Elementary matrix
ریاضی میں، ابتدائی میٹرکس ایک میٹرکس ہے جو شناخت میٹرکس سے ایک واحد ابتدائی صف کے آپریشن سے مختلف ہوتا ہے۔ ابتدائی میٹرکس عمومی لکیری گروپ پیدا کرتے ہیں جب ایک فیلڈ ہوتا ہے۔ ابتدائی میٹرکس کے ذریعہ بائیں ضرب (قبل از ضرب) ابتدائی صف کی کارروائیوں کی نمائندگی کرتا ہے، جبکہ دائیں ضرب (بعد از ضرب) ابتدائی کالم کی کارروائیوں کی نمائندگی کرتا ہے۔ ابتدائی قطار کی کارروائیوں کا استعمال گوسیائی خاتمے میں ایک میٹرکس کو قطار کی ایکلون شکل میں کم کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ ان کا استعمال گاؤس-جارڈن کے خاتمے میں بھی کیا جاتا ہے تاکہ میٹرکس کو کم کر کے قطار کی ایکلون شکل میں لایا جا سکے۔ ابتدائی قطار کی کارروائیاں ابتدائی میٹرکس کی تین قسمیں ہیں، جو تین قسم کی قطار کی کارروائیوں سے مطابقت رکھتی ہیں (بالترتیب، کالم کی کارروائیاں): قطار کو تبدیل کرنا میٹرکس کے اندر ایک قطار کو دوسری قطار سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ صف ضرب ایک صف میں ہر عنصر کو غیر صفر مستقل سے ضرب دی جا سکتی ہے۔ اسے اسکیلنگ اے رو کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ صف کا اضافہ ایک صف کو اس صف کے مجموعے اور دوسری صف کے ضرب سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اگر ایک ابتدائی میٹرکس ہے، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے، ایک میٹرکس پر ابتدائی صف کے عمل کو لاگو کرنے کے لیے، ایک بائیں طرف ابتدائی میٹرکس سے ضرب کرتا ہے،۔ کسی بھی صف کے آپریشن کے لیے ابتدائی میٹرکس شناختی میٹرکس پر آپریشن کو انجام دے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اس حقیقت کو میٹرکس کے زمرے پر لاگو ہونے والے یونڈا لیما کی ایک مثال کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ صف کو تبدیل کرنے والی تبدیلیاں ایک میٹرکس پر پہلی قسم کی صف کا عمل قطار کے تمام میٹرکس عناصر کو ان کے ہم منصبوں کے ساتھ ایک مختلف قطار میں تبدیل کرتا ہے۔ متعلقہ ابتدائی میٹرکس شناخت میٹرکس کی صف اور صف کو تبدیل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ قطاریں اور قطاریں بدل کر تیار کردہ میٹرکس بھی ایسا ہی ہے۔ گتانک کے لحاظ سے، میٹرکس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: خصوصیات اس میٹرکس کا الٹا خود ہے: چونکہ شناخت میٹرکس کا تعین کنندہ اتحاد ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کسی بھی مربع میٹرکس (صحیح سائز کے) کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ نظریاتی تحفظات کے لیے، صف کو تبدیل کرنے والی تبدیلی کو صف کے اضافے اور صف کو ضرب دینے والی تبدیلیوں سے حاصل کیا جا سکتا ہے جو ذیل میں متعارف کرائی گئی ہیں کیونکہ صف کو ضرب دینے والی تبدیلیاں ایک میٹرکس پر اگلی قسم کے صف آپریشن میں صف کے تمام عناصر کو ضرب دی جاتی ہے جہاں ایک غیر صفر اسکیلر (عام طور پر ایک حقیقی نمبر) ہوتا ہے۔ متعلقہ ایلیمنٹری میٹرکس ایک ڈائیگنل میٹرکس ہے، جس میں ڈائیگنل اندراجات 1 ہر جگہ ہیں سوائے ویں پوزیشن کے، جہاں یہ ہے۔ اسی طرح میٹرکس کو قطار سے ضرب دے کر تیار کیا جاتا ہے۔ گتانک کے لحاظ سے، میٹرکس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: خصوصیات اس میٹرکس کا الٹا میٹرکس کے ذریعہ دیا گیا ہے اور اس کا الٹا اخترن میٹرکس ہیں۔ لہذا مربع میٹرکس (صحیح سائز کے) کے لیے، ہمارے پاس صف کے اضافے کی تبدیلیاں ہیں۔ ایک میٹرکس پر آخری قسم کی صف کے آپریشن میں قطار میں ایک اسکیلر سے ضرب شدہ قطار شامل ہوتی ہے۔ متعلقہ ابتدائی میٹرکس شناخت میٹرکس ہے لیکن پوزیشن میں ایک کے ساتھ۔ اسی طرح میٹرکس بھی ہے جو قطار میں وقت کی صف کو شامل کرکے تیار کیا جاتا ہے۔ اور کالم میں ٹائم کالم شامل کرکے تیار کردہ میٹرکس ہے۔ گتانک کے لحاظ سے، میٹرکس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: خصوصیات یہ تبدیلیاں ایک قسم کی شیر میپنگ ہیں، جسے ٹرانسویکشن بھی کہا جاتا ہے۔ اس میٹرکس کا الٹا میٹرکس کے ذریعہ دیا گیا ہے اور اس کا الٹا مثلث میٹرکس ہیں۔ لہذا، ایک مربع میٹرکس (صحیح سائز کے) کے لیے ہمارے پاس سٹینبرگ کے تعلقات کو مطمئن کرنے والے رو-ایڈیشن ٹرانسفارمز ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ گاؤسی اخراج لکیری الجبرا نظام لکیری مساوات میٹرکس (ریاضی) ایل یو سڑنا فروبینیوس میٹرکس حوالہ جات لکیری الجبرا