Barratt–Priddy theorem
ہوموٹوپی تھیوری میں، ریاضی کی ایک شاخ، بیرٹ-پریڈی تھیوریم (جسے بیرٹ-پریڈی-کویلن تھیوریم بھی کہا جاتا ہے) سمیٹرک گروپوں کی ہومیولوجی اور شعبوں کی نقشہ سازی کی جگہوں کے درمیان تعلق کا اظہار کرتا ہے۔ تھیوریم (جس کا نام مائیکل بیرٹ، اسٹیورٹ پریڈی، اور ڈینیل کویلن کے نام پر رکھا گیا ہے) کو اکثر کویلنز پلس کنسٹرکشن کے ذریعے سپیریئر سپیکٹرم اور سمیٹرک گروپوں کی درجہ بندی کرنے والی جگہوں کے درمیان تعلق کے طور پر بھی بیان کیا جاتا ہے۔ نظریہ کا بیان نقشہ سازی کی جگہ یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی کے تحت،-جہتی دائرے سے خود تک تمام مسلسل نقشوں کی ٹوپولوجیکل جگہ ہے (کمپیکٹ اوپن ٹوپولوجی کا ایک خاص معاملہ)۔ ان نقشوں کی ضرورت بیس پوائنٹ کو درست کرنے، تسلی بخش، اور ڈگری 0 رکھنے کے لیے ہوتی ہے۔ یہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ نقشہ سازی کی جگہ منسلک ہے۔ بیرٹ-پریڈی تھیوریم ان نقشہ سازی کی جگہوں کی ہومیولوجی اور سمیٹرک گروپوں کی ہومیولوجی کے درمیان تعلق کا اظہار کرتا ہے۔ یہ فرائیڈنتھل معطلی تھیوریم اور ہوریوکس تھیوریم کے مطابق ہے کہ اس نقشہ سازی کی جگہ کی th ہومیولوجی طول و عرض سے آزاد ہے، جب تک کہ. اسی طرح، ثابت کیا کہ عناصر پر سمیٹرک گروپ کی th گروپ ہومیولوجی آزاد ہے، جب تک کہ. یہ یکساں استحکام کی ایک مثال ہے۔ بارٹ-پریڈی تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ یہ "مستحکم ہومیولوجی گروپس" ایک جیسے ہیں: کیونکہ، ایک قدرتی آئسومورفزم ہے۔ یہ آئسومورفزم انٹیگرل کوفشنٹس کے ساتھ ہے (درحقیقت کسی بھی کوفشنٹس کے ساتھ، جیسا کہ نیچے دی گئی اصلاح میں واضح کیا گیا ہے)۔ مثال: پہلی ہومیولوجی یہ آئسومورفزم پہلی ہومیولوجی کے لیے واضح طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کسی گروپ کی پہلی ہم آہنگی اس گروپ کا سب سے بڑا تبادلہ کوٹینٹ ہے۔ پرموٹیشن گروپوں کے لیے، واحد کمیوٹیٹو کوشیئنٹ ایک پرموٹیشن کی علامت کے ذریعے دیا جاتا ہے، جس میں اقدار کو} میں لیا جاتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ، آرڈر 2 کا چکور گروپ، سب کے لیے۔ (اس لیے، یہ معمولی گروہ ہے۔) یہ خالی جگہوں کو ڈھانپنے کے نظریہ کی پیروی کرتا ہے کہ دائرے کی نقشہ سازی کی جگہ سکڑ سکتی ہے، لہذا۔ 2 دائرے کے لیے، نقشہ سازی کی جگہ کا پہلا ہوموٹوپی گروپ اور پہلا ہومیولوجی گروپ دونوں لامحدود چکور ہیں: اس گروپ کے لیے ایک جنریٹر ہوپف فائبرشن سے بنایا جا سکتا ہے۔ آخر میں، ایک بار، دونوں ترتیب 2 کے چکور ہوتے ہیں: تھیوریم کی اصلاح لامحدود سمیٹرک گروپ محدود سمیٹرک گروپوں کا اتحاد ہے، اور ناکاؤکا کے تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ گروپ کی ہومیولوجی: for، کی مستحکم ہومیولوجی ہے۔ اس گروپ کی درجہ بندی کی جگہ کی نشاندہی کی جاتی ہے، اور اس جگہ کی اس کی ہومیولوجی گروپ ہومیولوجی ہے: ہم اسی طرح معطلی سے پیدا ہونے والی شمولیت کے تحت نقشہ سازی کی جگہوں کے اتحاد کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ کی ہومیولوجی پچھلی نقشہ سازی کی جگہوں کی مستحکم ہومیولوجی ہے: کیونکہ، ایک قدرتی نقشہ ہے ؛ اس نقشے کی تعمیر کا ایک طریقہ ایک مناسب ٹوپولوجی سے مالا مال کے محدود ذیلی سیٹوں کی جگہ کے طور پر ماڈل کے ذریعے ہے۔ بیرٹ-پریڈی تھیوریم کی ایک مساوی تشکیل یہ ہے کہ ایک ہومیولوجی مساوات (یا ایسائکلک نقشہ) ہے، جس کا مطلب ہے کہ کسی بھی مقامی گتانک نظام کے ساتھ تمام ہومیولوجی گروپوں پر ایک آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ کویلن کے پلس کی تعمیر کے ساتھ تعلق بیرٹ-پریڈی تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کویلن کے پلس کی تعمیر کو لاگو کرنے سے پیدا ہونے والی جگہ کی شناخت کی جا سکتی ہے۔ (چونکہ، نقشہ جمع کی تعمیر کی عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے ایک بار جب یہ معلوم ہو جاتا ہے کہ یہ ایک ہومیولوجی مساوات ہے۔) نقشہ سازی کی جگہوں کو زیادہ عام طور پر اس کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں-دائرے کی-فولڈ لوپ کی جگہ ہے، اور اسی طرح اس کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہذا بیرٹ-پریڈی تھیوریم کو اس طرح بھی بیان کیا جا سکتا ہے یا خاص طور پر، ہوموٹوپی گروپس شعبوں کے مستحکم ہوموٹوپی گروپس ہیں: "F1 کا K-تھیوری" بیرٹ-پریڈی تھیوریم کو بعض اوقات بول چال میں یہ کہتے ہوئے دوبارہ بیان کیا جاتا ہے کہ "F1 کے K-گروپس شعبوں کے مستحکم ہوموٹوپی گروپس ہیں"۔ یہ کوئی بامعنی ریاضیاتی بیان نہیں ہے، بلکہ ایک استعارہ ہے جو الجبرائی K-تھیوری کے ساتھ مشابہت کا اظہار کرتا ہے۔ "ایک عنصر والا فیلڈ" F1 ایک ریاضیاتی آبجیکٹ نہیں ہے ؛ یہ الجبرا اور کمبینٹوریکس کے درمیان مماثلتوں کے مجموعے سے مراد ہے۔ ایک مرکزی مشابہت وہ خیال ہے جو سمیٹرک گروپ ہونا چاہیے۔ رنگ R کے اعلی K-گروپوں کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ اس مشابہت کے مطابق، کے-گروپوں کی تعریف اس طرح کی جانی چاہیے، جو بیرٹ-پریڈی تھیوریم کے مطابق: ہوموٹوپی تھیوری میں حوالہ جات کے نظریات ہیں۔