One-seventh area triangle
طیارہ جیومیٹری میں، ایک مثلث اے بی سی ایک مثلث پر مشتمل ہوتا ہے جس کا رقبہ اے بی سی کے رقبے کا ساتواں حصہ ہوتا ہے، جو اس طرح تشکیل پاتا ہے: اس مثلث کے اطراف سیوین پی، کیو، آر پر ہوتے ہیں جہاں پی اے کو بی سی پر ایک نقطہ سے جوڑتا ہے جو کہ بی سے سی کا ایک تہائی فاصلہ ہے، کیو بی کو سی اے پر ایک نقطہ سے جوڑتا ہے جو کہ سی سے اے کا ایک تہائی فاصلہ ہے، آر سی کو اے بی پر ایک نقطہ سے جوڑتا ہے جو کہ اے سے بی کا ایک تہائی فاصلہ ہے۔ ایک ساتواں رقبہ مثلث کے وجود کا ثبوت چھ متوازی لکیروں کی تعمیر سے ملتا ہے: دو متوازی p، ایک سے C کے ذریعے، دوسرا q. r کے ذریعے دو متوازی q، ایک سے A کے ذریعے، دوسرا r. p کے ذریعے دو متوازی r، ایک سے B کے ذریعے، دوسرا p. q کے ذریعے۔ ہیوگو اسٹین ہاؤس کی تجویز یہ ہے کہ (مرکزی) مثلث جس کے اطراف p، q، r ہیں اس کے اطراف اور عمودی حصوں میں جھلکتے ہیں۔ یہ چھ اضافی مثلث جزوی طور پر اے بی سی کا احاطہ کرتے ہیں، اور اے بی سی کے باہر چھ اضافی مثلثوں کو لٹکا کر چھوڑ دیتے ہیں۔ مکمل تعمیر کی متوازییت پر توجہ مرکوز کرتے ہوئے (مارٹن گارڈنر نے جیمز رینڈی کے آن لائن میگزین کے ذریعے پیش کیا)، اے بی سی کے زیادہ لٹکنے اور گمشدہ ٹکڑوں کی جوڑی کے لحاظ سے ہم آہنگی واضح ہے۔ جیسا کہ گرافیکل حل میں دیکھا گیا ہے، چھ جمع اصل پورے مثلث ABC کے برابر ہے۔ اس ہندسی تعمیر اور رقبے کے حساب کی ابتدائی نمائش رابرٹ پوٹس نے 1859 میں اپنی یوکلیڈین جیومیٹری کی نصابی کتاب میں دی تھی۔ کک اینڈ ووڈ (2004) کے مطابق، اس مثلث نے رچرڈ فین مین کو رات کے کھانے کی گفتگو میں الجھن میں ڈال دیا۔ وہ آگے چل کر چار مختلف ثبوت دیتے ہیں۔ ایک زیادہ عام نتیجہ روتھ تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ حوالہ جات ایچ۔ ایس۔ ایم۔ کاکسٹر (1969) جیومیٹری کا تعارف، صفحہ 211، جان ولی اینڈ سنز۔ مثلث کے لیے بیان کردہ اشیاء ثبوت پر مشتمل مضامین ایریا افائن جیومیٹری