Small Latin squares and quasigroups
لاطینی مربع اور قوسی گروپس مساوی ریاضیاتی اشیاء ہیں، حالانکہ سابقہ کی مشترکہ نوعیت ہے جبکہ مؤخر الذکر زیادہ الجبرائی ہے۔ نیچے دی گئی فہرست میں کچھ بہت چھوٹے آرڈرز کی مثالوں پر غور کیا جائے گا، جو کہ مربع کی طرف کی لمبائی ہے، یا مساوی قوسی گروپ میں عناصر کی تعداد ہے۔ مساوات عناصر کے ساتھ ایک قوسی گروپ کو دیکھتے ہوئے، اس کی کیلی ٹیبل (جسے تقریبا عالمی طور پر اس کا ضرب ٹیبل کہا جاتا ہے) ایک ٹیبل ہے جس میں سرحدیں شامل ہیں۔ کالم ہیڈر کی ایک اوپری قطار اور قطار ہیڈر کا بائیں کالم۔ سرحدوں کو ہٹانے سے ایک صف نکلتی ہے جو لاطینی مربع ہے۔ اس عمل کو الٹا کیا جا سکتا ہے، لاطینی مربع سے شروع کرتے ہوئے، کواسی گروپ کی ضرب کی میز حاصل کرنے کے لیے ایک سرحدی صف اور کالم متعارف کروائیں۔ اگرچہ یہ سرحد کس طرح کی جاتی ہے اس میں مکمل من مانی ہے، لیکن مختلف انتخاب کے ذریعے حاصل کردہ قوسی گروپ بعض اوقات ذیل میں دیے گئے معنی میں مساوی ہوتے ہیں۔ آئسوٹوپی اور آئسومورفزم دو لاطینی مربع، 1 اور 2 سائز کے آئسوٹوپک ہوتے ہیں اگر 1 کی قطاروں، کالموں اور علامتوں سے بالترتیب 2 کی قطاروں، کالموں اور علامتوں پر تین بیجکشن ہوتے ہیں، جو 1 سے 2 کا نقشہ بناتے ہیں۔ آئسوٹوپی ایک مساوات کا رشتہ ہے اور مساوات کی کلاسوں کو آئسوٹوپی کلاسز کہا جاتا ہے۔ مساوات کی ایک مضبوط شکل موجود ہے۔ دو لاطینی مربع، مشترکہ علامت سیٹ کے ساتھ سائیڈ کے 1 اور 2 جو کہ ہر مربع کی قطاروں اور کالموں کے لیے انڈیکس سیٹ بھی ہے، آئسومورفک ہیں اگر کوئی بائیجیکشن موجود ہو جیسے کہ سب کے لیے، ان میں۔ آئسومورفک لاطینی مربعوں کی وضاحت کرنے کا ایک متبادل طریقہ یہ کہنا ہے کہ آئسوٹوپک لاطینی مربعوں کا ایک جوڑا آئسومورفک ہے اگر یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والے تین بیجکشن کہ وہ آئسوٹوپک ہیں، درحقیقت برابر ہیں۔ آئسومورفزم بھی ایک مساوات کا رشتہ ہے اور اس کی مساوات کی کلاسوں کو آئسومورفزم کلاسز کہا جاتا ہے۔ لاطینی مربع کی ایک متبادل نمائندگی ایک آرتھوگنل صف کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ ترتیب کے لاطینی مربع کے لیے یہ ایک 2 × 3 میٹرکس ہے جس پر کالموں کا لیبل ہوتا ہے، اور جس کی قطاریں لاطینی مربع کی ایک ہی پوزیشن سے مطابقت رکھتی ہیں، یعنی پوزیشن کی قطار، پوزیشن کا کالم اور پوزیشن میں علامت۔ اس طرح ترتیب تین لاطینی مربع کے لیے، آرتھوگنل صف اس طرح دی گئی ہے: لاطینی مربع کی نمائندگی کرنے کے لیے مناسب سائز کے میٹرکس کی شرط یہ ہے کہ کسی بھی دو کالموں کے لیے ان کالموں میں قطاروں کے ذریعے طے شدہ ترتیب شدہ جوڑے 1 ≤ کے ساتھ تمام جوڑے () ہیں، ہر ایک بار۔ یہ خاصیت تین کالموں (لیکن لیبلز کو نہیں) پرموٹ کرنے سے ختم نہیں ہوتی ہے، لہذا ایک اور آرتھوگنل صف (اور اس طرح، ایک اور لاطینی مربع) حاصل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، پہلے دو کالموں کو ترتیب دے کر، جو مربع کو منتقل کرنے سے مطابقت رکھتا ہے (اس کے مرکزی اخترن کی عکاسی کرتا ہے) ایک اور لاطینی مربع دیتا ہے، جو اصل کے لیے آاسوٹوپک ہو بھی سکتا ہے اور نہیں بھی۔ اس صورت میں، اگر اس لاطینی مربع سے مطابقت رکھنے والا قوسی گروپ تبادلہ قانون کو مطمئن کرتا ہے، تو نیا لاطینی مربع اصل کے جیسا ہی ہے۔ مجموعی طور پر چھ امکانات ہیں جن میں "کچھ نہ کریں" شامل ہیں، جو زیادہ سے زیادہ چھ لاطینی مربع دیتے ہیں جنہیں اصل مربع کے کنجوگیٹس (پیراسٹروفس بھی کہا جاتا ہے) کہتے ہیں۔ دو لاطینی مربعوں کو پیراٹوپک کہا جاتا ہے، جو کہ مین کلاس آئسوٹوپک بھی ہیں، اگر ان میں سے ایک دوسرے کے کنجوگیٹ کے لیے آئسوٹوپک ہو۔ یہ ایک مساوات کا تعلق بھی ہے، مساوات کی کلاسوں کے ساتھ جسے مین کلاسز، پرجاتیوں، یا پیراٹوپی کلاسز کہا جاتا ہے۔ ہر مین کلاس میں چھ آئسوٹوپی کلاسیں ہوتی ہیں۔ ایک اہم کلاس آئسوٹوپی کلاسوں کا ایک جداگانہ اتحاد ہے اور ایک آئسوٹوپی کلاس آئسومورفزم کلاسوں کا ایک جداگانہ اتحاد ہے۔ آئسوٹوپک کواسی گروپس دو کواسی گروپس ہونے دیں۔ آنٹو سے بائیجیکشنز کے ایک آرڈرڈ ٹرپل کو آنٹو آف آئی ایف فار آل ان کہا جاتا ہے۔ اس طرح کے کواسی گروپس کو آئسوٹوپک کہا جاتا ہے۔ اگر مندرجہ بالا تعریف میں تو کواسی گروپس کو آئسومورفک کہا جاتا ہے۔ لاطینی مربعوں کی صورت حال کے برعکس، جب دو آئسوٹوپک کواسی گروپس کی نمائندگی کیلی ٹیبلز (سرحدی لاطینی مربع) کے ذریعہ کی جاتی ہے، تو تغیرات اور صرف سرحدی عنوانات پر کام کرتے ہیں اور کالموں اور قطاروں کو منتقل نہیں کرتے ہیں، جبکہ میز کے جسم پر کام کرتے ہیں۔ کیلی ٹیبل کی قطاروں اور کالموں (بشمول عنوانات) کو ترتیب دینے سے اس کے بیان کردہ قوسی گروپ میں تبدیلی نہیں آتی ہے، تاہم، اس ٹیبل سے وابستہ لاطینی مربع کو آئسوٹوپک لاطینی مربع میں ترتیب دیا جائے گا۔ اس طرح، کیلی ٹیبل کو معمول پر لانا (سرخی سمیت قطاریں اور کالموں کو ترتیب دے کر بارڈر ہیڈنگ کو کسی مقررہ پہلے سے طے شدہ ترتیب میں رکھنا) متعلقہ لاطینی مربع کی آئسوٹوپی کلاس کو محفوظ رکھتا ہے۔ مزید برآں، اگر دو عام کیلی میزیں آئسومورفک کواسی گروپس کی نمائندگی کرتی ہیں تو ان سے وابستہ لاطینی مربع بھی آئسومورفک ہیں۔ لہذا، کسی دی گئی ترتیب کے الگ الگ قواسی گروپوں کی تعداد اس ترتیب کے لاطینی مربعوں کی آئسومورفزم کلاسوں کی تعداد ہے۔ لاطینی مربع (یا قوسی گروپ) میں استعمال ہونے والی علامتوں کا مجموعہ من مانی ہوتا ہے اور انفرادی علامتوں کا کوئی معنی نہیں ہوتا، چاہے ان کا دوسرے سیاق و سباق میں کوئی معنی ہی کیوں نہ ہو۔ اس طرح، چونکہ علامتوں کے سیٹ} یا} کو استعمال ہوتے دیکھنا سب سے زیادہ عام ہے، اس لیے کسی کو یاد رکھنا چاہیے کہ ان علامتوں کا کوئی عددی معنی نہیں ہے۔ اس نکتے پر زور دینے کے لیے، چھوٹے لاطینی مربع بعض اوقات حروف تہجی کے حروف کو علامتی سیٹ کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔ چونکہ لاطینی مربع ایک مشترکہ شے ہے، اس لیے مربع لکھنے کے لیے استعمال ہونے والا علامت سیٹ بے معنی ہے۔ اس طرح، لاطینی مربع کے طور پر، ان کو ایک ہی سمجھا جانا چاہیے: اور اسی طرح، اور اسی وجہ سے، اور ایک ہی کے طور پر سوچا جانا چاہیے۔ اس طرح، اور مختلف لاطینی چوکوں کے طور پر نہیں سوچا جا سکتا۔ اس بدیہی دلیل کو مزید درست بنایا جا سکتا ہے۔ لاطینی مربع اور کئی طریقوں سے آاسوٹوپک ہیں۔ فرض کریں کہ () سیٹ پر غیر متزلزل ترتیب ہے، بھیجنے کے لیے اور بھیجنے کے لیے۔ پھر آئسوٹوپی} پہلے مربع کی دو قطاریں بدل کر دوسرا مربع دے گا (شناخت کی ترتیب ہے)۔ لیکن،} جو دونوں کالموں کو آپس میں بدلتا ہے وہ بھی ایک آئسوٹوپی ہے، جیسا کہ ہے} جو دونوں علامتوں کو آپس میں بدلتا ہے۔ تاہم،} دونوں مربعوں کے درمیان ایک آئسوٹوپی بھی ہے، اور اس لیے، مربعوں کی یہ جوڑی آئسومورفک ہے۔ کم شدہ مربع کسی دیئے گئے لاطینی مربع کی آئسومورفزم کلاس کو تلاش کرنا بڑی ترتیب کے مربعوں کے لیے ایک مشکل کمپیوٹیشنل مسئلہ ہو سکتا ہے۔ مسئلے کو کسی حد تک کم کرنے کے لیے، لاطینی مربع کو ہمیشہ ایک معیاری شکل میں رکھا جا سکتا ہے جسے کم شدہ مربع کہا جاتا ہے۔ ایک کم مربع میں اس کے اوپری صف کے عناصر ہوتے ہیں جو علامت سیٹ کے لیے کسی قدرتی ترتیب میں لکھے جاتے ہیں (مثال کے طور پر، بڑھتی ہوئی ترتیب میں عدد یا حروف تہجی میں حروف)۔ بائیں کالم کے اندراجات کو اسی ترتیب میں رکھا جاتا ہے۔ جیسا کہ یہ صف اور کالم کی تغیرات کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، ہر لاطینی مربع ایک کم شدہ مربع کے لیے آاسوٹوپک ہوتا ہے۔ اس طرح، ہر آئسوٹوپی کلاس میں ایک کم شدہ لاطینی مربع ہونا چاہیے، تاہم، ایک لاطینی مربع میں ایک سے زیادہ کم شدہ مربع ہو سکتے ہیں جو اس کے لیے آئسوٹوپک ہوتے ہیں۔ درحقیقت، کسی دی گئی آئسومورفزم کلاس میں ایک سے زیادہ کم شدہ مربع ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ترتیب چار کے کم شدہ لاطینی مربع، اور دونوں آئسومورفزم کلاس میں ہیں جس میں کم شدہ مربع بھی شامل ہے۔ اسے بالترتیب آئسومورفزم {(3,4)، (3,4)، (3,4)} اور {(2,3)، (2,3)، (2,3)} سے دکھایا جا سکتا ہے۔ چونکہ آئسوٹوپی کلاسیں جداگانہ ہیں، اس لیے کم شدہ لاطینی مربعوں کی تعداد آئسوٹوپی کلاسوں کی تعداد پر ایک اوپری حد دیتی ہے۔ نیز، لاطینی مربعوں کی کل تعداد کم شدہ مربعوں کی تعداد سے گنا زیادہ ہے۔ کوئی بھی کواسی گروپ کی کیلی ٹیبل کو اسی انداز میں نارمل کر سکتا ہے جس طرح سے کم شدہ لاطینی مربع ہوتا ہے۔ پھر کم شدہ لاطینی مربع سے وابستہ قوسی گروپ میں ایک (دو رخا) شناختی عنصر ہوتا ہے (یعنی، صف کے ہیڈرز میں پہلا عنصر)۔ دو طرفہ شناخت کے ساتھ ایک کواسی گروپ کو لوپ کہا جاتا ہے۔ کچھ، لیکن سب نہیں، لوپس گروپ ہوتے ہیں۔ ایک گروہ بننے کے لیے، ملحقہ قانون کو بھی برقرار رکھنا چاہیے۔ آئسوٹوپی غیر متغیرات لاطینی مربع میں مختلف ذیلی ڈھانچوں کی گنتی انہیں ایک دوسرے سے ممتاز کرنے میں مفید ثابت ہو سکتی ہے۔ ان میں سے کچھ گنتی لاطینی مربع کے ہر آاسوٹوپ کے لیے یکساں ہیں اور انہیں آاسوٹوپی غیر متغیر کہا جاتا ہے۔ اس طرح کا ایک غیر متغیر 2 × 2 ذیلی مربعوں کی تعداد ہے، جسے انٹرکیلیٹس کہتے ہیں۔ دوسرا ٹرانسورسلز کی کل تعداد ہے، ترتیب کے لاطینی مربع میں پوزیشنوں کا ایک مجموعہ، ہر صف میں ایک اور ہر کالم میں ایک، جس میں دو بار کوئی عنصر نہیں ہوتا ہے۔ ان گنتی کے لیے مختلف اقدار والے لاطینی مربعوں کو مختلف آئسوٹوپی کلاسوں میں ہونا چاہیے۔ انٹرکیلیٹس کی تعداد بھی ایک اہم کلاس غیر متغیر ہے۔ آرڈر 1 آرڈر 1 کے لیے علامت 1 کے ساتھ صرف ایک لاطینی مربع ہے اور بنیادی سیٹ {1} کے ساتھ ایک کواسی گروپ ہے۔ یہ ایک گروپ ہے، معمولی گروپ۔ آرڈر 2 آرڈر دو کا صرف ایک کم شدہ لاطینی مربع ہے (اور کل میں صرف دو)، یعنی چونکہ اس ترتیب کا صرف ایک کم شدہ مربع ہے، اس لیے صرف ایک آئسوٹوپی کلاس ہے۔ درحقیقت، یہ آئسوٹوپی کلاس بھی ایک آئسومورفزم کلاس ہے (اوپر دکھایا گیا ہے)۔ چونکہ لاطینی مربعوں کی صرف ایک آئسومورفزم کلاس ہے، لہذا آرڈر ٹو کا صرف ایک کواسی گروپ ہے (آئسومورفزم تک) اور یہ وہ گروپ ہے جسے عام طور پر Z/2Z سے ظاہر کیا جاتا ہے، جو آرڈر ٹو کا چکور گروپ ہے۔ آرڈر 3 آرڈر تین (12 میں سے) کا صرف ایک کم شدہ لاطینی مربع بھی ہے، اس طرح، صرف ایک آئسوٹوپی کلاس ہے۔ تاہم، یہ آئسوٹوپی کلاس پانچ آئسومورفزم کلاسوں کا اتحاد ہے۔ پانچ آئسومورفزم کلاسوں میں سے تین تین لاطینی مربعوں پر مشتمل ہیں، ایک میں دو اور ایک میں صرف ایک ہوتا ہے۔ کم شدہ مربع تین عناصر کے ساتھ ایک آئسومورفزم کلاس میں ہے اور اس لیے متعلقہ کواسی گروپ ایک لوپ ہے، درحقیقت یہ ایک گروپ ہے، Z/3Z، ترتیب تین کا چکور گروپ۔ ان آئسومورفزم کلاسوں میں سے ہر ایک کا لاطینی مربع نمائندہ اس طرح دیا گیا ہے (ہر ایک کے نیچے کی تعداد متعلقہ آئسومورفزم کلاس میں مربعوں کی تعداد ہے): ترتیب 4 ترتیب چار کے چار کم شدہ لاطینی مربع ہیں (576 مربعوں میں سے)۔ یہ ہیں: ان میں سے آخری تین آئسومورفک ہیں (اوپر دیکھیں)۔ دو اہم کلاسیں ہیں، دو آئسوٹوپی کلاسیں اور 35 آئسومورفزم کلاسیں۔ 35 کواسی گروپس میں سے صرف دو لوپس ہیں، اور وہ درحقیقت گروپس ہیں۔ اوپر پہلے مربع کے مطابق کلین فور گروپ ہے، جبکہ دیگر تین مربعوں میں سے کسی کے مطابق چکور گروپ Z/4Z ہے۔ پہلے مربع میں آٹھ ٹرانسورسل اور 12 انٹرکیلیٹس ہیں، جبکہ دوسروں میں سے ہر ایک میں کوئی ٹرانسورسل اور چار انٹرکیلیٹس نہیں ہیں۔ کلین فور گروپ کی آئسومورفزم کلاس میں چار ممبران ہوتے ہیں، جبکہ سائیکلک گروپ کی آئسومورفزم کلاس میں 12 ممبران ہوتے ہیں۔ 576 لاطینی مربعوں میں سے 288 سوڈوکو کے 4 × 4 ورژن کے حل ہیں، جنہیں بعض اوقات شی ڈوکو کہا جاتا ہے۔ آرڈر 5 آرڈر پانچ کے 161,280 لاطینی مربعوں میں سے 56 کم شدہ مربع ہیں۔ دو اہم کلاسیں اور صرف دو آئسوٹوپی کلاسیں ہیں، لیکن 1,411 آئسومورفزم کلاسیں ہیں۔ چھ آئسومورفزم کلاسیں ہیں جن میں کم مربع ہوتے ہیں، یعنی چھ لوپس ہوتے ہیں، جن میں سے صرف ایک گروپ ہوتا ہے، پانچ ترتیب کا چکور گروپ۔ ذیل میں ترتیب پانچ کے دو کم شدہ لاطینی مربع ہیں، ہر آئسوٹوپی کلاس سے ایک۔ پہلے مربع میں 15 ٹرانسورسلز ہیں، کوئی انٹرکیلیٹس نہیں ہے اور یہ چکور گروپ Z/5Z کی غیر سرحدی کیلی ٹیبل ہے۔ دوسرے مربع میں تین ٹرانسورسل اور چار انٹرکیلیٹس ہیں۔ یہ ایک ایسے لوپ کی نمائندگی کرتا ہے جو گروپ نہیں ہے، کیونکہ، مثال کے طور پر، 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2، جبکہ (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4، اس لیے ایسوسی ایٹیو لا برقرار نہیں رہتا ہے۔ آرڈر 6 سے 10 لاطینی مربعوں کی تعداد، جیسے جیسے آرڈر بڑھتا ہے، اس رجحان کو ظاہر کرتا ہے جسے مشترکہ دھماکہ کہا جاتا ہے۔ سائز میں چھوٹے اضافے کے لیے بھی اقسام میں بہت زیادہ اضافہ ہوتا ہے۔ بنیادی گنتی اگلے دو جدولوں میں دی گئی ہے، اور جو کچھ یہاں پیش کیا گیا ہے اس سے زیادہ درست طریقے سے معلوم نہیں ہے۔ تاریخ یہ بیان اس کے بعد آتا ہے۔ لاطینی مربعوں کی گنتی کی ایک طویل تاریخ ہے، لیکن شائع شدہ اکاؤنٹس میں بہت سی غلطیاں ہیں۔ 1782 میں اویلر، اور 1890 میں کیلی، دونوں کو معلوم تھا کہ کم شدہ لاطینی مربعوں کی تعداد پانچ تک ہے۔ 1915 میں میک موہن نے اس مسئلے کو ایک مختلف انداز میں دیکھا، لیکن ابتدائی طور پر آرڈر فائیو کے لیے غلط قیمت حاصل کی۔ 1890 میں M.Frolov، اور 1901 میں ٹیری نے آرڈر چھ کے کم شدہ مربعوں کی تعداد پائی۔ ایم فرولوف نے آرڈر سیون کے کم شدہ مربعوں کی غلط گنتی کی۔ آر۔ اے۔ فشر اور ایف۔ یٹس، جو ای۔ شونہارٹ کے پہلے کام سے بے خبر تھے، نے آئسوٹوپی کلاسوں کی تعداد چھ تک بتائی۔ 1939 میں، ایچ ڈبلیو نارٹن نے آرڈر سیون کی 562 آئسوٹوپی کلاسیں تلاش کیں، لیکن تسلیم کیا کہ اس کا طریقہ نامکمل تھا۔ اے سیڈے، 1951 میں، لیکن نجی طور پر 1948 میں پہلے شائع ہوا، اور پی این سکسینہ نے مزید کلاسیں تلاش کیں اور 1966 میں، ڈی اے پریس نے نوٹ کیا کہ اس نے نارٹن کے نتائج کو 564 آئسوٹوپی کلاسوں میں درست کر دیا۔ تاہم، 1968 میں، جے ڈبلیو براؤن نے 563 کی غلط قیمت کا اعلان کیا، جسے اکثر دہرایا گیا ہے۔ اس نے آٹھ نمبر کے آئسوٹوپی کلاسوں کا غلط نمبر بھی دیا۔ آرڈر ایٹ کے کم شدہ مربعوں کی صحیح تعداد ایم بی نے پہلے ہی تلاش کر لی تھی۔ 1967 میں ویلز، اور آئسوٹوپی کلاسوں کی تعداد، 1990 میں، جی کولیسووا، سی ڈبلیو ایچ کے ذریعہ۔ لام اور ایل تھیل۔ آرڈر نائن کے لیے کم شدہ مربعوں کی تعداد ایس ای بیمیل اور جے روتھسٹین نے حاصل کی تھی، آرڈر 10 کے لیے بی ڈی میککے اور ای روگوئسکی نے، اور آرڈر 11 کے لیے بی ڈی میککے اور آئی ایم وانلیس نے حاصل کی تھی۔ یہ بھی دیکھیں چھوٹے گروپوں کی فہرست نوٹ حوالہ جات غیر وابستہ الجبرا لاطینی مربع