Holomorphic functional calculus
ریاضی میں، ہولومورفک فنکشنل کیلکولس ہولومورفک افعال کے ساتھ فنکشنل کیلکولس ہے۔ یعنی، ایک پیچیدہ دلیل z اور ایک آپریٹر T کے ہولومورفک فنکشن f کو دیکھتے ہوئے، مقصد ایک آپریٹر، f (T) کی تعمیر کرنا ہے، جو قدرتی طور پر فنکشن f کو پیچیدہ دلیل سے آپریٹر دلیل تک پھیلاتا ہے۔ مزید واضح طور پر، فنکشنل کیلکولس ایک مسلسل الجبرا ہومومورفزم کی وضاحت کرتا ہے جو کہ ٹی کے سپیکٹرم کے پڑوس پر ہولومورفک افعال سے باؤنڈڈ آپریٹرز تک ہوتا ہے۔ یہ مضمون اس معاملے پر بحث کرے گا جہاں T کچھ بناچ جگہ پر ایک باؤنڈ لینیر آپریٹر ہے۔ خاص طور پر، T پیچیدہ اندراجات کے ساتھ ایک مربع میٹرکس ہو سکتا ہے، ایک ایسا کیس جس کا استعمال فنکشنل کیلکولس کی وضاحت کرنے اور عمومی تعمیر میں شامل مفروضوں کے لیے کچھ تحقیقی بصیرت فراہم کرنے کے لیے کیا جائے گا۔ ایک عمومی فنکشنل کیلکولس کے لیے محرک کی ضرورت اس حصے میں T کو پیچیدہ اندراجات کے ساتھ ایک n × n میٹرکس سمجھا جائے گا۔ اگر کوئی دی گئی فنکشن f کسی خاص قسم کی ہے، تو f (T) کی وضاحت کرنے کے قدرتی طریقے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ایک پیچیدہ کثیر الجہتی ہے، تو کوئی صرف Z کے لیے T کو تبدیل کر سکتا ہے اور اس بات کی وضاحت کر سکتا ہے کہ T0 = I، شناخت میٹرکس کہاں ہے۔ یہ کثیر الجہتی فنکشنل کیلکولس ہے۔ یہ کثیر الجہتی کے دائرے سے لے کر n × n میٹرکس کے دائرے تک ہومومورفزم ہے۔ کثیر الجہتی سے قدرے توسیع کرتے ہوئے، اگر f: C → C ہر جگہ ہولومورفک ہے، یعنی۔ ایک مکمل فنکشن، جس میں میک لورن سیریز کثیر الجہتی کیس کی نقل کرتی ہے اس سے پتہ چلتا ہے کہ ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں۔ چونکہ میک لورن سیریز ہر جگہ یکجا ہوتی ہے، اس لیے مندرجہ بالا سیریز ایک منتخب آپریٹر کے معیار میں یکجا ہوگی۔ اس کی ایک مثال میٹرکس کا ایکسپونینشل ہے۔ f (z) = ez کی میک لورن سیریز میں z کو T سے تبدیل کرنے سے یہ ضرورت ہوتی ہے کہ f کی میک لورن سیریز ہر جگہ یکجا ہو جائے تو اسے کسی حد تک کم کیا جا سکتا ہے۔ اوپر سے یہ واضح ہے کہ واقعی جس چیز کی ضرورت ہے وہ یہ ہے کہ میک لورن سیریز کے کنورجنس کا رداس ٹی کے آپریٹر معیار، ٹی سے زیادہ ہو۔ یہ کسی حد تک ایف کے خاندان کو بڑھا دیتا ہے جس کے لیے ایف (ٹی) کی تعریف مندرجہ بالا نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ تاہم یہ کافی تسلی بخش نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، میٹرکس تھیوری سے یہ ایک حقیقت ہے کہ ہر غیر سنگل T کا لوگرتھم S اس معنی میں ہوتا ہے کہ eS = T۔ یہ مطلوب ہے کہ ایک فنکشنل کیلکولس ہو جو کسی غیر سنگل T، ln (T) کے لیے اس طرح کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ یہ S کے ساتھ موافق ہو۔ یہ پاور سیریز کے ذریعے نہیں کیا جا سکتا، مثال کے طور پر لوگرتھمک سیریز صرف اوپن یونٹ ڈسک پر یکجا ہوتی ہے۔ سیریز میں Z کے لیے T کو تبدیل کرنے سے الٹا T + I کے لیے ln (T + I) کے لیے ایک اچھی طرح سے متعین اظہار دینے میں ناکام رہتا ہے۔ اس طرح ایک زیادہ عمومی فنکشنل کیلکولس کی ضرورت ہے۔ فنکشنل کیلکولس اور سپیکٹرم یہ توقع کی جاتی ہے کہ f (T) کے معنی کے لیے ایک ضروری شرط f کی وضاحت T کے سپیکٹرم پر کی جائے۔ مثال کے طور پر، عام میٹرکس کے لیے سپیکٹرم تھیوریم بتاتا ہے کہ ہر نارمل میٹرکس یک جہتی سے اخترن پذیر ہے۔ یہ f (T) کی تعریف کی طرف لے جاتا ہے جب T نارمل ہوتا ہے۔ کسی کو مشکلات کا سامنا کرنا پڑتا ہے اگر f (λ) کی وضاحت T کے کچھ آئجن ویلیو λ کے لیے نہیں کی جاتی ہے۔ دیگر اشارے بھی اس خیال کو تقویت دیتے ہیں کہ f (T) کی تعریف صرف اس صورت میں کی جا سکتی ہے جب T کے سپیکٹرم پر f کی وضاحت کی جائے۔ اگر T الٹا نہیں ہے، تو (یاد کرتے ہوئے کہ T ایک n x n میٹرکس ہے) 0 ایک آئجن ویلیو ہے۔ چونکہ قدرتی لوگارتھم 0 پر غیر متعین ہے، اس لیے کوئی توقع کرے گا کہ ln (T) کی قدرتی طور پر تعریف نہیں کی جا سکتی۔ درحقیقت معاملہ ایسا ہی ہے۔ ایک اور مثال کے طور پر، f (T) کا حساب لگانے کا معقول طریقہ ایسا معلوم ہوتا ہے۔ تاہم، اس اظہار کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے اگر دائیں طرف کے الٹ موجود نہ ہوں، یعنی، اگر 2 یا 5 میں سے کوئی بھی T کی آئجن ویلیوز ہوں۔ کسی دیئے گئے میٹرکس T کے لیے، T کی آئجن ویلیوز یہ طے کرتی ہیں کہ f (T) کی تعریف کس حد تک کی جا سکتی ہے۔ یعنی، f (λ) کو T کی تمام آئجن ویلیوز λ کے لیے بیان کیا جانا چاہیے۔ ایک عام باؤنڈ آپریٹر کے لیے اس شرط کا ترجمہ "f کو T کے سپیکٹرم پر بیان کیا جانا چاہیے" ہوتا ہے۔ یہ مفروضہ ایک فعال حالت ثابت ہوتا ہے کہ فنکشنل کیلکولس نقشہ، f → f (T)، کچھ مطلوبہ خصوصیات رکھتا ہے۔ باؤنڈ آپریٹر کے لیے فنکشنل کیلکولس فرض کریں کہ X ایک پیچیدہ بناچ اسپیس ہے، اور L (X) X پر باؤنڈ آپریٹرز کے خاندان کو ظاہر کرتا ہے۔ کلاسیکی فنکشن تھیوری سے کاچی انٹیگرل فارمولا کو یاد کریں۔ فرض کریں کہ f: C → C کسی کھلے سیٹ پر ہولومورفک ہو، اور D میں ایک قابل اصلاح جارڈن وکر ہو، یعنی خود مداخلت کے بغیر محدود لمبائی کا ایک بند وکر۔ فرض کریں کہ پوائنٹس کا سیٹ U، κ کے اندر واقع ہے، یعنی۔ اس طرح کہ z کے بارے میں  ताइڈنگ نمبر 1 ہے، D میں موجود ہے۔ کاچی انٹیگرل فارمولا U میں کسی بھی z کے لیے بیان کرتا ہے۔ خیال یہ ہے کہ اس فارمولے کو بناچ اسپیس L (X) میں اقدار لینے والے افعال تک بڑھایا جائے۔ کاچی کا انٹیگرل فارمولا مندرجہ ذیل تعریف تجویز کرتا ہے (خالصتا رسمی، ابھی کے لیے): جہاں (ζ−T) −1، ζ پر T کا ریزولوینٹ ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ اس بناچ اسپیس ویلیوڈ انٹیگرل کی مناسب وضاحت کی گئی ہے، یہ مجوزہ فنکشنل کیلکولس مندرجہ ذیل ضروری شرائط کا اشارہ کرتا ہے: جیسا کہ کاچی کے انٹیگرل فارمولے کا اسکیلر ورژن ہولومورفک f پر لاگو ہوتا ہے، ہم توقع کرتے ہیں کہ بنچ اسپیس کیس کے لیے بھی ایسا ہی ہے، جہاں بنچ اسپیس L (X) میں اقدار لینے والے افعال کے لیے ہولومورفی کا مناسب تصور ہونا چاہیے۔ چونکہ T، σ (T) کے سپیکٹرم پر ریزولوینٹ میپنگ ζ → (ζ−T) −1 کی وضاحت نہیں کی گئی ہے، اس لیے اردن وکر κ کو σ (T) کو نہیں کاٹنا چاہیے۔ اب، ریزولوینٹ میپنگ σ (T) کی تکمیل پر ہولومورفک ہوگی۔ لہذا غیر معمولی فنکشنل کیلکولس حاصل کرنے کے لیے، κ کو σ (T) کو (کم از کم اس کا حصہ) منسلک کرنا چاہیے۔ فنکشنل کیلکولس کو اس معنی میں اچھی طرح سے بیان کیا جانا چاہیے کہ f (T) کو जात سے آزاد ہونا چاہیے۔ فنکشنل کیلکولس کی مکمل تعریف مندرجہ ذیل ہے: T ω L (X) کے لیے، اس بات کی وضاحت کریں کہ f ایک ہولومورفک فنکشن ہے جس کی وضاحت ایک کھلے سیٹ D ω C پر کی گئی ہے جس میں σ (T) ہوتا ہے، اور γ = {γ1،.، γm} D میں جداگانہ جارڈن منحنی خطوط کا مجموعہ ہے جو ایک "اندرونی" سیٹ U کو پابند کرتا ہے، جیسے کہ σ (T) U میں واقع ہے، اور ہر γi باؤنڈری سینس میں مبنی ہے۔ کھلا سیٹ D f کے ساتھ مختلف ہو سکتا ہے اور اسے منسلک یا صرف منسلک کرنے کی ضرورت نہیں ہے، جیسا کہ دائیں طرف کے اعداد و شمار سے ظاہر ہوتا ہے۔ مندرجہ ذیل ذیلی حصے تعریف میں شامل تصورات کو درست بناتے ہیں اور دکھاتے ہیں کہ ایف (ٹی) واقعی دیئے گئے مفروضوں کے تحت اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ بناچ اسپیس ویلیوڈ انٹیگرل Cf۔ بوچنر انٹیگرل ایک مسلسل فنکشن g کے لیے جس کی وضاحت ایک کھلے پڑوس میں کی گئی ہے اور L (X) میں ویلیوز لیتے ہوئے، کنٹور انٹیگرل کی تعریف اسی طرح کی جاتی ہے جس طرح اسکیلر کیس کے لیے ہوتی ہے۔ کوئی بھی حقیقی وقفہ [a، b] کے ذریعے ہر ایک γi ων کو پیرامیٹرائز کر سکتا ہے، اور انٹیگرل ریمن جملوں کی حد ہے جو [a، b] کی ایور فائنر پارٹیشنوں سے حاصل ہوتی ہے۔ ریمن کے مجموعے یکساں آپریٹر ٹوپولوجی میں یکجا ہوتے ہیں۔ ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں فنکشنل کیلکولس کی تعریف میں، f کو ایک کھلے پڑوس میں ہولومورفک سمجھا جاتا ہے۔ یہ ذیل میں دکھایا جائے گا کہ ریزولوینٹ میپنگ ریزولوینٹ سیٹ پر ہولومورفک ہے۔ لہذا، انٹیگرل معنی رکھتا ہے۔ ریزولوینٹ میپنگ ζ → (ζ−T) −1 کی نقشہ سازی کو T کی ریزولوینٹ میپنگ کہا جاتا ہے۔ اس کی تعریف σ (T) کی تکمیل پر کی جاتی ہے، جسے T کا ریزولوینٹ سیٹ کہا جاتا ہے اور اسے ρ (T) سے ظاہر کیا جائے گا۔ کلاسیکی فنکشن تھیوری کا زیادہ تر انحصار انٹیگرل کی خصوصیات پر ہوتا ہے۔ ہولومورفک فنکشنل کیلکولس اسی طرح کا ہے کہ ریزولوینٹ میپنگ ایک اچھے فنکشنل کیلکولس سے مطلوبہ خصوصیات حاصل کرنے میں اہم کردار ادا کرتی ہے۔ یہ ذیلی حصہ حل شدہ نقشے کی خصوصیات کا خاکہ پیش کرتا ہے جو اس تناظر میں ضروری ہیں۔ پہلا ریزولوینٹ فارمولا براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے، z1 کے لیے، z2 ωρ (T)، لہذا، اس مساوات کو پہلا ریزولوینٹ فارمولا کہا جاتا ہے۔ فارمولہ (z1−T) −1 اور (z2−T) −1 کمیوٹ کو ظاہر کرتا ہے، جو اس حقیقت کی طرف اشارہ کرتا ہے کہ فنکشنل کیلکولس کی شبیہہ ایک تبادلہ الجبرہ ہوگی۔ z2 → z1 سے پتہ چلتا ہے کہ حل کرنے والا نقشہ (پیچیدہ-) ہر z1 bul ρ (T) پر تفریق پذیر ہے۔ اس لیے فنکشنل کیلکولس کے اظہار میں لازمی L (X) میں یکجا ہوتا ہے۔ حل شدہ نقشے کے حوالے سے تفریق پذیری سے زیادہ مضبوط بیان دیا جا سکتا ہے۔ ریزولوینٹ سیٹ ρ (T) دراصل ایک کھلا سیٹ ہے جس پر ریزولوینٹ نقشہ تجزیاتی ہے۔ اس خاصیت کو فنکشنل کیلکولس کے بعد کے دلائل میں استعمال کیا جائے گا۔ اس دعوے کی تصدیق کے لیے، z1 bulρ (T) کو دیکھتے ہیں اور رسمی اظہار پر غور کرتے ہیں جس سے پتہ چلتا ہے کہ ہم (z2−T) −1 کے لیے غور کرتے ہیں۔ مندرجہ بالا سلسلہ L (X) میں یکجا ہوتا ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ (z2−T) −1 کا وجود ہے، اگر اس لیے، حل کرنے والا سیٹ ρ (T) کھلا ہے اور z1−ρ (T) پر مرکوز کھلی ڈسک پر پاور سیریز کا اظہار ظاہر کرتا ہے کہ حل کرنے والا نقشہ ρ (T) پر تجزیاتی ہے۔ نیومن سیریز (z−T) −1 کے لیے ایک اور اظہار بھی مفید ہوگا۔ رسمی اظہار کسی کو غور کرنے کی طرف لے جاتا ہے۔ یہ سلسلہ، نیومن سلسلہ، (z−T) −1 میں یکجا ہو جاتا ہے اگر σ (T) کی کمپیکٹنیس ہو۔ ریزولوینٹ کی آخری دو خصوصیات سے ہم یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ باؤنڈڈ آپریٹر T کا سپیکٹرم σ (T) C کا ایک کمپیکٹ سب سیٹ ہے۔ لہذا، کسی بھی کھلے سیٹ D کے لیے جیسے کہ σ (T) ′D، اردن کے منحنی خطوط کا ایک مثبت اور ہموار نظام موجود ہوتا ہے۔ لہذا، فنکشنل کیلکولس کی تعریف کے لیے، درحقیقت ہر f کے لیے جارڈن منحنی خطوط کا ایک موزوں خاندان پایا جا سکتا ہے جو کسی D پر ہولومورفک ہے۔ اچھی طرح سے طے شدہ پچھلی بحث سے پتہ چلتا ہے کہ انٹیگرل معنی رکھتا ہے، یعنی۔ اردن کے منحنی خطوط کا ایک مناسب مجموعہ ہر f کے لیے موجود ہے اور انٹیگرل مناسب معنوں میں یکجا ہوتا ہے۔ جو چیز نہیں دکھائی گئی ہے وہ یہ ہے کہ فنکشنل کیلکولس کی تعریف غیر واضح ہے، یعنی۔ जात کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ اس مسئلے کو اب ہم حل کرنے کی کوشش کر رہے ہیں۔ ایک ابتدائی حقیقت اردن کے منحنی خطوط کے مجموعے کے لیے γ = {γ1,., γm} اور ایک نقطہ a ωC، a کے حوالے سے γ کا گھومنے والا نمبر اس کے عناصر کے گھومنے والے نمبروں کا مجموعہ ہے۔ اگر ہم وضاحت کرتے ہیں: مندرجہ ذیل تھیوریم کاچی: تھیوریم سے ہے۔ اگر g: G → C ہولومورفک ہے، اور G کی تکمیل میں تمام a کے لیے، n (जातک، a) = 0، تو जातک پر g کا کنٹور انٹیگرل صفر ہے۔ جب g L (X) میں اقدار لیتا ہے تو ہمیں اس نتیجے کے ویکٹر ویلیوڈ اینالاگ کی ضرورت ہوگی۔ اس مقصد کے لیے، g: G → L (X) کو ہولومورفک ہونے دیں، اسی مفروضوں کے ساتھ۔ خیال یہ ہے کہ ایل (ایکس) کی دوہری جگہ ایل (ایکس) * کا استعمال کریں، اور اسکیلر کیس کے لیے کاچی کے نظریہ کو منتقل کریں۔ انٹیگرل پر غور کریں اگر ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ تمام φωL (X) * اس انٹیگرل پر غائب ہو جاتے ہیں تو انٹیگرل خود صفر ہونا چاہیے۔ چونکہ φ باؤنڈ ہے اور انٹیگرل معمول میں یکجا ہوتا ہے، اس لیے ہمارے پاس: لیکن g ہولومورفک ہے، اس لیے ترکیب φ (g): G ऱ् C → C ہولومورفک ہے اور اس لیے کاچی کے نظریہ کے مطابق بنیادی دلیل فنکشنل کیلکولس کی اچھی طرح سے وضاحت اب ایک آسان نتیجہ کے طور پر سامنے آتی ہے۔ فرض کریں کہ D ایک کھلا سیٹ ہے جس میں σ (T) ہے۔ فرض کریں کہ κ = {γi} اور ω = {ωj} جارڈن منحنی خطوط کے دو (محدود) مجموعے ہیں جو فنکشنل کیلکولس کے لیے دیے گئے مفروضے کو پورا کرتے ہیں۔ ہم یہ دکھانا چاہتے ہیں کہ ہر ωj کی واقفیت کو الٹ کر ω سے حاصل کیا جائے، پھر دونوں مجموعوں کے اتحاد پر غور کریں۔ دونوں γ اور σ (T) کمپیکٹ ہیں۔ تو کچھ کھلا سیٹ U ہے جس میں γ ≤ ω′ اس طرح ہے کہ σ (T) U کی تکمیل میں ہے۔ U کی تکمیل میں کسی بھی a کا گھماؤ نمبر n (κ ≤ ω′، a) = 0 ہوتا ہے اور فنکشن U پر ہولومورفک ہوتا ہے۔ تو کاچی کے نظریہ کا ویکٹر ویلیو ورژن دیتا ہے یعنی۔ اس لیے فنکشنل کیلکولس اچھی طرح سے متعین ہے۔ نتیجتا، اگر f1 اور f2 دو ہولومورفک افعال ہیں جو σ (T) کے پڑوس D1 اور D2 پر بیان کیے گئے ہیں اور وہ σ (T) پر مشتمل ایک کھلے سیٹ پر برابر ہیں، تو f1 (T) = f2 (T)۔ مزید برآں، اگرچہ D1 D2 نہیں ہو سکتا، آپریٹر (f1 + f2) (T) اچھی طرح سے متعین ہے۔ (f1·f2) (T) کی تعریف کے لیے بھی یہی ہے۔ اس مفروضے پر کہ f، σ (T) کے کھلے پڑوس پر ہولومورفک ہے، اب تک اس مفروضے کی مکمل طاقت استعمال نہیں کی گئی ہے۔ انٹیگرل کے کنورجنس کے لیے، صرف تسلسل استعمال کیا گیا تھا۔ اچھی طرح سے متعین ہونے کے لیے، ہمیں صرف ایک کھلے سیٹ U پر ہولومورفک ہونے کے لیے f کی ضرورت تھی جس میں کونٹورز γ ω′ ہوں لیکن ضروری نہیں کہ σ (T) ہوں۔ فنکشنل کیلکولس کی ہومومورفزم پراپرٹی کو ظاہر کرنے میں اس مفروضے کو پوری طرح سے لاگو کیا جائے گا۔ نقشہ f′f (T) کی لکیریٹی انٹیگرل کے کنورجنس سے ملتی ہے اور یہ کہ بناچ اسپیس پر لکیری آپریشنز مسلسل ہوتے ہیں۔ ہم کثیر الجہتی فنکشنل کیلکولس کو اس وقت بازیافت کرتے ہیں جب f (z) = σ0 ≤ i ≤ mi zi ایک کثیر الجہتی ہو۔ یہ ثابت کرنے کے لیے، یہ دکھانے کے لیے کافی ہے، k ≤ 0 اور f (z) = zk کے لیے، یہ سچ ہے کہ f (T) = Tk، یعنی۔ کسی بھی مناسب γ منسلک σ (T) کے لیے۔ T کے آپریٹر کے معیار سے زیادہ رداس کے دائرے کے لیے γ کا انتخاب کریں۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، اس طرح کے γ پر، ریزولوینٹ نقشہ پاور سیریز کی نمائندگی کو قبول کرتا ہے جو δ کرونیکر ڈیلٹا علامت ہے۔ ہومومورفزم پراپرٹی کسی بھی f1 اور f2 کے لیے مناسب مفروضوں کو پورا کرنے کے لیے، ہومومورفزم پراپرٹی بیان کرتی ہے کہ ہم ایک دلیل کا خاکہ بناتے ہیں جو پہلے ریزولوینٹ فارمولے اور f پر رکھے گئے مفروضوں کو مدعو کرتا ہے۔ پہلے ہم اردن کے منحنی خطوط کا انتخاب اس طرح کرتے ہیں کہ γ1، γ2 کے اندر واقع ہو۔ اس کی وجہ نیچے واضح ہو جائے گی۔ براہ راست حساب لگا کر شروع کریں آخری سطر اس حقیقت سے آگے بڑھتی ہے کہ ω bul जातک 1 سے باہر ہے اور f1، σ (T) کے کسی کھلے پڑوس پر ہولومورفک ہے اور اس لیے دوسری اصطلاح ختم ہو جاتی ہے۔ لہذا، ہمارے پاس: کمپیکٹ کنورجنس کے حوالے سے تسلسل GRC کو σ (T) G کے ساتھ کھلا رہنے دیں۔ فرض کریں کہ G پر ہولومورفک افعال کی ایک ترتیب (fk) G کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتی ہے (اسے بعض اوقات کمپیکٹ کنورجنس کہا جاتا ہے)۔ پھر {fk (T)} L (X) میں متغیر ہے: سادگی کے لیے فرض کریں کہ κ صرف ایک جارڈن وکر پر مشتمل ہے۔ ہم تخمینہ لگاتے ہیں کہ یکساں کنورجنس مفروضے اور مختلف تسلسل کے تحفظات کو یکجا کرکے، ہم دیکھتے ہیں کہ اوپر کا رجحان 0 کے طور پر k، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l، l تو {fk (T)} کاچی ہے، اس لیے متغیر ہے۔ خلاصہ کرنے کے لیے، ہم نے ہولومورفک فنکشنل کیلکولس، f → f (T) دکھایا ہے، جس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: یہ کثیر الجہتی فنکشنل کیلکولس کو بڑھاتا ہے۔ یہ ہولومورفک افعال کے الجبرا سے ایک الجبرا ہومومورفزم ہے جس کی وضاحت σ (T) سے L (X) کے پڑوس پر کی گئی ہے۔ یہ کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس کو محفوظ رکھتا ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ مندرجہ بالا خصوصیات کو مطمئن کرنے والا کیلکولس منفرد ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ، اب تک زیر بحث ہر چیز لفظی ہے اگر باؤنڈڈ آپریٹرز L (X) کے خاندان کو بناچ الجبرا A سے تبدیل کیا جائے۔ فنکشنل کیلکولس کی تعریف بالکل اسی طرح کی جا سکتی ہے جیسے کسی عنصر کے لیے اے۔ سپیکٹرم کے لحاظ سے سپیکٹرم میپنگ تھیوریم۔ یہ معلوم ہے کہ سپیکٹرم میپنگ تھیوریم کثیر الجہتی فنکشنل کیلکولس کے لیے ہے: کسی بھی کثیر الجہتی پی کے لیے، σ (p (T)) = p (σ (T))۔ اسے ہولومورفک کیلکولس تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ f (σ (T)) ρ (f (T)) کو ظاہر کرنے کے لیے، فرض کریں کہ μ کوئی بھی پیچیدہ عدد ہے۔ پیچیدہ تجزیے کے نتیجے میں، σ (T) کے پڑوس پر ایک فنکشن g ہولومورفک موجود ہے جیسے کہ ہومومورفزم پراپرٹی کے مطابق، f (T) − f (μ) = (T − μ) g (T)۔ لہذا، m (t) کا مطلب f (m (t)) ہے۔ دوسری شمولیت کے لیے، اگر μ f (σ (T)) میں نہیں ہے، تو فنکشنل کیلکولس لاگو ہوتا ہے۔ لہذا، μ σ (f (T)) میں نہیں ہے۔ سپیکٹرم پروجیکشنز بنیادی خیال مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ K، σ (T) اور U کا ذیلی مجموعہ ہے، V بالترتیب K اور σ (T) \K کے جداگانہ پڑوس ہیں۔ ای (زیڈ) = 1 کی وضاحت کریں اگر زیڈ یو اور ای (زیڈ) = 0 اگر زیڈ وی۔ تب ای [ای (زیڈ)] 2 = ای (زیڈ) کے ساتھ ایک ہولومورفک فنکشن ہے اور اس طرح، ایک مناسب کونٹور کے لیے جو یو وی میں واقع ہے اور جو σ (ٹی) کو گھیرے ہوئے ہے، لکیری آپریٹر ایک باؤنڈڈ پروجیکشن ہوگا جو ٹی کے ساتھ کام کرتا ہے اور بہت ساری مفید معلومات فراہم کرتا ہے۔ یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ منظر نامہ تب ہی ممکن ہے جب σ (T) پر سب اسپیس ٹوپولوجی میں K کھلا اور بند دونوں ہو۔ مزید برآں، سیٹ V کو محفوظ طریقے سے نظر انداز کیا جا سکتا ہے کیونکہ اس پر e صفر ہے اور اس لیے انٹیگرل میں کوئی حصہ نہیں ڈالتا ہے۔ پروجیکشن e (T) کو K پر T کا سپیکٹرم پروجیکشن کہا جاتا ہے اور اسے P (K ؛ T) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح σ (T) کا ہر سب سیٹ K جو سب اسپیس ٹوپولوجی میں کھلا اور بند دونوں ہے اس سے وابستہ سپیکٹرم پروجیکشن ہوتا ہے جس کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں γ ایک سموچ ہے جو K کو گھیرے ہوئے ہے لیکن σ (T) کے کوئی دوسرے نکات نہیں ہیں۔ چونکہ P = P (K ؛ T) باؤنڈ ہے اور T کے ساتھ کمیوٹ کرتا ہے اس لیے یہ T کو U ≤ V کی شکل میں ظاہر کرنے کے قابل بناتا ہے جہاں U = T|PX اور V = T | (1−P) X۔ PX اور (1−P) X دونوں T کی غیر متغیر ذیلی جگہیں ہیں اس کے علاوہ σ (U) = K اور σ (V) = σ (T) \K۔ ایک کلیدی خاصیت باہمی آرتھوگونالیٹی ہے۔ اگر L، σ (T) پر سب اسپیس ٹوپولوجی میں ایک اور کھلا اور بند سیٹ ہے تو P (K ؛ T) P (L ؛ T) = P (L ؛ T) P (K ؛ T) = P (K θL ؛ T) جو کہ صفر ہے جب بھی K اور L جداگانہ ہوتے ہیں۔ سپیکٹرم پروجیکشنز کی متعدد ایپلی کیشنز ہیں۔ σ (T) کا کوئی بھی الگ تھلگ نقطہ سب اسپیس ٹوپولوجی میں کھلا اور بند دونوں ہوتا ہے اور اس لیے اس سے وابستہ سپیکٹرم پروجیکشن ہوتا ہے۔ جب X کا طول و عرض محدود ہوتا ہے تو σ (T) الگ تھلگ پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے اور اس کے نتیجے میں سپیکٹرم پروجیکشنز اردن نارمل فارم کی ایک قسم کا باعث بنتے ہیں جس میں ایک ہی آئجن ویلیو سے مطابقت رکھنے والے تمام اردن بلاکس کو مستحکم کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں فی الگ آئجن ویلیو بالکل ایک بلاک ہوتا ہے۔ اگلے حصے میں اس سڑنے پر مزید تفصیل سے غور کیا گیا ہے۔ بعض اوقات سپیکٹرم پروجیکشنز کو ان کے پیرنٹ آپریٹرز سے خصوصیات وراثت میں ملتی ہیں۔ مثال کے طور پر اگر T سپیکٹرم رداس r کے ساتھ ایک مثبت میٹرکس ہے تو پیرون-فروبینیوس تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ r bul σ (T) ہے۔ متعلقہ سپیکٹرم پروجیکشن P = P (r ؛ T) بھی مثبت ہے اور باہمی آرتھوگونالیٹی کے لحاظ سے کسی دوسرے سپیکٹرم پروجیکشن میں مثبت صف یا کالم نہیں ہو سکتا۔ در حقیقت TP = rP اور (T/r) n → P بطور n → φ تو یہ پروجیکشن P (جسے پیرون پروجیکشن کہا جاتا ہے) (T/r) n کا تخمینہ لگاتا ہے جیسے جیسے n بڑھتا ہے، اور اس کا ہر کالم T کا آئجن ویکٹر ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر اگر T ایک کمپیکٹ آپریٹر ہے تو σ (T) میں موجود تمام غیر صفر پوائنٹس الگ تھلگ ہوتے ہیں اور اس لیے ان میں سے کسی بھی محدود ذیلی سیٹ کو T کو سڑنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ متعلقہ سپیکٹرم پروجیکشن میں ہمیشہ محدود درجہ ہوتا ہے۔ ایل (ایکس) میں وہ آپریٹرز جن کی سپیکٹرم کی خصوصیات ایک جیسی ہوتی ہیں، ریز آپریٹرز کے نام سے جانے جاتے ہیں۔ ریز آپریٹرز کی بہت سی کلاسیں (بشمول کمپیکٹ آپریٹرز) ایل (ایکس) میں مثالی ہیں اور تحقیق کے لیے ایک بھرپور میدان فراہم کرتی ہیں۔ تاہم اگر X ایک ہلبرٹ اسپیس ہے تو ریز آپریٹرز اور محدود رینک کے درمیان بالکل ایک بند آئیڈیل سینڈوچ ہے۔ مذکورہ بالا بحث کا زیادہ تر حصہ ایک پیچیدہ بناچ الجبرا کے زیادہ عمومی تناظر میں ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ یہاں سپیکٹرم پروجیکشنز کو سپیکٹرم آئیڈیمپوٹینٹس کہا جاتا ہے کیونکہ ان کے لیے اب کوئی جگہ نہیں رہ سکتی ہے۔ اگر سپیکٹرم σ (T) جڑا ہوا نہیں ہے، تو فنکشنل کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے X کو T کی غیر متغیر ذیلی جگہوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ σ (T) کو ایک جداگانہ اتحاد ہونے دیں۔ کسی ایسے محلے پر جس میں صرف جزو Fi اور کہیں اور 0 ہو، Ei کی تعریف 1 کریں۔ ہومومورفزم پراپرٹی کے مطابق، ای آئی (ٹی) تمام آئی کے لیے ایک پروجیکشن ہے۔ درحقیقت یہ صرف سپیکٹرم پروجیکشن پی (فائی ؛ ٹی) ہے جو اوپر بیان کیا گیا ہے۔ تعلق ای آئی (ٹی) ٹی = ٹی ای آئی (ٹی) کا مطلب ہے کہ ہر ای آئی (ٹی) کی حد، جسے زی سے ظاہر کیا جاتا ہے، ٹی کی ایک غیر متغیر ذیلی جگہ ہے۔ چونکہ ایکس کو ان تکمیلی ذیلی جگہوں کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے: اسی طرح، اگر ٹی ٹی کو زی تک محدود کیا گیا ہے، تو براہ راست رقم پر غور کریں۔ نقشہ سازی R: X '→ X کی تعریف ایک بناچ اسپیس آئسومورفزم ہے، اور ہم دیکھتے ہیں کہ اسے T کے بلاک ڈائیگنلائزیشن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ جب X محدود جہتی ہوتا ہے، تو σ (T) = {λi} پیچیدہ سطح میں پوائنٹس کا ایک محدود مجموعہ ہوتا ہے۔ سپیکٹرم سے صرف λi پر مشتمل کھلی ڈسک پر Ei کو 1 منتخب کریں۔ متعلقہ بلاک-ڈائیگنل میٹرکس T کی اردن کینونکل شکل ہے۔ متعلقہ نتائج مضبوط مفروضوں کے ساتھ، جب T ہلبرٹ اسپیس پر کام کرنے والا ایک نارمل آپریٹر ہوتا ہے، تو فنکشنل کیلکولس کے ڈومین کو وسیع کیا جا سکتا ہے۔ دونوں نتائج کا موازنہ کرتے وقت، عام میٹرکس کے لیے سپیکٹرم تھیوریم اور اردن کینونکل فارم کے درمیان تعلق کے ساتھ ایک کھردری مشابہت کی جا سکتی ہے۔ جب T ایک نارمل آپریٹر ہوتا ہے، تو ایک مسلسل فنکشنل کیلکولس حاصل کیا جا سکتا ہے، یعنی کوئی f (T) کا اندازہ لگا سکتا ہے جس میں f ایک مسلسل فنکشن ہے جس کی وضاحت σ (T) پر کی گئی ہے۔ پیمائش کے نظریہ کی مشینری کا استعمال کرتے ہوئے، اسے ان افعال تک بڑھایا جا سکتا ہے جو صرف قابل پیمائش ہیں (دیکھیں بوریل فنکشنل کیلکولس)۔ اس سیاق و سباق میں، اگر E ρσ (T) ایک بوریل سیٹ ہے اور 1E E کی خصوصیت فنکشن ہے، تو پروجیکشن آپریٹر 1E (T) اوپر زیر بحث Ei (T) کی اصلاح ہے۔ بوریل فنکشنل کیلکولس ہلبرٹ اسپیس پر غیر محدود سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز تک پھیلا ہوا ہے۔ قدرے زیادہ تجریدی زبان میں، ہولومورفک فنکشنل کیلکولس کو بناچ الجبرا کے کسی بھی عنصر تک بڑھایا جا سکتا ہے، بنیادی طور پر وہی دلائل استعمال کرتے ہوئے جو اوپر دیے گئے ہیں۔ اسی طرح، مسلسل فنکشنل کیلکولس کسی بھی C *-الجبرا میں نارمل عناصر کے لیے ہوتا ہے اور کسی بھی وان نیومن الجبرا میں نارمل عناصر کے لیے قابل پیمائش فنکشنل کیلکولس ہوتا ہے۔ غیر باؤنڈ آپریٹرز ایک ہولومورفک فنکشنل کیلکولس کی تعریف اسی طرح کے انداز میں غیر باؤنڈ بند آپریٹرز کے لیے کی جا سکتی ہے جن کے پاس غیر خالی ریزولوینٹ سیٹ ہوتا ہے۔ ریزولونٹ فارملزم اردن کینونکل فارم بھی دیکھیں، جہاں محدود جہتی کیس پر کچھ تفصیل سے تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ حوالہ جات این۔ ڈنفورڈ اور جے۔ ٹی۔ شوارٹز، لکیری آپریٹرز، حصہ اول: جنرل تھیوری، انٹرسائنس، 1958۔ سٹیون جی کرانٹز۔ ڈکشنری آف الجبرا، ارتھمیٹک، اور ٹریگونومیٹری۔ سی آر سی پریس، 2000۔ اسرائیل گوبرگ، سیمور گولڈ برگ اور مارینس اے کاشوک، کلاسز آف لینیر آپریٹرز: جلد 1۔ برکھاؤسر، 1991.. ہولومورفک افعال