Lindley's paradox
لنڈلے کا پیراڈوکس اعداد و شمار میں ایک متضاد صورتحال ہے جس میں مفروضے کی جانچ کے مسئلے پر بایسیئن اور فریکوینٹسٹ نقطہ نظر پہلے کی تقسیم کے کچھ انتخاب کے لیے مختلف نتائج دیتے ہیں۔ دونوں نقطہ نظر کے درمیان اختلاف کا مسئلہ ہیرالڈ جیفریز کی 1939 کی نصابی کتاب میں زیر بحث آیا تھا۔ یہ لنڈلے کی پیراڈوکس کے نام سے مشہور ہوا جب ڈینس لنڈلے نے 1957 کے ایک مقالے میں اس اختلاف کو پیراڈوکس قرار دیا۔ اگرچہ اسے پیراڈوکس کہا جاتا ہے، لیکن بایسیائی اور فریکوینٹسٹ طریقوں کے مختلف نتائج کو دونوں طریقوں کے درمیان حقیقی اختلاف کے بجائے بنیادی طور پر مختلف سوالات کے جوابات دینے کے لیے استعمال کرنے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس کے باوجود، ترجیحات کے ایک بڑے طبقے کے لیے فریکوینسٹ اور بیسیئن نقطہ نظر کے درمیان فرق اہمیت کی سطح کو طے رکھنے کی وجہ سے ہوتا ہے: جیسا کہ لنڈلے نے بھی تسلیم کیا، "نظریہ اہمیت کی سطح کو طے رکھنے کے عمل کا جواز پیش نہیں کرتا ہے" اور یہاں تک کہ "پروفیسر پیئرسن کی طرف سے اس مقالے پر بحث میں کچھ حسابات نے اس بات پر زور دیا کہ اگر نقصانات اور پیشگی امکانات کو طے رکھا جائے تو اہمیت کی سطح کو نمونے کے سائز کے ساتھ کیسے تبدیل کرنا پڑے گا۔" درحقیقت، اگر نازک قیمت نمونے کے سائز کے ساتھ مناسب تیزی سے بڑھتی ہے، تو نمونے کے سائز میں اضافے کے ساتھ ساتھ فریکوینٹسٹ اور بیسیئن طریقوں کے درمیان اختلاف نہ ہونے کے برابر ہو جاتا ہے۔ پیراڈوکس کی تفصیل کسی تجربے کے نتیجے میں دو ممکنہ وضاحتیں ہوتی ہیں، مفروضے اور، اور کچھ پیشگی تقسیم غیر یقینی صورتحال کی نمائندگی کرتی ہے کہ کون سا مفروضہ مدنظر رکھنے سے پہلے زیادہ درست ہے۔ لنڈلے کا پیراڈوکس اس وقت ہوتا ہے جب نتیجہ 5 ٪ کی سطح پر مسترد کرنے کے لیے کافی شواہد کی نشاندہی کرتے ہوئے، ایک فریکوینٹسٹ ٹیسٹ کے ذریعے "اہم" ہوتا ہے، اور دیئے جانے کا پچھلا امکان زیادہ ہوتا ہے، جو مضبوط شواہد کی نشاندہی کرتا ہے جو اس سے بہتر اتفاق کرتا ہے۔ یہ نتائج ایک ہی وقت میں ہو سکتے ہیں جب بہت مخصوص، زیادہ پھیلا ہوا ہو، اور پہلے کی تقسیم ایک یا دوسرے کو مضبوطی سے پسند نہیں کرتی، جیسا کہ ذیل میں دیکھا گیا ہے۔ عددی مثال درج ذیل عددی مثال لنڈلے کے تضاد کی وضاحت کرتی ہے۔ ایک مخصوص شہر میں 49,581 لڑکے اور 48,870 لڑکیاں ایک مخصوص مدت میں پیدا ہوئے ہیں۔ اس طرح مردانہ پیدائشوں کا مشاہدہ شدہ تناسب 49,581/98، 451 ≈ 0.5036 ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ مردانہ پیدائشوں کا حصہ پیرامیٹر کے ساتھ بائنومیل متغیر ہے۔ ہم یہ جانچنے میں دلچسپی رکھتے ہیں کہ آیا 0.0 ہے یا کوئی اور قدر۔ یعنی، ہمارا صفر مفروضہ ہے اور متبادل ہے۔ کثرت پسندانہ نقطہ نظر جانچ کے لیے کثرت پسندانہ نقطہ نظر پی-ویلیو کا حساب لگانا ہے، لڑکوں کے ایک حصے کا مشاہدہ کرنے کا امکان کم از کم اتنا بڑا ہے جتنا کہ فرض کرنا درست ہے۔ چونکہ پیدائشوں کی تعداد بہت زیادہ ہے، اس لیے ہم مرد پیدائشوں کے حصے کے لیے ایک عام تخمینہ استعمال کر سکتے ہیں، اور، حساب لگانے کے لیے اگر ہم 49,581 خواتین کی پیدائش دیکھتے تو ہم بھی اتنے ہی حیران ہوتے، یعنی۔ ، لہذا ایک فریکوینٹسٹ عام طور پر دو طرفہ ٹیسٹ انجام دیتا ہے، جس کے لیے پی-ویلیو ہوگی۔ دونوں صورتوں میں، پی-ویلیو 5 ٪ کی اہمیت کی سطح، α سے کم ہے، لہذا فریکوینٹسٹ اپروچ مسترد کرتا ہے کیونکہ یہ مشاہدہ شدہ ڈیٹا سے متفق نہیں ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک مفروضے کو دوسرے پر حق دینے کی کوئی وجہ نہیں ہے، بایسیائی نقطہ نظر یہ ہوگا کہ پہلے کے امکانات اور نیچے کے لیے یکساں تقسیم کو تفویض کیا جائے، اور پھر بایز کے نظریہ کو استعمال کرنے کے بعد کے امکانات کا حساب لگایا جائے، لڑکوں کی پیدائشوں کا مشاہدہ کرنے کے بعد، ہم ہر مفروضے کے بعد کے امکانات کا حساب ایک بائنومیل متغیر کے لیے امکانی ماس فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے لگا سکتے ہیں، جہاں بیٹا فنکشن ہے۔ ان اقدار سے، ہم کے بعد کے امکان کو تلاش کرتے ہیں، جو مضبوطی سے حمایت کرتا ہے۔ دو نقطہ نظر-بایسیئن اور فریکوینسٹ-تنازعہ میں دکھائی دیتے ہیں، اور یہ "پیراڈوکس" ہے۔ بایسیئن اور فریکوینٹسٹ طریقوں کو ہم آہنگ کرنا نعمان کی جانچ کرنے والے تقریبا یقینی مفروضے نے غلط مثبت کو کنٹرول کرنے کے لیے نمونے کے سائز کے لیے اہمیت کی سطح کو اپنانے کی تجویز پیش کی:، جیسے کہ ساتھ۔ کم از کم عددی مثال میں، لینے کے نتیجے میں 0.00318 کی اہمیت کی سطح ہوتی ہے، لہذا فریکوینٹسٹ کالعدم مفروضے کو مسترد نہیں کرے گا، جو کہ بیسیائی نقطہ نظر سے متفق ہے۔ غیر معلوماتی ترجیحات اگر ہم ایک غیر معلوماتی پیشگی استعمال کرتے ہیں اور ایک مفروضے کی جانچ کرتے ہیں جو کہ فریکوینٹسٹ نقطہ نظر سے زیادہ ملتا جلتا ہے، تو پیراڈوکس غائب ہو جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم پچھلی تقسیم کا حساب لگاتے ہیں، تو اس پر یکساں پیشگی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے (یعنی۔ )، ہم تلاش کرتے ہیں کہ اگر ہم اس امکان کو چیک کرنے کے لیے اس کا استعمال کرتے ہیں کہ نوزائیدہ بچے کے لڑکی سے زیادہ لڑکے ہونے کا امکان ہے، یعنی۔ دوسرے لفظوں میں، اس بات کا بہت امکان ہے کہ مردانہ پیدائشوں کا تناسب 0.0 سے زیادہ ہو۔ نہ ہی تجزیہ براہ راست اثر کے سائز کا تخمینہ دیتا ہے، لیکن دونوں کو اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، اگر لڑکوں کی پیدائش کا حصہ کسی خاص حد سے اوپر ہونے کا امکان ہے۔ ایک حقیقی تضاد کی کمی دونوں طریقوں کے درمیان واضح اختلاف عوامل کے امتزاج کی وجہ سے ہے۔ سب سے پہلے، بغیر کسی حوالہ کے ٹیسٹ کے اوپر فریکوینٹسٹ اپروچ۔ بایسیائی نقطہ نظر ایک متبادل کے طور پر تشخیص کرتا ہے، اور مشاہدوں کے ساتھ بہتر اتفاق کرنے والے پہلے شخص کو تلاش کرتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ مؤخر الذکر مفروضہ بہت زیادہ پھیلا ہوا ہے، جیسا کہ کہیں بھی ہو سکتا ہے، جس کے نتیجے میں اس کے بعد کے امکانات بہت کم ہوتے ہیں۔ یہ سمجھنے کے لیے کہ کیوں، دونوں مفروضوں کو مشاہدات کے جنریٹر کے طور پر سمجھنا مددگار ہے: اس کے تحت، ہم انتخاب کرتے ہیں، اور پوچھتے ہیں کہ 98,451 پیدائشوں میں 49,581 لڑکوں کو دیکھنے کا کتنا امکان ہے۔ اس کے تحت، ہم 0 سے 1 کے اندر کہیں سے بھی تصادفی طور پر انتخاب کرتے ہیں، اور وہی سوال پوچھتے ہیں۔ انڈر کے لیے زیادہ تر ممکنہ اقدار مشاہدات کے ذریعے بہت کم حمایت یافتہ ہیں۔ جوہر میں، طریقوں کے درمیان واضح اختلاف رائے بالکل بھی اختلاف نہیں ہے، بلکہ اس بارے میں دو مختلف بیانات ہیں کہ مفروضے ڈیٹا سے کس طرح متعلق ہیں: فریکوینٹسٹ کو پتہ چلتا ہے کہ یہ مشاہدے کی ناقص وضاحت ہے۔ بایسیئن نے پایا کہ مشاہدے کے لیے یہ اس سے کہیں بہتر وضاحت ہے۔ فریکوینٹسٹ ٹیسٹ کے مطابق نوزائیدہ بچوں کی جنس کا تناسب ناممکن طور پر 50/50 مرد/عورت ہے۔ پھر بھی 50/50 زیادہ تر کے مقابلے میں ایک بہتر تخمینہ ہے، لیکن تمام نہیں، دوسرے تناسب۔ یہ مفروضہ مشاہدے کو تقریبا دیگر تمام تناسب کے مقابلے میں بہت بہتر فٹ کرتا، بشمول۔ مثال کے طور پر، مفروضوں اور پیشگی امکانات کے اس انتخاب سے یہ بیان ظاہر ہوتا ہے: "اگر> 0.49 اور <0.51، تو بالکل 0.0 ہونے کا پیشگی امکان 0.50/0.51 98 ٪ ہے۔" اس طرح کی مضبوط ترجیح کو دیکھتے ہوئے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ بایسیائی نقطہ نظر کیوں اس کے حق میں ہے، حالانکہ مشاہدہ شدہ قدر 0.0 سے دور ہے۔ 2 سگما سے زیادہ کا انحراف فریکوینٹسٹ نقطہ نظر میں اہم سمجھا جاتا ہے، لیکن اس کی اہمیت کو بایسیائی نقطہ نظر میں پہلے سے مسترد کر دیا گیا ہے۔ اسے دوسرے طریقے سے دیکھتے ہوئے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ پہلے کی تقسیم بنیادی طور پر فلیٹ ہے جس میں ڈیلٹا فنکشن ہے۔ واضح طور پر یہ مشکوک ہے۔ درحقیقت اگر آپ حقیقی اعداد کو مسلسل تصور کرتے ہیں، تو یہ فرض کرنا زیادہ منطقی ہوگا کہ کسی بھی دیئے گئے نمبر کے لیے بالکل پیرامیٹر ویلیو ہونا ناممکن ہوگا، یعنی ہمیں فرض کرنا چاہیے۔ متبادل مفروضے کے لیے ایک زیادہ حقیقت پسندانہ تقسیم کے بعد کے حصے کے لیے کم حیران کن نتیجہ پیدا کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم اس کی جگہ لے لیتے ہیں، یعنی، زیادہ سے زیادہ امکان کا تخمینہ، کے پیچھے کا امکان صرف 0.07 ہوگا اس کے مقابلے میں 0.93 کے لیے (یقینا، کوئی اصل میں ایم ایل ای کو پیشگی تقسیم کے حصے کے طور پر استعمال نہیں کر سکتا)۔ حالیہ بحث پیراڈوکس فعال بحث کا ایک ذریعہ بنی ہوئی ہے۔ مزید پڑھیں شماریاتی مفروضے کی جانچ شماریاتی تضادات بایسیائی اعداد و شمار