Quartic reciprocity
کوارٹک یا بائیکاڈریٹک ریسیکروٹی ابتدائی اور الجبرائی نمبر تھیوری میں تھیوریمز کا مجموعہ ہے جو ایسے حالات بیان کرتے ہیں جن کے تحت ہم آہنگی x4 ष्ण p (موڈ q) حل کرنے کے قابل ہے۔ لفظ "باہمی" ان میں سے کچھ تھیوریمز کی شکل سے آتا ہے، جس میں وہ ہم آہنگی x4 ष्ण p (موڈ q) کی حل پذیری کو x4 ष्ण q (موڈ p) سے جوڑتے ہیں۔ تاریخ اویلر نے دو طرفہ باہمی تعامل کے بارے میں پہلے قیاس آرائیاں کیں۔ گاؤس نے باہمی تعامل پر دو مونوگراف شائع کیے۔ پہلے میں (1828) اس نے 2 کے بکواڈریٹک کردار کے بارے میں اویلر کے قیاس کو ثابت کیا۔ دوسرے میں (1832) انہوں نے گاؤسی انٹیجرز کے لیے بائیکاڈریٹک ریسیکروٹی قانون بیان کیا اور اضافی فارمولوں کو ثابت کیا۔ انہوں نے کہا کہ تیسرا مونوگراف جنرل تھیوریم کے ثبوت کے ساتھ آنے والا ہے، لیکن یہ کبھی ظاہر نہیں ہوا۔ جیکوبی نے 1836-37 کے اپنے کونگسبرگ لیکچرز میں ثبوت پیش کیے۔ سب سے پہلے شائع شدہ ثبوت آئزنسٹین کے تھے۔ اس کے بعد سے کلاسیکی (گوسیائی) ورژن کے متعدد دیگر ثبوت ملے ہیں، نیز متبادل بیانات بھی ملے ہیں۔ لیمرمیر کا کہنا ہے کہ 1970 کی دہائی سے عقلی باہمی قوانین میں دلچسپی کا دھماکہ ہوا ہے۔ انٹیجرز ایک کوارٹک یا بائیکاڈریٹک ریسیڈیو (موڈ پی) کوئی بھی عدد ہے جو کسی انٹیجر (موڈ پی) کی چوتھی طاقت سے مطابقت رکھتا ہے۔ اگر x4 ष्ण a (موڈ p) کا انٹیجر حل نہیں ہے، تو a ایک کوارٹک یا بائیکاڈریٹک نان ریسیڈیو (موڈ p) ہے۔ جیسا کہ اکثر نمبر تھیوری میں ہوتا ہے، ماڈیولو پرائم نمبروں پر کام کرنا سب سے آسان ہے، لہذا اس حصے میں تمام ماڈیولی p، q، وغیرہ کو مثبت، عجیب پرائم سمجھا جاتا ہے۔ انٹیجرز کے رنگ Z کے اندر کام کرتے وقت سب سے پہلی بات یہ ہے کہ اگر پرائم نمبر q ष्ण 3 (موڈ 4) ہے تو ریسیڈیو r ایک کواڈریٹک ریسیڈیو (موڈ q) ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو (موڈ q) ہو۔ درحقیقت، کواڈریٹک ریسیکروٹی کا پہلا ضمیمہ بیان کرتا ہے کہ −1 ایک کواڈریٹک نان ریسیڈیو (موڈ q) ہے، تاکہ کسی بھی عدد x کے لیے، x اور −x میں سے ایک کواڈریٹک ریسیڈیو ہو اور دوسرا ایک نان ریسیڈیو ہو۔ اس طرح، اگر r ष्ण a2 (موڈ q) ایک کواڈریٹک ریسیڈیو ہے، تو اگر a ष्ण b2 ایک ریسیڈیو ہے، تو r ष्ण a2 ष्ण b4 (موڈ q) ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو ہے، اور اگر a غیر ریسیڈیو ہے، تو − a ایک ریسیڈیو ہے، − a ष्ण b2، اور پھر، r ष्ण (−a) 2 ष्ण b4 (موڈ q) ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو ہے۔ لہذا، واحد دلچسپ صورت یہ ہے کہ جب ماڈیولس p ष्ण 1 (ماڈیول 4) ہو۔ گاؤس نے ثابت کیا کہ اگر p ष्ण 1 (موڈ 4) ہے تو غیر صفر بقیہ کلاسوں (موڈ p) کو چار سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جن میں سے ہر ایک میں (p−1)/4 نمبر ہوتے ہیں۔ فرض کریں کہ e ایک کواڈریٹک نان ریسیڈیو ہے۔ پہلا سیٹ کوارٹک ریسیڈیوز ہے۔ دوسرا سیٹ پہلے سیٹ میں موجود نمبروں کا ای گنا ہے، تیسرا سیٹ پہلے سیٹ میں موجود نمبروں کا ای 2 گنا ہے، اور چوتھا سیٹ پہلے سیٹ میں موجود نمبروں کا ای 3 گنا ہے۔ اس تقسیم کو بیان کرنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ جی کو ایک ابتدائی جڑ (موڈ پی) سمجھا جائے۔ پھر پہلا سیٹ وہ تمام اعداد ہیں جن کے اشاریہ جات اس جڑ کے حوالے سے ष्ण 0 (موڈ 4) ہیں، دوسرا سیٹ وہ تمام ہیں جن کے اشاریہ جات ष्ण 1 (موڈ 4) وغیرہ ہیں۔ گروپ تھیوری کے الفاظ میں، پہلا سیٹ انڈیکس 4 کا ایک ذیلی گروپ ہے (ضرب گروپ Z/pZ × کا)، اور دیگر تین اس کے کوسیٹ ہیں۔ پہلا سیٹ بائیکاڈریٹک ریسیڈیوز ہے، تیسرا سیٹ کواڈریٹک ریسیڈیوز ہیں جو کوارٹک ریسیڈیوز نہیں ہیں، اور دوسرا اور چوتھا سیٹ کواڈریٹک نان ریسیڈیوز ہیں۔ گاؤس نے ثابت کیا کہ −1 ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو ہے اگر p ष्ण 1 (موڈ 8) اور ایک کواڈریٹک، لیکن بائیکاڈریٹک نہیں، ریسیڈیو، جب p ष्ण 5 (موڈ 8) ہے۔ 2 ایک کواڈریٹک ریسیڈیو موڈ p ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب p ष्ण ± 1 (موڈ 8) ہو۔ چونکہ p بھی ष्ण 1 (موڈ 4) ہے، اس کا مطلب ہے p ष्ण 1 (موڈ 8)۔ اس طرح کا ہر پرائم ایک مربع اور دو بار ایک مربع کا مجموعہ ہوتا ہے۔ گوس نے ثابت کیا کہ فرض کریں کہ q = a2 + 2b2 ष्ण 1 (ماڈ 8) ایک پرائم نمبر ہے۔ پھر 2 ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو (موڈ q) ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب a ष्ण ± 1 (موڈ 8)، اور 2 ایک کواڈریٹک ہے، لیکن بائیکاڈریٹک نہیں، ریسیڈیو (موڈ q) اگر اور صرف اس صورت میں جب a ष्ण ± 3 (موڈ 8) ہو۔ ہر پرائم p ष्ण 1 (موڈ 4) دو مربعوں کا مجموعہ ہے۔ اگر p = a2 + b2 جہاں a عجیب ہے اور b یکساں ہے، تو گاؤس نے ثابت کیا کہ 2 کا تعلق پہلی (بالترتیب دوسری، تیسری، یا چوتھی) کلاس سے ہے جس کی وضاحت اوپر کی گئی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب b ष्ण 0 ہو۔ 2، 4، یا 6) (ماڈ 8)۔ اس کا پہلا معاملہ اویلر کے قیاس آرائیوں میں سے ایک ہے: 2 ایک پرائم p ष्ण 1 (موڈ 4) کا بائیکاڈریٹک ریسیڈیو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب p = a2 + 64b2 ہو۔ ڈیرچلیٹ ایک عجیب پرائم نمبر p اور ایک کواڈریٹک ریسیڈیو a (موڈ p) کے لیے، اویلر کا معیار بیان کرتا ہے کہ اگر p ष्ण 1 (موڈ 4)، پرائم p ष्ण 1 (موڈ 4) اور کواڈریٹک ریسیڈیو a (موڈ p) کے لیے عقلی کوارٹک ریسیڈیو علامت کی وضاحت کریں۔ یہ ثابت کرنا آسان ہے کہ a ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو (موڈ p) ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ڈیرچلیٹ نے گاؤس کے 2 کے بائیکاڈریٹک کردار کے ثبوت کو آسان بنایا ہو (اس کے ثبوت کے لیے صرف انٹیجرز کے لیے کواڈریٹک ریسیکروٹی کی ضرورت ہوتی ہے) اور نتیجہ کو درج ذیل شکل میں رکھیں: فرض کریں کہ p = a2 + b2 ष्ण 1 (موڈ 4) پرائم ہو۔ پھر (نوٹ کریں کہ i2 ष्ण −1 (موڈ p)۔) در حقیقت، فرض کریں کہ p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ष्ण 1 (موڈ 8) پرائم ہے، اور فرض کریں کہ a عجیب ہے۔ پھر عام لیجنڈری کی علامت کہاں ہے۔ 2 کے حرف سے آگے بڑھتے ہوئے، پرائم p = a2 + b2 جہاں b یکساں ہے، اور q کو ایک پرائم اس طرح ہونے دیں کہ کواڈریٹک ریسیپوکریٹی کا کہنا ہے کہ جہاں σ2 ष्ण p (موڈ q) ہے۔ پھر اس کا مطلب یہ ہے کہ پہلی چند مثالیں یہ ہیں: اویلر نے 2، −3 اور 5 کے اصولوں کا قیاس کیا تھا، لیکن ان میں سے کسی کو ثابت نہیں کیا۔ ڈیرچلیٹ نے یہ بھی ثابت کیا کہ اگر p ष्ण 1 (موڈ 4) پرائم ہے اور پھر اسے براؤن اور لیمر نے 17 سے بڑھا کر 17، 73، 97 اور 193 کر دیا ہے۔ برڈے کے عقلی دو طرفہ باہمی قانون کو بیان کرنے کے کئی مساوی طریقے ہیں۔ وہ سب یہ فرض کرتے ہیں کہ p = a2 + b2 اور q = c2 + d2 وہ پرائم ہیں جہاں b اور d یکساں ہیں، اور یہ کہ گوسیٹ کا ورژن لیٹنگ i2 ष्ण −1 (موڈ p) اور j2 ष्ण −1 (موڈ q) ہے، فریلیچ کا قانون یہ ہے کہ برڈے نے اس کی شکل میں بیان کیا ہے: نوٹ کریں کہ مسیلنی آئیے p ष्ण q ष्ण 1 (موڈ 4) پرائم ہوں اور فرض کریں۔ پھر e2 = p f2 + q g2 میں غیر معمولی عدد حل ہوتے ہیں، اور فرض کریں کہ p ष्ण q ष्ण 1 (ماڈ 4) پرائم ہوں اور فرض کریں کہ p = r2 + q s2 ہے۔ پھر فرض کریں کہ p = 1 + 4x2 پرائم ہے، فرض کریں کہ a کوئی بھی عجیب عدد ہے جو x کو تقسیم کرتا ہے، اور فرض کریں کہ a * ایک بائیکاڈریٹک ریسیڈیو (موڈ p) ہے۔ فرض کریں کہ p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ष्ण 1 (موڈ 8) پرائم ہے۔ پھر c4 − p a2 کے تمام تقسیم کار بکواڈریٹک باقیات (موڈ p) ہیں۔ یہی بات d4 − p b2 کے تمام تقسیم کاروں کے لیے بھی درست ہے۔ گاؤسی انٹیجرز بیک گراؤنڈ باکواڈریٹک ریسیکروٹی پر اپنے دوسرے مونوگراف میں گاؤس کچھ مثالیں دکھاتا ہے اور قیاس آرائیاں کرتا ہے جو چھوٹے پرائمز کے باکواڈریٹک کردار کے لیے اوپر درج تھیوریمز کی نشاندہی کرتے ہیں۔ وہ کچھ عمومی تبصرے کرتا ہے، اور تسلیم کرتا ہے کہ کام میں کوئی واضح عمومی اصول نہیں ہے۔ وہ مزید کہتے ہیں کہ بکواڈریٹک باقیات پر تھیوریمز سب سے بڑی سادگی اور حقیقی خوبصورتی کے ساتھ تب ہی چمکتے ہیں جب ریاضی کے میدان کو خیالی اعداد تک بڑھایا جاتا ہے، تاکہ بغیر کسی پابندی کے، a + b کی شکل کے اعداد مطالعہ کا مقصد بن جائیں۔ ہم اس طرح کے اعداد کو انٹیگرل کمپلیکس نمبر کہتے ہیں۔ [اصل میں بولڈ] ان نمبروں کو اب گاؤسی انٹیجرز کی رنگ کہا جاتا ہے، جسے Z [i] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ i 1 کا چوتھا جڑ ہے۔ ایک فوٹ نوٹ میں انہوں نے مزید کہا کہ کیوبک باقیات کا نظریہ اسی طرح a + bh کی شکل کے اعداد پر غور کرنے پر مبنی ہونا چاہیے جہاں h مساوات h3 = 1 کا ایک خیالی جڑ ہے۔ اور اسی طرح اعلی طاقتوں کے باقیات کا نظریہ دیگر خیالی مقداروں کے تعارف کی طرف لے جاتا ہے۔ اتحاد کے مکعب جڑ سے بنے اعداد کو اب آئزنسٹین انٹیجرز کی انگوٹی کہا جاتا ہے۔ "اعلی طاقتوں کے باقیات کے نظریہ" کے لیے درکار "دیگر خیالی مقداریں" سائکلوٹومک نمبر فیلڈز کے انٹیجرز کے حلقے ہیں ؛ گوسیئن اور آئزنسٹین انٹیجرز ان کی آسان ترین مثالیں ہیں۔ حقائق اور اصطلاحات گاؤس "انٹیگرل کمپلیکس نمبروں" کا ریاضیاتی نظریہ تیار کرتا ہے اور ظاہر کرتا ہے کہ یہ عام عددوں کے ریاضی سے کافی ملتا جلتا ہے۔ یہی وہ جگہ ہے جہاں ریاضی میں یونٹ، ایسوسی ایٹ، نارم اور پرائمری کی اصطلاحات متعارف کرائی گئیں۔ اکائیاں وہ اعداد ہیں جو 1 کو تقسیم کرتے ہیں۔ وہ 1، i، −1، اور −i ہیں۔ وہ عام انٹیجرز میں 1 اور-1 سے ملتے جلتے ہیں، اس میں وہ ہر نمبر کو تقسیم کرتے ہیں۔ اکائیاں i کی طاقتیں ہیں۔ ایک عدد λ = a + b کو دیکھتے ہوئے، اس کا کنجوگیٹ a − b ہے اور اس کے ساتھی چار عدد ہیں λ = + a + b iλ = − b + ai − λ = − a − b − iλ = + b − i اگر λ = a + b، تو λ کا معیار، لکھا ہوا Nλ، عدد a2 + b2 ہے۔ اگر λ اور μ دو گاؤسی عدد ہیں، تو Nλμ = Nλ Nμ ؛ دوسرے لفظوں میں، معیار ضرب ہے۔ صفر کا معیار صفر ہے، کسی بھی دوسرے نمبر کا معیار ایک مثبت عدد ہے۔ ε ایک اکائی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب Nε = 1 ہو۔ λ کے معیار کا مربع جڑ، ایک غیر منفی حقیقی نمبر جو گوسیائی عدد نہیں ہو سکتا، لیمبڈا کی مطلق قیمت ہے۔ گاؤس ثابت کرتا ہے کہ Z [i] ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ پرائم تین کلاسوں میں آتے ہیں: 2 ایک خاص معاملہ ہے: 2 = i3 (1 + i) 2۔ یہ Z میں واحد پرائم ہے جو Z [i] میں پرائم کے مربع سے تقسیم ہوتا ہے۔ الجبرائی نمبر تھیوری میں، 2 کو Z [i] میں ریمفائی کہا جاتا ہے۔ Z ष्ण 3 (موڈ 4) میں مثبت پرائمز بھی Z [i] میں پرائمز ہیں۔ الجبرائی نمبر تھیوری میں کہا جاتا ہے کہ یہ پرائمز Z [i] میں غیر فعال رہتے ہیں۔ Z ष्ण 1 (موڈ 4) میں مثبت پرائمز Z [i] میں دو کنجوگیٹ پرائمز کا پروڈکٹ ہیں۔ الجبرائی نمبر تھیوری میں کہا جاتا ہے کہ یہ پرائمز Z [i] میں تقسیم ہوتے ہیں۔ اس طرح، غیر فعال پرائمز 3، 7، 11، 19 ہیں۔ اور تقسیم شدہ پرائمز کی فیکٹرائزیشن 5 = (2 + i) × (2−i)، 13 = (2 + 3i) × (2−3i)، 17 = (4 + i) × (4−i)، 29 = (2 + 5i) × (2−5i)، ہے۔ پرائم کے ایسوسی ایٹس اور کنجوگیٹ بھی پرائم ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ ایک غیر فعال پرائم q کا معیار Nq = q2 ष्ण 1 (موڈ 4) ہے ؛ اس طرح 1 + i اور اس کے ساتھیوں کے علاوہ تمام پرائمز کا معیار ष्ण 1 (موڈ 4) ہے۔ گاؤس کسی نمبر کو Z [i] عجیب میں کال کرتا ہے اگر اس کا معمول ایک عجیب عدد ہو۔ اس طرح 1 + i اور اس کے ساتھیوں کے علاوہ تمام پرائم عجیب ہوتے ہیں۔ دو عجیب اعداد کا پروڈکٹ عجیب ہے اور ایک عجیب نمبر کا کنجوگیٹ اور ایسوسی ایٹس عجیب ہیں۔ انوکھے فیکٹرائزیشن تھیوریم کو بیان کرنے کے لیے، کسی نمبر کے ایسوسی ایٹس میں سے کسی ایک کو الگ کرنے کا طریقہ ہونا ضروری ہے۔ گاؤس ایک عجیب نمبر کو پرائمری قرار دیتا ہے اگر یہ ष्ण 1 (موڈ (1 + i) 3) ہو۔ یہ ظاہر کرنا سیدھا ہے کہ ہر عجیب نمبر کا بالکل ایک بنیادی ساتھی ہوتا ہے۔ اگر a + b ष्ण a − b ष्ण 1 (ماڈ 4) ؛ یعنی a ष्ण 1 اور b ष्ण 0، یا a ष्ण 3 اور b ष्ण 2 (ماڈ 4)، تو ایک عجیب عدد λ = a + b بنیادی ہوتا ہے۔ دو پرائمری نمبروں کا پروڈکٹ پرائمری ہے اور پرائمری نمبر کا کنجوگیٹ بھی پرائمری ہے۔ Z [i] کے لیے انوکھا فیکٹرائزیشن تھیوریم یہ ہے: اگر λ  ऒत्त 0، تو جہاں 0 ≤ μ ≤ 3، ν ≤ 0، πis پرائمری پرائمز ہیں اور αis ≤ 1، اور یہ نمائندگی عوامل کی ترتیب تک منفرد ہے۔ ہم آہنگی اور سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے تصورات کی تعریف Z [i] میں اسی طرح کی گئی ہے جس طرح وہ عام عدد Z کے لیے ہیں۔ چونکہ اکائیاں تمام اعداد کو تقسیم کرتی ہیں، ایک ہم آہنگی (موڈ λ) بھی λ کے کسی بھی ایسوسی ایٹ کے لیے صحیح ماڈیولو ہے، اور GCD کا کوئی بھی ایسوسی ایٹ بھی GCD ہے۔ کوارٹک ریسیڈیو کردار گاؤس فرمیٹ تھیوریم کے اینالاگ کو ثابت کرتا ہے: اگر α کسی عجیب پرائم π سے تقسیم نہیں ہوتا ہے، تو چونکہ Nπ ष्ण 1 (موڈ 4)، معنی رکھتا ہے، اور ایک منفرد یونٹ ik کے لیے۔ اس اکائی کو α (موڈ π) کا کوارٹک یا بائیکاڈریٹک ریسیڈیو کردار کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ اس کی رسمی خصوصیات لیجنڈری علامت سے ملتی جلتی ہیں۔ ہم آہنگی Z [i] میں حل کرنے کے قابل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جہاں بار پیچیدہ امتزاج کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگر π اور θ ایسوسی ایٹس ہیں، اگر α ष्ण β (موڈ π)، تو بائیکاڈریٹک کردار کو "ڈینومینیٹر" میں عجیب جامع نمبروں تک اسی طرح بڑھایا جا سکتا ہے جس طرح لیجنڈری علامت کو جیکوبی علامت میں عام کیا جاتا ہے۔ جیسا کہ اس صورت میں، اگر "ڈینومینیٹر" مرکب ہے، تو علامت یکسانیت کے حل ہونے کے بغیر ایک کے برابر ہو سکتی ہے: جہاں اگر a اور b عام عدد ہیں، a  ऒत्त 0، |b |> 1، gcd (a، b) = 1، تو تھیوریم کے بیانات گاؤس نے اس شکل میں بائیکاڈریٹک ریسیکروٹی کے قانون کو بیان کیا: فرض کریں کہ π اور θ Z [i] کے الگ پرائمری پرائمز ہوں۔ پھر اگر یا تو π یا θ یا دونوں ष्ण 1 (ماڈ 4) ہیں، لیکن اگر π اور θ دونوں ष्ण 3 + 2i (ماڈ 4) ہیں، تو جس طرح لیجنڈری علامت کے لیے کواڈریٹک باہمی قانون بھی جیکوبی علامت کے لیے درست ہے، اس ضرورت کی ضرورت نہیں ہے کہ اعداد پرائم ہوں۔ یہ کافی ہے کہ وہ عجیب نسبتا پرائم نان یونٹس ہوں۔ شاید سب سے زیادہ معروف بیان یہ ہے کہ: π اور θ کو بنیادی نسبتا پرائم نان یونٹس ہونے دیں۔ پھر اکائیوں کے لیے اضافی تھیوریمز ہیں اور ہاف ایون پرائم 1 + i۔ اگر π = a + b ایک پرائمری پرائم ہے، تو اور اس طرح۔ جیکوبی نے π = a + b کی تعریف بنیادی ہونے کے لیے کی ہے اگر a ष्ण 1 (موڈ 4) ہو۔ اس نارملائزیشن کے ساتھ، قانون اس شکل اختیار کرتا ہے کہ α = a + b اور β = c + d جہاں a ष्ण c ष्ण 1 (موڈ 4) اور b اور d نسبتا پرائم نان یونٹس بھی ہیں۔ پھر مندرجہ ذیل ورژن گاؤس کے غیر شائع شدہ نسخوں میں پایا گیا۔ فرض کریں کہ α = a + 2bi اور β = c + 2di جہاں a اور c عجیب ہیں نسبتا پرائم نان یونٹس ہوں۔ پھر قانون کو پرائمری کے تصور کو استعمال کیے بغیر بیان کیا جا سکتا ہے: اگر λ عجیب ہے، تو ε (λ) کو λ (موڈ (1 + i) 3) سے مطابقت رکھنے والی منفرد اکائی ہونے دیں ؛ یعنی، ε (λ) = ik ष्ण λ (موڈ 2 + 2i)، جہاں 0 ≤ k ≤ 3 ہے۔ پھر عجیب اور نسبتا پرائم α اور β کے لیے، نہ ہی ایک یونٹ، عجیب λ کے لیے، چلو پھر اگر λ اور μ نسبتا پرائم نان یونٹس ہیں، تو آئزنسٹین نے ثابت کیا کہ دیکھیں کواڈریٹک ریسیکروٹی کیوبک ریسیکروٹی آکٹک ریسیکروٹی آئزنسٹین ریسیکروٹی آرٹین ریسیکروٹی نوٹ A.Here، "عقلی" کا مطلب وہ قوانین ہیں جو کچھ الجبرائی نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کے لحاظ سے نہیں بلکہ عام انٹیجرز کے لحاظ سے بیان کیے گئے ہیں۔ حوالہ جات ادب اویلر، ڈیرچلیٹ اور آئزنسٹین کے اصل کاغذات کے حوالے لیمرمیر اور کاکس کے کتب خانوں سے نقل کیے گئے تھے، اور اس مضمون کی تیاری میں استعمال نہیں کیے گئے تھے۔ اویلر یہ دراصل 1748-1750 لکھا گیا تھا، لیکن اسے صرف بعد از مرگ شائع کیا گیا تھا۔ یہ جلد V، پی پی میں ہے۔ 182-283 آف گاؤس دو مونوگرافس گاؤس جو بائیکاڈریٹک ریسیکروٹی پر شائع ہوئے ہیں ان میں لگاتار نمبر والے حصے ہیں: پہلے میں §§ 1-23 اور دوسرے میں §§ 24-76 شامل ہیں۔ ان کا حوالہ دینے والے فوٹ نوٹ "گاؤس، بی کیو، § این" کی شکل کے ہیں۔ دریافت شدہ ریاضی کا حوالہ دینے والے فوٹ نوٹ "گاؤس، ڈی اے، آرٹ" کی شکل کے ہیں۔ این۔ " یہ گاؤس ورکے، جلد II، پی پی میں ہیں۔ 65-92 اور 93-148 جرمن ترجمے پی پی میں ہیں۔ مندرجہ ذیل میں سے 511-533 اور 534-586، جس میں نمبر تھیوری پر ڈسکوزیشنز ارتھمیٹیکی اور گاؤس کے دیگر مقالے بھی ہیں۔ آئزنسٹین یہ تمام مقالے ان کے ورک کے جلد اول میں ہیں۔ یہ دونوں ڈیرچلیٹ اپنے ورک کے جلد اول میں ہیں۔ جدید مصنفین بیرونی روابط فرانز لیمرمیئر کے ان دو مقالے برڈے کے قانون اور متعلقہ نتائج کے ثبوت پر مشتمل ہیں: عقلی کوارٹک ریسیپروسٹی عقلی کوارٹک ریسیپروسٹی II الجبرائی نمبر تھیوری نمبر تھیوری میں ماڈیولر ریاضی کے نظریات