Riemann–Roch theorem for smooth manifolds
ریاضی میں، ہموار کئی گنا کے لیے ریمن-راک تھیوریم نتائج کا ایک ورژن ہے جیسے کہ ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم یا گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم (جی آر آر) بغیر کسی مفروضے کے جس میں شامل ہموار کئی گنا ایک پیچیدہ ڈھانچہ رکھتے ہیں۔ اس قسم کے نتائج مائیکل اتیا اور فریڈرک ہرزبروچ نے 1959 میں حاصل کیے تھے، جس سے ضروریات کو گھماؤ ڈھانچے کی طرح کم کر دیا گیا تھا۔ تشکیل X اور Y کو ہموار بند کئی گنا پر مبنی ہونے دیں، اور f: X → Y ایک مسلسل نقشہ ہے۔ K-گروپ K (X) میں vf = f * (TY) − TX لیں۔ اگر ڈم (X) ष्णم (Y) موڈ 2 ہے، تو جہاں ch چرن کردار ہے، d (vf) مربوط ہم آہنگی گروپ H2 (Y، Z) کا ایک عنصر ہے جو d (vf) ष्णم f * w2 (TY)-w2 (TX) موڈ 2 کو مطمئن کرتا ہے، fK * K-تھیوری کے لیے گیسن ہومومورفزم، اور fH * ہم آہنگی کے لیے گیسن ہومومورفزم۔ یہ نظریہ سب سے پہلے عطیہ اور ہرزبروچ نے ثابت کیا تھا۔ یہ نظریہ کئی خاص معاملات پر غور کرکے ثابت ہوتا ہے۔ اگر Y ایکس پر ویکٹر بنڈل V کی تھام جگہ ہے، تو گیسن نقشے صرف تھام آئسومورفزم ہیں۔ پھر، تقسیم کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے، لائن بنڈلوں کے لیے واضح حساب کے ذریعے تھیوریم کی جانچ کرنا کافی ہے۔ اگر f: X → Y ایک سرایت ہے، تو Y میں X کے عام بنڈل کی تھام جگہ کو Y میں X کے نلکے والے پڑوس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، اور اخراج ایک نقشہ دیتا ہے اور۔ کے تھیوری/کوہمولوجی کے لیے گیسن نقشے کی تعریف ان نقشوں کے ساتھ تھام آئسومورفزم کی ساخت کے طور پر کی گئی ہے۔ چونکہ تھیوریم X سے N کے تھام اسپیس تک کے نقشے کے لیے ہے، اور چونکہ چرن کردار u اور v کے ساتھ منتقل ہوتا ہے، اس لیے یہ تھیوریم سرایت کے لیے بھی درست ہے۔ f: X → Y۔ آخر میں، ہم ایک عام نقشہ f: X → Y کو ایمبیڈنگ اور پروجیکشن میں عنصر بنا سکتے ہیں۔ تھیوریم ایمبیڈنگ کے لیے درست ہے۔ پروجیکشن کے لیے گیسن کا نقشہ باٹ پیریڈیوڈسیٹی آئسومورفزم ہے، جو چرن کردار کے ساتھ بدلتا ہے، اس لیے تھیوریم اس عمومی معاملے میں بھی برقرار ہے۔ کورلریز عطیہ اور ہرزبروچ نے پھر X = a پوائنٹ کے معاملے میں مہارت حاصل کی اور اسے بہتر بنایا، جہاں حالت Y پر ایک گھماؤ ڈھانچے کا وجود بن جاتی ہے۔ کورلریز پونٹریگین کلاسز اور J-ہومومورفزم پر ہیں۔ متفرق جیومیٹری الجبرائی سطحوں میں نظریات کو نوٹ کرتا ہے برنہارڈ ریمن