Picard–Lefschetz theory
ریاضی میں، پکارڈ-لیفشیٹز تھیوری کئی گنا پر ہولومورفک فنکشن کے اہم نکات کو دیکھ کر ایک پیچیدہ کئی گنا کی ٹوپولوجی کا مطالعہ کرتی ہے۔ اسے ایمیل پکارڈ نے اپنی کتاب میں پیچیدہ سطحوں کے لیے متعارف کرایا تھا، اور اس کے ذریعے اسے اعلی جہتوں تک بڑھایا گیا تھا۔ یہ مورس تھیوری کا ایک پیچیدہ ینالاگ ہے جو کسی حقیقی فنکشن کے اہم نکات کو دیکھ کر حقیقی کئی گنا کی ٹوپولوجی کا مطالعہ کرتا ہے۔ پیکارڈ-لیفشیٹز تھیوری کو مزید عام شعبوں میں مختلف اقسام تک بڑھایا، اور ڈیلیگن نے اس عمومی کو ویل قیاس آرائیوں کے ثبوت میں استعمال کیا۔ پکارڈ-لیفشیٹز فارمولا پکارڈ-لیفشیٹز فارمولا ایک اہم مقام پر مونوڈرومی کو بیان کرتا ہے۔ فرض کریں کہ f ایک (k + 1) جہتی پروجیکٹو کمپلیکس سے لے کر پروجیکٹو لائن P1 تک کا ہولومورفک نقشہ ہے۔ یہ بھی فرض کریں کہ تمام اہم نکات غیر انحطاط پذیر ہیں اور مختلف ریشوں میں پڑے ہیں، اور P1 میں تصاویر x1،.، xn ہیں۔ P1 میں کوئی دوسرا نقطہ x منتخب کریں۔ بنیادی گروپ π1 (P1-{x1,., xn}, x) پوائنٹس xi کے گرد گھومنے والے لوپس سے پیدا ہوتا ہے، اور ہر پوائنٹ xi پر فائبر کے ہومولوجی Hk (Yx) میں ایک غائب ہونے والا چکر ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ درمیانی ہم آہنگی ہے کیونکہ ریشے کی پیچیدہ جہت k ہوتی ہے، اس لیے حقیقی جہت 2k ہوتی ہے۔ Hk (Yx) پر π1 (P1-{x1,., xn}, x) کی مونوڈرومی کارروائی کو پکارڈ-لیفشیٹز فارمولا کے ذریعے مندرجہ ذیل بیان کیا گیا ہے۔ (دیگر ہومیولوجی گروپوں پر مونوڈرومی کا عمل معمولی ہے۔) بنیادی گروپ کے ایک جنریٹر وائی کا مونوڈرومائی ایکشن ωHk (Yx) پر اس طرح دیا جاتا ہے جہاں δi، xi کا غائب ہونے والا چکر ہے۔ یہ فارمولا k = 2 (غائب ہونے والے چکروں δi کے واضح گتانک کے بغیر) کے لیے مضمر طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ تمام جہتوں میں واضح فارمولا دیا۔ مثال جینس کے ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے پروجیکٹو خاندان پر غور کریں جس کی وضاحت پیرامیٹر اور کہاں ہے۔ پھر، اس خاندان میں جب بھی ڈبل پوائنٹ انحطاط ہوتا ہے۔ چونکہ منحنی خطوط ٹوری کا ایک جڑا ہوا مجموعہ ہے، اس لیے عام منحنی خطوط پر چوراہے کی شکل وہ میٹرکس ہے جس پر ہم آسانی سے ڈیجنریشن کے ارد گرد پکارڈ-لیفشیٹز فارمولے کا حساب لگا سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ یہ-th ٹورس کے-سائیکل ہیں۔ پھر، پکارڈ-لیفشیٹز فارمولا پڑھتا ہے کہ آیا-th ٹورس میں غائب ہونے والا چکر موجود ہے۔ ورنہ یہ شناخت کا نقشہ ہے۔ لیفشیٹز پنسل حوالہ جات الجبرائی جیومیٹری بھی دیکھیں۔