Variable-mass system
میکانکس میں، متغیر کمیت کا نظام مادے کا ایک مجموعہ ہے جس کی کمیت وقت کے ساتھ بدلتی رہتی ہے۔ نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون کو براہ راست اس طرح کے نظام پر لاگو کرنے کی کوشش کرنا الجھن کا باعث بن سکتا ہے۔ اس کے بجائے، کمیت m کے وقت کے انحصار کا حساب نیوٹن کے دوسرے قانون کو دوبارہ ترتیب دے کر اور کمیت کے نظام میں داخل ہونے یا چھوڑنے کے حساب سے ایک اصطلاح شامل کر کے لگایا جا سکتا ہے۔ متغیر-کمیت حرکت کی عمومی مساوات اس طرح لکھی جاتی ہے جہاں فیکسٹ جسم پر خالص بیرونی قوت ہے، ویرل جسم کے کمیت کے مرکز کے حوالے سے فرار یا آنے والی کمیت کی نسبت رفتار ہے، اور v جسم کی رفتار ہے۔ ایسٹروڈائنامکس میں، جو راکٹوں کے میکانکس سے متعلق ہے، ورل کی اصطلاح کو اکثر موثر اخراج کی رفتار کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی وی سے کی جاتی ہے۔ مشتق متغیر بڑے پیمانے پر نظام کی حرکت کی مساوات کے لیے مختلف مشتقات ہیں، اس پر منحصر ہے کہ آیا کمیت کسی شے میں داخل ہو رہی ہے یا چھوڑ رہی ہے (دوسرے لفظوں میں، چاہے حرکت پذیر شے کی کمیت بالترتیب بڑھ رہی ہے یا کم ہو رہی ہے)۔ حساب کو آسان بنانے کے لیے، تمام اجسام کو ذرات سمجھا جاتا ہے۔ یہ بھی فرض کیا جاتا ہے کہ کمیت جمع/تخفیف کے واقعات سے باہر جسم پر بیرونی قوتوں کا اطلاق کرنے سے قاصر ہے۔ بڑے پیمانے پر اضافہ مندرجہ ذیل مشتق ایک ایسے جسم کے لیے ہے جو بڑے پیمانے پر (اضافہ) حاصل کر رہا ہے۔ وقت کے لحاظ سے مختلف کمیت m کا ایک جسم ابتدائی وقت t پر رفتار v پر حرکت کرتا ہے۔ اسی لمحے، کمیت dm کا ایک ذرہ زمین کے حوالے سے رفتار u کے ساتھ حرکت کرتا ہے۔ ابتدائی مومنٹم کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ اب ایک وقت t + dt پر، مرکزی باڈی اور ذرہ دونوں کو رفتار v + dv کے باڈی میں جمع ہونے دیں۔ اس طرح نظام کی نئی رفتار کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ چونکہ ڈی ایم ڈی وی دو چھوٹی اقدار کا پروڈکٹ ہے، اس لیے اسے نظر انداز کیا جا سکتا ہے، یعنی ڈی ٹی کے دوران نظام کی رفتار کے لیے مختلف ہوتی ہے۔ لہذا، نیوٹن کے دوسرے قانون کے مطابق یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ u-v، m کے مقابلے میں ڈی ایم کی رفتار ہے، جس کی علامت vrel ہے، اس حتمی مساوات کو ماس ابلیشن/ایجیکشن کے طور پر ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ اس نظام میں جہاں کمیت کو مرکزی باڈی سے باہر نکالا جا رہا ہے یا ختم کیا جا رہا ہے، مشتق قدرے مختلف ہے۔ وقت t پر، ایک کمیت m کو ایک رفتار v پر سفر کرنے دیں، جس کا مطلب ہے کہ نظام کی ابتدائی رفتار یہ فرض کر رہی ہے کہ u زمین کے حوالے سے ختم شدہ کمیت dm کی رفتار ہے، ایک وقت t + dt پر نظام کی رفتار بن جاتی ہے جہاں u زمین کے حوالے سے خارج شدہ کمیت کی رفتار ہے، اور منفی ہے کیونکہ ختم شدہ کمیت کمیت کے مخالف سمت میں حرکت کرتی ہے۔ لہذا، نیوٹن کے دوسرے قانون کے مطابق، حتمی مساوات کو ایکسلریشن کی تعریف کے مطابق، a = dv/dt کے طور پر ترتیب دیا جا سکتا ہے، لہذا متغیر-بڑے پیمانے پر نظام کی حرکت کی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ جن اجسام کو ذرات کے طور پر نہیں مانا جاتا ہے ان میں a کو ACM سے تبدیل کرنا ضروری ہے، نظام کے کمیت کے مرکز کی ایکسلریشن، یعنی اکثر زور کی وجہ سے ہونے والی قوت کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ یہ شکل ظاہر کرتی ہے کہ کسی شے میں زور کی وجہ سے ایکسلریشن ہو سکتا ہے چاہے اس پر کوئی بیرونی قوتیں عمل نہ کریں (فیکسٹ = 0)۔ آخر میں نوٹ کریں کہ اگر کوئی ایف نیٹ کو فیکسٹ اور فتھرسٹ کا مجموعہ ہونے دیتا ہے تو مساوات نیوٹن کے دوسرے قانون کی معمول کی شکل کو دوبارہ حاصل کرتی ہے: مثالی راکٹ مساوات مثالی راکٹ مساوات، یا سیولکووسکی راکٹ مساوات، ان گاڑیوں کی حرکت کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے جو راکٹ کی طرح برتاؤ کرتی ہیں (جہاں ایک جسم اپنے بڑے پیمانے کے حصے، ایک پروپیلنٹ، کو تیز رفتار کے ساتھ باہر نکال کر خود کو تیز کرتا ہے)۔ یہ متغیر کمیت کے نظاموں کے لیے حرکت کی عمومی مساوات سے مندرجہ ذیل طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے: جب کوئی بیرونی قوتیں کسی شے پر عمل نہیں کرتی ہیں (فیکسٹ = 0) تو متغیر کمیت کے نظام کی حرکت کی مساوات کم ہو جاتی ہے۔ اگر خارج شدہ پروپیلنٹ، ویریل کی رفتار، راکٹ کی ایکسلریشن، ڈی وی/ڈی ٹی کے طور پر مخالف سمت میں فرض کی جاتی ہے، تو اس مساوات کے مساوی اسکیلر کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جس سے ڈی ٹی کو متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے انٹیگریشن دینے کے لیے منسوخ کیا جا سکتا ہے۔ δv = v1-v0 کو دوبارہ ترتیب دے کر، مثالی راکٹ مساوات کی معیاری شکل پر پہنچ جاتا ہے: جہاں m0 ابتدائی کل کمیت ہے، بشمول پروپیلنٹ، m1 حتمی کل کمیت ہے، حوالہ جات کلاسیکی میکینکس میکینکس