Mechanics of planar particle motion
پلانر پارٹیکل موشن کی میکانکس ذرات کی حرکت کا تجزیہ ہے، جو غیر جمود حوالہ فریموں سے مشاہدہ کیا جاتا ہے، جو کشش ثقل سے ایک دوسرے کی طرف راغب ہوتے ہیں، اور اس مسئلے کو سیاروں کی حرکت میں عام کرنا ہے۔ (سینٹرفیوگل فورس، دو جسم کا مسئلہ، مدار اور کیپلر کے سیاروں کی حرکت کے قوانین دیکھیں۔) یہ مسائل تجزیاتی حرکیات کے عمومی میدان میں آتے ہیں، جو دیئے گئے قوت کے قوانین سے مدار کا تعین کرتے ہیں۔ یہ مضمون طیارہ حرکت کے ارد گرد متحرک مسائل پر زیادہ توجہ مرکوز کرتا ہے، جو ذرہ رفتار کو دیکھتے ہوئے ایک خاص رفتار کے نتیجے میں ضروری قوتوں کا تعین ہے۔ فرضی قوتوں میں پیش کردہ عمومی نتائج کا اطلاق حرکت پذیر ذرہ کے مشاہدات پر ہوتا ہے جیسا کہ کئی مخصوص غیر جمود فریموں سے دیکھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مقامی فریم (جو حرکت پذیر ذرہ سے جڑا ہوا ہے تاکہ وہ ساکن نظر آئے)، اور ایک ہم گردش کرنے والا فریم (جس میں من مانی طور پر واقع لیکن فکسڈ محور اور گردش کی شرح ہوتی ہے جس سے ذرہ صرف شعاعی حرکت اور صفر ایزموتھل حرکت ظاہر کرتا ہے)۔ اس کے ساتھ، فرضی قوتوں کے لیے لاگرانجین نقطہ نظر متعارف کرایا جاتا ہے۔ برقی مقناطیسی قوتوں جیسی حقیقی قوتوں کے برعکس، فرضی قوتیں اشیاء کے درمیان جسمانی تعاملات سے پیدا نہیں ہوتی ہیں۔ فرضی قوتوں کا استعمال کرتے ہوئے تجزیہ فرضی قوتوں کی ظاہری شکل عام طور پر حوالہ کے غیر جمود فریم کے استعمال، اور حوالہ کے جمود فریم کے استعمال کے ساتھ ان کی عدم موجودگی سے وابستہ ہوتی ہے۔ جمود فریموں اور فرضی قوتوں کے درمیان تعلق (جسے جمود قوتیں یا فرضی قوتیں بھی کہا جاتا ہے) کا اظہار آرنولڈ نے کیا ہے: اس موضوع پر قدرے مختلف نظریہ ایرو کے ذریعے فراہم کیا گیا ہے: فکٹیٹیو قوتیں حرکت کی مساوات میں جمود کے فریم میں ظاہر نہیں ہوتی ہیں۔ ایک جمود فریم میں، کسی شے کی حرکت کی وضاحت حقیقی متاثر قوتوں کے ذریعے کی جاتی ہے۔ غیر جمود فریم جیسے گھومنے والے فریم میں، تاہم، نیوٹن کے پہلے اور دوسرے قوانین کو اب بھی درست جسمانی پیش گوئیاں کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے بشرطیکہ فرضی قوتوں کو حقیقی قوتوں کے ساتھ شامل کیا جائے۔ غیر جمود حوالہ فریموں میں میکانکس کے مسائل کو حل کرنے کے لیے، فرضی قوتوں کو حقیقی قوتوں کی طرح سمجھیں اور دکھاوا کریں کہ وہ ایک جمود فریم میں ہے۔ یہ بات قابل ذکر ہے کہ "فرضی قوتوں کو حقیقی قوتوں کی طرح استعمال کرنے" کا مطلب یہ ہے کہ فرضی قوتیں، جیسا کہ کسی خاص غیر جمود فریم میں دیکھا جاتا ہے، اس فریم کے اندر ہونے والی مربوط تبدیلیوں کے تحت ویکٹر کے طور پر تبدیل ہو جاتی ہیں، جیسے حقیقی قوتیں۔ حرکت پذیر اشیاء اور مشاہداتی فریموں کے حوالہ جات اگلا، یہ مشاہدہ کیا جاتا ہے کہ وقت کے مختلف نقاط حوالہ جات کے جمود اور غیر جمود دونوں فریموں میں استعمال ہوتے ہیں، لہذا وقت کے مختلف نقاط کے استعمال کو مبصر کی تبدیلی کے ساتھ الجھانا نہیں چاہیے، اور یہ صرف مبصر کے تفصیل کے انتخاب کی تبدیلی ہے۔ فریم آف ریفرنس اینڈ کوآرڈینیٹ سسٹم اصطلاح فریم آف ریفرنس اکثر بہت وسیع معنوں میں استعمال ہوتی ہے، لیکن موجودہ بحث کے لیے اس کے معنی مبصر کی حرکت کی حالت، یعنی یا تو انٹریئل فریم آف ریفرنس یا غیر انٹریئل فریم آف ریفرنس تک محدود ہیں۔ کوآرڈینیٹ سسٹم کی اصطلاح حرکت کو بیان کرنے کے لیے متغیرات کے ایک سیٹ کے لیے مختلف ممکنہ انتخاب کے درمیان فرق کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے، کسی بھی مبصر کے لیے دستیاب انتخاب، ان کی حرکت کی حالت سے قطع نظر۔ مثال کے طور پر کارٹیشین نقاط، قطبی نقاط، اور (زیادہ عام طور پر) منحنی نقاط ہیں۔ یہاں "حرکت کی حالت" اور "کوآرڈینیٹ سسٹم" سے متعلق دو اقتباسات ہیں: وقت کے لحاظ سے مختلف کوآرڈینیٹ سسٹم ایک عام کوآرڈینیٹ سسٹم میں، کوآرڈینیٹ کے لیے بیس ویکٹر مقررہ پوزیشنوں پر وقت کے ساتھ مختلف ہو سکتے ہیں، یا وہ مقررہ اوقات میں پوزیشن کے ساتھ مختلف ہو سکتے ہیں، یا دونوں۔ یہ بات قابل ذکر ہے کہ جمود فریموں اور غیر جمود فریموں دونوں سے منسلک مربوط نظاموں میں بنیادی ویکٹر ہو سکتے ہیں جو وقت، جگہ یا دونوں میں مختلف ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، قطبی نقاط میں ایک رفتار کی وضاحت جیسا کہ ایک جمود فریم سے دیکھا جاتا ہے یا جیسا کہ گھومنے والے فریم سے دیکھا جاتا ہے۔ مشاہدات کی وقت پر منحصر تفصیل حوالہ کے اس فریم کو تبدیل نہیں کرتی جس میں مشاہدات کیے جاتے ہیں اور ریکارڈ کیے جاتے ہیں۔ مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم میں فرضی قوتیں ایک سرکلر مدار میں حرکت کرنے والے کسی ذرہ کی بحث میں، ایک انٹریئل فریم آف ریفرنس میں، کوئی مرکز اور ٹینجینشیل قوتوں کی شناخت کر سکتا ہے۔ کچھ فرضی قوتیں، جنہیں عام طور پر سینٹری فیوگل اور اویلر فورس کہا جاتا ہے، الفاظ میں اس تبدیلی کو اجاگر کرتی ہیں، اور یہ انٹریئل فریم سے مشاہداتی فریم آف ریفرنس کی تبدیلی ہے، جہاں سینٹریپیٹل اور ٹینجینشیل قوتیں معنی رکھتی ہیں، حوالہ کے ایک گھومنے والے فریم میں جہاں ذرہ بے حرکت اور فرضی سینٹری فیوگل ظاہر ہوتا ہے اور اویلر قوتوں کو عمل میں لانا پڑتا ہے۔ ایک سوال جو عام طور پر نصابی کتاب میں اٹھایا جاتا ہے وہ یہ ہے کہ "اگر کوئی عام طیارہ حرکت میں کسی ذرہ پر بیٹھتا ہے (نہ کہ صرف ایک سرکلر مدار)، تو فرضی سنٹری فیوگل اور اویلر قوتوں کو متعارف کرانے کے لیے ٹوپیوں کے تبادلے کا کیا تجزیہ ہے؟" اس سوال کو تلاش کرنے کے لیے، انٹریئل فریم آف ریفرنس سے شروع کریں۔ عام طور پر پلانر موشن میں استعمال ہونے والے کوآرڈینیٹ سسٹم کا استعمال کرتے ہوئے، نام نہاد مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم، جیسا کہ شکل 1 میں دکھایا گیا ہے، ٹریجیکٹوری کے لیے سنٹرل اندرونی قوت کے فارمولوں کی شناخت کرنا آسان ہو جاتا ہے (شکل 1 میں یون کے مخالف سمت میں)، اور ٹریجیکٹوری کے متوازی ٹینجینشل فورس (سمت یو ٹی میں)، جیسا کہ آگے دکھایا گیا ہے۔ شکل 1 میں دکھائے گئے مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم کے یونٹ ویکٹرز کو متعارف کرانے کے لیے، ایک نقطہ نظر کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں ایک انٹریئل فریم ورک میں شروع کرنا اور ان کارٹیزین کوآرڈینیٹس کے لحاظ سے مقامی کوآرڈینیٹس کو بیان کرنا ہے۔ شکل 1 میں، آرک کی لمبائی s وہ فاصلہ ہے جو ذرہ نے وقت t میں اپنے راستے پر طے کیا ہے۔ کارٹیشین نقاط میں x (t)، y (t) اجزاء کے ساتھ راستہ r (t) کو آرک کی لمبائی s (t) کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا گیا ہے: s کے استعمال کو دیکھنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ذرہ کے راستے کو خلا میں بیٹھے ہوئے کے طور پر سوچنا ہے، جیسے اسکائی رائٹر کے ذریعہ چھوڑی گئی پگڈنڈی، وقت سے آزاد ہے۔ اس راستے پر کسی بھی پوزیشن کو راستے کے کسی ابتدائی مقام سے اس کا فاصلہ بیان کرکے بیان کیا جاتا ہے۔ پھر ڈی ایس راستے کے ساتھ ایک اضافی نقل مکانی کو اس طرح بیان کیا جاتا ہے: جہاں ایس کے حوالے سے مشتقات کو ظاہر کرنے کے لیے پرائمز کو متعارف کرایا جاتا ہے۔ اس نقل مکانی کی شدت ڈی ایس ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ: یہ نقل مکانی لازمی طور پر ایس پر منحنی خطوط کے لیے ٹینجینٹ ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ منحنی خطوط کے لیے یونٹ ویکٹر ٹینجینٹ ہے: جبکہ منحنی خطوط کے لیے نارمل بیرونی یونٹ ویکٹر آرتھوگونالیٹی کی تصدیق ویکٹر ڈاٹ پروڈکٹ کو صفر دکھا کر کی جا سکتی ہے۔ ان ویکٹروں کی اکائی کی شدت کا نتیجہ ہے۔ ایک طرف کے طور پر، نوٹ کریں کہ یونٹ ویکٹروں کے استعمال کا مطلب یہ نہیں ہے کہ وہ کارٹیشین xy-محور کے ساتھ سیدھے نہیں ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کہا گیا شخص یونٹ ویکٹر استعمال کر رہا ہے جو راستے کو بیان کرنے کے لیے s کے ساتھ مختلف ہوتے ہیں، لیکن پھر بھی انٹریئل فریم سے حرکت کا مشاہدہ کرتے ہیں۔ ٹینجینٹ ویکٹر کا استعمال کرتے ہوئے، منحنی خطوط پر ٹینجینٹ کا زاویہ، جیسے کہ θ، اس طرح دیا جاتا ہے: اور منحنی خطوط کا رداس مکمل طور پر رسمی طور پر (ہندسی تشریح کی ضرورت کے بغیر) اس طرح متعارف کرایا جاتا ہے: θ کا مشتق sin θ کے لیے اس سے پایا جا سکتا ہے: اب: جس میں ڈینومینیٹر Eq کے مطابق اتحاد ہے۔ 1. سائن کے مشتق کے لیے اس فارمولے کے ساتھ، منحنی خطوط کا رداس بن جاتا ہے: جہاں شکلوں کی مساوات Eq کی تفریق سے پیدا ہوتی ہے۔ 1: راستے پر کسی بھی پوزیشن کی وضاحت کو s کے لیے اس سے وابستہ قدر کے لحاظ سے ترتیب دینے کے بعد، اور اس وضاحت کے لحاظ سے راستے کی خصوصیات کو تلاش کرنے کے بعد، ذرہ کی حرکت کو کسی بھی وقت t پر ذرہ پوزیشن کو اسی قدر s (t) کے طور پر بیان کرکے متعارف کرایا جاتا ہے۔ s کے لحاظ سے راستے کی خصوصیات کے لیے مندرجہ بالا نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، جمود حوالہ فریم میں ایکسلریشن جیسا کہ ذرات کے راستے کے لیے نارمل اور ٹینجینشیل اجزاء کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے، فنکشن s (t) اور اس کے مختلف ٹائم مشتقات (پہلے کی طرح، پرائمز s کے حوالے سے تفریق کی نشاندہی کرتے ہیں) کے لحاظ سے پایا جا سکتا ہے: جیسا کہ یونٹ ویکٹر اور کے ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ لے کر تصدیق کی جا سکتی ہے۔ ایکسلریشن کا یہ نتیجہ وہی ہے جو رداس ρ پر مبنی سرکلر موشن کے لیے ہوتا ہے۔ انٹریئل فریم میں اس کوآرڈینیٹ سسٹم کا استعمال کرتے ہوئے، ٹریجیکٹوری کے لیے نارمل قوت کو سنٹریپیٹل فورس کے طور پر اور ٹریجیکٹوری کے متوازی قوت کو ٹینجینشیل فورس کے طور پر شناخت کرنا آسان ہے۔ اس کے بعد، مشاہداتی فریموں کو تبدیل کرنا ضروری ہے۔ ذرہ پر بیٹھ کر، کسی کو ایک غیر جمود فریم اپنانا چاہیے جہاں ذرہ آرام میں ہو (صفر رفتار)۔ اس فریم کا ایک مسلسل بدلتا ہوا ماخذ ہے، جو وقت t پر وقت t پر راستے کے منحنی خطوط کا مرکز (شکل 1 میں ارتعاش دائرے کا مرکز) ہے، اور جس کی گردش کی شرح وقت t پر اس ماخذ کے بارے میں ذرہ کی حرکت کی کونیی شرح ہے۔ یہ غیر جمود فریم رفتار کے لیے نارمل یونٹ ویکٹرز کو بھی استعمال کرتا ہے اور اس کے متوازی ہوتا ہے۔ اس فریم کی کونیی رفتار وقت t پر منحنی خطوط کے مرکز کے ارد گرد ذرہ کی کونیی رفتار ہے۔ انیرٹیل فریم کی سنٹریپیٹل قوت کی تشریح غیر انیرٹیل فریم میں کی جاتی ہے جہاں جسم ایک ایسی قوت کے طور پر آرام کرتا ہے جو سنٹری فیوگل قوت پر قابو پانے کے لیے ضروری ہے۔ اسی طرح، جمود فریم میں نظر آنے والے راستے کے ساتھ رفتار کی کسی بھی رفتار کا سبب بننے والی قوت غیر جمود فریم میں اویلر فورس پر قابو پانے کے لیے ضروری قوت بن جاتی ہے جہاں ذرہ آرام میں ہوتا ہے۔ فریم میں صفر کوریولیس فورس ہے کیونکہ اس فریم میں ذرہ کی رفتار صفر ہے۔ مثال کے طور پر ہوائی جہاز میں سوار پائلٹ کے لیے یہ فرضی قوتیں براہ راست تجربے کی بات ہیں۔ تاہم، ان فرضی قوتوں کا تعلق ذرہ کے علاوہ کسی اور سادہ مشاہداتی فریم سے نہیں ہو سکتا، جب تک کہ وہ دائرے کی طرح خاص طور پر آسان راستے پر نہ ہو۔ اس نے کہا، کوالٹی کے نقطہ نظر سے، ہوائی جہاز کے راستے کا تخمینہ ایک دائرے کے آرک سے محدود وقت کے لیے کیا جا سکتا ہے، اور محدود وقت کے لیے منحنی خطوط کا ایک خاص رداس لاگو ہوتا ہے، سینٹرفیوگل اور اویلر قوتوں کا تجزیہ اس رداس کے ساتھ سرکلر حرکت کی بنیاد پر کیا جا سکتا ہے (ہوائی جہاز کو موڑنے پر بحث کرنے والا مضمون دیکھیں)۔ اگلا، ایک مقررہ محور کے گرد گھومنے والے حوالہ فریموں پر مزید تفصیل سے تبادلہ خیال کیا جاتا ہے۔ قطبی نقاط میں فرضی قوتیں ذرہ حرکت کی تفصیل اکثر غیر کارٹیشین نقاط کے نظام میں آسان ہوتی ہے، مثال کے طور پر قطبی نقاط۔ جب حرکت کی مساوات کا اظہار کسی منحنی نقاط کے نظام کے لحاظ سے کیا جاتا ہے، تو اضافی اصطلاحات ظاہر ہوتی ہیں جو اس بات کی نمائندگی کرتی ہیں کہ نقاط کی تبدیلی کے ساتھ بیس ویکٹر کیسے بدلتے ہیں۔ یہ اصطلاحات قطبی (یا سلنڈریکل) نقاط میں تبدیلی پر خود بخود پیدا ہوتی ہیں اور اس طرح فرضی قوتیں نہیں ہیں، بلکہ قطبی نقاط میں ایکسلریشن میں محض اضافی اصطلاحات ہیں۔ دو اصطلاحات خالصتا ریاضیاتی علاج میں، اس فریم سے قطع نظر کہ کوآرڈینیٹ سسٹم (انٹریئل یا غیر انٹریئل) سے وابستہ ہے، منحنی خطوط کا استعمال کرتے وقت مشاہدہ شدہ ذرہ کی ایکسلریشن میں اضافی اصطلاحات ظاہر ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، قطبی نقاط میں ایکسلریشن (تفصیلات کے لیے نیچے دیکھیں) کے ذریعے دیا جاتا ہے: جس میں نہ صرف نقاط کے دوہرے وقت کے مشتقات ہوتے ہیں بلکہ اضافی اصطلاحات بھی شامل ہوتی ہیں۔ یہ مثال قطبی نقاط کو استعمال کرتی ہے، لیکن زیادہ عام طور پر اضافی اصطلاحات کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ کون سا مربوط نظام منتخب کیا جاتا ہے (یعنی قطبی، الپٹک، یا کوئی دوسرا نظام)۔ بعض اوقات ان مربوط نظام پر منحصر اصطلاحات کو "فرضی قوتیں" بھی کہا جاتا ہے، جو "فرضی قوتیں" کے لیے دوسرا معنی متعارف کراتی ہیں، اس حقیقت کے باوجود کہ ان اصطلاحات میں قوتوں سے متوقع ویکٹر تبدیلی کی خصوصیات نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر شنکر اور ہلڈی برانڈ دیکھیں۔ اس اصطلاح کے مطابق، فرضی قوتوں کا تعین جزوی طور پر خود کوآرڈینیٹ سسٹم کے ذریعے کیا جاتا ہے، قطع نظر اس کے کہ یہ کس فریم سے منسلک ہے، یعنی اس سے قطع نظر کہ کوآرڈینیٹ سسٹم کسی انٹریئل یا غیر انٹریئل فریم آف ریفرنس سے منسلک ہے۔ اس کے برعکس، مبصر کی حرکت کی حالت کے لحاظ سے بیان کردہ فرضی قوتیں انٹریئل فریم آف ریفرنس میں غائب ہو جاتی ہیں۔ ان دو اصطلاحات میں فرق کرنے کے لیے، وہ فرضی قوتیں جو ایک انٹریئل فریم آف ریفرنس میں غائب ہو جاتی ہیں، نیوٹنین میکانکس کی انٹریئل قوتیں، کو اس مضمون میں "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتیں کہا گیا ہے اور جو مخصوص کوآرڈینیٹ سسٹمز میں ٹائم مشتقات کی تشریح میں پیدا ہوتی ہیں انہیں "کوآرڈینیٹ" فرضی قوتیں کہا جاتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ یہ واضح ہے کہ "حرکت کی حالت" اور "ہم آہنگی نظام" مختلف ہیں، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ "حرکت کی حالت" پر سینٹری فیوگل فورس (جیسا کہ اس مضمون میں ہے) کا انحصار اور "ہم آہنگی نظام" سے اس کی آزادی، جو بالکل مخالف انحصار کے ساتھ "ہم آہنگی" ورژن سے متصادم ہے، اس بات کی نشاندہی کرتی ہے کہ دو مختلف نظریات کو اصطلاحات "فرضی قوت" کے ذریعے حوالہ دیا جاتا ہے۔ موجودہ مضمون ان دو خیالات میں سے ایک ("حرکت کی حالت") پر زور دیتا ہے، حالانکہ دوسرے کو بھی بیان کیا گیا ہے۔ ذیل میں، قطبی نقاط (پہلے) حوالہ کے ایک جمود فریم میں اور پھر (دوسرا) حوالہ کے گھومنے والے فریم میں استعمال کے لیے متعارف کرائے گئے ہیں۔ "فرضی قوت" کی اصطلاح کے دو مختلف استعمال کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ تاہم، سب سے پہلے، مزید وضاحت کرنے کے لیے ایک مختصر انحراف کی پیروی کی گئی ہے کہ فرضی قوت کے لیے "مربوط" اصطلاحات کیسے پیدا ہوئی ہیں۔ لاگرانجین نقطہ نظر "ریاضیاتی سہولت" کے حوالے سے "مربوط" جمود قوتوں کے تعارف کی حوصلہ افزائی کرنے کے لیے، جو کچھ مندرجہ ذیل ہے وہ یہ ظاہر کرنے کے لیے ایک انحراف ہے کہ یہ قوتیں کچھ مصنفین کے "عمومی" فرضی قوتوں یا "عمومی جمود قوتوں" سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ان قوتوں کو میکانکس کے لیے لگرینجین میکانکس کے نقطہ نظر کے ذریعے متعارف کرایا جاتا ہے جس کی بنیاد کسی نظام کو عمومی نقاط کے ذریعے بیان کرنے پر ہوتی ہے جسے عام طور پر {qk} کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ ان نقاط کی واحد ضرورت یہ ہے کہ وہ نظام کی حالت کو منفرد طور پر نمایاں کرنے کے لیے ضروری اور کافی ہوں: ان کے نظام میں موجود ذرات کے نقاط ہونے (اگرچہ وہ ہو سکتے ہیں) کی ضرورت نہیں ہے۔ اس کے بجائے، وہ مثال کے طور پر روبوٹ بازو میں لنکس کے زاویے اور توسیعات ہو سکتے ہیں۔ اگر کوئی مکینیکل نظام N ذرات پر مشتمل ہوتا ہے اور m آزاد حرکی حالات عائد کیے جاتے ہیں، تو نظام کو n = 3N-m آزاد عمومی نقاط {qk} کے ذریعے منفرد طور پر نمایاں کرنا ممکن ہے۔ کلاسیکی میکانکس میں، لاگرانجین کی تعریف نظام کی حرکی توانائی، مائنس اس کی ممکنہ توانائی کے طور پر کی گئی ہے۔ علامتوں میں، ان شرائط کے تحت جو لاگرانجین میکانکس میں دی گئی ہیں، اگر کسی نظام کا لاگرانجین معلوم ہو، تو نظام کی حرکت کی مساوات کو لاگرانجین کے اظہار کو یولر-لاگرانج مساوات میں براہ راست متبادل کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے، جو جزوی تفریقی مساوات کا ایک خاص خاندان ہے۔ یہاں کچھ تعریفیں ہیں: تعریف: کیا لگرینج فنکشن یا لگرینجین ہے، qi عمومی نقاط ہیں، عمومی رفتار ہیں، عمومی مومینٹا ہیں، عمومی قوتیں ہیں، لگرینج کی مساوات ہیں۔ یہاں یہ خاکہ پیش کرنا مقصد نہیں ہے کہ لاگرانجین میکانکس کیسے کام کرتا ہے۔ دلچسپی رکھنے والا قاری اس نقطہ نظر کی وضاحت کرنے والے دوسرے مضامین کو دیکھ سکتا ہے۔ فی الحال، مقصد صرف یہ ظاہر کرنا ہے کہ لاگرانجین نقطہ نظر "عمومی فرضی قوتوں" کا باعث بن سکتا ہے جو جمود کے فریموں میں غائب نہیں ہوتے ہیں۔ یہاں جو بات مناسب ہے وہ یہ ہے کہ ایک واحد ذرہ کے معاملے میں، لگرینجین نقطہ نظر کو بالکل اسی "مربوط" فرضی قوتوں کو پکڑنے کے لیے ترتیب دیا جا سکتا ہے جو ابھی متعارف کرائی گئی ہیں۔ آگے بڑھنے کے لیے، ایک واحد ذرہ پر غور کریں، اور عمومی نقاط کو {qk} = (r، θ) کے طور پر متعارف کروائیں۔ پھر ہلڈی برانڈ قطبی نقاط میں qk = (r، θ) کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے کہ "عمومی مومینٹا" یہ ہیں: مثال کے طور پر، عمومی قوت کی طرف لے جانا: کیو آر کے ساتھ متاثر ریڈیل قوت۔ "عمومی قوتوں" اور نیوٹنین قوتوں کے درمیان تعلق نقاط کے انتخاب کے ساتھ مختلف ہوتا ہے۔ یہ لاگرانجین فارمولا اوپر بیان کردہ فرضی قوتوں کی بالکل "مربوط" شکل کو متعارف کراتا ہے جو جمود کے فریموں میں "فرضی" (عمومی) قوتوں کی اجازت دیتا ہے، مثال کے طور پر، ہلڈی برانڈ کی محتاط پڑھنے کی اصطلاح سے پتہ چلتا ہے کہ وہ "جمود کے فریموں" کے کردار پر بحث نہیں کرتا ہے، اور حقیقت میں، کہتا ہے کہ "[جمود قوتوں کی] موجودگی یا غیر موجودگی کا انحصار ہاتھ میں موجود مخصوص مسئلے پر نہیں بلکہ منتخب کردہ مربوط نظام پر ہوتا ہے"۔ کوآرڈینیٹ سسٹم کا مطلب غالبا {qk} کا انتخاب ہے۔ بعد میں وہ کہتے ہیں کہ "اگر عمومی نقاط سے وابستہ ایکسلریشنز کو بنیادی دلچسپی کا حامل ہونا ہے (جیسا کہ عام طور پر ہوتا ہے)، تو [غیر ایکسلریشنل] اصطلاحات کو آسانی سے دائیں طرف منتقل کیا جا سکتا ہے۔ اور اضافی (عمومی) جمود قوتوں کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ اس طرح کی جمود قوتوں کو اکثر کوریولیس قسم کا کہا جاتا ہے۔ مختصرا، کچھ مصنفین کا نقاط اور ان کے مشتقات پر زور اور ان کا (عمومی) فرضی قوتوں کا تعارف جو حوالہ کے جمود فریموں میں غائب نہیں ہوتے ہیں، لاگرانجین میکانکس میں عمومی نقاط کے استعمال کا نتیجہ ہے۔ مثال کے طور پر، میک کوری ہلڈی برانڈ، اور وان شورین دیکھیں۔ ذیل میں اس استعمال کی ایک مثال ہے جیسا کہ روبوٹک ہیرا پھیری کرنے والوں کے ڈیزائن میں استعمال کیا جاتا ہے: ایک روبوٹ ہیرا پھیری کرنے والے کے لیے، مساوات کو کرسٹوفیل کی علامتوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک شکل میں لکھا جا سکتا ہے (جس پر مزید ذیل میں بحث کی گئی ہے): جہاں M "ہیرا پھیری کرنے والا جمود میٹرکس" ہے اور V کشش ثقل کی وجہ سے ممکنہ توانائی ہے (مثال کے طور پر)، اور مشترکہ i پر عمومی قوتیں ہیں۔ اس لیے کرسٹوفیل کی علامتوں پر مشتمل اصطلاحات "عام کردہ سینٹری فیوگل" اور "عام شدہ کوریولیس" اصطلاحات کا تعین کرتی ہیں۔ عام فرضی قوتوں کا تعارف اکثر بغیر اطلاع کے اور لفظ "عام" کی وضاحت کے بغیر کیا جاتا ہے۔ اصطلاحات کا یہ استعمال الجھن کا باعث بن سکتا ہے کیونکہ عمومی فرضی قوتیں، معیاری "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتوں کے برعکس، حوالہ کے غیر فعال فریموں میں غائب نہیں ہوتی ہیں۔ قطبی نقاط ایک جمود کے فریم میں حوالہ کے نیچے، کسی ذرہ کی ایکسلریشن حاصل کی جاتی ہے جیسا کہ قطبی نقاط کا استعمال کرتے ہوئے جمود کے فریم میں دیکھا جاتا ہے۔ تعریف کے مطابق، انٹریئل فریم میں کوئی "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتیں نہیں ہیں۔ اس پیشکش کے بعد، "مربوط" فرضی قوتوں کی متضاد اصطلاحات کو پیش کیا جاتا ہے اور ان "قوتوں" کے غیر ویکٹوریل تبدیلی کے رویے کی بنیاد پر تنقید کی جاتی ہے۔ ایک انٹریئل فریم میں، حرکت پذیر ذرہ کا پوزیشن ویکٹر ہونے دیں۔ اس کے کارٹیشین اجزاء (x، y) یہ ہیں: قطبی نقاط r اور θ کے ساتھ وقت t پر منحصر ہے۔ یونٹ ویکٹرز کی تعریف شعاعی طور پر بیرونی سمت میں کی جاتی ہے: اور صحیح زاویوں پر سمت میں: یہ یونٹ ویکٹر وقت کے ساتھ سمت میں مختلف ہوتے ہیں: اور: ان مشتقات کا استعمال کرتے ہوئے، پوزیشن کے پہلے اور دوسرے مشتقات یہ ہیں: اور جہاں ڈاٹ اوور مارکنگ وقت کی تفریق کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ایکسلریشن کے لیے اس شکل کے ساتھ، حوالہ کے ایک انٹریئل فریم میں نیوٹن کا دوسرا قانون قطبی نقاط میں ظاہر ہوتا ہے: جہاں F ذرہ پر خالص حقیقی قوت ہے۔ کوئی فرضی قوتیں ظاہر نہیں ہوتیں کیونکہ تمام فرضی قوتیں ایک انٹریئل فریم میں تعریف کے لحاظ سے صفر ہوتی ہیں۔ ریاضیاتی نقطہ نظر سے، تاہم، بعض اوقات اس مساوات کے دائیں جانب صرف دوسرے درجے کے مشتقات کو رکھنا آسان ہوتا ہے ؛ یعنی ہم مندرجہ بالا مساوات کو اصطلاحات کی دوبارہ ترتیب کے ذریعے اس طرح لکھتے ہیں: جہاں "ایکسلریشن" کا "کوآرڈینیٹ" ورژن متعارف کرایا جاتا ہے: جو کہ r اور θ نقاط کے صرف دوسرے درجے کے وقت مشتقات پر مشتمل ہوتا ہے۔ مساوات کی قوت کی طرف منتقل ہونے والی اصطلاحات کو اب اضافی "فرضی قوتوں" کے طور پر سمجھا جاتا ہے اور الجھن کی بات یہ ہے کہ اس کے نتیجے میں پیدا ہونے والی قوتوں کو "سینٹری فیوگل" اور "کوریولیس" قوت بھی کہا جاتا ہے۔ یہ نئی بیان کردہ "قوتیں" ایک انٹریئل فریم میں غیر صفر ہوتی ہیں، اور اس لیے یقینی طور پر پہلے سے شناخت شدہ فرضی قوتوں کی طرح نہیں ہوتیں جو ایک انٹریئل فریم میں صفر ہوتی ہیں اور صرف غیر انٹریئل فریم میں غیر صفر ہوتی ہیں۔ اس مضمون میں، ان نئی متعین قوتوں کو "کوآرڈینیٹ" سینٹری فیوگل فورس اور "کوآرڈینیٹ" کوریولیس فورس کہا گیا ہے تاکہ انہیں "اسٹیٹ آف موشن" قوتوں سے الگ کیا جا سکے۔ اصل کی تبدیلی یہاں ایک مثال ہے جس میں دکھایا گیا ہے کہ "سنٹری فیوگل اصطلاح" ایک حقیقی قوت کے طور پر تبدیل نہیں ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ S فریم میں ایک ذرہ مستقل رفتار سے اصل سے شعاعی طور پر دور چلا جاتا ہے۔ شکل 2 دیکھیں۔ نیوٹن کے پہلے قانون کے مطابق ذرہ پر قوت صفر ہے۔ اب ہم اسی چیز کو فریم S 'سے دیکھتے ہیں، جو وہی ہے، لیکن اصل میں بے گھر ہے۔ S میں ذرہ اب بھی مسلسل رفتار سے سیدھی لکیر کی حرکت میں ہے، اس لیے دوبارہ قوت صفر ہے۔ اگر کوئی دو فریموں میں قطبی نقاط کا استعمال کرتا ہے تو کیا ہوگا؟ فریم S میں شعاعی حرکت مستقل ہوتی ہے اور کوئی کونیی حرکت نہیں ہوتی۔ لہذا، ایکسلریشن ہے: اور ہر اصطلاح انفرادی طور پر صفر ہے کیونکہ اور۔ کوئی قوت نہیں ہے، بشمول S فریم میں کوئی "قوت" نہیں ہے۔ S فریم میں، تاہم، ہمارے پاس: اس صورت میں ایزموتھل اصطلاح صفر ہے، جو کہ کونیی رفتار کی تبدیلی کی شرح ہے۔ ریڈیل سمت میں صفر ایکسلریشن حاصل کرنے کے لیے، تاہم، ہمیں ضرورت ہے: دائیں ہاتھ کی طرف غیر صفر ہے، اس لیے کہ نہ تو صفر ہے اور نہ ہی صفر۔ یعنی، ہم صفر قوت (صفر) حاصل نہیں کر سکتے اگر ہم صرف ایکسلریشن کے طور پر برقرار رکھیں۔ ہمیں دونوں اصطلاحات کی ضرورت ہے۔ مندرجہ بالا حقائق کے باوجود، فرض کریں کہ کسی کو قطبی نقاط کو اپنانا ہے، اور یہ کہنا چاہتے ہیں کہ یہ "سینٹرفیوگل فورس" ہے، اور "ایکسلریشن" کے طور پر دوبارہ تشریح کریں (کسی ممکنہ جواز پر غور کیے بغیر)۔ یہ فیصلہ کیسے انجام دیتا ہے جب کوئی یہ سمجھتا ہے کہ طبیعیات کی ایک مناسب تشکیل جیومیٹری اور کوآرڈینیٹ سے آزاد ہے؟ عمومی کوویرینس پر مضمون دیکھیں۔ کوویرینٹ ایکسپریشن بنانے کی کوشش کرنے کے لیے، اس نام نہاد سینٹرفیوگل "فورس" کو ویکٹر نوٹیشن میں اس طرح رکھا جا سکتا ہے: کے ساتھ: اور حرکت کے طیارہ کے لیے ایک یونٹ ویکٹر نارمل۔ بدقسمتی سے، اگرچہ یہ اظہار باضابطہ طور پر ایک ویکٹر کی طرح نظر آتا ہے، جب کوئی مبصر تبدیلیوں کی اصل قدر کو تبدیل کرتا ہے (شکل 2 دیکھیں)، لہذا مختلف گلی کے کونوں پر کھڑے حوالہ کے ایک ہی فریم میں مبصرین مختلف "قوتیں" دیکھتے ہیں حالانکہ وہ اصل واقعات کا مشاہدہ کرتے ہیں۔ ایک جیسے ہیں۔ ایک جسمانی قوت (چاہے وہ فرضی ہو یا حقیقی) کس طرح ایک فریم S میں صفر ہو سکتی ہے، لیکن دوسرے فریم S میں غیر صفر ایک جیسی، لیکن چند فٹ دور ہو سکتی ہے؟ یہاں تک کہ بالکل ایک ہی ذرہ رویے کے لیے اظہار حوالہ کے ہر فریم میں مختلف ہوتا ہے، یہاں تک کہ فریموں کے درمیان بہت معمولی فرق کے لیے بھی۔ مختصرا، اگر ہم "سینٹری فیوگل فورس" کے طور پر لیتے ہیں، تو اس کی عالمگیر اہمیت نہیں ہے: یہ غیر جسمانی ہے۔ اس مسئلے کے علاوہ، حقیقی متاثر شدہ خالص قوت صفر ہے۔ (مسلسل رفتار پر سیدھی لکیر کی حرکت میں کوئی حقیقی متاثر قوت نہیں ہے)۔ اگر کوئی قطبی نقاط کو اپناتا ہے، اور یہ کہنا چاہتا ہے کہ یہ "سنٹری فیوگل فورس" ہے، اور "ایکسلریشن" کے طور پر دوبارہ تشریح کرتا ہے، تو عجیب و غریب فریم S میں نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ مستقل رفتار پر سیدھی لکیر کی حرکت کے لیے قطبی نقاط میں خالص قوت کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن کارٹیشین نقاط میں نہیں۔ مزید برآں، یہ الجھن فریم S میں لاگو ہوتی ہے، لیکن فریم S میں نہیں۔ کا طرز عمل اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ کسی کو یہ کہنا چاہیے کہ یہ سینٹرفیوگل فورس نہیں ہے، بلکہ ایکسلریشن میں صرف دو اصطلاحات میں سے ایک ہے۔ یہ نظریہ، کہ ایکسلریشن دو اصطلاحات پر مشتمل ہے، فریم سے آزاد ہے: کسی بھی اور ہر انٹریئل فریم میں صفر سینٹرفیوگل فورس ہوتی ہے۔ یہ کوآرڈینیٹ سسٹم سے بھی آزاد ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوئی کارٹیشین، پولر، یا کوئی اور منحنی نظام استعمال کر سکتا ہے کیونکہ وہ سب صفر پیدا کرتے ہیں۔ مندرجہ بالا جسمانی دلائل کے علاوہ، یقینا، تفریق کے ریاضیاتی اصولوں کے اطلاق پر مبنی مذکورہ بالا مشتق سے پتہ چلتا ہے کہ شعاعی ایکسلریشن درحقیقت دو اصطلاحات پر مشتمل ہے۔ اس نے کہا، اگلے ذیلی حصے سے پتہ چلتا ہے کہ ان سینٹری فیوگل اور کوریولیس اصطلاحات اور فرضی قوتوں کے درمیان ایک تعلق ہے جو حوالہ کے ایک خاص گھومنے والے فریم سے متعلق ہے (جیسا کہ ایک جمود فریم سے الگ ہے)۔ کو-روٹیٹنگ فریم کسی ذرہ کی پلینر حرکت کی صورت میں، "کوآرڈینیٹ" سینٹری فیوگل اور کوریولیس ایکسلریشن اصطلاحات جو اوپر ایک انیرٹیل فریم میں غیر صفر پائی جاتی ہیں، کو "اسٹیٹ آف موشن" سینٹری فیوگل اور کوریولیس اصطلاحات کے منفی کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے جو ایک بہت ہی خاص غیر انیرٹیل کو-روٹیٹنگ فریم میں ظاہر ہوتی ہیں (اگلا ذیلی حصہ دیکھیں)۔ شکل 3 دیکھیں۔ شریک گھومنے والے فریم کی وضاحت کے لیے، پہلے ایک اصل کا انتخاب کیا جاتا ہے جس سے ذرہ تک کا فاصلہ r (t) متعین کیا جاتا ہے۔ گردش کا ایک محور قائم کیا جاتا ہے جو ذرہ کی حرکت کے سطح پر عمودی ہوتا ہے، اور اس اصل سے گزرتا ہے۔ پھر، منتخب لمحے t پر، اس محور کے ارد گرد ذرہ کی گردش کی شرح، dθ/dt سے ملنے کے لیے شریک گھومنے والے فریم ω کی گردش کی شرح بنائی جاتی ہے۔ شریک گھومنے والا فریم صرف ایک لمحے کے لیے لاگو ہوتا ہے، اور جیسے جیسے ذرہ حرکت کرتا ہے اسے مسلسل دوبارہ منتخب کیا جانا چاہیے۔ مزید تفصیل کے لیے پولر کوآرڈینیٹس، سینٹرفیوگل اور کوریولیس اصطلاحات دیکھیں۔ حوالہ کے گھومنے والے فریم میں قطبی نقاط اگلا، اسی نقطہ نظر کو (غیر جمود) گھومنے والے فریم کی فرضی قوتوں کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مشاہدے کے گھومنے والے فریم میں استعمال کے لیے ایک گھومنے والا پولر کوآرڈینیٹ سسٹم اپنایا جاتا ہے، دونوں ایک ہی مستقل گھڑی کی مخالف سمت میں گھومتے ہیں، تو اس فریم میں حرکت کی مساوات کو مندرجہ ذیل طریقے سے پایا جا سکتا ہے: گھومنے والے فریم میں ریڈیل کوآرڈینیٹ کو r کے طور پر لیا جاتا ہے، لیکن گھومنے والے فریم میں زاویہ θ 'وقت کے ساتھ بدل جاتا ہے: نتیجتا، اس نتیجے کو پچھلے حصے کے یونٹ ویکٹرز کا استعمال کرتے ہوئے ایکسلریشن میں پلگ کرنا: سرکردہ دو اصطلاحات وہی شکل ہیں جو انٹریئل فریم میں ہیں، اور وہ صرف اصطلاحات ہیں اگر فریم گھوم نہیں رہا ہے، یعنی، اگر ω = 0 ہے۔ تاہم، اس گھومنے والے فریم میں ہمارے پاس اضافی اصطلاحات ہیں: ریڈیل ٹرم ω2 r فی یونٹ ماس سنٹری فیوگل فورس ہے جس کی وجہ سے سسٹم کی گردش کی شرح ω پر ہوتی ہے اور ریڈیل ٹرم کوریولیس فورس فی یونٹ ماس کا ریڈیل جزو ہے، جہاں ذرہ رفتار کا ٹینجینشیل جزو ہے جیسا کہ گھومنے والے فریم میں دیکھا جاتا ہے۔ یہ اصطلاح کوریولیس فورس فی یونٹ ماس کا نام نہاد ایزموتھل جزو ہے۔ درحقیقت، ان اضافی اصطلاحات کو ω کی پیمائش کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور یہ دیکھنے کے لیے ایک ٹیسٹ فراہم کیا جا سکتا ہے کہ فریم گھوم رہا ہے یا نہیں، جیسا کہ ایک جیسے شعبوں کو گھومنے کی مثال میں بیان کیا گیا ہے۔ اگر ذرہ کی حرکت کو مبصر نیوٹن کے حرکت کے قوانین کا استعمال کرتے ہوئے ان ω-منحصر اصطلاحات کے بغیر بیان کر سکتا ہے، تو مبصر حوالہ کے ایک جمود فریم میں ہوتا ہے جہاں ω = 0 ہوتا ہے۔ ذرہ کی ایکسلریشن میں یہ "اضافی اصطلاحات" اس گھومنے والے فریم کے لیے "حرکت کی حالت" فرضی قوتیں ہیں، وہ قوتیں جو کونیی شرح ω پر فریم کی گردش کے ذریعے متعارف کرائی جاتی ہیں۔ اس گھومنے والے فریم میں "کوآرڈینیٹ" فرضی قوتیں کیا ہیں؟ پہلے کی طرح، فرض کریں کہ ہم نیوٹن کے قانون کے دائیں جانب صرف دوسرے درجے کے وقت کے مشتقات کو رکھنے کا انتخاب کرتے ہیں: اگر کسی کو سہولت کے لیے "ایکسلریشن" کا انتخاب کرنا ہے، تو ان اصطلاحات کو نام نہاد "فرضی قوت" میں شامل کر دیا جاتا ہے، جو "حرکت کی حالت" فرضی قوتیں نہیں ہیں، بلکہ درحقیقت قوت کے وہ اجزاء ہیں جو ω = 0 ہونے پر بھی برقرار رہتے ہیں، یعنی فرضی ذرائع حوالہ کے انٹریئل فریم میں بھی برقرار رہتے ہیں۔ چونکہ یہ اضافی اصطلاحات شامل کی گئی ہیں، "مربوط" فرضی قوت "حرکت کی حالت" فرضی قوت کی طرح نہیں ہے۔ ان اضافی اصطلاحات کی وجہ سے، "کوآرڈینیٹ" فرضی قوت حوالہ کے انٹریئل فریم میں بھی صفر نہیں ہوتی ہے۔ تاہم، ایک گھومنے والے فریم کا معاملہ جس میں ذرہ کے برابر کونیی شرح ہوتی ہے، تاکہ کسی خاص لمحے میں ω = dθ/dt ہو (یعنی قطبی نقاط شکل 3 کے فوری، غیر جمود کے ساتھ گھومنے والے فریم میں ترتیب دیے جاتے ہیں)۔ اس صورت میں، اس وقت، dθ '/dt = 0 ہے۔ اس شریک گھومنے والے غیر جمود فریم میں اس وقت "مربوط" فرضی قوتیں صرف وہی ہیں جو فریم کی حرکت کی وجہ سے ہیں، یعنی وہ "حرکت کی حالت" فرضی قوتوں جیسی ہیں، جیسا کہ پچھلے حصے میں شکل 3 کے شریک گھومنے والے فریم کے بارے میں تبصرے میں بحث کی گئی ہے۔ منحنی نقاط میں فرضی قوتیں بلو اور لیوس کا حوالہ دیتے ہوئے: "صرف غیر معمولی حالات میں ہی ویکٹر اسپیس میں ویکٹر کے ذریعے لگرینجین نظام کی ترتیب کو بیان کیا جا سکتا ہے۔ قدرتی ریاضیاتی ترتیب میں، نظام کی ترتیب کی جگہ کو ڈھیلے انداز میں ایک مڑے ہوئے خلا کے طور پر، یا زیادہ درست طریقے سے ایک تفریق کے قابل کئی گنا کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ کارٹیزین کوآرڈینیٹس کے بجائے، جب حرکت کی مساوات کا اظہار منحنی خطوط والے کوآرڈینیٹ سسٹم میں کیا جاتا ہے، تو کرسٹوفیل کی علامتیں اس کوآرڈینیٹ سسٹم میں ظاہر ہونے والے ذرہ کے ایکسلریشن میں ظاہر ہوتی ہیں، جیسا کہ ذیل میں مزید تفصیل سے بیان کیا گیا ہے۔ منحنی نقاط میں حوالہ کے ایک جمود فریم کے نقطہ نظر سے ذرہ حرکت کی وضاحت پر غور کریں۔ فرض کریں کہ کارٹیشین نقاط میں ایک نقطہ P کی پوزیشن (x, y, z) ہے اور منحنی خطوط میں (q1, q2) ہے۔ ق 3)۔ پھر افعال موجود ہیں جو ان وضاحتوں سے متعلق ہیں: اور اسی طرح۔ (طول و عرض کی تعداد تین سے بڑی ہو سکتی ہے۔) اس طرح کے ہم آہنگی کے نظام کا ایک اہم پہلو آرک کی لمبائی کا عنصر ہے جو فاصلے کا تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اگر منحنی نقاط ایک آرتھوگنل کوآرڈینیٹ سسٹم بناتے ہیں، تو آرک لمبائی ڈی ایس کے عنصر کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے: جہاں مقدار ایچ کے کو پیمانے کے عوامل کہا جاتا ہے۔ qk میں تبدیلی dqk، qk کے لیے کوآرڈینیٹ لائن کے ساتھ نقل مکانی hk dqk کا سبب بنتی ہے۔ ایک نقطہ P پر، ہم یونٹ ویکٹرز کو ہر ٹینجینٹ کو متغیر qk کی کوآرڈینیٹ لائن پر رکھتے ہیں۔ پھر کسی بھی ویکٹر کو ان بیس ویکٹروں کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، حوالہ کے ایک انٹریئل فریم سے، پوزیشن P پر وقت t پر واقع حرکت پذیر ذرہ r کا پوزیشن ویکٹر بن جاتا ہے: جہاں qk r اور ek کا ویکٹر ڈاٹ پروڈکٹ ہے۔ P پر کسی ذرہ کی رفتار v کا اظہار P پر اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں vk، v اور ek کا ویکٹر ڈاٹ پروڈکٹ ہے، اور اوور ڈاٹس وقت کی تفریق کی نشاندہی کرتے ہیں۔ بیس ویکٹروں کے وقت کے مشتقات کا اظہار اوپر پیش کردہ پیمانے کے عوامل کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: یا، جس میں عام طور پر یونٹ ویکٹروں کے کوفیشنٹس کوآرڈینیٹ سسٹم کے لیے کرسٹوفیل کی علامتیں ہیں۔ کرسٹوفیل علامتوں کے لیے عمومی اشارے اور فارمولے یہ ہیں: اور علامت صفر ہوتی ہے جب تمام اشاریہ جات مختلف ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس ظاہر ہونے کے باوجود، کرسٹوفیل کی علامتیں ٹینسر کے اجزاء نہیں بناتی ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ کارٹیشین نقاط میں صفر ہیں، لیکن قطبی نقاط میں نہیں۔ اس طرح کے تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے، جو ہر وقت مشتقات کا جائزہ لینے کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، رفتار کے لیے: بریکٹ نوٹیشن کی جگہ کرسٹوفیل علامتوں کے لیے γ-نوٹیشن کے ساتھ۔ اسی نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے، ایکسلریشن پھر ہے۔ ایکسلریشن کے تعلق کو دیکھتے ہوئے، پہلے سمشن میں رفتار کے وقت کے مشتقات ہوتے ہیں، جو کہ ایکسلریشن سے وابستہ ہوتے اگر یہ کارٹیسیئن کوآرڈینیٹ ہوتے، اور دوسرا سمشن (کرسٹوفیل علامتوں والا) وقت کے ساتھ یونٹ ویکٹر کے بدلنے کے طریقے سے متعلق اصطلاحات پر مشتمل ہوتا ہے۔ "اسٹیٹ آف موشن" بمقابلہ "کوآرڈینیٹ" فرضی قوتیں اس مضمون میں پہلے دو اصطلاحات کے درمیان فرق متعارف کرایا گیا تھا، وہ فرضی قوتیں جو ایک انیرٹیل فریم آف ریفرنس میں غائب ہو جاتی ہیں انہیں اس مضمون میں "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتیں کہا جاتا ہے اور جو کسی خاص کوآرڈینیٹ سسٹم میں تفریق سے پیدا ہوتی ہیں انہیں "کوآرڈینیٹ" فرضی قوتیں کہا جاتا ہے۔ اوپر کی ایکسلریشن کے لیے اظہار کا استعمال کرتے ہوئے، نیوٹن کا انٹریئل فریم آف ریفرنس میں حرکت کا قانون بن جاتا ہے: جہاں F ذرہ پر خالص حقیقی قوت ہے۔ کوئی "حرکت کی حالت" فرضی قوتیں موجود نہیں ہیں کیونکہ فریم غیر فعال ہے، اور تعریف کے مطابق "حرکت کی حالت" فرضی قوتیں ایک غیر فعال فریم میں صفر ہوتی ہیں۔ مذکورہ بالا نیوٹن کے قانون کے لیے "کوآرڈینیٹ" نقطہ نظر یہ ہے کہ کوآرڈینیٹس {qk} کے دوسرے درجے کے وقت کے مشتقات کو اس مساوات کے دائیں طرف واحد اصطلاحات کے طور پر برقرار رکھا جائے، جو طبیعیات کے بجائے ریاضیاتی سہولت سے زیادہ متاثر ہوتے ہیں۔ اس مقصد کے لیے، قوت کے قانون کو دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، مساوات کے قوت کی طرف دوسرے خلاصہ کو اس طرح لے کر: اس روایت کے ساتھ کہ "ایکسلریشن" اب ہے: اوپر کے اظہار میں، مساوات کے قوت کی طرف میں جو خلاصہ شامل کیا گیا ہے اسے اب اس طرح سمجھا جاتا ہے جیسے کہ "قوتیں" موجود تھیں۔ ان خلاصہ اصطلاحات کو روایتی طور پر اس "کوآرڈینیٹ" نقطہ نظر کے اندر فرضی قوتیں کہا جاتا ہے، حالانکہ حوالہ کے اس انٹریئل فریم میں تمام "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتیں یکساں طور پر صفر ہیں۔ مزید برآں، یہ "قوتیں" مربوط تبدیلیوں کے تحت ویکٹر کے طور پر تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ اس طرح، خلاصہ کی اصطلاحات کو "فرضی قوتوں" کے طور پر نامزد کرنا اس اصطلاح کو ان شراکتوں کے لیے استعمال کرتا ہے جو کسی بھی حقیقی قوت سے بالکل مختلف ہیں، اور "حرکت کی حالت" فرضی قوتوں سے۔ اس الجھن میں جو چیز اضافہ کرتی ہے وہ یہ ہے کہ یہ "مربوط" فرضی قوتیں دو گروہوں میں تقسیم ہوتی ہیں اور انہیں "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتوں کے جیسے ہی نام دیے جاتے ہیں، یعنی انہیں "سینٹرفیوگل" اور "کوریولیس" اصطلاحات میں تقسیم کیا جاتا ہے، ان اصطلاحات کی شمولیت کے باوجود جو "اسٹیٹ آف موشن" سینٹرفیوگل اور کوریولیس اصطلاحات نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ "کوآرڈینیٹ" سینٹری فیوگل اور کوریولیس اصطلاحات غیر صفر ہو سکتی ہیں یہاں تک کہ ایک انٹریئل فریم آف ریفرنس میں بھی جہاں "اسٹیٹ آف موشن" سینٹری فیوگل فورس (اس مضمون کا موضوع) اور کوریولیس فورس ہمیشہ صفر ہوتے ہیں۔ اگر فریم غیر فعال نہیں ہے، مثال کے طور پر، حوالہ کے گھومنے والے فریم میں، "اسٹیٹ آف موشن" فرضی قوتیں مذکورہ بالا "کوآرڈینیٹ" فرضی قوت کے اظہار میں شامل ہیں۔ نیز، اگر رفتار کے فرسٹ آرڈر ٹائم مشتقات کے لحاظ سے ظاہر کردہ "ایکسلریشن" کا نتیجہ ان اصطلاحات میں ہوتا ہے جو وقت میں نقاط {qk} کے محض سیکنڈ آرڈر مشتقات نہیں ہیں، تو یہ اصطلاحات جو سیکنڈ آرڈر نہیں ہیں انہیں بھی مساوات کے فورس سائیڈ پر لایا جاتا ہے اور فرضی قوتوں کے ساتھ شامل کیا جاتا ہے۔ لاگرانجین فارمولیشن کے نقطہ نظر سے، انہیں عمومی فرضی قوتیں کہا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ہلڈی برانڈ دیکھیں۔ کرسٹوفیل علامتوں کے لحاظ سے حرکیات کی تشکیل اور فرضی قوتوں کے "مربوط" ورژن کا استعمال اکثر روبوٹ کے ڈیزائن میں حرکت کی مساوات کی لاگرانجین تشکیل کے سلسلے میں کیا جاتا ہے۔ نوٹ اور حوالہ جات مزید پرنسیپیا سینٹری فیوگل ری ایکشن فورس-کولمبیا الیکٹرانک انسائیکلوپیڈیا ایم الونسو اور ای جے میں نیوٹن کی تفصیل کو پڑھنا۔ فن، بنیادی یونیورسٹی فزکس، ایڈیسن-ویسلی سینٹریپیٹل فورس بمقابلہ سینٹری فیوگل فورس-ایک آن لائن ریجنٹس امتحان فزکس ٹیوٹوریل سے اوسویگو سٹی اسکول ڈسٹرکٹ سینٹری فیوگل فورس ہائپر فزکس تصورات سائٹ پر بلیک ہول سینٹری فیوگل فورس کے قریب اندر کی طرف کام کرتی ہے۔ دلچسپ لنکس کی ایک فہرست بیرونی لنکس ایک فلیٹ سطح پر حرکت جاوا فزیلیٹ بذریعہ برائن فیڈلر (اوکلاہوما یونیورسٹی کے اسکول آف میٹرولوجی سے) فرضی قوتوں کی عکاسی کرتی ہے۔ فزیلیٹ دونوں نقطہ نظر کو ظاہر کرتا ہے جیسا کہ گھومنے اور غیر گھومنے والے نقطہ نظر سے دیکھا جاتا ہے۔ پیرابولک سطح پر حرکت جاوا فزیلیٹ بذریعہ برائن فیڈلر (یونیورسٹی آف اوکلاہوما کے اسکول آف میٹرولوجی سے) فرضی قوتوں کی عکاسی کرتے ہوئے۔ فزیلیٹ دونوں نقطہ نظر کو ظاہر کرتا ہے جیسا کہ گھومنے سے دیکھا جاتا ہے اور جیسا کہ غیر گھومنے والے نقطہ نظر سے دیکھا جاتا ہے۔ اینیمیشن کلپ میں ایسے مناظر دکھائے گئے ہیں جو جمود کے فریم اور حوالہ کے گھومنے والے فریم دونوں سے دیکھے گئے ہیں، جس میں کوریولیس اور سینٹری فیوگل قوتوں کا تصور کیا گیا ہے۔ ایچ 2 جی 2 پر میتھ پیجز سینٹرفیوگل فورس میں سینٹرفیوگل اور سینٹرفیوگل قوتیں جان بیز: کیا سینٹرفیوگل قوت چاند کو اوپر رکھتی ہے؟ یہ بھی دیکھیں کہ رشتہ دار سنٹری فیوگل فورس کا حساب لگانا کوریولیس فورس کوریولیس اثر (ادراک) مساوات کا اصول بالٹی دلیل فریم آف ریفرنس انٹریئل فریم آف ریفرنس روٹیشنل موشن اویلر فورس-ایک ایسی قوت جو اس وقت ظاہر ہوتی ہے جب فریم کونیی گردش کی شرح مختلف ہوتی ہے سنٹریپیٹل فورس ری ایکٹیو سنٹری فیوگل فورس-ایک ایسی قوت جو سنٹریپیٹل فورس سنٹری فیوگل فورس کی وجہ سے رد عمل کے طور پر واقع ہوتی ہے۔ فکٹیٹئس فورس-ایک ایسی قوت جسے حوالہ جی-فورس آرتھوگنل کوآرڈینیٹس کے فریم کو تبدیل کرکے غائب کیا جاسکتا ہے جو دائرے کو آسکلیٹ کرتا ہے۔ فرینیٹ-سیرٹ فارمولے اسٹیٹکس (طبیعیات) کینیمیٹکس اپلائیڈ میکانکس تجزیاتی میکانکس ڈائنامکس (کلاسیکل فزکس)