House monotonicity
ہاؤس مونوٹونیکیٹی (جسے ہاؤس سائز مونوٹونیکیٹی بھی کہا جاتا ہے) تقسیم کے طریقوں اور ملٹی ونر ووٹنگ سسٹم کی خاصیت ہے۔ یہ وفاقی ریاستوں (یا سیاسی جماعتوں کے درمیان) کے درمیان پارلیمنٹ میں نشستیں مختص کرنے کے طریقے ہیں۔ جائیداد کا کہنا ہے کہ، اگر "ایوان" (پارلیمنٹ) میں نشستوں کی تعداد بڑھتی ہے، اور طریقہ کار کو دوبارہ فعال کیا جاتا ہے، تو کسی بھی ریاست میں پہلے سے کم نشستیں نہیں ہونی چاہئیں۔ ایک ایسا طریقہ جو گھر کی یکسانیت کو مطمئن کرنے میں ناکام رہتا ہے کہا جاتا ہے کہ اس میں الاباما پیراڈوکس ہے۔ ہاؤس مونوٹونیکیٹی اس ترتیب کے لیے ریسورس مونوٹونیکیٹی کا خاص معاملہ ہے جس میں ریسورس ایک جیسی مجرد اشیاء (نشستوں) پر مشتمل ہوتا ہے۔ گھریلو یکسانیت کی خلاف ورزی کرنے والے طریقے گھریلو یکسانیت کی خلاف ورزی کرنے والے طریقہ کار کی ایک مثال سب سے بڑا بقیہ طریقہ ہے (= ہیملٹن کا طریقہ)۔ تین ریاستوں کے ساتھ درج ذیل مثال پر غور کریں: جب ایوان میں ایک نشست شامل کی جاتی ہے تو ریاست سی کا حصہ 2 سے کم ہو کر 1 ہو جاتا ہے۔ ایسا اس لیے ہوتا ہے کیونکہ نشستوں کی تعداد میں اضافہ چھوٹی ریاستوں کے مقابلے بڑی ریاستوں کے لیے منصفانہ حصہ میں تیزی سے اضافہ کرتا ہے۔ خاص طور پر، بڑے A اور B کا منصفانہ حصہ چھوٹے C کے مقابلے میں تیزی سے بڑھتا ہے۔ لہذا، A اور B کے فریکشنل حصوں میں C کے مقابلے تیزی سے اضافہ ہوا۔ در حقیقت، انہوں نے C کے فریکشن کو پیچھے چھوڑ دیا، جس کی وجہ سے C اپنی نشست کھو بیٹھا، کیونکہ طریقہ یہ جانچتا ہے کہ کون سی ریاستیں سب سے زیادہ بقیہ فریکشن رکھتی ہیں۔ اس کی دریافت کی تاریخ کی وجہ سے اس خلاف ورزی کو الاباما پیراڈوکس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ 1880 کی مردم شماری کے بعد، ریاستہائے متحدہ مردم شماری بیورو کے چیف کلرک، سی ڈبلیو سیٹن نے 275 اور 350 کے درمیان تمام ہاؤس سائز کے لیے تقسیم کا حساب لگایا، اور دریافت کیا کہ الاباما کو 299 کے ہاؤس سائز کے ساتھ آٹھ نشستیں ملیں گی لیکن 300 کے ہاؤس سائز کے ساتھ صرف سات۔ تخروپن کے تجربات سے پتہ چلتا ہے کہ یکسانیت کی خلاف ورزیاں کافی عام ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، بے ترتیب انتخابات میں، ہیملٹن کے طریقہ کار میں یکسانیت کی خلاف ورزی کرنے کے لیے 1/18 کا موقع ہوتا ہے۔ گھریلو یکسانیت کو مطمئن کرنے کے طریقے تقسیم کے لیے تمام اعلی اوسط کے طریقے (= تقسیم کرنے کے طریقے) گھریلو یکسانیت کو مطمئن کرتے ہیں۔ جب ڈیوائزر کے طریقوں کو چننے کے ترتیب کے طور پر نافذ کرنے پر غور کیا جائے تو یہ دیکھنا آسان ہے: جب کوئی سیٹ شامل کی جاتی ہے، تو صرف تبدیلی یہ ہوتی ہے کہ چننے کے ترتیب کو ایک اضافی چن کے ساتھ بڑھایا جاتا ہے۔ لہذا، تمام ریاستیں اپنی پہلے سے منتخب کردہ نشستیں برقرار رکھتی ہیں۔ اسی طرح، رینک-انڈیکس کے طریقے، جو تقسیم کرنے والے طریقوں کی عمومی کاری ہیں، گھریلو یکسانیت کو مطمئن کرتے ہیں۔ مزید برآں، کیپڈ ڈیویزر کے طریقے، جو ڈیویزر کے طریقوں کی مختلف قسمیں ہیں جن میں کسی ریاست کو کبھی بھی اپنے اوپری کوٹے سے زیادہ نشستیں نہیں ملتی ہیں، گھر کی یکسانیت کو بھی مطمئن کرتے ہیں۔ ایک مثال بالنسکی-ینگ کوٹہ طریقہ ہے۔ ہر ہاؤس مونوٹون طریقہ کو ہاؤس سائز ایچ کے تکراری فنکشن کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ رسمی طور پر، تقسیم کا طریقہ ہاؤس مونوٹون ہے اور دونوں کوٹے کو مطمئن کرتا ہے اگر-اور-صرف-اگر اسے مندرجہ ذیل طور پر تکراری طور پر بنایا گیا ہے (تعریفوں اور اشارے کے لیے تقسیم کا ریاضی دیکھیں): اگر، پھر کسی ایک ریاست کو نشستیں دے کر پایا جاتا ہے، جہاں: ریاستوں کا مجموعہ ہے جو نئے گھر کے سائز کے لیے اپنے اوپری کوٹے کی خلاف ورزی کیے بغیر اضافی نشست حاصل کر سکتا ہے۔ ریاستوں کا مجموعہ ہے جو مستقبل کے کسی گھر کے سائز کے لیے اپنے نچلے کوٹے سے کم وصول کر سکتا ہے۔ ہر مربوط تقسیم کا طریقہ ہاؤس مونوٹون ہے۔ کثیر فاتح ووٹنگ کے طریقے فریگمین کے ووٹنگ کے قوانین، منظوری بیلٹ اور درجہ بند بیلٹ دونوں کے لیے، ہاؤس مونوٹون ہیں۔ یہی بات تھیلی کے اضافے کے طریقہ کار اور تھیلی کے خاتمے کے طریقہ کار کے لیے بھی درست ہے۔ تاہم، تھیلی کا اصلاح کا طریقہ گھریلو یک سنگی نہیں ہے۔ وسائل کی یکسانیت-ممکنہ طور پر مختلف اشیاء کے لیے گھر کی یکسانیت کی عمومی شکل بھی دیکھیں۔ یکسانیت کا معیار-ایک مختلف معیار، جو درجہ بندی والے ووٹنگ کے نظام کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ حوالہ جات کی تقسیم کے طریقہ کار کے معیار انتخابی نظام کے معیارات