Out(Fn)
ریاضی میں، آؤٹ (Fn) n جنریٹرز پر ایک آزاد گروپ کا بیرونی آٹومورفزم گروپ ہے۔ یہ گروپ جیومیٹرک گروپ تھیوری میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ آؤٹر اسپیس آؤٹ (ایف این) ایک سیل کمپلیکس پر ہندسی طور پر کام کرتا ہے جسے کلر-ووگٹمین آؤٹر اسپیس کہا جاتا ہے، جسے حلقوں کے گلدستے کے لیے ٹیچ مولر اسپیس سمجھا جا سکتا ہے۔ تعریف بیرونی خلا کا ایک نقطہ بنیادی طور پر ایک-گراف X ہوموٹوپی ہے جو n حلقوں کے گلدستے کے مساوی ہے جس میں X سے n حلقوں کے گلدستے تک ہوموٹوپی کے مساوی کی ایک آزاد ہوموٹوپی کلاس کا ایک خاص انتخاب ہوتا ہے۔ ایک گراف صرف ایک وزن والا گراف ہے جس میں وزن ہوتا ہے۔ تمام وزنوں کا مجموعہ 1 ہونا چاہیے اور تمام وزن مثبت ہونے چاہئیں۔ ابہام سے بچنے کے لیے (اور ایک محدود جہتی جگہ حاصل کرنے کے لیے) یہ بھی ضروری ہے کہ ہر سرے کی ویلینسی کم از کم 3 ہونی چاہیے۔ ہوموٹوپی مساوات f سے گریز کرتے ہوئے ایک مزید وضاحتی نظریہ درج ذیل ہے۔ ہم n متغیرات میں آزاد گروپ کے ساتھ n حلقوں کے گلدستے کے بنیادی گروپ کی شناخت طے کر سکتے ہیں۔ مزید برآں، ہم X میں ایک زیادہ سے زیادہ درخت کا انتخاب کر سکتے ہیں اور ہر باقی کنارے کے لیے ایک سمت کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ اب ہم ہر بقیہ کنارے کو مندرجہ ذیل طریقے سے ایک لفظ تفویض کریں گے۔ ای سے شروع ہونے والے بند راستے پر غور کریں اور پھر زیادہ سے زیادہ درخت میں ای کے اصل کی طرف واپس جائیں۔ اس راستے کو f کے ساتھ تشکیل دیتے ہوئے ہمیں n حلقوں کے گلدستے میں ایک بند راستہ ملتا ہے اور اس لیے اس کے بنیادی گروپ میں ایک عنصر ہوتا ہے۔ یہ عنصر اچھی طرح سے بیان نہیں کیا گیا ہے ؛ اگر ہم f کو فری ہوموٹوپی سے تبدیل کرتے ہیں تو ہمیں ایک اور عنصر ملتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ وہ دونوں عناصر ایک دوسرے کے ساتھ جڑے ہوئے ہیں، اور اس لیے ہم اس جڑے ہوئے طبقے میں منفرد چکور طور پر کم شدہ عنصر کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ ان اعداد و شمار سے فری ہوموٹوپی قسم f کی تشکیل نو ممکن ہے۔ اس نظریہ کا فائدہ یہ ہے کہ یہ f کے اضافی انتخاب سے بچتا ہے اور اس کا نقصان یہ ہے کہ اضافی ابہام پیدا ہوتا ہے، کیونکہ کسی کو زیادہ سے زیادہ درخت اور باقی کناروں کی سمت کا انتخاب کرنا ہوتا ہے۔ بیرونی خلا پر آؤٹ (ایف این) کے عمل کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ ہر آٹومورفزم g، n حلقوں کے گلدستے کی سیلف ہوموٹوپی مساوات g′ کو جنم دیتا ہے۔ f کو g′ کے ساتھ کمپوز کرنے سے مطلوبہ عمل حاصل ہوتا ہے۔ اور دوسرے ماڈل میں یہ صرف جی کا اطلاق ہے اور اس کے نتیجے میں لفظ کو چکور طور پر کم کر دیتا ہے۔ لمبائی کے افعال سے تعلق بیرونی خلا میں ہر نقطہ ایک منفرد لمبائی کے فعل کا تعین کرتا ہے۔ میں ایک لفظ منتخب شدہ ہوموٹوپی مساوات کے ذریعے X میں ایک بند راستے کا تعین کرتا ہے۔ اس کے بعد لفظ کی لمبائی اس بند راستے کے فری ہوموٹوپی کلاس میں کسی راستے کی کم سے کم لمبائی ہوتی ہے۔ اس طرح کی لمبائی فنکشن ہر کنجوگیسی کلاس پر مستقل ہوتی ہے۔ اسائنمنٹ میں بیرونی خلا کو کسی لامحدود جہتی پروجیکٹو اسپیس میں شامل کرنے کی وضاحت کی گئی ہے۔ بیرونی خلا پر آسان ڈھانچہ دوسرے ماڈل میں ایک کھلا سمپلیکس ان تمام گرافوں کے ذریعے دیا جاتا ہے، جن میں مشترکہ طور پر ایک ہی بنیادی گراف ہوتا ہے اور ایک ہی کناروں کو ایک ہی الفاظ کے ساتھ لیبل کیا جاتا ہے (صرف کناروں کی لمبائی مختلف ہو سکتی ہے)۔ اس طرح کے سمپلیکس کی باؤنڈری سمپلیسیس تمام گرافوں پر مشتمل ہوتی ہیں، جو اس گراف سے ایک کنارے کو توڑ کر پیدا ہوتی ہیں۔ اگر وہ کنارہ ایک لوپ ہے تو اسے گراف کی ہوموٹوپی کی قسم کو تبدیل کیے بغیر نہیں گرایا جا سکتا۔ اس لیے کوئی باؤنڈری سمپلیکس نہیں ہے۔ لہذا کوئی بھی بیرونی خلا کے بارے میں ایک آسان کمپلیکس کے طور پر سوچ سکتا ہے جس میں کچھ آسانیاں ہٹا دی گئی ہیں۔ اس کی تصدیق کرنا آسان ہے، کہ اس کا عمل آسان ہے اور اس میں محدود آئسوٹروپی گروپ ہیں۔ ساخت ابیلینائزیشن کا نقشہ عام لکیری گروپ سے ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے، مؤخر الذکر کا آٹومورفزم گروپ ہے۔ یہ نقشہ اوپر ہے، جس سے گروپ کی توسیع ہوتی ہے۔ دانا ٹوریلی گروپ ہے۔ اس صورت میں نقشہ ایک آئسومورفزم ہے۔ نقشہ سازی کلاس گروپوں کے ساتھ مشابہت کیونکہ یہ n حلقوں کے گلدستے کا بنیادی گروپ ہے، اسے ٹپوولوجیکل طور پر n حلقوں کے گلدستے کے نقشہ سازی کلاس گروپ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (ہوموٹوپی زمرے میں)، ایک بند سطح کے نقشہ سازی کلاس گروپ سے مشابہت میں جو اس سطح کے بنیادی گروپ کے بیرونی آٹومورفزم گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ بھی دیکھیں ٹرین ٹریک نقشہ آٹومورفزم گروپ آف اے فری گروپ آؤٹر اسپیس حوالہ جات جیومیٹرک گروپ تھیوری