Jacobi rotation
عددی لکیری الجبرا میں، جیکوبی گردش ایک گردش ہے، کیو کے ایل، ایک این جہتی اندرونی پروڈکٹ اسپیس کے 2 جہتی لکیری سب اسپیس کی، جسے صفر کے لیے منتخب کیا جاتا ہے، ایک این × این حقیقی سمیٹرک میٹرکس، اے کے آف ڈائیگنل اندراجات کا ایک سمیٹرک جوڑا، جب مماثلت کی تبدیلی کے طور پر لاگو کیا جاتا ہے: یہ جیکوبی آئجین ویلیو الگورتھم میں بنیادی آپریشن ہے، جو عددی طور پر مستحکم اور متوازی پروسیسرز پر عمل درآمد کے لیے اچھی طرح سے موزوں ہے۔ صرف قطاریں k اور l اور A کے کالم k اور l متاثر ہوں گے، اور یہ کہ A ہم آہنگ رہے گا۔ نیز، کیو کے ایل کے لیے ایک واضح میٹرکس شاذ و نادر ہی شمار کیا جاتا ہے ؛ اس کے بجائے، معاون اقدار کا حساب لگایا جاتا ہے اور اے کو موثر اور عددی طور پر مستحکم طریقے سے اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ تاہم، حوالہ کے لیے، ہم میٹرکس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں کہ Qkl ایک شناختی میٹرکس ہے سوائے چار اندراجات کے، دو اخترن پر (qkk اور qll، دونوں c کے برابر) اور دو متناسب طور پر اخترن سے دور رکھے گئے ہیں (qkl اور qlk، بالترتیب s اور −s کے برابر)۔ یہاں c = cos θ اور s = sin θ کسی زاویے θ کے لیے ؛ لیکن گردش کو لاگو کرنے کے لیے خود زاویے کی ضرورت نہیں ہے۔ کرونکر ڈیلٹا نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، میٹرکس اندراجات لکھے جا سکتے ہیں: فرض کریں کہ h k یا l کے علاوہ ایک انڈیکس ہے (جو خود الگ ہونا چاہیے)۔ پھر مماثلت کی اپ ڈیٹ پیدا ہوتی ہے، الجبرائی طور پر: عددی طور پر مستحکم کمپیوٹیشن اپ ڈیٹ کے لیے درکار مقداروں کا تعین کرنے کے لیے، ہمیں صفر کے لیے آف ڈائیگنل مساوات کو حل کرنا چاہیے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ: β کو اس مقدار کے نصف پر سیٹ کریں: اگر akl صفر ہے تو ہم اپ ڈیٹ کیے بغیر رک سکتے ہیں، اس طرح ہم کبھی بھی صفر سے تقسیم نہیں کرتے۔ t کو ٹین θ ہونے دیں۔ پھر چند مثلثی شناختوں کے ساتھ ہم مساوات کو کم کرتے ہیں: استحکام کے لیے ہم حل کا انتخاب کرتے ہیں: اس سے ہم c اور s کو اس طرح حاصل کر سکتے ہیں: اگرچہ اب ہم پہلے دی گئی الجبرائی اپ ڈیٹ مساوات کو استعمال کر سکتے ہیں، لیکن انہیں دوبارہ لکھنا بہتر ہو سکتا ہے۔ فرض کریں: تاکہ ρ = ٹین (θ/2)۔ پھر نظر ثانی شدہ اپ ڈیٹ مساوات یہ ہیں: جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، ہمیں کبھی بھی گردش کے زاویے θ کو واضح طور پر شمار کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ در حقیقت، ہم صرف تین اقدار k، l، اور t کو برقرار رکھتے ہوئے Qkl کے ذریعہ طے شدہ سمیٹرک اپ ڈیٹ کو دوبارہ پیش کر سکتے ہیں، جس میں t کو صفر پر سیٹ کیا گیا ہے۔ گیوینس گردش ہاؤس ہولڈر تبدیلی حوالہ جات عددی لکیری الجبرا بھی دیکھیں۔