Kloosterman sum
ریاضی میں، کلوسٹرمین کا مجموعہ ایک خاص قسم کا ایکسپونینشیل مجموعہ ہے۔ ان کا نام ڈچ ریاضی دان ہینڈرک کلوسٹرمین کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے انہیں 1926 میں اس وقت متعارف کرایا جب انہوں نے ہارڈی-لٹل ووڈ سرکل طریقہ کار کو پانچ یا اس سے زیادہ متغیرات کے برخلاف چار میں مثبت قطعی ڈائیگنل کواڈریٹک شکلوں سے متعلق مسئلے سے نمٹنے کے لیے ڈھال لیا، جس سے انہوں نے 1924 میں اپنے مقالے میں نمٹا تھا۔ قدرتی اعداد ہونے دیں۔ پھر یہاں x * ماڈیولو کا الٹا ہے۔ کلوسٹرمین کے مجموعے بیسیل افعال کا ایک محدود رنگ ینالاگ ہیں۔ وہ (مثال کے طور پر) ماڈیولر شکلوں کی فورئیر توسیع میں پائے جاتے ہیں۔ ریمن زیٹا فنکشن، مختصر وقفوں میں پرائمز، ریاضی کی ترقی میں پرائمز، آٹومورفک افعال کا سپیکٹرم تھیوری اور متعلقہ موضوعات پر مشتمل اقدار کے معنی کے لیے ایپلی کیشنز موجود ہیں۔ کلوسٹرمین کی خصوصیات کا مجموعہ اگر یا پھر کلوسٹرمین کی رقم کم ہو کر رامانوجن کی رقم ہو جاتی ہے۔ یہ صرف بقیہ کلاس اور ماڈیولو پر منحصر ہے۔ اس کے علاوہ اور اگر۔ لیٹ ود اینڈ کوپرائم۔ اس طرح کا اور منتخب کریں۔ پھر یہ کلوسٹرمین کی تشخیص کو اس صورت میں کم کر دیتا ہے جہاں ایک پرائم نمبر اور ایک انٹیجر کے لیے ہوتا ہے۔ کی قدر ہمیشہ الجبرائی حقیقی عدد ہوتی ہے۔ در حقیقت ذیلی فیلڈ کا ایک عنصر ہے جو ان فیلڈز کا مرکب ہے جہاں تمام عجیب پرائمز پر اس طرح اور اس کے ساتھ ہوتا ہے۔ سیلبرگ شناخت: ایٹل سیلبرگ نے بیان کیا تھا اور سب سے پہلے کزنیتسوو نے ماڈیولر شکلوں کے سپیکٹرم تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا۔ آج کل اس شناخت کے ابتدائی ثبوت معلوم ہیں۔ ایک طاق پرائم کے لیے، کوئی معلوم سادہ فارمولا نہیں ہے، اور ساتو-ٹیٹ قیاس سے پتہ چلتا ہے کہ کوئی موجود نہیں ہے۔ تاہم، نیچے دیے گئے لفٹنگ فارمولے اکثر اتنے ہی اچھے ہوتے ہیں جتنا کہ ایک واضح تشخیص۔ اگر کسی میں بھی اہم تبدیلی ہے: جہاں جیکوبی علامت کی نشاندہی ہوتی ہے۔ پرائم کے ساتھ جانے دیں اور فرض کریں۔ پھر: کہاں کا انتخاب کیا جاتا ہے تاکہ اس کی تعریف اس طرح کی جائے (نوٹ کریں کہ یہ عجیب ہے): یہ فارمولا سب سے پہلے ہنس سیلی نے پایا تھا اور ادب میں بہت سے آسان ثبوت موجود ہیں۔ تخمینے کیونکہ کلوسٹرمین کے مجموعے ماڈیولر شکلوں کی فورئیر توسیع میں پائے جاتے ہیں، کلوسٹرمین کے تخمینے ماڈیولر شکلوں کے فورئیر گتانک کے لیے بھی پیداوار کے تخمینے جمع کرتے ہیں۔ سب سے مشہور تخمینہ آندرے ویل کی وجہ سے ہے اور کہتا ہے: یہاں کے مثبت تقسیم کاروں کی تعداد ہے۔ کلوسٹرمین کے جملوں کی ضرب کی خصوصیات کی وجہ سے ان تخمینوں کو اس صورت میں کم کیا جا سکتا ہے جہاں ایک پرائم نمبر ہو۔ ویل کی ایک بنیادی تکنیک مقامی زیٹا فنکشن پر اس کے نتائج کے تخمینے کو کم کر دیتی ہے جب کہ اب  ऒत्त 0 ہوتا ہے۔ ہندسی طور پر رقم کو 'ہائپربولا' XY = ab کے ساتھ لیا جاتا ہے اور ہم اسے عناصر کے ساتھ محدود میدان پر الجبرائی منحنی خطوط کی وضاحت کے طور پر سمجھتے ہیں۔ اس منحنی خطوط میں ایک وسیع تر آرٹن-شریئر کورنگ ہے، اور ویل نے دکھایا کہ مقامی زیٹا فنکشن میں ایک فیکٹرائزیشن ہے۔ یہ عالمی شعبوں کے معاملے کے لیے آرٹن ایل فنکشن تھیوری ہے جو فنکشن فیلڈز ہیں، جس کے لیے ویل نے جے ویسنجر کا 1938 کا مقالہ حوالہ کے طور پر دیا ہے (اگلے سال انہوں نے اس خیال کے لیے پہلے حوالہ کے طور پر ہس کا 1935 کا مقالہ دیا ؛ ویل کے تجزیاتی نمبر تھیوریسٹوں کی خود اس مثال پر کام کرنے کی صلاحیتوں پر توہین آمیز تبصرے کو دیکھتے ہوئے، اپنے کلیکٹڈ پیپرز میں، یہ خیالات غالبا کافی طویل عرصے سے 'لوک داستان' تھے)۔ غیر قطبی عوامل قسم کے ہوتے ہیں، جہاں کلوسٹرمین کا مجموعہ ہوتا ہے۔ اس کے بعد تخمینہ ویل کے 1940 کے بنیادی کام سے ملتا ہے۔ یہ تکنیک درحقیقت بہت زیادہ عام طور پر ظاہر کرتی ہے کہ الجبرائی اقسام کے ساتھ مکمل ایکسپونینشیل جملوں کے اچھے تخمینے ہوتے ہیں، جو طول و عرض> 1 میں ویل قیاس آرائیوں پر منحصر ہوتے ہیں۔ اسے پیئر ڈیلیگن، جیرارڈ لاؤمون اور نکولس کاٹز نے بہت آگے بڑھایا ہے۔ مختصر کلوسٹرمین کے مجموعے مختصر کلوسٹرمین کے مجموعے کو اس شکل کے مثلثی جملوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جہاں اعداد کے ایک سیٹ سے گزرتا ہے، کوپرائم سے، عناصر کی تعداد جس میں بنیادی طور پر اس سے چھوٹا ہوتا ہے، اور علامت ہم آہنگی کلاس کی نشاندہی کرتی ہے، ماڈیولو کے الٹا: 1990 کی دہائی کے اوائل تک، اس قسم کے جملوں کے تخمینے بنیادی طور پر اس صورت میں معلوم ہوتے تھے جہاں جملوں کی تعداد اس سے زیادہ تھی۔ اس طرح کے تخمینے ایچ ڈی کلوسٹرمین، آئی ایم ونوگراڈوف، ایچ سیلی، ایل کارلٹز، ایس اچیاما اور اے ویل کی وجہ سے تھے۔ صرف مستثنیات فارم کے خصوصی ماڈیول تھے، جہاں ایک فکسڈ پرائم ہوتا ہے اور ایکسپونینٹ انفینٹی تک بڑھ جاتا ہے (اس معاملے کا مطالعہ اے جی پوسٹنیکوف نے ایوان میٹیویچ ونوگراڈوف کے طریقہ کار کے ذریعے کیا تھا)۔ 1990 کی دہائی میں اناتولی الیکسیویچ کراٹسبا نے مختصر کلوسٹرمین رقوم کا تخمینہ لگانے کا ایک نیا طریقہ تیار کیا۔ کراٹسبا کا طریقہ کلسٹرمین کے جملوں کا اندازہ لگانا ممکن بناتا ہے، ان جملوں کی تعداد جس میں حد سے زیادہ نہیں ہے، اور بعض صورتوں میں یہاں تک کہ، جہاں ایک من مانی طور پر چھوٹا مقررہ نمبر ہے۔ اس موضوع پر اے اے کراٹسبا کا آخری مقالہ ان کی موت کے بعد شائع ہوا۔ کراٹسبا کے طریقہ کار کے مختلف پہلوؤں نے تجزیاتی نمبر تھیوری کے درج ذیل مسائل کو حل کرنے میں ایپلی کیشنز پائی: فارم کے فریکشنل حصوں کے مجموعوں کے ایسمپٹوٹکس کو تلاش کرنا: جہاں ایک کے بعد ایک، انٹیجرز کے ذریعے چلتا ہے جو شرط کو مطمئن کرتے ہیں، اور ان پرائمز سے گزرتا ہے جو ماڈیول کو تقسیم نہیں کرتے ہیں (A.A.Karatsuba) ؛ فارم کی عدم مساوات کے حل کی تعداد کے لیے نچلی حد تلاش کرنا: انٹیجرز میں، کوپرائم سے، (A. A. کراٹسبا) ؛ شکل کے فریکشنل حصوں کے ذریعے حصے میں ایک صوابدیدی حقیقی نمبر کے تخمینے کی درستگی: جہاں (A. A. کراٹسبا) ؛ برن-ٹیچمارش تھیوریم میں ایک زیادہ درست مستقل: جہاں ہے (ڈی۔ آر۔ ہیتھ-براؤن) ؛ یہ ثابت کرنا کہ شکل کے لامحدود طور پر بہت سے پرائم ہیں: (جے۔ فریڈ لینڈر، ایچ۔ ایوانیک) ؛ اعداد کے سیٹ کی مشترکہ خصوصیات (A.A.Glibichuk): کلوسٹرمین کے جملوں کو اٹھانا اگرچہ کلوسٹرمین کے جملوں کا عام طور پر حساب نہیں لگایا جا سکتا ہے لیکن انہیں الجبرائی نمبر فیلڈز میں "اٹھایا" جا سکتا ہے، جو اکثر زیادہ آسان فارمولے فراہم کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس کسی بھی پرائم فیکٹر کے لیے ایک مربع فری انٹیجر ہے۔ پھر تمام انٹیجرز a، b کے لیے ہمارے پاس کوپرائم ہے۔ یہاں ضرب کی گنتی کے پرائم فیکٹر کی تعداد ہے۔ دائیں طرف کی رقم کو میدان میں الجبرائی انٹیجرز کے مجموعے کے طور پر دوبارہ تعبیر کیا جا سکتا ہے۔ یہ فارمولا یانگبو یے کی وجہ سے ہے، جو ڈان زاجیر سے متاثر ہے اور اس کے لیے متعلقہ ٹریس فارمولے پر ہرے جیکٹ اور یے کے کام کو بڑھا رہا ہے۔ درحقیقت، بہت زیادہ عمومی ایکسپونینشیل رقوم اٹھائی جا سکتی ہیں۔ کزنیتسوو ٹریس فارمولا کزنیتسوو یا رشتہ دار ٹریس فارمولا کلوسٹرمین کے جملوں کو آٹومورفک شکلوں کے سپیکٹرم تھیوری کے ساتھ گہری سطح پر جوڑتا ہے۔ ابتدا میں یہ اس طرح بیان کیا جا سکتا تھا۔ کافی حد تک "اچھی طرح سے برتاؤ" کرنے والا فنکشن ہونے دیں۔ پھر کوئی مندرجہ ذیل قسم کے کزنیتسوو ٹریس فارمولے کی شناختوں کو کال کرتا ہے: انٹیگرل ٹرانسفارم حصہ جی کا کچھ انٹیگرل ٹرانسفارم ہے اور سپیکٹرم حصہ فورئیر گتانک کا مجموعہ ہے، جو ہولومورفک اور غیر ہولومورفک ماڈیولر شکلوں کی خالی جگہوں پر لیا گیا ہے جو جی کے کچھ انٹیگرل ٹرانسفارم کے ساتھ موڑ دیا گیا ہے۔ کزنیتسوو ٹریس فارمولہ کزنیتسوو نے وزن صفر آٹومورفک افعال کی نشوونما کا مطالعہ کرتے ہوئے پایا تھا۔ کلوسٹرمین کے جملوں پر تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے وہ ایسے معاملات میں ماڈیولر شکلوں کے فورئیر گتانک کے تخمینے حاصل کرنے میں کامیاب رہے جہاں پیئر ڈیلیگن کا ویل قیاس آرائیوں کا ثبوت لاگو نہیں تھا۔ بعد میں جیکٹ نے اس کا ترجمہ نمائندگی کے نظریاتی فریم ورک میں کیا۔ آئیے نمبر فیلڈ F پر ایک تخفیف گروپ بنیں اور ایک ذیلی گروپ بنیں۔ جب کہ معمول کا ٹریس فارمولا G پر ہارمونک تجزیہ کا مطالعہ کرتا ہے، رشتہ دار ٹریس فارمولا سمیٹرک اسپیس پر ہارمونک تجزیہ کا مطالعہ کرنے کا ایک ذریعہ ہے۔ جائزہ اور متعدد ایپلی کیشنز کے لیے حوالہ جات دیکھیں۔ تاریخ ویل کے تخمینے کا مطالعہ اب ڈبلیو ایم شمٹ میں کیا جا سکتا ہے، محدود شعبوں پر مساوات: ایک ابتدائی نقطہ نظر، دوسرا ایڈیشن۔ (کینڈرک پریس، 2004)۔ یہاں بنیادی خیالات ایس اسٹیپانوف کی وجہ سے ہیں اور ڈیوفنٹائن تخمینہ میں ایکسل تھیو کے کام سے متاثر ہیں۔ کلوسٹرمین جملوں اور ماڈیولر شکلوں کے درمیان بہت سے روابط ہیں۔ درحقیقت رقم سب سے پہلے (نام کو مائنس کرتے ہوئے) 1912 میں ہنری پوئن کیری کے ایک مقالے میں ماڈیولر شکلوں پر شائع ہوئی۔ ہنس سالے نے کلوسٹرمین رقم کی ایک شکل متعارف کرائی جسے ڈیرچلیٹ کردار سے موڑ دیا جاتا ہے: اس طرح کے سالے رقم کی ابتدائی تشخیص ہوتی ہے۔ 1979 میں کزنیتسوو کی طرف سے غیر ہولومورفک ماڈیولر شکلوں کے ساتھ کلوسٹرمین کے جملوں کو جوڑنے والے اہم فارمولوں کی دریافت کے بعد، جس میں مربع جڑ کے تخمینے پر کچھ 'اوسطا بچت' موجود تھی، آئونیک اور ڈیشویلرز کی طرف سے انوینشنز میتھمیٹیکی (1982) میں ایک بنیادی مقالے میں مزید پیش رفت ہوئی۔ تجزیاتی نمبر تھیوری کے بعد کی ایپلی کیشنز پر متعدد مصنفین، خاص طور پر بومبیری، فووری، فریڈ لینڈر اور ایوانیک نے کام کیا۔ میدان کسی حد تک ناقابل رسائی رہتا ہے۔ کزنیتسو فارمولوں کو سمجھنے کے لیے درکار سپیکٹرم تھیوری کا تفصیلی تعارف آر سی بیکر، کلوسٹرمین سمز اور ماس فارمز، جلد میں دیا گیا ہے۔ I (کینڈرک پریس، 2003)۔ اس میدان میں دلچسپی رکھنے والے طلباء اور محققین کے لیے بھی متعلقہ ہے۔ یتانگ ژانگ نے پرائمز کے درمیان باؤنڈ گیپس کے ثبوت میں کلوسٹرمین جملوں کا استعمال کیا۔ ہس کے باؤنڈ نوٹس حوالہ جات بیرونی روابط تجزیاتی نمبر تھیوری بھی دیکھیں۔