Hasse–Witt matrix
ریاضی میں، ایک محدود فیلڈ F پر غیر واحد الجبرائی منحنی خطوط C کا ہس وٹ میٹرکس H، پہلی قسم کے تفریق کی بنیاد کے حوالے سے فروبینئس میپنگ (p-th پاور میپنگ جہاں F میں q عناصر ہوتے ہیں، q پرائم نمبر p کی طاقت) کا میٹرکس ہے۔ یہ ایک جی × جی میٹرکس ہے جہاں سی کی جینس جی ہے۔ ہس وٹ میٹرکس کا درجہ ہس یا ہس وٹ غیر متغیر ہے۔ تعریف کے لیے نقطہ نظر یہ تعریف، جیسا کہ تعارف میں دی گئی ہے، کلاسیکی اصطلاحات میں فطری ہے، اور ہیلمٹ ہاس اور ارنسٹ وٹ (1936) کی وجہ سے ہے۔ یہ جیکوبین قسم جے آف سی کے پی رینک کے سوال کا حل فراہم کرتا ہے۔ پی رینک ایچ کے رینک سے جڑا ہوا ہے، خاص طور پر یہ فروبینیوس میپنگ کا درجہ ہے جو خود جی اوقات پر مشتمل ہے۔ یہ ایک ایسی تعریف بھی ہے جو اصولی طور پر الگورتھمک ہے۔ C a ہائپرلیپٹک وکر کے معاملے میں، کرپٹوگرافی کے عملی اطلاق کے طور پر اس میں کافی حالیہ دلچسپی رہی ہے۔ اگر H = 0 ہو تو وکر C سپر اسپیشل ہے۔ اس تعریف کے لیے کم از کم چند انتباہات کی ضرورت ہے۔ سب سے پہلے، فروبینیوس نقشوں کے بارے میں ایک روایت ہے، اور جدید تفہیم کے تحت H کے لیے جو ضروری ہے وہ فروبینیوس کا ٹرانسپوز ہے (مزید بحث کے لیے ریاضی اور ہندسی فروبینیوس دیکھیں)۔ دوسرا، فروبینئس نقشہ سازی F-لکیری نہیں ہے ؛ یہ F میں پرائم فیلڈ Z/pZ پر لکیری ہے۔ لہذا میٹرکس کو لکھا جا سکتا ہے لیکن سیدھے معنوں میں لکیری نقشہ سازی کی نمائندگی نہیں کرتا ہے۔ کوہمولوجی شیف کوہمولوجی کی تشریح یہ ہے: پی-پاور کا نقشہ H1 (C، OC) پر کام کرتا ہے، یا دوسرے الفاظ میں C کی پہلی کوہمولوجی اس کی ساخت کے شیف میں کوفیشنٹس کے ساتھ۔ اسے اب پیئر کارٹیئر اور یوری منین کے لیے کارٹیئر منین آپریٹر (بعض اوقات صرف کارٹیئر آپریٹر) کہا جاتا ہے۔ ہس وٹ کی تعریف کے ساتھ تعلق سیر دوہری کے ذریعے ہے، جو ایک منحنی خطوط کے لیے اس گروپ کا تعلق H0 (C، ωC) سے کرتا ہے جہاں ωC = ωC سی پر کیلر تفریق کا خول ہے۔ ابیلین اقسام اور ان کا p-رینک خصوصیت p کے فیلڈ K پر ابیلین قسم A کا p-رینک انٹیجر k ہے جس کے لیے p سے ضرب کا دانا A [p] pk پوائنٹس رکھتا ہے۔ یہ 0 سے d تک کوئی بھی قدر لے سکتا ہے، A کا طول و عرض ؛ اس کے برعکس کسی بھی دوسرے پرائم نمبر l کے لیے A [l] میں l2d پوائنٹس ہوتے ہیں۔ پی رینک کم ہونے کی وجہ یہ ہے کہ اے پر پی سے ضرب ایک لازم و ملزوم آئسوجینی ہے: تفریق پی ہے جو کے میں 0 ہے۔ دانا کو گروپ اسکیم کے طور پر دیکھ کر کوئی بھی زیادہ مکمل ڈھانچہ حاصل کر سکتا ہے (حوالہ ڈیوڈ ممفورڈ ابیلین اقسام پی پی۔ 146-7) ؛ لیکن اگر مثال کے طور پر تقسیم مساوات کے تخفیف موڈ p کو دیکھا جائے تو حل کی تعداد کم ہونی چاہیے۔ کارٹیئر-منین آپریٹر، یا ہاس-وٹ میٹرکس کا درجہ، اس لیے پی-رینک کے لیے ایک اوپری حد دیتا ہے۔ پی-رینک فروبینیوس آپریٹر کا درجہ ہے جو خود جی اوقات پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہاس اور وٹ کے اصل مقالے میں مسئلہ کو جے پر انحصار نہ کرتے ہوئے، سی کے لیے اندرونی اصطلاحات میں بیان کیا گیا ہے۔ فنکشن فیلڈ F (C) (کمر تھیوری کے اس معاملے میں ینالاگ) کی ممکنہ آرٹن-شریئر ایکسٹینشنز کی درجہ بندی کا سوال ہے۔ جینس 1 کا معاملہ الپٹک منحنی خطوط کے معاملے پر ہاس نے 1934 میں کام کیا تھا۔ چونکہ جینس 1 ہے، میٹرکس H کے لیے صرف امکانات یہ ہیں: H صفر ہے، ہس غیر متغیر 0، p-رینک 0، سپر سنگولر کیس ؛ یا H غیر صفر، ہس غیر متغیر 1، p-رینک 1، عام کیس۔ یہاں ایک ہم آہنگی فارمولا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ H ہم آہنگ ماڈیولو p اور C پر پوائنٹس کی تعداد N ہے، کم از کم جب q = p۔ الپٹک منحنی خطوط پر ہاس کے نظریہ کی وجہ سے، N ماڈیولو p کو جاننا p ≤ 5 کے لیے N کا تعین کرتا ہے۔ مقامی زیٹا افعال کے ساتھ اس تعلق کی گہرائی سے تفتیش کی گئی ہے۔ کیوبک f (X, Y, Z) = 0 کے ذریعہ بیان کردہ طیارہ منحنی خطوط کے لیے، ہس غیر متغیر صفر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب fp−1 میں (XYZ) p−1 کا گتانک صفر ہو۔ نوٹ حوالہ جات (روسی اصل کا انگریزی ترجمہ) الجبرائی منحنی خطوط محدود فیلڈز میٹرکس کمپلیکس کئی گنا