Garside element
ریاضی میں، گارسائڈ عنصر الجبرائی ساخت کا ایک عنصر ہے جیسے کہ مونوئڈ جس میں کئی مطلوبہ خصوصیات ہیں۔ رسمی طور پر، اگر M ایک مونوئڈ ہے، تو M کا ایک عنصر δ کو گارسائڈ عنصر کہا جاتا ہے اگر δ کے تمام دائیں تقسیم کاروں کا سیٹ، δ کے تمام بائیں تقسیم کاروں کے سیٹ جیسا ہی سیٹ ہے، اور یہ سیٹ M پیدا کرتا ہے۔ A گارسائڈ عنصر عام طور پر منفرد نہیں ہے: گارسائڈ عنصر کی کوئی بھی طاقت پھر سے ایک گارسائڈ عنصر ہے۔ گارسائڈ مونوئڈ اور گارسائڈ گروپ اے گارسائڈ مونوئڈ ایک مونوئڈ ہے جس کی درج ذیل خصوصیات ہیں: حتمی طور پر پیدا شدہ اور جوہری ؛ منسوخی ؛ تقسیم کے جزوی ترتیب کے تعلقات جالی ہیں ؛ ایک گارسائڈ عنصر موجود ہے۔ گارسائڈ مونوئڈ ضرب والے سیٹوں کے لیے ایسک کی حالت کو مطمئن کرتا ہے اور اس لیے اس کے حصوں کے گروپ میں سرایت کرتا ہے: ایسا گروپ ایک گارسائڈ گروپ ہے۔ گارسائڈ گروپ دو آٹومیٹک ہوتا ہے اور اس لیے اس میں گھلنشیل لفظ کا مسئلہ اور ہم آہنگی کا مسئلہ ہوتا ہے۔ اس طرح کے گروپوں کی مثالوں میں چوٹی کے گروپ اور زیادہ عام طور پر، محدود کاکسٹر قسم کے آرٹن گروپ شامل ہیں۔ یہ نام پیٹرک دہورنائے اور لوئس پیرس نے میگڈلین کالج اسکول، آکسفورڈ کے ایک استاد فرینک آرنلڈ گارسائڈ (1915-1988) کے چوٹی والے گروہوں کے لیے ازدواجی مسئلے پر کام کو نشان زد کرنے کے لیے وضع کیا تھا، جنہوں نے 1984-1985 میں آکسفورڈ کے لارڈ میئر کے طور پر خدمات انجام دیں۔ حوالہ جات بینسن فارب، کلاس گروپوں اور متعلقہ موضوعات کی نقشہ سازی سے متعلق مسائل (خالص ریاضی میں سمپوزیم کی کارروائی کا جلد 74) اے ایم ایس بک اسٹور، 2006، پی۔ 357 پیٹرک دہورنائے، گروپس ڈی گارسیڈ، اینالس سائنٹفکس ڈی ایل ایکول نارمل سپیریئر (4) 35 (2002) 267-306۔ میتھیو پیکنٹن، "گار سائیڈ مونوئڈز بمقابلہ تقسیم کرنے والے مونوئڈز"، ریاضی۔ اسٹرکچرز کمپیوٹ۔ سائنس. 15 (2005) 231-242. خلاصہ الجبرا سیمی گروپ تھیوری