Infinity
انفینٹی ایک ایسی چیز ہے جو لامحدود، لامتناہی، یا کسی بھی قدرتی عدد سے بڑی ہے۔ اسے اکثر انفینٹی کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ قدیم یونانیوں کے زمانے سے ہی، انفینٹی کی فلسفیانہ نوعیت فلسفیوں کے درمیان بہت سی بحثوں کا موضوع رہی ہے۔ 17 ویں صدی میں، انفینٹی علامت اور انفینٹیسیمل کیلکولس کے تعارف کے ساتھ، ریاضی دانوں نے انفینٹ سیریز کے ساتھ کام کرنا شروع کیا اور جسے کچھ ریاضی دان (بشمول ایل ہوپیٹل اور برنولی) انفینٹلی چھوٹی مقدار سمجھتے تھے، لیکن انفینٹی کا تعلق لامتناہی عمل سے رہا۔ چونکہ ریاضی دانوں نے کیلکولس کی بنیاد کے ساتھ جدوجہد کی، یہ واضح نہیں رہا کہ آیا انفینٹی کو ایک نمبر یا شدت کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور، اگر ایسا ہے تو، یہ کیسے کیا جا سکتا ہے۔ 19 ویں صدی کے آخر میں، جارج کینٹر نے لامحدود سیٹوں اور لامحدود اعداد کا مطالعہ کرکے انفینٹی کے ریاضیاتی مطالعہ کو بڑھایا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ وہ مختلف سائز کے ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر کسی لکیر کو اس کے تمام نکات کے مجموعے کے طور پر دیکھا جائے تو ان کا لامحدود عدد (یعنی لکیر کی بنیادی حیثیت) انٹیجرز کی تعداد سے بڑا ہوتا ہے۔ اس استعمال میں، انفینٹی ایک ریاضیاتی تصور ہے، اور لامحدود ریاضیاتی اشیاء کا مطالعہ کیا جا سکتا ہے، ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے، اور کسی بھی دوسرے ریاضیاتی شے کی طرح استعمال کیا جا سکتا ہے۔ انفینٹی کا ریاضیاتی تصور پرانے فلسفیانہ تصور کو بہتر بناتا ہے اور اس میں توسیع کرتا ہے، خاص طور پر لامحدود سیٹوں کے لامحدود بہت سے مختلف سائز متعارف کروا کر۔ زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری کے محوری اصولوں میں، جس پر زیادہ تر جدید ریاضی تیار کی جا سکتی ہے، انفینٹی کا محوری ہے، جو لامحدود سیٹوں کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ لامحدود کا ریاضیاتی تصور اور لامحدود سیٹوں کی ہیرا پھیری ریاضی میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہے، یہاں تک کہ امتزاج جیسے شعبوں میں بھی جن کا ان سے کوئی تعلق نہیں لگتا ہے۔ مثال کے طور پر، وائلز کا فرمیٹ کے آخری نظریہ کا ثبوت ایک دیرینہ مسئلے کو حل کرنے کے لیے، جو کہ ابتدائی ریاضی کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے، گروتھینڈیک کائناتوں، بہت بڑے لامحدود سیٹوں کے وجود پر مضمر طور پر انحصار کرتا ہے۔ طبیعیات اور کاسمولوجی میں، کیا کائنات مقامی طور پر لامحدود ہے، یہ ایک کھلا سوال ہے۔ تاریخ قدیم ثقافتوں میں انفینٹی کی نوعیت کے بارے میں مختلف نظریات تھے۔ قدیم ہندوستانیوں اور یونانیوں نے جدید ریاضی کی طرح عین رسمی نظام میں انفینٹی کی تعریف نہیں کی، اور اس کے بجائے انفینٹی کو ایک فلسفیانہ تصور کے طور پر دیکھا۔ یونان میں انفینٹی کا سب سے قدیم ریکارڈ شدہ خیال اناکسیمینڈر (c. 610-c. 546 قبل مسیح) کا ہو سکتا ہے جو قبل از سوکریٹک یونانی فلسفی تھا۔ انہوں نے لفظ اپیرون استعمال کیا، جس کا مطلب ہے "لامحدود"، "غیر معینہ مدت"، اور شاید اس کا ترجمہ "لامحدود" کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ ارسطو (350 قبل مسیح) نے ممکنہ انفینٹی کو حقیقی انفینٹی سے ممتاز کیا، جسے وہ ان مختلف تضادات کی وجہ سے ناممکن سمجھتا تھا جو اس سے پیدا ہوتے دکھائی دیتے تھے۔ یہ استدلال کیا گیا ہے کہ، اس نظریے کے مطابق، ہیلینسٹک یونانیوں کے پاس "لامحدود کا خوف" تھا جو، مثال کے طور پر، اس بات کی وضاحت کرے گا کہ یوکلڈ (300 قبل مسیح) نے یہ کیوں نہیں کہا کہ پرائمز کی لامحدود تعداد موجود ہے بلکہ "پرائم نمبرز پرائم نمبروں کی کسی بھی تفویض کردہ تعداد سے زیادہ ہیں"۔ یہ بھی برقرار رکھا گیا ہے کہ، پرائم نمبروں کے انفینٹیوڈ کو ثابت کرنے میں، یوکلڈ "انفینٹ کے خوف پر قابو پانے والا پہلا شخص تھا"۔ یوکلڈ کے متوازی مفروضے کے بارے میں بھی اسی طرح کا تنازعہ ہے، جس کا بعض اوقات ترجمہ کیا جاتا ہے: تاہم دوسرے مترجم "دو سیدھی لکیریں، اگر غیر معینہ مدت تک پیش کی جائیں" کے ترجمے کو ترجیح دیتے ہیں، اس طرح اس مضمرے سے گریز کیا جاتا ہے کہ یوکلڈ انفینٹی کے تصور سے مطمئن تھا۔ آخر میں، یہ برقرار رکھا گیا ہے کہ انفینٹی پر عکاسی، "انفینٹ کی ہارر" کو ظاہر کرنے کے بجائے، تمام ابتدائی یونانی فلسفے کو زیر کرتی ہے اور یہ کہ ارسطو کا "ممکنہ انفینٹی" اس دور کے عمومی رجحان سے ایک انحراف ہے۔ زینو: اچیلس اور ایلیا کے کچھوے زینو (495-430 قبل مسیح) نے لامحدود کے بارے میں کوئی رائے پیش نہیں کی۔ اس کے باوجود، ان کے تضادات، خاص طور پر "اچیلس اور کچھوے"، اس میں اہم شراکت تھے کہ انہوں نے مقبول تصورات کی ناکافی کو واضح کیا۔ ان تضادات کو برٹرینڈ رسل نے "بے حد لطیف اور گہرا" قرار دیا تھا۔ اچیلس ایک کچھوے کی دوڑ لگاتا ہے، جس سے مؤخر الذکر کو ایک عمدہ آغاز ملتا ہے۔ مرحلہ #1: اچیلس کچھوے کے ابتدائی مقام پر دوڑتا ہے جبکہ کچھوے آگے چلتے ہیں۔ مرحلہ #2: اچیلس اس طرف بڑھتا ہے جہاں مرحلہ #1 کے آخر میں کچھوے تھے جبکہ کچھوے مزید آگے جاتے ہیں۔ مرحلہ #3: اچیلس اس طرف بڑھتا ہے جہاں مرحلہ #2 کے آخر میں کچھوے تھے جبکہ کچھوے مزید آگے جاتے ہیں۔ مرحلہ #4: اچیلس اس طرف بڑھتا ہے جہاں مرحلہ #3 کے آخر میں کچھوے تھے جبکہ کچھوے مزید آگے جاتے ہیں۔ وغیرہ۔ بظاہر، اچیلس کبھی کچھوے سے آگے نہیں نکلتا، کیونکہ وہ کتنے ہی قدم آگے بڑھائے، کچھوے اس سے آگے رہتا ہے۔ زینو انفینٹی کے بارے میں کوئی بات کرنے کی کوشش نہیں کر رہا تھا۔ ایلیٹکس اسکول کے ایک رکن کے طور پر جس نے حرکت کو ایک وہم سمجھا، اس نے یہ فرض کرنا ایک غلطی کے طور پر دیکھا کہ اچیلس بالکل بھی دوڑ سکتا ہے۔ اس کے بعد کے مفکروں نے، اس حل کو ناقابل قبول سمجھتے ہوئے، دلیل میں دیگر کمزوریوں کو تلاش کرنے کے لیے دو ہزار سال سے زیادہ جدوجہد کی۔ آخر کار، 1821 میں، آگسٹن لوئس کاچی نے ایک حد کی تسلی بخش تعریف اور اس بات کا ثبوت دونوں فراہم کیے کہ، فرض کریں کہ اچیلس 10 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے دوڑ رہا ہے، کچھوے 0.1 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے چل رہا ہے، اور مؤخر الذکر 100 میٹر سر شروع ہے۔ پیچھا کرنے کا دورانیہ کاچی کے نمونے اور کے ساتھ فٹ بیٹھتا ہے۔ اچیلس کچھوے کو پیچھے چھوڑ دیتا ہے۔ یہ اسے ابتدائی ہندوستانی میں لے جاتا ہے۔ جین ریاضیاتی متن سوریا پرجناپتی (تقریبا چوتھی-تیسری صدی قبل مسیح) تمام اعداد کو تین سیٹوں میں درجہ بندی کرتا ہے: قابل شمار، بے شمار اور لامحدود۔ ان میں سے ہر ایک کو مزید تین ترتیبات میں تقسیم کیا گیا: قابل شمار: سب سے کم، درمیانی، اور سب سے زیادہ بے شمار: تقریبا بے شمار، واقعی بے شمار، اور بے شمار بے شمار لامحدود: تقریبا لامحدود، واقعی لامحدود، لامحدود لامحدود 17 ویں صدی میں، یورپی ریاضی دانوں نے ایک منظم انداز میں لامحدود اعداد اور لامحدود تاثرات کا استعمال کرنا شروع کیا۔ 1655 میں، جان والس نے پہلی بار اپنے ڈی سیکشنبس کونسیس میں اس طرح کے نمبر کے لیے نوٹیشن کا استعمال کیا، اور علاقے کے حساب سے اس کا استحصال کرتے ہوئے خطے کو چوڑائی کی لامحدود سٹرپس میں تقسیم کیا۔ لیکن ارتھمیٹیکا انفینیٹورم (1656) میں، وہ کچھ اصطلاحات یا عوامل لکھ کر اور پھر "& c" کو جوڑ کر لامحدود سیریز، لامحدود پروڈکٹ اور لامحدود مسلسل حصوں کی نشاندہی کرتا ہے، جیسا کہ "1، 6، 12، 18، 24، اور c" میں ہے۔ 1699 میں، آئزک نیوٹن نے اپنے کام ڈی اینالیسی فی ایکویشن نمبر ٹرمینورم انفینیٹاس میں لامحدود تعداد میں اصطلاحات کے ساتھ مساوات کے بارے میں لکھا۔ ریاضی ہرمن ویل نے 1930 میں ایک ریاضیاتی فلسفیانہ خطاب اس کے ساتھ کھولا: علامت انفینیٹی علامت (جسے بعض اوقات لیمنسکیٹ بھی کہا جاتا ہے) ایک ریاضیاتی علامت ہے جو انفینیٹی کے تصور کی نمائندگی کرتی ہے۔ علامت کو یونیکوڈ میں اور لاٹیکس میں بطور \infty انکوڈ کیا گیا ہے۔ اسے 1655 میں جان والس نے متعارف کرایا تھا، اور اس کے تعارف کے بعد سے، یہ ریاضی سے باہر جدید صوفیانہ اور ادبی علامت میں بھی استعمال ہوتا رہا ہے۔ انفنٹیسیمل کیلکولس کے شریک موجد میں سے ایک کیلکولس گوٹ فرائیڈ لیبنز نے لامحدود اعداد اور ریاضی میں ان کے استعمال کے بارے میں وسیع پیمانے پر قیاس آرائیاں کیں۔ لیبنز کے لیے، لامحدود اور لامحدود مقدار دونوں مثالی ہستیاں تھیں، قابل تعریف مقداروں کے طور پر ایک ہی نوعیت کی نہیں، بلکہ تسلسل کے قانون کے مطابق ایک ہی خصوصیات سے لطف اندوز ہوتی تھیں۔ حقیقی تجزیہ حقیقی تجزیہ میں، علامت، جسے "انفینیٹی" کہا جاتا ہے، ایک لامحدود حد کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ اشارے کا مطلب ہے کہ باؤنڈ کے بغیر بڑھتا ہے، اور اس کا مطلب ہے کہ باؤنڈ کے بغیر کم ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہر ایک کے لیے، تو اس کا مطلب ہے کہ ایک محدود رقبے کو پابند نہیں کرتا ہے اس کا مطلب ہے کہ نیچے کا رقبہ لامحدود ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ نیچے کا کل رقبہ محدود ہے، اور انفینٹی کے برابر ہے جسے انفینٹ سیریز کو بیان کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: اس کا مطلب یہ ہے کہ انفینٹ سیریز کا مجموعہ کسی حقیقی قدر میں بدل جاتا ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ انفینٹ سیریز کا مجموعہ مناسب طریقے سے انفینٹی کی طرف موڑ جاتا ہے، اس معنی میں کہ جزوی رقم بغیر پابند کے بڑھ جاتی ہے۔ حد کی وضاحت کے علاوہ، انفینٹی کو توسیعی حقیقی نمبر سسٹم میں قدر کے طور پر بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نشان زد پوائنٹس اور حقیقی اعداد کی ٹوپوولوجیکل جگہ میں شامل کیے جا سکتے ہیں، جس سے حقیقی اعداد کی دو نکاتی کمپیکٹفیکیشن پیدا ہوتی ہے۔ اس میں الجبرائی خصوصیات کو شامل کرنے سے ہمیں توسیعی حقیقی اعداد ملتے ہیں۔ ہم اس کا علاج بھی کر سکتے ہیں اور اسی طرح، حقیقی اعداد کی ایک نکاتی کمپیکٹفیکیشن کی طرف لے جا سکتے ہیں، جو کہ حقیقی پروجیکٹو لائن ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹری سے مراد طیارہ جیومیٹری میں انفینٹی پر ایک لکیر، تین جہتی خلا میں انفینٹی پر ایک طیارہ، اور عام جہتوں کے لیے انفینٹی پر ایک ہائپرپلین، ہر ایک انفینٹی پر پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے۔ پیچیدہ تجزیہ پیچیدہ تجزیہ میں علامت، جسے "انفینٹی" کہا جاتا ہے، ایک غیر دستخط شدہ لامحدود حد کی نشاندہی کرتا ہے۔ اظہار کا مطلب یہ ہے کہ کی شدت کسی بھی تفویض کردہ قدر سے بڑھ جاتی ہے۔ لیبل شدہ ایک نقطہ کو پیچیدہ سطح میں ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کے طور پر شامل کیا جا سکتا ہے جو پیچیدہ سطح کی ایک نکاتی کمپیکٹفیکیشن دیتا ہے۔ جب یہ کیا جاتا ہے، تو نتیجے میں خلا ایک جہتی پیچیدہ کئی گنا، یا ریمن سطح ہوتی ہے، جسے توسیعی پیچیدہ طیارہ یا ریمن دائرہ کہا جاتا ہے۔ توسیعی حقیقی اعداد کے لیے اوپر دی گئی ریاضی کی کارروائیوں کی طرح ریاضی کی کارروائیوں کی بھی وضاحت کی جا سکتی ہے، حالانکہ علامتوں میں کوئی فرق نہیں ہے (جو ایک رعایت کی طرف لے جاتا ہے کہ انفینٹی کو خود میں شامل نہیں کیا جا سکتا)۔ دوسری طرف، اس قسم کی انفینٹی صفر سے تقسیم کرنے کے قابل بناتی ہے، یعنی کسی بھی نان زیرو کمپلیکس نمبر کے لیے۔ اس تناظر میں، قطبوں پر کی قدر لیتے ہوئے ریمن دائرے میں نقشوں کے طور پر مورومورفک افعال پر غور کرنا اکثر مفید ہوتا ہے۔ ایک پیچیدہ قدر والے فنکشن کے ڈومین کو لامحدود پر نقطہ کو بھی شامل کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے افعال کی ایک اہم مثال موبیئس ٹرانسفارمیشنز کا گروپ ہے (دیکھیں موبیئس ٹرانسفارمیشن § جائزہ)۔ غیر معیاری تجزیہ آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ لیبنز کے ذریعے لامحدود کیلکولس کی اصل تشکیل میں لامحدود مقداروں کا استعمال کیا گیا۔ 20 ویں صدی کے دوسرے نصف میں، یہ دکھایا گیا کہ اس علاج کو مختلف منطقی نظاموں کے ذریعے سخت بنیاد پر رکھا جا سکتا ہے، بشمول ہموار لامحدود تجزیہ اور غیر معیاری تجزیہ۔ مؤخر الذکر میں، لامحدود الٹے ہوتے ہیں، اور ان کے الٹے لامحدود نمبر ہوتے ہیں۔ اس لحاظ سے لامحدودیاں ایک ہائپر ریئل فیلڈ کا حصہ ہیں۔ ان کے درمیان کوئی مساوات نہیں ہے جیسا کہ کینٹوری ٹرانسفائنائٹس کے ساتھ ہے۔ مثال کے طور پر، اگر H اس لحاظ سے ایک لامحدود عدد ہے، تو H + H = 2H اور H + 1 الگ الگ لامحدود عدد ہیں۔ غیر معیاری کیلکولس کے لیے یہ نقطہ نظر مکمل طور پر تیار کیا گیا ہے۔ سیٹ تھیوری "انفینیٹی" کی ایک مختلف شکل سیٹ تھیوری کی آرڈینل اور کارڈینل انفینیٹیز ہیں-ٹرانسفائنٹ نمبروں کا ایک نظام جو سب سے پہلے جارج کینٹر نے تیار کیا تھا۔ اس نظام میں، پہلا ٹرانسفائنٹ کارڈینل الیف-نل (α0) ہے، جو قدرتی اعداد کے سیٹ کی کارڈینالٹی ہے۔ مقداری لامحدود کا یہ جدید ریاضیاتی تصور 19 ویں صدی کے آخر میں کینٹر، گوٹلوب فریج، رچرڈ ڈیڈیکنڈ اور دیگر کے کاموں سے تیار ہوا-مجموعوں یا سیٹوں کے خیال کا استعمال کرتے ہوئے۔ ڈیڈیکنڈ کا نقطہ نظر بنیادی طور پر سیٹوں کے سائز کا موازنہ کرنے کے لیے ایک سے دوسرے کے خط و کتابت کے خیال کو ایک معیار کے طور پر اپنانا، اور گیلیلیو (یوکلڈ سے ماخوذ) کے اس خیال کو مسترد کرنا تھا کہ پورا حصہ حصے کے سائز کے برابر نہیں ہو سکتا۔ (تاہم، گیلیلیو کا پیراڈوکس دیکھیں جہاں گیلیلیو یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ مثبت عدد کا موازنہ مثبت مربع عدد کے ذیلی سیٹ سے نہیں کیا جا سکتا کیونکہ دونوں لامحدود سیٹ ہیں۔) ایک لامحدود سیٹ کو صرف اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے جس کا سائز کم از کم اس کے مناسب حصوں میں سے ایک کے برابر ہو۔ انفینیٹی کے اس تصور کو ڈیڈیکائنڈ انفینیٹ کہا جاتا ہے۔ دائیں طرف کا خاکہ ایک مثال دیتا ہے: لکیروں کو پوائنٹس کے لامحدود سیٹوں کے طور پر دیکھنا، نچلی نیلی لکیر کے بائیں نصف حصے کو اونچی نیلی لکیر سے ون ٹو ون طریقے سے (سبز خط و کتابت) نقشہ بنایا جا سکتا ہے، اور اس کے نتیجے میں، پوری نچلی نیلی لکیر (سرخ خط و کتابت) تک ؛ اس لیے پوری نچلی نیلی لکیر اور اس کے بائیں نصف حصے میں ایک ہی کارڈینالیٹی ہے، یعنی۔ "سائز"۔ کینٹر نے دو قسم کے لامحدود اعداد کی وضاحت کی: آرڈینل نمبرز اور کارڈینل نمبرز۔ عام اعداد اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹوں کی خصوصیت رکھتے ہیں، یا گنتی کسی بھی اسٹاپ پوائنٹ تک جاری رہتی ہے، بشمول ایک لامحدود نمبر کے بعد پوائنٹس پہلے ہی شمار کیے جا چکے ہوتے ہیں۔ محدود اور (عام) لامحدود ترتیبات کو عام کرنا جو مثبت انٹیجرز کے نقشے ہیں، آرڈینل نمبروں سے ٹرانسفائنٹ ترتیبات کی طرف لے جاتا ہے۔ کارڈینل نمبر سیٹوں کے سائز کی وضاحت کرتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ان میں کتنے اراکین ہوتے ہیں، اور اس سائز کے کارڈینل نمبر کی نمائندگی کرنے کے لیے ایک مخصوص سائز کا پہلا آرڈینل نمبر منتخب کر کے معیاری بنایا جا سکتا ہے۔ سب سے چھوٹا آرڈینل انفینیٹی مثبت انٹیجرز کا ہوتا ہے، اور کوئی بھی سیٹ جس میں انٹیجرز کی کارڈینالیٹی ہوتی ہے وہ شمار کے لحاظ سے لامحدود ہوتا ہے۔ اگر کوئی سیٹ مثبت انٹیجرز کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت میں ڈالنے کے لیے بہت بڑا ہے، تو اسے بے شمار کہا جاتا ہے۔ کینٹر کے نظریات غالب رہے اور جدید ریاضی حقیقی انفینٹی کو ایک مستقل اور مربوط نظریہ کے حصے کے طور پر قبول کرتی ہے۔ بعض توسیعی اعداد کے نظام، جیسے کہ ہائپر ریئل نمبر، عام (محدود) نمبروں اور مختلف سائز کے لامحدود نمبروں کو شامل کرتے ہیں۔ تسلسل کی کارڈینیلیٹی کینٹر کے سب سے اہم نتائج میں سے ایک یہ تھا کہ تسلسل کی کارڈینیلیٹی قدرتی اعداد سے زیادہ ہوتی ہے یعنی قدرتی اعداد سے زیادہ حقیقی اعداد ہوتے ہیں۔ یعنی، کینٹر نے یہ دکھایا۔ تسلسل مفروضہ بیان کرتا ہے کہ حقیقی اعداد کی کارڈینالٹی اور قدرتی اعداد کی کارڈینالٹی کے درمیان کوئی کارڈینل نمبر نہیں ہے، یعنی۔ اس مفروضے کو وسیع پیمانے پر قبول شدہ زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری کے اندر ثابت یا غلط نہیں کیا جا سکتا، یہاں تک کہ انتخاب کے محور کو بھی فرض کرتے ہوئے۔ کارڈینل ریاضی کو نہ صرف یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ حقیقی نمبر لائن میں پوائنٹس کی تعداد اس لائن کے کسی بھی حصے میں پوائنٹس کی تعداد کے برابر ہے، بلکہ یہ بھی کہ یہ کسی سطح پر پوائنٹس کی تعداد کے برابر ہے اور درحقیقت کسی بھی محدود جہتی جگہ میں۔ ان نتائج میں سے پہلا نتیجہ، مثال کے طور پر، ٹینجینٹ فنکشن پر غور کرنے سے ظاہر ہوتا ہے، جو وقفہ () and.The کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت فراہم کرتا ہے، دوسرا نتیجہ 1878 میں کینٹر نے ثابت کیا تھا، لیکن صرف 1890 میں بدیہی طور پر واضح ہوا، جب جیوسیپی پیانو نے خلائی بھرنے والے منحنی خطوط، مڑے ہوئے لکیریں متعارف کروائیں جو کسی بھی مربع، یا مکعب، یا ہائپر مکعب، یا محدود جہتی جگہ کو بھرنے کے لیے کافی موڑ اور موڑ دیتی ہیں۔ ان منحنی خطوط کو مربع کے ایک طرف کے نکات اور مربع میں موجود نکات کے درمیان ایک سے دوسرے کے خط و کتابت کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ 19 ویں صدی کے آخر تک، جیومیٹری میں انفینٹی پر شاذ و نادر ہی بحث کی جاتی تھی، سوائے ان عملوں کے جن کو بغیر کسی حد کے جاری رکھا جا سکتا تھا۔ مثال کے طور پر، ایک لکیر وہ تھی جسے اب لائن سیگمنٹ کہا جاتا ہے، اس شرط کے ساتھ کہ کوئی اسے جہاں تک چاہے بڑھا سکتا ہے ؛ لیکن اسے لامحدود حد تک بڑھانے کا سوال ہی نہیں تھا۔ اسی طرح، ایک لکیر کو عام طور پر لامحدود کئی نکات پر مشتمل نہیں سمجھا جاتا تھا، بلکہ یہ ایک ایسی جگہ تھی جہاں ایک نقطہ رکھا جا سکتا تھا۔ یہاں تک کہ اگر لامحدود طور پر بہت سی ممکنہ پوزیشنیں ہوں، تو ایک لائن پر صرف محدود تعداد میں پوائنٹس رکھے جا سکتے ہیں۔ اس کا گواہ اظہار "کسی نقطہ کا لوکس جو کسی خاصیت کو مطمئن کرتا ہے" (واحد) ہے، جہاں جدید ریاضی دان عام طور پر "ان نکات کا مجموعہ جو خاصیت رکھتے ہیں" (جمع) کہتے ہیں۔ حقیقی انفینٹی پر مشتمل ریاضیاتی تصور کی نایاب مستثنیات میں سے ایک پروجیکٹو جیومیٹری تھی، جہاں انفینٹی پر پوائنٹس کو یوکلڈین اسپیس میں شامل کیا جاتا ہے تاکہ نقطہ نظر کے اثر کو ماڈلنگ کیا جا سکے جو متوازی لکیروں کو "انفینٹی پر" کاٹتا ہوا دکھاتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر، انفینیٹی پر پوائنٹس کو کچھ خاص معاملات پر غور نہ کرنے کی اجازت دینے کا فائدہ ہے۔ مثال کے طور پر، ایک پروجیکٹو طیارہ میں، دو الگ الگ لکیریں بالکل ایک نقطہ میں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، جبکہ انفینیٹی پر پوائنٹس کے بغیر، متوازی لائنوں کے لیے کوئی انٹرسیکشن پوائنٹ نہیں ہوتے ہیں۔ لہذا، متوازی اور غیر متوازی لکیروں کا کلاسیکی جیومیٹری میں الگ سے مطالعہ کیا جانا چاہیے، جبکہ انہیں پروجیکٹو جیومیٹری میں ممتاز کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ریاضی کی بنیاد کے لیے سیٹ تھیوری کے استعمال سے پہلے، پوائنٹس اور لائنوں کو الگ الگ اداروں کے طور پر دیکھا جاتا تھا، اور ایک پوائنٹ کو لائن پر رکھا جا سکتا تھا۔ ریاضی میں سیٹ تھیوری کے عالمگیر استعمال کے ساتھ، نقطہ نظر ڈرامائی طور پر بدل گیا ہے: ایک لکیر کو اب اس کے نکات کا مجموعہ سمجھا جاتا ہے، اور ایک کا کہنا ہے کہ ایک نقطہ ایک لکیر پر واقع ہونے کے بجائے ایک لکیر سے تعلق رکھتا ہے (تاہم، مؤخر الذکر اب بھی استعمال ہوتا ہے)۔ خاص طور پر، جدید ریاضی میں، لکیریں لامحدود سیٹ ہیں۔ لامحدود جہت ویکٹر خالی جگہیں جو کلاسیکی جیومیٹری میں پائی جاتی ہیں ہمیشہ ایک محدود جہت رکھتی ہیں، عام طور پر دو یا تین۔ تاہم، یہ ویکٹر اسپیس کی تجریدی تعریف سے مضمر نہیں ہے، اور لامحدود جہت کے ویکٹر اسپیس پر غور کیا جا سکتا ہے۔ یہ عام طور پر فنکشنل تجزیہ میں ہوتا ہے جہاں فنکشن خالی جگہیں عام طور پر لامحدود جہت کی ویکٹر خالی جگہیں ہوتی ہیں۔ ٹوپولوجی میں، کچھ تعمیرات لامحدود جہتوں کی ٹوپولوجیکل خالی جگہیں پیدا کر سکتی ہیں۔ خاص طور پر، یہ تکرار شدہ لوپ خالی جگہوں کا معاملہ ہے۔ فریکٹلز فریکٹل آبجیکٹ کی ساخت کو اس کی وسعت میں دہرایا جاتا ہے۔ فریکٹلز کو ان کی ساخت کو کھونے اور "ہموار" بنے بغیر غیر معینہ مدت تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ان کے لامحدود دائرے ہوتے ہیں، اور ان کے لامحدود یا محدود علاقے ہو سکتے ہیں۔ لامحدود دائرے اور محدود رقبے کے ساتھ ایسا ہی ایک فریکٹل وکر کوچ سنوفلیک ہے۔ انفنٹی کے بغیر ریاضی لیوپولڈ کرونکر کو انفنٹی کے تصور پر شکوک و شبہات تھے اور ان کے ساتھی ریاضی دان اسے 1870 اور 1880 کی دہائی میں کس طرح استعمال کر رہے تھے۔ یہ شکوک و شبہات ریاضی کے فلسفے میں تیار ہوئے جسے فائنٹزم کہا جاتا ہے، جو تعمیری اور وجدانیت کے عمومی فلسفیانہ اور ریاضیاتی اسکولوں میں ریاضیاتی فلسفے کی ایک انتہائی شکل ہے۔ طبیعیات میں حقیقی اعداد کے تخمینے مسلسل پیمائش کے لیے استعمال ہوتے ہیں اور قدرتی اعداد مجرد پیمائش (یعنی گنتی) کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ لامحدود چیزوں کے تصورات جیسے کہ لامحدود طیارہ لہر موجود ہیں، لیکن انہیں پیدا کرنے کا کوئی تجرباتی ذریعہ نہیں ہے۔ کائنات کے لامحدود ہونے کی پہلی شائع شدہ تجویز 1576 میں تھامس ڈگیس سے آئی تھی۔ آٹھ سال بعد، 1584 میں، اطالوی فلسفی اور ماہر فلکیات جیورڈانو برونو نے آن دی انفینٹ کائنات اینڈ ورلڈز میں ایک لامحدود کائنات کی تجویز پیش کی: "بے شمار سورج موجود ہیں ؛ بے شمار زمینیں ان سورجوں کے گرد اسی طرح گھومتی ہیں جس طرح سات سیارے ہمارے سورج کے گرد گھومتے ہیں۔ زندہ مخلوق ان جہانوں میں رہتی ہے۔ " کاسمولوجسٹ طویل عرصے سے یہ دریافت کرنے کی کوشش کر رہے ہیں کہ آیا ہماری جسمانی کائنات میں انفینٹی موجود ہے: کیا ستاروں کی لامحدود تعداد موجود ہے؟ کیا کائنات کا حجم لامحدود ہے؟ کیا خلا "ہمیشہ کے لیے چلتی ہے"؟ یہ اب بھی کاسمولوجی کا ایک کھلا سوال ہے۔ لامحدود ہونے کا سوال منطقی طور پر حدود ہونے کے سوال سے الگ ہے۔ مثال کے طور پر، زمین کی دو جہتی سطح محدود ہے، پھر بھی اس کا کوئی کنارہ نہیں ہے۔ زمین کی منحنیت کے حوالے سے سیدھی لکیر میں سفر کرنے سے، آخر کار وہی جگہ واپس آ جائے گا جہاں سے شروع ہوا تھا۔ کائنات، کم از کم اصولی طور پر، اسی طرح کی ٹوپولوجی ہو سکتی ہے۔ اگر ایسا ہے تو، کائنات میں کافی دیر تک سیدھی لکیر میں سفر کرنے کے بعد آخر کار کوئی اپنے ابتدائی مقام پر واپس آسکتا ہے۔ کائنات کی منحنیت کو کائناتی پس منظر کی تابکاری کے سپیکٹرم میں کثیر قطبی لمحات کے ذریعے ماپا جا سکتا ہے۔ آج تک، ڈبلیو ایم اے پی خلائی جہاز کے ذریعے ریکارڈ کیے گئے تابکاری کے نمونوں کا تجزیہ اشارہ کرتا ہے کہ کائنات میں ایک فلیٹ ٹوپولوجی ہے۔ یہ ایک لامحدود جسمانی کائنات کے مطابق ہوگا۔ تاہم، کائنات محدود ہو سکتی ہے، چاہے اس کا منحنی پن چپٹا ہی کیوں نہ ہو۔ اسے سمجھنے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ دو جہتی مثالوں پر غور کیا جائے، جیسے کہ ویڈیو گیمز جہاں اسکرین کے ایک کنارے کو چھوڑنے والی اشیاء دوسری طرف دوبارہ ظاہر ہوتی ہیں۔ اس طرح کے کھیلوں کی ٹوپولوجی ٹورائڈل ہے اور جیومیٹری چپٹی ہے۔ تین جہتی جگہ کے لیے بہت سے ممکنہ پابند، چپٹے امکانات بھی موجود ہیں۔ انفینٹی کا تصور ملٹی ورسز مفروضے تک بھی پھیلا ہوا ہے، جس کی وضاحت جب مشیو کاکو جیسے فلکی طبیعیات دانوں نے کی ہے، تو اس کا خیال ہے کہ کائناتوں کی ایک لامحدود تعداد اور تنوع موجود ہے۔ نیز، چکور ماڈل بگ بینگ کی ایک لامحدود مقدار کو ظاہر کرتے ہیں، جس کے نتیجے میں ایک لامحدود چکر میں ہر بگ بینگ واقعہ کے بعد کائنات کی ایک لامحدود قسم پیدا ہوتی ہے۔ منطق میں، ایک لامحدود رجعت دلیل "ایک الگ الگ فلسفیانہ قسم کی دلیل ہے جس کا مقصد یہ ظاہر کرنا ہے کہ ایک مقالہ عیب دار ہے کیونکہ یہ ایک لامحدود سلسلہ پیدا کرتا ہے جب یا تو (شکل A) ایسی کوئی سلسلہ موجود نہیں ہے یا (شکل B) اگر یہ موجود ہوتا، تو مقالہ میں اس کردار کی کمی ہوتی (مثال کے طور پر، جواز کا) جو اسے ادا کرنا چاہیے۔" کمپیوٹنگ آئی ای ای ای فلوٹنگ پوائنٹ اسٹینڈرڈ (آئی ای ای ای 754) مثبت اور منفی انفینٹی ویلیو (اور غیر معینہ مدت کی اقدار) کی وضاحت کرتا ہے۔ ان کی تعریف ریاضی کے زیادہ بہاؤ، صفر سے تقسیم، اور دیگر غیر معمولی کارروائیوں کے نتیجے کے طور پر کی گئی ہے۔ کچھ پروگرامنگ زبانیں، جیسے جاوا اور جے، پروگرامر کو زبان کے مستقل طور پر مثبت اور منفی لامحدود اقدار تک واضح رسائی کی اجازت دیتی ہیں۔ ان کو سب سے بڑے اور کم سے کم عناصر کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے، کیونکہ وہ (بالترتیب) دیگر تمام اقدار سے زیادہ یا کم کا موازنہ کرتے ہیں۔ ان کا استعمال الگورتھم میں سینٹینل اقدار کے طور پر ہوتا ہے جس میں چھانٹنا، تلاش کرنا یا ونڈو کرنا شامل ہوتا ہے۔ ایسی زبانوں میں جن میں سب سے بڑے اور کم سے کم عناصر نہیں ہوتے ہیں، لیکن رشتہ دار آپریٹرز کو زیادہ بوجھ ڈالنے کی اجازت دیتے ہیں، ایک پروگرامر کے لیے سب سے بڑے اور کم سے کم عناصر بنانا ممکن ہے۔ ایسی زبانوں میں جو پروگرام کی ابتدائی حالت سے اس طرح کی اقدار تک واضح رسائی فراہم نہیں کرتی ہیں، لیکن فلوٹنگ پوائنٹ ڈیٹا ٹائپ کو نافذ کرتی ہیں، بعض کارروائیوں کے نتیجے میں انفینٹی ویلیوز اب بھی قابل رسائی اور قابل استعمال ہو سکتی ہیں۔ پروگرامنگ میں، ایک لامحدود لوپ ایک لوپ ہے جس سے باہر نکلنے کی حالت کبھی مطمئن نہیں ہوتی، اس طرح غیر معینہ مدت تک عمل میں آتی ہے۔ فنون، کھیل، اور علمی علوم نقطہ نظر آرٹ ورک معدوم ہونے والے نکات کے تصور کا استعمال کرتا ہے، جو مبصر سے لامحدود فاصلے پر واقع لامحدود پر ریاضیاتی نکات سے تقریبا مطابقت رکھتا ہے۔ یہ فنکاروں کو ایسی پینٹنگز بنانے کی اجازت دیتا ہے جو حقیقت پسندانہ طور پر جگہ، فاصلے اور شکلوں کو پیش کرتی ہیں۔ فنکار ایم۔ سی۔ ایسچر خاص طور پر اپنے کام میں انفینٹی کے تصور کو اس اور دیگر طریقوں سے استعمال کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ لامحدود بورڈ پر کھیلے جانے والے شطرنج کے تغیرات کو لامحدود شطرنج کہا جاتا ہے۔ علمی سائنسدان جارج لیکوف ریاضی اور علوم میں انفینٹی کے تصور کو استعارہ سمجھتے ہیں۔ یہ نقطہ نظر انفینیٹی (بی ایم آئی) کے بنیادی استعارے پر مبنی ہے، جس کی تعریف ہمیشہ بڑھتی ہوئی ترتیب <1,2,3،.> کے طور پر کی گئی ہے۔ یہ بھی دیکھیں 0.999۔ الیف نمبر اننت ایکسپونینٹیشن انڈیٹرمینیٹ فارم انفینٹ منک تھیوریم انفینٹ سیٹ انفینٹیسیمل پیراڈوکس آف انفینٹی سپر ٹاسک سرریل نمبر حوالہ جات کتابیات ذرائع ڈی پی۔ اگروال (2000)۔ قدیم جین ریاضی: ایک تعارف، انفینٹی فاؤنڈیشن۔ بیل، جے ایل۔ : تسلسل اور لامحدود۔ اسٹینفورڈ انسائیکلوپیڈیا آف فلاسفی۔ نظر ثانی شدہ 2009.. جین، ایل سی۔ (1973)۔ "جین اسکول آف میتھمیٹکس میں نظریہ مرتب کریں"، انڈین جرنل آف ہسٹری آف سائنس۔ ایچ۔ جیروم کیسلر: ابتدائی حساب: لامحدود کا استعمال کرتے ہوئے ایک نقطہ نظر۔ پہلا ایڈیشن 1976 ؛ دوسرا ایڈیشن 1986۔ یہ کتاب اب آؤٹ آف پرنٹ ہے۔ ناشر نے کاپی رائٹ مصنف کو واپس کر دیا ہے، جس نے دوسرا ایڈیشن. پی ڈی ایف فارمیٹ میں دستیاب کرایا ہے جو ڈاؤن لوڈ کرنے کے لیے دستیاب ہے۔ 'جارج فرڈینینڈ لڈوگ فلپ کینٹر'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ او کونر، جان جے اور ایڈمنڈ ایف رابرٹسن (2000)۔ 'جینا میتھمیٹکس'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ پیئرس، ایان۔ (2002)۔ 'جینزم'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ بیرونی روابط انفنائٹ سیٹس کے ریاضی میں ایک کریش کورس، بذریعہ پیٹر سوبر۔ سینٹ جانز ریویو سے، XLIV، 2 (1998) 1-59۔ ذیل میں انفینٹ ریفلیکشنز کا اسٹینڈ ایلون اپینڈکس ہے۔ کینٹر کی لامحدود سیٹوں کی ریاضی کا ایک مختصر تعارف۔ لامحدود عکاسی، بذریعہ پیٹر سوبر۔ کس طرح کینٹر کی لامحدود کی ریاضی لامحدود کے مٹھی بھر قدیم فلسفیانہ مسائل کو حل کرتی ہے۔ سینٹ جانز ریویو سے، XLIV، 2 (1998) 1-59۔ ہوٹل انفینٹی جان جے او کونر اور ایڈمنڈ ایف رابرٹسن (1998)۔ 'جارج فرڈینینڈ لڈوگ فلپ کینٹر'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ جان جے او کونر اور ایڈمنڈ ایف رابرٹسن (2000)۔ 'جینا میتھمیٹکس'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ ایان پیئرس (2002)۔ 'جینزم'، میک ٹیوٹر ہسٹری آف میتھمیٹکس آرکائیو۔ الیف کا اسرار: ریاضی، کبلہ، اور لامحدود کی انفینٹی ڈکشنری کی تلاش (طبیعیات، ریاضی، اور فلسفہ میں انفینٹی کے بارے میں مضامین کا مجموعہ) منطق میں تصورات ریاضیاتی اشیاء کا فلسفہ