Fractional approval voting
فریکشنل اپروول ووٹنگ ایک انتخابی نظام ہے جس میں منظوری کے بیلٹ کا استعمال کیا جاتا ہے (ہر ووٹر ایک یا زیادہ امیدوار متبادل کا انتخاب کرتا ہے)، جس میں نتیجہ فریکشنل ہوتا ہے: ہر متبادل جے کے لیے 0 اور 1 کے درمیان ایک فریکشن پی جے ہوتا ہے، جیسے کہ پی جے کا مجموعہ 1 ہوتا ہے۔ اسے منظوری ووٹنگ کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: مؤخر الذکر میں، ایک امیدوار جیتتا ہے (پی جے = 1) اور دوسرے امیدوار ہار جاتے ہیں (پی جے = 0)۔ ترتیب کے لحاظ سے حصوں pj کی تشریح مختلف طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ مثالیں یہ ہیں: وقت کا اشتراک: ہر متبادل جے کو وقت کا ایک حصہ پی جے نافذ کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ ہر امیدوار جے عہدے پر مدت کا ایک حصہ پی جے خدمات انجام دیتا ہے)۔ بجٹ کی تقسیم: ہر متبادل جے کو کل بجٹ کا ایک حصہ پی جے ملتا ہے۔ امکانات: فریکشنل نتائج کا حساب لگانے کے بعد، ایک واحد امیدوار کو منتخب کرنے کے لیے لاٹری ہوتی ہے، جہاں ہر امیدوار جے کو امکان پی جے کے ساتھ منتخب کیا جاتا ہے۔ استحقاق: فریکشنل نتائج کو تقسیم کے اصولوں میں یا مختلف استحقاق کے ساتھ منصفانہ تقسیم کے الگورتھم میں استحقاق (جسے وزن بھی کہا جاتا ہے) کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ فریکشنل منظوری ووٹنگ فریکشنل سماجی انتخاب کا ایک خاص معاملہ ہے جس میں تمام ووٹرز کی دو طرفہ ترجیحات ہوتی ہیں۔ یہ ادب میں بہت سی مختلف اصطلاحات کے تحت ظاہر ہوتا ہے: لاٹری، اشتراک، تقسیم، اختلاط اور تقسیم۔ رسمی تعریفیں امیدواروں کا ایک محدود سیٹ C ہے (جسے نتائج یا متبادل بھی کہا جاتا ہے)، اور n ووٹرز کا ایک محدود سیٹ N ہے (جسے ایجنٹ بھی کہا جاتا ہے)۔ ہر ووٹر I C کا ایک ذیلی سیٹ AI متعین کرتا ہے، جو امیدواروں کے اس سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے جسے ووٹر منظور کرتا ہے۔ ایک فریکشنل منظوری ووٹنگ کا قاعدہ سیٹ AI کے سیٹ کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے، اور آؤٹ پٹ کے طور پر ایک مرکب (جسے تقسیم یا لاٹری بھی کہا جاتا ہے) واپس کرتا ہے-[0,1] میں حقیقی اعداد کا ایک ویکٹر p، ہر امیدوار کے لیے ایک نمبر، جیسے کہ اعداد کا مجموعہ 1 ہے۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ ہر ایجنٹ i اپنے منظوری سیٹ AI میں ہر امیدوار سے 1 کی افادیت حاصل کرتا ہے، اور ہر امیدوار سے 0 کی افادیت حاصل کرتا ہے جو AI میں نہیں ہے۔ لہذا، ایجنٹ i ہر مرکب p سے حاصل کرتا ہے، جس کی افادیت ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مرکب p کی تشریح بجٹ کی تقسیم کے طور پر کی جاتی ہے، تو i کی افادیت وہ کل بجٹ ہے جو اسے پسند کے نتائج کے لیے مختص کیا جاتا ہے۔ مطلوبہ خصوصیات بنیادی خصوصیات عام طور پر ووٹنگ کے قوانین کی دو بنیادی خصوصیات، اور خاص طور پر فریکشنل-منظوری-ووٹنگ کے قوانین، یہ ہیں: نام ظاہر نہ کرنا-ووٹرز کے ناموں سے کوئی فرق نہیں پڑتا ؛ غیر جانبداری-امیدواروں کے ناموں سے کوئی فرق نہیں پڑتا ؛ کارکردگی کی خصوصیات پیریٹو ایفیشنسی (پی ای) کا مطلب ہے کہ کوئی مرکب ایک ایجنٹ کو زیادہ افادیت نہیں دیتا اور کم از کم دیگر تمام کو اتنی ہی اعلی افادیت دیتا ہے۔ سابق پوسٹ پی ای ایک کمزور پراپرٹی ہے، جو صرف مرکب کی لاٹری کے طور پر تشریح کے لیے متعلقہ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، لاٹری کے بعد، کوئی نتیجہ ایک ایجنٹ کو زیادہ افادیت نہیں دیتا ہے اور کم از کم دوسروں کو اتنی ہی افادیت دیتا ہے (دوسرے الفاظ میں، یہ پی ای کے نتائج پر ایک مرکب ہے)۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ 5 امیدوار (اے، بی، سی، ڈی، ای) اور 6 ووٹرز منظوری سیٹ (اے سی، ایڈ، اے ای، بی سی، بی ڈی، بی) کے ساتھ ہیں۔ کسی بھی ایک امیدوار کا انتخاب پی ای ہے، اس لیے ہر لاٹری سابق پوسٹ پی ای ہے۔ لیکن 1/3 امکان کے ساتھ سی، ڈی، ای کا انتخاب کرنے والی لاٹری پی ای نہیں ہے، کیونکہ یہ ہر ووٹر کو 1/3 کی متوقع افادیت دیتی ہے، جبکہ 1/2 امکان کے ساتھ اے، بی کا انتخاب کرنے والی لاٹری ہر ووٹر کو 1/2 کی متوقع افادیت دیتی ہے۔ پی ای کا مطلب ہمیشہ سابق پوسٹ پی ای ہوتا ہے۔ مندرجہ ذیل معاملات میں بھی اس کے برعکس درست ہے: جب زیادہ سے زیادہ 4 ووٹر ہوں، یا زیادہ سے زیادہ 3 امیدوار ہوں۔ جب امیدواروں کو ایک لائن پر اس طرح آرڈر کیا جا سکتا ہے کہ ہر منظوری سیٹ ایک وقفہ ہو (یکساں طور پر واحد چوٹی والی ترجیحات)۔ انصاف کی خصوصیات انصاف کی ضروریات کو منصفانہ حصص (ایف ایس) کے تصور کی مختلف شکلوں سے حاصل کیا جاتا ہے۔ انفرادی-ایف ایس (جسے فیئر ویلفیئر شیئر بھی کہا جاتا ہے) کا مطلب ہے کہ ہر ووٹر کی افادیت کم از کم 1/ن ہے، یعنی بجٹ کا کم از کم 1/ن منظور شدہ امیدواروں کے لیے مختص کیا جاتا ہے۔ انفرادی-آؤٹکم-ایف ایس کا مطلب ہے کہ ہر ووٹر کی افادیت کم از کم لاٹری میں اس کی افادیت ہے جو کسی امیدوار کو تصادفی طور پر منتخب کرتی ہے، یعنی کم از کم کے/|C |، جہاں کے ان امیدواروں کی تعداد ہے جن کی طرف سے منظوری دی گئی ہے۔ انفرادی-ایف ایس اور انفرادی-نتیجہ-ایف ایس ناکافی ہیں کیونکہ وہ ووٹرز کے گروپوں کو نظر انداز کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر 99 ٪ ووٹرز X کو منظور کرتے ہیں اور 1 ٪ Y کو منظور کرتے ہیں، تو دونوں خصوصیات بجٹ کا 1/2 X کو اور 1/2 Y کو دینے کی اجازت دیتی ہیں۔ یہ Y کے حامیوں کے گروپ کے لیے بلا شبہ غیر منصفانہ ہے۔ سنگل ووٹ-ایف ایس (جسے وفادار بھی کہا جاتا ہے) کا مطلب ہے کہ، اگر ہر ووٹر ایک امیدوار کو منظور کرتا ہے، تو ہر امیدوار جے کو تفویض کردہ حصہ ان ووٹرز کی تعداد کے برابر ہے جو جے کو این سے تقسیم کرتے ہیں۔ سنگل ووٹ-ایف ایس ایک بنیادی ضرورت ہے، لیکن یہ ناکافی ہے کیونکہ یہ اس معاملے کے بارے میں کچھ نہیں کہتا ہے جس میں ووٹر دو یا زیادہ امیدواروں کو منظور کر سکتے ہیں۔ متفقہ-ایف ایس کا مطلب ہے کہ، یکساں ترجیحات والے ووٹرز کے ہر سیٹ ایس کے لیے، ایس میں ہر رکن کی افادیت کم از کم |S |/n ہے۔ متفقہ-ایف ایس کا مطلب سنگل ووٹ-ایف ایس ہے، لیکن یہ اب بھی ناکافی ہے کیونکہ یہ ان ایجنٹوں کے گروپوں کے بارے میں کچھ نہیں کہتا ہے جن کی منظوری کے سیٹ اوورلیپ ہوتے ہیں۔ گروپ-ایف ایس (متناسب اشتراک بھی کہا جاتا ہے) کا مطلب ہے کہ، ہر ووٹر سیٹ ایس کے لیے، ایس کے کم از کم ایک رکن کی طرف سے منظور شدہ امیدواروں کے لیے مختص کل بجٹ کم از کم |S |/n ہے۔ گروپ-ایف ایس کا مطلب متفقہ-ایف ایس، سنگل ووٹ-ایف ایس اور انفرادی-ایف ایس ہے۔ گروپ-ایف ایس ایک پراپرٹی کے مساوی ہے جسے ڈکمپیوزیبلٹی کہا جاتا ہے: رقم 1/این کی این ڈسٹری بیوشن میں تقسیم کو ڈکمپوز کرنا ممکن ہے، اس طرح کہ ایجنٹ i کو تجویز کردہ تقسیم صرف ان امیدواروں پر مثبت ہو جن کی طرف سے منظوری دی گئی ہو۔ اوسط-ایف ایس کا مطلب ہے کہ، ہر ووٹر سیٹ S کے لیے کم از کم ایک منظور شدہ امیدوار کے ساتھ، S میں ووٹرز کی اوسط افادیت کم از کم |S |/n ہے۔ کور-ایف ایس کا مطلب ہے کہ، ہر ووٹر سیٹ S کے لیے، ان کے |S |/n بجٹ کی کوئی دوسری تقسیم نہیں ہے، جو S کے تمام اراکین کو ایک اعلی افادیت فراہم کرتی ہے۔ کور-ایف ایس سے مراد گروپ-ایف ایس ہے۔ اسٹریٹجک خصوصیات ووٹنگ کے قوانین کے لیے اسٹریٹجی پروفنیس (ایس پی) کی کئی شکلوں کا مطالعہ کیا گیا ہے: انفرادی-ایس پی کا مطلب ہے کہ ایک انفرادی ووٹر، جو مخلصانہ ترجیحات کی اطلاع دیتا ہے، اسے زیادہ افادیت نہیں مل سکتی۔ کمزور گروپ-ایس پی کا مطلب ہے کہ ووٹرز کا ایک گروپ، جو ہم آہنگی میں مخلصانہ ترجیحات کی اطلاع دیتا ہے، ان سب کے لیے زیادہ افادیت حاصل نہیں کر سکتا۔ گروپ-ایس پی کا مطلب ہے کہ رائے دہندگان کا ایک گروپ، جو ہم آہنگی میں مخلصانہ ترجیحات کی اطلاع دیتا ہے، ان میں سے کم از کم ایک کے لیے زیادہ افادیت حاصل نہیں کر سکتا، اور کم از کم ان سب کے لیے اتنی ہی زیادہ افادیت حاصل کر سکتا ہے۔ ترجیحی یکسانیت کا مطلب ہے کہ اگر کوئی ووٹر، جس نے پہلے کسی مخصوص امیدوار X کی حمایت نہیں کی تھی، X کی حمایت کرنا شروع کر دیتا ہے، تو دوسرے امیدواروں کے حصص میں اضافہ نہیں ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے انفرادی-ایس پی۔ ایس پی کی ایک کمزور قسم خارج شدہ ایس پی ہے۔ یہ ان حالات میں متعلقہ ہے جہاں ووٹرز کو کچھ امیدوار متبادل استعمال کرنے سے خارج کرنا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، اگر امیدوار ملاقات کے اوقات میں ہیں، تو ممکن ہے کہ ووٹرز کو ان اوقات میں میٹنگ میں شرکت سے خارج کیا جائے جن کی انہوں نے منظوری نہیں دی تھی۔ اس سے ہیرا پھیری کرنا مشکل ہو جاتا ہے، اور اس وجہ سے، ضرورت کمزور ہوتی ہے۔ شرکت کی خصوصیات کے قواعد سے رائے دہندگان کو ووٹنگ کے عمل میں حصہ لینے کی ترغیب ملنی چاہیے۔ شرکت کے کئی معیارات کا مطالعہ کیا گیا ہے: کمزور شرکت: جب ووٹر حصہ لیتا ہے تو اس کی افادیت کم از کم اتنی ہی زیادہ ہوتی ہے جتنی اس کی افادیت جب وہ حصہ نہیں لیتا ہے (یہ کوئی شو پیراڈوکس کی نفی ہے)۔ سخت شرکت: جب ووٹر حصہ لیتا ہے تو اس کی افادیت اس کی افادیت سے سختی سے زیادہ ہوتی ہے جب وہ حصہ نہیں لیتا ہے۔ خاص طور پر، ایک ووٹر حصہ لینے سے فائدہ اٹھاتا ہے چاہے اس کے پاس "کلون" ہوں-ووٹرز جن کی ترجیحات ایک جیسی ہوں۔ شراکت دار بجٹ کی ترتیبات میں ایک مضبوط پراپرٹی کی ضرورت ہوتی ہے جس میں تقسیم کرنے کے لیے بجٹ خود ووٹرز کے ذریعے عطیہ کیا جاتا ہے: پولنگ شرکت: جب ووٹر میکانزم کے ذریعے عطیہ کرتا ہے تو اس کی افادیت کم از کم اتنی ہی زیادہ ہوتی ہے جتنی کہ اس کی افادیت جب وہ خود عطیہ کرتا ہے۔ یوٹیلیٹیرین رولز یوٹیلیٹیرین رول کا مقصد یوٹیلیٹیز کے مجموعے کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہے، اور اس لیے یہ پورے بجٹ کو ووٹرز کی سب سے بڑی تعداد سے منظور شدہ امیدواروں میں تقسیم کرتا ہے۔ خاص طور پر، اگر ایک امیدوار سب سے زیادہ ووٹوں کے ساتھ ہے، تو اس امیدوار کو 1 (یعنی تمام بجٹ) ملتا ہے اور دوسروں کو 0 ملتا ہے، جیسا کہ واحد فاتح منظوری ووٹنگ میں ہوتا ہے۔ اگر کچھ کے امیدوار اتنے ہی زیادہ ووٹوں کے ساتھ ہیں، تو بجٹ ان میں یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، جس میں ایسے ہر امیدوار کو 1/کے اور دیگر تمام امیدواروں کو 0 دیا جاتا ہے۔ مفید اصول میں کئی مطلوبہ خصوصیات ہیں: یہ گمنام، غیر جانبدار، پی ای، انفرادی-ایس پی، اور ترجیحی-یک آواز ہے۔ اس کا حساب لگانا بھی آسان ہے۔ تاہم، یہ اقلیتوں کے ساتھ منصفانہ نہیں ہے-یہ انفرادی-ایف ایس (نیز ایف ایس کی تمام مضبوط اقسام) کی خلاف ورزی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر 51 فیصد رائے دہندگان X کو منظور کرتے ہیں اور 49 فیصد رائے دہندگان Y کو منظور کرتے ہیں، تو مفید اصول تمام بجٹ X کو دیتا ہے اور Y کو کوئی بجٹ نہیں دیتا ہے، لہذا Y کو ووٹ دینے والے 49 فیصد کو 0 کی افادیت ملتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ اکثریت کے ظلم کی اجازت دیتا ہے۔ مفید حکمرانی بھی کمزور گروپ-ایس پی (اور اس لیے گروپ-ایس پی نہیں) نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ 3 امیدوار (a، b، c) اور 3 ووٹر ہیں، ان میں سے ہر ایک ایک امیدوار کو منظور کرتا ہے۔ اگر وہ مخلصانہ طور پر ووٹ دیتے ہیں، تو مفید مرکب (1/3,1/3، 1/3) ہے لہذا ہر ایجنٹ کی افادیت 1/3 ہے۔ اگر کوئی واحد ووٹر بے عزتی سے ووٹ دیتا ہے (جیسے، پہلا ووٹر اے اور بی دونوں کو ووٹ دیتا ہے)، تو مرکب (0,1,0) ہے، جو بے ایمان ووٹر کے لیے بدتر ہے۔ تاہم، اگر دو ووٹرز گٹھ جوڑ کرتے ہیں اور بے دلی سے ووٹ دیتے ہیں (جیسے، پہلے دو ووٹرز پہلے دو نتائج کے لیے ووٹ دیتے ہیں)، تو مفید مرکب (1/2,1/2,0) ہے، جو دونوں بے ایمان ووٹرز کے لیے بہتر ہے۔ نیش-آپٹیمل قاعدہ نیش-آپٹیمل قاعدہ افادیت کے لوگرتھم کے مجموعے کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے۔ یہ گمنام اور غیر جانبدار ہے، اور مندرجہ ذیل اضافی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: پی ای ؛ گروپ-ایف ایس (ڈکمپیوزیبلٹی)، ایوریج-ایف ایس، کور-ایف ایس ؛ پولنگ کی شرکت (اور سخت شرکت) ؛ کوئی اور اسٹریٹجی پروفنیس پراپرٹی (یہاں تک کہ خارج کرنے کے قابل-ایس پی میں بھی ناکام) ؛ نیش-آپٹیمل اصول کا حساب ایک کنویکس پروگرام کو حل کرکے کیا جا سکتا ہے۔ ایک اور قاعدہ ہے، جسے منصفانہ افادیت کہا جاتا ہے، جو اسی طرح کی خصوصیات (پی ای اور گروپ-ایف ایس) کو مطمئن کرتا ہے لیکن اس کا حساب لگانا آسان ہے۔ مساویانہ حکمرانی مساویانہ (لیکسیمین) قاعدہ سب سے چھوٹی افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے، پھر اگلی سب سے چھوٹی، وغیرہ۔ یہ گمنام اور غیر جانبدار ہے، اور مندرجہ ذیل اضافی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: پی ای ؛ انفرادی-ایف ایس، لیکن متفقہ-ایف ایس نہیں ؛ خارج-انفرادی-ایس پی، لیکن انفرادی-ایس پی نہیں ؛ کمزور-شرکت، لیکن سخت شرکت نہیں (چونکہ "کلون"-ایک جیسی ترجیحات والے ووٹرز-کو واحد ووٹر کے طور پر سمجھا جاتا ہے)۔ دیگر فلاح و بہبود کے اصول کسی بھی یکسوئی سے بڑھتے ہوئے فنکشن f کے لیے، کوئی بھی f (ui) کے مجموعے کو زیادہ سے زیادہ کر سکتا ہے۔ یوٹیلیٹیرین رول ایک خاص کیس ہے جہاں f (x) = x، اور نیش رول ایک خاص کیس ہے جہاں f (x) = log (x) ہے۔ ہر ایف-میکسیمائزنگ قاعدہ پی ای ہے، اور اس میں درج ذیل اضافی خصوصیات ہیں: اگر ایف لاگ کا کوئی کنکیو فنکشن ہے، تو یہ انفرادی-ایف ایس کی ضمانت دیتا ہے۔ اگر-اور-صرف-اگر f خود لاگ فنکشن ہے، تو یہ گروپ-FS اور متفقہ-FS کی ضمانت دیتا ہے (یہ نیش-آپٹیمل اصول سے مطابقت رکھتا ہے)۔ اگر-اور-صرف-اگر f ایک لکیری فنکشن ہے، تو یہ انفرادی-ایس پی ہے (یہ مفید اصول سے مطابقت رکھتا ہے)۔ اگر-اور-صرف-اگر یہ مفید یا مساویانہ حکمرانی ہے، تو یہ خارج شدہ-ایس پی کو مطمئن کرتا ہے ؛ اگر-اور-صرف-اگر یہ مفید اور نہ ہی مساویانہ حکمرانی ہے، تو یہ سخت شرکت کو مطمئن کرتا ہے۔ ترجیحی اصول ایک ترجیحی اصول (جسے سیریل ڈکٹیٹرشپ بھی کہا جاتا ہے) کو ووٹرز کی ترتیب کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، جو ترجیحی ترتیب کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ ایک ایسا نتیجہ منتخب کرتا ہے جو اعلی ترین ترجیحی ایجنٹ کی افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے ؛ اس کے تابع، دوسرے اعلی ترین ترجیحی ایجنٹ کی افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے ؛ اور اسی طرح۔ ہر ترجیحی اصول غیر جانبدار، پی ای، کمزور گروپ-ایس پی، اور ترجیحی مونوٹون ہے۔ تاہم، یہ گمنام نہیں ہے اور کسی منصفانہ تصور کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ بے ترتیب ترجیحی قاعدہ بے ترتیب طور پر ووٹرز کی یکساں طور پر ترتیب کا انتخاب کرتا ہے، اور پھر اس ترتیب کے لیے ترجیحی اصول کو نافذ کرتا ہے۔ یہ گمنام، غیر جانبدار ہے، اور مندرجہ ذیل اضافی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: سابق پوسٹ پی ای، لیکن (سابق) پی ای نہیں۔ سنگل پیکڈ ترجیحات کے ینالاگ کے ساتھ (امیدواروں کو ایک لائن پر آرڈر کیا جاتا ہے اور ہر ووٹر ایک وقفے کی منظوری دیتا ہے)، بے ترتیب ترجیح پی ای ہے۔ کمزور گروپ-ایس پی۔ گروپ-ایف ایس۔ اس اصول کا ایک نقصان یہ ہے کہ درست امکانات کو تلاش کرنا کمپیوٹیشنل طور پر مشکل ہے (ڈکٹیٹرشپ mechanism#Computation دیکھیں)۔ مشروط افادیت پسندانہ اصول مشروط افادیت پسندانہ اصول میں، ہر ایجنٹ کو کل بجٹ کا 1/n ملتا ہے۔ ہر ایجنٹ ان امیدواروں کو ڈھونڈتا ہے جن کی وہ منظوری دیتا ہے، جن کی حمایت دوسرے ایجنٹوں کی سب سے بڑی تعداد کرتی ہے، اور اپنے بجٹ کو ان میں برابر تقسیم کرتا ہے۔ یہ گمنام اور غیر جانبدار ہے، اور مندرجہ ذیل اضافی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: انفرادی-ایس پی ؛ گروپ-ایف ایس ؛ سابق پوسٹ پی ای لیکن (سابقہ) پی ای نہیں۔ یہ نظریہ اور تخروپن دونوں میں بے ترتیب ترجیح سے زیادہ موثر ہے۔ یہ ہمیشہ ایک ایسی تقسیم تلاش کرتا ہے جو گروپ-ایف ایس تقسیم کے ذیلی سیٹ کے درمیان پی ای ہے۔ اکثریتی حکمرانی کا مقصد انصاف کی ضمانت دیتے ہوئے زیادہ سے زیادہ طاقت کو چند امیدواروں کے ہاتھوں میں مرکوز کرنا ہے۔ یہ راؤنڈ میں آگے بڑھتا ہے۔ ابتدائی طور پر تمام امیدوار اور ووٹر فعال ہوتے ہیں۔ ہر دور میں، قاعدہ ایک فعال امیدوار سی کا انتخاب کرتا ہے جسے فعال ووٹرز کے سب سے بڑے سیٹ، این سی نے منظور کیا ہے۔ پھر، قاعدہ ان ووٹرز کو این سی سے سی کو "تفویض" کرتا ہے، یعنی یہ فرض کرتا ہے کہ این سی میں ووٹرز نے صرف سی کو ووٹ دیا، اور سی کو حصہ |Nc |/n تفویض کرتا ہے۔ پھر، امیدوار سی اور این سی میں ووٹر غیر فعال ہو جاتے ہیں، اور قاعدہ اگلے مرحلے میں آگے بڑھتا ہے۔ نوٹ کریں کہ مشروط-مفید حکمرانی ایک جیسی ہے، سوائے اس کے کہ این سی میں ووٹر غیر فعال نہیں ہوتے ہیں۔ اکثریتی اصول گمنام، غیر جانبدار ہے، انفرادی-ایف ایس اور سنگل ووٹ-ایف ایس کی ضمانت دیتا ہے۔ ناممکن نتائج خصوصیات کے کچھ امتزاج بیک وقت حاصل نہیں کیے جا سکتے۔ سابق پوسٹ پی ای اور گروپ ایس پی مطابقت نہیں رکھتے (3 ووٹرز اور 3 امیدواروں کے لیے)۔ نام ظاہر نہ کرنا، غیر جانبداری، سابق پوسٹ پی ای اور کمزور گروپ ایس پی مطابقت نہیں رکھتے (4 ووٹرز اور 6 امیدواروں کے لیے)۔ اگر ہم ان میں سے کسی ایک خاصیت کو ہٹا دیں تو باقی تین حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ سابق پوسٹ پی ای، انفرادی-ایس پی اور انفرادی-نتیجہ-ایف ایس مطابقت نہیں رکھتے (3 ووٹرز اور 3 امیدواروں کے لیے)۔ اگر ہم ان میں سے کسی ایک خاصیت کو ہٹا دیں تو باقی دو حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ تاہم، اگر ہم ہر ایجنٹ کو اس کے منصفانہ نتائج کے حصص کا صرف ε گنا دینے کی اجازت دے کر انفرادی-نتیجہ-FS کو کمزور کرتے ہیں، تو کچھ ε> 0 کے لیے، ناممکن رہتا ہے۔ گمنام، غیر جانبداری، پی ای، انفرادی-ایس پی اور انفرادی-ایف ایس مطابقت نہیں رکھتے (5 ووٹرز اور 17 امیدواروں کے لیے)۔ اگر ہم پی ای یا انفرادی-ایس پی یا انفرادی-ایف ایس کو ہٹا دیں تو باقی چار خصوصیات حاصل کی جا سکتی ہیں۔ اگر ہم نام ظاہر نہ کرنے اور غیر جانبداری کو ختم کرتے ہیں، تو ناممکن اب بھی برقرار ہے، لیکن ثابت کرنا بہت مشکل ہے۔ اس کے برعکس، سنگل پیکڈ ترجیحات کے ینالاگ میں (امیدواروں کو ایک لائن پر آرڈر کیا جاتا ہے اور ہر ووٹر ایک وقفے کی منظوری دیتا ہے)، تمام خصوصیات بے ترتیب ترجیح کے ذریعے حاصل کی جاتی ہیں۔ اگر ہم انفرادی-ایس پی کو خارج کرنے کے قابل-ایس پی میں کمزور کرتے ہیں، تو خصوصیات کو مساویانہ حکمرانی سے مطمئن کیا جاتا ہے۔ یہ کھلا ہے کہ آیا پی ای اور خارج-ایس پی سخت شرکت اور/یا متفقہ-ایف ایس کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ پی ای، ترجیحی یکسانیت اور مثبت حصص (انفرادی-ایف ایس سے کمزور پراپرٹی) مطابقت نہیں رکھتے (6 ووٹرز اور 6 امیدواروں کے لیے)۔ گمنام، غیر جانبداری، پی ای، انفرادی-ایس پی اور گروپ-ایف ایس مطابقت نہیں رکھتے (5 ووٹرز اور 4 امیدواروں کے لیے)۔ اگر ہم پی ای یا انفرادی-ایس پی یا گروپ-ایف ایس کو ہٹا دیں تو باقی چار خصوصیات حاصل کی جا سکتی ہیں۔ اگر ہم نام ظاہر نہ کرنے اور غیر جانبداری کو ختم کرتے ہیں، تو ناممکن اب بھی برقرار ہے، لیکن ثابت کرنا بہت مشکل ہے۔ جب زیادہ سے زیادہ 4 ووٹر ہوتے ہیں یا زیادہ سے زیادہ 3 امیدوار ہوتے ہیں، تو بے ترتیب آمریت کی ایک سادہ قسم تمام 5 خصوصیات کو حاصل کرتی ہے: ایک ڈکٹیٹر کو بے ترتیب منتخب کیا جاتا ہے، اور اس کا پسندیدہ ترین نتیجہ منتخب کیا جاتا ہے۔ یہ قاعدہ گمنام، غیر جانبدار، سابق پوسٹ پی ای، انفرادی-ایس پی، گروپ-ایف ایس، اور سابق پوسٹ پی ای ہے ؛ لیکن زیادہ سے زیادہ 4 ووٹرز یا زیادہ سے زیادہ 3 امیدواروں کے ساتھ، سابق پوسٹ پی ای کا مطلب پی ای ہے۔ پی ای، انفرادی-ایس پی اور مثبت حصص مطابقت نہیں رکھتے (6 ووٹرز اور 4 امیدواروں کے لیے)۔ یہ 386 مختلف پروفائلز کا استعمال کرتے ہوئے ایس اے ٹی سولور کی مدد سے ثابت ہوا-شاید سماجی انتخاب میں سب سے طویل ثبوت۔ اضافی خصوصیات کے طور پر نام ظاہر نہ کرنے اور غیر جانبداری کے ساتھ، مطابقت پذیری پہلے سے ہی 5 ووٹرز اور 4 امیدواروں کے لیے ہے، اور ثبوت بہت آسان ہے۔ خلاصہ ٹیبل نیچے دیے گئے ٹیبل میں، ہر سیل میں موجود نمبر پراپرٹی کی "طاقت" کی نمائندگی کرتا ہے: 0 کا مطلب کوئی نہیں ہے (پراپرٹی مطمئن نہیں ہے) ؛ 1 پراپرٹی کے کمزور ورژن سے مطابقت رکھتا ہے ؛ 2 ایک مضبوط ورژن سے مطابقت رکھتا ہے ؛ وغیرہ۔ جائز نمائندگی بھی دیکھیں-منصفانہ اشتراک کی طرح ایک خاصیت، لیکن مجرد نتائج کے لیے۔ پارٹی منظوری ووٹنگ-امیدوار جماعتیں ہیں، اور ہر پارٹی کو مختص کردہ حصہ پارلیمنٹ میں ملنے والی نشستوں کے حصے سے مطابقت رکھتا ہے۔ پارٹسپیٹری بجٹنگ الگورتھم-بجٹ کو منصفانہ طور پر تقسیم کرنے کے دیگر طریقے۔ کچھ مصنفین نے تقسیم کے مختلف اصولوں کی منصفانہ قیمت کا مطالعہ کیا۔ تقسیم کے مسئلے کا مطالعہ زیادہ مشکل ماحول میں بھی کیا گیا ہے جس میں ایجنٹوں کی اضافی افادیت ہوتی ہے۔ حوالہ جات سماجی انتخاب کا نظریہ منظوری ووٹنگ