Special linear Lie algebra
ریاضی میں، ترتیب n (اشارہ شدہ یا) کا خصوصی لکیری لائ الجبرا میٹرکس کا لائ الجبرا ہے جس میں ٹریس صفر اور لائ بریکٹ کے ساتھ ہے۔ یہ الجبرا اچھی طرح سے مطالعہ اور سمجھا جاتا ہے، اور اکثر دوسرے لائ الجبرا کے مطالعہ کے لیے ایک ماڈل کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔ لائ گروپ جو یہ پیدا کرتا ہے وہ خصوصی لکیری گروپ ہے۔ لائ الجبرا خصوصی اضافیت، عمومی اضافیت اور سپرسیمیٹری کے مطالعہ کے لیے مرکزی حیثیت رکھتا ہے: اس کی بنیادی نمائندگی نام نہاد اسپنر نمائندگی ہے، جبکہ اس کی ملحقہ نمائندگی خصوصی اضافیت کے لورینٹز گروپ ایس او (3,1) کو پیدا کرتی ہے۔ الجبرہ افراتفری اور فریکٹلز کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتا ہے، کیونکہ یہ موبیئس گروپ ایس ایل (2، آر) پیدا کرتا ہے، جو ہائپربولک طیارہ کے آٹومورفزم کو بیان کرتا ہے، جو منفی منحنی خطوط کی سب سے آسان ریمن سطح ہے۔ اس کے برعکس، ایس ایل (2، سی) ہائپربولک 3 جہتی گیند کے آٹومورفزم کو بیان کرتا ہے۔ نمائندگی نظریہ ایس ایل 2 سی کا نمائندگی نظریہ جھوٹ الجبرا ایک سہ جہتی پیچیدہ جھوٹ الجبرا ہے۔ اس کی وضاحتی خصوصیت یہ ہے کہ اس میں ایک ایسی بنیاد ہوتی ہے جو تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتی ہے، اور۔ یہ کارٹن ویل کی بنیاد ہے۔ صفر ٹریس کے ساتھ دو بائی دو پیچیدہ میٹرکس کے لحاظ سے اس کا واضح ادراک ہے:،،۔ یہ اس کے لیے بنیادی یا وضاحتی نمائندگی ہے۔ جھوٹ الجبرا کو اس کے عالمگیر لفافے والے الجبرا کی ذیلی جگہ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے اور، میں، انڈکشن کے ذریعے دکھائے گئے درج ذیل کمیونیٹر تعلقات ہیں:،۔ نوٹ کریں کہ، یہاں، اختیارات، وغیرہ۔ پاورز کو الجبرہ U کے عناصر کے طور پر حوالہ دیں نہ کہ میٹرکس پاورز کے۔ پہلی بنیادی حقیقت (جو مندرجہ بالا کمیونیٹیٹر تعلقات سے ملتی ہے) یہ ہے: اس لیما سے، کوئی مندرجہ ذیل بنیادی نتیجہ اخذ کرتا ہے: پہلا بیان درست ہے کیونکہ یا تو صفر ہے یا-آئجن ویلیو دوسروں کی آئجن ویلیوز سے الگ ہے جو غیر صفر ہیں۔ یہ کہنا کہ ایک-وزن ویکٹر یہ کہنے کے مترادف ہے کہ یہ بیک وقت ایک آئجین ویکٹر ہے۔ ایک مختصر حساب سے پتہ چلتا ہے کہ، اس صورت میں، کی-آئجین ویلیو صفر ہے:۔ اس طرح، کچھ عدد کے لیے، اور خاص طور پر، ابتدائی لیما کے ذریعے، جس کا مطلب یہ ہے کہ۔ یہ دکھانا باقی ہے کہ ناقابل تلافی ہے۔ اگر ذیلی نمائندگی ہے، تو یہ ایک آئجین ویکٹر کو قبول کرتا ہے، جس میں فارم کی آئجین ویلیو ہونی چاہیے ؛ اس طرح اس کے متناسب ہے۔ پچھلے لیما کے مطابق، ہمارے پاس ہے اور اس طرح ہے۔ نتیجہ کے طور پر، ایک نتیجہ اخذ کرتا ہے: اگر محدود طول و عرض ہے اور ناقابل تلافی ہے، تو v کی-آئجن ویلیو ایک غیر منفی عدد ہے اور اس کی بنیاد ہے۔ اس کے برعکس، اگر کی-آئجین ویلیو ایک غیر منفی عدد ہے اور ناقابل کٹوتی ہے، تو اس کی ایک بنیاد ہوتی ہے ؛ خاص طور پر اس کی جہت محدود ہوتی ہے۔ کا خوبصورت خصوصی کیس لائ الجبرا کی ناقابل تلافی نمائندگی تلاش کرنے کا ایک عام طریقہ دکھاتا ہے۔ یعنی ہم الجبرا کو تین ذیلی الجبراس "ایچ" (کارٹن ذیلی الجبرہ)، "ای"، اور "ایف" میں تقسیم کرتے ہیں، جو تقریبا ان کے ناموں کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ یعنی، ایک ناقابل تلافی نمائندگی میں، ہمارے پاس "ایچ" کا "سب سے اونچا" آئجین ویکٹر ہے، جس پر "ای" صفر سے کام کرتا ہے۔ ناقابل تلافی نمائندگی کی بنیاد "ایچ" کے سب سے زیادہ آئجین ویکٹر پر "ایف" کے عمل سے پیدا ہوتی ہے۔ سب سے زیادہ وزن کا نظریہ دیکھیں۔ ایس ایل این سی کی نمائندگی کا نظریہ جب جہت کے پیچیدہ ویکٹر اسپیس کے لیے، کی ہر محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی کی ٹینسر پاور کی ذیلی نمائندگی کے طور پر پائی جا سکتی ہے۔ لائ الجبرا کو واضح طور پر ٹریسل لیس میٹرکس کے میٹرکس لائ الجبرا کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ یہ اس کے لیے بنیادی نمائندگی ہے۔ اندراج میں ایک کے ساتھ میٹرکس کے طور پر سیٹ کریں اور ہر جگہ صفر کریں۔ پھر اس کے لیے ایک بنیاد بنائیں۔ یہ تکنیکی طور پر اشارے کا غلط استعمال ہے، اور یہ واقعی بنیادی نمائندگی کی بنیاد کی تصویر ہیں۔ مزید برآں، یہ حقیقت میں کارٹن-ویل کی بنیاد ہے، جس میں کارٹن ذیلی الجبرا پھیلا ہوا ہے۔ اشارے کا تعارف اگر، اور، یہ بھی کہ اگر، مثبت جڑیں ہیں اور اسی طرح کے منفی جڑیں ہیں۔ سادہ جڑوں کی بنیاد فار کے ذریعے دی گئی ہے۔ نوٹ حوالہ جات ایٹنگوف، پاول۔ "لیکچر نوٹس آن ریپریزنٹیشن تھیوری"۔ اے۔ ایل۔ اونشچک، ای۔ بی۔ ونبرگ، وی۔ وی۔ گورباٹسیویچ، لائ گروپس اور لائ الجیبراس کی ساخت۔ جھوٹ گروپس اور جھوٹ الجبرا، III۔ انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز، 41۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 1994۔ IV + 248 پی پی۔ (ریاضی میں موجودہ مسائل کا ترجمہ۔ بنیادی ہدایات۔ جلد۔ 41، اکد۔ نوک ایس ایس ایس آر، ویسیوز۔ انسٹا۔ نوچن۔ میں ٹیکنالوجی. اطلاع دیں۔، ماسکو، 1990۔ ترجمہ وی۔ میناچن۔ ترجمہ اے۔ ایل۔ اونشک اور ای۔ بی۔ ونبرگ) وی۔ ایل۔ پوپوف، ای۔ بی۔ ونبرگ، انویرنٹ تھیوری کے ذریعے ترمیم شدہ۔ الجبرائی جیومیٹری۔ IV. لکیری الجبرائی گروہ۔ انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز، 55۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 1994۔ vi + 284 پی پی۔ (الجبرائی جیومیٹری کا ترجمہ۔ 4، اکد۔ نوک ایس ایس ایس آر ویسیوز۔ انسٹا۔ نوچن۔ میں ٹیکنالوجی. اطلاع دیں۔، ماسکو، 1989۔ ترجمہ اے۔ این۔ پارشین اور آئی۔ آر۔ شفاریویچ کے ذریعے ترمیم شدہ)۔ افائن ویل گروپ فائنائٹ کاکسٹر گروپ ہس خاکہ لکیری الجبرائی گروپ نیل پوٹینٹ آربیٹ روٹ سسٹم ایس ایل 2-ٹرپل ویل گروپ لائ گروپس بھی دیکھیں۔