Numerical continuation
عددی تسلسل پیرامیٹرائزڈ غیر لکیری مساوات کے نظام کے تخمینہ حل کی کمپیوٹنگ کا ایک طریقہ ہے، پیرامیٹر عام طور پر ایک حقیقی اسکیلر ہوتا ہے، اور حل ایک n-ویکٹر ہوتا ہے۔ ایک مقررہ پیرامیٹر ویلیو کے لیے، یوکلیڈین این-اسپیس کو اپنے اندر نقشہ بناتا ہے۔ اکثر اصل نقشہ سازی خود میں بناچ کی جگہ سے ہوتی ہے، اور یوکلڈین این-اسپیس ایک محدود جہتی بناچ کی جگہ ہے۔ بہاؤ یا نقشوں کے پیرامیٹرائزڈ خاندان کی ایک مستحکم حالت، یا فکسڈ پوائنٹ، اس شکل کا ہوتا ہے، اور بہاؤ کے راستوں کو الگ کرکے یا نقشے کو دہرا کر، پیریڈک آربٹس اور ہیٹروکلینک آربٹس کو بھی حل کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ دیگر شکلیں کچھ غیر لکیری نظاموں میں، پیرامیٹرز واضح ہوتے ہیں۔ دوسروں میں وہ مضمر ہیں، اور غیر لکیری مساوات کا نظام لکھا جاتا ہے جہاں ایک n-ویکٹر ہے، اور اس کی شبیہہ ایک n-1 ویکٹر ہے۔ یہ فارمولیشن، ایک واضح پیرامیٹر اسپیس کے بغیر، عام طور پر مندرجہ ذیل حصوں میں فارمولیشن کے لیے موزوں نہیں ہے، کیونکہ وہ فارم کے پیرامیٹرائزڈ خود مختار غیر لکیری متحرک نظاموں کا حوالہ دیتے ہیں: تاہم، الجبرائی نظام میں نامعلوم اور پیرامیٹرز کے درمیان کوئی فرق نہیں ہوتا ہے۔ دورانیے کی حرکتیں دورانیے کی حرکت فیز اسپیس میں ایک بند وکر ہے۔ یعنی، کچھ مدت کے لیے، وقتا فوقتا حرکت کی نصابی کتاب کی مثال غیر ڈمپڈ پنڈلم ہے۔ اگر فیز اسپیس ایک یا زیادہ نقاط میں پیریڈک ہے، جیسے کہ ویکٹر کے ساتھ، تو ہر عدد کے لیے ایک دوسری قسم کی پیریڈک حرکتیں ہوتی ہیں۔ دورانیے کی حرکت کے لیے ایک مضمر نظام لکھنے کا پہلا قدم مدت کو باؤنڈری کنڈیشنز سے او ڈی ای میں منتقل کرنا ہے: دوسرا مرحلہ ایک اضافی مساوات، ایک مرحلے کی رکاوٹ کو شامل کرنا ہے، جسے مدت کا تعین کرنے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ یہ ضروری ہے کیونکہ مذکورہ بالا باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کے کسی بھی حل کو وقت کے ساتھ من مانی مقدار میں منتقل کیا جا سکتا ہے (وقت متعین مساوات میں ظاہر نہیں ہوتا ہے-متحرک نظام کو خود مختار کہا جاتا ہے)۔ مرحلے کی رکاوٹ کے لیے کئی انتخاب ہیں۔ اگر قریب میں کسی پیرامیٹر کی قیمت پر ایک معروف دورانیے کا مدار ہے، تو، پوئن کیری استعمال کیا جاتا ہے جس میں کہا جاتا ہے کہ یہ ایک ایسے جہاز میں واقع ہے جو بند منحنی خطوط کے ٹینجینٹ ویکٹر کے لیے آرتھوگنل ہے۔ اس طیارہ کو پوئن کیری سیکشن کہا جاتا ہے۔ عام مسئلے کے لیے ایک بہتر مرحلے کی رکاوٹ ایک لازمی رکاوٹ ہے جسے یوسیبیئس ڈوڈیل نے متعارف کرایا ہے، جو مرحلے کا انتخاب کرتا ہے تاکہ معلوم اور نامعلوم مداروں کے درمیان فاصلہ کم سے کم ہو: ہوموکلینک اور ہیٹروکلینک حرکات تعریف حل جزو غیر لکیری نظام کا حل جزو پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے جو حل کے راستے سے مطمئن ہوتا ہے اور ابتدائی حل سے منسلک ہوتا ہے جس کے لیے اور۔ عددی تسلسل ایک الگورتھم ہے جو پیرامیٹرائزڈ غیر لکیری مساوات کے نظام اور ابتدائی حل کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے، اور حل کے جزو پر پوائنٹس کا ایک مجموعہ تیار کرتا ہے۔ باقاعدہ نقطہ کا ایک باقاعدہ نقطہ وہ نقطہ ہے جس پر جیکوبین کا مکمل درجہ ہوتا ہے۔ باقاعدہ نقطہ کے قریب حل کا جزو ایک الگ تھلگ منحنی خطوط ہے جو باقاعدہ نقطہ (امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم) سے گزرتا ہے۔ نقطہ کے اوپر کی شکل میں ایک باقاعدہ نقطہ ہے۔ واحد نقطہ کا ایک واحد نقطہ وہ نقطہ ہے جس پر F کا جیکوبین مکمل درجہ نہیں ہے۔ ایک واحد نقطہ کے قریب حل کا جزو باقاعدہ نقطہ سے گزرنے والا الگ تھلگ منحنی خطوط نہیں ہو سکتا ہے۔ مقامی ساخت کا تعین اعلی مشتقات کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اس نقطہ کے اوپر کی شکل میں جہاں دو نیلے منحنی خطوط عبور کرتے ہیں ایک واحد نقطہ ہے۔ عام حل میں اجزاء شاخ دار منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ برانچ پوائنٹس واحد پوائنٹس ہیں۔ واحد نقطہ چھوڑنے والے حل منحنی خطوط کو تلاش کرنا برانچ سوئچنگ کہلاتا ہے، اور یہ بفرکیشن تھیوری (سنگلٹی تھیوری، کاسٹروفی تھیوری) سے تکنیکوں کا استعمال کرتا ہے۔ محدود جہتی نظاموں کے لیے (جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) لیاپونوف-شمڈٹ سڑنا دو نظام تیار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جن پر امپلیٹ فنکشن تھیوریم لاگو ہوتا ہے۔ لیاپونوف-شمڈٹ سڑنا نظام کی پابندی کو جیکوبین کی صفر جگہ اور جیکوبین کی حد کی تکمیل کے لیے استعمال کرتا ہے۔ اگر میٹرکس کے کالم کی خالی جگہ کے لیے ایک آرتھونورمل بنیاد ہیں اور میٹرکس کے کالم کی بائیں خالی جگہ کے لیے ایک آرتھونورمل بنیاد ہیں، تو نظام کو دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جہاں کی خالی جگہ کی تکمیل میں ہے۔ پہلی مساوات میں، جسے جیکوبین () کی صفر جگہ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، کے حوالے سے جیکوبین غیر واحد ہے۔ تو امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اس طرح کی نقشہ سازی ہے اور۔ دوسری مساوات (متبادل کے ساتھ) کو بفرکیشن مساوات کہا جاتا ہے (حالانکہ یہ مساوات کا نظام ہو سکتا ہے)۔ تقسیم کی مساوات میں ٹیلر کی توسیع ہوتی ہے جس میں مستقل اور لکیری اصطلاحات کا فقدان ہوتا ہے۔ اصل نظام کے جیکوبین کی مساوات اور خالی جگہ کو اسکیل کرکے غیر سنگل جیکوبین کے ساتھ ایک نظام پایا جا سکتا ہے۔ اسکیلڈ بفرکیشن مساوات کی ٹیلر سیریز میں مستقل اصطلاح کو الجبرائی بفرکیشن مساوات کہا جاتا ہے، اور بفرکیشن مساوات کا اطلاق کرنے والے امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ الجبرائی بفرکیشن مساوات کے ہر الگ تھلگ حل کے لیے اصل مسئلے کے حل کی ایک شاخ ہوتی ہے جو واحد نقطہ سے گزرتی ہے۔ سنگل پوائنٹ کی ایک اور قسم ٹرننگ پوائنٹ بائیفرکیشن، یا سیڈل نوڈ بائیفرکیشن ہے، جہاں وکر کی پیروی کرتے ہی پیرامیٹر کی سمت الٹ جاتی ہے۔ مندرجہ بالا شکل میں سرخ منحنی خطوط ایک اہم موڑ کی وضاحت کرتا ہے۔ مخصوص الگورتھم قدرتی پیرامیٹر کا تسلسل مساوات کے غیر لکیری نظاموں کے حل کے زیادہ تر طریقے تکراری طریقے ہیں۔ کسی خاص پیرامیٹر کی قیمت کے لیے نقشہ سازی کو بار بار ابتدائی اندازے پر لاگو کیا جاتا ہے۔ اگر طریقہ یکجا ہوتا ہے، اور مستقل ہوتا ہے، تو اس حد میں تکرار کے حل تک پہنچ جاتا ہے۔ قدرتی پیرامیٹر کا تسلسل ایک پیرامیٹرائزڈ مسئلے کے تکراری حل کنندہ کی ایک بہت ہی آسان موافقت ہے۔ کی ایک قیمت پر حل کو حل کے ابتدائی اندازے کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ کافی چھوٹے ہونے کے ساتھ ابتدائی اندازے پر لاگو ہونے والی تکرار یکجا ہونی چاہیے۔ قدرتی پیرامیٹر کے تسلسل کا ایک فائدہ یہ ہے کہ یہ بلیک باکس کے طور پر مسئلے کے حل کا طریقہ استعمال کرتا ہے۔ بس اتنا درکار ہے کہ ایک ابتدائی حل دیا جائے (کچھ حل کرنے والے ہمیشہ ایک مقررہ ابتدائی اندازے سے شروع کرتے تھے)۔ بلیک باکس حل کرنے والوں پر زیادہ نفیس الگورتھم کے اطلاق پر بڑے پیمانے پر تسلسل کے شعبے میں بہت کام کیا گیا ہے (مثال کے طور پر دیکھیں۔ لوکا)۔ تاہم، قدرتی پیرامیٹر کا تسلسل موڑ کے مقامات پر ناکام ہو جاتا ہے، جہاں حل کی شاخ گول ہو جاتی ہے۔ لہذا موڑ پوائنٹس کے مسائل کے لیے، ایک زیادہ نفیس طریقہ جیسے کہ چھدم آرکلینتھ تسلسل استعمال کیا جانا چاہیے (نیچے دیکھیں)۔ سادہ یا ٹکڑے ٹکڑے لکیری تسلسل آسان تسلسل، یا ٹکڑے ٹکڑے لکیری تسلسل (آل گوور اور جارج) تین بنیادی نتائج پر مبنی ہے۔ پہلا ہے {| کلاس = "ویکیٹیبل"۔-|If F (x) IR ^ n کو IR ^ (n-1) میں نقشہ بناتا ہے، ایک (n-1) جہتی سمپلیکس پر ایک منفرد لکیری انٹرپولینٹ ہوتا ہے جو سمپلیکس کے عمودی حصوں پر فنکشن ویلیوز سے متفق ہوتا ہے۔ |} دوسرا نتیجہ یہ ہے کہ: {| کلاس = "ویکیٹیبل" |-|An (n-1)-جہتی سمپلیکس کی جانچ اس بات کا تعین کرنے کے لیے کی جا سکتی ہے کہ آیا منفرد لکیری انٹرپولینٹ سمپلیکس کے اندر 0 کی قدر لیتا ہے۔ |} براہ کرم تفصیلات کے لیے ٹکڑے ٹکڑے لکیری تسلسل پر مضمون دیکھیں۔ ان دو کارروائیوں کے ساتھ یہ تسلسل الگورتھم بیان کرنا آسان ہے (حالانکہ یقینا ایک موثر نفاذ کے لیے زیادہ نفیس نقطہ نظر کی ضرورت ہوتی ہے۔ دیکھیں [B1])۔ ایک ابتدائی سمپلیکس کو ایک حوالہ سادہ سڑنے سے دیا گیا سمجھا جاتا ہے۔ ابتدائی سمپلیکس میں کم از کم ایک چہرہ ہونا چاہیے جس میں اس چہرے پر منفرد لکیری انٹرپولینٹ کا صفر ہو۔ اس کے بعد سمپلیکس کے دوسرے چہروں کی جانچ کی جاتی ہے، اور عام طور پر اندرونی صفر کے ساتھ ایک اضافی چہرہ ہوگا۔ ابتدائی سمپلیکس کو پھر سمپلیکس سے تبدیل کیا جاتا ہے جو صفر پر مشتمل دونوں چہروں پر واقع ہوتا ہے، اور اس عمل کو دہرایا جاتا ہے۔ حوالہ جات: آلگوور اور جارج [B1] الگوتھیہم کی ایک کرکرا، واضح وضاحت فراہم کرتے ہیں۔ فرضی ارکلینتھ کا تسلسل یہ طریقہ اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ کسی منحنی خطوط کی "مثالی" پیرامیٹرائزیشن آرکلینتھ ہے۔ سیوڈو آرکلینتھ وکر کی ٹینجینٹ اسپیس میں آرکلینتھ کا تخمینہ ہے۔ نتیجے میں ترمیم شدہ قدرتی تسلسل کا طریقہ چھدم آرکلینتھ (بجائے) میں ایک قدم بناتا ہے۔ تکراری حل کنندہ کو دی گئی چھدم-آرکلینتھ پر ایک نقطہ تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، جس کے لیے n کو n + 1 جیکوبین کے ذریعے ایک اضافی رکاوٹ (چھدم-آرکلینتھ رکاوٹ) شامل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ ایک مربع جیکوبین پیدا کرتا ہے، اور اگر قدم کا سائز کافی چھوٹا ہے تو ترمیم شدہ جیکوبین مکمل درجہ ہے۔ سیوڈو آرکلینتھ تسلسل کو ایڈورڈ ریکس اور جیرالڈ ویمپنر نے 1960 کی دہائی کے آخر میں محدود عنصر کی ایپلی کیشنز کے لیے آزادانہ طور پر تیار کیا تھا، اور 1970 کی دہائی کے اوائل میں ایچ بی نے جرائد میں شائع کیا تھا۔ کیلر۔ ان ابتدائی پیشرفتوں کا تفصیلی بیان ایم اے کرس فیلڈ کی نصابی کتاب میں فراہم کیا گیا ہے: ٹھوس اور ساختوں کا غیر لکیری محدود عنصر تجزیہ، جلد 1: بنیادی تصورات، ولی، 1991۔ کرس فیلڈ اس طبقے کے طریقوں کے سب سے زیادہ فعال ڈویلپرز میں سے ایک تھا، جو اب تجارتی غیر لکیری محدود عنصر پروگراموں کے معیاری طریقہ کار ہیں۔ الگورتھم ایک پیشن گوئی کرنے والا اصلاحی طریقہ ہے۔ پیشن گوئی کا مرحلہ نقطہ تلاش کرتا ہے (IR ^ (n + 1) میں) جو موجودہ پوائنٹر پر ٹینجینٹ ویکٹر کے ساتھ ایک قدم ہے۔ غیر لکیری نظام کو حل کرنے کے لیے اصلاح کار عام طور پر نیوٹن کا طریقہ، یا کچھ متغیر ہوتا ہے، جہاں ٹینجینٹ ویکٹر ہے۔ اس نظام کا جیکوبین بارڈرڈ میٹرکس ہے۔ باقاعدہ نکات پر، جہاں غیر تبدیل شدہ جیکوبین مکمل درجہ کا ہوتا ہے، ٹینجینٹ ویکٹر اس نئے جیکوبین کی اوپری صف کی خالی جگہ پر پھیلا ہوا ہے۔ ٹینجینٹ ویکٹر کو آخری صف کے طور پر شامل کرنے کو نیوٹن نظام کے عمومی حل میں نل ویکٹر کے گتانک کے تعین کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے (مخصوص حل اور نل ویکٹر کا من مانی ضرب)۔ گاؤس-نیوٹن تسلسل یہ طریقہ فرضی ارکلینتھ تسلسل کا ایک متغیر ہے۔ آرکلینتھ کی رکاوٹ میں ابتدائی نقطہ پر ٹینجینٹ کا استعمال کرنے کے بجائے، موجودہ حل پر ٹینجینٹ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ نیوٹن کے طریقہ کار میں جیکوبین کے فرضی الٹا استعمال کرنے کے مترادف ہے، اور طویل اقدامات کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ [B17] ایک سے زیادہ پیرامیٹرز میں تسلسل اوپر بیان کردہ الگورتھم میں پیرامیٹر ایک حقیقی اسکیلر ہے۔ زیادہ تر جسمانی اور ڈیزائن کے مسائل میں عام طور پر ایک سے زیادہ پیرامیٹر ہوتے ہیں۔ اعلی جہتی تسلسل اس صورت سے مراد ہے جب k-ویکٹر ہو۔ وہی اصطلاحات لاگو ہوتی ہیں۔ ایک باقاعدہ حل ایک ایسا حل ہے جس پر جیکوبین مکمل درجہ کا ہے۔ واحد حل ایک ایسا حل ہے جس پر جیکوبین مکمل درجہ سے کم ہے۔ ایک باقاعدہ حل k-جہتی سطح پر ہوتا ہے، جسے ٹینجینٹ اسپیس (جیکوبین کی کالعدم جگہ) میں ایک نقطہ کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک بار پھر امپلیکیٹ فنکشن تھیوریم کا سیدھا سیدھا اطلاق ہے۔ عددی تسلسل کی تکنیکوں کے استعمال عددی تسلسل کی تکنیکوں نے افراتفری متحرک نظاموں اور مختلف دیگر نظاموں کے مطالعہ میں بڑی حد تک قبولیت پائی ہے جو تباہی کے نظریہ کے دائرے سے تعلق رکھتے ہیں۔ اس طرح کے استعمال کی وجہ یہ ہے کہ مختلف غیر لکیری متحرک نظام نظام کی مساوات میں شامل پیرامیٹرز کی ایک رینج کے اندر ایک تعیناتی اور پیش گوئی کے انداز میں برتاؤ کرتے ہیں۔ تاہم، ایک مخصوص پیرامیٹر ویلیو کے لیے سسٹم بے ترتیبی سے برتاؤ کرنا شروع کر دیتا ہے اور اس لیے اس پیرامیٹر پر عمل کرنا ضروری ہو گیا تاکہ یہ سمجھنے کے قابل ہو سکے کہ سسٹم کب غیر متوقع ہونا شروع ہوتا ہے، اور کیا (نظریاتی طور پر) سسٹم کو غیر مستحکم بناتا ہے۔ پیرامیٹر کے تسلسل کا تجزیہ مستحکم/اہم نقطہ کی تقسیم کے بارے میں مزید بصیرت کا باعث بن سکتا ہے۔ سیڈل نوڈ، ٹرانسکریٹیکل، پچ فورک، پیریڈ ڈبلنگ، ہوپف، سیکنڈری ہوپف (نیمارک) مستحکم حلوں کی تقسیم کا مطالعہ ان حالات اور واقعات کی نظریاتی بحث کی اجازت دیتا ہے جو اہم نکات پر پیدا ہوتے ہیں۔ پیرامیٹر کا تسلسل متحرک نظام کا تجزیہ کرنے کے لیے ایک زیادہ قابل اعتماد نظام بھی فراہم کرتا ہے کیونکہ یہ زیادہ انٹرایکٹو، ٹائم اسٹیپڈ عددی حلوں سے زیادہ مستحکم ہے۔ خاص طور پر ایسے معاملات میں جہاں متحرک نظام بعض پیرامیٹر اقدار (یا متعدد پیرامیٹرز کے لیے اقدار کا مجموعہ) پر پھٹنے کا شکار ہوتا ہے۔ غیر لکیری جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں مستحکم حلوں (کشش یا پسپا) کی موجودگی کے بارے میں یہ انتہائی بصیرت انگیز ہے جہاں کرینک نکولسن الگورتھم کی شکل میں قدم رکھنے میں وقت انتہائی وقت طلب ہونے کے ساتھ ساتھ نظام میں منحصر متغیرات کی غیر لکیری نشوونما کے معاملات میں غیر مستحکم بھی ہوتا ہے۔ ہنگامہ آرائی کا مطالعہ ایک اور شعبہ ہے جہاں عددی تسلسل کی تکنیکوں کو کم رینالڈز نمبروں سے شروع ہونے والے نظام میں ہنگامہ آرائی کی آمد کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ نیز، ان تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے تحقیق نے نیوٹنین کشش ثقل میں محدود تھری باڈی کے مسئلے کی صورت میں غیر متغیر توری کے لیے مستحکم کئی گنا اور تقسیم تلاش کرنے کا امکان فراہم کیا ہے اور لورینز مساوات جیسے نظاموں کے رویے کے بارے میں دلچسپ اور گہری بصیرت بھی دی ہے۔ سافٹ ویئر (زیر تعمیر) ڈائنامکل سسٹمز پر ایس آئی اے ایم ایکٹیویٹی گروپ کی فہرست http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw آٹو: لازمی رکاوٹوں کے ساتھ دو پوائنٹ باؤنڈری ویلیو پروبلمز (ٹی پی بی وی پیز) کے حل کا حساب کتاب بھی دیکھیں۔ https://sourceforge.net/projects/auto-07p سورس فورج پر دستیاب ہے۔ ہوم کانٹ: ہوموکلنک اور ہیٹروکلنک مداروں کا حساب۔ آٹو میٹکونٹ میں شامل: عددی تسلسل اور تقسیم کے لیے میٹ لیب ٹول باکس سورس فورج پر دستیاب ہے۔ ڈی ڈی ای بی آئی ایف ٹی او او ایل: تاخیر تفریقی مساوات کے حلوں کا حساب۔ ایک میٹ لیب پیکج۔ کے یو لیوین پائ کانٹ سے دستیاب: عددی تسلسل اور تقسیم کے لیے ایک ازگر ٹول باکس۔ فکسڈ پوائنٹ تسلسل کے لیے مقامی ازگر الگورتھم، دیگر قسم کے مسائل کے لیے آٹو کے لیے نفیس انٹرفیس۔ پائیڈ اسٹول کینڈیس/کیو اے کے حصے کے طور پر شامل: یونیورسٹی پوٹسڈیم [اے 16] مانپاک سے دستیاب: نیٹلیب [اے 15] پی ڈی ڈی ای-کانٹ سے دستیاب: http://seis.bris.ac.uk ~ آر ایس 1909/پی ڈی ڈی ای/ملٹی فاریو: http://multifario.sourceforge.net لوکا: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca ڈی ایس ٹول جی اے آئی او او او ایس سی آئی ایل ایل 8: آسکل 8 ایک متحرک نظام کا آلہ ہے جو صارف کو دو طرفہ تجزیاتی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے غیر لکیری او ڈی ای کے اعلی جہتی پیرامیٹر کی جگہ تلاش کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ سورس فورج سے دستیاب ہے۔ MANLAB: حل کی شاخ کی فورئیر سیریز (ہارمونک بیلنس طریقہ) اور ٹیلر سیریز کی ترقی (ایسمپٹوٹک عددی طریقہ) کا استعمال کرتے ہوئے تفریق مساوات کے توازن، وقتا فوقتا اور نیم وقتا فوقتا حل کی گنتی۔ ایل ایم اے مارسیل سے دستیاب ہے۔ BifurcationKit.jl: اس جولیا پیکج کا مقصد بڑی جہتی مساوات F (u، λ) = 0 کا خودکار تقسیم تجزیہ انجام دینا ہے جہاں λ bulR تکراری طریقوں، غیر معمولی تشکیل اور مخصوص ہارڈ ویئر (جیسے. جی پی یو)۔ مثال یہ مسئلہ، ان نکات کو تلاش کرنے کا ہے جو ایف اصل میں نقشہ بناتا ہے کمپیوٹر گرافکس میں کنٹور نقشے (n = 2)، یا آئسو سرفیس (n = 3) کھینچنے کے مسائل کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ قدر ایچ کے ساتھ کنٹور ایف-ایچ = 0 حوالہ جات کی کتابوں [بی 1] "عددی تسلسل کے طریقوں کا تعارف"، یوجین ایل آلگوور اور کرٹ جارج، اپلائیڈ ریاضی میں ایس آئی اے ایم کلاسیکس 45 کے تمام حل اجزاء کا مجموعہ ہے۔ 2003 میں۔ [B2] "ڈائنامیکل ایکویلیبریا کے بفرکیشن کے عددی طریقے"، ولی جے ایف گوورٹس، SIAM 2000۔ [B3] "غیر لکیری تجزیہ اور ایپلی کیشنز میں لیاپونوف-شمڈٹ میتھڈز"، نیکولے سڈوروف، بورس لوگینوف، الیگزینڈر سنیتسن، اور مائیکل فالالیف، کلوور اکیڈمک پبلشرز، 2002۔ [B4] "میتھڈز آف بائیفرکیشن تھیوری"، شوئی-نی چو اور جیک کے ہیل، سپرنگر-ورلاگ 1982۔ [B5] "ایلیمنٹس آف اپلائیڈ بائیفرکیشن تھیوری"، یوری اے کنیتسوو، سپرنگر-ورلاگ اپلائیڈ میتھمیٹیکل سائنسز 112، 1995۔ [B6] "نان لائنر آسکیلیشنز، ڈائنامیکل سسٹمز، اینڈ بائیفرکیشنز آف ویکٹر فیلڈز"، جان گوکن ہیمر اور فلپ ہومز، سپرنگر-ورلاگ اپلائیڈ میتھمیٹیکل سائنسز 42، 1983۔ [B7] "ایلیمنٹری اسٹیبلٹی اینڈ بائیفرکیشن تھیوری"، جیرارڈ آئیوس اور ڈینیل ڈی جوزف، سپرنگر-ورلاگ انڈرگریجویٹ ٹیکسٹس ان میتھمیٹکس، 1980۔ [B8] "سنگلریٹی تھیوری اینڈ این انٹروڈکشن ٹو کیٹاسٹروف تھیوری"، ینگ-چین لو، سپرنگر-ورلاگ، 1976۔ [B9] "گلوبل بائیفرکیشنز اینڈ کیوس، اینالیٹک میتھڈز"، ایس وگنز، سپرنگر-ورلاگ اپلائیڈ میتھمیٹیکل سائنسز 73، 1988۔ [B10] "بفرکیشن تھیوری میں سنگلریٹیز اینڈ گروپس، جلد I"، مارٹن گلوبٹسکی اور ڈیوڈ جی شیفر، سپرنگر-ورلاگ اپلائیڈ میتھمیٹیکل سائنسز 51، 1985۔ [B11] "سنگلریٹیز اینڈ گروپس ان بائیفرکیشن تھیوری، جلد II"، مارٹن گلوبٹسکی، ایان اسٹیورٹ اور ڈیوڈ جی شیفر، سپرنگر-ورلاگ اپلائیڈ میتھمیٹیکل سائنسز 69، 1988۔ [B12] "انجینئرنگ اور سائنسی مسائل کے لیے تسلسل کا استعمال کرتے ہوئے کثیر الجہتی نظام کو حل کرنا"، الیگزینڈر مورگن، پرینٹس ہال، اینگل ووڈ کلفس، این جے 1987۔ [B13] "پاتھ ویز ٹو سولیوشنز، فکسڈ پوائنٹس اینڈ ایکولبریا"، سی۔ بی۔ گارسیا اور ڈبلیو۔ آئی۔ زنگ ول، پرینٹس-ہال، 1981۔ [B14] "دی امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم: ہسٹری، تھیوری اینڈ ایپلی کیشنز"، سٹیون جی کرانٹز اور ہیرالڈ آر پارکس، برکھاؤزر، 2002۔ [B15] "غیر لکیری فنکشنل تجزیہ"، جے ٹی شوارٹز، گورڈن اور بریچ سائنس پبلشرز، نوٹس آن میتھمیٹکس اینڈ ایٹس ایپلی کیشنز، 1969۔ [B16] "غیر لکیری فنکشنل تجزیہ میں موضوعات"، لوئس نیرن برگ (رالف اے آرٹینو کے نوٹ)، اے ایم ایس کورانٹ لیکچر نوٹس ان میتھمیٹکس 6، 1974۔ [B17] "غیر لکیری مسائل کے لیے نیوٹن کے طریقے-افائن انویرینس اور انکولی الگورتھم"، پی۔ ڈیوفل ہارڈ، سیریز کمپیوٹیشنل میتھمیٹکس 35، سپرنگر، 2006۔ جرنل آرٹیکلز [A1] "این الگورتھم فار پیس وائز لکیری اپروکسیمیشن آف امپلیٹلی ڈیفائنڈ ٹو ڈائیمینشنل سرفیسز"، یوجین ایل آلگوور اور اسٹیفن گنٹزمین، SIAM جرنل آن نیومریکل اینالیسس، جلد 24، نمبر 2، 452-469، 1987۔ [A2] "تخمینوں، فکسڈ پوائنٹس اور مساوات کے نظام کے حل کے لیے آسان اور تسلسل کے طریقے"، E. L. آلگوور اور K. جارج، SIAM ریویو، جلد 22، 28-85، 1980۔ [A3] "این الگورتھم فار پیس وائز-لکیری اپروکسیمیشن آف این امپلیٹلی ڈیفائنڈ مینی فولڈ"، یوجین ایل آلگوور اور فلپ ایچ شمٹ، ایس آئی اے ایم جرنل آن نیومریکل اینالیسس، جلد 22، نمبر 2، 322-346، اپریل 1985۔ [A4] "کنٹور ٹریسنگ بائی پیس وائز لکیری اپروکسیمیشنز"، ڈیوڈ پی ڈوبن، سلویو وی ایف لیوی، ولیم پی تھرسٹن اور ایلن آر ولکس، اے سی ایم ٹرانزیکشنز آن گرافکس، 9 (4) 389-423، 1990۔ [A5] "بفرکیشن اور غیر لکیری آئجین ویلیو کے مسائل کا عددی حل"، ایچ بی کیلر، "بفرکیشن تھیوری کی ایپلی کیشنز" میں، پی رابینووٹز ایڈ۔، اکیڈمک پریس، 1977۔ [A6] "ایک مقامی پیرامیٹرائزڈ تسلسل عمل"، ڈبلیو سی رائنبولٹ اور جے وی۔ برکارڈٹ، اے سی ایم ٹرانزیکشنز آن میتھمیٹیکل سافٹ ویئر، جلد 9، 236-246، 1983۔ [A7] "غیر لکیری عددی" ای ڈوڈل، انٹرنیشنل جرنل آف بائیفرکیشن اینڈ کیوس، 7 (9): 2127-2143، 1997۔ [A8] "غیر لکیری کمپیوٹیشن"، آر سیڈل، انٹرنیشنل جرنل آف بائیفرکیشن اینڈ کیوس، 7 (9): 2105-2126، 1997۔ [A9] "آن اے موونگ فریم الگورتھم اینڈ دی ٹرائینگولیشن آف ایکولبریئم مینیفولڈز"، ڈبلیو سی رائنبولٹ، ان ٹی کوپر، آر سیڈل، اور ایچ ٹروگر ایڈز۔ "ISNM79: بائیفرکیشن: تجزیہ، الگورتھم، ایپلی کیشنز"، صفحات 256-267۔ برکھاؤسر، 1987۔ [A10] "آن دی کمپیوٹیشن آف ملٹی ڈائیمینشنل سولیوشن مینیفولڈز آف پیرامیٹرائزڈ ایکویشنز"، ڈبلیو سی رائنبولٹ، نیومریش میتھمیٹک، 53، 1988، صفحات 165-181۔ [A11] "آن دی سمپلیشیل اپروکسیمیشن آف امپلیکیٹلی ڈیفائنڈ ٹو ڈائیمینشنل مینیفولڈز"، ایم۔ ایل۔ بروڈزک اور ڈبلیو۔ سی۔ رائنبولٹ، کمپیوٹرز اینڈ میتھمیٹکس ود ایپلی کیشنز، 28 (9): 9-21، 1994۔ [A12] "دی کمپیوٹیشن آف سمپلیشل اپروکسیمیشنز آف امپلیکیٹلی ڈیفائنڈ پی-مینیفولڈز"، ایم ایل بروڈزک، کمپیوٹرز اینڈ میتھمیٹکس ود ایپلی کیشنز، 36 (6): 93-113، 1998۔ [A13] "دو جہتی عددی تسلسل کے لیے نیا الگورتھم"، آر میلویل اور ڈی ایس میکی، کمپیوٹرز اینڈ میتھمیٹکس ود ایپلی کیشنز، 30 (1): 31-46، 1995۔ [A14] "ایک سے زیادہ پیرامیٹر کا تسلسل: کمپیوٹنگ امپلیکیٹلی ڈیفائنڈ کے-مینیفولڈز"، ایم۔ ای۔ ہینڈرسن، IJBC 12 [3]: 451-76، 2003۔ [A15] "MANPACK: مضمر طور پر بیان کردہ کئی گنا پر کمپیوٹیشن کے لیے الگورتھم کا ایک مجموعہ"، W. C. رائنبولٹ، کمپیوٹ۔ ریاضی۔ درخواست دیں۔ 27 صفحات 15-9، 1996۔ [A16] "کینڈیس/کیو اے-غیر لکیری متحرک نظاموں کے معیاری تجزیہ کے لیے ایک سافٹ ویئر سسٹم"، فیوڈل، یو۔ اور ڈبلیو۔ جینسن، انٹ۔ جے۔ بائیفرکیشن اینڈ کیوس، جلد۔ 2 نہیں۔ 4، پی پی۔ 773-794، ورلڈ سائنٹفک، 1992۔ عددی تجزیہ متحرک نظام