Antiderivative (complex analysis)
پیچیدہ تجزیے میں، ریاضی کی ایک شاخ، پیچیدہ قدر والی فنکشن g کی اینٹی ڈرایکٹو، یا ابتدائی، ایک ایسی فنکشن ہے جس کا پیچیدہ مشتق g ہے۔ زیادہ واضح طور پر، پیچیدہ سطح میں ایک کھلا سیٹ دیا گیا ہے اور ایک فنکشن جس کا اینٹی ڈرایکٹو ایک فنکشن ہے جو مطمئن کرتا ہے۔ اس طرح، یہ تصور حقیقی قدر والے فنکشن کے اینٹی ڈرایکٹو کا پیچیدہ متغیر ورژن ہے۔ انفرادیت ایک مستقل فنکشن کا مشتق صفر فنکشن ہے۔ لہذا، کوئی بھی مستقل فنکشن صفر فنکشن کا اینٹی ڈرایکٹو ہے۔ اگر ایک منسلک سیٹ ہے، تو مستقل افعال صفر فنکشن کے واحد اینٹی ڈرایکٹو ہیں۔ بصورت دیگر، فنکشن صفر فنکشن کا اینٹی ڈرایکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ہر منسلک جزو پر مستقل ہو (ان مستقلات کو برابر ہونے کی ضرورت نہیں ہے)۔ اس مشاہدے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اگر کسی فنکشن میں اینٹی ڈرایکٹو ہے، تو وہ اینٹی ڈرایکٹو کسی فنکشن کے اضافے تک منفرد ہے جو اس کے ہر منسلک جزو پر مستقل ہے۔ وجود ایک حقیقی متغیر کے افعال کے معاملے کی طرح پیچیدہ سطح میں پاتھ انٹیگرلز کے ذریعے اینٹی ڈراویٹوز کے وجود کو نمایاں کر سکتا ہے۔ شاید حیرت کی بات نہیں ہے کہ g میں ایک اینٹی ڈرایکٹو f ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، a سے b تک کے ہر γ راستے کے لیے، کسی بھی بند راستے γ کے لیے یکساں طور پر پاتھ انٹیگرل ہو۔ تاہم، اس رسمی مماثلت کے باوجود، ایک پیچیدہ اینٹی ڈرایکٹو کا ہونا اس کے حقیقی ہم منصب کے مقابلے میں بہت زیادہ پابند حالت ہے۔ اگرچہ یہ ممکن ہے کہ ایک متضاد حقیقی فنکشن میں اینٹی مشتق ہو، لیکن اینٹی مشتق پیچیدہ متغیر کے ہولومورفک افعال کے لیے بھی موجود نہیں ہو سکتے۔ مثال کے طور پر، باہمی فنکشن، g (z) = 1/z پر غور کریں جو پنکچرڈ پلین C\ {0} پر ہولومورفک ہے۔ ایک براہ راست حساب سے پتہ چلتا ہے کہ اصل کو گھیرے ہوئے کسی بھی دائرے کے ساتھ g کا انٹیگرل غیر صفر ہے۔ تو g اوپر بیان کردہ شرط میں ناکام ہو جاتا ہے۔ یہ قدامت پسند ویکٹر فیلڈز کے لیے ممکنہ افعال کے وجود سے ملتا جلتا ہے، اس میں گرین کا نظریہ صرف راستے کی آزادی کی ضمانت دینے کے قابل ہوتا ہے جب زیر بحث فنکشن کو محض منسلک خطے پر بیان کیا جاتا ہے، جیسا کہ کاچی انٹیگرل تھیوریم کے معاملے میں ہوتا ہے۔ درحقیقت، ہولومورفی کی خصوصیت مقامی طور پر ایک اینٹی ڈرایکٹو ہونا ہے، یعنی، جی ہولومورفک ہے اگر اس کے ڈومین میں ہر زیڈ کے لیے، زیڈ کا کچھ پڑوس یو ایسا ہو کہ جی کا یو پر اینٹی ڈرایکٹو ہو۔ مزید برآں، ہولومورفی ایک ضروری شرط ہے کہ کسی فنکشن میں اینٹی ڈرایکٹو ہو، کیونکہ کسی بھی ہولومورفک فنکشن کا مشتق ہولومورفک ہوتا ہے۔ کاچی انٹیگرل تھیوریم کے مختلف ورژن، جو کاچی فنکشن تھیوری کا ایک بنیادی نتیجہ ہے، جو پاتھ انٹیگرلز کا بھاری استعمال کرتا ہے، کافی حالات فراہم کرتا ہے جس کے تحت، ہولومورفک جی کے لیے، کسی بھی بند راستے γ کے لیے غائب ہو جاتا ہے (جو، مثال کے طور پر، ہو سکتا ہے کہ جی کا ڈومین محض جڑا ہوا ہو یا اسٹار کنویکس ہو)۔ ضرورت پہلے ہم یہ دکھاتے ہیں کہ اگر f U پر g کا اینٹی ڈرایکٹو ہے، تو g کے پاس اوپر دی گئی پاتھ انٹیگرل پراپرٹی ہے۔ کسی بھی ٹکڑے ٹکڑے C1 راستے γ: [a, b] → U کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی γ پر g کے پاتھ انٹیگرل کو اس طرح ظاہر کر سکتا ہے کہ سلسلہ کے اصول اور کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے مطابق اس کے بعد ایک ہوتا ہے۔ لہذا، γ پر g کا انٹیگرل اصل راستے γ پر منحصر نہیں ہے، بلکہ صرف اس کے اختتامی نکات پر منحصر ہے، جو ہم دکھانا چاہتے ہیں۔ کافییت اگلا ہم یہ دکھاتے ہیں کہ اگر g ہولومورفک ہے، اور کسی بھی راستے پر g کا انٹیگرل صرف اختتامی نکات پر منحصر ہے، تو g کا اینٹی ڈرایکٹو ہوتا ہے۔ ہم واضح طور پر اینٹی ڈیریویٹو ڈھونڈ کر ایسا کریں گے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، ہم یہ فرض کر سکتے ہیں کہ جی کا ڈومین یو جڑا ہوا ہے، بصورت دیگر ہر جڑے ہوئے جزو پر اینٹی ڈرایکٹو کا وجود ثابت کیا جا سکتا ہے۔ اس مفروضے کے ساتھ، U میں ایک نقطہ z0 طے کریں اور U میں کسی بھی z کے لیے اس فنکشن کی وضاحت کریں جہاں γ z0 سے z میں شامل ہونے والا کوئی راستہ ہے۔ اس طرح کا راستہ موجود ہے کیونکہ U کو ایک کھلا منسلک سیٹ سمجھا جاتا ہے۔ فنکشن f اچھی طرح سے متعین ہے کیونکہ انٹیگرل کا انحصار صرف γ کے اختتامی نکات پر ہوتا ہے۔ یہ کہ یہ f، g کا اینٹی ڈرایکٹو ہے، اسی طرح بحث کی جا سکتی ہے جس طرح حقیقی معاملہ ہے۔ ہمارے پاس، U میں دی گئی z کے لیے، کہ z پر مرکوز ایک ڈسک موجود ہونی چاہیے اور مکمل طور پر U کے اندر موجود ہونی چاہیے۔ پھر اس ڈسک کے اندر زیڈ کے علاوہ ہر ڈبلیو کے لیے جہاں [زیڈ، ڈبلیو] زیڈ اور ڈبلیو کے درمیان لکیر کے حصے کو ظاہر کرتا ہے۔ جی کے تسلسل سے، حتمی اظہار صفر پر جاتا ہے جیسے جیسے ڈبلیو زیڈ کے قریب آتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، f′ = g۔ حوالہ جات بیرونی روابط پیچیدہ تجزیہ