Square root of a 2 by 2 matrix
2 × 2 میٹرکس M کا مربع جڑ ایک اور 2 × 2 میٹرکس R ہے جیسے کہ M = R2، جہاں R2 خود کے ساتھ R کے میٹرکس پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ عام طور پر، صفر، دو، چار، یا یہاں تک کہ مربع جڑ میٹرکس کا لامحدود بھی ہو سکتا ہے۔ بہت سے معاملات میں، اس طرح کے میٹرکس R کو ایک واضح فارمولے کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مربع جڑیں جو تمام صفر میٹرکس نہیں ہیں جو جوڑوں میں آتی ہیں: اگر R M کا مربع جڑ ہے، تو −R بھی M کا مربع جڑ ہے، کیونکہ (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. A2 × 2 میٹرکس دو الگ غیر صفر آئجین ویلیوز کے ساتھ چار مربع جڑیں ہیں۔ ایک مثبت-یقینی میٹرکس کا قطعی طور پر ایک مثبت-یقینی مربع جڑ ہوتا ہے۔ ایک عمومی فارمولا مندرجہ ذیل ایک عمومی فارمولا ہے جو تقریبا کسی بھی 2 × 2 میٹرکس پر لاگو ہوتا ہے۔ دی گئی میٹرکس کو ایسا ہونے دیں جہاں A، B، C، اور D حقیقی یا پیچیدہ نمبر ہو سکتے ہیں۔ مزید برآں، فرض کریں کہ τ = A + D M کا سراغ ہے، اور δ = AD−BC اس کا تعین کنندہ ہے۔ فرض کریں کہ s ایسا ہو کہ s2 = δ، اور t ایسا ہو کہ t2 = τ + 2s۔ یعنی، پھر، اگر t ष्ण 0، M کا مربع جڑ ہے درحقیقت، R کا مربع ہے نوٹ کریں کہ R میں پیچیدہ اندراجات ہو سکتے ہیں چاہے M ایک حقیقی میٹرکس ہی کیوں نہ ہو۔ خاص طور پر، اگر تعین کنندہ δ منفی ہو تو ایسا ہی ہوگا۔ اس فارمولے کی عمومی صورت تب ہوتی ہے جب δ غیر صفر ہوتا ہے، اور τ2 § 4δ، اس صورت میں s غیر صفر ہوتا ہے، اور t، s کی علامت کے ہر انتخاب کے لیے غیر صفر ہوتا ہے۔ پھر اوپر کا فارمولا چار الگ الگ مربع جڑیں R فراہم کرے گا، جو s اور t کے اشاروں کے ہر انتخاب کے لیے ایک ہے۔ فارمولے کی خاص صورتیں اگر تعین کنندہ δ صفر ہے، لیکن ٹریس τ غیر صفر ہے، تو اوپر کا عمومی فارمولا صرف دو الگ الگ حل دے گا، جو t کی دو علامتوں سے مطابقت رکھتا ہے۔ یعنی، جہاں t ٹریس τ کا کوئی مربع جڑ ہے۔ فارمولہ صرف دو الگ الگ حل بھی دیتا ہے اگر δ غیر صفر ہے، اور τ2 = 4δ (ڈپلیکیٹ آئجن ویلیوز کا معاملہ)، ایسی صورت میں s کے انتخاب میں سے ایک ڈینومینیٹر t کو صفر بنا دے گا۔ اس صورت میں، دو جڑیں ایسی ہیں جہاں s، δ کا مربع جڑ ہے جو τ−2s کو غیر صفر بناتا ہے، اور t، τ−2s کا کوئی بھی مربع جڑ ہے۔ مندرجہ بالا فارمولا مکمل طور پر ناکام ہو جاتا ہے اگر δ اور τ دونوں صفر ہوں ؛ یعنی، اگر D = −A، اور A2 = −BC، تاکہ میٹرکس کا ٹریس اور ڈیٹرمیننٹ دونوں صفر ہوں۔ اس صورت میں، اگر M صفر میٹرکس ہے (A = B = C = D = 0 کے ساتھ)، تو صفر میٹرکس بھی M کا مربع جڑ ہے، جیسا کہ کوئی بھی میٹرکس ہے جہاں b اور c صوابدیدی حقیقی یا پیچیدہ اقدار ہیں۔ ورنہ M کا کوئی مربع جڑ نہیں ہے۔ خصوصی میٹرکس کے لیے فارمولے آئیڈیمپوٹینٹ میٹرکس اگر ایم ایک آئیڈیمپوٹینٹ میٹرکس ہے، جس کا مطلب ہے کہ ایم ایم = ایم، تو اگر یہ آئیڈینٹیٹی میٹرکس نہیں ہے، تو اس کا ڈیٹرمیننٹ صفر ہے، اور اس کا سراغ اس کے رینک کے برابر ہے، جو (صفر میٹرکس کو چھوڑ کر) 1 ہے۔ پھر مندرجہ بالا فارمولے میں s = 0 اور τ = 1 ہے، جو M اور-M کو M کے دو مربع جڑوں کے طور پر دیتا ہے۔ ایکسپونینشیل میٹرکس اگر میٹرکس M کو کسی میٹرکس A کے ایکسپونینٹ کے حقیقی ضرب کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، تو اس کے دو مربع جڑیں ہیں۔ اس صورت میں مربع جڑ حقیقی ہے۔ اگر M اخترن ہے (یعنی، B = C = 0)، تو کوئی آسان فارمولا استعمال کر سکتا ہے جہاں a = ±σA، اور d = ±σD۔ یہ، مختلف اشاروں کے انتخاب کے لیے، چار، دو، یا ایک الگ میٹرکس دیتا ہے، اگر ان میں سے کوئی بھی، صرف ایک، یا A اور D دونوں بالترتیب صفر نہیں ہیں۔ شناخت میٹرکس کیونکہ اس میں ڈپلیکیٹ آئجین ویلیوز ہیں، 2 × 2 شناخت میٹرکس میں لامحدود طور پر بہت سے سمیٹرک عقلی مربع جڑیں ہیں جن کے ذریعہ کوئی پیچیدہ نمبر ایسے ہیں جیسے کہ میٹرکس ایک آف ڈائیگنل صفر کے ساتھ اگر B صفر ہے، لیکن A اور D دونوں صفر نہیں ہیں، تو کوئی استعمال کر سکتا ہے۔ یہ فارمولا دو حل فراہم کرے گا اگر A = D یا A = 0 یا D = 0، اور بصورت دیگر چار۔ اسی طرح کا فارمولا اس وقت استعمال کیا جا سکتا ہے جب C صفر ہو، لیکن A اور D دونوں صفر نہ ہوں۔ حوالہ جات میٹرکس