Singular integral
ریاضی میں، واحد انٹیگرلز ہارمونک تجزیہ کے لیے مرکزی ہوتے ہیں اور جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ کے ساتھ قریبی طور پر جڑے ہوتے ہیں۔ وسیع پیمانے پر ایک واحد انٹیگرل ایک انٹیگرل آپریٹر ہے جس کی دانا فنکشن K: Rn × Rn → R اخترن x = y کے ساتھ واحد ہے۔ خاص طور پر، یکسانیت ایسی ہے کہ |K (x, y) | کا سائز |x −y | −n غیر علامتی طور پر |x −y | → 0 ہے۔ چونکہ اس طرح کے انٹیگرلز عام طور پر مکمل طور پر انٹیگریبل نہیں ہو سکتے ہیں، اس لیے ایک سخت تعریف میں انہیں |y −x |> ε پر انٹیگرل کی حد کے طور پر ε → 0 کے طور پر بیان کرنا چاہیے، لیکن عملی طور پر یہ ایک تکنیکی حیثیت ہے۔ عام طور پر نتائج حاصل کرنے کے لیے مزید مفروضوں کی ضرورت ہوتی ہے جیسے کہ ایل پی (آر این) پر ان کی حد بندی۔ ہلبرٹ ٹرانسفارم آرکیٹیپل سنگل انٹیگرل آپریٹر ہلبرٹ ٹرانسفارم H ہے۔ یہ R میں x کے لیے دانا K (x) = 1/(πx) کے خلاف ارتقاء کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ان میں سے سب سے سیدھے سیدھے اعلی جہتی اینالاگس ریز ٹرانسفارمز ہیں، جو K (x) = 1/x کی جگہ لے لیتے ہیں جہاں i = 1،.، n ہے اور Rn میں x کا i-th جزو ہے۔ یہ تمام آپریٹر ایل پی پر پابند ہیں اور کمزور قسم (1، 1) کے تخمینوں کو پورا کرتے ہیں۔ کنولیوشن ٹائپ کے سنگل انٹیگرلز کنولیوشن ٹائپ کا واحد انٹیگرل ایک آپریٹر T ہے جس کی تعریف ایک دانا K کے ساتھ کنولیوشن کے ذریعے کی جاتی ہے جو Rn\ {0} پر مقامی طور پر انٹیگریبل ہے، اس معنی میں کہ فرض کریں کہ دانا مطمئن ہوتا ہے: K کے فورئیر ٹرانسفارم پر سائز کی شرط ہموار حالت: کچھ C> 0 کے لیے، پھر یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ T Lp (Rn) پر پابند ہے اور ایک کمزور قسم (1,1) تخمینے کو مطمئن کرتا ہے۔ پراپرٹی 1۔ اس بات کو یقینی بنانے کے لیے ضروری ہے کہ کنولیوشن () ٹمپریڈ ڈسٹری بیوشن پی وی کے ساتھ ہو۔ پرنسپل ویلیو انٹیگرل کے ذریعہ دیا گیا K، L2 پر ایک اچھی طرح سے متعین فورئیر ضرب ہے۔ 1 یا 2 میں سے کسی بھی خاصیت کی تصدیق کرنا لازمی طور پر آسان نہیں ہے، اور مختلف قسم کے کافی شرائط موجود ہیں۔ عام طور پر ایپلی کیشنز میں منسوخی کی شرط بھی ہوتی ہے جسے چیک کرنا کافی آسان ہوتا ہے۔ یہ خودکار ہے، مثال کے طور پر، اگر K ایک عجیب فعل ہے۔ اگر، اس کے علاوہ، کوئی 2 فرض کرتا ہے۔ اور مندرجہ ذیل سائز کی شرط تو یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ 1. اس کے بعد آتا ہے۔ ہموار حالت 2. کو بھی اصولی طور پر چیک کرنا اکثر مشکل ہوتا ہے، دانا K کی درج ذیل کافی شرط استعمال کی جا سکتی ہے: مشاہدہ کریں کہ یہ شرائط ہلبرٹ اور ریز ٹرانسفارمز کے لیے مطمئن ہیں، لہذا یہ نتیجہ ان نتائج کی توسیع ہے۔ غیر ارتقاء قسم کے سنگل انٹیگرل یہ اور بھی زیادہ عام آپریٹر ہیں۔ تاہم، چونکہ ہمارے مفروضے اتنے کمزور ہیں، اس لیے ضروری نہیں کہ یہ آپریٹر ایل پی پر پابند ہوں۔ کالڈرون-زیگمنڈ دانا ایک فنکشن کو کالڈرون-زیگمنڈ دانا کہا جاتا ہے اگر یہ کچھ مستقلات C> 0 اور δ> 0 کے لیے درج ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے۔ غیر ارتقاء قسم T کے سنگل انٹیگرلز کو کالڈرون-زیگمنڈ دانا K سے وابستہ غیر ارتقاء قسم کا ایک واحد انٹیگرل آپریٹر کہا جاتا ہے اگر جب بھی f اور g ہموار ہوں اور ان میں جداگانہ سپورٹ ہو۔ اس طرح کے آپریٹرز کو ایل پی کالڈرون-زیگمنڈ آپریٹرز پر پابند ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ کالڈرون-زیگمنڈ دانا K سے وابستہ غیر ارتقاء قسم T کا ایک واحد انٹیگرل کالڈرون-زیگمنڈ آپریٹر کہلاتا ہے جب یہ L2 پر پابند ہوتا ہے، یعنی، ایک C> 0 ایسا ہوتا ہے کہ تمام ہموار کمپیکٹ سپورٹ f کے لیے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اس طرح کے آپریٹرز درحقیقت تمام ایل پی پر 1 <p <ν کے ساتھ پابند بھی ہوتے ہیں۔ T (b) تھیوریم T (b) تھیوریم ایک واحد انٹیگرل آپریٹر کے لیے کالڈرون-زیگمنڈ آپریٹر ہونے کے لیے کافی شرائط فراہم کرتا ہے، یعنی کالڈرون-زیگمنڈ دانا سے وابستہ واحد انٹیگرل آپریٹر کے لیے L2 پر پابند ہونا۔ نتیجہ بیان کرنے کے لیے ہمیں پہلے کچھ اصطلاحات کی وضاحت کرنی ہوگی۔ ایک نارملائزڈ ٹکرانا Rn پر ایک ہموار فنکشن φ ہے جو رداس 1 کی گیند میں سپورٹ کیا جاتا ہے اور اصل پر اس طرح مرکوز ہوتا ہے کہ | ष्णولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولولول Rn اور r> 0 میں تمام x کے لیے τx (φ) (y) = φ (y−x) اور φr (x) = r−nφ (x/r) سے ظاہر کریں۔ ایک آپریٹر کو کمزور طور پر پابند کہا جاتا ہے اگر کوئی مستقل C ایسا ہو کہ تمام نارملائزڈ بمپس φ اور si کے لیے ہو۔ ایک فنکشن کو ایکریٹو کہا جاتا ہے اگر کوئی مستقل c> 0 ایسا ہو کہ R میں موجود تمام x کے لیے Re (b) (x) ≤ c ہو۔ ٹی (بی) تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ کالڈرون-زیگمنڈ دانا سے وابستہ ایک واحد انٹیگرل آپریٹر ٹی ایل 2 پر پابند ہے اگر یہ کچھ باؤنڈ ایکریٹو افعال بی 1 اور بی 2 کے لیے درج ذیل تینوں شرائط کو پورا کرتا ہے: کمزور طور پر پابند ہے ؛ بی ایم او میں ہے ؛ بی ایم او میں ہے، جہاں ٹی ٹی ٹی کا ٹرانسپوز آپریٹر ہے۔ بند منحنی خطوط پر سنگل انٹیگرل آپریٹرز بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ (روسی میں)۔ ۔ ، (یورپی ایڈیشن:)۔ بیرونی روابط ہارمونک تجزیہ حقیقی تجزیہ