Plethystic exponential
ریاضی میں، پلیتھسٹک ایکسپونینشیل ایک مخصوص آپریٹر ہے جس کی تعریف (رسمی) پاور سیریز پر کی گئی ہے، جو معمول کی ایکسپونینشیل فنکشن کی طرح، اضافہ کو ضرب میں ترجمہ کرتا ہے۔ یہ ایکسپونینشل آپریٹر قدرتی طور پر سمیٹرک افعال کے نظریہ میں ظاہر ہوتا ہے، ابتدائی، مکمل اور طاقت کے لیے پیدا کرنے والی سیریز کے درمیان ایک جامع تعلق کے طور پر بہت سے متغیرات میں یکساں سمیٹرک کثیر الجہتی جمع کرتا ہے۔ اس کا نام اس آپریشن سے آیا ہے جسے پلیتھزم کہا جاتا ہے، جس کی تعریف نام نہاد لیمبڈا رنگز کے تناظر میں کی گئی ہے۔ امتزاج میں، پلیتھسٹک ایکسپونینشل انٹیجرز، کثیر الجہتی یا پاور سیریز کے بہت سے اچھی طرح سے مطالعہ شدہ ترتیبات کے لیے ایک جنریٹنگ فنکشن ہے، جیسے کہ انٹیجر پارٹیشنز کی تعداد۔ یہ غیر لیبل شدہ گرافوں اور بہت سی دیگر مشترکہ اشیاء کے عددی امتزاج میں بھی ایک اہم تکنیک ہے۔ جیومیٹری اور ٹوپولوجی میں، کسی جگہ کے کسی مخصوص ہندسی/ٹوپولوجک غیر متغیر کا پلیتھسٹک ایکسپونینشل، اس کے ہم آہنگی والے مصنوعات کے متعلقہ غیر متغیر کا تعین کرتا ہے۔ تعریف، اہم خصوصیات اور بنیادی مثالیں متغیر میں رسمی پاور سیریز کی ایک رنگ بنیں، جس میں کوفیشنٹس ایک مواصلاتی رنگ میں ہوتے ہیں۔ مستقل اصطلاح کے بغیر پاور سیریز پر مشتمل آئیڈیل سے ظاہر کریں۔ پھر، دی گئی ہے، اس کی پلیتھسٹک ایکسپونینشیل اس طرح دی جاتی ہے کہ معمول کی ایکسپونینشیل فنکشن کہاں ہے۔ اس کی آسانی سے تصدیق کی جاتی ہے کہ (صرف اس وقت لکھنا جب متغیر کو سمجھا جائے): کچھ بنیادی مثالیں یہ ہیں: اس آخری مثال میں، تقسیم کی تعداد ہے۔ بہت سے متغیرات میں پاور سیریز کے رنگوں کے لیے بھی پلیتھسٹک ایکسپونینشل کی تعریف کی جا سکتی ہے۔ پروڈکٹ-سم فارمولا پلیتھسٹک ایکسپونینشل کو بے شمار پروڈکٹ-سم شناخت فراہم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ خود پلیتھسٹک ایکسپونینشیلز کے لیے پروڈکٹ فارمولے کا نتیجہ ہے۔ اگر حقیقی کوفیشنٹس کے ساتھ ایک رسمی پاور سیریز کی نشاندہی کرتا ہے، تو یہ ظاہر کرنا مشکل نہیں ہے کہ: بہت سے متغیرات کے معاملے میں بھی ینالاگس پروڈکٹ کا اظہار ہوتا ہے۔ ایک خاص طور پر دلچسپ معاملہ انٹیجر پارٹیشنز اور سمیٹرک گروپ کے سائیکل انڈیکس سے اس کا تعلق ہے۔ متغیرات کے ساتھ کام کرتے ہوئے، مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی سے ظاہر ہوتا ہے، جو کہ متغیرات میں ڈگری k کے تمام مونومیلز کا مجموعہ ہے، اور ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی سے۔ پھر، دی اور دی کا تعلق پاور سم پولینومیئلز سے ہے: نیوٹن کی شناختوں کے لحاظ سے، جسے پلیتھسٹک ایکسپونینشیلز کا استعمال کرتے ہوئے مختصر طور پر لکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ: سمیٹرک مصنوعات کے لیے میکڈونلڈ کا فارمولا X کو ایک محدود سی ڈبلیو کمپلیکس، طول و عرض d کا، پوئن کیری پولینومیل کے ساتھ، جہاں اس کا kth بیٹی نمبر ہے۔ اس کے بعد ایکس کے nth سمیٹرک پروڈکٹ کا پوئن کیری کثیر الجہتی، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، سیریز کی توسیع سے حاصل کیا جاتا ہے: طبیعیات میں پلیتھسٹک پروگرام مضامین کے ایک سلسلے میں، نظریاتی طبیعیات دانوں کے ایک گروپ، بشمول بو فینگ، امیھے ہانانی اور یانگ ہوئی نے، سپرسیمیٹرک گیج تھیوریز کے سنگل اور ملٹی ٹریس گیج غیر متغیر آپریٹرز کو منظم طریقے سے گننے کے لیے ایک پروگرام کی تجویز پیش کی۔ کالابی-یو یکسانیت کی تحقیقات کرنے والے ڈی-برینز کے کوئور گیج نظریات کے معاملے میں، اس گنتی کو یکسانیت کی ہلبرٹ سیریز کے پلیتھسٹک ایکسپونینشل میں مرتب کیا گیا ہے۔ حوالہ جات سمیٹرک افعال