Köthe conjecture
ریاضی میں، کوتھی قیاس آرائی رنگ تھیوری میں ایک مسئلہ ہے، کھلا۔ اسے مختلف طریقوں سے وضع کیا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ R ایک انگوٹھی ہے۔ قیاس کو بیان کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ اگر R کا کوئی صفر آئیڈیل نہیں ہے، {0} کے علاوہ، تو اس کا کوئی صفر یک طرفہ آئیڈیل نہیں ہے، سوائے {0} کے۔ یہ سوال 1930 میں گوٹ فرائیڈ کوتھی (1905-1989) نے اٹھایا تھا۔ کوتھی قیاس آرائی کو مختلف قسم کے بجتوں کے لیے درست دکھایا گیا ہے، جیسے کہ کثیر الجہتی شناختی بجتی اور دائیں نویتھیرین بجتی، لیکن ایک عمومی حل مبہم رہتا ہے۔ مساوی فارمولیشنز قیاس آرائی میں کئی مختلف فارمولیشنز ہوتی ہیں: (کوتھی قیاس) کسی بھی رنگ میں، دو صفر بائیں آئیڈیلز کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔ کسی بھی رنگ میں دو یک طرفہ نیل آئیڈیلز کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔ کسی بھی رنگ میں، رنگ کا ہر صفر بائیں یا دائیں آئیڈیل رنگ کے اوپری نیل ریڈیکل میں موجود ہوتا ہے۔ کسی بھی رنگ R کے لیے اور R کے کسی بھی صفر آئیڈیل J کے لیے، میٹرکس آئیڈیل Mn (J) ہر n کے لیے Mn (R) کا صفر آئیڈیل ہے۔ کسی بھی رنگ R کے لیے اور R کے کسی بھی صفر آئیڈیل J کے لیے، میٹرکس آئیڈیل M2 (J) M2 (R) کا صفر آئیڈیل ہے۔ کسی بھی رنگ R کے لیے، Mn (R) کا اوپری نیلراڈیکل میٹرکس کا مجموعہ ہے جس میں ہر مثبت عدد n کے لیے R کے اوپری نیلراڈیکل سے اندراجات ہوتے ہیں۔ کسی بھی رنگ R کے لیے اور R کے کسی بھی نیل آئیڈیل J کے لیے، غیر متعین x کے ساتھ کثیر الجہتی اور J سے کوفیشنٹس کثیر الجہتی رنگ R [x] کے جیکبسن ریڈیکل میں ہوتے ہیں۔ کسی بھی رنگ R کے لیے، R [x] کا جیکبسن ریڈیکل R کے اوپری نیلراڈیکل سے کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی پر مشتمل ہوتا ہے۔ متعلقہ مسائل امیتسور کے ایک قیاس میں لکھا ہے: "اگر J R میں ایک نیل آئیڈیل ہے، تو J [x] کثیر الجہتی رنگ R [x] کا ایک نیل آئیڈیل ہے۔" یہ قیاس، اگر درست ہے، تو اوپر دیے گئے مساوی بیانات کے ذریعے کوتھی قیاس کو ثابت کر سکتا تھا، تاہم اگاتا سموکٹونوویز نے ایک جوابی مثال پیش کی تھی۔ اگرچہ کوتھی قیاس کی تردید نہیں ہے، لیکن اس نے شکوک و شبہات کو ہوا دی کہ کوتھی قیاس غلط ہو سکتا ہے۔ کیگل نے ثابت کیا کہ ایک انگوٹھی جو دو نیلپوٹینٹ ذیلی رنگوں کا براہ راست مجموعہ ہے خود نیلپوٹینٹ ہے۔ سوال یہ پیدا ہوا کہ آیا "نیل پوٹینٹ" کو "مقامی طور پر نیل پوٹینٹ" یا "نیل" سے تبدیل کیا جا سکتا ہے یا نہیں۔ جزوی پیش رفت اس وقت ہوئی جب کیلاریف نے ایک انگوٹھی کی مثال پیش کی جو صفر نہیں ہے، لیکن مقامی طور پر دو نیلپوٹینٹ بجتوں کا براہ راست مجموعہ ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ کیگل کے سوال کا جواب "مقامی طور پر نیلپوٹینٹ" کے ساتھ "نیلپوٹینٹ" کی جگہ منفی میں دیا گیا ہے۔ نیل پوٹینٹ سبرنگ اور نیل سبرنگ کا مجموعہ ہمیشہ صفر ہوتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط پلینیٹ میتھ پیج سروے پیپر (پی ڈی ایف) رنگ تھیوری قیاس آرائیاں ریاضی میں حل نہ ہونے والے مسائل