Hilbert modular variety
ریاضی میں، ہلبرٹ ماڈیولر سطح یا ہلبرٹ-بلومنٹل سطح ایک الجبرائی سطح ہے جو ہلبرٹ ماڈیولر گروپ کے ذریعہ اوپری نصف سطح کی دو نقلوں کے پروڈکٹ کا حصص لے کر حاصل کی جاتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، ہلبرٹ ماڈیولر قسم ایک الجبرائی قسم ہے جو ہلبرٹ ماڈیولر گروپ کے ذریعہ اوپری نصف سطح کی متعدد کاپیوں کے پروڈکٹ کا حصص لے کر حاصل کی جاتی ہے۔ ہلبرٹ ماڈیولر سطحوں کو سب سے پہلے تقریبا 10 سال پہلے ڈیوڈ ہلبرٹ کے لکھے ہوئے کچھ غیر شائع شدہ نوٹوں کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا گیا تھا۔ تعریفیں اگر R کسی حقیقی کواڈریٹک فیلڈ کے انٹیجرز کی انگوٹی ہے، تو ہلبرٹ ماڈیولر گروپ SL2 (R) اوپری نصف طیارہ H کی دو کاپیوں کے پروڈکٹ H × H پر عمل کرتا ہے۔ اس عمل سے متعلق کئی بائریشنل طور پر مساوی سطحیں ہیں، جن میں سے کسی کو بھی ہلبرٹ ماڈیولر سطح کہا جا سکتا ہے: سطح X H × H کا ایس ایل 2 (R) کا حصص ہے۔ یہ کمپیکٹ نہیں ہے اور عام طور پر غیر معمولی آئسوٹروپی گروپوں والے پوائنٹس سے آنے والی حصص کی انفرادیت ہوتی ہے۔ سطح X * کو X سے عمل کے cusps کے مطابق پوائنٹس کی ایک محدود تعداد کو شامل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ کمپیکٹ ہے، اور اس میں نہ صرف X کی حصص کی انفرادیت ہوتی ہے، بلکہ اس کے کوسپس پر بھی انفرادیت ہوتی ہے۔ یکسانیت کو کم سے کم طریقے سے حل کرکے X * سے سطح Y حاصل کی جاتی ہے۔ یہ ایک کمپیکٹ ہموار الجبرائی سطح ہے، لیکن عام طور پر کم سے کم نہیں ہے۔ Y سے سطح Y0 کچھ غیر معمولی −1 منحنی خطوط کو نیچے اڑانے سے حاصل کی جاتی ہے۔ یہ ہموار اور کمپیکٹ ہے، اور اکثر (لیکن ہمیشہ نہیں) کم سے کم ہوتا ہے۔ اس تعمیر میں کئی تغیرات ہیں: ہلبرٹ ماڈیولر گروپ کو محدود انڈیکس کے کچھ ذیلی گروپ سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ ہم آہنگی ذیلی گروپ۔ کوئی بھی ہلبرٹ ماڈیولر گروپ کو آرڈر 2 کے گروپ کے ذریعے بڑھا سکتا ہے، جو گالوئس ایکشن کے ذریعے ہلبرٹ ماڈیولر گروپ پر عمل کرتا ہے، اور اوپری نصف سطح کی دو کاپیوں کا تبادلہ کرتا ہے۔ یکسانیتوں نے دکھایا کہ کس طرح حصص کی یکسانیت کو حل کیا جائے، اور دکھایا کہ ان کی چوٹی کی یکسانیت کو کیسے حل کیا جائے۔ سطحوں کی درجہ بندی کاغذات، اور الجبرائی سطحوں کی درجہ بندی میں ان کی قسم کی نشاندہی کی۔ ان میں سے زیادہ تر عام قسم کی سطحیں ہیں، لیکن کئی عقلی سطحیں ہیں یا K3 سطحوں یا الپٹک سطحوں کو اڑا دیتی ہیں۔ مثالیں مثالوں کی ایک لمبی میز دیتی ہیں۔ کلیبش کی سطح کو اس کے 10 ایکارڈ پوائنٹس پر اڑا دیا گیا ہے جو ہلبرٹ ماڈیولر سطح ہے۔ کواڈریٹک فیلڈ ایکسٹینشن سے وابستہ ایک کواڈریٹک فیلڈ ایکسٹینشن کو دیکھتے ہوئے ایک متعلقہ ہلبرٹ ماڈیولر قسم ہے جو ایک مخصوص حصص کی قسم کو کمپیکٹ کرنے اور اس کی انفرادیت کو حل کرنے سے حاصل ہوتی ہے۔ آئیے اوپری نصف سطح کی نشاندہی کرتے ہیں اور جہاں گالوئس کنجوگیٹس ہیں وہاں سے عمل کرتے ہیں۔ متعلقہ حصص کی قسم کو ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے ایک قسم میں کمپیکٹ کیا جا سکتا ہے، جسے کوسپس کہا جاتا ہے، جو مثالی کلاسوں کے ساتھ بجنکشن میں ہوتے ہیں۔ اس کی انفرادیت کو حل کرنے سے فیلڈ ایکسٹینشن کی ہلبرٹ ماڈیولر قسم نامی قسم ملتی ہے۔ بیلی-بوریل کمپیکٹفیکیشن تھیوریم سے، اس سطح کو ایک پروجیکٹو اسپیس میں سرایت کیا گیا ہے۔ ہلبرٹ ماڈیولر فارم پکارڈ ماڈیولر سطح سیگل ماڈیولر مختلف حوالہ جات بیرونی روابط الجبرائی سطحیں پیچیدہ سطحیں بھی دیکھیں۔