Finite type invariant
گانٹھوں کے ریاضیاتی نظریہ میں، ایک محدود قسم کا غیر متغیر، یا واسیلیو غیر متغیر (جس کا نام وکٹر اناتولیویچ واسیلیو کے نام پر رکھا گیا ہے)، ایک گانٹھ غیر متغیر ہے جسے (واضح انداز میں بیان کیا جا سکتا ہے) کچھ واحد گانٹھوں کے غیر متغیر تک بڑھایا جا سکتا ہے جو m + 1 انفرادیت کے ساتھ واحد گانٹھوں پر غائب ہو جاتے ہیں اور 'm' انفرادیت کے ساتھ کسی واحد گانٹھ پر غائب نہیں ہوتے ہیں۔ اس کے بعد کہا جاتا ہے کہ یہ قسم یا ترتیب m کا ہے۔ ہم گوساروف، اور (آزادانہ طور پر) جان برمن اور ژیاؤ سونگ لن کی وجہ سے محدود قسم کے غیر متغیر کی مشترکہ تعریف دیتے ہیں۔ فرض کریں کہ V ایک گرہ غیر متغیر ہے۔ V1 کی وضاحت کریں جس کی وضاحت ایک گرہ پر ایک ٹرانسورس سنگلٹی کے ساتھ کی جائے۔ گرہ K کو ایک دائرے کی ہموار سرایت سمجھیں۔ K کو ایک متوازی ڈبل پوائنٹ کے ساتھ ایک دائرے کا ہموار وسرجن ہونے دیں۔ پھر، جہاں K سے ایک اسٹرینڈ کو دوسرے کے اوپر دھکیل کر ڈبل پوائنٹ کو حل کرکے حاصل کیا جاتا ہے، اور K _-اسی طرح مخالف اسٹرینڈ کو دوسرے کے اوپر دھکیل کر حاصل کیا جاتا ہے۔ ہم مندرجہ بالا تعلق کا استعمال کرتے ہوئے دو ٹرانسورس ڈبل پوائنٹس، تین ٹرانسورس ڈبل پوائنٹس وغیرہ والے نقشوں کے لیے ایسا کر سکتے ہیں۔ V کے محدود قسم کا ہونے کا قطعی مطلب یہ ہے کہ ایک مثبت عدد m اس طرح ہونا چاہیے کہ V نقشہ جات پر ٹرانسورس ڈبل پوائنٹس کے ساتھ غائب ہو جائے۔ مزید برآں، نوٹ کریں کہ سنگلٹیز کے ساتھ گانٹھوں کی مساوات کا تصور ہے جو ٹرانسورس ڈبل پوائنٹس ہیں اور V کو اس مساوات کا احترام کرنا چاہیے۔ 3-مینیفولڈ کے لیے محدود قسم کے غیر متغیر کا تصور بھی موجود ہے۔ مثالیں گانٹھوں کا سب سے آسان غیر معمولی ویسیلیف غیر متغیر الیگزینڈر-کونوے کثیر الجہتی کی کواڈریٹک اصطلاح کے گتانک سے دیا جاتا ہے۔ یہ آرڈر دو کا غیر متغیر ہے۔ ماڈیولو دو، یہ آرف غیر متغیر کے برابر ہے۔ کونٹسیویچ غیر متغیر کا کوئی بھی گتانک ایک محدود قسم کا غیر متغیر ہے۔ ملنور غیر متغیر سٹرنگ لنکس کے محدود قسم کے غیر متغیر ہیں۔ متغیرات کی نمائندگی مائیکل پولیک اور اولیگ ویرو نے گاؤس خاکہ کی نمائندگی کے ذریعے آرڈر 2 اور 3 کے پہلے غیر معمولی غیر متغیرات کی وضاحت کی۔ میخائل این گوساروف نے ثابت کیا ہے کہ تمام واسیلیو غیر متغیرات کی نمائندگی اس طرح کی جا سکتی ہے۔ 1993 میں، میکسم کونٹسیویچ نے واسیلیو غیر متغیرات کے بارے میں درج ذیل اہم نظریہ کو ثابت کیا: ہر گانٹھ کے لیے کوئی ایک انٹیگرل کا حساب لگا سکتا ہے، جسے اب کونٹسیویچ انٹیگرل کہا جاتا ہے، جو کہ ایک عالمگیر واسیلیو غیر متغیر ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر واسیلیو غیر متغیر کو اس سے مناسب تشخیص کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ فی الحال یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا کونٹسیویچ انٹیگرل، یا واسیلیو غیر متغیرات کی مجموعی طور پر، ایک مکمل گرہ غیر متغیر ہے۔ کونٹسیویچ انٹیگرل کی گنتی، جس میں کورڈ ڈائیگرام کے الجبرا میں اقدار ہیں، کافی مشکل ثابت ہوتی ہے اور اب تک صرف چند کلاسوں کے گانٹھوں کے لیے کی گئی ہے۔ 11 سے کم ڈگری کا کوئی محدود قسم کا غیر متغیر نہیں ہے جو اتپریورتن گانٹھوں کو ممتاز کرتا ہے۔ ولرٹن کے مچھلی کے حوالہ جات مزید پڑھیں وکٹر اے ویسیلیف، گٹھری کی جگہوں کی کوہومولوجی۔ انفرادیت کا نظریہ اور اس کی ایپلی کیشنز، 23-69، ایڈو. سوویت ریاضی۔، 1، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر آئی، 1990۔ جان برمن اور شیاؤ سونگ لن، ناٹ کثیر الجہتی اور واسیلیو کے غیر متغیر "۔ ایجادات ریاضی، 111، 225-270 (1993) بیرونی روابط ناٹ غیر متغیر 3-مینیفولڈ