Freudenthal spectral theorem
ریاضی میں، فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم 1936 میں ہنس فرائیڈنتھل کے ذریعہ ثابت کردہ ریز اسپیس تھیوری کا نتیجہ ہے۔ یہ موٹے طور پر بیان کرتا ہے کہ ریز اسپیس میں کسی مثبت عنصر کے زیر تسلط کسی بھی عنصر کو پرنسپل پروجیکشن پراپرٹی کے ساتھ ایک لحاظ سے سادہ افعال کے ذریعے یکساں طور پر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ متعدد معروف نتائج فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم سے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ معروف ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم، پوسن فارمولے کی صداقت اور نارمل آپریٹرز کے نظریہ سے سپیکٹرم تھیوریم سبھی کو فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم کے خصوصی معاملات کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے۔ بیان ای کو ریز اسپیس ای میں کوئی بھی مثبت عنصر ہونے دیں۔ ای میں پی کے مثبت عنصر کو ای کا جزو کہا جاتا ہے اگر۔ اگر ای کے جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ اجزاء ہیں، تو ای کے کسی بھی حقیقی لکیری امتزاج کو ای-سادہ فنکشن کہا جاتا ہے۔ فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم بیان کرتا ہے: فرض کریں کہ E کوئی بھی ریز اسپیس ہو جس میں پرنسپل پروجیکشن پراپرٹی ہو اور e میں کوئی مثبت عنصر ہو۔ پھر e کے ذریعہ پیدا ہونے والے پرنسپل آئیڈیل میں کسی بھی عنصر f کے لیے، ترتیبات اور e-سادہ افعال موجود ہیں، جیسے کہ مونوٹون بڑھتا ہے اور e-کو یکساں طور پر f میں بدلتا ہے، اور مونوٹون کم ہوتا ہے اور e-کو یکساں طور پر f میں بدلتا ہے۔ ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم سے تعلق آئیے ایک پیمائش کی جگہ اور دستخط شدہ اضافی اقدامات کی حقیقی جگہ بنیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ کل تغیر کے معیار کے ساتھ ایک ڈیڈیکائنڈ مکمل بناچ جالی ہے، اور اس لیے اس میں پرنسپل پروجیکشن پراپرٹی ہے۔ کسی بھی مثبت پیمائش کے لیے،-سادہ افعال (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) کو (معمول کے لحاظ سے)-پیمائش کے قابل سادہ افعال کے بالکل مطابق دکھایا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، چونکہ فرائیڈنتھل سپیکٹرم تھیوریم کے ذریعہ، بینڈ میں پیدا ہونے والی کسی بھی پیمائش کو لیبسگیو کے مونوٹون کنورجنس تھیوریم کے ذریعہ-پیمائش کے قابل سادہ افعال کے ذریعہ نیچے سے یکسانیت سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے، یہ کسی فنکشن سے مطابقت رکھتا ہے اور بینڈ اور بناچ لیٹیس کے درمیان ایک آئسومیٹرک لیٹیس آئسومورفزم قائم کرتا ہے۔ فنکشنل تجزیہ میں ریڈون-نیکوڈیم تھیوریم حوالہ جات تھیوریم بھی دیکھیں۔