Digital topology
ڈیجیٹل ٹوپولوجی دو جہتی (2 ڈی) یا تین جہتی (3 ڈی) ڈیجیٹل امیجز کی خصوصیات اور خصوصیات سے متعلق ہے جو اشیاء کی ٹوپولوجیکل خصوصیات (مثال کے طور پر کنیکٹنیس) یا ٹوپولوجیکل خصوصیات (مثال کے طور پر حدود) سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ڈیجیٹل ٹوپولوجی کے تصورات اور نتائج کو اہم (نچلی سطح کے) تصویری تجزیہ الگورتھم کی وضاحت اور جواز پیش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، بشمول پتلی کرنے، بارڈر یا سطح کا سراغ لگانے، اجزاء یا سرنگوں کی گنتی، یا خطہ بھرنے کے لیے الگورتھم۔ تاریخ ڈیجیٹل ٹوپولوجی کا مطالعہ پہلی بار 1960 کی دہائی کے آخر میں کمپیوٹر امیج تجزیہ کے محقق ایزریل روزن فیلڈ (1931-2004) نے کیا تھا، جس کی اس موضوع پر اشاعتوں نے اس شعبے کو قائم کرنے اور ترقی دینے میں اہم کردار ادا کیا۔ "ڈیجیٹل ٹوپولوجی" کی اصطلاح خود روزن فیلڈ نے ایجاد کی تھی، جس نے اسے پہلی بار 1973 کی اشاعت میں استعمال کیا تھا۔ ایک متعلقہ کام جسے گرڈ سیل ٹوپولوجی کہا جاتا ہے، جسے کلاسیکی مشترکہ ٹوپولوجی کا ایک لنک سمجھا جا سکتا ہے، پاول الیگزینڈرروف اور ہینز ہاپف کی کتاب، ٹوپولوجی I (1935) میں شائع ہوا۔ روزنفیلڈ اور دیگر۔ مجوزہ ڈیجیٹل کنیکٹوٹی جیسے کہ دو جہتوں میں 4-کنیکٹوٹی اور 8-کنیکٹوٹی کے ساتھ ساتھ تین جہتوں میں 6-کنیکٹوٹی اور 26-کنیکٹوٹی۔ منسلک جزو کا اندازہ لگانے کے لیے لیبلنگ کے طریقہ کار کا مطالعہ 1970 کی دہائی میں کیا گیا تھا۔ تھیوڈوسیوس پاولیڈس (1982) نے گراف تھیوریٹک الگورتھم کے استعمال کی تجویز پیش کی جیسے کہ منسلک اجزاء کو تلاش کرنے کے لیے ڈیپتھ فرسٹ سرچ کا طریقہ۔ ولادیمیر اے کووالیوسکی (1989) نے اسکندروف-ہاپف 2 ڈی گرڈ سیل ٹوپولوجی کو تین اور اس سے زیادہ طول و عرض تک بڑھا دیا۔ انہوں نے مقامی طور پر محدود ٹپوولوجیکل خالی جگہوں اور تجریدی سیل کمپلیکس کا ایک زیادہ عمومی محوری نظریہ (2008) بھی پیش کیا جو پہلے ارنسٹ اسٹینٹز (1908) نے تجویز کیا تھا۔ یہ الیگزینڈرف ٹوپولوجی ہے۔ 2008 کی کتاب میں میٹرک سے آزاد ٹپوولوجیکل گیندوں اور شعبوں کی نئی تعریفیں اور ڈیجیٹل امیج تجزیہ کے لیے متعدد ایپلی کیشنز شامل ہیں۔ 1980 کی دہائی کے اوائل میں، ڈیجیٹل سطحوں کا مطالعہ کیا گیا۔ ڈیوڈ مورگنٹیلر اور روزن فیلڈ (1981) نے تین جہتی ڈیجیٹل جگہ میں سطحوں کی ریاضیاتی تعریف دی۔ اس تعریف میں کل نو قسم کی ڈیجیٹل سطحیں شامل ہیں۔ ڈیجیٹل کئی گنا کا مطالعہ 1990 کی دہائی میں کیا گیا تھا۔ ڈیجیٹل کے-مینی فولڈ کی ایک تکراری تعریف 1993 میں چن اور ژانگ نے بدیہی طور پر تجویز کی تھی۔ امیج پروسیسنگ اور کمپیوٹر وژن میں بہت سی ایپلی کیشنز پائی گئیں۔ بنیادی نتائج ڈیجیٹل ٹوپولوجی میں ایک بنیادی (ابتدائی) نتیجہ یہ کہتا ہے کہ 2 ڈی بائنری امیجز کو علیحدگی اور ربط کی بنیادی ٹوپولوجیکل دوہری حیثیت کو یقینی بنانے کے لیے 4-یا 8-ایڈجسینسی یا "پکسل کنیکٹوٹی" ("آبجیکٹ" یا "نان آبجیکٹ" پکسلز کے لیے) کے متبادل استعمال کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ متبادل استعمال 2 ڈی گرڈ سیل ٹوپولوجی میں کھلے یا بند سیٹوں سے مطابقت رکھتا ہے، اور نتیجہ 3 ڈی میں عام ہوجاتا ہے: 6-یا 26-ایڈجسینسی کا متبادل استعمال 3 ڈی گرڈ سیل ٹوپولوجی میں کھلے یا بند سیٹوں سے مطابقت رکھتا ہے۔ گرڈ سیل ٹوپولوجی کا اطلاق کثیر سطحی (مثال کے طور پر رنگ) 2 ڈی یا 3 ڈی تصاویر پر بھی ہوتا ہے، مثال کے طور پر ممکنہ تصویری اقدار کی کل ترتیب پر مبنی اور 'زیادہ سے زیادہ لیبل کے اصول' کا اطلاق (کلیٹ اور روزن فیلڈ کی کتاب دیکھیں، 2004)۔ ڈیجیٹل ٹوپولوجی کا زیادہ تعلق مشترکہ ٹوپولوجی سے ہے۔ ان کے درمیان اہم فرق یہ ہیں: (1) ڈیجیٹل ٹوپولوجی بنیادی طور پر ڈیجیٹل اشیاء کا مطالعہ کرتی ہے جو گرڈ خلیوں سے بنتی ہیں، اور (2) ڈیجیٹل ٹوپولوجی غیر جارڈن کئی گنا سے بھی متعلق ہے۔ ایک مشترکہ کئی گنا ایک قسم کا کئی گنا ہے جو ایک کئی گنا کا تخفیف ہے۔ اس کا مطلب عام طور پر سادہ کمپلیکسوں کے ذریعہ بنایا گیا ٹکڑے ٹکڑے لکیری کئی گنا ہوتا ہے۔ ڈیجیٹل کئی گنا ایک خاص قسم کا مشترکہ کئی گنا ہے جس کی تعریف ڈیجیٹل اسپیس یعنی ڈیجیٹل اسپیس میں کی جاتی ہے۔ گرڈ سیل کی جگہ۔ گاؤس-بونٹ تھیوریم کی ایک ڈیجیٹل شکل یہ ہے: فرض کریں کہ M براہ راست ملحقہ میں ایک بند ڈیجیٹل 2D کئی گنا ہو (یعنی 3D میں a (6,26)-سطح)۔ جینس کا فارمولا ہے، جہاں سطح کے نکات کے سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے جن میں سے ہر ایک کی سطح پر ملحقہ نکات ہیں (چن اور رونگ، آئی سی پی آر 2008)۔ اگر M محض جڑا ہوا ہے، یعنی، تب۔ (اویلر کی خصوصیت بھی دیکھیں۔) ڈیجیٹل جیومیٹری مشترکہ ٹوپولوجی کمپیوٹیشنل جیومیٹری کمپیوٹیشنل ٹوپولوجی ٹوپولوجیکل ڈیٹا تجزیہ ٹوپولوجی مجرد ریاضی جیو اسپیشل ٹوپولوجی حوالہ جات ولادیمیر اے کووالیوسکی بھی دیکھیں۔ (2008)۔