Schwartz–Bruhat function
ریاضی میں، شوارٹز-بروہاٹ فنکشن، جس کا نام لارنٹ شوارٹز اور فرانکوئس بروہاٹ کے نام پر رکھا گیا ہے، مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ پر ایک پیچیدہ قابل قدر فنکشن ہے، جیسے ایڈیلز، جو ایک حقیقی ویکٹر اسپیس پر شوارٹز فنکشن کو عام کرتا ہے۔ ایک معتدل تقسیم کو شوارٹز-بروہاٹ افعال کی جگہ پر ایک مسلسل لکیری فنکشنل کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ تعریفیں ایک حقیقی ویکٹر جگہ پر، شوارٹز-بروہاٹ افعال صرف معمول کے شوارٹز افعال ہیں (تمام مشتقات تیزی سے کم ہو رہے ہیں) اور جگہ بناتے ہیں۔ ٹورس پر، شوارٹز-بروہاٹ افعال ہموار افعال ہیں۔ انٹیجرز کی نقلوں کے مجموعے پر، شوارٹز-بروہاٹ افعال تیزی سے کم ہونے والے افعال ہیں۔ ایک ابتدائی گروپ پر (یعنی، ایک ابیلین مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ جو حقیقی، انٹیجرز، سرکل گروپ، اور محدود گروپوں کی نقول کی پیداوار ہے)، شوارٹز-بروہاٹ افعال ہموار افعال ہیں جن کے تمام مشتقات تیزی سے کم ہو رہے ہیں۔ عام طور پر مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ پر، ایک کمپیکٹ طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ، اور اس طرح کا ایک کمپیکٹ ذیلی گروپ ہونا چاہئے جو ابتدائی ہے۔ پھر شوارٹز-بروہاٹ فنکشن کا پل بیک ایک شوارٹز-بروہاٹ فنکشن آن ہوتا ہے، اور تمام شوارٹز-بروہاٹ فنکشن مناسب اور مناسب کے لیے اس طرح حاصل کیے جاتے ہیں۔ (شوارٹز-بروہاٹ افعال کی جگہ انڈکٹو لمٹ ٹوپولوجی سے مالا مال ہے۔) غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈ پر، شوارٹز-بروہاٹ فنکشن کمپیکٹ سپورٹ کا مقامی طور پر مستقل فنکشن ہے۔ خاص طور پر، کسی عالمی میدان پر ایڈیلز کے دائرے پر، شوارٹز-بروہاٹ افعال ہر جگہ پر مصنوعات کے محدود لکیری امتزاج ہوتے ہیں، جہاں ہر ایک مقامی میدان پر شوارٹز-بروہاٹ فنکشن ہوتا ہے اور یہ انٹیجرز کے دائرے پر خصوصیت کا فنکشن ہوتا ہے لیکن حتمی طور پر بہت سے لوگوں کے لیے۔ (آرکیمیڈین مقامات کے لیے، یہ صرف معمول کے شوارٹز افعال ہیں، جبکہ غیر آرکیمیڈین مقامات کے لیے یہ غیر آرکیمیڈین مقامی شعبوں کے شوارٹز-بروہاٹ افعال ہیں۔) ایڈیلز پر شوارٹز-بروہاٹ افعال کی جگہ کو مقامی فیلڈز کے شوارٹز-بروہاٹ خالی جگہوں کے محدود ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جہاں مقامات کا ایک محدود مجموعہ ہے۔ اس جگہ کے عناصر اس شکل کے ہیں، جہاں سب کے لیے اور سب کے لیے لیکن محدود طور پر بہت سے ہیں۔ ہر ایک کے لیے ہم لکھ سکتے ہیں، جو محدود ہے اور اس طرح اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ مثالیں ہر شوارٹز-بروہٹ فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، جہاں ہر ایک، اور۔ یہ مشاہدہ کرکے دیکھا جا سکتا ہے کہ مقامی فیلڈ ہونے کا مطلب یہ ہے کہ تعریف کے مطابق کمپیکٹ سپورٹ ہے، یعنی، ایک محدود ذیلی احاطہ ہے۔ چونکہ ہر اوپن سیٹ کو ہمارے پاس موجود فارم (کچھ کے لیے اور) کی کھلی گیندوں کے جداگانہ اتحاد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ فنکشن بھی مقامی طور پر مستقل ہونا چاہیے، لہذا کچھ کے لیے۔ (جہاں تک صفر پر تشخیص کا تعلق ہے، اسے ہمیشہ ایک اصطلاح کے طور پر شامل کیا جاتا ہے۔) عقلی ایڈیلز پر شوارٹز-بروہاٹ اسپیس میں تمام افعال تمام عقلی پرائمز کے محدود لکیری امتزاج ہیں، جہاں، اور سب کے لیے لیکن محدود طور پر بہت سے۔ سیٹ اور بالترتیب p-adic نمبروں اور p-adic انٹیجرز کی رنگ کا میدان ہیں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ پر شوارٹز-بروہاٹ فنکشن کا فورئیر ٹرانسفارم پونٹریگین ڈوئل گروپ پر ایک شوارٹز-بروہاٹ فنکشن ہے۔ نتیجتا، فورئیر ٹرانسفارم ایسے گروپ پر معتدل تقسیم کو دوہری گروپ پر معتدل تقسیم میں لے جاتا ہے۔ الجیبرک نمبر تھیوری میں، شوارٹز-بروہٹ اسپیس پر (اضافی) ہار پیمائش کو دیکھتے ہوئے سپیس ایپلی کیشنز میں گھنے ہیں، ایڈیلز پر شوارٹز-بروہٹ افعال کو تجزیہ سے پوسن سمیشن فارمولے کا ایک ایڈیلک ورژن دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یعنی ہر ایک کے لیے، کہاں ہے۔ جان ٹیٹ نے یہ فارمولا اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں ریمن زیٹا فنکشن کے لیے فنکشنل مساوات کے زیادہ عمومی ورژن کو ثابت کرنے کے لیے تیار کیا۔ اس میں نمبر فیلڈ کے زیٹا فنکشن کو ایک انٹیگرل نمائندگی دینا شامل ہے جس میں شوارٹز-بروہاٹ فنکشن کا انٹیگرل، جسے ٹیسٹ فنکشن کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے، ایک مخصوص کردار سے موڑ دیا جاتا ہے اور اس گروپ کے ضرب ہار پیمائش کے حوالے سے مربوط ہوتا ہے۔ یہ ان زیٹا انٹیگرلز کے ذریعے زیٹا افعال کا مطالعہ کرنے کے لیے تجزیاتی طریقوں کو لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ حوالہ جات نمبر تھیوری ٹوپوولوجیکل گروپس