Binary icosahedral group
ریاضی میں، بائنری آئکوساہیڈرل گروپ 2I یا آرڈر 120 کا ایک خاص نانبیلین گروپ ہے۔ یہ ترتیب 2 کے چکور گروپ کے ذریعہ ترتیب 60 کے آئکوساہیڈرل گروپ I یا (2,3,5) کی توسیع ہے، اور 2:1 کے تحت آئکوساہیڈرل گروپ کی ابتدائی تصویر ہے جو اسپن گروپ کے ذریعہ خصوصی آرتھوگنل گروپ کے ہومومورفزم کا احاطہ کرتی ہے۔ اس کے بعد بائنری آئکوساہیڈرل گروپ 120 کی ترتیب کے اسپن (3) کا ایک مجرد ذیلی گروپ ہے۔ اسے مکمل آئکوساہیڈرل گروپ کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جو کہ آرڈر 120 کا ایک مختلف گروپ ہے، اور اس کے بجائے آرتھوگنل گروپ O (3) کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کو آئسومورفزم کے تحت یونٹ کواٹرنیئنز کے ایک مجرد ذیلی گروپ کے طور پر سب سے زیادہ آسانی سے بیان کیا جاتا ہے، جہاں ایس پی (1) یونٹ کواٹرنیئنز کا ضرب گروپ ہے۔ (اس ہومومورفزم کی وضاحت کے لیے کواٹرنیئنز اور مقامی گردشوں پر مضمون دیکھیں۔) عناصر واضح طور پر، بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کو مندرجہ ذیل ویکٹروں کے تمام یکساں تغیرات کے اتحاد کے طور پر دیا گیا ہے: 16 کے 8 یکساں تغیرات 96 کے یکساں تغیرات کے یہاں سنہری تناسب ہے۔ مجموعی طور پر 120 عناصر ہیں، یعنی اکائی آئکوسین۔ ان سب کی اکائی شدت ہوتی ہے اور اس لیے وہ اکائی کواٹرنیئن گروپ ایس پی (1) میں ہوتے ہیں۔ 4 جہتی خلا میں 120 عناصر 120 عمودی 600 خلیے سے میل کھاتے ہیں، جو ایک باقاعدہ 4 پولیٹوپ ہے۔ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ، جسے 2I سے ظاہر کیا جاتا ہے، آئکوساہیڈرل گروپ کی عالمگیر کامل مرکزی توسیع ہے، اور اس طرح یہ نیم آسان ہے: یہ ایک سادہ گروپ کی کامل مرکزی توسیع ہے۔ واضح طور پر، یہ مختصر عین مطابق ترتیب میں فٹ بیٹھتا ہے۔ یہ ترتیب تقسیم نہیں ہوتی، جس کا مطلب ہے کہ 2I {±1} بائی I کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ نہیں ہے۔ در حقیقت، I کے لیے 2I آئسومورفک کا کوئی ذیلی گروہ نہیں ہے۔ 2I کا مرکز ذیلی گروہ {±1} ہے، تاکہ اندرونی آٹومورفزم گروپ I کے لیے آئسومورفک ہو۔ مکمل آٹومورفزم گروپ S5 (5 حروف پر سمیٹرک گروپ) کے لیے آئسومورفک ہے، جس طرح-2I کی کوئی بھی آٹومورفزم مرکز () کے غیر معمولی عنصر کو درست کرتی ہے، اس لیے I کی آٹومورفزم کی طرف اترتی ہے، اور اس کے برعکس، I کی کوئی بھی آٹومورفزم 2I کی آٹومورفزم کی طرف اٹھتی ہے، کیونکہ I کے جنریٹرز کی لفٹ 2I کے جنریٹر ہیں (مختلف لفٹیں ایک ہی آٹومورفزم دیتی ہیں)۔ سپر پرفیکٹ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کامل ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ اپنے کمیونیٹر ذیلی گروپ کے برابر ہے۔ در حقیقت، 2I آرڈر 120 کا منفرد کامل گروپ ہے۔ اس کے بعد 2I قابل حل نہیں ہے۔ مزید برآں، بائنری آئکوساہیڈرل گروپ سپر پرفیکٹ ہے، جس کا مطلب خلاصہ یہ ہے کہ اس کے پہلے دو گروپ ہومیولوجی گروپ غائب ہو جاتے ہیں: خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کی ابیلینائزیشن معمولی ہے (اس میں کوئی غیر معمولی ابیلین کوٹینٹ نہیں ہے) اور یہ کہ اس کا شور ضرب معمولی ہے (اس میں کوئی غیر معمولی کامل مرکزی توسیع نہیں ہے)۔ در حقیقت، بائنری آئکوساہیڈرل گروپ سب سے چھوٹا (غیر معمولی) سپر پرفیکٹ گروپ ہے۔ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ ایسیکلک نہیں ہے، تاہم، کیونکہ Hn (2I، Z) n = 4k + 3 کے لیے ترتیب 120 کا سائیکلک ہے، اور بصورت دیگر n> 0 کے لیے معمولی ہے۔ آئسومورفزم خاص طور پر بائنری آئکوساہیڈرل گروپ اسپن (3) کا ایک ذیلی گروپ ہے، اور آئکوساہیڈرل گروپ کا احاطہ کرتا ہے، جو کہ ایس او (3) کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ مختصرا، آئکوساہیڈرل گروپ 4-سمپلیکس کی ہم آہنگی کے لیے آئسومورفک ہے، جو کہ ایس او (4) کا ذیلی گروپ ہے، اور بائنری آئکوساہیڈرل گروپ اسپن (4) میں اس کے ڈبل کور کے لیے آئسومورفک ہے۔ نوٹ کریں کہ سمیٹرک گروپ میں 4 جہتی نمائندگی ہوتی ہے (اس کی معمول کی سب سے کم جہتی ناقابل تلافی نمائندگی-سمپلیکس کی مکمل ہم آہنگی کے طور پر)، اور یہ کہ 4 سمپلیکس کی مکمل ہم آہنگی اس طرح مکمل آئکوساہیڈرل گروپ نہیں ہیں (یہ ترتیب 120 کے دو مختلف گروپ ہیں)۔ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کو متبادل گروپ کا ڈبل کور سمجھا جا سکتا ہے جس کی نشاندہی کی جاتی ہے کہ یہ آئسومورفزم متبادل گروپ کے ساتھ آئکوساہیڈرل گروپ کے آئسومورفزم کا احاطہ کرتا ہے۔ جیسا کہ ایک مجرد ذیلی گروہ ہے، یعنی ڈبل اوور کا ایک مجرد ذیلی گروہ ہے۔ 2-1 ہومومورفزم تب سے 2-1 ہومومورفزم تک محدود ہے۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ خصوصی لکیری گروپ SL (2,5) کے لیے آئسومورفک ہے-یونٹ ڈیٹرمیننٹ کے ساتھ محدود فیلڈ F5 پر تمام 2 × 2 میٹرکس کا گروپ ؛ یہ پروجیکٹو خصوصی لکیری گروپ پی ایس ایل (2,5) کے ساتھ غیر معمولی آئسومورفزم کا احاطہ کرتا ہے۔ غیر معمولی آئسومورفزم کو بھی نوٹ کریں جو آرڈر 120 کا ایک مختلف گروپ ہے، جس میں ایس ایل، جی ایل، پی ایس ایل، پی جی ایل کا تبادلہ مربع ایک تبادلہ مربع کے لیے آئسومورفک ہے جس میں اسپن (4)، پن (4)، ایس او (4)، او (4) کے تبادلہ مربع کے ذیلی گروپوں کے لیے آئسومورفک ہیں۔ پریزنٹیشن گروپ 2I میں ایک پریزنٹیشن دی گئی ہے یا اس کے مساوی طور پر، ان تعلقات کے ساتھ جنریٹرز ذیلی گروپوں کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ 2I کا واحد مناسب عام ذیلی گروپ مرکز {± 1} ہے۔ تیسرے آئسومورفزم تھیوریم کے مطابق، 2I کے ذیلی گروپوں اور I کے ذیلی گروپوں کے درمیان گالوئس تعلق ہے، جہاں 2I کے ذیلی گروپوں پر کلوزر آپریٹر {±1} سے ضرب ہے۔ یہ ترتیب 2 کا واحد عنصر ہے، اس لیے یہ یکساں ترتیب کے تمام ذیلی گروپوں میں موجود ہے: اس طرح 2I کا ہر ذیلی گروپ یا تو عجیب ترتیب کا ہے یا I کے ذیلی گروپ کی ابتدائی تصویر ہے۔ مختلف عناصر کے ذریعہ پیدا ہونے والے چکور گروپوں کے علاوہ (جن میں عجیب ترتیب ہو سکتی ہے)، 2I کے صرف دوسرے ذیلی گروپ (کنجگیشن تک) یہ ہیں: بائنری ڈائیڈرل گروپس، Dic5 = Q20 = ± 2,2,5  आहात، آرڈر 20 اور Dic3 = Q12 = ± 2,2,3 57 آرڈر 12 کا کواٹرنیئن گروپ، Q8 = ± 2,2,2  आहात، جو 8 لپشٹز یونٹس پر مشتمل ہوتا ہے، انڈیکس 15 کا ذیلی گروپ بناتا ہے، جو ڈائی سائیکلک گروپ Dic2 بھی ہے۔ یہ ایک کنارے کے اسٹیبلائزر کا احاطہ کرتا ہے۔ 24 ہروٹز اکائیاں ایک انڈیکس 5 ذیلی گروپ بناتی ہیں جسے بائنری ٹیٹراہیڈرل گروپ کہا جاتا ہے۔ یہ ایک چیرل ٹیٹراہیڈرل گروپ کا احاطہ کرتا ہے۔ یہ گروپ سیلف نارملائزنگ ہے لہذا اس کی کنجوگیسی کلاس میں 5 ممبران ہیں (اس سے ایک نقشہ ملتا ہے جس کی تصویر ہے)۔ 4 جہتی سمیٹری گروپوں سے تعلق آئکوساہیڈرل سمیٹری گروپ Ih کا 4 جہتی ینالاگ 600 سیل کا سمیٹری گروپ ہے (اس کے دوہری، 120 سیل کا بھی)۔ جس طرح سابقہ H3 قسم کا کاکسٹر گروپ ہے، اسی طرح مؤخر الذکر H4 قسم کا کاکسٹر گروپ ہے، جسے [3,3,5] بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کا گردشی ذیلی گروہ، جس کی نشاندہی [3,3,5] + ایس او (4) میں رہنے والے آرڈر 7200 کا ایک گروپ ہے۔ ایس او (4) میں ایک ڈبل کور ہے جسے اسپن (4) کہا جاتا ہے بالکل اسی طرح جیسے اسپن (3) ایس او (3) کا ڈبل کور ہے۔ آئسومورفزم اسپن (3) = ایس پی (1) کی طرح، گروپ اسپن (4) ایس پی (1) × ایس پی (1) کے لیے آئسومورفک ہے۔ اسپن (4) (2I کا ایک چار جہتی ینالاگ) میں [3,3,5] + کی ابتدائی تصویر قطعی طور پر آرڈر 14400 کا پروڈکٹ گروپ 2I × 2I ہے۔ اس کے بعد 600 خلیے کا گردشی ہم آہنگی گروپ [3,3,5] + = (2I × 2I)/{±1} ہے۔ 2I سے مختلف دیگر 4 جہتی سمیٹری گروپس بنائے جا سکتے ہیں۔ تفصیلات کے لیے دیکھیں (کونوے اور سمتھ، 2003)۔ ایپلی کیشنز کوسیٹ اسپیس اسپن (3)/2I = S3/2I ایک کروی 3-مینی فولڈ ہے جسے پوئنکیئر ہومیولوجی سپیئر کہا جاتا ہے۔ یہ ہومیولوجی دائرے کی ایک مثال ہے، یعنی۔ ایک 3 گنا جس کے ہومیولوجی گروپ 3 دائرے کے گروپوں سے ملتے جلتے ہیں۔ پوئنکیری دائرے کا بنیادی گروپ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، کیونکہ پوئنکیری دائرہ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ کے ذریعے 3 دائرے کا حصّہ ہے۔ بائنری پولی ہیڈرل گروپ بائنری سائیکلک گروپ، अमونپلا، آرڈر 2 این بائنری ڈائی ہیڈرل گروپ، 2 این بائنری ٹیٹرا ہیڈرل گروپ، 2 ٹی، آرڈر 24 بائنری آکٹاڈرل گروپ، 2 او، آرڈر 48 حوالہ جات 6.5 بائنری پولی ہیڈرل گروپ، پی۔ 68 نوٹ آئکوساہڈرل