Yamabe invariant
ریاضیات میں، تفریقی جیومیٹری کے میدان میں، یامابی غیر متغیر، جسے سگما مستقل بھی کہا جاتا ہے، ایک حقیقی عدد ہے جو ایک ہموار کئی گنا سے وابستہ ہے جو ڈفیومورفزم کے تحت محفوظ ہے۔ اسے سب سے پہلے آزادانہ طور پر او کوبیاشی اور آر شین نے لکھا تھا اور اس کا نام ایچ یامابی سے لیا گیا ہے۔ ونسنٹ مونکریف اور آرتھر فشر نے آئن سٹائن کی مساوات کے لیے کم شدہ ہیملٹنین کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا۔ تعریف آئیے طول و عرض کا ایک کمپیکٹ ہموار کئی گنا (حد کے بغیر) ہو۔ نارملائزڈ آئن سٹائن-ہلبرٹ فنکشنل ہر ریمینیئن میٹرک کو ایک حقیقی نمبر پر اس طرح تفویض کرتا ہے: جہاں کی اسکیلر منحنیت ہے اور میٹرک سے وابستہ حجم کی کثافت ہے۔ ڈینومینیٹر میں ایکسپونینٹ کا انتخاب اس طرح کیا جاتا ہے کہ فنکشنل پیمانے میں غیر متغیر ہو: ہر مثبت حقیقی مستقل کے لیے، یہ مطمئن ہوتا ہے۔ ہم اوور کی اوسط اسکیلر منحنیت کی پیمائش کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔ یامابی کی طرف سے یہ قیاس کیا گیا تھا کہ میٹرکس کی ہر کنفارمل کلاس میں مستقل اسکیلر منحنی خطوط کا ایک میٹرک ہوتا ہے (نام نہاد یامابی مسئلہ) ؛ یہ یامابی، ٹروڈنگر، اوبن اور شون کی طرف سے ثابت کیا گیا تھا کہ میٹرکس کی ہر کنفارمل کلاس میں کم از کم قیمت حاصل کی جاتی ہے، اور خاص طور پر یہ کم از کم مستقل اسکیلر منحنی خطوط کے میٹرک کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ ہم اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ ہموار حقیقی قدر والے افعال پر انفیمیم کو کہاں لیا جاتا ہے۔ یہ لامحدود محدود ہے (نہیں): ہولڈر کی عدم مساوات کا مطلب ہے۔ اس نمبر کو بعض اوقات کنفارمل یامابی انرجی کہا جاتا ہے (اور کنفارمل کلاسوں پر مستقل ہے)۔ اوبن کی وجہ سے ایک موازنہ دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی میٹرک کے لیے، اوپر سے پابند ہے، جہاں-دائرے پر معیاری میٹرک ہے۔ اس کے بعد اگر ہم اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ تمام میٹرکس پر بالادستی کہاں لی جاتی ہے، تو (اور خاص طور پر محدود ہے)۔ حقیقی عدد کو یامابی کا غیر متغیر کہا جاتا ہے۔ یامابی دو جہتوں میں غیر متغیر اس صورت میں کہ (کہ M ایک بند سطح ہے) آئن سٹائن-ہلبرٹ فنکشنل اس طرح دیا جاتا ہے کہ g کی گاؤس منحنیت کہاں ہے۔ تاہم، گاؤس-بونٹ تھیوریم کے ذریعہ، گاؤس منحنیت کا انٹیگرل اس طرح دیا جاتا ہے، جہاں M کی یولر خصوصیت ہے۔ خاص طور پر، یہ تعداد میٹرک کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ لہذا، سطحوں کے لیے، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ مثال کے طور پر، 2-دائرے میں یامابی غیر متغیر کے برابر ہے، اور 2-ٹورس میں یامابی غیر متغیر صفر کے برابر ہے۔ مثال کے طور پر 1990 کی دہائی کے آخر میں، کلاڈ لیبرون اور ان کے ساتھیوں نے 4-مینیفولڈ کی بڑی کلاسوں کے لیے یامابی غیر متغیر کا حساب لگایا تھا۔ خاص طور پر، یہ دکھایا گیا کہ زیادہ تر کمپیکٹ پیچیدہ سطحوں میں منفی، بالکل کمپیوٹیبل یامابی غیر متغیر ہوتا ہے، اور یہ کہ منفی اسکیلر منحنی خطوط کا کوئی بھی کیلر آئن سٹائن میٹرک طول و عرض 4 میں یامابی غیر متغیر کا احساس کرتا ہے۔ یہ بھی دکھایا گیا ہے کہ کے یامابی غیر متغیر کو فوبینی اسٹڈی میٹرک کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے، اور اسی طرح یہ 4 دائرے سے بھی کم ہے۔ ان میں سے زیادہ تر دلائل میں سیبرگ وٹن تھیوری شامل ہے، اور اسی طرح طول و عرض 4 کے لیے مخصوص ہیں۔ پیٹین کی وجہ سے ایک اہم نتیجہ یہ بتاتا ہے کہ اگر محض جڑا ہوا ہے اور اس کا طول و عرض ہے، تو۔ پیرل مین کے پوئن کیری قیاس کے حل کی روشنی میں، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ ایک سیدھے جڑے ہوئے-مینی فولڈ میں صرف تب ہی منفی یامابی غیر متغیر ہو سکتا ہے جب۔ دوسری طرف، جیسا کہ پہلے ہی اشارہ کیا جا چکا ہے، محض جڑے ہوئے مینی فولڈز میں درحقیقت اکثر منفی یامابی غیر متغیر ہوتے ہیں۔ ذیل میں جہت تین کے کچھ ہموار کئی گنا کا ایک جدول ہے جس میں جانا جاتا یامابی غیر متغیر ہے۔ طول و عرض 3 میں، نمبر برابر ہے اور اکثر اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ اینڈرسن کی وجہ سے ایک دلیل سے، رچی کے بہاؤ پر پیریلمین کے نتائج سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کسی بھی ہائپربولک 3-مینیفولڈ پر مستقل-منحنی میٹرک یامابی غیر متغیر کا احساس کرتا ہے۔ یہ ہمیں 3-مینیفولڈز کی لامحدود مثالیں فراہم کرتا ہے جس کے لیے غیر متغیر منفی اور بالکل قابل حساب دونوں ہے۔ ٹپوولوجیکل اہمیت یامابی کے غیر متغیر کی علامت اہم ٹپوولوجیکل معلومات رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، مثبت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مثبت اسکیلر منحنی خطوط کی میٹرک کو تسلیم کیا جائے۔ اس حقیقت کی اہمیت یہ ہے کہ مثبت اسکیلر منحنی خطوط کے ساتھ کئی گنا کی ٹوپولوجی کے بارے میں بہت کچھ معلوم ہے۔ یامابی بہاؤ یامابی مسئلہ اوباٹا کا نظریہ نوٹ حوالہ جات ایم ٹی بھی دیکھیں۔ اینڈرسن، "3-مینیفولڈ اور 4-مینیفولڈ پر کینونکل میٹرکس"، ایشین جے۔ ریاضی۔ 10 127-163 (2006)۔ کے اکوٹاگاوا، ایم اشیدا، اور سی لیبرون، "پیریل مین کا غیر متغیر، رچی کا بہاؤ، اور ہموار کئی گنا کے یامابی غیر متغیر"، آرک۔ ریاضی۔ 88، 71-76 (2007)۔ ایچ۔ بری اور اے۔ نیوس، "یامابی غیر متغیر کے ساتھ پرائم 3-مینیفولڈز کی درجہ بندی"، این۔ ریاضی سے۔ 159، 407-424 (2004)۔ ایم جے گرسکی اور سی لیبرون، "یامابی غیر متغیرات اور ڈھانچے"، جیوم۔ فنکٹ۔ مقعد۔ 8965-977 (1998)۔ او۔ کوبیاشی، "اکائی حجم کے ساتھ ایک میٹرک کی اسکیلر منحنیت"، ریاضی۔ این۔ 279، 253-265، 1987۔ سی۔ لیبرون، "آئن سٹائن میٹرکس کے بغیر چار نقاط"، ریاضی۔ ریز۔ لیٹ۔ 3 133-147 (1996)۔ سی لیبرون، "کوڈائرا طول و عرض اور یامابی مسئلہ"، کام۔ مقعد۔ جیوم۔ 7 133-156 (1999)۔ جے پیٹین، "صرف جڑے ہوئے کئی گنا کا یامابی غیر متغیر"، جے رین اینجیو۔ ریاضی۔ 523 225-231 (2000)۔ آر۔ شین، "ریمینیائی میٹرکس اور متعلقہ موضوعات کے لیے کل اسکیلر منحنی پن کے لیے تغیراتی نظریہ"، تغیرات کے حساب میں موضوعات، لیکچر۔ نوٹ ریاضی۔ 1365، سپرنگر، برلن، 120-154، 1989۔ تفریقی جیومیٹری تفریقی ٹوپولوجی