Tate conjecture
نمبر تھیوری اور الجبرائی جیومیٹری میں، ٹیٹ قیاس جان ٹیٹ کا 1963 کا ایک قیاس ہے جو الجبرائی چکروں کو مختلف اقسام پر زیادہ کمپیوٹیبل غیر متغیر کے لحاظ سے بیان کرے گا، جو کہ ایٹیل کوہمولوجی پر گالوئس نمائندگی ہے۔ قیاس الجبرائی چکروں کے نظریہ میں ایک مرکزی مسئلہ ہے۔ اسے ہج قیاس کا ریاضیاتی ینالاگ سمجھا جا سکتا ہے۔ قیاس کا بیان فرض کریں کہ V ایک فیلڈ k پر ایک ہموار پروجیکٹو قسم ہے جو اپنے پرائم فیلڈ پر حتمی طور پر پیدا ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ ks، k کی علیحدہ بندش ہے، اور G، k کا مطلق گالوئس گروپ گال (ks/k) ہے۔ ایک بنیادی عدد l طے کریں جو k میں الٹا ہو سکتا ہے۔ V سے ks کی بنیادی توسیع کے l-adic کوہومولوجی گروپوں (l-adic انٹیجرز Zl میں کوفیشنٹس، اسکیلرز پھر l-adic نمبروں Ql تک بڑھائے جاتے ہیں) پر غور کریں۔ یہ گروپ G کی نمائندگی کرتے ہیں۔ کسی بھی i ≤ 0 کے لیے، V کی کوڈیمینشن-i سب ویریٹی (k پر تعریف کی گئی سمجھی جاتی ہے) کوہومولوجی گروپ کے ایک عنصر کا تعین کرتی ہے جو G کے ذریعے طے کیا جاتا ہے۔ یہاں Ql (i) ith ٹیٹ موڑ کی نشاندہی کرتا ہے، جو ٹیٹ قیاس یہ بتاتا ہے کہ گالوئس گروپ G کے ذریعہ طے شدہ W کی ذیلی جگہ WG، ایک Ql-ویکٹر جگہ کے طور پر، V کی کوڈیمینشن-i ذیلی اقسام کی کلاسوں کے ذریعہ پھیلی ہوئی ہے۔ ایک الجبرائی سائیکل کا مطلب ذیلی اقسام کا ایک محدود لکیری مجموعہ ہے۔ لہذا ایک مساوی بیان یہ ہے کہ WG کا ہر عنصر V پر الجبرائی سائیکل کی کلاس ہے جس میں Ql گتانک ہوتے ہیں۔ معروف معاملات تقسیم کاروں کے لیے ٹیٹ قیاس (کوڈیمینشن 1 کے الجبرائی چکروں) ایک بڑا کھلا مسئلہ ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ f: X → C ایک ہموار پروجیکٹو سطح سے ایک محدود میدان پر ہموار پروجیکٹو وکر پر ایک مورفزم ہے۔ فرض کریں کہ f کا عام فائبر F، جو کہ فنکشن فیلڈ k (C) پر ایک منحنی خطوط ہے، k (C) پر ہموار ہے۔ پھر X پر تقسیم کاروں کے لیے ٹیٹ قیاس آرائی F کی جیکوبین قسم کے لیے برچ اور سوئنرٹن ڈائر قیاس آرائی کے مساوی ہے۔ اس کے برعکس، کسی بھی ہموار پیچیدہ پروجیکٹو قسم پر تقسیم کاروں کے لیے ہج قیاس معلوم ہے (لیفشیٹز (1,1)-نظریہ)۔ شاید سب سے اہم معلوم معاملہ یہ ہے کہ ٹیٹ کا قیاس ابیلین اقسام پر تقسیم کرنے والوں کے لیے درست ہے۔ یہ محدود فیلڈز پر ابیلین اقسام کے لیے ٹیٹ کا نظریہ ہے، اور نمبر فیلڈز پر ابیلین اقسام کے لیے فالٹنگز کا نظریہ ہے، جو مورڈیل قیاس کے فالٹنگز کے حل کا حصہ ہے۔ زرہین نے ان نتائج کو کسی بھی حتمی طور پر تیار کردہ بیس فیلڈ تک بڑھایا۔ ابیلین اقسام پر تقسیم کاروں کے لیے ٹیٹ قیاس سے مراد منحنی خطوط C1 ×. × Cn کے کسی بھی پروڈکٹ پر تقسیم کاروں کے لیے ٹیٹ قیاس ہے۔ ابیلین اقسام پر تقسیم کاروں کے لیے (معروف) ٹیٹ قیاس ابیلین اقسام کے درمیان ہومومورفزم کے بارے میں ایک طاقتور بیان کے مساوی ہے۔ یعنی، حتمی طور پر پیدا شدہ فیلڈ k پر کسی بھی ابیلین قسم A اور B کے لیے، قدرتی نقشہ ایک آئسومورفزم ہے۔ خاص طور پر، ایک ابیلین قسم اے کا تعین اس کے ٹیٹ ماڈیول ایچ 1 (اکس، زیڈ ایل) پر گالوئس نمائندگی کے ذریعے آئسوجینی تک کیا جاتا ہے۔ ٹیٹ کا قیاس K3 سطحوں کے لیے بھی ہے جو 2 نہیں بلکہ خصوصیت کے محدود طور پر پیدا شدہ شعبوں پر ہے۔ (سطح پر، قیاس کا غیر معمولی حصہ تقسیم کاروں کے بارے میں ہے۔) خصوصیت صفر میں، K3 سطحوں کے لیے ٹیٹ قیاس آرائی کو آندرے اور ٹینکیو نے ثابت کیا۔ خصوصیت 2 نہیں کے محدود شعبوں پر K3 سطحوں کے لیے، ٹیٹ قیاس کو نیگارڈ، اوگس، چارلس، مڈاپوسی پیرا اور مولک نے ثابت کیا۔ ٹیٹ قیاس آرائی کے معروف معاملات کا سروے۔ متعلقہ قیاس آرائیاں فرض کریں کہ X ایک محدود طور پر پیدا شدہ فیلڈ k پر ایک ہموار پروجیکٹو قسم ہے۔ سیمی سمپلیسیٹی قیاس آرائی پیش گوئی کرتی ہے کہ X کی l-adic کوہمولوجی پر گالوئس گروپ G = Gal (ks/k) کی نمائندگی سیمی سمپل ہے (یعنی، ناقابل تلافی نمائندگی کا براہ راست مجموعہ)۔ خصوصیت 0 کے k کے لیے، یہ ظاہر ہوا کہ ٹیٹ قیاس (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) کی سیمی سمپلیکیٹی کو ظاہر کرتا ہے۔ ہج قیاس کی طرح، ٹیٹ قیاس الجبرائی چکروں پر گروتھینڈیک کے زیادہ تر معیاری قیاس آرائیوں کا اشارہ کرے گا۔ یعنی، اس کا مطلب لیفشیٹز معیاری قیاس ہے (کہ لیفشیٹز آئسومورفزم کا الٹا الجبرائی خط و کتابت سے بیان کیا گیا ہے) ؛ کہ اخترن کے کونیتھ اجزاء الجبرائی ہیں ؛ اور الجبرائی چکروں کی عددی مساوات اور یکساں مساوات ایک جیسی ہیں۔ نوٹس حوالہ جات بیرونی روابط جیمز ملن، دی ٹیٹ کانجیکچر اوور فائینیٹ فیلڈز (اے آئی ایم ٹاک)۔ الجبرائی جیومیٹری کے ٹپوولوجیکل طریقے ڈیوفنٹائن جیومیٹری نمبر تھیوری میں غیر حل شدہ مسائل کا قیاس کرتی ہے