Modulus and characteristic of convexity
ریاضی میں، کنویکسٹی کا ماڈیولس اور کنویکسٹی کی خصوصیت اس بات کی پیمائش ہے کہ بناچ اسپیس میں یونٹ بال "کتنی کنویکس" ہے۔ کچھ معنوں میں، کنویکسٹی کے ماڈیولس کا یکساں کنویکسٹی کی ε-δ تعریف سے وہی تعلق ہے جو تسلسل کا ماڈیولس تسلسل کی ε-δ تعریف سے کرتا ہے۔ تعریفیں بناچ اسپیس (X، | | | |) کی کنویکسٹی کا ماڈیولس وہ فنکشن ہے جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے جہاں S (X، | | |) کے یونٹ دائرے کو ظاہر کرتا ہے۔ δ (ε) کی تعریف میں، کوئی بھی تمام ویکٹر x پر لامحدود بھی لے سکتا ہے، x میں y اس طرح اور۔ خلا (X، | | |) کی کنویکسٹی کی خصوصیت وہ نمبر ε0 ہے جس کی تعریف جے اے کے ذریعہ یکساں کنویکسٹی کے عمومی مطالعہ میں مضمر ہے۔ کلارکسن (؛ یہ وہی مقالہ ہے جس میں کلارکسن کی عدم مساوات کے بیانات موجود ہیں)۔ اصطلاح "ماڈیولس آف کنویکسٹی" ایم ایم ڈے کی وجہ سے معلوم ہوتی ہے۔ خصوصیات کنویکسٹی کا ماڈیولس، δ (ε)، ε کا غیر کم ہونے والا فنکشن ہے، اور حصص بھی غیر کم ہو رہا ہے۔ کنویکسٹی کا ماڈیولس خود ε کا کنویکس فنکشن ہونا ضروری نہیں ہے۔ تاہم، کنویکسٹی کا ماڈیولس مندرجہ ذیل معنوں میں کنویکس فنکشن کے مساوی ہے: ایک کنویکس فنکشن δ1 (ε) اس طرح موجود ہے کہ معیاری جگہ یکساں طور پر کنویکس ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی کنویکسٹی کی خصوصیت ε0 0 کے برابر ہو، یعنی، اگر اور صرف اگر ہر ایک کے لیے۔ بنچ اسپیس ایک سختی سے کنویکس اسپیس ہے (یعنی یونٹ بال B کی باؤنڈری میں کوئی لائن سیگمنٹ نہیں ہیں) اگر اور صرف اس صورت میں جب δ (2) = 1، یعنی صرف اینٹی پوڈل پوائنٹس (x اور y = −x کی شکل کے) یونٹ دائرے کا فاصلہ 2 کے برابر ہو سکتا ہے۔ جب X یکساں طور پر کنویکس ہوتا ہے، تو یہ کنویکسٹی کے پاور ٹائپ ماڈیولس کے ساتھ ایک مساوی معیار کو قبول کرتا ہے۔ یعنی، وہاں موجود ہے اور ایک مستقل ہے کہ ایل پی خالی جگہوں کی کنویکسٹی کا ماڈیولس کنویکسٹی کا ماڈیولس ایل پی خالی جگہوں کے لیے جانا جاتا ہے۔ اگر، تو یہ مندرجہ ذیل مضمر مساوات کو مطمئن کرتا ہے: یہ جان کر کہ کوئی اس کا اندازہ لگا سکتا ہے۔ اسے مذکورہ بالا میں تبدیل کرتے ہوئے، اور بائیں ہاتھ کی طرف ٹیلر سیریز کے طور پر توسیع کرتے ہوئے، کوئی بھی کوفیشنٹس کا حساب لگا سکتا ہے: کیونکہ، کسی کے پاس واضح اظہار ہوتا ہے۔ یکساں طور پر ہموار جگہ نوٹ حوالہ جات فوسٹر، اینریک لورنز بھی دیکھیں۔ میٹرک فکسڈ پوائنٹ تھیوری سے متعلق کچھ ماڈیولی اور مستقلات۔ ہینڈ بک آف میٹرک فکسڈ پوائنٹ تھیوری، 133-175، کلور اکاڈ۔ اشاعت۔، ڈورڈرچٹ، 2001۔ لنڈنسٹراس، جورام اور بینیامینی، یواو۔ جیومیٹرک غیر لکیری فنکشنل تجزیہ کولوکیوم اشاعتیں، 48۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ ۔ ویتالی ڈی ملمان۔ بناچ خالی جگہوں کا ہندسی نظریہ II۔ اکائی دائرے کی جیومیٹری۔ Uspechi Mat. نوک، وال۔ 26، نہیں۔ 6، 73-149، 1971 ؛ روسی ریاضی۔ سروے، v. 26 6، 80-159۔ بناچ اسپیس کنویکس تجزیہ