Zsigmondy's theorem
نمبر تھیوری میں، زیگمنڈی تھیوریم، جس کا نام کارل زیگمنڈی کے نام پر رکھا گیا ہے، بیان کرتا ہے کہ اگر کوپرائم انٹیجر ہیں، تو کسی بھی انٹیجر کے لیے، ایک پرائم نمبر p (جسے پرائمیٹ پرائم ڈیوائزر کہا جاتا ہے) ہوتا ہے جو تقسیم کرتا ہے اور کسی بھی مثبت انٹیجر کے لیے تقسیم نہیں کرتا ہے، مندرجہ ذیل مستثنیات کے ساتھ:، ؛ پھر جس میں کوئی پرائم ڈیوائزر نہیں ہوتا، دو کی طاقت ہوتی ہے ؛ پھر اس کے کسی بھی عجیب پرائم فیکٹر میں موجود ہونا ضروری ہے، جو کہ یکساں بھی ہے، ؛ پھر یہ بینگ کے تھیوریم کو عام کرتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ اگر اور 6 کے برابر نہیں ہے، تو اس میں ایک پرائم ڈیوائزر ہوتا ہے جو کسی کے ساتھ تقسیم نہیں کرتا ہے۔ اسی طرح، مستثنی کے ساتھ کم از کم ایک ابتدائی پرائم ڈیوائزر ہے۔ زیگمنڈی کا نظریہ اکثر مفید ہوتا ہے، خاص طور پر گروپ تھیوری میں، جہاں یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے کہ مختلف گروہوں کے الگ الگ آرڈر ہوتے ہیں سوائے اس کے کہ جب وہ ایک جیسے ہونے کے لیے جانے جاتے ہیں۔ تھیوریم کو زیگمنڈی نے ویانا میں 1894 سے 1925 تک کام کرتے ہوئے دریافت کیا تھا۔ عامیاں غیر صفر انٹیجرز کا ایک سلسلہ ہونے دیں۔ ترتیب سے وابستہ Zsigmondy سیٹ سیٹ ہے یعنی اشاریہ جات کا مجموعہ اس طرح ہے کہ ہر پرائم تقسیم بھی کچھ کے لیے کچھ تقسیم کرتا ہے۔ اس طرح زیگمنڈی تھیوریم کا مطلب یہ ہے کہ، اور کارمائیکل کا تھیوریم کہتا ہے کہ فبونیکی ترتیب کا زیگمنڈی سیٹ ہے، اور پیل ترتیب کا سیٹ ہے۔ 2001 میں بلو، ہنروٹ اور ووٹیئر نے ثابت کیا کہ عام طور پر، اگر لوکاس کی ترتیب یا لہمر کی ترتیب ہے، تو (دیکھیں، صرف 13 ایسے ہیں، یعنی 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 10، 12، 13، 18، 30)۔ لوکاس اور لیمر کے سلسلے تقسیم کے سلسلے کی مثالیں ہیں۔ یہ بھی معلوم ہے کہ اگر ایک الپٹک تقسیم کی ترتیب ہے، تو اس کا Zsigmondy سیٹ محدود ہے۔ تاہم، نتیجہ اس لحاظ سے غیر موثر ہے کہ ثبوت سب سے بڑے عنصر کے لیے ایک واضح اوپری حد نہیں دیتا ہے، حالانکہ اس میں عناصر کی تعداد کے لیے ایک موثر اوپری حد دینا ممکن ہے۔ کارمائیکل کا تھیوریم بھی دیکھیں حوالہ جات بیرونی روابط تھیوریمز ان نمبر تھیوری