Tensor product of modules
ریاضی میں، ماڈیولز کا ٹینسر پروڈکٹ ایک ایسی تعمیر ہے جو دو لکیری نقشوں کے بارے میں دلائل کی اجازت دیتی ہے (جیسے۔ ضرب) لکیری نقشوں کے لحاظ سے انجام دی جائے گی۔ ماڈیول کی تعمیر ویکٹر خالی جگہوں کے ٹینسر پروڈکٹ کی تعمیر سے مشابہت رکھتی ہے، لیکن یہ ایک مواصلاتی رنگ پر ماڈیولز کے جوڑے کے لیے کیا جا سکتا ہے جس کے نتیجے میں تیسرا ماڈیول ہوتا ہے، اور کسی بھی رنگ پر دائیں ماڈیول اور بائیں ماڈیول کے جوڑے کے لیے بھی، جس کے نتیجے میں ایک ابیلین گروپ ہوتا ہے۔ ٹینسر پروڈکٹ تجریدی الجبرا، ہومیولوجیکل الجبرا، الجبرائی ٹوپولوجی، الجبرائی جیومیٹری، آپریٹر الجبرا اور غیر تبادلہ جیومیٹری کے شعبوں میں اہم ہیں۔ ویکٹر خالی جگہوں کے ٹینسر پروڈکٹ کی عالمگیر خاصیت تجریدی الجبرا میں زیادہ عام حالات تک پھیلی ہوئی ہے۔ الجبرا اور ماڈیول کا ٹینسر پروڈکٹ اسکیلرز کی توسیع کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کمیونیٹیٹو رنگ کے لیے، ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کو ماڈیول کے ٹینسر الجبرا کی تشکیل کے لیے دہرایا جا سکتا ہے، جس سے ماڈیول میں ضرب کی تعریف عالمگیر طریقے سے کی جا سکتی ہے۔ متوازن پروڈکٹ ایک رنگ R، ایک دائیں R-ماڈیول M، ایک بائیں R-ماڈیول N، اور ایک ابیلین گروپ G کے لیے، ایک نقشے کو R-متوازن، R-درمیانی لکیری یا R-متوازن پروڈکٹ کہا جاتا ہے اگر تمام m کے لیے، m′ M میں، n، n′ N میں، اور r R میں درج ذیل ہولڈ: R سے G پر اس طرح کے تمام متوازن پروڈکٹ کے سیٹ کو اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر φ، si متوازن پروڈکٹ ہیں، تو ہر ایک آپریشن اور −φ کی پوائنٹ وائز تعریف ایک متوازن پروڈکٹ ہے۔ یہ سیٹ کو ابیلین گروپ میں بدل دیتا ہے۔ ایم اور این فکسڈ کے لیے، نقشہ ابیلین گروپوں کے زمرے سے اپنے آپ میں ایک فنکٹر ہے۔ مورفزم کا حصہ فنکشن میں گروپ ہومومورفزم کی نقشہ سازی کے ذریعے دیا جاتا ہے، جو ایک سے دوسرے تک جاتا ہے۔ ریمارکس پراپرٹیز (ڈی ایل) اور (ڈی آر) φ کی بائی ایڈیٹیویٹی کا اظہار کرتے ہیں، جسے اضافے پر φ کی تقسیم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ پراپرٹی (A) φ کی کچھ ایسوسی ایٹیو پراپرٹی سے مشابہت رکھتی ہے۔ ہر رنگ R ایک R-بائی موڈیول ہے۔ تو R میں رنگ کا ضرب ایک R-متوازن پروڈکٹ ہے۔ تعریف ایک رنگ R کے لیے، ایک دائیں R-ماڈیول M، ایک بائیں R-ماڈیول N، R پر ٹینسر پروڈکٹ ایک ابیلین گروپ ہے جس کے ساتھ ایک متوازن پروڈکٹ ہے (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) جو مندرجہ ذیل معنوں میں عالمگیر ہے: ہر ابیلین گروپ G اور ہر متوازن پروڈکٹ کے لیے ایک منفرد گروپ ہومومورفزم ہے جیسے کہ تمام عالمگیر خصوصیات کے ساتھ، مذکورہ بالا پراپرٹی ٹینسر پروڈکٹ کو منفرد طور پر ایک منفرد آئسومورفزم تک بیان کرتی ہے: کوئی بھی دوسرا ابیلین گروپ اور اسی خصوصیات کے ساتھ متوازن پروڈکٹ آئسومورفک ہوگا۔ درحقیقت، نقشہ سازی کو کینونکل کہا جاتا ہے، یا زیادہ واضح طور پر: ٹینسر پروڈکٹ کی کینونکل نقشہ سازی (یا متوازن پروڈکٹ)۔ تعریف کے وجود کو ثابت نہیں کرتی ؛ تعمیر کے لیے نیچے دیکھیں۔ ٹینسر پروڈکٹ کو فنکٹر کے لیے ایک نمائندگی کرنے والی شے کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ واضح طور پر، اس کا مطلب ہے کہ ایک قدرتی آئسومورفزم ہے: یہ اوپر دی گئی عالمگیر نقشہ سازی کی خاصیت کو بیان کرنے کا ایک مختصر طریقہ ہے۔ (اگر کسی ترجیحی شخص کو یہ قدرتی آئسومورفزم دیا جاتا ہے، تو اسے شناخت کا نقشہ لے کر اور پھر نقشہ بنا کر بازیافت کیا جا سکتا ہے۔) اسی طرح، قدرتی شناخت کو دیکھتے ہوئے، اس کی وضاحت فارمولے سے بھی کی جا سکتی ہے۔ اسے ٹینسر-ہوم ملحقہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں۔ M میں ہر x، N میں y کے لیے، کینونکل نقشے کے تحت (x، y) کی تصویر کے لیے لکھا جاتا ہے۔ اسے اکثر خالص ٹینسر کہا جاتا ہے۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، صحیح اشارے x χRy ہوں گے لیکن R کو یہاں چھوڑنا روایتی ہے۔ پھر، تعریف سے فورا، تعلقات ہوتے ہیں: ٹینسر پروڈکٹ کی یونیورسل پراپرٹی کا درج ذیل اہم نتیجہ ہوتا ہے: ثبوت: پہلے بیان کے لیے، L کو زیر بحث فارم کے عناصر کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ، اور q کو حصص کا نقشہ Q ہونا چاہیے۔ ہمارے پاس: نیز۔ لہذا، عالمگیر خاصیت کے انفرادیت والے حصے سے، q = 0۔ دوسرا بیان اس لیے ہے کہ ماڈیول ہومومورفزم کی وضاحت کرنے کے لیے، ماڈیول کے جنریٹنگ سیٹ پر اس کی وضاحت کرنا کافی ہے۔ ٹینسر پروڈکٹس کی یونیورسل پراپرٹی کا اطلاق اس بات کا تعین کرنا کہ آیا ماڈیولز کا ٹینسر پروڈکٹ صفر ہے۔ عملی طور پر، بعض اوقات یہ ظاہر کرنا زیادہ مشکل ہوتا ہے کہ R-ماڈیولز کا ٹینسر پروڈکٹ غیر صفر ہے، یہ ظاہر کرنے سے کہ یہ 0 ہے۔ یونیورسل پراپرٹی اس کی جانچ پڑتال کا ایک آسان طریقہ فراہم کرتی ہے۔ یہ جانچنے کے لیے کہ ٹینسر پروڈکٹ غیر صفر ہے، کوئی بھی ابیلین گروپ کے لیے آر-بلینیئر نقشہ اس طرح بنا سکتا ہے۔ یہ کام کرتا ہے کیونکہ اگر، تب۔ مثال کے طور پر، یہ دیکھنے کے لیے کہ، غیر صفر ہے، اور ہو لیں۔ یہ کہتا ہے کہ خالص ٹینسرز جب تک کہ غیر صفر ہوں۔ مساوی ماڈیولز کے لیے تجویز میں کہا گیا ہے کہ ہر بار براہ راست یونیورسل پراپرٹی کو مدعو کرنے کے بجائے ٹینسر مصنوعات کے واضح عناصر کے ساتھ کام کیا جا سکتا ہے۔ یہ عملی طور پر بہت آسان ہے۔ مثال کے طور پر، اگر R تبادلہ ہے اور ماڈیولز پر R کے بائیں اور دائیں اعمال کو مساوی سمجھا جاتا ہے، تو قدرتی طور پر پچھلے تجویز کے ذریعے پورے تک توسیع کرکے R-اسکیلر ضرب کے ساتھ پیش کیا جا سکتا ہے (سختی سے بات کرتے ہوئے، جس چیز کی ضرورت ہے وہ ایک بموڈیول ڈھانچہ ہے جو تبادلہ نہیں ہے ؛ نیچے ایک پیراگراف دیکھیں)۔ اس R-ماڈیول ڈھانچے سے لیس، مندرجہ بالا کی طرح ایک عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے: کسی بھی R-ماڈیول G کے لیے، ایک قدرتی آئسومورفزم ہے: اگر R لازمی طور پر تبادلہ نہیں ہے لیکن اگر M کا ایک رنگ S کے ذریعے بائیں طرف ایکشن ہے (مثال کے طور پر، R)، تو اسے بائیں S-ماڈیول کا ڈھانچہ دیا جا سکتا ہے، جیسا کہ اوپر، فارمولے کے مطابق، اگر N کا رنگ S کے ذریعے رائٹ ایکشن ہے، تو پھر رائٹ S-ماڈیول بن جاتا ہے۔ لکیری نقشوں کا ٹینسر پروڈکٹ اور بیس رنگ کی تبدیلی رنگ R اور لیفٹ ماڈیولز کے دائیں ماڈیولز کے لکیری نقشوں کو دیکھتے ہوئے، ایک منفرد گروپ ہومومورفزم ہے۔ اس تعمیر کا نتیجہ یہ ہے کہ ٹینسرنگ ایک فنکٹر ہے: ہر دائیں R-ماڈیول M فنکٹر کا تعین بائیں ماڈیولز کے زمرے سے ابیلین گروپوں کے زمرے میں کرتا ہے جو گروپ ہومومورفزم کو N اور ایک ماڈیول ہومومورفزم f بھیجتا ہے۔ اگر ایک رنگ ہومومورفزم ہے اور اگر M ایک دائیں S-ماڈیول ہے اور N ایک بائیں S-ماڈیول ہے، تو وہاں کینونکل سرجیکٹو ہومومورفزم ہے: اس کے نتیجے میں نقشہ سرجیکٹو ہے کیونکہ خالص ٹینسر پورے ماڈیول کو پیدا کرتے ہیں۔ خاص طور پر، R کو ایسا ہونا ماڈیولز کے ہر ٹینسر پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے جو ابیلین گروپوں کے ٹینسر پروڈکٹ کا حصہ ہے۔ کئی ماڈیولز (اس حصے کو اپ ڈیٹ کرنے کی ضرورت ہے۔ ابھی کے لیے، مزید عمومی بحث کے لیے دیکھیں۔) تعریف کو ایک ہی کمیوٹیٹو رنگ پر کسی بھی تعداد میں ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ تک بڑھانا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، کی عالمگیر خاصیت یہ ہے کہ ہر سہ رخی نقشہ ایک منفرد لکیری نقشے سے مطابقت رکھتا ہے بائنری ٹینسر پروڈکٹ ایسوسی ایٹیو ہے: (M1) M2) M3 قدرتی طور پر M1 (M2) M3 کے لیے آئسومورفک ہے۔ تین ماڈیولز کا ٹینسر پروڈکٹ جس کی وضاحت سہ رخی نقشوں کی عالمگیر خاصیت سے ہوتی ہے ان دونوں تکراری ٹینسر پروڈکٹس کے لیے آئسومورفک ہے۔ عام رنگوں پر پراپرٹیز ماڈیولز R1، R2، R3، R کو رنگز ہونے دیں، ضروری نہیں کہ وہ کمیوٹیٹو ہوں۔ R1-R2-بائی ماڈیول M12 اور بائیں R2-ماڈیول M20 کے لیے، ایک بائیں R1-ماڈیول ہے۔ دائیں R2-ماڈیول M02 اور R2-R3-بائی ماڈیول M23 کے لیے، ایک دائیں R3-ماڈیول ہے۔ (ایسوسی ایٹیویٹی) دائیں R1-ماڈیول M01، ایک R1-R2-بائی ماڈیول M12، اور ایک بائیں R2-ماڈیول M20 کے لیے ہمارے پاس: چونکہ R ایک R-R-بائی ماڈیول ہے، اس لیے ہمارے پاس رنگ ضرب کو اس کے کینونکل بیلنسڈ پروڈکٹ کے طور پر ہے۔ تبادلے والے رنگوں پر ماڈیولز R کو ایک تبادلے والا رنگ، اور M، N اور P کو R-ماڈیول ہونے دیں۔ پھر شناخت ایسوسی ایٹیویٹی پہلی تین خصوصیات (مورفزم پر شناختوں کے علاوہ) کا کہنا ہے کہ R-ماڈیولز کا زمرہ، R تبادلہ کے ساتھ، ایک سمیٹرک مونوئڈل زمرہ بناتا ہے۔ اس طرح اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے۔ سمیٹری در حقیقت، سیٹ {1,., n} کے کسی بھی ترتیب σ کے لیے، ایک منفرد آئسومورفزم ہے: براہ راست جملوں پر تقسیم در حقیقت، صوابدیدی کارڈینالیٹی کے انڈیکس سیٹ I کے لیے۔ چونکہ محدود پروڈکٹ محدود براہ راست جملوں کے ساتھ موافق ہوتے ہیں، اس لیے یہ مثالیں: محدود پروڈکٹ پر تقسیم کسی بھی حتمی طور پر بہت سے کے لیے، بیس ایکسٹینشن اگر S ایک R-الجبرا ہے، تحریر، cf۔ ۔ ایک نتیجہ یہ ہے: لوکلائزیشن پر تقسیم R کے کسی بھی ضرب بند ذیلی سیٹ S کے لیے، بطور-ماڈیول۔ چونکہ یہ ایک آر-الجبرا ہے اور، یہ اس کا ایک خاص معاملہ ہے: براہ راست حدود کے ساتھ کمیونیکیشن R-ماڈیولز کے کسی بھی براہ راست نظام کے لیے ایم آئی، ایڈجنکشن اے کا نتیجہ یہ ہے: رائٹ-ایکشن اگر R-ماڈیولز کی ایک عین ترتیب ہے، تو R-ماڈیولز کی ایک عین ترتیب ہے، جہاں ٹینسر-ہوم کا تعلق ہے۔ ایک کینونکل R-لکیری نقشہ ہے: جو کہ ایک آئسومورفزم ہے اگر M یا P ایک حتمی طور پر تیار شدہ پروجیکٹو ماڈیول ہے (غیر مواصلاتی معاملے کے لیے دیکھیں) ؛ زیادہ عام طور پر، ایک کینونکل R-لکیری نقشہ ہے: جو کہ ایک آئسومورفزم ہے اگر یا تو حتمی طور پر تیار شدہ پروجیکٹو ماڈیولز کا ایک جوڑا ہے۔ ایک عملی مثال دینے کے لیے، فرض کریں کہ M، N بیس اور کے ساتھ آزاد ماڈیول ہیں۔ پھر M براہ راست رقم ہے اور N کے لیے یکساں ہے۔ تقسیم کی خاصیت کے لحاظ سے، کسی کے پاس: یعنی، R کی بنیاد ہیں۔ یہاں تک کہ اگر M مفت نہیں ہے، تو M کی مفت پریزنٹیشن کو ٹینسر پروڈکٹ کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ٹینسر پروڈکٹ، عام طور پر، الٹی حد کے ساتھ سفر نہیں کرتا ہے: ایک طرف، (cf. "مثالیں")۔ دوسری طرف، p-adic انٹیجرز کی رنگ اور p-adic نمبروں کی فیلڈ کہاں ہیں۔ اسی طرح کی روح میں ایک مثال کے لیے "پروفینیٹ انٹیجر" بھی دیکھیں۔ اگر R متغیر نہیں ہے، تو ٹینسر مصنوعات کی ترتیب مندرجہ ذیل طریقے سے اہم ہو سکتی ہے: ہم ٹینسر پروڈکٹ بنانے کے لیے M کی دائیں کارروائی اور N کی بائیں کارروائی کو "استعمال" کرتے ہیں ؛ خاص طور پر، اس کی وضاحت بھی نہیں کی جائے گی۔ اگر M، N دو ماڈیول ہیں، تو بائیں ایکشن M کے بائیں ایکشن سے آتا ہے اور دائیں ایکشن N کے دائیں ایکشن سے آتا ہے۔ ان ایکشنز کے بائیں اور دائیں ایکشنز کی طرح ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایسوسی ایٹیویٹی عام طور پر غیر مواصلاتی رنگوں کے لیے زیادہ ہوتی ہے: اگر M ایک دائیں R-ماڈیول ہے، N a (R, S)-ماڈیول اور P ایک بائیں S-ماڈیول ہے، تو ابیلین گروپ کے طور پر۔ ٹینسر پروڈکٹ کے ملحقہ تعلق کی عمومی شکل یہ کہتی ہے: اگر R لازمی طور پر تبادلہ نہیں ہے، M ایک صحیح R-ماڈیول ہے، N ایک (R، S)-ماڈیول ہے، P ایک دائیں S-ماڈیول ہے، پھر ابیلین گروپ کے طور پر جہاں R-ماڈیول کے ٹینسر پروڈکٹ کے ذریعہ فریکشن فیلڈ کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ R کو فریکشن فیلڈ K کے ساتھ ایک لازمی ڈومین ہونے دیں۔ کسی بھی R-ماڈیول M کے لیے، R-ماڈیول کے طور پر، M کا ٹورسن سب ماڈیول کہاں ہے۔ اگر M ایک ٹورسن R-ماڈیول ہے تو اور اگر M ٹورسن ماڈیول نہیں ہے تو۔ اگر N M کا ایک ذیلی ماڈیول ہے جو کہ ایک ٹورسن ماڈیول ہے تو R-ماڈیول کے طور پر۔ میں، اگر اور صرف اگر یا۔ خاص طور پر کہاں۔ پرائم آئیڈیل پر ماڈیول کی لوکلائزیشن کہاں ہے (یعنی غیر صفر عناصر کے حوالے سے لوکلائزیشن)۔ اسکیلرز کی توسیع عمومی شکل میں ملحقہ تعلق کا ایک اہم خاص معاملہ ہوتا ہے: کسی بھی R-الجبرا S، M a دائیں R-ماڈیول، P a دائیں S-ماڈیول کے لیے، استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس قدرتی آئسومورفزم ہے: یہ کہتا ہے کہ فنکٹر بھولنے والے فنکٹر کے بائیں طرف کا ملحقہ ہے، جو S-ایکشن کو R-ایکشن تک محدود کرتا ہے۔ اس کی وجہ سے، اسے اکثر R سے S تک اسکیلرز کی توسیع کہا جاتا ہے۔ نمائندگی کے نظریہ میں، جب R، S گروپ الجیبرا ہوتے ہیں، تو مذکورہ بالا تعلق فروبینیوس باہمی بن جاتا ہے۔ کسی بھی R-الجبرا S کی مثالیں (یعنی اسکیلرز کو بڑھانے کے بعد ایک مفت ماڈیول آزاد رہتا ہے۔) کمیونیٹیٹو رنگ اور کمیونیٹیٹو R-الجبرا S کے لیے، ہمارے پاس: حقیقت میں، زیادہ عام طور پر، جہاں ایک آئیڈیل ہے۔ پچھلی مثال اور چینی بقیہ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس رنگز ہیں۔ یہ ایک مثال دیتا ہے جب ٹینسر پروڈکٹ ایک براہ راست پروڈکٹ ہوتا ہے۔ مثالیں کافی عام ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کی ساخت غیر متوقع ہو سکتی ہے۔ فرض کریں کہ G ایک ابیلین گروپ ہے جس میں ہر عنصر کی محدود ترتیب ہوتی ہے (یعنی G ایک ٹورسن ابیلین گروپ ہے ؛ مثال کے طور پر G ایک محدود ابیلین گروپ یا ہو سکتا ہے)۔ پھر: درحقیقت، کوئی بھی شکل کا ہے۔ اگر اس کی ترتیب ہے، تو ہم حساب لگاتے ہیں: اسی طرح، کوئی دیکھتا ہے کہ یہاں کچھ شناختیں ہیں جو حساب کے لیے مفید ہیں: فرض کریں کہ R ایک مواصلاتی رنگ ہے، I، J آئیڈیل، M، N-R-ماڈیول۔ پھر۔ اگر M چپٹا ہے،۔ (کیونکہ ٹینسرنگ بیس ایکسٹینشن کے ساتھ سفر کرتی ہے)۔ مثال: اگر G ایک ابیلین گروپ ہے، تو یہ 1 سے آتا ہے۔ مثال: ؛ یہ 3 سے آتا ہے۔ خاص طور پر، الگ الگ پرائم نمبروں p، q کے لیے، گروپوں کے عناصر کی ترتیب کو کنٹرول کرنے کے لیے ٹینسر پروڈکٹ کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ G کو ایک ابیلین گروپ ہونے دیں۔ پھر 2 انچ کے ضرب صفر ہوتے ہیں۔ مثال: آئیے اتحاد کی n-th جڑوں کا گروپ بنیں۔ یہ ایک چکور گروہ ہے اور چکور گروپوں کی درجہ بندی ترتیب کے مطابق کی جاتی ہے۔ اس طرح، غیر مستند طور پر، اور اس طرح، جب g n اور m کا gcd ہے، تو مثال: غور کریں: چونکہ وسط پر-لکیری کو مسلط کرنے سے حاصل کیا جاتا ہے، ہمارے پاس سرجیکشن ہے جس کا دانا اس شکل کے عناصر سے پیدا ہوتا ہے جہاں r، s، x، u انٹیجر ہیں اور s غیر صفر ہے۔ چونکہ دانا اصل میں غائب ہو جاتا ہے ؛ اس لیے، تاہم، غور کریں اور۔ ویکٹر اسپیس کے طور پر، طول و عرض 4 ہے، لیکن طول و عرض 2 ہے۔ اس طرح، اور آئسومورفک نہیں ہیں۔ مثال: ہم موازنہ اور کرنے کی تجویز کرتے ہیں۔ پچھلی مثال کی طرح، ہمارے پاس: ابیلین گروپ کے طور پر اور اس طرح-ویکٹر اسپیس کے طور پر (-ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان کوئی بھی-لکیری نقشہ-لکیری ہے)۔ ویکٹر اسپیس کے طور پر، تسلسل کی جہت (بنیاد کی بنیادی حیثیت) ہوتی ہے۔ لہذا، تسلسل کے پروڈکٹ کے ذریعہ ایک-بیس انڈیکس کیا جاتا ہے ؛ اس طرح اس کا-طول و عرض تسلسل ہے۔ لہذا، طول و عرض کی وجہ سے،-ویکٹر خالی جگہوں کا ایک غیر کینونکل آئسومورفزم ہے: ناقابل تلافی کثیر الجہتی کے ماڈیولز پر غور کریں جیسے کہ پھر، مثالوں کا ایک اور مفید خاندان اسکیلرز کو تبدیل کرنے سے آتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس رجحان کی اچھی مثالیں یہ ہیں کہ کب تعمیر کی تعمیر علامتوں کی بنیاد کے ساتھ ایک آزاد ابیلین گروپ کا حصص لیتی ہے، جو یہاں ترتیب شدہ جوڑے کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے، M میں m اور N میں n کے لیے فارم کے تمام عناصر کے ذریعے تیار کردہ ذیلی گروپ کے ذریعے −m िऱم (n + n′) + m िऱم n + m िऱم n′ − (m + m′) िऱم n + m िऱم n + m′ िऱم n (m·r) िऱم n − m िऱم (r·n) جہاں m، m′ M میں، n میں، n′ N میں، اور r R میں۔ حصص کا نقشہ جو موجود کوزیٹ کو لے جاتا ہے ؛ یعنی، متوازن ہے۔ کی عالمگیر خاصیت ایک آزاد ابیلین گروپ اور ایک حصص کی عالمگیر خصوصیات سے ملتی ہے۔ اگر S کسی رنگ R کی ذیلی رنگ ہے، تو اس کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ کا حصص گروپ ہے، جہاں نیچے کی تصویر ہے۔ خاص طور پر، R-ماڈیولز کے کسی بھی ٹینسر پروڈکٹ کو، اگر چاہیں تو، R-متوازن پروڈکٹ پراپرٹی کو مسلط کرکے ابیلین گروپوں کے ٹینسر پروڈکٹ کے حصص کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ مزید زمرہ-نظریاتی طور پر، فرض کریں کہ σ، M پر R کی دی گئی صحیح کارروائی ہے ؛ یعنی، σ (m, r) = m·r اور τ N کے R کی بائیں طرف کی کارروائی۔ پھر، بشرطیکہ ابیلین گروپوں کے ٹینسر پروڈکٹ کی پہلے ہی وضاحت کی گئی ہو، M اور N کے ٹینسر پروڈکٹ کو R پر کویکلائزر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: جہاں سبسکرپٹ کے بغیر ابیلین گروپوں کے ٹینسر پروڈکٹ سے مراد ہے۔ کمیونیٹیٹو رنگ R پر ٹینسر پروڈکٹ کی تعمیر میں، R-ماڈیول ڈھانچہ شروع سے ہی ایک آزاد R-ماڈیول کے حصص کو عام تعمیر کے لیے اوپر دیے گئے عناصر کے ذریعے تیار کردہ ذیلی ماڈیول کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے، جو عناصر کے ذریعے بڑھایا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، عمومی تعمیر کو زیڈ (آر)-ماڈیول ڈھانچہ دیا جا سکتا ہے جس میں اسکیلر ایکشن کی وضاحت اس وقت کی جا سکتی ہے جب یہ اچھی طرح سے متعین ہو، جو کہ عین اس وقت ہوتا ہے جب آر کا مرکز، آر۔ ایم اور این کا براہ راست پروڈکٹ شاذ و نادر ہی ایم اور این کے ٹینسر پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ جب آر متغیر نہیں ہوتا ہے، تو ٹینسر پروڈکٹ کے لیے ضروری ہے کہ ایم اور این مخالف اطراف کے ماڈیول ہوں، جبکہ براہ راست پروڈکٹ کے لیے ضروری ہے کہ وہ ایک ہی طرف کے ماڈیول ہوں۔ تمام صورتوں میں G سے واحد فنکشن جو لکیری اور دو لکیری دونوں ہے وہ صفر نقشہ ہے۔ لکیری نقشوں کے طور پر عام صورت میں، ویکٹر خالی جگہوں کے ٹینسر پروڈکٹ کی تمام خصوصیات ماڈیولز تک نہیں پھیلتی ہیں۔ پھر بھی، ٹینسر پروڈکٹ کی کچھ مفید خصوصیات، جنہیں ماڈیول ہومومورفزم سمجھا جاتا ہے، باقی ہیں۔ دوہری ماڈیول دائیں R-ماڈیول E کے دوہری ماڈیول کی تعریف کینونکل لیفٹ R-ماڈیول ڈھانچے کے طور پر کی گئی ہے، اور اسے E ≤ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کینونکل ڈھانچہ اضافہ اور اسکیلر ضرب کی نقطہ وار کارروائیاں ہیں۔ اس طرح، E ऱ्ऱं تمام R-لکیری نقشوں کا مجموعہ ہے (جسے لکیری شکلیں بھی کہا جاتا ہے)، جس میں کارروائیاں ہوتی ہیں۔ بائیں R-ماڈیول کے دوہری کی تعریف یکساں طور پر، ایک ہی اشارے کے ساتھ کی جاتی ہے۔ E سے لے کر اس کے دوسرے ڈوئل تک ہمیشہ ایک کینونکل ہومومورفزم ہوتا ہے۔ یہ ایک آئسومورفزم ہے اگر E محدود درجہ کا ایک آزاد ماڈیول ہے۔ عام طور پر، E کو اضطراری ماڈیول کہا جاتا ہے اگر کینونکل ہومومورفزم ایک آئسومورفزم ہے۔ دوہری جوڑی ہم اس کے دوہری E ≤ اور دائیں R-ماڈیول E، یا بائیں R-ماڈیول F اور اس کے دوہری F ≤ کی قدرتی جوڑی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ جوڑی اپنی بائیں دلیل میں بائیں R-لکیری ہے، اور دائیں دلیل میں دائیں R-لکیری ہے: (دو) لکیری نقشے کے طور پر ایک عنصر۔ عام صورت میں، ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کا ہر عنصر بائیں R-لکیری نقشے، دائیں R-لکیری نقشے، اور R-بلینیئر شکل کو جنم دیتا ہے۔ مواصلاتی صورت کے برعکس، عام صورت میں ٹینسر پروڈکٹ آر-ماڈیول نہیں ہے، اور اس طرح اسکیلر ضرب کی حمایت نہیں کرتا ہے۔ دائیں R-ماڈیول E اور دائیں R-ماڈیول F کو دیکھتے ہوئے، ایک کینونکل ہومومورفزم ہے جو کہ نقشہ ہے۔ بائیں R-ماڈیول E اور دائیں R-ماڈیول F کو دیکھتے ہوئے، ایک کینونکل ہومومورفزم ہے جو کہ نقشہ ہے۔ دونوں معاملات عام ماڈیولز کے لیے ہوتے ہیں، اور آئسومورفزم بن جاتے ہیں اگر ماڈیولز E اور F کو محدود طور پر تیار کردہ پروجیکٹو ماڈیولز (خاص طور پر محدود صفوں کے مفت ماڈیولز) تک محدود رکھا جائے۔ اس طرح، رنگ R پر ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کا ایک عنصر R-لکیری نقشے پر کینونکل طور پر نقشہ بناتا ہے، حالانکہ ویکٹر خالی جگہوں کی طرح، اس طرح کے لکیری نقشوں کی مکمل جگہ کے برابر ہونے کے لیے ماڈیولز پر رکاوٹیں لاگو ہوتی ہیں۔ دائیں R-ماڈیول E اور بائیں R-ماڈیول F کو دیکھتے ہوئے، ایک کینونکل ہومومورفزم ہے جو کہ نقشہ ہے۔ اس طرح، ایک ٹینسر پروڈکٹ کا ایک عنصر آر-بلینیئر نقشے کو جنم دینے یا اس کے طور پر کام کرنے کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ ٹریس R کو ایک مواصلاتی رنگ اور E کو R-ماڈیول ہونے دیں۔ اس کے بعد ایک کینونکل R-لکیری نقشہ ہے: اس کے ذریعے لکیریٹی کے ذریعے حوصلہ افزائی ؛ یہ قدرتی جوڑی سے مطابقت رکھنے والا منفرد R-لکیری نقشہ ہے۔ اگر E ایک حتمی طور پر تیار شدہ پروجیکٹو R-ماڈیول ہے، تو اوپر بیان کردہ کینونکل ہومومورفزم کے ذریعے شناخت کی جا سکتی ہے اور پھر اوپر کا ٹریس میپ ہے: جب R ایک فیلڈ ہے، تو یہ لکیری تبدیلی کا معمول کا سراغ ہے۔ تفریق جیومیٹری سے مثال: ٹینسر فیلڈ تفریق جیومیٹری میں ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کی سب سے نمایاں مثال ویکٹر فیلڈز اور تفریق شکلوں کی خالی جگہوں کا ٹینسر پروڈکٹ ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر R ایک ہموار کئی گنا M پر ہموار افعال کی (تبادلہ) رنگ ہے، تو کوئی اس جگہ کو رکھتا ہے جہاں γ کا مطلب حصوں کی جگہ ہے اور سپر اسکرپٹ کا مطلب R پر p اوقات کو ٹینسر کرنا ہے۔ تعریف کے مطابق، کا عنصر ٹائپ (p، q) کا ٹینسر فیلڈ ہے۔ R-ماڈیولز کے طور پر، دوہری ماڈیول ہے اشارے کو ہلکا کرنے کے لیے، ڈالیں اور اسی طرح۔ جب 1 ≤ k ≤ p، 1 ≤ l ≤ q کے ساتھ ہر ایک (k، l) کے لیے p، q ≤ 1، ایک R-کثیر لکیری نقشہ ہوتا ہے: جہاں کا مطلب ہے اور ٹوپی کا مطلب ہے کہ ایک اصطلاح کو چھوڑ دیا گیا ہے۔ عالمگیر خاصیت کے لحاظ سے، یہ ایک منفرد R-لکیری نقشے سے مطابقت رکھتا ہے: اسے انڈیکس (k، l) میں ٹینسرز کا سنکچن کہا جاتا ہے۔ یونیورسل پراپرٹی جو کچھ کہتی ہے اسے کھول کر کوئی دیکھتا ہے: تبصرہ: پچھلی بحث تفریق جیومیٹری (مثال کے طور پر ہیلگاسن) پر نصابی کتابوں میں معیاری ہے۔ ایک طرح سے، شیف تھیوریٹک کنسٹرکشن (یعنی ماڈیولز کے شیف کی زبان) زیادہ فطری اور تیزی سے زیادہ عام ہے۔ اس کے لیے، سیکشن دیکھیں۔ فلیٹ ماڈیولز سے تعلق عام طور پر، ایک بائی فنکٹر ہوتا ہے جو دائیں اور بائیں آر ماڈیول کے جوڑے کو ان پٹ کے طور پر قبول کرتا ہے، اور انہیں ابیلین گروپوں کے زمرے میں ٹینسر پروڈکٹ کو تفویض کرتا ہے۔ دائیں R ماڈیول M کو فکس کرنے سے، ایک فنکٹر پیدا ہوتا ہے، اور ہم آہنگی سے ایک بائیں R ماڈیول N کو فنکٹر بنانے کے لیے فکس کیا جا سکتا ہے۔ ہوم بائی فنکٹر کے برعکس ٹینسر فنکٹر دونوں ان پٹ میں متغیر ہوتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اور ہمیشہ درست عین مطابق فنکٹر ہوتے ہیں، لیکن ضروری نہیں کہ صحیح چھوڑے جائیں (جہاں پہلا نقشہ ضرب ہے، درست ہے لیکن ٹینسر کو لینے کے بعد نہیں)۔ تعریف کے مطابق، ایک ماڈیول ٹی ایک فلیٹ ماڈیول ہے اگر ایک عین مطابق فنکٹر ہے۔ اگر اور بالترتیب ایم اور این کے لیے سیٹ تیار کر رہے ہیں، تو اس کے لیے ایک جنریٹنگ سیٹ ہوگا کیونکہ ٹینسر فنکٹر بعض اوقات درست رہنے میں ناکام رہتا ہے، یہ کم سے کم جنریٹنگ سیٹ نہیں ہو سکتا، چاہے اصل جنریٹنگ سیٹ کم سے کم ہی کیوں نہ ہوں۔ اگر M ایک فلیٹ ماڈیول ہے، تو فنکٹر فلیٹ ماڈیول کی تعریف کے مطابق درست ہے۔ اگر ٹینسر پروڈکٹ کو فیلڈ F پر لیا جاتا ہے، تو ہم اوپر کی طرح ویکٹر خالی جگہوں کے معاملے میں ہیں۔ چونکہ تمام F ماڈیول چپٹے ہوتے ہیں، لہذا بائی فنکٹر دونوں پوزیشنوں میں درست ہوتا ہے، اور دیئے گئے دو جنریٹنگ سیٹ بیس ہوتے ہیں، پھر درحقیقت اضافی ڈھانچے کے لیے ایک بنیاد بناتا ہے۔ اگر S اور T مواصلاتی R-الجبرا ہیں، تو، #For مساوی ماڈیولز کی طرح، ایک مواصلاتی R-الجبرا بھی ہوگا، جس میں ضرب کے نقشے کی وضاحت لکیری سے کی جاتی ہے اور توسیع کی جاتی ہے۔ اس ترتیب میں، ٹینسر پروڈکٹ کمیوٹیٹو آر-الجیبرا کے زمرے میں فائبر والا شریک پروڈکٹ بن جاتا ہے۔ (لیکن یہ آر-الجیبراس کے زمرے میں شریک پیداوار نہیں ہے۔) اگر M اور N دونوں ایک مواصلاتی رنگ پر R-ماڈیول ہیں، تو ان کا ٹینسر پروڈکٹ دوبارہ ایک R-ماڈیول ہے۔ اگر R ایک رنگ ہے، RM ایک لیفٹ R-ماڈیول ہے، اور R کے کسی بھی دو عناصر r اور s کا کمیونیکیٹر M کے انیہیلیٹر میں ہے، تو ہم M کو دائیں R ماڈیول میں بنا سکتے ہیں۔ اس صورت میں R پر خود کے ساتھ M کا ٹینسر پروڈکٹ دوبارہ ایک R-ماڈیول ہے۔ یہ تبادلہ الجبرہ میں ایک بہت عام تکنیک ہے۔ اگر X، Y R-ماڈیولز کے کمپلیکس ہیں (R ایک مواصلاتی رنگ ہے)، تو ان کا ٹینسر پروڈکٹ اس تفریق کے ساتھ دیا گیا کمپلیکس ہے: x کے لیے x میں x اور y میں yj، مثال کے طور پر، اگر C فلیٹ ابیلین گروپوں کا ایک سلسلہ کمپلیکس ہے اور اگر G ایک ابیلین گروپ ہے، تو اس کا ہومیولوجی گروپ G میں کوفشنٹس کے ساتھ C کا ہومیولوجی گروپ ہے (یہ بھی دیکھیں: یونیورسل کوفشنٹ تھیوریم۔) ماڈیولز کے شییوز کا ٹینسر پروڈکٹ ماڈیولز کے شییوز کا ٹینسر پروڈکٹ کھلے ذیلی سیٹوں پر حصوں کے ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹس کے پری شیف سے وابستہ شیف ہے۔ اس سیٹ اپ میں، مثال کے طور پر، کوئی بھی ٹینسر فیلڈ کو ہموار کئی گنا M پر ٹینسر پروڈکٹ (جسے ٹینسر بنڈل کہا جاتا ہے) کے (عالمی یا مقامی) حصے کے طور پر بیان کر سکتا ہے جہاں O M پر ہموار افعال کے بجتوں کا ڈھیر ہے اور بنڈلوں کو M پر مقامی طور پر آزاد ڈھیر کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ M پر بیرونی بنڈل ٹینسر بنڈل کا ذیلی بنڈل ہے جو تمام اینٹیسیمیٹرک کوویرینٹ ٹینسرز پر مشتمل ہوتا ہے۔ بیرونی بنڈل کے حصے ایم پر تفریقی شکلیں ہیں۔ ایک اہم معاملہ جب کوئی غیر مواصلاتی رنگوں کے ایک ڈھیر پر ٹینسر پروڈکٹ بناتا ہے تو نظریہ ڈی-ماڈیولز میں ظاہر ہوتا ہے۔ یعنی تفریقی آپریٹرز کے ڈھیر پر ٹینسر پروڈکٹ۔ نیز دیکھیں ٹور فنکٹر ٹینسر پروڈکٹ آف الجیبراس ٹینسر پروڈکٹ آف فیلڈز مشتق ٹینسر پروڈکٹ نوٹ حوالہ جات۔ ۔ ماڈیول تھیوری ملٹی لینیر الجبرا ڈھانچوں پر ہومیولوجیکل الجبرا آپریشنز