Euler method
ریاضی اور کمپیوٹیشنل سائنس میں، اویلر طریقہ (جسے فارورڈ اویلر طریقہ بھی کہا جاتا ہے) ایک دی گئی ابتدائی قدر کے ساتھ عام تفریقی مساوات (او ڈی ای) کو حل کرنے کے لیے پہلے درجے کا عددی طریقہ کار ہے۔ یہ عام تفریقی مساوات کے عددی انضمام کے لیے سب سے بنیادی واضح طریقہ ہے اور سب سے آسان رانج-کٹہ طریقہ ہے۔ اویلر طریقہ کار کا نام لیون ہارڈ اویلر کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے سب سے پہلے اپنی کتاب انسٹی ٹیوشنم کیلکولی انٹیگریلس (شائع شدہ 1768-1770) میں اس کی تجویز پیش کی تھی۔ اویلر طریقہ ایک فرسٹ آرڈر طریقہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ مقامی غلطی (فی قدم غلطی) مرحلہ سائز کے مربع کے متناسب ہے، اور عالمی غلطی (ایک مقررہ وقت پر غلطی) مرحلہ سائز کے متناسب ہے۔ اویلر طریقہ اکثر زیادہ پیچیدہ طریقوں کی تعمیر کی بنیاد کے طور پر کام کرتا ہے، مثال کے طور پر، پیشن گوئی کرنے والا-اصلاح کرنے والا طریقہ۔ جیومیٹریکل تفصیل مقصد اور یہ کیوں کام کرتا ہے کسی نامعلوم منحنی خطوط کی شکل کا حساب لگانے کے مسئلے پر غور کریں جو کسی دیئے گئے نقطہ پر شروع ہوتا ہے اور کسی دی گئی تفریقی مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ یہاں، ایک تفریقی مساوات کو ایک فارمولے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جس کے ذریعے منحنی خطوط پر ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان کا حساب منحنی خطوط پر کسی بھی مقام پر لگایا جا سکتا ہے، ایک بار جب اس نقطہ کی پوزیشن کا حساب لگایا جا چکا ہو۔ خیال یہ ہے کہ اگرچہ وکر ابتدائی طور پر نامعلوم ہے، لیکن اس کا نقطہ آغاز، جس سے ہم اشارہ کرتے ہیں، معلوم ہے (شکل 1 دیکھیں)۔ پھر، تفریق مساوات سے، منحنی خطوط کی ڈھلوان کا حساب لگایا جا سکتا ہے، اور اسی طرح، ٹینجینٹ لائن۔ اس ٹینجینٹ لائن کے ساتھ ایک نقطہ تک ایک چھوٹا سا قدم اٹھائیں۔ اس چھوٹے سے قدم کے ساتھ، ڈھلوان بہت زیادہ تبدیل نہیں ہوتا ہے، اس لیے یہ منحنی خطوط کے قریب ہوگا۔ اگر ہم یہ دکھاوا کرتے ہیں کہ اب بھی منحنی خطوط پر ہے، تو وہی استدلال استعمال کیا جا سکتا ہے جو اوپر کے نقطہ کے لیے ہے۔ کئی مراحل کے بعد، ایک کثیر الاضحی وکر () کا حساب لگایا جاتا ہے۔ عام طور پر، یہ منحنی خطوط اصل نامعلوم منحنی خطوط سے زیادہ دور نہیں ہوتے ہیں، اور دونوں منحنی خطوط کے درمیان غلطی کو چھوٹا بنایا جا سکتا ہے اگر قدم کا سائز کافی چھوٹا ہو اور حساب کا وقفہ محدود ہو۔ فرسٹ آرڈر کا عمل جب اور کے لیے اقدار دی جاتی ہیں، اور اس کا مشتق ایک دی گئی تقریب ہوتی ہے اور اس کے طور پر ظاہر کی جاتی ہے۔ ترتیب دے کر عمل شروع کریں۔ اگلا، ٹی محور کے ساتھ ہر قدم کے سائز کے لیے ایک قدر منتخب کریں، اور سیٹ کریں (یا مساوی طور پر)۔ اب، اور سے تلاش کرنے کے لیے یولر طریقہ استعمال کیا جاتا ہے: کی قدر وقت پر حل کا تخمینہ ہے، یعنی۔ اویلر طریقہ واضح ہے، یعنی۔ حل کے لیے ایک واضح فنکشن ہے۔ جب کہ اویلر طریقہ فرسٹ آرڈر او ڈی ای کو مربوط کرتا ہے، آرڈر کے کسی بھی او ڈی ای کو فرسٹ آرڈر او ڈی ای کے نظام کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ جب آرڈر کا او ڈی ای دیا جاتا ہے تو اس کے ساتھ ساتھ، اور، ہم مندرجہ ذیل فارمولے کو اس وقت تک نافذ کرتے ہیں جب تک کہ ہم مطلوبہ وقت پر او ڈی ای کے حل کے تخمینے تک نہ پہنچ جائیں: ان فرسٹ آرڈر سسٹمز کو یولر کے طریقہ کار کے ذریعے یا درحقیقت، فرسٹ آرڈر سسٹمز کے لیے کسی اور اسکیم کے ذریعے سنبھالا جا سکتا ہے۔ فرسٹ آرڈر کی مثال ابتدائی قدر کے مسئلے کو دیکھتے ہوئے ہم تخمینہ لگانے کے لیے یولر طریقہ استعمال کرنا چاہیں گے۔ 1 () کے برابر اسٹیپ سائز کا استعمال کرنا اویلر کا طریقہ ایسا ہے کہ پہلے ہمیں حساب لگانا چاہیے۔ اس سادہ تفریقی مساوات میں فنکشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ ہمارے پاس ہے مندرجہ بالا مرحلہ کرنے سے، ہمیں اس لکیر کی ڈھلوان مل گئی ہے جو نقطہ پر حل کے منحنی خطوط سے متصل ہے۔ یاد رکھیں کہ ڈھلوان کی تعریف یا میں تبدیلی سے تقسیم ہونے والی تبدیلی کے طور پر کی گئی ہے۔ اگلا مرحلہ مندرجہ بالا قدر کو قدم کے سائز سے ضرب دینا ہے، جسے ہم یہاں ایک کے برابر لیتے ہیں: چونکہ قدم کا سائز تبدیلی ہے، جب ہم قدم کے سائز اور ٹینجینٹ کی ڈھلوان کو ضرب دیتے ہیں، تو ہمیں قیمت میں تبدیلی ملتی ہے۔ اس کے بعد اس قدر کو ابتدائی قدر میں شامل کیا جاتا ہے تاکہ حساب کے لیے استعمال ہونے والی اگلی قدر حاصل کی جا سکے۔ تلاش کرنے کے لیے مندرجہ بالا مراحل کو دہرایا جانا چاہیے، اور۔ اس الگورتھم کی تکراری نوعیت کی وجہ سے، غلطیاں کرنے سے بچنے کے لیے، چارٹ کی شکل میں حسابات کو منظم کرنا مددگار ثابت ہو سکتا ہے، جیسا کہ نیچے دیکھا گیا ہے۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل" |-! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ تو تفریقی مساوات کا صحیح حل ہے۔ اگرچہ اس مخصوص معاملے میں اویلر طریقہ کار کا تخمینہ بہت درست نہیں تھا، خاص طور پر بڑے ویلیو اسٹیپ سائز کی وجہ سے، اس کا طرز عمل کوالٹی کے لحاظ سے درست ہے جیسا کہ اعداد و شمار سے ظاہر ہوتا ہے۔ دوسرے قدم کے سائز کا استعمال جیسا کہ تعارف میں تجویز کیا گیا ہے، اگر قدم کا سائز چھوٹا ہے تو یولر طریقہ زیادہ درست ہے۔ نیچے دیا گیا جدول مختلف مراحل کے سائز کے ساتھ نتیجہ دکھاتا ہے۔ اوپری صف پچھلے حصے کی مثال سے مطابقت رکھتی ہے، اور دوسری صف کو شکل میں دکھایا گیا ہے۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل" |-! قدم کا سائز! ! اویلر کے طریقہ کار کا نتیجہ! ! غلطی۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ میز کے نچلے حصے میں، قدم کا سائز پچھلی صف میں قدم کا سائز نصف ہے، اور غلطی بھی پچھلی صف میں غلطی کا تقریبا نصف ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ غلطی تقریبا قدم کے سائز کے متناسب ہے، کم از کم قدم کے سائز کی کافی چھوٹی اقدار کے لیے۔ یہ عام طور پر درست ہے، دیگر مساوات کے لیے بھی ؛ مزید تفصیلات کے لیے سیکشن گلوبل ٹرنکیشن ایرر دیکھیں۔ دوسرے طریقے، جیسے کہ مڈپوائنٹ طریقہ بھی اعداد و شمار میں دکھایا گیا ہے، زیادہ موافق سلوک کرتا ہے: مڈپوائنٹ طریقہ کی عالمی غلطی تقریبا سٹیپ سائز کے مربع کے متناسب ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، اویلر طریقہ کو فرسٹ آرڈر کا طریقہ کہا جاتا ہے، جبکہ مڈ پوائنٹ طریقہ سیکنڈ آرڈر ہے۔ ہم مندرجہ بالا جدول سے خلاصہ کر سکتے ہیں کہ تین اعشاریہ مقامات پر درست جواب حاصل کرنے کے لیے درکار قدم کا سائز تقریبا 0.00001 ہے، یعنی ہمیں 400,000 مراحل کی ضرورت ہے۔ اقدامات کی اس بڑی تعداد میں ایک اعلی کمپیوٹیشنل لاگت شامل ہے۔ اس وجہ سے، اعلی درجے کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں جیسے کہ رانج-کٹہ طریقے یا لکیری ملٹی اسٹیپ طریقے، خاص طور پر اگر اعلی درستگی مطلوب ہو۔ اعلی درجے کی مثال اس تیسرے درجے کی مثال کے لیے، فرض کریں کہ درج ذیل معلومات دی گئی ہیں: اس سے ہم مساوات حاصل کرنے کے لیے y "'کو الگ کر سکتے ہیں: اس کا استعمال کرتے ہوئے ہم حل حاصل کر سکتے ہیں: اور اس کا حل استعمال کرتے ہوئے، ہم اس کا حل حاصل کر سکتے ہیں: ہم اس عمل کو اسی فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے جاری رکھ سکتے ہیں جب تک کہ مطلوبہ چیز کو تلاش کرنے کے لیے ضروری ہو۔ اویلر طریقہ کئی طریقوں سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ (1) سب سے پہلے، اوپر ہندسی وضاحت موجود ہے۔ (2) ایک اور امکان یہ ہے کہ ارد گرد فنکشن کی ٹیلر توسیع پر غور کیا جائے: تفریق مساوات بیان کرتی ہے کہ۔ اگر اسے ٹیلر کی توسیع میں تبدیل کیا جاتا ہے اور چوتھائی اور اعلی درجے کی اصطلاحات کو نظر انداز کر دیا جاتا ہے، تو یولر طریقہ پیدا ہوتا ہے۔ ٹیلر توسیع کا استعمال ذیل میں اویلر طریقہ کار کی طرف سے کی گئی غلطی کا تجزیہ کرنے کے لیے کیا گیا ہے، اور اسے رانج-کٹا طریقے تیار کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے۔ (3) ایک قریب سے متعلق مشتق تفریقی مساوات میں مشتق کے لیے آگے کے محدود فرق کے فارمولے کو تبدیل کرنا ہے۔ ایک بار پھر، اس سے یولر طریقہ کار حاصل ہوتا ہے۔ اسی طرح کی گنتی مڈ پوائنٹ طریقہ اور بیکورڈ اویلر طریقہ کی طرف لے جاتی ہے۔ (4) آخر میں، کوئی بھی تفریقی مساوات کو مربوط کر سکتا ہے اور حاصل کرنے کے لیے کیلکولس کے بنیادی نظریہ کو لاگو کر سکتا ہے: اب بائیں ہاتھ کے آئتاکار طریقہ (صرف ایک آئتاکار کے ساتھ) کے ذریعے انٹیگرل کا تخمینہ لگائیں: دونوں مساوات کو ملا کر، ایک بار پھر یولر طریقہ مل جاتا ہے۔ اس سوچ کو مختلف لکیری ملٹی اسٹیپ طریقوں تک پہنچنے کے لیے جاری رکھا جا سکتا ہے۔ لوکل ٹرنکیشن ایرر یولر طریقہ کار کی لوکل ٹرنکیشن ایرر ایک ہی مرحلے میں کی گئی غلطی ہے۔ یہ ایک قدم کے بعد عددی حل اور وقت کے عین مطابق حل کے درمیان فرق ہے۔ صحیح حل کے لیے، ہم اوپر دیے گئے حصے میں مذکور ٹیلر توسیع کا استعمال کرتے ہیں: یولر طریقہ کار کے ذریعے متعارف کرائی گئی لوکل ٹرنکیشن ایرر (ایل ٹی ای) ان مساوات کے درمیان فرق سے دی جاتی ہے: یہ نتیجہ درست ہے اگر اس میں باؤنڈڈ تھرڈ مشتق ہو۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ چھوٹے کے لیے، مقامی کٹوتی کی غلطی تقریبا متناسب ہے۔ یہ اویلر طریقہ کو اعلی درجے کی تکنیکوں جیسے رنگ کٹہ طریقوں اور لکیری ملٹی اسٹیپ طریقوں سے کم درست بناتا ہے، جس کے لیے مقامی کٹوتی کی غلطی مرحلہ سائز کی اعلی طاقت کے متناسب ہوتی ہے۔ ٹیلر کے نظریہ میں بقیہ اصطلاح کے لیے لگرینج فارم کا استعمال کرکے مقامی تراشنے کی غلطی کے لیے قدرے مختلف تشکیل حاصل کی جا سکتی ہے۔ اگر کوئی مسلسل دوسرا مشتق ہے، تو ایسا موجود ہے کہ غلطی کے لیے مذکورہ بالا تاثرات میں، نامعلوم عین حل کے دوسرے مشتق کو تفریق مساوات کے دائیں ہاتھ والے اظہار سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، یہ اس مساوات سے ملتا ہے کہ گلوبل ٹرنکیشن ایرر گلوبل ٹرنکیشن ایرر ایک مقررہ وقت کی غلطی ہے، تاہم ابتدائی وقت سے اس وقت تک پہنچنے کے لیے طریقہ کار کو کتنے ہی اقدامات کرنے کی ضرورت ہے۔ گلوبل ٹرنکیشن ایرر ہر مرحلے میں ہونے والی مقامی ٹرنکیشن ایررز کا مجموعی اثر ہے۔ مراحل کی تعداد کا آسانی سے تعین کیا جاتا ہے، جو متناسب ہے، اور ہر مرحلے میں ہونے والی غلطی متناسب ہے (پچھلے حصے کو دیکھیں)۔ اس طرح، یہ توقع کی جانی چاہیے کہ عالمی کٹوتی کی غلطی متناسب ہوگی۔ اس بدیہی استدلال کو درست بنایا جا سکتا ہے۔ اگر حل میں ایک باؤنڈڈ سیکنڈ مشتق ہے اور اس کی دوسری دلیل میں Lipschitz مسلسل ہے، تو گلوبل ٹرنکیشن ایرر (کے طور پر ظاہر کیا گیا ہے) اس سے پابند ہے جہاں دیئے گئے وقفے پر دوسرے مشتق پر اوپری باؤنڈ ہے اور یہ Lipschitz کا مستقل ہے۔ یا زیادہ آسانی سے، جب، قیمت (جیسے کہ مستقل کے طور پر سمجھا جاتا ہے)۔ اس کے برعکس، جہاں فنکشن عین حل ہے جس میں صرف متغیر ہوتا ہے۔ اس باؤنڈ کی عین مطابق شکل کی عملی اہمیت بہت کم ہے، کیونکہ زیادہ تر معاملات میں باؤنڈ یولر طریقہ کار کی طرف سے کی گئی اصل غلطی کو بہت زیادہ حد سے زیادہ اندازہ لگاتا ہے۔ اہم بات یہ ہے کہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ عالمی کٹوتی کی غلطی (تقریبا) متناسب ہے۔ اس وجہ سے، اویلر طریقہ کو فرسٹ آرڈر کہا جاتا ہے۔ مثال اگر ہمارے پاس تفریق مساوات، اور درست حل ہے، اور ہم کیا تلاش کریں اور کب کے لیے۔ اس طرح ہم t = 2.5 اور h = 0.5 پر باؤنڈ ایرر تلاش کر سکتے ہیں: نوٹ کریں کہ t0 2 کے برابر ہے کیونکہ یہ t کے لیے نچلی باؤنڈ ہے۔ عددی استحکام اویلر کا طریقہ عددی طور پر غیر مستحکم بھی ہو سکتا ہے، خاص طور پر سخت مساوات کے لیے، جس کا مطلب ہے کہ عددی حل ان مساوات کے لیے بہت بڑا ہوتا ہے جہاں قطعی حل نہیں ہوتا ہے۔ اس کی وضاحت لکیری مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ عین مطابق حل یہ ہے، جو اس طرح صفر ہو جاتا ہے۔ تاہم، اگر یولر طریقہ اس مساوات پر قدم کے سائز کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے، تو عددی حل کوالٹی کے لحاظ سے غلط ہے: یہ ارتعاش کرتا ہے اور بڑھتا ہے (شکل دیکھیں)۔ غیر مستحکم ہونے کا یہی مطلب ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک چھوٹا مرحلہ سائز استعمال کیا جاتا ہے، تو عددی حل صفر ہو جاتا ہے۔ اگر یولر طریقہ لکیری مساوات پر لاگو ہوتا ہے، تو عددی حل غیر مستحکم ہوتا ہے اگر پروڈکٹ دائیں طرف دکھائے گئے علاقے سے باہر ہو۔ اس خطے کو (لکیری) استحکام کا علاقہ کہا جاتا ہے۔ مثال میں، تو پھر جو استحکام کے علاقے سے باہر ہے، اور اس طرح عددی حل غیر مستحکم ہے۔ یہ حد-اس کے ساتھ غلطی کے سست ارتکاز کے ساتھ-اس کا مطلب یہ ہے کہ یولر طریقہ اکثر استعمال نہیں ہوتا ہے، سوائے عددی انضمام کی ایک سادہ مثال کے۔ گول کرنے کی غلطیاں یولر طریقہ کار کے مرحلے میں، گول کرنے کی غلطی تقریبا اس شدت کی ہوتی ہے جہاں مشین ایپسلون ہوتی ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ راؤنڈنگ کی غلطیاں آزاد بے ترتیب متغیر ہیں، متوقع کل راؤنڈنگ کی غلطی متناسب ہے۔ اس طرح، مرحلہ سائز کی انتہائی چھوٹی اقدار کے لیے تراشنے کی غلطی چھوٹی ہوگی لیکن گول کرنے کی غلطی کا اثر بڑا ہو سکتا ہے۔ اگر یولر طریقہ کار کے فارمولے میں معاوضہ خلاصہ استعمال کیا جائے تو گول غلطی کے زیادہ تر اثرات سے آسانی سے بچا جا سکتا ہے۔ تبدیلیاں اور توسیعات اویلر طریقہ کار کی ایک سادہ ترمیم جو اوپر بیان کردہ استحکام کے مسائل کو ختم کرتی ہے وہ بیکورڈ اویلر طریقہ ہے: یہ (معیاری، یا فارورڈ) اویلر طریقہ سے اس لحاظ سے مختلف ہے کہ فنکشن کا اندازہ ابتدائی نقطہ کے بجائے مرحلے کے آخری نقطہ پر کیا جاتا ہے۔ بیکورڈ اویلر طریقہ ایک مضمر طریقہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ بیکورڈ اویلر طریقہ کا فارمولا دونوں طرف ہے، لہذا بیکورڈ اویلر طریقہ کو لاگو کرتے وقت ہمیں ایک مساوات کو حل کرنا ہوگا۔ اس سے عمل درآمد زیادہ مہنگا ہو جاتا ہے۔ اویلر طریقہ کار کی دیگر تبدیلیاں جو استحکام میں مدد کرتی ہیں وہ ایکسپونینشل اویلر طریقہ یا سیمی امپلیٹ اویلر طریقہ حاصل کرتی ہیں۔ زیادہ پیچیدہ طریقے اعلی ترتیب (اور زیادہ درستگی) حاصل کر سکتے ہیں۔ ایک امکان یہ ہے کہ فنکشن کی مزید تشخیص کا استعمال کیا جائے۔ اس کی وضاحت مڈپوائنٹ طریقہ سے کی گئی ہے جس کا ذکر پہلے ہی اس مضمون میں کیا گیا ہے: یہ رنگے کٹہ طریقوں کے خاندان کی طرف لے جاتا ہے۔ دوسرا امکان یہ ہے کہ ماضی کی مزید اقدار کا استعمال کیا جائے، جیسا کہ دو مراحل والے ایڈمز-بیشفورتھ طریقہ سے ظاہر ہوتا ہے: یہ لکیری ملٹی اسٹیپ طریقوں کے خاندان کی طرف لے جاتا ہے۔ دیگر ترامیم ہیں جو میموری کے استعمال کو کم کرنے کے لیے کمپریسیو سینسنگ کی تکنیکوں کا استعمال کرتی ہیں۔ مقبول ثقافت میں فلم ہڈن فگرز میں، کیتھرین گوبل نے زمین کے مدار سے خلاباز جان گلین کے دوبارہ داخلے کا حساب لگانے میں اویلر طریقہ کار کا سہارا لیا۔ یہ بھی دیکھیں کہ کرینک-نکولسن طریقہ گریڈیئنٹ نزول اسی طرح محدود مراحل کا استعمال کرتا ہے، یہاں افعال کی منیما تلاش کرنے کے لیے رانج-کٹا طریقوں کی فہرست لکیری ملٹی اسٹیپ طریقہ عددی انضمام (قطعی انٹیگرلز کا حساب لگانے کے لیے) عام تفریقی مساوات کے لیے عددی طریقے نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط اویلر طریقہ کار کا نفاذ مختلف زبانوں میں روزیٹا کوڈ عددی تفریقی مساوات رانج-کٹا طریقوں کے ذریعے پہلی ترتیب کے طریقے لیون ہارڈ اویلر مضامین مثال کے طور پر R کوڈ مضامین مثال کے طور پر MATLAB/آکٹیو کوڈ کے ساتھ