Row equivalence
لکیری الجبرا میں، دو میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں اگر ایک کو ابتدائی قطار کی کارروائیوں کی ترتیب سے دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، دو m × n میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے پاس ایک ہی قطار کی جگہ ہو۔ یہ تصور عام طور پر میٹرکس پر لاگو ہوتا ہے جو لکیری مساوات کے نظام کی نمائندگی کرتے ہیں، اس صورت میں ایک ہی سائز کے دو میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب متعلقہ یکساں نظاموں کے حل کا ایک ہی سیٹ ہو، یا مساوی طور پر میٹرکس میں ایک ہی خالی جگہ ہو۔ چونکہ ابتدائی صف کی کارروائیاں بدلنے کے قابل ہوتی ہیں، اس لیے صف کی مساوات ایک مساوات کا تعلق ہے۔ اسے عام طور پر ٹلڈے (~) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کالم مساوات کا ایک ایسا ہی تصور ہے، جس کی تعریف ابتدائی کالم کی کارروائیوں سے ہوتی ہے۔ دو میٹرکس کالم کے مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے ٹرانسپوز میٹرکس قطار کے مساوی ہوں۔ دو آئتاکار میٹرکس جنہیں ایک دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے جو ابتدائی صف اور کالم دونوں کی کارروائیوں کی اجازت دیتے ہیں انہیں محض مساوی کہا جاتا ہے۔ ابتدائی قطار آپریشن ایک ابتدائی قطار آپریشن مندرجہ ذیل چالوں میں سے کوئی ایک ہے: تبادلہ: میٹرکس کی دو قطاریں تبدیل کریں۔ پیمانہ: میٹرکس کی ایک صف کو غیر صفر مستقل سے ضرب دیں۔ اہم: میٹرکس کی ایک صف کا ایک ضرب دوسری صف میں شامل کریں۔ دو میٹرکس A اور B قطار کے مساوی ہیں اگر ابتدائی قطار کی کارروائیوں کی ترتیب سے A کو B میں تبدیل کرنا ممکن ہو۔ قطار کی جگہ میٹرکس کی قطار کی جگہ اس کے قطار ویکٹروں کے تمام ممکنہ لکیری امتزاج کا مجموعہ ہے۔ اگر میٹرکس کی قطاریں لکیری مساوات کے نظام کی نمائندگی کرتی ہیں، تو قطار کی جگہ تمام لکیری مساوات پر مشتمل ہوتی ہے جنہیں نظام میں موجود مساوات سے الجبرائی طور پر نکالا جا سکتا ہے۔ دو m × n میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے پاس ایک ہی قطار کی جگہ ہو۔ مثال کے طور پر، میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں، قطار کی جگہ فارم کے تمام ویکٹر ہوتے ہیں۔ یکساں مساوات کے متعلقہ نظام ایک ہی معلومات فراہم کرتے ہیں: خاص طور پر، یہ دونوں نظام تعریفوں کی مساوات کی شکل کی ہر مساوات کو ظاہر کرتے ہیں۔ حقیقت یہ ہے کہ دو میٹرکس قطار کے مساوی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے پاس ایک ہی صف کی جگہ ہو تو لکیری الجبرا میں ایک اہم نظریہ ہے۔ ثبوت مندرجہ ذیل مشاہدات پر مبنی ہے: ابتدائی صف کی کارروائیاں میٹرکس کی صف کی جگہ کو متاثر نہیں کرتی ہیں۔ خاص طور پر، کسی بھی دو قطار کے مساوی میٹرکس میں ایک ہی قطار کی جگہ ہوتی ہے۔ کسی بھی میٹرکس کو ابتدائی صف کی کارروائیوں کے ذریعے کم شدہ صف ایکلون کی شکل میں میٹرکس میں کم کیا جا سکتا ہے۔ کم شدہ صف ایکلون کی شکل میں دو میٹرکس میں ایک ہی صف کی جگہ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ برابر ہوں۔ استدلال کی یہ لکیر یہ بھی ثابت کرتی ہے کہ ہر میٹرکس ایک منفرد میٹرکس کے مساوی ہے جس میں کم صف ایکلون شکل ہوتی ہے۔ اضافی خصوصیات کیونکہ میٹرکس کی کالعدم جگہ قطار کی جگہ کی آرتھوگنل تکمیل ہوتی ہے، دو میٹرکس قطار کے مساوی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے پاس ایک ہی کالعدم جگہ ہو۔ میٹرکس کا درجہ قطار کی جگہ کے طول و عرض کے برابر ہوتا ہے، اس لیے قطار کے مساوی میٹرکس کا درجہ یکساں ہونا چاہیے۔ یہ کم شدہ صف ایکلون کی شکل میں محوروں کی تعداد کے برابر ہے۔ ایک میٹرکس اس صورت میں اور صرف اس صورت میں الٹا ہو سکتا ہے جب وہ شناخت میٹرکس کے مساوی ہو۔ میٹرکس A اور B قطار کے مساوی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی الٹا میٹرکس P موجود ہو جیسے کہ A = PB۔ ابتدائی صف کی کارروائیاں بھی دیکھیں صف کی جگہ کی بنیاد (لکیری الجبرا) صف میں کمی (کم شدہ) صف ایکلون فارم حوالہ جات بیرونی روابط لکیری الجبرا میٹرکس مساوات (ریاضی)