Mild-slope equation
سیال حرکیات میں، ہلکی ڈھلوان کی مساوات پانی کی لہروں کے لیے تفریق اور اضطراب کے مشترکہ اثرات کو بیان کرتی ہے جو باتھمیٹری پر پھیلتی ہیں اور پس منظر کی حدود کی وجہ سے-جیسے بریک واٹر اور ساحلی پٹی۔ یہ ایک لگ بھگ ماڈل ہے، جس کا نام اصل میں سمندری فرش کی ہلکی ڈھلوانوں پر لہر کے پھیلاؤ کے لیے تیار کیا گیا ہے۔ ہلکی ڈھلوان کی مساوات اکثر ساحلی انجینئرنگ میں بندرگاہوں اور ساحلوں کے قریب لہر کے میدان میں ہونے والی تبدیلیوں کا حساب لگانے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ ہلکی ڈھلوان کی مساوات پانی کی لہروں کے پھیلاؤ اور تبدیلی کا نمونہ ہے، کیونکہ وہ مختلف گہرائی کے پانیوں سے گزرتی ہیں اور چٹانوں، ساحلوں، سمندری دیواروں اور بریک واٹر جیسی پس منظر کی حدود کے ساتھ تعامل کرتی ہیں۔ نتیجے کے طور پر، یہ لہر کے طول و عرض، یا مساوی لہر کی اونچائی میں تغیرات کو بیان کرتا ہے۔ لہر کے طول و عرض سے، پانی کی سطح کے نیچے بہاؤ کی رفتار کے ارتعاش کا طول و عرض بھی شمار کیا جا سکتا ہے۔ یہ مقدار-لہر کا طول و عرض اور بہاؤ کی رفتار کا طول و عرض-بعد میں ساحلی اور سمندری ڈھانچوں، بحری جہازوں اور دیگر تیرتی ہوئی اشیاء، تلچھٹ کی نقل و حمل اور اس کے نتیجے میں سمندری فرش اور ساحلی پٹی کی باتھمیٹرک تبدیلیوں، اوسط بہاؤ کے میدانوں اور تحلیل شدہ اور تیرتے ہوئے مواد کی بڑے پیمانے پر منتقلی پر لہر کے اثرات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اکثر، ہلکی ڈھلوان کی مساوات کو عددی تجزیہ کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے کمپیوٹر کے ذریعے حل کیا جاتا ہے۔ ہلکی ڈھلوان کی مساوات کی پہلی شکل ایککارٹ نے 1952 میں تیار کی تھی، اور ایک بہتر ورژن-اس کی کلاسیکی تشکیل میں ہلکی ڈھلوان کی مساوات-1972 میں جوری برخوف نے آزادانہ طور پر اخذ کی تھی۔ اس کے بعد، بہت سی ترمیم شدہ اور توسیعی شکلیں تجویز کی گئی ہیں، جن میں، مثال کے طور پر: لہر-موجودہ تعامل، لہر غیر لکیری، تیز سمندری بیڈ ڈھلوان، بیڈ رگڑ اور لہر توڑنے کے اثرات شامل ہیں۔ کمپیوٹیشنل لاگت کو کم کرنے کے لیے ہلکی ڈھلوان کی مساوات کے لیے پیرابولک تخمینے اکثر استعمال کیے جاتے ہیں۔ مستقل گہرائی کی صورت میں، ہلکی ڈھلوان کی مساوات لہر کے انحراف کے لیے ہیلم ہولٹز مساوات میں گھٹ جاتی ہے۔ یک رنگ لہر کی حرکت کے لیے تشکیل لکیری نظریہ کے مطابق یک رنگ لہروں کے لیے-آزاد سطح کی بلندی کے ساتھ اور اوسط پانی کی گہرائی کی سیال پرت پر پھیلنے والی لہروں کے ساتھ-ہلکی ڈھلوان کی مساوات یہ ہے: جہاں: آزاد سطح کی بلندی کا پیچیدہ قدر والا طول و عرض افقی پوزیشن ہے ؛ یک رنگ لہر کی حرکت کی کونیی تعدد ہے ؛ خیالی اکائی ہے ؛ یعنی منحنی خطوط کے درمیان مقدار کا حقیقی حصہ لینا ؛ افقی میلان آپریٹر ہے ؛ انحراف آپریٹر ہے ؛ لہر کی تعداد ہے ؛ لہروں کی فیز سپیڈ ہے اور لہروں کی گروپ سپیڈ ہے۔ مرحلے اور گروپ کی رفتار کا انحصار بازی کے تعلق پر ہوتا ہے، اور یہ ہوای لہر کے نظریہ سے اخذ کیے گئے ہیں: جہاں زمین کی کشش ثقل ہے اور ہائپربولک ٹینجینٹ ہے۔ کسی دی گئی کونیی تعدد کے لیے، لہر کی تعداد کو منتشر مساوات سے حل کرنا پڑتا ہے، جو ان دونوں مقداروں کو پانی کی گہرائی سے جوڑتا ہے۔ غیر یکساں ہیلم ہولٹز مساوات میں تبدیلی تبدیلی کے ذریعے ہلکی ڈھلوان کی مساوات کو غیر یکساں ہیلم ہولٹز مساوات کی شکل میں کاسٹ کیا جا سکتا ہے: لیپلیس آپریٹر کہاں ہے۔ پھیلنے والی لہروں کے مقامی طور پر مربوط شعبوں میں، پیچیدہ طول و عرض کو اس کے طول و عرض اور مرحلے میں تقسیم کرنا مفید ہے، دونوں حقیقی قابل قدر ہیں: طول و عرض یا مطلق قدر کہاں ہے اور لہر کا مرحلہ ہے، جو کہ لہر کا مرحلہ ہے، یہ ہلکے ڈھلوان کی مساوات کو مساوات کے درج ذیل سیٹ میں تبدیل کرتا ہے (ان مقامات کے علاوہ جن کے لیے واحد ہے): جہاں فی یونٹ افقی علاقے میں اوسط لہر توانائی کی کثافت ہے (حرکی اور ممکنہ توانائی کی کثافت کا مجموعہ)، موثر لہر نمبر ویکٹر ہے، اجزاء کے ساتھ موثر گروپ رفتار ویکٹر ہے، سیال کی کثافت ہے، اور زمین کی کشش ثقل کی طرف سے ایکسلریشن ہے۔ آخری مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ لہر کی توانائی ہلکی ڈھلوان کی مساوات میں محفوظ ہے، اور یہ کہ لہر کی توانائی-سمت نارمل میں لہر کی چوٹیوں تک منتقل ہوتی ہے (اس صورت میں خالص لہر کی حرکت کے بغیر اوسط کرنٹس)۔ مؤثر گروپ کی رفتار گروپ کی رفتار سے مختلف ہے۔ پہلی مساوات میں کہا گیا ہے کہ موثر لہر کی تعداد غیر متحرک ہے، جو اس حقیقت کا براہ راست نتیجہ ہے کہ یہ لہر مرحلے، ایک اسکیلر فیلڈ کا مشتق ہے۔ دوسری مساوات ایکونال مساوات ہے۔ یہ موثر ویوین نمبر پر ڈفریکشن کے اثرات کو ظاہر کرتا ہے: صرف زیادہ یا کم ترقی پسند لہروں کے لیے، طول و عرض اور مرحلے میں تقسیم کے ساتھ اور کے مستقل مختلف اور بامعنی شعبوں کی طرف جاتا ہے۔ ورنہ، κ2 منفی بھی ہو سکتا ہے۔ جب ڈفریکشن کے اثرات کو مکمل طور پر نظر انداز کیا جاتا ہے، تو موثر ویوینمبر κ برابر ہوتا ہے، اور ویو ریفریکشن کے لیے جیومیٹرک آپٹکس کا تخمینہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جب ہلکی ڈھلوان کی مساوات میں استعمال کیا جاتا ہے، تو نتیجہ ایک عنصر کے علاوہ ہوتا ہے: اب اس مساوات کا حقیقی حصہ اور خیالی حصہ دونوں صفر کے برابر ہونا چاہیے: موثر ویوینمبر ویکٹر کو لہر مرحلے کے میلان کے طور پر بیان کیا جاتا ہے: اور اس کی ویکٹر لمبائی نوٹ ہے کہ یہ ایک غیر گردش فیلڈ ہے، کیونکہ میلان کا کرل صفر ہے: اب تبدیل شدہ ہلکی ڈھلوان کی مساوات کے حقیقی اور خیالی حصے بن جاتے ہیں، پہلے خیالی حصے کو اس سے ضرب دیتے ہیں: پہلی مساوات براہ راست اوپر کے ایکونل مساوات کی طرف لے جاتی ہے، جبکہ دوسری دیتی ہے: جو-یہ نوٹ کرنے سے کہ کونیی تعدد وقت ہم آہنگی حرکت کے لیے مستقل ہے-لہر توانائی کے تحفظ کے مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ ہلکی ڈھلوان کی مساوات کا مشتق ہلکی ڈھلوان کی مساوات کو کئی طریقوں کے استعمال سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ یہاں، ہم ایک متغیر نقطہ نظر استعمال کریں گے۔ سیال کو غیر متزلزل اور غیر کمپریسبل سمجھا جاتا ہے، اور اس کے بہاؤ کو غیر متحرک سمجھا جاتا ہے۔ یہ مفروضے سطح کی کشش ثقل کی لہروں کے لیے درست ہیں، کیونکہ وورتکیت اور چپچپا پن کے اثرات صرف اسٹوکس باؤنڈری تہوں (بہاؤ کے ارتعاشی حصے کے لیے) میں اہم ہوتے ہیں۔ چونکہ بہاؤ غیر گردش ہے، اس لیے لہر کی حرکت کو ممکنہ بہاؤ کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے۔ لیوک کا متغیر اصول لیوک کی لاگرانجین تشکیل غیر لکیری سطح کشش ثقل کی لہروں کے لیے متغیر تشکیل دیتی ہے۔ مستقل کثافت کے ساتھ افقی طور پر غیر محدود ڈومین کی صورت میں، لیوک کے تغیراتی اصول پر ایک آزاد سیال کی سطح اور ایک مقررہ سمندری بیڈ لگرینجین کا استعمال کرتا ہے جہاں افقی لگرینجین کثافت ہے، جس کے ذریعہ دیا گیا ہے: جہاں رفتار کی صلاحیت ہے، جس میں بہاؤ کی رفتار کے اجزاء بالترتیب اور میں، اور سمتوں میں ہیں۔ لیوک کی لگرینجین فارمولیشن کو آزاد سطح پر سطح کی بلندی اور رفتار کی صلاحیت کے لحاظ سے ہیملٹنین فارمولیشن میں بھی دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ پوٹینشل اور سطح کی بلندی کے حوالے سے کے تغیرات کو لینا سیال کے اندرونی حصے کے لیے لیپلیس مساوات کا باعث بنتا ہے، ساتھ ہی لکیری ویو تھیوری میں بیڈ کی طرح آزاد سطح پر تمام باؤنڈری کنڈیشنز کا باعث بنتا ہے۔ لکیری ویو تھیوری کی صورت میں، لگرینجین ڈینسٹی میں عمودی انٹیگرل کو بیڈ سے اوسط سطح پر اور دوسرے حصے میں آزاد سطح تک تقسیم کیا جاتا ہے۔ اوسط آزاد سطح کی بلندی کے ارد گرد دوسرے انٹیگرل کے لیے ٹیلر سیریز کی توسیع کا استعمال کرنا اور صرف مربع اصطلاحات کو برقرار رکھنا اور لکیری لہر کی حرکت کے لیے لاگرانجین کثافت بن جاتی ہے۔ عمودی انٹیگرل میں اصطلاح کو چھوڑ دیا جاتا ہے کیونکہ یہ متحرک طور پر غیر دلچسپ ہو گیا ہے: یہ یولر-لاگرانج مساوات میں صفر شراکت دیتا ہے، جس میں اب اوپری انضمام کی حد طے ہو گئی ہے۔ ممکنہ توانائی کے متناسب نظر انداز شدہ نچلی مدت کے لیے بھی یہی بات درست ہے۔ لہریں افقی سطح میں پھیلتی ہیں، جبکہ پوٹینشل کی ساخت عمودی سمت میں لہر جیسی نہیں ہوتی ہے۔ یہ اوسط آزاد سطح کی بلندی پر معمول کے ساتھ صلاحیت کی شکل پر درج ذیل مفروضے کے استعمال کی تجویز کرتا ہے۔ یہاں اوسط آزاد سطح کی سطح پر رفتار کی صلاحیت ہے۔ اگلا، ہلکی ڈھلوان کا مفروضہ بنایا جاتا ہے، اس میں عمودی شکل کی تقریب-طیارہ میں آہستہ آہستہ تبدیل ہوتی ہے، اور بہاؤ کی رفتار میں کے افقی مشتقات کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ تو: نتیجے کے طور پر: اس لاگرانجین کثافت کے لیے یولر-لاگرانج مساوات کے ساتھ، دونوں میں سے کسی ایک کی نمائندگی کے ساتھ ہیں یا اب پہلے اس کے برابر لیا جاتا ہے اور پھر اس کے نتیجے میں، لہر کی حرکت کے لیے ارتقاء کی مساوات بن جاتی ہیں: افقی میلان آپریٹر کے ساتھ: جہاں سپر اسکرپٹ ٹرانسپوز کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگلا مرحلہ شکل کے فنکشن کا انتخاب کرنا اور ایئر ویو تھیوری سے عمودی شکل کے فنکشن کا تعین کرنا ہے۔ چونکہ مقصد ہلکے ڈھلوان بستروں پر لہروں کی وضاحت ہے، اس لیے شکل کے فنکشن کا انتخاب ایئر ویو تھیوری کے مطابق کیا جاتا ہے۔ یہ مسلسل گہرائی میں پھیلنے والی لہروں کا لکیری نظریہ ہے شکل کی تقریب کی شکل یہ ہے: اب عام طور پر مستقل نہیں ہے، لیکن مقامی گہرائی اور لکیری بازی کے تعلق کے ساتھ اور اس کے مطابق مختلف ہونے کے لیے منتخب کیا گیا ہے: یہاں ایک مستقل کونیی تعدد، زیر مطالعہ لہر کے میدان کی خصوصیات کے مطابق منتخب کیا گیا ہے۔ نتیجتا، انٹیگرلز اور بن جاتے ہیں: مندرجہ ذیل وقت پر منحصر مساوات آزاد سطح کی بلندی اور آزاد سطح کی صلاحیت کا ارتقاء دیتی ہیں۔ دو ارتقاء مساوات میں سے ایک، متغیر میں سے ایک، ہلکی ڈھلوان کی مساوات کی وقت پر منحصر شکل حاصل کرنے کے لیے یا اسے ختم کیا جا سکتا ہے: اور آزاد سطح کی صلاحیت کے لیے متعلقہ مساوات یکساں ہے، جس کی جگہ یک رنگ لہروں کے ارد گرد تعدد کے ایک تنگ بینڈ میں لہروں کو ماڈل بنانے کے لیے وقت پر منحصر ہلکی ڈھلوان کی مساوات استعمال کی جا سکتی ہے۔ پیچیدہ طول و عرض اور کونیی تعدد کے ساتھ یک رنگ لہروں پر غور کریں: ایک دوسرے کے ساتھ اور ایک دوسرے کے برابر منتخب کریں، ہلکی ڈھلوان کی مساوات کی وقت پر منحصر شکل میں اس کا استعمال کرتے ہوئے، وقت کے لیے کلاسیکی ہلکی ڈھلوان کی مساوات کو بازیافت کریں۔ تاہم، کچھ لطیف پہلو، جیسے عکاسی شدہ لہروں کا طول و عرض، مکمل طور پر غلط ہو سکتا ہے، یہاں تک کہ صفر پر جانے والی ڈھلوانوں کے لیے بھی۔ اس ریاضیاتی تجسس کی عام طور پر بہت کم عملی اہمیت ہوتی ہے کیونکہ چھوٹی نچلی ڈھلوانوں کے لیے یہ عکاسی بہت کم ہو جاتی ہے۔ نوٹ حوالہ جات، 2 حصے، 967 صفحات۔ ، 740 صفحات۔ ساحلی جغرافیہ سیال حرکیات کی مساوات پانی کی لہریں