Higher-dimensional algebra
ریاضی میں، خاص طور پر (اعلی) زمرہ نظریہ، اعلی جہتی الجبرا درجہ بند ڈھانچوں کا مطالعہ ہے۔ اس کے غیر ایبلین الجبرائی ٹوپولوجی میں استعمال ہوتے ہیں، اور تجریدی الجبرا کو عمومی بناتا ہے۔ اعلی جہتی زمرے اعلی جہتی الجبرا کی وضاحت کی طرف پہلا قدم اعلی زمرہ نظریہ کے 2-زمرہ کا تصور ہے، اس کے بعد دوہرے زمرے کا زیادہ 'ہندسی' تصور ہے۔ اس طرح ایک اعلی سطح کے تصور کو زمرہ جات، یا سپر زمرہ کے زمرے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، جو زمرہ کے تصور کو اعلی جہتوں تک عام کرتا ہے-جسے کسی بھی ڈھانچے کے طور پر سمجھا جاتا ہے جو لاورے کے ابتدائی نظریہ تجریدی زمرہ جات (ای ٹی اے سی) کے محوریات کی تشریح ہے۔ اس طرح، ایک سپر کیٹیگری اور ایک سپر کیٹیگری، کو میٹا کیٹیگری، ملٹی کیٹیگری، اور ملٹی گراف، کے پارٹیٹ گراف، یا رنگین گراف کے تصورات کی قدرتی توسیع سمجھا جا سکتا ہے (رنگین شکل دیکھیں، اور گراف تھیوری میں اس کی تعریف بھی دیکھیں)۔ سپر کیٹیگریز کو پہلی بار 1970 میں متعارف کرایا گیا تھا، اور بعد میں نظریاتی طبیعیات (خاص طور پر کوانٹم فیلڈ تھیوری اور ٹوپولوجیکل کوانٹم فیلڈ تھیوری) اور ریاضیاتی حیاتیات یا ریاضیاتی بائیو فزکس میں ایپلی کیشنز کے لیے تیار کیا گیا تھا۔ اعلی جہتی الجبرا میں دیگر راستوں میں شامل ہیں: دو زمرہ جات، دو زمرہ جات کے ہومومورفزم، متغیر زمرہ جات (جنہیں انڈیکسڈ یا پیرامیٹرائزڈ زمرہ جات بھی کہا جاتا ہے)، ٹوپوئی، موثر نزول، اور افزودہ اور اندرونی زمرے۔ اعلی جہتی الجبرا (ایچ ڈی اے) میں، ایک ڈبل گروپائڈ ایک جہتی گروپائڈ سے دو جہتوں کی عمومی شکل ہے، اور مؤخر الذکر گروپائڈ کو تمام الٹا تیر، یا مورفزم کے ساتھ کسی زمرے کا ایک خاص معاملہ سمجھا جا سکتا ہے۔ ڈبل گروپائڈز اکثر ہندسی اشیاء جیسے کہ اعلی جہتی کئی گنا (یا این جہتی کئی گنا) کے بارے میں معلومات حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ عام طور پر، ایک n-جہتی کئی گنا ایک ایسی جگہ ہے جو مقامی طور پر ایک n-جہتی یوکلڈین جگہ کی طرح نظر آتی ہے، لیکن جس کی عالمی ساخت غیر یوکلڈین ہو سکتی ہے۔ ڈبل گروپائڈز کو سب سے پہلے رونالڈ براؤن نے ڈبل گروپائڈز اور کراسڈ ماڈیولز (1976) میں متعارف کرایا تھا، اور انہیں مزید غیر ایبلین الجبرائی ٹوپولوجی میں ایپلی کیشنز کی طرف تیار کیا گیا تھا۔ ایک متعلقہ، 'دوہری' تصور ڈبل الجیبرائڈ کا ہے، اور آر-الجیبرائڈ کا زیادہ عام تصور ہے۔ غیر ایبلین الجبرائی ٹوپولوجی دیکھیں غیر ایبلین الجبرائی ٹوپولوجی ایپلی کیشنز نظریاتی طبیعیات کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، کوانٹم کے زمرے موجود ہیں۔ اور کوانٹم ڈبل گروپائڈز۔ کوانٹم ڈبل گروپائڈز کو بنیادی گروپائڈز سمجھا جا سکتا ہے جس کی وضاحت 2-فنکٹر کے ذریعے کی گئی ہے، جو کسی کو بکیٹیگری اسپین (گروپائڈز) کے لحاظ سے کوانٹم بنیادی گروپائڈز (کیو ایف جی) کے جسمانی طور پر دلچسپ کیس کے بارے میں سوچنے کی اجازت دیتا ہے، اور پھر 2-ہلبرٹ خالی جگہوں اور کئی گنا اور کوبورڈزم کے لیے 2 لکیری نقشوں کی تعمیر کرتا ہے۔ اگلے مرحلے پر، اس طرح کے 2 فنکٹروں کی قدرتی تبدیلیوں کے ذریعے کونوں کے ساتھ کوبورڈزم حاصل ہوتا ہے۔ اس کے بعد ایک دعوی کیا گیا کہ گیج گروپ ایس یو (2) کے ساتھ، "توسیعی ٹی کیو ایف ٹی، یا ای ٹی کیو ایف ٹی، کوانٹم کشش ثقل کے پونزانو-ریگ ماڈل کے مساوی نظریہ دیتا ہے" ؛ اسی طرح، توریو-وائرو ماڈل کو ایس یو کیو (2) کی نمائندگی کے ساتھ حاصل کیا جائے گا۔ لہذا، کوئی بھی گیج تھیوری کی اسٹیٹ اسپیس کو بیان کر سکتا ہے-یا کئی قسم کے کوانٹم فیلڈ تھیوریز (کیو ایف ٹی) اور مقامی کوانٹم فزکس، سمیٹریز کے ذریعہ دیئے گئے ٹرانسفارمیشن گروپائڈز کے لحاظ سے، مثال کے طور پر گیج تھیوری کے معاملے میں، گیج ٹرانسفارمیشنز کے ذریعے ان ریاستوں پر کام کرتے ہیں جو اس معاملے میں کنکشن ہیں۔ کوانٹم گروپوں سے متعلق ہم آہنگی کے معاملے میں، کوئی ایسے ڈھانچے حاصل کرے گا جو 2-ویکٹر خالی جگہوں کے بجائے کوانٹم گروپائڈز کی نمائندگی کے زمرے ہیں جو گروپائڈز کی نمائندگی کے زمرے ہیں۔ کوانٹم فزکس مزید پڑھیں (ڈاؤن لوڈ کے قابل پی ڈی ایف دستیاب) اس سے گروپائڈز کی کچھ تاریخ ملتی ہے، یعنی ہینرک برانڈ کے کواڈریٹک شکلوں پر کام کی ابتدا، اور 160 حوالوں کے ساتھ 1987 تک کے بعد کے کام کا اشارہ ملتا ہے۔ بہت سے حوالوں کے ساتھ ایک ویب مضمون جس میں یہ بتایا گیا ہے کہ کس طرح گروپائڈ تصور اعلی جہتی گروپائڈز کے تصورات کا باعث بنا ہے، جو گروپ تھیوری میں دستیاب نہیں ہے، ہوموٹوپی تھیوری اور گروپ کوہمولوجی میں ایپلی کیشنز کے ساتھ۔ اس سے قبل 1968 اور 1988 میں شائع ہونے والی کتاب کا نظر ثانی شدہ اور توسیعی ایڈیشن۔ ویب سائٹ سے ای-ورژن دستیاب ہے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ کس طرح گالوئس نظریہ کی عمومی شکلیں گالوئس گروپائڈز کی طرف لے جاتی ہیں۔ ۔ اعلی زمرہ نظریہ زمرہ نظریہ الجبرائی ٹوپولوجی الجبرائی منطق زمرہ منطق ڈی: گروپپوئڈ (زمرہ بندی تھیوری) ایس: گروپپوئڈ ایف آر: کیٹگوری گروپ اوئڈ کو: یہ: گروپپوئڈ (ٹیوریا ڈیلی زمرہ بندی) پی ٹی: گروپویڈ (ٹیوریا داس زمرہ جات)