Intrinsic dimension
ڈیٹا سیٹ کے لیے اندرونی طول و عرض کو ڈیٹا کی کم سے کم نمائندگی میں درکار متغیرات کی تعداد کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، کثیر جہتی سگنلز کی سگنل پروسیسنگ میں، سگنل کا اندرونی طول و عرض بیان کرتا ہے کہ سگنل کا ایک اچھا تخمینہ پیدا کرنے کے لیے کتنے متغیرات کی ضرورت ہے۔ تاہم، اندرونی جہت کا اندازہ لگاتے وقت، کئی گنا طول و عرض پر مبنی قدرے وسیع تر تعریف اکثر استعمال کی جاتی ہے، جہاں اندرونی جہت میں نمائندگی کو صرف مقامی طور پر موجود ہونے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح کے اندرونی طول و عرض کے تخمینے کے طریقے ڈیٹا سیٹ کے مختلف حصوں میں مختلف اندرونی طول و عرض کے ساتھ ڈیٹا سیٹ کو سنبھال سکتے ہیں۔ اسے اکثر مقامی اندرونی جہت کہا جاتا ہے۔ اندرونی طول و عرض کو نچلی حد کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے کہ طول و عرض میں کمی کے ذریعے ڈیٹا سیٹ کو کس طول و عرض میں کمپریس کرنا ممکن ہے، لیکن اسے ڈیٹا سیٹ یا سگنل کی پیچیدگی کی پیمائش کے طور پر بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ڈیٹا سیٹ یا N متغیرات کے سگنل کے لیے، اس کا اندرونی طول و عرض M 0 ≤ M ≤ N کو مطمئن کرتا ہے، حالانکہ تخمینہ لگانے والے زیادہ اقدار حاصل کر سکتے ہیں۔ مثال ایک دو متغیر فنکشن (یا سگنل) ہے جو کسی ایک متغیر فنکشن g کی شکل کا ہے جو مستقل نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ f، g کے مطابق، پہلے متغیر کے ساتھ یا پہلے کوآرڈینیٹ کے ساتھ مختلف ہوتا ہے۔ دوسری طرف، f دوسرے متغیر کے حوالے سے یا دوسرے کوآرڈینیٹ کے ساتھ مستقل ہے۔ f کی قدر کا تعین کرنے کے لیے صرف ایک، یعنی پہلے، متغیر کی قدر جاننا ضروری ہے۔ لہذا، یہ ایک دو متغیر فعل ہے لیکن اس کا اندرونی طول و عرض ایک ہے۔ ایک تھوڑی زیادہ پیچیدہ مثال ہے۔ f اب بھی اندرونی یک جہتی ہے، جسے متغیر تبدیلی کرکے دیکھا جا سکتا ہے اور جو دیتا ہے۔ چونکہ f میں تغیر کو واحد متغیر y1 کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے اس کی اندرونی جہت ایک ہے۔ اس صورت میں کہ f مستقل ہے، اس کا اندرونی طول و عرض صفر ہے کیونکہ تغیر کو بیان کرنے کے لیے کسی متغیر کی ضرورت نہیں ہے۔ عام صورت کے لیے، جب دو متغیر فعل f کا اندرونی طول و عرض نہ تو صفر ہوتا ہے اور نہ ہی ایک، تو یہ دو ہوتا ہے۔ ادب میں، وہ افعال جو اندرونی جہت صفر، ایک، یا دو کے ہوتے ہیں، بعض اوقات بالترتیب i0D، i1D یا i2D کے طور پر بھی جانے جاتے ہیں۔ اشاروں کے لیے رسمی تعریف N-متغیر فنکشن f کے لیے، متغیرات کے سیٹ کو N-جہتی ویکٹر x: کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اگر کسی M-متغیر فعل g اور M × N میٹرکس A کے لیے یہ معاملہ ہے کہ تمام x کے لیے M سب سے چھوٹا عدد ہے جس کے لیے f اور g کے درمیان مذکورہ بالا تعلق پایا جا سکتا ہے، تو f کا اندرونی طول و عرض M ہے۔ اندرونی طول و عرض f کی خصوصیت ہے، یہ g کی غیر واضح خصوصیت نہیں ہے اور نہ ہی A کی۔ یعنی، اگر مذکورہ بالا تعلق کسی f، g، اور A کے لیے مطمئن ہے، تو اسے اسی f اور g′ اور A′ کے لیے بھی مطمئن ہونا چاہیے جو اس کے ذریعے دیا گیا ہے اور جہاں B ایک غیر واحد M × M میٹرکس ہے، چونکہ۔ کم اندرونی طول و عرض کے اشاروں کا فورئیر ٹرانسفارم ایک این متغیر فنکشن جس کا اندرونی طول و عرض ایم <این ہوتا ہے اس میں ایک خصوصیت والا فورئیر ٹرانسفارم ہوتا ہے۔ بدیہی طور پر، چونکہ اس قسم کا فنکشن ایک یا کئی جہتوں کے ساتھ مستقل ہوتا ہے اس لیے اس کا فورئیر ٹرانسفارم فریکوئنسی ڈومین میں اسی جہت کے ساتھ ایک امپلس (ایک مستقل کا فورئیر ٹرانسفارم) کی طرح ظاہر ہونا چاہیے۔ ایک سادہ سی مثال فرض کریں کہ f ایک دو متغیر فنکشن ہے جو کہ i1D ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک نارملائزڈ ویکٹر اور ایک متغیر فنکشن g موجود ہے جیسے کہ سب کے لیے۔ اگر F، f کا فورئیر ٹرانسفارم ہے (دونوں دو متغیر افعال ہیں) تو ایسا ہی ہونا چاہیے۔ یہاں G g کا فورئیر ٹرانسفارم ہے (دونوں ایک متغیر افعال ہیں)، δ ڈیراک امپلس فنکشن ہے اور m n کے عمودی طور پر ایک نارملائزڈ ویکٹر ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ F ہر جگہ غائب ہو جاتا ہے سوائے اس لکیر کے جو فریکوئنسی ڈومین کے اصل سے گزرتی ہے اور m کے متوازی ہے۔ اس لکیر کے ساتھ F G کے مطابق مختلف ہوتا ہے۔ عام صورت میں فرض کریں کہ f ایک N-متغیر فنکشن ہے جس کا اندرونی طول و عرض M ہے، یعنی ایک M-متغیر فنکشن g اور M × N میٹرکس A موجود ہے۔ اس کے فوریر ٹرانسفارم F کو پھر اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: F طول و عرض M کی ذیلی جگہ کے علاوہ ہر جگہ غائب ہو جاتا ہے۔ ذیلی جگہ M میٹرکس A کی قطاروں کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ ذیلی جگہ میں، F، G کے مطابق مختلف ہوتا ہے جو کہ g عمومی کاریوں کا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ اوپر بیان کردہ اندرونی جہت کی قسم یہ فرض کرتی ہے کہ N-متغیر فنکشن f کے نقاط پر لکیری تبدیلی کا اطلاق M متغیرات پیدا کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جو کہ f کی ہر قدر کی نمائندگی کرنے کے لیے ضروری ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ f لکیروں، طیاروں، یا ہائپرپلین کے ساتھ مستقل ہے، N اور M پر منحصر ہے۔ عام صورت میں، f کا اندرونی طول و عرض M ہوتا ہے اگر M افعال a1، a2، aM اور ایک M-متغیر فنکشن موجود ہوں۔ مقامی اندرونی جہتی (ایل آئی ڈی) سے مراد یہ مشاہدہ ہے کہ اکثر اعداد و شمار کو کم جہتی کئی گنا پر تقسیم کیا جاتا ہے جب صرف اعداد و شمار کے قریبی ذیلی سیٹ پر غور کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر فنکشن کو ایک جہتی سمجھا جا سکتا ہے جب y 0 کے قریب ہو (ایک متغیر x کے ساتھ)، دو جہتی جب y 1 کے قریب ہو، اور پھر ایک جہتی جب y مثبت ہو اور 1 سے بہت بڑا ہو (متغیر x + y کے ساتھ)۔ مقامی اندرونی جہت اکثر اعداد و شمار کے حوالے سے استعمال ہوتی ہے۔ اس کے بعد اس کا تخمینہ عام طور پر ڈیٹا پوائنٹ کے k قریب ترین پڑوسیوں کی بنیاد پر لگایا جاتا ہے، جو اکثر ریاضی میں دوگنا طول و عرض سے متعلق تصور پر مبنی ہوتا ہے۔ چونکہ ڈی دائرے کا حجم ڈی میں تیزی سے بڑھتا ہے، اس لیے جس شرح پر نئے پڑوسیوں کو تلاش کے رداس میں اضافے کے ساتھ پایا جاتا ہے اسے مقامی اندرونی جہت کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر، جی ای ڈی تخمینہ)۔ تاہم، تخمینے کے متبادل نقطہ نظر تجویز کیے گئے ہیں، مثال کے طور پر زاویے پر مبنی تخمینہ۔ اعداد و شمار کے کئی گنا کے اندرونی طول و عرض کا اندازہ کئی طریقوں سے لگایا جا سکتا ہے، جو اعداد و شمار کے کئی گنا کے مفروضوں پر منحصر ہے۔ 2016 کا ایک جائزہ ہے۔ دو قریب ترین پڑوسیوں (ٹو این این) کا طریقہ ایک ڈوبے ہوئے ریمینیئن کئی گنا کے اندرونی طول و عرض کا اندازہ لگانے کا ایک طریقہ ہے۔ الگورتھم مندرجہ ذیل ہے: کئی گنا پر کچھ نکات منتشر کریں۔ بہت سے نکات کی پیمائش، نقطہ کے دو قریبی پڑوسیوں کے فاصلے کہاں ہیں۔ کے تجرباتی سی ڈی ایف کو فٹ کریں۔ واپسی۔ تاریخ 1950 کی دہائی کے دوران سماجی علوم میں کثیر جہتی ڈیٹا سیٹوں کو تلاش کرنے اور ان کا خلاصہ کرنے کے لیے نام نہاد "اسکیلنگ" طریقے تیار کیے گئے تھے۔ شیپرڈ کے 1962 میں غیر میٹرک کثیر جہتی اسکیلنگ متعارف کرانے کے بعد کثیر جہتی اسکیلنگ (ایم ڈی ایس) کے اندر اہم تحقیقی شعبوں میں سے ایک اندرونی جہت کا تخمینہ تھا۔ اس موضوع کا مطالعہ انفارمیشن تھیوری میں بھی کیا گیا تھا، جس کا آغاز 1965 میں بینیٹ نے کیا تھا جس نے "اندرونی جہت" کی اصطلاح تیار کی اور اس کا اندازہ لگانے کے لیے ایک کمپیوٹر پروگرام لکھا۔ 1970 کی دہائی کے دوران اندرونی جہتی تخمینہ کے طریقے بنائے گئے جو جہتی کمی پر منحصر نہیں تھے جیسے کہ ایم ڈی ایس: مقامی آئجن ویلیوز پر مبنی۔، فاصلے کی تقسیم کی بنیاد پر، اور دیگر جہتی منحصر ہندسی خصوصیات پر مبنی سیٹوں کے اندرونی طول و عرض کا تخمینہ لگانا اور امکانات کے اقدامات کا بھی 1980 کے آس پاس سے متحرک نظاموں کے میدان میں بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا گیا ہے، جہاں (عجیب) کشش کے طول و عرض دلچسپی کا موضوع رہے ہیں۔ عجیب کشش کے لیے کوئی کئی گنا مفروضہ نہیں ہے، اور ناپا گیا طول و عرض فریکٹل طول و عرض کا کچھ ورژن ہے-جو کہ غیر عدد بھی ہو سکتا ہے۔ تاہم، فریکٹل طول و عرض کی تعریفیں کئی گنا کے لیے کئی گنا طول و عرض فراہم کرتی ہیں۔ 2000 کی دہائی میں اندرونی جہت کا اندازہ لگانے کے لیے "جہت کی لعنت" کا استحصال کیا گیا ہے۔ ایپلی کیشنز دو متغیر سگنل کا معاملہ جو کہ i1D ہے، کمپیوٹر وژن اور امیج پروسیسنگ میں اکثر ظاہر ہوتا ہے اور مقامی امیج ریجنز کے خیال کو ظاہر کرتا ہے جن میں لائنیں یا کنارے ہوتے ہیں۔ ایسے خطوں کے تجزیے کی ایک طویل تاریخ ہے، لیکن اس طرح کی کارروائیوں کا زیادہ رسمی اور نظریاتی علاج شروع ہونے تک ہی اندرونی جہت کا تصور قائم ہوا، حالانکہ نام مختلف ہے۔ مثال کے طور پر، جس تصور کو یہاں اندرونی طول و عرض 1 یا i1D پڑوس کے امیج پڑوس کے طور پر حوالہ دیا گیا ہے اسے نٹسن (1982) کے ذریعہ 1 جہتی، بیگن اینڈ گرینلینڈ (1987) کے ذریعہ لکیری سمیٹرک اور گرینلینڈ اینڈ نٹسن (1995) میں سادہ پڑوس کہا جاتا ہے۔ طول و عرض فریکٹل طول و عرض ہاؤسڈورف طول و عرض ٹوپوولوجیکل طول و عرض حوالہ جات کمپیوٹر وژن امیج پروسیسنگ بھی دیکھیں۔