Small cancellation theory
گروپ تھیوری کے ریاضیاتی موضوع میں، چھوٹے منسوخی تھیوری چھوٹے منسوخی کے حالات کو پورا کرنے والے گروپ پریزنٹیشنز کے ذریعہ دیئے گئے گروپوں کا مطالعہ کرتی ہے، یہی وہ جگہ ہے جہاں تعریفی تعلقات ایک دوسرے کے ساتھ "چھوٹے اوورلیپ" ہوتے ہیں۔ چھوٹے منسوخی کے حالات گروپ کی الجبرائی، ہندسی اور الگورتھمک خصوصیات کو ظاہر کرتے ہیں۔ کافی حد تک مضبوط چھوٹے منسوخی کے حالات کو پورا کرنے والے محدود طور پر پیش کردہ گروپ لفظ ہائپربولک ہوتے ہیں اور لفظ کے مسئلے کو ڈیہن کے الگورتھم کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ ترسکی راکشسوں کی تعمیر اور برن سائیڈ کے مسئلے کے حل کے لیے بھی منسوخی کے چھوٹے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔ چھوٹی منسوخی کے نظریہ پر مبنی کچھ نظریات 1910 کی دہائی میں میکس ڈہن کے کام پر واپس جاتے ہیں۔ ڈیہن نے ثابت کیا کہ کم از کم دو جینس کی بند سمت والی سطحوں کے بنیادی گروپوں میں لفظ کا مسئلہ حل ہوتا ہے جسے اب ڈیہن کا الگورتھم کہا جاتا ہے۔ اس کے ثبوت میں ہائپربولک طیارہ میں اس طرح کے گروپ کا کیلی گراف کھینچنا اور کیلی گراف میں ایک بند لوپ کے لیے گاؤس-بونٹ تھیوریم کے ذریعے منحنی تخمینے انجام دینا شامل تھا تاکہ یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکے کہ اس طرح کے لوپ میں ایک متعین تعلق کا ایک بڑا حصہ (نصف سے زیادہ) ہونا چاہیے۔ ٹارٹاکووسکی کا 1949 کا ایک مقالہ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا فوری پیش خیمہ تھا: اس مقالے نے گروپوں کے ایک طبقے کے لیے لفظ کے مسئلے کا حل فراہم کیا جو مشترکہ حالات کے ایک پیچیدہ سیٹ کو مطمئن کرتا ہے، جہاں چھوٹے منسوخی کی قسم کے مفروضوں نے کلیدی کردار ادا کیا۔ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا معیاری ورژن، جیسا کہ آج استعمال ہوتا ہے، مارٹن گرینڈلنگر نے 1960 کی دہائی کے اوائل میں کاغذات کی ایک سیریز میں تیار کیا تھا، جو بنیادی طور پر "میٹرک" چھوٹے منسوخی کے حالات سے نمٹتے تھے۔ خاص طور پر، گرینڈلنگر نے ثابت کیا کہ C′ (1/6) چھوٹی منسوخی کی شرط کو مطمئن کرنے والے محدود طور پر پیش کردہ گروپوں میں ڈیہن کے الگورتھم کے ذریعے حل ہونے والا لفظ کا مسئلہ ہے۔ اس نظریہ کو لنڈن، شوپ اور لنڈن-شوپ کے بعد کے کام میں مزید بہتر اور باقاعدہ بنایا گیا، جنہوں نے غیر میٹرک چھوٹے منسوخی کے حالات کا بھی علاج کیا اور انضمام شدہ مفت مصنوعات اور ایچ این این-ایکسٹینشنز کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک ورژن تیار کیا۔ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کو الیگزینڈر اولشانسکی نے مزید عام کیا جس نے اس نظریہ کا ایک "درجہ بند" ورژن تیار کیا جہاں تعریفی تعلقات کا مجموعہ فلٹریشن سے لیس ہوتا ہے اور جہاں کسی خاص گریڈ کے ایک متعین ریلیٹر کو اعلی گریڈ کے ایک متعین ریلیٹر کے ساتھ بڑے اوورلیپ کی اجازت ہوتی ہے۔ اولشاسکی نے مختلف "راکشس" گروپوں کی تعمیر کے لیے درجہ بند چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا استعمال کیا، بشمول ترسکی راکشس اور یہ بھی کہ ایک نیا ثبوت دینے کے لیے کہ بڑے عجیب متغیر کے آزاد برن سائیڈ گروپ لامحدود ہیں (یہ نتیجہ اصل میں ایڈین اور نووکوف نے 1968 میں مزید مشترکہ طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا)۔ چھوٹے منسوخی کے نظریہ نے لفظ ہائپربولک گروپوں کے نظریہ کے لیے مثالوں اور نظریات کا ایک بنیادی مجموعہ فراہم کیا جسے گروموف نے 1987 کے ایک بنیادی مونوگراف "ہائپربولک گروپس" میں پیش کیا تھا۔ اہم تعریفیں نیچے دی گئی وضاحت بڑی حد تک Ch کی پیروی کرتی ہے۔ لنڈن اور شوپ کی کتاب کا V۔ آئیے ایک گروپ پریزنٹیشن ہونے دیں جہاں R′F (X) آزاد گروپ F (X) میں آزادانہ طور پر کم اور چکور طور پر کم ہونے والے الفاظ کا ایک مجموعہ ہے جیسے کہ R ہم آہنگ ہے، یعنی چکور تعدد اور الٹا لینے کے تحت بند ہے۔ اگر R میں دو الگ الگ عناصر r1، r2 موجود ہوں جن میں u زیادہ سے زیادہ مشترکہ ابتدائی حصہ ہو تو F (X) میں غیر معمولی طور پر آزادانہ طور پر کم ہونے والے لفظ u کو (ऱ्ऱं) کے حوالے سے ایک ٹکڑا کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر ایک گروپ پریزنٹیشن ہے جہاں ریلیٹرز S کی وضاحت کرنے والا سیٹ سمیٹریزڈ نہیں ہے، تو ہم ہمیشہ S کا سمیٹریزڈ کلوزر R لے سکتے ہیں، جہاں R S اور S−1 کے عناصر کے تمام چکور تعدد پر مشتمل ہوتا ہے۔ پھر R کو ہم آہنگ کیا جاتا ہے اور یہ G کی پیش کش بھی ہے۔ میٹرک چھوٹے منسوخی کے حالات 0 <λ <1 ہونے دیں۔ جیسا کہ اوپر کہا گیا ہے کہ پریزنٹیشن (ऱ्ऱं) کو C′ (λ) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر جب بھی u (ऱ्ऱं) کے حوالے سے ایک ٹکڑا ہے اور u کسی r ωR کا ذیلی لفظ ہے، تو |u | <λ |r |۔ یہاں |v | لفظ v کی لمبائی ہے۔ شرط C′ (λ) کو بعض اوقات میٹرک چھوٹی منسوخی کی شرط کہا جاتا ہے۔ غیر میٹرک چھوٹے منسوخی کے حالات p ± 3 کو ایک عدد ہونے دیں۔ جیسا کہ اوپر ایک گروپ پریزنٹیشن (ऱ्ऱं) کو C (p) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر جب بھی r φR اور جہاں ui ٹکڑے ہوتے ہیں اور جہاں مندرجہ بالا پروڈکٹ کو آزادانہ طور پر کم کیا جاتا ہے جیسا کہ لکھا جاتا ہے، تو m ≤ p۔ یعنی، کسی بھی وضاحت کرنے والے ریلیٹر کو p ٹکڑوں سے کم کے کم پروڈکٹ کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ فرض کریں کہ q ≤3 ایک عدد ہے۔ جیسا کہ اوپر ایک گروپ پریزنٹیشن (ऱ्ऱं) کو T (q) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر جب بھی 3 ≤ t <q اور r1،.، rt R میں ایسے ہوں کہ r1 ≤ r2−1،.، rt ≤ r1−1 تو کم از کم ایک پروڈکٹ r1r2،.، rt−1rt، rt1 کو تحریری طور پر آزادانہ طور پر کم کیا جاتا ہے۔ جیومیٹریکل طور پر، حالت T (q) کا بنیادی طور پر مطلب یہ ہے کہ اگر D ایک کم شدہ وین کمپین خاکہ ہے جو (ऱ्ऱं) پر ہے تو کم از کم تین ڈگری والے D کے ہر اندرونی سرے میں دراصل کم از کم ڈگری q ہوتی ہے۔ آئیے درجہ دو کے آزاد ابیلین گروپ کی معیاری پیشکش ہوں۔ پھر اس پریزنٹیشن کے سمیٹریزڈ کلوزر کے لیے صرف 1 لمبائی کے الفاظ ہیں۔ یہ ہم آہنگ شکل C (4)-T (4) چھوٹی منسوخی کی شرائط اور کسی بھی 1> λ> 1/4 کے لیے C′ (λ) شرط کو پورا کرتی ہے۔ فرض کریں، جہاں k ≤ 2، جینس k کی بند سمت والی سطح کے بنیادی گروپ کی معیاری پیشکش ہے۔ پھر اس پیشکش کی ہم آہنگی کے لیے صرف 1 لمبائی کے الفاظ ہیں اور یہ ہم آہنگی C′ (1/7) اور C (8) چھوٹی منسوخی کی شرائط کو پورا کرتی ہے۔ جانے دیں۔ پھر، الٹ تک، اس پریزنٹیشن کے ہم آہنگ ورژن کے لیے ہر ٹکڑے کی شکل بیابج یا بی ہے، جہاں 0 ≤ i، j ≤ 100 ہے۔ یہ ہم آہنگی C′ (1/20) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرتی ہے۔ اگر ایک ہم آہنگ پیشکش C′ (1/m) شرط کو پورا کرتی ہے تو یہ C (m) شرط کو بھی پورا کرتی ہے۔ فرض کریں کہ r ωF (X) ایک غیر معمولی چکور طور پر کم شدہ لفظ ہے جو F (X) میں مناسب طاقت نہیں ہے اور n ω2 ہے۔ پھر پریزنٹیشن کی ہم آہنگ بندش C (2n) اور C′ (1/n) چھوٹی منسوخی کی شرائط کو پورا کرتی ہے۔ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کے بنیادی نتائج گرینڈلنگر کا لیما میٹرک چھوٹے منسوخی کی حالت سے متعلق بنیادی نتیجہ مندرجہ ذیل بیان ہے (Ch میں نظریہ 4.1 دیکھیں۔ V of) جسے عام طور پر گرینڈلنگر کا لیما کہا جاتا ہے: آئیے (ऱ्ऱं) ایک گروپ پریزنٹیشن ہو جیسا کہ اوپر C′ (λ) چھوٹی منسوخی کی شرط کو مطمئن کرتا ہے جہاں 0 ≤ λ ≤ 1/6 ہے۔ فرض کریں کہ ڈبلیو ω ایف (ایکس) آزادانہ طور پر ایک غیر معمولی کم شدہ لفظ ہے جیسے کہ جی میں ڈبلیو = 1۔ پھر ڈبلیو کا ایک ذیلی لفظ وی اور ایک وضاحتی ریلیٹر آر ω آر ایسا ہے کہ وی بھی آر کا ایک ذیلی لفظ ہے اور اس طرح کہ نوٹ کریں کہ مفروضہ λ ≤1/6 کا مطلب یہ ہے کہ (1−3λ) ≤1/2، تاکہ ڈبلیو میں کچھ وضاحتی ریلیٹر کے نصف سے زیادہ ذیلی لفظ موجود ہو۔ گرینڈلنگر کا لیما مندرجہ ذیل ہندسی بیان کے نتیجہ کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے: گرینڈلنگر کے لیما کے مفروضوں کے تحت، D کو چکور طور پر کم شدہ باؤنڈری لیبل کے ساتھ (ऱ्ऱं) پر ایک کم شدہ وین کمپین خاکہ ہونے دیں جیسے کہ D کم از کم دو خطوں پر مشتمل ہو۔ پھر D میں دو الگ الگ علاقے D1 اور D2 موجود ہیں جیسے کہ j = 1,2 کے لیے خطہ Dj ایک سادہ آرک میں D کے باؤنڈری سائیکل کو کاٹتا ہے جس کی لمبائی (1−3λ) | ष्णج سے بڑی ہوتی ہے۔ یہ نتیجہ بدلے میں D کے لیے دوہری خاکہ پر غور کر کے ثابت ہوتا ہے۔ وہاں ایک منحنی خطوط کے مشترکہ تصور کی وضاحت کرتا ہے (جو، چھوٹے منسوخی کے مفروضوں سے، ہر اندرونی سرے پر منفی ہوتا ہے)، اور پھر ایک گاؤس-بونٹ تھیوریم کا مشترکہ ورژن حاصل کرتا ہے۔ گرینڈلنگر کا لیما اس تجزیے کے نتیجے میں ثابت ہوتا ہے اور اس طرح ثبوت سطح کے گروپوں کے معاملے میں ڈیہن کے اصل ثبوت کے خیالات کو جنم دیتا ہے۔ ڈیہن کا الگورتھم کسی بھی سمیٹریزڈ گروپ پریزنٹیشن کے لیے، مندرجہ ذیل تجریدی طریقہ کار کو ڈیہن کا الگورتھم کہا جاتا ہے: ایکس ± 1 پر آزادانہ طور پر کم شدہ لفظ ڈبلیو کو دیکھتے ہوئے، آزادانہ طور پر کم شدہ الفاظ ڈبلیو = ڈبلیو 0، ڈبلیو 1، ڈبلیو 2، کی ترتیب بنائیں۔ فرض کریں کہ ڈبلیو جے پہلے ہی تعمیر شدہ ہے۔ اگر یہ خالی لفظ ہے تو الگورتھم کو ختم کریں۔ بصورت دیگر چیک کریں کہ آیا ڈبلیو جے میں کوئی ذیلی لفظ وی ہے جیسے کہ وی بھی کسی وضاحت کرنے والے ریلیٹر r = vu ωR کا ذیلی لفظ ہے جیسے کہ |v |> |r |/2۔ اگر نہیں، تو آؤٹ پٹ ڈبلیو جے کے ساتھ الگورتھم کو ختم کریں۔ اگر ہاں، تو ڈبلیو جے میں وی کو یو-1 سے تبدیل کریں، پھر آزادانہ طور پر کم کریں، نتیجے میں آزادانہ طور پر کم ہونے والے لفظ کو ڈبلیو جے + 1 سے ظاہر کریں اور الگورتھم کے اگلے مرحلے پر جائیں۔ نوٹ کریں کہ ہمارے پاس ہمیشہ |w 0 |> |w1 |> |w 2 |> ہوتا ہے۔ جس کا مطلب ہے کہ عمل کو زیادہ سے زیادہ |w | مراحل میں ختم ہونا چاہیے۔ مزید برآں، تمام الفاظ ڈبلیو جے جی کے ایک ہی عنصر کی نمائندگی کرتے ہیں جیسا کہ ڈبلیو کرتا ہے اور اس لیے اگر عمل خالی لفظ کے ساتھ ختم ہوتا ہے، تو ڈبلیو جی کے شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک کا کہنا ہے کہ ہم آہنگ پریزنٹیشن کے لیے ڈیہن کا الگورتھم جی میں لفظ کے مسئلے کو حل کرتا ہے اگر الٹا بھی درست ہے، یعنی اگر ایف (ایکس) میں کسی آزادانہ طور پر کم شدہ لفظ ڈبلیو کے لیے یہ لفظ جی کے شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ڈیہن کا الگورتھم، ڈبلیو سے شروع ہوتا ہے، خالی لفظ میں ختم ہوتا ہے۔ گرینڈلنگر کے لیما کا مطلب ہے کہ سی ′ (1/6) پریزنٹیشن کے لیے ڈیہن کا الگورتھم لفظ کے مسئلے کو حل کرتا ہے۔ اگر ایک C′ (1/6) پریزنٹیشن محدود ہے (یعنی X اور R دونوں محدود ہیں)، تو ڈیہن کا الگورتھم ریکرشن تھیوری کے معنی میں ایک حقیقی غیر متعین الگورتھم ہے۔ تاہم، یہاں تک کہ اگر (ऱ्ऱं) ایک لامحدود C′ (1/6) پریزنٹیشن ہے، ڈیہن کا الگورتھم، جسے ایک تجریدی طریقہ کار کے طور پر سمجھا جاتا ہے، پھر بھی صحیح طریقے سے فیصلہ کرتا ہے کہ آیا جنریٹرز X ± 1 میں کوئی لفظ G کے شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے یا نہیں۔ اسفریسیٹی (ऱ्ऱं) کو C′ (1/6) یا، زیادہ عام طور پر، C (6) پریزنٹیشن ہونے دیں جہاں ہر r साध्य R F (X) میں مناسب طاقت نہیں ہے تو G مندرجہ ذیل معنوں میں اسفریکل ہے۔ R کے کم سے کم ذیلی سیٹ S پر غور کریں تاکہ S کی ہم آہنگ بندش R کے برابر ہو۔ اس طرح اگر r اور s S کے الگ الگ عناصر ہیں تو r s ± 1 کا چکور تعدد نہیں ہے اور G کے لیے ایک اور پیشکش ہے۔ اس پیشکش کے لیے Y کو پریزنٹیشن کمپلیکس ہونے دیں۔ پھر (دیکھیں اور تھیوریم 13.3 انچ)، مندرجہ بالا مفروضوں کے تحت، Y G کے لیے درجہ بندی کرنے والی جگہ ہے، یعنی G = π1 (Y) اور Y کا عالمگیر احاطہ سکڑنے کے قابل ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ G ٹورسن سے پاک ہے اور اس کی ہم آہنگی کی جہت دو ہے۔ زیادہ عام منحنیت زیادہ عام طور پر، کسی بھی وین کمپین خاکہ پر مختلف قسم کے مقامی "منحنیت" کی وضاحت کرنا ممکن ہے-بہت موٹے طور پر-اوسط اضافی (جو، اویلر کے فارمولے کے مطابق، کل 2 ہونا چاہیے) اور، کسی خاص گروپ میں، یہ ظاہر کر کے کہ یہ ہمیشہ غیر مثبت (یا اس سے بھی بہتر-منفی) اندرونی طور پر ہوتا ہے، یہ ظاہر کرتا ہے کہ منحنیت تمام حد پر یا اس کے قریب ہونی چاہیے اور اس طرح لفظ مسئلہ کا حل حاصل کرنے کی کوشش کرنا چاہیے۔ مزید برآں، کوئی بھی ان خاکے پر توجہ محدود کر سکتا ہے جن میں "خطوں" کا کوئی مجموعہ نہیں ہوتا ہے جیسے کہ ایک ہی حد والا "چھوٹا" خطہ ہو۔ چھوٹے منسوخی والے گروپوں کی دیگر بنیادی خصوصیات C′ (1/6) پریزنٹیشن ہونے دیں۔ پھر G میں کسی عنصر g کی ترتیب n> 1 ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R میں f (X) میں r = sn کی شکل کا کوئی ریلیٹر r ہو جس میں g، G میں s سے جڑا ہو۔ خاص طور پر، اگر R کے تمام عناصر F (X) میں مناسب طاقتیں نہیں ہیں تو G ٹورسن سے پاک ہے۔ اگر (ऱ्ऱं) ایک محدود C′ (1/6) پیشکش ہے، تو گروپ G لفظ ہائپربولک ہے۔ اگر R اور S F (X) میں مساوی نارمل بندشوں کے ساتھ F (X) کے محدود ہم آہنگ ذیلی مجموعے ہیں جیسے کہ دونوں پریزنٹیشنز اور C′ (1/6) کی شرط کو پورا کرتے ہیں تو R = S۔ اگر ایک محدود پریزنٹیشن C′ (1/6)، C′ (1/4)-T (4)، C (6)، C (4)-T (4)، C (3)-T (6) میں سے کسی ایک کو مطمئن کرتی ہے تو گروپ G میں قابل حل لفظ کا مسئلہ اور قابل حل ہم آہنگی کا مسئلہ ہوتا ہے۔ چھوٹی منسوخی تھیوری کی ایپلی کیشنز کی مثالوں میں شامل ہیں: متبادل گانٹھوں کے گروپوں کے لیے ہم آہنگی کے مسئلے کا حل (دیکھیں اور باب V، نظریہ 8.5 میں) محدود طور پر پیش کردہ C′ (1/6) چھوٹے منسوخی گروپ لفظ ہائپربولک گروپوں کی بنیادی مثالیں ہیں۔ لفظ ہائپربولک گروپوں کی مساوی خصوصیات میں سے ایک یہ ہے کہ وہ محدود پیشکشوں کو تسلیم کرتے ہیں جہاں ڈیہن کا الگورتھم لفظ کے مسئلے کو حل کرتا ہے۔ محدود سی (4)-ٹی (4) پریزنٹیشنز کے ذریعہ دیئے گئے محدود طور پر پیش کردہ گروپ جہاں ہر ٹکڑے کی لمبائی ہوتی ہے وہ سی اے ٹی (0) گروپوں کی بنیادی مثالیں ہیں: اس طرح کی پریزنٹیشن کے لیے پریزنٹیشن کمپلیکس کا عالمگیر احاطہ سی اے ٹی (0) مربع کمپلیکس ہے۔ چھوٹے منسوخی کے نظریہ کی ابتدائی ایپلی کیشنز میں مختلف سرایت کے نتائج حاصل کرنا شامل ہے۔ مثالوں میں سیکرڈوٹ اور شوپ کا 1974 کا ایک مقالہ شامل ہے جس میں اس بات کا ثبوت ہے کہ کم از کم تین جنریٹرز والا ہر ایک ریلیٹر گروپ ایس کیو یونیورسل ہے اور شوپ کا 1976 کا مقالہ اس ثبوت کے ساتھ کہ ہر قابل شمار گروپ کو ایک سادہ گروپ میں سرایت کیا جا سکتا ہے جو ترتیب دو کے عنصر اور ترتیب تین کے عنصر سے تیار ہوتا ہے۔ نام نہاد رپس کی تعمیر، ایلیاہو رپس کی وجہ سے، لفظ ہائپربولک گروپوں کی مختلف ذیلی گروپ خصوصیات کے حوالے سے جوابی مثالوں کا ایک بھرپور ذریعہ فراہم کرتی ہے: ایک من مانی طور پر محدود طور پر پیش کردہ گروپ ق کو دیکھتے ہوئے، تعمیر ایک مختصر عین مطابق ترتیب پیدا کرتی ہے جہاں K دو سے پیدا ہوتا ہے اور جہاں G ٹورسن سے پاک ہوتا ہے اور ایک محدود C′ (1/6)-پریزنٹیشن کے ذریعے دیا جاتا ہے (اور اس طرح G لفظ ہائپربولک ہے)۔ تعمیر سے لفظ ہائپربولک گروپوں کے لیے متعدد الگورتھمک مسائل کے حل نہ ہونے کے ثبوت ملتے ہیں، جن میں ذیلی گروپ کی رکنیت کا مسئلہ، نسل کا مسئلہ اور درجہ بندی کا مسئلہ شامل ہیں۔ اس کے علاوہ، چند مستثنیات کے ساتھ، رپس کی تعمیر میں گروپ K حتمی طور پر پیش کرنے کے قابل نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایسے لفظ ہائپربولک گروپ موجود ہیں جو مربوط نہیں ہیں یعنی جن میں ایسے ذیلی گروپ ہوتے ہیں جو حتمی طور پر تیار ہوتے ہیں لیکن حتمی طور پر پیش نہیں ہوتے ہیں۔ منسوخی کے چھوٹے طریقے (لامحدود پیشکشوں کے لیے) اولشانسکی نے مختلف "راکشس" گروہوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیے تھے، جن میں ترسکی راکشس بھی شامل ہے اور یہ ثبوت دینے کے لیے کہ بڑے عجیب متغیر کے آزاد برن سائیڈ گروپ لامحدود ہیں (اسی طرح کا نتیجہ اصل میں آدیان اور نووکوف نے 1968 میں مزید مشترکہ طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا)۔ اولشانسکی کے ذریعہ اس طریقے کا استعمال کرتے ہوئے بنائے گئے کچھ دوسرے "راکشس" گروہوں میں شامل ہیں: ایک لامحدود سادہ نویتھیرین گروپ ؛ ایک لامحدود گروپ جس میں ہر مناسب ذیلی گروپ کا پرائم آرڈر ہوتا ہے اور ایک ہی آرڈر کے کوئی بھی دو ذیلی گروپ کنجوگیٹ ہوتے ہیں ؛ ایک غیر قابل گروپ جہاں ہر مناسب ذیلی گروپ چکور ہوتا ہے ؛ اور دیگر۔ بوڈیچ نے یہ ثابت کرنے کے لیے لامحدود چھوٹی منسوخی پریزنٹیشنز کا استعمال کیا کہ دو جنریٹر گروپوں کی مسلسل بہت سی نیم آئسومیٹری اقسام موجود ہیں۔ تھامس اور ویلکووچ نے دو غیر ہومیومورفک ایسمپٹوٹک شنکوں کے ساتھ ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ کی تعمیر کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا استعمال کیا، اس طرح گروموف کے سوال کا جواب دیا۔ میک کامونڈ اور وائز نے دکھایا کہ کس طرح رپس کی تعمیر سے پیدا ہونے والی مشکلات پر قابو پایا جائے اور چھوٹے منسوخی گروپوں کی بڑی کلاسیں تیار کی جائیں جو مربوط ہوں (یہی وہ جگہ ہے جہاں تمام حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپوں کو حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے) اور اس کے علاوہ، مقامی طور پر کواسیکونویکس (یہی وہ جگہ ہے جہاں تمام حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ کواسیکونویکس ہیں)۔ منسوخی کے چھوٹے طریقے "عام" یا "بے ترتیب" محدود طور پر پیش کردہ گروپوں کے مختلف ماڈلز کے مطالعہ میں کلیدی کردار ادا کرتے ہیں (دیکھیں)۔ خاص طور پر، جنریٹرز کے ایک مقررہ نمبر m ≤ 2 اور تعریفی تعلقات کے ایک مقررہ نمبر t ≤ 1 کے لیے اور کسی بھی λ <1 کے لیے ایک بے ترتیب m-جنریٹر t-ریلیٹر گروپ C′ (λ) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر تعریفی تعلقات t کی تعداد مقررہ نہیں ہے لیکن (2m−1) εn کے طور پر بڑھتی ہے (جہاں ε ≤ 0 گروموف کے "بے ترتیب" گروپوں کے کثافت ماڈل میں فکسڈ ڈینسٹی پیرامیٹر ہے، اور جہاں تعریفی تعلقات کی لمبائی ہے)، تب بھی ایک ε-بے ترتیب گروپ فراہم کردہ C′ (1/6) شرط کو پورا کرتا ہے ε <1/12۔ گروموف نے گراف کے حوالے سے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک ورژن استعمال کیا تاکہ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے وجود کو ثابت کیا جا سکے جس میں (مناسب معنوں میں) توسیع کاروں کی ایک لامحدود ترتیب شامل ہے اور اس وجہ سے ہلبرٹ اسپیس میں یکساں سرایت کو قبول نہیں کرتا ہے۔ یہ نتیجہ نووکوف قیاس آرائی کے جوابی مثالوں کی تلاش کے لیے ایک سمت (اب تک صرف ایک ہی دستیاب) فراہم کرتا ہے۔ اوسین نے نسبتا ہائپربولک گروپوں کے لیے تھرسٹن کے ہائپربولک ڈہن سرجری تھیوریم کا ینالاگ حاصل کرنے کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کی عمومی شکل کا استعمال کیا۔ امتزاج شدہ مفت مصنوعات اور ایچ این این ایکسٹینشنز کے حصص گروپوں کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک ورژن سیکرڈوٹ اور شوپ کے مقالے میں اور پھر لنڈن اور شوپ کی کتاب میں تیار کیا گیا تھا۔ رپس اور اولشانسکی نے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک "مستحکم" ورژن تیار کیا جہاں ریلیٹرز کے سیٹ کو اسٹریٹا کے چڑھتے ہوئے اتحاد کے طور پر فلٹر کیا جاتا ہے (ہر اسٹریٹم ایک چھوٹی سی منسوخی کی شرط کو پورا کرتا ہے) اور کسی اسٹریٹم سے ریلیٹر r اور کسی اعلی اسٹریٹم سے ریلیٹر s کے لیے ان کا اوورلیپ |s | کے حوالے سے چھوٹا ہونا ضروری ہے لیکن |r | کے حوالے سے بڑا ہونے کی اجازت ہے۔ اس نظریہ نے اولشانسکی کو مختلف "راکشس" گروہوں کی تعمیر کرنے کی اجازت دی جن میں ترسکی راکشس بھی شامل ہے اور اس بات کا ایک نیا ثبوت فراہم کیا کہ بڑے عجیب متغیر کے آزاد برن سائیڈ گروپ لامحدود ہیں۔ اولشانسکی اور ڈیلزینٹ نے بعد میں لفظ ہائپربولک گروپوں کے کوٹینٹس کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کے ورژن تیار کیے۔ میک کامونڈ نے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک اعلی جہتی ورژن فراہم کیا۔ میک کامونڈ اور وائز نے وین کمپین کے خاکے کی جیومیٹری کے حوالے سے معیاری چھوٹے منسوخی کے نظریہ (جیسے گرینڈلنگر کا لیما) کے بنیادی نتائج کو چھوٹی منسوخی پریزنٹیشنز پر کافی حد تک آگے بڑھایا۔ گروموف نے گراف کے حوالے سے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک ورژن استعمال کیا تاکہ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے وجود کو ثابت کیا جا سکے جس میں (مناسب معنوں میں) توسیع کاروں کی ایک لامحدود ترتیب شامل ہے اور اس وجہ سے ہلبرٹ اسپیس میں یکساں سرایت کو قبول نہیں کرتا ہے۔ اوسین نے نسبتا ہائپربولک گروپوں کے کوٹینز کے لیے چھوٹے منسوخی کے نظریہ کا ایک ورژن دیا اور اسے تھرسٹن کے ہائپربولک ڈہن سرجری تھیوریم کی نسبتا ہائپربولک عمومییت حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا۔ بنیادی حوالہ جات راجر لنڈن اور پال شوپ، مشترکہ گروپ تھیوری۔ 1977 کے ایڈیشن کا ری پرنٹ۔ ریاضی میں کلاسیکی۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2001۔ الیگزینڈر یو۔ اولشانسکی، گروہوں میں تعلقات کی وضاحت کرنے کی جیومیٹری۔ یو کے ذریعہ 1989 کے روسی اصل سے ترجمہ کیا گیا۔ اے۔ بختورن۔ ریاضی اور اس کے اطلاقات (سوویت سلسلہ)، 70۔ کلوور اکیڈمک پبلشرز گروپ، ڈورڈرچٹ، 1991۔ رالف سٹریبل، ضمیمہ۔ چھوٹے منسوخی گروپ۔ سور لیس گروپس ہائپربولکس ڈی اپریس میخیل گروموف (برن، 1988)، پی پی۔ 227-273، ریاضی میں پیش رفت، 83، برکھوسر بوسٹن، بوسٹن، میساچوسٹس، 1990۔ میلی کراجیوسکی، طیارہ کی ٹیلنگز، ہائپربولک گروپس اور چھوٹے منسوخی کے حالات۔ میموریز آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، جلد۔ 154 (2001)، نمبر۔ 733۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری ورڈ ہائپربولک گروپ ٹارسکی مونسٹر گروپ برن سائیڈ مسئلہ حتمی طور پر پیش کردہ گروپ ورڈ مسئلہ گروپوں کے لیے وان کمپین خاکہ نوٹ گروپ تھیوری جیومیٹرک گروپ تھیوری الفاظ پر امتزاج