Complex torus
ریاضی میں، ایک پیچیدہ ٹورس ایک خاص قسم کا پیچیدہ کئی گنا M ہے جس کا بنیادی ہموار کئی گنا معمول کے لحاظ سے ٹورس ہے (یعنی۔ کچھ تعداد N حلقوں کا کارٹیشین پروڈکٹ)۔ یہاں N کو یکساں عدد 2n ہونا چاہیے، جہاں n M کا پیچیدہ طول و عرض ہے۔ اس طرح کے تمام پیچیدہ ڈھانچے کو مندرجہ ذیل طریقے سے حاصل کیا جا سکتا ہے: ویکٹر اسپیس V میں ایک جالی λ کو حقیقی ویکٹر اسپیس کے طور پر سمجھے جانے والے Cn کے لیے آئسومورفک لیں۔ پھر حصص گروپ ایک کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا ہے۔ آئسومورفزم تک تمام پیچیدہ ٹوری اس طرح حاصل کی جاتی ہیں۔ n = 1 کے لیے یہ ایلیپٹک منحنی خطوط کی کلاسیکی دور کی جالی کی تعمیر ہے۔ n> 1 کے لیے برنہارڈ ریمن نے ایک پیچیدہ ٹورس کے الجبرائی قسم ہونے کے لیے ضروری اور کافی شرائط پائی ؛ جو اقسام ہیں انہیں پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس میں سرایت کیا جا سکتا ہے، اور یہ ابیلین اقسام ہیں۔ اصل پروجیکٹو سرایت پیچیدہ ہوتے ہیں (ابیلین اقسام کی وضاحت کرنے والی مساوات دیکھیں) جب n> 1، اور واقعی کئی پیچیدہ متغیرات (فکسڈ ماڈیولس کے ساتھ) کے تھیٹا فنکشن کے نظریہ کے ساتھ ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ n = 1 کے لیے کیوبک وکر کی تفصیل سے زیادہ آسان کچھ نہیں ہے۔ کمپیوٹر الجبرا چھوٹے n کے معاملات کو معقول حد تک اچھی طرح سے سنبھال سکتا ہے۔ چو کے نظریہ کے مطابق، ابیلین اقسام کے علاوہ کوئی پیچیدہ ٹورس پروجیکٹو اسپیس میں 'فٹ' نہیں ہو سکتا۔ تعریف پیچیدہ ٹوری کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ کمپیکٹ منسلک پیچیدہ لائ گروپ کے طور پر ہے۔ یہ لائ گروپ ہیں جہاں ساخت کے نقشے پیچیدہ کئی گنا کے ہولومورفک نقشے ہیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اس طرح کے تمام کمپیکٹ جڑے ہوئے لائ گروپ متغیر ہیں، اور ان کے لائ الجبرا کے حصص کے لیے آئسومورفک ہیں جس کا احاطہ کرنے والا نقشہ اس سے وابستہ لائ گروپ کے لیے لائ الجبرا کا ایکسپونینشل نقشہ ہے۔ اس نقشے کا دانا ایک جالی اور ہے۔ اس کے برعکس، ایک پیچیدہ ویکٹر کی جگہ اور زیادہ سے زیادہ درجہ بندی کی جالی کو دیکھتے ہوئے، حصص کے پیچیدہ کئی گنا میں ایک پیچیدہ لائ گروپ کا ڈھانچہ ہوتا ہے، اور یہ کمپیکٹ اور منسلک بھی ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ پیچیدہ توری کی دو تعریفیں مساوی ہیں۔ پیچیدہ ٹورس کا پیریڈ میٹرکس جی جہتی پیچیدہ ٹورس کو بیان کرنے کا ایک طریقہ ایک میٹرکس کا استعمال کرنا ہے جس کے کالم جالی کی بنیاد سے مطابقت رکھتے ہیں جس کی بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے توسیع کی گئی ہے۔ اگر ہم ایک میٹرکس کو منتخب کرکے الٹی سمت میں جاتے ہیں، تو یہ پیریڈ میٹرکس سے مطابقت رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پیچیدہ کنجوگیٹ میٹرکس سے ملحقہ متعلقہ میٹرکس تعمیر کیا گیا ہو، تو ہم ٹورس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔ یہ ایک جالی کے کالم ویکٹر کی ضمانت دیتا ہے لہذا اس پر لکیری طور پر آزاد ویکٹر ہونا ضروری ہے۔ مثال دو جہتی پیچیدہ ٹورس کے لیے، اس کی شکل کا پیریڈ میٹرکس ہوتا ہے مثال کے طور پر، میٹرکس پیریڈ میٹرکس بناتا ہے کیونکہ متعلقہ پیریڈ میٹرکس میں ڈیٹرمیننٹ 4 ہوتا ہے۔ نارملائزڈ پیریڈ میٹرکس طول و عرض کے کسی بھی پیچیدہ ٹورس کے لیے اس میں اس شکل کا پیریڈ میٹرکس ہوتا ہے جہاں آئیڈینٹیٹی میٹرکس اور کہاں ہے۔ ہم اسے ویکٹر اسپیس کی بنیاد کی تبدیلی لے کر حاصل کر سکتے ہیں جو اوپر کی شکل کا بلاک میٹرکس دیتا ہے۔ متعلقہ-میٹرکس کو دیکھنے سے مندرجہ ذیل کے لیے شرط ہے کیونکہ یہ ایک غیر سنگل میٹرکس ہونا چاہیے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر ہم بلاک میٹرکس کے تعین کنندہ کا حساب لگاتے ہیں، تو یہ صرف وہی ہے جو اثر دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم 2 جہتی پیچیدہ ٹورس کے لیے ایک نارملائزڈ پیریڈ میٹرکس لکھ سکتے ہیں کیونکہ ایسی ہی ایک مثال نارملائزڈ پیریڈ میٹرکس ہے کیونکہ اس کا تعین غیر صفر، کے برابر ہے۔ ابیلین اقسام کے پیریڈ میٹرکس ایک پیریڈ میٹرکس حاصل کرنے کے لیے جو ایک پروجیکٹو کمپلیکس کئی گنا دیتا ہے، اس لیے ایک الجبرائی قسم، پیریڈ میٹرکس کو ریمن دو لکیری تعلقات کو مزید مطمئن کرنے کی ضرورت ہے۔ پیچیدہ ٹوری کے ہومومورفزم اگر ہمارے پاس پیچیدہ ٹوری اور طول و عرض ہیں تو پیچیدہ ٹوری کا ہومومورفزم ایک ایسا فنکشن ہے جس سے گروپ کا ڈھانچہ محفوظ رہتا ہے۔ اس کے کئی نتائج ہوتے ہیں، جیسے کہ ہر ہومومورفزم ان کے احاطہ کرنے والی جگہوں کا نقشہ تیار کرتا ہے جو ان کے احاطہ کرنے والے نقشوں کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ مزید برآں، چونکہ گروپ ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے، اس لیے اسے جالی کے مورفزم تک محدود رہنا چاہیے۔ خاص طور پر، انجیکشن ہوتے ہیں اور جنہیں ہومومورفزم کی جگہ کی تجزیاتی اور عقلی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ یہ اینڈومورفزم رنگ کے بارے میں کچھ معلومات کا تعین کرنے کے لیے مفید ہیں جس کی عقلی جہت ہوتی ہے۔ پیچیدہ ٹوری کے ہولومورفک نقشے پیچیدہ ٹوری کے درمیان ہومومورفک نقشوں کی کلاس کا ڈھانچہ بہت آسان ہے۔ یقینا، ہر ہومومورفزم ایک ہولومورفک نقشے کو جنم دیتا ہے، لیکن ہر ہولومورفک نقشہ ہومومورفزم کے ساتھ ایک خاص قسم کے ہولومورفک نقشے کی ساخت ہے۔ پھر، اگر پیچیدہ ٹوری کے درمیان ہولومورفک نقشہ ہے، تو ایک منفرد ہومومورفزم اس طرح ہے کہ ہولومورفک نقشوں کو دکھانا پیچیدہ ٹوری کے ہومومورفزم کے سیٹ سے زیادہ بڑا نہیں ہے۔ آئسوجینیز پیچیدہ ٹوری کے ہومومورفزم کی ایک الگ کلاس کو آئسوجینیز کہا جاتا ہے۔ یہ غیر صفر دانا کے ساتھ پیچیدہ ٹوری کے اینڈومورفزم ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ہم ایک عدد ہونے دیتے ہیں، تو ایک متعلقہ نقشہ بھیجنے والا ہوتا ہے جس میں دانا آئسومورفک ہوتا ہے۔ آئسومورفک کمپلیکس ٹوری حقیقی ویکٹر اسپیس پر پیچیدہ ڈھانچوں کی ایک آئسومورفزم ہے اور سیٹ اور آئسومورفک ٹوری کو ان کی جالی کی بنیاد میں تبدیلی کے ذریعے دیا جا سکتا ہے، اس لیے اس میں ایک میٹرکس ہے۔ یہ طول و عرض کی پیچیدہ ٹوری کی آئسومورفزم کلاسوں کا مجموعہ دیتا ہے، جیسا کہ ڈبل کوسیٹ اسپیس نوٹ کریں کہ ایک حقیقی کئی گنا کے طور پر، اس کی جہت ہے یہ ابیلین اقسام کے ماڈیولی کے طول و عرض پر غور کرتے وقت اہم ہے، جو ظاہر کرتا ہے کہ ابیلین اقسام کے مقابلے میں کہیں زیادہ پیچیدہ ٹوری موجود ہیں۔ لائن بنڈل اور آٹومورفک شکلیں پیچیدہ کئی گنا کے لیے، خاص طور پر پیچیدہ ٹوری میں، ہولومورفک لائن بنڈل سے متعلق ایک تعمیر ہے جس کے پل بیک کے گروپ کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے معمولی ہیں۔ خوش قسمتی سے پیچیدہ توری کے لیے، ہر پیچیدہ لائن بنڈل معمولی ہو جاتا ہے۔ آٹومورفی کے عوامل پہلے گروپ کوہومولوجی گروپ سے شروع کرتے ہوئے ہم یاد کرتے ہیں کہ اس کے عناصر کی نمائندگی کیسے کی جا سکتی ہے۔ چونکہ اس پر عمل اس کی تمام چھلیوں پر ایک محرک عمل ہوتا ہے، اس لیے-عمل کو پھر ہولومورفک نقشے کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ یہ نقشہ کوکیکل کی حالت کو مطمئن کرتا ہے اگر ہر اور کے لیے۔ 1-چکروں کے ابیلین گروپ کو آٹومورفی کے عوامل کا گروپ کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس طرح کے افعال کو صرف عوامل بھی کہا جاتا ہے۔ پیچیدہ ٹوری پر پیچیدہ ٹوری کے لیے، یہ افعال ان افعال کے ذریعے دیے جاتے ہیں جو کوکیکل حالت کی پیروی کرتے ہیں۔ یہ آٹومورفک افعال ہیں، زیادہ واضح طور پر، تھیٹا افعال کے لیے تبدیلی کے قوانین میں استعمال ہونے والے آٹومورفک افعال۔ اس کے علاوہ، اس طرح کا کوئی بھی نقشہ لکھا جا سکتا ہے جس کے لیے متعلقہ لائن بنڈل سے متعلق غیر متغیرات کی گنتی کے لیے مفید ہے۔ آٹو مورفی کے عوامل سے لائن بنڈل آٹو مورفی کے ایک عنصر کو دیکھتے ہوئے ہم لائن بنڈل کی وضاحت اس طرح کر سکتے ہیں: معمولی لائن بنڈل میں عنصر کے لیے ایک-ایکشن دیا جاتا ہے۔ چونکہ یہ عمل آزاد اور مناسب طریقے سے متضاد ہے، اس لیے حصص کا بنڈل ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ مزید برآں، پروجیکشن کورنگ پروجیکشن سے متاثر ہوتا ہے۔ یہ ایک نقشہ دیتا ہے جو مطلوبہ نتیجہ دینے والے آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ پیچیدہ ٹوری کے لیے پیچیدہ ٹوری کے معاملے میں، اس لیے ہمارے پاس ایک آئسومورفزم ہے جو پیچیدہ ٹوری پر لائن بنڈلوں کی نمائندگی کرتا ہے جو متعلقہ گروپ کوہمولوجی میں 1-کوسائل کے طور پر ہے۔ گروپ کو جالی کی وضاحت کے طور پر لکھنا عام ہے، اس لیے اس میں لائن بنڈلوں کی آئسومورفزم کلاسیں شامل ہیں۔ پیچیدہ ٹوری پر لائن بنڈل کی پہلی چرن کلاس ایکسپونینشل عین ترتیب سے منسلک مورفزم پہلا چرن کلاس کا نقشہ ہے، جو لائن بنڈل کی ایک آئسومورفزم کلاس کو اس سے وابستہ پہلی چرن کلاس میں بھیجتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ جالی پر متبادل شکلوں کے ماڈیول اور اس کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے۔ لہذا، ایک متبادل-ویلیوڈ 2-فارم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ اگر آٹو مورفی کا عنصر ہے تو متبادل شکل کو اور کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مثال ایک نارملائزڈ پیریڈ میٹرکس کے لیے جس کی معیاری بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے توسیع کی گئی ہے ہمارے پاس کالم ویکٹر ہیں جو جالی کی وضاحت کرتے ہیں۔ پھر، کوئی بھی متبادل فارم اس شکل کا ہوتا ہے جہاں مطابقت کی متعدد شرائط کو پورا کرنا ضروری ہوتا ہے۔ لائن بنڈلوں کے حصے اور تھیٹا افعال آٹومورفی کے عنصر کے ذریعہ دیئے گئے لائن بنڈل کے لیے، لہذا اور، حصوں کا ایک متعلقہ ڈھیر ہے جہاں کھلا ہے۔ پھر، عالمی حصوں پر جائزہ لیا جاتا ہے، یہ ہولومورفک افعال کا مجموعہ ہے جیسے کہ طیارہ پر بالکل تھیٹا افعال ہیں۔ اس کے برعکس، یہ عمل پیچھے کی طرف کیا جا سکتا ہے جہاں تھیٹا فنکشن میں آٹومورفک عنصر درحقیقت آٹومورفی کا عنصر ہے جو ایک پیچیدہ ٹورس پر لائن بنڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ ہرمیٹین شکلیں اور ایپل-ہمبرٹ تھیوریم لائن بنڈل سے وابستہ متبادل-ویلیوڈ 2-فارم کے لیے، اسے-ویلیوڈ تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ پھر، یہ پتہ چلتا ہے کہ کوئی بھی قابل قدر متبادل فارم مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے جو لائن بنڈل کے کچھ فرسٹ چرن کلاس کی توسیع ہے۔ مزید برآں، ایک وابستہ ہرمیٹین شکل ہے جو کسی کے لیے بھی تسلی بخش ہے۔ نیرون-سیوری گروپ ایک پیچیدہ ٹورس کے لیے ہم نیرون-سروری گروپ کو ہرمیٹین شکلوں کے گروپ کے طور پر بیان کر سکتے ہیں مساوی طور پر، یہ پہلی چرن کلاس سے ہومومورفزم کی شبیہہ ہے۔ ہم اسے اس طرح کے متبادل حقیقی قدر والے متبادل فارموں کے گروپ کے ساتھ بھی شناخت کر سکتے ہیں۔ ایلیپٹک وکر پر ہرمیٹین فارم کی مثال لیٹس کے ذریعہ دیئے گئے ایلیپٹک وکر کے لیے جہاں ہم ایک عام متبادل میٹرکس کو دیکھ کر اور اس کی توقع کے مطابق برتاؤ کرنے کے لیے صحیح مطابقت کے حالات تلاش کر کے انٹیگرل فارم تلاش کر سکتے ہیں۔ اگر ہم کی معیاری بنیاد کو ایک حقیقی ویکٹر اسپیس (تو) کے طور پر استعمال کرتے ہیں، تو ہم ایک متبادل میٹرکس لکھ سکتے ہیں اور اس سے وابستہ ویکٹروں پر متعلقہ مصنوعات کا حساب لگا سکتے ہیں۔ یہ ہیں پھر، ان ویکٹرز کے اندرونی پروڈکٹ (معیاری اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ) کو ان ویکٹرز کے ساتھ لے کر جو ہمیں ملتے ہیں اگر، تو پھر ہم براہ راست تصدیق کر سکتے ہیں، جو اوپر والے میٹرکس کے لیے ہے۔ فکسڈ کے لیے، ہم انٹیگرل فارم کو اس طرح لکھیں گے۔ اس کے بعد، ایک وابستہ ہرمیٹین شکل دی گئی ہے جہاں ہرمیٹین شکلوں کے لیے نیم کردار کے جوڑے ایک ہرمیٹین فارم کے لیے ایک نیم کردار ایک نقشہ ہے جس کی وجہ سے نقشہ ہرمیٹین شکل سے مڑے ہوئے کردار کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر صفر عنصر ہے، تو یہ معمولی لائن بنڈل سے مطابقت رکھتا ہے، پھر متعلقہ نیم کردار حروف کا گروپ ہیں۔ یہ پتہ چلے گا کہ یہ ڈگری لائن بنڈلوں کے گروپ سے مطابقت رکھتا ہے، یا اس کے مساوی طور پر، اس کے دوہری ٹورس، جسے حروف کے اس گروپ کی گنتی کرکے دیکھا جا سکتا ہے جس کے عناصر کو نقشوں کے طور پر فیکٹر کیا جا سکتا ہے جس میں ایک کردار کو دکھایا گیا ہے جو کسی مقررہ دوہری جالی ویکٹر کی شکل کا ہے۔ یہ ایک حقیقی ٹورس کے ساتھ حروف کے سیٹ کی آئسومورفزم دیتا ہے۔ نیم کرداروں کے تمام جوڑوں کا مجموعہ اور ان سے وابستہ ہرمیٹین فارم، یا نیم کردار کے جوڑے، ایک گروپ بناتے ہیں جہاں یہ گروپ ڈھانچہ نیم کرداروں کے لیے پچھلے تبادلے کے قانون کو نئے سیمی کردار پر لاگو کرنے سے آتا ہے: یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ گروپ سرجیکٹ کرتا ہے اور اس میں دانا ہوتا ہے، جس سے ایک مختصر عین ترتیب ملتی ہے۔ یہ سرجیکشن ہر نیم کردار کے جوڑے کو لائن بنڈل سے جوڑ کر بنایا جا سکتا ہے۔ نیم کردار کے جوڑے اور لائن بنڈل نیم کردار کے جوڑے کے لیے ہم نقشے کے طور پر ایک 1-سائیکل بنا سکتے ہیں۔ کوکیکل کے تعلق کی براہ راست گنتی کے ذریعے آسانی سے تصدیق کی جا سکتی ہے۔ لہذا کوکیکل ایک لائن بنڈل کا تعین کرتا ہے جہاں-ایکشن نوٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے اس ایکشن کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ لائن بنڈل کے حصے تھیٹا افعال کے ذریعے آٹو مورفی کے عنصر کے ساتھ دیے گئے ہیں۔ بعض اوقات، اسے آٹو مورفی کا کینونکل فیکٹر کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ ہر لائن بنڈل کی ایک وابستہ ہرمیٹین شکل ہوتی ہے، اور آٹو مورفی کے عنصر کا استعمال کرتے ہوئے ایک نیم کردار بنایا جا سکتا ہے، اس لیے ہمیں ایک سرجیکشن ملتا ہے۔ مزید برآں، یہ ایک گروپ ہومومورفزم ہے جس میں ایک معمولی دانا ہوتا ہے۔ ان تمام حقائق کا خلاصہ مندرجہ ذیل مواصلاتی خاکہ میں کیا جا سکتا ہے جہاں عمودی تیر آئسومورفزم یا مساوات ہیں۔ اس خاکہ کو عام طور پر ایپل-ہمبرٹ تھیوریم کہا جاتا ہے۔ ڈوئل کمپلیکس ٹورس جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، جالی پر ایک کردار کو کسی فکسڈ ڈوئل ویکٹر کے لیے فنکشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہم تمام حروف کے حقیقی ٹورس پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ ڈالنا چاہتے ہیں، تو ہمیں ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس سے شروع کرنے کی ضرورت ہے جو اس میں سرایت کرتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ پیچیدہ اینٹی لینیر نقشوں کی پیچیدہ ویکٹر جگہ، حقیقی دوہری ویکٹر جگہ کے لیے آئسومورفک ہے، جو حروف کو لکھنے کے لیے فیکٹرائزیشن کا حصہ ہے۔ مزید برآں، ایک منسلک جالی ہے جسے دوہری جالی کہا جاتا ہے۔ پھر، ہم دوہری پیچیدہ ٹورس تشکیل دے سکتے ہیں جس کی خاص خاصیت یہ ہے کہ دوہری پیچیدہ ٹورس کا وہ دوہری اصل پیچیدہ ٹورس ہے۔ مزید برآں، اوپر کی بحث سے، ہم نقشہ دینے کے لیے ایک مخالف لکیری دوہری ویکٹر بھیج کر دوہری پیچیدہ ٹورس کے ساتھ دوہری پیچیدہ ٹورس کی شناخت کر سکتے ہیں جو دوہری پیچیدہ ٹورس کے ذریعے عوامل کرتا ہے۔ ابیلین اقسام کے نظریہ سے تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے دوہری پیچیدہ ٹورس کی دیگر تعمیرات ہیں۔ بنیادی طور پر، ایک پیچیدہ ٹورس (یا ابیلین قسم) کے اوپر ایک لائن بنڈل لیتے ہوئے، ایک بند ذیلی سیٹ کی تعریف ان نکات کے طور پر کی جاتی ہے جہاں ان کے ترجمے غیر متغیر ہوتے ہیں، یعنی۔ پھر، دوہری پیچیدہ ٹورس کو آئزوجینی کے طور پر پیش کرنے کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس طریقے کی وضاحت نے اس کی عالمگیر خصوصیات کو مطمئن کیا، اس لیے حقیقت میں دوہری پیچیدہ ٹورس (یا ابیلین قسم) ہے۔ ڈوئل کمپلیکس ٹورس کی تعمیر سے، یہ تجویز کیا جاتا ہے کہ ٹورس اور اس کے ڈوئل کے پروڈکٹ پر ایک لائن بنڈل موجود ہونا چاہیے جسے ڈگری 0 لائن بنڈلوں کی تمام آئسومورفزم کلاسوں کو پیش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہم اس رویے کو مندرجہ ذیل دو خصوصیات کے ساتھ کسی بھی نقطہ کے لیے انکوڈ کر سکتے ہیں جس میں لائن بنڈل ایک معمولی لائن بنڈل ہے جہاں پہلا اوپر بیان کردہ پراپرٹی ہے، اور دوسرا معمول کی خاصیت کے طور پر کام کرتا ہے۔ ہم مندرجہ ذیل ہرمیٹین فارم اور نیم کردار کا استعمال کرتے ہوئے تعمیر کر سکتے ہیں۔ اس ڈیٹا کو دکھانے سے مطلوبہ خصوصیات کے ساتھ ایک لائن بنڈل کی تعمیر ہوتی ہے جس کے متعلقہ کینونکل عنصر کو دیکھنے اور مختلف پابندیوں پر اس کے رویے کا مشاہدہ کرنے سے مندرجہ ذیل ہے۔ یہ بھی دیکھیں پوئن کیئر بنڈل کمپلیکس لائ گروپ آٹومورفک فنکشن انٹرمیڈیٹ جیکوبین ایلیپٹک گاما فنکشن حوالہ جات کمپلیکس 2 جہتی ٹوری-پیچیدہ ٹوری کو تلاش کرنے کے لیے اوزار فراہم کرتا ہے جو پیچیدہ ٹوری پر ابیلین اقسام نہیں ہیں جربس-جالی پر متبادل شکلوں کو استعمال کرنے کے خیال کو بڑھاتا ہے، ایک پیچیدہ ٹورس پر جربوں کی تعمیر کے لیے-پیچیدہ ٹوری پر جربوں کی مثالیں شامل ہیں-پیچیدہ ٹوری P-adic ٹوری p-adic ابیلین انٹیگرلز تک بڑھایا جا سکتا ہے: تھیوری سے پریکٹس کمپلیکس کئی گنا تک پیچیدہ سطحیں ابیلین