Hard hexagon model
شماریاتی میکانکس میں، سخت ہیکساگون ماڈل گیس کا ایک 2 جہتی جالی ماڈل ہے، جہاں ذرات کو مثلث جالی کے عمودی حصوں پر رہنے دیا جاتا ہے لیکن کوئی بھی دو ذرات ملحقہ نہیں ہو سکتے۔ اس ماڈل کو حل کیا گیا، جس نے پایا کہ اس کا تعلق راجرز-رامانوجن شناختوں سے ہے۔ ہارڈ ہیکساگون ماڈل کا پارٹیشن فنکشن ہارڈ ہیکساگون ماڈل گرینڈ کینونکل اینسمبل کے فریم ورک کے اندر ہوتا ہے، جہاں ذرات کی کل تعداد ("ہیکساگونز") کو قدرتی طور پر مختلف ہونے کی اجازت دی جاتی ہے، اور اسے کیمیائی صلاحیت سے طے کیا جاتا ہے۔ ہارڈ ہیکساگون ماڈل میں، تمام درست حالتوں میں صفر توانائی ہوتی ہے، اور اس لیے واحد اہم تھرموڈینامک کنٹرول متغیر کیمیائی صلاحیت اور درجہ حرارت کا تناسب ہے۔ اس تناسب کی ایکسپونینشل، z = exp (μ/(kT)) کو سرگرمی کہا جاتا ہے اور بڑی اقدار تقریبا گھنے ترتیبات سے مطابقت رکھتی ہیں۔ این سائٹس والے مثلث جالی کے لیے، گرینڈ پارٹیشن فنکشن وہ ہے جہاں جی (این، این) مختلف جالی سائٹس پر این ذرات کو رکھنے کے طریقوں کی تعداد ہے جیسے کہ نمبر 2 ملحقہ ہوں۔ فنکشن κ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ لاگ (κ) فی یونٹ سائٹ مفت توانائی ہے۔ سخت ہیکساگون ماڈل کو حل کرنے کا مطلب (تقریبا) z کے فنکشن کے طور پر κ کے لیے ایک درست اظہار تلاش کرنا ہے۔ اوسط کثافت ρ چھوٹے z کے لیے دی گئی ہے۔ جالی کے عمودی حصے 1، 2 اور 3 نمبر والی 3 کلاسوں میں آتے ہیں، جو سخت ہیکساگون سے جگہ کو پر کرنے کے 3 مختلف طریقوں سے دیے جاتے ہیں۔ سائٹس کی 3 کلاسوں کے مطابق 3 مقامی کثافت ρ1، ρ2، ρ3 ہیں۔ جب سرگرمی بڑی ہوتی ہے تو نظام ان 3 پیکنگ میں سے ایک کا تخمینہ لگاتا ہے، اس لیے مقامی کثافت مختلف ہوتی ہے، لیکن جب سرگرمی ایک اہم نقطہ سے نیچے ہوتی ہے تو تین مقامی کثافت ایک جیسی ہوتی ہیں۔ کم سرگرمی والے یکساں مرحلے کو اعلی سرگرمی والے ترتیب شدہ مرحلے سے الگ کرنے والا اہم نقطہ سنہری تناسب φ کے ساتھ ہے۔ اہم نقطہ کے اوپر مقامی کثافت مختلف ہوتی ہے اور اس مرحلے میں جہاں زیادہ تر ہیکساگون ٹائپ 1 کی سائٹس پر ہوتے ہیں اسے حل کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے حل z <zc کی چھوٹی اقدار کے لیے دیا جاتا ہے جہاں بڑے z> zc کے لیے حل (اس مرحلے میں جہاں زیادہ تر زیر قبضہ سائٹس ٹائپ 1 ہیں) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ افعال G اور H راجرز-رامانوجن شناختوں میں بدل جاتے ہیں، اور فنکشن Q یولر فنکشن ہے، جس کا ڈیڈیکائنڈ ایٹا فنکشن سے گہرا تعلق ہے۔ اگر x = e2πiτ، تو x − 1/60 G (x)، x 11/60 H (x)، x − 1/24 P (x)، z، κ، ρ، ρ1، ρ2، اور ρ3 τ کے ماڈیولر افعال ہیں، جبکہ x 1/24 Q (x) وزن 1/2 کی ماڈیولر شکل ہے۔ چونکہ کوئی بھی دو ماڈیولر افعال الجبرائی تعلق سے متعلق ہیں، اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ افعال κ، z، R، ρ ایک دوسرے کے تمام الجبرائی افعال ہیں (کافی اعلی درجے کے)۔ خاص طور پر، κ (1) کی قدر، جسے ایرک ویسسٹین نے سخت ہیکساگون اینٹروپی مستقل قرار دیا، ڈگری 24 کا ایک الجبرائی نمبر ہے جو 1.395485972 کے برابر ہے۔ متعلقہ ماڈلز سخت ہیکساگون ماڈل کو مربع اور ہنی کامب جالی پر اسی طرح بیان کیا جا سکتا ہے۔ ان میں سے کسی بھی ماڈل کے لیے کوئی قطعی حل معلوم نہیں ہے، لیکن کلیدی نقطہ Zc مربع جالی اور شہد کی جالی کے لیے قریب ہے۔ κ (1) تقریبا 1.503048082 ہے۔ () مربع جالی کے لیے اور 1.546440708. شہد کی جالی کے لیے۔ حوالہ جات ایکسٹن، ایچ۔ (1983)، کیو-ہائپرجیومیٹرک فنکشنز اینڈ ایپلی کیشنز، نیویارک: ہالسٹڈ پریس، چیچسٹر: ایلس ہور ووڈ بیرونی روابط بالکل قابل حل ماڈل شماریاتی میکانکس لیٹس ماڈل ماڈیولر الجبرائی نمبروں کی تشکیل کرتا ہے۔