Apeirotope
جیومیٹری میں، ایک اپیروٹوپ یا لامحدود پولیٹوپ ایک عمومی پولیٹوپ ہے جس کے لامحدود کئی پہلو ہوتے ہیں۔ خلاصہ اپیروٹوپ ایک تجریدی این-پولیٹوپ جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ P ہے (جس کے عناصر کو چہرے کہا جاتا ہے) جیسے کہ P میں کم سے کم چہرہ اور سب سے بڑا چہرہ ہوتا ہے، ہر زیادہ سے زیادہ مکمل طور پر ترتیب شدہ ذیلی سیٹ (جسے جھنڈا کہا جاتا ہے) بالکل n + 2 چہروں پر مشتمل ہوتا ہے، P مضبوطی سے جڑا ہوا ہے، اور بالکل دو چہرے ہوتے ہیں جو سختی سے a اور b کے درمیان ہوتے ہیں وہ دو چہرے ہوتے ہیں جن کی صفوں میں دو سے فرق ہوتا ہے۔ ایک تجریدی پولیٹوپ کو تجریدی اپیروٹوپ کہا جاتا ہے اگر اس کے لامحدود چہرے ہوں۔ ایک تجریدی پولیٹوپ کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر اس کا آٹومورفزم گروپ پی کی درجہ بندی کے تمام جھنڈوں پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ اپیروٹوپ کی دو اہم ہندسی کلاسیں ہیں: n طول و عرض میں ہنی کامب، جو ایک n جہتی جگہ کو مکمل طور پر بھر دیتے ہیں۔ اسکیو ایپیروٹوپس، جو اونچی جگہ پر ایک این-جہتی کئی گنا پر مشتمل ہوتے ہیں۔ عام طور پر، این طول و عرض میں ایک شہد کی مکھیاں این + 1 طول و عرض میں پولیٹوپ کی ایک لامحدود مثال ہے۔ سطح کی ٹائلنگ اور پولی ہیڈرا کی قریبی پیکڈ اسپیس فلنگ بالترتیب دو اور تین جہتوں میں شہد کی مکھیوں کی مثالیں ہیں۔ ایک لکیر جو لامحدود طور پر بہت سے محدود حصوں میں تقسیم ہوتی ہے، ایپیروگون کی ایک مثال ہے۔ سکیو ایپیروٹوپس سکیو ایپیروگونز دو جہتوں میں ایک سکیو ایپیروگون طیارہ میں زگ زگ لائن بناتا ہے۔ اگر زگ زگ یکساں اور متناسب ہے، تو ایپیروگون باقاعدہ ہے۔ سکیو ایپیروگنز کو کسی بھی تعداد میں طول و عرض میں بنایا جا سکتا ہے۔ تین جہتوں میں، ایک باقاعدہ سکیو ایپیروگون ایک ہیلیکل سرپل کا سراغ لگاتا ہے اور یہ یا تو بائیں یا دائیں ہاتھ کا ہو سکتا ہے۔ لامحدود سکیو پولی ہیڈرا تین باقاعدہ سکیو اپیرو ہیڈرا ہوتے ہیں، جو بجائے پولی ہیڈرل سپنج کی طرح نظر آتے ہیں: ہر سرے کے ارد گرد 6 مربع، کاکسٹر کی علامت {4، 6|4} ہر سرے کے ارد گرد 4 ہیکساگون، کاکسٹر کی علامت {6، 4|4} ہر سرے کے ارد گرد 6 ہیکساگون، کاکسٹر کی علامت {6، 6|3} یوکلڈین اسپیس میں تیس باقاعدہ اپیرو ہیڈرا ہیں۔ ان میں وہ شامل ہیں جو اوپر درج ہیں، نیز (سطح میں) قسم کے پولی ٹاپس: {ini, 3}، {ini, 4}، {ini, 6} اور 3 جہتی جگہ میں، ان کا مرکب یا تو ایک ایپیروگون یا لائن سیگمنٹ کے ساتھ ہوتا ہے، اور "خالص" 3 جہتی ایپیروہیڈرا (تعداد میں 12) حوالہ جات کتابچہ کثیر جہتی جیومیٹری