Bilateral hypergeometric series
ریاضی میں، دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز ایک سلسلہ ہے جس کا خلاصہ تمام انٹیجرز n پر کیا جاتا ہے، اور اس طرح کہ دو اصطلاحات کا تناسب an/an + 1 n کا عقلی فعل ہے۔ عمومی ہائپر جیومیٹرک سیریز کی تعریف ایک جیسی ہے، سوائے اس کے کہ منفی n والی اصطلاحات کو ختم ہونا ضروری ہے۔ دو طرفہ سیریز میں عام طور پر مثبت اور منفی n دونوں کے لیے غیر صفر اصطلاحات کی لامحدود تعداد ہوگی۔ دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز زیادہ تر عقلی افعال کے لیے یکجا ہونے میں ناکام رہتی ہے، حالانکہ اسے تجزیاتی طور پر زیادہ تر عقلی افعال کے لیے بیان کردہ فنکشن تک جاری رکھا جا سکتا ہے۔ خلاصہ کے کئی فارمولے ہیں جو خصوصی اقدار کے لیے اپنی اقدار دیتے ہیں جہاں یہ یکجا ہوتا ہے۔ تعریف دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز پی ایچ پی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ بڑھتی ہوئی فیکٹوریئل یا پوچھممر علامت کہاں ہے۔ عام طور پر متغیر z کو 1 لیا جاتا ہے، اس صورت میں اسے اشارے سے خارج کر دیا جاتا ہے۔ سیریز pHq کو مختلف p اور q کے ساتھ اسی طرح بیان کرنا ممکن ہے، لیکن یہ یا تو یکجا ہونے میں ناکام رہتا ہے یا متغیرات کی تبدیلیوں کے ذریعے اسے معمول کی ہائپر جیومیٹرک سیریز میں کم کیا جا سکتا ہے۔ کنورجنس اور تجزیاتی تسلسل فرض کریں کہ متغیر a یا b میں سے کوئی بھی عدد نہیں ہے، تاکہ سیریز کی تمام اصطلاحات محدود اور غیر صفر ہوں۔ پھر n <0 والی اصطلاحات اگر |z | <1 ہو تو مختلف ہو جاتی ہیں، اور n> 0 والی اصطلاحات اگر |z |> 1 ہو تو مختلف ہو جاتی ہیں، لہذا سیریز اس وقت تک یکجا نہیں ہو سکتی جب تک کہ |z | = 1 نہ ہو۔ جب |z | = 1 ہوتا ہے، تو سلسلہ یکجا ہوتا ہے اگر دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز کو تجزیاتی طور پر کئی متغیرات کے ملٹی ویلیوڈ میرومورفک فنکشن تک جاری رکھا جا سکتا ہے جن کی انفرادیت z = 0 اور z = 1 پر برانچ پوائنٹس ہیں اور سادہ قطبوں AI = −1، −2، اور Bi = 0، 1، 2، پر ہیں۔ یہ مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ a یا b متغیرات میں سے کوئی بھی عدد نہیں ہے۔ n مثبت والی اصطلاحات |z | <1 کے لیے ایک ایسی فنکشن میں یکجا ہوتی ہیں جو z = 0 اور z = 1 پر انفرادیت کے ساتھ ایک غیر یکساں لکیری مساوات کو مطمئن کرتی ہے، لہذا ان نکات کو برانچ پوائنٹس کے طور پر ملٹی ویلیوڈ فنکشن تک جاری رکھا جا سکتا ہے۔ اسی طرح n منفی والی اصطلاحات |z |> 1 کے لیے ایک ایسی فنکشن میں یکجا ہوتی ہیں جو z = 0 اور z = 1 پر انفرادیت کے ساتھ ایک غیر یکساں لکیری مساوات کو مطمئن کرتی ہے، اسی طرح ان نکات کو برانچ پوائنٹس کے طور پر ملٹی ویلیوڈ فنکشن تک بھی جاری رکھا جا سکتا ہے۔ ان افعال کا مجموعہ 0 اور 1 کے علاوہ z کی تمام اقدار کو دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز کا تجزیاتی تسلسل دیتا ہے، اور ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کی طرح z میں ایک لکیری تفریق مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ خلاصہ فارمولے ڈوگل کا دو طرفہ مجموعہ یہ بعض اوقات مساوی شکل میں لکھا جاتا ہے بیلی کے فارمولے نے ڈوگل کے فارمولے کی درج ذیل عمومی شکل دی: جہاں بنیادی دو طرفہ ہائپر جیومیٹرک سیریز حوالہ جات (2008 کا ایک پیپر بیک ہے) ہائپر جیومیٹرک افعال بھی دیکھیں۔