 اور اس سے زیادہ میں، تجریدی سختی سے چھدم کنویکس سی آر ڈھانچوں کی مقامی سرایت مساتاکے کورانیشی کے کام سے اور حقیقی طول و عرض 7 میں اکاہوری کے کام سے درست ہے۔ کورانیشی کے ثبوت کی ایک آسان پیش کش ویبسٹر کی وجہ سے ہے۔ مقامی سرایت کا مسئلہ حقیقی طول و عرض 5 میں کھلا رہتا ہے۔ خصوصیت کے آئیڈیلز ٹینجینشیل کاچی-ریمن کمپلیکس (کوہن لیپلاسیئن، کوہن-روسی کمپلیکس) سب سے پہلے کسی کو باؤنڈری آپریٹر کی وضاحت کرنے کی ضرورت ہے۔ سی آر کئی گنا کے لیے جو پیچیدہ کئی گنا کی حدود کے طور پر پیدا ہوتے ہیں، کوئی بھی اس آپریٹر کو اندرونی سے حد تک کی پابندی کے طور پر دیکھ سکتا ہے۔ سبسکرپٹ بی کسی کو یاد دلانے کے لیے ہے کہ ہم حد پر ہیں۔ شریک باؤنڈری آپریٹر (0، p) فارموں کو (0، p + 1) فارموں میں لے جاتا ہے۔ یہاں تک کہ ایک تجریدی سی آر کئی گنا کے لیے شریک باؤنڈری آپریٹر کی وضاحت بھی کی جا سکتی ہے چاہے وہ کسی پیچیدہ قسم کی حد نہ ہو۔ یہ ویبسٹر کنکشن کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ شریک باؤنڈری آپریٹر ایک کمپلیکس بناتا ہے، یعنی۔ اس کمپلیکس کو ٹینجینشیل کاچی ریمن کمپلیکس یا کوہن روسی کمپلیکس کہا جاتا ہے۔ اس کمپلیکس کی تحقیقات اور اس کمپلیکس کے کوہومولوجی گروپوں کا مطالعہ جوزف جے کوہن اور ہیوگو روسی نے ایک بنیادی مقالے میں کیا تھا۔ ٹینجینشیل سی آر کمپلیکس سے وابستہ سی آر جیومیٹری اور متعدد پیچیدہ متغیرات، کوہن لیپلاسیئن میں ایک بنیادی شے ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: یہاں کے رسمی ملحقہ کی نشاندہی کرتا ہے جہاں حجم کی شکل رابطہ فارم سے حاصل کی جا سکتی ہے جو سی آر ڈھانچے سے وابستہ ہے۔ مثال کے طور پر جے ایم کا مقالہ دیکھیں۔ امریکی جے میں لی کا حوالہ ذیل میں دیا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ کوہن لیپلاسیئن (0، p) شکلوں کو (0، p) شکلوں میں لے جاتا ہے۔ کوہن لیپلاسیئن کے ذریعے ختم ہونے والے افعال کو سی آر افعال کہا جاتا ہے۔ وہ ہولومورفک افعال کے باؤنڈری اینالاگس ہیں۔ سی آر افعال کے حقیقی حصوں کو سی آر پلوری ہارمونک افعال کہا جاتا ہے۔ کوہن لیپلاسیئن ایک غیر منفی، باضابطہ طور پر سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہے۔ یہ انحطاط پذیر ہوتا ہے اور اس کی ایک خصوصیت ہوتی ہے جہاں اس کی علامت غائب ہو جاتی ہے۔ ایک کمپیکٹ، مضبوطی سے سیڈو-کنویکس تجریدی سی آر کئی گنا پر، اس میں مجرد مثبت آئجن ویلیوز ہوتی ہیں جو انفینیٹی تک جاتی ہیں اور صفر تک بھی پہنچتی ہیں۔ دانا سی آر افعال پر مشتمل ہوتا ہے اور اسی طرح یہ لامحدود جہتی ہوتا ہے۔ اگر کوہن لیپلاسیئن کے مثبت آئجین ویلیوز نیچے ایک مثبت مستقل سے جڑے ہوئے ہیں، تو کوہن لیپلاسیئن کی حد بند ہے اور اس کے برعکس۔ اس طرح سرایت شدہ سی آر ڈھانچوں کے لیے اوپر بیان کردہ کوہن کے نتیجے کا استعمال کرتے ہوئے، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ کمپیکٹ سی آر ڈھانچہ جو مضبوطی سے سڈوکونویکس ہے سرایت شدہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوہن لیپلاسیئن میں مثبت آئجن ویلیوز ہوں جو نیچے مثبت مستقل سے منسلک ہوں۔ کوہن لیپلاسیئن میں ہمیشہ سی آر افعال کے مطابق آئجن ویلیو صفر ہوتا ہے۔ مختلف ترتیبات میں مختلف فنکشن خالی جگہوں کے لیے تخمینے اور حاصل کیے گئے ہیں۔ ان تخمینوں کو حاصل کرنا سب سے آسان ہوتا ہے جب کئی گنا مضبوط طور پر سڈوکونویکس ہوتا ہے، اس کے لیے کوئی بھی کئی گنا کو ہائیزن برگ گروپ کے ساتھ کافی اونچی ترتیب میں اتار کر تبدیل کر سکتا ہے۔ پھر ہائزن برگ گروپ کی گروپ پراپرٹی اور اٹینڈنٹ کنولیوشن ڈھانچے کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی الٹا/پیرامیٹریس یا متعلقہ پیرامیٹریس کو لکھ سکتا ہے۔ آپریٹر کی ایک ٹھوس مثال ہائزن برگ گروپ پر فراہم کی جا سکتی ہے۔ عام ہائزن برگ گروپ پر غور کریں اور اینٹی ہولومورفک ویکٹر فیلڈز پر غور کریں جو گروپ لیفٹ انویرینٹ بھی ہیں، پھر ایک فنکشن u کے لیے ہمارے پاس (0,1) فارم ہے۔ چونکہ فنکشن پر غائب ہوتا ہے، ہمارے پاس ہائزن برگ گروپ پر فنکشن کے لیے کوہن لیپلاسیئن کے لیے درج ذیل فارمولا بھی ہے: ہائزن برگ گروپ پر گروپ لیفٹ انویرینٹ، ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کہاں ہیں۔ اوپر کوہن لیپلاسیئن کے لیے اظہار کو مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ پہلے یہ آسانی سے چیک کیا جاتا ہے کہ اس طرح ہمارے پاس ایک ابتدائی حساب سے ہے: دائیں طرف پہلا آپریٹر ایک حقیقی آپریٹر ہے اور درحقیقت یہ کوہن لیپلاسیئن کا حقیقی حصہ ہے۔ اسے سب-لیپلاشین کہا جاتا ہے۔ یہ اس کی ایک بنیادی مثال ہے جسے ہرمینڈر سمز آف اسکوائر آپریٹر کہا جاتا ہے۔ یہ واضح طور پر غیر منفی ہے جیسا کہ حصوں کے انضمام کے ذریعے دیکھا جا سکتا ہے۔ کچھ مصنفین ذیلی لیپلاسیئن کو مخالف علامت کے ساتھ بیان کرتے ہیں۔ ہمارے معاملے میں ہمارے پاس خاص طور پر ہے: جہاں علامت ذیلی لیپلاسیئن کی روایتی علامت ہے۔ اس طرح مثالیں ایک کمپیکٹ سی آر کئی گنا کی کینونکل مثال حقیقی دائرے کی ذیلی شکل کے طور پر ہے۔ اوپر بیان کردہ بنڈل اس طرح دیا گیا ہے کہ ہولومورفک ویکٹروں کا بنڈل کہاں ہے۔ اس کی اصل شکل اس کے ذریعہ دی گئی ہے، پیچیدہ ڈھانچے کے لحاظ سے ایک نقطہ پر ٹھوس طور پر دیا گیا بنڈل، اور تقریبا پیچیدہ ڈھانچہ صرف کی پابندی ہے۔ دائرہ سی آر کئی گنا کی ایک مثال ہے جس میں مستقل مثبت ویبسٹر منحنی پن اور صفر ویبسٹر ٹورشن ہوتا ہے۔ ہائزن برگ گروپ غیر کمپیکٹ سی آر کئی گنا کی ایک مثال ہے جس میں صفر ویبسٹر ٹورسن اور صفر ویبسٹر منحنیت ہے۔ کمپیکٹ ریمن سطحوں پر یونٹ سرکل بنڈل جس کی جینس سختی سے 1 سے زیادہ ہے، سی آر مینیفولڈز کی مثالیں بھی فراہم کرتا ہے جو مضبوطی سے سیڈوکونویکس ہوتے ہیں اور جن میں صفر ویبسٹر ٹورسن اور مستقل منفی ویبسٹر منحنیت ہوتی ہے۔ ان خالی جگہوں کو ایچ ای کے مترادف صفر ویبسٹر ٹورسن کے ساتھ سی آر مینیفولڈز پر جیوڈیکس اور حجم کے موازنہ تھیوریمز کے مطالعہ میں تقابلی خالی جگہوں کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ریمینیئن جیومیٹری میں راؤچ موازنہ تھیوریم۔ حالیہ برسوں میں، ہائزن برگ گروپ پر تجزیہ کے دیگر پہلوؤں کا بھی مطالعہ کیا گیا ہے، جیسے ہائزن برگ گروپ میں کم سے کم سطحیں، ہائزن برگ گروپ میں برنسٹین کا مسئلہ اور منحنی بہاؤ۔ یوجینیو ایلیا لیوی سیوڈوکونویکسٹی نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ کئی پیچیدہ متغیرات کے افعال کے نظریہ میں ایک اہم مقالہ۔ عنوان کا انگریزی ترجمہ اس طرح ہے: "دو یا زیادہ پیچیدہ متغیرات کے تجزیاتی افعال کے ضروری واحد نکات پر مطالعہ"۔ ہموار کئی گنا پیچیدہ کئی گنا