Atom (measure theory)
ریاضی میں، زیادہ واضح طور پر پیمائش کے نظریہ میں، ایٹم ایک قابل پیمائش مجموعہ ہے جس کی مثبت پیمائش ہوتی ہے اور اس میں چھوٹی مثبت پیمائش کا کوئی مجموعہ نہیں ہوتا ہے۔ ایک پیمائش جس میں کوئی ایٹم نہ ہو اسے غیر جوہری یا غیر جوہری کہا جاتا ہے۔ تعریف ایک قابل پیمائش جگہ اور اس جگہ پر ایک پیمائش کو دیکھتے ہوئے، ایک سیٹ کو ایٹم کہا جاتا ہے اگر اور سیٹ کے ساتھ کسی قابل پیمائش ذیلی سیٹ کی پیمائش صفر ہو، یعنی۔ ۔ اگر ایٹم ہے، تو-مساوات کلاس کے تمام ذیلی سیٹ ایٹم ہیں، اور اسے ایٹم کلاس کہا جاتا ہے۔ اگر ایک-لامحدود پیمائش ہے، تو شمار کے لحاظ سے بہت سی جوہری کلاسیں ہیں۔ مثالیں سیٹ X = {1,2,., 9,10} پر غور کریں اور سگما الجبرا کو X کا پاور سیٹ ہونے دیں۔ کسی سیٹ کی پیمائش کو اس کی بنیادی حیثیت، یعنی سیٹ میں موجود عناصر کی تعداد کے طور پر بیان کریں۔ پھر، ہر ایک سنگلٹن {i}، i = 1، 2،.، 9، 10 کے لیے ایک ایٹم ہے۔ حقیقی لکیر پر لیبسگ کی پیمائش پر غور کریں۔ اس پیمائش میں کوئی ایٹم نہیں ہے۔ جوہری پیمائش کسی قابل پیمائش جگہ پر ایک-لامحدود پیمائش کو جوہری یا خالص جوہری کہا جاتا ہے اگر مثبت پیمائش کے ہر قابل پیمائش سیٹ میں ایٹم موجود ہو۔ یہ کہنے کے مترادف ہے کہ ایٹموں کے ذریعہ تشکیل پانے والی گنتی کے قابل تقسیم ایک کالعدم سیٹ تک ہے۔ - فائنٹیوڈ کا مفروضہ ضروری ہے۔ بصورت دیگر اس جگہ پر غور کریں جہاں گنتی کی پیمائش کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ خلا جوہری ہے، جس میں تمام ایٹم سنگلٹن ہوتے ہیں، پھر بھی خلا کو شمار کے لحاظ سے بہت سے جداگانہ ایٹموں کے جداگانہ اتحاد میں تقسیم نہیں کیا جا سکتا، اور ایک کالعدم سیٹ کیونکہ سنگلٹنوں کا قابل گنتی اتحاد ایک قابل گنتی سیٹ ہے، اور حقیقی اعداد کی بے شماریت سے پتہ چلتا ہے کہ تکمیل کو بے شمار ہونا پڑے گا، لہذا اس کی پیمائش لامحدود ہوگی، اس کے برعکس کہ یہ کالعدم سیٹ ہے۔ - لامحدود خالی جگہوں کے لیے نتیجہ کی توثیق محدود پیمائش خالی جگہوں کے ثبوت سے یہ مشاہدہ کرتے ہوئے ہوتی ہے کہ قابل گنتی اتحاد دوبارہ ایک قابل گنتی اتحاد ہے، اور یہ کہ صفر سیٹوں کے قابل گنتی اتحاد کالعدم ہیں۔ مجرد اقدامات A-لامحدود جوہری پیمائش کو مجرد کہا جاتا ہے اگر کسی بھی جوہری طبقے کے ایٹموں کا چوراہا خالی نہ ہو۔ یہ کہنے کے مساوی ہے کہ یہ گنتی کے لحاظ سے بہت سے ڈیراک اقدامات کا وزنی مجموعہ ہے، یعنی، پوائنٹس کا ایک سلسلہ ہے، اور مثبت حقیقی اعداد (وزن) کا ایک سلسلہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر ایک کے لیے۔ ہم-th ایٹم کلاس میں ایٹموں کا مشترکہ نقطہ بننے کے لیے ہر نقطہ کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ ایک مجرد پیمائش جوہری ہوتی ہے لیکن الٹا اثر ناکام ہوجاتا ہے: قابل گنتی ذیلی سیٹوں کا-الجبرا، قابل گنتی ذیلی سیٹوں میں اور قابل گنتی ذیلی سیٹوں میں لیں۔ پھر ایک واحد ایٹم کلاس ہے، جو شریک قابل گنتی ذیلی سیٹوں سے تشکیل پائی ہے۔ پیمائش جوہری ہے لیکن منفرد جوہری کلاس میں ایٹموں کا چوراہا خالی ہے اور اسے ڈیراک پیمائش کے مجموعے کے طور پر نہیں رکھا جا سکتا۔ اگر ہر ایٹم ایک سنگلٹن کے برابر ہے، تو اگر یہ جوہری ہے تو مجرد ہے۔ اس صورت میں مذکورہ بالا ایٹم سنگلٹن ہیں، اس لیے وہ منفرد ہیں۔ بوریل سیٹوں کے ساتھ فراہم کردہ علیحدہ میٹرک کی جگہ میں کوئی بھی محدود پیمائش اس شرط کو پورا کرتی ہے۔ غیر جوہری پیمائش ایک پیمائش جس میں کوئی ایٹم نہ ہو اسے یا a کہا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک پیمائش غیر جوہری ہوتی ہے اگر کسی قابل پیمائش سیٹ کے لیے اس کا ایک قابل پیمائش ذیلی سیٹ موجود ہو جس میں کم از کم ایک مثبت قدر کے ساتھ ایک غیر جوہری پیمائش میں لامحدود تعداد میں الگ الگ اقدار ہوتی ہیں، جیسا کہ ایک سیٹ سے شروع ہونے والے پیمائش کے قابل سیٹوں کی گھٹتی ہوئی ترتیب کی تعمیر کر سکتے ہیں جیسے کہ یہ ایٹموں والے اقدامات کے لیے درست نہیں ہو سکتا۔ اوپر کی پہلی مثال دیکھیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ غیر جوہری اقدامات میں دراصل اقدار کا تسلسل ہوتا ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر یہ ایک غیر جوہری پیمائش ہے اور اس کے ساتھ ایک قابل پیمائش سیٹ ہے تو کسی بھی حقیقی نمبر کو مطمئن کرنے کے لیے اس کا ایک قابل پیمائش ذیلی سیٹ موجود ہے کہ یہ تھیوریم واکلاو سیرپینسکی کی وجہ سے ہے۔ یہ مسلسل افعال کے لیے انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیوریم کی یاد دلاتا ہے۔ غیر جوہری اقدامات پر سیرپینسکی کے نظریہ کے ثبوت کا خاکہ۔ ایک قدرے مضبوط بیان، جو تاہم ثبوت کو آسان بناتا ہے، یہ ہے کہ اگر ایک غیر جوہری پیمائش کی جگہ ہے اور اس میں ایک فنکشن موجود ہے جو شمولیت کے حوالے سے مونوٹون ہے، اور اس کے دائیں الٹا ہے، تو پیمائش کے قابل سیٹوں کا ایک پیرامیٹر خاندان موجود ہے جیسے کہ سب کے لیے ثبوت آسانی سے زورن کے لیما سے پیروی کرتا ہے جو تمام مونوٹون جزوی حصوں کے سیٹ پر لاگو ہوتا ہے: گراف کو شامل کرکے ترتیب دیا جاتا ہے، اس کے بعد یہ ظاہر کرنا معیاری ہوتا ہے کہ ہر زنجیر میں ایک اوپری حد ہوتی ہے اور یہ کہ کسی بھی زیادہ سے زیادہ عنصر کا ڈومین دعوی ثابت کرتا ہے۔ ایٹم (آرڈر تھیوری) بھی دیکھیں-آرڈر تھیوری ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ایلیمنٹری ایونٹ میں ایک مماثل تصور، جسے ایٹم ایونٹ بھی کہا جاتا ہے۔