Vector notation
ریاضی اور طبیعیات میں، ویکٹر نوٹیشن ویکٹروں کی نمائندگی کے لیے عام طور پر استعمال ہونے والی نوٹیشن ہے، جو یوکلڈین ویکٹر، یا زیادہ عام طور پر، ویکٹر اسپیس کے ممبر ہو سکتے ہیں۔ ویکٹر کی نمائندگی کے لیے، عام ٹائپگرافک کنونشن لوور کیس، سیدھا بولڈ فیس ٹائپ ہے، جیسا کہ میں ہے۔ انٹرنیشنل آرگنائزیشن فار اسٹینڈرڈائزیشن (آئی ایس او) یا تو بولڈ اٹالک سیرف کی سفارش کرتی ہے، جیسا کہ دائیں تیر سے، یا غیر بولڈ اٹالک سیرف کی، جیسا کہ دائیں تیر سے۔ اعلی درجے کی ریاضی میں، ویکٹرز کو اکثر کسی بھی متغیر کی طرح سادہ ترچھا قسم میں پیش کیا جاتا ہے۔ تاریخ 1835 میں جیوسٹو بیلاوائٹس نے مساوی ڈائرکٹڈ لائن سیگمنٹس کا خیال متعارف کرایا جس کے نتیجے میں ایسے سیگمنٹس کے مساوی طبقے کے طور پر ویکٹر کا تصور سامنے آیا۔ ویکٹر کی اصطلاح ڈبلیو آر ہیملٹن نے 1843 کے آس پاس وضع کی تھی، کیونکہ اس نے کواٹرنیئنز کا انکشاف کیا تھا، ایک ایسا نظام جو چار جہتی خلا کو پھیلانے کے لیے ویکٹر اور اسکیلرز کا استعمال کرتا ہے۔ کواٹرنیئن q = a + b + cj + dk کے لیے، ہیملٹن نے دو پروجیکشنز کا استعمال کیا: S q = a، q کے اسکیلر حصے کے لیے، اور V q = b + cj + dk، ویکٹر حصہ۔ جدید اصطلاحات کراس پروڈکٹ (×) اور ڈاٹ پروڈکٹ (. )، دو ویکٹروں p اور q کے کواٹرنیئن پروڈکٹ کو pq =-p. q + p × q لکھا جا سکتا ہے۔ 1878 میں، ڈبلیو کے کلفورڈ نے اپنی نصابی کتاب ایلیمنٹس آف ڈائنامک میں طلباء کے لیے کواٹرنیئن آپریشن کو مفید بنانے کے لیے دونوں مصنوعات کو الگ کر دیا۔ ییل یونیورسٹی میں لیکچر دیتے ہوئے، یوسیاہ ولارڈ گبز نے اسکیلر پروڈکٹ اور ویکٹر پروڈکٹس کے لیے اشارے فراہم کیے، جو ویکٹر تجزیہ میں متعارف کرایا گیا تھا۔ 1891 میں، اولیور ہیوسائڈ نے کلیرینڈن کے لیے ویکٹر اور اسکیلرز میں فرق کرنے کی دلیل دی۔ انہوں نے ٹائٹ کے یونانی حروف اور میکسویل کے گوتھک حروف کے استعمال پر تنقید کی۔ 1912 میں، جے بی شا نے کواٹرنیئن سوسائٹی کے بلیٹن میں اپنے "تقابلی نوٹیشن برائے ویکٹر ایکسپریشنز" کا تعاون کیا۔ اس کے بعد، الیگزینڈر میک فارلن نے اسی اشاعت میں ویکٹر کے ساتھ واضح اظہار کے لیے 15 معیارات بیان کیے۔ ویکٹر کے خیالات کو ہرمن گراس مین نے 1841 میں اور پھر 1862 میں جرمن زبان میں پیش کیا۔ لیکن جرمن ریاضی دانوں کو انگریزی بولنے والے ریاضی دانوں کی طرح کواٹرنیئنز کے ساتھ نہیں لیا گیا۔ جب فیلکس کلین جرمن ریاضیاتی انسائیکلوپیڈیا کو منظم کر رہے تھے، تو انہوں نے آرنلڈ سومر فیلڈ کو ویکٹر نوٹیشن کو معیاری بنانے کا کام سونپا۔ 1950 میں، جب اکیڈمک پریس نے جی کورٹی کے لیکچرز آن تھیوریٹیکل فزکس کے حجم 2 کے دوسرے ایڈیشن کا ترجمہ شائع کیا، تو ویکٹر نوٹیشن ایک فوٹ نوٹ کا موضوع تھا: "اصل جرمن متن میں، ویکٹر اور ان کے اجزاء ایک ہی گوتھک اقسام میں چھاپے جاتے ہیں۔ اس ترجمہ کے لیے دونوں کے درمیان ٹائپگرافیکل فرق کرنے کا زیادہ عام طریقہ اپنایا گیا ہے۔ " ایک کارٹیزین کوآرڈینیٹ سسٹم کو دیکھتے ہوئے، ایک ویکٹر کو اس کے کارٹیزین کوآرڈینیٹس کے ذریعہ متعین کیا جاسکتا ہے، جو اعداد کا ایک ٹپل ہے۔ ترتیب شدہ سیٹ نوٹیشن میں ایک ویکٹر کو اجزاء کے ترتیب شدہ سیٹ کا استعمال کرتے ہوئے متعین کیا جا سکتا ہے، جو قوسین یا زاویہ بریکٹ میں بند ہوتا ہے۔ عام معنوں میں، ایک n جہتی ویکٹر v کو درج ذیل میں سے کسی بھی شکل میں متعین کیا جا سکتا ہے: جہاں v1، v2،.، vn−1، vn v کے اجزاء ہیں۔ ایک ویکٹر جسے صف میٹرکس کے طور پر متعین کیا جاتا ہے اسے صف ویکٹر کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ایک کالم میٹرکس کے طور پر متعین کردہ کالم ویکٹر کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، n جہتی ویکٹر کو میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل میں سے کسی بھی شکل میں متعین کیا جا سکتا ہے: جہاں v1، v2،..، vn−1، vn v کے اجزاء ہیں۔ کچھ جدید سیاق و سباق میں، ایک صف اور کالم ویکٹر کے مختلف معنی ہوتے ہیں۔ مزید کے لیے ویکٹرز کی ہم آہنگی اور تضاد دیکھیں۔ یونٹ ویکٹر نوٹیشن (یا اس سے کم طول و عرض، جیسے کہ نیچے vz صفر ہے) میں ایک ویکٹر کو ویکٹر کے اجزاء کے اسکیلر ضرب کے مجموعے کے طور پر متعین کیا جا سکتا ہے جس میں معیاری بنیاد کے ممبران ہوتے ہیں۔ بنیاد کی نمائندگی یونٹ ویکٹر،، اور کے ساتھ کی جاتی ہے۔ تین جہتی ویکٹر کو یونٹ ویکٹر نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل شکل میں متعین کیا جا سکتا ہے: جہاں vx، vy، اور vz v کے اسکیلر اجزاء ہیں۔ اسکیلر اجزاء مثبت یا منفی ہو سکتے ہیں ؛ اسکیلر جزو کی مطلق قیمت اس کی شدت ہے۔ قطبی نقاط کسی سطح میں کسی نقطہ کے دو قطبی نقاط کو دو جہتی ویکٹر سمجھا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا ویکٹر ایک شدت (یا لمبائی) اور ایک سمت (یا زاویہ) پر مشتمل ہوتا ہے۔ شدت، جسے عام طور پر r کے طور پر دکھایا جاتا ہے، ایک ابتدائی نقطہ، اصل، سے اس نقطہ تک کا فاصلہ ہے جس کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ زاویہ، جسے عام طور پر θ (یونانی حرف تھیٹا) کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، وہ زاویہ ہے، جسے عام طور پر ایک مقررہ سمت، عام طور پر مثبت x-محور، اور اصل سے نقطہ تک کی سمت کے درمیان ماپا جاتا ہے۔ زاویہ عام طور پر رینج ریڈینس یا کے اندر واقع ہونے کے لیے کم کیا جاتا ہے۔ ترتیب شدہ سیٹ اور میٹرکس نوٹیشن ویکٹرز کی وضاحت یا تو ترتیب شدہ جوڑی نوٹیشن (صرف دو اجزاء کا استعمال کرتے ہوئے ترتیب شدہ سیٹ نوٹیشن کا ذیلی سیٹ)، یا میٹرکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے، جیسا کہ آئتاکار نقاط کے ساتھ ہوتا ہے۔ ان شکلوں میں، ویکٹر کا پہلا جزو r (v1 کے بجائے) ہے، اور دوسرا جزو θ (v2 کے بجائے) ہے۔ قطبی نقاط کو آئتاکار نقاط سے الگ کرنے کے لیے، زاویے کو زاویے کی علامت کے ساتھ پیش کیا جا سکتا ہے۔ v کے لیے دو جہتی قطبی نقاط کو درج ذیل میں سے کسی کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، یا تو ترتیب شدہ جوڑی یا میٹرکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے: جہاں r شدت ہے، θ زاویہ ہے، اور زاویہ کی علامت () اختیاری ہے۔ براہ راست نوٹیشن ویکٹرز کی وضاحت آسان خود مختار مساوات کا استعمال کرتے ہوئے بھی کی جا سکتی ہے جو واضح طور پر r اور θ کی وضاحت کرتی ہیں۔ یہ بھاری ہو سکتا ہے، لیکن دو جہتی آئتاکار ویکٹر کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے مفید ہے جو ترتیب شدہ جوڑی یا میٹرکس نوٹیشن کے استعمال سے پیدا ہوتا ہے۔ ایک دو جہتی ویکٹر جس کی شدت 5 اکائیاں ہیں، اور جس کی سمت π/9 ریڈین (20°) ہے، کو درج ذیل میں سے کسی بھی شکل کا استعمال کرتے ہوئے متعین کیا جا سکتا ہے: سلنڈریکل ویکٹر ایک سلنڈریکل ویکٹر قطبی نقاط کے تصور کی تین جہتوں میں توسیع ہے۔ یہ سلنڈریکل کوآرڈینیٹ سسٹم میں تیر کے مترادف ہے۔ ایک سلنڈریکل ویکٹر کی وضاحت xy-طیارہ میں فاصلے، ایک زاویہ، اور xy-طیارہ (اونچائی) سے فاصلے سے کی جاتی ہے۔ پہلا فاصلہ، جسے عام طور پر r یا ρ (یونانی حرف rho) کے طور پر دکھایا جاتا ہے، xy-طیارہ پر ویکٹر کے پروجیکشن کی شدت ہے۔ زاویہ، جسے عام طور پر θ یا φ (یونانی حرف phi) کے طور پر دکھایا جاتا ہے، کو مثبت سمت میں x-محور کے ساتھ لائن کالینیئر سے آفسیٹ کے طور پر ماپا جاتا ہے۔ زاویہ کو عام طور پر حد کے اندر ہونے کے لیے کم کیا جاتا ہے۔ دوسرا فاصلہ، جسے عام طور پر h یا z کے طور پر دکھایا جاتا ہے، xy-طیارہ سے ویکٹر کے اختتامی نقطہ تک کا فاصلہ ہے۔ ترتیب شدہ سیٹ اور میٹرکس نوٹیشن سلنڈریکل ویکٹر قطبی نقاط کا استعمال کرتے ہیں، جہاں دوسرے فاصلے کے جزو کو تیسرے جزو کے طور پر ترتیب شدہ ٹرپلٹ (دوبارہ، ترتیب شدہ سیٹ نوٹیشن کا ایک ذیلی سیٹ) اور میٹرکس بنانے کے لیے جوڑ دیا جاتا ہے۔ زاویے کو زاویے کی علامت () سے پہلے لگایا جا سکتا ہے ؛ فاصلہ-زاویے-فاصلے کا مجموعہ اس اشارے میں سلنڈریکل ویکٹرز کو اسی طرح کے اشارے میں کروی ویکٹرز سے ممتاز کرتا ہے۔ تین جہتی سلنڈریکل ویکٹر v کو درج ذیل میں سے کسی کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، یا تو ترتیب شدہ ٹرپلٹ یا میٹرکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے: جہاں r xy-طیارہ پر v کے پروجیکشن کی شدت ہے، θ مثبت x-محور اور v کے درمیان کا زاویہ ہے، اور h xy-طیارہ سے v کے اختتامی نقطہ تک کی اونچائی ہے۔ پھر، زاویہ کی علامت () اختیاری ہے۔ ایک سلنڈریکل ویکٹر کی وضاحت بھی براہ راست کی جا سکتی ہے، آسان خود مختار مساوات کا استعمال کرتے ہوئے جو r (یا ρ)، θ (یا φ)، اور h (یا z) کی وضاحت کرتی ہیں۔ متغیرات کے لیے استعمال ہونے والے ناموں کا انتخاب کرتے وقت مستقل مزاجی کا استعمال کیا جانا چاہیے۔ ρ کو θ وغیرہ کے ساتھ نہیں ملایا جانا چاہیے۔ ایک سہ جہتی ویکٹر، جس کے xy-طیارہ پر پروجیکشن کی شدت 5 اکائیاں ہیں، جس کا مثبت x-محور سے زاویہ π/9 ریڈینس (20°) ہے، اور جس کی xy-طیارہ سے اونچائی 3 اکائیاں ہیں، مندرجہ ذیل میں سے کسی بھی شکل میں متعین کیا جا سکتا ہے: کروی ویکٹر ایک کروی ویکٹر قطبی ویکٹر کے تصور کو تین جہتوں میں بڑھانے کا ایک اور طریقہ ہے۔ یہ گول کوآرڈینیٹ سسٹم میں تیر کے مترادف ہے۔ ایک کروی ویکٹر کی وضاحت ایک شدت، ایک ایزموتھ زاویہ، اور ایک زینتھ زاویہ سے کی جاتی ہے۔ شدت کو عام طور پر ρ کے طور پر دکھایا جاتا ہے۔ ایزموتھ زاویہ، جسے عام طور پر θ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، مثبت x-محور سے () آفسیٹ ہوتا ہے۔ زینتھ اینگل، جسے عام طور پر φ کے طور پر دکھایا جاتا ہے، مثبت z-محور سے آفسیٹ ہوتا ہے۔ دونوں زاویے عام طور پر صفر (بشمول) سے 2π (خصوصی) تک کی حد میں ہوتے ہیں۔ ترتیب شدہ سیٹ اور میٹرکس کے اشارے کروی ویکٹرز کو قطبی ویکٹرز کی طرح متعین کیا جاتا ہے، جہاں زینیتھ اینگل کو تیسرے جزو کے طور پر ترتیب شدہ ٹرپلٹ اور میٹرکس بنانے کے لیے جوڑ دیا جاتا ہے۔ ایزموتھ اور زینتھ اینگلز دونوں کو اینگل کی علامت () کے ساتھ پیش کیا جا سکتا ہے ؛ پریفیکس کو فاصلہ-اینگل-اینگل کا امتزاج پیدا کرنے کے لیے مستقل طور پر استعمال کیا جانا چاہیے جو گول ویکٹرز کو سلنڈریکل ویکٹرز سے ممتاز کرتا ہے۔ تین جہتی کروی ویکٹر v کو درج ذیل میں سے کسی کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، یا تو ترتیب شدہ ٹرپلٹ یا میٹرکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے: جہاں ρ شدت ہے، θ ایزموتھ زاویہ ہے، اور φ زینتھ زاویہ ہے۔ قطبی اور سلنڈریکل ویکٹروں کی طرح، کروی ویکٹروں کی وضاحت آسان خود مختار مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے، اس صورت میں ρ، θ، اور φ کے لیے۔ ایک سہ جہتی ویکٹر جس کی شدت 5 اکائیاں ہیں، جس کا ایزموتھ زاویہ π/9 ریڈین (20°) ہے، اور جس کا زینتھ زاویہ π/4 ریڈین (45°) ہے، اس کی وضاحت اس طرح کی جا سکتی ہے: آپریشن کسی بھی ویکٹر اسپیس میں، ویکٹر کے اضافے اور اسکیلر ضرب کی کارروائیوں کی وضاحت کی جاتی ہے۔ معیاری ویکٹر خالی جگہیں بھی ایک آپریشن کی وضاحت کرتی ہیں جسے معمول (یا شدت کا تعین) کہا جاتا ہے۔ اندرونی پروڈکٹ خالی جگہیں بھی ایک آپریشن کی وضاحت کرتی ہیں جسے اندرونی پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ اندرونی پروڈکٹ کو ڈاٹ پروڈکٹ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اور میں، ایک اضافی آپریشن جسے کراس پروڈکٹ کے نام سے جانا جاتا ہے، کی بھی وضاحت کی گئی ہے۔ ویکٹر کے اضافے کی نمائندگی دو ویکٹروں کے درمیان آپریٹر کے طور پر استعمال ہونے والے پلس کے نشان کے ساتھ کی جاتی ہے۔ دو ویکٹروں u اور v کے مجموعے کو اس طرح پیش کیا جائے گا: اسکیلر ضرب اسکیلر ضرب کو اسی انداز میں پیش کیا جاتا ہے جیسے الجبرائی ضرب۔ ویکٹر کے ساتھ ایک اسکیلر (یا تو یا دونوں قوسین میں ہو سکتے ہیں) اسکیلر ضرب کو ظاہر کرتا ہے۔ دو عام آپریٹر، ایک ڈاٹ اور ایک گھمایا ہوا کراس بھی قابل قبول ہیں (حالانکہ گھمایا ہوا کراس تقریبا کبھی استعمال نہیں ہوتا ہے)، لیکن وہ ڈاٹ پروڈکٹ اور کراس پروڈکٹ کے ساتھ الجھن کا خطرہ رکھتے ہیں، جو دو ویکٹر پر کام کرتے ہیں۔ ویکٹر v کے ساتھ اسکیلر k کے پروڈکٹ کو درج ذیل میں سے کسی بھی انداز میں پیش کیا جا سکتا ہے: ویکٹر گھٹاؤ اور اسکیلر ڈویژن سکیلر ضرب کے ساتھ گھٹاؤ اور تقسیم کی الجبرائی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، دو ویکٹر کو "گھٹاؤ" اور ایک ویکٹر کو اسکیلر سے "تقسیم" کرنا بھی ممکن ہے۔ ویکٹر گھٹاؤ پہلے ویکٹر آپریڈ میں دوسرے ویکٹر آپریڈ کے ساتھ −1 کے اسکیلر ملٹیپل کو شامل کرکے انجام دیا جاتا ہے۔ اس کی نمائندگی آپریٹر کے طور پر مائنس کے نشان کے استعمال سے کی جا سکتی ہے۔ دو ویکٹروں u اور v کے درمیان فرق کو درج ذیل میں سے کسی بھی انداز میں ظاہر کیا جا سکتا ہے: اسکیلر ڈویژن ویکٹر آپریڈ کو اسکیلر آپریڈ کے عددی الٹا سے ضرب دے کر انجام دیا جاتا ہے۔ اس کی نمائندگی فریکشن بار یا ڈویژن کے نشانات کو بطور آپریٹر استعمال کرکے کی جا سکتی ہے۔ ویکٹر v اور اسکیلر c کے حصص کو درج ذیل میں سے کسی بھی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے: عام ویکٹر کے معیار کو ویکٹر کے دونوں اطراف ڈبل سلاخوں کے ساتھ پیش کیا جاتا ہے۔ ویکٹر v کے معیار کو اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے: معمول کو بعض اوقات واحد سلاخوں کے ساتھ بھی پیش کیا جاتا ہے، جیسے، لیکن اسے مطلق قدر کے ساتھ الجھایا جا سکتا ہے (جو کہ ایک قسم کا معیار ہے)۔ اندرونی پروڈکٹ دو ویکٹروں کے اندرونی پروڈکٹ (جسے اسکیلر پروڈکٹ بھی کہا جاتا ہے، اسکیلر ضرب کے ساتھ الجھن میں نہ ڈالا جائے) کو زاویہ بریکٹ میں بند ایک ترتیب شدہ جوڑے کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ دو ویکٹروں u اور v کے اندرونی پروڈکٹ کی نمائندگی اس طرح کی جائے گی: ڈاٹ پروڈکٹ اندرونی پروڈکٹ کو ڈاٹ پروڈکٹ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ معیاری اندرونی پروڈکٹ نوٹیشن کے علاوہ، ڈاٹ پروڈکٹ نوٹیشن (ڈاٹ کو آپریٹر کے طور پر استعمال کرتے ہوئے) بھی استعمال کیا جا سکتا ہے (اور زیادہ عام ہے)۔ دو ویکٹروں u اور v کے ڈاٹ پروڈکٹ کو اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے: کچھ پرانے ادب میں، ڈاٹ پروڈکٹ دو ویکٹروں کے درمیان مضمر ہوتا ہے جو شانہ بہ شانہ لکھا جاتا ہے۔ اس اشارے کو دو ویکٹروں کے درمیان ڈائڈک پروڈکٹ کے ساتھ الجھایا جا سکتا ہے۔ کراس پروڈکٹ دو ویکٹروں (in) کے کراس پروڈکٹ کو ایک آپریٹر کے طور پر گھومنے والے کراس کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جاتا ہے۔ دو ویکٹر u اور v کے کراس پروڈکٹ کی نمائندگی اس طرح کی جائے گی: کچھ کنونشنوں کے ذریعہ (مثال کے طور پر۔ فرانس میں اور اعلی ریاضی کے کچھ شعبوں میں)، اس کی نشاندہی ایک پچر سے بھی کی جاتی ہے، جو پچر پروڈکٹ کے ساتھ الجھن سے بچتا ہے کیونکہ دونوں تین جہتوں میں فعال طور پر مساوی ہیں: کچھ پرانے ادب میں، u اور v کے درمیان کراس پروڈکٹ کے لیے درج ذیل نوٹیشن استعمال کیا جاتا ہے: نبلا آپریٹر کے ذریعے کیلکولس کے ساتھ نبلا ویکٹر نوٹیشن استعمال کیا جاتا ہے: اسکیلر فنکشن f کے ساتھ، گریڈینٹ کو ویکٹر فیلڈ کے ساتھ لکھا جاتا ہے، F کو ویکٹر فیلڈ کے ساتھ اور اس کے ساتھ لکھا جاتا ہے، F کرل کو اس طرح لکھا جاتا ہے جیسے یوکلیڈین ویکٹر فاسور حوالہ جات ریاضیاتی نوٹیشن ویکٹر (ریاضی اور طبیعیات)