Least-squares function approximation
ریاضی میں، کم سے کم مربع فنکشن کا تخمینہ دیگر افعال کے وزن کے مجموعے کے ذریعے، کم سے کم مربع کے اصول کو فنکشن کے تخمینے پر لاگو کرتا ہے۔ بہترین تخمینہ کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے جو اصل فعل اور تخمینہ کے درمیان فرق کو کم سے کم کرے ؛ کم سے کم مربع نقطہ نظر کے لیے تخمینہ کے معیار کو دونوں کے درمیان مربع فرق کے لحاظ سے ماپا جاتا ہے۔ فنکشنل تجزیہ ڈیٹا سیٹ کے تخمینے کو عام کرنا دوسرے افعال کے مجموعے سے کسی فنکشن کا تخمینہ ہے، عام طور پر ایک آرتھوگنل سیٹ: فنکشن کے سیٹ کے ساتھ {} دلچسپی کے وقفے پر ایک آرتھونورمل سیٹ،: فیجر تھیوریم بھی دیکھیں۔ | | |2 فرق کی شدت کو جتنا ممکن ہو اتنا چھوٹا بنانے کے لیے کوفشنٹس {} کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی فنکشن کی شدت، یا معیار کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے: جہاں '*' پیچیدہ افعال کے معاملے میں پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس طریقے سے پائیتھاگوراس تھیوریم کی توسیع فنکشن اسپیس اور لیبسیگ پیمائش کے تصور کی طرف لے جاتی ہے، جو کہ "اسپیس" کا ایک خیال ہے جو یوکلڈین جیومیٹری کی اصل بنیاد سے زیادہ عام ہے۔ مطمئن آرتھونورملٹی تعلقات: جہاں δij کرونکر ڈیلٹا ہے۔ ان مساوات میں فنکشن کو تبدیل کرنے کے بعد n-جہتی پایتھاگورین تھیوریم کی طرف جاتا ہے: | |f −Fn | |2 کو جتنا ممکن ہو اتنا چھوٹا بنانے والے کوفیشنٹس {aj} پائے جاتے ہیں: n-جہتی پایتھاگورین تھیوریم کو لامحدود جہتی حقیقی اندرونی پروڈکٹ خالی جگہوں پر عام کرنا پارسیول کی شناخت یا پارسیول کی مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فنکشن کی اس طرح کی نمائندگی کی خاص مثالیں فورئیر سیریز اور عمومی فورئیر سیریز ہیں۔ مزید بحث لکیری الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے اس کے بعد یہ ہے کہ کوئی بھی دو افعال کے درمیان کے رقبے کو کم سے کم کرکے دوسرے فنکشن کا "بہترین" تخمینہ تلاش کر سکتا ہے، ایک مسلسل فنکشن آن اور ایک فنکشن جہاں سب اسپیس کے اندر سب کا سب اسپیس ہے۔ مطلق قدر پر مشتمل انٹیگرانڈز کا اندازہ لگانے میں اکثر دشواری کی وجہ سے، اس کے بجائے اندرونی پروڈکٹ اسپیس کے حوالے سے کم سے کم مربع تخمینہ، فنکشن حاصل کرنے کے لیے ایک مناسب معیار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، یا، مساوی طور پر، ویکٹر کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے: دوسرے لفظوں میں، کا سب سے کم مربع تخمینہ اندرونی پروڈکٹ کے لحاظ سے قریب ترین فنکشن ہے۔ مزید برآں، اس کا اطلاق ایک نظریہ کے ساتھ کیا جا سکتا ہے: آئیے مسلسل رہیں، اور ایک محدود جہتی ذیلی جگہ بنیں۔ کے حوالے سے سب سے کم مربع لگ بھگ فنکشن اس طرح دی جاتی ہے کہ کہاں کے لیے ایک آرتھونورمل بنیاد ہے۔ حوالہ جات کم از کم مربع تخمینہ نظریہ