The Fifty-Nine Icosahedra
دی ففٹی نائن آئکوساہیڈرا ایک کتاب ہے جسے ایچ ایس ایم کاکسٹر، پی ڈو ویل، ایچ ٹی فلیدر اور جے ایف پیٹری نے لکھا اور اس کی تصویر کشی کی ہے۔ یہ جے سی پی ملر کے پیش کردہ اصولوں کے ایک سیٹ کے مطابق، باقاعدہ کنویکس یا پلاٹونک آئکوساہڈرون کے کچھ اسٹیلشن کی گنتی کرتا ہے۔ سب سے پہلے یونیورسٹی آف ٹورنٹو نے 1938 میں شائع کیا، اس کے بعد سپرنگر-ورلاگ کا دوسرا ایڈیشن 1982 میں دوبارہ شائع ہوا۔ ٹارکن کے 1999 کے تیسرے ایڈیشن میں کے اور ڈی کرینیل کا نیا حوالہ مواد اور تصاویر شامل تھیں۔ مصنفین کی شراکت ملر کے قواعد اگرچہ ملر نے براہ راست کتاب میں حصہ نہیں ڈالا، وہ کاکسٹر اور پیٹری کے قریبی ساتھی تھے۔ ان کا تعاون ان کے اصولوں کے سیٹ میں امر ہے جس کی وضاحت کے لیے کہ کون سی تاروں کی شکلوں کو "مناسب طور پر اہم اور الگ" سمجھا جانا چاہیے: (i) چہروں کو بیس طیاروں میں ہونا چاہیے، یعنی باقاعدہ آئکوساہڈرون کے باؤنڈنگ طیاروں میں۔ (ii) چہروں کو تشکیل دینے والے تمام حصے ہر سطح میں یکساں ہونے چاہئیں، حالانکہ وہ کافی حد تک منقطع ہو سکتے ہیں۔ (iii) کسی بھی ایک سطح میں شامل حصوں میں عکاسی کے بغیر یا عکاسی کے ساتھ مثلثی ہم آہنگی ہونی چاہیے۔ یہ پورے ٹھوس کے لیے آئکوساہیڈرل سمیٹری کو محفوظ بناتا ہے۔ (iv) کسی بھی سطح میں شامل تمام حصوں کو مکمل ٹھوس میں "قابل رسائی" ہونا چاہیے (یعنی۔ وہ "باہر" پر ہونے چاہئیں۔ بعض صورتوں میں ہمیں باہر سے دیکھنے کے لیے بہت بڑے سائز کے ماڈلز کی ضرورت ہوتی ہے۔ عام سائز کے ماڈل کے ساتھ، "باہر" کے کچھ حصوں کو صرف رینگتے ہوئے کیڑے کے ذریعے تلاش کیا جا سکتا ہے)۔ (v) ہم ایسے معاملات کو غور سے خارج کرتے ہیں جہاں حصوں کو دو سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، ہر ایک ٹھوس دیتا ہے جس میں پوری شکل کی طرح ہم آہنگی ہوتی ہے۔ لیکن ہم ایک اینانٹیومورفس جوڑے کے امتزاج کی اجازت دیتے ہیں جس کا کوئی مشترکہ حصہ نہیں ہوتا ہے (جو حقیقت میں صرف ایک صورت میں ہوتا ہے)۔ قواعد (i) سے (iii) چہرے کے طیاروں کے لیے ہم آہنگی کی ضروریات ہیں۔ قاعدہ (iv) دفن سوراخوں کو خارج کرتا ہے، تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ کوئی بھی دو اسٹیلشن باہر کی طرف ایک جیسے نظر نہ آئیں۔ قاعدہ (v) آسان اسٹیلشن کے کسی بھی منقطع مرکب کو روکتا ہے۔ کاکسٹر کاکسٹر اس کام کے پیچھے اہم محرک تھا۔ انہوں نے ملر کے اصولوں پر مبنی اصل تجزیہ کیا، جس میں متعدد تکنیکوں کو اپنایا گیا جیسے کہ کمبینٹوریکس اور تجریدی گراف تھیوری جس کا جیومیٹریکل سیاق و سباق میں استعمال اس وقت نیا تھا۔ انہوں نے مشاہدہ کیا کہ اسٹیلیشن ڈائیگرام بہت سے لائن سیگمنٹس پر مشتمل ہے۔ اس کے بعد انہوں نے ملر کے قوانین کے تحت اجازت شدہ امتزاج کو باضابطہ طور پر شمار کرنے کے لیے ملحقہ طیارہ علاقوں کے امتزاج میں ہیرا پھیری کے لیے طریقہ کار تیار کیے۔ اس کا گراف، جو یہاں دوبارہ پیش کیا گیا ہے، اسٹیلیشن ڈائیگرام میں شناخت شدہ مختلف چہروں کے رابطے کو ظاہر کرتا ہے (نیچے دیکھیں)۔ یونانی علامتیں ممکنہ متبادلات کے مجموعوں کی نمائندگی کرتی ہیں: λ 3 یا 4 μ ہو سکتا ہے 7 یا 8 ν ہو سکتا ہے 11 یا 12 ڈو ویل ڈو ویل نے ہم آہنگ خلیوں کے مجموعوں کی شناخت کے لیے ایک علامتی اشارہ وضع کیا، اس مشاہدے کی بنیاد پر کہ وہ اصل آئکوساہڈرون کے ارد گرد "خولوں" میں پڑے ہیں۔ اس کی بنیاد پر انہوں نے ملر کے اصولوں کے خلاف تمام ممکنہ امتزاج کا تجربہ کیا، جس سے کاکسٹر کے زیادہ تجزیاتی نقطہ نظر کے نتائج کی تصدیق ہوئی۔ فلیدر فلیدر کا تعاون بالواسطہ تھا: اس نے تمام 59 کے کارڈ ماڈل بنائے۔ جب وہ پہلی بار کاکسٹر سے ملا تو اس نے پہلے ہی بہت سے اسٹیلشن بنا لیے تھے، جن میں کچھ "غیر ملر" مثالیں بھی شامل تھیں۔ انہوں نے 59 کا سلسلہ مکمل کیا، جو انگلینڈ کی کیمبرج یونیورسٹی کی ریاضی کی لائبریری میں محفوظ ہیں۔ لائبریری میں کچھ غیر ملر ماڈل بھی موجود ہیں، لیکن یہ معلوم نہیں ہے کہ یہ فلیدر نے بنائے تھے یا ملر کے بعد کے طلباء نے۔ پیٹری جان فلنڈرز پیٹری کاکسٹر کی زندگی بھر کی دوست تھیں اور چار جہتی جیومیٹری کو دیکھنے کی قابل ذکر صلاحیت رکھتی تھیں۔ انہوں نے اور کاکسٹر نے کئی ریاضیاتی مسائل پر مل کر کام کیا تھا۔ 59 آئکوشیڈرا میں ان کی براہ راست شراکت تین جہتی ڈرائنگ کا شاندار مجموعہ تھا جو شائع شدہ کام کی زیادہ تر کشش فراہم کرتا ہے۔ دی کرینلز فار دی تھرڈ ایڈیشن، کیٹ اور ڈیوڈ کرینیل نے متن کو دوبارہ ترتیب دیا اور خاکے کو دوبارہ تیار کیا۔ انہوں نے ایک حوالہ سیکشن بھی شامل کیا جس میں میزیں، خاکے، اور کیمبرج کے کچھ ماڈلز کی تصاویر تھیں (جو اس وقت فلدر کی سمجھی جاتی تھیں)۔ اس ایڈیشن کی اصلاحات آن لائن شائع کی گئی ہیں۔ کاکسٹر سے پہلے 59 آئکوساہیڈرا کی فہرست، صرف بروکنر اور وہیلر نے اسٹیلشن کے کوئی اہم سیٹ ریکارڈ کیے تھے، حالانکہ کچھ جیسے عظیم آئیکوساہیڈرون طویل عرصے سے جانا جاتا تھا۔ دی 59 کی اشاعت کے بعد سے، ویننگر نے کچھ کے نمونے بنانے کے بارے میں ہدایات شائع کیں۔ ان کی کتاب میں استعمال ہونے والی نمبرنگ اسکیم کا وسیع پیمانے پر حوالہ دیا گیا ہے، حالانکہ انہوں نے صرف چند اسٹیلشن ریکارڈ کیے ہیں۔ فہرست انڈیکس نمبروں پر موجود نوٹ کرینیلز ہیں جب تک کہ دوسری صورت میں بیان نہ کیا جائے: کرینیل کرینیلز کے تیسرے ایڈیشن میں شامل انڈیکس نمبرنگ میں، پہلی 32 شکلیں (انڈیکس 1-32) عکاس ماڈل ہیں، اور آخری 27 (انڈیکس 33-59) صرف دائیں ہاتھ سے درج کردہ فارموں کے ساتھ چیرل ہیں۔ یہ اس ترتیب کی پیروی کرتا ہے جس میں کتاب میں اسٹیلشنز کو دکھایا گیا ہے۔ ڈو ویل کے اشارے میں، ہر خول کی شناخت بولڈ قسم میں کی جاتی ہے، جو باہر کی طرف a، b، c،.، h کے طور پر کام کرتا ہے، جس میں a اصل آئکوساہڈرون ہوتا ہے۔ کچھ خول دو قسم کے خلیوں میں تقسیم ہوتے ہیں، مثال کے طور پر ای ای 1 اور ای 2 پر مشتمل ہوتا ہے۔ سیٹ f1 مزید دائیں اور بائیں ہاتھ کی شکلوں میں تقسیم ہوتا ہے، بالترتیب f1 (سادہ قسم) اور f1 (اٹالک)۔ جہاں ایک اسٹیلیشن میں بیرونی خول کے اندر تمام خلیے موجود ہوتے ہیں، بیرونی خول کو بڑے حروف میں رکھا جاتا ہے اور اندرونی کو خارج کر دیا جاتا ہے، مثال کے طور پر a + b + c + e1 کو Ce1 لکھا جاتا ہے۔ چہرے تمام اسٹیلیشنز کو اسٹیلیشن ڈائیگرام کے ذریعے متعین کیا جا سکتا ہے۔ یہاں دکھائے گئے خاکہ میں، نمبر والے رنگ اسٹیلیشن خاکہ کے ان علاقوں کی نشاندہی کرتے ہیں جو ایک سیٹ کے طور پر ایک ساتھ ہونے چاہئیں، اگر مکمل آئکوساہیڈرل سمیٹری کو برقرار رکھنا ہے۔ خاکہ میں ایسے 13 سیٹ ہیں۔ ان میں سے کچھ چیرل جوڑوں میں تقسیم ہوتے ہیں (نہیں دکھائے گئے)، جو گردش کے ساتھ اسٹیلشن کی اجازت دیتے ہیں لیکن اضطراری ہم آہنگی کے ساتھ نہیں۔ میز میں، چہرے جو نیچے سے نظر آتے ہیں ان کی نشاندہی ایک apostrophe سے کی جاتی ہے، مثال کے طور پر 3۔ انڈیکس نمبرز اور نمبر والے ناموں کو ویننگر کے ناشر نے اپنی کتاب پولی ہیڈرون ماڈلز میں ان کی موجودگی کے مطابق من مانی طور پر مختص کیا تھا اور ان کا کسی ریاضیاتی ترتیب سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ ان کے صرف چند ماڈل آئکوساہیڈرا کے تھے۔ اس کے نام مختصر شکل میں دیے گئے ہیں، جس میں ". آف دی آئکوساہڈرون" چھوڑا ہوا ہے۔ وہیلر نے اسٹیلیشن ڈائیگرام سے لائن کے حصوں کو منتخب کرکے اپنے اعداد و شمار، یا آئکوساہڈرون کی "شکلیں" تلاش کیں۔ انہوں نے اسے احتیاط سے کیپلر کے کلاسیکی اسٹیلیشن کے عمل سے ممتاز کیا۔ کاکسٹر اور دیگر۔ اس فرق کو نظر انداز کیا اور ان سب کو اسٹیلشن کہا۔ بروکنر میکس بروکنر نے بہت سے پولی ہیڈرا کے ماڈل بنائے اور ان کی تصاویر کھینچیں، جن میں سے صرف چند آئکوساہیڈرا تھے۔ ٹاف۔ یہ ٹیفیل کا مخفف ہے، جو پلیٹ کے لیے جرمن ہے۔ ریمارکس نمبر۔ 8 کو بعض اوقات سپینی اینٹیٹر یا ایکڈنا سے خیالی مماثلت کے بعد ایکڈنہڈرون کہا جاتا ہے۔ یہ استعمال کیپلر کے اس بیان سے آزاد ہے جس میں اس کے باقاعدہ ستارے پولی ہیڈرا کو اس کے ایکڈنے کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ پچپن نو آئکوساہیڈرا کی میز کچھ تصاویر آئینے کی شبیہہ آئیکوساہیڈرون کو ایف 1 سیل کے بجائے ایف 1 کے ساتھ دکھاتی ہیں۔ ویننگر پولی ہیڈرون ماڈلز کی فہرست بھی دیکھیں-ویننگر کی کتاب پولی ہیڈرون ماڈلز میں ان میں سے 21 اسٹیلشنز شامل ہیں۔ آئیکوساہیڈرل سمیٹری کے ساتھ ٹھوس نوٹ حوالہ جات بروکنر، میکس (1900)۔ نظریہ اور نقطہ نظر۔ لیپزگ: بی۔ جی۔ ٹروبنر۔ ۔ ورلڈ کیٹ انگلش: پولیگنز اینڈ پولی ہیڈرا: تھیوری اینڈ ہسٹری۔ ماڈلز کی تصاویر: ٹیفل VIII (پلیٹ VIII)، وغیرہ۔ ہائی ریز۔ اسکین۔ ایچ ایس ایم کاکسٹر، پیٹرک ڈو ویل، ایچ ٹی۔ فلیدر، جے ایف۔ پیٹری (1938) دی ففٹی نائن آئکوساہیڈرا، یونیورسٹی آف ٹورنٹو اسٹڈیز، ریاضیاتی سیریز 6:1-26۔ تیسرا ایڈیشن (1999) ٹارکن ویننگر، میگنس جے۔ (1983) پولی ہیڈرون ماڈل ؛ کیمبرج یونیورسٹی پریس، پیپر بیک ایڈیشن (2003)۔ ۔ اے۔ ایچ۔ وہیلر (1924) "آئکوساہیڈرون کی کچھ شکلیں اور اعلی پولی ہیڈرا کو اخذ کرنے اور نامزد کرنے کا ایک طریقہ"، پروسیڈنگز آف دی انٹرنیشنل کانگریس آف میتھمیٹیشنس، ٹورنٹو، جلد۔ 1، پی پی 701-708۔ بیرونی روابط آئکوساہیڈرون کی مثال اسٹیلشنز آئکوساہیڈرون کے باقاعدہ آئیکوساہیڈرون اسٹیلشنز کے 59 اسٹیلشنز جارج ہارٹ، آئکوساہیڈرون کے 59 اسٹیلشنز-وی آر ایم ایل 3 ڈی فائلیں۔ پولی ہیڈرل اسٹیلشن ریاضی کی کتابیں