Acyclic model
الجبرائی ٹوپولوجی میں، جو ریاضی کے اندر ایک شعبہ ہے، ایسیکلک ماڈل تھیوریم کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ہومیولوجی کے دو نظریات آئسومورفک ہیں۔ یہ تھیوریم ماہر ٹاپولوجسٹ سیموئل ایلن برگ اور سانڈرز میک لین نے تیار کیا تھا۔ انہوں نے دریافت کیا کہ، جب ٹپوولوجسٹ مختلف ہومیولوجی نظریات کی مساوات قائم کرنے کے لیے ثبوت لکھ رہے تھے، تو ان عمل میں بے شمار مماثلت تھی۔ ایلن برگ اور میک لین نے پھر اس عمل کو عام کرنے کے لیے نظریہ دریافت کیا۔ اسے ایلن برگ-زیلبر تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے ؛ یہ ماڈل کیٹیگری کے خیال کی طرف لے جاتا ہے۔ نظریہ کا بیان آئیے ایک صوابدیدی زمرہ ہو اور کسی رنگ پر-ماڈیولز کے سلسلہ کمپلیکس کا زمرہ ہو۔ آئیے متغیر فنکٹر اس طرح ہوں کہ: کے لیے۔ ایسے لوگ ہیں جن کی ایک بنیاد ہے، اسی طرح ایک مفت فنکٹر بھی ہے۔ ان ماڈلز پر is-اور-acyclic ہے، جس کا مطلب ہے کہ سب کے لیے۔ پھر درج ذیل دعوے برقرار ہیں: ہر قدرتی تبدیلی ایک قدرتی سلسلہ نقشہ کو جنم دیتی ہے۔ اگر قدرتی تبدیلیاں ہیں، پہلے کی طرح قدرتی سلسلہ نقشے ہیں اور تمام ماڈلز کے لیے، تو اور کے درمیان ایک قدرتی سلسلہ ہوموٹوپی ہے۔ خاص طور پر چین کا نقشہ قدرتی چین ہوموٹوپی تک منفرد ہے۔ عامیاں پروجیکٹو اور ایسائکلک کمپلیکس جو اوپر ہے وہ تھیوریم کے ابتدائی ورژن میں سے ایک ہے۔ ایک اور ورژن وہ ہے جس میں کہا گیا ہے کہ اگر ابیلین زمرے میں پروجیکٹس کا ایک کمپلیکس ہے اور اس زمرے میں ایک ایسیکلک کمپلیکس ہے، تو کوئی بھی نقشہ زنجیر کے نقشے تک پھیلا ہوا ہے، جو ہوموٹوپی تک منفرد ہے۔ اگر کوئی فنکٹر کیٹیگری کو ابیلین کیٹیگری کے طور پر استعمال کرتا ہے تو یہ تقریبا مندرجہ بالا تھیوریم میں مہارت رکھتا ہے۔ فری فنکٹر اس زمرے میں پروجیکٹو آبجیکٹ ہیں۔ فنکٹر زمرے میں مورفزم قدرتی تبدیلیاں ہیں، لہذا تعمیر شدہ سلسلہ کے نقشے اور ہوموٹوپیز تمام قدرتی ہیں۔ فرق یہ ہے کہ مندرجہ بالا ورژن میں، ایسائکلک ہونا صرف مخصوص اشیاء پر ایسائکلک ہونے کے مقابلے میں ایک مضبوط مفروضہ ہے۔ دوسری طرف، مندرجہ بالا ورژن تقریبا اس ورژن کو صرف ایک آبجیکٹ کے ساتھ زمرے کی اجازت دے کر ظاہر کرتا ہے۔ پھر مفت فنکٹر بنیادی طور پر صرف ایک مفت (اور اس وجہ سے پروجیکٹو) ماڈیول ہے۔ ماڈلز پر ایسائکلک ہونے کا مطلب (صرف ایک ہے) اس کے علاوہ اور کچھ نہیں ہے کہ کمپلیکس ایسائکلک ہے۔ ایسیکلک کلاسیں ایک عظیم نظریہ ہے جو مذکورہ بالا دونوں کو یکجا کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ایک ابیلین زمرہ ہو (مثال کے طور پر، یا)۔ سلسلہ کمپلیکس کی ایک کلاس کو ایسائکلک کلاس کہا جائے گا بشرطیکہ: 0 کمپلیکس اندر ہو۔ کمپلیکس کا تعلق اگر اور صرف اس صورت میں ہے جب اس کی معطلی ہوتی ہے۔ اگر کمپلیکس اور ہوموٹوپک ہیں اور، تو۔ ہر کمپلیکس ایکائکلک ہوتا ہے۔ اگر ایک ڈبل کمپلیکس ہے، جس کی تمام قطاریں اس میں ہیں، تو اس کی کل کمپلیکس کا تعلق ہے۔ ایسیکلک کلاسوں کی تین قدرتی مثالیں ہیں، حالانکہ بلاشبہ دیگر موجود ہیں۔ پہلا ہوموٹوپی کنٹریکٹ ایبل کمپلیکس کا ہے۔ دوسرا ایسائکلک کمپلیکس کا ہے۔ فنکٹر زمروں میں (مثال کے طور پر۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں سے لے کر ابیلین گروپوں تک تمام فنکٹرز کا زمرہ)، کمپلیکس کی ایک کلاس ہے جو ہر شے پر سکڑ سکتی ہے، لیکن جہاں سکڑنا قدرتی تبدیلیوں سے نہیں دیا جا سکتا ہے۔ ایک اور مثال ایک بار پھر فنکٹر کیٹیگریز میں ہے لیکن اس بار کمپلیکس صرف مخصوص اشیاء پر ایسائکلک ہیں۔ آئیے کمپلیکس کے درمیان سلسلہ نقشوں کی کلاس کو ظاہر کرتے ہیں جن کی نقشہ سازی شنک سے تعلق رکھتی ہے۔ اگرچہ ضروری نہیں کہ اس میں دائیں یا بائیں حصوں کا کیلکولس ہو، لیکن اس میں بائیں اور دائیں حصوں دونوں کی ہوموٹوپی کلاسز ہونے کی کمزور خصوصیات ہیں جو تیروں کو الٹ کر حاصل کردہ کلاس بنانے کی اجازت دیتی ہیں۔ ایک آگمینٹڈ اینڈو فنکٹر آن ہونے دیں، جس کا مطلب ہے کہ ایک قدرتی تبدیلی (آئیڈینٹیٹی فنکٹر آن) دی گئی ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ سلسلہ کمپلیکس-پیش کرنے کے قابل ہے اگر ہر ایک کے لیے، سلسلہ کمپلیکس کا تعلق ہے۔ باؤنڈری آپریٹر کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ اگر آگمینٹڈ چین کمپلیکس کا تعلق ہے تو چین کمپلیکس فنکٹر-ایسیکلک ہے۔ نظریہ۔ سلسلہ کمپلیکس کے زمرے میں ایک ایسیکلک کلاس اور تیروں کی متعلقہ کلاس ہونے دیں۔ فرض کریں کہ یہ-پیش کرنے کے قابل ہے اور-آکیکلک ہے۔ پھر کوئی بھی قدرتی تبدیلی زمرے میں چین فنکٹرز کی قدرتی تبدیلی تک پھیل جاتی ہے اور یہ چین ہوموٹوپیز تک منفرد ہے۔ اگر ہم فرض کریں، اس کے علاوہ، یہ ہے-پیش کرنے کے قابل، یہ ہے-آکیکلک، اور یہ ایک آئسومورفزم ہے، تو ہوموٹوپی مساوات ہے۔ مثال یہاں عمل میں اس آخری نظریہ کی ایک مثال ہے۔ آئیے مثلث خالی جگہوں کا زمرہ بنیں اور ابیلین گروپ کا زمرہ بنیں جس پر فنکٹروں کی قدر کی جاتی ہے۔ سنگل چین کمپلیکس فنکٹر بنیں اور سادہ چین کمپلیکس فنکٹر بنیں۔ ہر جگہ کو جگہ تفویض کرنے والا فنکٹر بننے دیں۔ یہاں،-سمپلیکس ہے اور یہ فنکٹر ہر-سمپلیکس کی اتنی ہی کاپیوں کے مجموعے کو تفویض کرتا ہے جتنی نقشے ہیں۔ پھر اس کی وضاحت کی جائے۔ ایک واضح اضافہ ہے اور اس سے ایک پر حوصلہ افزائی ہوتی ہے. یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ دونوں اور دونوں-پیش کرنے کے قابل اور-آکیکلک ہیں (جو ثبوت پیش کرنے کے قابل اور آکیکلک ہے وہ مکمل طور پر سیدھا نہیں ہے اور سادہ ذیلی تقسیم کے ذریعے ایک چکر کا استعمال کرتا ہے، جسے مندرجہ بالا نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے بھی سنبھالا جا سکتا ہے)۔ کلاس ہومیولوجی مساوات کی کلاس ہے۔ یہ واضح ہے کہ اور اس لیے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ واحد اور سادہ ہومیولوجی آئسومورفک ہیں۔ الجبرا اور ٹوپولوجی دونوں میں بہت سی دوسری مثالیں موجود ہیں، جن میں سے کچھ حوالہ جات شون، آر۔ "ایسائکلک ماڈل اور اخراج" میں بیان کی گئی ہیں۔ پروک۔ آمیر۔ ریاضی۔ سوک۔ 59 (1) (1976) pp.167--168۔ الجبرائی ٹوپولوجی میں ہومیولوجیکل الجبرا تھیوریمز