Erdős–Diophantine graph
ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف ڈیوفنٹائن مساوات کے ریاضیاتی موضوع میں ایک ایسی چیز ہے جو سطح میں انٹیجر فاصلے پر انٹیجر پوائنٹس کے ایک سیٹ پر مشتمل ہوتی ہے جسے کسی اضافی پوائنٹس سے بڑھایا نہیں جا سکتا۔ مساوی طور پر، ہندسی گراف تھیوری میں، اسے ایک مکمل گراف کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کے عمودی حصے انٹیجر مربع گرڈ پر واقع ہوتے ہیں جیسے کہ عمودی حصوں کے درمیان تمام باہمی فاصلے انٹیجر ہوتے ہیں، جبکہ دیگر تمام گرڈ پوائنٹس کا کم از کم ایک عمودی حصے سے غیر عددی فاصلہ ہوتا ہے۔ ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف کا نام پال ایرڈس اور اسکندریہ کے ڈیوفنٹس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ وہ ڈیوفنٹائن اعداد و شمار کے سیٹ کا ایک ذیلی سیٹ بناتے ہیں، جن کی تعریف ڈیوفنٹائن سطح میں مکمل گراف کے طور پر کی جاتی ہے جس کے لیے تمام کناروں کی لمبائی انٹیجر (یونٹ ڈسٹنس گراف) ہوتی ہے۔ اس طرح، ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف بالکل ڈیوفنٹائن کے اعداد و شمار ہیں جن کی توسیع نہیں کی جا سکتی۔ ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف کا وجود ایرڈس-ایننگ تھیوریم سے ملتا ہے، جس کے مطابق لامحدود ڈیوفنٹائن کے اعداد و شمار ڈیوفنٹائن کے سطح میں کالینیئر ہونے چاہئیں۔ لہذا، عمودی کو شامل کرکے غیر کالینیئر ڈیوفنٹائن کے اعداد و شمار کو بڑھانے کے کسی بھی عمل کو بالآخر ایک ایسے اعداد و شمار تک پہنچنا چاہیے جسے مزید بڑھایا نہیں جا سکتا۔ مثالیں صفر یا ایک پوائنٹ کے کسی بھی سیٹ کو معمولی طور پر بڑھایا جا سکتا ہے، اور دو پوائنٹس کے کسی بھی ڈیوفنٹائن سیٹ کو ایک ہی لائن پر مزید پوائنٹس کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے۔ لہذا، تین نوڈس سے کم والے تمام ڈیوفنٹائن سیٹوں کو بڑھایا جا سکتا ہے، لہذا تین نوڈس سے کم پر ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف موجود نہیں ہو سکتے۔ عددی تلاش سے پتہ چلتا ہے کہ تھری نوڈ ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف موجود ہیں۔ سب سے چھوٹا ایرڈس-ڈیوفنٹائن مثلث کنارے کی لمبائی 2066، 1803، اور 505 کی خصوصیت رکھتا ہے۔ اگلے بڑے ایرڈس-ڈیوفنٹائن مثلث کے کنارے 2549، 2307 اور 1492 ہیں۔ دونوں صورتوں میں، تین کنارے کی لمبائی کا مجموعہ یکساں ہے۔ برانچیوا نے ثابت کیا ہے کہ یہ خاصیت تمام ایرڈس-ڈیوفنٹائن مثلثوں کے لیے ہے۔ زیادہ عام طور پر، ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف میں کسی بھی بند راستے کی کل لمبائی ہمیشہ یکساں ہوتی ہے۔ 4-نوڈ ایرڈس-ڈیوفنٹائن گراف کی ایک مثال 4 اور 3 اطراف کے ساتھ ایک مستطیل کے عمودی حصوں پر واقع چار نوڈس کے ذریعے بنائے گئے مکمل گراف کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے۔ حوالہ جات ڈیوفنٹائن گراف ڈیوفنٹائن مساوات الجبرائی جیومیٹری مجرد جیومیٹری گراف طیارہ جیومیٹری کے ریاضی کے مسائل