Clifton–Pohl torus
جیومیٹری میں، کلفٹن-پوہل ٹورس ایک کمپیکٹ لورینٹزیئن کئی گنا کی ایک مثال ہے جو جیوڈیسیکل طور پر مکمل نہیں ہے۔ اگرچہ ہر کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا جیوڈیسیکل طور پر بھی مکمل ہے (ہوپف-رینو تھیوریم کے مطابق)، اس جگہ سے پتہ چلتا ہے کہ وہی مضمرات فرضی-ریمینیئن کئی گنا تک عام نہیں ہوتے ہیں۔ اس کا نام یٹن ایچ کلفٹن اور ولیم ایف پوہل کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے اسے 1962 میں بیان کیا تھا لیکن اپنا نتیجہ شائع نہیں کیا تھا۔ تعریف میٹرک کے ساتھ کئی گنا پر غور کریں کوئی بھی ہوموتھی ایک آئسومیٹری ہے، خاص طور پر نقشہ سمیت: آئیسومیٹری گروپ کا ذیلی گروپ بنیں۔ اس کے بعد ایک مناسب، متضاد کارروائی ہوتی ہے۔ لہذا وہ حصص جو ٹپوولوجیکل طور پر ٹورس ہے، ایک لورینٹز سطح ہے جسے کلفٹن-پوہل ٹورس کہا جاتا ہے۔ بعض اوقات، توسیع کے لحاظ سے، کسی سطح کو کلفٹن-پوہل ٹورس کہا جاتا ہے اگر یہ تناسب سے مختلف کسی بھی ہم آہنگی کے حصص کا ایک محدود احاطہ ہو۔ جیوڈیسیک نامکمل اس بات کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ منحنی خطوط M کا جیوڈیسیک ہے جو مکمل نہیں ہے (چونکہ اس کی وضاحت نہیں کی گئی ہے)۔ نتیجتا، (اس لیے بھی) جغرافیائی طور پر نامکمل ہے، اس حقیقت کے باوجود کہ یہ کمپیکٹ ہے۔ اسی طرح، وکر ایک صفر جیوڈیسیک ہے جو نامکمل ہے۔ در حقیقت، ہر صفر جیوڈیسیک پر یا نامکمل ہے۔ کلفٹن-پوہل ٹورس کی جیوڈیسیک نامکملیت کو اس حقیقت کے براہ راست نتیجہ کے طور پر دیکھا جاتا ہے جو توسیع پذیر ہے، یعنی۔ کہ اسے ایک بڑی لورینٹزیئن سطح کے ذیلی سیٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ نقاط کی سادہ تبدیلی کا براہ راست نتیجہ ہے۔ میٹرک پر غور کے ساتھ (یعنی۔ نقاط میں ظاہر کردہ میٹرک) پڑھتا ہے لیکن یہ میٹرک قدرتی طور پر اس تک پھیلا ہوا ہے، جہاں سطح، جسے توسیعی کلفٹن-پوہل طیارہ کہا جاتا ہے، جغرافیائی طور پر مکمل ہے۔ کنجوگیٹ پوائنٹس کلفٹن-پوہل ٹوری اس حقیقت سے بھی قابل ذکر ہیں کہ وہ پہلی معروف غیر فلیٹ لورینٹزیئن ٹوری تھیں جن میں کوئی کنجوگیٹ پوائنٹس نہیں تھے۔ توسیعی کلفٹن-پوہل طیارہ کنجوگیٹ پوائنٹس کے بہت سے جوڑوں پر مشتمل ہوتا ہے، ان میں سے کچھ کی حد میں ہوتے ہیں یعنی۔ "ایٹ انفینٹی" ان۔ یہ بھی یاد رکھیں کہ ہوپف-رینو تھیوریم کے مطابق ریمینیائی ترتیب میں ایسی کوئی ٹوری موجود نہیں ہے۔ حوالہ جات لورینٹزیئن کئی گنا میٹرک جیومیٹری