Finite potential well
محدود ممکنہ کنواں (جسے محدود مربع کنواں بھی کہا جاتا ہے) کوانٹم میکانکس کا ایک تصور ہے۔ یہ لامحدود ممکنہ کنویں کی توسیع ہے، جس میں ایک ذرہ ایک "ڈبے" تک محدود ہوتا ہے، لیکن جس میں محدود صلاحیت "دیواریں" ہوتی ہیں۔ انفنائٹ پوٹینشل ویل کے برعکس، ڈبے کے باہر پائے جانے والے ذرہ سے وابستہ امکان موجود ہے۔ کوانٹم مکینیکل تشریح کلاسیکی تشریح کے برعکس ہے، جہاں اگر ذرہ کی کل توانائی دیواروں کی ممکنہ توانائی کی رکاوٹ سے کم ہے تو اسے خانے کے باہر نہیں پایا جا سکتا۔ کوانٹم تشریح میں، ذرہ کے باکس سے باہر ہونے کا غیر صفر امکان ہوتا ہے یہاں تک کہ جب ذرہ کی توانائی دیواروں کی ممکنہ توانائی کی رکاوٹ سے کم ہو (cf کوانٹم ٹنلنگ)۔ ایکس محور پر 1 جہتی صورت کے لیے، وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں کم شدہ پلانک کا مستقل ہے، پلانک کا مستقل ہے، ذرہ کی کمیت ہے، (پیچیدہ قابل قدر) لہر فنکشن ہے جسے ہم تلاش کرنا چاہتے ہیں، ایک فنکشن ہے جو ہر نقطہ x پر ممکنہ توانائی کو بیان کرتا ہے، اور توانائی، ایک حقیقی نمبر ہے، جسے بعض اوقات ایجین انرجی کہا جاتا ہے۔ لمبائی L کے 1 جہتی باکس میں ذرہ کے معاملے کے لیے، پوٹینشل باکس کے باہر ہے، اور x کے لیے صفر اور کے درمیان ہے۔ ویو فنکشن کو x کی مختلف حدود میں مختلف ویو فنکشنز سے بنا ہوا سمجھا جاتا ہے، اس پر منحصر ہے کہ x باکس کے اندر ہے یا باہر۔ لہذا، ویو فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ: باکس کے اندر باکس کے اندر کے علاقے کے لیے، V (x) = 0 اور مساوات 1 کم ہو کر مساوات بن جاتی ہے۔ یہ ایک اچھی طرح سے مطالعہ شدہ تفریقی مساوات اور آئجن ویلیو کا مسئلہ ہے جس کا عمومی حل ہے۔ لہذا، یہاں، A اور B کوئی بھی پیچیدہ نمبر ہو سکتے ہیں، اور k کوئی بھی حقیقی نمبر ہو سکتا ہے۔ باکس کے باہر باکس کے باہر کے علاقے کے لیے، چونکہ پوٹینشل مستقل ہے، اور مساوات بن جاتی ہے: حل کے دو ممکنہ خاندان ہیں، اس پر منحصر ہے کہ آیا E اس سے کم ہے (ذرہ پوٹینشل میں بندھا ہوا ہے) یا E اس سے بڑا ہے (ذرہ آزاد ہے)۔ ایک آزاد ذرہ کے لیے، اور اندرونی کنویں کے کیس کی طرح اسی حل کے ساتھ پیدا ہونے دینا: یہ تجزیہ باؤنڈ اسٹیٹ پر توجہ مرکوز کرے گا، جہاں۔ لیٹنگ سے پیدا ہوتا ہے جہاں عمومی حل ایکسپونینشل ہے: اسی طرح، باکس کے باہر دوسرے خطے کے لیے: اب ہاتھ میں موجود مسئلے کا مخصوص حل تلاش کرنے کے لیے، ہمیں مناسب باؤنڈری کنڈیشنز کی وضاحت کرنی چاہیے اور A، B، F، G، H اور I کے لیے ویلیوز تلاش کرنی چاہیے جو ان شرائط کو پورا کرتی ہیں۔ باؤنڈ اسٹیٹ کے لیے ویو فنکشن تلاش کرنا شروڈنگر مساوات کے حل مسلسل اور مسلسل تفریق پذیر ہونے چاہئیں۔ یہ تقاضے پہلے سے اخذ کردہ تفریقی مساوات پر باؤنڈری کنڈیشنز ہیں، یعنی کنویں کے اندر اور باہر کے حلوں کے درمیان مماثل حالات۔ اس صورت میں، محدود صلاحیت والا کنواں متناسب ہوتا ہے، اس لیے ضروری حسابات کو کم کرنے کے لیے توازن کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پچھلے حصوں کا خلاصہ: جہاں ہم نے پایا، اور ہونا: ہم دیکھتے ہیں کہ جیسا کہ جاتا ہے، اصطلاح لامحدود تک جاتی ہے۔ اسی طرح، جیسا کہ جاتا ہے، اصطلاح انفینٹی تک جاتی ہے۔ ویو فنکشن کو مربع انٹیگریبل ہونے کے لیے، ہمیں سیٹ کرنا چاہیے، اور ہمارے پاس ہے: اور اگلا، ہم جانتے ہیں کہ مجموعی فنکشن مسلسل اور تفریق پذیر ہونا چاہیے۔ دوسرے لفظوں میں، افعال اور ان کے مشتقات کی اقدار کو تقسیم کرنے والے نکات پر ملنا چاہیے: ان مساوات کے دو قسم کے حل ہوتے ہیں، سمیٹرک، جس کے لیے اور، اور اینٹی سمیٹرک، جس کے لیے اور۔ ہم سمیٹرک کیس کے لیے حاصل کرتے ہیں تو تناسب لینے سے ملتا ہے اسی طرح اینٹی سمیٹرک کیس کے لیے ہمیں یاد آتا ہے کہ دونوں اور توانائی پر انحصار کرتے ہیں۔ ہم نے جو پایا ہے وہ یہ ہے کہ توانائی کی صوابدیدی قدر کے لیے تسلسل کے حالات کو پورا نہیں کیا جا سکتا ؛ کیونکہ یہ لامحدود پوٹینشل ویل کیس کا نتیجہ ہے۔ اس طرح، صرف کچھ توانائی کی اقدار کی اجازت ہے، جو ان دونوں میں سے ایک یا کسی ایک مساوات کا حل ہیں۔ لہذا ہم دیکھتے ہیں کہ نیچے دیے گئے نظام کی توانائی کی سطح مجرد ہیں ؛ متعلقہ آئجن فنکشن باؤنڈ اسٹیٹس ہیں۔ (اس کے برعکس، اوپر کی توانائی کی سطح مسلسل ہوتی ہے۔) توانائی کی مساوات کو تجزیاتی طور پر حل نہیں کیا جا سکتا۔ اس کے باوجود، ہم دیکھیں گے کہ ہم آہنگی کے معاملے میں، کم از کم ایک پابند حالت ہمیشہ موجود رہتی ہے، چاہے کنواں بہت اتلی ہی کیوں نہ ہو۔ توانائی کی مساوات کے گرافیکل یا عددی حل کو تھوڑا سا دوبارہ لکھ کر مدد ملتی ہے۔ اگر ہم بے جہتی متغیرات کو متعارف کراتے ہیں اور، اور اس کی تعریفوں سے نوٹ کرتے ہیں، جہاں، ماسٹر مساوات پڑھیں دائیں طرف کے پلاٹ میں، حل موجود ہیں جہاں نیلا سیمی سرکل جامنی یا سرمئی منحنی خطوط (اور) کو کاٹتا ہے۔ ہر جامنی یا سرمئی منحنی حد کے اندر ایک ممکنہ حل کی نمائندگی کرتا ہے۔ حلوں کی کل تعداد، (یعنی، نیلے دائرے سے بکھرے ہوئے جامنی/سرمئی منحنی خطوط کی تعداد) اس لیے نیلے دائرے کے رداس کو ہر حل کی حد سے تقسیم کرکے اور فرش یا چھت کے افعال کا استعمال کرکے طے کی جاتی ہے: اس صورت میں بالکل تین حل ہیں، چونکہ۔ اور، متعلقہ توانائیوں کے ساتھ اگر ہم چاہیں تو، ہم واپس جا سکتے ہیں اور اب مساوات میں مستقلات کی اقدار تلاش کر سکتے ہیں (ہمیں معمول کی شرط بھی عائد کرنے کی ضرورت ہے)۔ دائیں طرف ہم اس معاملے میں توانائی کی سطح اور لہر کے افعال دکھاتے ہیں (جہاں): ہم نوٹ کرتے ہیں کہ اگرچہ چھوٹا ہو (کنواں کتنا ہی اتلی یا تنگ ہو)، ہمیشہ کم از کم ایک پابند حالت ہوتی ہے۔ دو خاص معاملات قابل توجہ ہیں۔ جیسے جیسے پوٹینشل کی اونچائی بڑھتی جاتی ہے، سیمی سرکل کا رداس بڑا ہوتا جاتا ہے اور جڑیں اقدار کے قریب سے قریب ہوتی جاتی ہیں، اور ہم لامحدود مربع کے معاملے کو اچھی طرح سے بازیافت کرتے ہیں۔ دوسرا معاملہ ایک بہت ہی تنگ، گہرے کنویں کا ہے-خاص طور پر کیس اور فکسڈ کے ساتھ۔ جیسا کہ یہ صفر کی طرف مائل ہوگا، اور اس لیے صرف ایک باؤنڈ اسٹیٹ ہوگی۔ اس کے بعد تخمینی حل ہے، اور توانایٔی کا رجحان ہے۔ لیکن یہ صرف طاقت کے ڈیلٹا فنکشن پوٹینشل کی باؤنڈ اسٹیٹ کی توانائی ہے، جیسا کہ ہونا چاہیے۔ توانائی کی سطحوں کے لیے ایک آسان گرافیکل حل ضرب کے ذریعے صلاحیت اور توانائی کو معمول پر لا کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ عام شدہ مقداریں اجازت شدہ جوڑوں کے درمیان براہ راست تعلق دے رہی ہیں جیسا کہ بالترتیب یکساں اور عجیب برابری والی لہر کے افعال کے لیے۔ پچھلی مساوات میں افعال کے صرف مثبت مشتق حصوں پر غور کرنا پڑتا ہے۔ اجازت شدہ جوڑوں کو براہ راست دکھانے والا چارٹ شکل میں بتایا گیا ہے۔ اگر ہم کسی توانائی کے لیے وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات کو حل کرتے ہیں، تو حل کنویں کے اندر اور باہر دونوں طرف ارتعاش پذیر ہوں گے۔ اس طرح حل کبھی بھی مربع مربوط نہیں ہوتا ؛ یعنی یہ ہمیشہ ایک غیر معمول کی حالت ہوتی ہے۔ تاہم، اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ کسی کوانٹم ذرہ کے لیے اس سے زیادہ توانائی کا ہونا ناممکن ہے، اس کا محض یہ مطلب ہے کہ اس نظام کے اوپر مسلسل سپیکٹرم ہے۔ غیر نارمل آئجین اسٹیٹس اسکوائر انٹیگریبل ہونے کے اتنے قریب ہیں کہ وہ اب بھی ایک غیر محدود آپریٹر کے طور پر ہیملٹنین کے سپیکٹرم میں حصہ ڈالتے ہیں۔ غیر متناسب اچھی طرح سے ایک جہتی غیر متناسب صلاحیت پر غور کریں جس کے ساتھ صلاحیت اچھی طرح سے دی گئی ہے۔ کے ساتھ ویو فنکشن کے لیے متعلقہ حل پایا جاتا ہے اور توانائی کی سطحوں کا تعین ایک بار مندرجہ ذیل ماورائی مساوات کے جڑ کے طور پر حل ہونے کے بعد کیا جاتا ہے جہاں اوپر کی مساوات کے جڑ کے وجود کی ہمیشہ ضمانت نہیں ہوتی ہے، مثال کے طور پر، کوئی بھی ہمیشہ اتنی چھوٹی قیمت تلاش کر سکتا ہے، کہ اور کی دی گئی اقدار کے لیے، کوئی مجرد توانائی کی سطح موجود نہیں ہے۔ سمیٹریکل ویل کے نتائج ترتیب کے ذریعے اوپر کی مساوات سے حاصل کیے جاتے ہیں۔ گول کیویٹی مندرجہ بالا نتائج کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ، جہاں تک یک جہتی کیس کا تعلق ہے، ایک گول کیویٹی میں دو پابند ریاستیں ہوتی ہیں، کیونکہ گول نقاط کسی بھی سمت میں رداس کے مساوی ہوتے ہیں۔ کروی طور پر ہم آہنگ صلاحیت کی زمینی حالت (n = 1) میں ہمیشہ صفر مداری کونیی رفتار (l = n−1) ہوگی، اور کم شدہ لہر فنکشن اس مساوات کو مطمئن کرتی ہے جہاں لہر فنکشن کا شعاعی حصہ ہے۔ نوٹ کریں کہ (n = 1) کونیی حصے کے لیے مستقل (l = 0) ہے۔ یہ باؤنڈری کنڈیشنز کے علاوہ یک جہتی مساوات سے ملتا جلتا ہے۔ پہلے کی طرح، درج ذیل ماورائی مساوات کی جڑ کے طور پر حل ہونے کے بعد توانائی کی سطحوں کا تعین کیا جاتا ہے جہاں ہمیشہ جڑ سے اوپر کی مساوات کے وجود کی ضمانت دی جاتی ہے۔ نتائج ہمیشہ کروی ہم آہنگی کے ساتھ ہوتے ہیں۔ یہ اس حالت کو پورا کرتا ہے جہاں لہر کو دائرے کے اندر کوئی صلاحیت نہیں ملتی ہے: مختلف تفریقی مساوات اس وقت ہوتی ہے جب l ष्ण 0 ہوتا ہے، لہذا جیسا کہ اوپر کے عنوانات میں، یہ ہے: حل کو متغیر اور فعل کی کچھ تبدیلیوں سے معقول بنایا جا سکتا ہے تاکہ بیسیل کی طرح تفریقی مساوات کو بڑھایا جا سکے، جس کا حل یہ ہے: جہاں اور ہیں بیسیل اور نیومین کروی افعال بالترتیب، اور معیاری بیسیل فنکشن کے فنکشن کے طور پر ری وٹر ہو سکتے ہیں۔ توانائی کی سطح کا تعین ایک بار کیا جاتا ہے جب اسے مندرجہ ذیل ماورائی مساوات کی جڑ کے طور پر حل کیا جاتا ہے جہاں ہمیشہ جڑ سے اوپر کی مساوات کے وجود کی ضمانت دی جاتی ہے۔ نتائج ہمیشہ کروی ہم آہنگی کے ساتھ ہوتے ہیں۔ یہ اس حالت کو پورا کرتا ہے جہاں لہر کو دائرے کے اندر کوئی پوٹینشل نہیں ملتا ہے:، لیکن اسے درج ذیل ٹریسینڈینٹل مساوات کی جڑ کے طور پر حل کیا جاتا ہے، جہاں: پوٹینشل ویل ڈیلٹا فنکشن پوٹینشل انفینٹ پوٹینشل ویل سیمی سرکل پوٹینشل ویل کوانٹم ٹنلنگ ریکٹنگولر پوٹینشل بیریئر مزید پڑھیں۔ کوانٹم مکینیکل صلاحیت کوانٹم ماڈل بالکل قابل حل ماڈل