J-homomorphism
ریاضی میں، جے-ہومومورفزم خصوصی آرتھوگنل گروپوں کے ہوموٹوپی گروپوں سے لے کر شعبوں کے ہوموٹوپی گروپوں تک کی نقشہ سازی ہے۔ اس کی تعریف کی گئی تھی، کی تعمیر کو بڑھانا۔ تعریف وائٹ ہیڈ کی اصل ہومومورفزم کو ہندسی طور پر بیان کیا گیا ہے، اور انٹیجرز q کے لیے ابیلین گروپوں کی ہومومورفزم دیتا ہے، اور۔ (ہوپف نے خصوصی کیس کے لیے اس کی وضاحت کی۔) جے-ہومومورفزم کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ خصوصی آرتھوگنل گروپ SO (q) کے ایک عنصر کو نقشہ سمجھا جا سکتا ہے اور ہوموٹوپی گروپ) r-دائرے سے SO (q) تک نقشوں کی ہوموٹوپی کلاسوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ اس طرح کے ایک عنصر کی نمائندگی نقشے کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس پر ہوپف کی تعمیر کا اطلاق ایک نقشہ دیتا ہے، جس میں وائٹ ہیڈ نے جے-ہومومورفزم کے تحت کے عنصر کی شبیہہ کے طور پر تعریف کی ہے۔ ایک حد کو لے کر جیسا کہ q کا رجحان انفینٹی کی طرف ہوتا ہے مستحکم ہوموٹوپی تھیوری میں مستحکم J-ہومومورفزم دیتا ہے: جہاں انفینٹ اسپیشل آرتھوگنل گروپ ہے، اور دائیں ہاتھ کی طرف شعبوں کے مستحکم ہوموٹوپی گروپوں کا r-th مستحکم اسٹیم ہے۔ جے-ہومومورفزم کی شبیہہ جے-ہومومورفزم کی شبیہہ کو ایڈمز قیاس کے ذریعے بیان کیا گیا تھا، جس کا نتیجہ مندرجہ ذیل ہے۔ گروپ کو باٹ پیریڈیسٹی کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ ہمیشہ چکور ہوتا ہے ؛ اور اگر r مثبت ہے، تو یہ ترتیب 2 کا ہے اگر r 0 یا 1 ماڈیولو 8 ہے، لامحدود اگر r 3 یا 7 ماڈیولو 8 ہے، اور دوسری صورت میں ترتیب 1 ہے۔ خاص طور پر مستحکم جے-ہومومورفزم کی تصویر چکور ہوتی ہے۔ مستحکم ہوموٹوپی گروپس جے-ہومومورفزم کی (چکور) تصویر کا براہ راست مجموعہ ہیں، اور ایڈمز ای-متغیر کا دانا، مستحکم ہوموٹوپی گروپس سے ہومومورفزم۔ اگر r 0 یا 1 موڈ 8 اور مثبت ہے، تو تصویر کی ترتیب 2 ہے (لہذا اس صورت میں J-ہومومورفزم انجیکشن ہے)۔ اگر r 3 یا 7 موڈ 8 ہے، تو شبیہہ ترتیب کا ایک چکور گروپ ہے جو ڈینومینیٹر کے برابر ہے، جہاں برنولی نمبر ہے۔ بقیہ صورتوں میں جہاں r 2، 4، 5، یا 6 موڈ 8 ہے، تصویر معمولی ہے کیونکہ معمولی ہے۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل" سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: سینٹر ؛ بیک گراؤنڈ-کلر: وائٹ" |-! سٹائل = "متن-صف بندی: دائیں ؛ چوڑائی: 10 ٪" | r! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 0! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 1! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 2! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 3! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 4! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 5! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 6! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 7! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 8! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 9! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 10! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 11! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 12! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 13! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 14! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 15! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 16! سٹائل = "چوڑائی: 5 ٪"۔ 17 |-! سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" | | 1 | | 2 | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | | 2 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 1 | | | 2 | | | 2 |-! سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ"۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: رائٹ" | | 2 | | 2 | | 24 | | 1 | | 2 | | 240 | | 22 | | 23 | | 6 | | 504 | | 1 | | 3 | | 22 | | 480 × 2 | | 22 | | | 24 |-! | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | جے-ہومومورفزم کا کوکنل مبنی ہوموٹوپی این-دائرے () کے ایچ-کوبورڈزم کلاسوں کے گروپ میں ظاہر ہوتا ہے۔ حوالہ جات۔ ہوموٹوپی تھیوری جھوٹ گروپوں کی ٹوپولوجی