Jacobi ellipsoid
جیکوبی ایلیپسائڈ ایک ٹرائی ایکسیل ہے (یعنی۔ اسکیلین) ایلیپسائڈ ہائیڈروسٹیٹک توازن کے تحت جو اس وقت پیدا ہوتا ہے جب ایک خود کشش ثقل، یکساں کثافت کا سیال جسم مستقل کونیی رفتار کے ساتھ گھومتا ہے۔ اس کا نام جرمن ریاضی دان کارل گستاو جیکب جیکوبی کے نام پر رکھا گیا ہے۔ جیکوبی سے پہلے، میکلورین اسپیرائڈ، جسے 1742 میں وضع کیا گیا تھا، کو واحد قسم کا ایلیپسائڈ سمجھا جاتا تھا جو توازن میں ہو سکتا ہے۔ 1811 میں لگرینج نے سہ محوری ایلیپسائڈ کے توازن میں ہونے کے امکان پر غور کیا، لیکن یہ نتیجہ اخذ کیا کہ ایلیپسائڈ کے دو استوائی محور برابر ہونے چاہئیں، جس سے میکلورین اسپیرائڈ کا حل نکلتا ہے۔ لیکن جیکوبی نے محسوس کیا کہ لگرینج کا مظاہرہ ایک کافی شرط ہے، لیکن ضروری نہیں ہے۔ انہوں نے ریمارکس دیے: "اگر کوئی یہ سمجھے کہ انقلاب کے شعاعیں توازن کے واحد قابل قبول اعداد و شمار ہیں یہاں تک کہ دوسری ڈگری کی سطحوں کے پابند مفروضے کے تحت بھی" (۔) "در حقیقت ایک سادہ غور سے پتہ چلتا ہے کہ تین غیر مساوی محوروں والے ایلیپسائڈز بہت اچھی طرح سے توازن کے اعداد و شمار ہو سکتے ہیں ؛ اور یہ کہ کوئی استوائی حصے کے لیے من مانی شکل کا ایلیپس فرض کر سکتا ہے اور تیسرے محور (جو تین محوروں میں سب سے کم بھی ہے) اور گردش کی کونیی رفتار کا تعین کر سکتا ہے تاکہ ایلیپسائڈ توازن کا اعداد و شمار ہو۔" جیکوبی فارمولا استوائی نیم بنیادی محوروں اور قطبی نیم بنیادی محور کے ساتھ ایک ایلیپسائڈ کے لیے، کونیی رفتار تقریبا اس طرح دی جاتی ہے کہ کثافت کہاں ہے اور کشش ثقل مستقل ہے، اس شرط کے تابع ہے کہ اور کی مقررہ اقدار کے لیے، مندرجہ بالا شرط کا حل اس طرح ہے کہ انٹیگرلز کا اظہار نامکمل ایلیپٹک انٹیگرلز کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ کارلسن سمیٹرک فارم ایلیپٹک انٹیگرل کے لحاظ سے، کونیی رفتار کا فارمولا بن جاتا ہے اور نیم بنیادی محوروں کے نسبتا سائز پر شرط ہوتی ہے۔ جیکوبی ایلیپسائڈ کی کونیی رفتار اس طرح دی جاتی ہے جہاں ایلیپسائڈ کی کمیت ہے اور اوسط رداس ہے، جو ایلیپسائڈ کے برابر حجم کے دائرے کا رداس ہے۔ ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈ کے ساتھ تعلق جیکوبی اور ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈز گھومنے والے یکساں خود کشش ثقل والے سیال کے جسم کے لیے توازن کے اعداد و شمار ہیں۔ تاہم، جب کہ جیکوبی ایلیپسائڈ جسمانی طور پر گھومتا ہے، گھومتے ہوئے فریم میں سیال کا کوئی اندرونی بہاؤ نہیں ہوتا ہے، ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈ ایک مقررہ سمت کو برقرار رکھتا ہے، جس میں جزو سیال اس کے اندر گردش کرتا ہے۔ یہ ڈیڈیکنڈ کے نظریہ کا براہ راست نتیجہ ہے۔ کسی بھی جیکوبی ایلیپسائڈ کے لیے، ایک ہی نیم بنیادی محوروں اور ایک ہی کمیت کے ساتھ ایک ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈ موجود ہے اور اس کے بہاؤ کی رفتار کے میدان کے ساتھ جہاں ایلیپسائڈ کے محوروں کے ساتھ بالترتیب صف بندی والے محوروں پر کارٹیشین نقاط ہیں۔ یہاں ورٹیٹی ہے، جو پورے اسپیرائڈ () میں یکساں ہے۔ جیکوبی ایلیپسائڈ کی کونیی رفتار اور متعلقہ ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈ کی ورٹیٹی کا تعلق اس سے ہے۔ یعنی، ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈ کے سیال کا ہر ذرہ اسی مدت میں اسی طرح کے ایلیپٹیکل سرکٹ کو بیان کرتا ہے جس میں جیکوبی اسپیرائڈ ایک گردش انجام دیتا ہے۔ کے خاص معاملے میں، جیکوبی اور ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈز (اور میکلورین اسپیرائڈ) ایک ہی ہو جاتے ہیں ؛ جسمانی گردش اور سرکلر بہاؤ ایک ہی چیز کے برابر ہوتے ہیں۔ اس صورت میں، جیسا کہ ہمیشہ سختی سے گھومنے والے جسم کے لیے درست ہے۔ عام صورت میں، جیکوبی اور ڈیڈیکائنڈ ایلیپسائڈز میں ایک جیسی توانائی ہوتی ہے، لیکن جیکوبی اسپیرائڈ کی کونیی رفتار میکلورین اسپیرائڈ ریمن ایلیپسائڈ روچے ایلیپسائڈ ڈیرچلیٹ کا ایلیپسائڈل مسئلہ دیکھیں۔ کواڈریکس ایسٹرو فزکس فلوئڈ ڈائنامکس