Quasiregular map
تجزیہ کے ریاضیاتی میدان میں، قوسیریگولر نقشے ایک ہی جہت کے یوکلیڈین خالی جگہوں Rn کے درمیان یا زیادہ عام طور پر، ایک ہی جہت کے ریمینیئن کئی گنا کے درمیان مسلسل نقشوں کی ایک کلاس ہیں، جو ایک پیچیدہ متغیر کے ہولومورفک افعال کے ساتھ کچھ بنیادی خصوصیات کا اشتراک کرتے ہیں۔ محرک ایک پیچیدہ متغیر کے ہولومورفک (= تجزیاتی) افعال کا نظریہ پورے ریاضی کے سب سے خوبصورت اور مفید حصوں میں سے ایک ہے۔ اس نظریہ کی ایک خرابی یہ ہے کہ یہ صرف دو جہتی خالی جگہوں (ریمن سطحوں) کے درمیان نقشوں سے متعلق ہے۔ کئی پیچیدہ متغیرات کے افعال کا نظریہ ایک مختلف کردار رکھتا ہے، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ کئی متغیرات کے تجزیاتی افعال مطابقت نہیں رکھتے ہیں۔ غیر رسمی نقشوں کو صوابدیدی طول و عرض کے یوکلیڈین خالی جگہوں کے درمیان بیان کیا جا سکتا ہے، لیکن جب طول و عرض 2 سے زیادہ ہوتا ہے، تو نقشوں کی یہ کلاس بہت چھوٹی ہوتی ہے: یہ صرف موبیئس تبدیلیوں پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہ جوزف لیوویل کا ایک نظریہ ہے ؛ نرمی کے مفروضوں کو نرم کرنے سے کوئی فائدہ نہیں ہوتا، جیسا کہ یوری ریشتنیک نے ثابت کیا ہے۔ اس سے مطابقت کی خاصیت کی عمومی شکل کی تلاش کا پتہ چلتا ہے جو اعلی جہت میں نقشوں کی ایک بھرپور اور دلچسپ کلاس دے گی۔ تعریف Rn سے Rn میں کسی خطے D کے تفریق کے قابل نقشہ f کو K-قوزیریگولر کہا جاتا ہے اگر درج ذیل عدم مساوات D میں تمام نکات پر برقرار رہے: یہاں K ≤ 1 ایک مستقل ہے، Jf جیکوبین ڈیٹرمیننٹ ہے، Df مشتق ہے، یہ جیکوبی میٹرکس کے ذریعہ بیان کردہ لکیری نقشہ ہے، اور | | | میٹرکس کا معمول (یوکلیڈین) معیار ہے۔ اس طرح کے نقشوں کے نظریہ کی ترقی سے پتہ چلتا ہے کہ کلاسیکی معنوں میں خود کو تفریق کے قابل نقشوں تک محدود رکھنا غیر معقول ہے، اور یہ کہ نقشوں کی "درست" کلاس سوبولیو اسپیس ڈبلیو میں مسلسل نقشوں پر مشتمل ہے جس کے تقسیم کے معنی میں جزوی مشتقات مقامی طور پر n-th پاور رکھتے ہیں، اور اس طرح کہ مذکورہ بالا عدم مساوات تقریبا ہر جگہ مطمئن ہے۔ یہ K-قوزیریگولر نقشے کی باضابطہ تعریف ہے۔ کسی نقشے کو قوسیریگولر کہا جاتا ہے اگر وہ کچھ کے کے کے ساتھ کے قوسیریگولر ہو۔ مستقل نقشوں کو قوسیریگولر نقشوں کی کلاس سے خارج کر دیا جاتا ہے۔ خصوصیات قوسیریگولر نقشوں کے بارے میں بنیادی نظریہ کو ریشتنیک نے ثابت کیا تھا: قوسیریگولر نقشے کھلے اور مجرد ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کھلے سیٹ کی تصاویر کھلی ہوتی ہیں اور پوائنٹس کی ابتدائی تصاویر الگ تھلگ پوائنٹس پر مشتمل ہوتی ہیں۔ طول و عرض 2 میں، یہ دونوں خصوصیات غیر مستقل تجزیاتی افعال کی کلاس کی ٹپوولوجیکل خصوصیت دیتی ہیں: ہوائی جہاز کے لیے ہوائی جہاز کے ڈومین کے ہر مسلسل کھلے اور مجرد نقشے کو ہومیومورفزم کے ساتھ پہلے سے تشکیل دیا جا سکتا ہے، تاکہ نتیجہ ایک تجزیاتی فعل ہو۔ یہ سمیون اسٹویلوف کا نظریہ ہے۔ ریشتنیک تھیوریم کا مطلب ہے کہ تجزیاتی افعال کے بارے میں تمام خالص ٹپوولوجیکل نتائج (جیسے کہ زیادہ سے زیادہ ماڈیولس اصول، راؤچے کا تھیوریم وغیرہ) قوسیریگولر نقشوں تک توسیع کریں۔ انجیکشن والے قوسیریگولر نقشوں کو قوسیکونفارمل کہا جاتا ہے۔ غیر انجیکشن والے قوسیریگولر نقشے کی ایک سادہ مثال 3-اسپیس میں سلنڈریکل کوآرڈینیٹس میں فارمولے کے ذریعے دی گئی ہے۔ یہ نقشہ 2-قوسیریگولر ہے۔ یہ زیڈ محور کے علاوہ ہر جگہ ہموار ہے۔ ایک قابل ذکر حقیقت یہ ہے کہ تمام ہموار قوسیریگولر نقشے مقامی ہومومورفزم ہیں۔ اس سے بھی زیادہ قابل ذکر یہ ہے کہ ہر قوسیریگولر لوکل ہومومورفزم Rn → Rn، جہاں n ≤ 3، ایک ہومومورفزم ہے (یہ ولادیمیر زورچ کا ایک نظریہ ہے)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ قوسیریگولر نقشوں کی تعریف میں اپنے آپ کو ہموار نقشوں تک محدود رکھنا معقول نہیں ہے: Rn کے تمام ہموار قوسیریگولر نقشے بذات خود قوسیکونفارمل ہیں۔ رک مین کا نظریہ ایک پیچیدہ متغیر کے ہولومورفک افعال کی ہندسی خصوصیات کے بارے میں بہت سے نظریات کو قوسیریگولر نقشوں تک بڑھایا گیا ہے۔ یہ توسیعات عام طور پر انتہائی غیر معمولی ہوتی ہیں۔ شاید اس قسم کا سب سے مشہور نتیجہ پکارڈ کے نظریہ کی توسیع ہے جو سیپو رک مین کی وجہ سے ہے: ایک K-قوزیریگولر نقشہ Rn → Rn زیادہ سے زیادہ ایک محدود سیٹ کو چھوڑ سکتا ہے۔ جب n = 2 ہوتا ہے، تو یہ خارج شدہ سیٹ زیادہ سے زیادہ دو نکات پر مشتمل ہو سکتا ہے (یہ پکارڈ کے نظریہ کی ایک سادہ توسیع ہے)۔ لیکن جب n> 2 ہوتا ہے، تو خارج شدہ سیٹ دو سے زیادہ پوائنٹس پر مشتمل ہو سکتا ہے، اور اس کی بنیادی حیثیت کا اندازہ اوپر سے n اور K کے لحاظ سے لگایا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، کسی بھی محدود سیٹ کو خارج کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ ڈیوڈ ڈریسن اور پیکا پنکا نے دکھایا ہے۔ پوٹینشل تھیوری کے ساتھ تعلق اگر f ایک تجزیاتی فنکشن ہے، تو لاگ ذیلی ہارمونک ہے، اور f کے صفر سے دور ہارمونک ہے۔ قوسیریگولر نقشوں کے لیے متعلقہ حقیقت یہ ہے کہ لاگ انڈاشی قسم کی ایک خاص غیر لکیری جزوی تفریق مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ ریشتنیک کی اس دریافت نے غیر لکیری ممکنہ نظریہ کی ترقی کو متحرک کیا، جو اس قسم کی مساوات کا علاج کرتا ہے جیسا کہ معمول کا ممکنہ نظریہ ہارمونک اور سب ہارمونک افعال کا علاج کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں یوری ریشتنیک ولادیمیر زورچ حوالہ جات ریاضیاتی تجزیہ