Proof that π is irrational
1760 کی دہائی میں، جوہان ہینرچ لیمبرٹ وہ پہلا شخص تھا جس نے یہ ثابت کیا کہ یہ تعداد غیر معقول ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے ایک فریکشن کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا، جہاں اور دونوں عدد ہیں۔ 19 ویں صدی میں، چارلس ہرمیٹ نے ایک ایسا ثبوت پایا جس کے لیے بنیادی حساب سے آگے کسی ضروری علم کی ضرورت نہیں ہے۔ ہرمیٹ کے ثبوت کی تین آسانیاں مریم کارٹرائٹ، ایوان نیوین اور نکولس بورباکی کی وجہ سے ہیں۔ ایک اور ثبوت، جو لیمبرٹ کے ثبوت کو آسان بناتا ہے، میکلوس لاکزکووچ کی وجہ سے ہے۔ ان میں سے بہت سے تضاد کے ثبوت ہیں۔ 1882 میں، فرڈینینڈ وان لنڈمین نے ثابت کیا کہ یہ نہ صرف غیر منطقی ہے، بلکہ ماورائی بھی ہے۔ لیمبرٹ کا ثبوت 1761 میں، لیمبرٹ نے ثابت کیا کہ یہ غیر منطقی ہے، پہلے یہ ظاہر کرتے ہوئے کہ یہ مسلسل فریکشن توسیع برقرار ہے: پھر لیمبرٹ نے ثابت کیا کہ اگر غیر صفر اور عقلی ہے، تو یہ اظہار غیر معقول ہونا چاہیے۔ چونکہ، اس کے بعد یہ غیر منطقی ہے، اور اس طرح یہ بھی غیر منطقی ہے۔ لیمبرٹ کے ثبوت کی سادگی ذیل میں دی گئی ہے۔ ہرمائیٹ کا ثبوت 1873 میں لکھا گیا، یہ ثبوت سب سے چھوٹے مثبت نمبر کے طور پر کی خصوصیت کا استعمال کرتا ہے جس کا نصف کوسائن فنکشن کا صفر ہے اور یہ دراصل ثابت کرتا ہے کہ یہ غیر معقول ہے۔ جیسا کہ غیر معقولیت کے بہت سے شواہد میں، یہ تضاد کا ثبوت ہے۔ حقیقی افعال کے سلسلے پر غور کریں اور اس کی تعریف کے لیے: انڈکشن کا استعمال کرتے ہوئے ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں اور اس لیے ہمارے پاس ہے: تو جو کہ اس کے مساوی ہے۔ ترتیب کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے اور انڈکشن کو استعمال کرتے ہوئے ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی افعال کہاں اور کہاں ہیں اور ان کی ڈگری انٹیجر کوفشنٹس سے چھوٹی یا برابر ہے۔ خاص طور پر، ہرمائیٹ نے فنکشن کے لیے ایک بند اظہار بھی دیا یعنی اس نے اس دعوے کا جواز پیش نہیں کیا، لیکن اسے آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ سب سے پہلے، یہ دعوی انڈکشن کے ذریعے آگے بڑھنے کے برابر ہے، لے لو اور، انڈکٹو مرحلے کے لیے، کسی بھی قدرتی نمبر پر غور کریں اگر پھر، حصوں اور لیبنز کے اصول کے ذریعے انضمام کا استعمال کرتے ہوئے، ایک کو حاصل ہوتا ہے اگر اور میں، تو، چونکہ کے کوفیشنٹس انٹیجرز ہیں اور اس کی ڈگری کسی انٹیجر سے چھوٹی یا برابر ہے۔ دوسرے الفاظ میں، لیکن یہ نمبر واضح طور پر اس سے زیادہ ہے۔ دوسری طرف، اس مقدار کی حد جو انفینٹی تک جاتی ہے وہ صفر ہے، اور اس طرح، اگر کافی بڑی ہے تو، ایک تضاد تک پہنچ جاتا ہے۔ ہرمیٹ نے اپنے ثبوت کو اپنے آپ میں ایک اختتام کے طور پر پیش نہیں کیا بلکہ اس کے ماورا ہونے کے ثبوت کی تلاش میں ایک بعد کی سوچ کے طور پر پیش کیا۔ اس نے ایک آسان لازمی نمائندگی حاصل کرنے اور حوصلہ افزائی کرنے کے لیے تکرار کے تعلقات پر تبادلہ خیال کیا۔ ایک بار جب یہ لازمی نمائندگی حاصل ہو جاتی ہے، تو لازمی سے شروع ہونے والے ایک مختصر اور خود مختار ثبوت پیش کرنے کے مختلف طریقے ہوتے ہیں (جیسا کہ کارٹرائٹ، بورباکی یا نیوین کی پیش کشوں میں)، جسے ہرمیٹ آسانی سے دیکھ سکتا تھا (جیسا کہ اس نے اپنے ماورا ہونے کے ثبوت میں کیا تھا)۔ مزید برآں، ہرمیٹ کا ثبوت لیمبرٹ کے ثبوت کے جتنا لگتا ہے اس سے زیادہ قریب ہے۔ درحقیقت، کارٹرائٹ کے ثبوت کے لیے لیمبرٹ کے مسلسل حصے کا "ریسیڈیو" (یا "بقیہ") ہے، ہیرالڈ جیفریز نے لکھا ہے کہ یہ ثبوت میری کارٹرائٹ کے ذریعے 1945 میں کیمبرج یونیورسٹی کے ایک امتحان میں ایک مثال کے طور پر پیش کیا گیا تھا، لیکن اس نے اس کی اصل کا پتہ نہیں لگایا تھا۔ یہ کیمبرج یونیورسٹی میں تجزیہ آئی اے کورس کے لیے آج بھی چوتھے مسئلہ شیٹ پر موجود ہے۔ انٹیگرلز پر غور کریں جہاں ایک غیر منفی عدد ہے۔ حصوں کے لحاظ سے دو انضمام تکرار کا تعلق دیتے ہیں اگر پھر یہ ہو جاتا ہے مزید، اور اس لیے ان سب کے لیے جہاں اور ڈگری کے کثیر الجہتی ہیں اور انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ (لینے پر منحصر ہے اور اگر ممکن ہو تو فرض کریں کہ قدرتی اعداد کہاں اور ہیں (یعنی فرض کریں کہ عقلی ہے)۔ پھر دائیں طرف ایک عدد ہوتا ہے۔ لیکن چونکہ وقفے کی لمبائی ہوتی ہے اور مربوط ہونے والا فنکشن صرف اور کے درمیان اقدار لیتا ہے۔ دوسری طرف، اس لیے کافی بڑے کے لیے، ہم اور کے درمیان ایک عدد تلاش کر سکتے ہیں۔ یہ وہ تضاد ہے جو اس مفروضے کے بعد آتا ہے جو عقلی ہے۔ یہ ثبوت ہرمیٹ کے ثبوت سے ملتا جلتا ہے۔ درحقیقت، تاہم، یہ واضح طور پر آسان ہے۔ یہ افعال کی تعمیلی تعریف کو چھوڑ کر اور ان کے اظہار کو ایک لازمی نقطہ کے طور پر لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ نیوین کا ثبوت یہ ثبوت سائن فنکشن کے سب سے چھوٹے مثبت صفر کی خصوصیت کا استعمال کرتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ عقلی ہے، یعنی۔ کچھ انٹیجرز کے لیے اور جنہیں عامیت کے نقصان کے بغیر لیا جا سکتا ہے، دونوں مثبت ہیں۔ کسی بھی مثبت عدد کو دیکھتے ہوئے ہم کثیر الجہتی فعل کی وضاحت کرتے ہیں: اور، ہر ایک کے لیے دعوی 1: ایک عدد ہے۔ ثبوت: مونومیلز کے مجموعے کے طور پر توسیع کرتے ہوئے، کا گتانک اس شکل کا ایک عدد ہے جہاں ایک عدد ہے، جو کہ اگر ہے تو، جب ہے اور یہ ہر صورت میں اگر کے برابر ہے، ایک عدد ہے اور اس لیے ایک عدد ہے۔ دوسری طرف، اور اسی طرح ہر غیر منفی عدد کے لیے خاص طور پر، لہذا، ایک عدد بھی ہے اور اسی طرح ایک عدد بھی ہے (درحقیقت، یہ دیکھنا آسان ہے کہ چونکہ اور عدد ہیں، اسی طرح ان کا مجموعہ بھی ہے۔ دعوی 2: ثبوت: چونکہ صفر کثیر الجہتی ہے، ہمارے پاس ہے۔ سائن اور کوسین فنکشن کے مشتقات sin '= cos اور cos' = − sin کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ لہذا پروڈکٹ رول کا مطلب ہے کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے مطابق چونکہ اور (یہاں ہم سائن فنکشن کے صفر کے طور پر اوپر بیان کردہ خصوصیت کا استعمال کرتے ہیں)، دعوی 2 مندرجہ ذیل ہے۔ نتیجہ: چونکہ اور اس کے لیے (کیونکہ یہ سائن فنکشن کا سب سے چھوٹا مثبت صفر ہے)، دعوی 1 اور 2 ظاہر کرتے ہیں کہ یہ ایک مثبت عدد ہے۔ چونکہ اور ہمارے پاس ہے، جس کی اصل تعریف بڑے کے مقابلے میں چھوٹی ہے لہذا ان کے لیے دعوی 2 کے ذریعے۔ مثبت عدد کے لیے یہ ناممکن ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اصل مفروضہ جو عقلی ہے وہ تضاد کی طرف لے جاتا ہے، جو ثبوت کو ختم کرتا ہے۔ مندرجہ بالا ثبوت ایک پالش شدہ ورژن ہے، جسے فارمولے کے تجزیے کے تقاضوں کے حوالے سے جتنا ممکن ہو اتنا آسان رکھا جاتا ہے، جو حصوں کے ذریعے انضمام کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ دعوی 2 بنیادی طور پر اس فارمولے کو قائم کرتا ہے، جہاں کا استعمال حصوں کے ذریعہ تکرار شدہ انضمام کو چھپاتا ہے۔ آخری انٹیگرل غائب ہو جاتا ہے کیونکہ یہ صفر کثیر الجہتی ہے۔ دعوی 1 سے پتہ چلتا ہے کہ بقیہ رقم ایک عدد ہے۔ نیوین کا ثبوت کارٹرائٹ کے (اور اس وجہ سے ہرمیٹ کے) ثبوت کے قریب ہے جو پہلی نظر میں ظاہر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ثبوتوں کے درمیان ایک اور تعلق اس حقیقت میں مضمر ہے کہ ہرمائیٹ پہلے ہی ذکر کرتا ہے کہ اگر ایک کثیر الجہتی فعل ہے اور پھر اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ بورباکی کے ثبوت بورباکی کے ثبوت کو ان کے حساب کتاب کے مقالے میں ایک مشق کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس کے علاوہ، ہر قدرتی نمبر کے لیے اگر کافی بڑا ہے، کیونکہ اور اسی وجہ سے حصوں کے ذریعے بار بار انضمام ہمیں یہ نتیجہ اخذ کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ، اگر اور قدرتی نمبر ایسے ہیں اور اس وقت تک اس کی وضاحت کردہ کثیر الجہتی فنکشن ہے: یہ آخری انٹیگرل اس وقت سے صفر فنکشن ہے (کیونکہ یہ ڈگری کا ایک کثیر الجہتی فنکشن ہے) چونکہ ہر فنکشن (جس میں انٹیجر ویلیوز ہوتی ہیں اور چونکہ ایک ہی چیز سائن اور کوسین فنکشن کے ساتھ ہوتی ہے، اس سے یہ ثابت ہوتا ہے کہ یہ ایک انٹیجر ہے۔ چونکہ یہ بھی اس سے بڑا ہے اس لیے اسے ایک قدرتی عدد ہونا چاہیے۔ لیکن یہ بھی ثابت ہوا کہ اگر کافی بڑا ہے، تو اس طرح ایک تضاد تک پہنچ جاتا ہے۔ یہ ثبوت نیوین کے ثبوت کے بالکل قریب ہے، ان کے درمیان بنیادی فرق یہ ثابت کرنے کا طریقہ ہے کہ اعداد عدد ہیں۔ لاکزکووچ کا ثبوت میکلس لاکزکووچ کا ثبوت لیمبرٹ کے اصل ثبوت کی سادگی ہے۔ وہ فنکشنز پر غور کرتا ہے۔ یہ فنکشنز کسی بھی حقیقی نمبر کے لیے واضح طور پر بیان کیے گئے ہیں۔ دعوی 1 کے علاوہ: مندرجہ ذیل تکرار کا تعلق کسی بھی حقیقی نمبر کے لیے ہوتا ہے۔ ثبوت: یہ دعوی 2 کے پاورز کے کوفیشنٹس کا موازنہ کر کے ثابت کیا جا سکتا ہے: ہر حقیقی نمبر کے لیے ثبوت: درحقیقت، ترتیب پابند ہے (چونکہ یہ اوپری باؤنڈ میں یکجا ہوتا ہے اور اگر ہے تو دعوی 3: اگر عقلی ہے، اور پھر ثبوت: بصورت دیگر، ایک نمبر اور انٹیجرز ہوں گے اور ایسا کہ اور یہ دیکھنے کے لیے کہ کیوں، لے اور اگر دوسری صورت میں، انٹیجرز کا انتخاب کریں اور اس کی وضاحت کریں۔ ہر صورت میں، ایسا نہیں ہو سکتا کیونکہ بصورت دیگر یہ دعوی 1 کی پیروی کرے گا کہ ہر () ہو گا جو دعوی 2 سے متصادم ہو۔ اب، ایک قدرتی عدد لیں تاکہ تینوں اعداد اور عدد ہوں اور ترتیب پر غور کریں پھر دوسری طرف، یہ دعوی 1 سے پیروی کرتا ہے جو کہ انٹیجر کوفشنٹس کا لکیری مجموعہ ہے۔ اس کے علاوہ، یہ دعوی 2 سے مندرجہ ذیل ہے کہ ہر ایک اس سے بڑا ہے (اور اس وجہ سے کہ اگر کافی بڑا ہے اور یہ کہ تمام کی ترتیب یکجا ہو جاتی ہے۔ لیکن اس سے زیادہ یا اس کے برابر اعداد کی ترتیب یکجا نہیں ہو سکتی۔ دوسری طرف، چونکہ دعوی 3 کا ایک اور نتیجہ یہ ہے کہ اگر ایسا ہے تو یہ غیر معقول ہے۔ لاکزکووچ کا ثبوت واقعی ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے بارے میں ہے۔ در حقیقت، اور گاؤس نے اپنی فنکشنل مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ہائپر جیومیٹرک فنکشن کی مسلسل فریکشن توسیع پائی۔ اس سے لاکزکووچ کو اس حقیقت کا ایک نیا اور آسان ثبوت تلاش کرنے کا موقع ملا کہ ٹینجینٹ فنکشن میں مسلسل فریکشن توسیع ہوتی ہے جو لیمبرٹ نے دریافت کی تھی۔ لاکزکووچ کا نتیجہ پہلی قسم کے بیسیل افعال میں بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، (گاما فنکشن کہاں ہے)۔ لہذا لاکزکووچ کا نتیجہ اس کے مساوی ہے: اگر عقلی ہے، اور پھر یہ ثبوت بھی دیکھیں کہ ای غیر معقول ثبوت ہے جو ماورائے الہی حوالہ جات پائی آرٹیکل ثبوت غیر معقول اعداد ہیں۔