Map-coloring games
نقشہ رنگنے والے کئی کھیلوں کا مطالعہ مشترکہ گیم تھیوری میں کیا جاتا ہے۔ عام خیال یہ ہے کہ ہمیں ایک نقشہ دیا جاتا ہے جس میں خطوں کو کھینچا جاتا ہے لیکن تمام خطوں کو رنگین نہیں کیا جاتا ہے۔ دو کھلاڑی، بائیں اور دائیں، باری باری ایک غیر رنگین علاقے میں رنگ لیتے ہیں، مختلف رکاوٹوں کے تابع، جیسا کہ نقشے کے رنگ کے مسئلے میں ہوتا ہے۔ حرکت کی رکاوٹیں اور جیتنے کی حالت مخصوص کھیل کی خصوصیات ہیں۔ کچھ کھلاڑیوں کو دوہری گراف کے عمودی حصوں کو رنگنا آسان لگتا ہے، جیسا کہ فور کلر تھیوریم میں ہے۔ کھیل کے اس طریقہ کار میں، علاقوں کی نمائندگی چھوٹے حلقوں سے کی جاتی ہے، اور پڑوسی علاقوں کے حلقے لکیر کے حصوں یا منحنی خطوط سے جڑے ہوتے ہیں۔ اس طریقہ کار کے فوائد یہ ہیں کہ موڑ پر صرف ایک چھوٹے سے علاقے کو نشان زد کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اور یہ کہ نمائندگی عام طور پر کاغذ یا اسکرین پر کم جگہ لیتی ہے۔ پنسل اور کاغذ کے بجائے کمپیوٹر انٹرفیس کے ساتھ کھیلتے وقت پہلا فائدہ کم اہم ہوتا ہے۔ گو اسٹونز یا چیکرز کے ساتھ کھیلنا بھی ممکن ہے۔ ہر کھیل میں ایک موروثی رکاوٹ رنگین علاقوں میں کھلاڑیوں کے لیے دستیاب رنگوں کا مجموعہ ہے۔ اگر بائیں اور دائیں کے پاس ایک جیسے رنگ دستیاب ہیں، تو کھیل غیر جانبدار ہے ؛ بصورت دیگر کھیل متعصبانہ ہے۔ رنگوں کا مجموعہ کھیل کی حالت پر بھی منحصر ہو سکتا ہے ؛ مثال کے طور پر یہ ضروری ہو سکتا ہے کہ استعمال شدہ رنگ پچھلے اقدام پر استعمال ہونے والے رنگ سے مختلف ہو۔ کسی حرکت پر نقشے پر مبنی رکاوٹیں عام طور پر اس خطے کے رنگین ہونے اور اس کے پڑوسیوں پر مبنی ہوتی ہیں، جبکہ نقشے کے رنگ کے مسئلے میں، خطوں کو پڑوسی سمجھا جاتا ہے جب وہ ایک نقطہ سے زیادہ لمبی حد کے ساتھ ملتے ہیں۔ کلاسیکی نقشے کے رنگ کے مسئلے کے لیے ضروری ہے کہ کسی بھی دو پڑوسی علاقوں کو ایک ہی رنگ نہ دیا جائے۔ کلاسیکی اقدام کی رکاوٹ کسی علاقے کو اس کے پڑوسی کے رنگ سے رنگنے پر پابندی لگا کر اسے نافذ کرتی ہے۔ کلاسیکی مخالف رکاوٹ کسی علاقے کو اس رنگ سے رنگنے سے منع کرتی ہے جو اس کے پڑوسیوں میں سے کسی ایک کے رنگ سے مختلف ہو۔ ایک اور قسم کی رکاوٹ اینٹیلمنٹ ہے، جس میں پہلے کے بعد ہر حرکت کو پچھلے اقدام پر رنگے ہوئے علاقے کے پڑوسی کو رنگنا چاہیے۔ اینٹی اینٹیلمنٹ ایک اور ممکنہ رکاوٹ ہے۔ دیگر قسم کی رکاوٹیں ممکن ہیں، جیسے کہ پڑوسیوں کے پڑوسی علاقوں کو مختلف یا ایک جیسے رنگ استعمال کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس تصور کو گراف کے فاصلے دو پر علاقوں پر لاگو ہونے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور اسے زیادہ فاصلے تک عام کیا جا سکتا ہے۔ جیتنے کے حالات فاتح عام طور پر منتقل ہونے والا آخری کھلاڑی ہوتا ہے۔ اسے نارمل پلے کنونشن کہا جاتا ہے۔ مسیر پلے کنونشن آخری کھلاڑی کو کھیل ہارنے کے لیے منتقل کرنے پر غور کرتا ہے۔ جیتنے اور ہارنے کے دیگر ممکنہ حالات بھی ممکن ہیں، جیسے کہ گنتی کا علاقہ، جیسا کہ گو میں ہے۔ یک رنگ اور متغیرات یہ کھیل، جو (سلور مین، 1971) میں نمودار ہوئے، سبھی کلاسیکی حرکت کی رکاوٹ کا استعمال کرتے ہیں۔ غیر جانبدار کھیل "مونوکروم" میں صرف ایک رنگ دستیاب ہوتا ہے، اس لیے ہر حرکت رنگین علاقے اور اس کے پڑوسیوں کو کھیل سے ہٹا دیتی ہے۔ "بائکروم" میں دونوں کھلاڑیوں کے پاس کلاسیکی حالت کے تابع دو رنگوں کا انتخاب ہوتا ہے۔ دونوں کھلاڑی ایک ہی دو رنگوں میں سے انتخاب کرتے ہیں، اس لیے کھیل غیر جانبدار ہے۔ "ٹرائکروم" کھلاڑیوں کے لیے اسے تین رنگوں تک بڑھا دیتا ہے۔ اس شرط کو کسی بھی مقررہ تعداد میں رنگوں تک بڑھایا جا سکتا ہے، جس سے مزید کھیل حاصل ہوتے ہیں۔ جیسا کہ سلور مین نے ذکر کیا ہے، اگرچہ فور کلر تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی پلانر نقشے کو چار رنگوں سے رنگا جا سکتا ہے، لیکن یہ ان نقشوں پر لاگو نہیں ہوتا ہے جن میں کچھ رنگ بھرے ہوئے ہیں، اس لیے چار سے زیادہ رنگوں کو شامل کرنے سے کھیلوں پر اثر پڑ سکتا ہے۔ "کول" میں کلاسیکی رکاوٹ کے تابع دو رنگ ہوتے ہیں، لیکن بائیں طرف صرف B "l" ue علاقوں کو رنگنے کی اجازت ہے، جبکہ دائیں طرف صرف انہیں "R" ed رنگنے کی اجازت ہے۔ اس طرح یہ ایک متعصبانہ کھیل ہے، کیونکہ کھیل کے دوران بائیں اور دائیں طرف مختلف حرکتیں دستیاب ہو جاتی ہیں۔ "سنورٹ" دو رنگوں کی اسی طرح کی متعصبانہ تفویض کا استعمال کرتا ہے، لیکن کلاسیکی مخالف رکاوٹ کے ساتھ: پڑوسی علاقوں کو مختلف رنگ دینے کی اجازت نہیں ہے۔ خطوں کو رنگنے کی وضاحت بیلوں اور گایوں کو کھیت تفویض کرنے کے طور پر کی گئی ہے، جہاں پڑوسی کھیتوں میں مخالف جنس کے مویشی نہ ہوں، ورنہ وہ اپنے چرانے سے ہٹ جائیں گے۔ ان کھیلوں کو (کونوے، 1976) میں پیش اور تجزیہ کیا گیا تھا۔ یہ نام رکاوٹوں میں فرق کے لیے یادگاری ہیں (کلاسیکی نقشہ رنگ بمقابلہ جانوروں کی آوازیں)، لیکن کونوے ان کو اپنے ساتھیوں کولن ووٹ اور سائمن نارٹن سے بھی منسوب کرتے ہیں۔ دوسرے کھیل غیر جانبدار کھیل "رابطہ" (سلور مین، 1971) ایک ہی رنگ کا استعمال کرتا ہے جس میں رکاوٹ ہوتی ہے: تمام حرکتیں پہلے رنگ کے بعد تازہ ترین رنگ والے علاقے کے پڑوسی کے ساتھ ہوتی ہیں۔ سلور مین "مسیر کانٹیکٹ" کی ایک مثال بھی فراہم کرتا ہے۔ نقشے کے رنگ کے کھیل کے تصور کو فرشتوں اور شیطانوں جیسے کھیلوں کا احاطہ کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے، جہاں رنگ کے قوانین ذائقہ میں کچھ مختلف ہوتے ہیں۔ حوالہ جات نظر ثانی شدہ اور نظر ثانی شدہ کے طور پر دوبارہ شائع اور مشترکہ گیم تھیوری ریاضیاتی گیمز کے طور پر دوبارہ شائع کیا گیا