Euclidean random matrix
ریاضی کے اندر، ایک N × N یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس کی تعریف ایک صوابدیدی تعیناتی فنکشن f (r، r′) اور N پوائنٹس {ri} کی مدد سے کی جاتی ہے جو تصادفی طور پر d جہتی یوکلڈین اسپیس کے ریجن V میں تقسیم ہوتے ہیں۔ میٹرکس کا عنصر آئیج f (ri، rj) کے برابر ہے: آئیج = f (ri، rj)۔ یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس پہلی بار 1999 میں متعارف کروائے گئے تھے۔ انہوں نے افعال f کے ایک خاص معاملے کا مطالعہ کیا جو صرف پوائنٹس کے جوڑوں کے درمیان فاصلے پر منحصر ہے: f (r, r′) = f (r-r′) اور اخترن عناصر AII، Aij = f (ri-rj)-u δijsskf (ri-rk) پر ایک اضافی شرط عائد کی، جو اس جسمانی سیاق و سباق سے متاثر ہے جس میں انہوں نے میٹرکس کا مطالعہ کیا۔ یوکلڈین ڈسٹنس میٹرکس یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس کی ایک خاص مثال ہے جس میں f (ri-rj) = |ri-rj|2 یا f (ri-rj) = |ri-rj | ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، بہت سے حیاتیاتی نیٹ ورکس میں، دو نوڈس کے درمیان تعامل کی طاقت ان نوڈس کی جسمانی قربت پر منحصر ہوتی ہے۔ نوڈس کے درمیان مقامی تعاملات کو یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے، اگر نوڈس کو خلا میں بے ترتیب طور پر رکھا جائے۔ خصوصیات کیونکہ پوائنٹس {ri} کی پوزیشنیں بے ترتیب ہوتی ہیں، میٹرکس کے عناصر AIJ بھی بے ترتیب ہوتے ہیں۔ مزید برآں، کیونکہ N × N عناصر کا تعین مکمل طور پر صرف N پوائنٹس سے ہوتا ہے اور، عام طور پر، کوئی N میں دلچسپی رکھتا ہے، مختلف عناصر کے درمیان مضبوط ارتباط موجود ہیں۔ ہرمیٹین یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس ہرمیٹین یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس مختلف جسمانی سیاق و سباق میں ظاہر ہوتے ہیں، بشمول سپر کولڈ مائع، بے ترتیب نظاموں میں فونون، اور بے ترتیب میڈیا میں لہریں۔ مثال 1: k0 = 2π/λ0 کے ساتھ فنکشن f (r, r′) = sin (k0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) سے پیدا ہونے والے میٹرکس پر غور کریں۔ یہ میٹرکس ہرمیٹین ہے اور اس کی آئجین ویلیوز حقیقی ہیں۔ پہلو L اور حجم V = L3 کے مکعب میں تصادفی طور پر تقسیم شدہ N پوائنٹس کے لیے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ λ کی امکانات کی تقسیم تقریبا مارچینکو-پادری قانون کے ذریعے دی گئی ہے، اگر پوائنٹس کی کثافت ρ = N/V ρλ03 ≤ 1 اور 2.8N/(k0L) 2 <1 کی اطاعت کرتی ہے (شکل دیکھیں)۔ غیر ہرمیٹین یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس بڑے (این۔ 1) غیر ہرمیٹین یوکلڈین بے ترتیب میٹرکس کی آئجین ویلیو کثافت کے لیے ایک نظریہ تیار کیا گیا ہے اور بے ترتیب لیزر کے مسئلے کا مطالعہ کرنے کے لیے اس کا اطلاق کیا گیا ہے۔ مثال 2: f (r, r′) = exp (ik0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) فنکشن سے پیدا ہونے والے میٹرکس پر غور کریں، k0 = 2π/λ0 اور f (r = r′) = 0 کے ساتھ۔ یہ میٹرکس ہرمیٹین نہیں ہے اور اس کی آئجین ویلیوز λ پیچیدہ ہیں۔ اگر نقطہ ρ = N/V کی کثافت ρλ03 ≤ 1 اور 9N/(8k0R) 2 <1 کی اطاعت کرتی ہے تو λ کی امکانات کی تقسیم کو تجزیاتی طور پر پایا جا سکتا ہے (شکل دیکھیں)۔ حوالہ جات بے ترتیب میٹرکس ریاضیاتی طبیعیات