Word (group theory)
گروپ تھیوری میں، لفظ گروپ عناصر اور ان کے الٹ کا کوئی بھی تحریری پروڈکٹ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر x، y اور z کسی گروپ G کے عناصر ہیں، تو xy، z−1xzz اور y−1zx−1yz−1 سیٹ {x, y, z} میں الفاظ ہیں۔ دو مختلف الفاظ G میں، یا یہاں تک کہ ہر گروپ میں بھی ایک ہی قدر کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ الفاظ آزاد گروپوں اور پیشکشوں کے نظریہ میں اہم کردار ادا کرتے ہیں، اور مشترکہ گروپ کے نظریہ میں مطالعہ کے مرکزی مقاصد ہیں۔ تعریفیں G کو ایک گروپ مان لیں، اور S کو G کا ذیلی مجموعہ مان لیں۔ S میں ایک لفظ اس شکل کا کوئی بھی اظہار ہے جہاں s1,., sn S کے عناصر ہیں، جنریٹر کہلاتے ہیں، اور ہر εi ±1 ہے۔ نمبر n کو لفظ کی لمبائی کہا جاتا ہے۔ S میں ہر لفظ G کے ایک عنصر کی نمائندگی کرتا ہے، یعنی اظہار کا پروڈکٹ۔ روایت کے مطابق، منفرد شناختی عنصر کی نمائندگی خالی لفظ سے کی جا سکتی ہے، جو لمبائی صفر کا منفرد لفظ ہے۔ نوٹیشن الفاظ لکھتے وقت، ایک مخفف کے طور پر ایکسپونینشل نوٹیشن کا استعمال کرنا عام بات ہے۔ مثال کے طور پر، لفظ کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ مؤخر الذکر اظہار خود کوئی لفظ نہیں ہے-یہ صرف اصل کے لیے ایک مختصر اشارہ ہے۔ لمبے الفاظ کے ساتھ کام کرتے وقت، ایس کے عناصر کے الٹ کو ظاہر کرنے کے لیے اوور لائن کا استعمال کرنا مددگار ثابت ہو سکتا ہے۔ اوور لائن نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، مندرجہ بالا لفظ کو مندرجہ ذیل لکھا جائے گا: کم الفاظ کوئی بھی لفظ جس میں جنریٹر اپنے الٹ (xx−1 یا x−1x) کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے، اسے بے کار جوڑے کو چھوڑ کر آسان بنایا جا سکتا ہے: اس عمل کو تخفیف کے نام سے جانا جاتا ہے، اور یہ لفظ کی نمائندگی کرنے والے گروپ عنصر کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ کٹوتیوں کو تعلقات (ذیل میں بیان کردہ) کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جو گروپ کے محوریات کی پیروی کرتے ہیں۔ کم کیا ہوا لفظ وہ لفظ ہے جس میں کوئی بے کار جوڑے نہ ہوں۔ کٹوتیوں کا ایک سلسلہ انجام دے کر کسی بھی لفظ کو کم لفظ میں آسان بنایا جا سکتا ہے: نتیجہ اس ترتیب پر منحصر نہیں ہوتا جس میں کٹوتیاں انجام دی جاتی ہیں۔ کسی لفظ کو چکور طور پر تب ہی کم کیا جاتا ہے جب لفظ کے ہر چکور تعدد کو کم کیا جائے۔ الفاظ پر عمل دو الفاظ کا پروڈکٹ کنکیٹی نیشن کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے: یہاں تک کہ اگر دونوں الفاظ کو کم کر دیا جائے، تو پروڈکٹ نہیں ہو سکتا۔ کسی لفظ کا الٹا ہر جنریٹر کو الٹ کر اور عناصر کی ترتیب کو الٹ کر حاصل کیا جاتا ہے: کسی لفظ کا پروڈکٹ جس کا الٹا ہوتا ہے اسے خالی لفظ تک کم کیا جا سکتا ہے: آپ کسی لفظ کے جنریٹر کو ابتدا سے آخر تک کنجگیشن کے ذریعے منتقل کر سکتے ہیں: کسی گروپ A کے ذیلی سیٹ S کے جنریٹنگ سیٹ کو جنریٹنگ سیٹ کہا جاتا ہے اگر G کے ہر عنصر کی نمائندگی S میں کسی لفظ سے کی جا سکتی ہے۔ جب S G کے لیے جنریٹنگ سیٹ نہیں ہے، تو S میں الفاظ کے ذریعے ظاہر ہونے والے عناصر کا سیٹ G کا ذیلی گروپ ہے، جسے S کے ذریعے تیار کردہ G کے ذیلی گروپ کے طور پر جانا جاتا ہے اور عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ G کا سب سے چھوٹا ذیلی گروہ ہے جو S کے عناصر پر مشتمل ہے۔ عام شکلیں سیٹ S پیدا کرنے والے گروپ G کے لیے ایک عام شکل G کے ہر عنصر کے لیے S میں ایک کم شدہ لفظ کا انتخاب ہے۔ مثال کے طور پر: الفاظ 1، i، j، ij کلین چار گروپ کے لیے ایک عام شکل ہیں جس کے ساتھ} اور 1 خالی لفظ (گروپ کے لیے شناختی عنصر) کی نمائندگی کرتا ہے۔ الفاظ 1، r، r2،.، rn-1، s، sr،.، srn-1 ڈائیڈرل گروپ ڈہن کے ساتھ} اور 1 کے لیے ایک عام شکل ہیں جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ m کے لیے xmyn فارم کے الفاظ کا مجموعہ، n bul Z چکور گروپوں کے براہ راست پروڈکٹ کے لیے ایک عام شکل ہے اور ساتھ}۔ S میں کم شدہ الفاظ کا مجموعہ S پر آزاد گروپ کے لیے منفرد عام شکل ہے۔ تعلقات اور پریزنٹیشنز اگر S کسی گروپ G کے لیے ایک جنریٹنگ سیٹ ہے، تو رشتہ S میں الفاظ کا ایک جوڑا ہے جو G کے ایک ہی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ عام طور پر مساوات کے طور پر لکھے جاتے ہیں، مثال کے طور پر۔ تعلقات کا ایک مجموعہ G کی وضاحت کرتا ہے اگر G میں ہر رشتہ منطقی طور پر ان سے پیروی کرتا ہے جو کسی گروپ کے لیے محوریات استعمال کرتے ہیں۔ G کے لیے ایک پریزنٹیشن ایک جوڑا ہے، جہاں S G کے لیے ایک جنریٹنگ سیٹ ہے اور تعلقات کا ایک متعین مجموعہ ہے۔ مثال کے طور پر، کلین چار گروپ کی تعریف پریزنٹیشن کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ یہاں 1 خالی لفظ کی نشاندہی کرتا ہے، جو شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے۔ مفت گروپ اگر S کوئی سیٹ ہے، تو S پر مفت گروپ پریزنٹیشن والا گروپ ہے۔ یعنی S پر آزاد گروپ وہ گروپ ہے جو S کے عناصر سے پیدا ہوتا ہے، جس میں کوئی اضافی تعلق نہیں ہوتا ہے۔ آزاد گروپ کے ہر عنصر کو ایس میں ایک کم لفظ کے طور پر منفرد طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں گروپوں کے لیے لفظ کا مسئلہ (ریاضی) الفاظ کا مسئلہ نوٹ حوالہ جات۔ مشترکہ گروپ تھیوری گروپ تھیوری الفاظ پر امتزاج