Group Hopf algebra
ریاضی میں، کسی دیئے گئے گروپ کا گروپ ہوپف الجبرا ایک مخصوص تعمیر ہے جو گروپ کے اعمال کی ہم آہنگی سے متعلق ہے۔ گروپ ہوپف الجبرا کی شکلیں کوانٹم گروپوں کے نظریہ میں بنیادی ہیں۔ تعریف G کو گروپ اور k کو فیلڈ مان لیں۔ گروپ ہوپف الجبرا کا G اوور k، جسے kG (یا k [G]) سے ظاہر کیا جاتا ہے، ایک سیٹ (اور ایک ویکٹر اسپیس) کے طور پر ہے جو G اوور k پر فری ویکٹر اسپیس ہے۔ ایک الجبرا کے طور پر، اس کے پروڈکٹ کی تعریف G میں گروپ کی ساخت کی لکیری توسیع سے کی جاتی ہے، ضرب یونٹ کے ساتھ G میں شناخت ؛ اس پروڈکٹ کو کنولیوشن بھی کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ جب کہ ایک محدود گروپ کے گروپ الجبرا کی شناخت گروپ پر افعال کی جگہ سے کی جا سکتی ہے، ایک لامحدود گروپ کے لیے یہ مختلف ہیں۔ گروپ الجبرا، جو محدود جملوں پر مشتمل ہوتا ہے، اس گروپ کے افعال سے مطابقت رکھتا ہے جو اختتامی طور پر بہت سے پوائنٹس کے لیے غائب ہو جاتے ہیں۔ ٹوپوولوجیکل طور پر (مجرد ٹوپولوجی کا استعمال کرتے ہوئے)، یہ ان افعال سے مطابقت رکھتے ہیں جو صرف ایک محدود سیٹ پر غیر صفر ہوتے ہیں۔ تاہم، گروپ الجبرا اور-G کے فنکشنز کا تبادلہ الجبرہ k میں-دوہری ہیں: گروپ الجبرا کا ایک عنصر اور گروپ پر ایک فنکشن کو دیکھتے ہوئے یہ جوڑا k کا ایک عنصر دیتا ہے جس کے ذریعے ایک اچھی طرح سے طے شدہ رقم ہے کیونکہ یہ محدود ہے۔ ہوپف الجبرا ڈھانچہ ہم کے جی کو ایک ہم آہنگ ہوپف الجبرا کا ڈھانچہ دیتے ہیں جس میں ہم G پر بیان کردہ مندرجہ ذیل نقشوں کی لکیری توسیعات کے طور پر کوپروڈکٹ، کاؤنٹ، اور اینٹیپوڈ کی وضاحت کرتے ہیں: مطلوبہ ہوپف الجبرا مطابقت کے محوریات کو آسانی سے چیک کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ، کے جی کے گروپ جیسے عناصر کا مجموعہ (یعنی۔ عناصر جیسے کہ اور)، قطعی طور پر G ہے۔ گروپ کے اعمال کی ہم آہنگی G کو ایک گروپ اور X کو ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہونے دیں۔ X پر G کا کوئی بھی عمل ہومومورفزم دیتا ہے، جہاں F (X) k-ویلیوڈ فنکشنز کا ایک مناسب الجبرا ہے، جیسے کہ انفینیٹی پر غائب ہونے والے مسلسل فنکشنز کا گیلفینڈ-نیمارک الجبرا۔ ہومومورفزم کی تعریف، ملحقہ کے ساتھ، اور کے ذریعہ کی گئی ہے۔ یہ ایک لکیری نقشہ سازی کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جہاں، G کے عناصر ہیں، اور، جس میں وہ خاصیت ہے جس میں گروپ جیسے عناصر F (X) کے آٹومورفزم کو جنم دیتے ہیں۔ F (X) کو ایک اہم اضافی ڈھانچے کے ساتھ فراہم کرتا ہے، جو ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ ہوپف ماڈیول الجبرا اور ہوپف سمیش پروڈکٹ H کو ہوپف الجبرا ہونے دیں۔ A (بائیں) ہاپف H-ماڈیول الجبرا A ایک الجبرا ہے جو الجبرا H پر ایک (بائیں) ماڈیول ہے جیسے کہ اور جب بھی، اور بے شمار سویڈلر نوٹیشن میں۔ جب پچھلے حصے کی طرح تعریف کی گئی ہے، تو یہ F (X) کو بائیں ہوپف کے جی-ماڈیول الجبرا میں بدل دیتا ہے، جو مندرجہ ذیل تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ فرض کریں کہ H ایک ہوپف الجبرا اور A ایک بائیں ہوپف H-ماڈیول الجبرا ہے۔ سمیش پروڈکٹ الجبرا پروڈکٹ کے ساتھ ویکٹر اسپیس ہے، اور ہم اس تناظر میں اس کے لیے لکھتے ہیں۔ ہمارے معاملے میں، اور، اور ہمارے پاس ہے۔ اس صورت میں سمیش پروڈکٹ الجبرا کو بھی اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ہوپف سمیش مصنوعات کی چکور ہم آہنگی کا حساب لگایا گیا ہے۔ تاہم، وہاں سمیش پروڈکٹ کو کراسڈ پروڈکٹ کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے-- ڈائنامیکل سسٹمز سے حاصل کردہ کراسڈ پروڈکٹ کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا۔ حوالہ جات ہوپف الجبرا کوانٹم گروپس