Ross–Fahroo pseudospectral method
آئی۔ مائیکل راس اور ایف۔ فاہرو کی طرف سے متعارف کرائے گئے، راس-فاہرو سیڈو سپیکٹرل طریقے زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے لیے سیڈو سپیکٹرل طریقوں کا ایک وسیع مجموعہ ہیں۔ راس-فاہرو سیڈو سپیکٹرل طریقوں کی مثالیں سیڈو سپیکٹرل گرہ بندی کا طریقہ، فلیٹ سیڈو سپیکٹرل طریقہ، لیجنڈری-گاؤس-راڈو سیڈو سپیکٹرل طریقہ اور لامحدود افقی زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے لیے سیڈو سپیکٹرل طریقے ہیں۔ جائزہ راس-فاہرو طریقے منتقل شدہ گوسیئن سیڈو سپیکٹرل نوڈ پوائنٹس پر مبنی ہیں۔ شفٹ لکیری یا غیر لکیری تبدیلی کے ذریعے حاصل کی جاتی ہیں جبکہ گاؤسی سڈو اسپیکٹرل پوائنٹس کا انتخاب لیجنڈری یا چیبیشیف کثیر الجہتی سے پیدا ہونے والے گاؤس-لوباٹو یا گاؤس-رداؤ تقسیم کے مجموعے سے کیا جاتا ہے۔ گاؤس-لوبیٹو سیڈو اسپیکٹرل پوائنٹس کو محدود افقی زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جبکہ گاؤس-راڈو سیڈو اسپیکٹرل پوائنٹس کو لامحدود افقی زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی ایپلی کیشنز راس-فاہرو طریقوں کی بنیاد راس-فاہرو لیما پر رکھی گئی ہے۔ ان کا اطلاق تفریقی مساوات، تفریقی-الجبرائی مساوات، تفریقی شمولیت، اور تفریقی طور پر ہموار نظاموں کے زیر انتظام زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل پر کیا جا سکتا ہے۔ ان کا اطلاق ایک سادہ ڈومین ٹرانسفارمیشن تکنیک کے ذریعے لامحدود افق کے زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل پر بھی کیا جا سکتا ہے۔ راس-فاہرو سیڈو سپیکٹرل طریقے بھی بیل مین سیڈو سپیکٹرل طریقہ کی بنیادیں بناتے ہیں۔ فلائٹ ایپلی کیشنز اور ایوارڈز راس فاہرو طریقوں کو دنیا بھر میں بہت سے عملی ایپلی کیشنز اور لیبارٹریوں میں نافذ کیا گیا ہے۔ 2006 میں ناسا نے بین الاقوامی خلائی اسٹیشن پر "صفر پروپیلنٹ چال" کو نافذ کرنے کے لیے راس-فاہرو طریقہ استعمال کیا۔ ان تمام پیشرفتوں کے اعتراف میں، اے آئی اے اے نے راس اور فاہرو کو "فلائٹ میکینکس کے منظر نامے کو تبدیل کرنے" کے لیے 2010 کا میکینکس اینڈ کنٹرول آف فلائٹ ایوارڈ پیش کیا۔ راس کو "سیوڈو سپیکٹرل آپٹیمل کنٹرول میں ان کی اہم شراکت" کے لیے اے اے ایس فیلو بھی منتخب کیا گیا تھا۔ راس فاہرو طریقوں کی ایک قابل ذکر خصوصیت یہ ہے کہ یہ "براہ راست" اور "بالواسطہ" طریقوں کے سابقہ تصورات کو ختم کر دیتا ہے۔ یعنی، راس اور فاہرو کی طرف سے پیش کردہ نظریات کے مجموعے کے ذریعے، انہوں نے یہ ظاہر کیا کہ زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے لیے فرضی اسپیکٹرل طریقوں کو ڈیزائن کرنا ممکن تھا جو براہ راست اور بالواسطہ دونوں شکلوں میں مساوی تھے۔ اس کا مطلب یہ تھا کہ کوئی بھی ان کے طریقوں کو محض "براہ راست" طریقہ کے طور پر استعمال کر سکتا ہے جبکہ خود بخود "بالواسطہ" طریقوں کی طرح درست ڈوئلز تیار کر سکتا ہے۔ اس نے زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل کو حل کرنے میں انقلاب برپا کر دیا جس کی وجہ سے راس-فاہرو تکنیک کا وسیع پیمانے پر استعمال ہوا۔ سافٹ ویئر کا نفاذ راس-فاہرو طریقوں کو MATLAB آپٹیمل کنٹرول سولور، DIDO میں لاگو کیا جاتا ہے۔ بیل مین سڈو اسپیکٹرل طریقہ DIDO-زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے لیے MATLAB ٹول بھی دیکھیں جس کا نام کارتھج راس کی π لیما راس-فاہرو لیما حوالہ جات زیادہ سے زیادہ کنٹرول عددی تجزیہ کنٹرول تھیوری کی پہلی ملکہ ڈیڈو کے نام پر رکھا گیا ہے۔