Approximation in algebraic groups
الجبرائی گروپ تھیوری میں، تخمینہ تھیوریمز چینی بقیہ تھیوریم کی توسیع ہیں جو کہ الجبرائی گروپوں G کے لیے گلوبل فیلڈز k پر ہیں۔ تاریخ نے کچھ کلاسیکی گروپوں کے لیے مضبوط تخمینہ ثابت کیا۔ 1960 اور 1970 کی دہائیوں میں عالمی شعبوں پر نیم سادہ سیدھے جڑے ہوئے الجبرائی گروہوں کے لیے مضبوط تخمینہ قائم کیا گیا تھا۔ نمبر فیلڈز کے نتائج اور کی وجہ سے ہیں ؛ فنکشن فیلڈ کیس، محدود فیلڈز پر، اور کی وجہ سے ہے۔ نمبر فیلڈ کیس میں پلاٹونوف نے مقامی شعبوں پر بھی ایک متعلقہ نتیجہ ثابت کیا جسے کنیسر-ٹٹس قیاس کہا جاتا ہے۔ رسمی تعریفیں اور خصوصیات فرض کریں کہ G ایک عالمی فیلڈ k پر ایک لکیری الجبرائی گروپ ہے، اور A، k کا ایڈیل رنگ ہے۔ اگر S، k کی جگہوں کا ایک غیر خالی محدود مجموعہ ہے، تو ہم تکمیل ks کے پروڈکٹ کے لیے AS لکھتے ہیں، محدود سیٹ S میں s کے لیے۔ S کے کسی بھی انتخاب کے لیے، G (k) G (AS) اور G (AS) میں سرایت کرتا ہے۔ کمزور تخمینہ میں پوچھا جانے والا سوال یہ ہے کہ کیا G (AS) میں G (k) کی سرایت میں گھنے امیج ہیں۔ اگر گروپ G جڑا ہوا ہے اور k-عقلی ہے، تو یہ کسی بھی سیٹ S کے حوالے سے کمزور تخمینہ کو پورا کرتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی جڑے ہوئے گروپ G کے لیے، k کی محدود جگہوں کا ایک محدود سیٹ T ہوتا ہے جس میں G کسی بھی سیٹ S کے حوالے سے کمزور تخمینہ کو پورا کرتا ہے جو T سے جدا ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر k ایک الجبرائی نمبر فیلڈ ہے تو کوئی بھی منسلک گروپ G لامحدود جگہوں کے سیٹ S = S ≤ کے حوالے سے کمزور تخمینے کو پورا کرتا ہے۔ مضبوط اندازے میں پوچھا جانے والا سوال یہ ہے کہ کیا G (AS) میں G (k) کی سرایت میں ڈینس امیج ہے، یا اس کے مساوی کہ آیا سیٹ G (k) G (AS) G (A) میں ڈینس سب سیٹ ہے۔ مضبوط تخمینہ کے مرکزی نظریہ میں کہا گیا ہے کہ عالمی میدان k پر ایک غیر حل پزیر لکیری الجبرائی گروپ G کا محدود سیٹ S کے لیے مضبوط تخمینہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ریڈیکل N یک طاقت ہو، G/N آسانی سے جڑا ہوا ہو، اور G/N کے تقریبا ہر سادہ جزو H میں S میں کچھ s کے لیے غیر کمپیکٹ جزو Hs ہو (H پر منحصر ہے)۔ مضبوط تخمینہ کے ثبوت الجبرائی گروپوں کے لیے ہس کے اصول پر منحصر تھے، جو E8 قسم کے گروپوں کے لیے صرف کئی سالوں بعد ثابت ہوا۔ کمزور تخمینہ گروہوں کے ایک وسیع تر طبقے کے لیے ہے، بشمول ملحقہ گروپس اور چیولی گروپس کی اندرونی شکلیں، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ مضبوط تخمینہ کی خاصیت پابند ہے۔ سپر اسٹرانگ تخمینہ حوالہ جات الجبرائی گروپس ڈیوفنٹائن جیومیٹری بھی دیکھیں۔