Loewner differential equation
ریاضی میں، لوونر تفریقی مساوات، یا لوونر مساوات، ایک عام تفریقی مساوات ہے جسے چارلس لوونر نے 1923 میں پیچیدہ تجزیہ اور ہندسی فعل نظریہ میں دریافت کیا تھا۔ اصل میں سلٹ میپنگز کے مطالعہ کے لیے متعارف کرایا گیا (پیچیدہ سطح پر کھلی ڈسک کی مطابقت پذیر میپنگز جس میں 0 سے φ کو جوڑنے والے منحنی خطوط کو ہٹا دیا گیا ہے)، لوونر کا طریقہ بعد میں 1943 میں روسی ریاضی دان پاول پارفینویچ کفریف (1909-1968) نے تیار کیا تھا۔ پیچیدہ سطح میں ڈومینز کا کوئی بھی خاندان جو کیرا تھیوڈری کے معنی میں پورے سطح تک مسلسل پھیلتا ہے وہ کنفارمل میپنگز کے ایک پیرامیٹر فیملی کی طرف جاتا ہے، جسے لوونر چین کہا جاتا ہے، نیز یونٹ ڈسک کے ہولومورفک غیر مساوی سیلف میپنگز کے دو پیرامیٹر فیملی، جسے لوونر سیمی گروپ کہا جاتا ہے۔ یہ سیمی گروپ ڈسک پر مثبت حقیقی حصے کے ساتھ ڈسک پر ہولومورفک افعال کے ایک پیرامیٹر فیملی کے ذریعہ دی گئی ڈسک پر وقت پر منحصر ہولومورفک ویکٹر فیلڈ سے مطابقت رکھتا ہے۔ لوونر سیمی گروپ ایک غیر مساوی سیمی گروپ کے تصور کو عام کرتا ہے۔ لوونر تفریق مساوات غیر مساوی افعال کے لیے عدم مساوات کا باعث بنی ہے جس نے 1985 میں لوئس ڈی برانجز کے بیبرباخ قیاس کے حل میں اہم کردار ادا کیا۔ لوونر نے خود 1923 میں تیسری گتانک کے قیاس کو ثابت کرنے کے لیے اپنی تکنیک کا استعمال کیا۔ شریم-لوونر مساوات، جو 1990 کی دہائی کے آخر میں اوڈڈ شریم کے ذریعہ دریافت کردہ لوونر تفریق مساوات کی ایک عام عمومی شکل ہے، کو امکانی نظریہ اور کنفارمل فیلڈ تھیوری میں بڑے پیمانے پر تیار کیا گیا ہے۔ ماتحت غیر مساوی افعال یونٹ ڈسک پر ہولومورفک غیر مساوی افعال ہونے دیں، کے ساتھ۔ کہا جاتا ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں ماتحت ہے جب خود میں اس طرح کی کوئی غیر مساوی نقشہ سازی ہو کہ اس کے لیے۔ اس طرح کی نقشہ سازی کے وجود کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ ضرورت فوری ہو۔ اس کے برعکس اس کی تعریف اس طرح کی جانی چاہیے تعریف کے مطابق φ ایک غیر مساوی ہولومورفک سیلف میپنگ ہے۔ چونکہ اس طرح کا نقشہ ہر ڈسک کو مطمئن کرتا ہے اور لے جاتا ہے، اس کے ساتھ، یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور لوونر چین کے لیے کھلے جڑے ہوئے اور آسانی سے جڑے ہوئے ذیلی سیٹوں کا ایک خاندان ہونے دیں، جیسے کہ اگر، اور اس طرح اگر، کیریتھیوڈری کرنل تھیوریم کے معنی میں۔ اگر یونٹ ڈسک کی نشاندہی کرتا ہے، تو اس تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ریمن میپنگ تھیوریم کے ذریعہ دیئے گئے منفرد غیر مساوی نقشے کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں طور پر مسلسل ہیں۔ مزید برآں، فنکشن مثبت، مسلسل، سختی سے بڑھتا ہوا اور مسلسل ہے۔ ریپرامیٹریزیشن کے ذریعے یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ اس لیے غیر مساوی نقشہ سازی کو لوونر سلسلہ کہا جاتا ہے۔ کویبی ڈسٹورشن تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ زنجیر کا علم کھلے سیٹوں کی خصوصیات کے برابر ہے۔ لوونر سیمی گروپ اگر ایک لوونر سلسلہ ہے، تو اس کے لیے کہ ڈسک فکسنگ کی ایک منفرد غیر مساوی سیلف میپنگ ہو تاکہ انفرادیت کے لحاظ سے نقشہ سازی میں درج ذیل سیمی گروپ پراپرٹی ہو: وہ ایک لوونر سیمی گروپ تشکیل دیتے ہیں۔ خود نقشہ سازی مسلسل لوونر تفریق مساوات پر انحصار کرتی ہے اور اسے مطمئن کرتی ہے۔ لوونر تفریق مساوات یا تو لوونر سیمی گروپ کے لیے یا لوونر سلسلہ کے لیے مساوی طور پر اخذ کی جا سکتی ہے۔ سیمی گروپ کے لیے، پھر اس کے ساتھ جانے دیں۔ پھر ابتدائی حالت کے ساتھ عام تفریق مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ لوونر چین کے ذریعے مطمئن تفریقی مساوات حاصل کرنے کے لیے نوٹ کریں کہ تاکہ ابتدائی حالت کے ساتھ تفریقی مساوات کو مطمئن کیا جا سکے۔ عام تفریقی مساوات کے لیے پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ ان مساوات کو حل کیا جا سکتا ہے اور حل ہولومورفک ہیں۔ لوونر سلسلہ کو لوونر سیمی گروپ سے حد تک گزر کر بازیافت کیا جا سکتا ہے: آخر میں کسی بھی غیر مساوی خود نقشہ سازی، فکسنگ کو دیکھتے ہوئے، ایک لوونر سیمی گروپ کی تعمیر اس طرح ممکن ہے کہ اسی طرح ایک غیر مساوی فنکشن کو دیکھتے ہوئے، جس میں بند یونٹ ڈسک ہوتی ہے، ایک لوونر سلسلہ ایسا ہوتا ہے کہ اس قسم کے نتائج فوری طور پر ہوتے ہیں اگر یا مسلسل تک بڑھ جاتے ہیں۔ وہ عام طور پر نقشہ سازی کو تخمینوں سے تبدیل کرتے ہیں اور پھر ایک معیاری کمپیکٹنس دلیل کا استعمال کرتے ہیں۔ سلیٹ میپنگز مثبت حقیقی حصے کے ساتھ ہولومورفک افعال کو آن کرتے ہیں اور معمول پر لاتے ہیں تاکہ ہرگلوٹز نمائندگی تھیوریم کے ذریعہ بیان کیا جائے: دائرے پر امکان کی پیمائش کہاں ہے۔ ایک پوائنٹ پیمائش لینے سے افعال کو الگ کیا جاتا ہے، جن پر سب سے پہلے غور کیا جاتا تھا۔ یونٹ ڈسک پر غیر مساوی افعال کے لیے عدم مساوات کو سلٹ میپنگ کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں کنورجنس کے لیے کثافت کا استعمال کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ یہ پیچیدہ سطح پر یونٹ ڈسک کے مطابقت پذیر نقشے ہیں جن میں ایک اردن آرک ہے جو ایک محدود نقطہ کو φ سے جوڑتا ہے۔ کثافت کیراتھیوڈری کرنل تھیوریم کو لاگو کرنے کے بعد ہوتی ہے۔ درحقیقت کسی بھی غیر مساوی فنکشن کا تخمینہ ان افعال سے لگایا جاتا ہے جو اکائی کے دائرے کو تجزیاتی منحنی خطوط پر لے جاتے ہیں۔ اس منحنی خطوط پر ایک نقطہ کو اردن آرک کے ذریعے انفینٹی سے جوڑا جا سکتا ہے۔ تجزیاتی منحنی خطوط کے ایک چھوٹے سے حصے کو منتخب کردہ نقطہ کے ایک طرف چھوڑ کر حاصل کیے گئے علاقے یکجا ہو جاتے ہیں لہذا ان علاقوں کے متعلقہ غیر مساوی نقشے کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہو جاتے ہیں۔ لوونر تفریق مساوات کو ایک سلٹ فنکشن پر لاگو کرنے کے لیے، ایک محدود نقطہ سے خارج کیے گئے جارڈن آرک کو پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے تاکہ نقشہ غیر مساوی نقشہ کم پر مسلسل شکل کا ہو۔ خاص طور پر کے لیے، مسلسل رہنے دیں۔ یہ ایک لوونر سلسلہ اور لوونر سیمی گروپ دیتا ہے جس کے ساتھ یونٹ دائرے کا ایک مسلسل نقشہ ہے۔ اس کا تعین کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ یونٹ ڈسک کا نقشہ یونٹ ڈسک میں اردن آرک کے ساتھ اندرونی نقطہ سے ہٹا دی گئی حد تک ہوتا ہے۔ وہ نقطہ جہاں یہ باؤنڈری کو چھوتا ہے اس سے آزاد ہے اور یونٹ سرکل تک ایک مسلسل فنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کا پیچیدہ کنجوگیٹ (یا الٹا) ہے: مساوی طور پر، کیریتھیوڈوری کے نظریہ کے مطابق بند یونٹ ڈسک میں مسلسل توسیع کو تسلیم کرتا ہے اور، جسے بعض اوقات ڈرائیونگ فنکشن بھی کہا جاتا ہے، اس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ ہر مسلسل فنکشن سلٹ میپنگ سے نہیں آتا ہے، لیکن کفریف نے دکھایا کہ جب اس میں مسلسل مشتق ہوتا ہے تو یہ درست ہوتا ہے۔ بیبرباخ قیاس آرائی پر اطلاق نے کسی غیر مساوی فنکشن کے تیسرے گتانک کے لیے بیبرباخ قیاس کو ثابت کرنے کے لیے سلٹ میپنگز کے لیے اپنی تفریقی مساوات کا استعمال کیا۔ اس صورت میں، اگر ضروری ہو تو گھومنا، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ یہ غیر منفی ہے۔ پھر مسلسل۔ وہ مطمئن کرتے ہیں اگر لوونر تفریق مساوات کا مطلب ہے اور تو جو فوری طور پر بیبرباخ کی عدم مساوات کو ظاہر کرتا ہے اسی طرح چونکہ غیر منفی ہے اور کاچی-شوارز عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے۔ نوٹس حوالہ جات پیچیدہ تجزیہ