Pseudoconvex function
کنویکس تجزیہ اور تغیرات کے کیلکولس میں، ریاضی کی دونوں شاخوں میں، ایک سیڈوکونویکس فنکشن ایک ایسا فنکشن ہے جو اپنے مقامی منیما کو تلاش کرنے کے حوالے سے کنویکس فنکشن کی طرح برتاؤ کرتا ہے، لیکن حقیقت میں کنویکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ غیر رسمی طور پر، ایک تفریق پذیر فعل سڈوکونویکس ہے اگر یہ کسی بھی سمت میں بڑھ رہا ہے جہاں اس کا مثبت دشاتمک مشتق ہے۔ پراپرٹی کو تمام فنکشن ڈومین میں ہونا چاہیے، نہ کہ صرف قریبی مقامات کے لیے۔ رسمی تعریف ایک تفریق پذیر فنکشن پر غور کریں، جس کی تعریف محدود جہتی یوکلڈین اسپیس کے (غیر خالی) کنویکس اوپن سیٹ پر کی گئی ہے۔ اس فنکشن کو سڈوکونویکس کہا جاتا ہے اگر مندرجہ ذیل خاصیت برقرار رہے: مساوی طور پر: یہاں کا میلان ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: نوٹ کریں کہ تعریف ویکٹر کی طرف سے دی گئی سمت میں، کے دشاتمک مشتق کے لحاظ سے بھی بیان کی جا سکتی ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ، جیسا کہ تفریق قابل ہے، یہ دشاتمک مشتق اس طرح دیا گیا ہے: خصوصیات کا "کنویکسٹی" کی دیگر اقسام سے تعلق ہر کنویکس فنکشن سیڈوکونویکس ہے، لیکن اس کا الٹا درست نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فنکشن سڈوکونویکس ہے لیکن کنویکس نہیں ہے۔ اسی طرح، کوئی بھی سڈوکونویکس فنکشن کواسیکونویکس ہے ؛ لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے، کیونکہ فنکشن کواسیکونویکس ہے لیکن سڈوکونویکس نہیں ہے۔ اس کا خلاصہ اس طرح کیا جا سکتا ہے: یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ سڈوکونویکس نہیں ہے، اس کے مشتق پر غور کریں: پھر، اگر سڈوکونویکس تھا، تو ہمارے پاس ہونا چاہیے: خاص طور پر اس کے لیے درست ہونا چاہیے۔ لیکن ایسا نہیں ہے، جیسا کہ: کسی بھی تفریق پذیر فنکشن کے لیے، ہمارے پاس فرمیٹس تھیوریم ہے جو اصلاح کی ضروری شرط ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ: اگر کسی کھلے ڈومین میں مقامی کم از کم ہے، تو اس کا ایک مستحکم نقطہ ہونا چاہیے (یعنی:)۔ سیڈوکونویکسٹی اصلاح کے شعبے میں بہت دلچسپی کا باعث ہے، کیونکہ اس کے برعکس کسی بھی سیڈوکونویکس فنکشن کے لیے بھی درست ہے۔ یعنی: اگر سڈوکونویکس فنکشن کا ایک ساکن نقطہ ہے، تو اس کا عالمی کم از کم ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ نتیجہ عالمی کم از کم (نہ صرف مقامی) کی ضمانت دیتا ہے۔ یہ آخری نتیجہ کنویکس فنکشن کے لیے بھی درست ہے، لیکن یہ کواسیکونویکس فنکشن کے لیے درست نہیں ہے۔ مثال کے طور پر کواسیکونویکس فنکشن پر غور کریں: یہ فنکشن سیڈوکونویکس نہیں ہے، بلکہ یہ کواسیکونویکس ہے۔ نیز، نقطہ ایک اہم نقطہ ہے، جیسا کہ۔ تاہم، اس کا عالمی کم از کم (مقامی کم از کم بھی نہیں) نہیں ہے۔ آخر میں، نوٹ کریں کہ ایک سڈوکونویکس فنکشن کا کوئی اہم نقطہ نہیں ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر سڈوکونویکس فنکشن کو لیں:، جس کا مشتق ہمیشہ مثبت ہوتا ہے:۔ مثال کسی فنکشن کی ایک مثال جو سڈوکونویکس ہے، لیکن کنویکس نہیں ہے، یہ ہے: یہ شکل اس صورت کے لیے اس فنکشن کو ظاہر کرتی ہے جہاں۔ اس مثال کو دو متغیرات میں عام کیا جا سکتا ہے: پچھلی مثال میں ایسی فنکشن حاصل کرنے کے لیے ترمیم کی جا سکتی ہے جو کنویکس نہ ہو، اور نہ ہی سڈوکونویکس، لیکن کواسیکونویکس ہو: یہ شکل اس صورت کے لیے اس فنکشن کو ظاہر کرتی ہے جہاں۔ جیسا کہ دیکھا جا سکتا ہے، یہ فنکشن کنکیوٹی کی وجہ سے کنویکس نہیں ہے، اور یہ سڈوکونویکس نہیں ہے کیونکہ یہ پر تفریق نہیں ہے۔ غیر متفرق افعال کو عمومی بنانا سڈوکونویکسٹی کے تصور کو مندرجہ ذیل طور پر غیر متفرق افعال کو عام کیا جا سکتا ہے۔ کسی بھی فنکشن کو دیکھتے ہوئے، ہم اس کے اوپری ڈینی مشتق کی وضاحت کر سکتے ہیں: جہاں u کوئی یونٹ ویکٹر ہے۔ فنکشن کو سڈوکونویکس کہا جاتا ہے اگر یہ کسی بھی سمت میں بڑھ رہا ہو جہاں اوپری ڈینی مشتق مثبت ہو۔ مزید واضح طور پر، اس کی خصوصیت ذیلی تفریق کے لحاظ سے درج ذیل ہے: جہاں x اور y سے ملحقہ لکیر کے حصے کی نشاندہی ہوتی ہے۔ متعلقہ تصورات A ایک فنکشن ہے جس کا منفی سڈوکونویکس ہے۔ اے ایک فنکشن ہے جو سڈوکونویکس اور سڈوکونکیو دونوں ہے۔ مثال کے طور پر، لکیری فریکشنل پروگراموں میں سڈوولینیر آبجیکٹیو فنکشنز اور لکیری غیر معیاری رکاوٹیں ہوتی ہیں۔ یہ خصوصیات فریکشنل لکیری مسائل کو سمپلیکس الگورتھم (جارج بی ڈینٹزگ کے) کی ایک قسم کے ذریعے حل کرنے کی اجازت دیتی ہیں۔ ویکٹر ویلیوڈ فنکشن کو دیکھتے ہوئے،-pseudoconvexity اور-pseudolinearity کا ایک زیادہ عام تصور ہے ؛ جس میں کلاسیکی pseudoconvexity اور pseudolinearity کا تعلق اس معاملے سے ہے جب. Pseudoconvexity Convex فنکشن Quasiconvex فنکشن انوکس فنکشن نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ کنویکس تجزیہ کنویکس آپٹیمائزیشن عمومی کنویکسٹی افعال کی اقسام