Herbrandization
منطقی فارمولے کی ہر برانڈائزیشن (جس کا نام جیکس ہر برانڈ کے نام پر رکھا گیا ہے) ایک ایسی تعمیر ہے جو کسی فارمولے کی اسکولیمائزیشن سے دوہری ہے۔ تھورالف سکولم نے فارمولوں کی اسکولیمائزیشن کو پرینیکس کی شکل میں لووینہیم-سکولم تھیوریم (سکولم 1920) کے اپنے ثبوت کا حصہ سمجھا تھا۔ ہربرانڈ نے ہربرانڈائزیشن کے اس دوہرے تصور کے ساتھ کام کیا، جسے ہربرانڈ کے نظریہ (ہربرانڈ 1930) کو ثابت کرنے کے لیے غیر پرینیکس فارمولوں پر بھی لاگو کرنے کے لیے عام کیا گیا۔ نتیجہ خیز فارمولا لازمی طور پر اصل کے مساوی نہیں ہے۔ اسکولیمائزیشن کی طرح، جو صرف اطمینان بخش کو محفوظ رکھتی ہے، ہر برانڈائزیشن اسکولیمائزیشن کی دوہری ہونے کی وجہ سے توثیق کو محفوظ رکھتی ہے: نتیجہ خیز فارمولا تب ہی درست ہوتا ہے جب اصل فارمولا درست ہو۔ تعریف اور مثالیں آئیے فرسٹ آرڈر منطق کی زبان میں ایک فارمولا بنیں۔ ہم یہ فرض کر سکتے ہیں کہ اس میں کوئی متغیر نہیں ہے جو دو مختلف مقداری واقعات سے پابند ہو، اور یہ کہ کوئی متغیر پابند اور آزاد دونوں نہیں ہوتا ہے۔ (یعنی، ان شرائط کو یقینی بنانے کے لیے اس طرح سے جاری کیا جا سکتا ہے کہ نتیجہ ایک مساوی فارمولا ہو)۔ اس کے بعد کی ہربرانڈائزیشن مندرجہ ذیل طور پر حاصل کی جاتی ہے: پہلے، کسی بھی آزاد متغیر کو مستقل علامتوں سے تبدیل کریں۔ دوسرا، متغیرات پر تمام مقداریں حذف کریں جو یا تو (1) عالمی طور پر مقداری ہیں اور منفی علامتوں کی یکساں تعداد کے اندر ہیں، یا (2) موجودہ طور پر مقداری ہیں اور منفی علامتوں کی عجیب تعداد کے اندر ہیں۔ آخر میں، اس طرح کے ہر متغیر کو فنکشن کی علامت سے تبدیل کریں، وہ متغیر کہاں ہیں جو اب بھی مقداری ہیں، اور جن کے مقداری قواعد ہیں۔ مثال کے طور پر فارمولے پر غور کریں۔ تبدیل کرنے کے لیے کوئی مفت متغیر نہیں ہیں۔ متغیرات وہ قسم ہیں جن پر ہم دوسرے مرحلے کے لیے غور کرتے ہیں، لہذا ہم کوانٹیفائرز کو حذف کرتے ہیں اور۔ آخر میں، ہم پھر ایک مستقل کے ساتھ تبدیل کرتے ہیں (چونکہ کوئی اور مقداری قواعد موجود نہیں تھے)، اور ہم ایک فنکشن کی علامت کے ساتھ تبدیل کرتے ہیں: کسی فارمولے کی اسکولیمائزیشن اسی طرح حاصل کی جاتی ہے، سوائے اس کے کہ اوپر کے دوسرے مرحلے میں، ہم متغیرات پر مقداری کو حذف کر دیں گے جو یا تو (1) موجود طور پر مقداری اور منفی کی یکساں تعداد کے اندر، یا (2) عالمی طور پر مقداری اور منفی کی ایک عجیب تعداد کے اندر ہیں۔ اس طرح، اوپر سے اسی پر غور کرتے ہوئے، اس کی اسکولیمائزیشن یہ ہوگی: ان تعمیرات کی اہمیت کو سمجھنے کے لیے، ہربرانڈز تھیوریم یا لووینہیم-سکولیم تھیوریم دیکھیں۔ پریڈیکیٹ فنکٹر منطق حوالہ جات سکولیم، ٹی. "ریاضیاتی تجاویز کی اطمینان یا تصدیق میں منطق-مشترکہ تحقیقات: ایل لووینہیم کے ذریعہ ایک تھیوریم کا ایک آسان ثبوت اور تھیوریم کی عمومی کاری" بھی دیکھیں۔ (وین ہیجینورٹ 1967 میں، 252-63۔) ہربرانڈ، جے۔ "ثبوت کے نظریہ میں تحقیقات: حقیقی تجاویز کی خصوصیات۔" (وین ہیجینورٹ 1967 میں، 525-81۔) وین ہیجینورٹ، جے۔ فریج سے گوڈل تک: ریاضیاتی منطق میں ایک ماخذ کتاب، 1879-1931۔ ہارورڈ یونیورسٹی پریس، 1967۔ منطق عام شکلیں (منطق)