Mean curvature flow
ریاضی میں تفریقی جیومیٹری کے میدان میں، اوسط منحنی بہاؤ ریمینیئن کئی گنا میں ہائپر سرفیس کے ہندسی بہاؤ کی ایک مثال ہے (مثال کے طور پر، 3 جہتی یوکلڈین اسپیس میں ہموار سطحیں)۔ بدیہی طور پر، سطحوں کا ایک خاندان اوسط منحنی بہاؤ کے تحت تیار ہوتا ہے اگر رفتار کا عام جزو جس کی سطح پر ایک نقطہ حرکت کرتا ہے سطح کی اوسط منحنیت سے دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گول دائرہ اندر کی طرف یکساں طور پر سکڑ کر اوسط منحنی بہاؤ کے تحت تیار ہوتا ہے (چونکہ کسی دائرے کا اوسط منحنی ویکٹر اندر کی طرف اشارہ کرتا ہے)۔ خصوصی صورتوں کے علاوہ، اوسط منحنی بہاؤ میں انفرادیت پیدا ہوتی ہے۔ اس رکاوٹ کے تحت کہ بند حجم مستقل ہے، اسے سطح تناؤ کا بہاؤ کہا جاتا ہے۔ یہ ایک پیرابولک جزوی تفریق مساوات ہے، اور اس کی تشریح "ہموار" کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ وجود اور انفرادیت مندرجہ ذیل کو مائیکل گیج اور رچرڈ ایس ہیملٹن نے پیرابولک ہندسی بہاؤ کے لیے ہیملٹن کے عمومی وجود کے نظریہ کے اطلاق کے طور پر دکھایا تھا۔ ایک کمپیکٹ ہموار کئی گنا ہونے دیں، ایک مکمل ہموار ریمینیئن کئی گنا ہونے دیں، اور ایک ہموار وسرجن ہونے دیں۔ پھر ایک مثبت نمبر ہوتا ہے، جو لامحدود ہو سکتا ہے، اور مندرجہ ذیل خصوصیات کے ساتھ ایک نقشہ: کسی کے لیے ہموار وسرجن ہے جیسا کہ کسی کے پاس ہے، a کے منحنی خطوط کا مشتق a کے اوسط منحنی ویکٹر کے برابر ہے۔ اگر اوپر چار خصوصیات کے ساتھ کوئی دوسرا نقشہ ہے، تو اور کسی بھی ضروری طور پر، کی پابندی ہے۔ ایک ابتدائی ڈیٹا کے ساتھ (زیادہ سے زیادہ توسیع شدہ) اوسط منحنی بہاؤ کے طور پر حوالہ دیتا ہے۔ کنورجنس تھیوریمز ریکی کے بہاؤ پر ہیملٹن کے 1982 کے دور کے کام کے بعد، 1984 میں گیرہارڈ ہیوسکن نے درج ذیل ہم آہنگ نتیجہ پیدا کرنے کے لیے اوسط منحنی بہاؤ کے لیے وہی طریقے استعمال کیے: اگر یوکلڈین اسپیس ہے، جہاں کے طول و عرض کی نشاندہی ہوتی ہے، تو ضروری ہے کہ وہ محدود ہو۔ اگر 'ابتدائی وسرجن' کی دوسری بنیادی شکل سختی سے مثبت ہے، تو وسرجن کی دوسری بنیادی شکل بھی ہر ایک کے لیے سختی سے مثبت ہے، اور اس کے علاوہ اگر کوئی فنکشن کا انتخاب اس طرح کرتا ہے کہ ریمینیئن کئی گنا کا حجم آزاد ہو، تو جیسے ہی وسرجن آسانی سے ایک وسرجن میں بدل جاتا ہے جس کی شبیہہ ایک گول دائرے میں ہوتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر اور ایک ہموار ہائپر سرفیس وسرجن ہے جس کی دوسری بنیادی شکل مثبت ہے، تو گاؤس کا نقشہ ایک ڈفیومورفزم ہے، اور اس لیے شروع سے ہی کوئی جانتا ہے کہ ابتدائی تفریقی ٹوپولوجی سے، کہ اوپر سمجھے گئے تمام وسرجن سرایت ہیں۔ گیج اور ہیملٹن نے ہوسکین کے نتائج کو کیس تک بڑھا دیا۔ میتھیو گریسن (1987) نے دکھایا کہ اگر کوئی ہموار سرایت ہے، تو ابتدائی ڈیٹا کے ساتھ اوسط منحنی بہاؤ بالآخر سختی سے مثبت منحنیت کے ساتھ خصوصی طور پر سرایت پر مشتمل ہوتا ہے، جس مقام پر گیج اور ہیملٹن کا نتیجہ لاگو ہوتا ہے۔ خلاصہ: اگر ایک ہموار سرایت ہے، تو ابتدائی ڈیٹا کے ساتھ اوسط منحنی بہاؤ پر غور کریں۔ پھر ہر ایک کے لیے ایک ہموار سرایت ہوتی ہے اور ایسی موجود ہوتی ہے جس میں ہر ایک کے لیے مثبت (بیرونی) منحنیت ہوتی ہے۔ اگر کوئی ہیوسکن کے نتیجے کی طرح فنکشن کا انتخاب کرتا ہے، تو جیسے ہی سرایت آسانی سے ایک سرایت میں بدل جاتی ہے جس کی شبیہہ ایک گول دائرہ ہوتی ہے۔ خصوصیات اوسط منحنی بہاؤ سطح کے رقبے کو انتہائی حد تک بڑھاتا ہے، اور کم سے کم سطحیں اوسط منحنی بہاؤ کے لیے اہم نکات ہیں ؛ منیما آئسوپیریمیٹرک مسئلہ کو حل کرتا ہے۔ کیلر-آئن سٹائن کئی گنا میں سرایت شدہ کئی گنا کے لیے، اگر سطح ایک لاگرانجین ذیلی منی فولڈ ہے، تو اوسط منحنی بہاؤ لاگرانجین قسم کا ہے، لہذا سطح لاگرانجین ذیلی مینی فولڈ کی کلاس کے اندر تیار ہوتی ہے۔ ہیوسکن کا یکسانیت کا فارمولا اوسط منحنی بہاؤ سے گزرنے والی سطح کے ساتھ وقت کے الٹ گرمی کے دانے کے ارتقاء کی یکسانیت کی خاصیت دیتا ہے۔ متعلقہ بہاؤ یہ ہیں: منحنی-مختصر بہاؤ کا ایک جہتی معاملہ اوسط منحنی بہاؤ سطح کا تناؤ کا بہاؤ لگرینجین کا اوسط منحنی بہاؤ کا الٹا اوسط منحنی بہاؤ کا مطلب تین جہتی سطح کا منحنی بہاؤ کسی سطح کے اوسط منحنی بہاؤ کے لیے تفریقی مساوات اس کے ذریعے دی جاتی ہے جو منحنی اور سطح کی رفتار سے متعلق مستقل ہوتی ہے، اور اوسط منحنی حد میں ہوتی ہے اور، تاکہ سطح اپنے معمول کے ساتھ تقریبا طیارہ ہو اور محور زیڈ کے متوازی ہو، یہ ایک بازی مساوات میں گھٹ جاتی ہے جبکہ روایتی بازی مساوات ایک لکیری پیرابولک جزوی تفریقی مساوات ہے اور یکسانیت پیدا نہیں کرتی (جب وقت کے ساتھ آگے چلتی ہے)۔ عام طور پر اوسط منحنی بہاؤ کے تحت انفرادیت کو روکنے کے لیے سطح پر اضافی رکاوٹیں ڈالنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہر ہموار کنویکس سطح اوسط منحنی بہاؤ کے تحت ایک نقطہ پر گر جاتی ہے، بغیر کسی دوسری انفرادیت کے، اور جیسے جیسے یہ ہوتی ہے ایک دائرے کی شکل میں یکجا ہوتی ہے۔ دو یا اس سے زیادہ طول و عرض کی سطحوں کے لیے یہ گیرہارڈ ہیوسکن کا نظریہ ہے۔ ایک جہتی منحنی خطوط کو مختصر کرنے والے بہاؤ کے لیے یہ گیج-ہیملٹن-گریسن نظریہ ہے۔ تاہم، دائرے کے علاوہ دو یا زیادہ جہتوں کی سرایت شدہ سطحیں موجود ہیں جو اوسط منحنی بہاؤ کے تحت ایک نقطہ پر سکڑتے ہوئے خود سے ملتی جلتی رہتی ہیں، بشمول انجینیٹ ٹورس۔ مثال: ایم-جہتی شعبوں کا اوسط منحنی بہاؤ اوسط منحنی بہاؤ کی ایک سادہ مثال متمرکز گول ہائپرسفیرز کے ایک خاندان کے ذریعہ دی گئی ہے۔ رداس کے ایک جہتی دائرے کی اوسط منحنیت ہے۔ دائرے کی گردشی ہم آہنگی کی وجہ سے (یا عام طور پر، آئسومیٹریز کے تحت اوسط منحنی خطوط کے غیر متغیر ہونے کی وجہ سے) اوسط منحنی خطوط کے بہاؤ کی مساوات، رداس کے ابتدائی دائرے کے لیے، عام تفریقی مساوات میں گھٹ جاتی ہے، اس ODE کا حل (حاصل کردہ، مثال کے طور پر، متغیرات کی علیحدگی سے) ہے، جو اس کے لیے موجود ہے۔ حوالہ جات۔ ۔ ۔ خاص طور پر مساوات 3a اور 3b میں دیکھیں۔ جیومیٹرک بہاؤ تفریقی جیومیٹری