Mertens-stable equilibrium
گیم تھیوری میں، مرٹنز اسٹیبلٹی ایک حل کا تصور ہے جو غیر تعاون پر مبنی گیم کے نتائج کی پیش گوئی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ کھلاڑیوں اور حکمت عملیوں کی محدود تعداد والے کھیلوں کے لیے ایلون کوہلبرگ اور جین فرانکوئس مرٹنز نے استحکام کی ایک عارضی تعریف تجویز کی تھی۔ بعد میں، مرٹنز نے ایک مضبوط تعریف پیش کی جس کی مزید وضاحت سری ہری گووندان اور مرٹنز نے کی۔ اس حل کے تصور کو اب مرٹنز استحکام، یا صرف استحکام کہا جاتا ہے۔ گیم تھیوری میں استعمال ہونے والے نیش توازن کی دیگر اصلاحات کی طرح استحکام نیش توازن کے سیٹ کے ذیلی سیٹوں کا انتخاب کرتا ہے جن میں مطلوبہ خصوصیات ہوتی ہیں۔ استحکام دیگر اصلاحات کے مقابلے میں مضبوط معیار کا مطالبہ کرتا ہے، اور اس طرح اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ زیادہ مطلوبہ خصوصیات مطمئن ہوں۔ ریفائنمنٹ ریفائنمنٹ کی مطلوبہ خصوصیات اکثر قبولیت، بیکورڈ انڈکشن، اور فارورڈ انڈکشن کے دلائل سے متاثر ہوتی ہیں۔ دو کھلاڑیوں کے کھیل میں، ایک کھلاڑی کے لیے قابل قبول فیصلہ اصول وہ ہوتا ہے جو کسی ایسی حکمت عملی کا استعمال نہیں کرتا جس پر دوسرے کا کمزور غلبہ ہو (اسٹریٹجک غلبہ دیکھیں)۔ بیک ورڈ انڈکشن کا مؤقف ہے کہ کسی بھی صورت میں کھلاڑی کا زیادہ سے زیادہ ایکشن اس بات کی توقع کرتا ہے کہ اس کے اور دوسروں کے بعد کے اقدامات زیادہ سے زیادہ ہیں۔ سبگیم پرفیکٹ ایکولبریئم کہلانے والی اصلاح بیکورڈ انڈکشن کے ایک کمزور ورژن کو لاگو کرتی ہے، اور تیزی سے مضبوط ورژن ترتیب وار توازن، کامل توازن، نیم کامل توازن، اور مناسب توازن ہیں۔ فارورڈ انڈکشن کا مؤقف ہے کہ کسی بھی ایونٹ میں کھلاڑی کا زیادہ سے زیادہ عمل دوسروں کے ماضی کے اعمال کی زیادہ سے زیادہ اہلیت کا اندازہ لگاتا ہے جب بھی وہ اس کے مشاہدات سے مطابقت رکھتا ہے۔ فارورڈ انڈکشن ایک ترتیب وار توازن سے مطمئن ہوتا ہے جس کے لیے معلومات کے سیٹ پر کھلاڑی کا یقین صرف دوسروں کی بہترین حکمت عملیوں کو امکان تفویض کرتا ہے جو اس معلومات تک پہنچنے کے قابل بناتی ہیں۔ کوہلبرگ اور مرٹنز نے مزید زور دیا کہ ایک حل کے تصور کو غیر متغیر اصول کو پورا کرنا چاہیے کہ یہ اس بات پر منحصر نہیں ہے کہ اسٹریٹجک صورتحال کی بہت سی مساوی نمائندگی میں سے کس کو وسیع شکل کے کھیل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ اس طرح یہ صرف خالص حکمت عملیوں کے خاتمے کے بعد حاصل ہونے والے کم عام فارم والے کھیل پر منحصر ہونا چاہیے جو بے کار ہیں کیونکہ تمام کھلاڑیوں کے لیے ان کی ادائیگیوں کو دیگر خالص حکمت عملیوں کے مرکب سے نقل کیا جا سکتا ہے۔ مرٹنز نے چھوٹی دنیا کے اصول کی اہمیت پر بھی زور دیا کہ حل کا تصور صرف کھلاڑیوں کی ترجیحات کی عمومی خصوصیات پر منحصر ہونا چاہیے، اور اس بات پر منحصر نہیں ہونا چاہیے کہ آیا کھیل میں غیر معمولی کھلاڑی شامل ہیں جن کے اعمال کا اصل کھلاڑیوں کی قابل عمل حکمت عملیوں اور ادائیگیوں پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے۔ کوہلبرگ اور مرٹنز نے مثالوں کے ذریعے مظاہرہ کیا کہ ان تمام خصوصیات کو حل کے تصور سے حاصل نہیں کیا جا سکتا جو واحد نیش توازن کا انتخاب کرتا ہے۔ لہذا، انہوں نے تجویز پیش کی کہ ایک حل کے تصور کو نیش توازن کے سیٹ کے بند منسلک ذیلی سیٹوں کا انتخاب کرنا چاہیے۔ سیٹ سے منسلک ہونے کی ضرورت اس معمولی اصلاح کو خارج کرتی ہے جو تمام توازن کو منتخب کرتی ہے۔ اگر صرف ایک واحد (ممکنہ طور پر غیر منسلک) ذیلی سیٹ کا انتخاب کیا جاتا ہے تو صرف معمولی اصلاح ہی ایچ نورڈے، جے پوٹرز، ایچ ریجنیئرز، اور ڈی ورمیولن (1996) کی طرف سے لگائی گئی شرائط کو پورا کرتی ہے: "توازن کا انتخاب اور مستقل مزاجی، کھیل اور معاشی طرز عمل، 12:219-225۔ مستحکم کی خصوصیات قبولیت اور پرفیکشن طے کرتی ہیں: مستحکم سیٹ میں ہر توازن کامل ہے، اور اس لیے قابل قبول ہے۔ بیک ورڈ انڈکشن اور فارورڈ انڈکشن: ایک مستحکم سیٹ میں کھیل کی معمول کی شکل کا ایک مناسب توازن شامل ہوتا ہے جو ایک نیم کامل کو جنم دیتا ہے اور اس وجہ سے کامل یاد کے ساتھ ہر وسیع فارم کے کھیل میں ایک ترتیب وار توازن ہوتا ہے جس کی ایک ہی معمول کی شکل ہوتی ہے۔ مستحکم سیٹ کا ایک ذیلی سیٹ کمزور غلبہ والی حکمت عملیوں اور حکمت عملیوں کے تکراری خاتمے سے بچ جاتا ہے جو سیٹ میں ہر توازن پر کمتر جوابات ہوتے ہیں۔ غیر متغیر اور چھوٹی دنیایں: کھیل کے مستحکم سیٹ کسی بھی بڑے کھیل کے مستحکم سیٹوں کے تخمینے ہوتے ہیں جس میں یہ اصل کھلاڑیوں کی قابل عمل حکمت عملیوں اور ادائیگیوں کو محفوظ رکھتے ہوئے سرایت کیا جاتا ہے۔ ڈی کمپوزیشن اور پلیئر اسپلٹنگ۔ دو آزاد کھیلوں کے پروڈکٹ کے مستحکم سیٹ ان کے مستحکم سیٹوں کی مصنوعات ہیں۔ مستحکم سیٹ کسی کھلاڑی کو ایجنٹوں میں تقسیم کرنے سے اس طرح متاثر نہیں ہوتے ہیں کہ گیم ٹری کے ذریعے جانے والے کسی بھی راستے میں دو ایجنٹوں کے اقدامات شامل نہ ہوں۔ کامل یاد دہانی اور عام ادائیگیوں والے دو کھلاڑیوں کے کھیلوں کے لیے، استحکام ان میں سے صرف تین خصوصیات کے برابر ہے: ایک مستحکم سیٹ صرف غیر نامزد حکمت عملیوں کا استعمال کرتا ہے، جس میں ایک نیم کامل توازن شامل ہوتا ہے، اور بڑے کھیل میں سرایت کرنے سے محفوظ ہوتا ہے۔ مستحکم سیٹ کی تعریف ایک مستحکم سیٹ کی تعریف ریاضیاتی طور پر نیش توازن کے گراف میں ایک بند منسلک پڑوس سے پروجیکشن نقشے کی ضرورت سے کی جاتی ہے جو کھلاڑیوں کی حکمت عملیوں کو مکمل طور پر مخلوط حکمت عملیوں کی طرف پریشان کرنے سے حاصل ہونے والے پریشان کھیلوں کی جگہ پر ہوتی ہے۔ اس تعریف کے لیے قریبی توازن رکھنے والے ہر قریبی کھیل سے زیادہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ لازمی طور پر مزید ضرورت ہوتی ہے کہ حد تک پروجیکشن نقشوں کی کوئی اخترتی نہ ہو، جو اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ نیش توازن کی وضاحت کرنے والے فکسڈ پوائنٹ کے مسئلے کی پریشانیوں کا قریبی حل ہے۔ یہ بظاہر اوپر درج تمام مطلوبہ خصوصیات کو حاصل کرنے کے لیے ضروری ہے۔ مرٹنز نے ہومیولوجی یا کوہمولوجی کے لیے استعمال ہونے والے گتانک ماڈیول کے لحاظ سے کئی رسمی تعریفیں فراہم کیں۔ ایک رسمی تعریف کے لیے کچھ اشارے درکار ہوتے ہیں۔ کسی دیئے گئے کھیل کے لیے کھلاڑیوں کی مخلوط حکمت عملیوں کی سادگی کا نتیجہ بنیں۔ ہر ایک کے لیے، اس کی ٹپوولوجیکل حد ہونے دیں۔ کسی بھی خالص حکمت عملی کا کم سے کم امکان ہونے دیں۔ کسی کے لیے بھی پریشان کن کھیل کو اس کھیل کے طور پر بیان کریں جہاں ہر کھلاڑی کی حکمت عملی سیٹ وہی ہوتی ہے جس میں ہوتی ہے، لیکن جہاں حکمت عملی پروفائل سے ادائیگی پروفائل سے ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ یہ ایک پریشان کن توازن ہے اگر کا توازن ہے۔ اس پر پرٹربڈ ایکویلیبریئم خط و کتابت کا گراف ہونے دیں، یعنی، گراف ان جوڑوں کا مجموعہ ہے جو ایک پرٹربڈ ایکویلیبریئم ہے۔ کیونکہ، کا متعلقہ توازن ہے۔ سے قدرتی پروجیکشن کے نقشے سے ظاہر کریں۔ کے لیے، لیٹ اور لیٹ کے لیے۔ آخر میں، انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ چیچ کوہومولوجی سے مراد ہے۔ درج ذیل مرٹنز کی سب سے زیادہ جامع تعریفوں کا ایک ورژن ہے، جسے *-stability.Definition *-مستحکم سیٹ کہا جاتا ہے: ایک *-مستحکم سیٹ ہے اگر اس کے ساتھ کچھ بند ذیلی سیٹ کے لیے درج ذیل دو خصوصیات ہوں: کنیکٹڈنیس: اندر کے ہر پڑوس کے لیے، سیٹ میں ایک منسلک جزو ہوتا ہے جس کی بندش اندر کا پڑوس ہوتا ہے۔ کوہومولوجیکل ایسینشیلٹی: کچھ لوگوں کے لیے غیر صفر ہے۔ اگر کوہمولوجی یا ہومیولوجی میں ضرورت کو ہوموٹوپی میں نرمی دی جاتی ہے، تو ایک کمزور تعریف حاصل کی جاتی ہے، جو بنیادی طور پر سڑنے کی خاصیت کی کمزور شکل میں مختلف ہوتی ہے۔ حوالہ جات گیم تھیوری توازن تصورات غیر تعاون پر مبنی کھیل