Partial-wave analysis
جزوی لہر تجزیہ، کوانٹم میکانکس کے تناظر میں، بکھرے ہوئے مسائل کو حل کرنے کی ایک تکنیک سے مراد ہے جس میں ہر لہر کو اس کے جزو کونیی-مومنٹم اجزاء میں تحلیل کرکے اور باؤنڈری کنڈیشنز کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جاتا ہے۔ ابتدائی بکھرنے کا نظریہ مندرجہ ذیل وضاحت ابتدائی بکھرنے کے نظریہ کو متعارف کرانے کے مستند طریقے کی پیروی کرتی ہے۔ ذرات کی ایک مستحکم بیم ایک کروی ہم آہنگی کی صلاحیت کو منتشر کرتی ہے، جو کہ مختصر فاصلے پر ہوتی ہے، تاکہ بڑے فاصلے کے لیے، ذرات آزاد ذرات کی طرح برتاؤ کریں۔ اصولی طور پر، کسی بھی ذرہ کو لہر کے پیکٹ کے ذریعے بیان کیا جانا چاہیے، لیکن اس کے بجائے ہم زیڈ محور کے ساتھ سفر کرنے والی طیارہ لہر کے بکھرنے کو بیان کرتے ہیں، کیونکہ لہر کے پیکٹوں کو طیارہ لہروں کے لحاظ سے بڑھایا جا سکتا ہے، اور یہ ریاضیاتی طور پر آسان ہے۔ چونکہ بکھرنے کی صلاحیت کے ساتھ ذرات کے تعامل کے وقت کے مقابلے میں بیم کو طویل وقت تک آن کیا جاتا ہے، اس لیے ایک مستحکم حالت فرض کی جاتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ذرہ بیم کی نمائندگی کرنے والی لہر فنکشن کے لیے اسٹیشنری شروڈنگر مساوات کو حل کیا جانا چاہیے: ہم مندرجہ ذیل جواب دیتے ہیں: آنے والی طیارہ لہر کہاں ہے، اور یہ ایک بکھرا ہوا حصہ ہے جو اصل لہر فنکشن کو پریشان کرتا ہے۔ یہ اس کی غیر علامتی شکل ہے جو دلچسپی کا باعث ہے، کیونکہ بکھرے ہوئے مرکز کے قریب مشاہدات (جیسے. ایٹم نیوکلئس) زیادہ تر قابل عمل نہیں ہوتے ہیں، اور ذرات کا پتہ اصل سے بہت دور ہوتا ہے۔ بڑے فاصلے پر، ذرات کو آزاد ذرات کی طرح برتاؤ کرنا چاہیے، اور اس لیے آزاد شروڈنگر مساوات کا حل ہونا چاہیے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اس کی شکل طیارہ لہر سے ملتی جلتی ہونی چاہیے، جس میں جسمانی طور پر بے معنی حصوں کو چھوڑ دیا جائے۔ لہذا ہم طیارہ لہر کی توسیع کی تحقیقات کرتے ہیں: کروی بیسل فنکشن غیر علامتی طور پر اس طرح برتاؤ کرتا ہے جیسے یہ ایک باہر جانے والی اور آنے والی کروی لہر سے مطابقت رکھتا ہے۔ بکھرے ہوئے ویو فنکشن کے لیے، صرف باہر جانے والے حصوں کی توقع کی جاتی ہے۔ لہذا ہم بڑے فاصلے پر توقع کرتے ہیں اور بکھرے ہوئے لہر کی غیر علامتی شکل کو اس جگہ پر سیٹ کرتے ہیں جہاں نام نہاد بکھرے ہوئے طول و عرض ہے، جو اس معاملے میں صرف بلندی کے زاویے اور توانائی پر منحصر ہے۔ آخر میں، یہ پوری لہر فنکشن کے لیے مندرجہ ذیل غیر علامتی اظہار دیتا ہے: جزوی لہر کی توسیع ایک کروی ہم آہنگی کی صورت میں، بکھرنے والی لہر کی تقریب کو کروی ہم آہنگی میں بڑھایا جا سکتا ہے، جو ازموتھل ہم آہنگی کی وجہ سے لیجنڈری کثیر الجہتی تک کم ہو جاتی ہے (اس پر کوئی انحصار نہیں): معیاری بکھرنے کے مسئلے میں، آنے والی بیم کو لہر نمبر کی طیارہ لہر کی شکل اختیار کرنے کے لیے فرض کیا جاتا ہے، جسے کروی بیسیل افعال اور لیجنڈری کثیر الجہتی کے لحاظ سے طیارہ لہر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے جزوی لہروں میں تحلیل کیا جا سکتا ہے: یہاں ہم نے ایک کروی ہم آہنگی کا نظام فرض کیا ہے جس میں محور بیم کی سمت کے ساتھ منسلک ہوتا ہے۔ اس لہر فنکشن کا شعاعی حصہ مکمل طور پر کروی بیسیل فنکشن پر مشتمل ہوتا ہے، جسے دو کروی ہینکل افعال کے مجموعے کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: اس کی جسمانی اہمیت ہے: غیر علامتی طور پر (یعنی۔ بڑے کے لیے) اس طرح ایک باہر جانے والی لہر کے طور پر برتاؤ کرتا ہے، جبکہ غیر علامتی طور پر اس طرح ایک آنے والی لہر کے طور پر برتاؤ کرتا ہے۔ آنے والی لہر بکھرنے سے متاثر نہیں ہوتی ہے، جبکہ باہر جانے والی لہر میں جزوی لہر ایس میٹرکس عنصر کے نام سے جانے والے عنصر کے ذریعے ترمیم کی جاتی ہے: اصل لہر فنکشن کا شعاعی جزو کہاں ہے۔ بکھرے ہوئے مرحلے کی شفٹ کو اس مرحلے کے نصف کے طور پر بیان کیا گیا ہے: اگر بہاؤ ختم نہیں ہوتا ہے، تو، اور اس طرح مرحلے کی شفٹ حقیقی ہے۔ یہ عام طور پر اس صورت میں ہوتا ہے، جب تک کہ پوٹینشل میں کوئی خیالی جذب کرنے والا جزو نہ ہو، جو اکثر دیگر رد عمل کے چینلز کی وجہ سے ہونے والے نقصان کی تقلید کے لیے فینومینولوجیکل ماڈلز میں استعمال ہوتا ہے۔ لہذا، مکمل ایسمپٹوٹک ویو فنکشن گھٹا کر ایسمپٹوٹک آؤٹ گاؤنگ ویو فنکشن حاصل ہوتا ہے: کروی ہینکل فنکشن کے ایسمپٹوٹک رویے کو استعمال کرتے ہوئے، کوئی حاصل کرتا ہے۔ چونکہ بکھرے ہوئے طول و عرض کی وضاحت اس کے بعد کی جاتی ہے اور اس طرح تفریق کراس سیکشن اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ کسی بھی مختصر فاصلے کے تعامل کے لیے کام کرتا ہے۔ طویل مدتی تعاملات کے لیے (جیسے کولمب تعاملات)، سمشن اوور یکجا نہیں ہو سکتا ہے۔ اس طرح کے مسائل کے لیے عمومی نقطہ نظر کولمب تعامل کو مختصر فاصلے کے تعامل سے الگ کرنے پر مشتمل ہوتا ہے، کیونکہ کولمب کے مسئلے کو بالکل کولمب افعال کے لحاظ سے حل کیا جا سکتا ہے، جو اس مسئلے میں ہینکل افعال کا کردار ادا کرتے ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط ڈمیوں کے لیے جزوی لہر کا تجزیہ بکھرے ہوئے کوانٹم میکانکس بکھرے ہوئے نظریہ کا جزوی لہر کا تجزیہ