Interval finite element
عددی تجزیے میں، وقفہ محدود عنصر کا طریقہ (وقفہ ایف ای ایم) ایک محدود عنصر کا طریقہ ہے جو وقفہ پیرامیٹرز کا استعمال کرتا ہے۔ وقفہ ایف ای ایم کا اطلاق ایسے حالات میں کیا جا سکتا ہے جہاں ساخت کی قابل اعتماد ممکنہ خصوصیات حاصل کرنا ممکن نہ ہو۔ یہ کنکریٹ کے ڈھانچے، لکڑی کے ڈھانچے، جیو میکانکس، جامع ڈھانچے، بائیو میکانکس اور بہت سے دوسرے شعبوں میں اہم ہے۔ وقفہ محدود عنصر کا مقصد ماڈل کی مختلف خصوصیات کی اوپری اور نچلی حدود کو تلاش کرنا ہے (جیسے۔ تناؤ، نقل مکانی، پیداوار کی سطح وغیرہ) اور ان نتائج کو ڈیزائن کے عمل میں استعمال کریں۔ اسے بدترین کیس ڈیزائن کہا جاتا ہے، جس کا لمٹ اسٹیٹ ڈیزائن سے گہرا تعلق ہے۔ بدترین کیس ڈیزائن کے لیے ممکنہ ڈیزائن سے کم معلومات کی ضرورت ہوتی ہے تاہم نتائج زیادہ قدامت پسند ہوتے ہیں [کوئلیوگلو اور الیشاکف 1998]۔ غیر یقینی صورتحال کے ماڈلنگ میں وقفے کے پیرامیٹرز کے اطلاق مندرجہ ذیل مساوات پر غور کریں: جہاں a اور b حقیقی اعداد ہیں، اور۔ اکثر، پیرامیٹرز a اور b کی صحیح اقدار نامعلوم ہوتی ہیں۔ آئیے فرض کریں کہ اور۔ اس صورت میں، مندرجہ ذیل مساوات کو حل کرنا ضروری ہے۔ وقفہ پیرامیٹرز کے ساتھ اس مساوات کے حل سیٹ کی کئی تعریفیں ہیں۔ متحدہ حل سیٹ اس نقطہ نظر میں حل مندرجہ ذیل سیٹ ہے یہ وقفہ مساوات کا سب سے مشہور حل سیٹ ہے اور اس حل سیٹ کا اطلاق اس مضمون میں کیا جائے گا۔ کثیر جہتی معاملے میں متحدہ حل سیٹ بہت زیادہ پیچیدہ ہوتا ہے۔ لکیری وقفہ مساوات کے مندرجہ ذیل نظام کا حل سیٹ مندرجہ ذیل تصویر پر دکھایا گیا ہے عین مطابق حل سیٹ بہت پیچیدہ ہے، اس لیے یہ ضروری ہے کہ سب سے چھوٹا وقفہ تلاش کیا جائے جس میں عین مطابق حل سیٹ ہو یا صرف جہاں دیکھیں وقفہ لکیری نظام کا پیرامیٹرک حل سیٹ وقفہ محدود عنصر طریقہ مساوات کے پیرامیٹر پر منحصر نظام کے حل کی ضرورت ہوتی ہے (عام طور پر سمیٹرک مثبت قطعی میٹرکس کے ساتھ)۔ مساوات کے عمومی پیرامیٹر پر منحصر نظام کے حل سیٹ کی ایک مثال نیچے دی گئی تصویر میں دکھائی گئی ہے۔ الجبرائی حل اس نقطہ نظر میں x ایک وقفہ نمبر ہے جس کے لیے مساوات مطمئن ہے۔ دوسرے لفظوں میں، مساوات کا بائیں رخ مساوات کے دائیں رخ کے برابر ہے۔ اس خاص معاملے میں حل یہ ہے کہ اگر غیر یقینی صورتحال زیادہ ہے، یعنی۔ ، پھر کیونکہ اگر غیر یقینی صورتحال اور بھی بڑی ہے، یعنی۔ پھر حل موجود نہیں ہے۔ الجبرائی وقفہ حل سیٹ کی جسمانی تشریح تلاش کرنا بہت پیچیدہ ہے۔ اس طرح، ایپلی کیشنز میں، عام طور پر یونائیٹڈ سولیوشن سیٹ کا اطلاق ہوتا ہے۔ طریقہ پی ڈی ای پر وقفہ پیرامیٹرز کے ساتھ غور کریں جہاں پیرامیٹرز کا ایک ویکٹر ہے جو دیئے گئے وقفوں سے تعلق رکھتا ہے۔ مثال کے طور پر، حرارت کی منتقلی کی مساوات جہاں وقفہ پیرامیٹرز ہیں (یعنی۔ )۔ مساوات () کا حل مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، حرارت کی منتقلی کی مساوات کے معاملے میں حل بہت پیچیدہ ہے کیونکہ عملی طور پر سب سے چھوٹا ممکنہ وقفہ تلاش کرنا زیادہ دلچسپ ہے جس میں عین مطابق حل سیٹ ہو۔ مثال کے طور پر، حرارت کی منتقلی کی مساوات کے معاملے میں محدود عنصر کا طریقہ الجبرائی مساوات کے مندرجہ ذیل پیرامیٹر پر منحصر نظام کی طرف لے جاتا ہے جہاں ایک سختی میٹرکس ہے اور دائیں ہاتھ کی طرف ہے۔ وقفہ حل کو ملٹی ویلیوڈ فنکشن کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مندرجہ بالا سب سے آسان صورت میں نظام کو لکیری وقفہ مساوات کے نظام کے طور پر مانا جا سکتا ہے۔ وقفہ حل کو مندرجہ ذیل اصلاح کے مسئلے کے حل کے طور پر بیان کرنا بھی ممکن ہے کثیر جہتی صورت میں وقفہ حل کو وقفہ حل بمقابلہ ممکنہ حل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے یہ جاننا ضروری ہے کہ وقفہ پیرامیٹرز یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات سے مختلف نتائج پیدا کرتے ہیں۔ وقفہ پیرامیٹر تمام ممکنہ امکانات کی تقسیم (کے لیے) کو مدنظر رکھتا ہے۔ وقفہ پیرامیٹر کی وضاحت کے لیے صرف اوپری اور نچلی حد کو جاننا ضروری ہے۔ ممکنہ خصوصیات کے حساب کے لیے بہت سے تجرباتی نتائج کے علم کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ ظاہر کرنا ممکن ہے کہ n وقفہ نمبروں کا مجموعہ مناسب عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے سے کئی گنا زیادہ وسیع ہے۔ عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر X پر غور کریں کہ عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر کا مجموعہ مندرجہ ذیل خصوصیات کے ساتھ عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے (چھ سگما دیکھیں) ہم فرض کر سکتے ہیں کہ ممکنہ نتیجہ کی چوڑائی 6 سگما کے برابر ہے (چھ سگما کا موازنہ کریں)۔ اب ہم وقفہ کے نتیجے کی چوڑائی اور ممکنہ نتیجہ کا موازنہ کر سکتے ہیں اس وجہ سے وقفہ محدود عنصر (یا عام طور پر بدترین صورت کے تجزیے میں) کے نتائج کو سٹوچسٹک فیم تجزیہ کے مقابلے میں زیادہ اندازہ لگایا جا سکتا ہے (غیر یقینی صورتحال کا پھیلاؤ بھی دیکھیں)۔ تاہم، غیر امکانی غیر یقینی صورتحال کی صورت میں خالص امکانی طریقوں کا اطلاق ممکن نہیں ہے۔ کیونکہ اس معاملے میں ممکنہ خصوصیت بالکل معلوم نہیں ہے (الیشاکف 2000)۔ وقفہ پیرامیٹرز کے ساتھ بے ترتیب (اور مبہم بے ترتیب متغیرات) پر غور کرنا ممکن ہے۔ وقفہ اوسط، تغیر وغیرہ کے ساتھ)۔ کچھ محققین شماریاتی حسابات میں وقفہ (مبہم) پیمائش کا استعمال کرتے ہیں (مثال کے طور پر۔ )۔ اس طرح کے حسابات کے نتیجے میں ہمیں نام نہاد غیر واضح امکان ملے گا۔ غیر واضح امکان کو بہت وسیع معنوں میں سمجھا جاتا ہے۔ یہ تمام ریاضیاتی ماڈلز کا احاطہ کرنے کے لیے ایک عام اصطلاح کے طور پر استعمال ہوتا ہے جو تیز عددی امکانات کے بغیر موقع یا غیر یقینی کی پیمائش کرتے ہیں۔ اس میں کوالٹی (تقابلی امکان، جزوی ترجیحی ترتیب،) اور مقداری طریقے (وقفہ امکانات، عقیدے کے افعال، اوپری اور نچلے تعصبات،) دونوں شامل ہیں۔ قیاس کے مسائل میں جہاں متعلقہ معلومات کم، مبہم یا متضاد ہیں، اور فیصلہ سازی کے مسائل میں جہاں ترجیحات بھی نامکمل ہو سکتی ہیں، غیر واضح امکانات کے نمونوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ سادہ مثال: تناؤ، کمپریشن، تناؤ اور تناؤ کی ماڈلنگ) 1 جہتی مثال تناؤ-کمپریشن کے مسئلے میں، درج ذیل مساوات نقل مکانی اور قوت کے درمیان تعلق کو ظاہر کرتی ہے: جہاں لمبائی ہے، کراس سیکشن کا رقبہ ہے، اور ینگ کا ماڈیولس ہے۔ اگر ینگ کا ماڈیولس اور قوت غیر یقینی ہے، تو نقل مکانی کی اوپری اور نچلی حدود کو تلاش کرنے کے لیے، درج ذیل جزوی مشتقات کا حساب لگائیں: نقل مکانی کی انتہائی اقدار کا حساب درج ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے کریں: نقل مکانی سے مشتق کا استعمال کرتے ہوئے تناؤ کے مشتقات کا حساب لگائیں: نقل مکانی کی انتہائی اقدار کا حساب اس طرح کریں: نقل مکانی کا استعمال کرتے ہوئے تناؤ کی انتہائی اقدار کا حساب لگانا بھی ممکن ہے۔ اسی طریقہ کار کو تناؤ پر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے اور اگر ہم تناؤ کو تناؤ کی تقریب کے طور پر سمجھتے ہیں تو ساخت محفوظ ہے اگر تناؤ دی گئی قیمت سے چھوٹا ہے یعنی، یہ حالت درست ہے اگر حساب کے بعد ہم جانتے ہیں کہ یہ تعلق مطمئن ہے اگر مثال بہت آسان ہے لیکن یہ وقفے کی ایپلی کیشنز کو ظاہر کرتی ہے۔ وقفہ ایف ای ایم کثیر جہتی معاملات میں بہت ہی ملتے جلتے طریقہ کار کا استعمال کرتا ہے۔ تاہم، کثیر جہتی معاملات میں غیر یقینی پیرامیٹرز اور حل کے درمیان تعلق ہمیشہ مونوٹون نہیں ہوتا ہے۔ ان صورتوں میں، زیادہ پیچیدہ اصلاح کے طریقوں کا اطلاق کرنا پڑتا ہے۔ کثیر جہتی مثال تناؤ-دباؤ کے مسئلے کی صورت میں توازن مساوات کی مندرجہ ذیل شکل ہوتی ہے جہاں نقل مکانی ہے، ینگ کا ماڈیولس ہے، کراس سیکشن کا رقبہ ہے، اور تقسیم شدہ بوجھ ہے۔ منفرد حل حاصل کرنے کے لیے مناسب باؤنڈری کنڈیشنز شامل کرنا ضروری ہے جیسے۔ اگر ینگ کا ماڈیولس اور غیر یقینی ہے تو وقفہ حل کو مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہر ایف ای ایم عنصر کے لیے مساوات کو ٹیسٹ فنکشن سے ضرب دینا ممکن ہے جہاں حصوں سے انضمام کے بعد ہمیں مساوات کمزور شکل میں ملے گی جہاں گرڈ پوائنٹس کا ایک سیٹ متعارف کروائیں، جہاں عناصر کی تعداد ہے، اور ہر ایف ای ایم عنصر کے لیے لکیری شکل کے افعال جہاں عنصر کا بائیں اختتامی نقطہ، عنصر نمبر "ای" کا بائیں اختتامی نقطہ ہے۔ "e"-th عنصر میں لگ بھگ حل شکل کے افعال کا ایک لکیری مجموعہ ہے۔ مساوات کی کمزور شکل کو تبدیل کرنے کے بعد ہمیں مساوات کا درج ذیل نظام یا میٹرکس کی شکل میں ملے گا۔ عالمی سختی میٹرکس کو جمع کرنے کے لیے ہر نوڈ میں توازن مساوات پر غور کرنا ضروری ہے۔ اس کے بعد مساوات کی مندرجہ ذیل میٹرکس شکل ہوتی ہے جہاں عالمی سختی میٹرکس ہے، حل ویکٹر ہے، دائیں ہاتھ کی طرف ہے۔ تناؤ-دباؤ کے مسئلے کی صورت میں اگر ہم تقسیم شدہ بوجھ کو نظر انداز کرتے ہیں تو باؤنڈری کے حالات کو مدنظر رکھنے کے بعد سختی میٹرکس کی مندرجہ ذیل شکل ہوتی ہے دائیں ہاتھ کی طرف مندرجہ ذیل شکل ہوتی ہے۔ آئیے فرض کریں کہ ینگ کا ماڈیولس، کراس سیکشن کا رقبہ اور بوجھ غیر یقینی ہیں اور کچھ وقفوں سے تعلق رکھتے ہیں۔ وقفہ حل کی تعریف مندرجہ ذیل طریقے سے کی جا سکتی ہے۔ وقفہ ویکٹر کا حساب عام طور پر این پی-ہارڈ ہوتا ہے، تاہم مخصوص معاملات میں اس حل کا حساب لگانا ممکن ہے جو بہت سے انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حساب کے نتائج وقفے کی نقل مکانی ہیں۔ آئیے فرض کریں کہ کالم میں نقل مکانی کسی دی گئی قیمت (حفاظت کی وجہ سے) سے کم ہونی چاہیے۔ اگر وقفہ حل تمام حفاظتی شرائط کو پورا کرتا ہے تو غیر یقینی نظام محفوظ ہے۔ اس خاص صورت میں یا سادہ پوسٹ پروسیسنگ میں وقفہ تناؤ کا حساب لگانا ممکن ہے، وقفہ تناؤ اور وقفہ ریاستی افعال کو محدود کرتا ہے اور ان اقدار کو ڈیزائن کے عمل میں استعمال کرتا ہے۔ وقفہ محدود عنصر کا طریقہ ان مسائل کے حل پر لاگو کیا جا سکتا ہے جن میں ڈھانچوں کی قابل اعتماد ممکنہ خصوصیت پیدا کرنے کے لیے کافی معلومات موجود نہیں ہیں (الیشاکف 2000)۔ وقفہ محدود عنصر کا طریقہ غیر واضح امکان کے نظریہ میں بھی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ اختتامی نکات کے امتزاج کا طریقہ وقفے کے اختتامی نکات کے تمام ممکنہ امتزاج کے لیے مساوات کو حل کرنا ممکن ہے۔ وقفے کے تمام عمودی حصوں کی فہرست کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔ حل کے اوپری اور نچلے باؤنڈ کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جا سکتا ہے اینڈ پوائنٹ کے امتزاج کا طریقہ حل دیتا ہے جو عام طور پر درست ہوتا ہے۔ بدقسمتی سے اس طریقہ میں ایکسپونینشل کمپیوٹیشنل پیچیدگی ہوتی ہے اور اسے بہت سے وقفے کے پیرامیٹرز والے مسائل پر لاگو نہیں کیا جا سکتا۔ ٹیلر توسیع کا طریقہ ٹیلر سیریز کا استعمال کرکے فنکشن کو بڑھایا جا سکتا ہے۔ آسان ترین صورت میں ٹیلر سیریز صرف لکیری تخمینہ کا استعمال کرتی ہے حل کی اوپری اور نچلی حد کا حساب مندرجہ ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے۔ طریقہ کار بہت موثر ہے تاہم یہ بہت درست نہیں ہے۔ درستگی کو بہتر بنانے کے لیے اعلی آرڈر ٹیلر توسیع [پونوک 2004] کا اطلاق ممکن ہے۔ اس نقطہ نظر کو وقفہ محدود فرق کے طریقہ کار اور وقفہ حد عنصر کے طریقہ کار میں بھی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ گریڈینٹ طریقہ اگر مشتقات کی علامت مستقل ہے تو افعال مونوٹون ہوتے ہیں اور درست حل کا حساب بہت تیزی سے لگایا جا سکتا ہے۔ اگر پھر حل کی انتہائی اقدار کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے لگایا جا سکتا ہے۔ بہت سے ساختی انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں طریقہ درست حل دیتا ہے۔ اگر حل مونوٹون نہیں ہے تو حل عام طور پر معقول ہوتا ہے۔ طریقہ کار کی درستگی کو بہتر بنانے کے لیے یکسانیت کے ٹیسٹ اور اعلی ترتیب کی حساسیت کا تجزیہ لاگو کرنا ممکن ہے۔ اس طریقہ کار کا اطلاق کمپیوٹیشنل میکانکس [پونوک 2004] کے لکیری اور غیر لکیری مسائل کے حل پر کیا جا سکتا ہے۔ سول انجینئرنگ کے مسائل کے حل کے لیے حساسیت تجزیہ کے طریقہ کار کے استعمال درج ذیل مقالے [ایم وی] میں مل سکتے ہیں۔ راما راؤ، اے پونوک اور آئی سکالنا 2008]۔ اس نقطہ نظر کو وقفہ محدود فرق کے طریقہ کار اور وقفہ حد عنصر کے طریقہ کار میں بھی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ عنصر در عنصر طریقہ موہنا اور مولن نے وقفہ پیرامیٹرز کے ساتھ محدود عنصر مساوات کے حل پر عنصر کی تشکیل کے ذریعے عنصر کا اطلاق کیا۔ اس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ٹرس اور فریم ڈھانچے کے معاملے میں ضمانت شدہ درستگی کے ساتھ حل حاصل کرنا ممکن ہے۔ پرٹربیشن کے طریقے حل کی سختی میٹرکس اور لوڈ ویکٹر کو پرٹربیشن تھیوری کا استعمال کرکے بڑھایا جا سکتا ہے۔ پرٹربیشن تھیوری وقفہ حل کی لگ بھگ قیمت کی طرف لے جاتی ہے۔ یہ طریقہ بہت موثر ہے اور کمپیوٹیشنل میکانکس کے بڑے مسائل پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ رسپانس سرفیس کا طریقہ رسپانس سرفیس کا استعمال کرکے حل کا تخمینہ لگانا ممکن ہے۔ پھر وقفہ حل حاصل کرنے کے لیے رسپانس سرفیس کا استعمال کرنا ممکن ہے۔ رسپانس سرفیس میتھڈ کا استعمال کرتے ہوئے کمپیوٹیشنل میکانکس کے بہت پیچیدہ مسئلے کو حل کرنا ممکن ہے۔ خالص وقفے کے طریقے متعدد مصنفین نے وقفے کے پیرامیٹرز کے ساتھ محدود عنصر کے مسائل کے حل کے لیے خالص وقفے کے طریقوں کو لاگو کرنے کی کوشش کی۔ کچھ معاملات میں بہت دلچسپ نتائج حاصل کرنا ممکن ہے جیسے۔ [پوپووا، ایانکوف، بونیو 2008]۔ تاہم، عام طور پر یہ طریقہ بہت زیادہ تخمینہ شدہ نتائج پیدا کرتا ہے۔ پیرامیٹرک وقفہ نظام پوپووا اور سکالنا نے لکیری مساوات کے نظام کے حل کے طریقے متعارف کروائے جن میں کوفیشنٹس وقفہ پیرامیٹرز کے لکیری امتزاج ہوتے ہیں۔ اس صورت میں ضمانت شدہ درستگی کے ساتھ وقفہ مساوات کا بہت درست حل حاصل کرنا ممکن ہے۔ یہ بھی دیکھیں وقفہ باؤنڈری عنصر کا طریقہ وقفہ (ریاضی) وقفہ ریاضیاتی غیر واضح امکان ملٹی ویلیوڈ فنکشن تفریقی شمولیت مشاہداتی غلطی بے ترتیب کمپیکٹ سیٹ وشوسنییتا (شماریات) اعتماد کا وقفہ بہترین، بدترین اور اوسط صورت میں غیر یقینی صورتحال کا ممکنہ ڈیزائن پھیلاؤ تجرباتی غیر یقینی صورتحال کا تجزیہ حساسیت کا تجزیہ پرٹربیشن تھیوری کنٹینیم میکانکس سالڈ میکانکس ٹرس اسپیس فریم لکیری لچکدار مواد کی طاقت حوالہ جات ڈیمپسٹر، اے پی (1967)۔ "کثیر قدر کی نقشہ سازی سے پیدا ہونے والے بالائی اور نچلے امکانات"۔ ریاضیاتی شماریات کی تاریخ 38 (2): 325-339۔ ۔ حاصل کردہ 2009-09-23 سول انجینئرنگ میں غیر یقینی کا تجزیہ، بذریعہ ڈبلیو فیلین، ایچ لیسمین، ایم اوبرگگنبرجر، اور آر وائڈر (ایڈز۔ )، سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2005 I. الیشاکف، انجینئرنگ میں ممکنہ طریقوں کی ممکنہ حدود۔ اپلائیڈ میکینکس ریویوز، Vol.53، نمبر 2، پی پی۔ 19-25، 2000۔ ہلاویسک، I.، کلیبون، J.، بابوشکا، I.: غیر یقینی ان پٹ ڈیٹا کے مسائل اور بدترین منظرنامہ طریقہ۔ ایلسیویئر، ایمسٹرڈیم (2004) کوئلیوگلو، یو۔، آئزک الیشاکف ؛ غیر یقینی سختی کی خصوصیات کے ساتھ شیر فریموں پر لاگو ہونے والے اسٹاکسٹک اور وقفے کے محدود عناصر کا موازنہ، کمپیوٹرز اینڈ اسٹرکچرز حجم: 67، شمارہ: 1-3، اپریل 1، 1998، پی پی۔ 91-98 D. موینس اور D. وینڈیپیٹ، وقفہ حساسیت کا نظریہ اور غیر یقینی ڈھانچوں کے فریکوئنسی رسپانس لفافے کے تجزیے پر اس کا اطلاق۔ کمپیوٹر میتھڈز ان اپلائیڈ میکینکس اینڈ انجینئرنگ جلد۔ 196، نمبر۔ 21-24,1 اپریل 2007، پی پی۔ 2486-2496۔ مولر، بی۔، بیئر، ایم۔ فزی رینڈمنیس-سول انجینئرنگ اور کمپیوٹیشنل میکینکس میں غیر یقینی، سپرنگر، برلن، 2004۔ ای۔ پوپووا، آر۔ آئنکوف، زیڈ۔ بونیو: تمام پیرامیٹرز میں غیر یقینی صورتحال کے ساتھ مکینیکل ڈھانچوں کے ردعمل کو جوڑنا۔ R.L.Muhannah، R.L.Mullen (Eds) میں: قابل اعتماد انجینئرنگ کمپیوٹنگ (REC) پر این ایس ایف ورکشاپ کی کارروائی، سوانا، جارجیا یو ایس اے، فروری۔ 22-24، 2006، 245-265 A. پونوک، فجی جزوی تفریق مساوات کے عددی حل اور کمپیوٹیشنل میکانکس میں اس کا اطلاق، فجی جزوی تفریق مساوات اور رشتہ دار مساوات: ریزروائر کیریکٹرائزیشن اور ماڈلنگ (M. نکراویش، L. زادہ اور V. کوروتکیخ، ایڈز۔ )، اسٹڈیز ان فزنیس اینڈ سافٹ کمپیوٹنگ، فزکا-ورلاگ، 2004، پی پی۔ 308-347 A. پونوک، حساسیت کے تجزیے پر مبنی وقفہ پیرامیٹرز کے ساتھ بڑے پیمانے پر انجینئرنگ کے مسائل کے حل کا موثر طریقہ، قابل اعتماد انجینئرنگ کمپیوٹنگ پر این ایس ایف ورکشاپ کی کارروائی، ستمبر 15-17، 2004، سوانا، جارجیا، یو ایس اے، پی پی۔ 305-316 M. V. راما راؤ، اے پونوک اور آئی سکالنا، غیر یقینی ساختی پیرامیٹرز کے ساتھ ایک واحد تقویت یافتہ کنکریٹ بیم کا تناؤ کا تجزیہ، قابل اعتماد انجینئرنگ کمپیوٹنگ پر این ایس ایف ورکشاپ، فروری 20-22، 2008، سوانا، جارجیا، یو ایس اے، پی پی۔ 459-478 برنارڈینی، البرٹو، ٹونون، فلیو، باؤنڈنگ انسرٹینیٹی ان سول انجینئرنگ، سپرنگر 2010 بین ہیم وائی، الیشاکف I.، 1990، کنویکس ماڈل آف انسرٹینیٹی ان اپلائیڈ میکینکس۔ ایلسیویئر سائنس پبلشرز، نیو یارک ویلیاپن ایس۔، فام ٹی۔ ڈی۔، 1993، لچکدار مٹی میڈیم پر ایک فاؤنڈیشن کا فزی فائنائٹ عنصر تجزیہ۔ جیومیکانیکس میں عددی اور تجزیاتی طریقوں کے لیے بین الاقوامی جریدہ، Vol.17، پی پی۔ 771-789 الیشاکف I.، لی Y. W.، سٹارنس J. H.، 1994، جامع ڈھانچوں کے بکلنگ پر نامعلوم لیکن پابند لچکدار ماڈیولی کے اثر کی پیش گوئی کرنے کا ایک فیصلہ کن طریقہ۔ اطلاقی میکانکس اور انجینئرنگ میں کمپیوٹر کے طریقے، Vol.111، پی پی۔ 155-167 ویلیاپن ایس۔ فام ٹی۔ ڈی۔، 1995، فجی پیرامیٹرز کے ساتھ ایلسٹو-پلاسٹک فائنائٹ عنصر تجزیہ۔ انجینئرنگ میں عددی طریقوں کے لیے بین الاقوامی جریدہ، 38، پی پی۔ راؤ ایس ایس، سایر جے پی، 1995، فجی فائنائٹ ایلیمنٹ اپروچ فار دی اینالیسس آف امپریسیلی ڈیفائنڈ سسٹمز۔ اے آئی اے اے جرنل، Vol.33، No.12، پی پی۔ 2364-2370 کوئلوگلو H. U.، کاکمک A.، نیلسن S. R. K.، 1995، ساختی میکانکس میں وقفہ نقشہ سازی۔ میں: اسپینوس، ایڈ۔ کمپیوٹیشنل سٹوچسٹک میکینکس۔ 125-133۔ بالکیما، روٹرڈیم موہنا، آر۔ ایل۔ اور آر۔ ایل۔ مولن (1995)۔ نارتھ امریکن فزی انفارمیشن پروسیسنگ سوسائٹی (آئی ایس یو ایم اے-این اے ایف آئی پی ایس '95)، آئی ای ای ای، 705-710 بیرونی لنکس قابل اعتماد انجینئرنگ کمپیوٹنگ، جارجیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹکنالوجی، سوانا، یو ایس اے وقفہ کمپیوٹیشنز قابل اعتماد کمپیوٹنگ (جرنل) وقفہ مساوات (حوالہ جات کا مجموعہ) وقفہ محدود عنصر ویب ایپلی کیشنز ای۔ پوپووا، وقفہ لکیری سسٹم کا پیرامیٹرک حل سیٹ غیر یقینی ماڈلنگ اور تجزیہ پر تیسری بین الاقوامی سمپوزیم کی کارروائی میں تسلسل میکینکس میں وقفہ پر مبنی طریقوں کی ترقی: نظریات اور ایپلی کیشنز محدود عنصر طریقہ