Large set (combinatorics)
مشترکہ ریاضی میں، مثبت عددوں کا ایک بڑا مجموعہ ایسا ہوتا ہے کہ باہمی کا لامحدود مجموعہ مختلف ہو جاتا ہے۔ ایک چھوٹا سیٹ مثبت انٹیجرز کا کوئی بھی ذیلی سیٹ ہوتا ہے جو بڑا نہیں ہوتا ہے۔ یعنی وہ جس کے باہمی مجموعے یکجا ہوتے ہیں۔ بڑے سیٹ مونٹز-زازز تھیوریم اور ریاضی کی ترقی پر ایرڈس قیاس میں ظاہر ہوتے ہیں۔ مثالیں مثبت عددوں کا ہر محدود ذیلی سیٹ چھوٹا ہوتا ہے۔ تمام مثبت انٹیجرز کا مجموعہ ایک بڑا مجموعہ ہے۔ یہ بیان ہارمونک سیریز کے انحراف کے برابر ہے۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی ریاضیاتی پیش رفت (یعنی، a + b فارم کے تمام انٹیجرز کا ایک سیٹ جس میں a ≤1، b ≤1 اور n = 0، 1، 2، 3،) ایک بڑا سیٹ ہے۔ مربع اعداد کا مجموعہ چھوٹا ہے (باسل مسئلہ دیکھیں)۔ مکعب اعداد کا مجموعہ، چوتھی طاقتوں کا مجموعہ وغیرہ بھی ایسا ہی ہے۔ زیادہ عام طور پر، ڈگری 2 یا اس سے بڑے کے کسی بھی کثیر الجہتی کی مثبت عدد اقدار کا مجموعہ ایک چھوٹے سیٹ کی تشکیل کرتا ہے۔ 2 کی طاقتوں کا مجموعہ {1,2,4,8,.} ایک چھوٹا مجموعہ ہے، اور اسی طرح کوئی بھی ہندسی پیش رفت ہے (یعنی، اے بی این فارم کی شکل کے اعداد کا ایک مجموعہ جس میں a ≤ 1, b ≤ 2 اور n = 0,1,2,3.)۔ پرائم نمبروں کا مجموعہ بڑا ہوتا ہے۔ جڑواں پرائمز کا مجموعہ چھوٹا ہوتا ہے (برون کا مستقل دیکھیں)۔ پرائم پاورز کا مجموعہ جو پرائم نہیں ہیں (یعنی، pn کی شکل کے تمام اعداد n ≤ 2 اور p پرائم کے ساتھ) چھوٹے ہوتے ہیں حالانکہ پرائمز بڑے ہوتے ہیں۔ یہ خاصیت اکثر تجزیاتی نمبر تھیوری میں استعمال ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، کامل طاقتوں کا مجموعہ چھوٹا ہوتا ہے ؛ یہاں تک کہ طاقتور اعداد کا مجموعہ بھی چھوٹا ہوتا ہے۔ اعداد کا مجموعہ جس کی توسیع کسی دی گئی بنیاد میں دی گئی ہندسوں کو خارج کرتی ہے وہ چھوٹا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، انٹیجرز کا مجموعہ جس کی اعشاریہ توسیع میں ہندسہ 7 شامل نہیں ہے وہ چھوٹا ہے۔ اس طرح کی سیریز کو کیمپنر سیریز کہا جاتا ہے۔ کوئی بھی سیٹ جس کی اوپری غیر علامتی کثافت غیر صفر ہو، بڑا ہوتا ہے۔ خصوصیات چھوٹے سیٹ کا ہر ذیلی سیٹ چھوٹا ہوتا ہے۔ محدود طور پر بہت سے چھوٹے سیٹوں کا اتحاد چھوٹا ہے، کیونکہ دو متغیر سیریز کا مجموعہ ایک متغیر سیریز ہے۔ (سیٹ نظریاتی اصطلاحات میں، چھوٹے سیٹ ایک آئیڈیل بناتے ہیں۔) ہر چھوٹے سیٹ کی تکمیل بڑی ہوتی ہے۔ منٹز-زازز تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک سیٹ بڑا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مثبت حقیقی اعداد میں بند وقفے پر مسلسل افعال کی یکساں معیاری ٹوپولوجی میں کثیر الجہتی کا سیٹ گھنے ہو۔ یہ اسٹون-ویئراسٹراس تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ بڑے سیٹوں پر مشتمل کھلے مسائل پال ایرڈس نے قیاس کیا کہ تمام بڑے سیٹوں میں من مانی طور پر لمبی ریاضی کی پیش رفت ہوتی ہے۔ اس نے ثبوت کے لیے 3000 ڈالر کا انعام پیش کیا، جو اس کے کسی بھی دوسرے قیاس آرائی سے زیادہ ہے، اور مذاق کیا کہ اس انعام کی پیشکش سے کم از کم اجرت کے قانون کی خلاف ورزی ہوئی ہے۔ سوال ابھی کھلا ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ کس طرح شناخت کی جائے کہ آیا دیا گیا سیٹ عام طور پر بڑا ہے یا چھوٹا۔ نتیجے کے طور پر، بہت سے سیٹ ہیں جو بڑے یا چھوٹے ہونے کے لیے نہیں جانے جاتے ہیں۔ نوٹ حوالہ جات اے۔ ڈی۔ وادھوا (1975) کی فہرست بھی دیکھیں۔ ہارمونک سیریز کی ایک دلچسپ ذیلی سیریز۔ امریکی ریاضیاتی ماہانہ 82 (9) 931-933۔ امتزاج عدد ترتیب ریاضیاتی سیریز