Bartlett's bisection theorem
بارٹلیٹ کا بائیسیکشن تھیوریم نیٹ ورک تجزیہ میں ایک برقی تھیوریم ہے جو البرٹ چارلس بارٹلیٹ سے منسوب ہے۔ تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی سمیٹریکل ٹو پورٹ نیٹ ورک کو لیٹس نیٹ ورک میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ تھیوریم اکثر فلٹر تھیوری میں ظاہر ہوتا ہے جہاں جالی نیٹ ورک کو بعض اوقات فلٹر ایکس سیکشن کے نام سے جانا جاتا ہے جو کہ حروف تہجی کے حروف کے بعد حصوں کے نام رکھنے کے عام فلٹر تھیوری کے عمل کے بعد ہوتا ہے جس سے وہ مشابہت رکھتے ہیں۔ جیسا کہ اصل میں بارٹلیٹ نے جو نظریہ بیان کیا تھا اس کے لیے نیٹ ورک کے دو حصوں کو ٹپوولوجیکل طور پر ہم آہنگ ہونا ضروری تھا۔ اس نظریہ کو بعد میں ولہیم کاؤر نے ان تمام نیٹ ورکس پر لاگو کرنے کے لیے بڑھایا جو برقی طور پر ہم آہنگ تھے۔ یعنی نیٹ ورک کے فزیکل نفاذ کا کوئی تعلق نہیں ہے۔ یہ صرف ضروری ہے کہ دونوں حصوں میں اس کا ردعمل متناسب ہو۔ ایپلی کیشنز لیٹیس ٹوپولوجی فلٹر زیادہ عام نہیں ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ انہیں دوسرے ڈیزائنوں کے مقابلے میں زیادہ اجزاء (خاص طور پر انڈکٹرز) کی ضرورت ہوتی ہے۔ سیڑھی ٹوپولوجی بہت زیادہ مقبول ہے۔ تاہم، ان میں اندرونی طور پر متوازن ہونے کی خاصیت ہوتی ہے اور ایک اور ٹوپولوجی کا متوازن ورژن، جیسے ٹی سیکشن، دراصل زیادہ انڈکٹرز کا استعمال کر سکتے ہیں۔ ایک ایپلیکیشن متوازن ٹیلی کمیونیکیشن لائنوں پر آل پاس فیز کریکشن فلٹرز کے لیے ہے۔ یہ نظریہ آر ایف تعدد پر کرسٹل فلٹرز کے ڈیزائن میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ یہاں سیڑھی کی ٹوپولوجیز میں کچھ ناپسندیدہ خصوصیات ہیں، لیکن ایک عام ڈیزائن کی حکمت عملی یہ ہے کہ اس کی سادگی کی وجہ سے سیڑھی کے نفاذ سے شروع کیا جائے۔ اس کے بعد بارٹلیٹ تھیوریم کو ڈیزائن کو انٹرمیڈیٹ مرحلے میں تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو حتمی نفاذ کی طرف ایک قدم ہے (ٹرانسفارمر کا استعمال کرتے ہوئے جالی ٹوپولوجی کا غیر متوازن ورژن تیار کرنے کے لیے)۔ تعریف اور ثبوت کی تعریف دو بندرگاہوں کے نیٹ ورک، N سے شروع کریں، جس میں دونوں بندرگاہوں کے درمیان توازن کا ایک طیارہ ہو۔ اگلا N کو اس کے سمیٹری کے طیارہ کے ذریعے کاٹ کر دو نئے ایک جیسے دو بندرگاہیں، 1⁄2 N بنائیں۔ دو ایک جیسے وولٹیج جنریٹرز کو N کی دو بندرگاہوں سے جوڑیں۔ ہم آہنگی سے یہ واضح ہے کہ ہم آہنگی کے سطح سے گزرنے والی کسی بھی شاخ سے کوئی کرنٹ نہیں بہہ رہا ہے۔ ان حالات میں N کی بندرگاہ میں ناپی جانے والی رکاوٹ ناپی جانے والی رکاوٹ کے برابر ہوگی اگر سمیٹری کے سطح سے گزرنے والی تمام شاخیں اوپن سرکٹ ہوں۔ لہذا یہ وہی امپیڈینس ہے جو 1⁄2 این کے اوپن سرکٹ امپیڈینس کے برابر ہے۔ آئیے اس امپیڈینس کو کہتے ہیں۔ اب نیٹ ورک N پر غور کریں جس میں دو ایک جیسے وولٹیج جنریٹر ہیں جو بندرگاہوں سے جڑے ہوئے ہیں لیکن مخالف قطعیت کے ساتھ۔ جس طرح ہم آہنگی کے سطح پر شاخوں کے ذریعے کرنٹ کی سپرپوزیشن پچھلے معاملے میں صفر ہونی چاہیے، اسی طرح ہم آہنگی کے سطح پر نوڈس کے درمیان وولٹیج کی سپرپوزیشن بھی اسی طرح صفر ہونی چاہیے۔ اس طرح ان پٹ امپیڈینس 1⁄2 این کے شارٹ سرکٹ امپیڈینس کی طرح ہے۔ آئیے اس امپیڈینس کو کہتے ہیں۔ بارٹلیٹ کا بائیسیکشن تھیوریم بیان کرتا ہے کہ نیٹ ورک N ایک جالی نیٹ ورک کے مساوی ہے جس کی شاخوں کی سیریز اور کراس شاخیں ہیں۔ ثبوت ہر بندرگاہ سے جڑے یکساں جنریٹر، ای کے ساتھ دکھائے گئے جالی نیٹ ورک پر غور کریں۔ سمیٹری اور سپرپوزیشن سے یہ واضح ہے کہ سیریز برانچوں میں کوئی کرنٹ نہیں بہہ رہا ہے۔ اس طرح ان شاخوں کو ہٹایا جا سکتا ہے اور باقی سرکٹ پر کسی اثر کے بغیر اوپن سرکٹ چھوڑ دیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک سرکٹ لوپ کو 2E کے وولٹیج اور لوپ میں کرنٹ دینے کی رکاوٹ کے ساتھ چھوڑتا ہے ؛ اور ایک ان پٹ رکاوٹ ؛ جیسا کہ اصل دو بندرگاہ کے مساوی ہونے کے لیے ضروری ہے۔ اسی طرح، جنریٹر میں سے کسی ایک کو الٹا کرنے کے نتیجے میں، ایک جیسی دلیل کے ذریعے، ایک لوپ میں جس کی امپیڈینس اور ان پٹ امپیڈینس کے ساتھ ؛ یہ یاد کرتے ہوئے کہ یہ جنریٹر کی تشکیل عین مطابق طریقہ ہے جس میں اصل دو بندرگاہ میں بیان کیا گیا تھا، یہ ثابت ہوتا ہے کہ ان دو صورتوں کے لیے جالی مساوی ہے۔ یہ ثابت ہوتا ہے کہ یہ تمام معاملات کے لیے اس بات پر غور کر کے ہے کہ دیگر تمام ان پٹ اور آؤٹ پٹ کے حالات کو پہلے سے ثابت شدہ دو معاملات کی لکیری سپرپوزیشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مثال بارٹلیٹ کی تبدیلی کو الٹا استعمال کرنا ممکن ہے ؛ یعنی، ایک ہم آہنگ جالی نیٹ ورک کو کسی اور ہم آہنگ ٹوپولوجی میں تبدیل کرنا۔ اوپر دکھائی گئی مثالیں اتنی ہی یکساں طور پر الٹا دکھائی جا سکتی تھیں۔ تاہم، مندرجہ بالا مثالوں کے برعکس، نتیجہ ہمیشہ لکیری غیر فعال اجزاء کے ساتھ جسمانی طور پر قابل حصول نہیں ہوتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اس بات کا امکان ہے کہ ریورس ٹرانسفارم منفی اقدار والے اجزاء پیدا کرے گا۔ منفی مقداروں کو صرف نیٹ ورک میں موجود فعال اجزاء کے ساتھ جسمانی طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ تھیوریم کی توسیع بارٹلیٹ تھیوریم کی ایک توسیع ہے جو مساوی ان پٹ اور آؤٹ پٹ امپیڈینس ٹرمینیشن کے درمیان کام کرنے والے سمیٹریکل فلٹر نیٹ ورک کو غیر مساوی ماخذ اور لوڈ امپیڈینس کے لیے ترمیم کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ یہ پروٹو ٹائپ فلٹر کی امپیڈینس اسکیلنگ کی ایک مثال ہے۔ سمیٹریکل نیٹ ورک کو اس کے سمیٹری کے سطح کے ساتھ دو حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ ایک نصف کو ان پٹ امپیڈینس کے لیے امپیڈینس اسکیل کیا جاتا ہے اور دوسرے کو آؤٹ پٹ امپیڈینس کے لیے اسکیل کیا جاتا ہے۔ فلٹر کی رسپانس شکل ایک جیسی رہتی ہے۔ یہ امپیڈینس میچنگ نیٹ ورک کے مترادف نہیں ہے، نیٹ ورک پورٹس کی طرف دیکھنے والی امپیڈینس کا ٹرمینیشن امپیڈینس سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ بارٹلیٹ تھیوریم کے ذریعہ ڈیزائن کیا گیا نیٹ ورک، جب کہ بالکل فلٹر رسپانس کی پیش گوئی کی جاتی ہے، فلٹر رسپانس کے علاوہ مستقل تخفیف بھی شامل کرتا ہے۔ امپیڈینس میچنگ نیٹ ورکس میں، ایک معمول کا ڈیزائن معیار پاور ٹرانسفر کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہے۔ ان پٹ کو چلانے والے نظریاتی آئیڈیل جنریٹر کے وولٹیج کے مقابلے میں آؤٹ پٹ رسپانس "ایک ہی شکل" کا ہوتا ہے۔ یہ اصل ان پٹ وولٹیج کے مقابلے میں ایک جیسا نہیں ہے جو نظریاتی آئیڈیل جنریٹر کے ذریعے اس کے لوڈ امپیڈینس کے ذریعے فراہم کیا جاتا ہے۔ ان پٹ اور آؤٹ پٹ امپیڈینس میں فرق کی وجہ سے مستقل فائدہ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے ؛ نوٹ کریں کہ اس کا اتحاد سے زیادہ ہونا ممکن ہے، یعنی وولٹیج کا فائدہ ممکن ہے، لیکن طاقت ہمیشہ ختم ہوجاتی ہے۔ حوالہ جات لکیری فلٹرز فلٹر تھیوری اینالاگ سرکٹس الیکٹرانک ڈیزائن