Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
ریاضی میں، گروتھینڈیک-کاٹز پی-منحنی قیاس لکیری عام تفریقی مساوات کے لیے ایک مقامی-عالمی اصول ہے، جو تفریقی گالوئس نظریہ سے متعلق ہے اور ایک ڈھیلے معنوں میں چیبوٹریف کثافت تھیوریم کے نتیجے سے مشابہت رکھتا ہے جسے کثیر الجہتی کیس سمجھا جاتا ہے۔ یہ 1960 کی دہائی کے آخر سے الیگزینڈر گروتھینڈیک کا ایک قیاس ہے، اور بظاہر اس نے کسی بھی شکل میں شائع نہیں کیا۔ حالیہ پیش رفت کے باوجود عمومی معاملہ حل نہیں ہوا ہے ؛ اسے الجبرائی پودوں پر مشتمل ہندسی تحقیقات سے جوڑا گیا ہے۔ تشکیل ایک آسان ترین ممکنہ بیان میں قیاس آرائی کو ویکٹر سسٹم کے لیے اس کی بنیادی باتوں میں بیان کیا جا سکتا ہے جیسا کہ سائز n کے ویکٹر v کے لیے لکھا جاتا ہے، اور الجبرائی نمبر کوفشنٹس کے ساتھ الجبرائی افعال کا n × n میٹرکس A۔ سوال یہ ہے کہ ایک معیار دیا جائے جب الجبرائی فنکشن حل کا ایک مکمل سیٹ ہو، جس کا مطلب ہے بنیادی میٹرکس (یعنی۔ این ویکٹر حلوں کو بلاک میٹرکس میں ڈال دیا جاتا ہے)۔ مثال کے طور پر، ایک کلاسیکی سوال ہائپر جیومیٹرک مساوات کے لیے تھا: اس کے پیرامیٹرز کے لحاظ سے الجبرائی حل کا جوڑا کب ہوتا ہے؟ جواب کلاسیکی طور پر شوارز کی فہرست کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مونوڈرومی کے لحاظ سے، سوال محدود مونوڈرومی گروپ کے معاملات کی شناخت کا ہے۔ اصلاح اور بڑے نظام میں منتقل ہونے سے، ضروری معاملہ A اور عقلی نمبر کوفیشنٹس میں عقلی افعال کے لیے ہوتا ہے۔ پھر ایک ضروری شرط یہ ہے کہ تقریبا تمام بنیادی اعداد p کے لیے، تخفیف ماڈیولو p کے ذریعے بیان کردہ نظام میں بھی p عناصر کے ساتھ محدود میدان پر الجبرائی حلوں کا ایک مکمل مجموعہ ہونا چاہیے۔ گروتھینڈیک کا قیاس یہ ہے کہ یہ ضروری شرائط، تقریبا تمام پی کے لیے، کافی ہونی چاہئیں۔ پی-منحنی خطوط کے ساتھ تعلق یہ ہے کہ بیان کردہ موڈ پی کی حالت وہی ہے جو یہ کہتی ہے کہ پی-منحنی خطوط، جو اے پر تکرار کے عمل سے تشکیل پاتے ہیں، صفر ہے۔ لہذا یہ کہنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ تقریبا تمام پی کے لیے 0 کا پی-منحنی خطوط اصل مساوات کے کافی الجبرائی حلوں کو ظاہر کرتا ہے۔ گالوئس گروپ کے لیے کاٹز کی تشکیل نکولس کاٹز نے تناکیائی زمرہ کی تکنیکوں کا اطلاق یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا ہے کہ یہ قیاس بنیادی طور پر وہی ہے جو یہ کہتا ہے کہ تفریق گالوئس گروپ G (یا الجبرائی گروپ G کے لائ الجبرا g کو سختی سے بولنا، جو اس معاملے میں مونوڈرومی گروپ کی زرسکی بندش ہے) کا تعین ماڈ p معلومات کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، تفریق مساوات کی ایک مخصوص وسیع کلاس کے لیے۔ پیش رفت بینسن فارب اور مارک کیسن نے معاملات کی ایک وسیع کلاس کو ثابت کیا ہے۔ یہ مساوات مقامی طور پر ہم آہنگ قسم X پر ہیں جو کچھ گروپ نظریاتی حالات کے تابع ہیں۔ یہ کام پیکارڈ-فوکس مساوات کے لیے کاٹز کے پچھلے نتائج پر مبنی ہے (گاؤس-منین تعلق کے عصری معنوں میں)، جیسا کہ آندرے نے تناکیان سمت میں بڑھایا ہے۔ یہ خاص طور پر ریاضی کے گروپوں پر سپرریجیڈیٹی کے ایک ورژن کا بھی اطلاق کرتا ہے۔ دیگر پیش رفت ریاضی کے طریقوں سے ہوئی ہے۔ تاریخ نکولس کاٹز نے 1972 میں ایک مقالے میں کچھ معاملات کو ڈیفارمیشن تھیوری سے منسلک کیا جہاں قیاس آرائی شائع ہوئی تھی۔ تب سے، اصلاحات شائع کی گئی ہیں۔ فرق مساوات کے لیے ایک q-ینالاگ تجویز کیا گیا ہے۔ 2009 کے کولوک گروتھینڈیک میں اس کام پر کسین کی گفتگو کا جواب دیتے ہوئے، کاٹز نے قیاس آرائی کی ابتداء کے بارے میں ذاتی علم سے ایک مختصر بیان دیا۔ گروتھینڈیک نے اسے 1969 کے موسم بہار میں عوامی بحث میں پیش کیا، لیکن اس موضوع پر کچھ نہیں لکھا۔ وہ کرسٹل لائن کوہمولوجی کے شعبے میں بنیادی وجدانوں کے ذریعے اس خیال کی طرف راغب ہوئے، جو اس وقت ان کے طالب علم پیئر برتھیلوٹ نے تیار کیا تھا۔ کسی طرح سے کنکشن کے نظریہ میں "نیلپوٹیننس" کے تصور کو مساوی کرنے کی خواہش میں، تقسیم شدہ طاقت کی ساخت کی تکنیک کے ساتھ جو کرسٹل لائن تھیوری میں معیاری بن گئی، گروتھینڈیک نے قیاس آرائی کو ضمنی مصنوع کے طور پر پیش کیا۔ حوالہ جات نکولس ایم کاٹز، سخت مقامی نظام، باب 9۔ مزید پڑھنے کے لیے جین-بینوئٹ بوسٹ، نمبر فیلڈز پر الجبرائی پودوں کے الجبرائی پتے، اشاعت ریاضی ڈی ایل آئی ایچ ای ایس، جلد 93، نمبر 1، ستمبر 2001 یویس آندرے، سور لا قیاس آرائی ڈیس پی-کوربیورس ڈی گروتھینڈیک-کاٹز ایٹ ان پروبلم ڈی ڈورک، جیومیٹرک پہلوؤں میں ڈورک تھیوری (2004)، ایڈیٹرز ایلن ایڈولفسن، فرانسیسکو بالڈاسری، پیئر برتھیلوٹ، نکولس کاٹز، فرانسوئس لوسر آنند پیلے (2006)، تفریقی الجبرا اور لکیری تفریقی مساوات الجبرا کے ریاضی پر گروتھینڈیک کے قیاس آرائی کو عام کرنا۔