Size effect on structural strength
غیر بے ترتیب طاقت (فٹ) والے مواد سے بنے لچکدار یا پلاسٹک کے ڈھانچوں کے کلاسیکی نظریات کے مطابق، جب ہندسی طور پر ایک جیسے ڈھانچوں پر غور کیا جاتا ہے تو کسی ڈھانچے کی برائے نام طاقت (σN) ساخت کے سائز (D) سے آزاد ہوتی ہے۔ اس خاصیت سے کسی بھی انحراف کو سائز کا اثر کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، مواد کی روایتی طاقت پیش گوئی کرتی ہے کہ ایک بڑی بیم اور ایک چھوٹی بیم ایک ہی دباؤ پر ناکام ہو جائیں گی اگر وہ ایک ہی مواد سے بنے ہوں۔ حقیقی دنیا میں، سائز کے اثرات کی وجہ سے، ایک بڑا بیم چھوٹے بیم کے مقابلے میں کم دباؤ پر ناکام ہو جائے گا۔ ساختی سائز کا اثر ایک ہی مائکرو اسٹرکچر کے ساتھ ایک ہی مواد سے بنے ڈھانچوں سے متعلق ہے۔ اسے مادی عدم یکسانیت کے سائز کے اثر سے ممتاز کیا جانا چاہیے، خاص طور پر ہال پیچ اثر، جو بیان کرتا ہے کہ پولی کرسٹل لائن دھاتوں میں اناج کے سائز میں کمی کے ساتھ مادی طاقت کیسے بڑھتی ہے۔ سائز کے اثر کی دو وجوہات ہو سکتی ہیں: شماریاتی، مادی طاقت کی بے ترتیب پن کی وجہ سے، زیادہ تناؤ والے مقام پر ہونے والی اہم خامی کا امکان، اور حجم میں اضافہ سنگین خامی کے امکان کو بڑھاتا ہے۔ توانائی (اور غیر شماریاتی)، توانائی کے اخراج کی وجہ سے جب ایک بڑی دراڑ یا ایک بڑا فریکچر پروسیس زون (ایف پی زیڈ) جس میں خراب مواد ہوتا ہے زیادہ سے زیادہ بوجھ تک پہنچنے سے پہلے تیار ہوتا ہے۔ ٹوٹے ہوئے ڈھانچوں میں سائز کے اثر کا شماریاتی نظریہ شماریاتی سائز کا اثر ٹوٹے ہوئے ڈھانچوں کے ایک وسیع طبقے کے لیے ہوتا ہے جو کمزور ترین لنک ماڈل کی پیروی کرتے ہیں۔ اس ماڈل کا مطلب یہ ہے کہ ایک مادی عنصر، یا زیادہ واضح طور پر ایک نمائندہ حجم عنصر (آر وی ای) سے میکرو فریکچر کا آغاز، پورے ڈھانچے کو ناکام ہونے کا سبب بنتا ہے، جیسے کہ زنجیر میں ایک لنک کی ناکامی (شکل۔ 1 اے)۔ چونکہ مادی طاقت بے ترتیب ہے، اس لیے ساخت میں سب سے کمزور مادی عنصر کی طاقت (شکل۔ 1 اے) ڈھانچے کے بڑھتے ہوئے سائز کے ساتھ کم ہونے کا امکان ہے (جیسا کہ ماریٹ نے پہلے ہی 1684 میں نوٹ کیا تھا)۔ تناؤ کے تحت ایک آر وی ای کی ساخت اور اس کی ناکامی کے امکانات کی نشاندہی کرتے ہوئے، اور یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ ایک سلسلہ کی بقا کا امکان اس کے تمام روابط کی بقا کا مشترکہ امکان ہے، کوئی آسانی سے یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ کلید کی تقسیم کی بائیں دم ہے۔ اس کی کامیابی سے شناخت نہیں ہوئی جب تک کہ 1939 میں ویبل نے تسلیم نہیں کیا کہ دم ایک طاقت کا قانون ہے۔ دم کے ایکسپونینٹ کو اس طرح ظاہر کرتے ہوئے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ، اگر ڈھانچہ ایک آر وی ای (یعنی، اگر) سے کافی بڑا ہے، تو فنکشن کے طور پر کسی ڈھانچے کی ناکامی کا امکان Eq ہے۔ 2 پیمانے کے پیرامیٹر اور شکل کے پیرامیٹر کے ساتھ مجموعی ویبل کی تقسیم ہے۔ = ڈھانچے کی جیومیٹری پر منحصر مستقل عنصر، = ساخت کا حجم ؛ = رشتہ دار (سائز سے آزاد) کوآرڈینیٹ ویکٹر، = طول و عرض کے بغیر دباؤ کا میدان (جیومیٹری پر منحصر)، اسکیلڈ تاکہ زیادہ سے زیادہ دباؤ 1 ہو۔ = مقامی طول و عرض کی تعداد (= 1، 2 یا 3) ؛ = مادی خصوصیت کی لمبائی جو آر وی ای کے موثر سائز کی نمائندگی کرتی ہے (عام طور پر تقریبا 3 انہوموجینیٹی سائز)۔ آر وی ای کو یہاں سب سے چھوٹے مادی حجم کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس کی ناکامی پورے ڈھانچے کو ناکام بنانے کے لیے کافی ہے۔ تجربے سے، ڈھانچہ ایک آر وی ای سے کافی بڑا ہوتا ہے اگر ڈھانچے میں آر وی ایز کی مساوی تعداد تقریبا سے بڑی ہو۔ = آر وی ایز کی تعداد وہی دیتی ہے اگر تناؤ کا میدان یکساں ہو (ہمیشہ، اور عام طور پر)۔ مائکرو میٹر پیمانے کے آلات کے علاوہ، دھاتوں اور باریک دانے والے مٹی کے برتنوں کے لیے زیادہ تر عام پیمانے کی ایپلی کیشنز کے لیے، سائز ویبل تھیوری کے اطلاق کے لیے کافی بڑا ہے (لیکن موٹے دانے والے مواد جیسے کنکریٹ کے لیے نہیں)۔ Eq سے۔ 2 کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ اوسط طاقت اور طاقت کے تغیر کا گتانک مندرجہ ذیل طور پر حاصل کیا جاتا ہے: (گاما فنکشن کہاں ہے) پہلی مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ اوسط برائے نام طاقت پر سائز کا اثر سائز کا ایک پاور فنکشن ہے، قطع نظر ساخت کی جیومیٹری سے۔ ویبل پیرامیٹر کو تجرباتی طور پر دو طریقوں سے پہچانا جا سکتا ہے: 1) بہت سے ایک جیسے نمونوں پر ناپی گئی اقدار کو طاقت کے تغیر کے گتانک کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور اس کے بعد Eq کو حل کرکے اس کی قیمت درج کی جاتی ہے۔ (4) ؛ یا 2) کی اقدار کو کئی مختلف سائز کے ہندسی طور پر ایک جیسے نمونوں اور بمقابلہ کے پلاٹ میں ان کے لکیری رجعت کی ڈھلوان پر ماپا جاتا ہے۔ طریقہ 1 کو مختلف سائز کے لیے ایک ہی نتیجہ دینا چاہیے، اور طریقہ 2 طریقہ 1 کی طرح ہی ہونا چاہیے۔ اگر نہیں، تو سائز کا اثر جزوی یا مکمل طور پر غیر ویبلین ہے۔ مختلف سائز کے لیے جانچ میں کمی اکثر غلط نتائج کا باعث بنتی ہے۔ ایک اور چیک یہ ہے کہ جب ویبل پیمانے میں پلاٹ کیا جائے تو بہت سے ایک جیسے نمونوں کی طاقت کا ہسٹوگرام سیدھی لکیر ہونا چاہیے۔ اعلی طاقت کی حد پر دائیں طرف انحراف کا مطلب ہے کہ یہ بہت چھوٹا ہے اور مواد کمزور ہے۔ فعال سائز کا اثر یہ حقیقت کہ ویبل سائز کا اثر ایک طاقت کا قانون ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ خود سے ملتا جلتا ہے، یعنی، کوئی خاص ساخت کا سائز موجود نہیں ہے، اور اس کے مقابلے میں مادی عدم ہم آہنگی نہ ہونے کے برابر ہے۔ یہ مائکرو میٹر پیمانے کے علاوہ تھکاوٹ سے جڑی ہوئی دھاتوں یا باریک دانے والے مٹی کے برتنوں کا معاملہ ہے۔ ایک محدود کا وجود متحرک سائز کے اثر کی ایک نمایاں خصوصیت ہے، جو 1984 میں دریافت ہوا تھا۔ اس قسم کا سائز کا اثر طاقت کے دو قوانین کے درمیان منتقلی کی نمائندگی کرتا ہے اور اس کا مشاہدہ ٹوٹے ہوئے متفرق مادوں میں کیا جاتا ہے، جسے قوسیبریٹل کہا جاتا ہے۔ ان مواد میں کنکریٹ، فائبر کمپوزائٹس، چٹانیں، موٹے دانے والے اور سخت سیرامکس، سخت جھاگ، سمندری برف، دانتوں کے سیرامکس، ڈینٹائن، ہڈی، حیاتیاتی خول، بہت سے بائیو اور بائیو سے متاثر مواد، سنگ تراشی، مارٹر، سخت ہم آہنگ مٹی، گراونٹڈ مٹی، مربوط برف، لکڑی، کاغذ، کارٹن، کوئلہ، سیمنٹ والی ریت وغیرہ شامل ہیں۔ مائیکرو یا نینو پیمانے پر، تمام آسانی سے ٹوٹنے والے مواد غیر مستحکم ہو جاتے ہیں، اور اس طرح توانائی کے سائز کے اثر کو ظاہر کرنا ضروری ہے۔ مضبوط کنکریٹ کے شیر، ٹورسنل اور پنچنگ کی ناکامیوں میں، کنکریٹ سے اینکرز کو نکالنے میں، پتلی مضبوط کنکریٹ کالموں اور پریسٹریسڈ کنکریٹ بیموں کی کمپریشن کی ناکامی میں، فائبر پولیمر کمپوزائٹس اور سینڈوچ ڈھانچوں کے کمپریشن اور تناؤ کی ناکامیوں میں، اور مذکورہ بالا تمام قوسیبریٹل مواد کی ناکامیوں میں ایک واضح توانائی بخش سائز کا اثر ہوتا ہے۔ اس سائز کے اثر کی دو بنیادی اقسام میں فرق کیا جا سکتا ہے۔ ٹائپ 1: ڈھانچے جو کریک شروع ہونے پر ناکام ہو جاتے ہیں جب میکرو کریک ایک آر وی ای سے شروع ہوتا ہے جس کا سائز ڈھانچے کے سائز کے مقابلے میں نہ ہونے کے برابر ہوتا ہے، تو تعیناتی سائز کا اثر شماریاتی سائز کے اثر پر غالب ہوتا ہے۔ سائز کے اثر کی وجہ ساخت میں تناؤ کی دوبارہ تقسیم ہے (شکل۔ 2 سی) ابتدائی آر وی ای میں نقصان کی وجہ سے، جو عام طور پر فریکچر کی سطح پر واقع ہوتا ہے۔ اس سائز کے اثر کا ایک سادہ بدیہی جواز مڈ اسپین (شکل) پر ایک متمرکز بوجھ کے تحت ایک غیر منسلک صرف سپورٹڈ بیم کی لچکدار ناکامی پر غور کرکے دیا جا سکتا ہے۔ 2 ڈی)۔ مادی متفرقیت کی وجہ سے، جو چیز زیادہ سے زیادہ بوجھ کا فیصلہ کرتی ہے وہ تناؤ کے چہرے پر لچکدار حساب شدہ دباؤ نہیں ہے، جہاں = موڑنے کا لمحہ، = بیم کی گہرائی، اور = بیم کی چوڑائی۔ بلکہ، جو چیز فیصلہ کرتی ہے وہ تناؤ کی قدر ہے جو تناؤ کے چہرے سے تقریبا فاصلے پر ہے، جو ایف پی زیڈ (2 سی) کے وسط میں ہے۔ اس بات کو نوٹ کرتے ہوئے کہ =، جہاں = تناؤ کا میلان = اور = مادے کی اندرونی تناؤ کی طاقت، اور ناکامی کی حالت پر غور کرتے ہوئے = حاصل ہوتا ہے، جو کہ ایک مستقل ہے کیونکہ ہندسی طور پر ایک جیسی بیموں کے لیے = مستقل ہے۔ یہ اظہار صرف کافی چھوٹے کے لیے درست ہے، اور اس لیے (بائنومیل توسیع کی پہلی دو اصطلاحات کے مطابق) کوئی بھی اس کا تخمینہ لگا سکتا ہے جو ٹائپ 1 کے تعیناتی سائز کے اثر کا قانون ہے (شکل۔ 2 اے)۔ بنائے گئے تخمینے کا مقصد یہ ہے: (a) بہت کم کے لیے منفی ہونے سے روکنا، جس کے لیے مذکورہ بالا دلیل لاگو نہیں ہوتی ؛ اور (b) اس غیر علامتی شرط کو پورا کرنا جس کے لیے تعیناتی سائز کا اثر ختم ہونا چاہیے۔ یہاں = مثبت تجرباتی مستقل ؛ اقدار = یا 2 کو کنکریٹ کے لیے استعمال کیا گیا ہے، جبکہ ادب سے موجودہ ٹیسٹ ڈیٹا کے مطابق زیادہ سے زیادہ ہے (شکل۔ 2 ڈی)۔ Eq کا ایک بنیادی مشتق۔ 5 ایک عام ساختی جیومیٹری کے لیے جہتی تجزیہ اور توانائی کی رہائی کی حد کے معاملے میں غیر علامتی ملاپ کا اطلاق کرکے دیا گیا ہے جب ابتدائی میکرو کریک کی لمبائی صفر ہو جاتی ہے۔ عام ڈھانچوں کے لیے، Eq میں درج ذیل موثر سائز کو تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ (5): جہاں = سطح پر واقع زیادہ سے زیادہ تناؤ کے مقام پر تناؤ کا میلان، سطح پر معمول کی سمت میں۔ Eq. 5 بڑے سائز کے لیے لاگو نہیں ہو سکتا کیونکہ یہ افقی ایسمپٹوٹ کے لیے قریب آتا ہے۔ بڑے سائز کے لیے، ویبل شماریاتی سائز کے اثر، Eq سے رجوع کرنا چاہیے۔ 3. یہ شرط عمومی توانا-شماریاتی سائز کے اثر کے قانون سے مطمئن ہوتی ہے: جہاں تجرباتی مستقلات () ہیں۔ تعیناتی فارمولا (5) کو حد کے معاملے کے طور پر بازیافت کیا جاتا ہے۔ (شکل۔ 2d) بہت سے مختلف کنکریٹس کے ٹیسٹ کے نتائج کے ساتھ آخری فارمولے کا موازنہ دکھاتا ہے، جسے طول و عرض کے بغیر طاقت بمقابلہ طول و عرض کے ڈھانچے کے سائز کے طور پر پلاٹ کیا گیا ہے۔ ٹائپ 1 سائز کے اثر کا ممکنہ نظریہ فریکچر نینو میکانکس سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ کریمر کا منتقلی کی شرح کا نظریہ ظاہر کرتا ہے کہ، نینو پیمانے پر، نینو پیمانے کی طاقت کی امکانات کی تقسیم کی دور بائیں دم اس قسم کا طاقت کا قانون ہے۔ مواد میکرو پیمانے پر ملٹی اسکیل منتقلی کے تجزیے سے پتہ چلتا ہے کہ آر وی ای طاقت کی تقسیم گوسیئن ہے لیکن ایک ویبل (یا پاور لا) بائیں دم کے ساتھ جس کا ایکسپوینٹ 2 سے بہت بڑا ہے اور تقریبا 0.001 کے امکان پر تقریبا گرافٹ کیا گیا ہے۔ ایسے ڈھانچوں کے لیے، جو قوسیبریٹل مواد کے لیے عام ہیں، ویبل کا نظریہ لاگو نہیں ہوتا ہے۔ لیکن بنیادی کمزور ترین لنک ماڈل، جس کا اظہار Eq نے کیا ہے۔ (1) کے لیے، کرتا ہے، اگرچہ ایک محدود کے ساتھ، جو ایک اہم نقطہ ہے۔ کمزور ترین لنک چین ماڈل کی حد بندی ویبل کی تقسیم سے بڑے انحراف کا سبب بنتی ہے۔ جیسے جیسے ڈھانچے کا سائز، کی طرف سے ماپا جاتا ہے، بڑھتا ہے، ویبلین کے بائیں حصے کا گرافٹنگ پوائنٹ دائیں طرف چلا جاتا ہے یہاں تک کہ، تقریبا، پوری تقسیم ویبلین بن جاتی ہے۔ اس تقسیم سے اوسط طاقت کا حساب لگایا جا سکتا ہے اور جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، اس کا پلاٹ Eq کے پلاٹ سے ملتا جلتا ہے۔ 5 شکل میں دیکھا گیا ہے۔ 2 جی۔ ویبل ایسمپٹوٹ سے انحراف کا نقطہ ایک آر وی ای کی طاقت کی تقسیم پر گرافٹنگ پوائنٹ کے مقام سے طے ہوتا ہے (شکل۔ 2 جی)۔ نوٹ کریں کہ کمزور ترین لنک ماڈل میں زنجیر کی حد سائز کے اثر کے تعیناتی حصے پر قبضہ کرتی ہے۔ اس نظریہ کو ایونز اور پیرس کے قوسیبریٹل مواد میں کریک گروتھ کے قوانین پر سائز کے اثر اور جامد اور تھکاوٹ کی عمر پر سائز کے اثر تک بھی بڑھایا گیا ہے۔ یہ ظاہر ہوا کہ زندگی پر سائز کا اثر قلیل وقت کی طاقت کے مقابلے میں بہت زیادہ مضبوط ہے (دم کا ایکسپونینٹ ایک آرڈر آف میگنیٹیوڈ چھوٹا ہے)۔ ٹائپ 2: وہ ڈھانچے جن میں ایک بڑی دراڑ یا نشان موجود ہوتا ہے سائز کا سب سے مضبوط ممکنہ اثر اسی طرح کے گہرے نشان والے نمونوں کے لیے ہوتا ہے (شکل۔ 4b)، یا ان ڈھانچوں کے لیے جن میں ایک بڑی دراڑ، مختلف سائز کے لیے ملتی جلتی ہے، زیادہ سے زیادہ بوجھ تک پہنچنے سے پہلے مستحکم ہو جاتی ہے۔ چونکہ فریکچر کی شروعات کا مقام کریک ٹپ پر ہونے کے لیے پہلے سے طے شدہ ہے اور اس طرح مختلف آر وی ایز کی بے ترتیب طاقتوں کا نمونہ نہیں لے سکتا، اس لیے اوسط سائز کے اثر میں شماریاتی شراکت نہ ہونے کے برابر ہے۔ اس طرح کا طرز عمل تقویت یافتہ کنکریٹ، خراب فائبر سے چلنے والے پولیمر اور کچھ کمپریسڈ غیر تقویت یافتہ ڈھانچوں کی خصوصیت ہے۔ متحرک سائز کے اثر کو شکل میں پینل پر غور کرکے بدیہی طور پر سمجھایا جا سکتا ہے۔ 1c، d، ابتدائی طور پر یکساں تناؤ کے تحت۔ چوٹی پر چوڑائی کے نقصان والے زون کے ساتھ لمبائی کی دراڑ کا تعارف، تناؤ کو دور کرتا ہے، اور اس طرح دراڑ کے پہلوؤں پر ڈھلوان کے سایہ دار غیر محفوظ مثلث سے تناؤ کی توانائی کو بھی دور کرتا ہے۔ پھر، اگر اور مختلف سائز کے لیے تقریبا ایک جیسے ہیں، تو سایہ دار مثلثوں سے خارج ہونے والی توانائی متناسب ہے، جبکہ فریکچر کے عمل سے ختم ہونے والی توانائی متناسب ہے۔ یہاں = مادے کی فریکچر توانائی، = فریکچر سے پہلے توانائی کی کثافت، اور = ینگ کا لچکدار ماڈیولس۔ اور کے درمیان فرق سے پتہ چلتا ہے کہ توانائی کی رہائی اور کھپت کی شرح کا توازن ہر سائز کے لیے صرف اس صورت میں موجود ہو سکتا ہے جب بڑھنے کے ساتھ کم ہوتا جائے۔ اگر چوڑائی کے نقصان والے زون کے اندر ختم ہونے والی توانائی کو شامل کیا جاتا ہے، تو کوئی بازانت (1984) سائز کے اثر کا قانون (ٹائپ 2) حاصل کرتا ہے: (شکل۔ 4c، d) جہاں = مستقلات، جہاں = مادے کی تناؤ کی طاقت، اور ساخت کی جیومیٹری کے لیے اکاؤنٹس۔ زیادہ پیچیدہ جیومیٹریز کے لیے اس طرح کی بدیہی مشتق ممکن نہیں ہے۔ تاہم، جہتی تجزیے کے ساتھ ساتھ غیر علامتی ملاپ سے پتہ چلتا ہے کہ Eq۔ 8 عام طور پر لاگو ہوتا ہے، اور یہ کہ ڈھانچے کی جیومیٹری پر اس کے پیرامیٹرز کا انحصار تقریبا مندرجہ ذیل شکل میں ہوتا ہے: جہاں ایف پی زیڈ کی لمبائی کا نصف، = رشتہ دار ابتدائی دراڑ کی لمبائی (جو ہندسی طور پر اسی طرح کی اسکیلنگ کے لیے مستقل ہے) ؛ = لکیری لچکدار فریکچر میکانکس (ایل ای ایف ایم) کی جہتی توانائی ریلیز فنکشن، جو ڈھانچے کی جیومیٹری کا اثر لاتا ہے ؛، اور = تناؤ کی شدت کا عنصر۔ فٹنگ Eq. 8 بہت مختلف سائز کے ہندسی طور پر ایک جیسے نشان والے نمونوں کے ٹیسٹوں سے ڈیٹا حاصل کرنا مواد کی شناخت کرنے کا ایک اچھا طریقہ ہے۔ ہم آہنگ کریک، کریک بینڈ اور غیر مقامی ماڈلز میں سائز کا اثر محدود عنصر کوڈز کے ذریعے ناکامی کے عددی تخروپن توانائی بخش (یا تعیناتی) سائز کے اثر کو صرف اس صورت میں حاصل کر سکتے ہیں جب کشیدگی سے متعلق مادی قانون کی خصوصیت کی لمبائی ہو۔ کلاسیکی محدود عنصر کوڈز کے معاملے میں ایسا نہیں تھا جس میں ایسا مواد ہو جس کی خصوصیت صرف تناؤ اور تناؤ کے تعلقات سے ہو۔ ایک کافی آسان کمپیوٹیشنل طریقہ مربوط (یا فرضی) کریک ماڈل ہے، جس میں یہ فرض کیا جاتا ہے کہ جزوی طور پر کھلی ہوئی دراڑ کے پار منتقل ہونے والا تناؤ کریک اوپننگ کا ایک کم ہونے والا فنکشن ہے، یعنی۔ اس فنکشن کے تحت رقبہ ہے، اور یہ مادی خصوصیت کی لمبائی ہے جو تعیناتی سائز کے اثر کو جنم دیتی ہے۔ اس سے بھی آسان طریقہ کریک بینڈ ماڈل ہے، جس میں مربوط کریک کو تخروپن میں ایک محدود عنصر کے سائز کے برابر چوڑائی کے کریک بینڈ اور ایک تناؤ-تناؤ کے تعلق سے تبدیل کیا جاتا ہے جو کراس بینڈ کی سمت میں نرم ہوتا ہے جہاں = اس سمت میں اوسط تناؤ۔ جب ایڈجسٹ کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، تو تناؤ کے تناؤ کو نرم کرنے کے تعلق کو ایڈجسٹ کیا جاتا ہے تاکہ توانائی کی صحیح کھپت کو برقرار رکھا جا سکے۔ ایک زیادہ ورسٹائل طریقہ غیر مقامی نقصان ماڈل ہے جس میں تسلسل کے مقام پر تناؤ اس مقام پر تناؤ کا نہیں بلکہ اس مقام پر مرکوز سائز کے ایک مخصوص محلے کے اندر تناؤ کے میدان کی اوسط کا فنکشن ہوتا ہے۔ پھر بھی ایک اور طریقہ میلان کے نقصان کا نمونہ ہے جس میں تناؤ کا انحصار نہ صرف اس مقام پر تناؤ پر ہوتا ہے بلکہ تناؤ کے میلان پر بھی ہوتا ہے۔ یہ تمام کمپیوٹیشنل طریقے محدود عنصر میش کی اصلاح کے حوالے سے معروضیت اور مناسب ہم آہنگی کو یقینی بنا سکتے ہیں۔ سائز کے اثر کے فریکٹل پہلو مواد کی فریکٹل خصوصیات، بشمول دراڑ کی سطح کی کھردری کا فریکٹل پہلو اور سوراخ کی ساخت کا لیکونر فریکٹل پہلو، کنکریٹ میں سائز کے اثر میں کردار ادا کر سکتا ہے، اور مواد کی فریکچر توانائی کو متاثر کر سکتا ہے۔ تاہم، فریکٹل خصوصیات کو ابھی تک وسیع پیمانے کے لیے تجرباتی طور پر دستاویزی شکل نہیں دی گئی ہے اور اس مسئلے کا ابھی تک شماریاتی اور متحرک سائز کے اثرات کے مقابلے میں گہرائی سے مطالعہ نہیں کیا گیا ہے۔ سائز کے اثر پر فریکٹل اثر کے عملی غور و فکر میں بنیادی رکاوٹ یہ ہے کہ، اگر ایک ساخت کی جیومیٹری کے لیے انشانکن کی جائے تو یہ واضح نہیں ہے کہ دوسرے جیومیٹری کے لیے سائز کے اثر کا اندازہ کیسے لگایا جائے۔ فوائد اور نقصانات پر تبادلہ خیال کیا گیا، مثال کے طور پر، کارپینٹری اور دیگر کے ذریعہ۔ (1994، 2001) اور بازانت اور یاوری (2005)۔ عملی اہمیت سائز کے اثر کو مدنظر رکھنا بڑے کنکریٹ پلوں، نیوکلیئر کنٹینمنٹ، چھتوں کے خولوں، اونچی عمارتوں، ٹنل لائننگ، ہوائی جہاز کے بڑے بوجھ اٹھانے والے حصوں، خلائی جہاز اور فائبر پولیمر کمپوزائٹس سے بنے جہازوں کی طاقت کی محفوظ پیش گوئی کے لیے ضروری ہے۔ ونڈ ٹربائنز، بڑی جیو ٹیکنیکل کھدائی، زمین اور چٹان کی ڈھلوانیں، تیرتی ہوئی سمندری برف لے جانے والے بوجھ، برف کی قوتوں کے تحت تیل کے پلیٹ فارم وغیرہ۔ ان کے ڈیزائن کا انحصار لیبارٹری کے بہت چھوٹے نمونوں پر ناپی گئی مادی خصوصیات پر ہوتا ہے۔ ان خصوصیات کو شدت کے ایک یا دو آرڈرز سے بڑے سائز میں ایکسٹراپولیٹ کیا جانا چاہیے۔ یہاں تک کہ اگر ایک مہنگا مکمل پیمانے پر ناکامی کا ٹیسٹ، مثال کے طور پر کسی بہت بڑے طیارے کے رڈر کا ناکامی کا ٹیسٹ کیا جا سکتا ہے، تو بھی بوجھ کی صلاحیت کی شماریاتی تقسیم حاصل کرنے کے لیے اسے ہزار بار دہرانا مالی طور پر ممنوع ہے۔ اس طرح کی شماریاتی معلومات، جو حفاظتی عوامل کی بنیاد پر ہیں، صرف لیبارٹری ٹیسٹوں کے مناسب اخراج سے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ سائز کا اثر اہمیت حاصل کر رہا ہے کیونکہ زیادہ سے زیادہ پتلی شکلوں کے بڑے اور بڑے ڈھانچے بنائے جا رہے ہیں۔ حفاظتی عوامل، یقینا، بڑے حفاظتی مارجن دیتے ہیں-اتنے بڑے کہ یہاں تک کہ سب سے بڑے سول انجینئرنگ ڈھانچوں کے لیے بھی اوسط مادی خصوصیات پر مبنی کلاسیکی تعیناتی تجزیہ عام طور پر زیادہ سے زیادہ ڈیزائن بوجھ سے کم ناکامی کا بوجھ پیدا کرتا ہے۔ ان وجوہات کی بناء پر، کنکریٹ کے ڈھانچوں اور ساختی لیمینیٹس کی ٹوٹنے والی ناکامیوں میں طاقت پر سائز کے اثر کو طویل عرصے سے نظر انداز کیا گیا ہے۔ پھر، تاہم، ناکامی کا امکان، جو ہونا ضروری ہے، اور حقیقت میں عام سائز کے ڈھانچوں کے لیے ایسی اقدار رکھتے ہیں، بہت بڑے ڈھانچوں کے لیے زندگی بھر کے مطابق کم ہو سکتا ہے۔ اس طرح کی اعلی ناکامی کا امکان ناقابل برداشت ہے کیونکہ یہ ان خطرات میں نمایاں اضافہ کرتا ہے جن سے لوگ لامحالہ بے نقاب ہوتے ہیں۔ درحقیقت، تاریخی تجربے سے پتہ چلتا ہے کہ بہت بڑے ڈھانچے چھوٹے ڈھانچوں کے مقابلے میں شدت کے کئی درجے تعدد پر ناکام ہو رہے ہیں۔ اس کی وجہ سے عوامی چیخ و پکار نہیں ہوئی ہے کہ بڑے ڈھانچے کم ہیں۔ لیکن مقامی لوگوں کے لیے، جنہیں روزانہ ڈھانچے کا استعمال کرنا پڑتا ہے، خطرہ قابل قبول نہیں ہے۔ ایک اور درخواست فریکچر توانائی اور خصوصیت والے مادے کی لمبائی کی جانچ ہے۔ قوسیبریٹل مواد کے لیے، چوٹی کے بوجھ پر سائز کے اثر کی پیمائش کرنا (اور چوٹی کے بوجھ کے بعد نمونے کو نرم کرنا) سب سے آسان طریقہ ہے۔ سائز کے اثر کو جاننا بھی الٹے معنوں میں اہم ہے-مائکرو میٹر پیمانے کے آلات کے لیے اگر وہ جزوی یا مکمل طور پر مادی خصوصیات کی بنیاد پر ڈیزائن کیے گئے ہیں جو 0.01m سے 0.1m کے پیمانے پر زیادہ آسانی سے ماپا جاتا ہے۔ مواد کی ناکامی کا نظریہ ساختی ناکامی فریکچر میکانکس کنکریٹ فریکچر تجزیہ تھکاوٹ (مواد) کنکریٹ شنک کی ناکامی نوٹ حوالہ جات اور کتابچہ بیرن بلیٹ، جی آئی بھی دیکھیں۔ (1959)۔ "ٹوٹے ہوئے فریکچر کے دوران توازن کی دراڑوں کی تشکیل۔ عمومی خیالات اور مفروضے، محوری طور پر ہم آہنگ دراڑیں۔ " پرکل۔ ماٹ۔ میخ۔ 23 (3)، 434-444۔ بیرن بلیٹ، جی۔ آئی۔ (1996)۔ اسکیلنگ، خود مماثلت اور انٹرمیڈیٹ غیر علامتی۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ بیرن بلیٹ، جی۔ آئی۔ (1978)۔ مماثلت، خود مماثلت اور انٹرمیڈیٹ غیر علامتی (روسی میں) Girometeoizdat، ماسکو ؛ اور انگریزی ترجمہ، کنسلٹنٹس بیورو، نیویارک 1979۔ بیرن بلاٹ، جی۔ آئی۔ (2003) اسکیلنگ، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ بازانت، زیڈ پی۔ (1976)۔ "تناؤ کو نرم کرنے والے کنکریٹ میں عدم استحکام، لچک اور سائز کا اثر"۔ جے اینگنگ۔ ٹھیک ہے۔ ڈویژن۔، ام۔ ایس او سی۔ سول اینگرس۔، 102، ای ایم 2، 331-344 ؛ ڈسک۔ 103، 357-358، 775-777، 104، 501-502۔ بازانت، زیڈ پی۔ (1984)۔ "بلٹ فریکچر میں سائز کا اثر: کنکریٹ، چٹان، دھات۔" جے۔ آف اینگنگ۔ میکینکس، اے ایس سی ای، 110، 518-535۔ بازانت، زیڈ پی۔ (1997 اے)۔ "قوسیبریٹل فریکچر کی اسکیلنگ: غیر علامتی تجزیہ"۔ انٹ۔ جے آف فریکچر 83 (1)، 19-40۔ بازانت، زیڈ پی۔ (2002)۔ "ساختی طاقت کی پیمائش"۔ دوسرا ایڈیشن۔، ایلسیویئر، لندن 2005۔ بازانت، زیڈ پی، اور چن، ای۔ پی۔ (1997)۔ "ساختی ناکامی کی پیمائش"۔ اپلائیڈ میکینکس کے جائزے ASME 50 (10)، 593-627۔ بازانت، زیڈ پی، اور کازیمی، ایم ٹی۔ (1990)۔ "چٹان اور کنکریٹ پر اطلاق کے ساتھ، سائز کے اثر سے فریکچر انرجی، پروسیس زون کی لمبائی اور ٹوٹنے کی تعداد کا تعین۔" انٹ۔ جے آف فریکچر، 44، 111-131۔ بازانت، زیڈ پی، اور نووک، ڈی۔ (2000)۔ "کریک شروع ہونے پر قوسیبریٹل ناکامی میں متحرک-شماریاتی سائز کا اثر"۔ اے سی آئی میٹریلز جرنل 97 (3)، 381-392۔ بازانت، زیڈ پی، اور پلاناس، جے۔ (1998)۔ کنکریٹ اور دیگر قوسیبریٹل مواد میں فریکچر اور سائز کا اثر۔ سی آر سی پریس، بوکا ریٹن، فلوریڈا۔ بازانت، زیڈ پی، اور یاوری، اے۔ (2005)۔ "کیا ساختی طاقت پر سائز کے اثر کی وجہ فریکٹل ہے یا توانائی سے بھرپور اعدادوشمار؟" انگریزی۔ فریکچر میکینکس 72، 1-31 ؛ حجم میں بحث اور جواب کے ساتھ۔ 74 (2007)، صفحہ 2897۔ بازانت، زیڈ پی۔ (2004) "سکیلنگ تھیوری آف کوئزبریٹل اسٹرکچرل فیلئیر"۔ پروک۔ ناٹل۔ اکاڈ۔ سائنس۔، یو ایس اے 101 (37)، 13397-13399۔ بازانت، زیڈ پی، ڈینیل، آئی ایم، اور لی، زیڈ۔ (1996)۔ "جامع لیمینیٹس کے سائز کا اثر اور فریکچر کی خصوصیات"۔ جے۔ آف اینگرگ۔ مواد اور ٹیکنالوجی ASME 118 (3)، 317-324۔ بازانت، زیڈ پی۔ اور جیرسک، ایم۔ (2002)۔ "پلاسٹکٹی اور نقصان کی غیر مقامی انٹیگرل فارمولیشنز: پیش رفت کا سروے"۔ جے اینگرگ میک۔، اے ایس سی ای، 128 (11)، 1119-1149۔ بازانت، زیڈ پی اور لی، جے۔ ایل۔ (2009) "نینو میکانکس پر مبنی ماڈلنگ آف لائف ٹائم ڈسٹری بیوشن آف کواسیبریٹل اسٹرکچرز"، جے اینگرگ۔ ناکامی انا۔، 16، پی پی 2521-2529 بازانت، زیڈ پی، لی، جے ایل، اور بازانت، ایم زیڈ۔ (2009)۔ "ایٹمسٹک فریکچر میکانکس کی بنیاد پر قوسیبریٹل ڈھانچوں کی طاقت اور زندگی بھر کی تقسیم کی پیمائش"۔ پروک۔ نیشنل اکیڈمی۔ آف سائنسز یو ایس اے 11484-11489 بازانت، زیڈ پی، اور پینگ، ایس۔ ڈی۔ (2006) "میکینکس پر مبنی اعدادوشمار جو حفاظتی عوامل پر بکھرے ہوئے ڈھانچوں اور سائز کے اثرات کی ناکامی کے خطرے پر مبنی ہیں۔" پروک۔ نیٹیل اکیڈمی۔ سائنس۔، یو ایس اے 103 (25)، پی پی۔ 9434-9439۔ بازانت، زیڈ پی، اور پینگ، ایس۔ ڈی۔ (2007) "فعال توانائی پر مبنی انتہائی قدر کے اعدادوشمار اور ٹوٹے ہوئے اور نیم ٹوٹے ہوئے فریکچر میں سائز کا اثر"۔ جے میک۔ فزیکل۔ ٹھوس 55، پی پی۔ 91-134۔ بازانٹ، زیڈ۔ پی۔، ووریچووسکی، ایم۔، اور نووک، ڈی۔ (2007) "تعیناتی محدود عنصر کے حل سے توانائی بخش-شماریاتی سائز کے اثر کی غیر علامتی پیش گوئی"۔ جے اینگرگ۔ میک، اے ایس سی ای، 128، 153-162۔ بازانت، Z. P. اور ژی، Y. (1991) "نیم ٹوٹنے والے ڈھانچوں میں شماریاتی سائز کا اثر: II۔ غیر مقامی نظریہ "۔ جے اینگرگ۔ میک۔، ASCE 117 (7)، 2623-2640۔ بازانت، زیڈ پی، چاؤ، وائی، ڈینیل، آئی ایم، کینر، ایف سی، اور یو، ق۔ (2006)۔ "ٹکڑے ٹکڑے کی جھاگ والی سینڈوچ پلیٹوں کی طاقت پر سائز کا اثر"، جے۔ آف اینگرگ۔ مواد اور ٹیکنالوجی ASME 128 (3)، 366-374۔ بیریمین، ایف۔ ایم۔ (1983)۔ "جوہری دباؤ والے جہاز کے اسٹیل کے کلیویج فریکچر کا ایک مقامی معیار۔" دھاتی لین دین A، 14، 2277-2287۔ بوچوڈ، ای۔ (1997)۔ "دراڑوں کی اسکیلنگ خصوصیات"۔ جے۔ فزیکل۔ : کنڈینس۔ معاملہ 9، 4319-4344۔ کارپینٹری، اے۔ (1994)۔ "بے ترتیب مواد کی طاقت اور سختی کے لیے اسکیلنگ قوانین اور ری نارملائزیشن گروپس۔" انٹ۔ جے آف سالڈز اینڈ اسٹرکچرز 31 (3)، 291-302۔ کارپینٹری، اے۔، چییا، بی۔، اور کارنیٹی، پی۔ (2001)۔ "اسٹیٹک-کینیمیٹک دوہری اور فریکٹل میڈیا کے میکانکس میں ورچوئل ورک کا اصول"۔ کمپیکٹ۔ میتھ۔ ایپل میں۔ ٹھیک ہے۔ اور انگریزی۔ 19، 3-19۔ کولمین، بی۔ ڈی۔ (1958) "ریشوں میں مکینیکل بریک ڈاؤن کے اعدادوشمار اور وقت پر منحصر"۔ جے۔ ایپل۔ فزیکل۔ 29 (6)، پی پی۔ 968-983۔ دا ونچی، ایل۔ (1500 کی دہائی)-- دیکھیں دی نوٹ بکس آف لیونارڈو ڈا ونچی (1945)، ایڈورڈ میک کرڈی، لندن (صفحہ 546) ؛ اور لیس مانسکریٹس ڈی لیونارڈ ڈی ونچی، ترجمہ۔ فرانسیسی میں بذریعہ سی۔ راوائسن-مولین، انسٹی ٹیوٹ ڈی فرانس (1881-91)، جلد۔ 3. فشر، آر اے اور ٹپیٹ، ایل ایچ سی۔ (1928)۔ "نمونے کے سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے رکن کی تعدد کی تقسیم کی شکلوں کو محدود کرنا۔" پروک۔، کیمبرج فلسفیانہ سوسائٹی 24، 180-190۔ فریچیٹ، ایم۔ (1927)۔ "اس کا زیادہ سے زیادہ امکان ہے۔" این۔ ایس او سی۔ پولون۔ ریاضی۔ 6، صفحہ 93۔ فرائیڈنتھال، اے ایم، اور گمبل، ای جے۔ (1956)۔ "تھکاوٹ کے جسمانی اور شماریاتی پہلو"۔ ایڈوانسز ان اپلائیڈ میکینکس، جلد۔ 4، اکیڈمک پریس، 117-157۔ گراسل، پی۔، اور با زنٹ، زیڈ پی۔ (2009)۔ "کریک شروع کرنے میں ناکام نیم ٹوٹنے والے ڈھانچوں میں شماریاتی سائز کے اثر کا بے ترتیب جالی-ذرہ تخروپن۔" جے۔ آف اینگرگ۔ ٹھیک ہے۔ اے ایس سی ای 135 (2)، فروری، 85-92۔ گمبل، ای۔ جے۔ (1958)۔ ایکسٹریمز کے اعداد و شمار۔ کولمبیا یونیورسٹی پریس، نیویارک۔ ہارلو، ڈی۔ جی۔ اور فینکس، ایس۔ ایل۔ (1978) "د چین-آف-بنڈلز پروبیبلٹی ماڈل فار دی اسٹرینتھ آف فائبرس میٹریلز I: تجزیہ اور قیاس آرائیاں"۔ جے۔ کمپ۔ مادے۔ 12: 195-214 ہارلو، D. G. اور فینکس، S. L. (1979) "جامع مواد کی ناکامی کے امکان پر حدود"۔ انٹ۔ جے فریک۔ 15 (4)، 312-336 ہلربرگ اے۔ (1985)۔ "کنکریٹ کی فریکچر توانائی کا تعین کرنے کے طریقہ کار کی نظریاتی بنیاد۔" مواد اور ساخت 18 (106)، 291-296۔ ہلربرگ، اے، موڈر، ایم۔ اور پیٹرسن، پی۔ ای۔ (1976)۔ "فریکچر میکانکس اور محدود عناصر کے ذریعے کنکریٹ میں دراڑوں کی تشکیل اور دراڑوں کی نشوونما کا تجزیہ۔" سیمنٹ اور کنکریٹ ریسرچ 6 773-782۔ لی، جے۔ ایل۔، اور بازانت، زیڈ۔ پی۔ (2009) "دانتوں کی بحالی سیرامکس کی طاقت کی تقسیم کے لیے صفر حد کے ساتھ سب سے کمزور لنک ماڈل"، ڈینٹ۔ میٹر۔، 25، نمبر۔ 5، 2009، پی پی 641-648 لی، جے۔ ایل۔، اور بازانت، زیڈ پی۔ (2011)۔ "یونیفائیڈ نینو میکانکس بیسڈ پروبیبلسٹک تھیوری آف کواسیبریٹل اینڈ بریٹل اسٹرکچرز"۔ جے آف دی میک۔ اور جسمانی۔ ٹھوس، پریس میں۔ مہیش، ایس۔ اور فینکس، ایس۔ ایل۔ (2004) "لائف ٹائم ڈسٹری بیوشنز فار یونی ڈائرکشنل فائبرس کمپوزائٹس انڈر کریپ-ریپچر لوڈنگ"۔ انٹ۔ جے فریکٹ۔ 127، پی پی۔ 303-360۔ ماریٹ، ای۔ (1686)۔ ٹریٹی ڈو موویمنٹ ڈیس ایوکس، بعد از مرگ ایم۔ ڈی لا ہائیر ؛ انگریزی۔ ترجمہ کریں۔ جے ٹی کی طرف سے ڈیسواگلیئرز، لندن (1718)، صفحہ 249 ؛ ماریٹ کے جمع کردہ کام، دوسرا ایڈیشن، دی ہیگ (1740)۔ میہاشی، ایچ، اوکامورا، ایچ، اور بازانت، زیڈ پی، ایڈیٹرز (1994)۔ کنکریٹ ڈھانچوں میں سائز کا اثر (پروک۔، جاپان کنکریٹ انسٹی ٹیوٹ انٹرن۔ سنڈائی، جاپان میں منعقدہ ورکشاپ، Oct.31-Nov.2، 1993)۔ ای اینڈ ایف این اسپون، لندن-نیویارک، 556 + xiv صفحات)۔ فینکس، ایس۔ ایل۔ (1978 اے) "سٹوچسٹک طاقت اور فائبر بنڈلوں کی تھکاوٹ"۔ انٹ۔ جے فریک۔ جلد۔ 14، نہیں۔ 3، 327-344۔ فینکس، ایس۔ ایل۔ (1978b) "متوازی ممبروں کے مکینیکل نظام کی ناکامی کا غیر علامتی وقت"۔ سیام جے ایپل۔ ریاضی۔ جلد۔ 34، نمبر۔ 2، 227-246۔ فینکس، ایس۔ ایل۔، اور ٹیرنی، ایل۔ جے۔ (1983) "ریشوں کے درمیان مقامی لچکدار بوجھ کے اشتراک کے تحت یک طرفہ جامع مواد کی وقت پر منحصر ناکامی کے لیے ایک شماریاتی ماڈل"۔ انگریزی۔ فریکٹ۔ ٹھیک ہے۔ 18 (1)، پی پی۔ 193-215۔ فینکس، S. L.، Ibnabdeljalil، M.، Hui، C-Y۔ (1997)۔ "ٹوٹے ہوئے میٹرکس ریشے دار مرکب کی طاقت کے لیے تقسیم میں سائز کے اثرات"۔ انٹ۔ جے۔ ٹھوس ساخت۔ 34 (5)، 545-568۔ پیجاؤڈیئر-کابوٹ، جی۔، اور بازانت، زیڈ پی۔ (1987)۔ "غیر مقامی نقصان کا نظریہ"۔ جے۔ آف اینگرگ۔ میکینکس، اے ایس سی ای 113 (10)، 1512-1533۔ RILEM کمیٹی TC-QFS (2004)۔ "قوسیبریٹل فریکچر اسکیلنگ اینڈ سائز ایفیکٹ---فائنل رپورٹ"۔ مواد اور ڈھانچے (پیرس) 37 (نمبر۔ 272)، 547-586۔ الفریڈ ایم فرائیڈنتھال کے منتخب مقالے (1981)۔ ام۔ ایس او سی۔ سول اینگرس۔، نیویارک۔ اسمتھ، آر۔ ایل۔ (1982) "برابر بوجھ کے اشتراک کے ساتھ سیریز متوازی نظام کی طاقت کی غیر علامتی تقسیم"۔ این پروباب۔ 10 (1)، پی پی۔ 137-171۔ ٹیرنی، ایل۔ جے۔ (1983) "مقامی لوڈ شیئرنگ کے تحت ریشوں کے بنڈلوں کی تھکاوٹ کی ناکامی کے وقت پر غیر علامتی حدود"۔ ایڈو. ایپل۔ پروب۔ جلد 14، نمبر 1، پی پی 95-121۔ ویبل، ڈبلیو۔ (1939)۔ "ٹھوسوں میں پھٹنے کا رجحان"۔ پروک۔، رائل سویڈش انسٹی ٹیوٹ آف انجینئرنگ ریسرچ۔ ہینڈل۔) 153، اسٹاک ہوم، 1-55۔ ویبل، ڈبلیو۔ (1949)۔ "ٹھوسوں میں تھکاوٹ کی ناکامیوں کی شماریاتی نمائندگی۔" پروک۔، رائے۔ انسٹا۔ ٹیکنیکل۔ نہیں۔ 27. ویبل، ڈبلیو۔ (1951)۔ "وسیع اطلاق کا ایک شماریاتی تقسیم فنکشن"۔ جے آف اپلائیڈ میکینکس اے ایس ایم ای، جلد۔ 18. ویبل، ڈبلیو۔ (1956)۔ "تھکاوٹ کے بنیادی پہلو"۔ پروک۔، تھکاوٹ پر گفتگو، اسٹاک ہوم، سپرنگر-ورلاگ۔ Xu, X. F. (2007) "غیر یقینی صورتحال سے متعلق الپٹک مسائل پر ایک ملٹی اسکیل سٹوچسٹک محدود عنصر کا طریقہ"۔ کمپیوٹنگ۔ میتھ۔ ایپل۔ ٹھیک ہے۔ انگریزی۔ 196، پی پی۔ 2723-2736۔ Zhurkov، S. N. (1965)۔ "ٹھوسوں کی طاقت کا حرکی تصور"۔ انٹ۔ جے فریکٹ۔ ٹھیک ہے۔ 1 (4)، پی پی 311-323۔ اسٹیپانوف، I. اے۔ (1995)۔ "پیمانے کا اثر ٹھوس اجسام کی سیلولر ساخت کا نتیجہ ہے۔ طاقت کی اقدار میں پھیلاؤ کی تھرموفلوکچوایشن نوعیت "۔ مواد سائنس 31 (4)، پی پی 441-447۔ بیرونی روابط جسمانی ماڈل کنٹینم میکانکس فریکچر میکانکس