Berezinian
ریاضی اور نظریاتی طبیعیات میں، بیریزینی یا سپر ڈیٹرمیننٹ سپر میٹرکس کے معاملے میں ڈیٹرمیننٹ کی عمومی شکل ہے۔ یہ نام فیلکس بیریزین کا ہے۔ بیریزینیئن ایک سپر منی فولڈ پر انضمام کے لیے مربوط تبدیلیوں پر غور کرتے وقت تعین کنندہ کے مترادف کردار ادا کرتا ہے۔ تعریف بیریزینیئن کا تعین منفرد طور پر دو وضاحتی خصوصیات سے ہوتا ہے: جہاں ایس ٹی آر (ایکس) ایکس کے سپر ٹریس کی نشاندہی کرتا ہے۔ کلاسیکی تعین کنندہ کے برعکس، بیریزینین کی تعریف صرف الٹا سپر میٹرکس کے لیے کی گئی ہے۔ غور کرنے کے لیے سب سے آسان کیس ایک فیلڈ K میں اندراجات کے ساتھ ایک سپر میٹرکس کا بیریزینیئن ہے۔ اس طرح کے سپر میٹرکس K پر ایک سپر ویکٹر اسپیس کی لکیری تبدیلیوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ایک خاص ایون سپر میٹرکس اس شکل کا ایک بلاک میٹرکس ہے۔ اس طرح کا میٹرکس الٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A اور D دونوں K پر الٹا میٹرکس ہوں۔ ایکس کا بیریزینیئن اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ منفی ایکسپونینٹ کی ترغیب کے لیے عجیب صورت میں متبادل فارمولا دیکھیں۔ زیادہ عام طور پر، ایک سپر کمیونیٹیٹو الجبرا R میں اندراجات کے ساتھ میٹرکس پر غور کریں۔ ایک ایون سپر میٹرکس اس شکل کا ہوتا ہے جہاں A اور D میں یکساں اندراجات ہوتے ہیں اور B اور C میں عجیب اندراجات ہوتے ہیں۔ اس طرح کا میٹرکس اس صورت میں اور صرف اس صورت میں الٹا ہو سکتا ہے جب A اور D دونوں کمیوٹیٹو رنگ R0 (R کا یکساں ذیلی الجبرا) میں الٹا ہوں۔ اس صورت میں بیریزینیئن کو یا اس کے مساوی طور پر دیا جاتا ہے۔ یہ فارمولے اچھی طرح سے بیان کیے گئے ہیں کیونکہ ہم صرف میٹرکس کے تعین کنندگان لے رہے ہیں جن کی اندراجات مواصلاتی رنگ R0 میں ہیں۔ میٹرکس کو A کی شور تکمیل کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ایک طاق میٹرکس X صرف اس صورت میں الٹا ہو سکتا ہے جب یکساں طول و عرض کی تعداد طاق طول و عرض کی تعداد کے برابر ہو۔ اس صورت میں، X کی الٹ پازیبلٹی JX کی الٹ پازیبلٹی کے برابر ہے، جہاں پھر X کے بیریزینیئن کو پراپرٹیز کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ بیریزینیئن ہمیشہ رنگ R0 میں ایک یونٹ ہوتا ہے۔ جہاں کے سپر ٹرانسپوز کی نشاندہی کرتا ہے۔ بیریزینی ماڈیول ایک آزاد ماڈیول M کے اینڈومورفزم کے تعین کنندہ کو M کی 1 جہتی سب سے زیادہ بیرونی طاقت پر محرک عمل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ سپرسیمیٹرک معاملے میں کوئی سب سے زیادہ بیرونی طاقت نہیں ہے، لیکن اب بھی بیریزینی کی اسی طرح کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ M R پر طول و عرض (p، q) کا ایک آزاد ماڈیول ہے۔ فرض کریں کہ A M کے دوہری M * کا (سپر) سمیٹرک الجبرا S * (M *) ہے۔ پھر M کا آٹومورفزم ایکسٹ ماڈیول (جس کا طول و عرض (1,0) اگر q یکساں ہے اور طول و عرض (0,1) اگر q عجیب ہے) پر بیریزینیئن کے ضرب کے طور پر کام کرتا ہے۔ بیریزین انضمام حوالہ جات سپر لکیری الجبرا ڈیٹرمینینٹس بھی دیکھیں۔