Steinitz's theorem
پولی ہیڈرل کمبینٹوریکس میں، جو ریاضی کی ایک شاخ ہے، اسٹینٹز تھیوریم تین جہتی کنویکس پولی ہیڈرا کے کناروں اور عمودی حصوں سے بنے غیر ہدایت شدہ گرافوں کی خصوصیت ہے: وہ بالکل 3-ورٹیکس سے منسلک پلانر گراف ہیں۔ یعنی ہر کنویکس پولی ہیڈرون 3 منسلک پلینر گراف بناتا ہے، اور ہر 3 منسلک پلینر گراف کو کنویکس پولی ہیڈرون کے گراف کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس وجہ سے، 3 منسلک پلینر گراف کو پولی ہیڈرل گراف بھی کہا جاتا ہے۔ یہ نتیجہ تین جہتی کنویکس پولی ہیڈرا کے لیے درجہ بندی کا نظریہ فراہم کرتا ہے، جو کہ اعلی جہتوں میں معلوم نہیں ہے۔ یہ ان پولی ہیڈرا کے گرافوں کی ایک مکمل اور خالص طور پر مشترکہ وضاحت فراہم کرتا ہے، جس سے ان پر دوسرے نتائج کی اجازت ملتی ہے، جیسے کہ ایبر ہارڈ کا نظریہ جو کہ دیئے گئے قسم کے چہروں کے ساتھ پولی ہیڈرا کے ادراک پر ہے، ان شکلوں کی جیومیٹری کے حوالے کے بغیر زیادہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، اس کا اطلاق گراف ڈرائنگ میں خلاصہ گراف کے تین جہتی تصورات کی تعمیر کے طریقے کے طور پر کیا گیا ہے۔ برانکو گرون بوم نے اس نظریہ کو "3-پولی ٹاپس پر سب سے اہم اور گہرا معلوم نتیجہ" قرار دیا ہے۔ یہ نظریہ 1922 میں ارنسٹ اسٹینٹز کی اشاعت میں ظاہر ہوتا ہے، جس کے نام پر اس کا نام رکھا گیا ہے۔ اسے ریاضیاتی انڈکشن (جیسا کہ سٹینٹز نے کیا)، دو جہتی اسپرنگ سسٹم کی کم از کم توانائی کی حالت کو تلاش کرکے اور نتیجہ کو تین جہتوں میں اٹھا کر، یا سرکل پیکنگ تھیوریم کا استعمال کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ تھیوریم کی کئی توسیعات معلوم ہیں، جس میں کسی دیئے گئے گراف کا ادراک کرنے والے پولی ہیڈرون میں اضافی رکاوٹیں ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ہر پولی ہیڈرل گراف انٹیجر کوآرڈینیٹس کے ساتھ ایک کنویکس پولی ہیڈرون کا گراف ہوتا ہے، یا ایک کنویکس پولی ہیڈرون کا گراف ہوتا ہے جس کے تمام کنارے ایک مشترکہ مڈسفیر سے متصل ہوتے ہیں۔ نظریہ کی تعریفیں اور بیان ایک غیر ہدایت شدہ گراف عمودی اور کناروں کا ایک نظام ہے، جس کا ہر کنارہ دو عمودی حصوں کو جوڑتا ہے۔ جیسا کہ گراف تھیوری میں عام ہے، اسٹینٹز تھیوریم کے مقاصد کے لیے یہ گراف محدود ہونے تک محدود ہیں (عمودی اور کنارے محدود سیٹ ہیں) اور سادہ (کوئی دو کنارے ایک ہی دو عمودی کو نہیں جوڑتے، اور کوئی کنارے کسی عمودی کو خود سے نہیں جوڑتا)۔ کسی بھی پولی ہیڈرون سے کوئی بھی گراف تشکیل دے سکتا ہے، گراف کے عمودی حصوں کو پولی ہیڈرون کے عمودی حصوں سے مطابقت دے کر اور کسی بھی دو گراف عمودی حصوں کو ایک کنارے سے جوڑ کر جب بھی متعلقہ دو پولی ہیڈرون عمودی حصے پولی ہیڈرون کے کنارے کے اختتامی نکات ہوں۔ اس گراف کو پولی ہیڈرون کا کنکال کہا جاتا ہے۔ ایک گراف ہموار ہوتا ہے اگر اسے یوکلڈین سطح میں پوائنٹس کے طور پر اس کے عمودی حصوں کے ساتھ کھینچا جا سکے، اور اس کے کناروں کو منحنی خطوط کے طور پر جو ان پوائنٹس کو جوڑتے ہیں، اس طرح کہ کوئی دو کنارے منحنی خطوط ایک دوسرے کو پار نہیں کرتے ہیں اور اس طرح کہ ایک سرے کی نمائندگی کرنے والا نقطہ منحنی خطوط پر ہوتا ہے جو صرف اس صورت میں کنارے کی نمائندگی کرتا ہے جب سرے کنارے کا اختتامی نقطہ ہو۔ فیری کے نظریہ کے مطابق، ہر پلینر ڈرائنگ کو سیدھا کیا جا سکتا ہے تاکہ کناروں کی نمائندگی کرنے والے منحنی خطوط لکیر کے حصے ہوں۔ ایک گراف 3 سے جڑا ہوتا ہے اگر اس کے تین سے زیادہ عمودی حصے ہوں اور، اس کے دو عمودی حصوں کو ہٹانے کے بعد، عمودی حصوں کا کوئی دوسرا جوڑا کسی راستے سے جڑا رہتا ہے۔ سٹینٹز تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ یہ دونوں شرائط تین جہتی کنویکس پولی ہیڈرا کے کنکالوں کی خصوصیت کے لیے ضروری اور کافی ہیں: ایک دیا ہوا گراف ایک کنویکس تین جہتی پولی ہیڈرن کا گراف ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب پلانر اور 3-ورٹیکس منسلک ہو۔ ثبوت سٹینٹز تھیوریم کی ایک سمت (ثابت کرنے کے لیے آسان سمت) بتاتی ہے کہ ہر کنویکس پولی ہیڈرون کا گراف پلینر اور 3 سے جڑا ہوا ہے۔ جیسا کہ مثال میں دکھایا گیا ہے، شلیگل خاکہ کا استعمال کرتے ہوئے پلانیٹی کو دکھایا جا سکتا ہے: اگر کوئی روشنی کے منبع کو پولی ہیڈرون کے ایک چہرے کے قریب رکھتا ہے، اور دوسری طرف ایک طیارہ رکھتا ہے، تو پولی ہیڈرون کناروں کے سائے ایک پلانی گراف بنائیں گے، جو اس طرح سرایت کریں گے کہ کنارے سیدھی لکیر کے حصے ہوں۔ پولی ہیڈرل گراف کی 3-کنیکٹیویٹی بالنسکی کے نظریہ کا ایک خاص معاملہ ہے کہ کسی بھی جہتی کنویکس پولیٹوپ کا گراف-جڑا ہوا ہے۔ پولیٹوپ کے گراف کا رابطہ، اس کے کسی بھی عمودی حصے کو ہٹانے کے بعد، ایک اور عمودی حصے کا انتخاب کرکے، عمودی حصوں کے نتیجے میں سیٹ پر صفر ہونے والی لکیری فنکشن تلاش کرکے، اور سمپلیکس طریقہ کار سے پیدا ہونے والے راستوں پر عمل کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے تاکہ ہر عمودی حصے کو لکیری فنکشن کے دو انتہائی عمودی حصوں میں سے کسی ایک سے جوڑا جا سکے، جس میں منتخب شدہ عمودی حصہ دونوں سے جڑا ہو۔ اسٹینٹز تھیوریم کی دوسری، زیادہ مشکل سمت میں کہا گیا ہے کہ ہر طیارہ 3 سے منسلک گراف ایک کنویکس پولی ہیڈرون کا گراف ہے۔ اس حصے کے لیے تین معیاری نقطہ نظر ہیں: انڈکشن کے ذریعے ثبوت، میکسویل-کریمونا خط و کتابت کا استعمال کرتے ہوئے دو جہتی ٹوٹی سرایت کو تین جہتوں میں اٹھانا، اور سرکل پیکنگ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے کینونکل پولی ہیڈرون تیار کرنے کے طریقے۔ انڈکشن اگرچہ سٹینٹز کے اصل ثبوت کا اظہار گراف تھیوری کے لحاظ سے نہیں کیا گیا تھا، لیکن اسے ان اصطلاحات میں دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، اور اس میں α-Y اور Y-α تبدیلیوں کا ایک سلسلہ تلاش کرنا شامل ہے جو کسی بھی 3 سے منسلک پلینر گراف کو ٹیٹرا ہیڈرون کے گراف تک کم کر دیتا ہے۔ ایک Y-δ تبدیلی گراف سے ایک ڈگری-تین ورٹیکس کو ہٹا دیتی ہے، اس کے تمام سابقہ پڑوسیوں کے درمیان کناروں کو شامل کرتی ہے اگر وہ کنارے پہلے سے موجود نہیں تھے۔ الٹا تبدیلی، ایک δ-Y تبدیلی، ایک مثلث کے کناروں کو گراف سے ہٹا دیتی ہے اور ان کی جگہ ان ہی تین عمودی حصوں سے متصل ایک نئے ڈگری-تین ورٹیکس سے لے لیتی ہے۔ ایک بار جب اس طرح کی ترتیب مل جاتی ہے، تو اسے الٹا کیا جا سکتا ہے اور ہندسی کارروائیوں میں تبدیل کیا جا سکتا ہے جو ٹیٹرا ہیڈرون سے شروع ہو کر مرحلہ وار مطلوبہ پولی ہیڈرون کی تعمیر کرتے ہیں۔ الٹی ترتیب میں ہر Y-δ تبدیلی کو پولی ہیڈرون سے ڈگری تین کے سرے سے کاٹ کر ہندسی طور پر انجام دیا جا سکتا ہے۔ الٹا ترتیب میں ایک δ-Y تبدیلی جیومیٹری طور پر ایک پولی ہیڈرون سے ایک مثلث چہرے کو ہٹا کر اور اس کے پڑوسی چہروں کو اس مقام تک بڑھا کر انجام دی جا سکتی ہے جہاں وہ ملتے ہیں، لیکن صرف اس صورت میں جب تین پڑوسی چہروں کا وہ ٹرپل انٹرسیکشن پوائنٹ پولی ہیڈرون سے ہٹائے گئے چہرے کے دور کی طرف ہو۔ جب ٹرپل انٹرسیکشن پوائنٹ اس چہرے کے دور کی طرف نہیں ہوتا ہے، تو پولی ہیڈرون کی ایک پروجیکٹو تبدیلی اسے صحیح طرف منتقل کرنے کے لیے کافی ہوتی ہے۔ لہذا، کسی دیئے گئے گراف کو کم کرنے کے لیے درکار α-Y اور Y-α تبدیلیوں کی تعداد کو شامل کرکے، ہر پولی ہیڈرل گراف کو پولی ہیڈرون کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ ایپیفانوف کے بعد کے کام نے اسٹینٹز کے اس ثبوت کو مضبوط کیا کہ ہر پولی ہیڈرل گراف کو α-Y اور Y-α تبدیلیوں سے کم کیا جا سکتا ہے۔ ایپیفانوف نے ثابت کیا کہ اگر پلانر گراف میں دو عمودی نقاط کی وضاحت کی جائے تو گراف کو ان ٹرمینلز کے درمیان ایک ہی کنارے تک کم کیا جا سکتا ہے۔ ایپیفانوف کا ثبوت پیچیدہ اور غیر تعمیری تھا، لیکن اسے ٹرومپر نے گراف مائنرز پر مبنی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے آسان بنایا تھا۔ ٹرومپر نے مشاہدہ کیا کہ ہر گرڈ گراف کو δ-Y سے کم کیا جا سکتا ہے اور Y-δ اس طرح سے تبدیل ہوتا ہے، کہ یہ تخفیف گراف نابالغوں کے ذریعہ محفوظ ہے، اور یہ کہ ہر طیارہ گراف گرڈ گراف کا معمولی ہے۔ اس خیال کو اسٹینٹز کے لیما کو تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ تخفیف کا تسلسل موجود ہے۔ اس تبدیلی کے بعد، باقی ثبوت کو اسی طرح انڈکشن کا استعمال کرتے ہوئے انجام دیا جا سکتا ہے جس طرح اسٹینٹز کا اصل ثبوت ہے۔ ان ثبوتوں کے لیے، جو α-Y اور Y-α تبدیلیوں کے سلسلے کو تلاش کرنے کے کسی بھی طریقے کا استعمال کرتے ہوئے انجام دیے جاتے ہیں، ایسے پولی ہیڈرل گراف موجود ہیں جن کے لیے غیر لکیری تعداد کے مراحل کی ضرورت ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، ہر پلینر گراف کو زیادہ سے زیادہ متناسب کئی مراحل کا استعمال کرتے ہوئے کم کیا جا سکتا ہے، اور لامحدود طور پر بہت سے گرافوں کو کم از کم متناسب کئی مراحل کی ضرورت ہوتی ہے، جہاں گراف میں عمودی حصوں کی تعداد ہے۔ انڈکشن پروف کی ایک متبادل شکل کناروں کو ہٹانے (اور اس ہٹانے کے بعد چھوڑے جانے والے ڈگری دو عمودی حصوں کو کمپریس کرنے) یا کناروں کو سکڑنے اور دیئے گئے پلینر گراف کا ایک معمولی حصہ بنانے پر مبنی ہے۔ کسی بھی پولی ہیڈرل گراف کو ان کارروائیوں کی لکیری تعداد سے کم کیا جا سکتا ہے، اور پھر کارروائیوں کو الٹا کیا جا سکتا ہے اور الٹا کارروائیوں کو ہندسی طور پر انجام دیا جا سکتا ہے، جس سے گراف کا پولی ہیڈرل احساس ہوتا ہے۔ تاہم، اگرچہ یہ ثابت کرنا آسان ہے کہ اس قسم کی دلیل کے لیے تخفیف کا تسلسل موجود ہے، اور تخفیف کا تسلسل چھوٹا ہے، لیکن ترتیب کو الٹنے کے لیے درکار ہندسی اقدامات زیادہ پیچیدہ ہیں۔ لفٹنگ اگر سیدھی لکیر کے کناروں کے ساتھ ہوائی جہاز میں گراف تیار کیا جاتا ہے، تو توازن کے دباؤ کو کناروں پر غیر صفر حقیقی اعداد (وزن) کی تفویض کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، اس خاصیت کے ساتھ کہ ہر ورٹیکس اپنے پڑوسیوں کی اوسط اوسط کے ذریعہ دی گئی پوزیشن میں ہے۔ میکسویل-کریمونا خط و کتابت کے مطابق، ایک توازن تناؤ کو ایک ٹکڑے ٹکڑے لکیری مسلسل تین جہتی سطح پر اٹھایا جا سکتا ہے تاکہ سطح کے فلیٹ حصوں کے درمیان حدود بنانے والے کناروں کو دی گئی ڈرائنگ پر لگایا جا سکے۔ ہر کنارے کا وزن اور لمبائی کنارے کے دونوں طرف سطح کی ڈھلوانوں میں فرق کا تعین کرتی ہے، اور یہ شرط کہ ہر سرے اپنے پڑوسیوں کے ساتھ توازن میں ہے اس شرط کے برابر ہے کہ یہ ڈھلوان کے فرق سرے کے پڑوس میں سطح کو خود سے صحیح طریقے سے ملنے کا سبب بنتے ہیں۔ مثبت وزن ٹکڑے ٹکڑے لکیری سطح کے دو چہروں کے درمیان کنویکس ڈائیڈرل زاویوں میں ترجمہ ہوتا ہے، اور منفی وزن کنکیو ڈائیڈرل زاویوں میں ترجمہ ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، ہر مسلسل ٹکڑے ٹکڑے کی لکیری سطح اس طرح توازن کے دباؤ سے آتی ہے۔ اگر ایک محدود طیارہ گراف تیار کیا جاتا ہے اور توازن کا دباؤ اس طرح دیا جاتا ہے کہ ڈرائنگ کے تمام اندرونی کناروں پر مثبت وزن ہوتا ہے، اور تمام بیرونی کناروں پر منفی وزن ہوتا ہے، تو اس تناؤ کو اس طرح سے تین جہتی سطح میں ترجمہ کرکے، اور پھر گراف کے بیرونی حصے کی نمائندگی کرنے والی چپٹی سطح کو اسی سطح پر اس کی تکمیل سے تبدیل کرکے، کوئی ایک کنویکس پولی ہیڈرون حاصل کرتا ہے، اس اضافی خاصیت کے ساتھ کہ ہوائی جہاز پر اس کے عمودی پروجیکشن میں کوئی کراسنگ نہیں ہوتی ہے۔ میکسویل-کریمونا خط و کتابت کا استعمال پولی ہیڈرل گراف کے پولی ہیڈرل احساسات کو حاصل کرنے کے لیے کیا گیا ہے جسے ڈبلیو ٹی ٹوٹے، ٹوٹے ایمبیڈنگ کے پلانر گراف ڈرائنگ طریقہ کے ساتھ ملا کر کیا گیا ہے۔ ٹوٹے کا طریقہ ایک پولی ہیڈرل گراف کے ایک چہرے کو سطح میں کنویکس پوزیشن میں فکس کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ یہ چہرہ گراف کی ڈرائنگ کا بیرونی چہرہ بن جائے گا۔ یہ طریقہ ورٹیکس کوآرڈینیٹس میں لکیری مساوات کا ایک نظام قائم کرکے جاری رہتا ہے، جس کے مطابق ہر بقیہ ورٹیکس کو اس کے پڑوسیوں کی اوسط پر رکھا جانا چاہیے۔ پھر جیسا کہ ٹوٹے نے دکھایا، مساوات کے اس نظام کا ایک منفرد حل ہوگا جس میں گراف کے ہر چہرے کو کنویکس پولیگن کے طور پر کھینچا جاتا ہے۔ بدیہی طور پر، یہ حل اس نمونے کو بیان کرتا ہے جو گراف کے اندرونی کناروں کو مثالی چشموں سے تبدیل کرکے اور انہیں اپنی کم سے کم توانائی کی حالت میں آباد ہونے دے کر حاصل کیا جائے گا۔ نتیجہ تقریبا ایک توازن کا دباؤ ہے: اگر کوئی ہر اندرونی کنارے پر ایک وزن تفویض کرتا ہے، تو ڈرائنگ کا ہر اندرونی ورٹیکس توازن میں ہوتا ہے۔ تاہم، بیرونی کناروں پر منفی اعداد تفویض کرنا ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا ہے تاکہ وہ بھی توازن میں ہوں۔ اس طرح کی تفویض ہمیشہ اس وقت ممکن ہوتی ہے جب بیرونی چہرہ مثلث ہو، اور اس لیے اس طریقہ کو کسی بھی پولی ہیڈرل گراف کا ادراک کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس کا مثلث چہرہ ہو۔ اگر پولی ہیڈرل گراف میں سہ رخی چہرہ نہیں ہوتا ہے، تو اس کا دوہری گراف ایک مثلث پر مشتمل ہوتا ہے اور پولی ہیڈرل بھی ہوتا ہے، لہذا کوئی اس طرح سے دوہری کا احساس کر سکتا ہے اور پھر اصل گراف کو دوہری احساس کے قطبی پولی ہیڈرون کے طور پر محسوس کر سکتا ہے۔ لفٹنگ کا استعمال کرتے ہوئے پولی ہیڈرا کو سمجھنے کا ایک متبادل طریقہ بیرونی چہرے کے طور پر زیادہ سے زیادہ پانچ چوٹیوں والے کسی بھی چہرے کا انتخاب کرکے دوہری پن سے بچتا ہے۔ ہر پولی ہیڈرل گراف میں ایسا چہرہ ہوتا ہے، اور اس چہرے کی مقررہ شکل کو زیادہ احتیاط سے منتخب کرکے، باقی گراف کی ٹوٹے سرایت کو اٹھایا جا سکتا ہے۔ سرکل پیکنگ سرکل پیکنگ تھیوریم کی ایک قسم کے مطابق، ہر پولی ہیڈرل گراف کے لیے، ہوائی جہاز میں یا کسی بھی دائرے پر حلقوں کا ایک نظام موجود ہوتا ہے، جو گراف کے عمودی حصوں اور چہروں کی نمائندگی کرتا ہے، تاکہ: گراف کے ہر دو ملحقہ عمودی حصوں کی نمائندگی ٹینجینٹ حلقوں کے ذریعے کی جائے، گراف کے ہر دو ملحقہ چہرے ٹینجینٹ دائرے کے ذریعے دکھائے جائیں، ایک عمودی حصے کا ہر جوڑا اور ایک چہرہ جسے وہ چھوتا ہے، ان کی نمائندگی ان حلقوں کے ذریعے کی جائے جو سیدھے زاویے سے گزرتے ہیں، اور دیگر تمام جوڑے دائرے ایک دوسرے سے الگ ہوتے ہیں۔ حلقوں کا ایک ہی نظام عمودی نمائندگی کرنے والے حلقوں اور چہروں کی نمائندگی کرنے والے حلقوں کے کرداروں کو تبدیل کرکے دوہری گراف کی نمائندگی کرتا ہے۔ کسی دائرے پر ایسی کسی بھی نمائندگی سے، جو تین جہتی یوکلڈین اسپیس میں سرایت شدہ ہے، کوئی بھی ایک کنویکس پولی ہیڈرون تشکیل دے سکتا ہے جو مشترکہ طور پر دیئے گئے گراف کے مساوی ہے، نصف خالی جگہوں کے چوراہے کے طور پر جن کی حدود چہرے کے حلقوں سے گزرتی ہیں۔ اس پولی ہیڈرون کے ہر سرے سے، دائرے پر افق، جو اس سرے سے دیکھا جاتا ہے، وہ دائرہ ہے جو اس کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ افق خاصیت ہر سرے کی تین جہتی پوزیشن کا تعین کرتی ہے، اور پولی ہیڈرون کو مساوی طور پر سرے کے کنویکس ہل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جو اس طرح پوزیشن میں ہے۔ دائرہ احساس کا مڈ سپیئر بن جاتا ہے: پولی ہیڈرون کا ہر کنارہ دائرے سے متصل ہوتا ہے، اس مقام پر جہاں دو متصل عمودی حلقے دو متصل چہرے کے حلقوں کو عبور کرتے ہیں۔ اضافی خصوصیات کے ساتھ ادراک انٹیجر کوآرڈینیٹس اسٹینٹز تھیوریم کی ایک مضبوط شکل کو ثابت کرنا ممکن ہے، کہ کسی بھی پولی ہیڈرل گراف کو ایک کنویکس پولی ہیڈرون کے ذریعے محسوس کیا جا سکتا ہے جس کے کوآرڈینیٹس انٹیجر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اسٹینٹز کے اصل انڈکشن پر مبنی ثبوت کو اس طرح سے مضبوط کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، سٹینٹز کی تعمیر کے نتیجے میں آنے والے انٹیجرز دیئے گئے پولی ہیڈرل گراف کے عمودی حصوں کی تعداد میں دوگنا متغیر ہیں۔ بائنری نوٹیشن میں اس شدت کی تعداد کو لکھنے کے لیے بٹس کی ایک ایکسپونینشل تعداد کی ضرورت ہوگی۔ ہندسی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ پولی ہیڈرون کی کچھ خصوصیات کا سائز دوسروں کے مقابلے میں دوگنا تیزی سے بڑا ہو سکتا ہے، جس سے اس طریقہ سے حاصل ہونے والے احساسات گراف ڈرائنگ میں ایپلی کیشنز کے لیے پریشانی کا باعث بنتے ہیں۔ اس کے بعد کے محققین نے لفٹنگ پر مبنی احساس کے الگورتھم کو پایا ہے جو فی ورٹیکس بٹس کی صرف لکیری تعداد کا استعمال کرتے ہیں۔ اس ضرورت کو کم کرنا بھی ممکن ہے کہ نقاط عدد ہوں، اور نقاط کو اس طرح سے تفویض کریں کہ عمودی کے-نقاط 0 سے لے کر یونٹ کے وقفے میں الگ الگ عدد ہوں اور دیگر دو نقاط حقیقی اعداد ہوں، تاکہ ہر کنارے کی لمبائی کم از کم ایک ہو جبکہ مجموعی طور پر پولی ہیڈرون کا لکیری حجم ہو۔ کچھ پولی ہیڈرل گراف صرف کثیر الجہتی سائز کے گرڈوں پر قابل ادراک ہونے کے لیے جانے جاتے ہیں۔ خاص طور پر یہ اہرام (پہیے کے گرافوں کی حقیقت)، پریزم (پریزم گرافوں کی حقیقت)، اور اسٹیکڈ پولی ہیڈرا (اپولونین نیٹ ورکس کی حقیقت) کے لیے درست ہے۔ انٹیجر احساسات کے وجود کو بیان کرنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ہر تین جہتی کنویکس پولی ہیڈرون میں مشترکہ طور پر مساوی انٹیجر پولی ہیڈرون ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، باقاعدہ ڈوڈیکاہیڈرون اپنے باقاعدہ پینٹاگون چہروں کی وجہ سے خود ایک انٹیجر پولی ہیڈرون نہیں ہے، لیکن اسے مساوی انٹیجر پائریٹوہیڈرون کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ یہ ہمیشہ اعلی جہتوں میں ممکن نہیں ہوتا ہے، جہاں پولی ٹاپس موجود ہوتے ہیں (جیسے کہ وہ جو پیریلز ترتیب سے بنائے گئے ہیں) جن کا کوئی عدد مساوی نہیں ہوتا ہے۔ برابر ڈھلوان ایک ہالین گراف ایک پولی ہیڈرل گراف کا ایک خاص معاملہ ہے، جو درخت کے پتوں کو ایک سائیکل میں جوڑ کر ایک پلینر-ایمبیڈڈ درخت (جس میں کوئی ڈگری-دو عمودی نہیں ہے) سے تشکیل پاتا ہے۔ ہیلن گراف کے لیے، کوئی بھی ایک خاص قسم کے پولی ہیڈرل احساسات کا انتخاب کر سکتا ہے: بیرونی چکر ایک افقی کنویکس بیس فیس بناتا ہے، اور ہر دوسرا چہرہ براہ راست بیس فیس کے اوپر ہوتا ہے (جیسا کہ لفٹنگ کے ذریعے حاصل ہونے والے پولی ہیڈرا میں)، ان تمام اوپری چہروں کے ساتھ ایک ہی ڈھلوان ہے۔ کسی بھی بیس پولیگن (ضروری نہیں کہ کنویکس) پر برابر ڈھلوان والے چہروں والی پولی ہیڈرل سطحوں کو پولیگن کے سیدھے کنکال سے بنایا جا سکتا ہے، اور اس احساس کو بیان کرنے کا ایک مساوی طریقہ یہ ہے کہ بیس فیس پر درخت کا دو جہتی پروجیکشن اس کا سیدھا کنکال بناتا ہے۔ اس نتیجے کا ثبوت انڈکشن کا استعمال کرتا ہے: کوئی بھی جڑا ہوا درخت اندرونی نوڈ سے پتوں کو ہٹا کر چھوٹے درخت میں تبدیل ہو سکتا ہے جس کے تمام بچے پتے ہیں، چھوٹے درخت سے بنے ہیلن گراف کو انڈکشن مفروضے سے احساس ہوتا ہے، اور اس احساس میں ترمیم کرنا ممکن ہے تاکہ درخت کے نوڈ میں کسی بھی تعداد میں پتی کے بچوں کو شامل کیا جا سکے جن کے بچوں کو ہٹا دیا گیا تھا۔ چہرے کی شکل کی وضاحت کسی بھی پولی ہیڈرون میں جو کسی دیئے گئے پولی ہیڈرل گراف کی نمائندگی کرتا ہے، اس کے چہرے بالکل وہی چکر ہوتے ہیں جن میں دو اجزاء الگ نہیں ہوتے ہیں: یعنی چہرے کے چکر کو ہٹانا باقی کو منسلک ذیلی گراف کے طور پر چھوڑ دیتا ہے۔ اس طرح کے چکروں کو پردیی چکر کہا جاتا ہے۔ اس طرح چہروں کی مشترکہ ساخت (لیکن ان کی ہندسی شکلیں نہیں) کا تعین گراف کی ساخت سے منفرد طور پر ہوتا ہے۔ سٹینٹز تھیوریم کی ایک اور مضبوطی، بارنیٹ اور گرون بوم کے ذریعہ، بیان کرتی ہے کہ کسی بھی پولی ہیڈرل گراف، گراف کے کسی بھی چہرے، اور اس چہرے کی نمائندگی کرنے والے کسی بھی کنویکس کثیر الاضحی کے لیے، پورے گراف کا ایک پولی ہیڈرل احساس تلاش کرنا ممکن ہے جس میں نامزد چہرے کے لیے مخصوص شکل ہو۔ اس کا تعلق ٹوٹے کے ایک نظریہ سے ہے، کہ کسی بھی پولی ہیڈرل گراف کو سطح میں تمام چہروں کے کنویکس اور اس کے بیرونی چہرے کے لیے کسی بھی مخصوص شکل کے ساتھ کھینچا جا سکتا ہے۔ تاہم، ٹوٹے کے طریقہ کار سے تیار کردہ پلانر گراف ڈرائنگ لازمی طور پر کنویکس پولی ہیڈرا کی طرف نہیں اٹھتے ہیں۔ اس کے بجائے، بارنیٹ اور گرون بوم ایک انڈکٹو طریقہ استعمال کرتے ہوئے اس نتیجہ کو ثابت کرتے ہیں۔ یہ بھی ہمیشہ ممکن ہے، ایک پولی ہیڈرل گراف اور ایک صوابدیدی سائیکل کو دیکھتے ہوئے، ایک احساس تلاش کرنا جس کے لیے متوازی پروجیکشن کے تحت احساس کا خاکہ بنتا ہے۔ سرکل پیکنگ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے پولی ہیڈرا کا ادراک اسٹینٹز کے تھیوریم کی ایک اور مضبوطی فراہم کرتا ہے: ہر 3 منسلک پلانر گراف کو ایک کنویکس پولی ہیڈرون کے طور پر اس طرح سے پیش کیا جا سکتا ہے کہ اس کے تمام کنارے ایک ہی اکائی دائرے، پولی ہیڈرون کے مڈ کرہ تک ٹینجینٹ ہوں۔ ایک دائرے کی پیکنگ کو پولی ہیڈرون میں تبدیل کرنے سے پہلے احتیاط سے منتخب کردہ موبیئس تبدیلی انجام دینے سے، ایک پولی ہیڈرل احساس تلاش کرنا ممکن ہے جو بنیادی گراف کی تمام ہم آہنگی کا ادراک کرتا ہے، اس معنی میں کہ ہر گراف آٹومورفزم پولی ہیڈرل احساس کی ہم آہنگی ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر ایک پولی ہیڈرل گراف ہے اور کوئی ہموار تین جہتی کنویکس باڈی ہے، تو اس کی ایک پولی ہیڈرل نمائندگی تلاش کرنا ممکن ہے جس میں تمام کنارے ٹینجینٹ ہوں۔ سرکل پیکنگ کے طریقوں کو پولی ہیڈرا کے گراف کی خصوصیت کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جن کا دائرہ ان کے تمام عمودی حصوں سے گزرتا ہے، یا ان کے تمام چہروں پر ایک اندرونی ٹینجینٹ ہوتا ہے۔ (دائرہ دائرے والا پولی ہیڈرا ہائپربولک جیومیٹری میں مثالی پولی ہیڈرا کے طور پر بھی اہم ہے۔) دونوں صورتوں میں، ایک دائرے کا وجود گراف کے ہر کنارے سے وابستہ مثبت حقیقی متغیرات پر لکیری عدم مساوات کے نظام کی حل پذیری کے برابر ہے۔ انسفیر کے معاملے میں، ان متغیرات کا مجموعہ گراف کے ہر فیس سائیکل پر بالکل ایک ہونا چاہیے، اور ہر نان فیس سائیکل پر ایک سے زیادہ ہونا چاہیے۔ دو بار، دائرے کے لیے، متغیرات کا مجموعہ ہر سرے پر ایک ہونا چاہیے، اور کٹ کے ہر طرف دو یا زیادہ عمودی حصوں کے ساتھ ہر کٹ کے پار ایک سے زیادہ ہونا چاہیے۔ اگرچہ مطمئن کرنے کے لیے تیزی سے بہت سی لکیری عدم مساوات ہو سکتی ہیں، لیکن ایلیپسائڈ طریقہ استعمال کرتے ہوئے کثیر الجہتی وقت میں ایک حل (اگر کوئی موجود ہو) پایا جا سکتا ہے۔ حل سے متغیرات کی اقدار دائرے کی پیکنگ میں حلقوں کے جوڑوں کے درمیان زاویوں کا تعین کرتی ہیں جن کے متعلقہ پولی ہیڈرون کا اس کے دائرے سے مطلوبہ تعلق ہوتا ہے۔ متعلقہ نتائج تین سے زیادہ کسی بھی جہت میں، الگورتھمک اسٹینٹز مسئلہ اس بات کا تعین کرنے پر مشتمل ہوتا ہے کہ آیا دی گئی جالی کنویکس پولیٹوپ کا چہرہ جالی ہے یا نہیں۔ کثیر الجہتی وقت کی پیچیدگی کا امکان نہیں ہے، کیونکہ یہ ریکٹر گیبرٹ کے عالمگیریت کے نظریہ کے مطابق، یہاں تک کہ چار جہتی پولی ٹاپس کے لیے بھی، حقیقی کے وجودی نظریہ کے لیے NP-سخت اور زیادہ مضبوطی سے مکمل ہے۔ یہاں، حقیقی کا وجودی نظریہ کمپیوٹیشنل مسائل کی ایک کلاس ہے جسے حقیقی متغیرات کو تلاش کرنے کے لحاظ سے وضع کیا جا سکتا ہے جو کثیر الجہتی مساوات اور عدم مساوات کے دیئے گئے نظام کو مطمئن کرتے ہیں۔ الگورتھمک اسٹینٹز مسئلے کے لیے، اس طرح کے مسئلے کے متغیرات پولیٹوپ کے ورٹیکس کوآرڈینیٹس ہو سکتے ہیں، اور مساوات اور عدم مساوات کو دیئے گئے چہرے کی جالی میں ہر چہرے کی چپٹی پن اور چہروں کے درمیان ہر زاویے کی کنویکسٹی کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مکمل ہونے کا مطلب یہ ہے کہ اس کلاس میں ہر دوسرے مسئلے کو کثیر الجہتی وقت میں الگورتھمک اسٹینٹز مسئلے کی مساوی مثال میں تبدیل کیا جاسکتا ہے۔ اس طرح کی تبدیلی کے وجود سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، اگر الگورتھمک اسٹینٹز کے مسئلے کا کثیر الجہتی وقت کا حل ہے، تو اسی طرح حقیقی وجود کے نظریہ میں ہر مسئلہ، اور این پی میں ہر مسئلہ ہوتا ہے۔ تاہم، چونکہ دیا ہوا گراف ایک سے زیادہ چہرے کی جالی سے مطابقت رکھتا ہے، اس لیے اس مکمل نتیجہ کو 4-پولی ٹاپس کے گراف کو پہچاننے کے مسئلے تک بڑھانا مشکل ہے۔ اس گراف کی شناخت کے مسئلے کی کمپیوٹیشنل پیچیدگی کا تعین کرنا کھلا رہتا ہے۔ محققین نے تین جہتی غیر کنویکس پولی ہیڈرا اور چار جہتی کنویکس پولی ٹاپس کی کچھ خاص کلاسوں کے گراف کی گراف تھیوریٹک خصوصیات بھی پائی ہیں۔ تاہم، دونوں صورتوں میں، عمومی مسئلہ حل نہیں ہوا ہے۔ درحقیقت، یہاں تک کہ یہ طے کرنے کا مسئلہ کہ کون سے مکمل گراف غیر کنویکس پولی ہیڈرا کے گراف ہیں (ٹیٹرا ہیڈرون اور سیسزر پولی ہیڈرون کے علاوہ) حل نہیں ہوا ہے۔ ایبر ہارڈ کا نظریہ جزوی طور پر کثیر الاضلاعات کے کثیر الاضلاعات کی خصوصیت رکھتا ہے جنہیں ملا کر کنویکس پولی ہیڈرون کے چہرے بنائے جا سکتے ہیں۔ یہ کثیر الاضحی چہروں کے دیئے گئے سیٹ کے ساتھ 3 منسلک طیارہ گراف بنا کر ثابت کیا جا سکتا ہے، اور پھر اس گراف کی کثیر الجہتی حقیقت تلاش کرنے کے لیے سٹینٹز کے نظریہ کو لاگو کیا جا سکتا ہے۔ László Lovász نے گراف اور میٹرکس کی پولی ہیڈرل نمائندگی کے درمیان ایک خط و کتابت دکھایا ہے جس سے ایک ہی گراف کے کولن ڈی ورڈیئر گراف کے غیر متغیرات کا احساس ہوتا ہے۔ کولن ڈی ورڈیئر غیر متغیر گراف کے وزن والے ملحقہ میٹرکس کا زیادہ سے زیادہ کورانک ہے، کچھ اضافی شرائط کے تحت جو پولی ہیڈرل گراف کے لیے غیر متعلقہ ہیں۔ یہ مربع سمیٹرک میٹرکس ہیں جو عمودی طور پر انڈیکس کیے گئے ہیں، جن میں اخترن گتانک میں عمودی کا وزن اور غیر اخترن گتانک میں کنارے کے وزن کے ساتھ اور۔ جب عمودی اور ملحقہ نہیں ہوتے ہیں، تو گتانک صفر ہونا ضروری ہے۔ یہ غیر متغیر زیادہ سے زیادہ تین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب گراف ایک پلانر گراف ہو۔ جیسا کہ لووز دکھاتا ہے، جب گراف پولی ہیڈرل ہوتا ہے، تو اس کی نمائندگی ایک پولی ہیڈرون کے طور پر کرنک تھری کے وزنی ملحقہ میٹرکس کو تلاش کرکے، اس کی نال اسپیس کے لیے بنیاد بنانے والے تین ویکٹرز کو تلاش کرکے، ان ویکٹرز کے کوفیشنٹس کو کوآرڈینیٹس کے طور پر استعمال کرکے حاصل کی جا سکتی ہے۔ پولی ہیڈرون کے عمودی حصے، اور ان عمودی حصوں کو مناسب طریقے سے اسکیل کرنا۔ سٹینٹز تھیوریم کی تاریخ اس نے بیان کی ہے، جس نے اصل میں 1916 میں لکھی گئی ارنسٹ سٹینٹز کی اشاعت میں اس کی پہلی ظاہری شکل کو خفیہ شکل میں نوٹ کیا ہے۔ اسٹینٹز نے بعد کے لیکچر نوٹوں میں مزید تفصیلات فراہم کیں، جو ان کی 1928 کی موت کے بعد شائع ہوئیں۔ اگرچہ اسٹینٹز تھیوریم کے جدید علاج اسے پولی ہیڈرا کی گراف تھیوریٹک خصوصیت کے طور پر بیان کرتے ہیں، لیکن اسٹینٹز نے گراف کی زبان کا استعمال نہیں کیا۔ تھیوریم کی گراف تھیوریٹک تشکیل کو 1960 کی دہائی کے اوائل میں برانکو گرونبام اور تھیوڈور موٹزکن نے متعارف کرایا تھا، اس کے ثبوت کو بھی گرونبام کے 1967 کے متن کنویکس پولی ٹاپس میں گراف تھیوری میں تبدیل کیا گیا تھا۔ اسٹیینٹز کے ثبوت کو مضبوط کرتے ہوئے، α-Y اور Y-α تبدیلیوں پر ایپیفانوف کا کام، پولی ہیڈرا کی خصوصیت کے علاوہ دیگر مسائل سے متاثر تھا۔ اسٹینٹز تھیوریم کے لیے اس کام کی مطابقت کا مشاہدہ کرنے کا سہرا گرون بوم کو جاتا ہے۔ تناؤ کے خاکے اور پولی ہیڈرل لفٹنگ کے درمیان میکسویل-کریمونا خط و کتابت 1864 سے 1870 تک جیمز کلرک میکسویل کے کاغذات کی ایک سیریز میں تیار کیا گیا تھا، جو پیئر ویگنن، ولیم رینکائن اور دیگر کے پہلے کام پر مبنی تھا، اور اسے 19 ویں صدی کے آخر میں لوئیگی کریمونا نے مقبول کیا تھا۔ یہ مشاہدہ کہ اس خط و کتابت کو سٹینٹز کے نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے ٹوٹے ایمبیڈنگ کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے، اس سے آتا ہے ؛ یہ بھی دیکھیں۔ سرکل پیکنگ تھیوریم کو 1936 میں پال کوئبی نے اور (آزادانہ طور پر) 1970 میں ای ایم اینڈریو نے ثابت کیا تھا۔ اسے 1980 کی دہائی کے وسط میں ولیم تھرسٹن نے مقبول کیا تھا، جسے (کوئبی اور اینڈریو کا حوالہ دینے کے باوجود) اکثر اس کے دریافت کنندگان میں سے ایک کے طور پر جانا جاتا ہے۔ تھیوریم کا اینڈریو کا ورژن پہلے ہی ہائپربولک اسپیس میں بعض پولی ہیڈرا کے لیے اسٹینٹز جیسی خصوصیت کے طور پر وضع کیا گیا تھا، اور مڈسفیرز کے ساتھ پولی ہیڈرا کا احساس کرنے کے لیے سرکل پیکنگ کا استعمال تھرسٹن کے کام سے آتا ہے۔ کندہ شدہ یا محصور دائرے کے ساتھ پولی ہیڈرا کی خصوصیت کا مسئلہ، بالآخر دائرے کی پیکنگ کے احساسات پر مبنی طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا گیا، تقریبا 1630 میں رینے ڈیکارٹس اور 1832 میں جیکب اسٹینر کے غیر شائع شدہ کام پر واپس جاتا ہے۔ پولی ہیڈرا کی پہلی مثالیں جن کا دائرہ یا دائرے کے ساتھ کوئی ادراک نہیں ہے وہ 1928 میں اسٹینٹز نے دی تھیں۔ حوالہ جات پلانر گراف جیومیٹرک گراف تھیوری پولی ہیڈرل کمبینٹوریکس تھیوریمز ان گراف تھیوری الگ جیومیٹری میں تھیوریمز