Cardinal characteristic of the continuum
سیٹ تھیوری کے ریاضیاتی شعبے میں، تسلسل کی ایک بنیادی خصوصیت ایک لامحدود کارڈینل نمبر ہے جو مستقل طور پر (قدرتی اعداد کے سیٹ کی کارڈینیلیٹی)، اور تسلسل کی کارڈینیلیٹی، یعنی تمام حقیقی اعداد کے سیٹ کی کارڈینیلیٹی کے درمیان ہو سکتا ہے۔ مؤخر الذکر کارڈینل کو ظاہر کیا جاتا ہے یا۔ اس طرح کی متعدد بنیادی خصوصیات قدرتی طور پر پیدا ہوتی ہیں، اور اس بات کا تعین کرنے میں بہت کام کیا گیا ہے کہ ان کے درمیان کون سے تعلقات ثابت کرنے کے قابل ہیں، اور ان کی مختلف مستقل ترتیبات کے لیے سیٹ تھیوری کے نمونے تیار کیے گئے ہیں۔ پس منظر کینٹر کی اخترن دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ یہ سختی سے اس سے بڑا ہے، لیکن یہ اس بات کی وضاحت نہیں کرتا ہے کہ آیا یہ (یعنی) سے بڑا سب سے کم کارڈینل ہے۔ درحقیقت یہ مفروضہ معروف کنٹینم مفروضہ ہے، جسے کرٹ گوڈل کے سیٹ تھیوری کے لیے معیاری ZFC محوریات کے مطابق اور پال کوہن کے ذریعے اس سے آزاد دکھایا گیا تھا۔ اگر کنٹینم مفروضہ ناکام ہو جاتا ہے اور کم از کم ایسا ہی ہوتا ہے، تو کارڈینلز کے بارے میں قدرتی سوالات پیدا ہوتے ہیں سختی سے اور کے درمیان، مثال کے طور پر لیبسیگ پیمائش کے حوالے سے۔ کسی خاصیت کے ساتھ سب سے کم کارڈینل پر غور کرنے سے، کسی کو ایک بے شمار کارڈینل کی تعریف مل سکتی ہے جو مستقل طور پر اس سے کم ہے۔ عام طور پر کوئی صرف کارڈینلز کی تعریفوں پر غور کرتا ہے جو ثابت طور پر تسلسل کی بنیادی خصوصیات سے زیادہ اور زیادہ سے زیادہ ہیں، لہذا اگر کنٹینم مفروضہ برقرار رہتا ہے تو وہ سب برابر ہیں۔ مثال جیسا کہ سیٹ تھیوری میں معیاری ہے، ہم سب سے کم لامحدود آرڈینل کی طرف اشارہ کرتے ہیں، جس میں کارڈینالیٹی ہوتی ہے ؛ اس کی شناخت تمام قدرتی اعداد کے سیٹ سے کی جا سکتی ہے۔ بہت سی بنیادی خصوصیات قدرتی طور پر آئیڈیلز کے لیے بنیادی غیر متغیرات کے طور پر پیدا ہوتی ہیں جو حقیقی کی ساخت سے قریب سے جڑے ہوتے ہیں، جیسے کہ لیبسگیو نل سیٹوں کا آئیڈیل اور معمولی سیٹوں کا آئیڈیل۔ غیر (N) بنیادی خصوصیت غیر () کسی ناپنے کے قابل سیٹ کی سب سے کم کارڈینالیٹی ہے۔ اسی طرح، یہ کسی سیٹ کی سب سے کم کارڈینالیٹی ہے جو لیبسیگ نیل سیٹ نہیں ہے۔ باؤنڈنگ نمبر اور غالب نمبر ہم سے افعال کے سیٹ سے ظاہر کرتے ہیں۔ کسی بھی دو افعال کے لیے اور ہم اس بیان سے ظاہر کرتے ہیں کہ سب کے لیے لیکن محدود طور پر بہت سے۔ باؤنڈنگ نمبر اس سلسلے میں کسی لامحدود سیٹ کی سب سے کم کارڈینالیٹی ہے، یعنی غالب نمبر فنکشن کے ایک سیٹ کی اس طرح کی سب سے کم کارڈینالیٹی ہے کہ اس طرح کے ہر فنکشن پر (یعنی) اس سیٹ کا ایک ممبر غلبہ رکھتا ہے، یعنی، واضح طور پر اس طرح کا کوئی بھی غالب سیٹ لامحدود ہے، اسی طرح زیادہ سے زیادہ ہے، اور ایک اخترن دلیل اس سے ظاہر ہوتی ہے۔ یقینا اگر اس کا مطلب یہ ہے، لیکن ہیکلر نے دکھایا ہے کہ اس سے سختی سے کم ہونا بھی مستقل ہے۔ تقسیم شدہ نمبر اور کاٹنے والا نمبر ہم ان کے تمام لامحدود ذیلی سیٹوں کے سیٹ سے ظاہر کرتے ہیں۔ کسی کے لیے بھی، ہم کہتے ہیں کہ تقسیم ہوتا ہے اگر دونوں اور لامحدود ہوں۔ تقسیم نمبر اس طرح کے ذیلی سیٹ کی سب سے کم کارڈینالیٹی ہے کہ سب کے لیے، کچھ ایسا ہے جو تقسیم ہو جاتا ہے۔ یعنی، کٹائی کا نمبر کسی ذیلی سیٹ کی سب سے کم بنیادی حیثیت ہے جس کا کوئی عنصر اس کے ہر عنصر کو تقسیم نہیں کرتا ہے۔ یعنی الٹرا فلٹر نمبر الٹرا فلٹر نمبر کو غیر پرنسپل الٹرا فلٹر کے فلٹر بیس کی سب سے کم کارڈینالیٹی کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ کونین نے سیٹ تھیوری کا ایک نمونہ پیش کیا جس میں لیکن، اور سیکس فورسنگ کے قابل شمار سپورٹ تکرار کا استعمال کرتے ہوئے، بوم گارٹنر اور لیور نے ایک نمونہ بنایا جس میں اور۔ تقریبا اختلاط نمبر دو ذیلی مجموعے اور کے کو تقریبا اختلاط کہا جاتا ہے اگر یہ محدود ہے، اور کے ذیلی مجموعوں کا ایک خاندان تقریبا اختلاط کہا جاتا ہے اگر اس کے اراکین جوڑی کے لحاظ سے تقریبا اختلاط ہیں۔ اس طرح کے ذیلی مجموعوں کا ایک زیادہ سے زیادہ تقریبا جداگانہ (پاگل) خاندان تقریبا جداگانہ خاندان ہے جس میں نہ ہونے کے ہر ذیلی مجموعے کے لیے ایک ایسا مجموعہ ہوتا ہے جو تقریبا جداگانہ نہیں ہوتا (یعنی ان کا چوراہا لامحدود ہوتا ہے)۔ تقریبا جداگانہ نمبر ایک لامحدود زیادہ سے زیادہ تقریبا جداگانہ خاندان کی سب سے کم بنیادی حیثیت ہے۔ ایک بنیادی نتیجہ ایرک وین ڈوون۔ انٹیگرز اور ٹوپولوجی۔ کے۔ کونین اور جے۔ ای میں۔ وان (ای ڈی ایس) ہینڈ بک آف سیٹ تھیوریٹک ٹوپولوجی۔ نارتھ ہالینڈ، ایمسٹرڈیم، 1984۔ یہ ہے کہ ؛ شیلاہ نے ظاہر کیا کہ سخت عدم مساوات کا ہونا مستقل ہے۔ سیچوان کا خاکہ بنیادی خصوصیات کا ایک معروف خاکہ سیچوان کا خاکہ ہے، جس میں 10 بنیادی خصوصیات کے درمیان ZFC میں ثابت ہونے والے تمام جوڑے کے لحاظ سے تعلقات دکھائے گئے ہیں۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے ٹومیک بارٹوزینسکی اور ہیم یہوداہ۔ حقیقی لکیر کی ساخت پر نظریہ مرتب کریں "۔ اے کے پیٹرز، 1995۔ کارڈینل نمبر