Non-positive curvature
ریاضی میں، غیر مثبت منحنی خطوط کی خالی جگہیں بہت سے سیاق و سباق میں پائی جاتی ہیں اور ہائپربولک جیومیٹری کی عمومی شکل اختیار کرتی ہیں۔ ریمینیئن مینیفولڈز کے زمرے میں، کوئی بھی کئی گنا کی سیکشنل منحنیت پر غور کر سکتا ہے اور اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ یہ منحنیت ہر جگہ صفر سے کم یا اس کے برابر ہو۔ منحنی خطوط کا تصور جیوڈیسیک میٹرک خالی جگہوں کے زمرے تک پھیلا ہوا ہے، جہاں کوئی خلا کی منحنی خطوط کی مقدار کے لیے تقابلی مثلث استعمال کر سکتا ہے۔ اس تناظر میں، غیر مثبت مڑے ہوئے خالی جگہوں کو (مقامی طور پر) سی اے ٹی (0) خالی جگہوں کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ریمن کی سطحیں اگر ایک بند، قابل سمت ریمن کی سطح ہے تو یہ یونیفارمائزیشن تھیوریم کی پیروی کرتا ہے جو کہ یا تو، یا کی مستقل گوسیائی منحنیت کے ساتھ ایک مکمل ریمینین میٹرک سے مالا مال ہو سکتا ہے۔ گاؤس-بونٹ تھیوریم کے نتیجے میں کوئی بھی اس بات کا تعین کر سکتا ہے کہ وہ سطحیں جن میں مستقل منحنی خطوط کا ریمینیائی میٹرک ہوتا ہے یعنی۔ ریمن کی سطحیں ایک مکمل، غیر مثبت مستقل منحنی خطوط کے ریمینین میٹرک کے ساتھ، بالکل وہی ہیں جن کی جینس کم از کم ہے۔ یونیفارمائیزیشن تھیوریم اور گاؤس-بونٹ تھیوریم دونوں کو باؤنڈری کے ساتھ اورینٹیبل ریمن سطحوں پر لاگو کیا جا سکتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ وہ سطحیں جن میں غیر مثبت اویلر کی خصوصیت ہوتی ہے بالکل وہی ہیں جو غیر مثبت منحنیت کے ریمینین میٹرک کو تسلیم کرتی ہیں۔ اس لیے اس طرح کی سطحوں کی ہومیومورفزم اقسام کا ایک لامحدود خاندان ہے جبکہ ریمن دائرہ مستقل گاؤسی منحنی خطوط کی واحد بند، قابل سمت ریمن سطح ہے۔ مذکورہ بالا منحنی خطوط کی تعریف ریمینیائی میٹرک کے وجود پر منحصر ہے اور اس لیے جیومیٹری کے میدان میں ہے۔ تاہم گاؤس-بونٹ تھیوریم اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ کسی سطح کی ٹوپولوجی مکمل ریمینیائی میٹرکس پر رکاوٹیں رکھتی ہے جو کسی سطح پر عائد کی جا سکتی ہیں لہذا غیر مثبت منحنی خطوط کی میٹرک خالی جگہوں کا مطالعہ جیومیٹری اور ٹوپولوجی دونوں ریاضیاتی شعبوں میں اہم دلچسپی کا باعث ہے۔ غیر مثبت منحنی خطوط کی سطحوں کی کلاسیکی مثالیں یوکلڈین طیارہ اور فلیٹ ٹورس (منحنی خطوط کے لیے) اور ہائپربولک طیارہ اور سڈوسفیئر (منحنی خطوط کے لیے) ہیں۔ اس وجہ سے ان میٹرکس کے ساتھ ساتھ ریمن سطحوں کو جن پر وہ مکمل میٹرکس کے طور پر پڑے ہیں بالترتیب یوکلڈین اور ہائپربولک کہا جاتا ہے۔ عامیاں غیر مثبت مڑے ہوئے ریمن سطحوں کی جیومیٹری کی خصوصیت کا استعمال ریمن سطحوں کے مطالعہ سے آگے غیر مثبت کے تصور کو عام کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ کئی گنا یا اعلی جہت کے آربی فولڈز کے مطالعہ میں، سیکشنل وکر کا تصور استعمال کیا جاتا ہے جس میں ایک دی گئی نقطہ پر ٹینجینٹ اسپیس کی دو جہتی ذیلی جگہوں پر کسی کی توجہ کو محدود کیا جاتا ہے۔ موسٹو-پرساد رگڈیٹی تھیوریم سے بڑے طول و عرض میں یہ یقینی بناتا ہے کہ محدود رقبے کے ہائپربولک کئی گنا میں ایک منفرد مکمل ہائپربولک میٹرک ہے لہذا اس ترتیب میں ہائپربولک جیومیٹری کا مطالعہ ٹوپولوجی کے مطالعہ کے لیے لازمی ہے۔ ایک صوابدیدی جیوڈیسیک میٹرک اسپیس میں گروموف ہائپربولک ہونے یا سی اے ٹی (0) اسپیس ہونے کے تصورات اس خیال کو عام کرتے ہیں کہ غیر مثبت منحنی خطوط کی ریمن سطح پر، مثلث جن کے اطراف جیوڈیسیکس ہوتے ہیں وہ پتلی دکھائی دیتے ہیں جبکہ مثبت منحنی خطوط کی ترتیبات میں وہ موٹے دکھائی دیتے ہیں۔ غیر مثبت منحنی خطوط کا یہ تصور غیر مثبت منحنی خطوط کے تصور کی اجازت دیتا ہے جو عام طور پر گرافوں پر لاگو ہوتا ہے اور اس وجہ سے یہ امتزاج اور ہندسی گروپ تھیوری کے شعبوں میں بہت مفید ہے۔ مارگولس لیما حوالہ جات منحنی خطوط (ریاضی) ہائپربولک جیومیٹری میٹرک جیومیٹری بھی دیکھیں۔