Erdős–Anning theorem
ایرڈس-ایننگ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ طیارہ میں لامحدود تعداد میں پوائنٹس کا باہمی انٹیجر فاصلہ صرف اس صورت میں ہو سکتا ہے جب تمام پوائنٹس سیدھی لکیر پر ہوں۔ اس کا نام پال ایرڈس اور نارمن ایچ ایننگ کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے 1945 میں اس کا ثبوت شائع کیا تھا۔ اگرچہ انٹیجر فاصلے کے ساتھ پوائنٹس کا کوئی لامحدود غیر کالینیئر سیٹ نہیں ہو سکتا، لیکن پوائنٹس کے لامحدود غیر کالینیئر سیٹ ہوتے ہیں جن کے فاصلے عقلی نمبر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، 3-4-5 دائیں مثلث میں تیز زاویے سے بار بار گھومنے سے حاصل ہونے والے اکائی دائرے پر پوائنٹس کے ذیلی سیٹ میں یہ خاصیت ہوتی ہے۔ یہ دائرے میں ایک گھنے سیٹ کی تشکیل کرتا ہے۔ (ابھی تک حل نہ ہونے والا) ایردوس اولم مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ کیا ایک دوسرے سے عقلی فاصلے پر پوائنٹس کا ایک مجموعہ موجود ہو سکتا ہے جو پورے یوکلڈین سطح کے لیے ایک گھنے سیٹ کی تشکیل کرتا ہے۔ ایردوس کے مطابق، اسٹانی سلاو اولم کو ایردوس-ایننگ تھیوریم کے بارے میں ایردوس سے سننے کے بعد یہ سوال پوچھنے کی ترغیب ملی۔ ایک دوسرے سے عقلی فاصلے پر پوائنٹس کے کسی بھی محدود سیٹ S کے لیے، S میں فاصلے کے سب سے کم مشترکہ ڈینومینیٹر کے عنصر سے S کو بڑھا کر، ایک دوسرے سے انٹیجر فاصلے پر پوائنٹس کا ایک جیسا سیٹ تلاش کرنا ممکن ہے۔ اس طرح یونٹ سرکل کی تعمیر کے ایک محدود ذیلی سیٹ کو بڑھا کر، کوئی بھی ایک دوسرے سے انٹیجر فاصلے کے ساتھ غیر کالینیئر پوائنٹس کے من مانی طور پر بڑے محدود سیٹ بنا سکتا ہے۔ تاہم، S میں مزید پوائنٹس کو شامل کرنے سے توسیعی عنصر میں اضافہ ہو سکتا ہے، اس لیے یہ تعمیر عقلی فاصلے پر پوائنٹس کے لامحدود سیٹوں کو انٹیجر فاصلے پر پوائنٹس کے لامحدود سیٹوں میں تبدیل کرنے کی اجازت نہیں دیتی ہے۔ ثبوت ایرڈس-ایننگ تھیوریم کی اصل اشاعت کے فورا بعد، ایرڈس نے مندرجہ ذیل آسان ثبوت فراہم کیا۔ ثبوت میں منحنی خطوط کا ایک نظام تلاش کرنا شامل ہے تاکہ سیٹ کا ہر نقطہ دو منحنی خطوط کو عبور کرنے پر ہو۔ انٹیجر فاصلے والے پوائنٹس کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے، تمام ایک لائن پر نہیں، من مانی طور پر تین پوائنٹس سے بنے مثلث کا انتخاب کریں۔ آئیے یوکلڈین ڈسٹنس فنکشن کو ظاہر کرتے ہیں۔ کسی بھی دیئے گئے نقطہ کے لیے، عدد زیادہ سے زیادہ مثلث کی عدم مساوات کے لحاظ سے ہوتا ہے۔ اس طرح، ہائپربولا میں سے ایک ہے، جس کی تعریف کے ساتھ فارم کی مساوات سے ہوتی ہے۔ سمیٹرک دلیل کے ذریعہ، شکل کی مساوات کے ذریعہ بیان کردہ ہائپربولے میں سے کسی ایک پر بھی ہونا چاہیے۔ دو ہائپربولا پر مشتمل ایک دوسرے کے ساتھ نہیں ہو سکتے، اس لیے یہ ایک نقطہ ہونا چاہیے جہاں وہ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ بیزاوٹ کے نظریہ کے مطابق، ہر انتخاب کے لیے اور، اور زیادہ سے زیادہ چار انٹرسیکشن پوائنٹس کے انتخاب ہوتے ہیں۔ چونکہ ہر دیا ہوا نقطہ ان چوراہوں میں سے ایک ہونا چاہیے، اس لیے دیئے گئے پوائنٹس کے سیٹ میں زیادہ سے زیادہ پوائنٹس پر ایک محدود نمبر ہونا چاہیے۔ اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ، جب انٹیجر فاصلے والے پوائنٹس کے سیٹ کا قطر ہوتا ہے، تو زیادہ تر پوائنٹس ہوتے ہیں۔ اس باؤنڈ آن کے کواڈریٹک انحصار کو بہتر بنایا جا سکتا ہے، اسی طرح کے ثبوت کا استعمال کرتے ہوئے لیکن ہائپربولا کے خاندانوں کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے والے پوائنٹس کے جوڑوں کے زیادہ محتاط انتخاب کے ساتھ: انٹیجر فاصلے اور قطر کے ساتھ مقرر کردہ ہر نقطہ کا سائز ہوتا ہے۔ تاہم، پوائنٹس کے درمیان کم از کم فاصلے سے تبدیل کرنا ممکن نہیں ہے: انٹیجر فاصلے کے ساتھ اور کم از کم فاصلے دو کے ساتھ من مانی طور پر بڑے غیر کالینیئر پوائنٹ سیٹ موجود ہیں۔ انٹیگرل فاصلے کے ساتھ زیادہ سے زیادہ پوائنٹ سیٹ تھیوریم کو بیان کرنے کا ایک متبادل طریقہ یہ ہے کہ طیارہ میں انٹیجر فاصلے والے پوائنٹس کے غیر کالینیئر سیٹ کو صرف بہت سے اضافی پوائنٹس کا اضافہ کرکے بڑھایا جا سکتا ہے، اس سے پہلے کہ مزید پوائنٹس کا اضافہ نہ کیا جا سکے۔ انٹیجر کوآرڈینیٹس اور انٹیجر فاصلے دونوں کے ساتھ پوائنٹس کا ایک مجموعہ، جس میں دونوں خصوصیات کو محفوظ رکھتے ہوئے مزید اضافہ نہیں کیا جا سکتا، ایک ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف بناتا ہے۔ ایرڈس-ایننگ تھیوریم کا ثبوت ایک الگورتھم میں یہ جانچنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا انٹیجر پوائنٹس کا دیا ہوا سیٹ انٹیجر فاصلے کے ساتھ ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف بناتا ہے: صرف ثبوت میں استعمال ہونے والے ہائپربولے کے تمام کراسنگ پوائنٹس کو تلاش کریں، اور چیک کریں کہ آیا نتیجے میں آنے والے کسی بھی پوائنٹ میں دیئے گئے سیٹ سے انٹیجر کوآرڈینیٹس اور انٹیجر فاصلے بھی ہیں۔ طیارہ جیومیٹری کے ریاضیاتی مسائل متفرق ریاضی میں نظریات ثبوت پر مشتمل مضامین متفرق جیومیٹری میں نظریات ایننگ تھیوریم