Free Boolean algebra
ریاضی میں، آزاد بولین الجبرا ایک بولین الجبرا ہے جس میں عناصر کا ایک ممتاز مجموعہ ہوتا ہے، جسے جنریٹر کہتے ہیں، جیسے کہ: بولین الجبرا کے ہر عنصر کو بولین آپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے جنریٹرز کے ایک محدود امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور جنریٹر اس معنی میں جتنا ممکن ہو آزاد ہیں کہ ان کے درمیان کوئی تعلق نہیں ہے (پھر بولین آپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے محدود تاثرات کے لحاظ سے) جو ہر بولین الجبرا میں برقرار نہیں رہتے ہیں چاہے عناصر کا انتخاب کیا جائے۔ ایک سادہ سی مثال آزاد بولین الجبرا کے جنریٹر آزاد تجاویز کی نمائندگی کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، "جان لمبا ہے" اور "مریم امیر ہے" کی تجاویز پر غور کریں۔ یہ چار ایٹموں کے ساتھ ایک بولین الجبرا پیدا کرتے ہیں، یعنی: جان لمبا ہے، اور مریم امیر ہے ؛ جان لمبا ہے، اور مریم امیر نہیں ہے ؛ جان لمبا نہیں ہے، اور مریم امیر ہے ؛ جان لمبا نہیں ہے، اور مریم امیر نہیں ہے۔ بولین الجبرا کے دیگر عناصر پھر ایٹموں کے منطقی اختلاط ہوتے ہیں، جیسے کہ "جان لمبا ہے اور مریم امیر نہیں ہے، یا جان لمبا نہیں ہے اور مریم امیر ہے"۔ اس کے علاوہ ایک اور عنصر ہے، FALSE، جسے خالی اختلاط سمجھا جا سکتا ہے ؛ یعنی کسی ایٹم کا اختلاط نہیں۔ اس مثال سے 16 عناصر کے ساتھ بولین الجبرا حاصل ہوتا ہے۔ عام طور پر، محدود n کے لیے، n جنریٹرز کے ساتھ آزاد بولین الجبرا میں 2n ایٹم ہوتے ہیں، اور اس لیے عناصر ہوتے ہیں۔ اگر لامحدود تعداد میں جنریٹر موجود ہیں، تو اسی طرح کی صورتحال موجود ہے سوائے اس کے کہ اب کوئی ایٹم موجود نہیں ہیں۔ بولین الجبرا کا ہر عنصر محدود طور پر بہت سی پیدا کرنے والی تجاویز کا مجموعہ ہے، ایسے دو عناصر کو یکساں سمجھا جاتا ہے اگر وہ منطقی طور پر مساوی ہوں۔ یہ دیکھنے کا ایک اور طریقہ کہ این-عنصر سیٹ پر آزاد بولین الجبرا میں عناصر کیوں ہوتے ہیں، یہ نوٹ کرنا ہے کہ ہر عنصر این بٹس سے ایک تک فنکشن ہے۔ اس طرح کے فنکشن کے لیے ممکنہ ان پٹ ہوتے ہیں اور فنکشن ہر ان پٹ کے لیے آؤٹ پٹ کے لیے 0 یا 1 کا انتخاب کرے گا، اس لیے ممکنہ فنکشن ہوتے ہیں۔ زمرہ-نظریاتی تعریف زمرہ نظریہ کی زبان میں، آزاد بولین الجبرا کی تعریف محض سیٹوں اور افعال کے زمرے، سیٹ، اور بولین الجبرا اور بولین الجبرا ہومومورفزم، بی اے کے زمرے کے درمیان ملحقہ کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ درحقیقت، یہ نقطہ نظر عالمگیر الجبرا کے فریم ورک میں قابل تعریف کسی بھی الجبرائی ڈھانچے کو عام بناتا ہے۔ اوپر، ہم نے کہا کہ ایک آزاد بولین الجبرا ایک بولین الجبرا ہے جس میں جنریٹرز کا ایک مجموعہ ہوتا ہے جو ایک خاص طریقے سے برتاؤ کرتا ہے ؛ متبادل طور پر، کوئی ایک سیٹ سے شروع کر سکتا ہے اور پوچھ سکتا ہے کہ یہ کون سا الجبرا تیار کرتا ہے۔ ہر سیٹ X ایک آزاد بولین الجبرا FX پیدا کرتا ہے جس کی وضاحت الجبرا کے طور پر کی گئی ہے کہ ہر الجبرا B اور فنکشن f: X → B کے لیے ایک منفرد بولین الجبرا ہومومورفزم f′: FX → B ہے جو f کو پھیلاتا ہے۔ خاکہ کے لحاظ سے، جہاں iX شمولیت ہے، اور ڈیشڈ تیر انفرادیت کی نشاندہی کرتا ہے۔ خیال یہ ہے کہ ایک بار جب کوئی انتخاب کرتا ہے کہ X کے عناصر کو کہاں بھیجنا ہے، تو بولین الجبرا ہومومورفزم کے قوانین اس بات کا تعین کرتے ہیں کہ فری الجبرا FX میں باقی سب کچھ کہاں بھیجنا ہے۔ اگر FX میں ایسے عناصر ہوتے جو X کے عناصر کے امتزاج کے طور پر ناقابل بیان ہوتے، تو f′ منفرد نہیں ہوتا، اور اگر X کے عناصر کافی حد تک آزاد نہیں ہوتے، تو f′ کی اچھی طرح سے وضاحت نہیں کی جاتی! یہ آسانی سے دکھایا جاتا ہے کہ ایف ایکس منفرد ہے (آئسومورفزم تک)، لہذا یہ تعریف سمجھ میں آتی ہے۔ یہ بھی آسانی سے دکھایا جاتا ہے کہ سیٹ X پیدا کرنے والا ایک آزاد بولین الجبرا، جیسا کہ اصل میں بیان کیا گیا ہے، FX کے لیے آئسومورفک ہے، اس لیے دونوں تعریفیں متفق ہیں۔ مندرجہ بالا تعریف کی ایک خامی یہ ہے کہ خاکہ اس بات پر قبضہ نہیں کرتا ہے کہ f′ ایک ہومومورفزم ہے ؛ چونکہ یہ سیٹ میں ایک خاکہ ہے ہر تیر محض ایک فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے۔ ہم اسے دو خاکے میں تقسیم کر کے ٹھیک کر سکتے ہیں، ایک بی اے میں اور ایک سیٹ میں۔ ان دونوں کو جوڑنے کے لیے، ہم ایک فنکٹر U: BA → سیٹ متعارف کراتے ہیں جو الجبرائی ڈھانچے کو "بھول جاتا ہے"، الجبراس اور ہومومورفزم کو ان کے بنیادی سیٹوں اور افعال سے جوڑتا ہے۔ اگر ہم بی اے میں اوپری تیر کو خاکہ کے طور پر اور نیچے کے مثلث کو سیٹ میں خاکہ کے طور پر تشریح کرتے ہیں، تو یہ خاکہ صحیح طریقے سے ظاہر کرتا ہے کہ ہر فنکشن f: X → UB ایک منفرد بولین الجبرا ہومومورفزم f′: FX → B تک پھیلا ہوا ہے۔ فنکٹر U کو ہومومورفزم f′ کو سیٹ میں واپس کھینچنے کے لیے ایک آلہ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے تاکہ اس کا تعلق f سے ہو۔ اس کا قابل ذکر پہلو یہ ہے کہ مؤخر الذکر خاکہ مختلف (مساوی) تعریفوں میں سے ایک ہے جب دو فنکٹر ملحقہ ہوتے ہیں۔ ہمارا F آسانی سے ایک فنکٹر سیٹ → BA تک پھیلا ہوا ہے، اور ایک آزاد بولین الجبرا FX پیدا کرنے والے X کی ہماری تعریف قطعی طور پر یہ ہے کہ U کا بائیں طرف ملحقہ F ہے۔ ٹوپوولوجیکل احساس κ جنریٹرز کے ساتھ آزاد بولین الجبرا، جہاں κ ایک محدود یا لامحدود کارڈینل نمبر ہے، کو {0,1} κ کے تمام کلوپین سبسیٹوں کے مجموعے کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے، پروڈکٹ ٹوپولوجی کو دیکھتے ہوئے یہ فرض کرتے ہوئے کہ {0,1} میں مجرد ٹوپولوجی ہے۔ ہر α <κ کے لیے، αth جنریٹر {0,1} κ کے تمام عناصر کا مجموعہ ہے جس کا αth کوآرڈینیٹ 1 ہے۔ خاص طور پر، جنریٹرز کے ساتھ آزاد بولین الجبرا کینٹر اسپیس کے تمام کلوپین ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ہے، جسے بعض اوقات کینٹر الجبرا کہا جاتا ہے۔ یہ مجموعہ قابل شمار ہے۔ در حقیقت، جب کہ n جنریٹرز کے ساتھ آزاد بولین الجبرا، n محدود، کارڈینالیٹی رکھتا ہے، جنریٹرز کے ساتھ آزاد بولین الجبرا، جیسا کہ جنریٹرز کے ساتھ کسی بھی آزاد الجبرا کے لیے اور گنتی سے بہت سے فائنٹری آپریشنز کے لیے، کارڈینالیٹی رکھتا ہے۔ آزاد بولین الجبرا کے اس ٹپوولوجیکل نقطہ نظر کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، بولین الجبرا کے لیے اسٹون کی نمائندگی کا نظریہ دیکھیں۔ بولین الجبرا (ساخت) جنریٹنگ سیٹ حوالہ جات اسٹیو آوڈی (2006) زمرہ تھیوری (آکسفورڈ لاجک گائیڈز 49) بھی دیکھیں۔ آکسفورڈ یونیورسٹی پریس۔ پال ہالموس اور سٹیون گیوانٹ (1998) منطق بطور الجبرا۔ ریاضیاتی ایسوسی ایشن آف امریکہ۔ سانڈرز میک لین (1998) زمرہ جات برائے ورکنگ ریاضی دان۔ دوسرا ایڈیشن۔ (ریاضی میں گریجویٹ ٹیکسٹ 5)۔ سپرنگر-ورلاگ۔ سانڈرز میک لین (1999) الجبرا، 3d۔ ایڈ۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ ۔ رابرٹ آر اسٹول، 1963۔ سیٹ تھیوری اینڈ لاجک، chpt. 6. 7. ڈوور ری پرنٹ 1979۔ بولین الجبرا آزاد الجبرائی ڈھانچے