Berkovich space
ریاضی میں، ایک برکووچ اسپیس، جس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے، غیر آرکیمیڈین فیلڈ پر تجزیاتی اسپیس کا ایک ورژن ہے (مثال کے طور پر۔ p-adic فیلڈ)، سخت تجزیاتی جگہ کے بارے میں ٹیٹ کے تصور کو بہتر بناتا ہے۔ محرک پیچیدہ صورت میں، الجبرائی جیومیٹری کا آغاز پیچیدہ افائن اسپیس کی وضاحت کرتے ہوئے ہوتا ہے۔ ہر ایک کے لیے ہم تجزیاتی افعال کی رنگ کو ہولومورفک افعال کی رنگ کے طور پر بیان کرتے ہیں، یعنی۔ اس پر افعال کو ہر نقطہ کے پڑوس میں متغیر پاور سیریز کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد ہم مقامی ماڈل کی جگہ کے ساتھ ہونے کی وضاحت کرتے ہیں۔ ایک پیچیدہ تجزیاتی جگہ مقامی طور پر رنگڈ-اسپیس ہے جو مقامی ماڈل کی جگہ کے لیے مقامی طور پر آئسومورفک ہے۔ جب ایک مکمل غیر آرکیمیڈین فیلڈ ہوتا ہے، تو ہمارے پاس وہ ہوتا ہے جو مکمل طور پر منقطع ہوتا ہے۔ ایسی صورت میں، اگر ہم اسی تعریف کے ساتھ جاری رکھیں جیسا کہ پیچیدہ معاملے میں ہے، تو ہمیں ایک اچھا تجزیاتی نظریہ نہیں ملے گا۔ برکووچ نے ایک تعریف دی جو اس طرح کے پر اچھی تجزیاتی خالی جگہیں دیتی ہے، اور اس پر معمول کی تعریف بھی دیتی ہے۔ غیر آرکیمیڈین فیلڈز پر تجزیاتی افعال کی وضاحت کے علاوہ، برکووچ خالی جگہوں میں ایک اچھی بنیادی ٹپوولوجیکل جگہ بھی ہوتی ہے۔ برکووچ سپیکٹرم ایک رنگ پر ایک سیمی نارم ایک غیر مستقل فنکشن ہے جو سب کے لیے ہے۔ اسے ضرب اگر کہا جاتا ہے اور اگر ظاہر ہوتا ہے تو اسے معمول کہا جاتا ہے۔ اگر معمول کے ساتھ ایک معیاری رنگ ہے تو اس کا برکووچ سپیکٹرم، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، ضرب والے سیمینارمز کا مجموعہ ہے جس پر کے معیار سے پابند ہیں۔ برکووچ سپیکٹرم کمزور ترین ٹوپولوجی سے لیس ہے جیسے کہ کسی بھی نقشے کے لیے مسلسل ہے۔ ایک معیاری رنگ کا برکووچ سپیکٹرم غیر صفر ہونے پر خالی ہوتا ہے اور مکمل ہونے پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ اگر سپیکٹرم کا ایک نقطہ ہے تو عناصر کے ساتھ ایک پرائم آئیڈیل تشکیل دیتے ہیں۔ اس پرائم آئیڈیل کے ذریعہ حصص کے حصوں کا فیلڈ ایک معیاری فیلڈ ہے، جس کی تکمیل ایک ضرب کے معیار کے ساتھ ایک مکمل فیلڈ ہے۔ اس فیلڈ کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے اور کسی عنصر کی شبیہہ کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ میدان کی تصویر سے پیدا ہوتا ہے۔ اس کے برعکس ایک ضرب کے معیار کے ساتھ ایک مکمل معیاری میدان میں ایک پابند نقشہ جو کی تصویر سے پیدا ہوتا ہے اس کے سپیکٹرم میں ایک نقطہ دیتا ہے۔ کا سپیکٹرم رداس مثالوں کے برابر ہے کسی ویلیوایشن کے حوالے سے مکمل فیلڈ کا سپیکٹرم اس کی ویلیوایشن کے مطابق ایک واحد پوائنٹ ہوتا ہے۔ اگر ایک مواصلاتی C *-الجبرا ہے تو برکووچ سپیکٹرم گیلفینڈ سپیکٹرم کی طرح ہے۔ گیلفینڈ سپیکٹرم کا ایک نقطہ بنیادی طور پر ایک ہومومورفزم ہے، اور اس کی مطلق قیمت برکووچ سپیکٹرم میں متعلقہ سیمی نارم ہے۔ اوسٹروسکی تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ انٹیجرز کا برکووچ سپیکٹرم (معمول کے معیار کے ساتھ) معمول کی تشخیص کی طاقتوں پر مشتمل ہوتا ہے، کسی پرائم یا کے لیے۔ اگر ایک پرائم ہے تو اور جب یہ سب تمام غیر صفر عناصر پر ہونے والی معمولی تشخیص کے ساتھ موافق ہوتے ہیں۔ ہر ایک (پرائم یا انفینیٹی) کے لیے ہمیں ایک شاخ ملتی ہے جو ایک حقیقی وقفے کے لیے ہومومورفک ہوتی ہے، شاخیں معمولی تشخیص کے مطابق نقطہ پر ملتی ہیں۔ معمولی قیمتوں کے کھلے محلے ایسے ہوتے ہیں کہ ان میں تمام لیکن محدود طور پر بہت سی شاخیں ہوتی ہیں، اور ہر شاخ کے ساتھ ان کا چوراہا کھلا ہوتا ہے۔ اگر ایک ویلیوایشن والا فیلڈ ہے، تو n-جہتی برکووچ افائن اسپیس اوور، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، معیار کو بڑھانے پر ملٹی پلیکیٹو سیمینارمز کا مجموعہ ہے۔ برکووچ افائن اسپیس کمزور ترین ٹوپولوجی سے لیس ہے جیسے کہ کسی بھی نقشے کے لیے مسلسل ہے۔ یہ برکووچ سپیکٹرم نہیں ہے، بلکہ پاور سیریز کے رنگوں کے برکووچ سپیکٹرم کا بڑھتا ہوا اتحاد ہے جو کسی گیند میں یکجا ہوتا ہے (اس لیے یہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہے)۔ ہم ایک کھلے ذیلی سیٹ پر ایک تجزیاتی فنکشن کو نقشے کے طور پر بیان کرتے ہیں، جو کہ عقلی افعال کی ایک مقامی حد ہے، یعنی، اس طرح کہ ہر نقطہ میں مندرجہ ذیل خاصیت کے ساتھ ایک کھلا پڑوس ہو: پیچیدہ معاملے کی طرح ہی تعریفوں کو جاری رکھتے ہوئے، کوئی بھی تشخیص کے ساتھ کسی بھی فیلڈ پر تجزیاتی افعال، مقامی ماڈل کی جگہ، اور تجزیاتی خالی جگہوں کی رنگ کی وضاحت کر سکتا ہے (کوئی بھی معیاری رنگوں پر اسی طرح کی اشیاء کی وضاحت بھی کر سکتا ہے)۔ یہ غیر معمولی تشخیص اور انٹیجرز کی انگوٹی کے حوالے سے مکمل فیلڈز کے لیے معقول اشیاء فراہم کرتا ہے۔ اس صورت میں جہاں یہ وہی اشیاء دے گا جیسا کہ محرک سیکشن میں بیان کیا گیا ہے۔ یہ تجزیاتی خالی جگہیں غیر آرکیمیڈین شعبوں پر تمام تجزیاتی خالی جگہیں نہیں ہیں۔ 1 جہتی برکووچ افائن اسپیس کو برکووچ افائن لائن کہا جاتا ہے۔ الجبرائی طور پر بند غیر آرکیمیڈین فیلڈ کب ہوتا ہے، جو اس کی تشخیص کے حوالے سے مکمل ہوتا ہے، کوئی بھی افائن لائن کے تمام نکات بیان کر سکتا ہے۔ ایک کینونکل ایمبیڈنگ ہے۔ یہ جگہ ایک مقامی طور پر کمپیکٹ، ہاؤس ڈورف، اور منفرد طور پر راستے سے منسلک ٹپوولوجیکل جگہ ہے جس میں ایک گھنے ذیلی جگہ کے طور پر موجود ہے۔ کوئی بھی برکووچ پروجیکٹو لائن کی وضاحت ایک مناسب انداز میں، لامحدود پر ایک نقطہ سے مل کر بھی کر سکتا ہے۔ نتیجے میں بننے والی جگہ ایک کمپیکٹ، ہاؤس ڈورف، اور منفرد طور پر راستے سے منسلک ٹپوولوجیکل جگہ ہے جو گھنے ذیلی جگہ پر مشتمل ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط انسٹی ٹیوٹ ڈی میتھیمیٹیکس ڈی جوسییو سمر اسکول "برکووچ اسپیس" 2010 الجبرائی جیومیٹری