Gosper's algorithm
ریاضی میں، گوسپر کا الگورتھم، بل گوسپر کی وجہ سے، ہائپر جیومیٹرک اصطلاحات کے مجموعے کو تلاش کرنے کا ایک طریقہ کار ہے جو خود ہائپر جیومیٹرک اصطلاحات ہیں۔ یعنی: فرض کریں کہ کسی کے پاس a (1) +. + a (n) = S (n) −S (0) ہے، جہاں S (n) ایک ہائپر جیومیٹرک اصطلاح ہے (یعنی، S (n + 1)/S (n) n کا ایک عقلی فعل ہے) ؛ پھر لازمی طور پر a (n) خود ایک ہائپر جیومیٹرک اصطلاح ہے، اور a (n) گوسپر کے الگورتھم کے فارمولے کو دیکھتے ہوئے S (n) کے لیے یہ پتہ چلتا ہے۔ الگورتھم کا خاکہ مرحلہ 1: ایک کثیر الجہتی p کو اس طرح تلاش کریں کہ، b (n) = a (n)/p (n) لکھتے ہوئے، تناسب b (n)/b (n−1) کی شکل q (n)/r (n) ہو جہاں q اور r کثیر الجہتی ہیں اور کسی بھی q (n) میں r (n + j) کے ساتھ غیر معمولی عنصر نہیں ہے۔ (یہ ہمیشہ ممکن ہے، چاہے سلسلہ بند شکل میں خلاصہ ہو یا نہ ہو۔) مرحلہ 2: ایک کثیر الجہتی f تلاش کریں کہ S (n) = q (n + 1)/p (n) f (n) a (n) ہو۔ اگر سلسلہ بند شکل میں قابل خلاصہ ہے تو واضح طور پر اس خاصیت کے ساتھ ایک عقلی فعل f موجود ہے ؛ درحقیقت یہ ہمیشہ ایک کثیر الجہتی ہونا چاہیے، اور اس کی ڈگری پر ایک اوپری باؤنڈ پایا جا سکتا ہے۔ f کا تعین کرنا (یا یہ معلوم کرنا کہ ایسا کوئی f نہیں ہے) پھر لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کا معاملہ ہے۔ ولف-زیلبرگر جوڑوں سے تعلق گوسپر کے الگورتھم کو ولف-زیلبرگر جوڑوں کو دریافت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جہاں وہ موجود ہیں۔ فرض کریں کہ F (n + 1, k) −F (n, k) = G (n, k + 1) −G (n, k) جہاں F معلوم ہے لیکن G نہیں ہے۔ پھر گوسپر کے الگورتھم میں a (k): = F (n + 1, k) −F (n, k) ڈالیں۔ (اسے k کے فنکشن کے طور پر سمجھیں جس کے کوفیشنٹس نمبروں کے بجائے n کے فنکشن ہوتے ہیں۔ الگورتھم میں ہر چیز اس ترتیب میں کام کرتی ہے۔) اگر یہ S (k) کو S (k) − S (k − 1) = a (k) کے ساتھ کامیابی سے تلاش کرتا ہے، تو ہم کر لیتے ہیں: یہ مطلوبہ G ہے۔ اگر نہیں، تو ایسا کوئی G نہیں ہے۔ ڈیفینیٹ بمقابلہ غیر معینہ مدت کا خلاصہ گوسپر کا الگورتھم (جہاں ممکن ہو) ہائپر جیومیٹرک اصطلاحات کے غیر معینہ رقم کے لیے ایک ہائپر جیومیٹرک بند شکل تلاش کرتا ہے۔ ایسا ہو سکتا ہے کہ ایسی کوئی بند شکل نہ ہو، لیکن تمام n پر جمع، یا n کی اقدار کے کسی خاص سیٹ کی ایک بند شکل ہو۔ یہ سوال تب ہی بامعنی ہوتا ہے جب کوفیشنٹس خود کسی دوسرے متغیر کے افعال ہوتے ہیں۔ تو، فرض کریں کہ a (n, k) n اور k دونوں میں ایک ہائپر جیومیٹرک اصطلاح ہے: یعنی، a (n, k)/a (n−1, k) اور a (n, k)/a (n, k−1) n اور k کے عقلی افعال ہیں۔ پھر زیلبرگر کا الگورتھم اور پیٹکوویسک کا الگورتھم a (n, k) کے k پر جمع کے لیے بند شکلیں تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بل گوسپر نے اس الگورتھم کو 1970 کی دہائی میں سیل اور ایم آئی ٹی میں میکسیما کمپیوٹر الجبرا سسٹم پر کام کرتے ہوئے دریافت کیا۔ حوالہ جات کمپیوٹر الجبرا ہائپر جیومیٹرک افعال