Nonparametric skew
اعداد و شمار اور امکان کے نظریہ میں، غیر پیرامیٹرک اسکیو ایک اعدادوشمار ہے جو کبھی کبھار بے ترتیب متغیرات کے ساتھ استعمال ہوتا ہے جو حقیقی اقدار لیتے ہیں۔ یہ بے ترتیب متغیر کی تقسیم کے منحنی پن کی پیمائش ہے-یعنی تقسیم کا ایک طرف یا اوسط کے دوسرے طرف "جھکاؤ" کا رجحان۔ اس کے حساب کے لیے بنیادی تقسیم کی شکل کے بارے میں کسی علم کی ضرورت نہیں ہے-اس لیے اس کا نام غیر پیرامیٹرک ہے۔ اس کی کچھ مطلوبہ خصوصیات ہیں: یہ کسی بھی ہم آہنگی کی تقسیم کے لیے صفر ہے ؛ یہ پیمانے کی تبدیلی سے متاثر نہیں ہوتا ہے ؛ اور یہ بائیں یا دائیں سکونیس کو یکساں طور پر ظاہر کرتا ہے۔ کچھ شماریاتی نمونوں میں یہ آبادی کی معمول سے روانگی کا پتہ لگانے میں منحنی پن کے معمول کے اقدامات سے کم طاقتور دکھایا گیا ہے۔ خصوصیات کی تعریف غیر پیرامیٹرک اسکیو کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں آبادی کے اوسط (μ)، میڈین (ν) اور معیاری انحراف (σ) کے معمول کے معنی ہوتے ہیں۔ غیر پیرامیٹرک سکیو پیئرسن 2 سکونیس گتانک کا ایک تہائی ہے اور کسی بھی تقسیم کے لیے −1 اور + 1 کے درمیان ہوتا ہے۔ یہ حد اس حقیقت سے مضمر ہے کہ اوسط کسی بھی میڈین کے ایک معیاری انحراف کے اندر ہے۔ متغیر (X) کی افائن تبدیلی کے تحت، S کی قدر علامت میں ممکنہ تبدیلی کے علاوہ تبدیل نہیں ہوتی ہے۔ علامتوں میں جہاں a  ऒत्त 0 اور b مستقلات ہیں اور S (X) متغیر X کا غیر پیرامیٹرک سکیو ہے۔ تیز حدود اس اعداد و شمار (±1) کی حدود کو ماجندر نے تیز کیا جس نے ظاہر کیا کہ اس کی مطلق قدر کے ساتھ پابند ہے اور جہاں X محدود تغیر کے ساتھ ایک بے ترتیب متغیر ہے، E () متوقع آپریٹر ہے اور Pr () واقعہ ہونے کا امکان ہے۔ جب p = q = 0.0 ہو تو اس اعداد و شمار کی مطلق قیمت 1 سے منسلک ہوتی ہے۔ p = 0.1 اور p = 0.1 کے ساتھ، اعداد و شمار کی مطلق قدر بالترتیب 0.1 اور 0.199 سے محدود ہے۔ توسیعات یہ بھی معلوم ہے کہ جہاں ν0 کوئی میڈین ہے اور E (.) توقع آپریٹر ہے۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ جہاں xq q واں مقداری ہے۔ کوانٹائلز 0 اور 1 کے درمیان ہوتے ہیں: میڈین (0.0 کوانٹائل) میں q = 0.0 ہوتا ہے۔ اس عدم مساوات کو سکونیس کی پیمائش کی وضاحت کے لیے بھی استعمال کیا گیا ہے۔ اس مؤخر الذکر عدم مساوات کو مزید تیز کیا گیا ہے۔ محدود اوسط کے ساتھ تقسیم کے لیے ایک اور توسیع شائع کی گئی ہے: عدم مساوات کے اس آخری جوڑے میں حدود اس وقت حاصل کی جاتی ہیں جب اور مقررہ نمبروں کے لیے a <b۔ محدود نمونے نمونے کے سائز n ≤ 2 کے ساتھ ایک محدود نمونے کے لیے xr کے ساتھ rth آرڈر کا اعدادوشمار ہوتا ہے، m نمونے کا مطلب اور s نمونے کے معیاری انحراف کو ڈگری آف فریڈم کے لیے درست کیا جاتا ہے، r کو n/2 سے تبدیل کرنے سے نمونہ میڈین کے لیے مناسب نتیجہ ملتا ہے: جہاں a نمونہ میڈین ہے۔ شماریاتی ٹیسٹ ہوٹلنگ اور سولومنز نے ٹیسٹ کے اعداد و شمار کی تقسیم پر غور کیا جہاں n نمونے کا سائز ہے، m نمونے کا اوسط ہے، a نمونہ میڈین ہے اور s نمونے کا معیاری انحراف ہے۔ D کے شماریاتی ٹیسٹوں نے فرض کیا ہے کہ جس کالعدم مفروضے کی جانچ کی جا رہی ہے وہ یہ ہے کہ تقسیم ہم آہنگ ہے۔ گیسٹورتھ نے n−1/2D کے غیر علامتی تغیر کا تخمینہ لگایا۔ اگر تقسیم یکساں اور تقریبا 0 کی ہم آہنگی ہے، تو غیر علامتی تغیر 1/4 اور 1 کے درمیان ہے۔ ایک قدامت پسند تخمینہ فرض کرنا (تغیر کو 1 کے برابر رکھنا) برائے نام سطح سے بہت نیچے اہمیت کی حقیقی سطح کا باعث بن سکتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ بنیادی تقسیم ہم آہنگ کیبیلیو ہے اور مسارو نے دکھایا ہے کہ S کی تقسیم غیر علامتی طور پر عام ہے۔ ایسمپٹوٹک تغیر بنیادی تقسیم پر منحصر ہے: عام تقسیم کے لیے، S کا ایسمپٹوٹک تغیر 0.5708 ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ بنیادی تقسیم ہم آہنگ ہے، میڈین کے اوپر اور نیچے کی اقدار کی تقسیم پر غور کرتے ہوئے زینگ اور گیسٹ ورتھ نے استدلال کیا ہے کہ جہاں n نمونے کا سائز ہے، اسے t تقسیم کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ متعلقہ اعداد و شمار انتونیٹا میرا نے اوسط اور میڈین کے درمیان فرق کی تقسیم کا مطالعہ کیا۔ جہاں m نمونہ کا مطلب ہے اور a میڈین ہے۔ اگر بنیادی تقسیم ہم آہنگ ہے تو γ1 خود ہی غیر علامتی طور پر نارمل ہے۔ یہ اعداد و شمار پہلے بونفرونی نے تجویز کیے تھے۔ ایک متناسب بنیادی تقسیم کو فرض کرتے ہوئے، S کی ایک ترمیم کا مطالعہ میاؤ، جیل اور گیسٹورتھ نے کیا جنہوں نے اپنے اعدادوشمار بنانے کے لیے معیاری انحراف میں ترمیم کی۔ جہاں xi نمونے کی اقدار ہیں، | | مطلق قدر ہے اور مجموعہ تمام n نمونے کی اقدار پر لیا جاتا ہے۔ ٹیسٹ کے اعدادوشمار تھے اسکیلڈ اعدادوشمار T سمٹرک ڈسٹری بیوشن کے لیے صفر کے اوسط کے ساتھ غیر علامتی طور پر عام ہے۔ اس کا غیر علامتی تغیر بنیادی تقسیم پر منحصر ہے: محدود اقدار، عام تقسیم = 0.5708 کے لیے ہیں۔ اور، تین ڈگری آف فریڈم کے ساتھ t تقسیم کے لیے، = 0.9689۔ انفرادی تقسیم کے لیے ویلیوز سمیٹرک ڈسٹری بیوشنز سمیٹرک پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن کے لیے نان پیرامیٹرک سکیو کی ویلیو 0 ہے۔ غیر متناسب تقسیم یہ دائیں منحنی تقسیم کے لیے مثبت اور بائیں منحنی تقسیم کے لیے منفی ہے۔ مطلق اقدار 0.2 نشان زدہ سکونیس کی نشاندہی کرتی ہیں۔ کچھ تقسیمات کے لیے S کا تعین کرنا مشکل ہو سکتا ہے۔ عام طور پر اس کی وجہ یہ ہے کہ میڈین کے لیے ایک بند شکل معلوم نہیں ہے: اس طرح کی تقسیم کی مثالوں میں گاما تقسیم، الٹا-چی مربع تقسیم، الٹا-گاما تقسیم اور اسکیلڈ الٹا چی مربع تقسیم شامل ہیں۔ S کے لیے درج ذیل اقدار معلوم ہیں: بیٹا تقسیم: 1 <α <β جہاں α اور β تقسیم کے پیرامیٹرز ہیں، پھر ایک اچھے تخمینے کے لیے اگر 1 <β <α تو فارمولے میں α اور β کی پوزیشنیں الٹ جاتی ہیں۔ S ہمیشہ <0 ہوتا ہے۔ بائنومیل تقسیم: مختلف ہوتی ہے۔ اگر اوسط ایک عدد ہے تو S = 0۔ اگر اوسط ایک عدد S نہیں ہے تو اس میں یا تو نشان ہو سکتا ہے یا صفر ہو سکتا ہے۔ یہ ± منٹ {میکس {پی، 1 − پی}، لوج 2}/σ سے جڑا ہوا ہے جہاں σ بائنومیل ڈسٹری بیوشن کا معیاری انحراف ہے۔ بر کی تقسیم: برنبام-سانڈرز کی تقسیم: جہاں α شکل کا پیمانہ ہے اور β محل وقوع کا پیمانہ ہے۔ کینٹر ڈسٹری بیوشن: چی مربع ڈسٹری بیوشن: اگرچہ S ≤ 0 اس کی قیمت کا انحصار ڈگری آف فریڈم (k) کی تعداد پر ہوتا ہے۔ ڈگم کی تقسیم: ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن: دو پیرامیٹرز کے ساتھ ایکسپونینشیل ڈسٹری بیوشن: ایکسپونینشیل-لوگرتھمک ڈسٹری بیوشن یہاں S ہمیشہ> 0 ہوتا ہے۔ ایکسپونینلی ترمیم شدہ گاؤسی تقسیم: F تقسیم n اور n ڈگری آف فریڈم (n> 4) کے ساتھ: فریچیٹ تقسیم: اس تقسیم کے تغیر کی وضاحت صرف α> 2 کے لیے کی گئی ہے۔ گاما تقسیم: میڈین کا تعین صرف اس تقسیم کے لیے تقریبا کیا جا سکتا ہے۔ اگر شکل کا پیرامیٹر α ≤1 ہے تو جہاں β> 0 شرح کا پیرامیٹر ہے۔ یہاں S ہمیشہ> 0 ہوتا ہے۔ عام عام تقسیم ورژن 2 S ہمیشہ <0 ہوتا ہے۔ عمومی پیریٹو تقسیم: S کی تعریف صرف اس وقت کی جاتی ہے جب شکل کا پیرامیٹر (k) <1/2 ہو۔ اس تقسیم کے لیے S <0 ہے۔ گمبل کی تقسیم: جہاں γ یولر کا مستقل ہے۔ نصف نارمل ڈسٹری بیوشن: کمارسوامی ڈسٹری بیوشن لاگ لاجسٹک ڈسٹری بیوشن (فسک ڈسٹری بیوشن): β کو شکل کا پیمانہ ہونے دیں۔ اس تقسیم کے تغیر اور اوسط کی وضاحت صرف اس وقت کی جاتی ہے جب β> 2 ہو۔ اشارے کو آسان بنانے کے لیے b = β/لیں۔ b> 4.932 (تقریبا) کی اقدار کے لیے معیاری انحراف موجود نہیں ہے۔ ان اقدار کے لیے جن کے لیے معیاری انحراف کی وضاحت کی گئی ہے، S> 0 ہے۔ لاگ نارمل ڈسٹری بیوشن: اوسط (μ) اور تغیر (σ2) لاگ ویبل ڈسٹری بیوشن کے ساتھ: لومیکس ڈسٹری بیوشن: S کی تعریف صرف α> 2 میکسویل-بولٹزمین ڈسٹری بیوشن کے لیے کی گئی ہے: ناکاگامی ڈسٹری بیوشن پیریٹو ڈسٹری بیوشن: α> 2 کے لیے جہاں α ڈسٹری بیوشن کی شکل کا پیمانہ ہے، اور S ہمیشہ> 0 ہوتا ہے۔ پوائسن کی تقسیم: جہاں λ تقسیم کا پیمانہ ہے۔ ریلیگ ڈسٹری بیوشن: ویبل ڈسٹری بیوشن: جہاں k ڈسٹری بیوشن کی شکل کا پیمانہ ہے۔ یہاں S ہمیشہ> 0 ہوتا ہے۔ 1895 میں پیئرسن نے سب سے پہلے اوسط اور موڈ کے درمیان فرق کو معیاری بنا کر اسکیونیس کی پیمائش کرنے کی تجویز پیش کی، جہاں μ، θ اور σ بالترتیب تقسیم کا اوسط، موڈ اور معیاری انحراف ہے۔ نمونے کے اعداد و شمار سے آبادی کے موڈ کا تخمینہ لگانا مشکل ہو سکتا ہے لیکن بہت سی تقسیموں کے لیے اوسط اور موڈ کے درمیان فرق اوسط اور میڈین کے درمیان فرق سے تقریبا تین گنا زیادہ ہے جس نے پیئرسن کو دوسرا سکونیس گتانک تجویز کیا: جہاں ν تقسیم کا میڈین ہے۔ باؤلی نے 1901 میں اس فارمولے سے فیکٹر 3 کو ہٹا دیا جس کی وجہ سے غیر پیرامیٹرک سکیو اعدادوشمار سامنے آئے۔ میڈین، اوسط اور موڈ کے درمیان تعلق کو سب سے پہلے پیئرسن نے اس وقت نوٹ کیا جب وہ اپنی ٹائپ III کی تقسیم کی تحقیقات کر رہے تھے۔ اوسط، میڈین اور موڈ کے درمیان تعلقات صوابدیدی تقسیم کے لیے موڈ، میڈین اور مین کسی بھی ترتیب میں ظاہر ہو سکتے ہیں۔ اوسط، میڈین، موڈ اور معیاری انحراف کے درمیان کچھ تعلقات کا تجزیہ کیا گیا ہے۔ اور یہ تعلقات غیر پیرامیٹرک سکیو کی علامت اور شدت پر کچھ پابندیاں عائد کرتے ہیں۔ ان رشتوں کی ایک سادہ سی مثال n = 10 اور p = 0.09 کے ساتھ بائنومیل ڈسٹری بیوشن ہے۔ یہ تقسیم جب پلاٹ کی جاتی ہے تو اس کی دائیں دم لمبی ہوتی ہے۔ اوسط (0.1) میڈین (1) کے بائیں طرف ہے لیکن اسکیو (0.906) جیسا کہ تیسرے معیاری لمحے سے بیان کیا گیا ہے مثبت ہے۔ اس کے برعکس غیر پیرامیٹرک سکیو-0.110 ہے۔ پیئرسن کا قاعدہ یہ قاعدہ کہ کچھ تقسیموں کے لیے اوسط اور موڈ کے درمیان فرق اوسط اور میڈین کے درمیان فرق سے تین گنا زیادہ ہے، پیئرسن کی وجہ سے ہے جس نے اسے اپنی ٹائپ 3 کی تقسیم کی تحقیقات کرتے ہوئے دریافت کیا۔ یہ اکثر قدرے غیر متناسب تقسیموں پر لاگو ہوتا ہے جو عام تقسیم سے مشابہت رکھتے ہیں لیکن یہ ہمیشہ درست نہیں ہوتا ہے۔ 1895 میں پیئرسن نے نوٹ کیا کہ جس چیز کو اب گاما تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے کہ وہ رشتہ جہاں θ، ν اور μ تقسیم کا موڈ، میڈین اور اوسط بالترتیب ایک بڑے شکل کے پیرامیٹر کے ساتھ تقسیم کے لیے تقریبا درست تھا۔ 1917 میں ڈوڈسن نے ثابت کیا کہ میڈین محدود چوتھے لمحات کے ساتھ اعتدال سے منحنی تقسیم کے لیے موڈ اور اوسط کے درمیان ہے۔ یہ تعلق پیئرسن کی تمام تقسیموں کے لیے ہے اور ان تمام تقسیموں میں ایک مثبت غیر پیرامیٹرک سکیو ہے۔ ڈوڈسن نے یہ بھی نوٹ کیا کہ تقسیم کے اس خاندان کے لیے ایک اچھا تخمینہ، جہاں θ، ν اور μ بالترتیب تقسیم کا موڈ، میڈین اور اوسط ہیں۔ ڈوڈسن کے تخمینے کی مزید تفتیش کی گئی اور ہالڈین نے اس کی تصدیق کی۔ ہالڈین نے نوٹ کیا کہ تیسرے کمولینٹ کے ساتھ یکساں اور آزاد اقسام والے نمونوں میں نمونے کا مطلب تھا جو بڑے نمونے کے سائز کے لیے پیئرسن کے تعلقات کی اطاعت کرتا تھا۔ ہالڈین کو اس رشتے کو برقرار رکھنے کے لیے کئی شرائط درکار تھیں جن میں ایج ورتھ توسیع کا وجود اور میڈین اور موڈ دونوں کی انفرادیت شامل ہے۔ ان حالات میں اس نے پایا کہ موڈ اور میڈین بالترتیب تیسرے لمحے کے 1/2 اور 1/6 میں ضم ہو گئے۔ اس نتیجے کی تصدیق ہال نے کمزور حالات میں خصوصیت کے افعال کا استعمال کرتے ہوئے کی۔ ڈوڈسن کے تعلقات کا مطالعہ کینڈل اور اسٹیورٹ نے لاگ نارمل ڈسٹری بیوشن میں کیا جس کے لیے انہیں اس کے قریب ایک عین مطابق رشتہ ملا۔ ہال نے یہ بھی دکھایا کہ باقاعدگی سے مختلف دموں اور ایکسپونینٹ α کے ساتھ تقسیم کے لیے کہ یونیموڈل تقسیم گاؤس نے 1823 میں دکھایا کہ ایک یونیموڈل تقسیم کے لیے اور جہاں ω موڈ سے جڑ کا اوسط مربع انحراف ہے۔ یکساں تقسیم کے ایک بڑے طبقے کے لیے جو موڈ کو مثبت طور پر منحرف کرتے ہیں، میڈین اور مین اسی ترتیب میں گرتے ہیں۔ اس کے برعکس غیر معمولی تقسیم کے ایک بڑے طبقے کے لیے جو منفی طور پر منحنی ہیں اوسط میڈین سے کم ہے جو بدلے میں موڈ سے کم ہے۔ ان مثبت طور پر سکویڈ یونوموڈل ڈسٹری بیوشن اور ان منفی طور پر سکویڈ یونوموڈل ڈسٹری بیوشن کے لیے علامتوں میں اس کلاس میں اہم ایف، بیٹا اور گاما ڈسٹری بیوشن شامل ہیں۔ یہ قاعدہ یونیموڈل ویبل ڈسٹری بیوشن کے لیے نہیں ہے۔ یک جہتی تقسیم کے لیے درج ذیل حدود معلوم ہیں اور تیز ہیں: جہاں μ، ν اور θ بالترتیب اوسط، میڈین اور موڈ ہیں۔ درمیانی باؤنڈ ایک یونیموڈل ڈسٹری بیوشن کے غیر پیرامیٹرک اسکیو کو تقریبا ± 0.775 تک محدود کرتا ہے۔ مندرجہ ذیل عدم مساوات، جہاں θ، ν اور μ بالترتیب تقسیم کا موڈ، میڈین اور اوسط ہے، اس صورت میں برقرار رہتی ہے جہاں F تقسیم کا مجموعی تقسیم فنکشن ہے۔ اس کے بعد سے ان شرائط کو عام کیا گیا ہے اور مجرد تقسیم تک بڑھا دیا گیا ہے۔ کوئی بھی تقسیم جس کے لیے یہ ہوتی ہے اس میں یا تو صفر یا مثبت غیر پیرامیٹرک سکیو ہوتا ہے۔ نوٹس آرڈرنگ آف سکیونیس 1964 میں وین زوئیٹ نے سکیونیس کے اقدامات کو ترتیب دینے کے لیے محوریات کا ایک سلسلہ تجویز کیا۔ غیر پیرامیٹرک اسکیو ان محوریوں کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ بین فورڈ کا قانون بین فورڈ کا قانون اعداد کی فہرست میں ہندسوں کی تقسیم سے متعلق ایک تجرباتی قانون ہے۔ یہ تجویز کیا گیا ہے کہ مثبت غیر پیرامیٹرک اسکیو کے ساتھ تقسیم سے بے ترتیب تغیرات اس قانون کی پابندی کریں گے۔ باؤلی کے گتانک سے تعلق یہ اعداد و شمار باؤلی کے سکونیس کے گتانک سے بہت ملتے جلتے ہیں جہاں کیو تقسیم کا ith کوارٹائل ہے۔ ہنکلے نے اس کو عام کیا جہاں 0 اور 0.0 کے درمیان ہے۔ باؤلی کا گتانک ایک خاص صورت ہے جس میں 0.25 کے برابر ہے۔ گروین ویلڈ اور میڈن نے اس پر انحصار کو مربوط کرکے اسے ختم کر دیا۔ ڈینومینیٹر منتشر ہونے کی پیمائش ہے۔ ڈینومینیٹر کو معیاری انحراف سے بدل کر ہم غیر پیرامیٹرک سکیو حاصل کرتے ہیں۔ حوالہ جات خلاصہ اعداد و شمار