Dual polygon
جیومیٹری میں، کثیر الاضحی جوڑوں میں منسلک ہوتے ہیں جنہیں ڈوئل کہتے ہیں، جہاں ایک کے عمودی حصے دوسرے کے کناروں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ خصوصیات باقاعدہ کثیر الاضحی خود دوہری ہوتے ہیں۔ ایک آئسوگنل (ورٹیکس-ٹرانزیکٹو) کثیر الاضحی کا دوہرا ایک آئسوٹوکسل (ایج-ٹرانزیکٹو) کثیر الاضحی ہے۔ مثال کے طور پر، (آئسوگنل) مستطیل اور (آئسوٹوکسل) رومبس دوہری ہیں۔ چکور کثیر الاضحی میں، لمبے پہلو دوہری (ایک ٹینجینشیل کثیر الاضحی) میں بڑے بیرونی زاویوں سے مطابقت رکھتے ہیں، اور چھوٹے پہلو چھوٹے زاویوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مزید برآں، اصل کثیر الاضحی میں ہم آہنگ اطراف دوہری میں ہم آہنگ زاویہ پیدا کرتے ہیں، اور اس کے برعکس۔ مثال کے طور پر، ایک انتہائی تیز آاسوسیلیس مثلث کا دوہری ایک متزلزل آاسوسیلیس مثلث ہے۔ ڈورمین لیوک کی تعمیر میں، دوہری پولی ہیڈرون کا ہر چہرہ متعلقہ عمودی شکل کا دوہری کثیر الاضحی ہے۔ کواڈریلیٹرلز میں ڈوئلٹی کثیر الاضلاعات کی سائیڈ اینگل ڈوئلٹی کی ایک مثال کے طور پر ہم چکور اور ٹینجینشیل کواڈریٹرلز کی خصوصیات کا موازنہ کرتے ہیں۔ یہ دوہرا پن شاید اس وقت اور بھی زیادہ واضح ہوتا ہے جب ایک آئسوسیلس ٹریپیزائڈ کا پتنگ سے موازنہ کیا جائے۔ دوہری اصلاح کی اقسام دوہری کثیر الاضحی کی سب سے آسان معیاری تعمیر ایک اصلاح کا عمل ہے، جہاں ایک کثیر الاضحی کے کناروں کو ہر اصل کنارے کے مرکز میں عمودی طور پر کاٹ دیا جاتا ہے۔ ان نئے چوٹیوں کے درمیان نئے کنارے بنتے ہیں۔ یہ تعمیر قابل واپسی نہیں ہے۔ یعنی اسے دو بار لگانے سے پیدا ہونے والا کثیر الاضحی عام طور پر اصل کثیر الاضحی سے ملتا جلتا نہیں ہے۔ قطبی تکرار دوہری پولی ہیڈرا کی طرح، کوئی بھی ایک دائرہ لے سکتا ہے (چاہے وہ کندہ شدہ دائرہ ہو، دائرہ بند ہو، یا اگر دونوں موجود ہوں، تو ان کا درمیانی دائرہ) اور اس میں قطبی تکرار انجام دے سکتا ہے۔ پروجیکٹو ڈوئلٹی پروجیکٹو ڈوئلٹی کے تحت، ایک نقطہ کا ڈوئل ایک لکیر ہے، اور ایک لکیر کا ڈوئل ایک نقطہ ہے-اس طرح ایک کثیر الاضحی کا ڈوئل ایک کثیر الاضحی ہے، جس میں اصل کے کنارے ڈوئل کے عمودی اور اس کے برعکس ہوتے ہیں۔ دوہری منحنی خطوط کے نقطہ نظر سے، جہاں ایک منحنی خطوط پر ہر نقطہ نقطہ اس نقطہ پر نقطہ دوہری کو اس کی ٹینجینٹ لائن سے جوڑتا ہے، پروجیکٹو ڈوئل کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے: کثیر الاضحی کے ایک طرف کے ہر نقطہ کی ایک ہی ٹینجینٹ لائن ہوتی ہے، جو خود اس طرف سے متفق ہوتی ہے-اس طرح وہ سب ایک سرے پر دوہری کثیر الاضحی میں ایک ہی سرے پر نقش کرتے ہیں، اس سرے پر "ٹینجینٹ لائنیں" اس نقطہ کے ذریعے دو کناروں کے درمیان زاویہ والی تمام لائنیں ہیں-ان لائنوں کے دوہری نکات پھر دوہری کثیر الاضحی میں کنارے ہوتے ہیں۔ مشترکہ طور پر، کوئی بھی کثیر الاضحی کو عمودی مجموعے، کناروں کے مجموعے، اور واقعات کے تعلق (جو عمودی اور کناروں کو چھوتے ہیں) کے طور پر بیان کر سکتا ہے: دو ملحقہ عمودی ایک کنارے کا تعین کرتے ہیں، اور دو ملحقہ کنارے ایک عمودی کا تعین کرتے ہیں۔ پھر دوہری کثیر الاضحی صرف عمودی اور کناروں کو تبدیل کر کے حاصل کی جاتی ہے۔ اس طرح عمودی {A, B, C} اور کناروں {AB, BC, CA} والے مثلث کے لیے، دوہری مثلث میں عمودی {AB, BC, CA}، اور کنارے {B, C, A} ہوتے ہیں، جہاں B AB اور BC وغیرہ کو جوڑتا ہے۔ یہ خاص طور پر نتیجہ خیز راستہ نہیں ہے، کیونکہ مشترکہ طور پر، کثیر الاضحی کا ایک ہی خاندان ہے (اطراف کی تعداد کے لحاظ سے دیا گیا ہے) ؛ کثیر الاضحی کی ہندسی دوہری زیادہ متنوع ہے، جیسا کہ مشترکہ دوہری کثیر الاضحی ہے۔ ڈوئل وکر ڈوئل پولی ہیڈرون سیلف ڈوئل پولیگن حوالہ جات بیرونی لنکس ڈوئل پولیگن ایپلٹ بذریعہ ڈان ہیچ پولیگنز بھی دیکھیں۔