Refinement monoid
ریاضی میں، ریفائنمنٹ مونوئڈ ایک مواصلاتی مونوئڈ M ہے جس میں M کے کسی بھی عنصر a0، a1، b0، b1 کے لیے ایسے عناصر c00، c01، c10، m کے c11 ایسے ہوتے ہیں کہ a0 = c00 + c01، a1 = c10 + c11، b0 = c00 + c10، اور b1 = c01 + c11۔ اگر x + y = 0 کا مطلب یہ ہے کہ x = y = 0، کسی بھی عنصر x، m کے y کے لیے۔ بنیادی مثالیں صفر کے ساتھ ایک جوڑ-سمیلیٹیس ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ڈسٹری بیوٹو ہو۔ کوئی بھی ابیلین گروپ ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے۔ جزوی طور پر ترتیب شدہ ابیلین گروپ G کا مثبت شنک G + ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G ایک انٹرپولیشن گروپ ہو، مؤخر الذکر کا مطلب یہ ہے کہ G کے کسی بھی عنصر a0، a1، b0، b1 کے لیے اس طرح کہ تمام i، j <2 کے لیے ai ≤ bj، G کا ایک عنصر x موجود ہے جیسے کہ تمام i، j <2 کے لیے ai ≤ x ≤ bj موجود ہو۔ یہ، مثال کے طور پر، اس صورت میں ہوتا ہے جب G کو جالی سے آرڈر کیا جاتا ہے۔ بولین الجبرا B کی آئسومورفزم قسم تمام بولین الجبرا کی کلاس ہے جو B سے آئسومورفک ہے۔ (اگر ہم چاہتے ہیں کہ یہ ایک سیٹ ہو، تو B میں سے ایک سے نیچے سیٹ تھیوریٹیکل رینک کے بولین الجبرا تک محدود رہیں۔) بولین الجبراس کی آئسومورفزم اقسام کی کلاس، جس میں (کسی بھی بولین الجبراس X اور Y کے لیے، جہاں X کی آئسومورفزم قسم کی نشاندہی ہوتی ہے) کے ذریعے بیان کردہ اضافہ ہوتا ہے، ایک مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے۔ بولین الجبرا A اور ایک کمیوٹیٹیو مونوئڈ M کے لیے، نقشہ ایک پیمائش ہے، اگر μ (a) = 0 اگر اور صرف اس صورت میں جب a = 0 ہو، اور جب بھی a اور b جداگانہ ہوں (یعنی a, b = 0)، کسی بھی a کے لیے، b A میں۔ اس کے علاوہ ہم کہتے ہیں کہ μ ایک ووٹ پیمائش ہے (رابرٹ لاسن ووٹ کے بعد)، یا V-پیمائش، اگر A میں تمام c اور M میں تمام x، y کے لیے اس طرح کہ μ (c) = x + y، A میں جداگانہ a، b ایسے ہیں کہ c = a. b، μ (a) = x، اور μ (b) = y۔ ایک مواصلاتی مونوئڈ M میں ایک عنصر e قابل پیمائش ہے (M کے حوالے سے)، اگر کوئی بولین الجبرا A اور V پیمائش μ: A → M ایسی ہو کہ μ (1) = e---- ہم کہتے ہیں کہ μ پیمائش e کرتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ M قابل پیمائش ہے، اگر M کا کوئی عنصر قابل پیمائش ہے (M کے حوالے سے)۔ یقینا، ہر قابل پیمائش مونوئڈ ایک مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے۔ ہنس ڈوبرٹن نے 1983 میں ثابت کیا کہ زیادہ سے زیادہ اے 1 عناصر کے ساتھ کوئی بھی مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ قابل پیمائش ہے۔ انہوں نے یہ بھی ثابت کیا کہ زیادہ سے زیادہ قابل گنتی مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ میں کسی بھی عنصر کی پیمائش ایک منفرد (آئسومورفزم تک) وی پیمائش کے ذریعے کی جاتی ہے جو کہ سب سے زیادہ قابل گنتی بولین الجبرا پر ہوتی ہے۔ انہوں نے وہاں یہ مسئلہ اٹھایا کہ آیا کوئی مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ قابل پیمائش ہے۔ اس کا جواب 1998 میں فریڈرک ویرونگ نے منفی میں دیا تھا۔ جوابی مثالوں میں کوئی بھی کارڈینالیٹی α2 سے زیادہ یا اس کے برابر ہو سکتی ہے۔ وان نیومن کے باقاعدہ بجتوں کا غیر فعال K-نظریہ ایک رنگ (یونٹ کے ساتھ) R کے لیے، FP (R) کے ذریعے محدود طور پر تیار کردہ پروجیکٹو دائیں R-ماڈیولز کی کلاس کو ظاہر کرتا ہے۔ مساوی طور پر، FP (R) کے آبجیکٹ Rn فارم کے تمام ماڈیولز کے براہ راست خلاصہ ہیں، جس میں n ایک مثبت عدد ہے، جسے اپنے اوپر ایک صحیح ماڈیول کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ ایف پی (آر) میں کسی شے ایکس کی آئسومورفزم قسم سے ظاہر کریں۔ پھر ایف پی (آر) کے ممبروں کی تمام آئسومورفزم اقسام کا سیٹ V (R)، جس کے ذریعہ بیان کردہ اضافے سے مالا مال ہے، ایک مخروطی تبادلہ مونوئڈ ہے۔ اس کے علاوہ، اگر R وان نیومن باقاعدہ ہے، تو V (R) ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے۔ اس میں آرڈر یونٹ ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ V (R) R کے غیر مستحکم K تھیوری کو انکوڈ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر R ایک ڈویژن رنگ ہے، تو FP (R) کے ممبران بالکل R پر محدود جہتی دائیں ویکٹر خالی جگہیں ہیں، اور دو ویکٹر خالی جگہیں آئسومورفک ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کا طول و عرض ایک ہی ہو۔ لہذا V (R) تمام قدرتی اعداد کے مونوئڈ کے لیے آئسومورفک ہے، جو اس کے معمول کے اضافے سے مالا مال ہے۔ تھوڑی زیادہ پیچیدہ مثال مندرجہ ذیل طور پر حاصل کی جا سکتی ہے۔ فیلڈ F پر میٹرک الجبرا فارم کے رنگوں کا ایک محدود پروڈکٹ ہے، متغیر مثبت انٹیجرز n کے لیے، n قطاروں کے ساتھ تمام مربع میٹرکس کی رنگ اور F میں اندراجات۔ F پر میٹرک الجبرا کی براہ راست حد F پر مقامی طور پر میٹرک الجبرا ہے۔ ہر مقامی طور پر میٹرک الجبرا وان نیومن ریگولر ہے۔ کسی بھی مقامی میٹرک الجبرا R کے لیے، V (R) ایک نام نہاد جہتی گروپ کا مثبت شنک ہے۔ تعریف کے مطابق، جہتی گروپ ایک جزوی طور پر ترتیب شدہ ابیلین گروپ ہوتا ہے جس کی بنیادی ترتیب ہدایت شدہ ہوتی ہے، جس کا مثبت شنک ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہوتا ہے، اور جو غیر سوراخ شدہ ہوتا ہے، اس حرف کا مطلب ہے کہ mx ≤ 0 کا مطلب ہے کہ x ≤ 0، G کے کسی بھی عنصر x اور کسی بھی مثبت عدد m کے لیے۔ کوئی بھی سادہ گروپ، یعنی شکل کا جزوی طور پر ترتیب شدہ ابیلین گروپ، ایک جہتی گروپ ہے۔ ایفروس، ہینڈل مین اور شین نے 1980 میں ثابت کیا کہ طول و عرض کے گروپ بالکل سادہ گروپوں کی براہ راست حدود ہیں، جہاں منتقلی کے نقشے مثبت ہومومورفزم ہیں۔ یہ نتیجہ پہلے ہی 1976 میں پی اے گریلیٹ کے ذریعہ قدرے مختلف شکل میں ثابت ہو چکا تھا۔ ایلیٹ نے 1976 میں ثابت کیا کہ سادہ گروپوں کی کسی بھی قابل گنتی براہ راست حد کا مثبت شنک V (R) کے لیے آئسومورفک ہے، کچھ مقامی طور پر میٹرک رنگ R کے لیے۔ آخر کار، گڈیرل اور ہینڈل مین نے 1986 میں ثابت کیا کہ زیادہ سے زیادہ α1 عناصر والے کسی بھی جہتی گروپ کا مثبت شنک V (R) کے لیے آئسومورفک ہے، کچھ مقامی طور پر میٹرک رنگ R (کسی بھی فیلڈ پر) کے لیے۔ ویرونگ نے 1998 میں ثابت کیا کہ آرڈر یونٹ کے ساتھ طول و عرض کے گروپ موجود ہیں جن کے مثبت شنک کو V (R) کے طور پر پیش نہیں کیا جا سکتا، ایک وان نیومن باقاعدہ رنگ R کے لیے۔ دی گئی مثالوں میں کوئی بھی کارڈینالیٹی α2 سے زیادہ یا اس کے برابر ہو سکتی ہے۔ چاہے زیادہ سے زیادہ اے 1 (یا یہاں تک کہ اے 0) عناصر کے ساتھ کسی مخروطی ریفائنمنٹ مونوئڈ کو آر وان نیومن ریگولر کے لیے وی (آر) کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، یہ ایک کھلا مسئلہ ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا سیمی گروپ تھیوری