Zolotarev's lemma
نمبر تھیوری میں، زولوٹریف کے لیما میں کہا گیا ہے کہ لیجنڈری علامت ایک عدد کے لیے a ماڈیولو ایک عجیب پرائم نمبر p، جہاں p a کو تقسیم نہیں کرتا ہے، کو ایک ترتیب کی علامت کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے: جہاں ε ایک ترتیب کے دستخط کی نشاندہی کرتا ہے اور πa غیر صفر باقیات کلاسوں موڈ p کی ترتیب ہے جو a کے ضرب سے متاثر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، a = 2 اور p = 7 لیں۔ غیر صفر مربع موڈ 7 1، 2، اور 4 ہیں، لہذا (2|7) = 1 اور (6|7) = −1۔ غیر صفر اعداد ماڈ 7 پر 2 سے ضرب میں سائیکل سڑنا (1,2,4) (3,6,5) ہوتا ہے، لہذا اس ترتیب کی علامت 1 ہے، جو کہ (2|7) ہے۔ غیر صفر اعداد ماڈ 7 پر 6 سے ضرب میں سائیکل سڑنا (1,6) (2,5) (3,4) ہوتا ہے، جس کی علامت −1 ہے، جو کہ (6|7) ہے۔ ثبوت عام طور پر، ترتیب n کے کسی بھی محدود گروپ G کے لیے، G کے عنصر g کے ذریعے بائیں ضرب کے ذریعے بنائے گئے πg تعدد کے دستخط کا تعین کرنا سیدھا ہے۔ تعدد πg یکساں ہوگا، جب تک کہ مساوی سائز کے مداروں کی طاق تعداد نہ ہو۔ لہذا، n کو یکساں فرض کرتے ہوئے، πg کے لیے ایک عجیب ترتیب ہونے کی شرط یہ ہے کہ n/k کو عجیب ہونا چاہیے، یا یہ کہ g کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ <g> کو عجیب اشاریہ ہونا چاہیے۔ ہم اس کا اطلاق غیر صفر نمبروں کے گروپ موڈ p پر کریں گے، جو کہ p−1 ترتیب کا ایک چکور گروپ ہے۔ ابتدائی جڑ ماڈیولو p کی jth طاقت کا اشاریہ سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کار i = (j، p−1) ہوگا۔ غیر صفر نمبر موڈ p کے کواڈریٹک غیر باقیات ہونے کی شرط ایک ابتدائی جڑ کی عجیب طاقت ہے۔ لہذا لیما یہ کہنے کے لیے نیچے آتا ہے کہ جب جے عجیب ہوتا ہے تو آئی عجیب ہوتا ہے، جو کہ سچ میں فورٹیوری ہوتا ہے، اور جب آئی عجیب ہوتا ہے تو جے عجیب ہوتا ہے، جو کہ سچ ہے کیونکہ پی − 1 یکساں ہوتا ہے (پی عجیب ہوتا ہے)۔ ایک اور ثبوت زولوتریف کے لیما کا اندازہ گوس کے لیما سے آسانی سے لگایا جا سکتا ہے اور اس کے برعکس۔ مثال، یعنی۔ لیجنڈری کی علامت (a/p) a = 3 اور p = 11 کے ساتھ، اس بات کی وضاحت کرے گی کہ ثبوت کیسے جاتا ہے۔ سیٹ {1,2,.... سے شروع کریں۔ ، p − 1} دو قطاروں کے میٹرکس کے طور پر ترتیب دیا گیا ہے کہ کسی بھی کالم میں دو عناصر کا مجموعہ صفر موڈ p ہے، کہو: ترتیب کو لاگو کریں: کالموں میں اب بھی یہ خاصیت ہے کہ ایک کالم میں دو عناصر کا مجموعہ صفر موڈ p ہے۔ اب ایک ترتیب V لاگو کریں جو کسی بھی جوڑے کو تبدیل کرتا ہے جس میں اوپری ممبر اصل میں نچلا ممبر تھا: آخر میں، ایک ترتیب W لاگو کریں جو اصل میٹرکس کو واپس کرتا ہے: ہمارے پاس W − 1 = VU ہے۔ زولوٹریف کا لیما کہتا ہے کہ (a/p) = 1 اگر اور صرف اس صورت میں جب تعدد U مساوی ہو۔ گاؤس کا لیما کہتا ہے کہ (a/p) = 1 اگر V مساوی ہے۔ لیکن W یکساں ہے، لہذا دو لیما دیئے گئے (لیکن صوابدیدی) a اور p کے مساوی ہیں۔ جیکوبی علامت ترتیب کی علامت کے طور پر لیجنڈری علامت کی اس تشریح کو جیکوبی علامت تک بڑھایا جا سکتا ہے جہاں a اور n نسبتا پرائم انٹیجر ہیں جن میں عجیب n> 0 ہے: a الٹا موڈ n ہے، لہذا Z/nZ پر a سے ضرب ایک ترتیب ہے اور زولوٹریف کے لیما کی عمومی شکل یہ ہے کہ اوپر کی جیکوبی علامت اس ترتیب کی علامت ہے۔ مثال کے طور پر، Z/21Z پر 2 سے ضرب میں سائیکل سڑنا (0) (1,2,4، 8,16,11) (3,6,12) (5,10,20، 19,17,13) (7,14) (9,18,15) ہوتا ہے، لہذا اس ترتیب کی علامت (1) (−1) (1) (−1) (1) = −1 ہے اور جیکوبی علامت (2|21) −1 ہے۔ (نوٹ کریں کہ ماڈ 21 اکائیوں پر 2 سے ضرب دو 6 چکروں کا پروڈکٹ ہے، اس لیے اس کی علامت 1 ہے۔ اس طرح یہ ضروری ہے کہ تمام انٹیجرز موڈ این کا استعمال کیا جائے نہ کہ صرف یونٹس موڈ این کا استعمال صحیح ترتیب کی وضاحت کے لیے کیا جائے۔) جب n = p ایک عجیب پرائم ہے اور a کو p سے تقسیم نہیں کیا جا سکتا ہے، تو ایک فکسس 0 موڈ p سے ضرب ہوتی ہے، لہذا تمام نمبروں پر a سے ضرب کی علامت موڈ p اور یونٹس موڈ p پر ایک ہی علامت ہوتی ہے۔ لیکن جامع n کے لیے ایسا نہیں ہے، جیسا کہ ہم اوپر کی مثال میں دیکھتے ہیں۔ یہ لیما 1872 میں یگور ایوانوویچ زولوٹریف نے کواڈریٹک باہمی تعاون کے ثبوت میں متعارف کرایا تھا۔ حوالہ جات بیرونی روابط زولوتریف کے لیما پر پلینیٹ میتھ کا مضمون ؛ ان میں کواڈریٹک باہمی تعاون کا ثبوت شامل ہے نمبر تھیوری میں لیما کے ثبوت پر مشتمل مضامین نمبر تھیوری میں پیرموٹیشنز کواڈریٹک ریسیڈیو اسکوائرز