Tits alternative
ریاضی میں، ٹیٹس متبادل، جس کا نام جیکس ٹیٹس کے نام پر رکھا گیا ہے، حتمی طور پر تیار کردہ لکیری گروپوں کی ساخت کے بارے میں ایک اہم نظریہ ہے۔ بیان تھیوریم، جسے ٹٹس نے ثابت کیا ہے، مندرجہ ذیل بیان کیا گیا ہے۔ نتائج ایک لکیری گروپ قابل قبول نہیں ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں ایک غیر ابیلین آزاد گروپ ہو (اس طرح وان نیومن قیاس، اگرچہ عام طور پر درست نہیں ہے، لیکن لکیری گروپوں کے لیے ہے)۔ ٹٹس متبادل کثیر الجہتی نمو کے گروپوں پر گروموف کے نظریہ کے ثبوت میں ایک اہم جزو ہے۔ درحقیقت متبادل بنیادی طور پر لکیری گروپوں کے لیے نتیجہ قائم کرتا ہے (یہ اسے قابل حل گروپوں کے معاملے میں کم کر دیتا ہے، جن سے ابتدائی ذرائع سے نمٹا جا سکتا ہے)۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری میں، گروپ G کو ٹیٹس متبادل کو مطمئن کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر G کے ہر ذیلی گروپ H کے لیے یا تو H عملی طور پر حل کرنے کے قابل ہے یا H میں ایک غیر ایبلین فری ذیلی گروپ ہے (تعریف کے کچھ ورژن میں اس شرط کو صرف G کے تمام حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپوں کے لیے مطمئن کرنے کی ضرورت ہے)۔ ٹیٹس متبادل کو مطمئن کرنے والے گروپوں کی مثالیں جو یا تو لکیری نہیں ہیں، یا کم از کم لکیری ہونے کے لیے نہیں جانا جاتا ہے، یہ ہیں: ہائپربولک گروپس میپنگ کلاس گروپس ؛ آؤٹ (Fn) ؛ الجبرائی سطحوں کی بائریشنل تبدیلیوں کے کچھ گروپس۔ ٹیٹس کے متبادل کو مطمئن نہ کرنے والے گروپوں کی مثالیں یہ ہیں: گریگورچک گروپ ؛ تھامسن کا گروپ ایف۔ ثبوت اصل ٹیٹس کے متبادل کا ثبوت زرسکی کی بندش کو دیکھ کر ہے۔ اگر یہ قابل حل ہے تو گروپ قابل حل ہے۔ ورنہ کوئی لیوی جزو میں کی تصویر کو دیکھتا ہے۔ اگر یہ غیر کمپیکٹ ہے تو پنگ پونگ دلیل ثبوت کو ختم کرتی ہے۔ اگر یہ کمپیکٹ ہے تو یا تو تصویر میں موجود عناصر کی تمام آئجین ویلیوز اتحاد کی جڑیں ہیں اور پھر تصویر محدود ہے، یا کوئی ایسی سرایت تلاش کر سکتا ہے جس میں کوئی پنگ پونگ حکمت عملی کا اطلاق کر سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ مذکورہ بالا تمام عام فہمیوں کا ثبوت بھی پنگ پونگ کی دلیل پر مبنی ہے۔ حوالہ جات لامحدود گروپ تھیوری جیومیٹرک گروپ تھیوری گروپ تھیوری میں نظریات