Bures metric
ریاضی میں، کوانٹم انفارمیشن جیومیٹری کے شعبے میں، بورس میٹرک (ڈونلڈ بورس کے نام سے منسوب) یا ہیلسٹروم میٹرک (کارل ڈبلیو ہیلسٹروم کے نام سے منسوب) کوانٹم ریاستوں کی وضاحت کرنے والے کثافت میٹرکس آپریٹرز کے درمیان ایک لامحدود فاصلے کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ فشر انفارمیشن میٹرک کی کوانٹم جنرلائزیشن ہے، اور جب صرف خالص حالتوں تک محدود ہو تو یہ فوبینی اسٹڈی میٹرک سے ملتی جلتی ہے۔ تعریف بورس میٹرک کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے جہاں ہرمیٹین 1 فارم آپریٹر مضمر طور پر دیا گیا ہے جس کے ذریعہ مسلسل لیاپونوف مساوات کا ایک خاص معاملہ ہے۔ بورس میٹرک کی کچھ ایپلی کیشنز میں یہ شامل ہے کہ ہدف کی غلطی کو دیکھتے ہوئے، یہ پیمائش کی کم از کم تعداد کے حساب سے دو مختلف حالتوں میں فرق کرنے کی اجازت دیتا ہے اور مخلوط کوانٹم ریاستوں کے لیے جیفریز کی پیشگی امکان کثافت کے امیدوار کے طور پر حجم عنصر کے استعمال کی اجازت دیتا ہے۔ بورس کا فاصلہ بورس کا فاصلہ اوپر بیان کردہ لامحدود مربع فاصلے کا محدود ورژن ہے اور اس کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں فیڈلٹی فنکشن کو بیان کیا جاتا ہے۔ ایک اور متعلقہ فنکشن بورس آرک ہے جسے بورس اینگل، بورس لمبائی یا کوانٹم اینگل بھی کہا جاتا ہے، جس کی تعریف کوانٹم ریاستوں کے درمیان شماریاتی فاصلے کی پیمائش کے طور پر کی جاتی ہے۔ جب دونوں کثافت آپریٹر اخترن ہوتے ہیں (تاکہ وہ صرف کلاسیکی امکان کی تقسیم ہوں)، تو پھر اور اسی طرح، پھر وفاداری بورس کی لمبائی کے ساتھ ووٹر کا فاصلہ بن جاتی ہے۔ ووٹر کا فاصلہ چی مربع میٹرک کے تحت امکانات کی تقسیم کے درمیان جیوڈیسیک فاصلہ ہے۔ متغیرات کی تبدیلی کے ساتھ انجام دیں، پھر چی مربع شدہ میٹرک بن جاتا ہے۔ چونکہ، پوائنٹس ایک یونٹ ہائپر سپیئر کے مثبت کواڈرینٹ پر منتقل ہونے تک محدود ہیں۔ لہذا، جیوڈیکس ہائپر سپیئر پر صرف عظیم حلقے ہیں، اور ہم ووٹر کے فاصلے کا فارمولا بھی حاصل کرتے ہیں۔ اگر دونوں کثافت آپریٹر خالص ریاستیں ہیں، تو وفاداری ہے، اور ہم ووٹر کے فاصلے کا کوانٹم ورژن حاصل کرتے ہیں۔ خاص طور پر، کسی بھی دو آرتھوگنل حالتوں کے درمیان بورس کا فاصلہ ہے۔ کوانٹم فشر کی معلومات بورس میٹرک کو فشر انفارمیشن میٹرک کے کوانٹم کے مساوی کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے اور کوآرڈینیٹ پیرامیٹرز کی تغیر کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جو اتنے عرصے تک برقرار رہتا ہے اور ایک ہی درجہ رکھتا ہے۔ ایسے معاملات میں جہاں ان کا درجہ ایک جیسا نہ ہو، دائیں ہاتھ کی طرف ایک اضافی اصطلاح ہوتی ہے۔ اس طرح، کسی کے پاس ہے جہاں کوانٹم فشر میٹرک (ٹینسر اجزاء) کو شناخت کیا جاتا ہے۔ ایس ایل ڈی کی تعریف سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوانٹم فشر میٹرک بورس میٹرک سے 4 گنا زیادہ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ دیکھتے ہوئے کہ وہ بورس میٹرک ٹینسر کے اجزاء ہیں، ایک کے پاس ہے۔ جیسا کہ کلاسیکی فشر انفارمیشن میٹرک کے ساتھ ہوتا ہے، کوانٹم فشر میٹرک کو کوویرینس کے کریمر-راؤ باؤنڈ کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ واضح فارمولے بورس میٹرک کا اصل حساب تعریف سے واضح نہیں ہے، اس لیے اس مقصد کے لیے کچھ فارمولے تیار کیے گئے تھے۔ 2x2 اور 3x3 نظاموں کے لیے، بالترتیب، بورس میٹرک کی کواڈریٹک شکل کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے کہ عام نظاموں کے لیے، بورس میٹرک کو کثافت میٹرکس کے آئجین ویکٹرز اور آئجین ویلیوز کے لحاظ سے ایک انٹیگرل کے طور پر، یا کرونکر پروڈکٹ اور ویکٹرائزیشن کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے، جہاں پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی ہوتی ہے، اور کنجوگیٹ ٹرانسپوز کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ فارمولا الٹا کثافت میٹرکس کے لیے ہے۔ غیر الٹا کثافت میٹرکس کے لیے، اوپر کا الٹا مور-پینروز سڈو انورس کے ذریعے تبدیل کیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، ایک مخصوص مخلوط اور اس طرح الٹ حالت پر ایک حد انجام دے کر بھی اظہار کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ دو سطحی نظام دو سطحی نظام کی حالت کو تین متغیرات کے ساتھ پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے جہاں پالی میٹرکس کا ویکٹر ہے اور (تین جہتی) بلاچ ویکٹر تسلی بخش ہے۔ اس پیرامیٹریزیشن میں بورس میٹرک کے اجزاء کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے۔ بورس کی پیمائش کا حساب ڈٹرمیننٹ کے مربع روٹ کو لے کر لگایا جا سکتا ہے تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ کون سا بورس کے حجم کو تھری لیول سسٹم کے طور پر شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تھری لیول سسٹم کی حالت کو آٹھ متغیرات کے ساتھ پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے جہاں آٹھ جیل-مین میٹرکس اور 8 جہتی بلاچ ویکٹر کچھ رکاوٹوں کو پورا کرتے ہیں۔ مزید دیکھیں فوبینی-اسٹڈی میٹرک فیڈلٹی آف کوانٹم اسٹیٹس فشر انفارمیشن فشر انفارمیشن میٹرک حوالہ جات مزید پڑھنا کوانٹم انفارمیشن سائنس