Projective range
ریاضی میں، پروجیکٹو رینج پروجیکٹو جیومیٹری میں پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے جسے متحد انداز میں سمجھا جاتا ہے۔ ایک پروجیکٹو رینج ایک پروجیکٹو لائن یا کونک ہو سکتی ہے۔ پروجیکٹو رینج کسی دیئے گئے نقطہ پر لائنوں کی پنسل کا دوہرا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ارتباط پنسل کی لکیروں کے ساتھ پروجیکٹو رینج کے نکات کا تبادلہ کرتا ہے۔ کہا جاتا ہے کہ ایک پروجیکٹوٹی ایک رینج سے دوسری رینج میں کام کرتی ہے، حالانکہ دونوں حدود سیٹوں کے طور پر موافق ہو سکتی ہیں۔ ایک پروجیکٹو رینج پروجیکٹو ہارمونک کنجوگیٹس کے تعلق کی پروجیکٹو انواریینس کا اظہار کرتی ہے۔ درحقیقت، ایک پروجیکٹو لائن پر تین نکات اس تعلق سے چوتھے کا تعین کرتے ہیں۔ اس چوتھائی پر پروجیکٹوٹی کے اطلاق کے نتیجے میں ہارمونک رشتہ میں اسی طرح چار نکات ہوتے ہیں۔ اس طرح کے چوگنا پوائنٹس کو ہارمونک رینج کہا جاتا ہے۔ 1940 میں جولین کولج نے اس ڈھانچے کو بیان کیا اور اس کے موجد کی نشاندہی کی: دو بنیادی یک جہتی شکلیں جیسے پوائنٹ رینجز، لائنوں کی پنسلز، یا طیاروں کی تعریف پروجیکٹو کے طور پر کی جاتی ہے، جب ان کے اراکین ایک سے ایک خط و کتابت میں ہوتے ہیں، اور ایک کا ہارمونک سیٹ۔ دوسرے کے ہارمونک سیٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ۔ اگر دو یک جہتی شکلیں پروجیکشنز اور چوراہوں کی ٹرین سے جڑی ہوئی ہیں، تو ہارمونک عناصر ہارمونک عناصر سے مطابقت رکھتے ہیں، اور وہ وان اسٹاؤڈ کے معنی میں پروجیکٹو ہیں۔ کونک کی حدود جب کسی پروجیکٹو رینج کے لیے کونک کا انتخاب کیا جاتا ہے، اور کونک پر ایک خاص نقطہ E کو اصل کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے، تو پوائنٹس کے اضافے کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے: اے اور بی کو رینج (کونک) میں اور اے بی کو ان کو جوڑنے والی لکیر۔ L کو E کے ذریعے لائن اور AB کے متوازی ہونے دیں۔ "پوائنٹس A اور B کا مجموعہ"، A + B، رینج کے ساتھ L کا انٹرسیکشن ہے۔ دائرے اور ہائپربولا کونک کی مثالیں ہیں اور دونوں پر زاویوں کا مجموعہ "پوائنٹس کے مجموعے" کے طریقہ کار سے پیدا کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ پوائنٹس دائرے پر زاویوں اور ہائپربولا پر ہائپربولک زاویوں سے وابستہ ہوں۔ حوالہ جات ایچ۔ ایس۔ ایم۔ کاکسٹر (1955) دی ریئل پروجیکٹو پلین، یونیورسٹی آف ٹورنٹو پریس، صفحہ 20 لائن کے لیے، صفحہ 101 کونک کے لیے۔ پروجیکٹو جیومیٹری