Multiplicative digital root
نمبر تھیوری میں، کسی دیئے گئے نمبر بیس میں قدرتی نمبر کا ضرب ڈیجیٹل جڑ ایک دوسرے کے ہندسوں کو ضرب دے کر پایا جاتا ہے، پھر اس عمل کو اس وقت تک دہرایا جاتا ہے جب تک کہ صرف ایک ہندسوں کی باقیات نہ رہ جائیں، جسے ضرب ڈیجیٹل جڑ کہا جاتا ہے۔ پہلے چند مثبت عددوں کے لیے ضرب ڈیجیٹل جڑ یہ ہیں: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 0، 1، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 0، 2، 4، 6، 8، 0، 3، 6، 9، 2، 5، 8، 2، 8، 4، 0۔ ملٹی پلیکیٹو ڈیجیٹل جڑیں ڈیجیٹل جڑوں کے ضرب کے مساوی ہیں۔ تعریف فرض کریں کہ یہ ایک قدرتی عدد ہے۔ ہم بیس کے لیے ہندسوں کے پروڈکٹ کی وضاحت مندرجہ ذیل کرتے ہیں: بیس میں نمبر میں ہندسوں کی تعداد کہاں ہے، اور نمبر کے ہر ہندسے کی قیمت کہاں ہے۔ قدرتی عدد ایک ضرب پذیر ڈیجیٹل جڑ ہے اگر یہ ایک مقررہ نقطہ ہے، جو اس صورت میں ہوتا ہے جب۔ مثال کے طور پر، بیس میں، 0 9876 کا ضرب ڈیجیٹل جڑ ہے، کیونکہ تمام قدرتی اعداد بیس سے قطع نظر، کے لیے قبل از وقت پوائنٹس ہوتے ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر، تب اور اس لیے اگر، پھر معمولی طور پر اس لیے، واحد ممکنہ ضرب پذیر ڈیجیٹل جڑ قدرتی اعداد ہیں، اور ان کے مقررہ نکات کے علاوہ کوئی سائیکل نہیں ہیں۔ ضرب استقامت ایک مقررہ نقطہ تک پہنچنے کے لیے درکار تکرار کی تعداد کا ضرب استقامت ہے۔ ضرب کی استقامت غیر متعین ہوتی ہے اگر یہ کبھی بھی ایک مقررہ نقطہ تک نہ پہنچ جائے۔ بیس 10 میں، یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ ضرب کی استقامت کے ساتھ کوئی عدد نہیں ہے: یہ اعداد کے لیے درست معلوم ہوتا ہے۔ استقامت 0، 1، کے ساتھ سب سے چھوٹے اعداد یہ ہیں: 0، 10، 25، 39، 77، 679، 6788، 68889، 2677889، 26888999، 377888999، 27777778888899۔ ان ریکارڈ توڑنے والے نمبروں کے اعشاریہ ہندسوں کی اضافی خصوصیات کا استعمال کرکے ان نمبروں کی تلاش کو تیز کیا جا سکتا ہے۔ ان ہندسوں کو ترتیب دیا جانا چاہیے، اور، پہلے دو ہندسوں کے علاوہ، تمام ہندسوں کو 7، 8، یا 9 ہونا چاہیے۔ پہلے دو ہندسوں پر اضافی پابندیاں بھی ہیں۔ ان پابندیوں کی بنیاد پر، ریکارڈ توڑ تسلسل کے ساتھ ہندسوں کے نمبروں کے لیے امیدواروں کی تعداد صرف مربع کے متناسب ہے، جو تمام ممکنہ ہندسوں کا ایک چھوٹا سا حصہ ہے۔ تاہم، کوئی بھی عدد جو اوپر کی ترتیب سے غائب ہے اس میں ضرب کی استقامت> 11 ہوگی۔ خیال کیا جاتا ہے کہ اس طرح کے اعداد موجود نہیں ہیں، اور اگر وہ موجود ہیں تو انہیں 20,000 سے زیادہ ہندسوں کی ضرورت ہوگی۔ ضرب ڈیجیٹل جڑ کو ہر عدد کی نمائندگی کے لیے دستخط شدہ ہندسوں کی نمائندگی کے استعمال سے منفی عدد تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ پروگرامنگ کی مثال نیچے دی گئی مثال ازگر میں ضرب ڈیجیٹل جڑوں اور ضرب کے تسلسل کو تلاش کرنے کے لیے اوپر کی تعریف میں بیان کردہ ہندسوں کے پروڈکٹ کو لاگو کرتی ہے۔ ڈیف ڈیجیٹ _ پروڈکٹ (x: int, b: int)-> انٹی: اگر x = = 0: ریٹرن 0 کل = 1 جبکہ x> 1: ریٹرن 0 اگر x ٪ b> 1: کل = کل * (x ٪ b) x = x// b ریٹرن کل ڈیف ضرب _ ڈیجیٹل _ روٹ (x: انٹی، b: انٹی)-> انٹی: دیکھا = [] جبکہ x دیکھا نہیں گیا: seen.append (x) x = ڈیجیٹ _ پروڈکٹ (x, b) ریٹرن x ڈیف ضرب _ استقامت (x: انٹی، b: انٹی)-> انٹی: دیکھا = [] جبکہ x دیکھا نہیں گیا: seen.append (x) x = ڈیجیٹ