Erdős–Mordell inequality
یوکلڈین جیومیٹری میں، ایرڈس-مورڈیل عدم مساوات بیان کرتی ہے کہ اے بی سی کے اندر کسی بھی مثلث اے بی سی اور پوائنٹ پی کے لیے، پی سے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ پی سے چوٹیوں تک کے فاصلے کے مجموعے کے نصف سے کم یا برابر ہوتا ہے۔ اس کا نام پال ایرڈس اور لوئس مورڈیل کے نام پر رکھا گیا ہے۔ عدم مساوات کو ثابت کرنے کا مسئلہ پیش کیا۔ دو سال بعد اس نے ایک ثبوت فراہم کیا۔ تاہم یہ حل زیادہ بنیادی نہیں تھا۔ اس کے بعد کے آسان ترین ثبوت، اور کے ذریعے پائے گئے۔ بیرو کی عدم مساوات ایرڈس-مورڈیل عدم مساوات کا ایک مضبوط ورژن ہے جس میں P سے اطراف تک کے فاصلے P سے ان نکات تک کے فاصلے سے تبدیل ہو جاتے ہیں جہاں  anth APB،  anth BPC، اور  anth CPA کے زاویہ بائیسیکٹر اطراف کو عبور کرتے ہیں۔ اگرچہ تبدیل شدہ فاصلے لمبے ہوتے ہیں، پھر بھی ان کا مجموعہ عمودی فاصلے کے نصف سے کم یا برابر ہوتا ہے۔ بیان کسی دیئے گئے مثلث کے اندر ایک صوابدیدی نقطہ P ہونے دیں، اور مثلث کے اطراف سے عمودی ہونے دیں۔ (اگر مثلث موٹا ہے، تو ان میں سے ایک عمودی مثلث کے مختلف رخ سے گزر سکتا ہے اور ایک طرف کی حمایت کرنے والی لکیر پر ختم ہو سکتا ہے۔) پھر عدم مساوات بیان کرتی ہے کہ ثبوت ABC کے اطراف A کے مخالف، b کو B کے مخالف، اور c کو C کے مخالف ہونے دیں۔ یہ بھی فرض کریں کہ PA = p، PB = q، PC = r، dist (P ؛ BC) = x، dist (P ؛ CA) = y، dist (P ؛ AB) = z۔ دائیں طرف مثلث ABC کا رقبہ ہے، لیکن بائیں طرف، r + z کم از کم مثلث کی اونچائی ہے ؛ اس کے نتیجے میں، بائیں طرف دائیں طرف سے چھوٹا نہیں ہو سکتا۔ اب C پر زاویے کے دو حصوں پر P کی عکاسی کریں۔ ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ P کی عکاسی کے لیے ωr ωy + bx ہے۔ اسی طرح، bq ≤ az + cx اور ap ≤ bz + cy۔ ہم r، q، اور p کے لیے ان عدم مساوات کو حل کرتے ہیں: تینوں کو جوڑ کر، ہم حاصل کرتے ہیں۔ مساوات صرف مساوی مثلث کے لیے ہوتی ہے، جہاں P اس کا مرکز ہے۔ ایک اور مضبوط ورژن فرض کریں کہ ABC ایک مثلث ہو جو دائرے (O) میں کندہ ہو اور P ABC کے اندر ایک نقطہ ہو۔ فرض کریں کہ D، E، F BC، CA، AB پر P کے آرتھوگنل پروجیکشن ہیں۔ M، N، Q بالترتیب A، B، C پر (O) کے ٹینجینٹس پر P کے آرتھوگنل پروجیکشن ہوں، پھر: مساوات تب ہی برقرار رہتی ہے جب مثلث ABC مساوی ہو (؛) ایک عمومی شکل۔ آئیے سرے سے فاصلہ، پہلو تک کا فاصلہ، زاویہ کے بائیسیکٹر کا حصہ اس کے چوراہے سے طرف کے ساتھ تب: مطلق جیومیٹری میں ایرڈس-مورڈیل عدم مساوات اس بیان کے مساوی ہے، جیسا کہ ثابت ہوا ہے کہ مثلث کے زاویوں کا مجموعہ دو صحیح زاویوں سے کم یا برابر ہے۔ مثلث کی عدم مساوات کی فہرست حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط الیگزینڈر بوگومولنی، "ایرڈس-مورڈیل عدم مساوات"، کٹ-دی-نوٹ سے۔ مثلث کی عدم مساوات