Discontinuous Galerkin method
اطلاقی ریاضی میں، متضاد گیلرکن طریقے (ڈی جی طریقے) تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے عددی طریقوں کی ایک کلاس بناتے ہیں۔ وہ محدود عنصر اور محدود حجم کے فریم ورک کی خصوصیات کو یکجا کرتے ہیں اور وسیع پیمانے پر ایپلی کیشنز سے پیدا ہونے والے ہائپربولک، ایلیپٹک، پیرابولک اور مخلوط فارم کے مسائل پر کامیابی سے لاگو ہوتے ہیں۔ ڈی جی طریقوں کو خاص طور پر غالب فرسٹ آرڈر حصے کے مسائل کے لیے کافی دلچسپی ملی ہے، جیسے۔ الیکٹرو ڈائنامکس، فلوئڈ میکینکس اور پلازما فزکس میں۔ اختلاط گیلرکن کے طریقوں کو پہلی بار 1970 کی دہائی کے اوائل میں جزوی تفریق مساوات کو عددی طور پر حل کرنے کی تکنیک کے طور پر تجویز اور تجزیہ کیا گیا تھا۔ 1973 میں ریڈ اور ہل نے ہائپربولک نیوٹرون ٹرانسپورٹ مساوات کو حل کرنے کے لیے ڈی جی طریقہ متعارف کرایا۔ الپٹک مسائل کے لیے ڈی جی طریقہ کار کی ابتدا کا سراغ کسی ایک اشاعت سے نہیں لگایا جا سکتا کیونکہ جدید معنوں میں چھلانگ کی سزا جیسی خصوصیات بتدریج تیار کی گئیں۔ تاہم، ابتدائی بااثر شراکت داروں میں بابوشکا، جے۔ ایل۔ لائنز، جوآخم نٹشے اور میلوس زلامال شامل تھے۔ ایلپٹک مسائل کے لیے ڈی جی طریقے پہلے ہی 1977 میں چوتھے درجے کی مساوات کی ترتیب میں گارت بیکر کے ایک مقالے میں تیار کیے گئے تھے۔ تاریخی پیش رفت کا مزید مکمل بیان اور الپٹک مسائل کے لیے ڈی جی طریقوں کا تعارف آرنلڈ، بریزی، کاک برن اور مارینی کی ایک اشاعت میں دیا گیا ہے۔ ڈی جی طریقوں پر متعدد تحقیقی ہدایات اور چیلنجز کاک برن، کارنیداکس اور شو کی ترمیم کردہ کارروائی کے حجم میں جمع کیے گئے ہیں۔ جائزہ مسلسل گیلرکن (سی جی) طریقہ کار کی طرح، منقطع گیلرکن (ڈی جی) طریقہ ایک محدود عنصر طریقہ ہے جو کسی خاص ماڈل سسٹم کی کمزور تشکیل سے متعلق وضع کیا گیا ہے۔ روایتی سی جی طریقوں کے برعکس جو مطابقت رکھتے ہیں، ڈی جی طریقہ افعال کی ایک آزمائشی جگہ پر کام کرتا ہے جو صرف ٹکڑے ٹکڑے مسلسل ہوتے ہیں، اور اس طرح اکثر مطابقت پذیر طریقوں میں استعمال ہونے والے محدود جہتی اندرونی پروڈکٹ ذیلی جگہوں کے مقابلے میں زیادہ جامع فنکشن خالی جگہوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، "ذرائع" یا "سنک" کے بغیر ایک مقامی ڈومین میں نامعلوم اسکیلر کے لیے تسلسل کی مساوات پر غور کریں: کا بہاؤ کہاں ہے۔ اب ایک مجرد مثلث تک محدود مقامی ڈومین پر متضاد ٹکڑے ٹکڑے کثیر الجہتی افعال کی محدود جہتی جگہ پر غور کریں، جس میں کثیر الجہتی کی جگہ کے طور پر لکھا گیا ہے جس کی طرف سے اشاریہ شدہ عنصر سے کم یا اس کے برابر ڈگری ہوتی ہے۔ پھر محدود عنصر کی شکل کے افعال کے لیے حل کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ پھر اسی طرح ایک ٹیسٹ فنکشن کا انتخاب کرتے ہوئے تسلسل کی مساوات کو خلا میں حصوں سے ضرب دیتے ہوئے اور ان کو مربوط کرتے ہوئے، سیمی ڈسکریٹ ڈی جی تشکیل بن جاتی ہے: اسکیلر ہائپربولک کنزرویشن قانون ایک اسکیلر ہائپربولک کنزرویشن قانون اس شکل کا ہوتا ہے جہاں کوئی نامعلوم اسکیلر فنکشن کے لیے حل کرنے کی کوشش کرتا ہے، اور افعال عام طور پر دیئے جاتے ہیں۔ اسپیس ڈسکریٹائزیشن-اسپیس کو ڈسکریٹائز کیا جائے گا۔ مزید برآں، ہمیں فنکشن اسپیس کے لیے درج ذیل تعریفوں کی ضرورت ہے۔ ہم اپنے حل کے فنکشن اسپیس کے لیے بنیادی نمائندگی حاصل کرتے ہیں۔ فنکشن اسپیس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں وقفے پر کی پابندی کی نشاندہی ہوتی ہے، اور زیادہ سے زیادہ ڈگری کے کثیر الجہتی کی جگہ کی نشاندہی کرتی ہے۔ انڈیکس کو اس کے ذریعہ دی گئی بنیادی ڈسکریٹائزیشن سے تعلق ظاہر کرنا چاہیے۔ یہاں نوٹ کریں کہ انٹرسیکشن پوائنٹس پر منفرد طور پر بیان نہیں کیا گیا ہے۔ سب سے پہلے ہم وقفے پر ایک مخصوص کثیر الجہتی بنیاد کا استعمال کرتے ہیں، لیجنڈری کثیر الجہتی، یعنی، خاص طور پر آرتھوگونالیٹی تعلقات کو وقفے پر تبدیلی پر نوٹ کریں، اور معمول کا حصول ان افعال کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو آرتھونورملٹی تعلقات کو پورا کرتے ہیں۔ ایک وقفے پر تبدیلی جس کے ذریعے دی جاتی ہے۔ آخر میں، ہم اپنے حل کی بنیادی نمائندگی کی وضاحت کر سکتے ہیں یہاں نوٹ کریں، جس کی وضاحت انٹرفیس پوزیشنوں پر نہیں کی گئی ہے۔ اس کے علاوہ، پرزم بیس طیارہ نما ڈھانچوں کے لیے استعمال ہوتے ہیں، اور 2-D/3-D ہائبرڈیشن کے قابل ہوتے ہیں۔ ڈی جی اسکیم تحفظ کے قانون کو ٹیسٹ کے افعال کے ساتھ ضرب دے کر، اور ٹیسٹ کے وقفوں پر انضمام کر کے اس کی کمزور شکل میں تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ جزوی انضمام کا استعمال کرتے ہوئے ایک کے پاس رہ جاتا ہے۔ انٹرفیس پر بہاؤ کا تخمینہ عددی بہاؤ سے لگایا جاتا ہے جہاں بائیں اور دائیں طرف کی حدود کی نشاندہی ہوتی ہے۔ آخر میں، ڈی جی اسکیم کو اسکیلر ایلیپٹک مساوات کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ایک اسکیلر ایلیپٹک مساوات اس شکل کی ہوتی ہے۔ یہ مساوات مستحکم حالت کی حرارت کی مساوات ہے، جہاں درجہ حرارت ہے۔ اسپیس ڈسکریٹائزیشن اوپر کی طرح ہی ہے۔ ہمیں یاد ہے کہ وقفہ لمبائی کے وقفوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ ہم نوڈ پر جمپ اور افعال کی اوسط متعارف کراتے ہیں: اندرونی پنالٹی منقطع گیلرکن (آئی پی ڈی جی) طریقہ یہ ہے کہ: جہاں دو لکیری شکلیں ہیں اور ہیں اور ہیں وہاں اطمینان بخش تلاش کریں۔ اس کی قیمت بڑھانے سے غیر متزلزل محلول میں چھلانگ کم ہو جائے گی۔ اس اصطلاح کو سمیٹرک اندرونی پنالٹی گیلرکن طریقہ کے برابر ہونے کے لیے منتخب کیا گیا ہے۔ یہ غیر سمیٹرک اندرونی پنالٹی گیلرکن طریقہ کے برابر ہے۔ براہ راست منقطع گیلرکن طریقہ براہ راست منقطع گیلرکن (ڈی ڈی جی) طریقہ پھیلاؤ کے مسائل کو حل کرنے کے لیے ایک نیا منقطع گیلرکن طریقہ ہے۔ 2009 میں، لیو اور یان نے سب سے پہلے بازی کے مساوات کو حل کرنے کے لیے ڈی ڈی جی طریقہ تجویز کیا۔ منقطع گیلرکن طریقہ کار کے مقابلے میں اس طریقہ کار کے فوائد یہ ہیں کہ براہ راست منقطع گیلرکن طریقہ انٹرمیڈیٹ متغیرات کو متعارف کرائے بغیر فنکشن کے عددی بہاؤ اور پہلی مشتق اصطلاح کو براہ راست لے کر عددی شکل حاصل کرتا ہے۔ ہم اب بھی اس طریقہ کو استعمال کرکے معقول عددی نتائج حاصل کر سکتے ہیں، اور مشتق کا عمل زیادہ آسان ہے، حساب کی مقدار بہت کم ہو جاتی ہے۔ براہ راست منقطع محدود عنصر کا طریقہ منقطع گیلرکن طریقوں کی ایک شاخ ہے۔ اس میں بنیادی طور پر مسئلے کو متغیر شکل میں تبدیل کرنا، علاقائی اکائی کی تقسیم، بنیادی افعال کی تعمیر، متضاد محدود عنصر کی مساوات کی تشکیل اور حل، اور کنورجنس اور ایرر تجزیہ شامل ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک غیر لکیری پھیلاؤ مساوات پر غور کریں، جو یک جہتی ہے:، جس میں اسپیس ڈسکریٹائزیشن سب سے پہلے، اور کی وضاحت کرتی ہے۔ لہذا ہم نے اسپیس ڈسکریٹائزیشن کی ہے۔ اس کے علاوہ، وضاحت کریں۔ ہم اس طرح کا ایک تخمینہ تلاش کرنا چاہتے ہیں کہ،، کثیر الجہتی جگہ زیادہ سے زیادہ ڈگری کے ساتھ ہو۔ اسکیم فلکس کی تشکیل: : مساوات کا درست حل۔ مساوات کو ہموار فنکشن سے ضرب دیں تاکہ ہم درج ذیل مساوات حاصل کر سکیں: یہاں صوابدیدی ہے، مساوات کا صحیح حل لگ بھگ حل سے بدل جاتا ہے، یعنی ہمیں جس عددی حل کی ضرورت ہوتی ہے وہ تفریقی مساوات کو حل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ عددی بہاؤ ایک مناسب عددی بہاؤ کا انتخاب ڈی ڈی جی طریقہ کار کی درستگی کے لیے اہم ہے۔ عددی بہاؤ کو درج ذیل شرائط کو پورا کرنے کی ضرورت ہے: یہ اس کے مطابق ہے۔ عددی بہاؤ واحد قدر میں قدامت پسند ہے۔ اس میں-استحکام ہے ؛ یہ طریقہ کار کی درستگی کو بہتر بنا سکتا ہے۔ اس طرح، عددی بہاؤ کے لیے ایک عمومی اسکیم دی گئی ہے: اس بہاؤ میں، دو پڑوسی کمپیوٹنگ اکائیوں میں کثیر الجہتی کی زیادہ سے زیادہ ترتیب ہے۔ کسی فنکشن کی چھلانگ ہے۔ نوٹ کریں کہ غیر یکساں گرڈ میں، یکساں گرڈ میں ہونا چاہیے۔ غلطی کا تخمینہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ صحیح حل اور عددی حل کے درمیان غلطی ہے۔ ہم مندرجہ ذیل معیار کے ساتھ غلطی کی پیمائش کرتے ہیں: اور ہمارے پاس ہے، گیلرکن طریقہ حوالہ جات ڈی این بھی دیکھیں۔ آرنلڈ، ایف بریزی، بی کاک برن اور ایل ڈی۔ مارینی، ایلیپٹک مسائل کے لیے غیر متزلزل گیلرکن طریقوں کا متحد تجزیہ، ایس آئی اے ایم جے نمبر۔ مقعد۔ 39 (5): 1749-1779، 2002۔ جی بیکر، غیر مطابقت پذیر عناصر کا استعمال کرتے ہوئے ایلیپٹک مساوات کے لیے فائنائٹ عنصر کے طریقے، ریاضی۔ کمپیکٹ۔ 31 (1977)، نمبر۔ 137، 45-59۔ اے۔ کینگیانی، زیڈ ڈونگ، ای۔ ایچ۔ جارجولس، اور پی۔ ہیوسٹن، ایچ پی-ورژن ڈس کانٹینیوس گیلرکن میتھڈز آن پولیگنل اینڈ پولی ہیڈرل میشیز، اسپرنگر بریفز ان میتھمیٹکس، (دسمبر 2017)۔ ڈبلیو مائی، جے ہو، پی لی، اور ایچ زاؤ، "منتشر متوازی پلیٹ کے جوڑے میں من مانی شکل کے اینٹی پیڈ کے لیے انکولی معیار کے ساتھ ایک موثر اور مستحکم 2-ڈی/3-ڈی ہائبرڈ منقطع گیلرکن ٹائم ڈومین تجزیہ"، آئی ای ای ای ٹرانس۔ مائکرو۔ تھیوری ٹیک۔، جلد۔ 65، نہیں۔ 10، پی پی۔ 3671-3681، اکتوبر 2017۔ ڈبلیو مائی اور دیگر، "تقابلی غلطی کو کنٹرول کرنے والے 2-D/3-D ہائبرڈ منقطع گیلرکن ٹائم ڈومین طریقہ کے لیے ایک سیدھا سیدھا اپ ڈیٹ معیار"، IEEE ٹرانس۔ مائکرو۔ تھیوری ٹیک۔، جلد۔ 66، نہیں۔ 4، پی پی۔ 1713-1722، اپریل۔ 2018. بی کاک برن، جی۔ ای۔ کارنیداکس اور سی۔ ڈبلیو۔ شو (ایڈز۔ )، منقطع گیلرکن طریقے۔ تھیوری، کمپیوٹیشن اینڈ ایپلی کیشنز، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹیشنل سائنس اینڈ انجینئرنگ، 11۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2000۔ پی۔ لیسینٹ، اور پی۔ اے۔ رویارت۔ "نیوٹرون ٹرانسپورٹ مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک محدود عنصر کے طریقہ کار پر۔" جزوی تفریقی مساوات میں محدود عناصر کے ریاضیاتی پہلو 33 (1974): 89-123۔ ڈی۔ اے۔ دی پیٹرو اور اے ایرن، منقطع گیلرکن طریقوں کے ریاضیاتی پہلو۔ ریاضی اور ایپلی کیشنز، جلد۔ 69، سپرنگر-ورلاگ، برلن، 2011۔ جے ایس۔ ہیسٹ ہیون اور ٹی واربرٹن، نوڈل منقطع گیلرکن کے طریقے: الگورتھم، تجزیہ، اور ایپلی کیشنز۔ اطلاقی ریاضی میں سپرنگر ٹیکسٹ 54۔ سپرنگر ورلاگ، نیویارک، 2008۔ بی۔ ریویر، ایلیپٹک اور پیرابولک مساوات کو حل کرنے کے لیے منقطع گیلرکن کے طریقے: نظریہ اور عمل درآمد۔ اپلائیڈ میتھمیٹکس میں SIAM فرنٹیئرز، 2008۔ CFD ویکی http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin W. H. ریڈ اور ٹی آر۔ نیوٹرون ٹرانسپورٹ مساوات کے لیے پہاڑی، سہ رخی میش کے طریقے، ٹیک۔ لا-ار-73-479، لاس الاموس سائنٹیفک لیبارٹری، 1973 کی رپورٹ کریں۔ عددی تفریق مساوات جزوی تفریق مساوات محدود عنصر کا طریقہ