Serial relation
سیٹ تھیوری میں سیریل ریلیشن ایک یکساں تعلق ہے جو ترتیب کے کسی عنصر کے تعلق کو مندرجہ ذیل عنصر سے ظاہر کرتا ہے۔ قدرتی اعداد کی وضاحت کے لیے پیانو کی طرف سے استعمال کیا جانے والا جانشین فنکشن سیریل ریلیشن کا پروٹو ٹائپ ہے۔ برٹرینڈ رسل نے ریاضی کے اصولوں (1903) میں سلسلہ وار تعلقات کا استعمال کیا جب انہوں نے آرڈر تھیوری کی بنیادوں اور اس کے اطلاق کی کھوج کی۔ سیریل ریلیشن کی اصطلاح بھی بی نے استعمال کی تھی۔ اے۔ برنسٹین ایک مضمون کے لیے جس میں دکھایا گیا ہے کہ ترتیب کے نظریہ میں مخصوص عام محوریات تقریبا مطابقت نہیں رکھتے ہیں: جڑاؤ، غیر لچکدار، اور منتقلی۔ سیریل ریلیشن R ایک سیٹ U پر ایک اینڈوریلیشن ہے۔ جیسا کہ رسل نے بیان کیا ہے، جہاں عالمگیر اور وجودی مقداریں U کا حوالہ دیتی ہیں۔ تعلقات کی عصری زبان میں، یہ خاصیت کل تعلق کی وضاحت کرتی ہے۔ لیکن کل تعلق متنوع ہو سکتا ہے۔ سلسلہ وار تعلقات تاریخی دلچسپی کے حامل ہیں۔ کسی رشتہ R کے لیے، فرض کریں کہ {y: xRy} x کے "جانشین پڑوس" کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک سیریل رشتہ کو مساوی طور پر ایک ایسے رشتے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کے لیے ہر عنصر کا ایک غیر خالی جانشین پڑوس ہوتا ہے۔ اسی طرح، ایک الٹا سیریل رشتہ ایک ایسا رشتہ ہے جس میں ہر عنصر کا غیر خالی "پیشرو پڑوس" ہوتا ہے۔ عام موڈل منطق میں، سیریل پراپرٹی کے ذریعہ بنیادی محوری سیٹ K کی توسیع محوری سیٹ D کے نتیجے میں ہوتی ہے۔ رسل کی سیریز کے تعلقات کو ریاضی کے اصولوں میں سیریز تیار کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ پروٹو ٹائپ قدرتی اعداد پر ایک ایک تعلق کے طور پر پیانو کا جانشین فنکشن ہے۔ رسل کی سیریز محدود ہو سکتی ہے یا چکور ترتیب دینے والے رشتے سے پیدا ہو سکتی ہے۔ اس صورت میں، پوائنٹ جوڑی علیحدگی کا تعلق وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ پیش رفت کی وضاحت کرنے کے لیے، اس کے لیے ضروری ہے کہ پیدا کرنے والا رشتہ جڑا ہوا رشتہ ہو۔ پھر آرڈینل نمبرز ترقی سے اخذ کیے جاتے ہیں، محدود نمبرز محدود آرڈینلز ہوتے ہیں۔ کھلی اور بند سیریز میں فرق کرنے کے نتیجے میں کل چار ترتیبات سامنے آتے ہیں: محدود، ایک اختتام، کوئی اختتام اور کھلا نہیں، اور کوئی اختتام اور بند نہیں۔ دوسرے مصنفین کے برعکس، رسل منفی آرڈینلز کو تسلیم کرتے ہیں۔ محرک کے لیے، سائنسی اشارے کا استعمال کرتے ہوئے پیمائش کے پیمانوں پر غور کریں، جہاں دس کی طاقت پیمائش کی دہائی کی نمائندگی کرتی ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ پیرامیٹر جسمانی اکائیوں کی مقدار کے لیے استعمال ہونے والی شدت کے آرڈرز سے مطابقت رکھتا ہے۔ پیرامیٹر منفی کے ساتھ ساتھ مثبت اقدار کو بھی لیتا ہے۔ اسٹریچ رسل نے اسٹریچ کی اصطلاح مینونگ سے اپنائی، جس نے نظریہ فاصلے میں اہم کردار ادا کیا تھا۔ اسٹریچ سے مراد ایک سیریز میں دو پوائنٹس کے درمیان انٹرمیڈیٹ اصطلاحات ہیں، اور "اصطلاحات کی تعداد پورے کے فاصلے اور تقسیم کی پیمائش کرتی ہے"۔ مینونگ کی وضاحت کرنے کے لیے، رسل کیلی-کلین میٹرک کا حوالہ دیتے ہیں، جو انہارمونک تناسب میں اسٹریچ کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتا ہے جو لوگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے فاصلے کا تعین کرتے ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط یہاں: صفحہ 416۔ بائنری ریلیشنز آرڈر تھیوری