Chaotic scattering
افراتفری بکھرنا افراتفری کے نظریہ کی ایک شاخ ہے جو بکھرنے کے نظام سے نمٹتی ہے جو ابتدائی حالات کے لیے مضبوط حساسیت ظاہر کرتی ہے۔ کلاسیکی بکھرے ہوئے نظام میں ایک یا زیادہ اثر پیرامیٹرز ہوں گے، b، جس میں ایک ذرہ بکھرے ہوئے میں بھیجا جاتا ہے۔ یہ ایک یا زیادہ اخراج پیرامیٹرز، y کو جنم دیتا ہے، کیونکہ ذرہ لامحدود کی طرف نکلتا ہے۔ جب ذرہ نظام کو عبور کر رہا ہوتا ہے، تو تاخیر کا وقت بھی ہو سکتا ہے، T-ذرہ کو نظام سے باہر نکلنے میں لگنے والا وقت-طے شدہ فاصلے کے علاوہ، s۔ بعض نظاموں میں (مثال کے طور پر۔ "بلیئرڈ نما" نظام جس میں ذرہ سخت، فکسڈ اشیاء کے ساتھ نقصان کے بغیر تصادم سے گزرتا ہے) دونوں مساوی ہوں گے-نیچے دیکھیں۔ ایک افراتفری بکھرنے والے نظام میں، امپیکٹ پیرامیٹر میں ایک منٹ کی تبدیلی، ایگزٹ پیرامیٹرز میں بہت بڑی تبدیلی کو جنم دے سکتی ہے۔ گیسپرڈ-رائس نظام ایک بہترین مثال کا نظام "گیسپرڈ-رائس" (جی آر) بکھرنے کا نظام ہے-جسے صرف "تھری ڈسک" نظام کے نام سے بھی جانا جاتا ہے-جو سادہ اور سمجھنے اور نقل کرنے میں آسان ہونے کے باوجود افراتفری کے بکھرنے میں بہت سے اہم تصورات کو مجسم کرتا ہے۔ تصور بہت آسان ہے: ہمارے پاس تین ہارڈ ڈسکس ہیں جو کسی مثلث کی تشکیل میں ترتیب دی گئی ہیں، ایک نقطہ ذرہ اندر بھیجا جاتا ہے اور کامل، لچکدار تصادم سے گزرتا ہے جب تک کہ وہ لامحدود کی طرف نہ نکل جائے۔ اس بحث میں، ہم صرف جی آر سسٹمز پر غور کریں گے جن میں مساوی سائز کی ڈسکس ہوں، جو مساوی مثلث کے نکات کے ارد گرد مساوی فاصلے پر ہوں۔ شکل 1 اس نظام کی وضاحت کرتی ہے جبکہ شکل 2 دو مثالیں دکھاتی ہے۔ پہلے نوٹ کریں کہ راستے آخر میں باہر نکلنے سے پہلے کچھ وقت کے لیے نظام کے گرد اچھلتے ہیں۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ اگر ہم اثرات کے پیرامیٹرز کو بائیں طرف دو بالکل افقی لائنوں کا آغاز سمجھتے ہیں (نظام مکمل طور پر پلٹ سکتا ہے: باہر نکلنے کا نقطہ بھی داخلہ نقطہ ہو سکتا ہے)، تو دونوں راستے ابتدائی طور پر اتنے قریب ہیں کہ تقریبا ایک جیسے ہوں۔ جب تک وہ باہر نکلتے ہیں، وہ بالکل مختلف ہوتے ہیں، اس طرح ابتدائی حالات کے لیے مضبوط حساسیت کی عکاسی کرتے ہیں۔ یہ نظام پورے مضمون میں ایک مثال کے طور پر استعمال کیا جائے گا۔ اگر ہم یکساں طور پر تقسیم شدہ اثرات کے پیرامیٹرز کے ساتھ بڑی تعداد میں ذرات متعارف کراتے ہیں، تو جس شرح پر وہ نظام سے باہر نکلتے ہیں اسے انحطاط کی شرح کہا جاتا ہے۔ ہم کئی آزمائشوں میں نظام کی تقلید کرکے اور تاخیر کے وقت کا ہسٹوگرام، ٹی بنا کر انحطاط کی شرح کا حساب لگا سکتے ہیں۔ جی آر نظام کے لیے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ تاخیر کا وقت اور ذرہ کی رفتار کی لمبائی مساوی ہے لیکن ضرب گتانک کے لیے۔ امپیکٹ پیرامیٹر کے لیے ایک عام انتخاب y-کوآرڈینیٹ ہے، جبکہ ٹریجیکٹوری اینگل کو صفر ڈگری پر مستقل رکھا جاتا ہے-افقی۔ دریں اثنا، ہم کہتے ہیں کہ ذرہ نظام کے مرکز سے کچھ من مانی، لیکن کافی بڑی، فاصلے سے گزرنے کے بعد "نظام سے باہر نکل گیا ہے"۔ ہم توقع کرتے ہیں کہ نظام میں باقی ذرات کی تعداد، N (T)، اس طرح مختلف ہوگی: اس طرح انحطاط کی شرح، اس طرح دی گئی ہے: جہاں n ذرات کی کل تعداد ہے۔ شکل 3 بے ترتیب اثر پیرامیٹر، b کے ساتھ شروع ہونے والے ایک ملین (1e6) ذرات کے تخروپن کے لیے راستے کی لمبائی بمقابلہ ذرات کی تعداد کا ایک پلاٹ دکھاتا ہے۔ منفی ڈھلوان کی ایک سیدھی سیدھی لکیر، چھپی ہوئی ہے۔ راستے کی لمبائی، s، ڈیک ٹائم، T کے برابر ہے، بشرطیکہ ہم (مستقل) رفتار کو مناسب طریقے سے پیمائش کریں۔ نوٹ کریں کہ ایکسپونینشیل ڈیک کی شرح خاص طور پر ہائپربولک افراتفری بکھرنے کی خاصیت ہے۔ غیر ہائپربولک بکھرنے والوں میں ریاضی کے انحطاط کی شرح ہو سکتی ہے۔ ایک تجرباتی نظام اور مستحکم کئی گنا شکل 4 پوائنٹ پارٹیکل کے بجائے لیزر کا استعمال کرتے ہوئے گیسپرڈ-رائس سسٹم کے تجرباتی احساس کو ظاہر کرتا ہے۔ جیسا کہ کوئی بھی جس نے اصل میں اس کی کوشش کی ہے وہ جانتا ہے، یہ نظام کی جانچ کا بہت مؤثر طریقہ نہیں ہے-لیزر بیم ہر سمت میں بکھرے ہوئے ہیں۔ جیسا کہ سویٹ، اوٹ اور یارک نے دکھایا ہے، ایک زیادہ موثر طریقہ یہ ہے کہ رنگین روشنی کو ڈسکس کے درمیان کے خلا (یا اس معاملے میں، سلنڈروں کے جوڑوں میں کاغذ کی ٹیپ رنگین سٹرپس) کے ذریعے ہدایت کی جائے اور عکاسی کو کھلے خلا سے دیکھا جائے۔ نتیجہ متبادل رنگ کی دھاریوں کا ایک پیچیدہ نمونہ ہے، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے، جو اس کے نیچے مصنوعی ورژن میں زیادہ واضح طور پر دیکھا گیا ہے۔ اعداد و شمار 5 اور 6 ہر امپیکٹ پیرامیٹر کے لیے کشش کے طاسوں کو دکھاتے ہیں، b، یعنی b کی دی گئی قیمت کے لیے، ذرہ کس خلا سے باہر نکلتا ہے؟ بیسن کی حدود ایک کینٹر سیٹ بناتی ہیں اور مستحکم کئی گنا کے ممبروں کی نمائندگی کرتی ہیں: وہ راستے جو ایک بار شروع ہونے کے بعد کبھی بھی نظام سے باہر نہیں نکلتے۔ غیر متغیر سیٹ اور علامتی حرکیات جب تک یہ ہم آہنگ ہے، ہم آسانی سے نظام کو ایک تکراری فنکشن کے نقشے کے طور پر سوچ سکتے ہیں، جو ایک افراتفری، متحرک نظام کی نمائندگی کرنے کا ایک عام طریقہ ہے۔ شکل 7 متغیرات کی ایک ممکنہ نمائندگی کو ظاہر کرتی ہے، جس میں پہلا متغیر، ریباؤنڈ پر ڈسک کے ارد گرد کے زاویے کی نمائندگی کرتا ہے اور دوسرا، ڈسک سے متعلق اثر/ریباؤنڈ زاویے کی نمائندگی کرتا ہے۔ ان دو متغیرات کا ایک ذیلی سیٹ، جسے غیر متغیر سیٹ کہا جاتا ہے، خود پر نقشہ بنائے گا۔ یہ سیٹ، جن میں سے چار ممبران شکل 8 اور 9 میں دکھائے گئے ہیں، فریکٹل، مکمل طور پر غیر پرکشش اور پیمائش صفر کا ہوگا۔ یہ زیادہ عام طور پر زیر بحث افراتفری والے نظاموں کا ایک دلچسپ الٹ ہے جس میں فریکٹل غیر متغیر سیٹ اپنی طرف متوجہ ہو رہا ہے اور درحقیقت کشش کے طاس پر مشتمل ہے۔ نوٹ کریں کہ غیر متغیر سیٹ کی مکمل طور پر غیر پرکشش نوعیت ہائپربولک افراتفری پھیلانے والے کی ایک اور خاصیت ہے۔ غیر متغیر سیٹ کے ہر رکن کو علامتی حرکیات کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل کیا جا سکتا ہے: رفتار کو ہر ایک ڈسک کی بنیاد پر لیبل کیا جاتا ہے جس سے یہ ریباؤنڈ ہوتا ہے۔ اس طرح کے تمام ترتیبات کا مجموعہ ایک بے شمار سیٹ بناتا ہے۔ شکل 8 اور 9 میں دکھائے گئے چار ممبروں کے لیے، علامتی حرکیات مندرجہ ذیل ہوں گی:. 1212121212.. 23232323... 3131313131... 123123123123... مستحکم کئی گنا کے ممبروں کی بھی اسی طرح نمائندگی کی جا سکتی ہے، سوائے اس کے کہ ہر ترتیب کا ایک نقطہ آغاز ہوگا۔ جب آپ اس بات پر غور کرتے ہیں کہ غیر متغیر سیٹ کے کسی رکن کو کشش کے دو طاسوں کے درمیان کی حدود میں "فٹ" ہونا چاہیے، تو یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، اگر خلل پڑتا ہے، تو رفتار ترتیب کے ساتھ کہیں بھی باہر نکل سکتی ہے۔ اس طرح یہ بھی واضح ہونا چاہیے کہ کسی بھی دی گئی حد کے درمیان تینوں "رنگوں" کے متغیر طاسوں کی لامحدود تعداد موجود ہوگی۔ ان کی غیر مستحکم نوعیت کی وجہ سے، غیر متغیر سیٹ یا مستحکم کئی گنا کے اراکین تک براہ راست رسائی حاصل کرنا مشکل ہے۔ غیر یقینی نقطہ مثالی طور پر اس قسم کے نظام کے فریکٹل طول و عرض کی پیمائش کے لیے موزوں ہے۔ ایک بار پھر سنگل امپیکٹ پیرامیٹر، b کا استعمال کرتے ہوئے، ہم بے ترتیب امپیکٹ پیرامیٹرز کے ساتھ متعدد ٹرائلز انجام دیتے ہیں، انہیں ایک منٹ کی رقم سے پریشان کرتے ہیں، اور یہ گنتے ہیں کہ ڈسکس سے ریباؤنڈز کی تعداد کتنی بار بدلتی ہے، یعنی غیر یقینی کا حصہ۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ نظام دو جہتی ہے، ایک واحد اثر پیرامیٹر مستحکم کئی گنا کے فریکٹل طول و عرض کی پیمائش کے لیے کافی ہے۔ اس کا مظاہرہ شکل 10 میں کیا گیا ہے، جو کشش کے طاسوں کو دوہری اثر پیرامیٹر کے فنکشن کے طور پر دکھایا گیا ہے، اور۔ مستحکم کئی گنا، جو طاسوں کے درمیان کی حدود میں دیکھا جا سکتا ہے، صرف ایک جہت کے ساتھ فریکٹل ہے۔ شکل 11 غیر یقینی کے حصے، f، کو غیر یقینی کے فنکشن کے طور پر، ایک مصنوعی گیسپرڈ-رائس سسٹم کے لیے پلاٹ کرتی ہے۔ فٹ شدہ منحنی خطوط کی ڈھلوان غیر یقینی نقطہ کو واپس کرتی ہے، اس طرح مستحکم کئی گنا کا باکس گنتی طول و عرض ہے۔ غیر متغیر سیٹ مستحکم اور غیر مستحکم کئی گنا کا چوراہا ہے۔ چونکہ نظام ایک ہی ہے چاہے آگے کی طرف ہو یا پیچھے کی طرف، غیر مستحکم کئی گنا محض مستحکم کئی گنا کی آئینہ تصویر ہے اور ان کے فریکٹل طول و عرض برابر ہوں گے۔ اس بنیاد پر ہم غیر متغیر سیٹ کے فریکٹل طول و عرض کا حساب لگا سکتے ہیں: جہاں D _ s اور D _ u بالترتیب مستحکم اور غیر مستحکم کئی گنا کے فریکٹل طول و عرض ہیں اور N = 2 نظام کی جہت ہے۔ غیر متغیر سیٹ کا فریکٹل طول و عرض D = 1.24 ہے۔ فریکٹل طول و عرض، انحطاط کی شرح اور لیاپونوف متغیرات کے درمیان تعلق پچھلی بحث سے، یہ واضح ہونا چاہیے کہ انحطاط کی شرح، فریکٹل طول و عرض اور لیاپونوف متغیرات سب ایک دوسرے سے متعلق ہیں۔ مثال کے طور پر، بڑا لیاپونوف ایکسپونینٹ ہمیں بتاتا ہے کہ اگر غیر متغیر سیٹ میں خلل پڑتا ہے تو رفتار کتنی تیزی سے ہٹ جائے گی۔ اسی طرح، فریکٹل طول و عرض ہمیں غیر متغیر سیٹ میں مداروں کی کثافت کے بارے میں معلومات فراہم کرے گا۔ اس طرح ہم دیکھ سکتے ہیں کہ دونوں انحطاط کی شرح کو متاثر کریں گے جیسا کہ دو جہتی بکھرنے والے نظام کے لیے درج ذیل قیاس میں دکھایا گیا ہے: جہاں D1 معلومات کا طول و عرض ہے اور H1 اور H2 بالترتیب چھوٹے اور بڑے لیاپونوف اشارے ہیں۔ ایک پرکشش کے لیے، اور یہ کپلان-یارک قیاس آرائی تک کم ہو جاتا ہے۔ مزید دیکھیں لیکس آف واڈا غیر یقینی اشارے حوالہ جات گیسپرڈ-رائس سسٹم کی تقلید کے لیے بیرونی لنکس سافٹ ویئر گیسپرڈ-رائس سسٹم اور اس کی علامتی حرکیات کا تخروپن، افراتفری پنجم سے: ڈوہیم کا بل کیوس تھیوری بکھرنا