Corner transfer matrix
شماریاتی میکانکس میں، کارنر ٹرانسفر میٹرکس جالی میں کواڈرینٹ کو شامل کرنے کے اثر کو بیان کرتا ہے۔ روڈنی بیکسٹر نے 1968 میں کریمرز-ونیئر قطار سے قطار منتقلی میٹرکس کی توسیع کے طور پر متعارف کرایا، یہ جالی کے ماڈلز کا مطالعہ کرنے کا ایک طاقتور طریقہ فراہم کرتا ہے۔ کونے کی منتقلی میٹرکس کے حساب سے بیکسٹر کو 1980 میں ہارڈ ہیکساگون ماڈل کے عین حل کی طرف لے گیا۔ تعریف ایک آئی آر ایف (انٹرایکشن راؤنڈ اے فیس) ماڈل پر غور کریں، یعنی۔ ایک مربع جالی ماڈل جس میں ایک گھماؤ σi ہوتا ہے جو ہر سائٹ i کو تفویض کیا جاتا ہے اور تعاملات ایک عام چہرے کے گرد گھومنے تک محدود ہوتے ہیں۔ کل توانائی اس طرح دی جائے جہاں ہر چہرے کے لیے آس پاس کی سائٹس i، j، k اور l کو ترتیب دیا گیا ہے: N سائٹس والی جالی کے لیے، پارٹیشن فنکشن وہ ہے جہاں مجموعہ تمام ممکنہ اسپن کنفیگریشن پر ہوتا ہے اور w بولٹزمین وزن ہے۔ اشارے کو آسان بنانے کے لیے، ہم ایک فیرومیگنیٹک آئزنگ قسم کی جالی استعمال کرتے ہیں جہاں ہر اسپن کی قیمت + 1 یا-1 ہوتی ہے، اور گراؤنڈ اسٹیٹ تمام اسپن اپ کے ذریعے دی جاتی ہے (یعنی۔ جب جالی پر تمام گھماؤ کی قدر + 1 ہو تو کل توانائی کو کم سے کم کیا جاتا ہے۔ ہم یہ بھی فرض کرتے ہیں کہ جالی میں 4 گنا گردش کی ہم آہنگی ہے (حد کے حالات تک) اور عکاسی غیر متغیر ہے۔ یہ آسان بنانے والے مفروضے اہم نہیں ہیں، اور تعریف کو عام معاملے تک بڑھانا نسبتا سیدھا ہے۔ اب ذیل میں دکھائے گئے جالی کواڈرینٹ پر غور کریں: بیرونی باؤنڈری سائٹس، جو مثلث سے نشان زد ہیں، کو ان کی زمینی حالت کے گھماؤ (اس معاملے میں + 1) تفویض کیے گئے ہیں۔ کھلے حلقوں سے نشان زد سائٹیں کواڈرینٹ کی اندرونی حدود بناتی ہیں۔ ان سے وابستہ اسپن سیٹوں کو لیبل کیا جاتا ہے {σ1,., σm} اور {σ '1,., σ' m}، جہاں σ1 = σ '1۔ ہر اندرونی حد کے لیے 2 میٹر ممکنہ ترتیبات ہیں، لہذا ہم 2 میٹر × 2 میٹر میٹرکس کے اندراج کے لحاظ سے میٹرکس اے کے ذریعے وضاحت کرتے ہیں، پھر، دیئے گئے لیٹس کواڈرینٹ کے لیے کارنر ٹرانسفر میٹرکس ہے۔ چونکہ بیرونی باؤنڈری اسپن فکسڈ ہوتے ہیں اور رقم تمام اندرونی اسپن پر ہوتی ہے، اس لیے A کا ہر اندراج اندرونی باؤنڈری اسپن کا فنکشن ہوتا ہے۔ اظہار میں کرونکر ڈیلٹا اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ σ1 = σ '1، لہذا ترتیبات کو مناسب طریقے سے ترتیب دے کر ہم A کو بلاک ڈائیگنل میٹرکس کے طور پر کاسٹ کر سکتے ہیں: کارنر ٹرانسفر میٹرکس کا تعلق سادہ طریقے سے پارٹیشن فنکشن سے ہے۔ ہماری آسان مثال میں، ہم جالی کواڈرینٹ کی چار گھمایا ہوا نقلوں سے مکمل جالی بناتے ہیں، جہاں اندرونی باؤنڈری اسپن سیٹ σ، σ '، σ' اور σ 'کو مختلف ہونے کی اجازت ہے: پھر پارٹیشن فنکشن کو کونے کی منتقلی میٹرکس A کے لحاظ سے ڈسکشن ریکرشن ریلیشن کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ کونے کی منتقلی میٹرکس A2m (m × m کواڈرینٹ کے لیے بیان کیا گیا ہے) کا اظہار چھوٹے کونے کی منتقلی میٹرکس A2m-1 اور A2m-2 (بالترتیب کم (m-1) × (m-1) اور (m-2) × (m-2) کواڈرینٹس کے لیے بیان کیا گیا ہے) کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ یہ تکراری تعلق، اصولی طور پر، محدود سائز کے کسی بھی جالی کواڈرینٹ کے لیے کونے کی منتقلی میٹرکس کے تکراری حساب کی اجازت دیتا ہے۔ ان کے قطار سے قطار کے ہم منصبوں کی طرح، کونے کی منتقلی کے میٹرکس کو چہرے کی منتقلی کے میٹرکس میں شامل کیا جا سکتا ہے، جو جالی میں ایک چہرہ شامل کرنے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ پہلے دیئے گئے لیٹس کواڈرینٹ کے لیے، فیس ٹرانسفر میٹرکس سائز 2 میٹر × 2 میٹر کے ہوتے ہیں اور اندراج کے لحاظ سے متعین ہوتے ہیں جہاں 2 ≤ i ≤ m + 1 ہوتا ہے۔ بیرونی حد کے قریب، خاص طور پر، ہمارے پاس ہے۔ تو کونے کی منتقلی میٹرکس A فیکٹرائز ہوتا ہے جہاں گرافک طور پر، یہ اس سے مطابقت رکھتا ہے: ہمیں 2m × 2m میٹرکس A * اور A * * کی بھی ضرورت ہوتی ہے، جس کی وضاحت اندراج کے لحاظ سے کی جاتی ہے جہاں A میٹرکس جن کی اندراجات RHS پر ظاہر ہوتی ہیں وہ بالترتیب 2m-1 × 2m-1 اور 2m-2 × 2m-2 سائز کی ہوتی ہیں۔ اب A، A *، A * *، Ui اور Fj کی تعریفوں سے، ہمارے پاس A2m-1 اور A2m-2 کے لحاظ سے A2m کے لیے تکرار کا تعلق ملتا ہے۔ اخترن شکل جب حسابات انجام دینے کے لیے کونے کی منتقلی میٹرکس کا استعمال کرتے ہیں، تو اس کے بجائے ان کی اخترن شکلوں کے ساتھ کام کرنا تجزیاتی اور عددی دونوں لحاظ سے آسان ہوتا ہے۔ اس کو آسان بنانے کے لیے، تکرار کے تعلق کو A، A * اور A * * کی اخترن شکلوں اور آئجین ویکٹر میٹرکس کے لحاظ سے براہ راست دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ یہ یاد کرتے ہوئے کہ ہماری مثال میں جالی عکاسی غیر متغیر ہے، اس معنی میں کہ ہم دیکھتے ہیں کہ A ایک سمیٹرک میٹرکس ہے (یعنی۔ یہ ایک آرتھوگنل میٹرکس کے ذریعے ڈائیگنالیسیبل ہے)۔ لہذا ہم لکھتے ہیں کہ جہاں ایڈ ایک اخترن میٹرکس ہے (اس طرح عام کیا گیا ہے کہ اس کی عددی طور پر سب سے بڑی اندراج 1 ہے)، αm A کی سب سے بڑی آئجن ویلیو ہے، اور PTP = I۔ اسی طرح اے * اور اے * * کے لیے، ہمارے پاس ہے جہاں ایڈ *، ایڈ * *، پی * اور پی * * کی تعریف اے * اور اے * * کے مترادف انداز میں کی گئی ہے، یعنی۔ A2m-1 اور A2m-2 کی چھوٹی (عام) اخترن شکلوں اور (آرتھوگنل) آئجین ویکٹر میٹرکس کے لحاظ سے۔ ان ڈائیگنالیسیشنز کو ریکرشن ریلیشن میں تبدیل کرنے سے، ہم حاصل کرتے ہیں جہاں اب ایٹ بھی سمیٹرک ہے، اور اس کا حساب لگایا جا سکتا ہے اگر ایڈ *، ایڈ * * اور آر * معلوم ہوں۔ ڈائیگنلائزنگ ایٹ پھر اس کی نارملائزڈ ڈائیگنل شکل ایڈ، اس کی سب سے بڑی آئجن ویلیو κ، اور اس کا آرتھوگنل آئجن ویکٹر میٹرکس آر حاصل کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز اسپن کی توقع کی قیمت کارنر ٹرانسفر میٹرکس (یا ان کی ڈائیگنل شکلیں) کو مقداروں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جیسے کہ جالی کے اندر گہری کسی خاص جگہ پر اسپن کی توقع کی قیمت۔ پہلے دی گئی مکمل جالی کے لیے، مرکزی سائٹ پر گھماؤ کی توقع کی قیمت اس طرح دی جاتی ہے کہ ترتیبات کے ساتھ کہ A پہلے کی طرح بلاک ڈائیگنل ہے، ہم 2m × 2m ڈائیگنل میٹرکس کی وضاحت کر سکتے ہیں جیسے کہ پارٹیشن فنکشن فی سائٹ۔ جالی کے ماڈلز کے لیے ایک اور اہم مقدار فی سائٹ پارٹیشن فنکشن ہے، جس کا اندازہ تھرموڈینامک حد میں کیا جاتا ہے اور اس طرح لکھا جاتا ہے۔ ہماری مثال میں، یہ کم ہو جاتا ہے کیونکہ trAd4 ایک متغیر رقم ہے جیسا کہ m → φ اور AD لامحدود جہتی ہو جاتا ہے۔ مزید برآں، چہروں کی تعداد 2m (m + 1) تھرموڈینامک حد میں سائٹس N کی تعداد کے قریب پہنچ جاتی ہے، لہذا ہمارے پاس جو کہ پہلے کی مساوات کے مطابق ہے جو κ کو At کے لیے سب سے بڑی آئجن ویلیو کے طور پر دیتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، فی سائٹ پارٹیشن فنکشن تھرموڈینامک حد میں کونے کی منتقلی میٹرکس کے لیے ڈائیگنلائزڈ ریکرشن ریلیشن کے ذریعے بالکل دیا جاتا ہے۔ یہ κ کو ایک بڑی جالی کے لیے ایڈ کا حساب لگانے کے تکراری عمل کے ذریعے تخمینہ لگانے کی اجازت دیتا ہے۔ تاہم، اس میں شامل میٹرکس سائز میں تیزی سے بڑھتے ہیں، اور حقیقی عددی حسابات میں انہیں ہر مرحلے پر کاٹنا ضروری ہے۔ ایسا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ n سب سے بڑی آئجن ویلیوز کو ہر مرحلے پر، کچھ فکسڈ n کے لیے رکھا جائے۔ زیادہ تر معاملات میں، n = 1,2,3 لینے سے حاصل ہونے والے تخمینوں کی ترتیب تیزی سے یکجا ہوتی ہے، اور عین مطابق قیمت پر (بالکل قابل حل ماڈل کے لیے)۔ ٹرانسفر میٹرکس طریقہ حوالہ جات بالکل قابل حل ماڈل لیٹیس ماڈل میٹرکس شماریاتی میکانکس بھی دیکھیں۔