Witten conjecture
الجبرائی جیومیٹری میں، وٹن قیاس منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ پر مستحکم کلاسوں کے انٹرسیکشن نمبروں کے بارے میں ایک قیاس ہے، جسے ایڈورڈ وٹن نے کاغذ میں متعارف کرایا، اور اس میں عام کیا۔ وٹن کے اصل قیاس کو میکسم کونٹسیویچ نے کاغذ میں ثابت کیا۔ اس قیاس کے لیے وٹن کا محرک یہ تھا کہ دو جہتی کوانٹم کشش ثقل کے دو مختلف ماڈلز میں ایک ہی پارٹیشن فنکشن ہونا چاہیے۔ ان ماڈلز میں سے ایک کے لیے پارٹیشن فنکشن کو الجبرائی منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر انٹرسیکشن نمبروں کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے، اور دوسرے کے لیے پارٹیشن فنکشن KdV درجہ بندی کے τ-فنکشن کا لوگارتھم ہے۔ ان پارٹیشن فنکشنز کی شناخت سے وٹن کا قیاس ملتا ہے کہ انٹرسیکشن نمبروں سے بننے والی ایک مخصوص جنریٹنگ فنکشن کو کے ڈی وی درجہ بندی کی تفریقی مساوات کو پورا کرنا چاہیے۔ فرض کریں کہ Mg، n جینس g کی کمپیکٹ ریمن سطحوں کا ماڈیولی اسٹیک ہے جس میں n الگ الگ نشان زدہ پوائنٹس x1،.، xn، اور g، n اس کی ڈیلیگن-ممفورڈ کمپیکٹفیکیشن ہے۔ جی، این پر این لائن بنڈل لی ہوتے ہیں، جن کا فائبر ماڈیولی اسٹیک کے ایک مقام پر نشان زد نقطہ xi پر ریمن کی سطح کے کوٹینجینٹ اسپیس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ انٹرسیکشن انڈیکس θτd1،.، τdn′ g پر Πc1 (Li) ڈائی کا انٹرسیکشن انڈیکس ہے، n جہاں σdi = dimg، n = 3g-3 + n، اور 0 اگر ایسا کوئی g موجود نہیں ہے، جہاں c1 لائن بنڈل کی پہلی چرن کلاس ہے۔ وٹن کا جنریٹنگ فنکشن تمام انٹرسیکشن انڈیکس کو اس کے کوفیشنٹس کے طور پر انکوڈ کرتا ہے۔ وٹن کا قیاس یہ بتاتا ہے کہ پارٹیشن فنکشن Z = exp F KdV درجہ بندی کے لیے ایک τ-فنکشن ہے، دوسرے لفظوں میں یہ ویراسورو الجبرا کی بنیاد سے مطابقت رکھنے والی جزوی تفریق مساوات کی ایک مخصوص سیریز کو مطمئن کرتا ہے۔ پروف کونٹسیویچ نے ربن گراف کے لحاظ سے ماڈیولی خالی جگہوں کی ایک مشترکہ تفصیل کا استعمال کیا تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ یہاں دائیں طرف کا مجموعہ سیٹ Gg کے اوپر ہے، ربن گراف X کے کمپیکٹ ریمن سطحوں کے N نشان زدہ پوائنٹس کے ساتھ۔ کناروں کے سیٹ ای اور ایکس کے پوائنٹس کو ایکس 0 اور ایکس 1 سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ فنکشن λ کو نشان زدہ پوائنٹس سے لے کر حقیقی تک ایک فنکشن کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اور کنارے کے ہر طرف سے مطابقت رکھنے والے دو نشان زدہ پوائنٹس پر λ کے مجموعے کے برابر کنارے کے λ کو ترتیب دے کر ربن گراف کے کناروں تک بڑھایا جاتا ہے۔ فین مین خاکہ کی تکنیکوں کے ذریعہ، اس کا مطلب یہ ہے کہ F (t0،.) ایک غیر علامتی توسیع ہے کیونکہ λ انفینیٹی کو قرض دیتا ہے، جہاں λ اور χ مثبت قطعی N بذریعہ N ہرمیٹین میٹرکس ہیں، اور ti اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور مثبت قطعی ہرمیٹین میٹرکس پر امکان کی پیمائش μ اس کے ذریعہ دی جاتی ہے جہاں cλ ایک نارملائزنگ مستقل ہے۔ اس پیمائش میں وہ خاصیت ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ فین مین خاکے کے لحاظ سے اس کی توسیع ربن گراف کے لحاظ سے F کے لیے اظہار ہے۔ اس سے اس نے اندازہ لگایا کہ ایکس پی ایف کے ڈی وی درجہ بندی کے لیے ایک τ-فنکشن ہے، اس طرح وٹن کے قیاس کو ثابت کرتا ہے۔ ویٹن قیاس آرائی ہیملٹنین پی ڈی ایز کے مربوط نظاموں اور 2 ڈی ٹپوولوجیکل فیلڈ تھیوریز کے بعض خاندانوں کی جیومیٹری کے درمیان زیادہ عمومی تعلق کا ایک خاص معاملہ ہے (کونٹسیویچ اور منین کے نام نہاد کوہومولوجیکل فیلڈ تھیوریز کی شکل میں محوری شکل میں)، جس کی کھوج اور مطالعہ بی ڈبروون اور وائی ژانگ، اے گیوینٹل، سی ٹیلی مین اور دیگر نے منظم طریقے سے کیا تھا۔ ویراسورو قیاس Witten قیاس کی عمومی شکل ہے۔ حوالہ جات ماڈیولی نظریہ الجبرائی جیومیٹری قیاس آرائیاں جو ثابت ہو چکی ہیں