Cauchy formula for repeated integration
بار بار انضمام کے لیے کاچی فارمولا، جس کا نام آگسٹن-لوئس کاچی کے نام پر رکھا گیا ہے، کسی فنکشن کے این اینٹی ڈراویٹوز کو ایک واحد انٹیگرل (cf. کاچی کا فارمولا)۔ اسکیلر کیس فرض کریں کہ f حقیقی لکیر پر ایک مسلسل فنکشن ہے۔ پھر بیس پوائنٹ a کے ساتھ f کا n واں بار بار انٹیگرل، سنگل انٹیگریشن ثبوت کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ایک ثبوت انڈکشن کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ n = 1 کے ساتھ بیس کیس معمولی ہے، کیونکہ یہ اس کے مساوی ہے: اب، فرض کریں کہ یہ n کے لیے درست ہے، اور آئیے اسے n + 1 کے لیے ثابت کریں۔ سب سے پہلے، لیبنز انٹیگرل رول کا استعمال کرتے ہوئے، نوٹ کریں کہ پھر، انڈکشن مفروضے کو لاگو کرتے ہوئے، یہ دکھایا گیا ہے کہ یہ بیان بیس کیس کے لیے درست ہے۔ اگر بیان حق کے لیے درست ہے، تو یہ دکھایا گیا ہے کہ بیان حق کے لیے درست ہے۔ اس طرح یہ بیان تمام مثبت عددوں کے لیے درست ثابت ہوا ہے۔ یہ ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ عمومی اور ایپلی کیشنز کاچی فارمولا کو ریمن-لیوویل انٹیگرل کے ذریعے غیر عدد پیرامیٹرز کے لیے عام کیا جاتا ہے، جہاں اس کی جگہ گاما فنکشن لے لیتا ہے اور فیکٹوریل کی جگہ گاما فنکشن لے لیتا ہے۔ دونوں فارمولے اتفاق کرتے ہیں کہ کب۔ کاچی فارمولا اور ریمن-لیوویل انٹیگرل دونوں کو ریز پوٹینشل کے ذریعہ صوابدیدی طول و عرض میں عام کیا جاتا ہے۔ فریکشنل کیلکولس میں، ان فارمولوں کو ایک مختلف انٹیگرل کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس سے کسی کو فریکشنل تعداد میں فرق کرنے یا انٹیگریٹ کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ فریکشنل تعداد میں فرق کو فریکشنل انٹیگریشن کے ذریعے پورا کیا جا سکتا ہے، پھر نتیجہ میں فرق کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات آگسٹن-لوئس کاچی: ٹرینٹ-سنکیمی لیکون۔ میں: ریزیومے ڈیس لیکونس ڈونیز اے ایل ایکول رائل پولی ٹیکنک سر لی کیلکول انفنٹیسیمل۔ امپریمری رائل، پیرس 1823۔ ری پرنٹ: یوورس کمپلیٹس II (4)، گوتھیر ولرز، پیرس، پی پی۔ 5-261۔ جیرالڈ بی۔ فولینڈ، ایڈوانسڈ کیلکولس، صفحہ 193، پرینٹس ہال (2002)۔ تجزیہ میں آگسٹن-لوئس کاچی انٹیگرل کیلکولس تھیوریمز کے بیرونی روابط