Liouville's equation
متحرک نظاموں میں لیوویل کی مساوات کے لیے، لیوویل کا نظریہ (ہیملٹنین) دیکھیں۔ کوانٹم میکانکس میں لیوویل کی مساوات کے لیے، وان نیومن مساوات دیکھیں۔ یوکلیڈین خلا میں لیوویل کی مساوات کے لیے، لیوویل-براٹو-گیلفنڈ مساوات دیکھیں۔ تفریق جیومیٹری میں، لیوویل کی مساوات، جسے جوزف لیوویل کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، وہ غیر لکیری جزوی تفریق مساوات ہے جو مستقل گاؤسی منحنی خطوط کی سطح پر میٹرک کے مطابقت پذیر عنصر سے مطمئن ہوتی ہے: جہاں فلیٹ لیپلیس آپریٹر لیوویل کی مساوات تفریق جیومیٹری میں آئسوتھرمل نقاط کے مطالعہ میں ظاہر ہوتی ہے: آزاد متغیر نقاط ہیں، جبکہ فلیٹ میٹرک کے حوالے سے مطابقت پذیر عنصر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ کبھی کبھار یہ وہ مربع ہوتا ہے جسے خود کے بجائے کنفارمل فیکٹر کہا جاتا ہے۔ لیوویل کی مساوات کو ڈیوڈ ہلبرٹ نے اپنے انیسویں مسئلے کی تشکیل میں بھی ایک مثال کے طور پر لیا تھا۔ لیوویل کی مساوات کی دیگر عام شکلیں متغیرات کی تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے، لیوویل کی مساوات کی ایک اور عام طور پر پائی جانے والی شکل حاصل کی جاتی ہے: مساوات کی دیگر دو شکلیں، جو عام طور پر ادب میں پائی جاتی ہیں، متغیرات کی پچھلی تبدیلی کے معمولی تغیر اور ورٹنگر کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جاتی ہیں: نوٹ کریں کہ یہ بالکل سابقہ دو شکلوں میں سے پہلے ایک میں ہے جس کا حوالہ ڈیوڈ ہلبرٹ نے اپنے انیسویں مسئلے کی تشکیل میں دیا تھا۔ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے ایک فارمولیشن زیادہ غیر متغیر انداز میں، مساوات کو اندرونی لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کے لحاظ سے درج ذیل لکھا جا سکتا ہے: گاوس-کوڈازی مساوات سے پراپرٹیز کا تعلق لیوویل کی مساوات 3-اسپیس میں کم سے کم وسرجن کے لیے گاوس-کوڈازی مساوات کے مساوی ہے، جب میٹرک کو آئسوتھرمل کوآرڈینیٹس میں لکھا جاتا ہے جیسے کہ ہوپف تفریق ہے۔ مساوات کا عمومی حل محض منسلک ڈومین میں، لیوویل کی مساوات کا عمومی حل ورٹنگر کیلکولس کا استعمال کرکے پایا جا سکتا ہے۔ اس کی شکل اس طرح دی جاتی ہے کہ ہر ایک کے لیے کوئی میرومورفک فنکشن کہاں ہے۔ اس میں زیادہ تر سادہ کھمبے ہوتے ہیں۔ اطلاق لیوویل کی مساوات کو سطحوں کے لیے درج ذیل درجہ بندی کے نتائج کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: یوکلڈین 3-اسپیس میں ایک سطح میٹرک کے ساتھ، اور مستقل اسکیلر منحنی خطوط کے ساتھ مقامی طور پر آئسومیٹرک ہوتی ہے: دائرہ اگر ؛ یوکلڈین طیارہ اگر ؛ لوباچوسکی طیارہ اگر۔ لیوویل فیلڈ تھیوری بھی دیکھیں، جو ایک دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری ہے جس کی کلاسیکی حرکت کی مساوات لیوویل کی مساوات کی عمومی شکل ہے۔ ۔ ، کا انگریزی میں ترجمہ مریم فرانسس ونسٹن نیوسن نے کیا ہے۔ تفریقی مساوات تفریقی جیومیٹری