Breather surface
تفریق جیومیٹری میں، سانس لینے والی سطح ریاضیاتی سطحوں کا ایک پیرامیٹر خاندان ہے جو سائن گورڈن مساوات کے سانس لینے والے حل سے مطابقت رکھتا ہے، جو نظریاتی طبیعیات میں ظاہر ہونے والی تفریق مساوات ہے۔ سطحوں میں یہ قابل ذکر خاصیت ہوتی ہے کہ ان میں مستقل منحنیت ہوتی ہے، جہاں منحنیت اچھی طرح سے متعین ہوتی ہے۔ اس سے انہیں عام شدہ سڈوسفیرز کی مثالیں ملتی ہیں۔ ریاضیاتی پس منظر مستقل منحنی-1 کی سرایت شدہ سطحوں کے درمیان ایک خط و کتابت ہے، جسے سڈوسفیرز کہا جاتا ہے، اور سائن گورڈن مساوات کے حل۔ یہ خط و کتابت سڈوسفیئر کی سب سے آسان مثال، ٹریکٹرایڈ سے شروع کیا جا سکتا ہے۔ کوآرڈینیٹس کے ایک خاص سیٹ میں، جسے ایسمپٹوٹک کوآرڈینیٹس کے نام سے جانا جاتا ہے، گاؤس-کوڈازی مساوات، جو کہ مستقل مساوات ہیں جو یہ طے کرتی ہیں کہ جب تجویز کردہ پہلی اور دوسری بنیادی شکل کی سطح کو فلیٹ میٹرک کے ساتھ تین جہتی جگہ میں سرایت کیا جا سکتا ہے، تو اسے سائن-گورڈن مساوات میں کم کر دیا جاتا ہے۔ خط و کتابت میں، ٹریکٹرائڈ سائن گورڈن حل کے جامد 1-سولٹن حل سے مطابقت رکھتا ہے۔ سائن گورڈن کے لورینٹز انواریینس کی وجہ سے، لورینٹز بوسٹ کے ایک پیرامیٹر والے خاندان کو نئے حل حاصل کرنے کے لیے جامد حل پر لاگو کیا جا سکتا ہے: سڈوسفیئر کی طرف، ان کو لائ ٹرانسفارمیشن کے نام سے جانا جاتا ہے، جو ٹریکٹرایڈ کو سطحوں کے ایک پیرامیٹر والے خاندان میں تبدیل کرتے ہیں جسے ڈینی کی سطحوں کے نام سے جانا جاتا ہے۔ بیکلینڈ کی تبدیلی کا طریقہ سائن گورڈن مساوات، ملٹی سولٹن حلوں کے لیے بڑی تعداد میں الگ الگ حلوں کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، 2-سولٹن کوین کی سطح سے مطابقت رکھتا ہے۔ تاہم، اگرچہ یہ حل کا ایک لامحدود خاندان پیدا کرتا ہے، لیکن سانس لینے والے حل ان میں سے نہیں ہیں۔ اس کے بجائے سانس لینے والے حل سائن گورڈن مساوات کے الٹا بکھرنے کے طریقہ سے اخذ کیے جاتے ہیں۔ وہ خلا میں مقامی ہوتے ہیں لیکن وقت کے ساتھ ارتعاش کرتے ہیں۔ سائن گورڈن مساوات کا ہر حل پہلی اور دوسری بنیادی شکل دیتا ہے جو گاؤس کوڈازی مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ سرفیس تھیوری کا بنیادی نظریہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ ایک پیرامیٹرائزڈ سطح ہے جو تجویز کردہ پہلی اور دوسری بنیادی شکلوں کو بازیافت کرتی ہے۔ مقامی طور پر پیرامیٹرائزیشن اچھی طرح سے برتاؤ کی جاتی ہے، لیکن من مانی طور پر توسیع کی جاتی ہے جس کے نتیجے میں سطح پر سیلف انٹرسیکشن اور کاسپس ہو سکتے ہیں۔ درحقیقت، ہلبرٹ کا ایک نظریہ کہتا ہے کہ کسی بھی سڈوسفیئر کو باقاعدگی سے سرایت نہیں کیا جا سکتا (تقریبا، معنی کسپس کے بغیر)۔ پیرامیٹرائزیشن پیرامیٹر کے ساتھ پیرامیٹرائزیشن حوالہ جات کے ذریعے دی گئی ہے بیرونی لنکس زاہ لی ویب-سرفیس گیلری ورچوئل میتھ میوزیم کی سطحوں میں سانس کی سطح ریاضی کے مضامین جن پر ماہر توجہ کی ضرورت ہے تفریقی مساوات