Topological order
طبیعیات میں، ٹپوولوجیکل آرڈر مادے کے صفر درجہ حرارت کے مرحلے میں ایک قسم کی ترتیب ہے (جسے کوانٹم میٹر بھی کہا جاتا ہے)۔ میکروسکوپی طور پر، ٹپوولوجیکل آرڈر کی تعریف اور وضاحت مضبوط زمینی حالت کے انحطاط اور انحطاط شدہ زمینی حالتوں کے غیر ایبلین ہندسی مراحل کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ خوردبین طور پر، ٹپوولوجیکل آرڈر طویل فاصلے تک کوانٹم الجھاؤ کے نمونوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مختلف ٹپوولوجیکل آرڈرز (یا لمبی رینج کے الجھاؤ کے مختلف نمونوں) والی ریاستیں مرحلے کی منتقلی کے بغیر ایک دوسرے میں تبدیل نہیں ہو سکتی ہیں۔ مختلف ٹپوولوجیکل ترتیب شدہ حالتوں میں دلچسپ خصوصیات ہوتی ہیں، جیسے کہ (1) ٹپوولوجیکل انحطاط اور فریکشنل شماریات یا غیر ایبلین شماریات جو ٹپوولوجیکل کوانٹم کمپیوٹر کو حاصل کرنے کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ (2) کامل کنڈکٹنگ ایج ریاستیں جن میں اہم ڈیوائس ایپلی کیشنز ہو سکتی ہیں۔ (3) ابھرتے ہوئے گیج فیلڈ اور فرمی شماریات جو ابتدائی ذرات کی کوانٹم معلومات کی ابتدا کا مشورہ دیتے ہیں۔ (4) ٹپوولوجیکل الجھاؤ اینٹروپی جو ٹپوولوجیکل ترتیب وغیرہ کے الجھاؤ کی ابتدا کو ظاہر کرتی ہے۔ غلطی برداشت کرنے والے کوانٹم کمپیوٹیشن کے ممکنہ استعمال کے ساتھ ساتھ کئی جسمانی نظاموں جیسے اسپن مائع اور کوانٹم ہال اثر کے مطالعہ میں ٹوپوولوجیکل آرڈر اہم ہے۔ ٹوپولوجیکل موصلیت اور ٹوپولوجیکل سپر کنڈکٹر (1 ڈی سے آگے) میں اوپر بیان کردہ ٹوپولوجیکل آرڈر نہیں ہوتا ہے، ان کی پیچیدگیاں صرف مختصر فاصلے پر ہوتی ہیں۔ ایٹموں پر مشتمل پس منظر کا مادہ مختلف خصوصیات کا حامل ہو سکتا ہے اور مختلف شکلوں میں ظاہر ہو سکتا ہے، جیسے ٹھوس، مائع، سپر فلوڈ وغیرہ۔ مادے کی ان مختلف شکلوں کو اکثر مادے کی حالتیں یا مراحل کہا جاتا ہے۔ گاڑھا مادے کی طبیعیات اور ظہور کے اصول کے مطابق، مادے کی مختلف خصوصیات عام طور پر ان مختلف طریقوں سے پیدا ہوتی ہیں جن میں مادے میں ایٹم منظم ہوتے ہیں۔ ایٹموں (یا دیگر ذرات) کی وہ مختلف تنظیمیں رسمی طور پر مواد میں آرڈرز کہلاتی ہیں۔ ایٹم کئی طریقوں سے منظم ہو سکتے ہیں جو بہت سے مختلف آرڈرز اور بہت سے مختلف قسم کے مواد کا باعث بنتے ہیں۔ لینڈو سمیٹری توڑنے کا نظریہ ان مختلف ترتیبات کی عمومی تفہیم فراہم کرتا ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ مختلف ترتیبات واقعی جزو ایٹموں کی تنظیموں میں مختلف ہم آہنگی سے مطابقت رکھتے ہیں۔ جیسے جیسے مواد ایک ترتیب سے دوسری ترتیب میں تبدیل ہوتا ہے (یعنی، جیسے جیسے مواد ایک مرحلے کی منتقلی سے گزرتا ہے)، کیا ہوتا ہے کہ ایٹموں کی تنظیم کی ہم آہنگی بدل جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایٹموں کی مائع میں بے ترتیب تقسیم ہوتی ہے، اس لیے مائع ویسا ہی رہتا ہے جیسا کہ ہم ایٹموں کو صوابدیدی فاصلے سے ہٹاتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ مائع میں مسلسل ترجمہ کی ہم آہنگی ہوتی ہے۔ ایک مرحلے کی منتقلی کے بعد، ایک مائع کرسٹل میں تبدیل ہو سکتا ہے۔ کرسٹل میں، ایٹم ایک باقاعدہ صف (ایک جالی) میں منظم ہوتے ہیں۔ ایک جالی صرف اس وقت تبدیل نہیں ہوتی جب ہم اسے کسی خاص فاصلے سے ہٹاتے ہیں (عدد گنا ایک جالی مستقل)، لہذا ایک کرسٹل میں صرف مجرد ترجمہ کی ہم آہنگی ہوتی ہے۔ مائع اور کرسٹل کے درمیان فیز ٹرانزیشن ایک ایسی منتقلی ہے جو مائع کی مسلسل ٹرانسلیشن سمیٹری کو کرسٹل کی مجرد سمیٹری میں کم کر دیتی ہے۔ سمیٹری میں اس طرح کی تبدیلی کو سمیٹری بریکنگ کہا جاتا ہے۔ مائع اور کرسٹل کے درمیان فرق کا جوہر یہ ہے کہ ایٹموں کی تنظیموں میں دونوں مراحل میں مختلف ہم آہنگی ہوتی ہے۔ لینڈو سمیٹری توڑنے والا نظریہ ایک بہت کامیاب نظریہ رہا ہے۔ ایک طویل عرصے تک، طبیعیات دانوں کا خیال تھا کہ لینڈو تھیوری مواد میں تمام ممکنہ ترتیبات، اور تمام ممکنہ (مسلسل) مرحلے کی منتقلی کو بیان کرتی ہے۔ تاہم، 1980 کی دہائی کے آخر سے، یہ بتدریج واضح ہو گیا ہے کہ لینڈو سمیٹری توڑنے کا نظریہ تمام ممکنہ ترتیبات کو بیان نہیں کر سکتا ہے۔ اعلی درجہ حرارت کی سپر کنڈکٹیویٹی کی وضاحت کرنے کی کوشش میں چیرل اسپن کی حالت متعارف کرائی گئی۔ سب سے پہلے، طبیعیات دان اب بھی چیرل اسپن کی حالت کو بیان کرنے کے لیے لینڈو سمیٹری بریکنگ تھیوری کا استعمال کرنا چاہتے تھے۔ انہوں نے چیرل اسپن کی حالت کو ایک ایسی حالت کے طور پر شناخت کیا جو ٹائم ریورسل اور پیریٹی سمیٹریز کو توڑتی ہے، لیکن اسپن گردش سمیٹری کو نہیں۔ لینڈو کی ترتیبات کی سمیٹری بریکنگ تفصیل کے مطابق یہ کہانی کا اختتام ہونا چاہیے۔ تاہم، یہ جلد ہی محسوس کیا گیا کہ بہت سی مختلف چیرل اسپن ریاستیں ہیں جن میں بالکل ایک جیسی ہم آہنگی ہے، اس لیے صرف ہم آہنگی ہی مختلف چیرل اسپن ریاستوں کی خصوصیت کے لیے کافی نہیں تھی۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ چیرل اسپن اسٹیٹس میں ایک نئی قسم کی ترتیب ہوتی ہے جو معمول کی ہم آہنگی کی وضاحت سے بالاتر ہوتی ہے۔ مجوزہ، نئی قسم کے آرڈر کو "ٹوپولوجیکل آرڈر" کا نام دیا گیا۔ "ٹپوولوجیکل آرڈر" کا نام چیرل اسپن اسٹیٹس کے کم توانائی کے موثر نظریہ سے متاثر ہے جو کہ ایک ٹپوولوجیکل کوانٹم فیلڈ تھیوری (ٹی کیو ایف ٹی) ہے۔ نئے کوانٹم نمبر، جیسے گراؤنڈ اسٹیٹ ڈیجینریسی (جس کی تعریف بند جگہ یا کھلی جگہ پر گیپڈ حدود کے ساتھ کی جا سکتی ہے، بشمول ابیلین ٹپوولوجیکل آرڈرز اور غیر ابیلین ٹپوولوجیکل آرڈرز) اور غیر ابیلین جیومیٹرک فیز آف ڈیجینریٹ گراؤنڈ اسٹیٹس، کو چیرل اسپن اسٹیٹس میں مختلف ٹپوولوجیکل آرڈرز کی خصوصیت اور وضاحت کے لیے متعارف کرایا گیا تھا۔ حال ہی میں، یہ دکھایا گیا ہے کہ ٹپوولوجیکل آرڈرز کو بھی ٹپوولوجیکل اینٹروپی کی طرف سے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ لیکن تجربات نے جلد ہی اشارہ کیا کہ چیرل اسپن ریاستیں اعلی درجہ حرارت کے سپر کنڈکٹرز کو بیان نہیں کرتی ہیں، اور ٹپوولوجیکل آرڈر کا نظریہ ایک نظریہ بن گیا جس کا کوئی تجرباتی ادراک نہیں ہے۔ تاہم، چیرل اسپن اسٹیٹس اور کوانٹم ہال اسٹیٹس کے درمیان مماثلت کسی کو مختلف کوانٹم ہال اسٹیٹس کو بیان کرنے کے لیے تھیوری آف ٹوپولوجیکل آرڈر استعمال کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ چیرل اسپن اسٹیٹس کی طرح، مختلف کوانٹم ہال اسٹیٹس میں سب کی ایک جیسی سمیٹری ہوتی ہے اور یہ لینڈو سمیٹری توڑنے والی تفصیل سے باہر ہیں۔ یہ پایا جاتا ہے کہ مختلف کوانٹم ہال ریاستوں میں مختلف ترتیبات کو درحقیقت ٹپوولوجیکل ترتیبات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، اس لیے ٹپوولوجیکل ترتیب میں تجرباتی ادراک ہوتے ہیں۔ فریکشنل کوانٹم ہال (ایف کیو ایچ) کی حالت 1982 میں 1989 میں ٹوپولوجیکل آرڈر کے تصور کے تعارف سے پہلے دریافت ہوئی تھی۔ لیکن ایف کیو ایچ حالت تجرباتی طور پر دریافت ہونے والی پہلی ٹپوولوجیکل ترتیب شدہ حالت نہیں ہے۔ سپر کنڈکٹر، جو 1911 میں دریافت ہوا، تجرباتی طور پر دریافت ہونے والی پہلی ٹپوولوجیکل ترتیب شدہ حالت ہے۔ اس میں Z2 ٹپوولوجیکل ترتیب ہے۔ اگرچہ ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ ریاستیں عام طور پر مضبوطی سے تعامل کرنے والے بوسون/فرمیئن نظاموں میں ظاہر ہوتی ہیں، لیکن ایک سادہ قسم کی ٹپوولوجیکل ترتیب آزاد فرمیئن نظاموں میں بھی ظاہر ہو سکتی ہے۔ اس قسم کا ٹوپوولوجیکل آرڈر انٹیگرل کوانٹم ہال اسٹیٹ سے مطابقت رکھتا ہے، جس کی خصوصیت فلڈ انرجی بینڈ کے چرن نمبر سے کی جا سکتی ہے اگر ہم جالی پر انٹیجر کوانٹم ہال اسٹیٹ پر غور کریں۔ نظریاتی حسابات نے تجویز پیش کی ہے کہ اس طرح کے چرن نمبروں کو تجرباتی طور پر آزاد فرمیئن نظام کے لیے ماپا جا سکتا ہے۔ یہ بھی اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ اس طرح کے چرن نمبر کو (شاید بالواسطہ طور پر) کنارے کی حالتوں سے ماپا جا سکتا ہے۔ ٹپوولوجیکل آرڈرز کی سب سے اہم خصوصیت بنیادی فریکشنلائزڈ ایکسائٹیشنز (جیسے اینونز) اور ان کے فیوژن کے اعدادوشمار اور بریڈنگ کے اعدادوشمار (جو بوسون یا فرمینز کے کوانٹم کے اعدادوشمار سے آگے جا سکتے ہیں) ہوں گے۔ موجودہ تحقیقی کاموں سے پتہ چلتا ہے کہ 3 + 1 جہتی خلائی وقت میں ٹپوولوجیکل آرڈرز کے لیے لوپ اور سٹرنگ کی طرح محرکات موجود ہیں، اور ان کے ملٹی لوپ/سٹرنگ بریڈنگ کے اعداد و شمار 3 + 1 جہتی ٹپوولوجیکل آرڈرز کی شناخت کے لیے اہم دستخط ہیں۔ 3 + 1 جہتی ٹوپولوجیکل آرڈرز کے ملٹی لوپ/سٹرنگ بریڈنگ اعدادوشمار کو 4 خلائی طول و عرض میں مخصوص ٹوپولوجیکل کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لنک غیر متغیرات کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ میکانزم 2 + 1 ڈی ٹوپولوجیکل آرڈرز کی ایک بڑی کلاس کو سٹرنگ نیٹ کنڈینسیشن نامی میکانزم کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ ٹپوولوجیکل آرڈرز کی اس کلاس میں ایک گیپڈ ایج ہو سکتا ہے اور ان کی درجہ بندی یونٹری فیوژن کیٹیگری (یا مونوئڈل کیٹیگری) تھیوری کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ سٹرنگ نیٹ کنڈینسیشن لامحدود طور پر بہت سی مختلف اقسام کے ٹپوولوجیکل آرڈرز پیدا کر سکتا ہے، جو اس بات کی نشاندہی کر سکتا ہے کہ بہت سے مختلف قسم کے مواد دریافت کیے جانے باقی ہیں۔ گاڑھا تاروں کی اجتماعی حرکتیں سٹرنگ نیٹ گاڑھا حالتوں کے اوپر جوش و خروش کو جنم دیتی ہیں۔ وہ محرکات گیج بوسون بن جاتے ہیں۔ تاروں کے سرے نقائص ہوتے ہیں جو ایک اور قسم کے محرکات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ وہ محرکات گیج چارجز ہیں اور فرمی یا فریکشنل اعدادوشمار لے سکتے ہیں۔ دیگر توسیعی اشیاء جیسے "میمبرینز"، "برین نیٹ"، اور فریکٹلز کی سنکشیپن بھی ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ مراحل اور "کوانٹم شیشے پن" کا باعث بنتی ہیں۔ ریاضیاتی تشکیل ہم جانتے ہیں کہ گروپ تھیوری سمیٹری توڑنے والے آرڈرز کی ریاضیاتی بنیاد ہے۔ ٹوپولوجیکل آرڈر کی ریاضیاتی بنیاد کیا ہے؟ یہ پایا گیا کہ 2 + 1 ڈی ٹپوولوجیکل آرڈرز کی ذیلی کلاس-ابیلین ٹپوولوجیکل آرڈرز-کو کے-میٹرکس اپروچ کے ذریعے درجہ بندی کیا جا سکتا ہے۔ سٹرنگ نیٹ کنڈینسشن سے پتہ چلتا ہے کہ ٹینسر کیٹیگری (جیسے فیوژن کیٹیگری یا مونوئڈل کیٹیگری) 2 + 1 ڈی میں ٹاپولوجیکل آرڈر کی ریاضیاتی بنیاد کا حصہ ہے۔ مزید حالیہ تحقیقات سے پتہ چلتا ہے کہ (الٹا ٹوپولوجیکل آرڈرز تک جن میں کوئی فریکشنلائزڈ ایکسائٹیشنز نہیں ہیں): 2 + 1 ڈی بوسونک ٹوپولوجیکل آرڈرز کو یونٹری ماڈیولر ٹینسر کیٹیگریز کے ذریعہ درجہ بندی کیا جاتا ہے۔ سمیٹری G کے ساتھ 2 + 1D بوسونک ٹپوولوجیکل آرڈرز کی درجہ بندی G-کراسڈ ٹینسر کیٹیگریز کے ذریعے کی جاتی ہے۔ سمیٹری G کے ساتھ 2 + 1D بوسونک/فرمیوونک ٹپوولوجیکل آرڈرز کی درجہ بندی سمیٹرک فیوژن زمرے پر یونٹری بریڈڈ فیوژن کیٹیگریز کے ذریعے کی جاتی ہے، جس میں ماڈیولر ایکسٹینشنز ہوتی ہیں۔ بوسونک نظاموں کے لیے سمیٹرک فیوژن زمرہ Rep (G) اور فرمیوونک نظاموں کے لیے sRep (G)۔ اعلی جہتوں میں ٹوپوولوجیکل آرڈر کا تعلق این-زمرہ تھیوری سے ہو سکتا ہے۔ کوانٹم آپریٹر الجبرا ٹپوولوجیکل آرڈرز کا مطالعہ کرنے میں ایک بہت اہم ریاضیاتی ٹول ہے۔ کچھ لوگ یہ بھی تجویز کرتے ہیں کہ ٹپوولوجیکل آرڈر کو ریاضیاتی طور پر توسیعی کوانٹم سمیٹری کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ لینڈو سمیٹری بریکنگ تھیوری کے ذریعے بیان کردہ مواد کا ٹیکنالوجی پر کافی اثر پڑا ہے۔ مثال کے طور پر، فیرومیگنیٹک مواد جو گھماؤ گردش کی ہم آہنگی کو توڑتے ہیں انہیں ڈیجیٹل انفارمیشن اسٹوریج کے ذرائع کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فیرومیگنیٹک مواد سے بنی ہارڈ ڈرائیو گیگا بائٹس معلومات کو محفوظ کر سکتی ہے۔ مائع کرسٹل جو مالیکیولز کی گردشی ہم آہنگی کو توڑتے ہیں وہ ڈسپلے ٹیکنالوجی میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ ٹرانسلیشن سمیٹری کو توڑنے والے کرسٹل اچھی طرح سے متعین الیکٹرانک بینڈ کی طرف لے جاتے ہیں جو بدلے میں ہمیں ٹرانجسٹر جیسے سیمی کنڈکٹنگ ڈیوائسز بنانے کی اجازت دیتے ہیں۔ مختلف قسم کے ٹپوولوجیکل آرڈرز مختلف قسم کے سمیٹری توڑنے والے آرڈرز سے بھی زیادہ امیر ہوتے ہیں۔ یہ دلچسپ، نئی ایپلی کیشنز کے لیے ان کی صلاحیت کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک تھیوریائزڈ ایپلی کیشن ٹوپولوجیکل کوانٹم کمپیوٹنگ کے نام سے مشہور تکنیک میں کوانٹم کمپیوٹنگ کے لیے میڈیا کے طور پر ٹوپولوجیکل آرڈرڈ اسٹیٹس کا استعمال کرنا ہوگا۔ ٹوپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ حالت ایک ایسی ریاست ہے جس میں پیچیدہ غیر مقامی کوانٹم الجھاؤ ہوتا ہے۔ غیر لوکلٹی کا مطلب یہ ہے کہ ٹوپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ حالت میں کوانٹم الجھاؤ بہت سے مختلف ذرات میں تقسیم ہوتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، کوانٹم الجھاؤ کے نمونے کو مقامی خلل سے تباہ نہیں کیا جا سکتا۔ یہ ڈیکوہرنس کے اثر کو نمایاں طور پر کم کرتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر ہم کوانٹم کی معلومات کو انکوڈ کرنے کے لیے ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ حالت میں مختلف کوانٹم الجھاؤ کا استعمال کرتے ہیں، تو معلومات بہت زیادہ دیر تک چل سکتی ہیں۔ ٹوپولوجیکل کوانٹم الجھاؤ کے ذریعے انکوڈ کی گئی کوانٹم معلومات کو ایک دوسرے کے ارد گرد ٹوپولوجیکل نقائص کو گھسیٹ کر بھی ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے۔ یہ عمل کوانٹم کمپیوٹیشن انجام دینے کے لیے ایک جسمانی آلات فراہم کر سکتا ہے۔ لہذا، ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ ریاستیں کوانٹم میموری اور کوانٹم کمپیوٹیشن دونوں کے لیے قدرتی میڈیا فراہم کر سکتی ہیں۔ کوانٹم میموری اور کوانٹم کمپیوٹیشن کے اس طرح کے احساسات کو ممکنہ طور پر غلطی برداشت کرنے والا بنایا جا سکتا ہے۔ ٹوپوولوجیکل طور پر ترتیب دی گئی ریاستیں عام طور پر ایک خاص خاصیت رکھتی ہیں کہ ان میں غیر معمولی سرحدی ریاستیں ہوتی ہیں۔ بہت سے معاملات میں، وہ سرحدی ریاستیں کامل کنڈکٹنگ چینل بن جاتی ہیں جو حرارت پیدا کیے بغیر بجلی چلا سکتی ہیں۔ یہ الیکٹرانک آلات میں ٹپوولوجیکل آرڈر کا ایک اور ممکنہ اطلاق ہو سکتا ہے۔ ٹوپولوجیکل آرڈر کی طرح، ٹوپولوجیکل موصلیتوں میں بھی گیپ لیس باؤنڈری اسٹیٹس ہوتی ہیں۔ ٹپوولوجیکل موصلیتوں کی باؤنڈری ریاستیں ٹپوولوجیکل موصلیتوں کا پتہ لگانے اور ان کے اطلاق میں کلیدی کردار ادا کرتی ہیں۔ یہ مشاہدہ فطری طور پر ایک سوال کی طرف لے جاتا ہے: کیا ٹپوولوجیکل انسولٹرز ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ حالتوں کی مثالیں ہیں؟ درحقیقت ٹپوولوجیکل موصلیت اس مضمون میں بیان کردہ ٹپوولوجیکل طور پر ترتیب شدہ حالتوں سے مختلف ہیں۔ ٹوپولوجیکل موصلیتوں میں صرف مختصر فاصلے کی پیچیدگیاں ہوتی ہیں اور ان کا کوئی ٹوپولوجیکل آرڈر نہیں ہوتا ہے، جبکہ اس مضمون میں بیان کردہ ٹوپولوجیکل آرڈر طویل فاصلے کی پیچیدگی کا ایک نمونہ ہے۔ ٹوپوولوجیکل آرڈر کسی بھی خلل کے خلاف مضبوط ہے۔ اس میں ایمرجنٹ گیج تھیوری، ایمرجنٹ فریکشنل چارج اور فریکشنل شماریات ہیں۔ اس کے برعکس، ٹپوولوجیکل موصلیت صرف ان پریشانیوں کے خلاف مضبوط ہوتے ہیں جو ٹائم ریورسل اور یو (1) سمیٹریز کا احترام کرتے ہیں۔ ان کے نیم ذرات کے محرکات میں کوئی فریکشنل چارج اور فریکشنل اعدادوشمار نہیں ہوتے ہیں۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، ٹوپولوجیکل موصلیت سمیٹری پروٹیکٹڈ ٹوپولوجیکل (ایس پی ٹی) آرڈر کی ایک مثال ہے، جہاں ایس پی ٹی آرڈر کی پہلی مثال اسپن-1 چین کا ہالڈین مرحلہ ہے۔ لیکن اسپن-2 سلسلہ کے ہالڈین مرحلے کا کوئی ایس پی ٹی آرڈر نہیں ہے۔ ممکنہ اثر لینڈو سمیٹری توڑنے کا نظریہ گاڑھا مادے کی طبیعیات کا ایک سنگ بنیاد ہے۔ یہ گاڑھا مادے کی تحقیق کے علاقے کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ٹپوولوجیکل آرڈر کا وجود اس بات کی نشاندہی کرتا دکھائی دیتا ہے کہ فطرت لینڈو سمیٹری بریکنگ تھیوری سے کہیں زیادہ امیر ہے جس کا اب تک اشارہ کیا گیا ہے۔ لہذا ٹپوولوجیکل آرڈر گھنے مادے کی طبیعیات میں ایک نئی سمت کھولتا ہے-انتہائی الجھے ہوئے کوانٹم مادے کی ایک نئی سمت۔ ہم سمجھتے ہیں کہ مادے کے کوانٹم مراحل (یعنی۔ مادے کے صفر درجہ حرارت کے مراحل) کو دو طبقات میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: لمبی رینج کی الجھے ہوئے حالتیں اور مختصر رینج کی الجھے ہوئے حالتیں۔ ٹوپوولوجیکل آرڈر وہ تصور ہے جو لمبی رینج میں الجھے ہوئے حالات کو بیان کرتا ہے: ٹوپوولوجیکل آرڈر = لمبی رینج کے الجھاؤ کا نمونہ۔ مختصر رینج میں الجھے ہوئے حالات اس لحاظ سے معمولی ہیں کہ وہ سب ایک مرحلے سے تعلق رکھتے ہیں۔ تاہم، ہم آہنگی کی موجودگی میں، مختصر رینج میں الجھے ہوئے حالات بھی غیر معمولی ہوتے ہیں اور ان کا تعلق مختلف مراحل سے ہو سکتا ہے۔ کہا جاتا ہے کہ ان مراحل میں ایس پی ٹی آرڈر ہوتا ہے۔ ایس پی ٹی آرڈر انٹرایکٹنگ سسٹمز کے لیے ٹپوولوجیکل انسولیٹر کے تصور کو عام کرتا ہے۔ کچھ لوگوں کا خیال ہے کہ مقامی بوسونک (اسپن) ماڈلز میں ٹپوولوجیکل آرڈر (یا زیادہ واضح طور پر، سٹرنگ نیٹ کنڈینسیشن) ہماری کائنات میں فوٹون، الیکٹرانوں اور دیگر ابتدائی ذرات کے لیے ایک متحد ماخذ فراہم کرنے کی صلاحیت رکھتے ہیں۔ مزید دیکھیں اے کے ایل ٹی ماڈل فریکشنلائزیشن ہربرٹسمتھائٹ امپلیکیٹ آرڈر کوانٹم ٹوپولوجی اسپن مائع سٹرنگ نیٹ مائع سمیٹری سے محفوظ ٹوپولوجیکل آرڈر ٹوپولوجیکل انحطاط طبیعیات میں ٹوپولوجیکل انحطاط ٹوپولوجیکل فیلڈ تھیوری ٹوپولوجیکل کوانٹم نمبر ٹوپولوجیکل سٹرنگ تھیوری نوٹ حوالہ جات زمرہ جات کے لحاظ سے فریکشنل کوانٹم ہال میں کہا گیا ہے کہ چیرل اسپن ریاستوں میں ایف کیو ایچ ریاستوں کی ابتدائی خصوصیت آف ڈائیگنل لانگ رینج آرڈر، الٹی قید، اور فریکشنل کوانٹم ہال اثر، ایس ایم گرن اور اے ایچ میکڈونلڈ، فزکس۔ ریو. لیٹ۔، 58، 1252 (1987) فریکشنل کوانٹم ہال ایفیکٹ کے لیے ایفیکٹو فیلڈ تھیوری ماڈل، ایس۔ سی۔ ژانگ اور ٹی۔ ایچ۔ ہینسن اور ایس۔ کیولسن، فز۔ ریو. لیٹ۔، 62، 82 (1989) ٹوپوولوجیکل آرڈر ژیاؤ-گینگ وین، فز۔ ریو. بی، 40، 7387 (1989)، "کمپیکٹفائیڈ اسپیس میں چیرل اسپن اسٹیٹ کی ویکیوم انحطاط" ژیاؤ-گینگ وین، کوانٹم فیلڈ تھیوری آف منی باڈی سسٹمز-آواز کی ابتدا سے لے کر روشنی اور الیکٹرانوں کی ابتدا تک، آکسفورڈ یونیورسٹی۔ پریس، آکسفورڈ، 2004۔ ٹپوولوجیکل آرڈر ڈی ارووس اور جے آر شریفر اور ایف ولکیک، فز کی خصوصیت۔ ریو. لیٹ۔، 53، 722 (1984)، "فریکشنل سٹیٹسٹکس اینڈ کوانٹم ہال ایفیکٹ" ایفیکٹو تھیوری آف ٹوپوولوجیکل آرڈر میکانزم آف ٹوپوولوجیکل آرڈر کوانٹم کمپیوٹنگ چیتن نائک، اسٹیون ایچ سائمن، ایڈی سٹرن، مائیکل فریڈمین، شنکر داس شرما، http://www.arxiv.org/abs/0707.1889، 2007، "نان ایبلین اینونس اینڈ ٹوپوولوجیکل کوانٹم کمپیوٹیشن"، ریو۔ موڈ۔ فزیکل۔ 80، 1083 (2008)۔ ایڈی سٹرن اور برٹرینڈ اول۔ ہالپرین، فز۔ ریو. لیٹ۔، 96، 016802 (2006)، غیر ایبلین nu = 5/2 کوانٹم ہال اسٹیٹ کے ابتدائی ذرات کے ظہور کی تحقیقات کے لیے مجوزہ تجربات۔ شیاؤ-گینگ وین، فز۔ ریو. D68,024501 (2003)، سٹرنگ نیٹ کنڈینسیشن سے کوانٹم آرڈر اور روشنی اور ماس لیس فرمینز کی ابتدا بھی دیکھیں۔ زینگ-چینگ گو اور ژیاؤ-گینگ وین، جی آر-کیو سی/0606100، کشش ثقل کے کوانٹم تھیوری کے طور پر ایک لیٹس بوسونک ماڈل، کوانٹم آپریٹر الجبرا لینڈس مین این پی اور رمضان بی، لائ الجبریڈز سے وابستہ پوئسون الجبرا کی کوانٹائزیشن، پروک میں۔ کانف۔ طبیعیات، تجزیہ اور جیومیٹری میں گروپائڈز پر (بولڈر سی او، 1999) '، ایڈیٹرز جے کامینکر اور دیگر، 159 {192 کانٹیپ۔ ریاضی۔ 282، آمیر۔ ریاضی۔ Soc.، پروویڈنس RI، 2001، (ریاضی بھی۔ غیر ایبلین کوانٹم الجبرائی ٹوپولوجی (این اے کیو اے ٹی) 20 نومبر (2008)، 87 صفحات، بیانو، آئی سی۔ لیون اے۔ اور اولشنٹسکی ایم۔، ہیملٹنین الجبروئڈز اور ریمن منحنی خطوط پر پیچیدہ ڈھانچوں کی خرابیاں، ہیپ-th/0301078v1۔ شیاؤ-گینگ وین، یونگ-شی وو اور وائی۔ Hatsugai.، Chiral آپریٹر پروڈکٹ الجبرا اور ایک FQH بوند (پی ڈی ایف)، نیوکل کی ایج ایکسائٹیشنز۔ فزیکل۔ B422، 476 (1994): استعمال شدہ چیرل آپریٹر پروڈکٹ الجبرا بلک ویو فنکشن کی تعمیر، ٹپوولوجیکل آرڈرز کی خصوصیت اور کچھ غیر ایبلین FQH ریاستوں کے لیے کنارے کی حالتوں کا حساب لگانے کے لیے۔ شیاؤ-گینگ وین اور یونگ-شی وو، چیرل آپریٹر پروڈکٹ الجبرا جو بعض ایف کیو ایچ ریاستوں (پی ڈی ایف)، نیوکل میں چھپا ہوا ہے۔ فزیکل۔ B419، 455 (1994): اس بات کا مظاہرہ کیا کہ غیر ایبلین ٹپوولوجیکل آرڈرز کا چیرل آپریٹر پروڈکٹ الجبرا (کنفارمل فیلڈ تھیوری کے بجائے) سے گہرا تعلق ہے۔ غیر ابیلی نظریہ۔ ۔ آر براؤن، پی جے۔ ہیگنس، پی جے اور آر سیورا، "نان ایبلین الجبرائی ٹوپولوجی: فلٹرڈ اسپیس، کراسڈ کمپلیکس، کیوبکل ہوموٹوپی گروپائڈز" ای ایم ایس ٹریکٹس ان میتھمیٹکس جلد 15 (2011)، اے ببلیوگرافی فار کیٹیگریز اینڈ الجبرائی ٹوپولوجی ایپلی کیشنز ان تھیوریٹیکل فزکس کوانٹم الجبرائی ٹوپولوجی (کیو اے ٹی) کوانٹم فیز کنڈینسڈ میٹر فزکس شماریاتی میکانکس