Generic property
ریاضی میں، وہ خصوصیات جو "عام" مثالوں کے لیے ہوتی ہیں، عام خصوصیات کہلاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، افعال کی ایک کلاس کی عام خاصیت وہ ہے جو ان افعال کے "تقریبا تمام" کے بارے میں درست ہے، جیسا کہ بیانات میں، "ایک عام کثیر الجہتی کا صفر پر جڑ نہیں ہوتا ہے"، یا "ایک عام مربع میٹرکس الٹا ہوتا ہے"۔ ایک اور مثال کے طور پر، کسی جگہ کی عام خاصیت ایک ایسی خاصیت ہے جو جگہ کے "تقریبا تمام" نکات پر ہوتی ہے، جیسا کہ بیان میں کہا گیا ہے، "اگر ہموار کئی گنا کے درمیان ہموار فنکشن ہے، تو ایک عام نقطہ کی اہم قدر نہیں ہے"۔ (یہ سارڈ کے نظریہ سے ہے۔) ریاضی میں "عام" (جس کا مطلب "تقریبا تمام" ہے) کے بہت سے مختلف تصورات ہیں، "تقریبا کوئی نہیں" (نہ ہونے کے برابر سیٹ) کے متعلقہ دوہری تصورات کے ساتھ ؛ دو اہم کلاسیں یہ ہیں: پیمائش کے نظریہ میں، ایک عام خاصیت وہ ہے جو تقریبا ہر جگہ برقرار رہتی ہے، جس میں دوہری تصور صفر سیٹ ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے "امکان 0 کے ساتھ"۔ ٹوپولوجی اور الجبرائی جیومیٹری میں، ایک عام خاصیت وہ ہوتی ہے جو گھنے کھلے سیٹ پر، یا زیادہ عام طور پر بقایا سیٹ پر ہوتی ہے، جس میں دوہری تصور کہیں بھی گھنے سیٹ نہیں ہوتا ہے، یا زیادہ عام طور پر ایک معمولی سیٹ ہوتا ہے۔ ایسی کئی قدرتی مثالیں ہیں جہاں یہ تصورات برابر نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، لیوویل نمبروں کا مجموعہ ٹپوولوجیکل معنوں میں عام ہے، لیکن اس کی پیمائش لیبسگیو صفر ہے۔ پیمائش کے نظریہ میں، ایک عام خاصیت وہ ہوتی ہے جو تقریبا ہر جگہ ہوتی ہے۔ دوہری تصور ایک صفر سیٹ ہے، یعنی پیمائش صفر کا ایک سیٹ۔ امکان میں، ایک عام خاصیت ایک ایسا واقعہ ہے جو تقریبا یقینی طور پر ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ امکان 1 کے ساتھ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، بڑی تعداد کا قانون یہ بتاتا ہے کہ نمونے کا مطلب تقریبا یقینی طور پر آبادی کے معنی میں بدل جاتا ہے۔ پیمائش کے نظریہ کے معاملے میں یہ تعریف ہے جو امکانی جگہ کے لیے مخصوص ہے۔ مجرد ریاضی میں، کوئی بھی اصطلاح تقریبا تمام کو استعمال کرتا ہے جس کا مطلب کوفینیٹ (تمام لیکن محدود طور پر بہت سے)، کوکاؤنٹیبل (تمام لیکن قابل گنتی بہت سے)، کافی بڑی تعداد کے لیے، یا، بعض اوقات، غیر علامتی طور پر تقریبا یقینی طور پر ہوتا ہے۔ یہ تصور بے ترتیب گراف کے مطالعہ میں خاص طور پر اہم ہے۔ ٹوپولوجی اور الجبرائی جیومیٹری میں، ایک عام خاصیت وہ ہوتی ہے جو گھنے کھلے سیٹ پر، یا زیادہ عام طور پر کسی بقایا سیٹ (گھنے کھلے سیٹوں کا قابل گنتی چوراہا) پر ہوتی ہے، جس میں دوہری تصور ایک بند کہیں بھی گھنے سیٹ، یا زیادہ عام طور پر ایک معمولی سیٹ (کہیں بھی گھنے بند سیٹوں کا قابل گنتی اتحاد) ہوتا ہے۔ تاہم، اکیلے کثافت کسی عام خاصیت کی خصوصیت کے لیے کافی نہیں ہے۔ یہ حقیقی اعداد میں بھی دیکھا جا سکتا ہے، جہاں عقلی اعداد اور ان کی تکمیل، غیر معقول اعداد، دونوں گھنے ہوتے ہیں۔ چونکہ یہ کہنا سمجھ میں نہیں آتا کہ ایک سیٹ اور اس کی تکمیل دونوں ہی عام رویے کی نمائش کرتے ہیں، اس لیے عقلی اور غیر معقول دونوں ہی اتنے بڑے سیٹوں کی مثالیں نہیں ہو سکتے کہ وہ عام ہوں۔ نتیجتا، ہم اوپر کی مضبوط تعریف پر انحصار کرتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ غیر منطقی عام ہیں اور عقلی نہیں ہیں۔ ایپلی کیشنز کے لیے، اگر کوئی پراپرٹی بقیہ سیٹ پر برقرار رہتی ہے، تو یہ ہر پوائنٹ کے لیے برقرار نہیں رہ سکتی ہے، لیکن اسے قدرے پریشان کرنے سے عام طور پر بقیہ سیٹ کے اندر ایک گر جائے گا (معمولی سیٹ کے اجزاء کی کہیں بھی کثافت نہیں)، اور اس طرح یہ تھیوریمز اور الگورتھم میں خطاب کرنے کے لیے سب سے اہم کیس ہیں۔ فنکشن خالی جگہوں میں ایک پراپرٹی سی آر میں عام ہے اگر اس پراپرٹی کو رکھنے والے سیٹ میں سی آر ٹوپولوجی میں بقایا ذیلی سیٹ موجود ہو۔ یہاں سی آر وہ فنکشن اسپیس ہے جس کے ممبران کئی گنا ایم سے کئی گنا این تک r مسلسل مشتقات کے ساتھ مسلسل افعال ہیں۔ ایم اور این کے درمیان سی آر میپنگ کی جگہ سی آر (ایم، این) ایک بائر اسپیس ہے، لہذا کوئی بھی بقایا سیٹ گھنے ہے۔ فنکشن اسپیس کی یہ خاصیت ہی عام خصوصیات کو عام بناتی ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں الجبرائی اقسام ایک ناقابل تلافی الجبرائی قسم X کی خاصیت کو عام طور پر درست کہا جاتا ہے اگر یہ X کے مناسب زرسکی بند ذیلی سیٹ کے علاوہ ہو، دوسرے لفظوں میں، اگر یہ غیر خالی زرسکی کھلے ذیلی سیٹ پر ہو۔ یہ تعریف اوپر کے ٹپوولوجیکل سے متفق ہے، کیونکہ ناقابل تلافی الجبرائی اقسام کے لیے کوئی بھی غیر خالی کھلا سیٹ گھنے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، باقاعدگی کے لیے جیکوبین معیار کے مطابق، خصوصیت صفر کے میدان پر مختلف قسم کا ایک عام نقطہ ہموار ہوتا ہے۔ (یہ بیان عام نرمی کے نام سے جانا جاتا ہے۔) یہ درست ہے کیونکہ جیکوبین معیار کو ان نکات کے لیے مساوات تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو ہموار نہیں ہیں: وہ بالکل وہی نکات ہیں جہاں X کے نقطہ کے جیکوبین میٹرکس کا مکمل درجہ نہیں ہوتا ہے۔ خصوصیت صفر میں، یہ مساوات غیر معمولی ہیں، لہذا وہ مختلف قسم کے ہر نقطہ کے لیے درست نہیں ہو سکتے۔ نتیجتا، X کے تمام غیر باقاعدہ نکات کا مجموعہ X کا ایک مناسب زرسکی بند ذیلی مجموعہ ہے۔ یہاں ایک اور مثال ہے۔ فرض کریں کہ f: X → Y دو الجبرائی اقسام کے درمیان ایک باقاعدہ نقشہ ہے۔ Y کے ہر نقطہ y کے لیے، f کے فائبر کے طول و عرض پر غور کریں، یعنی، مدھم f−1 (y)۔ عام طور پر یہ عدد مستقل ہے۔ یہ ضروری نہیں کہ ہر جگہ مستقل ہو۔ اگر، فرض کریں، X ایک نقطہ پر Y کا بلو اپ ہے اور f قدرتی پروجیکشن ہے، تو f کا رشتہ دار طول و عرض صفر ہے سوائے اس نقطہ کے جو اڑا ہوا ہے، جہاں یہ مدھم Y-1 ہے۔ کہا جاتا ہے کہ کچھ جائیدادیں بہت عام طور پر ہوتی ہیں۔ اکثر اس کا مطلب یہ ہے کہ گراؤنڈ فیلڈ ناقابل شمار ہے اور یہ کہ پراپرٹی درست ہے سوائے مناسب زرسکی بند ذیلی سیٹوں کے قابل شمار اتحاد کے (یعنی، پراپرٹی گھنے Gδ سیٹ پر ہوتی ہے)۔ مثال کے طور پر، بہت عام کا یہ تصور تب ہوتا ہے جب عقلی ربط پر غور کیا جائے۔ تاہم، بہت عام کی دیگر تعریفیں دوسرے سیاق و سباق میں ہو سکتی ہیں اور ہو سکتی ہیں۔ الجبرائی جیومیٹری میں، الجبرائی تنوع کا ایک عام نقطہ وہ نقطہ ہے جس کے نقاط کسی دوسرے الجبرائی تعلق کو مطمئن نہیں کرتے ہیں سوائے ان کے جو تنوع کے ہر نقطہ سے مطمئن ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کسی فیلڈ پر افائن اسپیس کا ایک عام نقطہ وہ نقطہ ہے جس کے نقاط الجبرائی طور پر آزاد ہوتے ہیں۔ سکیم تھیوری میں، جہاں پوائنٹس ذیلی اقسام ہیں، مختلف قسم کا ایک عام نقطہ وہ نقطہ ہے جس کی زرسکی ٹوپولوجی کے لیے بندش پوری قسم ہے۔ عام خاصیت عام نقطہ کی خاصیت ہے۔ کسی بھی معقول پراپرٹی کے لیے، یہ پتہ چلتا ہے کہ پراپرٹی عام طور پر ذیلی قسم پر درست ہے (کھلے گھنے ذیلی سیٹ پر درست ہونے کے معنی میں) اگر اور صرف اس صورت میں جب پراپرٹی عام نقطہ پر درست ہو۔ اس طرح کے نتائج اکثر ای جی اے IV 8 میں تیار کردہ افائن اسکیموں کی حدود کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت ہوتے ہیں۔ عمومی پوزیشن الجبرائی جیومیٹری میں ایک متعلقہ تصور عمومی پوزیشن ہے، جس کے عین معنی سیاق و سباق پر منحصر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، یوکلڈین سطح میں، عام پوزیشن میں تین پوائنٹس کالینیئر نہیں ہوتے ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کالینیئر نہ ہونے کی خاصیت R2 میں تین پوائنٹس کی ترتیب کی جگہ کی ایک عام خاصیت ہے۔ کمپیوٹیبلٹی میں کمپیوٹیبلٹی اور الگورتھمک بے ترتیب میں، قدرتی اعداد کی ایک لامحدود تار کو 1-جنریک کہا جاتا ہے اگر، ہر سی ای کے لیے۔ سیٹ، یا تو ایک ابتدائی حصہ ہے، یا ایک ابتدائی حصہ ہے جیسے کہ ہر توسیع W میں نہیں ہے۔ 1-جنریکس کمپیوٹیبلٹی میں اہم ہیں، کیونکہ بہت سی تعمیرات کو مناسب 1-جنریک پر غور کرکے آسان بنایا جا سکتا ہے۔ کچھ کلیدی خصوصیات یہ ہیں: ایک 1-جنیرک ایک عنصر کے طور پر ہر قدرتی نمبر پر مشتمل ہوتا ہے ؛ کوئی 1-جنیرک کمپیوٹیبل نہیں ہے (یا یہاں تک کہ ایک کمپیوٹیبل فنکشن سے پابند ہے) ؛ تمام 1-جنیرکس کو عام کیا جاتا ہے: 1-جنریسیٹی "عام" کے ٹپوولوجیکل تصور سے منسلک ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ بائر اسپیس میں قدرتی اعداد کی ہر محدود تار کے لیے بنیادی کھلے سیٹوں کے ساتھ ایک ٹوپولوجی ہوتی ہے۔ پھر، ایک عنصر 1-جنیرک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ کسی کھلے سیٹ کی حد پر نہ ہو۔ خاص طور پر، ہر گھنے کھلے سیٹ کو پورا کرنے کے لیے 1-جنیرکس کی ضرورت ہوتی ہے (حالانکہ یہ ایک سختی سے کمزور خاصیت ہے، جسے کمزور 1-جنیرک کہا جاتا ہے)۔ جنریسیٹی کے نتائج سارڈ تھیوریم: اگر ہموار کئی گنا کے درمیان ایک ہموار فنکشن ہے، تو N کا ایک عام نقطہ f کی تنقیدی قدر نہیں ہے-f کی تنقیدی اقدار N میں ایک کالعدم سیٹ ہیں۔ جیکوبین معیار/عام نرمی: خصوصیت صفر کے میدان پر مختلف قسم کا ایک عام نقطہ ہموار ہے۔ لکیری وقت کے متغیر نظاموں کی کنٹرول ایبلٹی اور مشاہدہ دونوں ٹپوولوجیکل اور پیمائش تھیوری کے لحاظ سے عام ہیں۔ حوالہ جات یکسانیت کا نظریہ الجبرائی جیومیٹری