Pseudo-arc
عام ٹوپولوجی میں، چھدم آرک سب سے آسان غیر جینیاتی موروثی طور پر ناقابل تشکیل تسلسل ہے۔ چھدم آرک ایک آرک کی طرح یکساں تسلسل ہے، اور اس نے یکساں طیارہ تسلسل کی درجہ بندی میں مرکزی کردار ادا کیا۔ R. H. بنگ نے ثابت کیا کہ، ایک خاص طور پر واضح معنوں میں، Rn میں زیادہ تر کنٹینوا، n ≤ 2، چھدم آرک کے لیے ہومومورفک ہیں۔ 1920 میں، برونی سلاو ناسٹر اور کازیمیرز کوراتووسکی نے پوچھا کہ کیا یوکلڈین طیارہ R2 میں غیر پیدا شدہ یکساں تسلسل اردن کا منحنی خطوط ہونا چاہیے۔ 1921 میں، اسٹیفن مزورکیوز نے پوچھا کہ کیا R2 میں ایک نان ڈیجینریٹ تسلسل جو اس کے ہر نان ڈیجینریٹ سب کانٹینوا کے لیے ہومومورفک ہے، ایک آرک ہونا چاہیے۔ 1922 میں، نیسٹر نے موروثی طور پر ناقابل تنسیخ تسلسل K کی پہلی مثال دریافت کی، جسے بعد میں فرضی آرک کا نام دیا گیا، جس نے مزورکیوز کے سوال کا منفی جواب دیا۔ 1948 میں، آر ایچ بنگ نے ثابت کیا کہ نیسٹر کا تسلسل یکساں ہے، یعنی۔ اس کے کسی بھی دو نکات کے لیے ایک ہومومورفزم ہے جو ایک کو دوسرے پر لے جاتا ہے۔ پھر بھی 1948 میں، ایڈون موئس نے دکھایا کہ نیسٹر کا تسلسل اس کے ہر غیر انحطاطی ذیلی تسلسل کے لیے ہومومورفک ہے۔ آرک کی بنیادی خاصیت سے اس کی مماثلت کی وجہ سے، یعنی، اس کے تمام نان ڈیجینریٹ سب کانٹینوا کے لیے ہومومورفک ہونے کی وجہ سے، موئس نے اپنی مثال M کو سڈو آرک کہا۔ بنگ کی تعمیر موئس کی ایم کی تعمیر میں ایک ترمیم ہے، جسے اس نے پہلی بار ایک لیکچر میں بیان کرتے ہوئے سنا تھا۔ 1951 میں، بنگ نے ثابت کیا کہ تمام موروثی طور پر ناقابل تشکیل آرک نما کنٹینوا ہومومورفک ہیں-اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ نیسٹر کا K، موئس کا M، اور بنگ کا B سبھی ہومومورفک ہیں۔ بنگ نے یہ بھی ثابت کیا کہ چھدم آرک کم از کم 2 طول و عرض کی یوکلیڈین جگہ یا لامحدود جہتی علیحدہ ہلبرٹ جگہ میں کانٹینوا کے درمیان عام ہے۔ بنگ اور ایف برٹن جونز نے ایک سڑنے والا طیارہ تسلسل بنایا جو دائرے پر ایک کھلے نقشے کو تسلیم کرتا ہے، جس میں ہر نقطہ چھدم آرک سے ہومیومورفک ہوتا ہے، جسے چھدم آرکس کا دائرہ کہا جاتا ہے۔ بنگ اور جونز نے یہ بھی دکھایا کہ یہ یکساں ہے۔ 2016 میں لوگن ہوہن اور لیکس اوورسٹیگن نے ہومومورفزم تک تمام پلانر یکساں کانٹینوا کو دائرے، چھدم آرک اور چھدم آرکس کے دائرے کے طور پر درجہ بند کیا۔ 2019 میں ہوہن اور اوورسٹیگن نے دکھایا کہ چھدم آرک ٹپوولوجیکل طور پر واحد ہے، آرک کے علاوہ، موروثی طور پر مساوی پلانر تسلسل ہے، اس طرح 1921 سے مزورکیوز کے مسئلے کے پلانر کیس کا مکمل حل فراہم کرتا ہے۔ سڈو آرک کی مندرجہ ذیل تعمیر مندرجہ ذیل ہے۔ سیڈو آرک کی تعریف کے مرکز میں زنجیر کا تصور ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: ایک سلسلہ ایک میٹرک اسپیس میں کھلے سیٹوں کا ایک محدود مجموعہ ہے جیسے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی زنجیر کے عناصر کو اس کے لنکس کہا جاتا ہے، اور ایک زنجیر کو ε-زنجیر کہا جاتا ہے اگر اس کے ہر لنک کا قطر ε سے کم ہو۔ اوپر درج کردہ خالی جگہوں کی قسم میں سب سے آسان ہونے کے باوجود، چھدم آرک دراصل بہت پیچیدہ ہے۔ زنجیر کے منحنی ہونے کا تصور (ذیل میں بیان کیا گیا ہے) وہی ہے جو فرضی آرک کو اس کی پیچیدگی سے دوچار کرتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، اس کے لیے ایک دوسرے سلسلے میں ایک مخصوص تکراری زگ زگ پیٹرن کی پیروی کرنے کے لیے ایک سلسلہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ بڑی زنجیر کے mth لنک سے nth تک 'منتقل' ہونے کے لیے، چھوٹی زنجیر کو پہلے mth لنک سے (n−1) th لنک تک منحنی انداز میں منتقل ہونا چاہیے، پھر منحنی انداز میں (m + 1) th لنک تک، اور پھر آخر میں nth لنک تک۔ مزید رسمی طور پر: آئیے اور زنجیروں کو اس طرح بنائیں کہ ہر لنک ایک لنک کا ذیلی سیٹ ہے، اور کسی بھی انڈیکس کے لیے i، j، m، اور n کے ساتھ، اور، وہاں انڈیکس موجود ہیں اور (یا) کے ساتھ اور اور پھر سڈو آرک میں منحرف ہے۔ سیٹس کے کسی بھی مجموعہ C کے لیے، C کے تمام عناصر کے اتحاد کو ظاہر کرتے ہیں۔ یعنی، سڈو آرک کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: P اور q کو طیارہ میں الگ الگ نکات ہونے دیں اور طیارہ میں زنجیروں کا ایک سلسلہ ہو کہ ہر i کے لیے، p پر مشتمل پہلی لنک اور آخری لنک q پر مشتمل ہے، زنجیر ایک-زنجیر ہے، ہر لنک کا بند ہونا کسی لنک کا ذیلی سیٹ ہے، اور سلسلہ۔ فرض کریں کہ پھر P ایک فرضی آرک ہے۔ نوٹ حوالہ جات تسلسل نظریہ