Compound of three octahedra
ریاضی میں، تین آکٹاہیڈرا یا آکٹاہیڈرون 3 مرکب کا مرکب ایک پولی ہیڈرل مرکب ہے جو تین باقاعدہ آکٹاہیڈرا سے بنا ہے، یہ سب ایک مشترکہ مرکز کا اشتراک کرتے ہیں لیکن ایک دوسرے کے حوالے سے گھومتے ہیں۔ اگرچہ یہ ریاضیاتی ادب میں پہلے ظاہر ہوا تھا، لیکن اسے ایم سی ایسچر نے دوبارہ دریافت کیا اور اسے مقبول بنایا، جس نے اسے اپنے 1948 کے لکڑی کے ستاروں کی مرکزی تصویر میں استعمال کیا۔ تعمیر ایک باقاعدہ آکٹا ہیڈرون کو مکعب کے ارد گرد اس طرح سے گھیر لیا جا سکتا ہے کہ مکعب کے دو مخالف مربعوں کے آٹھ کنارے آکٹا ہیڈرون کے آٹھ چہروں پر پڑے ہوں۔ مخالف مکعب مربعوں کے تین جوڑوں سے اس طرح بنے تین آکٹھیڈرا تین آکٹھیڈرا کا مرکب بناتے ہیں۔ آٹھ مکعب عمودی کمپاؤنڈ میں آٹھ پوائنٹس کے برابر ہیں جہاں تین کنارے ایک دوسرے کو عبور کرتے ہیں۔ ان ٹرپل کراسنگ میں حصہ لینے والے آکٹا ہیڈرون کناروں میں سے ہر ایک کو 1: کے تناسب سے کراسنگ پوائنٹ سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ بقیہ آکٹا ہیڈرون کنارے جوڑوں میں ایک دوسرے کو پار کرتے ہیں، کمپاؤنڈ کے اندرونی حصے میں ؛ ان کی کراسنگ ان کے وسط نکات پر ہوتی ہیں اور صحیح زاویہ بناتی ہیں۔ تین آکٹاہیڈرا کا مرکب ایک آکٹاہیڈرون کی تین نقلوں سے بھی بنایا جا سکتا ہے جس میں ہر کاپی کو تین سمیٹری محوروں میں سے کسی ایک کے گرد/4 کے زاویے سے گھمایا جا سکتا ہے جو ابتدائی آکٹاہیڈرون کے دو مخالف عمودی حصوں سے گزرتا ہے۔ تین آکٹھیڈرا کے ایک ہی مرکب کے لیے تیسری تعمیر تین کیوب کے مرکب کے دوہری پولی ہیڈرون کے طور پر ہے، جو یکساں پولی ہیڈرون مرکبات میں سے ایک ہے۔ تین آکٹھیڈرا میں سے کسی ایک کے چھ عمودی نقاط اور نقاط کے ذریعے دیے جا سکتے ہیں۔ دیگر دو آکٹھیڈرا میں نقاط ہوتے ہیں جو x یا y نقاط کے لیے z نقاط کا تبادلہ کر کے ان نقاط سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ہم آہنگی تین آکٹاہیڈرا کے مرکب میں ایک ہی آکٹاہیڈرون کی طرح ہم آہنگی گروپ ہوتا ہے۔ یہ ایک آئسوہیڈرل ڈیلٹا ہیڈرون ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کے چہرے مساوی مثلث ہیں اور اس میں ایک ہم آہنگی ہے جو ہر چہرے کو ہر دوسرے چہرے پر لے جاتی ہے۔ آئسوہیڈرل ڈیلٹاہیڈرا کا ایک معلوم لامحدود خاندان ہے، اور 36 مزید جو اس خاندان میں نہیں آتے ہیں۔ تین آکٹاہیڈرا کا مرکب 36 چھٹپٹ مثالوں میں سے ایک ہے۔ تاہم، اس کا ہم آہنگی گروپ ہر سرے کو ہر دوسرے سرے پر نہیں لے جاتا ہے، اس لیے یہ خود ایک یکساں پولی ہیڈرون مرکب نہیں ہے۔ تین آکٹھیڈرا کا چوراہا ایک کنویکس پولی ہیڈرون ہے جس کے 14 عمودی اور 24 چہرے ہیں، ایک ٹیٹراکس ہیکساہیڈرون، جو مرکزی مکعب کے ہر چہرے پر ایک نچلے مربع پرامڈ کو جوڑ کر بنتا ہے۔ اس طرح، مرکب کو ٹیٹراکس ہیکساہیڈرون کے ایک نکشتر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ٹیٹراکس ہیکساہیڈرون کی ایک مختلف شکل، جو مکعب کے ہر چہرے پر لمبے اہراموں کے استعمال سے بنتی ہے، غیر مخروطی ہوتی ہے لیکن اس کے مساوی مثلث کے چہرے ہوتے ہیں جو دوبارہ تین آکٹاہیڈرا کے چہروں کی طرح ایک ہی طیاروں پر ہوتے ہیں۔ یہ معروف آئسوہیڈرل ڈیلٹاہیڈرا میں سے ایک ہے۔ ایک تیسرا آئسوہیڈرل ڈیلٹا ہیڈرون جو ایک ہی چہرے کے طیاروں کا اشتراک کرتا ہے، چھ ٹیٹراہیڈرا کا مرکب، تین آکٹھیڈرا کے مرکب کے ہر چہرے کو تین اسٹیل آکٹینگولی بنانے کے لیے اسٹیل کر کے بنایا جا سکتا ہے۔ ایک ہی چہرے کے طیاروں کے ساتھ ایک چوتھا آئسوہیڈرل ڈیلٹا ہیڈرون، جو کہ تین آکٹاہیڈرا کے مرکب کا ایک اسٹیلیشن بھی ہے، ٹیٹراکس ہیکساہیڈرون کی طرح ہی مشترکہ ڈھانچہ رکھتا ہے لیکن مکعب چہروں کے ساتھ اہرام کو مکعب کے بیرونی حصے سے جوڑنے کے بجائے اندرونی طور پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہوئے اہراموں میں گھس جاتا ہے۔ وہ مکعب جس کے ارد گرد تین آکٹھیڈرا کو گھیر لیا جا سکتا ہے اس میں عکاسی کی ہم آہنگی کے نو طیارے ہوتے ہیں۔ ان میں سے تین عکاسی پین مکعب کے اطراف سے متوازی گزرتے ہیں، دو مخالف اطراف کے درمیان آدھے راستے سے ؛ دیگر چھ مکعب کے پار، اس کے چار عمودی حصوں سے گزرتے ہیں۔ یہ نو طیارے تین آکٹھیڈرا کے نو استوائی طیاروں کے ساتھ موافق ہیں۔ پیریو ڈیلا فرانسیسکا کے 15 ویں صدی کے مخطوطے ڈی کوینک کارپوریبس ریگولربس میں، ڈیلا فرانسیسکا نے پہلے ہی ایک مکعب کے گرد گھیرے ہوئے ایک آکٹا ہیڈرون کی ڈرائنگ شامل کی ہے، جس میں مکعب کے آٹھ کنارے آکٹا ہیڈرون کے آٹھ چہروں میں پڑے ہیں۔ ایک مکعب کے ارد گرد اس طرح سے گھیرے ہوئے تین آکٹھیڈرا تین آکٹھیڈرا کا مرکب بناتے ہیں، لیکن ڈیلا فرانسیسکا مرکب کی عکاسی نہیں کرتا ہے۔ ریاضیاتی ادب میں تین آکٹاہیڈرا کے مرکب کا اگلا ظہور میکس بروکنر کا 1900 کا کام معلوم ہوتا ہے، جس میں اس کا ذکر کیا گیا ہے اور اس میں اس کے ماڈل کی تصویر بھی شامل ہے۔ ڈچ آرٹسٹ ایم سی ایسچر نے اپنی 1948 کی لکڑی کے کٹے ہوئے ستاروں میں، لکڑی کے کٹے ہوئے پنجرے کی مرکزی شخصیت کے طور پر اس شکل میں استعمال کیا، جس میں دو گرگٹ ہوتے ہیں اور خلا میں تیرتے ہیں۔ ایچ ایس ایم کاکسٹر، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایسچر نے اس شکل کو آزادانہ طور پر دوبارہ دریافت کیا، لکھتے ہیں کہ "یہ قابل ذکر ہے کہ ایسچر، الجبرا یا تجزیاتی جیومیٹری کے کسی بھی علم کے بغیر، اس انتہائی ہم آہنگ شکل کو دوبارہ دریافت کرنے میں کامیاب رہا۔" تاہم، جارج ڈبلیو ہارٹ نے دستاویز کیا ہے کہ ایسچر بروکنر کے کام سے واقف تھا اور اس نے اسے بہت سے اسٹیلٹڈ پولی ہیڈرا اور پولی ہیڈرل مرکبات کی بنیاد کے طور پر استعمال کیا جو اس نے تیار کیے تھے۔ اس سے قبل 1948 میں، ایسچر نے اسی طرح کے تھیم، اسٹڈی فار اسٹارز کے ساتھ ایک ابتدائی لکڑی کا کٹ بنایا تھا، لیکن مطالعہ میں تین باقاعدہ آکٹھیڈرا کے مرکب کو استعمال کرنے کے بجائے انہوں نے ایک مختلف لیکن متعلقہ شکل، ایک اسٹیلٹیڈ رومبیک ڈوڈیکاہیڈرون (جسے بعض اوقات ایسچر کا ٹھوس کہا جاتا ہے) کا استعمال کیا، جسے تین چپٹے آکٹھیڈرا کے مرکب کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ پولی ہیڈرون کے طور پر یہ شکل ٹپوولوجیکل طور پر ڈیسڈیکاس ڈوڈیکاہڈرون سے ملتی جلتی ہے، جسے رومبک چہروں پر چھوٹے اہرام کے ساتھ رومبک ڈوڈیکاہڈرون کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ آکٹاڈرل کمپاؤنڈ کی دوہری شکل، تین کیوب کا مرکب، بعد میں ایسچر ووڈ کٹ، آبشار میں بھی دکھایا گیا ہے، جو اسی اسٹیلٹیڈ رومبیک ڈوڈیکاہڈرون کے ساتھ ہے۔ تین آکٹھیڈرا کے مرکب نے ریاضیاتی ادب میں مزید صحیح طریقے سے دوبارہ داخل کیا، جس نے اس کے وجود کا مشاہدہ کیا اور اس کے عمودی حصوں کے لیے نقاط فراہم کیے۔ اور کے ذریعے اس کا مزید تفصیل سے مطالعہ کیا گیا۔ تین آکٹاہیڈرا کے دیگر مرکبات آکٹاہیڈرا کے ساتھ مثلث اینٹی پریزم کے طور پر دیکھا جاتا ہے، اینٹی پریزم کا ایک اور یکساں پریسمٹک مرکب D3d سمیٹری کے ساتھ موجود ہے، آرڈر 12۔ ہر اینٹی پریزم کو 40 ڈگری گھمایا جاتا ہے۔ اوپر اور نیچے کے طیاروں کو مرکب ایننیگرام، {9/3} یا 3 {3} پر مشتمل دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ پانچ آکٹھیڈرا کمپاؤنڈ کا چار آکٹھیڈرا کمپاؤنڈ کا مرکب دس آکٹھیڈرا کمپاؤنڈ کا مرکب بیس آکٹھیڈرا حوالہ جات کا مرکب بیرونی روابط پولی ہیڈرل مرکبات