Fraňková–Helly selection theorem
ریاضی میں، فرینکووا-ہیلی سلیکشن تھیوریم ریگولیٹڈ افعال کے معاملے میں باؤنڈڈ ویری ایشن کے افعال کے لیے ہیلی کے سلیکشن تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ یہ 1991 میں چیک ریاضی دان ڈانا فرینکووا نے ثابت کیا تھا۔ پس منظر X کو ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس ہونے دیں، اور BV ([0, T] ؛ X) کو تمام افعال f: [0, T] → X کے معیاری ویکٹر اسپیس کی نشاندہی کرنے دیں جس میں وقفہ [0, T] پر محدود کل تغیر کے ساتھ، کل تغیر کے معیار سے لیس ہے۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ BV ([0, T]; X) کمپیکٹنیس تھیوریم کو مطمئن کرتا ہے جسے ہیلی کے سلیکشن تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے: BV ([0, T] ؛ X) میں فنکشنز کی کسی بھی ترتیب کو دیکھتے ہوئے جو کل تغیر کے معیار میں یکساں طور پر پابند ہے، اس میں ایک تسلسل اور ایک حد فنکشن موجود ہے f ωBV ([0, T] ؛ X) اس طرح کہ fn (k) (t) ہر t ω [0, T] کے لیے X سے f (t) میں کمزور طور پر یکجا ہوتا ہے۔ یعنی، ہر مسلسل لکیری فنکشنل λ bul X * کے لیے، اب تمام ریگولیٹڈ فنکشن f: [0, T] → X کے بناچ اسپیس ریگ ([0, T]; X) پر غور کریں، جو بالادستی کے معیار سے لیس ہے۔ ہیلی کا نظریہ سپیس ریگ ([0، T] ؛ X) کے لیے نہیں ہے: ایک جوابی مثال ترتیب کے ذریعے دی گئی ہے، تاہم، اگر کوئی کمزور سلیکشن تھیوریم درست ہے، اور فرینکووا-ہیلی سلیکشن تھیوریم ایسا نتیجہ ہے۔ فرانکووا-ہیلی سلیکشن تھیوریم کا بیان پہلے کی طرح، X کو ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس ہونے دیں اور Reg ([0, T]; X) کو ریگولیٹڈ فنکشن f: [0, T] → X کی جگہ کی نشاندہی کرنے دیں، جو بالادستی کے معیار سے لیس ہے۔ فرض کریں کہ (fn) n ω N، Reg ([0, T] ؛ X) میں ایک ترتیب ہے جو مندرجہ ذیل شرط کو پورا کرتی ہے: ہر ε> 0 کے لیے، کچھ Lε> 0 موجود ہے تاکہ ہر fn کا تخمینہ ایک un ω BV ([0, T] ؛ X) سے لگایا جا سکے جو تسلی بخش ہو اور جہاں |-|، X میں معیار کی نشاندہی کرتا ہے اور Var (u)، u کی تغیر کو ظاہر کرتا ہے، جسے [0, T] کے تمام حصوں پر بالادستی کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس کے بعد ایک تسلسل اور ایک حد فنکشن موجود ہے f ωR ([0, T] ؛ X) اس طرح کہ fn (k) (t) ہر t ω [0, T] کے لیے X میں f (t) میں کمزور طور پر یکجا ہو جاتا ہے۔ یعنی، ہر مسلسل لکیری فنکشنل λ bul X * کے لیے، تجزیہ میں حوالہ جات کے نظریات کمپیکٹنیس تھیوریمز ہیں۔