Google matrix
گوگل میٹرکس ایک خاص اسٹاکسٹک میٹرکس ہے جو گوگل کے پیج رینک الگورتھم کے ذریعے استعمال ہوتا ہے۔ میٹرکس صفحات کے درمیان روابط کی نمائندگی کرنے والے کناروں کے ساتھ ایک گراف کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کے بعد پاور میتھڈ کا استعمال کرتے ہوئے گوگل میٹرکس سے ہر پیج کا پیج رینک بار بار بنایا جا سکتا ہے۔ تاہم، پاور کے طریقہ کار کو یکجا کرنے کے لیے، میٹرکس کو اسٹاکسٹک، ناقابل تلافی اور اپیروڈک ہونا چاہیے۔ ایڈجسینسی میٹرکس A اور مارکوف میٹرکس S گوگل میٹرکس G تیار کرنے کے لیے، ہمیں پہلے ایک ملحقہ میٹرکس A تیار کرنا چاہیے جو صفحات یا نوڈس کے درمیان تعلقات کی نمائندگی کرتا ہے۔ فرض کریں کہ وہاں N صفحات ہیں، ہم مندرجہ ذیل کام کرکے A کو بھر سکتے ہیں: اگر نوڈ کا نوڈ سے لنک ہے تو ایک میٹرکس عنصر 1 سے بھرا ہوتا ہے، اور بصورت دیگر 0 ؛ یہ لنکس کا ملحقہ میٹرکس ہے۔ ایک متعلقہ میٹرکس S جو دیئے گئے نیٹ ورک کے مارکوف سلسلہ میں ہونے والی منتقلی سے مطابقت رکھتا ہے، A سے کالم "j" کے عناصر کو اس تعداد سے تقسیم کرکے بنایا جاتا ہے جہاں نوڈ j سے دوسرے تمام نوڈس میں جانے والے لنکس کی کل تعداد ہے۔ صفر میٹرکس عناصر والے کالم، جو ڈنگلنگ نوڈس سے مطابقت رکھتے ہیں، کو مستقل قدر 1/N سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ اس طرح کا طریقہ کار ہر سنک، لٹکتی ہوئی حالت سے ہر دوسرے نوڈ میں ایک لنک کا اضافہ کرتا ہے۔ اب تعمیر کے ذریعے میٹرکس S کے کسی بھی کالم میں تمام عناصر کا مجموعہ اتحاد کے برابر ہے۔ اس طرح میٹرکس S ریاضیاتی طور پر اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے اور اس کا تعلق مارکوف زنجیروں کی کلاس اور پیرون-فروبینیوس آپریٹرز کی کلاس سے ہے۔ یہ S کو پیج رینک الگورتھم کے لیے موزوں بناتا ہے۔ گوگل میٹرکس جی کی تعمیر پھر حتمی گوگل میٹرکس جی کو ایس کے ذریعے اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: تعمیر کے ذریعے ہر میٹرکس کالم کے اندر تمام غیر منفی عناصر کا مجموعہ اتحاد کے برابر ہوتا ہے۔ عددی گتانک کو ڈمپنگ فیکٹر کہا جاتا ہے۔ عام طور پر S ایک چھوٹا میٹرکس ہے اور جدید ڈائریکٹڈ نیٹ ورکس کے لیے اس میں ایک لائن یا کالم میں صرف دس غیر صفر عناصر ہوتے ہیں، اس طرح میٹرکس G سے ویکٹر کو ضرب دینے کے لیے صرف 10N ضرب کی ضرورت ہوتی ہے۔ گوگل میٹرکس کی مثالیں Eq کے ذریعے میٹرکس کی تعمیر کی ایک مثال ہے۔ (1) ایک سادہ نیٹ ورک کے اندر چی رینک مضمون میں دیا گیا ہے۔ اصل میٹرکس کے لیے، گوگل 0.85 کے آس پاس ڈمپنگ فیکٹر کا استعمال کرتا ہے۔ یہ اصطلاح کسی بھی صفحہ پر تصادفی طور پر چھلانگ لگانے کا امکان فراہم کرتی ہے۔ میٹرکس کا تعلق مارکوف زنجیروں کے پیرون-فروبینیوس آپریٹرز کی کلاس سے ہے۔ گوگل میٹرکس ڈھانچے کی مثالیں 2009 میں ویکیپیڈیا آرٹیکلز ہائپر لنک نیٹ ورک کے لیے Fig.1 میں چھوٹے پیمانے پر اور 2006 میں یونیورسٹی آف کیمبرج نیٹ ورک کے لیے Fig.2 میں بڑے پیمانے پر دکھائی گئی ہیں۔ G میٹرکس کے سپیکٹرم اور آئجین اسٹیٹس کے لیے متعلقہ دائیں آئجین ویکٹر کے ساتھ صرف ایک زیادہ سے زیادہ آئجین ویلیو ہے جس میں غیر منفی عناصر ہوتے ہیں جنہیں اسٹیشنری پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ امکانات ان کی گھٹتی ہوئی اقدار کی ترتیب سے پیج رینک ویکٹر کو پیج رینک کے ساتھ دیتے ہیں جسے گوگل سرچ ویب صفحات کی درجہ بندی کے لیے استعمال کرتا ہے۔ عام طور پر ورلڈ وائڈ ویب کے لیے ایسا ہوتا ہے۔ دیئے گئے پیج رینک ویلیو اسکیل کے ساتھ نوڈس کی تعداد جیسا کہ ایکسپوینٹ کے ساتھ ہے۔ بائیں آئجین ویکٹر میں مستقل میٹرکس عناصر ہوتے ہیں۔ تمام آئجین ویلیوز کے ساتھ زیادہ سے زیادہ آئجین ویلیو کے علاوہ منتقل ہوتے ہیں، جو غیر تبدیل شدہ رہتا ہے۔ پیج رینک ویکٹر مختلف ہوتا ہے لیکن دوسرے آئجین ویکٹروں کے ساتھ ان کی مستقل بائیں ویکٹر پر آرتھوگونالیٹی کی وجہ سے کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ اور دیگر آئجین ویلیو کے درمیان فرق میٹرکس پر تقریبا 50 ضرب کے بعد پیج رینک کے لیے بے ترتیب ابتدائی ویکٹر کا تیزی سے ارتکاز دیتا ہے۔ میٹرکس میں عام طور پر بہت سے انحطاطی آئجین ویلیوز ہوتے ہیں (مثال کے طور پر دیکھیں۔ [6])۔ مختلف ڈائریکٹڈ نیٹ ورکس کے گوگل میٹرکس کے آئجن ویلیو سپیکٹرم کی مثالیں Fig.3 سے اور Fig.4 سے میں دکھائی گئی ہیں۔ گوگل میٹرکس کو متحرک نقشوں کے لیے اولم طریقہ [8] کے ذریعے تیار کردہ اولم نیٹ ورکس کے لیے بھی بنایا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے میٹرکس کی سپیکٹرم خصوصیات پر [9,10,11، 12,13,15] میں بحث کی گئی ہے۔ کئی صورتوں میں سپیکٹرم کو فریکٹل ویل قانون [10,12] کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ گوگل میٹرکس کو دیگر ہدایت شدہ نیٹ ورکس کے لیے بھی بنایا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ لینکس کرنل سافٹ ویئر کے پروسیجر کال نیٹ ورک کے لیے [15] میں متعارف کرایا گیا۔ اس صورت میں کے سپیکٹرم کو فریکٹل طول و عرض کے ساتھ فریکٹل ویل قانون کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے (دیکھیں Fig.5 سے)۔ عددی تجزیہ سے پتہ چلتا ہے کہ میٹرکس کی آئجین اسٹیٹس مقامی ہیں (دیکھیں Fig.6 سے)۔ آرنلڈی تکرار کا طریقہ بلکہ بڑے سائز کے میٹرکس کے لیے بہت سے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے [13]۔ میٹرکس کی دیگر مثالوں میں گوگل میٹرکس آف برین [17] اور بزنس پروسیس مینجمنٹ [18] شامل ہیں، یہ بھی دیکھیں۔ ڈی این اے ترتیبات پر گوگل میٹرکس تجزیہ کی ایپلی کیشنز کو [20] میں بیان کیا گیا ہے۔ اس طرح کا گوگل میٹرکس نقطہ نظر افراد کے بارے میں کثیر لسانی ویکیپیڈیا مضامین کی درجہ بندی کے ذریعے ثقافتوں کے الجھاؤ کا تجزیہ کرنے کی بھی اجازت دیتا ہے [21] تاریخی نوٹ ڈمپنگ فیکٹر کے ساتھ گوگل میٹرکس کو 1998 میں سیرگی برن اور لیری پیج نے بیان کیا تھا [22]، پیج رینک کی تاریخ پر مضامین بھی دیکھیں [23]، [24]۔ یہ بھی دیکھیں چی رینک آرنلڈی تکرار مارکوف چین ٹرانسفر آپریٹر پیرون-فروبینیوس تھیوریم ویب سرچ انجن حوالہ جات بیرونی لنکس گوگل میٹرکس اسکالرپیڈیا گوگل پی آر شٹ ڈاؤن آئی ایچ ای ایس ورکشاپ میں ویڈیو لیکچرز "گوگل میٹرکس: بنیادی، ایپلی کیشنز اور اس سے آگے"، اکتوبر 2018 میٹرکس لنک تجزیہ مارکوف ماڈل