Cluster expansion
شماریاتی میکانکس میں، کلسٹر کی توسیع (جسے اعلی درجہ حرارت کی توسیع یا ہوپنگ توسیع بھی کہا جاتا ہے) ایک ماڈل کے ارد گرد شماریاتی فیلڈ تھیوری کے پارٹیشن فنکشن کی پاور سیریز کی توسیع ہے جو غیر تعامل شدہ 0 جہتی فیلڈ تھیوریوں کا اتحاد ہے۔ کلسٹر کی توسیع کا آغاز کے کام سے ہوا۔ معمول کی رکاوٹ کی توسیع کے برعکس جو عام طور پر ایک متفرق غیر علامتی سیریز کا باعث بنتی ہے، کلسٹر کی توسیع ایک غیر معمولی خطے میں یکجا ہو سکتی ہے، خاص طور پر جب تعامل چھوٹا اور مختصر فاصلے پر ہو۔ کلاسیکی کیس جنرل تھیوری شماریاتی میکانکس میں، غیر تعامل کرنے والے ذرات کے نظام کی خصوصیات کو پارٹیشن فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جاتا ہے۔ این غیر تعامل کرنے والے ذرات کے لیے، نظام کو ہیملٹنین کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، اور پارٹیشن فنکشن کا حساب (کلاسیکی صورت کے لیے) اس طرح کیا جا سکتا ہے۔ پارٹیشن فنکشن سے، کوئی ہیلم ہولٹز فری انرجی کا حساب لگا سکتا ہے اور اس سے، نظام کی تمام تھرموڈینامک خصوصیات، جیسے اینٹروپی، اندرونی توانائی، کیمیائی صلاحیت وغیرہ۔ جب نظام کے ذرات تعامل کرتے ہیں، تو پارٹیشن فنکشن کا درست حساب عام طور پر ممکن نہیں ہوتا ہے۔ کم کثافت کے لیے، تعاملات کو دو ذرات کی صلاحیت کے مجموعے کے ساتھ تخمینہ لگایا جا سکتا ہے: اس تعاملات کی صلاحیت کے لیے، تقسیم فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، اور آزاد توانائی ہے، جہاں ق ترتیب کا لازمی ہے: ترتیب کے لازمی کا حساب۔ ترتیب کے لازمی کا تجزیہ عمومی جوڑی کی صلاحیت کے لیے تجزیاتی طور پر نہیں کیا جا سکتا۔ تقریبا صلاحیت کا حساب لگانے کا ایک طریقہ میئر کلسٹر کی توسیع کا استعمال کرنا ہے۔ یہ توسیع اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ مساوات میں ایکسپونینشل کو فارم کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اگلا، میئر فنکشن کی وضاحت کریں۔ متبادل کے بعد، کنفیگریشن انٹیگرل کے لیے مساوات بن جاتی ہے: مندرجہ بالا مساوات میں پروڈکٹ کا حساب اصطلاحات کی ایک سیریز کی طرف لے جاتا ہے۔ پہلی اصطلاح ایک کے برابر ہے، دوسری اصطلاح اصطلاحات کے i اور j کے مجموعے کے برابر ہے، اور یہ عمل اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک کہ تمام اعلی ترتیب کی اصطلاحات کا حساب نہ لگایا جائے۔ ہر اصطلاح صرف ایک بار ظاہر ہونی چاہیے۔ اس توسیع کے ساتھ مختلف ترتیب کی اصطلاحات تلاش کرنا ممکن ہے، اس میں شامل ذرات کی تعداد کے لحاظ سے۔ پہلی اصطلاح غیر تعامل کی اصطلاح ہے (ذرات کے درمیان کوئی تعامل نہیں)، دوسری اصطلاح دو ذرات کے تعاملات سے مطابقت رکھتی ہے، تیسری 4 (ضروری نہیں کہ الگ الگ) ذرات کے درمیان دو ذرات کے تعاملات سے مطابقت رکھتی ہے، اور اسی طرح۔ یہ جسمانی تشریح اس وجہ سے ہے کہ اس توسیع کو کلسٹر کی توسیع کہا جاتا ہے: اس رقم کو دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے تاکہ ہر اصطلاح ذرات کی ایک مخصوص تعداد کے کلسٹر کے اندر تعاملات کی نمائندگی کرے۔ کنفیگریشن انٹیگرل کے لیے پروڈکٹ کی توسیع کو دوبارہ اظہار میں تبدیل کرنے کے نتیجے میں سیریز کی توسیع ہوتی ہے: آزاد توانائی کے لیے مساوات میں تبدیل کرنے سے، تعامل کرنے والے ذرات کے نظام کے لیے حالت کی مساوات حاصل کرنا ممکن ہے۔ مساوات کی شکل ہوگی، جسے وائریل مساوات کہا جاتا ہے، اور اجزاء وائریل گتانک ہیں۔ وائرل کوفشنٹس میں سے ہر ایک کلسٹر کی توسیع سے ایک اصطلاح سے مطابقت رکھتا ہے (دو ذرات کے تعامل کی اصطلاح ہے، تین ذرات کے تعامل کی اصطلاح ہے اور اسی طرح)۔ صرف دو ذرات کے تعامل کی اصطلاح کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کلسٹر کی توسیع، کچھ تخمینوں کے ساتھ، وان ڈیر والز مساوات دیتی ہے۔ یہ گیسوں اور مائع حلوں کے مرکب پر مزید لاگو کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات، باب 9۔ شماریاتی میکینکس