Barnes integral
ریاضی میں، بارنس انٹیگرل یا میلن-بارنس انٹیگرل ایک کنٹور انٹیگرل ہے جس میں گاما افعال کا پروڈکٹ شامل ہوتا ہے۔ ان کا تعارف کرایا گیا۔ ان کا عمومی ہائپر جیومیٹرک سیریز سے گہرا تعلق ہے۔ انٹیگرل کو عام طور پر ایک سموچ کے ساتھ لیا جاتا ہے جو کہ تمام قطبوں کے عوامل کے دائیں طرف اور تمام قطبوں کے بائیں طرف جانے والے خیالی محور کی ایک اخترتی ہے۔ ہائپر جیومیٹرک سیریز ہائپر جیومیٹرک فنکشن کو بارنس انٹیگرل کے طور پر بھی دیکھا جاتا ہے۔ یہ مساوات s = 0، 1، 2، پر باقیات کو اٹھاتے ہوئے سموچ کو دائیں طرف منتقل کرکے حاصل کی جا سکتی ہے۔ کے لیے، اور کہیں اور تجزیاتی تسلسل کے ذریعے۔ مناسب کنورجنس کے حالات کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی زیادہ عام بارنس کے انٹیگرلز اور عمومی ہائپر جیومیٹرک افعال pFq کو اسی طرح سے جوڑ سکتا ہے۔ بارنس لیما کا پہلا بارنس لیما کہتا ہے کہ یہ گاؤس کے 2 ایف 1 سمیشن فارمولے کا ایک ینالاگ ہے، اور اویلر کے بیٹا انٹیگرل کی توسیع بھی ہے۔ اس میں انٹیگرل کو بعض اوقات بارنس کا بیٹا انٹیگرل کہا جاتا ہے۔ دوسرا بارنس لیما بیان کرتا ہے جہاں e = a + b + c − d + 1۔ یہ سالشوٹز کے خلاصہ فارمولے کا ایک ینالاگ ہے۔ بنیادی ہائپر جیومیٹرک سیریز کے لیے بارنس انٹیگرلز کے اینالاگس ہیں، اور بہت سے دوسرے نتائج کو بھی اس معاملے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات (2008 کا ایک پیپر بیک ہے جس کے ساتھ) خصوصی افعال ہائپر جیومیٹرک افعال