Runge's theorem
پیچیدہ تجزیہ میں، رانج تھیوریم (جسے رانج کا تخمینہ تھیوریم بھی کہا جاتا ہے) کا نام جرمن ریاضی دان کارل رانج کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے پہلی بار 1885 میں ثابت کیا تھا۔ یہ مندرجہ ذیل بیان کرتا ہے: پیچیدہ اعداد کے سیٹ کو C سے ظاہر کرتے ہوئے، K کو C کا ایک کمپیکٹ سب سیٹ ہونے دیں اور f کو ایک فنکشن ہونے دیں جو K پر مشتمل ایک کھلے سیٹ پر ہولومورفک ہے۔ اگر A ایک ایسا سیٹ ہے جس میں C\K کے ہر باؤنڈڈ منسلک جزو سے کم از کم ایک کمپلیکس نمبر موجود ہے تو عقلی افعال کا ایک سلسلہ موجود ہے جو K پر یکساں طور پر f پر یکجا ہوتا ہے اور اس طرح کہ افعال کے تمام قطبین A میں ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ A میں ہر پیچیدہ عدد کو ترتیب کے ہر عقلی فعل کا قطب ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ہم صرف اتنا جانتے ہیں کہ اس کے تمام ممبروں کے لیے کھمبے ہوتے ہیں، وہ کھمبے اے میں ہوتے ہیں۔ ایک پہلو جو اس نظریہ کو اتنا طاقتور بناتا ہے وہ یہ ہے کہ کوئی بھی سیٹ اے کو من مانی طور پر منتخب کر سکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کوئی بھی C\K کے باؤنڈڈ کنیکٹڈ اجزاء میں سے کسی بھی کمپلیکس نمبر کا انتخاب کر سکتا ہے اور تھیوریم صرف ان منتخب کردہ نمبروں میں پولز کے ساتھ عقلی افعال کی ترتیب کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ اس خاص صورت کے لیے جس میں C\K ایک جڑا ہوا سیٹ ہے (خاص طور پر جب K سیدھا جڑا ہوا ہے)، تھیوریم میں سیٹ A واضح طور پر خالی ہوگا۔ چونکہ بغیر قطبوں والے عقلی افعال محض کثیر الجہتی ہوتے ہیں، اس لیے ہمیں درج ذیل نتیجہ ملتا ہے: اگر K C کا ایک کمپیکٹ ذیلی سیٹ ہے جس میں C\K ایک منسلک سیٹ ہے، اور f K پر مشتمل ایک کھلے سیٹ پر ایک ہولومورفک فنکشن ہے، تو کثیر الجہتی کا ایک سلسلہ موجود ہے جو K پر یکساں طور پر f تک پہنچتا ہے (مفروضوں میں نرمی کی جا سکتی ہے، مرگلیان کا نظریہ دیکھیں)۔ رانج کا نظریہ مندرجہ ذیل طور پر عام کرتا ہے: کوئی بھی A کو ریمن دائرے C ≤ {≤} کا ذیلی مجموعہ لے سکتا ہے اور اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ A K کے غیر محدود منسلک جزو کو بھی کاٹ دے (جس میں اب ≤ شامل ہے)۔ یعنی، اوپر دی گئی فارمولیشن میں، عقلی افعال میں انفنٹی پر پول ہو سکتا ہے، جبکہ زیادہ عام فارمولیشن میں پول کو C\K کے غیر باؤنڈ منسلک جزو میں کہیں بھی منتخب کیا جا سکتا ہے۔ ثبوت ایک بنیادی ثبوت، جس میں دیا گیا ہے، مندرجہ ذیل طور پر آگے بڑھتا ہے۔ کھلے سیٹ میں ایک بند پیس وائز-لکیری کونٹور ہے، جس کے اندرونی حصے میں K ہوتا ہے۔ کاچی کے انٹیگرل فارمولے کے مطابق ڈبلیو کے لیے کے۔ ریمن میں لگ بھگ جملوں کو کنٹور انٹیگرل کو K پر یکساں طور پر تخمینہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مجموعہ میں ہر اصطلاح کنٹور پر کسی نقطہ z کے لیے (z−w) −1 کا ایک اسکیلر ملٹیپل ہے۔ یہ ایک عقلی فنکشن کی طرف سے ایک یکساں تخمینہ دیتا ہے جس میں قطبوں کو κ پر رکھا جاتا ہے۔ اسے K کی تکمیل کے ہر جزو میں مخصوص نکات پر قطبوں کے ساتھ ایک تخمینہ میں تبدیل کرنے کے لیے، فارم (z−w) −1 کی اصطلاحات کے لیے اس کی جانچ کرنا کافی ہے۔ اگر z0 اسی جزو میں نقطہ ہے جس میں z ہے، تو z سے z0 تک ٹکڑے ٹکڑے لکیری راستہ اختیار کریں۔ اگر دو پوائنٹس راستے پر کافی قریب ہیں، تو صرف پہلے پوائنٹ پر پولز کے ساتھ کسی بھی عقلی فنکشن کو دوسرے پوائنٹ کے بارے میں لارنٹ سیریز کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس لارنٹ سیریز کو قطبوں کے ساتھ عقلی فنکشن دینے کے لیے کاٹا جا سکتا ہے تاکہ صرف دوسرے نقطہ پر یکساں طور پر K پر اصل فنکشن کے قریب ہو۔ z سے z0 تک کے راستے میں قدموں سے آگے بڑھتے ہوئے اصل فنکشن (z−w) −1 کو قطبوں کے ساتھ عقلی فنکشن دینے کے لیے یکے بعد دیگرے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اگر z0 انفینیٹی پر نقطہ ہے، تو مندرجہ بالا طریقہ کار کے ذریعے عقلی فعل (z−w) −1 کا تخمینہ سب سے پہلے R> 0 پر قطبوں کے ساتھ ایک عقلی فعل g کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے جہاں R اتنا بڑا ہے کہ K، w <R میں واقع ہے۔ اس کے بعد تقریبا 0 کی ٹیلر سیریز کی توسیع کو کاٹ کر K پر کثیر الجہتی تخمینہ دیا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ مرگلیان کا نظریہ اوکا-ویل تھیوریم بینکے-سٹین تھیوریم اسٹین مینیفولڈز پر بیرونی روابط پیچیدہ تجزیے میں نظریات۔