Ahlfors theory
ایلفورس تھیوری ایک ریاضیاتی نظریہ ہے جسے لارس ایلفورس نے نیوانلننا تھیوری کے ہندسی ہم منصب کے طور پر ایجاد کیا تھا۔ ایلفورس کو 1936 میں اس نظریہ کے لیے دو پہلے فیلڈز میڈل میں سے ایک سے نوازا گیا۔ اسے نقشوں کا احاطہ کرنے کی بنیادی خصوصیات کی عمومی شکل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو کچھ واضح معنوں میں "تقریبا احاطہ" ہیں۔ یہ کنفارمل ریمینین میٹرکس سے لیس سرحدی ریمن سطحوں پر لاگو ہوتا ہے۔ ابتدائی ایک سرحدی ریمن کی سطح X کو ایک کمپیکٹ ریمن کی سطح پر ایک ایسے خطے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کی حد ष्णول X محدود طور پر بہت سے جداگانہ اردن منحنی خطوط پر مشتمل ہوتی ہے۔ زیادہ تر ایپلی کیشنز میں یہ منحنی خطوط ٹکڑے ٹکڑے تجزیاتی ہوتے ہیں، لیکن ان منحنی خطوط پر کچھ واضح کم سے کم باقاعدگی کی شرط ہوتی ہے جو نظریہ کو کام کرنے کے لیے ضروری ہے۔ اسے ایلفورس باقاعدگی کہا جاتا ہے۔ ایک کنفارمل ریمینیئن میٹرک کی تعریف لمبائی والے عنصر ds سے کی جاتی ہے جس کا اظہار کنفارمل لوکل کوآرڈینیٹس z میں ds = ρ (z) |dz | کے طور پر کیا جاتا ہے، جہاں ρ الگ تھلگ صفر کے ساتھ ایک ہموار مثبت فعل ہے۔ اگر صفر غیر حاضر ہیں، تو میٹرک کو ہموار کہا جاتا ہے۔ لمبائی عنصر فارمولوں کے ذریعہ قابل اصلاح منحنی خطوط اور خطوں کے علاقوں کی لمبائی کی وضاحت کرتا ہے پھر دو نکات کے درمیان فاصلے کو ان نکات کو جوڑنے والے منحنی خطوط کی لمبائی کے لامحدود کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ترتیب اور نوٹیشن X اور Y کو دو سرحدی ریمن سطحیں ہونے دیں، اور فرض کریں کہ Y ایک ہموار (بشمول حد) کنفارمل میٹرک σ (z) dz سے لیس ہے۔ فرض کریں کہ f، X سے Y تک کا ہولومورفک نقشہ ہے۔ پھر X پر پل بیک میٹرک موجود ہے، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ جب X اس میٹرک سے لیس ہوتا ہے، تو f ایک مقامی آئسومیٹری بن جاتا ہے ؛ یعنی کسی منحنی خطوط کی لمبائی اس کی تصویر کی لمبائی کے برابر ہوتی ہے۔ X اور Y پر تمام لمبائی اور رقبے کو ان دو میٹرکس کے حوالے سے ماپا جاتا ہے۔ اگر f X کی حد کو Y کی حد پر بھیجتا ہے، تو f ایک وسیع احاطہ ہے۔ خاص طور پر، a) ہر نقطہ میں پہلے کی تصویروں کی ایک ہی (محدود) تعداد ہوتی ہے، جو کثرت کو شمار کرتی ہے۔ یہ نمبر کورنگ کی ڈگری ہے۔ ب) ریمن-ہور وٹز فارمولا، خاص طور پر، X کی اویلر خصوصیت زیادہ سے زیادہ Y گنا ڈگری کی اویلر خصوصیت ہے۔ اب فرض کریں کہ X کی حد کا کچھ حصہ Y کے اندرونی حصے میں نقشہ بند کیا گیا ہے۔ اس حصے کو رشتہ دار حد کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ L اس رشتہ دار حد کی لمبائی ہے۔ پہلا مرکزی نظریہ اوسط کورنگ نمبر کی تعریف فارمولے سے کی جاتی ہے۔ یہ نمبر کورنگ کی ڈگری کی عمومی شکل ہے۔ اسی طرح، ہر باقاعدہ منحنی خطوط کے لیے γ اور Y میں ہر باقاعدہ خطہ D کے لیے اوسط کورنگ نمبروں کی وضاحت کی گئی ہے: پہلا مرکزی نظریہ کہتا ہے کہ ہر باقاعدہ خطہ اور ہر باقاعدہ منحنی خطوط کے لیے، جہاں L رشتہ دار حد کی لمبائی ہے، اور k وہ مستقل ہے جو صرف Y، σ، D اور γ پر منحصر ہو سکتا ہے، لیکن f اور X سے آزاد ہے۔ جب L = 0 ہوتا ہے تو یہ عدم مساوات کوورنگ کی خاصیت a) کا کمزور ینالاگ بن جاتی ہیں۔ دوسرا اہم نظریہ ρ کو اویلر کی خصوصیت کا منفی مان لیں (تاکہ m سوراخوں والے دائرے کے لیے ρ = 2m−2)۔ پھر یہ تب ہی معنی خیز ہوتا ہے جب ρ (Y)> 0، مثال کے طور پر جب Y تین (یا زیادہ) سوراخوں والا دائرہ ہو۔ اس صورت میں، نتیجہ کو کورنگ کی خاصیت ب) کی عمومی شکل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایپلی کیشنز اب فرض کریں کہ Z ایک کھلی ریمن سطح ہے، مثال کے طور پر پیچیدہ طیارہ یا یونٹ ڈسک، اور Z کو ایک کنفارمل میٹرک ds سے لیس ہونے دیں۔ ہم کہتے ہیں کہ (Z، ds) باقاعدگی سے ختم ہونے والا ہے اگر Z میں موجود سرحدی سطحوں کا بڑھتا ہوا سلسلہ DJ ان کی بندشوں کے ساتھ موجود ہے، جس کا اتحاد Z میں ہے، اور اس طرح کہ ایلفورس نے ثابت کیا کہ صوابدیدی کنفارمل میٹرک والا پیچیدہ طیارہ باقاعدگی سے ختم ہوتا ہے۔ یہ حقیقت، دو اہم نظریات کے ساتھ مل کر پکارڈ کے نظریہ، اور نیوانلننا نظریہ کے دوسرے اہم نظریہ کو ظاہر کرتی ہے۔ پکارڈ کے نظریہ کی بہت سی دیگر اہم عامیاں ایلفورس کے نظریہ سے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ ایک خاص طور پر حیرت انگیز نتیجہ (جس کا پہلے آندرے بلوچ نے قیاس کیا تھا) فائیو آئی لینڈ تھیوریم ہے۔ پانچ جزائر کا نظریہ فرض کریں کہ D1،.، D5 ریمن دائرے پر اردن کے پانچ علاقے ہیں جن میں جداگانہ بندش ہیں۔ پھر ایک مستقل c موجود ہوتا ہے، جو صرف ان خطوں پر منحصر ہوتا ہے، اور مندرجہ ذیل خاصیت رکھتا ہے: فرض کریں کہ f یونٹ ڈسک میں ایک مورومورفک فنکشن ہے جس سے کروی مشتق مطمئن ہوتا ہے پھر یونٹ ڈسک میں اس کے بند ہونے کے ساتھ ایک سیدھا جڑا ہوا خطہ G موجود ہوتا ہے، اس طرح کہ f G کا نقشہ ڈی جے ہومومورفک طور پر خطوں میں سے کسی ایک پر بناتا ہے۔ یہ چار خطوں کے ساتھ نہیں ملتا ہے۔ مثال کے طور پر f (z) = χ (Kz) لیں، جہاں K> 0 من مانی طور پر بڑا ہے، اور χ ویرسٹراس ایلیپٹک فنکشن ہے جو تفریق مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ چار نکات e1، e2، e3، φ کی تمام ابتدائی تصاویر متعدد ہیں، لہذا اگر ہم ان نکات کے ارد گرد جداگانہ بندش کے ساتھ چار ڈسکس لیتے ہیں، تو ایسا کوئی خطہ نہیں ہوگا جو ان میں سے کسی بھی ڈسک پر ہومیومورفک طور پر نقشہ بند ہو۔ احلفورس کے اصل جریدے کے مقالے کے علاوہ، اس نظریہ کی وضاحت کتابوں میں کی گئی ہے۔ دوسرے مرکزی نظریہ کے آسان ثبوت ٹوکی اور ڈی تھیلن کے کاغذات میں مل سکتے ہیں۔ پانچ جزیرے کے نظریہ کا ایک سادہ ثبوت، جو کہ ایلفورس کے نظریہ پر انحصار نہیں کرتا، برگ ویلر نے تیار کیا تھا۔ حوالہ جات