Landau's problems
1912 میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں، ایڈمنڈ لینڈو نے پرائم نمبروں کے بارے میں چار بنیادی مسائل درج کیے۔ ان مسائل کو ان کی تقریر میں "ریاضی کی موجودہ حالت میں ناقابل حملہ" کے طور پر بیان کیا گیا تھا اور اب انہیں لینڈو کے مسائل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ وہ مندرجہ ذیل ہیں: گولڈباخ کا قیاس: کیا 2 سے بڑے ہر یکساں عدد کو دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے؟ جڑواں پرائم قیاس: کیا لامحدود طور پر بہت سے پرائمز p ایسے ہیں کہ p + 2 پرائم ہے؟ لیجنڈری کا قیاس: کیا مسلسل کامل مربعوں کے درمیان ہمیشہ کم از کم ایک پرائم موجود رہتا ہے؟ کیا لامحدود طور پر بہت سے پرائمز p ایسے ہیں کہ p−1 ایک کامل مربع ہے؟ دوسرے لفظوں میں: کیا n2 + 1 کی شکل میں لامحدود تعداد میں پرائمز ہیں؟ چاروں مسائل حل نہیں ہوئے ہیں۔ حل کی طرف پیش رفت گولڈباخ کا قیاس گولڈباخ کا کمزور قیاس، 5 سے زیادہ ہر عجیب عدد کو تین پرائمز کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، گولڈباخ کے قیاس کا نتیجہ ہے۔ ایوان ونوگراڈوف نے اسے 1937 میں کافی بڑے n (ونوگراڈوف کے نظریہ) کے لیے ثابت کیا، اور ہیرالڈ ہیلفگٹ نے اسے 2013 میں گولڈباچ کے کمزور قیاس آرائی کے مکمل ثبوت تک بڑھا دیا۔ چن کا نظریہ، جو گولڈباخ کے قیاس کی ایک اور کمزوری ہے، ثابت کرتا ہے کہ تمام کافی بڑے n کے لیے، جہاں p پرائم ہے اور q یا تو پرائم یا سیمی پرائم ہے۔ بورڈیگنن، جانسٹن، اور سٹاریچکووا نے یامادا کو درست اور بہتر بناتے ہوئے، چن کے نظریہ کا ایک واضح ورژن ثابت کیا: ہر یکساں عدد ایک پرائم کا مجموعہ اور زیادہ سے زیادہ دو پرائمز کا پروڈکٹ ہے۔ بورڈیگنن اور سٹارچکووا نے اسے ڈیرچلیٹ ایل فنکشنز کے لیے جنرلائزڈ ریمن مفروضے کو فرض کرنے تک کم کر دیا۔ جانسن اور سٹاریچکووا ایک نمبر استعمال کرنے کی قیمت پر تمام n> = 4 کے لیے کام کرنے والا ورژن دیتے ہیں جو کہ پرائم یا سیمی پرائم کے بجائے زیادہ سے زیادہ 369 پرائمز کا پروڈکٹ ہے۔ جی آر ایچ کے تحت وہ 369 سے 33 تک بہتر ہوتے ہیں۔ مونٹگمری اور وان نے دکھایا کہ یکساں اعداد کا غیر معمولی مجموعہ جو دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر قابل اظہار نہیں ہے، کثافت صفر کا تھا، حالانکہ سیٹ محدود ثابت نہیں ہوا ہے۔ غیر معمولی سیٹ پر سب سے بہترین موجودہ حدود (کافی بڑے x کے لیے) پنٹز کی وجہ سے، اور RH کے تحت، گولڈسٹن کی وجہ سے ہیں۔ لنیک نے ثابت کیا کہ کافی بڑی یکساں تعداد کو دو پرائمز کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے اور کچھ (غیر موثر) مستقل K 2 کی طاقتوں کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ بہت سی پیشرفتوں کے بعد (جائزہ کے لیے پنٹز دیکھیں)، پنٹز اور روزسا نے اسے K = 8 تک بہتر بنایا۔ جی آر ایچ پر اسے K = 7 تک بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ جڑواں پرائم قیاس یتانگ ژانگ نے ظاہر کیا کہ 70 ملین سے محدود فرق کے ساتھ لامحدود طور پر بہت سے پرائم جوڑے ہیں، اور اس نتیجے کو پولی میتھ پروجیکٹ کی باہمی تعاون کی کوشش سے 246 لمبائی کے فرق تک بہتر بنایا گیا ہے۔ عمومی ایلیٹ-ہالبرسٹم قیاس آرائی کے تحت اسے بہتر بنا کر 6 کر دیا گیا، جس سے مینارڈ اور گولڈسٹن، پنٹز اور یلدرم کے پہلے کام میں توسیع ہوئی۔ چن نے دکھایا کہ لامحدود طور پر بہت سے پرائمز p (جنہیں بعد میں چن پرائمز کہا گیا) ایسے ہیں کہ p + 2 یا تو پرائم یا سیمی پرائم ہے۔ لیجنڈری کا قیاس یہ چیک کرنا کافی ہے کہ p سے شروع ہونے والا ہر پرائم گیپ اس سے چھوٹا ہے۔ زیادہ سے زیادہ پرائم گیپس کی میز سے پتہ چلتا ہے کہ قیاس 264 ≈ 1.8 ہے۔ اس سائز کے قریب ایک جوابی مثال کے لیے اوسط فرق سے سو ملین گنا بڑا فرق درکار ہوگا۔ جاروینیمی، ہیتھ براؤن اور میٹوماکی میں بہتری لاتے ہوئے، ظاہر کرتا ہے کہ زیادہ تر غیر معمولی پرائمز کے بعد ان سے بڑے گیپس ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، انگھم کی وجہ سے ہونے والے نتیجے سے پتہ چلتا ہے کہ ہر بڑے کافی n کے درمیان اور اس کے لیے ایک پرائم ہے۔ قریب مربع پرائمز لینڈو کے چوتھے مسئلے میں پوچھا گیا کہ کیا لامحدود تعداد میں ایسے پرائمز ہیں جو انٹیجر n کی شکل کے ہیں۔ (اس شکل کے معروف پرائمز کی فہرست ہے۔) اس طرح کے لامحدود بہت سے پرائمز کا وجود دیگر نمبر تھیوریٹک قیاس آرائیوں جیسے بنیکووسکی قیاس آرائی اور بیٹ مین ہارن قیاس آرائی کے نتیجے میں ہوگا۔ یہ مسئلہ کھلا ہے۔ قریب مربع پرائمز کی ایک مثال فرمیٹ پرائمز ہیں۔ ہنریک ایوانیک نے دکھایا کہ زیادہ سے زیادہ دو بنیادی عوامل کے ساتھ شکل کی لامحدود تعداد موجود ہیں۔ اینکینی اور کوبیلیس نے ثابت کیا کہ، ہیک حروف پر ایل فنکشنز کے لیے توسیعی ریمن مفروضے کو فرض کرتے ہوئے، اس کے ساتھ شکل کے لامحدود طور پر بہت سے پرائم ہیں۔ لینڈو کا قیاس مضبوط لوگوں کے لیے ہے۔ بہترین غیر مشروط نتیجہ ہرمن اور لیوس کی وجہ سے ہے اور یہ دیتا ہے۔ میریکوسکی نے پچھلے کاموں میں بہتری لاتے ہوئے دکھایا کہ فارم کی لامحدود تعداد موجود ہے جس میں کم از کم سب سے بڑا پرائم فیکٹر ہے۔ ایکسپوینٹ کو 2 سے تبدیل کرنے سے لینڈو کا قیاس سامنے آئے گا۔ فریڈ لینڈر-آئونیک تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ لامحدود طور پر بہت سے پرائم اس شکل کے ہوتے ہیں۔ بایر اور زاؤ ثابت کرتے ہیں کہ شکل کے لامحدود طور پر بہت سے پرائمز ہیں۔ ایکسپوینٹ کو ایل فنکشنز کے لیے جنرلائزڈ ریمن مفروضے کے تحت اور ایک مخصوص ایلیٹ-ہالبرسٹم قسم کے مفروضے کے تحت بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ برن چھلنی شکل والے پرائمز کی کثافت پر ایک اوپری حد قائم کرتی ہے: اس طرح کے پرائمز ہیں۔ اس لیے شکل کے تقریبا تمام اعداد مرکب ہوتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں ریاضی میں حل نہ ہونے والے مسائل کی فہرست ہلبرٹ کے مسائل نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط بنیادی اعداد کے بارے میں قیاس آرائیاں نمبر تھیوری میں حل نہ ہونے والے مسائل