Power transform
اعداد و شمار میں، پاور ٹرانسفارم افعال کا ایک خاندان ہے جس کا اطلاق پاور افعال کا استعمال کرتے ہوئے ڈیٹا کی مونوٹونک تبدیلی پیدا کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ یہ ایک ڈیٹا ٹرانسفارمیشن تکنیک ہے جو تغیر کو مستحکم کرنے، ڈیٹا کو زیادہ عام تقسیم کی طرح بنانے، ایسوسی ایشن کے اقدامات کی صداقت کو بہتر بنانے (جیسے متغیرات کے درمیان پیئرسن ارتباط)، اور ڈیٹا اسٹیبلائزیشن کے دیگر طریقہ کار کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ پاور ٹرانسفارمز کا استعمال متعدد شعبوں میں کیا جاتا ہے، جن میں ملٹی ریزولوشن اور ویولیٹ تجزیہ، شماریاتی ڈیٹا تجزیہ، طبی تحقیق، جسمانی عمل کی ماڈلنگ، جیو کیمیکل ڈیٹا تجزیہ، وبائی امراض اور بہت سے دیگر طبی، ماحولیاتی اور سماجی تحقیقی شعبے شامل ہیں۔ تعریف پاور ٹرانسفارمیشن کو ایک مسلسل مختلف فنکشن کے طور پر بیان کیا گیا ہے، پاور پیرامیٹر λ کے حوالے سے، ایک ٹکڑے کے لحاظ سے فنکشن کی شکل میں جو اسے انفرادیت (λ = 0) کے مقام پر مسلسل بناتا ہے۔ ڈیٹا ویکٹرز (y1,., yn) کے لیے جس میں ہر yi> 0، پاور ٹرانسفارم ہے جہاں مشاہدات y1,., yn کا ہندسی اوسط ہے۔ کے معاملے میں حد 0 تک پہنچتی ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، نوٹ کریں کہ-ٹیلر سیریز کا استعمال کرتے ہوئے۔ پھر، اور سب کچھ لیکن کافی چھوٹے کے لیے نہ ہونے کے برابر ہو جاتا ہے۔ ڈینومینیٹر میں ہندسی اوسط کی (λ−1) ویں طاقت کو شامل کرنا کسی بھی مساوات کی سائنسی تشریح کو آسان بناتا ہے، کیونکہ پیمائش کی اکائیاں λ کی تبدیلی کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ باکس اینڈ کاکس (1964) نے جیومیٹرک اوسط کو اس تبدیلی میں متعارف کرایا جس میں پہلے امکانات کے ساتھ ریسلڈ پاور ٹرانسفارمیشن کے جیکوبین کو شامل کیا گیا۔ یہ جیکوبین اس طرح ہے: یہ عام لاگ کے امکانات کو اس کی زیادہ سے زیادہ حد تک درج ذیل طور پر لکھنے کی اجازت دیتا ہے: یہاں سے، اظہار میں جذب ہونے سے ایک ایسا اظہار پیدا ہوتا ہے جو یہ ثابت کرتا ہے کہ بقیہ کے مربعوں کے مجموعے کو کم سے کم کرنا عام لاگ کے امکانات کے مجموعے کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے مترادف ہے۔ کسی بھی λ کے لیے Y = 1 پر قدر 0 ہے، اور Y کے حوالے سے مشتق کسی بھی λ کے لیے 1 ہے۔ بعض اوقات Y کسی دوسرے متغیر کا ایک ورژن ہوتا ہے جس کی پیمائش کسی طرح کی اوسط قیمت پر Y = 1 دینے کے لیے کی جاتی ہے۔ تبدیلی ایک طاقت کی تبدیلی ہے، لیکن اسے اس طرح سے کیا جاتا ہے کہ اسے λ = 0 پر پیرامیٹر λ کے ساتھ مسلسل بنایا جائے۔ یہ اکانومیٹرکس سمیت رجعت تجزیہ میں مقبول ثابت ہوا ہے۔ باکس اور کاکس نے تبدیلی کی ایک زیادہ عمومی شکل کی تجویز بھی پیش کی جس میں شفٹ پیرامیٹر شامل ہوتا ہے۔ جو تمام i کے لیے اگر yi + α> 0 رکھتا ہے۔ اگر τ (Y، λ، α) ایک کٹی ہوئی عام تقسیم کی پیروی کرتا ہے، تو Y کو باکس-کاکس تقسیم کی پیروی کرنے کے لیے کہا جاتا ہے۔ بیکل اور ڈوکسم نے تبدیلی کی حد کو تمام y تک بڑھا کر ایک کٹی ہوئی تقسیم کو استعمال کرنے کی ضرورت کو ختم کر دیا، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: جہاں sgn (.) یہ سائن فنکشن ہے۔ تعریف میں اس تبدیلی کی عملی اہمیت بہت کم ہے جب تک کہ اس سے کم ہو، جو عام طور پر ہوتی ہے۔ بیکل اور ڈوکسم نے یہ بھی ثابت کیا کہ پیرامیٹر کے تخمینے مناسب باقاعدگی کے حالات میں مستقل اور غیر علامتی طور پر عام ہیں، حالانکہ معیاری کریمر-راؤ لوور باؤنڈ اس تغیر کو کافی حد تک کم کر سکتا ہے جب پیرامیٹر کی اقدار شور کے تغیر کے مقابلے میں کم ہوں۔ تاہم، تغیر کو کم کرنے کا یہ مسئلہ بہت سے ایپلی کیشنز میں ایک بنیادی مسئلہ نہیں ہو سکتا ہے۔ باکس-کاکس کی تبدیلی ایک پیرامیٹر والے باکس-کاکس کی تبدیلیوں کو دو پیرامیٹر والے باکس-کاکس کی تبدیلیوں کے طور پر بیان کیا گیا ہے جیسا کہ اصل مضمون میں بیان کیا گیا ہے۔ مزید برآں، پہلی تبدیلیاں اس کے لیے اور دوسری اس کے لیے ہوتی ہیں۔ پیرامیٹر کا تخمینہ پروفائل کے امکانات کے فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے اور اچھائی کے فٹ ٹیسٹ کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ اعتماد کا وقفہ باکس-کاکس کی تبدیلی کے لیے اعتماد کا وقفہ پروفائل لائکبلٹی فنکشن پر ولکس تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے غیر علامتی طور پر بنایا جا سکتا ہے تاکہ اس کی تمام ممکنہ اقدار کو تلاش کیا جا سکے جو مندرجہ ذیل پابندیوں کو پورا کرتی ہیں: مثال BUPA جگر کے ڈیٹا سیٹ میں جگر کے انزائم ALT اور γGT پر ڈیٹا ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ ہم ALT کی پیش گوئی کرنے کے لیے لاگ (γGT) کا استعمال کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ اعداد و شمار کا ایک پلاٹ شکل کے پینل (اے) میں ظاہر ہوتا ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ غیر مستقل تغیر ہے، اور باکس کاکس کی تبدیلی سے مدد مل سکتی ہے۔ پاور پیرامیٹر کی لاگ لائکلی ہڈ پینل (b) میں ظاہر ہوتی ہے۔ افقی حوالہ لائن زیادہ سے زیادہ سے χ 12/2 کے فاصلے پر ہے اور اسے λ کے لیے تقریبا 95 فیصد اعتماد کے وقفے کو پڑھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایسا لگتا ہے جیسے صفر کے قریب ویلیو اچھی ہوگی، اس لیے ہم لاگ لیتے ہیں۔ ممکنہ طور پر، لاگ ٹرانسفارمیشن میں شفٹ پیرامیٹر شامل کرکے تبدیلی کو بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ اعداد و شمار کا پینل (سی) لاگ لائکلی ہڈ کو ظاہر کرتا ہے۔ اس صورت میں، زیادہ سے زیادہ امکان صفر کے قریب ہوتا ہے جس سے پتہ چلتا ہے کہ شفٹ پیرامیٹر کی ضرورت نہیں ہے۔ حتمی پینل ایک سپر امپوزڈ ریگریشن لائن کے ساتھ تبدیل شدہ ڈیٹا کو دکھاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ باکس کاکس کی تبدیلیاں ماڈل فٹ میں بڑی بہتری لا سکتی ہیں، لیکن کچھ مسائل ایسے ہیں جن میں تبدیلی سے مدد نہیں مل سکتی۔ موجودہ مثال میں، اعداد و شمار کافی بھاری دم والے ہوتے ہیں تاکہ معمول کا مفروضہ حقیقت پسندانہ نہ ہو اور ایک مضبوط رجعت کا نقطہ نظر زیادہ عین مطابق ماڈل کی طرف لے جاتا ہے۔ اکانومیٹرک ایپلی کیشن اکانومسٹ اکثر باکس-کاکس کی تبدیلی کے کچھ متغیرات کے ذریعے پیداواری تعلقات کی خصوصیت رکھتے ہیں۔ پروڈکشن ق کی مشترکہ نمائندگی پر غور کریں جو کیپٹل اسٹاک کے کے ذریعہ فراہم کردہ خدمات پر منحصر ہے اور لیبر آورز این کے ذریعہ: باکس-کاکس کی تبدیلی کو الٹ کر ق کے لیے حل کرنا جو ہمیں ملتا ہے جسے مستقل لچکدار متبادل (سی ای ایس) پروڈکشن فنکشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ سی ای ایس پروڈکشن فنکشن ڈگری ون کا ایک یکساں فنکشن ہے۔ جب λ = 1 ہوتا ہے، تو یہ لکیری پروڈکشن فنکشن پیدا کرتا ہے: جب λ → 0 ہوتا ہے تو یہ مشہور کوب-ڈگلس پروڈکشن فنکشن پیدا کرتا ہے: سرگرمیاں اور مظاہر SOCR ریسورس پیجز میں جاوا ایپلٹس اور چارٹس کا استعمال کرتے ہوئے باکس-کاکس (پاور) کی تبدیلی کو ظاہر کرنے والی متعدد ہینڈز آن انٹرایکٹو سرگرمیاں ہوتی ہیں۔ یہ براہ راست کیو-کیو پلاٹس، ایکس-وائی اسکیٹر پلاٹس، ٹائم سیریز پلاٹس اور ہسٹوگرام پر اس تبدیلی کے اثرات کی وضاحت کرتے ہیں۔ ییو-جانسن تبدیلی ییو-جانسن تبدیلی کی صفر اور منفی اقدار کے لیے بھی اجازت دیتی ہے۔ کوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتا ہے، جہاں شناخت کی تبدیلی پیدا ہوتی ہے۔ تبدیلی کا قانون پڑھتا ہے: نوٹ حوالہ جات بیرونی لنکس (فکسڈ لنک) سانفورڈ ویسبرگ، ییو-جانسن پاور ٹرانسفارمیشن عام تقسیم شماریاتی ڈیٹا ٹرانسفارمیشن