Spin-1/2
کوانٹم میکانکس میں، گھماؤ تمام ابتدائی ذرات کی ایک اندرونی خاصیت ہے۔ تمام معروف فرمین، وہ ذرات جو عام مادے کو تشکیل دیتے ہیں، کا ایک چکر ہوتا ہے۔ اسپن نمبر بیان کرتا ہے کہ ایک مکمل گردش میں کسی ذرہ کے کتنے ہم آہنگ پہلو ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس ذرہ کو دو مکمل موڑ (720° کے ذریعے) کے ذریعے گھمایا جانا چاہیے اس سے پہلے کہ اس کی ترتیب وہی ہو جو اس نے شروع کی تھی۔ خالص گردش کرنے والے ذرات میں پروٹون، نیوٹرون، الیکٹران، نیوٹرینو اور کوارک شامل ہیں۔ کلاسیکی طبیعیات کا استعمال کرتے ہوئے گھومنے والی اشیاء کی حرکیات کو درست طریقے سے بیان نہیں کیا جا سکتا۔ وہ سب سے آسان نظاموں میں سے ہیں جن کی وضاحت کے لیے کوانٹم میکانکس کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح، اسپن سسٹمز کے رویے کا مطالعہ کوانٹم میکانکس کا ایک مرکزی حصہ بنتا ہے۔ سٹرن-گیرلاچ تجربہ نصف عدد اسپن متعارف کرانے کی ضرورت تجرباتی طور پر سٹرن-گیرلاچ تجربے کے نتائج پر واپس جاتی ہے۔ ایٹموں کی ایک بیم ایک مضبوط متنوع مقناطیسی میدان سے گزرتی ہے، جو پھر ایٹموں کی اندرونی کونیی رفتار کے لحاظ سے N حصوں میں تقسیم ہو جاتی ہے۔ یہ پایا گیا کہ چاندی کے ایٹموں کے لیے، بیم کو دو حصوں میں تقسیم کیا گیا تھا-اس لیے زمینی حالت ایک عدد نہیں ہو سکتی، کیونکہ یہاں تک کہ اگر ایٹموں کی اندرونی کونیی رفتار ممکنہ طور پر سب سے چھوٹی (غیر صفر) عدد ہو، 1، بیم کو 3 حصوں میں تقسیم کیا جائے گا، جو کہ ایل زیڈ = −1، + 1، اور 0 والے ایٹموں کے مطابق ہے، جس میں 0 صرف −1 اور + 1 کے درمیان آنے والی قیمت ہے جبکہ خود ایک مکمل عدد بھی ہے، اور اس طرح اس معاملے میں ایک درست مقداری گھماؤ نمبر ہے۔ دو پولرائزڈ کوانٹم ریاستوں کے درمیان اس فرضی "اضافی مرحلے" کے وجود کے لیے تیسری کوانٹم حالت کی ضرورت ہوگی ؛ ایک تیسری بیم، جو تجربے میں نہیں دیکھی گئی ہے۔ نتیجہ یہ نکلا کہ چاندی کے ایٹموں کی خالص اندرونی کونیی رفتار تھی۔ عام خصوصیات اسپن آبجیکٹ تمام فرمین ہیں (ایک حقیقت جس کی وضاحت اسپن شماریات تھیوریم نے کی ہے) اور پالی اخراج کے اصول کو پورا کرتی ہیں۔ اسپن ذرات اپنے گھومنے کی سمت میں ایک مستقل مقناطیسی مومنٹ رکھ سکتے ہیں، اور یہ مقناطیسی مومنٹ برقی مقناطیسی تعاملات کو جنم دیتا ہے جو گھومنے پر منحصر ہوتا ہے۔ ایسا ہی ایک اثر جو گھماؤ کی دریافت میں اہم تھا وہ زیمن اثر ہے، جو ایک جامد مقناطیسی میدان کی موجودگی میں ایک سپیکٹرم لائن کو کئی اجزاء میں تقسیم کرتا ہے۔ زیادہ پیچیدہ کوانٹم مکینیکل نظاموں کے برعکس، ایک گھماؤ ذرہ کے گھماؤ کو صرف دو آئجین اسٹیٹس، یا آئجینپینرز کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ان پر روایتی طور پر اسپن اپ اور اسپن ڈاؤن کا لیبل لگایا جاتا ہے۔ اس کی وجہ سے، کوانٹم مکینیکل اسپن آپریٹرز کو سادہ 2 × 2 میٹرکس کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ ان میٹرکس کو پالی میٹرکس کہا جاتا ہے۔ اسپن آبجیکٹ کے لیے تخلیق اور تخفیف آپریٹرز بنائے جا سکتے ہیں۔ یہ دوسرے کونیی مومنٹم آپریٹرز کی طرح ہی تبادلوں کے تعلقات کی پابندی کرتے ہیں۔ غیر یقینی اصول سے تعلق عمومی غیر یقینی اصول کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ اسپن پروجیکشن آپریٹرز (جو x، y، یا z جیسی دی گئی سمت کے ساتھ اسپن کی پیمائش کرتے ہیں) کو بیک وقت نہیں ماپا جا سکتا۔ جسمانی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ جس محور کے گرد ایک ذرہ گھوم رہا ہے وہ غیر متعین ہے۔ اسپن کے زیڈ اجزاء کی پیمائش x-اور y اجزاء کے بارے میں کسی بھی معلومات کو تباہ کر دیتی ہے جو پہلے حاصل کی جا سکتی تھی۔ ریاضیاتی تفصیل ایک گھماؤ ذرہ کی خصوصیت گھماؤ s کے لیے ایک کونیی مومنٹم کوانٹم نمبر ہے۔ شروڈنگر مساوات کے حلوں میں، کونیی مومنٹم کو اس نمبر کے مطابق مقداری کیا جاتا ہے، تاکہ کل گھماؤ کونیی مومنٹم۔ تاہم، مشاہدہ شدہ باریک ڈھانچہ جب الیکٹران کو ایک محور کے ساتھ مشاہدہ کیا جاتا ہے، جیسے کہ z-محور، تو مقناطیسی کوانٹم نمبر کے لحاظ سے مقداری کیا جاتا ہے، جسے اس کل کونیی مومنٹم کے ویکٹر جزو کی مقدار کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس کی صرف اقدار ہو سکتی ہیں۔ نوٹ کریں کہ کونیی مومنٹم کے لیے یہ اقدار صرف کم شدہ پلانک مستقل (کسی بھی فوٹون کی کونیی مومنٹم) کے افعال ہیں، جن کا کمیت یا چارج پر کوئی انحصار نہیں ہے۔ پیچیدہ مرحلہ ریاضیاتی طور پر، کوانٹم مکینیکل اسپن کو ویکٹر کے ذریعے کلاسیکی کونیی رفتار کے طور پر بیان نہیں کیا جاتا ہے۔ اسے ایک پیچیدہ قدر والے ویکٹر کے ذریعے دو اجزاء کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے جسے اسپنر کہا جاتا ہے۔ کوآرڈینیٹ گردشوں کے تحت اسپنرز اور ویکٹروں کے رویے کے درمیان ٹھیک ٹھیک اختلافات ہوتے ہیں، جو ایک پیچیدہ فیلڈ پر ویکٹر اسپیس کے رویے سے پیدا ہوتے ہیں۔ جب ایک اسپنر کو 360° (ایک مکمل موڑ) سے گھمایا جاتا ہے، تو یہ اپنے منفی میں تبدیل ہو جاتا ہے، اور پھر 360° کی مزید گردش کے بعد یہ دوبارہ اپنی ابتدائی قدر میں تبدیل ہو جاتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کوانٹم تھیوری میں کسی ذرہ یا نظام کی حالت کی نمائندگی ایک پیچیدہ امکانی طول و عرض (ویو فنکشن) کے ذریعے کی جاتی ہے، اور جب نظام کی پیمائش کی جاتی ہے، تو اس حالت میں نظام کو تلاش کرنے کا امکان، طول و عرض کے مطلق مربع (مطلق قدر کا مربع) کے برابر ہوتا ہے۔ ریاضیاتی لحاظ سے، کوانٹم ہلبرٹ اسپیس گردش گروپ ایس او (3) کی پروجیکٹو نمائندگی کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ایک ڈٹیکٹر جسے گھمایا جا سکتا ہے ایک ایسے ذرہ کی پیمائش کرتا ہے جس میں کسی حالت کا پتہ لگانے کے امکانات ڈٹیکٹر کی گردش سے متاثر ہوتے ہیں۔ جب نظام کو 360° کے ذریعے گھمایا جاتا ہے، تو مشاہدہ شدہ آؤٹ پٹ اور طبیعیات ابتدائی طور پر ایک جیسے ہوتے ہیں لیکن طول و عرض کو ایک گھماؤ ذرہ کے لیے −1 کے عنصر یا 360° کے نصف مرحلے کی شفٹ سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ جب امکانات کا حساب لگایا جاتا ہے، تو −1 مربع ہوتا ہے، (−1) 2 = 1، اس لیے پیش گوئی شدہ طبیعیات ابتدائی پوزیشن کی طرح ہی ہوتی ہے۔ نیز، ایک گھماؤ دار ذرہ میں صرف دو گھماؤ ریاستیں ہوتی ہیں اور دونوں کے طول و عرض ایک ہی −1 عنصر سے تبدیل ہوتے ہیں، لہذا مداخلت کے اثرات ایک جیسے ہوتے ہیں، اعلی گھماؤ کے معاملے کے برعکس۔ پیچیدہ امکانی طول و عرض ایک نظریاتی تعمیر کی چیز ہے جس کا براہ راست مشاہدہ نہیں کیا جا سکتا۔ اگر امکانی طول و عرض ڈٹیکٹر کے برابر مقدار میں گھومتے ہیں، تو جب سامان کو 180 ڈگری سے گھمایا جاتا ہے تو وہ −1 کے عنصر سے بدل جاتے ہیں جو جب مربع ہوتا ہے تو وہی آؤٹ پٹ کی پیش گوئی کرتا ہے جو شروع میں ہوتا ہے، لیکن تجربات سے پتہ چلتا ہے کہ یہ غلط ہے۔ اگر ڈٹیکٹر کو 180 ڈگری سے گھمایا جاتا ہے، تو گھومنے والے ذرات کے ساتھ نتیجہ اس سے مختلف ہو سکتا ہے کہ اگر اسے گھمایا نہ جائے تو نصف کا عنصر نظریہ کی پیش گوئیوں کو تجربات سے مماثل بنانے کے لیے ضروری ہے۔ مزید براہ راست شواہد کے لحاظ سے، نیوٹرون انٹرفیرومیٹری میں کلاسیکی تجربات میں 720 ڈگری کے مقابلے میں 360 ڈگری کے ذریعے کسی گھماؤ دار ذرہ کی گردش کے درمیان فرق کے جسمانی اثرات تجرباتی طور پر مشاہدہ کیے گئے ہیں۔ خاص طور پر، اگر اسپن پر مبنی اسپن ذرات کی بیم کو تقسیم کیا جاتا ہے، اور صرف ایک بیم کو اس کی حرکت کی سمت کے محور کے گرد گھمایا جاتا ہے اور پھر اصل بیم کے ساتھ دوبارہ ملایا جاتا ہے، تو گردش کے زاویے کے لحاظ سے مختلف مداخلت کے اثرات مشاہدہ کیے جاتے ہیں۔ 360° کے ذریعے گردش کی صورت میں منسوخی کے اثرات مشاہدہ کیے جاتے ہیں، جبکہ 720° کے ذریعے گردش کی صورت میں، بیم باہمی طور پر مضبوط ہوتے ہیں۔ این آر کیو ایم (غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس) ایک اسپن پارٹیکل کی کوانٹم حالت کو دو اجزاء والے پیچیدہ ویلیو والے ویکٹر کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جسے اسپنر کہا جاتا ہے۔ ذرہ کی قابل مشاہدہ حالتیں پھر اسپن آپریٹرز Sx، Sy، اور Sz، اور کل اسپن آپریٹر S. آبزرویبلز کے ذریعہ پائی جاتی ہیں۔ جب اسپنرز کو کوانٹم اسٹیٹس کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، تو تین اسپن آپریٹرز (Sx، Sy، Sz،) کو 2 × 2 میٹرکس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جسے پالی میٹرکس کہتے ہیں جن کی آئجن ویلیوز ہیں۔ مثال کے طور پر، اسپن پروجیکشن آپریٹر ایس زیڈ سمت میں اسپن کی پیمائش کو متاثر کرتا ہے۔ Sz کی دو آئجین ویلیوز، پھر درج ذیل آئجینپینرز سے مطابقت رکھتی ہیں: یہ ویکٹر ہلبرٹ اسپیس کے لیے ایک مکمل بنیاد بناتے ہیں جو اسپن پارٹیکل کو بیان کرتے ہیں۔ اس طرح، ان دونوں حالتوں کے لکیری امتزاج گھومنے کی تمام ممکنہ حالتوں کی نمائندگی کر سکتے ہیں، بشمول x-اور y-سمتوں میں۔ سیڑھی کے آپریٹر یہ ہیں: چونکہ، یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور۔ اس طرح: ان کے نارملائزڈ آئجینپینرز معمول کے مطابق پائے جا سکتے ہیں۔ Sx کے لیے، وہ یہ ہیں: Cy کے لیے، وہ ہیں: RQM (رشتہ دار کوانٹم میکانکس) جبکہ NRQM ہلبرٹ اسپیس میں 2 جہتوں کے ساتھ اسپن کی وضاحت کرتا ہے جس میں حرکیات 3 جہتی اسپیس اور ٹائم میں بیان کی جاتی ہیں، رشتہ دار کوانٹم میکانکس ہلبرٹ اسپیس میں 4 جہتوں کے ساتھ اسپن کی وضاحت کرتا ہے اور 4 جہتی اسپیس ٹائم کے ذریعے بیان کردہ حرکیات۔ مشاہدات اضافیت میں خلائی وقت کی چار جہتی نوعیت کے نتیجے کے طور پر، رشتہ دار کوانٹم میکانکس اسپن آپریٹرز اور مشاہدات کو بیان کرنے کے لیے 4 × 4 میٹرکس کا استعمال کرتا ہے۔ کوانٹم تھیوری اور خصوصی اضافیت کو یکجا کرنے کے نتیجے میں گھماؤ جب طبیعیات دان پال ڈیراک نے شروڈنگر مساوات میں ترمیم کرنے کی کوشش کی تاکہ یہ آئن سٹائن کے نظریہ اضافیت کے مطابق ہو، تو انہوں نے پایا کہ یہ صرف نتیجے میں ڈیراک مساوات میں میٹرکس کو شامل کرنے سے ممکن ہے، جس کا مطلب ہے کہ لہر میں متعدد اجزاء ہونے چاہئیں جو گھومنے کی طرف لے جائیں۔ پروجیکٹو نمائندگی نوٹ مزید پڑھنا بیرونی لنکس تین جہتوں میں گردش کوانٹم ماڈل بھی دیکھیں