1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
وہ لامحدود سلسلہ جس کی اصطلاحات قدرتی اعداد ہیں ایک متفرق سلسلہ ہے۔ سیریز کا n واں جزوی مجموعہ سہ رخی نمبر ہے جو بغیر پابند کے بڑھتا ہے جیسے جیسے n انفینیٹی کی طرف جاتا ہے۔ چونکہ جزوی رقوم کی ترتیب ایک محدود حد تک یکجا ہونے میں ناکام رہتی ہے، اس لیے سیریز کا مجموعہ نہیں ہوتا ہے۔ اگرچہ پہلی نظر میں ایسا لگتا ہے کہ اس سلسلے کی کوئی معنی خیز قدر نہیں ہے، لیکن اسے ریاضی کے لحاظ سے متعدد دلچسپ نتائج حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ریاضی میں خلاصہ کے بہت سے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں تاکہ عددی اقدار کو یہاں تک کہ ایک متفرق سیریز کو بھی تفویض کیا جا سکے۔ خاص طور پر، زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن اور رامانوجن سمیشن کے طریقے سیریز کو ایک ویلیو تفویض کرتے ہیں، جس کا اظہار ایک مشہور فارمولے کے ذریعے کیا جاتا ہے: جہاں بائیں ہاتھ کی طرف کی تشریح مذکورہ بالا سمیشن طریقوں میں سے کسی ایک کا استعمال کرکے حاصل کردہ ویلیو کے طور پر کی جانی چاہیے نہ کہ اپنے معمول کے معنی میں لامحدود سیریز کے مجموعے کے طور پر۔ ان طریقوں کے دیگر شعبوں جیسے پیچیدہ تجزیہ، کوانٹم فیلڈ تھیوری، اور سٹرنگ تھیوری میں استعمال ہوتے ہیں۔ مونشائن تھیوری پر ایک مونوگراف میں، البرٹا یونیورسٹی کے ریاضی دان ٹیری گینن نے اس مساوات کو "سائنس کے سب سے قابل ذکر فارمولوں میں سے ایک" قرار دیا ہے۔ جزوی مجموعے سیریز کے جزوی مجموعے وغیرہ ہیں۔ n واں جزوی مجموعہ ایک سادہ فارمولے کے ذریعے دیا گیا ہے: یہ مساوات پایتھاگورینوں کو چھٹی صدی قبل مسیح کے اوائل میں معلوم تھی۔ اس شکل کے نمبروں کو مثلث نمبر کہا جاتا ہے، کیونکہ انہیں مساوی مثلث کے طور پر ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ مثلث نمبروں کی لامحدود ترتیب + φ سے الگ ہو جاتی ہے، اس لیے تعریف کے مطابق، لامحدود سلسلہ بھی + φ سے الگ ہو جاتا ہے۔ انحراف سیریز کی شکل کا ایک سادہ نتیجہ ہے: اصطلاحات صفر تک نہیں پہنچتیں، اس لیے سیریز ٹیسٹ کی اصطلاح سے جدا ہو جاتی ہے۔ خلاصہ کلاسیکی متفرق سیریز میں، ایک محدود قدر میں ہیرا پھیری کرنا نسبتا مشکل ہے۔ خلاصہ کے بہت سے طریقے متفرق سیریز کو عددی اقدار تفویض کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں، جن میں سے کچھ دوسروں کے مقابلے میں زیادہ طاقتور ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سیسارو سمیشن ایک معروف طریقہ ہے جو گرانڈی کی سیریز، ہلکی سی متفرق سیریز کا خلاصہ کرتا ہے۔ ایبل سمیشن ایک زیادہ طاقتور طریقہ ہے جو نہ صرف گرینڈی کی سیریز کا خلاصہ کرتا ہے، بلکہ مشکل سیریز کا خلاصہ بھی کرتا ہے۔ مندرجہ بالا سیریز کے برعکس، سیسارو خلاصہ نہیں ہے اور نہ ہی ایبل خلاصہ ہے۔ وہ طریقے متفرق سیریز کو ارتعاش کرنے پر کام کرتے ہیں، لیکن وہ ایک ایسی سیریز کے لیے ایک محدود جواب پیدا نہیں کر سکتے جو + φ سے متفرق ہو۔ متفرق سیریز کے مجموعے کی زیادہ تر ابتدائی تعریفیں مستحکم اور لکیری ہوتی ہیں، اور کوئی بھی طریقہ جو مستحکم اور لکیری دونوں ہو وہ ایک محدود قدر کا مجموعہ نہیں کر سکتا۔ نیچے دیکھیں۔ مزید جدید طریقوں کی ضرورت ہے، جیسے زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن یا رامانوجن سمیشن۔ ان طریقوں سے متعلق کچھ کھردری تحقیقات کے استعمال کی اہمیت پر بحث کرنا بھی ممکن ہے۔ ہیورسٹکس سری نواس رامانوجن نے اپنی پہلی نوٹ بک کے باب 8 میں "" کے دو مشتقات پیش کیے۔ آسان، کم سخت مشتق دو مراحل میں آگے بڑھتا ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ پہلی کلیدی بصیرت یہ ہے کہ مثبت اعداد کا سلسلہ باری باری سیریز سے ملتا جلتا ہے۔ مؤخر الذکر سیریز بھی مختلف ہے، لیکن اس کے ساتھ کام کرنا بہت آسان ہے۔ کئی کلاسیکی طریقے ہیں جو اسے ایک قدر تفویض کرتے ہیں، جو 18 ویں صدی سے دریافت کیے گئے ہیں۔ سیریز کو اس میں تبدیل کرنے کے لیے، کوئی دوسری ٹرم سے 4، چوتھی ٹرم سے 8، چھٹی ٹرم سے 12 وغیرہ کو گھٹا سکتا ہے۔ گھٹائی جانے والی کل رقم ہے، جو اصل سیریز سے 4 گنا زیادہ ہے۔ ان رشتوں کا اظہار الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ سیریز کا "مجموعہ" جو بھی ہو، اسے کال کریں پھر اس مساوات کو 4 سے ضرب دیں اور پہلی سے دوسری مساوات کو گھٹا دیں: دوسری کلیدی بصیرت یہ ہے کہ الٹرنیٹنگ سیریز فنکشن کی رسمی پاور سیریز کی توسیع ہے لیکن x کے ساتھ 1 کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ (یہ x کی غیر منفی طاقتوں کے متبادل مجموعہ کے مساوی کر کے دیکھا جا سکتا ہے، اور پھر مساوات کے دونوں اطراف میں فرق اور نفی کر کے دیکھا جا سکتا ہے۔) اس کے مطابق، رامانوجن لکھتے ہیں کہ دونوں اطراف کو −3 سے تقسیم کرنے پر c = ملتا ہے۔ عام طور پر، لامحدود سیریز میں ہیرا پھیری کرنا غلط ہے گویا کہ وہ محدود رقم ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر صفر کو متفرق سیریز کی من مانی پوزیشنوں میں داخل کیا جاتا ہے، تو ایسے نتائج پر پہنچنا ممکن ہے جو خود ساختہ نہ ہوں، دوسرے طریقوں کے مطابق ہونے کی تو بات ہی چھوڑ دیں۔ خاص طور پر، یہ قدم صرف اضافی شناخت کے قانون کے ذریعے جائز نہیں ہے۔ ایک انتہائی مثال کے طور پر، سیریز کے اگلے حصے میں ایک صفر کو شامل کرنا ایک مختلف نتیجہ کا باعث بن سکتا ہے۔ اس صورتحال کو ٹھیک کرنے کا ایک طریقہ، اور ان جگہوں کو محدود کرنا جہاں صفر داخل کیے جا سکتے ہیں، یہ ہے کہ کسی فنکشن پر انحصار کو جوڑ کر سیریز میں ہر اصطلاح پر نظر رکھی جائے۔ سیریز میں، ہر اصطلاح n صرف ایک نمبر ہے۔ اگر اصطلاح n کو کسی فنکشن n−s میں ترقی دی جاتی ہے، جہاں s ایک پیچیدہ متغیر ہے، تو کوئی اس بات کو یقینی بنا سکتا ہے کہ صرف اسی طرح کی اصطلاحات شامل کی جائیں۔ نتیجے میں آنے والی سیریز کو زیادہ سخت انداز میں ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے، اور متغیر s کو بعد میں −1 پر سیٹ کیا جا سکتا ہے۔ اس حکمت عملی کے نفاذ کو زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کہا جاتا ہے۔ زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن میں، سیریز کی جگہ سیریز لے لیتی ہے۔ مؤخر الذکر سیریز ڈیرچلیٹ سیریز کی ایک مثال ہے۔ جب s کا حقیقی حصہ 1 سے بڑا ہوتا ہے، تو ڈیرچلیٹ سلسلہ یکجا ہوتا ہے، اور اس کا مجموعہ ریمن زیٹا فنکشن ζ (s) ہوتا ہے۔ دوسری طرف، ڈیرچلیٹ سلسلہ اس وقت مختلف ہوتا ہے جب s کا حقیقی حصہ 1 سے کم یا اس کے برابر ہوتا ہے، لہذا، خاص طور پر، وہ سلسلہ جو s =-1 ترتیب دینے کے نتیجے میں یکجا نہیں ہوتا ہے۔ ریمن زیٹا فنکشن کو متعارف کرانے کا فائدہ یہ ہے کہ اس کی تعریف s کی دیگر اقدار کے لیے تجزیاتی تسلسل کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی زیٹا ریگولیرائزڈ رقم کو ζ (−1) کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ اس نقطہ سے، یہ ثابت کرنے کے چند طریقے ہیں کہ ایک طریقہ، اویلر کی استدلال کے خطوط پر، ریمن زیٹا فنکشن اور ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن η (s) کے درمیان تعلق کا استعمال کرتا ہے۔ ایٹا فنکشن کی تعریف ایک متبادل ڈیرچلیٹ سیریز سے کی جاتی ہے، لہذا یہ طریقہ پہلے کے ہیورسٹکس کے متوازی ہے۔ جہاں دونوں ڈیرچلیٹ سیریز یکجا ہوتی ہیں، ایک کی شناخت ہوتی ہے: شناخت تب برقرار رہتی ہے جب دونوں افعال کو تجزیاتی تسلسل کے ذریعے ایس کی اقدار کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا جاتا ہے جس کے لیے مندرجہ بالا سیریز مختلف ہوتی ہے۔ اب، η (−1) کا حساب لگانا ایک آسان کام ہے، کیونکہ ایٹا فنکشن اس کی متعین سیریز کے ایبل کے مجموعے کے برابر ہے، جو ایک یک طرفہ حد ہے: دونوں اطراف کو −3 سے تقسیم کرنے پر، کٹ آف ریگولرائزیشن حاصل ہوتی ہے۔ کٹ آف فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے ریگولرائزیشن کا طریقہ سیریز کو "ہموار" کر سکتا ہے۔ ہموار کرنا زیٹا فنکشن کو باقاعدہ بنانے کے درمیان ایک تصوراتی پل ہے، جس کا انحصار پیچیدہ تجزیے پر ہے، اور رامانوجن سمیشن، جس کا شارٹ کٹ یولر-میکلورین فارمولا ہے۔ اس کے بجائے، یہ طریقہ حقیقی تجزیہ کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے، سیریز کی قدامت پسند تبدیلیوں پر براہ راست کام کرتا ہے۔ خیال یہ ہے کہ بد رویے والی مجرد سیریز کو ہموار ورژن سے تبدیل کیا جائے جہاں f مناسب خصوصیات کے ساتھ ایک کٹ آف فنکشن ہے۔ کٹ آف فنکشن کو معمول پر لانا ضروری ہے ؛ یہ تفریقی مساوات میں استعمال ہونے والی معمول سے مختلف ہے۔ کٹ آف فنکشن میں سیریز میں جھریوں کو ہموار کرنے کے لیے کافی باؤنڈڈ مشتقات ہونے چاہئیں، اور اسے سیریز کے بڑھنے سے زیادہ تیزی سے 0 تک ختم ہونا چاہیے۔ سہولت کے لیے، کسی کو یہ درکار ہو سکتا ہے کہ f ہموار، پابند اور کمپیکٹ طور پر سپورٹ ہو۔ اس کے بعد کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ یہ ہموار مجموعہ اس کے لیے غیر علامتی ہے، جہاں C ایک مستقل ہے جو f پر منحصر ہے۔ غیر علامتی توسیع کی مستقل اصطلاح f پر منحصر نہیں ہے: یہ لازمی طور پر وہی قدر ہے جو تجزیاتی تسلسل کے ذریعے دی گئی ہے،۔ رامانوجن کا خلاصہ رامانوجن کا مجموعہ بھی ہے۔ رامانوجن نے 27 فروری 1913 کو جی ایچ ہارڈی کو لکھے گئے اپنے دوسرے خط میں لکھا: "پیارے جناب، میں آپ کے 8 فروری 1913 کے خط کو پڑھنے پر بہت خوش ہوں۔ میں آپ سے اسی طرح کے جواب کی توقع کر رہا تھا جو لندن میں ریاضی کے ایک پروفیسر نے لکھا تھا کہ میں بروموچ کی انفینٹ سیریز کا احتیاط سے مطالعہ کروں اور متفرق سیریز کے نقصانات میں نہ پڑوں۔ ۔ میں نے اسے بتایا کہ سیریز کی لامحدود تعداد میں اصطلاحات کا مجموعہ: میرے نظریہ کے تحت۔ اگر میں آپ کو یہ بتاؤں تو آپ فورا میرے مقصد کے طور پر پاگل پناہ کی طرف اشارہ کریں گے۔ میں اس پر صرف آپ کو قائل کرنے کے لیے بات کر رہا ہوں کہ اگر میں ان لائنوں کی نشاندہی کرتا ہوں جن پر میں ایک خط میں آگے بڑھتا ہوں تو آپ میرے ثبوت کے طریقوں پر عمل نہیں کر پائیں گے۔ رامانوجن سمیشن ایک سلسلہ کے جزوی جملوں کے لیے یولر-میکلورین فارمولے میں مستقل اصطلاح کو الگ کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ فنکشن f کے لیے، سیریز کے کلاسیکی رامانوجن مجموعہ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں f (2k−1) f کا (2k−1) واں مشتق ہے اور B2k 2k-واں برنولی نمبر ہے:، وغیرہ۔ ترتیب دیتے ہوئے، f کا پہلا مشتق 1 ہے، اور ہر دوسری اصطلاح ختم ہو جاتی ہے، لہذا تضادات سے بچنے کے لیے، رامانوجن خلاصہ کے جدید نظریہ کے لیے ضروری ہے کہ f اس معنی میں "باقاعدہ" ہو کہ f کے اعلی درجے کے مشتقات اتنی تیزی سے ختم ہو جائیں کہ اویلر-میکلورین فارمولے میں بقیہ اصطلاحات 0 کی طرف مائل ہو جائیں۔ رامانوجن نے خاموشی سے یہ جائیداد سنبھالی۔ باقاعدگی کی ضرورت اسپیسڈ آؤٹ سیریز پر رامانوجن سمیشن کے استعمال کو روکتی ہے، کیونکہ کوئی باقاعدہ فنکشن ان اقدار کو نہیں لیتا ہے۔ اس کے بجائے، اس طرح کی سیریز کی تشریح زیٹا فنکشن ریگولرائزیشن کے ذریعے کی جانی چاہیے۔ اس وجہ سے، ہارڈی متعلقہ سیریز کے مجموعے کو تلاش کرنے کے لیے معروف سیریز کے رامانوجن جملوں کو لاگو کرتے وقت "بہت احتیاط" کا مشورہ دیتے ہیں۔ مستحکم لکیری سمیشن طریقوں کی ناکامی ایک سمیشن طریقہ جو لکیری اور مستحکم ہے سیریز کو کسی محدود قدر میں جمع نہیں کر سکتا۔ (مستحکم کا مطلب یہ ہے کہ سیریز کے آغاز میں کسی اصطلاح کو شامل کرنے سے اضافی اصطلاح کی قیمت سے رقم میں اضافہ ہوتا ہے۔) اسے مندرجہ ذیل طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر پھر دونوں اطراف میں 0 کا اضافہ کرنا استحکام دیتا ہے۔ لکیری سے، کوئی دوسری مساوات کو پہلی سے گھٹا سکتا ہے (دوسری لائن کے ہر جزو کو کالموں میں پہلی لائن سے گھٹانا) تاکہ دونوں اطراف میں 0 کو دوبارہ جوڑنے سے ملتا ہے اور آخری دو سیریز کو گھٹانے سے متضاد استحکام ملتا ہے۔ لہذا، ہر طریقہ جو رقم کو ایک محدود قدر دیتا ہے وہ مستحکم یا لکیری نہیں ہوتا ہے۔ بوسونک سٹرنگ تھیوری میں، کوشش کسی سٹرنگ کی ممکنہ توانائی کی سطح کا حساب لگانا ہے، خاص طور پر، سب سے کم توانائی کی سطح۔ غیر رسمی طور پر بات کرتے ہوئے، تار کے ہر ہارمونک کو D−2 آزاد کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹرز کے مجموعے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، ہر ایک الٹی سمت کے لیے ایک، جہاں D خلائی وقت کا طول و عرض ہے۔ اگر بنیادی ارتعاش تعدد ω ہے، تو پھر n-th ہارمونک میں حصہ ڈالنے والے آکسیلیٹر میں موجود توانایٔی nhω/2 ہے۔ تو ڈائیورجنٹ سیریز کا استعمال کرتے ہوئے، تمام ہارمونکس کا مجموعہ ہے۔ بالآخر یہ حقیقت ہے، جو گوڈرڈ تھورن تھیوریم کے ساتھ مل کر ہے، جس کی وجہ سے بوسونک سٹرنگ تھیوری 26 کے علاوہ دیگر جہتوں میں مطابقت نہیں رکھتی ہے۔ کی باقاعدگی ایک جہت میں اسکیلر فیلڈ کے لیے کاسیمیر قوت کی گنتی میں بھی شامل ہے۔ ایک ایکسپونینشل کٹ آف فنکشن سیریز کو ہموار کرنے کے لیے کافی ہے، جو اس حقیقت کی نمائندگی کرتا ہے کہ من مانی طور پر اعلی توانائی کے طریقوں کو کنڈکٹنگ پلیٹوں کے ذریعے بلاک نہیں کیا جاتا ہے۔ مسئلہ کی مقامی ہم آہنگی توسیع کی کواڈریٹک اصطلاح کو منسوخ کرنے کے لیے ذمہ دار ہے۔ جو کچھ بچا ہے وہ مستقل اصطلاح − 1/12 ہے، اور اس نتیجے کی منفی علامت اس حقیقت کی عکاسی کرتی ہے کہ کاسیمیر قوت پرکشش ہے۔ اسی طرح کا حساب تین جہتوں میں شامل ہے، جس میں ریمن زیٹا فنکشن کی جگہ ایپسٹین زیٹا فنکشن کا استعمال کیا جاتا ہے۔ تاریخ یہ واضح نہیں ہے کہ آیا لیون ہارڈ اویلر نے سیریز کا خلاصہ کیا ہے۔ مورس کلائن کے مطابق، مختلف سیریز پر اویلر کے ابتدائی کام کا انحصار فنکشن کی توسیع پر تھا، جس سے انہوں نے نتیجہ اخذ کیا۔ ریمنڈ ایوب کے مطابق، یہ حقیقت کہ متفرق زیٹا سیریز ایبل-سمیبل نہیں ہے، اویلر کو زیٹا فنکشن کو ایٹا فنکشن کی طرح آزادانہ طور پر استعمال کرنے سے روکتی ہے، اور وہ سیریز کے ساتھ "کوئی معنی منسلک نہیں کر سکتا تھا"۔ دوسرے مصنفین نے یولر کو اس رقم کا سہرا دیا ہے، یہ تجویز کرتے ہوئے کہ یولر نے زیٹا اور ایٹا افعال کے درمیان تعلق کو منفی عددوں تک بڑھا دیا ہوگا۔ ابتدائی ادب میں، اس سلسلے کا ذکر یولر کی 1760 کی اشاعت میں متفرق ہندسی سلسلے کے ساتھ کیا گیا ہے۔ اویلر اشارہ کرتا ہے کہ اس قسم کی سیریز میں محدود، منفی رقم ہوتی ہے، اور وہ وضاحت کرتا ہے کہ ہندسی سیریز کے لیے اس کا کیا مطلب ہے، لیکن وہ بحث کرنے کے لیے واپس نہیں آتا۔ اسی اشاعت میں، اویلر لکھتے ہیں کہ کا مجموعہ لامحدود ہے۔ مشہور میڈیا میں ڈیوڈ لیوٹ کے 2007 کے ناول دی انڈین کلرک میں ایک منظر شامل ہے جہاں ہارڈی اور لٹل ووڈ اس سیریز کے معنی پر تبادلہ خیال کرتے ہیں۔ وہ یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ رامانوجن نے ζ (−1) کو دوبارہ دریافت کیا ہے، اور وہ اس کے دوسرے خط میں "پاگل پناہ" کی لکیر کو اس علامت کے طور پر لیتے ہیں کہ رامانوجن ان کے ساتھ کھیل رہا ہے۔ سائمن میک برنی کا 2007 کا ڈرامہ اے ڈیسپیرنگ نمبر افتتاحی منظر میں سیریز پر مرکوز ہے۔ مرکزی کردار، روتھ، ایک لیکچر ہال میں جاتا ہے اور اعلان کرنے سے پہلے ایک مختلف سیریز کے خیال کا تعارف کراتا ہے، "میں آپ کو کچھ واقعی سنسنی خیز دکھانے جا رہا ہوں"، یعنی۔ جیسے ہی روتھ زیٹا فنکشن کے فنکشنل مساوات سے ماخوذ ہونے کا آغاز کرتی ہے، ایک اور اداکار سامعین سے خطاب کرتے ہوئے تسلیم کرتا ہے کہ وہ اداکار ہیں: "لیکن ریاضی حقیقی ہے۔ یہ خوفناک ہے، لیکن یہ حقیقی ہے۔ " جنوری 2014 میں، نمبر فائل نے سیریز پر ایک یوٹیوب ویڈیو تیار کیا، جس نے اپنے پہلے مہینے میں 15 لاکھ سے زیادہ ویوز حاصل کیے۔ 8 منٹ کی اس ویڈیو کو یونیورسٹی آف ناٹنگھم کے ماہر طبیعیات ٹونی پیڈلا نے بیان کیا ہے۔ پاڈیلا رامانوجن کی دلیل سے ملتی جلتی اصطلاح بہ مدت گھٹاؤ کے استعمال سے شروع ہوتا ہے اور اس سے متعلق ہے۔ نمبر فائل نے ویڈیو کا 21 منٹ کا ورژن بھی جاری کیا جس میں ناٹنگھم کے طبیعیات دان ایڈ کوپلینڈ کو دکھایا گیا ہے، جو مزید تفصیل سے بیان کرتا ہے کہ کس طرح ایبل سم کے طور پر، اور بطور ζ (−1)۔ پہلی ویڈیو میں سختی کی کمی کے بارے میں شکایات موصول ہونے کے بعد، پیڈلا نے اپنے ویب پیج پر ایک وضاحت بھی لکھی جس میں ویڈیو میں ہیرا پھیری سے متعلق متعلقہ ڈیرچلیٹ سیریز کے تجزیاتی تسلسل کے درمیان شناخت سے متعلق ہے۔ نمبر فائل ویڈیو کی دی نیویارک ٹائمز کوریج میں، ریاضی دان ایڈورڈ فرینکل نے تبصرہ کیا: "یہ حساب ریاضی کے بہترین رازوں میں سے ایک ہے۔ باہر سے کوئی نہیں جانتا۔ " اسمتھسونین میگزین میں اس موضوع کی کوریج نمبر فائل ویڈیو کو گمراہ کن قرار دیتی ہے اور نوٹ کرتی ہے کہ رقم کی تشریح مساوی علامت کے لیے ایک خاص معنی پر منحصر ہے، تجزیاتی تسلسل کی تکنیکوں سے، جس میں مساوی ذرائع سے وابستہ ہے۔ نمبر فائل ویڈیو کو جرمن ریاضی دان برکارڈ پولسٹر نے 2018 میں اپنے میتھولوجر یوٹیوب چینل پر اسی بنیاد پر تنقید کا نشانہ بنایا تھا، اس کی ویڈیو کو 2023 تک 27 لاکھ ویوز ملے تھے۔ حوالہ جات کتابچہ مزید پڑھنا صفحہ 293 دیکھیں۔ بیرونی روابط لیمب ای۔ (2014)، "کیا 1 + 2 + 3 واقعی برابر ہے-1/12؟ "، سائنسی امریکی بلاگ۔ ریاضیاتی طبیعیات میں اس ہفتے کے نتائج (ہفتہ 124)، (ہفتہ 126)، (ہفتہ 147)، (ہفتہ 233) یولر کا ثبوت کہ 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12-جان بیز کا۔ یولر-میکلورین فارمولا، برنولی نمبرز، زیٹا فنکشن، اور ٹیرنس تاؤ کا حقیقی متغیر تجزیاتی تسلسل منفی عددوں کے زیٹا کی تکراری تشخیص لوبوس موٹل لنک سے نمبر فائل ویڈیو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +۔ =-1/12 قدرتی اعداد کا مجموعہ (دوسرا ثبوت اور اضافی فوٹیج) میں یولر کے طریقہ کار کا مظاہرہ شامل ہے۔ اگر ہم تمام قدرتی اعداد کا مجموعہ کریں تو ہمیں کیا ملے گا؟ ٹونی پیڈلا کے ویڈیو کے بارے میں تبصرے کا جواب نیویارک ٹائمز کے متعلقہ مضمون کیوں-1/12 ایڈورڈ فرینکل ڈائیورجنٹ سیریز کے ساتھ ایک گولڈ نگٹ فالو اپ نمبر فائل ویڈیو ہے: کیوں 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12 بذریعہ یونیورسٹی آف ایریزونا ڈائیورجنٹ سیریز ریاضی سیریز سے بریڈن کیس