Peetre theorem
ریاضی میں، (لکیری) پیٹر تھیوریم، جس کا نام جاک پیٹر کے نام پر رکھا گیا ہے، فنکشنل تجزیہ کا نتیجہ ہے جو عمومی فنکشن خالی جگہوں پر ان کے اثر کے لحاظ سے تفریق آپریٹرز کی خصوصیت دیتا ہے، اور واضح اصطلاحات میں تفریق کا ذکر کیے بغیر۔ پیٹر تھیوریم ایک محدود ترتیب تھیوریم کی ایک مثال ہے جس میں ایک فنکشن یا فنکٹر، جس کی تعریف بہت عام انداز میں کی گئی ہے، حقیقت میں کسی غیر معمولی حالت یا اس پر عائد ہم آہنگی کی وجہ سے کثیر الجہتی کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ اس مضمون میں پیٹر تھیوریم کی دو شکلیں بیان کی گئی ہیں۔ پہلا اصل ورژن ہے، جو اگرچہ اپنے آپ میں کافی مفید ہے، لیکن دراصل زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے بہت عام ہے۔ اصل پیٹر تھیوریم فرض کریں کہ M ایک ہموار کئی گنا ہو اور E اور F کو M پر دو ویکٹر بنڈل ہونے دیں۔ فرض کریں کہ E اور F کے ہموار حصوں کی خالی جگہیں ہوں۔ ایک آپریٹر شییوز کا ایک مورفزم ہے جو حصوں پر لکیری ہے جیسے کہ D کا سپورٹ غیر بڑھ رہا ہے: فرض کریں کہ Ds فرض کریں کہ E کے ہر ہموار حصے s کے لیے ہے۔ اصل پیٹر تھیوریم اس بات پر زور دیتی ہے کہ، M میں ہر پوائنٹ p کے لیے، p کا ایک پڑوس U اور ایک انٹیجر k (U پر منحصر ہے) اس طرح ہے کہ D U پر آرڈر k کا ایک تفریق آپریٹر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ E کے حصوں کے k-جیٹ سے F کے ہموار حصوں کی جگہ میں لکیری میپنگ iD کے ذریعے D عوامل: k-جیٹ آپریٹر کہاں ہے اور ویکٹر بنڈلوں کی لکیری میپنگ ہے۔ ثبوت مقامی ڈفیومورفزم کے تحت مسئلہ غیر متغیر ہے، لہذا یہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے جب Rn میں M ایک کھلا سیٹ ہے اور E اور F معمولی بنڈل ہیں۔ اس مقام پر، یہ بنیادی طور پر دو لیماؤں پر منحصر ہے: لیما 1۔ اگر تھیوریم کے مفروضے مطمئن ہیں، تو ہر x ωM اور C> 0 کے لیے، x کا ایک پڑوس V اور ایک مثبت عدد k اس طرح موجود ہے کہ کسی بھی y ωV\ {x} کے لیے اور E کے کسی بھی حصے s کے لیے جس کا k-جیٹ y (jks (y) = 0) پر غائب ہو جاتا ہے، ہمارے پاس |Ds (y) | <C ہے۔ لیما 2. نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے پہلا لیما کافی ہے۔ ہم لیما 1 کے ثبوت سے شروع کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ لیما غلط ہے۔ پھر x کی طرف جھکاؤ رکھنے والی ایک ترتیب xk ہے، اور xk کے ارد گرد بہت ہی جداگانہ گیندوں Bk کی ایک ترتیب ہے (جس کا مطلب ہے کہ ایسی دو گیندوں کے درمیان جیوڈیسیک فاصلہ غیر صفر ہے)، اور ہر Bk پر E کے حصے اس طرح کے ہیں کہ jksk (xk) = 0 لیکن |Dsk (xk) | ±C> 0۔ آئیے ρ (x) اصل میں یونٹ بال کے لیے ایک معیاری ٹکرانے والے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے: ایک ہموار حقیقی قدر والا فنکشن جو B1/2 (0) پر 1 کے برابر ہے، جو یونٹ بال کی حد پر لامحدود ترتیب میں غائب ہو جاتا ہے۔ ہر دوسرے سیکشن s2k پر غور کریں۔ x2k پر، یہ j2ks2k (x2k) = 0 کو مطمئن کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ 2k دیا گیا ہے۔ پھر، چونکہ یہ افعال ہموار ہوتے ہیں اور ہر ایک j2k (s2k) (x2k) = 0 کو مطمئن کرتا ہے، اس لیے ایک چھوٹی گیند B′ δ (x2k) کی وضاحت کرنا ممکن ہے تاکہ اعلی ترتیب کے مشتقات مندرجہ ذیل تخمینے کی پابندی کریں: جہاں اب B′ δ (x2k) میں سپورٹ شدہ ایک معیاری ٹکر فنکشن ہے، اور پروڈکٹ s2kρ2k کا مشتق اس طرح سے پابند ہے کہ نتیجے کے طور پر، کیونکہ مندرجہ ذیل سیریز اور اس کے مشتقات کے تمام جزوی مجموعے یکساں طور پر یکجا ہوتے ہیں q (y) تمام V پر ایک ہموار فنکشن ہے۔ اب ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ چونکہ s2k اور 2ks2k x2k کے پڑوس میں برابر ہیں، لہذا تسلسل سے <ID دوسری طرف، چونکہ Dq (x2k + 1) = 0 کیونکہ q B2k + 1 میں یکساں طور پر صفر ہے اور D عدم اضافے کی حمایت کرتا ہے۔ تو Dq (x) = 0۔ یہ ایک تضاد ہے۔ اب ہم لیما 2 کو ثابت کرتے ہیں۔ سب سے پہلے، آئیے پہلے لیما سے مستقل C کو ختم کرتے ہیں۔ ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ، لیما 1 جیسے ہی مفروضوں کے تحت، |Ds (y) | = 0۔ V میں y کو چن لیں تاکہ jks (y) = 0 لیکن |Ds (y) | = g> 0 ہو۔ 2C/g کے عنصر سے s کو بازیافت کریں۔ پھر اگر g غیر صفر ہے، D کی لکیریتا کے لحاظ سے، |Ds (y) | = 2C> C، جو لیما 1 کے لحاظ سے ناممکن ہے۔ یہ پنکچرڈ پڑوس V\ {x} میں تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ اب، ہمیں تفریقی آپریٹر کو پنکچر پڑوس میں مرکزی نقطہ x تک جاری رکھنا چاہیے۔ D ہموار گتانک کے ساتھ ایک لکیری تفریق آپریٹر ہے۔ مزید برآں، یہ ایکس پر بھی ہموار افعال کے جراثیم کو ہموار افعال کے جراثیم بھیجتا ہے۔ اس طرح D کے کوفیشنٹس بھی x پر ہموار ہوتے ہیں۔ ایک خصوصی ایپلی کیشن فرض کریں کہ M ایک کمپیکٹ ہموار کئی گنا (ممکنہ طور پر باؤنڈری کے ساتھ) ہو، اور E اور F M پر محدود جہتی ویکٹر بنڈل ہوں۔ آئیے E کے ہموار حصوں کا مجموعہ ہو۔ ایک آپریٹر ایک ہموار فنکشن ہے (فریشیٹ کئی گنا کا) جو ریشوں پر لکیری ہے اور M پر بیس پوائنٹ کا احترام کرتا ہے: پیٹر تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ ہر آپریٹر D کے لیے، ایک انٹیجر k موجود ہے جیسے کہ D آرڈر k کا ایک تفریقی آپریٹر ہے۔ خاص طور پر، ہم سڑ سکتے ہیں جہاں E کے حصوں کے جیٹوں سے بنڈل F کی نقشہ سازی ہے۔ اندرونی تفریقی آپریٹرز بھی دیکھیں۔ مثال: لیپلاسیئن مندرجہ ذیل آپریٹر پر غور کریں: دائرہ کہاں اور کہاں رداس کے ساتھ مرکوز ہے۔ یہ درحقیقت لیپلاشین ہے۔ ہم دکھائیں گے کہ پیٹر کے نظریہ کے مطابق ایک تفریقی آپریٹر ہے۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ چونکہ اس کی تعریف صرف قریب کے رویے کے لحاظ سے کی گئی ہے، اس کی نوعیت مقامی ہے ؛ خاص طور پر، اگر مقامی طور پر صفر ہے، تو ایسا ہی ہے، اور اس وجہ سے سپورٹ نہیں بڑھ سکتا۔ تکنیکی ثبوت مندرجہ ذیل ہے۔ آئیے اور رینک کے معمولی بنڈل بنیں۔ پھر اور صرف ہموار افعال کی جگہ ہے۔ شیف کے طور پر، کھلے سیٹ پر ہموار افعال کا مجموعہ ہے اور پابندی فنکشن کی پابندی ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ واقعی ایک مورفزم ہے، ہمیں کھلے سیٹوں اور اس طرح کے سیٹوں کی جانچ کرنے کی ضرورت ہے۔ یہ واضح ہے کیونکہ دونوں کے لیے اور سادہ ہیں، جیسا کہ آخر میں دونوں کے اندر اور ویسے بھی بیٹھتا ہے۔ یہ چیک کرنا آسان ہے کہ یہ لکیری ہے: اور آخر میں، ہم اس معنی میں چیک کرتے ہیں کہ یہ مقامی ہے۔ اگر، تو ایسا کہ رداس کی گیند میں مرکوز ہے۔ اس طرح، کے لیے، کے لیے، اور اس لیے۔ اس لیے۔ تو پیٹر کے نظریہ کے مطابق، ایک تفریقی آپریٹر ہے۔ حوالہ جات پیٹرے، جے۔، یون کیریکٹریشن تجریدی ڈیس اوپریٹریس ڈفریینٹیلس، ریاضی۔ سکینڈ۔ 7 (1959)، 211-218۔ پیٹرے، جے۔ ریکٹیفیکیشن اے ایل آرٹیکل یون کیریکٹیریشن ایبسٹریٹ ڈیس اوپریٹریس ڈفریینٹیلز، ریاضی۔ سکینڈ۔ 8 (1960)، 116-120۔ Terng، C. L.، نیچرل ویکٹر بنڈل اور نیچرل ڈفریٚنشل آپریٹر، AM۔ جے۔ ریاضی۔ 100 (1978)، 775-828۔ ثبوتوں پر مشتمل مضامین ڈفریینشیل آپریٹرز فنکشنل تجزیہ میں نظریات