Smooth completion
الجبرائی جیومیٹری میں، ہموار افائن الجبرائی وکر X کی ہموار تکمیل (یا ہموار کمپیکٹفیکیشن) ایک مکمل ہموار الجبرائی وکر ہے جس میں X ایک کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر ہوتا ہے۔ ہموار تکمیل موجود ہیں اور ایک کامل میدان میں منفرد ہیں۔ مثالیں ہائپرلیپٹک وکر کی ایک افائن شکل کو اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے کہ کہاں اور () کی جڑیں الگ ہوتی ہیں اور اس کی ڈگری کم از کم 5 ہوتی ہے۔ افائن وکر کی زرسکی بندش جوڑے گئے منفرد لامحدود نقطہ پر واحد ہے۔ بہر حال، افائن وکر کو ایک منفرد کمپیکٹ ریمن سطح میں سرایت کیا جا سکتا ہے جسے اس کی ہموار تکمیل کہا جاتا ہے۔ ریمن کی سطح کا پروجیکشن 2-سے-1 تک ہے واحد نقطہ پر انفینیٹی پر اگر یکساں ڈگری ہو، اور 1-سے-1 (لیکن ریمفائیڈ) بصورت دیگر۔ یہ ہموار تکمیل مندرجہ ذیل طریقے سے بھی حاصل کی جا سکتی ہے۔ ایکس-کوآرڈینیٹ کا استعمال کرتے ہوئے افائن وکر کو افائن لائن پر پروجیکٹ کریں۔ افائن لائن کو پروجیکٹو لائن میں سرایت کریں، پھر افائن وکر کے فنکشن فیلڈ میں پروجیکٹو لائن کو معمول پر لائیں۔ الجبرائی طور پر بند میدان پر ہموار جڑے ہوئے منحنی خطوط کو ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر g ہموار تکمیل کی نسل ہے اور r اضافی پوائنٹس کی تعداد ہے۔ خصوصیت 0 کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر، X کا بنیادی گروپ جنریٹرز کے ساتھ آزاد ہے اگر r> 0 ہو۔ (ڈیرچلیٹ کے یونٹ تھیوریم کا اینالاگ) فرض کریں کہ X ایک محدود فیلڈ پر ہموار جڑا ہوا منحنی خطوط ہے۔ پھر X پر باقاعدہ افعال O (X) کی رنگ کی اکائیاں رینک r-1 کا ایک حتمی طور پر تیار کردہ ابیلین گروپ ہے۔ تعمیر فرض کریں کہ بیس فیلڈ کامل ہے۔ کوئی بھی افائن وکر X ایک انٹیگرل پروجیکٹو (اس لیے مکمل) وکر کے کھلے ذیلی سیٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ پروجیکٹو وکر کی نارملائزیشن (یا انفرادیت کو اڑانا) لینے سے X کی ہموار تکمیل ہوتی ہے۔ ان کے پوائنٹس فنکشن فیلڈ کی مجرد قیمتوں سے مطابقت رکھتے ہیں جو بیس فیلڈ پر معمولی ہیں۔ تعمیر کے ذریعے، ہموار تکمیل ایک پروجیکٹو وکر ہے جس میں دی گئی وکر ہر جگہ گھنے کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر ہوتی ہے، اور شامل کیے گئے نئے نکات ہموار ہوتے ہیں۔ اس طرح کی (پروجیکٹو) تکمیل ہمیشہ موجود رہتی ہے اور منفرد ہوتی ہے۔ اگر بیس فیلڈ کامل نہیں ہے، تو ہموار افائن وکر کی ہموار تکمیل ہمیشہ موجود نہیں ہوتی ہے۔ لیکن مندرجہ بالا عمل ہمیشہ ایک باقاعدہ تکمیل پیدا کرتا ہے اگر ہم ایک باقاعدہ افائن وکر سے شروع کرتے ہیں (ہموار اقسام باقاعدہ ہوتی ہیں، اور کامل شعبوں پر الٹا درست ہوتا ہے)۔ باقاعدہ تکمیل منفرد ہوتی ہے اور مناسبیت کے قدر کے معیار کے مطابق، افائن وکر سے لے کر مکمل الجبرائی قسم تک کوئی بھی مورفزم منفرد طور پر باقاعدہ تکمیل تک پھیلا ہوا ہے۔ اگر X ایک علیحدہ الجبرائی قسم ہے، تو ناگاٹا کا ایک نظریہ کہتا ہے کہ X کو مکمل الجبرائی قسم کے کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایکس مزید ہموار ہے اور بیس فیلڈ کی خصوصیت 0 ہے، تو ہیروناکا کے نظریہ کے مطابق ایکس کو ایک مکمل ہموار الجبرائی قسم کے کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر بھی سرایت کیا جا سکتا ہے، جس کی حد ایک نارمل کراسنگ ڈیوائزر ہے۔ اگر X نیم پروجیکٹو ہے، تو ہموار تکمیل کو پروجیکٹو ہونے کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، یک جہتی معاملے کے برعکس، ہموار تکمیل کی کوئی انفرادیت نہیں ہے، اور نہ ہی یہ مستند ہے۔ ہائپرلیپٹک وکر بولزا سطح حوالہ جات کتابچہ بھی دیکھیں (باب 4 دیکھیں)۔ الجبرائی جیومیٹری ریمن سطحوں پر الجبرائی منحنی خطوط برائشنل جیومیٹری