Multiplicative cascade
ریاضی میں، ضرب کا جھرن ایک تکرار اور ضرب بے ترتیب عمل کے ذریعے پیدا ہونے والے پوائنٹس کی فریکٹل/ملٹی فریکٹل تقسیم ہے۔ تعریف مندرجہ بالا پلاٹ ضرب دار جھرن ملٹی فریکٹلز کی مثالیں ہیں۔ ان تقسیمات کو بنانے کے لیے چند اقدامات کرنے ہیں۔ سب سے پہلے، ہمیں خلیوں کی ایک جالی بنانی چاہیے جو ہمارا بنیادی امکانی کثافت کا میدان ہوگا۔ دوسرا، جالی کی متعدد سطحوں کو بنانے کے لیے ایک تکراری عمل کی پیروی کی جاتی ہے: ہر تکرار پر خلیات کو چار مساوی حصوں (خلیات) میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد ہر نئے خلیے کو بغیر کسی تبدیلی کے سیٹ سے تصادفی طور پر ایک امکان تفویض کیا جاتا ہے، جہاں۔ یہ عمل نویں سطح تک جاری رہتا ہے۔ مثال کے طور پر، سطح 8 تک اس طرح کے ماڈل کی تعمیر میں ہم خلیوں کی 48 صف تیار کرتے ہیں۔ تیسرا، خلیات کو مندرجہ ذیل طریقے سے بھرا جاتا ہے: ہم کسی خلیے کے قبضے کے امکان کو خلیے کے اپنے پائی اور اس کے تمام والدین (سطح 1 تک) کی پیداوار کے طور پر لیتے ہیں۔ مونٹی کارلو مسترد کرنے کی اسکیم کو بار بار استعمال کیا جاتا ہے جب تک کہ مطلوبہ خلیے کی آبادی حاصل نہ ہو جائے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: x اور y خلیے کے نقاط کو تصادفی طور پر منتخب کیا جاتا ہے، اور 0 اور 1 کے درمیان ایک بے ترتیب نمبر تفویض کیا جاتا ہے۔ (x، y) خلیے کو اس بات پر منحصر کیا جاتا ہے کہ آیا تفویض کردہ تعداد (نتیجہ: آباد نہیں) سے کم ہے یا (نتیجہ: آباد) خلیے کے قبضے کے امکان سے زیادہ یا برابر ہے۔ مثالیں اوپر کے پلاٹ تیار کرنے کے لیے ہم نے 256 × 256 کی جگہ میں 5,000 پوائنٹس کے ساتھ امکانی کثافت کے میدان کو بھرا۔ امکانی کثافت کے میدان کی ایک مثال: فریکٹلز عام طور پر پیمانے پر غیر متغیر نہیں ہوتے ہیں اور اس وجہ سے انہیں معیاری فریکٹلز نہیں سمجھا جا سکتا۔ تاہم انہیں ملٹی فریکٹل سمجھا جا سکتا ہے۔ رینی (عمومی) طول و عرض کی نظریاتی طور پر پیش گوئی کی جا سکتی ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ جیسا کہ، جہاں N گرڈ ریفائنمنٹ کی سطح ہے اور، فریکٹل طول و عرض ہاؤسڈورف طول و عرض اسکیل انویرینس حوالہ جات بھی دیکھیں۔