Infinite compositions of analytic functions
ریاضی میں، تجزیاتی افعال کی لامحدود ترکیبیں (آئی سی اے ایف) تجزیاتی مسلسل حصوں، سیریز، مصنوعات اور دیگر لامحدود پھیلاؤ کی متبادل تشکیل پیش کرتی ہیں، اور اس طرح کی ترکیبیں سے تیار ہونے والا نظریہ ان پھیلاؤ کے ارتکاز/انحراف پر روشنی ڈال سکتا ہے۔ کچھ افعال کو دراصل براہ راست لامحدود کمپوزیشن کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس کے علاوہ، لامحدود توسیع پر مشتمل فکسڈ پوائنٹ مساوات کے حل کا اندازہ کرنے کے لیے آئی سی اے ایف کا استعمال کرنا ممکن ہے۔ پیچیدہ حرکیات ایک واحد فنکشن کے بجائے افعال کے نظام کی تکرار کے لیے ایک اور مقام پیش کرتی ہے۔ کسی ایک فنکشن کی لامحدود کمپوزیشن کے لیے Iterated فنکشن دیکھیں۔ فریکٹل تھیوری میں مفید فنکشنز کی ایک محدود تعداد کی کمپوزیشن کے لیے، آئیٹریٹڈ فنکشن سسٹم دیکھیں۔ اگرچہ اس مضمون کا عنوان تجزیاتی افعال کی وضاحت کرتا ہے، لیکن پیچیدہ متغیر کے زیادہ عمومی افعال کے نتائج بھی موجود ہیں۔ اشارے لامحدود کمپوزیشنز کو بیان کرنے والے کئی اشارے ہیں، جن میں درج ذیل شامل ہیں: فارورڈ کمپوزیشنز: بیکورڈ کمپوزیشنز: ہر معاملے میں کنورجنس کی تشریح درج ذیل حدود کے وجود کے طور پر کی جاتی ہے: سہولت کے لیے، سیٹ اور سیٹ کریں۔ کنٹریکشن تھیوریم بھی لکھا جا سکتا ہے۔ بہت سے نتائج کو درج ذیل نتیجہ کی توسیع سمجھا جا سکتا ہے: کنٹریکٹیو فنکشنز کی لامحدود ترکیبیں فرض کریں کہ {fn} محض منسلک ڈومین S پر تجزیاتی افعال کا ایک سلسلہ ہے۔ فرض کریں کہ ایک کمپیکٹ سیٹ موجود ہے۔ ان دو نظریات پر مبنی تحقیقات کے نتیجے میں اضافی نظریہ، خاص طور پر فارورڈ کمپوزیشنز تھیوریم، میں درج ذیل حوالہ جات میں حاصل کردہ حدود کے لیے محل وقوع کا تجزیہ شامل ہے۔ بیک ورڈ کمپوزیشنز تھیوریم کے مختلف نقطہ نظر کے لیے، درج ذیل حوالہ دیکھیں۔ بیک ورڈ کمپوزیشنز تھیوریم کے حوالے سے، مثال f2n (z) = 1/2 اور f2n − 1 (z) = −1/2 S = {z: |z | <1} کے لیے صرف ایک کمپیکٹ سب سیٹ میں سنکچن کی ضرورت کی ناکافی کو ظاہر کرتا ہے، جیسے فارورڈ کمپوزیشنز تھیوریم۔ ضروری نہیں کہ تجزیاتی افعال کے لیے لپشٹز کی شرط کافی ہے: دیگر افعال کی لامحدود ترکیبیں غیر کنٹریکٹیو پیچیدہ افعال پورے افعال پر مشتمل نتائج میں مندرجہ ذیل شامل ہیں، مثال کے طور پر۔ سیٹ کریں پھر درج ذیل نتائج ہوتے ہیں: اضافی ابتدائی نتائج میں شامل ہیں: مثال GF1: مثال GF2: لکیری فریکشنل ٹرانسفارمیشنز لکیری فریکشنل (موبیئس) ٹرانسفارمیشنز کی کمپوزیشنز کے نتائج میں درج ذیل شامل ہیں، مثال کے طور پر: مثالیں اور ایپلی کیشنز مسلسل فریکشنز لامحدود مسلسل فریکشن کی قیمت کو ترتیب کی حد {Fn (0)} کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں ایک سادہ مثال کے طور پر، ایک معروف نتیجہ (ورپٹسکی سرکل *) تھیوریم (A) کی ایپلی کیشن سے آتا ہے: مسلسل فریکشن پر غور کریں کہ |ζ <1 اور |z <R <1۔ پھر 0 <r <1 کے لیے، |z | <1 کے لیے تجزیاتی۔ R = 1/2 سیٹ کریں۔ مثال۔] مثال۔ ایک فکسڈ پوائنٹ مسلسل فریکشن فارم (ایک واحد متغیر)۔ براہ راست فنکشنل توسیع کی مثالیں جو کسی فنکشن کو براہ راست ساخت میں تبدیل کرنے کی عکاسی کرتی ہیں: مثال 1۔ فرض کریں کہ ایک مکمل فنکشن مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے: پھر۔ مثال 2. مثال 3. مثال 4. فکسڈ پوائنٹس تھیوریم (بی) کا حساب ان افعال کے فکسڈ پوائنٹس کا تعین کرنے کے لیے لگایا جا سکتا ہے جن کی وضاحت لامحدود توسیعات یا بعض انٹیگرلز کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مندرجہ ذیل مثالیں اس عمل کی وضاحت کرتی ہیں: مثال ایف پی 1۔ |ζ | ≤ 1 کے لیے α = G (α) تلاش کرنے کے لیے، پہلے ہم وضاحت کرتے ہیں: پھر ζ = 1 کے ساتھ حساب کریں، جو دیتا ہے: α = 0.087118118. دس تکرار کے بعد دس اعشاری مقامات پر۔ ارتقاء کے افعال ایک وقت کے وقفے پر غور کریں، جسے I = [0,1] کے لیے معمول بنایا گیا ہے۔ ICAFs کو وقفے کے دوران ایک نقطہ، z کی مسلسل حرکت کو بیان کرنے کے لیے بنایا جا سکتا ہے، لیکن اس طرح سے کہ ہر "لمحے" پر حرکت عملی طور پر صفر ہو (زینو کا تیر دیکھیں): n مساوی ذیلی وقفوں میں تقسیم وقفے کے لیے، 1 ≤ k ≤ n سیٹ تجزیاتی یا محض مسلسل-ایک ڈومین S میں، جیسے کہ S میں تمام k اور تمام z کے لیے، اور۔ بنیادی مثال سے پتہ چلتا ہے کہ جہاں انٹیگرل اچھی طرح سے متعین ہے اگر اس کا بند شکل کا حل z (t) ہے۔ پھر بصورت دیگر، انٹیگرانڈ کی ناقص وضاحت کی جاتی ہے حالانکہ انٹیگرل کی قیمت آسانی سے شمار کی جاتی ہے۔ اس صورت میں کوئی انٹیگرل کو "ورچوئل" انٹیگرل کہہ سکتا ہے۔ مثال۔] مثال۔ چلو: اگلا، سیٹ کریں اور Tn (z) = Tn، n (z)۔ جب وہ حد موجود ہو تب رہنے دیں۔ ترتیب {Tn (z)} شکل γ = γ (cn, z) کی وضاحت کرتی ہے جو ویکٹر فیلڈ f (z) کے بہاؤ کی پیروی کرتی ہے۔ اگر کوئی پرکشش فکسڈ پوائنٹ α موجود ہے، جس کا مطلب ہے |f (z) −α | ≤ ρ |z −α | 0 ≤ ρ <1 کے لیے، تو Tn (z) → T (z) ष्ण α کے ساتھ γ = γ (cn, z)، فراہم کردہ (مثال کے طور پر)۔ اگر cn ष्ण c> 0، تو Tn (z) → T (z)، سموچ پر ایک نقطہ γ = γ (c، z)۔ یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ یہ حدود کب موجود ہیں۔ یہ تصورات امیج پروسیسنگ میں ایکٹیو کونٹور تھیوری سے معمولی طور پر متعلق ہیں، اور اویلر طریقہ کار سیلف ریپلیکیٹنگ ایکسٹینشنز سیریز کی سادہ عمومییاں ہیں۔ fn (z) = z + gn (z) کے ذریعہ بار بار بیان کردہ سیریز کی خاصیت یہ ہے کہ n ویں اصطلاح پہلی n−1 اصطلاحات کے مجموعے پر پیش کی جاتی ہے۔ تھیوریم (GF3) کو استعمال کرنے کے لیے درج ذیل معنوں میں باؤنڈنیس دکھانا ضروری ہے: اگر ہر fn کی تعریف |z | <M کے لیے کی گئی ہے تو |Gn (z) | <M کو |fn (z) − z | = |gn (z) | ≤ Cβn سے پہلے پیروی کرنی چاہیے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ توسیع کے دوران ہوتا ہے۔ پابندی اس مقصد کو پورا کرتی ہے۔ پھر Gn (z) → G (z) یکساں طور پر محدود ڈومین پر۔ مثال (S1)۔ سیٹ کریں اور M = ρ2۔ پھر R = ρ2 − (π/6)> 0۔ پھر، اگر S میں z کا مطلب ہے |Gn (z) | <M اور تھیوریم (GF3) لاگو ہوتا ہے، تاکہ بالکل یکجا ہو جائے، تو یہ متغیر ہے۔ مثال (S2): مصنوعات بار بار بیان کردہ پروڈکٹ کی ظاہری شکل ہوتی ہے۔ نظریہ GF3 کو لاگو کرنے کے لیے یہ ضروری ہے کہ: ایک بار پھر، ایک باؤنڈنیس کنڈیشن کو سپورٹ کرنا چاہیے۔ اگر کوئی Cβn کو پہلے سے جانتا ہے، تو درج ذیل کافی ہوں گے: پھر Gn (z) → G (z) محدود ڈومین پر یکساں طور پر۔ مثال (P1)۔ فرض کریں کہ چند ابتدائی حسابات کے بعد مشاہدہ کرنے کے ساتھ، کہ |z | ≤1/4 کا مطلب ہے |Gn (z) | <0.27۔ پھر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ مثال (P2)۔ مسلسل حصوں کی مثال (CF1): ایک خود پیدا کرنے والا مسلسل حصہ۔ مثال (CF2): خود پیدا کرنے والے ریورس یولر کے مسلسل حصے کے طور پر بہترین بیان کیا گیا ہے۔ عمومی مسلسل فریکشن حوالہ جات پیچیدہ تجزیہ تجزیاتی افعال فکسڈ پوائنٹ تھیوریمز الگورتھمک آرٹ ایمرجنس بھی دیکھیں۔