Abel's summation formula
ریاضی میں، ایبل کا خلاصہ فارمولا، جسے نیلز ہنریک ایبل نے متعارف کرایا تھا، تجزیاتی نمبر تھیوری اور سیریز کا حساب لگانے کے لیے خصوصی افعال کے مطالعہ میں شدت سے استعمال ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ حقیقی یا پیچیدہ اعداد کی ترتیب ہے۔ کسی بھی حقیقی عدد کے لیے جزوی مجموعہ فنکشن کی وضاحت کریں۔ حقیقی اعداد کو درست کریں، اور ایک مسلسل تفریق پذیر فنکشن ہونے دیں۔ پھر: فارمولہ افعال اور کے لیے مربوط ریمن-اسٹیلٹجز کے لیے حصوں کے ذریعے انضمام کا اطلاق کرکے اخذ کیا جاتا ہے۔ تغیرات بائیں اختتامی نقطہ کو لے کر فارمولہ ملتا ہے اگر ترتیب کو شروع سے انڈیکس کیا جاتا ہے، تو ہم باضابطہ طور پر اس کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ پچھلا فارمولا بن جاتا ہے ایبل کے خلاصہ فارمولے کو لاگو کرنے کا ایک عام طریقہ یہ ہے کہ ان فارمولوں میں سے کسی ایک کی حد کو اس طرح لیا جائے۔ نتیجے میں آنے والے فارمولے یہ ہیں کہ جب بھی دائیں طرف دونوں حدود موجود ہوں اور محدود ہوں تو یہ مساوات برقرار رہتی ہیں۔ ایک خاص طور پر مفید کیس سب کے لیے ترتیب ہے۔ اس معاملے میں، اسی طرح، ترتیب اور سب کے لیے، فارمولہ بن جاتا ہے۔ حد کو اس طرح لینے پر، ہم یہ فرض کرتے ہوئے پاتے ہیں کہ دائیں ہاتھ کی طرف دونوں اصطلاحات موجود ہیں اور محدود ہیں۔ ایبل کے خلاصہ فارمولے کو اس صورت میں عام کیا جا سکتا ہے جہاں صرف مسلسل سمجھا جاتا ہے اگر انٹیگرل کی تشریح ریمن-اسٹیلٹجز انٹیگرل کے طور پر کی جائے: کسی ترتیب سے وابستہ جزوی مجموعہ فنکشن ہونے کی وجہ سے، یہ حصوں کے فارمولے کے لحاظ سے خلاصہ کی طرف جاتا ہے۔ مثال ہارمونک نمبر اگر کے لیے اور پھر اور فارمولہ نتیجہ دیتا ہے بائیں ہاتھ کی طرف ہارمونک نمبر ہے۔ ریمن کے زیٹا فنکشن کی نمائندگی ایک پیچیدہ نمبر طے کریں۔ اگر کے لیے اور پھر اور فارمولا بن جاتا ہے اگر، تو حد جیسا کہ موجود ہے اور فارمولہ حاصل کرتی ہے جہاں ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ یہ ڈیرچلیٹ کے نظریہ کو اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس میں ایک سادہ قطب ہوتا ہے جس پر 1 بقیہ ہوتا ہے۔ ریمن زیٹا فنکشن کا باہمی پچھلی مثال کی تکنیک کا اطلاق دیگر ڈیرچلیٹ سیریز پر بھی کیا جا سکتا ہے۔ اگر موبیئس فنکشن ہے اور، تو مرٹنز فنکشن ہے اور یہ فارمولا اس کے لیے ہے۔ خلاصہ بائے پارٹس انٹیگریشن بائے پارٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ نمبر تھیوری خلاصہ کے طریقے