Pseudoelementary class
منطق میں، ایک سڈو ایلیمنٹری کلاس ڈھانچوں کی ایک کلاس ہے جو ایک ایلیمنٹری کلاس (جس کی تعریف فرسٹ آرڈر منطق میں کی جا سکتی ہے) سے حاصل ہوتی ہے جس میں اس کی کچھ اقسام اور تعلقات کو خارج کر دیا جاتا ہے۔ یہ ایک بھولے ہوئے فنکٹر کے زمرہ نظریہ (کاڈومین) میں تصور کا ریاضیاتی منطق کا ہم منصب ہے، اور طبیعیات میں (قیاس شدہ) پوشیدہ متغیر نظریات جو کوانٹم میکانکس کی وضاحت کے لیے ہیں۔ ابتدائی کلاسیں (خالی طور پر) سیڈو ایلیمنٹری ہوتی ہیں لیکن اس کے برعکس ہمیشہ سچ نہیں ہوتا ہے ؛ اس کے باوجود سیڈو ایلیمنٹری کلاسیں ابتدائی کلاسوں کی کچھ خصوصیات کا اشتراک کرتی ہیں جیسے کہ الٹرا پروڈکٹس کے تحت بند ہونا۔ تعریف ایک سڈو ایلیمنٹری کلاس ایک ایلیمنٹری کلاس کی تخفیف ہے۔ یعنی، یہ ایک (متعدد ترتیب شدہ) ابتدائی طبقے کی کچھ اقسام اور تعلقات کو چھوڑ کر حاصل کیا جاتا ہے۔ مثال یونین اور انٹرسیکشن کے تحت سیٹوں کی مساوات کے ساتھ نظریہ، جس کے ڈھانچے (W، ≤، ≤) کی شکل کے ہوتے ہیں، کو سادہ طور پر اس شکل کے ڈھانچوں کی دو ترتیب شدہ ابتدائی کلاس سے تشکیل پانے والی چھدم عنصر کلاس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے (A، W، ≤، ≤، ≤) جہاں ≤ A × W اور ≤ اور ≤ W پر بائنری آپریشنز (کوا ٹرنیری ریلیشنز) ہیں۔ مؤخر الذکر کلاس کے نظریہ کو ≤ X، Y ≤ W کے ذریعے محوری شکل دی گئی ہے۔ [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X، Y ω W. ω a ω A۔ [a ω X ω Y ω X ω Y] ω X، Y ω W۔ [(βa ωA۔ مطلوبہ تشریح میں A ایٹموں کا ایک مجموعہ ہے a، b، W ایٹموں X، Y کے سیٹوں کا ایک مجموعہ ہے۔ اور bul ایٹموں اور سیٹوں کے درمیان رکنیت کا تعلق ہے۔ ان محوریوں کے نتائج میں تقسیم شدہ جالی کے تمام قوانین شامل ہیں۔ چونکہ مؤخر الذکر قوانین ایٹموں کا کوئی ذکر نہیں کرتے ہیں اس لیے وہ ایٹموں کی قسم A اور رکنیت کے تعلق کو چھوڑ کر مذکورہ بالا نظریہ کے نمونوں سے حاصل کردہ ڈھانچوں کے لیے معنی خیز رہتے ہیں۔ تمام تقسیم شدہ جالیں یونین اور انٹرسیکشن کے تحت سیٹوں کے سیٹ کے طور پر قابل نمائندگی ہیں، جہاں سے یہ چھدم عنصر کلاس حقیقت میں ایک ابتدائی کلاس ہے، یعنی تقسیم شدہ جالی کی اقسام۔ اس مثال میں دونوں کلاسیں (بالترتیب چھوٹ سے پہلے اور بعد میں) حتمی طور پر محوری طور پر قابل ابتدائی کلاسیں ہیں۔ لیکن جب کہ مؤخر الذکر کلاس کو محوری بنانے کا معیاری نقطہ نظر تقسیم شدہ جالی کو محوری بنانے کے لیے نو مساوات کا استعمال کرتا ہے، سابقہ کلاس کو صرف اوپر کے تین محوریوں کی ضرورت ہوتی ہے، جس سے مؤخر الذکر کلاس کو براہ راست معمول کے مقابلے میں سابقہ کے تخفیف کے طور پر بیان کرنا تیز تر ہوتا ہے۔ اتحاد کے تحت بائنری تعلقات کی مساوات کے ساتھ نظریہ R ≤ S، انٹرسیکشن R ≤ S، تکمیل R −، ریلیشنل کمپوزیشن R ؛ S، اور ریلیشنل کنورس R، جن کے ڈھانچے (W، ≤، ≤،) کی شکل کے ہوتے ہیں، کو شکل کے ڈھانچوں کی تین ترتیب شدہ ابتدائی کلاس (A، P، W، ≤، ≤، −، ؛، λ، ρ، π، ω) سے تشکیل پانے والی چھدم عنصر کلاس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ تین اقسام کی مطلوبہ تشریح ایٹم، ایٹموں کے جوڑے، اور ایٹموں کے جوڑوں کے سیٹ ہیں، π: A × ؛ A → P اور λ، ρ: P → A واضح جوڑی بنانے والے اور تباہ کن ہیں، اور Π × ؛ W جوڑوں اور تعلقات کے درمیان رکنیت کا تعلق ہے (جوڑوں کے سیٹوں کے طور پر)۔ مثال 1 کے ساتھ مشابہت سے، W پر بیان کردہ خالصتا رشتہ دار رابطوں کو تعارفی متن کے روایتی انداز میں ایٹموں اور ایٹموں کے جوڑوں کے لحاظ سے بے وقوفانہ طور پر محوری بنایا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد بائنری تعلقات کا خالص نظریہ اس ابتدائی طبقے کے ماڈلز کے تخفیف کے چھدم عنصر طبقے کے نظریہ کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے جو ایٹم اور جوڑی کی اقسام اور خارج شدہ اقسام پر مشتمل تمام تعلقات کو چھوڑ کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اس مثال میں دونوں کلاسیں ابتدائی ہیں، لیکن صرف سابقہ کلاس حتمی طور پر محوری ہے، حالانکہ مؤخر الذکر کلاس (تخفیف) کو ترسکی نے 1955 میں اس کے باوجود ایک قسم کے طور پر دکھایا تھا، یعنی آر آر اے، قابل نمائندگی رشتہ الجیبرا۔ ایک قدیم رنگ سادہ رنگ کے تصور کی عمومی شکل ہے۔ اس کی تعریف ابتدائی (فرسٹ آرڈر) زبان میں رنگ کے عناصر اور آئیڈیلز کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے، جو رنگوں اور آئیڈیلز پر مشتمل دو ترتیب شدہ ڈھانچوں کی ایک ابتدائی کلاس کو جنم دیتی ہے۔ ابتدائی رنگوں کی کلاس اس ابتدائی کلاس سے آئیڈیلز سے وابستہ اقسام اور زبان کو چھوڑ کر حاصل کی جاتی ہے، اور اس لیے یہ ایک فرضی عنصر والی کلاس ہے۔ اس مثال میں یہ ایک کھلا سوال ہے کہ آیا یہ سڈو ایلیمنٹری کلاس ایلیمنٹری ہے۔ تیزی سے بند فیلڈز کی کلاس ایک چھدم عنصر کلاس ہے جو ابتدائی نہیں ہے۔ ایپلی کیشنز منطقی طور پر ایک عالمگیر ہارن تھیوری کے ماڈلز کی کلاس کے طور پر بیان کردہ ایک قوسواریٹی کو مساوی طور پر الجبرائی طور پر ڈھانچوں کی ایک کلاس کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو آئسومورفزم، سبالجبراس، اور کم شدہ مصنوعات کے تحت بند ہے۔ چونکہ کم شدہ پروڈکٹ کا تصور براہ راست پروڈکٹ کے مقابلے میں زیادہ پیچیدہ ہے، اس لیے بعض اوقات فرضی عناصر کی کلاسوں کے لحاظ سے منطقی اور الجبرائی خصوصیات کو یکجا کرنا مفید ہوتا ہے۔ ایسی ہی ایک مخلوط تعریف ایک قوسواریٹی کو ایک سڈو ایلیمنٹری کلاس کے طور پر ظاہر کرتی ہے جو آئسومورفزم، سبلجبراس، اور براہ راست مصنوعات کے تحت بند ہوتی ہے (سڈو ایلیمنٹری پراپرٹی "کم" کو "براہ راست" میں آسان بنانے کی اجازت دیتی ہے)۔ اس خصوصیت کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ کوئی بھی (غیر تعمیری طور پر) کسی طبقے کی عالمگیر ہارن محوریت کے وجود کو پہلے معاون اقسام اور تعلقات کے ساتھ ڈھانچے کی کچھ توسیع کو محوری بنا کر ثابت کر سکتا ہے اور پھر یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ معاون تعمیرات کو چھوڑ کر حاصل ہونے والی چھدم عنصر کلاس ذیلی الجبروں اور براہ راست مصنوعات کے تحت بند ہے۔ یہ تکنیک مثال 2 کے لیے کام کرتی ہے کیونکہ ذیلی الجبراس اور بائنری تعلقات کے الجبراس کے براہ راست پروڈکٹ خود بائنری تعلقات کے الجبراس ہیں، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ قابل نمائندگی تعلق الجبراس کا کلاس آر آر اے ایک قواسیواریٹی (اور ایک فورٹیوری ایک ایلیمنٹری کلاس) ہے۔ یہ مختصر ثبوت تجریدی بکواس کا ایک موثر اطلاق ہے ؛ ترسکی کا اتنا ہی مضبوط نتیجہ کہ حقیقت میں آر آر اے ایک قسم ہے جس کے لیے زیادہ ایماندارانہ محنت کی ضرورت ہوتی ہے۔ حوالہ جات پال سی ایکلوف (1977)، الٹرا پروڈکٹس فار الجبریسٹس، ان ہینڈ بک آف میتھمیٹیکل لاجک (ایڈ۔ جون بار وائز)، نارتھ ہالینڈ۔ ماڈل تھیوری یونیورسل الجبرا