Regiomontanus' angle maximization problem
ریاضی میں، ریجیومونٹنس اینگل میکسمائزیشن کا مسئلہ، 15 ویں صدی کے جرمن ریاضی دان جوہانس مولر (جسے ریجیومونٹنس بھی کہا جاتا ہے) کی طرف سے پیش کردہ ایک مشہور اصلاح کا مسئلہ ہے۔ مسئلہ اس طرح ہے: ایک پینٹنگ دیوار سے لٹکتی ہے۔ پینٹنگ کے اوپری اور نچلے حصے کی ناظرین کی آنکھوں کی سطح سے اوپر کی بلندیوں کو دیکھتے ہوئے، پینٹنگ کے ذریعے کم کیے گئے زاویے کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے ناظرین کو دیوار سے کتنا دور کھڑا ہونا چاہیے اور ناظرین کی آنکھ میں کس کا سرکہ ہے؟ اگر دیکھنے والا دیوار کے بہت قریب یا دیوار سے بہت دور کھڑا ہے، تو زاویہ چھوٹا ہے ؛ اس کے درمیان کہیں جتنا ممکن ہو اتنا بڑا ہے۔ رگبی میں گیند کو لات مارنے کے لیے بہترین جگہ تلاش کرنے پر بھی یہی نقطہ نظر لاگو ہوتا ہے۔ اس معاملے کے لیے، یہ ضروری نہیں ہے کہ تصویر کی صف بندی سیدھے زاویے پر ہو: ہم شاید پیسا کے جھکاؤ والے ٹاور کی کھڑکی کو دیکھ رہے ہوں یا کسی ریلٹر کو جو ڈھلواں اٹاری کی چھت میں اسکائی لائٹ کے فوائد دکھا رہا ہو۔ ابتدائی جیومیٹری کے ذریعہ حل پینٹنگ کے اوپری اور نچلے حصے سے گزرنے والا ایک انوکھا دائرہ ہوتا ہے اور آنکھ کی سطح کی لکیر سے متصل ہوتا ہے۔ ابتدائی جیومیٹری کے مطابق، اگر ناظرین کی پوزیشن دائرے کے ساتھ حرکت کرتی ہے، تو پینٹنگ کے ذریعے گھٹا ہوا زاویہ مستقل رہے گا۔ آنکھ کی سطح کی لکیر پر ٹینجینسی کے نقطہ کے علاوہ تمام پوزیشنیں دائرے سے باہر ہوتی ہیں، اور اس لیے ان نکات سے پینٹنگ کے ذریعے گھٹا ہوا زاویہ چھوٹا ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ a = آنکھوں کی سطح سے اوپر پینٹنگ کے نچلے حصے کی اونچائی ؛ b = آنکھوں کی سطح سے اوپر پینٹنگ کے اوپری حصے کی اونچائی ؛ دائرے کے مرکز، تصویر کے مرکز اور تصویر کے نچلے حصے سے ایک دائیں مثلث بنتا ہے۔ ہائپوٹینوس میں دائرے کے رداس کی لمبائی a + (b-a)/2 ہوتی ہے، دونوں ٹانگوں کی لمبائی بالترتیب دیوار سے ٹینجینسی کے مقام تک کا فاصلہ اور (b-a)/2 ہوتی ہے۔ پائیتھاگورین تھیوریم کے مطابق، دیوار سے ٹینجینسی کے نقطہ تک کا فاصلہ اس لیے ہے، یعنی پینٹنگ کے اوپر اور نیچے کی بلندیوں کا ہندسی اوسط۔ حساب سے حل موجودہ دور میں، یہ مسئلہ وسیع پیمانے پر جانا جاتا ہے کیونکہ یہ پہلے سال کی بہت سی حساب کتاب کی نصابی کتابوں (مثال کے طور پر اسٹیورٹ کی) میں ایک مشق کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ a = آنکھوں کی سطح سے اوپر پینٹنگ کے نچلے حصے کی اونچائی ؛ b = آنکھوں کی سطح سے اوپر پینٹنگ کے اوپری حصے کی اونچائی ؛ x = دیوار سے ناظرین کا فاصلہ ؛ α = پینٹنگ کے نچلے حصے کی بلندی کا زاویہ، جو ناظرین کی پوزیشن سے دیکھا جاتا ہے ؛ β = پینٹنگ کے اوپری حصے کی بلندی کا زاویہ، جو ناظرین کی پوزیشن سے دیکھا جاتا ہے۔ جس زاویے کو ہم زیادہ سے زیادہ کرنا چاہتے ہیں وہ β−α ہے۔ جیسے جیسے زاویہ بڑھتا ہے زاویہ کا ٹینجینٹ بڑھتا ہے۔ اس لیے یہ زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے کافی ہے۔ چونکہ b−a ایک مثبت مستقل ہے، ہمیں صرف اس کے بعد آنے والے حصے کو زیادہ سے زیادہ کرنے کی ضرورت ہے۔ تفریق کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے لہذا زاویہ بڑھتا ہے جیسے جیسے x 0 سے جاتا ہے اور کم ہوتا جاتا ہے جیسے جیسے x بڑھتا ہے۔ لہذا زاویہ جتنا ممکن ہو اتنا ہی بڑا ہوتا ہے جب x =، a اور b کا ہندسی اوسط ہوتا ہے۔ الجبرہ کے لحاظ سے حل ہم نے دیکھا ہے کہ یہ زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے کافی ہے۔ یہ باہمی کو کم سے کم کرنے کے مترادف ہے: مشاہدہ کریں کہ یہ آخری مقدار اس کے برابر ہے۔ یہ اتنا ہی چھوٹا ہے جتنا ممکن ہو جب مربع 0 ہو، اور ایسا اس وقت ہوتا ہے جب x = ہو۔ متبادل طور پر، ہم اسے ریاضی اور ہندسی ذرائع کے درمیان عدم مساوات کی مثال کے طور پر پیش کر سکتے ہیں۔ حوالہ جات تریگونومیٹری سرکلز حساب کی تاریخ ریاضیاتی مسائل