Pasch's axiom
جیومیٹری میں، پاسچ کا محوریہ طیارہ جیومیٹری میں ایک بیان ہے، جسے یوکلڈ نے مضمر طور پر استعمال کیا ہے، جسے مفروضوں سے اخذ نہیں کیا جا سکتا جیسا کہ یوکلڈ نے انہیں دیا ہے۔ اس کے اہم کردار کو مورٹز پاسچ نے 1882 میں دریافت کیا تھا۔ بیان محور میں کہا گیا ہے کہ، حقیقت یہ ہے کہ AC اور BC دونوں حصے لکیر سے ایک دوسرے کو نہیں کاٹتے ہیں، ضمیمہ I، 1 میں ثابت ہوتا ہے، جسے پی برنیز نے لکھا تھا۔ اس محوریہ کا ایک زیادہ جدید ورژن مندرجہ ذیل ہے: (اگر تیسرا رخ ہماری لکیر کے متوازی ہے، تو ہم "انفنٹی پر چوراہے" کو بیرونی شمار کرتے ہیں۔) محوری کا ایک زیادہ غیر رسمی ورژن اکثر دیکھا جاتا ہے: ہسٹری پاسچ نے یہ محوری 1882 میں شائع کیا، اور ظاہر کیا کہ یوکلڈ کے محوری نام نامکمل تھے۔ محور طیارہ جیومیٹری میں ترتیب کے تصور کو متعارف کرانے کے لیے پاسچ کے نقطہ نظر کا حصہ تھا۔ مساوات ابتدائی جیومیٹری کے دیگر علاج میں، محوریوں کے مختلف سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے، پاسچ کے محوری کو ایک نظریہ کے طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے۔ یہ طیارہ علیحدگی محوری کا نتیجہ ہے جب اسے محوریوں میں سے ایک کے طور پر لیا جاتا ہے۔ ہلبرٹ نے یوکلڈین جیومیٹری کے اپنے محوری علاج میں پاسچ کے محوری کا استعمال کیا ہے۔ ہلبرٹ کے نظام میں باقی محوریوں کو دیکھتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ پاسچ کا محوری منطقی طور پر طیارہ علیحدگی محوری کے مساوی ہے۔ ہلبرٹ کی طرف سے پاسچ کے محور ڈیوڈ ہلبرٹ کا استعمال اپنی کتاب فاؤنڈیشنز آف جیومیٹری میں پاسچ کے محور کا استعمال کرتا ہے جو یوکلڈین جیومیٹری کے لیے ایک محوری بنیاد فراہم کرتا ہے۔ ایڈیشن کے لحاظ سے، اس کی تعداد یا تو II. 4 یا II. 5 ہے۔ اس کا بیان اوپر دیا گیا ہے۔ ہلبرٹ کے علاج میں، یہ محوری ترتیب کے محوریات سے متعلق حصے میں ظاہر ہوتا ہے اور اسے ترتیب کا طیارہ محوری کہا جاتا ہے۔ چونکہ وہ محوری کو مثلث کے اطراف کے لحاظ سے نہیں بیان کرتا ہے (جسے لکیر کے حصوں کے بجائے لکیریں سمجھا جاتا ہے) اس لیے مثلث ABC کے اطراف کے ساتھ لکیر کے اندرونی اور بیرونی چوراہوں کے بارے میں بات کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ کیوٹس پاسچ کا محور پاسچ کے نظریہ سے الگ ہے جو ایک لکیر پر چار نکات کی ترتیب کے بارے میں ایک بیان ہے۔ تاہم، ادب میں ایسی بہت سی مثالیں موجود ہیں جہاں پاسچ کے محوری کو پاسچ تھیوریم کہا جاتا ہے۔ اس کی ایک قابل ذکر مثال ہے۔ پاسچ کے محور کو پروجیکٹو جیومیٹری کے لیے ویبلن-ینگ محور کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جسے اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: ویبلن-ینگ محور کے بیان میں اندرونی اور بیرونی چوراہوں کا کوئی ذکر نہیں ہے جس کا تعلق صرف لائنوں کے ملنے کے واقعات کی خاصیت سے ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹری میں بیچ کا تصور (اندرونی اور بیرونی کی وضاحت کے لیے ضروری) درست نہیں ہے اور تمام لائنیں ملتی ہیں (اس لیے متوازی لائنوں کا مسئلہ پیدا نہیں ہوتا)۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط یوکلڈین طیارہ جیومیٹری جیومیٹری کی بنیادیں