Stack (mathematics)
ریاضی میں اسٹیک یا 2-شیف، تقریبا بولتے ہوئے، ایک شیف ہے جو سیٹوں کے بجائے زمروں میں اقدار لیتا ہے۔ اسٹیکس کا استعمال ڈیسنٹ تھیوری کی کچھ اہم تعمیرات کو باقاعدہ بنانے کے لیے کیا جاتا ہے، اور جب باریک ماڈیولی خالی جگہیں موجود نہ ہوں تو باریک ماڈیولی اسٹیکس کی تعمیر کے لیے کیا جاتا ہے۔ نزول کا نظریہ ان حالات کی عمومییت سے متعلق ہے جہاں آئسومورفک، ہم آہنگ ہندسی اشیاء (جیسے کہ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر ویکٹر بنڈل) کو ٹپوولوجیکل بنیاد کی پابندی کے اندر "ایک ساتھ چپکایا" جا سکتا ہے۔ زیادہ عام سیٹ اپ میں پابندیوں کو پل بیک کے ساتھ تبدیل کیا جاتا ہے۔ فائبر والے زمرے پھر اس طرح کے گلوئنگ کے امکان پر تبادلہ خیال کرنے کے لیے ایک اچھا فریم ورک بناتے ہیں۔ اسٹیک کا بدیہی معنی یہ ہے کہ یہ ایک ریشے دار زمرہ ہے جس میں "تمام ممکنہ گلوئنگ کام کرتے ہیں"۔ گلوئنگز کی وضاحت کے لیے کورنگز کی تعریف درکار ہوتی ہے جس کے حوالے سے گلوئنگز پر غور کیا جا سکتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ ان احاطوں کو بیان کرنے کے لیے عمومی زبان گروتھینڈیک ٹوپولوجی کی ہے۔ اس طرح ایک اسٹیک کو باضابطہ طور پر ایک اور بنیادی زمرے کے مقابلے میں ریشے دار زمرے کے طور پر دیا جاتا ہے، جہاں بیس میں گروتھینڈیک ٹوپولوجی ہوتی ہے اور جہاں ریشے دار زمرہ چند محوریوں کو مطمئن کرتا ہے جو گروتھینڈیک ٹوپولوجی کے حوالے سے بعض گلوئنگز کے وجود اور انفرادیت کو یقینی بناتے ہیں۔ جائزہ اسٹیکس الجبرائی اسٹیکس (جسے آرٹن اسٹیکس بھی کہا جاتا ہے) اور ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیکس کی بنیادی ساخت ہیں، جو اسکیموں اور الجبرائی خالی جگہوں کو عام کرتے ہیں اور جو ماڈیولی خالی جگہوں کا مطالعہ کرنے میں خاص طور پر مفید ہیں۔ شاملیاں ہیں: اسکیمیں الجیبرک خالی جگہیں ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیکس الجیبرک اسٹیکس (آرٹن اسٹیکس) اسٹیکس۔ اور اسٹیکس کا ایک مختصر تعارفی بیان دیں، اور مزید تفصیلی تعارف دیں، اور زیادہ جدید نظریہ بیان کریں۔ محرک اور تاریخ اسٹیکس کے تصور کی ابتدا مؤثر نزول ڈیٹا کی تعریف میں ہے۔ 1959 میں سیر کو لکھے گئے ایک خط میں، گروتھینڈیک نے مشاہدہ کیا کہ اچھی ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر میں ایک بنیادی رکاوٹ آٹومورفزم کا وجود ہے۔ اسٹیکس کے لیے ایک بڑا محرک یہ ہے کہ اگر آٹومورفزم کے وجود کی وجہ سے کسی مسئلے کے لیے ماڈیولی کی جگہ موجود نہیں ہے، تو پھر بھی ماڈیولی اسٹیک کی تعمیر ممکن ہو سکتی ہے۔ اسٹیکس کی وضاحت سے پہلے، انڈاکار منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک کے پکارڈ گروپ کا مطالعہ کیا۔ اسٹیکس کی تعریف سب سے پہلے کی گئی تھی، اور اصطلاح "اسٹیک" کو اصل فرانسیسی اصطلاح "چیمپئن" کے لیے متعارف کرایا گیا تھا جس کا مطلب ہے "فیلڈ"۔ اس مقالے میں انہوں نے ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیکس کو بھی متعارف کرایا، جسے انہوں نے الجبرائی اسٹیکس کہا، حالانکہ اصطلاح "الجبرائی اسٹیک" اب عام طور پر آرٹن کے متعارف کردہ زیادہ عام اسٹیکس سے مراد ہے۔ جب گروپ کے اعمال کے ذریعہ اسکیموں کے حصص کی وضاحت کی جاتی ہے، تو حصص کے لیے ایک اسکیم ہونا اکثر ناممکن ہوتا ہے اور پھر بھی حصص کے لیے مطلوبہ خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر چند پوائنٹس میں غیر معمولی استحکام ہوتے ہیں، تو اسکیموں کے درمیان درجہ بندی کا حصہ موجود نہیں ہوگا، لیکن یہ ایک اسٹیک کے طور پر موجود ہوگا۔ اسی طرح، منحنی خطوط، ویکٹر بنڈلوں، یا دیگر ہندسی اشیاء کی ماڈیولی خالی جگہوں کو اکثر اسکیموں کے بجائے اسٹیک کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیرات اکثر پہلے زیر بحث اشیاء کو پیرامیٹرائز کرتے ہوئے ایک بڑی جگہ کی تعمیر کے ذریعے آگے بڑھتی ہیں، اور پھر گروپ ایکشن کے ذریعے ان اشیاء کا حساب لگانے کے لیے جو آٹومورفزم کے ساتھ ہیں جن کی زیادہ گنتی کی گئی ہے۔ تعریف خلاصہ اسٹیکس کسی زمرے میں فنکٹر کے ساتھ ایک زمرہ کو فائبرڈ زمرہ کہا جاتا ہے اگر کسی بھی مورفزم کے لیے اور تصویر کے ساتھ کسی بھی شے کے لیے (فنکٹر کے نیچے)، بائی کا پل بیک ہوتا ہے۔ اس کا مطلب تصویر کے ساتھ ایک مورفزم ہے کہ تصویر کے ساتھ کسی بھی مورفزم کو ایک منفرد مورفزم کے ذریعے اس طرح سے فیکٹر کیا جا سکتا ہے کہ فنکٹر نقشہ بناتا ہے۔ اس عنصر کو پل بیک آف ایلونگ کہا جاتا ہے اور یہ کینونکل آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ زمرہ سی کو زمرہ سی پر ایک پریسٹاک کہا جاتا ہے جس میں گروتھینڈیک ٹوپولوجی ہوتی ہے اگر یہ سی پر فائبر شدہ ہو اور کسی بھی شے کے لیے سی کا یو اور اشیاء کے لیے x، تصویر یو کے ساتھ سی کا Y، زمرہ سی/یو سے لے کر سیٹوں تک کا فنکٹر F: V → U سے ہوم (F * x، F * y) لے کر ایک شیف ہے۔ یہ اصطلاحات شییوز کی اصطلاحات سے مطابقت نہیں رکھتی ہیں: پریسٹاکس پریشییوز کے بجائے علیحدہ پریشییوز کے اینالاگس ہیں۔ کچھ مصنفین کو اس کی ضرورت پریسٹاکس کے بجائے اسٹیکس کی خاصیت کے طور پر ہوتی ہے۔ زمرہ سی کو گروتھینڈیک ٹوپولوجی کے ساتھ زمرہ سی پر اسٹیک کہا جاتا ہے اگر یہ سی پر ایک پریسٹاک ہے اور ہر نزول ڈیٹم موثر ہے۔ ایک ڈیسنٹ ڈیٹم تقریبا ایک فیملی Vi کے ذریعہ C کی شے V کا احاطہ، Vi کے اوپر فائبر میں عناصر xi، اور xi اور xj سے Vij = Vi × DVj کی پابندیوں کے درمیان مورفزم fji پر مشتمل ہوتا ہے جو مطابقت کی شرط fki = fkjfj کو مطمئن کرتا ہے۔ نزول ڈیٹم کو مؤثر کہا جاتا ہے اگر عناصر xi بنیادی طور پر تصویر V کے ساتھ کسی عنصر x کے پل بیک ہیں۔ ایک اسٹیک کو گروپائڈز میں اسٹیک کہا جاتا ہے یا (2,1)-شیف اگر یہ گروپائڈز میں بھی فائبر کیا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کے ریشے (C کی اشیاء کی الٹا تصاویر) گروپائڈز ہیں۔ کچھ مصنفین لفظ "اسٹیک" کا استعمال گروپائڈز میں اسٹیک کے زیادہ پابند تصور کی طرف اشارہ کرنے کے لیے کرتے ہیں۔ الجبرائی اسٹیک ایک الجبرائی اسٹیک یا آرٹن اسٹیک ایف پی پی ایف سائٹ پر گروپائڈز ایکس میں ایک اسٹیک ہے جس میں ایکس کا اخترن نقشہ قابل نمائندگی ہے اور کسی اسکیم سے (اسٹیک سے وابستہ) ایکس میں ہموار سرجیکشن موجود ہے۔ اسٹیکس کی مورفزم Y X قابل نمائندگی ہے اگر، ہر مورفزم S X کے لیے (اسٹیک سے وابستہ) ایک اسکیم سے X تک، فائبر پروڈکٹ Y × X S ایک الجبرائی جگہ (اسٹیک سے وابستہ) کے لیے آئسومورفک ہو۔ اسٹیکس کے فائبر پروڈکٹ کی وضاحت معمول کی عالمگیر خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے، اور اس ضرورت کو تبدیل کرتی ہے کہ خاکے اس ضرورت کے مطابق منتقل ہوں کہ وہ 2-منتقل ہوں۔ مزید معلومات کے لیے الجبرائی اسٹیکس کی مورفزم بھی دیکھیں۔ اخترن کی نمائندگی کے پیچھے محرک درج ذیل ہے: اخترن مورفزم کی نمائندگی صرف اس صورت میں کی جا سکتی ہے جب الجبرائی خالی جگہوں کے کسی بھی جوڑے کے مورفزم کے لیے، ان کا فائبر پروڈکٹ قابل نمائندگی ہو۔ ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک ایک الجبرائی اسٹیک X ہے جس میں کسی اسکیم سے X تک ایک ایٹیل سرجیکشن ہوتا ہے۔ موٹے طور پر، ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیکس کو الجبرائی اسٹیکس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جن کی اشیاء میں کوئی لامحدود آٹومورفزم نہیں ہوتے ہیں۔ الجبرائی اسٹیکوں کی مقامی ساخت الجبرائی اسٹیکوں کے آغاز سے یہ توقع کی جاتی تھی کہ وہ اس شکل کے مقامی طور پر حصص کے اسٹیک ہیں جہاں ایک لکیری تخفیف الجبرائی گروپ ہے۔ یہ حال ہی میں ثابت ہوا: الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر مقامی طور پر محدود قسم کے ایک نیم الگ الگ الجبرائی اسٹیک کو دیکھتے ہوئے جس کے اسٹیبلائزرز افائن ہیں، اور لکیری ریڈکٹو اسٹیبلائزر گروپ کے ساتھ ایک ہموار اور بند نقطہ، جی آئی ٹی کوشیئنٹ کا ایک ایٹیل کور موجود ہے، جہاں، اس طرح کہ خاکہ کارٹیسیئن ہے، اور وہاں ایک ایٹیل مورفزم موجود ہے جو اسٹیبلائزر گروپوں کی آئسومورفزم کو اور پر ظاہر کرتا ہے۔ مثالیں ابتدائی مثالیں گروتھینڈیک ٹوپولوجی والے زمرے کے ہر شیف کو کینونکل طور پر اسٹیک میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ کسی شے کے لیے، کسی سیٹ کے بجائے ایک گروپائڈ ہوتا ہے جس کی اشیاء کے عناصر ہوتے ہیں اور تیر شناختی مورفزم ہوتے ہیں۔ مزید ٹھوس طور پر، آئیے ایک متضاد فنکٹر بنیں پھر، یہ فنکٹر مندرجہ ذیل زمرے کا تعین کرتا ہے کہ ایک آبجیکٹ ایک جوڑی ہے جس میں ایک اسکیم ہوتی ہے اور ایک عنصر جس میں مورفزم اس طرح کے مورفزم پر مشتمل ہوتا ہے۔ بھولے ہوئے فنکٹر کے ذریعے، زمرہ ایک فائبر شدہ زمرہ ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی اسکیم ہے، تو یہ متضاد فنکٹر کا تعین کرتا ہے اور متعلقہ فائبر والا زمرہ ہے۔ اسٹیکس (یا پریسٹاکس) کو اس تعمیر کی ایک قسم کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، کوئی بھی اسکیم جس میں نیم کمپیکٹ ڈائیگنل ہو، اسکیم سے وابستہ الجبرائی اسٹیک ہوتی ہے۔ اشیاء کے اسٹیک ایک گروپ اسٹیک۔ ویکٹر بنڈلوں کا ماڈیولی اسٹیک: ویکٹر بنڈلوں کا زمرہ V → S ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے S پر ایک اسٹیک ہے۔ V → S سے W → T تک ایک مورفزم S سے T اور V سے W (ریشوں پر لکیری) تک مسلسل نقشوں پر مشتمل ہوتا ہے تاکہ واضح مربع نقل و حرکت کرے۔ یہ شرط کہ یہ ایک فائبرڈ زمرہ ہے اس کی پیروی کرتا ہے کیونکہ کوئی بھی ٹوپوولوجیکل خالی جگہوں کے مسلسل نقشوں پر ویکٹر بنڈلوں کے پل بیک لے سکتا ہے، اور یہ شرط کہ ایک نزول ڈیٹم موثر ہے اس کی پیروی کرتا ہے کیونکہ کوئی بھی ویکٹر بنڈلوں کو ایک ساتھ جوڑ کر کسی جگہ پر ویکٹر بنڈل بنا سکتا ہے۔ ایک کھلے کور کے عناصر پر۔ سکیمیں (ایف پی کیو سی-ٹوپولوجی اور کمزور ٹوپولوجیز کے حوالے سے) پر نیم ہم آہنگ شیوز کا اسٹیک ایک بیس اسکیم پر افائن اسکیموں کا اسٹیک (دوبارہ ایف پی کیو سی ٹوپولوجی یا کمزور کے حوالے سے) اسٹیک کوٹینٹس کے ساتھ تعمیرات اگر ایک اسکیم ہے اور اس پر کام کرنے والی ایک ہموار افائن گروپ اسکیم ہے، تو ایک کوٹینٹ الجبرائی اسٹیک ہوتا ہے، جو ایک اسکیم کو-اسکیم پر-ٹورسرز کے گروپائڈ تک لے جاتا ہے جس میں-مساوی نقشے ہوتے ہیں۔ واضح طور پر، ایک-ایکشن کے ساتھ ایک جگہ دی گئی ہے، اسٹیک بناتا ہے جو (بدیہی طور پر بولتے ہوئے) پل بیک ڈائیگرام کے گروپائڈ کو ایک جگہ بھیجتا ہے جہاں خالی جگہوں کا ایک مساوی مورفزم ہوتا ہے اور یہ ایک پرنسپل بنڈل ہوتا ہے۔ اس زمرے میں مورفزم صرف خاکے کے مورفزم ہیں جہاں دائیں ہاتھ کی طرف تیر برابر ہوتے ہیں اور بائیں ہاتھ کی طرف تیر پرنسپل بنڈل کے مورفزم ہوتے ہیں۔ اسٹیکوں کی درجہ بندی اس کا ایک خاص معاملہ جب ایکس ایک نقطہ ہوتا ہے تو درجہ بندی کرنے والے اسٹیک کو ہموار افائن گروپ اسکیم جی کا بی جی دیتا ہے: اس کا نام اس لیے رکھا گیا ہے کیونکہ زمرہ، وائی پر فائبر، بالکل پرنسپل بنڈلوں کا زمرہ ہے۔ نوٹ کریں کہ خود کو اسٹیک کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، Y پر پرنسپل G-بنڈلوں کا ماڈیولی اسٹیک۔ اس تعمیر کی ایک اہم ذیلی مثال یہ ہے کہ یہ پرنسپل بنڈلوں کا ماڈیولی اسٹیک ہے۔ چونکہ پرنسپل بنڈل کا ڈیٹا رینک ویکٹر بنڈل کے ڈیٹا کے مساوی ہوتا ہے، اس لیے یہ رینک ویکٹر بنڈل کے ماڈیولی اسٹیک کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ لائن بنڈلوں کا ماڈیولی اسٹیک لائن بنڈلوں کا ماڈیولی اسٹیک اس لیے ہوتا ہے کیونکہ ہر لائن بنڈل پرنسپل بنڈل کے لیے کینونکل طور پر آئسومورفک ہوتا ہے۔ درحقیقت، کسی اسکیم پر ایک لائن بنڈل کو دیکھتے ہوئے، رشتہ دار ایک ہندسی لائن بنڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ صفر حصے کی تصویر کو ہٹانے سے، ایک اصل بنڈل حاصل ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، نمائندگی سے، متعلقہ لائن بنڈل کو دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ جربی ایک جربی گروپائڈز میں ایک اسٹیک ہے جس میں ہمیشہ ایک غیر خالی زمرہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر معمولی جربہ جو ہر اسکیم کو کسی گروپ کے لیے اسکیم کے اوپر پرنسپل بنڈل کا گروپ تفویض کرتا ہے۔ رشتہ دار سپیک اور پروج اگر A کسی اسکیم S پر الجبرائی اسٹیک X میں الجبراس کا ایک نیم مربوط ڈھیر ہے، تو ایک اسٹیک سپیک (A) ہوتا ہے جو ایک مواصلاتی رنگ A کے سپیکٹرم سپیک (A) کی تعمیر کو عام کرتا ہے۔ سپیک (اے) کا ایک آبجیکٹ ایس-اسکیم ٹی، ایکس (ٹی) کا ایک آبجیکٹ، اور ایکس * (اے) سے لے کر ٹی کے کوآرڈینیٹ رنگ او (ٹی) تک الجبراس کے شییوز کی مورفزم کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اگر اے کسی اسکیم ایس پر الجبرائی اسٹیک ایکس میں درجہ بند الجبراس کا ایک نیم مربوط شیف ہے، تو وہاں ایک اسٹیک پروج (اے) ہوتا ہے جو ایک درجہ بند رنگ اے کی پروجیکٹو اسکیم پروج (اے) کی تعمیر کو عام کرتا ہے۔ ماڈیولی اسٹیکس منحنی خطوط کے ماڈیولی نے الپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک ایم 1 1 کا مطالعہ کیا، اور دکھایا کہ اس کا پکارڈ گروپ ترتیب 12 کا چکور ہے۔ پیچیدہ اعداد پر الپٹک منحنی خطوط کے لیے متعلقہ اسٹیک ماڈیولر گروپ کے عمل کے ذریعے اوپری نصف سطح کے حصص سے ملتا جلتا ہے۔ الجبرائی منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ جو دی گئی جینس کے ہموار منحنی خطوط کے عالمگیر خاندان کے طور پر بیان کی گئی ہے وہ الجبرائی قسم کے طور پر موجود نہیں ہے کیونکہ خاص طور پر غیر معمولی آٹومورفزم کو تسلیم کرنے والے منحنی خطوط موجود ہیں۔ تاہم ایک ماڈیولی اسٹیک ہے جو ہموار جینس منحنی خطوط کی غیر موجود باریک ماڈیولی جگہ کا ایک اچھا متبادل ہے۔ زیادہ عام طور پر نشان زدہ پوائنٹس کے ساتھ جینس منحنی خطوط کا ایک ماڈیولی اسٹیک ہوتا ہے۔ عام طور پر یہ ایک الجبرائی اسٹیک ہے، اور یا یا کے لیے ایک ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک ہے (دوسرے الفاظ میں جب منحنی خطوط کے آٹومورفزم گروپ محدود ہوں)۔ اس ماڈیولی اسٹیک کی تکمیل مستحکم منحنی خطوط (دیئے گئے اور) کے ماڈیولی اسٹیک پر مشتمل ہے جو سپیک زیڈ پر مناسب ہے۔ مثال کے طور پر، پروجیکٹو جنرل لینیر گروپ کا درجہ بندی کرنے والا اسٹیک ہے۔ (تعریف میں ایک لطیفہ ہے، کیونکہ کسی کو اس کی تعمیر کے لیے اسکیموں کے بجائے الجبرائی خالی جگہوں کا استعمال کرنا پڑتا ہے۔) کونٹسیویچ ماڈیولی خالی جگہیں ماڈیولی خالی جگہوں کی ایک اور وسیع پیمانے پر مطالعہ شدہ کلاس کونٹسیویچ ماڈیولی خالی جگہیں ہیں جو ایک مقررہ جینس کے منحنی خطوط کے درمیان مستحکم نقشوں کی جگہ کو ایک مقررہ جگہ پر پیرامیٹر کرتی ہیں جس کی شبیہہ ایک مقررہ کوہمولوجی کلاس کی نمائندگی کرتی ہے۔ ان ماڈیولی خالی جگہوں کو نشان زد کیا جاتا ہے اور ان میں جنگلی طرز عمل ہو سکتا ہے، جیسے کہ قابل تخفیف اسٹیک جن کے اجزاء غیر مساوی جہت کے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ماڈیولی اسٹیک میں ہموار منحنی خطوط ہوتے ہیں جنہیں ایک کھلے ذیلی سیٹ کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ ماڈیولی اسپیس کی حد پر، جہاں منحنی خطوط قابل تخفیف منحنی خطوط میں تبدیل ہو سکتے ہیں، وہاں ایک ذیلی اسٹیک پیرامیٹرائزنگ قابل تخفیف منحنی خطوط ہوتے ہیں جن میں ایک جینس جزو ہوتا ہے اور ایک جینس جزو ایک مقام پر آپس میں ٹکرا جاتا ہے، اور نقشہ جینس وکر کو ایک مقام پر بھیجتا ہے۔ چونکہ اس طرح کے تمام جینس منحنی خطوط کو پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، اور اس بات کا ایک اضافی جہتی انتخاب ہوتا ہے کہ یہ منحنی خطوط جینس منحنی خطوط پر کہاں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، اس لیے باؤنڈری جزو کا طول و عرض ہوتا ہے۔ دیگر ماڈیولی اسٹیک ایک پکارڈ اسٹیک پکارڈ کی قسم کو عام کرتا ہے۔ رسمی گروپ قوانین کا ماڈیولی اسٹیک رسمی گروپ قوانین کی درجہ بندی کرتا ہے۔ ایک انڈ اسکیم جیسے کہ ایک لامحدود پروجیکٹو اسپیس اور ایک رسمی اسکیم ایک اسٹیک ہے۔ جیومیٹرک لینگ لینڈز پروگرام میں شتوکوں کا ایک ماڈیولی اسٹیک استعمال کیا جاتا ہے۔ (شتوکاز بھی دیکھیں۔) جیومیٹرک اسٹیک وزن والے پروجیکٹو اسٹیک وزن والے پروجیکٹو خالی جگہوں کی تعمیر میں کچھ کے حصص کی قسم کو-ایکشن کے ذریعے لینا شامل ہے۔ خاص طور پر، عمل ایک ٹپلینڈ بھیجتا ہے اور اس عمل کا حصص وزن شدہ پروجیکٹو اسپیس دیتا ہے۔ چونکہ اس کے بجائے اسے اسٹیک کوشیئنٹ کے طور پر لیا جا سکتا ہے، وزن والا پروجیکٹو اسٹیک پی جی 30 ایک لائن بنڈل میں وزن والے کثیر الجہتی کے غائب ہونے والے لوکس کو لینا ایک اسٹیکی وزن والا پروجیکٹو قسم دیتا ہے۔ اسٹیکی منحنی خطوط، یا آربی کرفس، عام نکات پر کور کے مونوڈروم گروپ کے ذریعہ منحنی خطوط کے مورفزم کے اسٹیک کوٹینٹ کو لے کر تعمیر کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک پروجیکٹو مورفزم لیں جو عام طور پر ایٹیل ہے۔ ڈومین کا اسٹیک کوشیئنٹ بائے اسٹیکی پوائنٹس کے ساتھ ایک اسٹیکی دیتا ہے جس میں اسٹیبلائزر گروپ-چارٹ میں یونٹی کے پانچویں جڑ پر ہوتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ وہ نکات ہیں جہاں احاطہ پھیلا ہوا ہے۔ غیر افائن اسٹیک کی ایک مثال دو اسٹیکی ماخذ کے ساتھ نصف لائن کے ذریعہ دی گئی ہے۔ اسے دو کی شمولیت کے کولیمیٹ کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ الجبرائی ڈھیر پر نیم مربوط ڈھیر ایک الجبرائی ڈھیر پر کوئی بھی نیم مربوط ڈھیر کا ایک زمرہ بنا سکتا ہے جو کسی اسکیم پر نیم مربوط ڈھیر کے زمرے سے ملتا جلتا ہے۔ ایک نیم مربوط ڈھیر تقریبا وہ ہوتا ہے جو مقامی طور پر انگوٹھی کے اوپر ماڈیول کے ڈھیر کی طرح نظر آتا ہے۔ پہلا مسئلہ یہ طے کرنا ہے کہ "مقامی طور پر" سے کیا مراد ہے: اس میں گروتھینڈیک ٹوپولوجی کا انتخاب شامل ہے، اور اس کے لیے بہت سے ممکنہ انتخاب ہیں، جن میں سے سبھی میں کچھ مسائل ہیں اور ان میں سے کوئی بھی مکمل طور پر تسلی بخش نہیں لگتا ہے۔ گروتھینڈیک ٹوپولوجی کافی مضبوط ہونی چاہیے تاکہ اسٹیک اس ٹوپولوجی میں مقامی طور پر منسلک ہو: اسکیمیں مقامی طور پر زرسکی ٹوپولوجی میں منسلک ہوتی ہیں لہذا یہ اسکیموں کے لیے ایک اچھا انتخاب ہے جیسا کہ سیر نے دریافت کیا، الجبرائی خالی جگہیں اور ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک مقامی طور پر ایٹیل ٹوپولوجی میں منسلک ہوتے ہیں لہذا کوئی عام طور پر ان کے لیے ایٹیل ٹوپولوجی کا استعمال کرتا ہے، جبکہ الجبرائی اسٹیک مقامی طور پر ہموار ٹوپولوجی میں منسلک ہوتے ہیں تاکہ کوئی اس معاملے میں ہموار ٹوپولوجی کا استعمال کر سکے۔ عام الجبرائی اسٹیکوں کے لیے ایٹیل ٹوپولوجی میں کافی کھلے سیٹ نہیں ہوتے ہیں: مثال کے طور پر، اگر جی ایک ہموار جڑا ہوا گروپ ہے تو درجہ بندی کرنے والے اسٹیک بی جی کے صرف ایٹیل کور بی جی کی نقلوں کے اتحاد ہیں، جو قوسیکوہرنٹ شیوز کا صحیح نظریہ دینے کے لیے کافی نہیں ہیں۔ الجبرائی اسٹیکس کے لیے ہموار ٹوپولوجی کا استعمال کرنے کے بجائے اکثر اس میں ترمیم کا استعمال کیا جاتا ہے جسے لیس ایٹ ٹوپولوجی کہا جاتا ہے (لیس ایٹیل کے لیے مختصر: لیس ہموار کے لیے فرانسیسی اصطلاح ہے)، جس میں ہموار ٹوپولوجی کے جیسے ہی کھلے سیٹ ہوتے ہیں لیکن کھلے کور ہموار نقشوں کے بجائے ایٹیل کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ یہ عام طور پر نیم مربوط شیوز کے مساوی زمرے کی طرف لے جاتا ہے، لیکن استعمال کرنا آسان ہے: مثال کے طور پر الجبرائی خالی جگہوں پر ایٹیل ٹوپولوجی کے ساتھ موازنہ کرنا آسان ہے۔ لیس ایٹ ٹوپولوجی میں ایک لطیف تکنیکی مسئلہ ہے: اسٹیکوں کے درمیان مورفزم عام طور پر متعلقہ ٹوپوئی کے درمیان مورفزم نہیں دیتا ہے۔ (مسئلہ یہ ہے کہ جب کوئی ملحقہ فنکٹرز f *، f * کی ایک جوڑی بنا سکتا ہے، جیسا کہ ٹوپوئی کے ہندسی مورفزم کے لیے ضروری ہے، فنکٹر f * کو عام طور پر درست نہیں چھوڑا جاتا ہے۔ یہ مسئلہ شائع شدہ کاغذات اور کتابوں میں کچھ غلطیاں پیدا کرنے کے لیے بدنام ہے۔) اس کا مطلب یہ ہے کہ اسٹیکس کی مورفزم کے تحت ایک غیر متزلزل شیف کے پل بیک کی تعمیر کے لیے کچھ اضافی کوشش کی ضرورت ہوتی ہے۔ بہتر ٹوپولوجیز کا استعمال بھی ممکن ہے۔ زیادہ تر معقول "کافی بڑی" گروتھینڈیک ٹوپولوجیز نیم مربوط شیوز کے مساوی زمروں کا باعث بنتی دکھائی دیتی ہیں، لیکن ایک بڑی ٹوپولوجی کو سنبھالنا اتنا ہی مشکل ہوتا ہے، لہذا عام طور پر چھوٹی ٹوپولوجیز کو استعمال کرنے کو ترجیح دی جاتی ہے جب تک کہ ان کے پاس کافی کھلے سیٹ ہوں۔ مثال کے طور پر، بڑی ایف پی پی ایف ٹوپولوجی بنیادی طور پر لیس ایٹ ٹوپولوجی کی طرح نیم مربوط شیوز کے اسی زمرے کی طرف لے جاتی ہے، لیکن اس میں ایک ٹھیک ٹھیک مسئلہ ہے: اس ٹوپولوجی میں او ایکس ماڈیولز میں نیم مربوط شیوز کا قدرتی سرایت درست نہیں ہے (یہ عام طور پر دانے کو محفوظ نہیں کرتا ہے)۔ اسٹیک کی دیگر اقسام تفریق پذیر اسٹیکس اور ٹوپولوجیکل اسٹیکس کی تعریف الجبرائی اسٹیکس کی طرح کی جاتی ہے، سوائے اس کے کہ افائن اسکیموں کے بنیادی زمرے کو ہموار کئی گنا یا ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر کوئی این-شیف یا این-1 اسٹیک کے تصور کی وضاحت کر سکتا ہے، جو کہ تقریبا ایک قسم کا شیف ہے جو این-1 زمروں میں اقدار لیتا ہے۔ ایسا کرنے کے کئی غیر مساوی طریقے ہیں۔ 1-شییوز شییوز کی طرح ہوتے ہیں، اور 2-شییوز اسٹیکس کی طرح ہوتے ہیں۔ انہیں اعلی اسٹیک کہا جاتا ہے۔ ایک بہت ہی مماثل اور مماثل توسیع غیر مجرد اشیاء پر اسٹیک تھیوری تیار کرنا ہے (یعنی، ایک جگہ واقعی الجبرائی ٹوپولوجی میں ایک سپیکٹرم ہے)۔ نتیجے میں اسٹیکی اشیاء کو مشتق اسٹیکس (یا سپیکٹرم اسٹیکس) کہا جاتا ہے۔ جیکب لوری کی زیر تعمیر کتاب سپیکٹرل الجبرائی جیومیٹری ایک عمومی کا مطالعہ کرتی ہے جسے وہ سپیکٹرل ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک کہتے ہیں۔ تعریف کے مطابق، یہ ایک رنگڈ-ٹوپوس ہے جو کہ مقامی طور پر ایک E-ring کا étale-étale سپیکٹرم ہے (یہ تصور کم از کم خصوصیت صفر میں، ایک ماخوذ اسکیم کو شامل کرتا ہے۔) سیٹ نظریاتی مسائل اسٹیکس کے نظریہ کی معمول کی بنیاد کے ساتھ کچھ معمولی سیٹ نظریاتی مسائل ہیں، کیونکہ اسٹیکس کو اکثر سیٹوں کے زمرے کے مخصوص فنکٹر کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اور اس وجہ سے وہ سیٹ نہیں ہوتے ہیں۔ اس مسئلے سے نمٹنے کے کئی طریقے ہیں: کوئی بھی گروتھینڈیک کائناتوں کے ساتھ کام کر سکتا ہے: ایک اسٹیک پھر کچھ مقررہ گروتھینڈیک کائنات کی کلاسوں کے درمیان ایک فنکٹر ہوتا ہے، لہذا یہ کلاسیں اور اسٹیک ایک بڑی گروتھینڈیک کائنات میں سیٹ ہوتے ہیں۔ اس نقطہ نظر کی خرابی یہ ہے کہ کسی کو کافی گروتھینڈیک کائناتوں کا وجود فرض کرنا پڑتا ہے، جو بنیادی طور پر ایک بڑا بنیادی محور ہے۔ کوئی بھی اسٹیکس کو کافی بڑے رینک کے سیٹوں کے فنکٹر کے طور پر بیان کر سکتا ہے، اور استعمال ہونے والے مختلف سیٹوں کی صفوں پر محتاط نظر رکھ سکتا ہے۔ اس کے ساتھ مسئلہ یہ ہے کہ اس میں کچھ اضافی بلکہ تھکاوٹ بک کیپنگ شامل ہے۔ کوئی بھی سیٹ تھیوری سے عکاسی کے اصولوں کا استعمال کر سکتا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ کوئی بھی ZFC کے محوریوں کے کسی بھی محدود ٹکڑے کے سیٹ ماڈل تلاش کر سکتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ کوئی خود بخود ایسے سیٹ تلاش کر سکتا ہے جو تمام سیٹوں کی کائنات کے کافی قریب ہیں۔ کوئی بھی مسئلے کو آسانی سے نظر انداز کر سکتا ہے۔ یہ نقطہ نظر بہت سے مصنفین نے اختیار کیا ہے۔ ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک کا الجبرائی اسٹیک چو گروپ بھی دیکھیں الجبرائی جیومیٹری کی لغت اسٹیکس کا تعاقب ایک الجبرائی اسٹیک کی کوٹینٹ اسپیس ماڈیولر فارمز کا رنگ آسان پری شیف اسٹیکس پروجیکٹ ٹورک اسٹیک نوٹ حوالہ جات تعلیمی ایک نمائشی مضمون ہے جو مثالوں کے ساتھ اسٹیکس کی بنیادی باتوں کو بیان کرتا ہے۔ ادب کی طرف رہنمائی کرتا ہے https://maths-people.anu.edu.au ~ الپرج/پیپرز/اسٹیکس-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 حوالہ جات بدقسمتی سے یہ کتاب اس غلط دعوے کا استعمال کرتی ہے کہ الجبرائی اسٹیکس کے مورفزم لیس-ایٹیل ٹوپوئی کے مورفزم کو جنم دیتے ہیں۔ ان میں سے کچھ غلطیوں کو ٹھیک کیا گیا۔ مزید پڑھنے کے لیے بیرونی لنکس "الجبرائی اسٹیکس پر اچھے تعارفی حوالہ جات؟" الجبرائی جیومیٹری زمرہ نظریہ