Reduced homology
ریاضی میں، کم ہومیولوجی الجبرائی ٹوپولوجی میں ہومیولوجی تھیوری میں کی گئی ایک معمولی ترمیم ہے، جو اس وجدان سے متاثر ہے کہ ایک ہی نقطہ کے تمام ہومیولوجی گروپس صفر کے برابر ہونے چاہئیں۔ یہ ترمیم زیادہ جامع بیانات دینے کی اجازت دیتی ہے (جیسا کہ الیگزینڈر ڈوئلٹی میں) اور بہت سے غیر معمولی معاملات کو ختم کرتی ہے (جیسا کہ شعبوں کے ہومیولوجی گروپوں میں)۔ اگر P ایک سنگل پوائنٹ اسپیس ہے، تو معمول کی تعریفوں کے ساتھ انٹیگرل ہومیولوجی گروپ H0 (P) (ایک لامحدود چکور گروپ) کے لیے آئسومورفک ہے، جبکہ i ≤1 کے لیے ہمارے پاس Hi (P) = {0} ہے۔ زیادہ عام طور پر اگر X ایک سادہ کمپلیکس یا محدود CW کمپلیکس ہے، تو گروپ H0 (X) آزاد ابیلین گروپ ہے جس میں X کے منسلک اجزاء جنریٹر کے طور پر ہیں۔ کم ہومیولوجی کو رینک r کے اس گروپ کو رینک r−1 میں سے ایک سے تبدیل کرنا چاہیے۔ بصورت دیگر ہومیولوجی گروپوں میں کوئی تبدیلی نہیں ہونی چاہیے۔ ایسا کرنے کا ایک ایڈہاک طریقہ یہ ہے کہ 0 ویں ہومولوجی کلاس کو منسلک اجزاء کے رسمی مجموعہ کے طور پر نہیں، بلکہ اس طرح کے رسمی مجموعہ کے طور پر سوچا جائے جہاں کوفیشنٹس صفر تک جمع ہوتے ہیں۔ خلا X کی ہومیولوجی کی معمول کی تعریف میں، ہم سلسلہ کمپلیکس پر غور کرتے ہیں اور ہومیولوجی گروپوں کی وضاحت کرتے ہیں۔ کم ہومیولوجی کی وضاحت کرنے کے لیے، ہم آگمینٹڈ چین کمپلیکس سے شروع کرتے ہیں جہاں۔ اب ہم مثبت n اور کے لیے کم ہومیولوجی گروپوں کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس ترمیم شدہ کمپلیکس کے ساتھ مسلح، ٹینسر پروڈکٹ کو لاگو کرکے کوفیشنٹس کے ساتھ ہومیولوجی حاصل کرنے کے معیاری طریقے، یا ہوم فنکٹر کا استعمال کرتے ہوئے بنائے گئے کوچین کمپلیکس سے کم شدہ کوہمولوجی گروپوں کو لاگو کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات ہیچر، اے۔، (2002) الجبرائی ٹوپولوجی کیمبرج یونیورسٹی پریس،۔ سادہ کمپلیکس اور کئی گنا، واحد ہومیولوجی وغیرہ کے لیے ہومیولوجی کے نظریات کی تفصیلی بحث۔ ہومیولوجی تھیوری ڈی: سنگل _ Homologie#Reduzierte_Homologie