Denjoy–Wolff theorem
ریاضی میں، ڈینجوئے-وولف تھیوریم پیچیدہ تجزیہ اور متحرک نظاموں میں ایک تھیوریم ہے جو فکسڈ پوائنٹس اور پیچیدہ نمبروں میں یونٹ ڈسک کے ہولومورفک میپنگ کے تکرار سے متعلق ہے۔ یہ نتیجہ 1926 میں فرانسیسی ریاضی دان آرنود ڈینجوئے اور ڈچ ریاضی دان جولیس وولف نے آزادانہ طور پر ثابت کیا۔ بیان کا نظریہ۔ D کو C میں کھلی اکائی ڈسک ہونے دیں اور f کو ایک ہولومورفک فنکشن ہونے دیں جو D کو D میں نقشہ بناتا ہے جو کہ D کی آٹومورفزم نہیں ہے (یعنی۔ ایک موبیئس تبدیلی)۔ پھر D کی بندش میں ایک منفرد نقطہ z ہوتا ہے کہ f کے تکرار D کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں طور پر z کی طرف مائل ہوتے ہیں۔ اگر Z D میں ہے، تو یہ f کا منفرد فکسڈ پوائنٹ ہے۔ نقشہ سازی f غیر متغیر ہائپربولک ڈسکوں کو z پر مرکوز کرتا ہے، اگر Z D میں ہے، اور ڈسکوں کو z پر یونٹ کے دائرے میں ٹینجینٹ کرتا ہے، اگر Z D کی حد پر ہے۔ جب فکسڈ پوائنٹ z = 0 پر ہوتا ہے، تو z پر مرکوز ہائپربولک ڈسک صرف یوکلیڈین ڈسک ہوتی ہیں جن کا مرکز 0 ہوتا ہے۔ بصورت دیگر f کو موبیئس ٹرانسفارمیشن کے ذریعے جوڑ دیا جا سکتا ہے تاکہ فکسڈ پوائنٹ صفر ہو۔ نظریہ کا ایک ابتدائی ثبوت ذیل میں دیا گیا ہے، جو شاپیرو (1993) اور برکل (1981) سے لیا گیا ہے۔ دو دیگر مختصر ثبوت کارلسن اینڈ گیملین (1993) میں مل سکتے ہیں۔ نظریہ کا ثبوت ڈسک میں فکسڈ پوائنٹ اگر f کا D میں ایک فکسڈ پوائنٹ z ہے تو، موبیئس ٹرانسفارمیشن کے ذریعے جوڑنے کے بعد، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ z = 0 ہے۔ فرض کریں کہ M (r) |z | = r <1 پر f کا زیادہ سے زیادہ ماڈیولس ہے۔ |z | ≤ r کے لیے شوارز لیما کے ذریعے، جہاں یہ تکرار کے بعد آتا ہے کہ |z | ≤ r کے لیے۔ یہ دونوں عدم مساوات اس معاملے میں نتیجہ کا اشارہ کرتی ہیں۔ کوئی فکسڈ پوائنٹ نہیں جب f، D میں فکسڈ پوائنٹس کے بغیر کام کرتا ہے، تو وولف نے دکھایا کہ باؤنڈری پر ایک نقطہ z اس طرح ہے کہ f کے تکرار اس مقام پر ہر ڈسک کو باؤنڈری پر غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں۔ 1 تک بڑھتی ہوئی ترتیب لیں اور سیٹ کریں Rouché 's theorem کا اطلاق کرتے ہوئے اور، D میں بالکل ایک صفر ہے۔ اگر ضروری ہو تو تسلسل میں منتقل ہونے پر، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ نقطہ z D میں نہیں ہو سکتا، کیونکہ حد تک منتقل ہونے پر، z کو ایک مقررہ نقطہ ہونا پڑے گا۔ فکسڈ پوائنٹس کے معاملے کا نتیجہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ نقشے ان تمام یوکلڈین ڈسکوں کو غیر متغیر چھوڑ دیتے ہیں جن کا ہائپربولک مرکز واقع ہے۔ واضح حسابات سے پتہ چلتا ہے کہ، جیسے جیسے k بڑھتا ہے، کوئی بھی ایسی ڈسکوں کا انتخاب کر سکتا ہے تاکہ وہ z پر باؤنڈری پر کسی بھی دی گئی ڈسک ٹینجینٹ کی طرف مائل ہوں۔ تسلسل کے لحاظ سے، f ایسی ہر ڈسک کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ کمپیکٹا پر مستقل z پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے، یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ یہ کسی بھی تسلسل کے لیے درست ہے، اسی معنی میں g کے لیے متغیر، جیسے کہ۔ اس طرح کی حدود مونٹیل کے نظریہ کے مطابق موجود ہیں، اور اگر g غیر مستقل ہے، تو یہ بھی فرض کیا جا سکتا ہے کہ اس کی ایک حد ہے۔ لیکن پھر ڈی میں ڈبلیو کے لیے۔ چونکہ ایچ ہولومورفک ہے اور جی (ڈی) کھلا ہے، تمام ڈبلیو کے لیے۔ ترتیب، یہ بھی فرض کیا جا سکتا ہے کہ ایف کے لیے متغیر ہے۔ لیکن پھر f (F (w)) = w = f (F (w))، اس حقیقت سے متصادم ہے کہ f ایک آٹومورفزم نہیں ہے۔ لہذا ہر تسلسل D میں کمپیکٹا پر کچھ یکساں طور پر مستقل ہوتا ہے۔ δ کی غیر متغیریت کا مطلب ہے کہ اس طرح کا ہر مستقل ہر ڈسک کی بندش میں ہوتا ہے، اور اسی وجہ سے ان کا چوراہا، واحد نقطہ z ہے۔ مونٹیل کے نظریہ کے مطابق، یہ اس طرح ہے کہ کمپیکٹا پر مستقل z پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ نوٹ حوالہ جات متحرک نظاموں میں نظریات پیچیدہ تجزیے میں نظریات