Exterior space
ریاضی میں، ٹوپولوجیکل اسپیس X میں خارجی سائنس کا تصور خاندان کی بنیادی خصوصیات کو عام کرتا ہے εXcc = {E′X: X\E X کی بند کمپیکٹ ذیلی جگہوں کی تکمیل کا ایک بند کمپیکٹ ذیلی سیٹ ہے، جو اس کی الیگزینڈرروف کمپیکٹفیکیشن کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ایک خارجی سائنس اختتامی نقطہ کے تصور کو متعارف کرانے کی اجازت دیتی ہے، تاکہ اختتامی نقطہ پر کنورجنس کے لحاظ سے جالوں کے انحراف کا مطالعہ کیا جا سکے اور یہ غیر کمپیکٹ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے کچھ خاندانوں کے مطالعہ اور درجہ بندی کے لیے ایک مفید ذریعہ ہے۔ اسے دیگر ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی حد کے طور پر ٹپوولوجیکل اسپیس تک پہنچنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے: بیرونی علوم بہت مفید ہوتے ہیں جب ہلبرٹ اسپیس میں سرایت شدہ ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس سے اس کے کھلے محلوں سے رابطہ کیا جاتا ہے۔ تعریف (X، τ) کو ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہونے دیں۔ (X، τ) پر ایک خارجی سائنس کھلی ذیلی سیٹوں کا ایک غیر خالی مجموعہ ε ہے جو اطمینان بخش ہے: اگر E1، E2 ω ε، تو E1 ω E2 ω ε ؛ اگر E ω ε، U ω τ اور E ω U، تو U ω ω ε۔ ایک بیرونی جگہ (X، τ، ε) ایک ٹوپولوجیکل جگہ (X، τ) پر مشتمل ہوتی ہے جس کے ساتھ ایک خارجی سائنس ε ہوتی ہے۔ ایک کھلا E جو ε میں ہے اسے ایک بیرونی کھلا ذیلی سیٹ کہا جاتا ہے۔ ایک نقشہ f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') کو ایک بیرونی نقشہ کہا جاتا ہے اگر یہ مسلسل ہو اور f−1 (E) bulε، تمام E bulε' کے لیے۔ بیرونی جگہوں اور بیرونی نقشوں کے زمرے کو ای سے ظاہر کیا جائے گا۔ یہ قابل ذکر ہے کہ ای ایک مکمل اور ہم آہنگ زمرہ ہے۔ بیرونی خالی جگہوں کی کچھ مثالیں کسی جگہ (X، τ) کے لیے کوئی بھی ہمیشہ معمولی خارجی سائنس εtr = {X} پر غور کر سکتا ہے، اور، دوسری طرف، کل خارجی سائنس εtot = τ۔ نوٹ کریں کہ ایک خارجی سائنس ε ایک ٹوپولوجی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب خالی سیٹ ε کا رکن ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب ε = τ ہو۔ ایک جگہ (X، τ) کو دیکھتے ہوئے، X کے بند کمپیکٹ ذیلی سیٹوں کی تکمیل کی خارجی سائنس مناسب نقشوں کے نظریہ کے ساتھ تعلق کی اجازت دیتی ہے۔ ایک جگہ (X، τ) اور ایک ذیلی سیٹ A، X کو دیکھتے ہوئے خاندان ε (X، A) = {U، X: A، U، U، X میں ایک خارجی سائنس ہے۔ شکل کے نظریہ اور متحرک نظاموں پر بالترتیب اہم ایپلی کیشنز کے ساتھ دو خاص معاملات درج ذیل ہیں: اگر A ہلبرٹ کیوب X = Q کی بند ذیلی جگہ ہے تو خارجی سائنس εA = ε (Q، A) شکل کے نظریہ کے معنی میں A کی قرارداد ہے۔ فرض کریں کہ X ایک مسلسل متحرک نظام ہے اور P دورانیے کے نکات کا ذیلی مجموعہ ہے۔ ہم خارجی سائنس ε (X، P) پر غور کر سکتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، اگر A ایک غیر متغیر ذیلی سیٹ ہے تو خارجی سائنس ε (X، A) بہاؤ کی متحرک خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے مفید ہے۔ بیرونی خالی جگہوں کے اطلاق مناسب ہوموٹوپی تھیوری: ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے درمیان ایک مسلسل نقشہ f: X → Y کو مناسب کہا جاتا ہے اگر Y کے ہر بند کمپیکٹ سب سیٹ K کے لیے، f−1 (K) X کا کمپیکٹ سب سیٹ ہو۔ خالی جگہوں کے زمرے اور مناسب نقشوں کو پی سے ظاہر کیا جائے گا۔ یہ زمرہ اور متعلقہ مناسب ہوموٹوپی زمرہ غیر کمپیکٹ خالی جگہوں کے مطالعہ کے لیے بہت مفید ہیں۔ اس کے باوجود، کسی کو یہ مسئلہ درپیش ہے کہ اس زمرے میں کافی حدود اور کولیمٹس نہیں ہیں اور پھر ہم معمول کی ہوموٹوپی تعمیرات جیسے لوپس، ہوموٹوپی حدود اور کولیمٹس وغیرہ تیار نہیں کر سکتے ہیں۔ اس مسئلے کا جواب بیرونی خالی جگہوں E کا زمرہ ہے جو کویلن ماڈل کے ڈھانچے کو تسلیم کرتا ہے اور خالی جگہوں کے زمرے اور مناسب نقشوں کو مکمل ذیلی زمرہ کے طور پر شامل کرتا ہے۔ یعنی، مکمل اور وفادار فنکٹر P → E ہے جو بیرونی جگہ (X، τ، εXCC) پر ایک ٹپوولوجیکل اسپیس (X، τ) رکھتا ہے۔ مناسب ایل ایس زمرہ: (شریک) حدود کی کمی کی وجہ سے اس مناسب غیر متغیر کی گنی اور وائٹ ہیڈ کی خصوصیات کو تلاش کرنے کے مسئلے کا مناسب زمرے میں سامنا نہیں کیا جا سکتا۔ بہر حال، بیرونی جگہوں کے زمرے میں اس غیر متغیر کی توسیع اس طرح کے مسئلے کا حل تلاش کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ اس عددی مناسب غیر متغیر کا اطلاق کھلے 3-مینیفولڈز کے مطالعہ پر کیا گیا ہے۔ شکل کا نظریہ: ایک کمپیکٹ میٹرک اسپیس کے بہت سے شکل کے غیر متغیرات (بورسک گروپس، کوئگلی اندرونی اور قریب آنے والے گروپس) کو ہلبرٹ کیوب میں سرایت شدہ کمپیکٹ میٹرک اسپیس کے کھلے محلوں کے ذریعہ طے شدہ بیرونی اسپیس کے بیرونی ہوموٹوپی گروپس کے طور پر حاصل کیا جاسکتا ہے۔ متفرق اور مسلسل متحرک نظام (نیم بہاؤ اور بہاؤ): ایسی بہت سی تعمیرات ہیں جو بیرونی جگہ کو متحرک نظام سے جوڑتی ہیں، مثال کے طور پر: ایک مسلسل (متفرق) بہاؤ کو دیکھتے ہوئے کوئی دورانیے کے نکات، پوئسون دورانیے کے نکات، اومیگا حدود وغیرہ کے ذیلی سیٹ کے کھلے محلوں سے پیدا ہونے والی بیرونی جگہوں پر غور کر سکتا ہے۔ ان منسلک بیرونی خالی جگہوں کی تعمیرات اور خصوصیات (نیم بہاؤ) کے بہاؤ کی متحرک خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ حوالہ جات ایم کارڈیناس، ایف۔ ایف۔ لاسیرس اور اے۔ کوئنٹیرو۔ مناسب ایل ایس زمرے کے لیے کوہمولوجی کلاسوں کا پتہ لگانا۔ نیم مستحکم 3-مینیفولڈز کا معاملہ، ریاضی۔ پروک۔ کیمب۔ فلاسفی۔ سوک۔ (2011)۔ اے ڈیل ریو، ایل جے۔ ہرنانڈیز اور ایم ٹی۔ ریواس روڈریگز۔ جگہوں اور بیرونی جگہوں کے عالمی ٹاورز کی S-اقسام، ایپل۔ زمرہ. ساخت۔، 17 نمبر۔ 3، 287-301، (2009)۔ ایل ایسپینول، جے ایم گارسیا-کیلسینس، ایم سی منگویز۔ مناسب اور بیرونی ترتیب پر، ایپل۔ زمرہ. ساخت۔، 18، نمبر۔ 6، 653-668، (2010)۔ جے۔ آئی۔ ایکسٹریمیانا، ایل۔ جے۔ ہرنانڈیز اور ایم ٹی۔ ریواس۔ پوسٹنیکوف فیکٹرائزیشنز ایٹ انفینیٹی، ٹوپول۔ ایپل۔، 153، 370-393، (2005)۔ جے۔ آئی۔ ایکسٹریمیانا، ایل۔ جے۔ ہرنانڈیز اور ایم ٹی۔ ریواس۔ بیرونی جگہوں کا استعمال کرتے ہوئے متحرک نظاموں کے لیے ایک نقطہ نظر۔ میرین آندرے گومز، 307′318، یونیورسٹی کے اعزاز میں سائنسی شراکت۔ لا ریوجا سرو۔ اشاعت۔، لوگرو، 2010۔ جے ایم۔ گارسیا-کیلسینس، پی آر گارسیا-ڈیاز، اے موریلو ماس۔ مناسب Lusternik-Schnirelmann زمرے کے لیے وائٹ ہیڈ-گنی نقطہ نظر۔ ریاضی۔ پروک۔ کیمب۔ فلاسفی۔ سوک۔ 142 (2007)، نمبر۔ 3، 439-457۔ جے ایم۔ گارسیا-کیلسینس، پی آر گارسیا-ڈیاز، اے موریلو ماس، بیرونی ہوموٹوپی تھیوری کے ذریعے مناسب ہوموٹوپی میں گنی قیاس آرائی۔ ریاضی۔ پروک۔ کیمب۔ فلاسفی۔ سوک۔ 149 (2010)، نمبر۔ 1، 75-91۔ جے ایم۔ گارسیا-کیلسینس، ایم گارسیا پنیلوس اور ایل جے۔ ہرنانڈیز۔ مناسب ہوموٹوپی اور شکل کے نظریات کے لیے ایک بند ماڈل زمرہ، بل۔ آسٹریا۔ ریاضی۔ سوک۔ 57 نمبر 2، 221-242، (1998)۔ جے ایم۔ گارسیا-کیلسینس اور ایل جے۔ ہرنانڈیز۔ سیکوینشیل ہومیولوجی، ٹوپول۔ ایپل۔ 114/2، 201-225، (2001)۔ جے ایم۔ گارسیا-کیلسینس، ایم گارسیا پنیلوس اور ایل جے۔ ہرنانڈیز۔ بیرونی اور مناسب ہوموٹوپی کے لیے بند سادہ ماڈل ڈھانچے، ایپل۔ زمرہ. ساخت۔ 12، نمبر 3، 225-243، (2004)۔ ایم۔ گارسیا-پنیلوس، ایل۔ جے۔ ہرنانڈیز پیرسیو اور ایم۔ ٹی۔ ریواس روڈریگز۔ عین مطابق ترتیب اور بند ماڈل کیٹیگریز، ایپل۔ زمرہ. ساخت۔، 18، نمبر۔ 4، 343-375 (2010)۔ ڈی او آئی 10.1007/s10485-008-9176-x (2009)۔ ٹوپولوجی ہوموٹوپی تھیوری