Congruence lattice problem
ریاضی میں، ہم آہنگی جالی کا مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ کیا ہر الجبرائی تقسیم شدہ جالی کسی اور جالی کے ہم آہنگی جالی کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ مسئلہ رابرٹ پی دل ورتھ نے پیش کیا تھا، اور کئی سالوں تک یہ جالی کے نظریہ میں سب سے مشہور اور دیرینہ کھلے مسائل میں سے ایک تھا۔ اس کا جالی کے نظریہ کی نشوونما پر گہرا اثر پڑا۔ یہ قیاس کہ ہر تقسیم شدہ جالی ایک ہم آہنگ جالی ہے، زیادہ سے زیادہ α1 کمپیکٹ عناصر والے تمام تقسیم شدہ جالی کے لیے درست ہے، لیکن ایف ویرونگ نے کوراتووسکی کے فری سیٹ تھیوریم پر مبنی تعمیر کا استعمال کرتے ہوئے α2 کمپیکٹ عناصر کے ساتھ تقسیم شدہ جالی کے لیے ایک جوابی مثال فراہم کی۔ ابتدائی ہم کون اے کے ذریعے الجبرا اے کی ہم آہنگی جالی کی نشاندہی کرتے ہیں، یعنی شمولیت کے تحت اے کی تمام ہم آہنگی کی جالی۔ مندرجہ ذیل ایک عالمگیر الجبرائی چھوٹی بات ہے۔ یہ کہتا ہے کہ ہم آہنگی کے لیے، حتمی طور پر پیدا ہونا ایک جالی-نظریاتی خاصیت ہے۔ لیما۔ الجبرہ اے کی ہم آہنگی حتمی طور پر اس صورت میں پیدا ہوتی ہے جب یہ کون اے کا کمپیکٹ عنصر ہو۔ چونکہ الجبرا کی ہر ہم آہنگی اس کے نیچے حتمی طور پر پیدا شدہ ہم آہنگی کا جوڑ ہے (مثال کے طور پر، کسی ماڈیول کا ہر ذیلی ماڈیول اس کے تمام حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی ماڈیولز کا اتحاد ہے)، ہم مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کرتے ہیں، جسے سب سے پہلے برخوف اور فرینک نے 1948 میں شائع کیا تھا۔ نظریہ (برخوف اور فرینک 1948)۔ کسی بھی الجبرا اے کی ہم آہنگی جالی کون اے ایک الجبرائی جالی ہے۔ اگرچہ جالی کے ہم آہنگی گروہوں، ماڈیولز، بجتوں کے مقابلے میں کچھ کھو دیتے ہیں (ان کی شناخت کائنات کے ذیلی سیٹوں سے نہیں کی جا سکتی)، لیکن ان کی ایک خاصیت بھی ہے جو ابھی تک سامنے آنے والے دیگر تمام ڈھانچوں میں منفرد ہے۔ نظریہ (فنیاما اور ناکیاما 1942)۔ کسی بھی جالی کی ہم آہنگ جالی تقسیم کرنے والی ہوتی ہے۔ یہ کہتا ہے کہ کسی دی گئی جالی کے کسی بھی ہم آہنگی α، β، اور γ کے لیے α (β) = (α) β (α). اس نتیجے کا ینالاگ ناکام ہو جاتا ہے، مثال کے طور پر، ماڈیولز کے لیے، جیسا کہ، ایک اصول کے طور پر، کسی دیئے گئے ماڈیول کے ذیلی ماڈیولز A، B، C کے لیے۔ اس نتیجے کے فورا بعد، دل ورتھ نے مندرجہ ذیل نتیجہ ثابت کیا۔ انہوں نے نتیجہ شائع نہیں کیا لیکن یہ ایک مشق کے طور پر ظاہر ہوتا ہے جس کا سہرا انہیں برخوف 1948 میں دیا گیا تھا۔ پہلا شائع شدہ ثبوت گرٹزر اور شمٹ 1962 میں ہے۔ نظریہ (دل ورتھ ≈ 1940، گرٹزر اور شمٹ 1962)۔ ہر محدود تقسیم شدہ جالی کسی محدود جالی کے ہم آہنگی جالی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ یہ مشاہدہ کرنا ضروری ہے کہ گرٹزر اور شمٹ کے ثبوت میں پایا جانے والا حل جالی جزوی طور پر مکمل ہوتا ہے، یعنی اس میں کم سے کم عنصر ہوتا ہے (کسی بھی محدود جالی کے لیے درست) اور تمام عناصر a ≤ b کے لیے ایک عنصر x موجود ہوتا ہے جس میں a ≤ x = b اور a ≤ x = 0 ہوتا ہے۔ یہ اس مقالے میں بھی ہے کہ سی ایل پی کو سب سے پہلے شائع شدہ شکل میں بیان کیا گیا ہے، حالانکہ ایسا لگتا ہے کہ سی ایل پی کی ابتدائی کوششیں خود دل ورتھ نے کی تھیں۔ محدود جالی کے ہم آہنگ جالی کو بہت زیادہ توجہ دی گئی ہے، جس کے لیے ایک حوالہ گریٹزر کا 2005 کا مونوگراف ہے۔ ہم آہنگی جالی کا مسئلہ (سی ایل پی): کیا ہر تقسیم شدہ الجبرائی جالی کسی جالی کے ہم آہنگی جالی کے لیے آئسومورفک ہے؟ مسئلہ سی ایل پی جالی کے نظریہ کے سب سے زیادہ دلچسپ اور طویل ترین کھلے مسائل میں سے ایک رہا ہے۔ عالمگیر الجبرا کے کچھ متعلقہ نتائج درج ذیل ہیں۔ نظریہ (گرٹزر اور شمٹ 1963)۔ ہر الجبرائی جالی کسی الجبرہ کے ہم آہنگی جالی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ ویکٹر اسپیس V کی تمام ذیلی جگہوں کا لیٹس سب V یقینی طور پر ایک الجبرائی لیٹس ہے۔ جیسا کہ اگلا نتیجہ ظاہر کرتا ہے، ان الجبرائی جالی کی نمائندگی کرنا مشکل ہے۔ نظریہ (فریز، لیمپے، اور ٹیلر 1979)۔ فرض کریں کہ V ایک بے شمار فیلڈ F پر ایک لامحدود جہتی ویکٹر اسپیس ہے۔ پھر کون A سے سب V تک آئسومورفک کا مطلب ہے کہ A میں کسی بھی الجبرا A کے لیے کم از کم کارڈ F آپریشنز ہوتے ہیں۔ چونکہ V لامحدود جہتی ہے، اس لیے سب V کا سب سے بڑا عنصر (اکائی) کمپیکٹ نہیں ہے۔ اگرچہ یہ بے ضرر لگتا ہے، کمپیکٹ یونٹ کا مفروضہ مندرجہ بالا نتیجہ کے بیان میں ضروری ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل نتیجہ سے ظاہر ہوتا ہے۔ نظریہ (لیمپے 1982)۔ کمپیکٹ یونٹ کے ساتھ ہر الجبرائی جالی کسی گروپائڈ کے ہم آہنگی جالی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ سی ایل پی کی سیمی لیٹس تشکیل الجبرہ اے کی ہم آہنگی جالی کون اے ایک الجبرائی جالی ہے۔ کون اے کے کمپیکٹ عناصر کی (ष्ण، 0)-سمیلیٹیس کو کونک اے سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اسے بعض اوقات اے کی ہم آہنگی سیمیلیٹیس کہا جاتا ہے۔ پھر کون اے، کون اے کے مثالی جالی کے لیے آئسومورفک ہے۔ جیسا کہ یہاں بیان کیا گیا ہے، تمام کے زمرے کے درمیان کلاسیکی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے اور تمام الجبرائی جالی کے زمرے (مورفزم کی مناسب تعریفوں کے ساتھ)، ہم سی ایل پی کی درج ذیل سیمی لیٹیس-نظریاتی تشکیل حاصل کرتے ہیں۔ سی ایل پی کی سیمی لیٹس تھیوریٹیکل فارمولیشن: کیا ہر ڈسٹری بیوٹو (0)-سیمی لیٹس کسی لیٹس کے ہم آہنگی سیمی لیٹس کے لیے آئسومورفک ہے؟ فرض کریں کہ ایک ڈسٹری بیوٹو (0)-سیمی لیٹس قابل نمائندگی ہے، اگر یہ کنک ایل کے لیے آئسومورفک ہے، تو کچھ لیٹس ایل کے لیے۔ لہذا سی ایل پی پوچھتا ہے کہ کیا ہر ڈسٹری بیوٹو (0)-سیمی لیٹس قابل نمائندگی ہے۔ اس مسئلے کے ارد گرد کی بہت سی تحقیقات میں سیمی لیٹس یا الجیبرا کے خاکے شامل ہیں۔ ان کے بارے میں سب سے مفید لوک داستانوں کا نتیجہ درج ذیل ہے۔ نظریہ۔ فنکٹر کونک، جو کسی دیئے گئے دستخط کے تمام الجبرا پر بیان کیا گیا ہے، تمام (′، 0)-سیمیلیٹس کے لیے، براہ راست حدود کو محفوظ رکھتا ہے۔ تقسیم کرنے والے جوڑے ہومومورفزم کے ذریعے شمٹ کا نقطہ نظر ہم کہتے ہیں کہ a (′، 0)-سمیلیٹس شمٹ کی حالت کو مطمئن کرتا ہے، اگر یہ B کے کچھ تقسیم کرنے والے جوڑے کے ہم آہنگی کے تحت عام بولین سیمیلیٹس B کے حصص کے لیے آئسومورفک ہے۔ نمائندگی کے بارے میں سب سے گہرے نتائج میں سے ایک درج ذیل ہے۔ نظریہ (شمٹ 1968)۔ شمٹ کی حالت کو مطمئن کرنے والا کوئی بھی (ष्ण، 0)-سمیلیٹیس قابل نمائندگی ہے۔ اس سے مندرجہ ذیل مسئلہ پیدا ہوا، جو اسی مقالے میں بیان کیا گیا تھا۔ مسئلہ 1 (شمٹ 1968)۔ کیا کوئی (0)-سمیلیٹس شمٹ کی حالت کو پورا کرتا ہے؟ جزوی مثبت جوابات درج ذیل ہیں۔ نظریہ (شمٹ 1981)۔ صفر کے ساتھ ہر تقسیم شدہ جالی شمٹ کی حالت کو مطمئن کرتی ہے ؛ اس طرح یہ قابل نمائندگی ہے۔ فورسنگ اور بولین ویلیو والے ماڈلز کا استعمال کرتے ہوئے، ایک بہت طویل اور تکنیکی ثبوت کے ذریعے، اس نتیجے کو مزید بہتر بنایا گیا ہے۔ نظریہ (ویرونگ 2003)۔ تقسیم کرنے والی جالی کی گنتی کے قابل ترتیب کی ہر براہ راست حد جس میں صفر اور (0، 0)-ہومومورفزم قابل نمائندگی ہیں۔ نمائندگی کے دیگر اہم نتائج سیمی لیٹس کی کارڈینیلیٹی سے متعلق ہیں۔ 1985 میں ہن کے انتقال کے بعد ڈوبرٹن نے مندرجہ ذیل نتیجہ اشاعت کے لیے تیار کیا تھا۔ یہ دونوں متعلقہ مقالے 1989 میں شائع ہوئے تھے۔ نظریہ (ہن 1985)۔ زیادہ سے زیادہ α1 پر کارڈینالیٹی کا ہر تقسیم (′، 0)-سمیلیٹیس شمٹ کی حالت کو مطمئن کرتا ہے۔ اس طرح یہ قابل نمائندگی ہے۔ مختلف طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے، ڈوبرٹن کو درج ذیل نتیجہ ملا۔ نظریہ (ڈوبرٹن 1986)۔ ہر ڈسٹری بیوٹو (0)-سمیلیٹیس جس میں ہر پرنسپل آئیڈیل زیادہ سے زیادہ قابل گنتی ہو قابل نمائندگی ہے۔ مسئلہ 2 (ڈوبرٹن 1983)۔ کیا ہر کونکل ریفائنمنٹ مونوئڈ قابل پیمائش ہے؟ پڈلاک کا نقطہ نظر ؛ (0)-سمیلیٹیس کے خاکے اٹھانا پڈلاک کے 1985 کے مقالے میں تجویز کردہ سی ایل پی کا نقطہ نظر مختلف ہے۔ یہ پڈلک کے 1985 کے مقالے میں درج ذیل نتیجہ، حقیقت 4، صفحہ 100 پر مبنی ہے، جو اس سے پہلے یوری ایل ایرشوف نے اپنے 1977 کے مونوگراف کے تعارف کے سیکشن 3 میں مرکزی نظریہ کے طور پر حاصل کیا تھا۔ نظریہ (ایرشوف 1977، پڈلک 1985)۔ ہر ڈسٹری بیوٹو (0، 0)-سیمی لیٹس اس کے محدود ڈسٹری بیوٹو (0، 0)-سب سیمی لیٹس کا ہدایت شدہ اتحاد ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ڈسٹری بیوٹو S میں ہر محدود سب سیٹ S کے کسی محدود ڈسٹری بیوٹو S میں موجود ہوتا ہے۔ اب ہم ایک دی گئی ڈسٹری بیوٹو S کی نمائندگی کرنے کی کوشش کر رہے ہیں، کسی جالی L کے لیے، کونک L کے طور پر۔ S کو محدود ڈسٹری بیوٹو L کے ڈائریکٹڈ یونین کے طور پر لکھتے ہوئے، ہم ہر Si کو جالی ہم آہنگی کے ساتھ جالی Li کے ہم آہنگی جالی کے طور پر پیش کرنے کی امید کر رہے ہیں۔ Li → Lj، I میں i ≤ j کے لیے، اس طرح کہ تمام کا خاکہ۔ اگر ایسا کیا جا سکتا ہے، تو، جیسا کہ ہم نے دیکھا ہے کہ کنک فنکٹر براہ راست حدود کو محفوظ رکھتا ہے، براہ راست حد مطمئن ہوتی ہے۔ اگرچہ یہ مسئلہ کہ آیا یہ عام طور پر کیا جا سکتا ہے تقریبا 20 سالوں تک کھلا رہا، پڈلک اسے صفر کے ساتھ تقسیم کرنے والی جالی کے لیے ثابت کر سکتا تھا، اس طرح شمٹ کے نتائج میں سے ایک کو فنکٹوریئل حل فراہم کر کے بڑھا سکتا تھا۔ نظریہ (پڈلاک 1985)۔ فنکٹر کو محفوظ رکھنے کی ایک براہ راست حدود موجود ہیں، صفر اور 0-جالی کے ساتھ تمام تقسیم شدہ جالی کے زمرے سے لے کر صفر اور 0-جالی کے ساتھ تمام جالی کے زمرے تک، جیسے کہ کونسی قدرتی طور پر شناخت کے مساوی ہے۔ مزید برآں، φ (S) ایک محدود ایٹمسٹک جالی ہے، کسی بھی محدود تقسیم (0)-سیمی لیٹس S کے لیے۔ اس نتیجے کو مزید بہتر بنایا گیا ہے، اس سے بھی کہیں زیادہ پیچیدہ تعمیر کے ذریعے، مقامی طور پر محدود، 2004 اور 2006 میں روزیکا کے ذریعہ سیکشنل تکمیل شدہ ماڈیولر جالی تک۔ پڈلاک نے 1985 میں پوچھا کہ کیا اس کے اوپر دیے گئے نتائج کو تقسیم کے پورے زمرے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہ مسئلہ اس وقت تک کھلا رہا جب تک کہ اسے حال ہی میں توما اور ویرونگ نے منفی طور پر حل نہیں کیا۔ نظریہ (ٹما اور ویرونگ 2006)۔ ایک ڈائیگرام D موجود ہے جس میں محدود بولین (، 0)-سیمیلیٹس اور (، 0,1)-ایمبیڈنگز موجود ہیں، جنہیں ایک محدود جزوی ترتیب والے سیٹ کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے، جسے کنک فنکٹر کے حوالے سے، لیٹیس اور لیٹیس ہومومورفزم کے کسی بھی ڈائیگرام کے ذریعے نہیں اٹھایا جا سکتا۔ خاص طور پر، اس سے فوری طور پر یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سی ایل پی کا کوئی فعال حل نہیں ہے۔ مزید برآں، یہ 1998 کے یونیورسل الجبرا کے گہرے نتائج کی پیروی کرتا ہے جسے کیرنس اور زینڈری نے اقسام کے نام نہاد کمیونیٹیٹر تھیوری میں بتایا ہے کہ مندرجہ بالا نتیجہ کو تمام جالی کی مختلف اقسام سے بڑھا کر کسی بھی قسم تک بڑھایا جا سکتا ہے تاکہ تمام کون اے، کے لیے، دستخط میں ایک مقررہ غیر معمولی شناخت کو مطمئن کریں۔ ہمیں یہ بھی ذکر کرنا چاہیے کہ سی ایل پی میں بہت سی کوششیں بھی مندرجہ ذیل نتائج پر مبنی تھیں، سب سے پہلے 1978 میں بلمین-فلیمنگ اور میک ڈویل نے شینن کے 1974 کے ایک واضح نتیجہ کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا، براہ راست دلیل کے لیے 2001 میں گڈیرل اور ویرونگ بھی دیکھیں۔ نظریہ (بلمن-فلیمنگ اور میک ڈویل 1978)۔ ہر ڈسٹری بیوٹو (0، 0)-سیمی لیٹس محدود بولین (0، 0)-سیمی لیٹس اور (0، 0)-ہومومورفزم کی براہ راست حد ہے۔ یہ مشاہدہ کیا جانا چاہیے کہ اگرچہ ایرشوف-پوڈلاک تھیوریم میں استعمال ہونے والے ٹرانزیشن ہومومورفزم (0)-ایمبیڈنگز ہیں، لیکن مذکورہ بالا نتیجہ میں استعمال ہونے والے ٹرانزیشن ہومومورفزم ضروری نہیں کہ ون ٹو ون ہوں، مثال کے طور پر جب کوئی تین عناصر کی زنجیر کی نمائندگی کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ عملی طور پر یہ زیادہ پریشانی کا باعث نہیں بنتا، اور مندرجہ ذیل نتائج کو ثابت کرنا ممکن بناتا ہے۔ نظریہ۔ زیادہ سے زیادہ α1 پر کارڈینالیٹی کا ہر ڈسٹری بیوٹو (ऱ्، 0)-سمیلیٹیس (1) کونک ایل کے لیے آئسومورفک ہے، کچھ مقامی طور پر محدود، نسبتا تکمیل شدہ ماڈیولر لیٹیس ایل (ٹما 1998 اور گرٹزر، لکسر، اور ویرونگ 2000) کے لیے۔ (2) کچھ (ضروری نہیں کہ یک جہتی) وان نیومن ریگولر رنگ (ویرونگ 2000) کے حتمی طور پر پیدا شدہ دو طرفہ آئیڈیلز کا سیمی لیٹس۔ (3) کنک ایل، کچھ جزوی طور پر تکمیل شدہ ماڈیولر لیٹس ایل (ویرونگ 2000) کے لیے۔ (4) کچھ مقامی طور پر محدود گروپ (روزیکا، توما، اور ویرونگ 2007) کے حتمی طور پر تیار کردہ عام ذیلی گروپوں کا سیمی لیٹس۔ (5) کسی دائیں ماڈیول کا ذیلی ماڈیول جالی (غیر مواصلاتی) رنگ (ریوزیکا، توما، اور ویرونگ 2007) پر۔ ہم یاد کرتے ہیں کہ ایک (یونیٹل، ایسوسی ایٹیو) رنگ R کے لیے، ہم V (R) سے حتمی طور پر پیدا شدہ پروجیکٹو دائیں R-ماڈیولز کی آئسومورفزم کلاسوں کے (مخروطی، تبادلہ) مونوئڈ کی نشاندہی کرتے ہیں، مزید تفصیلات کے لیے یہاں دیکھیں۔ یاد رکھیں کہ اگر R وان نیومن باقاعدہ ہے، تو V (R) ایک ریفائنمنٹ مونوئڈ ہے۔ آئی ڈی سی آر کے ذریعے آر کے حتمی طور پر پیدا شدہ دو رخا آئیڈیلز کی (0، 0)-سمیلیٹیس کو ظاہر کریں۔ ہم ایل (آر) کے ذریعے وان نیومن باقاعدہ رنگ آر کے تمام پرنسپل رائٹ آئیڈیلز کی جالی کو ظاہر کرتے ہیں۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ ایل (آر) ایک مکمل ماڈیولر جالی ہے۔ مندرجہ ذیل نتیجہ ویرونگ نے مشاہدہ کیا، جو بنیادی طور پر جانسن اور گڈیرل کے پہلے کاموں پر مبنی تھا۔ نظریہ (ویرونگ 1999)۔ R کو ایک وان نیومن باقاعدہ رنگ ہونے دیں۔ پھر (0)-سیمی لیٹس آئی ڈی سی آر اور کونک ایل (آر) دونوں وی (آر) کے زیادہ سے زیادہ سیمی لیٹس کوٹینٹ کے لیے آئسومورفک ہیں۔ برگمین نے 1986 کے ایک معروف غیر شائع شدہ نوٹ میں ثابت کیا ہے کہ زیادہ سے زیادہ قابل گنتی تقسیم (0)-سمیلیٹس آئی ڈی سی آر کے لیے آئسومورفک ہے، کچھ مقامی طور پر میٹرک رنگ آر (کسی بھی فیلڈ پر) کے لیے۔ یہ نتیجہ ویرونگ کے ذریعہ 2000 میں زیادہ سے زیادہ اے 1 پر کارڈینالیٹی کے سیمی لیٹیسیس تک بڑھایا گیا ہے، صرف آر کی باقاعدگی کو برقرار رکھتے ہوئے (ثبوت کے ذریعہ بنائی گئی انگوٹی مقامی طور پر میٹرک نہیں ہے)۔ یہ سوال کہ آیا اے 1 کیس میں آر کو مقامی طور پر میٹرک لیا جا سکتا ہے، کچھ عرصے تک کھلا رہا، یہاں تک کہ 2004 میں ویرونگ نے اسے مسترد کر دیا۔ مندرجہ بالا نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے جالی کی دنیا میں واپس ترجمہ کرنے اور V (R) کی تعمیر کے جالی-نظریاتی ینالاگ کا استعمال کرتے ہوئے، جسے طول و عرض مونوئڈ کہا جاتا ہے، جسے 1998 میں ویرونگ نے متعارف کرایا تھا، مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کرتا ہے۔ نظریہ (ویرونگ 2004)۔ کسی بھی ماڈیولر جالی L کے لیے، جس کی ہر حتمی طور پر پیدا شدہ ذیلی جالی کی لمبائی محدود ہوتی ہے، کارڈینالیٹی α1 کی ایک تقسیم (ष्ण، 0,1)-سمیلیٹیس موجود ہے جو کنک L کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ مسئلہ 3 (گڈیرل 1991)۔ کیا آرڈر یونٹ کے ساتھ کسی جہتی گروپ کا مثبت شنک V (R) کے لیے آئسومورفک ہے، کچھ وان نیومن باقاعدہ رنگ R کے لیے؟ کوراتووسکی کے فری سیٹ تھیوریم کا پہلا اطلاق مذکورہ بالا مسئلہ 1 (شمٹ)، مسئلہ 2 (ڈوبرٹن)، اور مسئلہ 3 (گڈیرل) کو 1998 میں بیک وقت منفی میں حل کیا گیا تھا۔ نظریہ (ویرونگ 1998)۔ آرڈر یونٹ کے ساتھ عقلی پر ایک جہتی ویکٹر اسپیس G موجود ہے جس کا مثبت شنک G + کسی بھی وان نیومن باقاعدہ رنگ R کے لیے V (R) کے لیے آئسومورفک نہیں ہے، اور ڈوبرٹن کے معنوں میں قابل پیمائش نہیں ہے۔ مزید برآں، G + کا زیادہ سے زیادہ سیمی لیٹس کا حصہ شمٹ کی حالت کو پورا نہیں کرتا ہے۔ مزید برآں، جی کو اے 2 سے زیادہ یا اس کے برابر کسی بھی دی گئی کارڈینالیٹی سے لیا جا سکتا ہے۔ یہ شمٹ، ہن، ڈوبرٹن، گڈیرل، اور ہینڈل مین کے پہلے ذکر کردہ کاموں سے ملتا ہے کہ اوپر دیے گئے تینوں منفی نتائج میں اے 2 باؤنڈ بہترین ہے۔ جیسا کہ اے 2 باؤنڈ سے پتہ چلتا ہے، لامحدود امتزاج شامل ہیں۔ استعمال شدہ اصول کوراتووسکی کا فری سیٹ تھیوریم ہے، جو پہلی بار 1951 میں شائع ہوا تھا۔ یہاں صرف کیس n = 2 استعمال کیا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا نتیجہ کا سیمی لیٹس حصہ ایک لامحدود سیمی لیٹس-نظریاتی بیان یو آر پی (یونیفارم ریفائنمنٹ پراپرٹی) کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ اگر ہم شمٹ کے مسئلے کو غلط ثابت کرنا چاہتے ہیں، تو خیال یہ ہے کہ (1) یہ ثابت کرنا کہ کوئی بھی عمومی بولین سیمی لیٹس یو آر پی کو مطمئن کرتا ہے (جو آسان ہے)، (2) کہ یو آر پی کو ہومومورفک امیج کے تحت کمزور ڈسٹری بیوٹو ہومومورفزم کے تحت محفوظ کیا گیا ہے (جو بھی آسان ہے)، اور (3) کہ ایک ڈسٹری بیوٹو موجود ہے جو یو آر پی کو مطمئن نہیں کرتا ہے (جو مشکل ہے، اور کوراتووسکی کے فری سیٹ تھیوریم کا استعمال کرتا ہے)۔ ریاضیاتی طور پر، مندرجہ بالا تھیوریم کی تعمیر کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ایک سیٹ ω کے لیے، ہم جزوی طور پر ترتیب شدہ ویکٹر اسپیس E (ω) پر غور کرتے ہیں جس کی وضاحت جنریٹر 1 کے ذریعے کی گئی ہے اور i، x، i <2 کے لیے اور x، ω میں، اور تعلقات a0، x + a1، x = 1، a0، x ω0، اور a1، x ω0، ω میں کسی بھی x کے لیے۔ جہتی گروپوں کے نظریہ کی اسکولیمائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ہم E (ω) کو ایک جہتی ویکٹر اسپیس F (ω) میں فنکٹوریل طور پر سرایت کر سکتے ہیں۔ مندرجہ بالا تھیوریم کی ویکٹر اسپیس کاؤنٹر مثال G = F (ω) ہے، کم از کم α2 عناصر والے کسی بھی سیٹ ω کے لیے۔ اس جوابی مثال کو بعد میں پلوسکیکا اور توما نے براہ راست سیمی لیٹس کی تعمیر میں تبدیل کیا ہے۔ a (′, 0)-سیمی لیٹس کے لیے، بڑا سیمی لیٹس R (S) (′, 0)-سیمی لیٹس آزادانہ طور پر نئے عناصر t (a, b, c) کے ذریعے پیدا ہوتا ہے، a، b، c کے لیے S میں اس طرح کہ c ≤ a ′ b، صرف c = t (a, b, c) ′ t (b, a, c) اور t (a, b, c) ≤ a تعلقات کے تابع ہوتا ہے۔ اس تعمیر کو دہرانے سے S کی آزاد تقسیم کی توسیع ملتی ہے۔ اب، ایک سیٹ ′ کے لیے، L (′) کو (′, 0)-سیمی لیٹس ہونے دیں جس کی وضاحت جنریٹر 1 اور a کے ذریعے کی گئی ہے۔ آخر میں، G (ω) = D (L (ω)) ڈالیں۔ زیادہ تر متعلقہ کاموں میں، مندرجہ ذیل یکساں ریفائنمنٹ پراپرٹی کا استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ 1998 اور 1999 میں ویرونگ کی طرف سے متعارف کرائی گئی ترمیم ہے۔ تعریف (پلوشیکا، توما، اور ویرونگ 1998)۔ ہم کہتے ہیں کہ کمزور یکساں ریفائنمنٹ پراپرٹی WURP e پر برقرار رہتی ہے، اگر S میں موجود تمام خاندانوں اور عناصر کے لیے ایسے کہ i میں موجود تمام i کے لیے ai ष्णب = e، S کے عناصر کا ایک خاندان اس طرح موجود ہے کہ تعلقات ष्णب ci، j ≤ ai، bj، ष्णب ci، j ≤ aj ष्णب = e، ष्णب ci، k ≤ ci، j ष्णب cj، k I میں موجود تمام i، j، k کے لیے ہولڈ کریں۔ ہم کہتے ہیں کہ ایس ڈبلیو یو آر پی کو مطمئن کرتا ہے، اگر ڈبلیو یو آر پی ایس کے ہر عنصر پر برقرار رہتا ہے۔ طول و عرض ویکٹر خالی جگہوں پر ویرونگ کے مذکورہ بالا کام کی بنیاد پر، پلوسیکا اور توما نے ثابت کیا کہ ڈبلیو یو آر پی کم از کم α2 کارڈینالیٹی کے کسی بھی سیٹ ω کے لیے جی (ω) میں نہیں رکھتا ہے۔ لہذا G (ω) شمٹ کی شرط کو پورا نہیں کرتا ہے۔ یہاں مذکور تمام منفی نمائندگی کے نتائج ہمیشہ کچھ یکساں ریفائنمنٹ پراپرٹی کا استعمال کرتے ہیں، بشمول جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے بارے میں پہلا۔ تاہم، ان منفی نتائج میں استعمال ہونے والے سیمی لیٹس نسبتا پیچیدہ ہیں۔ مندرجہ ذیل نتیجہ، جسے 1998 میں پلوسکیکا، توما اور ویرونگ نے ثابت کیا، زیادہ حیرت انگیز ہے، کیونکہ یہ قابل نمائندگی سیمی لیٹس کی مثالیں دکھاتا ہے جو شمٹ کی حالت کو پورا نہیں کرتے ہیں۔ ہم کسی بھی قسم کے V جالی کے لیے، FV (ω) سے V میں ω پر آزاد جالی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ نظریہ (پلوشیکا، توما، اور ویرونگ 1998)۔ سیمی لیٹیس کونک ایف وی (ω) ڈبلیو یو آر پی کو مطمئن نہیں کرتا، کم از کم α2 کارڈینالیٹی کے کسی بھی سیٹ کے لیے اور لیٹیس کی کسی بھی غیر تقسیم شدہ قسم V کے لیے۔ نتیجتا، کونک ایف وی (ω) شمٹ کی حالت کو پورا نہیں کرتا ہے۔ یہ 2001 میں توما اور ویرونگ کی طرف سے ثابت کیا گیا ہے کہ کونک ایف وی (ω) کونک ایل کے لیے آئسومورفک نہیں ہے، کسی بھی جالی ایل کے لیے جو مستقل ہم آہنگی کے ساتھ ہو۔ ڈبلیو یو آر پی کے قدرے کمزور ہونے کا استعمال کرتے ہوئے، اس نتیجے کو 2007 میں روزیکا، توما، اور ویرونگ کے ذریعہ پرموٹیبل ہم آہنگی کے ساتھ صوابدیدی الجبرا تک بڑھایا گیا ہے۔ لہذا، مثال کے طور پر، اگر ω میں کم از کم α2 عناصر ہیں، تو کونک ایف وی (ω) کسی بھی گروپ کے عام ذیلی گروپ جالی، یا کسی بھی ماڈیول کے ذیلی ماڈیول جالی کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ سی ایل پی کو حل کرنا: کٹاؤ لیما مندرجہ ذیل حالیہ نظریہ سی ایل پی کو حل کرتا ہے۔ نظریہ (ویرونگ 2007)۔ سیمی لیٹس G (ω) کسی بھی لیٹس L کے لیے کونک L کے لیے آئسومورفک نہیں ہے، جب بھی سیٹ ω میں کم از کم αω + 1 عناصر ہوں۔ لہذا، سی ایل پی کی جوابی مثال تقریبا دس سالوں سے معلوم تھی، یہ صرف اتنا ہے کہ کوئی نہیں جانتا تھا کہ یہ کیوں کام کرتا ہے! مندرجہ بالا تھیوریم سے پہلے کے تمام نتائج میں ہم آہنگی کی کسی نہ کسی شکل کی تغیر پذیری کا استعمال کیا گیا۔ مشکل یہ تھی کہ غیر مطابقت پذیری جالی کے ہم آہنگی جالی میں کافی ڈھانچہ تلاش کرنا تھا۔ ہم قدرتی اعداد پر 'پیریٹی فنکشن' کو ε سے ظاہر کریں گے، یعنی کسی بھی قدرتی نمبر n کے لیے ε (n) = n موڈ 2۔ ہم L کو ایک الجبرا ہونے دیتے ہیں جس میں سیمی لیٹس (L، ′) کی ساخت ہوتی ہے تاکہ L کی ہر ہم آہنگی بھی آپریشن کے لیے ہم آہنگی ہو۔ ہم ڈالتے ہیں اور ہم کونکیو ایل کے ذریعے کونکیو ایل کی (ष्ण، 0)-سبسیمیلیٹیس کی نشاندہی کرتے ہیں جو تمام بنیادی ہم آہنگی θ (u، v) (= L کی کم از کم ہم آہنگی جو u اور v کی شناخت کرتی ہے) سے پیدا ہوتی ہے، جہاں (u، v) کا تعلق U × U سے ہے۔ ہم L. br/> دی ایروژن لیما (ویرونگ 2007) میں تمام u، v کے لیے θ + (u، v) = θ ڈالتے ہیں۔ فرض کریں کہ x0، x1 کو L میں اور، ایک مثبت عدد n کے لیے، L کا ایک محدود ذیلی مجموعہ ہونے دیں۔ پھر ج <2 کے لیے ہم آہنگی موجود ہیں، جیسے کہ (ریاضیاتی منطق میں فرسٹ آرڈر ریزولوشن کے ساتھ ہلکی رسمی مماثلت کا مشاہدہ کریں۔ کیا اس مشابہت کو مزید آگے بڑھایا جا سکتا ہے؟) مندرجہ بالا تھیوریم کا ثبوت سیمی لیٹیسیس کے ہم آہنگی لیٹیسیس کے لیے ایک ساخت تھیوریم ترتیب دے کر چلتا ہے-یعنی، ایروژن لیما، فری ڈسٹری بیوٹو ایکسٹینشنز G (ω) کے لیے غیر ساخت تھیوریمز کے خلاف، جس میں سے اہم کو ایواپریشن لیما کہا جاتا ہے۔ اگرچہ مؤخر الذکر تکنیکی طور پر مشکل ہیں، لیکن وہ کچھ معنوں میں پیش گوئی کے قابل ہیں۔ بالکل اس کے برعکس، کٹاؤ لیما کا ثبوت ابتدائی اور آسان ہے، لہذا یہ شاید اس کے بیان کی عجیب و غریب بات ہے جو وضاحت کرتی ہے کہ اسے اتنے عرصے سے چھپایا گیا ہے۔ مزید، در حقیقت، مندرجہ بالا تھیوریم میں ثابت ہوتا ہے: کسی بھی الجبرا L کے لیے جو یونٹ کے ساتھ جوائن سملیٹیس کی ہم آہنگ ساخت کے ساتھ اور کسی بھی سیٹ ω کے لیے کم از کم αω + 1 عناصر کے ساتھ، کوئی کمزور تقسیم شدہ ہومومورفزم نہیں ہے۔ خاص طور پر، سی ایل پی، بالآخر، جالی کے نظریہ کا مسئلہ نہیں تھا، بلکہ عالمگیر الجبرا کا تھا-اس سے بھی زیادہ خاص طور پر، سیمی لیٹیس نظریہ! ان نتائج کا ترجمہ یکساں ریفائنمنٹ پراپرٹی کے لحاظ سے بھی کیا جا سکتا ہے، جسے سی ایل آر نے ویرونگ کے کاغذ میں سی ایل آر کے ذریعے ظاہر کیا ہے جو سی ایل پی کا حل پیش کرتا ہے، جو کہ ڈبلیو یو آر پی سے نمایاں طور پر زیادہ پیچیدہ ہے۔ آخر میں، کارڈینالیٹی باؤنڈ αω + 1 کو بہتر بنا کر بہترین باؤنڈ α2 کر دیا گیا ہے۔ نظریہ (2008)۔ سیمی لیٹس G (ω) کسی بھی لیٹس L کے لیے کونک L کے لیے آئسومورفک نہیں ہے، جب بھی سیٹ ω میں کم از کم α2 عناصر ہوں۔ روزیکا کا ثبوت ویرونگ کے ثبوت کی اہم لائنوں کی پیروی کرتا ہے، سوائے اس کے کہ یہ کوراتووسکی کے فری سیٹ تھیوریم میں اضافہ متعارف کراتا ہے، جسے وہاں آزاد درختوں کا وجود کہا جاتا ہے، جسے وہ کٹاؤ لیما سے متعلق حتمی دلیل میں استعمال کرتا ہے۔ تقسیم کرنے والے سیمی لیٹس کے لیے مثبت نمائندگی کا نتیجہ سی ایل پی کے لیے منفی حل کا ثبوت ظاہر کرتا ہے کہ تقسیم کرنے والے سیمی لیٹس کی نمائندگی کرنے کا مسئلہ سیمی لیٹس کے ہم آہنگی والے لیٹس کے لیے پہلے سے ہی ظاہر ہوتا ہے۔ اس سوال کا جواب مندرجہ ذیل نتیجہ سے ملتا ہے کہ آیا جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ کی ساخت اسی طرح کے مسائل کا سبب بنے گی۔ نظریہ (ویرونگ 2008)۔ کسی بھی ڈسٹری بیوٹو (0)-سیمی لیٹس S کے لیے، ایک (0)-سیمی لیٹس P اور ایک نقشہ ہے: P × P → S جس میں درج ذیل شرائط ہوتی ہیں: (1) x ≤ y کا مطلب ہے کہ (x, y) = 0، P میں موجود تمام x کے لیے، y۔ (2) (x, z) ≤ μ (x, y) ≤ μ (y, z)، P میں موجود تمام x، y، z کے لیے۔ (3) P میں موجود تمام x ≤ y اور S میں موجود تمام α، β کے لیے اس طرح کہ (x, y) ≤ α ≤ β، ایک مثبت عدد موجود ہے۔ (4) S، پی میں x کے لیے، ایک جوڑ-سمیلیٹیس کے طور پر، فارم کے تمام عناصر کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ مزید برآں، اگر S کا سب سے بڑا عنصر ہے، تو P کو سب سے بڑے عنصر کے ساتھ ایک جالی سمجھا جا سکتا ہے۔ اس بات کی تصدیق کرنا مشکل نہیں ہے کہ اوپر دیے گئے حالات (1)-(4) S کی تقسیم کو ظاہر کرتے ہیں، اس لیے اوپر دیا گیا نتیجہ (0)-سمیلیٹیسیس کے لیے تقسیم کی خصوصیت دیتا ہے۔ نوٹ حوالہ جات لیٹیس تھیوری ریاضیاتی مسائل