Hellinger distance
امکان اور اعداد و شمار میں، ہیلنگر فاصلہ (اگرچہ بھٹاچاریہ فاصلے سے مختلف ہے) دو امکان کی تقسیم کے درمیان مماثلت کی مقدار کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ ایف-ڈائیورجنس کی ایک قسم ہے۔ ہیلنگر فاصلے کی تعریف ہیلنگر انٹیگرل کے لحاظ سے کی گئی ہے، جسے ارنسٹ ہیلنگر نے 1909 میں متعارف کرایا تھا۔ اسے بعض اوقات جیفریز فاصلہ کہا جاتا ہے۔ پیمائش کا نظریہ پیمائش کے نظریہ کے لحاظ سے ہیلنگر کے فاصلے کی وضاحت کرنے کے لیے، ایک پیمائش کی جگہ پر دو امکانات کے اقدامات کو ظاہر کریں جو ایک معاون پیمائش کے حوالے سے بالکل مسلسل ہیں۔ اس طرح کی پیمائش ہمیشہ موجود رہتی ہے، مثال کے طور پر۔ ہیلنگر کا مربع اور کے درمیان کا فاصلہ یہاں کی مقدار کے طور پر بیان کیا گیا ہے، اور، یعنی۔ اور کے حوالے سے بالترتیب P اور Q کے ریڈون-نیکوڈیم مشتق ہیں۔ یہ تعریف اس پر منحصر نہیں ہے، یعنی۔ P اور Q کے درمیان ہیلنگر کا فاصلہ تبدیل نہیں ہوتا ہے اگر اسے کسی مختلف امکان کی پیمائش سے تبدیل کیا جائے جس کے سلسلے میں P اور Q دونوں بالکل مسلسل ہوں۔ کمپیکٹنس کے لیے، مندرجہ بالا فارمولا اکثر لیبسیگ پیمائش کا استعمال کرتے ہوئے امکانی نظریہ کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ ابتدائی امکانی نظریہ کے لحاظ سے ہیلنگر فاصلے کی وضاحت کرنے کے لیے، ہم λ کو لیبسیگ پیمائش سمجھتے ہیں، تاکہ ڈی پی/ڈی ایل اور ڈی کیو/ڈی ایل محض امکان کثافت کے افعال ہوں۔ اگر ہم کثافت کو بالترتیب f اور g کے طور پر ظاہر کرتے ہیں، تو مربع ہیلنگر کے فاصلے کو ایک معیاری کیلکولس انٹیگرل کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں دوسری شکل مربع کو بڑھا کر اور اس حقیقت کو استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جا سکتی ہے کہ اس کے ڈومین پر امکانی کثافت کا انٹیگرل 1 کے برابر ہے۔ ہیلنگر فاصلہ H (P، Q) خاصیت کو مطمئن کرتا ہے (کاچی-شوارز عدم مساوات سے ماخوذ) مجرد تقسیم دو مجرد امکانات کی تقسیم کے لیے اور، ان کے ہیلنگر فاصلے کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جس کا براہ راست تعلق مربع جڑ ویکٹر کے فرق کے یوکلیڈین معیار سے ہے، یعنی۔ نیز، خصوصیات ہیلنگر کا فاصلہ کسی دی گئی امکانات کی جگہ پر امکانات کی تقسیم کی جگہ پر ایک پابند میٹرک بناتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ فاصلہ 1 اس وقت حاصل ہوتا ہے جب P ہر سیٹ کو امکان صفر تفویض کرتا ہے جس پر Q مثبت امکان تفویض کرتا ہے، اور اس کے برعکس۔ بعض اوقات انٹیگرل کے سامنے والے عنصر کو خارج کر دیا جاتا ہے، اس صورت میں ہیلنگر کا فاصلہ صفر سے دو کے مربع جڑ تک ہوتا ہے۔ ہیلنگر فاصلہ بھٹاچاریہ گتانک سے متعلق ہے کیونکہ اس کی تعریف ہیلنگر فاصلے کے طور پر کی جا سکتی ہے جو کہ ترتیب وار اور غیر علامتی اعداد و شمار کے نظریہ میں استعمال ہوتے ہیں۔ دو نارمل ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور یہ ہے: دو ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور یہ ہے: دو ویبل ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور یہ ہے: دو ویبل ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور (جہاں ایک عام شکل کا پیرامیٹر ہے اور بالترتیب پیمانے کے پیرامیٹر ہیں): شرح کے پیرامیٹرز کے ساتھ دو پوئسون ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور، تاکہ اور، یہ ہے: دو بیٹا ڈسٹری بیوشنوں کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ اور یہ ہے: بیٹا فنکشن کہاں ہے۔ دو گاما تقسیم کے درمیان مربع ہیلنگر کا فاصلہ ہے: گاما فنکشن کہاں ہے۔ کل تغیر کے فاصلے کے ساتھ تعلق ہیلنگر کا فاصلہ اور کل تغیر کا فاصلہ (یا شماریاتی فاصلہ) مندرجہ ذیل طور پر متعلق ہیں: اس عدم مساوات میں مستقلات اس بات پر منحصر ہو سکتے ہیں کہ آپ کس ری نارملائزیشن کا انتخاب کرتے ہیں (یا)۔ یہ عدم مساوات 1-نارم اور 2-نارم کے درمیان عدم مساوات کی وجہ سے ہوتی ہیں۔ شماریاتی فاصلہ کل بیک-لیبلر انحراف بھٹاچاریہ فاصلہ کل تغیر فاصلہ ماہی گیر معلومات میٹرک نوٹ حوالہ جات تھیوری آف پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن F-ڈائیورجنس شماریاتی فاصلہ