Thomas–Fermi model
تھامس-فرمی (TF) ماڈل، جس کا نام لیولین تھامس اور اینریکو فرمی کے نام پر رکھا گیا ہے، بہت سے جسم کے نظاموں کے الیکٹرانک ڈھانچے کے لیے ایک کوانٹم مکینیکل نظریہ ہے جو شروڈنگر مساوات کے تعارف کے فورا بعد سیمی کلاسیکی طور پر تیار ہوا۔ یہ ویو فنکشن تھیوری سے الگ ہے کیونکہ اسے صرف الیکٹرانک کثافت کے لحاظ سے وضع کیا گیا ہے اور اس طرح اسے جدید کثافت فنکشنل تھیوری کے پیش خیمہ کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ تھامس-فرمی ماڈل صرف لامحدود جوہری چارج کی حد میں درست ہے۔ حقیقت پسندانہ نظاموں کے لیے تخمینہ کا استعمال ناقص مقداری پیش گوئیاں کرتا ہے، یہاں تک کہ کثافت کی کچھ عمومی خصوصیات جیسے ایٹموں میں خول کی ساخت اور ٹھوسوں میں فریڈل ارتعاش کو دوبارہ پیش کرنے میں ناکام رہتا ہے۔ تاہم، اس نے کوالٹی کے رجحانات کو تجزیاتی طور پر نکالنے کی صلاحیت اور اس آسانی کے ساتھ جس سے ماڈل کو حل کیا جا سکتا ہے، بہت سے شعبوں میں جدید ایپلی کیشنز کو پایا ہے۔ تھامس فرمی تھیوری کے حرکی توانائی کے اظہار کو جدید مداری فری ڈینسٹی فنکشنل تھیوری کے اندر حرکی توانائی کے زیادہ نفیس کثافت کے تخمینے میں ایک جزو کے طور پر بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ آزادانہ طور پر کام کرتے ہوئے، تھامس اور فرمی نے 1927 میں ایٹم میں الیکٹرانوں کی تقسیم کا تخمینہ لگانے کے لیے اس شماریاتی ماڈل کا استعمال کیا۔ اگرچہ الیکٹرانوں کو ایٹم میں غیر یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، لیکن ایک تخمینہ لگایا گیا تھا کہ الیکٹرانوں کو ہر چھوٹے حجم والے عنصر میں یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ مقامی طور پر) لیکن الیکٹران کی کثافت اب بھی ایک چھوٹے حجم والے عنصر سے دوسرے میں مختلف ہو سکتی ہے۔ حرکی توانایٔی ایک چھوٹے حجم والے عنصر کے لیے، اور ایٹم کے لیے اس کی زمینی حالت میں، ہم ایک کروی مومنٹم خلائی حجم VF کو فرمی مومنٹم pF تک بھر سکتے ہیں، اور اس طرح، δV میں کسی نقطہ کا پوزیشن ویکٹر کہاں ہے۔ متعلقہ فیز اسپیس والیوم ہے۔ الیکٹرانوں کو اس فیز اسپیس والیوم کے دو الیکٹرانوں فی ایچ 3 کے ساتھ یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، جہاں ایچ پلانک کا مستقل ہے۔ پھر αVph میں الیکٹرانوں کی تعداد ہے αV میں الیکٹرانوں کی تعداد جہاں الیکٹران نمبر کی کثافت ہے۔ جس پر الیکٹرانوں کا حصہ p اور p + dp کے درمیان مومنٹم رکھتا ہے، ماس می کے ساتھ الیکٹران کی حرکی توانائی کے لیے کلاسیکی اظہار کا استعمال کرتے ہوئے، ایٹم کے الیکٹرانوں کے لیے فی یونٹ حجم میں حرکی توانائی ہے، جہاں اس سے متعلق پچھلا اظہار استعمال کیا گیا ہے اور، تمام خلا پر فی یونٹ حجم میں حرکی توانائی کو مربوط کرنے کے نتیجے میں الیکٹرانوں کی کل حرکی توانائی حاصل ہوتی ہے، یہ نتیجہ ظاہر کرتا ہے کہ الیکٹرانوں کی کل حرکی توانائی کا اظہار تھامس-فرمی ماڈل کے مطابق صرف مقامی طور پر مختلف الیکٹران کثافت کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، وہ جوہری-الیکٹران اور الیکٹران-الیکٹران تعاملات کے کلاسیکی تاثرات کے ساتھ مل کر حرکی توانائی کے لیے اس اظہار کا استعمال کرتے ہوئے ایٹم کی توانائی کا حساب لگانے کے قابل تھے (جن دونوں کی نمائندگی الیکٹران کثافت کے لحاظ سے بھی کی جا سکتی ہے)۔ ممکنہ توانائیاں کسی ایٹم کے الیکٹرانوں کی ممکنہ توانائی، مثبت طور پر چارج شدہ نیوکلئس کی برقی کشش کی وجہ سے ہوتی ہے، جہاں کسی الیکٹران کی ممکنہ توانائی نیوکلئس کے برقی میدان کی وجہ سے ہوتی ہے۔ چارج Z پر مرکوز نیوکلئس کے معاملے کے لیے، جہاں Z ایک مثبت عدد ہے اور e ابتدائی چارج ہے، ان کے باہمی برقی پسپائی کی وجہ سے الیکٹرانوں کی ممکنہ توانائی ہے، کل توانائی الیکٹرانوں کی کل توانائی ان کی حرکی اور ممکنہ توانائیوں کا مجموعہ ہے، تھامس-فرمی مساوات الیکٹرانوں کی تعداد کو مستقل رکھتے ہوئے توانائی E کو کم کرنے کے لیے، ہم فارم کی ایک لگرینج ضرب اصطلاح، E کو شامل کرتے ہیں۔ n کے حوالے سے تغیر کو غائب ہونے دیتے ہوئے پھر وہ مساوات دیتا ہے جو جہاں بھی غیر صفر ہو اسے برقرار رکھنا چاہیے۔ اگر ہم اس وقت تک کل پوٹینشل کی وضاحت کرتے ہیں اگر نیوکلئس کو ایک نقطہ سمجھا جاتا ہے جس کے اصل پر چارج Ze ہے، تو اور دونوں صرف رداس کے افعال ہوں گے، اور ہم φ (r) کی وضاحت کر سکتے ہیں جہاں a0 بوہر رداس ہے۔ مندرجہ بالا مساوات کو گاؤس کے قانون کے ساتھ مل کر استعمال کرنے سے، φ (r) کو تھامس-فرمی مساوات کو مطمئن کرنے کے لیے دیکھا جا سکتا ہے۔ کیمیائی پوٹینشل کے لیے، یہ ایک غیر جانبدار ایٹم کا نمونہ ہے، جس میں ایک لامحدود چارج کلاؤڈ ہے جہاں ہر جگہ غیر صفر ہے اور مجموعی چارج صفر ہے، جبکہ μ <0 کے لیے، یہ ایک مثبت آئن کا نمونہ ہے، جس میں ایک محدود چارج کلاؤڈ اور مثبت مجموعی چارج ہے۔ بادل کا کنارہ وہ ہے جہاں φ (r) = 0 ہے۔ μ> 0 کے لیے، اس کی تشریح ایک کمپریسڈ ایٹم کے ماڈل کے طور پر کی جا سکتی ہے، تاکہ منفی چارج کو ایک چھوٹی سی جگہ میں نچوڑ لیا جائے۔ اس صورت میں ایٹم رداس r پر ختم ہوتا ہے جہاں dφ/dr = φ/r ہوتا ہے۔ غلطیاں اور بہتری اگرچہ یہ ایک اہم پہلا قدم تھا، تھامس-فرمی مساوات کی درستگی محدود ہے کیونکہ حرکی توانائی کے نتیجے میں اظہار صرف تخمینہ ہے، اور اس وجہ سے کہ یہ طریقہ کسی ایٹم کی مبادلہ توانائی کی نمائندگی کرنے کی کوشش نہیں کرتا ہے۔ پالی اخراج کے اصول کے نتیجے کے طور پر۔ تبادلے کی توانائی کے لیے ایک اصطلاح 1930 میں ڈیراک نے شامل کی تھی۔ تاہم، تھامس-فرمی-ڈیراک نظریہ زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے کافی حد تک غلط رہا۔ غلطی کا سب سے بڑا ذریعہ حرکی توانائی کی نمائندگی میں تھا، اس کے بعد زر مبادلہ توانائی میں غلطیاں، اور الیکٹران ارتباط کی مکمل غفلت کی وجہ سے۔ 1962 میں، ایڈورڈ ٹیلر نے دکھایا کہ تھامس-فرمی نظریہ سالماتی بندھن کو بیان نہیں کر سکتا-TF نظریہ کے ساتھ شمار کردہ کسی بھی سالمے کی توانائی جزو ایٹموں کی توانائیوں کے مجموعے سے زیادہ ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی مالیکیول کی کل توانائی اس وقت کم ہوتی ہے جب بانڈ کی لمبائی یکساں طور پر بڑھ جاتی ہے۔ حرکی توانائی کے اظہار کو بہتر بنا کر اس پر قابو پایا جا سکتا ہے۔ تھامس-فرمی حرکی توانائی میں ایک قابل ذکر تاریخی بہتری ویزساکر (1935) اصلاح ہے، جو مداری فری ڈینسٹی فنکشنل تھیوری کا دوسرا قابل ذکر بلڈنگ بلاک ہے۔ تھامس-فرمی ماڈل میں حرکی توانائی کی غلط ماڈلنگ کے ساتھ ساتھ دیگر مداری فری ڈینسٹی فنکشنلز کا مسئلہ کوہن-شام ڈینسٹی فنکشنل تھیوری میں غیر تعامل کرنے والے الیکٹرانوں کے ایک فرضی نظام کے ساتھ نظر انداز کیا گیا ہے جس کی حرکی توانائی کا اظہار جانا جاتا ہے۔ تھامس-فرمی اسکریننگ تھامس-فرمی کا تخمینہ ریاستوں کے انحطاط کے لیے مزید پڑھنا آر پی فین مین، این میٹروپولیس، اور ای ٹیلر بھی دیکھیں۔ "عام تھامس-فرمی تھیوری پر مبنی عناصر کی حالت کی مساوات۔" فزیکل ریویو 75، #10 (15 مئی 1949)، پی پی۔ 1561-1573۔ جوہری طبیعیات کثافت فنکشنل تھیوری