Holomorphic Embedding Load-flow method
ہولومورفک ایمبیڈنگ لوڈ فلو میتھڈ (ایچ ای ایل ایم) برقی طاقت کے نظاموں کے پاور فلو مساوات کے لیے ایک حل کا طریقہ ہے۔ اس کی اہم خصوصیات یہ ہیں کہ یہ براہ راست ہے (یعنی، غیر تکرار) اور یہ کہ یہ ریاضیاتی طور پر کثیر قدر والے مسئلے کی صحیح آپریٹو برانچ کے مستقل انتخاب کی ضمانت دیتا ہے، اور جب کوئی حل نہ ہو تو وولٹیج کے گرنے کی حالت کا بھی اشارہ کرتا ہے۔ یہ خصوصیات نہ صرف موجودہ آف لائن اور ریئل ٹائم ایپلی کیشنز کی وشوسنییتا کے لیے متعلقہ ہیں، بلکہ اس لیے بھی کہ وہ نئی قسم کے تجزیاتی ٹولز کو فعال کرتے ہیں جو موجودہ تکراری لوڈ فلو طریقوں (ان کے کنورجنس کے مسائل کی وجہ سے) کے ساتھ بنانا ناممکن ہوگا۔ اس کی ایک مثال حقیقی وقت میں توثیق شدہ ایکشن پلان فراہم کرنے والے فیصلہ سپورٹ ٹولز ہوں گے۔ ایچ ای ایل ایم لوڈ فلو الگورتھم انتونیو ٹریس نے ایجاد کیا تھا اور اسے دو امریکی پیٹنٹ دیے گئے ہیں۔ 2012 کے آئی ای ای ای پی ای ایس جنرل میٹنگ میں ایک تفصیلی تفصیل پیش کی گئی اور بعد میں اسے شائع کیا گیا۔ یہ طریقہ جدید تصورات اور پیچیدہ تجزیے کے نتائج پر مبنی ہے، جیسے ہولومورفسیٹی، الجبرائی منحنی خطوط کا نظریہ، اور تجزیاتی تسلسل۔ تاہم، عددی نفاذ سیدھا سیدھا ہے کیونکہ یہ معیاری لکیری الجبرا اور پیڈ تخمینہ کا استعمال کرتا ہے۔ مزید برآں، چونکہ کمپیوٹیشن کا محدود حصہ ایڈمیٹنس میٹرکس کی فیکٹرائزیشن ہے اور یہ صرف ایک بار کیا جاتا ہے، اس کی کارکردگی قائم شدہ تیز رفتار سے منقطع لوڈ فلوز کے ساتھ مسابقتی ہے۔ یہ طریقہ فی الحال صنعتی طاقت ریئل ٹائم اور آف لائن پیکیجڈ ای ایم ایس ایپلی کیشنز میں لاگو کیا گیا ہے۔ پس منظر بوجھ کے بہاؤ کا حساب پاور سسٹم کے تجزیے میں سب سے بنیادی اجزاء میں سے ایک ہے اور پاور سسٹم کے تخروپن اور انتظام میں استعمال ہونے والے تقریبا تمام دیگر ٹولز کی بنیاد ہے۔ بوجھ کے بہاؤ کی مساوات کو مندرجہ ذیل عمومی شکل میں لکھا جا سکتا ہے: جہاں دیئے گئے (پیچیدہ) پیرامیٹرز ایڈمیٹنس میٹرکس ہیں، بس شونٹ ایڈمیٹنس، اور بس پاور انجیکشن جو مستقل طاقت کے بوجھ اور جنریٹرز کی نمائندگی کرتے ہیں۔ الجبرائی مساوات کے اس غیر لکیری نظام کو حل کرنے کے لیے، روایتی لوڈ فلو الگورتھم کو تین تکراری تکنیکوں کی بنیاد پر تیار کیا گیا تھا: گاؤس-سیڈل طریقہ، جس میں ناقص کنورجنس خصوصیات ہیں لیکن میموری کی ضروریات بہت کم ہیں اور اسے نافذ کرنا سیدھا ہے۔ مکمل نیوٹن-رافسن طریقہ جس میں تیز (کواڈریٹک) تکراری کنورجنس خصوصیات ہیں، لیکن یہ کمپیوٹیشنل طور پر مہنگا ہے۔ اور فاسٹ ڈیکپلڈ لوڈ فلو (ایف ڈی ایل ایف) طریقہ، جو نیوٹن-رافسن پر مبنی ہے، لیکن زیادہ تر ٹرانسمیشن نیٹ ورکس میں درست ڈیکپلنگ تخمینہ کے ذریعے اس کی کمپیوٹیشنل لاگت کو بہت کم کرتا ہے۔ بہت سی دیگر اضافی بہتریاں موجود ہیں ؛ تاہم، ان سب میں بنیادی تکنیک اب بھی ایک تکراری حل کنندہ ہے، یا تو گاؤس سیڈل یا نیوٹن قسم کی۔ اس قسم کی تمام تکراری اسکیموں میں دو بنیادی مسائل ہیں۔ ایک طرف، اس بات کی کوئی ضمانت نہیں ہے کہ تکرار ہمیشہ حل میں ضم ہو جائے گی ؛ دوسری طرف، چونکہ نظام میں متعدد حل ہوتے ہیں، اس لیے یہ کنٹرول کرنا ممکن نہیں ہے کہ کون سا حل منتخب کیا جائے گا۔ جیسے جیسے پاور سسٹم وولٹیج کے گرنے کے مقام کے قریب پہنچتا ہے، جعلی حل درست حل کے قریب ہوتے جاتے ہیں، اور نیوٹن فریکٹلز کے رجحان کی وجہ سے تکراری اسکیم آسانی سے ان میں سے کسی ایک کی طرف راغب ہو سکتی ہے: جب نیوٹن طریقہ پیچیدہ افعال پر لاگو ہوتا ہے، تو مختلف حل کے لیے کشش کے طاس فریکٹل رویے کو ظاہر کرتے ہیں۔ نتیجے کے طور پر، اس بات سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ تکرار (بیج) کا منتخب کردہ ابتدائی نقطہ صحیح حل کے کتنا قریب ہے، ہمیشہ کسی مختلف حل کی طرف بھٹکنے کا کچھ غیر صفر امکان رہتا ہے۔ تکراری بوجھ کے بہاؤ کے ان بنیادی مسائل کو بڑے پیمانے پر دستاویزی شکل دی گئی ہے۔ دو بس ماڈل کے لیے ایک سادہ سی مثال میں فراہم کی گئی ہے اگرچہ ہوموٹوپک تسلسل کی تکنیکیں موجود ہیں جو کسی حد تک مسئلے کو کم کرتی ہیں، کشش کے طاسوں کی فریکٹل نوعیت تمام برقی منظرناموں کے لیے ایک 100% قابل اعتماد طریقہ کو روکتی ہے۔ ایچ ای ایل ایم کا کلیدی تفریقی فائدہ یہ ہے کہ یہ مکمل طور پر فیصلہ کن اور غیر واضح ہے: یہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ حل ہمیشہ صحیح آپریٹو حل سے مطابقت رکھتا ہے، جب یہ موجود ہوتا ہے ؛ اور یہ حل کے عدم وجود کا اشارہ کرتا ہے جب حالات ایسے ہوتے ہیں کہ کوئی حل نہیں ہوتا (وولٹیج کا خاتمہ)۔ مزید برآں، یہ طریقہ کمپیوٹیشنل لاگت کے لحاظ سے ایف ڈی این آر طریقہ کے ساتھ مسابقتی ہے۔ یہ بوجھ کے بہاؤ کے مسئلے کا ایک ٹھوس ریاضیاتی علاج لاتا ہے جو نئی بصیرت فراہم کرتا ہے جو پہلے تکراری عددی طریقوں کے ساتھ دستیاب نہیں تھا۔ طریقہ کار اور ایپلی کیشنز ایچ ای ایل ایم ایک سخت ریاضیاتی نظریہ پر مبنی ہے، اور عملی لحاظ سے اس کا خلاصہ اس طرح کیا جا سکتا ہے: ایک پیچیدہ پیرامیٹر کے لحاظ سے مساوات کے لیے ایک مخصوص (ہولومورفک) سرایت کی وضاحت کریں، جیسے کہ نظام کے لیے ایک واضح درست حل ہو، اور کسی کے لیے اصل مسئلہ ٹھیک ہو جائے۔ اس ہولومورفک سرایت کو دیکھتے ہوئے، اب وولٹیج کے لیے تجزیاتی افعال کے طور پر غیر متزلزل پاور سیریز کا حساب لگانا ممکن ہے۔ صحیح لوڈ فلو حل معلوم درست حل کے تجزیاتی تسلسل کے ذریعے حاصل کیا جائے گا۔ الجبرائی تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے تجزیاتی تسلسل انجام دیں، جو اس صورت میں اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ اگر حل موجود ہے تو وہ حل میں یکجا ہو جائے گا، یا اگر حل موجود نہیں ہے تو یکجا نہیں ہوگا (وولٹیج کا خاتمہ)۔ ایچ ای ایل ایم تمام تکراری بوجھ کے بہاؤ کے طریقوں کے دیرینہ مسئلے کا حل فراہم کرتا ہے، یعنی صحیح حل (یا کوئی بھی حل) تلاش کرنے میں تکرار کی ناقابل اعتمادیت۔ یہ ایچ ای ایل ایم کو خاص طور پر ریئل ٹائم ایپلی کیشنز کے لیے موزوں بناتا ہے، اور تحقیقی الگورتھم پر مبنی کسی بھی ای ایم ایس سافٹ ویئر کے لیے لازمی بناتا ہے، جیسے کہ ہنگامی تجزیہ، اور الرٹ اور ہنگامی حالات کے تحت آپریشنل حدود کی خلاف ورزیوں کو حل کرنا اور ایکشن پلان کے ذریعے رہنمائی فراہم کرنا۔ ہولومورفک ایمبیڈنگ بحث کے مقاصد کے لیے، ہم کنٹرول کے علاج کو چھوڑ دیں گے، لیکن یہ طریقہ ہر قسم کے کنٹرول کو ایڈجسٹ کر سکتا ہے۔ ان کنٹرولوں کے ذریعہ عائد کردہ رکاوٹ مساوات کے لیے، ایک مناسب ہولومورفک ایمبیڈنگ کی بھی وضاحت کی جانی چاہیے۔ یہ طریقہ ایک پیچیدہ پیرامیٹر کے ذریعے سرایت کرنے کی تکنیک کا استعمال کرتا ہے۔ طریقہ کار میں پہلا کلیدی جزو ایمبیڈنگ کو ہولومورفک ہونے کی ضرورت میں مضمر ہے، یعنی، وولٹیج کے لیے مساوات کے نظام کو افعال کے لیے مساوات کے نظام میں اس طرح تبدیل کیا جاتا ہے کہ نیا نظام ہولومورفک افعال (یعنی۔ نئے پیچیدہ متغیر کا پیچیدہ تجزیاتی)۔ مقصد تجزیاتی تسلسل کے عمل کو استعمال کرنے کے قابل ہونا ہے جو اے ٹی کے حساب کی اجازت دے گا۔ مساوات () کو دیکھتے ہوئے، سرایت کے ہولومورفک ہونے کے لیے ایک ضروری شرط یہ ہے کہ سرایت کے نیچے اس کی جگہ لے لی جائے، نہ کہ۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ پیچیدہ کنجگیشن بذات خود ہولومورفک فنکشن نہیں ہے۔ دوسری طرف، یہ دیکھنا آسان ہے کہ متبادل مساوات کو ہولومورفک فنکشن کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ تاہم، دی گئی صوابدیدی سرایت کے لیے، یہ ثابت ہونا باقی ہے کہ واقعی ہولومورفک ہے۔ ان تمام تحفظات کو مدنظر رکھتے ہوئے، اس قسم کی سرایت کی تجویز پیش کی گئی ہے: اس انتخاب کے ساتھ، دائیں ہاتھ کی شرائط صفر ہو جاتی ہیں، (بشرطیکہ ڈینومینیٹر صفر نہ ہو)، یہ اس معاملے سے مطابقت رکھتا ہے جہاں تمام انجیکشن صفر ہوں اور اس معاملے کا ایک معروف اور آسان آپریشنل حل ہے: تمام وولٹیج برابر ہیں اور بہاؤ کی تمام شدتیں صفر ہیں۔ لہذا، سرایت کے لیے یہ انتخاب s = 0 پر ایک معروف آپریشنل حل فراہم کرتا ہے۔ اب کثیر الجہتی نظاموں میں متغیر خاتمے کے لیے کلاسیکی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے (نتیجہ اور گربنر کی بنیاد کے نظریہ کے نتائج سے یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ مساوات () حقیقت میں ہولومورفک افعال کے طور پر بیان کرتی ہیں۔ زیادہ نمایاں طور پر، وہ الجبرائی منحنی خطوط کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ یہ یہ مخصوص حقیقت ہے، جو سچ ہو جاتی ہے کیونکہ سرایت ہولومورفک ہے جو نتیجہ کی انفرادیت کی ضمانت دیتی ہے۔ حل ہر جگہ منفرد طور پر حل کا تعین کرتا ہے (سوائے برانچ کٹ کی محدود تعداد کے)، اس طرح بوجھ کے بہاؤ کے مسئلے کی کثیر قدر سے چھٹکارا ملتا ہے۔ وولٹیج کی پاور سیریز کی توسیع (آن) کے لیے کوفشنٹس حاصل کرنے کی تکنیک بالکل سیدھی ہے، ایک بار جب کسی کو یہ احساس ہو جائے کہ مساوات () کو آرڈر کے بعد آرڈر حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اور کے لیے پاور سیریز کی توسیع پر غور کریں۔ مساوات () میں تبدیل کرنے اور ہر ترتیب میں اصطلاحات کی نشاندہی کرنے سے، کوئی حاصل کرتا ہے: اس کے بعد لکیری سسٹمز () کی ترتیب کو ترتیب کے بعد ترتیب میں حل کرنا سیدھا ہے، جس سے شروع ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کے لیے اور کے لیے توسیعات کے کوفیشنٹس کا تعلق مندرجہ ذیل شناخت سے اخذ کردہ سادہ ارتقاء فارمولوں سے ہے: تاکہ () میں دائیں ہاتھ کی طرف کا حساب ہمیشہ پچھلے ترتیب میں موجود نظام کے حل سے لگایا جا سکے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ طریقہ کار صرف لکیری سسٹمز کو حل کرکے کیسے کام کرتا ہے، جس میں میٹرکس مستقل رہتا ہے۔ اس طریقہ کار کے بارے میں مزید تفصیلی بحث حوالہ میں پیش کی گئی ہے۔ تجزیاتی تسلسل ایک بار جب پاور سیریز کا حساب مطلوبہ ترتیب کے مطابق کیا جاتا ہے، تو ان کا حساب لگانے کا مسئلہ تجزیاتی تسلسل میں سے ایک بن جاتا ہے۔ یہ سختی سے تبصرہ کیا جانا چاہئے کہ اس میں ہوموٹوپک تسلسل کی تکنیکوں کے ساتھ کچھ بھی مشترک نہیں ہے۔ ہوموٹوپی طاقتور ہے کیونکہ یہ صرف تسلسل کے تصور کو استعمال کرتا ہے اور اس طرح یہ عام ہموار غیر لکیری نظاموں پر لاگو ہوتا ہے، لیکن دوسری طرف یہ ہمیشہ افعال کا تخمینہ لگانے کے لیے ایک قابل اعتماد طریقہ فراہم نہیں کرتا ہے (کیونکہ یہ نیوٹن-رافسن جیسی تکراری اسکیموں پر انحصار کرتا ہے)۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ الجبرائی منحنی خطوط مکمل عالمی تجزیاتی افعال ہیں، یعنی ایک نقطہ پر پاور سیریز کی توسیع کا علم (فنکشن کا نام نہاد جرم) پیچیدہ سطح پر ہر جگہ فنکشن کا منفرد طور پر تعین کرتا ہے، سوائے برانچ کٹ کی محدود تعداد کے۔ اسٹہل کا انتہائی ڈومین تھیوریم مزید اس بات پر زور دیتا ہے کہ فنکشن کے تجزیاتی تسلسل کے لیے ایک زیادہ سے زیادہ ڈومین موجود ہے، جو کم سے کم لوگرتھمک صلاحیت کی پیمائش کے ساتھ برانچ کٹ کے انتخاب سے مطابقت رکھتا ہے۔ الجبرائی منحنی خطوط کے معاملے میں کٹوتیوں کی تعداد محدود ہے، اس لیے کم سے کم صلاحیت کے ساتھ کٹوتیوں کے امتزاج کو تلاش کرکے زیادہ سے زیادہ تسلسل تلاش کرنا ممکن ہوگا۔ مزید بہتری کے لیے، پیڈ اپروکسیمینٹس کے کنورجنس پر اسٹہل کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ڈائیگنل اور سپرا-ڈائیگنل پیڈ (یا مساوی طور پر، پاور سیریز کے لیے مسلسل فریکشن اپروکسیمینٹس) زیادہ سے زیادہ تجزیاتی تسلسل میں یکجا ہوتے ہیں۔ لگ بھگ کے صفر اور کھمبے قابل ذکر طور پر کم سے کم صلاحیت والی شاخ کے کٹ کے سیٹ پر جمع ہوتے ہیں۔ یہ خصوصیات بوجھ کے بہاؤ کے طریقہ کار کو وولٹیج کے گرنے کی حالت کا غیر واضح طور پر پتہ لگانے کی صلاحیت فراہم کرتی ہیں: الجبرائی تخمینے اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ اگر حل موجود ہے تو وہ حل میں یکجا ہو جائے گا، یا اگر حل موجود نہیں ہے تو یکجا نہیں ہوگا۔ پاور فلو اسٹڈی پاور سسٹم سیمولیشن یونٹ عزم کا مسئلہ برقی طاقت کی پیداوار میں نوٹ حوالہ جات پاور انجینئرنگ