Hyperbolic group
گروپ تھیوری میں، زیادہ واضح طور پر جیومیٹرک گروپ تھیوری میں، ایک ہائپربولک گروپ، جسے لفظ ہائپربولک گروپ یا گروموف ہائپربولک گروپ بھی کہا جاتا ہے، ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ ہے جو لفظ میٹرک سے لیس ہوتا ہے جو کلاسیکی ہائپربولک جیومیٹری سے خلاصہ شدہ کچھ خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔ ہائپربولک گروپ کا تصور متعارف کرایا گیا اور تیار کیا گیا۔ یہ تحریک مختلف موجودہ ریاضیاتی نظریات سے حاصل ہوئی: ہائپربولک جیومیٹری بلکہ کم جہتی ٹوپولوجی (خاص طور پر ہائپربولک ریمن سطح کے بنیادی گروپ سے متعلق میکس ڈہن کے نتائج، اور تین جہتی ٹوپولوجی میں زیادہ پیچیدہ مظاہر)، اور مشترکہ گروپ تھیوری۔ 1987 کے ایک بہت ہی بااثر (1000 سے زیادہ حوالہ جات) باب میں گروموف نے ایک وسیع تر تحقیقی پروگرام کی تجویز پیش کی۔ ہائپربولک گروپوں کے نظریہ میں خیالات اور بنیادی مواد بھی جارج موسٹو، ولیم تھرسٹن، جیمز ڈبلیو کینن، ایلیاہو رپس، اور بہت سے دوسرے لوگوں کے کام سے نکلتے ہیں۔ تعریف آئیے ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ بنیں، اور جنریٹرز کے کچھ محدود سیٹ کے حوالے سے اس کا کیلی گراف بنیں۔ سیٹ کو اس کے گراف میٹرک سے نوازا جاتا ہے (جس میں کناروں کی لمبائی ایک ہوتی ہے اور دو عمودی کے درمیان فاصلہ ان کو جوڑنے والے راستے میں کناروں کی کم سے کم تعداد ہوتی ہے) جو اسے لمبائی کی جگہ میں بدل دیتا ہے۔ اس کے بعد گروپ کو ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر گروموف کے معنی میں ہائپربولک اسپیس ہو۔ جلد ہی، اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی جیوڈیسیک مثلث-پتلا موجود ہے، جیسا کہ دائیں طرف کی شکل میں دکھایا گیا ہے (اس جگہ کو پھر-ہائپربولک کہا جاتا ہے)۔ ترجیحی طور پر یہ تعریف ایک محدود جنریٹنگ سیٹ کے انتخاب پر منحصر ہے۔ یہ کہ ایسا نہیں ہے، مندرجہ ذیل دو حقائق سے ظاہر ہوتا ہے: دو محدود جنریٹنگ سیٹوں سے مطابقت رکھنے والے کیلی گراف ہمیشہ ایک دوسرے کے لیے نیم آئسومیٹرک ہوتے ہیں۔ کوئی بھی جیوڈیسیک اسپیس جو جیوڈیسیک گروموف ہائپربولک اسپیس کے لیے نیم آئسومیٹرک ہوتی ہے، خود گروموف ہائپربولک ہوتی ہے۔ اس طرح ہم کسی جنریٹنگ سیٹ کا حوالہ دیے بغیر قانونی طور پر ایک محدود طور پر تیار کردہ گروپ کے ہائپربولک ہونے کی بات کر سکتے ہیں۔ دوسری طرف، ایک ایسی جگہ جو ایک ہائپربولک جگہ کے لیے نیم آئسومیٹرک ہے خود کچھ کے لیے ہائپربولک ہے لیکن مؤخر الذکر اصل اور نیم آئسومیٹری دونوں پر منحصر ہے، اس طرح ہائپربولک ہونے کی بات کرنے کا کوئی مطلب نہیں ہے۔ ریمارکس شوارک ملنور لیما میں کہا گیا ہے کہ اگر کوئی گروپ مناسب لمبائی کی جگہ پر مناسب طریقے سے اور کمپیکٹ کوشیئنٹ (اس طرح کے عمل کو اکثر جیومیٹرک کہا جاتا ہے) کے ساتھ کام کرتا ہے، تو یہ حتمی طور پر تیار ہوتا ہے، اور کوئی بھی کیلی گراف اس کے لیے نیم آئسومیٹرک ہوتا ہے۔ اس طرح ایک گروپ (حتمی طور پر پیدا شدہ اور) ہائپربولک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی مناسب ہائپربولک جگہ پر ہندسی کارروائی ہو۔ اگر محدود اشاریہ کے ساتھ ایک ذیلی گروہ ہے (یعنی سیٹ محدود ہے)، تو شمولیت کسی بھی مقامی طور پر محدود کیلی گراف کے عمودی حصوں پر ایک نیم آئسومیٹری کو کسی بھی مقامی طور پر محدود کیلی گراف میں شامل کرتی ہے۔ اس طرح ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب خود ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر دو گروپ قابل قدر ہیں، تو ایک ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دوسرا ہے۔ مثالیں ابتدائی ہائپربولک گروپ ہائپربولک گروپوں کی سب سے آسان مثالیں محدود گروپ ہیں (جن کے کیلی گراف محدود قطر کے ہوتے ہیں، اس لیے-ہائپربولک اس قطر کے برابر ہوتے ہیں)۔ ایک اور سادہ مثال لامحدود چکور گروہ کی طرف سے دی گئی ہے: پیدا کرنے والے سیٹ کے حوالے سے کیلی گراف ایک لکیر ہے، لہذا تمام مثلث لکیر کے حصے ہیں اور گراف-ہائپربولک ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی گروپ جو عملی طور پر چکور ہوتا ہے (جس میں محدود اشاریہ کی نقل ہوتی ہے) بھی ہائپربولک ہوتا ہے، مثال کے طور پر لامحدود ڈائیڈرل گروپ۔ گروپوں کے اس طبقے کے اراکین کو اکثر ابتدائی ہائپربولک گروپ کہا جاتا ہے (اصطلاحات کو ہائپربولک سطح پر ہونے والے اعمال سے ڈھال لیا جاتا ہے)۔ درختوں پر کام کرنے والے آزاد گروہ اور گروہ آئیے ایک محدود سیٹ بنیں اور سیٹ تیار کرنے کے ساتھ آزاد گروپ بنیں۔ پھر کے حوالے سے کیلی گراف ایک مقامی طور پر محدود درخت ہے اور اس لیے ایک 0 ہائپربولک اسپیس ہے۔ اس طرح یہ ایک ہائپربولک گروپ ہے۔ زیادہ عام طور پر ہم دیکھتے ہیں کہ کوئی بھی گروپ جو مقامی طور پر محدود درخت پر مناسب طریقے سے متضاد طور پر کام کرتا ہے (اس تناظر میں اس کا مطلب بالکل یہ ہے کہ عمودی حصوں میں اسٹیبلائزر محدود ہیں) ہائپربولک ہے۔ درحقیقت، یہ اس حقیقت کی پیروی کرتا ہے جس میں ایک غیر متغیر ذیلی درخت ہے جس پر یہ کمپیکٹ حصص کے ساتھ کام کرتا ہے، اور سوارک-ملنور لیما۔ اس طرح کے گروہ حقیقت میں عملی طور پر آزاد ہیں (یعنی۔ اس میں محدود انڈیکس کا ایک محدود طور پر تیار کردہ آزاد ذیلی گروپ ہوتا ہے)، جو ان کی ہائپربولکٹی کا ایک اور ثبوت دیتا ہے۔ ایک دلچسپ مثال ماڈیولر گروپ ہے: یہ ہائپربولک طیارہ کے متعلقہ ٹیسلیشن کے 1-کنکال کے ذریعہ دیئے گئے درخت پر کام کرتا ہے اور اس میں انڈیکس 6 کا ایک محدود انڈیکس فری ذیلی گروپ (دو جنریٹرز پر) ہوتا ہے (مثال کے طور پر میٹرکس کا سیٹ جس میں شناخت ماڈیولو 2 تک کم ہوتا ہے ایسا گروپ ہے)۔ اس مثال کی ایک دلچسپ خصوصیت کو نوٹ کریں: یہ ہائپربولک اسپیس (ہائپربولک طیارہ) پر مناسب طریقے سے غیر متزلزل طور پر کام کرتا ہے لیکن عمل کو کامپیکٹ نہیں ہے (اور درحقیقت ہائپربولک طیارہ کے لیے نیم آئسومیٹرک نہیں ہے)۔ فوچیائی گروہ ماڈیولر گروپ کی مثال کو عام کرتے ہوئے فوچیائی گروپ ایک ایسا گروپ ہے جو ہائپربولک سطح (مساوی طور پر، کا ایک مجرد ذیلی گروپ) پر مناسب طریقے سے متضاد عمل کو تسلیم کرتا ہے۔ ہائپربولک طیارہ ایک ہائپربولک جگہ ہے اور اس لیے سوارک ملنور لیما ہمیں بتاتا ہے کہ کوکمپکٹ فوچیان گروپ ہائپربولک ہیں۔ اس طرح کی مثالیں منفی اویلر خصوصیت کی بند سطحوں کے بنیادی گروہ ہیں۔ درحقیقت، ان سطحوں کو ہائپربولک طیارہ کے حصص کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ پوئن کیری-کوئبی یونیفارمائزیشن تھیوریم سے ظاہر ہوتا ہے۔ کوکمپیکٹ فوچیان گروپوں کی مثالوں کا ایک اور خاندان مثلث گروپوں کے ذریعہ دیا گیا ہے: تمام لیکن محدود طور پر بہت سے ہائپربولک ہیں۔ منفی منحنی خطوط بند سطحوں کی مثال کو عام کرتے ہوئے، سختی سے منفی سیکشنل منحنی خطوط کے ساتھ کمپیکٹ ریمینیئن مینیفولڈز کے بنیادی گروپ ہائپربولک ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، دستخط کی ایک شکل کے آرتھوگنل یا یونٹری گروپ میں کوکمپیکٹ لیٹیس ہائپربولک ہوتے ہیں۔ سی اے ٹی (کے) کی جگہ پر ہندسی عمل کو تسلیم کرنے والے گروپوں کے ذریعہ مزید عمومی شکل دی جاتی ہے۔ ایسی مثالیں موجود ہیں جو پچھلی تعمیرات میں سے کسی کے مطابق نہیں ہیں (مثال کے طور پر ہائپربولک عمارتوں پر ہندسی طور پر کام کرنے والے گروپ)۔ چھوٹے منسوخی والے گروپ جن کی پریزنٹیشنز ہوتی ہیں جو منسوخی کی چھوٹی شرائط کو پورا کرتی ہیں وہ ہائپربولک ہوتے ہیں۔ اس سے ایسی مثالوں کا ایک ذریعہ ملتا ہے جن کا جیومیٹرک ماخذ نہیں ہے جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے۔ درحقیقت ہائپربولک گروپوں کی ابتدائی ترقی کے محرکات میں سے ایک چھوٹی منسوخی کی زیادہ ہندسی تشریح دینا تھا۔ بے ترتیب گروپ کچھ معنوں میں، "زیادہ تر" محدود طور پر پیش کردہ بڑے تعریفی تعلقات والے گروپ ہائپربولک ہوتے ہیں۔ اس کے معنی کے مقداری بیان کے لیے بے ترتیب گروپ دیکھیں۔ غیر مثالیں کسی گروپ کی سب سے آسان مثال جو ہائپربولک نہیں ہے وہ فری رینک 2 ابیلین گروپ ہے۔ درحقیقت، یہ یوکلڈین سطح کے لیے نیم آئسومیٹرک ہے جسے آسانی سے ہائپربولک نہیں دیکھا جاتا ہے (مثال کے طور پر ہم جنس پرستی کے وجود کی وجہ سے)۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی گروپ جو ذیلی گروپ کے طور پر شامل ہوتا ہے ہائپربولک نہیں ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اعلی درجے کے نیم سادہ لائ گروپوں میں جالی اور غیر معمولی گرہ تکمیل کے بنیادی گروپ اس زمرے میں آتے ہیں اور اس وجہ سے ہائپربولک نہیں ہوتے ہیں۔ بند ہائپربولک سطحوں کے کلاس گروپوں کی نقشہ سازی کا بھی یہی معاملہ ہے۔ بومسلاگ-سولٹر گروپ B (m، n) اور کوئی بھی گروپ جس میں کچھ B (m، n) کے ذیلی گروپ آئسومورفک ہوتے ہیں، ہائپربولک ہونے میں ناکام رہتے ہیں (چونکہ B (1,1) =، یہ پچھلی مثال کو عام کرتا ہے)۔ رینک 1 سادہ لائ گروپ میں ایک غیر یکساں جالی ہائپربولک ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب گروپ آئزوجینس ہو (مساوی طور پر متعلقہ سمیٹرک اسپیس ہائپربولک طیارہ ہے)۔ اس کی ایک مثال ہائپربولک گرہ گروپوں کے ذریعے دی گئی ہے۔ مثال کے طور پر دوسرا بیاانچی گروہ ہے۔ الجبری خصوصیات ہائپربولک گروپس ٹیٹس متبادل کو مطمئن کرتے ہیں: وہ یا تو عملی طور پر حل کرنے کے قابل ہوتے ہیں (یہ امکان صرف ابتدائی ہائپربولک گروپس کے ذریعہ پورا ہوتا ہے) یا ان کے پاس غیر ایبلین فری گروپ کے لیے ذیلی گروپ آئسومورفک ہوتا ہے۔ غیر عنصر ہائپربولک گروپ بہت مضبوط معنوں میں سادہ نہیں ہیں: اگر غیر عنصر ہائپربولک ہے تو ایک لامحدود ذیلی گروپ موجود ہے اور دونوں لامحدود ہیں۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا کوئی ہائپربولک گروپ موجود ہے جو بقایا طور پر محدود نہیں ہے۔ ہندسی خصوصیات غیر عنصر (لامحدود اور عملی طور پر چکور نہیں) ہائپربولک گروپوں میں ہمیشہ تیز رفتار نمو کی شرح ہوتی ہے (یہ ٹیٹس متبادل کا نتیجہ ہے)۔ ہائپربولک گروپ لکیری آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ ہومیولوجیکل خصوصیات ہائپربولک گروپس کو ہمیشہ حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ درحقیقت کوئی بھی واضح طور پر ایک کمپلیکس (رپس کمپلیکس) کی تعمیر کر سکتا ہے جو معاہدہ کرنے کے قابل ہے اور جس پر گروپ ہندسی طور پر کام کرتا ہے لہذا یہ F ≤ قسم کا ہے۔ جب گروپ ٹورسن سے پاک ہوتا ہے تو عمل آزاد ہوتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ گروپ کی محدود ہم آہنگی کی جہت ہے۔ 2002 میں، I. Mineyev نے دکھایا کہ ہائپربولک گروپ بالکل وہی محدود طور پر تیار کردہ گروپ ہیں جن کے لیے باؤنڈڈ کوہمولوجی اور عام کوہمولوجی کے درمیان موازنہ کا نقشہ تمام ڈگریوں میں، یا مساوی طور پر، ڈگری 2 میں سرجیکٹو ہے۔ الگورتھمک خصوصیات ہائپربولک گروپوں میں قابل حل لفظ کا مسئلہ ہوتا ہے۔ وہ دو خودکار اور خودکار ہوتے ہیں۔ درحقیقت، وہ مضبوطی سے جیوڈیسی طور پر خودکار ہیں، یعنی گروپ پر ایک خودکار ڈھانچہ ہے، جہاں لفظ قبول کنندہ کے ذریعہ قبول کردہ زبان تمام جیوڈیسی الفاظ کا مجموعہ ہے۔ یہ 2010 میں دکھایا گیا تھا کہ ہائپربولک گروپوں میں فیصلہ کن نشان زد آئسومورفزم کا مسئلہ ہے۔ یہ قابل ذکر ہے کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ آئسومورفزم کا مسئلہ، مدار کے مسائل (خاص طور پر کنجوگیسی کا مسئلہ) اور وائٹ ہیڈ کا مسئلہ سبھی فیصلہ کن ہیں۔ کینن اور سوانسن نے دکھایا ہے کہ لامحدود پر 2 دائرے والے ہائپربولک گروپوں میں قدرتی ذیلی تقسیم کا اصول ہوتا ہے۔ اس کا تعلق کینن کے قیاس سے ہے۔ عمومی طور پر ہائپربولک گروپ نسبتا ہائپربولک گروپ ایک کلاس کو عام کرنے والے ہائپربولک گروپ ہیں۔ بہت موٹے طور پر ہائپربولک ذیلی گروپوں کے مجموعے سے متعلق ہے اگر یہ کسی مناسب ہائپربولک اسپیس پر مناسب طریقے سے متضاد عمل کو تسلیم کرتا ہے (ضروری نہیں کہ کوکمپکٹ) جو کہ باؤنڈری پر "اچھا" ہے اور اس طرح کہ باؤنڈری پر پوائنٹس کے اسٹیبلائزر ذیلی گروپ ہیں۔ یہ اس وقت دلچسپ ہوتا ہے جب دونوں اور آن کا عمل ابتدائی نہ ہو (خاص طور پر لامحدود ہوتا ہے: مثال کے طور پر ہر گروپ ایک ہی نقطہ پر اپنے عمل کے ذریعے خود سے نسبتا ہائپربولک ہوتا ہے!)۔ اس کلاس کی دلچسپ مثالوں میں خاص طور پر رینک 1 سیمی سمپل لائ گروپوں میں غیر یکساں جالی شامل ہیں، مثال کے طور پر محدود حجم کے غیر کمپیکٹ ہائپربولک کئی گنا کے بنیادی گروپ۔ غیر مثالیں اعلی درجے کے لائ گروپوں اور میپنگ کلاس گروپوں میں جالی ہیں۔ ایسیلینڈریکل ہائپربولک گروپ اس سے بھی زیادہ عام تصور ایک ایسیلینڈریکل ہائپربولک گروپ کا ہے۔ میٹرک اسپیس پر کسی گروپ کے عمل کی بے ترتیبی عمل کی مناسب تعطل کو کمزور کرنا ہے۔ کسی گروپ کو ایسائلینڈریکل ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر وہ گروموف ہائپربولک اسپیس (ضروری نہیں کہ مناسب ہو) پر غیر عنصر ایسائلینڈریکل ایکشن کو تسلیم کرتا ہے۔ اس تصور میں منحنی کمپلیکس پر ان کے اعمال کے ذریعے کلاس گروپوں کی نقشہ سازی شامل ہے۔ اعلی درجے کے لائ گروپوں میں جالیں ہیں (اب بھی!) ایسائلینڈریکل ہائپربولک نہیں۔ کیٹ (0) گروپ دوسری سمت میں کوئی بھی اوپر کی مثالوں میں منحنی خطوط کے بارے میں مفروضے کو کمزور کر سکتا ہے: کیٹ (0) گروپ ایک ایسا گروپ ہے جو کیٹ (0) جگہ پر ہندسی عمل کو تسلیم کرتا ہے۔ اس میں یوکلڈین کرسٹلگرافک گروپ اور اعلی درجے کے لائ گروپوں میں یکساں جالی شامل ہیں۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا کوئی ہائپربولک گروپ موجود ہے جو کیٹ (0) نہیں ہے۔ نوٹ حوالہ جات مزید پڑھنا جیومیٹرک گروپ تھیوری میٹرک جیومیٹری گروپوں کی خصوصیات الفاظ پر امتزاج ہائپربولک میٹرک اسپیس ہائپربولک جیومیٹری