Compass equivalence theorem
جیومیٹری میں، کمپس مساوات تھیوریم کمپس اور سیدھے کنارے کی تعمیرات میں ایک اہم بیان ہے۔ ان تعمیرات میں افلاطون کی طرف سے جس آلے کی وکالت کی گئی ہے وہ ایک تقسیم کنندہ یا منہدم ہونے والا کمپاس ہے، یعنی ایک کمپاس جو جب بھی کسی صفحے سے اٹھایا جاتا ہے "منہدم" ہو جاتا ہے، تاکہ اسے براہ راست فاصلے منتقل کرنے کے لیے استعمال نہ کیا جائے۔ جدید کمپاس کو اس کے فکس ایبل یپرچر کے ساتھ براہ راست فاصلے منتقل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس لیے یہ ایک زیادہ طاقتور آلہ معلوم ہوتا ہے۔ تاہم، کمپس مساوات تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ "جدید کمپس" کے ذریعے کسی بھی تعمیر کو گرنے والے کمپس کے ساتھ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یہ اس بات کو قائم کر کے دکھایا جا سکتا ہے کہ گرتے ہوئے کمپاس کے ساتھ، ہوائی جہاز میں ایک دائرے کو دیکھتے ہوئے، برابر رداس کا ایک اور دائرہ بنانا ممکن ہے، جو ہوائی جہاز پر کسی بھی نقطہ پر مرکوز ہو۔ یہ نظریہ یوکلڈ کے عناصر کی کتاب I کی تجویز II ہے۔ اس نظریہ کے ثبوت کی ایک متغیر تاریخ رہی ہے۔ تعمیر مندرجہ ذیل تعمیر اور درستگی کا ثبوت یوکلڈ نے اپنے عناصر میں دیا ہے۔ اگرچہ یوکلڈ کے علاج میں کئی معاملات نظر آتے ہیں، مبہم ہدایات کی تشریح کرتے وقت کیے گئے انتخاب پر منحصر ہے، وہ سب ایک ہی نتیجے پر پہنچتے ہیں، اور اس لیے، مخصوص انتخاب ذیل میں دیے گئے ہیں۔ دیئے گئے نکات، اور، ایک دائرے کی تعمیر کریں جس کا مرکز رداس کی لمبائی کے ساتھ ہو (یعنی، ٹھوس سبز دائرے کے مساوی، لیکن مرکز میں)۔ مرکز میں ایک دائرہ کھینچیں اور اس سے گزریں اور اس کے برعکس (سرخ حلقے)۔ وہ نقطہ پر ایک دوسرے کو کاٹ لیں گے اور مساوی مثلث بنائیں گے۔ ماضی کو وسعت دیں اور اس کے چوراہے اور دائرے کو تلاش کریں، جس پر لیبل لگا ہوا ہے۔ (نیلے دائرے) پر مرکوز اور اس سے گزرنے والا ایک دائرہ بنائیں۔ ماضی کو وسعت دیں اور اس کے چوراہے اور دائرے کو تلاش کریں، جس پر لیبل لگا ہوا ہے۔ (بکھرے ہوئے سبز دائرے) پر مرکوز اور اس سے گزرنے والا ایک دائرہ بنائیں کیونکہ یہ ایک مساوی مثلث ہے۔ کیونکہ اور ارد گرد ایک دائرے میں ہیں۔ اس لیے۔ کیونکہ دائرے پر ہے۔ اس لیے۔ سیدھے کنارے کے بغیر متبادل تعمیر سیدھے کنارے کے استعمال کے بغیر کمپاس کے مساوات کو ثابت کرنا ممکن ہے۔ یہ موہر ماسچیرونی تھیوریم کے ثبوتوں میں "فکسڈ کمپاس" چالوں (ایک مختلف مقام پر دیئے گئے رداس کے دائرے کی تعمیر) کے استعمال کا جواز پیش کرتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ سیدھے کنارے اور کمپاس کے ساتھ ممکن کوئی بھی تعمیر صرف کمپاس کے ساتھ مکمل کی جا سکتی ہے۔ دیئے گئے پوائنٹس، اور، رداس کے ساتھ مرکوز ایک دائرے کی تعمیر کریں، جس میں صرف ایک منہدم کمپاس کا استعمال کریں اور کوئی سیدھا کنارہ نہ ہو۔ مرکز میں ایک دائرہ کھینچیں اور اس سے گزریں اور اس کے برعکس (نیلے حلقے)۔ وہ پوائنٹس اور پر ایک دوسرے کو کاٹ لیں گے۔ مراکز پر اور (سرخ دائرے) کے ساتھ دائرے کھینچیں۔ ان کے دوسرے چوراہے پر لیبل لگائیں۔ مرکز کے گزرنے کے ساتھ ایک دائرہ (سبز دائرہ) کھینچیں۔ یہ مطلوبہ دائرہ ہے۔ اس تعمیر کی درستگی کے کئی ثبوت ہیں اور اسے اکثر قارئین کے لیے ایک مشق کے طور پر چھوڑ دیا جاتا ہے۔ یہاں تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے ایک جدید ہے۔ لکیر کا پرپینڈکولر بائیسیکٹر ہے۔ اس طرح تھرو لائن کی عکاسی ہوتی ہے۔ تعمیر کے ذریعے، تھرو لائن کی عکاسی ہوتی ہے۔ چونکہ عکاسی ایک آئسومیٹری ہے، اس لیے یہ اپنی مرضی کے مطابق ہوتی ہے۔ حوالہ جات کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیرات