Positive harmonic function
ریاضی میں، پیچیدہ اعداد میں یونٹ ڈسک پر ایک مثبت ہارمونک فنکشن کو دائرے پر ایک محدود مثبت پیمائش کے پوئسون انٹیگرل کے طور پر نمایاں کیا جاتا ہے۔ یہ نتیجہ، ہرگلوٹز-ریز نمائندگی تھیوریم، 1911 میں گستاو ہرگلوٹز اور فریگیس ریز نے آزادانہ طور پر ثابت کیا تھا۔ اس کا استعمال مثبت حقیقی حصے والی یونٹ ڈسک پر کسی بھی ہولومورفک فنکشن کے لیے متعلقہ فارمولا اور خصوصیت دینے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے افعال کو پہلے ہی 1907 میں کانسٹینٹن کیریتھیوڈوری نے ان کے ٹیلر کوفیشنٹس کی مثبت قطعی حیثیت کے لحاظ سے نمایاں کیا تھا۔ ہارمونک افعال کے لیے ہرگلوٹز-ریز نمائندگی تھیوریم f (0) = 1 کے ساتھ یونٹ ڈسک پر ایک مثبت فنکشن f ہارمونک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یونٹ کے دائرے پر اس طرح کی امکانات کی پیمائش ہو کہ فارمولا واضح طور پر f (0) = 1 کے ساتھ ایک مثبت ہارمونک فنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے برعکس اگر f مثبت اور ہم آہنگ ہے اور rn 1 تک بڑھ جاتا ہے، تو اس کی وضاحت کریں۔ ایک کمپیکٹنس دلیل کے ذریعہ (یا اس معاملے میں اس کے مساوی طور پر اسٹیلٹجیس انٹیگرلز کے لیے ہیلی کا سلیکشن تھیوریم)، ان امکانی اقدامات کے بعد آنے کی ایک کمزور حد ہوتی ہے جو کہ امکان کی پیمائش بھی ہے۔ چونکہ rn 1 تک بڑھ جاتا ہے، اس لیے کہ fn (z) f (z) کی طرف مائل ہو، ہرگلوٹز فارمولا اس کے بعد آتا ہے۔ ہولومورفک افعال کے لیے ہرگلوٹز-ریز نمائندگی تھیوریم f (0) = 1 کے ساتھ یونٹ ڈسک پر ہولومورفک فنکشن f کا مثبت حقیقی حصہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یونٹ کے دائرے پر اس طرح کی امکانات کی پیمائش ہو کہ یہ پچھلے تھیوریم سے پیروی کرتا ہے کیونکہ: پوئسون دانا ہولومورفک فنکشن کے حقیقی حصے کے اوپر انٹیگرینڈ کا حقیقی حصہ ہے جو ہارمونک ہے اور ہولومورفک فنکشن کا تعین کرتا ہے جو ایک اسکیلر کے اضافے تک ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا فارمولا ہولومورفک فنکشن کی وضاحت کرتا ہے، جس کا حقیقی حصہ پچھلے تھیوریم کیریتھیوڈوری کے ہولومورفک افعال کے لیے مثبت معیار کے ذریعے دیا گیا ہے۔ پھر f (z) کا ڈسک پر مثبت حقیقی حصہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی پیچیدہ اعداد λ0، λ1،.، λN کے لیے، جہاں m> 0 کے لیے۔ درحقیقت n> 0 کے لیے ہرگلوٹز کی نمائندگی سے اس لیے اس کے برعکس، λn = zn ترتیب دیتے ہوئے، بوچنر کا نظریہ حوالہ جات ہارمونک تجزیہ پیچیدہ تجزیہ ہارمونک افعال بھی دیکھیں۔