Intersection theory
ریاضی میں، انٹرسیکشن تھیوری الجبرائی جیومیٹری کی اہم شاخوں میں سے ایک ہے، جہاں یہ کسی دی گئی قسم کی دو ذیلی اقسام کے انٹرسیکشن کے بارے میں معلومات فراہم کرتا ہے۔ اقسام کا نظریہ پرانا ہے، جس کی جڑیں منحنی خطوط اور خاتمے کے نظریہ پر بیزوٹ کے نظریہ میں ہیں۔ دوسری طرف، ٹپوولوجیکل نظریہ زیادہ تیزی سے ایک حتمی شکل میں پہنچ گیا۔ ابھی تک انٹرسیکشن تھیوری کی ترقی جاری ہے۔ فی الحال بنیادی توجہ اس پر مرکوز ہے: ورچوئل بنیادی چکروں، کوانٹم انٹرسیکشن رنگز، گروموف وٹن تھیوری اور انٹرسیکشن تھیوری کی اسکیموں سے اسٹیکس تک توسیع۔ جہت کے منسلک مبنی کئی گنا کے لیے چوراہے کی شکل کو بنیادی کلاس پر کپ پروڈکٹ کی تشخیص کے ذریعے-th کوہومولوجی گروپ (جسے عام طور پر 'درمیانی جہت' کہا جاتا ہے) پر بیان کیا جاتا ہے۔ واضح طور پر بیان کیا گیا ہے، اس کے ساتھ ایک دو لکیری شکل دی گئی ہے۔ یہ ایون (اتنا دوگنا ایون) کے لیے ایک سمیٹرک شکل ہے، اس صورت میں کے دستخط کو فارم کے دستخط کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، اور عجیب کے لیے ایک متبادل شکل (لہذا واحد طور پر ایون ہے)۔ ان کو یکساں طور پر ε-سمیٹرک شکلوں کے طور پر حوالہ دیا جا سکتا ہے، جہاں بالترتیب سمیٹرک اور سکیو-سمیٹرک شکلوں کے لیے۔ کچھ حالات میں اس فارم کو-کواڈریٹک شکل میں بہتر بنانا ممکن ہے، حالانکہ اس کے لیے اضافی ڈیٹا کی ضرورت ہوتی ہے جیسے کہ ٹینجینٹ بنڈل کی تشکیل۔ واقفیت کی حالت کو چھوڑنا اور اس کے بجائے کوفیشنٹس کے ساتھ کام کرنا ممکن ہے۔ یہ شکلیں اہم ٹپوولوجیکل غیر متغیر ہیں۔ مثال کے طور پر، مائیکل فریڈمین کا ایک نظریہ بیان کرتا ہے کہ محض جڑے ہوئے کمپیکٹ 4-مینیفولڈز کا تعین (تقریبا) ہومیومورفزم تک ان کے چوراہے کی شکلوں سے ہوتا ہے۔ پوائن کیری دوہری سے، یہ پتہ چلتا ہے کہ اس کے بارے میں ہندسی طور پر سوچنے کا ایک طریقہ ہے۔ اگر ممکن ہو تو، اور کے پوائن کیری ڈوئلز کے لیے نمائندہ جہتی ذیلی مینی فولڈز کا انتخاب کریں۔ اس کے بعد اور کا مبنی انٹرسیکشن نمبر ہے، جس کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے کیونکہ چونکہ ان کے طول و عرض اور کل طول و عرض کا مجموعہ عام طور پر الگ تھلگ نکات پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ یہ اصطلاحات کے انٹرسیکشن فارم کی وضاحت کرتا ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں انٹرسیکشن تھیوری ولیم فلٹن انٹرسیکشن تھیوری (1984) میں لکھتے ہیں۔ اگر اور یہ کسی غیر سنگل قسم کی ذیلی قسمیں ہیں، تو انٹرسیکشن پروڈکٹ الجبرائی چکروں کی ایک مساوات کی کلاس ہونی چاہیے جو جیومیٹری سے قریب سے متعلق ہے، اور کیسے واقع ہے۔ دو انتہائی معاملات سب سے زیادہ واقف رہے ہیں۔ اگر چوراہا مناسب ہے، یعنی۔ ، پھر کے ناقابل تلافی اجزاء کا ایک لکیری مجموعہ ہے، جس میں کوفیشنٹس انٹرسیکشن ضرب ہیں۔ دوسری انتہا پر، اگر ایک غیر سنگل ذیلی قسم ہے، تو سیلف انٹریکشن فارمولا کہتا ہے کہ اس کی نمائندگی نارمل بنڈل کے ٹاپ چرن کلاس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ایک تعریف دینے کے لیے، عام معاملے میں، چوراہے کی کثرت آندرے ویل کی 1946 کی کتاب فاؤنڈیشنز آف الجیبرک جیومیٹری کی بڑی تشویش تھی۔ 1920 کی دہائی میں بی۔ ایل۔ وین ڈیر ویرڈن کے کام نے پہلے ہی اس سوال کو حل کر دیا تھا۔ الجبرائی جیومیٹری کے اطالوی اسکول میں خیالات اچھی طرح سے مشہور تھے، لیکن بنیادی سوالات کو اسی روح میں حل نہیں کیا گیا تھا۔ حرکت پذیر سائیکل الجبرائی چکروں کو ایک دوسرے سے جوڑنے کی ایک اچھی طرح سے کام کرنے والی مشینری ہے اور اس میں زیر بحث چکروں کے صرف سیٹ تھیوریٹک چوراہے کو لینے سے زیادہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ اگر دونوں سائیکل "اچھی پوزیشن" میں ہیں تو انٹرسیکشن پروڈکٹ، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، دونوں ذیلی اقسام کے سیٹ تھیوریٹک انٹرسیکشن پر مشتمل ہونا چاہیے۔ تاہم سائیکل خراب حالت میں ہو سکتے ہیں، مثال کے طور پر۔ ہوائی جہاز میں دو متوازی لائنیں، یا ایک لائن پر مشتمل ہوائی جہاز (3-اسپیس میں کاٹتا ہے)۔ دونوں صورتوں میں چوراہا ایک نقطہ ہونا چاہیے، کیونکہ، ایک بار پھر، اگر ایک سائیکل منتقل کیا جاتا ہے، تو یہ چوراہا ہوگا۔ دو چکروں کا چوراہا اور اسے مناسب کہا جاتا ہے اگر (سیٹ تھیوریٹک) چوراہے کا کوڈیمینشن بالترتیب اور کے کوڈیمینشن کا مجموعہ ہے، یعنی۔ "متوقع" قدر۔ لہذا، الجبرائی چکروں پر مناسب مساوات کے تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے چکروں کو منتقل کرنے کا تصور استعمال کیا جاتا ہے۔ مساوات اتنی وسیع ہونی چاہیے کہ کسی بھی دو چکروں کو دیا جائے اور، مساوی چکلیں ہوں اور اس طرح کہ چوراہا مناسب ہو۔ یقینا، دوسری طرف، دوسرے مساوی کے لیے اور، کے مساوی ہونا ضروری ہے۔ انٹرسیکشن تھیوری کے مقاصد کے لیے، عقلی مساوات سب سے اہم ہے۔ مختصر طور پر، کسی قسم پر دو جہتی چکر عقلی طور پر مساوی ہوتے ہیں اگر کسی جہتی ذیلی قسم پر کوئی عقلی فعل ہوتا ہے، یعنی۔ فنکشن فیلڈ کا ایک عنصر یا مساوی طور پر ایک فنکشن، جیسے کہ، جہاں ضرب کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے۔ عقلی مساوات اوپر بیان کردہ ضروریات کو پورا کرتی ہے۔ انٹرسیکشن ضرب سائیکلوں کے انٹرسیکشن ضرب کی تعریف میں رہنما اصول ایک خاص معنوں میں تسلسل ہے۔ مندرجہ ذیل ابتدائی مثال پر غور کریں: ایک پیرابولہ اور ایک محور کا چوراہا ہونا چاہیے، کیونکہ اگر چکروں میں سے ایک حرکت کرتا ہے (ابھی تک غیر متعین معنوں میں)، تو بالکل دو چوراہے والے نکات ہوتے ہیں جو دونوں اس وقت یکجا ہوتے ہیں جب چکر دکھائے گئے مقام پر پہنچتے ہیں۔ (تصویر گمراہ کن ہے کیونکہ پیرابولہ اور لکیر کا بظاہر خالی چوراہا خالی ہے، کیونکہ مساوات کے صرف حقیقی حل دکھائے گئے ہیں)۔ انٹرسیکشن ضرب کی پہلی مکمل طور پر تسلی بخش تعریف سیر نے دی تھی: ماحول کی قسم کو ہموار (یا تمام مقامی رنگوں کو باقاعدہ) ہونے دیں۔ مزید دو (ناقابل تلافی کم شدہ بند) ذیلی اقسام ہونے دیں، جیسے کہ ان کا چوراہا مناسب ہو۔ تعمیر مقامی ہے، لہذا اقسام کو دو آئیڈیلز اور کے کوآرڈینیٹ رنگ میں دکھایا جا سکتا ہے۔ سیٹ تھیوریٹک انٹرسیکشن اور اس کے عام نقطہ کا ایک ناقابل تلافی جزو ہونے دیں۔ انٹرسیکشن پروڈکٹ میں ضرب کی تعریف ذیلی اقسام سے مطابقت رکھنے والے فیکٹر رنگوں کے ٹورسن گروپوں کے مقامی رنگ پر لمبائی پر متبادل رقم سے کی جاتی ہے۔ اس اظہار کو بعض اوقات سیر کا ٹور فارمولا کہا جاتا ہے۔ ریمارکس: پہلا خلاصہ، کی لمبائی کثرت کا "بے وقوف" اندازہ ہے ؛ تاہم، جیسا کہ سیرے دکھاتا ہے، یہ کافی نہیں ہے۔ مجموعہ محدود ہے، کیونکہ باقاعدہ مقامی رنگ میں محدود ٹور طول و عرض ہوتا ہے۔ اگر اور کا انٹرسیکشن مناسب نہیں ہے، تو مندرجہ بالا ضرب صفر ہوگی۔ اگر یہ مناسب ہے، تو یہ سختی سے مثبت ہے۔ (دونوں بیانات تعریف سے واضح نہیں ہیں)۔ سپیکٹرم ترتیب کی دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے۔ چو رنگ الجبرائی چکروں کے ماڈیولو عقلی مساوات کا ایک گروپ ہے جو مندرجہ ذیل تبادلہ انٹرسیکشن پروڈکٹ کے ساتھ مل کر ہے: جب بھی V اور W ٹرانسورسی طور پر ملتے ہیں، تو سیٹ تھیوریٹک انٹرسیکشن کا ناقابل تلافی اجزاء میں سڑنا کہاں ہوتا ہے۔ سیلف انٹرسیکشن دو ذیلی اقسام کو دیکھتے ہوئے اور، کوئی بھی ان کا چوراہا لے سکتا ہے، لیکن یہ بھی ممکن ہے، اگرچہ زیادہ لطیف ہے، ایک ہی ذیلی قسم کے سیلف انٹرسیکشن کی وضاحت کرنا۔ مثال کے طور پر، کسی سطح پر ایک منحنی خطوط کو دیکھتے ہوئے، خود کے ساتھ اس کا چوراہا (سیٹ کے طور پر) صرف خود ہے: یہ واضح طور پر درست ہے، لیکن دوسری طرف غیر تسلی بخش ہے: کسی سطح پر کسی بھی دو الگ الگ منحنی خطوط کو دیکھتے ہوئے (جس میں کوئی جزو مشترک نہیں ہے)، وہ پوائنٹس کے کچھ سیٹ میں آپس میں ٹکرا جاتے ہیں، جسے مثال کے طور پر کوئی شمار کر سکتا ہے، ایک انٹرسیکشن نمبر حاصل کر سکتا ہے، اور ہم کسی دیئے گئے وکر کے لیے بھی ایسا ہی کرنا چاہیں گے: مشابہت یہ ہے کہ الگ الگ منحنی خطوط کو کاٹنا دو نمبروں کو ضرب دینے کے مترادف ہے:، جبکہ سیلف انٹرسیکشن ایک نمبر کو مربع کرنے کے مترادف ہے: رسمی طور پر، مشابہت کو ایک ہم آہنگ دو لکیری شکل (ضرب) اور ایک مربع شکل (مربع) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس کا ایک ہندسی حل یہ ہے کہ منحنی خطوط کو خود سے نہیں بلکہ خود کے قدرے دھکیلے ہوئے ورژن سے کاٹنا ہے۔ طیارہ میں، اس کا مطلب صرف منحنی خطوط کو کسی سمت میں ترجمہ کرنا ہے، لیکن عام طور پر ایک ایسے منحنی خطوط کو لینے کے بارے میں بات کی جاتی ہے جو لکیری طور پر مساوی ہے، اور چوراہے کی گنتی، اس طرح ایک چوراہے نمبر حاصل کرنا، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ مختلف منحنی خطوط کے برعکس اور، چوراہے کے اصل نکات کی وضاحت نہیں کی گئی ہے، کیونکہ وہ کے انتخاب پر منحصر ہیں، لیکن خود چوراہے کے نکات کی تشریح عام نکات کے طور پر کی جا سکتی ہے، جہاں۔ زیادہ مناسب طریقے سے، کا سیلف انٹرسیکشن پوائنٹ عام نقطہ ہے، جسے کثرت کے ساتھ لیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، کوئی بھی اس مسئلے کو الجبرائی طور پر دوہرا کر کے "حل" (یا حوصلہ افزائی) کر سکتا ہے، اور کی کلاس کو دیکھ کر-یہ دونوں ایک نمبر دیتے ہیں، اور ہندسی تشریح کا سوال اٹھاتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ کوہمولوجی کلاسوں میں منتقل ہونا لکیری نظام کے ذریعہ منحنی خطوط کی جگہ لینے کے مترادف ہے۔ نوٹ کریں کہ سیلف انٹرسیکشن نمبر منفی ہو سکتا ہے، جیسا کہ نیچے دی گئی مثال سے ظاہر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر پروجیکٹو پلین میں ایک لکیر پر غور کریں: اس کا سیلف انٹرسیکشن نمبر 1 ہوتا ہے کیونکہ دیگر تمام لائنیں اسے ایک بار عبور کرتی ہیں: اس لیے کوئی بھی (کسی بھی انتخاب کے لیے) اس کی طرف دھکا دے سکتا ہے۔ چوراہے کی شکلوں کے لحاظ سے، ہم کہتے ہیں کہ طیارہ ایک قسم کا ہوتا ہے (لکیروں کی صرف ایک کلاس ہوتی ہے، اور وہ سب ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں)۔ نوٹ کریں کہ افائن طیارہ پر، کوئی متوازی لکیر کی طرف دھکیل سکتا ہے، لہذا (ہندسی طور پر سوچتے ہوئے) چوراہے کے پوائنٹس کی تعداد پش آف کے انتخاب پر منحصر ہے۔ ایک کا کہنا ہے کہ "افائن پلین میں ایک اچھا انٹرسیکشن تھیوری نہیں ہے"، اور غیر پروجیکٹو اقسام پر انٹرسیکشن تھیوری بہت زیادہ مشکل ہے۔ a پر ایک لکیر (جس کی تشریح غیر سنگلر کواڈریک کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے) میں سیلف انٹرسیکشن ہوتا ہے، کیونکہ ایک لکیر کو خود سے ہٹایا جا سکتا ہے۔ (یہ ایک حکمرانی والی سطح ہے۔) چوراہے کی شکلوں کے لحاظ سے، ہم کہتے ہیں کہ اس کی ایک قسم ہے-لکیروں کی دو بنیادی کلاسیں ہیں، جو ایک دوسرے کو ایک نقطہ () میں کاٹتی ہیں، لیکن ان کا سیلف انٹرسیکشن صفر ہوتا ہے (نہیں یا اصطلاحات)۔ بلو-اپس سیلف-انٹرسیکشن نمبروں کی ایک کلیدی مثال بلو-اپ کا غیر معمولی منحنی خطوط ہے، جو بائریشنل جیومیٹری میں ایک مرکزی عمل ہے۔ الجبرائی سطح کو دیکھتے ہوئے، ایک نقطہ پر اڑنا ایک منحنی خطوط پیدا کرتا ہے۔ اس منحنی خطوط کو اس کی جینس سے پہچانا جا سکتا ہے، جو کہ ہے، اور اس کا سیلف انٹریکشن نمبر، جو کہ ہے۔ (یہ واضح نہیں ہے۔) نوٹ کریں کہ ایک نتیجہ کے طور پر، اور کم سے کم سطحیں ہیں (وہ بلو اپ نہیں ہیں)، کیونکہ ان میں منفی سیلف انٹرسیکشن کے ساتھ کوئی منحنی خطوط نہیں ہیں۔ در حقیقت، کاسٹیلنووو کا سنکچن تھیوریم اس کے برعکس بیان کرتا ہے: ہر-منحنی کچھ بلو اپ کا غیر معمولی منحنی خطہ ہے (اسے "اڑایا" جا سکتا ہے)۔ چو گروپ گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم بھی دیکھیں عددی جیومیٹری حوالہ جات حوالہ جات کتابچہ