Coherence (fairness)
ہم آہنگی، جسے یکسانیت یا مستقل مزاجی بھی کہا جاتا ہے، منصفانہ تقسیم کے قوانین کا جائزہ لینے کے لیے ایک معیار ہے۔ ہم آہنگی کے لیے ضروری ہے کہ انصاف پسندی کے اصول کا نتیجہ نہ صرف مجموعی مسئلے کے لیے بلکہ ہر ذیلی مسئلے کے لیے بھی منصفانہ ہو۔ منصفانہ تقسیم کا ہر حصہ منصفانہ ہونا چاہیے۔ ہم آہنگی کی ضرورت کا سب سے پہلے تقسیم کے تناظر میں مطالعہ کیا گیا۔ اس تناظر میں، ہم آہنگی کو پورا کرنے میں ناکامی کو نئی ریاستوں کا تضاد کہا جاتا ہے: جب کوئی نئی ریاست یونین میں داخل ہوتی ہے، اور اس نئی ریاست کے لیے مختص نشستوں کی تعداد کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے ایوان کا سائز بڑھایا جاتا ہے، تو کچھ دیگر غیر متعلقہ ریاستیں متاثر ہوتی ہیں۔ مطابقت دیگر منصفانہ تقسیم کے مسائل، جیسے دیوالیہ پن کے مسائل سے بھی متعلق ہے۔ تعریف مختص کرنے کے لیے ایک وسیلہ ہے، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ایک عدد ہو سکتا ہے جو ایوان نمائندگان میں نشستوں کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ وسائل کو کچھ ایجنٹوں کے درمیان مختص کیا جانا چاہیے۔ مثال کے طور پر، یہ وفاقی ریاستیں یا سیاسی جماعتیں ہو سکتی ہیں۔ ایجنٹوں کے مختلف حقوق ہوتے ہیں، جنہیں ویکٹر سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ٹی آئی پارٹی آئی کے ذریعے جیتے گئے ووٹوں کا حصہ ہو سکتا ہے۔ مختص ایک ویکٹر ہے جس کے ساتھ۔ الاٹمنٹ رول ایک قاعدہ ہے جو، کسی بھی اور استحقاق ویکٹر کے لیے، الاٹمنٹ ویکٹر واپس کرتا ہے۔ الاٹمنٹ رول کو مربوط (یا یکساں) کہا جاتا ہے اگر، ایجنٹوں کے ہر ذیلی سیٹ S کے لیے، اگر قاعدہ وسائل کے ذیلی سیٹ پر، اور استحقاق ویکٹر پر چالو کیا جاتا ہے، تو نتیجہ الاٹمنٹ ویکٹر ہوتا ہے۔ یعنی: جب قواعد کو ایجنٹوں کے ذیلی سیٹ پر فعال کیا جاتا ہے، ان کو موصول ہونے والے وسائل کے ذیلی سیٹ کے ساتھ، ان کے لیے نتیجہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ تعلقات کو سنبھالنا عام طور پر، الاٹمنٹ کا قاعدہ ایک سے زیادہ الاٹمنٹ (ٹائی کی صورت میں) واپس کر سکتا ہے۔ اس صورت میں تعریف کو اپ ڈیٹ کیا جانا چاہیے۔ الاٹمنٹ رول کو اس کے ذریعے ظاہر کریں، اور ریسورس اور اینٹائٹلمنٹ ویکٹر پر واپس کیے گئے الاٹمنٹ ویکٹرز کے سیٹ کے ذریعے ظاہر کریں۔ اس اصول کو مربوط کہا جاتا ہے اگر درج ذیل ہر الاٹمنٹ ویکٹر اور ایجنٹوں کے کسی بھی ذیلی سیٹ S کے لیے ہو: یعنی بڑے مسئلے کے ہر ممکنہ حل کا ہر حصہ ذیلی مسئلے کا ممکنہ حل ہے۔ ہر ایک کے لیے اور، ہمارے پاس ہے۔ یعنی، اگر ذیلی مسائل کے دیگر (بندھے ہوئے) حل ہیں، تو انہیں ذیلی مسائل کے اصل حل کے بجائے رکھنے سے بڑے مسئلے کے دوسرے (بندھے ہوئے) حل ملتے ہیں۔ تقسیم میں ہم آہنگی تقسیم کے مسائل میں، مختص کرنے کا وسیلہ مجرد ہوتا ہے، مثال کے طور پر، پارلیمنٹ میں نشستیں۔ لہذا، ہر ایجنٹ کو ایک انٹیجر الاٹمنٹ ملنا چاہیے۔ غیر مربوط طریقے: نیا ریاستی تضاد پارلیمنٹ میں نشستوں کی تقسیم کے لیے سب سے زیادہ بدیہی اصولوں میں سے ایک سب سے بڑا بقیہ طریقہ (ایل آر ایم) ہے۔ یہ طریقہ یہ حکم دیتا ہے کہ استحقاق ویکٹر کو اس طرح معمول پر لایا جانا چاہیے کہ استحقاق کا مجموعہ برابر ہو (مختص کرنے کے لیے نشستوں کی کل تعداد)۔ پھر ہر ایجنٹ کو اپنا معمول کا حق (جسے اکثر کوٹہ کہا جاتا ہے) حاصل کرنا چاہیے۔ اگر بقیہ نشستیں ہیں، تو انہیں ان ایجنٹوں کو مختص کیا جانا چاہیے جن کے پاس سب سے زیادہ بقیہ حق کا سب سے بڑا حصہ ہے۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ یہ اصول مربوط نہیں ہے۔ ایک سادہ سی مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایلس، باب اور چنا کے عام حقوق بالترتیب 0.4، 1.35، 3.25 ہیں۔ پھر ایل آر ایم کی طرف سے واپس کی گئی منفرد مختص رقم 1، 1، 3 ہے (ابتدائی مختص رقم 0، 1، 3 ہے، اور اضافی نشست ایلس کو جاتی ہے، کیونکہ اس کی بقیہ 0.4 سب سے بڑی ہے)۔ اب، فرض کریں کہ ہم صرف ایلس اور باب پر ایک ہی اصول کو فعال کرتے ہیں، ان کے مشترکہ مختص 2 کے ساتھ۔ عام حقوق اب 0.4/1.75 × 2 ≈ 0.45 اور 1.35/1.75 × 2 ≈ 1.54 ہیں۔ لہذا، ایل آر ایم کے ذریعے واپس کیا گیا منفرد الاٹمنٹ 1، 1 کے بجائے 0، 2 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ عظیم حل 1، 1، 3 میں، ایلس اور باب کے درمیان اندرونی تقسیم سب سے بڑے بقیہ کے اصول پر عمل نہیں کرتی ہے۔ اس عدم ہم آہنگی کو دیکھنے کا ایک اور طریقہ مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ گھر کا سائز 2 ہے، اور کوٹے 0.4، 1.35 کے ساتھ دو ریاستیں A، B ہیں۔ پھر ایل آر ایم کی طرف سے دی گئی منفرد مختص رقم 0، 2 ہے۔ اب، کوٹہ 3.25 کے ساتھ ایک نئی ریاست سی یونین میں شامل ہوتی ہے۔ اسے 3 نشستیں مختص کی گئی ہیں، اور ان نئی نشستوں کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے گھر کا سائز بڑھا کر 5 کر دیا گیا ہے۔ اس تبدیلی سے موجودہ ریاستیں اے اور بی متاثر نہیں ہونی چاہئیں۔ درحقیقت، ایل آر ایم سے موجودہ ریاستیں متاثر ہوتی ہیں: ریاست اے ایک نشست حاصل کرتی ہے، جبکہ ریاست بی ایک نشست کھو دیتی ہے۔ اسے نیو اسٹیٹ پیراڈوکس کہا جاتا ہے۔ نیا ریاستی تضاد دراصل 1907 میں مشاہدہ کیا گیا تھا، جب اوکلاہوما ایک ریاست بن گیا۔ اسے 5 نشستوں کا منصفانہ حصہ دیا گیا، اور نشستوں کی کل تعداد اس تعداد سے بڑھ کر 386 سے 391 اراکین تک پہنچ گئی۔ تقسیم کی دوبارہ گنتی نے دوسری ریاستوں کی وجہ سے نشستوں کی تعداد کو متاثر کیا: نیویارک نے ایک نشست کھو دی، جبکہ مین نے ایک حاصل کی۔ مربوط طریقے ہر تقسیم کرنے والا طریقہ مربوط ہے۔ یہ براہ راست ان کی تفصیل سے چننے کے سلسلے کے طور پر پیروی کرتا ہے: ہر تکرار پر، کسی آئٹم کو چننے والا اگلا ایجنٹ وہ ہوتا ہے جس کا تناسب سب سے زیادہ ہوتا ہے (استحقاق/تقسیم کنندہ)۔ لہذا، ایجنٹوں کے درمیان متعلقہ ترجیحی آرڈر یکساں ہے چاہے ہم ایجنٹوں کے ذیلی سیٹ پر غور کریں۔ مربوط طریقوں کی خصوصیات جب ہم آہنگی کو دیگر قدرتی ضروریات کے ساتھ جوڑا جاتا ہے، تو یہ تقسیم کے طریقوں کی ایک منظم کلاس کی خصوصیت رکھتا ہے۔ اس طرح کی خصوصیات کو مختلف مصنفین نے ثابت کیا۔ تمام نتائج یہ فرض کرتے ہیں کہ قواعد یکساں ہیں ("مہذب")۔ ہیلینڈ نے ثابت کیا کہ اگر ایک مربوط مہذب تقسیم کا اصول متوازن اور ہم آہنگ ہے، تو یہ تقسیم کرنے والے طریقہ کار کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ بالنسکی اور ینگ نے ثابت کیا کہ اگر ایک مربوط مہذب تقسیم کا اصول گمنام اور متوازن ہے، تو یہ ایک رینک انڈیکس طریقہ (تقسیم کرنے والے طریقوں کا ایک سپر کلاس) ہے۔ اس کے برعکس بھی درست ہے: گمنام اور متوازن طریقوں میں، ایک طریقہ مربوط ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ رینک انڈیکس کا طریقہ ہو۔ بالنسکی اور ینگ نے ثابت کیا کہ اگر ایک مربوط مہذب تقسیم کا اصول گمنام، ہم آہنگ اور کمزور طور پر درست ہے، تو یہ تقسیم کرنے کا طریقہ ہے۔ بالنسکی اور راچیو نے ثابت کیا کہ اگر ایک مربوط مہذب تقسیم کا اصول گمنام، ترتیب کو محفوظ رکھنے والا، کمزور طور پر درست اور مکمل ہے، تو یہ تقسیم کرنے کا طریقہ ہے۔ پالومارس، پیوکلشیم اور رامیرز نے ثابت کیا کہ: اگر ایک مربوط مہذب تقسیم کا اصول گمنام اور متوازن ہے، تو یہ ہاؤس مونوٹون ہے۔ اگر، اس کے علاوہ، یہ بھی مطابقت رکھتا ہے، تو یہ ووٹ تناسب مونوٹون ہے۔ اگر، اس کے علاوہ، یہ بھی سختی سے درست ہے، تو یہ تقسیم کرنے والے طریقہ کار کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے (یعنی، یہ تقسیم کرنے والے طریقہ کار کے ذریعے واپس کی گئی مختص رقم کا ایک ذیلی سیٹ واپس کرتا ہے) ؛ اگر، اس کے علاوہ، یہ بھی مکمل ہے، تو یہ تقسیم کرنے والا طریقہ ہے۔ ینگ نے ثابت کیا کہ منفرد تقسیم کا طریقہ جو قریب ترین عدد تک گول کرنے کے قدرتی دو طرفہ تقسیم کے اصول کی مربوط توسیع ہے وہ ویبسٹر طریقہ ہے۔ دیوالیہ پن کے مسائل میں ہم آہنگی دیوالیہ پن کے مسائل میں، مختص کرنے کا وسیلہ مسلسل ہوتا ہے، مثال کے طور پر، مقروض کی طرف سے چھوڑی گئی رقم۔ ہر ایجنٹ وسائل کا کوئی بھی حصہ حاصل کر سکتا ہے۔ تاہم، استحقاق کا مجموعہ عام طور پر کل بقیہ وسائل سے زیادہ ہوتا ہے۔ اس طرح کے مسائل کو حل کرنے کے لیے سب سے زیادہ بدیہی اصول متناسب اصول ہے، جس میں ہر ایجنٹ کو اس کے حق کے متناسب وسائل کا ایک حصہ ملتا ہے۔ یہ اصول یقینی طور پر مربوط ہے۔ تاہم، یہ واحد مربوط اصول نہیں ہے: متنازعہ لباس کی تلمودی حکمرانی کو مربوط تقسیم کی حکمرانی تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اعضاء کی تقسیم میں ہم آہنگی زیادہ تر ممالک میں اعضاء کی پیوند کاری کے انتظار میں مریضوں کی تعداد دستیاب اعضاء کی تعداد سے بہت زیادہ ہے۔ لہذا، زیادہ تر ممالک کچھ ترجیحی حکم کے ذریعے کسی اعضاء کو مختص کرنے کا انتخاب کرتے ہیں۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ عملی طور پر استعمال ہونے والی کچھ ترجیحی ترتیبات مربوط نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، ماضی میں یو این او ایس کے ذریعہ استعمال کیا جانے والا ایک قاعدہ مندرجہ ذیل تھا: ہر مریض کو کچھ طبی اعداد و شمار کی بنیاد پر ذاتی اسکور تفویض کیا جاتا ہے۔ ہر مریض کو ایک بونس تفویض کیا جاتا ہے، جو اس سے کم انتظار کرنے والے مریضوں کے حصے سے 10 گنا زیادہ ہے۔ ایجنٹوں کو ان کے اسکور + بونس کے مجموعے سے ترجیح دی جاتی ہے۔ فرض کریں کہ کچھ چار مریضوں A، B، C، D کے ذاتی اسکور 16، 21، 20، 23 ہیں۔ فرض کریں کہ ان کے انتظار کا وقت A> B> C> D ہے۔ اس کے مطابق، ان کے بونس 10، 7.5، 5، 5.5 ہیں۔ لہذا ان کی رقم 26، 28.5، 25، 25.5 ہے، اور ترجیحی ترتیب B> A> D> C ہے۔ اب، B کے اعضاء حاصل کرنے کے بعد، A، C، D کے ذاتی اسکور وہی رہتے ہیں، لیکن بونس 10، 6.67، 3.33 میں بدل جاتے ہیں، لہذا رقم 26، 26.67، 26.33، اور ترجیحی ترتیب C> D> A ہے۔ یہ تینوں ایجنٹوں کے درمیان آرڈر کو الٹ دیتا ہے۔ ایک مربوط ترجیحی ترتیب کے لیے، ترجیح کا تعین صرف ذاتی خصلتوں سے کیا جانا چاہیے۔ مثال کے طور پر، بونس کا حساب مریضوں کے حصے کے بجائے قطار میں مہینوں کی تعداد سے کیا جا سکتا ہے۔ تقسیم پیراڈوکس حوالہ جات انصاف کے معیار تقسیم کے طریقہ کار کے معیار کو بھی دیکھیں۔