Coadjoint representation
ریاضی میں، ایک لائ گروپ کی مشترکہ نمائندگی ملحقہ نمائندگی کا دوہرا ہوتا ہے۔ اگر لائ الجبرا کی نشاندہی کرتا ہے، تو اس سے متعلق عمل، دوہری جگہ کو، کواڈجوائنٹ ایکشن کہا جاتا ہے۔ ایک ہندسی تشریح دائیں غیر متغیر 1-شکلوں کی جگہ پر بائیں ترجمہ کے ذریعے عمل کے طور پر ہے۔ کواڈجوائنٹ نمائندگی کی اہمیت پر الیگزینڈر کیریلوف کے کام نے زور دیا، جس نے یہ ظاہر کیا کہ نیلپوٹینٹ لائ گروپوں کے لیے ان کی نمائندگی کے نظریہ میں بنیادی کردار کواڈجوائنٹ آربٹس ادا کرتے ہیں۔ مداروں کے کیریلوف طریقہ کار میں، کی نمائندگی کواڈجوائنٹ مداروں سے شروع کرتے ہوئے ہندسی طور پر تعمیر کی جاتی ہے۔ کچھ معنوں میں وہ کنجوگیسی کلاسوں کے لیے متبادل کردار ادا کرتے ہیں، جو ایک بار پھر پیچیدہ ہو سکتے ہیں، جبکہ مدار نسبتا ٹریک ایبل ہوتے ہیں۔ رسمی تعریف ایک جھوٹ گروپ ہونے دیں اور اس کا جھوٹ الجبرا ہونے دیں۔ آئیے ملحقہ نمائندگی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پھر مشترکہ نمائندگی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں ویکٹر پر لکیری فنکشنل کی قدر کی نشاندہی ہوتی ہے۔ آئیے لائ گروپ کی مشترکہ نمائندگی سے متاثر ہونے پر لائ الجبرا کی نمائندگی کو ظاہر کرتے ہیں۔ پھر تعریف شدہ مساوات کا لامحدود ورژن پڑھتا ہے: لائ الجبرا کی ملحقہ نمائندگی کہاں ہے۔ کواڈ جوائنٹ آربٹ کی دوہری جگہ کے لیے ایک کواڈ جوائنٹ آربٹ کی تعریف یا تو بیرونی طور پر، اندر کے اصل مدار کے طور پر، یا اندرونی طور پر یکساں خلا کے طور پر کی جا سکتی ہے جہاں کواڈ جوائنٹ ایکشن کے حوالے سے اسٹیبلائزر ہے۔ یہ فرق کرنے کے قابل ہے کیونکہ مدار کی سرایت پیچیدہ ہو سکتی ہے۔ مشترکہ مدار ذیلی مینیفولڈ ہوتے ہیں اور ایک قدرتی سمپلیکٹک ڈھانچہ رکھتے ہیں۔ ہر مدار پر، ایک بند غیر انحطاط پذیر-غیر متغیر 2-شکل درج ذیل طریقے سے وراثت میں ملتی ہے: مندرجہ ذیل حقائق سے پیروی کی اچھی طرح سے وضاحت، غیر انحطاط، اور-تغیر: (i) ٹینجینٹ اسپیس کی شناخت اس کے ساتھ کی جا سکتی ہے، جہاں کا لائ الجبرا ہے۔ (ii) نقشے کا دانا بالکل درست ہے۔ (iii) دو لکیری شکل نیچے غیر متغیر ہے۔ بھی بند ہے۔ کینونکل 2-فارم کو بعض اوقات مربوط مدار پر کیریلوف-کوسٹینٹ-سوریاؤ سمپلیکٹک فارم یا کے کے ایس فارم کہا جاتا ہے۔ کواڈجوائنٹ مداروں کی خصوصیات کواڈجوائنٹ مدار پر کواڈجوائنٹ ایکشن ایک ہیملٹنین ایکشن ہے جس میں شمولیت کے ذریعہ دی گئی رفتار کا نقشہ ہے۔ مثال کے طور پر ایک کمپیکٹ گروپ کیریلوف کردار فارمولا کیریلوف آربیٹ تھیوری کے لیے بوریل-باٹ-ویل تھیوریم بھی دیکھیں حوالہ جات کیریلوف، اے اے، لیکچرز آن آربٹ میتھڈ، ریاضی میں گریجویٹ اسٹڈیز، جلد۔ 64، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، بیرونی روابط لائ گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ علامتی جیومیٹری