Kaplan–Meier estimator
کپلان-میئر تخمینہ کار، جسے پروڈکٹ کی حد کا تخمینہ کار بھی کہا جاتا ہے، ایک غیر پیرامیٹرک اعداد و شمار ہے جو زندگی بھر کے اعداد و شمار سے بقا کے فنکشن کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ طبی تحقیق میں، یہ اکثر علاج کے بعد ایک مخصوص وقت تک زندہ رہنے والے مریضوں کے حصے کی پیمائش کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ دیگر شعبوں میں، کپلان-میئر تخمینہ کاروں کا استعمال اس بات کی پیمائش کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ نوکری سے محروم ہونے کے بعد لوگ کتنے عرصے تک بے روزگار رہتے ہیں، مشین کے پرزوں کی وقتا فوقتا ناکامی، یا گوشت دار پھل پودوں پر کتنے عرصے تک باقی رہتے ہیں اس سے پہلے کہ وہ فروگیورز کے ذریعے ہٹائے جائیں۔ تخمینہ لگانے والے کا نام ایڈورڈ ایل کپلان اور پال میئر کے نام پر رکھا گیا ہے، جن میں سے ہر ایک نے اسی طرح کے نسخے جرنل آف دی امریکن شماریاتی ایسوسی ایشن کو پیش کیے تھے۔ جریدے کے ایڈیٹر جان ٹوکی نے انہیں اپنے کام کو ایک مقالے میں جوڑنے کے لیے راضی کیا، جس کا 1958 میں اس کی اشاعت کے بعد سے 61,800 سے زیادہ بار حوالہ دیا گیا ہے۔ بقا کے فعل کا تخمینہ (اس بات کا امکان کہ زندگی اس سے زیادہ لمبی ہے) اس طرح دیا جاتا ہے: ایک ایسے وقت کے ساتھ جب کم از کم ایک واقعہ پیش آیا ہو، وقت پر پیش آنے والے واقعات کی تعداد (مثال کے طور پر اموات)، اور وہ افراد جو زندہ بچ گئے ہیں (ابھی تک کوئی واقعہ نہیں ہوا ہے یا انہیں سنسر نہیں کیا گیا ہے)۔ بنیادی تصورات کپلان-میئر تخمینہ کار کا ایک پلاٹ زوال پذیر افقی مراحل کا ایک سلسلہ ہے جو، کافی بڑے نمونے کے سائز کے ساتھ، اس آبادی کے لیے حقیقی بقا کی تقریب تک پہنچتا ہے۔ مسلسل الگ الگ نمونے لینے والے مشاہدات ("کلکس") کے درمیان بقا کی تقریب کی قدر کو مستقل سمجھا جاتا ہے۔ کپلان-میئر وکر کا ایک اہم فائدہ یہ ہے کہ یہ طریقہ کچھ قسم کے سنسر شدہ ڈیٹا کو مدنظر رکھ سکتا ہے، خاص طور پر رائٹ سنسرنگ، جو اس وقت ہوتا ہے جب کوئی مریض کسی مطالعہ سے دستبردار ہو جاتا ہے، فالو اپ میں گم ہو جاتا ہے، یا آخری فالو اپ میں واقعہ کے بغیر زندہ رہتا ہے۔ پلاٹ پر، چھوٹے عمودی ٹک مارکس انفرادی مریضوں کو بتاتے ہیں جن کی بقا کے اوقات کو صحیح سینسر کیا گیا ہے۔ جب کوئی کٹوتی یا سنسرنگ نہیں ہوتی ہے، تو کپلان-میئر وکر تجرباتی تقسیم کی تقریب کی تکمیل ہوتی ہے۔ طبی اعداد و شمار میں، ایک عام ایپلی کیشن میں مریضوں کو زمروں میں تقسیم کرنا شامل ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، جین اے پروفائل والے اور جین بی پروفائل والے۔ گراف میں، جین بی کے مریض جین اے کے مریضوں کے مقابلے میں بہت تیزی سے مر جاتے ہیں۔ دو سال کے بعد، جین اے کے تقریبا 80 فیصد مریض زندہ رہتے ہیں، لیکن جین بی کے آدھے سے بھی کم مریض زندہ رہتے ہیں۔ کپلان-میئر تخمینہ تیار کرنے کے لیے، ہر مریض (یا ہر مضمون) کے لیے کم از کم دو اعداد و شمار درکار ہوتے ہیں: آخری مشاہدے کی حیثیت (واقعہ کا واقعہ یا دائیں سنسر شدہ)، اور واقعہ کا وقت (یا سنسر کرنے کا وقت)۔ اگر دو یا زیادہ گروپوں کے درمیان بقا کے افعال کا موازنہ کرنا ہے، تو اعداد و شمار کا تیسرا حصہ درکار ہے: ہر مضمون کی گروپ تفویض۔ مسئلہ کی تعریف ایک بے ترتیب متغیر ہونے دیں، جسے ہم ممکنہ نمائش کی مدت کے آغاز اور دلچسپی کا واقعہ ہونے کے وقت کے درمیان گزرنے والے وقت کے طور پر سوچتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر اشارہ کیا گیا ہے، مقصد بقا کے بنیادی فعل کا اندازہ لگانا ہے۔ یاد رکھیں کہ اس فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ وقت کہاں ہے۔ آزاد، یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات ہونے دیں، جن کی مشترکہ تقسیم یہ ہے کہ: بے ترتیب وقت ہے جب کوئی واقعہ پیش آیا۔ تخمینہ لگانے کے لیے دستیاب ڈیٹا نہیں ہے، بلکہ جوڑوں کی فہرست ہے جہاں کے لیے، ایک مقررہ، تعیناتی عدد، واقعہ کا سنسر کرنے کا وقت اور ہے۔ خاص طور پر، ایونٹ کے وقت کے بارے میں دستیاب معلومات یہ ہے کہ آیا ایونٹ مقررہ وقت سے پہلے ہوا تھا اور اگر ایسا ہے تو ایونٹ کا اصل وقت بھی دستیاب ہے۔ اس اعداد و شمار کو دیکھتے ہوئے اندازہ لگانا چیلنج ہے۔ کپلان-میئر تخمینہ کار کی مشتقیت یہاں، ہم کپلان-میئر تخمینہ کار کی دو مشتقات دکھاتے ہیں۔ دونوں بقا کے فنکشن کو دوبارہ لکھنے پر مبنی ہیں جسے بعض اوقات خطرہ، یا شرح اموات کہا جاتا ہے۔ تاہم، ایسا کرنے سے پہلے ایک بے وقوف تخمینہ لگانے والے پر غور کرنا مناسب ہے۔ ایک بے وقوف تخمینہ لگانے والا کپلان-میئر تخمینہ لگانے والے کی طاقت کو سمجھنے کے لیے، سب سے پہلے بقا کی تقریب کے ایک بے وقوف تخمینہ لگانے والے کو بیان کرنا قابل قدر ہے۔ ٹھیک کریں اور جانے دیں۔ ایک بنیادی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ مندرجہ ذیل تجویز برقرار ہے: تجویز 1: اگر واقعہ کا سنسر کرنے کا وقت () سے تجاوز کرتا ہے، تو اگر اور صرف اگر۔ ایسا ہی ہونے دیں۔ یہ مندرجہ بالا تجویز سے ملتا ہے کہ صرف ان پر غور کریں، یعنی۔ وہ واقعات جن کے نتائج کو وقت سے پہلے سنسر نہیں کیا گیا تھا۔ اس میں عناصر کی تعداد ہونے دیں۔ نوٹ کریں کہ سیٹ بے ترتیب نہیں ہے اور اس لیے نہ ہی ہے۔ مزید برآں، مشترکہ پیرامیٹر کے ساتھ آزاد، یکساں طور پر تقسیم شدہ برنولی بے ترتیب متغیرات کا ایک سلسلہ ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے، یہ اندازہ لگانے کا مشورہ دیتا ہے کہ دوسری مساوات کہاں آتی ہے کیونکہ اس کا مطلب ہے، جبکہ آخری مساوات محض اشارے کی تبدیلی ہے۔ اس تخمینے کا معیار کے سائز سے کنٹرول کیا جاتا ہے۔ جب یہ چھوٹا ہوتا ہے تو یہ پریشانی کا باعث بن سکتا ہے، جو تعریف کے مطابق ہوتا ہے، جب بہت سے واقعات کو سنسر کیا جاتا ہے۔ اس تخمینہ لگانے والے کی ایک خاص طور پر ناخوشگوار خاصیت، جس سے پتہ چلتا ہے کہ شاید یہ "بہترین" تخمینہ لگانے والا نہیں ہے، یہ ہے کہ یہ ان تمام مشاہدات کو نظر انداز کرتا ہے جن کا سنسر کرنے کا وقت پہلے ہوتا ہے۔ بدیہی طور پر، ان مشاہدات میں اب بھی اس بارے میں معلومات موجود ہیں: مثال کے طور پر، جب بہت سے واقعات کے ساتھ، بھی ہوتے ہیں، تو ہم یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ واقعات اکثر جلدی ہوتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ یہ بڑا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ چھوٹا ہونا چاہیے۔ تاہم، اس معلومات کو اس بے وقوف تخمینہ کار نے نظر انداز کر دیا ہے۔ اس کے بعد سوال یہ ہے کہ کیا کوئی تخمینہ لگانے والا موجود ہے جو تمام اعداد و شمار کا بہتر استعمال کرتا ہے۔ یہ وہی ہے جو کپلان-میئر تخمینہ کار پورا کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ جب سنسرنگ نہیں ہوتی ہے تو بے وقوف تخمینہ لگانے والے کو بہتر نہیں بنایا جا سکتا ؛ لہذا آیا بہتری ممکن ہے یا نہیں، یہ تنقیدی طور پر اس بات پر منحصر ہے کہ سنسرنگ موجود ہے یا نہیں۔ پلگ ان اپروچ ابتدائی حساب سے، جہاں دوسری سے آخری مساوات استعمال کی جاتی ہے جو کہ انٹیجر ویلیو ہے اور آخری لائن کے لیے جسے ہم نے متعارف کرایا ہے۔ مساوات کی تکراری توسیع کے ذریعے، ہمیں نوٹ ملتا ہے کہ یہاں۔ کپلان-میئر تخمینہ لگانے والے کو "پلگ ان تخمینہ لگانے والے" کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جہاں ہر ایک کا تخمینہ اعداد و شمار کی بنیاد پر لگایا جاتا ہے اور تخمینہ لگانے والے کو ان تخمینوں کی پیداوار کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ بتانا باقی ہے کہ اندازہ کیسے لگایا جائے۔ تجویز 1 کے مطابق، اس طرح کے کسی بھی اور دونوں کے لیے۔ لہذا، اس طرح کی کسی بھی چیز کے لیے، اسی طرح کی استدلال سے جو اوپر بے وقوف تخمینہ کار کی تعمیر کا باعث بنتی ہے، ہم تخمینہ کار پر پہنچتے ہیں ("خطرے کی شرح" کی تعریف میں عددی اور ڈینومینیٹر کا الگ سے تخمینہ لگانے کے بارے میں سوچیں)۔ اس کے بعد کپلان-میئر تخمینہ کار کو مضمون کے آغاز میں بیان کردہ تخمینہ کار کی شکل کچھ مزید الجبرا سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس کے لیے، لکھیں کہ ایکچوریئل سائنس کی اصطلاحات کا استعمال کرتے ہوئے، وقت پر معلوم اموات کی تعداد کہاں ہے، جبکہ ان افراد کی تعداد ہے جو وقت پر زندہ ہیں (اور سنسر نہیں کیے جا رہے ہیں)۔ نوٹ کریں کہ اگر۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہم ان تمام شرائط کی وضاحت کرنے والے پروڈکٹ کو چھوڑ سکتے ہیں۔ پھر، وہ وقت آتے ہیں جب، اور، ہم مضمون کے آغاز میں دیئے گئے کپلان-میئر تخمینہ کار کی شکل پر پہنچتے ہیں: سادہ تخمینہ کار کے برعکس، اس تخمینہ کار کو دستیاب معلومات کو زیادہ مؤثر طریقے سے استعمال کرتے ہوئے دیکھا جا سکتا ہے: پہلے بیان کردہ خاص معاملے میں، جب بہت سے ابتدائی واقعات ریکارڈ کیے جاتے ہیں، تو تخمینہ کار ایک سے نیچے کی قیمت کے ساتھ بہت سی اصطلاحات کو ضرب دے گا اور اس طرح اس بات کو مدنظر رکھے گا کہ بقا کا امکان زیادہ نہیں ہو سکتا۔ زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ لگانے والے کپلان-میئر تخمینہ لگانے والے کے طور پر مشتق کو مجرد خطرے کی تقریب کے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ زیادہ خاص طور پر واقعات کی تعداد اور وقت پر خطرے میں کل افراد کے طور پر، مجرد خطرے کی شرح کو کسی فرد کے وقت کسی واقعہ کے امکان کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ پھر بقا کی شرح کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: اور وقت کے ساتھ رسڈر فنکشن کے لیے امکانات کا فنکشن یہ ہے: لہذا لاگ کا امکان یہ ہوگا: پیداوار کے حوالے سے لاگ کے امکانات کا زیادہ سے زیادہ پتہ لگانا: جہاں ٹوپی کا استعمال زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ اس نتیجے کو دیکھتے ہوئے، ہم لکھ سکتے ہیں: زیادہ عام طور پر (مسلسل اور ساتھ ہی غیر متزلزل بقا کی تقسیم کے لیے)، کپلان-میئر تخمینہ کی تشریح غیر پیرامیٹرک زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ فوائد اور حدود کپلان-میئر تخمینہ بقا کے تجزیے کے سب سے زیادہ استعمال ہونے والے طریقوں میں سے ایک ہے۔ یہ تخمینہ صحت یابی کی شرح، موت کے امکان اور علاج کی تاثیر کا جائزہ لینے کے لیے مفید ثابت ہو سکتا ہے۔ یہ کوویریٹس کے لیے ایڈجسٹ بقا کا اندازہ لگانے کی صلاحیت میں محدود ہے ؛ پیرامیٹرک بقا کے ماڈل اور کاکس متناسب خطرات کا ماڈل کوویریٹ ایڈجسٹ بقا کا اندازہ لگانے کے لیے مفید ہو سکتا ہے۔ کپلان-میئر تخمینہ لگانے والے کا براہ راست تعلق نیلسن-ایلن تخمینہ لگانے والے سے ہے اور دونوں تجرباتی امکانات کو زیادہ سے زیادہ کرتے ہیں۔ شماریاتی تحفظات کپلان-میئر تخمینہ ایک اعداد و شمار ہے، اور اس کے تغیر کا تخمینہ لگانے کے لیے کئی تخمینے استعمال کیے جاتے ہیں۔ سب سے عام تخمینوں میں سے ایک گرین ووڈ کا فارمولا ہے: جہاں معاملات کی تعداد ہے اور مشاہدات کی کل تعداد ہے۔ کچھ معاملات میں، کوئی بھی مختلف کپلان-میئر منحنی خطوط کا موازنہ کرنا چاہے گا۔ یہ لاگ رینک ٹیسٹ، اور کاکس متناسب خطرات ٹیسٹ کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ دیگر اعداد و شمار جو اس تخمینہ کے ساتھ مفید ہو سکتے ہیں وہ پوائنٹ وائز اعتماد کے وقفے، ہال ویلنر بینڈ اور مساوی صحت سے متعلق بینڈ ہیں۔ سافٹ ویئر میتھمیٹکا: بلٹ ان فنکشن سروائیول ماڈل فٹ بقا کے ماڈل بناتا ہے۔ ایس اے ایس: کپلان-میئر تخمینہ کو پروک لائفٹیسٹ طریقہ کار میں لاگو کیا جاتا ہے۔ R: کپلان-میئر تخمینہ بقا کے پیکیج کے حصے کے طور پر دستیاب ہے۔ اسٹیٹا: ایس ٹی ایس کمانڈ کپلان-میئر تخمینہ کار کو واپس کرتی ہے۔ ازگر: لائف لائنز اور اسکائٹ-سروائیول پیکجوں میں سے ہر ایک میں کپلان-میئر تخمینہ شامل ہے۔ MATLAB: 'فنکشن'، 'سروائیور' دلائل کے ساتھ ای سی ڈی ایف فنکشن کپلان-میئر تخمینہ کا حساب یا پلاٹ کر سکتا ہے۔ اسٹیٹس ڈائریکٹ: کپلان-میئر تخمینہ کو بقا کے تجزیے کے مینو میں لاگو کیا گیا ہے۔ ایس پی ایس ایس: کپلان-میئر تخمینہ تجزیہ> بقا> کپلان-میئر. مینو میں لاگو کیا گیا ہے۔ جولیا: Survival.jl پیکیج میں کپلان-میئر تخمینہ شامل ہے۔ ایپی معلومات: کپلان-میئر تخمینہ لگانے والے بقا کے منحنی خطوط اور لاگ رینک ٹیسٹ کے نتائج KMSURVIVAL کمانڈ کے ساتھ حاصل کیے جاتے ہیں۔ بقا کا تجزیہ حد سے تجاوز کی تعدد میڈین مہلک خوراک نیلسن-ایلن تخمینہ حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی روابط تخمینہ ایکچوریئل سائنس بقا کا تجزیہ وشوسنییتا انجینئرنگ