Polymer field theory
پولیمر فیلڈ تھیوری ایک شماریاتی فیلڈ تھیوری ہے جو غیر جانبدار یا چارج شدہ پولیمر سسٹم کے شماریاتی رویے کو بیان کرتی ہے۔ یہ پارٹیشن فنکشن کو اس کی معیاری کئی جہتی انٹیگرل نمائندگی سے فریڈم کے ذرہ ڈگریوں پر ایک معاون فیلڈ فنکشن پر فنکشنل انٹیگرل نمائندگی میں تبدیل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے، یا تو ہبارڈ-اسٹراٹونوویچ ٹرانسفارمیشن یا ڈیلٹا فنکشنل ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرتے ہوئے۔ پولیمر فیلڈ تھیوریوں پر مبنی کمپیوٹر کے تخروپن کو مفید نتائج فراہم کرنے کے لیے دکھایا گیا ہے، مثال کے طور پر پولیمر حلوں کے ڈھانچے اور خصوصیات کا حساب لگانے کے لیے (بیورلے 2007، شمڈ 1998)، پولیمر پگھلتا ہے (شمڈ 1998، میٹسن 2002، فریڈرکسن 2002) اور تھرموپلاسٹکس (بیورلے 2006)۔ ایڈورڈز (ایڈورڈز 1965) کے ذریعہ متعارف کرایا گیا لچکدار پولیمر کا معیاری تسلسل ماڈل، لکیری مونوڈسپرس ہومو پولیمر پر مشتمل حل کو موٹے دانے والے پولیمر کے نظام کے طور پر پیش کرتا ہے، جس میں زنجیروں کے شماریاتی میکانکس کو مسلسل گوسی تھریڈ ماڈل (بیورلے 2007) کے ذریعہ بیان کیا جاتا ہے اور سالوینٹ کو واضح طور پر مدنظر رکھا جاتا ہے۔ گوسی تھریڈ ماڈل کو مجرد گوسی چین ماڈل کی تسلسل کی حد کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس میں پولیمر کو مسلسل، لکیری طور پر لچکدار تنوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس طرح کے نظام کی کینونکل پارٹیشن فنکشن، جو الٹا درجہ حرارت پر رکھی جاتی ہے اور حجم میں محدود ہوتی ہے، کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ حصوں کے درمیان سالوینٹ کی ثالثی والے غیر بند شدہ تعاملات کی نمائندگی کرنے والی اوسط قوت کی صلاحیت کہاں ہے، جبکہ زنجیروں کی ہارمونک بائنڈنگ توانائی کی نمائندگی کرتی ہے۔ مؤخر الذکر توانائی کی شراکت کو اس طرح وضع کیا جا سکتا ہے کہ شماریاتی حصے کی لمبائی اور پولیمرائزیشن انڈیکس کہاں ہے۔ فیلڈ تھیوریٹک ٹرانسفارمیشن کینونکل پارٹیشن فنکشن کی بنیادی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی حاصل کرنے کے لیے، پولیمر سسٹم کے سیگمنٹ ڈینسٹی آپریٹر کو درج ذیل میں متعارف کرایا جاتا ہے۔ اس تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی Eq کو دوبارہ لکھ سکتا ہے۔ (2) جیسا کہ اگلا، کوئی ماڈل کو ہبارڈ-اسٹراٹونوویچ ٹرانسفارمیشن یا ڈیلٹا فنکشنل ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرتے ہوئے فیلڈ تھیوری میں تبدیل کرتا ہے جہاں ایک فنکشنل ہے اور معاون فیلڈ فنکشن کی نمائندگی کے ساتھ دیا گیا ڈیلٹا فنکشنل ہے۔ یہاں ہم نوٹ کرتے ہیں کہ، فورئیر سیریز میں فیلڈ فنکشن کو وسعت دینے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز تمام سمتوں میں لاگو ہوتے ہیں اور یہ کہ-ویکٹر سپر سیل کے ریسپروکل لیٹیس ویکٹرز کو نامزد کرتے ہیں۔ Eqs کا استعمال کرتے ہوئے کینونکل پارٹیشن فنکشن کی بنیادی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی۔ (3)، (4) اور (5)، ہم Eq میں کینونکل پارٹیشن فنکشن کو دوبارہ تشکیل دے سکتے ہیں۔ (1) فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی میں، جو اس طرف لے جاتا ہے جہاں غیر تعامل کرنے والے پولیمر کی مثالی گیس کے لیے پارٹیشن فنکشن کے طور پر تشریح کی جا سکتی ہے اور لچکدار توانائی کے ساتھ صفر فیلڈ میں فری پولیمر کا پاتھ انٹیگرل ہے۔ اس کے علاوہ، Eq میں۔ (6) فیلڈ کے تابع ایک واحد پولیمر کا پارٹیشن فنکشن گرینڈ کینونکل اینسمبل کے ذریعہ دیا جاتا ہے گرینڈ کینونکل پارٹیشن فنکشن کی بنیادی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی گرینڈ کینونکل پارٹیشن فنکشن کو حاصل کرنے کے لیے، ہم کینونکل پارٹیشن فنکشن سے اس کا معیاری تھرموڈینامک تعلق استعمال کرتے ہیں، جو کیمیائی صلاحیت کہاں ہے اور Eq کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ (6)۔ رقم کو انجام دیتے ہوئے، یہ گرینڈ کینونکل پارٹیشن فنکشن کی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی فراہم کرتا ہے، جہاں Eq کے ذریعہ بیان کردہ گرینڈ کینونکل ایکشن ہے۔ (8) اور مستقل۔ مزید برآں، کیمیائی صلاحیت سے متعلق پیرامیٹر Eq کے ذریعہ فراہم کردہ جگہ کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ (7)۔ پولیمر فیلڈ تھیوریوں کے لیے ایک معیاری تخمینہ حکمت عملی اوسط فیلڈ (ایم ایف) تخمینہ ہے، جو عمل میں متعدد جسموں کے تعامل کی اصطلاح کو ایک اصطلاح سے تبدیل کرنے پر مشتمل ہے جہاں نظام کے تمام اجسام اوسط موثر میدان کے ساتھ تعامل کرتے ہیں۔ یہ نقطہ نظر کسی بھی ملٹی باڈی کے مسئلے کو یہ فرض کر کے ایک باڈی کے موثر مسئلے میں تبدیل کر دیتا ہے کہ ماڈل کی پارٹیشن فنکشن انٹیگرل پر واحد فیلڈ کنفیگریشن کا غلبہ ہے۔ ایم ایف تخمینہ کے ساتھ مسائل کو حل کرنے کا ایک بڑا فائدہ، یا اس کے عددی نفاذ کو عام طور پر سیلف کنسسٹینٹ فیلڈ تھیوری (ایس سی ایف ٹی) کہا جاتا ہے، یہ ہے کہ یہ اکثر نسبتا کم کمپیوٹیشنل لاگت پر پیچیدہ ملٹی باڈی سسٹمز کی خصوصیات اور طرز عمل کے بارے میں کچھ مفید بصیرت فراہم کرتا ہے۔ اس تخمینہ کی حکمت عملی کے کامیاب استعمال پولیمر اور پیچیدہ سیالوں کے مختلف نظاموں کے لیے پائے جا سکتے ہیں، جیسے۔ اعلی سالماتی وزن کے مضبوطی سے الگ الگ بلاک کوپولیمر، انتہائی متمرکز غیر جانبدار پولیمر حل یا انتہائی متمرکز بلاک پولی الیکٹرولائٹ (پی ای) حل (شمڈ 1998، میٹسن 2002، فریڈرکسن 2002)۔ تاہم، ایسے بہت سے معاملات ہیں جن کے لیے ایس سی ایف ٹی غلط یا حتی کہ کوالٹی کے لحاظ سے غلط نتائج فراہم کرتا ہے (بیئورلے 2006 اے)۔ یہ ڈائلیوٹ اور سیمی ڈائلیوٹ کنسنٹریشن نظاموں میں غیر جانبدار پولیمر یا پولی الیکٹرولائٹ حل پر مشتمل ہوتے ہیں، کوپولیمرز کو ان کے آرڈر ڈس آرڈر ٹرانزیشن کے قریب بلاک کرتے ہیں، پولیمر ان کے مرحلے کی منتقلی کے قریب مرکب کرتے ہیں، وغیرہ۔ ایسے حالات میں فیلڈ تھیوریٹک ماڈل کی وضاحت کرنے والی پارٹیشن فنکشن انٹیگرل پر مکمل طور پر ایک واحد ایم ایف کنفیگریشن کا غلبہ نہیں ہے اور اس سے دور فیلڈ کنفیگریشن اہم شراکت کر سکتی ہے، جس کے لیے تخمینہ کی ایم ایف سطح سے باہر زیادہ نفیس حساب کتاب کی تکنیکوں کے استعمال کی ضرورت ہوتی ہے۔ اعلی درجے کی اصلاحات اس مسئلے کا سامنا کرنے کا ایک امکان یہ ہے کہ ایم ایف کے تخمینے میں اعلی درجے کی اصلاحات کا حساب لگایا جائے۔ Tsonchev et al. اس طرح کی حکمت عملی تیار کی جس میں لیڈنگ (ون لوپ) آرڈر کے اتار چڑھاؤ کی اصلاحات شامل ہیں، جس نے محدود پی ای حلوں کی طبیعیات میں نئی بصیرت حاصل کرنے کی اجازت دی (Tsonchev 1999)۔ تاہم، ایسے حالات میں جہاں ایم ایف کا تخمینہ خراب ہے، مطلوبہ درستگی حاصل کرنے کے لیے بہت سے کمپیوٹیشنل طور پر انٹیگرل میں اعلی درجے کی اصلاحات کا مطالبہ کرنا ضروری ہے۔ ری نارملائزیشن تکنیک فیلڈ تھیوریز میں پائے جانے والے مضبوط اتار چڑھاؤ کے مسائل سے نمٹنے کے لیے ایک متبادل نظریاتی ٹول 1940 کی دہائی کے آخر میں ری نارملائزیشن کے تصور کے ذریعے فراہم کیا گیا ہے، جو اصل میں کوانٹم فیلڈ تھیوریز (کیو ایف ٹی) میں پیدا ہونے والے فنکشنل انٹیگرلز کا حساب لگانے کے لیے وضع کیا گیا ہے۔ کیو ایف ٹی میں ایک معیاری تخمینہ کی حکمت عملی پرٹربیشن تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے جوڑی مستقل میں پاور سیریز میں فنکشنل انٹیگرلز کو بڑھانا ہے۔ بدقسمتی سے، عام طور پر زیادہ تر توسیعی اصطلاحات لامحدود ثابت ہوتی ہیں، جس سے اس طرح کے حسابات ناقابل عمل ہو جاتے ہیں (شرکوف 2001)۔ کیو ایف ٹی سے انفینیٹیز کو ہٹانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ری نارملائزیشن (بیئورلے 2007) کے تصور کو استعمال کیا جائے۔ یہ بنیادی طور پر جوڑے کے پیرامیٹرز کی ننگی اقدار کو تبدیل کرنے پر مشتمل ہوتا ہے، جیسے۔ برقی چارج یا ماس، ری نارملائزڈ جوڑے کے پیرامیٹرز کے ذریعہ اور اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ اس تبدیلی کے تحت جسمانی مقداریں تبدیل نہ ہوں، اس طرح پرٹربیشن کی توسیع میں محدود اصطلاحات کا باعث بنتی ہیں۔ ری نارملائزیشن کے طریقہ کار کی ایک سادہ جسمانی تصویر کلاسیکی برقی چارج کی مثال سے لی جا سکتی ہے، جسے پولرائزبل میڈیم میں ڈالا جاتا ہے، جیسے کہ الیکٹرولائٹ حل میں۔ میڈیم کے پولرائزیشن کی وجہ سے چارج سے فاصلے پر، اس کا کولمب فیلڈ مؤثر طریقے سے کسی فنکشن پر منحصر ہوگا، یعنی۔ ننگی برقی چارج کے بجائے موثر (ری نارملائزڈ) چارج۔ 1970 کی دہائی کے آغاز میں، کے جی۔ ولسن نے شماریاتی نظاموں کے اہم مظاہر (ولسن 1971) کی تحقیقات کے لیے ری نارملائزیشن گروپ (آر جی) تھیوری کی فارملزم کو تیار کرکے ری نارملائزیشن تصورات کی طاقت کا آغاز کیا۔ ری نارملائزیشن گروپ تھیوری آر جی تھیوری آر جی تبدیلیوں کے ایک سلسلے کا استعمال کرتی ہے، جن میں سے ہر ایک ایک موٹے اناج کے مرحلے پر مشتمل ہوتا ہے جس کے بعد پیمانے میں تبدیلی ہوتی ہے (ولسن 1974)۔ شماریاتی-مکینیکل مسائل کی صورت میں اقدامات کو تقسیم کی رقم یا انٹیگرل میں ڈگری آف فریڈم کو یکے بعد دیگرے ختم کرکے اور دوبارہ ترتیب دے کر نافذ کیا جاتا ہے جو زیر غور ماڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ ڈی جینز نے اس حکمت عملی کا استعمال فیز ٹرانزیشن کے قریب فیرو میگنیٹزم کے صفر جزو کلاسیکی ویکٹر ماڈل کے رویے اور ایک جالی پر لامحدود لمبائی کے پولیمر چین کے خود سے بچنے والے بے ترتیب واک کے درمیان ایک مشابہت قائم کرنے کے لیے کیا، تاکہ پولیمر کے خارج شدہ حجم کے نمائندوں کا حساب لگایا جا سکے (ڈی جینز 1972)۔ اس تصور کو فیلڈ تھیوریٹک فنکشنل انٹیگرلز کے مطابق ڈھالنے کا مطلب یہ ہے کہ تقسیم فنکشن انٹیگرل (ولسن 1974) سے ڈگری آف فریڈم کی ایک مخصوص تعداد کو ختم اور دوبارہ حاصل کرتے ہوئے فیلڈ تھیوری ماڈل کس طرح تبدیل ہوتا ہے اس کا منظم طریقے سے مطالعہ کرنا ہے۔ ہارٹری ری نارملائزیشن ایک متبادل نقطہ نظر کو ہارٹری تخمینہ یا خود ساختہ ون لوپ تخمینہ (امیت 1984) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ ماڈل کے پیرامیٹرز کو دوبارہ عام کرنے اور اہم ارتکاز کے نظام میں ارتکاز کے اتار چڑھاؤ کے غالب لمبائی کے پیمانے کو خود ساختہ طریقے سے نکالنے کے لیے-آرڈر ایم ایف شراکت میں گوسیائی اتار چڑھاؤ کی اصلاحات کا فائدہ اٹھاتا ہے۔ ٹیڈپول ری نارملائزیشن ایک حالیہ کام میں ایفیموف اور نوگووٹسن نے دکھایا کہ کیو ایف ٹی سے شروع ہونے والی ایک متبادل ری نارملائزیشن تکنیک، جو ٹیڈپول ری نارملائزیشن کے تصور پر مبنی ہے، کلاسیکی متعدد ذرات کے نظام (ایفیموف 1996) کے شماریاتی میکانکس میں پیدا ہونے والے فنکشنل انٹیگرلز کی کمپیوٹنگ کے لیے ایک بہت مؤثر نقطہ نظر ہو سکتا ہے۔ انہوں نے مظاہرہ کیا کہ کلاسیکی پارٹیشن فنکشن انٹیگرلز میں اہم شراکت نچلے درجے کے ٹیڈپول قسم کے فین مین خاکے کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے، جو ذرہ خود تعامل کی وجہ سے مختلف شراکت کا سبب بنتی ہیں۔ اس نقطہ نظر میں انجام دیا جانے والا ری نارملائزیشن کا طریقہ کار کسی چارج کی سیلف انٹرایکشن شراکت پر اثر انداز ہوتا ہے (جیسے۔ ایک الیکٹران یا آئن)، جو اس چارج کی موجودگی کی وجہ سے خلا میں پیدا ہونے والے جامد پولرائزیشن کے نتیجے میں ہوتا ہے (بیئورلے 2007)۔ جیسا کہ ایفیموف اور گینبولڈ نے ایک سابقہ کام (ایفیموف 1991) میں ثبوت دیا ہے، ٹیڈپول ری نارملائزیشن کے طریقہ کار کو پارٹیشن فنکشن کی بنیادی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی کے عمل سے انحراف کو دور کرنے کے لیے بہت مؤثر طریقے سے استعمال کیا جا سکتا ہے اور یہ ایک متبادل فنکشنل انٹیگرل نمائندگی کی طرف لے جاتا ہے، جسے گوسیئن مساوی نمائندگی (جی ای آر) کہا جاتا ہے۔ انہوں نے دکھایا کہ یہ طریقہ کار تجزیاتی خلل کے حسابات کے لیے نمایاں طور پر بہتر کنورجنس خصوصیات کے ساتھ فنکشنل انٹیگرلز فراہم کرتا ہے۔ اس کے بعد کے کاموں میں بیورلے اور دیگر۔ ٹیڈپول ری نارملائزیشن کے طریقہ کار پر مبنی مؤثر کم لاگت کے تخمینے کے طریقے تیار کیے، جنہوں نے پروٹو ٹائپکل پولیمر اور پی ای حل (بیئورلے 2006 اے، بیئورلے 2006 بی، بیئورلے 2007 اے) کے لیے مفید نتائج فراہم کرنے کے لیے دکھایا ہے۔ عددی تخروپن ایک اور امکان مونٹی کارلو (ایم سی) الگورتھم کا استعمال کرنا اور فیلڈ تھیوریٹک فارمولیشن میں لازمی مکمل پارٹیشن فنکشن کا نمونہ لینا ہے۔ اس کے نتیجے میں ہونے والے طریقہ کار کو پولیمر فیلڈ تھیوریٹک تخروپن کہا جاتا ہے۔ تاہم، ایک حالیہ کام میں، بیورلے نے مظاہرہ کیا کہ نام نہاد عددی علامت کے مسئلے (بیورلے 2002) کی وجہ سے بنیادی فیلڈ تھیوریٹک نمائندگی کے ساتھ مل کر ایم سی نمونے لینا ناقابل عمل ہے۔ مشکل کا تعلق نتیجے میں تقسیم کی تقریب کی پیچیدہ اور ارتعاشی نوعیت سے ہے، جو مطلوبہ تھرموڈینامک اور ساختی مقداروں کے مجموعے کی اوسط کی خراب شماریاتی ہم آہنگی کا سبب بنتی ہے۔ ایسے معاملات میں شماریاتی ہم آہنگی کو تیز کرنے کے لیے خصوصی تجزیاتی اور عددی تکنیکیں ضروری ہیں (بیئورلے 2003، بیئورلے 2003 اے، بیئورلے 2004)۔ طریقہ کار کو کمپیوٹیشن کے لیے قابل عمل بنانے کے لیے، بیورلے نے کاچی کے انٹیگرل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے یکساں ایم ایف حل کے ذریعے پارٹیشن فنکشن انٹیگرل کے انضمام کی شکل کو منتقل کرنے کی تجویز پیش کی، جس سے اس کی نام نہاد اوسط فیلڈ نمائندگی فراہم ہوتی ہے۔ اس حکمت عملی کو پہلے بئیر اور دیگر نے کامیابی کے ساتھ استعمال کیا تھا۔ فیلڈ تھیوریٹک الیکٹرانک ڈھانچے کے حسابات میں (بیئر 1998)۔ بیئورلے یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ تکنیک ایم سی نمونے لینے کے طریقہ کار (بیئورلے 2002، بیئورلے 2002 اے) میں مجموعی اوسط کے شماریاتی ارتکاز کی ایک اہم رفتار فراہم کرتی ہے۔ گاؤسی مساوی نمائندگی بعد کے کاموں میں بیئورلے اور دیگر۔ (بیئورلے 2002، بیئورلے 2002 اے، بیئورلے 2003، بیئورلے 2003 اے، بیئورلے 2004) نے ٹیڈپول ری نارملائزیشن کے تصور کو لاگو کیا، جس کی وجہ سے گرینڈ کینونکل اینسمبل میں جدید ایم سی تکنیکوں کے ساتھ مل کر پارٹیشن فنکشن انٹیگرل کی گوسیائی مساوی نمائندگی ہوتی ہے۔ وہ قائل طور پر یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ یہ حکمت عملی مطلوبہ مجموعی اوسط (بیئورلے 2002) کے شماریاتی ہم آہنگی میں مزید فروغ فراہم کرتی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط یونیورسٹی آف ریجنسبرگ ریسرچ گروپ آن تھیوری اینڈ کمپیوٹیشن آف ایڈوانسڈ میٹریلز شماریاتی فیلڈ تھیوریز