Hadamard product (matrices)
ریاضی میں، ہڈمارڈ پروڈکٹ (جسے عنصر کے لحاظ سے پروڈکٹ، اندراج کے لحاظ سے پروڈکٹ یا شور پروڈکٹ بھی کہا جاتا ہے) ایک بائنری آپریشن ہے جو ایک ہی جہت کے دو میٹرکس میں لیتا ہے اور ضرب شدہ متعلقہ عناصر کا میٹرکس واپس کرتا ہے۔ اس عمل کو "سادہ میٹرکس ضرب" کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور یہ میٹرکس پروڈکٹ سے مختلف ہے۔ اسے فرانسیسی-یہودی ریاضی دان جیکس ہڈمارڈ یا جرمن-یہودی ریاضی دان اسائی شور سے منسوب کیا گیا ہے اور ان کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ہڈمارڈ پروڈکٹ ایسوسی ایٹیو اور ڈسٹری بیوٹو ہے۔ میٹرکس پروڈکٹ کے برعکس، یہ تبادلہ بھی ہے۔ تعریف دو میٹرکس اور ایک ہی طول و عرض کے لیے، ہڈمارڈ پروڈکٹ (بعض اوقات) ایک ہی طول و عرض کا میٹرکس ہوتا ہے جس میں آپریڈز ہوتے ہیں، جس کے عناصر مختلف طول و عرض (اور، جہاں یا) کے میٹرکس کے لیے، ہڈمارڈ پروڈکٹ غیر متعین ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، دو صوابدیدی 2 × 3 میٹرکس کے لیے ہڈمارڈ پروڈکٹ یہ ہے: خصوصیات ہڈمارڈ پروڈکٹ متغیر (جب ایک متغیر رنگ کے ساتھ کام کرتا ہے)، ایسوسی ایٹیو اور ڈسٹری بیوٹو اوور ایڈیشن ہوتا ہے۔ یعنی، اگر A، B، اور C ایک ہی سائز کے میٹرکس ہیں، اور k ایک اسکیلر ہے: دو میٹرکس کے ہڈمارڈ ضرب کے تحت شناختی میٹرکس ایک میٹرکس ہے جہاں تمام عناصر 1 کے برابر ہیں۔ یہ باقاعدہ میٹرکس ضرب کے تحت شناختی میٹرکس سے مختلف ہے، جہاں صرف مرکزی اخترن کے عناصر 1 کے برابر ہوتے ہیں۔ مزید برآں، ایک میٹرکس کا ہڈمارڈ ضرب کے تحت الٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب عناصر میں سے کوئی بھی صفر کے برابر نہ ہو۔ ویکٹرز اور، اور متعلقہ ڈائیگنل میٹرکس کے لیے اور ان ویکٹرز کے ساتھ ان کے مرکزی ڈائیگنلز کے طور پر، درج ذیل شناخت ہوتی ہے: جہاں سے کنجوگیٹ ٹرانسپوز کی نشاندہی ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ایک کے ویکٹر کا استعمال کرتے ہوئے، اس سے پتہ چلتا ہے کہ ہڈمارڈ پروڈکٹ میں تمام عناصر کا مجموعہ اس بات کا سراغ ہے جہاں سپر اسکرپٹ T میٹرکس ٹرانسپوز کی نشاندہی کرتا ہے، یعنی۔ مربع اور، کے لیے ایک متعلقہ نتیجہ یہ ہے کہ ان کے ہڈمارڈ پروڈکٹ کے صف کے مجموعے اس کے اخترن عناصر ہیں: اسی طرح، مزید برآں، ایک ہڈمارڈ میٹرکس ویکٹر پروڈکٹ کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: میٹرکس کے اخترن سے بننے والا ویکٹر کہاں ہے۔ ہڈمارڈ پروڈکٹ کرونکر پروڈکٹ کا ایک اہم ذیلی میٹرکس ہے۔ ہاڈمارڈ پروڈکٹ درجہ بندی کی عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے اگر اور مثبت-یقینی میٹرکس ہیں، تو ہاڈمارڈ پروڈکٹ میں شامل درج ذیل عدم مساوات برقرار رہتی ہے: جہاں کا واں سب سے بڑا آئجن ویلیو ہے۔ اگر اور اخترن میٹرکس ہیں، تو دو ویکٹروں کا ہڈمارڈ پروڈکٹ اور دوسرے ویکٹر کے متعلقہ اخترن میٹرکس کے ذریعہ ایک ویکٹر کے میٹرکس ضرب کے برابر ہے: ویکٹر سے اخترن میٹرکس آپریٹر کو ہڈمارڈ پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح ظاہر کیا جاسکتا ہے: جہاں عناصر کے ساتھ ایک مستقل ویکٹر ہے اور شناخت میٹرکس ہے۔ مخلوط پروڈکٹ پراپرٹی جہاں کرونکر پروڈکٹ ہے، فرض کریں کہ اس کے طول و عرض اور اس کے ساتھ ہیں۔ جہاں چہرے کو تقسیم کرنے والی مصنوعات کو ظاہر کرتا ہے۔ کالم کے لحاظ سے کھتری راؤ پروڈکٹ کہاں ہے۔ شور پروڈکٹ تھیوریم دو مثبت-سیمیڈفائنٹ میٹرکس کا ہڈمارڈ پروڈکٹ مثبت-سیمیڈفائنٹ ہے۔ اسے روسی ریاضی دان اسائی شور کے نام پر شور پروڈکٹ تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ دو مثبت-سیمیڈفائنٹ میٹرکس کے لیے اور، یہ بھی معلوم ہے کہ ان کے ہڈمارڈ پروڈکٹ کا تعین کنندہ ان کے متعلقہ تعین کنندگان کے پروڈکٹ سے بڑا یا برابر ہے: اینالاگس آپریشنز دیگر ہڈمارڈ آپریشنز کو ریاضیاتی ادب میں بھی دیکھا جاتا ہے، یعنی اور (جو فریکشنل انڈیکس کی وجہ سے ایک ہی چیز پر اثر انداز ہوتے ہیں)، ایک میٹرکس کے لیے اس طرح بیان کیا گیا ہے کہ: فار اینڈ فار ریڈز: اے کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: پروگرامنگ زبانوں میں زیادہ تر سائنسی یا عددی پروگرامنگ زبانوں میں مختلف ناموں کے تحت ہڈمارڈ پروڈکٹ شامل ہوتا ہے۔ پروگرامنگ زبان جولیا ایک عام براڈکاسٹنگ آپریٹر استعمال کرتی ہے۔ کسی بھی فنکشن کو عنصر کے لحاظ سے لاگو کرنا۔ اس طرح، ہڈمارڈ ضرب کو نشریاتی ضرب کہا جاتا ہے اور اسے a کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے۔ * b، ہڈمارڈ پاورز a. b کا استعمال کرتے ہیں، اور پریفیکس نوٹیشن f میں کسی بھی فنکشن کو f. (x) کے طور پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ کار کی وجہ سے، بالترتیب میٹرکس ضرب اور میٹرکس ایکسپونینشیلز کے لیے * اور ^ کو محفوظ کرنا ممکن ہے۔ ازگر میں بلٹ ان ایرے سپورٹ نہیں ہے، جس کی وجہ سے متضاد/متضاد اشارے ملتے ہیں۔ نمپی عددی لائبریری a * b یا a.multiply (b) کی تشریح ہڈمارڈ پروڈکٹ کے طور پر کرتی ہے، اور میٹرکس پروڈکٹ کے لیے a@b یا a.matmul (b) کا استعمال کرتی ہے۔ سمپی علامتی لائبریری کے ساتھ، اشیاء کا ضرب یا تو a * b یا a@b میٹرکس پروڈکٹ تیار کرے گا۔ ہڈمارڈ پروڈکٹ کو میتھڈ کال a.multiply_elementwise (b) سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ کچھ ازگر پیکجوں میں np.power (a، b)، یا پانڈاس طریقہ a.pow (b) جیسے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ہڈمارڈ پاورز کے لیے سپورٹ شامل ہے۔ سی + + میں، ایگن لائبریری کلاس (a.cwiseProduct (بی)) کے لیے سی وائز پروڈکٹ ممبر فنکشن فراہم کرتی ہے، جبکہ آرماڈیلو لائبریری کمپیکٹ تاثرات بنانے کے لیے آپریٹر% کا استعمال کرتی ہے (a% b ؛ a * b ایک میٹرکس پروڈکٹ ہے)۔ MATLAB، GAUSS، اور HP پرائم میں، آپریشن کو صف ضرب کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فورٹرن، آر، اے پی ایل، جے اور وولفرم لینگویج (میتھمیٹکا) میں، ضرب آپریٹر * یا × ہڈمارڈ پروڈکٹ کا اطلاق کرتا ہے، جبکہ میٹرکس پروڈکٹ میٹمل،% *%، +. ×، +/کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جاتا ہے۔ * اور.، بالترتیب۔ R پیکیج میٹرکس کیلک عددی میٹرکس یا ویکٹروں کے ہڈمارڈ پروڈکٹ کے لیے فنکشن hadamard.prod () متعارف کراتا ہے۔ ایپلی کیشنز ہڈمارڈ پروڈکٹ نقصان دہ کمپریشن الگورتھم جیسے جے پی ای جی میں ظاہر ہوتا ہے۔ ڈیکوڈنگ مرحلے میں انٹری فار انٹری پروڈکٹ شامل ہوتا ہے، دوسرے الفاظ میں ہڈمارڈ پروڈکٹ۔ امیج پروسیسنگ میں، ہڈمارڈ آپریٹر کو امیج کے علاقوں کو بڑھانے، دبانے یا ماسک کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک میٹرکس اصل تصویر کی نمائندگی کرتا ہے، دوسرا وزن یا ماسکنگ میٹرکس کے طور پر کام کرتا ہے۔ یہ مشین لرننگ لٹریچر میں استعمال ہوتا ہے، مثال کے طور پر، بار بار آنے والے نیورل نیٹ ورک کے فن تعمیر کو جی آر یو یا ایل ایس ٹی ایم کے طور پر بیان کرنے کے لیے۔ یہ بے ترتیب ویکٹر اور میٹرکس کی شماریاتی خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے بھی استعمال ہوتا ہے۔ گھسنے والا چہرے کا پروڈکٹ V. Slyusar کی تعریف کے مطابق p × g میٹرکس کا گھسنے والا چہرے کا پروڈکٹ اور p × g بلاکس () کے ساتھ n-جہتی میٹرکس (n> 1) شکل کے سائز کا ایک میٹرکس ہے: مثال اگر پھر اہم خصوصیات جہاں میٹرکس کے چہرے کو تقسیم کرنے والے پروڈکٹ کی نشاندہی ہوتی ہے، جہاں ایک ویکٹر ہے۔ ایپلی کیشنز دخول چہرے کا پروڈکٹ ڈیجیٹل اینٹینا صفوں کے ٹینسر میٹرکس تھیوری میں استعمال ہوتا ہے۔ اس آپریشن کو مصنوعی نیورل نیٹ ورک ماڈلز، خاص طور پر کنولوشنل تہوں میں بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ پوائنٹ وائز پروڈکٹ کرونکر پروڈکٹ کھتری-راؤ پروڈکٹ حوالہ جات میٹرکس تھیوری بھی دیکھیں۔