Contract bridge probabilities
پل کے کھیل میں ریاضیاتی امکانات اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ مختلف ڈیکلیئرر پلے کی حکمت عملی مخالف کے کارڈز کی تقسیم کے لحاظ سے کامیابی کا باعث بنتی ہیں۔ یہ فیصلہ کرنے کے لیے کہ کس حکمت عملی میں کامیابی کا سب سے زیادہ امکان ہے، اعلان کنندہ کو کم از کم امکانات کا ابتدائی علم ہونا ضروری ہے۔ نیچے دیے گئے جدول مختلف پیشگی امکانات کی وضاحت کرتے ہیں، یعنی۔ مزید معلومات کی عدم موجودگی میں امکانات۔ بولی لگانے اور کھیلنے کے دوران، ہاتھوں کے بارے میں مزید معلومات دستیاب ہو جاتی ہیں، جس سے کھلاڑی اپنے امکانات کے تخمینے کو بہتر بنا سکتے ہیں۔ سوٹ کی تقسیم کا امکان (گمشدہ ٹرمپس وغیرہ کے لیے) دو پوشیدہ ہاتھوں میں یہ میز مختلف طریقوں کی نمائندگی کرتی ہے کہ دو سے آٹھ مخصوص کارڈ تقسیم کیے جا سکتے ہیں، یا دو نامعلوم 13 کارڈ والے ہاتھوں کے درمیان (بولی لگانے اور کھیلنے سے پہلے، یا ترجیحی طور پر) جھوٹ بول سکتے ہیں یا تقسیم ہو سکتے ہیں۔ میز مخصوص کارڈوں کے امتزاج کی تعداد بھی دکھاتی ہے جو کسی بھی عددی تقسیم اور ہر امتزاج کے امکانات سے میل کھاتے ہیں۔ یہ امکانات براہ راست خالی جگہوں کے قانون کی پیروی کرتے ہیں۔ امکانات کا حساب اس بات کا امکان ہے کہ مشرقی کھلاڑی جس کے پاس نامعلوم کارڈ ہیں وہ دیئے گئے سوٹ میں کارڈ رکھتے ہیں اور مغربی کھلاڑی جس کے پاس نامعلوم کارڈ ہیں وہ دیئے گئے سوٹ میں کارڈ رکھتے ہیں۔ خالی جگہوں پر سوٹ میں کارڈ کے انتظامات کی کل تعداد ہے۔ اشیاء کی ان تغیرات کی تعداد جن میں سوٹ میں موجود کارڈ ناقابل تفرقہ ہیں اور سوٹ میں نہ موجود کارڈ ناقابل تفرقہ ہیں۔ ان انتظامات کی تعداد جو سوٹ میں کارڈز اور سوٹ میں ویسٹ کارڈز کے مشرق سے مطابقت رکھتی ہے، کی طرف سے دی گئی ہے۔ لہذا، اگر تقسیم کی سمت غیر اہم ہے (یہ صرف ضروری ہے کہ تقسیم ہو -، یہ نہیں کہ مشرق کو خاص طور پر کارڈ رکھنے کی ضرورت ہے)، تو مجموعی امکان اس طرح دیا جاتا ہے جہاں کرونکر ڈیلٹا اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ ایسی صورتحال جہاں مشرق اور مغرب میں سوٹ میں کارڈ کی ایک ہی تعداد ہے اسے دو بار شمار نہیں کیا جاتا ہے۔ مذکورہ بالا امکانات فرض کرتے ہیں اور یہ کہ تقسیم کی سمت غیر اہم ہے، اور اسی طرح ان کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ زیادہ عام فارمولے کو سوٹ ٹوٹنے کے امکان کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اگر کسی کھلاڑی کو دوسرے سوٹ میں کارڈ رکھنے کے لیے جانا جاتا ہے مثال کے طور پر۔ بولی لگانا۔ فرض کریں کہ ایسٹ بولی سے 7 کوڑے رکھنے کے لیے جانا جاتا ہے اور ڈمی دیکھنے کے بعد آپ مغرب کو 2 کوڑے رکھنے کا اندازہ لگاتے ہیں۔ پھر اگر آپ کے کھیل کی دو لائنیں ہیروں کے لیے 5-3 یا کلبوں کے لیے 4-4 کی امید رکھنا ہے، تو ترجیحی امکانات بالترتیب 47 ٪ اور 48 ٪ ہیں لیکن اس لیے اب کلب لائن ڈائمنڈ لائن سے نمایاں طور پر بہتر ہے۔ ہائی کارڈ پوائنٹس (ایچ سی پی) کی گنتی عام طور پر بالترتیب ہر ایس/کنگ/کوئین/جیک کے لیے 4/3/2 1 پوائنٹس کے ملٹن ورک اسکیل کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ ترجیحی امکانات کہ دیئے گئے ہاتھ میں ایچ سی پی کی ایک مخصوص تعداد سے زیادہ نہیں ہے، نیچے دیے گئے جدول میں دیے گئے ہیں۔ ایک مخصوص نقطہ کی حد کے امکان کو تلاش کرنے کے لیے، ایک صرف دو متعلقہ مجموعی امکانات کو گھٹا دیتا ہے۔ لہذا، 12-19 ایچ سی پی ہاتھ (حدود سمیت) سے نمٹنے کا امکان زیادہ سے زیادہ 19 ایچ سی پی مائنس زیادہ سے زیادہ 11 ایچ سی پی ہونے کا امکان ہے، یا: 0.9855 − 0.6518 = 0.3337۔ ہاتھ کے نمونے کے امکانات ایک ہاتھ کا نمونہ چار سوٹ پر ایک ہاتھ میں تیرہ کارڈوں کی تقسیم کی نشاندہی کرتا ہے۔ کل 39 ہاتھ کے نمونے ممکن ہیں، لیکن ان میں سے صرف 13 میں 1 فیصد سے زیادہ ترجیحی امکان ہے۔ سب سے زیادہ ممکنہ نمونہ 4-4-3-2 نمونہ ہے جس میں دو چار کارڈ سوٹ، ایک تین کارڈ سوٹ اور ایک ڈبلٹن ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ہاتھ کا نمونہ غیر متعین چھوڑتا ہے کہ کون سے مخصوص سوٹ میں اشارہ شدہ لمبائی ہوتی ہے۔ 4-4-3-2 پیٹرن کے لیے، چار سوٹ میں سے ہر ایک کی لمبائی کی نشاندہی کرنے کے لیے یہ بتانا ضروری ہے کہ کون سا سوٹ تین کارڈ پر مشتمل ہے اور کون سا سوٹ ڈبلٹن پر مشتمل ہے۔ پہلے تھری کارڈ سوٹ کی شناخت کے چار امکانات ہیں اور اگلے ڈبلٹن کی شناخت کے تین امکانات ہیں۔ لہذا، 4-4-3-2 پیٹرن کے سوٹ کے تغیرات کی تعداد بارہ ہے۔ یا، مختلف طریقے سے بیان کیا گیا ہے، مجموعی طور پر بارہ طریقے ہیں جن سے 4-4-3-2 پیٹرن کو چار سوٹ پر نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ میز کے نیچے ہاتھ کے تمام 39 ممکنہ نمونوں، ان کے ہونے کے امکانات کے ساتھ ساتھ ہر نمونے کے لیے سوٹ کی ترتیبات کی تعداد کی فہرست دی گئی ہے۔ فہرست کو ہاتھ کے نمونوں کے ہونے کے امکان کے مطابق ترتیب دیا جاتا ہے۔ 39 ہاتھ کے نمونوں کو ہاتھ کی چار اقسام میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے: متوازن ہاتھ، سنگل سوٹ، دو سوٹ اور تھری سوٹ۔ نیچے دیے گئے جدول میں ایک مخصوص ہاتھ کی قسم سے نمٹنے کے ترجیحی امکانات دیے گئے ہیں۔ 39 ہاتھ کے نمونوں کی متبادل گروہ بندی یا تو طویل ترین سوٹ یا مختصر ترین سوٹ کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ نیچے دی گئی میزیں ترجیحی موقع فراہم کرتی ہیں کہ ہاتھ کو دی گئی لمبائی کے طویل ترین یا مختصر ترین سوٹ سے نمٹا جائے۔ ممکنہ ہاتھوں اور سودوں کی تعداد 635,013,559، 600 () مختلف ہاتھ ہیں جنہیں ایک کھلاڑی پکڑ سکتا ہے۔ مزید برآں، جب باقی 39 کارڈوں کو ان کے تمام امتزاج کے ساتھ شامل کیا جاتا ہے تو وہاں 53,644,737، 765,488,792، 839,237,440، 000 (53.6 x 1027) مختلف سودے ممکن ہوتے ہیں () اس نمبر کی وسعت کو اس سوال کا جواب دے کر سمجھا جا سکتا ہے کہ "اگر ہر سودا صرف ایک مربع ملی میٹر پر قبضہ کرے گا تو آپ کو تمام ممکنہ برج سودوں کو پھیلانے کے لیے کتنے بڑے رقبے کی ضرورت ہوگی؟"۔ جواب یہ ہے کہ: زمین کے سطحی رقبے سے سو ملین گنا زیادہ رقبہ۔ ظاہر ہے، وہ سودے جو ایک جیسے ہیں سوائے تبادلے کے-جیسے-2 اور 3 کے مختلف نتیجہ دینے کا امکان نہیں ہوگا۔ چھوٹے کارڈوں کی غیر مطابقت کو واضح کرنے کے لیے (جو کہ ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا)، پل میں اس طرح کے چھوٹے کارڈوں کو عام طور پر 'x' سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح، اس لحاظ سے "ممکنہ سودوں کی تعداد" اس بات پر منحصر ہے کہ کتنے غیر اعزاز کارڈ (2، 3،. 9) کو "ناقابل شناخت" سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر 'x' نوٹیشن دس سے چھوٹے تمام کارڈوں پر لاگو ہوتا ہے، تو سوٹ کی تقسیم A987-K106-Q54-J32 اور A432-K105-Q76-J98 کو یکساں سمجھا جائے گا۔ نیچے دیا گیا جدول سودوں کی تعداد بتاتا ہے جب چھوٹے کارڈوں کی مختلف تعداد کو ناقابل شناخت سمجھا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ میز میں آخری اندراج (37,478,624) ڈیک کی مختلف تقسیم کی تعداد سے مطابقت رکھتا ہے (سودوں کی تعداد جب کارڈ صرف ان کے سوٹ سے ممتاز ہوتے ہیں)۔ ہارنے والی چال کی گنتی کا امکان ہارنے والی چال کی گنتی ہاتھ کی تشخیص کے طریقہ کار کے طور پر ایچ سی پی گنتی کا ایک متبادل ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنے 1954 میں مصنفین کا دوسرا فرانسیسی ایڈیشن۔ الیک ٹراؤب نے انگریزی میں دی میتھمیٹیکل تھیوری آف برج کے طور پر ترجمہ اور ترمیم کی ؛ 1974 میں تائیوان میں سی سی کی مدد سے چھاپا گیا۔ وی۔