Kodaira vanishing theorem
ریاضی میں، کوڈائرا وینشنگ تھیوریم پیچیدہ کئی گنا نظریہ اور پیچیدہ الجبرائی جیومیٹری کا ایک بنیادی نتیجہ ہے، جو عام حالات کو بیان کرتا ہے جس کے تحت شیف کوہمولوجی گروپ اشاریہ q> 0 کے ساتھ خود بخود صفر ہوتے ہیں۔ انڈیکس q = 0 والے گروپ کے لیے مضمرات عام طور پر یہ ہوتے ہیں کہ اس کا طول و عرض-آزاد عالمی حصوں کی تعداد-ایک ہولومورفک اویلر خصوصیت کے ساتھ موافق ہے جس کا حساب ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ تجزیاتی معاملہ کونیہیکو کوڈائرا کے نتیجے کا بیان یہ ہے کہ اگر M پیچیدہ طول و عرض n کا ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا ہے، L M پر کوئی ہولومورفک لائن بنڈل جو مثبت ہے، اور KM کینونکل لائن بنڈل ہے، تو q> 0 کے لیے۔ یہاں لائن بنڈلوں کے ٹینسر پروڈکٹ کا مطلب ہے۔ سیری دوہری کے ذریعے، کوئی بھی q <n کے لیے غائب ہونے کو بھی حاصل کرتا ہے۔ ایک عمومی شکل، کوڈائرا-ناکانو غائب ہونے کا نظریہ ہے، جس میں، جہاں ωn (L) ہولومورفک (n، 0)-شکلوں کے خولے کو ظاہر کرتا ہے جو M پر L پر اقدار کے ساتھ ہوتا ہے، اس کی جگہ ωr (L)، ہولومورفک (r، 0)-شکلوں کے خولے کو L پر اقدار کے ساتھ لیا جاتا ہے۔ پھر کوہمولوجی گروپ Hq (M، ωr (L) جب بھی q + r> n ہوتا ہے تب غائب ہو جاتا ہے۔ الجبرائی صورت کوڈائرا غائب ہونے کا نظریہ الجبرائی جیومیٹری کی زبان میں ماورائے الہی کے حوالے کے بغیر وضع کیا جا سکتا ہے۔ لائن بنڈل ایل کی مثبتیت کا مطلب ہے کہ متعلقہ الٹا ہونے والا شیف کافی ہے (یعنی، کچھ ٹینسر پاور ایک پروجیکٹو ایمبیڈنگ دیتی ہے)۔ الجبرائی کوڈائرا-اکیزوکی-ناکانو وینیشنگ تھیوریم مندرجہ ذیل بیان ہے: اگر k خصوصیت صفر کا میدان ہے، تو X طول و عرض d کی ایک ہموار اور پروجیکٹو k-اسکیم ہے، اور L X پر کافی حد تک الٹا ہونے والا خول ہے، پھر جہاں ωp رشتہ دار (الجبرائی) تفریقی شکلوں کے خولوں کی نشاندہی کرتا ہے (دیکھیں کیلر تفریق)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ نتیجہ ہمیشہ خصوصیت p> 0 کے فیلڈز پر نہیں ہوتا ہے، اور خاص طور پر ریناڈ سطحوں کے لیے ناکام ہوتا ہے۔ بعد میں غیر لاگ کینونکل انفرادیت کے ساتھ واحد اقسام کے لیے ایک جوابی مثال دیں، اور غیر کم شدہ اسٹیبلائزرز کے ساتھ مناسب یکساں خالی جگہوں سے متاثر ابتدائی جوابی مثالیں بھی دیں۔ 1987 تک خصوصیت صفر میں واحد معروف ثبوت تاہم پیچیدہ تجزیاتی ثبوت اور جی اے جی اے موازنہ تھیوریمز پر مبنی تھا۔ تاہم، 1987 میں پیئر ڈیلیگن اور لوک ایلوسی نے اس میں معدوم ہونے والے نظریہ کا خالصتا الجبرائی ثبوت دیا۔ ان کا ثبوت یہ ظاہر کرنے پر مبنی ہے کہ الجبرائی ڈی رام کوہمولوجی کے لیے ہج-ڈی رام سپیکٹرم کی ترتیب ڈگری 1 میں انحطاط پذیر ہوتی ہے۔ یہ خصوصیت p> 0 سے متعلقہ زیادہ مخصوص نتیجہ اٹھا کر دکھایا جاتا ہے-مثبت خصوصیت کا نتیجہ حدود کے بغیر نہیں رہتا ہے لیکن مکمل نتیجہ فراہم کرنے کے لیے اٹھایا جا سکتا ہے۔ نتائج اور اطلاق تاریخی طور پر، کوڈائرا ایمبیڈنگ تھیوریم وینیشنگ تھیوریم کی مدد سے اخذ کیا گیا تھا۔ سیر دوہری کے اطلاق کے ساتھ، منحنی خطوط اور سطحوں کے مختلف شیف کوہومولوجی گروپوں (عام طور پر کینونکل لائن بنڈل سے متعلق) کا غائب ہونا پیچیدہ کئی گنا کی درجہ بندی میں مدد کرتا ہے، جیسے۔ اینریکس-کوڈائرا کی درجہ بندی۔ مزید دیکھیں کاواماتا-ویہوگ وینیشنگ تھیوریم ممفورڈ وینیشنگ تھیوریم رامانوجم وینیشنگ تھیوریم نوٹ حوالہ جات فلپ گریفتھس اور جوزف ہیرس، پیچیدہ جیومیٹری میں الجبرائی جیومیٹری تھیوریم کے اصول الجبرائی جیومیٹری کے ٹوپوولوجیکل طریقے الجبرائی جیومیٹری میں تھیوریم