Saddle-node bifurcation
بفرکیشن تھیوری کے ریاضیاتی شعبے میں سیڈل نوڈ بفرکیشن، ٹینجینشیل بفرکیشن یا فولڈ بفرکیشن ایک مقامی بفرکیشن ہے جس میں متحرک نظام کے دو فکسڈ پوائنٹس (یا توازن) ٹکرا جاتے ہیں اور ایک دوسرے کو ختم کر دیتے ہیں۔ 'سیڈل نوڈ بائیفرکیشن' کی اصطلاح اکثر مسلسل متحرک نظاموں کے حوالے سے استعمال ہوتی ہے۔ مجرد متحرک نظاموں میں، اسی تقسیم کو اکثر فولڈ بائیفرکیشن کہا جاتا ہے۔ دوسرا نام نیلے آسمان کی تقسیم ہے جو دو فکسڈ پوائنٹس کی اچانک تخلیق کے حوالے سے ہے۔ اگر مرحلے کی جگہ ایک جہتی ہے، تو توازن کے نکات میں سے ایک غیر مستحکم (سیڈل) ہے، جبکہ دوسرا مستحکم (نوڈ) ہے۔ سیڈل نوڈ کی تقسیم کا تعلق ہسٹیریسیس لوپس اور آفات سے ہو سکتا ہے۔ عام شکل سیڈل نوڈ کی تقسیم کے ساتھ تفریقی مساوات کی ایک عام مثال یہ ہے: یہاں اسٹیٹ متغیر ہے اور یہ تقسیم کا پیمانہ ہے۔ اگر دو توازن پوائنٹس ہیں، تو ایک مستحکم توازن پوائنٹ پر اور ایک غیر مستحکم پوائنٹ پر۔ (بفرکیشن پوائنٹ) پر بالکل ایک توازن نقطہ ہے۔ اس مقام پر فکسڈ پوائنٹ اب ہائپربولک نہیں ہے۔ اس صورت میں فکسڈ پوائنٹ کو سیڈل نوڈ فکسڈ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی توازن پوائنٹس نہ ہوں۔ درحقیقت، یہ سیڈل نوڈ کی تقسیم کی ایک عام شکل ہے۔ ایک اسکیلر تفریق مساوات جس کے ساتھ ایک مقررہ نقطہ ہوتا ہے مقامی طور پر ٹوپوولوجیکل طور پر مساوی ہوتا ہے، بشرطیکہ یہ مطمئن ہو اور۔ پہلی حالت نان ڈیجینریسی حالت ہے اور دوسری حالت ٹرانسورسیلیٹی حالت ہے۔ دو جہتوں میں مثال دو جہتوں میں سیڈل نوڈ کی تقسیم کی ایک مثال دو جہتی متحرک نظام میں ہوتی ہے: جیسا کہ پیرامیٹر کو مختلف کرکے فیز پورٹریٹ کو پلاٹ کرکے حاصل کردہ حرکت پذیری سے دیکھا جا سکتا ہے، جب منفی ہوتا ہے، تو کوئی توازن پوائنٹس نہیں ہوتے ہیں۔ جب، ایک سیڈل نوڈ پوائنٹ ہوتا ہے۔ جب مثبت ہوتا ہے، تو دو توازن پوائنٹس ہوتے ہیں: یعنی، ایک سیڈل پوائنٹ اور ایک نوڈ (یا تو ایک پرکشش یا ایک ریپلر)۔ دیگر مثالیں حیاتیاتی سوئچ کی ماڈلنگ میں ہیں۔ حال ہی میں، یہ دکھایا گیا ہے کہ بعض شرائط کے تحت، عمومی اضافیت کی آئن سٹائن فیلڈ مساوات کی شکل فولڈ بائیفرکیشن جیسی ہی ہوتی ہے۔ سیڈل نوڈ کی تقسیم کا ایک غیر خود مختار ورژن (یعنی۔ پیرامیٹر وقت پر منحصر ہے) کا بھی مطالعہ کیا گیا ہے۔ پچفورک بفرکیشن ٹرانسکریٹیکل بفرکیشن ہوپف بفرکیشن سیڈل پوائنٹ نوٹس حوالہ جات بفرکیشن تھیوری ویڈیو کلپس پر مشتمل مضامین بھی دیکھیں۔