Jean-François Mertens
جین فرانکوئس مرٹنز (11 مارچ 1946-17 جولائی 2012) بیلجیئم کے گیم تھیوریسٹ اور ریاضیاتی ماہر معاشیات تھے۔ مرٹنز نے آرڈر بک آف مارکیٹ گیمز، کوآپریٹو گیمز، نان کوآپریٹو گیمز، بار بار گیمز، اسٹریٹجک رویے کے علمی ماڈل، اور نیش توازن کی اصلاحات کے حوالے سے معاشی نظریہ میں اہم کردار ادا کیا (حل کا تصور دیکھیں)۔ کوآپریٹو گیم تھیوری میں انہوں نے حل کے تصورات میں حصہ ڈالا جسے کور اور شیپلی ویلیو کہا جاتا ہے۔ بار بار کھیلے جانے والے گیمز اور سٹاکاسٹک گیمز کے حوالے سے، مرٹنز کے 1982 اور 1986 کے سروے مضامین، اور سلوین سورین اور سموئیل زمیر کے ساتھ مل کر لکھے گئے ان کے 1994 کے سروے، اس موضوع پر نتائج کے مجموعے ہیں، جن میں ان کی اپنی شراکت بھی شامل ہے۔ مرٹنز نے امکانی نظریہ میں بھی تعاون کیا اور ابتدائی ٹوپولوجی پر مضامین شائع کیے۔ مہاماری ماڈل مرٹنز اور زمیر نے نامکمل معلومات کے ساتھ گیم ماڈل بنانے کی جان ہرسانی کی تجویز کو یہ فرض کرتے ہوئے نافذ کیا کہ ہر کھلاڑی کی خصوصیت ایک نجی طور پر معروف قسم ہے جو اس کی قابل عمل حکمت عملیوں اور ادائیگیوں کے ساتھ ساتھ دوسرے کھلاڑیوں کی اقسام پر امکان کی تقسیم کو بیان کرتی ہے۔ انہوں نے اقسام کی ایک عالمگیر جگہ بنائی جس میں، مخصوص مستقل مزاجی کے حالات کے تابع، ہر قسم دوسروں کے ممکنہ عقائد کے بارے میں ان کے ممکنہ عقائد کے لامحدود درجہ بندی سے مطابقت رکھتی ہے۔ انہوں نے یہ بھی دکھایا کہ کسی بھی ذیلی جگہ کو ایک محدود ذیلی جگہ کے ذریعے من مانی طور پر قریب سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے، جو کہ ایپلی کیشنز میں معمول کی حکمت عملی ہے۔ نامکمل معلومات کے ساتھ بار بار کھیلے جانے والے کھیل نامکمل معلومات کے ساتھ دہرائے جانے والے کھیل، اومن اور ماشلر کے ذریعے پیش کیے گئے تھے۔ میدان میں جین فرانکوئس مرٹنز کی دو شراکتوں میں دو بار دو افراد کے صفر رقم کے کھیلوں کی توسیع ہے جس میں دونوں طرف نامکمل معلومات ہیں (1) کھلاڑیوں کے لیے دستیاب معلومات کی قسم اور (2) سگنلنگ ڈھانچہ۔ (1) معلومات: مرٹنز نے اس نظریہ کو آزاد کیس سے بڑھایا جہاں کھلاڑیوں کی نجی معلومات آزاد بے ترتیب متغیرات کے ذریعہ تیار کی جاتی ہیں، انحصار کیس تک جہاں ارتباط کی اجازت ہے۔ (2) سگنلنگ ڈھانچے: معیاری سگنلنگ تھیوری جہاں ہر مرحلے کے بعد دونوں کھلاڑیوں کو کھیلے گئے پچھلے چالوں سے آگاہ کیا جاتا ہے، اسے عام سگنلنگ ڈھانچے سے نمٹنے کے لیے بڑھایا گیا جہاں ہر مرحلے کے بعد ہر کھلاڑی کو ایک نجی سگنل ملتا ہے جو چالوں اور ریاست پر منحصر ہو سکتا ہے۔ ان سیٹ اپس میں جین فرانکوئس مرٹنز نے ریاستی آزاد اشاروں کے ساتھ منحصر صورت میں لامحدود گیم کے لیے من میکس اور میکسمین ویلیو کی خصوصیت کی توسیع فراہم کی۔ اس کے علاوہ سموئیل زمیر کے ساتھ، جین فرانکوئس مرٹنز نے ایک محدود قدر کے وجود کو ظاہر کیا۔ اس طرح کی قدر کو یا تو اسٹیج گیمز کی اقدار کی حد کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جیسا کہ انفینٹی تک جاتا ہے، یا رعایتی گیمز کی اقدار کی حد کے طور پر، جیسے جیسے ایجنٹ زیادہ صبر کرنے لگتے ہیں۔ مرٹنز اور زمیر کے نقطہ نظر کا ایک تعمیراتی بلاک ایک آپریٹر کی تعمیر ہے، جسے اب ان کے اعزاز میں میدان میں صرف ایم زیڈ آپریٹر کہا جاتا ہے۔ مسلسل وقت میں (نامکمل معلومات کے ساتھ تفریقی کھیل)، ایم زیڈ آپریٹر اس طرح کے کھیلوں کے نظریہ کے مرکز میں ایک لامحدود آپریٹر بن جاتا ہے۔ فنکشنل مساوات کے ایک جوڑے کے منفرد حل، مرٹنز اور زمیر نے ظاہر کیا کہ لمٹ ویلیو میکسمین یا من میکس (مکمل انفارمیشن کیس میں ویلیو) کے برعکس ایک ماورائے فنکشن ہو سکتی ہے۔ مرٹنز نے کھیل کے معاملے میں ایک طرف نامکمل معلومات اور عام سگنلنگ ڈھانچے کے ساتھ ہم آہنگی کی صحیح شرح بھی پائی۔ این-اسٹیج گیم (حتمی طور پر دہرایا گیا) ویلیو کی اس کی حد تک کنورجنس کی رفتار کا تفصیلی تجزیہ مرکزی حد تھیوریم اور نارمل قانون کے ساتھ ساتھ باؤنڈڈ مارٹنگیلز کی زیادہ سے زیادہ تغیرات سے گہرا تعلق رکھتا ہے۔ ریاست پر منحصر اشاروں کے ساتھ اور تکراری ڈھانچے کے بغیر کھیلوں کے مشکل کیس کے مطالعہ پر حملہ کرتے ہوئے، مرٹنز اور ضمیر نے ایک معاون کھیل پر مبنی تعارف پر نئے ٹولز متعارف کروائے، جس سے حکمت عملیوں کے سیٹ کو ایک ایسے کور تک کم کیا گیا جو 'شماریاتی طور پر کافی' ہے۔ مجموعی طور پر زمیر (اور سورین کے ساتھ بھی) کے ساتھ جین فرانکوئس مرٹنز کی شراکت دو افراد صفر جمع دہرائے جانے والے کھیلوں کے لیے ایک عمومی نظریہ کی بنیاد فراہم کرتی ہے جس میں غیر معمولی اور نامکمل معلومات کے پہلو شامل ہیں اور جہاں وسیع مطابقت کے تصورات کو تعینات کیا جاتا ہے مثال کے طور پر ساکھ، ادائیگیوں کے لیے عقلی سطحوں پر حدود، بلکہ لیما کو تقسیم کرنے، سگنلنگ اور رسائی جیسے اوزار بھی۔ اگرچہ بہت سے طریقوں سے یہاں مرٹنز کا کام گیم تھیوری کی اصل جڑوں پر واپس جاتا ہے جس میں صفر جمع دو افراد کا سیٹ اپ ہوتا ہے، وسیع تر اطلاق کے ساتھ طاقت اور اختراعات وسیع ہیں۔ سٹوچسٹک گیمز لائیڈ شیپلی نے 1953 میں متعارف کروائے تھے۔ پہلے مقالے میں بہت سی ریاستوں اور اعمال کے ساتھ رعایتی دو افراد کے صفر-رقم سٹوچسٹک گیم کا مطالعہ کیا گیا اور ایک قدر اور مستحکم بہترین حکمت عملیوں کے وجود کو ظاہر کیا گیا۔ 1968 میں بلیک ویل اور فرگوسن اور 1974 میں کوہلبرگ کے ذریعے خصوصی مقدمات کے حل کے ساتھ، اس بے حساب کیس کا مطالعہ اگلی تین دہائیوں میں تیار ہوا۔ 1981 میں جین فرانکوئس مرٹنز اور ابراہم نیمین نے ایک بہت ہی مضبوط معنوں میں، ایک یکساں قدر اور ایک محدود اوسط قدر، دونوں میں ایک بے حساب قدر کا وجود ثابت کیا۔ عمومی حالت اور عمل کی جگہوں کے ساتھ غیر صفر کے مجموعے کے مطالعہ نے بہت زیادہ توجہ مبذول کروائی، اور مرٹنز اور پارتھا سارتھی نے اس شرط کے تحت ایک عمومی وجود کا نتیجہ ثابت کیا کہ ریاست اور اعمال کے ایک فعل کے طور پر منتقلی، اعمال میں معمول کے مطابق مسلسل ہوتی ہے۔ مارکیٹ گیمز: قیمت کو محدود کرنے کا طریقہ کار مرٹنز کا خیال تھا کہ وہ لکیری مسابقتی معیشتوں کو آرڈر بک (ٹریڈنگ) کے طور پر استعمال کریں تاکہ آرڈرز کو محدود کرنے کے لیے ماڈل بنایا جا سکے اور ملٹی ویریٹ سیٹ اپ کے لیے ڈبل نیلامی کو عام کیا جا سکے۔ کھلاڑیوں کی قابل قبول متعلقہ قیمتیں ان کی لکیری ترجیحات کے ذریعے بتائی جاتی ہیں، پیسہ سامان میں سے ایک ہو سکتا ہے اور ایجنٹوں کے لیے اس معاملے میں پیسے کے لیے مثبت معمولی افادیت رکھنا ٹھیک ہے (آخر کار تمام ایجنٹ واقعی صرف آرڈر ہوتے ہیں!)۔ درحقیقت عملی طور پر زیادہ تر ترتیب کا یہی معاملہ ہے۔ ایک سے زیادہ آرڈر (اور متعلقہ آرڈر ایجنٹ) ایک ہی اصل ایجنٹ سے آسکتے ہیں۔ توازن میں خریدی گئی چیز کے مقابلے میں فروخت شدہ چیز نسبتا قیمت پر ہونی چاہیے جو یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے ظاہر کردہ قیمت سے کم نہیں ہے۔ بازار میں لائی جانے والی اشیا (ترتیب میں مقدار) ابتدائی اوقاف کے ذریعے پہنچائی جاتی ہیں۔ لمٹ آرڈر کی نمائندگی مندرجہ ذیل طور پر کی جاتی ہے: آرڈر ایجنٹ ایک چیز کو بازار میں لاتا ہے اور اس چیز میں غیر صفر معمولی افادیت ہوتی ہے اور دوسری (پیسہ یا عدد)۔ بازار میں فروخت کے آرڈر میں بازار میں فروخت ہونے والی اشیا کے لیے صفر افادیت ہوگی اور پیسے یا عدد کے لیے مثبت۔ مرٹنز مسابقتی توازن کا استعمال کرتے ہوئے مماثل انجن بنانے کے احکامات کو صاف کرتا ہے-معاون لکیری معیشت کے لیے معمول کے اندرونی حالات کی خلاف ورزی کے باوجود۔ مرٹنز کا طریقہ کار شیپلی-شوبک ٹریڈنگ پوسٹوں کی عمومی شکل فراہم کرتا ہے اور اس میں ایک مارکیٹ میں صرف ایک ماہر کے بجائے بازاروں میں محدود آرڈرز کے ساتھ حقیقی زندگی میں عمل درآمد کی صلاحیت ہے۔ شیپلی قدر غیر جوہری کوآپریٹیو گیمز کے نظریہ میں اخترن فارمولہ خوبصورت طریقے سے ہر لامحدود کھلاڑی کی شیپلی قدر کو کھلاڑیوں کی آبادی کے کامل نمونے کی قدر میں اس کی معمولی شراکت کے طور پر منسوب کرتا ہے جب کہ تمام ممکنہ نمونے کے سائز پر اوسط ہو۔ اس طرح کی معمولی شراکت کا اظہار سب سے زیادہ آسانی سے مشتق کی شکل میں کیا گیا ہے-جو اومن اور شیپلی کے وضع کردہ اخترن فارمولے کی طرف لے جاتا ہے۔ یہ تاریخی وجہ ہے کہ غیر جوہری کوآپریٹو گیمز کی شیپلی ویلیو کی وضاحت کے لیے اصل میں کچھ تفریق کے حالات کی ضرورت ہے۔ لیکن سب سے پہلے "اوسط کو تمام ممکنہ نمونے کے سائز پر لینے" کی ترتیب کا تبادلہ کرتے ہوئے اور اس طرح کے مشتق کو لیتے ہوئے، جین فرانکوئس مرٹنز اخترن فارمولے کے اطلاق کو بڑھانے کے لیے اس طرح کے اوسط عمل کے ہموار اثر کا استعمال کرتے ہیں۔ اکیلے یہ چال اکثریتی کھیلوں کے لیے اچھی طرح سے کام کرتی ہے (جس کی نمائندگی اتحاد میں آبادی کے فیصد پر لاگو ایک سٹیپ فنکشن کے ذریعے کی جاتی ہے)۔ مشتق لینے سے پہلے اوسط لینے کے اس تبادلہ خیال کو مزید بروئے کار لاتے ہوئے، جین فرانکوئس مرٹنز مشتق لینے سے پہلے غیر متغیر تبدیلیوں کو دیکھ کر اور ان پر اوسط لے کر خرچ کرتا ہے۔ ایسا کرتے ہوئے، مرٹنز اخترن فارمولے کو کھیلوں کی ایک بہت بڑی جگہ پر خرچ کرتا ہے، اور ایک ہی وقت میں شیپلی ویلیو کی وضاحت کرتا ہے۔ ریفائنمنٹس اور مرٹنز مستحکم توازن حل کے تصورات جو نیش توازن کی اصلاحات ہیں، بنیادی طور پر بیکورڈ انڈکشن اور فارورڈ انڈکشن کے دلائل سے متاثر ہوئے ہیں۔ بیک ورڈ انڈکشن کا مؤقف ہے کہ کھلاڑی کا زیادہ سے زیادہ عمل اب اس کے اور دوسروں کے مستقبل کے اعمال کی زیادہ سے زیادہ توقع کرتا ہے۔ سبگیم پرفیکٹ ایکولبریئم کہلانے والی اصلاح بیکورڈ انڈکشن کے ایک کمزور ورژن کو لاگو کرتی ہے، اور تیزی سے مضبوط ورژن ترتیب وار توازن، کامل توازن، نیم کامل توازن، اور مناسب توازن ہیں، جہاں مؤخر الذکر تین پریشان حکمت عملیوں کی حدود کے طور پر حاصل کیے جاتے ہیں۔ فارورڈ انڈکشن کا مؤقف ہے کہ کسی کھلاڑی کا زیادہ سے زیادہ عمل اب دوسروں کے ماضی کے اعمال کی زیادہ سے زیادہ اہلیت کا اندازہ لگاتا ہے جب بھی وہ اس کے مشاہدات سے مطابقت رکھتا ہے۔ فارورڈ انڈکشن ایک ترتیب وار توازن سے مطمئن ہوتا ہے جس کے لیے کسی معلومات کے سیٹ پر کھلاڑی کا یقین صرف دوسروں کی بہترین حکمت عملیوں کو امکان تفویض کرتا ہے جو اس معلومات تک پہنچنے کے قابل بناتی ہیں۔ خاص طور پر چونکہ مکمل طور پر مخلوط نیش توازن ترتیب وار ہوتے ہیں-اس طرح کا توازن جب موجود ہوتا ہے تو آگے اور پیچھے کی طرف دونوں کو مطمئن کرتا ہے۔ اپنے کام میں مرٹنز پہلی بار نیش کے توازن کو منتخب کرنے کا انتظام کرتا ہے جو آگے اور پیچھے دونوں انڈکشن کو مطمئن کرتا ہے۔ طریقہ یہ ہے کہ اس طرح کی خصوصیت کو پریشان کن کھیلوں سے وراثت میں حاصل کیا جائے جو مکمل طور پر مخلوط حکمت عملیوں پر مجبور ہیں-اور مقصد صرف مرٹنز مستحکم توازن کے ساتھ حاصل کیا جاتا ہے، نہ کہ آسان کوہلبرگ مرٹنز توازن کے ساتھ۔ ایلون کوہلبرگ اور مرٹنز نے اس بات پر زور دیا کہ حل کا تصور قابل قبول فیصلے کے اصول کے مطابق ہونا چاہیے۔ مزید برآں، اسے غیر متغیر اصول کو پورا کرنا چاہیے کہ اس کا انحصار اس بات پر نہیں ہونا چاہیے کہ اسٹریٹجک صورتحال کی بہت سی مساوی نمائندگی میں سے کس کو ایک وسیع فارم گیم کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، اس کا انحصار صرف خالص حکمت عملیوں کے خاتمے کے بعد حاصل ہونے والی کھیل کی کم عام شکل پر ہونا چاہیے جو بے کار ہیں کیونکہ تمام کھلاڑیوں کے لیے ان کی ادائیگیوں کو دیگر خالص حکمت عملیوں کے مرکب سے نقل کیا جا سکتا ہے۔ مرٹنز نے چھوٹی دنیا کے اصول کی اہمیت پر بھی زور دیا کہ حل کا تصور صرف کھلاڑیوں کی ترجیحات کی عمومی خصوصیات پر منحصر ہونا چاہیے، اور اس بات پر منحصر نہیں ہونا چاہیے کہ آیا کھیل میں غیر معمولی کھلاڑی شامل ہیں جن کے اعمال کا اصل کھلاڑیوں کی قابل عمل حکمت عملیوں اور ادائیگیوں پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے۔ کوہلبرگ اور مرٹنز نے عارضی طور پر ایک سیٹ ویلیوڈ حل کے تصور کی وضاحت کی جسے خالص حکمت عملیوں کی محدود تعداد والے کھیلوں کے لیے استحکام کہا جاتا ہے جو قبولیت، غیر متغیر اور فارورڈ انڈکشن کو مطمئن کرتا ہے، لیکن ایک جوابی مثال سے پتہ چلتا ہے کہ اسے بیکورڈ انڈکشن کو مطمئن کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ سیٹ میں ترتیب وار توازن شامل نہیں ہو سکتا ہے۔ اس کے بعد، مرٹنز نے ایک اصلاح کی وضاحت کی، جسے استحکام بھی کہا جاتا ہے اور جسے اب اکثر مرٹنز مستحکم توازن کا ایک مجموعہ کہا جاتا ہے، جس میں کئی مطلوبہ خصوصیات ہیں: قبولیت اور کمال: ایک مستحکم سیٹ میں تمام توازن کامل ہوتے ہیں، اس لیے قابل قبول ہوتے ہیں۔ بیک ورڈ انڈکشن اور فارورڈ انڈکشن: ایک مستحکم سیٹ میں کھیل کی معمول کی شکل کا ایک مناسب توازن شامل ہوتا ہے جو کامل یاد کے ساتھ ہر وسیع فارم کے کھیل میں ایک نیم کامل اور ترتیب وار توازن پیدا کرتا ہے جس کی معمول کی شکل ایک جیسی ہوتی ہے۔ مستحکم سیٹ کا ایک ذیلی سیٹ کمزور غلبہ والی حکمت عملیوں اور حکمت عملیوں کے تکراری خاتمے سے بچ جاتا ہے جو سیٹ میں ہر توازن پر کمتر جوابات ہوتے ہیں۔ غیر متغیر اور چھوٹی دنیایں: کھیل کے مستحکم سیٹ کسی بھی بڑے کھیل کے مستحکم سیٹوں کے تخمینے ہوتے ہیں جس میں یہ اصل کھلاڑیوں کی قابل عمل حکمت عملیوں اور ادائیگیوں کو محفوظ رکھتے ہوئے سرایت کیا جاتا ہے۔ ڈی کمپوزیشن اور پلیئر اسپلٹنگ۔ دو آزاد کھیلوں کے پروڈکٹ کے مستحکم سیٹ ان کے مستحکم سیٹوں کی مصنوعات ہیں۔ مستحکم سیٹ کسی کھلاڑی کو ایجنٹوں میں تقسیم کرنے سے اس طرح متاثر نہیں ہوتے ہیں کہ گیم ٹری کے ذریعے جانے والے کسی بھی راستے میں دو ایجنٹوں کے اقدامات شامل نہ ہوں۔ کامل یاد دہانی اور عام ادائیگیوں والے دو کھلاڑیوں کے کھیلوں کے لیے، استحکام ان میں سے صرف تین خصوصیات کے برابر ہے: ایک مستحکم سیٹ صرف غیر نامزد حکمت عملیوں کا استعمال کرتا ہے، جس میں ایک نیم کامل توازن شامل ہوتا ہے، اور بڑے کھیل میں سرایت کرنے سے محفوظ ہوتا ہے۔ ایک مستحکم سیٹ کی تعریف ریاضیاتی طور پر نیش توازن کے گراف میں ایک بند منسلک پڑوس سے پروجیکشن نقشے کی (مختصر میں) ضرورت سے کی جاتی ہے جو مکمل طور پر مخلوط حکمت عملیوں کی طرف کھلاڑیوں کی حکمت عملیوں کو پریشان کرنے سے حاصل ہونے والے پریشان کن کھیلوں کی جگہ پر ہوتی ہے۔ اس تعریف میں اس خاصیت سے زیادہ شامل ہے کہ ہر قریبی کھیل کا قریبی توازن ہوتا ہے۔ لازمی طور پر مزید ضرورت ہوتی ہے کہ حد تک پروجیکشن نقشوں کی کوئی اخترتی نہ ہو، جو اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ نیش توازن کی وضاحت کرنے والے فکسڈ پوائنٹ کے مسئلے کی پریشانیوں کا قریبی حل ہے۔ یہ بظاہر اوپر درج تمام مطلوبہ خصوصیات کو حاصل کرنے کے لیے ضروری ہے۔ سماجی انتخاب کا نظریہ اور رشتہ دار افادیت پسندی ایک سماجی فلاح و بہبود کی تقریب (ایس ڈبلیو ایف) انفرادی ترجیحات کے پروفائلز کو متبادلات کے ایک مقررہ سیٹ پر سماجی ترجیحات سے جوڑتی ہے۔ ایک بنیادی مقالے میں تیر (1950) نے مشہور "ناممکن نظریہ" دکھایا، یعنی۔ ایسا کوئی ایس ڈبلیو ایف موجود نہیں ہے جو محوریات کے بہت کم نظام کو مطمئن کرتا ہو: غیر محدود ڈومین، غیر متعلقہ متبادلات کی آزادی، پیریٹو معیار اور غیر آمریت۔ ایک بڑا ادب ممکنہ نتائج حاصل کرنے کے لیے تیر کے محوریات کو آرام دینے کے مختلف طریقوں کو دستاویز کرتا ہے۔ ریلیٹو یوٹیلیٹیرینزم (آر یو) (ڈھلن اور مرٹنز، 1999) ایک ایس ڈبلیو ایف ہے جو 0 اور 1 کے درمیان انفرادی افادیت کو معمول پر لانے اور ان کو شامل کرنے پر مشتمل ہے، اور یہ ایک "امکان" نتیجہ ہے جو محوریوں کے نظام سے اخذ کیا گیا ہے جو تیر کے اصل کے بہت قریب ہیں لیکن لاٹریوں پر ترجیحات کی جگہ کے لیے ترمیم شدہ ہیں۔ کلاسیکی افادیت پسندی کے برعکس، آر یو بنیادی افادیت یا باہمی موازنہ کو نہیں مانتا ہے۔ لاٹریوں پر انفرادی ترجیحات سے شروع کرتے ہوئے، جن کے بارے میں یہ خیال کیا جاتا ہے کہ وہ وان-نیومن-مورگنسٹرن محوریات (یا مساوی) کو پورا کرتے ہیں، محوری نظام منفرد طور پر باہمی موازنہ کو طے کرتا ہے۔ تھیوریم کی تشریح "صحیح" باہمی موازنہ کے لیے ایک محوری بنیاد فراہم کرنے کے طور پر کی جا سکتی ہے، ایک ایسا مسئلہ جس نے سماجی انتخاب کے نظریہ کو طویل عرصے سے دوچار کیا ہے۔ محرکات یہ ہیں: انفرادیت: اگر تمام افراد تمام متبادلات کے درمیان لاتعلق ہیں تو سماج بھی ہے، غیر تثلیث: ایس ڈبلیو ایف تمام متبادلات کے درمیان مستقل طور پر مکمل طور پر لاتعلق نہیں ہے، کوئی بیماری نہیں ہوگی: یہ سچ نہیں ہے کہ جب تمام افراد لیکن ایک مکمل طور پر لاتعلق ہے تو معاشرے کی ترجیحات اس کے برعکس ہیں، گمنام: تمام افراد کی ترتیب سماجی ترجیحات کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔ ریڈینڈینٹ متبادل کی آزادی: یہ محور تیر کی غیر متعلقہ متبادل کی آزادی (IIA) کو اس صورت تک محدود کرتا ہے جہاں تبدیلی سے پہلے اور بعد میں، "غیر متعلقہ" متبادل دوسرے متبادلات پر لاٹری ہوتے ہیں۔ یکسانیت مندرجہ ذیل "اچھی مرضی" سے بہت کمزور ہے: دو لاٹریوں اور دو ترجیحی پروفائلز پر غور کریں جو تمام افراد کے لیے موافق ہیں سوائے اس کے کہ وہ پہلے پروفائل کے درمیان اور اس پر لاتعلق ہیں لیکن دوسرے پروفائل میں سختی سے ترجیح دیتے ہیں، پھر معاشرہ دوسرے پروفائل میں بھی سختی سے ترجیح دیتا ہے۔ آخر میں تسلسل محور بنیادی طور پر ایک بند گراف پراپرٹی ہے جو ترجیحی پروفائلز کے لیے سب سے مضبوط ممکنہ کنورجنس لیتا ہے۔ مرکزی نظریہ سے پتہ چلتا ہے کہ آر یو تمام محوریات کو مطمئن کرتا ہے اور اگر افراد کی تعداد تین سے زیادہ ہے، امیدواروں کی تعداد 5 سے زیادہ ہے تو کوئی بھی ایس ڈبلیو ایف جو مذکورہ بالا محوریات کو مطمئن کرتا ہے وہ آر یو کے برابر ہے، جب بھی کم از کم 2 افراد موجود ہوں جن کی بالکل ایک جیسی یا بالکل مخالف ترجیحات نہ ہوں۔ پالیسی کی تشخیص میں نسل در نسل مساوات متعلقہ افادیت پسندی لاگت کے فوائد کے تجزیے کے لیے 2 فیصد کو نسل در نسل منصفانہ سماجی رعایت کی شرح کے طور پر استعمال کرنے کو معقول بنانے کا کام کر سکتی ہے۔ مرٹنز اور روبنچک سے پتہ چلتا ہے کہ (عارضی) پالیسیوں کی بھرپور جگہ پر بیان کردہ شفٹ-غیر متغیر فلاحی فنکشن، اگر تفریق پذیر ہے، تو اس میں ایک مقررہ رعایت کی شرح، یعنی محرک سماجی رعایت کی شرح کے ساتھ، پالیسی (تبدیلی) کی رعایتی رقم مشتق کے طور پر ہوتی ہے۔ (شفٹ-انویرینس کے لیے اصل پالیسی کی قدر کی افائن تبدیلی کو واپس کرنے کے لیے شفٹ شدہ پالیسی پر تشخیص شدہ فنکشن کی ضرورت ہوتی ہے، جبکہ کوفیشنٹس کا انحصار صرف ٹائم شفٹ پر ہوتا ہے۔) بیرونی ترقی کے ساتھ ایک اوور لیپنگ جنریشن ماڈل میں (وقت پوری حقیقی لکیر ہونے کے ساتھ)، متوازن نمو کے توازن کے ارد گرد (چھوٹے عارضی) پالیسیوں پر جائزہ لینے پر رشتہ دار افادیت پسند فنکشن شفٹ-غیر متغیر ہوتا ہے (سرمایہ اسٹاک میں تیزی سے اضافے کے ساتھ)۔ جب پالیسیوں کو افراد کی اوقاف (منتقلی یا ٹیکس) میں تبدیلیوں کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، اور تمام نسلوں کی افادیت کو یکساں طور پر وزن دیا جاتا ہے، تو نسبتا افادیت پسندی کی وجہ سے پیدا ہونے والی سماجی رعایت کی شرح فی کس جی ڈی پی (امریکہ میں 2 فیصد) کی شرح نمو ہے۔ یہ یو ایس آفس آف مینجمنٹ اینڈ بجٹ کے سرکلر اے-4 میں بیان کردہ موجودہ طریقوں سے بھی مطابقت رکھتا ہے، جس میں کہا گیا ہے: اگر آپ کی حکمرانی میں اہم بین نسل فوائد یا اخراجات ہوں گے تو آپ 3 اور 7 فیصد کی رعایتی شرحوں کا استعمال کرتے ہوئے خالص فوائد کا حساب لگانے کے علاوہ کم لیکن مثبت رعایت کی شرح کا استعمال کرتے ہوئے مزید حساسیت کے تجزیے پر غور کر سکتے ہیں۔ حوالہ جات بیلجیئم کے ماہرین اقتصادیات گیم تھیوریسٹ بیلجیئم کے ریاضی دان یونیورسٹی کیتھولک ڈی لووین کے سابق طلباء یونیورسٹی کیتھولک ڈی لووین فیلوز آف دی اکنامٹرک سوسائٹی کے تعلیمی عملہ 1946 پیدائش 2012 اموات