Flat cover
الجبرا میں، کسی رنگ کے اوپر ماڈیول M کا فلیٹ کور ایک فلیٹ ماڈیول F سے M تک ایک سرجیکٹو ہومومورفزم ہے جو کسی لحاظ سے کم سے کم ہے۔ رنگ کے اوپر کسی بھی ماڈیول میں ایک فلیٹ کور ہوتا ہے جو (غیر منفرد) آئسومورفزم تک منفرد ہوتا ہے۔ فلیٹ کور کچھ معنوں میں انجیکشن ہول سے دوہرے ہوتے ہیں، اور ان کا تعلق پروجیکٹو کور اور ٹورسن فری کور سے ہوتا ہے۔ تعریف ہومومورفزم F → M کی تعریف M کے فلیٹ کور کے طور پر کی گئی ہے اگر یہ سرجیکٹو ہے، F فلیٹ ہے، ہر ہومومورفزم فلیٹ ماڈیول سے M تک F کے ذریعے عوامل، اور F سے F تک کا کوئی بھی نقشہ نقشہ کے ساتھ M تک آنا F کی آٹومورفزم ہے۔ اگرچہ ماڈیولز کے لیے پروجیکٹو کور ہمیشہ موجود نہیں ہوتے ہیں، یہ قیاس کیا جاتا تھا کہ عام رنگوں کے لیے، ہر ماڈیول میں فلیٹ کور ہوگا۔ یہ فلیٹ کور قیاس واضح طور پر سب سے پہلے میں بیان کیا گیا تھا۔ قیاس درست ثابت ہوا، مثبت طور پر حل کیا گیا اور بیک وقت اس کے ذریعے ثابت ہوا۔ اس سے پہلے پی ایکلوف، جے ترلیفاج اور جے شو کی اہم شراکت تھی۔ کم سے کم فلیٹ ریزولوشن کسی بھی ماڈیول M کا رنگ پر فلیٹ ماڈیولز کے ذریعے ریزولوشن اس طرح ہوتا ہے کہ ہر Fn + 1 Fn → Fn−1 کے دانے کا فلیٹ کور ہو۔ اس طرح کی ریزولوشن آئسومورفزم تک منفرد ہے، اور اس لحاظ سے ایک کم سے کم فلیٹ ریزولوشن ہے کہ ایم کا کوئی بھی فلیٹ ریزولوشن اس سے گزرتا ہے۔ ماڈیولز کا کوئی بھی ہومومورفزم متعلقہ فلیٹ ریزولوشنز کے درمیان ہومومورفزم تک پھیلا ہوا ہے، حالانکہ یہ توسیع عام طور پر منفرد نہیں ہے۔ حوالہ جات ماڈیول نظریہ