Surface states
سطحی ریاستیں الیکٹرانک ریاستیں ہیں جو مادے کی سطح پر پائی جاتی ہیں۔ وہ ٹھوس مادے سے تیز منتقلی کی وجہ سے تشکیل پاتے ہیں جو سطح کے ساتھ ختم ہوتا ہے اور صرف سطح کے قریب ترین ایٹم تہوں پر پایا جاتا ہے۔ کسی سطح کے ساتھ کسی مواد کا خاتمہ الیکٹرانک بینڈ کے ڈھانچے کو بلک میٹریل سے ویکیوم میں تبدیل کرنے کا باعث بنتا ہے۔ سطح پر کمزور صلاحیت میں، نئی الیکٹرانک ریاستیں تشکیل دی جا سکتی ہیں، جنہیں سطح ریاستیں کہا جاتا ہے۔ کنڈینسڈ میٹر انٹرفیس پر ابتدا جیسا کہ بلوچ تھیوریم نے بیان کیا ہے، مکمل طور پر پیریڈک پوٹینشل، ایک کرسٹل کے ساتھ سنگل الیکٹران شروڈنگر مساوات کی آئجین اسٹیٹس بلوچ لہریں ہیں۔ یہاں ایک فنکشن ہے جس کی پیریڈکٹی کرسٹل کی طرح ہے، n بینڈ انڈیکس ہے اور k لہر نمبر ہے۔ کسی دی گئی صلاحیت کے لیے اجازت شدہ لہر کے اعداد عام بورن-وون کرمان چکور حد کے حالات کو لاگو کرکے پائے جاتے ہیں۔ کرسٹل کا خاتمہ، یعنی۔ سطح کی تشکیل، واضح طور پر کامل دورانیے سے انحراف کا سبب بنتی ہے۔ نتیجتا، اگر چکور حد کے حالات کو سطح کی معمول کی سمت میں ترک کر دیا جائے تو الیکٹرانوں کا طرز عمل بلک میں رویے سے ہٹ جائے گا اور الیکٹرانک ڈھانچے میں کچھ تبدیلیوں کی توقع کرنی ہوگی۔ ایک جہت میں کرسٹل پوٹینشل کا ایک آسان ماڈل خاکہ بنایا جا سکتا ہے جیسا کہ شکل 1 میں دکھایا گیا ہے۔ کرسٹل میں، پوٹینشل میں وقتا فوقتا جالی کی a ہوتی ہے جبکہ سطح کے قریب اسے کسی نہ کسی طرح خلا کی سطح کی قدر حاصل کرنی ہوتی ہے۔ شکل 1 میں دکھایا گیا سٹیپ پوٹینشل (ٹھوس لکیر) ایک حد سے زیادہ آسان ہے جو زیادہ تر سادہ ماڈل کے حساب کے لیے آسان ہے۔ حقیقی سطح پر پوٹینشل امیج چارجز اور سطح کے ڈائپولز کی تشکیل سے متاثر ہوتا ہے اور یہ اس طرح لگتا ہے جیسا کہ ڈیشڈ لائن سے ظاہر ہوتا ہے۔ شکل 1 میں موجود صلاحیت کو دیکھتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یک جہتی واحد الیکٹران شروڈنگر مساوات دو معیاری طور پر مختلف قسم کے حل فراہم کرتی ہے۔ پہلی قسم کی ریاستیں (شکل 2 دیکھیں) کرسٹل میں پھیلی ہوئی ہیں اور وہاں بلاچ کردار ہے۔ اس قسم کے حل بلک اسٹیٹس سے مطابقت رکھتے ہیں جو خلا میں پہنچنے والی تیزی سے سڑتی ہوئی دم میں ختم ہوتے ہیں۔ دوسری قسم کی ریاستیں (شکل 3 دیکھیں) خلا اور بلک کرسٹل دونوں میں تیزی سے ختم ہو جاتی ہیں۔ اس قسم کے حل کرسٹل کی سطح کے قریب مقامی لہر افعال کے ساتھ سطح کی حالتوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ پہلی قسم کا حل دھاتوں اور سیمی کنڈکٹر دونوں کے لیے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ سیمی کنڈکٹرز میں اگرچہ، متعلقہ آئجین انرجیز کا تعلق اجازت شدہ انرجی بینڈ میں سے کسی ایک سے ہونا چاہیے۔ دوسری قسم کا حل سیمی کنڈکٹرز کے ممنوعہ توانائی کے فرق کے ساتھ ساتھ دھاتوں کے متوقع بینڈ ڈھانچے کے مقامی خلا میں موجود ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ان تمام حالتوں کی توانائیاں بینڈ گیپ کے اندر ہوتی ہیں۔ نتیجے کے طور پر، کرسٹل میں ان حالتوں کی خصوصیت ایک خیالی لہر کی تعداد ہوتی ہے جس کی وجہ سے بلک میں ایک تیز رفتار انحطاط ہوتا ہے۔ شاکلی ریاستیں اور تام ریاستیں سطحی ریاستوں کی بحث میں، عام طور پر شاکلی ریاستوں اور تام ریاستوں کے درمیان فرق کیا جاتا ہے، جس کا نام امریکی طبیعیات دان ولیم شاکلی اور روسی طبیعیات دان ایگور تام کے نام پر رکھا گیا ہے۔ دو قسم کی حالتوں کے درمیان کوئی سخت جسمانی فرق نہیں ہے، لیکن کوالٹی کردار اور ان کی وضاحت میں استعمال ہونے والا ریاضیاتی نقطہ نظر مختلف ہے۔ تاریخی طور پر، سطح کی ریاستیں جو صاف اور مثالی سطحوں کے لیے تقریبا آزاد الیکٹران کے تخمینے کے فریم ورک میں شروڈنگر مساوات کے حل کے طور پر پیدا ہوتی ہیں، شاکلی ریاستیں کہلاتی ہیں۔ شاکلی ریاستیں اس طرح ایسی ریاستیں ہیں جو صرف کرسٹل کے خاتمے سے وابستہ الیکٹران صلاحیت میں تبدیلی کی وجہ سے پیدا ہوتی ہیں۔ یہ نقطہ نظر عام دھاتوں اور کچھ تنگ گیپ سیمی کنڈکٹرز کو بیان کرنے کے لیے موزوں ہے۔ شکل 3 شاکلی حالت کی ایک مثال دکھاتی ہے، جو تقریبا آزاد الیکٹران تخمینہ کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کی گئی ہے۔ کرسٹل کے اندر، شاکلی ریاستیں تیزی سے زوال پذیر بلوچ لہروں سے ملتی جلتی ہیں۔ سرفیس اسٹیٹس جن کا حساب ٹائٹ بائنڈنگ ماڈل کے فریم ورک میں لگایا جاتا ہے انہیں اکثر تام اسٹیٹس کہا جاتا ہے۔ تنگ بائنڈنگ اپروچ میں، الیکٹرانک لہر کے افعال کو عام طور پر جوہری مداروں (ایل سی اے او) کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ شاکلی حالتوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والے تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل کے برعکس، تام ریاستیں منتقلی دھاتوں اور وسیع خلا سیمی کنڈکٹرز کو بھی بیان کرنے کے لیے موزوں ہیں۔ قابلیت کے لحاظ سے، تام ریاستیں سطح پر مقامی جوہری یا سالماتی مداروں سے ملتی جلتی ہیں۔ ٹوپولوجیکل سطح بیان کرتی ہے کہ تمام مواد کو ایک ہی نمبر کے ذریعہ درجہ بندی کیا جاسکتا ہے، جو ایک ٹوپولوجیکل غیر متغیر ہے۔ یہ بلک الیکٹرانک لہر افعال سے بنایا گیا ہے، جو برلوئن زون میں مربوط ہیں، اسی طرح جیسے جینس کا حساب ہندسی ٹوپولوجی میں کیا جاتا ہے۔ بعض مادوں میں ٹپوولوجیکل غیر متغیر کو اس وقت تبدیل کیا جا سکتا ہے جب کچھ بلک انرجی بینڈ مضبوط اسپن آربیٹل جوڑے کی وجہ سے الٹ جاتے ہیں۔ غیر معمولی ٹوپولوجی کے ساتھ ایک موصلیت کے درمیان انٹرفیس پر، ایک نام نہاد ٹوپولوجیکل موصلیت، اور ایک معمولی ٹوپولوجی کے ساتھ، انٹرفیس کو دھاتی بننا چاہیے۔ مزید برآں، سطح کی حالت میں ایک کراسنگ پوائنٹ کے ساتھ لکیری ڈیراک جیسی بازی ہونی چاہیے جو ٹائم ریورسل سمیٹری کے ذریعے محفوظ ہے۔ اس طرح کی حالت کی خرابی کے تحت مضبوط ہونے کی پیش گوئی کی گئی ہے، اور اس وجہ سے اسے آسانی سے مقامی نہیں کیا جا سکتا۔ شاکلی بتاتا ہے کہ دھاتوں میں سطح کی حالتیں دھات کی سطح پر حالتوں کی بنیادی خصوصیات سے ماخوذ ہونے کے لیے ایک سادہ نمونہ ایک جیسے ایٹموں کا نیم لامحدود دورانیے کا سلسلہ ہے۔ اس ماڈل میں، زنجیر کا خاتمہ سطح کی نمائندگی کرتا ہے، جہاں پوٹینشل اسٹیپ فنکشن کی شکل میں ویکیوم کی ویلیو V0 حاصل کرتا ہے، شکل 1۔ کرسٹل کے اندر پوٹینشل کو وقتا فوقتا جالی کے a کے ساتھ فرض کیا جاتا ہے۔ شاکلی ریاستیں پھر ایک جہتی واحد الیکٹران شروڈنگر مساوات کے حل کے طور پر پیریڈک پوٹینشل کے ساتھ پائی جاتی ہیں جہاں l ایک انٹیجر ہے، اور P نارملائزیشن فیکٹر ہے۔ حل دو ڈومینز z <0 اور z> 0 کے لیے آزادانہ طور پر حاصل کیا جانا چاہیے، جہاں ڈومین کی حد (z = 0) پر لہر فنکشن اور اس کے مشتقات کے تسلسل پر معمول کی شرائط لاگو ہوتی ہیں۔ چونکہ کرسٹل کے اندر پوٹینشل وقتا فوقتا گہرا ہوتا ہے، اس لیے الیکٹرانک لہر کے افعال یہاں بلاچ لہریں ہونی چاہئیں۔ اس کے بعد کرسٹل میں حل آنے والی لہر اور سطح سے جھلکنے والی لہر کا لکیری امتزاج ہوتا ہے۔ z> 0 کے لیے حل کو خلا میں تیزی سے کم کرنے کی ضرورت ہوگی۔ دھات کی سطح پر کسی ریاست کے لیے لہر فنکشن کو کوالٹی طور پر شکل 2 میں دکھایا گیا ہے۔ یہ کرسٹل کے اندر ایک توسیع شدہ بلاچ لہر ہے جس کی سطح کے باہر تیزی سے سڑتی ہوئی دم ہوتی ہے۔ دم کا نتیجہ کرسٹل کے بالکل اندر منفی چارج کثافت کی کمی اور سطح کے بالکل باہر منفی چارج کثافت میں اضافہ ہے، جس کی وجہ سے دو قطبی ڈبل پرت بنتی ہے۔ ڈائپول سطح پر موجود پوٹینشل کو پریشان کرتا ہے، مثال کے طور پر، دھات کے کام کی تقریب میں تبدیلی کے لیے۔ سیمی کنڈکٹرز میں سطح کی حالتیں تقریبا آزاد الیکٹران کا تخمینہ تنگ گیپ سیمی کنڈکٹرز کے لیے سطح کی حالتوں کی بنیادی خصوصیات حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس معاملے میں نیم لامحدود لکیری چین ماڈل بھی مفید ہے۔ تاہم، اب یہ فرض کیا جاتا ہے کہ جوہری سلسلہ کے ساتھ پوٹینشل کوسائن فنکشن کے طور پر مختلف ہوتا ہے جبکہ سطح پر پوٹینشل کو اونچائی V0 کے اسٹیپ فنکشن کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے۔ شروڈنگر مساوات کے حل دو ڈومینز z <0 اور z> 0 کے لیے الگ الگ حاصل کیے جانے چاہئیں۔ تقریبا آزاد الیکٹران کے تخمینے کے معنی میں، z <0 کے لیے حاصل کردہ حلوں میں برلوئن زون کی حد سے دور لہر ویکٹروں کے لیے طیارہ لہر کا کردار ہوگا، جہاں بازی کا تعلق پیرابولک ہوگا، جیسا کہ شکل 4 میں دکھایا گیا ہے۔ برلوئن زون کی حدود میں، بریگ عکاسی ہوتی ہے جس کے نتیجے میں ایک کھڑی لہر ہوتی ہے جو لہر ویکٹر اور لہر ویکٹر پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہاں باہمی جالی کا ایک جالی ویکٹر ہے (شکل 4 دیکھیں)۔ چونکہ دلچسپی کے حل برلوئن زون کی حد کے قریب ہیں، لہذا ہم مقرر کرتے ہیں، جہاں κ ایک چھوٹی مقدار ہے۔ صوابدیدی مستقلات A، B شروڈنگر مساوات میں متبادل کے ذریعے پائے جاتے ہیں۔ یہ برلوئن زون کے کناروں پر بینڈ کی تقسیم کو ظاہر کرنے والی درج ذیل آئجین ویلیوز کی طرف لے جاتا ہے، جہاں ممنوعہ خلا کی چوڑائی 2V کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ الیکٹرانک لہر کے افعال کرسٹل کے اندر گہرائی میں ہوتے ہیں، جو مختلف بینڈوں سے منسوب ہوتے ہیں جہاں C ایک معمول کا مستقل ہے۔ سطح کے قریب z = 0 پر، بلک محلول کو تیزی سے سڑتے ہوئے محلول میں نصب کرنا پڑتا ہے، جو مستقل پوٹینشیل V0 کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ مماثل شرائط کو ہر ممکنہ توانائی آئجن ویلیو کے لیے پورا کیا جا سکتا ہے جو اجازت شدہ بینڈ میں ہے۔ جیسا کہ دھاتوں کے معاملے میں، اس قسم کا حل کرسٹل میں پھیلی ہوئی بلاچ لہروں کی نمائندگی کرتا ہے جو سطح پر خلا میں پھیل جاتی ہیں۔ لہر فنکشن کا کوالٹی پلاٹ شکل 2 میں دکھایا گیا ہے۔ اگر κ کی خیالی اقدار پر غور کیا جائے، یعنی۔ κ =-i·q z ≤ 0 کے لیے اور ایک وضاحت کرتا ہے کہ کوئی کرسٹل میں گرنے والے طول و عرض کے ساتھ حل حاصل کرتا ہے۔ توانائی کی آئجن ویلیوز E کے ذریعے دی جاتی ہیں جو ضرورت کے مطابق بڑے منفی z کے لیے حقیقی ہوتی ہیں۔ نیز رینج میں سطح کی ریاستوں کی تمام توانائیاں ممنوعہ خلا میں آتی ہیں۔ مکمل حل ایک بار پھر بلک حل کو تیزی سے سڑتے ہوئے ویکیوم حل سے ملا کر پایا جاتا ہے۔ نتیجہ یہ ہے کہ سطح پر مقامی حالت کرسٹل اور ویکیوم دونوں میں گرنے لگتی ہے۔ کوالٹی پلاٹ شکل 3 میں دکھایا گیا ہے۔ تین جہتی کرسٹل کی سطح کی حالتیں یک جوہری لکیری سلسلہ کی سطح کی حالتوں کے نتائج کو تین جہتی کرسٹل کے معاملے میں آسانی سے عام کیا جا سکتا ہے۔ سطح کی جالی کی دو جہتی دورانیے کی وجہ سے، سطح کے متوازی ترجمے کے لیے بلوچ کے نظریہ کو برقرار رکھنا چاہیے۔ نتیجے کے طور پر، سطح کی حالتوں کو سطح کے متوازی k-اقدار والی بلاچ لہروں کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے اور ایک جہتی سطح کی حالت کی نمائندگی کرنے والا فنکشن اس حالت کی توانائی کو ایک اصطلاح سے بڑھایا جاتا ہے تاکہ ہمارے پاس جہاں m * الیکٹران کی موثر کمیت ہے۔ کرسٹل کی سطح پر مماثل حالات، یعنی۔ z = 0 پر، ہر ایک کے لیے الگ الگ اور ہر ایک کے لیے ایک واحد کو مطمئن کرنا پڑتا ہے، لیکن عام طور پر سطح کی حالت کے لیے مختلف توانائی کی سطح حاصل کی جاتی ہے۔ حقیقی سطح کی حالتیں اور سطح کی گونج ایک سطح کی حالت کو سطح کے متوازی توانائی اور اس کے لہر ویکٹر سے بیان کیا جاتا ہے، جبکہ ایک بلک اسٹیٹ کی خصوصیت دونوں اور لہر نمبروں سے ہوتی ہے۔ سطح کے دو جہتی برلوئن زون میں، اس لیے کی ہر قیمت کے لیے ایک چھڑی بلک کے تین جہتی برلوئن زون میں پھیل رہی ہے۔ بلک انرجی بینڈ جو ان سلاخوں کے ذریعے کاٹے جا رہے ہیں وہ ایسی حالتوں کو اجازت دیتے ہیں جو کرسٹل میں گہرائی میں گھس جاتے ہیں۔ لہذا ایک عام طور پر حقیقی سطح کی حالتوں اور سطح کی گونج کے درمیان فرق کرتا ہے۔ حقیقی سطح کی حالتوں کی خصوصیت توانائی کے بینڈ ہوتے ہیں جو بلک انرجی بینڈ کے ساتھ انحطاط نہیں ہوتے ہیں۔ یہ حالتیں صرف ممنوعہ توانائی کے فرق میں موجود ہیں اور اس لیے سطح پر مقامی ہیں، جو شکل 3 میں دی گئی تصویر سے ملتی جلتی ہیں۔ ایسی توانائیوں میں جہاں سطح اور بلک اسٹیٹ انحطاط پذیر ہوتے ہیں، سطح اور بلک اسٹیٹ مل سکتے ہیں، جس سے سطح کی گونج بنتی ہے۔ ایسی حالت سطح کے قریب ایک بہتر طول و عرض کو برقرار رکھتے ہوئے، بلوچ لہروں کی طرح، بلک میں گہرائی میں پھیل سکتی ہے۔ تام اسٹیٹس سرفیس اسٹیٹس جن کا حساب ٹائٹ بائنڈنگ ماڈل کے فریم ورک میں لگایا جاتا ہے انہیں اکثر تام اسٹیٹس کہا جاتا ہے۔ تنگ بائنڈنگ اپروچ میں، الیکٹرانک لہر کے افعال کو عام طور پر جوہری مداروں (ایل سی اے او) کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، شکل 5 دیکھیں۔ اس تصویر میں، یہ سمجھنا آسان ہے کہ کسی سطح کا وجود بلک اسٹیٹس کی توانائیوں سے مختلف توانائیوں والی سطحی حالتوں کو جنم دے گا: چونکہ سب سے اوپری سطح کی پرت میں رہنے والے ایٹم ایک طرف اپنے بانڈنگ پارٹنرز سے محروم ہیں، اس لیے ان کے مدار پڑوسی ایٹموں کے مداروں کے ساتھ کم اوورلیپ ہوتے ہیں۔ اس لیے کرسٹل بنانے والے ایٹموں کی توانائی کی سطح کی تقسیم اور منتقلی سطح پر بلک کے مقابلے میں چھوٹی ہوتی ہے۔ اگر کوئی مخصوص مداری کیمیائی بندھن کا ذمہ دار ہے، مثال کے طور پر۔ ایس پی 3 ہائبرڈ سی یا جی میں، یہ سطح کی موجودگی سے بہت زیادہ متاثر ہوتا ہے، بانڈز ٹوٹ جاتے ہیں، اور مداری کے باقی لوبز سطح سے باہر نکل جاتے ہیں۔ انہیں ڈنگلنگ بانڈز کہا جاتا ہے۔ توقع کی جاتی ہے کہ ایسی ریاستوں کی توانائی کی سطح بلک ویلیوز سے نمایاں طور پر بدل جائے گی۔ شاکلی حالتوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والے تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل کے برعکس، تام ریاستیں منتقلی دھاتوں اور وسیع بینڈ گیپ سیمی کنڈکٹرز کو بھی بیان کرنے کے لیے موزوں ہیں۔ صاف اور اچھی ترتیب والی سطحوں سے پیدا ہونے والی سطحی حالتوں کو عام طور پر اندرونی کہا جاتا ہے۔ ان حالتوں میں دوبارہ تعمیر شدہ سطحوں سے پیدا ہونے والی ریاستیں شامل ہیں، جہاں دو جہتی ٹرانسلیشنل سمیٹری سطح کے k اسپیس میں بینڈ ڈھانچے کو جنم دیتی ہے۔ بیرونی سطح کی حالتوں کو عام طور پر ایسی حالتوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو صاف اور اچھی طرح سے ترتیب شدہ سطح سے پیدا نہیں ہوتی ہیں۔ بیرونی زمرے میں فٹ ہونے والی سطحیں یہ ہیں: نقائص والی سطحیں، جہاں سطح کی ٹرانسلیشنل سمیٹری ٹوٹ جاتی ہے۔ ایڈسوربیٹس والی سطحیں دو مواد کے درمیان انٹرفیس کرتی ہیں، جیسے سیمی کنڈکٹر آکسائیڈ یا سیمی کنڈکٹر میٹل انٹرفیس ٹھوس اور مائع مراحل کے درمیان انٹرفیس۔ عام طور پر، بیرونی سطح کی حالتوں کو ان کی کیمیائی، جسمانی یا ساختی خصوصیات کے لحاظ سے آسانی سے نمایاں نہیں کیا جا سکتا۔ تجرباتی مشاہدہ زاویہ حل شدہ فوٹو ایمیشن سپیکٹروسکوپی سطح کی حالتوں کے منتشر ہونے کی پیمائش کرنے کی ایک تجرباتی تکنیک زاویہ حل شدہ فوٹو ایمیشن سپیکٹروسکوپی (اے آر پی ای ایس) یا زاویہ حل شدہ بالائے بنفشی فوٹو الیکٹران سپیکٹروسکوپی (اے آر یو پی ایس) ہے۔ اسکیننگ ٹنلنگ مائکروسکوپی سطح کی حالت کے پھیلاؤ کو اسکیننگ ٹنلنگ مائکروسکوپ کا استعمال کرتے ہوئے ماپا جا سکتا ہے۔ ان تجربات میں، سطح کی حالت کی کثافت میں وقتا فوقتا ہونے والی تبدیلیاں، جو سطح کی نجاستوں یا قدم کے کناروں کے بکھرنے سے پیدا ہوتی ہیں، کو کسی دیئے گئے بائیس وولٹیج پر ایس ٹی ایم ٹپ کے ذریعے ماپا جاتا ہے۔ سطح کی حالت الیکٹرانوں کا ویو ویکٹر بمقابلہ تعصب (توانائی) موثر کمیت اور سطح کی حالت کے آغاز کی توانائی کے ساتھ آزاد الیکٹران ماڈل کے لیے موزوں ہو سکتا ہے۔ ایک حالیہ نیا نظریہ ایک قدرتی طور پر سادہ لیکن بنیادی سوال یہ ہے کہ لمبائی کے ایک جہتی کرسٹل میں بینڈ گیپ میں کتنی سطحی ریاستیں ہیں (کیا ممکنہ مدت ہے، اور کیا ایک مثبت عدد ہے)؟ ایک اچھی طرح سے قبول شدہ تصور جو پہلے 1933 میں فاؤلر نے پیش کیا، پھر سیٹز کی کلاسک کتاب میں لکھا گیا کہ "ایک محدود یک جہتی کرسٹل میں سطح کی ریاستیں جوڑوں میں واقع ہوتی ہیں، ایک حالت کرسٹل کے ہر سرے سے وابستہ ہوتی ہے"۔ اس طرح کے تصور پر بظاہر اس کے بعد سے تقریبا ایک صدی تک کبھی شک نہیں کیا گیا، جیسا کہ مثال کے طور پر، میں دکھایا گیا ہے۔ تاہم، ایک حالیہ نئی تحقیقات بالکل مختلف جواب دیتی ہے۔ تحقیقات وقتا فوقتا تفریق مساوات کے ریاضیاتی نظریہ کی بنیاد پر محدود سائز کے مثالی کرسٹل میں الیکٹرانک حالتوں کو سمجھنے کی کوشش کرتی ہے۔ یہ نظریہ سطح کی حالتوں سمیت ان برقی حالتوں کی کچھ بنیادی نئی تفہیم فراہم کرتا ہے۔ نظریہ سے پتہ چلا کہ ایک جہتی محدود کرسٹل جس کے دو سرے ہوتے ہیں اور ہمیشہ اس کی ایک اور صرف ایک ہی حالت ہوتی ہے جس کی توانائی اور خصوصیات کا انحصار ہر بینڈ کے فرق پر ہوتا ہے لیکن اس کے لیے نہیں۔ یہ حالت یا تو بینڈ ایج کی حالت ہے یا بینڈ گیپ میں سطح کی حالت ہے (دیکھیں، ایک جہتی جالی میں ذرہ، باکس میں ذرہ)۔ عددی حسابات نے اس طرح کے نتائج کی تصدیق کی ہے۔ مزید برآں، یہ طرز عمل مختلف یک جہتی نظاموں میں دیکھے گئے ہیں، جیسے کہ میں۔ لہذا: سطح کی حالت کی بنیادی خاصیت یہ ہے کہ اس کا وجود اور خصوصیات کا انحصار وقتا فوقتا کٹوتی کے مقام پر ہوتا ہے۔ جالی کی وقتی صلاحیت کا کاٹنا بینڈ گیپ میں سطح کی حالت کا باعث بن سکتا ہے یا نہیں بھی بن سکتا ہے۔ دو سروں کے ساتھ محدود لمبائی کا ایک مثالی یک جہتی کرسٹل، زیادہ سے زیادہ، ہر بینڈ کے وقفے میں ایک سرے پر صرف ایک سطحی حالت رکھ سکتا ہے۔ کثیر جہتی معاملات تک توسیع شدہ مزید تحقیقات سے پتہ چلا ہے کہ ایک مثالی سادہ تین جہتی محدود کرسٹل میں ورٹیکس جیسی، کنارے جیسی، سطح جیسی اور بلک جیسی حالتیں ہوسکتی ہیں۔ سطح کی حالت ہمیشہ بینڈ گیپ میں ہوتی ہے جو صرف ایک جہتی معاملات کے لیے درست ہوتی ہے۔ حوالہ جات مواد سائنس الیکٹرانک بینڈ ڈھانچے سیمی کنڈکٹر ڈھانچے