Finding Ellipses
ایلیپسس کی تلاش: کیا بلاشکے پروڈکٹس، پونسلیٹ کا نظریہ، اور عددی رینج ایک دوسرے کے بارے میں جانتے ہیں "پیچیدہ تجزیہ، جیومیٹری، اور لکیری الجبرا کے درمیان کچھ حیرت انگیز روابط"، اور ان منسلک طریقوں پر جو ان تینوں شعبوں میں مطالعہ کے دوسرے مضامین سے ایلیپسس پیدا ہو سکتے ہیں، ایک ریاضی کی کتاب ہے۔ اسے الریچ ڈیپ، پامیلا گورکن، اینڈریو شیفر، اور کارل ووس نے لکھا تھا، اور 2019 میں امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی اینڈ میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ نے کارس میتھمیٹیکل مونوگرافس کے جلد 34 کے طور پر شائع کیا تھا، جو کتابوں کا ایک سلسلہ ہے جس کا مقصد ریاضی کے تکنیکی موضوعات کو وسیع سامعین کے سامنے پیش کرنا ہے۔ ایلیپسس کی تلاش بلاشکے پروڈکٹس، پونسلیٹ کے کلوزر تھیوریم، اور میٹرکس کی عددی رینج کے درمیان تعلق کا مطالعہ کرتی ہے۔ بلاشکے پروڈکٹ ایک عقلی فنکشن ہے جو پیچیدہ سطح میں یونٹ ڈسک کو خود سے نقشہ بناتا ہے، اور ڈسک کے اندر کچھ دیئے گئے نکات کو اصل کی طرف نقشہ بناتا ہے۔ کتاب کے ذریعہ زیر غور مرکزی معاملے میں، تین الگ الگ دیئے گئے نکات ہیں، اور، اور ان کے بلاشکے پروڈکٹ کا فارمولا ہے۔ اس فنکشن کے لیے، یونٹ کے دائرے پر ہر نقطہ کی تین ابتدائی تصاویر ہوتی ہیں، یونٹ کے دائرے پر بھی۔ پری امیجز کے یہ تین مثلث اکائی دائرے میں کندہ مثلث بناتے ہیں، اور (یہ پتہ چلتا ہے) وہ سب ایک ایلیپس کو فوکیز ایٹ اینڈ کے ساتھ گھیرتے ہیں۔ اس طرح، وہ کثیر الاضلاعات کا ایک لامحدود نظام بناتے ہیں جو دو کونکس میں کندہ اور گھیر لیا جاتا ہے، جو بالکل اسی قسم کا نظام ہے جسے پونسلیٹ کا نظریہ بیان کرتا ہے۔ یہ نظریہ بیان کرتا ہے کہ، جب بھی ایک کثیر الاضحی کو کونک میں کندہ کیا جاتا ہے اور دوسرے کونک کو گھیر لیا جاتا ہے، تو یہ ایک ہی قسم کے کثیر الاضحی کے لامحدود خاندان کا حصہ ہوتا ہے، جو کسی بھی کونک کے ہر نقطہ سے ایک ہوتا ہے۔ بلاشکے پروڈکٹ سے تشکیل شدہ مثلثوں کا خاندان پونسلیٹ تھیوریم کے ان لامحدود خاندانوں میں سے ایک ہے۔ کتاب کے ذریعہ سروے کردہ کنکشن کا تیسرا حصہ میٹرکس کی عددی حد ہے، ایک ایسا خطہ جس کے اندر میٹرکس کی آئجین ویلیوز مل سکتی ہیں۔ ایک پیچیدہ میٹرکس کے معاملے میں، عددی رینج ایک ایلیپس ہے، جس کے نتیجے میں عام طور پر ایلیپٹیکل رینج تھیوریم کہا جاتا ہے، جس میں آئجین ویلیوز اس کے فوکیز ہوتے ہیں۔ ایک مخصوص میٹرکس کے لیے جس کے کوفیشنٹس دو دیئے گئے پوائنٹس سے اخذ کیے گئے ہیں، اور ان پوائنٹس کو اس کے ڈائیگنل پر رکھتے ہوئے، یہ ایلیپس وہ ہے جو پونسلیٹ تھیوریم کے مثلثوں سے گھیرا ہوا ہے۔ مزید برآں، کسی بھی میٹرکس کی عددی حد اس کے یک جہتی طول و عرض کی عددی حدود کا چوراہا ہے، جو اس معاملے میں یک جہتی میٹرکس ہیں جن میں سے ہر ایک میں پونسلیٹ تھیوریم کے مثلث میں سے ایک کو اس کی عددی حد کے طور پر اور مثلث کے تین عمودی کو اس کی آئجین ویلیوز کے طور پر ہے۔ ایلیپس کی تلاش کو تین حصوں میں ترتیب دیا گیا ہے۔ پہلا حصہ بلاشکے پروڈکٹس کی ریاضی، پونسلیٹ کا کلوزر تھیوریم، اور عددی حدود کو ان کے درمیان قریبی روابط کو ظاہر کرنے سے پہلے الگ الگ تیار کرتا ہے۔ کتاب کا دوسرا حصہ ان خیالات کو اعلی درجے کے بلاشکے پروڈکٹس، بڑے میٹرکس، اور متعلقہ عددی حدود کے لیے پونسلیٹ جیسے نتائج کے لیے عام کرتا ہے، جو ایلیپس کو عام کرتے ہیں۔ یہ عام فہمیاں ریاضی میں زیادہ اعلی درجے کے موضوعات سے منسلک ہوتی ہیں: "لیبسگیو تھیوری، ہارڈی اسپیس، فنکشنل تجزیہ، آپریٹر تھیوری اور مزید"۔ تیسرا حصہ طلباء کے لیے منصوبوں اور مشقوں پر مشتمل ہے تاکہ اس مواد کو کتاب میں نمائش سے آگے بڑھایا جا سکے۔ ویب ایپلٹس کا ایک آن لائن مجموعہ طلباء کو کتاب میں موجود تعمیرات کے ساتھ تجربہ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ سامعین اور استقبالیہ ایلیپسس کی تلاش بنیادی طور پر ریاضی میں اعلی درجے کے انڈرگریجویٹ طلباء کے لیے ہے، حالانکہ کورسز کے لیے نصابی کتاب کے بجائے انڈرگریجویٹ تحقیقی منصوبوں کے لیے ایک جمپنگ آف پوائنٹ کے طور پر زیادہ ہے۔ کتاب کا پہلا حصہ صرف معیاری انڈرگریجویٹ ریاضی کا استعمال کرتا ہے، لیکن دوسرا حصہ زیادہ مطالبہ کرنے والا ہے، اور جائزہ لینے والے بل سیٹزر لکھتے ہیں کہ "یہاں تک کہ بہترین طلباء بھی خود کو کتاب میں پیچھے اور آگے بڑھتے ہوئے پائیں گے، رابطے بنانے کی کوشش کرتے ہوئے مایوس محسوس کریں گے"۔ اس کے باوجود، لائن باریبیو لکھتے ہیں کہ یہ "واضح اور دلکش" ہے، اور جدید موضوعات کے استعمال میں پرکشش ہے۔ یونس زیٹنکو اس سے بھی زیادہ مثبت ہیں، اسے ایک "خوشی" قرار دیتے ہیں جو مضامین کے اس امتزاج کو ایک صاف پیکیج میں لانے کے "خواب کو پورا کرتا ہے" جو انڈرگریجویٹ کے لیے قابل رسائی ہے۔ حوالہ جات ریاضی کی کتابیں 2019 غیر افسانوی کتابیں امریکی ریاضیاتی سوسائٹی کی اشاعت