Quasiconvex function
ریاضی میں، کواسیکونویکس فنکشن ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے جس کی وضاحت کسی وقفے پر یا کسی حقیقی ویکٹر اسپیس کے کنویکس سب سیٹ پر اس طرح کی جاتی ہے کہ شکل کے کسی بھی سیٹ کی الٹا تصویر ایک کنویکس سیٹ ہو۔ ایک واحد متغیر کے فنکشن کے لیے، منحنی خطوط کے کسی بھی حصے کے ساتھ سب سے اونچا نقطہ اختتامی نکات میں سے ایک ہوتا ہے۔ کواسیکونویکس فنکشن کا منفی کواسیکونکیو کہا جاتا ہے۔ تمام کنویکس افعال بھی کواسیکونویکس ہوتے ہیں، لیکن تمام کواسیکونویکس افعال کنویکس نہیں ہوتے ہیں، اس لیے کواسیکونویکسٹی کنویکسٹی کی عمومی شکل ہے۔ غیر متغیر یونو موڈل افعال کواسیکونویکس یا کواسیکونکیو ہوتے ہیں، تاہم یہ ضروری نہیں کہ متعدد دلائل والے افعال کے لیے ایسا ہو۔ مثال کے طور پر، 2 جہتی روزن بروک فنکشن یونیموڈل ہے لیکن کواسیکونویکس نہیں ہے اور اسٹار کنویکس ذیلی سطح کے سیٹوں کے ساتھ افعال کواسیکونویکس ہونے کے بغیر یونیموڈل ہو سکتے ہیں۔ تعریف اور خصوصیات حقیقی ویکٹر اسپیس کے کنویکس سب سیٹ پر بیان کردہ فنکشن کواسیکونویکس ہے اگر سب کے لیے اور ہمارے پاس ہے۔ الفاظ میں، اگر یہ ہمیشہ سچ ہے کہ دو دوسرے پوائنٹس کے درمیان براہ راست ایک نقطہ فنکشن کی زیادہ قیمت نہیں دیتا ہے تو پھر کواسیکونویکس ہے۔ نوٹ کریں کہ پوائنٹس اور، اور ان کے درمیان براہ راست نقطہ، کسی لکیر پر پوائنٹس ہو سکتے ہیں یا زیادہ عام طور پر n جہتی جگہ میں پوائنٹس ہو سکتے ہیں۔ کواسی کنویکس فنکشن کی وضاحت کرنے کا ایک متبادل طریقہ (تعارف دیکھیں) یہ ہے کہ ہر ذیلی سطح کا سیٹ ایک کنویکس سیٹ ہو۔ اگر مزید سب کے لیے اور، تو سختی سے قوسیکونویکس ہے۔ یعنی، سخت قوسیکونویکسٹی کے لیے ضروری ہے کہ دو دوسرے پوائنٹس کے درمیان براہ راست ایک پوائنٹ کو دوسرے پوائنٹس میں سے ایک کے مقابلے فنکشن کی کم قیمت دینی چاہیے۔ کواسیکونکیو فنکشن ایک ایسا فنکشن ہے جس کا منفی کواسیکونویکس ہے، اور سختی سے کواسیکونکیو فنکشن ایک ایسا فنکشن ہے جس کا منفی سختی سے کواسیکونویکس ہے۔ مساوی طور پر ایک فنکشن قوسیکونکیو ہے اگر اور سختی سے قوسیکونکیو اگر A (سختی سے) قوسیکونویکس فنکشن میں (سختی سے) کنویکس نچلے کونٹور سیٹ ہوتے ہیں، جبکہ (سختی سے) قوسیکونکیو فنکشن میں (سختی سے) کنویکس اوپری کونٹور سیٹ ہوتے ہیں۔ ایک فنکشن جو قوسیکونویکس اور قوسیکونکیو دونوں ہے وہ قوسیلینئر ہے۔ نیم کھوکھلی کا ایک خاص معاملہ، اگر، یکسانیت ہے، جس میں مقامی طور پر زیادہ سے زیادہ قدر ہوتی ہے۔ ایپلی کیشنز کواسیکونویکس افعال ریاضیاتی تجزیہ، ریاضیاتی اصلاح، اور گیم تھیوری اور معاشیات میں استعمال ہوتے ہیں۔ ریاضیاتی اصلاح غیر لکیری اصلاح میں، قوسیکونویکس پروگرامنگ تکراری طریقوں کا مطالعہ کرتی ہے جو قوسیکونویکس افعال کے لیے کم از کم (اگر کوئی موجود ہو) میں بدل جاتے ہیں۔ Quasiconvex پروگرامنگ کنویکس پروگرامنگ کی عمومی شکل ہے۔ Quasiconvex پروگرامنگ کا استعمال "سروگیٹ" دوہری مسائل کے حل میں کیا جاتا ہے، جن کے دو طرفہ ابتدائی مسئلے کے Quasiconvex بندش فراہم کرتے ہیں، جو اس وجہ سے Lagrangian دوہری مسائل کے ذریعہ فراہم کردہ کنویکس بندشوں کے مقابلے میں سخت حدود فراہم کرتے ہیں۔ نظریہ طور پر، کواسیکونویکس پروگرامنگ اور کنویکس پروگرامنگ کے مسائل کو معقول وقت میں حل کیا جا سکتا ہے، جہاں تکرار کی تعداد مسئلہ کے طول و عرض میں کثیر الجہتی کی طرح بڑھتی ہے (اور برداشت شدہ تخمینہ کی غلطی کے باہمی طور پر) ؛ تاہم، اس طرح کے نظریاتی طور پر "موثر" طریقے "ڈائیورجنٹ سیریز" اسٹیپسائز کے قوانین کا استعمال کرتے ہیں، جو پہلے کلاسیکی ذیلی میلان کے طریقوں کے لیے تیار کیے گئے تھے۔ متفرق سیریز کے قوانین کا استعمال کرتے ہوئے کلاسیکی ذیلی میلان کے طریقے کنویکس کم سے کم کرنے کے جدید طریقوں کے مقابلے میں بہت سست ہیں، جیسے کہ ذیلی میلان کے پروجیکشن کے طریقے، نزول کے بنڈل کے طریقے، اور غیر ہموار فلٹر کے طریقے۔ معاشیات اور جزوی تفریقی مساوات: منی میکس تھیوریم مائیکرو اکنامکس میں، کواسیکونکیو یوٹیلیٹی افعال کا مطلب یہ ہے کہ صارفین کو کنویکس ترجیحات ہوتی ہیں۔ کواسیکونویکس کے افعال گیم تھیوری، صنعتی تنظیم، اور عمومی توازن کے نظریہ میں بھی اہم ہیں، خاص طور پر سیون کے منی میکس تھیوریم کے اطلاق کے لیے۔ جان وان نیومن کے منی میکس تھیوریم کو عام کرتے ہوئے، صیون کا تھیوریم جزوی تفریقی مساوات کے نظریہ میں بھی استعمال ہوتا ہے۔ کواسیکونویکسٹی آپریشنز کا تحفظ کواسیکونویکسٹی کو زیادہ سے زیادہ کواسیکونویکس افعال کو محفوظ رکھنا (یعنی) کواسیکونویکس ہے۔ اسی طرح، زیادہ سے زیادہ سخت قوسیکونویکس افعال سخت قوسیکونویکس ہوتے ہیں۔ اسی طرح، کم از کم قوسیکونکیو فنکشن قوسیکونکیو ہے، اور کم از کم سختی سے قوسیکونکیو فنکشن سختی سے قوسیکونکیو ہے۔ غیر کم ہونے والے فنکشن کے ساتھ ترکیب: قوسیکونویکس، غیر کم ہونے والا، پھر قوسیکونویکس ہے۔ اسی طرح، اگر قوسیکونکیو، غیر کم ہوتا ہے، تو قوسیکونکیو ہے۔ کم سے کم (یعنی۔ قوسیکونویکس، کنویکس سیٹ، پھر قوسیکونویکس ہے) قوسیکونویکسٹی کو محفوظ نہ رکھنے والی کارروائیاں ایک ہی ڈومین پر بیان کردہ قوسیکونویکس افعال کا مجموعہ قوسیکونویکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے: دوسرے الفاظ میں، اگر قوسیکونویکس ہیں، تو پھر قوسیکونویکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مختلف ڈومینز پر بیان کردہ کواسیکونویکس افعال کا مجموعہ (یعنی۔ اگر قوسیکونویکس ہیں،) کو قوسیکونویکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اس طرح کے افعال کو معاشیات میں "اضافی طور پر منقطع" اور ریاضیاتی اصلاح میں "علیحدہ" کہا جاتا ہے۔ مثالیں ہر کنویکس فنکشن کواسیکونویکس ہے۔ ایک کنکیو فنکشن کواسیکونویکس ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کنکیو اور کواسیکونویکس دونوں ہیں۔ کوئی بھی مونوٹونک فنکشن کواسیکونویکس اور کواسیکونکیو دونوں ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، ایک فنکشن جو ایک نقطہ تک کم ہوتا ہے اور اس نقطہ سے بڑھتا ہے وہ کواسیکونویکس ہے (یکسانیت کا موازنہ کریں)۔ فلور فنکشن کواسیکونویکس فنکشن کی ایک مثال ہے جو نہ تو کنویکس ہے اور نہ ہی مسلسل۔ کنویکس فنکشن کنکیو فنکشن لوگرتھمک طور پر کنکیو فنکشن سیوڈوکونویکسٹی کو کئی پیچیدہ متغیرات (عمومی کنویکسٹی نہیں) کے معنی میں دیکھیں۔ سیوڈوکونویکس فنکشن انویکس فنکشن کنکاویفیکیشن حوالہ جات ایوریل، ایم۔، ڈیوئرٹ، ڈبلیو۔ ای۔، شیبل، ایس۔ اور زانگ، آئی۔، جنرلائزڈ کنکیوٹی، پلینم پریس، 1988۔ گلوکار، آئیون تجریدی کنویکس تجزیہ۔ کینیڈین میتھمیٹیکل سوسائٹی سیریز آف مونوگرافس اینڈ ایڈوانسڈ ٹیکسٹس۔ ایک ولی-انٹرسائنس اشاعت۔ جان ولی اینڈ سنز، انکارپوریٹڈ، نیویارک، 1997۔ xxii + 491 پی پی۔ بیرونی روابط ایس آئی او این، ایم۔، "جنرل منی میکس تھیوریمز پر"، پیسیفک جے۔ ریاضی۔ 8 (1958)، 171-176۔ ریاضیاتی پروگرامنگ لغت کنکیو اور نیم کنکیو افعال-بذریعہ چارلس ولسن، NYU شعبہ معاشیات کواسیکونکیٹی اور کواسیکونویکسیٹی-بذریعہ مارٹن جے اوسبورن، یونیورسٹی آف ٹورنٹو شعبہ معاشیات کنویکس تجزیہ عام کنویکس تجزیہ عام کنویکسٹی افعال کی حقیقی اقسام