Johannes de Groot
جوہانس ڈی گروٹ (7 مئی 1914-11 ستمبر 1972) ایک ڈچ ریاضی دان تھے، جو دوسری جنگ عظیم کے بعد دو دہائیوں سے زیادہ عرصے تک معروف ڈچ ٹاپولوجسٹ رہے۔ سوانح عمری ڈی گروٹ 7 مئی 1914 کو لوپرسم، گروننگن کی بلدیہ کے ایک گاؤں گیرلس ویر میں پیدا ہوئے تھے۔ انہوں نے اپنی انڈرگریجویٹ اور گریجویٹ دونوں کی تعلیم ریکسونیورسائٹ گروننگن میں کی، جہاں انہوں نے 1942 میں گیرٹ شیک کی نگرانی میں پی ایچ ڈی حاصل کی۔ انہوں نے انڈرگریجویٹ کی حیثیت سے ریاضی، طبیعیات اور فلسفہ کا مطالعہ کیا، اور الجبرا اور الجبرائی جیومیٹری پر توجہ مرکوز کرتے ہوئے اپنی گریجویٹ تعلیم کا آغاز کیا، لیکن ہالینڈ میں اس موضوع میں عمومی عدم دلچسپی کے باوجود، اپنے مقالے کے موضوع پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی کی طرف مائل ہو گئے۔ بروور کے بعد، اس شعبے میں ڈچ دیو، نے اسے وجدانیت کے حق میں چھوڑ دیا تھا۔ یونیورسٹی چھوڑنے کے بعد کئی سالوں تک ڈی گروٹ نے سیکنڈری اسکول کی سطح پر ریاضی پڑھائی، لیکن 1946 میں انہیں ایمسٹرڈیم میں میتھمیٹش سینٹرم میں مقرر کیا گیا، 1947 میں انہوں نے ایمسٹرڈیم یونیورسٹی میں لیکچررشپ شروع کی، 1948 میں وہ ڈیلفٹ یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی میں ریاضی کے پروفیسر کے عہدے پر چلے گئے، اور 1952 میں وہ دوبارہ ایمسٹرڈیم یونیورسٹی چلے گئے، جہاں وہ اپنی باقی زندگی رہے۔ وہ 1960 سے 1964 تک میتھمیٹش سینٹرم میں خالص ریاضی کے سربراہ اور 1964 سے ایمسٹرڈیم یونیورسٹی میں سائنس کے ڈین رہے۔ انہوں نے پرڈیو یونیورسٹی (1959-1960)، سینٹ لوئس میں واشنگٹن یونیورسٹی (1963-1964)، فلوریڈا یونیورسٹی (1966-1967 اور اس کے بعد سردیاں)، اور یونیورسٹی آف ساؤتھ فلوریڈا (1971-1972) کا بھی دورہ کیا۔ ان کا انتقال 11 ستمبر 1972 کو روٹرڈیم میں ہوا۔ ڈی گروٹ کے بہت سے طالب علم تھے، اور 100 سے زیادہ تعلیمی اولاد تھی۔ کوٹسیئر اور وین مل لکھتے ہیں کہ ان میں سے بہت سے نوجوان ٹپوولوجسٹوں نے ڈی گروٹ کی چھوٹی مرسڈیز کی پچھلی سیٹ میں نچوڑنے کی کوشش کرتے ہوئے پہلے ہاتھ میں کمپیکٹفیکیشن کا تجربہ کیا۔ میک ڈویل لکھتے ہیں، "ان کے شاگرد بنیادی طور پر ڈچ یونیورسٹیوں میں ٹوپولوجی فیکلٹیز تشکیل دیتے ہیں۔" ڈچ ٹوپولوجی پر ڈی گروٹ کا گہرا اثر ان کے ہم نام جوہانس انتونیئس میری ڈی گروٹ کے پیچیدہ تعلیمی نسب میں دیکھا جا سکتا ہے (مثال میں دکھایا گیا ہے): بعد میں ڈی گروٹ، جو 1990 میں ٹوپولوجی میں پی ایچ ڈی کر چکے ہیں، سینئر ڈی گروٹ کے تعلیمی پوتے، پڑپوتے اور پڑپوتے ہیں جو تعلیمی نگرانی کے چار مختلف راستوں سے گزرتے ہیں۔ ڈی گروٹ کو 1969 میں رائل نیدرلینڈز اکیڈمی آف آرٹس اینڈ سائنسز کا رکن منتخب کیا گیا۔ ریسرچ ڈی گروٹ نے تقریبا 90 سائنسی مقالے شائع کیے۔ ان کی ریاضیاتی تحقیق کا تعلق، عام طور پر، ٹوپولوجی اور ٹوپولوجیکل گروپ تھیوری سے تھا، حالانکہ انہوں نے تجریدی الجبرا اور ریاضیاتی تجزیے میں بھی حصہ ڈالا۔ انہوں نے طول و عرض کے نظریہ پر کئی مقالے لکھے (ایک ایسا موضوع جو بروور کے لیے بھی دلچسپی کا باعث رہا تھا)۔ اس موضوع پر ان کا پہلا کام، اپنے مقالے میں، خلا کی کمپیکٹنس ڈگری سے متعلق تھا: یہ ایک نمبر ہے، جس کی تعریف کمپیکٹ اسپیس کے لیے −1 کے طور پر کی گئی ہے، اور 1 + x اگر خلا میں ہر نقطہ کا پڑوس ہے جس کی حد کمپیکٹنس ڈگری x ہے۔ انہوں نے ایک اہم قیاس آرائی کی، جسے بہت بعد میں 1982 میں پول اور 1988 میں کمورا نے حل کیا، کہ کمپیکٹنس ڈگری ایک سیٹ کے کم از کم طول و عرض کے برابر تھی جسے کمپیکٹ کرنے کے لیے جگہ سے منسلک کیا جا سکتا تھا۔ اس طرح، مثال کے طور پر واقف یوکلڈین اسپیس میں کمپیکٹنس ڈگری صفر ہے۔ یہ خود کمپیکٹ نہیں ہے، لیکن ہر نقطہ کا ایک پڑوس ہوتا ہے جو ایک کمپیکٹ دائرے سے جڑا ہوتا ہے۔ یہ کمپیکٹنس ڈگری، صفر، واحد نقطہ کے طول و عرض کے برابر ہے جسے یوکلڈین اسپیس میں شامل کیا جا سکتا ہے تاکہ اس کی ایک نکاتی کمپیکٹائزیشن تشکیل دی جا سکے۔ ڈی گروٹ کے کمپیکٹنس ڈگری کے مسئلے اور ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے طول و عرض کی دیگر تعریفوں سے اس کے تعلق کا تفصیلی جائزہ کوٹسیئر اور وان مل نے فراہم کیا ہے۔ 1959 میں، ہومیومورفزم کی درجہ بندی پر ان کے کام نے اس نظریہ کو جنم دیا کہ کوئی بھی یوکلڈین طیارہ کے جوڑی کے لحاظ سے غیر ہومیومورفک منسلک ذیلی سیٹوں کا ایک بڑا کارڈینل نمبر، β2، تلاش کر سکتا ہے، جیسے کہ ان میں سے کسی بھی سیٹ میں کوئی غیر معمولی مسلسل فنکشن نہیں ہے جو اسے اپنے آپ میں یا ان میں سے کسی دوسرے سیٹ میں نقشہ بناتا ہے۔ ہوائی جہاز کے ان ذیلی سیٹوں سے بننے والی ٹپوولوجیکل خالی جگہوں میں اس طرح ایک معمولی آٹومورفزم گروپ ہوتا ہے۔ ڈی گروٹ نے اس تعمیر کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا کہ تمام گروپ کچھ کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس کے آٹومورفزم گروپ ہیں، گروپ کے کیلی گراف کے کناروں کو خالی جگہوں سے تبدیل کرکے جن میں کوئی غیر معمولی آٹومورفزم نہیں ہیں اور پھر اسٹون-سیچ کمپیکٹفیکیشن کا اطلاق کرتے ہیں۔ ایک متعلقہ الجبرائی نتیجہ یہ ہے کہ ہر گروپ ایک مواصلاتی رنگ کا آٹومورفزم گروپ ہے۔ ان کی تحقیق کے دیگر نتائج میں یہ ثبوت شامل ہے کہ ایک پیمائش کے قابل ٹپوولوجیکل اسپیس میں غیر آرکیمیڈین میٹرک ہوتا ہے (مضبوط مثلث عدم مساوات d (x, z) ≤ زیادہ سے زیادہ (d (x, y), d (y, z) کو مطمئن کرتا ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا طول و عرض صفر ہو، کوکمپکٹنیس کے لحاظ سے مکمل طور پر پیمائش کے قابل خالی جگہوں کی تفصیل، اور ہلبرٹ اسپیس کی ٹپوولوجیکل خصوصیت۔ 1962 کے بعد سے، ان کی تحقیق بنیادی طور پر نئے ٹپوولوجیکل نظریات کی ترقی سے متعلق تھی: سب کمپیکٹنیس، کوکمپکٹنیس، کوٹوپولوجی، جی اے کمپیکٹفیکیشن، سپر ایکسٹینشن، منی اسپیسز، اینٹی اسپیسز، اور اسکوائر کمپیکٹنیس۔ حوالہ جات بیرونی روابط جوہانس ڈی گروٹ (1914-1972)۔ جان وین مل، بائیو گرافش ووڈن بوک وان نیدرلینڈ وسکنڈیجن، ستمبر 2006۔ (ڈچ میں۔) 1914 پیدائش 1972 موت 20 ویں صدی کے ڈچ ریاضی دان ڈیلفٹ یونیورسٹی آف ٹکنالوجی کے تعلیمی عملہ رائل نیدرلینڈز اکیڈمی آف آرٹس اینڈ سائنسز کے ٹاپولوجسٹ لوگ سینٹ لوئس میں واشنگٹن یونیورسٹی کے سابق طلباء گروننگن کی لوپرسم یونیورسٹی کے لوگ ریاضی دان