Holonomic constraints
کلاسیکی میکانکس میں، ہولونومک رکاوٹیں پوزیشن متغیرات (اور ممکنہ طور پر وقت) کے درمیان تعلقات ہیں جن کا اظہار مندرجہ ذیل شکل میں کیا جا سکتا ہے: جہاں n عمومی نقاط ہیں جو نظام کو بیان کرتے ہیں (غیر محدود ترتیب کی جگہ میں)۔ مثال کے طور پر، کسی دائرے کی سطح پر پڑنے کے لیے پابند کسی ذرہ کی حرکت ایک ہولونومک رکاوٹ سے مشروط ہے، لیکن اگر ذرہ کشش ثقل کے زیر اثر دائرے سے گر سکتا ہے، تو رکاوٹ غیر ہولونومک ہو جاتی ہے۔ پہلی صورت کے لیے، ہولونومک رکاوٹ اس مساوات کے ذریعے دی جا سکتی ہے جہاں رداس کے دائرے کے مرکز سے فاصلہ ہے، جبکہ دوسری غیر ہولونومک صورت رفتار پر منحصر رکاوٹوں کے ذریعے دی جا سکتی ہے (جسے نیم ہولونومک رکاوٹیں بھی کہا جاتا ہے) جیسے کہ عام طور پر ہولونومک نہیں ہوتے ہیں۔ کلاسیکی میکانکس میں کسی نظام کو ہولونومک کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے اگر نظام کی تمام رکاوٹیں ہولونومک ہوں۔ کسی رکاوٹ کے ہولونومک ہونے کے لیے اسے ایک فنکشن کے طور پر قابل اظہار ہونا چاہیے: یعنی۔ ایک ہولونومک رکاوٹ کا انحصار صرف نقاط اور شاید وقت پر ہوتا ہے۔ یہ t کے حوالے سے رفتار یا کسی اعلی ترتیب کے مشتق پر منحصر نہیں ہے۔ ایک رکاوٹ جس کا اظہار اوپر دکھائی گئی شکل میں نہیں کیا جا سکتا وہ ایک غیر ہولونومک رکاوٹ ہے۔ تعارف جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، ہولونومک سسٹم (محض بولنا) ایک ایسا نظام ہے جس میں کوئی شخص وقت کے ساتھ نظام کے اجزاء کی پوزیشنوں کی تبدیلی کو جان کر کسی نظام کی حالت کا اندازہ لگا سکتا ہے، لیکن رفتار کو جاننے کی ضرورت نہیں ہے یا اجزاء ایک دوسرے کے مقابلے میں کس ترتیب میں منتقل ہوئے ہیں۔ اس کے برعکس، ایک غیر ہولونومک نظام اکثر ایک ایسا نظام ہوتا ہے جہاں وقت کے ساتھ اجزاء کی رفتار کو نظام کی حالت کی تبدیلی کا تعین کرنے کے قابل ہونا چاہیے، یا ایک ایسا نظام جہاں حرکت پذیر حصہ کسی رکاوٹ کی سطح، حقیقی یا خیالی سے پابند ہونے کے قابل نہیں ہے۔ ہولونومک نظاموں کی مثالیں گینٹری کرینز، پنڈلمز اور روبوٹک آرمز ہیں۔ غیر ہولونومک نظاموں کی مثالیں سیگوے، یونی سائیکل اور آٹوموبائل ہیں۔ اصطلاحات ترتیب کی جگہ نظام کے اجزاء کی نقل مکانی کی فہرست بناتی ہے، آزادی کی ہر ڈگری کے لیے ایک۔ ایک ایسا نظام جسے ترتیب کی جگہ کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے اسے اسکلیرنومک کہا جاتا ہے۔ ایونٹ کی جگہ ترتیب کی جگہ سے ملتی جلتی ہے سوائے ایک متغیر کے اضافے کے جو وقت کے ساتھ نظام میں ہونے والی تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے (اگر نظام کو بیان کرنے کی ضرورت ہو)۔ ایک ایسا نظام جسے صرف ترتیب کی جگہ کے بجائے ایونٹ کی جگہ کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جانا چاہیے، ریونومک کہلاتا ہے۔ بہت سے نظاموں کو اسکلیرنومک یا ریونومک طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، پنڈلم کی کل قابل اجازت حرکت کو اسکلیرنومک رکاوٹ کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے، لیکن پنڈلم کی وقت کے ساتھ حرکت کو ریونومک رکاوٹ کے ساتھ بیان کیا جانا چاہیے۔ ریاستی جگہ ترتیب کی جگہ ہے، اس کے علاوہ ترتیب کی جگہ میں ہر اصطلاح کی رفتار کو بیان کرنے والی اصطلاحات۔ ریاستی وقت کی جگہ وقت کا اضافہ کرتی ہے۔ مثال گینٹری کرین جیسا کہ دائیں طرف دکھایا گیا ہے، گینٹری کرین ایک اوور ہیڈ کرین ہے جو اپنے ہک کو 3 محوروں میں منتقل کرنے کے قابل ہے جیسا کہ تیروں سے ظاہر ہوتا ہے۔ بدیہی طور پر، ہم یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ کرین ایک ہولونومک نظام ہونا چاہیے، کیونکہ اس کے اجزاء کی دی گئی حرکت کے لیے، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ اجزاء کس ترتیب یا رفتار سے حرکت کرتے ہیں: جب تک کہ دی گئی ابتدائی حالت سے ہر جزو کی کل نقل مکانی یکساں ہو، تمام حصے اور مجموعی طور پر نظام ایک ہی حالت میں ختم ہو جائیں گے۔ ریاضیاتی طور پر ہم اسے اس طرح ثابت کر سکتے ہیں: ہم نظام کی ترتیب کی جگہ کی وضاحت اس طرح کر سکتے ہیں: ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ کرین کے ہر جزو کا اس کی "صفر" پوزیشن سے انحراف بالترتیب نیلے، سبز اور نارنجی اجزاء کے لیے ہوتا ہے۔ کوآرڈینیٹ سسٹم کی واقفیت اور تعین سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ آیا کوئی نظام ہولونومک ہے، لیکن اس مثال میں اجزاء اس کے محوروں کے متوازی حرکت کرتے ہیں۔ اگر کوآرڈینیٹ سسٹم کی ابتدا کرین کے پچھلے نیچے بائیں طرف ہے، تو ہم پوزیشن کی رکاوٹ کی مساوات کو اس طرح لکھ سکتے ہیں: کرین کی اونچائی کہاں ہے۔ اختیاری طور پر، ہم اس معیاری شکل کو آسان بنا سکتے ہیں جہاں تمام مستقلات متغیرات کے بعد رکھے جاتے ہیں: کیونکہ ہم نے ہولونومک شکل میں ایک رکاوٹ مساوات حاصل کی ہے (خاص طور پر، ہماری رکاوٹ مساوات کی شکل کہاں ہے)، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ نظام لازمی طور پر ہولونومک ہونا چاہیے۔ پنڈلم جیسا کہ دائیں طرف دکھایا گیا ہے، ایک سادہ پنڈلم ایک ایسا نظام ہے جو وزن اور تار پر مشتمل ہوتا ہے۔ تار ایک محور کے اوپری سرے پر اور نیچے کے سرے پر وزن سے منسلک ہوتا ہے۔ ناقابل توسیع ہونے کی وجہ سے تار کی لمبائی مستقل ہوتی ہے۔ یہ نظام ہولونومک ہے کیونکہ یہ ہولونومک رکاوٹ کی پابندی کرتا ہے جہاں وزن کی پوزیشن ہے اور تار کی لمبائی ہے۔ سخت جسم ایک سخت جسم کے ذرات ہولونومک رکاوٹ کی پابندی کرتے ہیں جہاں، بالترتیب ذرات کی پوزیشنیں ہیں اور، اور ان کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ اگر کوئی دیا ہوا نظام ہولونومک ہے، تو زیر بحث نظام کے اجزاء سے اضافی حصوں کو سختی سے جوڑنا اسے غیر ہولونومک نہیں بنا سکتا، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ڈگری آف فریڈم کم نہیں ہوئی ہے (دوسرے الفاظ میں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ترتیب کی جگہ میں کوئی تبدیلی نہیں ہوئی ہے)۔ ایک رکاوٹ کی درج ذیل تفریقی شکل پر غور کریں: ith رکاوٹ مساوات کے لیے تفریق کے گتانک کہاں ہیں۔ اس شکل کو فافین شکل یا تفریقی شکل کہا جاتا ہے۔ اگر تفریق شکل مربوط ہے، یعنی، اگر کوئی فنکشن مساوات کو مطمئن کرتا ہے تو یہ رکاوٹ ایک ہولونومک رکاوٹ ہے ؛ بصورت دیگر، یہ غیر ہولونومک ہے۔ لہذا، تمام ہولونومک اور کچھ غیر ہولونومک رکاوٹوں کا اظہار تفریقی شکل کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ غیر ہولونومک رکاوٹوں کی مثالیں جن کا اظہار اس طرح نہیں کیا جا سکتا وہ ہیں جو عمومی رفتار پر منحصر ہیں۔ فافین کی شکل میں ایک رکاوٹ مساوات کے ساتھ، چاہے رکاوٹ ہولونومک ہو یا غیر ہولونومک اس بات پر منحصر ہے کہ آیا فافین کی شکل مربوط ہے۔ فیفین فارم کی رکاوٹ کی انٹیگریبلٹی (یا کمی) کی تصدیق کے لیے ٹیسٹ کی تفصیل کے لیے نیچے ہولونومک رکاوٹوں کے لیے یونیورسل ٹیسٹ دیکھیں۔ ہولونومک رکاوٹوں کے لیے یونیورسل ٹیسٹ جب کسی نظام کی رکاوٹ مساوات کو فافین رکاوٹ کی شکل میں لکھا جاتا ہے، تو اس بات کا تعین کرنے کے لیے ایک ریاضیاتی ٹیسٹ موجود ہوتا ہے کہ آیا نظام ہولونومک ہے یا نہیں۔ رکاوٹ مساوات، یا رکاوٹ مساوات کے سیٹوں کے لیے (نوٹ کریں کہ وقت کی نمائندگی کرنے والے متغیرات کو شامل کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ اوپر سے اور مندرجہ ذیل شکل میں): ہم ٹیسٹ مساوات کا استعمال کر سکتے ہیں: جہاں ٹیسٹ مساوات فی رکاوٹ مساوات کے امتزاج میں، رکاوٹ مساوات کے تمام سیٹوں کے لیے۔ دوسرے لفظوں میں، تین متغیرات کے نظام کو ایک بار ایک ٹیسٹ مساوات کے ساتھ ٹیسٹ کرنا ہوگا جس میں شرائط رکاوٹ مساوات (کسی بھی ترتیب میں) میں اصطلاحات ہوں گی، لیکن چار متغیرات کے نظام کو ٹیسٹ کرنے کے لیے ٹیسٹ کو چار مختلف ٹیسٹ مساوات کے ساتھ چار بار تک انجام دینا ہوگا، جس میں اصطلاحات اصطلاحات ہوں گی،، اور رکاوٹ مساوات میں (ہر ایک ترتیب میں) چار مختلف ٹیسٹوں میں۔ پانچ متغیرات کے نظام کے لیے، اس حقیقت کی تصدیق کے لیے ایک ہولونومک نظام پر دس ٹیسٹ کرنے ہوں گے، اور رکاوٹوں کی مساوات کے تین سیٹوں والے پانچ متغیرات کے نظام کے لیے، تیس ٹیسٹ (یہ فرض کرتے ہوئے کہ اس تعداد کو کم کرنے کے لیے متغیر کی تبدیلی کی طرح آسان کاری نہیں کی جا سکی)۔ اس وجہ سے، یہ مشورہ دیا جاتا ہے کہ جب اس طریقہ کو تین سے زیادہ متغیرات کے نظاموں پر استعمال کیا جائے تو عقل کا استعمال کریں کہ آیا زیر بحث نظام ہولونومک ہے، اور صرف اس صورت میں جانچ کا تعاقب کریں جب نظام ممکنہ طور پر نہیں ہے۔ مزید برآں، اسی طرح ریاضیاتی وجدان کا استعمال کرتے ہوئے یہ پیش گوئی کرنے کی کوشش کرنا بہتر ہے کہ کون سا ٹیسٹ پہلے ناکام ہوگا اور اس سے شروع ہوگا، پہلے ان ٹیسٹوں کو چھوڑنا جن کے کامیاب ہونے کا امکان ہے۔ اگر ہر ٹیسٹ مساوات تمام رکاوٹ مساوات کے لیے امتزاج کے پورے سیٹ کے لیے درست ہے، تو نظام ہولونومک ہے۔ اگر یہ ایک بھی ٹیسٹ کے امتزاج کے لیے غلط ہے، تو نظام غیر ہولونومک ہے۔ مثال اس متحرک نظام پر غور کریں جسے فافین کی شکل میں رکاوٹ مساوات کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ ترتیب کی جگہ، معائنہ کے ذریعہ، ہے۔ چونکہ ترتیب کی جگہ میں صرف تین اصطلاحات ہیں، اس لیے صرف ایک ٹیسٹ مساوات کی ضرورت ہوگی۔ ہم رکاوٹ مساوات کی شرائط کو اس طرح منظم کر سکتے ہیں، متبادل کی تیاری میں: شرائط کو تبدیل کرتے ہوئے، ہماری ٹیسٹ مساوات بن جاتی ہے: تمام جزوی مشتقات کا حساب لگانے کے بعد، ہمیں ملتا ہے: آسان بناتے ہوئے، ہم یہ پاتے ہیں کہ: ہم دیکھتے ہیں کہ ہماری ٹیسٹ مساوات درست ہے، اور اس طرح، نظام کو ہولونومک ہونا چاہیے۔ ہم نے اپنا امتحان مکمل کر لیا ہے، لیکن اب یہ جانتے ہوئے کہ نظام ہولونومک ہے، ہم ہولونومک رکاوٹ مساوات تلاش کرنا چاہیں گے۔ ہم فافین فارم کی ہر اصطلاح کو مربوط کرکے اور انہیں ایک مساوات میں متحد کرنے کی کوشش کر کے اسے تلاش کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں، اس طرح: یہ دیکھنا آسان ہے کہ ہم اپنے انضمام کے نتائج کو یکجا کر کے ہولونومک رکاوٹ مساوات تلاش کر سکتے ہیں: جہاں C انضمام کا مستقل ہے۔ مستقل گتانک کی رکاوٹیں کسی دی گئی فافین رکاوٹ کے لیے جہاں ہر تفریق کا ہر گتانک مستقل ہوتا ہے، دوسرے لفظوں میں، شکل میں ایک رکاوٹ: رکاوٹ کو ہولونومک ہونا چاہیے۔ ہم اسے مندرجہ ذیل طور پر ثابت کر سکتے ہیں: فافین کی شکل میں رکاوٹوں کے ایک ایسے نظام پر غور کریں جہاں ہر تفریق کا ہر گتانک مستقل ہو، جیسا کہ براہ راست اوپر بیان کیا گیا ہے۔ یہ جانچنے کے لیے کہ آیا رکاوٹوں کا یہ نظام ہولونومک ہے، ہم یونیورسل ٹیسٹ استعمال کرتے ہیں۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ ٹیسٹ مساوات میں تین اصطلاحات ہیں جن کا مجموعہ صفر ہونا چاہیے۔ لہذا، اگر ہر ممکنہ ٹیسٹ مساوات میں ان تینوں اصطلاحات میں سے ہر ایک صفر ہے، تو تمام ٹیسٹ مساوات درست ہیں اور یہ نظام ہولونومک ہے۔ ہر ٹیسٹ مساوات کی ہر اصطلاح اس شکل میں ہوتی ہے: جہاں:،، اور کسی دی گئی رکاوٹ کے لیے کچھ مجموعہ (کل امتزاج کے ساتھ) ہوتے ہیں۔ ،، اور اور کا متعلقہ مجموعہ ہیں۔ مزید برآں، ٹیسٹ مساوات کے سیٹ بھی ہیں۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ تعریف کے مطابق سبھی مستقلات ہیں۔ کیلکولس میں یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ کسی بھی مستقل کا کوئی مشتق (مکمل یا جزوی) ہے۔ لہذا، ہم ہر جزوی مشتق کو کم کر سکتے ہیں: اور اس لیے ہر اصطلاح صفر ہے، بائیں طرف ہر ٹیسٹ کی مساوات صفر ہے، ہر ٹیسٹ کی مساوات درست ہے، اور نظام ہولونومک ہے۔ دو یا ایک متغیر کی ترتیب خالی جگہیں کوئی بھی نظام جسے فافین رکاوٹ کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے اور جس میں صرف دو متغیرات یا ایک متغیر کی ترتیب کی جگہ یا ریاستی جگہ ہوتی ہے وہ ہولونومک ہے۔ ہم اسے اس طرح ثابت کر سکتے ہیں: ایک متحرک نظام پر غور کریں جس میں ترتیب کی جگہ یا ریاستی جگہ بیان کی گئی ہے: اگر نظام کو ریاستی جگہ سے بیان کیا گیا ہے، تو ہم صرف یہ کہتے ہیں کہ یہ ہمارے وقت متغیر کے برابر ہے۔ اس نظام کو فافین شکل میں بیان کیا جائے گا: رکاوٹوں کے سیٹ کے ساتھ۔ نظام کی جانچ یونیورسل ٹیسٹ کا استعمال کرتے ہوئے کی جائے گی۔ تاہم، یونیورسل ٹیسٹ کے لیے ترتیب یا ریاستی جگہ میں تین متغیرات کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے، ہم صرف تشکیل یا اسٹیٹ اسپیس میں ایک ڈمی متغیر شامل کرتے ہیں: کیونکہ ڈمی متغیر تعریف کے مطابق سسٹم میں کسی چیز کی پیمائش نہیں ہے، اس لیے فافین شکل میں اس کا گتانک ہونا چاہیے۔ اس طرح ہم اپنی فافین شکل پر نظر ثانی کرتے ہیں: اب ہم ٹیسٹ کو اس طرح استعمال کر سکتے ہیں، کسی دی گئی رکاوٹ کے لیے اگر رکاوٹوں کا ایک مجموعہ موجود ہو: اس بات کا احساس ہونے پر: کیونکہ ڈمی متغیر نظام کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والے کوفشنٹس میں ظاہر نہیں ہو سکتا، ہم دیکھتے ہیں کہ ٹیسٹ مساوات کو تمام سیٹوں کے لیے درست ہونا چاہیے اور اس طرح نظام کو ہولونومک ہونا چاہیے۔ اسی طرح کا ثبوت ترتیب یا ریاستی جگہ میں ایک حقیقی متغیر اور دو ڈمی متغیرات کے ساتھ کیا جا سکتا ہے تاکہ اس بات کی تصدیق کی جا سکے کہ فافین کی شکل میں بیان کیے جانے والے ون ڈگری آف فریڈم سسٹم بھی ہمیشہ ہولونومک ہوتے ہیں۔ آخر میں، ہم سمجھتے ہیں کہ اگرچہ فافین کی شکل میں غیر ہولونومک نظاموں کا نمونہ بنانا ممکن ہے، کوئی بھی نظام جو فافین کی شکل میں دو یا اس سے کم ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ماڈل کیا جا سکتا ہے (ڈگری آف فریڈم کی تعداد ترتیب کی جگہ میں اصطلاحات کی تعداد کے برابر ہے) لازمی طور پر ہولونومک ہونا چاہیے۔ اہم نوٹ: اس بات کا احساس کریں کہ ٹیسٹ مساوات ناکام ہوگئی کیونکہ ڈمی متغیر، اور اس وجہ سے ٹیسٹ میں شامل ڈمی تفریق، کسی بھی ایسی چیز میں فرق کرے گی جو اصل ترتیب یا اسٹیٹ اسپیس متغیرات کا فنکشن ہے۔ ترتیب یا ریاستی جگہ کے ساتھ ایک نظام کا ہونا: اور رکاوٹوں کا ایک مجموعہ جہاں ایک یا زیادہ رکاوٹیں فافین کی شکل میں ہوں: اس بات کی ضمانت نہیں دیتا ہے کہ نظام ہولونومک ہے، حالانکہ ایک تفریق کا گتانک ہوتا ہے، پھر بھی تین درجے ہیں۔ ترتیب یا ریاستی جگہ میں بیان کردہ آزادی کی۔ آزاد عمومی نقاط میں تبدیلی ہولونومک رکاوٹ مساوات ہمارے نظام میں کچھ منحصر متغیرات کو آسانی سے ہٹانے میں ہماری مدد کر سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ہم ہٹانا چاہتے ہیں، جو کہ رکاوٹ مساوات میں ایک پیرامیٹر ہے، تو ہم مساوات کو مندرجہ ذیل شکل میں دوبارہ ترتیب دے سکتے ہیں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ یہ کیا جا سکتا ہے، اور مندرجہ بالا فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے نظام کے ہر مساوات میں اس کی جگہ لے سکتے ہیں۔ یہ ہمیشہ عمومی فزیکل سسٹمز کے لیے کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ اس کا مشتق مسلسل ہو، پھر امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کے ذریعے، حل کی ضمانت کسی کھلے سیٹ میں دی جاتی ہے۔ اس طرح، منحصر متغیر کے تمام واقعات کو دور کرنا ممکن ہے۔ فرض کریں کہ کسی جسمانی نظام میں ڈگری آف فریڈم ہوتی ہے۔ اب، نظام پر ہولونومک رکاوٹیں عائد کی جاتی ہیں۔ پھر، ڈگری آف فریڈم کی تعداد کو کم کر دیا جاتا ہے۔ ہم نظام کی حرکت کو مکمل طور پر بیان کرنے کے لیے آزاد عمومی نقاط () استعمال کر سکتے ہیں۔ تبدیلی کی مساوات کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جسمانی نظاموں کی درجہ بندی کلاسیکی طبیعیات کا سختی اور طریقہ کار کے ساتھ مطالعہ کرنے کے لیے ہمیں نظاموں کی درجہ بندی کرنے کی ضرورت ہے۔ پچھلی بحث کی بنیاد پر، ہم جسمانی نظاموں کو ہولونومک نظاموں اور غیر ہولونومک نظاموں میں درجہ بندی کر سکتے ہیں۔ بہت سے نظریات اور مساوات کے اطلاق کے لیے ایک شرط یہ ہے کہ نظام کو ایک ہولونومک نظام ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی جسمانی نظام ایک ہولونومک نظام اور ایک مونوجینک نظام ہے، تو ہیملٹن کا اصول لگرینج کی مساوات کی درستگی کے لیے ضروری اور کافی شرط ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ غیر ہولوونومک نظام گوریچیو-چیپلیگن ٹاپ فافین رکاوٹ ادواڈیا-کالابا مساوات حوالہ جات کلاسیکی میکانکس