Supersingular elliptic curve
الجبرائی جیومیٹری میں، سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط غیر معمولی طور پر بڑے اینڈومورفزم بجتوں کے ساتھ خصوصیت p> 0 کے میدان پر ایلیپٹک منحنی خطوط کی ایک مخصوص کلاس بناتے ہیں۔ ایسے فیلڈز پر ایلیپٹک منحنی خطوط جو سپر سنگلر نہیں ہوتے ہیں انہیں عام کہا جاتا ہے اور ایلیپٹک منحنی خطوط کی یہ دو کلاسیں بہت سے پہلوؤں میں بنیادی طور پر مختلف انداز میں برتاؤ کرتی ہیں۔ ایلپٹک منحنی خطوط کے لیے ریمن مفروضے پر اپنے کام کے دوران سپرسنگولر ایلپٹک منحنی خطوط کو دریافت کیا یہ مشاہدہ کرتے ہوئے کہ مثبت خصوصیت والے ایلپٹک منحنی خطوط میں غیر معمولی طور پر بڑے درجے 4 کے اینڈومورفزم حلقے ہو سکتے ہیں، اور ان کا بنیادی نظریہ تیار کیا۔ اصطلاح "سپر سنگلر" کا منحنی خطوط کے واحد نکات سے کوئی تعلق نہیں ہے، اور تمام سپر سنگلر ایلیپٹک منحنی خطوط غیر سنگلر ہوتے ہیں۔ یہ "جے-انویرنٹ کی واحد اقدار" کے جملے سے آتا ہے جو جے-انویرنٹ کی اقدار کے لیے استعمال ہوتا ہے جس کے لیے ایک پیچیدہ الپٹک وکر میں پیچیدہ ضرب ہوتی ہے۔ پیچیدہ ضرب کے ساتھ پیچیدہ الپٹک منحنی خطوط وہ ہیں جن کے لیے اینڈومورفزم رنگ میں زیادہ سے زیادہ ممکنہ درجہ 2 ہوتا ہے۔ مثبت خصوصیت میں اینڈومورفزم رنگ کا اور بھی بڑا ہونا ممکن ہے: یہ طول و عرض 4 کے کواٹرنیئن الجبرا میں ایک ترتیب ہو سکتی ہے، اس صورت میں الپٹک وکر سپر سنگولر ہے۔ پرائمز p اس طرح کے ہوتے ہیں کہ خصوصیت p میں ہر سپر سنگلر ایلیپٹک وکر کو پرائم سب فیلڈ پر بیان کیا جا سکتا ہے بجائے اس کے کہ انہیں سپر سنگلر پرائمز کہا جائے۔ تعریف سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط کی وضاحت کے بہت سے مختلف لیکن مساوی طریقے ہیں جو استعمال کیے گئے ہیں۔ ان کی وضاحت کرنے کے کچھ طریقے ذیل میں دیے گئے ہیں۔ فرض کریں کہ الجبرائی بندش کے ساتھ ایک فیلڈ اور K کے اوپر E ایک الپٹک وکر ہے۔-ویلیوڈ پوائنٹس میں ابیلین گروپ کی ساخت ہوتی ہے۔ ہر n کے لیے، ہمارے پاس ضرب کا نقشہ ہے۔ اس کے دانے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اب فرض کریں کہ K کی خصوصیت p> 0 ہے۔ پھر کوئی یہ دکھا سکتا ہے کہ یا تو r = 1، 2، 3، کے لیے۔ پہلی صورت میں، ای کو سپر سنگولر کہا جاتا ہے۔ ورنہ اسے عام کہا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ترتیب p کے ہندسی نکات کا گروپ معمولی ہو۔ سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط میں الجبرائی بندش پر بہت سے اینڈومورفزم ہوتے ہیں اس معنی میں کہ ایک ایلیپٹک وکر سپر سنگولر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا اینڈومورفزم الجبرا (اوور) کواٹرنیئن الجبرا میں ایک ترتیب ہو۔ اس طرح، ان کے اینڈومورفزم الجبرا (اوور) کا درجہ 4 ہے، جبکہ ہر دوسرے ایلیپٹک وکر کے اینڈومورفزم گروپ کا صرف درجہ 1 یا 2 ہے۔ سپر سنگولر ایلیپٹک وکر کی اینڈومورفزم رنگ کی رینک 4 سے کم ہو سکتی ہے، اور اینڈومورفزم رنگ 4 کی رینک بنانے کے لیے بیس فیلڈ K کی محدود توسیع لینا ضروری ہو سکتا ہے۔ خاص طور پر پرائم آرڈر کے فیلڈ پر ایلیپٹک وکر کی اینڈومورفزم رنگ کبھی بھی رینک 4 کی نہیں ہوتی، چاہے ایلیپٹک وکر سپر سنگولر ہی کیوں نہ ہو۔ G کو E سے وابستہ رسمی گروپ ہونے دیں۔ چونکہ K مثبت خصوصیت کا حامل ہے، اس لیے ہم اس کی اونچائی ht (G) کی وضاحت کر سکتے ہیں، جو کہ 2 ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب E سپر سنگولر ہو اور بصورت دیگر 1 ہو۔ ہمارے پاس ایک فروبینیوس مورفزم ہے، جو کوہمولوجی میں ایک نقشہ پیش کرتا ہے۔ الپٹک وکر E سپر سنگلر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 کے برابر ہو۔ ہمارے پاس ایک ورشی بنگ آپریٹر ہے، جو عالمی 1-شکلوں پر نقشہ پیش کرتا ہے۔ الپٹک وکر E سپر سنگلر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 کے برابر ہو۔ ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ہس غیر متغیر 0 ہو۔ ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ترتیب p کے پوائنٹس کی گروپ اسکیم منسلک ہو۔ اگر اور صرف اس صورت میں جب فروبینیوس نقشے کا دوہرا خالص طور پر لازم و ملزوم ہو تو ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہوتا ہے۔ ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب "ضرب بذریعہ p" نقشہ خالص طور پر لازم و ملزوم ہو اور منحنی خطوط کا j-متغیر K کے پرائم فیلڈ کی کواڈریٹک ایکسٹینشن میں ہو، جو کہ ترتیب p2 کی ایک محدود فیلڈ ہے۔ فرض کریں کہ E لیجنڈر کی شکل میں ہے، جس کی وضاحت مساوات سے ہوتی ہے، اور p عجیب ہے۔ پھر کے لیے، E سپرسنگولر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مجموعہ غائب ہو جائے، کہاں۔ اس فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ K پر (آئسومورفزم تک) صرف محدود طور پر بہت سے سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط موجود ہیں۔ فرض کریں کہ E کو پروجیکٹو پلین میں کیوبک وکر کے طور پر دیا گیا ہے جو ایک یکساں کیوبک کثیر الجہتی f (x, y, z) کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ پھر E سپرسنگولر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب fp-1 میں (xyz) p-1 کا گتانک صفر ہو۔ اگر فیلڈ K آرڈر q کی ایک محدود فیلڈ ہے، تو K پر ایک الپٹک وکر سپر سنگلر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب q-پاور فروبینئس اینڈومورفزم کا سراغ صفر ماڈیولو p سے ہم آہنگ ہو۔ جب q = p 3 سے بڑا پرائم ہوتا ہے تو یہ فروبینئس کا سراغ صفر کے برابر ہونے کے برابر ہوتا ہے۔ یہ p = 2 یا 3 کے لیے نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر اگر K خصوصیت 2 کا میدان ہے، تو a3 غیر صفر کے ساتھ شکل کی مساوات کے ذریعہ بیان کردہ ہر منحنی خطوط ایک سپر سنگلر الپٹک وکر ہے، اور اس کے برعکس ہر سپر سنگلر وکر اس شکل میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہے (واشنگٹن 2003، صفحہ 122 دیکھیں)۔ میدان کے اوپر 2 عناصر کے ساتھ کوئی بھی سپر سنگولر ایلیپٹک وکر 1، 3، اور 5 پوائنٹس کے ساتھ بالکل ایک سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ پوائنٹس کی مختلف تعداد کے ساتھ ایک پرائم فیلڈ پر سپر سنگلر ایلیپٹک منحنی خطوط کی مثالیں دیتا ہے۔ خصوصیت 2 کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر (آئسومورفزم تک) بالکل ایک سپر سنگولر ایلیپٹک وکر ہے، جو جے-غیر متغیر 0 کے ساتھ دیا گیا ہے۔ اس کی اینڈومورفزمز کی انگوٹی ہروٹز کواٹرنیئنز کی انگوٹی ہے، جو دو آٹومورفزمز سے پیدا ہوتی ہے اور جہاں اتحاد کا ایک قدیم مکعب جڑ ہے۔ اس کا آٹومورفزم کا گروپ ہروٹز کواٹرنیئنز کی اکائیوں کا گروپ ہے، جس کی ترتیب 24 ہے، جو کواٹرنیئن گروپ کے لیے آرڈر 8 آئسومورفک کا ایک عام ذیلی گروپ پر مشتمل ہے، اور بائنری ٹیٹراہیڈرل گروپ ہے۔ اگر K خصوصیت 3 کا فیلڈ ہے، تو ہر منحنی خطوط کی وضاحت فارم کی مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے جس میں a4 نان زیرو کے ساتھ ایک سپر سنگولر ایلیپٹک وکر ہے، اور اس کے برعکس ہر سپر سنگولر وکر اس شکل میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہے (واشنگٹن 2003، صفحہ 122 دیکھیں)۔ میدان کے اوپر 3 عناصر کے ساتھ کوئی بھی سپر سنگولر ایلیپٹک وکر بالکل سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط میں سے ایک کے لیے آئسومورفک ہے۔ 3 کی خصوصیت کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر (آئسومورفزم تک) بالکل ایک سپر سنگولر ایلیپٹک وکر ہے، جو جے-انویرنٹ 0 کے ساتھ دی گئی ہے۔ اس کی اینڈومورفزم کی انگوٹی a اور b آئزنسٹین انٹیجرز کے ساتھ a + bj کی شکل کے کواٹرنیئنز کی انگوٹی ہے۔ ، جو دو آٹومورفزموں سے پیدا ہوتا ہے اور جہاں i اتحاد کی ابتدائی چوتھی جڑ ہے۔ اس کا آٹومورفزمز کا گروپ ان کواٹرنیئنز کی اکائیوں کا گروپ ہے، جس کی ترتیب 12 ہے اور اس میں ترتیب 3 کا ایک عام ذیلی گروپ ہوتا ہے جس میں حصص ترتیب 4 کا ایک چکور گروپ ہوتا ہے۔ پی> 3 کے لیے جے-انویرنٹ 0 کے ساتھ بیان کردہ ایلیپٹک وکر سپر سنگلر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب جے-انویرنٹ 1728 کے ساتھ بیان کردہ ایلیپٹک وکر سپر سنگلر ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب (واشنگٹن 2003، 4.35 دیکھیں)۔ اس کے ذریعہ دیا گیا انڈاکار منحنی خطہ اس کے لیے غیر ہم آہنگ ہے۔ یہ p = 23 کے لیے سپر سنگلر اور ہر دوسرے کے لیے عام ہے (دیکھیں ہارٹشورن 1977، 4.23.6)۔ ماڈیولر وکر X0 (11) میں j-غیر متغیر −2121 − 5313 ہے، اور یہ وکر y2 + y = x3 − x2 − 10x − 20 کے لیے آئسومورفک ہے۔ جن پرائمز p کے لیے یہ سپر سنگولر ہے وہ ہیں جن کے لیے η (τ) 2η (11τ) 2 میں qp کا گتانک موڈ p کو ختم کر دیتا ہے، اور فہرست 2، 19، 29، 199، 569، 809، 1289، 1439، 2539، 3319، 3559، 3919، 5519، 9419، 9539، 9929، کے ذریعے دیا گیا ہے۔ اگر ریشنلز کے اوپر ایک الپٹک وکر میں پیچیدہ ضرب ہوتی ہے تو پرائمز کے سیٹ جس کے لیے یہ سپرسنگولر ہے اس کی کثافت 1/2 ہوتی ہے۔ اگر اس میں پیچیدہ ضرب نہیں ہے تو سیر نے دکھایا کہ پرائمز کا سیٹ جس کے لیے یہ سپر سنگولر ہے اس کی کثافت صفر ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ریشنلز پر بیان کردہ کوئی بھی الپٹک وکر لامحدود تعداد میں پرائمز کے لیے سپرسنگولر ہے۔ درجہ بندی ہر مثبت خصوصیت کے لیے سپر سنگولر الپٹک منحنی خطوط کے ممکنہ جے-متغیرات کی صرف ایک محدود تعداد ہوتی ہے۔ الجبرائی طور پر بند فیلڈ K پر ایک الپٹک منحنی خطوط کا تعین اس کے جے-غیر متغیر سے ہوتا ہے، اس لیے سپر سنگلر الپٹک منحنی خطوط کی صرف ایک محدود تعداد ہوتی ہے۔ اگر اس طرح کے ہر منحنی خطوط کا وزن 1/|Aut (E) | ہے تو سپر سنگولر منحنی خطوط کا کل وزن (p-1)/24 ہے۔ ایلیپٹک منحنی خطوط میں آرڈر 2 کے آٹومورفزم گروپ ہوتے ہیں جب تک کہ ان کا جے-متغیر 0 یا 1728 نہ ہو، لہذا سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط کی درجہ بندی مندرجہ ذیل ہے۔ آرڈر 2 کے آٹومورفزم گروپوں کے ساتھ بالکل θ p/12 θ سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط ہیں۔ اس کے علاوہ اگر p ष्ण 3 ماڈ 4 ہے تو ایک سپر سنگلر ایلپٹک وکر (جے-انویرنٹ 1728 کے ساتھ) ہے جس کا آٹومورفزم گروپ چکور یا ترتیب 4 ہے جب تک کہ پی = 3 اس صورت میں اس کی ترتیب 12 ہے، اور اگر پی ष्ण 2 ماڈ 3 ہے تو ایک سپر سنگلر ایلپٹک وکر (جے-انویرنٹ 0 کے ساتھ) ہے جس کا آٹومورفزم گروپ ترتیب 6 کا چکور ہے جب تک کہ پی = 2 اس صورت میں اس کی ترتیب 24 نہ ہو۔ 307 تک پرائمز کے لیے سپر سنگلر منحنی خطوط کے تمام جے-انویرنٹس کا ایک ٹیبل دیں۔ پہلے چند پرائمز کے لیے سپر سنگولر ایلیپٹک منحنی خطوط درج ذیل دیے گئے ہیں۔ 0 یا 1728 کے علاوہ جے کی سپر سنگولر اقدار کی تعداد (p−1)/12 کا عدد حصہ ہے۔ سپرسنگولر پرائم (الجبرائی نمبر تھیوری) سپرسنگولر پرائم (مونشائن تھیوری) سپرسنگولر مختلف حوالہ جات رابن ہارٹشورن (1977)، الجبرائی جیومیٹری، سپرنگر بھی دیکھیں۔ جوزف ایچ سلور مین (2009)، دی ارتھمیٹک آف ایلیپٹک وکرز، سپرنگر۔ لارنس سی واشنگٹن (2003)، ایلیپٹک وکرز، چیپ مین اینڈ ہال۔ ایلیپٹک منحنی خطوط