Moment distribution method
لمحات کی تقسیم کا طریقہ ہارڈی کراس کے ذریعہ تیار کردہ مستحکم طور پر غیر متعین بیموں اور فریموں کے لیے ساختی تجزیہ کا طریقہ ہے۔ یہ 1930 میں ایک اے ایس سی ای جریدے میں شائع ہوا تھا۔ یہ طریقہ صرف لچکدار اثرات کا سبب بنتا ہے اور محوری اور شیر کے اثرات کو نظر انداز کرتا ہے۔ 1930 کی دہائی سے لے کر ڈھانچوں کے ڈیزائن اور تجزیہ میں کمپیوٹرز کے بڑے پیمانے پر استعمال ہونے تک، لمحات کی تقسیم کا طریقہ سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والا طریقہ تھا۔ تعارف مومنٹ ڈسٹری بیوشن کے طریقہ کار میں، تجزیہ کیے جانے والے ڈھانچے کے ہر جوڑ کو طے کیا جاتا ہے تاکہ فکسڈ اینڈ مومنٹ تیار کیے جا سکیں۔ پھر ہر فکسڈ جوائنٹ کو ترتیب وار جاری کیا جاتا ہے اور فکسڈ اینڈ لمحات (جو ریلیز کے وقت تک توازن میں نہیں ہوتے ہیں) ملحقہ ممبروں میں تقسیم کیے جاتے ہیں جب تک کہ توازن حاصل نہ ہو جائے۔ ریاضیاتی اصطلاحات میں لمحات کی تقسیم کے طریقہ کار کو تکرار کے ذریعے بیک وقت مساوات کے ایک سیٹ کو حل کرنے کے عمل کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ لمحات کی تقسیم کا طریقہ ساختی تجزیہ کے نقل مکانی کے طریقہ کار کے زمرے میں آتا ہے۔ نفاذ کسی ڈھانچے کا تجزیہ کرنے کے لیے لمحات کی تقسیم کے طریقہ کار کو لاگو کرنے کے لیے درج ذیل چیزوں پر غور کرنا ضروری ہے۔ فکسڈ اینڈ مومنٹ فکسڈ اینڈ مومنٹ وہ لمحات ہیں جو ممبر کے سروں پر بیرونی بوجھ سے پیدا ہوتے ہیں۔ موڑنے کی سختی کسی ممبر کی موڑنے کی سختی (EI/L) کو ممبر کی لچکدار سختی (لچک کے ماڈیولس (E) اور رقبے کے دوسرے لمحے (I) کی پیداوار) کے طور پر پیش کیا جاتا ہے جسے ممبر کی لمبائی (L) سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ لمحات کی تقسیم کے طریقہ کار میں جس چیز کی ضرورت ہوتی ہے وہ مخصوص اقدار نہیں بلکہ تمام اراکین کے درمیان موڑنے والی سختی کا تناسب ہے۔ تقسیم کے عوامل جب کوئی جوڑ چھوڑا جا رہا ہوتا ہے اور غیر متوازن لمحے کے تحت گھومنا شروع ہوتا ہے، تو جوڑوں پر ایک ساتھ بنائے گئے ہر رکن پر مزاحمتی قوتیں پیدا ہوتی ہیں۔ اگرچہ کل مزاحمت غیر متوازن لمحے کے برابر ہے، لیکن ہر رکن پر پیدا ہونے والی مزاحمتی قوتوں کی شدت ممبروں کی موڑنے والی سختی سے مختلف ہوتی ہے۔ تقسیم کے عوامل کو ہر رکن کے ذریعے اٹھائے گئے غیر متوازن لمحات کے تناسب کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ریاضیاتی اصطلاحات میں، جوڑ پر بنائے گئے ممبر کا تقسیم عنصر اس طرح دیا گیا ہے: جہاں n جوڑ پر بنائے گئے اراکین کی تعداد ہے۔ کیری اوور عوامل جب کوئی جوڑ چھوڑا جاتا ہے، تو توازن کا لمحہ غیر متوازن لمحے کو متوازن کرنے کے لیے ہوتا ہے۔ توازن کا لمحہ ابتدائی طور پر فکسڈ اینڈ لمحے جیسا ہی ہوتا ہے۔ اس توازن کے لمحے کو پھر رکن کے دوسرے سرے پر لے جایا جاتا ہے۔ دوسرے سرے پر کیری اوور مومنٹ اور ابتدائی سرے کے فکسڈ اینڈ مومنٹ کا تناسب کیری اوور فیکٹر ہے۔ کیری اوور عوامل کا تعین ایک فکسڈ بیم کے ایک سرے (اینڈ اے) کو چھوڑا جائے اور ایک مومنٹ لگایا جائے جبکہ دوسرا سرے (اینڈ بی) فکسڈ رہے۔ یہ اختتام A کو ایک زاویے سے گھومنے کا سبب بنے گا۔ ایک بار B کے آخر میں تیار ہونے کی شدت مل جانے کے بعد، اس ممبر کا کیری اوور فیکٹر اوور کے تناسب کے طور پر دیا جاتا ہے: مستقل کراس سیکشن کے ساتھ لمبائی L کی بیم کی صورت میں جس کی لچکدار سختی ہوتی ہے، لہذا کیری اوور فیکٹر سائن کنونشن ایک بار سائن کنونشن کا انتخاب کیا گیا ہے، اسے پورے ڈھانچے کے لیے برقرار رکھنا پڑتا ہے۔ روایتی انجینئر کا سائن کنونشن لمحات کی تقسیم کے طریقہ کار کے حساب میں استعمال نہیں ہوتا ہے حالانکہ نتائج کا اظہار روایتی طریقے سے کیا جا سکتا ہے۔ بی ایم ڈی کے معاملے میں، بائیں طرف کا مومنٹ گھڑی کی سمت میں ہوتا ہے اور دوسرا گھڑی کی مخالف سمت میں ہوتا ہے لہذا موڑ مثبت ہوتا ہے اور اسے ساگنگ کہا جاتا ہے۔ فریم شدہ ڈھانچہ سائیڈ وے کے ساتھ یا اس کے بغیر فریم شدہ ڈھانچے کا مومنٹ ڈسٹری بیوشن طریقہ استعمال کرتے ہوئے تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ مثال شکل میں دکھائے گئے مستحکم طور پر غیر متعین بیم کا تجزیہ کیا جانا ہے۔ بیم کو تین الگ الگ ممبران، اے بی، بی سی، اور سی ڈی سمجھا جاتا ہے، جو بی اور سی پر فکسڈ اینڈ (مومنٹ ریزسٹنگ) جوڑوں سے جڑے ہوتے ہیں۔ ممبران اے بی، بی سی، سی ڈی کا ایک ہی دورانیہ ہوتا ہے۔ لچکدار سختی بالترتیب ای آئی، 2 ای آئی، ای آئی ہیں۔ شدت کا متمرکز بوجھ سپورٹ A سے فاصلے پر کام کرتا ہے۔ شدت کا یکساں بوجھ BC پر عمل کرتا ہے۔ ممبر سی ڈی کو اس کے مڈ اسپین پر شدت کے متمرکز بوجھ کے ساتھ لوڈ کیا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل حسابات میں گھڑی کی سمت میں لمحات مثبت ہوتے ہیں۔ فکسڈ اینڈ مومنٹ موڑنے کی سختی اور تقسیم کے عوامل اراکین اے بی، بی سی اور سی ڈی کی موڑنے کی سختی بالترتیب اور ہیں۔ لہذا اعشاریہ اشارے کو دہرانے میں نتائج کا اظہار کرنا: جوڑوں A اور D کے تقسیم کے عوامل ہیں اور۔ کیری اوور عوامل کیری اوور عوامل ہیں، سوائے ڈی (فکسڈ سپورٹ) سے سی تک کیری اوور عنصر کے جو صفر ہے۔ سرمئی رنگ میں مومنٹ ڈسٹری بیوشن نمبر متوازن لمحات ہوتے ہیں۔ تیر (→/) کسی ممبر کے ایک سرے سے دوسرے سرے تک لمحے کو لے جانے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مرحلہ 1: جیسے ہی جوڑا A چھوڑا جاتا ہے، مقررہ اختتامی لمحے کے برابر شدت کے توازن لمحے کی نشوونما ہوتی ہے اور اسے جوڑے A سے جوڑے B تک لے جایا جاتا ہے۔ مرحلہ 2: مشترکہ B پر اب غیر متوازن لمحہ مقررہ اختتامی لمحات کا مجموعہ ہے، اور مشترکہ A سے لے جانے والا لمحہ۔ یہ غیر متوازن لمحہ تقسیم کے عوامل کے مطابق بی اے اور بی سی اراکین میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ مرحلہ 2 متوازن مومنٹ کو جوائنٹ سی پر لے جانے کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔ جوائنٹ اے ایک رولر سپورٹ ہے جس میں کوئی گردش کی پابندی نہیں ہے، لہذا جوائنٹ بی سے جوائنٹ اے تک مومنٹ کیری اوور صفر ہے۔ مرحلہ 3: مشترکہ C پر غیر متوازن لمحہ اب مقررہ اختتامی لمحات کا مجموعہ ہے، اور مشترکہ B سے لے جانے کا لمحہ ہے۔ پچھلے مرحلے کی طرح، یہ غیر متوازن لمحہ ہر رکن میں تقسیم کیا جاتا ہے اور پھر مشترکہ D اور مشترکہ B پر واپس لے جایا جاتا ہے۔ جوائنٹ ڈی ایک فکسڈ سپورٹ ہے اور اس جوائنٹ تک لے جانے والے لمحات تقسیم نہیں کیے جائیں گے اور نہ ہی مشترکہ سی * پر لے جایا جائے گا۔ مرحلہ 4: جوائنٹ بی میں اب بھی متوازن لمحہ ہے جو مشترکہ سی سے مرحلہ 3 میں لے جایا گیا تھا۔ مومنٹ ڈسٹری بیوشن کو فروغ دینے اور توازن حاصل کرنے کے لیے جوائنٹ بی ایک بار پھر جاری کیا جاتا ہے۔ مرحلہ 5-10: جوڑوں کو اس وقت تک چھوڑا جاتا ہے اور دوبارہ طے کیا جاتا ہے جب تک کہ ہر جوڑے کے سائز صفر کے غیر متوازن لمحات نہ ہوں یا مطلوبہ درستگی میں غیر معمولی طور پر چھوٹے نہ ہوں۔ ریاضی کے لحاظ سے ہر متعلقہ کالم میں تمام لمحات کا خلاصہ حتمی لمحات کی اقدار دیتا ہے۔ مومنٹ ڈسٹری بیوشن کے طریقہ کار سے طے شدہ جوڑوں پر مومنٹ کا نتیجہ روایتی انجینئر کا سائن کنونشن یہاں استعمال ہوتا ہے، یعنی۔ مثبت لمحات بیم ممبر کے نچلے حصے میں لمبائی کا سبب بنتے ہیں۔ موازنہ کے مقاصد کے لیے، میٹرکس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل نتائج اخذ کیے گئے ہیں۔ نوٹ کریں کہ اوپر کے تجزیے میں، تکرار کے عمل کو> 0.1 درستگی تک پہنچایا گیا تھا۔ یہ حقیقت کہ میٹرکس تجزیہ کے نتائج اور مومنٹ ڈسٹری بیوشن تجزیہ کے نتائج 0.001 درستگی سے میل کھاتے ہیں محض اتفاق ہے۔ جوڑوں کے لمحات جو میٹرکس کے طریقہ کار سے طے ہوتے ہیں نوٹ کریں کہ لمحات کی تقسیم کا طریقہ صرف جوڑوں کے لمحات کا تعین کرتا ہے۔ مکمل موڑنے والے لمحات کے خاکے تیار کرنے کے لیے طے شدہ مشترکہ لمحات اور اندرونی حصے کے توازن کا استعمال کرتے ہوئے اضافی حسابات کی ضرورت ہوتی ہے۔ جیسا کہ ہارڈی کراس طریقہ صرف تخمینہ نتائج فراہم کرتا ہے، غلطی کے مارجن کے ساتھ تکرار کی تعداد کے الٹا تناسب کے ساتھ، یہ اندازہ لگانا ضروری ہے کہ یہ طریقہ کتنا درست ہو سکتا ہے۔ اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے، ایک درست طریقہ استعمال کرکے حاصل کیا گیا نتیجہ یہ ہے: نقل مکانی کا طریقہ اس کے لیے، نقل مکانی کے طریقہ کی مساوات مندرجہ ذیل شکل اختیار کرتی ہے: اس مثال میں بیان کردہ ڈھانچے کے لیے، سختی میٹرکس مندرجہ ذیل ہے: مساوی نوڈل فورس ویکٹر: مساوات میں اوپر پیش کردہ اقدار کو تبدیل کرنا اور اسے حل کرنا مندرجہ ذیل نتیجہ کی طرف لے جاتا ہے: لہذا، نوڈ بی میں تشخیص شدہ لمحات مندرجہ ذیل ہیں: نوڈ سی میں تشخیص شدہ لمحات مندرجہ ذیل ہیں: محدود عنصر کا طریقہ بھی دیکھیں ڈھلوان انحراف کا طریقہ نوٹ حوالہ جات ساختی تجزیہ