Signed measure
ریاضی میں، دستخط شدہ پیمائش (مثبت) پیمائش کے تصور کی عمومی شکل ہے جس میں سیٹ فنکشن کو منفی اقدار لینے کی اجازت دی جاتی ہے، یعنی علامت حاصل کرنے کے لیے۔ تعریف دستخط شدہ پیمائش کے دو قدرے مختلف تصورات ہیں، یہ اس بات پر منحصر ہے کہ کوئی اسے لامحدود اقدار لینے کی اجازت دیتا ہے یا نہیں۔ دستخط شدہ اقدامات کو عام طور پر صرف محدود حقیقی اقدار لینے کی اجازت ہوتی ہے، جبکہ کچھ نصابی کتابیں انہیں لامحدود اقدار لینے کی اجازت دیتی ہیں۔ الجھن سے بچنے کے لیے، یہ مضمون ان دونوں معاملات کو "محدود دستخط شدہ اقدامات" اور "توسیع شدہ دستخط شدہ اقدامات" کہے گا۔ پیمائش کے قابل جگہ کو دیکھتے ہوئے (یعنی، ایک سیٹ جس پر σ-الجبرا ہے)، ایک توسیعی دستخط شدہ پیمائش ایک سیٹ فنکشن ہے جو کہ σ-اضافی ہے-یعنی، یہ جداگانہ سیٹوں کی کسی بھی ترتیب کے لیے مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ دائیں طرف کی سیریز کو بالکل یکجا ہونا چاہیے جب بائیں ہاتھ کی طرف کی قیمت محدود ہو۔ ایک نتیجہ یہ ہے کہ ایک توسیعی دستخط شدہ اقدام قابل قدر ہو سکتا ہے، لیکن دونوں نہیں۔ اظہار غیر متعین ہے اور اس سے گریز کرنا چاہیے۔ ایک محدود دستخط شدہ پیمائش (اکا۔ حقیقی پیمائش) کی تعریف اسی طرح کی گئی ہے، سوائے اس کے کہ اسے صرف حقیقی اقدار لینے کی اجازت ہے۔ یعنی، یہ دستخط شدہ اقدامات کو حقیقی ویکٹر اسپیس نہیں بنا سکتا یا ختم نہیں کر سکتا، جبکہ توسیع شدہ دستخط شدہ اقدامات اس وجہ سے نہیں ہوتے کہ وہ اضافے کے تحت بند نہیں ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، اقدامات توسیع شدہ دستخط شدہ اقدامات ہیں، لیکن عام طور پر محدود دستخط شدہ اقدامات نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر خلا (X، β) پر ایک غیر منفی پیمائش اور ایک قابل پیمائش فنکشن f: X → R پر غور کریں تاکہ پھر، β میں تمام A کے لیے ایک محدود دستخط شدہ پیمائش دی جائے۔ یہ دستخط شدہ اقدام صرف محدود اقدار لیتا ہے۔ اسے ایک قدر کے طور پر لینے کی اجازت دینے کے لیے، کسی کو اس مفروضے کو تبدیل کرنے کی ضرورت ہے کہ f بالکل مربوط ہونے کے ساتھ زیادہ آرام دہ حالت ہے جہاں f − (x) = زیادہ سے زیادہ (−f (x), 0) f کا منفی حصہ ہے۔ درج ذیل دو نتائج ہیں جن کا مطلب یہ ہوگا کہ ایک توسیعی دستخط شدہ پیمائش دو غیر منفی اقدامات کا فرق ہے، اور ایک محدود دستخط شدہ پیمائش دو محدود غیر منفی اقدامات کا فرق ہے۔ ہان سڑن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ ایک دستخط شدہ پیمائش کو دیکھتے ہوئے، پیمائش کے دو سیٹ P اور N موجود ہیں جیسے: P ≤ N = X اور P ≤ N = φ ؛ ہر E کے لیے μ (E) ≤ 0 اس طرح کہ E ≤ P-دوسرے الفاظ میں، P ایک مثبت سیٹ ہے ؛ ہر E کے لیے μ (E) ≤ 0 اس طرح کہ E ≤ N-یعنی N ایک منفی سیٹ ہے۔ مزید برآں، یہ سڑنا P اور N سے μ-null سیٹوں کو شامل کرنے/گھٹانے تک منفرد ہے۔ اس کے بعد دو غیر منفی اقدامات پر غور کریں۔ کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ دونوں μ + اور μ− غیر منفی اقدامات ہیں، جن میں سے ایک صرف محدود اقدار لیتا ہے، اور انہیں بالترتیب مثبت حصہ اور منفی حصہ کہا جاتا ہے۔ ایک کے پاس یہ ہے کہ μ = μ + − μ−۔ پیمائش |μ | = μ + + μ− کو μ کی تغیر کہا جاتا ہے، اور اس کی زیادہ سے زیادہ ممکنہ قیمت، | |μ | = |μ | (X)، کو μ کی کل تغیر کہا جاتا ہے۔ ہان سڑنے کے نظریہ کے اس نتیجے کو اردن سڑنا کہا جاتا ہے۔ پیمائش μ +، μ− اور |μ | ہان سڑن تھیوریم میں P اور N کے انتخاب سے آزاد ہیں۔ دستخط شدہ اقدامات کی جگہ دو محدود دستخط شدہ اقدامات کا مجموعہ ایک محدود دستخط شدہ پیمائش ہے، جیسا کہ ایک حقیقی نمبر کے ذریعہ ایک محدود دستخط شدہ پیمائش کا پروڈکٹ ہے-یعنی، وہ لکیری امتزاج کے تحت بند ہیں۔ اس کے بعد پیمائش کی جگہ (X، β) پر محدود دستخط شدہ اقدامات کا مجموعہ ایک حقیقی ویکٹر اسپیس ہے۔ یہ مثبت اقدامات کے برعکس ہے، جو صرف مخروطی امتزاج کے تحت بند ہوتے ہیں، اور اس طرح ایک کنویکس شنک بنتے ہیں لیکن ویکٹر اسپیس نہیں۔ مزید برآں، کل تغیر ایک معیار کی وضاحت کرتا ہے جس کے سلسلے میں محدود دستخط شدہ اقدامات کی جگہ بناچ کی جگہ بن جاتی ہے۔ اس جگہ کی ساخت اور بھی زیادہ ہے، اس میں اسے ایک ڈیڈیکائنڈ مکمل بناچ جالی کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے اور ایسا کرنے میں ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم کو فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم کا ایک خاص معاملہ دکھایا جا سکتا ہے۔ اگر X ایک کمپیکٹ علیحدہ جگہ ہے، تو محدود دستخط شدہ بائر پیمائشوں کی جگہ، ریز-مارکوف-کاکوتانی نمائندگی تھیوریم کے مطابق، X پر تمام مسلسل حقیقی قدر والے افعال کی حقیقی بناچ جگہ کا دوہری ہے۔ کونیی نقل مکانی کمپلیکس پیمائش سپیکٹرم پیمائش ویکٹر پیمائش ریز-مارکوف-کاکوتانی نمائندگی تھیوریم دستخط شدہ آرک لمبائی دستخط شدہ رقبہ دستخط شدہ فاصلہ دستخط شدہ حجم کل تغیر نوٹ حوالہ جات انٹیگرل کیلکولس پیمائش (پیمائش تھیوری) ویکیپیڈیا مضامین جن میں پلینٹ میتھ سائن (ریاضی) سے متن شامل ہے