Littlewood subordination theorem
ریاضی میں، لٹل ووڈ ماتحت نظریہ، جسے جے ای لٹل ووڈ نے 1925 میں ثابت کیا، آپریٹر تھیوری اور پیچیدہ تجزیہ میں ایک نظریہ ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ پیچیدہ نمبروں میں یونٹ ڈسک کی کوئی بھی ہولومورفک غیر مساوی خود نقشہ سازی جو 0 کو طے کرتی ہے، ڈسک پر ہولومورفک افعال کی مختلف فنکشن خالی جگہوں پر ایک کنٹریکٹیو کمپوزیشن آپریٹر کو جنم دیتی ہے۔ ان جگہوں میں ہارڈی خالی جگہیں، برگمین خالی جگہیں اور ڈیرچلیٹ خالی جگہیں شامل ہیں۔ سب آرڈینشن تھیوریم فرض کریں کہ h اپنے آپ میں یونٹ ڈسک D کی ایک ہولومورفک غیر مساوی نقشہ سازی ہے جیسے کہ h (0) = 0۔ پھر کمپوزیشن آپریٹر Ch کی تعریف ہولومورفک افعال f پر D پر ہارڈی خالی جگہوں، برگمین خالی جگہوں پر 1 سے کم آپریٹر کے معیار کے ساتھ ایک لکیری آپریٹر کی وضاحت کرتا ہے۔ (1 ≤ p <≤) اور ڈیرچلیٹ اسپیس۔ ان خالی جگہوں پر اصولوں کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: لٹل ووڈ کی عدم مساوات فرض کریں کہ f یونٹ ڈسک D پر ایک ہولومورفک فنکشن ہے اور فرض کریں کہ h اپنے آپ میں h (0) = 0 کے ساتھ D کی ہولومورفک غیر مساوی نقشہ سازی ہے۔ پھر اگر 0 <r <1 اور 1 ≤ p <≤ یہ عدم مساوات 0 <p <1 کے لیے بھی ہے، حالانکہ اس صورت میں آپریٹر کی کوئی تشریح نہیں ہے۔ ثبوت کیس p = 2 H2 کے لیے نتیجہ ثابت کرنے کے لیے یہ ظاہر کرنا کافی ہے کہ f ایک کثیر الجہتی کے لیے U ایک یکطرفہ شفٹ ہے جس کی وضاحت اس کے ذریعے کی گئی ہے۔ اس کا ملحقہ U * ہے جو اس کے ذریعے دیا گیا ہے۔ چونکہ f (0) = a0، یہ دیتا ہے اور اس لیے اس طرح چونکہ U * f کی ڈگری f سے کم ہے، اس لیے یہ انڈکشن کے ذریعے اس کی پیروی کرتا ہے اور اسی وجہ سے ثبوت کا وہی طریقہ A2 اور جنرل ہارڈی خالی جگہوں کے لیے کام کرتا ہے۔ اگر f ہارڈی اسپیس Hp میں ہے، تو اس میں ایک اندرونی فنکشن اور بیرونی فنکشن کے ساتھ ایک فیکٹرائزیشن ہوتی ہے۔ پھر عدم مساوات 0 <r <1 لیتے ہوئے، لٹل ووڈ کی عدم مساوات کو فنکشن پر ہارڈی اسپیس کی عدم مساوات کو لاگو کرکے پیروی کی جاتی ہے۔ عدم مساوات کو ذیلی ہارمونک افعال کا استعمال کرتے ہوئے بھی اخذ کیا جا سکتا ہے۔ بدلے میں عدم مساوات عام برگمین خالی جگہوں کے لیے ماتحت نظریہ کو فوری طور پر ظاہر کرتی ہیں۔ پیچیدہ تجزیے میں حوالہ جات آپریٹر تھیوری تھیوریمز