Rathjen's psi function
ریاضی میں، رتھجن کا پی ایس آئی فنکشن مائیکل رتھجن کے ذریعہ تیار کردہ ایک آرڈینل کولاپسنگ فنکشن ہے۔ یہ بڑے قابل گنتی آرڈینلز پیدا کرنے کے لیے کمزور ماہلو کارڈینلز کو منہدم کر دیتا ہے۔ کمزور ماہلو کارڈینل ایک ایسا کارڈینل ہوتا ہے جس کے نیچے باقاعدہ کارڈینلز کا سیٹ بند ہوتا ہے (یعنی۔ بند کیے گئے تمام عام افعال کچھ باقاعدہ آرڈینل کے تحت بند کیے جاتے ہیں)۔ رتھجن اس کا استعمال کمزور ناقابل رسائی درجہ بندی پر اخترن کرنے کے لیے کرتا ہے۔ یہ ایک متعلقہ آرڈینل نوٹیشن کو تسلیم کرتا ہے جس کی حد (یعنی۔ آرڈینل ٹائپ) ہے، جو دونوں سے سختی سے زیادہ ہے اور قابل گنتی آرڈینلز کی حد جس کا اظہار رتھجن نے کیا ہے۔ ، جسے "سمال رتھجن آرڈینل" کہا جاتا ہے، کرپکے-پلیٹک سیٹ تھیوری کا پروف تھیوریٹک آرڈینل ہے، جسے محور اسکیما کے ذریعے بڑھایا گیا ہے "کسی بھی فارمولہ کو مطمئن کرنے کے لیے، ایک قابل قبول سیٹ موجود ہے جو اطمینان بخش ہے۔" یہ رتھجن فنکشن کے برابر ہے۔ تعریف محدود اور بے شمار باقاعدہ کارڈینلز تک ؛ ایک فنکشن کے لیے ڈومین کی نشاندہی کرتے ہیں ؛ ظاہر کرتے ہیں، اور شمار کی نشاندہی کرتے ہیں۔ آخر میں، ایک آرڈینل کو سختی سے تنقیدی کہا جاتا ہے اگر۔ کے لیے اور: اگر کچھ کے لیے، منفرد کا استعمال کرتے ہوئے وضاحت کریں۔ بصورت دیگر اگر کچھ کے لیے، تو منفرد کا استعمال کرتے ہوئے وضاحت کریں، جہاں اصل ماخذ میں واضح طور پر بیان کردہ سخت تنقیدی آرڈینلز کا ایک مجموعہ ہے۔ کے لیے: وضاحت بے شمار باقاعدہ کارڈینلز تک محدود ہے۔ ایک انوکھا بڑھتا ہوا فنکشن ہے جس کی حد بالکل ہے۔ کی بندش ہے، یعنی۔ جہاں غیر صفر حد آرڈینلز کی کلاس کو ظاہر کرتا ہے۔ رتھجن نے اصل میں فنکشن کو زیادہ پیچیدہ انداز میں بیان کیا تاکہ اس سے وابستہ ایک آرڈینل نوٹیشن بنایا جا سکے۔ لہذا، یہ یقینی نہیں ہے کہ اوپر دیا گیا آسان او سی ایف ایک آرڈینل نوٹیشن دیتا ہے یا نہیں۔ رتھجن کے اصل او سی ایف میں استعمال ہونے والے اصل افعال کو سمجھنا بھی اتنا آسان نہیں ہے، اور اوپر بیان کردہ افعال سے مختلف ہیں۔ رتھجین اور اوپر فراہم کردہ آسانیاں ایک جیسے او سی ایف نہیں ہیں۔ یہ جزوی طور پر اس لیے ہے کہ سابقہ ایک آرڈینل نوٹیشن کو تسلیم کرنے کے لیے جانا جاتا ہے، جبکہ مؤخر الذکر ایک آرڈینل نوٹیشن کو تسلیم کرنے کے لیے نہیں جانا جاتا ہے۔ رتھجن کو اکثر اس کے دوسرے او سی ایف کے ساتھ الجھایا جاتا ہے جو علامت کو بھی استعمال کرتا ہے، لیکن وہ الگ الگ تصورات ہیں۔ پہلا ایک شائع شدہ او سی ایف ہے، جبکہ مؤخر الذکر ایک غیر شائع شدہ او سی ایف سے وابستہ آرڈینل نوٹیشن میں صرف ایک فنکشن کی علامت ہے۔ حوالہ جات ریاضیاتی منطق عام اعداد کارڈینل نمبر