Difference set
امتزاج میں، ایک فرق سیٹ ترتیب کے گروپ کے سائز کا ایک ذیلی مجموعہ ہے جس میں ہر غیر شناخت عنصر کو بالکل طریقوں سے عناصر کے پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک فرق سیٹ کو چکور، ابیلین، غیر ابیلین وغیرہ کہا جاتا ہے، اگر گروپ میں متعلقہ خاصیت ہو۔ ایک فرق سیٹ کو بعض اوقات پلانر یا سادہ کہا جاتا ہے۔ اگر ایک ابیلین گروپ ہے جو اضافی اشارے میں لکھا گیا ہے، تو تعریف کی شرط یہ ہے کہ ہر غیر صفر عنصر کو بالکل طریقوں سے عناصر کے فرق کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ "فرق سیٹ" کی اصطلاح اس طرح پیدا ہوتی ہے۔ بنیادی حقائق ایک سادہ گنتی کی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ عناصر کے بالکل جوڑے ہیں جن سے غیر شناخت والے عناصر حاصل ہوں گے، لہذا ہر فرق سیٹ کو مساوات کو پورا کرنا چاہیے اگر ایک فرق سیٹ ہے اور پھر یہ ایک فرق سیٹ بھی ہے، اور اسے ترجمہ (اضافی اشارے میں) کہا جاتا ہے۔ ایک-فرق سیٹ کی تکمیل ایک-فرق سیٹ ہے۔ فرق سیٹ کے تمام ترجموں کا سیٹ ایک سمیٹرک بلاک ڈیزائن بناتا ہے، جسے ڈویلپمنٹ کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ اس طرح کے ڈیزائن میں عناصر (عام طور پر پوائنٹس) اور بلاکس (سبسیٹس) ہوتے ہیں۔ ڈیزائن کا ہر بلاک پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے، ہر پوائنٹ بلاکس میں موجود ہوتا ہے۔ کسی بھی دو بلاکس میں بالکل عناصر مشترک ہوتے ہیں اور کوئی بھی دو نکات بیک وقت بالکل بلاکس میں موجود ہوتے ہیں۔ گروپ ڈیزائن کے آٹومورفزم گروپ کے طور پر کام کرتا ہے۔ یہ پوائنٹس اور بلاکس دونوں پر تیزی سے ٹرانزیکٹو ہے۔ خاص طور پر، اگر، تو فرق سیٹ ایک پروجیکٹو طیارہ کو جنم دیتا ہے۔ گروپ میں مقرر کردہ (7,3,1) فرق کی ایک مثال سب سیٹ ہے۔ اس فرق سیٹ کے ترجمے فینو طیارہ بناتے ہیں۔ چونکہ ہر فرق سیٹ ایک سمیٹرک ڈیزائن دیتا ہے، اس لیے پیرامیٹر سیٹ کو بروک-رائزر-چولا تھیوریم کو پورا کرنا چاہیے۔ ہر سمیٹرک ڈیزائن ایک فرق سیٹ نہیں دیتا ہے۔ مساوی اور آئسومورفک فرق سیٹ گروپ اور گروپ میں دو فرق سیٹ مساوی ہوتے ہیں اگر ان کے درمیان گروپ آئسومورفزم ہو اور کچھ کے لیے ایسا ہو۔ مساوی فرق سیٹ آئسومورفک ہوتے ہیں، لیکن آئسومورفک فرق سیٹ کی مثالیں موجود ہیں جو مساوی نہیں ہیں۔ چکور فرق سیٹ کیس میں، تمام معروف آئسومورفک فرق سیٹ مساوی ہوتے ہیں۔ ضرب گروپ میں سیٹ کیے گئے فرق کا ایک ضرب اس طرح کی گروپ آٹومورفزم ہے کہ کچھ لوگوں کے لیے اگر ابیلین ہے اور آٹومورفزم ہے جو نقشہ بناتا ہے، تو اسے عددی یا ہال ضرب کہا جاتا ہے۔ یہ قیاس کیا گیا ہے کہ اگر p ایک بنیادی تقسیم ہے اور v کو تقسیم نہیں کرتا ہے، تو گروپ آٹومورفزم کی تعریف D کے کچھ ترجمہ کو طے کرتا ہے (یہ ضرب ہونے کے برابر ہے)۔ یہ ایک ابیلین گروپ کب ہے اس کے لیے درست جانا جاتا ہے، اور اسے فرسٹ ملٹی پلیئر تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایک زیادہ عام معلوم نتیجہ، سیکنڈ ملٹی پلیئر تھیوریم، کہتا ہے کہ اگر ایکسپوینٹ کے ابیلین گروپ (ہر عنصر کے آرڈرز کا سب سے کم عام ملٹیپل) میں طے شدہ-فرق ہے، تو اسے ایک انٹیجر کوپرائم ہونے دیں۔ اگر اس طرح کا کوئی تقسیم کنندہ موجود ہے کہ m کو تقسیم کرنے والے ہر پرائم p کے لیے، ایک عدد i موجود ہے، تو t ایک عددی تقسیم کنندہ ہے۔ مثال کے طور پر، 2 اوپر بیان کردہ (7,3,1)-فرق سیٹ کا ضرب ہے۔ یہ ذکر کیا گیا ہے کہ ابیلین گروپ میں سیٹ کیے گئے فرق کا عددی ضرب اس کا ترجمہ طے کرتا ہے، لیکن یہ بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ اس کا ترجمہ پیرامیٹرز کے تمام عددی ضرب کے ذریعے طے کیا جاتا ہے۔ معلوم فرق سیٹ یا ان کی تکمیل میں درج ذیل پیرامیٹرز میں سے ایک سیٹ ہوتا ہے:-کچھ پرائم پاور اور کچھ مثبت عدد کے لیے سیٹ کیا گیا فرق۔ یہ کلاسیکی پیرامیٹرز کے نام سے جانے جاتے ہیں اور ان پیرامیٹرز والے فرق سیٹوں کی بہت سی تعمیرات ہیں۔ کچھ مثبت عدد فرق سیٹوں کے لیے مقرر کردہ فرق کو پیلے قسم کا فرق سیٹ کہا جاتا ہے۔ - فرق سیٹ کچھ مثبت عدد کے لیے ان پیرامیٹرز کے ساتھ سیٹ کیا گیا فرق ایک ہڈمارڈ فرق سیٹ ہے۔ - فرق کچھ پرائم پاور اور کچھ مثبت عدد کے لیے مقرر کیا گیا ہے جسے میک فارلینڈ پیرامیٹرز کہا جاتا ہے۔ - فرق کچھ مثبت عدد کے لیے سیٹ کیا گیا ہے جسے اسپینس پیرامیٹرز کہا جاتا ہے۔ کچھ پرائم پاور کے لیے مقرر کردہ فرق اور ان پیرامیٹرز کے ساتھ کچھ مثبت عدد فرق سیٹوں کو ڈیوس-جیدواب-چین فرق سیٹ کہا جاتا ہے۔ معلوم فرق سیٹ فرق سیٹ کی بہت سی تعمیرات میں، جو گروپ استعمال کیے جاتے ہیں ان کا تعلق محدود فیلڈز کے اضافی اور ضرب والے گروپوں سے ہوتا ہے۔ ان شعبوں کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والے اشارے نظم و ضبط کے مطابق مختلف ہوتے ہیں۔ اس حصے میں، گالوئس فیلڈ آف آرڈر ہے جہاں ایک پرائم یا پرائم پاور ہے۔ اضافے کے تحت گروپ کی نشاندہی کی جاتی ہے، جبکہ غیر صفر عناصر کا ضرب گروپ ہے۔ پیلے-فرق سیٹ: آئیے ایک اہم طاقت بنیں۔ گروپ میں، تمام غیر صفر مربعوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ گلوکار-فرق سیٹ: چلو۔ پھر سیٹ ایک-فرق سیٹ ہے، جہاں ٹریس فنکشن جڑواں پرائم پاور-فرق سیٹ کیا جاتا ہے جب اور دونوں پرائم پاور ہوتے ہیں: گروپ میں، تاریخ کو سمیٹرک بلاک ڈیزائن کی تعمیر کے لیے چکور فرق سیٹوں اور طریقوں کا منظم استعمال آر سی بوس سے ملتا ہے اور 1939 میں ان کا ایک بنیادی کاغذ۔ تاہم، اس سے پہلے مختلف مثالیں سامنے آئیں، جیسے "پیلے فرق سیٹ" جو 1933 کا ہے۔ سائیکلک فرق سیٹ تصور کو زیادہ عام گروپوں میں عام کرنا 1955 میں آر ایچ بروک کی وجہ سے ہے۔ ملٹی پلیئرز کو مارشل ہال جونیئر نے 1947 میں متعارف کرایا تھا۔ درخواست یہ ژیا، چاؤ اور گیاناکس نے پایا ہے کہ فرق سیٹ کو ایک پیچیدہ ویکٹر کوڈ بک کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو زیادہ سے زیادہ کراس ارتباط طول و عرض پر پابند مشکل ویلچ کو حاصل کرتا ہے۔ نام نہاد کوڈ بک نام نہاد گراس مینین مینیفولڈ بھی بناتی ہے۔ فرق خاندان کسی گروہ کے ذیلی مجموعوں کا ایک مجموعہ ہوتا ہے جس کا ترتیب، سائز سب کے لیے ہوتا ہے، اور اس کے ہر غیر شناختی عنصر کو کچھ کے عناصر کی پیداوار کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے (یعنی۔ دونوں ایک ہی سے آتے ہیں) بالکل طریقوں سے۔ ایک فرق سیٹ ایک فرق خاندان ہے جس کے اوپر پیرامیٹر کی مساوات کو عام کیا گیا ہے۔ ایک فرق خاندان کی نشوونما 2-ڈیزائن ہے۔ باقاعدہ آٹومورفزم گروپ کے ساتھ ہر 2-ڈیزائن کچھ فرق والے خاندان کے لیے ہوتا ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے مشترکہ ڈیزائن نوٹ بھی دیکھیں۔ امتزاج