Water retention on random surfaces
بے ترتیب سطحوں پر پانی کو برقرار رکھنا تالابوں میں پانی کو پکڑنے کا تخروپن ہے جو مختلف اونچائیوں کے خلیوں کی سطح پر ایک باقاعدہ صف جیسے مربع جالی پر ہوتا ہے، جہاں نظام کے ہر خلیے پر پانی کی بارش ہوتی ہے۔ نظام کی حدود کھلی ہیں اور پانی کو باہر نکلنے دیتی ہیں۔ پانی تالابوں میں پھنس جائے گا، اور آخر کار تمام تالاب اپنی زیادہ سے زیادہ اونچائی تک بھر جائیں گے، کسی بھی اضافی پانی کے ساتھ اسپل وے پر بہہ جائے گا اور نظام کی حدود سے باہر نکل جائے گا۔ مسئلہ یہ ہے کہ کسی دی گئی سطح پر پھنسے ہوئے یا برقرار رکھے ہوئے پانی کی مقدار کا پتہ لگانا ہے۔ بے ترتیب سطحوں کے لیے اس کا بڑے پیمانے پر مطالعہ کیا گیا ہے۔ بے ترتیب سطحیں ایک ایسا نظام جس میں برقرار رکھنے کے سوال کا مطالعہ کیا گیا ہے وہ بے ترتیب بلندیوں کی سطح ہے۔ یہاں کوئی بے ترتیب سطح کو سائٹ پرکولیشن کا نقشہ بنا سکتا ہے، اور ہر خلیے کو بنیادی گراف یا جالی پر کسی سائٹ پر نقشہ بنایا جاتا ہے جو نظام کی نمائندگی کرتا ہے۔ پرکولیشن تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے، اس نظام کی بہت سی خصوصیات کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ یہ یلغار پرکولیشن ماڈل کی ایک مثال ہے جس میں کسی بھی بے ترتیب جگہ سے نظام میں سیال داخل کیا جاتا ہے۔ ہائیڈرولوجی میں، کسی کا تعلق بہاؤ اور کیچمنٹس کی تشکیل سے ہے۔ مختلف نکاسی آب کے طاس (شمالی امریکہ میں واٹرشیڈ) کے درمیان کی حد تقریبا 1.22 کے فریکٹل طول و عرض کے ساتھ نکاسی آب کی تقسیم بناتی ہے۔ برقرار رکھنے کے مسئلے کو معیاری پرکولیشن میں نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ پانچ یکساں ممکنہ سطحوں کے نظام کے لیے، مثال کے طور پر، ذخیرہ شدہ پانی کی مقدار R5 صرف دو سطحی نظام R2 (p) میں ذخیرہ شدہ پانی کا مجموعہ ہے جس میں سب سے نچلی حالت میں سطح p کے مختلف حصوں کے ساتھ: R5 = R2 (1/5) + R2 (2/5) + R2 (3/5) + R2 (4/5) عام دو سطحی نظام 1,2 کے ساتھ p = 0.0,0.4,0.0,0.0 دائیں طرف دکھائے گئے ہیں (نیلا: گیلا، سبز: خشک، پیلا: گیلی جگہوں سے متصل اسپیل وے)۔ پانچ درجے کے نظام کا خالص برقرار رکھنا ان سب کا مجموعہ ہے۔ اوپری سطح پر کوئی پانی نہیں پھنستا ہے کیونکہ یہ مربع جالی، 0.592746 کے لیے رساو کی حد سے بہت اوپر ہے۔ دو سطحی نظام R2 (p) کو برقرار رکھنا تالابوں سے منسلک پانی کی مقدار ہے جو نظام کی حدود کو نہیں چھوتے ہیں۔ جب p کریٹیکل پرکولشن تھریشولڈ p c سے اوپر ہوتا ہے، تو وہاں ایک پرکولٹنگ کلسٹر یا تالاب ہوگا جو پورے نظام کا دورہ کرتا ہے۔ اس بات کا امکان کہ ایک نقطہ پرکولیٹنگ یا "لامحدود" کلسٹر سے تعلق رکھتا ہے، پرکولیشن تھیوری میں P ≤ کے طور پر لکھا جاتا ہے، اور اس کا تعلق R2 (p) سے R2 (p)/L2 = p − P ≤ سے ہے جہاں L مربع کا سائز ہے۔ اس طرح، کثیر سطحی نظام کو برقرار رکھنے کا تعلق پرکولیشن تھیوری میں ایک معروف مقدار سے ہو سکتا ہے۔ برقرار رکھنے کی پیمائش کے لیے، کوئی بھی فلڈنگ الگورتھم کا استعمال کر سکتا ہے جس میں پانی کو حدود سے داخل کیا جاتا ہے اور سطح بلند ہونے پر سب سے نچلے اسپیل وے کے ذریعے سیلاب آتا ہے۔ برقرار رکھنا صرف پانی کی سطح میں فرق ہے کہ کسی جگہ پر سیلاب آیا تھا مائنس اس کے نیچے کے علاقے کی اونچائی۔ اوپر بیان کردہ مجرد سطحوں کے نظاموں کے علاوہ، کوئی بھی علاقے کے متغیر کو 0 سے 1 تک مسلسل متغیر بنا سکتا ہے۔ اسی طرح، کوئی بھی سطح کی اونچائی کو مقامی متغیرات کا ایک مسلسل فعل بنا سکتا ہے۔ تمام صورتوں میں، ایک مناسب پرکولیشن سسٹم کی نقشہ سازی کا بنیادی تصور باقی رہتا ہے۔ ایک دلچسپ نتیجہ یہ ہے کہ n مجرد سطحوں کا مربع نظام کافی بڑے آرڈر L> L * کے لیے n + 1 سطحوں کے نظام سے زیادہ پانی برقرار رکھ سکتا ہے۔ اس رویے کو پرکولیشن تھیوری کے ذریعے سمجھا جا سکتا ہے، جسے L * ≈ (p − pc) − ν کا اندازہ لگانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جہاں ν = 4/3، p = i */n جہاں i * i کی سب سے بڑی قیمت ہے جس کے لیے i/n <pc، اور pc = 0.592746 مربع جالی کے لیے سائٹ پرکولیشن کی حد ہے۔ عددی تخروپن L * کی درج ذیل اقدار دیتے ہیں، جو غیر عدد اقدار میں ماخوذ ہیں۔ مثال کے طور پر، L ≤ 51 کے لیے R2 <R3، لیکن L ≤ 52 کے لیے R2> R3: جیسے جیسے n بڑا ہوتا جاتا ہے، کراسنگ کم سے کم بار بار ہوتی جاتی ہے، اور L * کی قیمت جہاں کراسنگ ہوتی ہے اب n کی مونوٹونک فنکشن نہیں ہے۔ جب سطح مکمل طور پر بے ترتیب نہیں ہوتی ہے لیکن ہارسٹ ایکسپونینٹ H کے ساتھ مربوط ہوتی ہے تو برقرار رکھنے پر شنک ایٹ ال میں تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ مزید پڑھنے والے بیرونی لنکس https://commons.wikimedia.org/wiki/Category: ایسوسی ایٹیو _ میجک _ اسکوائرز _ آف _ آرڈر _ 4 ہیوگو فورٹنر بھی دیکھیں۔ ، جادوئی مربع تصویروں کے لنکس کے ساتھ ہیوگو پوفرٹنر۔ ال زیمرمین کے پروگرامنگ مقابلوں کے لیے ڈسکشن سائٹ فٹیلٹی کلوزٹ پر آئٹم-پولیمینو گنتی اور جھیل کے نمونوں-ماڈل کو 2 ڈی سے 3 ڈی میں اپ گریڈ کریں نیچر 2018 واٹر ریٹینشن ہسٹوگرام کو کمپیوٹنگ کے مسئلے کے طور پر http://oeis.org/A331507 تالابوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد بے ترتیب میٹرکس تنقیدی مظاہر پرکولیشن تھیوری