Spanier–Whitehead duality
ریاضی میں، اسپانیئر-وائٹ ہیڈ ڈوئلٹی ہوموٹوپی تھیوری میں ایک ڈوئلٹی تھیوری ہے، جو اس ہندسی خیال پر مبنی ہے کہ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس X کو n-دائرے میں اس کی تکمیل کے لیے ڈوئل سمجھا جا سکتا ہے، جہاں n کافی بڑا ہے۔ اس کی ابتداء الیگزینڈر ڈوئلٹی تھیوری میں، ہومیولوجی تھیوری میں، کئی گنا میں تکمیل سے متعلق ہے۔ اس نظریہ کو ایس-دوہری بھی کہا جاتا ہے، لیکن اب یہ سٹرنگ تھیوری کی ایس-دوہری کے ساتھ ممکنہ الجھن کا سبب بن سکتا ہے۔ اس کا نام ایڈون اسپینر اور جے ایچ سی وائٹ ہیڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے اسے 1955 سے کاغذات میں تیار کیا تھا۔ بنیادی نقطہ یہ ہے کہ دائرے کی تکمیل ہومیولوجی کا تعین کرتی ہے، لیکن عام طور پر ہوموٹوپی کی قسم کا نہیں۔ تاہم، جس چیز کا تعین کیا جاتا ہے وہ مستحکم ہوموٹوپی کی قسم ہے، جسے ہوموٹوپی کی قسم کے پہلے تخمینے کے طور پر تصور کیا گیا تھا۔ اس طرح اسپانیئر-وائٹ ہیڈ دوہری حیثیت مستحکم ہوموٹوپی تھیوری میں فٹ بیٹھتی ہے۔ بیان X کو ایک کمپیکٹ پڑوس ہونے دیں۔ پھر اور ایک مونوئڈل ڈھانچے کے طور پر سمیش پروڈکٹ کے ساتھ نکیلی سپیکٹرم کے زمرے میں دوہری اشیاء ہیں۔ یہاں کا اتحاد اور ایک نقطہ ہے، اور بالترتیب کم اور غیر کم شدہ معطلی ہیں۔ ایلن برگ-میک لین سپیکٹرم کے حوالے سے ہومیولوجی اور کوہمولوجی لینے سے الیگزینڈر ڈوئلٹی باضابطہ طور پر بحال ہو جاتی ہے۔ حوالہ جات ہوموٹوپی تھیوری دوہری نظریات