McKay graph
ریاضی میں، ایک محدود گروپ کی محدود جہتی نمائندگی کا میک کی گراف ایک وزن والا قوور ہے جو اس کی نمائندگی کے نظریہ کی ساخت کو انکوڈنگ کرتا ہے۔ ہر نوڈ کی ناقابل تلافی نمائندگی کرتا ہے۔ اگر کی ناقابل تلافی نمائشیں ہیں، تو ایک تیر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ٹینسر پروڈکٹ کا ایک جزو ہو۔ پھر تیر کا وزن اس جزو میں ظاہر ہونے کی تعداد ہے۔ میک کے گراف کے محدود ذیلی گروپوں کے لیے میک کے گراف کی وضاحت کرنے والی 2 جہتی نمائندگی کا میک کے گراف ہے۔ اگر ناقابل تلافی حروف ہیں، تو طول و عرض کی نمائندگی کے کارٹن میٹرکس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے۔ نتیجہ یہ بتاتا ہے کہ اگر کنجوگیسی کلاس کا نمائندہ ہے، تو ویکٹر آئجین ویلیوز کے آئجین ویکٹر ہیں جہاں نمائندگی کا کردار ہے۔ میک کے خط و کتابت، جس کا نام جان میک کے کے نام پر رکھا گیا ہے، میں کہا گیا ہے کہ میک کے گراف کے محدود ذیلی گروپوں اور توسیعی ڈائنکن خاکے کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہے، جو سادہ لائ الجبرا کی ADE درجہ بندی میں ظاہر ہوتے ہیں۔ تعریف آئیے ایک محدود گروہ بنیں، اس کی نمائندگی کریں اور اس کے کردار بنیں۔ کی ناقابل تلافی نمائندگی ہونے دیں۔ اگر پھر میک کی گراف کی وضاحت کریں، اس کے مقابلے میں، مندرجہ ذیل ہے: کی ہر ناقابل تلافی نمائندگی ایک نوڈ سے مطابقت رکھتی ہے۔ اگر، وزن سے لے کر کوئی تیر ہے، جسے یا کبھی کبھی غیر لیبل والے تیروں کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ اگر ہم درمیان میں دو مخالف تیروں کو وزن کے غیر سمت کنارے کے طور پر ظاہر کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ، اگر ہم وزن کے لیبل کو چھوڑ دیں۔ ہم حروف پر اندرونی پروڈکٹ کے استعمال کی قیمت کا حساب لگا سکتے ہیں: حروف کے ایک محدود ذیلی گروپ کے میک کے گراف کو اس کی کینونکل نمائندگی کے میک کے گراف کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ کینونکل نمائندگی کے محدود ذیلی گروپوں کے لیے آن سیلف ڈوئل ہے، لہذا سب کے لیے۔ اس طرح، کے محدود ذیلی گروپوں کا میک کی گراف غیر ہدایت شدہ ہے۔ در حقیقت، میک کی خط و کتابت کے ذریعہ، A-D-E قسم کے محدود ذیلی گروپوں اور توسیعی کاکسٹر-ڈینکن خاکے کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہوتا ہے۔ ہم کارٹن میٹرکس کی وضاحت اس طرح کرتے ہیں: کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے۔ کچھ نتائج اگر نمائندگی وفادار ہے، تو ہر ناقابل تلافی نمائندگی کچھ ٹینسر پاور میں موجود ہے اور کا میک کی گراف منسلک ہے۔ کے ایک محدود ذیلی گروپ کے میک کی گراف میں کوئی سیلف لوپس نہیں ہے، یعنی سب کے لیے۔ کے ایک محدود ذیلی گروپ کے میک کی گراف کے تیر تمام وزن ایک کے ہیں۔ مثالیں فرض کریں، اور بالترتیب کینونکل ناقابل تلافی نمائشیں ہیں۔ اگر، کی ناقابل تلافی نمائندگی ہیں اور، کی ناقابل تلافی نمائندگی ہیں، تو اس کی ناقابل تلافی نمائندگی ہیں، جہاں اس معاملے میں، ہمارے پاس ہے۔ لہذا، درمیان اور اگر کے میککے گراف میں ایک تیر ہے اور صرف اس صورت میں جب درمیان کے میککے گراف میں ایک تیر ہو اور درمیان کے میککے گراف میں ایک تیر ہو۔ اس صورت میں، کے میک کے گراف میں تیر پر وزن اور کے میک کے گراف میں دو متعلقہ تیروں کے وزن کا پروڈکٹ ہے۔ فیلکس کلین نے ثابت کیا کہ کے محدود ذیلی گروہ بائنری پولی ہیڈرل گروپ ہیں۔ سب میککے خط و کتابت کے ذیلی گروپوں کے ساتھ منسلک ہیں کہ ان بائنری پولی ہیڈرل گروپوں کے میککے گراف اور توسیعی ڈائنکن خاکے کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہے۔ مثال کے طور پر، بائنری ٹیٹراہیڈرل گروپ میٹرکس کے ذریعے پیدا ہوتا ہے: جہاں اتحاد کا ایک قدیم آٹھواں جڑ ہے۔ در حقیقت، ہمارے پاس کنجوگیسی کلاسیں ہیں: کیریکٹر ٹیبل یہاں ہے کینونکل نمائندگی یہاں سے ظاہر ہوتی ہے۔ اندرونی پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ کا میک کی گراف ٹائپ کا توسیعی کاکسٹر-ڈینکن خاکہ ہے۔ ADE درجہ بندی بائنری ٹیٹراہیڈرل گروپ حوالہ جات کی نمائندگی کا نظریہ بھی دیکھیں۔