Weierstrass–Enneper parameterization
ریاضی میں، کم سے کم سطحوں کی ویئراسٹراس-اینپر پیرامیٹرائزیشن تفریق جیومیٹری کا ایک کلاسیکی ٹکڑا ہے۔ الفریڈ اینپر اور کارل ویرسٹراس نے 1863 تک کم سے کم سطحوں کا مطالعہ کیا۔ پورے پیچیدہ سطح یا یونٹ ڈسک پر افعال ہونے دیں، جہاں میرومورفک ہے اور تجزیاتی ہے، اس طرح کہ جہاں بھی ترتیب کا قطب ہو، اس میں ترتیب کا صفر ہو (یا مساوی طور پر، جیسے کہ پروڈکٹ ہولومورفک ہو)، اور مستقل ہونے دیں۔ پھر نقاط والی سطح کم سے کم ہوتی ہے، جہاں ایک پیچیدہ انٹیگرل کے حقیقی حصے کا استعمال کرتے ہوئے ان کی وضاحت کی جاتی ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: اس کے برعکس بھی درست ہے: صرف منسلک ڈومین پر بیان کردہ ہر نان پلینر کم سے کم سطح کو اس قسم کا پیرامیٹریزیشن دیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اینپر کی سطح ہے،۔ پیچیدہ متغیرات کی پیرامیٹرک سطح ویئراسٹراس-اینپر ماڈل ایک پیچیدہ سطح () پر کم سے کم سطح () کی وضاحت کرتا ہے۔ آئیے (خلا کے طور پر پیچیدہ طیارہ)، سطح کے جیکوبین میٹرکس کو پیچیدہ اندراجات کے کالم کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: کہاں اور کہاں کے ہولومورفک افعال ہیں۔ جیکوبین سطح کے دو آرتھوگنل ٹینجینٹ ویکٹرز کی نمائندگی کرتا ہے: سطح کا نارمل جیکوبین کئی اہم خصوصیات کی طرف لے جاتا ہے:،،،۔ ثبوت شرما کے مضمون میں مل سکتے ہیں: ویئراسٹراس کی نمائندگی ہمیشہ کم سے کم سطح دیتی ہے۔ مشتقات کو پہلے بنیادی فارم میٹرکس کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: اور دوسرا بنیادی فارم میٹرکس آخر میں، پیچیدہ سطح پر ایک نقطہ کم سے کم سطح پر ایک نقطہ پر نقشہ بناتا ہے جہاں اس کاغذ میں تمام کم سے کم سطحوں کے لیے سوائے کوسٹا کی کم سے کم سطح کے جہاں۔ سرایت شدہ کم سے کم سطحیں اور مثالیں محدود ٹوپولوجی کے ساتھ سرایت شدہ مکمل کم سے کم سطحوں کی کلاسیکی مثالوں میں طیارہ، کیٹینائڈ، ہیلیکوئڈ، اور کوسٹا کی کم سے کم سطح شامل ہیں۔ کوسٹا کی سطح میں ویئراسٹراس کا ایلیپٹک فنکشن شامل ہے: جہاں ایک مستقل ہے۔ ہیلیکاٹینائڈ افعال کا انتخاب اور، کم سے کم سطحوں کا ایک پیرامیٹر خاندان حاصل کیا جاتا ہے۔ سطح کے پیرامیٹرز کا انتخاب اس طرح کرنا: انتہا پر، سطح ایک کیٹینائڈ یا ہیلیکوئڈ ہوتی ہے۔ بصورت دیگر، اختلاط زاویہ کی نمائندگی کرتا ہے۔ نتیجے میں آنے والی سطح، جس میں ڈومین کو خود کٹوتی کو روکنے کے لیے منتخب کیا گیا ہے، ایک کیٹینیری ہے جو محوری انداز میں محور کے گرد گھومتی ہے۔ منحنی خطوط ایک دوسرے بنیادی میٹرکس کے ہر عنصر کو اور کے فنکشن کے طور پر دوبارہ لکھ سکتا ہے، مثال کے طور پر اور اس کے نتیجے میں دوسرے بنیادی فارم میٹرکس کو آسان بنایا جا سکتا ہے کیونکہ اس کا ایک آئجین ویکٹر پیچیدہ ڈومین میں اصل سمت کی نمائندگی کرتا ہے۔ لہذا، خلا میں دو اہم سمتیں سی ایسوسی ایٹ فیملی برائنٹ کی سطح بن جاتی ہیں، جو ہائپربولک اسپیس حوالہ جات میں ایک اینالاگس پیرامیٹرائزیشن کے ذریعہ پائی جاتی ہیں۔ متفرق جیومیٹری سطحیں کم سے کم سطحیں