Floquet theory
فلوکیٹ تھیوری عام تفریق مساوات کے نظریہ کی ایک شاخ ہے جو دورانیے کے ساتھ ٹکڑے ٹکڑے مسلسل دورانیے کی تقریب کے ساتھ فارم کی دورانیے کی لکیری تفریق مساوات کے حل کی کلاس سے متعلق ہے اور حل کے استحکام کی حالت کی وضاحت کرتی ہے۔ فلوکیٹ تھیوری کا مرکزی نظریہ، فلوکیٹ تھیوریم، اس عام لکیری نظام کے ہر بنیادی میٹرکس حل کے لیے ایک کینونکل شکل دیتا ہے۔ یہ ایک مربوط تبدیلی دیتا ہے جس کے ساتھ دورانیے کے نظام کو مستقل، حقیقی گتانک کے ساتھ روایتی لکیری نظام میں تبدیل کر دیتا ہے۔ جب وقتا فوقتا پوٹینشل والے فزیکل سسٹمز پر لاگو کیا جاتا ہے، جیسے کہ کنڈینسڈ میٹر فزکس میں کرسٹل، تو نتیجہ کو بلوچ تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ لکیری تفریق مساوات کے حل ایک ویکٹر اسپیس بناتے ہیں۔ اگر تمام کالم لکیری طور پر آزاد حل ہوں تو میٹرکس کو بنیادی میٹرکس حل کہا جاتا ہے۔ ایک میٹرکس کو پرنسپل بنیادی میٹرکس حل کہا جاتا ہے اگر تمام کالم لکیری طور پر آزاد حل ہوں اور ایسی چیز موجود ہو جو شناخت ہو۔ بنیادی میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے بنیادی میٹرکس سے ایک بنیادی بنیادی میٹرکس بنایا جا سکتا ہے۔ ابتدائی حالت کے ساتھ لکیری تفریق مساوات کا حل یہ ہے کہ کوئی بنیادی میٹرکس حل کہاں ہے۔ فلوکیٹ کا نظریہ ایک لکیری فرسٹ آرڈر تفریق مساوات ہے، جہاں لمبائی کا کالم ویکٹر اور پیریڈ کے ساتھ ایک پیریڈک میٹرکس ہے (جو کہ کی تمام حقیقی اقدار کے لیے ہے)۔ آئیے اس تفریقی مساوات کا ایک بنیادی میٹرکس حل بنیں۔ پھر، سب کے لیے، یہاں مونوڈرومی میٹرکس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ، ہر میٹرکس (ممکنہ طور پر پیچیدہ) کے لیے اس طرح کہ ایک پیریڈک (پیریڈ) میٹرکس فنکشن ہو کہ اس کے علاوہ، ایک حقیقی میٹرکس اور ایک حقیقی پیریڈک (پیریڈ-) میٹرکس فنکشن اس طرح ہے کہ مذکورہ بالا میں،، اور میٹرکس ہیں۔ نتائج اور ایپلی کیشنز یہ نقشہ سازی نقاط () کی وقت پر منحصر تبدیلی کو جنم دیتی ہے، جس کے تحت ہمارا اصل نظام حقیقی مستقل گتانک کے ساتھ ایک لکیری نظام بن جاتا ہے۔ چونکہ یہ مسلسل اور وقتا فوقتا ہوتا ہے اس لیے اسے پابند ہونا چاہیے۔ اس طرح کے لیے اور کے لیے صفر حل کا استحکام کے آئجن ویلیوز سے طے ہوتا ہے۔ نمائندگی کو بنیادی میٹرکس کے لیے فلوکیٹ نارمل فارم کہا جاتا ہے۔ کے آئجین ویلیوز کو نظام کے خصوصیت والے ضرب کار کہا جاتا ہے۔ وہ (لکیری) پوئنکیری نقشوں کی آئجین ویلیو بھی ہیں۔ فلوکیٹ ایکسپونینٹ (جسے بعض اوقات ایک خاص ایکسپونینٹ کہا جاتا ہے)، ایک ایسا کمپلیکس ہے جو نظام کا ایک خاص ضرب ہے۔ نوٹ کریں کہ فلوکیٹ کے متغیرات منفرد نہیں ہیں، کیونکہ، ایک عدد کہاں ہے۔ فلوکیٹ ایکسپوینٹس کے حقیقی حصوں کو لیاپونوف ایکسپوینٹس کہا جاتا ہے۔ صفر حل غیر علامتی طور پر مستحکم ہے اگر تمام لیاپونوف متغیر منفی ہوں، لیاپونوف مستحکم ہے اگر لیاپونوف متغیر غیر مثبت اور غیر مستحکم ہوں۔ میتھیو مساوات جیسے متحرک نظاموں کے مطالعہ کے لیے فلوکیٹ تھیوری بہت اہم ہے۔ فلوکیٹ تھیوری پہاڑی تفریق مساوات (جسے جارج ولیم ہل نے متعارف کرایا تھا) میں استحکام کو ظاہر کرتا ہے جو کہ وقتا فوقتا کشش ثقل کے میدان میں ہارمونک آسکیلیٹر کے طور پر چاند کی حرکت کا تخمینہ لگاتا ہے۔ شدید لیزر فیلڈز میں بانڈ کی نرمی اور بانڈ کی سختی کو فلوکیٹ تھیوریم سے حاصل کردہ حلوں کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات سی۔ چیکون۔ ایپلی کیشنز کے ساتھ عام تفریقی مساوات۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک 1999۔ ایم۔ ایس۔ پی۔ ایسٹھم، "دی سپیکٹرل تھیوری آف پیریڈک ڈفریٚنشل ایکویشنز"، ٹیکسٹس ان میتھمیٹکس، سکاٹش اکیڈمک پریس، ایڈنبرا، 1973۔ ، ریاضیاتی مونوگراف کا ترجمہ، 19، 294 پی۔ ڈبلیو میگنس، ایس ونکلر۔ ہلز ایکویشن، ڈوور-فینکس ایڈیشنز،۔ این۔ ڈبلیو۔ میکلاچلن، تھیوری اینڈ ایپلیکیشن آف میتھیو فنکشنز، نیویارک: ڈوور، 1964۔ بیرونی روابط متحرک نظام