Classical probability density
کلاسیکی امکانی کثافت امکانی کثافت فنکشن ہے جو کلاسیکی مکینیکل نظام میں ممکنہ توانائی کے تابع کسی خاص مقام کے آس پاس کسی ذرہ کو تلاش کرنے کے امکان کی نمائندگی کرتی ہے۔ یہ امکانات کی کثافت خط و کتابت کے اصول کے بارے میں بصیرت حاصل کرنے اور زیر مطالعہ کوانٹم نظام اور کلاسیکی حد کے درمیان تعلق قائم کرنے میں مددگار ہیں۔ ریاضیاتی پس منظر ایک سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کی مثال پر غور کریں جو ابتدائی طور پر طول و عرض کے ساتھ آرام کرتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ نظام ہلکے تنگ کنٹینر کے اندر اس طرح رکھا گیا تھا کہ کوئی اسے صرف ایک کیمرے کا استعمال کرتے ہوئے دیکھ سکتا ہے جو صرف اس کی تصویر لے سکتا ہے کہ اندر کیا ہو رہا ہے۔ ہر سنیپ شاٹ میں آسکیلیٹر کو اس کی رفتار کے ساتھ کسی بھی ممکنہ پوزیشن پر دیکھنے کا کچھ امکان ہوتا ہے۔ کلاسیکی امکانی کثافت اس بات کا احاطہ کرتی ہے کہ کون سی پوزیشنیں زیادہ امکان رکھتی ہیں، جن کا امکان کم ہے، نظام کی اوسط پوزیشن وغیرہ۔ اس فنکشن کو حاصل کرنے کے لیے، اس حقیقت پر غور کریں کہ وہ پوزیشنیں جہاں آسکیلیٹر کے ملنے کا سب سے زیادہ امکان ہے وہ پوزیشنیں ہیں جن پر آسکیلیٹر اپنا زیادہ تر وقت گزارتا ہے۔ درحقیقت، کسی دی گئی قیمت پر ہونے کا امکان اس قیمت کے آس پاس گزارے گئے وقت کے متناسب ہوتا ہے۔ اگر آکسیلیٹر کسی دی گئی قدر کے آس پاس لامحدود وقت گزارتا ہے، تو اس آس پاس ہونے کا امکان ہوگا۔ چونکہ آکسیلیٹر پر کام کرنے والی قوت قدامت پسند ہے اور حرکت ایک محدود ڈومین پر ہوتی ہے، اس لیے حرکت کچھ مدت کے ساتھ چکور ہوگی جس کی نشاندہی کی جائے گی۔ چونکہ آسکیلیٹر کے کم از کم ممکنہ قدر اور زیادہ سے زیادہ ممکنہ قدر کے درمیان کسی بھی ممکنہ پوزیشن پر ہونے کا امکان 1 ہونا چاہیے، اس لیے معمول کا استعمال کیا جاتا ہے، جہاں معمول کا مستقل ہوتا ہے۔ چونکہ ارتعاش کرنے والی کمیت اپنی نصف مدت میں پوزیشنوں کی اس حد کا احاطہ کرتی ہے (ایک مکمل مدت اس کے بعد واپس جاتی ہے) تو انٹیگرل اوور برابر ہوتا ہے، جو ہونا طے ہوتا ہے۔ زنجیر کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے، اس اونچائی کے لحاظ سے رکھا جا سکتا ہے جس پر کمیت لمبے عرصے سے چل رہی ہے، لہذا ہماری امکانی کثافت بن جاتی ہے جہاں اس کی پوزیشن کے فنکشن کے طور پر آسکیلیٹر کی رفتار ہے۔ (نوٹ کریں کہ کیونکہ رفتار ایک اسکیلر ہے، دونوں نصف ادوار کے لیے یکساں ہے۔) اس مقام پر، جو کچھ درکار ہے وہ حاصل کرنے کے لیے فنکشن فراہم کرنا ہے۔ قدامت پسند قوتوں کے تابع نظاموں کے لیے، یہ رفتار کو توانائی سے جوڑ کر کیا جاتا ہے۔ چونکہ حرکی توانایٔی ہے اور کل توانایٔی، نظام کی ممکنہ توانایٔی کہاں ہے، اس لیے رفتار کو پیداوار کے لیے ہمارے اظہار میں پلگ ان کرنے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اگرچہ ہماری ابتدائی مثال ہارمونک آسکیلیٹر تھی، اس مقام تک کا تمام حساب ایک قدامت پسند قوت کے تابع ذرہ کے لیے مکمل طور پر عمومی رہا ہے۔ اس فارمولے کو کسی بھی یک جہتی جسمانی نظام کے لیے متعلقہ پوٹینشیل انرجی فنکشن کو جوڑ کر عام کیا جا سکتا ہے۔ ایک بار ایسا کرنے کے بعد، کسی بھی اجازت شدہ توانائی کے لیے آسانی سے حاصل کیا جاتا ہے۔ مثالیں سادہ ہارمونک آسکیلیٹر مندرجہ بالا مشتق میں استعمال ہونے والی مثال سے شروع کرتے ہوئے، سادہ ہارمونک آسکیلیٹر میں پوٹینشل انرجی فنکشن ہوتا ہے جہاں آسکیلیٹر کا اسپرنگ مستقل ہوتا ہے اور آسکیلیٹر کی قدرتی کونیی تعدد ہوتی ہے۔ آسکیلیٹر کی کل توانائی موڑ کے مقامات پر اندازہ لگا کر دی جاتی ہے۔ اسے پیداوار کے اظہار میں جوڑنا اس فنکشن میں موڑ کے مقامات پر دو عمودی ایسمپٹوٹس ہوتے ہیں، جو جسمانی طور پر معنی رکھتے ہیں کیونکہ موڑ کے مقامات وہ ہوتے ہیں جہاں آسکیلیٹر آرام میں ہوتا ہے، اور اس طرح زیادہ تر امکان ان اقدار کے آس پاس پایا جائے گا۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ امکانی کثافت فنکشن لامحدود کی طرف جاتا ہے، امکان اب بھی منحنی خطوط کے نیچے کے رقبے کی وجہ سے محدود ہے، نہ کہ خود منحنی خطوط کی وجہ سے، جو امکان کی نمائندگی کرتا ہے۔ اچھلتی ہوئی گیند نقصان کے بغیر اچھلتی ہوئی گیند کے لیے، ممکنہ توانائی اور کل توانائی وہ ہوتی ہے جہاں گیند کی زیادہ سے زیادہ اونچائی ہوتی ہے۔ ان کو پیداوار میں جوڑنا جہاں تعلق کو عوامل کو آسان بنانے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ اس فنکشن کا ڈومین ہے (گیند فرش کے ذریعے نہیں گرتی ہے)، لہذا تقسیم سمیٹرک نہیں ہے جیسا کہ سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کے معاملے میں ہوتا ہے۔ ایک بار پھر، موڑ کے مقام پر ایک عمودی ایسمپٹوٹ ہوتا ہے۔ مومنٹم اسپیس ڈسٹری بیوشن پوزیشن اسپیس میں امکانی تقسیم کو دیکھنے کے علاوہ، اس کی رفتار کی بنیاد پر کسی نظام کی خصوصیت کرنا بھی مددگار ہے۔ اوپر کی طرح اسی طرح کی دلیل کے بعد، نتیجہ یہ ہے کہ پوزیشن کے فنکشن کے طور پر ذرہ پر کام کرنے والی قوت کہاں ہے۔ عملی طور پر، اس فنکشن کو متغیرات کی تبدیلی کے ذریعے رفتار کے لحاظ سے رکھا جانا چاہیے۔ سادہ ہارمونک آسکیلیٹر اوپر کے سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کی مثال لیتے ہوئے، پوٹینشل انرجی اور فورس کو سسٹم کی زیادہ سے زیادہ مومنٹم کے طور پر شناخت کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اس سے یہ نوٹ کرنا آسان ہو جاتا ہے کہ اس کی فنکشنل شکل پوزیشن-اسپیس پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن جیسی ہی ہے۔ یہ سادہ ہارمونک آسکیلیٹر کے مسئلے کے لیے مخصوص ہے اور حرکت کی مساوات میں اور اس کے درمیان توازن کی وجہ سے پیدا ہوتا ہے۔ اچھلتی ہوئی گیند اچھلتی ہوئی گیند کی مثال زیادہ سیدھی ہوتی ہے، کیونکہ اس صورت میں قوت ایک مستقل ہوتی ہے، جس کے نتیجے میں امکانی کثافت کی تقریب ہوتی ہے جہاں گیند کی زیادہ سے زیادہ رفتار ہوتی ہے۔ اس نظام میں، تمام مومینٹا یکساں طور پر ممکنہ ہیں۔ ممکنہ کثافت فعل خط و کتابت کا اصول کلاسیکی حد لہر فعل حوالہ جات طبیعیات میں تصورات کلاسیکی میکانکس نظریاتی طبیعیات بھی دیکھیں۔