Equilateral pentagon
جیومیٹری میں، ایک مساوی پنٹاگون یوکلڈین سطح میں ایک کثیر الاضحی ہے جس کے پانچ اطراف برابر لمبائی کے ہوتے ہیں۔ اس کے پانچ عمودی زاویہ اقدار کے کئی سیٹ لے سکتے ہیں، اس طرح اسے پینٹاگون کا ایک خاندان بنانے کی اجازت دیتا ہے۔ اس کے برعکس، باقاعدہ پنٹاگون منفرد ہے، کیونکہ یہ مساوی ہے اور اس کے علاوہ یہ مساوی ہے (اس کے پانچ زاویہ برابر ہیں ؛ پیمائش 108 ڈگری ہے)۔ ایک بند زنجیر میں ترتیب دیے گئے چار ایک دوسرے کو کاٹتے ہوئے مساوی حلقے کنویکس ایکویلیٹرل پینٹاگون کا تعین کرنے کے لیے کافی ہیں۔ ہر دائرے کا مرکز پنٹاگون کے چار عمودی حصوں میں سے ایک ہے۔ بقیہ سرے کا تعین زنجیر کے پہلے اور آخری دائرے کے چوراہے کے نکات میں سے ایک سے ہوتا ہے۔ کنویکس ایکویلیٹرل پینٹاگون کے اندرونی زاویے کی مثالیں جب ایک کنویکس ایکویلیٹرل پینٹاگون کو مثلثوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، تو ان میں سے دو آئسوسیلز (نارنجی اور نیلے رنگ میں مثلث) کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں جبکہ دوسرا زیادہ عام (سبز رنگ میں مثلث) ہوتا ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ ہمیں ملحقہ زاویے دیے گئے ہیں اور۔ سائنس کے قانون کے مطابق سبز اور نیلے مثلثوں کو تقسیم کرنے والی لکیر کی لمبائی یہ ہے: نارنجی اور سبز مثلثوں کو تقسیم کرنے والی لکیر کی لمبائی کا مربع یہ ہے: کوسین کے قانون کے مطابق، δ کی کوسین کو اعداد و شمار سے دیکھا جا سکتا ہے: آسان بناتے ہوئے، δ کو α اور β کے فعل کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے: پینٹاگون کے بقیہ زاویے ہندسی طور پر پائے جا سکتے ہیں: نارنجی اور نیلے مثلثوں کے بقیہ زاویے آسانی سے اس بات کو نوٹ کر کے پائے جاتے ہیں کہ آئسوسلز مثلث کے دو زاویے برابر ہیں جبکہ تینوں زاویے 180° پر جمع ہوتے ہیں۔ پھر اور سبز مثلث کے دو بقیہ زاویوں کو چار مساوات سے پایا جا سکتا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ پینٹاگون کے زاویوں کا مجموعہ 540° ہے، سبز مثلث کے زاویوں کا مجموعہ 180° ہے، زاویہ اس کے تین اجزاء کا مجموعہ ہے، اور زاویہ اس کے دو اجزاء کا مجموعہ ہے۔ ایک چکور پنٹاگون مساوی ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے اطراف برابر ہوں اور اس طرح باقاعدہ ہو۔ اسی طرح، ایک ٹینجینشیل پینٹاگون مساوی ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے زاویہ برابر ہوں اور اس طرح باقاعدہ ہو۔ ٹائلنگ مساوی کنویکس پینٹاگون کے دو لامحدود خاندان ہیں جو سطح کو ٹائل کرتے ہیں، ایک میں دو ملحقہ ضمنی زاویے ہوتے ہیں اور دوسرے میں دو غیر ملحقہ ضمنی زاویے ہوتے ہیں۔ ان میں سے کچھ پینٹاگون ایک سے زیادہ طریقوں سے ٹائل کر سکتے ہیں، اور ایک مساوی پینٹاگون کی ایک وقفے وقفے سے مثال ہے جو ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتی ہے لیکن ان دونوں خاندانوں میں سے کسی سے تعلق نہیں رکھتی ہے۔ اس کے زاویے تقریبا 89°16 '، 144°32.5'، 70°55 '، 135°22'، اور 99°54.5 'ہیں، کوئی دو اضافی نہیں۔ ایک دو جہتی نقشہ سازی مساوی پینٹاگون خود کو یا تو بالکل نہیں، ایک بار، دو بار، یا پانچ بار کاٹ سکتے ہیں۔ جو خود کو نہیں کاٹتے انہیں سادہ کہا جاتا ہے، اور ان کی درجہ بندی کنویکس یا کنکیو کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ ہم یہاں "اسٹیلٹیڈ" کی اصطلاح ان لوگوں کے لیے استعمال کرتے ہیں جو خود کو دو بار یا پانچ بار کاٹتے ہیں۔ ہم اس حصے میں، مساوی پینٹاگون کو مسترد کرتے ہیں جو خود کو بالکل ایک بار کاٹتے ہیں۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ ہم ان پینٹاگونز کو مسترد کرتے ہیں جو خود کو ایک بار کاٹتے ہیں، ہم باقی کو دو جہتی سطح میں دو متغیرات کے فنکشن کے طور پر پلاٹ کر سکتے ہیں۔ اقدار کا ہر جوڑا (α، β) طیارہ کے ایک نقطہ پر نقشہ بناتا ہے اور ایک واحد پنٹاگون پر بھی نقشہ بناتا ہے۔ α اور β کی اقدار کی وقتا فوقتا اور شرط α ≤ β ≤ δ نقشہ سازی کے سائز کو محدود کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ کوآرڈینیٹ محور α اور β والے سطح میں، مساوات α = β ایک لکیر ہے جو سطح کو دو حصوں میں تقسیم کرتی ہے (ڈرائنگ میں نارنجی رنگ میں جنوبی سرحد دکھائی گئی ہے)۔ مساوات δ = β ایک منحنی خطوط کے طور پر سطح کو مختلف حصوں میں تقسیم کرتی ہے (شمالی سرحد نیلے رنگ میں دکھائی گئی ہے)۔ دونوں سرحدیں سطح کے ایک مسلسل علاقے کو گھیرے ہوئے ہیں جس کے پوائنٹس منفرد مساوی پینٹاگون کا نقشہ بناتے ہیں۔ خطے سے باہر کے مقامات صرف بار بار پینٹاگون کا نقشہ بناتے ہیں-یعنی، پینٹاگون جو گھومنے یا جھلکنے پر پہلے سے بیان کردہ دوسروں سے میل کھا سکتے ہیں۔ پینٹاگون جو ان سرحدوں پر بالکل نقشہ بناتے ہیں ان میں ہم آہنگی کی لکیر ہوتی ہے۔ منفرد نقشوں کے علاقے کے اندر تین قسم کے پینٹاگون ہوتے ہیں: اسٹیلٹیڈ، کنکیو اور کنویکس، جو نئی سرحدوں سے الگ ہوتے ہیں۔ اسٹیلٹیڈ پینٹاگون کے اطراف دوسرے سے ٹکرا جاتے ہیں۔ اس قسم کے پینٹاگون کی ایک عام مثال پینٹاگرام ہے۔ ایک پنٹاگون کے اسٹیل ہونے، یا خود کو الگ کرنے کی شرط، 2α + β ≤ 180° ہونا ہے۔ لہذا، نقشہ سازی میں، لائن 2α + β = 180° (شمال میں نارنجی رنگ میں دکھائی گئی) اسٹیلٹیڈ اور غیر اسٹیلٹیڈ پینٹاگون کے علاقوں کے درمیان کی سرحد ہے۔ پینٹاگون جو بالکل اس سرحد کا نقشہ بناتے ہیں ان کا ایک ورٹیکس دوسری طرف ہوتا ہے۔ کنکیو پینٹاگون غیر اسٹیل شدہ پینٹاگون ہوتے ہیں جن کا کم از کم ایک زاویہ 180° سے زیادہ ہوتا ہے۔ پہلا زاویہ جو 180° سے زیادہ چوڑا کھلتا ہے وہ γ ہے، اس لیے مساوات γ = 180° (دائیں طرف سبز رنگ میں دکھائی گئی سرحد) ایک منحنی خطہ ہے جو کنکیو پینٹاگون اور دیگر کے خطوں کی سرحد ہے، جسے کنویکس کہا جاتا ہے۔ پینٹاگون جو بالکل اس سرحد کا نقشہ بناتے ہیں ان کے کم از کم دو مسلسل رخ ہوتے ہیں جو دوہری لمبائی والے رخ کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں، جو چوطرفہ طور پر انحطاط شدہ پینٹاگون سے ملتے جلتے ہیں۔ کنویکس کنویکس پینٹاگون کے تمام پانچ زاویہ 180° سے چھوٹے ہوتے ہیں اور کوئی بھی رخ دوسروں کو نہیں کاٹتا ہے۔ اس قسم کے پینٹاگون کی ایک عام مثال باقاعدہ پینٹاگون ہے۔ حوالہ جات کثیر الاضلاعات کی اقسام