Subnet (mathematics)
ٹوپولوجی اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، سب نیٹ نیٹ کے معاملے کے بعد کے تصور کی عمومی شکل ہے۔ نیٹ کے لیے "سیکوینس" کا ینالاگ "سب نیٹ" کا تصور ہے۔ تعریف مکمل طور پر سیدھی سیدھی نہیں ہے، لیکن اس طرح ڈیزائن کی گئی ہے کہ اس کے بعد کے واقعات کے بارے میں زیادہ سے زیادہ نظریات کو جتنا ممکن ہو نیٹ پر عام کیا جا سکے۔ "سب نیٹ" کی تین غیر مساوی تعریفیں ہیں۔ سب نیٹ کی پہلی تعریف 1955 میں جان ایل کیلی نے متعارف کرائی تھی اور بعد میں، اسٹیفن ولارڈ نے 1970 میں کیلی کی تعریف کا اپنا (غیر مساوی) ورژن متعارف کرایا۔ ولارڈ کے معنی میں سب نیٹ اور کیلی کے معنی میں سب نیٹ "سب نیٹ" کی سب سے زیادہ استعمال ہونے والی تعریفیں ہیں لیکن وہ ہر ایک "ماتحت فلٹر" کے تصور کے مساوی ہیں، جو فلٹرز کے لیے "تسلسل" کا ینالاگ ہے (وہ اس لحاظ سے مساوی نہیں ہیں کہ ایسے ماتحت فلٹر موجود ہیں جن کے فلٹر/ماتحت-فلٹر کے تعلقات کو متعلقہ نیٹ/سب نیٹ تعلقات کے لحاظ سے بیان نہیں کیا جا سکتا)۔ "سب نیٹ" کی تیسری تعریف (جو کیلی یا ولارڈ کی طرف سے دی گئی تعریف کے مساوی نہیں ہے) جو کہ "ماتحت فلٹر" کے تصور کے مساوی ہے، اسمیلی (1957)، آرنس اینڈ اینڈینیس (1972)، مردیشور (1983)، اور ممکنہ طور پر دیگر افراد نے آزادانہ طور پر متعارف کرائی تھی، حالانکہ یہ اکثر استعمال نہیں ہوتی ہے۔ اس مضمون میں ولارڈ کی وجہ سے تعریف پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے (دیگر تعریفیں topology#Subnets میں مضمون فلٹرز میں بیان کی گئی ہیں)۔ تعریفیں "سب نیٹ" کی کئی مختلف غیر مساوی تعریفیں ہیں اور یہ مضمون اسٹیفن ولارڈ کی طرف سے 1970 میں متعارف کرائی گئی تعریف کا استعمال کرے گا، جو کہ مندرجہ ذیل ہے: اگر اور بالترتیب ہدایت شدہ سیٹوں سے کسی سیٹ میں نیٹ ہیں، تو کہا جاتا ہے کہ (یا a) اگر کوئی مونوٹون فائنل فنکشن موجود ہے جیسے کہ A فنکشن ہے، اور ایک اگر تب بھی اور اسے کہا جاتا ہے اگر اس کی شبیہہ کو فائنل میں ہے۔ سیٹ ہونے کا مطلب یہ ہے کہ ہر ایک کے لیے کچھ ایسا موجود ہے جو کہ ہے، ہر ایک کے لیے ایسا موجود ہے کہ چونکہ نیٹ فنکشن ہے اور نیٹ فنکشن ہے اس لیے وضاحتی شرط کو زیادہ مختصر اور صاف طور پر لکھا جا سکتا ہے یا جہاں فنکشن کمپوزیشن کی نشاندہی ہوتی ہے اور یہ صرف نوٹیشن ہے۔ واضح طور پر، ایک ترتیب کو a کہا جاتا ہے اگر مثبت عددوں کی سختی سے بڑھتی ہوئی ترتیب موجود ہو جیسے کہ ہر ایک کے لیے (یعنی، ایسا)۔ ترتیب کی شناخت کینونکل طور پر اس فنکشن کے ساتھ کی جا سکتی ہے جس کی وضاحت کی گئی ہے۔ اس طرح ایک ترتیب اس صورت میں ہوتی ہے جب کوئی سختی سے بڑھتی ہوئی فنکشن موجود ہو جیسے کہ سبسیکوینس سب نیٹ ہوں۔ ہر ترتیب ایک سب نیٹ ہے کیونکہ اگر اس کا ایک تسلسل ہے تو اس کے ذریعہ بیان کردہ نقشہ ایک آرڈر کو محفوظ کرنے والا نقشہ ہے جس کی تصویر اس کے کوڈومین میں کو فائنل ہے اور تمام ترتیب اور سب نیٹ کو مطمئن کرتی ہے لیکن اس کے بعد نہیں۔ ترتیب اس کے بعد نہیں ہے حالانکہ یہ ایک سب نیٹ ہے کیونکہ اس کے ذریعہ بیان کردہ نقشہ ایک آرڈر کو محفوظ کرنے والا نقشہ ہے جس کی تصویر سب کے لیے ہے اور مطمئن ہے۔ کلیدی فرق یہ ہے کہ سب نیٹ نیٹ میں ایک ہی پوائنٹ کو متعدد بار استعمال کر سکتے ہیں اور سب نیٹ کے انڈیکسنگ سیٹ میں بہت زیادہ کارڈینالیٹی ہو سکتی ہے۔ زیادہ عام تعریف کا استعمال کرتے ہوئے جہاں ہمیں یکسانیت کی ضرورت نہیں ہے، ایک ترتیب کسی دی گئی ترتیب کا ایک ذیلی نیٹ ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب اسے کسی تسلسل سے اس کی شرائط کو دہرا کر اور انہیں دوبارہ ترتیب دے کر حاصل کیا جا سکے۔ کسی ترتیب کا سب نیٹ جو ترتیب نہیں ہے کسی ترتیب کا سب نیٹ لازمی طور پر ایک ترتیب ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، آئیے معمول کی ترتیب کے مطابق ہدایت کی جائے اور اس کی حد ہونے دے کر وضاحت کی جائے۔ پھر ایک ترتیب کو محفوظ رکھنے والا نقشہ ہے (کیونکہ یہ ایک غیر کم کرنے والا فنکشن ہے) جس کی شبیہہ اس کے کوڈومین کا کو فائنل سب سیٹ ہے۔ کوئی بھی ترتیب ہونے دیں (جیسے کہ مستقل ترتیب، مثال کے طور پر) اور ہر ایک کے لیے ہونے دیں (دوسرے الفاظ میں، ہونے دیں)۔ یہ نیٹ کوئی ترتیب نہیں ہے کیونکہ اس کا ڈومین ایک بے شمار سیٹ ہے۔ تاہم، ترتیب کا ایک سب نیٹ ہے کیونکہ (تعریف کے مطابق) ہر ایک کے لیے ہوتا ہے۔ مزید برآں، ترتیب بھی ایک ذیلی نیٹ ہے کیونکہ شمولیت کا نقشہ (جو بھیجتا ہے) ایک آرڈر کو محفوظ کرنے والا نقشہ ہے جس کی شبیہہ اس کے کوڈومین کا ایک مشترکہ ذیلی سیٹ ہے اور اس طرح سب کے لیے ہے اور (بیک وقت) ایک دوسرے کے ذیلی نیٹ ہیں۔ ذیلی سیٹوں سے متاثر ہونے والے ذیلی نیٹ فرض کریں کہ یہ ایک لامحدود سیٹ ہے اور ایک ترتیب ہے۔ پھر اس پر ایک جال بھی ہے جو ایک ذیلی جال ہے (شمولیت کا نقشہ سمجھیں)۔ یہ سب نیٹ بدلے میں سب سے چھوٹی قدر (یعنی ہر عدد کے لیے لیٹ اور لیٹ) کے طور پر بیان کر کے ایک تسلسل کو جنم دیتا ہے۔ اس طرح، ہر لامحدود ذیلی سیٹ ایک کینونکل سب نیٹ کو جنم دیتا ہے جسے تسلسل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ تاہم، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے، کسی ترتیب کا ہر سب نیٹ ایک تسلسل نہیں ہے۔ ایپلی کیشنز تعریف سیکوینس کے بارے میں کچھ کلیدی تھیوریمز کو عام کرتی ہے: ایک نیٹ صرف اس صورت میں یکجا ہوتا ہے جب ایک نیٹ کا ہر سب نیٹ ایک کلسٹر پوائنٹ رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں ایک سب نیٹ ہوتا ہے جو ایک ٹوپولوجیکل اسپیس میں یکجا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں کمپیکٹ ہوتا ہے جب ہر نیٹ میں ایک متغیر سب نیٹ ہوتا ہے (ثبوت کے لیے نیٹ دیکھیں)۔ "سب نیٹ" کی تعریف میں شناخت کے نقشے کو لینا اور a کے تصور کی طرف لے جانے والے لیڈز کا کو فائنل سب سیٹ ہونا ضروری ہے، جو ناکافی ثابت ہوتا ہے کیونکہ، مثال کے طور پر، اگر ہم خود کو کو فائنل سب نیٹ تک محدود رکھتے ہیں تو اوپر دیا گیا دوسرا نظریہ ٹائکونوف پلانک کے لیے ناکام ہو جاتا ہے۔ کلسٹرنگ اور بندش اگر کسی ذیلی سیٹ میں نیٹ ہے اور اگر اس کا کلسٹر پوائنٹ ہے تو دوسرے لفظوں میں، ذیلی سیٹ میں نیٹ کا ہر کلسٹر پوائنٹ اس سیٹ کی بندش سے تعلق رکھتا ہے۔ اگر نیٹ ان ہے تو ان کے تمام کلسٹر پوائنٹس کا سیٹ اس کے برابر ہے جہاں ہر کنورجنس بمقابلہ کلسٹرنگ کے لیے اگر کوئی نیٹ کسی پوائنٹ پر یکجا ہوتا ہے تو لازمی طور پر اس نیٹ کا کلسٹر پوائنٹ ہوتا ہے۔ عام طور پر اس کے برعکس ہونے کی ضمانت نہیں ہے۔ یعنی کسی نیٹ کا کلسٹر پوائنٹ ہونا ممکن ہے لیکن اس میں ضم ہونا ممکن ہے۔ تاہم، اگر کلسٹرز اس وقت موجود ہیں تو اس کا ایک سب نیٹ موجود ہے جو کنورج ہو جاتا ہے۔ اس سب نیٹ کو واضح طور پر اس سے بنایا جا سکتا ہے اور پڑوس کے فلٹر کو مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے: یہ اعلان کرتے ہوئے ایک ہدایت شدہ سیٹ بنائیں کہ تب اور یہ ایک سب نیٹ ہے کیونکہ نقشہ ایک مونوٹون فنکشن ہے جس کی شبیہہ ایک کو فائنل سب سیٹ ہے اور اس طرح، ایک پوائنٹ کسی دیئے گئے نیٹ کا کلسٹر پوائنٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں ایک سب نیٹ ہو جو نوٹ حوالہ جات ٹوپولوجی کو بھی دیکھنے کے لیے یکجا ہوتا ہے۔