Hp-FEM
ایچ پی-ایف ای ایم جزوی تفریقی مساوات کو عددی طور پر حل کرنے کے لیے محدود عنصر کے طریقہ (ایف ای ایم) کی عمومی شکل ہے جو متغیر سائز (ایچ) اور کثیر الجہتی ڈگری (پی) کے عناصر کو استعمال کرتے ہوئے ٹکڑے ٹکڑے-کثیر الجہتی تخمینوں پر مبنی ہے۔ ایچ پی-ایف ای ایم کی ابتدا برنا اے زابو اور ایوو بابوشکا کی اس دریافت سے ہوئی ہے کہ جب میش کو ایچ-ریفائنمنٹس (عناصر کو چھوٹے میں تقسیم کرنے) اور پی-ریفائنمنٹس (ان کی کثیر الجہتی ڈگری میں اضافہ) کے مناسب امتزاج کا استعمال کرتے ہوئے بہتر بنایا جاتا ہے تو محدود عنصر کا طریقہ تیزی سے یکجا ہوتا ہے۔ ایچ پی-ایف ای ایم کے متغیر ارتکاز کا مشاہدہ متعدد آزاد محققین نے کیا ہے۔ بہت سے مسائل پر، ایچ پی-ایف ای ایم محدود عنصر کے طریقوں سے تیز ہو سکتا ہے جو الجبرائی شرح پر یکجا ہوتے ہیں۔ معیاری ایف ای ایم سے فرق ایچ پی-ایف ای ایم بہت سے پہلوؤں میں معیاری (نچلے درجے) ایف ای ایم سے مختلف ہے۔ اعلی درجے کی شکل کے افعال کا انتخاب: عناصر میں اعلی درجے کے کثیر الجہتی شکل کے افعال کے مختلف سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیے جا سکتے ہیں۔ اس طرح کے سیٹ کا انتخاب سختی میٹرکس کی کنڈیشنگ کو ڈرامائی طور پر متاثر کر سکتا ہے، اور اس کے نتیجے میں حل کے پورے عمل کو متاثر کر سکتا ہے۔ اس مسئلے کو سب سے پہلے بابوسکا اور دیگر نے دستاویزی شکل دی تھی۔ خودکار ایچ پی-موافقت: ایچ پی-ایف ای ایم میں، کسی عنصر کو بہت سے مختلف طریقوں سے ایچ پی-ریفائن کیا جا سکتا ہے، جیسے: خلا میں ذیلی تقسیم کیے بغیر اس کی کثیر الجہتی ڈگری کو بڑھانا، یا عنصر کو ہندسی طور پر ذیلی تقسیم کرنا، جہاں ذیلی عناصر پر مختلف کثیر الجہتی ڈگریوں کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ عنصر کی اصلاح کے امیدواروں کی تعداد آسانی سے دو جہتوں میں 100 اور تین جہتوں میں 1000 تک پہنچ جاتی ہے۔ کسی عنصر میں غلطی کے سائز کی نشاندہی کرنے والا ایک نمبر خودکار ایچ پی موافقت کی رہنمائی کے لیے کافی نہیں ہے (جیسا کہ معیاری ایف ای ایم میں موافقت کے برخلاف)۔ ہر عنصر میں غلطی کی شکل کے بارے میں مزید معلومات حاصل کرنے کے لیے دیگر تکنیکوں جیسے حوالہ حل یا تجزیاتی تحفظات کو استعمال کیا جانا چاہیے۔ اسمبلنگ اور حل سی پی یو اوقات کا تناسب: معیاری ایف ای ایم میں، سختی میٹرکس عام طور پر تیزی سے اسمبل کیا جاتا ہے لیکن یہ کافی بڑا ہوتا ہے۔ عام طور پر، مجرد مسئلے کا حل کمپیوٹنگ کے مجموعی وقت کا سب سے بڑا حصہ استعمال کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ایچ پی-ایف ای ایم میں سختی میٹرکس عام طور پر بہت چھوٹے ہوتے ہیں، لیکن (اسی میٹرکس سائز کے لیے) ان کی اسمبلی میں معیاری ایف ای ایم کے مقابلے میں زیادہ وقت لگتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر عددی کواڈریچر کی کمپیوٹیشنل لاگت کی وجہ سے ہے، جس میں زیادہ درستگی ہونی چاہیے، اور اس لیے تیز ارتکاز کی شرحوں سے فائدہ اٹھانے کے لیے معیاری ایف ای ایم کے مقابلے میں اعلی ترتیب کا ہونا چاہیے۔ تجزیاتی چیلنجز: ایچ پی-ایف ای ایم کو عام طور پر معیاری ایف ای ایم کے مقابلے تجزیاتی نقطہ نظر سے سمجھنا زیادہ مشکل سمجھا جاتا ہے۔ اس کا تعلق متعدد تکنیکوں سے ہے، جیسے کہ الپٹک مسائل کے لیے مجرد زیادہ سے زیادہ اصول (ڈی ایم پی)۔ ان نتائج میں کہا گیا ہے کہ، عام طور پر میش پر کچھ محدود مفروضوں کے ساتھ، پیس وائز-پولینومیل ایف ای ایم تخمینہ بنیادی ایلیپٹک پی ڈی ای کے طور پر ہم آہنگ زیادہ سے زیادہ اصولوں کی پابندی کرتا ہے۔ اس طرح کے نتائج بہت اہم ہیں کیونکہ وہ اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ تخمینہ جسمانی طور پر قابل قبول رہتا ہے، جس سے منفی کثافت، منفی ارتکاز، یا منفی مطلق درجہ حرارت کی گنتی کا کوئی امکان نہیں رہتا ہے۔ ڈی ایم پی کو نچلے درجے کے ایف ای ایم کے لیے کافی اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے لیکن دو یا زیادہ جہتوں میں ایچ پی-ایف ای ایم کے لیے مکمل طور پر نامعلوم ہے۔ ایک مقامی جہت میں پہلا ڈی ایم پی حال ہی میں وضع کیا گیا تھا۔ پروگرامنگ کے چیلنجز: معیاری ایف ای ایم کوڈ کے مقابلے میں ایچ پی-ایف ای ایم حل کنندہ کو نافذ کرنا بہت مشکل ہے۔ جن متعدد مسائل پر قابو پانے کی ضرورت ہے ان میں شامل ہیں (لیکن ان تک محدود نہیں ہیں): اعلی درجے کے چوتھائی فارمولے، اعلی درجے کی شکل کے افعال، رابطہ اور جسمانی ڈومین میں بنیادی افعال کے ساتھ حوالہ ڈومین پر شکل کے افعال سے متعلق واقفیت کی معلومات وغیرہ۔ فچیرا مسئلہ (جسے فچیرا کارنر مسئلہ بھی کہا جاتا ہے) انکولی ایف ای ایم کوڈز کے لیے ایک معیاری معیار کا مسئلہ ہے۔ اس کا استعمال معیاری ایف ای ایم اور ایچ پی-ایف ای ایم کی کارکردگی میں ڈرامائی فرق کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ مسئلہ جیومیٹری ایک مکعب ہے جس کے کونے غائب ہیں عین حل کے مرکز میں ایک واحد میلان (لامحدود تناؤ کی مشابہت) ہے۔ عین مطابق حل کا علم تخمینہ کی غلطی کا درست حساب لگانا ممکن بناتا ہے اور اس طرح مختلف عددی طریقوں کا موازنہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، انکولی ایف ای ایم کے تین مختلف ورژنوں کا استعمال کرتے ہوئے مسئلہ حل کیا گیا: لکیری عناصر، کواڈریٹک عناصر، اور ایچ پی-ایف ای ایم۔ کنورجنس گراف لگ بھگ غلطی کو ڈگری آف فریڈم (ڈی او ایف) کی تعداد کے فنکشن کے طور پر دکھاتے ہیں۔ ڈی او ایف سے مراد وہ نامعلوم پیرامیٹرز ہیں جو تخمینہ کی وضاحت کے لیے درکار ہوتے ہیں، اور ڈی او ایف کی تعداد سختی میٹرکس کے سائز کے برابر ہوتی ہے۔ قاری گراف میں دیکھ سکتا ہے کہ ایچ پی-ایف ای ایم کا کنورجنس دونوں دوسرے طریقوں کے کنورجنس سے کہیں زیادہ تیز ہے۔ کارکردگی کا فرق اتنا بڑا ہے کہ لکیری ایف ای ایم بالکل بھی (مناسب وقت میں) یکجا نہیں ہو سکتا ہے اور کواڈریٹک ایف ای ایم کو اس درستگی تک پہنچنے کے لیے سیکڑوں ہزاروں یا شاید لاکھوں ڈی او ایف کی ضرورت ہوگی جو ایچ پی-ایف ای ایم نے تقریبا 17,000 ڈی او ایف کے ساتھ حاصل کی ہے۔ نسبتا کم ڈگری آف فریڈم کا استعمال کرتے ہوئے بہت درست نتائج حاصل کرنا ایچ پی-ایف ای ایم کی بنیادی طاقت ہے۔ ایچ پی-ایف ای ایم ہموار افعال کی کارکردگی کا تخمینہ چھوٹے ٹکڑے ٹکڑے لکیری عناصر کے مقابلے میں بڑے ہائی آرڈر عناصر کا استعمال کرتے ہوئے بہت زیادہ مؤثر طریقے سے لگایا جا سکتا ہے۔ اس کی مثال نیچے دی گئی شکل میں دی گئی ہے، جہاں صفر ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ ایک جہتی پوئسون مساوات کو دو مختلف میش پر حل کیا جاتا ہے۔ صحیح حل سائن فنکشن ہے۔ بائیں: دو لکیری عناصر پر مشتمل میش۔ دائیں: ایک مربع عنصر پر مشتمل میش۔ اگرچہ دونوں صورتوں میں نامعلوم افراد کی تعداد یکساں ہے (1 ڈی او ایف)، اسی معیار میں غلطیاں بالترتیب 0.68 اور 0.20 ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کواڈریٹک تخمینہ ٹکڑے ٹکڑے لکیری سے تقریبا 3.5 گنا زیادہ موثر تھا۔ جب ہم ایک قدم آگے بڑھتے ہیں اور (a) چار لکیری عناصر کا موازنہ (b) ایک چوتھائی عنصر (p = 4) سے کرتے ہیں، تو دونوں مجرد مسائل میں تین ڈی او ایف ہوں گے، لیکن چوتھائی تخمینہ تقریبا 40 گنا زیادہ موثر ہوگا۔ اس کے برعکس، چھوٹے نچلے درجے کے عناصر چھوٹے پیمانے کی خصوصیات جیسے سنگلٹیز کو بڑے ہائی آرڈر والے عناصر سے بہت بہتر طریقے سے پکڑ سکتے ہیں۔ ایچ پی-ایف ای ایم ان دونوں طریقوں کے بہترین امتزاج پر مبنی ہے جو ایکسپونینشیل کنورجنس کی طرف لے جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ایکسپونینشیل کنورجنس غلطی کے محور بمقابلہ ڈگری آف فریڈم میں ظاہر ہوتا ہے۔ حقیقی زندگی کی ایپلی کیشنز کے لیے، ہم عام طور پر درستگی کی اسی سطح تک پہنچنے کے لیے درکار کمپیوٹیشنل وقت پر غور کرتے ہیں۔ اس کارکردگی کے اشارے کے لیے ایچ-اور ایچ پی-ریفائنمنٹ اسی طرح کے نتائج فراہم کر سکتے ہیں، جیسے۔ (ویب آرکائیو لنک) پر حتمی اعداد و شمار دیکھیں۔ جیسے ہی ایچ-ایف ای ایم کے مقابلے میں ایچ پی-ایف ای ایم کو پروگرام اور متوازی بنانا مشکل ہو جاتا ہے، ایچ پی-ریفائنمنٹ کی کنورجنس ایکسی لینس ناقابل عمل ہو سکتی ہے۔ ایچ پی-موافقت کچھ ایف ای ایم سائٹس ایچ پی-موافقت کو ایچ-موافقت (عناصر کو خلا میں تقسیم کرتے ہوئے ان کی کثیر الجہتی ڈگری کو درست رکھتے ہوئے) اور پی-موافقت (صرف ان کی کثیر الجہتی ڈگری میں اضافہ) کے امتزاج کے طور پر بیان کرتی ہیں۔ یہ مکمل طور پر درست نہیں ہے، کیونکہ ایچ پی-موافقت ایچ-اور پی-موافقت دونوں سے نمایاں طور پر مختلف ہے کیونکہ کسی عنصر کی ایچ پی-اصلاح بہت سے مختلف طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ پی-ریفائنمنٹ کے علاوہ، عنصر کو خلا میں تقسیم کیا جا سکتا ہے (جیسا کہ ایچ-موافقت میں)، لیکن ذیلی عناصر پر کثیر الجہتی ڈگریوں کے لیے بہت سے امتزاج موجود ہیں۔ یہ دائیں طرف کی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک سہ رخی یا چوطرفہ عنصر کو چار ذیلی عناصر میں تقسیم کیا گیا ہے جہاں کثیر الجہتی ڈگریوں کو زیادہ سے زیادہ دو سے مختلف ہونے کی اجازت ہے، تو اس سے 3 ^ 4 = 81 ریفائنمنٹ امیدوار حاصل ہوتے ہیں (کثیر الجہتی انیسوٹروپک امیدواروں پر غور نہیں کرتے ہیں)۔ اسی طرح، ایک ہیکساہیڈرون کو آٹھ ذیلی عناصر میں تقسیم کرنا اور ان کی کثیر الجہتی ڈگریوں کو زیادہ سے زیادہ دو سے تبدیل کرنا 3 ^ 8 = 6,561 ریفائنمنٹ امیدواروں کو حاصل کرتا ہے۔ فی عنصر ایک مستقل نمبر فراہم کرنے والے معیاری ایف ای ایم غلطی کے تخمینے خودکار ایچ پی موافقت کی رہنمائی کے لیے کافی نہیں ہیں۔ اعلی درجے کی شکل کے افعال معیاری ایف ای ایم میں ایک صرف گرڈ عمودی (نام نہاد ورٹیکس افعال) سے وابستہ شکل کے افعال کے ساتھ کام کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ایچ پی-ایف ای ایم کا استعمال کرتے وقت، ایج فنکشنز (عنصر کے کناروں سے وابستہ)، فیس فنکشنز (عنصر کے چہروں سے متعلق-صرف 3 ڈی)، اور ببل فنکشنز (اعلی درجے کے کثیر الجہتی جو عنصر کی حدود پر غائب ہو جاتے ہیں) کا بھی حوالہ دیا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل تصاویر ان افعال کو دکھاتی ہیں (ایک عنصر تک محدود): نوٹ: ان تمام افعال کی وضاحت پورے عنصر کے اندرونی حصے میں کی گئی ہے۔ اوپن سورس ایچ پی-ایف ای ایم کوڈز Deal.II: Deal.II ایک مفت، اوپن سورس لائبریری ہے جو محدود عنصر کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے جزوی تفریق مساوات کو حل کرتی ہے۔ تصورات: ایلپٹک مساوات کے لیے سی/سی + + ایچ پی-ایف ای ایم/ڈی جی ایف ای ایم/بی ای ایم لائبریری ایس اے ایم، ای ٹی ایچ زیورخ (سوئٹزرلینڈ)، اور ٹی یو برلن (جرمنی) میں کے شمٹ کے گروپ میں تیار کی گئی۔ 2 ڈی ایچ پی 90، 3 ڈی ایچ پی 90: ایلپٹک مسائل کے لیے فورٹرن کوڈز اور میکسویل کی مساوات جو ایل ڈیمکوویز نے آئی سی ای ایس، یو ٹی آسٹن میں تیار کی ہیں۔ پی ایچ اے ایم ایل: متوازی درجہ بندی کے مطابق ملٹی لیول پروجیکٹ۔ اختراعی میش ریفائنمنٹ اور ملٹی گرڈ حل کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے تقسیم شدہ میموری متوازی کمپیوٹرز اور ملٹی کور کمپیوٹرز پر 2 ڈی ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے عددی حل کے لیے نیشنل انسٹی ٹیوٹ فار اسٹینڈرڈز اینڈ ٹیکنالوجی، یو ایس اے میں تیار کردہ فائنائٹ عنصر سافٹ ویئر۔ ہرمیس پروجیکٹ: سی/سی + +/ازگر لائبریری جس میں پی ڈی ایز اور ملٹی فزکس پی ڈی ای سسٹمز کی ایک بڑی قسم کے لیے خلائی اور خلائی وقت کے انکولی ایچ پی-ایف ای ایم حل کرنے والوں کے تیز تر پروٹو ٹائپنگ کے لیے، جسے یونیورسٹی آف نیواڈا، رینو (یو ایس اے)، انسٹی ٹیوٹ آف تھرمو میکانکس، پراگ (جمہوریہ چیک)، اور پیلسن (جمہوریہ چیک) میں یونیورسٹی آف ویسٹ بوہیمیا کے ایچ پی-ایف ای ایم گروپ نے ہرمیس لائبریری کے اوپر بنائے گئے ایگروس 2 ڈی انجینئرنگ سافٹ ویئر کے ساتھ تیار کیا ہے۔ پی ایچ جی: پی ایچ جی متوازی انکولی محدود عنصر پروگراموں کو تیار کرنے کے لیے ایک ٹول باکس ہے۔ یہ ایچ -، پی-اور ایچ پی-فیم کے لیے موزوں ہے۔ پی ایچ جی فی الحال چینی اکیڈمی آف سائنسز (ایل ایس ای سی، سی اے ایس، چین) کی اسٹیٹ کلیدی لیبارٹری آف سائنٹفک اینڈ انجینئرنگ کمپیوٹنگ، انسٹی ٹیوٹ آف کمپیوٹیشنل میتھمیٹکس، اور سائنٹفک/انجینئرنگ کمپیوٹنگ میں فعال ترقی کے تحت ہے۔ پی ایچ جی ٹیٹراہیڈرل میش کے مطابق کام کرتا ہے اور انکولی مقامی میش ریفائنمنٹ کے لیے بائیسیکشن اور پیغام منتقل کرنے کے لیے ایم پی آئی کا استعمال کرتا ہے۔ پی ایچ جی میں ایک آبجیکٹ پر مبنی ڈیزائن ہے جو متوازی تفصیلات کو چھپاتا ہے اور خلاصہ انداز میں میش اور محدود عنصر کے افعال پر مشترکہ کارروائیاں فراہم کرتا ہے، جس سے صارفین اپنے عددی الگورتھم پر توجہ مرکوز کر سکتے ہیں۔ ایم او ایف ای ایم ایک محدود عنصر تجزیہ کوڈ ہے جو ملٹی فزکس کے مسائل کے حل کے لیے ترتیب دیا گیا ہے جس میں صوابدیدی سطح کے تخمینے اور میش ریفائنمنٹ کی مختلف سطحیں ہیں اور اعلی کارکردگی والے کمپیوٹنگ کے لیے بہتر بنایا گیا ہے۔ یہ ایل 2، ایچ 1، ایچ-ڈیو، اور ایچ-کرل خالی جگہوں کے تخمینوں کی متنوع ترتیب سے متعلق پیچیدگیوں کو سنبھالنے کے قابل ہونے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ اسپارسیلزارڈ ایک کثیر طبیعیات، ایچ پی موافقت پذیر، صارف دوست، اوپن سورس سی + + محدود عنصر لائبریری ہے جو فی الحال ٹیمپیئر یونیورسٹی، فن لینڈ میں تیار کی گئی ہے۔ یہ عام جامد اور عارضی ایچ پی-ایف ای ایم کے لیے من مانی ترتیب کے درجہ بندی والے ایچ 1 اور ایچ-کرل فنکشن خالی جگہوں کے ساتھ 3 ڈی ٹیٹراہیڈرل اور 2 ڈی مثلث/کواڈرینگل موافقت پذیر میش ریفائنمنٹ کو جوڑتا ہے۔ تجارتی ایچ پی-ایف ای ایم سافٹ ویئر اسٹریس چیک ایک محدود عنصر تجزیہ ٹول ہے جس کی صلاحیتیں تفصیلی ساختی تجزیہ کی طرف مبنی ہیں۔ حوالہ جات محدود عنصر کا طریقہ