Frobenius characteristic map
ریاضی میں، خاص طور پر نمائندگی کے نظریہ اور امتزاج میں، فروبینئس خصوصیت کا نقشہ سمیٹرک گروپوں کے حروف کی انگوٹی اور سمیٹرک افعال کی انگوٹی کے درمیان ایک آئسومیٹرک آئسومورفزم ہے۔ یہ سمیٹرک گروپوں کے نمائندگی کے نظریہ اور الجبرائی امتزاج کے درمیان ایک پل بناتا ہے۔ یہ نقشہ سمیٹرک افعال کی مدد سے نمائندگی کے مسائل کا مطالعہ کرنا ممکن بناتا ہے اور اس کے برعکس۔ اس نقشے کا نام جرمن ریاضی دان فرڈینینڈ جارج فروبینیوس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف حروف کی انگوٹی کو اوور کے تمام ناقابل تلافی حروف سے پیدا ہونے والا-ماڈیول ہونے دیں۔ خاص طور پر اور اس وجہ سے۔ حروف کی انگوٹی کو درج ذیل ضرب کے ساتھ براہ راست مجموعہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے تاکہ درجہ بند مواصلاتی انگوٹی بنائی جا سکے۔ دی گئی اور، پروڈکٹ کو اس تفہیم کے ساتھ بیان کیا گیا ہے جو اس میں سرایت کرتا ہے اور محرک کردار کی نشاندہی کرتا ہے۔ Frobenius خصوصیت کا نقشہ کے لیے، Frobenius خصوصیت کے نقشے کی قیمت، جسے Frobenius تصویر بھی کہا جاتا ہے، کو کثیر الجہتی ریمارکس کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، کب اور، پارٹیشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے برعکس، (کے طور پر لکھا ہوا) کا ایک حصہ کنجوگیسی کلاس کا تعین کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، دیا گیا، ایک کنجوگیسی کلاس ہے۔ لہذا اشارے کے غلط استعمال سے اس کے ذریعہ طے شدہ کنجوگیسی کلاس کی قدر کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ہمیشہ معنی رکھتا ہے کیونکہ یہ ایک کلاس فنکشن ہے۔ اس کی تقسیم ہونے دیں، پھر پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی کا پروڈکٹ ہے جس کا تعین متغیرات کے ذریعہ کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، دی گئی، ایک پارٹیشن، آخر میں، کی تعریف کی گئی ہے، جہاں کنجوگیسی کلاس کی کارڈینالیٹی ہے۔ مثال کے طور پر، کب۔ لہذا کی دوسری تعریف کو براہ راست جائز قرار دیا جا سکتا ہے: پراپرٹیز اندرونی پروڈکٹ اور آئسومیٹری ہال اندرونی پروڈکٹ سمیٹرک افعال کی رنگ پر اندرونی پروڈکٹ ہال اندرونی پروڈکٹ ہے۔ اس کی ضرورت ہے۔ یہاں، ایک مونومیل سمیٹرک فنکشن ہے اور مکمل طور پر یکساں سمیٹرک فنکشنز کا پروڈکٹ ہے۔ عین مطابق ہونے کے لیے، انٹیجر کی تقسیم ہونے دیں، پھر خاص طور پر، اس اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے، ایک آرتھوگنل بنیاد بناتا ہے:، اور شور کثیر الجہتی ایک آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں:، جہاں کرونکر ڈیلٹا ہے۔ حروف کا اندرونی پروڈکٹ، ان کے اندرونی پروڈکٹ کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے اگر، تو ایک آئسومیٹری کے طور پر فروبینئس کی خصوصیت کا نقشہ یہ ثابت کر سکتا ہے کہ فروبینئس کی خصوصیت کا نقشہ واضح حساب سے ایک آئسومیٹری ہے۔ اسے ظاہر کرنے کے لیے، یہ فرض کرنا کافی ہے کہ: رنگ آئسومورفزم نقشہ اور-رنگ کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے۔ یہ حقیقت کہ یہ نقشہ ایک رنگ ہومومورفزم ہے، فروبینیوس باہمی تعاون سے دکھایا جا سکتا ہے۔ کے لیے اور، کی طرف سے تعریف کرتے ہوئے، فروبینئس خصوصیت کے نقشے کو مختصر شکل میں لکھا جا سکتا ہے: خاص طور پر، اگر ایک ناقابل تلافی نمائندگی ہے، تو یہ متغیرات کا شور کثیر الجہتی ہے۔ اس کے بعد ایک آرتھونورمل بنیاد کا نقشہ ایک آرتھونورمل بنیاد کی طرف جاتا ہے۔ لہذا یہ ایک آئسومورفزم ہے۔ مثال فروبینیوس امیج کی کمپیوٹنگ آئیے اس کی متبادل نمائندگی کریں، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، کہ تعدد کی علامت کہاں ہے۔ کنجوگیسی کی تین کلاسیں ہیں، جن کی نمائندگی (شناخت یا تین 1-چکروں کا پروڈکٹ)، (ٹرانسپوزیشن یا ایک 2-سائیکل اور ایک 1-سائیکل کے پروڈکٹ) اور (3-سائیکل) کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ لہذا یہ تینوں کنجوگیسی کلاسیں،، کے ذریعہ دی گئی تین پارٹیشنوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ان تینوں کلاسوں کی اقدار بالترتیب ہیں۔ لہذا: چونکہ یہ ایک ناقابل تلافی نمائندگی ہے (جسے اس کے حروف کا حساب لگا کر دکھایا جا سکتا ہے)، مندرجہ بالا حساب سے پارٹیشن سے مطابقت رکھنے والے تین متغیرات کا شور کثیر الجہتی ملتا ہے۔ حوالہ جات کی نمائندگی _ نظریہ امتزاج