Arithmetic zeta function
ریاضی میں، ریاضیاتی زیٹا فنکشن ایک زیٹا فنکشن ہے جو انٹیجرز پر محدود قسم کی اسکیم سے وابستہ ہے۔ ریاضیاتی زیٹا فنکشن ریمن زیٹا فنکشن اور ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کو اعلی جہتوں میں عام کرتا ہے۔ ریاضیاتی زیٹا فنکشن نمبر تھیوری کی سب سے بنیادی اشیاء میں سے ایک ہے۔ تعریف ریاضیاتی زیٹا فنکشن کی تعریف ریمن زیٹا فنکشن سے مشابہت رکھنے والے یولر پروڈکٹ سے کی جاتی ہے: جہاں پروڈکٹ کو اسکیم کے تمام بند پوائنٹس پر لیا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، پروڈکٹ ان تمام نکات پر ہوتا ہے جن کا بقایا میدان محدود ہوتا ہے۔ اس فیلڈ کی کارڈینالیٹی کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال اور خصوصیات ایک محدود فیلڈ پر مختلف حالتیں اگر عناصر کے ساتھ ایک محدود فیلڈ کا سپیکٹرم ہے، تو ایک محدود فیلڈ پر مختلف قسم کے X کے لیے، یہ گروتھینڈیک کے ٹریس فارمولے سے جانا جاتا ہے کہ جہاں ایک عقلی فنکشن ہے (یعنی کثیر الجہتی کا ایک حصہ)۔ ایک محدود فیلڈ پر دو اقسام X اور Y کو دیکھتے ہوئے، کی زیٹا فنکشن اس طرح دی جاتی ہے جہاں انٹیجرز کے وٹ ویکٹرز کی رنگ میں ضرب کی نشاندہی ہوتی ہے۔ انٹیجرز کی رنگ اگر انٹیجرز کی رنگ کا سپیکٹرم ہے، تو ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر الجبرائی نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کی رنگ کا سپیکٹرم ہے، تو یہ ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن ہے۔ متفرق اتحادوں کے زیٹا افعال کسی اسکیم پر افائن اور پروجیکٹو خالی جگہوں کا زیٹا فنکشن اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ مؤخر الذکر مساوات کو سابقہ سے اس کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے، کسی بھی بند اور کھلے ذیلی نظام کا متفرق اتحاد ہے اور، بالترتیب، اس سے بھی زیادہ عام طور پر، لامحدود متفرق اتحادوں کے لیے اسی طرح کا فارمولا ہے۔ خاص طور پر، اس سے پتہ چلتا ہے کہ کا زیٹا فنکشن ماڈیولو پرائمز کی کمی کا پروڈکٹ ہے: ہر پرائم نمبر پر اس طرح کے اظہار کو بعض اوقات اویلر پروڈکٹ کہا جاتا ہے اور ہر عنصر کو اویلر فیکٹر کہا جاتا ہے۔ دلچسپی کے بہت سے معاملات میں، عام فائبر ہموار ہوتا ہے۔ پھر، صرف محدود طور پر بہت سے واحد (خراب کمی) ہیں۔ تقریبا تمام پرائمز کے لیے، یعنی جب اچھی کمی ہوتی ہے، تو اویلر عنصر کو ہس-ویل زیٹا فنکشن کے متعلقہ عنصر سے اتفاق کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ لہذا، یہ دونوں افعال قریب سے جڑے ہوئے ہیں۔ اہم قیاس آرائیاں ایک باقاعدہ ناقابل تلافی مساوی جہتی اسکیم (انٹیجرز پر محدود قسم کی) کے زیٹا فنکشن کے رویے سے متعلق متعدد قیاس آرائیاں ہیں۔ ان قیاس آرائیوں میں سے بہت سے (لیکن سبھی نہیں) یولر-ریمن-ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کے بارے میں معروف نظریات کے یک جہتی کیس کو عام کرتے ہیں۔ اسکیم کو فلیٹ اوور ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اس صورت میں یہ کچھ پر محدود قسم کی اسکیم ہے۔ اسے ذیل میں خصوصیت کا معاملہ کہا جاتا ہے۔ مؤخر الذکر کے معاملے میں، ان میں سے بہت سے قیاس آرائیاں (برچ اور سوئنرٹن ڈائر قیاس آرائی کے سب سے قابل ذکر استثناء کے ساتھ، یعنی۔ خصوصی اقدار کا مطالعہ) جانا جاتا ہے۔ ان اسکیموں کے لیے بہت کم جانا جاتا ہے جو چپٹے ہوتے ہیں اور طول و عرض دو اور اس سے زیادہ کے ہوتے ہیں۔ مورومورفک تسلسل اور فنکشنل مساوات ہاس اور ویل نے قیاس کیا ہے کہ پیچیدہ سطح پر مورومورفک تسلسل ہے اور اس کے مطلق طول و عرض کے حوالے سے ایک فنکشنل مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ یہ کچھ بہت ہی خاص معاملات کے لیے ثابت ہوتا ہے جب فلیٹ اسکیموں کے لیے اور سب کے لیے مثبت خصوصیت میں۔ یہ ویل قیاس آرائیوں کا نتیجہ ہے (زیادہ واضح طور پر، ریمن مفروضہ اس کا حصہ) کہ زیٹا فنکشن کا میرمورفک تسلسل ہے۔ عام کردہ ریمن مفروضہ عام کردہ ریمن مفروضے کے مطابق کے صفر کا قیاس کیا جاتا ہے کہ وہ نازک پٹی کے اندر عمودی لکیروں پر ہوتے ہیں اور نازک پٹی کے اندر کے قطبین عمودی لکیروں پر ہوتے ہیں۔ یہ سب کے لیے مثبت خصوصیت میں ثابت ہوا (ایمل آرٹن، ہیلمٹ ہاس، آندرے ویل، الیگزینڈر گروتھینڈیک، پیئر ڈیلیگن)۔ یہ کسی بھی فلیٹ اوور اسکیم کے لیے ثابت نہیں ہوتا ہے۔ ریمن مفروضہ قیاس 2 کا جزوی معاملہ ہے۔ قطبی ترتیبات تجزیاتی تسلسل کے تابع، صفر یا قطب کی ترتیب اور اہم پٹی کے اندر انٹیجر پوائنٹس پر بقیہ کے اہم ریاضی کے غیر متغیرات کے ذریعہ قابل اظہار ہونے کا قیاس کیا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا ابتدائی خصوصیات اور نویتھر نارملائزیشن پر مبنی سیر کی وجہ سے ہونے والی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ کے زیٹا فنکشن میں ایک پول ہوتا ہے جس کی ترتیب زیادہ سے زیادہ طول و عرض کے ساتھ کے ناقابل تلافی اجزاء کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ دوسرا، ٹیٹ کا قیاس ہے کہ پول آرڈر الٹا باقاعدہ افعال کے گروپوں اور پکارڈ گروپ کی درجہ بندی سے ظاہر ہوتا ہے۔ برچ اور سوئنرٹن ڈائر کا قیاس اس قیاس کا ایک جزوی معاملہ ہے۔ درحقیقت، ٹیٹ کا یہ قیاس برچ اور سوئنرٹن ڈائر کی عمومی شکل کے مترادف ہے۔ زیادہ عام طور پر، سول نے قیاس کیا کہ دائیں ہاتھ کی طرف الجبرائی تھیوری کے ایڈمز آئجین اسپیس کی نشاندہی کرتا ہے۔ یہ درجات باس قیاس کے تحت محدود ہیں۔ یہ قیاس تب معلوم ہوتے ہیں جب، یعنی محدود فیلڈز پر نمبر رنگز اور منحنی خطوط کا معاملہ ہوتا ہے۔ جہاں تک، برچ اور سوئنرٹن ڈائر قیاس آرائی کے جزوی معاملات ثابت ہو چکے ہیں، لیکن مثبت خصوصیت میں بھی قیاس آرائی کھلی رہتی ہے۔ طریقوں اور نظریات کرونیکر طول و عرض کی باقاعدہ جڑی ہوئی مساوی جہتی ریاضی کی اسکیم کے ریاضیاتی زیٹا فنکشن کو مناسب طور پر بیان کردہ عوامل اور ایک معاون عنصر کے پروڈکٹ میں فیکٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ لہذا،-افعال پر نتائج ریاضی کے زیٹا افعال کے لیے متعلقہ نتائج کا اشارہ کرتے ہیں۔ تاہم، اب بھی خصوصیت صفر اور طول و عرض 2 اور اس سے زیادہ میں ریاضی کی اسکیموں کے-عوامل کے بارے میں ثابت نتائج کی بہت کم مقدار موجود ہے۔ ایوان فیسینکو نے ایک نظریہ شروع کیا جو ریاضی کے زیٹا افعال کا براہ راست مطالعہ کرتا ہے، ان کے عوامل کے ساتھ کام کیے بغیر۔ یہ ٹیٹ کے مقالے کی ایک اعلی جہتی عمومی شکل ہے، یعنی۔ یہ اعلی ایڈیل گروپس، اعلی زیٹا انٹیگرل اور اشیاء کا استعمال کرتا ہے جو اعلی کلاس فیلڈ تھیوری سے آتے ہیں۔ اس نظریہ میں، عالمی فیلڈز پر الپٹک منحنی خطوط کے مناسب باقاعدہ ماڈلز کی مورومورفک تسلسل اور فنکشنل مساوات کا تعلق باؤنڈری فنکشن کی اوسط دورانیے کی خاصیت سے ہے۔ ایم سوزوکی اور جی ریکوٹا کے ساتھ ان کے مشترکہ کام میں نمبر تھیوری میں ایک نیا خط و کتابت تجویز کیا گیا ہے، جو کہ تیز رفتار نمو سے زیادہ نہیں کی حقیقی لکیر پر ہموار افعال کی جگہ میں ریاضی کے زیٹا افعال اور اوسط دورانیے کے افعال کے درمیان ہے۔ یہ خط و کتابت لینگ لینڈز خط و کتابت سے متعلق ہے۔ فیسینکو کے نظریہ کی دو دیگر ایپلی کیشنز عالمی شعبوں پر الپٹک منحنی خطوط کے مناسب ماڈلز کے زیٹا فنکشن کے قطبوں اور مرکزی نقطہ پر خصوصی قدر کے لیے ہیں۔ حوالہ جات ذرائع زیٹا اور ایل فنکشن نمبر تھیوری