Mathematics of apportionment
تقسیم کا ریاضی ریاضیاتی اصولوں اور الگورتھم کو بیان کرتا ہے جو مختلف حقوق کے حامل فریقوں کے درمیان یکساں اشیاء کی منصفانہ تقسیم کے لیے ہوتے ہیں۔ اس طرح کے اصولوں کا استعمال وفاقی ریاستوں یا سیاسی جماعتوں کے درمیان پارلیمنٹ میں نشستوں کی تقسیم کے لیے کیا جاتا ہے۔ تقسیم سے متعلق مزید ٹھوس اصولوں اور مسائل کے لیے تقسیم (سیاست)، اور دنیا بھر میں استعمال ہونے والے عملی طریقوں کے لیے ملک کے لحاظ سے تقسیم دیکھیں۔ ریاضیاتی طور پر، تقسیم کا طریقہ صرف انٹیجرز کے فریکشن کو گول کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ جتنا آسان لگے، گول کرنے کا ہر طریقہ ایک یا زیادہ تضادات کا شکار ہوتا ہے۔ تقسیم کے ریاضیاتی نظریہ کا مقصد یہ فیصلہ کرنا ہے کہ کن تضادات سے بچا جا سکتا ہے، یا دوسرے الفاظ میں، تقسیم کے طریقہ کار سے کن خصوصیات کی توقع کی جا سکتی ہے۔ تقسیم کے ریاضیاتی نظریہ کا مطالعہ 1907 کے اوائل میں ریاضی دان ایگنر کرروپ ایرلانگ نے کیا تھا۔ اسے بعد میں ریاضی دان مشیل بالنسکی اور ماہر معاشیات پیٹن ینگ نے بڑی تفصیل کے ساتھ تیار کیا۔ سیاسی جماعتوں پر اس کے اطلاق کے علاوہ، یہ منصفانہ آئٹم الاٹمنٹ پر بھی لاگو ہوتا ہے جب ایجنٹوں کے مختلف حقوق ہوتے ہیں۔ یہ افرادی قوت کی منصوبہ بندی میں بھی متعلقہ ہے-جہاں ملازمتوں کو لیبر پول کی خصوصیات کے تناسب سے مختص کیا جانا چاہیے، اعداد و شمار کے لیے-جہاں فیصد کی رپورٹ شدہ گول تعداد 100% تک ہونی چاہیے، اور دیوالیہ پن کے مسائل کے لیے۔ تعریفیں ان پٹ تقسیم کے طریقہ کار کے لیے ان پٹ یہ ہیں: ایک مثبت عدد جو مختص کرنے کے لیے آئٹمز کی کل تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ اسے گھر کا سائز بھی کہا جاتا ہے، کیونکہ بہت سے معاملات میں، مختص کرنے والی اشیاء ایوان نمائندگان میں نشستیں ہوتی ہیں۔ ایک مثبت عدد جو ایجنٹوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے جس کے لیے اشیاء مختص کی جانی چاہئیں۔ مثال کے طور پر، یہ وفاقی ریاستیں یا سیاسی جماعتیں ہو سکتی ہیں۔ حق کی نمائندگی کرنے والے اعداد کا ایک ویکٹر-ایجنٹ کے حق کی نمائندگی کرتا ہے، یعنی ان اشیاء کی مقدار جس کا حقدار ہے (کل میں سے)۔ ان حقوق کو اکثر اس طرح معمول پر لایا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، انہیں اس طرح معمول پر لایا جا سکتا ہے کہ ان کا مجموعہ ہو ؛ اس صورت میں استحقاق کو کوٹہ کہا جاتا ہے اور اسے کہاں اور کہاں سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، ایک کو آبادی کا ویکٹر دیا جاتا ہے ؛ یہاں، ایجنٹ کا حق ہے۔ آؤٹ پٹ انٹیجرز کا ایک ویکٹر ہے، جسے کی تقسیم کہا جاتا ہے، جہاں ایجنٹ i کو مختص کردہ آئٹمز کی تعداد ہے۔ ہر ایجنٹ کے لیے، حقیقی نمبر کو کوٹا کہا جاتا ہے، اور ان اشیاء کی صحیح تعداد کی نشاندہی کرتا ہے جنہیں دیا جانا چاہیے۔ عام طور پر، "منصفانہ" تقسیم وہ ہوتی ہے جس میں ہر مختص رقم کوٹے کے جتنا ممکن ہو اتنا قریب ہو۔ تقسیم کا طریقہ تقسیم کے ویکٹروں کا ایک مجموعہ واپس کر سکتا ہے (دوسرے الفاظ میں: یہ ایک کثیر قدر والا فنکشن ہے)۔ یہ ضروری ہے، کیونکہ بعض صورتوں میں دو ممکنہ حل کے درمیان فرق کرنے کا کوئی مناسب طریقہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر (یا کوئی اور طاق عدد) اور، تو (50,51) اور (51,50) دونوں یکساں طور پر معقول حل ہیں، اور ایک کو دوسرے کے اوپر منتخب کرنے کا کوئی ریاضیاتی طریقہ نہیں ہے۔ اگرچہ اس طرح کے تعلقات عملی طور پر انتہائی نایاب ہیں، لیکن نظریہ کو ان کا حساب دینا چاہیے (عملی طور پر، جب کوئی تقسیم کا طریقہ متعدد نتائج واپس کرتا ہے، تو ان میں سے ایک کا انتخاب کچھ بیرونی ترجیحی اصولوں کے ذریعے، یا سکے کو پلٹانے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ ریاضیاتی تقسیم کے نظریہ کے دائرہ کار سے باہر ہے)۔ تقسیم کے طریقہ کار کو کثیر قدر والے فنکشن سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک مخصوص حل ایک واحد قدر والا فنکشن ہے جو ایک واحد تقسیم کا انتخاب کرتا ہے۔ جزوی تقسیم کا طریقہ اور کی مخصوص مقررہ اقدار کے لیے تقسیم کا طریقہ ہے۔ یہ ایک کثیر قدر والا فنکشن ہے جو صرف ایک-ویکٹر کو قبول کرتا ہے۔ متغیرات بعض اوقات، ان پٹ میں انٹیجرز کا ایک ویکٹر بھی ہوتا ہے جو کم سے کم ضروریات کی نمائندگی کرتا ہے-وہ آئٹمز کی سب سے چھوٹی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے جو ایجنٹ کو اس کے حق سے قطع نظر موصول ہونا چاہیے۔ لہذا آؤٹ پٹ پر ایک اضافی ضرورت ہے: سب کے لیے۔ جب ایجنٹ سیاسی جماعتیں ہوتے ہیں، تو یہ نمبر عام طور پر 0 ہوتے ہیں، اس لیے اس ویکٹر کو خارج کر دیا جاتا ہے۔ لیکن جب ایجنٹ ریاستیں یا اضلاع ہوتے ہیں، تو یہ تعداد اکثر مثبت ہوتی ہے تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ سب کی نمائندگی ہو۔ وہ تمام ایجنٹوں کے لیے یکساں ہو سکتے ہیں (مثلا۔ 1 امریکی ریاستوں کے لیے، 2 فرانس کے اضلاع کے لیے)، یا مختلف (مثال کے طور پر۔ کینیڈا یا یورپی پارلیمنٹ میں)۔ بعض اوقات زیادہ سے زیادہ ضروریات کا ایک ویکٹر بھی ہوتا ہے، لیکن یہ کم عام ہے۔ بنیادی تقاضے ایسی بنیادی خصوصیات ہیں جنہیں کسی بھی معقول تقسیم کے طریقہ کار سے پورا کیا جانا چاہیے۔ انہیں مختلف مصنفین نے مختلف نام دیے تھے: بائیں طرف کے نام پیوکلشیم کے ہیں ؛ دائیں طرف قوسین میں موجود نام بالنسکی اور ینگ کے ہیں۔ گمنامیت (= ہم آہنگی) کا مطلب ہے کہ تقسیم کا انحصار ایجنٹوں کے ناموں یا اشاریہ جات پر نہیں ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، اگر کوئی ترتیب ہے، تو اس میں تقسیم بالکل اسی طرح کی ترتیب ہے جس میں تقسیم ہوتی ہے۔ یہ ضرورت تب سمجھ میں آتی ہے جب کوئی کم سے کم تقاضے نہ ہوں، یا جب تقاضے ایک جیسے ہوں ؛ اگر وہ ایک جیسے نہ ہوں، تو نام ظاہر نہ کرنا تقاضوں کے پورا ہونے کے تابع ہونا چاہیے۔ توازن (= توازن) کا مطلب ہے کہ اگر دو ایجنٹوں کے مساوی حقوق ہیں، تو ان کی مختص رقم میں زیادہ سے زیادہ 1: کا فرق ہونا چاہیے۔ ہم آہنگی (= کمزور آبادی یکسانیت) کا مطلب ہے کہ سختی سے زیادہ استحقاق والا ایجنٹ کم از کم اتنی ہی اشیاء وصول کرتا ہے: شائستگی (= یکسانیت) کا مطلب ہے کہ استحقاق ویکٹر کو اسکیل کرنا نتیجہ کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ رسمی طور پر، ہر مستقل سی کے لیے (اگر تقسیم کے طریقہ کار میں ان پٹ کو معمول بنایا جائے تو یہ خود بخود مطمئن ہو جاتا ہے)۔ درستگی (= کمزور متناسبیت) کا مطلب ہے کہ اگر کوئی کامل حل موجود ہے تو اسے ضرور منتخب کیا جانا چاہیے۔ رسمی طور پر، اگر ہر ایجنٹ کا کوٹہ ایک عدد عدد ہے، تو اس میں ایک منفرد ویکٹر ہونا چاہیے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر ایچ کی تقسیم بالکل متناسب ہے، تو یہ اس کا منفرد عنصر ہونا چاہیے۔ مضبوط درستگی کا مطلب یہ ہے کہ درستگی بھی "حد میں" ہے۔ یعنی، اگر استحقاق ویکٹروں کی ایک ترتیب ایک انٹیجر کوٹا ویکٹر میں ضم ہو جاتی ہے، تو ترتیب کے تمام عناصر میں واحد مختص ویکٹر ہے۔ کمزور درستگی سے فرق دیکھنے کے لیے درج ذیل اصول پر غور کریں۔ (ا) ہر ایجنٹ کو اس کا کوٹہ مکمل کریں، (ب) باقی نشستیں بار بار سب سے بڑی جماعتوں کو دیں۔ یہ اصول کمزور طور پر درست ہے، لیکن سختی سے درست نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ h = 6 اور کوٹا ویکٹرز (4 + 1/k، 2-1/k) کی ترتیب پر غور کریں۔ مندرجہ بالا قاعدہ تمام k کے لیے مختص (5,1) حاصل کرتا ہے، حالانکہ جب k → φ عدد ویکٹر (4,2) ہوتا ہے تو حد ہوتی ہے۔ مضبوط متناسبیت کا مطلب ہے کہ، اس کے علاوہ، اگر، اور، اور کچھ ایچ-تقسیم ہے جو بالکل متناسب ہے، تو یہ اس کا منفرد عنصر ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک حل (3,3) ہے، تو اس کا واحد حل (2,2) ہونا چاہیے۔ مکمل ہونے کا مطلب یہ ہے کہ، اگر کچھ تقسیم استحقاق ویکٹروں کی متغیر ترتیب کے لیے واپس کی جاتی ہے، تو ان کی حد ویکٹر کے لیے بھی واپس کی جاتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، سیٹ-استحقاق ویکٹرز کا سیٹ جس کے لیے ایک ممکنہ تقسیم ہے-ٹوپولوجیکل طور پر بند ہے۔ ایک نامکمل طریقہ کسی بھی حد کے حق میں تقسیم کو شامل کرکے "مکمل" کیا جا سکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ ترتیب میں ہر حق سے تعلق رکھتا ہو۔ ہم آہنگی اور متناسب تقسیم کے طریقہ کار کی تکمیل مکمل، ہم آہنگی اور متناسب ہوتی ہے۔ مکمل ہونے کی خلاف ورزی ان طریقوں سے ہوتی ہے جو بیرونی ٹائی بریکنگ اصول کا اطلاق کرتے ہیں، جیسا کہ عملی طور پر بہت سے ممالک کرتے ہیں۔ ٹائی بریکنگ کا اصول صرف حد کے معاملے میں لاگو ہوتا ہے، لہذا یہ تکمیل کو توڑ سکتا ہے۔ مکمل اور کمزوری-درستگی مل کر مضبوط-درستگی کا مطلب ہے۔ اگر ایک مکمل اور کمزور طریقے سے درست طریقے میں ایک مناسب ٹائی بریکنگ رول شامل کرکے ترمیم کی جاتی ہے، تو اس کے نتیجے میں بننے والا قاعدہ اب مکمل نہیں ہوتا، لیکن پھر بھی یہ مضبوطی سے درست ہوتا ہے۔ دیگر غور و فکر تقسیم کی متناسبیت کو نشستوں سے ووٹوں کے تناسب اور گالاگر انڈیکس سے ماپا جا سکتا ہے۔ انتخابی حدود کے ساتھ تقسیم کی متناسبیت سیاسی ٹکڑے ٹکڑے کرنے اور سیاسی مقابلے میں داخلے میں رکاوٹ کو متاثر کرتی ہے۔ تقسیم کے عام طریقے تقسیم کے بہت سے طریقے ہیں، اور انہیں کئی طریقوں میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ بقیہ کے سب سے بڑے طریقے کوٹے کے ویکٹر کی گنتی سے شروع ہوتے ہیں، یعنی۔ اگر ان گول اقدار کا مجموعہ بالکل درست ہے، تو یہ ویکٹر منفرد تقسیم کے طور پر واپس کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، رقم اس سے چھوٹی ہوتی ہے۔ اس صورت میں، بقیہ اشیا ایجنٹوں کے درمیان ان کے بقیہ کے مطابق مختص کی جاتی ہیں: سب سے زیادہ بقیہ والے ایجنٹ کو ایک نشست ملتی ہے، پھر دوسرے سب سے بڑے بقیہ والے ایجنٹ کو ایک نشست ملتی ہے، اور اسی طرح، جب تک کہ تمام اشیا مختص نہ ہو جائیں۔ ایل آر طریقہ کار کی کئی قسمیں ہیں، جو اس بات پر منحصر ہے کہ کون سا کوٹہ استعمال کیا جاتا ہے: سادہ کوٹہ، جسے ہرے کوٹہ بھی کہا جاتا ہے، ہے۔ ہرے کوٹے کے ساتھ ایل آر کا استعمال ہیملٹن کے طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ ہیگنباخ-بسچوف کوٹہ، جسے عین مطابق ڈروپ کوٹہ بھی کہا جاتا ہے، ہے۔ اس طریقہ کار میں کوٹہ بڑے ہوتے ہیں، اس لیے کم آئٹمز باقی رہ جاتے ہیں۔ نظریہ طور پر، یہ ممکن ہے کہ گول کوٹے کا مجموعہ اس سے بڑا ہو، لیکن عملی طور پر ایسا شاذ و نادر ہی ہوتا ہے۔ امپیریلی کوٹہ ہے۔ یہ کوٹہ کم عام ہے، کیونکہ اس بات کے زیادہ امکانات ہیں کہ راؤنڈ ڈاؤن کوٹے کا مجموعہ اس سے زیادہ ہوگا۔ تقسیم کرنے کے طریقے، کوٹے میں ایک مقررہ ضرب (جیسے یا) استعمال کرنے کے بجائے، ضرب کا انتخاب اس طرح کریں کہ گول کوٹے کا مجموعہ بالکل برابر ہو، لہذا مختص کرنے کے لیے کوئی باقی آئٹمز نہ ہوں۔ رسمی طور پر۔ تقسیم کرنے کے طریقے اس طریقہ سے مختلف ہوتے ہیں جو وہ گول کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ تقسیم کار طریقہ کو تقسیم کار فنکشن کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے جو ہر عدد کے لیے وقفہ میں ایک حقیقی نمبر کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ تمام نمبروں کو گول کیا جانا چاہیے، اور تمام نمبروں کو گول کیا جانا چاہیے۔ راؤنڈنگ فنکشن کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور ایک عدد اس طرح واپس کرتا ہے۔ نمبر کو خود اوپر اور نیچے دونوں طرف گول کیا جا سکتا ہے، اس لیے گول کرنے کا فنکشن کثیر قدر والا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایڈمز کا طریقہ استعمال کرتا ہے، جو راؤنڈنگ اپ سے مطابقت رکھتا ہے ؛ ڈی ہونڈ/جیفرسن طریقہ استعمال کرتا ہے، جو راؤنڈنگ ڈاؤن سے مطابقت رکھتا ہے ؛ اور ویبسٹر/سینٹ-لاگو طریقہ استعمال کرتا ہے، جو قریبی عدد سے راؤنڈنگ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک تقسیم کار طریقہ بھی بار بار شمار کیا جا سکتا ہے: ابتدائی طور پر، تمام فریقوں کے لیے 0 پر سیٹ کیا جاتا ہے۔ پھر، ہر تکرار پر، اگلی نشست ایک پارٹی کو مختص کی جاتی ہے جو تناسب کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے۔ رینک انڈیکس کے طریقوں کو ایک فنکشن کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے جو کم ہو رہا ہے۔ تقسیم کا حساب بار بار کیا جاتا ہے۔ ابتدائی طور پر، تمام پارٹیوں کے لیے 0 پر سیٹ کریں۔ پھر، ہر تکرار پر، اگلی نشست ایک ایجنٹ کو مختص کریں جو زیادہ سے زیادہ ہو۔ ڈیوائزر طریقے رینک-انڈیکس طریقوں کا ایک خاص معاملہ ہے: ڈیوائزر فنکشن کے ساتھ ایک ڈیوائزر طریقہ رینک-انڈیکس کے ساتھ رینک-انڈیکس طریقہ کے مساوی ہے۔ اصلاح پر مبنی طریقوں کا مقصد، ہر مثال کے لیے، ایک ایسی مختص رقم حاصل کرنا ہے جو اس مثال کے لیے "جتنا ممکن ہو اتنا منصفانہ" ہو۔ ایک الاٹمنٹ "منصفانہ" ہے اگر تمام ایجنٹوں کے لیے i ؛ اس معاملے میں، ہم کہتے ہیں کہ الاٹمنٹ کی "غیر منصفانہ" 0 ہے۔ اگر اس مساوات کی خلاف ورزی کی جاتی ہے، تو کوئی "مکمل غیر منصفانہ" کی پیمائش کی وضاحت کر سکتا ہے، اور اسے کم کرنے کی کوشش کر سکتا ہے۔ کوئی بھی غیر منصفانہ سطحوں کے مجموعے، یا زیادہ سے زیادہ غیر منصفانہ سطح کو کم سے کم کر سکتا ہے۔ ہر اصلاح کا معیار ایک مختلف اصول کی طرف لے جاتا ہے۔ کوٹے کے اندر رہنا ایجنٹ کا صحیح کوٹہ ہے۔ تقسیم کے طریقہ کار سے ایک بنیادی ضرورت یہ ہے کہ یہ ہر ایجنٹ کو اس کا کوٹہ مختص کرتا ہے اگر یہ ایک عدد ہے ؛ بصورت دیگر، اسے ایک عدد مختص کرنا چاہیے جو عین مطابق کوٹے کے قریب ہو، یعنی اس کا کم کوٹہ یا اس کا اوپری کوٹہ۔ ہم کہتے ہیں کہ تقسیم کا طریقہ-کم کوٹے کو مطمئن کرتا ہے اگر سب کے لیے (یہ آئی ایف ایف رکھتا ہے)۔ اگر سب کے لیے ہو تو اوپری کوٹے کو مطمئن کرتا ہے (اس میں آئی ایف ایف ہوتا ہے)۔ اگر مذکورہ بالا دونوں شرائط برقرار رہیں تو دونوں کوٹے کو پورا کرتا ہے (یہ آئی ایف ایف رکھتا ہے)۔ ہیملٹن کا سب سے بڑا ریمینڈر طریقہ تعمیر کے ذریعے نچلے کوٹے اور اوپری کوٹے دونوں کو مطمئن کرتا ہے۔ یہ تقسیم کار طریقوں کے لیے موزوں نہیں ہے: جب 2 ایجنٹ ہوں تو تقسیم کار کے تمام طریقے دونوں کوٹے کو مطمئن کرتے ہیں۔ ویبسٹر کا طریقہ واحد تقسیم کار طریقہ ہے جو 3 ایجنٹوں کے لیے دونوں کوٹے کو مطمئن کرتا ہے۔ ایڈمز کا طریقہ واحد تقسیم کار طریقہ ہے جو کسی بھی تعداد میں ایجنٹوں کے لیے اوپری کوٹے کو مطمئن کرتا ہے۔ جیفرسن کا طریقہ واحد تقسیم کار طریقہ ہے جو کسی بھی تعداد میں ایجنٹوں کے لیے نچلے کوٹے کو مطمئن کرتا ہے۔ کوئی تقسیم کار طریقہ بیک وقت ایک ایجنٹ کے لیے اوپری کوٹے کی خلاف ورزی نہیں کرتا اور دوسرے ایجنٹ کے لیے نچلے کوٹے کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ لہذا، کوئی بھی تقسیم کرنے والا طریقہ کسی بھی تعداد میں ایجنٹوں کے لیے اوپری کوٹہ اور نچلے کوٹہ دونوں کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ جیفرسن اور ایڈمز کی انفرادیت رینک انڈیکس طریقوں کی بہت بڑی کلاس میں بھی برقرار ہے۔ اسے تقسیم کرنے والے طریقوں کے نقصان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، لیکن اسے کوٹے کے معیار کا نقصان بھی سمجھا جا سکتا ہے: "مثال کے طور پر، جدول 10.1 میں 25 نشستوں کے بجائے ڈی 26 دینے کا مطلب چھوٹی ریاستوں اے، بی، یا سی میں سے کسی ایک سے نشست لینا ہوگا۔ اس طرح کی منتقلی چھوٹی ریاست کی فی کس نمائندگی کو بہت زیادہ سزا دے گی-مطلق اور متعلقہ دونوں لحاظ سے-اس سے کہ ریاست ڈی کو اس کے کم کوٹے سے کم حاصل کرکے سزا دی جاتی ہے۔ اسی طرح کی مثالیں ایجاد کی جا سکتی ہیں جن میں کچھ ریاستیں معقول طور پر اپنے اوپری کوٹے سے زیادہ حاصل کر سکتی ہیں۔ یہ استدلال کیا جا سکتا ہے کہ کوٹے کے اندر رہنا تناسب کے خیال کے ساتھ واقعی مطابقت نہیں رکھتا، کیونکہ یہ بڑی ریاستوں کے مقابلے چھوٹی ریاستوں کی فی کس نمائندگی میں بہت زیادہ تغیر کی اجازت دیتا ہے۔ "مونٹی کارلو تخروپن میں، ویبسٹر کا طریقہ دونوں کوٹے کو بہت زیادہ امکان کے ساتھ مطمئن کرتا ہے۔ مزید برآں، ویسبٹر کا طریقہ تقسیم کا واحد طریقہ ہے جو کوٹے کے قریب مطمئن کرتا ہے: ایسا کوئی ایجنٹ نہیں ہے جس سے کسی نشست کو منتقل کرنے سے وہ دونوں اپنے کوٹے کے قریب پہنچ جائیں: جیفرسن کے طریقہ کار میں دونوں کوٹے کو پورا کرنے کے لیے ترمیم کی جا سکتی ہے، جس سے کوٹا-جیفرسن طریقہ کار حاصل ہوتا ہے۔ مزید برآں، دونوں کوٹے کو پورا کرنے کے لیے کسی بھی تقسیم کرنے والے طریقہ کار میں ترمیم کی جا سکتی ہے۔ اس سے کوٹہ-ویبسٹر طریقہ، کوٹہ-ہل طریقہ وغیرہ حاصل ہوتا ہے۔ طریقوں کے اس خاندان کو اکثر کواٹاٹون طریقے کہا جاتا ہے، کیونکہ وہ کوٹے اور گھریلو یکسانیت دونوں کو پورا کرتے ہیں۔ جوڑی کے لحاظ سے عدم مساوات کو کم کرنا تقسیم کے طریقوں کا اندازہ کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ آیا وہ ایجنٹوں کے جوڑوں کے درمیان عدم مساوات کی مقدار کو کم کرتے ہیں۔ واضح طور پر، عدم مساوات کو مختلف حقوق کو مدنظر رکھنا چاہیے: اگر پھر ایجنٹوں کے ساتھ "مساوی" سلوک کیا جاتا ہے (ڈبلیو آر ٹی۔ ان کے حقوق کے لیے) ؛ بصورت دیگر، اگر پھر ایجنٹ کو ترجیح دی جاتی ہے، اور اگر تب ایجنٹ کو ترجیح دی جاتی ہے۔ تاہم، چونکہ مساوات کو دوبارہ ترتیب دینے کے 16 طریقے ہیں، اسی طرح بہت سے طریقے ہیں جن کے ذریعے عدم مساوات کی تعریف کی جا سکتی ہے۔ ۔ ویبسٹر کا طریقہ انوکھا تقسیم کا طریقہ ہے جس میں، ایجنٹوں کے ہر جوڑے کے لیے اور، اس فرق کو کم سے کم کیا جاتا ہے (یعنی، کسی سیٹ کو منتقل کرنے سے یا اس کے برعکس فرق چھوٹا نہیں ہوگا)۔ کیونکہ یہ ایڈمز کے طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ کے لیے۔ یہ جیفرسن کے طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ ۔ یہ ڈین کے طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ ۔ یہ ہنٹنگٹن ہل طریقہ کار کی طرف لے جاتا ہے۔ یہ تجزیہ ہنٹنگٹن نے 1920 کی دہائی میں کیا تھا۔ کچھ امکانات مستحکم حل کا باعث نہیں بنتے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم عدم مساوات کو اس طرح بیان کرتے ہیں، تو ایسی مثالیں موجود ہیں جن میں، کسی بھی الاٹمنٹ کے لیے، کسی نشست کو ایک ایجنٹ سے دوسرے ایجنٹ میں منتقل کرنے سے ان کی جوڑی کے لحاظ سے عدم مساوات میں کمی آسکتی ہے۔ آبادی (737,534,329) اور 16 نشستوں والی 3 ریاستوں کے ساتھ ایک مثال ہے۔ بڑے/چھوٹے ایجنٹوں کے تئیں تعصب جب ایجنٹ وفاقی ریاستیں ہوں تو بڑی ریاستوں اور چھوٹی ریاستوں کے درمیان تعصب سے بچنا خاص طور پر ضروری ہے۔ اس تعصب کی باضابطہ طور پر پیمائش کرنے کے کئی طریقے ہیں۔ تمام پیمائش اس نتیجے پر پہنچتی ہیں کہ جیفرسن کا طریقہ بڑی ریاستوں کے حق میں متعصبانہ ہے، ایڈمز کا طریقہ چھوٹی ریاستوں کے حق میں متعصبانہ ہے، اور ویبسٹر کا طریقہ سب سے کم متعصبانہ تقسیم کرنے والا طریقہ ہے۔ مستقل مزاجی کی خصوصیات وہ خصوصیات ہیں جو کسی خاص تقسیم کے بجائے تقسیم کے طریقہ کار کی خصوصیت رکھتی ہیں۔ ہر مستقل مزاجی کی خاصیت مختلف ان پٹ پر کسی خاص طریقہ کے نتائج کا موازنہ کرتی ہے۔ اس طرح کی کئی خصوصیات کا مطالعہ کیا گیا ہے۔ ریاست کی آبادی میں یکسانیت کا مطلب یہ ہے کہ اگر کسی ایجنٹ کا حق بڑھتا ہے تو اس کی تقسیم میں کمی نہیں ہونی چاہیے۔ یہ نام اس ترتیب سے آیا ہے جہاں ایجنٹ وفاقی ریاستیں ہیں، جن کے حقوق کا تعین ان کی آبادی سے ہوتا ہے۔ اس خاصیت کی خلاف ورزی کو آبادی کا تضاد کہا جاتا ہے۔ اس پراپرٹی کی کئی قسمیں ہیں۔ ایک قسم-جوڑی کے لحاظ سے پی ایم-خصوصی طور پر تقسیم کرنے والے طریقوں سے مطمئن ہوتا ہے۔ یعنی، تقسیم کا طریقہ جوڑی کے لحاظ سے پی ایم ہے اگر-اور-صرف-اگر یہ تقسیم کرنے والا طریقہ ہے۔ جب اور، کوئی جزوی تقسیم کا طریقہ جوڑی کے لحاظ سے مطمئن نہیں ہوتا ہے-پی ایم، کم کوٹہ اور اوپری کوٹہ۔ پچھلے بیانات کے ساتھ مل کر، اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی تقسیم کرنے والا طریقہ دونوں کوٹے کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ ہاؤس یکسانیت کا مطلب ہے کہ جب نشستوں کی کل تعداد میں اضافہ ہوتا ہے تو کوئی ایجنٹ نشست نہیں کھوتا ہے۔ اس پراپرٹی کی خلاف ورزی کو الاباما پیراڈوکس کہا جاتا ہے۔ یہ امریکہ کے ابتدائی دنوں میں خاص طور پر اہم سمجھا جاتا تھا، جب کانگریس کا سائز ہر دس سال بعد بڑھتا تھا۔ گھر کی یکسانیت جوڑی کے لحاظ سے وزیر اعظم سے کمزور ہے۔ تمام رینک انڈیکس طریقے (اس لیے تمام تقسیم کرنے والے طریقے) ہاؤس مونوٹون ہیں-یہ واضح طور پر تکرار کے طریقہ کار سے پیروی کرتا ہے۔ تقسیم کرنے والے طریقوں کے علاوہ، ہاؤس مونوٹون کے دیگر طریقے بھی ہیں، اور ان میں سے کچھ دونوں کوٹے کو بھی پورا کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، بالنسکی اور ینگ کا کوٹہ طریقہ تعمیر کے ذریعے گھر کی یکسانیت اور اوپری کوٹے کو مطمئن کرتا ہے، اور یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ یہ کم کوٹے کو بھی مطمئن کرتا ہے۔ اسے عام کیا جا سکتا ہے: ایک عمومی الگورتھم ہے جو تقسیم کے تمام طریقوں کو ظاہر کرتا ہے جو ہاؤس مونوٹون دونوں ہیں اور دونوں کوٹے کو پورا کرتے ہیں۔ تاہم، یہ تمام کوٹہ پر مبنی طریقے (کوٹہ-جیفرسن، کوٹہ-ہل، وغیرہ)۔ پیئر وائز-پی ایم کی خلاف ورزی ہو سکتی ہے: ایسی مثالیں ہیں جن میں ایک ایجنٹ آبادی میں فائدہ اٹھاتا ہے لیکن نشستیں کھو دیتا ہے۔ یکسانیت (جسے ہم آہنگی بھی کہا جاتا ہے) کا مطلب ہے کہ، اگر ہم ایجنٹوں کے کچھ ذیلی سیٹ لیتے ہیں، اور ان کے مشترکہ الاٹمنٹ پر ایک ہی طریقہ استعمال کرتے ہیں، تو نتیجہ ویکٹر ہوتا ہے۔ رینک انڈیکس کے تمام طریقے (اس لیے تمام تقسیم کرنے والے طریقے) یکساں ہیں، کیونکہ وہ ایجنٹوں کو پہلے سے طے شدہ طریقے سے نشستیں تفویض کرتے ہیں-جس کا تعین ان کے ذریعے کیا جاتا ہے، اور یہ ترتیب دوسرے ایجنٹوں کی موجودگی یا غیر موجودگی پر منحصر نہیں ہے۔ مزید برآں، ہر یکساں طریقہ جو گمنام اور متوازن بھی ہو، رینک انڈیکس کا طریقہ ہونا چاہیے۔ ہر یکساں طریقہ جو گمنام، کمزور طور پر درست اور ہم آہنگ بھی ہو (= کا مطلب ہے) ایک تقسیم کرنے والا طریقہ ہونا چاہیے۔ مزید برآں، تمام گمنام طریقوں میں: جیفرسن کا طریقہ واحد یکساں طریقہ ہے جو نچلے کوٹے کو مطمئن کرتا ہے۔ ایڈمز کا طریقہ واحد یکساں طریقہ ہے جو اوپری کوٹے کو مطمئن کرتا ہے۔ ویبسٹر کا طریقہ واحد یکساں طریقہ ہے جو کوٹے کے قریب ہے۔ کوئی یکساں طریقہ دونوں کوٹے کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ خاص طور پر، ہیملٹن کا طریقہ اور کوٹا کا طریقہ یکساں نہیں ہے۔ تاہم، کوٹہ طریقہ ایک منفرد طریقہ ہے جو گھر کی یکسانیت اور "کوٹہ کی مستقل مزاجی" کے علاوہ دونوں کوٹے کو مطمئن کرتا ہے، جو یکسانیت کی ایک کمزور شکل ہے۔ اتحادوں کی حوصلہ افزائی جب ایجنٹ سیاسی جماعتیں ہوتے ہیں، تو وہ اکثر تقسیم یا ضم ہو جاتے ہیں۔ اس طرح کی تقسیم/انضمام کس طرح تقسیم کو متاثر کرتی ہے اس سے سیاسی تقسیم پر اثر پڑے گا۔ فرض کریں کہ ایک مخصوص تقسیم کا طریقہ دو ایجنٹوں کو بالترتیب کچھ نشستیں دیتا ہے، اور پھر یہ دونوں ایجنٹ اتحاد بناتے ہیں، اور طریقہ کار کو دوبارہ فعال کیا جاتا ہے۔ تقسیم کا طریقہ اتحاد کی حوصلہ افزائی کرتا ہے اگر اتحاد کو کم از کم نشستیں ملتی ہیں (دوسرے لفظوں میں، یہ تقسیم سے محفوظ ہے-کوئی جماعت تقسیم کرکے نشست حاصل نہیں کر سکتی)۔ تقسیم کا طریقہ تفریق کی حوصلہ افزائی کرتا ہے اگر اتحاد زیادہ تر نشستیں حاصل کرتا ہے (دوسرے لفظوں میں، یہ انضمام سے محفوظ ہے-دو جماعتیں ضم ہو کر نشست حاصل نہیں کرسکتی ہیں)۔ تقسیم کرنے والے طریقوں میں: جیفرسن کا طریقہ منفرد تقسیم کرنے والا طریقہ ہے جو اتحاد کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ ایڈمز کا طریقہ منفرد تقسیم کرنے والا طریقہ ہے جو تفریق کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ ویبسٹر کا طریقہ نہ تو اسپلٹ پروف ہے اور نہ ہی مرج پروف، لیکن یہ "کولیشن نیوٹرل" ہے: جب ووٹوں کو تصادفی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، تو اتحاد کے کسی نشست کو کھونے کے مقابلے میں ایک نشست حاصل کرنے کا اتنا ہی امکان ہوتا ہے۔ چونکہ یہ مختلف طریقے ہیں، کوئی تقسیم کرنے والا طریقہ ہر اتحاد کو بالکل نشستیں نہیں دیتا ہے۔ مزید برآں، اس انفرادیت کو رینک انڈیکس طریقوں کے بہت بڑے طبقے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ایک کمزور خاصیت، جسے "اتحادی استحکام" کہا جاتا ہے، یہ ہے کہ اتحاد کے ہر اتحاد کو اور نشستوں کے درمیان حاصل ہونا چاہیے ؛ لہذا ایک پارٹی ضم/تقسیم کرکے زیادہ سے زیادہ ایک نشست حاصل کر سکتی ہے۔ ہیملٹن طریقہ اتحاد کے لحاظ سے مستحکم ہے۔ تقسیم کار کے ساتھ تقسیم کار کا طریقہ اتحادی طور پر مستحکم آئی ایف ایف ہے ؛ یہ تمام پانچ معیاری تقسیم کار طریقوں کے لیے ہے۔ مزید برآں، دونوں کوٹے کو مطمئن کرنے کا ہر طریقہ "تقریبا اتحادی طور پر مستحکم" ہے-یہ ہر اتحاد کو اور نشستوں کے درمیان دیتا ہے۔ خلاصہ ٹیبل متناسب نمائندگی کثیر خاصیت متناسب نمائندگی بھی دیکھیں۔ آبادی کی گنتی میں غلطیاں ہونے پر تقسیم۔ مختلف استحقاق کے ساتھ متناسب کیک کاٹنے منصفانہ آئٹم الاٹمنٹ حوالہ جات تقسیم (سیاست) ریاضیاتی نظریات تقسیم کے طریقہ کار کے معیار