Macbeath surface
ریمن سرفیس تھیوری اور ہائپربولک جیومیٹری میں، میک بیت کی سطح، جسے میک بیت کا وکر یا فرک-میک بیت وکر بھی کہا جاتا ہے، جینس 7 ہروٹز کی سطح ہے۔ میک بیت کی سطح کا آٹومورفزم گروپ سادہ گروپ پی ایس ایل (2,8) ہے، جو 504 ہم آہنگی پر مشتمل ہے۔ مثلث گروپ کی تعمیر سطح کے فوچیان گروپ کو بنیادی ہم آہنگی ذیلی گروپوں کے مناسب ٹاور میں (2,3,7) مثلث گروپ کے بنیادی ہم آہنگی ذیلی گروپ کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ یہاں کواٹرنیئن الجبرا اور ہروٹز کواٹرنیئن آرڈر کے انتخاب مثلث گروپ پیج پر بیان کیے گئے ہیں۔ انٹیجرز کی رنگ میں آئیڈیل کا انتخاب کرتے ہوئے، متعلقہ پرنسپل ہم آہنگی ذیلی گروپ جینس 7 کی اس سطح کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کا سسٹول تقریبا 5.796 ہے، اور آر ووگلر کے حساب کے مطابق سسٹولک لوپس کی تعداد 126 ہے۔ اس کے نتیجے میں مثلث کی سطح کو غیر کنویکس پولی ہیڈرون کے طور پر خود کٹوتیوں کے بغیر محسوس کرنا ممکن ہے۔ تاریخی نوٹ اس سطح کو اصل میں الیگزینڈر مرے میک بیت نے دریافت کیا تھا، لیکن اسی منحنی خطوط کی بعد میں آزادانہ دریافت کی وجہ سے اس کا نام الیگزینڈر مرے میک بیت کے نام پر رکھا گیا تھا۔ ایلکیز لکھتے ہیں کہ فریک اور میک بیت کے ذریعے زیر مطالعہ منحنی خطوط کے درمیان مساوات کا مشاہدہ سب سے پہلے سیر نے ابھینکر کو لکھے گئے 24.vii.1990 خط میں کیا ہوگا۔ کلین کوارٹک فرسٹ ہروٹز ٹرپلٹ نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ماسکو یونیورسٹی میں ترجمہ۔ ریاضی۔ بیل۔ 44 (1989)، نمبر۔ 5، 37-40۔ ۔ ۔ ۔ کوریجینڈم، جلد۔ 28، نہیں۔ 2، 1986، صفحہ 241،۔ ہائپربولک جیومیٹری ریمن سطحوں پر ریمنین جیومیٹری سطحوں کی تفریقی جیومیٹری سسٹولک جیومیٹری