Stein's method
اسٹین کا طریقہ امکان کے نظریہ میں ایک عام طریقہ ہے جس میں امکان میٹرک کے حوالے سے دو امکان کی تقسیم کے درمیان فاصلے پر حدود حاصل کی جاتی ہیں۔ اسے چارلس اسٹین نے متعارف کرایا تھا، جس نے اسے پہلی بار 1972 میں شائع کیا تھا، تاکہ بے ترتیب متغیرات کی انحصار ترتیب کے مجموعے کی تقسیم اور کولموگوروف (یکساں) میٹرک میں ایک معیاری نارمل تقسیم کے درمیان ایک حد حاصل کی جا سکے اور اس لیے نہ صرف ایک مرکزی حد تھیوریم ثابت کیا جا سکے، بلکہ دی گئی میٹرک کے لیے کنورجنس کی شرحوں پر بھی پابندیاں عائد کی جا سکیں۔ 1960 کی دہائی کے آخر میں، ایک مخصوص مرکزی حد تھیوریم کے اس وقت کے معروف ثبوتوں سے مطمئن نہ ہو کر، چارلس اسٹین نے اپنے شماریاتی لیکچر کے لیے تھیوریم کو ثابت کرنے کا ایک نیا طریقہ تیار کیا۔ ان کا بنیادی مقالہ 1970 میں چھٹے برکلے سمپوزیم میں پیش کیا گیا اور اسی کارروائی میں شائع ہوا۔ بعد میں، ان کے پی ایچ ڈی کے طالب علم لوئس چن سیاؤ یون نے طریقہ کار میں ترمیم کی تاکہ پوسن کی تقسیم کے لیے تخمینہ کے نتائج حاصل کیے جا سکیں۔ اس لیے پوسن کے تخمینہ کے مسئلے پر لاگو ہونے والے اسٹین طریقہ کو اکثر اسٹین-چین طریقہ کہا جاتا ہے۔ ممکنہ طور پر سب سے اہم شراکت اسٹین (1986) کا مونوگراف ہے، جہاں وہ طریقہ کار اور معاون بے ترتیب کاری کے تصور کے بارے میں اپنا نظریہ پیش کرتا ہے، خاص طور پر قابل تبادلہ جوڑوں کا استعمال کرتے ہوئے، اور باربر (1988) اور گوٹز (1991) کے مضامین، جنہوں نے نام نہاد جنریٹر کی تشریح متعارف کرائی، جس نے طریقہ کار کو آسانی سے بہت سی دوسری امکانات کی تقسیم کے مطابق ڈھالنا ممکن بنا دیا۔ نام نہاد مشترکہ مرکزی حد تھیوریم پر بولتھاوسن (1984) کا ایک مضمون بھی ایک اہم تعاون تھا۔ 1990 کی دہائی میں اس طریقہ کو مختلف قسم کی تقسیم کے لیے ڈھال لیا گیا، جیسے کہ باربر (1990) کے ذریعے گاؤسی عمل، ایہم (1991) کے ذریعے بائنومیل تقسیم، باربر اور براؤن (1992) کے ذریعے پوسن عمل، لوک (1994) کے ذریعے گاما تقسیم، اور بہت سے دوسرے۔ اس طریقہ کار نے 2010 کی دہائی کے وسط میں مشین لرننگ کمیونٹی میں مزید مقبولیت حاصل کی، کمپیوٹیبل اسٹین تضادات اور ان پر مبنی متنوع ایپلی کیشنز اور الگورتھم کی ترقی کے بعد۔ بنیادی نقطہ نظر امکان میٹرکس اسٹین کا طریقہ ایک مخصوص امکان میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے دو امکان کی تقسیم کے درمیان فاصلے کو پابند کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ میٹرک کو اس شکل میں دیا جائے یہاں، اور پیمائش کے قابل جگہ پر امکانات کے اقدامات ہیں، اور تقسیم کے ساتھ بے ترتیب متغیر ہیں اور بالترتیب، معمول کی توقع آپریٹر ہے اور حقیقی اعداد کے سیٹ سے افعال کا ایک مجموعہ ہے۔ سیٹ کافی بڑا ہونا چاہیے، تاکہ مندرجہ بالا تعریف واقعی ایک میٹرک حاصل کرے۔ اہم مثالیں کل تغیر میٹرک ہیں، جہاں ہم پیمائش کے قابل سیٹوں کے تمام اشارے کے افعال پر مشتمل ہونے دیتے ہیں، حقیقی اعداد پر امکانات کے اقدامات کے لیے کولموگوروف (یکساں) میٹرک، جہاں ہم تمام نصف لائن کے اشارے کے افعال پر غور کرتے ہیں، اور لپشٹز (فرسٹ آرڈر واسرسٹین ؛ کینٹورووچ) میٹرک، جہاں بنیادی جگہ خود ایک میٹرک اسپیس ہے اور ہم سیٹ کو لپشٹز-مستقل 1 کے ساتھ تمام لپشٹز-مسلسل افعال کے طور پر لیتے ہیں۔ تاہم، نوٹ کریں کہ ہر میٹرک کی نمائندگی (1.1) کی شکل میں نہیں کی جا سکتی۔ مندرجہ ذیل میں ایک پیچیدہ تقسیم ہے (مثال کے طور پر، منحصر بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی تقسیم)، جس کا تخمینہ ہم بہت آسان اور قابل رسائی تقسیم (مثال کے طور پر، معیاری عام تقسیم) سے لگانا چاہتے ہیں۔ اسٹین آپریٹر اب ہم فرض کرتے ہیں کہ تقسیم ایک مقررہ تقسیم ہے۔ اس کے بعد ہم خاص طور پر اس معاملے پر غور کریں گے جہاں معیاری عام تقسیم ہے، جو ایک کلاسیکی مثال کے طور پر کام کرتی ہے۔ سب سے پہلے، ہمیں ایک آپریٹر کی ضرورت ہے، جو فنکشن سے لے کر حقیقی اعداد کے سیٹ تک کام کرتا ہے اور تقسیم کو اس معنی میں 'خصوصیت' دیتا ہے کہ درج ذیل مساوات برقرار ہے: ہم ایسے آپریٹر کو اسٹین آپریٹر کہتے ہیں۔ معیاری عام تقسیم کے لیے، اسٹین کا لیما اس طرح کے آپریٹر کو حاصل کرتا ہے: اس طرح، ہم لے سکتے ہیں۔ عام طور پر اس طرح کے بہت سے آپریٹر ہیں اور یہ اب بھی ایک کھلا سوال ہے، کس کا انتخاب کرنا ہے۔ تاہم، ایسا لگتا ہے کہ بہت سی تقسیموں کے لیے ایک خاص چیز ہوتی ہے، جیسے (2.3) عام تقسیم کے لیے۔ اسٹین آپریٹرز کو تلاش کرنے کے مختلف طریقے ہیں۔ اگر (1.1) میں توقعات کا فرق 0 کے قریب ہے تو اسٹین مساوات اس کے قریب ہے۔ اب ہم امید کرتے ہیں کہ آپریٹر اسی طرز عمل کا مظاہرہ کرے: اگر تب، اور امید ہے کہ اگر ہمارے پاس ہے۔ عام طور پر کسی فنکشن کی وضاحت کرنا ممکن ہے جسے ہم (3.1) سٹین مساوات کہتے ہیں۔ اب تمام کوششیں صرف اس صورت میں قابل قدر ہیں جب (3.2) کے بائیں ہاتھ کی طرف دائیں ہاتھ کی طرف سے باندھنا آسان ہو۔ حیرت کی بات یہ ہے کہ اکثر ایسا ہوتا ہے۔ اگر معیاری نارمل تقسیم ہے اور ہم (2.3) استعمال کرتے ہیں، تو متعلقہ اسٹین مساوات یہ ہے کہ اگر امکان کی تقسیم Q میں بالکل مسلسل (لیبسگیو پیمائش کے حوالے سے) کثافت q ہے، تو اسٹین مساوات کے تجزیاتی طریقوں کو حل کرنا۔ مساوات (3.3) کو آسانی سے واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے: جنریٹر طریقہ۔ اگر مارکوف عمل کا جنریٹر ہے (دیکھیں باربر (1988)، گوٹز (1991))، تو (3.2) کا حل وہ ہے جہاں شروع ہونے والے عمل کے حوالے سے توقع کی نشاندہی ہوتی ہے۔ تاہم، کسی کو اب بھی یہ ثابت کرنا ہوگا کہ حل (4.2) تمام مطلوبہ افعال کے لیے موجود ہے۔ اسٹین مساوات کے حل کی خصوصیات عام طور پر، کوئی اس کے مشتقات (یا اختلافات) کی حدود اور اس کے مشتقات (یا اختلافات) کے لحاظ سے دینے کی کوشش کرتا ہے، یعنی کسی مخصوص (عام طور پر یا، بالترتیب، اسٹین آپریٹر کی شکل پر منحصر ہے) کے لیے شکل کی عدم مساوات، جہاں اکثر بالادستی کا معیار ہوتا ہے۔ یہاں، تفریق آپریٹر کی نشاندہی کرتا ہے، لیکن مجرد ترتیبات میں یہ عام طور پر تفریق آپریٹر کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ مستقلات تقسیم کے پیرامیٹرز پر مشتمل ہو سکتے ہیں۔ اگر کوئی ہیں، تو انہیں اکثر اسٹین عوامل کہا جاتا ہے۔ (4.1) کے معاملے میں کوئی بھی بالادستی کے معیار کے لیے ثابت کر سکتا ہے کہ جہاں آخری حد یقینی طور پر صرف اس صورت میں لاگو ہوتی ہے جب تفریق قابل ہو (یا کم از کم Lipschitz-مسلسل، جو، مثال کے طور پر، اگر ہم کل تغیر میٹرک یا کولموگوروف میٹرک کو مدنظر رکھتے ہیں تو ایسا نہیں ہے!)۔ چونکہ معیاری عام تقسیم میں کوئی اضافی پیرامیٹرز نہیں ہوتے ہیں، اس مخصوص صورت میں مستقل اضافی پیرامیٹرز سے پاک ہوتے ہیں۔ اگر ہمارے پاس عام شکل (5.1) میں حدود ہیں، تو ہم عام طور پر بہت سے امکانی میٹرکس کا ایک ساتھ علاج کرنے کے قابل ہوتے ہیں۔ اگر فارم کی حدود (5.1) پہلے سے ہی دستیاب ہیں (جو کہ بہت سی تقسیموں کا معاملہ ہے) تو اکثر نیچے دیے گئے اگلے مرحلے سے شروع کیا جا سکتا ہے۔ ایک تجریدی تخمینہ نظریہ اب ہم (3.1) کے بائیں ہاتھ کو باندھنے کی پوزیشن میں ہیں۔ چونکہ یہ قدم بہت زیادہ اسٹین آپریٹر کی شکل پر منحصر ہے، اس لیے ہم براہ راست معیاری معمول کی تقسیم کے معاملے کو دیکھتے ہیں۔ اس موقع پر ہم براہ راست بے ترتیب متغیر کو جوڑ سکتے ہیں، جس کا ہم تخمینہ لگانا چاہتے ہیں، اور اوپری حدود تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ تاہم، زیادہ عمومی نظریہ وضع کرنا اکثر نتیجہ خیز ہوتا ہے۔ یہاں مقامی انحصار کے معاملے پر غور کریں۔ فرض کریں کہ یہ بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ ہے جیسے کہ اور تغیر۔ فرض کریں کہ، ہر ایک کے لیے، ایک سیٹ ہے، جو اس کے ساتھ تمام بے ترتیب متغیرات سے آزاد ہے۔ ہم اس سیٹ کو 'پڑوس' کہتے ہیں۔ اسی طرح ایک ایسا مجموعہ بننے دیں جس کے ساتھ سبھی سب سے آزاد ہوں۔ ہم دوسرے درجے کے پڑوس کے پڑوس میں پڑوسیوں کے طور پر سوچ سکتے ہیں، لہذا بات کرنے کے لیے۔ کسی سیٹ کے لیے اب رقم کی وضاحت کریں۔ ٹیلر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے، اس بات کو ثابت کرنا ممکن ہے کہ نوٹ کریں کہ، اگر ہم دلیل کی اس لائن پر عمل کرتے ہیں، تو ہم (1.1) صرف ان افعال کے لیے پابند کر سکتے ہیں جو (5.2) کی تیسری عدم مساوات کی وجہ سے پابند ہیں (اور درحقیقت، اگر اس میں تضادات ہیں، تو ایسا ہی ہوگا)۔ (6.1) کی طرح ایک باؤنڈ حاصل کرنے کے لیے جس میں صرف تاثرات ہوتے ہیں اور، دلیل بہت زیادہ شامل ہوتی ہے اور نتیجہ اتنا آسان نہیں ہوتا جتنا (6.1) ؛ تاہم، یہ کیا جا سکتا ہے۔ نظریہ A. اگر جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، تو ہمارے پاس Lipschitz میٹرک کا ثبوت ہے۔ یاد رکھیں کہ Lipschitz میٹرک کی شکل (1.1) ہے جہاں افعال Lipschitz-مسلسل 1 کے ساتھ Lipschitz-مسلسل ہیں، اس طرح۔ (6.1) کے ساتھ اس کا امتزاج اور (5.2) میں آخری باؤنڈ تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ اس طرح، تقریبا بولتے ہوئے، ہم نے ثابت کیا ہے کہ، مقامی انحصار کے ڈھانچے اور ایک معیاری عام تقسیم کے درمیان Lipschitz-فاصلے کا حساب لگانے کے لیے، ہمیں صرف تیسرے لمحات اور محلوں کے سائز کو جاننے کی ضرورت ہے۔ تھیوریم کا اطلاق ہم تھیوریم اے کے ساتھ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعوں کے معاملے کا علاج کر سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ، اور۔ ہم لے سکتے ہیں۔ نظریہ اے سے ہم یہ حاصل کرتے ہیں کہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے لیے اسٹینز طریقہ سے متعلق ایک اور نقطہ نظر کو صفر تعصب تبدیلی کے نام سے جانا جاتا ہے۔ لنڈبرگ کے آلے کے دوسرے طریقوں سے کنکشن۔ لنڈےبرگ (1922) نے ایک آلہ متعارف کرایا، جہاں فرق کو مرحلہ وار اختلافات کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ تیخومیروف کا طریقہ۔ واضح طور پر (1.1) اور (3.1) کے ذریعے نقطہ نظر میں خصوصیت کے افعال شامل نہیں ہیں۔ تاہم، تیکھومیروف (1980) نے مرکزی حد تھیوریم کا ثبوت پیش کیا جو خصوصیت کے افعال اور (2.3) کی طرح ایک تفریقی آپریٹر پر مبنی ہے۔ بنیادی مشاہدہ یہ ہے کہ معیاری نارمل تقسیم کی خصوصیت فنکشن سب کے لیے تفریقی مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ اس طرح، اگر کی خصوصیت فنکشن ایسی ہے کہ ہم اس کی توقع کرتے ہیں اور اس وجہ سے یہ عام تقسیم کے قریب ہے۔ تیخومیروف اپنے مقالے میں بتاتے ہیں کہ وہ اسٹین کے بنیادی مقالے سے متاثر تھے۔ مزید دیکھیں اسٹین کی لیما اسٹین ڈسکرپینسی نوٹسز انگلش ٹرانسلیشن ان لٹریچر درج ذیل متن ایڈوانسڈ ہے، اور نارمل کیس کا ایک جامع جائزہ دیتا ہے۔ ایک اور ایڈوانسڈ کتاب، لیکن کچھ تعارفی کردار والی، اسٹین کی کتاب ہے، جس میں بہت زیادہ دلچسپ مواد موجود ہے، لیکن پہلے پڑھنے پر اسے سمجھنا تھوڑا مشکل ہو سکتا ہے۔ اس کی عمر کے باوجود، اسٹین کے طریقہ کار کے بارے میں چند معیاری تعارفی کتابیں دستیاب ہیں۔ مندرجہ ذیل حالیہ نصابی کتاب میں ایک باب (باب 2) ہے جو اسٹین کے طریقہ کار کو متعارف کرانے کے لیے وقف ہے: اگرچہ یہ کتاب بڑے حصوں میں پوسن کے تخمینے کے بارے میں ہے، اس کے باوجود اس میں جنریٹر کے نقطہ نظر کے بارے میں بہت سی معلومات موجود ہیں، خاص طور پر پوسن کے عمل کے تخمینے کے تناظر میں۔ مندرجہ ذیل نصابی کتاب میں ایک باب (باب 10) ہے جو اسٹین کے پوسن تخمینہ کے طریقہ کار کو متعارف کرانے کے لیے وقف ہے: امکانات کی تقسیم کا شماریاتی فاصلہ نظریہ۔