Convection–diffusion equation
کنویکشن-ڈفیوژن مساوات پھیلاؤ اور کنویکشن (ایڈویکشن) مساوات کا ایک مجموعہ ہے، اور جسمانی مظاہر کو بیان کرتا ہے جہاں ذرات، توانائی، یا دیگر جسمانی مقداروں کو دو عملوں کی وجہ سے جسمانی نظام کے اندر منتقل کیا جاتا ہے: پھیلاؤ اور کنویکشن۔ سیاق و سباق کے لحاظ سے، اسی مساوات کو ایڈویکشن-ڈفیوژن مساوات، ڈرفٹ-ڈفیوژن مساوات، یا (عام) اسکیلر ٹرانسپورٹ مساوات کہا جا سکتا ہے۔ مساوات عمومی عمومی مساوات وہ ہے جہاں دلچسپی کا متغیر ہے (بڑے پیمانے پر منتقلی کے لیے پرجاتیوں کا ارتکاز، حرارت کی منتقلی کے لیے درجہ حرارت)، بازی (جسے بازی گتانک بھی کہا جاتا ہے) ہے، جیسے کہ ذرہ حرکت کے لیے بڑے پیمانے پر بازی یا حرارت کی نقل و حمل کے لیے تھرمل بازی، وہ رفتار کا میدان ہے جس کے ساتھ مقدار حرکت کر رہی ہے۔ یہ وقت اور جگہ کا ایک فعل ہے۔ مثال کے طور پر، ایڈویکشن میں، دریا میں نمک کا ارتکاز ہو سکتا ہے، اور پھر وقت اور مقام کی تقریب کے طور پر پانی کے بہاؤ کی رفتار ہوگی۔ ایک اور مثال، ایک پرسکون جھیل میں چھوٹے بلبلوں کا ارتکاز ہو سکتا ہے، اور پھر بلبلے کے وقت اور مقام کے لحاظ سے بہاؤ (نیچے دیکھیں) کے ذریعے سطح کی طرف بڑھتے ہوئے بلبلوں کی رفتار ہوگی۔ سوراخ دار میڈیا میں ملٹی فیز بہاؤ اور بہاؤ کے لیے، (فرضی) سطحی رفتار ہے۔ مقدار کے ذرائع یا ڈوب کی وضاحت کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی کیمیائی نوع کے لیے، اس کا مطلب یہ ہے کہ کیمیائی تعامل زیادہ پرجاتیوں کو پیدا کر رہا ہے، اور اس کا مطلب یہ ہے کہ کیمیائی تعامل پرجاتیوں کو تباہ کر رہا ہے۔ حرارت کی نقل و حمل کے لیے، اس صورت میں ہو سکتا ہے جب تھرمل توانائی رگڑ کے ذریعے پیدا ہو رہی ہو۔ میلان کی نمائندگی کرتا ہے اور انحراف کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس مساوات میں، ارتکاز میلان کی نمائندگی کرتا ہے۔ شامل اصطلاحات کو سمجھنا مساوات کا دایاں رخ تین شراکتوں کا مجموعہ ہے۔ پہلا، پھیلاؤ کو بیان کرتا ہے۔ تصور کریں کہ یہ کسی کیمیائی کا ارتکاز ہے۔ جب ارد گرد کے علاقوں کے مقابلے میں کہیں کم ارتکاز ہو (مثال کے طور پر۔ مقامی کم از کم ارتکاز)، مادہ ارد گرد سے پھیل جائے گا، لہذا ارتکاز میں اضافہ ہوگا۔ اس کے برعکس، اگر ارتکاز ارد گرد کے مقابلے میں زیادہ ہے (مثال کے طور پر۔ ایک مقامی زیادہ سے زیادہ ارتکاز)، پھر مادہ پھیل جائے گا اور ارتکاز کم ہو جائے گا۔ خالص پھیلاؤ ارتکاز کے لیپلاشین (یا دوسرا مشتق) کے متناسب ہوتا ہے اگر پھیلاؤ مستقل ہو۔ دوسری شراکت، کنویکشن (یا ایڈویکشن) کو بیان کرتی ہے۔ تصور کریں کہ دریا کے کنارے کھڑے ہو کر ہر سیکنڈ میں پانی کی نمکیات (نمک کی مقدار) کی پیمائش کریں۔ اوپر کی طرف، کوئی نمک کی ایک بالٹی دریا میں پھینک دیتا ہے۔ تھوڑی دیر بعد، آپ دیکھیں گے کہ نمکیات اچانک بڑھتا ہے، پھر گرتا ہے، جیسے جیسے نمکین پانی کا خطہ گزرتا ہے۔ اس طرح، بہاؤ کی وجہ سے کسی دی گئی جگہ پر ارتکاز تبدیل ہو سکتا ہے۔ حتمی شراکت، مقدار کی تخلیق یا تباہی کو بیان کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی مالیکیول کا ارتکاز ہے، تو یہ بیان کرتا ہے کہ کیمیائی تعاملات سے مالیکیول کو کیسے بنایا یا تباہ کیا جا سکتا ہے۔ یہ دوسرے پیرامیٹرز کا فنکشن ہو سکتا ہے۔ اکثر کئی مقداریں ہوتی ہیں، ہر ایک کی اپنی کنویکشن-ڈفیوژن مساوات ہوتی ہے، جہاں ایک مقدار کی تباہی دوسرے کی تخلیق پر مشتمل ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، جب میتھین جلتا ہے، تو اس میں نہ صرف میتھین اور آکسیجن کی تباہی شامل ہوتی ہے بلکہ کاربن ڈائی آکسائیڈ اور آبی بخارات کی تخلیق بھی شامل ہوتی ہے۔ لہذا، اگرچہ ان کیمیکلز میں سے ہر ایک کی اپنی کنویکشن-ڈفیوژن مساوات ہوتی ہے، لیکن وہ ایک ساتھ جڑے ہوتے ہیں اور انہیں بیک وقت تفریقی مساوات کے نظام کے طور پر حل کیا جانا چاہیے۔ عام آسانیاں ایک عام صورتحال میں، پھیلاؤ کا گتانک مستقل ہوتا ہے، کوئی ماخذ یا سنک نہیں ہوتے ہیں، اور رفتار کا میدان ایک غیر کمپریسبل بہاؤ کو بیان کرتا ہے (یعنی، اس میں صفر انحراف ہوتا ہے)۔ پھر فارمولا آسان ہو جاتا ہے: اس شکل میں، کنویکشن-ڈفیوژن مساوات پیرابولک اور ہائپربولک جزوی تفریق مساوات دونوں کو یکجا کرتی ہے۔ غیر تعامل کرنے والے مادے میں، (مثال کے طور پر، جب درجہ حرارت مطلق صفر کے قریب ہوتا ہے، ڈائلیوٹ گیس میں تقریبا صفر ماس ڈفیوزیویٹی ہوتی ہے)، اس لیے نقل و حمل کی مساوات سادہ ہے: عارضی اور مقامی دونوں ڈومین میں فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے (یعنی، انٹیگرل کرنل کے ساتھ)، اس کی خصوصیت کی مساوات حاصل کی جا سکتی ہے: جو عمومی حل فراہم کرتی ہے: جہاں کوئی تفریق پذیر اسکیلر فنکشن ہے۔ یہ ٹائم آف فلائٹ طریقہ کار کے ذریعے بوس آئن سٹائن کنڈینسیٹ کے قریب درجہ حرارت کی پیمائش کی بنیاد ہے۔ اسٹیشنری کنویکشن-ڈفیوژن مساوات ایک کنویکٹو-پھیلاؤ والے نظام کے مستحکم حالت کے رویے کو بیان کرتی ہے۔ مستحکم حالت میں، تو فارمولا یہ ہے: مشتق-پھیلاؤ مساوات تسلسل مساوات سے سیدھے سیدھے طریقے سے اخذ کی جا سکتی ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ تفریق کنٹرول حجم میں اسکیلر مقدار کے لیے تبدیلی کی شرح کنٹرول حجم کے اندر کسی بھی نسل یا کھپت کے ساتھ نظام کے اس حصے میں اور باہر بہاؤ اور پھیلاؤ کے ذریعے دی جاتی ہے: کل بہاؤ کہاں ہے اور اس کے لیے خالص حجم کا ذریعہ ہے۔ اس صورت حال میں بہاؤ کے دو ذرائع ہیں۔ سب سے پہلے، پھیلاؤ کی وجہ سے پھیلاؤ پیدا ہوتا ہے۔ اس کا تخمینہ عام طور پر فک کے پہلے قانون سے لگایا جاتا ہے: یعنی نظام کے کسی بھی حصے میں پھیلے ہوئے مادے کا بہاؤ (بلک موشن سے متعلق) مقامی ارتکاز میلان کے متناسب ہوتا ہے۔ دوسرا، جب مجموعی طور پر کنویکشن یا بہاؤ ہوتا ہے، تو ایک وابستہ بہاؤ ہوتا ہے جسے ایڈویکٹو فلکس کہا جاتا ہے: کل بہاؤ (ایک اسٹیشنری کوآرڈینیٹ سسٹم میں) ان دونوں کے مجموعے سے دیا جاتا ہے: تسلسل کی مساوات میں پلگ کرنا: پیچیدہ اختلاط کے مظاہر عام طور پر،،، اور جگہ اور وقت کے ساتھ مختلف ہو سکتے ہیں۔ ایسے معاملات میں جن میں وہ ارتکاز پر بھی انحصار کرتے ہیں، مساوات غیر لکیری ہو جاتی ہے، جس سے بہت سے مخصوص اختلاط کے مظاہر جیسے کہ ریلیگ-بینارڈ کنویکشن کو جنم ملتا ہے جب گرمی کی منتقلی کی تشکیل میں درجہ حرارت اور رد عمل کے پھیلاؤ کے نمونے کی تشکیل پر منحصر ہوتا ہے جب بڑے پیمانے پر منتقلی کی تشکیل میں ارتکاز پر منحصر ہوتا ہے۔ کسی قوت کے جواب میں رفتار بعض صورتوں میں، اوسط رفتار کا میدان ایک قوت کی وجہ سے موجود ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، مساوات مائع میں تحلیل ہونے والے آئنوں کے بہاؤ کو بیان کر سکتی ہے، جس میں برقی میدان آئنوں کو کسی سمت کھینچتا ہے (جیسا کہ جیل الیکٹروفورسس میں)۔ اس صورت حال میں، اسے عام طور پر ڈرفٹ-ڈفیوژن مساوات یا سمولوچووسکی مساوات کہا جاتا ہے، ماریان سمولوچووسکی کے بعد جس نے اسے 1915 میں بیان کیا تھا (آئن سٹائن-سمولوچووسکی رشتہ یا سمولوچووسکی کوگولیشن مساوات کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا)۔ عام طور پر، اوسط رفتار اطلاق شدہ قوت کے براہ راست متناسب ہوتی ہے، جس سے مساوات ملتی ہے: قوت کہاں ہے، اور رگڑ یا چپچپا ڈریگ کی خصوصیت ہے۔ (الٹا موبلٹی کہلاتا ہے۔) آئن سٹائن تعلق کی ماخوذیت جب قوت کسی ممکنہ توانائی سے وابستہ ہوتی ہے (قدامت پسند قوت دیکھیں)، تو مندرجہ بالا مساوات کا مستحکم ریاستی حل (یعنی) ہے: (فرض کرتے ہوئے اور مستقل ہیں)۔ دوسرے لفظوں میں، زیادہ ذرات ہوتے ہیں جہاں توانایٔی کم ہوتی ہے۔ توقع کی جاتی ہے کہ یہ ارتکاز پروفائل بولٹزمین کی تقسیم (زیادہ واضح طور پر، گبز کی پیمائش) سے متفق ہوگا۔ اس مفروضے سے، آئن سٹائن کا تعلق ثابت کیا جا سکتا ہے: سمولوچووسکی کنویکشن-ڈفیوژن مساوات سمولوچووسکی کنویکٹو-ڈفیوژن مساوات ایک اضافی کنویکٹو فلو فیلڈ کے ساتھ ایک اسٹاکسٹک (سمولوچووسکی) ڈفیوژن مساوات ہے، اس معاملے میں، یہ قوت دو کولائیڈل ذرات کے درمیان قدامت پسند انٹر پارٹیکل انٹرایکشن فورس یا سیال میں دو مالیکیولز کے درمیان انٹر مالیکیولر انٹرایکشن فورس کو بیان کرتی ہے، اور اس کا بیرونی طور پر عائد کردہ بہاؤ کی رفتار سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ اس مساوات کا مستحکم ریاستی ورژن شیر کے بہاؤ کے تحت کولائڈل معطلی کے جوڑے کی تقسیم کی تقریب (جس کے ساتھ شناخت کی جا سکتی ہے) کی تفصیل فراہم کرنے کی بنیاد ہے۔ اس مساوات کے مستحکم حالت ورژن کا ایک تخمینہ حل مماثل غیر علامتی پھیلاؤ کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے پایا گیا ہے۔ یہ حل شیر کے بہاؤ میں دو مالیکیولز کی نقل و حمل پر قابو پانے والی رد عمل کی شرح کے لیے ایک نظریہ فراہم کرتا ہے، اور شیر کے بہاؤ کے تابع کولائڈیل سسٹمز تک کولائڈیل استحکام کے ڈی ایل وی او نظریہ کو بڑھانے کا ایک طریقہ بھی فراہم کرتا ہے۔ مائکرو فلوڈکس، کیمیائی ری ایکٹروں، ماحولیاتی بہاؤ میں)۔ اسٹیڈی اسٹیٹ مساوات کا مکمل حل، جو مماثل ایسمپٹوٹک توسیع کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا گیا ہے، الیشیو زیکون اور ایل بینیٹا نے شیر کے بہاؤ میں لینارڈ جونز کے تعامل کرنے والے ذرات کے جوڑے کی تقسیم کے فنکشن کا حساب لگانے کے لیے تیار کیا ہے اور اس کے بعد شیر کے بہاؤ میں چارج مستحکم (یوکاوا یا ڈیبی-ہکل) کولائڈل ذرات کے جوڑے کی تقسیم کے فنکشن کا حساب لگانے کے لیے توسیع کی گئی ہے۔ ایک سٹوچسٹک تفریق مساوات کے طور پر کنویکشن-ڈفیوژن مساوات (جس میں کوئی ماخذ یا ڈرینز نہیں ہیں) کو ایک سٹوچسٹک تفریق مساوات کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو بازی اور تعصب کے ساتھ بے ترتیب حرکت کو بیان کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، مساوات کسی واحد ذرہ کی براؤنین حرکت کو بیان کر سکتی ہے، جہاں متغیر ذرہ کے لیے کسی مقررہ وقت پر دی گئی پوزیشن میں ہونے کے امکانات کی تقسیم کو بیان کرتا ہے۔ مساوات کو اس طرح استعمال کرنے کی وجہ یہ ہے کہ کسی ایک ذرہ کی امکانات کی تقسیم اور لامحدود بہت سے ذرات کے مجموعے کے ارتکاز پروفائل کے درمیان کوئی ریاضیاتی فرق نہیں ہے (جب تک کہ ذرات ایک دوسرے کے ساتھ تعامل نہ کریں)۔ لینجین مساوات ایڈویکشن، پھیلاؤ، اور دیگر مظاہر کو واضح طور پر غیر معمولی انداز میں بیان کرتی ہے۔ لینجین مساوات کی سب سے آسان شکلوں میں سے ایک یہ ہے کہ جب اس کی "شور کی اصطلاح" گوسیئن ہو ؛ اس صورت میں، لینجین مساوات بالکل کنویکشن-ڈفیوژن مساوات کے مساوی ہے۔ تاہم، لینجین مساوات زیادہ عام ہے۔ عددی حل کنویکشن-ڈفیوژن مساوات کو شاذ و نادر ہی قلم اور کاغذ سے حل کیا جا سکتا ہے۔ اکثر، کمپیوٹرز کو عددی طور پر مساوات کے حل کا تخمینہ لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، عام طور پر محدود عنصر کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے۔ مزید تفصیلات اور الگورتھم کے لیے دیکھیں: کنویکشن-ڈفیوژن مساوات کا عددی حل۔ دوسرے سیاق و سباق میں اسی طرح کی مساوات کنویکشن-ڈفیوژن مساوات ایک نسبتا سادہ مساوات ہے جو بہاؤ کو بیان کرتی ہے، یا متبادل طور پر، اسٹاکسٹک طور پر بدلتے ہوئے نظام کو بیان کرتی ہے۔ لہذا، ایک ہی یا اسی طرح کی مساوات بہت سے سیاق و سباق میں پیدا ہوتی ہے جس کا خلا میں بہاؤ سے کوئی تعلق نہیں ہوتا ہے۔ یہ رسمی طور پر کسی ذرہ کی رفتار کے لیے فوکر-پلانک مساوات سے ملتا جلتا ہے۔ اس کا مالیاتی ریاضی میں بلیک-شولز مساوات اور دیگر مساوات سے گہرا تعلق ہے۔ اس کا نیویئر-اسٹوکس مساوات سے گہرا تعلق ہے، کیونکہ کسی سیال میں رفتار کا بہاؤ ریاضیاتی طور پر کمیت یا توانائی کے بہاؤ سے ملتا جلتا ہے۔ غیر کمپریسبل نیوٹنین سیال کی صورت میں خط و کتابت واضح ترین ہوتا ہے، اس صورت میں نیویئر-اسٹوکس مساوات یہ ہے: جہاں ہر نقطہ پر سیال کی رفتار (فی یونٹ حجم) ہے (رفتار سے ضرب کی کثافت کے برابر)، چپچپا ہے، سیال کا دباؤ ہے، اور کشش ثقل جیسی کوئی دوسری جسمانی قوت ہے۔ اس مساوات میں، بائیں ہاتھ کی طرف کی اصطلاح کسی دیئے گئے نقطہ پر مومنٹم میں تبدیلی کو بیان کرتی ہے۔ دائیں طرف کی پہلی اصطلاح وسکوسیٹی کے ذریعہ مومنٹم کے پھیلاؤ کو بیان کرتی ہے۔ دائیں طرف کی دوسری اصطلاح مومنٹم کے ایڈویکٹو بہاؤ کو بیان کرتی ہے۔ اور دائیں طرف کی آخری دو اصطلاحات بیرونی اور اندرونی قوتوں کو بیان کرتی ہیں جو مومنٹم کے ذرائع یا ڈوب کے طور پر کام کر سکتی ہیں۔ سیمی کنڈکٹر فزکس میں سیمی کنڈکٹر فزکس میں، اس مساوات کو ڈرفٹ-ڈفیوژن مساوات کہا جاتا ہے۔ لفظ "ڈرفٹ" کا تعلق ڈرفٹ کرنٹ اور ڈرفٹ ویلیوٹی سے ہے۔ مساوات عام طور پر لکھی جاتی ہے: جہاں الیکٹرانوں اور سوراخوں کی ارتکاز (کثافت) بالترتیب ابتدائی چارج ہے، اور بالترتیب الیکٹرانوں اور سوراخوں کی وجہ سے برقی کرنٹ ہیں، اور بالترتیب الیکٹرانوں اور سوراخوں کے متعلقہ "ذرہ کرنٹ" ہیں، کیریئر جنریشن اور ریکومبینیشن کی نمائندگی کرتے ہیں (الیکٹران-ہول جوڑوں کی نسل کے لیے، ریکومبینیشن کے لیے)۔ برقی فیلڈ ویکٹر ہے اور الیکٹران اور سوراخ کی نقل و حرکت ہے۔ پھیلاؤ گتانک اور نقل و حرکت کا تعلق آئن سٹائن کے سلسلے سے ہے جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے: جہاں بولٹزمین مستقل ہے اور مطلق درجہ حرارت ہے۔ ڈرفٹ کرنٹ اور ڈفیوژن کرنٹ اظہار میں دو اصطلاحات کا الگ سے حوالہ دیتے ہیں، یعنی: اس مساوات کو پوسن کی مساوات کے ساتھ عددی طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ ڈرفٹ ڈفیوژن مساوات کو حل کرنے کے نتائج کی ایک مثال دائیں طرف دکھائی گئی ہے۔ جب روشنی سیمی کنڈکٹر کے مرکز پر چمکتی ہے، تو کیریئر وسط میں پیدا ہوتے ہیں اور دو سروں کی طرف پھیل جاتے ہیں۔ ڈرفٹ-ڈفیوژن مساوات کو اس ساخت میں حل کیا جاتا ہے اور الیکٹران کثافت کی تقسیم کو شکل میں دکھایا جاتا ہے۔ مرکز سے دو سروں کی طرف کیریئر کا میلان دیکھا جا سکتا ہے۔ ایڈوانسڈ سیمولیشن لائبریری کنزرویشن مساوات انکمپریسیبل نیویئر-اسٹوکس مساوات نرنسٹ-پلانک مساوات ڈبل ڈفیوسو کنویکشن نیچرل کنویکشن بکلے-لیوریٹ مساوات حوالہ جات مزید پڑھنا ڈفیوژن پیرابولک جزوی تفریق مساوات سٹوچسٹک تفریق مساوات ٹرانسپورٹ مظاہر طبیعیات کے مساوات