Sum of normally distributed random variables
امکانی نظریہ میں، عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کا حساب بے ترتیب متغیرات کے ریاضی کی ایک مثال ہے۔ اسے عام تقسیم کے مجموعے کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے جو مرکب کی تقسیم کو تشکیل دیتا ہے۔ آزاد بے ترتیب متغیرات X اور Y کو آزاد بے ترتیب متغیرات ہونے دیں جو عام طور پر تقسیم کیے جاتے ہیں (اور اس لیے مشترکہ طور پر بھی)، پھر ان کا مجموعہ بھی عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ یعنی، اگر تب، اس کا مطلب یہ ہے کہ دو آزاد عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ نارمل ہے، جس کا مطلب دو ذرائع کا مجموعہ ہے، اور اس کا تغیر دو تغیرات کا مجموعہ ہے (یعنی، معیاری انحراف کا مربع معیاری انحراف کے مربعوں کا مجموعہ ہے)۔ اس نتیجے کو برقرار رکھنے کے لیے، اس مفروضے کو ختم نہیں کیا جا سکتا کہ X اور Y آزاد ہیں، حالانکہ اسے اس مفروضے سے کمزور کیا جا سکتا ہے کہ X اور Y مشترکہ طور پر، الگ الگ ہونے کے بجائے، عام طور پر تقسیم کیے جاتے ہیں۔ (ایک مثال کے لیے یہاں دیکھیں۔) اوسط کے بارے میں نتیجہ تمام معاملات میں برقرار رہتا ہے، جبکہ تغیر کے نتیجے میں غیر مربوط ہونے کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن آزادی کی نہیں۔ خصوصیت والے افعال کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت دو آزاد بے ترتیب متغیرات X اور Y کے مجموعے کا خصوصیت والا فنکشن صرف دو الگ الگ خصوصیت والے افعال کا پروڈکٹ ہے: X اور Y کا۔ تو یہ متوقع قیمت اور تغیر کے ساتھ معمول کی تقسیم کا خصوصیت والا فنکشن ہے آخر میں، یاد رکھیں کہ کوئی بھی دو الگ الگ تقسیم دونوں کا ایک ہی خصوصیت والا فنکشن نہیں ہو سکتا، لہذا X + Y کی تقسیم صرف یہ معمول کی تقسیم ہونی چاہیے۔ کنولیوشن کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت آزاد بے ترتیب متغیرات X اور Y کے لیے، Z = X + Y کی تقسیم fZ، fX اور fY کے کنولیوشن کے برابر ہے: یہ دیکھتے ہوئے کہ fX اور fY نارمل ڈینسٹیز ہیں، کنولیوشن میں تبدیل کرتے ہوئے: مربع کی وضاحت اور تکمیل: انٹیگرل میں اظہار x پر نارمل ڈینسٹی کی تقسیم ہے، اور اس لیے انٹیگرل 1 کا اندازہ کرتا ہے۔ مطلوبہ نتیجہ مندرجہ ذیل ہے: کنولیوشن تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ گاؤسیئن کا فورئیر ٹرانسفارم، ہے۔ کنولیوشن تھیوریم کے مطابق: جیومیٹرک ثبوت پہلے عام صورت پر غور کریں جب X، Y ~ N (0، 1)، تاکہ ان کے پی ڈی ایف ہوں اور فرض کریں کہ Z = X + Y۔ پھر Z کے لیے CDF ہوگا۔ یہ انٹیگرل نصف سطح پر ہے جو x + y = z لائن کے نیچے واقع ہے۔ کلیدی مشاہدہ یہ ہے کہ فنکشن ریڈیل سمیٹرک ہے۔ لہذا ہم نئے نقاط کا انتخاب کرتے ہوئے اصل کے بارے میں مربوط سطح کو گھومتے ہیں تاکہ لکیر x + y = z کو مساوات کے ذریعے بیان کیا جائے جہاں ہندسی طور پر تعین کیا جاتا ہے۔ ریڈیل سمیٹری کی وجہ سے، ہمارے پاس ہے، اور Z کے لیے سی ڈی ایف ہے۔ یہ انٹیگریٹ کرنا آسان ہے۔ ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ Z کے لیے سی ڈی ایف ہے۔ قیمت کا تعین کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ ہم نے پلین کو اس طرح گھمایا ہے کہ لائن x + y = z اب x-انٹرسیپٹ کے ساتھ c کے برابر عمودی طور پر چلتی ہے۔ تو c صرف عمودی بائیسیکٹر کے ساتھ لائن x + y = z تک کا فاصلہ ہے، جو اس صورت میں اصل کے قریب ترین مقام پر لائن سے ملتا ہے۔ تو فاصلہ ہے، اور Z کے لیے CDF ہے، یعنی، اب، اگر a، b کوئی حقیقی مستقلات ہیں (دونوں صفر نہیں) تو امکان جو اوپر کی طرح ایک ہی انٹیگرل کے ذریعے پایا جاتا ہے، لیکن باؤنڈنگ لائن کے ساتھ۔ اسی گردش کا طریقہ کام کرتا ہے، اور اس زیادہ عام صورت میں ہم پاتے ہیں کہ اصل کی لکیر پر قریب ترین نقطہ ایک (دستخط شدہ) فاصلے پر واقع ہے، تاکہ اعلی جہتوں میں وہی دلیل ظاہر کرتی ہے کہ اگر تب ہم لازمی طور پر کر چکے ہیں، کیونکہ تو عام طور پر، اگر پھر بے ترتیب متغیرات کو مربوط کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں کہ متغیر X اور Y مشترکہ طور پر عام طور پر بے ترتیب متغیرات تقسیم کیے جاتے ہیں، تو X + Y اب بھی عام طور پر تقسیم ہوتا ہے (ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن دیکھیں) اور اوسط ذرائع کا مجموعہ ہے۔ تاہم، ارتباط کی وجہ سے تغیرات اضافی نہیں ہیں۔ درحقیقت، جہاں ρ ارتباط ہے۔ خاص طور پر، جب بھی ρ <0، تب تغیر X اور Y کے تغیرات کے مجموعے سے کم ہوتا ہے۔ اس نتیجے کی توسیعات کوویرینس میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے دو سے زیادہ بے ترتیب متغیرات کے لیے بنایا جا سکتا ہے۔ ثبوت اس معاملے میں (ایکس اور وائی کے صفر ذرائع کے ساتھ)، کسی کو غور کرنے کی ضرورت ہے جیسا کہ اوپر، کوئی متبادل بناتا ہے یہ انٹیگرل تجزیاتی طور پر آسان بنانے کے لیے زیادہ پیچیدہ ہے، لیکن علامتی ریاضی کے پروگرام کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے کیا جا سکتا ہے۔ امکان کی تقسیم fZ (z) اس صورت میں دی گئی ہے جہاں اس کے بجائے اگر کوئی Z = X − Y پر غور کرتا ہے، تو وہ حاصل کرتا ہے جسے دوبارہ لکھا بھی جا سکتا ہے۔ حوالہ جات یہ بھی دیکھیں کہ غیر یقینی صورتحال کا پھیلاؤ بے ترتیب متغیرات کا الجبرا مستحکم تقسیم معیاری غلطی (اعداد و شمار) تناسب تقسیم مصنوعات کی تقسیم سلیش تقسیم امکانات کی تقسیم کے ارتکاز کی فہرست عام تقسیم