Homogeneous graph
ریاضی میں، کے-الٹرا ہوموجینیئس گراف ایک ایسا گراف ہے جس میں زیادہ سے زیادہ کے عمودی کے دو محرک ذیلی گرافوں کے درمیان ہر آئسومورفزم کو پورے گراف کے آٹومورفزم تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ایک کے-یکساں گراف اسی خاصیت کے کمزور ورژن کی اطاعت کرتا ہے جس میں دو محرک ذیلی گرافوں کے درمیان ہر آئسومورفزم پورے گراف کے آٹومورفزم کے وجود کو ظاہر کرتا ہے جو ایک ذیلی گراف کو دوسرے سے نقشہ بناتا ہے (لیکن ضروری نہیں کہ دیئے گئے آئسومورفزم کو بڑھا دے)۔ یکساں گراف ایک ایسا گراف ہے جو ہر k کے لیے k-یکساں ہے، یا ہر k کے لیے مساوی طور پر k-الٹرا یکساں ہے۔ درجہ بندی صرف محدود یکساں گراف کلسٹر گراف mKn ہیں جو آئسومورفک مکمل گرافوں کے جداگانہ اتحادوں سے بنے ہیں، ٹورن گراف mKn کے تکمیلی گراف، 3 × 3 روک کے گراف، اور 5 سائیکل کے طور پر بنے ہیں۔ صرف شمار کے لحاظ سے لامحدود یکساں گراف آئسومورفک مکمل گرافوں کے جداگانہ اتحاد ہیں (ہر مکمل گراف کے سائز کے ساتھ، مکمل گرافوں کی تعداد، یا دونوں اعداد قابل شمار لامحدود ہیں)، ان کے تکمیل گراف، ہینسن گراف اپنے تکمیل گراف کے ساتھ، اور ریڈو گراف۔ اگر کوئی گراف 5-الٹرا ہوموجینیئس ہے، تو یہ ہر k کے لیے الٹرا ہوموجینیئس ہے۔ صرف دو جڑے ہوئے گراف ہیں جو 4-الٹرا ہوموجینیئس ہیں لیکن 5-الٹرا ہوموجینیئس نہیں ہیں: شلافلی گراف اور اس کی تکمیل۔ ثبوت محدود سادہ گروہوں کی درجہ بندی پر منحصر ہے۔ تغیرات ایک گراف جڑا ہوا یکساں ہوتا ہے اگر دو جڑے ہوئے محرک ذیلی گرافوں کے درمیان ہر آئسومورفزم کو پورے گراف کے آٹومورفزم تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یکساں گرافوں کے علاوہ، محدود جڑے ہوئے یکساں گرافوں میں تمام سائیکل گراف، تمام مربع روک کے گراف، پیٹرسن گراف، اور 5-باقاعدہ کلیبش گراف شامل ہیں۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ گراف خاندان