Sz.-Nagy's dilation theorem
Sz.-Nagy ڈائلشن تھیوریم (جسے بیلا سزوکفلوی-نیگی نے ثابت کیا ہے) میں کہا گیا ہے کہ ہلبرٹ اسپیس پر ہر سنکچن کا ہلبرٹ اسپیس پر یک جہتی پھیلاؤ ہوتا ہے، جس میں، جہاں سے پروجیکشن ہوتا ہے۔ مزید برآں، اس طرح کا پھیلاؤ منفرد ہوتا ہے (یک جہتی مساوات تک) جب کوئی یہ فرض کرتا ہے کہ K کم سے کم ہے، اس معنی میں کہ K کا لکیری دورانیہ K میں گھنے ہے۔ جب یہ کم سے کم حالت برقرار رہتی ہے، تو U کو T کا کم سے کم یک جہتی پھیلاؤ کہا جاتا ہے۔ ثبوت سنکچنشن T (یعنی، () کے لیے، اس کے عیب آپریٹر DT کو (منفرد) مثبت مربع جڑ DT = (I-T * T) 1⁄2 کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس خاص صورت میں کہ S ایک آئسومیٹری ہے، DS * ایک پروجیکٹر ہے اور DS = 0، اس لیے درج ذیل ایک Sz ہے۔ مطلوبہ کثیر الجہتی فنکشنل کیلکولس پراپرٹی کے ساتھ S کا ناگی یک جہتی پھیلاؤ: سنکچن T کی عمومی صورت پر واپس آتے ہوئے، ہلبرٹ اسپیس H پر ہر سنکچن T میں ایک آئسومیٹرک پھیلاؤ ہوتا ہے، پھر کیلکولس پراپرٹی کے ساتھ، S کو اس طرح ایک آئسومیٹری S کے لیے پچھلے Sz.-Nagy یک جہتی پھیلاؤ میں تعمیر کرکے دیا جاتا ہے، ایک سنکچن T کے لیے یک جہتی پھیلاؤ حاصل کرتا ہے: شیفر شکل یک جہتی Sz کی شیفر شکل۔ ناگی ڈائلشن کو کسی دیئے گئے سنکچن کے لیے مطلوبہ خاصیت کے ساتھ تمام یکطرفہ ڈائلشن کی خصوصیت کے لیے ایک نقطہ آغاز کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تبصرے برجر، فویاس اور لیبو کے ذریعہ اس تھیوریم کی عمومی شکل سے پتہ چلتا ہے کہ اگر X T کے لیے ایک سپیکٹرم سیٹ ہے، اور ڈیرچلیٹ الجبرا ہے، تو T کا کم سے کم نارمل δX پھیلاؤ ہے، جو اوپر کی شکل کا ہے۔ اس کا نتیجہ یہ ہے کہ کوئی بھی آپریٹر جس کے پاس محض منسلک سپیکٹرم سیٹ X ہوتا ہے اس کا کم سے کم عام δX پھیلاؤ ہوتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ Sz.-Nagy کے نظریہ کو عام کرتا ہے، نوٹ کریں کہ سنکچن آپریٹرز کے پاس سپیکٹرم سیٹ کے طور پر یونٹ ڈسک D ہے، اور یہ کہ یونٹ سرکل δD میں سپیکٹرم والے نارمل آپریٹرز یکطرفہ ہیں۔ حوالہ جات آپریٹر تھیوری ثبوت پر مشتمل مضامین فنکشنل تجزیہ میں نظریات