Quasi-isometry
ریاضی میں، کواسی آئسومیٹری دو میٹرک خالی جگہوں کے درمیان ایک فنکشن ہے جو ان خالی جگہوں کی بڑے پیمانے کی جیومیٹری کا احترام کرتا ہے اور ان کی چھوٹے پیمانے کی تفصیلات کو نظر انداز کرتا ہے۔ دو میٹرک خالی جگہیں نیم آئسومیٹرک ہوتی ہیں اگر ان کے درمیان کوئی نیم آئسومیٹری موجود ہو۔ نیم آئسومیٹرک ہونے کی خاصیت میٹرک خالی جگہوں کی کلاس پر مساوات کے تعلق کی طرح برتاؤ کرتی ہے۔ گروموف کے کام کے بعد، جیومیٹرک گروپ تھیوری میں نیم آئسومیٹری کا تصور خاص طور پر اہم ہے۔ تعریف فرض کریں کہ یہ ایک (لازمی طور پر مسلسل نہیں) فنکشن ہے جو ایک میٹرک اسپیس سے دوسرے میٹرک اسپیس تک ہے۔ پھر کواسی آئسومیٹری کہا جاتا ہے اگر مستقل موجود ہوں، اور اس طرح کہ مندرجہ ذیل دو خصوصیات دونوں برقرار رہیں: ہر دو نکات کے لیے اور ان میں، ان کی تصاویر کے درمیان فاصلہ ان کے اصل فاصلے کے ایک عنصر کے اندر اضافی مستقل تک ہوتا ہے۔ مزید رسمی طور پر: کا ہر نقطہ ایک تصویری نقطہ کے مستقل فاصلے کے اندر ہوتا ہے۔ مزید رسمی طور پر: دو میٹرک خالی جگہیں اور اگر کوئی نیم آئسومیٹری موجود ہو تو انہیں نیم آئسومیٹرک کہا جاتا ہے۔ نقشہ کو نیم آئسومیٹرک سرایت کہا جاتا ہے اگر یہ پہلی شرط کو پورا کرتا ہے لیکن ضروری نہیں کہ دوسری (یعنی۔ یہ موٹا لپشٹز ہے لیکن موٹا سرجیکٹو ہونے میں ناکام ہو سکتا ہے)۔ دوسرے لفظوں میں، اگر نقشے کے ذریعے، کی ذیلی جگہ کے لیے نیم آئسومیٹرک ہے۔ دو میٹرک خالی جگہوں M1 اور M2 کو نیم آئسومیٹرک کہا جاتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، اگر کوئی نیم آئسومیٹری موجود ہو۔ مثالیں یوکلیڈین طیارہ اور مین ہیٹن کے فاصلے والے طیارے کے درمیان کا نقشہ جو ہر نقطہ کو اپنے پاس بھیجتا ہے ایک نیم آئسومیٹری ہے: اس میں، فاصلے کو زیادہ سے زیادہ کے عنصر سے ضرب دی جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ کوئی آئسومیٹری نہیں ہو سکتی، کیونکہ، مثال کے طور پر، مین ہیٹن کے فاصلے میں پوائنٹس ایک دوسرے کے مساوی فاصلے کے ہوتے ہیں، لیکن یوکلڈین پلین میں، ایسے 4 پوائنٹس نہیں ہوتے جو ایک دوسرے کے مساوی فاصلے کے ہوں۔ نقشہ (دونوں یوکلڈین میٹرک کے ساتھ) جو انٹیجرز کے ہر-ٹپل کو اپنے پاس بھیجتا ہے وہ ایک نیم آئسومیٹری ہے: فاصلے بالکل محفوظ ہیں، اور ہر حقیقی ٹپل ایک انٹیجر ٹپل کے فاصلے کے اندر ہے۔ دوسری سمت میں، غیر متزلزل فنکشن جو حقیقی اعداد کے ہر ٹپل کو قریب ترین انٹیجر ٹپل پر چکر لگاتا ہے وہ بھی ایک نیم آئسومیٹری ہے: ہر نقطہ کو اس نقشے کے ذریعے اس کے فاصلے کے اندر ایک نقطہ پر لے جایا جاتا ہے، اس لیے راؤنڈنگ زیادہ سے زیادہ پوائنٹس کے جوڑوں کو جوڑ کر یا گھٹا کر فاصلے کو تبدیل کرتی ہے۔ محدود یا پابند میٹرک خالی جگہوں کا ہر جوڑا نیم آئسومیٹرک ہوتا ہے۔ اس صورت میں، ایک جگہ سے دوسری جگہ تک ہر فنکشن ایک نیم آئسومیٹری ہے۔ مساوات کا تعلق اگر ایک نیم آئسومیٹری ہے، تو ایک نیم آئسومیٹری موجود ہے۔ درحقیقت، اس کی تعریف اس تصویر میں کسی بھی نقطہ کو فاصلے کے اندر ہونے دے کر، اور کسی بھی نقطہ کو اندر ہونے دے کر کی جا سکتی ہے۔ چونکہ شناخت کا نقشہ ایک نیم آاسومیٹری ہے، اور دو نیم آاسومیٹریز کی ساخت ایک نیم آاسومیٹری ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ نیم آاسومیٹری ہونے کی خاصیت میٹرک خالی جگہوں کی کلاس پر مساوات کے تعلق کی طرح برتاؤ کرتی ہے۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری میں استعمال ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ G کے ایک محدود جنریٹنگ سیٹ S کو دیکھتے ہوئے، ہم S اور G کا متعلقہ کیلی گراف تشکیل دے سکتے ہیں۔ اگر ہم ہر کنارے کی لمبائی 1 قرار دیتے ہیں تو یہ گراف ایک میٹرک اسپیس بن جاتا ہے۔ ایک مختلف محدود جنریٹنگ سیٹ T لینے کے نتیجے میں ایک مختلف گراف اور ایک مختلف میٹرک اسپیس ہوتا ہے، تاہم دونوں خالی جگہیں نیم آئسومیٹرک ہوتی ہیں۔ اس طرح یہ نیم آئسومیٹری کلاس گروپ G کا ایک غیر متغیر ہے۔ میٹرک خالی جگہوں کی کوئی بھی خاصیت جو صرف کسی جگہ کی نیم آئسومیٹری کلاس پر منحصر ہوتی ہے فوری طور پر گروپوں کا ایک اور غیر متغیر پیدا کرتی ہے، جس سے گروپ تھیوری کے میدان کو ہندسی طریقوں کے لیے کھول دیا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، شوارک-ملنور لیما میں کہا گیا ہے کہ اگر کوئی گروپ G مناسب جیوڈیسیک اسپیس X پر کمپیکٹ حصص کے ساتھ مناسب طریقے سے متضاد طور پر کام کرتا ہے تو G X کے لیے نیم آئسومیٹرک ہے (جس کا مطلب ہے کہ G کے لیے کوئی بھی کیلی گراف ہے)۔ یہ گروپوں کو ایک دوسرے کے لیے نیم آئسومیٹرک کی نئی مثالیں دیتا ہے: اگر G 'G میں محدود اشاریہ کا ایک ذیلی گروپ ہے تو G' G کے لیے نیم آئسومیٹرک ہے۔ اگر G اور H ایک ہی جہت d کے دو کمپیکٹ ہائپربولک کئی گنا کے بنیادی گروپ ہیں تو وہ دونوں ہائپربولک اسپیس Hd کے لیے نیم آئسومیٹرک ہیں اور اسی وجہ سے ایک دوسرے کے لیے ؛ دوسری طرف محدود حجم کے بنیادی گروپوں کی لامحدود تعداد میں نیم آئسومیٹری کلاسیں ہیں۔ کواسیجیوڈیسکس اور مورس لیما ایک میٹرک اسپیس میں ایک نیم جیوڈیسیک ایک نیم آئسومیٹرک سرایت ہے۔ زیادہ واضح طور پر ایک نقشہ ایسا موجود ہے جسے-کواسی-جیوڈیسیک کہا جاتا ہے۔ ظاہر ہے کہ جیوڈیسکس (آرکلینتھ کے لحاظ سے پیرامیٹرائزڈ) نیم جیوڈیسکس ہیں۔ حقیقت یہ ہے کہ کچھ جگہوں پر الٹا موٹا سچ ہے، یعنی۔ کہ ہر نیم جیوڈیسیک ایک حقیقی جیوڈیسیک کے محدود فاصلے کے اندر رہتا ہے، اسے مورس لیما کہا جاتا ہے (تفریقی ٹوپولوجی میں مورس لیما کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا)۔ رسمی طور پر بیان یہ ہے: چلو اور ایک مناسب δ-ہائپربولک جگہ۔ اس طرح موجود ہے کہ کسی بھی-نیم-جیوڈیسیک کے لیے ایک جیوڈیسیک موجود ہے جس میں سب کے لیے موجود ہے۔ یہ جیومیٹرک گروپ تھیوری کا ایک اہم ذریعہ ہے۔ ایک فوری اطلاق یہ ہے کہ مناسب ہائپربولک خالی جگہوں کے درمیان کوئی بھی نیم آئسومیٹری ان کی حدود کے درمیان ہومومورفزم کو جنم دیتی ہے۔ یہ نتیجہ موسٹو رگڈیٹی تھیوریم کے ثبوت میں پہلا قدم ہے۔ مزید برآں، اس نتیجے نے گوگل میپس جیسی ایپلی کیشنز میں صارف کے تعامل کے ڈیزائن کا تجزیہ کرنے میں افادیت پائی ہے۔ گروپوں کے نیم آئسومیٹری غیر متغیرات کی مثالیں گروپ کیلی گراف کی خصوصیات کی کچھ مثالیں درج ذیل ہیں جو نیم آئسومیٹری کے تحت غیر متغیر ہیں: ہائپربولکٹی ایک گروپ کو ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر اس کے کیلی گراف میں سے ایک کچھ δ کے لیے δ-ہائپربولک اسپیس ہو۔ ہائپربولکٹی کی مختلف تعریفوں کے درمیان ترجمہ کرتے وقت، δ کی مخصوص قدر تبدیل ہو سکتی ہے، لیکن ہائپربولک گروپ کے نتیجے میں تصورات مساوی ثابت ہوتے ہیں۔ ہائپربولک گروپوں میں قابل حل لفظ کا مسئلہ ہوتا ہے۔ وہ دو خودکار اور خودکار ہوتے ہیں۔ : درحقیقت، وہ مضبوطی سے جیوڈیسی طور پر خودکار ہیں، یعنی گروپ پر ایک خودکار ڈھانچہ ہے، جہاں لفظ قبول کنندہ کے ذریعہ قبول کردہ زبان تمام جیوڈیسی الفاظ کا مجموعہ ہے۔ گروتھ ایک سمیٹرک جنریٹنگ سیٹ کے حوالے سے کسی گروپ کی ترقی کی شرح گروپ میں گیندوں کے سائز کو بیان کرتی ہے۔ گروپ کے ہر عنصر کو جنریٹر کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اور نمو کی شرح ان عناصر کی تعداد کو شمار کرتی ہے جنہیں لمبائی n کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ گروموف کے نظریہ کے مطابق، کثیر الجہتی نمو کا ایک گروپ عملی طور پر نیلپوٹینٹ ہے، یعنی۔ اس میں محدود اشاریہ کا ایک نیلپوٹینٹ ذیلی گروہ ہے۔ خاص طور پر، کثیر الجہتی نمو کی ترتیب ایک قدرتی تعداد ہونی چاہیے اور درحقیقت۔ اگر کسی ایکسپونینشیل فنکشن سے زیادہ آہستہ آہستہ بڑھتا ہے، تو G میں ذیلی ایکسپونینشیل نمو کی شرح ہوتی ہے۔ اس طرح کا کوئی بھی گروہ قابل قبول ہے۔ ایک ٹپوولوجیکل جگہ کے سرے، تقریبا بولتے ہوئے، جگہ کی "مثالی حد" کے منسلک اجزاء ہوتے ہیں۔ یعنی، ہر سرے سے خلا کے اندر انفینٹی کی طرف بڑھنے کے لیے ٹپوولوجیکل طور پر ایک الگ طریقہ ظاہر ہوتا ہے۔ ہر سرے پر ایک نقطہ جوڑنے سے اصل جگہ کی کمپیکٹفیکیشن حاصل ہوتی ہے، جسے اینڈ کمپیکٹفیکیشن کہا جاتا ہے۔ ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ کے سروں کو متعلقہ کیلی گراف کے سروں کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ تعریف ایک محدود پیدا کرنے والے سیٹ کے انتخاب سے آزاد ہے۔ ہر حتمی طور پر پیدا شدہ لامحدود گروپ کے یا تو 0,1,2، یا لامحدود طور پر کئی سرے ہوتے ہیں، اور گروپوں کے سروں کے بارے میں اسٹالنگز تھیوریم ایک سے زیادہ سروں والے گروپوں کے لیے سڑنا فراہم کرتا ہے۔ اگر دو جڑے ہوئے مقامی طور پر محدود گراف نیم آئسومیٹرک ہیں تو ان کے سروں کی تعداد یکساں ہے۔ خاص طور پر، دو نیم آئسومیٹرک حتمی طور پر پیدا شدہ گروپوں کے سروں کی تعداد ایک جیسی ہوتی ہے۔ قابل رسائی گروپ ایک مقامی طور پر کمپیکٹ ٹوپوولوجیکل گروپ G ہے جو باؤنڈڈ افعال پر ایک قسم کا اوسط آپریشن انجام دیتا ہے جو گروپ عناصر کے ترجمہ کے تحت غیر متغیر ہے۔ اصل تعریف، جی کے ذیلی سیٹوں پر ایک حتمی اضافی غیر متغیر پیمائش (یا اوسط) کے لحاظ سے، جان وان نیومن نے 1929 میں جرمن نام "میسبار" (انگریزی میں "قابل پیمائش") کے تحت بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس کے جواب میں متعارف کرایا تھا۔ 1949 میں ماہلون ایم ڈے نے انگریزی ترجمہ "قابل قبول" متعارف کرایا، بظاہر ایک سزا کے طور پر۔ مجرد گروپ تھیوری میں، جہاں G میں مجرد ٹوپولوجی ہے، ایک آسان تعریف استعمال کی جاتی ہے۔ اس ترتیب میں، ایک گروپ قابل قبول ہے اگر کوئی یہ کہہ سکے کہ کوئی بھی ذیلی سیٹ G کا کتنا تناسب لیتا ہے۔ اگر کسی گروپ میں فولنر ترتیب ہے تو یہ خود بخود قابل قبول ہے۔ غیر علامتی شنک ایک الٹرا لمٹ ایک ہندسی تعمیر ہے جو میٹرک خالی جگہوں Xn ایک محدود میٹرک جگہ کی ترتیب کو تفویض کرتی ہے۔ الٹرا لمٹس کی ایک اہم کلاس میٹرک خالی جگہوں کے نام نہاد ایسمپٹوٹک شنک ہیں۔ فرض کریں کہ (X، d) ایک میٹرک اسپیس ہے، فرض کریں کہ ω ایک غیر پرنسپل الٹرا فلٹر آن ہے اور فرض کریں کہ pn bul X بیس پوائنٹس کی ترتیب ہے۔ پھر ترتیب کی ω-الٹرا لمٹ کو ω کے حوالے سے X کا ایسمپٹوٹک شنک کہا جاتا ہے اور اسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک اکثر بیس پوائنٹ کی ترتیب کو مستقل لیتا ہے، pn = p کسی p ω X کے لیے ؛ اس صورت میں غیر علامتی شنک p ω X کے انتخاب پر منحصر نہیں ہوتا ہے اور اس کی طرف سے یا صرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ ایسمپٹوٹک شنک کا تصور ہندسی گروپ تھیوری میں ایک اہم کردار ادا کرتا ہے کیونکہ ایسمپٹوٹک شنک (یا، زیادہ واضح طور پر، ان کی ٹپوولوجیکل اقسام اور بائی-لپشٹز اقسام) عام طور پر میٹرک خالی جگہوں اور خاص طور پر حتمی طور پر تیار کردہ گروپوں کے نیم آئسومیٹری غیر متغیرات فراہم کرتے ہیں۔ غیر علامتی شنک بھی نسبتا ہائپربولک گروپوں اور ان کی عمومی شکلوں کے مطالعہ میں ایک مفید ذریعہ ثابت ہوتے ہیں۔ آئسومیٹری موٹے ڈھانچے کے حوالہ جات بھی دیکھیں جیومیٹرک گروپ تھیوری میٹرک جیومیٹری مساوات (ریاضی)