Brauer's theorem on induced characters
انڈیوسڈ حروف پر براؤر کا تھیوریم، جسے اکثر براؤر کا انڈکشن تھیوریم کہا جاتا ہے، اور جس کا نام رچرڈ براؤر کے نام پر رکھا گیا ہے، ریاضی کی شاخ میں ایک بنیادی نتیجہ ہے جسے کریکٹر تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، جو ایک محدود گروپ کے نمائندگی کے نظریہ کے اندر ہے۔ پس منظر براؤر کے انڈکشن تھیوریم کا پیش خیمہ آرٹن کا انڈکشن تھیوریم تھا، جس میں کہا گیا ہے کہ |G | گنا G کے معمولی کردار حروف کا ایک انٹیجر مجموعہ ہے جو ہر ایک G کے چکور ذیلی گروپوں کے معمولی حروف سے متاثر ہوتا ہے۔ براؤر کا تھیوریم عنصر |G | کو ہٹا دیتا ہے، لیکن استعمال شدہ ذیلی گروپوں کے مجموعے کو بڑھانے کی قیمت پر۔ براؤر کے نظریہ کے ثبوت کے کچھ سال بعد، جے اے۔ گرین نے (1955 میں) دکھایا کہ اس طرح کا کوئی انڈکشن تھیوریم (لکیری حروف سے متاثر حروف کے انٹیجر امتزاج کے ساتھ) براؤر ایلیمنٹری ذیلی گروپوں سے چھوٹے ذیلی گروپوں کے مجموعے سے ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ آرٹن کے انڈکشن تھیوریم اور براؤر کے انڈکشن تھیوریم کے درمیان ایک اور نتیجہ، جو براؤر کی وجہ سے بھی ہے اور جسے براؤر کے تھیوریم یا براؤر کے لیما کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، یہ حقیقت ہے کہ G کی باقاعدہ نمائندگی اس طرح لکھی جا سکتی ہے جہاں مثبت عقلی ہوتے ہیں اور G کے چکور ذیلی گروپوں کے حروف سے متاثر ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ آرٹن کے تھیوریم میں حروف چکور گروپ کے معمولی کردار سے متاثر ہوتے ہیں، جبکہ یہاں وہ من مانی حروف سے متاثر ہوتے ہیں (آرٹن کے L افعال کی ایپلی کیشنز میں یہ ضروری ہے کہ گروپ چکور ہوتے ہیں اور اس لیے تمام حروف لکیری ہوتے ہیں جس سے متعلقہ L افعال تجزیاتی ہوتے ہیں)۔ بیان G کو ایک محدود گروپ ہونے دیں اور چار (G) کو G کے پیچیدہ قدر والے کلاس افعال کی رنگ کے ذیلی رنگ کی نشاندہی کرنے دیں جو ناقابل تلافی حروف کے انٹیجر امتزاج پر مشتمل ہے۔ چار (جی) کو جی کے کردار کی انگوٹی کے طور پر جانا جاتا ہے، اور اس کے عناصر کو ورچوئل حروف (متبادل طور پر، عمومی حروف، یا بعض اوقات مختلف حروف) کے طور پر جانا جاتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی وجہ سے ایک رنگ ہے کہ G کے حروف کا پروڈکٹ دوبارہ G کا ایک کردار ہے۔ اس کا ضرب کلاس افعال کے عنصر کے لحاظ سے پروڈکٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ براؤر کے انڈکشن تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ کردار کی انگوٹی (ایک ابیلین گروپ کے طور پر) شکل کے محرک حروف کے ذریعے پیدا کی جا سکتی ہے، جہاں H، G کے ذیلی گروپوں پر مشتمل ہوتا ہے اور λ، H کے لکیری حروف (ڈگری 1 والے) پر مشتمل ہوتا ہے۔ در حقیقت، براؤر نے دکھایا کہ ذیلی گروپ H کو ایک بہت ہی محدود مجموعہ سے منتخب کیا جا سکتا ہے، جسے اب براؤر ایلیمنٹری ذیلی گروپ کہا جاتا ہے۔ یہ چکور گروہوں اور گروہوں کی براہ راست مصنوعات ہیں جن کی ترتیب ایک پرائم کی طاقت ہے۔ ثبوت براؤر کے انڈکشن تھیوریم کا ثبوت چار (جی) کے رنگ ڈھانچے کا استحصال کرتا ہے (زیادہ تر ثبوت قدرے بڑے رنگ، چار * (جی) کا بھی استعمال کرتے ہیں، جو ناقابل تلافی حروف کے-امتزاج پر مشتمل ہوتا ہے، جہاں ω ایک قدیم کمپلیکس ہے۔ براؤر ابتدائی ذیلی گروپوں کے لکیری حروف سے متاثر حروف کے انٹیجر امتزاج کا مجموعہ چار (جی) کا ایک مثالی I (G) ہے، لہذا ثبوت یہ ظاہر کرنے کے لیے کم ہو جاتا ہے کہ معمولی کردار I (G) میں ہے۔ تھیوریم کے کئی ثبوت، براؤر اور جان ٹیٹ کی وجہ سے ہونے والے ثبوت سے شروع ہوتے ہیں، یہ ظاہر کرتے ہیں کہ معمولی کردار چار * (G) کے یکساں طور پر بیان کردہ آئیڈیل I * (G) میں ہے، ایک وقت میں ایک پرائم p پر توجہ مرکوز کرتے ہوئے، اور I * (G) کے انٹیجر ویلیو والے عناصر کی تعمیر کرتے ہوئے جو معمولی کردار سے (عنصر کے لحاظ سے) p کی کافی زیادہ طاقت (انٹیجر ملٹیپلز) سے مختلف ہوتے ہیں۔ ایک بار جب یہ |G | کے ہر پرائم ڈیوائزر کے لیے حاصل ہو جاتا ہے، تو ہم آہنگی اور الجبرائی انٹیجرز کے ساتھ کچھ ہیرا پھیری، اس حقیقت کا دوبارہ استحصال کرتے ہوئے کہ I * (G) Ch * (G) کا ایک آئیڈیل ہے، معمولی کردار کو I (G) میں رکھیں۔ یہاں ایک معاون نتیجہ یہ ہے کہ ایک-ویلیوڈ کلاس فنکشن آئیڈیل I * (G) میں مضمر ہے اگر اس کی تمام اقدار |G | سے قابل تقسیم (in) ہوں۔ براؤر کا انڈکشن تھیوریم 1946 میں ثابت ہوا، اور اب بہت سے متبادل ثبوت موجود ہیں۔ 1986 میں، وکٹر سنیتھ نے یکسر مختلف نقطہ نظر، ٹپوولوجیکل نوعیت (لیفشیٹز فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کا اطلاق) کے ذریعے ثبوت دیا۔ براؤر کے نظریہ کی قدرتی اور واضح شکلوں کو تلاش کرنے کے سوال پر متعلقہ حالیہ کام کیا گیا ہے، خاص طور پر رابرٹ بولٹجے کے ذریعہ۔ فروبینیوس باہمی تعاون کا استعمال کرتے ہوئے ایپلی کیشنز، براؤر کا انڈکشن تھیوریم آسانی سے حروف کی اس کی بنیادی خصوصیت کی طرف لے جاتا ہے، جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ G کا ایک پیچیدہ قدر والا کلاس فنکشن ایک مجازی کردار ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کے ہر براؤر ابتدائی ذیلی گروپ پر اس کی پابندی ایک مجازی کردار ہو۔ یہ نتیجہ، اس حقیقت کے ساتھ کہ ایک ورچوئل کردار θ ایک ناقابل کٹوتی کردار ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب θ (1)> 0 اور (جہاں پیچیدہ قدر والے کلاس افعال کی رنگ پر معمول کا اندرونی پروڈکٹ ہے) واضح طور پر متعلقہ نمائندگی کی تعمیر کے بغیر ناقابل کٹوتی حروف کی تعمیر کا ایک ذریعہ فراہم کرتا ہے۔ براؤر کے انڈکشن تھیوریم کا ابتدائی محرک آرٹن ایل فنکشنز پر اطلاق تھا۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ وہ ڈیرچلیٹ ایل فنکشنز، یا زیادہ عام ہیک ایل فنکشنز سے بنائے گئے ہیں۔ اس ایپلی کیشن کے لیے انتہائی اہم یہ ہے کہ آیا G کا ہر حرف ذیلی گروپوں کے لکیری حروف سے متاثر حروف کا غیر منفی عدد مجموعہ ہے۔ عام طور پر ایسا نہیں ہے۔ در حقیقت، تاکیٹا کے نظریہ کے مطابق، اگر G کے تمام حروف اتنے ہی قابل اظہار ہیں، تو G کو ایک قابل حل گروپ ہونا چاہیے (حالانکہ صرف حل پذیری اس طرح کے تاثرات کی ضمانت نہیں دیتی ہے-مثال کے طور پر، قابل حل گروپ SL (2,3) میں ڈگری 2 کا ناقابل تلافی پیچیدہ کردار ہوتا ہے جو ذیلی گروپوں کے لکیری حروف سے پیدا ہونے والے حروف کے غیر منفی عدد مجموعہ کے طور پر قابل اظہار نہیں ہے)۔ براؤر کے انڈکشن تھیوریم کے ثبوت کا ایک جزو یہ ہے کہ جب G ایک محدود نیلپوٹینٹ گروپ ہوتا ہے، تو G کا ہر پیچیدہ ناقابل تلافی کردار کسی ذیلی گروپ کے لکیری کردار سے متاثر ہوتا ہے۔ حوالہ جات 1976 کے اصل کا درست ری پرنٹ، جو اکیڈمک پریس نے شائع کیا تھا۔ مزید پڑھنا نوٹوں کا محدود گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ نمائندگی کے نظریہ میں نظریات