P-adic gamma function
ریاضی میں، p-adic گاما فنکشن γp گاما فنکشن سے مشابہت رکھنے والے p-adic متغیر کا ایک فنکشن ہے۔ اس کی وضاحت سب سے پہلے واضح طور پر کی گئی تھی، حالانکہ اس بات کی نشاندہی کی گئی تھی کہ واضح طور پر ایک ہی فنکشن کا استعمال کیا گیا تھا۔ لاگ کے پی-اڈک ینالاگ جی پی کی وضاحت کی گئی۔ اس سے پہلے گاما فنکشن کے مختلف پی-اڈک ینالاگ کی تعریف دی گئی تھی، لیکن اس کے فنکشن میں تسلی بخش خصوصیات نہیں ہیں اور اس کا زیادہ استعمال نہیں ہوتا ہے۔ تعریف p-adic گاما فنکشن p-adic انٹیجر x (اقدار کے ساتھ) کا منفرد مسلسل فنکشن ہے جس میں مثبت انٹیجرز x کے لیے، جہاں پروڈکٹ انٹیجرز تک محدود ہے جہاں i p سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ چونکہ مثبت انٹیجرز p-adic ٹوپولوجی کے حوالے سے گھنے ہوتے ہیں، اس لیے اسے منفرد طور پر پورے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہاں p-adic انٹیجرز کی انگوٹی ہے۔ یہ اس تعریف کی پیروی کرتا ہے کہ کی اقدار الٹ ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ اقدار انٹیجرز کی مصنوعات ہیں جو p سے تقسیم نہیں ہوتی ہیں، اور یہ خاصیت مسلسل توسیع کے بعد برقرار رہتی ہے۔ اس طرح۔ یہاں الٹا p-adic انٹیجرز کا مجموعہ ہے۔ پی-اڈک گاما فنکشن کی بنیادی خصوصیات کلاسیکی گاما فنکشن کسی بھی فنکشنل مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ موریٹا گاما فنکشن کے حوالے سے اس کا ایک ینالاگ ہے: اویلر کے عکاسی فارمولے کا پی-اڈک کیس میں اس کا مندرجہ ذیل سادہ ہم منصب ہے: x کی پی-اڈک توسیع میں پہلا ہندسہ کہاں ہے، جب تک کہ، اس صورت میں 0 کے بجائے۔ خصوصی اقدار اور، عام طور پر، موریٹا گاما فنکشن کا تعلق لیجنڈری علامت سے ہے: یہ بھی دیکھا جا سکتا ہے، اس لیے اس کے طور پر۔ دیگر دلچسپ خصوصی اقدار گروس کوبلٹز فارمولے سے آتی ہیں، جسے پہلے کوہمولوجیکل ٹولز کے ذریعے ثابت کیا گیا تھا، اور بعد میں مزید ابتدائی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا گیا تھا۔ مثال کے طور پر، جہاں پہلے ہندسے 3 کے ساتھ مربع جڑ کی نشاندہی کرتا ہے، اور پہلے ہندسے 2 کے ساتھ مربع جڑ کی نشاندہی کرتا ہے۔ (اگر ہم جڑوں کے بارے میں بات کریں تو اس طرح کی وضاحتیں ہمیشہ کی جانی چاہئیں۔) ایک اور مثال یہ ہے کہ جہاں کا مربع جڑ 1 ماڈیولو 3 سے ہم آہنگ ہے۔ p-adic Raabe فارمولا کلاسیکی گاما فنکشن کے لیے Raabe-فارمولا کہتا ہے کہ اس میں موریٹا گاما فنکشن کے ایواساوا لوگارتھم کے لیے ایک ینالاگ ہے: چھت کے فنکشن کو p-adic حد کے طور پر سمجھا جانا چاہیے جیسے کہ عقلی انٹیجرز کے ذریعے۔ ماہلر توسیع پی-اڈک افعال کے لیے اسی طرح اہم ہے جیسے کلاسیکی تجزیے میں ٹیلر کی توسیع۔ پی-اڈک گاما فنکشن کی ماہلر توسیع درج ذیل ہے: جہاں ترتیب کی تعریف درج ذیل شناخت سے کی جاتی ہے: مجموعی کوبلٹز فارمولا حوالہ جات نمبر تھیوری پی-اڈک نمبر بھی دیکھیں۔