Banach–Tarski paradox
بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس سیٹ تھیوریٹک جیومیٹری میں ایک تھیوریم ہے، جو مندرجہ ذیل بیان کرتا ہے: تین جہتی خلا میں ایک ٹھوس گیند کو دیکھتے ہوئے، گیند کی ایک محدود تعداد میں جداگانہ ذیلی سیٹوں میں سڑنا موجود ہے، جسے پھر اصل گیند کی دو ایک جیسی کاپیاں حاصل کرنے کے لیے مختلف طریقے سے دوبارہ اکٹھا کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، دوبارہ جمع کرنے کے عمل میں صرف ٹکڑوں کو ادھر ادھر منتقل کرنا اور ان کی شکل کو تبدیل کیے بغیر انہیں گھومنا شامل ہے۔ تاہم، ٹکڑے خود معمول کے لحاظ سے "ٹھوس" نہیں ہوتے، بلکہ پوائنٹس کے لامحدود بکھرے ہوئے ہوتے ہیں۔ تعمیر نو کم سے کم پانچ ٹکڑوں کے ساتھ کام کر سکتی ہے۔ نظریہ کی ایک متبادل شکل میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی دو "معقول" ٹھوس اشیاء (جیسے کہ ایک چھوٹی گیند اور ایک بڑی گیند) کو دیکھتے ہوئے، دونوں میں سے کسی ایک کے کٹے ہوئے ٹکڑوں کو دوسرے میں دوبارہ جوڑ دیا جا سکتا ہے۔ یہ اکثر غیر رسمی طور پر کہا جاتا ہے کہ "مٹر کو کاٹ کر سورج میں دوبارہ ملایا جا سکتا ہے" اور اسے "مٹر اینڈ دی سن پیراڈوکس" کہا جاتا ہے۔ اس نظریہ کو پیراڈوکس کہا جاتا ہے کیونکہ یہ بنیادی ہندسی وجدان سے متصادم ہے۔ "گیند کو دوگنا کرنا" اسے حصوں میں تقسیم کرکے اور گردش اور ترجمے کے ذریعے ان کے گرد گھوم کر، بغیر کسی کھینچنے، موڑنے، یا نئے پوائنٹس شامل کیے، ناممکن معلوم ہوتا ہے، کیونکہ ان تمام کارروائیوں کو، بدیہی طور پر، حجم کو برقرار رکھنا چاہیے۔ یہ وجدان کہ اس طرح کی کارروائیاں حجم کو محفوظ رکھتی ہیں ریاضیاتی طور پر مضحکہ خیز نہیں ہے اور یہ حجم کی رسمی تعریف میں بھی شامل ہے۔ تاہم، یہ یہاں لاگو نہیں ہوتا ہے کیونکہ اس صورت میں زیر غور ذیلی سیٹوں کے حجم کی وضاحت کرنا ناممکن ہے۔ انہیں دوبارہ جمع کرنے سے ایک سیٹ دوبارہ تیار ہوتا ہے جس کا حجم ہوتا ہے، جو شروع میں حجم سے مختلف ہوتا ہے۔ جیومیٹری میں زیادہ تر تھیوریمز کے برعکس، اس نتیجے کا ریاضیاتی ثبوت تنقیدی انداز میں سیٹ تھیوری کے لیے محوریات کے انتخاب پر منحصر ہے۔ اسے انتخاب کے محور کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے، جو غیر پیمائش کے قابل سیٹوں کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے، یعنی ان پوائنٹس کے مجموعے جن کا عام معنوں میں حجم نہیں ہے، اور جن کی تعمیر کے لیے بے شمار انتخاب کی ضرورت ہوتی ہے۔ 2005 میں یہ دکھایا گیا تھا کہ سڑنے والے ٹکڑوں کو اس طرح سے منتخب کیا جا سکتا ہے کہ انہیں ایک دوسرے سے ٹکرائے بغیر مسلسل اپنی جگہ منتقل کیا جا سکے۔ جیسا کہ لیرائے اور سمپسن نے آزادانہ طور پر ثابت کیا ہے، بنچ-ترسکی پیراڈوکس حجم کی خلاف ورزی نہیں کرتا ہے اگر کوئی ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے بجائے لوکلز کے ساتھ کام کرتا ہے۔ اس تجریدی ترتیب میں، یہ ممکن ہے کہ ذیلی جگہیں بغیر نقطہ کے ہوں لیکن پھر بھی خالی نہ ہوں۔ متضاد سڑنے کے حصے لوکلز کے معنی میں بہت کچھ کاٹتے ہیں، اتنا کہ ان میں سے کچھ چوراہوں کو مثبت کمیت دی جانی چاہیے۔ اس پوشیدہ کمیت کو مدنظر رکھنے کی اجازت دیتے ہوئے، لوکلز کا نظریہ یوکلڈین اسپیس کے تمام ذیلی سیٹوں (اور یہاں تک کہ تمام ذیلی لوکلز) کو تسلی بخش طریقے سے ناپنے کی اجازت دیتا ہے۔ بناچ اور ٹارسکی کی اشاعت 1924 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں، اسٹیفن بناچ اور الفریڈ ٹارسکی نے اس طرح کے متضاد سڑنے کی تعمیر کی، جو جیوسیپی ویتالی کے یونٹ کے وقفے اور فیلکس ہاؤسڈورف کے ذریعے دائرے کے متضاد سڑنے سے متعلق پہلے کے کام پر مبنی تھی، اور مختلف جہتوں میں یوکلڈین خالی جگہوں کے ذیلی سیٹوں کے سڑنے سے متعلق متعدد متعلقہ سوالات پر تبادلہ خیال کیا۔ انہوں نے مندرجہ ذیل مزید عمومی بیان کو ثابت کیا، جو کہ بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس کی مضبوط شکل ہے: کم از کم تین جہتوں میں کسی بھی دو باؤنڈڈ سبسیٹس اور ایک یوکلیڈین اسپیس کو دیکھتے ہوئے، جن میں سے دونوں کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہے، تقسیم ہوتے ہیں اور ایک محدود تعداد میں جداگانہ سبسیٹس،،، (کچھ انٹیجر k کے لیے)، جیسے کہ ہر ایک (انٹیجر) کے لیے اور کے درمیان، سیٹس اور ہم آہنگ ہیں۔ اب اصل گیند بنیں اور اصل گیند کی دو ترجمہ شدہ کاپیوں کا اتحاد بنیں۔ پھر تجویز کا مطلب یہ ہے کہ آپ اصل گیند کو ایک مخصوص تعداد میں ٹکڑوں میں تقسیم کر سکتے ہیں اور پھر ان ٹکڑوں کو اس طرح سے گھما کر ترجمہ کر سکتے ہیں کہ نتیجہ پورا سیٹ ہو، جس میں گیند کی دو کاپیاں ہوں۔ بناچ-ترسکی پیراڈوکس کی مضبوط شکل طول و عرض ایک اور دو میں غلط ہے، لیکن بناچ اور ترسکی نے ظاہر کیا کہ اگر شمار کے لحاظ سے بہت سے ذیلی سیٹوں کی اجازت دی جائے تو ایک مماثل بیان درست رہتا ہے۔ ایک طرف طول و عرض 1 اور 2 اور دوسری طرف 3 اور اس سے زیادہ کے درمیان فرق 3 جہتوں میں یوکلڈین حرکتوں کے گروپ کی بہتر ساخت کی وجہ سے ہے۔ گروپ کے لیے قابل حل ہے، لیکن اس کے لیے دو جنریٹرز کے ساتھ ایک مفت گروپ ہوتا ہے۔ جان وان نیومن نے مساوات کے گروپ کی خصوصیات کا مطالعہ کیا جو ایک متضاد سڑنا ممکن بناتے ہیں، اور قابل گروپوں کے تصور کو متعارف کرایا۔ اس نے سطح میں پیراڈوکس کی ایک شکل بھی پائی جو معمول کے ہم آہنگی کی جگہ علاقے کو محفوظ رکھنے والی افائن تبدیلیوں کا استعمال کرتی ہے۔ تارسکی نے ثابت کیا کہ قابل قبول گروہ بالکل وہی ہیں جن کے لیے کوئی متضاد سڑنا موجود نہیں ہے۔ چونکہ بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس میں صرف آزاد ذیلی گروپوں کی ضرورت ہے، اس کی وجہ سے دیرینہ وان نیومن قیاس آرائی سامنے آئی، جسے 1980 میں مسترد کر دیا گیا تھا۔ رسمی علاج بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس میں کہا گیا ہے کہ عام یوکلڈین جگہ میں ایک گیند کو دوگنا کیا جا سکتا ہے جس میں صرف ذیلی سیٹوں میں تقسیم کرنے، ایک سیٹ کو ہم آہنگ سیٹ سے تبدیل کرنے اور دوبارہ جمع کرنے کی کارروائیوں کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کی ریاضیاتی ساخت کو یوکلڈین حرکتوں کے گروپ کے ذریعہ ادا کردہ کردار پر زور دے کر اور مساوی مطابقت پذیر سیٹوں اور ایک متضاد سیٹ کے تصورات کو متعارف کروا کر بہت واضح کیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ یہ ایک سیٹ پر کام کرنے والا گروپ ہے۔ سب سے اہم خاص معاملے میں، ایک جہتی یوکلڈین اسپیس (انٹیگرل n کے لیے) ہے، اور اس میں تمام آئسومیٹریز شامل ہیں، یعنی۔ خود میں تبدیلیاں جو فاصلے کو برقرار رکھتی ہیں، عام طور پر ظاہر کی جاتی ہیں۔ دو ہندسی اعداد و شمار جنہیں ایک دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے انہیں ہم آہنگ کہا جاتا ہے، اور اس اصطلاح کو عمومی عمل تک بڑھایا جائے گا۔ دو ذیلی سیٹ اور کے کو-ایکویڈ کمپوز ایبل، یا ایکویڈ کمپوز ایبل کہا جاتا ہے، اگر اور بالترتیب-ہم آہنگ ٹکڑوں کی ایک ہی محدود تعداد میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ تمام ذیلی سیٹوں کے درمیان مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔ رسمی طور پر، اگر غیر خالی سیٹ موجود ہیں، جیسے کہ اور ایسے عناصر موجود ہیں کہ پھر یہ کہا جا سکتا ہے کہ اور ٹکڑوں کا استعمال کرتے ہوئے مساوی ہیں۔ اگر کسی سیٹ میں دو جداگانہ ذیلی سیٹ ہیں اور اس طرح کے کہ اور، نیز اور، مساوی ہیں، تو اسے پیراڈوکسکل کہا جاتا ہے۔ اس اصطلاح کا استعمال کرتے ہوئے، بناچ-ترسکی پیراڈوکس کو مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے: ایک تین جہتی یوکلڈین گیند خود کی دو کاپیوں کے ساتھ مساوی ہے۔ درحقیقت، اس معاملے میں ایک تیز نتیجہ ہے، رافیل ایم رابنسن کی وجہ سے: گیند کو دوگنا کرنا پانچ ٹکڑوں سے پورا کیا جا سکتا ہے، اور پانچ سے کم ٹکڑے کافی نہیں ہوں گے۔ پیراڈوکس کا مضبوط ورژن دعوی کرتا ہے: غیر خالی اندرونی حصوں کے ساتھ 3 جہتی یوکلڈین اسپیس کے کوئی بھی دو پابند ذیلی سیٹ مساوی ہیں۔ اگرچہ بظاہر زیادہ عام ہے، یہ بیان بناچ کی وجہ سے برنسٹین-شروڈر تھیوریم کی عمومی شکل کا استعمال کرتے ہوئے گیند کو دوگنا کرنے سے ایک آسان طریقے سے اخذ کیا گیا ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر کے ذیلی سیٹ کے ساتھ مساوی مطابقت رکھتا ہے اور کے ذیلی سیٹ کے ساتھ مساوی مطابقت رکھتا ہے، تو پھر اور مساوی مطابقت رکھتے ہیں۔ بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس کو سیاق و سباق میں اس بات کی طرف اشارہ کرتے ہوئے رکھا جا سکتا ہے کہ پیراڈوکس کی مضبوط شکل میں دو سیٹوں کے لیے، ہمیشہ ایک دو طرفہ فنکشن ہوتا ہے جو پوائنٹس کو ایک شکل میں دوسری شکل میں ایک سے ایک انداز میں نقشہ بنا سکتا ہے۔ جارج کینٹر کے سیٹ تھیوری کی زبان میں، ان دونوں سیٹوں میں یکساں کارڈینالیٹی ہے۔ اس طرح، اگر کوئی من مانی بائیجیکشن کی اجازت دینے کے لیے گروپ کو بڑھاتا ہے، تو غیر خالی اندرونی حصے والے تمام سیٹ ہم آہنگ ہو جاتے ہیں۔ اسی طرح، ایک گیند کو کھینچ کر، یا دوسرے الفاظ میں، مماثلت کی تبدیلیوں کو لاگو کرکے، بڑی یا چھوٹی گیند میں بنایا جا سکتا ہے۔ لہذا، اگر گروپ کافی بڑا ہے،-ایکویڈ کمپوز ایبل سیٹ پائے جا سکتے ہیں جن کے "سائز" مختلف ہوتے ہیں۔ مزید برآں، چونکہ ایک قابل گنتی سیٹ کو خود کی دو کاپیوں میں بنایا جا سکتا ہے، اس لیے کوئی توقع کر سکتا ہے کہ گنتی کے لحاظ سے بہت سے ٹکڑوں کا استعمال کسی نہ کسی طرح کام کر سکتا ہے۔ دوسری طرف، بناچ-ترسکی پیراڈوکس میں، ٹکڑوں کی تعداد محدود ہے اور اجازت شدہ مساوات یوکلڈین ہم آہنگی ہیں، جو حجم کو محفوظ رکھتی ہیں۔ پھر بھی، کسی طرح، وہ گیند کے حجم کو دوگنا کر دیتے ہیں! اگرچہ یہ یقینی طور پر حیرت انگیز ہے، لیکن متضاد سڑنے میں استعمال ہونے والے کچھ ٹکڑے ناپنے کے قابل سیٹ ہیں، لہذا ان کے لیے حجم (زیادہ واضح طور پر، لیبسیگ پیمائش) کا تصور بیان نہیں کیا گیا ہے، اور تقسیم کو عملی طریقے سے پورا نہیں کیا جا سکتا ہے۔ در حقیقت، بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس یہ ظاہر کرتا ہے کہ تین (اور اس سے زیادہ) جہتوں کی یوکلڈین جگہ کے تمام ذیلی سیٹوں پر متعین ایک حتمی اضافی پیمائش (یا بناچ پیمائش) تلاش کرنا ناممکن ہے جو یوکلڈین حرکتوں کے حوالے سے غیر متغیر ہے اور یونٹ کیوب پر ایک کی قدر لیتا ہے۔ اپنے بعد کے کام میں، تارسکی نے دکھایا کہ، اس کے برعکس، اس قسم کے متضاد سڑنے کا عدم وجود ایک محدود اضافی غیر متغیر پیمائش کے وجود کو ظاہر کرتا ہے۔ ذیل میں پیش کردہ پیراڈوکس کی "گیند کو دوگنا کرنے" کی شکل کے ثبوت کا مرکز یہ قابل ذکر حقیقت ہے کہ یوکلڈین آئسومیٹری (اور عناصر کے نام تبدیل کرنے) کے ذریعے، کوئی بھی ایک مخصوص سیٹ (بنیادی طور پر، ایک اکائی دائرے کی سطح) کو چار حصوں میں تقسیم کر سکتا ہے، پھر ان میں سے ایک کو گھما کر خود کو دوسرے حصوں میں سے دو سے زیادہ بنا سکتا ہے۔ یہ دو جنریٹرز کے ساتھ آزاد گروپ کے-پیراڈوکسکل سڑنے سے آسانی سے ہوتا ہے۔ بناچ اور ٹارسکی کے ثبوت کا انحصار ایک ایسی ہی حقیقت پر تھا جسے ہاؤس ڈورف نے کچھ سال پہلے دریافت کیا تھا: خلا میں ایک اکائی دائرے کی سطح تین سیٹوں کا ایک جداگانہ اتحاد اور ایک قابل شمار مجموعہ ہے جو ایک طرف جوڑی کے لحاظ سے ہم آہنگ ہے، اور دوسری طرف، اور کے اتحاد کے ساتھ ہم آہنگ ہے۔ اسے اکثر ہاؤز ڈورف پیراڈوکس کہا جاتا ہے۔ پہلے کے کام کے ساتھ تعلق اور پسند کے محور کے کردار بناچ اور تارسکی واضح طور پر جیوسیپی ویتالی کی 1905 میں اس سیٹ کی تعمیر کو تسلیم کرتے ہیں جس پر ان کا نام ہے، ہاؤس ڈورف کا پیراڈوکس (1914)، اور بناچ کا ایک سابقہ (1923) کاغذ ان کے کام کے پیش خیمہ کے طور پر۔ ویتالی اور ہاؤزڈورف کی تعمیرات کا انحصار زرمیلو کے پسند کے محور ("اے سی") پر ہے، جو کہ بناچ-ٹارسکی کاغذ کے لیے بھی اہم ہے، دونوں اپنے تضاد کو ثابت کرنے اور دوسرے نتیجے کے ثبوت کے لیے: دو یوکلیڈین کثیر الاضحی، جن میں سے ایک سختی سے دوسرے پر مشتمل ہے، مساوی نہیں ہیں۔ وہ تبصرہ کرتے ہیں: یہ محوریہ ہماری استدلال میں جو کردار ادا کرتا ہے وہ ہمیں توجہ کا مستحق لگتا ہے) وہ اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ اگرچہ دوسرا نتیجہ مکمل طور پر ہندسی وجدان سے متفق ہے، لیکن اس کا ثبوت پیراڈوکس کے ثبوت سے بھی زیادہ ٹھوس انداز میں اے سی کا استعمال کرتا ہے۔ اس طرح بناچ اور ترسکی کا مطلب ہے کہ اے سی کو صرف اس وجہ سے مسترد نہیں کیا جانا چاہیے کہ یہ ایک متضاد سڑنا پیدا کرتا ہے، کیونکہ اس طرح کی دلیل ہندسی طور پر بدیہی بیانات کے ثبوت کو بھی کمزور کرتی ہے۔ تاہم، 1949 میں، اے پی مورس نے دکھایا کہ یوکلڈین کثیر الاضلاعات کے بارے میں بیان ZF سیٹ تھیوری میں ثابت کیا جا سکتا ہے اور اس طرح انتخاب کے محور کی ضرورت نہیں ہے۔ 1964 میں، پال کوہن نے ثابت کیا کہ انتخاب کا محور زیڈ ایف سے آزاد ہے-یعنی اسے زیڈ ایف سے ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ انتخاب کے محور کا ایک کمزور ورژن منحصر انتخاب، ڈی سی کا محور ہے، اور یہ دکھایا گیا ہے کہ ڈی سی بناچ-ترسکی پیراڈوکس کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے، یعنی، بناچ-ترسکی پیراڈوکس زیڈ ایف کا نظریہ نہیں ہے، نہ ہی زیڈ ایف + ڈی سی کا۔ ریاضی کی بڑی مقدار AC کا استعمال کرتی ہے۔ جیسا کہ اسٹین ویگن نے اپنے مونوگراف کے آخر میں نشاندہی کی ہے، بناچ-ترسکی پیراڈوکس بنیادی سوالات کے مقابلے خالص ریاضی میں اپنے کردار کے لیے زیادہ اہم رہا ہے: اس نے تحقیق کے لیے ایک نتیجہ خیز نئی سمت، گروپوں کی سہولت کو تحریک دی، جس کا بنیادی سوالات سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ 1991 میں، میتھیو فورمین اور فریڈرک ویرونگ کے اس وقت کے حالیہ نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، جانوس پاولیکووسکی نے ثابت کیا کہ بناچ-ترسکی پیراڈوکس زیڈ ایف پلس ہان-بناچ تھیوریم کی پیروی کرتا ہے۔ ہان-بناچ تھیوریم انتخاب کے مکمل محور پر انحصار نہیں کرتا ہے لیکن اسے AC کے کمزور ورژن کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے جسے الٹرا فلٹر لیما کہا جاتا ہے۔ لہذا پاولیکووسکی نے ثابت کیا کہ بناچ-ترسکی پیراڈوکس کو ثابت کرنے کے لیے درکار سیٹ تھیوری، جبکہ زیڈ ایف سے زیادہ مضبوط ہے، مکمل زیڈ ایف سی سے کمزور ہے۔ ثبوت کا ایک خاکہ یہاں ایک ثبوت کا خاکہ بنایا گیا ہے جو بناچ اور ترسکی کے دیے ہوئے ثبوت سے ملتا جلتا ہے لیکن ملتا جلتا نہیں ہے۔ بنیادی طور پر، گیند کی متضاد سڑنا چار مراحل میں حاصل کی جاتی ہے: دو جنریٹرز میں فری گروپ کی متضاد سڑنا تلاش کریں۔ دو جنریٹرز میں فری گروپ کے لیے 3-ڈی اسپیس آئسومورفک میں گردشوں کا ایک گروپ تلاش کریں۔ کھوکھلی اکائی کے دائرے کی متضاد سڑن پیدا کرنے کے لیے اس گروپ کی متضاد سڑن اور پسند کے محور کا استعمال کریں۔ دائرے کے اس سڑنے کو ٹھوس یونٹ بال کے سڑنے تک بڑھا دیں۔ ان اقدامات پر ذیل میں مزید تفصیل سے تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ مرحلہ 1 آزاد گروپ جس میں دو جنریٹر a اور b ہیں وہ تمام محدود تاروں پر مشتمل ہوتا ہے جو چار علامتوں a، a − 1، b اور b − 1 سے بنائے جا سکتے ہیں تاکہ کوئی a براہ راست an a − 1 کے ساتھ ظاہر نہ ہو اور کوئی b براہ راست a b − 1 کے ساتھ ظاہر نہ ہو۔ اس طرح کے دو تاروں کو مربوط کیا جا سکتا ہے اور بار بار "ممنوعہ" سبسٹرنگ کو خالی تار سے تبدیل کر کے اس قسم کے تار میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: اباب − 1 اے − 1 اے کے ساتھ جڑا ہوا اباب − 1 اے − 1 اے حاصل کرتا ہے، جس میں ذیلی تار a − 1 اے ہوتا ہے، اور اس طرح کم ہو کر اباب − 1 باب − 1 اے ہو جاتا ہے، جس میں ذیلی تار b − 1 بی ہوتا ہے، جو کم ہو جاتا ہے۔ کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ اس آپریشن کے ساتھ ان تاروں کا سیٹ شناختی عنصر خالی تار کے ساتھ ایک گروپ بناتا ہے۔ اس گروپ کو F2 کہا جا سکتا ہے۔ گروپ کو "متضاد طور پر منقطع" کیا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ S (a) ان تمام تاروں پر مشتمل ذیلی سیٹ ہے جو a سے شروع ہوتے ہیں، اور اسی طرح S (a−1)، S (b) اور S (b−1) کی وضاحت کرتے ہیں۔ واضح طور پر، لیکن یہ بھی اور جہاں اشارے aS (a−1) کا مطلب ہے کہ S (a−1) میں موجود تمام تاروں کو لیں اور انہیں بائیں طرف a کے ساتھ جوڑ دیں۔ یہ ثبوت کے مرکز میں ہے۔ مثال کے طور پر، سیٹ میں ایک سٹرنگ ہو سکتی ہے جو اس اصول کی وجہ سے جو اس کے ساتھ ظاہر نہیں ہونا چاہیے، سٹرنگ میں گھٹ جاتی ہے۔ اسی طرح، ان تمام تاروں پر مشتمل ہے جو شروع ہوتے ہیں (مثال کے طور پر، وہ تار جو کم ہو جاتا ہے)۔ اس طرح، ان تمام تاروں پر مشتمل ہے جو شروع ہوتے ہیں، اور ساتھ ہی ساتھ خالی تار بھی۔ گروپ F2 کو چار ٹکڑوں میں کاٹا گیا ہے (علاوہ میں سنگلٹن {e})، پھر ان میں سے دو کو a یا b سے ضرب دے کر "منتقل" کیا گیا ہے، پھر ایک کاپی بنانے کے لیے دو ٹکڑوں کے طور پر "دوبارہ جمع" کیا گیا ہے اور دیگر دو کاپی بنانے کے لیے۔ گیند کے ساتھ بالکل ایسا ہی کرنے کا ارادہ ہے۔ مرحلہ 2 3D جگہ کی گردشوں کا ایک مفت گروپ تلاش کرنے کے لیے، یعنی۔ جو آزاد گروپ F2 کی طرح (یا "آئسومورفک ہے") برتاؤ کرتا ہے، دو آرتھوگنل محور لیے جاتے ہیں (مثال کے طور پر۔ x اور z محور)۔ پھر، A کو تقریبا x محور کی گردش کے طور پر لیا جاتا ہے، اور B کو تقریبا z محور کی گردش کے طور پر لیا جاتا ہے (π کے غیر معقول ضرب کے بہت سے دوسرے مناسب جوڑے ہیں جو یہاں بھی استعمال کیے جا سکتے ہیں)۔ A اور B کے ذریعے پیدا ہونے والے گردشوں کے گروپ کو H کہا جائے گا۔ فرض کریں کہ H کا ایک عنصر ہے جو z محور کے ارد گرد مثبت گردش سے شروع ہوتا ہے، یعنی اس کے ساتھ شکل کا ایک عنصر۔ اسے انڈکشن کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے جو کچھ لوگوں کے لیے نقطہ کا نقشہ بناتا ہے۔ تجزیہ اور ماڈیولو 3، کوئی بھی یہ دکھا سکتا ہے۔ اسی دلیل کو دہرایا جاتا ہے (مسئلہ کی ہم آہنگی کے ذریعے) اس وقت درست ہوتا ہے جب z محور کے ارد گرد منفی گردش، یا x محور کے گرد گردش کے ساتھ شروع ہوتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر A اور B میں کسی غیر معمولی لفظ کے ذریعے دیا گیا ہے، تو۔ لہذا، گروپ H ایک آزاد گروپ ہے، جو F2 کے لیے آئسومورفک ہے۔ دونوں گردشیں گروپ F2 میں عناصر a اور b کی طرح ہی برتاؤ کرتی ہیں: اب H کی ایک متضاد سڑنا ہے۔ یہ مرحلہ دو جہتوں میں انجام نہیں دیا جا سکتا کیونکہ اس میں تین جہتوں میں گردش شامل ہوتی ہے۔ اگر ایک ہی محور کے ارد گرد دو گردشوں کو لیا جاتا ہے، تو اس کے نتیجے میں گروپ ابیلین سرکل گروپ ہوتا ہے اور اس میں مرحلہ 1 میں مطلوبہ خاصیت نہیں ہوتی ہے۔ انٹیگرل کواٹرنیئنز کا استعمال کرتے ہوئے کچھ خاص آرتھوگنل گروپوں میں آزاد گروپوں کے وجود کا ایک متبادل ریاضیاتی ثبوت گردش گروپ کے متضاد سڑنے کا باعث بنتا ہے۔ مرحلہ 3 اکائی دائرے S2 کو ہمارے گروپ H کے عمل سے مداروں میں تقسیم کیا جاتا ہے: دو نکات ایک ہی مدار سے تعلق رکھتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب H میں کوئی گردش ہو جو پہلے نقطہ کو دوسرے میں منتقل کرے۔ (نوٹ کریں کہ کسی نقطہ کا مدار S2 میں ایک گھنے سیٹ ہے۔) انتخاب کا محور ہر مدار سے بالکل ایک نقطہ لینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان نکات کو ایک سیٹ M میں جمع کریں۔ کسی دیئے گئے مدار پر H کی کارروائی آزاد اور عارضی ہے اور اس لیے ہر مدار کو H سے پہچانا جا سکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، S2 میں ہر نقطہ کو H سے M سے مناسب عنصر پر مناسب گردش کا اطلاق کرکے بالکل ایک ہی طریقے سے پہنچا جا سکتا ہے۔ اس کی وجہ سے، H کی متضاد سڑنا S2 کی چار ٹکڑوں A1، A2، A3، A4 میں متضاد سڑنا پیدا کرتا ہے: جہاں ہم دوسرے سیٹوں کے لیے اسی طرح تعریف کرتے ہیں، اور جہاں ہم وضاحت کرتے ہیں (F2 کے پانچ "متضاد" حصے براہ راست استعمال نہیں کیے گئے تھے، کیونکہ وہ M کو ایک اضافی کے طور پر چھوڑ دیں گے۔ (زیادہ تر) دائرے کو اب چار سیٹوں میں تقسیم کیا گیا ہے (ہر ایک دائرے پر گھنے ہوتے ہیں)، اور جب ان میں سے دو کو گھمایا جاتا ہے، تو نتیجہ اس سے پہلے کے مقابلے میں دوگنا ہوتا ہے: مرحلہ 4 آخر میں، S2 پر ہر پوائنٹ کو آدھے کھلے حصے سے اصل سے جوڑیں۔ S2 کی متضاد سڑنا پھر ٹھوس یونٹ گیند کی ایک متضاد سڑنا پیدا کرتا ہے مائنس گیند کے مرکز میں پوائنٹ۔ (اس مرکزی مقام کو تھوڑی زیادہ دیکھ بھال کی ضرورت ہے ؛ نیچے دیکھیں۔) این۔ بی۔ یہ خاکہ کچھ تفصیلات پر روشنی ڈالتا ہے۔ دائرے پر پوائنٹس کے سیٹ کے بارے میں محتاط رہنا پڑتا ہے جو H میں کسی گردش کے محور پر ہوتے ہیں۔ تاہم، ایسے صرف بہت سے پوائنٹس شمار ہوتے ہیں، اور گیند کے مرکز میں پوائنٹ کے معاملے کی طرح، ان سب کا حساب لگانے کے لیے ثبوت کو پیچ کرنا ممکن ہے۔ (نیچے دیکھیں۔) کچھ تفصیلات، جن کا خلاصہ مرحلہ 3 میں کیا گیا ہے، دائرے کو ہمارے گروپ H کے مداروں میں تقسیم کیا گیا تھا۔ ثبوت کو ہموار کرنے کے لیے، ان نکات کی بحث کو خارج کر دیا گیا جو کچھ گردش کے ذریعے طے کیے جاتے ہیں۔ چونکہ F2 کی متضاد سڑنا بعض ذیلی سیٹوں کو منتقل کرنے پر منحصر ہے، یہ حقیقت کہ کچھ نکات طے ہیں کچھ پریشانی کا باعث بن سکتے ہیں۔ چونکہ S2 کی کسی بھی گردش میں (صفر گردش کے علاوہ) بالکل دو فکسڈ پوائنٹس ہوتے ہیں، اور چونکہ H، جو کہ F2 کے لیے آئسومورفک ہے، قابل شمار ہے، اس لیے S2 کے بہت سے پوائنٹس ہیں جو H میں کچھ گردش کے ذریعے فکس ہوتے ہیں۔ فکسڈ پوائنٹس کے اس سیٹ کو D کے طور پر ظاہر کریں۔ مرحلہ 3 ثابت کرتا ہے کہ S2−D ایک متضاد سڑنے کو تسلیم کرتا ہے۔ جو کچھ دکھایا جانا باقی ہے وہ دعوی ہے: S2 − D S2 کے برابر ہے۔ ثبوت۔ فرض کریں کہ λ اصل کے ذریعے کوئی ایسی لکیر ہے جو D میں کسی نقطہ کو نہیں کاٹتی ہے۔ یہ ممکن ہے کیونکہ D قابل گنتی ہے۔ مان لیں کہ J زاویوں کا مجموعہ ہے، α، اس طرح کہ کسی قدرتی عدد n کے لیے، اور D میں کچھ P کے لیے، r (nα) P بھی D میں ہے، جہاں r (nα) nα کے λ کے ارد گرد ایک گردش ہے۔ پھر J قابل شمار ہے۔ لہذا ایک زاویہ θ موجود ہے جو J میں نہیں ہے۔ ρ کو λ کی طرف سے θ کے ارد گرد گردش ہونے دیں۔ پھر ρ S2 پر D میں کوئی فکسڈ پوائنٹس کے بغیر عمل کرتا ہے، یعنی، ρn (D) D سے جدا ہے، اور قدرتی m <n کے لیے، ρn (D) ρm (D) سے جدا ہے۔ فرض کریں کہ E، n = 0، 1، 2، پر ρn (D) کا جداگانہ اتحاد ہے۔ پھر S2 = E ≤ (S2−E) ~ ρ (E) ≤ (S2−E) = (E−D) ≤ (S2−E) = S2−D، جہاں ~ سے ظاہر ہوتا ہے کہ "برابر ہے"۔ مرحلہ 4 کے لیے، یہ پہلے ہی دکھایا جا چکا ہے کہ گیند مائنس ایک پوائنٹ ایک متضاد سڑنے کو تسلیم کرتی ہے۔ یہ دکھایا جانا باقی ہے کہ گیند مائنس ایک پوائنٹ گیند کے برابر ہے۔ گیند کے اندر ایک دائرے پر غور کریں، جس میں گیند کے مرکز میں پوائنٹ ہوتا ہے۔ دعوی کو ثابت کرنے کے لیے استعمال ہونے والی اس طرح کی دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی یہ دیکھ سکتا ہے کہ مکمل دائرہ گیند کے مرکز میں دائرے مائنس پوائنٹ کے برابر ہے۔ (بنیادی طور پر، دائرے پر پوائنٹس کا ایک قابل شمار سیٹ خود کو ایک اور پوائنٹ دینے کے لیے گھمایا جا سکتا ہے۔) نوٹ کریں کہ اس میں اصل کے علاوہ کسی اور نقطہ کے بارے میں گردش شامل ہے، لہذا بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس میں صرف ایس او (3) کے بجائے یوکلڈین 3-اسپیس کی آئسومیٹریز شامل ہیں۔ اس حقیقت کا استعمال کیا جاتا ہے کہ اگر A ~ B اور B ~ C، تو A ~ C۔ A کو C میں سڑنا A کو B میں لینے اور B کو C میں لینے کے لیے درکار اعداد کے پروڈکٹ کے برابر ٹکڑوں کی تعداد کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ اوپر بنائے گئے ثبوت کے لیے 2 × 4 × 2 + 8 = 24 ٹکڑوں کی ضرورت ہوتی ہے-فکسڈ پوائنٹس کو ہٹانے کے لیے 2 کا عنصر، مرحلہ 1 سے ایک عنصر 4، فکسڈ پوائنٹس کو دوبارہ بنانے کے لیے ایک عنصر 2، اور دوسری گیند کے سینٹر پوائنٹ کے لیے 8۔ لیکن مرحلہ 1 میں جب {e} اور شکل کے تمام تاروں کو S (a−1) میں منتقل کرتے ہیں، تو یہ ایک کے علاوہ تمام مداروں میں کریں۔ اس آخری مدار کے {e} کو دوسری گیند کے مرکز نقطہ پر منتقل کریں۔ اس سے کل 16 + 1 ٹکڑے ہو جاتے ہیں۔ مزید الجبرا کے ساتھ، مرحلہ 1 کی طرح فکسڈ آربٹس کو بھی 4 سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ 5 ٹکڑے دیتا ہے اور بہترین ممکن ہے۔ بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس کا استعمال کرتے ہوئے، کسی بھی عدد n ≤ 3 اور k ≤ 1 کے لیے، یعنی ایک سے یوکلیڈین n-اسپیس میں گیند کی k کاپیاں حاصل کرنا ممکن ہے۔ ایک گیند کو کے ٹکڑوں میں کاٹا جا سکتا ہے تاکہ ان میں سے ہر ایک اصل کے برابر سائز کی گیند کے برابر ہو۔ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ رینک 2 کا فری گروپ F2 گنتی کے لحاظ سے لامحدود رینک کے ایک آزاد ذیلی گروپ کو تسلیم کرتا ہے، اسی طرح کا ثبوت یہ ظاہر کرتا ہے کہ یونٹ کے دائرے Sn−1 کو گنتی کے لحاظ سے لامحدود کئی ٹکڑوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جن میں سے ہر ایک گردش کا استعمال کرتے ہوئے Sn−1 کے مساوی (دو ٹکڑوں کے ساتھ) ہے۔ گردش گروپ SO (n) کی تجزیاتی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، جو کہ ایک منسلک تجزیاتی لائ گروپ ہے، کوئی بھی مزید ثابت کر سکتا ہے کہ دائرے Sn−1 کو اتنے ہی ٹکڑوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جتنا کہ حقیقی اعداد (یعنی ٹکڑے) ہوں، تاکہ ہر ٹکڑا گردش کا استعمال کرتے ہوئے Sn−1 کے دو ٹکڑوں کے برابر ہو۔ یہ نتائج پھر اصل سے محروم یونٹ گیند تک پھیلتے ہیں۔ ویلری چرکن کا 2010 کا ایک مضمون بناچ-ترسکی پیراڈوکس کے مسلسل ورژن کا ایک نیا ثبوت دیتا ہے۔ یوکلڈین سطح میں وان نیومن پیراڈوکس یوکلڈین سطح میں، دو اعداد و شمار جو یوکلڈین حرکتوں کے گروپ کے حوالے سے مساوی مطابقت رکھتے ہیں وہ لازمی طور پر ایک ہی رقبے کے ہوتے ہیں، اور اس لیے، بناچ-ٹارسکی قسم کے مربع یا ڈسک کا متضاد سڑنا جو صرف یوکلڈین ہم آہنگی کا استعمال کرتا ہے ناممکن ہے۔ پلانر اور اعلی جہتی معاملات کے درمیان فرق کی ایک تصوراتی وضاحت جان وان نیومن نے دی تھی: تین جہتوں میں گردش کے گروپ ایس او (3) کے برعکس، طیارہ کی یوکلڈین حرکتوں کا گروپ ای (2) قابل حل ہے، جس سے ای (2) اور آر 2 پر ایک محدود اضافی پیمائش کا وجود ظاہر ہوتا ہے جو ترجمے اور گردش کے تحت غیر متغیر ہے، اور غیر معمولی سیٹوں کے متضاد سڑنے کو مسترد کرتا ہے۔ اس کے بعد وان نیومن نے مندرجہ ذیل سوال اٹھایا: کیا اس طرح کی متضاد سڑن کی تعمیر کی جا سکتی ہے اگر کوئی مساوات کے بڑے گروپ کی اجازت دے؟ یہ واضح ہے کہ اگر کوئی مماثلت کی اجازت دیتا ہے، تو سطح میں کوئی بھی دو مربع مزید ذیلی تقسیم کے بغیر بھی مساوی ہو جاتے ہیں۔ یہ کسی کی توجہ کو علاقے کے تحفظ سے متعلق افائن تبدیلیوں کے گروپ ایس اے 2 تک محدود کرنے کی ترغیب دیتا ہے۔ چونکہ یہ علاقہ محفوظ ہے، اس گروپ کے حوالے سے کسی مربع کی کوئی بھی متضاد سڑنا اسی وجوہات کی بناء پر متضاد ہوگا جس کی وجہ سے گیند کی بناچ-ترسکی سڑنا ہے۔ در حقیقت، ایس اے 2 گروپ ایک ذیلی گروپ کے طور پر خصوصی لکیری گروپ ایس ایل (2، آر) پر مشتمل ہے، جو اس کے بدلے میں فری گروپ ایف 2 پر مشتمل ہے جس میں دو جنریٹر ذیلی گروپ کے طور پر ہیں۔ اس سے یہ قابل فہم ہو جاتا ہے کہ بناچ-ترسکی پیراڈوکس کے ثبوت کو ہوائی جہاز میں نقل کیا جا سکتا ہے۔ یہاں بنیادی مشکل اس حقیقت میں مضمر ہے کہ لکیری گروپ SL (2، R) کے عمل کے تحت اکائی مربع غیر متغیر نہیں ہے، اس لیے کوئی بھی گروپ سے مربع میں محض ایک متضاد سڑنا منتقل نہیں کر سکتا، جیسا کہ بناچ-ترسکی پیراڈوکس کے مذکورہ ثبوت کے تیسرے مرحلے میں ہے۔ مزید برآں، گروپ کے فکسڈ پوائنٹس مشکلات پیش کرتے ہیں (مثال کے طور پر، اصل تمام لکیری تبدیلیوں کے تحت فکسڈ ہے)۔ یہی وجہ ہے کہ وان نیومن نے ترجمے سمیت بڑے گروپ SA2 کا استعمال کیا، اور اس نے بڑھے ہوئے گروپ (1929 میں) کے حوالے سے یونٹ اسکوائر کا ایک متضاد سڑنا بنایا۔ بناچ-ٹارسکی طریقہ کار کو لاگو کرتے ہوئے، مربع کے لیے تضاد کو مندرجہ ذیل طور پر مضبوط کیا جا سکتا ہے: خالی اندرونی حصوں کے ساتھ یوکلڈین سطح کے کوئی بھی دو پابند ذیلی سیٹ علاقے کے تحفظ والے افائن نقشوں کے حوالے سے مساوی ہیں۔ جیسا کہ وان نیومن نوٹ کرتے ہیں: "انفولجڈیسین گبٹ ایس ڈیر ایبنی کین نکٹ نیگیٹیوز ایڈیٹیوز مایس (وو داس آئن ہیٹسکواڈراٹ داس مایس 1 ہیٹ)، ڈاس جیجینبر ایلین ابیلڈنگن وان اے 2 غیر متغیر وار"۔ "اس کے مطابق، پہلے سے ہی سطح میں کوئی غیر منفی اضافی پیمائش نہیں ہے (جس کے لیے یونٹ مربع کی پیمائش 1 ہے)، جو A2 [رقبے کو محفوظ رکھنے والی افائن تبدیلیوں کے گروپ] سے تعلق رکھنے والی تمام تبدیلیوں کے حوالے سے غیر متغیر ہے۔ مزید وضاحت کرنے کے لیے، یہ سوال کہ آیا ایک حتمی اضافی پیمائش (جو کچھ تبدیلیوں کے تحت محفوظ ہے) موجود ہے یا نہیں، اس کا انحصار اس بات پر ہے کہ کن تبدیلیوں کی اجازت ہے۔ طیارہ میں سیٹوں کی بناچ پیمائش، جو ترجمے اور گردشوں کے ذریعے محفوظ ہے، غیر آئسومیٹرک تبدیلیوں کے ذریعے محفوظ نہیں ہے یہاں تک کہ جب وہ کثیر الاضحی کے رقبے کو محفوظ رکھتے ہیں۔ سطح کے نکات (اصل کے علاوہ) کو دو گھنے سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جنہیں اے اور بی کہا جا سکتا ہے۔ اگر کسی دیئے گئے کثیر الاضحی کے A پوائنٹس کو کسی مخصوص رقبے کے تحفظ کے ذریعے اور B پوائنٹس کو دوسرے کے ذریعے تبدیل کیا جاتا ہے، تو دونوں سیٹ دو نئے کثیر الاضحی میں A پوائنٹس کے ذیلی سیٹ بن سکتے ہیں۔ نئے کثیر الاضحی کا رقبہ پرانے کثیر الاضحی جیسا ہی ہوتا ہے، لیکن تبدیل شدہ دو سیٹوں کی پیمائش پہلے کی طرح نہیں ہو سکتی (کیونکہ ان میں اے پوائنٹس کا صرف ایک حصہ ہوتا ہے)، اور اس لیے ایسی کوئی پیمائش نہیں ہے جو "کام کرے"۔ بناچ-ٹارسکی رجحان کے مطالعہ کے دوران وان نیومن کے ذریعہ الگ تھلگ کردہ گروپوں کی کلاس ریاضی کے بہت سے شعبوں کے لیے بہت اہم ثابت ہوئی: یہ قابل قبول گروپ ہیں، یا غیر متغیر اوسط والے گروپ ہیں، اور ان میں تمام محدود اور تمام قابل حل گروپ شامل ہیں۔ عام طور پر، متضاد سڑنا اس وقت پیدا ہوتا ہے جب مساوات کی تعریف میں مساوات کے لیے استعمال ہونے والا گروپ قابل قبول نہیں ہوتا ہے۔ حالیہ پیش رفت 2000: وان نیومن کے مقالے نے لکیری گروپ SL (2، R) (ویگن، سوال 7.4) کے حوالے سے یونٹ مربع کے اندرونی حصے کے متضاد سڑنے کے امکان کو کھلا چھوڑ دیا۔ 2000 میں، میکلس لاکزکووچ نے ثابت کیا کہ اس طرح کی سڑن موجود ہے۔ مزید واضح طور پر، فرض کریں کہ A طیارہ کے تمام باؤنڈڈ سبسیٹس کا خاندان ہے جس کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہے اور اصل سے مثبت فاصلے پر ہے، اور B تمام طیاروں کا خاندان اس پراپرٹی کے ساتھ سیٹ کرتا ہے جس کا ترجمہ SL (2، R) کے کچھ عناصر کے تحت ہوتا ہے جس میں اصل کا ایک پنکچرڈ پڑوس ہوتا ہے۔ پھر خاندان اے کے تمام سیٹ ایس ایل (2، آر)-مساوی ہیں، اور اسی طرح بی کے سیٹوں کے لیے بھی۔ اس کے بعد دونوں خاندان متضاد سیٹوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ 2003: یہ ایک طویل عرصے سے معلوم تھا کہ مکمل طیارہ SA2 کے حوالے سے متضاد تھا، اور یہ کہ ٹکڑوں کی کم سے کم تعداد چار کے برابر ہوگی بشرطیکہ SA2 کا مقامی طور پر تبادلہ کرنے والا آزاد ذیلی گروہ موجود ہو۔ 2003 میں کینزی ساتو نے اس طرح کا ایک ذیلی گروہ بنایا، جس سے اس بات کی تصدیق ہوتی ہے کہ چار ٹکڑے کافی ہیں۔ 2011: لاکزکووچ کے مقالے نے اس امکان کو کھلا چھوڑ دیا اگر پنکچرڈ ڈسک D پر فکسڈ پوائنٹس کے بغیر کام کرنے والے ٹکڑے ٹکڑے لکیری تبدیلیوں کا ایک آزاد گروپ F موجود ہو۔ گرزگورز ٹامکوویز نے ایسا گروپ بنایا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہم آہنگی کے نظام کو F اور D کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ 2017: یہ ایک طویل عرصے سے جانا جاتا ہے کہ ہائپربولک طیارہ H2 میں ایک سیٹ E موجود ہے جو کہ H2 کا تیسرا، چوتھا اور۔ اور a-th حصہ ہے۔ H2 کی واقفیت-محفوظ آئسومیٹریز کے ذریعے ضرورت کو پورا کیا گیا۔ اسی طرح کے نتائج جان فرینک ایڈمز اور جان مائیسلسکی نے حاصل کیے جنہوں نے ظاہر کیا کہ اکائی دائرے S2 میں ایک سیٹ E ہے جو کہ S2 کا نصف، تیسرا، چوتھا اور ایک واں حصہ ہے۔ گرزگورز ٹامکووچ نے دکھایا کہ ایڈمز اور مائیسلسکی کی تعمیر کو عام کیا جا سکتا ہے تاکہ H2 کا ایک سیٹ E حاصل کیا جا سکے جس میں وہی خصوصیات ہوں جو S2 میں ہیں۔ 2017: وان نیومن کا پیراڈوکس یوکلڈین طیارہ سے متعلق ہے، لیکن دیگر کلاسیکی خالی جگہیں بھی ہیں جہاں پیراڈوکس ممکن ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی یہ پوچھ سکتا ہے کہ کیا ہائپربولک طیارہ H2 میں بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس ہے۔ یہ جان میسیلسکی اور گرزگورز ٹامکووچ نے دکھایا تھا۔ ٹامکووچ نے یہ بھی ثابت کیا کہ زیادہ تر کلاسیکی تضادات گراف کے نظریاتی نتائج اور اس حقیقت کا ایک آسان نتیجہ ہیں کہ زیر بحث گروہ کافی امیر ہیں۔ 2018: 1984 میں، جان میسیلسکی اور اسٹین ویگن نے ہائپربولک طیارہ H2 کا ایک متضاد سڑنا بنایا جو بوریل سیٹوں کا استعمال کرتا ہے۔ پیراڈوکس کا انحصار H2 کے آئسومیٹریز کے گروپ کے مناسب طریقے سے متضاد ذیلی گروپ کے وجود پر ہے۔ اسی طرح کی تضاد گرزگورز ٹامکووچ نے حاصل کی ہے جس نے افائن گروپ SA (3، Z) کا ایک آزاد مناسب طور پر متضاد ذیلی گروپ G بنایا۔ اس طرح کے گروپ کے وجود سے مراد Z3 کے ذیلی سیٹ E کا وجود اس طرح ہے کہ Z3 کے کسی بھی محدود F کے لیے اس طرح کا ایک عنصر موجود ہے، جہاں اور کے ہم آہنگی فرق کو ظاہر کرتا ہے۔ 2019: بناچ-ترسکی پیراڈوکس نقل میں بہت سے ٹکڑوں کا استعمال کرتا ہے۔ گنتی کے لحاظ سے بہت سے ٹکڑوں کے معاملے میں، خالی اندرونی حصوں والے کوئی بھی دو سیٹ ترجمے کا استعمال کرتے ہوئے مساوی ہیں۔ لیکن صرف لیبسیگ پیمائش کے قابل ٹکڑوں کو حاصل کرنے کی اجازت: اگر A اور B خالی اندرونی حصوں کے ساتھ Rn کے ذیلی سیٹ ہیں، تو ان کے پاس لیبسیگ اقدامات برابر ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ لیبسیگ پیمائش کے قابل ٹکڑوں کا استعمال کرتے ہوئے قابل شمار مساوی ہوں۔ جان میسیلسکی اور گرزگورز ٹامکووچ نے اس نتیجے کو محدود جہتی لائ گروپوں اور دوسرے قابل گنتی مقامی طور پر کمپیکٹ ٹپوولوجیکل گروپوں تک بڑھایا جو مکمل طور پر منقطع ہیں یا جن میں شمار کے لحاظ سے بہت سے منسلک اجزاء ہیں۔ نوٹ حوالہ جات ایڈورڈ کاسنر اور جیمز نیومین (1940) ریاضی اور تخیل، پی پی 205-7، سائمن اور شسٹر بھی دیکھیں۔ بیرونی روابط بنچ-ٹارسکی پیراڈوکس بذریعہ اسٹین ویگن (میکالیسٹر کالج)، وولفرم مظاہرے پروجیکٹ۔ بے قاعدہ ویب کامک! #2339 بذریعہ ڈیوڈ مورگن-مار اس تضاد کی غیر تکنیکی وضاحت فراہم کرتا ہے۔ اس میں ایک سے دو دائرے بنانے کا مرحلہ وار مظاہرہ شامل ہے۔ پیراڈوکس کی بنیادی باتوں پر ایک جائزہ پیش کرتا ہے۔ بناچ-ٹارسکی اینڈ دی پیراڈوکس آف انفینٹ کلوننگ ایپونیمس پیراڈوکس گروپ تھیوری پیمائش تھیوری ریاضیاتی پیراڈوکس تھیوریمز ان دی فاؤنڈیشنز آف میتھمیٹکس جیومیٹرک ڈسیکشن 1924 تعارف پیراڈوکس آف انفینٹی