Euclidean field
ریاضی میں، یوکلڈین فیلڈ ایک ترتیب شدہ فیلڈ ہے جس کے لیے ہر غیر منفی عنصر ایک مربع ہے: یعنی، ان کا مطلب ہے کہ کچھ کے لیے۔ تعمیری اعداد ایک یوکلڈین فیلڈ بناتے ہیں۔ یہ سب سے چھوٹا یوکلڈین فیلڈ ہے، کیونکہ ہر یوکلڈین فیلڈ میں یہ ایک ترتیب شدہ ذیلی فیلڈ کے طور پر موجود ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، تعمیری اعداد عقلی اعداد کی یوکلڈین بندش بناتے ہیں۔ خصوصیات ہر یوکلڈین فیلڈ ایک ترتیب شدہ پایتھاگورین فیلڈ ہے، لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے۔ اگر E/F ایک محدود توسیع ہے، اور E یوکلڈین ہے، تو F بھی ایسا ہی ہے۔ یہ "گونگ ڈاؤن تھیوریم" ڈیلر ڈریس تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ مثالیں حقیقی تعمیری اعداد، وہ (دستخط شدہ) لمبائی جو ایک عقلی حصے سے حکمران اور کمپاس کی تعمیرات کے ذریعے تعمیر کی جا سکتی ہیں، ایک یوکلڈین فیلڈ تشکیل دیتی ہیں۔ ہر حقیقی بند میدان ایک یوکلڈین میدان ہے۔ مندرجہ ذیل مثالیں حقیقی بند فیلڈز بھی ہیں۔ معمول کی کارروائیوں اور ترتیب کے ساتھ حقیقی اعداد ایک یوکلڈین فیلڈ بناتے ہیں۔ حقیقی الجبرائی اعداد کا میدان ایک یوکلیڈین میدان ہے۔ ہائپرریئل نمبروں کا فیلڈ ایک یوکلڈین فیلڈ ہے۔ معموٗلی کارروائیوں اور ترتیب کے ساتھ عقلی اعداد یوکلڈین فیلڈ نہیں بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر، 2 مربع نہیں ہے کیونکہ 2 کا مربع جڑ غیر معقول ہے۔ اوپر نیچے جانے والے نتیجہ سے، کوئی الجبرائی نمبر فیلڈ یوکلڈین نہیں ہو سکتا۔ پیچیدہ اعداد یوکلڈین فیلڈ نہیں بناتے کیونکہ انہیں ترتیب شدہ فیلڈ کی ساخت نہیں دی جا سکتی۔ یوکلڈین بندش ایک ترتیب شدہ فیلڈ کی یوکلڈین بندش کواڈریٹک بندش میں ایک توسیع ہے جس کی توسیع کے حکم کے ساتھ ایک ترتیب شدہ فیلڈ ہونے کے حوالے سے زیادہ سے زیادہ ہے۔ یہ الجبرائی بندش کا سب سے چھوٹا ذیلی میدان بھی ہے جو کہ ایک یوکلیڈین میدان ہے اور اس کی ترتیب شدہ توسیع ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط فیلڈ (ریاضی)