Ambient construction
کنفارمل جیومیٹری میں، ماحول کی تعمیر سے مراد چارلس فیفرمین اور رابن گراہم کی تعمیر ہے جس کے لیے طول و عرض n کے کنفارمل کئی گنا کو (ماحول کے لحاظ سے) کسی خاص پوئنکیئر کئی گنا کی حد کے طور پر، یا متبادل طور پر کسی خاص فرضی-ریمینین کئی گنا کے آسمانی دائرے کے طور پر محسوس کیا جاتا ہے۔ ماحول کی تعمیر اس لحاظ سے کینونکل ہے کہ یہ صرف میٹرک کی کنفارمل کلاس کا استعمال کرتے ہوئے انجام دی جاتی ہے: یہ کنفارمل طور پر غیر متغیر ہے۔ تاہم، تعمیر صرف غیر علامتی طور پر کام کرتی ہے، تخمینہ کی ایک مخصوص ترتیب تک۔ عام طور پر، اس توسیع کو اہم ترتیب سے آگے جاری رکھنے میں رکاوٹ ہے۔ رکاوٹ خود ٹینسوریل کردار کی ہوتی ہے، اور اسے (کنفارمل) رکاوٹ ٹینسر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ ویل ٹینسر کے ساتھ، کنفارمل ڈفریٚنشل جیومیٹری میں دو ابتدائی غیر متغیرات میں سے ایک ہے۔ رکاوٹ ٹینسر کے علاوہ، ماحول کی تعمیر کو مطابقت پذیر غیر متغیر تفریق آپریٹرز کی ایک کلاس کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جسے جی جے ایم ایس آپریٹرز کہا جاتا ہے۔ ایک متعلقہ تعمیر ٹریکٹر بنڈل ہے۔ جائزہ ماحول کی تعمیر کے لیے ماڈل فلیٹ جیومیٹری منکوسکی کی جگہ میں مستقبل کا نیل شنک ہے، جس کی اصل کو حذف کر دیا گیا ہے۔ انفینیٹی پر آسمانی دائرہ کنفارمل کئی گنا M ہے، اور شنک میں موجود صفر شعاعیں M کے اوپر ایک لائن بنڈل کا تعین کرتی ہیں۔ مزید برآں، صفر شنک ایک میٹرک رکھتا ہے جو شنک کے جنریٹرز کی سمت میں انحطاط پذیر ہوتا ہے۔ اس فلیٹ ماڈل کی جگہ میں ماحول کی تعمیر پھر پوچھتی ہے: اگر کسی کو اس طرح کا لائن بنڈل فراہم کیا جاتا ہے، اس کے انحطاط شدہ میٹرک کے ساتھ، کینونکل طریقے سے نل کون سے میٹرک کو کس حد تک بڑھانا ممکن ہے، اس طرح ماحول منکووسکی کی جگہ کو بحال کیا جاسکتا ہے؟ رسمی اصطلاحات میں، انحطاط شدہ میٹرک توسیعی مسئلے کے لیے ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشن فراہم کرتا ہے اور جیسا کہ ایسا ہوتا ہے، توسیعی میٹرک کے لیے قدرتی حالت رچی فلیٹ ہونا ہے (عام کنفارمل کنکشن کو معمول پر لانے کی وجہ سے)۔ ماحول کی تعمیر اسے اس صورت میں عام بناتی ہے جب M مطابقت سے مڑا ہوا ہوتا ہے، پہلے ایک قدرتی نیل لائن بنڈل N کو ڈیجینریٹ میٹرک کے ساتھ بنا کر، اور پھر N × (-1,1) پر متعلقہ ڈیرچلیٹ کے مسئلے کو حل کرکے۔ تفصیلات یہ سیکشن تعمیر کا ایک جائزہ فراہم کرتا ہے، پہلے نل لائن بنڈل کا، اور پھر اس کی وسیع توسیع کا۔ نیل لائن بنڈل فرض کریں کہ M ایک کنفارمل کئی گنا ہے، اور یہ کہ [g] M پر بیان کردہ کنفارمل میٹرک کی نشاندہی کرتا ہے۔ آئیے π: N → M کنفارمل میٹرک کے تمام نمائندوں کے ذریعہ بیان کردہ T * M * T * M کے ٹاٹولوجیکل سب بنڈل کی نشاندہی کرتا ہے۔ ایک مقررہ پس منظر میٹرک g0 کے لحاظ سے، N میٹرک کے تمام مثبت ضرب ω2g0 پر مشتمل ہوتا ہے۔ N پر R + کا ایک قدرتی عمل ہے، جو N کے ذریعے دیا گیا ہے۔ مزید برآں، N کی کل جگہ ایک ٹاٹولوجیکل ڈیجینریٹ میٹرک رکھتی ہے، کیونکہ اگر p فائبر کا ایک نقطہ ہے جو π: N → M کے مطابقت پذیر نمائندہ gp کے مطابق ہے، تو اس میٹرک کو عمودی سمتوں کے ساتھ انحطاط ہونے دیں۔ مزید برآں، یہ N پر R + ایکشن کے تحت ڈگری 2 کا یکساں ہے: فرض کریں کہ X اسکیلنگ ایکشن پیدا کرنے والا عمودی ویکٹر فیلڈ ہے۔ پھر درج ذیل خصوصیات فوری ہیں: h (X،-) = 0 LXh = 2h، جہاں LX ویکٹر فیلڈ X کے ساتھ لی مشتق ہے۔ ماحول کی جگہ N ~ = N × (-1,1)، قدرتی شمولیت کے ساتھ i: N → N ~۔ پھیلاؤ δω قدرتی طور پر N ~ تک پھیلا ہوا ہے، اور اسی وجہ سے پھیلاؤ کا جنریٹر X بھی ایسا ہی کرتا ہے۔ میٹرک یکساں ہے: δω * h ~ = ω2 h ~ میٹرک ایک وسیع توسیع ہے: i * h ~ = h، جہاں i * قدرتی شمولیت کے ساتھ پل بیک ہے۔ میٹرک رچی فلیٹ ہے: ریک (ایچ ~) = 0۔ فرض کریں کہ کنفارمل میٹرک g کا ایک فکسڈ نمائندہ اور ایک مقامی کوآرڈینیٹ سسٹم x = (xi) کو M پر منتخب کیا جاتا ہے۔ یہ N کے فائبر میں (x، t2g (x)) کے ساتھ ایک نقطہ کی شناخت کرکے N پر کوآرڈینیٹ کو جنم دیتے ہیں جہاں t> 0 فائبر کوآرڈینیٹ ہے۔ (ان نقاط میں، ایکس = ٹی۔) آخر میں، اگر ρ N میں N کی ایک وضاحتی فعل ہے جو طول و عرض کے تحت ڈگری 0 کا یکساں ہے، تو (x، t، ρ) N کے نقاط ہیں۔ مزید برآں، کوئی بھی توسیعی میٹرک جو ڈگری 2 کا یکساں ہے، ان نقاط میں اس شکل میں لکھا جا سکتا ہے: جہاں gij g (x, 0) = g (x) کے ساتھ n2 افعال ہیں، جو دی گئی مطابقت پذیر نمائندہ ہے۔ کچھ حساب کے بعد یہ ظاہر ہوتا ہے کہ رچی چپٹا پن مندرجہ ذیل تفریقی مساوات کے مساوی ہے، جہاں پرائم ρ کے حوالے سے تفریق ہے: اس کے بعد کوئی بھی اس مساوات کو ρ میں پاور سیریز کے طور پر باضابطہ طور پر حل کر سکتا ہے تاکہ نیل کون سے ماحول کے میٹرک کی غیر علامتی نشوونما حاصل کی جا سکے۔ مثال کے طور پر، ρ = 0 کو تبدیل کرنے اور حل کرنے سے gij′ (x, 0) = 2Pij ملتا ہے جہاں P شوٹن ٹینسر ہے۔ اگلا، دوبارہ تفریق کرتے ہوئے اور gij′ (x, 0) کی معلوم قدر کو مساوات میں تبدیل کرتے ہوئے، دوسرا مشتق باخ ٹینسر کا ایک ملٹیپل پایا جا سکتا ہے۔ اور اسی طرح۔ مزید دیکھیں ADS/CFT خط و کتابت ہولوگرافک اصول حوالہ جات عمومی اضافیت میں رسمی جیومیٹری ٹینسرز