Permutohedron
ریاضی میں، n ترتیب کا پرموٹوہیڈرون (جس کی ہجے بھی پرموٹوہیڈرون ہے) ایک (n−1) جہتی پولیٹوپ ہے جو n جہتی جگہ میں سرایت کرتا ہے۔ اس کے ورٹیکس کوآرڈینیٹس (لیبلز) پہلے n قدرتی نمبروں کی تغیرات ہیں۔ کنارے مختصر ترین ممکنہ راستوں (منتقلی کے سیٹوں) کی نشاندہی کرتے ہیں جو دو عمودی حصوں (ترتیبات) کو جوڑتے ہیں۔ ایک کنارے سے جڑے دو تغیرات صرف دو جگہوں پر مختلف ہوتے ہیں (ایک منتقلی)، اور ان جگہوں پر موجود اعداد پڑوسی ہوتے ہیں (قدر میں 1 سے فرق)۔ دائیں طرف کی تصویر آرڈر 4 کے پرموٹو ہیڈرون کو دکھاتی ہے، جو کٹا ہوا آکٹا ہیڈرون ہے۔ اس کے عمودی حصے (1، 2، 3، 4) کے 24 تغیرات ہیں۔ متوازی کناروں کا رنگ ایک جیسا ہوتا ہے۔ 6 کنارے کے رنگ 4 عناصر کی 6 ممکنہ منتقلی سے مطابقت رکھتے ہیں، یعنی۔ وہ اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ کون سی دو جگہوں پر جڑے ہوئے تغیرات مختلف ہیں۔ (مثلا۔ سرخ کنارے ان تغیرات کو جوڑتے ہیں جو آخری دو جگہوں پر مختلف ہوتے ہیں۔) تاریخ کے مطابق، پرموٹوہیڈرا کا سب سے پہلے مطالعہ کیا گیا تھا۔ نام Permutoèdre کی طرف سے تیار کیا گیا تھا. وہ اس لفظ کو وحشیانہ، لیکن یاد رکھنے میں آسان قرار دیتے ہیں، اور اسے اپنے قارئین کی تنقید کے سامنے پیش کرتے ہیں۔ بعض اوقات متبادل ہجے پرمٹاہیڈرون بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ پرموٹوہیڈرا کو بعض اوقات پرموٹیشن پولی ٹاپس کہا جاتا ہے، لیکن یہ اصطلاحات متعلقہ برخوف پولیٹوپ کے لیے بھی استعمال ہوتی ہیں، جس کی تعریف پرموٹیشن میٹرکس کے کنویکس ہل کے طور پر کی جاتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، اس اصطلاح کو کسی بھی پولیٹوپ کے لیے استعمال کرتا ہے جس کے عمودی حصوں میں کچھ سیٹ کی ترتیب کے ساتھ بائیجیکشن ہوتا ہے۔ عمودی، کناروں اور پہلوؤں پرموٹوہیڈرون آف آرڈر میں عمودی ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک دوسرے سے متصل ہوتا ہے۔ کناروں کی تعداد ہے، اور ان کی لمبائی ہے۔ دو جڑے ہوئے عمودی دو نقاط کو تبدیل کرنے سے مختلف ہوتے ہیں، جن کی اقدار 1 سے مختلف ہوتی ہیں۔ تبدیل شدہ جگہوں کا جوڑا کنارے کی سمت سے مطابقت رکھتا ہے۔ (مثال کی تصویر میں عمودی اور نیلے کنارے سے جڑے ہوئے ہیں اور پہلی دو جگہوں پر 2 اور 3 کو تبدیل کر کے مختلف ہوتے ہیں۔ اقدار 2 اور 3 1 سے مختلف ہیں۔ تمام نیلے کنارے پہلے دو مقامات پر نقاط کے تبادلے سے مطابقت رکھتے ہیں۔) پہلوؤں کی تعداد ہے، کیونکہ وہ غیر خالی مناسب ذیلی سیٹوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ذیلی سیٹ سے مطابقت رکھنے والے پہلو کے چوٹیوں میں مشترک ہے، کہ ان کی جگہوں پر نقاط باقی حصوں سے چھوٹے ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، طول و عرض 0 (عمودی) سے (خود پرموٹوہیڈرون) کے چہرے سیٹ کی سخت کمزور ترتیب سے مطابقت رکھتے ہیں۔ لہذا تمام چہروں کی تعداد-th آرڈرڈ بیل نمبر ہے۔ جہت کا چہرہ مساوات کی کلاسوں کے ساتھ ترتیب سے مطابقت رکھتا ہے۔ |} ترتیب کے پرموٹوہیڈرون میں طول و عرض کے چہروں کی تعداد مثلث کے ذریعہ دی گئی ہے: دوسری قسم کے سٹرلنگ نمبروں کی نمائندگی کے ساتھ یہ دائیں طرف اس کی صف کے مجموعے کے ساتھ دکھایا گیا ہے، ترتیب شدہ گھنٹی کے نمبر۔ دیگر خصوصیات پرموٹوہیڈرون ورٹیکس-ٹرانزیکٹو ہے: سمیٹرک گروپ Sn نقاط کی ترتیب کے ذریعے پرموٹوہیڈرون پر عمل کرتا ہے۔ پرموٹوہیڈرون ایک زونوٹوپ ہے ؛ پرموٹوہیڈرون کی ایک ترجمہ شدہ نقل n (n−1)/2 لائن سیگمنٹس کے منکووسکی مجموعہ کے طور پر تیار کی جا سکتی ہے جو معیاری بیس ویکٹرز کے جوڑوں کو جوڑتی ہے۔ پرموٹوہیڈرون کے عمودی اور کنارے سمیٹرک گروپ کے کیلی گراف میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں، یعنی وہ جو مسلسل عناصر کو تبدیل کرنے والے ٹرانسپوزیشن سے پیدا ہوتا ہے۔ کیلی گراف کے عمودی حصے پرموٹوہیڈرون میں ان کے الٹا تغیرات ہیں۔ دائیں طرف کی تصویر S4 کا کیلی گراف دکھاتی ہے۔ اس کے کنارے کے رنگ 3 پیدا کرنے والی منتقلی کی نمائندگی کرتے ہیں:،، یہ کیلی گراف ہیملٹنین ہے ؛ ایک ہیملٹنین سائیکل اسٹین ہاؤس-جانسن-ٹراٹر الگورتھم کے ذریعہ پایا جا سکتا ہے۔ خلا کا ٹیسلیشن ترتیب n کا پرموٹوہیڈرون مکمل طور پر () جہتی ہائپرپلین میں واقع ہے جو ان تمام نکات پر مشتمل ہے جن کے نقاط کا مجموعہ نمبر 1 + 2 + + n = n (n + 1)/2 ہے۔ مزید برآں، اس ہائپرپلین کو پرموٹوہیڈرون کی لامحدود بہت سی ترجمہ شدہ کاپیاں ٹائل کر سکتی ہیں۔ ان میں سے ہر ایک بنیادی پرموٹوہیڈرون سے ایک مخصوص (n−1) جہتی جالی کے عنصر سے مختلف ہوتا ہے، جو انٹیجرز کے n-ٹپل پر مشتمل ہوتا ہے جن کا مجموعہ صفر ہوتا ہے اور جن کے بقیہ (ماڈیولو n) سب برابر ہوتے ہیں: x1 + x2 +. + xn = 0 x1 ष्ण x2 ष्ण. ष्ण xn (موڈ n)۔ یہ جالی ہے، جڑ کی جالی کی دوہری جالی۔ دوسرے لفظوں میں، پرموٹوہیڈرون کے لیے ورونوئی خلیہ ہے۔ اس کے مطابق، اس جالی کو بعض اوقات پرموٹوہیڈرل جالی کہا جاتا ہے۔ اس طرح، اوپر دکھایا گیا آرڈر 4 کا پرموٹوہیڈرون ترجمہ کے ذریعے 3 جہتی جگہ کو ٹائل کرتا ہے۔ یہاں 3 جہتی جگہ 4 جہتی جگہ R4 کی افائن سب اسپیس ہے جس میں نقاط x، y، z، w ہیں جو حقیقی اعداد کے 4 ٹپل پر مشتمل ہیں جن کا مجموعہ 10، x + y + z + w = 10 ہے۔ کوئی بھی آسانی سے چیک کرتا ہے کہ مندرجہ ذیل چار ویکٹروں میں سے ہر ایک کے لیے، (1,1,1، −3)، (1,1, − 3,1)، (1, − 3,1,1) اور (−3,1,1,1)، نقاط کا مجموعہ صفر ہے اور تمام نقاط 1 (موڈ 4) کے موافق ہیں۔ ان میں سے کوئی بھی تین ویکٹر ترجمہ جالی پیدا کرتے ہیں۔ آرڈر-2، آرڈر-3، اور آرڈر-4 پرموٹوہیڈرا سے بالترتیب اس طرح سے بننے والی ٹیسلیشنز ایپیروگون، باقاعدہ ہیکساگونل ٹائلنگ، اور بٹرونکیٹڈ کیوبک ہنی کامب ہیں۔ دوہری ٹیسلیشنز میں تمام سمپلیکس پہلو ہوتے ہیں، حالانکہ وہ آرڈر-3 سے باہر باقاعدہ پولی ٹاپس نہیں ہوتے ہیں۔ مثالیں بھی دیکھیں۔ اسوسیاہیڈرون سائکلوہیڈرون پرموٹواسوسیاہیڈرون نوٹس حوالہ جات۔ ۔ ۔ ۔ گوگل بک، 370-381 نیز آن لائن کے این اے ڈبلیو ڈیجیٹل لائبریری پر http://www.dwc.knaw.nl/toegangen/digital-library-knaw/?pagetype=publDetail&pId=PU00011495 پر۔ ۔ مزید پڑھنا۔ بیرونی روابط پرموٹیشن پولی ٹاپس