Matrix differential equation
تفریق مساوات ایک ریاضیاتی مساوات ہے جو ایک یا کئی متغیرات کی نامعلوم فنکشن کے لیے ہوتی ہے جو خود فنکشن کی اقدار اور مختلف ترتیبات کے اس کے مشتقات سے متعلق ہوتی ہے۔ میٹرکس تفریق مساوات میں ایک سے زیادہ فنکشن ہوتے ہیں جو ویکٹر کی شکل میں اسٹیک کیے جاتے ہیں جس میں ایک میٹرکس ہوتا ہے جو افعال کو ان کے مشتقات سے متعلق کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک فرسٹ آرڈر میٹرکس عام تفریق مساوات وہ ہے جہاں ایک بنیادی متغیر کے افعال کا ویکٹر ہوتا ہے، ان افعال کے پہلے مشتقات کا ویکٹر ہوتا ہے، اور کوفیشنٹس کا ایک میٹرکس ہوتا ہے۔ اس صورت میں جہاں مستقل ہے اور اس میں n لکیری طور پر آزاد آئجین ویکٹر ہیں، اس تفریق مساوات کا مندرجہ ذیل عمومی حل ہے، جہاں A کی آئجین ویلیوز ہیں ؛ A کے متعلقہ آئجین ویکٹر ہیں ؛ اور مستقل ہیں۔ زیادہ عام طور پر، اگر اس کے انٹیگرل کے ساتھ تبادلہ ہوتا ہے تو میگنس کی توسیع لیڈنگ آرڈر میں گھٹ جاتی ہے، اور تفریق مساوات کا عمومی حل یہ ہے کہ جہاں ایک مستقل ویکٹر ہے۔ کیلی-ہیملٹن تھیوریم اور وینڈرمنڈے قسم کے میٹرکس کے استعمال سے، اس رسمی میٹرکس ایکسپونینشل حل کو ایک سادہ شکل میں کم کیا جا سکتا ہے۔ ذیل میں، یہ حل پٹزر کے الگورتھم کے لحاظ سے دکھایا گیا ہے۔ میٹرکس نظام کی استحکام اور مستحکم حالت n × 1 پیرامیٹر مستقل ویکٹر b کے ساتھ میٹرکس مساوات تب اور صرف اس صورت میں مستحکم ہوتی ہے جب مستقل میٹرکس A کے تمام آئجن ویلیوز کا منفی حقیقی حصہ ہو۔ مستحکم حالت x * جس میں یہ مستحکم ہونے پر یکجا ہوتا ہے، ترتیب کے ذریعے پایا جاتا ہے اس طرح یہ فرض کرتے ہوئے کہ A الٹا ہے۔ اس طرح، اصل مساوات کو مستحکم حالت سے انحراف کے لحاظ سے یکساں شکل میں لکھا جا سکتا ہے، اس کے اظہار کا ایک مساوی طریقہ یہ ہے کہ x * غیر یکساں مساوات کا ایک خاص حل ہے، جبکہ تمام حل یکساں مساوات (b = 0) کے حل کی شکل میں ہوتے ہیں۔ دو ریاستی متغیر معاملے کا استحکام n = 2 معاملے میں (دو ریاستی متغیرات کے ساتھ)، استحکام کے حالات کہ ٹرانزیشن میٹرکس A کے دو آئجن ویلیوز میں سے ہر ایک کا منفی حقیقی حصہ ہے، ان شرائط کے مساوی ہیں کہ A کا سراغ منفی ہو اور اس کا تعین مثبت ہو۔ میٹرکس کی شکل میں حل کے رسمی حل میں میٹرکس ایکسپونینشل فارم کا اندازہ بہت سی تکنیکوں میں سے کسی کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ کمپیوٹنگ کے لیے پٹزر الگورتھم آئجین ویلیوز کے ساتھ ایک میٹرکس A دیا گیا ہے، جہاں کے لیے مساوات سادہ فرسٹ آرڈر غیر یکساں ODE ہیں۔ نوٹ کریں کہ الگورتھم کے لیے یہ ضروری نہیں ہے کہ میٹرکس A اخترن ہو اور عام طور پر استعمال ہونے والی اردن کینونکل شکلوں کی پیچیدگیوں کو نظرانداز کرے۔ میٹرکس عام تفریق مساوات کی غیر تشکیل شدہ مثال دو افعال x (t) اور y (t) میں ایک فرسٹ آرڈر یکساں میٹرکس عام تفریق مساوات، جب میٹرکس کی شکل سے نکالی جاتی ہے، تو اس کی درج ذیل شکل ہوتی ہے: جہاں،، اور کوئی بھی صوابدیدی اسکیلر ہو سکتے ہیں۔ ہائیر آرڈر میٹرکس ODE کی شکل بہت زیادہ پیچیدہ ہو سکتی ہے۔ ڈی کنسٹرکٹڈ میٹرکس عام تفریق مساوات کو حل کرنا مندرجہ بالا مساوات کو حل کرنے اور اس مخصوص ترتیب اور شکل کے مطلوبہ افعال کو تلاش کرنے کا عمل 3 اہم مراحل پر مشتمل ہے۔ ان مراحل میں سے ہر ایک کی مختصر وضاحت ذیل میں درج ہے: آئجین ویلیوز تلاش کرنا آئجین ویکٹرز تلاش کرنا مطلوبہ افعال تلاش کرنا اس قسم کی عام تفریقی مساوات کو حل کرنے کا آخری، تیسرا مرحلہ عام طور پر پچھلے دو مراحل میں شمار کردہ اقدار کو ایک خصوصی عمومی فارم مساوات میں جوڑ کر کیا جاتا ہے، جس کا ذکر اس مضمون میں بعد میں کیا گیا ہے۔ میٹرکس او ڈی ای کی حل شدہ مثال ایک میٹرکس او ڈی ای کو اوپر بیان کردہ تین مراحل کے مطابق حل کرنے کے لیے، عمل میں سادہ میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے، آئیے ہم واحد آزاد متغیر کے لحاظ سے ایک فنکشن اور ایک فنکشن دونوں تلاش کریں، جیسے کہ پہلی ترتیب کی مندرجہ ذیل یکساں لکیری تفریق مساوات میں، اس خاص عام تفریق مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے، حل کے عمل میں کسی وقت، ہمیں دو ابتدائی اقدار کے ایک سیٹ کی ضرورت ہوگی (ابتدائی نقطہ پر دو ریاستی متغیرات کے مطابق)۔ اس صورت میں، آئیے چن لیں۔ پہلا مرحلہ پہلا قدم، جو پہلے ہی اوپر بیان کیا گیا ہے، مشتق اشارے x′ وغیرہ میں A کی آئجن ویلیوز کو تلاش کرنا ہے۔ اوپر کے ویکٹر میں سے ایک میں دیکھا گیا ہے جسے لگرینج کے اشارے کے نام سے جانا جاتا ہے (سب سے پہلے جوزف لوئس لگرینج نے متعارف کرایا تھا۔ یہ پچھلی مساوات میں استعمال ہونے والے مشتق اشارے dx/dt کے مساوی ہے، جسے لیبنز کے اشارے کے نام سے جانا جاتا ہے، جو گوٹ فرائیڈ لیبنز کے نام کا احترام کرتا ہے۔) ایک بار جب دونوں متغیرات کے کوفیشنٹس کو میٹرکس فارم A میں لکھا جاتا ہے جو اوپر دکھایا گیا ہے، تو کوئی آئجن ویلیوز کا اندازہ لگا سکتا ہے۔ اس مقصد کے لیے، کسی کو میٹرکس کا تعین کرنے والا مل جاتا ہے جو اس وقت بنتا ہے جب ایک شناختی میٹرکس، جسے کسی مستقل سے ضرب دی جاتی ہے، کو مذکورہ بالا گتانک میٹرکس سے گھٹا کر اس کی خصوصیت والی کثیر الجہتی حاصل کی جاتی ہے، اور اس کے صفر کو حل کیا جاتا ہے۔ میٹرکس کے اضافے کے مزید آسان بنانے اور بنیادی اصولوں کو لاگو کرنا ایک واحد 2 × 2 میٹرکس کے تعین کنندہ کو تلاش کرنے کے اصولوں کو لاگو کرتے ہوئے، مندرجہ ذیل ابتدائی کواڈریٹک مساوات حاصل ہوتی ہے، جسے اوپر کا ایک آسان ورژن حاصل کرنے کے لیے مزید کم کیا جا سکتا ہے، اب دو جڑوں کو تلاش کرنا، اور فیکٹرائزیشن کے طریقہ کار کو لاگو کرکے دی گئی کواڈریٹک مساوات سے حاصل ہوتی ہے۔ اوپر شمار کی گئی اقدار A کی مطلوبہ آئجن ویلیوز ہیں۔ کچھ معاملات میں، دوسرے میٹرکس ODE کے مطابق، آئجن ویلیوز پیچیدہ ہو سکتی ہیں، ایسی صورت میں حل کرنے کے عمل کا اگلا مرحلہ، نیز حتمی شکل اور حل، ڈرامائی طور پر تبدیل ہو سکتا ہے۔ دوسرا مرحلہ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، اس مرحلے میں اصل میں فراہم کردہ معلومات سے اے کے آئجین ویکٹر تلاش کرنا شامل ہے۔ حساب شدہ آئجین ویلیوز میں سے ہر ایک کے لیے، ہمارے پاس ایک انفرادی آئجین ویکٹر ہے۔ پہلی آئجین ویلیو کے لیے، یعنی، ہم نے بنیادی میٹرکس ضرب کے اصولوں کو لاگو کرکے مندرجہ بالا اظہار کو آسان بنایا ہے۔ یہ تمام حسابات صرف آخری اظہار حاصل کرنے کے لیے کیے گئے ہیں، جو ہمارے معاملے میں ہے۔ اب کچھ من مانی قدر لیتے ہوئے، ممکنہ طور پر، ایک چھوٹی سی غیر اہم قدر، جس کے ساتھ کام کرنا بہت آسان ہے، یا (زیادہ تر معاملات میں، اس سے واقعی کوئی فرق نہیں پڑتا ہے)، ہم اسے اس میں بدل دیتے ہیں۔ ایسا کرنے سے ایک سادہ ویکٹر پیدا ہوتا ہے، جو اس مخصوص آئجن ویلیو کے لیے مطلوبہ آئجن ویکٹر ہے۔ ہمارے معاملے میں، ہم چنتے ہیں، جو بدلے میں اس کا تعین کرتا ہے اور، معیاری ویکٹر نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارا ویکٹر ایسا لگتا ہے جیسے ہم نے جس دوسرے آئجن ویلیو کا حساب لگایا ہے اس کا استعمال کرتے ہوئے وہی آپریشن انجام دے رہے ہیں، یعنی ہم اپنا دوسرا آئجن ویکٹر حاصل کرتے ہیں۔ اس ویکٹر کو کام کرنے کا عمل نہیں دکھایا گیا ہے، لیکن حتمی نتیجہ تیسرا مرحلہ ہے۔ یہ آخری مرحلہ مطلوبہ افعال کو تلاش کرتا ہے جو اصل میں ہمیں دیئے گئے مشتقات کے پیچھے 'پوشیدہ' ہیں۔ دو افعال ہیں، کیونکہ ہماری تفریقی مساوات دو متغیرات سے نمٹتی ہیں۔ مساوات جس میں معلومات کے تمام ٹکڑے شامل ہوتے ہیں جو ہمیں پہلے مل چکے ہیں، اس کی درج ذیل شکل ہوتی ہے: آئجن ویلیوز اور آئجن ویکٹرز کی اقدار کو تبدیل کرنے سے نتیجہ برآمد ہوتا ہے۔ مزید آسانیاں لاگو کرنا، مزید آسان بنانا اور افعال کے لیے مساوات کو الگ الگ لکھنا۔ مندرجہ بالا مساوات درحقیقت، مطلوبہ عمومی افعال ہیں، لیکن وہ اپنی عمومی شکل میں ہیں (اور کی غیر متعینہ اقدار کے ساتھ)، جب کہ ہم حقیقت میں ان کی صحیح شکلیں اور حل تلاش کرنا چاہتے ہیں۔ لہذا اب ہم مسئلہ کی دی گئی ابتدائی شرائط پر غور کرتے ہیں (دی گئی ابتدائی شرائط سمیت مسئلہ نام نہاد ابتدائی قدر کا مسئلہ ہے)۔ فرض کریں کہ ہمیں دیا گیا ہے، جو ہماری عام تفریق مساوات کے لیے نقطہ آغاز کا کردار ادا کرتا ہے۔ ان شرائط کا اطلاق مستقلات کی وضاحت کرتا ہے، اور۔ جیسا کہ ہم حالات سے دیکھتے ہیں، جب، مندرجہ بالا مساوات کے بائیں رخ 1 کے برابر ہوں گے۔ اس طرح ہم لکیری مساوات کے درج ذیل نظام کی تعمیر کر سکتے ہیں، ان مساوات کو حل کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ دونوں مستقل اور برابر 1/3 ہیں۔ لہذا ان اقدار کو ان دونوں افعال کی عمومی شکل میں تبدیل کرنا ان کی صحیح شکلوں کی وضاحت کرتا ہے، جو دونوں افعال کے مطلوب ہیں۔ میٹرکس ایکسپونینٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ بالا مسئلہ کو میٹرکس ایکسپونینشل کے براہ راست اطلاق سے حل کیا جا سکتا تھا۔ یعنی، ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ (جس کا حساب کسی بھی مناسب ٹول کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ MATLAB کا ایکسپیم ٹول، یا میٹرکس ڈائیگنلائزیشن انجام دے کر اور اس پراپرٹی کا فائدہ اٹھاتے ہوئے کہ ایک ڈائیگنل میٹرکس کا میٹرکس ایکسپونینشل اس کے عناصر کے عنصر کے لحاظ سے ایکسپونینٹیشن کے برابر ہے) حتمی نتیجہ یہ ہے کہ یہ پہلے دکھائے گئے آئجین ویکٹر اپروچ کی طرح ہی ہے۔ غیر یکساں مساوات میٹرکس فرق مساوات نیوٹن کا ٹھنڈک کا قانون فبونیکی ترتیب فرق مساوات لہر مساوات خود مختار نظام (ریاضی) حوالہ جات عام تفریق مساوات