Fano variety
الجبرائی جیومیٹری میں، ایک فینو قسم، جسے گینو فینو نے متعارف کرایا ہے، ایک مکمل قسم X ہے جس کا اینٹی کینونکل بنڈل KX * کافی ہے۔ اس تعریف میں، کوئی یہ فرض کر سکتا ہے کہ ایکس کسی فیلڈ پر ہموار ہے، لیکن کم سے کم ماڈل پروگرام بھی مختلف قسم کی انفرادیت کے ساتھ فینو اقسام کے مطالعہ کا باعث بنا ہے، جیسے کہ ٹرمینل یا کے ایل ٹی انفرادیت۔ حال ہی میں پیچیدہ اعداد پر فینو کی اقسام کے مطالعہ کے لیے تفریقی جیومیٹری کی تکنیکوں کا اطلاق کیا گیا ہے، اور فینو کی اقسام کے ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر اور فینو کی اقسام کے کے-استحکام کے مطالعہ کے ذریعے ان پر کیلر آئن سٹائن میٹرکس کے وجود کو ثابت کرنے میں کامیابی پائی گئی ہے۔ مثال کے طور پر فینو کی اقسام کی بنیادی مثال پروجیکٹو خالی جگہیں ہیں: فیلڈ k پر Pn کا اینٹی کینونکل لائن بنڈل O (n + 1) ہے، جو بہت زیادہ ہے (پیچیدہ اعداد پر، اس کی منحنیت fubini-Study سمپلیکٹک شکل سے n + 1 گنا زیادہ ہے)۔ فرض کریں کہ D، Pn میں ایک ہموار کوڈیمینشن-1 ذیلی قسم ہے۔ ملحقہ فارمولا کا مطلب ہے کہ KD = (KX + D) |D = (− (n + 1) H + ڈگری (D) H) |D، جہاں H ہائپرپلین کی کلاس ہے۔ لہذا ہائپر سرفیس D فینو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ڈگری (D) <n + 1 ہو۔ زیادہ عام طور پر، n-جہتی پروجیکٹو اسپیس میں ہائپر سرفیس کا ایک ہموار مکمل چوراہا فینو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کی ڈگریوں کا مجموعہ زیادہ سے زیادہ n ہو۔ ویٹڈ پروجیکٹو اسپیس P (a0،.، an) ایک واحد (klt) فینو قسم ہے۔ یہ ایک درجہ بند کثیر الجہتی رنگ سے وابستہ پروجیکٹو اسکیم ہے جس کے جنریٹرز کی ڈگری a0،.، an ہوتی ہے۔ اگر یہ اچھی طرح سے تشکیل شدہ ہے، اس معنی میں کہ اعداد a میں سے کسی بھی n کا مشترکہ عنصر 1 سے زیادہ نہیں ہے، تو ہائپر سرفیس کا کوئی بھی مکمل چوراہا اس طرح کہ ان کی ڈگریوں کا مجموعہ a0 + سے کم ہو۔ + an ایک فینو قسم ہے۔ خصوصیت صفر میں ہر پروجیکٹو قسم جو لکیری الجبرائی گروپ کے تحت یکساں ہے، فانو ہے۔ کچھ خصوصیات X پر کچھ کافی لائن بنڈل کا وجود X کے ایک پروجیکٹو قسم ہونے کے برابر ہے، لہذا ایک فینو قسم ہمیشہ پروجیکٹو ہوتی ہے۔ پیچیدہ اعداد پر ایک فینو قسم X کے لیے، کوڈائرا وینیشنگ تھیوریم کا مطلب ہے کہ ڈھانچے کے شیف کے شیف کوہمولوجی گروپ اس کے لیے غائب ہو جاتے ہیں۔ خاص طور پر، ٹوڈ جینس خود بخود 1 کے برابر ہوتا ہے۔ اس غائب ہونے والے بیان کے معاملات ہمیں یہ بھی بتاتے ہیں کہ پہلی چرن کلاس ایک آئسومورفزم کو جنم دیتی ہے۔ یاؤ کے کالابی قیاس کے حل سے، ایک ہموار پیچیدہ قسم مثبت رچی منحنیت کے کیلر میٹرکس کو قبول کرتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ فانو ہو۔ اس لیے مائرز تھیوریم ہمیں بتاتا ہے کہ فینو مینیفولڈ کا عالمگیر احاطہ کمپیکٹ ہے، اور اس لیے یہ صرف ایک محدود احاطہ ہو سکتا ہے۔ تاہم، ہم نے ابھی دیکھا ہے کہ فینو کئی گنا کی ٹوڈ جینس 1 کے برابر ہونی چاہیے۔ چونکہ یہ کئی گنا کے عالمگیر احاطے پر بھی لاگو ہوتا ہے، اور چونکہ ٹوڈ جینس محدود احاطے کے تحت ضرب پذیر ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کوئی بھی فانو کئی گنا آسانی سے جڑا ہوا ہے۔ ایک بہت آسان حقیقت یہ ہے کہ ہر فینو قسم میں کوڈائرا طول و عرض − φ ہوتا ہے۔ کیمپانا اور کولر-میاکا-موری نے دکھایا کہ الجبرائی طور پر بند میدان پر ایک ہموار فینو قسم عقلی طور پر زنجیر سے جڑی ہوئی ہے ؛ یعنی، کسی بھی دو بند نکات کو عقلی منحنی خطوط کے سلسلے سے جوڑا جا سکتا ہے۔ کولر-میاکا-موری نے یہ بھی دکھایا کہ خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر دی گئی جہت کی ہموار فینو اقسام ایک باؤنڈڈ فیملی بناتی ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ان کی درجہ بندی محدود طور پر بہت سی الجبرائی اقسام کے نکات سے کی جاتی ہے۔ خاص طور پر، ہر جہت کی فانو اقسام کی صرف محدود طور پر بہت سی اخترتی کی کلاسیں ہیں۔ اس لحاظ سے، فینو کی اقسام دیگر اقسام جیسے عام قسم کی اقسام کے مقابلے میں بہت زیادہ خاص ہیں۔ چھوٹے طول و عرض میں درجہ بندی مندرجہ ذیل بحث پیچیدہ اعداد پر ہموار فینو اقسام سے متعلق ہے۔ ایک فینو وکر پروجیکٹو لائن کے لیے آئسومورفک ہے۔ فینو کی سطح کو ڈیل پیزو کی سطح بھی کہا جاتا ہے۔ ہر ڈیل پیزو کی سطح یا تو P1 × P1 یا زیادہ سے زیادہ آٹھ نکات پر اڑنے والے پروجیکٹو پلین کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے، جو عام پوزیشن میں ہونی چاہیے۔ نتیجے کے طور پر، وہ سب عقلی ہیں۔ طول و عرض 3 میں، ہموار پیچیدہ فینو کی قسمیں ہیں جو عقلی نہیں ہیں، مثال کے طور پر پی 4 میں کیوبک 3-فولڈز (کلیمنس-گریفتھس کے ذریعہ) اور پی 4 میں کوارٹک 3-فولڈز (اسکووسکیخ-منین کے ذریعہ)۔ دوسرے بیٹی نمبر 1 کے ساتھ ہموار فینو 3 فولڈوں کو 17 کلاسوں میں درجہ بند کیا گیا، اور دوسرے بیٹی نمبر کے ساتھ ہموار فولڈوں کو کم از کم 2 کی درجہ بندی کی گئی، جس سے 88 بگاڑ کی کلاسیں ملیں۔ ہموار فینو 3-فولڈ کی درجہ بندی کا تفصیلی خلاصہ اس میں دیا گیا ہے۔ فینو کی تمام اقسام کو تین، چار اور پانچ جہتوں میں درجہ بندی کرنے کے لیے ایک پروجیکٹ کی شکلوں کا پیریڈک ٹیبل بھی دیکھیں۔ نوٹ بیرونی روابط فینوگرافی-سہ جہتی فینو اقسام کی درجہ بندی کا بصری مطالعہ کرنے کا ایک ٹول۔ حوالہ جات الجبرائی جیومیٹری 3-فولڈ