Heat kernel signature
ہیٹ کرنل سگنیچر (ایچ کے ایس) ایک فیچر ڈسکرپٹر ہے جو خراب شکل کے تجزیے میں استعمال ہوتا ہے اور اس کا تعلق سپیکٹرم شکل کے تجزیے کے طریقوں کے گروپ سے ہے۔ شکل میں ہر نقطہ کے لیے، ایچ کے ایس اپنے فیچر ویکٹر کی وضاحت کرتا ہے جو نقطہ کی مقامی اور عالمی ہندسی خصوصیات کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز میں تقسیم، درجہ بندی، ساخت کی دریافت، شکل کا ملاپ اور شکل کی بازیافت شامل ہیں۔ ایچ کے ایس کو 2009 میں جیان سن، میکس اووسجانیکوف اور لیونڈاس گیباس نے متعارف کرایا تھا۔ یہ حرارت کے دانے پر مبنی ہے، جو حرارت کی مساوات کا ایک بنیادی حل ہے۔ ایچ کے ایس ان بہت سے حال ہی میں متعارف کرائے گئے شکل کی وضاحت کرنے والوں میں سے ایک ہے جو شکل سے وابستہ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر پر مبنی ہیں۔ جائزہ شکل کا تجزیہ شکلوں کے خودکار ڈیجیٹل تجزیہ کا میدان ہے، مثال کے طور پر تھری ڈی آبجیکٹ۔ شکل کے تجزیہ کے بہت سے کاموں کے لیے (جیسے شکل کا ملاپ/بازیافت)، شکل کے مکمل 3D ماڈل کو استعمال کرنے کے بجائے کچھ کلیدی نکات کے لیے فیچر ویکٹر استعمال کیے جاتے ہیں۔ اس طرح کے فیچر ڈسکرپٹرز کی ایک اہم ضرورت یہ ہے کہ وہ بعض تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہوں۔ سخت تبدیلیوں کے لیے، عام طور پر استعمال ہونے والے فیچر ڈسکرپٹرز میں شکل کا سیاق و سباق، اسپن امیجز، انٹیگرل والیوم ڈسکرپٹرز اور ملٹی اسکیل مقامی خصوصیات شامل ہیں۔ ایچ کے ایس آئسومیٹرک تبدیلیوں کی اجازت دیتا ہے جو سخت تبدیلیوں کو عام کرتا ہے۔ ایچ کے ایس سطح پر حرارت کے پھیلاؤ کے تصور پر مبنی ہے۔ سطح پر ابتدائی حرارت کی تقسیم کو دیکھتے ہوئے، حرارت کا دانا وقت کے بعد منتقل ہونے والی حرارت کی مقدار سے متعلق ہے۔ حرارت کا دانا آئسومیٹرک تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہوتا ہے اور آئسومیٹری میں چھوٹی پریشانیوں کے تحت مستحکم ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، حرارت کا دانا مکمل طور پر ایک آئسومیٹری تک کی شکلوں کی خصوصیت رکھتا ہے اور بڑھتے ہوئے وقت کے ساتھ شکل کی تیزی سے عالمی خصوصیات کی نمائندگی کرتا ہے۔ چونکہ ایک عارضی ڈومین پر پوائنٹس کی ایک جوڑی کے لیے بیان کیا گیا ہے، گرمی کے دانے کو براہ راست خصوصیات کے طور پر استعمال کرنا ایک اعلی پیچیدگی کا باعث بنے گا۔ اس کے بجائے ایچ کے ایس صرف غور کرکے خود کو صرف عارضی ڈومین تک محدود رکھتا ہے۔ ایچ کے ایس کو بعض حالات میں گرمی کے دانے کی زیادہ تر خصوصیات وراثت میں ملتی ہیں۔ تکنیکی تفصیلات ایک کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا (ممکنہ طور پر ایک حد کے ساتھ) پر حرارت کے پھیلاؤ کی مساوات کے ذریعہ دی گئی ہے، جہاں لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر ہے اور یہ وقت پر ایک نقطہ پر حرارت کی تقسیم ہے۔ اس مساوات کے حل کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے، حرارت کے دانے کے آئجن سڑنے کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے، جہاں اور کہاں کے آئجن ویلیو اور آئجن فنکشن ہیں۔ حرارت کا دانا ایک سطح کو مکمل طور پر ایک آئسومیٹری تک کی خصوصیت دیتا ہے: دو ریمینیئن کئی گنا کے درمیان کسی بھی سرجیکٹو نقشے کے لیے اور، اگر پھر ایک آئسومیٹری ہے، اور اس کے برعکس۔ ایک جامع خصوصیت کی تفصیل کے لیے، ایچ کے ایس گرمی کے دانے کو صرف عارضی ڈومین تک محدود رکھتا ہے، ایچ کے ایس، گرمی کے دانے کی طرح، اس شرط کے تحت سطحوں کی خصوصیت رکھتا ہے کہ اس کے لیے اور کے آئجین ویلیوز بار بار نہیں ہوتے ہیں۔ کٹوف فریکوئنسیز کا تعین کرنے کے ساتھ، شرائط کو لو پاس فلٹرز کے بینک کے طور پر سمجھایا جا سکتا ہے۔ چونکہ، عام طور پر، ایک غیر پیرامیٹرک مسلسل فنکشن ہے، اس لیے HKS کو عملی طور پر بعض اوقات نمونے لی گئی اقدار کی ایک مجرد ترتیب کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ زیادہ تر ایپلی کیشنز میں، کسی شے کے لیے بنیادی کئی گنا معلوم نہیں ہے۔ HKS کا حساب لگایا جا سکتا ہے اگر کئی گنا کی میش نمائندگی دستیاب ہو، تو حرارت کی مساوات کے مجرد ینالاگ کا استعمال کرتے ہوئے اور اس کا استعمال کرتے ہوئے۔ مجرد صورت میں، لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر ایک غیر معمولی میٹرکس ہے اور اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے، جہاں ایک مثبت اخترن میٹرکس ہے جس میں نقشہ میں مثلث کے رقبے کے مطابق اندراجات ہوتے ہیں، اور یہ ایک ہم آہنگ نیم طے شدہ وزن میٹرکس ہے۔ اس میں تحلیل کیا جا سکتا ہے، جہاں چڑھتے ہوئے ترتیب میں ترتیب دی گئی آئجن ویلیوز کا ایک اخترن میٹرکس ہے، اور متعلقہ آرتھونورمل آئجن ویکٹرز کے ساتھ میٹرکس ہے۔ مجرد حرارت کا دانا وہ میٹرکس ہے جس کے ذریعہ دیا گیا ہے، عناصر عمودی اور وقت کے بعد حرارت کے پھیلاؤ کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس کے بعد ایچ کے ایس کو اس میٹرکس کے اخترن اندراجات کے ذریعے دیا جاتا ہے، جو مجرد وقت کے وقفوں پر نمونے لیے جاتے ہیں۔ مسلسل کیس کی طرح، مجرد ایچ کے ایس شور کے لیے مضبوط ہے۔ حدود غیر تکرار آئجین ویلیوز بنیادی خاصیت جو ایچ کے ایس کا استعمال کرتے ہوئے سطحوں کو آئسومیٹری تک نمایاں کرتی ہے صرف اس صورت میں برقرار رہتی ہے جب سطحوں کی آئجین ویلیوز بار بار نہ ہوں۔ کچھ ایسی سطحیں ہیں (خاص طور پر وہ جن میں ہم آہنگی ہے) جہاں اس حالت کی خلاف ورزی ہوتی ہے۔ ایک دائرہ اس طرح کی سطح کی ایک سادہ مثال ہے۔ وقت کے پیرامیٹر کا انتخاب ایچ کے ایس میں وقت کے پیرامیٹر کا عالمی معلومات کے پیمانے سے گہرا تعلق ہے۔ تاہم، ٹائم ڈسکریٹائزیشن کو منتخب کرنے کا کوئی براہ راست طریقہ نہیں ہے۔ موجودہ طریقہ وقت کے نمونوں کو لوگرتھمک طور پر منتخب کرتا ہے جو کہ وقت کی پیچیدگی کی ضمانت کے بغیر ایک ہیورسٹک ہے۔ مجرد حرارت کے دانے کو سائز کے میٹرکس کی ایجینڈ کمپوزیشن کی ضرورت ہوتی ہے، جہاں کئی گنا کی میش نمائندگی میں عمودی حصوں کی تعداد ہوتی ہے۔ آئجینڈ کمپوزیشن کا حساب لگانا ایک مہنگا عمل ہے، خاص طور پر جب اضافہ ہوتا ہے۔ تاہم، نوٹ کریں کہ آئجین ویلیو پر الٹا ایکسپونینشل انحصار کی وجہ سے، عام طور پر صرف ایک چھوٹا (100 سے کم) آئجین ویکٹر ایچ کے ایس کا اچھا تخمینہ حاصل کرنے کے لیے کافی ہوتے ہیں۔ غیر آئسومیٹرک تبدیلیاں ایچ کے ایس کے لیے کارکردگی کی ضمانت صرف حقیقی طور پر آئسومیٹرک تبدیلیوں کے لیے ہوتی ہے۔ تاہم، حقیقی شکلوں کے لیے خرابیاں اکثر آئسومیٹرک نہیں ہوتی ہیں۔ اس طرح کی تبدیلی کی ایک سادہ سی مثال ایک شخص کے ذریعہ مٹھی کو بند کرنا ہے، جہاں دو انگلیوں کے درمیان جیوڈیسیک فاصلے بدل جاتے ہیں۔ دیگر طریقوں کے ساتھ تعلق منحنی خطوط ایک نقطہ پر (مسلسل) ایچ کے ایس، ریمینیئن کئی گنا پر اسکیلر منحنی خطوط سے متعلق ہے، لہذا، ایچ کے ایس کی تشریح پیمانے کے منحنی خطوط کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ ویو کرنل سگنیچر (ڈبلیو کے ایس) ڈبلیو کے ایس ایچ کے ایس سے ملتے جلتے خیال کی پیروی کرتا ہے، گرمی کی مساوات کو شروڈنگر لہر مساوات سے تبدیل کرتا ہے، جہاں پیچیدہ لہر فنکشن ہے۔ کسی نقطہ پر ذرہ کی پیمائش کا اوسط امکان اس طرح دیا جاتا ہے، جہاں ابتدائی توانائی کی تقسیم ہے۔ ان توانائی کی تقسیم کے خاندان کو طے کرکے، ڈبلیو کے ایس کو ایک مجرد ترتیب کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایچ کے ایس کے برعکس، ڈبلیو کے ایس کو بینڈ پاس فلٹرز کے ایک سیٹ کے طور پر سمجھایا جا سکتا ہے جس سے بہتر فیچر لوکلائزیشن ہوتی ہے۔ تاہم، ڈبلیو کے ایس بڑے پیمانے کی خصوصیات کی اچھی طرح سے نمائندگی نہیں کرتا ہے (کیونکہ انہیں فلٹر کیا جاتا ہے) جس سے شکل سے مماثل ایپلی کیشنز میں ناقص کارکردگی حاصل ہوتی ہے۔ گلوبل پوائنٹ سگنیچر (جی پی ایس) ایچ کے ایس کی طرح، جی پی ایس لیپلیس بیلٹرامی آپریٹر پر مبنی ہے۔ ایک نقطہ پر GPS لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کے پیمائش شدہ آئجن فنکشنز کا ایک ویکٹر ہے۔ جی پی ایس ایک عالمی خصوصیت ہے جبکہ ایچ کے ایس کے پیمانے کو حرارت کے پھیلاؤ کے لیے وقت کے پیرامیٹر کو تبدیل کر کے مختلف کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، ایچ کے ایس کو جزوی شکل سے ملنے والی ایپلی کیشنز میں استعمال کیا جا سکتا ہے جبکہ جی پی ایس نہیں کر سکتا۔ سپیکٹرل گراف ویولیٹ سگنیچر (ایس جی ڈبلیو ایس) ایس جی ڈبلیو ایس سپیکٹرل ڈسکرپٹرز کے لیے ایک عمومی شکل فراہم کرتا ہے، جہاں کوئی فلٹر فنکشن کی وضاحت کر کے ایچ کے ایس حاصل کر سکتا ہے۔ ایس جی ڈبلیو ایس ایک ملٹی ریزولوشن لوکل ڈسکریپٹر ہے جو نہ صرف آئسومیٹرک غیر متغیر ہے، بلکہ کمپیکٹ، حساب کرنے میں آسان اور بینڈ پاس اور لو پاس فلٹرز دونوں کے فوائد کو یکجا کرتا ہے۔ ایکسٹینشنز اسکیل انویرینس اگرچہ ایچ کے ایس متعدد پیمانوں پر شکل کی نمائندگی کرتا ہے، لیکن یہ فطری طور پر پیمانے میں غیر متغیر نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، کسی شکل اور اس کے اسکیلڈ ورژن کے لیے ایچ کے ایس پری نارملائزیشن کے بغیر ایک جیسے نہیں ہوتے۔ پیمانے کی تغیر پذیری کو یقینی بنانے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ ہر شکل کو پہلے سے اسکیل کیا جائے تاکہ سطح کا رقبہ ایک جیسا ہو (جیسے۔ 1)۔ مندرجہ بالا اشارے کا استعمال کرتے ہوئے، اس کا مطلب ہے: متبادل طور پر، ایچ کے ایس کے پیمانے کے متغیر ورژن کو پیمانے کی جگہ کی نمائندگی پیدا کرکے بھی بنایا جا سکتا ہے۔ پیمانے کی جگہ میں، پیمانے کی شکل کے ایچ کے ایس ایک ضرب عنصر تک کے ترجمہ سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اس ایچ کے ایس کا فورئیر ٹرانسفارم وقت کے ترجمہ کو پیچیدہ سطح میں تبدیل کرتا ہے، اور ترجمہ پر انحصار کو ٹرانسفارم کے ماڈیولس پر غور کرکے ختم کیا جا سکتا ہے۔ ۔ ایک متبادل پیمانے کے غیر متغیر ایچ کے ایس کو پیمانے کے غیر متغیر میٹرک کے ذریعے اس کی تعمیر پر کام کرکے قائم کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ اس میں بیان کیا گیا ہے۔ حجم HKS HKS کی تعریف 3D شکل کی باؤنڈری سطح کے لیے کی گئی ہے، جسے 2D ریمینیئن مینیفولڈ کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ صرف حد پر غور کرنے کے بجائے، 3D شکل کے پورے حجم کو ایچ کے ایس کے حجم ورژن کی وضاحت کے لیے سمجھا جا سکتا ہے۔ والیومیٹرک ایچ کے ایس کی تعریف عام ایچ کے ایس سے ملتی جلتی ہے جس میں پورے حجم پر حرارت کی مساوات (3-سب میانی فولڈ کے طور پر) پر غور کیا جاتا ہے اور شکل کی 2-مینی فولڈ باؤنڈری پر نیومن باؤنڈری کنڈیشن کی وضاحت کی جاتی ہے۔ حجم ایچ کے ایس حجم آئسومیٹری تک کی تبدیلیوں کی خصوصیت رکھتا ہے، جو باؤنڈری آئسومیٹری سے زیادہ وفاداری کے ساتھ حقیقی 3 ڈی اشیاء کی تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے۔ شکل کی تلاش پیمانے کی غیر متغیر ایچ کے ایس خصوصیات کو شکل کی بازیافت ایپلی کیشنز کے لیے بیگ آف فیچر ماڈل میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ خصوصیات کو ہندسی الفاظ کی تعمیر کے لیے ان کے مقامی تعلقات کو مدنظر رکھتے ہوئے استعمال کیا جاتا ہے، جن سے شکلیں بنائی جا سکتی ہیں (خصوصیات کو الفاظ کے طور پر اور شکلوں کو جملوں کے طور پر استعمال کرنے کے مترادف)۔ شکلیں خود ایک انڈیکسڈ مجموعہ بنانے کے لیے کمپیکٹ بائنری کوڈز کا استعمال کرتے ہوئے پیش کی جاتی ہیں۔ استفسار کی شکل کو دیکھتے ہوئے، ممکنہ طور پر آئسومیٹرک تبدیلیوں کے ساتھ انڈیکس میں اسی طرح کی شکلیں کوڈ کے ہیمنگ فاصلے کو قربت کی پیمائش کے طور پر استعمال کرکے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ حوالہ جات امیج پروسیسنگ ہیٹ ٹرانسفر ڈیجیٹل جیومیٹری ٹوپولوجی تفریقی جیومیٹری