Differentiation of trigonometric functions
مثلثی افعال کی تفریق مثلثی فنکشن کے مشتق کو تلاش کرنے کا ریاضیاتی عمل ہے، یا متغیر کے حوالے سے اس کی تبدیلی کی شرح۔ مثال کے طور پر، سائن فنکشن کا مشتق sin′ (a) = cos (a) لکھا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کسی خاص زاویے x = a پر sin (x) کی تبدیلی کی شرح اس زاویے کی کوسین سے دی جاتی ہے۔ سرکلر ٹرگونومیٹرک افعال کے تمام مشتقات کو sin (x) اور cos (x) سے ٹین (x) = sin (x)/cos (x) جیسے افعال پر لاگو ہونے والے حصص کے اصول کے ذریعے پایا جا سکتا ہے۔ ان مشتقات کو جان کر، الٹا مثلثی افعال کے مشتقات مضمر تفریق کا استعمال کرتے ہوئے پائے جاتے ہیں۔ مثلثی افعال کے مشتقات کے ثبوت sin (θ)/θ کی حد جیسا کہ θ 0 کی طرف جاتا ہے دائیں طرف کا خاکہ مرکز O اور رداس r = 1 کے ساتھ ایک دائرہ دکھاتا ہے۔ دو ریڈیائی OA اور OB کو θ ریڈیئنز کا ایک آرک بنانے دیں۔ چونکہ ہم حد پر غور کر رہے ہیں کیونکہ θ صفر کی طرف جاتا ہے، ہم فرض کر سکتے ہیں کہ θ ایک چھوٹا مثبت نمبر ہے، فرض کریں کہ پہلے کواڈرینٹ میں 0 <θ <1⁄2π ہے۔ خاکہ میں، R1 کو مثلث OAB، R2 کو سرکلر سیکٹر OAB، اور R3 کو مثلث OAC ہونے دیں۔ مثلث او اے بی کا رقبہ ہے: سرکلر سیکٹر کا رقبہ او اے بی ہے، جبکہ مثلث او اے سی کا رقبہ اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ چونکہ ہر خطہ اگلے میں موجود ہے، اس کے پاس ہے: مزید برآں، چونکہ پہلے چوتھائی میں، ہم 1⁄2 سے تقسیم کر سکتے ہیں، دیتے ہیں: آخری مرحلے میں ہم نے عدم مساوات کو الٹتے ہوئے تین مثبت اصطلاحات کا باہمی استعمال کیا۔ ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ 0 <θ <1⁄2π کے لیے مقدار ہمیشہ 1 سے کم اور ہمیشہ cos (θ) سے زیادہ ہوتی ہے۔ اس طرح، جیسے جیسے θ 0 کے قریب ہوتا جاتا ہے، اونچائی 1 پر چھت اور اونچائی پر فرش کے درمیان "نچوڑا" جاتا ہے، جو 1 کی طرف بڑھتا ہے۔ اس لیے sin (θ)/θ کا رجحان 1 ہونا چاہیے کیونکہ θ مثبت طرف سے 0 کی طرف جاتا ہے: اس صورت میں جہاں θ ایک چھوٹا منفی نمبر ہے-1⁄2π <θ <0، ہم اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ sine ایک عجیب فعل ہے: (cos (θ)-1)/θ کی حد جیسا کہ θ کا رجحان 0 ہوتا ہے آخری حصہ ہمیں اس نئی حد کا نسبتا آسانی سے حساب لگانے کے قابل بناتا ہے۔ یہ ایک سادہ چال استعمال کر کے کیا جاتا ہے۔ اس حساب میں، θ کی علامت غیر اہم ہے۔ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ کسی پروڈکٹ کی حد حدود کا پروڈکٹ ہے، اور پچھلے حصے سے حد کا نتیجہ، ہم یہ پاتے ہیں کہ: ٹین (θ)/θ کی حد 0 کی طرف مائل ہوتی ہے۔ سائن فنکشن کی حد کا استعمال کرتے ہوئے، یہ حقیقت کہ ٹینجینٹ فنکشن عجیب ہے، اور یہ حقیقت کہ کسی پروڈکٹ کی حد حدود کا پروڈکٹ ہے، ہم پاتے ہیں: سائن فنکشن سے ماخوذ ہم حد کی تعریف سے سائن فنکشن کے مشتق کا حساب لگاتے ہیں: زاویہ کے اضافے کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس: سائن اور کوسین افعال کے لیے حدود کا استعمال کرتے ہوئے: کوسین فنکشن سے ماخوذ ہم پھر سے حد کی تعریف سے کوسین فنکشن کے مشتق کا حساب لگاتے ہیں: زاویہ کا استعمال کرتے ہوئے۔ ان تین حقائق کا استعمال کرتے ہوئے، ہم درج ذیل لکھ سکتے ہیں، ہم چین رول کا استعمال کرتے ہوئے اس میں فرق کر سکتے ہیں۔ لیٹنگ، ہمارے پاس ہے: اس لیے ہم نے یہ ثابت کر دیا ہے۔ مشتق کی تعریف سے ٹینجینٹ فنکشن ٹین θ کے مشتق کا حساب لگانے کے لیے، ہم پہلے اصولوں کا استعمال کرتے ہیں۔ تعریف کے مطابق: معروف زاویے کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس: اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ کسی پروڈکٹ کی حد حدود کا پروڈکٹ ہے: ٹینجینٹ فنکشن کی حد کا استعمال کرتے ہوئے، اور یہ حقیقت کہ ٹین δ 0 کی طرف جاتا ہے جیسا کہ δ 0 کی طرف جاتا ہے: ہم فوری طور پر دیکھتے ہیں کہ: حصص کے اصول سے کوئی بھی حصص کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے ٹینجینٹ فنکشن کے مشتق کا حساب بھی لگا سکتا ہے۔ عدد کو پایتھاگورین شناخت کے ذریعہ 1 تک آسان بنایا جا سکتا ہے، جو ہمیں دیتا ہے، لہذا، الٹا مثلثی افعال کے مشتقات کے ثبوت مندرجہ ذیل مشتقات کو الٹا مثلثی فنکشن کے برابر متغیر y ترتیب دے کر پایا جاتا ہے جس سے ہم مشتق لینا چاہتے ہیں۔ مضمر تفریق کا استعمال کرتے ہوئے اور پھر dy/dx کے لیے حل کرتے ہوئے، الٹا فعل کا مشتق y کے لحاظ سے پایا جاتا ہے۔ dy/dx کو x کے لحاظ سے دوبارہ وجود میں تبدیل کرنے کے لیے، ہم اکائی دائرے پر ایک حوالہ مثلث کھینچ سکتے ہیں، جس میں θ کو y ہونے دیں۔ پائیتھاگورین تھیوریم اور باقاعدہ ٹرگونومیٹرک افعال کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، ہم آخر میں x کے لحاظ سے dy/dx کا اظہار کر سکتے ہیں۔ الٹا سائن فنکشن کو ہم کہاں دیتے ہیں۔ پھر دونوں اطراف کے حوالے سے مشتق کو لیتے ہوئے اور dy/dx کے لیے حل کرتے ہوئے: اوپر سے تبدیل کرنا، اوپر سے تبدیل کرنا، الٹا کوسین فنکشن کو الگ کرنا۔ الٹا ٹینجینٹ فنکشن کو تفریق کرتے ہوئے ہم کہاں دیتے ہیں پھر مشتق کو دونوں اطراف کے حوالے سے لیتے ہوئے اور dy/dx کے لیے حل کرتے ہوئے: بائیں طرف: پایتھاگورین شناخت کا استعمال کرتے ہوئے دائیں طرف: لہذا، اوپر سے تبدیل کرتے ہوئے، ہم الٹا کوٹینجینٹ فنکشن کو تفریق کرتے ہوئے حاصل کرتے ہیں۔ پھر مشتق کو دونوں طرف سے لیتے ہوئے اور dy/dx کے لیے حل کرتے ہوئے: بائیں طرف: پایتھاگورین شناخت کا استعمال کرتے ہوئے دائیں طرف: لہذا، متبادل طور پر، جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے مشتق کے طور پر اخذ کیا جاتا ہے، پھر شناخت کا استعمال کرتے ہوئے فوری طور پر یہ ہوتا ہے کہ الٹا سیکینٹ فنکشن کو الگ کرنا مضمر تفریق کا استعمال کرتے ہوئے پھر (اظہار میں مطلق قیمت ضروری ہے کیونکہ y کے وقفے میں سیکینٹ اور ٹینجینٹ کا پروڈکٹ ہمیشہ غیر منفی ہوتا ہے، جبکہ بنیادی بنیادی مربع جڑ کی تعریف کے مطابق ریڈیکل ہمیشہ غیر منفی ہوتا ہے، لہذا باقی عنصر بھی غیر منفی ہونا چاہیے، جو x کی مطلق قیمت کا استعمال کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔) چین رول کا استعمال کرتے ہوئے متبادل طور پر، آرکسیکینٹ کا مشتق چین رول کا استعمال کرتے ہوئے آرکوسین کے مشتق سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ کہاں اور پھر، سلسلہ کے اصول کو اس پر لاگو کریں: الٹا کاسیکینٹ فنکشن کو الگ کرنا مضمر تفریق کا استعمال کرتے ہوئے پھر (اظہار میں مطلق قدر ضروری ہے کیونکہ y کے وقفے میں کاسیکینٹ اور کوٹینجینٹ کا پروڈکٹ ہمیشہ غیر منفی ہوتا ہے، جبکہ بنیادی بنیادی مربع جڑ کی تعریف کے مطابق ہمیشہ غیر منفی ہوتا ہے، لہذا بقیہ عنصر بھی غیر منفی ہونا چاہیے، جو x کی مطلق قدر کا استعمال کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔) چین رول کا استعمال کرتے ہوئے متبادل طور پر، آرکوسیکینٹ کا مشتق چین رول کا استعمال کرتے ہوئے آرکسین کے مشتق سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ کہاں اور پھر، سلسلہ کے اصول کو اس پر لاگو کریں: یہ بھی دیکھیں حوالہ جات ببلیوگرافی ہینڈ بک آف میتھمیٹیکل فنکشنز، ابرامووٹز اور اسٹیگن کے ذریعہ ترمیم شدہ، نیشنل بیورو آف اسٹینڈرڈز، اپلائیڈ میتھمیٹکس سیریز، 55 (1964) ثبوت پر مشتمل مضامین تفریق کیلکولس تفریق مساوات ریاضیاتی شناخت