Hitchin's equations
ریاضی میں، اور خاص طور پر تفریقی جیومیٹری اور گیج تھیوری میں، ہچن کی مساوات ریمن کی سطح پر ویکٹر بنڈل یا پرنسپل بنڈل پر کنکشن اور ہگس فیلڈ کے لیے جزوی تفریقی مساوات کا ایک نظام ہے، جسے نائجل ہچن نے 1987 میں لکھا تھا۔ ہچن کی مساوات مقامی طور پر ساخت گروپ کے متوازی خلا میں سطح کے لیے ہارمونک نقشہ مساوات کے مساوی ہیں۔ وہ خود دوہری یانگ ملز مساوات کو چار جہتوں سے دو جہتوں میں جہتی کمی کے طور پر بھی ظاہر ہوتے ہیں، اور ہچن کی مساوات کے حل ہگس بنڈلوں اور ہولومورفک رابطوں کی مثالیں دیتے ہیں۔ کمپیکٹ ریمن کی سطح پر ہچن کی مساوات کے حل کا وجود متعلقہ ہگس بنڈل یا متعلقہ ہولومورفک کنکشن کے استحکام سے ہوتا ہے، اور یہ نانبیلین ہج خط و کتابت کی آسان ترین شکل ہے۔ ہچن کی مساوات کے حل کی ماڈیولی جگہ ہچن نے ایک کمپیکٹ ریمن سطح پر رینک ٹو کیس میں تعمیر کی تھی اور یہ تعمیر شدہ ہائپرکہلر کئی گنا کی پہلی مثالوں میں سے ایک تھی۔ غیر ایبلین ہج خط و کتابت سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ہگس بنڈل ماڈیولی اسپیس اور ہولومورفک کنکشنز کے ماڈیولی اسپیس کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہگز بنڈل ماڈیولی کی جگہ پر میٹرک ڈھانچے کا استعمال کرتے ہوئے جو ہچن کی مساوات کے لحاظ سے اس کی وضاحت کے مطابق ہے، ہچن نے ہچن سسٹم کی تعمیر کی، جو ایک مکمل طور پر مربوط نظام ہے جس کی ایک محدود فیلڈ پر مڑی ہوئی عمومی کاری کو این جی او باؤ چاؤ نے لینگ لینڈز پروگرام میں بنیادی لیما کے ثبوت میں استعمال کیا تھا، جس کے لیے اسے 2010 کا فیلڈز میڈل دیا گیا تھا۔ تعریف ویکٹر بنڈل یا پرنسپل بنڈل پر کنکشن کے لیے تعریف کی جا سکتی ہے، جس میں دونوں نقطہ نظر بنیادی طور پر متغیر ہوتے ہیں۔ یہاں اصل بنڈلوں کی تعریف پیش کی گئی ہے، جو کہ وہ شکل ہے جو ہچن کے کام میں ظاہر ہوتی ہے۔ آئیے ایک کمپیکٹ ریمن سطح پر ایک کمپیکٹ حقیقی لائ گروپ کے لیے ایک پرنسپل بنڈل بنیں۔ سادگی کے لیے ہم خاص یک جہتی گروپ یا خصوصی آرتھوگنل گروپ کے معاملے پر غور کریں گے۔ فرض کریں کہ ایک کنکشن آن ہے، اور پیچیدہ ویکٹر بنڈل کا ایک حصہ ہونے دیں، جہاں کے لائ الجبرا کی پیچیدگی کے ذریعہ دیئے گئے فائبر کے ساتھ ملحقہ بنڈل کی پیچیدگی ہے۔ یعنی یہ ایک پیچیدہ قدر والی شکل ہے۔ یانگ ملز تھیوری میں ظاہر ہونے والے معاون ہگس فیلڈ کے ساتھ مشابہت میں اس طرح کے اے کو ہگس فیلڈ کہا جاتا ہے۔ ایک جوڑے کے لیے، ہچن کی مساوات اس بات پر زور دیتی ہیں کہ منحنی شکل کہاں ہے، پیچیدہ ملحقہ بنڈل پر انڈیوسڈ کنکشن کا-حصہ ہے، اور لائ الجبرا ویلیوڈ تفریقی شکلوں کے معنی میں-ویلیوڈ ون فارمز کا کمیونیٹیٹر ہے۔ چونکہ یہ قسم کی ہے، ہچن کی مساوات اس بات پر زور دیتی ہیں کہ-جزو۔ چونکہ، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک ڈولبولٹ آپریٹر آن ہے اور اس لائ الجبرا بنڈل کو ہولومورفک ویکٹر بنڈل کی ساخت دیتا ہے۔ لہذا، حالت کا مطلب ہے کہ یہ ایک ہولومورفک-ویلیوڈ-فارم ہے۔ ہولومورفک ویکٹر بنڈل پر مشتمل ایک جوڑا جو ہولومورفک اینڈومورفزم ویلیوڈ فارم کے ساتھ ہوتا ہے اسے ہگس بنڈل کہا جاتا ہے، اور اس لیے ہچن کی مساوات کا ہر حل ہگس بنڈل کی مثال پیش کرتا ہے۔ مشتق ہچن کی مساوات کو یانگ ملز مساوات کی جہتی کمی کے طور پر چار جہتوں سے دو جہتوں میں اخذ کیا جا سکتا ہے۔ ایک معمولی پرنسپل-بنڈل اوور پر کنکشن پر غور کریں۔ پھر چار افعال موجود ہیں جیسے کہ معیاری کوآرڈینیٹ تفریقی شکلیں کہاں ہیں۔ کنکشن کے لیے سیلف ڈوئلٹی مساوات، یانگ-ملز مساوات کا ایک خاص معاملہ، لکھا جا سکتا ہے جہاں گھماؤ کی دو شکلیں ہیں۔ جہتی طور پر دو جہتوں تک کم کرنے کے لیے، ایک یہ عائد کرتا ہے کہ کنکشن فارم آن کوآرڈینیٹس سے آزاد ہیں۔ اس طرح اجزاء محدود بنڈل پر کنکشن کی وضاحت کرتے ہیں، اور اگر ایک ری لیبل ہے، تو یہ معاون قدر والے فیلڈز ہیں۔ اگر اب کوئی لکھتا ہے اور معیاری پیچیدہ شکل کہاں ہے، تو اوپر کی خود دوہری مساوات قطعی طور پر ہچن کی مساوات بن جاتی ہیں۔ چونکہ یہ مساوات مطابقت پذیری طور پر غیر متغیر ہیں، اس لیے وہ طیارہ، ریمن کی سطح کی مطابقت پذیری پر معنی رکھتی ہیں۔ حوالہ جات متفرق جیومیٹری