Projective object
زمرہ نظریہ میں، ایک پروجیکٹو آبجیکٹ کا تصور ایک پروجیکٹو ماڈیول کے تصور کو عام کرتا ہے۔ ابیلین زمروں میں پروجیکٹو اشیاء کو ہومیولوجیکل الجبرا میں استعمال کیا جاتا ہے۔ پروجیکٹو آبجیکٹ کا دوہرا تصور انجیکٹو آبجیکٹ کا ہوتا ہے۔ تعریف کسی زمرے میں ایک شے پروجیکٹو ہوتی ہے اگر کسی ایپیمورفزم اور مورفزم کے لیے ایسی مورفزم ہوتی ہے، یعنی۔ مندرجہ ذیل خاکہ نقل مکانی کرتا ہے: یعنی، ہر مورفزم ہر ایپیمورفزم کے ذریعے عوامل کرتا ہے۔ اگر C مقامی طور پر چھوٹا ہے، یعنی، خاص طور پر C میں کسی بھی آبجیکٹ X کے لیے ایک سیٹ ہے، تو یہ تعریف اس شرط کے برابر ہے کہ ہوم فنکٹر (جسے کور پریزنٹیبل فنکٹر بھی کہا جاتا ہے) ایپیمورفزم کو محفوظ رکھتا ہے۔ ابیلین زمروں میں پروجیکٹو آبجیکٹ اگر زمرہ C ایک ابیلین زمرہ ہے جیسے کہ، مثال کے طور پر، ابیلین گروپوں کا زمرہ، تو P پروجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک عین مطابق فنکٹر ہو، جہاں Ab ابیلین گروپوں کا زمرہ ہے۔ ایک ابیلین زمرے کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں کافی پروجیکٹو ہوتے ہیں اگر، ہر شے کے لیے، ایک پروجیکٹو آبجیکٹ اور P سے A تک ایک ایپیمورفزم یا، مساوی طور پر، ایک مختصر عین ترتیب ہو۔ اس تعریف کا مقصد اس بات کو یقینی بنانا ہے کہ کوئی بھی آبجیکٹ A ایک پروجیکٹو ریزولوشن کو قبول کرتا ہے، یعنی، ایک (طویل) عین مطابق ترتیب جہاں اشیاء پروجیکٹو ہیں۔ محدود کلاسوں کے حوالے سے پروجیکٹوٹی ایک نام نہاد بائی کیٹیگری سے متعلق پروجیکٹو (اور ڈیول انجیکشن) اشیاء کے تصور پر بحث کرتی ہے، جو دی گئی زمرہ سی میں "انجیکشنز" اور "سرجیکشنز" کے ذیلی زمرہ جات پر مشتمل ہے۔ یہ ذیلی زمرہ جات کچھ رسمی خصوصیات کے تابع ہیں جن میں یہ ضرورت بھی شامل ہے کہ کوئی بھی سرجیکشن ایک ایپیمورفزم ہے۔ ایک پروجیکٹو آبجیکٹ (سرجیکشنز کی فکسڈ کلاس سے متعلق) پھر ایک آبجیکٹ P ہوتا ہے تاکہ ہوم (P, −) سرجیکشنز کی فکسڈ کلاس (تمام ایپیمورفزمز کے برخلاف) کو سیٹوں کے سرجیکشنز (معمول کے لحاظ سے) میں بدل دے۔ خصوصیات دو پروجیکٹو اشیاء کی مشترکہ پیداوار پروجیکٹو ہوتی ہے۔ پروجیکٹو آبجیکٹ کا پیچھے ہٹنا پروجیکٹو ہوتا ہے۔ مثالیں یہ بیان کہ تمام سیٹ پروجیکٹو ہیں انتخاب کے محور کے برابر ہے۔ ابیلین گروپوں کے زمرے میں پروجیکٹو آبجیکٹ آزاد ابیلین گروپ ہیں۔ آئیے شناخت کے ساتھ ایک انگوٹھی بنیں۔ (ابیلین) زمرہ-بائیں-ماڈیولز کے موڈ پر غور کریں۔ - موڈ میں پروجیکٹو آبجیکٹ بالکل پروجیکٹو لیفٹ R-ماڈیول ہیں۔ نتیجتا، خود-موڈ میں ایک پروجیکٹو آبجیکٹ ہے۔ دو طرفہ طور پر،-موڈ میں انجیکشن والی اشیاء بالکل انجیکشن والے بائیں R-ماڈیول ہیں۔ بائیں (دائیں)-ماڈیولز کے زمرے میں بھی کافی پروجیکٹو ہوتے ہیں۔ یہ سچ ہے کیونکہ، ہر بائیں (دائیں)-ماڈیول کے لیے، ہم آزاد (اور اس لیے پروجیکٹو)-ماڈیول کے طور پر لے سکتے ہیں جو ایک جنریٹنگ سیٹ کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر ہم لے سکتے ہیں)۔ پھر کینونکل پروجیکشن مطلوبہ سرجیکشن ہے۔ کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے زمرے میں پروجیکٹو آبجیکٹ بالکل انتہائی منقطع خالی جگہیں ہیں۔ یہ نتیجہ ایک آسان ثبوت کے ساتھ دیا گیا ہے۔ بناچ خالی جگہوں اور سنکچن کے زمرے میں (یعنی فنکشنل جن کا معیار زیادہ سے زیادہ 1 ہے)، ایپیمورفزم بالکل گھنے امیج والے نقشے ہیں۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ صفر جگہ اس زمرے میں واحد پروجیکٹو آبجیکٹ ہے۔ تاہم، غیر معمولی خالی جگہیں ہیں، جو سرجیکٹو سنکچن کی کلاس کے حوالے سے پروجیکٹو ہیں۔ سکڑنے کے ساتھ معیاری ویکٹر خالی جگہوں کے زمرے میں (اور سرجیکٹو نقشے بطور "سرجیکشنز")، پروجیکٹو آبجیکٹ بالکل-خالی جگہیں ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط 'ہومیولوجیکل الجبرا آبجیکٹس (زمرہ نظریہ)