Conformal geometric algebra
رسمی ہندسی الجبرا (سی جی اے) وہ ہندسی الجبرا ہے جو نقشے کے نتیجے کی جگہ پر ایک جہتی بیس اسپیس میں پوائنٹس سے لے کر صفر ویکٹر تک بنایا گیا ہے۔ یہ بیس اسپیس پر کارروائیوں کی اجازت دیتا ہے، بشمول عکاسی، گردش اور ترجمے کو ہندسی الجبرا کے ورسرز کا استعمال کرتے ہوئے پیش کیا جاتا ہے۔ اور یہ پایا گیا ہے کہ پوائنٹس، لائنیں، طیارے، حلقے اور دائرے خاص طور پر قدرتی اور کمپیوٹیشنل طور پر قابل قبول نمائندگی حاصل کرتے ہیں۔ نقشہ سازی کا اثر اتنا عام ہے (یعنی۔ بشمول صفر کرویچر)-بیس اسپیس کے نقشے میں-blades پر دائرے، اور تاکہ بیس اسپیس کے ترجمہ (یا کسی بھی کنفارمل میپنگ) کا اثر اعلی جہتی اسپیس میں گردش سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس جگہ کے الجبرا میں، ویکٹروں کے ہندسی پروڈکٹ پر مبنی، اس طرح کی تبدیلیاں الجبرا کی خصوصیت والے سینڈوچ آپریشنز سے مطابقت رکھتی ہیں، جو 3D میں مقامی گردش کے لیے کواٹرنیئنز کے استعمال سے ملتی جلتی ہیں، جو بہت مؤثر طریقے سے یکجا ہوتی ہیں۔ تبدیلیوں کی نمائندگی کرنے والے روٹرز کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ شعبوں، طیاروں، حلقوں اور دیگر ہندسی اشیاء کی نمائندگی، اور ان کو جوڑنے والی مساوات، سبھی متغیر طور پر تبدیل ہو جاتے ہیں۔ ایک ہندسی شے (a-دائرے) کو لکیری طور پر آزاد ویکٹروں کے پچر پروڈکٹ کے طور پر ترکیب کیا جا سکتا ہے جو شے پر پوائنٹس کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس کے برعکس، شے کو اس کی سطح پر مختلف پوائنٹس کی نمائندگی کرنے والے ویکٹروں کے بار بار پچر پروڈکٹ کے طور پر تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ کچھ انٹرسیکشن آپریشنز ایک صاف الجبری شکل بھی حاصل کرتے ہیں: مثال کے طور پر، یوکلڈین بیس اسپیس کے لیے، دو شعبوں کی نمائندگی کرنے والے ٹیٹراویکٹرز کے ڈوئل پر پچر پروڈکٹ کا اطلاق ان کے انٹرسیکشن کے دائرے کی ٹرائیوکٹر نمائندگی کا ڈوئل پیدا کرتا ہے۔ چونکہ یہ الجبرائی ڈھانچہ خود کو براہ راست موثر حساب کتاب کے لیے قرض دیتا ہے، اس لیے یہ ٹھوس، آسانی سے ہیرا پھیری کی ترتیب میں پروجیکٹو جیومیٹری اور الٹا جیومیٹری کے کلاسیکی طریقوں کی کھوج میں سہولت فراہم کرتا ہے۔ اسے سکرو تھیوری میں حساب کتاب کی نمائندگی اور سہولت کے لیے ایک موثر ڈھانچے کے طور پر بھی استعمال کیا گیا ہے۔ سی جی اے کا اطلاق خاص طور پر پانچ جہتی ویکٹر اسپیس میں روزمرہ کے یوکلڈین اسپیس کی پروجیکٹو میپنگ کے سلسلے میں کیا گیا ہے، جس کی روبوٹکس اور کمپیوٹر وژن میں ایپلی کیشنز کے لیے تحقیقات کی گئی ہیں۔ اسے عام طور پر کسی بھی فرضی یوکلڈین جگہ پر لاگو کیا جا سکتا ہے-مثال کے طور پر، خلا میں منکووسکی کی جگہ۔ سی جی اے نوٹیشن اور اصطلاحات کی تعمیر اس مضمون میں الجبرہ پر توجہ مرکوز کی گئی ہے کیونکہ یہ خاص الجبرہ ہے جو وقت کے ساتھ سب سے زیادہ توجہ کا موضوع رہا ہے ؛ دیگر معاملات کو مختصر طور پر ایک علیحدہ حصے میں شامل کیا گیا ہے۔ ماڈل کی جانے والی اشیاء پر مشتمل جگہ کو یہاں بیس اسپیس کہا جاتا ہے، اور الجبرائی جگہ جو ان اشیاء کو نمائندگی یا کنفارمل اسپیس کے طور پر ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ یکساں ذیلی جگہ سے مراد الجبرائی جگہ کی لکیری ذیلی جگہ ہے۔ اشیاء کے لیے اصطلاحات: نقطہ، لکیر، دائرہ، دائرہ، نیم دائرہ وغیرہ۔ ان کا مطلب یا تو بنیادی جگہ میں ہندسی شے، یا نمائندگی کی جگہ کی یکساں ذیلی جگہ ہے جو اس شے کی نمائندگی کرتی ہے، جس میں مؤخر الذکر کا عام طور پر ارادہ کیا جاتا ہے جب تک کہ دوسری صورت میں اشارہ نہ کیا جائے۔ الجبرائی طور پر، یکساں ذیلی جگہ کا کوئی بھی غیر صفر صفر عنصر استعمال کیا جائے گا، جس میں ایک عنصر کو کچھ معیار کے ذریعہ معمول کے طور پر حوالہ دیا جاتا ہے۔ بولڈ فیس لوور کیس لاطینی حروف اصل سے بیس اسپیس میں ایک نقطہ تک پوزیشن ویکٹر کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ اٹالک علامتیں نمائندگی کی جگہ کے دیگر عناصر کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ بیس اور نمائندگی کی جگہیں بیس اسپیس کی نمائندگی ایک منتخب کردہ اصل سے نقل مکانی کے لیے ایک بنیاد کو بڑھا کر اور بیس اسپیس میں اور ایک دوسرے میں دو بیس ویکٹر اور آرتھوگنل کو شامل کرکے، اور نمائندگی کی جگہ بنا کر کی جاتی ہے۔ اور، کہاں، اور کی جگہ پر دو نیل ویکٹر اور بیس ویکٹر کے طور پر استعمال کرنا آسان ہے۔ اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے، جہاں بیس اسپیس میں ہے، کہ: یہ خصوصیات نمائندگی کی جگہ میں ایک عام ویکٹر کے بیس ویکٹر گتانک کے لیے مندرجہ ذیل فارمولوں کی طرف لے جاتی ہیں جس میں عناصر ہر دوسرے بیس عنصر کے لیے آرتھوگنل ہوتے ہیں: کا گتانک ہے۔ بیس اسپیس اور نمائندگی کی جگہ کے درمیان نقشہ سازی بیس اسپیس میں ایک ویکٹر سے نقشہ سازی (اصل سے نمائندگی شدہ افائن اسپیس میں ایک نقطہ تک ہونے کی وجہ سے) اس فارمولے کے ذریعے دی جاتی ہے: پوائنٹس اور دیگر اشیاء جو صرف ایک غیر صفر اسکیلر عنصر سے مختلف ہوتی ہیں، بیس اسپیس میں ایک ہی شے کا نقشہ بناتے ہیں۔ جب معمول کی خواہش ہوتی ہے، جیسا کہ نمائندگی کی جگہ سے بیس اسپیس تک کسی نقطہ کا سادہ الٹا نقشہ بنانے یا فاصلے کا تعین کرنے کے لیے، شرط استعمال کی جا سکتی ہے۔ فارورڈ میپنگ اس کے مساوی ہے: پہلے خلا میں ایک یونٹ 3-دائرے سے مطابقت سے پیش کرنا (5-D میں یہ سب اسپیس میں ہے) ؛ پھر اسے ایک پروجیکٹو اسپیس میں اٹھائیں، مل کر، اور اصل سے ایک ہی کرن پر موجود تمام نکات کی شناخت کریں (5-D میں یہ سب اسپیس میں ہے) ؛ پھر نارملائزیشن کو تبدیل کریں، لہذا یکساں پروجیکشن کے لیے طیارہ کوآرڈینیٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے جس کی قیمت ہوتی ہے، یعنی۔ ۔ الٹا نقشہ سازی نال کون کے لیے ایک الٹا نقشہ سازی (Perwass eqn 4.37) بذریعہ دی گئی ہے۔ یہ پہلے لائٹ کون سے ہوائی جہاز پر ایک سٹیریوگرافک پروجیکشن دیتا ہے، اور پھر اور حصوں کو پھینک دیتا ہے، تاکہ مجموعی نتیجہ تمام مساوی پوائنٹس کا نقشہ بنانا ہو۔ ابتداء اور انفینیٹی پر نقطہ نقشوں میں موجود نقطہ سے اندر کی طرف، اس طرح کی شناخت اصل میں نقطہ کے (نمائندگی) ویکٹر کے طور پر کی جاتی ہے۔ غیر صفر گتانک کے ساتھ ایک ویکٹر، لیکن ایک صفر گتانک، (الٹا نقشے پر غور کرتے ہوئے) میں ایک لامحدود ویکٹر کی شبیہہ ہونی چاہیے۔ اس لیے سمت انفینیٹی پر (کنفارمل) پوائنٹ کی نمائندگی کرتی ہے۔ یہ سبسکرپٹس کو اور نیل بیس ویکٹرز کی شناخت کے لیے حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ اصل کا انتخاب من مانی ہے: کسی بھی دوسرے نقطہ کا انتخاب کیا جا سکتا ہے، کیونکہ نمائندگی ایک افائن اسپیس کی ہوتی ہے۔ اصل محض ایک حوالہ نقطہ کی نمائندگی کرتا ہے، اور الجبرائی طور پر کسی دوسرے نقطہ کے مساوی ہے۔ کسی بھی ترجمہ کی طرح، اصل کو تبدیل کرنا نمائندگی کی جگہ میں گردش سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہندسی اشیاء اور کے ساتھ مل کر، یہ الجبرا کے 32 بنیادی بلیڈ ہیں۔ فلیٹ پوائنٹ اوریجن کو بیرونی پروڈکٹ کے طور پر لکھا جاتا ہے کیونکہ ہندسی پروڈکٹ مخلوط گریڈ کا ہوتا ہے۔ مساوات کے جوڑے کے حل کے طور پر نمائندگی کرنے والی جگہ کے کسی بھی غیر صفر بلیڈ کو دیکھتے ہوئے، ویکٹرز کا مجموعہ جو شکل کی یکساں مساوات کے جوڑے کا حل ہے، وہ صفر ویکٹرز کی یکساں 1-d ذیلی جگہوں کا اتحاد ہے، اور اس طرح بیس اسپیس میں پوائنٹس کے ایک سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ ایک بلیڈ کے انتخاب کی طرف لے جاتا ہے جو کہ ہندسی اشیاء کی ایک خاص کلاس کی نمائندگی کرنے کا ایک مفید طریقہ ہے۔ بلیڈ کے لیے مخصوص معاملات (خلا کے طول و عرض کی تعداد سے آزاد) جب بیس اسپیس یوکلیڈین اسپیس ہوتی ہے: ایک اسکیلر: خالی سیٹ ایک ویکٹر: ایک واحد نقطہ ایک بائی ویکٹر: پوائنٹس کا ایک جوڑا ایک ٹرائیوکٹر: ایک عمومی دائرہ ایک 4-ویکٹر: ایک عمومی دائرہ وغیرہ۔ ان میں سے ہر ایک کو تین صورتوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اس کے مطابق کہ آیا وہ مثبت، صفر یا منفی ہے، جیسا کہ درج کردہ شے سے مطابقت رکھتا ہے (کچھ صورتوں میں الٹا ترتیب میں)، ایک واحد نقطہ کا انحطاط شدہ معاملہ، یا کوئی پوائنٹ نہیں (جہاں خارج شدہ صفر کے غیر صفر حل صفر ویکٹر)۔ درج شدہ ہندسی اشیاء (عمومی-دائرے) بنیادی جگہ کے فرضی-یوکلڈین ہونے کی زیادہ عام صورت میں نیم دائرے بن جاتے ہیں۔ فلیٹ آبجیکٹ کی شناخت اس نقطہ سے کی جا سکتی ہے جسے حلوں میں شامل کیا جا رہا ہے۔ اس طرح، اگر، شے ایک لکیر، طیارہ، وغیرہ ہوگی، بلیڈ کے لیے بالترتیب گریڈ 3، 4، وغیرہ کا ہونا۔ جیسا کہ آبجیکٹ کے پوائنٹس سے اخذ کیا گیا ہے اس کلاس کی آبجیکٹ میں سے کسی ایک کی نمائندگی کرنے والا بلیڈ، آبجیکٹ پر پوائنٹس کی نمائندگی کرنے والے لکیری طور پر آزاد ویکٹروں کے بیرونی پروڈکٹ کے طور پر پایا جا سکتا ہے۔ بیس اسپیس میں، یہ لکیری آزادی اس طرح ظاہر ہوتی ہے جیسے ہر نقطہ دوسرے نکات کے ذریعہ بیان کردہ شے سے باہر پڑا ہو۔ لہذا، مثال کے طور پر، تین الگ الگ پوائنٹس کے ذریعہ بیان کردہ عمومی دائرے پر پڑا چوتھا نقطہ کسی دائرے کی وضاحت کے لیے چوتھے نقطہ کے طور پر استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں تو نیل شنک-نیل پیرابولہ پر ای 123 نقشے میں پوائنٹس کی مشکلات۔ ہم ای 123 ایس ٹی میں پوائنٹس کے لوکس پر غور کر سکتے ہیں۔ کنفارمل اسپیس میں، مختلف قسم کے ہندسی آبجیکٹ A کے لیے۔ ہم اس موازنہ کا مشاہدہ کرتے ہوئے شروع کرتے ہیں: x. a = 0 => x پرپ a ؛ x۔ (a) = 0 => x پرپ a اور x پرپ b = 0 => x a کے متوازی ؛ x (a) = 0 => x a کے متوازی یا b کے متوازی (یا کسی لکیری امتزاج کے ساتھ) اندرونی پروڈکٹ اور بیرونی پروڈکٹ کی نمائندگی کا تعلق دوہری شکل x. A = 0 <=> x سے ہے۔ A * = 0 (چیک کریں-کام کرتا ہے اگر x 1-ڈم ہے، A n-1 ڈم ہے) g (x)۔ A = 0 A نقطہ: R3 میں x کا لوکس ایک نقطہ ہے اگر R4,1 میں A صفر شنک پر ایک ویکٹر ہو۔ (این۔ بی۔ کہ چونکہ یہ ایک یکساں پروجیکٹو اسپیس ہے، اس لیے ماخذ کے ذریعے کرن پر کسی بھی لمبائی کے ویکٹر مساوی ہیں، اس لیے g (x). A = 0، g (x). g (a) = 0 کے مساوی ہے۔ ایک دائرہ: x کا لوکس ایک دائرہ ہے اگر A = S، صفر شنک سے دور ایک ویکٹر۔ اگر پھر S. X = 0 => یہ وہ نکات ہیں جو صفر شنک سے دور ویکٹر S کے لیے دائرے سے مطابقت رکھتے ہیں، تو کون سی سمتیں ہائپربولک طور پر آرتھوگنل ہیں؟ (cf لورینٹز ٹرانسفارمیشن پکس) 2 + 1 D میں، اگر S (1، a، b) ہے، (کوورڈز e -، {e +، ei} کا استعمال کرتے ہوئے)، ہائپربولک طور پر آرتھوگنل پوائنٹس S کے لیے وہ یوکلڈینلی آرتھوگنل ہیں (-1، a، b)-یعنی، ایک طیارہ ؛ یا n طول و عرض میں، اصل کے ذریعے ایک ہائپرپلین۔ یہ ایک اور سطح کو کاٹ دے گا جو کسی لکیر میں اصل کے ذریعے نہیں ہے (این-2 سطح میں ایک ہائپر سرفیس)، اور پھر شنک کو دو نکات میں (ریسپ۔ کسی قسم کی این-3 مخروطی سطح)۔ تو یہ شاید کسی قسم کے کونک کی طرح نظر آنے والا ہے۔ یہ وہ سطح ہے جو g کے نیچے کسی دائرے کی شبیہہ ہے۔ ایک طیارہ: x کا لوکس ایک طیارہ ہے اگر A = P، ایک ویکٹر جس میں صفر کا کوئی جزو نہیں ہے۔ یکساں پروجیکٹو اسپیس میں ایسا ویکٹر P طیارہ نمبر = 1 پر ایک ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے جو اصل سے لامحدود دور ہوگا (یعنی صفر شنک سے لامحدود دور)، لہذا g (x). P = 0 لامحدود رداس کے دائرے پر x سے مطابقت رکھتا ہے، ایک طیارہ۔ خاص طور پر: اصل سے نارمل آرتھوگنل فاصلے α کے ساتھ ہوائی جہاز پر x سے مطابقت رکھتا ہے۔ عام a-b حلقوں کے ساتھ a اور b کے درمیان آدھے راستے سے مطابقت رکھتا ہے، ٹینجینٹ طیاروں کی لکیریں انفینٹی پوائنٹ جوڑوں میں تبدیلیاں عکاسی کرتی ہیں۔ اس بات کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ P g (x) P کی تشکیل نال کون، g (x ') پر ایک نئی سمت دیتی ہے، جہاں x' R3 میں پوائنٹس p کے جہاز میں عکاسی سے مطابقت رکھتا ہے جو g (p) کو مطمئن کرتا ہے۔ P = 0. g (x)۔ A = 0 => P g (x)۔ A P = 0 => P g (x) P۔ پی اے پی (اور اسی طرح پچر پروڈکٹ کے لیے)، لہذا اوپر والے حصے میں کسی بھی مقدار اے پر پی سینڈوچ فیشن لگانے کا اثر اسی طرح پوائنٹس ایکس کے متعلقہ لوکس کی عکاسی کرتا ہے، لہذا متعلقہ حلقے، دائرے، لکیریں اور طیاروں کو خاص قسم کے اے سے مطابقت بالکل اسی طرح ظاہر ہوتا ہے جس طرح پی سے جی (ایکس) کا اطلاق ایک پوائنٹ ایکس کی عکاسی کرتا ہے۔ اس عکاسی کے عمل کو عمومی ترجمے اور گردشوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: ترجمہ دو متوازی طیاروں میں عکاسی ایک ترجمہ دیتا ہے، اگر اور پھر گردش ایک x 'سے مطابقت رکھتی ہے جسے اصل کے بارے میں زاویہ 2 θ سے گھمایا جاتا ہے جہاں θ a اور b کے درمیان کا زاویہ ہے-وہی اثر جو اس روٹر کا ہوتا اگر اسے براہ راست x پر لاگو کیا جائے۔ عام نقطہ کے بارے میں عمومی گردشوں کو پہلے نقطہ کو اصل میں ترجمہ کرکے، پھر اصل کے گرد گھوم کر، پھر نقطہ کو اس کی اصل پوزیشن پر واپس ترجمہ کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے، یعنی۔ آپریٹر کی طرف سے سینڈوچنگ تاکہ سکرو، یا موٹر کے اثر کو سکرو کیا جائے، (ایک عام نقطہ کے بارے میں گردش، اس کے بعد گردش کے محور کے متوازی ترجمہ) آپریٹر کی طرف سے جی (ایکس) کو سینڈوچنگ کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایم کو پیرامیٹرائز بھی کیا جا سکتا ہے (چیسلز تھیوریم) الٹ ایک الٹ ایک دائرے میں عکاسی ہے-مختلف کارروائیاں جو اس طرح کے الٹ کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جا سکتی ہیں انورسیو جیومیٹری میں زیر بحث آتی ہیں۔ خاص طور پر، یوکلڈین تبدیلیوں کے ترجمہ اور گردش کے ساتھ الٹ کا امتزاج کسی بھی مطابقت پذیر نقشہ سازی کو ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے۔ کوئی بھی نقشہ سازی جو عالمی طور پر زاویوں کو محفوظ رکھتی ہے۔ (لیوویل کا نظریہ)۔ ایک ہی مرکز کے ساتھ دو الٹا پھیلاؤ ایک پھیلاؤ پیدا کرتے ہیں۔ جنرلائزیشنز ہسٹری کانفرنسز اور جریدے کلفورڈ اور جیومیٹرک الجیبراس کے ارد گرد ایک متحرک اور بین الضابطہ کمیونٹی ہے جس میں وسیع پیمانے پر ایپلی کیشنز ہیں۔ اس موضوع کی اہم کانفرنسوں میں کلفورڈ الجیبراس پر بین الاقوامی کانفرنس اور ریاضیاتی طبیعیات میں ان کی ایپلی کیشنز (آئی سی سی اے) اور کمپیوٹر سائنس اور انجینئرنگ (اے جی اے سی ایس ای) سیریز میں جیومیٹرک الجبرا کی ایپلی کیشنز شامل ہیں۔ ایک اہم اشاعت کا آؤٹ لیٹ سپرنگر جریدہ ایڈوانسز ان اپلائیڈ کلفورڈ الجیبراس ہے۔ نوٹ حوالہ جات کتابچہ کتابیں Hestenes et al (2000)، in G. Somer (ed. )، جیومیٹرک کمپیوٹنگ کلفورڈ الجبرا کے ساتھ۔ سپرنگر ورلاگ۔ (گوگل بکس) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html Hestenes ویب سائٹ) Ch. 1: کلاسیکی جیومیٹری کے لیے نئے الجبرائی اوزار Ch. 2: کمپیوٹیشنل جیومیٹری کے لیے عمومی یکساں کوآرڈینیٹس Ch. 3: جیومیٹرک الجبرا کے ساتھ کروی کنفارمل جیومیٹری۔ 4: ایک یونیورسل ماڈل فار کنفارمل جیومیٹریز آف یوکلڈین، گول اور ڈبل ہائپربولک اسپیسز ہیسٹینس (2001)، ای۔ بیرو-کروچانو اور جی۔ سوبزک (ایڈز۔ )، جیومیٹرک الجبرا میں ایڈوانسز ود ایپلی کیشنز ان سائنس اینڈ انجینئرنگ، سپرنگر ورلاگ۔ گوگل بک اولڈ وائن ان نیو بوتلیں (پی پی۔ 1-14) ہیسٹینس (2010)، ای۔ بیرو-کروچانو اور جی۔ شیورمین (2010) میں، جیومیٹرک الجبرا کمپیوٹنگ ان انجینئرنگ اینڈ کمپیوٹر سائنس۔ سپرنگر ورلاگ۔ (گوگل بکس)۔ کمپیوٹیشنل جیومیٹری اور سکرو تھیوری ڈوران، سی اور لیسنبی، اے کے احیا کے لیے نئے اوزار۔ (2003)، جیومیٹرک الجبرا فار فزکسسٹس، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ § 10.2 ؛ پی۔ 351 اور سیک ڈورسٹ، ایل۔ اور دیگر (2007)، جیومیٹرک الجبرا فار کمپیوٹر سائنس، مورگن-کافمین۔ باب 13 ؛ پی۔ 355 اور سیق ونس، جے۔ (2008)، جیومیٹرک الجبرا فار کمپیوٹر گرافکس، سپرنگر ورلاگ۔ باب 11 ؛ صفحہ 199 اور سیق پرواس، سی۔ (2009)، جیومیٹرک الجبرا انجینئرنگ میں ایپلی کیشنز کے ساتھ، سپرنگر ورلاگ۔ § 4.3: پی۔ 145 اور سیق بیرو-کروچانو، ای۔ اور شیورمین جی۔ (2010، ایڈز۔ )، انجینئرنگ اور کمپیوٹر سائنس میں جیومیٹرک الجبرا کمپیوٹنگ۔ سپرنگر ورلاگ۔ پی پی۔ 3-90 Bayro-Corrochano (2010)، جیومیٹرک کمپیوٹنگ فار ویولیٹ ٹرانسفارمز، روبوٹ ویژن، لرننگ، کنٹرول اینڈ ایکشن۔ سپرنگر ورلاگ۔ باب 6 ؛ پی۔ 149-183 ڈورسٹ، ایل۔ اور لیسنبی، جے۔ (2011، ایڈز۔ )، گائیڈ ٹو جیومیٹرک الجبرا ان پریکٹس۔ سپرنگر ورلاگ، پی پی۔ 3-252۔ ۔ آن لائن وسائل ویئرہم، آر۔ (2006)، کمپیوٹر گرافکس یوزنگ کنفارمل جیومیٹرک الجبرا، پی ایچ ڈی تھیسس، یونیورسٹی آف کیمبرج، پی پی۔ 14-26، 31-67 برومبورسکی، A. (2008)، کنفارمل جیومیٹری بذریعہ جیومیٹرک الجبرا (آن لائن سلائیڈز) ڈیل ایکوا، اے ایٹ ال (2008)، پوائنٹس، لائنوں اور طیاروں کے ڈھانچوں سے تھری ڈی موشن، امیج اینڈ ویژن کمپیوٹنگ، 26 529-549 ڈورسٹ، ایل۔ (2010)، ٹیوٹوریل: اسٹرکچر-پریزرویشن ریپریزنٹیشن آف یوکلڈین موشنز تھرو کنفارمل جیومیٹرک الجبرا، ای۔ بیرو-کروچانو، جی۔ شیورمین (ایڈز۔ )، جیومیٹرک الجبرا کمپیوٹنگ، سپرنگر ورلاگ۔ کولاپینٹو، پی۔ (2011)، ورسر اسپاٹیل کمپیوٹنگ ود کنفارمل جیومیٹرک الجبرا، ایم ایس سی تھیسس، یونیورسٹی آف کیلیفورنیا سانتا باربرا میکڈونلڈ، اے۔ (2013)، جیومیٹرک الجبرا اور جیومیٹرک کیلکولس کا ایک سروے۔ (آن لائن نوٹ) § 4.2: صفحہ 26 وغیرہ۔ Rn + 1 پر موٹر الجبرا پر: ایڈورڈو بیرو کروچانو (2001)، جیومیٹرک کمپیوٹنگ فار پرسیپشن ایکشن سسٹمز: تصورات، الگورتھم اور سائنسی ایپلی کیشنز۔ (گوگل بکس) جیومیٹرک الجبرا کنفارمل جیومیٹری الٹ جیومیٹری کمپیوٹیشنل جیومیٹری