Method of moments (electromagnetics)
مومنٹ کا طریقہ (ایم او ایم)، جسے مومنٹ کا طریقہ اور وزن والے بقیہ کا طریقہ بھی کہا جاتا ہے، کمپیوٹیشنل برقی مقناطیسیت میں ایک عددی طریقہ ہے۔ یہ کمپیوٹر پروگراموں میں استعمال ہوتا ہے جو برقی مقناطیسی شعبوں جیسے مادے کے ساتھ ریڈیو لہروں کے تعامل کی تقلید کرتے ہیں، مثال کے طور پر اینٹینا تخروپن پروگرام جیسے این ای سی جو اینٹینا کے تابکاری کے نمونے کا حساب لگاتے ہیں۔ عام طور پر فریکوئنسی ڈومین کا طریقہ ہونے کے ناطے، اس میں مناسب باؤنڈری کنڈیشنز کے اطلاق کے ذریعے لکیری مساوات کے نظام میں ایک انٹیگرل مساوات کا پروجیکشن شامل ہوتا ہے۔ یہ اکثر سطح کے لیے محدود فرق اور محدود عنصر کے طریقوں کے طور پر مجرد میش کا استعمال کرکے کیا جاتا ہے۔ حلوں کو پہلے سے طے شدہ بنیادی افعال کے لکیری امتزاج کے ساتھ پیش کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، ان بنیادی افعال کے کوفیشنٹس مطلوب نامعلوم ہوتے ہیں۔ گرین کے افعال اور گیلرکن طریقہ لمحات کے طریقہ کار میں مرکزی کردار ادا کرتے ہیں۔ بہت سی ایپلی کیشنز کے لیے، لمحات کا طریقہ باؤنڈری عنصر کے طریقہ سے ملتا جلتا ہے۔ یہ مائکروویو اور اینٹینا انجینئرنگ کے سب سے عام طریقوں میں سے ایک ہے۔ مختلف انجینئرنگ ایپلی کیشنز کے لیے باؤنڈری عنصر کے طریقہ کار اور اسی طرح کے دیگر طریقوں کی ترقی 1960 کی دہائی میں ڈیجیٹل کمپیوٹنگ کی آمد سے وابستہ ہے۔ اس سے پہلے، دوسری جنگ عظیم کے وقت تک مائکروویو فریکوئنسی پر انجینئرنگ کے مسائل پر متغیر طریقوں کا اطلاق کیا جاتا تھا۔ جب کہ جولین شونگر اور ناتھن مارکووٹز نے بالترتیب ان کاموں کو لیکچر نوٹ اور نصابی کتابوں میں مرتب کیا ہے، وکٹر ایچ رمسی نے 1954 میں ان طریقوں کو "رد عمل کے تصور" میں وضع کیا ہے۔ اس تصور کو بعد میں گیلرکن طریقہ کار کے مساوی دکھایا گیا۔ 1950 کی دہائی کے آخر میں، لمحات کے طریقہ کار کا ایک ابتدائی ورژن یوین زی لو نے یونیورسٹی آف الینوائے میں برقی مقناطیسی نظریہ میں ریاضیاتی طریقوں پر ایک کورس میں متعارف کرایا تھا۔ 1960 کی دہائی میں، اس طریقہ کار پر ابتدائی تحقیقی کام کے می اور جے نے شائع کیا تھا۔ وان بلیڈل۔ اور جے ایچ رچمنڈ۔ اسی دہائی میں برقی مقناطیسیت میں لمحات کے طریقہ کار کے لیے منظم نظریہ کو بڑے پیمانے پر راجر ایف ہیرنگٹن نے باقاعدہ بنایا تھا۔ اگرچہ "لمحات کا طریقہ" کی اصطلاح پہلے لیونڈ کینٹوروویچ اور گلیب پی اکیلوف نے اینالاگس عددی ایپلی کیشنز کے لیے تیار کی تھی، لیکن ہیرنگٹن نے اس اصطلاح کو برقی مقناطیسی تشکیل کے لیے ڈھال لیا ہے۔ ہیرنگٹن نے بنیادی نصابی کتاب فیلڈ کمپیوٹیشن بائی مومنٹ میتھڈز آن دی مومنٹ میتھڈ 1968 میں شائع کی۔ طریقہ کار کی ترقی اور ریڈار اور اینٹینا انجینئرنگ میں اس کے اشارے نے دلچسپی پیدا کی۔ ایم او ایم تحقیق کو بعد میں ریاستہائے متحدہ کی حکومت کی حمایت حاصل تھی۔ اس طریقہ کار کو عام اینٹینا ماڈلنگ کوڈز جیسے کہ عددی برقی مقناطیسی کوڈ کے تعارف سے مزید مقبول کیا گیا، جسے 1980 کی دہائی کے آخر میں ریاستہائے متحدہ کی حکومت نے عوامی ڈومین میں جاری کیا تھا۔ 1990 کی دہائی میں فاسٹ ملٹی پول اور ملٹی لیول فاسٹ ملٹی پول طریقوں کے تعارف نے لاکھوں نامعلوم مسائل کے موثر ایم او ایم حل کو قابل بنایا۔ آر ایف اور مائکروویو انجینئرنگ میں تخروپن کی سب سے عام تکنیکوں میں سے ایک ہونے کے ناطے، لمحات کا طریقہ بہت سے تجارتی ڈیزائن سافٹ ویئر جیسے ایف ای کے او کی بنیاد بناتا ہے۔ مختلف نفاستوں کے بہت سے غیر تجارتی اور عوامی ڈومین کوڈ بھی دستیاب ہیں۔ الیکٹریکل انجینئرنگ میں اس کے استعمال کے علاوہ، لمحات کے طریقہ کار کا اطلاق روشنی کے بکھرنے اور پلازمونک مسائل پر کیا گیا ہے۔ پس منظر بنیادی تصورات ایک غیر یکساں انٹیگرل مساوات کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں لکیری آپریٹر کی نشاندہی ہوتی ہے، معروف فورسنگ فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے اور نامعلوم فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ بیس فنکشنز () کی ایک محدود تعداد کے ذریعے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے: لکیریٹی کے ذریعے، اس اظہار کو مساوات کی پیداوار میں تبدیل کرنا: ہم اس اظہار کے لیے ایک بقایا کی وضاحت بھی کر سکتے ہیں، جو اصل اور تخمینہ حل کے درمیان فرق کو ظاہر کرتا ہے: لمحات کے طریقہ کار کا مقصد اس بقایا کو کم کرنا ہے، جو مناسب وزن یا جانچ کے افعال کا استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے، اس لیے وزن والے بقایا کا نام طریقہ ہے۔ مسئلہ کے لیے ایک مناسب اندرونی پروڈکٹ کے تعین کے بعد، اظہار پھر بن جاتا ہے: اس طرح، اظہار کو میٹرکس کی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے: نتیجے میں آنے والے میٹرکس کو اکثر امپیڈینس میٹرکس کہا جاتا ہے۔ بیس افعال کے کوفیشنٹس میٹرکس کو الٹ کر حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ بڑی تعداد میں نامعلوم میٹرکس والے بڑے میٹرکس کے لیے، تکراری طریقے جیسے کنجوگیٹ گریڈینٹ طریقہ ایکسلریشن کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فیلڈ کی اصل تقسیم کوفیشنٹس اور متعلقہ انٹیگرلز سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایم او ایم میں ہر بیس فنکشن کے درمیان تعاملات کو نظام کے گرین فنکشن کے ذریعے یقینی بنایا جاتا ہے۔ بنیاد اور جانچ کے افعال ڈومین میں نامعلوم فنکشن کے متوقع رویے کو ماڈل بنانے کے لیے مختلف بنیادی افعال کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ یہ افعال یا تو ذیلی سیکشن یا عالمی ہو سکتے ہیں۔ بیس فنکشن کے طور پر ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کا انتخاب پوائنٹ میچنگ یا کولاکیشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ مجرد نکات پر باؤنڈری کنڈیشنز کو نافذ کرنے سے مطابقت رکھتا ہے اور اکثر اس وقت تخمینی حل حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے جب اندرونی پروڈکٹ آپریشن انجام دینے میں مشکل ہو۔ دیگر ذیلی سیکشن بیس افعال میں پلس، پیس وائز ٹرائنگولر، پیس وائز سینوسائڈل اور روف ٹاپ افعال شامل ہیں۔ سہ رخی پیچ، جنہیں ایس راؤ، ڈی ولٹن اور اے گلسن نے 1982 میں متعارف کرایا تھا، آر ڈبلیو جی بیس فنکشن کے نام سے جانے جاتے ہیں اور ایم او ایم میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ حساب کو تیز کرنے اور میٹرکس مساوات کو کم کرنے کے لیے خصوصیت پر مبنی افعال بھی متعارف کرائے گئے۔ جانچ اور بنیادی افعال کو اکثر ایک جیسے ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے ؛ اسے گیلرکن طریقہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اطلاق اور مطالعہ شدہ ڈھانچے پر منحصر ہے، جانچ اور بنیادی افعال کو مناسب طریقے سے منتخب کیا جانا چاہیے تاکہ ہم آہنگی اور درستگی کو یقینی بنایا جا سکے، اور ساتھ ہی ممکنہ ہائی آرڈر الجبرائی انفرادیت کو روکا جا سکے۔ انٹیگرل مساوات اطلاق اور مطلوب متغیرات پر منحصر ہے، ایم او ایم میں مختلف انٹیگرل یا انٹیگرو تفریقی مساوات استعمال کی جاتی ہیں۔ پتلی تار کے ڈھانچوں کے ذریعے تابکاری اور بکھرنے، جیسے کہ کئی قسم کے اینٹینا، کو خصوصی مساوات کے ذریعے ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ سطح کے مسائل کے لیے، عام انٹیگرل مساوات کی تشکیل میں الیکٹرک فیلڈ انٹیگرل مساوات (ای ایف آئی ای)، مقناطیسی فیلڈ انٹیگرل مساوات (ایم ایف آئی ای) اور مکسڈ پوٹینشل انٹیگرل مساوات (ایم پی آئی ای) شامل ہیں۔ پتلی تار کی مساوات جیسا کہ بہت سے اینٹینا ڈھانچوں کو تاروں کے طور پر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے، پتلی تار کی مساوات ایم او ایم ایپلی کیشنز میں دلچسپی کی حامل ہیں۔ عام طور پر استعمال ہونے والی دو پتلی تار والی مساوات پوکلنگٹن اور ہالین انٹیگرو تفریقی مساوات ہیں۔ پوکلنگٹن کی مساوات کمپیوٹیشنل تکنیکوں سے پہلے ہے، جسے 1897 میں ہنری کیبرن پوکلنگٹن نے متعارف کرایا تھا۔ ایک لکیری تار کے لیے جو اصل پر مرکوز ہے اور z-محور کے ساتھ منسلک ہے، مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں اور بالترتیب کل لمبائی اور موٹائی کی نشاندہی کرتا ہے۔ خالی جگہ کے لیے گرین کا فنکشن ہے۔ مساوات کو مقناطیسی فریلز سمیت مختلف محرک اسکیموں میں عام کیا جا سکتا ہے۔ 1938 میں ای ہالین کے ذریعہ شائع کردہ ہالین انٹیگرل مساوات کو اس طرح دیا جا سکتا ہے: یہ مساوات، پوکلنگٹن کی مساوات سے زیادہ اچھے سلوک کے باوجود، عام طور پر اینٹینا فیڈ پوائنٹ پر ڈیلٹا گیپ وولٹیج کے جوش و خروش تک محدود ہے، جسے ایک متاثر برقی میدان کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ برقی فیلڈ انٹیگرل مساوات (ای ایف آئی ای) برقی فیلڈ انٹیگرل مساوات (ای ایف آئی ای) کی عمومی شکل کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: واقعہ یا متاثر برقی میدان کہاں ہے۔ ہیلم ہولٹز مساوات کے لیے گرین فنکشن ہے اور لہر کی رکاوٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ حدود کی شرائط ایک متعین پی ای سی سطح پر پوری ہوتی ہیں۔ ای ایف آئی ای پہلی قسم کی فریڈہولم انٹیگرل مساوات ہے۔ مقناطیسی فیلڈ انٹیگرل مساوات (ایم ایف آئی ای) ایم او ایم میں ایک اور عام طور پر استعمال ہونے والی انٹیگرل مساوات مقناطیسی فیلڈ انٹیگرل مساوات (ایم ایف آئی ای) ہے، جسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: ایم ایف آئی ای کو اکثر دوسری قسم کی فریڈ ہوم انٹیگرل مساوات کے طور پر وضع کیا جاتا ہے اور عام طور پر اچھی طرح سے پیش کیا جاتا ہے۔ اس کے باوجود، تشکیل بند سطحوں کے استعمال کی ضرورت ہے، جو اس کے استعمال کو محدود کرتی ہے۔ دیگر فارمولیشنز ایم او ایم کے لیے بہت سی مختلف سطح اور حجم کی مربوط فارمولیشنز موجود ہیں۔ بہت سے معاملات میں، ای ایف آئی ایز کو لورینز گیج کنڈیشن کے استعمال کے ذریعے مکسڈ پوٹینشل انٹیگرل مساوات (ایم ایف آئی ای) میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ اس کا مقصد مقناطیسی ویکٹر اور اسکیلر الیکٹرک پوٹینشلز کے استعمال کے ذریعے سنگلٹیز کے آرڈرز کو کم کرنا ہے۔ ڈائی الیکٹرک بکھرنے کے حساب میں اندرونی گونج کے مسئلے کو نظرانداز کرنے کے لیے، مشترکہ فیلڈ انٹیگرل مساوات (سی ایف آئی ای) اور پوگجیو-ملر-چانگ-ہیرنگٹن-وو-سائی (پی ایم سی ایچ ڈبلیو ٹی) فارمولیشنز بھی استعمال کی جاتی ہیں۔ ایک اور نقطہ نظر، والیومیٹرک انٹیگرل مساوات، حجم کے عناصر کو الگ کرنے کی ضرورت ہے اور اکثر کمپیوٹیشنل طور پر مہنگا ہوتا ہے۔ ایم او ایم کو فزیکل آپٹکس تھیوری اور محدود عنصر کے طریقہ کار کے ساتھ بھی مربوط کیا جا سکتا ہے۔ گرین کے افعال پلانرلی-اسٹریٹیفائیڈ ڈھانچوں کا مکمل لہر تجزیہ، جیسے کہ مائیکرو اسٹرپس یا پیچ اینٹینا، مقامی-ڈومین گرین کے افعال کی مشتق کی ضرورت ہے جو ان جیومیٹریز کے لیے مخصوص ہیں۔ بہر حال، اس میں سپیکٹرم گرین فنکشن کا الٹا ہینکل ٹرانسفارم شامل ہے، جس کی وضاحت سومر فیلڈ انضمام کے راستے پر کی گئی ہے۔ اس انٹیگرل کا تجزیاتی طور پر جائزہ نہیں لیا جا سکتا، اور اس کی عددی تشخیص اکثر آکسیلیٹری دانے اور انٹیگرل کی آہستہ آہستہ تبدیل ہونے والی نوعیت کی وجہ سے کمپیوٹیشنل طور پر مہنگی ہوتی ہے۔ نیم جامد اور سطح کے قطب کے اجزاء کو نکالنے کے بعد، ان انٹیگرلز کو پرونی کے طریقہ کار یا عمومی پنسل آف فنکشن کے طریقہ کار کے ذریعے بند شکل کے پیچیدہ ایکسپونینشیل کے طور پر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ اس طرح، اسپاٹیل گرین کے افعال کو مناسب شناختوں جیسے کہ سومر فیلڈ شناخت کے استعمال کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یہ طریقہ کمپیوٹیشنل برقی مقناطیسی ادب میں مجرد پیچیدہ تصویری طریقہ (ڈی سی آئی ایم) کے طور پر جانا جاتا ہے، کیونکہ گرین کا فنکشن مؤثر طریقے سے ایک پیچیدہ فاصلے کے اندر واقع امیج ڈائپولز کی ایک مجرد تعداد کے ساتھ تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ منسلک گرین کے افعال کو کلوزڈ فارم گرین کے افعال کہا جاتا ہے۔ اس طریقہ کار کو بیلناکار پرتوں والے ڈھانچوں کے لیے بھی بڑھایا گیا ہے۔ عقلی فنکشن فٹنگ کا طریقہ، نیز ڈی سی آئی ایم کے ساتھ اس کے امتزاج، کو بند فارم گرین کے افعال کا تخمینہ لگانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، بند شکل والے گرین کے فنکشن کا تخمینہ تیز ترین نزول کے طریقہ کار کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے۔ مرحلہ وار صفوں جیسے دورانیے کے ڈھانچوں کے لیے، ایوالڈ سمشن اکثر دورانیے کے گرین فنکشن کے حساب کو تیز کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ باؤنڈری عنصر کا طریقہ خصوصیت کا طریقہ تجزیہ ڈسکریٹ ڈائپول تخمینہ تیز ملٹی پول طریقہ محدود عنصر کا طریقہ ملٹی لیول فاسٹ ملٹی پول طریقہ نوٹ حوالہ جات ببلیوگرافی کمپیوٹیشنل برقی مقناطیسیت عددی تفریق مساوات