Jacobson–Morozov theorem
ریاضی میں، جیکبسن-موروزوف تھیوریم یہ دعوی ہے کہ نیم سادہ لائ الجبرا میں نیلپوٹینٹ عناصر کو ایس ایل 2 ٹرپل تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ تھیوریم کا نام، کے نام پر رکھا گیا ہے۔ بیان جیکبسن-موروزوف کا بیان مندرجہ ذیل ابتدائی تصورات پر منحصر ہے: نیم سادہ لائ الجبرا میں ایک ایس ایل 2-ٹرپل (اس مضمون میں، خصوصیت صفر کے میدان پر) لائ الجبرا کی ہومومورفزم ہے۔ مساوی طور پر، یہ تعلقات کو مطمئن کرنے میں عناصر کا تین گنا ہے۔ ایک عنصر کو نیل پوٹینٹ کہا جاتا ہے، اگر اینڈومورفزم (جسے ملحقہ نمائندگی کہا جاتا ہے) ایک نیل پوٹینٹ اینڈومورفزم ہے۔ یہ ایک بنیادی حقیقت ہے کہ کسی بھی ایس ایل 2 ٹرپل کے لیے ای کو نیل پوٹینٹ ہونا چاہیے۔ جیکبسن-موروزوف تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ، اس کے برعکس، کسی بھی نیلپوٹینٹ غیر صفر عنصر کو ایس ایل 2-ٹرپل تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ کیونکہ، اس طرح سے حاصل کردہ ایس ایل 2-ٹرپل کو واضح کیا گیا ہے۔ نظریہ لکیری الجبرائی گروہوں کے لیے بھی بیان کیا جا سکتا ہے (ایک بار پھر خصوصیت صفر کے فیلڈ k پر): کوئی بھی مورفزم (الجبرائی گروپوں کا) اضافی گروپ سے ایک تخفیف گروپ H عوامل میں سرایت کے ذریعے۔ مزید برآں، ایسی کوئی بھی دو فیکٹرائزیشنز H کے k-پوائنٹ سے مربوط ہوتی ہیں۔ عمومی کاری جیسا کہ اوپر وضع کیا گیا ہے تھیوریم کی ایک دور رس عمومی کاری کو درج ذیل بیان کیا جا سکتا ہے: تمام لکیری الجبرائی گروپوں میں تخفیف پسند گروپوں کی شمولیت، جہاں دونوں زمروں میں مورفزم کو عناصر کے ذریعے جوڑنے کے لیے لیا جاتا ہے، ایک بائیں ملحقہ، نام نہاد تخفیف پسند لفافے کو تسلیم کرتا ہے۔ یہ بائیں طرف کا ملحقہ اضافی گروپ کو بھیجتا ہے (جو کہ تخفیف کے برخلاف نیم سادہ ہوتا ہے)، اس طرح جیکبسن-موروزوف کی مذکورہ شکل کو بازیافت کرتا ہے۔ یہ عمومی جیکبسن-موروزوف تھیوریم تناکیائی زمروں سے متعلق طریقوں کو اپیل کرکے اور مزید ہندسی طریقوں سے ثابت ہوا۔ حوالہ جات الجبری الجبری گروہ ہوتے ہیں