Plücker formula
ریاضی میں، پلکر فارمولا، جو جولیس پلکر کے نام پر رکھا گیا ہے، فارمولوں کے ایک خاندان میں سے ایک ہے، جو اس قسم کا ہے جسے سب سے پہلے 1830 کی دہائی میں پلکر نے تیار کیا تھا، جو الجبرائی منحنی خطوط کے بعض عددی غیر متغیرات کو ان کے دوہری منحنی خطوط کے متعلقہ غیر متغیرات سے جوڑتا ہے۔ غیر متغیر جسے جینس کہا جاتا ہے، جو وکر اور اس کے دوہرے دونوں کے لیے مشترک ہے، اسی طرح کے فارمولوں کے ذریعے دوسرے غیر متغیرات سے جڑا ہوا ہے۔ یہ فارمولے، اور یہ حقیقت کہ ہر ایک غیر متغیر کو ایک مثبت عدد ہونا چاہیے، ان کی ممکنہ اقدار پر کافی سخت حدود رکھتے ہیں۔ پلکر غیر متغیرات اور بنیادی مساوات اس تناظر میں ایک منحنی خطوط کی تعریف پیچیدہ پروجیکٹو سطح میں غیر انحطاط پذیر الجبرائی مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اس سطح میں لکیریں دوہری پروجیکٹو سطح کے نکات سے مطابقت رکھتی ہیں اور دی گئی الجبرائی منحنی خطوط C سے متصل لکیریں الجبرائی منحنی خطوط C * میں موجود نکات سے مطابقت رکھتی ہیں جسے دوہری منحنی خطوط کہتے ہیں۔ پروجیکٹو طیارہ اور اس کے دوہرے کے درمیان خط و کتابت میں، C پر پوائنٹس ٹینجینٹ C * لائنوں سے مطابقت رکھتے ہیں، لہذا C * کے دوہرے کو C کے ساتھ شناخت کیا جا سکتا ہے۔ پلکر فارمولوں کے ذریعے احاطہ کیے جانے والے پہلے دو غیر متغیر منحنی خطوط C کی ڈگری d اور ڈگری d * ہیں، جنہیں کلاسیکی طور پر C کی کلاس کہا جاتا ہے۔ ہندسی طور پر، d ان اوقات کی تعداد ہے جب دی گئی لکیر C کو ضرب کے ساتھ صحیح طریقے سے کاٹتی ہے۔ (اس میں پیچیدہ نکات اور لامحدود پر نکات شامل ہیں کیونکہ منحنی خطوط کو پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ کے ذیلی مجموعے کے طور پر لیا جاتا ہے۔) اسی طرح، d * سی کے لیے ٹینجینٹس کی تعداد ہے جو طیارہ پر کسی دیئے گئے نقطہ کے ذریعے لکیریں ہیں۔ لہذا مثال کے طور پر کونک سیکشن میں ڈگری اور کلاس دونوں 2 ہوتے ہیں۔ اگر C کی کوئی انفرادیت نہیں ہے، تو پہلی پلکر مساوات بتاتی ہے کہ لیکن اسے واحد منحنی خطوط کے لیے درست کیا جانا چاہیے۔ C کے دوہرے نکات میں سے، δ کو وہ عدد مان لیں جو عام ہیں، یعنی۔ جن میں الگ الگ ٹینجینٹ ہوتے ہیں (انہیں نوڈس بھی کہا جاتا ہے) یا الگ تھلگ پوائنٹس ہوتے ہیں، اور κ کو وہ نمبر ہونے دیں جو cusps ہیں، یعنی۔ ایک واحد ٹینجینٹ (سپینوڈز) ہونا۔ اگر C میں اعلی ترتیب کی انفرادیت ہے تو ان کو انفرادیت کی نوعیت کے تجزیے کے مطابق متعدد ڈبل پوائنٹس کے طور پر شمار کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ایک عام ٹرپل پوائنٹ کو 3 ڈبل پوائنٹس کے طور پر شمار کیا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، ان گنتی میں لامحدود پر پیچیدہ نکات اور نکات شامل ہیں۔ درست شدہ شکل پہلی پلکر مساوات کی ہے اسی طرح، δ * کو عام ڈبل پوائنٹس کی تعداد، اور κ * کو C * کے کسپس کی تعداد ہونے دیں۔ پھر دوسری پلکر مساوات بیان کرتی ہے کہ C * کے ایک عام ڈبل پوائنٹ کی ہندسی تشریح ایک ایسی لکیر ہے جو دو پوائنٹس (ڈبل ٹینجینٹ) پر منحنی خطوط سے متصل ہوتی ہے اور C * کے کسپ کی ہندسی تشریح ایک پوائنٹ آف انفلیکشن (اسٹیشنری ٹینجینٹ) ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ہموار کیوبک کے معاملے پر غور کریں: مندرجہ بالا فارمولا سے پتہ چلتا ہے کہ اس میں انفلیکشنز ہیں۔ اگر کیوبک انحطاط پذیر ہو جاتا ہے اور ڈبل پوائنٹ حاصل کر لیتا ہے، تو 6 پوائنٹس واحد پوائنٹ میں ضم ہو جاتے ہیں اور واحد وکر کے ساتھ صرف 3 انفلیکشن باقی رہتے ہیں۔ اگر کیوبک انحطاط پذیر ہو جاتا ہے اور کسپ حاصل کر لیتا ہے تو صرف ایک انحراف باقی رہتا ہے۔ نوٹ کریں کہ پہلے دو پلکر مساوات کے دوہرے ورژن ہیں: اب تک دی گئی چار مساوات درحقیقت منحصر ہیں، اس لیے باقی تین کو اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان میں سے، چھ غیر متغیرات، d، d *، δ، δ *، κ، κ * میں سے کسی بھی تین کو دیکھتے ہوئے، باقی تین کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ آخر میں، سی کی جینس، جسے کلاسیکی طور پر سی کی کمی کے نام سے جانا جاتا ہے، کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ یہ دوہری مقدار کے برابر ہے اور ایک مثبت عدد ہے۔ مجموعی طور پر 7 نامعلوم میں چار آزاد مساوات ہیں، اور ان کے ساتھ ان میں سے کسی بھی تین غیر متغیر کو باقی چار کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ غیر واحد منحنی خطوط ایک اہم خاص صورت تب ہوتی ہے جب منحنی خطوط C غیر واحد ہوتے ہیں، یا مساوی طور پر δ اور κ 0 ہوتے ہیں، لہذا باقی غیر متغیرات کا حساب صرف d کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں نتائج یہ ہیں: تو، مثال کے طور پر، ایک غیر سنگل کوارٹک طیارہ وکر جینس 3 کا ہوتا ہے اور اس میں 28 بٹینجینٹ اور 24 پوائنٹ آف انفلیکشن ہوتے ہیں۔ منحنی خطوط کی اقسام کو ان کے پلکر غیر متغیرات کے مطابق اقسام میں درجہ بند کیا جاتا ہے۔ پلکر مساوات اس پابندی کے ساتھ کہ پلکر کے تمام غیر متغیرات قدرتی اعداد ہونے چاہئیں، کسی دی گئی ڈگری کے منحنی خطوط کے لیے ممکنہ اقسام کی تعداد کو بہت حد تک محدود کرتی ہیں۔ منحنی خطوط جو پروجیکٹو طور پر مساوی ہوتے ہیں ایک ہی قسم کے ہوتے ہیں، حالانکہ ایک ہی قسم کے منحنی خطوط عام طور پر پروجیکٹو طور پر مساوی نہیں ہوتے ہیں۔ ڈگری 2، مخروطی حصوں کے منحنی خطوط کی ایک ہی قسم ہوتی ہے جو d = d * = 2، δ = δ * = κ = κ * = g = 0 کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ ڈگری 3 کے منحنی خطوط کے لیے تین ممکنہ قسمیں ہیں، جو اس طرح دی گئی ہیں: اقسام کے منحنی خطوط (ii) اور (iii) عقلی کیوبک ہیں اور انہیں بالترتیب نوڈل اور کسپیڈل کہا جاتا ہے۔ قسم (i) کے منحنی خطوط غیر سنگل کیوبک (الپٹک منحنی خطوط) ہیں۔ ڈگری 4 کے منحنی خطوط کے لیے 10 ممکنہ اقسام ہیں، جو اس طرح دی گئی ہیں: حوالہ جات سالمن، جارج (1879) اعلی طیارہ منحنی خطوط پر ایک مقالہ پی پی۔ 64 ایف ایف۔ الجبرائی منحنی خطوط