Umbilical point
تین جہتوں میں سطحوں کی تفریقی جیومیٹری میں، نال یا نال کے نکات کسی سطح پر ایسے نکات ہوتے ہیں جو مقامی طور پر گول ہوتے ہیں۔ ایسے مقامات پر تمام سمتوں میں نارمل منحنی خطوط برابر ہوتے ہیں، اس لیے دونوں پرنسپل منحنی خطوط برابر ہوتے ہیں، اور ہر ٹینجینٹ ویکٹر ایک پرنسپل سمت ہوتا ہے۔ "ناف" نام لاطینی ناف (ناف) سے آیا ہے۔ امبیلیک پوائنٹس عام طور پر سطح کے انڈاکار علاقے میں الگ تھلگ پوائنٹس کے طور پر پائے جاتے ہیں۔ یعنی، جہاں گوسیائی منحنی خطوط مثبت ہوتے ہیں۔ دائرہ واحد سطح ہے جس کی غیر صفر منحنیت ہے جہاں ہر نقطہ نالی دار ہوتا ہے۔ ایک چپٹی نالی ایک نالی ہے جس میں صفر گوسیائی منحنیت ہوتی ہے۔ بندر کی سیڈل سطح کی ایک مثال ہے جس میں ایک چپٹی نالی ہوتی ہے اور ہوائی جہاز پر ہر نقطہ ایک چپٹی نالی ہوتی ہے۔ ٹورس میں کوئی نالی نہیں ہو سکتی، لیکن غیر صفر اویلر کی خصوصیت کی ہر بند سطح، جو یوکلڈین اسپیس میں آسانی سے سرایت کرتی ہے، میں کم از کم ایک نالی ہوتی ہے۔ کانسٹینٹین کیریتھیوڈری کا ایک غیر مصدقہ قیاس یہ بتاتا ہے کہ یوکلڈین خلا میں ہر ہموار ٹپوولوجیکل دائرے میں کم از کم دو نال ہوتے ہیں۔ نال کے نکات کی تین اہم اقسام الپٹیکل نال، پیرابولک نال اور ہائپربولک نال ہیں۔ الپٹیکل نال میں تین ریج لائنیں ہوتی ہیں جو نال سے گزرتی ہیں اور ہائپربولک نال میں صرف ایک ہوتی ہے۔ پیرابولک نال ایک عبوری صورت ہے جس میں دو چھتیں ہوتی ہیں جن میں سے ایک واحد ہوتا ہے۔ عبوری معاملات کے لیے دیگر ترتیبات ممکن ہیں۔ یہ معاملات رینے تھام کے تباہی کے نظریہ کی D4−، D5 اور D4 + ابتدائی آفات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ امبیلیکس کی خصوصیت امبیلیکس کے ارد گرد پرنسپل ڈائرکشن ویکٹر فیلڈ کے پیٹرن سے بھی کی جا سکتی ہے جو عام طور پر تین ترتیبات میں سے ایک بناتی ہے: اسٹار، لیموں، اور لیموں اسٹار (یا مون اسٹار)۔ ویکٹر فیلڈ کا اشاریہ یا تو −1⁄2 (ستارہ) یا 1⁄2 (لیموں، مون اسٹار) ہے۔ ایلیپٹیکل اور پیرابولک نالیوں میں ہمیشہ اسٹار پیٹرن ہوتا ہے، جبکہ ہائپربولک نالیاں اسٹار، لیموں یا مون اسٹار ہو سکتی ہیں۔ یہ درجہ بندی سب سے پہلے ڈاربوکس کی وجہ سے تھی اور نام ہنے سے آئے ہیں۔ الگ تھلگ نال والی جینس 0 والی سطحوں کے لیے، مثال کے طور پر۔ ایک ایلیپسائڈ، پرنسپل ڈائرکشن ویکٹر فیلڈ کا انڈیکس پوائنکیری-ہاپف تھیوریم کے مطابق 2 ہونا چاہیے۔ عام جینس 0 کی سطحوں پر انڈیکس 1⁄2 کی کم از کم چار نالیاں ہوتی ہیں۔ انقلاب کے ایک ایلیپسائڈ میں دو غیر جنیرک نالیاں ہوتی ہیں جن میں سے ہر ایک کا انڈیکس 1 ہوتا ہے۔ نال کی کیوبک شکلوں کی درجہ بندی نال کی درجہ بندی حقیقی کیوبک شکلوں کی درجہ بندی سے قریب سے جڑی ہوئی ہے۔ کیوبک فارم میں متعدد جڑ کی لکیریں ہوں گی جیسے کہ کیوبک فارم تمام حقیقی کے لیے صفر ہو۔ متعدد امکانات ہیں جن میں شامل ہیں: تین الگ الگ لائنیں: ایک ایلیپٹیکل کیوبک فارم، معیاری ماڈل۔ تین لائنیں، جن میں سے دو اتفاق سے ہیں: ایک پیرابولک کیوبک فارم، معیاری ماڈل۔ ایک واحد حقیقی لکیر: ایک ہائپربولک کیوبک فارم، معیاری ماڈل۔ تین اتفاقیہ لائنیں، معیاری ماڈل۔ یکساں اسکیلنگ کے تحت اس طرح کے کیوبکس کی مساوات کی کلاسیں تین جہتی حقیقی پروجیکٹو اسپیس بناتی ہیں اور پیرابولک شکلوں کا ذیلی سیٹ ایک سطح کی وضاحت کرتا ہے-جسے کرسٹوفر زیمن نے نال کا کڑا کہا ہے۔ کوآرڈینیٹ سسٹم کی گردش کے تحت مساوات کی کلاسیں لینا ایک مزید پیرامیٹر کو ہٹا دیتا ہے اور ایک کیوبک فارم کو ایک پیچیدہ پیرامیٹر کے ساتھ پیچیدہ کیوبک فارم کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے۔ پیرابولک شکلیں اس وقت ہوتی ہیں جب اندرونی ڈیلٹوئڈ، ایلیپٹیکل شکلیں ڈیلٹوئڈ کے اندر اور ہائپربولک باہر ہوتی ہیں۔ اگر اور اتحاد کی مکعب جڑ نہیں ہے تو مکعب شکل دائیں زاویے والی مکعب شکل ہے جو نال کے لیے خاص کردار ادا کرتی ہے۔ اگر پھر جڑ کی دو لکیریں آرتھوگنل ہیں۔ ایک دوسری کیوبک شکل، جیکوبین ویکٹر ویلیوڈ فنکشن کے جیکوبین ڈیٹرمیننٹ کو لے کر بنتی ہے۔ ایک مستقل ضرب تک یہ کیوبک شکل ہے۔ پیچیدہ اعداد کا استعمال کرتے ہوئے جیکوبین ایک پیرابولک کیوبک شکل ہے جب درجہ بندی کے خاکہ میں بیرونی ڈیلٹوئڈ ہوتا ہے۔ امبیلیک درجہ بندی کسی بھی سطح کی ابتدا میں ایک الگ تھلگ نالی کے نقطہ کے ساتھ مونگے فارم پیرامیٹرائزیشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں منفرد بنیادی منحنی پن ہے۔ نال کی قسم کی درجہ بندی کیوبک حصہ سے کیوبک شکل اور متعلقہ جیکوبین کیوبک شکل کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ اگرچہ مرکزی سمتوں کو نال پر منفرد طور پر بیان نہیں کیا جاتا ہے، لیکن سطح پر کسی چوٹی کی پیروی کرتے وقت مرکزی سمتوں کی حدود مل سکتی ہیں اور یہ کیوبک شکل کی جڑ کی لکیروں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ منحنی خطوط کے نمونے کا تعین جیکوبین سے ہوتا ہے۔ نال کے نکات کی درجہ بندی مندرجہ ذیل ہے: اندرونی ڈیلٹوئڈ کے اندر-الپٹیکل نال اندرونی دائرے پر-دو رج لائنیں ٹینجینٹ اندرونی ڈیلٹوئڈ پر-پیرابولک نال بیرونی ڈیلٹوئڈ کے باہر-ہائپربولک نال بیرونی دائرے کے اندر-اسٹار پیٹرن بیرونی دائرے پر-نال کی پیدائش بیرونی دائرے اور بیرونی ڈیلٹوئڈ کے درمیان-مونسٹار پیٹرن بیرونی ڈیلٹوئڈ کے باہر-لیموں پیٹرن اندرونی ڈیلٹوئڈ کے کسپس-کیوبک (علامتی) نال مثلث اور افقی لائن پر-آئینے کی ہم آہنگی کے ساتھ سمیٹریکل نال سطحوں کے ایک عام خاندان میں نالی کی منتقلی کی پیدائش جوڑوں میں بنائی جا سکتی ہے، یا تباہ کی جا سکتی ہے۔ دونوں نال ہائپربولک ہوں گے، ایک اسٹار پیٹرن کے ساتھ اور ایک مون اسٹار پیٹرن کے ساتھ۔ خاکہ میں بیرونی دائرہ، ایک دائیں زاویہ کیوبک شکل، ان عبوری صورتوں کو پیش کرتا ہے۔ علامتی ناف اس کا ایک خاص معاملہ ہے۔ فوکل سطح الپٹیکل نال اور ہائپربولک نال میں واضح طور پر مختلف فوکل سطحیں ہوتی ہیں۔ سطح پر ایک چوٹی ایک چوٹی کے کناروں سے مطابقت رکھتی ہے لہذا انڈاکار فوکل سطح کی ہر شیٹ میں تین چوٹی کے کناروں ہوں گے جو نال کے فوکس پر اکٹھے ہوتے ہیں اور پھر دوسری شیٹ پر جاتے ہیں۔ ہائپربولک نال کے لیے ایک واحد کاپیڈل کنارے ہوتا ہے جو ایک شیٹ سے دوسری شیٹ میں بدل جاتا ہے۔ ریمینیئن مینیفولڈز میں اعلی جہت میں تعریف ایک ریمینیئن ذیلی منیفولڈ میں ایک نقطہ p نال نما ہے اگر، p پر، (ویکٹر ویلیوڈ) دوسری بنیادی شکل کچھ نارمل ویکٹر ٹینسر ہے جو انڈیوسڈ میٹرک (پہلی بنیادی شکل) ہے۔ مساوی طور پر، تمام ویکٹرز U، V کے لیے p، II (U، V) = gp (U، V) پر، p پر اوسط منحنی ویکٹر کہاں ہے۔ اگر یہ حالت ہر نقطہ "p" پر برقرار رہتی ہے تو ایک ذیلی منی فولڈ کو نال (یا تمام امبیلک) کہا جاتا ہے۔ یہ کہنے کے مترادف ہے کہ آس پاس کے ("ماحول") کئی گنا کے میٹرک کی مناسب مطابقت پذیری تبدیلی کے ذریعے سب منی فولڈ کو مکمل طور پر جیوڈیسیک بنایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، یوکلڈین خلا میں ایک سطح نال دار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ کسی دائرے کا ٹکڑا ہو۔ ناف بھی دیکھیں-ایک جسمانی اصطلاح جس کا مطلب ہے، یا ناف سے متعلق حوالہ جات جلد I جلد II جلد III جلد IV ستارے، لیموں، مون اسٹار کی تصاویر، اور مزید حوالہ جات سطحوں کی متفرق جیومیٹری