Duffing equation
ڈفنگ مساوات (یا ڈفنگ آسکیلیٹر)، جس کا نام جارج ڈفنگ (1861-1944) کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک غیر لکیری دوسرے درجے کی تفریق مساوات ہے جو بعض ڈمپڈ اور ڈرونڈ آسکیلیٹرز کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ مساوات اس طرح دی جاتی ہے جہاں (نامعلوم) فنکشن وقت کی نقل مکانی ہے، وقت کے حوالے سے اس کا پہلا مشتق ہے، یعنی۔ رفتار، اور یعنی کا دوسرا وقت مشتق ہے۔ ایکسلریشن۔ اعداد اور انہیں مستقل دیا جاتا ہے۔ مساوات سادہ ہارمونک حرکت (جو کیس سے مطابقت رکھتی ہے) کے مقابلے میں زیادہ پیچیدہ صلاحیت کے ساتھ ڈمپڈ آسکیلیٹر کی حرکت کو بیان کرتی ہے۔ جسمانی لحاظ سے، یہ ماڈل، مثال کے طور پر، ایک لچکدار پنڈلم جس کی بہار کی سختی بالکل ہک کے قانون کی پابندی نہیں کرتی ہے۔ ڈفنگ مساوات ایک متحرک نظام کی ایک مثال ہے جو افراتفری کے رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ مزید برآں، ڈفنگ سسٹم تعدد ردعمل میں چھلانگ کی گونج کا رجحان پیش کرتا ہے جو کہ تعدد ہسٹیریسیس رویے کی ایک قسم ہے۔ پیرامیٹرز مندرجہ بالا مساوات میں پیرامیٹرز یہ ہیں: ڈمپنگ کی مقدار کو کنٹرول کرتا ہے، لکیری سختی کو کنٹرول کرتا ہے، بحالی قوت میں غیر لکیری کی مقدار کو کنٹرول کرتا ہے۔ اگر ڈفنگ مساوات ایک ڈمپڈ اور چلنے والے سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کی وضاحت کرتی ہے، تو یہ پیریڈک ڈرائیونگ فورس کا طول و عرض ہے۔ اگر نظام ڈرائیونگ فورس کے بغیر ہے، اور پیریڈک ڈرائیونگ فورس کی کونیی تعدد ہے۔ ڈفنگ مساوات کو غیر لکیری اسپرنگ اور لکیری ڈیمپر سے منسلک کمیت کے ارتعاش کو بیان کرنے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ غیر لکیری اسپرنگ کے ذریعہ فراہم کردہ بحالی قوت تب ہوتی ہے جب اور اسپرنگ کو سخت کرنے والا اسپرنگ کہا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، کیونکہ یہ ایک نرم کرنے والا چشمہ ہے (اب بھی ساتھ)۔ نتیجتا، صفتوں کو سخت کرنا اور نرم کرنا عام طور پر ڈفنگ مساوات کے حوالے سے استعمال کیا جاتا ہے، جو (اور) کی اقدار پر منحصر ہوتا ہے۔ ڈفنگ مساوات میں پیرامیٹرز کی تعداد کو اسکیلنگ کے ذریعے دو سے کم کیا جا سکتا ہے (بکنگھم π تھیوریم کے مطابق)، جیسے۔ سفر اور وقت کو اس طرح ماپا جا سکتا ہے: اور فرض کرنا مثبت ہے (پیرامیٹرز کی مختلف حدود کے لیے، یا زیر مطالعہ مسئلے میں مختلف زور کے لیے دیگر پیمانے ممکن ہیں)۔ پھر: کہاں اور ڈاٹس کے حوالے سے فرق کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ جبری اور ڈمپڈ ڈفنگ مساوات کے حل کو تین پیرامیٹرز (،، اور) اور دو ابتدائی شرائط (یعنی۔ کے لیے اور)۔ حل کے طریقے عام طور پر، ڈفنگ مساوات ایک قطعی علامتی حل کو تسلیم نہیں کرتی ہے۔ تاہم، بہت سے لگ بھگ طریقے اچھی طرح سے کام کرتے ہیں: فورئیر سیریز میں توسیع صوابدیدی درستگی کے لیے حرکت کی مساوات فراہم کر سکتی ہے۔ اصطلاح، جسے ڈفنگ کی اصطلاح بھی کہا جاتا ہے، کا تخمینہ چھوٹا لگایا جا سکتا ہے اور اس نظام کو ایک پریشان کن سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ فروبینیوس طریقہ ایک پیچیدہ لیکن قابل عمل حل پیش کرتا ہے۔ مختلف عددی طریقوں میں سے کوئی بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جیسے کہ اویلر کا طریقہ اور رنگے کٹہ کے طریقے۔ ہوموٹوپی تجزیہ طریقہ (ایچ اے ایم) کو ڈفنگ مساوات کے لگ بھگ حل حاصل کرنے کے لیے بھی رپورٹ کیا گیا ہے، مضبوط غیر لکیری کے لیے بھی۔ غیر ڈمپڈ () اور غیر متحرک () ڈفنگ مساوات کے خاص معاملے میں، جیکوبی کے ایلیپٹک افعال کا استعمال کرتے ہوئے ایک درست حل حاصل کیا جا سکتا ہے۔ غیر منضبط آسکیلیٹر کے حل کی حد غیر منضبط اور غیر منضبط ڈفنگ مساوات کا ضرب، کے ساتھ دیتا ہے: ایک مستقل کے ساتھ۔ کی قدر کا تعین ابتدائی حالات سے ہوتا ہے اور H میں متبادل سے پتہ چلتا ہے کہ نظام ہیملٹنین ہے: جب دونوں اور مثبت ہوتے ہیں، تو حل پابند ہوتا ہے: ہیملٹنین مثبت ہونے کے ساتھ۔ ڈمپڈ آسکیلیٹر اسی طرح، ڈمپڈ آسکیلیٹر ڈمپنگ کے لیے لیاپونوف فنکشن طریقہ کار کے ذریعے عالمی سطح پر یکجا ہوتا ہے۔ ڈمپڈ ڈفنگ آسکیلیٹر کو مجبور کیے بغیر اس کے مستحکم توازن نقطہ (ز) پر ختم ہو جائے گا۔ توازن پوائنٹس، مستحکم اور غیر مستحکم، پر ہیں اگر مستحکم توازن پر ہے اور مستحکم توازن پر ہے اور فریکوئنسی رسپانس کیوبک غیر لکیریٹی کے ساتھ جبری ڈفنگ آسکیلیٹر کو درج ذیل عام تفریق مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے: اس آسکیلیٹر کا فریکوئنسی رسپانس مساوات کے مستحکم حالت کے رسپانس کے طول و عرض کو بیان کرتا ہے (یعنی) محرک کی دی گئی تعدد پر تعدد ردعمل کے ساتھ لکیری آسکیلیٹر کے لیے بھی لکیری ہوتا ہے۔ تاہم، غیر صفر کیوبک گتانک کے لیے، تعدد ردعمل غیر لکیری ہو جاتا ہے۔ غیر لکیری کی قسم پر منحصر ہے، ڈفنگ آسکیلیٹر سختی، نرمی یا مخلوط سختی-نرمی تعدد ردعمل ظاہر کر سکتا ہے۔ ویسے بھی، ہوموٹوپی تجزیہ کے طریقہ کار یا ہارمونک بیلنس کا استعمال کرتے ہوئے، فریکوئنسی رسپانس مساوات کو مندرجہ ذیل شکل میں حاصل کیا جا سکتا ہے: ڈفنگ مساوات کے پیرامیٹرز کے لیے، مندرجہ بالا الجبرائی مساوات دی گئی ایکسائٹیشن فریکوئنسی پر مستحکم حالت کے ارتعاش کا طول و عرض دیتی ہے۔ تعدد ردعمل کے لیے گرافک طور پر حل کرنا ہم طیارہ میں دو منحنی خطوط کے چوراہے کے طور پر گرافک طور پر حل کر سکتے ہیں: فکسڈ کے لیے، دوسرا وکر پہلے کواڈرینٹ میں ایک فکسڈ ہائپربولا ہے۔ پہلا منحنی خطہ ایک پیرابولہ ہے جس کی شکل اور مقام پر چوٹی ہوتی ہے۔ اگر ہم ٹھیک کرتے ہیں اور مختلف ہوتے ہیں، تو پیرابولہ کی چوٹی لکیر کے ساتھ ساتھ حرکت کرتی ہے۔ گرافک طور پر، پھر، ہم دیکھتے ہیں کہ اگر ایک بڑا مثبت نمبر ہے، تو جیسا کہ مختلف ہوتا ہے، پیرابولہ ہائپربولا کو ایک نقطہ پر کاٹتا ہے، پھر تین پوائنٹس، پھر ایک پوائنٹ دوبارہ۔ اسی طرح ہم اس معاملے کا تجزیہ کر سکتے ہیں جب ایک بڑا منفی نمبر ہو۔ جمپس ڈفنگ مساوات میں پیرامیٹرز کی کچھ حدود کے لیے، فریکوئنسی رسپانس اب فریکوئنسی کو مجبور کرنے کا واحد قدر والا فنکشن نہیں ہو سکتا ہے۔ ایک سخت اسپرنگ آسکیلیٹر کے لیے (اور کافی بڑا مثبت) فریکوئنسی رسپانس ہائی فریکوئنسی سائیڈ، اور نرم کرنے والے اسپرنگ آسکیلیٹر (اور) کے لیے کم فریکوئنسی سائیڈ پر اوور ہینگ کرتا ہے۔ نچلا اوور ہینگنگ سائیڈ غیر مستحکم ہے-یعنی۔ فریکوئنسی رسپانس کے اعداد و شمار میں ڈیشڈ لائن کے حصے-اور مستقل وقت کے لیے محسوس نہیں کیے جا سکتے۔ نتیجتا، چھلانگ کا رجحان ظاہر ہوتا ہے: جب کونیی تعدد کو آہستہ آہستہ بڑھایا جاتا ہے (دوسرے پیرامیٹرز کے ساتھ طے کیا جاتا ہے)، تو ردعمل کا طول و عرض اچانک A سے B تک گر جاتا ہے، اگر تعدد آہستہ آہستہ کم ہو جاتی ہے، تو C پر طول و عرض D تک چھلانگ لگاتا ہے، اس کے بعد تعدد ردعمل کی اوپری شاخ کی پیروی کرتا ہے۔ چھلانگ اے-بی اور سی-ڈی ایک ساتھ نہیں آتے، اس لیے نظام فریکوئنسی سویپ کی سمت کے لحاظ سے ہسٹیریسیس ظاہر کرتا ہے۔ افراتفری کی طرف منتقلی مندرجہ بالا تجزیے میں یہ فرض کیا گیا ہے کہ بنیادی تعدد ردعمل غالب ہے (ہارمونک توازن انجام دینے کے لیے ضروری)، اور اعلی تعدد ردعمل نہ ہونے کے برابر ہیں۔ یہ مفروضہ برقرار رکھنے میں ناکام رہتا ہے جب قوت کافی مضبوط ہوتی ہے۔ اعلی ترتیب کی ہم آہنگی کو نظر انداز نہیں کیا جا سکتا، اور حرکیات افراتفری کا شکار ہو جاتی ہیں۔ افراتفری کی طرف مختلف ممکنہ منتقلی ہیں، عام طور پر مسلسل مدت کے دوگنا ہونے سے۔ مثالیں ڈفنگ مساوات کی ٹائم سیریز اور فیز پورٹریٹ کی کچھ عام مثالیں، جو پیریڈ ڈبلنگ بائیفیکیشن کے ساتھ ساتھ افراتفری کے رویے کے ذریعے سب ہارمونکس کی ظاہری شکل کو ظاہر کرتی ہیں، نیچے دیے گئے اعداد و شمار میں دکھائی گئی ہیں۔ فورسنگ ایمپلیٹیوڈ سے بڑھ کر دوسرے پیرامیٹرز میں اقدار ہوتی ہیں: اور ابتدائی حالات ہیں اور فیز پورٹریٹ میں سرخ نقطے بعض اوقات ہوتے ہیں جو پیریڈ کا ایک انٹیجر ملٹیپل ہوتے ہیں حوالہ جات کتابچہ بیرونی لنکس ڈفنگ آسکیلیٹر آن اسکالرپیڈیا میتھ ورلڈ پیج عام تفریق مساوات افراتفری کے نقشے غیر لکیری نظام ویڈیو کلپس پر مشتمل مضامین