Method of dominant balance
ریاضی میں، غالب توازن کا طریقہ مساوات کو مکمل طور پر حل کیے بغیر ایک عام تفریقی مساوات کے حل کے غیر علامتی رویے کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ عمل تکرار ہے، اس میں کہ ایک بار طریقہ کار انجام دینے سے حاصل ہونے والا نتیجہ ان پٹ کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے جب طریقہ کار کو دہرایا جاتا ہے، تاکہ مطلوبہ علامات کی توسیع میں زیادہ سے زیادہ اصطلاحات حاصل کی جا سکیں۔ عمل مندرجہ ذیل ہے: فرض کریں کہ غیر علامتی رویے کی شکل ہے ایک باخبر اندازہ لگائیں کہ او ڈی ای میں کون سی اصطلاحات سود کی حد میں نہ ہونے کے برابر ہو سکتی ہیں۔ ان شرائط کو چھوڑ دیں اور نتیجے میں آنے والے آسان ODE کو حل کریں۔ چیک کریں کہ حل مرحلہ 2 کے مطابق ہے۔ اگر ایسا ہے، تو کسی کے پاس غیر علامتی رویے کا کنٹرول کرنے والا عنصر ہے ؛ بصورت دیگر، اس کے بجائے مرحلہ 2 میں مختلف اصطلاحات کو چھوڑنے کی کوشش کرنے کی ضرورت ہے۔ حل میں اہم اصطلاح کے طور پر مذکورہ بالا نتیجہ پر انحصار کرتے ہوئے، اعلی آرڈرز پر عمل کو دہرائیں۔ مثال: کثیر الجہتی مساوات کو حل کرنا مساوات کو چھوٹے کی حد پر حل کرنے کے لیے، ہم شکل کی سلسلہ وار توسیع کرنے پر غور کر سکتے ہیں۔ تاہم اس کا سامنا اس مسئلے سے ہوتا ہے: جب مساوات کی صرف ایک جڑ ہوتی ہے۔ تاہم غیر صفر کے لیے مساوات کے 5 جڑ ہوتے ہیں۔ اہم مسئلہ یہ ہے کہ ان میں سے 4 جڑیں لامحدود تک فرار ہو جاتی ہیں۔ یہ غالب توازن کے طریقہ کار کے استعمال کی تجویز کرتا ہے۔ یعنی، چھوٹے کے لیے، ہمارے پاس ہونا چاہیے، لہذا ہم تقریبا مساوات کو اس طرح حل کریں گے، جیسے کہ دینا۔ تو پلگ ان کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں کہ پانچ جڑیں ہیں، اور ہر جڑ کو پاور سیریز کے طور پر وسعت دیتے ہوئے، ہم پانچ سیریز حاصل کرتے ہیں: مثال صوابدیدی مستقلات کے لیے اور، غور کریں کہ اس تفریقی مساوات کو بالکل حل نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم، اس بات پر غور کرنا مفید ہے کہ حل بڑے کے لیے کس طرح برتاؤ کرتے ہیں: یہ پتہ چلتا ہے کہ ایسا برتاؤ کرتا ہے جیسے x → φ۔ زیادہ سختی سے، ہمارے پاس ہوگا، نہیں۔ چونکہ ہم بڑی حد کے رویے میں دلچسپی رکھتے ہیں، اس لیے ہم متغیرات کو = ایکسپ (S (x)) میں تبدیل کرتے ہیں، اور ODE کو S (x) کے لحاظ سے دوبارہ ظاہر کرتے ہیں، یا جہاں ہم نے پروڈکٹ رول اور چین رول کا استعمال کیا ہے۔ اب پہلے فرض کریں کہ اس ODE کا حل x → ≤ کے طور پر مطمئن ہوتا ہے، تاکہ x → ≤ کے طور پر۔ اگر مندرجہ بالا غیر علامتی حالات کو مطمئن کرتا ہے، تو مندرجہ بالا مفروضہ مطابقت رکھتا ہے۔ جو شرائط ہم نے چھوڑی ہیں وہ ان کے حوالے سے نہ ہونے کے برابر رہیں گی جو ہم نے رکھی ہیں۔ یہ ODE کا حل نہیں ہے، لیکن یہ غالب غیر علامتی رویے کی نمائندگی کرتا ہے، جس میں ہمیں دلچسپی ہے۔ چیک کریں کہ یہ انتخاب مستقل ہے، سب کچھ واقعی مستقل ہے۔ اس طرح ہمارے او ڈی ای کے حل کا غالب ایسمپٹوٹک طرز عمل پایا گیا ہے، روایت کے مطابق، مکمل ایسمپٹوٹک سلسلہ اس طرح لکھا جاتا ہے کہ کم از کم اس سلسلے کی پہلی اصطلاح حاصل کرنے کے لیے ہمیں یہ دیکھنے کے لیے مزید قدم اٹھانا ہوگا کہ آیا سامنے سے باہر کی طاقت ہے یا نہیں۔ ایک نیا سب لیڈنگ ڈیپینڈینٹ متغیر متعارف کروا کر آگے بڑھیں، اور پھر C (x) کے لیے غیر علامتی حل تلاش کریں۔ S (x) کے لیے مندرجہ بالا ODE میں تبدیل کرتے ہوئے ہم پاتے ہیں کہ پہلے کی طرح اسی عمل کو دہراتے ہوئے، ہم رکھتے ہیں اور یہ معلوم کرنے کے لیے کہ سب سے اہم غیر علامتی رویے کو پھر غیر علامتی تجزیہ حوالہ جات غیر علامتی تجزیہ ریاضیاتی سیریز عام تفریق مساوات بھی دیکھیں۔