Generalized Dirichlet distribution
اعداد و شمار میں، عمومی ڈیرچلیٹ ڈسٹری بیوشن (جی ڈی) ڈیرچلیٹ ڈسٹری بیوشن کی عمومی شکل ہے جس میں زیادہ عام کوویرینس ڈھانچہ اور پیرامیٹرز کی تعداد تقریبا دگنی ہے۔ جی ڈی کی تقسیم کے ساتھ بے ترتیب ویکٹر مکمل طور پر غیر جانبدار ہوتے ہیں۔ کی کثافت فنکشن ہے جہاں ہم وضاحت کرتے ہیں۔ یہاں بیٹا فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ معیاری ڈیرچلیٹ کی تقسیم کو کم کر دیتا ہے اگر (من مانی ہے)۔ مثال کے طور پر، اگر k = 4 ہے، تو کی کثافت فنکشن کہاں اور ہے۔ کونر اور موسیمن پی ڈی ایف کی وضاحت کرتے ہیں جیسا کہ انہوں نے مندرجہ ذیل وجوہات کی بنا پر کیا۔ اس کے ساتھ بے ترتیب متغیرات کی وضاحت کریں۔ پھر عمومی ڈیرچلیٹ کی تقسیم کو جیسا کہ اوپر پیرامیٹرائز کیا گیا ہے، اگر وہ پیرامیٹرز کے ساتھ آزاد بیٹا ہیں،۔ وانگ وانگ کی طرف سے دی گئی متبادل شکل کہاں کے لیے اور کے لیے قدرے زیادہ جامع شکل دیتی ہے۔ نوٹ کریں کہ وانگ ایک جہتی جگہ پر تقسیم کی وضاحت کرتا ہے (واضح طور پر وضاحت کرتا ہے) جبکہ کونر اور موسیمان ایک جہتی جگہ کا استعمال کرتے ہیں۔ جنرل مومنٹ فنکشن اگر، پھر کہاں کے لیے اور۔ اس طرح معیاری ڈیرچلیٹ کی تقسیم میں کمی جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، اگر اس کے لیے تقسیم ایک معیاری ڈیرچلیٹ تک کم ہو جاتی ہے۔ یہ حالت معمول کے معاملے سے مختلف ہے، جس میں عمومی تقسیم کے اضافی پیرامیٹرز کو صفر پر ترتیب دینے سے اصل تقسیم کا نتیجہ نکلتا ہے۔ تاہم، جی ڈی ڈی کے معاملے میں، اس کے نتیجے میں ایک بہت ہی پیچیدہ ڈینسٹی فنکشن ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ ڈیرچلیٹ کو عام کیا گیا ہے، اور یہ آزمائشوں کے ساتھ کثیر الجہتی ہے (یہاں)۔ کے لیے اور مشترکہ پوسٹرئیر لکھنا ایک عمومی ڈیرچلیٹ تقسیم ہے جس کے ساتھ کہاں اور نمونے لینے کے تجربے کے لیے وانگ مندرجہ ذیل نظام کو ایک مثال کے طور پر پیش کرتا ہے کہ ڈیرچلیٹ اور عمومی ڈیرچلیٹ کی تقسیم کس طرح مختلف ہے۔ اس کا خیال ہے کہ ایک بڑے برتن میں مختلف رنگوں کی گیندیں ہوتی ہیں۔ ہر رنگ کا تناسب نامعلوم ہے۔ برتن میں رنگ کے ساتھ گیندوں کے تناسب کے لیے لکھیں۔ تجربہ 1. تجزیہ کار 1 کا خیال ہے کہ (یعنی، پیرامیٹرز کے ساتھ ڈیرچلیٹ ہے)۔ تجزیہ کار پھر شیشے کے ڈبے بناتا ہے اور ڈبے میں رنگین سنگ مرمر ڈالتا ہے (یہ فرض کیا جاتا ہے کہ وہ انٹیجر ہیں)۔ پھر تجزیہ کار 1 برتن سے ایک گیند کھینچتا ہے، اس کا رنگ دیکھتا ہے (جیسے رنگ) اور اسے ڈبے میں ڈال دیتا ہے۔ وہ صحیح ڈبے کی شناخت کر سکتا ہے کیونکہ وہ شفاف ہوتے ہیں اور اندر کے سنگ مرمر کے رنگ نظر آتے ہیں۔ یہ عمل اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک کہ گیندیں کھینچی نہ جائیں۔ اس کے بعد پچھلی تقسیم ڈیرچلیٹ ہوتی ہے جس کے پیرامیٹرز ہر خانے میں سنگ مرمر کی تعداد ہوتے ہیں۔ تجربہ 2. تجزیہ کار 2 کا خیال ہے کہ عام ڈیرچلیٹ کی تقسیم کے بعد: تمام پیرامیٹرز کو ایک بار پھر مثبت عدد سمجھا جاتا ہے۔ تجزیہ کار لکڑی کے خانے بناتا ہے۔ خانوں کے دو حصے ہوتے ہیں: ایک گیندوں کے لیے اور ایک سنگ مرمر کے لیے۔ گیندیں رنگین ہوتی ہیں لیکن سنگ مرمر رنگین نہیں ہوتے۔ پھر، وہ رنگ کی گیندیں، اور سنگ مرمر، ڈبے میں ڈالتا ہے۔ اس کے بعد وہ ڈبے میں رنگین گیند ڈالتا ہے۔ تجزیہ کار پھر برتن سے ایک گیند کھینچتا ہے۔ چونکہ ڈبے لکڑی کے ہوتے ہیں، تجزیہ کار یہ نہیں بتا سکتا کہ گیند کو کس ڈبے میں ڈالنا ہے (جیسا کہ وہ اوپر کے تجربے 1 میں کر سکتا ہے) ؛ اس کی یادداشت بھی خراب ہے اور اسے یاد نہیں ہے کہ کس ڈبے میں کون سی رنگین گیندیں ہیں۔ اسے یہ دریافت کرنا ہوگا کہ گیند کو اندر ڈالنے کے لیے کون سا ڈبہ صحیح ہے۔ وہ باکس 1 کھول کر اور اس میں موجود گیندوں کا ڈرا گیند سے موازنہ کر کے ایسا کرتا ہے۔ اگر رنگ مختلف ہیں تو باکس غلط ہے۔ تجزیہ کار باکس 1 میں سنگ مرمر ڈالتا ہے اور باکس 2 کی طرف بڑھتا ہے۔ وہ اس عمل کو اس وقت تک دہراتا ہے جب تک کہ باکس کی گیندیں ڈرا ہوئی گیند سے میل نہ کھائیں، اس وقت وہ گیند کو مماثل رنگ کی دوسری گیندوں کے ساتھ باکس میں ڈال دیتا ہے۔ تجزیہ کار پھر برتن سے ایک اور گیند کھینچتا ہے اور اس وقت تک دہراتا ہے جب تک کہ گیندیں ڈرا نہ ہو جائیں۔ اس کے بعد پوسٹرئیر کو عام ڈیرچلیٹ بنایا جاتا ہے جس میں ہر ڈبے میں گیندوں کی تعداد اور سنگ مرمر کی تعداد کے پیرامیٹرز ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ تجربہ 2 میں، بکس کی ترتیب کو تبدیل کرنے کا غیر معمولی اثر ہوتا ہے، تجربہ 1 کے برعکس۔ ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیئل ڈسٹری بیوشن لوکاکس کا تناسب-مجموعہ آزادی تھیوریم بھی دیکھیں حوالہ جات مسلسل تقسیم ملٹی ویریٹ مسلسل تقسیمات سابقہ تقسیمات ایکسپونینشیل فیملی ڈسٹری بیوشن کو جوڑتے ہیں