Associahedron
ریاضی میں، ایک اسوشیا ہیڈرون ایک جہتی کنویکس پولیٹوپ ہے جس میں ہر ورٹیکس حروف کی ایک تار میں قوسین کو صحیح طریقے سے کھولنے اور بند کرنے کے طریقے سے مطابقت رکھتا ہے، اور کنارے ایسوسی ایٹیویٹی اصول کے واحد اطلاق سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مساوی طور پر، ایک اسوکیہ ہیڈرون کے عمودی اطراف کے ساتھ ایک باقاعدہ کثیر الاضحی کے مثلث سے مطابقت رکھتے ہیں اور کناروں کو کنارے کی پلٹاو سے مطابقت رکھتے ہیں جس میں ایک واحد اخترن کو مثلث سے ہٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ ایک مختلف اخترن ہوتا ہے۔ اسوسیاہیڈرا کو جم اسٹیشف کے کام کے بعد اسٹیشف پولی ٹاپس بھی کہا جاتا ہے، جس نے 1960 کی دہائی کے اوائل میں ڈوو تاماری کے ذریعہ ان پر پہلے کام کرنے کے بعد انہیں دوبارہ دریافت کیا۔ مثالیں یک جہتی اسوسیہیڈرون K3 تین علامتوں کے دو قوسین ((xy) z) اور (x (yz))، یا مربع کے دو مثلث کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ خود ایک لائن سیگمنٹ ہے۔ دو جہتی اسوسیہیڈرون K4 چار علامتوں کے پانچ قوسین، یا باقاعدہ پینٹاگون کے پانچ مثلث کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ خود ایک پینٹاگون ہے اور اس کا تعلق ایک مونوڈیل زمرے کے پینٹاگون خاکہ سے ہے۔ تین جہتی اسوسیہیڈرون K5 ایک ایننیہیڈرون ہے جس کے نو چہرے (تین جداگانہ چوطرفہ اور چھ پینٹاگون) اور چودہ عمودی ہیں، اور اس کا دوہرا سہ رخی مثلث پرزم ہے۔ احساس ابتدائی طور پر جم اسٹیشف نے ان اشیاء کو منحنی خطوط والے پولی ٹاپس کے طور پر سمجھا۔ اس کے بعد، انہیں کئی مختلف طریقوں سے کنویکس پولی ٹاپس کے طور پر نقاط دیے گئے ؛ سروے کے لیے ان کا تعارف دیکھیں۔ اسوسیا ہیڈرون کو سمجھنے کا ایک طریقہ باقاعدہ کثیر الاضحی کے ثانوی پولیٹوپ کے طور پر ہے۔ اس تعمیر میں، n + 1 اطراف والے باقاعدہ کثیر الاضحی کا ہر مثلث (n + 1) جہتی یوکلڈین خلا میں ایک نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے، جس کا ith کوآرڈینیٹ کثیر الاضحی کے ith سرے پر واقع مثلث کا کل رقبہ ہے۔ مثال کے طور پر، اکائی مربع کے دو مثلث اس طرح سے نقاط (1، 1/2، 1، 1/2) اور (1/2، 1، 1/2، 1) کے ساتھ دو چار جہتی نکات کو جنم دیتے ہیں۔ ان دو نکات کا کنویکس ہل اسوشیا ہیڈرون K3 کا احساس ہے۔ اگرچہ یہ 4 جہتی جگہ میں رہتا ہے، لیکن یہ اس جگہ کے اندر ایک لائن سیگمنٹ (ایک جہتی پولیٹوپ) بناتا ہے۔ اسی طرح، اسوشیا ہیڈرون K4 کو اس طرح پانچ جہتی یوکلڈین خلا میں ایک باقاعدہ پینٹاگون کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے، جس کے عمودی نقاط ویکٹر (1، 2 + φ، 1، 1 + φ، 1 + φ) کے چکور تغیرات ہیں جہاں φ سنہری تناسب کی نشاندہی کرتا ہے۔ چونکہ ایک باقاعدہ مسدس کے اندر ممکنہ مثلثوں میں ایسے علاقے ہوتے ہیں جو ایک دوسرے کے عدد ضرب ہوتے ہیں، اس تعمیر کو تین جہتی اسوسیہیڈرون K5 کو عدد نقاط (چھ جہتوں میں) دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے ؛ تاہم (جیسا کہ K4 کی مثال پہلے ہی سے ظاہر کرتی ہے) یہ تعمیر عام طور پر نقاط کے طور پر غیر معقول اعداد کی طرف لے جاتی ہے۔ ایک اور احساس، جین لوئس لوڈے کی وجہ سے، این-پتی کے جڑوں والے بائنری درختوں کے ساتھ اسوکیہ ہیڈرون کے چوٹیوں کے خط و کتابت پر مبنی ہے، اور براہ راست (n−2) جہتی خلا میں انٹیجر کوآرڈینیٹ تیار کرتا ہے۔ لوڈے کے احساس کا ith کوآرڈینیٹ آئی بی آئی ہے، جہاں آئی درخت کے اندرونی نوڈ (بائیں سے دائیں ترتیب میں) کے بائیں بچے کی پتی کی اولاد کی تعداد ہے اور بی آئی دائیں بچے کی پتی کی اولاد کی تعداد ہے۔ ایک پولیٹوپ کے طور پر براہ راست (n−2) جہتی جگہ میں اسوشیا ہیڈرون کا ادراک کرنا ممکن ہے جس کے لیے چہرے کے تمام نارمل ویکٹروں کے نقاط 0، + 1، یا −1 ہوتے ہیں۔ ایسا کرنے کے بہت سے مشترکہ طور پر الگ الگ طریقے ہیں۔ چونکہ K5 ایک پولی ہیڈرون ہے جس کے صرف عمودی حصے ہیں جن میں 3 کنارے ایک ساتھ آتے ہیں اس لیے ایک ہائیڈرو کاربن کا وجود ممکن ہے (پلاٹونک ہائیڈرو کاربن کی طرح) جس کی کیمیائی ساخت کی نمائندگی K5 کے کنکال سے ہوتی ہے۔ اس "اسوسیہیڈرین" C14H14 میں SMELES اشارے ہوں گے: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78۔ اس کے کناروں کی لمبائی تقریبا برابر ہوگی، لیکن ضروری نہیں کہ ہر چہرے کے عمودی حصے کوپلانار ہوں۔ درحقیقت، K5 ایک قریب مس جانسن ٹھوس ہے: ایسا لگتا ہے کہ مربعوں اور باقاعدہ پینٹاگون سے بنانا ممکن ہو سکتا ہے، لیکن ایسا نہیں ہے۔ یا تو سرے بالکل مربوط نہیں ہوں گے، یا چہروں کو باقاعدگی سے تھوڑا سا مسخ کرنا پڑے گا۔ k-چہروں کی تعداد ترتیب n (Kn + 1) کے اسوشیا ہیڈرون کے (n−k)-جہتی چہروں کی تعداد دائیں طرف دکھائے گئے عدد مثلث (n, k) سے دی جاتی ہے۔ Kn + 1 میں چوٹیوں کی تعداد n-th کاتالان نمبر (مثلث میں دائیں اخترن) ہے۔ Kn + 1 میں پہلوؤں کی تعداد (n ≤ 2 کے لیے) n-th مثلث نمبر مائنس ون (مثلث میں دوسرا کالم) ہے، کیونکہ ہر پہلو n اشیاء کے 2-ذیلی سیٹ سے مطابقت رکھتا ہے جن کی گروہ بندی تاماری جالی Tn بناتی ہے، سوائے 2-ذیلی سیٹ کے جس میں پہلا اور آخری عنصر ہوتا ہے۔ تمام جہتوں کے چہروں کی تعداد (بشمول خود ایک چہرے کے طور پر اسوسیہیڈرون، لیکن خالی سیٹ کو شامل نہیں کرتے ہوئے) ایک شروڈر-ہپارکس نمبر (مثلث کی صف کے مجموعے) ہے۔ قطر 1980 کی دہائی کے آخر میں، گردش کے فاصلے کے مسئلے کے سلسلے میں، ڈینیل سلیٹر، رابرٹ ٹارجن، اور ولیم تھرسٹن نے ایک ثبوت فراہم کیا کہ n-جہتی اسوسیہیڈرون Kn + 2 کا قطر لامحدود طور پر بہت سے n کے لیے زیادہ سے زیادہ 2n−4 ہے اور n کی تمام "کافی بڑی" اقدار کے لیے۔ انہوں نے یہ بھی ثابت کیا کہ جب n کافی بڑا ہوتا ہے تو یہ اوپری حد تنگ ہوتی ہے، اور قیاس کیا کہ "کافی بڑی" کا مطلب "سختی سے 9 سے بڑی" ہے۔ یہ قیاس 2012 میں لیونل پورن نے ثابت کیا تھا۔ بکھرے ہوئے طول و عرض 2017 میں، میزیرا اور ارکانی حمید وغیرہ۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ایسوسیہیڈرون دو مشترکہ کیوبک اسکیلر تھیوری کے بکھرے ہوئے طول و عرض کے نظریہ میں مرکزی کردار ادا کرتا ہے۔ خاص طور پر، بکھرے ہوئے حرکیات کی جگہ میں ایک اسوسیہیڈرون موجود ہے، اور درخت کی سطح کا بکھرے ہوئے طول و عرض دوہری اسوسیہیڈرون کا حجم ہے۔ اسوسیا ہیڈرون سٹرنگ تھیوری میں کھلی اور بند تاروں کے بکھرے ہوئے طول و عرض کے درمیان تعلقات کی وضاحت کرنے میں بھی مدد کرتا ہے۔ سائکلوہیڈرون بھی دیکھیں، ایک پولیٹوپ جس کی تعریف قوسین کو چکور ترتیب میں لپیٹنے کی اجازت دیتی ہے۔ پلٹائیں گراف، اسوکیہ ہیڈرون کے 1-کنکال کی عمومی شکل۔ پرموٹوہیڈرون، ایک پولیٹوپ جس کی تعریف کمیونٹیویٹی سے اسی طرح کی گئی ہے جیسے ایسوسی ایٹیویٹی سے اسوشیاہیڈرون کی تعریف کی گئی ہے۔ Permutoassociahedron، ایک پولیٹوپ جس کے عمودی حصے بریکٹ شدہ ترتیبات ہیں۔ تاماری جالی، ایک جالی جس کا گراف اسوشیا ہیڈرون کا کنکال ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط عجیب ایسوسی ایشنز-ایسوسیہیڈرون پر ایسوسیہیڈرا زیگلر کے لیکچر کے بارے میں اے ایم ایس کالم۔ بارسلونا کی خود مختار یونیورسٹی میں گنٹر زیگلر کے ایک لیکچر کے نوٹ، 2009۔ ایسوسیہیڈرا اور سائکلوہیڈرا پر لیکچر۔ ایم ایس آر آئی لیکچر نوٹ۔ پولی ٹاپس