Current (mathematics)
ریاضی میں، خاص طور پر فنکشنل تجزیہ، تفریق ٹوپولوجی، اور ہندسی پیمائش کے نظریہ میں، جارجز ڈی رام کے معنی میں ایک کے-کرنٹ کمپیکٹ طور پر سپورٹڈ تفریق کے-فارموں کی جگہ پر، ایک ہموار کئی گنا ایم پر ایک فعال ہے۔ کرنٹ باضابطہ طور پر تفریق شکلوں کی جگہ پر شوارٹز کی تقسیم کی طرح برتاؤ کرتے ہیں، لیکن ہندسی ترتیب میں، وہ ایک ذیلی منی فولڈ پر انضمام کی نمائندگی کر سکتے ہیں، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کو عام کر سکتے ہیں، یا زیادہ عام طور پر ایم کے ذیلی سیٹوں کے ساتھ پھیلے ہوئے ڈیلٹا افعال (ملٹی پولز) کے دشاتمک مشتقات بھی۔ تعریف آئیے ہموار کئی گنا پر کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ ہموار ایم-فارموں کی جگہ کی نشاندہی کریں۔ ایک کرنٹ ایک لکیری فنکشنل ہے جس پر مسلسل ہے۔ اس طرح ایک لکیری فنکشنل ایک m-جہتی کرنٹ ہے اگر یہ مندرجہ ذیل معنوں میں مسلسل ہے: اگر ہموار شکلوں کا ایک سلسلہ، جو سب ایک ہی کمپیکٹ سیٹ میں سپورٹ کیے گئے ہیں، ایسا ہے کہ ان کے تمام کوفیشنٹس کے تمام مشتقات یکساں طور پر 0 کی طرف مائل ہوتے ہیں جب انفنٹی کی طرف مائل ہوتے ہیں، تو پھر 0 کی طرف مائل ہوتے ہیں۔ ایم جہتی کرنٹس کی جگہ ایک حقیقی ویکٹر کی جگہ ہے جس میں کارروائیوں کی وضاحت تقسیم کے زیادہ تر نظریہ کے ذریعہ کی جاتی ہے جو کم سے کم ایڈجسٹمنٹ کے ساتھ کرنٹس پر لے جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی کرنٹ کی سپورٹ کو سب سے بڑے کھلے سیٹ کی تکمیل کے طور پر بیان کر سکتا ہے کہ جب بھی سپورٹ کے ساتھ کرنٹ پر مشتمل لکیری سب اسپیس (اوپر کے معنی میں) جو کہ ایک کمپیکٹ سب سیٹ ہے، ہومیولوجیکل تھیوری کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ ایک کمپیکٹ ریکٹیبل پر مبنی ایم (باؤنڈری کے ساتھ) طول و عرض ایم پر انضمام ایک ایم-کرنٹ کی وضاحت کرتا ہے، جس کی نشاندہی اس طرح کی جاتی ہے: اگر ایم کی باؤنڈری ≤ ایم ریکٹیبل ہے، تو یہ بھی انضمام کے ذریعے کرنٹ کی وضاحت کرتا ہے، اور اسٹوکس تھیوریم کی وجہ سے: یہ بیرونی مشتق ڈی کو باؤنڈری آپریٹر ≤ کے ساتھ ایم کی ہومیولوجی پر جوڑتا ہے۔ اس فارمولے کے پیش نظر ہم صوابدیدی کرنٹ پر باؤنڈری آپریٹر کی وضاحت کر سکتے ہیں جس کے ذریعے بیرونی مشتق ایک کلاسیکی مثال Lipschitz پڑوس کے پیچھے ہٹنے پر انٹیگرل کرنٹس کی ذیلی کلاس ہے۔ ٹوپولوجی اور معیارات دھاروں کی جگہ قدرتی طور پر کمزور-* ٹوپولوجی سے مالا مال ہے، جسے مزید آسانی سے کمزور کنورجنس کہا جائے گا۔ کرنٹس کا ایک سلسلہ، کرنٹ میں بدل جاتا ہے اگر تمام کرنٹس کی جگہ کی ذیلی جگہوں پر کئی اصولوں کی وضاحت کرنا ممکن ہو۔ ایسا ہی ایک معیار ماس نارم ہے۔ اگر ایک m-شکل ہے، تو اس کے کوماس کی وضاحت اس طرح کریں۔ لہذا اگر ایک سادہ m-شکل ہے، تو اس کا ماس نارم اس کے گتانک کا معمول L φ-نارم ہے۔ اس کے بعد کرنٹ کی کمیت کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ کرنٹ کی کمیت عمومی سطح کے وزن والے رقبے کی نمائندگی کرتی ہے۔ ایک ایسا کرنٹ جس کی نمائندگی M (T) <ini ریز نمائندگی تھیوریم کے ایک ورژن کے ذریعہ باقاعدہ بوریل پیمائش کے انضمام کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ یہ ہومیولوجیکل انضمام کا نقطہ آغاز ہے۔ ایک انٹرمیڈیٹ معیار وٹنی کا فلیٹ معیار ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ دو دھارے بڑے پیمانے پر معمول کے قریب ہوتے ہیں اگر وہ ایک چھوٹے سے حصے سے دور ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، وہ فلیٹ معمول کے قریب ہوتے ہیں اگر وہ ایک چھوٹی سی اخترتی کے ساتھ موافق ہوتے ہیں۔ مثالیں یاد رکھیں کہ درج ذیل میں 0-کرنٹ کی وضاحت کی گئی ہے: خاص طور پر ہر دستخط شدہ باقاعدہ پیمائش 0-کرنٹ ہے: فرض کریں کہ (x, y, z) میں نقاط ہوں۔ پھر درج ذیل میں 2-کرنٹ (بہت سے میں سے ایک) کی وضاحت کی گئی ہے: جارج ڈی رام ہربرٹ فیڈرر ڈفریینشل جیومیٹری متغیر نوٹ حوالہ جات بھی دیکھیں۔ تفریقی ٹوپولوجی فنکشنل تجزیہ عمومی افعال عام شدہ کئی گنا شوارٹز کی تقسیم