Koenigs function
ریاضی میں، کوینگس فنکشن ایک فنکشن ہے جو پیچیدہ تجزیہ اور متحرک نظاموں میں پیدا ہوتا ہے۔ 1884 میں فرانسیسی ریاضی دان گیبریل کوینگس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا، یہ پیچیدہ نمبروں میں یونٹ ڈسک کی غیر مساوی ہولومورفک میپنگ، یا میپنگ کے سیمی گروپ کے پھیلاؤ کے طور پر ایک مستند نمائندگی دیتا ہے۔ کوینگس فنکشن کا وجود اور انفرادیت فرض کریں کہ D پیچیدہ اعداد میں یونٹ ڈسک ہے۔ آئیے ایک ہولومورفک فنکشن بنیں جو اپنے آپ میں D کی نقشہ سازی کرتا ہے، نقطہ 0 کو ٹھیک کرتا ہے، جس میں یکساں طور پر 0 نہیں ہے اور نہ ہی D کی آٹومورفزم ہے، یعنی۔ ایک موبیئس تبدیلی جس کی تعریف ایس یو (1,1) میں میٹرکس کے ذریعہ کی گئی ہے۔ ڈینجوئے-وولف تھیوریم کے مطابق، ہر ڈسک |z | <r کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے اور اس کے تکرار کمپیکٹا پر یکساں طور پر 0 پر یکجا ہوتے ہیں: درحقیقت 0 <<1 کے لیے، |z | ≤ r کے لیے M (r) <1 کے ساتھ۔ مزید برآں '(0) = 0 کے ساتھ <| | <1. نے ثابت کیا کہ D پر ایک منفرد ہولومورفک فنکشن h کی وضاحت کی گئی ہے، جسے کوینگس فنکشن کہا جاتا ہے، جیسے کہ (0) = 0،' (0) = 1 اور شروڈر کی مساوات مطمئن ہے، فنکشن h معمول کے تکرار کے کمپیکٹا پر یکساں حد ہے،۔ اس کے علاوہ، اگر غیر مساوی ہے، تو ایسا ہی ہے۔ نتیجے کے طور پر، جب (اور اس وجہ سے) غیر مساوی ہوتے ہیں، تو کھلی ڈومین کے ساتھ شناخت کی جا سکتی ہے۔ اس مطابقت پذیری شناخت کے تحت، نقشہ سازی ضرب بن جاتی ہے۔ انفرادیت کا ثبوت۔ اگر ایک اور حل ہے تو، تجزیاتی طور پر، یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ k = h 0 کے قریب ہے۔ 0 کے قریب آنے دیں۔ اس طرح H (0) = 0، H "'(0) = 1 اور، |z | چھوٹے کے لیے، پاور سیریز میں تبدیل کرتے ہوئے، یہ 0 کے قریب ہوتا ہے۔ اس لیے قریب 0.Existence۔ اگر پھر شوارز لیما کے ذریعہ دوسری طرف، اس لیے جی این |z | ≤ r کے لیے ویئراسٹراس ایم-ٹیسٹ کے ذریعے یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ ہروٹز تھیوریم کے مطابق، چونکہ ہر جی این غیر مساوی اور عام ہے، یعنی۔ فکسس 0 اور وہاں مشتق 1 ہے، ان کی حد بھی غیر مساوی ہے۔ ایک سیمی گروپ کا کوینگس فنکشن آئیے اپنے آپ میں ہولومورفک غیر مساوی نقشہ سازی کا ایک سیمی گروپ بنیں جس میں 0 کو اس طرح کے لیے متعین کیا گیا ہے جو کہ آٹومورفزم نہیں ہے کیونکہ> 0 مشترکہ طور پر مسلسل ہے اور> 0 کے ساتھ ہر ایک کا ایک ہی کوینگس فنکشن ہے، cf۔ تکرار فنکشن۔ در حقیقت، اگر ایچ کا کوینگس فنکشن ہے، تو شروڈر کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے اور اس لیے یہ ایچ کا تناسب ہے۔ مشتقات لینے سے ملتا ہے۔ غیر مساوی نیم گروپوں کی ساخت ڈومین پر، نقشے ایک مسلسل نیم گروپ کے ذریعے ضرب بن جاتے ہیں۔ تو ری <0 کے ساتھ ایک منفرد طور پر طے شدہ حل کہاں ہے۔ اس کے بعد سیمی گروپ 0 پر تفریق پذیر ہوتا ہے۔ ایک ہولومورفک فنکشن کو v (0) = 0 اور {{math|v '(0)}} = کے ساتھ جاری رکھیں۔ پھر تاکہ اور ایک ویکٹر فیلڈ کے لیے بہاؤ کی مساوات۔ 0 <λ <1 کے معاملے تک محدود کرتے ہوئے، h (D ") کو ستاروں کی طرح ہونا چاہیے تاکہ چونکہ ایک ہی نتیجہ باہمی کے لیے ہوتا ہے، تاکہ اس کے برعکس، مندرجہ بالا مراحل کو الٹ کر، ان شرائط کو پورا کرنے والا کوئی بھی ہولومورفک ویکٹر فیلڈ سیمی گروپ سے وابستہ ہوتا ہے، نوٹ حوالہ جات ASIN: B0006BTAC2 پیچیدہ تجزیہ متحرک نظام افعال کی اقسام