De Donder–Weyl theory
ریاضیاتی طبیعیات میں، ڈی ڈونڈر-ویل تھیوری سپیس ٹائم کے دوران تغیرات اور کلاسیکی فیلڈ تھیوری کے حساب میں ہیملٹنین فارملزم کی عمومی شکل ہے جو خلا اور وقت کے نقاط کو مساوی بنیادوں پر پیش کرتی ہے۔ اس فریم ورک میں، میکینکس میں ہیملٹنین فارملزم کو فیلڈ تھیوری کے لیے اس طرح عام کیا گیا ہے کہ کسی فیلڈ کو ایک ایسے نظام کے طور پر پیش کیا جائے جو خلا اور وقت دونوں میں مختلف ہوتا ہے۔ یہ عمومی نظریہ فیلڈ تھیوری میں کینونکل ہیملٹنین فارملزم سے مختلف ہے جو خلا اور وقت کے متغیرات کو مختلف طریقے سے پیش کرتا ہے اور کلاسیکی شعبوں کو وقت کے ساتھ ارتقا پذیر لامحدود جہتی نظاموں کے طور پر بیان کرتا ہے۔ فیلڈ تھیوری کی ڈی ڈونڈر ویل تشکیل ڈی ڈونڈر ویل تھیوری متغیرات کی تبدیلی پر مبنی ہے جسے لیجنڈری ٹرانسفارمیشن کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ xi خلائی وقت کے نقاط ہیں، i = 1 سے n کے لیے (n = 4 کے ساتھ جگہ اور وقت کے 3 + 1 طول و عرض کی نمائندگی کرتا ہے)، اور ya فیلڈ متغیرات، a = 1 سے m کے لیے، اور L لاگرانجین کثافت۔ پولی مومینٹا پیا کے ساتھ ڈی ڈونڈر-ویل ہیملٹنین فنکشن H کی تعریف ڈی ڈونڈر-ویل مساوات کے طور پر کی گئی ہے: فیلڈ مساوات کی یہ ڈی ڈونڈر-ویل ہیملٹنین شکل متغیر ہے اور یہ یولر-لیگرینج مساوات کے مساوی ہے جب لیجنڈری متغیر پیا میں تبدیل ہوتا ہے اور H واحد نہیں ہوتا ہے۔ یہ نظریہ ایک متغیر ہیملٹنین فیلڈ تھیوری کی تشکیل ہے جو کینونکل ہیملٹنین فارملزم سے مختلف ہے اور n = 1 کے لیے یہ ہیملٹنین میکانکس تک کم ہو جاتا ہے (تغیرات کے حساب میں عمل کا اصول بھی دیکھیں)۔ 1935 میں ہرمن ویل نے ڈی ڈونڈر-ویل نظریہ کے لیے ہیملٹن-جیکوبی نظریہ تیار کیا ہے۔ اسی طرح فیز اسپیس کی سمپلیکٹک جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے وضع کردہ میکانکس میں ہیملٹنین فارملزم کی طرح ڈی ڈونڈر-ویل تھیوری کو ملٹی سمپلیکٹک جیومیٹری یا پولی سمپلیکٹک جیومیٹری اور جیٹ بنڈلوں کی جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے وضع کیا جا سکتا ہے۔ ڈی ڈونڈر-ویل تھیوری کے لیے پوسن بریکٹ کی عمومی شکل اور گیرسٹن ہیبر الجبرا کو مطمئن کرنے والے عمومی پوسن بریکٹ کے لحاظ سے ڈی ڈونڈر-ویل مساوات کی نمائندگی 1993 میں کاناچیکوف نے پائی تھی۔ فارملزم، جسے اب ڈی ڈونڈر-ویل (ڈی ڈبلیو) تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، تھیوفائل ڈی ڈونڈر اور ہرمن ویل نے تیار کیا تھا۔ ہرمن ویل نے 1934 میں اپنی تجویز کونسٹینٹین کیریتھیوڈوری کے کام سے متاثر ہو کر پیش کی، جس کی بنیاد وٹو والٹیرا کے کام پر رکھی گئی تھی۔ دوسری طرف ڈی ڈونڈر کا کام ایلی کارٹن کے لازمی غیر متغیرات کے نظریہ سے شروع ہوا۔ ڈی ڈونڈر-ویل نظریہ 1930 کی دہائی سے تغیرات کے حساب کا ایک حصہ رہا ہے اور ابتدائی طور پر اس نے طبیعیات میں بہت کم استعمال پایا۔ حال ہی میں اس کا اطلاق نظریاتی طبیعیات میں کوانٹم فیلڈ تھیوری اور کوانٹم کشش ثقل کے تناظر میں کیا گیا تھا۔ 1970 میں، جیومیٹرک کوانٹائزیشن اور کوانٹم میکانکس کے مصنف جیڈرزج شنیاٹیکی نے جیٹ بنڈلوں کی ایک غیر متغیر جیومیٹریکل تشکیل تیار کی، جو ڈی ڈونڈر اور ویل کے کام پر مبنی ہے۔ 1999 میں اگور کاناچیکوف نے دکھایا کہ ڈی ڈونڈر-ویل کوویرینٹ ہیملٹنین فیلڈ مساوات کو ڈفن-کیمر-پیٹیو میٹرکس کے لحاظ سے وضع کیا جا سکتا ہے۔ ہیملٹنین فیلڈ تھیوری کوویرینٹ ہیملٹنین فیلڈ تھیوری مزید پڑھیں جیوڈیسک فیلڈز پر منتخب مقالے، ڈی ایچ ڈیلفینیچ کے ترجمہ اور ترمیم کردہ۔ حصہ 1، حصہ 2 ایچ۔ اے۔ کاسٹرپ، طبیعیات میں لگرینجین متحرک نظاموں کے کینونکل نظریات، طبیعیات کی رپورٹیں، جلد 101، مسائل 1-2، صفحات 1-167 (1983)۔ مارک جے گوٹے، جیمز آئزن برگ، جیرولڈ ای مارسڈن، رچرڈ مونٹگمری: "مومنٹم میپس اینڈ کلاسیکل ریلیٹوسٹک فیلڈز۔ حصہ اول: کوویرینٹ فیلڈ تھیوری "کارنیلیس پافلر، ہارٹ مین رومر: ڈی ڈونڈر-ویل مساوات اور کثیر علامتی جیومیٹری، ریاضیاتی طبیعیات پر رپورٹیں، جلد۔ 49 (2002)، نمبر۔ 2-3، پی پی۔ 325-334 کریزسٹوف مورین: ریمن میراث: ریاضی اور طبیعیات میں ریمنین خیالات، حصہ دوم، باب 7.16 متعدد انٹیگرلز کے لیے تغیر کے کیلکولس کے لیے فیلڈ تھیوریز، کلور اکیڈمک پبلشرز، 1997، صفحہ 482 ایف ایف۔ حوالہ جات متغیرات کا حساب ریاضیاتی طبیعیات