Tennis racket theorem
ٹینس ریکٹ تھیوریم یا انٹرمیڈیٹ ایکسس تھیوریم کلاسیکی میکانکس کا ایک نتیجہ ہے جو جمود کے تین الگ الگ بنیادی لمحات کے ساتھ ایک سخت جسم کی حرکت کو بیان کرتا ہے۔ اسے سوویت خلاباز ولادیمیر زانیبیکوف کے نام پر زانیبیکوف اثر بھی کہا جاتا ہے، جس نے 1985 میں خلا میں رہتے ہوئے نظریہ کے منطقی نتائج میں سے ایک کا مشاہدہ کیا تھا، حالانکہ یہ اثر اس سے کم از کم 150 سال پہلے ہی معلوم تھا اور اسے 1834 میں لوئس پوائنسوٹ کی ایک کتاب میں شامل کیا گیا تھا۔ نظریہ مندرجہ ذیل اثر کو بیان کرتا ہے: کسی شے کی اس کے پہلے اور تیسرے اصل محور کے ارد گرد گردش مستحکم ہوتی ہے، جبکہ اس کے دوسرے اصل محور (یا درمیانی محور) کے ارد گرد گردش نہیں ہوتی ہے۔ اس کا مظاہرہ مندرجہ ذیل تجربے سے کیا جا سکتا ہے: ٹینس ریکٹ کو اس کے ہینڈل پر پکڑو، جس کا چہرہ افقی ہو، اور اسے ہوا میں پھینکنے کی کوشش کرو تاکہ یہ ہینڈل کے افقی محور کے ارد گرد مکمل گردش کرے (خاکہ میں η2، ویڈیو میں η1)، اور ہینڈل کو پکڑنے کی کوشش کریں۔ تقریبا تمام صورتوں میں، اس گردش کے دوران چہرے نے بھی نصف گردش مکمل کر لی ہوگی، تاکہ دوسرا چہرہ اب اوپر ہو۔ اس کے برعکس، ریکٹ کو پھینکنا آسان ہے تاکہ یہ کسی دوسرے محور کے گرد آدھے گھومنے کے بغیر ہینڈل کے محور (خاکہ میں η1) کے گرد گھومے۔ اسے ہینڈل کے عمودی محور کے ارد گرد عمودی گھومنے کے لیے بھی ممکن ہے (خاکہ میں η3) بغیر کسی آدھے گھومنے کے۔ یہ تجربہ کسی بھی ایسی چیز کے ساتھ کیا جا سکتا ہے جس میں جمود کے تین مختلف لمحات ہوں، مثال کے طور پر کتاب، ریموٹ کنٹرول، یا اسمارٹ فون کے ساتھ۔ اثر اس وقت ہوتا ہے جب گردش کا محور شے کے دوسرے بنیادی محور سے صرف تھوڑا سا مختلف ہوتا ہے۔ ہوا کی مزاحمت یا کشش ثقل ضروری نہیں ہے۔ تھیوری ٹینس ریکٹ تھیوریم کا تجزیہ اویلر کی مساوات کی مدد سے کیا جا سکتا ہے۔ ٹارک سے پاک حالات میں، وہ مندرجہ ذیل شکل اختیار کرتے ہیں: یہاں شے کے جمود کے بنیادی لمحات کی نشاندہی کرتے ہیں، اور ہم فرض کرتے ہیں۔ شے کے تین اہم محوروں کے ارد گرد کونیی رفتار ہیں اور ان کے وقت کے مشتقات کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ پہلے اور تیسرے اصل محور کے ارد گرد مستحکم گردش اس صورت حال پر غور کریں جب شے مومنٹ آف انیرشیا کے ساتھ محور کے گرد گھوم رہی ہو۔ توازن کی نوعیت کا تعین کرنے کے لیے، دوسرے دو محوروں کے ساتھ چھوٹی ابتدائی کونیی رفتاروں کو فرض کریں۔ نتیجے کے طور پر، مساوات (1) کے مطابق، بہت چھوٹا ہے۔ اس لیے وقت پر انحصار کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ اب، مساوات (2) کو الگ کرنا اور مساوات (3) سے تبدیل کرنا، کیونکہ اور۔ نوٹ کریں کہ اس کی مخالفت کی جا رہی ہے اور اس لیے اس محور کے گرد گردش شے کے لیے مستحکم ہے۔ اسی طرح کی استدلال سے پتہ چلتا ہے کہ مومنٹ آف انیرشیا کے ساتھ محور کے گرد گردش بھی مستحکم ہے۔ دوسرے اصل محور کے ارد گرد غیر مستحکم گردش اب وہی تجزیہ مومنٹ آف انیرشیا کے ساتھ محور پر لاگو کریں یہ وقت بہت چھوٹا ہے۔ اس لیے وقت پر انحصار کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ اب، مساوات (1) کو الگ کرتے ہوئے اور مساوات (3) سے بدلتے ہوئے، نوٹ کریں کہ اس کی مخالفت نہیں ہے (اور اس وجہ سے بڑھے گا) اور اس لیے دوسرے محور کے ارد گرد گردش غیر مستحکم ہے۔ لہذا، دیگر محوروں کے ساتھ ایک چھوٹی سی خلل بھی شے کو 'پلٹنے' کا سبب بنتی ہے۔ میٹرکس تجزیہ اگر شے زیادہ تر اپنے تیسرے محور کے ساتھ گھوم رہی ہے، تو ہم فرض کر سکتے ہیں کہ اس میں زیادہ فرق نہیں ہے، اور حرکت کی مساوات کو میٹرکس مساوات کے طور پر لکھ سکتے ہیں: جس میں صفر ٹریس اور مثبت تعین کنندہ ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کی حرکت اصل کے ارد گرد ایک مستحکم گردش ہے-ایک غیر جانبدار توازن نقطہ۔ اسی طرح، نقطہ ایک غیر جانبدار توازن نقطہ ہے، لیکن ایک سیڈل پوائنٹ ہے۔ جیومیٹرک تجزیہ حرکت کے دوران، توانائی اور کونیی مومنٹم مربع دونوں محفوظ ہوتے ہیں، اس طرح ہمارے پاس دو محفوظ مقداریں ہوتی ہیں: اور اس لیے کسی بھی ابتدائی حالت کے لیے، کی رفتار کو دو ایلیپسائڈز کے درمیان چوراہے کے منحنی خطوط پر رہنا چاہیے۔ یہ بائیں طرف حرکت پذیری پر دکھایا گیا ہے۔ اویلر کی مساوات کا معائنہ کرنے سے، ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ کے دو اجزاء صفر ہیں-یعنی، شے بالکل ایک اہم محور کے گرد گھوم رہی ہے۔ دیگر تمام حالات میں، حرکت میں رہنا چاہیے۔ اویلر کی مساوات کے مطابق، اگر حل ہے، تو کسی بھی مستقل کے لیے بھی ایسا ہی ہے۔ خاص طور پر، خالی جگہ میں جسم کی حرکت (انٹیگریٹ کرکے حاصل کی گئی) بالکل ایک جیسی ہوتی ہے، صرف کے تناسب سے تیزی سے مکمل ہوتی ہے۔ نتیجتا، ہم ایک مقررہ قدر کے ساتھ حرکت کی جیومیٹری کا تجزیہ کر سکتے ہیں، اور مستقل مربع کونیی مومنٹم کے فکسڈ ایلیپسائڈ پر مختلف ہو سکتے ہیں۔ جیسا کہ مختلف ہوتا ہے، کی قدر بھی مختلف ہوتی ہے-اس طرح ہمیں مستقل توانائی کا مختلف الپسائڈ ملتا ہے۔ یہ حرکت پذیری میں ایک فکسڈ نارنجی ایلیپسائڈ اور بڑھتی ہوئی نیلی ایلیپسائڈ کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ ٹھوسیت کے لیے، غور کریں، پھر کونیی مومنٹم ایلیپسائڈ کے بڑے محور کے تناسب میں ہیں، اور توانائی ایلیپسائڈ کے بڑے محور کے تناسب میں ہیں۔ اس طرح کونیی مومنٹم ایلیپسائڈ چپٹا اور تیز دونوں ہوتا ہے، جیسا کہ حرکت پذیری میں نظر آتا ہے۔ عام طور پر، کونیی مومنٹم ایلیپسائڈ ہمیشہ توانائی ایلیپسائڈ سے زیادہ "مبالغہ آمیز" ہوتا ہے۔ اب اس کے انٹرسیکشن منحنی خطوط کے ایک مقررہ ایلیپسائڈ پر ایلیپسائڈ کے ساتھ درج کریں، جیسا کہ صفر سے انفینیٹی تک بڑھتا ہے۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ منحنی خطوط اس طرح تیار ہوتے ہیں: چھوٹی توانائی کے لیے، کوئی چوراہا نہیں ہے، کیونکہ ہمیں کونیی مومنٹم ایلیپسائڈ پر رہنے کے لیے کم از کم توانائی کی ضرورت ہوتی ہے۔ توانائی ایلیپسائڈ سب سے پہلے مومنٹم ایلیپسائڈ کو اس وقت کاٹتا ہے جب پوائنٹس پر ہوتا ہے۔ یہ تب ہوتا ہے جب جسم جمود کے سب سے بڑے لمحے کے ساتھ اپنے محور کے گرد گھومتا ہے۔ وہ پوائنٹس کے ارد گرد دو چکروں پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ چونکہ ہر سائیکل میں کوئی نقطہ نہیں ہوتا ہے جس پر، کی حرکت ہر سائیکل کے ارد گرد ایک دورانیے کی حرکت ہونی چاہیے۔ وہ دو "اخترن" منحنی خطوط پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں جو پوائنٹس پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، جب۔ اگر اخترن منحنی خطوط پر کہیں بھی شروع ہوتا ہے، تو یہ ایک نقطہ تک پہنچ جائے گا، فاصلہ تیزی سے کم ہوتا جائے گا، لیکن حقیقت میں کبھی بھی نقطہ تک نہیں پہنچتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہمارے پاس دو سیڈل پوائنٹس کے درمیان 4 ہیٹروکلینک مدار ہیں۔ وہ پوائنٹس کے ارد گرد دو چکروں پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ چونکہ ہر سائیکل میں کوئی نقطہ نہیں ہوتا ہے جس پر، کی حرکت ہر سائیکل کے ارد گرد ایک دورانیے کی حرکت ہونی چاہیے۔ توانائی ایلیپسائڈ آخری بار مومنٹم ایلیپسائڈ کو اس وقت کاٹتا ہے جب، پوائنٹس پر۔ یہ تب ہوتا ہے جب جسم جمود کے سب سے چھوٹے لمحے کے ساتھ اپنے محور کے گرد گھومتا ہے۔ ٹینس ریکٹ کا اثر اس وقت ہوتا ہے جب وہ سیڈل پوائنٹ کے بہت قریب ہوتا ہے۔ جسم سیڈل پوائنٹ کے قریب رہتا، پھر تیزی سے دوسرے سیڈل پوائنٹ کی طرف بڑھتا، قریب ہوتا، پھر طویل عرصے تک رہتا، وغیرہ۔ تحریک مدت کے ساتھ دہرائی جاتی ہے۔ مندرجہ بالا تجزیہ ایک مبصر کے نقطہ نظر میں کیا جاتا ہے جو جسم کے ساتھ گھوم رہا ہے۔ خالی جگہ میں جسم کی حرکت کو دیکھنے والا مبصر اس کے کونیی مومنٹم ویکٹر کو محفوظ دیکھتا ہے، جبکہ اس کے کونیی رفتار ویکٹر اور اس کے مومنٹ آف انیرشیا دونوں خلا میں پیچیدہ حرکتوں سے گزر رہے ہیں۔ شروع میں، مبصر دونوں کو زیادہ تر کے دوسرے بڑے محور کے ساتھ منسلک دیکھتا ہے۔ تھوڑی دیر کے بعد، جسم ایک پیچیدہ حرکت انجام دیتا ہے اور اس کے ساتھ ختم ہوتا ہے، اور پھر دونوں زیادہ تر دوسرے بڑے محور کے ساتھ سیدھے ہوتے ہیں۔ نتیجتا، دو امکانات ہیں: یا تو سخت جسم کا دوسرا بڑا محور ایک ہی سمت میں ہے، یا اس کی سمت الٹ گئی ہے۔ اگر یہ اب بھی ایک ہی سمت میں ہے، تو پھر سخت جسم کے حوالہ فریم میں دیکھا جانے والا بھی زیادہ تر ایک ہی سمت میں ہوتا ہے۔ تاہم، ہم نے ابھی اسے دیکھا ہے اور مخالف سیڈل پوائنٹس کے قریب ہیں۔ تضاد۔ متناسب طور پر، پھر، یہ وہی ہے جو خالی جگہ میں دیکھنے والا مبصر مشاہدہ کرے گا: جسم تھوڑی دیر کے لیے اپنے دوسرے بڑے محور کے گرد گھومتا ہے۔ جسم تیزی سے ایک پیچیدہ حرکت سے گزرتا ہے، یہاں تک کہ اس کا دوسرا بڑا محور الٹا سمت اختیار کر لے۔ جسم تھوڑی دیر کے لیے دوبارہ اپنے دوسرے بڑے محور کے گرد گھومتا ہے۔ دہرائیں۔ یہ مائیکرو گریویٹی میں ویڈیو کے مظاہرے میں آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے۔ ڈسیپیشن کے ساتھ جب جسم بالکل سخت نہیں ہوتا ہے، لیکن جھکا اور موڑ سکتا ہے یا اس میں مائع ہوتا ہے جو ارد گرد پھسل جاتا ہے، تو یہ اپنی اندرونی ڈگری آف فریڈم کے ذریعے توانائی کو ختم کر سکتا ہے۔ اس صورت میں، جسم میں اب بھی مستقل کونیی رفتار ہوتی ہے، لیکن اس کی توانائی کم ہو جائے گی، جب تک کہ یہ کم سے کم نقطہ تک نہ پہنچ جائے۔ جیسا کہ اوپر ہندسی طور پر تجزیہ کیا گیا ہے، یہ اس وقت ہوتا ہے جب جسم کی کونیی رفتار اس کے زیادہ سے زیادہ مومنٹ آف انیرشیا کے محور کے ساتھ بالکل سیدھی ہوتی ہے۔ یہ ایکسپلورر 1 کے ساتھ ہوا، جو 1958 میں ریاستہائے متحدہ کی طرف سے لانچ کیا گیا پہلا سیٹلائٹ تھا۔ خلائی جہاز کے لمبے جسم کو اس کے لمبے (کم سے کم جمود) محور کے گرد گھومنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا تھا لیکن اس نے ایسا کرنے سے انکار کر دیا، اور اس کے بجائے لچکدار ساختی عناصر سے توانائی کی کھپت کی وجہ سے پری پروسیسنگ شروع کر دی۔ عام طور پر، بڑے یا چھوٹے آسمانی اجسام جمود کے زیادہ سے زیادہ لمحے کے اپنے محور کے گرد مستقل گردش میں یکجا ہوتے ہیں۔ جب بھی کوئی آسمانی جسم پیچیدہ گردش کی حالت میں پایا جاتا ہے، تو یہ یا تو حالیہ اثر یا سمندری تعامل کی وجہ سے ہوتا ہے، یا حال ہی میں خلل ڈالنے والے اجداد کا ایک ٹکڑا ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات میر انٹرنیشنل اسپیس اسٹیشن لوئس پوائنسوٹ، تھیوری نوویلے ڈی لا روٹیشن ڈیس کورپس، پیرس، بیچلیئر، 1834، 170 پی۔: تاریخی طور پر، اس اثر کی پہلی ریاضیاتی وضاحت۔ - میٹ پارکر کلاسیکل میکینکس فزکس تھیوریمز جادوگروں کی طرف سے بدیہی ویڈیو وضاحت