Baum–Sweet sequence
ریاضی میں بوم-سویٹ ترتیب 0s اور 1s کی ایک لامحدود خودکار ترتیب ہے جس کی وضاحت اس اصول کے ذریعہ کی گئی ہے: bn = 1 اگر n کی بائنری نمائندگی میں بے ترتیب لمبائی کے مسلسل 0s کا کوئی بلاک نہ ہو ؛ bn = 0 بصورت دیگر ؛ n ≤ 0 کے لیے۔ مثال کے طور پر، b4 = 1 کیونکہ 4 کی بائنری نمائندگی 100 ہے، جس میں صرف لمبائی 2 کے لگاتار 0s کا ایک بلاک ہوتا ہے ؛ جبکہ b5 = 0 کیونکہ 5 کی بائنری نمائندگی 101 ہے، جس میں لمبائی 1 کے مسلسل 0s کا بلاک ہوتا ہے۔ n = 0 سے شروع کرتے ہوئے، بوم-سویٹ ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات یہ ہیں: 1، 1، 0، 1، 1، 0، 0، 1، 0، 0، 1، 0، 0، 0، 1۔ اس ترتیب کی خصوصیات کا سب سے پہلے 1976 میں لیونارڈ ای بوم اور میلون ایم سویٹ نے مطالعہ کیا تھا۔ 1949 میں، کھنچن نے قیاس کیا کہ کوئی غیر کواڈریٹک الجبرائی حقیقی عدد موجود نہیں ہے جس کے مسلسل فریکشن کی توسیع میں محدود جزوی کوٹینٹ ہوں۔ اس قیاس آرائی کی جوابی مثال ابھی تک معلوم نہیں ہے۔ بوم اور سویٹ کے مقالے سے پتہ چلتا ہے کہ الجبرائی پاور سیریز کے لیے وہی توقع پوری نہیں ہوتی ہے۔ انہوں نے کیوبک پاور سیریز کی ایک مثال دی جس کے جزوی حصے باؤنڈ ہوتے ہیں۔ (بوم اور سویٹ کے نتیجے میں پاور سیریز کی ڈگری کھنچن کے قیاس میں الجبرائی حقیقی سے وابستہ فیلڈ ایکسٹینشن کی ڈگری کے مترادف ہے۔) باؤم اور سویٹ کے مقالے میں زیر غور سیریز میں سے ایک اس کی جڑ ہے۔ مصنفین یہ ظاہر کرتے ہیں کہ ہینسل کے لیما سے، اس طرح کی ایک منفرد جڑ موجود ہے کیونکہ ماڈیولو کی وضاحت کرنے والی مساوات کو کم کرنے سے کیا ملتا ہے، وہ کون سے عوامل ثابت کرتے ہیں کہ اس منفرد جڑ میں ڈگری کے جزوی حصے ہیں۔ ایسا کرنے سے پہلے، وہ بیان کرتے ہیں (نظریہ 2، پی 598 کے بعد کے تبصرے میں) کہ جڑ کو اس شکل میں لکھا جا سکتا ہے جہاں اور صرف اس صورت میں اور اس صورت میں جب بائنری توسیع میں صرف s کے یکساں لمبائی والے بلاکس ہوں۔ یہ بوم-سویٹ ترتیب کی ابتدا ہے۔ مکاؤر اور یاؤ نے ثابت کیا کہ اوپر کے لیے مسلسل فریکشن کے جزوی اقتباسات خودکار ترتیب نہیں بناتے ہیں۔ تاہم، جزوی کوٹینٹس کی ترتیب غیر یکساں مورفزم کے ذریعے پیدا کی جا سکتی ہے۔ خصوصیات بوم-میٹھی ترتیب 3 ریاستی آٹومیٹن کے ذریعے تیار کی جا سکتی ہے۔ بوم-سویٹ ترتیب میں اصطلاح bn کی قدر درج ذیل طور پر بار بار پائی جا سکتی ہے۔ اگر n = m·4k، جہاں m کو 4 سے تقسیم نہیں کیا جا سکتا (یا 0 ہے)، تو اس طرح b76 = b9 = b4 = b0 = 1، جس کی تصدیق یہ مشاہدہ کر کے کی جا سکتی ہے کہ 76 کی بائنری نمائندگی، جو کہ 1001100 ہے، 0s کے کوئی مسلسل بلاکس پر مشتمل نہیں ہے جس کی لمبائی عجیب ہے۔ باؤم-میٹھا لفظ 1101100101001001.، جو باؤم-میٹھا ترتیب کی شرائط کو یکجا کرکے بنایا گیا ہے، مورفزم یا سٹرنگ کے متبادل قوانین کا ایک مقررہ نقطہ ہے 00 → 0000 01 → 1001 10 → 0100 11 → 1101 جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: 11 → 1101 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001001000001001001001۔ مورفزم کے اصولوں سے یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ باؤم-میٹھا لفظ کسی بھی لمبائی کے مسلسل 0s کے بلاکس پر مشتمل ہے (2.2k ≤ n <6.2k کے لیے bn = 0)۔ مزید مختصر طور پر، کوبھم کے چھوٹے نظریہ کے مطابق بوم-سویٹ لفظ کو یکساں مورفزم کے مقررہ نقطہ پر لاگو کوڈنگ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، مورفزم اور کوڈنگ اس طرح لفظ پیدا کرتی ہے۔ نوٹ حوالہ جات بائنری ترتیبات