Petal projection
گانٹھ کے نظریہ میں، گانٹھ کا پنکھڑی پروجیکشن ایک واحد کراسنگ کے ساتھ گانٹھ کا خاکہ ہے، جس پر غیر گھونسلے والے آرکس ("پنکھڑیوں") کی ایک عجیب تعداد ملتی ہے۔ چونکہ اس کراسنگ پوائنٹ پر گانٹھ کی شاخوں کے درمیان اوپر سے نیچے کا تعلق خاکہ کی ظاہری شکل سے ظاہر نہیں ہوتا ہے، اس لیے اسے شاخوں کی اوپر سے نیچے کی ترتیب کو بیان کرنے والے ترتیب کے طور پر الگ سے واضح کیا جانا چاہیے۔ ہر گانٹھ یا لنک میں پنکھڑی کا پروجیکشن ہوتا ہے۔ اس طرح کے پروجیکشن میں پنکھڑیوں کی کم از کم تعداد ایک گانٹھ کے غیر متغیر، گانٹھ کے پنکھڑی نمبر کی وضاحت کرتی ہے۔ پیٹل پروجیکشنز کو پیٹالوما ماڈل کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو کہ پنکھڑیوں کی دی گئی تعداد کے ساتھ گانٹھوں پر امکان کی تقسیم کا ایک خاندان ہے، جس کی تعریف پنکھڑی کے خاکے کی شاخوں کے لیے بے ترتیب ترتیب کا انتخاب کرکے کی جاتی ہے۔ پیٹل پروجیکشن ایک پنکھڑی پروجیکشن ایک خاص قسم کے گرہ خاکہ کے طور پر گرہ کی وضاحت ہے، ایک دو جہتی سیلف کراسنگ وکر جو گرہ کو تین جہتوں سے نیچے ہوائی جہاز تک پیش کر کے بنتی ہے۔ پنکھڑی کے پروجیکشن میں، اس خاکہ میں صرف ایک کراسنگ پوائنٹ ہوتا ہے، جو ایک ٹپوولوجیکل گلاب بناتا ہے۔ منحنی خطوط کی ہر دو شاخیں جو اس نقطہ سے گزرتی ہیں وہاں ایک دوسرے کو عبور کرتی ہیں۔ ایسی شاخیں جو عبور کیے بغیر ٹھوس طور پر ملتی ہیں ان کی اجازت نہیں ہے۔ منحنی خطوط کے آرکس سے بننے والی "پنکھڑیاں" جو نکلتی ہیں اور پھر اس کراسنگ پوائنٹ پر واپس آتی ہیں وہ تمام غیر گھونسلے دار، باؤنڈنگ بند ڈسک ہوتی ہیں جو کراسنگ پوائنٹ پر ان کے مشترکہ چوراہے کے علاوہ جداگانہ ہوتی ہیں۔ اس ٹپوولوجیکل تفصیل سے آگے، منحنی خطوط کی عین مطابق شکل غیر اہم ہے۔ مثال کے طور پر، اس قسم کے منحنی خطوط کو الجبرائی طور پر گلاب کے مخصوص منحنی خطوط کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، کراسنگ پوائنٹ کے پار سیدھی لکیر کے حصوں کا استعمال کرتے ہوئے پنکھڑیوں کا پروجیکشن کھینچنا عام بات ہے، جو پنکھڑیوں کو بنانے کے لیے ہموار منحنی خطوط کے ذریعے ان کے اختتامی نکات پر جڑے ہوتے ہیں۔ کراسنگ پوائنٹ پر منحنی خطوط کی شاخوں کے اوپر نیچے کے تعلق کی وضاحت کرنے کے لیے، ہر شاخ کو 1 سے شاخوں کی تعداد تک ایک عدد کے ساتھ لیبل کیا جاتا ہے، جس سے شاخوں کی اوپر سے نیچے کی ترتیب میں اس کی پوزیشن ملتی ہے جیسا کہ متوقع خاکہ کے اوپر تین جہتی نقطہ نظر سے دیکھا جائے گا۔ کراسنگ پوائنٹ کے ارد گرد شاخوں کی شعاعی ترتیب میں ان انٹیجرز کے چکور تعدد کو پنکھڑی پروجیکشن کی خالص مشترکہ وضاحت کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک واحد گرہ بنانے کے لیے، لنک کے بجائے، ایک پنکھڑی کے پروجیکشن میں اس کے کراسنگ پوائنٹ پر شاخوں کی ایک عجیب تعداد ہونی چاہیے۔ ہر گانٹھ کو پنکھڑیوں کی کافی بڑی تعداد والے خاکے کے لیے پنکھڑی پروجیکشن کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ کسی دی گئی گانٹھ کی پنکھڑی کے پروجیکشن میں پنکھڑیوں کی کم از کم ممکنہ تعداد ایک گانٹھ کے غیر متغیر کی وضاحت کرتی ہے جسے اس کی پنکھڑی نمبر کہا جاتا ہے۔ پیٹالوما ماڈل گانٹھوں پر ایک بے ترتیب تقسیم ہے، جسے پنکھڑیوں کے خاکے میں پنکھڑیوں کی ایک عجیب تعداد کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، اور اس کی شاخوں پر یکساں طور پر بے ترتیب ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے پنکھڑیوں کی اس تعداد کے ساتھ پنکھڑیوں کا خاکہ بنا کر اس کی تعریف کی جاتی ہے۔ پیٹل پروجیکشنز اور پیٹلما ماڈل کو جوڑنے کے لیے عمومی کاری کو گانٹھوں سے لنکس تک عام کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، اس عمومی کاری کے لیے، اس بات کی ضمانت دینا اب ممکن نہیں ہے کہ تمام پنکھڑیاں غیر گھونسلے والی ہوں۔ اس کے بجائے، لنکس کے لیے عام پنکھڑیوں کے تخمینوں میں ایک مختلف قسم کا معیاری خاکہ ہوتا ہے جو پنکھڑیوں کے کچھ گھونسلوں کی اجازت دیتا ہے۔ حوالہ جات ناٹ تھیوری