1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
ریاضی میں، ایک متفرق سلسلہ ہے، جس پر سب سے پہلے اویلر نے غور کیا، جو قدرتی اعداد کے فیکٹوریئلز کو متبادل علامتوں کے ساتھ جمع کرتا ہے۔ متفرق ہونے کے باوجود، اسے بوریل سمیشن کے ذریعے تقریبا 0.596347 کی قدر تفویض کی جا سکتی ہے۔ اویلر اور بوریل کا خلاصہ اس سلسلے پر سب سے پہلے اویلر نے غور کیا، جس نے اس سلسلے کو ایک محدود قدر تفویض کرنے کے لیے خلاصہ کے طریقوں کا اطلاق کیا۔ سیریز فیکٹوریئلز کا مجموعہ ہے جو متبادل طور پر شامل یا گھٹا دیے جاتے ہیں۔ اس متفرق سیریز کو قدر تفویض کرنے کا ایک طریقہ بوریل سمیشن کا استعمال کرنا ہے، جہاں کوئی باضابطہ طور پر لکھتا ہے اگر سمیشن اور انٹیگریشن کا تبادلہ کیا جاتا ہے (اس بات کو نظر انداز کرتے ہوئے کہ کوئی بھی فریق یکجا نہیں ہوتا ہے)، تو کوئی حاصل کرتا ہے: مربع بریکٹ میں سمیشن کب یکجا ہوتا ہے، اور ان اقدار کے لیے برابر ہوتا ہے۔ تمام مثبت حقیقی کا تجزیاتی تسلسل خلاصہ کے لیے ایک کنورجنٹ انٹیگرل کی طرف لے جاتا ہے: جہاں E1 (z) ایکسپونینشل انٹیگرل ہے۔ یہ تعریف کے مطابق سیریز کا بوریل مجموعہ ہے۔ تفریق مساوات سے تعلق تفریق مساوات کے جوڑے ہوئے نظام پر غور کریں جہاں نقطے t کے حوالے سے مشتقات کو ظاہر کرتے ہیں۔ مستحکم توازن کے ساتھ حل جس پر t → φ ہوتا ہے اس میں y (t) = ہوتا ہے، اور اسے پہلی مساوات میں تبدیل کرنے سے ایک رسمی سیریز حل ملتا ہے۔ مشاہدہ کریں کہ x (1) قطعی طور پر اویلر کی سیریز ہے۔ دوسری طرف، تفریقی مساوات کے نظام کا ایک حل ہوتا ہے۔ حصوں کے ذریعے یکے بعد دیگرے مربوط کرنے سے، رسمی پاور سیریز کو x (t) کے لیے اس اظہار کے ایک غیر علامتی تخمینے کے طور پر بازیافت کیا جاتا ہے۔ اویلر کا استدلال (کم و بیش) ہے کہ چونکہ رسمی سلسلہ اور انٹیگرل دونوں تفریقی مساوات کے ایک ہی حل کو بیان کرتے ہیں، اس لیے انہیں ایک دوسرے کے برابر ہونا چاہیے، اور یہ بھی دیکھیں کہ متبادل فیکٹوریل 1 + 1 + 1 + ꯘꯥ1 − 1 + 1 − 1 + ꯘꯥ (گرینڈی) 1 + 2 + 3 + 4 + ꯘꯥ1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ1 − 2 + 3 − 4 + ꯘꯥ1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ مزید پڑھنے کے لیے متفرق سلسلہ