Gonality of an algebraic curve
ریاضی میں، الجبرائی منحنی خطوط C کی گونالیٹی کو C سے پروجیکٹو لائن تک غیر مستقل عقلی نقشے کی سب سے کم ڈگری کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ زیادہ الجبرائی اصطلاحات میں، اگر C کو فیلڈ K پر بیان کیا گیا ہے اور K (C) C کے فنکشن فیلڈ کو ظاہر کرتا ہے، تو گونالیٹی فنکشن فیلڈ کے فیلڈ ایکسٹینشنز K (C)/K (f) کی ڈگریوں کی طرف سے لی گئی کم از کم قیمت ہے جو اس کے ذیلی فیلڈز پر سنگل فنکشن f سے پیدا ہوتی ہے۔ اگر K الجبرائی طور پر بند ہے، تو گونالیٹی قطعی طور پر جینس 0 کے منحنی خطوط کے لیے 1 ہے۔ گونالیٹی جینس 1 (ایلیپٹک منحنی خطوط) کے منحنی خطوط اور ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے لیے 2 ہے (اس میں جینس 2 کے تمام منحنی خطوط شامل ہیں)۔ جینس جی 3 کے لیے اب یہ معاملہ نہیں ہے کہ جینس گونالیٹی کا تعین کرتا ہے۔ جینس جی کے عام منحنی خطوط کی گونالیٹی (جی + 3)/2 کا فلور فنکشن ہے۔ سہ رخی منحنی خطوط وہ ہوتے ہیں جن میں گونالیٹی 3 ہوتی ہے، اور اس صورت نے عام طور پر نام کو جنم دیا۔ سہ رخی منحنی خطوط میں جینس تین کے پکارڈ منحنی خطوط شامل ہیں اور یہ مساوات y3 = Q (x) کے ذریعہ دیئے گئے ہیں جہاں Q ڈگری 4 کا ہے۔ ایم۔ گرین اور آر۔ لازارسفیلڈ کا گونالیٹی قیاس پیش گوئی کرتا ہے کہ الجبرائی منحنی خطوط C کی گونالیٹی کا حساب ہومیولوجیکل الجبرا کے ذرائع سے لگایا جا سکتا ہے، اعلی درجے کے الٹا ہونے والے شیف کے کم سے کم ریزولوشن سے۔ بہت سے معاملات میں گونالیٹی کلفورڈ انڈیکس سے دو زیادہ ہوتی ہے۔ گرین-لازارسفیلڈ قیاس آرائی درجہ بند بیٹی نمبروں کے لحاظ سے ایک درست فارمولا ہے جس میں ڈگری ڈی کے لیے آر طول و عرض میں سرایت ہوتی ہے، جینس کے حوالے سے ڈی بڑے کے لیے۔ b (C) لکھنا، C کی دی گئی اس طرح کی سرایت اور اس کی یکساں کوآرڈینیٹ رنگ کے لیے کم از کم آزاد ریزولوشن کے حوالے سے، کم از کم انڈیکس i کے لیے جس کے لیے βi، i + 1 صفر ہے، پھر گونالیٹی کا قیاس شدہ فارمولا r + 1 − b (C) ہے۔ فیڈریکو امیوڈیو کی 1900 کی آئی سی ایم گفتگو کے مطابق، یہ تصور (لیکن اصطلاحات نہیں) ریمن کے تھیوری آف ابیلین فنکشنز کے سیکشن V میں شروع ہوا۔ آموڈیو نے 1893 کے اوائل میں "گونالیٹا" کی اصطلاح استعمال کی تھی۔ حوالہ جات الجبرائی منحنی خطوط ہومیولوجیکل الجبرا