Mutually unbiased bases
کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں، ہلبرٹ اسپیس سی ڈی میں اڈوں کے ایک سیٹ کو باہمی طور پر غیر جانبدار کہا جاتا ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ، اگر کوئی نظام اڈوں میں سے کسی ایک کی آئجن حالت میں تیار کیا جاتا ہے، تو پیمائش کے تمام نتائج دوسرے کے حوالے سے پیش گوئی کی جاتی ہے کہ وہ 1/d کے برابر امکان کے ساتھ واقع ہوگا۔ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا تصور سب سے پہلے شونگر نے 1960 میں متعارف کرایا تھا، اور باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے اطلاق پر غور کرنے والا پہلا شخص کوانٹم حالت کے تعین کے مسئلے میں ایوانوویچ تھا۔ ایم یو بیز اور ان کے وجود کا مسئلہ، اب ریاضی اور کوانٹم سائنسز کی کئی دیگر شاخوں میں کئی قریب سے متعلق مسائل اور مساوی اوتار کے طور پر جانا جاتا ہے، جیسے کہ ایس آئی سی-پی او وی ایم، محدود پروجیکٹو/افائن طیارے، پیچیدہ ہڈمارڈ میٹرکس وغیرہ۔ [تفصیلات کے لیے ذیل میں متعلقہ مسائل اور تعمیرات کے حصے دیکھیں] کوانٹم کلیدی تقسیم کے لیے ایم یو بی اہم ہیں، خاص طور پر محفوظ کوانٹم کلیدی تبادلے میں۔ بہت سے پروٹوکول میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے استعمال کیے جاتے ہیں کیونکہ نتیجہ بے ترتیب ہوتا ہے جب پیمائش اس بنیاد پر کی جاتی ہے جس میں ریاست تیار کی گئی تھی۔ جب دو دور دراز فریق دو غیر آرتھوگنل کوانٹم حالتوں کا اشتراک کرتے ہیں، تو ایک جاسوسی کرنے والے کی طرف سے پیمائش کے ذریعے ان کے درمیان فرق کرنے کی کوششیں نظام کو متاثر کریں گی اور اس کا پتہ لگایا جا سکتا ہے۔ اگرچہ بہت سے کوانٹم کرپٹوگرافی پروٹوکول 1-کوبٹ ٹیکنالوجیز پر انحصار کرتے ہیں، لیکن اعلی جہتی حالتوں کو استعمال کرتے ہوئے، جیسے کہ قترت، جاسوسی کے خلاف بہتر تحفظ کی اجازت دیتا ہے۔ یہ اعلی جہتی جگہوں میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے مطالعہ کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے دیگر استعمال میں کوانٹم اسٹیٹ کی تعمیر نو، کوانٹم ایرر کریکشن کوڈز، کوانٹم الجھاؤ کا پتہ لگانا، اور نام نہاد "مین کنگز پروبلم" شامل ہیں۔ تعریف اور مثالیں آرتھونورمل بیسز کی ایک جوڑی اور ہلبرٹ اسپیس سی ڈی میں باہمی طور پر غیر جانبدار کہا جاتا ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی بھی بنیاد کے درمیان اندرونی پروڈکٹ کی شدت کا مربع اور طول و عرض کے الٹا کے برابر ہو d: یہ بیسز مندرجہ ذیل معنوں میں غیر جانبدار ہیں: اگر کوئی نظام بیسز میں سے کسی ایک سے تعلق رکھنے والی حالت میں تیار کیا جاتا ہے، تو دوسری بنیاد کے حوالے سے پیمائش کے تمام نتائج کے برابر امکانات کے ساتھ پیش گوئی کی جاتی ہے۔ d = 2 کے لیے مثال تینوں بیس C2 میں باہمی طور پر غیر جانبدار بیسز کی آسان ترین مثال فراہم کرتے ہیں۔ مندرجہ بالا بیس بالترتیب پالی اسپن میٹرکس کے آئجین ویکٹرز اور ان کے پروڈکٹ پر مشتمل ہیں۔ ڈی = 4 کی مثال ڈی = 4 کے لیے، ڈی + 1 = 5 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی ایک مثال جہاں ہر بنیاد کو ایم جے، 0 ≤ جے ≤ 4 سے ظاہر کیا جاتا ہے، مندرجہ ذیل ہے: وجود کا مسئلہ آئیے ڈی جہتی ہلبرٹ اسپیس سی ڈی میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد کو ظاہر کریں۔ یہ ایک کھلا سوال ہے کہ صوابدیدی d کے لیے Cd میں کتنے باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے مل سکتے ہیں۔ عام طور پر، اگر d کی پرائم پاور فیکٹرائزیشن ہے، تو پھر باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد جو تعمیر کی جا سکتی ہے مطمئن ہوتی ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اگر ہلبرٹ اسپیس d کا طول و عرض کسی پرائم نمبر کی انٹیجر پاور ہے، تو d + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کو تلاش کرنا ممکن ہے۔ یہ پچھلی مساوات میں دیکھا جا سکتا ہے، کیونکہ d کا پرائم نمبر سڑنا آسان ہے۔ لہذا، اس طرح، باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد اس وقت معلوم ہوتی ہے جب d ایک پرائم نمبر کی انٹیجر پاور ہو، لیکن یہ من مانی d کے لیے نہیں جانا جاتا ہے۔ متعلقہ مسائل ایم یو بی کا مسئلہ فطرت میں SIC _ POVM کی سمیٹرک پراپرٹی سے ملتا جلتا معلوم ہوتا ہے۔ ووٹرز بتاتے ہیں کہ غیر جانبدار اڈوں کا ایک مکمل مجموعہ ایک ہندسی ڈھانچہ پیدا کرتا ہے جسے ایک محدود پروجیکٹو طیارہ کہا جاتا ہے، جبکہ ایک ایس آئی سی-پی او وی ایم (کسی بھی جہت میں جو ایک پرائم پاور ہے) ایک محدود افائن طیارہ پیدا کرتا ہے، ایک قسم کی ساخت جس کی تعریف پوائنٹس اور لائنوں کے تبادلے کے کردار کے ساتھ ایک محدود پروجیکٹو طیارہ سے ملتی جلتی ہے۔ اس لحاظ سے، ایس آئی سی-پی او وی ایم اور باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے مسائل ایک دوسرے کے لیے دوہرے ہیں۔ طول و عرض میں، مشابہت کو مزید آگے لے جایا جا سکتا ہے: باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا ایک مکمل مجموعہ براہ راست ایس آئی سی-پی او وی ایم سے بنایا جا سکتا ہے۔ ایس آئی سی-پی او وی ایم کے 9 ویکٹر، باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے 12 ویکٹرز کے ساتھ مل کر، ایک سیٹ بناتے ہیں جسے کوچن-سپیکر پروف میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، 6 جہتی ہلبرٹ خلا میں، ایک ایس آئی سی-پی او وی ایم معلوم ہے، لیکن ابھی تک باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا کوئی مکمل مجموعہ دریافت نہیں ہوا ہے، اور یہ وسیع پیمانے پر مانا جاتا ہے کہ ایسا کوئی سیٹ موجود نہیں ہے۔ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کو تلاش کرنے کے طریقے ویل گروپ کا طریقہ ہلبرٹ اسپیس سی ڈی میں دو یکطرفہ آپریٹر ہونے دیں جیسے کہ کچھ فیز فیکٹر کے لیے۔ اگر اتحاد کی ابتدائی جڑ ہے، مثال کے طور پر تو اور کی آئجین بیسز باہمی طور پر غیر جانبدار ہیں۔ ایگن بیس کو معیاری بنیاد کے طور پر منتخب کرکے، ہم فورئیر میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے اس سے غیر جانبدار ایک اور بنیاد پیدا کر سکتے ہیں۔ فورئیر میٹرکس کے عناصر دیگر اڈوں کے ذریعے دیے جاتے ہیں جو معیاری بنیاد دونوں کے لیے غیر جانبدار ہوتے ہیں اور فورئیر میٹرکس کے ذریعے تیار کردہ بنیاد ویل گروپوں کا استعمال کرتے ہوئے تیار کی جا سکتی ہے۔ ویل گروپوں کا استعمال کرتے ہوئے باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے سیٹ تیار کرتے وقت ہلبرٹ اسپیس کا طول و عرض اہم ہوتا ہے۔ جب d ایک پرائم نمبر ہوتا ہے، تو ویل گروپوں کا استعمال کرتے ہوئے معمول کے d + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار بیس تیار کیے جا سکتے ہیں۔ جب d ایک پرائم نمبر نہیں ہے، تو یہ ممکن ہے کہ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد جو اس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے پیدا کی جا سکتی ہے وہ 3 ہو۔ یونٹری آپریٹرز کا طریقہ محدود فیلڈز کا استعمال کرتے ہوئے جب d = p پرائم ہوتا ہے، تو ہم یونٹری آپریٹرز کی وضاحت کرتے ہیں اور اس سے کہ معیاری بنیاد کہاں ہے اور یہ یونٹی کی جڑ ہے۔ پھر مندرجہ ذیل d + 1 آپریٹرز کے آئجین بیس باہمی طور پر غیر جانبدار ہوتے ہیں: عجیب d کے لیے، آپریٹر کا t-th آئجین ویکٹر واضح طور پر اس طرح دیا جاتا ہے جب ایک پرائم کی طاقت ہوتی ہے، تو ہم ایک زیادہ سے زیادہ سیٹ کی تعمیر کے لیے محدود فیلڈ کا استعمال کرتے ہیں۔ d + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا۔ ہم محدود فیلڈ کا استعمال کرتے ہوئے سی ڈی کی کمپیوٹیشنل بنیاد کے عناصر کو لیبل کرتے ہیں: ہم آپریٹرز کی وضاحت کرتے ہیں اور مندرجہ ذیل طریقے سے جہاں فیلڈ پر ایک اضافی کردار ہے اور کیٹس میں اضافہ اور ضرب ہے اور وہ ہے۔ پھر ہم آمد و رفت کے یکطرفہ آپریٹرز کے ڈی + 1 سیٹ بناتے ہیں: اور ہر ایک کے لیے ایک سیٹ میں آپریٹرز کے مشترکہ آئجن بیس کسی دوسرے سیٹ کے ساتھ باہمی طور پر غیر جانبدار ہوتے ہیں۔ اس طرح ہمارے پاس d + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے ہیں۔ ہڈمارڈ میٹرکس کا طریقہ یہ دیکھتے ہوئے کہ ہلبرٹ اسپیس میں ایک بنیاد معیاری بنیاد ہے، پھر وہ تمام اڈے جو اس بنیاد کے حوالے سے غیر جانبدار ہیں ان کی نمائندگی ایک پیچیدہ ہڈمارڈ میٹرکس کے کالموں سے کی جا سکتی ہے جسے نارملائزیشن فیکٹر سے ضرب دی جا سکتی ہے۔ d = 3 کے لیے ان میٹرکس کی شکل ہوگی k + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے سیٹ کو تلاش کرنے کا مسئلہ اس لیے k باہمی طور پر غیر جانبدار پیچیدہ ہڈمارڈ میٹرکس کو تلاش کرنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ 4 جہتی ہلبرٹ اسپیس میں ہڈمارڈ میٹرکس کے ایک پیرامیٹر فیملی کی ایک مثال یہ ہے کہ جب d = 6 ہو تو ایم یو بی کے زیادہ سے زیادہ سیٹ کو تلاش کرنے کا مسئلہ سب سے چھوٹا طول و عرض جو کسی پرائم کی انٹیجر پاور نہیں ہے وہ d = 6 ہے۔ یہ سب سے چھوٹی جہت بھی ہے جس کے لیے باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی تعداد معلوم نہیں ہے۔ جب d کسی پرائم نمبر کی انٹیجر پاور ہو تو باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی تعداد کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہونے والے طریقے اس معاملے میں استعمال نہیں کیے جا سکتے۔ جب d = 6 ہو تو چار باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے سیٹ کی تلاش، دونوں ہڈمارڈ میٹرکس اور عددی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ناکام رہے ہیں۔ عام عقیدہ یہ ہے کہ d = 6 کے لیے باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد ہے۔ اینٹروپک غیر یقینی تعلقات اور ایم یو بی باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی ایک متبادل خصوصیت ہے جو انہیں غیر یقینی تعلقات کے لحاظ سے سمجھتی ہے۔ اینٹروپک غیر یقینی تعلقات ہائزن برگ کے غیر یقینی اصول سے ملتے جلتے ہیں، اور ماسن اور افینک نے پایا کہ کسی بھی دو اڈوں کے لیے اور: جہاں اور اور اڈوں کی متعلقہ اینٹروپی ہے اور، جب کسی دی گئی حالت کی پیمائش کی جاتی ہے۔ اینٹروپک غیر یقینی تعلقات اکثر ہائزن برگ کے غیر یقینی اصول سے بہتر ہوتے ہیں، کیونکہ انہیں پیمائش کی جانے والی حالت کے لحاظ سے نہیں، بلکہ سی کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے۔ کوانٹم کلیدی تقسیم جیسے منظرناموں میں، ہم پیمائش کے اڈوں کا مقصد اس طرح رکھتے ہیں کہ ایک بنیاد کے حوالے سے کسی ریاست کا مکمل علم دوسرے اڈوں کے حوالے سے ریاست کا کم سے کم علم ظاہر کرتا ہے۔ اس کا مطلب پیمائش کے نتائج کی ایک اعلی اینٹروپی ہے، اور اس طرح ہم ان مضبوط اینٹروپک غیر یقینی تعلقات کو کہتے ہیں۔ دو اڈوں کے لیے، غیر یقینی تعلقات کی نچلی حد کو زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے جب پیمائش کے اڈے باہمی طور پر غیر جانبدار ہوتے ہیں، کیونکہ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے زیادہ سے زیادہ مطابقت نہیں رکھتے ہیں: اس بنیاد پر کی گئی پیمائش کا نتیجہ جس میں حالت تیار کی جاتی ہے اس سے غیر جانبدار ہوتا ہے۔ مکمل طور پر بے ترتیب ہے۔ در حقیقت، ایک ڈی جہتی جگہ کے لیے، ہمارے پاس: باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے کسی بھی جوڑے کے لیے اور۔ یہ باؤنڈ زیادہ سے زیادہ ہے: اگر ہم کسی بیس سے کسی حالت کی پیمائش کرتے ہیں تو اس کے نتیجے میں اس بیس میں اینٹروپی 0 اور دوسرے میں اینٹروپی ہوتی ہے۔ اگر خلا کا طول و عرض ایک پرائم پاور ہے، تو ہم ڈی + 1 ایم یو بی بنا سکتے ہیں، اور پھر یہ پایا گیا ہے کہ جو اس رشتے سے زیادہ مضبوط ہے جو ہمیں سیٹوں کو جوڑنے اور پھر ماسین اور افینک مساوات کا استعمال کرنے سے ملے گا۔ اس طرح ہمارے پاس d + 1 باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی خصوصیت ہے جن کے لیے غیر یقینی تعلقات سب سے مضبوط ہیں۔ اگرچہ دو اڈوں اور ڈی + 1 اڈوں کے معاملے کا اچھی طرح سے مطالعہ کیا گیا ہے، لیکن دوسرے حالات میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے لیے غیر یقینی تعلقات کے بارے میں بہت کم معلوم ہے۔ دو سے زیادہ، اور اڈوں سے کم پر غور کرتے وقت یہ معلوم ہوتا ہے کہ باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے بڑے سیٹ موجود ہیں جو بہت کم غیر یقینی صورتحال کا مظاہرہ کرتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ محض باہمی طور پر غیر جانبدار ہونا اعلی غیر یقینی صورتحال کا باعث نہیں بنتا، سوائے اس کے کہ جب صرف دو بنیادوں میں پیمائش پر غور کیا جائے۔ پھر بھی ایسی دیگر پیمائش موجود ہیں جو بہت غیر یقینی ہیں۔ ہلبرٹ خالی جگہوں میں لامحدود جہتوں میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈے اگرچہ لامحدود جہتوں میں ہلبرٹ خالی جگہوں میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کی تحقیقات کی گئی ہیں، لیکن ان کا وجود ایک کھلا سوال ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ مسلسل ہلبرٹ اسپیس میں، دو آرتھونورمل بیسز اور کہا جاتا ہے کہ وہ باہمی طور پر غیر جانبدار ہیں اگر عمومی پوزیشن اور مومنٹم آئجین اسٹیٹس کے لیے اور، k کی قیمت ہے۔ مسلسل ہلبرٹ اسپیس میں باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کا وجود بحث کے لیے کھلا رہتا ہے، کیونکہ کسی بھی نتیجے پر پہنچنے سے پہلے ان کے وجود میں مزید تحقیق کی ضرورت ہوتی ہے۔ پوزیشن اسٹیٹس اور مومنٹم اسٹیٹس بالترتیب ہرمیٹین آپریٹرز کے آئجین ویکٹر ہیں۔ ویگرٹ اور ولکنسن نے سب سے پہلے یہ محسوس کیا کہ ان آپریٹرز کے لکیری امتزاج میں بھی آئجین بیس ہوتے ہیں، جن میں کچھ خصوصیات ہوتی ہیں جو باہمی طور پر غیر جانبدار اڈوں کے لیے مخصوص ہوتی ہیں۔ ایک آپریٹر کے پاس آئجن فنکشنز کے ساتھ اور متعلقہ آئجن ویلیوز کے متناسب ہوتے ہیں۔ اگر ہم پیرامیٹریز کرتے ہیں اور جیسا کہ اور، لکیری امتزاج کے کسی بھی آئجین اسٹیٹ اور پوزیشن آپریٹر کے کسی بھی آئجین اسٹیٹ (دونوں اسٹیٹس کو ڈیراک ڈیلٹا میں نارمل کیا گیا ہے) کے درمیان اوورلیپ مستقل ہے، لیکن اس پر منحصر ہے: اور کے آئجین فنکشن کے لیے کہاں اور کہاں کھڑے ہیں۔ مزید دیکھیں کوانٹم میکانکس میں پیمائش POVM SIC-POVM QBism حوالہ جات کوانٹم پیمائش طبیعیات میں حل نہ ہونے والے مسائل ریاضی میں حل نہ ہونے والے مسائل ہلبرٹ اسپیس آپریٹر تھیوری انسیڈنس جیومیٹری یوکلڈین طیارہ جیومیٹری الجبرائی جیومیٹری ہائپر گراف کمپیوٹر کی مدد سے ثبوت