Proebsting's paradox
امکان کے نظریہ میں، پروبسٹنگ کا پیراڈوکس ایک ایسی دلیل ہے جو ظاہر کرتی ہے کہ کیلی کا معیار بربادی کا باعث بن سکتا ہے۔ اگرچہ اسے ریاضیاتی طور پر حل کیا جا سکتا ہے، لیکن اس سے کیلی کے عملی اطلاق کے بارے میں کچھ دلچسپ مسائل پیدا ہوتے ہیں، خاص طور پر سرمایہ کاری میں۔ اس کا نام ایڈورڈ او تھورپ نے 2008 میں رکھا اور پہلی بار اس پر تبادلہ خیال کیا۔ اس تضاد کا نام اس کے تخلیق کار، ٹوڈ پروبسٹنگ کے نام پر رکھا گیا تھا۔ تضاد کا بیان اگر کسی شرط کے جیتنے یا ہارنے کا یکساں امکان ہے، اور جیت کے لیے داؤ کا دو گنا ادا کرتا ہے، تو کیلی شرط یہ ہے: دولت کا گنا۔ مثال کے طور پر، اگر ایک 50/50 شرط 2 سے 1 ادا کرتی ہے، تو کیلی 25 ٪ دولت پر شرط لگانے کے لیے کہتی ہے۔ اگر ایک 50/50 شرط 5 سے 1 ادا کرتی ہے، تو کیلی 40 ٪ دولت پر شرط لگانے کے لیے کہتی ہے۔ اب فرض کریں کہ ایک جواری کو 2 سے 1 ادائیگی اور 25 ٪ شرط کی پیشکش کی جاتی ہے۔ اگر نئے شرطوں پر ادائیگی 5 سے 1 میں بدل جائے تو اسے کیا کرنا چاہیے؟ اسے زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے f * کا انتخاب کرنا چاہیے: کیونکہ اگر وہ جیت جاتا ہے تو اس کے پاس 1.5 ہوگا (2 سے 1 مشکلات پر 25 ٪ شرط جیتنے سے 0.0) اور 5f * ؛ اور اگر وہ ہار جاتا ہے تو اسے پہلی شرط سے 0.25 اور دوسری سے f * ادا کرنا ہوگا۔ مشتق کو f * کے حوالے سے لے کر اسے صفر پر ترتیب دینے سے ملتا ہے: جسے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: تو f * = 0.225۔ تضاد یہ ہے کہ اگر شروع سے ہی 5 سے 1 مشکلات پیش کی جائیں تو کل شرط، 0.25 + 0.225 = 0.475، 0.4 کیلی شرط سے بڑی ہے۔ یہ متضاد ہے کہ آپ زیادہ شرط لگاتے ہیں جب کچھ شرط ناموافق مشکلات پر ہوتی ہے۔ ٹوڈ پروبسٹنگ نے ایڈ تھورپ کو ای میل کر کے اس بارے میں پوچھا۔ ایڈ تھورپ نے محسوس کیا کہ کیلی بیٹر کو برباد ہونے کا غیر صفر امکان دینے کے لیے اس خیال کو بڑھایا جا سکتا ہے۔ انہوں نے دکھایا کہ اگر کسی جواری کو 2 سے 1 مشکلات کی پیشکش کی جاتی ہے، تو 4 سے 1، پھر 8 سے 1 اور اسی طرح (n = 1 سے انفینیٹی کے لیے 2n سے 1) کیلی شرط لگانے کے لیے کہتی ہے: ہر بار۔ ان تمام شرطوں کا مجموعہ 1 ہے۔ لہذا کیلی جواری کے پاس اپنی پوری دولت کھونے کا 50 فیصد امکان ہوتا ہے۔ عام طور پر، اگر کوئی بیٹر بی 1 کی ادائیگی کے ساتھ 50/50 تجویز پر کیلی شرط لگاتا ہے، اور پھر اسے بی 2 کی پیشکش کی جاتی ہے، تو وہ کل شرط لگائے گا: پہلی مدت وہ ہے جو بیٹر ابتدائی طور پر بی 2 کی پیشکش کرنے پر شرط لگائے گا۔ دوسری مدت مثبت ہے اگر f2> f1، مطلب یہ ہے کہ اگر ادائیگی میں بہتری آتی ہے، تو کیلی بیٹٹر اس سے زیادہ شرط لگائے گا اگر وہ صرف دوسری ادائیگی کی پیشکش کرے، جبکہ اگر ادائیگی بدتر ہو جاتی ہے تو وہ اس سے کم شرط لگائے گا اگر اسے صرف دوسری ادائیگی کی پیشکش کی جائے۔ عملی اطلاق بہت سے شرطوں میں یہ خصوصیت ہوتی ہے کہ نتائج کا تعین ہونے سے پہلے ادائیگی اور امکانات بدل سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر کھیلوں کی بیٹنگ میں، ایونٹ کے انعقاد سے پہلے لائن کئی بار تبدیل ہو سکتی ہے، اور خبریں سامنے آسکتی ہیں (جیسے چوٹ یا موسم کی پیش گوئی) جو نتائج کے امکان کو تبدیل کرتی ہے۔ سرمایہ کاری میں، اصل میں 20 ڈالر فی حصص پر خریدا گیا اسٹاک اب 10 ڈالر یا 30 ڈالر یا کسی اور قیمت پر دستیاب ہو سکتا ہے۔ کچھ کھیلوں کے بیٹٹر ایونٹ کے نتائج کی پیش گوئی کرنے کے بجائے لائن تبدیلیوں کی توقع سے آمدنی حاصل کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ کچھ تاجر سیکیورٹی کے طویل مدتی بنیادی امکانات کے بجائے ممکنہ قلیل مدتی قیمت کی نقل و حرکت پر توجہ مرکوز کرتے ہیں۔ سرمایہ کاری کی ایک کلاسک مثال ایک تاجر ہے جس کی نمائش کی حدود ہیں، کہتے ہیں کہ اسے کسی بھی اسٹاک میں 10 لاکھ ڈالر سے زیادہ کا خطرہ رکھنے کی اجازت نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ وہ 10 لاکھ ڈالر سے زیادہ کھو نہیں سکتا۔ اگر وہ اسٹاک کا 10 لاکھ ڈالر 20 ڈالر میں خریدتا ہے اور یہ 10 ڈالر تک جاتا ہے، تو وہ مزید 500,000 ڈالر خرید سکتا ہے۔ اگر یہ پھر 5 ڈالر تک جاتا ہے، تو وہ مزید 500,000 ڈالر خرید سکتا ہے۔ اگر یہ صفر پر چلا جاتا ہے، تو وہ لامحدود رقم کھو سکتا ہے، اس کے باوجود کہ اسے کبھی بھی 10 لاکھ ڈالر سے زیادہ کا خطرہ نہیں ہے۔ حل کوئی تضاد نہیں ہے۔ کیلی کا معیار ترقی کی متوقع شرح کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہے ؛ صرف محدود حالات میں یہ لاگ کو زیادہ سے زیادہ کرنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس تضاد کو مسترد کرنے کا ایک آسان طریقہ یہ نوٹ کرنا ہے کہ کیلی فرض کرتی ہے کہ امکانات تبدیل نہیں ہوتے ہیں۔ ایک کیلی بیٹٹر جو جانتا ہے کہ مشکلات تبدیل ہو سکتی ہیں وہ اسے مزید پیچیدہ کیلی شرط میں تبدیل کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ کیلی بیٹر کو 2 سے 1 کی مشکلات پر 50/50 تجویز پر شرط لگانے کا ایک بار کا موقع دیا جاتا ہے۔ وہ جانتے ہیں کہ 50 فیصد امکان ہے کہ 5 سے 1 پر دوسرا ایک بار کا موقع پیش کیا جائے گا۔ اب اسے F1 اور F2 دونوں کے حوالے سے زیادہ سے زیادہ کرنا چاہیے۔ جواب 2 سے 1 پر صفر شرط ثابت ہوتا ہے، اور 5 سے 1 پر شرط لگانے کے موقع کا انتظار کریں، ایسی صورت میں آپ 40 ٪ دولت پر شرط لگاتے ہیں۔ اگر 5 سے 1 مشکلات پیش کیے جانے کا امکان 50 ٪ سے کم ہے، تو صفر اور 25 ٪ کے درمیان کچھ رقم 2 سے 1 پر شرط ہوگی۔ اگر 5 سے 1 مشکلات پیش کیے جانے کا امکان 50 ٪ سے زیادہ ہے، تو کیلی بیٹر دراصل 2 سے 1 مشکلات پر منفی شرط لگائے گا (یعنی، اگر وہ جیتتا ہے تو 1/2 کی ادائیگی کے ساتھ 50/50 کے نتائج پر شرط لگائیں اور اگر وہ ہار جاتا ہے تو 1 ادا کریں)۔ دونوں صورتوں میں، 5 سے 1 مشکلات پر اس کی شرط، اگر موقع پیش کیا جاتا ہے، تو 40 ٪ مائنس 0.7 گنا اس کی 2 سے 1 شرط ہے۔ پیراڈوکس کیا کہتا ہے، بنیادی طور پر، یہ ہے کہ اگر کیلی بیٹر کو اس بارے میں غلط عقائد ہیں کہ مستقبل کی کس شرط کی پیشکش کی جا سکتی ہے، تو وہ کم سے کم انتخاب کر سکتا ہے، اور یہاں تک کہ ٹوٹ بھی سکتا ہے۔ کیلی معیار کو طویل عرصے میں کسی بھی بنیادی طور پر مختلف حکمت عملی سے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرنا چاہیے اور اس کے برباد ہونے کا کوئی امکان نہیں ہے، جب تک کہ بیٹٹر امکانات اور ادائیگیوں کو جانتا ہو۔ ایرون براؤن کی طرف سے اس مسئلے پر آزادانہ غور و فکر کے ذریعے مسائل پر مزید روشنی ڈالی گئی، جس نے ایڈ تھورپ کو ای میل کے ذریعے بھی آگاہ کیا۔ اس فارمولیشن میں، یہ مفروضہ ہے کہ بیٹر پہلے ابتدائی شرط واپس فروخت کرتا ہے، پھر دوسری ادائیگی پر نئی شرط لگاتا ہے۔ اس صورت میں اس کی کل شرط یہ ہے: جو کہ پروبسٹنگ فارمولیشن کے لیے اوپر دیے گئے فارمولے سے بہت ملتی جلتی نظر آتی ہے، سوائے اس کے کہ دوسری میعاد پر نشان الٹ جاتا ہے اور اسے ایک اضافی میعاد سے ضرب دی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، 2 سے 1 ادائیگی کے بعد 5 سے 1 ادائیگی کی اصل مثال دی گئی ہے، اس فارمولے میں بیٹر پہلے 25 ٪ دولت کو 2 سے 1 پر شرط لگاتا ہے۔ جب 5 سے 1 ادائیگی کی پیشکش کی جاتی ہے، تو بیٹر 0.125 کے نقصان پر اصل شرط واپس بیچ سکتا ہے۔ اس کی 2 سے 1 شرط جیتنے پر 0.0 ادا کرتی ہے اور ہارنے پر 0.25 لاگت آتی ہے۔ نئے 5 سے 1 ادائیگی پر، اسے ایک شرط مل سکتی ہے جو جیتنے پر 0.625 ادا کرتی ہے اور ہارنے پر 0.125 لاگت آتی ہے، یہ دونوں ریاستوں میں اس کی اصل شرط سے 0.125 بہتر ہے۔ لہذا اس کی اصل شرط کی قیمت اب-0.125 ہے۔ اس کی دولت کی نئی سطح 0.875 کو دیکھتے ہوئے، اس کی 40 ٪ شرط (5 سے 1 ادائیگی کے لیے کیلی کی رقم) 0.35 ہے۔ دونوں فارمولیشن مساوی ہیں۔ اصل فارمولیشن میں، بیٹر کے پاس 2 سے 1 پر 0.25 شرط اور 5 سے 1 پر 0.225 شرط ہوتی ہے۔ اگر وہ جیت جاتا ہے تو اسے 2.625 ملتا ہے اور اگر وہ ہار جاتا ہے تو اس کے پاس 0.525 ہوتا ہے۔ دوسری فارمولیشن میں، بیٹر کے پاس 5 سے 1 پر 0.875 اور 0.35 شرط ہوتی ہے۔ اگر وہ جیت جاتا ہے تو اسے 2.625 ملتا ہے اور اگر وہ ہار جاتا ہے تو اس کے پاس 0.525 ہوتا ہے۔ دوسری تشکیل واضح کرتی ہے کہ رویے میں تبدیلی مارک ٹو مارکیٹ نقصان کے نتیجے میں ہوتی ہے جس کا تجربہ سرمایہ کار کو ہوتا ہے جب نئی ادائیگی کی پیشکش کی جاتی ہے۔ مالیات کے بارے میں سوچنے کا یہ ایک فطری طریقہ ہے، جواری کے لیے کم فطری۔ اس تشریح میں، ادائیگیوں کو دوگنا کرنے کا لامحدود سلسلہ کیلی بیٹٹر کو حد سے زیادہ کرنے پر آمادہ کرکے اسے برباد نہیں کرتا ہے، یہ اس کے قابو سے باہر تبدیلیوں کے ذریعے اس کی ساری دولت نکالتا ہے۔ حوالہ جات جوا ریاضی معلومات کا نظریہ شماریاتی تضادات افادیت کے نظریہ میں تضادات