SIC-POVM
کوانٹم میکانکس اور کوانٹم انفارمیشن تھیوری کے تناظر میں، سمیٹرک، معلوماتی طور پر مکمل، مثبت آپریٹر ویلیوڈ پیمائش (ایس آئی سی-پی او وی ایم) ایک خاص قسم کی عمومی پیمائش (پی او وی ایم) ہیں۔ ایس آئی سی-پی او وی ایم خاص طور پر ان کی وضاحتی خصوصیات کی بدولت قابل ذکر ہیں (1) معلوماتی طور پر مکمل ہونا ؛ (2) معلومات کی تکمیل کے ساتھ مطابقت رکھنے والے نتائج کی کم سے کم تعداد ہونا، اور (3) انتہائی ہم آہنگ ہونا۔ اس تناظر میں، معلومات کی تکمیل پی او وی ایم کی خاصیت ہے جو پیمائش کے اعداد و شمار سے ان پٹ کی حالتوں کو مکمل طور پر دوبارہ تشکیل دینے کی اجازت دیتی ہے۔ ایس آئی سی-پی او وی ایم کی خصوصیات انہیں "معیاری کوانٹم پیمائش" کے لیے ایک دلچسپ امیدوار بناتی ہیں، جو بنیادی کوانٹم میکانکس کے مطالعہ میں استعمال ہوتی ہیں، خاص طور پر کیوبیزم میں۔ کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی اور کوانٹم کرپٹوگرافی کے تناظر میں ایس آئی سی-پی او وی ایم کے کئی استعمال ہیں، اور ہلبرٹ کے بارہویں مسئلے کے ساتھ ایک ممکنہ تعلق دریافت کیا گیا ہے۔ تعریف ایک جہتی ہلبرٹ جگہ پر ایک پی او وی ایم مثبت-سیمیڈفائنٹ آپریٹرز کا ایک مجموعہ ہے جو شناخت کا مجموعہ ہے: اگر ایک پی او وی ایم کم از کم آپریٹرز پر مشتمل ہے جو سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کی جگہ پر پھیلا ہوا ہے، تو اسے ایک معلوماتی طور پر مکمل پی او وی ایم (آئی سی-پی او وی ایم) کہا جاتا ہے۔ بالکل عناصر پر مشتمل IC-POVM کو کم سے کم کہا جاتا ہے۔ رینک-1 پروجیکٹرز کا ایک سیٹ جس میں برابر جوڑی کے لحاظ سے ہلبرٹ-شمڈٹ اندرونی مصنوعات ہوتی ہیں، ایس آئی سی-پی او وی ایم نامی عناصر کے ساتھ کم سے کم آئی سی-پی او وی ایم کی وضاحت کرتا ہے۔ پراپرٹیز سمیٹری رینک-1 پروجیکٹرز کے ایک من مانی سیٹ پر غور کریں جیسے کہ ایک پی او وی ایم، اور اس طرح۔ پروجیکٹرز سے جوڑی کے لحاظ سے اندرونی مصنوعات کو برابر رکھنے کے لیے کہنا، سب کے لیے، کی قیمت طے کرتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے مشاہدہ کریں کہ اس کا مطلب یہ ہے۔ اس طرح، یہ خاصیت ہی SIC-POVMs کو ہم آہنگ بناتی ہے ؛ ہلبرٹ-شمڈٹ اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے، عناصر کا کوئی بھی جوڑا کسی بھی دوسرے جوڑے کے برابر ہوتا ہے۔ سپر آپریٹر ایس آئی سی-پی او وی ایم عناصر کے استعمال میں، ایک دلچسپ سپر آپریٹر بنایا جا سکتا ہے، جس کی طرح کا نقشہ ہے۔ یہ آپریٹر کروی ٹی ڈیزائن کے ساتھ ایس آئی سی-پی او وی ایم کے تعلق پر غور کرنے میں سب سے زیادہ مفید ہے۔ نقشہ پر غور کریں کہ یہ آپریٹر ایس آئی سی-پی او وی ایم عنصر پر شناخت سے بہت ملتے جلتے طریقے سے کام کرتا ہے، لیکن چونکہ ایس آئی سی-پی او وی ایم کے عناصر کسی بھی کوانٹم حالت کا مکمل اور منفرد طور پر تعین کر سکتے ہیں، اس لکیری آپریٹر کو کسی بھی حالت کے سڑنے پر لاگو کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں درج ذیل لکھنے کی صلاحیت ہوتی ہے: جہاں سے، بائیں الٹا کا حساب لگایا جا سکتا ہے، اور اس طرح اس علم کے ساتھ کہ، کسی ریاست کے لیے ایک اظہار کو نیم امکان کی تقسیم کے لحاظ سے بنایا جا سکتا ہے، مندرجہ ذیل ہے: ہلبرٹ اسپیس میں دیکھے جانے والے کثافت آپریٹر کے لیے ڈیراک نوٹیشن کہاں ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ مناسب نیم امکان کی تقسیم (جسے اس طرح کہا جاتا ہے کہ یہ منفی نتائج دے سکتی ہے) ریاست کی نمائندگی فائنڈنگ ایس آئی سی سیٹس کے ذریعے دی جاتی ہے۔ سب سے آسان مثال ایس آئی سی-پی او وی ایم کی وضاحت کرنے والی مساوات کو ہاتھ سے حل کیا جا سکتا ہے، جس سے ویکٹرز حاصل ہوتے ہیں جو بلاچ دائرے میں باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون کے عمودی حصے بناتے ہیں۔ ایس آئی سی-پی او وی ایم کی وضاحت کرنے والے پروجیکٹر ایس آئی سی-پی او وی ایم کے ذریعے دیے جاتے ہیں، اور ایس آئی سی-پی او وی ایم کے عناصر اس طرح ہیں۔ اعلی جہتوں کے لیے یہ ممکن نہیں ہے، جس کی وجہ سے زیادہ نفیس نقطہ نظر کے استعمال کی ضرورت ہے۔ گروپ کوویرینس جنرل گروپ کوویرینس اے ایس آئی سی-پی او وی ایم کو گروپ کوویرینٹ کہا جاتا ہے اگر کوئی ایسا گروپ موجود ہو جس میں جہتی یک جہتی نمائندگی ہو تاکہ ایس آئی سی-پی او وی ایم کی تلاش کو گروپ کوویرینس کی خاصیت کا استحصال کرکے بہت آسان بنایا جا سکے۔ درحقیقت، مسئلہ کم ہو کر ایک نارملائزڈ فیوڈیشل ویکٹر تلاش کرنے تک محدود ہو جاتا ہے۔ اس کے بعد ایس آئی سی-پی او وی ایم وہ سیٹ ہے جو آن کے گروپ ایکشن سے تیار ہوتا ہے۔ Zd × Zd کا معاملہ اب تک، زیادہ تر SIC-POVM کے تحت گروپ کوویرینس پر غور کرکے پایا گیا ہے۔ یک جہتی نمائندگی کی تعمیر کے لیے، ہم ڈی-طول و عرض پر یک جہتی آپریٹرز کے گروپ کا نقشہ بناتے ہیں۔ کئی آپریٹرز کو پہلے متعارف کرایا جانا چاہیے۔ اس کے لیے ایک بنیاد بننے دیں، پھر فیز آپریٹر وہ ہے جہاں اتحاد کی جڑ ہے اور شفٹ آپریٹر جیسا کہ ان دونوں آپریٹرز کو یکجا کرنے سے ویل آپریٹر حاصل ہوتا ہے جو ہائزن برگ-ویل گروپ تیار کرتا ہے۔ یہ ایک یک جہتی آپریٹر ہے کیونکہ اس کی جانچ کی جا سکتی ہے کہ نقشہ سازی ایک پروجیکٹو یک جہتی نمائندگی ہے۔ یہ گروپ کوویرینس کے لیے تمام خصوصیات کو بھی مطمئن کرتا ہے، اور ایس آئی سی سیٹوں کے عددی حساب کے لیے مفید ہے۔ زونر کا قیاس ایس آئی سی-پی او وی ایم کی کچھ مفید خصوصیات کو دیکھتے ہوئے، یہ مفید ہوگا اگر یہ مثبت طور پر معلوم ہو کہ آیا اس طرح کے سیٹ ہلبرٹ کی صوابدیدی جہت میں بنائے جا سکتے ہیں۔ اصل میں زونر کے مقالے میں تجویز کردہ، صوابدیدی جہتوں کے لیے ایک مخلص ویکٹر کے وجود کے بارے میں ایک قیاس آرائی کی گئی تھی۔ مزید خاص طور پر، ہر جہت کے لیے ایک ایس آئی سی-پی او وی ایم موجود ہے جس کے عناصر ویل-ہائزن برگ گروپ کے تحت ایک مثبت رینک-ون آپریٹر کا مدار ہیں۔ مزید کیا ہے، جیکوبی گروپ کے عنصر ٹی کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ مرکز کے ماڈیولو پر T کی کارروائی کا آرڈر تین ہے۔ گروپ کوویرینس کے تصور کو استعمال کرتے ہوئے، اسے دوبارہ اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے کہ کسی بھی جہت کے لیے، اس کے لیے ایک آرتھونورمل بنیاد ہو، اور اس کی وضاحت اس طرح کی جائے کہ سیٹ ایک SIC-POVM ہو۔ جزوی نتائج صوابدیدی جہتوں کے لیے ایس آئی سی-پی او وی ایم کے وجود کا ثبوت ایک کھلا سوال ہے، لیکن یہ کوانٹم انفارمیشن کمیونٹی میں تحقیق کا ایک جاری شعبہ ہے۔ ایس آئی سی سیٹوں کے لیے درست تاثرات ہلبرٹ خالی جگہوں کے لیے تمام جہتوں کے ذریعے جامع، اور کچھ اعلی جہتوں میں اتنے بڑے، کل 115 اقدار کے لیے پائے گئے ہیں۔ مزید برآں، ہائزن برگ گروپ کوویرینس آن کا استعمال کرتے ہوئے، تمام انٹیجرز کے لیے عددی حل پائے گئے ہیں، اور کچھ بڑے طول و عرض میں۔ کروی ٹی-ڈیزائن سے تعلق ایک کروی ٹی-ڈیزائن ڈی-جہتی عمومی ہائپر سپیئر پر ویکٹرز کا ایک مجموعہ ہے، اس طرح کہ کسی بھی-آرڈر کثیر الجہتی اوور کی اوسط قیمت تمام عام شدہ ویکٹرز کی اوسط کے برابر ہوتی ہے۔ ہلبرٹ خالی جگہوں کے ٹی-فولڈ ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر تعریف کرتے ہوئے، اور ٹی-فولڈ ٹینسر پروڈکٹ فریم آپریٹر کے طور پر، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ نارملائزڈ ویکٹروں کا ایک سیٹ ایک کروی ٹی-ڈیزائن بناتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ فوری طور پر اس کے بعد آتا ہے کہ ہر SIC-POVM ایک 2-ڈیزائن ہے، جس کے بعد سے عین مطابق ضروری قیمت ہے جو مذکورہ تھیوریم کو مطمئن کرتی ہے۔ ایم یو بی سے تعلق ڈی جہتی ہلبرٹ اسپیس میں، دو الگ الگ اڈوں کو باہمی طور پر غیر جانبدار کہا جاتا ہے اگر یہ فطرت میں ایس آئی سی-پی او وی ایم کی سمیٹرک پراپرٹی سے ملتا جلتا معلوم ہوتا ہے۔ ووٹرز بتاتے ہیں کہ غیر جانبدار اڈوں کا ایک مکمل مجموعہ ایک ہندسی ڈھانچہ پیدا کرتا ہے جسے ایک محدود پروجیکٹو طیارہ کہا جاتا ہے، جبکہ ایک ایس آئی سی-پی او وی ایم (کسی بھی جہت میں جو ایک پرائم پاور ہے) ایک محدود افائن طیارہ پیدا کرتا ہے، ایک قسم کی ساخت جس کی تعریف پوائنٹس اور لائنوں کے تبادلے کے کردار کے ساتھ ایک محدود پروجیکٹو طیارہ سے ملتی جلتی ہے۔ اس لحاظ سے، ایس آئی سی-پی او وی ایم اور باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے مسائل ایک دوسرے کے لیے دوہرے ہیں۔ طول و عرض میں، مشابہت کو مزید آگے لے جایا جا سکتا ہے: باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا ایک مکمل مجموعہ براہ راست ایس آئی سی-پی او وی ایم سے بنایا جا سکتا ہے۔ ایس آئی سی-پی او وی ایم کے 9 ویکٹر، باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے 12 ویکٹر کے ساتھ مل کر، ایک سیٹ بناتے ہیں جسے کوچن-سپیکر پروف میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، 6 جہتی ہلبرٹ خلا میں، ایک ایس آئی سی-پی او وی ایم معلوم ہے، لیکن ابھی تک باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا کوئی مکمل مجموعہ دریافت نہیں ہوا ہے، اور یہ وسیع پیمانے پر مانا جاتا ہے کہ ایسا کوئی سیٹ موجود نہیں ہے۔ مزید دیکھیں کوانٹم میکانکس میں پیمائش باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے پی او وی ایم کیوبیزم نوٹ حوالہ جات کوانٹم پیمائش طبیعیات میں حل نہ ہونے والے مسائل ریاضی میں حل نہ ہونے والے مسائل ہلبرٹ اسپیس آپریٹر تھیوری انسیڈنس جیومیٹری یوکلڈین طیارہ جیومیٹری الجبرائی جیومیٹری ہائپر گراف کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت