Banach–Stone theorem
ریاضی میں، بناچ-اسٹون تھیوریم ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر مسلسل افعال کے نظریہ کا ایک کلاسیکی نتیجہ ہے، جس کا نام ریاضی دان اسٹیفن بناچ اور مارشل اسٹون کے نام پر رکھا گیا ہے۔ مختصر طور پر، بناچ-اسٹون تھیوریم کسی کو X پر مسلسل حقیقی یا پیچیدہ قدر والے افعال کی جگہ C (X) کے بناچ خلائی ڈھانچے سے ایک کمپیکٹ ہاؤسڈورف اسپیس X کو بازیافت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اگر کسی کو سی (ایکس) کے الجبرا ڈھانچے کو استعمال کرنے کی اجازت دی جائے تو یہ آسان ہے-ہم سی (ایکس) کے سپیکٹرم کے ساتھ ایکس کی شناخت کر سکتے ہیں، اسکیلر فیلڈ میں الجبرا ہومومورفزم کا مجموعہ، جو دوہری جگہ سی (ایکس) * سے وراثت میں ملنے والی کمزور *-ٹوپولوجی سے لیس ہے۔ بنچ-اسٹون تھیوریم C (X) * کے یونٹ بال کے انتہائی نکات سے X کو بازیافت کرکے ضرب کی ساخت کے حوالے سے گریز کرتا ہے۔ ایک کمپیکٹ ہاؤسڈورف اسپیس X کے لیے بیان، C (X) کو X پر مسلسل حقیقی یا پیچیدہ قدر والے افعال کی بناچ اسپیس کی نشاندہی کرنے دیں، جو بالادستی کے معیار سے لیس ہے۔ کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں X اور Y کو دیکھتے ہوئے، فرض کریں کہ T: C (X) → C (Y) ایک سرجیکٹو لکیری آئسومیٹری ہے۔ پھر ایک ہومومورفزم موجود ہے φ: Y → X اور ایک فنکشن g bulC (Y) اس طرح کے ساتھ کہ جہاں X اور Y کمپیکٹ میٹرک خالی جگہیں ہیں وہ بناچ کی وجہ سے ہے، جبکہ کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کی توسیع اسٹون کی وجہ سے ہے۔ در حقیقت، وہ دونوں ایک معمولی عمومییت ثابت کرتے ہیں-وہ یہ نہیں مانتے کہ T لکیری ہے، صرف یہ کہ یہ میٹرک خالی جگہوں کے معنی میں ایک آئسومیٹری ہے، اور یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ T افائن ہے، اور اسی طرح ایک لکیری آئسومیٹری بھی ہے، مزور اولم تھیوریم کا استعمال کرتے ہیں۔ عامیاں بنچ-اسٹون تھیوریم میں کمپیکٹ، ہاؤزڈورف ٹوپولوجیکل خالی جگہوں پر ویکٹر ویلیوڈ مسلسل افعال کے لیے کچھ عامیاں ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر E ایک بناچ کی جگہ ہے جس میں معمولی سنٹرلائزر ہے اور X اور Y کمپیکٹ ہیں، تو C (Y ؛ E) پر C (X ؛ E) کی ہر لکیری آئسومیٹری ایک مضبوط بناچ-اسٹون نقشہ ہے۔ اسی طرح کی ایک تکنیک کا استعمال X پر افعال کی کچھ دوسری جگہوں کے ڈوئلز کے انتہائی نکات سے خلا X کو بازیافت کرنے کے لیے بھی کیا گیا ہے۔ بناچ-اسٹون تھیوریم کا غیر متغیر ینالاگ لوک داستانوں کا نظریہ ہے کہ دو یونٹل سی *-الجیبرا آئسومورفک ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ مکمل طور پر آئسومیٹرک ہوں (یعنی، تمام میٹرکس کی سطحوں پر آئسومیٹرک)۔ محض آئسومیٹری کافی نہیں ہے، جیسا کہ سی *-الجبرا کے وجود سے ظاہر ہوتا ہے جو اس کے مخالف الجبرا کے لیے آئسومورفک نہیں ہے (جس میں معمولی طور پر ایک ہی بناچ اسپیس ڈھانچہ ہے)۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات تھیوری آف کنٹینیوئس فنکشنز آپریٹر تھیوری فنکشنل تجزیہ میں نظریات