Satisfaction equilibrium
گیم تھیوری میں، اطمینان کا توازن غیر تعاون پر مبنی کھیلوں کے ایک طبقے کے لیے حل کا تصور ہے، یعنی اطمینان کی شکل میں کھیل۔ اطمینان میں کھیل ماڈل کے حالات تشکیل دیتے ہیں جن میں کھلاڑیوں کا مقصد کسی دی گئی انفرادی رکاوٹ کو پورا کرنا ہوتا ہے، مثال کے طور پر، کارکردگی کا میٹرک کسی دی گئی حد سے چھوٹا یا بڑا ہونا چاہیے۔ جب کوئی کھلاڑی اپنی رکاوٹوں کو پورا کرتا ہے، تو کھلاڑی کو مطمئن کہا جاتا ہے۔ اطمینان کا توازن، اگر موجود ہے، تب پیدا ہوتا ہے جب کھیل کے تمام کھلاڑی مطمئن ہوتے ہیں۔ اطمینان توازن (ایس ای) کی اصطلاح سب سے پہلے ان کھلاڑیوں کے درمیان متحرک تعامل کے مستحکم نقطہ نظر کی طرف اشارہ کرنے کے لیے استعمال کی گئی تھی جو اقدامات کر کے اور اپنی ادائیگیوں کا مشاہدہ کر کے توازن سیکھ رہے ہیں۔ توازن اطمینان کے اصول پر منحصر ہے، جس میں یہ شرط رکھی گئی ہے کہ ایک ایجنٹ جو اپنی موجودہ ادائیگی سے مطمئن ہے وہ اپنی موجودہ کارروائی کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ بعد میں، اطمینان کے توازن کے تصور کو اطمینان کی شکل میں کھیلوں کے حل کے تصور کے طور پر متعارف کرایا گیا۔ اس طرح کے حل کا تصور الیکٹریکل انجینئرنگ کے دائرے میں وائرلیس ایڈہاک نیٹ ورک میں کوالٹی آف سروس (کیو او ایس) کے تجزیے کے لیے متعارف کرایا گیا تھا۔ اس تناظر میں، ریڈیو ڈیوائسز (نیٹ ورک اجزاء) کو کھلاڑیوں کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے جو کچھ ٹارگٹڈ کیو او ایس کو مطمئن کرنے کے لیے اپنی آپریٹنگ ترتیبات کا فیصلہ کرتے ہیں۔ توانائی کی کارکردگی، سپیکٹرم شیئرنگ اور ٹرانسمیٹ پاور کنٹرول کے مسئلے سے نمٹنے کے لیے سیلولر مواصلات (5 جی) کی پانچویں نسل کے تناظر میں اطمینان کی شکل میں گیمز اور اطمینان کے توازن کے تصور کا استعمال کیا گیا ہے۔ سمارٹ گرڈ میں، ڈیٹا انجیکشن حملوں کے مسئلے کو ماڈلنگ کرنے کے لیے اطمینان کی شکل میں گیمز کا استعمال کیا گیا ہے۔ اطمینان کی شکل میں کھیل مکمل، کامل معلومات کے جامد کھیلوں میں، کسی کھیل کی اطمینان کی شکل کی نمائندگی کھلاڑیوں کے سیٹ، کھلاڑیوں کے ایکشن سیٹ اور ان کی ترجیحات کی ایک وضاحت ہے۔ کسی دیئے گئے کھلاڑی کی ترجیحات کا تعین نقشہ سازی کے ذریعے کیا جاتا ہے، جسے اکثر ترجیحی نقشہ سازی کہا جاتا ہے، دوسرے تمام کھلاڑیوں کے ایکشن سیٹوں کے کارٹیشین پروڈکٹ سے لے کر دیئے گئے کھلاڑی کے پاور سیٹ آف ایکشن تک۔ یعنی، دوسرے تمام کھلاڑیوں کے ذریعہ اپنائے گئے اقدامات کو دیکھتے ہوئے، ترجیحی نقشہ سازی ان اقدامات کے ذیلی سیٹ کا تعین کرتی ہے جس سے کھلاڑی مطمئن ہوتا ہے۔ تعریف [اطمینان کی شکل میں کھیل] اطمینان کی شکل میں کھیل کو ایک ٹپل کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے جہاں، سیٹ، کے ساتھ، کھلاڑیوں کے سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ سیٹ، کے ساتھ اور، ان اعمال کے سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے جو کھلاڑی کھیل سکتا ہے۔ ترجیحی نقشہ سازی اس عمل کے سیٹ کا تعین کرتی ہے جس سے دوسرے تمام کھلاڑیوں کے ذریعے کھیلے گئے اعمال کو دیکھتے ہوئے کھلاڑی مطمئن ہوتا ہے۔ سیٹ پاور سیٹ ہے۔ دیگر موجودہ گیم فارمولیشن کے برعکس، مثال کے طور پر، عام شکل اور محدود ایکشن سیٹوں کے ساتھ عام شکل، کارکردگی کو بہتر بنانے کا تصور، یعنی افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرنا یا لاگت کو کم کرنا، موجود نہیں ہے۔ اطمینان فارم ماڈل میں کھیل وہ صورت ہے جس میں کھلاڑی اپنے اعمال کو اپناتے ہیں جس کا مقصد دوسرے تمام کھلاڑیوں کے ذریعہ اپنائے گئے اقدامات کو دیکھتے ہوئے ایک مخصوص انفرادی رکاوٹ کو پورا کرنا ہوتا ہے۔ ایک اہم تبصرہ یہ ہے کہ، کھلاڑیوں کو لاپرواہ سمجھا جاتا ہے کہ آیا دوسرے کھلاڑی اپنی انفرادی رکاوٹوں کو پورا کر سکتے ہیں یا نہیں۔ اطمینان کا توازن ایک ایکشن پروفائل ایک ٹپل ہے۔ ایکشن پروفائل جس میں تمام کھلاڑی مطمئن ہوتے ہیں، اطمینان کی شکل میں متعلقہ کھیل کا توازن ہوتا ہے۔ اطمینان کے توازن میں، کھلاڑی اپنے موجودہ عمل کو تبدیل کرنے میں کوئی خاص دلچسپی ظاہر نہیں کرتے ہیں۔ تعریف [خالص حکمت عملیوں میں اطمینان کا توازن] ایکشن پروفائل کھیل کے لیے خالص حکمت عملیوں میں اطمینان کا توازن ہے۔ مخلوط حکمت عملیوں میں اطمینان کا توازن سب کے لیے، سیٹ پر تمام ممکنہ امکانات کی تقسیم کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ امکان کی تقسیم (مخلوط حکمت عملی) کی طرف اشارہ کریں جو کھلاڑی اپنے اعمال کو منتخب کرنے کے لیے اپناتا ہے۔ سب کے لیے، اس امکان کی نمائندگی کرتا ہے جس کے ساتھ کھلاڑی ایکشن کا انتخاب کرتا ہے۔ اشارے کھلاڑی کے علاوہ تمام کھلاڑیوں کی مخلوط حکمت عملی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ تعریف [اطمینان فارم کی مخلوط حکمت عملیوں میں توسیع] کھیل کی مخلوط حکمت عملیوں میں توسیع کو ٹپل کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جہاں خط و کتابت تمام ممکنہ امکانات کی تقسیم کے سیٹ کا تعین کرتا ہے جو کھلاڑی کو ایک ایسا عمل منتخب کرنے کی اجازت دیتا ہے جو امکانات کے ساتھ اپنے انفرادی حالات کو مطمئن کرتا ہے، یعنی مخلوط حکمت عملیوں میں اطمینان کے توازن کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ تعریف [مخلوط حکمت عملیوں میں اطمینان کا توازن] مخلوط حکمت عملی پروفائل مخلوط حکمت عملیوں میں ایک ایس ای ہے اگر سب کے لیے،۔ کھلاڑی کی-th کارروائی، یعنی، یکطرفہ ویکٹر کے ساتھ منسلک ہونے دیں، جہاں، اس کے-th جزو کے علاوہ تمام اجزاء صفر ہیں، جو ایک کے برابر ہے۔ ویکٹر ایک انحطاط شدہ امکان کی تقسیم کی نمائندگی کرتا ہے، جہاں عمل کو تعیناتی طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ اس دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، یہ واضح ہو جاتا ہے کہ کھیل کی خالص حکمت عملیوں میں ہر اطمینان کا توازن بھی کھیل کی مخلوط حکمت عملیوں میں اطمینان کا توازن ہے۔ کھیل کے ایس ای میں، کھلاڑی امکانات کی تقسیم کے بعد اپنے اعمال کا انتخاب اس طرح کرتے ہیں کہ صرف ایکشن پروفائلز جو تمام کھلاڑیوں کو بیک وقت اپنے انفرادی حالات کو پورا کرنے کی اجازت دیتے ہیں اور امکان کے ساتھ ایک مثبت امکان کے ساتھ کھیلا جاتا ہے۔ لہذا، اس صورت میں جس میں خالص حکمت عملیوں میں ایک ایس ای موجود نہیں ہے، پھر، یہ کھیل میں مخلوط حکمت عملیوں میں ایس ای موجود نہیں ہے۔ ε-اطمینان کا توازن بعض حالات کے تحت، مخلوط حکمت عملی بنانا ہمیشہ ممکن ہوتا ہے جو کھلاڑیوں کو امکانات سے مطمئن کرنے کی اجازت دیتا ہے، کچھ کے لیے۔ یہ مشاہدہ ایک حل کے تصور کی تعریف کی طرف لے جاتا ہے جسے-اطمینان توازن (-SE) کہا جاتا ہے۔ تعریف: [ε-اطمینان کا توازن] مطمئن ہونے دیں۔ مکسڈ اسٹریٹجی پروفائل گیم کا ایک ایپسیلون-سیٹیفیکشن ایکویلیبریئم (-ایس ای) ہے، اگر سب کے لیے، تو یہ اس کے بعد آتا ہے، جہاں اوپر کی تعریف سے، یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ اگر مکسڈ اسٹریٹجی پروفائل ایک-ایس ای ہے، تو یہ مانتا ہے کہ، یعنی، کھلاڑی امکان سے مطمئن نہیں ہیں۔ - ایس ای کی مطابقت یہ ہے کہ یہ اس حقیقت کا نمونہ ہے کہ کھلاڑی ایک خاص عدم اطمینان کی سطح پر روادار ہو سکتے ہیں۔ کسی دیئے گئے-ایس ای میں، کوئی بھی کھلاڑی اپنی مخلوط حکمت عملی کے پروفائل کو تبدیل کرنے میں دلچسپی نہیں رکھتا جب تک کہ وہ کچھ کے لیے اس سے زیادہ یا اس کے برابر امکان سے مطمئن ہو۔ خالص یا مخلوط حکمت عملیوں میں ایس ای کے وجود کے حالات کے برعکس،-ایس ای کے وجود کے حالات ہلکے ہیں۔ تجویز [ایک-ایس ای کا وجود]، اطمینان کی شکل میں ایک محدود کھیل بننے دیں۔ پھر، اگر سب کے لیے، ہمیشہ ایک ایکشن پروفائل موجود ہوتا ہے، تو ہمیشہ ایک حکمت عملی پروفائل موجود ہوتا ہے اور ایک حقیقی، اس کے ساتھ، ایک-ایس ای ہوتا ہے۔ توازن سلیکشن گیمز اطمینان کی شکل میں کئی اطمینان کے توازن کا مظاہرہ کر سکتے ہیں۔ ایسی صورت میں، کھلاڑی اپنے ہر ایک عمل سے ایک قدر منسلک کر سکتے ہیں جو اس طرح کے عمل کو کھیلنے کی کوشش یا قیمت کی نمائندگی کرتی ہے۔ اس نقطہ نظر سے، اگر کئی ایس ای موجود ہیں، تو کھلاڑی اس کو ترجیح دے سکتے ہیں جس کے لیے سب سے کم (عالمی یا انفرادی) کوشش یا لاگت کی ضرورت ہو۔ اس ترجیح کا نمونہ بنانے کے لیے، اطمینان کی شکل میں کھیل ہر کھلاڑی کے لیے لاگت کے افعال سے لیس ہو سکتے ہیں۔ سب کے لیے، فنکشن کو کھلاڑی کی طرف سے اپنے ہر عمل کو استعمال کرنے کے لیے ادا کی جانے والی کوشش یا لاگت کا تعین کرنے دیں۔ مزید خاص طور پر، ایک جوڑے کے اعمال کو دیکھتے ہوئے، کھلاڑی کے خلاف کارروائی کو ترجیح دی جاتی ہے اگر نوٹ کریں کہ کھلاڑی کے لیے یہ ترجیح دوسرے تمام کھلاڑیوں کے ذریعے اپنائے گئے اقدامات سے آزاد ہے۔ تعریف: [موثر اطمینان کا توازن (ای ایس ای)] اطمینان کی شکل میں کھیل کی خالص حکمت عملیوں میں اطمینان کے توازن کا مجموعہ بننے دیں۔ حکمت عملی کا خاکہ ایک موثر اطمینان کا توازن ہے اگر سب کے لیے، یہ اس کی پیروی کرتا ہے۔ اس معمولی صورت میں جس میں تمام فنکشن کے لیے ایک مستقل فنکشن ہوتا ہے، ESE کا سیٹ اور SE کا سیٹ ایک جیسے ہوتے ہیں۔ یہ تمام موجودہ توازن کے درمیان ایک (اطمینان) توازن کو منتخب کرنے کے لیے ایک یا دوسرے عمل کو کھیلنے کی کوشش میں فرق کرنے کی کھلاڑیوں کی صلاحیت کی مطابقت کو اجاگر کرتا ہے۔ اطمینان کے عدم توازن کے ساتھ اطمینان کی شکل میں کھیلوں میں، جب تمام کھلاڑی اس کے اعمال کو مختلف اخراجات تفویض کرتے ہیں، یعنی، سب کے لیے اور سب کے لیے، یہ مانتا ہے کہ، ہمیشہ ایک ای ایس ای موجود رہتا ہے۔ بہر حال، یہ لازمی طور پر منفرد نہیں ہے، جس کا مطلب ہے کہ انفرادی لاگت کے افعال کے تصور سے بالاتر دیگر توازن اصلاحات کے لیے اب بھی گنجائش موجود ہے۔ جن کھیلوں کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ اطمینان کی شکل میں ہوتے ہیں جن کے لیے کوئی ایکشن پروفائل موجود نہیں ہوتا ہے جس میں تمام کھلاڑی مطمئن ہوتے ہیں وہ اطمینان کا توازن نہیں رکھتے ہیں۔ اس صورت میں، ایک ایکشن پروفائل سیٹ اور کے ذریعہ بنائے گئے سیٹ کی تقسیم کو جنم دیتا ہے۔ ایک طرف کھلاڑی مطمئن ہیں۔ دوسری طرف، کھلاڑی غیر مطمئن ہیں۔ اگر سیٹ میں موجود کھلاڑی دوسرے تمام کھلاڑیوں کے اعمال کو دیکھتے ہوئے اس کے کسی بھی عمل سے مطمئن نہیں ہو سکتے ہیں، تو یہ کھلاڑی اس کے موجودہ عمل کو تبدیل کرنے میں دلچسپی نہیں رکھتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایکشن پروفائلز جو اس شرط کو پورا کرتے ہیں وہ بھی توازن ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کوئی بھی کھلاڑی خاص طور پر اپنے موجودہ اعمال کو تبدیل کرنے میں دلچسپی نہیں رکھتا، یہاں تک کہ وہ بھی جو غیر مطمئن ہیں۔ یہ استدلال ایک اور حل کے تصور کی طرف لے گیا جسے عمومی اطمینان توازن (جی ایس ای) کہا جاتا ہے۔ یہ عمومی شکل ایک نئے کھیل کی تشکیل کے تناظر میں تجویز کی گئی ہے، یعنی عمومی اطمینان کی شکل۔ تعریف: [عمومی اطمینان فارم] عمومی اطمینان کی شکل میں ایک کھیل کو ٹپل کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جہاں، سیٹ، کے ساتھ، کھلاڑیوں کے سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ سیٹ، کے ساتھ اور، ان اعمال کے سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے جو کھلاڑی کھیل سکتا ہے۔ اور ترجیحی نقشہ سازی، اس حمایت کے ساتھ امکانی بڑے پیمانے پر افعال (مخلوط حکمت عملیوں) کے سیٹ کا تعین کرتی ہے جو دوسرے تمام کھلاڑیوں کی طرف سے اپنائی گئی مخلوط حکمت عملیوں کو دیکھتے ہوئے کھلاڑی کو مطمئن کرتی ہے۔ عمومی اطمینان کے توازن کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ تعریف: [عمومی اطمینان توازن (جی ایس ای)] مخلوط حکمت عملی پروفائل عمومی اطمینان کی شکل میں کھیل کا عمومی اطمینان توازن ہے اگر سیٹوں کے ذریعہ بنائے گئے سیٹ کی تقسیم موجود ہو اور مندرجہ ذیل ہولڈز: (i) سب کے لیے، اور (ii) سب کے لیے، نوٹ کریں کہ جی ایس ای اطمینان کی شکل میں کھیل کے-ایس ای کے تصور پر ابالتا ہے جب، اور سب کے لیے، خط و کتابت کے ساتھ ہونے کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، جی ایس ای کب اور کب مخلوط حکمت عملیوں میں ایس ای کے تصور پر منحصر ہے۔ آخر میں، نوٹ کریں کہ کوئی بھی ایس ای جی ایس ای ہے، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے۔ حوالہ جات گیم تھیوری توازن تصورات