Zone diagram
زون ڈایٔیگرام ایک مخصوص ہندسی شے ہے جو ورونوئی ڈایٔیگرام کے تصور سے مختلف ہوتی ہے۔ اسے ٹیٹسوو اسانو، جیری ماتوشیک، اور تاکشی ٹوکیوما نے 2007 میں متعارف کرایا تھا۔ رسمی طور پر، یہ ایک مخصوص فنکشن کا ایک مقررہ نقطہ ہے۔ اس کا وجود یا انفرادیت پہلے سے واضح نہیں ہے اور صرف مخصوص معاملات میں قائم کی گئی ہے۔ اس کی گنتی بھی واضح نہیں ہے۔ ایک خاص لیکن معلوماتی معاملہ یوکلڈین سطح میں مختلف نکات کے ایک گروپ پر غور کریں۔ ہر پوائنٹ کو سائٹ کہا جاتا ہے۔ جب ہم ان سائٹوں سے متاثر ہونے والے ورونوئی خاکہ کے بارے میں بات کرتے ہیں، تو ہم اس سائٹ سے ہوائی جہاز کے تمام نکات کا مجموعہ جوڑتے ہیں جن کا دی گئی سائٹ سے فاصلہ کسی دوسری سائٹ سے ان کے فاصلے سے زیادہ نہیں ہوتا ہے۔ ان خطوں کا مجموعہ ان مقامات سے وابستہ ورونوئی خاکہ ہے، اور یہ سطح کو خطوں میں سڑنے پر مجبور کرتا ہے: ورونوئی کے علاقے (ورونوئی خلیات)۔ زون ڈائیگرام میں سائٹ سے وابستہ خطے کی وضاحت تھوڑی مختلف ہے: اسے ان تمام نکات کے سیٹ سے جوڑنے کے بجائے جن کا فاصلہ دوسرے مقامات سے ان کے فاصلے سے زیادہ نہیں ہے، ہم ہوائی جہاز کے ان تمام نکات کے سیٹ سے منسلک کرتے ہیں جن کا فاصلہ کسی دوسرے خطے سے ان کے فاصلے سے زیادہ نہیں ہے۔ رسمی طور پر۔ یہاں پوائنٹس کے درمیان یوکلڈین فاصلے کو ظاہر کرتا ہے اور اور پوائنٹ اور سیٹ کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ اس کے علاوہ، چونکہ ہم ہوائی جہاز پر غور کرتے ہیں۔ ٹپل سائٹس سے وابستہ زون کا خاکہ ہے۔ اس تعریف کے ساتھ مسئلہ یہ ہے کہ یہ سرکلر لگتا ہے: یہ جاننے کے لیے ہمیں ہر انڈیکس کے بارے میں جاننا چاہیے لیکن اس طرح کے ہر ایک کی تعریف کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ دوسری سوچ پر، ہم دیکھتے ہیں کہ دراصل ٹپل مندرجہ ذیل مساوات کے نظام کا حل ہے: سختی سے، زون خاکہ اس نظام کا کوئی بھی حل ہے، اگر ایسا حل موجود ہو۔ اس تعریف کو بنیادی طور پر اعلی طول و عرض میں کسی تبدیلی کے بغیر بڑھایا جا سکتا ہے، ایسی سائٹس تک جو ضروری طور پر پوائنٹس نہیں ہیں، لامحدود بہت سی سائٹس وغیرہ تک۔ تشریح کچھ ترتیبات میں، جیسے کہ اوپر بیان کردہ، ایک زون خاکہ کو باہمی دشمن ریاستوں کے درمیان ایک خاص توازن کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایک مجرد ترتیب میں اس کی تشریح ایک مخصوص مشترکہ کھیل میں مستحکم ترتیب کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ رسمی تعریف ایک میٹرک اسپیس ہونے دیں اور کم از کم 2 عناصر (انڈیکس) کا مجموعہ ہونے دیں، ممکنہ طور پر لامحدود۔ غیر خالی ذیلی سیٹوں کے ایک ٹپل کو دیکھتے ہوئے، جسے سائٹس کہا جاتا ہے، اس ٹپل کے حوالے سے ایک زون خاکہ اس طرح کے ذیلی سیٹوں کا ایک ٹپل ہے جو مندرجہ ذیل تمام مساوات کے لیے مطمئن ہے: زون خاکہ ایک مقررہ نقطہ کے طور پر مساوات کا نظام جو زون خاکہ کی وضاحت کرتا ہے اسے پروڈکٹ اسپیس پر بیان کردہ فنکشن کے ایک مقررہ نقطہ کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، ہر انڈیکس کے لیے تمام غیر خالی ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ فرض کریں اور اس فنکشن کی وضاحت کریں، جہاں اور پھر ایک زون خاکہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ڈوم کا ایک مقررہ نقطہ ہو، یعنی۔ زون کے خاکے کو فکسڈ پوائنٹس کے طور پر دیکھنا مفید ہے کیونکہ کچھ ترتیبات میں فکسڈ پوائنٹ تھیوری کے معروف ٹولز یا نقطہ نظر کو ان کی تحقیقات اور متعلقہ خصوصیات (وجود وغیرہ) حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ وجود اور انفرادیت آسانو اور دیگر کے اہم کام کے بعد۔ (محدود طور پر کئی پوائنٹ سائٹس کے حوالے سے یوکلڈین سطح میں زون خاکہ کا وجود اور انفرادیت)، کئی وجود یا وجود اور انفرادیت کے نتائج شائع کیے گئے ہیں۔ 2012 تک، سب سے زیادہ عام نتائج جو شائع ہوئے ہیں وہ ہیں: 2 سائٹس (وجود): کسی بھی میٹرک اسپیس میں من مانی سائٹس کے کسی بھی جوڑے کے لیے کم از کم ایک زون ڈائیگرام موجود ہے۔ درحقیقت، یہ وجود کا نتیجہ کسی بھی m-اسپیس میں ہوتا ہے (میٹرک اسپیس کی عمومی شکل جس میں، مثال کے طور پر، فاصلہ فنکشن منفی ہو سکتا ہے اور مثلث کی عدم مساوات کو پورا نہیں کر سکتا ہے)۔ 2 سے زیادہ سائٹس (وجود): یکساں طور پر کنویکس اسپیس کے کمپیکٹ اور کنویکس سب سیٹ کے اندرونی حصے میں موجود محدود طور پر بہت سے کمپیکٹ اور جداگانہ سائٹس کا زون خاکہ موجود ہے۔ یہ نتیجہ دراصل زیادہ عمومی ترتیب میں ہوتا ہے۔ 2 سے زیادہ سائٹس (وجود اور انفرادیت): کسی بھی محدود جہتی یوکلڈین اسپیس میں بند اور مثبت طور پر الگ الگ سائٹس کے کسی بھی مجموعہ (ممکنہ طور پر لامحدود) کے حوالے سے ایک منفرد زون خاکہ موجود ہے۔ مثبت طور پر الگ ہونے کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی دو مقامات کے درمیان فاصلے پر ایک مثبت نچلی حد موجود ہے۔ اسی طرح کا نتیجہ اس معاملے کے لیے وضع کیا گیا تھا جس میں معیاری جگہ محدود جہتی ہوتی ہے اور یکساں طور پر کنویکس اور یکساں طور پر ہموار ہوتی ہے۔ غیر انفرادیت: سادہ مثالیں دو پوائنٹ سائٹس کے معاملے میں بھی جانی جاتی ہیں۔ کمپیوٹیشن مزید معلومات کی ضرورت ہے۔ متعلقہ اشیاء اور ممکنہ ایپلی کیشنز ورونوئی خاکے کے علاوہ، زون خاکے دیگر ہندسی اشیاء جیسے ڈبل زون خاکے، ٹرائسیکٹرز، کے سیکٹرز، مولفائیڈ زون خاکے سے قریب سے متعلق ہیں اور اس کے نتیجے میں روبوٹ کی حرکت اور وی ایل ایس آئی ڈیزائن سے متعلق مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات کے خاکے