Population balance equation
آبادی کے توازن کی مساوات (پی بی ای) جدید سائنس کی کئی شاخوں میں، خاص طور پر کیمیائی انجینئرنگ میں، ذرات کی آبادی کے ارتقاء کو بیان کرنے کے لیے متعارف کرائی گئی ہیں۔ اس میں کرسٹلائزیشن، لیچنگ (میٹالرجی)، مائع-مائع نکالنے، گیس-مائع کے منتشر ہونے جیسے پانی کے الیکٹرولیسس، مائع-مائع رد عمل، کمیونیوشن، ایروسول انجینئرنگ، حیاتیات (جہاں علیحدہ وجود اپنے سائز یا انٹرا سیلولر پروٹین کی بنیاد پر خلیات ہوتے ہیں)، پولیمرائزیشن وغیرہ جیسے موضوعات شامل ہیں۔ آبادی کے توازن کی مساوات کو سمولوچووسکی کوگولیشن مساوات کی توسیع کے طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے جو صرف ذرات کی ہم آہنگی کو بیان کرتا ہے۔ پی بی ای، زیادہ عام طور پر، اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ وقت کے ساتھ مخصوص خصوصیات میں الگ الگ اداروں کی آبادی کیسے ترقی کرتی ہے۔ وہ مربوط جزوی تفریقی مساوات کا ایک مجموعہ ہے جو مقامی حالات میں واحد ذرہ کے رویے کے تجزیے سے ذرات کی آبادی کا اوسط میدان کا طرز عمل پیش کرتا ہے۔ ذرات کے نظام کی خصوصیت ذرات کی پیدائش اور موت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، بارش کے عمل (مائع محلول سے ٹھوس کی تشکیل) پر غور کریں جس میں ذیلی عمل نیوکلیئشن، جمع، ٹوٹنا وغیرہ ہوتے ہیں، جس کے نتیجے میں کسی خاص رداس کے ذرات کی تعداد میں اضافہ یا کمی ہوتی ہے (کروی ذرات کی تشکیل کو فرض کرتے ہوئے)۔ آبادی کا توازن اور کچھ نہیں بلکہ کسی خاص حالت کے ذرات کی تعداد پر توازن ہے (اس مثال میں، سائز)۔ پی بی ای کی تشکیل ذرہ خصوصیات والے ذرات کی اوسط تعداد پر غور کریں جو ذرہ حالت ویکٹر (x، r) سے ظاہر ہوتی ہے (جہاں x ذرہ خصوصیات جیسے سائز، کثافت وغیرہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اندرونی نقاط کے طور پر بھی جانا جاتا ہے اور، r مقامی پوزیشن یا بیرونی نقاط سے مطابقت رکھتا ہے) ایک مسلسل مرحلے میں منتشر ہوتا ہے جس کی وضاحت فیز ویکٹر Y (r، t) کے ذریعہ کی جاتی ہے (جو دوبارہ ایسے تمام ویکٹروں کا ایک فنکشن ہے جو مختلف مقامات پر فیز کی خصوصیات کو ظاہر کرتا ہے) f (x، r، t) کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہذا یہ پراپرٹی اور اسپیس ڈومینز میں ذرہ خصوصیات دیتا ہے۔ فرض کریں کہ ایچ (x، r، Y، t) ذرہ ریاستی جگہ کے فی یونٹ حجم کے ذرات کی شرح پیدائش کی نشاندہی کرتا ہے، لہذا تعداد کے تحفظ کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ پی بی ای کی ایک عمومی شکل ہے۔ ان مساوات کو حل کرنے کے لیے بنیادی طور پر پی بی ای مونٹی کارلو کے طریقے، ڈسکریٹائزیشن کے طریقے اور مومنٹ کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔ انتخاب کا انحصار ایپلی کیشن اور کمپیوٹنگ کے بنیادی ڈھانچے پر ہے۔ حوالہ جات جزوی تفریق مساوات ریاضیاتی اور نظریاتی حیاتیات