Whitney's planarity criterion
ریاضی میں، وٹنی کا پلانریٹی معیار پلانر گراف کی ایک میٹرائڈ تھیوریٹک خصوصیت ہے، جس کا نام ہاسلر وٹنی کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ گراف جی پلانر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا گرافک میٹرائڈ بھی گرافک ہو (یعنی یہ کسی دوسرے گرافک میٹرائڈ کا ڈوئل میٹرائڈ ہو)۔ خالص گراف تھیوریٹک اصطلاحات میں، اس معیار کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: ایک اور (دوہری) گراف G '= (V'، E ') ہونا چاہیے اور اصل گراف G کے کناروں E' اور کناروں E کے درمیان ایک دو طرفہ خط و کتابت ہونا چاہیے، اس طرح کہ E کا ایک ذیلی سیٹ T G کا ایک پھیلا ہوا درخت بناتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب تکمیلی ذیلی سیٹ E-T سے مطابقت رکھنے والے کنارے G 'کا ایک پھیلا ہوا درخت بناتے ہیں۔ وٹنی کے معیار کی ایک مساوی شکل یہ ہے کہ ایک گراف G پلانر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں دوہری گراف ہو جس کا گرافک میٹرائڈ G کے گرافک میٹرائڈ سے دوہری ہو۔ ایک گراف جس کا گرافک میٹرائڈ G کے گرافک میٹرائڈ سے دوہری ہے اسے G کے الجبرائی ڈبل کے طور پر جانا جاتا ہے۔ اس طرح، وٹنی کے پلانریٹی معیار کو مختصر طور پر اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: ایک گراف پلانر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں الجبرائی ڈبل ہو۔ اگر گراف کو کسی ٹپوولوجیکل سطح جیسے ہوائی جہاز میں سرایت کیا گیا ہے، اس طرح سے کہ سرایت کا ہر چہرہ ایک ٹپوولوجیکل ڈسک ہے، تو سرایت کے دوہری گراف کو گراف (یا کچھ معاملات میں ملٹی گراف) H کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جس میں سرایت کے ہر چہرے کے لیے ایک ورٹیکس ہوتا ہے، اور چہروں کے جوڑے کے درمیان ہر قربت کے لیے ایک کنارے ہوتا ہے۔ وٹنی کے معیار کے مطابق، مندرجہ ذیل شرائط مساوی ہیں: جس سطح پر سرایت موجود ہے وہ ٹپوولوجیکل طور پر طیارہ، دائرہ، یا پنکچرڈ طیارہ H کے مساوی ہے۔ G میں ہر سادہ سائیکل H میں کم سے کم کٹ سے مطابقت رکھتا ہے، اور اس کے برعکس H میں ہر سادہ سائیکل G میں کم سے کم کٹ سے مطابقت رکھتا ہے، اور اس کے برعکس G میں ہر پھیلا ہوا درخت H میں پھیلے ہوئے درخت کی تکمیل سے مطابقت رکھتا ہے، اور اس کے برعکس۔ ٹورس جیسی غیر سطحی سطحوں پر سرایت شدہ گراف کے دوہرے گراف کی وضاحت کرنا ممکن ہے، لیکن ان ڈیولز میں عام طور پر وٹنی کے معیار کے مطابق کٹ، سائیکل اور پھیلے ہوئے درختوں کے درمیان مطابقت نہیں ہوتی ہے۔ حوالہ جات میٹرائڈ تھیوری پلانر گراف