Homogeneous relation
ریاضی میں، ایک سیٹ X پر ایک یکساں تعلق (جسے اینڈوریلیشن بھی کہا جاتا ہے) X اور خود کے درمیان بائنری تعلق ہے، یعنی۔ یہ کارٹیشین پروڈکٹ کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ اسے عام طور پر "ایکس پر ایک رشتہ" یا "ایکس پر ایک (بائنری) تعلق" کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ یکساں رشتے کی ایک مثال رشتہ داری کا رشتہ ہے، جہاں رشتہ لوگوں کے درمیان ہوتا ہے۔ اینڈوریلیشنز کی عام اقسام میں آرڈرز، گرافز اور مساوات شامل ہیں۔ آرڈر تھیوری اور گراف تھیوری کے خصوصی مطالعات نے اختلاط کی تفہیم کو فروغ دیا ہے۔ گراف تھیوری کے لیے مخصوص اصطلاحات کو تفصیل کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جس میں ایک عام (غیر ہدایت شدہ) گراف کو ہم آہنگی کے تعلق کے مطابق سمجھا جاتا ہے، اور ایک ہدایت شدہ گراف کے مطابق ایک عمومی اختلاط ہوتا ہے۔ ایک اینڈوریلیشن R 0s اور 1s کے منطقی میٹرکس سے مطابقت رکھتا ہے، جہاں اظہار xRy گراف میں x اور y کے درمیان ایک کنارے سے مطابقت رکھتا ہے، اور R کے مربع میٹرکس میں 1 سے مطابقت رکھتا ہے۔ اسے گراف کی اصطلاحات میں ملحقہ میٹرکس کہا جاتا ہے۔ مخصوص یکساں تعلقات ایک سیٹ X پر کچھ مخصوص یکساں تعلقات (صوابدیدی عناصر کے ساتھ،) یہ ہیں: خالی تعلق ؛ یعنی، کبھی نہیں رکھتا ؛ عالمگیر تعلق ؛ یعنی، ہمیشہ رکھتا ہے ؛ شناخت کا تعلق (شناختی فنکشن بھی دیکھیں)} ؛ یعنی، اگر اور صرف اگر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر زمین کی پرت کی پندرہ بڑی ٹیکٹونک پلیٹیں یکساں تعلق میں ایک دوسرے سے رابطہ کرتی ہیں۔ تعلق کو منطقی میٹرکس کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جس میں 1 اشارہ کرتا ہے رابطہ اور 0 کوئی رابطہ نہیں ہے۔ یہ مثال ہم آہنگی کے تعلق کو ظاہر کرتی ہے۔ خصوصیات کچھ اہم خصوصیات جو کسی سیٹ پر یکساں تعلق ہو سکتی ہیں وہ ہیں: سب کے لیے،۔ مثال کے طور پر، ایک اضطراری تعلق ہے لیکن> نہیں ہے۔ (یا) سب کے لیے، نہیں۔ مثال کے طور پر،> ایک غیر متزلزل تعلق ہے، لیکن ω نہیں ہے۔ سب کے لیے، اگر۔ مثال کے طور پر، ان عددوں پر تعلق جس میں ہر عجیب نمبر خود سے متعلق ہے، ایک بنیادی تعلفی تعلق ہے۔ مساوات کا رشتہ اضطراری اور بنیادی لچکدار تعلقات دونوں کی واحد مثال ہے، اور کوئی بھی بنیادی لچکدار تعلق شناخت کے تعلقات کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ سب کے لیے، اگر۔ سب کے لیے، اگر۔ سب کے لیے، اگر پھر اور۔ ایک رشتہ نیم عکاس ہوتا ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، یہ بائیں اور دائیں دونوں نیم عکاس ہو۔ پچھلے 6 متبادل مکمل ہونے سے بہت دور ہیں۔ مثال کے طور پر، بائنری رشتہ جس کی وضاحت کی گئی ہے وہ نہ تو غیر متزلزل ہے، نہ ہی کورفلیکسیو، اور نہ ہی اضطراری ہے، کیونکہ اس میں بالترتیب جوڑا ہوتا ہے، اور، لیکن نہیں۔ مؤخر الذکر دو حقائق (کسی بھی قسم کی) نیم لچک کو بھی مسترد کرتے ہیں۔ سب کے لیے، اگر۔ مثال کے طور پر، "خون کا رشتہ دار ہے" ایک ہم آہنگ تعلق ہے، کیونکہ یہ خون کا رشتہ دار ہے اگر اور صرف اگر خون کا رشتہ دار ہے۔ سب کے لیے، اگر اور پھر۔ مثال کے طور پر، ± ایک متناسب مخالف تعلق ہے ؛ تو ہے>، لیکن خالی (تعریف میں شرط ہمیشہ غلط ہوتی ہے)۔ سب کے لیے، اگر نہیں۔ ایک رشتہ غیر متناسب ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مخالف متناسب اور غیر لچکدار دونوں ہو۔ مثال کے طور پر،> ایک غیر متناسب تعلق ہے، لیکن ω نہیں ہے۔ ایک بار پھر، پچھلے 3 متبادل مکمل ہونے سے بہت دور ہیں۔ قدرتی اعداد پر ایک مثال کے طور پر، جس تعلق کی وضاحت کی گئی ہے وہ نہ تو ہم آہنگی ہے اور نہ ہی ہم آہنگی مخالف، غیر متناسب ہونے کی تو بات ہی چھوڑ دیں۔ سب کے لیے، اگر اور پھر۔ ایک عارضی تعلق غیر متزلزل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ غیر متناسب ہو۔ مثال کے طور پر، "کا آباؤ اجداد ہے" ایک عارضی تعلق ہے، جبکہ "کا والدین ہے" نہیں ہے۔ سب کے لیے، اگر اور پھر کبھی نہیں۔ اگر R کی تکمیل عارضی ہے۔ یعنی، سب کے لیے، اگر، تب یا۔ یہ تعمیری ریاضی میں فرضی ترتیبات میں استعمال ہوتا ہے۔ سب کے لیے، اگر اور لیکن نہ ہی اور نہ ہی، پھر لیکن نہیں۔ سب کے لیے، اگر اور اس کے حوالے سے بے مثال ہیں اور اگر یہی سچ ہے اور، تو اور اس کے حوالے سے بھی بے مثال ہیں۔ یہ کمزور ترتیب میں استعمال ہوتا ہے۔ ایک بار پھر، پچھلے 5 متبادل مکمل نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، رشتہ اگر (یا) ان میں سے کسی بھی خاصیت کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ دوسری طرف، خالی رشتہ معمولی طور پر ان سب کو مطمئن کرتا ہے۔ اس طرح کے سب کے لیے، اس طرح کے کچھ موجود ہیں اور۔ یہ گھنے آرڈر میں استعمال ہوتا ہے۔ سب کے لیے، اگر پھر یا۔ اس خاصیت کو بعض اوقات "کل" کہا جاتا ہے، جو ذیل میں دی گئی "بائیں/دائیں کل" کی تعریفوں سے الگ ہے۔ سب کے لیے، یا اس خاصیت کو بھی بعض اوقات "کل" کہا جاتا ہے، جو ذیل میں دی گئی "بائیں/دائیں کل" کی تعریفوں سے الگ ہے۔ سب کے لیے، بالکل ایک، یا ہولڈز۔ مثال کے طور پر،> ایک سہ رخی تعلق ہے، جبکہ قدرتی اعداد پر "تقسیم" کا تعلق نہیں ہے۔ (یا صرف) سب کے لیے، اگر اور پھر۔ مثال کے طور پر، = ایک یوکلڈین رشتہ ہے کیونکہ اگر اور پھر۔ سب کے لیے، اگر اور پھر۔ کے ہر نان ایمپٹی سب سیٹ میں کے حوالے سے کم سے کم عنصر ہوتا ہے۔ اچھی بنیاد کا مطلب نزولی سلسلہ کی حالت ہے (یعنی کوئی لامحدود سلسلہ موجود نہیں ہو سکتا)۔ اگر منحصر انتخاب کا محور فرض کیا جاتا ہے، تو دونوں شرائط مساوی ہیں۔ مزید برآں، بائنری تعلقات کی تمام خصوصیات عام طور پر یکساں تعلقات پر بھی لاگو ہو سکتی ہیں: سب کے لیے، ان تمام کی کلاس جو کہ ایک سیٹ ہے۔ (یہ تب ہی سمجھ میں آتا ہے جب مناسب کلاسوں پر تعلقات کی اجازت ہو۔) سب کے لیے، اگر اور پھر۔ سب کے لیے، اگر اور پھر۔ (جسے لیفٹ ٹوٹل بھی کہا جاتا ہے) سب کے لیے ایک ایسی چیز موجود ہے۔ یہ خاصیت منسلک کی تعریف سے مختلف ہے (جسے کچھ مصنفین کل بھی کہتے ہیں)۔ (جسے رائٹ ٹوٹل بھی کہا جاتا ہے) سب کے لیے، ایک ایسا موجود ہے کہ xRy۔ A ایک ایسا رشتہ ہے جو اضطراری اور عارضی ہے۔ اے، جسے یا بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسا رشتہ ہے جو اضطراری، عارضی اور جڑا ہوا ہے۔ A، جسے A بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسا رشتہ ہے جو اضطراری، متضاد اور عارضی ہے۔ A، جسے A بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسا رشتہ ہے جو غیر لچکدار، متضاد اور عارضی ہے۔ اے، جسے، یا بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسا رشتہ ہے جو اضطراری، متضاد، عارضی اور جڑا ہوا ہے۔ اے، جسے، یا بھی کہا جاتا ہے، ایک ایسا رشتہ ہے جو غیر لچکدار، متضاد، عارضی اور جڑا ہوا ہے۔ A ایک ایسا رشتہ ہے جو ہم آہنگ اور عارضی ہے۔ این ایک ایسا رشتہ ہے جو اضطراری، ہم آہنگ اور عارضی ہے۔ یہ ایک ایسا رشتہ بھی ہے جو ہم آہنگ، عارضی اور کل ہے، کیونکہ یہ خصوصیات اضطراریت کو ظاہر کرتی ہیں۔ کارروائیاں اگر R کسی سیٹ X پر یکساں تعلق ہے تو درج ذیل میں سے ہر ایک X پر یکساں تعلق ہے:، R = R پر مشتمل X پر سب سے چھوٹا اضطراری تعلق۔ یہ R پر مشتمل تمام اضطراری تعلقات کے چوراہے کے برابر ثابت ہو سکتا ہے۔، R ≤ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یا R، R + میں موجود X پر سب سے بڑا غیر متغیر تعلق۔ R پر مشتمل X پر سب سے چھوٹا عارضی تعلق کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ R، R * پر مشتمل تمام عارضی تعلقات کے چوراہے کے برابر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے کہ، R، R پر مشتمل سب سے چھوٹا پیشگی ترتیب R پر مشتمل X پر سب سے چھوٹے مساوات کے تعلق کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس میں بیان کردہ تمام کارروائیاں بھی لاگو ہوتی ہیں۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل ترتیب دینے کے قابل" سٹائل = "متن-صف بندی: مرکز ؛" | + یکساں تعلقات بذریعہ پراپرٹی |-! ! اضطراری! سمیٹری! منتقلی! ربط! علامت! مثال |-! ہدایت شدہ گراف۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ غیر ہدایت شدہ گراف | | | | | | |-! انحصار | | | | | | |-! ٹورنامنٹ | | | | | پیکنگ آرڈر |-! پیشگی آرڈر | | | | | | | | ترجیح |-! کل پری آرڈر | | | | | ≤ | |-! جزوی ترتیب | | | | | ≤ | سب سیٹ |-! سخت جزوی ترتیب | | | | | | <| سخت ذیلی سیٹ |-! کل ترتیب | | | | | ≤ | حروف تہجی ترتیب |-! سخت کل ترتیب۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ جزوی مساوات کا تعلق۔ | | | | | |-! مساوات کا تعلق۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ بائنری آپریشن کے طور پر تعلقات کی ساخت کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ ارتقاء کے ساتھ ایک مونوئڈ بناتا ہے جہاں شناختی عنصر شناخت کا تعلق ہوتا ہے۔ ایک این عنصر سیٹ پر الگ الگ یکساں تعلقات کی تعداد یہ ہے: نوٹ: غیر متغیر تعلقات کی تعداد اضطراری تعلقات کی تعداد کے برابر ہے۔ سخت جزوی آرڈرز (غیر لچکدار عارضی تعلقات) کی تعداد جزوی آرڈرز کے برابر ہوتی ہے۔ سخت کمزور آرڈرز کی تعداد کل پری آرڈرز کے برابر ہوتی ہے۔ کل آرڈر جزوی آرڈر ہوتے ہیں جو کل پیشگی آرڈر بھی ہوتے ہیں۔ پری آرڈرز کی تعداد جو نہ تو جزوی آرڈر ہے اور نہ ہی کل پری آرڈر، اس لیے، پری آرڈرز کی تعداد، مائنس جزوی آرڈرز کی تعداد، مائنس کل پری آرڈرز کی تعداد، اور کل آرڈرز کی تعداد: بالترتیب 0، 0، 0، 3، اور 85 ہے۔ مساوات کے تعلقات کی تعداد پارٹیشنوں کی تعداد ہے، جو بیل نمبر ہے۔ یکساں تعلقات کو جوڑوں (رشتہ، تکمیل) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، سوائے اس کے کہ تعلقات کے لیے اس کی اپنی تکمیل ہوتی ہے۔ غیر ہم آہنگی والوں کو چار حصوں (رشتہ، تکمیل، الٹا، الٹا تکمیل) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ مثال آرڈر ریلیشنز، بشمول سخت آرڈرز: گریٹر تھین گریٹر یا مساوی سے کم یا مساوی سے کم یا مساوی سے کم تقسیم (مساوی طور پر) مساوات کے تعلقات کا ذیلی سیٹ: مساوات متوازی (افائن خالی جگہوں کے لیے) مساوات یا "آئسومورفک ایکوی پولینٹ لائن سیگمنٹس ٹالرنس ریلیشن کے ساتھ بجیکشن میں ہے، ایک اضطراری اور ہم آہنگ تعلق: انحصار کا رشتہ، ایک محدود رواداری کا رشتہ آزادی کا رشتہ، کچھ انحصار کے رشتے کی تکمیل رشتہ داری کے تعلقات عامیاں عام طور پر بائنری تعلقات کو یکساں ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اسے صوابدیدی سیٹوں X اور Y کے لیے ایک ذیلی سیٹ R × X × Y کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ایک اختتامی رشتہ ایک ذیلی سیٹ R ہے۔ X1 ×. × Xn کچھ قدرتی نمبر n کے لیے اور صوابدیدی سیٹ X1،.، Xn، اسے n-ary رشتہ بھی کہا جاتا ہے۔ حوالہ جات بائنری تعلقات