Quantum t-design
کوانٹم ٹی-ڈیزائن خالص کوانٹم ریاستوں یا یکطرفہ آپریٹرز پر امکان کی تقسیم ہے جو ڈگری ٹی یا اس سے کم کے کثیر الجہتی کے لیے ہار پیمائش پر امکان کی تقسیم کی خصوصیات کو نقل کر سکتی ہے۔ خاص طور پر، ڈیزائن پر ڈگری t کے کسی بھی کثیر الجہتی فعل کی اوسط بالکل ہار پیمائش پر اوسط کے برابر ہوتی ہے۔ یہاں ہار پیمائش تمام کوانٹم حالتوں یا تمام یکطرفہ آپریٹرز پر یکساں امکان کی تقسیم ہے۔ کوانٹم ٹی-ڈیزائن کو اس لیے کہا جاتا ہے کیونکہ وہ کلاسیکی شماریات میں ٹی-ڈیزائن سے مشابہت رکھتے ہیں، جو تاریخی طور پر تجربات کے ڈیزائن کے مسئلے کے سلسلے میں پیدا ہوئے تھے۔ کوانٹم میکانکس میں ٹی ڈیزائن کی دو خاص طور پر اہم اقسام پروجیکٹو اور یونٹری ٹی ڈیزائن ہیں۔ ایک کروی ڈیزائن اکائی دائرے پر پوائنٹس کا مجموعہ ہے جس کے لیے باؤنڈ ڈگری کے کثیر الجہتی کو اوسط کیا جا سکتا ہے تاکہ وہی قدر حاصل کی جا سکے جو دائرے پر سطح کی پیمائش کو مربوط کرنے سے ملتی ہے۔ گول اور پروجیکٹو ٹی ڈیزائن اپنے نام 1970 کی دہائی کے آخر میں ڈیلسرٹ، گوئتھلز اور سیڈل کے کاموں سے اخذ کرتے ہیں، لیکن ان اشیاء نے ریاضی کی کئی شاخوں میں ابتدائی کردار ادا کیے، جن میں عددی انضمام اور نمبر تھیوری شامل ہیں۔ ان اشیاء کی مخصوص مثالوں کو کوانٹم انفارمیشن تھیوری، کوانٹم کرپٹوگرافی، اور دیگر متعلقہ شعبوں میں استعمال پایا گیا ہے۔ یونیٹری ٹی-ڈیزائن کروی ڈیزائنوں سے مشابہت رکھتے ہیں جس میں وہ یونٹری میٹرکس کے ایک محدود مجموعہ کے ذریعے پورے یونٹری گروپ کو دوبارہ پیش کرتے ہیں۔ یونٹری 2-ڈیزائن کا نظریہ 2006 میں خاص طور پر کوانٹم کمپیوٹنگ آپریشنز میں غلطیوں کا اندازہ لگانے کے لیے موثر اور توسیع پذیر بے ترتیب بینچ مارکنگ کے عملی ذرائع کو حاصل کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا، جسے گیٹس کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد سے یکطرفہ ٹی ڈیزائن کوانٹم کمپیوٹنگ کے دیگر شعبوں میں اور زیادہ وسیع پیمانے پر کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں مفید پائے گئے ہیں اور بلیک ہول انفارمیشن پیراڈوکس تک پہنچنے والے مسائل پر لاگو ہوتے ہیں۔ یونیٹری ٹی-ڈیزائن خاص طور پر کوانٹم کمپیوٹنگ میں بے ترتیب کاموں سے متعلق ہیں کیونکہ مثالی کارروائیوں کی نمائندگی عام طور پر یونٹری آپریٹرز کرتے ہیں۔ محرک ڈی جہتی ہلبرٹ خلا میں جب تمام کوانٹم خالص حالتوں پر اوسط ہوتا ہے تو قدرتی گروپ ایس یو (ڈی) ہوتا ہے، جو طول و عرض کا خصوصی یکطرفہ گروپ ہے۔ ہار پیمائش، تعریف کے مطابق، منفرد گروپ-غیر متغیر پیمائش ہے، لہذا یہ اوسط خصوصیات کے لیے استعمال ہوتا ہے جو تمام حالتوں، یا تمام اکائیوں پر یکطرفہ طور پر غیر متغیر نہیں ہیں۔ اس کی ایک خاص طور پر وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والی مثال اسپن سسٹم ہے۔ اس نظام کے لیے متعلقہ گروپ ایس یو (2) ہے جو تعین کنندہ 1 کے ساتھ تمام 2x2 یکطرفہ آپریٹرز کا گروپ ہے۔ چونکہ ایس یو (2) میں ہر آپریٹر بلاچ دائرے کی گردش ہے، اس لیے بلاچ دائرے کی تمام گردشوں کے تحت اسپن-1/2 ذرات کے لیے ہار پیمائش غیر متغیر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہار پیمائش بلاچ دائرے پر گردش کے لحاظ سے غیر متغیر پیمائش ہے، جسے دائرے کی سطح پر مستقل کثافت کی تقسیم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ پروجیکٹو ٹی-ڈیزائن کی ایک اہم کلاس، سمیٹرک معلوماتی طور پر مکمل مثبت آپریٹر ویلیوڈ اقدامات پی او وی ایم ہیں، جو پیچیدہ پروجیکٹو 2-ڈیزائن ہیں۔ چونکہ اس طرح کے 2-ڈیزائن میں کم از کم عناصر ہونے چاہئیں، ایس آئی سی-پی او وی ایم ایک کم سے کم سائز کا پیچیدہ پروجیکٹو 2-ڈیزائن ہے۔ کروی ٹی-ڈیزائن پیچیدہ پروجیکٹو ٹی-ڈیزائن کا مطالعہ کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں کوانٹم ٹی-ڈیزائن کے طور پر کیا گیا ہے۔ یہ اکائی کے دائرے میں ویکٹروں کے کروی 2 ٹی ڈیزائن سے قریب سے متعلق ہیں جس میں جب قدرتی طور پر سرایت کی جاتی ہے تو پیچیدہ پروجیکٹو ٹی ڈیزائن کو جنم دیتے ہیں۔ رسمی طور پر، ہم کوانٹم ریاستوں پر امکان کی تقسیم کو ایک پیچیدہ پروجیکٹو ٹی-ڈیزائن کے طور پر بیان کرتے ہیں اگر یہاں، کوانٹم ریاستوں پر عین مطابق ٹی-ڈیزائن میں یونٹ کے دائرے پر ہار پیمائش پر انٹیگرل اوور اسٹیٹس کو لیا جاتا ہے، جب امکان کی تقسیم سے کسی ریاست کی ٹی کاپیاں استعمال کرتے ہوئے تمام ریاستوں پر یکساں امکان کی تقسیم سے ممتاز نہیں کیا جا سکتا ہے۔ تاہم عملی طور پر ٹی-ڈیزائن کا حساب لگانا بھی مشکل ہو سکتا ہے۔ اس وجہ سے لگ بھگ ٹی ڈیزائن مفید ہیں۔ مؤثر طریقے سے نافذ کرنے کی صلاحیت کی وجہ سے لگ بھگ ٹی ڈیزائن سب سے زیادہ مفید ہیں۔ یعنی۔ وقت میں امکانات کی تقسیم کے مطابق تقسیم شدہ کوانٹم حالت پیدا کرنا ممکن ہے۔ اس موثر تعمیر سے یہ بھی ظاہر ہوتا ہے کہ آپریٹرز کے پی او وی ایم کو وقت پر نافذ کیا جا سکتا ہے۔ ایک لگ بھگ ٹی ڈیزائن کی تکنیکی تعریف یہ ہے: اگر اور پھر ایک قریب ترین ٹی ڈیزائن ہے۔ یہ ممکن ہے، اگرچہ شاید ناکارہ ہو، ایک مقررہ t کے لیے کوانٹم خالص حالتوں پر مشتمل ایک قریب ترین t-ڈیزائن تلاش کرنا۔ سہولت کے لیے تعمیر d کو 2 کی طاقت سمجھا جاتا ہے۔ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ کسی بھی d کے لیے افعال کا ایک مجموعہ موجود ہے {0,., d-1} {0,., d-1} اس طرح کہ کسی بھی مخصوص {0,., d-1} کے لیے f کے نیچے کی شبیہہ، جہاں f کو S سے بے ترتیب منتخب کیا جاتا ہے، بالکل {0,., d-1} کے N عناصر کے ٹپلوں پر یکساں تقسیم ہے۔ آئیے ہار پیمائش سے اخذ کیے جائیں۔ آئیے اور لیٹ کی امکان کی تقسیم ہے۔ اگر ہم امکان اور امکان کے ساتھ تعریف کرتے ہیں تو: طاق ج کے لیے اور یکساں جے کے لیے۔ اس اور گوسیئن کواڈریچر کا استعمال کرتے ہوئے ہم تعمیر کر سکتے ہیں تاکہ یہ ایک لگ بھگ ٹی-ڈیزائن ہو۔ یونیٹری ٹی-ڈیزائنز یونیٹری ٹی-ڈیزائنز کروی ڈیزائنز سے مشابہت رکھتے ہیں جس میں وہ یونٹری میٹرکس کے ایک محدود مجموعہ کے ذریعے پورے یونٹری گروپ کو دوبارہ پیش کرتے ہیں۔ یونٹری 2-ڈیزائن کا نظریہ 2006 میں خاص طور پر کوانٹم کمپیوٹنگ آپریشنز میں غلطیوں کا اندازہ لگانے کے لیے موثر اور توسیع پذیر بے ترتیب بینچ مارکنگ کے عملی ذرائع کو حاصل کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا، جسے گیٹس کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد سے یکطرفہ ٹی ڈیزائن کوانٹم کمپیوٹنگ کے دیگر شعبوں میں اور زیادہ وسیع پیمانے پر کوانٹم انفارمیشن تھیوری اور بلیک ہول فزکس تک پہنچنے والے شعبوں میں مفید پائے گئے ہیں۔ یونیٹری ٹی-ڈیزائن خاص طور پر کوانٹم کمپیوٹنگ میں بے ترتیب کاموں سے متعلق ہیں کیونکہ مثالی کارروائیوں کی نمائندگی عام طور پر یونٹری آپریٹرز کرتے ہیں۔ یک جہتی ٹی-ڈیزائن کے عناصر یک جہتی گروپ کے عناصر ہیں، یو (ڈی)، یک جہتی میٹرکس کا گروپ۔ یکطرفہ آپریٹرز کا ٹی-ڈیزائن ریاستوں کا ٹی-ڈیزائن تیار کرے گا۔ فرض کریں کہ یہ ایک یک جہتی ٹی-ڈیزائن ہے (یعنی۔ یکطرفہ آپریٹرز کا ایک مجموعہ)۔ پھر کسی بھی خالص حالت کے لیے جانے دیں۔ پھر ہمیشہ ریاستوں کے لیے ٹی-ڈیزائن ہوگا۔ رسمی طور پر ایک یکطرفہ ٹی-ڈیزائن، X کی وضاحت کریں، اگر مشاہدہ کریں کہ میٹرکس کے ذریعہ U کے تمام انتخاب پر لکیری طور پر پھیلی ہوئی جگہ پابندی سے ملتی جلتی ہے اور یہ مشاہدہ یکطرفہ ڈیزائن اور یکطرفہ کوڈ کے درمیان دوہری کے بارے میں نتیجہ اخذ کرتا ہے۔ ترتیبی نقشوں کا استعمال کرتے ہوئے براہ راست تصدیق کرنا ممکن ہے کہ یکطرفہ میٹرکس کا ایک مجموعہ ٹی-ڈیزائن بناتا ہے۔ اس کا ایک براہ راست نتیجہ یہ ہے کہ مساوات کے ساتھ کسی بھی محدود کے لیے اگر اور صرف اس صورت میں جب X ایک t-ڈیزائن ہو۔ 1 اور 2 ڈیزائنوں کا کچھ تفصیل سے جائزہ لیا گیا ہے اور X، |X | کے طول و عرض کے لیے مطلق حدود اخذ کی گئی ہیں۔ یکطرفہ ڈیزائنوں کے لیے حدود ڈگری t کے یکساں اور ڈگری t کے یکساں افعال کے سیٹ کے طور پر بیان کریں، پھر اگر ہر ایک کے لیے: تو X ایک یکطرفہ t-ڈیزائن ہے۔ ہم افعال کے لیے اندرونی پروڈکٹ کی مزید وضاحت کرتے ہیں اور اس کی اوسط قیمت کے طور پر: اور کسی بھی محدود ذیلی سیٹ سے زیادہ کی اوسط قیمت کے طور پر۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ X ایک یکطرفہ ٹی-ڈیزائن ہے اگر اور صرف اگر۔ اوپر سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر X ایک ٹی ڈیزائن ہے تو ڈیزائن کے لیے ایک مطلق پابند ہے۔ یہ یکطرفہ ڈیزائن کے سائز پر ایک اوپری حد عائد کرتا ہے۔ یہ باؤنڈ مطلق ہے جس کا مطلب ہے کہ یہ صرف ڈیزائن کی طاقت یا کوڈ کی ڈگری پر منحصر ہے، نہ کہ سب سیٹ X میں فاصلے پر۔ یونٹری کوڈ یونٹری گروپ کا ایک محدود ذیلی سیٹ ہے جس میں عناصر کے درمیان چند اندرونی پروڈکٹ ویلیوز واقع ہوتی ہیں۔ خاص طور پر، ایک یکطرفہ کوڈ کو ایک محدود ذیلی سیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اگر X میں سب کے لیے صرف الگ الگ اقدار ہوں۔ اس کے بعد یہ ہے کہ اگر U اور M آرتھوگنل ہیں: یہ بھی دیکھیں کہ کروی ڈیزائن مساوی لکیریں ویلچ باؤنڈ حوالہ جات کوانٹم انفارمیشن سائنس انفارمیشن تھیوری کوانٹم انفارمیشن تھیوری