Direct linear transformation
براہ راست لکیری تبدیلی (ڈی ایل ٹی) ایک الگورتھم ہے جو مماثلت کے تعلقات کے ایک سیٹ سے متغیرات کے ایک سیٹ کو حل کرتا ہے: جہاں اور معروف ویکٹر ہیں، ایک نامعلوم اسکیلر ضرب تک مساوات کی نشاندہی کرتا ہے، اور ایک میٹرکس (یا لکیری تبدیلی) ہے جس میں حل کرنے کے لیے نامعلوم افراد ہوتے ہیں۔ اس قسم کا تعلق اکثر پروجیکٹو جیومیٹری میں ظاہر ہوتا ہے۔ عملی مثالوں میں کسی منظر میں تھری ڈی پوائنٹس اور پن ہول کیمرے کے امیج پلین پر ان کے پروجیکشن کے درمیان تعلق، اور ہوموگرافی شامل ہیں۔ تعارف کے لیے لکیری مساوات کا ایک عام نظام حل کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، اسے ایک میٹرکس مساوات کے طور پر دوبارہ لکھ کر جہاں میٹرکس اور ویکٹر پر مشتمل ہوتے ہیں اور ان کے متعلقہ کالموں میں ہوتے ہیں۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ ایک منفرد حل موجود ہے، اسے حل کے ذریعے دیا جاتا ہے، اس صورت میں بھی بیان کیا جا سکتا ہے کہ مساوات ختم یا کم متعین ہیں۔ جو چیز براہ راست لکیری تبدیلی کے مسئلے کو مندرجہ بالا معیاری معاملے سے الگ کرتی ہے وہ یہ ہے کہ متعین مساوات کے بائیں اور دائیں اطراف ایک نامعلوم ضرب عنصر سے مختلف ہو سکتے ہیں جو k پر منحصر ہے۔ اس کے نتیجے میں، معیاری معاملے کی طرح حساب نہیں کیا جا سکتا۔ اس کے بجائے، مماثلت کے تعلقات کو مناسب لکیری یکساں مساوات کے طور پر دوبارہ لکھا جاتا ہے جسے پھر ایک معیاری طریقہ سے حل کیا جا سکتا ہے۔ مماثلت کی مساوات کو یکساں لکیری مساوات کے طور پر دوبارہ لکھنے اور انہیں معیاری طریقوں سے حل کرنے کے امتزاج کو براہ راست لکیری ٹرانسفارمیشن الگورتھم یا ڈی ایل ٹی الگورتھم کہا جاتا ہے۔ ڈی ایل ٹی آئیون سدھرلینڈ سے منسوب ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں۔ دو معروف ویکٹر ہونے دیں، اور ہم میٹرکس کو اس طرح تلاش کرنا چاہتے ہیں کہ مساوات k سے متعلق نامعلوم اسکیلر عنصر کہاں ہے۔ نامعلوم اسکیلرز سے چھٹکارا پانے اور یکساں مساوات حاصل کرنے کے لیے، اینٹی سمیٹرک میٹرکس کی وضاحت کریں اور مساوات کے دونوں اطراف کو بائیں طرف سے ضرب دیں۔ چونکہ درج ذیل یکساں مساوات، جن میں اب نامعلوم اسکیلرز نہیں ہیں، ہاتھ میں ہیں۔ مساوات کے اس سیٹ سے حل کرنے کے لیے، ویکٹرز اور میٹرکس کے عناصر پر غور کریں:،،، اور اور اوپر کی یکساں مساوات میٹرکس کی شکل میں بھی لکھی جا سکتی ہے: جہاں اور دونوں 6 جہتی ویکٹر ہیں اور اب تک، ہمارے پاس 1 مساوات اور 6 نامعلوم ہیں۔ یکساں مساوات کا ایک مجموعہ میٹرکس کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے جہاں ایک میٹرکس ہے جو معروف ویکٹر کو اپنی قطاروں میں رکھتا ہے۔ نامعلوم کا تعین کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، ایک واحد قدر کے سڑنے سے ؛ ایک واحد قدر کے مطابق ایک صحیح واحد ویکٹر ہے جو صفر کے برابر ہے۔ ایک بار طے ہو جانے کے بعد، میٹرکس کے عناصر ویکٹر سے دوبارہ ترتیب دے سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یا کی اسکیلنگ اہم نہیں ہے (سوائے اس کے کہ یہ غیر صفر ہونی چاہیے) کیونکہ وضاحتی مساوات پہلے سے ہی نامعلوم اسکیلنگ کی اجازت دیتی ہیں۔ عملی طور پر ویکٹر اور شور پر مشتمل ہو سکتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ مماثلت کی مساوات صرف تقریبا درست ہیں۔ نتیجے کے طور پر، ایسا ویکٹر نہیں ہو سکتا جو یکساں مساوات کو بالکل حل کرے۔ ان صورتوں میں، کل کم سے کم مربع حل کو صحیح واحد ویکٹر کے طور پر منتخب کرکے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کہ زیادہ عام صورتوں کی سب سے چھوٹی واحد قدر سے مطابقت رکھتا ہے۔ مندرجہ بالا مثال میں ہے اور، لیکن مماثلت کے تعلقات کو یکساں لکیری مساوات میں دوبارہ لکھنے کی عمومی حکمت عملی کو دونوں کے لیے صوابدیدی جہتوں میں عام کیا جا سکتا ہے اور اگر اور پچھلے تاثرات اب بھی ایک مساوات کا باعث بن سکتے ہیں جہاں اب ہے۔ ہر k نامعلوم عناصر میں ایک مساوات فراہم کرتا ہے اور ان مساوات کو مل کر معروف میٹرکس اور نامعلوم 2q جہتی ویکٹر کے لیے لکھا جا سکتا ہے۔ یہ ویکٹر پہلے کی طرح اسی طرح پایا جا سکتا ہے۔ سب سے زیادہ عام صورت میں اور. پہلے کے مقابلے میں بنیادی فرق یہ ہے کہ اب میٹرکس اور اینٹی سمیٹرک ہے۔ جب اس طرح کے میٹرکس کی جگہ اب ایک جہتی نہیں رہتی ہے، تو یہ جہت کی ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ k کی ہر قدر اس قسم کی M یکساں مساوات فراہم کرتی ہے جس کے لیے اور جہاں مخالف ہم آہنگی میٹرکس کی جگہ کی M جہتی بنیاد ہے۔ مثال p = 3 اس صورت میں کہ p = 3 مندرجہ ذیل تین میٹرکس کو منتخب کیا جا سکتا ہے، اس خاص صورت میں، یکساں لکیری مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ ویکٹر کراس پروڈکٹ کی میٹرکس نمائندگی کہاں ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ آخری مساوات ویکٹر ویلیوڈ ہے ؛ بائیں ہاتھ کی طرف صفر عنصر ہے۔ k کی ہر قدر کے نامعلوم عناصر میں تین یکساں لکیری مساوات فراہم کرتی ہے۔ تاہم، چونکہ درجہ = 2 ہے، زیادہ سے زیادہ دو مساوات لکیری طور پر آزاد ہیں۔ اس لیے عملی طور پر تین میٹرکس میں سے صرف دو کا استعمال عام ہے، مثال کے طور پر، m = 1، 2 کے لیے۔ تاہم، مساوات کے درمیان لکیری انحصار اس پر منحصر ہے، جس کا مطلب ہے کہ بدقسمت صورتوں میں انتخاب کرنا بہتر ہوتا، مثال کے طور پر، m = 2,3۔ نتیجتا، اگر مساوات کی تعداد تشویش کا باعث نہیں ہے، تو میٹرکس کی تعمیر کے وقت تینوں مساوات کا استعمال کرنا بہتر ہو سکتا ہے۔ نتیجے میں یکساں لکیری مساوات کے درمیان لکیری انحصار کیس p> 2 کے لیے ایک عمومی تشویش ہے اور اس سے یا تو مخالف ہم آہنگی میٹرکس کے سیٹ کو کم کرکے یا حوالہ جات کے تعین کے لیے ضروری سے بڑا ہونے کی اجازت دے کر نمٹا جانا چاہیے۔ بیرونی لنکس ہوموگرافی تخمینہ ایلان ڈبروفسکی (§ 2.1 خاکے "بنیادی ڈی ایل ٹی الگورتھم") کمپیوٹر وژن پروجیکٹو جیومیٹری میں سیانگ-جین (جانی) چین جیومیٹری کے ذریعہ میٹ لیب پر مبنی ایک ڈی ایل ٹی حل کنندہ۔