Anisohedral tiling
جیومیٹری میں، کسی شکل کو انسوہیڈرل کہا جاتا ہے اگر وہ ٹائلنگ کو قبول کرتی ہے، لیکن ایسی کوئی ٹائلنگ آئسوہیڈرل (ٹائل-ٹرانزیکٹو) نہیں ہے۔ یعنی، اس شکل کے کسی بھی ٹائلنگ میں دو ٹائلز ہوتی ہیں جو ٹائلنگ کی کسی بھی ہم آہنگی کے تحت مساوی نہیں ہوتی ہیں۔ ایک اینسوہیڈرل ٹائل کے ذریعہ ٹائلنگ کو اینسوہیڈرل ٹائلنگ کہا جاتا ہے۔ وجود ہلبرٹ کے اٹھارہویں مسئلے کے پہلے حصے میں پوچھا گیا کہ کیا یوکلڈین 3-اسپیس میں کوئی انیسوہیڈرل پولی ہیڈرون موجود ہے۔ گرون بوم اور شیفرڈ تجویز کرتے ہیں کہ ہلبرٹ یہ فرض کر رہے تھے کہ ہوائی جہاز میں ایسی کوئی ٹائل موجود نہیں ہے۔ رین ہارٹ نے 1928 میں ہلبرٹ کے مسئلے کا جواب اس طرح کے پولی ہیڈرا کی مثالیں ڈھونڈ کر دیا، اور زور دے کر کہا کہ اس کا ثبوت کہ ہوائی جہاز میں ایسی کوئی ٹائل موجود نہیں ہے جلد ہی ظاہر ہوگا۔ تاہم، ہیش نے پھر 1935 میں ہوائی جہاز میں ایک انسوہیڈرل ٹائل کی مثال دی۔ کنویکس ٹائلوں رین ہارٹ نے اس سے قبل انیسوہیڈرل کنویکس کثیر الاضلاعات کے سوال پر غور کیا تھا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی انیسوہیڈرل کنویکس ہیکساگون نہیں تھے لیکن یہ ظاہر کرنے سے قاصر تھے کہ اس طرح کے کنویکس پینٹاگون نہیں تھے، جبکہ پانچ قسم کے کنویکس پینٹاگون کو طیارہ آئسوہیڈرل ٹائلنگ تلاش کرتے ہوئے۔ کیرنر نے 1968 میں تین قسم کے انیسوہیڈرل کنویکس پینٹاگون دیے۔ ان میں سے ایک ٹائل میں عکاسی یا گلائڈ عکاسی کے بغیر صرف براہ راست آئسومیٹریز کا استعمال کیا جاتا ہے، لہذا ہیش کے سوال کا جواب دیتے ہیں۔ آئسوہیڈرل نمبرز انیسوہیڈرل ٹائلنگ کے مسئلے کو یہ کہہ کر عام کیا گیا ہے کہ ٹائل کا آئسوہیڈرل نمبر اس ٹائلنگ کے سمیٹری گروپ کی کارروائی کے تحت اس ٹائل کی کسی بھی ٹائلنگ میں ٹائلز کا سب سے کم نمبر آربٹس (مساوات کلاسز) ہے، اور یہ کہ آئسوہیڈرل نمبر k والا ٹائل k-anisohedral ہے۔ برگلنڈ نے پوچھا کہ کیا تمام k کے لیے k-anisohedral ٹائلیں موجود ہیں، k ≤ 4 کی مثالیں دیتے ہوئے (2-anisohedral اور 3-anisohedral ٹائلیں پہلے سے معلوم تھیں، جبکہ دی گئی 4-anisohedral ٹائل اس طرح کی پہلی شائع شدہ ٹائل تھی)۔ گڈ مین اسٹراس نے اس پر عام سوالات کے تناظر میں غور کیا کہ دی گئی ٹائل یا ٹائلوں کے سیٹ کا طرز عمل کتنا پیچیدہ ہو سکتا ہے، جس میں مائرز کی 10-انیسوہیڈرل مثال کو نوٹ کیا گیا ہے۔ گرون بوم اور شیفرڈ نے اس سے قبل اسی سوال پر معمولی تغیر اٹھایا تھا۔ سوکولر نے 2007 میں دکھایا کہ من مانی طور پر اعلی آئسوہیڈرل نمبر دو جہتوں میں حاصل کیے جا سکتے ہیں اگر ٹائل منقطع ہو جائے، یا رنگین کناروں پر پابندیاں ہوں کہ کون سے رنگ ملحقہ ہو سکتے ہیں، اور تین جہتوں میں بغیر رنگوں کے منسلک ٹائل کے ساتھ، یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ رنگوں کے بغیر منسلک ٹائل کے لیے دو جہتوں میں سب سے زیادہ معروف آئسوہیڈرل نمبر 10 ہے۔ جوزف مائرز نے اعلی آئسوہیڈرل نمبروں والی ٹائلوں کا مجموعہ تیار کیا ہے، خاص طور پر ایک پولی ہیکسگن جس میں آئسوہیڈرل نمبر 10 ہے (ترجمہ کے تحت 20 مداروں میں ہوتا ہے) اور دوسرا آئسوہیڈرل نمبر 9 کے ساتھ (ترجمہ کے تحت 36 مداروں میں ہوتا ہے)۔ حوالہ جات بیرونی روابط جان برگلنڈ، انیسوہیڈرل ٹائلنگز پیج جوزف مائرز، پولیمینو، پولی ہیکس اور پولی مینڈ ٹائلنگ ٹیسیلشن