Toda oscillator
طبیعیات میں، ٹوڈا آسکیلیٹر ایک خاص قسم کا غیر لکیری آسکیلیٹر ہے۔ یہ پڑوسیوں کے درمیان متغیر ممکنہ تعامل والے ذرات کے سلسلے کی نمائندگی کرتا ہے۔ ان تصورات کا نام موریکازو ٹوڈا کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ٹوڈا آسکیلیٹر کو سیلف پلسشن کے رجحان کو سمجھنے کے لیے ایک سادہ ماڈل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، جو کہ عارضی نظام میں سالڈ اسٹیٹ لیزر کی آؤٹ پٹ شدت کا ایک نیم وقتی پلسشن ہے۔ تعریف ٹوڈا آسکیلیٹر کسی بھی اصل کا ایک متحرک نظام ہے، جسے منحصر کوآرڈینیٹ اور آزاد کوآرڈینیٹ کے ساتھ بیان کیا جا سکتا ہے، جس کی خصوصیت یہ ہے کہ آزاد کوآرڈینیٹ کے ساتھ ارتقاء کو مساوات کے ساتھ لگ بھگ کیا جا سکتا ہے جہاں، اور پرائم مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ جسمانی معنی آزاد ہم آہنگی میں وقت کا احساس ہوتا ہے۔ درحقیقت، یہ کسی رشتے کے ساتھ وقت کے متناسب ہو سکتا ہے جیسے، جہاں مستقل ہے۔ مشتق میں ہم آہنگی کے ساتھ ذرہ کی رفتار کا احساس ہو سکتا ہے ؛ پھر اس کی تشریح ایکسلریشن کے طور پر کی جا سکتی ہے ؛ اور اس طرح کے ذرہ کی کمیت اتحاد کے برابر ہوتی ہے۔ ڈسپیٹو فنکشن میں رفتار متناسب رگڑ کے گتانک کا احساس ہو سکتا ہے۔ عام طور پر، دونوں پیرامیٹرز اور مثبت ہونے چاہئیں ؛ پھر یہ رفتار متناسب رگڑ گتانک کوآرڈینیٹ کی بڑی مثبت اقدار پر تیزی سے بڑھتا ہے۔ پوٹینشل ایک فکسڈ فنکشن ہے، جو کوآرڈینیٹ کی بڑی مثبت اقدار پر ایکسپونینشیل گروتھ کو بھی ظاہر کرتا ہے۔ لیزر فزکس میں اطلاق میں، لیزر کیوٹی میں فوٹونوں کی تعداد کا لوگرتھم کا احساس ہو سکتا ہے، جو اس کی مستحکم حالت کی قیمت سے متعلق ہے۔ پھر، اس طرح کے لیزر کی آؤٹ پٹ پاور متناسب ہوتی ہے اور اس کے ارتعاش پر پلسشن ظاہر کر سکتی ہے۔ دونوں مماثلتیں، اکائی بڑے پیمانے پر ذرہ اور فوٹونوں کی تعداد کے لوگرتھم کے ساتھ، ٹوڈا آسکیلیٹر کے رویے کے تجزیے میں مفید ہیں۔ توانائی سختی سے، ارتعاش صرف وقتا فوقتا ہوتا ہے۔ درحقیقت، ایک سیلف پلسنگ لیزر کے طور پر ٹوڈا آسکیلیٹر کے احساس میں، ان پیرامیٹرز میں ترتیب کی اقدار ہو سکتی ہیں ؛ کئی دالوں کے دوران، پلسشن کا طول و عرض زیادہ تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ اس صورت میں، ہم پلسشن کی مدت کے بارے میں بات کر سکتے ہیں، کیونکہ فنکشن تقریبا پیریڈک ہے۔ اس صورت میں، آسکیلیٹر کی توانائی کا انحصار اس پر نہیں ہوتا ہے، اور اسے حرکت کے مستقل کے طور پر مانا جا سکتا ہے۔ پھر، نبض کی ایک مدت کے دوران، اور کے درمیان تعلق کو تجزیاتی طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: جہاں اور کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ اقدار ہیں ؛ یہ حل اس صورت کے لیے لکھا جاتا ہے جب۔ تاہم، ٹرانسلیشنل انویرینس کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے دیگر حل حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ تناسب پلسشن کے طول و عرض کی خصوصیت کے لیے ایک آسان پیمانہ ہے۔ اس کا استعمال کرتے ہوئے، ہم میڈین ویلیو کو اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں ؛ اور توانائی بھی اس کا ایک ابتدائی فعل ہے۔ اطلاق میں، مقدار کو نظام کی جسمانی توانائی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ان صورتوں میں، اس طول و عرض کے بغیر مقدار کو نیم توانائی کہا جا سکتا ہے۔ دھڑکن کی مدت دھڑکن کی مدت طول و عرض کی بڑھتی ہوئی تقریب ہے۔ کب، مدت کب، مدت پوری حد میں، مدت اور تعدد کا تخمینہ کم از کم 8 اہم اعداد سے لگایا جا سکتا ہے۔ اس تخمینہ کی رشتہ دار غلطی اس سے زیادہ نہیں ہے۔ پلسشن کا سڑنا اور کی چھوٹی (لیکن پھر بھی مثبت) اقدار پر، پلسشن آہستہ آہستہ کم ہوتا ہے، اور اس سڑنے کو تجزیاتی طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ پہلے تخمینے میں، پیرامیٹرز اور انحطاط میں اضافی شراکت دیتے ہیں۔ انحطاط کی شرح کے ساتھ ساتھ غیر لکیری ارتعاش کے طول و عرض اور مرحلے کا تخمینہ ابتدائی افعال کے ساتھ اوپر کی مدت کی طرح انداز میں لگایا جا سکتا ہے۔ آئیڈیلائزڈ ٹوڈا آسکیلیٹر کے رویے کو بیان کرنے میں، اس طرح کے تخمینوں کی غلطی آئیڈیل اور آپٹیکل بینچ پر سیلف پلسنگ لیزر کے طور پر اس کے تجرباتی احساس کے درمیان فرق سے کم ہے۔ تاہم، ایک سیلف پلسنگ لیزر معیاری طور پر بہت ہی مماثل رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ مسلسل حد حرکت کی ٹوڈا سلسلہ مساوات، مسلسل حد میں جس میں پڑوسیوں کے درمیان فاصلہ صفر پر جاتا ہے، کورٹویگ-ڈی وریس مساوات (KdV) بن جاتی ہے۔ یہاں سلسلہ میں ذرہ کو لیبل کرنے والا انڈیکس نیا مقامی کوآرڈینیٹ بن جاتا ہے۔ اس کے برعکس، ٹوڈا فیلڈ تھیوری ایک نیا مقامی کوآرڈینیٹ متعارف کروا کر حاصل کی جاتی ہے جو چین انڈیکس لیبل سے آزاد ہے۔ یہ رشتہ دارانہ طور پر غیر متغیر طریقے سے کیا جاتا ہے، تاکہ وقت اور جگہ کو مساوی بنیادوں پر سمجھا جائے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ٹوڈا فیلڈ تھیوری ٹوڈا سلسلہ کی مسلسل حد نہیں ہے۔ حوالہ جات ریاضیاتی طبیعیات جوہری، سالماتی، اور نظری طبیعیات