Parallelizable manifold
ریاضی میں، طول و عرض n کے تفریق پذیر کئی گنا کو متوازی کہا جاتا ہے اگر کئی گنا پر ہموار ویکٹر فیلڈز موجود ہوں، جیسے کہ ٹینجینٹ ویکٹر کے ہر نقطہ پر ٹینجینٹ اسپیس کی بنیاد فراہم کرتے ہیں۔ مساوی طور پر، ٹینجینٹ بنڈل ایک معمولی بنڈل ہے، تاکہ لکیری فریموں کے متعلقہ پرنسپل بنڈل میں ویکٹر فیلڈز کی اس طرح کی بنیاد کے ایک خاص انتخاب پر ایک عالمی سیکشن ہوتا ہے جسے متوازی (یا مطلق متوازی) کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر دائرے کی ایک مثال: ہم V1 کو یونٹ ٹینجینٹ ویکٹر فیلڈ کے طور پر لے سکتے ہیں، جیسے کہ گھڑی کی مخالف سمت کی طرف اشارہ کرنا۔ طول و عرض کا ٹورس بھی متوازی ہے، جیسا کہ اسے حلقوں کے کارٹیشین پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کرکے دیکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، گراف پیپر کے مربع سے ایک ٹورس لیں اور تعمیر کریں جس کے مخالف کنارے ایک دوسرے سے چپکے ہوں، تاکہ ہر نقطہ پر دو ٹینجینٹ سمتوں کا اندازہ لگایا جا سکے۔ زیادہ عام طور پر، ہر لائ گروپ G متوازی ہوتا ہے، کیونکہ شناختی عنصر پر ٹینجینٹ اسپیس کی بنیاد کو G پر G کے ترجمہ گروپ کے عمل کے ذریعے منتقل کیا جا سکتا ہے (ہر ترجمہ ایک ڈفیومورفزم ہے اور اس لیے یہ ترجمے G میں پوائنٹس کی ٹینجینٹ خالی جگہوں کے درمیان لکیری آئسومورفزم کو جنم دیتے ہیں)۔ ایک کلاسیکی مسئلہ یہ طے کرنا تھا کہ کون سے دائرے Sn متوازی ہیں۔ صفر جہتی کیس S0 معمولی طور پر متوازی ہے۔ کیس S1 دائرہ ہے، جو متوازی ہے جیسا کہ پہلے ہی بیان کیا جا چکا ہے۔ ہیری بال تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ S2 متوازی نہیں ہے۔ تاہم ایس 3 متوازی ہے، کیونکہ یہ لائ گروپ ایس یو (2) ہے۔ واحد دوسرا متوازی دائرہ S7 ہے ؛ یہ 1958 میں فریڈرک ہرزبروچ، مشیل کروائر، اور راؤل بوٹ اور جان ملنور نے آزادانہ کام میں ثابت کیا تھا۔ متوازی دائرے حقیقی اعداد، پیچیدہ اعداد، کواٹرنیئنز اور آکٹونیونز کے معیاری تقسیم الجبرا میں یونٹ کے معیار کے عناصر سے قطعی طور پر مطابقت رکھتے ہیں، جو ہر ایک کے لیے متوازییت کی تعمیر کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ ثابت کرنا کہ دوسرے دائرے متوازی نہیں ہیں زیادہ مشکل ہے، اور الجبرائی ٹوپولوجی کی ضرورت ہے۔ متوازی کئی گنا کا پروڈکٹ متوازی ہے۔ ہر سمت بند تین جہتی کئی گنا متوازی ہے۔ ریمارکس کوئی بھی متوازی کئی گنا قابل سمت ہے۔ اصطلاح فریم شدہ کئی گنا (کبھی کبھار دھاندلی شدہ کئی گنا) عام طور پر ایک سرایت شدہ کئی گنا پر لاگو ہوتا ہے جس میں عام بنڈل کی دی گئی چھوٹی بات ہوتی ہے، اور ایک خلاصہ (یعنی غیر سرایت شدہ) کئی گنا کے لیے بھی جس میں ٹینجینٹ بنڈل کی دی گئی مستحکم چھوٹی بات ہوتی ہے۔ ایک متعلقہ تصور π-مینی فولڈ کا تصور ہے۔ ایک ہموار کئی گنا کو π-مینی فولڈ کہا جاتا ہے اگر، جب کسی اعلی جہتی یوکلڈین جگہ میں سرایت کیا جاتا ہے، تو اس کا عام بنڈل معمولی ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ہر متوازی کئی گنا ایک π-کئی گنا ہوتا ہے۔ چارٹ (ٹوپولوجی) تفریق کے قابل کئی گنا فریم بنڈل Kervaire غیر متغیر آرتھونورمل فریم بنڈل پرنسپل بنڈل کنکشن (ریاضی) G-ساخت نوٹ حوالہ جات تفریق ٹوپولوجی فائبر بنڈل مینیفولڈ ویکٹر بنڈل