Bézout domain
ریاضی میں، بیزاوٹ ڈومین پروفر ڈومین کی ایک شکل ہے۔ یہ ایک انٹیگرل ڈومین ہے جس میں دو پرنسپل آئیڈیلز کا مجموعہ پھر سے ایک پرنسپل آئیڈیل ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ عناصر کے ہر جوڑے کے لیے بیزاوٹ شناخت ہوتی ہے، اور یہ کہ ہر حتمی طور پر تیار کردہ آئیڈیل پرنسپل ہوتا ہے۔ کوئی بھی پرنسپل آئیڈیل ڈومین (پی آئی ڈی) ایک بیزاوٹ ڈومین ہے، لیکن بیزاوٹ ڈومین کو نویتھیرین رنگ ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لہذا اس میں غیر حتمی طور پر تیار کردہ آئیڈیلز ہو سکتے ہیں (جس میں واضح طور پر پی آئی ڈی ہونے کو خارج کر دیا گیا ہے) ؛ اگر ایسا ہے تو، یہ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین (یو ایف ڈی) نہیں ہے، لیکن پھر بھی یہ ایک جی سی ڈی ڈومین ہے۔ بیزاوٹ ڈومینز کا نظریہ پی آئی ڈی کی بہت سی خصوصیات کو برقرار رکھتا ہے، بغیر نویتھیرین پراپرٹی کی ضرورت کے۔ بیزاؤٹ ڈومینز کا نام فرانسیسی ریاضی دان ایٹین بیزاؤٹ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ مثالیں تمام پی آئی ڈیز بیز آؤٹ ڈومینز ہیں۔ بیزاوٹ ڈومینز کی مثالیں جو پی آئی ڈی نہیں ہیں ان میں پورے افعال کی انگوٹی (پورے پیچیدہ سطح پر ہولومورفک افعال) اور تمام الجبرائی عددوں کی انگوٹی شامل ہیں۔ پورے افعال کے معاملے میں، صرف ناقابل تلافی عناصر ڈگری 1 کے کثیر الجہتی فعل سے وابستہ افعال ہوتے ہیں، لہذا کسی عنصر کی فیکٹرائزیشن صرف اس صورت میں ہوتی ہے جب اس میں محدود طور پر بہت سے صفر ہوں۔ الجبرائی انٹیجرز کے معاملے میں کوئی بھی ناقابل تلافی عنصر بالکل نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ کسی بھی الجبرائی انٹیجر کے لیے اس کا مربع جڑ (مثال کے طور پر) بھی ایک الجبرائی انٹیجر ہوتا ہے۔ یہ دونوں صورتوں میں ظاہر کرتا ہے کہ انگوٹھی یو ایف ڈی نہیں ہے، اور اس لیے یقینی طور پر پی آئی ڈی نہیں ہے۔ ویلیوایشن رنگز بیز آؤٹ ڈومینز ہیں۔ کوئی بھی غیر نویتھیرین ویلیوایشن رنگ غیر نویتھیرین بیزاؤٹ ڈومین کی ایک مثال ہے۔ مندرجہ ذیل عمومی تعمیر ایک بیزاوٹ ڈومین ایس تیار کرتی ہے جو کسی بھی بیزاوٹ ڈومین آر سے یو ایف ڈی نہیں ہے جو فیلڈ نہیں ہے، مثال کے طور پر پی آئی ڈی سے ؛ کیس ذہن میں رکھنے کی بنیادی مثال ہے۔ فرض کریں کہ F، R کے حصوں کی فیلڈ ہے، اور رکھیں، R میں مستقل اصطلاح کے ساتھ F [X] میں کثیر الجہتی کی ذیلی رنگ۔ یہ رنگ نویتھیرین نہیں ہے، کیونکہ صفر مستقل اصطلاح والے X جیسے عنصر کو R کے غیر بدلنے والے عناصر سے غیر معینہ مدت تک تقسیم کیا جا سکتا ہے، جو اب بھی S میں غیر بدلنے والے ہیں، اور ان تمام کوٹینٹس سے پیدا ہونے والا آئیڈیل حتمی طور پر تیار نہیں ہوتا ہے (اور اس لیے X کا S میں کوئی فیکٹرائزیشن نہیں ہے)۔ ایک مندرجہ ذیل طور پر ظاہر کرتا ہے کہ S ایک بیز آؤٹ ڈومین ہے۔ یہ ثابت کرنا کافی ہے کہ S میں ہر جوڑے a، b کے لیے S میں s، t موجود ہیں جو a اور b دونوں کو تقسیم کرتے ہیں۔ اگر a اور b کا مشترکہ تقسیم کنندہ d ہے، تو یہ a/d اور b/d کے لیے ثابت کرنے کے لیے کافی ہے، کیونکہ وہی s، t کام کرے گا۔ ہم کثیر الجہتی a اور b کو غیر صفر فرض کر سکتے ہیں۔ اگر دونوں کی صفر مستقل اصطلاح ہے، تو n کو کم سے کم ایکسپونینٹ اس طرح ہونے دیں کہ ان میں سے کم از کم ایک میں Xn کا غیر صفر گتانک ہو۔ کوئی F میں f کو اس طرح تلاش کر سکتا ہے کہ fXn a اور b کا مشترکہ تقسیم کنندہ ہو اور اس سے تقسیم ہو۔ اس لیے ہم فرض کر سکتے ہیں کہ a میں سے کم از کم ایک b کی غیر صفر مستقل اصطلاح ہے۔ اگر a اور b کو F [X] کے عناصر کے طور پر دیکھا جائے تو وہ نسبتا پرائم نہیں ہیں، اس UFD میں a اور b کا ایک سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہے جس کی مستقل اصطلاح 1 ہے، اور اس لیے یہ S میں ہے۔ ہم اس عنصر سے تقسیم کر سکتے ہیں۔ لہذا ہم یہ بھی فرض کر سکتے ہیں کہ a اور b F [X] میں نسبتا پرائم ہیں، تاکہ 1 میں ہو، اور R میں کچھ مستقل کثیر الجہتی r میں ہو۔ نیز، چونکہ R ایک بیزاوٹ ڈومین ہے، اس لیے مستقل اصطلاحات a0 اور b0 کا gcd d R میں موجود ہے۔ چونکہ کوئی بھی عنصر بغیر مستقل اصطلاح کے، جیسے یا، کسی بھی غیر صفر مستقل سے تقسیم ہوتا ہے، اس لیے مستقل d a اور b کے S میں ایک مشترکہ تقسیم کنندہ ہے ؛ ہم یہ ظاہر کر کے دکھائیں گے کہ یہ حقیقت میں ایک سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہے۔ a0 اور b0 کے حوالے سے d کے لیے بالترتیب a اور b کو بیزاوٹ گتانک سے ضرب دینے سے مستقل اصطلاح d کے ساتھ ایک کثیر الجہتی p ملتا ہے۔ پھر اس کی ایک صفر مستقل اصطلاح ہوتی ہے، اور اسی طرح مستقل کثیر الجہتی r کا S میں ایک سے زیادہ ہوتا ہے، اور اس وجہ سے اس میں ہوتا ہے۔ لیکن پھر d بھی کرتا ہے، جو ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ ایک رنگ ایک بیزاوٹ ڈومین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک لازمی ڈومین ہو جس میں کسی بھی دو عناصر کا سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہو جو ان کا لکیری مجموعہ ہو: یہ اس بیان کے مساوی ہے کہ ایک آئیڈیل جو دو عناصر سے پیدا ہوتا ہے وہ بھی ایک عنصر سے پیدا ہوتا ہے، اور انڈکشن یہ ظاہر کرتا ہے کہ تمام حتمی طور پر تیار کردہ آئیڈیلز پرنسپل ہیں۔ لکیری امتزاج کے طور پر پی آئی ڈی کے دو عناصر کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے اظہار کو اکثر بیزوٹ کی شناخت کہا جاتا ہے، جہاں سے اصطلاحات آتی ہیں۔ نوٹ کریں کہ مذکورہ بالا جی سی ڈی کی حالت محض جی سی ڈی کے وجود سے زیادہ مضبوط ہے۔ ایک انٹیگرل ڈومین جہاں کسی بھی دو عناصر کے لیے جی سی ڈی موجود ہے اسے جی سی ڈی ڈومین کہا جاتا ہے اور اس طرح بیز آؤٹ ڈومین جی سی ڈی ڈومین ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، بیزاوٹ ڈومین میں، اریڈیوسیبلز پرائم ہوتے ہیں (لیکن جیسا کہ الجبرائی انٹیجر کی مثال سے پتہ چلتا ہے، ان کے وجود کی ضرورت نہیں ہے)۔ بیزاوٹ ڈومین R کے لیے، درج ذیل شرائط تمام مساوی ہیں: R ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہے۔ R نویتھیرین ہے۔ آر ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین (یو ایف ڈی) ہے۔ R پرنسپل آئیڈیلز (ACCP) پر چڑھتے ہوئے سلسلہ کی حالت کو مطمئن کرتا ہے۔ R میں ہر غیر صفر غیر اکائی کو ناقابل تخفیف کے پروڈکٹ میں تبدیل کیا جاتا ہے (R ایک جوہری ڈومین ہے)۔ (1) اور (2) کی مساوات اوپر بیان کی گئی تھی۔ چونکہ بیز آؤٹ ڈومین ایک جی سی ڈی ڈومین ہے، اس لیے یہ فوری طور پر اس کے بعد آتا ہے کہ (3)، (4) اور (5) مساوی ہیں۔ آخر میں، اگر R نویتھیرین نہیں ہے، تو پھر حتمی طور پر پیدا شدہ آئیڈیلز کا ایک لامحدود چڑھتا سلسلہ موجود ہے، لہذا بیزوٹ ڈومین میں پرنسپل آئیڈیلز کا ایک لامحدود چڑھتا سلسلہ موجود ہے۔ (4) اور (2) اس طرح مساوی ہیں۔ بیز آؤٹ ڈومین ایک پرفر ڈومین ہے، یعنی ایک ڈومین جس میں ہر حتمی طور پر تیار کردہ آئیڈیل الٹا ہوتا ہے، یا دوسرے طریقے سے کہا جاتا ہے، ایک مواصلاتی نیم موروثی ڈومین۔) نتیجتا، کوئی "بیزاوٹ ڈومین آئی ایف پروفر ڈومین اور جی سی ڈی-ڈومین" کے مساوات کو زیادہ واقف "پی آئی ڈی آئی ایف ڈی ڈیکائنڈ ڈومین اور یو ایف ڈی" کے مترادف کے طور پر دیکھ سکتا ہے۔ پرفر ڈومینز کو انٹیگرل ڈومینز کے طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے جن کی لوکلائزیشنز تمام پرائم (مساوی طور پر، تمام زیادہ سے زیادہ) آئیڈیلز ویلیوایشن ڈومینز ہیں۔ لہذا ایک پرائم آئیڈیل پر بیز آؤٹ ڈومین کی لوکلائزیشن ایک ویلیوایشن ڈومین ہے۔ چونکہ مقامی رنگ میں ایک الٹا آئیڈیل پرنسپل ہوتا ہے، اس لیے ایک مقامی رنگ ایک بیز آؤٹ ڈومین ہوتا ہے اگر یہ ایک ویلیوایشن ڈومین ہے۔ مزید برآں، غیر چکور (مساوی طور پر غیر مجرد) ویلیو گروپ والا ویلیوایشن ڈومین نویتھیرین نہیں ہے، اور ہر مکمل طور پر ترتیب دیا ہوا ابیلین گروپ کچھ ویلیوایشن ڈومین کا ویلیو گروپ ہے۔ اس سے غیر نویتھیرین بیزاوٹ ڈومینز کی بہت سی مثالیں ملتی ہیں۔ غیر تبادلہ الجبرہ میں، دائیں بیز آؤٹ ڈومینز وہ ڈومینز ہوتے ہیں جن کے حتمی طور پر تیار کردہ صحیح آئیڈیلز اصل صحیح آئیڈیلز ہوتے ہیں، یعنی R میں کچھ x کے لیے xR کی شکل کے۔ ایک قابل ذکر نتیجہ یہ ہے کہ دائیں بیز آؤٹ ڈومین ایک صحیح اوری ڈومین ہے۔ یہ حقیقت تبادلہ کے معاملے میں دلچسپ نہیں ہے، کیونکہ ہر تبادلہ ڈومین ایک اوری ڈومین ہے۔ دائیں بیز آؤٹ ڈومین بھی صحیح نیم موروثی حلقے ہیں۔ بیز آؤٹ ڈومین پر ماڈیولز پی آئی ڈی پر ماڈیولز کے بارے میں کچھ حقائق بیز آؤٹ ڈومین پر ماڈیولز تک پھیلتے ہیں۔ R کو بیز آؤٹ ڈومین اور M کو R پر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول ہونے دیں۔ پھر M فلیٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ٹورسن سے پاک ہو۔ سیمی فر بھی دیکھیں (ایک مواصلاتی سیمی فر قطعی طور پر ایک بیز آؤٹ ڈومین ہے۔) بیزاوٹ رنگ حوالہ جات مواصلاتی الجبرا رنگ تھیوری