Quasiconvexity (calculus of variations)
تغیرات کے حساب کتاب میں، جو کہ ریاضی کا ایک ذیلی شعبہ ہے، قوسیکونویکسٹی کنویکسٹی کے تصور کی عمومی شکل ہے۔ یہ ایک فنکشنل کے انٹیگرینڈ کی خصوصیت کے لیے استعمال ہوتا ہے اور کم سے کم کے وجود سے متعلق ہوتا ہے۔ کچھ قدرتی حالات کے تحت، کافی باقاعدہ ڈومین کے لیے، کمزور ٹوپولوجی میں فنکشنل کے کم نیم مسلسل ہونے کے لیے انٹیگرینڈ کی کواسیکونویکسٹی ایک ضروری اور کافی شرط ہے۔ کمپیکٹنس آرگیومنٹس (بناچ-الاوگلو تھیوریم) کے ذریعہ کمزور طور پر کم سیمی کانٹینوس فنکشنلز کے کم سے کم کرنے والوں کا وجود پھر براہ راست طریقہ سے ہو سکتا ہے۔ یہ تصور موری نے 1952 میں متعارف کرایا تھا۔ اس عمومی شکل کو کواسیکونویکس فنکشن کے اسی تصور کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے جس کا ایک ہی نام ہے۔ تعریف ایک مقامی طور پر پابند بوریل پیمائش کے قابل فنکشن کو قوسیکونویکس کہا جاتا ہے اگر سب کے لیے، یونٹ بال کہاں ہے اور بنیادی طور پر پابند مشتق اور غائب ہونے والے ٹریس کے ساتھ بنیادی طور پر پابند افعال کی سوبولیو جگہ ہے۔ کواسیکونویکس افعال کی خصوصیات ڈومین کو کسی بھی دوسرے باؤنڈڈ لپشٹز ڈومین سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ Quasiconvex افعال مقامی طور پر Lipschitz-مسلسل ہیں۔ تعریف میں جگہ کو پیریڈک سوبولیو افعال سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ کنویکسٹی کے دیگر تصورات سے تعلقات کواسیکونویکسٹی میٹرکس پر بیان کردہ افعال کے لیے کنویکسٹی کی عمومی شکل ہے، تاکہ اسے لیٹ اینڈ ود کے ساتھ دیکھا جا سکے۔ ریز-مارکوف-کاکوتانی نمائندگی تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ دوہری جگہ کی شناخت اس پر دستخط شدہ، محدود ریڈان پیمائش کی جگہ سے کی جا سکتی ہے۔ ہم ریڈان پیمائش کی وضاحت کے لیے کرتے ہیں۔ اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ یہ ایک امکانی پیمائش ہے اور اس کا باریسینٹر دیا گیا ہے۔ اگر یہ ایک کنویکس فنکشن ہے، تو جینسینز کی عدم مساوات دیتا ہے۔ یہ خاص طور پر برقرار رہتا ہے اگر عام اسٹوکس تھیوریم سے ماخوذ ہے۔ ڈٹرمیننٹ کواسیکونویکس فنکشن کی ایک مثال ہے، جو کنویکس نہیں ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ تعین کنندہ کنویکس نہیں ہے، اس پر غور کریں کہ یہ تب برقرار رہتا ہے لیکن ہمارے پاس ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ڈیٹرمیننٹ گیم تھیوری کی طرح کواسیکونویکس فنکشن نہیں ہے اور اس طرح کنویکسٹی کا ایک الگ تصور ہے۔ متغیرات کے حساب کے ویکٹوریئل معاملے میں کنویکسٹی کے دیگر تصورات ہیں۔ کسی فنکشن کے لیے یہ مانا جاتا ہے کہ یہ تصورات تمام مساوی ہیں اگر یا۔ پہلے ہی 1952 میں، موری نے قیاس کیا کہ رینک-1-کنویکسٹی کا مطلب کواسیکونویکسٹی نہیں ہے۔ یہ کیلکولس آف ویری ایشنز میں ایک بڑا غیر حل شدہ مسئلہ تھا، یہاں تک کہ سویریک نے 1993 میں اس کیس کے لیے ایک جوابی مثال دی۔ کیس یا اب بھی ایک کھلا مسئلہ ہے، جسے موری کا قیاس کہا جاتا ہے۔ کمزور نچلے نیم تسلسل سے تعلق انٹیگرانڈ کی ترقی کی کچھ شرائط کے تحت، ایک مناسب سوبولیو اسپیس میں ایک انٹیگرل فنکشنل کی ترتیب وار کمزور نیم تسلسل (ایس ڈبلیو ایل ایس سی) انٹیگرانڈ کی قوسیکونویکسٹی کے برابر ہے۔ Acerbi اور Fusco نے مندرجہ ذیل نظریہ کو ثابت کیا: نظریہ: اگر کیریتھیوڈری فنکشن ہے اور یہ برقرار ہے۔ پھر سوبولیو اسپیس میں فنکشنل ایس ڈبلیو ایل ایس سی ہے جس کے ساتھ اگر اور صرف اگر کواسیکونویکس ہے۔ یہاں ایک مثبت مستقل اور ایک مربوط فنکشن ہے۔ دوسرے مصنفین ترقی کے مختلف حالات اور مختلف ثبوت کے حالات استعمال کرتے ہیں۔ اس کا پہلا ثبوت اپنے مقالے میں موری کی وجہ سے تھا، لیکن اسے اضافی مفروضوں کی ضرورت تھی۔ حوالہ جات متغیرات کا حساب