Esquisse d'un Programme
"ایسکوئس ڈی ان پروگرام" (ایک پروگرام کا خاکہ) طویل مدتی ریاضیاتی تحقیق کے لیے ایک مشہور تجویز ہے جو جرمنی میں پیدا ہونے والے فرانسیسی ریاضی دان الیگزینڈر گروتھینڈیک نے 1984 میں پیش کی تھی۔ انہوں نے 1984 سے 1988 تک اپنے اہم پراجیکٹ پروپوزل میں منطقی طور پر منسلک خیالات کے سلسلے کی پیروی کی، لیکن ان کی مجوزہ تحقیق آج تک جدید ریاضی کی کئی شاخوں میں بڑی دلچسپی کا باعث بنی ہوئی ہے۔ گروتھینڈیک کا وژن آج ریاضی میں ہونے والی متعدد پیشرفتوں کے لیے تحریک فراہم کرتا ہے جیسے کہ گالوئس تھیوری کی توسیع اور عمومی کاری، جسے فی الحال ان کی اصل تجویز کی بنیاد پر بڑھایا جا رہا ہے۔ 1984 میں پیش کی گئی مختصر تاریخ، ایسکوئس ڈی ان پروگرام ایک تجویز تھی جو الیگزینڈر گروتھینڈیک نے سینٹر نیشنل ڈی لا ریچرچ سائنٹیفک میں ایک عہدے کے لیے پیش کی تھی۔ یہ تجویز کامیاب نہیں ہوئی، لیکن گروتھینڈیک نے ایک خاص عہدہ حاصل کیا جہاں، مونٹپیلیئر یونیورسٹی میں اپنی وابستگی برقرار رکھتے ہوئے، انہیں سی این آر ایس نے ادائیگی کی اور ان کی تدریسی ذمہ داریوں سے رہا کر دیا گیا۔ گروتھینڈیک 1984 سے 1988 تک اس عہدے پر فائز رہے۔ یہ تجویز 1997 تک باضابطہ طور پر شائع نہیں ہوئی تھی، کیونکہ مصنف "نہیں مل سکا، اس کی اجازت کی درخواست سے بہت کم"۔ اس مخطوطے میں موجود ڈیسینز ڈی اینفنٹس، یا "بچوں کی ڈرائنگز"، اور "انابیلین جیومیٹری" کے خاکے، تحقیق کو متاثر کرتے رہتے ہیں۔ اس طرح، "انابیلین جیومیٹری ریاضی میں ایک مجوزہ نظریہ ہے، جس میں الجبرائی قسم V کے الجبرائی بنیادی گروپ G، یا کسی متعلقہ ہندسی شے کو بیان کیا گیا ہے، اس بات کا تعین کرتا ہے کہ کس طرح V کو کسی دوسرے ہندسی شے W میں نقشہ بنایا جا سکتا ہے، اس مفروضے کے تحت کہ G ایک ابیلین گروپ نہیں ہے، اس معنی میں کہ یہ سختی سے غیر متغیر ہے۔ لفظ انابیلین (ایک الفا پرائیویٹیو این-ابیلین سے پہلے) ایسکوئس ڈی ان پروگرام میں متعارف کرایا گیا تھا۔ اگرچہ گروتھینڈیک کا کام کئی سالوں سے غیر شائع تھا، اور روایتی رسمی علمی چینلز کے ذریعے دستیاب نہیں تھا، مجوزہ نظریہ کی تشکیل اور پیش گوئیوں نے متعدد ریاضی دانوں کے ہاتھوں بہت زیادہ توجہ حاصل کی، اور کچھ تبدیلیاں کیں۔ جن لوگوں نے اس شعبے میں تحقیق کی ہے انہوں نے کچھ متوقع اور متعلقہ نتائج حاصل کیے ہیں، اور 21 ویں صدی میں اس طرح کے نظریہ کا آغاز دستیاب ہونا شروع ہوا۔ گروتھینڈیک کے پروگرام کا خلاصہ ("سومائر") 1. تجویز اور انٹرپرائز ("اینووئی")۔ 2. "ٹیچملر کا لیگو گیم اور کیو اوور کیو کا گالوئس گروپ" ("ان جیو ڈی لیگو-ٹیچملر ایٹ لی گروپ ڈی گالوئس ڈی کیو سر کیو")۔ 3. ڈیسن ڈی اینفنٹ سے وابستہ نمبر فیلڈز۔ (کارپس ڈی نومبریس ایسوسی ایٹس ا یون ڈیسین ڈی اینفنٹ)۔ 4. محدود فیلڈز پر باقاعدہ پولی ہیڈرا ("پولیڈریس ریگولیئر سر لیس کور فائنس")۔ 5. جنرل ٹوپولوجی یا 'ماڈریٹڈ ٹوپولوجی' ("ہارو سر لا ٹوپولوجی ڈائٹ 'جنرل'، اور ریفلیکشنز ہیورسٹیکس ورس ان ٹوپولوجی ڈائٹ 'ماڈری')۔ 6. متفرق نظریات اور اعتدال پسند نظریات ("تھیوریز ڈفریینٹی ایبلز" (ا لا نیش) اور "تھیوریز ماڈریز")۔ 7. پیچھا کرنے والے اسٹیکس ("لا پورسوائٹ ڈیس چیمپس")۔ 8. دو جہتی جیومیٹری ("Digressions de géométrie bidimationnelle")۔ 9. مجوزہ مطالعات کا خلاصہ۔ 10. اپیلوگ۔ دلچسپی رکھنے والے ریاضیاتی قارئین کے لیے مزید پڑھنے کے لیے تجویز کردہ نوٹ حوالہ جات کے حصے میں فراہم کیے گئے ہیں۔ گروہوں کے لیے گالوئس کے نظریہ کی توسیع: گالوئس گروپائڈز، زمرہ جات اور فنکٹرز گالوئس نے ریاضی میں ایک طاقتور، بنیادی الجبرائی نظریہ تیار کیا جو گروپوں کے الجبرائی تصور کو استعمال کرتے ہوئے بعض الجبرائی مسائل کے لیے بہت موثر حسابات فراہم کرتا ہے، جسے اب گالوئس گروپوں کا نظریہ کہا جاتا ہے۔ اس طرح کے حسابات پہلے ممکن نہیں تھے، اور بہت سے معاملات میں گروپوں کا استعمال کیے بغیر 'براہ راست' حسابات سے کہیں زیادہ موثر ہیں۔ شروع کرنے کے لیے، الیگزینڈر گروتھینڈیک نے اپنی تجویز میں کہا: "اس طرح، گالوئس کے گروپ کو ایک ٹھوس، پرو فائنٹ گروپ کے آٹومورفزم گروپ کے طور پر محسوس کیا جاتا ہے جو اس گروپ کے لیے ضروری بعض ڈھانچوں کا احترام کرتا ہے۔" ریاضی میں اس بنیادی، گالوئس گروپ تھیوری کو کافی حد تک وسعت دی گئی ہے، شروع میں گروپائڈز تک-جیسا کہ الیگزینڈر گروتھینڈیک کے ایسکوئس ڈی ان پروگرام (ای ڈی پی) میں تجویز کیا گیا ہے-اور اب پہلے ہی جزوی طور پر گروپائڈز کے لیے انجام دیا گیا ہے۔ مؤخر الذکر کو اب ریاضی دانوں کے کئی گروپوں کے ذریعے گروپائڈز سے آگے زمرہ جات میں مزید تیار کیا گیا ہے۔ یہاں، ہم صرف گالوئس کے نظریہ کی اچھی طرح سے قائم اور مکمل طور پر توثیق شدہ توسیعات پر توجہ مرکوز کریں گے۔ اس طرح، ای ڈی پی نے 1960 کی دہائی میں منعقدہ الیگزینڈر گروتھینڈیک کے پچھلے آئی ایچ ای ایس سیمیناروں (ایس جی اے 1 سے ایس جی اے 4) کے ساتھ، زمرہ جات، فنکٹرز اور قدرتی تبدیلیوں کو استعمال کرتے ہوئے گروپوں کے لیے اصل گالوئس کے نظریہ کی اور بھی زیادہ طاقتور توسیع کی ترقی کے ساتھ ساتھ الیگزینڈر گروتھینڈیک کے نزول نظریہ میں پیش کردہ خیالات کے کئی گنا کی مزید توسیع کی تجویز اور توقع کی۔ محرک کے تصور پر بھی فعال طور پر عمل کیا گیا ہے۔ اسے محرک گالوئس گروپ، گروتھینڈک ٹوپولوجی اور گروتھینڈک زمرے میں تیار کیا گیا تھا۔ اس طرح کی پیش رفت کو حال ہی میں الجبرائی ٹوپولوجی میں قابل نمائندگی فنکٹرز اور بنیادی گروپائڈ فنکٹر کے ذریعے بڑھایا گیا تھا۔ انابیلین جیومیٹری گروتھینڈیک کا گالوئس تھیوری گروتھینڈیک کا سیمینیئر ڈی گیومیٹری الجیبریک اسٹریٹیفائیڈ اسپیس ریفرنسز الیگزینڈر گروتھینڈیک الیگزینڈر گروتھینڈیک کے متعلقہ کام بھی دیکھیں۔ 1971، ریوٹیمنٹس ایٹلس ایٹ گروپ فاؤنڈمینٹل (ایس جی اے 1)، باب VI: کیٹگریز فائبرس ایٹ ڈیسنٹ، لیکچر نوٹس ان میتھ۔ 224، سپرنگر-ورلاگ: برلن۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک۔ 1957، سور کویلکس پوائنٹس ڈی الجیبری ہومولوجیک، توہوکو میتھمیٹکس جرنل، 9، 119-221۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک اور جین ڈیوڈونی۔ : 1960، ایلمینٹس ڈی جیومیٹری الجیبریک۔، اشاعت۔ انسٹا۔ ڈیس ہاؤٹس ایٹیوڈز سائنٹفکس، (آئی ایچ ای ایس)، 4. الیگزینڈر گروتھینڈیک اور دیگر، 1971۔ Sémineaire de Géométrie Algébrique d Bois-Marie، جلد. 1-7، برلن: سپرنگر-ورلاگ۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک۔ 1962 میں۔ Séminaires en Géométrie Algébrique d Bois-Marie، جلد. 2-کوہمولوجی لوکل ڈیس فیسیکس کوہرنٹس اینڈ تھیوریمز ڈی لیفشیٹز لوکاکس اینڈ گلوباکس۔، پی پی۔ 287۔ (ایم ایم ای کی طرف سے ایک اضافی تعاون کردہ نمائش کے ساتھ۔ مشیل ریناؤڈ)۔ (ٹائپ رائٹ شدہ مخطوطات فرانسیسی زبان میں دستیاب ہیں ؛ انگریزی حوالہ جات میں ایک مختصر خلاصہ بھی دیکھیں۔ 1964 میں۔ کوہمولوجی گالوسئین، سپرنگر-ورلاگ: برلن۔ جے ایل ورڈیئر۔ 1965۔ الگ الگ ہومیولوجکس اور زمرہ جات مشتق ہیں۔ نارتھ ہالینڈ پبل۔ سی)۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک اور دیگر۔ مزید تفصیل اور نتائج کی ایک بڑی تعداد کے لیے Séminaires en Géometrie Algèbrique-4, Tome 1, Exposé 1 (یا 'این بورباکی کی طرف سے ایکسپوزی 1 کا ضمیمہ)۔ اے جی 4 فرانسیسی زبان میں مفت دستیاب ہے۔ انگریزی میں ایک وسیع خلاصہ بھی دستیاب ہے۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک، 1984۔ "ایسکوئس ڈی ان پروگرام"، (1984 کا مخطوطہ)، آخر کار "جیومیٹرک گالوئس ایکشنز"، ایل شنپس، پی لوچک، ایڈز۔، لندن ماتھ میں شائع ہوا۔ سوک۔ لیکچر نوٹس 242، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1997، پی پی۔ 5-48 ؛ انگریزی ترجمہ.، ibid.، pp. 243-283۔ ۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک، "لا لانگیو مارچ ان ٹراورس لا تھیوری ڈی گالوئس"۔ = "دی لانگ مارچ ٹورڈز/ایکراس دی تھیوری آف گالوئس"، 1981 کا مخطوطہ، یونیورسٹی آف مونٹپیلیئر پری پرنٹ سیریز 1996، جس کی ترمیم جے مالگوائر نے کی تھی۔ دیگر متعلقہ اشاعتیں۔ ۔ بیرونی روابط بنیادی گروپائڈ فنکٹرز، پلینٹ فزکس۔ اب تک کی سب سے زیادہ مسترد شدہ تجویز، نیور اینڈنگ بکس، لیوین لی بروین نوٹس انابیلینس، اے گروتھینڈیک۔ گروپ تھیوری الجبرائی جیومیٹری زمرہ تھیوری الجبرائی ٹوپولوجی ریاضی کے کاغذات 1983 دستاویزات