Noether normalization lemma
ریاضی میں، نویتھر نارملائزیشن لیما مواصلاتی الجبرا کا نتیجہ ہے، جسے ایمی نویتھر نے 1926 میں متعارف کرایا تھا۔ اس میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی فیلڈ k، اور کسی بھی حتمی طور پر تیار کردہ تبادلہ k-الجبرا A کے لیے، A میں الجبرائی طور پر آزاد عناصر y1، y2،.، yd اس طرح موجود ہیں کہ A کثیر الجہتی رنگ S = k [y1، y2،.، yd] پر ایک حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول ہے۔ انٹیجر d رنگ A کے کرول طول و عرض کے برابر ہے ؛ اور اگر A ایک انٹیگرل ڈومین ہے، تو d بھی k پر A کے فریکشنز کی فیلڈ کی ماورا ڈگری ہے۔ تھیوریم کی ہندسی تشریح ہے۔ فرض کریں کہ A ایک افائن قسم X کا کوآرڈینیٹ رنگ ہے، اور S کو ایک D-جہتی افائن اسپیس کا کوآرڈینیٹ رنگ سمجھیں۔ پھر شمولیت کا نقشہ افائن اقسام کی ایک سرجیکٹو محدود مورفزم کو جنم دیتا ہے: یعنی، کوئی بھی افائن قسم افائن اسپیس کا شاخ دار احاطہ ہے۔ جب k لامحدود ہوتا ہے، تو اس طرح کا شاخوں والا احاطہ کرنے والا نقشہ ایکس پر مشتمل ایک افائن اسپیس سے ڈی جہتی ذیلی جگہ پر عمومی پروجیکشن لے کر بنایا جا سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، اسکیموں کی زبان میں، نظریہ کو مساوی طور پر اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: ہر افائن k-اسکیم (محدود قسم کی) X ایک افائن n جہتی جگہ پر محدود ہے۔ تھیوریم کو R (مساوی طور پر، X کے بند ذیلی مجموعے) کے آئیڈلز کی ایک زنجیر کو شامل کرنے کے لیے بہتر بنایا جا سکتا ہے جو متعلقہ جہتوں کے افائن کوآرڈینیٹ سب اسپیس پر محدود ہیں۔ کلاسیکی الجبرائی جیومیٹری کے سب سے بنیادی نتائج میں سے ایک ہلبرٹ کے نلسٹیلنسٹز کو ثابت کرنے کے لیے نویتھر نارملائزیشن لیما کو ایک اہم قدم کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نارملائزیشن تھیوریم بھی k-الجیبراس کے لیے کرول طول و عرض کے تصورات کو قائم کرنے کا ایک اہم ذریعہ ہے۔ ثبوت مندرجہ ذیل ثبوت ناگاتا کی وجہ سے ہے، جو ممفورڈ کی سرخ کتاب کے بعد ہے۔ سرخ کتاب کے صفحہ 127 پر مزید ہندسی ثبوت دیا گیا ہے۔ لیما میں رنگ A کچھ عناصر کے ذریعہ k-الجبرا کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ ہم ایم پر شامل کریں گے۔ اگر، تو دعوی معمولی ہے۔ اب فرض کریں۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ A کی ایک سبرنگ S ہے جو عناصر کے ذریعے پیدا ہوتی ہے، جیسے کہ A S پر محدود ہے۔ درحقیقت، انڈکٹو مفروضے کے ذریعے، ہم S کے الجبرائی طور پر آزاد عناصر کو اس طرح تلاش کر سکتے ہیں کہ S اس پر محدود ہے۔ چونکہ بصورت دیگر ثابت کرنے کے لیے کچھ نہیں ہوگا، ہم یہ بھی فرض کر سکتے ہیں کہ k پر m متغیرات میں ایک غیر صفر کثیر الجہتی f ہے۔ ایک عدد r دیا گیا ہے جس کا تعین بعد میں کیا جاتا ہے، سیٹ کریں پھر سابقہ پڑھتا ہے: اب، اگر ایک مونومیل مندرجہ بالا مساوات کے بائیں ہاتھ کی طرف، گتانک کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے، تو پروڈکٹ کو بڑھانے کے بعد سب سے زیادہ اصطلاح اس طرح نظر آتی ہے جیسے جب بھی مذکورہ بالا ایکسپونینٹ کسی دوسرے مونومیل کے ذریعہ تیار کردہ سب سے زیادہ ایکسپونینٹ سے متفق ہوتا ہے، تو یہ ممکن ہے کہ سب سے زیادہ اصطلاح مندرجہ بالا شکل کی نہ ہو، کیونکہ یہ منسوخی سے متاثر ہو سکتی ہے۔ تاہم، اگر r f میں ظاہر ہونے والے کسی بھی ایکسپونینٹ سے بڑا ہے، تو ہر ایک ایک منفرد بیس r نمبر کو انکوڈ کرتا ہے، لہذا ایسا نہیں ہوتا ہے۔ اس طرح یہ انٹیگرل اوور ہے۔ چونکہ اس رنگ پر بھی انٹیگرل ہیں، اس لیے A S پر انٹیگرل ہے۔ اس کے بعد A S پر محدود ہے، اور چونکہ S m-1 عناصر سے پیدا ہوتا ہے، اس لیے انڈکٹو مفروضے کے ذریعے ہم کام انجام دیتے ہیں۔ اگر A ایک انٹیگرل ڈومین ہے، تو d اس کے فریکشن فیلڈ کی ماورا ڈگری ہے۔ درحقیقت، A اور ایک ہی ماورائی ڈگری (یعنی فریکشنز کی فیلڈ کی ڈگری) رکھتے ہیں کیونکہ A کے فریکشنز کی فیلڈ S کے مقابلے میں الجبرائی ہے (جیسا کہ A S پر انٹیگرل ہے) اور S کی ماورائی ڈگری d ہے۔ اس طرح، یہ ظاہر کرنا باقی رہتا ہے کہ کثیر الجہتی رنگ S کا کرول طول و عرض d ہے۔ (یہ بھی جہتی نظریہ کا نتیجہ ہے۔) ہم ڈی پر شامل کرتے ہیں، کیس معمولی ہونے کے ساتھ۔ چونکہ پرائم آئیڈیلز کا سلسلہ ہے، اس لیے طول و عرض کم از کم d ہے۔ الٹا تخمینہ حاصل کرنے کے لیے، پرائم آئیڈیلز کا سلسلہ ہونے دیں۔ جانے دیں۔ ہم نویتھر نارملائزیشن کا اطلاق کرتے ہیں اور حاصل کرتے ہیں (نارملائزیشن کے عمل میں، ہم پہلا متغیر منتخب کرنے کے لیے آزاد ہیں) جیسے کہ S T پر لازمی ہے۔ انڈکٹو مفروضے کے مطابق، طول و عرض d-1 ہے۔ موازنہ سے، لمبائی کا ایک سلسلہ ہے اور پھر، اس میں، یہ لمبائی کا ایک سلسلہ بن جاتا ہے۔ چونکہ، ہمارے پاس ہے۔ اس لیے۔ اصلاح آئزن بڈ کی کتاب میں درج ذیل اصلاح ظاہر ہوتی ہے، جو ناگاٹا کے خیال پر مبنی ہے: ہندسی طور پر، نظریہ کا آخری حصہ کہتا ہے کہ کسی بھی عمومی لکیری پروجیکشن کے لیے ایک محدود مورفزم پیدا ہوتا ہے (cf. لیڈ) ؛ آئزن بڈ کے علاوہ، یہ بھی دیکھیں۔ مثال کا اطلاق: عام آزادی نارملائزیشن لیما کا ایک عام غیر معمولی اطلاق عام آزادی تھیوریم ہے: آئیے اس طرح کے حلقے ہوں جو ایک نویتھیرین انٹیگرل ڈومین ہے اور فرض کریں کہ ایک رنگ ہومومورفزم ہے جو ایک حتمی طور پر تیار کردہ الجبرا کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ پھر کچھ ایسے ہیں جو ایک فری-ماڈیول ہے۔ اسے ثابت کرنے کے لیے، اس کا فریکشن فیلڈ ہونے دیں۔ ہم کے کرل طول و عرض پر انڈکشن کے ذریعے بحث کرتے ہیں۔ بیس کیس تب ہوتا ہے جب کرل طول و عرض ہوتا ہے ؛ یعنی ؛ یعنی، جب کچھ ایسا ہوتا ہے، تو وہ-ماڈیول کے طور پر آزاد ہوتا ہے۔ انڈکٹو مرحلے کے لیے، نوٹ کریں کہ یہ ایک حتمی طور پر تیار کردہ-الجبرا ہے۔ لہذا نویتھر نارملائزیشن لیما کے ذریعہ، الجبرائی طور پر آزاد عناصر پر مشتمل ہوتا ہے جیسے کہ کثیر الجہتی رنگ پر محدود ہوتا ہے۔ کے عناصر سے ہر ایک کو ضرب دیتے ہوئے، ہم فرض کر سکتے ہیں کہ ان میں ہیں۔ اب ہم غور کرتے ہیں: اب محدود نہیں ہو سکتا، لیکن یہ ایک عنصر کو مندرجہ ذیل طور پر الٹنے کے بعد محدود ہو جائے گا۔ اگر ایک عنصر ہے، تو، ایک عنصر کے طور پر، یہ انٹیگرل اوور ہے ؛ یعنی، کچھ کے لیے۔ اس طرح، کچھ کے کوفیشنٹس کے تمام ڈینومینیٹرز کو مار دیتے ہیں اور اسی طرح انٹیگرل اوور ہوتے ہیں۔ الجبرہ کے طور پر کچھ محدود طور پر بہت سے جنریٹرز کا انتخاب کرتے ہوئے اور اس مشاہدے کو ہر جنریٹر پر لاگو کرتے ہوئے، ہمیں کچھ ایسے ملتے ہیں جو انٹیگرل (اس طرح محدود) ہیں۔ کے ذریعے تبدیل کریں اور پھر ہم فرض کر سکتے ہیں کہ یہ ختم ہو چکا ہے۔ ختم کرنے کے لیے،-سب ماڈیولز کے ذریعے ایک محدود فلٹریشن پر غور کریں جیسے کہ پرائم آئیڈیلز کے لیے (اس طرح کی فلٹریشن متعلقہ پرائمز کے نظریہ کے ذریعے موجود ہے)۔ ہر ایک i کے لیے، اگر، انڈکٹو مفروضے کے ذریعے، ہم کچھ ایسے کا انتخاب کر سکتے ہیں جو-ماڈیول کے طور پر آزاد ہو، جبکہ ایک کثیر الجہتی رنگ ہو اور اس طرح آزاد ہو۔ لہذا، ساتھ، ایک مفت ماڈیول ختم ہو گیا ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ این بی لیما تازہ ترین تبصروں میں ہے۔ مزید پڑھنا رابرٹز، ڈی۔: مونومیل شنک سڑنے سے رہنمائی کرنے والی نویتھر نارملائزیشن۔ جے۔ علامتی کمپیوٹنگ۔ 44 (10)، 1359-1373 (2009) مواصلاتی الجبرا الجبرائی اقسام الجبرائی جیومیٹری میں لیما