Band (algebra)
ریاضی میں، بینڈ (جسے آئیڈیمپوٹینٹ سیمی گروپ بھی کہا جاتا ہے) ایک سیمی گروپ ہے جس میں ہر عنصر آئیڈیمپوٹینٹ ہوتا ہے (دوسرے الفاظ میں اس کے اپنے مربع کے برابر)۔ بینڈ کا سب سے پہلے مطالعہ کیا گیا اور ان کے نام رکھے گئے۔ بینڈ کی اقسام کی جالی کو 1970 کی دہائی کے اوائل میں بریکوف، فینمور اور گیرہارڈ نے آزادانہ طور پر بیان کیا تھا۔ سیمی لیٹیس، لیفٹ زیرو بینڈ، رائٹ زیرو بینڈ، آئتاکار بینڈ، نارمل بینڈ، لیفٹ ریگولر بینڈ، رائٹ ریگولر بینڈ اور ریگولر بینڈ بینڈ کے مخصوص ذیلی طبقے ہیں جو اس لیٹیس کے نچلے حصے کے قریب واقع ہیں اور جو خاص دلچسپی کے حامل ہیں۔ انہیں مختصر طور پر ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ بینڈ کی اقسام بینڈ کی ایک کلاس مختلف قسم کی تشکیل کرتی ہے اگر اسے ذیلی گروپوں، ہومومورفک امیجز اور براہ راست پروڈکٹ کی تشکیل کے تحت بند کیا جائے۔ ہر قسم کے بینڈ کی تعریف ایک واحد متعین شناخت سے کی جا سکتی ہے۔ سیمی لیٹیسیس سیمی لیٹیسیس بالکل مواصلاتی بینڈ ہیں ؛ یعنی، وہ بینڈ ہیں جو سب کے لیے مساوات کو مطمئن کرتے ہیں اور۔ بینڈ ایک پری آرڈر کو جنم دیتے ہیں جس کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے جیسے۔ کمیوٹیٹیویٹی کی ضرورت کا مطلب یہ ہے کہ یہ پری آرڈر ایک (سیمی لیٹس) جزوی آرڈر بن جاتا ہے۔ ایک لیفٹ زیرو بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو مساوات کو مطمئن کرتا ہے، جہاں سے اس کی کیلی ٹیبل میں مستقل قطاریں ہوتی ہیں۔ متناسب طور پر، دائیں صفر کا بینڈ اطمینان بخش ہوتا ہے، تاکہ کیلی ٹیبل میں مستقل کالم ہوں۔ ایک آئتاکار بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو سب کے لیے، یا مساوی طور پر، سب کے لیے مطمئن کرتا ہے، کسی بھی سیمی گروپ میں پہلی شناخت کہیں بھی متغیر سیمی گروپ کی خصوصیت کے لیے کافی ہوتی ہے۔ کہیں بھی متغیر سیمی گروپ پہلی شناخت کا اشارہ نہیں کرتا ہے۔ کسی بھی لچکدار میگما میں اس طرح ہر عنصر اپنے مربع کے ساتھ حرکت کرتا ہے۔ لہذا کسی بھی نویر کمیونیٹیٹو سیمی گروپ میں ہر عنصر آئیڈیمپوٹینٹ ہوتا ہے اس طرح کوئی بھی نویر کمیونیٹیٹو سیمی گروپ درحقیقت ایک نویر کمیونیٹیٹو بینڈ ہوتا ہے۔ اس طرح کسی بھی نقل مکانی کرنے والے سیمی گروپ میں تو پہلی خصوصیت کی شناخت کے ساتھ اور اس طرح سفر کرتا ہے۔ کسی بھی سیمی گروپ میں پہلی شناخت کا مطلب آئیڈیمپوٹینٹ ہے کیونکہ یہ بہت زیادہ آئیڈیمپوٹینٹ (ایک بینڈ) ہے۔ پھر بینڈ کے بعد سے کہیں بھی تبادلہ نہیں ہوتا ہے لہذا کسی بھی سیمی گروپ میں پہلی شناخت سے دوسرا بھی مراد ہوتا ہے کیونکہ۔ ایک آئتاکار سیمی گروپ کے آئیڈیمپوٹینٹس ایک ذیلی بینڈ بناتے ہیں جو ایک آئتاکار بینڈ ہے لیکن ایک آئتاکار سیمی گروپ میں ایسے عناصر ہو سکتے ہیں جو آئیڈیمپوٹینٹ نہیں ہیں۔ بینڈ میں دوسری شناخت واضح طور پر پہلی کا اشارہ کرتی ہے لیکن اس کے لیے آئیڈمپٹننس کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایسے سیمی گروپ موجود ہیں جو دوسری شناخت کو مطمئن کرتے ہیں لیکن بینڈ نہیں ہیں اور پہلے کو مطمئن نہیں کرتے ہیں۔ آئتاکار بینڈوں کی مکمل درجہ بندی ہے۔ صوابدیدی سیٹوں کو دیکھتے ہوئے اور کوئی بھی میگما آپریشن کو ترتیب دے کر اس کی وضاحت کر سکتا ہے۔ یہ آپریشن ایسوسی ایٹیو ہے کیونکہ کسی بھی تین جوڑوں کے لیے، ہمارے پاس ہے اور اسی طرح یہ دونوں میگما شناخت ہیں اور ایک ساتھ اوپر دی گئی دوسری خصوصیت کی شناخت کے برابر ہیں۔ یہ دونوں مل کر ہم آہنگی کو بھی ظاہر کرتے ہیں۔ کوئی بھی میگما جو ان دو آئتاکار شناختوں اور شناخت کو مطمئن کرتا ہے اس لیے ایک آئتاکار بینڈ ہے۔ لہذا کوئی بھی میگما جو خصوصیت کی شناخت (چار الگ الگ میگما شناخت) دونوں کو مطمئن کرتا ہے وہ ایک بینڈ ہے اور اس لیے ایک آئتاکار بینڈ ہے۔ اوپر بیان کردہ میگما آپریشن ایک آئتاکار بینڈ ہے کیونکہ ہمارے پاس کسی بھی جوڑے کے لیے ہر عنصر مثالی ہے اور پہلی خصوصیت کی شناخت دوسرے سے آئیڈیمپوٹیننس کے ساتھ ملتی ہے۔ لیکن ایک میگما جو صرف پہلی خصوصیت اور استعداد کے لیے شناختوں کو مطمئن کرتا ہے اس کے لیے ملحقہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے اس لیے دوسری خصوصیت صرف سیمی گروپ میں پہلے کی پیروی کرتی ہے۔ کوئی بھی آئتاکار بینڈ مندرجہ بالا فارم میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے (یا تو خالی ہے، یا کوئی عنصر چنتا ہے، اور پھر () ایک آئسومورفزم کی وضاحت کرتا ہے)۔ لیفٹ زیرو اور رائٹ زیرو بینڈ آئتاکار بینڈ ہوتے ہیں، اور درحقیقت ہر آئتاکار بینڈ لیفٹ زیرو بینڈ اور رائٹ زیرو بینڈ کے براہ راست پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ پرائم آرڈر کے تمام آئتاکار بینڈ صفر بینڈ ہوتے ہیں، یا تو بائیں یا دائیں۔ ایک آئتاکار بینڈ کو خالصتا آئتاکار کہا جاتا ہے اگر یہ بائیں صفر یا دائیں صفر بینڈ نہیں ہے۔ زمرہ جاتی زبان میں، کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ غیر خالی آئتاکار بینڈ کا زمرہ اس کے مساوی ہے، جہاں غیر خالی سیٹوں کے ساتھ زمرہ اشیاء کے طور پر اور افعال مورفزم کے طور پر ہیں۔ اس سے نہ صرف یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر غیر خالی آئتاکار بینڈ سیٹوں کے جوڑے سے آنے والے بینڈ کے لیے آئسومورفک ہے، بلکہ یہ سیٹ بھی منفرد طور پر ایک کینونکل آئسومورفزم تک طے کیے جاتے ہیں، اور بینڈ کے درمیان تمام ہومومورفزم سیٹوں کے درمیان افعال کے جوڑوں سے آتے ہیں۔ اگر مندرجہ بالا نتیجہ میں سیٹ خالی ہے، تو آئتاکار بینڈ آزاد ہے، اور اس کے برعکس۔ یہی وجہ ہے کہ مندرجہ بالا نتیجہ صرف غیر خالی آئتاکار بینڈ اور غیر خالی سیٹوں کے جوڑوں کے درمیان مساوات دیتا ہے۔ آئتاکار بینڈ بھی-الجیبرا ہیں، جہاں سیٹ پر موناڈ ہے، جو کہ اخترن نقشہ ہے، اور۔ عام بینڈ ایک عام بینڈ ہے جو سب کے لیے اطمینان بخش ہے، اور۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ ایک عام بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو سب کے لیے اطمینان بخش ہے،،، اور۔ یہ وہی مساوات ہے جو میڈیئل میگما کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہے، لہذا ایک عام بینڈ کو میڈیئل بینڈ بھی کہا جا سکتا ہے، اور عام بینڈ میڈیئل میگما کی مثالیں ہیں۔ بائیں باقاعدہ بینڈ ایک بائیں باقاعدہ بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو سب کے لیے اطمینان بخش ہے، اگر ہم ایک سیمی گروپ لیتے ہیں اور اس کی وضاحت کرتے ہیں، تو ہم جزوی ترتیب حاصل کرتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ سیمی گروپ بائیں باقاعدہ بینڈ ہو۔ بائیں باقاعدہ بینڈ اس طرح پوسیٹس کے مطالعہ میں قدرتی طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ دائیں-باقاعدہ بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو تمام کے لیے اطمینان بخش ہوتا ہے۔ کوئی بھی دائیں-باقاعدہ بینڈ مخالف پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے بائیں-باقاعدہ بینڈ بن جاتا ہے۔ درحقیقت، ہر قسم کے بینڈ کا ایک 'مخالف' ورژن ہوتا ہے ؛ اس سے نیچے دی گئی شکل میں عکاسی کی ہم آہنگی پیدا ہوتی ہے۔ باقاعدہ بینڈ ایک ایسا بینڈ ہے جو اقسام کی تمام جالی کے لیے اطمینان بخش ہوتا ہے جب جزوی طور پر شمولیت کے ذریعے آرڈر کیا جاتا ہے، تو بینڈ کی اقسام قدرتی طور پر ایک جالی بناتی ہیں، جس میں دو اقسام کا ملاپ ان کا چوراہا ہوتا ہے اور دو اقسام کا جوڑ سب سے چھوٹی قسم ہوتی ہے جس میں دونوں شامل ہوتے ہیں۔ اس جالی کی مکمل ساخت معلوم ہے ؛ خاص طور پر، یہ قابل شمار، مکمل اور تقسیم ہے۔ باقاعدہ بینڈ کی 13 اقسام پر مشتمل ذیلی جالی شکل میں دکھائی گئی ہے۔ بائیں-صفر بینڈ، سیمی لیٹس، اور دائیں-صفر بینڈ کی اقسام اس جالی کے تین ایٹم (غیر معمولی کم از کم عناصر) ہیں۔ شکل میں دکھائے گئے ہر قسم کے بینڈ کی وضاحت صرف ایک شناخت سے کی جاتی ہے۔ یہ کوئی اتفاق نہیں ہے: درحقیقت، ہر قسم کے بینڈ کی تعریف ایک ہی شناخت سے کی جا سکتی ہے۔ بولین رنگ بھی دیکھیں، ایک رنگ جس میں ہر عنصر (ضرب کے لحاظ سے) آئیڈیمپوٹینٹ ہے۔ کہیں بھی کمیونیٹیٹو سیمی گروپ سیمی گروپ کی خصوصی کلاسیں نیم گروپ آرتھوڈوکس سیمی گروپ نوٹ حوالہ جات۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ الجبرائی ڈھانچے سیمی گروپ تھیوری