Bring radical
الجبرہ میں، حقیقی عدد a کا ریڈیکل یا الٹرا ریڈیکل لائیں کثیر الجہتی کا منفرد حقیقی جڑ ہے۔ ایک پیچیدہ عدد a کا ریڈیکل لائیں یا تو مذکورہ بالا کثیر الجہتی کے پانچ جڑوں میں سے کوئی بھی ہے (اس طرح یہ کثیر قدر والا ہے)، یا ایک مخصوص جڑ، جسے عام طور پر اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ حقیقی a کے لیے برینگ ریڈیکل کی حقیقی قدر ہو اور یہ حقیقی لکیر کے پڑوس میں ایک تجزیاتی فعل ہے۔ چار برانچ پوائنٹس کے وجود کی وجہ سے، برینگ ریڈیکل کو ایک ایسے فنکشن کے طور پر بیان نہیں کیا جا سکتا جو پورے پیچیدہ سطح پر مسلسل ہو، اور اس کے تسلسل کے ڈومین کو چار برانچ کٹ کو خارج کرنا چاہیے۔ جارج جیرارڈ نے دکھایا کہ کچھ کوئنٹک مساوات کو ریڈیکلز اور برائن ریڈیکلز کا استعمال کرتے ہوئے بند شکل میں حل کیا جا سکتا ہے، جسے ایرلینڈ برائن نے متعارف کرایا تھا۔ اس مضمون میں، a کی بنیاد پرستی لائیں کی نشاندہی کی گئی ہے۔ حقیقی دلیل کے لیے، یہ عجیب، یکسوئی سے کم ہونے والا، اور غیر محدود ہے، جس میں بڑے کے لیے غیر علامتی طرز عمل ہے۔ عام شکلیں کوئنٹک مساوات کے لیے براہ راست حل حاصل کرنا مشکل ہے، جس میں پانچ آزاد کوفشنٹس اپنی سب سے عام شکل میں ہیں: کوئنٹک کو حل کرنے کے مختلف طریقے جو عام طور پر تیار کیے گئے ہیں وہ آزاد کوفشنٹس کی تعداد کو کم کرنے کے لیے Tschirnhaus ٹرانسفارمیشنز کا استعمال کرتے ہوئے کوئنٹک کو آسان بنانے کی کوشش کرتے ہیں۔ پرنسپل کوئنٹک فارم عام کوئنٹک کو بنیادی کوئنٹک فارم میں کم کیا جا سکتا ہے، جس میں کوارٹک اور کیوبک اصطلاحات کو ہٹا دیا جاتا ہے: اگر کسی عام کوئنٹک اور پرنسپل کوئنٹک کی جڑیں کواڈریٹک Tschirnhaus تبدیلی سے متعلق ہیں تو کوفیشنٹس α اور β کا تعین نتیجہ کا استعمال کرکے، یا جڑوں کے پاور جملوں اور نیوٹن کی شناخت کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ یہ α اور β میں مساوات کے ایک نظام کی طرف لے جاتا ہے جو ایک کواڈریٹک اور لکیری مساوات پر مشتمل ہوتا ہے، اور حل کے دو سیٹوں میں سے کسی ایک کو پرنسپل کوئنٹک فارم کے متعلقہ تین کوفیشنٹس حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ شکل فیلکس کلین کے کنٹیک کے حل کے ذریعے استعمال ہوتی ہے۔ برائن-جیرارڈ نارمل فارم کو مزید آسان بنانا اور کواڈریٹک اصطلاح کو ختم کرنا ممکن ہے، جس سے برائن-جیرارڈ نارمل فارم پیدا ہوتا ہے: پاور-سم فارمولوں کو دوبارہ کیوبک ٹرانسفارمیشن کے ساتھ استعمال کرنا جیسا کہ Tschirnhaus نے کوشش کی ہے کام نہیں کرتا، کیونکہ مساوات کے نتیجے میں نظام چھٹے درجے کی مساوات کا باعث بنتا ہے۔ لیکن 1796 میں برائن نے ایک بنیادی کوئنٹک کی جڑوں کو برائن-جیرارڈ کوئنٹک سے جوڑنے کے لیے کوارٹک Tschirnhaus تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے اس کے ارد گرد ایک راستہ تلاش کیا: یہ چوتھے درجے کی تبدیلی فراہم کرنے والے اضافی پیرامیٹر نے برائن کو دوسرے پیرامیٹرز کی ڈگریوں کو کم کرنے کی اجازت دی۔ یہ چھ نامعلوم میں پانچ مساوات کے نظام کی طرف لے جاتا ہے، جس کے بعد کیوبک اور کواڈریٹک مساوات کے حل کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ طریقہ جیرارڈ نے بھی 1852 میں دریافت کیا تھا، لیکن امکان ہے کہ وہ اس شعبے میں برائن کے پچھلے کام سے بے خبر تھے۔ کمپیوٹر الجبرا پیکیج جیسے میتھمیٹکا یا میپل کا استعمال کرتے ہوئے مکمل تبدیلی آسانی سے مکمل کی جا سکتی ہے۔ جیسا کہ ان تبدیلیوں کی پیچیدگی سے توقع کی جا سکتی ہے، نتیجے کے تاثرات بہت زیادہ ہو سکتے ہیں، خاص طور پر جب نچلے درجے کی مساوات کے ریڈیکلز میں حل کے مقابلے میں، علامتی کوفشنٹس کے ساتھ عام کوئنٹک کے لیے بہت سے میگا بائٹس اسٹوریج لیتے ہیں۔ الجبرائی فنکشن کے طور پر، دو متغیرات، d1 اور d0 کو شامل کرنے کے حل ؛ تاہم، کمی دراصل ایک متغیر کے الجبرائی فنکشن کے لیے ہے، جو ریڈیکلز میں حل سے بہت زیادہ مشابہت رکھتی ہے، کیونکہ ہم برائن-جیرارڈ فارم کو مزید کم کر سکتے ہیں۔ اگر ہم مثال کے طور پر سیٹ کرتے ہیں تو ہم مساوات کو اس شکل میں کم کر دیتے ہیں جس میں z ایک واحد متغیر کے الجبرائی فعل کے طور پر شامل ہوتا ہے، جہاں۔ یہ فارم ہرمائیٹ-کرونکر-بروشی طریقہ کار، گلاسر کا طریقہ، اور ذیل میں بیان کردہ تفریق حل کرنے والے کاکل-ہارلی طریقہ کار کے ذریعہ درکار ہے۔ ایک متبادل فارم ترتیب دے کر حاصل کیا جاتا ہے تاکہ کہاں ہو۔ یہ فارم نیچے برائن ریڈیکل کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ بریوسچی نارمل فارم کوئنٹک مساوات کے لیے ایک اور ایک پیرامیٹر نارمل فارم ہے، جسے بریوسچی نارمل فارم کہا جاتا ہے جسے عقلی Tschirnhaus تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جا سکتا ہے تاکہ عام کوئنٹک کی جڑوں کو بریوسچی کوئنٹک سے جوڑا جا سکے۔ پیرامیٹرز کی اقدار اور ریمن دائرے پر پولی ہیڈرل افعال کا استعمال کرکے اخذ کی جا سکتی ہیں، اور یہ آئکوساہڈرل سمیٹری کی کسی شے کو ٹیٹرا ہیڈرل سمیٹری کی پانچ اشیاء میں تقسیم کرنے سے متعلق ہیں۔ یہ Tschirnhaus تبدیلی اس مشکل سے زیادہ آسان ہے جو ایک پرنسپل کوئنٹک کو برائن-جیرارڈ شکل میں تبدیل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ یہ عام شکل ڈوئل-میک مولن تکرار کے طریقہ کار اور کیپرٹ طریقہ کار کے ذریعے استعمال ہوتی ہے۔ سیریز کی نمائندگی ریڈیکلز لانے کے لیے ایک ٹیلر سیریز کے ساتھ ساتھ ہائپر جیومیٹرک افعال کے لحاظ سے نمائندگی مندرجہ ذیل طور پر حاصل کی جا سکتی ہے۔ مساوات کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے کہ مطلوبہ حل ترتیب دے کر چونکہ عجیب ہے۔ اس کے بعد کے لیے سیریز کو ٹیلر سیریز کے الٹ کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے (جو کہ سادہ ہے)، جہاں کوفیشنٹس کی مطلق اقدار او ای آئی ایس میں ترتیب A002294 بناتی ہیں۔ سیریز کے کنورجنس کا رداس ہائپر جیومیٹرک شکل میں، برینگ ریڈیکل کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ ہائپر جیومیٹرک افعال کے ساتھ موازنہ کرنا دلچسپ ہو سکتا ہے جو نیچے گلاسر کے مشتق اور تفریقی حل کے طریقہ کار میں پیدا ہوتے ہیں۔ عام کوئنٹک کا حل کثیر الجہتی کی جڑوں کو برائن ریڈیکل اور اس کے چار کنجوگیٹس کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اب یہ مسئلہ حل کرنے کے قابل کثیر الجہتی مساوات کے لحاظ سے برائن-جیرارڈ شکل میں گھٹ گیا ہے، اور جڑوں میں کثیر الجہتی تاثرات پر مشتمل تبدیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے صرف چوتھی ڈگری تک، جس کا مطلب ہے کہ تبدیلی کو الٹنا ریڈیکلز میں حل کرنے کے قابل کثیر الجہتی کے جڑوں کو تلاش کرکے کیا جاسکتا ہے۔ یہ طریقہ کار غیر معمولی حل دیتا ہے، لیکن جب درست کو عددی ذرائع سے پایا جاتا ہے، تو کوئنٹک کی جڑوں کو مربع جڑوں، مکعب جڑوں، اور برائن ریڈیکل کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے، جو اس لیے ایک واحد متغیر کے الجبرائی افعال (جس کی وضاحت وسیع پیمانے پر ریڈیکلز لانے کے لیے کی گئی ہے) کے لحاظ سے الجبرائی حل ہے-جو کہ عمومی کوئنٹک کا الجبرائی حل ہے۔ دیگر خصوصیات برائن ریڈیکل کی بہت سی دوسری خصوصیات تیار کی گئی ہیں، جن میں سے پہلا 1858 میں چارلس ہرمائیٹ کے ذریعہ "ایلیپٹک ٹرانسڈینٹس" (ایلیپٹک اور ماڈیولر افعال سے متعلق) کے لحاظ سے ہے، اور مزید طریقے بعد میں دوسرے ریاضی دانوں نے تیار کیے۔ ہرمائیٹ-کرونکر-بریوشی کی خصوصیت 1858 میں، چارلس ہرمائیٹ نے "ایلیپٹک ٹرانسڈینٹس" کے لحاظ سے عمومی کوئنٹک مساوات کا پہلا معروف حل شائع کیا، اور تقریبا اسی وقت فرانسیسکو بریوشی اور لیوپولڈ کرونیکر کو مساوی حل ملے۔ ہرمائیٹ مثلثی افعال کے لحاظ سے کیوبک مساوات کے معروف حل کو عمومی بنا کر اس حل پر پہنچا اور برائن-جیرارڈ کی شکل میں ایک کوئنٹک کا حل ڈھونڈتا ہے: جس میں کسی بھی کوئنٹک مساوات کو Tschirnhaus تبدیلیوں کے ذریعے کم کیا جا سکتا ہے جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ انہوں نے مشاہدہ کیا کہ برائن-جیرارڈ کوئنٹک کے حل میں ایلیپٹک افعال کا یکساں کردار ہوتا ہے جیسا کہ کیوبک کے لیے مثلثی افعال کا ہوتا ہے۔ ان کے لیے اور انہیں پہلی قسم کے مکمل ایلیپٹک انٹیگرلز کے طور پر لکھیں: جہاں دو "ایلیپٹک ٹرانسسینڈنٹس" کی وضاحت کریں: ان کی تعریف مساوی طور پر لامحدود سیریز سے کی جا سکتی ہے: اگر n ایک پرائم نمبر ہے، تو ہم دو اقدار کی وضاحت کر سکتے ہیں اور اس طرح: اور جب n ایک عجیب پرائم ہے، تو پیرامیٹرز اور ڈگری n + 1 کی مساوات سے جڑے ہوتے ہیں، جسے ماڈیولر مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے، جس کے n + 1 جڑ اس کے ذریعے دیئے جاتے ہیں: اور جہاں 1 یا-1 ہے اس پر منحصر ہے کہ 2 بالترتیب کواڈریٹک ریسیڈیو ماڈیولو n ہے یا نہیں، اور۔ n = 5 کے لیے، ہمارے پاس ماڈیولر مساوات ہے: جس میں چھ جڑ ہیں جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے۔ n = 5 کے ساتھ ماڈیولر مساوات ماڈیولر مساوات کے چھ جڑوں کے درج ذیل فنکشن کے ذریعے برائن-جیرارڈ کوئنٹک سے متعلق ہو سکتی ہے (ہرمیٹ کے سور لا تھیوری ڈیس ایکویشنز ماڈیولیئرز ایٹ لا ریزولوشن ڈی ایل ایکویشن ڈو سنکیوئیم ڈگری میں، پہلا عنصر غلط طور پر دیا گیا ہے): متبادل طور پر، فارمولا کی عددی تشخیص کے لیے مفید ہے۔ ہرمائیٹ کے مطابق، توسیع میں کا گتانک ہر ایک کے لیے صفر ہے۔ پانچ مقداریں،،، ایک کوئنٹک مساوات کی جڑیں ہیں جن میں کوفیشنٹس عقلی ہوتے ہیں: جنہیں متبادل کے ذریعے آسانی سے برائن-جیرارڈ شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے: جو برائن-جیرارڈ کوئنٹک کی طرف لے جاتا ہے: جہاں ہرمائیٹ-کرونکر-بروشی طریقہ اس کے لیے ایک قدر تلاش کرنے کے مترادف ہے جو اس کی قیمت سے مطابقت رکھتا ہے، اور پھر اسی قدر کا استعمال کرتے ہوئے متعلقہ ماڈیولر مساوات کی جڑیں حاصل کرنے کے لیے۔ ہم مساوات سے تلاش کرنے کے لیے جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم کا استعمال کر سکتے ہیں (یعنی۔ کا جزوی الٹا شمار کریں)۔ مربع (*) صرف (استعمال کرتے ہوئے) میں ایک چوتھائی دیتا ہے۔ (*) کا ہر حل (میں) کوارٹک کا حل ہے لیکن کوارٹک کا ہر حل (*) کا حل نہیں ہے۔ اس کے بعد برائن-جیرارڈ کوئنٹک کی جڑیں: for کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ ایک متبادل، "انٹیگرل"، نقطہ نظر درج ذیل ہے: غور کریں کہ کہاں ہے پھر اس کا حل ہے جہاں مساوات کی جڑیں ہیں: کہاں (نوٹ کریں کہ کچھ اہم حوالہ جات اسے غلطی سے دیتے ہیں)۔ ان جڑوں میں سے ایک کو ایلیپٹک ماڈیولس کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد برائن-جیرارڈ کوئنٹک کی جڑیں: for کے ذریعے دی جاتی ہیں۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ یہ عمل n ویں جڑ کی عمومی شکل کا استعمال کرتا ہے، جس کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: یا اس سے بھی زیادہ، کیونکہ ہرمائیٹ-کرونکر-بروشی طریقہ بنیادی طور پر ایک "ایلیپٹک ٹرانسڈیننٹ" کے ذریعے ایکسپونینشل کی جگہ لے لیتا ہے، اور انٹیگرل (یا حقیقی لائن پر کا الٹا) ایک ایلیپٹک انٹیگرل (یا "ایلیپٹک ٹرانسڈیننٹ" کے جزوی الٹا) کے ذریعے۔ کرونکر نے سوچا کہ یہ عمومی کاری اس سے بھی زیادہ عمومی نظریہ کا ایک خاص معاملہ ہے، جو من مانی طور پر اعلی درجے کی مساوات پر لاگو ہوگا۔ یہ نظریہ، جسے تھومی کے فارمولے کے نام سے جانا جاتا ہے، کا مکمل اظہار ہیروشی امیمورا نے 1984 میں کیا تھا، جس نے ایکسپونینشل/ایلیپٹک ٹرانسڈینٹس کی جگہ سیگل ماڈیولر شکلیں استعمال کیں، اور انٹیگرل کو ہائپرلیپٹک انٹیگرل سے تبدیل کیا۔ گلاسر کا مشتق ایم ایل گلاسر کی وجہ سے یہ مشتق اس مضمون میں پہلے پیش کردہ سیریز کے طریقہ کار کو عام کرتا ہے تاکہ شکل کی کسی بھی سہ رخی مساوات کا حل تلاش کیا جا سکے: خاص طور پر، کوئنٹک مساوات کو اس شکل میں کم کیا جا سکتا ہے جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے۔ آئیے، عمومی شکل بن جاتی ہے: جہاں لگرینج کی وجہ سے ایک فارمولا بیان کرتا ہے کہ کسی بھی تجزیاتی فنکشن کے لیے، تبدیل شدہ عمومی مساوات کے جڑ کے پڑوس میں، مندرجہ بالا کے لحاظ سے، ایک لامحدود سیریز کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: اگر ہم اس فارمولے میں آتے ہیں، تو ہم جڑ کے ساتھ آ سکتے ہیں: گاؤس ضرب تھیوریم کے استعمال سے اوپر کی لامحدود سیریز کو ہائپر جیومیٹرک افعال کی ایک محدود سیریز میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: اور شکل کے سہ رخی میں جڑیں ہوتی ہیں اس طرح مساوات کے جڑ کو زیادہ سے زیادہ N−1 ہائپر جیومیٹرک افعال کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ کو کم شدہ برائن-جیرارڈ کوئنٹک پر لاگو کرتے ہوئے، درج ذیل افعال کی وضاحت کریں: جو ہائپر جیومیٹرک افعال ہیں جو اوپر کے سیریز فارمولے میں ظاہر ہوتے ہیں۔ کوئنٹک کی جڑیں اس طرح ہیں: یہ بنیادی طور پر وہی نتیجہ ہے جو مندرجہ ذیل طریقہ کار سے حاصل ہوتا ہے۔ تفریق حل کرنے والوں کا طریقہ جیمز کاکل اور رابرٹ ہارلے نے 1860 میں تفریق مساوات کے ذریعے کوئنٹک کو حل کرنے کا ایک طریقہ تیار کیا۔ وہ جڑوں کو کوفیشنٹس کے افعال سمجھتے ہیں، اور ان مساوات کی بنیاد پر ایک تفریق حل کرنے والے کا حساب لگاتے ہیں۔ برائن-جیرارڈ کوئنٹک کو ایک فنکشن کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے: اور ایک فنکشن کا تعین اس طرح کیا جانا چاہیے کہ: فنکشن کو درج ذیل چار تفریقی مساوات کو بھی پورا کرنا چاہیے: ان کو وسعت دینے اور ان کو ایک ساتھ جوڑنے سے تفریقی حل حاصل ہوتا ہے: تفریقی حل کا حل، چوتھے درجے کی عام تفریقی مساوات ہونے کے ناطے، انضمام کے چار مستقلات پر منحصر ہوتا ہے، جسے اصل قوئنٹک کو پورا کرنے کے لیے منتخب کیا جانا چاہیے۔ یہ ہائپر جیومیٹرک قسم کی ایک فوچیئن عام تفریق مساوات ہے، جس کا حل ہائپر جیومیٹرک افعال کی سیریز سے ملتا جلتا ہے جو اوپر گلاسر کے مشتق میں پیدا ہوا تھا۔ اس طریقہ کار کو من مانی طور پر اعلی ڈگری کی مساوات کے لیے بھی عام کیا جا سکتا ہے، جن میں تفریق حل کرنے والے جو جزوی تفریق مساوات ہیں، جن کے حل میں کئی متغیرات کے ہائپر جیومیٹرک افعال شامل ہوتے ہیں۔ صوابدیدی غیر متغیر کثیر الجہتی کے تفریقی حل کے لیے ایک عمومی فارمولا ناہی کے پاورسم فارمولے کے ذریعے دیا گیا ہے۔ ڈوئل-میک مولن تکرار 1989 میں، پیٹر ڈوئل اور کرٹ میک مولن نے ایک تکرار کا طریقہ اخذ کیا جو بریوشی عام شکل میں ایک کوئنٹک کو حل کرتا ہے: تکرار الگورتھم مندرجہ ذیل طریقے سے آگے بڑھتا ہے: عقلی فنکشن کا حساب لگائیں جہاں ذیل میں دیا گیا کثیر الجہتی فنکشن ہے، اور بے ترتیب ابتدائی اندازے پر آئیٹریٹ کے حوالے سے اس کا مشتق ہے جب تک کہ یہ یکجا نہ ہو جائے۔ لمٹ پوائنٹ پر کال کریں اور جانے دیں۔ کمپیوٹ کریں جہاں ایک کثیر الجہتی فنکشن ذیل میں دیا گیا ہے۔ یہ دونوں کے لیے کریں۔ آخر میں، کے لیے حساب لگائیں۔ یہ بریوشی کوئنٹک کی دو جڑیں ہیں۔ دو کثیر الجہتی افعال اور مندرجہ ذیل ہیں: یہ تکرار کا طریقہ کوئنٹک کی دو جڑیں پیدا کرتا ہے۔ بقیہ تین جڑیں مصنوعی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے دونوں جڑوں کو تقسیم کرکے حاصل کی جا سکتی ہیں، جس سے کیوبک مساوات پیدا ہوتی ہے۔ جس طرح سے تکرار کو وضع کیا جاتا ہے اس کی وجہ سے، یہ طریقہ ہمیشہ کوئنٹک کے دو پیچیدہ کنجوگیٹ جڑوں کو تلاش کرتا نظر آتا ہے یہاں تک کہ جب تمام کوئنٹک کوفیشنٹس حقیقی ہوں اور ابتدائی اندازہ حقیقی ہو۔ یہ تکرار کا طریقہ آئکوساہیڈرون کی ہم آہنگی سے اخذ کیا گیا ہے اور اس کا تعلق فیلکس کلین کی اپنی کتاب میں بیان کردہ طریقہ سے ہے۔ یہ بھی دیکھیں مساوات کا نظریہ حوالہ جات نوٹ دیگر ذرائع بیرونی روابط مساوات کثیر الجہتی خصوصی ہائپر جیومیٹرک افعال