Final value theorem
ریاضیاتی تجزیے میں، فائنل ویلیو تھیوریم (ایف وی ٹی) متعدد اسی طرح کے تھیوریمز میں سے ایک ہے جو فریکوئنسی ڈومین کے تاثرات کو ٹائم ڈومین کے رویے سے جوڑنے کے لیے استعمال ہوتا ہے کیونکہ وقت لامحدود کے قریب پہنچتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر، اگر مسلسل وقت میں (یکطرفہ) لیپلیس ٹرانسفارم ہوتا ہے، تو ایک حتمی ویلیو تھیوریم ایسے حالات قائم کرتا ہے جن کے تحت اسی طرح، اگر مجرد وقت میں (یکطرفہ) Z-ٹرانسفارم ہوتا ہے، تو ایک حتمی ویلیو تھیوریم ایسے حالات قائم کرتا ہے جن کے تحت ایک ابیلین فائنل ویلیو تھیوریم حساب کرنے کے لیے (یا) کے ٹائم ڈومین رویے کے بارے میں مفروضے بناتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک ٹوبیرین فائنل ویلیو تھیوریم (یا) کا حساب لگانے کے فریکوئنسی ڈومین رویے کے بارے میں مفروضے بناتا ہے (انٹیگرل ٹرانسفارمز کے لیے ابیلین اور ٹوبیرین تھیوریمز دیکھیں)۔ لیپلیس ٹرانسفارم ڈیڈیکنگ کے لیے فائنل ویلیو تھیوریمز درج ذیل بیانات میں، نوٹیشن "کا مطلب ہے کہ 0 کے قریب پہنچتا ہے، جبکہ" کا مطلب ہے کہ مثبت اعداد کے ذریعے 0 کے قریب پہنچتا ہے۔ معیاری حتمی قدر کا نظریہ فرض کریں کہ اس کا ہر قطب یا تو کھلے بائیں نصف سطح میں ہے یا اصل پر ہے، اور اس کے اصل میں زیادہ سے زیادہ ایک قطب ہے۔ پھر جیسا، اور۔ حتمی ویلیو تھیوریم مشتق کے لیپلیس ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے فرض کریں کہ اور دونوں میں لیپلیس ٹرانسفارمز ہیں جو سب کے لیے موجود ہیں۔ اگر موجود ہے اور موجود ہے تو۔ تبصرہ تھیوریم کے برقرار رہنے کے لیے دونوں حدود موجود ہونی چاہئیں۔ مثال کے طور پر، اگر تب موجود نہیں ہے، لیکن۔ بہتر توبیری اختلاط حتمی قدر نظریہ فرض کریں کہ وہ پابند اور تفریق پذیر ہے، اور وہ بھی پابند ہے۔ اگر ایسا ہے۔ توسیعی حتمی قدر کا نظریہ فرض کریں کہ اس کا ہر قطب یا تو کھلی بائیں نصف سطح پر ہے یا اصل پر ہے۔ پھر درج ذیل میں سے ایک ہوتا ہے: جیسا، اور۔ جیسا کہ، اور جیسا کہ۔ جیسا کہ، اور جیسا کہ۔ خاص طور پر، اگر کیس 2 یا 3 کا ایک سے زیادہ پول لاگو ہوتا ہے (یا)۔ عمومی حتمی ویلیو تھیوریم فرض کریں کہ یہ لیپلیس ٹرانسفارمیبل ہے۔ جانے دیں۔ اگر موجود ہے اور موجود ہے تو کہاں گاما فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز حاصل کرنے کے لیے حتمی ویلیو تھیوریمز کا اطلاق نظام کے طویل مدتی استحکام کو قائم کرنے میں ہوتا ہے۔ ابیلین فائنل ویلیو تھیوریم کو کم کرنا فرض کریں کہ یہ پابند اور قابل پیمائش ہے اور۔ پھر سب کے لیے موجود ہے اور۔ ابتدائی ثبوت فرض کریں کہ سہولت کے لیے اسے آن کریں، اور جانے دیں۔ جانے دیں، اور منتخب کریں تاکہ سب کے لیے ہو۔ چونکہ، ہر ایک کے لیے ہمارے پاس ہے اس لیے اب ہر ایک کے لیے ہمارے پاس ہے۔ دوسری طرف، چونکہ فکسڈ ہے یہ واضح ہے کہ، اور اس طرح اگر کافی چھوٹا ہے۔ حتمی ویلیو تھیوریم مشتق کے لیپلیس ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے فرض کریں کہ درج ذیل تمام شرائط مطمئن ہیں: مسلسل تفریق پذیر ہے اور دونوں اور لیپلیس ٹرانسفارم بالکل مربوط ہے-یعنی، محدود موجود ہے اور محدود ہے۔ تبصرہ ثبوت غالب کنورجنس تھیوریم کا استعمال کرتا ہے۔ کسی فنکشن کے اوسط کے لیے حتمی قدر کا نظریہ ایک مسلسل اور پابند فنکشن اس طرح ہونا چاہیے کہ مندرجہ ذیل حد موجود ہو۔ پیریڈک فنکشنز کے ایسمپٹوٹک جملوں کے لیے حتمی ویلیو تھیوریم فرض کریں کہ یہ مسلسل اور بالکل انٹیگریبل ہے۔ مزید فرض کریں کہ یہ غیر علامتی طور پر پیریڈک افعال کے ایک محدود مجموعے کے برابر ہے، یہی وہ جگہ ہے جہاں یہ بالکل مربوط ہے اور انفینیٹی پر غائب ہو جاتا ہے۔ پھر۔ کسی فنکشن کے لیے حتمی ویلیو تھیوریم جو انفینٹی کی طرف موڑتا ہے، آئیے اور اس کا لیپلیس ٹرانسفارم بنیں۔ فرض کریں کہ یہ مندرجہ ذیل تمام شرائط کو پورا کرتا ہے: صفر پر لامحدود تفریق پذیر ہے جس میں تمام غیر منفی انٹیجرز کے لیے لیپلیس ٹرانسفارم ہوتا ہے جو انفنٹی کی طرف موڑ جاتے ہیں۔ نامناسب انٹیگریبل فنکشنز کے لیے حتمی ویلیو تھیوریم (انٹیگرلز کے لیے ایبل کا تھیوریم) پیمائش کے قابل اور ایسا ہونا چاہیے کہ (ممکنہ طور پر نامناسب) انٹیگرل انٹیگرل کے لیے یکجا ہو جائے۔ پھر یہ ایبل کے نظریہ کا ایک ورژن ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، اس پر غور کریں اور حصوں کے حساب سے انضمام کے بعد حتمی قدر تھیوریم کا اطلاق کریں: کیونکہ، حتمی قدر تھیوریم کے مطابق، بائیں ہاتھ کی طرف کے لیے یکجا ہوتا ہے۔ عملی طور پر نامناسب انٹیگرل کے کنورجنس کو قائم کرنے کے لیے، نامناسب انٹیگرلز کے لیے ڈیرچلیٹ کا ٹیسٹ اکثر مددگار ہوتا ہے۔ ایک مثال ڈیرچلیٹ انٹیگرل ہے۔ ایپلی کیشنز حاصل کرنے کے لیے فائنل ویلیو تھیوریمز میں بے ترتیب متغیر کے لمحات کا حساب لگانے کے لیے امکان اور اعداد و شمار میں ایپلی کیشنز ہوتی ہیں۔ آئیے ایک مسلسل بے ترتیب متغیر کی مجموعی تقسیم کی تقریب ہے اور آئیے اس کا لیپلیس-اسٹیلٹجز ٹرانسفارم ہے۔ پھر-th مومنٹ کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے کہ حکمت عملی یہ ہے کہ یہ لکھا جائے کہ کہاں مسلسل ہے اور ہر ایک کے لیے، کسی فنکشن کے لیے۔ ہر ایک کے لیے، انورس لیپلیس ٹرانسفارم کے طور پر ڈالیں، حاصل کریں، اور حتمی ویلیو تھیوریم کا اطلاق کریں۔ تب اور اس لیے حاصل کیا جاتا ہے۔ مثال جہاں ایف وی ٹی کا انعقاد ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ٹرانسفر فنکشن کے ذریعے بیان کردہ نظام کے لیے امپلس رسپانس یکجا ہو جاتا ہے۔ یعنی، نظام ایک مختصر امپلس سے پریشان ہونے کے بعد صفر پر واپس آ جاتا ہے۔ تاہم، یونٹ اسٹیپ رسپانس کا لیپلیس ٹرانسفارم ہے اور اس لیے اسٹیپ رسپانس یکجا ہو جاتا ہے۔ ٹرانسفر فنکشن کے ذریعہ بیان کردہ نظام کے لیے حتمی ویلیو تھیوریم امپلس رسپانس کی حتمی قیمت 0 اور اسٹیپ رسپانس کی حتمی قیمت 1 ہونے کی پیش گوئی کرتا دکھائی دیتا ہے۔ تاہم، نہ تو ٹائم ڈومین کی حد موجود ہے، اور اس لیے حتمی ویلیو تھیوریم کی پیش گوئیاں درست نہیں ہیں۔ در حقیقت، امپلس رسپانس اور سٹیپ رسپانس دونوں ارتعاش کرتے ہیں، اور (اس خاص معاملے میں) فائنل ویلیو تھیوریم اوسط اقدار کو بیان کرتا ہے جس کے ارد گرد رسپانس ارتعاش کرتے ہیں۔ کنٹرول تھیوری میں دو چیک کیے جاتے ہیں جو حتمی ویلیو تھیوریم کے درست نتائج کی تصدیق کرتے ہیں: ڈینومینیٹر کے تمام غیر صفر جڑوں میں منفی حقیقی حصے ہونے چاہئیں۔ اصل میں ایک سے زیادہ کھمبے نہیں ہونے چاہئیں۔ قاعدہ 1 اس مثال میں مطمئن نہیں تھا، اس میں کہ ڈینومینیٹر کی جڑیں اور ہیں۔ Z کے لیے حتمی قدر کے نظریات حتمی قدر کے نظریہ کو تبدیل کرتے ہیں اگر موجود ہے اور تب موجود ہے۔ لکیری نظاموں کی حتمی قیمت مسلسل وقت والے ایل ٹی آئی نظام طول و عرض کے ساتھ ایک مرحلہ ان پٹ کے جواب میں نظام کی حتمی قیمت یہ ہے: نمونہ شدہ ڈیٹا نظام اپریوڈک نمونے لینے کے اوقات میں مذکورہ بالا مسلسل وقت والے ایل ٹی آئی نظام کا نمونہ شدہ ڈیٹا نظام مجرد وقت کا نظام ہے جہاں اور، طول و عرض کے ساتھ ایک مرحلہ ان پٹ کے جواب میں اس نظام کی حتمی قیمت اس کے اصل مسلسل وقت کے نظام کی حتمی قیمت کے برابر ہے۔ ابتدائی ویلیو تھیوریم زیڈ-ٹرانسفارم لیپلیس ٹرانسفارم ابیلین اور ٹوبیرین تھیوریمز نوٹ بیرونی لنکس https://web.archive.org/web/20101225034508/http:// وکیس. کنٹرول تھیوریپرو. کام/انڈیکس. پی پی؟ ٹائٹل = فائنل _ ویلیو _ تھیوریم http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: لیپلیس کے لیے حتمی ویلیو https://web.archive.org/web/20110719222313/http:// ویب. اینگر. آئیپیوئی. ایڈو/~ اسکوسکی/ای سی ای 595s7/ہینڈ آؤٹ/ایف وی ٹی _ پروف. پی ڈی ایف: فورئیر تجزیہ میں زیڈ-ٹرانسفارم تھیوریمز کے لیے حتمی ویلیو پروف: ٹیوریما ڈیل ویلور انزیلی