Nil ideal
ریاضی میں، زیادہ خاص طور پر رنگ تھیوری، کسی رنگ کے بائیں، دائیں یا دو طرفہ آئیڈیل کو نیل آئیڈیل کہا جاتا ہے اگر اس کا ہر عنصر نیل پوٹینٹ ہو۔ مواصلاتی رنگ کا نیلراڈیکل نیل آئیڈیل کی ایک مثال ہے ؛ درحقیقت، یہ نیل ہونے کی خاصیت کے حوالے سے زیادہ سے زیادہ رنگ کا آئیڈیل ہے۔ بدقسمتی سے صفر عناصر کا مجموعہ ہمیشہ غیر متغیر بجتوں کے لیے مثالی نہیں ہوتا ہے۔ نیل آئیڈیلز اب بھی دلچسپ کھلے سوالات، خاص طور پر غیر حل شدہ کوتھی قیاس آرائی سے وابستہ ہیں۔ کمیونیٹیٹو رنگوں میں، نیل آئیڈیلز کو غیر کمیونیٹیٹو رنگوں کے مقابلے میں بہتر سمجھا جاتا ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ کمیونیٹیٹو رنگوں میں، نیل پوٹینٹ عناصر پر مشتمل مصنوعات اور نیل پوٹینٹ عناصر کے مجموعے دونوں نیل پوٹینٹ ہوتے ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر a اور b R کے نیلپوٹینٹ عناصر ہیں جن میں an = 0 اور bm = 0 ہے، اور r R کا کوئی بھی عنصر ہے، تو (a·r) n = an·rn = 0، اور بائنومیل تھیوریم کے مطابق، (a + b) m + n = 0۔ لہذا، تمام نیل پوٹینٹ عناصر کا مجموعہ ایک آئیڈیل بناتا ہے جسے رنگ کا نیل ریڈیکل کہا جاتا ہے۔ چونکہ نیل ریڈیکل ہر نیل پوٹینٹ عنصر پر مشتمل ہوتا ہے، اس لیے ایک مواصلاتی رنگ کا آئیڈیل صفر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ نیل ریڈیکل کا ذیلی سیٹ ہو، اور اس لیے غیر نیل آئیڈیلز میں نیل ریڈیکل زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے۔ مزید برآں، کمیوٹیٹو رنگ R کے کسی بھی نیل پوٹینٹ عنصر a کے لیے مثالی aR صفر ہے۔ تاہم، ایک غیر مواصلاتی رنگ کے لیے، یہ عام طور پر درست نہیں ہے کہ نیل پوٹینٹ عناصر کا مجموعہ ایک آئیڈیل بناتا ہے، یا یہ کہ a. r ایک نیل (یک طرفہ) آئیڈیل ہے، چاہے a نیل پوٹینٹ ہو۔ غیر تبادلہ خیال رنگ نظریہ غیر تبادلہ خیال رنگ نظریہ میں نیل آئیڈیلز کا نظریہ بڑی اہمیت کا حامل ہے۔ خاص طور پر، نیل رنگوں-ان رنگوں کی تفہیم کے ذریعے جن کا ہر عنصر نیل پوٹینٹ ہے-کوئی بھی زیادہ عام رنگوں کی بہتر تفہیم حاصل کر سکتا ہے۔ مواصلاتی رنگوں کے معاملے میں، ہمیشہ ایک زیادہ سے زیادہ نیل آئیڈیل ہوتا ہے: رنگ کا نیلراڈیکل۔ غیر متغیر رنگوں کے معاملے میں اس طرح کے زیادہ سے زیادہ صفر آئیڈیل کے وجود کی ضمانت اس حقیقت سے ملتی ہے کہ صفر آئیڈیلز کا مجموعہ پھر سے صفر ہے۔ تاہم، اس دعوے کی سچائی کہ دو لیفٹ نیل آئیڈیلز کا مجموعہ ایک بار پھر لیفٹ نیل آئیڈیل ہے، مبہم ہے۔ یہ ایک کھلا مسئلہ ہے جسے کوتھی قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کوتھی قیاس پہلی بار 1930 میں پیش کیا گیا تھا اور ابھی تک 2023 تک حل نہیں ہوا ہے۔ نیل پوٹینٹ آئیڈیل سے تعلق نیل آئیڈیل کے تصور کا نیل پوٹینٹ آئیڈیل کے ساتھ گہرا تعلق ہے، اور رنگوں کی کچھ کلاسوں میں، دونوں تصورات ایک ساتھ ملتے ہیں۔ اگر کوئی آئیڈیل نیل پوٹینٹ ہے، تو یہ یقینا صفر ہے۔ نیل آئیڈیلز کے نیل پوٹینٹ ہونے کے لیے دو اہم رکاوٹیں ہیں: عناصر کو ختم کرنے کے لیے درکار ایکسپونینٹ پر اوپری حد کی ضرورت نہیں ہے۔ من مانی طور پر اعلی متغیرات کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ نیل پوٹینٹ عناصر کا پروڈکٹ من مانی طور پر اعلی n کے لیے غیر صفر ہو سکتا ہے۔ واضح طور پر نیل پوٹینٹ کے طور پر کوالیفائی کرنے کے لیے نیل آئیڈیل کے لیے ان دونوں رکاوٹوں سے گریز کرنا چاہیے۔ دائیں آرٹینین رنگ میں، کوئی بھی نیل آئیڈیل نیل پوٹینٹ ہوتا ہے۔ یہ مشاہدہ کرنے سے ثابت ہوتا ہے کہ کوئی بھی نیل آئیڈیل رنگ کے جیکبسن ریڈیکل میں موجود ہے، اور چونکہ جیکبسن ریڈیکل ایک نیلپوٹینٹ آئیڈیل ہے (آرٹینین مفروضے کی وجہ سے)، نتیجہ اس کے بعد آتا ہے۔ در حقیقت، اس کو دائیں نویتھیرین رنگوں کے لیے عام کیا گیا ہے ؛ نتیجہ لیوٹزکی تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اتمی کی وجہ سے ایک خاص طور پر آسان ثبوت پایا جا سکتا ہے۔ کوتھی قیاس آرائی نیلپوٹینٹ آئیڈیل نیلراڈیکل جیکبسن ریڈیکل نوٹسز ریفرنسز آئیڈلز (رنگ تھیوری) بھی دیکھیں۔