Eilenberg–Steenrod axioms
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی ٹوپولوجی میں، ایلن برگ-سٹینروڈ محور وہ خصوصیات ہیں جو ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے ہومیولوجی نظریات میں مشترک ہیں۔ محوریات کو مطمئن کرنے والے ہومیولوجی تھیوری کی بہترین مثال واحد ہومیولوجی ہے، جسے سیموئل ایلن برگ اور نارمن اسٹینروڈ نے تیار کیا ہے۔ ہومیولوجی تھیوری کی تعریف ایلنبرگ-سٹینروڈ محوریات کو مطمئن کرنے والے فنکٹروں کے سلسلے کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ محوری نقطہ نظر، جو 1945 میں تیار کیا گیا تھا، کسی کو نتائج ثابت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جیسے کہ مائر-ویتورس ترتیب، جو محوریات کو مطمئن کرنے والے تمام ہومیولوجی نظریات کے لیے عام ہیں۔ اگر کوئی طول و عرض کے محوری (نیچے بیان کردہ) کو چھوڑ دیتا ہے، تو باقی محوریات اس بات کی وضاحت کرتے ہیں جسے غیر معمولی ہومیولوجی تھیوری کہا جاتا ہے۔ غیر معمولی ہم آہنگی کے نظریات سب سے پہلے کے تھیوری اور کوبورڈزم میں سامنے آئے۔ رسمی تعریف ایلن برگ-سٹینروڈ محوریات ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے جوڑوں کے زمرے سے لے کر ابیلین گروپوں کے زمرے تک فنکٹروں کی ایک ترتیب پر لاگو ہوتے ہیں، ایک قدرتی تبدیلی کے ساتھ جسے باؤنڈری میپ کہا جاتا ہے (یہاں اس کے لیے ایک شارٹ ہینڈ ہے۔ محوریات یہ ہیں: ہوموٹوپی: ہوموٹوپک نقشے ہومیولوجی میں اسی نقشے کو جنم دیتے ہیں۔ یعنی، اگر ہوموٹوپک ہے، تو ان کے محرک ہومومورفزم ایک جیسے ہیں۔ اخراج: اگر ایک جوڑا ہے اور U A کا ایک ذیلی مجموعہ ہے جس میں U کی بندش A کے اندرونی حصے میں موجود ہے، تو شمولیت کا نقشہ ہومیولوجی میں ایک آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ طول و عرض: فرض کریں کہ P ایک نکاتی جگہ ہے ؛ پھر سب کے لیے۔ اضافیت: اگر، ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے خاندان کا جداگانہ اتحاد، تو درستگی: ہر جوڑا (X، A) ہومیولوجی میں، شمولیت کے ذریعے ایک طویل عین مطابق ترتیب کو جنم دیتا ہے اور: اگر P ایک نقطہ کی جگہ ہے، تو اسے گتانک گروپ کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، واحد ہومیولوجی (جو انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ لی جاتی ہے، جیسا کہ سب سے زیادہ عام ہے) میں کوفشنٹس کے طور پر انٹیجرز ہوتے ہیں۔ ہومیولوجی گروپوں کے بارے میں کچھ حقائق براہ راست محوریوں سے اخذ کیے جا سکتے ہیں، جیسے کہ یہ حقیقت کہ ہوموٹوپک طور پر مساوی خالی جگہوں میں آئسومورفک ہومیولوجی گروپ ہوتے ہیں۔ کچھ نسبتا سادہ خالی جگہوں کی ہم آہنگی، جیسے کہ n-دائرے، کا حساب براہ راست محوریوں سے لگایا جا سکتا ہے۔ اس سے یہ آسانی سے دکھایا جا سکتا ہے کہ (n−1)-دائرہ n-ڈسک کا ریٹریکٹ نہیں ہے۔ یہ بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کے ثبوت میں استعمال ہوتا ہے۔ جہتی محوریہ ایک "ہومیولوجی جیسی" تھیوری جو طول و عرض کے محوریہ کے علاوہ ایلن برگ-سٹینروڈ کے تمام محوریوں کو مطمئن کرتی ہے اسے ایک غیر معمولی ہومیولوجی تھیوری (دوہری، غیر معمولی کوہمولوجی تھیوری) کہا جاتا ہے۔ ان کی اہم مثالیں 1950 کی دہائی میں پائی گئیں، جیسے کہ ٹوپوولوجیکل کے تھیوری اور کوبورڈزم تھیوری، جو غیر معمولی ہم آہنگی کے نظریات ہیں، اور ان کے ساتھ ہم جنس پرستی کے نظریات دوہرے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں زگ زگ لیما نوٹس حوالہ جات ہومیولوجی تھیوری ریاضیاتی محوریات