Height function
اونچائی فنکشن ایک فنکشن ہے جو ریاضیاتی اشیاء کی پیچیدگی کی مقدار طے کرتا ہے۔ ڈیوفنٹائن جیومیٹری میں، اونچائی کے افعال ڈیوفنٹائن مساوات کے حل کے سائز کی مقدار طے کرتے ہیں اور عام طور پر الجبرائی اقسام (یا الجبرائی اقسام کے ایک سیٹ) پر پوائنٹس کے ایک سیٹ سے لے کر حقیقی اعداد تک کے افعال ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، عقلی اعداد پر کلاسیکی یا سادہ اونچائی کو عام طور پر نقاط کے اعداد اور فرقوں کی زیادہ سے زیادہ حد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ نقاط کے لیے)، لیکن لوگرتھمک پیمانے میں۔ اہمیت اونچائی کے افعال ریاضی دانوں کو ایسی اشیاء کو گننے کی اجازت دیتے ہیں، جیسے کہ عقلی نکات، جو بصورت دیگر مقدار میں لامحدود ہیں۔ مثال کے طور پر، کسی بھی دی گئی مستقل سے نیچے سادہ اونچائی (عدد اور ڈینومینیٹر کا زیادہ سے زیادہ جب سب سے کم اصطلاحات میں ظاہر کیا جاتا ہے) کے عقلی اعداد کا مجموعہ لامحدود ہونے کے باوجود محدود ہوتا ہے۔ اس لحاظ سے، اونچائی کے افعال کو غیر علامتی نتائج کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جیسے کہ ماورائے عدد کے نظریہ میں بیکر کا نظریہ جس کے ذریعے ثابت کیا گیا تھا۔ دوسرے معاملات میں، اونچائی کے افعال کچھ اشیاء کو ان کی پیچیدگی کی بنیاد پر الگ کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سب اسپیس تھیوریم جس کے ذریعے ثابت کیا گیا ہے اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ چھوٹے اونچائی کے پوائنٹس (یعنی۔ پروجیکٹو اسپیس میں چھوٹی پیچیدگی) ہائپرپلین کی ایک محدود تعداد میں ہوتی ہے اور S-یونٹ مساوات کے انٹیگرل پوائنٹس اور حل پر سیگل کے نظریہ کو عام کرتی ہے۔ اونچائی کے افعال بالترتیب مورڈیل-ویل تھیوریم اور فالٹنگز تھیوریم کے ثبوتوں کے لیے اہم تھے۔ الجبرائی اقسام پر عقلی نکات کی بلندیوں کے بارے میں متعدد غیر حل شدہ مسائل، جیسے مانین قیاس اور ووجٹا کا قیاس، ڈیوفنٹائن تخمینہ، ڈیوفنٹائن مساوات، ریاضی کی جیومیٹری، اور ریاضیاتی منطق کے مسائل کے لیے دور رس مضمرات رکھتے ہیں۔ تاریخ اونچائی فنکشن کی ایک ابتدائی شکل گیمبٹسٹا بینیڈیٹی (c. 1563) نے تجویز کی تھی، جس نے استدلال کیا کہ موسیقی کے وقفے کے ہم آہنگی کو اس کے عدد اور ڈینومینیٹر (کم شکل میں) کے پروڈکٹ سے ماپا جا سکتا ہے۔ دیکھیں۔ ڈیوفنٹائن جیومیٹری میں اونچائی ابتدائی طور پر آندرے ویل اور ڈگلس نارتھکوٹ نے 1920 کی دہائی میں شروع کی تھی۔ 1960 کی دہائی میں ہونے والی اختراعات میں نیرون-ٹیٹ کی اونچائی اور یہ احساس تھا کہ اونچائیوں کو پروجیکٹو نمائندگی سے اسی طرح جوڑا گیا تھا جس طرح الجبرائی جیومیٹری کے دوسرے حصوں میں کافی لائن بنڈل ہیں۔ 1970 کی دہائی میں، سرین اراکیلوف نے اراکیلوف تھیوری میں اراکیلوف کی بلندیاں تیار کیں۔ 1983 میں، فالٹنگز نے فالٹنگز تھیوریم کے ثبوت میں فالٹنگز کی بلندیوں کا اپنا نظریہ تیار کیا۔ ڈیوفنٹائن جیومیٹری میں اونچائی کے افعال ناکارہ اونچائی کلاسیکی یا ناکارہ اونچائی کی تعریف یکساں نقاط پر عام مطلق قدر کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ یہ عام طور پر ایک لوگرتھمک پیمانہ ہوتا ہے اور اس لیے اسے "الجبرائی پیچیدگی" یا کسی نقطہ کو ذخیرہ کرنے کے لیے درکار بٹس کی تعداد کے متناسب ہونے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اسے عام طور پر سب سے کم مشترکہ ڈینومینیٹر کے ذریعے ضرب دے کر حاصل کردہ کوپرائم انٹیجرز کے ویکٹر کی زیادہ سے زیادہ مطلق قدر کا لوگارتھم قرار دیا جاتا ہے۔ یہ ق پر پروجیکٹو اسپیس میں کسی نقطہ پر اونچائی کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یا کسی کثیر الجہتی کی، جسے کوفیشنٹس کا ویکٹر سمجھا جاتا ہے، یا الجبرائی نمبر کی، اس کے کم سے کم کثیر الجہتی کی اونچائی سے۔ عقلی عدد x = p/q (سب سے کم اصطلاحات میں) کی سادہ اونچائی ضرب اونچائی لوگرتھمک اونچائی ہے: لہذا، کی سادہ ضرب اور لوگرتھمک بلندیاں ہیں اور، مثال کے طور پر۔ ایک الپٹک منحنی خطوط E کی سادہ اونچائی H کو اس طرح بیان کیا گیا ہے۔ Néron-Tate اونچائی Néron-Tate اونچائی، یا کینونکل اونچائی، ایک عالمی میدان پر بیان کردہ ابیلین قسم کے عقلی نکات کے مورڈیل-ویل گروپ پر ایک مربع شکل ہے۔ اس کا نام آندرے نیرن کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے سب سے پہلے اسے مقامی بلندیوں کے مجموعے کے طور پر بیان کیا، اور جان ٹیٹ، جس نے ایک غیر شائع شدہ کام میں عالمی سطح پر اس کی وضاحت کی۔ ویل کی اونچائی X کو نمبر فیلڈ K پر ایک پروجیکٹو قسم ہونے دیں۔ L کو X پر لائن بنڈل ہونے دیں۔ ایل کے حوالے سے ایکس پر ویل کی اونچائی کی وضاحت مندرجہ ذیل ہے۔ سب سے پہلے، فرض کریں کہ L بہت کافی ہے۔ عالمی حصوں کی جگہ کی بنیاد کا انتخاب ایکس سے پروجیکٹو اسپیس تک مورفزم φ کی وضاحت کرتا ہے، اور ایکس پر تمام پوائنٹس پی کے لیے، ایک وضاحت کرتا ہے، جہاں ایچ پروجیکٹو اسپیس پر سادہ اونچائی ہے۔ فکسڈ X اور L کے لیے، گلوبل سیکشنز کی مختلف بنیاد کا انتخاب بدلتا ہے، لیکن صرف p کے باؤنڈ فنکشن سے۔ اس طرح کسی فنکشن کے اضافے تک اچھی طرح سے وضاحت کی جاتی ہے جو O (1) ہے۔ عام طور پر، کوئی بھی ایل کو ایکس پر دو بہت وسیع لائن بنڈلوں ایل 1 اور ایل 2 کے فرق کے طور پر لکھ سکتا ہے اور اس کی وضاحت کر سکتا ہے کہ کون سا دوبارہ او (1) تک اچھی طرح سے متعین ہے۔ اراکیلوف اونچائی الجبرائی اعداد کے میدان پر ایک پروجیکٹو اسپیس پر اراکیلوف اونچائی ایک عالمی اونچائی فنکشن ہے جس میں مقامی شراکت آرکیمیڈین فیلڈز پر فوبینی اسٹڈی میٹرکس اور غیر آرکیمیڈین فیلڈز پر معمول کی میٹرک سے آتی ہے۔ یہ ایک مختلف میٹرک سے لیس معمول کی ویل اونچائی ہے۔ فالٹنگز اونچائی کسی نمبر فیلڈ پر بیان کردہ ابیلین قسم کی فالٹنگز اونچائی اس کی ریاضی کی پیچیدگی کی پیمائش ہے۔ اس کی تعریف میٹرائزڈ لائن بنڈل کی اونچائی کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ اسے مورڈیل قیاس آرائی کے ثبوت میں پیش کیا گیا تھا۔ الجبرا میں اونچائی کے افعال کسی کثیر الجہتی کے لیے اونچائی H (P) کے ذریعہ دی گئی ڈگری n کے کثیر الجہتی P کی تعریف اس کے گتانک کے طول و عرض کی زیادہ سے زیادہ کے طور پر کی جاتی ہے: اسی طرح لمبائی L (P) کو گتانک کے طول و عرض کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: ماہلر پیمائش سے تعلق P کی ماہلر پیمائش M (P) بھی P کی پیچیدگی کی پیمائش ہے۔ تین افعال H (P)، L (P) اور M (P) ان عدم مساوات سے متعلق ہیں جہاں بائنومیل گتانک ہے۔ آٹومورفک شکلوں میں اونچائی کے افعال ایڈیلک الجبرائی گروپ کے عمومی لکیری گروپ پر آٹومورفک فارم کی تعریف میں ایک اعتدال پسند نمو ہے، جو عام لکیری گروپ پر اونچائی کے فنکشن کی نشوونما پر ایک غیر علامتی حالت ہے جسے ایک افائن قسم کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ دیگر اونچائی کے افعال ایک ناقابل کٹوتی عقلی نمبر x = p/q، q> 0 کی اونچائی ہے (یہ فنکشن اور کے درمیان بائیجیکشن بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے)۔ اے بی سی قیاس آرائی برچ اور سوئنرٹن ڈائر قیاس آرائی ایلیپٹک لیمر قیاس آرائی ہیتھ-براؤن-موروز مستقل اونچائی ایک رسمی گروپ قانون اونچائی زیٹا فنکشن ریناؤڈ کا آئسوجینی تھیوریم ٹری اونچائی حوالہ جات ذرائع → ریاضی کی دنیا میں پولینومیلز میں بیرونی لنکس پولینومیل اونچائی کا انگریزی ترجمہ پر مشتمل ہے ابیلین اقسام ایلیپٹک منحنی خطوط ڈیوفنٹین جیومیٹری الجبرائی نمبر تھیوری الجبرا