Porous set
ریاضی میں، ایک سوراخ دار سیٹ میٹرک خالی جگہوں کے مطالعہ میں ایک تصور ہے۔ معمولی اور پیمائش صفر سیٹوں کے تصورات کی طرح، ایک سوراخ دار سیٹ کو "کم" یا "کم بلک" سمجھا جا سکتا ہے ؛ تاہم، سوراخ دار سیٹ نہ تو معمولی سیٹوں کے برابر ہوتے ہیں اور نہ ہی صفر سیٹوں کی پیمائش کرتے ہیں، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ تعریف فرض کریں کہ (X، d) ایک مکمل میٹرک اسپیس ہے اور E کو X کا ذیلی سیٹ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ B (x، r) بند گیند کو (X، d) میں مرکز x bul X اور رداس r> 0 کے ساتھ ظاہر کرتا ہے۔ E کو سوراخ دار کہا جاتا ہے اگر مستقل 0 <α <1 اور r0> 0 ایسے موجود ہوں کہ، ہر 0 <r ≤ r0 اور ہر x ωX کے لیے، کچھ نقطہ y ωX ہوتا ہے جس کے ساتھ X کے ذیلی سیٹ کو σ-پوروس کہا جاتا ہے اگر یہ X کے سوراخ دار ذیلی سیٹوں کا قابل گنتی اتحاد ہو۔ خصوصیات کوئی بھی سوراخ دار سیٹ کہیں گھنے نہیں ہوتے۔ لہذا، تمام σ-سوراخ دار سیٹ معمولی سیٹ (یا پہلے زمرے کے) ہوتے ہیں۔ اگر X ایک محدود جہتی یوکلڈین اسپیس Rn ہے، تو سوراخ دار ذیلی سیٹ لیبسگیو پیمائش صفر کے سیٹ ہیں۔ تاہم، Rn کا ایک غیر-σ-سوراخ دار ذیلی سیٹ P موجود ہے جو پہلے زمرے کا ہے اور لیبسگیو پیمائش صفر کا ہے۔ اسے زاجکیک تھیوریم کہا جاتا ہے۔ سوراخ اور کہیں گھنے ہونے کے درمیان تعلق کو مندرجہ ذیل طور پر واضح کیا جا سکتا ہے: اگر E کہیں گھنے نہیں ہے، تو x Π X اور r> 0 کے لیے، ایک نقطہ y Π X اور s> 0 ایسا ہے کہ تاہم، اگر E بھی سوراخ دار ہے، تو s = αr (کم از کم کافی چھوٹے r کے لیے) لینا ممکن ہے، جہاں 0 <α <1 ایک مستقل ہے جو صرف E پر منحصر ہے۔ حوالہ جات میٹرک جیومیٹری