Method of mean weighted residuals
اطلاقی ریاضی میں، اوسط وزن والے بقایا (ایم ڈبلیو آر) کے طریقے تفریقی مساوات کو حل کرنے کے طریقے ہیں۔ ان تفریقی مساوات کے حلوں کو ٹیسٹ افعال کے ایک محدود مجموعے کے ذریعے اچھی طرح سے تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ ایسے معاملات میں، وزن والے بقیہ کا منتخب طریقہ ہر متعلقہ ٹیسٹ فنکشن کی گتانک قدر تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ نتیجے میں آنے والے کوفشنٹس کو ایک منتخب کردہ معیار میں ٹیسٹ افعال کے لکیری امتزاج اور حقیقی حل کے درمیان غلطی کو کم کرنے کے لیے بنایا جاتا ہے۔ اس صفحہ کا نوٹیشن الجھن سے بچنے کے لیے اس طریقہ کو انجام دینے سے پہلے استعمال ہونے والے نوٹیشن کو ترتیب دینا اکثر بہت ضروری ہوتا ہے۔ اس تفریقی مساوات کے حل کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جائے گا جس پر ایم ڈبلیو آر طریقہ کار لاگو کیا جا رہا ہے۔ مذکور تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے "ریسیڈیو فنکشن" نامی کسی فنکشن کو صفر پر ترتیب دے کر پورا کیا جائے گا۔ اوسط وزن والے بقایا کے ہر طریقہ میں کچھ "ٹیسٹ فنکشنز" شامل ہوتے ہیں جن کی طرف اشارہ کیا جائے گا۔ آزادی کی ڈگریوں کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ اگر تفریق مساوات کے حل کی فرض شدہ شکل لکیری ہے (آزادی کی ڈگریوں میں) تو مذکورہ شکل میں استعمال ہونے والے بنیادی افعال کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ طریقہ کار کا ریاضیاتی بیان اوسط وزن والے بقایا کا طریقہ یہ مسلط کرکے حل کرتا ہے کہ ڈگری آف فریڈم ایسی ہے کہ: مطمئن ہے۔ جہاں اندرونی پروڈکٹ کسی ویٹنگ فنکشن کے حوالے سے معیاری فنکشن اندرونی پروڈکٹ ہے جس کا تعین عام طور پر بیس فنکشن سیٹ کے ذریعے یا من مانی طور پر جو بھی ویٹنگ فنکشن سب سے زیادہ آسان ہے اس کے مطابق کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب بیس سیٹ صرف پہلی قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی ہوتے ہیں، تو ویٹنگ فنکشن عام طور پر اس لیے ہوتا ہے کیونکہ اندرونی مصنوعات کو پھر چیبیشیف ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ آسانی سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، ان تمام طریقوں میں مشترک یہ ہے کہ وہ باؤنڈری کنڈیشنز کو نافذ کرتے ہیں یا تو یہ نافذ کرتے ہوئے کہ بنیادی افعال (لکیری امتزاج کی صورت میں) انفرادی طور پر اصل بی وی پی پر باؤنڈری کنڈیشنز کو نافذ کرتے ہیں (یہ صرف اس صورت میں کام کرتا ہے جب باؤنڈری کنڈیشنز یکساں ہوں تاہم اس اظہار کو اصل تفریقی مساوات میں بدل کر اور نئے حل کے لیے یکساں باؤنڈری کنڈیشنز کو لاگو کرکے غیر یکساں باؤنڈری کنڈیشنز کے مسائل پر اس کا اطلاق کرنا ممکن ہے جو کہ u (x) یعنی v (x) کو تلاش کرنے کی کوشش کی جا رہی ہے جہاں L (x) ایک ایسی فنکشن ہے جو u پر عائد باؤنڈری کنڈیشنز کو پورا کرتی ہے جو معلوم ہے۔ )، یا واضح طور پر میٹرکس پر n قطاریں ہٹا کر حد کو مسلط کرکے جو غیر متزلزل مسئلے کی نمائندگی کرتی ہیں جہاں n تفریقی مساوات کی ترتیب سے مراد ہے اور انہیں ان کے ساتھ تبدیل کرتی ہے جو حد کے حالات کی نمائندگی کرتی ہیں۔ ٹیسٹ فنکشن کا انتخاب ٹیسٹ فنکشن کا انتخاب، جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، استعمال شدہ مخصوص طریقہ پر منحصر ہے (اوسط وزن والے بقایا طریقوں کے عمومی عنوان کے تحت)۔ یہاں عام طور پر استعمال ہونے والے مخصوص ایم ڈبلیو آر طریقوں اور ان کے متعلقہ ٹیسٹ افعال کی فہرست ان کی مقبولیت کے مطابق ہے: گیلرکن طریقہ، جو بیس افعال کو خود ٹیسٹ افعال کے طور پر استعمال کرتا ہے یا غیر لکیری فرض شدہ شکل کے زیادہ عام معاملے میں (جہاں غیر لکیری ڈگری آف فریڈم میں ہے) حل کا گیلرکن طریقہ ٹیسٹ افعال کا استعمال کرتا ہے: سڈو اسپیکٹرل طریقہ جو ڈیراک ڈیلٹا افعال کا استعمال کرتا ہے جو مجرد ایکس پوائنٹس کے سیٹ پر مرکوز ہے اور ان ایکس پوائنٹس پر صرف بقایا فنکشن کو صفر پر ترتیب دینے کے مترادف ہے۔ کم سے کم مربع کا طریقہ ٹیسٹ افعال کا استعمال کرتا ہے: اس طریقہ کار میں ڈگری آف فریڈم کے حوالے سے ریسیڈیو فنکشن (یعنی) کے L2-نارم کے مربع کو کم کرنے کا اثر ہوتا ہے۔ لمحات کا طریقہ ٹیسٹ افعال کے سادہ سیٹ کا استعمال کرتا ہے اور ہلبرٹ میٹرکس کو الٹا کرنے سے وابستہ کمپیوٹیشنل مسائل کی وجہ سے جب اعلی درجے کی درستگی کی ضرورت ہوتی ہے تو شاذ و نادر ہی اس پر عمل درآمد ہوتا ہے۔ اطلاقی ریاضی کا تعارف، ویلسلی-کیمبرج پریس (1986)۔ تفریقی مساوات