Dolbeault cohomology
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی جیومیٹری اور تفریقی جیومیٹری میں، ڈولبیالٹ کوہمولوجی (پیئر ڈولبیالٹ کے نام سے منسوب) پیچیدہ کئی گنا کے لیے ڈی رام کوہمولوجی کا ایک ینالاگ ہے۔ فرض کریں کہ M ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ پھر ڈولبولٹ کوہمولوجی گروپس انٹیجرز p اور q کے جوڑے پر انحصار کرتے ہیں اور ڈگری (p، q) کی پیچیدہ تفریق شکلوں کی جگہ کے ذیلی حصے کے طور پر محسوس ہوتے ہیں۔ ہم آہنگی کے گروپوں کی تعمیر ωp، q کو ڈگری (p، q) کی پیچیدہ تفریق شکلوں کا ویکٹر بنڈل ہونے دیں۔ پیچیدہ شکلوں سے متعلق مضمون میں، ڈولبیالٹ آپریٹر کو ہموار حصوں پر ایک تفریقی آپریٹر کے طور پر بیان کیا گیا ہے کیونکہ اس آپریٹر کے پاس کچھ وابستہ ہم آہنگی ہے۔ اگر E ایک پیچیدہ کئی گنا X پر ایک ہولومورفک ویکٹر بنڈل ہے، تو کوئی بھی اسی طرح E کے ڈولبولٹ آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے E کے ہولومورفک حصوں کے شیف کی باریک ریزولوشن کی وضاحت کر سکتا ہے۔ اس لیے یہ E کے شیف کوہومولوجی کا ایک ریزولوشن ہے۔ خاص طور پر ہولومورفک ڈھانچے سے وابستہ ایک ڈولبیالٹ آپریٹر ہے جس میں اقدار کے ساتھ ٹو-فارم کے حصے لیے جاتے ہیں۔ یہ تفریق شکلوں پر ڈولبیالٹ آپریٹر کے حوالے سے خصوصیت والے لیبنز اصول کو مطمئن کرتا ہے، اور اس لیے اسے بعض اوقات-کنکشن آن کے نام سے جانا جاتا ہے، لہذا، اسی طرح جیسے ویکٹر بنڈل پر کنکشن کو بیرونی کوویرینٹ مشتق تک بڑھایا جا سکتا ہے، ڈولبیالٹ آپریٹر کو ایک آپریٹر تک بڑھایا جا سکتا ہے جو کسی حصے پر کام کرتا ہے اور اس میں کسی بھی حصے تک لکیری طور پر بڑھایا جاتا ہے۔ ڈولبیالٹ آپریٹر انٹیگریبلٹی کی حالت کو مطمئن کرتا ہے اور اس لیے ڈولبیالٹ کوہمولوجی کو کوفیشنٹس کے ساتھ اوپر بیان کیا جا سکتا ہے: ڈولبیالٹ کوہمولوجی گروپ ڈولبیالٹ آپریٹر کے انتخاب پر منحصر نہیں ہوتے ہیں جو ہولومورفک ڈھانچے کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں، لہذا عام طور پر اس پر انحصار کو چھوڑ کر ظاہر کیا جاتا ہے۔ ڈولبیالٹ-گروتھینڈیک لیما ڈولبیالٹ آئسومورفزم کو قائم کرنے کے لیے ہمیں ڈولبیالٹ-گروتھینڈیک لیما (یا-پوئنکیری لیما) کو ثابت کرنے کی ضرورت ہے۔ پہلے ہم-پوئن کیری لیما کا ایک جہتی ورژن ثابت کرتے ہیں۔ ہم ہموار افعال کے لیے کاچی انٹیگرل نمائندگی کی درج ذیل عمومی شکل کا استعمال کریں گے: تجویز: کھلی گیند کو رداس کے مرکز میں کھلنے دیں اور پھر لیما (پیچیدہ سطح پر-پوئن کیری لیما): پہلے کی طرح اور ہموار شکل میں رہیں، پھر ثبوت پر مطمئن ہوں۔ ہمارا دعوی یہ ہے کہ اوپر بیان کردہ ایک اچھی طرح سے طے شدہ ہموار فنکشن ہے اور۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے ہم ایک نقطہ اور ایک کھلے پڑوس کا انتخاب کرتے ہیں، پھر ہم ایک ہموار فنکشن تلاش کر سکتے ہیں جس کی سپورٹ کمپیکٹ ہے اور اس میں ہے اور پھر ہم لکھ اور وضاحت کر سکتے ہیں۔ اب ہم اسے دکھاتے ہیں۔ چونکہ ہولومورفک ہے۔ عام کاچی فارمولے کو لاگو کرتے ہوئے ہم اس کے بعد سے تلاش کرتے ہیں، لیکن پھر۔ چونکہ یہ من مانی تھی، اس لیے اب لیما ثابت ہو گیا ہے۔ ڈولبیالٹ-گروتھینڈیک لیما کا ثبوت اب ڈولبیالٹ-گروتھینڈیک لیما کو ثابت کرنے کے لیے تیار ہیں ؛ یہاں پیش کردہ ثبوت گروتھینڈیک کی وجہ سے ہے۔ ہم رداس کے ساتھ مرکوز کھلی پولی ڈسک کے ساتھ اشارہ کرتے ہیں۔ لیما (ڈولبولٹ-گروتھینڈیک): جہاں کھلا ہو اور جہاں ایسا ہو، وہاں موجود ہے جو مطمئن کرتا ہے: ثبوت شروع کرنے سے پہلے ہم نوٹ کرتے ہیں کہ کسی بھی شکل کو کثیر اشارے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اس لیے ہم کیس کے ثبوت کو کم کر سکتے ہیں۔ ثبوت۔ آئیے سب سے چھوٹا انڈیکس ایسا ہو کہ-ماڈیولز کے شیف میں، ہم انڈکشن کے ذریعے آگے بڑھتے ہیں۔ کیونکہ ہمارے پاس اس کے بعد سے ہے ؛ اگلا ہم فرض کرتے ہیں کہ اگر تب ایسی کوئی چیز موجود ہے۔ پھر فرض کریں اور مشاہدہ کریں کہ ہم لکھ سکتے ہیں چونکہ یہ بند ہے اس کے بعد وہ متغیرات میں ہولومورفک ہیں اور پولی ڈسک پر باقی حصوں میں ہموار ہیں۔ مزید برآں ہم کھلی گیند پر ہموار افعال پر-پوئن کیئر لیما کا اطلاق کر سکتے ہیں، اس لیے ہموار افعال کا ایک خاندان موجود ہے جو ہولومورفک کو بھی مطمئن کرتا ہے۔ اس کی وضاحت کریں لہذا ہم اس پر انڈکشن مفروضہ لاگو کر سکتے ہیں، ایسا موجود ہے جو انڈکشن مرحلے کو ختم کرتا ہے۔ کیو ای ڈی پچھلے لیما کو پولی ریڈیئس کے کچھ اجزاء کے ساتھ پولی ڈسکس کو داخل کرکے عام کیا جا سکتا ہے۔ لیما (توسیع شدہ ڈولبیوالٹ-گروتھینڈیک)۔ اگر اور کے ساتھ کھلی پولی ڈسک ہے، تو ثبوت۔ ہم دو معاملات پر غور کرتے ہیں: اور۔ کیس 1۔ چلو، اور ہم پولی ڈسکس کے ساتھ احاطہ کرتے ہیں، پھر ڈولبولٹ-گروتھینڈیک لیما کے ذریعے ہم کھلے پر بائیڈیگری کی شکلیں تلاش کر سکتے ہیں جیسے کہ ہم یہ ظاہر کرنا چاہتے ہیں کہ ہم انڈکشن آن کے ذریعے آگے بڑھتے ہیں: جب معاملہ پچھلے لیما کے پاس ہوتا ہے۔ دعوی کو درست ہونے دیں اور اس کے ساتھ لے جائیں پھر ہمیں اس طرح کے کھلے محلے میں ایک فارم کی وضاحت ملتی ہے۔ اس کے بعد ایک کھلا پڑوس بننے دیں اور ہم اس طرح کی شکل تلاش کرنے کے لیے ڈولبیو-گروتھینڈیک لیما کو دوبارہ لاگو کر سکتے ہیں۔ اب، ایک کھلا سیٹ اور ہموار فنکشن اس طرح ہونے دیں کہ: پھر ایک اچھی طرح سے متعین ہموار شکل ہے جس پر مطمئن ہوتا ہے لہذا فارم کیس 2 کو مطمئن کرتا ہے۔ اگر اس کے بجائے ہم ڈولبیوالٹ-گروتھینڈیک لیما کو دو بار لاگو نہیں کر سکتے ہیں۔ ہم لیتے ہیں اور پہلے کی طرح، ہم یہ دکھانا چاہتے ہیں کہ دوبارہ، ہم انڈکشن آن کے ذریعے آگے بڑھتے ہیں: کیونکہ جواب ڈولبیوالٹ-گروتھینڈیک لیما کے ذریعے دیا گیا ہے۔ اگلا ہم فرض کرتے ہیں کہ دعوی درست ہے۔ ہم اس طرح کا احاطہ کرتے ہیں، پھر ہم ایک ایسی شکل تلاش کر سکتے ہیں جس پر بھی اطمینان ہو، یعنی۔ یہ ایک ہولومورفک شکل ہے جہاں بھی اس کی وضاحت کی گئی ہے، اس لیے اسٹون-ویرسٹراس تھیوریم کے ذریعے ہم اسے اس طرح لکھ سکتے ہیں کہ جہاں کثیر الجہتی ہیں اور لیکن پھر وہ شکل مطمئن ہو جاتی ہے جو انڈکشن مرحلہ کو مکمل کرتی ہے۔ اس لیے ہم نے ایک ترتیب بنائی ہے جو یکساں طور پر کسی شکل میں یکجا ہو جاتی ہے۔ کیو ای ڈی ڈولبیوالٹ تھیوریم ڈولبیوالٹ تھیوریم ڈی رام کے تھیوریم کا ایک پیچیدہ ینالاگ ہے۔ یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ ڈولبولٹ کوہمولوجی ہولومورفک تفریقی شکلوں کے شیف کے شیف کوہمولوجی کے لیے آئسومورفک ہے۔ خاص طور پر، ایم پر ہولومورفک پی فارموں کا خول کہاں ہے۔ ڈولبیالٹ تھیوریم کا ایک ورژن ڈولبیالٹ کوہمولوجی کے لیے بھی ہولومورفک ویکٹر بنڈل میں کوفیشنٹس کے ساتھ ہے۔ یعنی ایک میں آئسومورفزم ہے۔ لوگرتھمک شکلوں کے لیے ایک ورژن بھی قائم کیا گیا ہے۔ ثبوت قسم کی شکلوں کا عمدہ ذخیرہ ہونے دیں۔ پھر-پوئن کیری لیما کا کہنا ہے کہ ترتیب درست ہے۔ کسی بھی طویل عین مطابق ترتیب کی طرح، یہ ترتیب مختصر عین مطابق ترتیب میں ٹوٹ جاتی ہے۔ ان سے مطابقت رکھنے والے ہم آہنگی کے لمبے عین مطابق سلسلے نتیجہ دیتے ہیں، ایک بار جب کوئی اس کا استعمال کرتا ہے تو باریک خول کی اعلی ہم آہنگی غائب ہو جاتی ہے۔ حساب کی واضح مثال-جہتی پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کی ڈولبیالٹ کوہومولوجی یہ ہے کہ ہم ہج تھیوری سے درج ذیل معروف حقیقت کا اطلاق کرتے ہیں: کیونکہ یہ ایک کمپیکٹ کیلر کمپلیکس کئی گنا ہے۔ پھر اور اس کے علاوہ ہم جانتے ہیں کہ کیلر ہے، اور فوبینی اسٹڈی میٹرک (جو درحقیقت کیلر ہے) سے وابستہ بنیادی شکل کہاں ہے، لہذا اور جب بھی نتیجہ نکلتا ہے۔ سیر ڈوئلٹی-لیما بھی دیکھیں، جو کمپیکٹ کیلر مینیفولڈز کی ترتیب میں ایک عین مطابق تفریقی شکل کی صلاحیت کو بیان کرتا ہے۔ فوٹ نوٹ حوالہ جات کوہومولوجی کے نظریات کمپلیکس نے ہج تھیوری کو کئی گنا بڑھا دیا