Domain of holomorphy
ریاضی میں، کئی پیچیدہ متغیرات کے افعال کے نظریہ میں، ہولومورفی کا ڈومین ایک ایسا ڈومین ہے جو اس لحاظ سے زیادہ سے زیادہ ہے کہ اس ڈومین پر ایک ہولومورفک فنکشن موجود ہے جسے کسی بڑے ڈومین تک نہیں بڑھایا جا سکتا۔ رسمی طور پر، n-جہتی پیچیدہ جگہ میں ایک کھلے سیٹ کو ہولومورفی کا ڈومین کہا جاتا ہے اگر غیر خالی کھلے سیٹ موجود نہ ہوں اور جہاں منسلک ہو، اور اس طرح کہ وہاں موجود ہر ہولومورفک فنکشن کے لیے ایک ہولومورفک فنکشن موجود ہو۔ کیونکہ یہ اب سچ نہیں ہے، جیسا کہ یہ ہارٹگس کے لیما سے ملتا ہے۔ مساوی حالات کسی ڈومین کے لیے درج ذیل شرائط مساوی ہیں: کیا ہولومورفی کا ڈومین ہولومورفک طور پر کنویکس ہے سڈوکونویکس لیوی کنویکس ہے-تجزیاتی کمپیکٹ سطحوں کی ہر ترتیب کے لیے جیسے کہ ہمارے پاس کچھ سیٹ کے لیے (تجزیاتی سطحوں کی ترتیب سے "اندر سے چھوا" نہیں جا سکتا) مقامی لیوی پراپرٹی ہوتی ہے-ہر نقطہ کے لیے اس کا ایک پڑوس اور ہولومورفک موجود ہوتا ہے جسے اثرات کے کسی بھی پڑوس تک نہیں بڑھایا جا سکتا، یہ معیاری نتائج ہیں (کیونکہ، اوکا کا لیما دیکھیں)۔ اہم مشکل ثابت کرنے میں ہے، یعنی۔ ایک عالمی ہولومورفک فنکشن کی تعمیر جو صرف مقامی طور پر بیان کردہ غیر توسیعی افعال سے کسی توسیع کو قبول نہیں کرتی ہے۔ اسے لیوی مسئلہ کہا جاتا ہے (ای۔ ای۔ لیوی کے بعد) اور اسے پہلے کیوشی اوکا نے حل کیا، اور پھر لارس ہرمینڈر نے فنکشنل تجزیہ اور جزوی تفریق مساوات (-مسئلہ کا نتیجہ) کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا۔ خصوصیات اگر ہولومورفی کے ڈومین ہیں، تو ان کا چوراہا بھی ہولومورفی کا ڈومین ہے۔ اگر ہولومورفی کے ڈومینز کی چڑھتی ہوئی ترتیب ہے، تو ان کا اتحاد بھی ہولومورفی کا ڈومین ہے (بینکے-سٹین تھیوریم دیکھیں)۔ اگر ہولومورفی کے ڈومین ہیں اور ہیں، تو ہولومورفی کا ڈومین ہے۔ کزن کا پہلا مسئلہ ہمیشہ ہولومورفی کے ڈومین میں حل کرنے کے قابل ہوتا ہے ؛ یہ دوسرے کزن کے مسئلے کے لیے اضافی ٹپوولوجیکل مفروضوں کے ساتھ بھی درست ہے۔ بینکے-سٹین تھیوریم لیوی سڈوکونویکس حل کا لیوی مسئلہ اسٹین کئی گنا حوالہ جات اسٹیون جی کرانٹز بھی دیکھیں۔ فنکشن تھیوری آف کئی پیچیدہ متغیرات، اے ایم ایس چیلسی پبلشنگ، پروویڈنس، روڈ آئلینڈ، 1992۔ بورس ولادیمیروچ شبات، پیچیدہ تجزیہ کا تعارف، اے ایم ایس، 1992 متعدد پیچیدہ متغیرات