Diophantus II.VIII
ڈیوفنٹس () کی تصنیف کردہ ارتھمیٹیکا کی دوسری کتاب کا آٹھواں مسئلہ ایک مربع کو دو مربعوں کے مجموعے میں تقسیم کرنا ہے۔ ڈیوفنٹس ڈیوفنٹس کی طرف سے دیا گیا حل مربع کو 16 پر لے جاتا ہے اور اس مسئلے کو اس طرح حل کرتا ہے: کسی دیئے گئے مربع کو دو مربعوں کے مجموعے میں تقسیم کرنا۔ 16 کو دو مربعوں کے مجموعے میں تقسیم کرنا۔ پہلا خلاصہ ہونے دیں، اور اس طرح دوسرا۔ مؤخر الذکر مربع ہونا ہے۔ میں x کے صوابدیدی ضرب کے فرق کا مربع بناتا ہوں جو [کے] 16 کے جڑ سے کم ہوتا ہے، یعنی 4 سے کم ہوتا ہے۔ میں، مثال کے طور پر، 2x−4 کا مربع بناتا ہوں۔ ہے۔ میں اس اظہار کو برابر رکھتا ہوں۔ میں دونوں طرف جوڑتا ہوں اور 16 گھٹاتا ہوں۔ اس طرح میں حاصل کرتا ہوں۔ اس طرح ایک نمبر 256/25 اور دوسرا 144/25 ہے۔ ان اعداد کا مجموعہ 16 ہے اور ہر مجموعہ ایک مربع ہے۔ ہندسی تشریح ہندسی طور پر، ہم اس طریقہ کو دائرہ x2 + y2 = 42 اور لکیر y = 2x-4 کھینچ کر واضح کر سکتے ہیں۔ مجوزہ مربعوں کا جوڑا پھر x02 اور y02 ہے، جہاں (x0، y0) وہ نقطہ ہے جو y محور پر نہیں ہے جہاں لکیر اور دائرہ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ یہ ملحقہ خاکہ میں دکھایا گیا ہے۔ ڈیوفنٹس کے حل کی عمومی کاری ہم کسی بھی مربع کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے ڈیوفنٹس کے حل کو عام کر سکتے ہیں، جسے ہم الجبرائی طور پر a2 کے طور پر پیش کریں گے۔ نیز، چونکہ ڈیوفنٹس x کے صوابدیدی ضرب سے مراد ہے، اس لیے ہم صوابدیدی ضرب کو tx لیں گے۔ پھر: لہذا، ہم دیکھتے ہیں کہ خلاصہ میں سے ایک ہے اور دوسرا ہے۔ ان اعداد کا مجموعہ ہے اور ہر مجموعہ ایک مربع ہے۔ ہندسی طور پر، ہم نے دائرے x2 + y2 = a2 کو لکیر y = tx-a کے ساتھ کاٹ دیا ہے، جیسا کہ ملحقہ خاکہ میں دکھایا گیا ہے۔ مثلث OAB کے اطراف کی لمبائی، OB، OA، اور AB کو ایک ترتیب شدہ ٹپل کے طور پر لکھتے ہوئے، ہم ٹرپل حاصل کرتے ہیں۔ ڈیوفنٹس کے ذریعہ حاصل کردہ مخصوص نتیجہ a = 4 اور t = 2 لے کر حاصل کیا جا سکتا ہے: ہم دیکھتے ہیں کہ ڈیوفنٹس کا مخصوص حل درحقیقت ایک باریک بھیس میں (3، 4، 5) تین گنا ہے۔ تاہم، چونکہ ٹرپل ہمیشہ عقلی ہوگا جب تک کہ a اور t عقلی ہوں، ہم t کی قدر کو تبدیل کر کے، اور اس لیے x کے من مانی ضرب کی قدر کو تبدیل کر کے عقلی ٹرپل کی لامحدود حاصل کر سکتے ہیں۔ اس الجبرائی حل کو پلاٹونک ترتیب تک پہنچنے کے لیے صرف ایک اضافی قدم کی ضرورت ہوتی ہے اور وہ یہ ہے کہ مذکورہ بالا ٹرپل کے تمام اطراف کو ایک عنصر سے ضرب دینا ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ اگر a = 1 ہے، تو اطراف [OB، OA، AB] کم ہو کر θ ہو جاتے ہیں۔ جدید اشارے میں یہ صرف θ کے لیے ہے جو اوپر کے گراف میں دکھایا گیا ہے، جو θ/2 کے کوٹینجینٹ t کے لحاظ سے لکھا گیا ہے۔ ڈیوفنٹس کی دی گئی خاص مثال میں، t کی قدر 2 ہے، جو x کا صوابدیدی ضرب ہے۔ ڈینومینیٹرز کو صاف کرنے پر، یہ اظہار پائیتھاگورین ٹرپل پیدا کرے گا۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ x کا من مانی ضرب جنریٹر کے اظہار کی بنیاد بن گیا ہے۔ ڈیوفینٹس II.IX اس سے بھی تیز راستے سے اسی حل تک پہنچتا ہے جو کہ اوپر دیے گئے 'عمومی حل' سے بہت ملتا جلتا ہے۔ ایک بار پھر مسئلہ 16 کو دو مربعوں میں تقسیم کرنا ہے۔ فرض کریں کہ پہلا عدد N ہو اور دوسرا N کا صوابدیدی ضرب جو جڑ (کے) 16 سے کم ہو جائے۔ مثال کے طور پر 2N−4۔ پھر: فرمیٹ کا مشہور تبصرہ جو بعد میں فرمیٹ کا آخری نظریہ بن گیا، ارتھمیٹیکا کے 1670 ایڈیشن کے صفحہ 61 پر 'کویسٹیو VIII' اور 'کویسٹیو IX' کے درمیان سینڈوچ کیا ہوا ظاہر ہوتا ہے۔ فرمیٹ کا آخری نظریہ اور ڈیوفینٹس II.VIII حوالہ جات ڈیوفینٹائن مساوات بھی دیکھیں۔