Elastic instability
لچکدار عدم استحکام لچکدار نظاموں میں پائے جانے والے عدم استحکام کی ایک شکل ہے، جیسے کہ بیموں اور پلیٹوں کا بکلنگ جو بڑے کمپریسیو بوجھ کے تابع ہے۔ اس قسم کے عدم استحکام کا مطالعہ کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ ان میں سے ایک یہ ہے کہ توازن کے حل پر ایک چھوٹی سی رکاوٹ کو سپرپوز کرنے کی بنیاد پر انکریمنٹل ڈیفارمیشن کا طریقہ استعمال کیا جائے۔ سنگل ڈگری آف فریڈم سسٹمز ایک سادہ مثال کے طور پر لمبائی L کی ایک سخت بیم پر غور کریں، جو ایک سرے پر جھکی ہوئی ہے اور دوسرے سرے پر آزاد ہے، اور جھکی ہوئی سرے سے منسلک ایک کونیی اسپرنگ ہے۔ بیم کو آزاد سرے پر ایک قوت F کے ذریعے لادا جاتا ہے جو بیم کی کمپریسیو محوری سمت میں کام کرتی ہے، دائیں طرف کی شکل دیکھیں۔ مومنٹ ایکویلیبریئم کی حالت گھڑی کی سمت کونیی انحراف کو فرض کرتے ہوئے، قوت کی طرف سے لگایا جانے والا گھڑی کی سمت مومنٹ بن جاتا ہے۔ مومنٹ ایکویلیبریئم مساوات اس طرح دی جاتی ہے کہ کونیی اسپرنگ (این ایم/ریڈین) کا اسپرنگ مستقل کہاں ہے۔ فرض کریں کہ کافی چھوٹا ہے، سائن فنکشن کی ٹیلر توسیع کو نافذ کرنا اور دو پہلی اصطلاحات کو برقرار رکھنا جس کے تین حل ہیں، معمولی، اور جو خیالی ہے (یعنی۔ جسمانی نہیں) کے لیے اور دوسری صورت میں حقیقی۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ چھوٹی کمپریسیو قوتوں کے لیے، واحد توازن کی حالت اس کے ذریعے دی جاتی ہے، جبکہ اگر قوت قدر سے تجاوز کر جاتی ہے تو اچانک اخترتی کا ایک اور طریقہ ممکن ہوتا ہے۔ توانائی کا طریقہ توانائی کے تعلقات پر غور کرکے بھی یہی نتیجہ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ کونیی اسپرنگ میں ذخیرہ شدہ توانائی ہے اور قوت کے ذریعے کیا جانے والا کام محض وہ قوت ہے جو بیم کے سرے کی عمودی نقل مکانی سے ضرب دی جاتی ہے، جو ہے۔ اس طرح، توانائی کے توازن کی حالت اب پہلے کی طرح حاصل ہوتی ہے (معمولی کے علاوہ)۔ حلوں کا استحکام کوئی بھی حل مستحکم ہوتا ہے اگر اخترتی کے زاویے میں ایک چھوٹی سی تبدیلی کے نتیجے میں رد عمل کا لمحہ اخترتی کے اصل زاویے کو بحال کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ بیم پر کام کرنے والا خالص گھڑی کی سمت والا لمحہ ایک لمحے میں اخترتی کے زاویے کی ایک لامحدود گھڑی کی سمت میں تبدیلی کا نتیجہ ہے جسے لمحے کے توازن کی حالت کی وجہ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ اب، ایک حل مستحکم ہے اگر گھڑی کی سمت میں تبدیلی کے نتیجے میں لمحے کی منفی تبدیلی ہوتی ہے اور اس کے برعکس۔ اس طرح، استحکام کی شرط بن جاتی ہے حل صرف اس کے لیے مستحکم ہے، جس کی توقع کی جاتی ہے۔ مساوات میں کوسائن کی اصطلاح کو وسعت دینے سے، تقریبا استحکام کی حالت حاصل ہوتی ہے: جس کے لیے، دو دیگر حل مطمئن ہوتے ہیں۔ اس لیے یہ حل مستحکم ہیں۔ آزادی کے نظام کی متعدد ڈگریاں ایک کونیی اسپرنگ کے ذریعے اصل نظام سے ایک اور سخت بیم کو جوڑنے سے آزادی کے نظام کی دو ڈگریاں حاصل ہوتی ہیں۔ سادگی کے لیے فرض کریں کہ بیم کی لمبائی اور کونیی چشمے برابر ہیں۔ توازن کے حالات بن جاتے ہیں جہاں دونوں بیم کے زاویے ہیں۔ یہ سمجھتے ہوئے کہ یہ زاویے چھوٹے ہیں لکیریائزنگ کی پیداوار نظام کے غیر معمولی حل نظام میٹرکس کے تعین کنندہ کی جڑیں تلاش کرکے حاصل کیے جاتے ہیں، یعنی۔ اس طرح، آزاد نظام کی دو ڈگریوں کے لیے اطلاق شدہ قوت F کے لیے دو اہم اقدار ہیں۔ یہ اخترتی کے دو مختلف طریقوں سے مطابقت رکھتے ہیں جن کا حساب سسٹم میٹرکس کے نیل اسپیس سے کیا جا سکتا ہے۔ مساوات کو پیداوار سے تقسیم کرنا کم تنقیدی قوت کے لیے تناسب مثبت ہوتا ہے اور دونوں بیم ایک ہی سمت میں مڑ جاتے ہیں جبکہ زیادہ طاقت کے لیے وہ "کیلے" کی شکل بناتے ہیں۔ اخترتی کی یہ دو حالتیں نظام کی بکلنگ موڈ شکلوں کی نمائندگی کرتی ہیں۔ یہ بھی دیکھیں بکلنگ کیوٹیشن (ایلسٹومرز) ڈکر استحکام لچکدار استحکام کا مزید پڑھنے کا نظریہ، ایس ٹیموشینکو اور جے گیری کنٹینم میکانکس ساختی تجزیہ میکانکس