Density (polytope)
جیومیٹری میں، اسٹار پولی ہیڈرون کی کثافت دو جہتوں سے اعلی جہتوں تک گھومنے والے نمبر کے تصور کی عمومی شکل ہے، جو پولی ہیڈرون کے ہم آہنگی کے مرکز کے ارد گرد پولی ہیڈرون کے گھومنے کی تعداد کی نمائندگی کرتی ہے۔ اس کا تعین مرکز سے لامحدود تک ایک کرن کو منتقل کرکے، صرف پولیٹوپ کے پہلوؤں سے گزر کر اور کسی نچلے جہتی خصوصیات سے نہیں، اور یہ گن کر کیا جا سکتا ہے کہ یہ کتنے پہلوؤں سے گزرتا ہے۔ پولی ہیڈرا کے لیے جس کے لیے یہ گنتی کرن کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے، اور جس کے لیے مرکزی نقطہ خود کسی پہلو پر نہیں ہے، کثافت کراس شدہ پہلوؤں کی اس گنتی سے دی جاتی ہے۔ اسی طرح کا حساب کسی بھی کنویکس پولی ہیڈرون کے لیے کیا جا سکتا ہے، یہاں تک کہ بغیر ہم آہنگی کے بھی، پولی ہیڈرون کے کسی بھی اندرونی نقطہ کو اس کے مرکز کے طور پر منتخب کر کے۔ ان پولی ہیڈرا کے لیے کثافت 1 ہوگی۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی غیر سیلف-انٹرسیکٹنگ (ایکوپٹک) پولی ہیڈرون کے لیے، کثافت کو اسی طرح کے حساب سے 1 کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے جو اندرونی نقطہ سے ایک کرن کا انتخاب کرتا ہے جو صرف پولی ہیڈرون کے پہلوؤں سے گزرتا ہے، جب یہ کرن اندرونی سے پولی ہیڈرون کے بیرونی حصے میں گزرتی ہے تو اس میں اضافہ ہوتا ہے، اور جب یہ کرن بیرونی سے پولی ہیڈرون کے اندرونی حصے میں گزرتی ہے تو اسے گھٹا دیتا ہے۔ تاہم، کراسنگ کے لیے اشاروں کی یہ تفویض عام طور پر اسٹار پولی ہیڈرا پر لاگو نہیں ہوتی ہے، کیونکہ ان کا اندرونی اور بیرونی حصہ اچھی طرح سے متعین نہیں ہوتا ہے۔ اوور لیپنگ چہروں کے ساتھ ٹیسلیشنز اسی طرح کثافت کی وضاحت کسی بھی نقطہ پر چہروں کے ڈھانپنے کی تعداد کے طور پر کر سکتے ہیں۔ کثیر الاضحی کسی کثیر الاضحی کی کثافت اس بات کی تعداد ہے کہ کثیر الاضحی حد اس کے مرکز کے گرد کتنی بار گھومتی ہے۔ کنویکس کثیر الاضلاعات کے لیے، اور زیادہ عام طور پر سادہ کثیر الاضلاعات (خود کو الگ نہ کرنے والے) کے لیے، اردن وکر تھیوریم کے مطابق کثافت 1 ہے۔ کثیر الاضحی کی کثافت کو اس کا موڑ نمبر بھی کہا جا سکتا ہے۔ تمام عمودی موڑ کے زاویوں کا مجموعہ جو 360° سے تقسیم ہوتا ہے۔ یہ ایک طیارہ میں تمام یکسر راستوں کے لیے ایک عدد ہوگا۔ مرکب کثیر الاضحی کی کثافت جزو کثیر الاضحی کی کثافت کا مجموعہ ہے۔ باقاعدہ ستارہ کثیر الاضحی ایک باقاعدہ ستارہ کثیر الاضحی {p/q} کے لیے، کثافت q ہے۔ مرکز سے انفینیٹی تک کسی شعاع کے کنارے سے گزرنے کی کم از کم تعداد کو گن کر اس کا بصری طور پر تعین کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر پولی ہیڈر اے پولی ہیڈرون اور اس کے دوہری کی کثافت ایک جیسی ہوتی ہے۔ کل منحنیت ایک پولی ہیڈرون کو ایک ایسی سطح سمجھا جا سکتا ہے جس میں گوسیائی منحنیت عمودی پر مرکوز ہوتی ہے اور زاویہ کی خرابی سے اس کی وضاحت کی جاتی ہے۔ پولی ہیڈرون کی کثافت کل منحنی خطوط (اس کے تمام عمودی حصوں پر خلاصہ) کو 4π سے تقسیم کرنے کے برابر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مکعب میں 8 عمودی ہوتے ہیں، ہر ایک میں 3 مربع ہوتے ہیں، جس سے π/2 کا زاویہ عیب رہ جاتا ہے۔ 8 × π/2 = 4π۔ تو مکعب کی کثافت 1 ہے۔ سادہ پولی ہیڈرا سادہ چہروں اور عمودی اعداد و شمار کے ساتھ ایک پولی ہیڈرن کی کثافت اویلر کی خصوصیت کا نصف ہے، χ۔ اگر اس کی جینس g ہے تو اس کی کثافت 1-g ہے۔ χ = V − E + F = 2D = 2 (1-g)۔ باقاعدہ اسٹار پولی ہیڈر آرتھر کیلی نے کثافت کو باقاعدہ اسٹار پولی ہیڈر کے لیے کام کرنے کے لیے اویلر کے پولی ہیڈرون فارمولے (V−E + F = 2) میں ترمیم کرنے کے ایک طریقے کے طور پر استعمال کیا، جہاں dv ایک عمودی شکل کی کثافت ہے، چہرے کا df اور مجموعی طور پر پولی ہیڈرون کا D: مثال کے طور پر، عظیم آئکوساہیڈرون، {3,5/2}، کے 20 مثلث چہرے (df = 1)، 30 کنارے اور 12 پینٹاگرامک عمودی اعداد (dv = 2) ہیں، جو 2·12−30 + 1·20 = 14 = 2D دیتے ہیں۔ اس کا مطلب 7 کی کثافت ہے۔ غیر تبدیل شدہ یولر کا پولی ہیڈرون فارمولا چھوٹے اسٹیل شدہ ڈوڈیکاہیڈرون {5/2,5} اور اس کے دوہری عظیم ڈوڈیکاہیڈرون {5,5/2} کے لیے ناکام ہو جاتا ہے، جس کے لیے V − E + F = −6 ہے۔ باقاعدہ ستارہ پولی ہیڈرا دو دوہری جوڑوں میں موجود ہے، جس میں ہر شکل کی کثافت اس کے دوہری کے برابر ہے: ایک جوڑے (چھوٹے اسٹیلٹیڈ ڈوڈیکاہڈرون-عظیم ڈوڈیکاہڈرون) کی کثافت 3 ہے، جبکہ دوسرے (عظیم اسٹیلٹیڈ ڈوڈیکاہڈرون-عظیم آئکوساہڈرون) کی کثافت 7 ہے۔ جنرل اسٹار پولی ہیڈرا ایڈمنڈ ہیس نے اسٹار پولی ہیڈرا کے فارمولے کو عام کیا جس میں مختلف قسم کے چہرے ہوتے ہیں، جن میں سے کچھ دوسروں کے اوپر پیچھے مڑ سکتے ہیں۔ کثافت کے لیے نتیجے کی قیمت اس بات سے مطابقت رکھتی ہے کہ متعلقہ کروی پولی ہیڈرون دائرے کو کتنی بار ڈھانپتا ہے۔ اس نے کاکسٹر اور دیگر کو اجازت دی۔ یکساں پولی ہیڈرا کی اکثریت کی کثافت کا تعین کرنے کے لیے، جس میں ایک ورٹیکس قسم ہوتی ہے، اور چہرے کی متعدد اقسام ہوتی ہیں۔ غیر متصل پولی ہیڈرا ہیمی پولی ہیڈرا کے لیے، جس کے کچھ چہرے مرکز سے گزرتے ہیں، کثافت کی وضاحت نہیں کی جا سکتی۔ غیر متصل پولی ہیڈرا میں بھی اچھی طرح سے متعین کثافت نہیں ہوتی ہے۔ باقاعدہ 4-پولی ٹاپس 10 باقاعدہ اسٹار 4-پولی ٹاپس ہیں (جنہیں شلافلی-ہیس 4-پولی ٹاپس کہا جاتا ہے)، جن کی کثافت 4، 6، 20، 66، 76، اور 191 کے درمیان ہے۔ وہ دوہری جوڑوں میں آتے ہیں، سوائے خود دوہری کثافت-6 اور کثافت-66 کے اعداد و شمار کے۔ نوٹس حوالہ جات کاکسٹر، ایچ ایس ایم ؛ باقاعدہ پولی ٹاپس، (تیسرا ایڈیشن، 1973)، ڈوور ایڈیشن، بیرونی لنکس پولی ٹاپس