Rotation around a fixed axis
ایک فکسڈ محور یا محوری گردش کے ارد گرد گردش تین جہتی جگہ میں فکسڈ، اسٹیشنری، یا جامد گردش کے محور کے ارد گرد گردش کی حرکت کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس قسم کی حرکت گردش کے فوری محور کے اپنے رخ کو تبدیل کرنے کے امکان کو خارج کرتی ہے اور اس طرح کے مظاہر کو ہلانے یا پیش قدمی کے طور پر بیان نہیں کر سکتی۔ اویلر کے گردش کے نظریہ کے مطابق، ایک ہی وقت میں متعدد اسٹیشنری محوروں کے ساتھ بیک وقت گردش کرنا ناممکن ہے۔ اگر ایک ہی وقت میں دو گردشوں کو مجبور کیا جائے تو اس کا نتیجہ گردش کا ایک نیا محور نکلے گا۔ یہ تصور فرض کرتا ہے کہ گردش بھی مستحکم ہے، اس طرح کہ اسے جاری رکھنے کے لیے کسی ٹارک کی ضرورت نہیں ہے۔ کسی سخت جسم کے مقررہ محور کے ارد گرد گردش کی حرکیات اور حرکیات ریاضیاتی طور پر کسی سخت جسم کی آزاد گردش کے مقابلے میں بہت آسان ہیں۔ وہ مکمل طور پر ایک مقررہ سمت کے ساتھ لکیری حرکت کے مترادف ہیں، جو کسی سخت جسم کی آزاد گردش کے لیے درست نہیں ہے۔ آبجیکٹ کی حرکی توانائی اور آبجیکٹ کے حصوں پر موجود قوتوں کے لیے تاثرات بھی عام گردش حرکت کے مقابلے میں ایک مقررہ محور کے گرد گھومنے کے لیے آسان ہیں۔ ان وجوہات کی بناء پر، ایک مقررہ محور کے ارد گرد گردش عام طور پر تعارفی طبیعیات کے کورسز میں طلباء کے لکیری حرکت میں مہارت حاصل کرنے کے بعد پڑھائی جاتی ہے۔ گردش حرکت کی مکمل عامیت عام طور پر تعارفی طبیعیات کی کلاسوں میں نہیں پڑھائی جاتی ہے۔ ترجمہ اور گردش ایک سخت باڈی ایک محدود حد کی شے ہے جس میں اجزاء کے ذرات کے درمیان تمام فاصلے مستقل ہوتے ہیں۔ کوئی حقیقی طور پر سخت جسم موجود نہیں ہے ؛ بیرونی قوتیں کسی بھی ٹھوس کو خراب کر سکتی ہیں۔ ہمارے مقاصد کے لیے، پھر، ایک سخت جسم ایک ٹھوس ہے جس کو قابل قدر طور پر خراب کرنے کے لیے بڑی قوتوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ تین جہتی خلا میں کسی ذرہ کی پوزیشن میں تبدیلی کو مکمل طور پر تین نقاط سے متعین کیا جا سکتا ہے۔ سخت جسم کی پوزیشن میں تبدیلی کو بیان کرنا زیادہ پیچیدہ ہے۔ اسے دو الگ الگ اقسام کی حرکت کا مجموعہ سمجھا جا سکتا ہے: ٹرانسلیشنل موشن اور سرکلر موشن۔ خالص طور پر ٹرانسلیشنل حرکت اس وقت ہوتی ہے جب جسم کے ہر ذرہ کی رفتار ہر دوسرے ذرہ کی طرح ہی ہوتی ہے۔ پھر کسی بھی ذرہ کے ذریعے معلوم کیا گیا راستہ جسم کے ہر دوسرے ذرہ کے ذریعے معلوم کیے گئے راستے کے بالکل متوازی ہوتا ہے۔ ٹرانسلیشنل موشن کے تحت، ایک سخت باڈی کی پوزیشن میں تبدیلی کو مکمل طور پر تین نقاط جیسے x، y، اور z کے ذریعے متعین کیا جاتا ہے، جس سے کسی بھی نقطہ کی نقل مکانی ہوتی ہے، جیسے کہ کمیت کا مرکز، جو کہ سخت باڈی پر فکس ہوتا ہے۔ خالص طور پر گردشی حرکت اس وقت ہوتی ہے جب جسم کا ہر ذرہ ایک دائرے میں ایک ہی لکیر کے گرد حرکت کرتا ہے۔ اس لکیر کو گردش کا محور کہا جاتا ہے۔ پھر محور سے تمام ذرات تک کے رداس ویکٹر ایک ہی وقت میں ایک ہی کونیی نقل مکانی سے گزرتے ہیں۔ گردش کے محور کو جسم سے گزرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ عام طور پر، کسی بھی گردش کو آئتاکار-مربوط محور x، y، اور z کے حوالے سے تین کونیی نقل مکانی کے ذریعے مکمل طور پر متعین کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح سخت جسم کی پوزیشن میں کسی بھی تبدیلی کو مکمل طور پر تین ٹرانسلیشنل اور تین گردشی نقاط سے بیان کیا جاتا ہے۔ کسی سخت جسم کی کسی بھی نقل مکانی پر پہلے جسم کو نقل مکانی کے تابع کرکے اس کے بعد گردش، یا اس کے برعکس، گردش کے بعد نقل مکانی کے ذریعے پہنچا جا سکتا ہے۔ ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ ذرات کے کسی بھی مجموعے کے لیے-چاہے وہ ایک دوسرے کے حوالے سے آرام میں ہوں، جیسا کہ کسی سخت جسم میں، یا رشتہ دار حرکت میں، جیسے خول کے پھٹنے والے ٹکڑوں میں، کمیت کے مرکز کی رفتار اس طرح دی جاتی ہے جہاں M نظام کی کل کمیت ہے اور ACM کمیت کے مرکز کی رفتار ہے۔ کمیت کے مرکز کے ارد گرد جسم کی گردش کو بیان کرنے اور اسے جسم پر عمل کرنے والی بیرونی قوتوں سے منسلک کرنے کا معاملہ باقی ہے۔ ایک محور کے ارد گرد گردش کی حرکیات اور حرکیات ٹرانسلیشنل موشن کے حرکیات اور حرکیات سے ملتے جلتے ہیں۔ ایک محور کے ارد گرد گردش کی حرکت یہاں تک کہ ذرہ حرکیات کے مترادف ورک انرجی تھیوریم رکھتی ہے۔ حرکیات کونیی نقل مکانی ایک ذرہ جو رداس کے دائرے کے دائرے کے ساتھ ساتھ حرکت کرتا ہے، ایک آرک کی لمبائی منتقل ہونے کے بعد، اس کی کونیی پوزیشن اس کی ابتدائی پوزیشن سے متعلق ہے، جہاں۔ ریاضی اور طبیعیات میں یہ روایتی ہے کہ ریڈین، طیارہ زاویہ کی ایک اکائی، کو 1 کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اکثر اسے چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اکائیوں کو مندرجہ ذیل طور پر تبدیل کیا جاتا ہے: کونیی نقل مکانی کونیی پوزیشن میں تبدیلی ہے: کونیی نقل مکانی کہاں ہے، ابتدائی کونیی پوزیشن ہے اور حتمی کونیی پوزیشن ہے۔ کونیی رفتار فی اکائی وقت کونیی نقل مکانی میں تبدیلی کو گردش کے محور کے ساتھ سمت کے ساتھ کونیی رفتار کہا جاتا ہے۔ کونیی رفتار کی علامت ہے اور اکائیاں عام طور پر ریڈ s−1 ہوتی ہیں۔ کونیی رفتار کونیی رفتار کی شدت ہے۔ فوری کونیی رفتار کونیی پوزیشن اور لیٹنگ کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے دی جاتی ہے، ہمارے پاس یہ بھی ہے کہ ذرہ کی ٹرانسلیشنل رفتار کہاں ہے۔ کونیی رفتار اور تعدد کا تعلق کونیی ایکسلریشن سے ہے۔ ایک بدلتی ہوئی کونیی رفتار سخت جسم میں کونیی ایکسلریشن کی موجودگی کی نشاندہی کرتی ہے، جسے عام طور پر ریڈ s−2 میں ماپا جاتا ہے۔ وقت کے وقفے کے دوران اوسط کونیی ایکسلریشن α (t) کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اس طرح، کونیی ایکسلریشن کونیی رفتار کی تبدیلی کی شرح ہے، جس طرح ایکسلریشن رفتار کی تبدیلی کی شرح ہے۔ گھومنے والی شے پر کسی نقطہ کی ٹرانسلیشنل ایکسلریشن اس طرح دی جاتی ہے جہاں r گردش کے محور سے رداس یا فاصلہ ہے۔ یہ ایکسلریشن کا ٹینجینشیل جزو بھی ہے: یہ نقطہ کی حرکت کی سمت کے لیے ٹینجینشیل ہے۔ اگر یہ جزو 0 ہے، تو حرکت یکساں سرکلر حرکت ہے، اور رفتار صرف سمت میں تبدیل ہوتی ہے۔ ریڈیل ایکسلریشن (حرکت کی سمت کے لیے عمودی) اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ گردش حرکت کے مرکز کی طرف ہوتا ہے، اور اسے اکثر سنٹریپیٹل ایکسلریشن کہا جاتا ہے۔ کونیی ایکسلریشن ٹارک کی وجہ سے ہوتا ہے، جس کی مثبت اور منفی کونیی تعدد کے رواج کے مطابق مثبت یا منفی قدر ہو سکتی ہے۔ ٹارک اور کونیی ایکسلریشن کے درمیان تعلق (شروع کرنا، روکنا، یا بصورت دیگر گردش کو تبدیل کرنا کتنا مشکل ہے) مومنٹ آف انیرشیا سے دیا جاتا ہے: حرکیات کی مساوات جب کونیی ایکسلریشن مستقل ہوتی ہے تو، پانچ مقداریں کونیی نقل مکانی، ابتدائی کونیی رفتار، حتمی کونیی رفتار، کونیی ایکسلریشن، اور وقت کا تعلق حرکیات کی چار مساوات سے کیا جا سکتا ہے: حرکیات مومنٹ آف انیرشیا کسی شے کے مومنٹ آف انیرشیا کی علامت، اس کی گردش میں ہونے والی تبدیلیوں کے خلاف شے کی مزاحمت کی پیمائش ہے۔ جمود کا لمحہ کلوگرام میٹر 2 (کلوگرام میٹر 2) میں ماپا جاتا ہے۔ یہ شے کی کمیت پر منحصر ہے: کسی شے کی کمیت میں اضافہ جمود کے لمحے کو بڑھاتا ہے۔ یہ کمیت کی تقسیم پر بھی منحصر ہے: گردش کے مرکز سے کمیت کو مزید تقسیم کرنے سے مومنٹ آف انیرشیا میں زیادہ حد تک اضافہ ہوتا ہے۔ گردش کے محور سے فاصلے پر کمیت کے ایک واحد ذرہ کے لیے، مومنٹ آف انیرشیا ٹارک کے ذریعے دیا جاتا ہے جو ایک گردش کرنے والی شے پر لگائی جانے والی قوت F کا موڑنے والا اثر ہے جو اس کے گردش کے محور سے پوزیشن r پر ہے۔ ریاضیاتی طور پر، جہاں × کراس پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ کسی شے پر کام کرنے والا خالص ٹارک اسی طرح شے کا کونیی ایکسلریشن پیدا کرے گا جس طرح لکیری حرکیات میں F = Ma ہوتا ہے۔ کسی شے پر کام کرنے والے ٹارک کے ذریعہ کیا جانے والا کام ٹارک کی شدت کے اس زاویہ کے برابر ہوتا ہے جس کے ذریعے ٹارک لگایا جاتا ہے: ٹارک کی طاقت ٹارک فی یونٹ وقت کے ذریعہ کیے جانے والے کام کے برابر ہوتی ہے، لہذا: کونیی مومنٹم کونیی مومنٹم گھومنے والی شے کو آرام میں لانے میں دشواری کی پیمائش ہے۔ یہ اس جگہ سے دیا جاتا ہے جہاں شے کے تمام ذرات پر مجموعہ لیا جاتا ہے۔ کونیی مومنٹم مومنٹ آف انیرشیا اور کونیی رفتار کا پروڈکٹ ہے: بالکل اسی طرح جیسے لکیری ڈائنامکس میں p = mv۔ گردشی حرکت میں لکیری مومنٹم کا ینالاگ کونیی مومنٹم ہے۔ گھومنے والی شے کی کونیی رفتار جتنی زیادہ ہوگی، اس کا گھومنا جاری رکھنے کا رجحان اتنا ہی زیادہ ہوگا۔ گھومنے والی شے کی کونیی رفتار اس کی کمیت اور یہ کتنی تیزی سے مڑ رہی ہے اس کے متناسب ہوتی ہے۔ اس کے علاوہ، کونیی مومنٹم کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ گردش کے محور کے مقابلے میں کمیت کس طرح تقسیم ہوتی ہے: کونیی مومنٹم گردش کے محور سے جتنی دور ہوگی، کونیی مومنٹم اتنی ہی زیادہ ہوگی۔ ریکارڈ ٹرن ٹیبل جیسی فلیٹ ڈسک میں اسی کمیت اور گردش کی رفتار کے کھوکھلی سلنڈر سے کم کونیی رفتار ہوتی ہے۔ لکیری مومنٹم کی طرح، کونیی مومنٹم ویکٹر کی مقدار ہے، اور اس کے تحفظ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ گھومنے والے محور کی سمت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، گھومنے والا اوپری حصہ سیدھا رہتا ہے جبکہ ایک مستحکم اوپر فوری طور پر گر جاتا ہے۔ کونیی مومنٹم مساوات کو ایک محور (جسے بعض اوقات ٹارک کہا جاتا ہے) کے ارد گرد کسی باڈی پر نتیجہ خیز قوت کے لمحے اور اس محور کے گرد گردش کی شرح کو جوڑنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ٹارک اور اینگولر مومنٹم کا تعلق اسی طرح ہے جس طرح لکیری ڈائنامکس میں F = dp/dt ہے۔ بیرونی ٹارک کی عدم موجودگی میں، جسم کی کونیی رفتار مستقل رہتی ہے۔ فگر اسکیٹنگ میں کونیی رفتار کے تحفظ کا نمایاں طور پر مظاہرہ کیا جاتا ہے: جب گھومنے کے دوران بازوؤں کو جسم کے قریب کھینچتے ہیں تو جمود کا لمحہ کم ہو جاتا ہے، اور اس طرح کونیی رفتار میں اضافہ ہوتا ہے۔ حرکی توانایٔی جسم کی گردش کی وجہ سے حرکی توانایٔی اسی طرح دی جاتی ہے جس طرح لکیری حرکیات میں ہوتی ہے۔ حرکی توانایٔی حرکت کی توانایٔی ہے۔ ٹرانسلیشنل حرکی توانائی کی مقدار جو دو متغیرات میں پائی جاتی ہے: آبجیکٹ () کی کمیت اور آبجیکٹ () کی رفتار جیسا کہ اوپر کی مساوات میں دکھایا گیا ہے۔ حرکی توانائی ہمیشہ صفر یا مثبت قدر ہونی چاہیے۔ اگرچہ رفتار کی قدر مثبت یا منفی ہو سکتی ہے، لیکن رفتار کا مربع ہمیشہ مثبت رہے گا۔ ویکٹر کا اظہار مندرجہ بالا نشوونما عام گردش حرکت کا ایک خاص معاملہ ہے۔ عام صورت میں، کونیی نقل مکانی، کونیی رفتار، کونیی ایکسلریشن، اور ٹارک کو ویکٹر سمجھا جاتا ہے۔ کونیی نقل مکانی کو ایک ویکٹر سمجھا جاتا ہے، جو محور کے ساتھ اشارہ کرتا ہے، جس کی شدت کے برابر ہوتی ہے۔ دائیں ہاتھ کا قاعدہ یہ معلوم کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ یہ محور کے ساتھ کس طرف اشارہ کرتا ہے۔ اگر دائیں ہاتھ کی انگلیوں کو اس طرف اشارہ کرنے کے لیے گھمایا جاتا ہے کہ شے گھوم چکی ہے، تو دائیں ہاتھ کا انگوٹھا ویکٹر کی سمت اشارہ کرتا ہے۔ کونیی رفتار ویکٹر بھی گردش کے محور کے ساتھ اسی طرح اشارہ کرتا ہے جس طرح کونیی نقل مکانی کا سبب بنتا ہے۔ اگر کوئی ڈسک گھڑی کی مخالف سمت میں گھومتی ہے جیسا کہ اوپر سے دیکھا جاتا ہے، تو اس کا کونیی رفتار ویکٹر اوپر کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ اسی طرح، کونیی ایکسلریشن ویکٹر گردش کے محور کے ساتھ اسی سمت میں اشارہ کرتا ہے کہ اگر کونیی ایکسلریشن کو طویل عرصے تک برقرار رکھا جائے تو کونیی رفتار اس طرف اشارہ کرے گی۔ ٹارک ویکٹر اس محور کے ساتھ اشارہ کرتا ہے جس کے ارد گرد ٹارک گردش کا سبب بنتا ہے۔ ایک مقررہ محور کے ارد گرد گردش کو برقرار رکھنے کے لیے، کل ٹارک ویکٹر کو محور کے ساتھ ہونا چاہیے، تاکہ یہ صرف شدت کو تبدیل کرے نہ کہ کونیی رفتار ویکٹر کی سمت کو۔ قبضے کی صورت میں، محور کے ساتھ ٹارک ویکٹر کا صرف جزو گردش پر اثر ڈالتا ہے، دیگر قوتوں اور ٹارک کو ڈھانچے کے ذریعے معاوضہ دیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی نمائندگی مثالیں اور اطلاق مستقل کونیی رفتار ایک مقررہ محور کے ارد گرد گردش کا سب سے آسان معاملہ مستقل کونیی رفتار کا ہوتا ہے۔ پھر کل ٹارک صفر ہوتا ہے۔ زمین کے اپنے محور کے گرد گھومنے کی مثال کے طور پر، بہت کم رگڑ ہوتی ہے۔ پنکھے کے لیے، موٹر رگڑ کی تلافی کے لیے ٹارک لگاتی ہے۔ پنکھے کی طرح، بڑے پیمانے پر پروڈکشن مینوفیکچرنگ انڈسٹری میں پائے جانے والے آلات ایک مقررہ محور کے گرد گردش کو مؤثر طریقے سے ظاہر کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک ملٹی اسپنڈل لیتھ کا استعمال مواد کو اس کے محور پر گھمانے کے لیے کیا جاتا ہے تاکہ کاٹنے، اخترتی اور موڑنے کی کارروائیوں کی پیداواری صلاحیت کو مؤثر طریقے سے بڑھایا جا سکے۔ گردش کا زاویہ وقت کی ایک لکیری فنکشن ہے، جو ماڈیولو 360° ایک پیریڈک فنکشن ہے۔ اس کی ایک مثال سرکلر مداروں کے ساتھ دو جسم کا مسئلہ ہے۔ سنٹرپیٹل فورس اندرونی تناؤ سنٹرپیٹل فورس فراہم کرتا ہے جو گھومنے والی چیز کو ایک ساتھ رکھتا ہے۔ ایک سخت باڈی ماڈل اس کے ساتھ آنے والے تناؤ کو نظر انداز کرتا ہے۔ اگر جسم سخت نہیں ہے تو یہ تناؤ اس کی شکل بدلنے کا سبب بنے گا۔ اس کا اظہار "سنٹری فیوگل فورس" کی وجہ سے شکل بدلنے والی شے کے طور پر کیا جاتا ہے۔ ایک دوسرے کے گرد گھومنے والی آسمانی اجسام میں اکثر انڈاکار مدار ہوتے ہیں۔ سرکلر آربٹس کا خاص معاملہ ایک مقررہ محور کے ارد گرد گردش کی ایک مثال ہے: یہ محور حرکت کے طیارہ سے عمودی طور پر کمیت کے مرکز سے گزرنے والی لکیر ہے۔ مرکزیت قوت کشش ثقل کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے، یہ بھی دیکھیں دو جسم کا مسئلہ۔ یہ عام طور پر گھومنے والے آسمانی جسم پر بھی لاگو ہوتا ہے، لہذا اسے ایک ساتھ رکھنے کے لیے ٹھوس ہونے کی ضرورت نہیں ہے جب تک کہ اس کی کثافت کے سلسلے میں کونیی رفتار بہت زیادہ نہ ہو۔ (تاہم، یہ اوبلیٹ ہونے کا رجحان رکھتا ہے۔) مثال کے طور پر، پانی کے گھومنے والے آسمانی جسم کو گھومنے میں کم از کم 3 گھنٹے اور 18 منٹ لگتے ہیں، قطع نظر سائز کے، ورنہ پانی الگ ہو جائے گا۔ اگر سیال کی کثافت زیادہ ہے تو وقت کم ہو سکتا ہے۔ مداری مدت دیکھیں۔ گردش کا طیارہ حرکت کی جسمانی اصطلاحات بھی دیکھیں گردش کے ذریعے مصنوعی کشش ثقل محوری زاویے کی جھکاؤ محوری زاویے کی نمائندگی کیروزل، فیرس وہیل سینٹر پن سینٹری فیوگل فورس سینٹری فیوج سینٹرل فورس سرکلر موشن کوریولیس اثر فکٹیٹئس فورس فلائی وہیل گیریشن گردش کا فوری مرکز لکیری گھومنے والے ینالاگس آپٹیکل محور انقلاب فی منٹ گھومنے والا دروازہ سخت باڈی اینگولر مومنٹم گردش میٹرکس گردش کی رفتار گردش سمیٹری رن آؤٹ حوالہ جات فزکس کی بنیادی باتیں ہالیڈے، ریسنک اور واکر کی طرف سے توسیع شدہ 7 ویں ایڈیشن۔ کانسیپٹس آف فزکس جلد 1، بذریعہ ایچ سی ورما، پہلا ایڈیشن، سیلشیل میکینکس یوکلڈین سمیٹریز گردش