Outer space (mathematics)
جیومیٹرک گروپ تھیوری کے ریاضیاتی موضوع میں، کلر-ووگٹمین آؤٹر اسپیس یا صرف ایک آزاد گروپ Fn کی آؤٹر اسپیس ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہے جو Fn پر حجم 1 کے نام نہاد "مارکڈ میٹرک گراف ڈھانچے" پر مشتمل ہے۔ بیرونی جگہ، جسے ایکس این یا سی وی این سے ظاہر کیا جاتا ہے، ایف این کے بیرونی آٹومورفزم آؤٹ (ایف این) کے گروپ کی قدرتی کارروائی سے لیس ہے۔ آؤٹر اسپیس کو مارک کلر اور کیرن ووگٹ مین کے 1986 کے ایک مقالے میں متعارف کرایا گیا تھا، اور یہ ہائپربولک سطح کے ٹیک مولر اسپیس کے فری گروپ اینالاگ کے طور پر کام کرتا ہے۔ آؤٹر اسپیس کا استعمال آؤٹ (ایف این) کے ہومولوجی اور کوہمولوجی گروپوں کا مطالعہ کرنے اور آؤٹ (ایف این) کی الجبرائی، ہندسی اور متحرک خصوصیات، اس کے ذیلی گروپوں اور ایف این کے انفرادی بیرونی آٹومورفزم کے بارے میں معلومات حاصل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ اسپیس Xn کو R-درختوں T پر Fn پر Fn کے کم از کم آزاد مجرد آئسومیٹرک اعمال کی آئسومیٹری اقسام کے سیٹ کے طور پر بھی سوچا جا سکتا ہے جیسے کہ حصص میٹرک گراف T/Fn کا حجم 1 ہو۔ آؤٹر اسپیس کو مارک کلر اور کیرن ووگٹ مین کے 1986 کے ایک مقالے میں متعارف کرایا گیا تھا، جو ہائپربولک سطح کے ٹیک مولر اسپیس کے ساتھ مشابہت سے متاثر تھا۔ انہوں نے دکھایا کہ آن کا قدرتی عمل مناسب طریقے سے متضاد ہے، اور یہ معاہدہ ہے۔ اسی مقالے میں کلر اور ووگٹ مین نے ایک سرایت کی تعمیر کی، جس میں ترجمہ کی لمبائی کے افعال کے ذریعے، جس پر ذیل میں بحث کی گئی ہے، لامحدود جہتی پروجیکٹو اسپیس میں، جہاں عناصر کی غیر معمولی کنجگسی کلاسوں کا مجموعہ ہے۔ انہوں نے یہ بھی ثابت کیا کہ ان کی بندش کمپیکٹ ہے۔ بعد میں کوہن اور لوسٹگ اور بیسٹوینا اور فیگن کے نتائج کے امتزاج نے درختوں پر "بہت چھوٹے" کم سے کم آئسومیٹرک اعمال کی پروجیکٹو کلاسوں کی جگہ کے ساتھ جگہ کی نشاندہی کی (سیکشن 1.3 دیکھیں)۔ رسمی تعریف نشان زد میٹرک گراف n ≤ 2 لیں۔ آزاد گروپ Fn کے لیے ایک "گلاب" Rn طے کریں، جو کہ ایک پچر ہے، n حلقوں کا جو ایک ورٹیکس v پر جڑا ہوا ہے، اور Fn اور Rn کے بنیادی گروپ 1 (Rn، v) کے درمیان ایک آئسومورفزم طے کریں۔ اس نقطہ سے ہم اس آئسومورفزم کے ذریعے Fn اور 1 (Rn، v) کی شناخت کرتے ہیں۔ Fn پر ایک مارکنگ ایک ہوموٹوپی مساوات f: Rn → γ پر مشتمل ہوتی ہے جہاں γ ڈگری-1 اور ڈگری-2 عمودی کے بغیر ایک محدود منسلک گراف ہے۔ ایک (آزاد) ہوموٹوپی تک، f کا تعین منفرد طور پر آئسومورفزم f #:، یعنی ایک آئسومورفزم کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ ایک میٹرک گراف ایک محدود منسلک گراف ہے جس میں ایک مثبت حقیقی نمبر L (e) کے ہر ٹپوولوجیکل کنارے e کو تفویض کیا جاتا ہے جسے e کی لمبائی کہا جاتا ہے۔ ایک میٹرک گراف کا حجم اس کے ٹپوولوجیکل کناروں کی لمبائی کا مجموعہ ہے۔ Fn پر ایک نشان زدہ میٹرک گراف ڈھانچہ ایک نشان زدہ f: Rn → k پر مشتمل ہوتا ہے جس کے ساتھ ایک میٹرک گراف ڈھانچہ L پر مشتمل ہوتا ہے۔ دو نشان زدہ میٹرک گراف ڈھانچے f1: Rn → γ1 اور f2: Rn → γ2 مساوی ہیں اگر کوئی آئسومیٹری موجود ہو θ: γ1 → γ2 اس طرح کہ، فری ہوموٹوپی تک، ہمارے پاس θ o f1 = f2 ہے۔ آؤٹر اسپیس Xn Fn پر تمام حجم-ایک نشان زدہ میٹرک گراف ڈھانچوں کی مساوات کی کلاسوں پر مشتمل ہے۔ آؤٹر اسپیس پر کمزور ٹوپولوجی کھلی آسانیاں فرض کریں کہ f: Rn → γ جہاں γ ایک نشان ہے اور k کو γ میں ٹوپولوجیکل کناروں کی تعداد ہونے دیں۔ ہم जात کے کناروں کو e1،.، ek کے طور پر ترتیب دیتے ہیں۔ Rk میں معیاری (k−1) جہتی اوپن سمپلیکس ہونے دیں۔ f کو دیکھتے ہوئے، ایک قدرتی نقشہ j: δk → Xn ہے، جہاں x = (x1,., xk) ωk کے لیے، Xn کا نقطہ j (x)، f کو میٹرک گراف ڈھانچے L کے ساتھ مل کر نشان زد کرنے کے ذریعے دیا جاتا ہے، جیسے کہ L (ei) = xi کے لیے i = 1،., k۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ j حقیقت میں ایک انجیکشن نقشہ ہے، یعنی δk کے الگ الگ نکات Fn پر غیر مساوی نشان زدہ میٹرک گراف ڈھانچے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ سیٹ جے (Δk) کو Xn میں اوپن سمپلیکس کہا جاتا ہے جو کہ f سے مطابقت رکھتا ہے اور اسے S (f) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تعمیر کے لحاظ سے، Xn Fn پر تمام نشانات کے مطابق کھلی سادگی کا اتحاد ہے۔ نوٹ کریں کہ Xn میں دو کھلی آسانیاں یا تو جداگانہ ہیں یا موافق ہیں۔ بند آسانیاں فرض کریں کہ f: Rn → k جہاں k ایک نشان ہے اور k کو k میں ٹپوولوجیکل کناروں کی تعداد ہونے دیں۔ پہلے کی طرح، ہم जात کے کناروں کو e1،.، ek کے طور پر ترتیب دیتے ہیں۔ Rk کو تمام x = (x1،.، xk) کے سیٹ کے طور پر بیان کریں، اس طرح کہ، ہر xi ω0 اور اس طرح کہ xi = 0 کے ساتھ تمام کناروں کا سیٹ γ میں ایک ذیلی جنگل ہے۔ نقشہ جے: Δk → Xn ایک نقشے تک پھیلا ہوا ہے جس کی لمبائی مندرجہ ذیل ہے۔ x کے لیے k میں h (x) = j (x) ڈالیں۔ Xn کا نقطہ h (x) نشان f لے کر حاصل کیا جاتا ہے، xi کے تمام کناروں کو xi = 0 کے ساتھ سکڑ کر ایک نیا نشان f1 حاصل کیا جاتا ہے: Rn → γ1 اور پھر ہر زندہ کنارے کو تفویض کیا جاتا ہے جس کی لمبائی xi> 0 ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ہر نشان f کے لیے نقشہ h: Δk′ → Xn اب بھی انجیکشن والا ہے۔ ایچ کی شبیہہ کو ایف کے مطابق ایکس این میں بند سمپلیکس کہا جاتا ہے اور اسے ایس ′ (ایف) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ Xn میں ہر نقطہ کا تعلق صرف محدود طور پر بہت سی بند آسانیوں سے ہے اور Xn کا ایک نقطہ جس کی نمائندگی ایک نشان f: Rn → γ کے ذریعے کی جاتی ہے جہاں گراف Xn میں ایک منفرد بند سمپلیکس سے تعلق رکھتا ہے، یعنی S′ (f)۔ بیرونی جگہ Xn پر کمزور ٹوپولوجی کی تعریف یہ کہہ کر کی جاتی ہے کہ Xn کا ایک ذیلی سیٹ C بند کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر نشان f: Rn → γ کے لیے سیٹ h−1 (C) Δk′ میں بند ہو۔ خاص طور پر، نقشہ h: Δk′ → Xn ایک ٹپوولوجیکل سرایت ہے۔ بیرونی جگہ کے نکات بطور درختوں پر اعمال x کو Xn میں ایک نقطہ ہونے دیں جو کہ ایک نشان f: Rn → γ کے ذریعہ دیا گیا ہے جس میں حجم-ایک میٹرک گراف ڈھانچہ L، γ پر ہے۔ فرض کریں کہ T، जात کا عالمگیر احاطہ ہے۔ اس طرح T ایک سیدھا جڑا ہوا گراف ہے، یعنی T ایک ٹپوولوجیکل ٹری ہے۔ ہم T کے ہر کنارے کو اس کی تصویر کی لمبائی کے برابر لمبائی دے کر میٹرک ڈھانچے L سے T کو بھی اٹھا سکتے ہیں۔ یہ T کو ایک میٹرک اسپیس (T، d) میں بدل دیتا ہے جو کہ ایک حقیقی درخت ہے۔ بنیادی گروپ 1 (जात) تبدیلیوں کا احاطہ کرکے T پر عمل کرتا ہے جو کہ (T، d) کی آئسومیٹریز بھی ہیں، جس میں حصص کی جگہ T/1 (जात) = जात ہے۔ چونکہ انڈیوسڈ ہومومورفزم f #، Fn = 1 (Rn) اور 1 (k) کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے، اس لیے ہم T/Fn = k کے ساتھ T پر Fn کا ایک آئسومیٹرک ایکشن بھی حاصل کرتے ہیں۔ یہ عمل آزاد اور مجرد ہے۔ چونکہ ایک محدود جڑا ہوا گراف ہے جس میں کوئی ڈگری ون عمودی نہیں ہے، اس لیے یہ عمل بھی کم سے کم ہے، جس کا مطلب ہے کہ T کے پاس کوئی مناسب Fn-غیر متغیر ذیلی درخت نہیں ہے۔ مزید برآں، کسی حقیقی درخت پر Fn کا ہر کم از کم آزاد اور مجرد آئسومیٹرک عمل جس میں حصص حجم ایک کا میٹرک گراف ہوتا ہے، اس انداز میں Xn کے کسی نقطہ x سے پیدا ہوتا ہے۔ یہ Xn اور حجم ایک کوٹینٹس کے ساتھ حقیقی درختوں پر Fn کے کم از کم آزاد اور مجرد آئسومیٹرک اعمال کے مساوات کلاسوں کے سیٹ کے درمیان ایک باہمی خط و کتابت کی وضاحت کرتا ہے۔ یہاں حقیقی درختوں T1 اور T2 پر Fn کی ایسی دو حرکتیں مساوی ہیں اگر T1 اور T2 کے درمیان Fn-مساوی آئسومیٹری موجود ہو۔ لمبائی کے افعال ایک حقیقی درخت T پر Fn کا ایک عمل دیں جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے، کوئی بھی اس عمل کے ساتھ منسلک ترجمہ کی لمبائی کے فنکشن کی وضاحت کر سکتا ہے: g ष्ण 1 کے لیے T میں R کی ایک (منفرد) آئسومیٹرک طور پر سرایت شدہ کاپی ہے، جسے g کا محور کہا جاتا ہے، جیسے کہ g اس محور پر شدت کے ترجمہ سے کام کرتا ہے۔ اس وجہ سے اسے ترجمہ کی لمبائی g کہا جاتا ہے۔ ہمارے پاس Fn میں کسی بھی g، u کے لیے، یہ فنکشن G میں ہر کنجوگیسی کلاس پر مستقل ہے۔ بیرونی خلا ترجمہ کی لمبائی کے نشان زد میٹرک گراف ماڈل میں افعال کی تشریح مندرجہ ذیل طور پر کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ Xn میں T کی نمائندگی ایک نشان f کے ذریعے کی جائے: Rn → γ جس کا حجم-ایک میٹرک گراف ڈھانچہ L، γ پر ہے۔ فرض کریں کہ g ωFn = 1 (Rn) ہے۔ پہلے f #کے ذریعے g کو آگے دھکا دیں تاکہ ایک بند لوپ حاصل کیا جا سکے اور پھر اس لوپ کو ایک ڈوبے ہوئے سرکٹ میں جکڑ لیں۔ اس سرکٹ کی L-لمبائی g کی ترجمہ لمبائی ہے۔ حقیقی درختوں پر گروپ ایکشن کے نظریہ سے ایک بنیادی عمومی حقیقت یہ کہتی ہے کہ بیرونی خلا کا ایک نقطہ منفرد طور پر اس کے ترجمہ کی لمبائی کے فعل سے طے ہوتا ہے۔ یعنی اگر Fn کے کم از کم آزاد آئسومیٹرک اعمال والے دو درخت Fn پر مساوی ترجمہ لمبائی کے افعال کی وضاحت کرتے ہیں تو دونوں درخت Fn-مساوی طور پر آئسومیٹرک ہوتے ہیں۔ لہذا Fn پر Xn سے R-ویلیوڈ فنکشنز کے سیٹ تک کا نقشہ انجیکٹو ہے۔ Xn پر لمبائی فنکشن ٹوپولوجی یا محور ٹوپولوجی کی وضاحت مندرجہ ذیل ہے۔ Xn میں ہر T کے لیے، Fn کا ہر محدود سب سیٹ K اور ہر ε> 0 Xn میں ہر T کے لیے لمبائی فنکشن ٹوپولوجی میں Xn میں T کے محلوں کی بنیاد خاندان VT (K، ε) کے ذریعے دی جاتی ہے جہاں K Fn کا ایک محدود سب سیٹ ہے اور جہاں ε> 0 ہے۔ لمبائی فنکشن ٹوپولوجی میں ترتیبات کے ارتکاز کو مندرجہ ذیل طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ Xn میں T کے لیے اور Xn میں ایک ترتیب Ti کے لیے ہمارے پاس صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب Fn میں ہر g کے لیے ہمارے پاس گروموف ٹوپولوجی ہو۔ ایک اور ٹوپولوجی نام نہاد گروموف ٹوپولوجی یا مساوی گروموف-ہاؤسڈورف کنورجنس ٹوپولوجی ہے، جو گروموف-ہاؤسڈورف کنورجنس کا ایک ورژن فراہم کرتی ہے جو ایک آئسومیٹرک گروپ ایکشن کی ترتیب کے مطابق ڈھال لیا جاتا ہے۔ گروموف ٹوپولوجی کی وضاحت کرتے وقت، کسی کو پوائنٹس آف کو درختوں کے اعمال کے طور پر سوچنا چاہیے۔ غیر رسمی طور پر، ایک درخت کو دیکھتے ہوئے، گروموف ٹوپولوجی میں ایک اور درخت "قریب" ہے، اگر کچھ بڑے محدود ذیلی درختوں اور ایک بڑے محدود ذیلی سیٹ کے درمیان اور جس کے سلسلے میں (جزوی) اعمال موجود ہیں اور تقریبا متفق ہیں، ایک "تقریبا آئسومیٹری" موجود ہے۔ گروموف ٹوپولوجی کی رسمی تعریف کے لیے دیکھیں۔ کمزور، لمبائی فنکشن اور گروموف ٹوپولوجیز کا اتفاق ایک اہم بنیادی نتیجہ یہ بتاتا ہے کہ گروموف ٹوپولوجی، کمزور ٹوپولوجی اور لمبائی فنکشن ٹوپولوجی ایکس این پر موافق ہیں۔ آؤٹر اسپیس پر ایکشن آف آؤٹ (Fn) گروپ آؤٹ (Fn) Xn پر ہومیومورفزم کے ذریعہ ایک قدرتی صحیح عمل کو تسلیم کرتا ہے۔ پہلے ہم Xn پر آٹومورفزم گروپ آٹو (Fn) کے عمل کی وضاحت کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ آٹو (ایف این) ایف این کا آٹومورفزم ہے۔ فرض کریں کہ x Xn کا ایک نقطہ ہے جو ایک نشان f: Rn → γ کے ذریعہ دیا گیا ہے جس میں حجم-ایک میٹرک گراف ڈھانچہ L، γ پر ہے۔ فرض کریں کہ τ: Rn → Rn ایک ہوموٹوپی مساوات ہے جس کی بنیادی گروپ کی سطح پر حوصلہ افزائی ہومومورفزم Fn = 1 (Rn) کا آٹومورفزم α ہے۔ Xn کا عنصر xα نشان f.65 τ: Rn → जात کے ذریعے دیا جاتا ہے جس میں میٹرک ڈھانچہ L، जात پر ہوتا ہے۔ یعنی، x سے xα حاصل کرنے کے لیے ہم صرف x کی وضاحت کرنے والے نشان کو τ کے ساتھ پیش کرتے ہیں۔ حقیقی درخت کے ماڈل میں اس عمل کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ Xn میں T کو ایک حقیقی درخت ہونے دیں جس میں Fn کا کم سے کم آزاد اور مجرد مشترکہ حجم-ایک آئسومیٹرک عمل ہو۔ فرض کریں کہ α bul آٹو (Fn)۔ ایک میٹرک اسپیس کے طور پر، Tα T کے برابر ہے۔ Fn کی کارروائی کو α سے موڑ دیا جاتا ہے۔ یعنی، T میں کسی بھی t کے لیے اور Fn میں g کے لیے ہمارے پاس: ترجمہ کی لمبائی کے افعال کی سطح پر ٹری Tα اس طرح دیا جاتا ہے: ایک پھر چیک کرتا ہے کہ آؤٹر اسپیس Xn پر آٹو (Fn) کی مذکورہ بالا کارروائی کے لیے اندرونی آٹومورفزمز ان (Fn) کا ذیلی گروپ اس عمل کے دانے میں موجود ہے، یعنی ہر اندرونی آٹومورفزم Xn پر معمولی طور پر کام کرتا ہے۔ اس کے بعد Xn کوٹینٹس پر آٹو (Fn) کا عمل Xn پر آؤٹ (Fn) = آٹو (Fn)/ان (Fn) کے عمل کے ذریعے ہوتا ہے۔ یعنی، اگر φ साध्य آؤٹ (Fn) Fn کی بیرونی آٹومورفزم ہے اور اگر آٹ (Fn) میں α ایک حقیقی آٹومورفزم ہے جو φ کی نمائندگی کرتا ہے تو Xn میں کسی بھی x کے لیے ہمارے پاس xφ = xα ہے۔ ایکس این پر آؤٹ (ایف این) کے دائیں عمل کو ایک معیاری تبدیلی کے طریقہ کار کے ذریعے بائیں عمل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، Xn سیٹ میں φω آؤٹ (Fn) اور x کے لیے φx = xφ−1۔ Xn پر آؤٹ (Fn) کے اس بائیں ایکشن کو بعض اوقات ادب میں بھی سمجھا جاتا ہے حالانکہ زیادہ تر ذرائع صحیح ایکشن کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ ماڈیولی اسپیس حصص کی جگہ Mn = Xn/آؤٹ (Fn) ماڈیولی اسپیس ہے جو ایک ڈگری اور دو ڈگری عمودی کے بغیر محدود منسلک گرافوں کی آئسومیٹری اقسام پر مشتمل ہوتی ہے، جس میں بنیادی گروپس Fn کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں (یعنی، پہلے بیٹی نمبر کے برابر n کے ساتھ) جو حجم ایک میٹرک ڈھانچے سے لیس ہوتے ہیں۔ ایم این پر حصص کی ٹوپولوجی وہی ہے جو میٹرک گراف کے درمیان گروموف-ہاؤسڈورف کے ذریعے دی گئی ہے جو ایم این کے پوائنٹس کی نمائندگی کرتی ہے۔ ماڈیولی اسپیس Mn کمپیکٹ نہیں ہے اور Mn میں "cusps" ہوموٹوپک طور پر غیر معمولی ذیلی گراف کے لیے کناروں کی صفر لمبائی کی طرف کم ہونے سے پیدا ہوتا ہے (جیسے۔ ایک میٹرک گراف کا ایک لازمی سرکٹ)۔ آؤٹر اسپیس کے بارے میں بنیادی خصوصیات اور حقائق آؤٹر اسپیس Xn معاہدہ پذیر ہے اور Xn پر آؤٹ (Fn) کا عمل مناسب طریقے سے متضاد ہے، جیسا کہ کلر اور ووگٹ مین نے اپنے 1986 کے اصل مقالے میں ثابت کیا تھا جہاں آؤٹر اسپیس کو متعارف کرایا گیا تھا۔ خلا Xn کا ٹپوولوجیکل طول و عرض 3n−4 ہے۔ وجہ یہ ہے کہ اگر 1 ڈگری اور 2 ڈگری کے بغیر ایک محدود جڑا ہوا گراف ہے جس میں Fn کے لیے بنیادی گروپ آئسومورفک ہے، تو اس کے زیادہ سے زیادہ 3n−3 کنارے ہوتے ہیں اور جب 3 مثلث ہوتا ہے تو اس کے بالکل 3n−3 کنارے ہوتے ہیں۔ لہذا Xn میں اوپری جہتی اوپن سمپلیکس کا طول و عرض 3n−4 ہے۔ آؤٹر اسپیس Xn میں ایک مخصوص اخترتی ہوتی ہے جو Xn کے Kn کو پیچھے ہٹاتی ہے، جسے آؤٹر اسپیس کی ریڑھ کی ہڈی کہا جاتا ہے۔ ریڑھ کی ہڈی Kn کا طول و عرض 2n−3 ہے، آؤٹ (Fn)-غیر متغیر ہے اور آؤٹ (Fn) کے عمل کے تحت کمپیکٹ کوشیئنٹ ہے۔ غیر متوقع بیرونی جگہ غیر متوقع بیرونی جگہ Fn پر تمام نشان زدہ میٹرک گراف ڈھانچوں کی مساوات کی کلاسوں پر مشتمل ہوتی ہے جہاں مارکنگ میں میٹرک گراف کا حجم کسی بھی مثبت حقیقی نمبر کی اجازت ہے۔ اس جگہ کو R-درختوں پر Fn کے تمام آزاد کم از کم مجرد آئسومیٹرک اعمال کے مجموعے کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے، جسے Fn-مساوی آئسومیٹری تک سمجھا جاتا ہے۔ غیر متوقع بیرونی جگہ وہی ڈھانچے وراثت میں حاصل کرتی ہے جس میں تین ٹوپولوجیز (گروموف، محور، کمزور)، اور ایک-ایکشن کا اتفاق شامل ہے۔ اس کے علاوہ، اسکیلر ضرب کی طرف سے ایک قدرتی عمل ہے۔ ٹوپوولوجیکل طور پر، ہومومورفک ہے۔ خاص طور پر، معاہدہ بھی قابل عمل ہے۔ پروجیکٹیوائزڈ آؤٹر اسپیس پروجیکٹیوائزڈ آؤٹر اسپیس اسکیلر ضرب کے ذریعے آن کی کارروائی کے تحت حصص کی جگہ ہے۔ یہ جگہ کوشیئنٹ ٹوپولوجی سے لیس ہے۔ کسی درخت کے لیے اس کی پروجیکٹو مساوات کی کلاس کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ آن کا عمل قدرتی طور پر آن کے عمل کے ذریعے ہوتا ہے۔ یعنی فار اینڈ پٹ۔ ایک کلیدی مشاہدہ یہ ہے کہ نقشہ ایک مساوی ہومیومورفزم ہے۔ اس وجہ سے خالی جگہیں اور اکثر شناخت کی جاتی ہیں۔ Lipschitz فاصلہ Lipschitz فاصلہ، جسے روڈولف Lipschitz کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، بیرونی خلا کے لیے ٹیچملر خلا میں تھرسٹن میٹرک سے مطابقت رکھتا ہے۔ Xn میں دو نکات کے لیے (دائیں) لپشٹز فاصلے کو زیادہ سے زیادہ پھیلے ہوئے بند راستے کے (قدرتی) لوگارتھم کے طور پر بیان کیا گیا ہے: اور یہ ایک غیر متناسب میٹرک ہے (جسے بعض اوقات کواسیمیٹرک بھی کہا جاتا ہے)، یعنی۔ یہ صرف سمیٹری میں ناکام ہوتا ہے۔ سمیٹرک لپشٹز میٹرک عام طور پر اشارہ کرتا ہے: بالادستی ہمیشہ حاصل کی جاتی ہے اور اس کا حساب ایک محدود سیٹ کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جسے نام نہاد امیدوار کہتے ہیں۔ ایف این میں کنجوگیسی کلاسوں کا محدود سیٹ کہاں ہے جو ایک سادہ لوپ، آٹھ کی شکل، یا مارکنگ کے ذریعے ایک باربل کے سرایت سے مطابقت رکھتا ہے (خاکہ دیکھیں)۔ اسٹریچنگ فیکٹر بھی مارکنگ پر لے جانے والے ہوموٹوپی مساوات کے کم سے کم لپشٹز مستقل کے برابر ہے، یعنی۔ مسلسل افعال کہاں ہیں جیسے کہ مارکنگ پر مارکنگ کے لیے آزادانہ طور پر ہوموٹوپک ہو۔ انڈیوسڈ ٹوپولوجی کمزور ٹوپولوجی کی طرح ہی ہے اور آئسومیٹری گروپ دونوں کے لیے ہے، سمیٹرک اور غیر متناسب لپشٹز فاصلہ۔ ایپلی کیشنز اور عامیاں لمبائی فنکشن ٹوپولوجی کی بندش (Fn-ایکویرینٹ آئسومیٹری کلاسز) پر مشتمل ہے جو R-درختوں پر Fn کے تمام بہت چھوٹے کم از کم آئسومیٹرک اعمال پر مشتمل ہے۔ یہاں بندش کو درختوں پر تمام کم از کم آئسومیٹرک "ناقابل تلافی" کارروائیوں کی جگہ میں لیا جاتا ہے، جسے مساوی آئسومیٹری سمجھا جاتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ گروموف ٹوپولوجی اور ناقابل تلافی اعمال کی جگہ پر محور ٹوپولوجی موافق ہیں، لہذا بندش کو دونوں معنوں میں سمجھا جا سکتا ہے۔ مثبت اسکیلرز کے ذریعہ ضرب کے حوالے سے کی پروجیکشنائزیشن وہ جگہ فراہم کرتی ہے جو لمبائی فنکشن اور کی کمپیکٹفیکیشن ہے، جو تھرسٹن کی ٹیچملر اسپیس کی کمپیکٹفیکیشن کے مترادف ہے۔ آؤٹر اسپیس کے اینالاگس اور جنرلائزیشنز مفت مصنوعات کے لیے، دائیں زاویہ والے آرٹن گروپوں کے لیے، گروپ ایکشن کے نام نہاد ڈیفارمیشن اسپیس کے لیے اور کچھ دوسرے سیاق و سباق میں تیار کیے گئے ہیں۔ آؤٹر اسپیس کا ایک بیس پوائنٹ ورژن، جسے آؤٹر اسپیس کہا جاتا ہے، بیس پوائنٹس کے ساتھ نشان زد میٹرک گراف کے لیے، 1998 میں ہیچر اور ووگٹ مین نے تعمیر کیا تھا۔ آؤٹر اسپیس آؤٹر اسپیس کے ساتھ مشترک بہت سی خصوصیات کا اشتراک کرتا ہے، لیکن صرف ایک عمل کے ساتھ آتا ہے۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری میپنگ کلاس گروپ ٹرین ٹریک میپ آؤٹ (ایف این) حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے ملڈین بیسٹوینا، دی ٹوپولوجی آف آؤٹ (ایف این) دیکھیں۔ پروسیڈنگز آف دی انٹرنیشنل کانگریس آف میتھمیٹیشنس، جلد۔ II (بیجنگ، 2002)، پی پی۔ 373-384، ہائر ایجوکیشن پریس، بیجنگ، 2002 ؛ کیرن ووگٹمین، بیرونی خلا کی جیومیٹری پر۔ بلیٹن آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی 52 (2015)، نمبر۔ 1، 27-46۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری جیومیٹرک ٹوپولوجی