Banach–Mazur compactum
فنکشنل تجزیہ کے ریاضیاتی مطالعہ میں، بنچ-مزور فاصلہ-جہتی معیاری خالی جگہوں کے سیٹ پر فاصلے کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ اس فاصلے کے ساتھ،-جہتی معیاری خالی جگہوں کی آئسومیٹری کلاسوں کا مجموعہ ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس بن جاتا ہے، جسے بناچ-مزور کمپیکٹم کہا جاتا ہے۔ تعریفیں اگر اور ایک ہی جہت کے ساتھ دو محدود جہتی معیاری خالی جگہیں ہیں، تو آئیے تمام لکیری آئسومورفزم کے مجموعے کی نشاندہی کریں۔ اس طرح کے لکیری نقشے کے آپریٹر معیار سے ظاہر ہوتا ہے-وہ زیادہ سے زیادہ عنصر جس کے ذریعے یہ ویکٹر کو "لمبا" کرتا ہے۔ بنچ-مزور کے درمیان کا فاصلہ اور اس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے کہ ہمارے پاس صرف اس صورت میں ہے جب خالی جگہیں اور آئسومیٹرک طور پر آئسومورفک ہوں۔ میٹرک δ سے لیس،-جہتی معیاری خالی جگہوں کی آئسومیٹری کلاسوں کی جگہ ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس بن جاتی ہے، جسے بناچ-مزور کمپیکٹم کہا جاتا ہے۔ بہت سے مصنفین ضرب والے بناچ-مزور فاصلے کے ساتھ کام کرنے کو ترجیح دیتے ہیں جس کے لیے اور ایک کنویکس باڈی میں موجود زیادہ سے زیادہ ایلیپسائڈ پر پراپرٹیز ایف۔ جان کا نظریہ تخمینہ دیتا ہے: جہاں یوکلڈین معیار کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے (خالی جگہوں پر مضمون دیکھیں)۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ سب کے لیے تاہم، کلاسیکی خالی جگہوں کے لیے، قطر کے لیے یہ اوپری حد تک رسائی حاصل کرنے سے دور ہے۔ مثال کے طور پر، اور کے درمیان کا فاصلہ (صرف) ترتیب کا ہے (طول و عرض سے آزاد ضرب مستقل تک)۔ قطر کا اندازہ لگانے کی سمت میں ایک بڑی کامیابی ای گلسکن کی وجہ سے ہے، جس نے 1981 میں ثابت کیا کہ بناچ-مزور کمپیکٹم کا (ضرب) قطر کچھ عالمگیر گلسکن کے طریقہ کار کے لیے نیچے سے پابند ہے جس میں بے ترتیب سمیٹرک پولی ٹاپس کی ایک کلاس متعارف کرائی گئی ہے اور معیاری خالی جگہیں یونٹ بال کے طور پر ہوتی ہیں (ویکٹر کی جگہ ہے اور معیار کا گیج ہے)۔ ثبوت یہ ظاہر کرنے پر مشتمل ہے کہ مطلوبہ تخمینہ درست ہے اور بڑے امکان کے ساتھ کہ معیاری جگہ کی دو آزاد کاپیاں ایک مطلق ایکسٹینسر ہیں۔ دوسری طرف، ہلبرٹ کیوب کے لیے ہومومورفک نہیں ہے۔ نوٹ حوالہ جات https://planetmath.org/BanachMazurCompactum مکعب سے بناچ-مزور کے فاصلے پر ایک نوٹ بناچ-مزور کمپیکٹم ہلبرٹ مکعب کئی گنا فنکشنل تجزیہ میٹرک جیومیٹری میٹرک خالی جگہوں کی الیگزینڈرروف کمپیکٹفیکیشن ہے۔