Stretched grid method
اسٹریچڈ گرڈ میتھڈ (ایس جی ایم) مختلف ریاضیاتی اور انجینئرنگ کے مسائل کے لگ بھگ حل تلاش کرنے کے لیے ایک عددی تکنیک ہے جو لچکدار گرڈ کے رویے سے متعلق ہو سکتی ہے۔ خاص طور پر، ماہرین موسمیات موسم کی پیش گوئی کے لیے اسٹریچڈ گرڈ کا طریقہ استعمال کرتے ہیں اور انجینئر خیموں اور دیگر تناؤ کے ڈھانچوں کو ڈیزائن کرنے کے لیے اسٹریچڈ گرڈ کا طریقہ استعمال کرتے ہیں۔ ایف ای ایم اور بی ای ایم میش ریفائنمنٹ حالیہ دہائیوں میں محدود عنصر اور باؤنڈری عنصر کے طریقے (ایف ای ایم اور بی ای ایم) صنعتی انجینئرنگ ڈیزائن اور تجزیہ کے لیے ایک اہم بنیاد بن چکے ہیں۔ ایف ای ایم یا بی ای ایم کا استعمال کرتے ہوئے تیزی سے بڑے اور زیادہ پیچیدہ ڈیزائنوں کی تقلید کی جا رہی ہے۔ تاہم، ایف ای ایم اور بی ای ایم انجینئرنگ کے تجزیے کے کچھ مسائل اب بھی مشکل میں ہیں۔ پہلا مسئلہ انجینئرنگ تجزیہ کی وشوسنییتا ہے جو پری پروسیسنگ مرحلے پر پیدا ہونے والے ابتدائی ڈیٹا کے معیار پر مضبوطی سے منحصر ہے۔ یہ معلوم ہے کہ اس مرحلے پر خودکار عنصر میش جنریشن تکنیک پیچیدہ حقیقی دنیا کے ماڈلز کے تجزیے کے لیے عام طور پر استعمال ہونے والے اوزار بن چکے ہیں۔ ایف ای ایم اور بی ای ایم کی مقبولیت میں اضافے کے ساتھ خودکار میشنگ الگورتھم کو بہتر بنانے کی ترغیب ملتی ہے۔ تاہم، یہ تمام الگورتھم مسخ شدہ اور یہاں تک کہ ناقابل استعمال گرڈ عناصر پیدا کر سکتے ہیں۔ کئی تکنیکیں موجود ہیں جو موجودہ میش کو لے سکتی ہیں اور اس کے معیار کو بہتر بنا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر ہموار کرنا (جسے میش ریفائنمنٹ بھی کہا جاتا ہے) ایک ایسا طریقہ ہے، جو نوڈل مقامات کو ریپوزیشن کرتا ہے، تاکہ عنصر کی مسخ کو کم سے کم کیا جا سکے۔ اسٹریچڈ گرڈ میتھڈ (ایس جی ایم) ایک قدم کے حل میں بہت آسانی سے اور تیزی سے فرضی باقاعدہ میش حاصل کرنے کی اجازت دیتا ہے (دیکھیں)۔ فرض کریں کہ ایک صوابدیدی مثلث گرڈ ہے جو طیارہ پولیگنل سنگل مربوط کنٹور میں سرایت کرتا ہے اور آٹومیشن کے طریقہ کار سے تیار ہوتا ہے (دیکھیں فگر۔ 1) یہ مزید فرض کیا جا سکتا ہے کہ جس گرڈ کو فزیکل نوڈل سسٹم سمجھا جاتا ہے وہ متعدد مسخیوں سے مسخ ہو جاتا ہے۔ یہ سمجھا جاتا ہے کہ اس نظام کی کل ممکنہ توانائی کسی جہتی ویکٹر کی لمبائی کے متناسب ہے جس کے تمام نیٹ ورک کے حصے اس کے اجزاء کے طور پر ہیں۔ اس طرح، ممکنہ توانائی مندرجہ ذیل شکل اختیار کرتی ہے جہاں-نیٹ ورک میں حصوں کی کل تعداد،-حصے کی تعداد کی لمبائی،-ایک صوابدیدی مستقل۔ سیگمنٹ نمبر کی لمبائی کا اظہار دو نوڈل کوآرڈینیٹس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے کیونکہ یہ بھی سمجھا جا سکتا ہے کہ تمام نوڈس کا کوآرڈینیٹ ویکٹر غیر مسخ شدہ نیٹ ورک سے وابستہ ہے اور کوآرڈینیٹ ویکٹر مسخ شدہ نیٹ ورک سے وابستہ ہے۔ ویکٹر کے لیے اظہار کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ ویکٹر کا تعین انکریمنٹل ویکٹر کے ذریعے کواڈریٹک شکل کو کم سے کم کرنے سے متعلق ہے، یعنی۔ جہاں-رقبے کے اندرونی نوڈ کی تعداد ہے،-ہم آہنگی کی تعداد تمام تبدیلیوں کے بعد ہم لکیری الجبرائی مساوات کے درج ذیل دو آزاد نظام لکھ سکتے ہیں جہاں-بینڈ شدہ شکل میں ہم آہنگ میٹرکس جو کہ ایف ای ایم اسمبلج کے عالمی سختی میٹرکس سے ملتا جلتا ہے، اور-محور 1، 2 پر تمام نوڈس کے ہم آہنگی کے اضافی ویکٹر، اور-دائیں حصے کے ویکٹر جو محور 1، 2 میں تمام نوڈس کے ہم آہنگی کے ساتھ مل جاتے ہیں۔ دونوں نظاموں کا حل، تمام باؤنڈری نوڈس کو قدامت پسند رکھتے ہوئے، فرضی-باقاعدہ عناصر کے ساتھ غیر مسخ شدہ میش کے مطابق نئے اندرونی نوڈ پوزیشن حاصل کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، شکل. 2 سہ رخی جال سے ڈھکے آئتاکار رقبے کو پیش کرتا ہے۔ ابتدائی آٹو میش میں کچھ انحطاطی مثلث (بائیں میش) ہوتے ہیں۔ ایس جی ایم طریقہ کار کے ذریعہ تیار کردہ حتمی میش (دائیں میش) بغیر کسی مسخ شدہ عناصر کے فرضی باقاعدہ ہے۔ چونکہ مذکورہ بالا نظام لکیری ہیں، اس لیے طریقہ کار بہت تیزی سے ایک قدم کے حل تک پہنچ جاتا ہے۔ مزید برآں، ہر حتمی اندرونی نوڈ پوزیشن اپنے ارد گرد کے نوڈس کے مربوط ریاضی کے اوسط کی ضرورت کو پورا کرتی ہے اور ڈیلونی کے معیار پر بھی پورا اترتی ہے۔ لہذا، ایس جی ایم میں وہ تمام مثبت اقدار ہیں جو لیپلاسیئن اور دیگر قسم کے ہموار طریقوں کے لیے مخصوص ہیں لیکن انٹیجر ویلیوڈ فائنل میٹرکس کی نمائندگی کی وجہ سے بہت آسان اور قابل اعتماد ہیں۔ آخر میں، اوپر بیان کردہ ایس جی ایم نہ صرف 2 ڈی میش پر بلکہ کسی بھی یکساں خلیوں پر مشتمل 3 ڈی میش کے ساتھ ساتھ مخلوط یا عارضی میش پر بھی مکمل طور پر لاگو ہوتا ہے۔ کم سے کم سطح کے مسئلے کا حل ریاضیاتی طور پر غیر سطحی بند منحنی خطوط میں سرایت شدہ سطح کو کم سے کم کہا جاتا ہے اگر اس منحنی خطوط سے گزرنے والی تمام سطحوں میں اس کا رقبہ کم سے کم ہو۔ سب سے مشہور کم از کم سطح کا نمونہ ایک صابن کی فلم ہے جو تار کے فریم سے جڑی ہوئی ہے۔ عام طور پر کم سے کم سطح بنانے کے لیے، ایک فرضی آئینی قانون استعمال کیا جاتا ہے، جو تناؤ میں ہونے والی کسی بھی تبدیلی سے آزاد، ایک مستقل پریسٹریس کو برقرار رکھتا ہے۔ کم سے کم سطح کے مسئلے کے حل کے لیے متبادل تخمینہ نقطہ نظر ایس جی ایم پر مبنی ہے۔ یہ تشکیل کسی کو غیر طیارہ اور طیارہ بند شکل میں سرایت شدہ سطح کو کم کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ خیال یہ ہے کہ ایک صوابدیدی مثلث گرڈ کے ذریعے 3 ڈی نان پلین کنٹور میں سرایت شدہ سطح کے حصے کا تخمینہ لگانا ہے۔ اس طرح کے مثلث گرڈ کو کم سے کم رقبے والے گرڈ میں یکجا کرنے کے لیے اوپر بیان کردہ وہی دو نظام حل کرنے چاہئیں۔ تیسرے نوڈل کوآرڈینیٹس کے اضافے کا تعین محور 3 پر اسی طرح کے نظام کے ذریعے مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جا سکتا ہے۔ تینوں نظاموں کو بیک وقت حل کرنے سے ایک نیا گرڈ حاصل کیا جا سکتا ہے جو کہ کم سے کم فنکشن کی وجہ سے غیر طیارہ بند منحنی خطوط میں سرایت شدہ کم سے کم سطح ہوگی جہاں پیرامیٹر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر کیٹینائڈ کی سطح جس کا حساب اوپر بیان کردہ نقطہ نظر سے کیا جاتا ہے شکل 3 میں پیش کیا گیا ہے۔ بجتوں کی رداس اور کیٹینائڈ کی اونچائی 1 کے برابر ہوتی ہے۔ ایس جی ایم کے ذریعہ متعین کیٹینائڈل سطح کا عددی رقبہ 2,9967189 کے برابر ہے (عین مطابق قیمت 2.992 ہے)۔ تناؤ والے کپڑے کے ڈھانچے تلاش کی تشکیل کرتے ہیں ساختی تجزیہ کے لیے، ڈھانچے کی ترتیب کو عام طور پر ترجیحی طور پر جانا جاتا ہے۔ تناؤ کے تانے بانے کے ڈھانچے جیسے تناؤ کے ڈھانچے کے معاملے میں ایسا نہیں ہے۔ چونکہ تناؤ کے ڈھانچے میں جھلی میں کوئی لچکدار سختی نہیں ہوتی ہے، اس لیے اس کی شکل یا ترتیب کا انحصار ابتدائی پریسٹریسنگ اور اس بوجھ پر ہوتا ہے جس کے تابع ہوتا ہے۔ اس طرح، بوجھ اٹھانے والے رویے اور جھلی کی شکل کو الگ نہیں کیا جا سکتا اور عام طور پر صرف سادہ ہندسی نمونوں کے ذریعے بیان نہیں کیا جا سکتا۔ جھلی کی شکل، ساخت پر بوجھ اور اندرونی دباؤ توازن مساوات کو مطمئن کرنے کے لیے غیر لکیری انداز میں تعامل کرتے ہیں۔ تناؤ کے ڈھانچے کے ابتدائی ڈیزائن میں ابتدائی ترتیب کا تعین شامل ہوتا ہے جسے فارم فائنڈنگ کہا جاتا ہے۔ توازن کے حالات کو پورا کرنے کے علاوہ، ابتدائی ترتیب کو آرکیٹیکچرل (جمالیات) اور ساختی (طاقت اور استحکام) دونوں ضروریات کو ایڈجسٹ کرنا چاہیے۔ مزید برآں، جگہ اور کلیئرنس کی ضروریات کو پورا کیا جانا چاہیے، جھریاں پڑنے سے بچنے کے لیے جھلی کے بنیادی تناؤ کو تناؤ والا ہونا چاہیے، اور ڈبل منحنی سطح کی ریڈیائی اتنی چھوٹی ہونی چاہیے کہ وہ ہوائی جہاز سے باہر کے بوجھ کا مقابلہ کر سکے اور ساختی استحکام (کام) کو یقینی بنا سکے۔ تناؤ کے کپڑے کے ڈھانچے کے ڈیزائن میں انجینئروں کی مدد کے لیے ایف ای ایم پر مبنی فارم تلاش کرنے کے طریقوں میں کئی تغیرات تیار کیے گئے ہیں۔ یہ سب ایک ہی مفروضے پر مبنی ہیں جو مختلف بوجھ کے تحت تناؤ کے ڈھانچوں کے رویے کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ تاہم، جیسا کہ کچھ محققین نے نوٹ کیا ہے کہ بعض اوقات تناؤ کے ڈھانچے کے ڈیزائن میں نام نہاد 'کم سے کم سطحوں' کا استعمال کرنا بہتر ہو سکتا ہے۔ ایس جی ایم کا جسمانی معنی ایک صوابدیدی گرڈ ڈھانچے کی توانائی کے یکجا ہونے پر مشتمل ہے جو سخت (یا لچکدار) 3 ڈی کنٹور میں کم سے کم ہے جو گرڈ نوڈس کے صوابدیدی جوڑوں کے درمیان کم سے کم رقم کے فاصلے کے برابر ہے۔ یہ کم از کم سطحی توانائی کے مسئلے کے حل کی اجازت دیتا ہے جو گرڈ ڈھانچے کی تلاش کے لیے کم از کم توانائی کی تلاش کی اجازت دیتا ہے جو معمول کے ایف ای ایم تشکیل کے مقابلے میں بہت زیادہ سادہ حتمی الجبرائی مساوات کا نظام فراہم کرتا ہے۔ ایس جی ایم کی عمومی تشکیل گرڈ ڈھانچے کے نوڈس پر بیرونی قوتوں اور سخت یا لچکدار رکاوٹوں کے ایک سیٹ کو لاگو کرنے کے امکان کو پیش کرتی ہے جو مختلف بیرونی اثرات کی ماڈلنگ کی اجازت دیتی ہے۔ ہم اس طرح کی ایس جی ایم تشکیل کے لیے درج ذیل اظہار حاصل کر سکتے ہیں جہاں-گرڈ سیگمنٹس کی کل تعداد، نوڈس کی کل تعداد، سیگمنٹ نمبر کی لمبائی، سیگمنٹ نمبر کی سختی، محور پر نوڈ کا مربوط اضافہ، محور پر نوڈ میں لچکدار رکاوٹ کی سختی، محور پر نوڈ میں بیرونی قوت۔ بے نقاب کرنے کا مسئلہ اور کاٹنے کا نمونہ پیدا کرنا ایک بار تسلی بخش شکل مل جانے کے بعد، ایک کاٹنے کا نمونہ تیار کیا جا سکتا ہے۔ تناؤ کے ڈھانچے اپنے سائز، منحنی پن اور مادی سختی میں انتہائی متنوع ہیں۔ کاٹنے کے پیٹرن کا تخمینہ ان میں سے ہر ایک عنصر سے مضبوطی سے متعلق ہے۔ ممکنہ تخمینہ کو کم سے کم کرنے اور قابل اعتماد طیارہ کپڑے کا ڈیٹا تیار کرنے کے لیے کٹنگ پیٹرن جنریشن کے طریقہ کار کے لیے یہ ضروری ہے۔ اس کا مقصد ان اعداد و شمار کے ذریعے بیان کردہ شکلوں کو تیار کرنا ہے، جو مثالی دوگنا مڑے ہوئے سٹرپس کے جتنا ممکن ہو اتنا قریب ہو۔ عام طور پر، کٹنگ پیٹرن جنریشن میں دو مراحل شامل ہوتے ہیں۔ سب سے پہلے، تناؤ کے ڈھانچے کی عالمی سطح کو انفرادی کپڑوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ دوسرے مرحلے پر متعلقہ کاٹنے کا نمونہ صرف ہر کپڑے کی پٹی کو لے کر اور اسے پلانر ایریا پر کھول کر پایا جا سکتا ہے۔ مثالی دوگنا مڑے ہوئے جھلی کی سطح کے معاملے میں زیر زمین کو آسانی سے بے نقاب نہیں کیا جا سکتا اور انہیں چپٹا ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، SGM کو چپٹا کرنے والے مسئلے کے حل کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ کاٹنے کے پیٹرن کی نسل کا مسئلہ دراصل دو آزاد فارمولیشنوں میں تقسیم ہے۔ یہ ایک مسخ سے پاک سطح کی شکل کی نسل ہے جو ہر کپڑے کی پٹی کو بے نقاب کرتی ہے اور دوہری منحنی سطحوں کو چپٹا کرتی ہے جنہیں آسانی سے بے نقاب نہیں کیا جا سکتا۔ مسئلے کا احتیاط سے مطالعہ کرنے سے یہ محسوس کیا جا سکتا ہے کہ تفریق جیومیٹری کی پوزیشن سے دونوں فارمولیشنز ایک جیسی ہیں۔ ہم اسے طیارہ کے رقبے پر کسی سطح کی آئسومیٹرک نقشہ سازی کے طور پر سمجھ سکتے ہیں جو کہ کسی بھی منحنی خطوط اور رقبے کے کسی بھی ٹکڑے کے غیر متغیر زاویہ کی وجہ سے بیک وقت مطابقت پذیر نقشہ سازی اور مساوی نقشہ سازی ہوگی۔ واحد منحنی سطح کے معاملے میں جسے عین مطابق مساوی علاقے کی نقشہ سازی سے کھولا جا سکتا ہے، کسی کو بغیر کسی بگاڑ کے کپڑے کی ساخت کے لیے کاٹنے کا نمونہ حاصل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ دوسری قسم کی سطحوں کو صرف تانے بانے کی خصوصیات کے ذریعہ محدود لکیری سطح کے عناصر کی کچھ مسخیوں کے ساتھ مساوی علاقے کی نقشہ سازی کی جا سکتی ہے۔ آئیے فرض کریں کہ دو سطحوں کو پیرامیٹرائز کیا گیا ہے تاکہ ان کی پہلی کواڈریٹک شکلیں مندرجہ ذیل طور پر لکھی جا سکیں۔ دو سطحوں کے لیے کنفارمل میپنگ کی شرط جیسا کہ تفریق جیومیٹری میں وضع کی گئی ہے اس کے لیے ضروری ہے کہ کنفارمل میپنگ کی وجہ سے سطح کی مسخ کا تناسب کہاں ہو۔ یہ معلوم ہے کہ پہلی کواڈریٹک شکل دو سطحی نکات اور کے درمیان فاصلے کی عکاسی کرتی ہے۔ جب-تناسب 1 کے قریب ہوتا ہے تو مذکورہ بالا ای کیو این کسی بھی منحنی خطوط اور رقبے کے کسی بھی ٹکڑے کی غیر متغیر کے درمیان غیر متغیر زاویوں کی وجہ سے بالترتیب آئسومیٹرک میپنگ اور مساوی ایریا میپنگ کی حالت میں بدل جاتا ہے۔ یہ یاد رکھتے ہوئے کہ فارم کی تلاش کا پہلا مرحلہ سطح کے سہ رخی جال پر مبنی ہوتا ہے اور کسی سطحی رقبے پر کم از کم سطح کی آئسومیٹرک اور مساوی رقبے کی نقشہ سازی کی وضاحت کے لیے وزنی بقایا کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ہم درج ذیل فنکشن لکھ سکتے ہیں جس کی تعریف مڑے ہوئے مثلث کے حصوں کے ساتھ انٹیگرلز کے مجموعے سے کی جاتی ہے جہاں-گرڈ خلیوں کی کل تعداد،-وزن کا تناسب،-نقشہ سازی کا کل بقایا،-وہ مستقل جو حتمی نتیجہ پر اثر انداز نہیں ہوتا ہے اور اسے پیمانے کے تناسب کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ وزن کے مزید تناسب پر غور کرتے ہوئے ہم EQN کو تبدیل کر سکتے ہیں۔ لگ بھگ محدود رقم میں جو سطح گرڈ کے نوڈس کے درمیان لکیری فاصلے کا مجموعہ ہے اور مساوی ایریا کی سطح کی نقشہ سازی کی بنیادی شرط کو کم از کم مندرجہ ذیل غیر لکیری فنکشن کے طور پر لکھیں جہاں-لکیری سیگمنٹ نمبر کی ابتدائی لمبائی،-سیگمنٹ نمبر کی آخری لمبائی،-1 کے قریب مسخ کا تناسب اور ہر حصے کے لیے مختلف ہو سکتا ہے۔ سیگمنٹ نمبر کی ابتدائی اور آخری لمبائی کو معمول کے مطابق دو نوڈل کوآرڈینیٹس کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں-ابتدائی سیگمنٹ کے نوڈس کے کوآرڈینیٹس،-حتمی سیگمنٹ کے نوڈس کے کوآرڈینیٹس۔ ابتدائی مفروضے کے مطابق ہم طیارہ کی سطح کی نقشہ سازی کے لیے لکھ سکتے ہیں۔ ویکٹر کی تعریف پہلے کی طرح بنائی گئی ہے۔ تبدیلیوں کے بعد ہم غیر لکیری الجبرائی مساوات کے درج ذیل دو آزاد نظام لکھ سکتے ہیں جہاں نظام کے تمام حصوں کو پہلے کی طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے اور وہ محور 1، 2 پر چھدم تناؤ کے ویکٹر ہیں جن کی درج ذیل شکل ہے جہاں-نوڈس کی کل تعداد جو نوڈ نمبر کو گھیرے ہوئے ہے،-عالمی محوروں کی تعداد۔ مندرجہ بالا نقطہ نظر ایس جی ایم کی ایک اور شکل ہے اور غیر لکیری الجبرائی مساوات کے دو آزاد نظاموں کے حصول کی اجازت دیتا ہے جنہیں کسی بھی معیاری تکرار کے طریقہ کار کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ سطح کی گوسیائی منحنیت جتنی کم ہوگی ہوائی جہاز کی نقشہ سازی کی درستگی اتنی ہی زیادہ ہوگی۔ ایک اصول کے طور پر، ہوائی جہاز کی نقشہ سازی حتمی سطح کی متعلقہ مقامی لکیروں سے کم لکیری طول و عرض 1-2% کے ساتھ ایک نمونہ حاصل کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ اس لیے پیٹرننگ کے دوران مناسب مارجن فراہم کرنا ضروری ہے۔ کٹ آؤٹ کا عام نمونہ-جسے کٹ آؤٹ، گور (سیگمنٹ)، یا پیچ بھی کہا جاتا ہے-فگس میں پیش کیا جاتا ہے۔ 9، 10، 11۔ میش نسل کے حوالہ جات کی اقسام بھی دیکھیں تناؤ والے کپڑے کے ڈھانچوں کے لیے بیرونی روابط K3-خیمے کا نظام فارم فائنڈنگ اور کٹنگ پیٹرننگ کوبنٹینٹ کارپ میش نسل عددی تفریق مساوات