Subharmonic function
ریاضی میں، ذیلی ہارمونک اور سپر ہارمونک افعال افعال کی اہم کلاسیں ہیں جو جزوی تفریقی مساوات، پیچیدہ تجزیہ اور ممکنہ نظریہ میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہیں۔ بدیہی طور پر، ذیلی ہارمونک افعال کا تعلق مندرجہ ذیل طور پر ایک متغیر کے کنویکس افعال سے ہے۔ اگر کسی کنویکس فنکشن کا گراف اور ایک لکیر دو نکات پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہے، تو کنویکس فنکشن کا گراف ان نکات کے درمیان کی لکیر سے نیچے ہوتا ہے۔ اسی طرح، اگر کسی سب ہارمونک فنکشن کی اقدار گیند کی حد پر ہارمونک فنکشن کی اقدار سے بڑی نہیں ہیں، تو سب ہارمونک فنکشن کی اقدار گیند کے اندر بھی ہارمونک فنکشن کی اقدار سے بڑی نہیں ہیں۔ سپر ہارمونک افعال کو اسی تفصیل سے بیان کیا جا سکتا ہے، صرف "کوئی بڑا نہیں" کو "کوئی چھوٹا نہیں" سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، ایک سپر ہارمونک فنکشن صرف ایک سب ہارمونک فنکشن کا منفی ہے، اور اس وجہ سے سب ہارمونک افعال کی کسی بھی خاصیت کو آسانی سے سپر ہارمونک افعال میں منتقل کیا جا سکتا ہے۔ رسمی تعریف رسمی طور پر، تعریف مندرجہ ذیل طور پر بیان کی جا سکتی ہے۔ یوکلڈین اسپیس کا ایک ذیلی سیٹ ہونے دیں اور ایک اوپری نیم مسلسل فنکشن ہونے دیں۔ پھر، سب ہارمونک کہا جاتا ہے اگر مرکز اور رداس کی کسی بھی بند گیند کے لیے اور اس پر موجود ہر حقیقی قدر والے مسلسل فنکشن میں ہارمونک ہے اور اس کی حد پر سب کے لیے مطمئن ہے، تو ہمارے پاس سب کے لیے ہے۔ نوٹ کریں کہ مذکورہ بالا کے مطابق، فنکشن جو یکساں طور پر − φ ہے، سب ہارمونک ہے، لیکن کچھ مصنفین تعریف کے لحاظ سے اس فنکشن کو خارج کرتے ہیں۔ کسی فنکشن کو سپر ہارمونک کہا جاتا ہے اگر وہ سب ہارمونک ہو۔ ایک فنکشن ہارمونک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ سب ہارمونک اور سپر ہارمونک دونوں ہو۔ اگر کھلے سیٹ پر C2 (دو بار مسلسل تفریق پذیر) ہے، تو سب ہارمونک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی نے آن کیا ہو، لیپلاسیئن کہاں ہے۔ سب ہارمونک فنکشن کی زیادہ سے زیادہ حد اس کے ڈومین کے اندرونی حصے میں حاصل نہیں کی جا سکتی جب تک کہ فنکشن مستقل نہ ہو، جسے زیادہ سے زیادہ اصول کہا جاتا ہے۔ تاہم، کم از کم ذیلی ہارمونک فنکشن اس کے ڈومین کے اندرونی حصے میں حاصل کیا جا سکتا ہے۔ سب ہارمونک افعال ایک کنویکس شنک بناتے ہیں، یعنی مثبت کوفیشنٹس کے ساتھ سب ہارمونک افعال کا لکیری مجموعہ بھی سب ہارمونک ہوتا ہے۔ دو سب ہارمونک افعال کا نقطہ وار زیادہ سے زیادہ سب ہارمونک ہے۔ اگر ذیلی ہارمونک افعال کی قابل گنتی تعداد کا نقطہ وار زیادہ سے زیادہ اوپری نیم مسلسل ہے، تو یہ ذیلی ہارمونک بھی ہے۔ سب ہارمونک افعال کی گھٹتی ہوئی ترتیب کی حد سب ہارمونک (یا یکساں طور پر برابر) ہے۔ سبہارمونک افعال لازمی طور پر معمول کی ٹوپولوجی میں مسلسل نہیں ہوتے ہیں، تاہم کوئی بھی عمدہ ٹوپولوجی متعارف کرا سکتا ہے جو انہیں مسلسل بناتا ہے۔ مثال اگر تجزیاتی ہے تو سب ہارمونک ہے۔ مزید مثالیں اوپر درج کردہ خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، زیادہ سے زیادہ، کنویکس امتزاج اور حدود لے کر بنائی جا سکتی ہیں۔ طول و عرض 1 میں، تمام ذیلی ہارمونک افعال اس طرح حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ریز کی نمائندگی کا نظریہ اگر کسی خطے میں ذیلی ہارمونک ہے، تو طول و عرض کی یوکلڈین جگہ میں، ہارمونک ہے، اور پھر اسے ہارمونک میجرٹ کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی ہارمونک میجر موجود ہے، تو سب سے کم ہارمونک میجر موجود ہے، اور طول و عرض 2 میں، سب سے کم ہارمونک میجر کہاں ہے، اور یہ ایک بوریل پیمائش ہے۔ اسے ریز نمائندگی تھیوریم کہا جاتا ہے۔ پیچیدہ طیارہ سبہارمونک افعال میں سبہارمونک افعال پیچیدہ تجزیے میں ایک خاص اہمیت کے حامل ہیں، جہاں وہ ہولومورفک افعال سے قریبی طور پر جڑے ہوئے ہیں۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ کسی سیٹ پر بیان کردہ ایک پیچیدہ متغیر (یعنی دو حقیقی متغیرات کا) کا حقیقی قدر والا، مسلسل فعل ذیلی ہارمونک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مرکز اور رداس کی کسی بند ڈسک کے لیے بدیہی طور پر ہو، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک ذیلی ہارمونک فعل کسی بھی مقام پر اس مقام کے ارد گرد دائرے میں موجود اقدار کی اوسط سے زیادہ نہیں ہے، ایک ایسی حقیقت جسے زیادہ سے زیادہ اصول حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہولومورفک فنکشن ہے، تو یہ ایک ذیلی ہارمونک فنکشن ہے اگر ہم ہونے کے صفر پر کی قدر کی وضاحت کریں۔ اس کے بعد ہر α> 0 کے لیے سب ہارمونک ہوتا ہے۔ یہ مشاہدہ ہارڈی خالی جگہوں کے نظریہ میں ایک کردار ادا کرتا ہے، خاص طور پر H کے مطالعہ کے لیے جب 0 <p <1 ہو۔ پیچیدہ سطح کے تناظر میں، کنویکس افعال سے تعلق کو اس حقیقت سے بھی محسوس کیا جا سکتا ہے کہ کسی ڈومین پر ایک ذیلی ہارمونک فنکشن جو خیالی سمت میں مستقل ہے وہ حقیقی سمت میں کنویکس ہے اور اس کے برعکس۔ سب ہارمونک افعال کے ہارمونک میجرینٹ اگر پیچیدہ سطح کے کسی علاقے میں سب ہارمونک ہے، اور ہارمونک آن ہے، تو اس کا ہارمونک میجرینٹ ہے۔ اس طرح کی عدم مساوات کو ترقی کی حالت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یونٹ ڈسک میں سبہارمونک افعال۔ ریڈیل میکسمل فنکشن φ کو بند یونٹ ڈسک D (0، 1) پر مشتمل کمپلیکس پلین کے اوپن سب سیٹ ω میں سب ہارمونک، مسلسل اور غیر منفی ہونے دیں۔ فنکشن φ (یونٹ ڈسک تک محدود) کے لیے ریڈیل میکسمل فنکشن کی تعریف یونٹ سرکل پر اس طرح کی جاتی ہے کہ اگر پی آر پوئسون دانا کی نشاندہی کرتا ہے، تو یہ اس ذیلی ہارمونکیت سے ہوتا ہے کہ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ آخری انٹیگرل ہارڈی-لٹل ووڈ میکسمل فنکشن φ کے ای پر φ کی یونٹ سرکل T پر پابندی کی قیمت سے کم ہے، تاکہ 0 ≤ ایم φ ≤ φ ≤۔ یہ معلوم ہے کہ ہارڈی-لٹل ووڈ آپریٹر ایل پی (ٹی) پر پابند ہے جب 1 <پی <ν۔ اس کے بعد کچھ عالمگیر مستقل C کے لیے، اگر f ایک فنکشن ہولومورفک ہے جو ω اور 0 <p <φ میں ہے، تو پچھلی عدم مساوات φ = |f | پر لاگو ہوتی ہے۔ ان حقائق سے یہ اندازہ لگایا جا سکتا ہے کہ کلاسیکی ہارڈی اسپیس Hp میں کوئی بھی فنکشن F مطمئن ہوتا ہے۔ مزید کام کے ساتھ، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ F کی شعاعی حدود F (e) اکائی دائرے پر تقریبا ہر جگہ ہوتی ہیں، اور (غالب کنورجنس تھیوریم کے ذریعہ) کہ Fr، جس کی تعریف Fr (e) = F (r) سے ہوتی ہے، Lp (T) میں F کی طرف مائل ہوتا ہے۔ ریمنیئن کئی گنا پر سبہارمونک افعال کو صوابدیدی ریمنیئن کئی گنا پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ تعریف: فرض کریں کہ M ایک ریمنیئن کئی گنا، اور ایک اوپری سیمی کانٹینوس فنکشن ہے۔ فرض کریں کہ کسی بھی کھلے ذیلی سیٹ کے لیے، اور U پر کسی بھی ہارمونک فنکشن f1 کے لیے، جیسے کہ U کی حد پر، عدم مساوات تمام U پر ہوتی ہے۔ پھر f کو سب ہارمونک کہا جاتا ہے۔ یہ تعریف اوپر دی گئی تعریف کے مساوی ہے۔ نیز، دو بار تفریق پذیر افعال کے لیے، ذیلی ہارمونکیت عدم مساوات کے برابر ہے، جہاں معمول لیپلاسیئن ہے۔ پلوریسبھرمونک فنکشن بھی دیکھیں-کئی پیچیدہ متغیرات کو عام کرنا کلاسیکی ٹھیک ٹوپولوجی نوٹ حوالہ جات ممکنہ نظریہ پیچیدہ تجزیہ افعال کی اقسام