Flat manifold
ریاضی میں، ایک ریمینیئن کئی گنا کو چپٹا کہا جاتا ہے اگر اس کا ریمین کرویچر ٹینسر ہر جگہ صفر ہو۔ بدیہی طور پر، ایک فلیٹ مینیفولڈ وہ ہے جو فاصلے اور زاویوں کے لحاظ سے "مقامی طور پر یوکلڈین اسپیس کی طرح لگتا ہے"، جیسے۔ مثلث کے اندرونی زاویے 180° تک جمع ہوتے ہیں۔ ایک مکمل فلیٹ کئی گنا کا عالمگیر احاطہ یوکلڈین اسپیس ہے۔ یہ اس نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ تمام کمپیکٹ فلیٹ مینیفولڈز کو ٹوری کے ذریعے محدود طور پر احاطہ کیا جاتا ہے۔ 3 جہتی کیس کو پہلے ٹوری کے ذریعے ثابت کیا گیا تھا۔ مثالیں مندرجہ ذیل کئی گنا کو فلیٹ میٹرک سے نوازا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ان کا 'معیاری' میٹرک نہیں ہو سکتا ہے (مثال کے طور پر، 2 جہتی ٹورس پر فلیٹ میٹرک وہ میٹرک نہیں ہے جو اس کے معمول کے سرایت سے متاثر ہوتا ہے)۔ طول و عرض 1 ہر ایک جہتی ریمینیئن کئی گنا چپٹا ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہر جڑا ہوا ایک جہتی ہموار کئی گنا دونوں میں سے کسی ایک کے لیے ڈفیومورفک ہے یا یہ دیکھنا سیدھا ہے کہ ہر جڑا ہوا ایک جہتی ریمینیئن کئی گنا درج ذیل میں سے کسی ایک کے لیے آئسومیٹرک ہے (ہر ایک ان کے معیاری ریمینیئن ڈھانچے کے ساتھ): حقیقی لکیر کسی نمبر کے لیے کھلا وقفہ کھلی وقفہ کسی نمبر کے لیے رداس کا دائرہ صرف پہلا اور آخری مکمل ہوتے ہیں۔ اگر کسی میں باؤنڈری کے ساتھ ریمینیئن مینیفولڈز شامل ہیں، تو آدھے کھلے اور بند وقفوں کو بھی شامل کیا جانا چاہیے۔ اس معاملے میں مکمل وضاحت کی سادگی کو اس حقیقت سے منسوب کیا جا سکتا ہے کہ ہر ایک جہتی ریمینیئن کئی گنا میں ہموار اکائی لمبائی کا ویکٹر فیلڈ ہوتا ہے، اور یہ کہ مندرجہ بالا ماڈل کی مثالوں میں سے ایک آئسومیٹری ایک لازمی منحنی خطوط پر غور کرکے فراہم کی جاتی ہے۔ طول و عرض 2 پانچ امکانات، ڈفیومورفزم تک اگر ایک ہموار دو جہتی منسلک مکمل فلیٹ ریمینیئن کئی گنا ہے، تو پھر موبیئس پٹی، یا کلین بوتل کے لیے ڈفیومورفک ہونا چاہیے۔ نوٹ کریں کہ صرف کمپیکٹ امکانات اور کلین بوتل ہیں، جبکہ صرف قابل سمت امکانات ہیں اور ان جگہوں پر الگ الگ مکمل فلیٹ ریمینیئن میٹرکس کو بیان کرنے کے لیے مزید کوشش درکار ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، کے دونوں عوامل کے ریڈیائی کے طور پر کوئی بھی دو حقیقی اعداد ہو سکتے ہیں۔ یہ میٹرکس ایک دوسرے سے ان کے دو ریڈی کے تناسب سے ممتاز ہیں، لہذا اس جگہ میں لامحدود طور پر بہت سے مختلف فلیٹ پروڈکٹ میٹرکس ہیں جو پیمانے کے عنصر تک آئسومیٹرک نہیں ہیں۔ پانچ امکانات کے بارے میں یکساں طور پر بات کرنے کے لیے، اور خاص طور پر موبیئس پٹی اور کلین بوتل کے ساتھ تجریدی کئی گنا کے طور پر ٹھوس طور پر کام کرنے کے لیے، گروپ ایکشن کی زبان استعمال کرنا مفید ہے۔ آئیسومیٹری تک کے پانچ امکانات، آئیے اس کے ذریعہ دیئے گئے ترجمہ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ آئیسومیٹری کے گروپ کے درج ذیل ذیلی گروپوں کو اس کے معیاری میٹرک کے ساتھ دو مثبت اعداد دیئے گئے ہیں۔ بشرطیکہ یہ تمام گروہ آزادانہ طور پر اور مناسب طریقے سے غیر متزلزل طور پر کام کر رہے ہیں اور اس لیے مختلف کوسیٹ خالی جگہوں میں قدرتی طور پر دو جہتی مکمل فلیٹ ریمینیئن کئی گنا کی ساخت ہوتی ہے۔ ان میں سے کوئی بھی ایک دوسرے کے لیے آئسومیٹرک نہیں ہے، اور کوئی بھی ہموار دو جہتی مکمل فلیٹ منسلک ریمینیئن کئی گنا ان میں سے کسی ایک کے لیے آئسومیٹرک ہے۔ آربیفولڈز پر آرٹیکل میں درج فلیٹ میٹرک (بشمول ٹورس اور کلین بوتل) کے ساتھ 17 کمپیکٹ 2 جہتی آربیفولڈز ہیں، جو 17 وال پیپر گروپوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ریمارکس نوٹ کریں کہ ڈونٹ کے طور پر ٹورس کی معیاری 'تصویر' اسے فلیٹ میٹرک کے ساتھ پیش نہیں کرتی ہے، کیونکہ مرکز سے سب سے دور کے پوائنٹس میں مثبت منحنیت ہوتی ہے جبکہ مرکز کے قریب ترین پوائنٹس میں منفی منحنیت ہوتی ہے۔ کوئپر کی نیش ایمبیڈنگ تھیوریم کی تشکیل کے مطابق، ایک ایمبیڈنگ ہے جو کسی بھی فلیٹ پروڈکٹ میٹرکس کو شامل کرتی ہے جو موجود ہے لیکن یہ آسانی سے قابل دید نہیں ہیں۔ چونکہ کسی بھی (فلیٹ) پروڈکٹ ڈھانچے کے سرایت شدہ ذیلی نقشہ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، قدرتی طور پر اس کے ذیلی نقشہ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، کلین بوتل کے معیاری تین جہتی تصورات ایک فلیٹ میٹرک پیش نہیں کرتے ہیں۔ موبیئس پٹی کی معیاری تعمیر، کاغذ کی پٹی کے سروں کو ایک ساتھ جوڑ کر، اسے درحقیقت ایک فلیٹ میٹرک دیتی ہے، لیکن یہ مکمل نہیں ہے۔ طول و عرض 3 6 واقفیت والے اور 4 غیر واقفیت والے کمپیکٹ فلیٹ 3-مینیفولڈ ہیں، جو تمام سیفرٹ فائبر خالی جگہیں ہیں۔ وہ 10 ٹورسن فری کرسٹلگرافک گروپوں کے حصص گروپ ہیں۔ یہاں 4 سمت کے قابل اور 4 غیر سمت کے قابل غیر کمپیکٹ خالی جگہیں بھی ہیں۔ اورینٹیبل 10 اورینٹیبل فلیٹ 3-مینیفولڈ یہ ہیں: یوکلڈین 3-اسپیس،۔ 3-ٹورس، جو مکعب کے مخالف چہروں کو چپکانے سے بنایا جاتا ہے۔ کئی گنا ایک جوڑے پر 1/2 موڑ کے ساتھ مکعب کے مخالف چہروں کو چپکانے سے بنایا جاتا ہے۔ کئی گنا ایک جوڑے پر 1/4 موڑ کے ساتھ مکعب کے مخالف چہروں کو چپکانے سے بنایا جاتا ہے۔ ہیکساگونل پرزم کے مخالف چہروں کو ہیکساگونل چہروں پر 1/3 موڑ کے ساتھ چپکانے سے کئی گنا بنایا جاتا ہے۔ ہیکساگونل پرزم کے مخالف چہروں کو ہیکساگونل چہروں پر 1/6 موڑ کے ساتھ چپکانے سے کئی گنا بنایا جاتا ہے۔ ہنٹشے-وینڈٹ کئی گنا۔ کئی گنا دو متوازی طیاروں کے درمیان کی جگہ کے طور پر بنایا گیا ہے جو ایک ساتھ چپکے ہوئے ہیں۔ ایک لامحدود مربع چمنی کی مخالف دیواروں کو چپکانے سے بنایا گیا کئی گنا۔ ایک جوڑے پر 1/2 موڑ کے ساتھ ایک لامحدود مربع چمنی کی مخالف دیواروں کو چپکانے سے بنایا گیا کئی گنا۔ غیر متصل 8 غیر متصل 3-مینیفولڈ یہ ہیں: ایک دائرے اور کلین بوتل کا کارٹیشین پروڈکٹ۔ مذکورہ بالا سے ملتا جلتا کئی گنا، لیکن ٹرانسلیشنل طور پر گلائڈ پلین کے متوازی ایک سمت میں آفسیٹ ؛ اس سمت میں آگے بڑھنا کئی گنا کے مخالف سمت میں واپس آتا ہے۔ کئی گنا دو پیریڈیکیولر گلائڈ طیاروں کے پار ایک نقطہ کی عکاسی کرکے اور تیسری سمت میں ترجمہ کرکے بنایا گیا ہے۔ ایک کئی گنا مذکورہ بالا سے ملتا جلتا ہے، لیکن ترجمہ کے طور پر ایک گلائڈ پلین کے متوازی ایک سمت میں آفسیٹ ہوتا ہے ؛ اس سمت میں آگے بڑھنا کئی گنا کے مخالف سمت میں واپس آتا ہے۔ ایک دائرے اور ایک (غیر محدود) موبیئس پٹی کا کارٹیشین پروڈکٹ۔ ایک محور کے ساتھ ایک نقطہ کا ترجمہ کرکے اور اسے عمودی گلائڈ طیارہ کے پار عکاسی کرکے بنایا گیا کئی گنا۔ ایک محور کے ساتھ ایک نقطہ کا ترجمہ کرکے اور متوازی گلائڈ طیارہ کے پار اس کی عکاسی کرکے بنایا گیا کئی گنا۔ دو عمودی گلائڈ طیاروں میں ایک نقطہ کی عکاسی کرکے بنایا گیا کئی گنا۔ اعلی طول و عرض یوکلڈین اسپیس ٹوری فلیٹ مینیفولڈ کی مصنوعات آزادانہ طور پر کام کرنے والے گروپوں کے ذریعہ فلیٹ مینیفولڈ کے حصے۔ آسانی سے تعلق غیر مثبت سیکشنل منحنی خطوط والے تمام بند کئی گنا میں، فلیٹ کئی گنا کو قطعی طور پر ایک قابل قبول بنیادی گروپ کے طور پر نمایاں کیا جاتا ہے۔ یہ ایڈمز-بالمین تھیوریم (1998) کا نتیجہ ہے، جو اس خصوصیت کو ہڈمارڈ خالی جگہوں کے آئسومیٹریز کے مجرد کوکمپکٹ گروپوں کی بہت زیادہ عمومی ترتیب میں قائم کرتا ہے۔ یہ بیبرباخ کے نظریہ کی ایک دور رس عمومی شکل فراہم کرتا ہے۔ ایڈمز-بالمین تھیوریم میں تضاد کا مفروضہ ضروری ہے: بصورت دیگر، درجہ بندی میں کیپریس-مونوڈ کے "اندھا دھند" بیبرباخ تھیوریم کے پیش نظر ہم آہنگ خالی جگہیں، بروہاٹ-ٹٹس عمارتیں اور باس-سیر درخت شامل ہونے چاہئیں۔ سپیس فارمز کرسٹلگرافک گروپس رچی-فلیٹ مینیفولڈ رسمی طور پر فلیٹ مینیفولڈ افائن مینیفولڈ ریفرنسز نوٹس ببلیوگرافی بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ بیرونی روابط ریمینیئن مینیفولڈز