Pendulum (mechanics)
پنڈلم ایک ایسی باڈی ہے جسے ایک مقررہ سپورٹ سے معطل کیا جاتا ہے تاکہ وہ کشش ثقل کے زیر اثر آزادانہ طور پر آگے پیچھے جھولے۔ جب کسی پنڈلم کو اس کی آرام دہ، توازن کی پوزیشن سے ایک طرف ہٹایا جاتا ہے، تو یہ کشش ثقل کی وجہ سے بحالی قوت کے تابع ہوتا ہے جو اسے توازن کی پوزیشن کی طرف تیز کرے گا۔ جب چھوڑا جاتا ہے، تو پنڈلم کی کمیت پر کام کرنے والی بحالی قوت اسے توازن کی پوزیشن کے بارے میں ارتعاش کا سبب بنتی ہے، اور اسے آگے پیچھے جھولتی ہے۔ پنڈلم کی ریاضی عام طور پر کافی پیچیدہ ہوتی ہے۔ آسان مفروضے بنائے جا سکتے ہیں، جو ایک سادہ لاکٹ کی صورت میں حرکت کی مساوات کو چھوٹے زاویے کے ارتعاش کے لیے تجزیاتی طور پر حل کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ سادہ کشش ثقل لاکٹ کشش ثقل کا ایک سادہ لاکٹ حقیقی لاکٹ کا ایک مثالی ریاضیاتی نمونہ ہے۔ یہ ایک وزن (یا بوب) ہے جو بغیر کسی رگڑ کے محور سے لٹکائی گئی بڑے پیمانے پر تار کے سرے پر ہوتا ہے۔ چونکہ اس ماڈل میں رگڑ توانائی کا کوئی نقصان نہیں ہوتا ہے، جب ابتدائی نقل مکانی دی جاتی ہے تو یہ مستقل طول و عرض پر آگے پیچھے جھولے گا۔ ماڈل ان مفروضوں پر مبنی ہے: وہ چھڑی یا ہڈی جس پر باب جھولتا ہے وہ بڑے پیمانے پر، ناقابل توسیع پذیر ہوتا ہے اور ہمیشہ تنگ رہتا ہے۔ باب ایک پوائنٹ ماس ہے۔ حرکت صرف دو جہتوں میں ہوتی ہے، یعنی۔ باب ایک ایلیپس نہیں بلکہ ایک آرک کا سراغ لگاتا ہے۔ حرکت رگڑ یا ہوا کی مزاحمت سے توانائی نہیں کھوتی ہے۔ کشش ثقل کا میدان یکساں ہے۔ سپورٹ حرکت نہیں کرتا ہے۔ تفریق مساوات جو ایک سادہ لاکٹ کی حرکت کی نمائندگی کرتی ہے وہ کشش ثقل کے میدان کی شدت ہے، چھڑی یا ہڈی کی لمبائی ہے، اور عمودی سے لاکٹ تک کا زاویہ ہے۔ چھوٹے زاویے کا تخمینہ اوپر دی گئی تفریقی مساوات کو آسانی سے حل نہیں کیا جا سکتا، اور ایسا کوئی حل نہیں ہے جسے ابتدائی افعال کے لحاظ سے لکھا جا سکے۔ تاہم، ارتعاش کے طول و عرض کے سائز میں پابندی شامل کرنے سے ایک ایسی شکل ملتی ہے جس کا حل آسانی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اگر یہ فرض کیا جائے کہ زاویہ 1 ریڈین سے بہت کم ہے (اکثر 0.1 ریڈین سے کم، تقریبا 6° کے طور پر حوالہ دیا جاتا ہے)، یا پھر چھوٹے زاویے کے تخمینے کو استعمال کرنے میں تبدیل کرنے سے ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے مساوات حاصل ہوتی ہے، تو تخمینہ کی وجہ سے ہونے والی غلطی ترتیب کی ہوتی ہے (ٹیلر کی توسیع سے)۔ ابتدائی زاویے کو ہونے دیں۔ اگر یہ فرض کیا جائے کہ پنڈلم صفر کونیی رفتار کے ساتھ چھوڑا جاتا ہے، تو حل بن جاتا ہے۔ حرکت سادہ ہارمونک حرکت ہے جہاں ارتعاش کا طول و عرض ہے (یعنی پنڈلم کی چھڑی اور عمودی کے درمیان زیادہ سے زیادہ زاویہ)۔ اس کے بعد حرکت کی متعلقہ تخمینہ مدت ہوتی ہے جسے اس مدت کے لیے کرسچین ہیوجینز کا قانون کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ چھوٹے زاویے کے تخمینے کے تحت، مدت طول و عرض سے آزاد ہے۔ یہ آئسوکرونزم کی خاصیت ہے جسے گیلیلیو نے دریافت کیا۔ پنڈلم کی لمبائی کے لیے انگوٹھے کا قاعدہ دیتا ہے اگر ایس آئی اکائیاں استعمال کی جاتی ہیں (یعنی۔ پیمائش میٹر اور سیکنڈ میں)، اور فرض کریں کہ پیمائش زمین کی سطح پر ہو رہی ہے، پھر، اور (0.994 3 اعشاریہ مقامات کا تخمینہ ہے)۔ لہذا، لمبائی اور مدت کے لیے نسبتا معقول تخمینے یہ ہیں: دو دھڑکنوں کے درمیان سیکنڈ کی تعداد کہاں ہے (سوئنگ کے ہر طرف کے لیے ایک دھڑکن)، اور میٹر میں ماپا جاتا ہے۔ صوابدیدی طول و عرض کی مدت چھوٹے زاویے کے تخمینے سے باہر طول و عرض کے لیے، کوئی بھی پہلے توانائی کے طریقہ () سے حاصل کردہ کونیی رفتار کے لیے مساوات کو الٹ کر، اور پھر ایک مکمل سائیکل پر ضم کر کے، یا نصف سائیکل سے دو بار یا چوتھائی سائیکل سے چار گنا جوڑ کر صحیح مدت کا حساب لگا سکتا ہے جو نوٹ کرنے کی طرف لے جاتا ہے کہ یہ انٹیگرل عمودی کے قریب پہنچتے ہی مختلف ہو جاتا ہے تاکہ عمودی جانے کے لیے صرف صحیح توانائی والا پنڈلم حقیقت میں کبھی وہاں نہ پہنچ سکے۔ (اس کے برعکس، اپنے زیادہ سے زیادہ کے قریب ایک لاکٹ کو نیچے گرنے میں من مانی طور پر طویل وقت لگ سکتا ہے۔) اس انٹیگرل کو ایلیپٹک انٹیگرلز کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جہاں پہلی قسم کا نامکمل ایلیپٹک انٹیگرل ہے یا اس کے لحاظ سے اظہار کردہ متبادل کے ذریعے زیادہ مختصر طور پر، یہاں پہلی قسم کا مکمل ایلیپٹک انٹیگرل ہے۔ یہاں سے ایلیپٹک انٹیگرل کا حساب لگانے کے لیے آگے بڑھنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ ایلپٹک انٹیگرل کے لیے لیجنڈری کثیر الجہتی حل دیا گیا ہے اور ایلپٹک انٹیگرل کے لیے لیجنڈری کثیر الجہتی حل: جہاں ڈبل فیکٹوریل کی نشاندہی ہوتی ہے، ایک سادہ پنڈلم کی مدت کا عین مطابق حل یہ ہے: شکل 4 پاور سیریز کا استعمال کرتے ہوئے متعلقہ غلطیوں کو ظاہر کرتی ہے۔ لکیری تخمینہ ہے، اور بالترتیب 2 ویں سے 10 ویں طاقتوں تک کی اصطلاحات کو شامل کرنا ہے۔ الپٹک انٹیگرل کے لیے پاور سیریز حل مندرجہ بالا حل کی ایک اور تشکیل مل سکتی ہے اگر مندرجہ ذیل میکلورین سیریز: اوپر لیجنڈری کثیر الجہتی حل میں استعمال ہو۔ نتیجے میں آنے والی پاور سیریز یہ ہے: انٹیجر سیکوینسز کے آن لائن انسائیکلوپیڈیا میں اعداد اور ڈینومینیٹرز کے ساتھ مزید حصے دستیاب ہیں۔ ایلیپٹک انٹیگرل کے لیے ریاضی-ہندسی اوسط حل دیا گیا ہے اور ایلیپٹک انٹیگرل کا ریاضی-ہندسی اوسط حل: اور کا ریاضی-ہندسی اوسط کہاں ہے۔ اس سے اس مدت کے لیے ایک متبادل اور تیزی سے تبدیل ہونے والا فارمولا حاصل ہوتا ہے: اس الگورتھم کی پہلی تکرار سے پتہ چلتا ہے کہ اس تخمینے میں 96.11 ڈگری تک کے زاویوں کے لیے 1 فیصد سے بھی کم کی رشتہ دار غلطی ہے۔ چونکہ اظہار کو زیادہ مختصر طور پر اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ اس الگورتھم کی دوسری ترتیب کی توسیع اس الگورتھم کی ایک دوسری تکرار سے ملتی ہے۔ اس دوسرے تخمینے میں 163.10 ڈگری تک کے زاویوں کے لیے 1 فیصد سے بھی کم کی رشتہ دار غلطی ہے۔ غیر لکیری پنڈلم پیریڈ کے لیے لگ بھگ فارمولے اگرچہ کسی بھی محدود طول و عرض ریڈ کے لیے، متعلقہ مکمل ایلیپٹک انٹیگرل کا اندازہ لگا کر عین مدت کا تعین کیا جا سکتا ہے، جہاں، ایپلی کیشنز میں اکثر اس سے گریز کیا جاتا ہے کیونکہ ابتدائی افعال کے لحاظ سے اس انٹیگرل کو بند شکل میں ظاہر کرنا ممکن نہیں ہے۔ اس سے طول و عرض کے ساتھ پنڈلم کی مدت میں اضافے کے لیے سادہ تخمینہ فارمولوں پر تحقیق کی راہ ہموار ہوئی ہے (تعارفی طبیعیات کی لیبارٹریوں، کلاسیکی میکانکس، برقی مقناطیسیت، صوتیات، الیکٹرانکس، سپر کنڈکٹیویٹی وغیرہ میں مفید)۔ مختلف مصنفین کی طرف سے پائے جانے والے لگ بھگ فارمولوں کی درجہ بندی اس طرح کی جا سکتی ہے: 'اتنا بڑا زاویہ نہیں' فارمولے، یعنی۔ وہ جو ریڈ سے نیچے طول و عرض کے لیے اچھے تخمینے دیتے ہیں (لچکدار تار کے آخر میں باب کے لیے ایک قدرتی حد)، حالانکہ عین مدت کے حوالے سے انحراف طول و عرض کے ساتھ یکسوئی سے بڑھتا ہے، ریڈ کے قریب طول و عرض کے لیے نامناسب ہوتا ہے۔ ادب میں پائے جانے والے آسان ترین فارمولوں میں سے ایک لیما (2006) کا درج ذیل فارمولا ہے:، جہاں۔ 'بہت بڑا زاویہ' کے فارمولے، یعنی۔ وہ جو ریڈ کے قریب طول و عرض کے لیے عین مطابق مدت کا تخمینہ لگاتا ہے، ایک ایسی غلطی کے ساتھ جو چھوٹے طول و عرض (یعنی چھوٹے طول و عرض کے لیے غیر موزوں) کے لیے یکسانیت سے بڑھتا ہے۔ اس طرح کے بہتر فارمولوں میں سے ایک کرومر کی طرف سے ہے، یعنی: یقینا، طول و عرض کے ساتھ اضافہ زیادہ واضح ہوتا ہے جب، جیسا کہ سخت چھڑی یا ڈسک کا استعمال کرتے ہوئے بہت سے تجربات میں دیکھا گیا ہے۔ چونکہ فی الحال تعارفی طبیعیات کی لیبارٹریوں میں بھی درست ٹائمر اور سینسر دستیاب ہیں، اس لیے 'بہت بڑے زاویے' کے تجربات میں پائی جانے والی تجرباتی غلطیاں پہلے ہی اتنی چھوٹی ہیں کہ عین مدت کے ساتھ موازنہ کیا جا سکے اور نظریہ اور تجربات کے درمیان ایک بہت اچھا معاہدہ ہے جس میں رگڑ نہ ہونے کے برابر ہے۔ چونکہ اس سرگرمی کی بہت سے انسٹرکٹرز نے حوصلہ افزائی کی ہے، اس لیے تمام ممکنہ طول و عرض کے لیے لاکٹ کی مدت کے لیے ایک سادہ تخمینہ فارمولہ طلب کیا گیا، جس سے تجرباتی ڈیٹا کا موازنہ کیا جا سکتا ہے۔ 2008 میں، لیما نے اس خصوصیت کے ساتھ ایک اوسط اوسط فارمولا اخذ کیا: جہاں، جو صرف 0.6 ٪ (at) کی زیادہ سے زیادہ غلطی پیش کرتا ہے۔ صوابدیدی-طول و عرض کونیی نقل مکانی کی فورئیر سیریز کی توسیع اس بات سے دی جاتی ہے کہ الپٹک نوم کہاں ہے، اور کونیی تعدد کہاں ہے۔ اگر کوئی وضاحت تو توسیع کا استعمال کرتے ہوئے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے (دیکھیں)۔ نوٹ کریں کہ ہمارے پاس ہے، اس طرح تخمینہ بڑے طول و عرض پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، زاویے کو ماڈیولس کے ساتھ جیکوبی ایلیپٹک فنکشن کے لحاظ سے دیا جا سکتا ہے۔ چھوٹے کے لیے، اور، اس لیے حل کو پینڈولم (میکانکس) #Small-زاویہ تخمینہ میں دیئے گئے حل سے اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے۔ مثالیں نیچے دی گئی حرکت پذیری میں باب کی ابتدائی نقل مکانی کی بڑھتی ہوئی مقدار کے ساتھ ایک سادہ (بے رگڑ) لاکٹ کی حرکت کو دکھایا گیا ہے۔ ہر پنڈلم کے اوپر چھوٹا گراف متعلقہ فیز طیارہ خاکہ ہے ؛ افقی محور نقل مکانی ہے اور عمودی محور رفتار ہے۔ ڈمپڈ، ڈرونڈ پنڈلم مندرجہ بالا بحث ایک پنڈلم باب پر مرکوز ہے جو صرف کشش ثقل کی قوت سے کام کرتا ہے۔ یہاں ہم اس کے بجائے ایک ڈمپنگ فورس سمجھتے ہیں، مثال کے طور پر۔ ہوا کی مزاحمت کے ساتھ ساتھ ایک سینوسائڈل ڈرائیونگ فورس جسم پر کام کرتی ہے۔ یہ نظام ایک نم، چلنے والا آسکیلیٹر ہے، اور افراتفری کا شکار ہے۔ مساوات (1) کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے (اوپر مساوات (1) کا ٹارک مشتق دیکھیں)۔ اب ہم دائیں ہاتھ کی طرف ڈمپنگ ٹرم اور فورسنگ ٹرم شامل کر سکتے ہیں تاکہ جہاں ہم نے ڈمپنگ جوڑے کو کونیی رفتار کے متناسب سمجھا ہے (یہ کم رفتار والی ہوا کی مزاحمت کے لیے درست ہے، ڈریگ (فزکس) بھی دیکھیں)۔ اور مستقلات ہیں جو بالترتیب قوت کے طول و عرض اور ڈمپنگ کی ڈگری کی وضاحت کرتے ہیں۔ ڈرائیونگ ارتعاش کی کونیی تعدد ہے۔ اب ہم حاصل کرنے کے لیے مستقلات کو مناسب طریقے سے تقسیم کر کے اور ان کی نئی تعریف کر کے آسان بنا سکتے ہیں۔ یہ مساوات افراتفری کے رویے کو ظاہر کرتی ہے۔ اس لاکٹ کی صحیح حرکت صرف عددی طور پر پائی جا سکتی ہے اور یہ ابتدائی حالات پر بہت زیادہ منحصر ہے، جیسے۔ ابتدائی رفتار اور ابتدائی طول و عرض۔ تاہم، اوپر بیان کردہ چھوٹے زاویے کا تخمینہ اب بھی مطلوبہ حالات کے تحت استعمال کیا جا سکتا ہے تاکہ ایک تخمینہ تجزیاتی حل دیا جا سکے۔ مرکب لاکٹ ایک مرکب لاکٹ (یا جسمانی لاکٹ) وہ ہوتا ہے جہاں چھڑی بڑے پیمانے پر نہیں ہوتی ہے، اور اس کا سائز بڑھا ہوا ہو سکتا ہے ؛ یعنی ایک من مانی شکل کا سخت جسم جو محور کے ذریعے جھول رہا ہوتا ہے۔ اس صورت میں پنڈلم کی مدت محور نقطہ کے ارد گرد اس کی جمود کے لمحے پر منحصر ہوتی ہے۔ ٹارک کی مساوات دیتی ہے: جہاں: کونیی ایکسلریشن ہے۔ ٹارک کشش ثقل سے پیدا ہوتا ہے لہذا: جہاں: جسم کی کمیت محور سے شے کے کمیت کے مرکز تک کا فاصلہ ہے عمودی سے زاویہ ہے لہذا، چھوٹے زاویے کے تخمینے کے تحت، محور نقطہ کے بارے میں جسم کی جمود کا لمحہ کہاں ہے۔ اگر ابتدائی زاویے کو (بڑے طول و عرض کے لیے) مدنظر رکھا جائے تو اس کا اظہار: بن جاتا ہے اور اس کی مدت دیتا ہے: جہاں ارتعاش کا زیادہ سے زیادہ زاویہ (عمودی کے حوالے سے) ہے اور یہ پہلی قسم کا مکمل ایلیپٹک انٹیگرل ہے۔ خیالی دور کی جسمانی تشریح جیکوبین ایلیپٹک فنکشن جو وقت کے فنکشن کے طور پر پنڈلم کی پوزیشن کو ظاہر کرتا ہے وہ حقیقی مدت اور خیالی مدت کے ساتھ دوگنا پیریڈک فنکشن ہے۔ حقیقی مدت، یقینا، وہ وقت ہے جو لاکٹ کو ایک مکمل چکر سے گزرنے میں لگتا ہے۔ پال ایپل نے خیالی دور کی ایک جسمانی تشریح کی طرف اشارہ کیا: اگر ایک لاکٹ کا زیادہ سے زیادہ زاویہ ہے اور دوسرے کا زیادہ سے زیادہ زاویہ ہے، تو ہر ایک کی حقیقی مدت دوسرے کے خیالی دور کی شدت ہے۔ جوڑے ہوئے پنڈولم ایک دوسرے کی حرکت کو متاثر کر سکتے ہیں، یا تو سمت کے کنکشن کے ذریعے (جیسے بوبس کو جوڑنے والا اسپرنگ) یا معاون ڈھانچے میں حرکت کے ذریعے (جیسے ٹیبل ٹاپ)۔ دو ایک جیسے سادہ پنڈلموں کے لیے حرکت کی مساوات جو بوبس کو جوڑنے والے اسپرنگ کے ساتھ مل کر لگرینجین میکانکس کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جا سکتی ہیں۔ نظام کی حرکی توانائی یہ ہے: جہاں بوبس کی کمیت ہے، تاروں کی لمبائی ہے، اور، توازن سے دو بوبس کی کونیی نقل مکانی ہیں۔ نظام کی ممکنہ توانائی یہ ہے: کشش ثقل کی ایکسلریشن کہاں ہے، اور اسپرنگ مستقل ہے۔ اسپرنگ کی اس کے توازن کی پوزیشن سے نقل مکانی چھوٹے زاویے کے تخمینے کو فرض کرتی ہے۔ اس کے بعد لاگرانجین وہ ہے جو جو جڑے ہوئے تفریقی مساوات کے مندرجہ ذیل سیٹ کی طرف لے جاتا ہے: ان دونوں مساوات کو باری باری جوڑنا اور گھٹانا، اور چھوٹے زاویے کے تخمینے کو لاگو کرنا، متغیرات میں دو ہارمونک آسکیلیٹر مساوات دیتا ہے اور: متعلقہ حلوں کے ساتھ جہاں اور،، انضمام کے مستقل ہیں۔ حلوں کو صرف اور صرف کے لحاظ سے ظاہر کرنا: اگر بوبس کو ابتدائی دھکا نہیں دیا جاتا ہے، تو شرط درکار ہوتی ہے، جو (کچھ دوبارہ ترتیب دینے کے بعد) دیتا ہے: ہارمونوگراف کونکل پنڈلم سائکلوئڈل پنڈلم ڈبل پنڈلم الٹا پنڈلم کاپیٹزا کا پنڈلم ریلیگ-لورینٹز پنڈلم لچکدار پنڈلم میتھیو فنکشن پینڈلم مساوات (سافٹ ویئر) حوالہ جات مزید پڑھنا میتھیو فنکشن تفریقی مساوات پر ریاضی کے عالمی مضمون متحرک نظام ہارولوجی ریاضیاتی طبیعیات ریاضی پر بیرونی روابط مزید پڑھنا