Iitaka dimension
الجبرائی جیومیٹری میں، الجبرائی قسم X پر ایک لائن بنڈل L کا آئیٹاکا طول و عرض عقلی نقشے کی شبیہہ سے پروجیکٹو اسپیس کا طول و عرض ہے جس کا تعین L کرتا ہے۔ یہ L کے سیکشن رنگ کے طول و عرض سے 1 کم ہے۔ L کا آئیٹاکا طول و عرض ہمیشہ X کے طول و عرض سے کم یا برابر ہوتا ہے۔ اگر L مؤثر نہیں ہے، تو اس کے آئتاکا طول و عرض کو عام طور پر منفی قرار دیا جاتا ہے یا صرف منفی کہا جاتا ہے (کچھ ابتدائی حوالہ جات اسے −1 قرار دیتے ہیں)۔ L کے آئتاکا طول و عرض کو بعض اوقات L-طول و عرض کہا جاتا ہے، جبکہ تقسیم کار D کے طول و عرض کو D-طول و عرض کہا جاتا ہے۔ آئتاکا طول و عرض کو متعارف کرایا گیا تھا۔ ایک لائن بنڈل بڑا ہوتا ہے اگر یہ زیادہ سے زیادہ آئتاکا طول و عرض کا ہو، یعنی اگر اس کا آئیتاکا طول و عرض بنیادی قسم کے طول و عرض کے برابر ہو۔ بڑا پن ایک بائریشنل غیر متغیر ہے: اگر اقسام کا بائریشنل مورفزم ہے، اور اگر L X پر ایک بڑا لائن بنڈل ہے، تو f * L Y پر ایک بڑا لائن بنڈل ہے۔ تمام کافی لائن بنڈل بڑے ہیں۔ بڑی لائن کے بنڈلوں کو اس کی شبیہہ کے ساتھ X کے بائریشنل آئسومورفزم کا تعین کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر C ایک ہائپرلیپٹک وکر ہے (جیسے جینس ٹو کا وکر)، تو اس کا کینونکل بنڈل بڑا ہے، لیکن جس عقلی نقشے کا یہ تعین کرتا ہے وہ بائریشنل آئسومورفزم نہیں ہے۔ اس کے بجائے، یہ C کے کینونکل وکر کا دو سے ایک کور ہے، جو کہ ایک عقلی نارمل وکر ہے۔ کوڈائرا طول و عرض ایک ہموار قسم کے کینونکل بنڈل کے آئتاکا طول و عرض کو اس کا کوڈائرا طول و عرض کہا جاتا ہے۔ آئیتاکا قیاس درج ذیل میں پیچیدہ الجبرائی اقسام پر غور کریں۔ H0 (M، Km) کے طول و عرض، کلومیٹر کے ہولومورفک حصوں کو Pm (M) سے ظاہر کیا جاتا ہے، جسے m-جینز کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد فرض کریں کہ N (M) غیر صفر m-جین کے ساتھ تمام مثبت عدد بن جاتا ہے۔ جب N (M) خالی نہیں ہوتا ہے، تو m-pluricanonical نقشے کی تعریف اس نقشے کے طور پر کی جاتی ہے جہاں H0 (M، Km) کی بنیادیں ہوتی ہیں۔ پھر، کی تصویر کو سب منی فولڈ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ یقینی طور پر m-pluricanonical نقشہ ہونے دیں جہاں W پروجیکٹو اسپیس پی این میں سرایت شدہ پیچیدہ کئی گنا ہے۔ سطحوں کے معاملے میں κ (M) = 1 کے ساتھ اوپر W کو ایک منحنی C سے تبدیل کیا جاتا ہے، جو کہ ایک الپٹک وکر (κ (C) = 0) ہے۔ ہم اس حقیقت کو عمومی جہت تک بڑھانا چاہتے ہیں اور اوپری دائیں شکل میں دکھایا گیا تجزیاتی فائبر ڈھانچہ حاصل کرنا چاہتے ہیں۔ بائریشنل نقشے کو دیکھتے ہوئے، m-pluricanonical نقشہ بائیں شکل میں دکھایا گیا مواصلاتی خاکہ لاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ، یعنی۔ m-pluricanonical جینس پیدائشی طور پر غیر متغیر ہے۔ یہ آئتاکا کی طرف سے دکھایا گیا ہے کہ n-جہتی کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا M کو اس کے کوڈیرا طول و عرض κ (M) کے ساتھ 1 ≤ κ (M) ≤ n-1 کو مطمئن کرتے ہوئے، کافی بڑے m1، m2 ایسے ہیں جو کہ دو نسبی مساوی ہیں، جس کا مطلب ہے کہ دو نسبی نقشہ موجود ہیں۔ یعنی صحیح شکل میں دکھایا گیا خاکہ متغیر ہے۔ مزید برآں، کوئی بھی ایسا انتخاب کر سکتا ہے جو دونوں کے ساتھ بائریشنل ہو اور جو دونوں کے ساتھ بائریشنل ہو اور جو کہ بائریشنل نقشہ ہے، کے ریشے آسانی سے جڑے ہوئے ہیں اور کے عام ریشوں میں کوڈائرا طول و عرض 0 ہے۔ مندرجہ بالا فائبر کی ساخت کو آئیٹاکا فائبر اسپیس کہا جاتا ہے۔ سطح S (n = 2 = مدھم (S)) کے معاملے میں، W * الجبرائی منحنی خطوط ہے، ریشے کی ساخت طول و عرض 1 کی ہوتی ہے، اور پھر عام ریشوں میں کوڈائرا طول و عرض 0 ہوتا ہے یعنی۔ الپٹک وکر۔ لہذا، S الپٹک سطح ہے۔ ان حقائق کو عام n میں عام کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے اعلی جہتی بائریشنل جیومیٹری کا مطالعہ κ =-ν، 0، n کے حصے اور فائبر کی جگہ جس کے ریشے κ = 0 کے ہوتے ہیں، میں تحلیل ہو جاتا ہے۔ آئیٹاکا کا درج ذیل اضافی فارمولا، جسے آئیٹاکا قیاس کہا جاتا ہے، الجبرائی اقسام یا کمپیکٹ کمپلیکس مینیفولڈز کی درجہ بندی کے لیے اہم ہے۔ اس قیاس کو صرف جزوی طور پر حل کیا گیا ہے، مثال کے طور پر مویشزون مینیفولڈز کے معاملے میں۔ درجہ بندی کے نظریہ کو آئتاکا قیاس کو حل کرنے اور ایک اور نظریہ کی رہنمائی کرنے کی کوشش کہا جا سکتا ہے کہ تین جہتی قسم V ابیلین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب κ (V) = 0 اور q (V) = 3 اور اس کی عمومی کاری وغیرہ۔ اس قیاس سے کم از کم ماڈل پروگرام کی رہنمائی کی جا سکتی ہے۔ حوالہ جات برازیلی جیومیٹری ویکٹر بنڈل