Airy wave theory
سیال حرکیات میں، ہوای لہر نظریہ (جسے اکثر لکیری لہر نظریہ کہا جاتا ہے) ایک یکساں سیال پرت کی سطح پر کشش ثقل کی لہروں کے پھیلاؤ کی لکیری وضاحت دیتا ہے۔ نظریہ یہ فرض کرتا ہے کہ سیال کی پرت کی اوسط گہرائی یکساں ہوتی ہے، اور یہ کہ سیال کا بہاؤ غیر متزلزل، غیر کمپریسبل اور غیر گردش پذیر ہوتا ہے۔ یہ نظریہ پہلی بار درست شکل میں 19 ویں صدی میں جارج بڈیل ایری نے شائع کیا تھا۔ ہوای لہر کا نظریہ اکثر سمندری انجینئرنگ اور ساحلی انجینئرنگ میں بے ترتیب سمندری ریاستوں کے ماڈلنگ کے لیے لاگو کیا جاتا ہے-جو لہر کی حرکیات اور بہت سے مقاصد کے لیے کافی درستگی کی حرکیات کی وضاحت دیتا ہے۔ مزید برآں، سطح کشش ثقل کی لہروں کی کئی دوسرے درجے کی غیر لکیری خصوصیات اور ان کے پھیلاؤ کا اندازہ اس کے نتائج سے لگایا جا سکتا ہے۔ ہوائی لہر کا نظریہ سمندر میں سونامی کی لہروں کے لیے بھی ایک اچھا تخمینہ ہے، اس سے پہلے کہ وہ ساحل کے قریب کھڑی ہو جائیں۔ یہ لکیری نظریہ اکثر لہر کی خصوصیات اور ان کے اثرات کا فوری اور کھردرا تخمینہ حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ تخمینہ لہر کی اونچائی اور پانی کی گہرائی (اتلی پانی میں لہروں کے لیے)، اور لہر کی اونچائی سے طول موج (گہرے پانی میں لہروں کے لیے) کے چھوٹے تناسب کے لیے درست ہے۔ ہوای لہر کا نظریہ سیال کی سطح پر کشش ثقل کی لہروں کی حرکت کو بیان کرنے کے لیے ممکنہ بہاؤ (یا رفتار کی صلاحیت) کے نقطہ نظر کا استعمال کرتا ہے۔ پانی کی لہروں میں (غیر متزلزل اور غیر متزلزل) ممکنہ بہاؤ کا استعمال قابل ذکر طور پر کامیاب ہے، اس کی وجہ سے بہت سے دوسرے سیال کے بہاؤ کو بیان کرنے میں ناکامی ہے جہاں چپچپا، وورتکتا، ہنگامہ آرائی یا بہاؤ کی علیحدگی کو مدنظر رکھنا اکثر ضروری ہوتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ سیال کی حرکت کے ارتعاش والے حصے کے لیے، لہر سے متاثر ووٹرٹی سیال ڈومین کی حدود میں کچھ پتلی ارتعاش والی اسٹوکس باؤنڈری تہوں تک محدود ہے۔ فضائی لہر کا نظریہ اکثر سمندری انجینئرنگ اور ساحلی انجینئرنگ میں استعمال ہوتا ہے۔ خاص طور پر بے ترتیب لہروں کے لیے، جسے بعض اوقات لہر کی ہنگامہ آرائی کہا جاتا ہے، لہر کے اعداد و شمار کے ارتقاء کی-بشمول لہر سپیکٹرم-بہت زیادہ فاصلے (طول موج کے لحاظ سے) اور بہت زیادہ اتلی پانی میں اچھی طرح سے پیش گوئی کی جاتی ہے۔ ڈفریکشن لہر کے اثرات میں سے ایک ہے جسے ایئر ویو تھیوری کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، ڈبلیو کے بی جے تخمینہ کا استعمال کرتے ہوئے، لہر کے جھولنے اور اضطراب کی پیش گوئی کی جا سکتی ہے۔ ممکنہ بہاؤ کا استعمال کرتے ہوئے سطح کی کشش ثقل کی لہروں کو بیان کرنے کی ابتدائی کوششیں، دوسروں کے درمیان، لیپلیس، پوسن، کاچی اور کیلینڈ نے کی تھیں۔ لیکن ایری وہ پہلا شخص تھا جس نے 1841 میں صحیح مشتق اور تشکیل شائع کی۔ اس کے فورا بعد، 1847 میں، ایری کے لکیری تھیوری کو اسٹوکس نے غیر لکیری لہر کی حرکت کے لیے بڑھایا-جسے اسٹوکس ویو تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے-لہر کی کھڑی میں تیسری ترتیب تک درست۔ ایری کے لکیری تھیوری سے پہلے ہی، گیرسٹنر نے 1802 میں ایک غیر لکیری ٹروکوئڈل لہر کا نظریہ اخذ کیا، جو تاہم غیر متزلزل نہیں ہے۔ ہوای لہر کا نظریہ ممکنہ بہاؤ کی سطح پر اور افقی نچلے حصے کے اوپر لہروں کے پھیلاؤ کے لیے ایک لکیری نظریہ ہے۔ ایک لہر کے جزو کی آزاد سطح کی بلندی سینوسائڈل ہے، افقی پوزیشن اور وقت کی تقریب کے طور پر: جہاں میٹر میں لہر کا طول و عرض ہے، کوسین فنکشن ہے، ریڈین فی میٹر میں کونیی لہر نمبر ہے، جو طول موج سے متعلق ہے، ریڈین فی سیکنڈ میں کونیی تعدد ہے، جو مدت اور تعدد سے متعلق ہے۔ لہریں پانی کی سطح کے ساتھ مرحلے کی رفتار کے ساتھ پھیلتی ہیں: کونیی لہر کی تعداد اور تعدد آزاد پیرامیٹرز نہیں ہیں (اور اس طرح طول موج اور مدت بھی آزاد نہیں ہیں)، لیکن جوڑے ہوئے ہیں۔ کسی سیال پر سطح کی کشش ثقل کی لہریں منتشر لہریں ہوتی ہیں-جو تعدد کے منتشر ہونے کی نمائش کرتی ہیں-جس کا مطلب ہے کہ ہر لہر کی اپنی تعدد اور مرحلے کی رفتار ہوتی ہے۔ نوٹ کریں کہ انجینئرنگ میں لہر کی اونچائی-کرسٹ اور گرت کے درمیان بلندی میں فرق-اکثر استعمال ہوتا ہے: لکیری پیریڈک لہروں کے موجودہ معاملے میں درست ہے۔ سطح کے نیچے، آزاد سطح کی حرکت سے وابستہ سیال حرکت ہوتی ہے۔ جب کہ سطح کی بلندی ایک پھیلتی ہوئی لہر کو ظاہر کرتی ہے، سیال کے ذرات مداری حرکت میں ہوتے ہیں۔ ایئر ویو تھیوری کے فریم ورک کے اندر، مدار بند منحنی خطوط ہوتے ہیں: گہرے پانی میں دائرے اور محدود گہرائی میں ایلیپس-سیال پرت کے نچلے حصے تک پہنچنے سے پہلے دائرے ختم ہو جاتے ہیں، اور ایلیپسس سیال پرت کے نچلے حصے کے قریب چپٹے ہو جاتے ہیں۔ لہذا جب لہر پھیلتی ہے، سیال کے ذرات اپنی اوسط پوزیشن کے ارد گرد صرف مدار (ارتعاش) کرتے ہیں۔ پھیلاؤ والی لہر کی حرکت کے ساتھ، سیال کے ذرات اوسط رفتار کے بغیر، لہر کے پھیلاؤ کی سمت میں توانائی منتقل کرتے ہیں۔ مداروں کا قطر آزاد سطح کے نیچے گہرائی کے ساتھ کم ہوتا جاتا ہے۔ گہرے پانی میں مدار کا قطر نصف طول موج کی گہرائی میں اس کی آزاد سطح کی قدر کے 4 فیصد تک کم ہو جاتا ہے۔ اسی طرح، آزاد سطح کے نیچے دباؤ کا ارتعاش بھی ہوتا ہے، جس میں لہر سے پیدا ہونے والے دباؤ کے ارتعاش آزاد سطح کے نیچے گہرائی کے ساتھ کم ہوتے ہیں-اسی طرح جیسے سیال پارسل کی مداری حرکت کے لیے ہوتا ہے۔ لہر کی حرکت کی ریاضیاتی تشکیل بہاؤ کے مسئلے کی تشکیل لہریں افقی سمت میں پھیلتی ہیں، کوآرڈینیٹ کے ساتھ، اور ایک سیال ڈومین جو اوپر ایک آزاد سطح سے جڑا ہوتا ہے، عمودی کوآرڈینیٹ (اوپر کی سمت میں مثبت) اور وقت ہونے کے ساتھ۔ سطح اوسط سطح کی بلندی سے مطابقت رکھتی ہے۔ سیال کی پرت کے نیچے ناقابل تسخیر بستر ہے۔ مزید برآں، یہ خیال کیا جاتا ہے کہ بہاؤ غیر کمپریسبل اور غیر گردش پذیر ہے-مائع کی سطح پر لہروں کے لیے سیال کے اندرونی حصے میں بہاؤ کا ایک اچھا تخمینہ-اور ممکنہ نظریہ کو بہاؤ کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ رفتار کی صلاحیت کا تعلق بہاؤ کی رفتار کے اجزاء سے اور افقی () اور عمودی () سمتوں میں اس طرح ہے: پھر، ایک غیر کمپریسبل بہاؤ کے تسلسل کی مساوات کی وجہ سے، صلاحیت کو لیپلیس مساوات کو پورا کرنا پڑتا ہے: مساوات کے نظام کو بند کرنے کے لیے بیڈ اور آزاد سطح پر باؤنڈری کنڈیشنز کی ضرورت ہوتی ہے۔ لکیری تھیوری کے فریم ورک کے اندر ان کی تشکیل کے لیے، یہ بتانا ضروری ہے کہ بہاؤ کی بیس اسٹیٹ (یا زیروتھ آرڈر حل) کیا ہے۔ یہاں، ہم فرض کرتے ہیں کہ بیس اسٹیٹ آرام دہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ اوسط بہاؤ کی رفتار صفر ہے۔ بیڈ ناقابل تسخیر ہونے کی وجہ سے، کینیمیٹک بیڈ باؤنڈری کنڈیشن کی طرف جاتا ہے: گہرے پانی کی صورت میں-جس کا مطلب پانی کی لامحدود گہرائی ہے، ریاضیاتی نقطہ نظر سے-بہاؤ کی رفتار کو حد میں صفر پر جانا پڑتا ہے کیونکہ عمودی کوآرڈینیٹ مائنس انفینیٹی پر جاتا ہے: آزاد سطح پر، لامحدود لہروں کے لیے، بہاؤ کی عمودی حرکت آزاد سطح کی عمودی رفتار کے برابر ہونی چاہیے۔ یہ کینیمیٹک فری سرفیس باؤنڈری کنڈیشن کی طرف لے جاتا ہے: اگر فری سرفیس ایلیویشن ایک معروف فنکشن ہوتا تو یہ بہاؤ کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے کافی ہوتا۔ تاہم، سطح کی بلندی ایک اضافی نامعلوم ہے، جس کے لیے ایک اضافی حد کی شرط درکار ہے۔ یہ غیر مستحکم ممکنہ بہاؤ کے لیے برنولی کی مساوات کے ذریعے فراہم کیا جاتا ہے۔ آزاد سطح کے اوپر کا دباؤ مستقل سمجھا جاتا ہے۔ اس مستقل دباؤ کو عمومی نقصان کے بغیر صفر کے برابر لیا جاتا ہے، کیونکہ اس طرح کے مستقل دباؤ کی سطح بہاؤ کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔ لکیریائزیشن کے بعد، یہ متحرک فری سرفیس باؤنڈری کنڈیشن دیتا ہے: کیونکہ یہ ایک لکیری تھیوری ہے، فری سرفیس باؤنڈری کنڈیشنز-کینیمیٹک اور متحرک دونوں میں، مساوات () اور ()-کی قیمت اور مقررہ اوسط سطح پر استعمال ہوتی ہے۔ پروگریسو مونوکرومیٹک لہر کا حل ایک ہی فریکوئنسی کی پھیلتی ہوئی لہر کے لیے-ایک مونوکرومیٹک لہر-سطح کی بلندی اس شکل کی ہوتی ہے: متعلقہ رفتار کی صلاحیت، جو سیال کے اندرونی حصے میں لیپلیس مساوات (1) کے ساتھ ساتھ آزاد سطح (2)، اور بیڈ (3) پر کینیمیٹک باؤنڈری کے حالات کو پورا کرتی ہے، یہ ہے: بالترتیب ہائپربولک سائن اور ہائپربولک کوسین فنکشن کے ساتھ۔ لیکن اور متحرک حد کی حالت کو بھی پورا کرنا پڑتا ہے، جس کے نتیجے میں لہر کے طول و عرض کے لیے غیر معمولی (غیر صفر) اقدار صرف اس صورت میں ہوتی ہیں جب لکیری بازی کا تعلق مطمئن ہو: ہائپربولک ٹینجینٹ کے ساتھ۔ لہذا کونیی تعدد اور لہر کی تعداد-یا مساوی مدت اور طول موج-کو آزادانہ طور پر منتخب نہیں کیا جا سکتا، لیکن وہ متعلقہ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ سیال کی سطح پر لہر کا پھیلاؤ ایک آئجن پروبلم ہے۔ منتشر ہونے کے تعلق کو کب اور مطمئن کرتے ہوئے، لہر کے طول و عرض کو آزادانہ طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے (لیکن ہوای لہر کے نظریہ کے درست تخمینہ ہونے کے لیے کافی چھوٹا ہے)۔ لہر کی مقدار کا جدول نیچے دیے گئے جدول میں، ہوای لہر کے نظریہ کے مطابق بہاؤ کی کئی مقدار اور پیرامیٹرز دیے گئے ہیں۔ دی گئی مقدار تھوڑی زیادہ عام صورتحال کے لیے ہے جیسا کہ اوپر دیے گئے حل کے لیے ہے۔ سب سے پہلے، لہریں سطح میں من مانی افقی سمت میں پھیل سکتی ہیں۔ ویوینمبر ویکٹر ہے، اور لہر کی چوٹیوں کے کیموں کے لیے عمودی ہے۔ دوم، الاؤنس ایک اوسط بہاؤ کی رفتار کے لیے بنایا جاتا ہے، افقی سمت میں اور گہرائی پر یکساں (آزاد)۔ یہ منتشر تعلقات میں ڈوپلر شفٹ متعارف کراتا ہے۔ زمین کے طے شدہ مقام پر، مشاہدہ شدہ کونیی تعدد (یا مطلق کونیی تعدد) ہے۔ دوسری طرف، اوسط رفتار کے ساتھ حرکت کرنے والے حوالہ کے فریم میں (لہذا اس حوالہ فریم سے مشاہدہ کردہ اوسط رفتار صفر ہے)، کونیی تعدد مختلف ہے۔ اسے اندرونی کونیی تعدد (یا متعلقہ کونیی تعدد) کہا جاتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ تو خالص لہر کی حرکت میں، دونوں تعدد کے ساتھ اور برابر ہیں۔ لہر نمبر (اور طول موج) حوالہ کے فریم سے آزاد ہیں، اور ان میں کوئی ڈوپلر شفٹ (یک رنگ لہروں کے لیے) نہیں ہے۔ میز صرف بہاؤ کی مقدار کے ارتعاش والے حصے-رفتار، ذرہ گھومنے پھرنے اور دباؤ-دیتی ہے نہ کہ ان کی اوسط قیمت یا بہاؤ۔ آسکیلیٹری پارٹیکل ایکسرشن اور بالترتیب آسکیلیٹری بہاؤ کی رفتار کے ٹائم انٹیگرل ہیں۔ پانی کی گہرائی کو تین نظاموں میں درجہ بند کیا گیا ہے: گہرے پانی-پانی کی گہرائی کے لیے طول موج کے نصف سے زیادہ، لہروں کی مرحلے کی رفتار شاید ہی گہرائی سے متاثر ہوتی ہے (یہ سمندر اور سمندر کی سطح پر ہوا کی زیادہ تر لہروں کا معاملہ ہے)، اتلی پانی-پانی کی گہرائی کے لیے طول موج کے 5 فیصد سے کم، لہروں کی مرحلے کی رفتار صرف پانی کی گہرائی پر منحصر ہے، اور اب مدت یا طول موج کی تقریب نہیں ہے۔ اور درمیانی گہرائی-دیگر تمام معاملات، جہاں پانی کی گہرائی اور مدت (یا طول موج) دونوں کا ہوا لہر کے نظریہ کے حل پر نمایاں اثر پڑتا ہے۔ گہرے اور اتلی پانی کی محدود صورتوں میں، محلول کا تخمینہ آسان بنایا جا سکتا ہے۔ جبکہ درمیانی گہرائی کے لیے، مکمل فارمولیشن کا استعمال کرنا پڑتا ہے۔ سطح کے تناؤ کے اثرات سطح کے تناؤ کی وجہ سے، منتشر ہونے کا تعلق بدل جاتا ہے: سطح کے تناؤ کے ساتھ نیوٹن فی میٹر میں۔ لکیری لہروں کے لیے مذکورہ بالا تمام مساوات ایک جیسی رہتی ہیں، اگر کشش ثقل کی ایکسلریشن کو اس سے تبدیل کر دیا جائے۔ سطح کے تناؤ کے نتیجے میں، لہریں تیزی سے پھیلتی ہیں۔ سطح کا تناؤ صرف مختصر لہروں پر اثر انداز ہوتا ہے، جس کی طول موج پانی اور ہوا کے انٹرفیس کی صورت میں چند ڈیسی میٹر سے بھی کم ہوتی ہے۔ بہت مختصر طول موج کے لیے-2 ملی میٹر یا اس سے کم، ہوا اور پانی کے درمیان انٹرفیس کی صورت میں-کشش ثقل کے اثرات نہ ہونے کے برابر ہیں۔ نوٹ کریں کہ سطح کے تناؤ کو سرفکٹینٹس کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ کیپلری لہروں کی گروپ رفتار-جس پر سطح کے تناؤ کے اثرات کا غلبہ ہے-مرحلے کی رفتار سے زیادہ ہے۔ یہ سطح کشش ثقل کی لہروں کی صورتحال کے برعکس ہے (سطح کے تناؤ کے ساتھ کشش ثقل کے اثرات کے مقابلے میں نہ ہونے کے برابر) جہاں مرحلے کی رفتار گروپ کی رفتار سے تجاوز کرتی ہے۔ انٹرفیشیل لہریں سطح کی لہریں انٹرفیشیل لہروں کا ایک خاص معاملہ ہیں، جو مختلف کثافت کے دو سیالوں کے درمیان انٹرفیس پر ہوتی ہیں۔ لامحدود گہرائی کی دو پرتیں دو سیالوں پر غور کریں جو ایک انٹرفیس سے الگ ہوتے ہیں، اور بغیر مزید حدود کے۔ پھر ان کے منتشر ہونے کا تعلق اس طرح دیا جاتا ہے کہ دونوں سیالوں کی کثافت کہاں اور کہاں ہے، انٹرفیس کے نیچے () اور اوپر () بالترتیب۔ مزید γ انٹرفیس پر سطح کا تناؤ ہے۔ انٹرفیسیل لہروں کے وجود کے لیے، نچلی پرت کو اوپری پرت سے زیادہ بھاری ہونا پڑتا ہے۔ بصورت دیگر، انٹرفیس غیر مستحکم ہے اور ریلیگ-ٹیلر کا عدم استحکام پیدا ہوتا ہے۔ افقی سخت طیاروں کے درمیان دو پرتیں سیالوں کی دو یکساں تہوں کے لیے، انٹرفیس کے نیچے اور اس سے اوپر اوسط موٹائی کی-کشش ثقل کی کارروائی کے تحت اور افقی سخت دیواروں سے اوپر اور نیچے پابند-کشش ثقل کی لہروں کے لیے بازی کا تعلق اس طرح فراہم کیا جاتا ہے: جہاں دوبارہ اور انٹرفیس کے نیچے اور اوپر کثافت ہے، جبکہ ہائپربولک کوٹینجینٹ فنکشن ہے۔ کیس صفر ہونے کی وجہ سے یہ محدود گہرائی کے پانی پر سطح کی کشش ثقل کی لہروں کے منتشر ہونے کے تعلق کو کم کر دیتا ہے۔ اس صورت میں منتشر تعلق دو طریقوں کی اجازت دیتا ہے: ایک باروٹروپک موڈ جہاں آزاد سطح کا طول و عرض انٹرفیسیل لہر کے طول و عرض کے مقابلے میں بڑا ہوتا ہے، اور ایک باروکلینک موڈ جہاں اس کے برعکس ہوتا ہے-انٹرفیسیل لہر آزاد سطح کی لہر سے زیادہ اور اینٹی فیز میں ہوتی ہے۔ اس معاملے کے لیے بازی کا تعلق زیادہ پیچیدہ شکل کا ہے۔ سیکنڈ آرڈر لہر کی خصوصیات کئی سیکنڈ آرڈر لہر کی خصوصیات، جو لہر کے طول و عرض میں کواڈریٹک ہیں، براہ راست ایئر لہر کے نظریہ سے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ وہ بہت سے عملی ایپلی کیشنز میں اہمیت کے حامل ہیں، جیسے لہر کے حالات کی پیشن گوئی۔ ڈبلیو کے بی جے تخمینہ کا استعمال کرتے ہوئے، دوسرے درجے کی لہر کی خصوصیات آہستہ آہستہ مختلف باتھمیٹری، اور دھاروں اور سطح کی بلندی کے اوسط بہاؤ کے تغیرات کی صورت میں لہروں کو بیان کرنے میں بھی اپنی ایپلی کیشنز تلاش کرتی ہیں۔ نیز طول و عرض، تعدد، طول موج اور خود لہر کے میدان کی سمت میں وقت اور خلائی تغیرات کی وجہ سے لہر اور اوسط بہاؤ کے تعاملات کی وضاحت میں۔ دوسرے درجے کی لہر کی خصوصیات کا جدول نیچے دیے گئے جدول میں، دوسرے درجے کی لہر کی کئی خصوصیات-نیز متحرک مساوات جو وہ جگہ اور وقت میں آہستہ آہستہ مختلف حالات کی صورت میں مطمئن کرتی ہیں-دی گئی ہیں۔ ان کے بارے میں مزید تفصیلات ذیل میں مل سکتی ہیں۔ جدول ایک افقی مقامی جہت میں لہر کے پھیلاؤ کے نتائج دیتا ہے۔ مزید اس حصے میں، دو جہتی افقی جگہ میں پھیلاؤ کے عمومی معاملے کے لیے مزید تفصیلی وضاحت اور نتائج دیے گئے ہیں۔ آخری چار مساوات اوسط بہاؤ کے ساتھ تعامل میں باتھمیٹری پر آہستہ آہستہ مختلف لہر ٹرینوں کے ارتقاء کو بیان کرتی ہیں، اور یہ ایک متغیر اصول سے اخذ کی جا سکتی ہیں: ویتھم کا اوسط لاگرانجین طریقہ۔ اوسط افقی-مومنٹم مساوات میں، اب بھی پانی کی گہرائی ہے، یعنی سیال کی پرت کے نیچے بیڈ واقع ہے۔ نوٹ کریں کہ کمیت اور مومنٹم مساوات میں اوسط بہاؤ کی رفتار بڑے پیمانے پر نقل و حمل کی رفتار ہے، جس میں افقی بڑے پیمانے پر نقل و حمل پر لہروں کے سپلیش زون کے اثرات شامل ہیں، نہ کہ اوسط یولیرین رفتار (مثال کے طور پر، جیسا کہ ایک مقررہ بہاؤ میٹر سے ماپا جاتا ہے)۔ لہر توانائی کی کثافت لہر توانائی بنیادی دلچسپی کی مقدار ہے، کیونکہ یہ ایک بنیادی مقدار ہے جو لہر ٹرینوں کے ساتھ منتقل ہوتی ہے۔ جیسا کہ اوپر دیکھا جا سکتا ہے، بہت سی لہر کی مقدار جیسے سطح کی بلندی اور مداری رفتار صفر اوسط (لکیری تھیوری کے فریم ورک کے اندر) کے ساتھ فطرت میں ارتعاش ہیں۔ پانی کی لہروں میں، سب سے زیادہ استعمال ہونے والی توانائی کی پیمائش اوسط لہر توانائی کثافت فی یونٹ افقی رقبہ ہے۔ یہ حرکی اور ممکنہ توانائی کی کثافت کا مجموعہ ہے، جو سیال کی پرت کی گہرائی پر مربوط ہوتا ہے اور لہر کے مرحلے پر اوسط ہوتا ہے۔ حاصل کرنے میں سب سے آسان سطح کشش ثقل کی لہروں کے فی یونٹ افقی رقبے کی اوسط ممکنہ توانائی کی کثافت ہے، جو لہروں کی موجودگی کی وجہ سے ممکنہ توانائی کا انحراف ہے: اوور بار اوسط قدر کی نشاندہی کرتا ہے (جو موجودہ صورت میں وقت کی اوسط یا خلا میں ایک طول موج سے زیادہ اوسط کے طور پر لی جا سکتی ہے)۔ لہر کی حرکت کے فی یونٹ افقی رقبے میں اوسط حرکی توانائی کی کثافت اسی طرح پائی جاتی ہے: اندرونی تعدد کے ساتھ، لہر کی مقدار کا جدول دیکھیں۔ منتشر تعلق کا استعمال کرتے ہوئے، سطح کشش ثقل کی لہروں کا نتیجہ یہ ہے: جیسا کہ دیکھا جا سکتا ہے، اوسط حرکی اور ممکنہ توانائی کی کثافت برابر ہیں۔ یہ ایک قدامت پسند نظام میں ترقی پسند لکیری لہروں کی توانائی کی کثافت کی عمومی خاصیت ہے۔ ممکنہ اور حرکی شراکت کو شامل کرنا، اور، لہر کی حرکت کے فی یونٹ افقی رقبے میں اوسط توانائی کی کثافت یہ ہے: سطح کے تناؤ کے اثرات نہ ہونے کی صورت میں، ان کی شراکت ممکنہ اور حرکی توانائی کی کثافت میں بھی اضافہ کرتی ہے، جو سطح کے تناؤ کے ساتھ ہوتی ہے۔ لہر کا عمل، لہر توانائی کا بہاؤ اور تابکاری کا دباؤ عام طور پر، لہر کی حرکت اور اوسط سیال حرکت کے درمیان توانائی کی منتقلی ہو سکتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ لہر توانائی کی کثافت تمام صورتوں میں ایک محفوظ مقدار نہیں ہے (تخفیف اثرات کو نظر انداز کرتے ہوئے)، لیکن توانائی کی کل کثافت-لہر کی حرکت کے فی یونٹ رقبے میں توانائی کی کثافت اور اوسط بہاؤ کی حرکت کا مجموعہ-ہے۔ تاہم، آہستہ آہستہ مختلف لہر ٹرینوں کے لیے، آہستہ آہستہ مختلف باتھمیٹری اور اوسط بہاؤ کے شعبوں میں پھیلنا، اسی طرح کی اور محفوظ لہر کی مقدار، لہر کا عمل: ایکشن فلکس اور گروپ ویلیوٹی ویکٹر کے ساتھ۔ عمل کا تحفظ ہوا کی لہر کے بہت سے ماڈلز اور لہر کی ہنگامہ آرائی کے ماڈلز کی بنیاد بناتا ہے۔ یہ ویو شولنگ کے حساب کے لیے ساحلی انجینئرنگ ماڈلز کی بنیاد بھی ہے۔ مندرجہ بالا لہر عمل تحفظ مساوات کو وسعت دینے سے لہر توانائی کی کثافت کے لیے مندرجہ ذیل ارتقاء مساوات کی طرف جاتا ہے: اس کے ساتھ: اوسط لہر توانائی کثافت بہاؤ ہے، تابکاری تناؤ ٹینسر ہے اور اوسط رفتار شیر کی شرح ٹینسر ہے۔ غیر تحفظ کی شکل میں اس مساوات میں، فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ ماخذ اصطلاح ہے جو اوسط بہاؤ کے ساتھ لہر کی حرکت کے توانائی کے تبادلے کو بیان کرتی ہے۔ صرف اس صورت میں جب اوسط شیر کی شرح صفر ہو، اوسط لہر توانائی کی کثافت کو محفوظ رکھا جاتا ہے۔ دو ٹینسر اور شکل کے کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم میں ہیں: ویوینمبر ویکٹر کے اجزاء کے ساتھ اور اسی طرح اور اوسط رفتار ویکٹر کے اجزاء۔ لہر کے بڑے پیمانے پر بہاؤ اور لہر کی رفتار لہر کی حرکت سے پیدا ہونے والی فی یونٹ رقبے کی اوسط افقی رفتار-اور لہر سے پیدا ہونے والی بڑے پیمانے پر بہاؤ یا بڑے پیمانے پر نقل و حمل-یہ ہے: جو وقتا فوقتا ترقی پسند پانی کی لہروں کے لیے ایک درست نتیجہ ہے، جو غیر لکیری لہروں کے لیے بھی درست ہے۔ تاہم، اس کی صداقت کا انحصار اس بات پر ہے کہ لہر کی رفتار اور بڑے پیمانے پر بہاؤ کی تعریف کس طرح کی جاتی ہے۔ اسٹوکس نے پہلے ہی وقتا فوقتا غیر لکیری لہروں کے لیے مرحلے کی رفتار کی دو ممکنہ تعریفوں کی نشاندہی کی ہے: اسٹوکس لہر کی رفتار (S1) کی پہلی تعریف-جس میں اوسط یولیرین بہاؤ کی رفتار لہر گرت کے نیچے تمام بلندی کے لیے صفر کے برابر ہے، اور اسٹوکس لہر کی رفتار (S2) کی دوسری تعریف-جس میں اوسط بڑے پیمانے پر نقل و حمل صفر کے برابر ہے۔ لہر کی رفتار اور لہر توانائی کی کثافت کے درمیان مذکورہ بالا تعلق اسٹوکس کی پہلی تعریف کے فریم ورک کے اندر درست ہے۔ تاہم، ساحلی لکیر یا بند لیبارٹری لہر چینل میں عمودی لہروں کے لیے، دوسری تعریف (S2) زیادہ مناسب ہے۔ دوسری تعریف کا استعمال کرتے وقت ان لہر کے نظاموں میں صفر بڑے پیمانے پر بہاؤ اور رفتار ہوتی ہے۔ اس کے برعکس، اسٹوکس کی پہلی تعریف (S1) کے مطابق، لہر کے پھیلاؤ کی سمت میں ایک لہر سے چلنے والا بڑے پیمانے پر بہاؤ ہوتا ہے، جسے مخالف سمت میں اوسط بہاؤ کے ذریعے متوازن کرنا پڑتا ہے-جسے انڈرٹو کہا جاتا ہے۔ تو عام طور پر، اس میں کافی باریکیوں شامل ہیں۔ لہذا لہروں کی فرضی رفتار کی اصطلاح بھی لہر کی رفتار کے بجائے استعمال کی جاتی ہے۔ کمیت اور مومنٹم ارتقاء کی مساوات آہستہ آہستہ مختلف ہونے والے باتھمیٹری، لہر اور اوسط بہاؤ کے شعبوں کے لیے، اوسط بہاؤ کے ارتقاء کو اوسط بڑے پیمانے پر نقل و حمل کی رفتار کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: نوٹ کریں کہ گہرے پانی کے لیے، جب اوسط گہرائی لامحدود تک جاتی ہے، تو اوسط یولیرین رفتار اور اوسط نقل و حمل کی رفتار برابر ہو جاتی ہے۔ بڑے پیمانے پر تحفظ کے لیے مساوات یہ ہے: پانی کی اوسط گہرائی کہاں ہے، جو جگہ اور وقت میں آہستہ آہستہ مختلف ہوتی ہے۔ اسی طرح، اوسط افقی مومنٹم اس طرح تیار ہوتا ہے: مستحکم پانی کی گہرائی کے ساتھ (سمندر کا بیڈ ہے)، لہر تابکاری تناؤ ٹینسر ہے، شناختی میٹرکس ہے اور ڈائیڈک پروڈکٹ ہے: نوٹ کریں کہ افقی مومنٹم صرف اس صورت میں محفوظ ہے جب سمندری بیڈ افقی ہو (مستحکم پانی کی گہرائی مستقل ہو)، نویتھر کے نظریہ کے مطابق۔ مساوات کا نظام لہروں کی وضاحت کے ذریعے بند ہوتا ہے۔ لہر توانائی کے پھیلاؤ کو لہر-عمل تحفظ مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے (کھپت اور غیر لکیری لہر تعاملات کے بغیر): لہر حرکیات کو لہر-کریسٹ تحفظ مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے: کونیی تعدد کے ساتھ (کونیی) لہر نمبر کا ایک فنکشن، جو منتشر تعلق سے متعلق ہے۔ اس کے ممکن ہونے کے لیے، لہر کا میدان مربوط ہونا چاہیے۔ ویو-کریسٹ کنزرویشن کا کرل لینے سے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ ابتدائی طور پر ایرروٹیشنل ویوینمبر فیلڈ ایرروٹیشنل رہتا ہے۔ خالص لہر کی حرکت () میں ایک واحد ذرہ کی پیروی کرتے وقت، لکیری ہوای لہر کے نظریہ کے مطابق، پہلا تخمینہ پانی کے ذرات کے لیے بند الپٹیکل مدار دیتا ہے۔ تاہم، غیر لکیری لہروں کے لیے، ذرات اسٹوکس ڈرفٹ کی نمائش کرتے ہیں جس کے لیے دوسرے درجے کا اظہار ایری ویو تھیوری کے نتائج سے حاصل کیا جا سکتا ہے (دوسرے درجے کی لہر کی خصوصیات پر اوپر کی میز دیکھیں)۔ اسٹوکس ڈرفٹ ویلیوٹی، جو کہ ایک لہر کے چکر کو مدت سے تقسیم کرنے کے بعد ذرہ ڈرفٹ ہے، کا تخمینہ لکیری تھیوری کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے: لہذا یہ بلندی کے فعل کے طور پر مختلف ہوتا ہے۔ دیا گیا فارمولا اسٹوکس کے لیے لہر کی رفتار کی پہلی تعریف ہے۔ جب گہرائی پر مربوط کیا جاتا ہے، تو اوسط لہر کی رفتار کا اظہار بحال ہوتا ہے۔ بوسینسک کا تخمینہ (پانی کی لہریں)-اتلی پانی میں لہروں کے لیے غیر لکیری نظریہ بھی دیکھیں۔ کیپلری لہر-سطح کے تناؤ کی کارروائی کے تحت سطح کی لہریں-نوائڈل لہر-اتلی پانی میں غیر لکیری دورانیے کی لہریں، کورٹی ویگ-ڈی وریس مساوات کا حل ہلکی ڈھلوان مساوات-مختلف گہرائی پر سطح کی لہروں کا اضطراب اور انحراف سمندری سطح کی لہر-حقیقی پانی کی لہریں جیسا کہ سمندر اور سمندر میں دیکھا جاتا ہے اسٹوکس لہر-غیر اتلی پانی کی لہر کی طاقت میں غیر لکیری دورانیے کی لہریں-بجلی کی پیداوار کے لیے سمندر اور سمندری لہروں کا استعمال کرتے ہوئے۔ حوالہ جات تاریخی بھی نوٹ کریں: "ٹریگونومیٹری، زمین کی شکل، لہروں اور لہروں پر"، 396 پی پی۔ میں دوبارہ چھاپا گیا: مزید پڑھنے کے لیے دو حصے، 967 صفحات۔ اصل میں 1879 میں شائع ہوا، چھٹا توسیعی ایڈیشن پہلی بار 1932 میں شائع ہوا۔ 504 پی پی۔ بیرونی روابط ویکی لہروں پر سمندر کی سطح کی لہروں کا لکیری نظریہ۔ ایم آئی ٹی میں پانی کی لہریں۔ پانی کی لہریں لہر میکانکس