Character sum
ریاضی میں، حروف کا مجموعہ ڈیرچلیٹ کردار χ ماڈیولو N کی اقدار کا مجموعہ ہوتا ہے، جو n کی اقدار کی دی گئی رینج پر لیا جاتا ہے۔ اس طرح کے مجموعے متعدد سوالات میں بنیادی ہوتے ہیں، مثال کے طور پر کواڈریٹک باقیات کی تقسیم میں، اور خاص طور پر کلاسیکی سوال میں کم از کم کواڈریٹک غیر باقیات ماڈیولو N کے لیے اوپری حد تلاش کرنے کے لیے۔ حروف کے مجموعے اکثر گاؤس کے مجموعوں کے ذریعے ایکسپونینشل جملوں سے قریب سے جڑے ہوتے ہیں (یہ ایک محدود میلن ٹرانسفارم کی طرح ہے)۔ فرض کریں کہ χ ماڈیولس N کا ایک غیر پرنسپل ڈیرچلیٹ کردار ہے۔ حدود پر خلاصہ تمام بقایا کلاسوں ماڈیو N پر لیا گیا مجموعہ تب صفر ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دلچسپی کے معاملات نسبتا مختصر حدود پر ہوں گے، لمبائی R <N کا کہنا ہے کہ، معمولی تخمینے پر ایک بنیادی بہتری پولیا-ونوگراڈوف عدم مساوات ہے، جسے جارج پولیا اور آئی ایم ونوگراڈوف نے 1918 میں آزادانہ طور پر قائم کیا تھا، جس میں بگ او نوٹیشن میں کہا گیا تھا کہ عام ریمن مفروضے کو فرض کرتے ہوئے، ہیو مونٹگمری اور آر سی وان نے دکھایا ہے کہ مزید بہتری ہے۔ کلاسیکی نتیجہ ایک کواڈریٹک کا معاملہ ہے، مثال کے طور پر، اور χ ایک لیجنڈری علامت ہے۔ یہاں رقم کا اندازہ (−1 کے طور پر) کیا جا سکتا ہے، جس کا نتیجہ کونک سیکشن کے مقامی زیٹا فنکشن سے منسلک ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، جیکوبی علامت کے لیے اس طرح کی رقم کا تعلق الپٹک منحنی خطوط اور ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے مقامی زیٹا افعال سے ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ آندرے ویل کے نتائج کے ذریعے، N = p ایک پرائم نمبر کے لیے، غیر معمولی حدود ہیں۔ نوٹیشن میں مستقل مضمر سوال میں منحنی خطوط کی جینس میں لکیری ہے، اور اس لیے (لیجنڈر علامت یا ہائپرلیپٹک کیس) کو F کی ڈگری کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ (N کی دیگر اقدار کے لیے مزید عمومی نتائج، وہاں سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔) ویل کے نتائج بھی برجیس کے پابند ہونے کا باعث بنے، جس نے پولیا-ونوگراڈوف سے آگے غیر معمولی نتائج دینے کے لیے درخواست دی، R کے لیے 1/4 سے زیادہ N کی طاقت۔ فرض کریں کہ ماڈیولس N ایک پرائم ہے۔ کسی بھی عدد r ≤ 3 کے لیے۔ مزید پڑھنے کے لیے حوالہ جات بیرونی روابط پلینیٹ میتھ پولیا-ونوگراڈوف عدم مساوات پر مضمون تجزیاتی نمبر تھیوری