Ideal (set theory)
سیٹ تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، آئیڈیل سیٹوں کا جزوی طور پر ترتیب شدہ مجموعہ ہے جسے "چھوٹا" یا "نہ ہونے کے برابر" سمجھا جاتا ہے۔ آئیڈیل کے عنصر کے ہر ذیلی سیٹ کو بھی آئیڈیل میں ہونا چاہیے (یہ اس خیال کو مرتب کرتا ہے کہ آئیڈیل چھوٹا ہونے کا تصور ہے)، اور آئیڈیل کے کسی بھی دو عناصر کا اتحاد بھی آئیڈیل میں ہونا چاہیے۔ مزید رسمی طور پر، کسی سیٹ کو آئیڈیل آن دیے جانے پر اس طرح کے پاور سیٹ کا ایک نان ایمپٹی سب سیٹ ہوتا ہے کہ: اگر اور پھر اور اگر پھر کچھ مصنفین ایک چوتھی شرط شامل کرتے ہیں جو خود اس میں نہیں ہے ؛ اس اضافی پراپرٹی والے آئیڈیلز کو کہا جاتا ہے۔ سیٹ تھیوریٹک معنوں میں آئیڈیل آرڈر تھیوریٹک معنوں میں بالکل آئیڈیل ہوتے ہیں، جہاں متعلقہ آرڈر سیٹ انکلیوژن ہوتا ہے۔ نیز، وہ بنیادی سیٹ کے پاور سیٹ کے ذریعہ تشکیل شدہ بولین رنگ پر رنگ تھیوریٹک معنوں میں بالکل آئیڈیل ہیں۔ آئیڈیل کا دوہرا تصور فلٹر ہے۔ اصطلاحات کسی آئیڈیل کے عنصر کو یا، یا صرف یا اگر آئیڈیل کو سیاق و سباق سے سمجھا جاتا ہے۔ اگر ایک آئیڈیل ہے تو اس کے ذیلی سیٹ کو (یا صرف) کہا جاتا ہے اگر یہ ایک عنصر ہے۔ کے تمام مثبت ذیلی سیٹوں کے مجموعے کو ظاہر کیا جاتا ہے اگر ایک مناسب آئیڈیل ہے اور ہر ایک کے لیے یا پھر a ہے۔ آئیڈلز کی مثالیں عام مثالیں کسی بھی سیٹ کے لیے اور کسی بھی من مانی طور پر منتخب کردہ سب سیٹ کے لیے ذیلی سیٹ ایک آئیڈیل پر تشکیل دیتے ہیں۔ کسی بھی سیٹ کے محدود ذیلی سیٹ پر ایک آئیڈیل بناتے ہیں۔ کسی بھی پیمائش کی جگہ کے لیے، پیمائش صفر کے سیٹوں کے ذیلی سیٹ۔ کسی بھی پیمائش کی جگہ کے لیے، محدود پیمائش کے سیٹ۔ اس میں محدود ذیلی سیٹ (گنتی کی پیمائش کا استعمال کرتے ہوئے) اور نیچے چھوٹے سیٹ شامل ہیں۔ کسی سیٹ پر بورنولوجی ایک آئیڈیل ہے جو ذیلی سیٹوں کا ایک غیر خالی خاندان کا احاطہ کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں ایک مناسب آئیڈیل ہے جس میں اس کی نشاندہی کی جاتی ہے اور اس کی وضاحت کی جاتی ہے تو اس پر ایک مناسب فلٹر ہوتا ہے (ایک فلٹر اس صورت میں ہوتا ہے جب وہ برابر نہ ہو)۔ پاور سیٹ کا ڈوئل خود ہے ؛ یعنی، اس طرح ایک غیر خالی خاندان ایک آئیڈیل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ڈوئل ڈوئل آئیڈیل ہو (جو تعریف کے مطابق یا تو پاور سیٹ ہے یا پھر ایک مناسب فلٹر آن ہے)۔ قدرتی اعداد پر آئیڈیل قدرتی اعداد کے تمام محدود سیٹوں کے آئیڈیل کو فن سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ قدرتی اعداد پر، ظاہر کردہ قدرتی اعداد کے تمام سیٹوں کا مجموعہ ہے جیسے کہ مجموعہ محدود ہے۔ چھوٹا سیٹ دیکھیں۔ قدرتی اعداد پر، قدرتی اعداد کے تمام سیٹوں کا مجموعہ اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے کہ اس سے کم قدرتی اعداد کا حصہ صفر کی طرف جاتا ہے جیسا کہ انفینٹی کی طرف جاتا ہے۔ (یعنی، کی غیر علامتی کثافت صفر ہے۔) حقیقی اعداد پر مثالیں حقیقی اعداد کے تمام مجموعوں کا مجموعہ ہے جیسے کہ لیبسگ کی پیمائش صفر ہو۔ یہ حقیقی اعداد کے تمام معمولی سیٹوں کا مجموعہ ہے۔ دوسرے سیٹوں پر مثالیں اگر بے شمار کوفینیلیٹی کا ایک ترتیب نمبر ہے، تو آن ان تمام ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ہے جو اسٹیشنری سیٹ نہیں ہیں۔ اس آئیڈیل کا ڈبلیو۔ ہیو ووڈن نے بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا ہے۔ آئیڈیلز پر آپریشنز آئیڈیلز اور بنیادی سیٹوں پر اور بالترتیب، کارٹیشین پروڈکٹ پر پروڈکٹ کو مندرجہ ذیل طور پر تشکیل دیتا ہے: کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے یعنی پروڈکٹ آئیڈیل میں ایک سیٹ نہ ہونے کے برابر ہے اگر صرف-کوآرڈینیٹس کا نہ ہونے کا مجموعہ-سمت کے غیر نہ ہونے کے برابر ہو۔ (شاید زیادہ واضح: ایک سیٹ پروڈکٹ آئیڈیل میں ہے اگر مثبت طور پر بہت سے-کوآرڈینیٹ مثبت سلائسز سے مطابقت رکھتے ہیں۔) کسی سیٹ پر ایک آئیڈیل پاور سیٹ پر مساوات کا تعلق پیدا کرتا ہے، غور کرتا ہے اور مساوی (کے ذیلی سیٹوں کے لیے) ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اور کا ہم آہنگی فرق ایک عنصر ہو۔ اس مساوات کے تعلق سے کا حصص ایک بولین الجبرا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے ("موڈ کا پی" پڑھیں)۔ ہر آئیڈیل کے لیے ایک متعلقہ فلٹر ہوتا ہے، جسے اس کا کہتے ہیں۔ اگر آئیڈیل آن ہے، تو ڈوئل فلٹر ان تمام سیٹوں کا مجموعہ ہے جہاں کا عنصر ہے۔ (یہاں ان کی رشتہ دار تکمیل کی نشاندہی کرتا ہے ؛ یعنی اس میں موجود تمام عناصر کا مجموعہ)۔ آئیڈیلز کے درمیان تعلقات اگر اور بالترتیب آئیڈیلز ہیں، اور اگر وہ ایک ہی آئیڈیل ہیں سوائے ان کے بنیادی سیٹوں کے عناصر کے نام تبدیل کرنے کے (نہ ہونے کے برابر سیٹوں کو نظر انداز کرتے ہوئے)۔ مزید رسمی طور پر، ضرورت یہ ہے کہ اور بالترتیب سیٹ اور عناصر ہوں، اور ایک بائیجیکشن ایسا ہو کہ کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے اگر اور صرف اس صورت میں جب آئی ایف کے نیچے کی تصویر روڈن-کیسلر آئسومورفک ہو، تو اور بولین الجبرا کے طور پر آئسومورفک ہوں۔ آئیڈیلز کے روڈن-کیسلر آئسومورفزم سے متاثر ہونے والے حصص والے بولین الجبرا کے آئسومورفزم کو کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات سیٹ تھیوری