Probability bounds analysis
امکان کی حدود کا تجزیہ (پی بی اے) مختلف قسم کی غیر یقینی صورتحال کے پیش نظر کوالٹی اور مقداری حساب کتاب کرنے کے لیے غیر یقینی صورتحال کے پھیلاؤ کے طریقوں کا مجموعہ ہے۔ یہ ریاضیاتی تاثرات کے ذریعے بے ترتیب متغیرات اور دیگر مقداروں کے بارے میں جزوی معلومات پیش کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ کسی رقم، پروڈکٹ، یا زیادہ پیچیدہ فنکشن کی تقسیم پر یقینی حدود کا حساب لگاتا ہے، جس میں ان پٹ کی تقسیم پر صرف یقینی حدود دی جاتی ہیں۔ اس طرح کی حدود کو امکانات کے خانے کہا جاتا ہے، اور مجموعی امکانات کی تقسیم کو محدود کرتا ہے (کثافت یا بڑے پیمانے پر افعال کے بجائے)۔ یہ باؤنڈنگ اپروچ تجزیہ کاروں کو پیرامیٹر کی اقدار، متغیرات کے درمیان انحصار، یا یہاں تک کہ تقسیم کی شکل کے بارے میں حد سے زیادہ درست مفروضوں کی ضرورت کے بغیر حساب کتاب کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ امکان کی حدود کا تجزیہ بنیادی طور پر معیاری وقفہ تجزیہ اور کلاسیکی امکان نظریہ کے طریقوں کا ایک مجموعہ ہے۔ امکان کی حدود کا تجزیہ وہی جواب دیتا ہے جو وقفہ تجزیہ کرتا ہے جب صرف رینج کی معلومات دستیاب ہوتی ہیں۔ یہ وہی جوابات بھی دیتا ہے جو مونٹی کارلو تخروپن کرتا ہے جب معلومات اتنی وافر ہوتی ہے کہ ان پٹ کی تقسیم اور ان کے انحصار کی قطعی وضاحت کی جا سکے۔ اس طرح یہ وقفہ تجزیہ اور امکانی نظریہ دونوں کی عمومی شکل ہے۔ امکانات کی حدود کے تجزیے پر مشتمل متنوع طریقے ریاضیاتی تاثرات کا اندازہ کرنے کے لیے الگورتھم فراہم کرتے ہیں جب ان پٹ اقدار، ان کے انحصار، یا یہاں تک کہ خود ریاضیاتی اظہار کی شکل کے بارے میں غیر یقینی صورتحال ہوتی ہے۔ حساب سے ایسے نتائج برآمد ہوتے ہیں جو آؤٹ پٹ متغیر کی تمام ممکنہ تقسیم کو منسلک کرنے کی ضمانت دیتے ہیں اگر ان پٹ پی بکس بھی اپنی متعلقہ تقسیم کو منسلک کرنے کے لیے یقینی تھے۔ کچھ معاملات میں، ایک حساب شدہ پی باکس بھی اس لحاظ سے بہترین ممکن ہوگا کہ کچھ ممکنہ تقسیم کو خارج کیے بغیر حدود زیادہ سخت نہیں ہو سکتی ہیں۔ پی بکس عام طور پر ممکنہ تقسیم پر محض پابند ہوتے ہیں۔ حدود اکثر ایسی تقسیم کو بھی گھیرے ہوئے ہیں جو خود ممکن نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، امکان کی تقسیم کا مجموعہ جو دو (عین مطابق) تقسیموں سے آزادی کے مفروضے کے بغیر بے ترتیب اقدار کو شامل کرنے کے نتیجے میں ہو سکتا ہے، عام طور پر رقم کے لیے شمار کردہ پی-باکس سے منسلک تمام تقسیموں کا ایک مناسب ذیلی مجموعہ ہوتا ہے۔ یعنی آؤٹ پٹ پی باکس کے اندر ایسی تقسیم ہوتی ہے جو دو ان پٹ تقسیم کے درمیان کسی انحصار کے تحت پیدا نہیں ہو سکتی۔ تاہم، آؤٹ پٹ پی-باکس ہمیشہ ان تمام تقسیمات پر مشتمل ہوگا جو ممکن ہیں، جب تک کہ ان پٹ پی-باکس اپنے متعلقہ بنیادی تقسیمات کو منسلک کرنا یقینی بنائیں۔ یہ خاصیت اکثر خطرے کے تجزیے اور غیر یقینی صورتحال کے تحت حساب کتاب کی ضرورت والے دیگر شعبوں میں استعمال کے لیے کافی ہوتی ہے۔ باؤنڈنگ پروبیبلٹی کی تاریخ باؤنڈنگ پروبیبلٹی کے خیال کی پروبیبلٹی تھیوری کی پوری تاریخ میں ایک بہت طویل روایت ہے۔ درحقیقت، 1854 میں جارج بول نے اپنے دی لاس آف تھاٹ میں امکان پر وقفے کی حدود کا تصور استعمال کیا۔ 19 ویں صدی کے آخری نصف سے بھی تعلق رکھنے والی، چیبیشیف سے منسوب عدم مساوات نے تقسیم کی حدود کو بیان کیا جب صرف متغیر کا اوسط اور تغیر معلوم ہوتا ہے، اور مارکوف سے منسوب متعلقہ عدم مساوات کو مثبت متغیر پر حد مل جاتی ہے جب صرف اوسط معلوم ہوتا ہے۔ کیبرگ نے وقفے کے امکانات کی تاریخ کا جائزہ لیا اور 20 ویں صدی کے دوران تنقیدی نظریات کی ترقی کا سراغ لگایا، جس میں کینز کے حق میں بے مثال امکانات کا اہم تصور بھی شامل ہے۔ 1930 کی دہائی میں فریشیٹ کا انحصار کے مفروضوں کے بغیر کل امکانات پر مشتمل حسابات کی حدود سے ماخوذ ہونا خاص طور پر قابل ذکر ہے۔ باؤنڈنگ امکانات آج تک جاری ہیں (مثال کے طور پر، والی کا غیر واضح امکان کا نظریہ۔) امکان کی حدود کے تجزیے کے طریقے جو خطرے کی تشخیص میں معمول کے مطابق استعمال کیے جا سکتے ہیں، 1980 کی دہائی میں تیار کیے گئے تھے۔ ہیلپرین نے بول کے نظریات کو وسعت دینے والے منطقی حسابات کو پابند کرنے کے لیے ایک کمپیوٹیشنل اسکیم بیان کی۔ یاگر نے ابتدائی طریقہ کار کو بیان کیا جس کے ذریعے آزادی کے مفروضے کے تحت ارتعاش کی حدود کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ تقریبا ایک ہی وقت میں، ماکاروف، اور آزادانہ طور پر، رشینڈورف نے اس مسئلے کو حل کیا، جو اصل میں کولموگوروف نے پیش کیا تھا، کہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے امکانات کی تقسیم کے لیے اوپری اور نچلی حدود کو کیسے تلاش کیا جائے جن کی معمولی تقسیم، لیکن ان کی مشترکہ تقسیم نہیں، معلوم ہے۔ فرینک اور دیگر۔ ماکاروف کے نتائج کو عام کیا اور اس کا اظہار کوپولاس کے لحاظ سے کیا۔ اس وقت سے، رقم کے فارمولوں اور الگورتھم کو عام کیا گیا ہے اور مختلف انحصار مفروضوں کے تحت اختلافات، مصنوعات، کوٹینٹس اور دیگر بائنری اور یونری افعال تک بڑھایا گیا ہے۔ ریاضی کے تاثرات ریاضی کے تاثرات جن میں اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، تقسیم، منیما، میکسیما، پاورز، ایکسپونینشیلز، لوگرتھم، مربع جڑیں، مطلق اقدار وغیرہ شامل ہیں، عام طور پر رسک تجزیہ اور غیر یقینی ماڈلنگ میں استعمال ہوتے ہیں۔ ارتقاء امکان کی تقسیم کے ذریعہ مخصوص آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی امکان کی تقسیم کو تلاش کرنے کا عمل ہے۔ ہم اس اصطلاح کو دیگر ریاضیاتی افعال (مصنوعات، اختلافات، کوٹینٹس، اور زیادہ پیچیدہ افعال) کی تقسیم اور متغیر انحصار کے بارے میں دیگر مفروضوں کو تلاش کرنے تک بڑھا سکتے ہیں۔ ان پٹ کے درمیان انحصار کے بارے میں مختلف مفروضوں کے تحت ان عمومی ارتعاش کا حساب لگانے کے لیے آسان الگورتھم موجود ہیں۔ ریاضیاتی تفصیلات آئیے حقیقی اعداد پر ڈسٹری بیوشن فنکشنز کی جگہ کو ظاہر کریں یعنی پی باکس ایک کوئنٹپل ہے جہاں حقیقی وقفے ہوتے ہیں، اور یہ کوئنٹپل ڈسٹری بیوشن فنکشنز کے سیٹ کو اس طرح ظاہر کرتا ہے کہ: اگر کوئی فنکشن اوپر کی تمام شرائط کو پورا کرتا ہے تو اسے پی باکس کے اندر کہا جاتا ہے۔ کچھ معاملات میں، لمحات یا تقسیم کے خاندان کے بارے میں اس کے علاوہ کوئی معلومات نہیں ہو سکتی ہے جو پی باکس کے کناروں کو تشکیل دینے والے دو تقسیم کے افعال میں انکوڈ کیا گیا ہے۔ پھر پی باکس کی نمائندگی کرنے والے کوئنٹپل کو زیادہ کمپیکٹ طور پر [B1، B2] کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یہ اشارہ حقیقی لکیر پر وقفوں کی طرف اشارہ کرتا ہے، سوائے اس کے کہ اختتامی نکات پوائنٹس کے بجائے تقسیم ہوتے ہیں۔ نوٹیشن اس حقیقت کی نشاندہی کرتا ہے کہ یہ ایک بے ترتیب متغیر ہے جو ڈسٹری بیوشن فنکشن F کے زیر انتظام ہے، یعنی، آئیے p-باکسز کے ساتھ استعمال کے لیے ٹائلڈ نوٹیشن کو عام کریں۔ ہم X ~ B کو اس معنی میں لکھیں گے کہ X ایک بے ترتیب متغیر ہے جس کی تقسیم کی تقریب نامعلوم ہے سوائے اس کے کہ یہ B کے اندر ہے۔ اس طرح، تقسیم فنکشن کا واضح طور پر ذکر کیے بغیر X ~ F ωB کو X ~ B سے معاہدہ کیا جا سکتا ہے۔ اگر X اور Y بالترتیب تقسیم F اور G کے ساتھ آزاد بے ترتیب متغیر ہیں، تو X + Y = Z ~ H اس عمل کے ذریعے دیا جاتا ہے جسے F اور G پر ارتقاء کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ اگر X اور Y غیر متزلزل طور پر آزاد ہیں، تو Z = X + Y کی تقسیم p-باکس کے اندر ہے۔ X اور Y کے درمیان انحصار کے بارے میں کوئی مفروضہ بنائے بغیر Z = X + Y کی تقسیم پر حدود تلاش کرنا دراصل آزادی فرض کرنے والے مسئلے سے آسان ہے۔ ماکاروف نے دکھایا کہ یہ حدود فریچیٹ-ہوفڈنگ کوپولا حدود سے مضمر ہیں۔ اس مسئلے کو ریاضیاتی پروگرامنگ کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے بھی حل کیا جا سکتا ہے۔ درمیانی مفروضے کے تحت ارتقاء کہ X اور Y کا مثبت انحصار ہے اسی طرح حساب لگانا آسان ہے، جیسا کہ X اور Y کے درمیان کامل مثبت یا کامل منفی انحصار کے انتہائی مفروضوں کے تحت ارتقاء ہے۔ دیگر کارروائیوں جیسے گھٹاؤ، ضرب، تقسیم وغیرہ کے لیے عمومی ارتقاء، تبدیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، p-باکس گھٹاؤ A−B کو A + (−B) کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جہاں p-باکس B = [B1, B2] کا منفی [B2 (−x)، B1 (−x)] ہے۔ منطقی تاثرات منطقی یا بولین تاثرات جن میں کنجکشنز (اینڈ آپریشنز)، ڈسجنکشنز (یا آپریشنز)، خصوصی ڈسجنکشنز، مساوات، مشروط وغیرہ شامل ہیں۔ خطرے کی تشخیص میں عام فالٹ ٹری اور ایونٹ ٹری کے تجزیے میں پیدا ہوتا ہے۔ اگر واقعات کے امکانات وقفوں سے نمایاں ہوتے ہیں، جیسا کہ بول اور کینز نے دوسروں کے درمیان تجویز کیا ہے، تو ان بائنری کارروائیوں کا اندازہ لگانا سیدھا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی واقعہ A کا امکان وقفہ P (A) = a = [0.2,0.25] میں ہے، اور واقعہ B کا امکان P (B) = b = [0.1,0.3] میں ہے، تو اس امتزاج کا امکان یقینی طور پر وقفہ P (A & B) = a × b = [0.2,0.25] × [0.1,0.3] = [0.2 × 0.1,0.2 × 0.2] = [0.2,0.075] میں ہے جب تک کہ A اور B کو آزاد واقعات سمجھا جا سکے۔ اگر وہ آزاد نہیں ہیں، تب بھی ہم کلاسیکی فریچیٹ عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کنجکشن کو باندھ سکتے ہیں۔ اس صورت میں، ہم کم از کم یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ مشترکہ واقعہ A اور B کا امکان یقینی طور پر وقفہ P (A & B) = env (زیادہ سے زیادہ (0، a + b−1)، کم سے کم (a, b)) = env (زیادہ سے زیادہ (0، [0.0,0.25] + [0.0,0.0] −1)، کم سے کم ([0.0,0.0.0]، [0.0,0.0.0]) = env ([زیادہ سے زیادہ (0,0.0 + 0.1-1)، زیادہ سے زیادہ (0,0.25 + 0.3-1)]، [کم سے کم (0.2,0.1)، کم سے کم (0.25,0.0)]) = env ([0,0]، [0.0,0.0. اسی طرح، اختلاط کا امکان یقینی طور پر وقفہ P (A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a) × (1 − b) = 1 − (1 − [0.0,0.25]) × (1 − [0.0,0.0]) = 1 − [0.75,0.0] × [0.0,0.0] = 1 − [0.525، 0.72] = [0.08,0.475] میں ہے اگر A اور B آزاد واقعات ہیں۔ اگر وہ آزاد نہیں ہیں، تو فریشیٹ عدم مساوات اختلاط P (A v B) = env (زیادہ سے زیادہ (a, b)، کم سے کم (1, a + b)) = env (زیادہ سے زیادہ ([0.0,0.25]، [0.0,0.0])، کم سے کم (1, [0.0,0.25] + [0.0,0.0.0]) = env ([0.0,0.0]، [0.0,0.0.0]) = [0.0,0.0.0]) کو پابند کرتی ہے۔ A اور B کے درمیان انحصار کے بارے میں دیگر مفروضوں کے تحت کنجکشن یا ڈسجنکشن پر وقفے کی حدود کا حساب لگانا بھی ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی یہ فرض کر سکتا ہے کہ وہ مثبت طور پر منحصر ہیں، اس صورت میں نتیجے میں آنے والا وقفہ اتنا سخت نہیں ہے جتنا کہ آزادی کو فرض کرنے والا جواب ہے لیکن فریشیٹ عدم مساوات کے ذریعہ دیئے گئے جواب سے زیادہ سخت ہے۔ تقابلی حسابات دیگر منطقی افعال جیسے نفی، خصوصی اختلاط وغیرہ کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ جب جائزہ لینے کے لیے بولین اظہار پیچیدہ ہو جاتا ہے، تو اظہار پر بہترین ممکنہ حدود حاصل کرنے کے لیے ریاضیاتی پروگرامنگ کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے اس کا جائزہ لینا ضروری ہو سکتا ہے۔ اسی طرح کا ایک مسئلہ ممکنہ منطق کے معاملے میں پیش کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر دیکھیں گیرلا 1994)۔ اگر واقعات کے امکانات کو وقفوں کے بجائے امکانات کی تقسیم یا پی باکسز کی طرف سے نمایاں کیا جاتا ہے، تو پھر تقسیم یا پی باکس کے نتائج حاصل کرنے کے لیے یکساں حسابات کیے جا سکتے ہیں جو ٹاپ ایونٹ کے امکانات کی خصوصیت رکھتے ہیں۔ طول و عرض کا موازنہ اس بات کا امکان کہ p-باکس D کی طرف سے ظاہر کردہ غیر یقینی تعداد صفر سے کم ہے وہ وقفہ ہے Pr (D <0) = [F (0)، F (0)]، جہاں F (0) امکانی باکس D کی بائیں طرف کی باؤنڈ ہے اور F (0) اس کی دائیں طرف کی باؤنڈ ہے، دونوں کا اندازہ صفر پر کیا جاتا ہے۔ امکان کے خانوں کے ذریعہ پیش کردہ دو غیر یقینی اعداد کا عددی شدت کے لیے مندرجہ ذیل انکوڈنگ کے ساتھ موازنہ کیا جا سکتا ہے: A <B = PR (A − B <0)، A> B = PR (B − A <0)، A ≤ B = PR (A − B ≤ 0)، اور A ≤ B = PR (B − A ≤ 0)۔ اس طرح A کے B سے کم ہونے کا امکان اس امکان کے برابر ہے کہ ان کا فرق صفر سے کم ہے، اور اس امکان کو اظہار A <B کی قدر کہا جا سکتا ہے۔ ریاضی اور منطقی کارروائیوں کی طرح، یہ شدت کے موازنہ عام طور پر A اور B کے درمیان غیر معمولی انحصار پر منحصر ہوتے ہیں، اور انکوڈنگ میں گھٹاؤ اس انحصار کی عکاسی کرتا ہے۔ اگر ان کا انحصار معلوم نہیں ہے، تو فریشیٹ آپریشن کا استعمال کرتے ہوئے کوئی مفروضہ بنائے بغیر فرق کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ نمونے لینے پر مبنی کمپیوٹیشن کچھ تجزیہ کار امکانات کی حدود کی کمپیوٹنگ کے لیے نمونے لینے پر مبنی طریقوں کا استعمال کرتے ہیں، بشمول مونٹی کارلو تخروپن، لاطینی ہائپر کیوب طریقے یا اہمیت کے نمونے لینا۔ یہ نقطہ نظر نتیجہ میں ریاضیاتی سختی کی ضمانت نہیں دے سکتے کیونکہ اس طرح کے تخروپن کے طریقے تخمینے ہوتے ہیں، حالانکہ ان کی کارکردگی کو عام طور پر صرف تخروپن میں نقل کی تعداد میں اضافہ کرکے بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ اس طرح، ریاضیاتی پروگرامنگ پر مبنی تجزیاتی نظریات یا طریقوں کے برعکس، نمونے لینے پر مبنی حسابات عام طور پر تصدیق شدہ حسابات پیدا نہیں کر سکتے۔ تاہم، نمونے لینے پر مبنی طریقے مختلف قسم کے مسائل کو حل کرنے میں بہت مفید ثابت ہو سکتے ہیں جنہیں تجزیاتی طور پر حل کرنا کمپیوٹیشنل طور پر مشکل ہے یا یہاں تک کہ سختی سے جڑے ہوئے ہیں۔ ایک اہم مثال اعلی جہتی مسائل کے ذریعے وقفے کی غیر یقینی صورتحال کو پھیلانے میں جہت کی لعنت سے بچنے کے لیے کاچی-انحراف نمونے لینے کا استعمال ہے۔ دیگر غیر یقینی صورتحال کے پھیلاؤ کے طریقوں سے تعلق پی بی اے کا تعلق ان طریقوں کی ایک کلاس سے ہے جو بیک وقت ایلیٹورک اور علمی غیر یقینی صورتحال کی نمائندگی کرنے کے لیے غیر واضح امکانات کا استعمال کرتے ہیں۔ پی بی اے وقفہ تجزیہ اور ممکنہ ارتقاء دونوں کی عمومی شکل ہے جیسے کہ عام طور پر مونٹی کارلو تخروپن کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے۔ پی بی اے کا مضبوط بائز تجزیہ سے بھی گہرا تعلق ہے، جسے بعض اوقات بائزین حساسیت تجزیہ کہا جاتا ہے۔ پی بی اے دوسرے درجے کے مونٹی کارلو تخروپن کا متبادل ہے۔ ایپلی کیشنز بھی دیکھیں امکان باکس مضبوط بایئز تجزیہ غیر واضح امکان دوسرا آرڈر مونٹی کارلو تخروپن مونٹی کارلو تخروپن وقفہ تجزیہ امکان نظریہ خطرے کے تجزیے کے حوالہ جات مزید حوالہ جات بیرونی روابط ماحولیاتی خطرے کی تشخیص میں امکان کی حدود کا تجزیہ وقفے اور امکان کی تقسیم مہاماری کی غیر یقینی صورتحال کا منصوبہ سوسائٹی برائے غیر واضح امکان: نظریات اور ایپلی کیشنز ریاضیاتی تجزیہ