Minimal ideal
تجریدی الجبرا کی شاخ میں جسے رنگ تھیوری کہا جاتا ہے، رنگ R کا کم از کم دائیں آئیڈیل ایک غیر صفر دائیں آئیڈیل ہے جس میں کوئی دوسرا غیر صفر دائیں آئیڈیل نہیں ہوتا ہے۔ اسی طرح، ایک کم سے کم بائیں آئیڈیل R کا ایک غیر صفر بائیں آئیڈیل ہے جس میں R کا کوئی دوسرا غیر صفر بائیں آئیڈیل نہیں ہے، اور R کا کم سے کم آئیڈیل ایک غیر صفر آئیڈیل ہے جس میں R کا کوئی دوسرا غیر صفر دو طرفہ آئیڈیل نہیں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کم از کم دائیں آئیڈیل R کے غیر صفر دائیں آئیڈیلز کے جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ (پوسیٹ) کے کم سے کم عناصر ہیں جو شمولیت کے ذریعے ترتیب دیے گئے ہیں۔ قارئین کو خبردار کیا جاتا ہے کہ اس سیاق و سباق سے باہر، آئیڈیلز کے کچھ پوسیٹ صفر آئیڈیل کو تسلیم کر سکتے ہیں، اور اس لیے صفر آئیڈیل ممکنہ طور پر اس پوسیٹ میں ایک کم سے کم عنصر ہو سکتا ہے۔ یہ ایک رنگ کے پرائم آئیڈیلز کی پوزیشن کا معاملہ ہے، جس میں صفر آئیڈیل کو کم از کم پرائم آئیڈیل کے طور پر شامل کیا جا سکتا ہے۔ تعریف رنگ R کے کم از کم دائیں آئیڈیل N کی تعریف درج ذیل شرائط کے مساوی ہے: N غیر صفر ہے اور اگر K R کا صحیح آئیڈیل ہے، تو یا تو۔ N ایک سادہ دائیں R-ماڈیول ہے۔ کم سے کم آئیڈیل زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کا دوہرا تصور ہیں۔ خصوصیات کم سے کم آئیڈیلز پر بہت سے معیاری حقائق معیاری نصوص جیسے،،، اور میں مل سکتے ہیں۔ اتحاد کے ساتھ ایک رنگ میں، زیادہ سے زیادہ صحیح آئیڈیل ہمیشہ موجود ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، اتحاد کے ساتھ رنگ میں کم از کم دائیں، بائیں، یا دو طرفہ آئیڈیل موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ رنگ کا دائیں ساکل ایک اہم ڈھانچہ ہے جس کی وضاحت آر رنگز کے کم سے کم دائیں آئیڈیلز کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ جس کے لیے ہر دائیں آئیڈیل میں کم سے کم دائیں آئیڈیل ہوتا ہے بالکل وہی رنگ ہوتے ہیں جن میں ایک ضروری دائیں ساکل ہوتا ہے۔ کسی بھی دائیں آرٹینین رنگ یا دائیں کاش رنگ میں کم سے کم صحیح آئیڈیل ہوتا ہے۔ وہ ڈومین جو ڈویژن رنگ نہیں ہیں ان میں کوئی کم از کم صحیح آئیڈیل نہیں ہوتے ہیں۔ اتحاد والے رنگوں میں، کم سے کم دائیں آئیڈیل لازمی طور پر اصل صحیح آئیڈیل ہوتے ہیں، کیونکہ کم سے کم دائیں آئیڈیل N میں کسی بھی غیر صفر x کے لیے، سیٹ xR N کے اندر R کا غیر صفر دائیں آئیڈیل ہوتا ہے، اور اسی طرح۔ براؤر کا لیما: رنگ R میں کوئی بھی کم از کم دائیں آئیڈیل N مطمئن کرتا ہے یا R کے کسی مثالی عنصر e کے لیے۔ اگر N1 اور N2 R کے غیر آئسومورفک کم از کم دائیں آئیڈیل ہیں، تو پروڈکٹ {0} کے برابر ہوتا ہے۔ اگر N1 اور N2 رنگ R کے الگ الگ کم سے کم آئیڈیل ہیں، تو ایک سادہ رنگ جس میں کم سے کم دائیں آئیڈیل ہو ایک نیم سادہ رنگ ہے۔ سیمی پرائم رنگ میں، ایک کم سے کم دائیں آئیڈیل موجود ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کم سے کم بائیں آئیڈیل موجود ہو۔ عمومی کاری دائیں ماڈیول M کے غیر صفر ذیلی ماڈیول N کو کم سے کم ذیلی ماڈیول کہا جاتا ہے اگر اس میں M کے کوئی دوسرے غیر صفر ذیلی ماڈیول نہ ہوں۔ مساوی طور پر، N، M کا غیر صفر ذیلی ماڈیول ہے جو کہ ایک سادہ ماڈیول ہے۔ اگر N میں کوئی دوسرا غیر صفر ذیلی بیمڈیول نہ ہو تو اسے غیر صفر ذیلی بیمڈیول N کو M کا کم سے کم ذیلی بیمڈیول کہہ کر بھی بیمڈیول تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اگر ماڈیول ایم کو صحیح آر-ماڈیول آر آر سمجھا جاتا ہے، تو کم سے کم ذیلی ماڈیول بالکل آر کے کم سے کم دائیں آئیڈیل ہیں۔ اسی طرح، آر کے کم سے کم بائیں آئیڈیل بالکل بائیں ماڈیول آر کے کم سے کم ذیلی ماڈیول ہیں۔ دو طرفہ آئیڈیل کے معاملے میں، ہم دیکھتے ہیں کہ آر کے کم سے کم آئیڈیل بالکل بموڈیول آر کے کم سے کم ذیلی بموڈیول ہیں۔ بجتوں کی طرح، اس بات کی کوئی ضمانت نہیں ہے کہ ماڈیول میں کم سے کم ذیلی ماڈیول موجود ہیں۔ کم از کم ذیلی ماڈیولز کو ماڈیول کے سوکل کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal تجریدی الجبرا رنگ تھیوری مثالیں (رنگ تھیوری)