Azumaya algebra
ریاضی میں، ازومایا الجبرا مرکزی سادہ الجبرا سے لے کر-الجبرا تک کی عمومی شکل ہے جہاں فیلڈ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اس طرح کا تصور گورو ازومایا کے 1951 کے ایک مقالے میں پیش کیا گیا تھا، اس معاملے کے لیے جہاں ایک مواصلاتی مقامی رنگ ہے۔ یہ تصور رنگ تھیوری اور الجبرائی جیومیٹری میں مزید تیار کیا گیا، جہاں الیگزینڈر گروتینڈیک نے اسے 1964-65 سے بورباکی سیمیناروں میں براؤر گروپ کے اپنے ہندسی نظریہ کی بنیاد بنایا۔ اب بنیادی تعریفوں تک رسائی کے کئی نکات ہیں۔ ایک انگوٹی کے اوپر ایک ازومایا الجبرا ایک-الجبرہ ہے جو مندرجہ ذیل مساوی شرائط میں سے کسی ایک کی پابندی کرتا ہے: ایک-الجبرہ اس طرح موجود ہے کہ-الجبرہ کا ٹینسر پروڈکٹ موریٹا کے مساوی ہے۔ - الجبرا موریٹا کے مساوی ہے، جہاں اس کا مخالف الجبرا ہے۔ کا مرکز ہے، اور الگ کرنے کے قابل ہے۔ ایک-ماڈیول کے طور پر حتمی طور پر تیار، وفادار، اور پروجیکٹو ہے، اور ٹینسر پروڈکٹ نقشہ کے ذریعے کے اینڈومورفزم کو بھیجنے کے لیے آئسومورفک ہے۔ کسی فیلڈ پر مثالیں، ازومایا الجبرا کو مکمل طور پر آرٹن ویڈربرن تھیوریم کے ذریعہ درجہ بند کیا جاتا ہے کیونکہ وہ مرکزی سادہ الجبرا کی طرح ہیں۔ یہ کسی تقسیم الجبرا کے لیے میٹرکس رنگ کے لیے الگبراس آئسومورفک ہیں جس کا مرکز صرف ہے۔ مثال کے طور پر، کواٹرنیئن الجبرا مرکزی سادہ الجبرا کی مثالیں فراہم کرتے ہیں۔ لوکل رنگوں پر مثالیں ایک لوکل کمیوٹیٹو رنگ کو دیکھتے ہوئے، ایک-الجبرا ازومایا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک-ماڈیول کے طور پر مثبت محدود رینک سے پاک ہو، اور الجبرا ایک مرکزی سادہ الجبرا ہو، اس لیے تمام مثالیں مرکزی سادہ الجبرا سے آتی ہیں۔ ازومایا الجبرا کی ایک کلاس ہے جسے سائکلک الجبرا کہا جاتا ہے جو کسی فیلڈ پر ازومایا الجبرا کی تمام مماثلت والی کلاسیں پیدا کرتا ہے، اس لیے براؤر گروپ کے تمام عناصر (ذیل میں بیان کردہ)۔ ڈگری کی ایک محدود سائیکلکل گالوئس فیلڈ ایکسٹینشن کو دیکھتے ہوئے، ہر اور کسی بھی جنریٹر کے لیے ایک مڑی ہوئی کثیر الجہتی انگوٹی ہوتی ہے، جسے بھی ظاہر کیا جاتا ہے، جو ایک عنصر سے اس طرح پیدا ہوتی ہے اور مندرجہ ذیل کمیونیٹیشن پراپرٹی رکھتی ہے: ایک ویکٹر اسپیس کے طور پر، نوٹ کے ذریعہ دیئے گئے ضرب کے ساتھ بنیاد رکھتی ہے جو ہندسی طور پر انٹیگرل تنوع دیتی ہے، کوٹینٹ فیلڈ ایکسٹینشن کے لیے ایک وابستہ سائیکلکل الجبرا بھی ہے۔ دائرے کے اوپر، ایٹیل کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے ازومایا الجبرا کی ایک کوہمولوجیکل درجہ بندی ہے۔ در حقیقت، اس گروپ، جسے براؤر گروپ کہا جاتا ہے، کو کسی رنگ پر ازومایا الجبرا کی مماثلت کی کلاسوں کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے، جہاں کچھ قدرتی نمبروں کے لیے رنگوں کی آئسومورفزم ہونے کی صورت میں رنگ ایک جیسے ہوتے ہیں۔ پھر، یہ مساوات درحقیقت ایک مساوات کا رشتہ ہے، اور اگر، تب، دکھانا ایک اچھی طرح سے متعین عمل ہے۔ یہ ایسی مساوی کلاسوں کے سیٹ پر ایک گروپ ڈھانچہ بناتا ہے جسے براؤر گروپ کہا جاتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ ایک اور تعریف ایٹیل کوہمولوجی گروپ کے ٹورسن ذیلی گروپ کے ذریعہ دی گئی ہے جسے کوہمولوجیکل براؤر گروپ کہا جاتا ہے۔ یہ دونوں تعریفیں اس بات پر متفق ہیں کہ فیلڈ کب ہے۔ گالوئس کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے براؤر گروپ گالوئس کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے براؤر گروپ کی ایک اور مساوی تعریف ہے۔ فیلڈ ایکسٹینشن کے لیے ایک کوہمولوجیکل براؤر گروپ ہوتا ہے جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے اور کوہمولوجیکل براؤر گروپ کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں کولیمیٹ کو تمام محدود گالوئس فیلڈ ایکسٹینشنز پر لیا جاتا ہے۔ مقامی فیلڈ کے لیے کمپیوٹیشن مقامی غیر آرکیمیڈین فیلڈ پر، جیسے کہ p-adic نمبرز، مقامی کلاس فیلڈ تھیوری ابیلین گروپوں کی آئسومورفزم فراہم کرتی ہے: pg 193 اس کی وجہ یہ ہے کہ ابیلین فیلڈ کی توسیع کو دیکھتے ہوئے گالوئس گروپوں کی ایک مختصر عین ترتیب ہے اور مقامی کلاس فیلڈ تھیوری سے، مندرجہ ذیل مواصلاتی خاکہ موجود ہے: جہاں عمودی نقشے آئسومورفزم ہیں اور افقی نقشے انجیکشن ہیں۔ کسی فیلڈ کے لیے n-ٹورشن یاد رکھیں کہ کسی فیلڈ کے لیے کوہمولوجی میں ایک طویل عین مطابق ترتیب دینے والی کمر ترتیب موجود ہے۔ چونکہ ہلبرٹ کی تھیوریم 90 کا مطلب ہے، ایک متعلقہ مختصر عین مطابق ترتیب ہے جس میں دوسرے ایٹیل کوہومولوجی گروپ کو اتحاد کی جڑوں میں کوفیشنٹس کے ساتھ دکھایا گیا ہے کہ وہ کسی فیلڈ پر براؤر گروپ میں این-ٹورسن کلاسوں کے جنریٹر ہیں۔ گالوئس علامت، یا معمول کی باقیات کی علامت،-ٹورسن ملنور کے تھیوری گروپ سے ایٹیل کوہومولوجی گروپ کا نقشہ ہے، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ یہ ہلبرٹ کے تھیوریم 90 آئسومورفزم کے ساتھ ایٹیل کوہومولوجی میں کپ پروڈکٹ کی ساخت سے آتا ہے لہذا یہ نقشے کے عوامل کو اس کے ذریعے بدل دیتا ہے، جس کی کلاس کی نمائندگی ایک چکور الجبرا کرتا ہے۔ کمر ایکسٹینشن کے لیے، چکور گروپ کا جنریٹر لیں، اور تعمیر کریں۔ گالوئس کوہمولوجی اور ایٹیل کوہمولوجی کے ذریعے ایک متبادل، لیکن مساوی تعمیر ہے۔ ٹریوئل-ماڈیولز کی مختصر عین مطابق ترتیب پر غور کریں لمبی عین مطابق ترتیب سے ایک نقشہ ملتا ہے۔ منفرد کردار کے لیے، ایک منفرد لفٹ ہے اور نوٹ کریں کہ کلاس ہلبرٹس تھیوریم 90 نقشے سے ہے۔ پھر، چونکہ اتحاد کی ایک قدیم جڑ موجود ہے، اس لیے ایک کلاس بھی موجود ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ بالکل وہی کلاس ہے۔ نارم ریسیڈیو آئسومورفزم تھیوریم کی وجہ سے، ایک آئسومورفزم ہے اور-ٹورسن کلاسیں سائکلک الجبرا کے ذریعہ تیار کی جاتی ہیں۔ اسکولیم-نویتھر تھیوریم ازومایا الجبرا کے بارے میں اہم ڈھانچے کے نتائج میں سے ایک اسکولیم-نویتھر تھیوریم ہے: ایک مقامی مواصلاتی رنگ اور ازومایا الجبرا کو دیکھتے ہوئے، اس کے واحد آٹومورفزم اندرونی ہیں۔ معنی، مندرجہ ذیل نقشہ سرجیکٹو ہے: اس میں اکائیوں کا گروپ کہاں ہے یہ اہم ہے کیونکہ اس کا براہ راست تعلق ایک اسکیم پر ازومایا الجبرا کی مماثلت کی کلاسوں کی ہم آہنگی کی درجہ بندی سے ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ ازومایا الجبرا میں کچھ کے لیے اسٹرکچر گروپ ہوتا ہے، اور چیچ کوہمولوجی گروپ اس طرح کے بنڈلوں کی کوہمولوجیکل درجہ بندی دیتا ہے۔ پھر، اس کا تعلق عین مطابق ترتیب کو استعمال کرنے سے ہو سکتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اس کی تصویر ٹورسن ذیلی گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ ایک اسکیم پر ایک اسکیم X پر ساخت کے خول کے ساتھ ایک ازومایا الجبرا، اصل گروتھینڈک سیمینار کے مطابق،-الجبراس کا ایک خول ہے جو کہ میٹرکس الجبرا کے خول کے لیے مقامی طور پر آئسومورفک ہے ؛ تاہم، کسی کو اس شرط کو شامل کرنا چاہیے کہ ہر میٹرکس الجبرا کا خول مثبت درجہ کا ہو۔ یہ تعریف ازومایا الجبرا کو شیف کی 'مڑی ہوئی شکل' میں بناتی ہے۔ ملن، ایٹیل کوہومولوجی، اس کے بجائے اس تعریف سے شروع ہوتا ہے کہ یہ الجیبراس کا ایک ڈھیر ہے جس کا ڈنٹھل ہر نقطہ پر مقامی رنگ پر ایک ازومایا الجبرا ہے جو اوپر دیئے گئے معنی میں ہے۔ دو ازومایا الجبراس اور مساوی ہیں اگر مقامی طور پر آزاد شییوز موجود ہوں اور ہر نقطہ پر محدود مثبت درجہ کے ہوں تاکہ ان کا اینڈومورفزم شیف کہاں ہو۔ براؤر گروپ آف (کسی فیلڈ کے براؤر گروپ کا ایک ینالاگ) ازومایا الجبرا کی مساوات کی کلاسوں کا مجموعہ ہے۔ گروپ آپریشن ٹینسر پروڈکٹ کے ذریعہ دیا جاتا ہے، اور الٹا مخالف الجبرا کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ کوہمولوجیکل براؤر گروپ سے الگ ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ سپیک پر مثال (Z [1/n]) کسی فیلڈ پر کواٹرنیئن الجبرا کی تعمیر کو غیر متغیر-الجبرا پر غور کرکے عالمگیریت بنایا جا سکتا ہے، پھر،-الجبراس کے خول کے طور پر، ازومایا الجبرا کی ساخت ہوتی ہے۔ اوپن افائن سیٹ تک محدود رہنے کی وجہ یہ ہے کہ کواٹرنیئن الجبرا پوائنٹس پر ایک تقسیم الجبرا ہے اور صرف اس صورت میں جب ہلبرٹ کی علامت بالکل درست ہو لیکن حتمی طور پر کئی پرائمز ہوں۔ کسی فیلڈ پر ازومایا الجبرا کے طور پر ازومایا الجبرا پر پی این اوور ازومایا الجبرا کی مثال بنائی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، کا اینڈومورفزم شیف میٹرکس شیف ہے لہذا ازومایا الجبرا کو اس شیف سے بنایا جا سکتا ہے جو ازومایا الجبرا کے ساتھ ٹینسر کیا گیا ہے، جیسے کہ کواٹرنیئن الجبرا۔ یوری منین کے کام کے بعد، ڈیوفنٹائن جیومیٹری میں ازومایا الجبرا کے نمایاں استعمال ہوئے ہیں۔ ہاس کے اصول میں منین رکاوٹ کی تعریف بروئر گروپ آف اسکیمز کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے۔ جربی کلاس فیلڈ تھیوری الجبرائی کے تھیوری موٹوک کوہمولوجی نارم ریسیڈیو آئسومورفزم تھیوریم حوالہ جات براؤر گروپ اور ازومایا الجیبراس ملن، جان بھی دیکھیں۔ ایٹیل کوہمولوجی۔ Ch IV میتھوور فلو تھریڈ "ازومایا الجبرا کی واضح مثالیں" ڈویژن الجبرا رنگ تھیوری اسکیم تھیوری الجبرا پر