Homography
پروجیکٹو جیومیٹری میں، ہوموگرافی پروجیکٹو خالی جگہوں کی ایک آئسومورفزم ہے، جو ویکٹر خالی جگہوں کے آئسومورفزم سے متاثر ہوتی ہے جہاں سے پروجیکٹو خالی جگہیں حاصل ہوتی ہیں۔ یہ ایک بائیجیکشن ہے جو لائنوں سے لائنوں کا نقشہ بناتا ہے، اور اس طرح ایک کولی نیشن ہوتا ہے۔ عام طور پر، کچھ کولی نیشن ہوموگرافی نہیں ہیں، لیکن پروجیکٹو جیومیٹری کا بنیادی نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ کم از کم دو طول و عرض کی حقیقی پروجیکٹو خالی جگہوں کے معاملے میں ایسا نہیں ہے۔ مترادفات میں پروجیکٹوٹی، پروجیکٹو ٹرانسفارمیشن، اور پروجیکٹو کولی نیشن شامل ہیں۔ تاریخی طور پر، ہوموگرافیوں (اور پروجیکٹو خالی جگہوں) کو یوکلڈین جیومیٹری میں نقطہ نظر اور تخمینوں کا مطالعہ کرنے کے لیے متعارف کرایا گیا ہے، اور ہوموگرافی کی اصطلاح، جس کا، ایٹمیولوجیکل طور پر، تقریبا معنی "اسی طرح کی ڈرائنگ" ہے، اس وقت سے ہے۔ 19 ویں صدی کے آخر میں، پروجیکٹو خالی جگہوں کی باضابطہ تعریفیں متعارف کرائی گئیں، جو انفینیٹی پر پوائنٹس کا اضافہ کرکے یوکلڈین یا افائن خالی جگہوں کو بڑھانے سے مختلف تھیں۔ "پروجیکٹو ٹرانسفارمیشن" کی اصطلاح ان تجریدی تعمیرات میں شروع ہوئی۔ یہ تعمیرات دو طبقات میں تقسیم ہیں جو مساوی ثابت ہوئی ہیں۔ ایک پروجیکٹو اسپیس کو کسی دی گئی فیلڈ پر ویکٹر اسپیس کی لائنوں کے سیٹ کے طور پر بنایا جا سکتا ہے (مذکورہ تعریف اس ورژن پر مبنی ہے) ؛ یہ تعمیر پروجیکٹو کوآرڈینیٹس کی تعریف کو آسان بناتی ہے اور ہوموگرافیوں کے مطالعہ کے لیے لکیری الجبرا کے ٹولز کو استعمال کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ متبادل نقطہ نظر محوریوں کے ایک سیٹ کے ذریعے پروجیکٹو اسپیس کی وضاحت پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں واضح طور پر کوئی فیلڈ شامل نہیں ہوتا ہے (واقع جیومیٹری، مصنوعی جیومیٹری بھی دیکھیں) ؛ اس تناظر میں، ہومیوگرافیز کے مقابلے میں کولی نیشنز کی وضاحت کرنا آسان ہے، اور ہومیوگرافیز کو مخصوص کولی نیشنز کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، اس طرح اسے "پروجیکٹو کولی نیشنز" کہا جاتا ہے۔ سادگی کی خاطر، جب تک کہ دوسری صورت میں بیان نہ کیا جائے، اس مضمون میں زیر غور پروجیکٹو خالی جگہوں کو (تبادلہ) فیلڈ پر بیان کیا جانا چاہیے۔ مساوی طور پر پیپس کا ہیکساگون تھیوریم اور ڈیسرگس کا تھیوریم درست سمجھا جاتا ہے۔ نتائج کا ایک بڑا حصہ درست رہتا ہے، یا پروجیکٹو جیومیٹریز کے لیے عام کیا جا سکتا ہے جن کے لیے یہ تھیوریمز نہیں ہیں۔ ہندسی محرک تاریخی طور پر، ہومگرافی کا تصور بصری نقطہ نظر کو سمجھنے، اس کی وضاحت کرنے اور اس کا مطالعہ کرنے کے لیے متعارف کرایا گیا تھا، اور خاص طور پر، مختلف نقطہ نظر سے دیکھی جانے والی دو طیارہ اشیاء کی ظاہری شکل میں فرق۔ تین جہتی یوکلڈین خلا میں، ایک نقطہ O (مرکز) سے ہوائی جہاز P پر ایک مرکزی پروجیکشن جس میں O نہیں ہوتا ہے وہ نقشہ سازی ہے جو ایک نقطہ A کو لائن OA اور ہوائی جہاز P کے چوراہے (اگر یہ موجود ہے) پر بھیجتی ہے۔ پروجیکشن کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے اگر نقطہ A کا تعلق O سے گزرنے والے ہوائی جہاز سے ہے اور P کے متوازی ہے۔ پروجیکٹو اسپیس کا تصور اصل میں یوکلڈین اسپیس کو بڑھا کر متعارف کرایا گیا تھا، یعنی اس میں انفینٹی پر پوائنٹس شامل کرکے، تاکہ O کے علاوہ ہر پوائنٹ کے لیے پروجیکشن کی وضاحت کی جا سکے۔ ایک اور طیارہ Q کو دیکھتے ہوئے، جس میں O نہیں ہے، مندرجہ بالا پروجیکشن کے Q پر پابندی کو نقطہ نظر کہا جاتا ہے۔ ان تعریفوں کے ساتھ، ایک نقطہ نظر صرف ایک جزوی فنکشن ہے، لیکن اگر اسے پروجیکٹو خالی جگہوں تک بڑھایا جائے تو یہ ایک بائیجیکشن بن جاتا ہے۔ لہذا، اس تصور کو عام طور پر پروجیکٹو خالی جگہوں کے لیے بیان کیا جاتا ہے۔ اس تصور کو آسانی سے کسی بھی طول و عرض کے پروجیکٹو خالی جگہوں پر، کسی بھی فیلڈ پر، مندرجہ ذیل طریقے سے عام کیا جاتا ہے: اگر f، P سے Q تک کا نقطہ نظر ہے، اور g، Q سے P تک کا نقطہ نظر ہے، جس کا مرکز مختلف ہے، تو P سے خود تک کا ہوموگرافی ہے، جسے سنٹرل کولی نیشن کہا جاتا ہے، جب P کا طول و عرض کم از کم دو ہوتا ہے۔ (نیچے اور دیکھیں۔) اصل میں، ہوموگرافی کی تعریف ایک محدود تعداد میں نقطہ نظر کی تشکیل کے طور پر کی گئی تھی۔ یہ پروجیکٹو جیومیٹری کے بنیادی نظریہ کا ایک حصہ ہے (نیچے دیکھیں) کہ یہ تعریف تعارف میں تیار کردہ اور ذیل میں تفصیلی الجبرائی تعریف کے ساتھ موافق ہے۔ یکساں نقاط میں تعریف اور اظہار ایک فیلڈ K پر طول و عرض n کی ایک پروجیکٹو اسپیس P (V) کو طول و عرض کے K-ویکٹر اسپیس V میں اصل کے ذریعے لائنوں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اگر V کی بنیاد طے کی گئی ہے، تو V کے ایک نقطہ کی نمائندگی Kn + 1 کے نقطہ سے کی جا سکتی ہے۔ P (V) کا ایک نقطہ، جو کہ V میں ایک لکیر ہے، اس طرح اس لکیر کے کسی بھی غیر صفر نقطہ کے نقاط سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، جسے اس طرح پروجیکٹو نقطہ کے یکساں نقاط کہا جاتا ہے۔ ایک ہی جہت کی دو پروجیکٹو خالی جگہوں P (V) اور P (W) کو دیکھتے ہوئے، ہوماگرافی P (V) سے P (W) تک کی نقشہ سازی ہے، جو ویکٹر خالی جگہوں کے آئسومورفزم سے متاثر ہوتی ہے۔ اس طرح کی آئسومورفزم، f کی لکیری کی وجہ سے، P (V) سے P (W) تک بائیجیکشن کو جنم دیتی ہے۔ ایسے دو آئسومورفزم، f اور g، ایک ہی ہوموگرافی کی وضاحت کرتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب K کا کوئی غیر صفر عنصر a ہو۔ اسے یکساں نقاط کے لحاظ سے درج ذیل طریقے سے لکھا جا سکتا ہے: ایک ہوموگرافی φ کی تعریف ایک نان سنگولر میٹرکس [एआइ، جے] سے کی جا سکتی ہے، جسے ہوموگرافی کا میٹرکس کہا جاتا ہے۔ اس میٹرکس کی تعریف K کے غیر صفر عنصر کے ضرب تک کی جاتی ہے۔ کسی نقطہ کے یکساں نقاط اور اس کی شبیہہ کے نقاط φ سے متعلق ہوتے ہیں۔ جب پروجیکٹو خالی جگہوں کو خالی جگہوں (پروجیکٹو تکمیل) کو جوڑنے کے لیے انفینیٹی پر پوائنٹس شامل کرکے بیان کیا جاتا ہے تو سابقہ فارمولے افائن نقاط میں بن جاتے ہیں، جو اگلے حصے کے ہوموگرافک فنکشن کے اظہار کو عام کرتا ہے۔ یہ افائن خالی جگہوں کے درمیان صرف ایک جزوی فنکشن کی وضاحت کرتا ہے، جس کی وضاحت صرف ہائپرپلین کے باہر کی جاتی ہے جہاں ڈینومینیٹر صفر ہوتا ہے۔ کسی فیلڈ K پر پروجیکٹو لائن کی شناخت K اور ایک نقطہ کے اتحاد سے کی جا سکتی ہے، جسے "پوائنٹ ایٹ انفینیٹی" کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی φ سے کی جاتی ہے (پروجیکٹو لائن دیکھیں)۔ پروجیکٹو لائن کی اس نمائندگی کے ساتھ، ہوموگرافیاں نقشہ سازی ہیں جنہیں ہوموگرافک افعال یا لکیری فریکشنل ٹرانسفارمیشنز کہا جاتا ہے۔ پیچیدہ پروجیکٹو لائن کے معاملے میں، جس کی شناخت ریمن دائرے سے کی جا سکتی ہے، ہوموگرافیوں کو موبیئس ٹرانسفارمیشنز کہا جاتا ہے۔ یہ بالکل ریمن دائرے کے ان بیجیکشنز سے مطابقت رکھتے ہیں جو واقفیت کو برقرار رکھتے ہیں اور مطابقت رکھتے ہیں۔ کولی نیشن کے مطالعہ میں، چھوٹے طول و عرض کی وجہ سے پروجیکٹو لائنوں کا معاملہ خاص ہوتا ہے۔ جب لکیر کو الگ تھلگ میں ایک پروجیکٹو اسپیس کے طور پر دیکھا جاتا ہے، تو پروجیکٹو لائن کے پوائنٹس کی کوئی بھی ترتیب ایک کولی نیشن ہوتی ہے، کیونکہ پوائنٹس کا ہر سیٹ کالینیئر ہوتا ہے۔ تاہم، اگر پروجیکٹو لائن کو اعلی جہتی پروجیکٹو اسپیس میں سرایت کیا گیا ہے، تو اس جگہ کی ہندسی ساخت کو لائن پر ہندسی ڈھانچہ مسلط کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، مصنوعی جیومیٹری میں، پروجیکٹو لائن کے ہوموگرافس اور کولی نیشنز جن پر غور کیا جاتا ہے وہ ہیں جو کولی نیشنز کی لائن اور اعلی جہت کی خالی جگہوں کے ہوموگرافس پر پابندیوں کے ذریعے حاصل کیے جاتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ پروجیکٹو جیومیٹری کا بنیادی نظریہ (نیچے دیکھیں) یک جہتی ترتیب میں درست رہتا ہے۔ پروجیکٹو لائن کی ہوموگرافی کو اس بات پر اصرار کرکے بھی صحیح طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے کہ نقشہ سازی کراس تناسب کو محفوظ رکھتی ہے۔ پروجیکٹو فریم اور کوآرڈینیٹس طول و عرض کی پروجیکٹو اسپیس کا ایک پروجیکٹو فریم یا پروجیکٹو بیس پوائنٹس کا ایک ترتیب شدہ مجموعہ ہے جس میں کوئی ہائپرپلین ان پر مشتمل نہیں ہوتا ہے۔ ایک پروجیکٹو فریم کو بعض اوقات سمپلیکس کہا جاتا ہے، حالانکہ طول و عرض کی جگہ میں سمپلیکس میں زیادہ تر عمودی ہوتے ہیں۔ اس حصے میں مواصلاتی میدان پر پروجیکٹو خالی جگہوں پر غور کیا جاتا ہے، حالانکہ زیادہ تر نتائج کو ڈویژن رنگ پر پروجیکٹو خالی جگہوں پر عام کیا جا سکتا ہے۔ طول و عرض کی ایک پروجیکٹو جگہ ہونے دیں، جہاں طول و عرض کی ایک-ویکٹر جگہ ہے، اور کینونکل پروجیکشن بنیں جو ایک غیر صفر ویکٹر کو ویکٹر لائن پر نقش کرتی ہے جس میں یہ موجود ہے۔ کے ہر فریم کے لیے، اس طرح کی ایک بنیاد موجود ہے کہ فریم ہے اور یہ بنیاد اس کے تمام عناصر کے ایک ہی غیر صفر عنصر سے ضرب تک منفرد ہے۔ اس کے برعکس، اگر اس کی بنیاد ہے، تو اس کا ایک فریم ہے۔ اس کے بعد، دو فریموں کو دیکھتے ہوئے، بالکل ایک ہوموگرافی ہے جو پہلے کو دوسرے پر نقش کرتی ہے۔ خاص طور پر، فریم کے نکات کو طے کرنے والا واحد ہومگرافی شناختی نقشہ ہے۔ یہ نتیجہ مصنوعی جیومیٹری میں بہت زیادہ مشکل ہے (جہاں پروجیکٹو خالی جگہوں کو محوریوں کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے)۔ اسے بعض اوقات پروجیکٹو جیومیٹری کا پہلا بنیادی نظریہ کہا جاتا ہے۔ ہر فریم پروجیکٹو کوآرڈینیٹس کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جسے یکساں کوآرڈینیٹس بھی کہا جاتا ہے: ہر نقطہ کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے ؛ اس فریم کے پروجیکٹو کوآرڈینیٹس بیس پر موجود کوآرڈینیٹس ہیں۔ اس بات کی تصدیق کرنا مشکل نہیں ہے کہ اور، فریم اور نہ ہی پی (وی) کو تبدیل کیے بغیر، پروجیکٹو کوآرڈینیٹس کو کے کے اسی غیر صفر عنصر سے ضرب دینے کا نتیجہ نکلتا ہے۔ پروجیکٹو اسپیس میں ایک کینونکل فریم ہوتا ہے جو تصویر پر مشتمل ہوتا ہے جس کی کینونکل بنیاد ہوتی ہے (جس میں صرف ایک غیر صفر اندراج والے عناصر ہوتے ہیں، جو 1 کے برابر ہوتے ہیں)، اور۔ اس بنیاد پر، کے یکساں نقاط محض ٹپل کے اندراجات (کوفیشنٹس) ہیں۔ اسی جہت کی ایک اور پروجیکٹو جگہ، اور اس کے ایک فریم کو دیکھتے ہوئے، اس کے کینونکل فریم پر ایک اور صرف ایک ہوموگرافی میپنگ ہے۔ فریم پر کسی نقطہ کے پروجیکٹو نقاط کینونکل فریم پر کے یکساں نقاط ہیں۔ مرکزی امتزاج مندرجہ بالا حصوں میں، ہوموگرافیوں کی تعریف لکیری الجبرا کے ذریعے کی گئی ہے۔ مصنوعی جیومیٹری میں، روایتی طور پر ان کی تعریف ایک یا کئی خاص ہوموگرافیوں کی ساخت کے طور پر کی جاتی ہے جنہیں سنٹرل کولینیشنز کہا جاتا ہے۔ یہ پروجیکٹو جیومیٹری کے بنیادی نظریہ کا ایک حصہ ہے کہ دونوں تعریفیں مساوی ہیں۔ طول و عرض کے پروجیکٹو اسپیس، P میں، P کا کولی نیشن P سے P پر ایک بائیجیکشن ہے جو لائنوں پر لائنوں کا نقشہ بناتا ہے۔ ایک سنٹرل کولی نیشن (روایتی طور پر ان کو پرسپیکٹیویٹیز کہا جاتا تھا، لیکن یہ اصطلاح الجھن کا باعث ہو سکتی ہے، جس کا ایک اور معنی ہے۔ پرسپیکٹیویٹی دیکھیں) P سے P تک ایک بائیجیکشن α ہے، جس میں ایک ہائپرپلین H موجود ہے (جسے محور کا محور کہا جاتا ہے)، جو α (یعنی H میں موجود تمام نکات X کے لیے) اور ایک نقطہ O (جسے مرکز کا مرکز کہا جاتا ہے) کے ذریعے نقطہ وار طے ہوتا ہے، جو α کے ذریعے لکیری طور پر طے ہوتا ہے (O کے ذریعے کسی بھی لکیر کو α کے ذریعے نقشہ بنایا جاتا ہے، لیکن ضروری نہیں کہ نقطہ وار)۔ مرکزی کولی نیشن کی دو قسمیں ہیں۔ ایلیشنز مرکزی کولی نیشنز ہیں جن میں مرکز محور کے ساتھ واقع ہوتا ہے اور ہومیولوجیز وہ ہیں جن میں مرکز محور کے ساتھ واقع نہیں ہوتا ہے۔ مرکزی کولی نیشن کی منفرد تعریف اس کے مرکز، اس کے محور، اور کسی بھی دیئے گئے نقطہ P کی شبیہہ α (P) سے ہوتی ہے جو مرکز O سے مختلف ہوتی ہے اور محور سے تعلق نہیں رکھتی ہے۔ (کسی دوسرے نقطہ ق کی شبیہہ α (ق) O اور Q کی طرف سے بیان کردہ لکیر کا چوراہا ہے اور α (P) سے گزرنے والی لکیر اور P اور Q کی طرف سے بیان کردہ لکیر کے محور کے ساتھ چوراہا ہے۔) سنٹرل کولینیشن ایک ہوموگرافی ہے جس کی تعریف (n + 1) × (n + 1) میٹرکس کے ذریعہ کی گئی ہے جس میں طول و عرض n کی آئجین اسپیس ہے۔ یہ ایک ہومیولوجی ہے، اگر میٹرکس میں کوئی اور آئجین ویلیو ہے اور اس وجہ سے یہ ڈائیگنل ایبل ہے۔ یہ ایک خوشی ہے، اگر تمام آئجین ویلیوز برابر ہوں اور میٹرکس ڈائیگنلائز نہ ہو۔ سنٹرل کولی نیشن کا ہندسی نظارہ پروجیکٹو پلین میں دیکھنا سب سے آسان ہے۔ ایک مرکزی کولی نیشن α کو دیکھتے ہوئے، ایک ایسی لکیر پر غور کریں جو مرکز O سے نہیں گزرتی ہے، اور اس کی شبیہہ α کے نیچے ہے۔ ترتیب دیتے ہوئے، α کا محور R کے ذریعے کسی لکیر M ہے۔ α کے نیچے کسی بھی نقطہ A کی شبیہہ کے ساتھ OA کا چوراہا ہے۔ کسی نقطہ B کی تصویر B′ جس سے تعلق نہیں ہے اسے مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے: تو پھر۔ دو مرکزی امتزاج کی ساخت، اگرچہ اب بھی عام طور پر ہوموگرافی ہے، مرکزی امتزاج نہیں ہے۔ در حقیقت، ہر ہوموگرافی مرکزی امتزاج کی ایک محدود تعداد کی ساخت ہے۔ مصنوعی جیومیٹری میں، یہ خاصیت، جو پروجیکٹو جیومیٹری کے بنیادی نظریہ کا ایک حصہ ہے، کو ہوموگرافیوں کی تعریف کے طور پر لیا جاتا ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹری کا بنیادی نظریہ ہوموگرافیوں کے علاوہ کولی نیشن بھی ہیں۔ خاص طور پر، کسی فیلڈ F کا کوئی بھی فیلڈ آٹومورفزم σ کسی نقطہ کے تمام یکساں نقاط (ایک پروجیکٹو فریم پر) پر σ کا اطلاق کرکے F پر ہر پروجیکٹو اسپیس کا امتزاج پیدا کرتا ہے۔ ان کولی نیشن کو آٹومورفک کولی نیشن کہا جاتا ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹری کا بنیادی نظریہ مندرجہ ذیل تین نظریات پر مشتمل ہے۔ پروجیکٹو اسپیس P کے دو پروجیکٹو فریموں کو دیکھتے ہوئے، P کی بالکل ایک ہوموگرافی ہے جو پہلے فریم کو دوسرے پر نقش کرتی ہے۔ اگر کسی پروجیکٹو اسپیس P کا طول و عرض کم از کم دو ہے، تو P کا ہر کولی نیشن ایک آٹومورفک کولی نیشن اور ہوموگرافی کی ساخت ہے۔ خاص طور پر، حقیقی کے اوپر، کم از کم دو طول و عرض کی پروجیکٹو اسپیس کا ہر مجموعہ ہوموگرافی ہے۔ ہر ہوموگرافی نقطہ نظر کی ایک محدود تعداد کی ساخت ہے۔ خاص طور پر، اگر مضمر پروجیکٹو اسپیس کا طول و عرض کم از کم دو ہے، تو ہر ہوموگرافی مرکزی کولی نیشن کی ایک محدود تعداد کی تشکیل ہے۔ اگر پروجیکٹو خالی جگہوں کی تعریف محوریات (مصنوعی جیومیٹری) کے ذریعے کی جاتی ہے، تو تیسرا حصہ محض ایک تعریف ہے۔ دوسری طرف، اگر پروجیکٹو خالی جگہوں کی تعریف لکیری الجبرا کے ذریعے کی جاتی ہے، تو پہلا حصہ تعریفوں کا ایک آسان نتیجہ ہے۔ لہذا، مصنوعی جیومیٹری میں پہلے حصے کا ثبوت، اور لکیری الجبرا کے لحاظ سے تیسرے حصے کا ثبوت دونوں پروجیکٹو خالی جگہوں کی وضاحت کے دو طریقوں کے مساوات کے ثبوت کے بنیادی اقدامات ہیں۔ ہوموگرافی گروپس جیسا کہ ہر ہوموگرافی میں ایک الٹا نقشہ ہوتا ہے اور دو ہوموگرافیز کی ساخت دوسری ہوتی ہے، کسی دی گئی پروجیکٹو اسپیس کے ہوموگرافیز ایک گروپ بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر، موبیئس گروپ کسی بھی پیچیدہ پروجیکٹو لائن کا ہومگرافی گروپ ہے۔ چونکہ ایک ہی فیلڈ پر ایک ہی طول و عرض کی تمام پروجیکٹو خالی جگہیں آئسومورفک ہیں، اسی طرح ان کے ہوموگرافی گروپوں کے لیے بھی درست ہے۔ لہذا انہیں کئی خالی جگہوں پر کام کرنے والے ایک واحد گروپ کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اور صرف طول و عرض اور فیلڈ اشارے میں ظاہر ہوتے ہیں، نہ کہ مخصوص پروجیکٹو اسپیس۔ ہوموگرافی گروپس جسے پروجیکٹو لکیری گروپس بھی کہا جاتا ہے جب فیلڈ F پر طول و عرض n کی پروجیکٹو اسپیس پر کام کرتے ہیں۔ ہوموگرافس کی اوپر کی تعریف سے پتہ چلتا ہے کہ اس کی شناخت کوشیئنٹ گروپ سے کی جا سکتی ہے، جہاں الٹا میٹرکس کا عمومی لکیری گروپ ہے، اور F × I سائز کے شناختی میٹرکس کے F کے غیر صفر عنصر کے ذریعہ مصنوعات کا گروپ ہے۔ جب F ایک گالوئس فیلڈ GF (q) ہے تو ہوموگرافی گروپ لکھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، محدود فیلڈ GF (7) پر پروجیکٹو لائن کے آٹھ نکات پر عمل کرتا ہے، جبکہ، جو متبادل گروپ A5 کے لیے آئسومورفک ہے، پانچ نکات کے ساتھ پروجیکٹو لائن کا ہوموگرافی گروپ ہے۔ ہوموگرافی گروپ طول و عرض n کی پروجیکٹو اسپیس کے کولی نیشن کے کولی نیشن گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ جب پروجیکٹو اسپیس کے پوائنٹس اور لائنوں کو بلاک ڈیزائن کے طور پر دیکھا جاتا ہے، جس کے بلاکس ایک لائن میں موجود پوائنٹس کے سیٹ ہوتے ہیں، تو کولی نیشن گروپ کو ڈیزائن کا آٹومورفزم گروپ کہنا عام بات ہے۔ کراس تناسب چار کالینیئر پوائنٹس کا کراس تناسب ہوموگرافی کے تحت ایک غیر متغیر ہے جو لائنوں کے ہوموگرافیوں کے مطالعہ کے لیے بنیادی ہے۔ تین الگ الگ نکات، اور ایک میدان کے اوپر ایک پروجیکٹو لائن پر اس لائن کا ایک پروجیکٹو فریم بناتے ہیں۔ اس لیے اس نقشے پر اس لکیر کی ایک منفرد ہوموگرافی ہے، 0، اور 1 تک۔ ایک ہی لکیر پر چوتھے پوائنٹ کو دیکھتے ہوئے، چار پوائنٹس کا کراس تناسب، اور، ظاہر کیا گیا، کا عنصر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر پروجیکٹو فریم پر یکساں نقاط ہوں، تو۔ کسی رنگ کے اوپر فرض کریں کہ A ایک رنگ ہے اور U اس کی اکائیوں کا گروپ ہے۔ ہوموگرافیز ایک پروجیکٹو لائن پر کام کرتی ہیں، جو تحریری پی (اے) پر ہوتی ہے، جو پروجیکٹو کوآرڈینیٹس والے پوائنٹس پر مشتمل ہوتی ہے۔ P (A) پر ہوموگرافیز کو میٹرکس میپنگز کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے جب A ایک مواصلاتی رنگ ہوتا ہے، تو ہوموگرافی لکھی جا سکتی ہے لیکن بصورت دیگر لکیری فریکشنل تبدیلی کو مساوات کے طور پر دیکھا جاتا ہے: انٹیجرز Z کی رنگ کا ہوموگرافی گروپ ماڈیولر گروپ ہے۔ رنگ ہوموگرافی کو کواٹرنیئن تجزیہ میں استعمال کیا گیا ہے، اور سکرو تھیوری کو آسان بنانے کے لیے دوہری کواٹرنیئنز کے ساتھ۔ اسپیس ٹائم کے کنفارمل گروپ کی نمائندگی ہوموگرافیوں کے ساتھ کی جا سکتی ہے جہاں A بائیکاٹرنین کا کمپوزیشن الجبرا ہے۔ وقتا فوقتا ہوموگرافی وقتا فوقتا ہوتی ہے جب رنگ Z/nZ (انٹیجرز ماڈیولو n) ہوتا ہے تب سے آرتھر کیلی کو وقتا فوقتا میں دلچسپی تھی جب اس نے 1879 میں تکرار کا حساب لگایا۔ ہوموگرافیوں کی دورانیے کے بارے میں بروٹ فورس کے نقطہ نظر کے اپنے جائزے میں، ایچ ایس ایم کاکسٹر نے یہ تجزیہ دیا: ایک حقیقی ہوموگراف غیر قانونی (مدت 2 کا) ہے اگر اور صرف اگر۔ اگر یہ پیریڈ کے ساتھ پیریڈک ہے، تو یہ ایلیپٹک ہے، اور یہ فرض کرنے سے عام طور پر کوئی نقصان نہیں ہوتا ہے۔ چونکہ خصوصیت کی جڑیں ایکسپ (±hπi/m) ہیں، جہاں، ٹریس ہے۔ ڈبلیو-وکر نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں، جس کا ترجمہ 1977 کے فرانسیسی اصل سے ایم کول اور ایس لیوی نے کیا تھا، 1987 کے انگریزی ترجمہ کی چوتھی پرنٹنگ مزید پڑھنے والے پیٹرک ڈو ویل (1964) ہوموگرافیز، کواٹرنیئنز اینڈ روٹیشنز، آکسفورڈ میتھمیٹیکل مونوگرافس، کلیرینڈن پریس، آکسفورڈ۔ گنٹر ایوالڈ (1971) جیومیٹری: ایک تعارف، صفحہ 263، بیلمونٹ: ویڈس ورتھ پبلشنگ۔ بیرونی روابط پروجیکٹو جیومیٹری ٹرانسفارمیشن (فنکشن)