Oscillator representation
ریاضی میں، آسکیلیٹر کی نمائندگی سمپلیکٹک گروپ کی ایک پروجیکٹو یکطرفہ نمائندگی ہے، جس کی تحقیقات سب سے پہلے ارونگ سیگل، ڈیوڈ شیل اور آندرے ویل نے کی تھی۔ نمائندگی کی قدرتی توسیع سنکچن آپریٹرز کے سیمی گروپ کی طرف لے جاتی ہے، جسے 1988 میں راجر ہو نے آسکیلیٹر سیمی گروپ کے طور پر متعارف کرایا تھا۔ سیمی گروپ کا مطالعہ اس سے قبل دوسرے ریاضی دانوں اور طبیعیات دانوں نے کیا تھا، خاص طور پر فیلکس بیریزین نے 1960 کی دہائی میں۔ ایک جہت میں سب سے آسان مثال ایس یو (1,1) کے ذریعے دی گئی ہے۔ یہ توسیعی پیچیدہ سطح پر موبیئس تبدیلیوں کے طور پر کام کرتا ہے، اور یونٹ کے دائرے کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے۔ اس صورت میں آسکیلیٹر کی نمائندگی ایس یو (1,1) کے ڈبل کور کی یکطرفہ نمائندگی ہے اور آسکیلیٹر سیمی گروپ ایس ایل (2، سی) میں سیمی گروپ کے سنکچن آپریٹرز کی نمائندگی سے مطابقت رکھتا ہے جو موبیئس تبدیلیوں سے مطابقت رکھتا ہے جو یونٹ ڈسک کو اپنے اندر لے جاتا ہے۔ سنکچن آپریٹرز، جو صرف ایک علامت تک متعین ہوتے ہیں، ان کے دانے ہوتے ہیں جو گاؤسی فنکشن ہوتے ہیں۔ ایک لامحدود سطح پر سیمی گروپ کو ایس یو (1,1) کے لائ الجبرا میں ایک شنک کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے جس کی شناخت ہلکے شنک سے کی جا سکتی ہے۔ یہی فریم ورک سمپلیکٹک گروپ کو اعلی جہتوں میں عام کرتا ہے، جس میں لامحدود جہتوں میں اس کا ینالاگ بھی شامل ہے۔ یہ مضمون ایس یو (1,1) کے نظریہ کی تفصیل سے وضاحت کرتا ہے اور خلاصہ کرتا ہے کہ نظریہ کو کس طرح بڑھایا جا سکتا ہے۔ ورنر ہائزن برگ اور ایرون شروڈنگر کی طرف سے کوانٹم میکانکس کی ریاضیاتی تشکیل اصل میں ہلبرٹ اسپیس پر غیر محدود سیلف ایڈجوائنٹ آپریٹرز کے لحاظ سے تھی۔ پوزیشن اور مومنٹم سے مطابقت رکھنے والے بنیادی آپریٹرز ہائزن برگ کے تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں۔ ان آپریٹرز میں کواڈریٹک کثیر الجہتی، جن میں ہارمونک آسکیلیٹر شامل ہیں، بھی لے جانے والے کمیونیٹرز کے تحت بند ہوتے ہیں۔ کوانٹم میکانکس کے لیے ایک سخت بنیاد فراہم کرنے کے لیے 1920 اور 1930 کی دہائیوں میں آپریٹر تھیوری کی ایک بڑی مقدار تیار کی گئی تھی۔ نظریہ کا کچھ حصہ آپریٹرز کے یکطرفہ گروپوں کے لحاظ سے وضع کیا گیا تھا، زیادہ تر ہرمن ویل، مارشل اسٹون اور جان وان نیومن کی شراکت کے ذریعے۔ بدلے میں ریاضیاتی طبیعیات میں ان نتائج کو ریاضیاتی تجزیے میں شامل کیا گیا، جس کا آغاز 1933 کے لیکچر نوٹوں سے ہوا، نوربرٹ وینر نے، جس نے فورئیر ٹرانسفارم کی خصوصیات کو حاصل کرنے کے لیے ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے حرارت کے دانے کا استعمال کیا۔ ہائزن برگ کے تبادلوں کے تعلقات کی انفرادیت، جیسا کہ اسٹون-وان نیومن تھیوریم میں وضع کیا گیا ہے، بعد میں گروپ کی نمائندگی کے نظریہ کے اندر تشریح کی گئی، خاص طور پر جارج میکی کے شروع کردہ حوصلہ افزائی کی نمائندگی کا نظریہ۔ کواڈریٹک آپریٹرز کو گروپ ایس یو (1,1) اور اس کے لائ الجبرا کی پروجیکٹو یکطرفہ نمائندگی کے لحاظ سے سمجھا گیا۔ ارونگ سیگل اور ڈیوڈ شیل نے اس تعمیر کو سمپلیکٹک گروپ میں محدود اور لامحدود جہتوں میں عام کیا-طبیعیات میں، اسے اکثر بوسونک کوانٹائزیشن کہا جاتا ہے: یہ ایک لامحدود جہتی خلا کے سمیٹرک الجبرا کے طور پر تعمیر کیا جاتا ہے۔ سیگل اور شیل نے فرمیوونک کوانٹائزیشن کے معاملے کا بھی علاج کیا ہے، جسے لامحدود جہتی ہلبرٹ اسپیس کے بیرونی الجبرا کے طور پر بنایا گیا ہے۔ 1 + 1 جہتوں میں کنفارمل فیلڈ تھیوری کے خاص معاملے میں، دونوں ورژن نام نہاد "بوسون-فرمیئن خط و کتابت" کے ذریعے مساوی ہو جاتے ہیں۔ یہ نہ صرف تجزیہ میں لاگو ہوتا ہے جہاں بوسونک اور فرمیوونک ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان یکطرفہ آپریٹر ہوتے ہیں، بلکہ ورٹیکس آپریٹر الجبرا کے ریاضیاتی نظریہ میں بھی ہوتا ہے۔ ورٹیکس آپریٹرز خود اصل میں 1960 کی دہائی کے آخر میں نظریاتی طبیعیات میں پیدا ہوئے، خاص طور پر سٹرنگ تھیوری میں۔ آندرے ویل نے بعد میں اس تعمیر کو پی-اڈک لائ گروپوں تک بڑھایا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ نظریات کو نمبر تھیوری میں کس طرح لاگو کیا جا سکتا ہے، خاص طور پر تھیٹا افعال اور کواڈریٹک باہمی کی گروپ نظریاتی وضاحت دینے کے لیے۔ کئی طبیعیات دانوں اور ریاضی دانوں نے مشاہدہ کیا کہ ہارمونک آسکیلیٹر سے مطابقت رکھنے والے ہیٹ کرنل آپریٹرز ایس یو (1,1) کی پیچیدگی سے وابستہ تھے: یہ پورا ایس ایل (2، سی) نہیں تھا، بلکہ اس کے بجائے ایک پیچیدہ سیمی گروپ تھا جس کی وضاحت قدرتی ہندسی حالت سے ہوتی ہے۔ اس سیمی گروپ کی نمائندگی کا نظریہ، اور محدود اور لامحدود جہتوں میں اس کی عمومی شکلیں، ریاضی اور نظریاتی طبیعیات دونوں میں استعمال ہوتی ہیں۔ ایس ایل (2، سی) میں سیمی گروپ گروپ: جی سی = ایس ایل (2، سی) کا ایک ذیلی گروپ ہے، جو پیچیدہ 2 × 2 میٹرکس کا گروپ ہے جس کا تعین کنندہ 1 ہے۔ اگر G1 = SL (2، R) تو یہ اس کے بعد ہوتا ہے کیونکہ متعلقہ موبیئس تبدیلی کیلی ٹرانسفارم ہے جو اوپری نصف سطح کو یونٹ ڈسک پر اور حقیقی لکیر کو یونٹ دائرے پر لے جاتی ہے۔ گروپ SL (2، R) ایک تجریدی گروپ کے طور پر اور نچلے مثلث میٹرکس کے ذیلی گروپ کے طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ درحقیقت، ان میٹرکس کے ذریعے پیدا ہونے والے ذیلی گروپ کے تحت ویکٹر کا مدار آسانی سے پورے R2 کے طور پر دیکھا جاتا ہے اور G1 میں v کا اسٹیبلائزر اس ذیلی گروپ کے اندر ہوتا ہے۔ ایس یو (1,1) کا لائ الجبرا میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے۔ جی سی کے پیریڈ 2 آٹومورفزم σ میں فکسڈ پوائنٹ سب گروپ G ہوتا ہے کیونکہ اسی طرح یہی فارمولا جی سی کے لائ الجبرا کے پیریڈ 2 آٹومورفزم σ کی وضاحت کرتا ہے، جو کہ ٹریس زیرو والے کمپلیکس میٹرکس ہیں۔ اس طرح −1 ≤ m، n ≤ 1 کے لیے ایک براہ راست مجموعہ سڑنا ہے جہاں σ کی + 1 آئجین اسپیس اور-1 آئجین اسپیس ہے۔ میٹرکس X کی شکل یہ ہے کہ نوٹ کریں کہ کون C کی تعریف دو شرائط سے کی جاتی ہے۔ پہلا یہ ہے کہ تعریف کے مطابق یہ حالت G کے ذریعے کنجگیشن کے تحت محفوظ ہے۔ چونکہ G جڑا ہوا ہے اس لیے یہ دونوں اجزاء کو x> 0 اور x <0 غیر متغیر کے ساتھ چھوڑ دیتا ہے۔ دوسری شرط یہ ہے کہ گروپ جی سی توسیعی پیچیدہ سطح پر موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے کام کرتا ہے۔ ذیلی گروپ G یونٹ ڈسک D کے آٹومورفزم کے طور پر کام کرتا ہے۔ Gc کا ایک سیمی گروپ H، جس پر پہلے غور کیا جاتا ہے، کی تعریف ہندسی حالت سے کی جا سکتی ہے: سیمی گروپ کو شنک C کے لحاظ سے واضح طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: درحقیقت میٹرکس X کو G کے ایک عنصر کے ذریعے میٹرکس کے ساتھ جوڑ دیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس اگر جی ایچ میں واقع ہے تو یہ بند یونٹ ڈسک کو اس کے اندرونی حصے میں ایک چھوٹی بند ڈسک پر لے جاتا ہے۔ G کے عنصر سے جڑے ہوئے، چھوٹی ڈسک کو مرکز 0 کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ لیکن پھر مناسب y کے لیے، عنصر D کو اپنے اوپر لے جاتا ہے لہذا G میں ہوتا ہے۔ اسی طرح کی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ H کی بندش، جو کہ ایک سیمی گروپ بھی ہے، اس کے ذریعے دی گئی ہے۔ کنجوگیسی پر مذکورہ بالا بیان سے، یہ اس طرح ہوتا ہے کہ اگر تب سے مؤخر الذکر ٹرانسپوز لے کر حاصل کیا جاتا ہے اور اندراجات ±1 کے ساتھ ڈائیگنل میٹرکس کے ذریعے کنجوگیٹ کیا جاتا ہے۔ لہذا H پر بھی مشتمل ہے جو الٹا میٹرکس دیتا ہے اگر اصل میٹرکس ایس یو (1,1) میں ہے۔ کنجگسی پر ایک اور نتیجہ یہ نوٹ کرنے کے بعد آتا ہے کہ H کے ہر عنصر کو D میں ایک نقطہ طے کرنا چاہیے، جسے G کے عنصر کے ساتھ کنجگیشن کے ذریعے 0 لیا جا سکتا ہے۔ پھر H کے عنصر کی شکل ہوتی ہے اس طرح کے نچلے مثلث میٹرکس کا مجموعہ H کا ایک ذیلی گروپ H0 بناتا ہے۔ چونکہ H0 میں ہر میٹرکس H0 میں میٹرکس M کے ذریعہ ایک اخترن میٹرکس سے منسلک ہوتا ہے۔ اسی طرح H میں ہر ایک پیرامیٹر سیمی گروپ S (t) D میں ایک ہی نقطہ طے کرتا ہے لہذا G کے عنصر کے ذریعہ H0 میں ایک پیرامیٹر سیمی گروپ میں جوڑ دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد H0 میں ایک میٹرکس M ہے جو کہ S0 (t) ڈائیگنل کے ساتھ ہے۔ اسی طرح H0 میں ایک میٹرکس N اس طرح ہے کہ سیمی گروپ H0 پیچیدہ نچلے مثلث میٹرکس کے ذیلی گروپ L کو ڈیٹرمیننٹ 1 کے ساتھ پیدا کرتا ہے (جو کہ اوپر دیے گئے فارمولے کے ذریعے a  ऒत्त 0 کے ساتھ دیا گیا ہے)۔ اس کا لائ الجبرا فارم کے میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے۔ خاص طور پر ایک پیرامیٹر سیمی گروپ ایکسپس ٹی زیڈ تمام ٹی> 0 کے لیے H0 میں ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں اگر اور صرف اس صورت میں۔ یہ H کے معیار سے یا براہ راست فارمولے سے آتا ہے۔ ایکسپونینشل نقشہ اس معاملے میں سرجیکٹو نہیں جانا جاتا ہے، حالانکہ یہ پورے گروپ L پر سرجیکٹو ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اسکوائرنگ آپریشن H میں سرجیکٹو نہیں ہے۔ درحقیقت، چونکہ کسی عنصر کا مربع صرف اس صورت میں 0 طے کرتا ہے جب اصل عنصر 0 طے کرتا ہے، یہ H0 میں اسے ثابت کرنے کے لیے کافی ہے۔ |α | <1 کے ساتھ α لیں اور اگر a = α2 اور اس کے ساتھ میٹرکس کا H0 میں کوئی مربع جڑ نہیں ہے۔ دوسری طرف، بند سیمی گروپ ایس ایل (2، سی) میں زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے: کوئی بھی بڑا سیمی گروپ پورا ایس ایل (2، سی) ہونا چاہیے۔ نظریاتی طبیعیات سے متاثر کمپیوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے سیمی گروپ متعارف کرایا گیا، جس کی تعریف عدم مساوات کے ایک سیٹ کے ذریعے کی گئی۔ ایک کمپریشن سیمی گروپ کے طور پر شناخت کے بغیر، انہوں نے کی زیادہ سے زیادہ صلاحیت قائم کی۔ کمپریشن سیمی گروپ کے طور پر تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، زیادہ سے زیادہ یہ جانچنا کم ہو جاتا ہے کہ جب اس میں نئی فریکشنل تبدیلی شامل کی جاتی ہے تو کیا ہوتا ہے۔ ثبوت کا خیال دو ڈسکس کی پوزیشنوں پر غور کرنے پر منحصر ہے اور۔ اہم معاملات میں، یا تو ایک ڈسک دوسری پر مشتمل ہوتی ہے یا وہ جداگانہ ہوتی ہیں۔ آسان ترین صورتوں میں، اسکیلنگ ٹرانسفارمیشن کا الٹا ہے یا۔ دونوں صورتوں میں اور 1 کا کھلا پڑوس پیدا کریں اور اس لیے پورے SL (2، C) نے بعد میں زیادہ سے زیادہ ثابت کرنے کا ایک اور براہ راست طریقہ پیش کیا جس میں پہلے یہ دکھایا گیا کہ S میں ایک g ہے جو ڈسک Dc پر D بھیج رہا ہے، |z |> 1۔ درحقیقت اگر تب D میں ایک چھوٹی ڈسک D1 ایسی ہو کہ xD1 Dc میں ہو۔ پھر H میں کچھ h کے لیے، D1 = hD۔ اسی طرح H میں کچھ y کے لیے yxD1 = Dc۔ تو g = yxh S میں ہے اور D کو Dc پر بھیجتا ہے۔ اس کے بعد جی 2 یونٹ ڈسک ڈی کو ٹھیک کرتا ہے لہذا ایس یو (1,1) میں ہوتا ہے۔ تو g−1 S میں ہے۔ اگر t H میں ہے تو tgD میں gD ہوتا ہے۔ لہذا t−1 S میں واقع ہے اور اس لیے S 1 کے کھلے پڑوس پر مشتمل ہے۔ لہذا S = SL (2، C)۔ بالکل وہی دلیل Rn اور کھلے سیمی گروپ پر موبیئس تبدیلیوں کے لیے کام کرتی ہے جو بند اکائی کے دائرے | |x | | ≤1 کو کھلے اکائی کے دائرے میں لے جاتی ہے۔ بندش تمام موبیئس تبدیلیوں کے گروپ میں ایک زیادہ سے زیادہ مناسب سیمی گروپ ہے۔ جب n = 1 ہوتا ہے، تو بندش حقیقی لکیر کی موبیئس تبدیلیوں سے مطابقت رکھتی ہے جو بند وقفہ [-1,1] کو اپنے اندر لے جاتی ہے۔ سیمی گروپ H اور اس کی بندش میں G سے وراثت میں ملنے والی ساخت کا ایک اور ٹکڑا ہوتا ہے، یعنی G پر الٹا ہونا H کے اینٹی آٹومورفزم اور اس کی بندش تک پھیلا ہوا ہے، جو ایکس پی سی اور اس کی بندش میں عناصر کو درست کرتا ہے۔ اینٹی آٹومورفزم کے لیے ایس ایل (2، سی) کے اینٹی آٹومورفزم کے ذریعے دیا جاتا ہے اور اس تک پھیلا ہوا ہے۔ اسی طرح اینٹی آٹومورفزم G1 کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے اور عناصر کو ایکسپ C1 اور اس کی بندش میں طے کرتا ہے، اس لیے اس میں G1 میں سیمی گروپ کے لیے یکساں خصوصیات ہیں۔ ہائزن برگ اور ویل کے تبادلوں کے تعلقات R پر شوارٹز افعال کی جگہ ہونے دیں۔ یہ R پر مربع مربوط افعال کے ہلبرٹ اسپیس L2 (R) میں گھنے ہیں۔ کوانٹم میکانکس کی اصطلاحات کے مطابق، "مومنٹم" آپریٹر P اور "پوزیشن" آپریٹر Q کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ وہاں آپریٹرز ہائزن برگ کے تبادلوں کے تعلق کو پورا کرتے ہیں۔ P اور Q دونوں L2 (R) سے وراثت میں ملنے والے اندرونی پروڈکٹ کے لیے سیلف ایڈجوائنٹ ہیں۔ دو ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپس U (s) اور V (t) کی تعریف اور L2 (R) کی تعریف تعریف کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے، تاکہ رسمی طور پر یہ تعریف سے فوری طور پر ہے کہ ایک پیرامیٹر گروپس U اور V ویل تبادلوں کے تعلق کو پورا کرتے ہیں۔ L2 (R) پر U اور V کی وصولی کو شروڈنگر کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ فورئیر ٹرانسفارم کی تعریف اس کے ذریعے کی گئی ہے۔ یہ اپنی قدرتی ٹوپولوجی کے لیے اپنے اندر ایک مسلسل نقشے کی وضاحت کرتا ہے۔ کنٹور انضمام سے پتہ چلتا ہے کہ فنکشن اس کا اپنا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ دوسری طرف، حصوں کے لحاظ سے ضم کرنا یا انٹیگرل کے تحت تفریق کرنا، اس کے بعد آپریٹر کو ق (اور پی) دونوں کے ساتھ نقل و حرکت کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ دوسری طرف، اور چونکہ اس میں مضمر ہے، یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور اسی وجہ سے اس سے فورئیر الٹ فارمولہ ظاہر ہوتا ہے: اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ فورئیر ٹرانسفارم اپنے آپ میں ایک آئسومورفزم ہے۔ فوبانی تھیوریم کے مطابق جب الٹ فارمولے کے ساتھ ملایا جاتا ہے تو اس کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ فورئیر ٹرانسفارم اندرونی پروڈکٹ کو محفوظ رکھتا ہے اس لیے اپنے آپ میں ایک آئسومیٹری کی وضاحت کرتا ہے۔ کثافت کے لحاظ سے یہ L2 (R) پر ایک یکطرفہ آپریٹر تک پھیلا ہوا ہے، جیسا کہ پلانچریل تھیوریم نے دعوی کیا ہے۔ سٹون وون نیومن تھیوریم فرض کریں کہ ہلبرٹ اسپیس پر U (s) اور V (t) ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپ ہیں جو ویل کمیوٹیشن تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں۔ درحقیقت، اگر ایف ڈی ایس اور جی ڈی ٹی کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ امکانی اقدامات کی وضاحت کرتے ہیں، تو اسمیئرڈ آپریٹرز مطمئن ہوتے ہیں اور مضبوط آپریٹر ٹوپولوجی میں شناختی آپریٹر میں ضم ہو جاتے ہیں اگر اقدامات کی سپورٹ 0 تک کم ہو جاتی ہے۔ چونکہ U (f) V (g) کی شکل T (F) ہے، اس کے بعد غیر انحطاط ہوتا ہے۔ L2 (R) پر شروڈنگر کی نمائندگی کب ہوتی ہے، آپریٹر T (F) کی طرف سے دی جاتی ہے۔ اس فارمولے سے پتہ چلتا ہے کہ U اور V مشترکہ طور پر شروڈنگر کی نمائندگی پر ناقابل تلافی طور پر کام کرتے ہیں کیونکہ یہ کارنلز کے ذریعہ دیئے گئے آپریٹرز کے لیے درست ہے جو کہ شوارٹز فنکشن ہیں۔ لکیری کینونکل ٹرانسفارمیشنز کے ذریعے ایک ٹھوس وضاحت فراہم کی جاتی ہے۔ اس کے برعکس ویل کے تبادلوں کے تعلقات کی نمائندگی کو دیکھتے ہوئے، یہ دانا آپریٹرز کے *-الجبرا کی غیر انحطاطی نمائندگی کو جنم دیتا ہے۔ لیکن اس طرح کی تمام نمائشیں L2 (R) کی نقلوں کے آرتھوگنل براہ راست مجموعہ پر ہوتی ہیں جس میں ہر کاپی پر کارروائی ہوتی ہے جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے۔ یہ اس ابتدائی حقیقت کی سیدھی سی عمومی شکل ہے کہ N × N میٹرکس کی نمائندگی CN پر معیاری نمائندگی کے براہ راست مجموعے پر ہوتی ہے۔ میٹرکس یونٹس کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت لامحدود جہتوں میں یکساں طور پر اچھی طرح سے کام کرتا ہے۔ ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپس U اور V ہر جزو کو غیر متغیر چھوڑتے ہیں، جس سے شروڈنگر کی نمائندگی پر معیاری عمل کو متاثر کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر اس سے اسٹون ون نیومن تھیوریم کا مطلب نکلتا ہے: شروڈنگر کی نمائندگی ہلبرٹ اسپیس پر ویل کے تبادلوں کے تعلقات کی منفرد ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ ایس ایل (2، آر) کی آسکیلیٹر نمائندگی دی گئی ہے کہ یو اور وی ویل کے تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں، وضاحت کریں پھر تاکہ ڈبلیو کوکیکل کے ساتھ R2 کی ایک پروجیکٹو یکطرفہ نمائندگی کی وضاحت کرے جہاں اور B R2 پر سمپلیکٹک شکل ہے جو اسٹون وان نیومن تھیوریم کے ذریعہ دی گئی ہے، اس کوکیکل کے مطابق ایک منفرد ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اگر g R2 کی آٹومورفزم ہے جو شکل B کو محفوظ رکھتی ہے، یعنی۔ ایس ایل (2، آر) کا ایک عنصر، پھر ایل 2 (آر) پر ایک یک جہتی π (جی) ہوتی ہے جو کوویرینس کے تعلق کو مطمئن کرتی ہے۔ شور کے لیما کے ذریعہ یک جہتی π (جی) ایک اسکیلر ζ کے ذریعہ |ζ | = 1 کے ساتھ ضرب تک منفرد ہے، تاکہ π ایس ایل (2، آر) کی پروجیکٹو یک جہتی نمائندگی کی وضاحت کرے۔ یہ صرف شروڈنگر کی نمائندگی کی ناقابل تلافی کا استعمال کرتے ہوئے براہ راست قائم کیا جا سکتا ہے۔ ناقابل تخفیف اس حقیقت کا براہ راست نتیجہ تھا کہ K a Schwartz فنکشن والے آپریٹرز بالکل Schwartz فنکشن والے دانے کے ذریعہ دیئے گئے آپریٹرز سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ ہلبرٹ-شمڈٹ آپریٹرز کی جگہ میں گھنے ہوتے ہیں، جو، چونکہ اس میں محدود رینک آپریٹرز ہوتے ہیں، اس لیے ناقابل تلافی طور پر کام کرتے ہیں۔ π کا وجود صرف شروڈنگر کی نمائندگی کی ناقابل کٹوتی کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ آپریٹر ایک نشان تک منفرد ہوتے ہیں تاکہ ایس ایل (2، آر) کی پروجیکٹو نمائندگی کے لیے 2-سائیکل ± 1 اقدار لے۔ در حقیقت گروپ ایس ایل (2، آر) فارم کے میٹرکس کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے اور اس کی براہ راست تصدیق کی جا سکتی ہے کہ مندرجہ ذیل آپریٹرز اوپر کے کوویرینس تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں: جنریٹر جی آئی مندرجہ ذیل بروہاٹ تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں، جو گروپ ایس ایل (2، آر) کی منفرد وضاحت کرتے ہیں: براہ راست حساب سے تصدیق کی جا سکتی ہے کہ یہ تعلقات متعلقہ آپریٹرز کے ذریعہ ایک نشان تک مطمئن ہیں، جو یہ ثابت کرتا ہے کہ کوکیکل اقدار ± 1 لیتا ہے۔ ایس ایل (2، آر) کے ڈبل کور کے طور پر میٹاپلیکٹک گروپ کی واضح تعمیر کا استعمال کرتے ہوئے ایک اور تصوراتی وضاحت ہے۔ ایس ایل (2، آر) اوپری نصف طیارہ ایچ پر موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے کام کرتا ہے۔ مزید برآں، اگر اس کے بعد فنکشن 1-سائیکل کے تعلق کو مطمئن کرتا ہے۔ ہر جی کے لیے، فنکشن ایم (جی، زیڈ) ایچ پر غیر معدوم ہوتا ہے اور اس لیے اس کے دو ممکنہ ہولومورفک مربع جڑ ہوتے ہیں۔ میٹاپلیکٹک گروپ کو گروپ کے طور پر بیان کیا گیا ہے تعریف کے مطابق یہ ایس ایل (2، آر) کا ڈبل کور ہے اور منسلک ہے۔ ضرب اس طرح دی جاتی ہے کہ میٹاپلیکٹک گروپ کے کسی عنصر g کے لیے ایک منفرد طور پر طے شدہ فنکشن m (g، z) 1/2 ہے جو 1-سائیکل کے تعلق کو مطمئن کرتا ہے۔ اگر، تو L2 میں واقع ہے اور اسے مربوط حالت کہا جاتا ہے۔ یہ افعال ایس ایل (2، آر) کے ایک واحد مدار میں ہوتے ہیں جو ایس ایل (2، آر) میں جی کے لیے پیدا ہوتے ہیں۔ مزید خاص طور پر اگر جی ایم پی (2، آر) میں ہوتا ہے تو درحقیقت، اگر یہ جی اور ایچ کے لیے ہوتا ہے، تو یہ ان کے پروڈکٹ کے لیے بھی ہوتا ہے۔ دوسری طرف، فارمولے کو آسانی سے چیک کیا جاتا ہے کہ آیا جی ٹی کی شکل جی آئی ہے اور یہ جنریٹر ہیں۔ یہ میٹاپلیکٹک گروپ کی ایک عام یک جہتی نمائندگی کی وضاحت کرتا ہے۔ عنصر (1،-1) ایل 2 (آر) پر-1 سے ضرب کے طور پر کام کرتا ہے، جس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ایس ایل (2، آر) پر کوکیکل صرف اقدار ± 1 لیتا ہے۔ ماسلوف انڈیکس جیسا کہ اس میں بیان کیا گیا ہے، ایس ایل (2، آر) پر 2-سائیکل میٹاپلیکٹک نمائندگی سے وابستہ ہے، جس کی اقدار ± 1 ہیں، اس کا تعین ماسلوف انڈیکس سے ہوتا ہے۔ طیارہ میں تین غیر صفر ویکٹرز u، v، w کو دیکھتے ہوئے، ان کے ماسلوف انڈیکس کو R3 پر مسلوف انڈیکس کی خصوصیات کے ذریعہ بیان کردہ کواڈریٹک فارم کے دستخط کے طور پر بیان کیا گیا ہے: یہ ویکٹرز کے ذریعہ پھیلی ہوئی ایک جہتی ذیلی جگہوں پر منحصر ہے۔ یہ SL (2، R) کے تحت غیر متغیر ہے، یہ اپنے دلائل میں باری باری ہے، یعنی۔ اس کی علامت بدل جاتی ہے اگر دو دلائل آپس میں بدل جاتے ہیں تو یہ غائب ہو جاتا ہے اگر دو ذیلی جگہیں موافق ہو جائیں تو یہ اقدار-1، 0 اور + 1 لے لیتا ہے: اگر u اور v B (u, v) = 1 اور w = au + bv کو مطمئن کرتے ہیں، تو ماسلوو انڈیکس صفر ہے اگر ab = 0 اور بصورت دیگر مائنس کے برابر ہے۔ غیر صفر ویکٹر u0 کو چننا، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ فنکشن SL (2، R) پر 2-سائیکل کی وضاحت کرتا ہے جس کی اقدار اتحاد کی آٹھویں جڑوں میں ہوتی ہیں۔ 2-سائیکل کی ترمیم کو ± 1 میں اقدار کے ساتھ 2-سائیکل کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کہ میٹاپلیکٹک کوکیکل سے منسلک ہے۔ در حقیقت ہوائی جہاز میں غیر صفر ویکٹر u، v دیئے جانے پر، f (u، v) کو B (u، v) کی علامت کا i گنا قرار دیں اگر u اور v متناسب نہیں ہیں تو λ کی علامت اگر u = λv۔ اگر پھر میٹاپلیکٹک نمائندگی میں نمائندوں π (g) کا انتخاب اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ جہاں 2-سائیکل ω کو ہولومورفک فوک اسپیس ہولومورفک فوک اسپیس (جسے سیگل-برگمین اسپیس بھی کہا جاتا ہے) کے ساتھ دیا جاتا ہے، اس کی تعریف سی پر ہولومورفک افعال f (z) کی ویکٹر اسپیس کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس کا اندرونی پروڈکٹ آرتھونورمل بنیاد کے ساتھ ہلبرٹ اسپیس ہے۔ مزید برآں، ہولومورفک فنکشن کی پاور سیریز کی توسیع اس بنیاد کے حوالے سے اس کی توسیع دیتی ہے۔ اس طرح سی میں زیڈ کے لیے تاکہ زیڈ پر تشخیص ایک مسلسل لکیری فنکشنل فراہم کرے۔ حقیقت میں جہاں اس طرح خاص طور پر ایک دوبارہ پیدا کرنے والا دانا ہلبرٹ اسپیس ہے۔ سی میں f in اور z کے لیے وضاحت کریں پھر اس سے ویل تبادلوں کے تعلقات کی یک جہتی نمائندگی ملتی ہے۔ اب اس سے پتہ چلتا ہے کہ نمائندگی ناقابل تلافی ہے۔ درحقیقت، تمام Ea کے لیے کسی بھی آرتھوگنل فنکشن کو ختم ہونا چاہیے، تاکہ ان کا لکیری دورانیہ گھنے ہو۔ اگر P ایک آرتھوگنل پروجیکشن ہے جو W (z) کے ساتھ آتا ہے، تو فرض کریں کہ f = PE0 ہے۔ پھر اس شرط کو پورا کرنے والا واحد ہولومورفک فنکشن مستقل فنکشن ہے۔ تو λ = 0 یا 1 کے ساتھ۔ چونکہ E0 چکور ہے، اس لیے اس کے بعد P = 0 یا I آتا ہے۔ اسٹون-وون نیومن تھیوریم کے مطابق ایل 2 (آر) سے ایک یکطرفہ آپریٹر ہے، جو ایک اسکیلر کے ذریعہ ضرب تک منفرد ہے، جو ویل تبادلوں کے تعلقات کی دو نمائندگی کو آپس میں جوڑتا ہے۔ شور کے لیما اور گیلفینڈ-نیمارک کی تعمیر سے، کسی بھی ویکٹر کا میٹرکس گتانک ایک اسکیلر ملٹیپل تک ویکٹر کا تعین کرتا ہے۔ چونکہ F = E0 اور f = H0 کے میٹرکس کوفیشنٹس برابر ہیں، اس لیے یکسانیت کا تعین منفرد طور پر خصوصیات کے ذریعے کیا جاتا ہے اور اس لیے L2 (R) میں f کے لیے تاکہ جہاں آپریٹر کو سیگل-برگمین ٹرانسفارم کہا جائے اور B کو برگمین کرنل کہا جائے۔ کا ملحقہ فارمولا کے ذریعہ دیا گیا ہے: فوک ماڈل ہولومورفک فوک اسپیس پر ایس یو (1,1) کے عمل کو اور کے ذریعہ بیان کیا گیا تھا۔ ایس یو (1,1) کے میٹاپلیکٹک ڈبل کور کو واضح طور پر جوڑوں (جی، γ) کے ساتھ اور اگر جی = جی 1 جی 2 کے طور پر بنایا جا سکتا ہے، تو پھر |z | <1 کے لیے (1 + زیڈ) 1/2 کی پاور سیریز کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے۔ میٹاپلیکٹک نمائندگی اس گروپ کی یکطرفہ نمائندگی π (g، γ) ہے جو کوویرینس تعلقات کو مطمئن کرتی ہے جہاں چونکہ ایک دوبارہ پیدا کرنے والا دانا ہلبرٹ اسپیس ہے، اس پر کوئی بھی باؤنڈ آپریٹر T اس کے دو دلائل کی پاور سیریز کے ذریعہ دیئے گئے دانے سے مطابقت رکھتا ہے۔ در حقیقت اگر اور F اندر ہے، تو کوویرینس تعلقات اور دانا کی تجزیات کا مطلب یہ ہے کہ S = π (g، γ) کے لیے، کچھ مستقل C کے لیے۔ براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ڈبل کور کی عام نمائندگی کی طرف لے جاتا ہے۔ مربوط حالتوں کو دوبارہ میٹاپلیکٹک گروپ کے تحت E0 کے مدار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ڈبلیو کمپلیکس کے لیے، سیٹ کریں پھر اگر اور صرف اگر |w | <1۔ خاص طور پر F0 = 1 = E0۔ مزید برآں، جہاں اسی طرح افعال zFw واقع ہوتے ہیں اور میٹاپلیکٹک گروپ کے مدار کی تشکیل کرتے ہیں: چونکہ (Fw، E0) = 1، فنکشن E0 = 1 کا میٹرکس گتانک ڈسک ماڈل کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ L2 (R) پر SL (2، R) کی پروجیکٹو نمائندگی یا دو ناقابل تلافی نمائندگی کے براہ راست مجموعہ کے طور پر تقسیم ہونے پر، x یا z کے یکساں اور عجیب افعال کے مطابق۔ یونٹ ڈسک پر ہولومورفک افعال کی ہلبرٹ خالی جگہوں پر دونوں نمائندگی کا احساس کیا جا سکتا ہے ؛ یا، کیلی ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے، اوپری نصف سطح پر۔ یکساں افعال ہولومورفک افعال F + سے مطابقت رکھتے ہیں جس کے لیے محدود ہے ؛ اور ہولومورفک افعال F-کے لیے عجیب افعال جن کے لیے محدود ہے۔ ان تاثرات کی پولرائزڈ شکلیں اندرونی مصنوعات کی وضاحت کرتی ہیں۔ میٹاپلیکٹک گروپ کا عمل ان نمائندوں کی ناقابل کٹوتی کے ذریعہ دیا جاتا ہے جو ایک معیاری طریقے سے قائم کیا جاتا ہے۔ ہر نمائندگی گردش گروپ کے ایک جہتی آئجین اسپیس کے براہ راست مجموعہ کے طور پر ٹوٹ جاتی ہے جس میں سے ہر ایک پورے گروپ کے لیے C ≤ ویکٹر کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کوئی بھی بند غیر متغیر ذیلی جگہ الجبرائی براہ راست اس پر مشتمل جگہوں کے مجموعے سے پیدا ہوتی ہے اور یہ کہ یہ رقم لائ الجبرا کے لامحدود عمل کے تحت غیر متغیر ہے۔ دوسری طرف، یہ عمل ناقابل تلافی ہے۔ یکساں اور عجیب افعال کے ساتھ آئسومورفزم کو گیلفینڈ-نیمارک کی تعمیر کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے کیونکہ متعلقہ نمائندگی میں 1 اور z سے وابستہ میٹرکس کوفیشنٹس متناسب ہوتے ہیں۔ نقشہ جات سے لے کر یکساں اور عجیب حصوں سے لے کر یونٹ ڈسک پر افعال تک ایک اور طریقہ دیا۔ یہ نقشے اوپر دیئے گئے میٹاپلیکٹک گروپ کے اعمال کو آپس میں جوڑتے ہیں اور Zn کو Wn کے ایک سے زیادہ پر بھیجتے ہیں۔ اس بات کا اشارہ کرتے ہوئے کہ U ± یک جہتی ہونا چاہیے، ڈسک پر افعال پر اندرونی مصنوعات کا تعین کرتا ہے، جس کا اظہار اوپر کی شکل میں کیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ ان نمائندگی میں آپریٹر L0 میں مثبت سپیکٹرم ہوتا ہے-وہ خصوصیت جو ایس یو (1,1) کی ہولومورفک مجرد سیریز کی نمائندگی کو ممتاز کرتی ہے-نمائندگی میٹاپلیکٹک گروپ کی مجرد سیریز میں نہیں ہوتی ہے۔ درحقیقت، نوٹ کیا گیا کہ میٹرکس کوفیشنٹس مربع انٹیگریبل نہیں ہیں، حالانکہ ان کی تیسری طاقت ہے۔ ہارمونک آسکیلیٹر اور ہرمائیٹ افعال L2 (R) کی درج ذیل ذیلی جگہ پر غور کریں: X پر عمل کرنے والے آپریٹرز کو اناہیلیشن آپریٹر اور Y تخلیق آپریٹر کہا جاتا ہے۔ وہ افعال کو پورا کرتے ہیں۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ وہ ہارمونک آسکیلیٹر، D کے آئجن فنکشن ہیں۔ یہ ثابت کرنے کے لیے ہم اوپر کے تبادلوں کے تعلقات کا استعمال کرتے ہیں: اگلا ہمارے پاس ہے: یہ n = 0 کے لیے جانا جاتا ہے اور پیداوار سے اوپر کا تبادلوں کا تعلق۔ nth ہرمائیٹ فنکشن کی تعریف pn سے کی جاتی ہے جسے nth ہرمائیٹ کثیرالجہتی کہا جاتا ہے۔ اس طرح آپریٹرز P، Q یا مساوی طور پر A، A * ایک معیاری دلیل کے ذریعے ناقابل تلافی طور پر کام کرتے ہیں۔ درحقیقت، ہولومورفک فوک اسپیس کے ساتھ یونٹری آئسومورفزم کے تحت سی [زیڈ] کے ساتھ شناخت کی جا سکتی ہے، زیڈ میں کثیر الجہتی کی جگہ، کے ساتھ۔ اگر اے اور اے * کے تحت ایک ذیلی جگہ غیر صفر کثیر الجہتی پی (زیڈ) پر مشتمل ہے، تو، اے * کی طاقت کا اطلاق کرتے ہوئے، اس میں ایک غیر صفر مستقل ہوتا ہے۔ اس کے بعد اے کی طاقت کا اطلاق کرتے ہوئے، اس میں تمام زیڈ این ہوتے ہیں۔ آئسومورفزم کے تحت Fn کو zn کے ایک سے زیادہ پر بھیجا جاتا ہے اور آپریٹر D کو لیٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے تاکہ طبیعیات A کی اصطلاح میں، A * ایک واحد بوسون دے اور L0 توانائی آپریٹر ہے۔ یہ آئجین ویلیوز 1/2، 1، 3/2، کے ساتھ اخترن پذیر ہے، ہر ایک کی ضرب ایک ہے۔ اس طرح کی نمائندگی کو مثبت توانائی کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ مزید برآں، تاکہ L0 کے ساتھ Lie بریکٹ A، A * اور I کے ذریعے پھیلے ہوئے Lie الجبرا کی مشتق کی وضاحت کرتا ہے۔ L0 سے منسلک ہونے سے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ملتا ہے۔ اسٹون ون نیومن تھیوریم کے لامحدود ورژن میں کہا گیا ہے کہ C [z] پر مذکورہ بالا نمائندگی L0 = A * A + 1/2 کے ساتھ اس لائ الجبرا کی منفرد ناقابل تلافی مثبت توانائی کی نمائندگی ہے۔ A توانائی کو کم کرتا ہے اور A * توانائی کو بڑھاتا ہے۔ لہذا کسی بھی سب سے کم توانائی ویکٹر v کو A کے ذریعے ختم کیا جاتا ہے اور ماڈیول A * کی طاقتوں کے ذریعے ختم ہو جاتا ہے جو v پر لاگو ہوتی ہے۔ اس طرح یہ C [z] کا غیر صفر حصّہ ہے اور اس لیے اس کی شناخت ناقابل کٹوتی کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس طرح کریں کہ یہ آپریٹر مطمئن ہوں: اور لائ الجبرا پر مشتقات کے ذریعے عمل کریں جو A، A * اور I کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ وہ ایس یو (1,1) کی میٹاپلیکٹک نمائندگی سے مطابقت رکھنے والے لامحدود آپریٹر ہیں۔ فنکشنز Fn کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ ہرمائیٹ فنکشنز وہ آرتھونورمل بنیاد ہیں جو گرام-شمڈٹ آرتھونورملائزیشن کے عمل کو xn ایکسپ-x2/2 کی بنیاد پر لاگو کرکے حاصل کی جاتی ہیں۔ ہرمائیٹ افعال کی تکمیل اس حقیقت سے ہوتی ہے کہ برگمین ٹرانسفارم یک جہتی ہے اور ہولومورفک فاک اسپیس کی آرتھونورمل بنیاد این (زیڈ) کو ایچ این (ایکس) پر لے جاتا ہے۔ ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے ہیٹ آپریٹر L2 (R) پر آپریٹر ہے جس کی تعریف ڈائیگنل آپریٹر کے طور پر کی گئی ہے۔ یہ مہلر کے فارمولے کے ذریعے دی گئی ہیٹ کرنل سے مطابقت رکھتا ہے: یہ فارمولے سے درج ذیل ہے۔ اس فارمولے کو ثابت کرنے کے لیے نوٹ کریں کہ اگر s = σ2 ہے، تو ٹیلر کے فارمولے کے ذریعے۔ اس طرح Fσ، x ہولومورفک فوک اسپیس میں ہے اور ایک اندرونی پروڈکٹ ہے جس کا براہ راست حساب لگایا جا سکتا ہے۔ مہلر کا فارمولا براہ راست قائم کرتا ہے اور یہ ثابت کرنے کے لیے ایک کلاسیکی دلیل کا استعمال کرتا ہے کہ L2 (R) میں f کا رجحان ہوتا ہے کیونکہ t 0 تک کم ہوتا ہے۔ یہ ہرمائیٹ افعال کی تکمیل کو ظاہر کرتا ہے اور چونکہ اسے فورئیر ٹرانسفارم کی خصوصیات حاصل کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہرمائیٹ افعال کی تکمیل کو ثابت کرنے کے لیے دیگر ابتدائی طریقے ہیں، مثال کے طور پر فورئیر سیریز کا استعمال۔ سوبولیف خالی جگہیں Hs، جسے بعض اوقات ہرمائیٹ-سوبولیف خالی جگہیں کہا جاتا ہے، کو ان اصولوں کے حوالے سے تکمیل کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جہاں ہرمائیٹ افعال میں f کی توسیع ہوتی ہے۔ اس طرح سوبولیو خالی جگہیں ہلبرٹ خالی جگہیں ہیں۔ مزید برآں، Hs اور H-s جوڑی کے تحت دوہری حالت میں ہیں۔ درحقیقت، اس طرح کی عدم مساوات کو ہرمائیٹ افعال ایچ این پر کام کرنے والے تخلیق اور تباہی کے آپریٹرز کے لیے چیک کیا جا سکتا ہے اور اس سے عمومی عدم مساوات کا پتہ چلتا ہے۔ یہ دوہری طرف سے صوابدیدی s کے لیے پیروی کرتا ہے۔ نتیجتا، P اور Q میں ایک کواڈریٹک کثیر الجہتی R کے لیے سوبولیو عدم مساوات Hs میں f کے لیے s> 1/2 کے ساتھ ہوتی ہے: کسی بھی k ≤ 0 کے لیے۔ درحقیقت، عام k کا نتیجہ k = 0 کیس سے آتا ہے جو Qkf پر لاگو ہوتا ہے۔ k = 0 کے لیے فورئیر الٹ فارمولہ کا مطلب ہے اگر s <t، D کی اخترن شکل، یہ ظاہر کرتی ہے کہ Hs میں Ht کی شمولیت کمپیکٹ ہے (ریلیک کا لیما)۔ یہ سوبولیو کی عدم مساوات سے ملتا ہے کہ خالی جگہوں کا چوراہا ایچ ایس ہے۔ افعال میں ان کے ہرمائیٹ کوفیشنٹس کے تیزی سے گرنے کی خصوصیت ہوتی ہے۔ معیاری دلائل سے پتہ چلتا ہے کہ ہر سوبولیو جگہ آپریٹرز W (z) اور میٹاپلیکٹک گروپ کے تحت غیر متغیر ہے۔ درحقیقت، جب g شناخت کے کافی قریب ہو تو انواریینس کی جانچ کرنا کافی ہے۔ اسی طرح U (s) V (t) f کی کل ڈگری k کے جزوی مشتق s-k/2 ترتیب کے سوبولیو خالی جگہوں میں ہوتے ہیں۔ نتیجتا، P اور Q میں 2k ترتیب کا ایک مونومیل f پر لاگو ہوتا ہے جو Hs-k میں ہوتا ہے اور اس کا اظہار U (s) V (t) f ڈگری ≤ 2k کے جزوی مشتقات کے لکیری امتزاج کے طور پر کیا جا سکتا ہے جس کا اندازہ 0 پر کیا جاتا ہے۔ ہموار ویکٹر ویل تبادلوں کے تعلقات کے لیے ہموار ویکٹر وہ ہوتے ہیں جو ایل 2 (آر) میں ایسے ہوتے ہیں کہ نقشہ ہموار ہوتا ہے۔ یکساں باؤنڈنیس تھیوریم کے مطابق، یہ اس ضرورت کے مساوی ہے کہ ہر میٹرکس گتانک (W (z) u، v) ہموار ہو۔ ایک ویکٹر ہموار ہوتا ہے اگر اور صرف اس میں ہوتا ہے۔ استطاعت واضح ہے۔ ضرورت کے لیے، ہموار ہونے کا مطلب یہ ہے کہ W (z) u کے جزوی مشتقات L2 (R) میں ہوتے ہیں اور اس لیے تمام مثبت k کے لیے Dku بھی۔ اس لیے u Hk کے چوراہے پر ہوتا ہے، اس طرح اندر۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ میٹاپلیکٹک گروپ کے لیے ہموار ویکٹر بھی ہموار ہوتے ہیں۔ مزید برآں، ایک ویکٹر صرف اس صورت میں ہے جب وہ ایس یو (1,1) کے گردش ذیلی گروپ کے لیے ہموار ویکٹر ہو۔ تجزیاتی ویکٹر اگر Π (t) ایک پیرامیٹر یکطرفہ گروپ ہے اور f کے لیے تو ویکٹر Π (f) φ، Π کے لیے ہموار ویکٹر کا ایک گھنے سیٹ بناتے ہیں۔ در حقیقت ویکٹروں کو لے کر v = Π (fε) x کو x میں بدل جاتا ہے کیونکہ ε گھٹ کر 0 ہو جاتا ہے اور یہ t کا ایک تجزیاتی فعل ہے جو C پر پورے فعل تک پھیلا ہوا ہے۔ ویکٹر کو Π کے لیے ایک مکمل ویکٹر کہا جاتا ہے۔ ہارمونک آسکیلیٹر سے وابستہ لہر آپریٹر کی تعریف اس کے ذریعہ کی گئی ہے۔ آپریٹر ہرمائیٹ افعال Hn کے ساتھ آئجن فنکشن کے طور پر اخترن ہے: چونکہ یہ D کے ساتھ سفر کرتا ہے، اس لیے یہ سوبولیو خالی جگہوں کو محفوظ رکھتا ہے۔ اوپر بنائے گئے تجزیاتی ویکٹروں کو ہرمیٹ سیمی گروپ کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ یہ حقیقت کہ v، Π کے لیے ایک مکمل ویکٹر ہے، تمام r> 0 کے لیے خلاصہ کی حالت کے مساوی ہے۔ اس طرح کا کوئی بھی ویکٹر U (s) V (t) کے لیے بھی ایک مکمل ویکٹر ہوتا ہے، یعنی R2 پر بیان کردہ نقشہ C2 پر تجزیاتی نقشے تک پھیلا ہوا ہے۔ یہ پاور سیریز کے تخمینے کو کم کر دیتا ہے لہذا یہ U (s) V (t) کے لیے پورے ویکٹروں کا ایک گھنے سیٹ بناتے ہیں ؛ اس کی براہ راست مہلر کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے بھی جانچ کی جا سکتی ہے۔ U (s) V (t) کے لیے ہموار اور پورے ویکٹر کی خالی جگہیں تعریف کے لحاظ سے ہر ایک میٹاپلیکٹک گروپ کے ساتھ ساتھ ہرمائیٹ سیمی گروپ کے عمل کے تحت غیر متغیر ہیں۔ آئیے R2 سے C2 تک آپریٹرز W (x, y) کا تجزیاتی تسلسل اس طرح ہو کہ پھر W پورے ویکٹروں کی جگہ کو غیر متغیر چھوڑ دے اور مطمئن کرے۔ مزید برآں، SL (2, R) میں g کے لیے C2 پر SL (2, R) کی قدرتی کارروائی کا استعمال کرتے ہوئے۔ رسمی طور پر آسکیلیٹر سیمی گروپ اولشانسکی سیمی گروپ ایچ کا ایک قدرتی ڈبل کور ہے، اور اس کی بندش جو میٹاپلیکٹک گروپ کے مطابق ایس یو (1,1) کے ڈبل کور کو بڑھاتی ہے۔ یہ جوڑوں (g، γ) کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں g H یا اس کی بندش کا عنصر ہے اور γ a کا مربع جڑ ہے۔ اس طرح کا انتخاب |z | <1 کے لیے ایک منفرد شاخ کا تعین کرتا ہے۔ ایس ایل (2، آر) میں جی کے لیے یونٹری آپریٹرز π (جی) سی 2 میں یو کے لیے مطمئن کرتے ہیں۔ پیچیدگی SL (2، C) کا ایک عنصر g قابل عمل کہا جاتا ہے اگر کوئی باؤنڈڈ آپریٹر T ایسا ہو کہ یہ اور اس کا ملحقہ W غیر متغیر کے لیے پورے ویکٹر کی جگہ چھوڑ دے، دونوں میں گھنے امیجز ہوں اور C2 میں u کے لیے کوویرینس تعلقات کو پورا کریں۔ لاگو کرنے والے آپریٹر T کا تعین غیر صفر اسکیلر کے ضرب تک منفرد طور پر کیا جاتا ہے۔ قابل عمل عناصر ایک سیمی گروپ بناتے ہیں، جس میں SL (2، R) ہوتا ہے۔ چونکہ نمائندگی میں مثبت توانائی ہوتی ہے، اس لیے t> 0 کے لیے باؤنڈڈ کمپیکٹ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز ایکس پی سی 1 میں گروپ عناصر کو نافذ کرتے ہیں۔ اس کے بعد اولشانسکی سیمی گروپ کے تمام عناصر اور اس کی بندش پر عمل درآمد کیا جاتا ہے۔ اولشنکی سیمی گروپ کی زیادہ سے زیادہ حد کا مطلب یہ ہے کہ ایس ایل (2، سی) کے کسی دوسرے عنصر پر عمل درآمد نہیں کیا جاتا ہے۔ درحقیقت، بصورت دیگر SL (2، C) کا ہر عنصر ایک باؤنڈڈ آپریٹر کے ذریعے نافذ کیا جائے گا، جو t> 0 کے لیے آپریٹرز S0 (t) کی غیر بدلنے کی اہلیت سے متصادم ہوگا۔ شروڈنگر کی نمائندگی میں t> 0 کے لیے آپریٹرز S0 (t) مہلر کے فارمولے کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ وہ سنکچن آپریٹر ہیں، مثبت اور ہر شیٹن کلاس میں۔ مزید برآں، وہ سوبولیو خالی جگہوں میں سے ہر ایک کو غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں۔ تجزیاتی تسلسل کے لیے بھی یہی فارمولا درست ہے۔ یہ براہ راست فوک ماڈل میں دیکھا جا سکتا ہے کہ عمل درآمد کرنے والے آپریٹرز کا انتخاب کیا جا سکتا ہے تاکہ وہ اوپر بنائے گئے H کے ڈبل کور کی ایک عام نمائندگی کی وضاحت کریں۔ سنکچن آپریٹرز کے متعلقہ سیمی گروپ کو آسکیلیٹر سیمی گروپ کہا جاتا ہے۔ توسیعی آسکیلیٹر سیمی گروپ آپریٹرز W (u) کے ساتھ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ آپریٹر ہر شیٹن کلاس میں ہوتے ہیں اور W کے لیے سوبولیو خالی جگہوں اور پورے ویکٹروں کی جگہ کو غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں۔ سڑنا آپریٹر کی سطح پر باؤنڈڈ آپریٹرز کے قطبی سڑنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ مزید برآں، چونکہ H میں کوئی بھی میٹرکس H یا H−1 میں عناصر کے ذریعہ ایک اخترن میٹرکس سے منسلک ہوتا ہے، اس لیے آسکیلیٹر سیمی گروپ میں ہر آپریٹر ایک آپریٹر S0 (t) کے برابر ہوتا ہے۔ خاص طور پر اس میں ایک ہی سپیکٹرم ہے جو سادہ آئجین ویلیوز پر مشتمل ہے۔ فوک ماڈل میں، اگر اولشنکی سیمی گروپ H کا عنصر g میٹرکس سے مطابقت رکھتا ہے تو متعلقہ آپریٹر اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں اور γ a کا مربع جڑ ہے۔ سیمی گروپ H میں g کے لیے آپریٹر π (g، γ) بالکل وہی ہیں جو ہلبرٹ-شمڈٹ آپریٹر ہیں اور اس شکل کے دانے سے مطابقت رکھتے ہیں جس کے لیے پیچیدہ سمیٹرک میٹرکس میں آپریٹر کا معیار سختی سے ایک سے کم ہوتا ہے۔ توسیعی آسکیلیٹر سیمی گروپ میں آپریٹرز کو اسی طرح کے تاثرات کے ذریعے دیا جاتا ہے جس میں اضافی لکیری اصطلاحات z اور w میں ایکسپونینشل میں ظاہر ہوتی ہیں۔ میٹاپلیکٹک نمائندگی کے دو ناقابل تلافی اجزاء کے لیے ڈسک ماڈل میں، متعلقہ آپریٹرز کو اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ شروڈنگر کی نمائندگی میں H میں g سے مطابقت رکھنے والے سنکچن آپریٹرز کے لیے ایک واضح فارمولا دینا بھی ممکن ہے، اس فارمولے کے ذریعے ہی آسلٹر سیمی گروپ کو L2 (R) پر آپریٹرز کے ایک واضح خاندان کے طور پر متعارف کرایا گیا۔ در حقیقت سیگل کے اوپری نصف سطح پر غور کریں جو مثبت قطعی حقیقی حصے کے ساتھ سمیٹرک کمپلیکس 2x2 میٹرکس پر مشتمل ہے: اور L2 (R) میں f کے لیے متعلقہ آپریٹر کے ساتھ دانا کی وضاحت کریں۔ پھر براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے کہ کہاں مزید، جہاں مہرر کا فارمولا اس کے ساتھ کے لیے آسکیلیٹر سیمی گروپ کو صرف میٹرکس لے کر حاصل کیا جاتا ہے جس میں B § 0 ہوتا ہے۔ مذکورہ بالا سے، یہ شرط کمپوزیشن کے تحت بند ہے۔ ایک نارملائزڈ آپریٹر کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ مربع جڑ کا انتخاب ڈبل کور کا تعین کرتا ہے۔ اس صورت میں SZ اولشنکی سیمی گروپ H کے عنصر سے مطابقت رکھتا ہے۔ مزید برآں، SZ ایک سخت سنکچن ہے: اس کے بعد یہ بھی ہے کہ ویل کیلکولس R2 = C پر ایک فنکشن a (x, y) کے لیے، تو جہاں عام طور پر ایسے دو آپریٹرز کے پروڈکٹ کی تعریف اس فارمولے کے ذریعے دی جاتی ہے جہاں ٹوسٹڈ کنولیوشن یا موئل پروڈکٹ F کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ متعلقہ آپریٹرز T کے پاس دانے ہوتے ہیں جو شوارٹز فنکشن ہوتے ہیں۔ وہ ہر سوبولیو جگہ کو شوارٹز افعال میں لے جاتے ہیں۔ مزید برآں، L2 (R) پر اس پراپرٹی والے ہر باؤنڈ آپریٹر کی یہ شکل ہوتی ہے۔ آپریٹرز کے لیے si (a) موئل پروڈکٹ کا ترجمہ ویل علامتی کیلکولس میں ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر a اور b کے فورئیر ٹرانسفارمز کو اس کے بعد کے مقابلے میں کمپیکٹ سپورٹ حاصل ہو کیونکہ اس صورت میں b کو پالی-وینر تھیوریم کے ذریعے C2 پر ایک پورے فنکشن تک پھیلنا چاہیے۔ اس کیلکولس کو علامتوں کی ایک وسیع کلاس تک بڑھایا جا سکتا ہے، لیکن سب سے آسان فنکشن یا تقسیم کی ایک کلاس کے ذریعے ارتقاء سے مطابقت رکھتا ہے جس میں سب کی شکل T + S ہوتی ہے جہاں T کمپیکٹ کی تقسیم ہے جس میں واحد سپورٹ 0 پر مرکوز ہے اور جہاں S ایک شوارٹز فنکشن ہے۔ اس کلاس میں آپریٹرز P، Q کے ساتھ ساتھ D1/2 اور D−1/2 شامل ہیں جہاں D ہارمونک آسکیلیٹر ہے۔ ایم تھ آرڈر کی علامتیں ایس ایم ہموار افعال کے ذریعہ دی جاتی ہیں جو تمام α کے لیے تسلی بخش ہوتی ہیں اور ेडسم ایسے a کے لیے تمام آپریٹرز si (a) پر مشتمل ہوتا ہے۔ اگر a ایس ایم میں ہے اور χ کمپیکٹ سپورٹ کا ایک ہموار فنکشن ہے جو 1 کے قریب 0 کے برابر ہے، تو اوپر T اور S کے ساتھ۔ یہ آپریٹر شوارٹز فنکشنز کو محفوظ رکھتے ہیں اور مطمئن کرتے ہیں ؛ آپریٹر P اور Q، χ1 میں ہوتے ہیں اور D، χ2 میں ہوتا ہے۔ خصوصیات: صفر ترتیب کی علامت L2 (R) پر باؤنڈ آپریٹر کی وضاحت کرتی ہے۔ اگر R = R * ہموار ہو رہا ہے، تو D + R میں (D + R) fn = λnfn کے ساتھ آئجین ویکٹر fn کا ایک مکمل مجموعہ ہوتا ہے اور λn کا رجحان ≈ ہوتا ہے جیسا کہ n کا رجحان ≈ ہوتا ہے۔ D1/2 χ1 میں ہے اور اس لیے D−1/2 χ−1 میں ہے، کیونکہ D−1/2 = D1/2 · D−1 χ−1 کمپیکٹ آپریٹرز پر مشتمل ہوتا ہے، χ−s s> 1 کے لیے ٹریس کلاس آپریٹرز پر مشتمل ہوتا ہے اور χk Hm کو Hm-k میں لے جاتا ہے۔ کی باؤنڈنیس کا ثبوت خاص طور پر آسان ہے: اگر پھر جہاں بریکٹ والے آپریٹر کا معیار اس سے کم ہے۔ لہذا اگر F کو |z | ≤ R میں سپورٹ کیا جاتا ہے، تو D−1 کی خاصیت کو اس کے ساتھ لے کر ثابت کیا جاتا ہے۔ اس لیے یہ म्बा-2 میں ہے کیونکہ D−1T ہموار ہو رہا ہے۔ D1/2 کے لیے پراپرٹی اسی طرح حقیقی علامت کے ساتھ χ1/2 میں B کی تعمیر کرکے قائم کی جاتی ہے جیسے کہ D-B4 ایک ہموار کرنے والا آپریٹر ہے۔ ہولومورفک فنکشنل کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ D1/2-B2 ایک ہموار کرنے والا آپریٹر ہے۔ مندرجہ بالا حد بندی کا نتیجہ البرٹو کالڈرون اور ریمی ویلانکورٹ کی زیادہ عام عدم مساوات کو چھدم تفریقی آپریٹرز کے لیے قائم کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ ایک متبادل ثبوت جو عام طور پر فورئیر انٹیگرل آپریٹرز پر لاگو ہوتا ہے اس کے ذریعہ دیا گیا تھا۔ انہوں نے دکھایا کہ اس طرح کے آپریٹرز کو آسکیلیٹر سیمی گروپ پر انٹیگرلز کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے اور پھر کوٹلر-سٹین لیما کا استعمال کرتے ہوئے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ محدود ابیلین گروپوں کے لیے ایپلی کیشنز اور جنرلائزیشنز تھیوری نے نوٹ کیا کہ اسٹون وان نیومن تھیوریم کی رسمی حیثیت اور سمپلیکٹک گروپ کی آسکیلیٹر نمائندگی حقیقی اعداد R سے لے کر کسی بھی مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ تک پھیلی ہوئی ہے۔ ایک خاص طور پر آسان مثال محدود ابیلین گروپوں کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے، جہاں ثبوت یا تو ابتدائی ہوتے ہیں یا R کے ثبوتوں کو آسان بناتے ہیں۔ فرض کریں کہ A ایک محدود ابیلین گروپ ہے، جسے اضافی طور پر لکھا جاتا ہے، اور فرض کریں کہ Q، A پر ایک غیر انحطاطی کواڈریٹک شکل ہے جس کی اقدار T میں ہیں۔ اس طرح A پر ایک ہم آہنگ دو لکیری شکل ہے جو غیر انحطاطی ہے، لہذا A اور اس کے دوہری گروپ A * = Hom (A, T) کے درمیان شناخت کی اجازت دیتی ہے۔ اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ A پر کمپلیکس ویلیوڈ فنکشنز کی جگہ ہونے دیں۔ V پر آپریٹرز کو x کے لیے متعین کریں، A میں y۔ پھر U (x) اور V (y) A اور V کی یک جہتی نمائندگی ہیں جو تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتی ہیں۔ یہ عمل ناقابل تلافی ہے اور ان تعلقات کی اس طرح کی منفرد ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ فرض کریں کہ G = A × A اور Z = (x, y) کے لیے G سیٹ میں۔ پھر جہاں G پر ایک غیر انحطاط پذیر باری باری دو لکیری شکل ہے۔ اوپر دیے گئے انفرادیت کے نتیجے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر W (z) اکائیوں کا ایک اور خاندان ہے جو G کی پروجیکٹو نمائندگی دیتا ہے تو وہاں ایک یکطرفہ U ہے، جو ایک مرحلے تک منفرد ہے، جیسے کہ T میں کچھ λ (z) کے لیے۔ خاص طور پر اگر g، G کا ایک آٹومورفزم ہے جو B کو محفوظ رکھتا ہے، تو ایک بنیادی طور پر منفرد یکطرفہ π (g) ہوتا ہے کہ اس طرح کے تمام آٹومورفزم کے گروپ کو B کے لیے سمپلیکٹک گروپ کہا جاتا ہے اور π، V پر G کی پروجیکٹو نمائندگی دیتا ہے۔ گروپ SL (2. Z) قدرتی طور پر یہ میٹرکس کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے اگر Z =-I، تو Z مرکزی ہے اور G کے یہ آٹومورفزم مندرجہ ذیل آپریٹرز کے ذریعہ V پر نافذ کیے جاتے ہیں: اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ جہاں μ T میں ہے۔ براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے کہ μ تھیٹا افعال کے لیے گاؤس سم ٹرانسفارمیشن قوانین کے ذریعے دیا گیا ہے۔ میٹاپلیکٹک گروپ کو گروپ کے طور پر بیان کیا گیا تھا۔ مربوط حالت H کے ہولومورفک نقشے کو L2 (R) میں مطمئن کرتی ہے۔ یہ حقیقت میں ہر سوبولیو اسپیس Hk میں ایک ہولومورفک نقشہ ہے اور اسی وجہ سے بھی۔ دوسری طرف، (درحقیقت H-1 میں) SL (2، Z) کے تحت غیر متغیر تقسیم کی ایک محدود جہتی جگہ ہوتی ہے اور جہاں A = Z/NZ پر N-جہتی آسکیلیٹر کی نمائندگی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ در حقیقت m> 0 لیں اور N = 2m سیٹ کریں۔ فرض کریں کہ آپریٹرز U (x)، V (y) M میں x اور y کے ساتھ تمام آمد و رفت کرتے ہیں اور M1 میں b کے ساتھ تقسیم کے ذریعے تشکیل پانے والے فکسڈ ویکٹروں کی ایک محدود جہتی ذیلی جگہ رکھتے ہیں، جہاں χb کی وضاحت کرنے والا مجموعہ یکجا ہوتا ہے اور صرف M1/M میں b کی کلاس پر منحصر ہوتا ہے۔ دوسری طرف، آپریٹر U (x) اور V (y) x کے ساتھ، M1 میں y ایم کے لیے تمام متعلقہ آپریٹرز کے ساتھ کامیوٹ کرتے ہیں۔ تو M1 ذیلی جگہ V0 کو چھوڑ دیتا ہے جو χb غیر متغیر کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ لہذا گروپ A = M1 V0 پر عمل کرتا ہے۔ اس عمل کی شناخت A سے وابستہ N-جہتی آسکیلیٹر کی نمائندگی کے لیے V پر عمل کے ساتھ فوری طور پر کی جا سکتی ہے، کیونکہ آپریٹر π (R) اور π (S) آپریٹرز U اور V کے دو سیٹوں کو M اور M1 کے مطابق معمول پر لاتے ہیں، اس کے بعد وہ V0 کو غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں اور V0 پر A کی آسکیلیٹر کی نمائندگی سے وابستہ آپریٹرز کے مستقل ضرب ہونے چاہئیں۔ درحقیقت وہ ایک ساتھ آتے ہیں۔ R سے یہ تعریفوں سے فوری ہے، جو ظاہر کرتا ہے کہ S کے لیے یہ پوئسون سمیشن فارمولے اور آپریٹرز U) x) اور V (y) کے ساتھ تبادلوں کی خصوصیات کی پیروی کرتا ہے۔ پوئیسن کا خلاصہ کلاسیکی طور پر درج ذیل ثابت ہوتا ہے۔ a> 0 اور f کے لیے لیٹ F مدت a کے ساتھ R پر ایک ہموار فنکشن ہے: فورئیر سیریز کا نظریہ ظاہر کرتا ہے کہ بالکل متغیر اور فورئیر گتانک کے مجموعے کے ساتھ۔ اس فارمولے سے پتہ چلتا ہے کہ S مندرجہ ذیل طریقے سے کام کرتا ہے اور اس طرح A پر آسکیلیٹر کی نمائندگی کے فارمولے سے بالکل متفق ہے۔ Z/2mZ کے ساتھ A کی شناخت کرتے ہوئے، ایک انٹیجر n ماڈیولو 2m کو تفویض کیا گیا ہے، تھیٹا افعال کو براہ راست میٹرکس کوفیشنٹس کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: H میں τ اور C سیٹ میں z کے لیے تاکہ |q | <1۔ تھیٹا افعال جیکوبی-ریمن تھیٹا افعال کے لیے معیاری کلاسیکی فارمولوں سے متفق ہیں: تعریف کے مطابق وہ H × C پر ہولومورفک افعال کی وضاحت کرتے ہیں۔ فنکشن fτ کی کوویرینس خصوصیات اور تقسیم χb فوری طور پر مندرجہ ذیل تبدیلی کے قوانین کی طرف لے جاتی ہے: کواڈریٹک ریسپروکٹی کے قانون کی ماخوذیت کیونکہ L2 (R) پر آپریٹرز π (S)، π (R) اور π (J) m کے کسی بھی انتخاب کے لیے V0 پر متعلقہ آپریٹرز تک محدود ہیں، کوکیکلز کی علامتوں کا تعین m = 1 لے کر کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں نمائندگی دو جہتی ہے اور L2 (R) پر تعلق کو براہ راست V0 پر چیک کیا جا سکتا ہے۔ لیکن اس صورت میں ربط کو دونوں اطراف کو زمینی حالت ایکس-x2/2 پر لگا کر بھی براہ راست چیک کیا جا سکتا ہے۔ نتیجتا، یہ اس طرح ہے کہ m ≤ 1 کے لیے گاؤس کے مجموعے کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے: m کے لیے عجیب، وضاحت کریں اگر m عجیب ہے، تو، پچھلے مجموعے کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہوئے، اس کے بعد G (1, m) m1/2 کے برابر ہوتا ہے اگر m 1 موڈ 4 کے لیے ہم آہنگ ہے اور بصورت دیگر i m1/2 کے برابر ہوتا ہے۔ اگر p ایک عجیب پرائم ہے اور c p سے تقسیم نہیں ہوتا ہے، تو اس کا مطلب یہ ہے کہ لیجنڈری علامت 1 کے برابر کہاں ہے اگر c ایک مربع موڈ p ہے اور-1 بصورت دیگر۔ مزید برآں، اگر p اور q الگ الگ طاق پرائمز ہیں، تو G (1, p) کے فارمولے اور اس تعلق سے، کواڈریٹک ریسپروسیٹی کا قانون مندرجہ ذیل ہے: اعلی جہتوں میں تھیوری آسکیلیٹر کی نمائندگی کے نظریہ کو گروپ SL (2, R) کے ساتھ R سے Rn تک بڑھایا جا سکتا ہے جس کی جگہ سمپلیکٹک گروپ Sp (2n, R) لے سکتا ہے۔ نتائج کو یا تو یک جہتی کیس سے سیدھے سادے عمومی طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے یا اس حقیقت کو استعمال کرتے ہوئے کہ n جہتی کیس n یک جہتی کیسوں کا ٹینسر پروڈکٹ ہے، جو سڑنے کی عکاسی کرتا ہے: Rn پر شوارٹز افعال کی جگہ ہونے دیں، جو L2 (Rn) کی گھنے ذیلی جگہ ہے۔ rn میں s، t کے لیے، U (s) اور V (t) کی وضاحت کریں اور L2 (R) کی تعریف کریں۔ تعریف سے U اور V ویل کے تبادلوں کے تعلق کو پورا کرتے ہیں جیسا کہ پہلے اسے شروڈنگر کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ فورئیر تبدیلی کی تعریف فورئیر الٹ فارمولے سے ظاہر ہوتی ہے کہ فورئیر تبدیلی خود کی ایک آئسومورفزم ہے جو خود پر L2 (Rn) کی یک جہتی نقشہ سازی تک پھیلی ہوئی ہے (پلانچریل تھیوریم)۔ اسٹون ون نیومن تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ شروڈنگر کی نمائندگی ناقابل تلافی ہے اور یہ تبادلوں کے تعلقات کی منفرد ناقابل تلافی نمائندگی ہے: کوئی بھی دوسری نمائندگی اس نمائندگی کی نقلوں کا براہ راست مجموعہ ہے۔ اگر U اور V ویل کے تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں، تو اس کی وضاحت کریں تاکہ W کوکیکل کے ساتھ R2n کی ایک پروجیکٹو یکطرفہ نمائندگی کی وضاحت کرے جہاں اور B R2n پر سمپلیکٹک شکل ہے جو کہ سمپلیکٹک گروپ Sp (2n، R) کے ذریعہ دی گئی ہے۔ یہ اسٹون ون نیومن تھیوریم سے ملتا ہے کہ اس طرح کے ہر g کے لیے L2 (R) پر ایک یک جہتی π (g) ہوتی ہے جو کوویرینس کے تعلق کو مطمئن کرتی ہے۔ شور کے لیما کے مطابق یک جہتی π (g) ایک اسکیلر ζ کے ذریعے |ζ | = 1 کے ساتھ ضرب تک منفرد ہے، تاکہ π، Sp (n) کی پروجیکٹو یک جہتی نمائندگی کی وضاحت کرے۔ نمائندوں کو π (g) کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے، جو ایک نشان تک منفرد ہے، جو ظاہر کرتا ہے کہ ایس پی (2n، R) کی پروجیکٹو نمائندگی کے لیے 2-سائیکل اقدار ±1 لیتا ہے۔ در حقیقت گروپ ایس پی (این، آر) کے عناصر 2 این × 2 این حقیقی میٹرکس جی کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں جہاں ایس پی (2 این، آر) فارم کے میٹرکس کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے اور آپریٹرز اوپر کے کوویرینس تعلقات کو پورا کرتے ہیں۔ یہ میٹاپلیکٹک گروپ کی ایک عام یک جہتی نمائندگی دیتا ہے، جو ایس پی (2 این، آر) کا دوہرا احاطہ ہے۔ درحقیقت، ایس پی (این، آر) عام سیگل اوپری نصف طیارہ ایچ این پر موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے کام کرتا ہے جو سمیٹرک کمپلیکس این × این میٹرکس زیڈ پر مشتمل ہوتا ہے جس میں سختی سے خیالی حصہ ہوتا ہے اگر فنکشن 1-سائیکل کے تعلق کو مطمئن کرتا ہے۔ میٹاپلیکٹک گروپ ایم پی (2 این، آر) کو گروپ کے طور پر بیان کیا گیا ہے اور یہ ایس پی (2 این، آر) کا ایک منسلک ڈبل کورنگ گروپ ہے۔ اگر جی ایم پی (2 این، آر) میں ہے تو پھر میٹاپلیکٹک گروپ کی ایک عام یکطرفہ نمائندگی کی وضاحت کرتا ہے، جس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ایس پی (2 این، آر) پر موجود کوکیکل صرف اقدار ± 1 لیتا ہے۔ ہولومورفک فوک اسپیس Cn پر ہولومورفک افعال f (z) کی ہلبرٹ اسپیس ہے جس میں محدود معیاری اندرونی پروڈکٹ اور α a ملٹی نومیئل کے لیے آرتھونورمل بنیاد ہے۔ Cn میں f in اور z کے لیے، آپریٹرز ویل تبادلہ تعلقات کی ایک ناقابل تلافی یک جہتی نمائندگی کی وضاحت کرتے ہیں۔ اسٹون ون نیومن تھیوریم کے مطابق L2 (Rn) سے ایک یکطرفہ آپریٹر ہے جو دونوں نمائندگی کو آپس میں جوڑتا ہے۔ یہ برگمین ٹرانسفارم کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں اس کا ملحقہ فارمولا کے ذریعہ دیا جاتا ہے: سوبولیو خالی جگہیں، ہموار اور تجزیاتی ویکٹر کی تعریف ایک جہتی معاملے میں ہارمونک آسکیلیٹر کی n کاپیوں کے مجموعے کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ اسی طرح ویل کیلکولس n جہتی معاملے تک پھیلا ہوا ہے۔ سمپلیکٹک گروپ کی پیچیدگی ایس پی (2 این، سی) کی تعریف اسی تعلق سے کی جاتی ہے، لیکن میٹرکس اے، بی، سی اور ڈی کو پیچیدہ ہونے کی اجازت دیتی ہے۔ گروپ عناصر کا ذیلی گروپ جو سیگل کے اوپری نصف سطح کو اپنے اندر لے جاتا ہے اس میں قدرتی ڈبل کور ہوتا ہے۔ ایل 2 (آر این) پر ایم پی (2 این، آر) کی نمائندگی اور قدرتی طور پر دانے کے ذریعہ بیان کردہ سنکچن آپریٹرز کے ذریعہ اس سیمی گروپ کی نمائندگی تک پھیلا ہوا ہے، جو یک جہتی کیس کو عام کرتا ہے (جہاں ضروری ہو وہاں ڈیٹرمیننٹ لیتا ہے)۔ مربوط حالتوں پر ایم پی (2 این، آر) کا عمل اس بڑے سیمی گروپ میں آپریٹرز پر یکساں طور پر لاگو ہوتا ہے۔ جیسا کہ 1 جہتی معاملے میں، جہاں گروپ ایس ایل (2، آر) کا کیلی ٹرانسفارم کے ذریعے ایک ہم منصب ایس یو (1,1) ہوتا ہے اور اوپری نصف طیارہ یونٹ ڈسک سے تبدیل ہوتا ہے، سمپلیکٹک گروپ کا ایک پیچیدہ ہم منصب ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر C یکطرفہ میٹرکس ہے تو C Sp (2n) C−1 تمام میٹرکس کا گروپ ہے جیسے کہ یا مساوی طور پر جہاں سیگل جنرلائزڈ ڈسک Dn کو پیچیدہ سمیٹرک n x n میٹرکس W کے سیٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس میں آپریٹر کا معیار 1 سے کم ہے۔ یہ سیگل کے عمومی اوپری نصف سطح میں پوائنٹس Z کے کیلی ٹرانسفارمز پر مشتمل ہوتا ہے: عناصر g Dn پر عمل کرتے ہیں اور، جیسا کہ یک جہتی صورت میں یہ عمل عارضی ہوتا ہے۔ 0 کا اسٹیبلائزر ذیلی گروپ میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے جس میں A یک جہتی اور B = 0 ہوتا ہے۔ Dn میں W کے لیے ہولومورفک فوک اسپیس میں میٹاپلیکٹک مربوط حالتوں کی تعریف ہولومورفک فوک اسپیس میں میٹاپلیکٹک مربوط حالتوں کی تعریف ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک فوک اسپیس میں ہولومورفک ایس پی (2 (این + 1)) میں ایس پی (2 این) کی سرایت اور مطابقت پذیر شناخت مجموعی طور پر ایک عمل کا باعث بنتی ہے۔ اس کی براہ راست تصدیق کی جا سکتی ہے کہ یہ آپریٹرز W (z) کے عمل کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ چونکہ پیچیدہ سیمی گروپ میں شیلوف باؤنڈری سمپلیکٹک گروپ ہوتا ہے، اس لیے یہ حقیقت کہ اس نمائندگی میں سیمی گروپ کے لیے ایک اچھی طرح سے متعین کنٹریکٹیو توسیع ہے، زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول اور اس حقیقت سے ملتی ہے کہ سیمی گروپ آپریٹرز ملحقہ کے تحت بند ہیں۔ درحقیقت، یہ جانچنے کے لیے کافی ہے کہ ایسے دو آپریٹرز S، T اور ویکٹر vi میٹاپلیکٹک مربوط حالتوں کے متناسب ہیں، جو اس کے بعد ہوتے ہیں کیونکہ مجموعہ ہولومورفک طور پر S اور T پر منحصر ہوتا ہے، جو حد پر یکطرفہ ہوتے ہیں۔ ٹوپلٹز آپریٹرز کے لیے انڈیکس تھیوریمز آئیے S Cn میں اکائی کے دائرے کی نشاندہی کرتا ہے اور ہارڈی اسپیس H2 (S) کی وضاحت کوآرڈینیٹس z1،.، zn میں کثیر الجہتی کی پابندی کے L2 (S) میں بندش کے طور پر کرتا ہے۔ P کو ہارڈی اسپیس پر پروجیکشن ہونے دیں۔ یہ معلوم ہے کہ اگر m (f) S پر مسلسل فنکشن f سے ضرب کی نشاندہی کرتا ہے، تو کمیونیٹر [P، m (f)] کمپیکٹ ہے۔ نتیجتا، ہارڈی اسپیس پر ٹوپلٹز آپریٹر کی وضاحت کرتے ہوئے، یہ اس طرح ہے کہ T (fg)-T (f) T (g) مسلسل f اور g کے لیے کمپیکٹ ہے۔ اگر f اور g میٹرکس ویلیوڈ فنکشن ہیں (تاکہ متعلقہ ٹوپلٹز آپریٹر H2 (S) پر آپریٹرز کے میٹرکس ہوں) تو ایسا ہی ہوتا ہے۔ خاص طور پر اگر f S پر ایک فنکشن ہے جو الٹا میٹرکس میں اقدار لیتا ہے، تو کمپیکٹ ہوتے ہیں اور اس لیے T (f) ایک فریڈہولم آپریٹر ہے جس کی تعریف انڈیکس کے طور پر کی گئی ہے۔ انڈیکس کا حساب K-تھیوری کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا گیا ہے اور عام لکیری گروپ میں S سے مسلسل نقشہ سازی کے طور پر f کی ڈگری کے ساتھ ایک نشانی کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ اس انڈیکس تھیوریم کو قائم کرنے کا ایک تجزیاتی طریقہ دیا، جسے بعد میں ہو نے آسان بنایا۔ ان کا ثبوت اس حقیقت پر منحصر ہے کہ اگر f ہموار ہے تو انڈیکس میک کین اور سنگر کے فارمولے سے دیا جاتا ہے: مشاہدہ کیا کہ H2 (S) اور L2 (Rn) کے درمیان ایک قدرتی یک جہتی آئسومورفزم تھا جو ٹوپلٹز آپریٹرز کو آپریٹرز پر لے جاتا تھا۔ یہ ویل کیلکولس کے اندر بنائے گئے زیروتھ آرڈر آپریٹرز کی مثالیں ہیں۔ میک کین-سنگر فارمولے کے نشانات کو براہ راست ویل کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جا سکتا ہے، جس سے انڈیکس تھیوریم کا ایک اور ثبوت ملتا ہے۔ انڈیکس تھیوریمز کو ثابت کرنے کے اس طریقہ کو ایلین کونس نے سائیکلک کوہمولوجی کے فریم ورک کے اندر عام کیا تھا۔ لا محدود جہتوں میں نظریہ لا محدود جہتوں میں آسکیلیٹر کی نمائندگی کا نظریہ ارونگ سیگل اور ڈیوڈ شیل کی وجہ سے ہے۔ گریم سیگل نے اسے لوپ گروپوں کی پروجیکٹو نمائندگی اور دائرے کے ڈفیومورفزم کے گروپ کی ریاضیاتی طور پر سخت تعمیر دینے کے لیے استعمال کیا۔ ایک لامحدود سطح پر لائ الجبرا کی نمائندگی کی تعمیر، اس معاملے میں افائن کاک-موڈی الجبرا اور ویراسورو الجبرا، طبیعیات دانوں کو پہلے سے ہی دوہری گونج نظریہ اور بعد میں سٹرنگ تھیوری کے ذریعے معلوم تھا۔ یہاں صرف سب سے آسان صورت پر غور کیا جائے گا، جس میں دائرے کے ہموار نقشوں کے لوپ گروپ LU (1) کو U (1) = T میں شامل کیا جائے گا۔ نیریٹن اور سیگل کے ذریعہ آزادانہ طور پر تیار کردہ آسکیلیٹر سیمی گروپ، سنکچن آپریٹرز کو یونٹ ڈسک کے غیر مساوی ہولومورفک نقشوں کے سیمی گروپ کے لیے خود میں بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے، جو دائرے کے ڈفیومورفزم سے مطابقت رکھنے والے یونٹری آپریٹرز کو بڑھاتا ہے۔ جب ڈفیومورفزم گروپ کے ذیلی گروپ ایس یو (1,1) پر لاگو کیا جاتا ہے، تو یہ ایل 2 (آر) پر آسکیلیٹر کی نمائندگی اور اولشانسکی سیمی گروپ تک اس کی توسیع کی عمومی شکل دیتا ہے۔ فوک اسپیس پر کمیوٹیشن کی نمائندگی کو Cn (یا اس کی دوہری جگہ) کو ایک صوابدیدی پیچیدہ ہلبرٹ اسپیس H سے تبدیل کرکے لامحدود جہتوں میں عام کیا جاتا ہے۔ سمیٹرک گروپ Sk H. k پر کام کرتا ہے۔ ایس کے (ایچ) کو ایس کے کی فکسڈ پوائنٹ سب اسپیس کے طور پر بیان کیا گیا ہے اور سمیٹرک الجبرا الجبرائی براہ راست مجموعہ ہے۔ اس کا ایک قدرتی اندرونی پروڈکٹ ہے جو ایچ کے سے وراثت میں ملا ہے: اجزاء ایس کے (ایچ) کو باہمی طور پر آرتھوگنل لیتے ہوئے، سمیٹرک فاک اسپیس ایس (ایچ) کو اس براہ راست رقم کی ہلبرٹ اسپیس تکمیل کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ اس طرح ہے کہ ان کا لکیری اسپان S (H) میں گھنے ہے، کہ n الگ الگ ویکٹروں سے مطابقت رکھنے والی مربوط ریاستیں لکیری طور پر آزاد ہیں اور جب H محدود جہتی ہے، تو S (H) کو قدرتی طور پر H * کے لیے ہولومورفک فوک اسپیس کے ساتھ شناخت کیا جا سکتا ہے، کیونکہ معیاری طریقے سے Sk (H) صرف H * پر ڈگری k کے یکساں کثیر الجہتی ہیں اور اندرونی مصنوعات مماثل ہیں۔ مزید برآں، ایس (ایچ) میں فنکٹوریئل خصوصیات ہیں۔ سب سے اہم بات یہ ہے کہ اسی طرح کا نتیجہ محدود آرتھوگنل براہ راست جملوں کے لیے ہوتا ہے اور S0 (Hi) میں حوالہ یونٹ ویکٹر 1 کے ساتھ لامحدود ٹینسر پروڈکٹ کی وان نیومین کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے لامحدود آرتھوگنل براہ راست جملوں تک پھیلا ہوا ہے۔ ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان کوئی بھی سنکچن آپریٹر فنکٹوریئل طریقے سے متعلقہ سمیٹرک فوک خالی جگہوں کے درمیان سنکچن آپریٹر کو جنم دیتا ہے۔ S (H) پر ایک یکطرفہ آپریٹر منفرد طور پر اس کے ذریعے مربوط حالتوں پر اقدار کا تعین کرتا ہے۔ مزید برآں، کسی بھی تفویض کے لیے vx اس طرح ہے کہ S (H) پر ایک منفرد یک جہتی آپریٹر U موجود ہو جیسا کہ محدود جہتی معاملے میں، یہ یک جہتی آپریٹرز W (x) کو H میں x کے لیے بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے: یہ محدود جہتی معاملے سے فوری طور پر مندرجہ ذیل ہے کہ یہ آپریٹرز یک جہتی ہیں اور مطمئن ہیں۔ خاص طور پر ویل تبادلوں کے تعلقات مطمئن ہیں: H کی آرتھونورمل بنیاد کو لیتے ہوئے، S (H) کو S (C en) کے لامحدود ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ان خالی جگہوں میں سے ہر ایک پر W کی ناقابل کٹوتی کا مطلب پورے S (H) پر W کی ناقابل کٹوتی ہے۔ W کو پیچیدہ لہر کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ سمپلیکٹک گروپ کو لامحدود جہتوں میں بیان کرنے کے لیے HR کو سمپلیکٹک شکل اور حقیقی اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ H کا بنیادی حقیقی ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ پیچیدہ ڈھانچے کی وضاحت پھر آرتھوگنل آپریٹر کے ذریعے کی جاتی ہے تاکہ HR پر A باؤنڈڈ انورٹ ایبل آپریٹر حقیقی لکیری آپریٹر T سمپلیکٹک گروپ میں ہو اگر یہ اور اس کا الٹا محفوظ B ہو۔ یہ شرائط کے مساوی ہے: آپریٹر T کو S (H) پر قابل عمل کہا جاتا ہے بشرطیکہ ایک یک جہتی π (T) ایسی ہو کہ قابل عمل آپریٹر سمپلیکٹک گروپ کا ایک ذیلی گروپ تشکیل دیتے ہیں، جو محدود سمپلیکٹک گروپ ہے۔ شور کے لیما کے ذریعہ، π (T) کا تعین T میں ایک اسکیلر تک منفرد طور پر کیا جاتا ہے، لہذا π اس ذیلی گروپ کی ایک پروجیکٹو یک جہتی نمائندگی دیتا ہے۔ سیگل-شیل کوانٹائزیشن کا معیار بتاتا ہے کہ T قابل عمل ہے، یعنی۔ یہ محدود سمپلیکٹک گروپ میں ہوتا ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب کمیونیٹر TJ-JT ہلبرٹ-شمڈٹ آپریٹر ہو۔ محدود جہتی معاملے کے برعکس جہاں ایک لفٹنگ π کا انتخاب کیا جا سکتا ہے تاکہ یہ ایک علامت تک ضرب ہو، یہ لامحدود جہتی معاملے میں ممکن نہیں ہے۔ (یہ براہ راست نیچے بنائے گئے دائرے کے ڈفیومورفزم گروپ کی پروجیکٹو نمائندگی کی مثال کا استعمال کرتے ہوئے دیکھا جا سکتا ہے۔) محدود سمپلیکٹک گروپ کی پروجیکٹو نمائندگی براہ راست مربوط حالتوں پر تعمیر کی جا سکتی ہے جیسا کہ محدود جہتی معاملے میں ہوتا ہے۔ در حقیقت، H کی ایک حقیقی ہلبرٹ سب اسپیس کا انتخاب کرنا جس میں H ایک پیچیدگی ہے، H پر کسی بھی آپریٹر T کے لیے T کا ایک پیچیدہ کنجوگیٹ بھی بیان کیا گیا ہے۔ پھر ایس یو (1,1) کا لامحدود جہتی ینالاگ الٹا پابند آپریٹرز پر مشتمل ہوتا ہے جو جی کے جی * = کے (یا مساوی طور پر وہی تعلقات جو محدود جہتی معاملے میں ہوتے ہیں) کو مطمئن کرتے ہیں۔ یہ محدود سمپلیکٹک گروپ سے تعلق رکھتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب B ہلبرٹ-شمڈٹ آپریٹر ہو۔ یہ گروپ ہلبرٹ-شمڈٹ آپریٹرز W پر مشتمل سیگل جنرلائزڈ یونٹ ڈسک کے لامحدود جہتی ینالاگ D ≈ پر عارضی طور پر کام کرتا ہے جو فارمولا کے ذریعے 1 سے کم آپریٹر کے معیار کے ساتھ ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ پھر 0 کا اسٹیبلائزر ذیلی گروپ A یونٹری اور B = 0 کے ساتھ g پر مشتمل ہوتا ہے۔ میٹاپلیکٹک کوہرنٹ اسٹیٹس fW کو پہلے کی طرح بیان کیا جا سکتا ہے اور ان کے اندرونی پروڈکٹ کو اسی فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے، فریڈہولم ڈیٹرمیننٹ کا استعمال کرتے ہوئے: یونٹ ویکٹروں کی وضاحت کریں اور سیٹ کریں جہاں μ (ζ) = ζ/|ζ |۔ جیسا کہ پہلے یہ ایک پروجیکٹو نمائندگی کی وضاحت کرتا ہے اور، اگر g3 = g1g2 ہے، تو کوکیکل اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ نمائندگی تجزیاتی تسلسل کے ذریعے پیچیدہ سیمی گروپ کے لیے اسی تجزیاتی تسلسل دلیل کے ذریعے سنکچن آپریٹرز کی وضاحت کرنے کے لیے توسیع کرتی ہے جیسا کہ محدود جہتی معاملے میں ہوتا ہے۔ یہ بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ وہ سخت سنکچن ہیں۔ مثال HR کو حقیقی ہلبرٹ اسپیس ہونے دیں جو اوسط 0 کے ساتھ دائرے پر حقیقی قدر والے افعال پر مشتمل ہے اور جس کے لیے اندرونی پروڈکٹ n> 0 کے لیے فنکشن sin (nθ) اور cos (nθ) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ دائرے پر ہلبرٹ ٹرانسفارم ایچ آر پر ایک پیچیدہ ڈھانچے کی وضاحت کرتا ہے۔ جے کو اس جگہ بھی لکھا جا سکتا ہے جہاں نشان n = ± 1 n کی علامت کی نشاندہی کرتا ہے۔ متعلقہ سمپلیکٹک شکل متناسب ہے۔ خاص طور پر اگر φ دائرے کی واقفیت کو محفوظ رکھنے والی ڈفیومورفزم ہے اور پھر Tφ قابل عمل ہے۔ f ہموار کے ساتھ آپریٹر W (f) دائرے کے ڈفیومورفزم گروپ کے تحت لوپ گروپ LT غیر متغیر کے ذیلی گروپ سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ویکٹر فیلڈز سے مطابقت رکھنے والے لامحدود آپریٹرز کا واضح طور پر حساب لگایا جا سکتا ہے۔ وہ ویراسورو تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں خاص طور پر دائیں ہاتھ کی طرف دوسری اصطلاح کو ہٹانے کے لیے اسکیلر آپریٹرز کے اضافے کے ذریعے انہیں ایڈجسٹ کیا جا سکتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ محدود سمپلیکٹک گروپ پر موجود کوکیکل صرف ±1 اقدار لینے والے کے برابر نہیں ہے۔ میٹاپلیکٹک گروپ انویرنٹ کنویکس کون نوٹس حوالہ جات آپریٹر تھیوری ہارمونک تجزیہ نمائندگی تھیوری کوانٹم میکانکس تھیٹا افعال بھی دیکھیں۔