Regular category
زمرہ نظریہ میں، ایک باقاعدہ زمرہ ایک زمرہ ہے جس میں محدود حدود اور ایک جوڑے کے مورفزم کے کویکوئلائزر ہوتے ہیں جنہیں دانا جوڑے کہا جاتا ہے، جو کچھ درستگی کے حالات کو پورا کرتے ہیں۔ اس طرح، باقاعدہ زمرے ابیلین زمروں کی بہت سی خصوصیات کو دوبارہ حاصل کرتے ہیں، جیسے تصاویر کا وجود، اضافی ضرورت کے بغیر۔ ایک ہی وقت میں، باقاعدہ زمرے فرسٹ آرڈر منطق کے ایک ٹکڑے کے مطالعہ کے لیے ایک بنیاد فراہم کرتے ہیں، جسے باقاعدہ منطق کہا جاتا ہے۔ تعریف A زمرہ C کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل تین خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: C حتمی طور پر مکمل ہے۔ اگر f: X → Y C میں ایک مورفزم ہے، اور ایک پل بیک ہے، تو p0، p1 کا کویکوالیزر موجود ہے۔ جوڑی (p0، p1) کو f کا دانا جوڑا کہا جاتا ہے۔ پل بیک ہونے کی وجہ سے، دانا جوڑا ایک منفرد آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ اگر f: X → Y C میں ایک مورفزم ہے، اور ایک پل بیک ہے، اور اگر f ایک باقاعدہ ایپیمورفزم ہے، تو g بھی ایک باقاعدہ ایپیمورفزم ہے۔ ایک باقاعدہ ایپی مورفزم ایک ایپی مورفزم ہے جو مورفزم کے کچھ جوڑے کے کویکوئلائزر کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ باقاعدہ زمروں کی مثالوں میں شامل ہیں: سیٹ، سیٹوں کے درمیان سیٹوں اور افعال کا زمرہ زیادہ عام طور پر، ہر ابتدائی ٹوپوس جی آر پی، گروپوں کا زمرہ اور گروپ ہومومورفزم رنگوں اور رنگ ہومومورفزم کا زمرہ زیادہ عام طور پر، کسی بھی قسم کے ماڈلز کا زمرہ ہر باؤنڈڈ میٹ سیمیلیٹس، آرڈر ریلیشن کے ذریعہ دیئے گئے مورفزم کے ساتھ ہر ابیلین زمرہ درج ذیل زمرے باقاعدہ نہیں ہیں: ٹاپ، ٹوپولوجیکل خالی جگہوں اور مسلسل افعال کا زمرہ کیٹ، چھوٹے زمروں کا زمرہ اور فنکٹر ایپی مونو فیکٹرائزیشن ایک باقاعدہ زمرے میں، باقاعدہ ایپی مورفزم اور مونومورفزم ایک فیکٹرائزیشن سسٹم بناتے ہیں۔ ہر مورفزم f: X → Y کو باقاعدہ ایپیمورفزم e: X → E کے بعد مونومورفزم m: E → Y میں فیکٹرائز کیا جا سکتا ہے، تاکہ f = مجھے۔ فیکٹرائزیشن اس لحاظ سے منفرد ہے کہ اگر e ': X → E' ایک اور باقاعدہ ایپیمورفزم ہے اور m ': E' → Y ایک اور مونومورفزم ہے جیسے کہ f = m 'e، تو ایک آئسومورفزم موجود ہے h: E → E' اس طرح کہ وہ = e 'اور m' h = m ہے۔ مونومورفزم m کو f کی شبیہہ کہا جاتا ہے۔ عین مطابق ترتیبات اور باقاعدہ فنکٹر ایک باقاعدہ زمرے میں، فارم کا ایک خاکہ ایک عین مطابق ترتیب کہا جاتا ہے اگر یہ کویکوئلائزر اور دانا جوڑا دونوں ہو۔ اصطلاحات ہومیولوجیکل الجبرا میں عین ترتیبات کی عمومی شکل ہے: ایک ابیلین زمرے میں، ایک خاکہ اس لحاظ سے درست ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب معمول کے لحاظ سے ایک مختصر عین ترتیب ہو۔ باقاعدہ زمروں کے درمیان ایک فنکٹر کو باقاعدہ کہا جاتا ہے، اگر یہ دانے کے جوڑوں کی محدود حدود اور کویکوالیزرز کو محفوظ رکھتا ہے۔ ایک فنکٹر باقاعدہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ محدود حدود اور درست ترتیب کو محفوظ رکھے۔ اس وجہ سے، باقاعدہ فنکٹروں کو بعض اوقات عین مطابق فنکٹر کہا جاتا ہے۔ محدود حدود کو برقرار رکھنے والے افعال کو اکثر درست چھوڑ دیا جاتا ہے۔ باقاعدہ منطق اور باقاعدہ زمرے باقاعدہ منطق فرسٹ آرڈر منطق کا وہ ٹکڑا ہے جو اس فارم کے بیانات کا اظہار کر سکتا ہے جہاں اور باقاعدہ فارمولے ہیں یعنی۔ جوہری فارمولوں سے بنے فارمولے، سچائی مستقل، بائنری ملاقات (امتزاج) اور وجودی مقدار۔ اس طرح کے فارمولوں کی تشریح ایک باقاعدہ زمرے میں کی جا سکتی ہے، اور تشریح ایک ترتیب کا نمونہ ہے، اگر اس کی تشریح کے ذریعے عوامل کی تشریح کی جائے۔ یہ ہر تھیوری (سیکوئنٹس کے سیٹ) ٹی کے لیے اور ہر باقاعدہ زمرہ سی کے لیے سی میں ٹی کے ماڈلز کا ایک زمرہ موڈ (ٹی، سی) دیتا ہے۔ یہ تعمیر ایک فنکٹر موڈ (ٹی،-) دیتی ہے: چھوٹے باقاعدہ زمروں کے زمرے ریگ کیٹ سے ریگ کیٹ → کیٹ اور چھوٹے زمروں کے لیے باقاعدہ فنکٹر۔ یہ ایک اہم نتیجہ ہے کہ ہر نظریہ T کے لیے ایک باقاعدہ زمرہ R (T) ہوتا ہے، اس طرح کہ ہر باقاعدہ زمرہ C کے لیے ایک مساوات ہوتی ہے جو C میں فطری ہے۔ یہاں، R (T) کو باقاعدہ نظریہ T کی درجہ بندی کرنے والا زمرہ کہا جاتا ہے۔ مساوات تک کوئی بھی چھوٹا باقاعدہ زمرہ اس طرح سے کسی باقاعدہ نظریہ کی درجہ بندی کرنے والے زمرے کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ عین مطابق (موثر) زمرے مساوات کے تعلقات کا نظریہ ایک باقاعدہ نظریہ ہے۔ باقاعدہ زمرے کے کسی شے پر مساوات کا تعلق ایک مونومورفزم ہے جو اضطراری، ہم آہنگی اور منتقلی کے حالات کی تشریحات کو مطمئن کرتا ہے۔ ہر دانا جوڑا مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک مساوات کا رشتہ موثر کہا جاتا ہے اگر یہ دانا کے جوڑے کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ مساوات کا رشتہ تب مؤثر ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اس میں کویکوئلائزر ہو اور یہ اس کا دانا جوڑا ہو۔ ایک باقاعدہ زمرہ کو بار کے معنی میں درست، یا درست، یا مؤثر باقاعدہ کہا جاتا ہے، اگر ہر مساوات کا تعلق موثر ہو۔ (نوٹ کریں کہ "عین زمرے" کی اصطلاح بھی کویلن کے معنی میں عین زمروں کے لیے مختلف طریقے سے استعمال ہوتی ہے۔) عین مطابق زمروں کی مثالیں سیٹوں کا زمرہ اس لحاظ سے درست ہے، اور اسی طرح کوئی بھی (ابتدائی) ٹوپوس ہے۔ ہر مساوات کے رشتے میں ایک کویکلائزر ہوتا ہے، جو مساوات کی کلاسیں لے کر پایا جاتا ہے۔ ہر ابیلین زمرہ درست ہے۔ ہر زمرہ جو سیٹوں کے زمرے پر منادیک ہے بالکل درست ہے۔ پتھر کی جگہوں کا زمرہ باقاعدہ ہے، لیکن درست نہیں ہے۔ زمرہ نظریہ میں الگوری (زمرہ نظریہ) ٹوپوس ایکزیکٹ تکمیل حوالہ جات زمرہ جات بھی دیکھیں۔