Vietoris–Rips complex
ٹوپولوجی میں، ویتورس-رپس کمپلیکس، جسے ویتورس کمپلیکس یا رپس کمپلیکس بھی کہا جاتا ہے، پوائنٹس کے ایک سیٹ میں فاصلے سے ٹوپولوجیکل اسپیس بنانے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ ایک تجریدی سادہ کمپلیکس ہے جس کی تعریف کسی بھی میٹرک اسپیس M اور فاصلے δ سے پوائنٹس کے ہر محدود سیٹ کے لیے ایک سمپلیکس بنا کر کی جا سکتی ہے جس کا قطر زیادہ سے زیادہ δ ہوتا ہے۔ یعنی یہ M کے محدود ذیلی مجموعوں کا ایک خاندان ہے، جس میں ہم k پوائنٹس کے ذیلی مجموعے کے بارے میں سوچتے ہیں کہ وہ ایک (k−1) جہتی سمپلیکس (دو پوائنٹس کے لیے ایک کنارہ، تین پوائنٹس کے لیے ایک مثلث، چار پوائنٹس کے لیے ایک ٹیٹرا ہیڈرون وغیرہ) تشکیل دیتا ہے۔ ) ؛ اگر ایک محدود سیٹ S میں یہ خاصیت ہے کہ S میں پوائنٹس کے ہر جوڑے کے درمیان فاصلہ زیادہ سے زیادہ δ ہے، تو ہم S کو کمپلیکس میں سمپلیکس کے طور پر شامل کرتے ہیں۔ تاریخ ویتورس-رپس کمپلیکس کو اصل میں ویتورس کمپلیکس کہا جاتا تھا، لیوپولڈ ویتورس کے لیے، جس نے اسے ہومیولوجی تھیوری کو سادہ کمپلیکس سے میٹرک خالی جگہوں تک بڑھانے کے ایک ذریعہ کے طور پر متعارف کرایا۔ ایلیاہ رپس نے اسی کمپلیکس کو ہائپربولک گروپوں کے مطالعہ پر لاگو کرنے کے بعد، اس کے استعمال کو مقبول بنایا، جنہوں نے اسے رپس کمپلیکس کہا۔ نام "ویتورس-رپس کمپلیکس" کی وجہ سے ہے۔ چیچ کمپلیکس سے تعلق ویتورس-رپس کمپلیکس کا گیندوں کے ایک سیٹ کے چیچ کمپلیکس (یا اعصاب) سے گہرا تعلق ہے، جس میں غیر خالی چوراہے والی گیندوں کے ہر محدود ذیلی سیٹ کے لیے ایک سمپلیکس ہوتا ہے۔ جیوڈیسیکل طور پر کنویکس اسپیس Y میں، فاصلے δ کے لیے کسی بھی سب اسپیس XRY کے ویتورس-رپس کمپلیکس کے وہی پوائنٹس اور کنارے ہوتے ہیں جو Y میں δ/2 کے رداس والی گیندوں کے سیٹ کے چیچ کمپلیکس کے ہوتے ہیں جو X کے پوائنٹس پر مرکوز ہوتے ہیں۔ تاہم، چیچ کمپلیکس کے برعکس، X کا ویتورس-رپس کمپلیکس صرف X کی اندرونی جیومیٹری پر منحصر ہے، نہ کہ کسی بڑی جگہ میں X کے کسی سرایت پر۔ مثال کے طور پر، تین پوائنٹس پر مشتمل یکساں میٹرک اسپیس M3 پر غور کریں، ہر ایک ایک دوسرے سے اکائی فاصلے پر ہے۔ ایم 3 کے ویتورس-رپس کمپلیکس میں، δ = 1 کے لیے، ایم 3 میں پوائنٹس کے ہر ذیلی سیٹ کے لیے ایک سمپلیکس شامل ہے، جس میں خود ایم 3 کے لیے ایک مثلث بھی شامل ہے۔ اگر ہم ایم 3 کو یوکلڈین سطح میں ایک مساوی مثلث کے طور پر سرایت کرتے ہیں، تو ایم 3 کے نکات پر مرکوز رداس-1/2 گیندوں کے چیچ کمپلیکس میں ویتورس-رپس کمپلیکس کے دیگر تمام سمپلیکس شامل ہوں گے لیکن اس میں یہ مثلث شامل نہیں ہوگا، کیونکہ تینوں گیندوں میں موجود سطح کا کوئی نقطہ نہیں ہے۔ تاہم، اگر ایم 3 کو اس کے بجائے ایک میٹرک اسپیس میں سرایت کیا جاتا ہے جس میں ایم 3 کے تین نکات میں سے ہر ایک سے 1/2 کے فاصلے پر چوتھا نقطہ ہوتا ہے، تو اس جگہ میں 1/2 گیندوں کے رداس کا چیچ کمپلیکس مثلث پر مشتمل ہوگا۔ اس طرح، ایم 3 پر مرکوز فکسڈ ریڈیئس گیندوں کا چیچ کمپلیکس اس بات پر منحصر ہے کہ کس بڑی جگہ ایم 3 میں سرایت کی جا سکتی ہے، جبکہ ویتورس-رپس کمپلیکس میں کوئی تبدیلی نہیں ہے۔ اگر کوئی میٹرک اسپیس X کسی انجیکٹو میٹرک اسپیس Y میں سرایت کی گئی ہے، تو فاصلہ δ اور X کے لیے ویتورس-رپس کمپلیکس Y میں X کے نکات پر مرکوز رداس δ/2 کی گیندوں کے چیچ کمپلیکس کے ساتھ موافق ہے۔ اس طرح، کسی بھی میٹرک اسپیس M کا ویتورس-رپس کمپلیکس M کے تنگ دورانیے میں گیندوں کے نظام کے چیچ کمپلیکس کے برابر ہوتا ہے۔ یونٹ ڈسک گراف اور کلک کمپلیکس سے تعلق δ = 1 کے لیے ویتورس-رپس کمپلیکس ہر جوڑے کے پوائنٹس کے لیے ایک کنارے پر مشتمل ہوتا ہے جو دی گئی میٹرک اسپیس میں یونٹ فاصلے یا اس سے کم پر ہوتے ہیں۔ اس طرح، اس کا 1-سکیلٹن اس کے نکات کا یونٹ ڈسک گراف ہے۔ اس میں یونٹ ڈسک گراف میں ہر گروپ کے لیے ایک سمپلیکس ہوتا ہے، اس لیے یہ یونٹ ڈسک گراف کا کلک کمپلیکس یا فلیگ کمپلیکس ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی گراف G کا کلیک کمپلیکس میٹرک اسپیس کے لیے ایک ویتورس-رپس کمپلیکس ہے جس میں G کے عمودی نکات ہوتے ہیں اور اس کے فاصلے کے طور پر G میں مختصر ترین راستوں کی لمبائی ہوتی ہے۔ دیگر نتائج اگر M ایک بند ریمینیئن کئی گنا ہے، تو δ کی کافی چھوٹی اقدار کے لیے M کا ویتورس-رپس کمپلیکس، یا M کے کافی قریب خالی جگہوں کے لیے، خود M کے مساوی ہوموٹوپی ہے۔ اس بات کا تعین کرنے کے لیے موثر الگورتھم کی وضاحت کریں کہ آیا یوکلڈین طیارہ میں مقرر کردہ کسی محدود نقطہ کے رپس کمپلیکس میں دیا گیا سائیکل سکڑنے کے قابل ہے یا نہیں۔ یونٹ ڈسک گراف کی طرح، ویٹورس-رپس کمپلیکس کا اطلاق کمپیوٹر سائنس میں ایڈہاک وائرلیس مواصلاتی نیٹ ورک کی ٹوپولوجی کو ماڈل بنانے کے لیے کیا گیا ہے۔ اس ایپلی کیشن میں ویتورس-رپس کمپلیکس کا ایک فائدہ یہ ہے کہ اس کا تعین صرف مواصلاتی نوڈس کے درمیان فاصلے سے کیا جا سکتا ہے، بغیر ان کے صحیح جسمانی مقامات کا اندازہ لگائے۔ ایک نقصان یہ ہے کہ، چیچ کمپلیکس کے برعکس، ویتورس-رپس کمپلیکس براہ راست مواصلاتی کوریج میں فرق کے بارے میں معلومات فراہم نہیں کرتا ہے، لیکن اس خامی کو δ کی مختلف اقدار کے لیے دو ویتورس-رپس کمپلیکس کے درمیان چیچ کمپلیکس کو سینڈوچ کر کے دور کیا جا سکتا ہے۔ ویتورس-رپس کمپلیکس کا نفاذ ٹی ڈی اے اسٹیٹس آر پیکیج میں پایا جا سکتا ہے۔ ویتورس-رپس کمپلیکس کو ڈیجیٹل امیج ڈیٹا میں فیچر نکالنے کے لیے بھی لاگو کیا گیا ہے۔ اس ایپلیکیشن میں کمپلیکس کو ایک اعلی جہتی میٹرک اسپیس سے بنایا گیا ہے جس میں پوائنٹس نچلی سطح کی امیج کی خصوصیات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ تمام ویتورس-رپس کمپلیکس کا مجموعہ مستقل ہومیولوجی اور ٹپوولوجیکل ڈیٹا تجزیہ میں عام طور پر لاگو ہونے والی تعمیر ہے، اور اسے رپس فلٹریشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ الجبرائی ٹوپولوجی جیومیٹرک گراف تھیوری آسان سیٹ