Conformal welding
ریاضی میں، کنفارمل ویلڈنگ (سلائی یا گلوئنگ) جیومیٹرک فنکشن تھیوری میں ایک ایسا عمل ہے جس میں دو ریمن سطحوں کو ایک ساتھ جوڑ کر ریمن کی سطح تیار کی جاتی ہے، ہر ایک کے ساتھ ان کے حدود کے حلقوں کے ساتھ ایک ڈسک کو ہٹا دیا جاتا ہے۔ اس مسئلے کو یونٹ ڈسک کے غیر مساوی ہولومورفک نقشوں f، g اور توسیعی پیچیدہ سطح میں اس کی تکمیل کو تلاش کرنے تک کم کیا جا سکتا ہے، دونوں اپنے ڈومینز کی بندش کے لیے مسلسل توسیع کو تسلیم کرتے ہیں، جیسے کہ تصاویر تکمیلی اردن ڈومینز ہیں اور اس طرح کہ یونٹ کے دائرے پر وہ ایک دی گئی قواسیسمٹرک ہومیومورفزم سے مختلف ہیں۔ کئی ثبوت مختلف تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے معلوم ہوتے ہیں، جن میں بیلٹرامی مساوات، دائرے پر ہلبرٹ ٹرانسفارم اور ابتدائی تخمینہ تکنیک شامل ہیں۔ کنفارمل ویلڈنگ کے پہلے دو طریقوں کو بیان کرنے کے ساتھ ساتھ جہاز میں شکلوں کے تجزیے کے لیے عددی حسابات اور ایپلی کیشنز فراہم کریں۔ بیلٹرامی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ویلڈنگ یہ طریقہ سب سے پہلے تجویز کیا گیا تھا۔ اگر f دائرے کا ڈفیومورفزم ہے، تو الیگزینڈر ایکسٹینشن f کو یونٹ ڈسک D کے ڈفیومورفزم تک بڑھانے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے: جہاں si ایک ہموار فنکشن ہے جس کی اقدار [0,1] میں ہیں، جو 0 کے قریب 0 اور 1 کے قریب 1 کے برابر ہے، اور g (θ + 2π) = g (θ) + 2π کے ساتھ۔ توسیع F کو R> 1 کے ساتھ کسی بھی بڑی ڈسک |z | <R تک جاری رکھا جا سکتا ہے۔ اس کے مطابق یونٹ ڈسک میں اب |z | ≤1 کے لیے اسے 0 کے برابر ترتیب دے کر پورے C پر بیلٹرامی گتانک تک توسیع کریں۔ فرض کریں کہ G بیلٹرامی مساوات کا متعلقہ حل ہے: فرض کریں کہ |z | ≤1 کے لیے F1 (z) = G°F−1 (z) اور |z | ≤1 کے لیے F2 (z) = G (z)۔ اس طرح F1 اور F2 اردن وکر کے اندر اور باہر |z | <1 اور |z |> 1 کے غیر مساوی ہولومورفک نقشے ہیں۔ وہ باؤنڈری پر اردن وکر پر یونٹ سرکل کے ہومومورفزم فائی تک مسلسل پھیلے ہوئے ہیں۔ تعمیر کے ذریعے وہ کنفارمل ویلڈنگ کی حالت کو پورا کرتے ہیں: دائرے پر ہلبرٹ ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے ویلڈنگ کنفارمل ویلڈنگ قائم کرنے کے لیے ہلبرٹ ٹرانسفارم کا استعمال سب سے پہلے جارجیائی ریاضی دانوں ڈی جی نے تجویز کیا تھا۔ 1958 میں مانڈژاویڈزے اور بی وی خویدیلڈزے۔ ایک ہی وقت میں ایف ڈی کی طرف سے ایک تفصیلی بیان دیا گیا۔ گخوف اور اپنے کلاسک مونوگراف () میں پیش کیا۔ فرض کریں کہ en (θ) = einθ، L2 (T) کی معیاری آرتھونورمل بنیاد ہے۔ H2 (T) کو ہارڈی اسپیس ہونے دیں، بند سب اسپیس این کے ذریعے n ≤ 0 کے ساتھ پھیلی ہوئی ہے۔ P کو ہارڈی اسپیس پر آرتھوگنل پروجیکشن ہونے دیں اور T = 2P-I سیٹ کریں۔ آپریٹر H = iT دائرے پر ہلبرٹ ٹرانسفارم ہے اور اسے واحد انٹیگرل آپریٹر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اکائی دائرے کے ڈفیومورفزم f کو دیکھتے ہوئے، کام یہ ہے کہ |z | <1 اور |z |> 1 میں بیان کردہ دو غیر مساوی ہولومورفک افعال کا تعین کیا جائے اور دونوں اکائی دائرے تک آسانی سے پھیلتے ہوئے، اردن ڈومین اور اس کی تکمیل پر نقشہ سازی کریں، جیسے کہ فرض کریں کہ F اکائی دائرے میں f + کی پابندی ہو۔ پھر اور اس لیے اگر V (f) ڈفیومورفزم f سے متاثر L2 پر باؤنڈڈ انورٹ ایبل آپریٹر کی نشاندہی کرتا ہے، تو آپریٹر کمپیکٹ ہوتا ہے، درحقیقت یہ ہموار دانا والے آپریٹر کے ذریعے دیا جاتا ہے کیونکہ P اور T واحد انٹیگرل آپریٹرز کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ آپریٹر I − Kf انڈیکس صفر کا فریڈہولم آپریٹر ہے۔ اس میں صفر دانا ہوتا ہے اور اس لیے یہ الٹا ہوتا ہے۔ درحقیقت دانا میں ایک عنصر D اور Dc پر ہولومورفک افعال کے ایک جوڑے پر مشتمل ہوتا ہے جس میں f سے متعلق دائرے پر ہموار باؤنڈری ویلیوز ہوتی ہیں۔ چونکہ Dc پر ہولومورفک فنکشن φ پر غائب ہو جاتا ہے، اس لیے اس جوڑے کی مثبت طاقتیں بھی حل فراہم کرتی ہیں، جو لکیری طور پر آزاد ہیں، اس حقیقت سے متصادم ہے کہ I−Kf ایک فریڈہولم آپریٹر ہے۔ لہذا مندرجہ بالا مساوات کا ایک منفرد حل F ہے جو ہموار ہے اور جس سے f ± کو اوپر کے مراحل کو الٹ کر دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، F کے مشتق کے لوگارتھم سے مطمئن مساوات کو دیکھ کر، یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ F کا اکائی دائرے پر کہیں بھی مشتق غائب نہیں ہوتا ہے۔ مزید برآں F دائرے پر ون ٹو ون ہے کیونکہ اگر یہ مختلف نکات z1 اور z2 پر a کی قدر فرض کرتا ہے تو R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2) کا لوگرتھم ایک انٹیگرل مساوات کو پورا کرے گا جس کا کوئی غیر صفر حل نہیں ہے۔ اکائی دائرے پر ان خصوصیات کو دیکھتے ہوئے، f ± کی مطلوبہ خصوصیات پھر دلیل کے اصول کی پیروی کرتی ہیں۔ تجزیہ میں حوالہ جات کے نظریات کو نوٹ کریں پیچیدہ تجزیہ ریمن کی سطحیں