Grothendieck spectral sequence
ریاضی میں، ہومیولوجیکل الجبرا کے میدان میں، گروتھینڈیک سپیکٹرم سیکوینس، جسے الیگزینڈر گروتھینڈیک نے اپنے ٹوہوکو پیپر میں متعارف کرایا ہے، ایک سپیکٹرم سیکوینس ہے جو اور کے ماخوذ فنکٹرز کے علم سے دو فنکٹرز کی ساخت کے ماخوذ فنکٹرز کا حساب لگاتا ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں بہت سے سپیکٹرم کے سلسلے گروتھینڈیک سپیکٹرم کے سلسلے کی مثالیں ہیں، مثال کے طور پر لیری سپیکٹرم کے سلسلے۔ بیان اگر اور ابیلین زمروں کے درمیان دو اضافی اور بائیں عین مطابق فنکٹر ہیں جیسے کہ دونوں میں کافی انجیکشن ہوتے ہیں اور انجیکشن والی اشیاء کو-آکسیکلک اشیاء پر لے جاتے ہیں، تو وہاں کے ہر شے کے لیے ایک سپیکٹرم ترتیب ہوتی ہے: جہاں پی-th دائیں سے ماخوذ فنکٹر وغیرہ کی نشاندہی کرتا ہے، اور جہاں تیر کا مطلب سپیکٹرم ترتیبات کا ارتکاز ہے۔ پانچ اصطلاحات کی عین مطابق ترتیب کم ڈگریوں کی عین مطابق ترتیب پڑھتی ہے مثالیں لیری سپیکٹرم کی ترتیب اگر اور ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ہیں، تو بالترتیب اور پر ابیلین گروپوں کے شیوز کا زمرہ بننے دیں۔ مسلسل نقشے کے لیے (بائیں عین مطابق) براہ راست تصویری فنکٹر ہوتا ہے۔ ہمارے پاس گلوبل سیکشن فنکٹرز بھی ہیں اور پھر چونکہ فنکٹرز اور مفروضوں کو مطمئن کرتے ہیں (چونکہ براہ راست امیج فنکٹر کا بالکل بائیں طرف ملحقہ ہوتا ہے، اس لیے انجیکشنز کے پش فارورڈز انجیکٹو ہوتے ہیں اور خاص طور پر گلوبل سیکشن فنکٹر کے لیے ایسائکلک ہوتے ہیں)، اس معاملے میں ترتیب بن جاتی ہے: ابیلین گروپوں کے ایک ڈھیر کے لیے۔ مقامی سے عالمی خارجی سپیکٹرم ترتیب گلوبل ایکسٹ اور شیف ایکسٹ سے متعلق ایک سپیکٹرم ترتیب ہے: فرض کریں کہ F، G ایک رنگڈ اسپیس پر ماڈیولز کے ڈھیر ہوں۔ مثال کے طور پر، ایک اسکیم۔ پھر یہ گروتھینڈیک سپیکٹرم ترتیب کی ایک مثال ہے: درحقیقت، اور۔ مزید برآں، فلاسک شیوز کو انجیکشن-ماڈیول بھیجتا ہے، جو-ایسائکلک ہوتے ہیں۔ اس لیے مفروضہ مطمئن ہے۔ مشتق ہم مندرجہ ذیل لیما استعمال کریں گے: ثبوت: دانا اور اس کی شبیہہ ہونے دیں۔ ہمارے پاس کون سی تقسیم ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ہر ایک انجکشن ہے۔ اگلا ہم دیکھتے ہیں کہ یہ تقسیم ہوتا ہے، جس سے لیما کے پہلے حصے کے ساتھ ساتھ اس کی درستگی بھی ظاہر ہوتی ہے۔ اسی طرح ہمارے پاس (پہلے کی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے): اب دوسرا حصہ اس کے بعد آتا ہے۔ اب ہم ایک سپیکٹرم ترتیب بناتے ہیں۔ A کا انجیکشن ریزولوشن ہونے دیں۔ اس کے لیے لکھنا، ہمارے پاس ہے: انجیکشن ریزولوشن لیں اور پہلی اور تیسری غیر صفر اصطلاحات لیں۔ ہارسشو لیما کے مطابق، ان کا براہ راست مجموعہ ایک انجیکشن ریزولوشن ہے۔ لہذا، ہمیں کمپلیکس کا ایک انجیکشن ریزولوشن ملا: اس طرح کہ ہر صف لیما کے مفروضے کو مطمئن کرتی ہے (cf. کارٹن-ایلن برگ قرارداد۔) اب، ڈبل کمپلیکس دو سپیکٹرم ترتیبات، افقی اور عمودی کو جنم دیتا ہے، جن کا اب ہم جائزہ لینے جا رہے ہیں۔ ایک طرف، تعریف کے مطابق، جو ہمیشہ صفر ہوتا ہے جب تک کہ q = 0 نہ ہو کیونکہ مفروضے کے لحاظ سے G-آکسیکلک ہے۔ اس لیے، اور۔ دوسری طرف، تعریف اور لیما کے مطابق، چونکہ یہ ایک انجیکشن ریزولوشن ہے (یہ ایک ریزولوشن ہے کیونکہ اس کی کوہمولوجی معمولی ہے)، چونکہ اور ایک ہی محدود اصطلاح ہے، اس لیے ثبوت مکمل ہے۔ نوٹ حوالہ جات کمپیوٹیشنل مثالیں شارپ، ایرک (2003)۔ ڈی-برینز اور شیوز (صفحات 18-19)، سپیکٹرم سیکوینس پر لیکچرز