Generic point
الجبرائی جیومیٹری میں، الجبرائی قسم X کا ایک عام نقطہ P عام پوزیشن میں ایک نقطہ ہوتا ہے، جس پر تمام عام خصوصیات درست ہوتی ہیں، ایک عام خاصیت ایسی خاصیت ہوتی ہے جو تقریبا ہر نقطہ کے لیے درست ہوتی ہے۔ کلاسیکی الجبرائی جیومیٹری میں، جہت d کے افائن یا پروجیکٹو الجبرائی قسم کا ایک عام نقطہ ایسا نقطہ ہے کہ اس کے نقاط سے پیدا ہونے والی فیلڈ مختلف مساوات کے کوفیشنٹس سے پیدا ہونے والے فیلڈ پر ڈگری d سے تجاوز کرتی ہے۔ سکیم تھیوری میں، ایک انٹیگرل ڈومین کے سپیکٹرم کا ایک منفرد عام نقطہ ہوتا ہے، جو کہ صفر آئیڈیل ہے۔ چونکہ زرسکی ٹوپولوجی کے لیے اس نقطہ کی بندش پورا سپیکٹرم ہے، اس لیے تعریف کو جنرل ٹوپولوجی تک بڑھا دیا گیا ہے، جہاں ٹوپولوجیکل اسپیس X کا ایک عام نقطہ ایک نقطہ ہے جس کی بندش X ہے۔ تعریف اور محرک ٹپوولوجیکل اسپیس X کا ایک عام نقطہ ایک نقطہ P ہے جس کی بندش تمام X کی ہوتی ہے، یعنی ایک نقطہ جو X میں گھنے ہوتا ہے۔ اصطلاحات ایک الجبرائی سیٹ کی ذیلی اقسام کے سیٹ پر زرسکی ٹوپولوجی کے معاملے سے پیدا ہوتی ہیں: الجبرائی سیٹ ناقابل تلافی ہے (یعنی یہ دو مناسب الجبرائی ذیلی سیٹوں کا اتحاد نہیں ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب ذیلی اقسام کی ٹوپولوجیکل جگہ کا ایک عام نقطہ ہو۔ مثالیں واحد ہاؤز ڈورف جگہ جس میں عام نقطہ ہوتا ہے وہ سنگلٹن سیٹ ہے۔ کسی بھی انٹیگرل اسکیم کا ایک (منفرد) عام نقطہ ہوتا ہے ؛ ایک افائن انٹیگرل اسکیم (یعنی، ایک انٹیگرل ڈومین کا پرائم سپیکٹرم) کی صورت میں عام نقطہ پرائم آئیڈیل (0) سے وابستہ نقطہ ہوتا ہے۔ تاریخ آندرے ویل کے بنیادی نقطہ نظر میں، جو اس کی فاؤنڈیشنز آف الجیبرک جیومیٹری میں تیار کیا گیا تھا، عام نکات نے ایک اہم کردار ادا کیا، لیکن انہیں مختلف انداز میں سنبھالا گیا۔ فیلڈ K پر الجبرائی قسم V کے لیے، V کے عام نکات V کے نکات کی ایک پوری کلاس تھے جو ایک عالمگیر ڈومین ω میں اقدار لیتے تھے، ایک الجبرائی طور پر بند فیلڈ جس میں K ہوتا ہے بلکہ تازہ غیر متعین کی لامحدود فراہمی بھی ہوتی ہے۔ اس نقطہ نظر نے کام کیا، V (K-Zariski Topology، یعنی) کی ٹوپولوجی سے براہ راست نمٹنے کی ضرورت کے بغیر، کیونکہ مہارتوں پر فیلڈ کی سطح پر تبادلہ خیال کیا جا سکتا ہے (جیسا کہ الجبرائی جیومیٹری کے لیے ویلیوایشن تھیوری کے نقطہ نظر میں، جو 1930 کی دہائی میں مقبول تھا)۔ یہ اس قیمت پر تھا کہ یکساں طور پر عام نکات کا ایک بہت بڑا مجموعہ موجود تھا۔ دوسری جنگ عظیم کے فورا بعد ساؤ پالو میں ویل کے ایک ساتھی آسکر زرسکی نے ہمیشہ اصرار کیا کہ عام نکات منفرد ہونے چاہئیں۔ (اسے ٹپوولوجسٹوں کی اصطلاحات میں واپس رکھا جا سکتا ہے: ویل کا خیال کولموگوروف کو جگہ دینے میں ناکام رہا اور زرسکی کولموگوروف کے حصص کے لحاظ سے سوچتا ہے۔) 1950 کی دہائی کی تیز رفتار بنیادی تبدیلیوں میں ویل کا نقطہ نظر متروک ہو گیا۔ اسکیم کے نظریہ میں، اگرچہ، 1957 سے، عام نکات واپس آئے: اس بار ا لا زرسکی۔ مثال کے طور پر R کے لیے ایک مجرد ویلیوایشن رنگ، سپیک (R) دو پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے، ایک عام پوائنٹ (پرائم آئیڈیل {0} سے آتا ہے) اور ایک بند پوائنٹ یا خصوصی پوائنٹ جو منفرد زیادہ سے زیادہ آئیڈیل سے آتا ہے۔ مورفزم سے سپیک (آر) کے لیے، خاص نقطہ کے اوپر فائبر خصوصی فائبر ہے، جو ایک اہم تصور ہے مثال کے طور پر ریڈکشن ماڈیولو پی، مونوڈرومی تھیوری اور انحطاط کے بارے میں دیگر نظریات میں۔ عام ریشہ، یکساں طور پر، عام نقطہ سے اوپر کا ریشہ ہے۔ انحطاط کی جیومیٹری بڑی حد تک عام سے خصوصی ریشوں کی طرف گزرنے کے بارے میں ہے، یا دوسرے الفاظ میں کہ پیرامیٹرز کی تخصص معاملات کو کس طرح متاثر کرتی ہے۔ (ایک مجرد تشخیص کے دائرے کے لیے زیر بحث ٹپوولوجیکل جگہ ٹپوولوجسٹس کی سیرپنسکی جگہ ہے۔ دیگر مقامی بجتوں میں منفرد عام اور خاص نکات ہوتے ہیں، لیکن ایک زیادہ پیچیدہ سپیکٹرم ہوتا ہے، کیونکہ وہ عمومی جہتوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مجرد تشخیص کا معاملہ ان مقاصد کے لیے پیچیدہ یونٹ ڈسک کی طرح ہے۔) حوالہ جات الجبرائی جیومیٹری جنرل ٹوپولوجی