Grunsky's theorem
ریاضی میں، گرنسکی کا نظریہ، جرمن ریاضی دان ہیلموٹ گرنسکی کی وجہ سے، پیچیدہ اعداد میں یونٹ ڈسک پر بیان کردہ ہولومورفک غیر مساوی افعال سے متعلق پیچیدہ تجزیے کا نتیجہ ہے۔ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ یونٹ ڈسک پر بیان کردہ ایک غیر مساوی فنکشن، نقطہ 0 کو طے کرتے ہوئے، ہر ڈسک |z | <r کو r ≤ ٹینھ π/4 کے لیے اسٹار نما ڈومین پر نقشہ بناتا ہے۔ سب سے بڑا r جس کے لیے یہ درست ہے اسے فنکشن کے اسٹارلیکنیس کا رداس کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ f یونٹ ڈسک D پر ایک غیر مساوی ہولومورفک فنکشن ہے جیسے کہ f (0) = 0۔ پھر تمام r ≤ ٹینھ π/4 کے لیے، ڈسک |z | <r کی شبیہہ 0 کے حوالے سے اسٹار جیسی ہے، یعنی۔ یہ (0,1) میں حقیقی اعداد سے ضرب کے تحت غیر متغیر ہے۔ اگر f (0) = 0 کے ساتھ D پر f (z) غیر مساوی ہے، تو لوگرتھم کے حقیقی اور خیالی حصوں کو لیتے ہوئے، اس سے دو عدم مساوات ظاہر ہوتی ہیں اور فکسڈ z کے لیے، یہ دونوں مساوات مناسب کویبی افعال کے ذریعے حاصل کی جاتی ہیں جہاں |w | = 1۔ ثبوت نے اصل میں لڈوگ بیبرباخ کی انتہائی تکنیکوں کی بنیاد پر ان عدم مساوات کو ثابت کیا۔ اس کے بعد کے ثبوت، جس میں بیان کیا گیا ہے، لونر مساوات پر انحصار کرتے ہیں۔ اس کے بعد گولزین کی عدم مساوات کی بنیاد پر مزید ابتدائی ثبوت دیے گئے، جو گرنسکی میٹرکس کے لیے گرنسکی کی عدم مساوات (1939) کی مساوی شکل ہے۔ ایک غیر مساوی فنکشن کے لیے z> 1 میں توسیع کے ساتھ گلوزین کی عدم مساوات بیان کرتی ہیں کہ جہاں zi |zi |> 1 کے ساتھ الگ الگ نکات ہیں اور λi صوابدیدی پیچیدہ اعداد ہیں۔ n = 2 لیتے ہوئے۔ λ1 =-λ2 = λ کے ساتھ، عدم مساوات کا مطلب یہ ہے کہ اگر g ایک عجیب فعل ہے اور η =-ζ، تو یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے۔ آخر میں اگر f D میں کوئی عام غیر مساوی فعل ہے، تو f کے لیے مطلوبہ عدم مساوات نظریہ کے ثبوت کے ساتھ ہوتی ہے۔ نیوانلننا کے معیار کے مطابق، f |z | <r پر اسٹار نما ہے اگر اور صرف اگر |z | <r کے لیے۔ مساوی طور پر دوسری طرف اوپر گرنسکی کی عدم مساوات سے، اس طرح اگر عدم مساوات z پر برقرار رہے۔ یہ حالت اس کے مساوی ہے اور اس لیے f کسی بھی ڈسک |z | <r پر r ≤ ٹینھ π/4 کے ساتھ اسٹار نما ہے۔ حوالہ جات (روسی میں) (جرمن میں) (جرمن میں) پیچیدہ تجزیہ میں نظریات