Buchholz hydra
ریاضی میں، خاص طور پر ریاضیاتی منطق، گراف تھیوری اور نمبر تھیوری، بوچولز ہائیڈرا گیم ایک قسم کا ہائیڈرا گیم ہے، جو ایک واحد کھلاڑی کا کھیل ہے جو ریاضیاتی درخت کے ٹکڑوں کو کاٹنے کے خیال پر مبنی ہے۔ ہائیڈرا گیم کو تیزی سے بڑھتے ہوئے فنکشن کو پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو بالآخر تمام تکراری افعال پر حاوی ہوتا ہے جو ثابت طور پر کل میں ہوتے ہیں، اور تمام ہائیڈرا گیمز کا خاتمہ ثابت طور پر کل میں نہیں ہوتا ہے۔ قواعد یہ کھیل ایک ہائڈرا، ایک محدود، جڑوں سے جڑے ہوئے درخت پر کھیلا جاتا ہے، جس میں درج ذیل خصوصیات ہوتی ہیں: جڑ کا ایک خاص لیبل ہوتا ہے، جسے عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ کے کسی بھی دوسرے نوڈ کا لیبل ہوتا ہے۔ جڑ کے سیدھے اوپر موجود تمام نوڈس پر ایک لیبل ہوتا ہے۔ اگر کھلاڑی کے اوپری نوڈ کو ہٹانے کا فیصلہ کرتا ہے، تو ہائیڈرا پھر ایک صوابدیدی کا انتخاب کرے گا، جہاں موجودہ باری نمبر ہے، اور پھر خود کو مندرجہ ذیل طور پر ایک نئے ہائیڈرا میں تبدیل کر دے گا۔ آئیے والدین کی نمائندگی کرتے ہیں، اور آئیے ہائیڈرا کے اس حصے کی نمائندگی کرتے ہیں جو ہٹائے جانے کے بعد باقی رہتا ہے۔ کی تعریف کے لیبل پر منحصر ہے: اگر کا لیبل 0 ہے اور اس کا جڑ ہے، تو =۔ اگر کا لیبل 0 ہے لیکن اس کی جڑ نہیں ہے، تو اس کی کاپیاں اور اس کے تمام بچے بنائے جاتے ہیں، اور ان کے اور اس کے والدین کے درمیان کنارے شامل کیے جاتے ہیں۔ یہ نیا درخت ہے۔ اگر کا لیبل کچھ کے لیے ہے، تو نیچے دیے گئے پہلے نوڈ کو اس طرح لیبل کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد ذیلی ٹری ہے جو 0 کے ساتھ اور اس کے ساتھ لیبل کو شروع اور تبدیل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ پھر اسے لے کر اور اس کی جگہ لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، کی قدر سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔ اگر کا لیبل ہے، تو کا لیبل بدل کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اگر سب سے دائیں سر ہے، لکھا جاتا ہے۔ چالوں کے سلسلے کو حکمت عملی کہا جاتا ہے، اور حکمت عملی کو جیت کی حکمت عملی کہا جاتا ہے اگر، محدود مقدار میں چالوں کے بعد، ہائیڈرا اپنی جڑ تک کم ہو جائے۔ یہ ثابت ہو چکا ہے کہ یہ ہمیشہ ختم ہوتا ہے، حالانکہ ہائیڈرا بڑی مقدار میں لمبا ہو سکتا ہے۔ 1987 میں ہائیڈرا تھیوریم بوچولز کے مقالے سے پتہ چلتا ہے کہ ہائیڈرا اور ایک لامحدود اچھی طرح سے قائم درخت (یا بوچولز کے فنکشن سے وابستہ نوٹیشن سسٹم میں متعلقہ اصطلاح، جو ضروری نہیں کہ آرڈینل نوٹیشن سسٹم سے تعلق رکھتی ہو) کے درمیان کینونکل خط و کتابت، سب سے دائیں پتوں کے انتخاب کے بنیادی ترتیبات اور ایک لامحدود اچھی طرح سے قائم درخت پر آپریشن یا اسی اصطلاح پر آپریشن کو محفوظ رکھتا ہے۔ بوچولز ہائیڈرا کے لیے ہائیڈرا تھیوریم، جس میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی ہائیڈرا کے لیے کھونے کی حکمت عملی نہیں ہے، اس میں ناقابل ثابت ہے۔ بی ایچ (این) فرض کریں کہ ایک درخت صرف ایک شاخ پر مشتمل ہوتا ہے جس پر نوڈس ہوتے ہیں، جن پر لیبل ہوتا ہے۔ ایسے درخت کو پکارو۔ یہ ثابت نہیں کیا جا سکتا کہ سب کے لیے ایسی حکمت عملی موجود ہے جو جیتنے کی حکمت عملی ہے۔ (مؤخر الذکر اظہار کا مطلب ہے درخت کو لینا، پھر اسے اس کے ساتھ تبدیل کرنا، پھر، پھر، وغیرہ۔ تک۔) سب سے چھوٹے کے طور پر اس کی وضاحت کریں کہ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے وہ جیتنے کی حکمت عملی ہے۔ ہائیڈرا تھیوریم کے مطابق، یہ فنکشن اچھی طرح سے متعین ہے، لیکن اس کی مجموعی حیثیت میں ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ ہائیڈراس انتہائی تیزی سے بڑھتا ہے، کیونکہ مارنے کے لیے درکار موڑ کی مقدار گراہم کی تعداد یا کربی پیرس ہائیڈرا کو مارنے کے لیے موڑ کی مقدار سے بھی زیادہ ہے ؛ اور اس کی شاخ کے طور پر ایک مکمل کربی پیرس ہائیڈرا ہے۔ عین مطابق ہونے کے لیے، خیال کیا جاتا ہے کہ اس کی ترقی کی شرح کا موازنہ بغیر کسی ثبوت کے بنیادی ترتیب کے غیر متعینہ نظام کے حوالے سے کیا جا سکتا ہے۔ یہاں، بوخولز کے فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے، اور یہ ٹیکوٹی-فیفرمین-بوخولز آرڈینل ہے جو کی طاقت کی پیمائش کرتا ہے۔ بی ایچ فنکشن کی پہلی دو اقدار عملی طور پر انحطاط پذیر ہیں: اور۔ اسی طرح کمزور ٹری فنکشن کے لیے، بہت بڑا ہے، لیکن کم ہے۔ بوچولز ہائیڈرا بالآخر ٹری (این) اور ایس سی جی (این) کو پیچھے چھوڑ دیتا ہے، پھر بھی یہ ممکنہ طور پر لوڈر کے ساتھ ساتھ محدود وعدے کے کھیلوں کی تعداد سے بھی کمزور ہے۔ تجزیہ کچھ ہائیڈراس اور آرڈینلز کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت کرنا ممکن ہے۔ کسی درخت یا ذیلی درخت کو آرڈینل میں تبدیل کرنا: نوڈ کے تمام فوری بچوں کو آرڈینلز میں تبدیل کرنا۔ ان چائلڈ آرڈینلز کو شامل کریں۔ اگر بچے نہ ہوتے تو یہ 0 ہوتا۔ اگر نوڈ کا لیبل + نہیں ہے، تو لاگو کریں، نوڈ کا لیبل کہاں ہے، اور بوچولز کا فنکشن ہے۔ نتیجے میں آرڈینل اظہار صرف اس صورت میں مفید ہے جب یہ عام شکل میں ہو۔ کچھ مثالیں یہ ہیں: حوالہ جات درخت (گراف تھیوری) ریاضیاتی کھیل بڑی تعداد مجرد ریاضی میں عام اعداد تھیوریم