Filling radius
ریمینیائی جیومیٹری میں، ریمینیائی کئی گنا X کا بھرنے کا رداس X کا میٹرک غیر متغیر ہے۔ یہ اصل میں 1983 میں میخائل گروموف نے متعارف کرایا تھا، جس نے اسے ضروری کئی گنا کے لیے اپنی سسٹولک عدم مساوات کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا، جس سے لوونر کی ٹورس عدم مساوات اور حقیقی پروجیکٹو طیارہ کے لیے پو کی عدم مساوات کو وسیع پیمانے پر عام کیا گیا، اور اس کی جدید شکل میں سسٹولک جیومیٹری پیدا ہوئی۔ ہوائی جہاز میں ایک سادہ لوپ C کے بھرنے کے رداس کو ایک دائرے کے سب سے بڑے رداس، R> 0 کے طور پر بیان کیا گیا ہے جو C کے اندر فٹ بیٹھتا ہے: محلوں کے ذریعے دوہری تعریف ایک قسم کا دوہری نقطہ نظر ہے جو کسی کو اس تصور کو انتہائی نتیجہ خیز انداز میں عام کرنے کی اجازت دیتا ہے، جیسا کہ گروموف نے دکھایا ہے۔ یعنی، ہم لوپ C کے-پڑوسیوں پر غور کرتے ہیں، جس کی نشاندہی ہوتی ہے جیسے جیسے اضافہ ہوتا ہے،-پڑوسیوں کا لوپ کے اندرونی حصے کو زیادہ سے زیادہ نگل جاتا ہے۔ نگلنے کے لیے آخری نقطہ بالکل سب سے بڑے کندہ شدہ دائرے کا مرکز ہوتا ہے۔ لہذا، ہم مندرجہ بالا تعریف کو اس طرح کے لامحدود کے طور پر بیان کر کے اصلاح کر سکتے ہیں کہ لوپ C ایک نقطہ پر سکڑ جائے۔ ایک کمپیکٹ کئی گنا X کو دیکھتے ہوئے، جیسے کہ یوکلڈین اسپیس E، ہم پڑوس کے سائز کو کم سے کم کرکے، جس میں X کو کسی چھوٹی جہتی چیز کے ساتھ ہوموٹوپ کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، کم جہتی پولی ہیڈرون کے ساتھ، امبیڈنگ سے متعلق فلنگ ریڈیئس کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ تکنیکی طور پر ہومیولوجیکل تعریف کے ساتھ کام کرنا زیادہ آسان ہے۔ ہومیولوجیکل تعریف A کی طرف سے گتانک رنگ یا، اس بات پر منحصر ہے کہ X قابل سمت ہے یا نہیں۔ پھر بنیادی کلاس، جسے ایک کمپیکٹ n-جہتی کئی گنا X سے ظاہر کیا جاتا ہے، ہومیولوجی گروپ کا ایک جنریٹر ہے، اور ہم یہ طے کرتے ہیں کہ شمولیت ہومومورفزم کہاں ہے۔ ایسی صورت حال میں جہاں X ریمینیئن میٹرک g سے لیس ہو، مطلق بھرنے کے رداس کی وضاحت کرنے کے لیے گروموف مندرجہ ذیل طریقے سے آگے بڑھتا ہے۔ ایک کوراتووسکی کی سرایت کا استحصال کرتا ہے۔ ایک X پر باؤنڈڈ بوریل فنکشنز کی بناچ اسپیس میں X کو شامل کرتا ہے، جو سپ نارم سے لیس ہوتا ہے۔ یعنی، ہم فارمولہ برائے سب کے ذریعہ بیان کردہ فنکشن کے لیے ایک نقطہ کا نقشہ بناتے ہیں، جہاں ڈی میٹرک کے ذریعہ بیان کردہ فاصلاتی فنکشن ہے۔ مثلث کی عدم مساوات سے ہمارے پاس ہے اور اس وجہ سے انبیڈنگ مضبوطی سے آئسومیٹرک ہے، عین مطابق معنوں میں کہ اندرونی فاصلہ اور ماحول کا فاصلہ موافق ہے۔ اس طرح کی مضبوطی سے آئسومیٹرک انبیڈنگ ناممکن ہے اگر ماحول کی جگہ ہلبرٹ کی جگہ ہو، یہاں تک کہ جب X ریمینیائی دائرہ ہو (مخالف نکات کے درمیان فاصلہ 2 نہیں ہونا چاہیے!)۔ اس کے بعد ہم اوپر کے فارمولے میں سیٹ کرتے ہیں، اور خصوصیات کی وضاحت کرتے ہیں کہ بھرنے کا رداس قطر کا زیادہ سے زیادہ ایک تہائی ہے (کاٹز، 1983)۔ مستقل منحنی خطوط کے میٹرک کے ساتھ حقیقی پروجیکٹو اسپیس کا بھرنے کا رداس اس کے ریمینی قطر کا ایک تہائی ہے، دیکھیں (کاٹز، 1983)۔ اسی طرح، ان صورتوں میں بھرنے کا رداس سسٹول کا چھٹا حصہ ہوتا ہے۔ لمبائی 2π کے ریمینی دائرے کا بھرنے کا رداس، یعنی۔ اکائی کا دائرہ جس میں انڈیوسڈ ریمینیئن ڈسٹنس فنکشن ہے، π/3 کے برابر ہے، یعنی۔ اس کی لمبائی کا چھٹا حصہ۔ اس کے بعد اوپر بیان کردہ قطر کی اوپری حد کو سسٹول کے لحاظ سے گروموف کی نچلی حد کے ساتھ ملایا جاتا ہے (گروموف، 1983) ایک ضروری کئی گنا M کا سسٹول اس کے بھرنے کے رداس سے زیادہ سے زیادہ چھ گنا زیادہ ہوتا ہے، دیکھیں (گروموف، 1983)۔ عدم مساوات اس لحاظ سے زیادہ سے زیادہ ہے کہ مساوات کا باؤنڈری کیس اوپر کی طرح حقیقی پروجیکٹو خالی جگہوں سے حاصل ہوتا ہے۔ کمپیکٹ کئی گنا کا انجیکشن کا رداس بھرنے کے رداس پر نچلی حد دیتا ہے۔ یعنی، فلنگ ایریا کا قیاس ضروری کئی گنا کے لیے گروموف کی سسٹولک عدم مساوات بھی دیکھیں حوالہ جات گروموف، ایم۔: ریمینیئن کئی گنا بھرنا، جرنل آف ڈفریینشیل جیومیٹری 18 (1983)، 1-147۔ کاٹز، ایم۔: دو نکاتی یکساں خالی جگہوں کا بھرنے کا رداس۔ جرنل آف ڈفریٚنشل جیومیٹری 18، نمبر 3 (1983)، 505-511۔ ریمنی جیومیٹری تفریقی جیومیٹری سسٹولک جیومیٹری