Characteristic function (probability theory)
امکان کے نظریہ اور اعداد و شمار میں، کسی بھی حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کی خصوصیت اس کے امکان کی تقسیم کو مکمل طور پر بیان کرتی ہے۔ اگر کوئی بے ترتیب متغیر امکانی کثافت فنکشن کو تسلیم کرتا ہے، تو خصوصیت فنکشن امکان کثافت فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ اس طرح یہ ممکنہ کثافت کے افعال یا مجموعی تقسیم کے افعال کے ساتھ براہ راست کام کرنے کے مقابلے میں تجزیاتی نتائج کے لیے ایک متبادل راستہ فراہم کرتا ہے۔ تقسیم کے خصوصیت والے افعال کے لیے خاص طور پر آسان نتائج ہوتے ہیں جن کی وضاحت بے ترتیب متغیرات کے وزن والے مجموعوں سے ہوتی ہے۔ غیر متغیر تقسیم کے علاوہ، خصوصیت کے افعال کو ویکٹر-یا میٹرکس-ویلیوڈ بے ترتیب متغیرات کے لیے بیان کیا جا سکتا ہے، اور اسے مزید عام معاملات تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے۔ مومنٹ جنریٹنگ فنکشن کے برعکس، خصوصیت کا فنکشن ہمیشہ موجود رہتا ہے جب اسے حقیقی قدر والی دلیل کے فنکشن کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ تقسیم کی خصوصیت فنکشن کے رویے اور تقسیم کی خصوصیات کے درمیان تعلقات ہیں، جیسے لمحات کا وجود اور کثافت فنکشن کا وجود۔ خصوصیت فنکشن بے ترتیب متغیر کو بیان کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ خصوصیت فنکشن، t کا ایک فنکشن، بے ترتیب متغیر X کی امکانات کی تقسیم کے رویے اور خصوصیات کا مکمل طور پر تعین کرتا ہے۔ خصوصیت فنکشن مجموعی تقسیم فنکشن سے ملتا جلتا ہے، (جہاں 1 {X ≤ x} اشارے فنکشن ہے-یہ 1 کے برابر ہے جب، اور صفر بصورت دیگر)، جو بے ترتیب متغیر X کے امکانات کی تقسیم کے رویے اور خصوصیات کا بھی مکمل طور پر تعین کرتا ہے۔ دونوں نقطہ نظر اس لحاظ سے مساوی ہیں کہ ایک فنکشن کو جاننا دوسرے کو تلاش کرنا ہمیشہ ممکن ہے، پھر بھی وہ بے ترتیب متغیر کی خصوصیات کو سمجھنے کے لیے مختلف بصیرت فراہم کرتے ہیں۔ مزید برآں، خاص معاملات میں، اس بات میں اختلافات ہو سکتے ہیں کہ آیا ان افعال کو سادہ معیاری افعال پر مشتمل تاثرات کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اگر کوئی بے ترتیب متغیر کسی کثافت فنکشن کو تسلیم کرتا ہے، تو خصوصیت فنکشن اس کا فورئیر ڈوئل ہے، اس معنی میں کہ ان میں سے ہر ایک دوسرے کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر میں مومنٹ جنریٹنگ فنکشن ہوتا ہے، تو خصوصیت والے فنکشن کے ڈومین کو پیچیدہ سطح تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور تاہم نوٹ کریں کہ تقسیم کا خصوصیت والا فنکشن ہمیشہ موجود رہتا ہے، یہاں تک کہ جب امکان کثافت فنکشن یا مومنٹ جنریٹنگ فنکشن نہ ہو۔ خصوصیت فنکشن کا نقطہ نظر خاص طور پر آزاد بے ترتیب متغیرات کے لکیری امتزاج کے تجزیے میں مفید ہے: مرکزی حد تھیوریم کا کلاسیکی ثبوت خصوصیت کے افعال اور لیوی کے تسلسل تھیوریم کا استعمال کرتا ہے۔ ایک اور اہم اطلاق بے ترتیب متغیرات کے سڑنے کے نظریہ کے لیے ہے۔ تعریف ایک اسکیلر بے ترتیب متغیر X کے لیے خصوصیت فنکشن کو EitX کی متوقع قیمت کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جہاں i خیالی اکائی ہے، اور خصوصیت فنکشن کی دلیل ہے: یہاں FX X کی مجموعی تقسیم فنکشن ہے، fX متعلقہ امکان کثافت فنکشن ہے، QX (p) متعلقہ الٹا مجموعی تقسیم فنکشن ہے جسے کوانٹائل فنکشن بھی کہا جاتا ہے، اور انٹیگرلز ریمن-اسٹیلٹجز قسم کے ہیں۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر X میں امکانی کثافت فنکشن ہے تو خصوصیت فنکشن پیچیدہ ایکسپونینشل میں سائن ریورسل کے ساتھ اس کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ خصوصیت فنکشن کی تعریف میں ظاہر ہونے والے مستقلات کے لیے یہ روایت فورئیر ٹرانسفارم کے معمول سے مختلف ہے۔ مثال کے طور پر، کچھ مصنفین اس کی وضاحت کرتے ہیں، جو بنیادی طور پر پیرامیٹر کی تبدیلی ہے۔ ادب میں دیگر اشارے کا سامنا کیا جا سکتا ہے: ایک امکانی پیمائش p کے لیے خصوصیت فنکشن کے طور پر، یا کثافت f سے متعلق خصوصیت فنکشن کے طور پر۔ عمومی خصوصیات خصوصیت افعال کا تصور کثیر متغیر بے ترتیب متغیرات اور زیادہ پیچیدہ بے ترتیب عناصر کو عام کرتا ہے۔ خصوصیت فنکشن کی دلیل ہمیشہ اس جگہ کے مسلسل دوہری سے تعلق رکھتی ہے جہاں بے ترتیب متغیر X اپنی اقدار لیتا ہے۔ عام صورتوں کے لیے ایسی تعریفیں ذیل میں درج ہیں: اگر X ایک k-جہتی بے ترتیب ویکٹر ہے، تو ویکٹر کا ٹرانسپوز کہاں ہے، اگر X ایک k × p-جہتی بے ترتیب میٹرکس ہے، تو ٹریس آپریٹر کہاں ہے، اگر X ایک پیچیدہ بے ترتیب متغیر ہے، تو کہاں کے لیے پیچیدہ کنجوگیٹ ہے اور پیچیدہ نمبر کا حقیقی حصہ ہے، اگر X ایک k-جہتی پیچیدہ بے ترتیب ویکٹر ہے، تو کہاں کے لیے ویکٹر کا کنجوگیٹ ٹرانسپوز ہے، اگر X (s) ایک سٹوچسٹک عمل ہے، تو تمام افعال t (s) کے لیے اس طرح کہ انٹیگرل ایکس کے تقریبا تمام احساسات کے لیے یکجا ہوتا ہے مثال کے طور پر اوبر ہیٹنگر (1973) خصوصیت کے افعال کی وسیع میزیں فراہم کرتا ہے۔ ایک حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کی خصوصیت کا فنکشن ہمیشہ موجود رہتا ہے، کیونکہ یہ ایک ایسی جگہ پر ایک پابند مسلسل فنکشن کا لازمی جزو ہے جس کی پیمائش محدود ہے۔ ایک خاص فنکشن پوری جگہ پر یکساں طور پر مسلسل ہوتا ہے۔ یہ صفر کے آس پاس کے علاقے میں غیر غائب ہے: φ (0) = 1۔ یہ پابند ہے: |φ (t) | ≤1۔ یہ ہرمیٹین ہے: خاص طور پر، ایک سمیٹرک (اصل کے ارد گرد) بے ترتیب متغیر کی خصوصیت فنکشن حقیقی قدر اور یکساں ہوتی ہے۔ امکان کی تقسیم اور خصوصیت کے افعال کے درمیان ایک بائیجیکشن ہے۔ یعنی، کسی بھی دو بے ترتیب متغیر X1، X2 کے لیے، دونوں میں امکانات کی تقسیم یکساں ہوتی ہے اگر اور صرف اگر۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر X میں k-th ترتیب تک لمحات ہوتے ہیں، تو خصوصیت فنکشن φX پوری حقیقی لائن پر k گنا مسلسل تفریق پذیر ہوتا ہے۔ اس صورت میں اگر ایک خاص فنکشن φX میں صفر پر k-th مشتق ہے، تو بے ترتیب متغیر X میں k تک کے تمام لمحات ہوتے ہیں اگر k یکساں ہے، لیکن صرف اس صورت میں جب k عجیب ہو۔ اگر X1,., Xn آزاد بے ترتیب متغیرات ہیں، اور a1,., an کچھ مستقلات ہیں، تو xi کے لکیری امتزاج کی خصوصیت فنکشن ایک مخصوص صورت میں دو آزاد بے ترتیب متغیرات X1 اور X2 کا مجموعہ ہے جس صورت میں ایک کے پاس دو بے ترتیب متغیرات ہیں جن میں خصوصیت والے افعال ہیں اور۔ اور آزاد ہیں اگر اور صرف اگر۔ خصوصیت فنکشن کا دم کا طرز عمل متعلقہ کثافت فنکشن کی ہموار کا تعین کرتا ہے۔ بے ترتیب متغیر کو بے ترتیب متغیر کی لکیری تبدیلی ہونے دیں۔ کی خصوصیت فنکشن ہے۔ بے ترتیب ویکٹروں کے لیے اور (جہاں A ایک مستقل میٹرکس ہے اور B ایک مستقل ویکٹر ہے)، ہمارے پاس ہے۔ تسلسل امکان کی تقسیم اور خصوصیت کے افعال کے درمیان اوپر بیان کردہ بائیجیکشن ترتیب وار مسلسل ہے۔ یعنی، جب بھی تقسیم کے افعال Fj (x) کی ترتیب کسی تقسیم F (x) میں (کمزور طور پر) یکجا ہوتی ہے، تو خصوصیت کے افعال کی متعلقہ ترتیب φj (t) بھی یکجا ہو جائے گی، اور حد φ (t) قانون F کے خصوصیت کے فنکشن سے مطابقت رکھتی ہے۔ مزید رسمی طور پر، اسے لیوی کے تسلسل تھیوریم کے طور پر بیان کیا گیا ہے: n-متغیر بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب Xj تقسیم میں بے ترتیب متغیر X میں یکجا ہو جاتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ترتیب φXj نقطہ نظر سے کسی فنکشن φ میں یکجا ہو جائے جو اصل میں مسلسل ہو۔ جہاں φ X کا خاص فعل ہے۔ یہ تھیوریم بڑی تعداد کے قانون اور مرکزی حد تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ الٹ فارمولہ مجموعی تقسیم کے افعال اور خصوصیت کے افعال کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت ہے، لہذا اگر ہم دوسرے کو جانتے ہیں تو ان میں سے کسی ایک فنکشن کو تلاش کرنا ممکن ہے۔ خصوصیت فنکشن کی تعریف میں فارمولا ہمیں φ کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے جب ہم تقسیم فنکشن F (یا کثافت f) کو جانتے ہیں۔ اگر، دوسری طرف، ہم خصوصیت فنکشن φ کو جانتے ہیں اور متعلقہ ڈسٹری بیوشن فنکشن کو تلاش کرنا چاہتے ہیں، تو درج ذیل میں سے ایک الٹ نظریہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نظریہ۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر X کا خصوصیت فنکشن φX انٹیگریبل ہے، تو FX بالکل مسلسل ہے، اور اس لیے X کا امکان کثافت فنکشن ہے۔ غیر متغیر صورت میں (یعنی۔ جب X اسکیلر ویلیوڈ ہوتا ہے) تو ڈینسٹی فنکشن اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ ملٹی ویریٹ کیس میں یہ ڈاٹ پروڈکٹ ہے۔ کثافت فنکشن لیبسیگ پیمائش λ: نظریہ (لیوی) کے حوالے سے تقسیم μX کا ریڈون-نیکوڈیم مشتق ہے۔ اگر φX ڈسٹری بیوشن فنکشن FX کا خاص فنکشن ہے، تو دو پوائنٹس a <b ایسے ہیں جو μX کا تسلسل سیٹ ہے (غیر متغیر صورت میں یہ شرط پوائنٹس a اور b پر FX کے تسلسل کے مساوی ہے)، تو اگر X اسکیلر ہے: اس فارمولے کو عددی حساب کے لیے زیادہ آسان شکل میں دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے کیونکہ نیچے سے منسلک بے ترتیب متغیر کے لیے اس طرح حاصل کیا جا سکتا ہے کہ بصورت دیگر، اگر کوئی بے ترتیب متغیر نیچے سے پابند نہیں ہے، تو دینے کی حد، لیکن عددی طور پر ناقابل عمل ہے۔ اگر X ایک ویکٹر بے ترتیب متغیر ہے: نظریہ۔ اگر a (ممکنہ طور پر) X کا ایٹم ہے (غیر متغیر صورت میں اس کا مطلب FX کی تعطل کا نقطہ ہے) تو اگر X اسکیلر ہے: اگر X ایک ویکٹر بے ترتیب متغیر ہے: نظریہ (گل-پیلیز)۔ ایک غیر متغیر بے ترتیب متغیر X کے لیے، اگر x FX کا تسلسل نقطہ ہے تو جہاں ایک پیچیدہ نمبر کا خیالی حصہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اور اس کی کثافت فنکشن یہ ہے کہ: انٹیگرل لیبسیگ-انٹیگریبل نہیں ہو سکتا ؛ مثال کے طور پر، جب X مجرد بے ترتیب متغیر ہے جو ہمیشہ 0 ہوتا ہے، تو یہ ڈیرچلیٹ انٹیگرل بن جاتا ہے۔ ملٹی ویریٹ ڈسٹری بیوشن کے لیے الٹ فارمولے دستیاب ہیں۔ خصوصیت والے افعال کے لیے معیار تمام خصوصیت والے افعال کا مجموعہ بعض کارروائیوں کے تحت بند ہوتا ہے: ایک محدود یا قابل شمار خصوصیت والے افعال کا کنویکس لکیری مجموعہ (کے ساتھ) بھی ایک خصوصیت والا فعل ہے۔ خصوصیت والے افعال کی ایک محدود تعداد کا پروڈکٹ بھی ایک خصوصیت والا فنکشن ہے۔ ایک لامحدود پروڈکٹ کے لیے بھی ایسا ہی ہے بشرطیکہ یہ اصل میں مسلسل فنکشن میں یکجا ہو جائے۔ اگر φ ایک خصوصیت والا فعل ہے اور α ایک حقیقی عدد ہے، تو، Re (φ)، |φ |2، اور φ (αt) بھی خصوصیت والے فعل ہیں۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ کوئی بھی غیر کم ہونے والا کیڈلگ فنکشن F جس کی حدود F (− ini) = 0، F (+ ini) = 1 ہیں، کچھ بے ترتیب متغیر کے مجموعی تقسیم فنکشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ اسی طرح کے سادہ معیار کو تلاش کرنے میں بھی دلچسپی ہے جب کوئی دی گئی فنکشن φ کسی بے ترتیب متغیر کی خصوصیت کا فنکشن ہو سکتا ہے۔ یہاں مرکزی نتیجہ بوچنر تھیوریم ہے، حالانکہ اس کی افادیت محدود ہے کیونکہ تھیوریم کی بنیادی شرط، غیر منفی تعریف، کی تصدیق کرنا بہت مشکل ہے۔ دیگر نظریات بھی موجود ہیں، جیسے کھنچائن، میتھیاس، یا کریمر، حالانکہ ان کا اطلاق اتنا ہی مشکل ہے۔ دوسری طرف پولیا کا نظریہ ایک بہت ہی سادہ کنویکسٹی حالت فراہم کرتا ہے جو کافی ہے لیکن ضروری نہیں ہے۔ خصوصیت والے افعال جو اس شرط کو پورا کرتے ہیں انہیں پولیا ٹائپ کہا جاتا ہے۔ بوچنر کا نظریہ۔ ایک صوابدیدی فعل φ: Rn → C کسی بے ترتیب متغیر کی خصوصیت فعل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب φ مثبت قطعی ہو، اصل پر مسلسل ہو، اور اگر φ (0) = 1 ہو۔ کھنچائن کا معیار۔ ایک پیچیدہ قدر والا، بالکل مسلسل فعل φ، φ (0) = 1 کے ساتھ، ایک خاص فعل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ متھیاس تھیوریم کی نمائندگی کو تسلیم کرے۔ ایک حقیقی قدر والا، یکساں، مسلسل، بالکل مربوط فنکشن φ، φ (0) = 1 کے ساتھ، ایک خصوصیت والا فنکشن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب n = 0,1,2،.، اور تمام p> 0 کے لیے ہو۔ یہاں H2n ڈگری 2n کے ہرمائیٹ کثیر الجہتی کی نشاندہی کرتا ہے۔ پولیا کا نظریہ۔ اگر ایک حقیقی قدر والا، یکساں، مسلسل فنکشن ہے جو شرائط کو پورا کرتا ہے، تو اس کے لیے کنویکس ہے، تو φ (t) تقریبا 0 کے قریب بالکل مسلسل تقسیم سمیٹرک کا خصوصیت والا فنکشن ہے۔ استعمال تسلسل تھیوریم کی وجہ سے، خصوصیت کے افعال مرکزی حد تھیوریم کے سب سے زیادہ کثرت سے دیکھے جانے والے ثبوت میں استعمال ہوتے ہیں۔ خصوصیت والے فنکشن کے ساتھ حساب کتاب کرنے میں شامل اہم تکنیک فنکشن کو کسی خاص تقسیم کے خصوصیت والے فنکشن کے طور پر تسلیم کرنا ہے۔ تقسیم کی بنیادی ہیرا پھیری خصوصیت والے افعال خاص طور پر آزاد بے ترتیب متغیرات کے لکیری افعال سے نمٹنے کے لیے مفید ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر آزاد (اور ضروری نہیں کہ یکساں طور پر تقسیم شدہ) بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ ہے، اور جہاں AI مستقل ہیں، تو Sn کے لیے خصوصیت فنکشن خاص طور پر، کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، خصوصیت فنکشن کی تعریف لکھیں: تیسرے اور چوتھے تاثرات کی مساوات کو قائم کرنے کے لیے X اور Y کی آزادی درکار ہے۔ یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے لیے دلچسپی کا ایک اور خاص معاملہ یہ ہے کہ کب اور پھر Sn نمونہ کا اوسط ہے۔ اس صورت میں، اوسط کے لیے لکھنا، لمحات کی خصوصیت کے افعال کو بے ترتیب متغیر کے لمحات تلاش کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بشرطیکہ n واں مومنٹ موجود ہو، خصوصیت والے فنکشن کو n بار الگ کیا جا سکتا ہے: اسے رسمی طور پر ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کے مشتقات کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جا سکتا ہے: جو مومنٹ کے مسئلے کے باضابطہ حل کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ X میں ایک معیاری کاچی تقسیم ہے۔ پھر۔ یہ t = 0 پر تفریق کے قابل نہیں ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ کاچی تقسیم کی کوئی توقع نہیں ہے۔ نیز، n آزاد مشاہدات کے نمونے کے اوسط کی خصوصیت کی تقریب میں خصوصیت کی تقریب ہوتی ہے، جو پچھلے حصے کے نتیجے کا استعمال کرتی ہے۔ یہ معیاری کاچی تقسیم کا خاص کام ہے: اس طرح، نمونے کا اوسط آبادی کی طرح ہی تقسیم ہوتا ہے۔ ایک اور مثال کے طور پر، فرض کریں کہ X ایک گوسی تقسیم یعنی X کی پیروی کرتا ہے۔ ۔ پھر اور اسی طرح کا حساب ظاہر کرتا ہے اور توقع کی تعریف کو لاگو کرنے اور تشخیص کے لیے حصوں کے ذریعے انضمام کا استعمال کرنے سے زیادہ آسان ہے۔ خصوصیت والے فنکشن کا لوگارتھم ایک کمولنٹ جنریٹنگ فنکشن ہے، جو کمولنٹس کو تلاش کرنے کے لیے مفید ہے۔ کچھ اس کے بجائے کمولنٹ جنریٹنگ فنکشن کو مومنٹ جنریٹنگ فنکشن کے لوگارتھم کے طور پر بیان کرتے ہیں، اور خصوصیت والے فنکشن کے لوگارتھم کو دوسرا کمولنٹ جنریٹنگ فنکشن کہتے ہیں۔ ڈیٹا تجزیہ خصوصیت کے افعال کو ڈیٹا کے نمونوں میں امکانات کی تقسیم کو فٹ کرنے کے طریقہ کار کے حصے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایسے معاملات جہاں یہ دوسرے امکانات کے مقابلے میں قابل عمل آپشن فراہم کرتا ہے ان میں مستحکم تقسیم کو فٹ کرنا شامل ہے کیونکہ کثافت کے لیے بند فارم کے تاثرات دستیاب نہیں ہیں جس کی وجہ سے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے پر عمل درآمد مشکل ہو جاتا ہے۔ تخمینہ کے طریقہ کار دستیاب ہیں جو اعداد و شمار سے شمار کیے گئے تجرباتی خصوصیت کے فنکشن سے نظریاتی خصوصیت کے فنکشن سے میل کھاتے ہیں۔ پالسن اور دیگر۔ (1975) اور ہیتھکوٹ (1977) اس طرح کے تخمینے کے طریقہ کار کے لیے کچھ نظریاتی پس منظر فراہم کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ، یو (2004) ٹائم سیریز ماڈلز کو فٹ کرنے کے لیے تجرباتی خصوصیت کے افعال کی ایپلی کیشنز کو بیان کرتا ہے جہاں امکانات کے طریقہ کار ناقابل عمل ہوتے ہیں۔ تجرباتی خصوصیت کے افعال کو بھی انصاری اور دیگر نے استعمال کیا ہے۔ (2020) اور لی اور دیگر۔ (2020) جنریٹو مخالف نیٹ ورک کی تربیت کے لیے۔ مثال پیمانے کے پیرامیٹر θ اور شکل کے پیرامیٹر k کے ساتھ گاما تقسیم کی خصوصیت فنکشن ہے۔ اب فرض کریں کہ ہمارے پاس X اور Y ایک دوسرے سے آزاد ہیں، اور ہم جاننا چاہتے ہیں کہ X + Y کی تقسیم کیا ہے۔ خصوصیت کے افعال وہ ہیں جو آزادی کے لحاظ سے اور خصوصیت کے فعل کی بنیادی خصوصیات کی طرف لے جاتے ہیں۔ یہ گاما تقسیم پیمانے کے پیرامیٹر θ اور شکل کے پیرامیٹر k1 + k2 کا خصوصیت کا فعل ہے، اور اس لیے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ نتیجہ کو اسی پیمانے کے پیرامیٹر کے ساتھ n آزاد گاما تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات تک بڑھایا جا سکتا ہے اور ہمیں مکمل خصوصیت کے افعال ملتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، خصوصیت کے فعل کی دلیل کو حقیقی نمبر کے طور پر سمجھا جاتا ہے: تاہم، خصوصیت کے افعال کے نظریہ کے کچھ پہلوؤں کو تجزیاتی تسلسل کے ذریعے پیچیدہ سطح میں تعریف کو بڑھا کر آگے بڑھایا جاتا ہے، ایسے معاملات میں جہاں یہ ممکن ہو۔ متعلقہ تصورات میں مومنٹ جنریٹنگ فنکشن اور پروبیبلٹی جنریٹنگ فنکشن شامل ہیں۔ خصوصیت فنکشن تمام امکانات کی تقسیم کے لیے موجود ہے۔ یہ مومنٹ جنریٹنگ فنکشن کا معاملہ نہیں ہے۔ خصوصیت فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم سے گہرا تعلق ہے: امکانی کثافت فنکشن p (x) کی خصوصیت فنکشن p (x) کے مسلسل فورئیر ٹرانسفارم کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے (معمول کے کنونشن کے مطابق ؛ مسلسل فورئیر ٹرانسفارم-دیگر کنونشن دیکھیں)۔ جہاں P (t) امکانی کثافت فنکشن p (x) کی مسلسل فورئیر تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے۔ اسی طرح، p (x) کو φX (t) سے الٹا فورئیر ٹرانسفارم کے ذریعے بازیافت کیا جا سکتا ہے: درحقیقت، یہاں تک کہ جب بے ترتیب متغیر کی کثافت نہیں ہوتی ہے، تب بھی خصوصیت والے فنکشن کو بے ترتیب متغیر سے مطابقت رکھنے والی پیمائش کے فورئیر ٹرانسفارم کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک اور متعلقہ تصور تقسیم کے دانے کو سرایت کرنے کے ذریعے دوبارہ پیدا کرنے والے دانے ہلبرٹ کی جگہ کے عناصر کے طور پر امکان کی تقسیم کی نمائندگی ہے۔ اس فریم ورک کو دانا فنکشن کے مخصوص انتخاب کے تحت خصوصیت فنکشن کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ذیلی آزادی بھی دیکھیں، جو آزادی سے کمزور حالت ہے، جس کی تعریف خصوصیت کے افعال کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ کمولنٹ، کمولنٹ پیدا کرنے والے افعال کی ایک اصطلاح، جو خصوصیت کے افعال کے لاگ ہیں۔ نوٹوں کے حوالہ جات ذرائع بیرونی روابط امکانات کی تقسیم سے متعلق افعال