Filter (set theory)
ریاضی میں، کسی سیٹ پر فلٹر ذیلی سیٹوں کا ایک خاندان ہوتا ہے جیسے: اور اگر اور، پھر اگر، اور، پھر کسی سیٹ پر ایک فلٹر کو "بڑے ذیلی سیٹوں کے مجموعے" کی نمائندگی کرنے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، ایک بدیہی مثال پڑوس کا فلٹر ہے۔ فلٹر آرڈر تھیوری، ماڈل تھیوری، اور سیٹ تھیوری میں ظاہر ہوتے ہیں، لیکن ٹوپولوجی میں بھی پائے جا سکتے ہیں، جہاں سے وہ نکلتے ہیں۔ فلٹر کا دوہرا تصور ایک مثالی ہے۔ فلٹرز کو ہنری کارٹن نے 1937 میں متعارف کرایا تھا اور جیسا کہ ٹوپولوجی میں فلٹرز کے لیے وقف مضمون میں بیان کیا گیا ہے، بعد میں انہیں نکولس بورباکی نے اپنی کتاب ٹوپولوجی جنرل میں 1922 میں ای ایچ مور اور ہرمن ایل اسمتھ کے تیار کردہ نیٹ کے متعلقہ تصور کے متبادل کے طور پر استعمال کیا۔ آرڈر فلٹر سیٹوں سے لے کر صوابدیدی جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹوں تک فلٹرز کی عمومی کاری ہیں۔ خاص طور پر، کسی سیٹ پر فلٹر خصوصی صورت میں صرف ایک مناسب آرڈر فلٹر ہوتا ہے جہاں جزوی طور پر آرڈر کیا گیا سیٹ سیٹ کی شمولیت کے ذریعہ آرڈر کردہ پاور سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے۔ ابتدائی، اشارے، اور بنیادی تصورات اس مضمون میں، اوپری کیس کے رومن حروف جیسے سیٹوں کی نشاندہی کرتے ہیں (لیکن خاندانوں کی نہیں جب تک کہ دوسری صورت میں اشارہ نہ کیا جائے) اور پاور سیٹ کے پاور سیٹ کی نشاندہی کریں گے۔ پاور سیٹ کے ذیلی سیٹ کو کہا جاتا ہے (یا صرف،) جہاں یہ ہے کہ اگر یہ سیٹوں کے خاندانوں کا ذیلی سیٹ ہے تو اسے اپر کیس خطاطی کے حروف سے ظاہر کیا جائے گا جیسے کہ جب بھی ان مفروضوں کی ضرورت ہو، تو یہ فرض کیا جانا چاہئے کہ یہ خالی نہیں ہے اور وہ وغیرہ۔ اصطلاحات "پری فلٹر" اور "فلٹر بیس" مترادف ہیں اور ایک دوسرے کے بدلے استعمال ہوں گے۔ مسابقتی تعریفیں اور اشارے کے بارے میں انتباہ بدقسمتی سے فلٹرز کے نظریہ میں کئی اصطلاحات ہیں جن کی مختلف مصنفین کے ذریعہ مختلف تعریف کی گئی ہے۔ ان میں کچھ سب سے اہم اصطلاحات شامل ہیں جیسے "فلٹر"۔ اگرچہ ایک ہی اصطلاح کی مختلف تعریفیں عام طور پر فلٹرز کی بہت تکنیکی نوعیت (اور پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی) کی وجہ سے نمایاں اوورلیپ ہوتی ہیں، اس کے باوجود تعریفوں میں ان اختلافات کے اکثر اہم نتائج ہوتے ہیں۔ ریاضیاتی ادب کو پڑھتے وقت، قارئین کو یہ چیک کرنے کی سفارش کی جاتی ہے کہ مصنف فلٹرز سے متعلق اصطلاحات کی وضاحت کیسے کرتا ہے۔ اس وجہ سے، یہ مضمون واضح طور پر تمام تعریفیں بیان کرے گا جیسا کہ وہ استعمال کیے جاتے ہیں۔ بدقسمتی سے، فلٹرز سے متعلق تمام اشارے اچھی طرح سے قائم نہیں ہوتے ہیں اور کچھ اشارے ادب میں بہت مختلف ہوتے ہیں (مثال کے طور پر، کسی سیٹ پر موجود تمام پری فلٹرز کے سیٹ کے لیے اشارے) لہذا ایسے معاملات میں یہ مضمون جو بھی اشارے سب سے زیادہ خود بیان کرنے والے یا آسانی سے یاد رکھنے والے ہوتے ہیں ان کا استعمال کرتا ہے۔ فلٹرز اور پری فلٹرز کا نظریہ اچھی طرح سے تیار کیا گیا ہے اور اس میں تعریفیں اور نوٹیشنز کی بہتات ہے، جن میں سے بہت سی اب غیر معمولی طور پر درج ہیں تاکہ اس مضمون کو پرلیکس بننے سے روکا جا سکے اور نوٹیشن اور تعریفوں کی آسان تلاش کی اجازت دی جا سکے۔ ان کی اہم خصوصیات بعد میں بیان کی گئی ہیں۔ سیٹوں کے خاندان کا یا میں ہے اور اسی طرح کا ہے پورا ہے، ایک نقشہ ہے اور ایک سیٹ ہے۔ نیٹ اور ان کی دم A ایک سیٹ ہے جس کے ساتھ ایک پری آرڈر ہے، جس کی نشاندہی کی جائے گی (جب تک کہ واضح طور پر دوسری صورت میں اشارہ نہ کیا جائے)، جو ایک () میں بن جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ سب کے لیے کچھ ایسا موجود ہے کہ کسی بھی انڈیکس کے لیے نوٹیشن کا مطلب جبکہ اس کا مطلب ہے لیکن یہ سچ ہے کہ (اگر اینٹی سمیٹرک ہے تو یہ اس کے مساوی ہے)۔ A ایک نقشہ ہے جس میں غیر خالی ہدایت شدہ سیٹ ہے۔ اشارے کا استعمال سخت موازنہ استعمال کرنے کے بارے میں ڈومین وارننگ کے ساتھ نیٹ کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جائے گا۔ اگر نیٹ ہے اور پھر اس سیٹ کے لیے خالی ہونا ممکن ہے جسے کال کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر، ایسا اس صورت میں ہوتا ہے جب ڈائریکٹڈ سیٹ کی اوپری باؤنڈ ہو)۔ اس صورت میں، خاندان میں خالی سیٹ ہوگا، جو اسے پری فلٹر ہونے سے روکتا ہے (بعد میں بیان کیا گیا)۔ یہ اس کے بجائے یا اس سے بھی زیادہ کے طور پر بیان کرنے کی (اہم) وجہ ہے اور یہ اس وجہ سے ہے کہ عام طور پر، جب کسی نیٹ کی دم کے پری فلٹر سے نمٹتے ہیں، تو سخت عدم مساوات کو عدم مساوات فلٹرز اور پری فلٹرز کے ساتھ متبادلات کے طور پر استعمال نہیں کیا جاسکتا ہے۔ درج ذیل خصوصیات کی ایک فہرست ہے جو سیٹوں کے ایک خاندان کے پاس ہو سکتی ہے اور وہ فلٹرز، پری فلٹرز اور فلٹر سب بیس کی وضاحتی خصوصیات تشکیل دیتے ہیں۔ جب بھی یہ ضروری ہو، یہ فرض کیا جانا چاہیے کہ اوپر اور نیچے بیان کی گئی بہت سی خصوصیات، جیسے کہ "مناسب" اور "نیچے کی طرف"، اس پر منحصر نہیں ہیں لہذا اس طرح کی شرائط کا استعمال کرتے وقت سیٹ کا ذکر کرنا اختیاری ہے۔ "اوپر کی طرف بند" ہونے سے متعلق تعریفیں جیسے کہ "فلٹر آن" کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ اگر سیٹ سیاق و سباق سے واضح نہیں ہے تو اس کا ذکر کیا جانا چاہیے۔ اس پر کوئی پری فلٹر نہیں ہیں (اور نہ ہی کوئی قابل قدر جال ہیں)، یہی وجہ ہے کہ یہ مضمون، زیادہ تر مصنفین کی طرح، بغیر کسی تبصرہ کے خود بخود فرض کر لے گا کہ جب بھی اس مفروضے کی ضرورت ہوگی۔ بنیادی مثالیں نامزد مثالیں سنگلٹن سیٹ کو یا یہ منفرد فلٹر آن کہا جاتا ہے کیونکہ یہ ہر فلٹر کا ذیلی سیٹ ہے ؛ تاہم، اسے ہر پری فلٹر کا ذیلی سیٹ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ڈوئل آئیڈیل کو بھی کہا جاتا ہے (اصل میں فلٹر نہ ہونے کے باوجود)۔ یہ واحد دوہری آئیڈیل ہے جس پر فلٹر نہیں ہے اگر ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہے اور پھر پڑوس کا فلٹر پر فلٹر ہے۔ تعریف کے مطابق، ایک فیملی کو a (रेसپ) کہا جاتا ہے۔ ا) اگر اور صرف اس صورت میں جب پری فلٹر ہو (ریسپ۔ ایک فلٹر سب بیس ہے) اور اس پر پیدا ہونے والا فلٹر پڑوس کے فلٹر کے برابر ہے کھلے محلوں کا ذیلی خاندان دونوں پری فلٹرز کے لیے ایک فلٹر بیس ہے جو ٹوپولوجیز کے لیے ایک بیس بھی بناتے ہیں جس میں پیدا ہونے والی ٹوپولوجی اس سے زیادہ موٹی ہوتی ہے۔ یہ مثال فوری طور پر پوائنٹس کے محلوں سے غیر خالی ذیلی سیٹوں کے محلوں کو عام کرتی ہے اگر کسی ترتیب کے لیے ایک یا اگر کسی ابتدائی پری فلٹر کے ذریعے تیار کردہ فلٹر ہے۔ ایک ترتیب سے پیدا ہونے والی دم کا فلٹر جو بالآخر مستقل نہیں ہوتا ہے ضروری ہے کہ ایک الٹرا فلٹر ہو۔ شمار کے قابل سیٹ پر ہر پرنسپل فلٹر ترتیب وار ہوتا ہے جیسا کہ شمار کے لحاظ سے لامحدود سیٹ پر ہر کوفائنٹ فلٹر ہوتا ہے۔ محدود طور پر بہت سے ترتیب وار فلٹرز کا انٹرسیکشن دوبارہ ترتیب وار ہوتا ہے۔ کے تمام کوفینیٹ سبسیٹس کا سیٹ (یعنی وہ سیٹ جن کی تکمیل محدود ہے) مناسب ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب لامحدود ہو (یا مساوی طور پر، لامحدود ہو)، اس صورت میں ایک فلٹر ہے جسے یا آن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اگر محدود ہے تو دوہری آئیڈیل کے برابر ہے جو فلٹر نہیں ہے۔ اگر لامحدود ہے تو سنگلٹن سیٹوں کی تکمیل کا خاندان ایک فلٹر سب بیس ہے جو فریشیٹ فلٹر کو آن کرتا ہے جیسا کہ سیٹوں کے کسی بھی خاندان کے ساتھ ہوتا ہے جس پر فریشیٹ فلٹر کا دانا ہوتا ہے خالی سیٹ ہوتا ہے: کسی بھی غیر خالی خاندان میں تمام عناصر کا چوراہا خود ایک فلٹر ہوتا ہے جسے یا کہا جاتا ہے جس کی وجہ سے اسے سید سے مختلف طریقے سے ظاہر کیا جاسکتا ہے، کیونکہ ہر فلٹر پر سب سیٹ ہوتا ہے، یہ چوراہا کبھی خالی نہیں ہوتا ہے۔ تعریف کے مطابق، انفیمیم ہر ممبر کے سب سیٹ کے طور پر موجود بہترین/سب سے بڑا (رشتہ دار) فلٹر ہے۔ اگر فلٹر ہیں تو ان کا انفیمیم ان فلٹر ہے۔ اگر پری فلٹر ہیں تو پھر ایک پری فلٹر ہے جو دونوں سے موٹا (حوالے سے) ہے (یعنی) ؛ درحقیقت، یہ اس طرح کے بہترین پری فلٹرز میں سے ایک ہے، جس کا مطلب ہے کہ اگر ضروری طور پر اس طرح کا پری فلٹر ہے تو زیادہ عام طور پر، اگر غیر خالی خاندان ہیں اور اگر تب اور لیٹ اینڈ لیٹ کا سب سے بڑا عنصر (حوالے سے) ہے تو لیٹ اینڈ لیٹ کا سب سیٹ کے طور پر ہر عنصر پر مشتمل سب سے چھوٹا (رشتہ دار) دوہری آئیڈیل ہے۔ یعنی، اس میں شامل ہونے پر یہ سب سے چھوٹا (رشتہ دار) دوہری آئیڈیل ہے یہ دوہری آئیڈیل وہ جگہ ہے جہاں سیٹ کے کسی بھی غیر خالی خاندان کے ساتھ پیدا ہونے والا-سسٹم ہوتا ہے، فلٹر میں موجود ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ فلٹر سب بیس ہو، یا مساوی طور پر، اگر اور صرف اس صورت میں جب فلٹر آن ہو تو یہ خاندان سب سے چھوٹا (متعلقہ) فلٹر ہے جس میں ہر عنصر کو سب سیٹ کے طور پر شامل کیا گیا ہے اور لازمی طور پر اس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے یا اس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے اگر یہ موجود ہے، تو تعریف کے مطابق سب سے چھوٹا (متعلقہ) فلٹر ہے جس میں سب سیٹ کے طور پر ہر عنصر موجود ہے۔ اگر یہ موجود ہے تو لازمی طور پر (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) اور موجود تمام فلٹرز کے چوراہے کے برابر بھی ہوگا۔ درحقیقت، اگر کم از کم 2 الگ الگ عناصر پر مشتمل ہے تو ایسے فلٹر موجود ہیں جن کے لیے ایک فلٹر موجود ہے جس میں دونوں شامل ہیں۔ اگر پری فلٹر ہیں (ریسپ۔ فلٹر آن) پھر ایک پری فلٹر (ریسپ۔ ایک فلٹر) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ غیر انحطاط پذیر ہو (یا مختلف طریقے سے کہا گیا ہو، اگر اور صرف اگر میش ہو)، اس صورت میں یہ سب سے موٹے پری فلٹر (ریسپ) ہیں۔ سب سے موٹا فلٹر) آن (کے حوالے سے) جو دونوں سے بہتر (کے حوالے سے) ہے اس کا مطلب ہے کہ اگر کوئی پری فلٹر (ریسپ) ہے۔ کوئی بھی فلٹر) اس طرح کہ پھر لازمی طور پر اس صورت میں اسے غیر خالی سیٹ ہونے دیں اور ہر ایک کے لیے دوہری آئیڈیل ہونے دیں۔ باقاعدہ بے شمار کارڈینل کا کلب فلٹر تمام سیٹوں کا فلٹر ہوتا ہے جس میں کلب کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔ یہ ایک مکمل فلٹر ہے جو اخترن چوراہے کے نیچے بند ہوتا ہے۔ دیگر مثالیں لیٹ اینڈ لیٹ جو ایک پری فلٹر اور ایک فلٹر سب بیس بناتا ہے جو محدود چوراہوں کے تحت بند نہیں ہوتا ہے۔ کیونکہ یہ ایک پری فلٹر ہے، اس پر مشتمل سب سے چھوٹا پری فلٹر ہے۔ خاص طور پر، سب سے چھوٹا پری فلٹر جس میں فلٹر سب بیس ہوتا ہے وہ سیٹ کے تمام محدود چوراہوں کے سیٹ کے برابر ہوتا ہے۔ اس پر موجود فلٹر میں موجود تینوں سسٹم پیدا ہوتے ہیں، اور فکسڈ، پرنسپل، الٹرا پری فلٹرز کی مثالیں ہیں جو پوائنٹ پر پرنسپل ہوتے ہیں وہ بھی ایک الٹرا فلٹر ہوتا ہے۔ غیر انحطاط پذیر، ایک فلٹر سب بیس، ایک پری فلٹر، محدود اتحاد کے تحت بند) تو یہی بات درست ہے اگر ایک فلٹر آن ہے تو ایک پری فلٹر ہے لیکن ضروری نہیں کہ ایک فلٹر آن ہو حالانکہ اس کے مساوی فلٹر ہے۔ (غیر خالی) ٹوپولوجیکل اسپیس کے تمام گھنے کھلے ذیلی سیٹوں کا سیٹ ایک مناسب-سسٹم ہے اور اسی طرح ایک پری فلٹر بھی ہے۔ اگر جگہ بائر کی جگہ ہے، تو گھنے کھلے ذیلی سیٹوں کے تمام قابل گنتی چوراہوں کا مجموعہ ایک-نظام اور ایک پری فلٹر ہے جو اس سے بہتر ہے۔ اگر (کے ساتھ) تو ایسے تمام کا مجموعہ جس میں محدود لیبسیگ پیمائش ہے وہ ایک مناسب-نظام اور مفت پری فلٹر ہے جو کہ پری فلٹرز کا ایک مناسب ذیلی مجموعہ بھی ہے اور مساوی ہے اور اسی طرح ایک ہی فلٹر تیار کرتا ہے۔ پری فلٹر مناسب طریقے سے موجود ہے، اور اس کے مساوی نہیں ہے، پری فلٹر جس میں بائر کے تمام گھنے ذیلی سیٹوں پر مشتمل ہے۔ چونکہ بائر کی جگہ ہے، اس میں سیٹوں کا ہر قابل گنتی چوراہا گھنے (اور کم اور غیر پیمائش بھی) ہے لہذا عناصر کے تمام قابل گنتی چوراہوں کا مجموعہ ایک پری فلٹر ہے۔ یہ مثال فلٹر ذیلی اڈوں کی ایک غیر معمولی کلاس کی وضاحت کرتی ہے جہاں دونوں میں موجود تمام سیٹوں اور اس کے تیار کردہ نظام کو فارم کے سیٹوں کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے تاکہ خاص طور پر، تیار شدہ نظام کو بیان کرنے کے لیے دو سے زیادہ متغیرات (خاص طور پر) کی ضرورت نہ ہو۔ سب کے لیے جہاں ہمیشہ برقرار رہتا ہے تو اس مفروضے کو شامل کرنے سے کوئی عامیت ختم نہیں ہوتی ہے۔ تمام حقیقی کے لیے اگر غیر منفی ہے تو پھر مثبت حقیقتوں کے ہر سیٹ کے لیے، فرض کریں کہ یہ سنگلٹن سیٹ نہیں ہے۔ پھر ایک فلٹر سب بیس ہے لیکن پری فلٹر نہیں ہے اور یہ-سسٹم ہے جو یہ تیار کرتا ہے، لہذا یہ اس پر مشتمل منفرد سب سے چھوٹا فلٹر ہے۔ تاہم، ایک فلٹر آن ہے (اور نہ ہی یہ پری فلٹر ہے کیونکہ یہ نیچے کی طرف نہیں ہے، حالانکہ یہ ایک فلٹر سب بیس ہے) اور فلٹر کا ایک مناسب سب سیٹ ہے۔ اس مضمون میں الٹرا فلٹرز کی اہم خصوصیات بھی بیان کی گئی ہیں۔ کوئی بھی غیر انحطاطی خاندان جس میں ایک عنصر کے طور پر سنگلٹن سیٹ ہوتا ہے وہ الٹرا ہوتا ہے، اس صورت میں یہ الٹرا پری فلٹر ہوگا اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں محدود انٹرسیکشن پراپرٹی بھی ہو۔ معمولی فلٹر الٹرا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب سنگلٹن سیٹ ہو۔ الٹرا فلٹر لیما مندرجہ ذیل اہم نظریہ الفریڈ ٹارسکی (1930) کی وجہ سے ہے۔ الٹرا فلٹر لیما کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ ہر فلٹر اس پر مشتمل تمام الٹرا فلٹرز کے چوراہے کے برابر ہوتا ہے۔ زرمیلو-فرینکل (ZF) کے محوریات کو فرض کرتے ہوئے، الٹرا فلٹر لیما پسند کے محوری سے پیروی کرتا ہے (خاص طور پر زورن کے لیما سے) لیکن اس سے سختی سے کمزور ہے۔ الٹرا فلٹر لیما سے مراد محدود سیٹوں کے لیے پسند کا محور ہے۔ اگر ہاؤزڈورف خالی جگہوں سے نمٹا جائے تو ٹوپولوجی میں زیادہ تر بنیادی نتائج (جیسا کہ تعارفی کورسز میں سامنے آئے ہیں) (جیسے کہ ٹائکونوف کا تھیوریم برائے کمپیکٹ ہاؤزڈورف خالی جگہیں اور الیگزینڈر سب بیس تھیوریم) اور فنکشنل تجزیہ میں (جیسے کہ ہان-بناچ تھیوریم) صرف الٹرا فلٹر لیما کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ انتخاب کے محور کی مکمل طاقت کی ضرورت نہیں ہوگی۔ دانے دانے پری فلٹرز اور سیٹوں کے دیگر خاندانوں کی خصوصیات کی درجہ بندی میں مفید ہیں۔ اگر پھر کسی نقطہ کے لیے دانے کی خصوصیات اگر پھر اور یہ سیٹ بھی-سسٹم کے دانے کے برابر ہے جو اس کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، اگر فلٹر سب بیس ہے تو درج ذیل تمام سیٹوں کے دانے برابر ہیں: (1) (2) کے ذریعے تیار کردہ-سسٹم اور (3) کے ذریعے تیار کردہ فلٹر اگر نقشہ ہے اور اگر پھر اگر اور مساوی ہیں تو مساوی خاندانوں کے برابر دانے ہوتے ہیں۔ دو اصل خاندان مساوی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے دانے برابر ہوں ؛ یعنی، اگر اور اصل ہوں تو وہ مساوی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب خاندانوں کو ان کے دانے کے لحاظ سے درجہ بندی کیا جائے۔ خاص طور پر، ایک فلٹر سب بیس ہے اگر قابل گنتی ہو (مثال کے طور پر، پرائمز)، محدود پیمائش کے سیٹ میں ایک معمولی سیٹ، یا کا ایک باؤنڈڈ سب سیٹ اگر سنگلٹن سیٹ ہے تو فریشیٹ فلٹر کے لیے ایک سب بیس ہے۔ ہر فلٹر کے لیے دوہری آئیڈیلز کا ایک منفرد جوڑا موجود ہے جیسے کہ فری، پرنسپل ہے، اور میش (یعنی،) نہیں ہے۔ دوہری آئیڈیل کو وائل کہا جاتا ہے جہاں ان دوہری آئیڈیلز میں سے کم از کم ایک فلٹر ہوتا ہے۔ اگر اصل ہے تو دوسری صورت میں، اور ایک آزاد (غیر انحطاط پذیر) فلٹر ہے۔ محدود پری فلٹر اور محدود سیٹ اگر کوئی فلٹر سب بیس محدود ہے تو اسے طے کیا جاتا ہے (یعنی آزاد نہیں) ؛ اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ ایک محدود چوراہا ہے اور فلٹر سب بیس میں محدود چوراہا خاصیت ہوتی ہے۔ ایک محدود پری فلٹر لازمی طور پر پرنسپل ہوتا ہے، حالانکہ اسے محدود چوراہوں کے تحت بند کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ خاص طور پر، ایک محدود سیٹ پر کوئی فری فلٹر سب بیس نہیں ہوتے ہیں (اور اس لیے کوئی فری پری فلٹر نہیں ہوتے ہیں)، تمام پری فلٹر پرنسپل ہوتے ہیں، اور تمام فلٹر ان کے (غیر خالی) دانے سے تیار کردہ پرنسپل فلٹر ہوتے ہیں۔ معمولی فلٹر ہمیشہ ایک محدود فلٹر ہوتا ہے اور اگر لامحدود ہے تو یہ واحد محدود فلٹر ہے کیونکہ کسی سیٹ پر غیر معمولی محدود فلٹر تب ہی ممکن ہے جب اور صرف اس صورت میں جب محدود ہو۔ تاہم، کسی بھی لامحدود سیٹ پر غیر معمولی فلٹر سب بیس اور پری فلٹر ہوتے ہیں جو محدود ہوتے ہیں (حالانکہ وہ فلٹر نہیں ہو سکتے)۔ اگر سنگلٹن سیٹ ہے تو ٹریویل فلٹر واحد مناسب سب سیٹ ہے اور اس کے علاوہ، یہ سیٹ ایک پرنسپل الٹرا پری فلٹر ہے اور محدود انٹرسیکشن پراپرٹی والا کوئی بھی سپر سیٹ (جہاں) بھی پرنسپل الٹرا پری فلٹر ہوگا (چاہے وہ لامحدود ہی کیوں نہ ہو)۔ فکسڈ الٹرا پری فلٹرز کی خصوصیت اگر سیٹوں کا ایک خاندان فکسڈ ہے (یعنی،) تو الٹرا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا کچھ عنصر سنگلٹن سیٹ ہو، اس صورت میں لازمی طور پر پری فلٹر ہوگا۔ ہر پرنسپل پری فلٹر فکسڈ ہوتا ہے، لہذا ایک پرنسپل پری فلٹر الٹرا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب سنگلٹن سیٹ ہو۔ ہر فلٹر جس پر ایک ہی نقطہ پر پرنسپل ہے ایک الٹرا فلٹر ہے، اور اگر اس کے علاوہ محدود ہے، تو ان کے علاوہ کوئی الٹرا فلٹر نہیں ہیں۔ اگلا نظریہ ظاہر کرتا ہے کہ ہر الٹرا فلٹر دو زمروں میں سے کسی ایک میں آتا ہے: یا تو یہ آزاد ہے یا پھر یہ ایک ہی نقطہ سے پیدا ہونے والا پرنسپل فلٹر ہے۔ فائنر/کورسر، ماتحت، اور میشنگ ٹوپولوجی میں پری فلٹرز (اور فلٹرز) کے استعمال کے لیے بنیادی اہمیت کا حامل پری آرڈر جو ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ پری آرڈر "سیکوینس" کے مساوی پری فلٹر کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جہاں "" کی تشریح اس طرح کی جا سکتی ہے کہ "" اس کا ایک سیکوینس ہے "(اس لیے" ماتحت "" کے مساوی پری فلٹر ہے)۔ یہ ٹپوولوجیکل اسپیس میں پری فلٹر کنورجنس کی وضاحت کے لیے بھی استعمال ہوتا ہے۔ میش کی تعریف جس کا پری آرڈر سے گہرا تعلق ہے، کلسٹر پوائنٹس کی وضاحت کے لیے ٹوپولوجی میں استعمال ہوتی ہے۔ سیٹوں کے دو خاندان اور ہیں، تحریری طور پر اشارہ کیا جاتا ہے اگر اگر میش نہ کریں تو وہ ہیں۔ اگر پھر کہا جائے کہ اگر میش، یا مساوی طور پر، اگر اس کے خاندان میں خالی سیٹ نہیں ہے، جہاں ٹریس کو مثال کا بھی کہا جاتا ہے: اگر اس کا تسلسل علامتوں میں ماتحت ہے: اور سادہ انگریزی میں بھی بیان کیا گیا ہے، تو تسلسل کی دم کا پری فلٹر ہمیشہ اصل ترتیب کے ماتحت ہوتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے، من مانی ہو (یا مساوی طور پر، من مانی ہو) اور یہ ظاہر کرنا باقی رہتا ہے کہ اس سیٹ میں کچھ موجود ہیں۔ سیٹ پر مشتمل ہونے کے لیے یہ کافی ہے۔ چونکہ سختی سے بڑھتے ہوئے انٹیجرز موجود ہیں، اس طرح موجود ہے اور جیسا کہ مطلوبہ ہے۔ نتیجتا، بائیں ہاتھ کی طرف دائیں ہاتھ کی طرف کا ایک ذیلی سیٹ ہوگا اگر (مثال کے طور پر) ہر پوائنٹ منفرد ہے (یعنی، جب انجیکشن ہوتا ہے) اور یکساں انڈیکسڈ سیکوینس ہے کیونکہ ان حالات کے تحت، ہر دم (ہر کے لیے) سیکوینس کی دائیں ہاتھ کی طرف کے فلٹر سے تعلق رکھتی ہے لیکن بائیں ہاتھ کی طرف کے فلٹر سے نہیں۔ ایک اور مثال کے لیے، اگر کوئی خاندان ہے تو ہمیشہ رکھتا ہے اور اس کے علاوہ، فرض کریں کہ وہ سیٹوں کے خاندان ہیں جو مطمئن کرتے ہیں پھر اور یہ بھی کہ اگر اس کے علاوہ فلٹر بیس ہے اور پھر فلٹر سب بیس اور میش بھی ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر دونوں اور اگر کے کسی بھی دو عناصر کا چوراہا خالی نہیں ہے، تو میش۔ ہر فلٹر سب بیس-سسٹم جو یہ پیدا کرتا ہے اور فلٹر جو یہ پیدا کرتا ہے دونوں سے موٹا ہوتا ہے۔ اگر ایسے خاندان ہیں کہ خاندان الٹرا ہے، اور پھر لازمی طور پر الٹرا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کوئی بھی خاندان جو ایک الٹرا فیملی کے برابر ہے وہ لازمی طور پر الٹرا ہوگا۔ خاص طور پر، اگر پری فلٹر ہے تو یا تو دونوں اور اس سے پیدا ہونے والا فلٹر الٹرا ہے یا کوئی بھی الٹرا نہیں ہے۔ اگر فلٹر سب بیس الٹرا ہے تو یہ لازمی طور پر ایک پری فلٹر ہے، اس صورت میں جو فلٹر یہ تیار کرتا ہے وہ بھی الٹرا ہوگا۔ ایک فلٹر سب بیس جو پری فلٹر نہیں ہے الٹرا نہیں ہو سکتا ؛ لیکن اس کے باوجود یہ ممکن ہے کہ پری فلٹر اور فلٹر الٹرا ہو۔ اگر اوپر کی طرف بند کیا جاتا ہے تو ماتحت ہونے کی رشتہ دار خصوصیات یہ رشتہ اضطراری اور عارضی ہے، جو اسے پری آرڈر میں بناتا ہے۔ رشتہ متضاد ہے لیکن اگر اس میں ایک سے زیادہ پوائنٹ ہوں تو یہ ہم آہنگ ہے۔ : کسی کے لیے تو سیٹ میں ایک سے زیادہ پوائنٹ ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب رشتہ ہم آہنگ ہو۔ : اگر لیکن جب کہ کنورس عام طور پر برقرار نہیں رہتا ہے، اگر اوپر کی طرف بند ہو تو یہ برقرار رہتا ہے (جیسے کہ فلٹر ہو)۔ دو فلٹر مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ مساوی ہوں، جس سے اینٹیسیمیٹرک پر پابندی لگ جاتی ہے۔ لیکن عام طور پر، اینٹیسیمیٹرک آن اور نہ ہی آن ہوتا ہے ؛ یعنی، ضروری طور پر اس کا مطلب ہے ؛ چاہے دونوں پری فلٹر ہی کیوں نہ ہوں۔ مثال کے طور پر، اگر ایک پری فلٹر ہے لیکن فلٹر نہیں ہے تو پھر سیٹوں کے مساوی خاندان۔ پری آرڈر اپنے کینونکل مساوات کے تعلق کو اس بات پر ظاہر کرتا ہے کہ اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی بھی مساوی شرائط برقرار ہیں تو سب کے لیے کہاں ہے: کی اوپر کی طرف بندیاں برابر ہیں۔ دو اوپر کی طرف بند (میں) ذیلی سیٹ برابر ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ برابر ہوں۔ اگر پھر لازمی طور پر اور مساوی ہے تو اس کے علاوہ ہر مساوی طبقے میں ایک منفرد نمائندہ (یعنی مساوی طبقے کا عنصر) ہوتا ہے جو مساوی خاندانوں کے درمیان محفوظ پراپرٹیز میں اوپر کی طرف بند ہوتا ہے۔ اگر مساوی ہیں (جس کا مطلب یہ ہے کہ) تو ذیل میں درج کردہ ہر بیان/خاصیت کے لیے، یا تو یہ درست ہے یا پھر یہ غلط ہے: صحیح خالی نہیں ہے (یعنی، کوئی عنصر نہیں ہے) مزید برآں، کوئی بھی دو انحطاط پذیر خاندان لازمی طور پر مساوی ہیں۔ فلٹر سب بیس پری فلٹر جس صورت میں وہی فلٹر آن ہوتا ہے (یعنی ان کی اوپر کی طرف بندیاں برابر ہوتی ہیں)۔ مفت پرنسپل الٹرا معمولی فلٹر کے برابر ہے الفاظ میں، اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کا واحد ذیلی سیٹ معمولی فلٹر کے برابر ہے۔ عام طور پر، مساوات کا یہ نتیجہ غیر معمولی فلٹرز تک نہیں پھیلا ہے (ایک رعایت یہ ہے کہ جب دونوں خاندان فلٹرز ہوں)۔ اس کے ساتھ میش اس سے بہتر ہے اس سے موٹا ہے اس کے مساوی ہے مندرجہ بالا فہرست سے گمشدہ لفظ "فلٹر" ہے کیونکہ یہ خاصیت مساوات کے ذریعے محفوظ ہے۔ تاہم، اگر فلٹر آن ہیں تو وہ مساوی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ مساوی ہوں ؛ یہ خصوصیت پری فلٹرز تک پھیلی ہوئی ہے۔ پری فلٹرز اور فلٹر سب بیسز کی مساوات اگر ایک پری فلٹر ہے تو مندرجہ ذیل خاندان ہمیشہ ایک دوسرے کے مساوی ہوتے ہیں: ؛ کے ذریعے تیار کردہ-نظام ؛ کے ذریعے تیار کردہ فلٹر ؛ اور اس کے علاوہ، یہ تینوں خاندان ایک ہی فلٹر پیدا کرتے ہیں (یعنی، ان خاندانوں میں اوپر کی طرف بندیاں برابر ہیں)۔ خاص طور پر، ہر پری فلٹر اس فلٹر کے برابر ہوتا ہے جو یہ تیار کرتا ہے۔ منتقلی کے لحاظ سے، دو پری فلٹر مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ ایک ہی فلٹر تیار کریں۔ ہر پری فلٹر بالکل ایک فلٹر کے برابر ہوتا ہے جس پر وہ فلٹر ہوتا ہے جو یہ تیار کرتا ہے (یعنی پری فلٹر کی اوپر کی طرف بندش)۔ مختلف طریقے سے کہا جائے تو، پری فلٹرز کی ہر مساوات کلاس میں بالکل ایک نمائندہ ہوتا ہے جو کہ ایک فلٹر ہوتا ہے۔ اس طرح، فلٹرز کو صرف پری فلٹرز کی ان مساوات کلاسوں کے ممتاز عناصر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایک فلٹر سب بیس جو کہ ایک پری فلٹر بھی ہے، اس کے پیدا کردہ پری فلٹر (یا فلٹر) کے مساوی ہو سکتا ہے۔ اس کے برعکس، ہر پری فلٹر اس فلٹر کے برابر ہوتا ہے جو یہ تیار کرتا ہے۔ یہی وجہ ہے کہ پری فلٹرز کو، بڑے پیمانے پر، ان فلٹرز کے ساتھ ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے جو وہ تیار کرتے ہیں جبکہ فلٹر سب بیس نہیں کر سکتے۔ ہر فلٹر ایک-سسٹم اور سیٹوں کی انگوٹی دونوں ہوتا ہے۔ مساوات/غیر مساوات کے تعین کی مثالیں: آئیے اور آئیے انٹیجرز کا مجموعہ (یا سیٹ)۔ سیٹوں کی وضاحت کریں تینوں سیٹ فلٹر سب بیس ہیں لیکن کوئی بھی فلٹر آن نہیں ہے اور صرف پری فلٹر ہے (درحقیقت، محدود چوراہوں کے تحت آزاد اور بند بھی ہے)۔ سیٹ فکسڈ ہے جبکہ فری ہے (جب تک کہ)۔ وہ مطمئن کرتے ہیں لیکن ان میں سے کوئی بھی دو خاندان مساوی نہیں ہیں۔ اس کے علاوہ، ان تین فلٹر ذیلی اڈوں سے پیدا ہونے والے فلٹرز میں سے کوئی بھی دو مساوی/مساوی نہیں ہیں۔ اس نتیجے پر یہ ظاہر کر کے پہنچا جا سکتا ہے کہ وہ جو نظام پیدا کرتے ہیں وہ مساوی نہیں ہیں۔ ایک ذیلی سیٹ کے طور پر موجود-سسٹم کے ہر سیٹ کے برعکس، جو ان کے تیار کردہ-سسٹم (اور اسی وجہ سے ان کے تیار کردہ فلٹرز) کو مساوی ہونے سے روکتا ہے۔ اگر اس کے بجائے تو تینوں خاندان آزاد ہوں گے اور اگرچہ سیٹ ایک دوسرے کے مساوی رہیں گے، ان کے تیار کردہ نظام مساوی ہوں گے اور اس کے نتیجے میں، وہ ایک ہی فلٹر تیار کریں گے۔ تاہم، یہ مشترکہ فلٹر پھر بھی سیٹ تھیوریٹک پراپرٹیز اور تعمیرات ٹریس اور میشنگ کے ذریعہ تیار کردہ فلٹر سے سختی سے موٹا ہوگا۔ فلٹر) اس کے بعد جس کا سراغ خاندان ہے وہ ایک پری فلٹر (ریسپ) ہے۔ ایک فلٹر) اگر اور صرف اس صورت میں جب میش (یعنی،)، جس صورت میں کا سراغ کہا جاتا ہے۔ اگر الٹرا ہے اور اگر میش ہے تو ٹریس الٹرا ہے۔ اگر کوئی الٹرا فلٹر آن ہے تو اس کا سراغ ایک فلٹر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مثال کے طور پر، فرض کریں کہ وہ ایک فلٹر آن ہے جو ایسا ہے کہ پھر میش اور اس پر ایک فلٹر تیار کرتا ہے جو اس سے سختی سے بہتر ہوتا ہے جب پری فلٹر میش کو غیر خالی خاندانوں کو دیکھتے ہوئے خاندان مطمئن ہوتا ہے اور اگر مناسب ہوتا ہے (ریسپ۔ ایک پری فلٹر، ایک فلٹر سب بیس) پھر یہ دونوں کے بارے میں بھی درست ہے تاکہ کسی بھی معنی خیز کٹوتی کے بارے میں مناسب ہونے کی ضرورت ہو (یعنی، جو "میش" کی تعریف کا محرک ہے۔ اس صورت میں، ایک پری فلٹر ہے (ریسپ۔ فلٹر سب بیس) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ دونوں کے بارے میں سچ ہے الگ الگ کہا گیا ہے، اگر پری فلٹر ہیں تو وہ صرف اس صورت میں جکڑتے ہیں جب وہ پری فلٹر ہو۔ عام کرنا مکمل طور پر ماتحت ہونے کے لحاظ سے "میش" کی ایک معروف خصوصیت دیتا ہے (یعنی،): دو پری فلٹر (ریسپ۔ فلٹر سب بیس) میش اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی پری فلٹر (ریسپ موجود ہو۔ فلٹر سب بیس) اس طرح کہ اور اگر دو فلٹرز کی سب سے کم اوپری باؤنڈ موجود ہے تو یہ سب سے کم اوپری باؤنڈ افعال کے تحت امیجز اور پری امیجز کے برابر ہے، غیر خالی سیٹوں کے درمیان نقشے ہوں گے۔ پری فلٹرز کی تصاویر بہت سی خصوصیات جو ہو سکتی ہیں وہ نقشوں کی تصاویر کے تحت محفوظ ہیں۔ قابل ذکر مستثنیات میں اوپر کی طرف بند ہونا، محدود چوراہوں کے نیچے بند ہونا، اور فلٹر ہونا شامل ہیں، جو ضروری نہیں کہ محفوظ ہوں۔ واضح طور پر، اگر مندرجہ ذیل خصوصیات میں سے کوئی ایک درست ہے تو یہ لازمی طور پر بھی درست ہوگا (اگرچہ ممکنہ طور پر کوڈومین پر نہیں جب تک کہ سرجیکٹو نہ ہو): فلٹر کی خصوصیات: الٹرا، الٹرا فلٹر، فلٹر، پری فلٹر، فلٹر سب بیس، ڈوئل آئیڈیل، اوپر کی طرف بند، مناسب/غیر انحطاط۔ مثالی خصوصیات: مثالی، محدود اتحاد کے تحت بند، نیچے کی طرف بند، اوپر کی طرف۔ مزید برآں، اگر پری فلٹر ہے تو پھر دونوں بھی ہیں۔ الٹرا سیٹ کے نقشے کے نیچے کی تصویر دوبارہ الٹرا ہے اور اگر الٹرا پری فلٹر ہے تو بھی ایسا ہی ہے اگر فلٹر ہے تو رینج پر فلٹر ہے لیکن یہ کوڈمین پر فلٹر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب سرجیکٹو ہو۔ ورنہ یہ صرف ایک پری فلٹر آن ہے اور فلٹر حاصل کرنے کے لیے اس کی اوپر کی طرف بندش لینا ضروری ہے۔ کی اوپر کی طرف بندش وہ جگہ ہے جہاں اگر اوپر کی طرف بند کیا جاتا ہے (یعنی، ایک فلٹر) تو یہ آسان ہو جاتا ہے: اگر پھر شمولیت کا نقشہ ہونے سے پتہ چلتا ہے کہ کوئی بھی پری فلٹر (ریسپ۔ الٹرا پری فلٹر، فلٹر سب بیس) بھی ایک پری فلٹر (ریسپ) ہے۔ الٹرا پری فلٹر، فلٹر سب بیس) پری فلٹرز کی پری امیجز پر لیٹ اس مفروضے کے تحت جو کہ سرجیکٹو ہے: ایک پری فلٹر ہے (ریسپ۔ فلٹر سب بیس،-سسٹم، محدود اتحاد کے تحت بند، مناسب) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ درست ہے۔ تاہم، اگر الٹرا فلٹر آن ہے تو پھر بھی اگر سرجیکٹو ہے (جو پری فلٹر بنائے گا)، اس کے باوجود پری فلٹر کے لیے نہ تو الٹرا ہونا ممکن ہے اور نہ ہی فلٹر آن (مثال کے طور پر یہ فوٹ نوٹ دیکھیں)۔ اگر سرجیکٹو نہیں ہے تو اس ٹریس کی نشاندہی کریں جہاں سے اس معاملے میں مخصوص ٹریس مطمئن ہوتا ہے: اور اس کے نتیجے میں یہ بھی: یہ آخری مساوات اور حقیقت یہ ہے کہ ٹریس سیٹوں کا ایک خاندان ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ ٹریس کے بارے میں نتائج اخذ کرنے کے لیے اس کی جگہ استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس کی جگہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: ایک پری فلٹر ہے (ریسپ۔ فلٹر سب بیس،-سسٹم، مناسب) اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ درست ہے۔ اس طرح، اس صورت میں جہاں (لازمی طور پر) سرجیکٹو نہیں ہے اسے سرجیکٹو فنکشن کے معاملے میں کم کیا جا سکتا ہے (جو کہ ایک ایسا معاملہ ہے جو اس سب سیکشن کے آغاز میں بیان کیا گیا تھا)۔ یہاں تک کہ اگر الٹرا فلٹر آن ہے اگر سرجیکٹو نہیں ہے تو اس کے باوجود یہ ممکن ہے کہ جو انحطاط بھی کرے۔ اگلی خصوصیت سے پتہ چلتا ہے کہ انحطاط ہی واحد رکاوٹ ہے۔ اگر پری فلٹر ہے تو مندرجہ ذیل مساوی ہیں: ایک پری فلٹر ہے ؛ ایک پری فلٹر ہے ؛ ساتھ جوڑتا ہے اور اس کے علاوہ، اگر پری فلٹر ہے تو بھی ایسا ہی ہے اگر اور اگر شمولیت کے نقشے کی نشاندہی کرتا ہے تو اس کا سراغ برابر ہے۔ یہ مشاہدہ اس ذیلی حصے کے نتائج کو کسی سیٹ پر ٹریس کی تحقیقات کے لیے لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ بیجیکشنز، انجیکشنز، اور سرجیکشنز فلٹرز پر مشتمل تمام خصوصیات بیجیکشنز کے تحت محفوظ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر بیجیکشن ہے، تو پری فلٹر (ریسپ) ہے۔ الٹرا، الٹرا پری فلٹر، فلٹر سب بیس پر الٹرا فلٹر پر فلٹر،-سسٹم، آئیڈیل آن وغیرہ) اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک نقشہ انجیکشن والا ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب تمام پری فلٹرز کے لیے انجیکشن کے تحت سیٹ کے الٹرا فیملی کی تصویر دوبارہ الٹرا ہو۔ نقشہ ایک سرجیکشن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب بھی کوئی پری فلٹر آن ہو تو وہی درست ہے (اس نتیجے میں الٹرا فلٹر لیما کی ضرورت نہیں ہے)۔ ماتحت کو تصاویر اور پری امیجز کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے۔ یہ رشتہ سیٹوں کے خاندانوں کی تصاویر اور پری امیجز دونوں کے تحت محفوظ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ خاندانوں کے لیے مزید برآں، درج ذیل تعلقات ہمیشہ سیٹوں کے خاندان کے لیے ہوتے ہیں: جہاں مساوات برقرار رہے گی اگر یہ مبالغہ آمیز ہو۔ مزید برآں، اگر پھر اور جہاں مساوات برقرار رہے گی اگر انجکشن ہے۔ پری فلٹرز کی مصنوعات فرض کریں کہ ایک یا زیادہ غیر خالی سیٹوں کا ایک خاندان ہے، جس کے پروڈکٹ کو ہر انڈیکس کے ذریعے ظاہر کیا جائے گا اور اس کے لیے کینونکل پروجیکشن کو ظاہر کیا جائے گا۔ غیر خالی خاندانوں کو بھی اس طرح سے انڈیکس کیا جاتا ہے کہ ہر خاندان کے لیے یکساں طور پر بیان کیا جاتا ہے کہ پروڈکٹ ٹوپولوجی کے بنیادی کھلے ذیلی سیٹوں کی وضاحت کیسے کی جاتی ہے (اگر یہ سب ٹوپولوجیز ہوتے)۔ یعنی، دونوں اشارے تمام سلنڈر ذیلی سیٹوں کے خاندان کو اس طرح ظاہر کرتے ہیں کہ سب کے لیے لیکن محدود طور پر بہت سے اور جہاں ان میں سے کسی ایک کے لیے محدود طور پر بہت سے مستثنیات (یعنی کسی بھی ایسے کے لیے جو ضروری ہو)۔ جب ہر ایک فلٹر سب بیس ہوتا ہے تو خاندان فلٹر کے لیے ایک فلٹر سب بیس ہوتا ہے جو اس کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ اگر فلٹر سب بیس ہے تو اس پر جو فلٹر پیدا ہوتا ہے اسے کہا جاتا ہے۔ اگر ہر ایک پری فلٹر آن ہے تو پری فلٹر آن ہوگا اور اس کے علاوہ، یہ پری فلٹر سب سے موٹے پری فلٹر کے برابر ہے جیسے کہ ہر ایک کے لیے۔ تاہم، فلٹر آن ہونے میں ناکام ہو سکتا ہے یہاں تک کہ اگر ہر ایک سیٹ سبٹریکشن پر فلٹر ہے اور کچھ مثالیں کرنل کے سب سیٹ کو گھٹانے کے لیے سیٹ کریں۔ اگر پری فلٹر آن ہے تو یہ پری فلٹر ہے، جہاں یہ مؤخر الذکر سیٹ فلٹر ہے اگر اور صرف اگر فلٹر ہے اور خاص طور پر، اگر ٹوپولوجیکل اسپیس میں ایک پوائنٹ پر پڑوس کی بنیاد ہے جس میں کم از کم 2 پوائنٹس ہیں، تو یہ پری فلٹر کنورجنس کے لحاظ سے وضاحت کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ آئیڈیلز اور ڈوئل آئیڈیلز کے درمیان دوہری کا استعمال ایک دوہری رشتہ ہے یا جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ ہر ایک کے لیے کچھ واضح طور پر، اس کا مطلب ہے کہ ہر ایک کے لیے کچھ ایسا ہے جو اس معنی میں دوہرا ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب رشتہ کسی خاندان کے نیچے کی طرف بند ہونے سے اسی طرح قریب سے متعلق ہو جیسا کہ اوپر کی طرف بند ہونے والے خاندان سے متعلق ہے۔ ایک مثال کے لیے جو اس دوہری کو استعمال کرتی ہے، فرض کریں کہ ایک نقشہ ہے اور وضاحت کریں جس میں خالی سیٹ موجود ہے اگر اور صرف اگر ہوتا ہے۔ الٹرا فلٹر ہونا اور محدود چوراہوں کے نیچے خالی ہونا یا بند نہ ہونا ممکن ہے (مثال کے طور پر فوٹ نوٹ دیکھیں)۔ اگرچہ فلٹرز کی خصوصیات کو بہت اچھی طرح سے محفوظ نہیں کرتا ہے، اگر نیچے کی طرف بند ہے (ریسپ۔ محدود اتحاد کے تحت بند، ایک آئیڈیل) تو یہ آئیڈیل اور دوہری آئیڈیل کے درمیان دوہری کا استعمال کرنے کے لیے بھی درست ہوگا جو مندرجہ ذیل فلٹر کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ فرض کریں کہ ایک فلٹر آن ہے اور اس میں ڈوئل ہونے دیں اگر پھر ڈوئل فلٹر ہوگا۔ دیگر مثالیں: ٹوپولوجیکل اسپیس کے تمام گھنے کھلے ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ایک مناسب نظام اور ایک پری فلٹر ہوتا ہے۔ اگر جگہ بائر کی جگہ ہے، تو گھنے کھلے ذیلی سیٹوں کے تمام قابل گنتی چوراہوں کا مجموعہ ایک-نظام اور ایک پری فلٹر ہے جو مثال سے بہتر ہے: محدود لیبسیگ پیمائش والے تمام گھنے کھلے سیٹوں کا خاندان ایک مناسب-نظام اور ایک مفت پری فلٹر ہے۔ پری فلٹر مناسب طریقے سے تمام گھنے کھلے ذیلی سیٹوں پر مشتمل پری فلٹر میں موجود ہے، اور اس کے مساوی نہیں ہے۔ چونکہ ایک بائر اسپیس ہے، اس میں سیٹ کا ہر قابل گنتی چوراہا گھنے (اور کمگر اور غیر میجر بھی) ہے لہذا عناصر کے تمام قابل گنتی چوراہوں کا مجموعہ ایک پری فلٹر اور-سسٹم ہے۔ یہ فلٹرز اور جالوں سے بھی بہتر ہے، اور اس کے مساوی نہیں ہے۔ یہ سیکشن پری فلٹرز اور جالوں کے درمیان تعلقات کو بہت تفصیل سے بیان کرے گا کیونکہ یہ تفصیلات فلٹرز کو ٹوپولوجی پر لاگو کر رہی ہیں-خاص طور پر جالوں کے استعمال سے فلٹرز اور نائب آیت کے استعمال میں تبدیل کرنے میں-اور کیونکہ اس سے بعد میں یہ سمجھنا آسان ہو جائے گا کہ سب نیٹ (ان کی عام طور پر استعمال ہونے والی تعریفوں کے ساتھ) کیوں ہیں۔ نیٹ سے پری فلٹر ایک نیٹ باضابطہ طور پر اس کی دموں کے پری فلٹر سے وابستہ ہے۔ اگر نقشہ ہو اور اس میں نیٹ ہو تو پری فلٹر سے نیٹ اے ایک جوڑا ہے جو ایک خالی سیٹ اور ایک عنصر پر مشتمل ہوتا ہے۔ کسی بھی خاندان کے لیے پوائنٹڈ سیٹوں پر کینونکل پری آرڈر کی وضاحت کرتے ہوئے یہ اعلان کریں کہ اگر ایسا ہے تو بھی یہ پری آرڈر اینٹیسیمیٹرک نہیں ہے اور سیٹ کے کسی بھی خاندان کو جزوی طور پر آرڈر کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مکمل طور پر سنگلٹن سیٹوں پر مشتمل ہو۔ اگر ایک زیادہ سے زیادہ عنصر ہے ؛ اس کے علاوہ، تمام زیادہ سے زیادہ عناصر اس شکل کے ہیں۔ اگر سب سے بڑا عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جس میں تمام عظیم ترین عناصر کا مجموعہ ہو۔ تاہم، سب سے بڑا عنصر ایک زیادہ سے زیادہ عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب زیادہ سے زیادہ ایک عنصر ہو جو زیادہ سے زیادہ اور سب سے بڑا دونوں ہو۔ ایک کینونکل نقشہ ہے جس کی وضاحت کی گئی ہے اگرچہ یہ عام طور پر جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ نہیں ہے، یہ ایک ہدایت شدہ سیٹ ہے اگر (اور صرف اس صورت میں جب) ایک پری فلٹر ہو۔ لہذا "پری فلٹر کے ذریعہ انڈیوسڈ نیٹ" کی تعریف کے لیے سب سے فوری انتخاب انٹو سے تفویض ہے۔ اگر ایک پری فلٹر آن ہے تو اس میں ایک نیٹ ہے اور اس سے وابستہ پری فلٹر ہے۔ یعنی: یہ ضروری نہیں کہ درست ہوتا اگر اس کے مناسب ذیلی سیٹ پر اس کی وضاحت کی گئی ہوتی۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ کم از کم دو الگ الگ عناصر ہیں، اندھا دھند فلٹر ہے، اور من مانی ہے۔ اس کے بجائے سنگلٹن سیٹ پر وضاحت کی گئی تھی جہاں کی پابندی کو عارضی طور پر ظاہر کیا جائے گا تب تک اس سے وابستہ دموں کا پری فلٹر اصل فلٹر کے بجائے پرنسپل پری فلٹر ہوگا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مساوات ہے، لہذا پری فلٹر کے برعکس ورس اسٹیل سے بازیافت کیا جاسکتا ہے، جبکہ پری فلٹر پر موجود منفرد فلٹر اس کے بجائے ایک فلٹر (یعنی الٹرا فلٹر) تیار کرتا ہے۔ تاہم، اگر نیٹ ہے تو یہ عام طور پر درست ہے جو اس کے برابر ہے کیونکہ، مثال کے طور پر، ڈومین کا ڈومین اس سے بالکل مختلف کارڈینیلیٹی کا ہو سکتا ہے (چونکہ کسی من مانی نیٹ کے ڈومین کے ڈومین کے برعکس کارڈینیلیٹی ہو سکتا ہے)۔ الٹرا نیٹ اور الٹرا پری فلٹر ایک نیٹ کو این یا ان کہا جاتا ہے اگر ہر سب سیٹ آخر میں اندر ہے یا آخر میں اندر ہے۔ یہ تب ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب الٹرا پری فلٹر ہو۔ پری فلٹر ایک الٹرا پری فلٹر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب جزوی طور پر ترتیب شدہ نیٹ میں الٹرا نیٹ ہو۔ کینونکل نیٹ کا ڈومین عام طور پر جزوی طور پر ترتیب نہیں دیا جاتا ہے۔ تاہم، 1955 میں برنز اور شمٹ نے ایک ایسی تعمیر دریافت کی جو کینونکل نیٹ کو ایک ایسا ڈومین رکھنے کی اجازت دیتی ہے جو جزوی طور پر ترتیب دیا گیا اور ہدایت کی گئی ہو۔ اسے 1970 میں البرٹ ولنسکی نے آزادانہ طور پر دوبارہ دریافت کیا تھا۔ یہ ایک سخت جزوی ترتیب کی تعمیر کے ساتھ شروع ہوتا ہے (جس کا مطلب ایک عارضی اور غیر متغیر تعلق ہے) اس کے ذیلی سیٹ پر جو سخت جزوی احکامات کے لغت کے ترتیب سے ملتا جلتا ہے۔ کسی کے لیے یہ اعلان کرنا کہ اگر اور صرف اگر یا مساوی طور پر، اگر اور صرف اس صورت میں جب اس سے وابستہ غیر سخت جزوی ترتیب کی تعریف یہ اعلان کرتے ہوئے کی جاتی ہے کہ ان تعریفوں کو کھولنا مندرجہ ذیل خصوصیت دیتا ہے: جس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ صرف لغت کا حکم ہے جہاں جزوی طور پر مساوات کے ذریعہ حکم دیا گیا ہے۔ دونوں سیریل ہیں اور نہ ہی ان کے پاس سب سے بڑا عنصر یا زیادہ سے زیادہ عنصر ہے۔ یہ سچ رہتا ہے اگر وہ ہر ایک بیان کردہ ذیلی سیٹ تک محدود ہیں جہاں اب سے یہ فرض کیا جائے گا کہ وہ ہیں۔ اس ذیلی سیٹ سے تفویض کو اس طرح ظاہر کریں: اگر پھر پہلے کی طرح، شروع ہونے والے کی دم برابر ہے۔ اگر ایک پری فلٹر آن ہے تو ایک نیٹ ہے جس کے ڈومین میں جزوی طور پر ترتیب دیا گیا سیٹ ہے اور اس کے علاوہ، کیونکہ کی دم ایک جیسی ہیں (چونکہ دونوں پری فلٹر کے برابر ہیں)، عام طور پر یہ فرض کرنے سے کچھ بھی ضائع نہیں ہوتا ہے کہ پری فلٹر سے وابستہ نیٹ کا ڈومین جزوی طور پر ترتیب دیا گیا ہے۔ اگر سیٹ کو مثبت عقلی نمبروں سے تبدیل کیا جاتا ہے تو سخت جزوی ترتیب بھی ایک گھنے ترتیب کی ہوگی۔ ماتحت فلٹر اور ذیلی نیٹ "ماتحت ہے" (لکھا ہوا) کا تصور فلٹرز اور پری فلٹرز کے لیے ہے جس کا "تسلسل ہے" ترتیبات کے لیے ہے۔ مثال کے طور پر، اگر دم کے سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے اور اگر پس منظر (جہاں) کی دم کے سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے تو (یعنی،) درست ہے لیکن عام طور پر غلط ہے۔ سب نیٹس اور ماتحت فلٹرز کی عدم مساوات پہلے سے ترتیب دی گئی جگہ کا ایک ذیلی سیٹ ہے یا اگر ہر ایک کے لیے کچھ موجود ہے۔ اگر اس کی دم پر مشتمل ہے تو کہا جاتا ہے یا ؛ واضح طور پر، اس کا مطلب ہے کہ کچھ موجود ہے (یعنی،)۔ ایک حتمی سیٹ لازمی طور پر خالی نہیں ہے۔ ایک ذیلی سیٹ حتمی ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی تکمیل بار بار نہ ہو (جسے کہا جاتا ہے)۔ دو پیشگی ترتیب شدہ سیٹوں کے درمیان نقشہ یہ ہے کہ جب بھی ولارڈ کے معنی میں سب نیٹ اور کیلی کے معنی میں سب نیٹ "سب نیٹ" کی سب سے زیادہ استعمال ہونے والی تعریفیں ہوں۔ سب نیٹ کی پہلی تعریف 1955 میں جان ایل کیلی نے متعارف کرائی تھی۔ اسٹیفن ولارڈ نے 1970 میں کیلی کی سب نیٹ کی تعریف کا اپنا ورژن متعارف کرایا۔ اے اے-سبنیٹس کو اسمیلی (1957)، آرنس اینڈ اینڈینس (1972)، اور مردیشور (1983) نے آزادانہ طور پر متعارف کرایا تھا۔ اے اے-سبنیٹس کا آرنس اور اینڈینس نے بہت تفصیل سے مطالعہ کیا تھا لیکن وہ اکثر استعمال نہیں ہوتے ہیں۔ کیلی کو نقشے کو آرڈر کے تحفظ کے لیے درکار نہیں تھا جبکہ اے اے-سب نیٹ کی تعریف دو نیٹ کے ڈومینز کے درمیان کسی بھی نقشے کو مکمل طور پر ختم کر دیتی ہے اور اس کے بجائے مکمل طور پر نیٹ کے عام کوڈومین پر توجہ مرکوز کرتی ہے۔ ہر ولارڈ-سب نیٹ ایک کیلی-سب نیٹ ہے اور دونوں اے اے-سب نیٹ ہیں۔ خاص طور پر، اگر ولارڈ-سب نیٹ یا کیلی-سب نیٹ ہے تو مثال: آئیے اور ایک مستقل ترتیب بنیں، جیسے کہ لیٹ اور تو یہ آن پر نیٹ ہے۔ پھر اس کا اے اے-سب نیٹ ہے کیونکہ لیکن یہ ولارڈ-سب نیٹ نہیں ہے کیونکہ کوئی نقشہ موجود نہیں ہے جس کی تصویر کا کو فائنل سب سیٹ ہے اور نہ ہی کیلی-سب نیٹ ہے کیونکہ اگر کوئی نقشہ ہے تو اس کا کو فائنل سب سیٹ ہے لیکن آخر کار اے اے-سب نیٹ میں نہیں ہے تو اس کی ایک وضاحتی خصوصیت ہوتی ہے جو فوری طور پر ظاہر کرتی ہے کہ وہ ذیلی (آرڈینٹ) فلٹرز کے ساتھ مکمل طور پر متغیر ہیں۔ واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ درج ذیل بیان اے اے-سب نیٹ کے لیے درست ہے: اگر پری فلٹر ہیں تو یہ "اے اے-سب نیٹ" کا اے اے-سب نیٹ ہے۔ اگر "اے اے-سب نیٹ" کو "ولارڈ-سب نیٹ" یا "کیلی-سب نیٹ" سے تبدیل کیا جاتا ہے تو مندرجہ بالا بیان بن جاتا ہے۔ خاص طور پر، مسئلہ یہ ہے کہ مندرجہ ذیل بیان عام طور پر غلط ہے: بیان: اگر پری فلٹر ایسے ہیں جو کیلی-سب نیٹ ہیں۔ چونکہ ہر ولارڈ-سب نیٹ ایک کیلی-سب نیٹ ہے، یہ بیان غلط رہتا ہے اگر لفظ "کیلی-سب نیٹ" کو "ولارڈ-سب نیٹ" سے تبدیل کر دیا جائے۔ : سب کے لیے لیٹ جو ایک مناسب نظام ہے، اور لیٹ جہاں دونوں خاندان قدرتی نمبروں پر پہلے سے فلٹر ہیں کیونکہ ایک تسلسل کے طور پر ایک ترتیب ہے۔ تو مثالی طور پر، کا سب نیٹ ہونا چاہیے۔ اس طرح کا ڈومین ایک کو فائنل سب سیٹ پر مشتمل ہے جو آرڈر آئسومورفک ہے اور اس کے نتیجے میں نہ تو زیادہ سے زیادہ اور نہ ہی سب سے بڑا عنصر ہوتا ہے۔ لیٹ ایک زیادہ سے زیادہ اور سب سے بڑا عنصر دونوں ہے۔ ہدایت شدہ سیٹ میں ایک ذیلی سیٹ بھی ہوتا ہے جو آرڈر آئسومورفک ہوتا ہے (کیونکہ اس میں ایسا سب سیٹ ہوتا ہے) لیکن زیادہ سے زیادہ عنصر کی وجہ سے ایسا کوئی سب سیٹ حتمی نہیں ہو سکتا ہے۔ نتیجتا، کسی بھی آرڈر کو محفوظ کرنے والا نقشہ بالآخر مستقل (قیمت کے ساتھ) ہونا چاہیے جہاں اس کے بعد رینج کا سب سے بڑا عنصر ہوتا ہے۔ اس کی وجہ سے، کوئی آرڈر کو محفوظ کرنے والا نقشہ نہیں ہو سکتا جو ولارڈ-سب نیٹ ہونے کے لیے درکار شرائط کو پورا کرتا ہو (کیونکہ اس طرح کے نقشے کی رینج کو فائنل میں نہیں کیا جا سکتا)۔ فرض کریں کہ تضاد کی خاطر ایک ایسا نقشہ موجود ہے جو بالآخر سب کے لیے ہے کیونکہ ایسا موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے کیونکہ آخر کار اس میں ہونا ضروری ہے کہ خاص طور پر، اگر تب تعریف کے لحاظ سے کون سا اس کے مساوی ہے جو غلط ہے۔ اگر "سب نیٹ" کو ولارڈ-سب نیٹ یا کیلی-سب نیٹ کے معنی میں بیان کیا گیا ہے تو نیٹ اور فلٹر مکمل طور پر متغیر نہیں ہیں کیونکہ فلٹر-سب (آرڈیینیٹ) فلٹر تعلقات موجود ہیں جن کا اظہار دو انڈیوسڈ نیٹ کے درمیان نیٹ-سب نیٹ تعلقات کے لحاظ سے نہیں کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، مسئلہ یہ ہے کہ کیلی-سب نیٹ اور ولارڈ-سب نیٹ ماتحت فلٹرز کے ساتھ مکمل طور پر قابل تبادلہ ہیں۔ اگر "سب نیٹ" کا تصور استعمال نہیں کیا جاتا ہے یا اگر "سب نیٹ" کا مطلب اے اے-سب نیٹ ہے، تو یہ ایک مسئلہ بننا بند ہو جاتا ہے اور اس لیے یہ کہنا درست ہو جاتا ہے کہ نیٹ اور فلٹر قابل تبادلہ ہیں۔ اس حقیقت کے باوجود کہ اے اے-سب نیٹ میں وہ مسئلہ نہیں ہے جو ولارڈ اور کیلی سب نیٹ میں ہے، وہ بڑے پیمانے پر استعمال نہیں ہوتے ہیں یا ان کے بارے میں معلوم نہیں ہیں۔ نوٹ ثبوت حوالہ جات بھی دیکھیں (ٹوپولوجی اور میٹرک خالی جگہوں میں فلٹرز کا تعارفی جائزہ فراہم کرتا ہے۔) جنرل ٹوپولوجی آرڈر تھیوری سیٹ تھیوری