Morass (set theory)
محوری سیٹ تھیوری میں، ایک ریاضیاتی نظم و ضبط، ایک موراس ایک لامحدود مشترکہ ڈھانچہ ہے، جو "چھوٹے" تخمینوں کی "چھوٹی" تعداد سے "بڑے" ڈھانچے بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ انہیں رونالڈ جینسن نے اس ثبوت کے لیے ایجاد کیا تھا کہ کارڈینل ٹرانسفر تھیوریمز تعمیر پذیری کے محور کے تحت ہیں۔ ایک بہت کم پیچیدہ لیکن مساوی قسم جسے آسان موراس کے نام سے جانا جاتا ہے ویلمین نے متعارف کرایا تھا، اور موراس کی اصطلاح اب اکثر ان آسان ڈھانچوں کے معنی میں استعمال ہوتی ہے۔ جائزہ جب کہ n> 1 کے لیے نام نہاد گیپ-n مورسیس کی وضاحت کرنا ممکن ہے، وہ اتنے پیچیدہ ہیں کہ فوکس عام طور پر گیپ-1 کیس تک محدود ہوتا ہے، سوائے مخصوص ایپلی کیشنز کے۔ "خلا" بنیادی طور پر استعمال شدہ "چھوٹے تخمینوں" کے سائز اور حتمی ڈھانچے کے سائز کے درمیان بنیادی فرق ہے۔ ایک بے شمار باقاعدہ کارڈینل κ پر A (گیپ-1) موراس (جسے a (κ، 1)-موراس بھی کہا جاتا ہے) اونچائی κ + 1 کے درخت پر مشتمل ہوتا ہے، جس کی اوپری سطح پر κ +-بہت سے نوڈس ہوتے ہیں۔ نوڈس کو آرڈینلز کے طور پر لیا جاتا ہے، اور ان آرڈینلز کے درمیان افعال ٹری آرڈر کے کناروں سے وابستہ ہوتے ہیں۔ یہ ضروری ہے کہ اوپری سطح کے نوڈس کی آرڈینل ساخت کو نقشوں π کے ذریعہ برانچ میں اس نوڈ میں آرڈینلز کی براہ راست حد کے طور پر "بلٹ اپ" کیا جائے، لہذا نچلی سطح کے نوڈس کو (بڑے) اوپری سطح کے نوڈ کے تخمینے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ مزید محوریات کی ایک لمبی فہرست لگائی گئی ہے تاکہ یہ خاص طور پر "اچھے" انداز میں ہو۔ متغیرات اور مساوی ویلمین اور شیلا اور اسٹینلے نے آزادانہ طور پر مورسیس کے وجود کے مساوی محوریات تیار کیے، تاکہ غیر ماہرین کے ذریعہ ان کے استعمال کو آسان بنایا جا سکے۔ مزید آگے بڑھتے ہوئے، ویلمین نے دکھایا کہ دلدل کا وجود آسان دلدل کے برابر ہے، جو کہ بہت آسان ڈھانچے ہیں۔ تاہم، گوڈل کی تعمیری کائنات میں ایک آسان دلدل کی واحد معروف تعمیر دلدل کے ذریعے ہے، لہذا اصل تصور دلچسپی برقرار رکھتا ہے۔ دلدل پر دیگر اقسام، عام طور پر اضافی ساخت کے ساتھ، بھی برسوں کے دوران نمودار ہوئی ہیں۔ ان میں عالمگیر موراسز شامل ہیں، جس کے تحت κ کا ہر ذیلی سیٹ موراس، مینگروو کی شاخوں کے ذریعے بنایا جاتا ہے، جو کہ موراسز ہیں جو سطحوں (منگلوں) میں درجہ بند ہوتے ہیں جن پر ہر شاخ کا ایک نوڈ ہونا ضروری ہے، اور دلدل۔ آسان موراس ویلمین نے گیپ-1 آسان موراسز کی وضاحت کی جو گیپ-1 موراسز کے مقابلے میں بہت آسان ہیں، اور یہ ظاہر کیا کہ گیپ-1 موراسز کا وجود گیپ-1 آسان موراسز کے وجود کے برابر ہے۔ موٹے طور پر: a (κ, 1)-آسان موراس M = <φ →، F ुण> میں آرڈینلز کی ایک ترتیب φ → = <φβ: β ≤ κ> ہوتی ہے جیسے کہ φβ <κ کے لیے φβ <κ اور φκ = κ +، اور ایک ڈبل ترتیب F ुण = <Fα، β: α <β ≤ κ> جہاں Fα، β مخصوص (آسان لیکن اہم) شرائط کے ساتھ α <β ≤ κ کے لیے φα سے φβ تک مونوٹون میپنگ کے مجموعے ہیں۔ ویلمین کی واضح تعریف اس میں مل سکتی ہے، جہاں اس نے زیڈ ایف سی میں (ω0,1) آسان دلدل بھی بنائے تھے۔ اس میں انہوں نے گیپ-2 آسان مورسیس کے لیے اسی طرح کی سادہ تعریفیں دیں، اور اس میں انہوں نے زیڈ ایف سی میں (ω0,2) آسان مورسیس بنائے۔ مورگن اور زالکائی نے کسی بھی n ≤ 1 کے لیے اعلی خلا کے آسان موراسز کی تعریف کی تھی۔ موٹے طور پر: a (κ، n + 1)-آسان موراس (سلکائی کا) M = <M →، F ुण> میں ایک ترتیب M → = <Mβ: β ≤ κ> (<κ، n)-آسان موراس جیسے ڈھانچے β <κ اور Mκ a (κ +, n)-آسان موراس، اور ایک ڈبل ترتیب F ुण = <Fα، β: α <β ≤ κ> جہاں Fα، β مخصوص شرائط کے ساتھ α <β ≤ κ کے لیے Mα سے Mβ تک نقشوں کا مجموعہ ہیں۔ حوالہ جات درخت (سیٹ تھیوری)