Maxwell stress tensor
میکس ویل اسٹریس ٹینسر (جیمز کلرک میکس ویل کے نام سے منسوب) ایک ہم آہنگ دوسرے درجے کا ٹینسر ہے جو کلاسیکی برقی مقناطیسیت میں برقی مقناطیسی قوتوں اور مکینیکل رفتار کے درمیان تعامل کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ سادہ حالات میں، جیسے کہ ایک یکساں مقناطیسی میدان میں آزادانہ طور پر حرکت کرنے والا پوائنٹ چارج، لورینٹز قوت قانون سے چارج پر قوتوں کا حساب لگانا آسان ہے۔ جب صورتحال زیادہ پیچیدہ ہو جاتی ہے، تو یہ عام طریقہ کار ناقابل عمل طور پر مشکل ہو سکتا ہے، جس میں مساوات متعدد لائنوں پر پھیلی ہوتی ہیں۔ لہذا میکسویل اسٹریس ٹینسر میں ان میں سے بہت سی اصطلاحات کو جمع کرنا، اور ہاتھ میں موجود مسئلے کا جواب تلاش کرنے کے لیے ٹینسر ریاضی کا استعمال کرنا آسان ہے۔ برقی مقناطیسیت کی رشتہ دار تشکیل میں، میکسویل کا ٹینسر برقی مقناطیسی تناؤ-توانائی ٹینسر کے ایک حصے کے طور پر ظاہر ہوتا ہے جو کل تناؤ-توانائی ٹینسر کا برقی مقناطیسی جزو ہے۔ مؤخر الذکر خلائی وقت میں توانائی اور رفتار کی کثافت اور بہاؤ کو بیان کرتا ہے۔ محرک جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے، برقی مقناطیسی قوت کو اور کے لحاظ سے لکھا جاتا ہے۔ ویکٹر کیلکولس اور میکسویل کی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، اور پر مشتمل اصطلاحات میں ہم آہنگی کی تلاش کی جاتی ہے، اور میکسویل اسٹریس ٹینسر کو متعارف کرانا نتیجہ کو آسان بناتا ہے۔ مومنٹم کے تحفظ کے لیے مذکورہ بالا تعلق میں، مومنٹم فلکس ڈینسٹی ہے اور پوئنٹنگ کے نظریہ میں اسی طرح کا کردار ادا کرتی ہے۔ مندرجہ بالا مشتق دونوں اور (آزاد اور پابند چارجز اور کرنٹس دونوں) کا مکمل علم فرض کرتا ہے۔ غیر لکیری مواد کے معاملے کے لیے (جیسے کہ BH-منحنی کے ساتھ مقناطیسی لوہا)، غیر لکیری میکسویل اسٹریس ٹینسر کا استعمال کیا جانا چاہیے۔ مساوات طبیعیات میں، میکسویل تناؤ ٹینسر برقی مقناطیسی میدان کا تناؤ ٹینسر ہے۔ جیسا کہ ایس آئی اکائیوں میں اوپر اخذ کیا گیا ہے، یہ اس طرح دیا گیا ہے:، جہاں برقی مستقل ہے اور مقناطیسی مستقل ہے، برقی میدان ہے، مقناطیسی میدان ہے اور کرونکر کا ڈیلٹا ہے۔ گوسیائی سی جی ایس اکائی میں، یہ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے:، مقناطیسی میدان کہاں ہے۔ اس ٹینسر کو ظاہر کرنے کا ایک متبادل طریقہ یہ ہے کہ: ڈائیڈک پروڈکٹ کہاں ہے، اور آخری ٹینسر یونٹ ڈائیڈ ہے: میکسویل اسٹریس ٹینسر کے عنصر میں فی یونٹ وقت کے رقبے کی فی یونٹ رفتار کی اکائیاں ہوتی ہیں اور رفتار کا بہاؤ متوازی طور پر دیتا ہے۔ وقت کی فی یونٹ سطح کو عام طور پر ویں محور (منفی سمت میں) سے عبور کرنا۔ ان اکائیوں کو رقبے کی فی اکائی قوت کی اکائیوں (منفی دباؤ) کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے، اور ٹینسر کے عنصر کی تشریح اس قوت کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے جو کہ فی اکائی رقبے کی سطح کے نوم اور تھ محور کے متوازی ہوتی ہے۔ درحقیقت، اخترن عناصر ایک تفریق ایریا عنصر پر کام کرنے والے تناؤ (کھینچنے) کو اسی محور کے لیے نارمل دیتے ہیں۔ مثالی گیس کے دباؤ کی وجہ سے قوتوں کے برعکس، برقی مقناطیسی میدان میں ایک علاقائی عنصر بھی ایسی سمت میں ایک قوت محسوس کرتا ہے جو عنصر کے لیے معمول نہیں ہے۔ یہ شیر تناؤ ٹینسر کے غیر اخترن عناصر کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ مقناطیسیتیات میں اگر میدان صرف مقناطیسی ہے (جو مثال کے طور پر موٹروں میں بڑی حد تک درست ہے)، تو کچھ اصطلاحات ختم ہو جاتی ہیں، اور ایس آئی اکائیوں میں مساوات بن جاتی ہے: سلنڈریکل اشیاء کے لیے، جیسے کہ موٹر کا روٹر، اس کو مزید آسان بنایا جاتا ہے: ریڈیل (سلنڈر سے باہر کی طرف) سمت میں کسر کہاں ہے، اور ٹینجینشیل (سلنڈر کے ارد گرد) سمت میں کسر ہے۔ یہ ٹینجینشیل فورس ہے جو موٹر کو گھومتی ہے۔ شعاعی سمت میں بہاؤ کی کثافت ہے، اور ٹینجینشیل سمت میں بہاؤ کی کثافت ہے۔ الیکٹروسٹیٹکس میں الیکٹروسٹیٹکس میں مقناطیسیت کے اثرات موجود نہیں ہیں۔ اس صورت میں مقناطیسی میدان غائب ہو جاتا ہے، یعنی۔ ، اور ہم الیکٹروسٹیٹک میکسویل اسٹریس ٹینسر حاصل کرتے ہیں۔ یہ جزو کی شکل میں علامتی شکل میں دیا جاتا ہے جہاں عام طور پر مناسب شناختی ٹینسر ہوتا ہے۔ آئجین ویلیو میکس ویل اسٹریس ٹینسر کی آئجین ویلیوز اس طرح دی جاتی ہیں: یہ آئجین ویلیوز شرمین-موریسن فارمولے کے ساتھ مل کر میٹرکس ڈیٹرمیننٹ لیما کو بار بار لاگو کرکے حاصل کی جاتی ہیں۔ یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ خصوصیت مساوات میٹرکس،، اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں ہم میٹرکس ڈیٹرمیننٹ لیما کو ایک بار لاگو کرتے ہیں، اس سے ہمیں ملتا ہے کہ اسے دوبارہ لاگو کرنے سے نتیجہ ملتا ہے، RHS پر آخری ضرب سے، ہم فوری طور پر دیکھتے ہیں کہ یہ آئگن ویلیوز میں سے ایک ہے۔ کا الٹا تلاش کرنے کے لیے، ہم شرمین-موریسن فارمولا استعمال کرتے ہیں: ڈیٹرمیننٹ میں ایک اصطلاح کو فیکٹر کرنے کے بعد، ہمارے پاس عقلی فعل کے صفر تلاش کرنے کے لیے رہ جاتے ہیں: اس طرح، ایک بار جب ہم حل کر لیتے ہیں تو ہم دیگر دو آئجین ویلیوز حاصل کر لیتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ ریکی کیلکولس برقی اور مقناطیسی شعبوں کی توانائی کی کثافت پوائنٹنگ ویکٹر برقی مقناطیسی تناؤ-توانائی ٹینسر مقناطیسی دباؤ مقناطیسی تناؤ قوت حوالہ جات ڈیوڈ جے گریفتھس، "الیکٹرو ڈائنامکس کا تعارف" پی پی۔ 351-352، بینجمن کمنگز انکارپوریٹڈ، 2008 جان ڈیوڈ جیکسن، "کلاسیکی الیکٹروڈائنامکس، تیسرا ایڈیشن۔ "، جان ولی اینڈ سنز، انکارپوریٹڈ، 1999۔ رچرڈ بیکر، "برقی مقناطیسی میدان اور تعاملات"، ڈوور پبلکیشنز انکارپوریٹڈ، 1964۔ ٹینسر جسمانی مقدار برقی مقناطیسیت جیمز کلرک میکسویل