Petrov–Galerkin method
پیٹروف-گیلرکن طریقہ ایک ریاضیاتی طریقہ ہے جو جزوی تفریقی مساوات کے حلوں کا تخمینہ لگانے کے لیے استعمال ہوتا ہے جس میں عجیب ترتیب والی اصطلاحات ہوتی ہیں اور جہاں ٹیسٹ فنکشن اور حل فنکشن کا تعلق مختلف فنکشن خالی جگہوں سے ہوتا ہے۔ اسے بوبنوف-گیلرکن طریقہ کار کی توسیع کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جہاں ٹیسٹ افعال اور حل افعال کی بنیادیں ایک جیسی ہوتی ہیں۔ تفریق مساوات کی آپریٹر تشکیل میں، پیٹروف-گیلرکن طریقہ کو ایک پروجیکشن کے اطلاق کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو ضروری نہیں کہ آرتھوگنل ہو، بوبنوف-گیلرکن طریقہ کے برعکس۔ ایک تجریدی مسئلہ کے ساتھ تعارف پیٹروف-گیلرکن کا طریقہ گیلرکن طریقہ کار کی ایک قدرتی توسیع ہے اور اسی طرح مندرجہ ذیل طور پر متعارف کرایا جا سکتا ہے۔ کمزور فارمولیشن میں ایک مسئلہ آئیے ہلبرٹ خالی جگہوں کے ایک جوڑے پر کمزور فارمولیشن کے طور پر پیش کردہ ایک تجریدی مسئلے پر غور کریں اور، یعنی، ایسا تلاش کریں جو سب کے لیے ہو۔ یہاں، ایک دو لکیری شکل ہے اور ایک باؤنڈ لینیر فنکشنل ہے۔ پیٹروف-گیلرکن طول و عرض میں کمی طول و عرض n اور طول و عرض m کی ذیلی جگہوں کا انتخاب کریں اور متوقع مسئلے کو حل کریں: ایسا تلاش کریں جو سب کے لیے ہو۔ ہم دیکھتے ہیں کہ مساوات میں کوئی تبدیلی نہیں ہوئی ہے اور صرف خالی جگہیں تبدیل ہوئی ہیں۔ مسئلے کو ایک محدود جہتی ویکٹر سب اسپیس تک کم کرنے سے ہمیں عددی طور پر بیس ویکٹروں کے ایک محدود لکیری امتزاج کے طور پر حساب کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ پیٹروف-گیلرکن عمومی آرتھوگونالیٹی پیٹروف-گیلرکن نقطہ نظر کی کلیدی خاصیت یہ ہے کہ غلطی کسی لحاظ سے منتخب کردہ ذیلی جگہوں کے لیے "آرتھوگنل" ہے۔ چونکہ، ہم اصل مساوات میں ٹیسٹ ویکٹر کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ دونوں کو گھٹا کر، ہمیں غلطی کا تعلق ملتا ہے، جو کہ اصل مسئلے کے حل اور گیلرکن مساوات کے حل کے درمیان کی غلطی ہے، جیسا کہ سب کے لیے درج ذیل ہے۔ میٹرکس فارم چونکہ تخمینہ کا مقصد مساوات کا ایک لکیری نظام تیار کرنا ہے، اس لیے ہم اس کی میٹرکس فارم بناتے ہیں، جسے حل کو الگورتھم کے طور پر شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ آئیے اس کی بنیاد بنیں اور اس کی بنیاد بنیں۔ پھر، گیلرکن مساوات کی جانچ کے لیے بدلے میں ان کا استعمال کرنا کافی ہے، یعنی۔ : اس طرح تلاش کریں کہ ہم حل کی بنیاد کے حوالے سے توسیع کریں، اور اسے اوپر کی مساوات میں داخل کریں، حاصل کرنے کے لیے یہ پچھلی مساوات دراصل مساوات کا ایک لکیری نظام ہے، جہاں میٹرکس کی ہم آہنگی میٹرکس اندراجات کی تعریف کی وجہ سے، میٹرکس ہم آہنگ ہے اگر، دو لکیری شکل ہم آہنگ ہے،،، اور سب کے لیے۔ بوبنوف-گیلرکن طریقہ کار کے معاملے کے برعکس، سسٹم میٹرکس مربع بھی نہیں ہے، اگر بوبنوف-گیلرکن طریقہ کار نوٹ جزوی تفریق مساوات بھی دیکھیں۔