Waldhausen category
ریاضی میں، والڈ ہاؤسن زمرہ ایک زمرہ C ہے جو کچھ اضافی اعداد و شمار سے لیس ہے، جس سے نام نہاد S-تعمیر کا استعمال کرتے ہوئے C کے K-تھیوری سپیکٹرم کی تعمیر ممکن ہوتی ہے۔ اس کا نام فریڈلم والڈ ہاؤسن کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے الجبرائی K-تھیوری کے طریقوں کو الجبرائی اصل کے زمرے تک بڑھانے کے لیے یہ تصور (کوفیبریشنز اور کمزور مساوات کے ساتھ زمرہ کی اصطلاح کے تحت) متعارف کرایا، مثال کے طور پر ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کا زمرہ۔ تعریف سی کو ایک زمرہ، کو (سی) اور ہم (سی) سی میں مورفزم کی دو کلاسیں ہیں، جنہیں بالترتیب کوفیبریشن اور کمزور مساوات کہا جاتا ہے۔ ٹرپل (سی، کو (سی)، وی (سی)) کو والڈ ہاؤسن زمرہ کہا جاتا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل محوریوں کو مطمئن کرتا ہے، جو کہ کوفیبریشنز کے تصورات اور ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے کمزور ہوموٹوپی مساوات کے لیے اسی طرح کی خصوصیات سے متاثر ہوتا ہے: سی میں ایک صفر آبجیکٹ ہے، جسے 0 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ آئسومورفزمز کو کو (سی) اور ہم (سی) دونوں میں شامل کیا جاتا ہے۔ کو (سی) اور ہم (سی) ساخت کے تحت بند ہیں۔ ہر آبجیکٹ کے لیے منفرد نقشہ 0 → اے ایک کوفیبریشن ہے، یعنی۔ کو (سی) کا ایک عنصر ہے ؛ کو (سی) اور ہم (سی) ایک خاص معنوں میں پش آؤٹ کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر کوفیبریشن ہے اور کوئی نقشہ ہے، تو وہاں ایک پش آؤٹ موجود ہونا چاہیے، اور قدرتی نقشہ کوفیبریشن ہونا چاہیے: دیگر تصورات کے ساتھ تعلقات الجبرائی K-تھیوری اور ہوموٹوپی تھیوری میں مورفزم کی کچھ مخصوص کلاسوں سے لیس زمروں کے کئی تصورات ہیں۔ اگر C میں ایک عین مطابق زمرہ کی ساخت ہے، تو ہم (C) کو آئسومورفزم، کو (C) کو قابل قبول مونومورفزم قرار دے کر، C پر والڈ ہاؤسن زمرہ کی ساخت حاصل کی جا سکتی ہے۔ دونوں قسم کے ڈھانچے کو C کے K-نظریہ کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس میں ایک عین ساخت کے لیے Q-تعمیر اور والڈ ہاؤسن ساخت کے لیے S-تعمیر کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک اہم حقیقت یہ ہے کہ اس کے نتیجے میں K-تھیوری خالی جگہیں ہوموٹوپی کے مساوی ہیں۔ اگر C ایک ماڈل زمرہ ہے جس میں صفر آبجیکٹ ہے، تو C میں کوفائبرنٹ آبجیکٹ کی مکمل ذیلی زمرہ کو والڈ ہاؤسن ڈھانچہ دیا جا سکتا ہے۔ ایس-کنسٹرکشن والڈ ہاؤسن ایس-کنسٹرکشن والڈ ہاؤسن کیٹیگری سی سے کان کمپلیکس کی ایک ترتیب تیار کرتی ہے، جو ایک سپیکٹرم بناتی ہے۔ آئیے کے ہندسی احساس کی لوپ کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ پھر گروپ C کا n-th K-گروپ ہے۔ اس طرح، یہ اعلی K-گروپوں کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ اعلی K-نظریہ کے لیے ایک اور نقطہ نظر کویلن کی Q-تعمیر ہے۔ تعمیر فریڈلم والڈ ہاؤسن کی وجہ سے ہے۔ بائیو والڈ ہاؤسن کیٹیگریز اے کیٹیگری سی بائی فائیبریشنز سے لیس ہے اگر اس میں کوفائیبریشنز ہیں اور اس کے مخالف کیٹیگری سی او پی میں بھی ایسا ہی ہے۔ اس صورت میں، ہم سی او پی کے ریشوں کو کوٹ (سی) سے ظاہر کرتے ہیں۔ اس صورت میں، سی ایک بائیو والڈ ہاؤسن زمرہ ہے اگر سی میں بائی فائیبریشنز اور کمزور مساوات ہیں جیسے کہ دونوں (سی، کو (سی)، وی) اور (سی او پی، کوٹ (سی)، وی او پی) والڈ ہاؤسن زمرے ہیں۔ والڈ ہاؤسن اور بیو والڈ ہاؤسن کے زمرے الجبرائی K-تھیوری سے جڑے ہوئے ہیں۔ وہاں، بہت سے دلچسپ زمرے پیچیدہ بائیو والڈ ہاؤسن زمرے ہیں۔ مثال کے طور پر: ایک عین زمرے پر باؤنڈڈ چین کمپلیکس کا زمرہ۔ فنکٹرز کا زمرہ جب ایسا ہے۔ اور ایک خاکہ دیا گیا ہے، تو یہ ایک اچھا پیچیدہ بائیو والڈ ہاؤسن زمرہ ہے جب ہے۔ حوالہ جات سی ویبل، دی کے بک، الجبرائی کے تھیوری کا تعارف-http://www.math.rutgers.edu ~ ویبل/کے بک. ایچ ٹی ایم ایل جی گارکوشا، سسٹم آف ڈائیگرام کیٹیگریز اور کے تھیوری-https://arxiv.org/abs/math/0401062 یہ بھی دیکھیں مکمل سیگل اسپیس بیرونی لنکس زمرہ نظریہ الجبرائی کے تھیوری