Anti-symmetric operator
کوانٹم میکانکس میں، اٹھانا یا کم کرنا آپریٹر (اجتماعی طور پر سیڑھی آپریٹرز کے نام سے جانا جاتا ہے) ایک آپریٹر ہے جو دوسرے آپریٹر کی آئجن ویلیو کو بڑھاتا یا کم کرتا ہے۔ کوانٹم میکانکس میں، اٹھانے والے آپریٹر کو بعض اوقات تخلیق آپریٹر کہا جاتا ہے، اور کم کرنے والے آپریٹر کو اناہیلیشن آپریٹر کہا جاتا ہے۔ کوانٹم میکانکس میں سیڑھی آپریٹرز کی معروف ایپلی کیشنز کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر اور اینگولر مومنٹم کی رسمی کارروائیوں میں ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں آپریٹر کی ایک اور قسم، جو 1970 کی دہائی کے اوائل میں دریافت ہوئی، اینٹی سمیٹرک آپریٹر کے نام سے جانی جاتی ہے۔ یہ آپریٹر، غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس میں گھماؤ کی طرح ایک سیڑھی آپریٹر ہے جو دو فرمینوں سے بوسون یا بوسون سے مخالف گھماؤ کے دو فرمین بنا سکتا ہے۔ ایک فرمیئن، جس کا نام اینریکو فرمی کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک ایسا ذرہ ہے جس میں نصف عدد گھماؤ ہوتا ہے، جیسے الیکٹران اور پروٹون۔ یہ ایک مادے کا ذرہ ہے۔ بوسون، جس کا نام ایس این بوس کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک ایسا ذرہ ہے جس میں مکمل عدد گھماؤ ہوتا ہے، جیسے کہ فوٹون اور ڈبلیو۔ یہ ایک قوت ہے جو ذرہ کو لے جاتی ہے۔ اسپن سب سے پہلے، ہم غیر رشتہ دار کوانٹم میکانکس کے لیے اسپن کا جائزہ لیں گے۔ اسپن، کونیی مومنٹم سے ملتی جلتی ایک اندرونی خاصیت، کی تعریف ایک اسپن آپریٹر S کے ذریعے کی جاتی ہے جو مداری کونیی مومنٹم کے لیے آپریٹر L سے ملتے جلتے نظام پر کردار ادا کرتا ہے۔ آپریٹرز اور جن کی آئجین ویلیوز بالترتیب ہیں۔ یہ رسم و رواج کونیی مومنٹم، اور کے لیے معمول کے تبادلے کے تعلقات کی بھی پابندی کرتے ہیں۔ اٹھانا اور کم کرنا آپریٹرز، اور، کو بالترتیب بیان کیا گیا ہے۔ یہ سیڑھی چلانے والے درج ذیل اور بالترتیب ریاست پر عمل کرتے ہیں۔ آپریٹرز S _ x اور S _ y کا تعین سیڑھی کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ اسپن 1/2 کیس (فرمیئن) کے معاملے میں، کسی حالت پر کام کرنے والا آپریٹر اور پیدا کرتا ہے۔ اسی طرح، ریاست پر کام کرنے والا آپریٹر اور پیدا کرتا ہے۔ ان آپریٹرز کی میٹرکس کی نمائندگی مندرجہ ذیل طور پر بنائی گئی ہے: لہذا، اور میٹرکس کی نمائندگی کے ذریعے اس کی نمائندگی کی جا سکتی ہے: دو آپریٹرز A اور B کے لیے عمومی غیر یقینی تعلقات کو یاد کرتے ہوئے، ہم فوری طور پر دیکھ سکتے ہیں کہ آپریٹرز کا غیر یقینی تعلق اور اس طرح ہے: لہذا، مداری کونیی رفتار کی طرح، ہم ایک وقت میں صرف ایک کوآرڈینیٹ کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ ہم آپریٹرز اور کی وضاحت کرتے ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں اطلاق بوسون سے کسی ذرہ اور مخالف ذرہ کی تخلیق کی تعریف اسی طرح کی جاتی ہے لیکن لامحدود جہتوں کے لیے۔ لہذا، لامحدود جہتوں کے لیے لیوی-سیویتا علامت متعارف کرائی گئی ہے۔ تبادلوں کے تعلقات کو محض لامحدود جہتوں تک لے جایا جاتا ہے۔ اب اس کے برابر ہے جہاں n = φ ہے۔ اس کی آئجین ویلیو ہے۔ مقناطیسی کوانٹم نمبر کی وضاحت کرنا، ز سمت میں پیش کردہ کونیی مومنٹم، گھماؤ کی سادہ حالت سے زیادہ مشکل ہے۔ یہ مسئلہ کلاسیکی میکانکس میں مومنٹ آف انیرشیا سے مشابہت رکھتا ہے اور n طول و عرض کے لیے عام ہے۔ یہ وہ خاصیت ہے جو بوسون کی تخلیق اور تباہی کی اجازت دیتی ہے۔ بوسون جو ان کے گھومنے کی خصوصیت رکھتے ہیں، ایک بوسونک فیلڈ اسکیلر فیلڈز، ویکٹر فیلڈز اور یہاں تک کہ ٹینسر فیلڈز بھی ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، برقی مقناطیسی میدان جس کی مقدار مقرر کی گئی ہے وہ فوٹون فیلڈ ہے، جسے کینونکل یا پاتھ انٹیگرل کوانٹائزیشن کے روایتی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے متعین کیا جا سکتا ہے۔ اس کی وجہ سے کوانٹم الیکٹرو ڈائنامکس کا نظریہ سامنے آیا، جو کہ طبیعیات کا سب سے کامیاب نظریہ ہے۔ کشش ثقل کا میدان مقداری کشش ثقل کا میدان ہے۔ ابھی تک کوئی نظریہ موجود ہے جو کشش ثقل کے میدان کی مقدار کا تعین کرتا ہے، لیکن سٹرنگ تھیوری جیسے نظریات کو کشش ثقل کے میدان کی مقدار کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ غیر رشتہ دار بوسونک فیلڈ کی ایک مثال یہ ہے کہ ہیلیم-4 جیسے سرد بوسونک ایٹموں کو بیان کیا جاتا ہے۔ آزاد بوسونک فیلڈز تبادلوں کے تعلقات کی پابندی کرتے ہیں: مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہمارے پاس N بوسون کا ایک نظام ہے جو باہمی طور پر آرتھوگنل سنگل پارٹیکل اسٹیٹس وغیرہ پر قابض ہے۔ معمول کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ہر ذرہ کو ایک حالت تفویض کرکے اور پھر تبادلے کی ہم آہنگی مسلط کرکے نظام کا مظاہرہ کرتے ہیں۔ اس لہر کی مساوات کو دوسرے مقداری نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے پیش کیا جا سکتا ہے، جسے سیکنڈ کوانٹائزیشن کہا جاتا ہے۔ ہر ایک ذرہ کی حالت میں ذرات کی تعداد درج کی گئی ہے۔ تخلیق اور اناہیلیشن آپریٹرز، جو کثیر ذرات کی حالتوں سے ذرات کا اضافہ اور تخفیف کرتے ہیں۔ یہ تخلیق اور اناہیلیشن آپریٹرز کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے بیان کردہ آپریٹرز سے بہت ملتے جلتے ہیں، جس نے توانائی کوانٹا کو شامل اور گھٹا دیا۔ تاہم، یہ آپریٹر لفظی طور پر ایک دی گئی کوانٹم حالت کے ساتھ ذرات بناتے اور ختم کرتے ہیں۔ بوسونک اینہیلیشن آپریٹر اور کری ایشن آپریٹر کے درج ذیل اثرات ہوتے ہیں: تخلیق اور اینہیلیشن آپریٹرز کی طرح اور کوانٹم فیلڈ تھیوری میں بھی پایا جاتا ہے، تخلیق اور اینہیلیشن آپریٹرز اور کثیر ذرات کی حالتوں میں بوسون پر عمل کرتے ہیں۔ جبکہ اور ہمیں اس بات کا تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ آیا کسی نظام میں کوئی ذرہ تخلیق کیا گیا تھا یا تباہ کیا گیا تھا، اسپن آپریٹرز اور ہمیں اس بات کا تعین کرنے کی اجازت دیتے ہیں کہ کیسے۔ ایک فوٹون پوزیٹرون اور الیکٹران دونوں بن سکتا ہے اور اس کے برعکس۔ مخالف ہم آہنگی کے اعداد و شمار کی وجہ سے، گھماؤ کا ایک ذرہ پالی-اخراج کے اصول کی پابندی کرتا ہے۔ دو ذرات ایک ہی حالت میں موجود ہو سکتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ذرہ کا گھماؤ مخالف ہو۔ ہماری مثال پر واپس آتے ہیں، ذرہ کی گھماؤ حالت گھماؤ-1 ہے۔ سمیٹرک ذرات، یا بوسون، کو پالی-اخراج کے اصول کی پابندی کرنے کی ضرورت نہیں ہے لہذا ہم ذرہ کی گھماؤ کی حالت کو مندرجہ ذیل طور پر پیش کر سکتے ہیں: اور اناہیلیشن اسپن آپریٹر، جیسا کہ اس کے نام سے ظاہر ہوتا ہے، ایک فوٹون کو الیکٹران اور پوزیٹرون دونوں میں ختم کر دیتا ہے۔ اسی طرح، تخلیق اسپن آپریٹر ایک فوٹون بناتا ہے۔ اس مثال میں فوٹون پہلی حالت یا دوسری حالت میں ہو سکتا ہے۔ اگر ہم لکیری مومنٹم آپریٹر فرمینز کا اطلاق کرتے ہیں تو، ہم آپریٹر اور کی وضاحت کرتے ہیں۔ غیر رشتہ دار ذرہ کے معاملے میں، اگر کسی فرمیئن پر دو بار لگایا جائے تو اس کے نتیجے میں آئجن ویلیو 0 ہے۔ اسی طرح، جب کسی فرمیئن پر دو بار لگایا جاتا ہے تو آئجن ویلیو 0 ہوتی ہے۔ یہ تعلق پالی اخراج کے اصول کو مطمئن کرتا ہے۔ تاہم، بوسون ہم آہنگ ذرات ہیں، جو پالی اخراج کے اصول کی پابندی نہیں کرتے ہیں۔ حوالہ جات کوانٹم میکانکس کوانٹم فیلڈ تھیوری