Thue's lemma
ماڈیولر ریاضی میں، تھیو کا لیما تقریبا بیان کرتا ہے کہ ہر ماڈیولر عدد کو "ماڈیولر فریکشن" کے ذریعے اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے کہ عددی اور ڈینومینیٹر کی مطلق اقدار ماڈیولس کے مربع جڑ سے زیادہ نہ ہوں۔ مزید واضح طور پر، انٹیجرز کے ہر جوڑے کے لیے، دو مثبت انٹیجرز دیئے گئے ہیں اور اس طرح کہ، دو انٹیجرز ہوتے ہیں اور اس طرح کہ اور عام طور پر، ایک مربع جڑ سے بڑا سب سے چھوٹا انٹیجر لیتا ہے اور اس کے برابر ہوتا ہے، لیکن عمومی شکل بعض اوقات مفید ہوتی ہے، اور انفرادیت تھیوریم (نیچے) کو بیان کرنا آسان بناتا ہے۔ پہلا معروف ثبوت اس سے منسوب ہے جس نے کبوتر کے سوراخ کی دلیل کا استعمال کیا۔ اسے دو مربعوں کے مجموعوں پر فرمیٹ کے نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس میں m کو ایک پرائم p لیا جا سکتا ہے جو 1 ماڈیولو 4 سے ہم آہنگ ہے اور a کو a2 + 1 = 0 ماڈیول p کو مطمئن کرنے کے لیے لیا جا سکتا ہے۔ (ولسن کے نظریہ کے ذریعے "p" کے لیے اس طرح کے "a" کی ضمانت دی جاتی ہے۔) انفرادیت عام طور پر، وہ حل جس کے وجود پر تھیو کے لیما کی طرف سے زور دیا جاتا ہے وہ منفرد نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، جب عام طور پر کئی حل ہوتے ہیں، بشرطیکہ وہ بہت چھوٹے نہ ہوں۔ لہذا، کوئی صرف عقلی نمبر کے لیے انفرادیت کی امید کر سکتا ہے، جس کے لیے ہم آہنگ ماڈیولو ہے اگر y اور m کوپرائم ہوں۔ بہر حال، یہ عقلی عدد منفرد ہونے کی ضرورت نہیں ہے ؛ مثال کے طور پر، اگر، اور، ایک کے پاس دو حل ہیں۔ تاہم، کافی چھوٹے کے لیے، اگر کوئی حل موجود ہے، تو یہ منفرد ہے۔ مزید واضح طور پر، مندرجہ بالا اشارے کے ساتھ، اگر اور، کے ساتھ اور پھر یہ نتیجہ عقلی تعمیر نو کی بنیاد ہے، جو عقلی اعداد کی گنتی کے لیے ماڈیولر ریاضی کا استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے جس کے لیے کوئی عدد اور ڈینومینیٹرز کی حدود جانتا ہے۔ ثبوت کافی آسان ہے: ہر ہم آہنگی کو دوسرے سے ضرب دینے اور گھٹانے سے، ایک حاصل ہوتا ہے۔ مفروضوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر اصطلاح کی مطلق قدر اس سے کم ہوتی ہے، اور اس طرح ان کے فرق کی مطلق قدر اس سے کم ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، اس لیے نتیجہ۔ کمپیوٹنگ حل تھیو کے لیما کا اصل ثبوت موثر نہیں ہے، اس معنی میں کہ یہ حل کی کمپیوٹنگ کے لیے کوئی تیز طریقہ فراہم نہیں کرتا ہے۔ توسیعی یوکلڈین الگورتھم، ہمیں ایک ایسا ثبوت فراہم کرنے کی اجازت دیتا ہے جو ایک موثر الگورتھم کی طرف لے جاتا ہے جس میں یوکلڈین الگورتھم کی ہی کمپیوٹیشنل پیچیدگی ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، دو انٹیجرز کو دیکھتے ہوئے اور تھیو کے لیما میں ظاہر ہونے پر، توسیعی یوکلڈین الگورتھم انٹیجرز کے تین ترتیبات کا حساب لگاتا ہے، اور اس طرح کہ جہاں انٹیجرز غیر منفی ہوں اور سختی سے کم ہو رہے ہوں۔ مطلوبہ حل، نشان تک، پہلا جوڑا ایسا ہے۔ عقلی افعال کے ذریعہ ٹیلر سیریز کا تخمینہ لگانے کے لیے، اسی طرح کا نظریہ، پیڈ تخمینہ بھی دیکھیں۔ نمبر تھیوری ماڈیولر ریاضی میں حوالہ جات لیما۔