Complemented group
ریاضی میں، گروپ تھیوری کے دائرے میں، تکمیل شدہ گروپ کی اصطلاح دو الگ الگ لیکن ایک جیسے طریقوں سے استعمال ہوتی ہے۔ ایک تکمیل شدہ گروپ وہ ہے جس میں ہر ذیلی گروپ میں ایک گروپ نظریاتی تکمیل ہوتی ہے۔ اس طرح کے گروہوں کو روسی ادب میں مکمل طور پر فیکٹرویبل گروپس کہا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل کسی بھی محدود گروپ G کے مساوی ہیں: G کو مکمل کیا جاتا ہے G مربع فری آرڈر کے گروپوں کے براہ راست پروڈکٹ کا ایک ذیلی گروپ ہے (ایک خاص قسم کا Z-گروپ) G ایک سپر سولویبل گروپ ہے جس میں ابتدائی ابیلین سائلو ذیلی گروپ (ایک خاص قسم کا A-گروپ) ہے۔ بعد میں، میں، ایک گروپ کو تکمیل کہا جاتا ہے اگر ذیلی گروپوں کی جالی ایک تکمیل شدہ جالی ہے، یعنی، اگر ہر ذیلی گروپ H کے لیے ایک ذیلی گروپ K ایسا ہے کہ H θK = 1 اور τH، K & हेरسپ ؛ ω پورا گروپ ہے۔ ہال کی تعریف اس کے علاوہ ضروری ہے کہ H اور K پرمٹ، یعنی H = {hk: h میں H، k میں K} ایک ذیلی گروہ تشکیل دیں۔ اس طرح کے گروہوں کو اطالوی اور جالی نظریاتی ادب میں کے-گروپ بھی کہا جاتا ہے، جیسے کہ۔ کے-گروپ کا فریٹینی ذیلی گروپ معمولی ہے ؛ اگر کسی گروپ میں بنیادی طور پر آزاد زیادہ سے زیادہ ذیلی گروپ ہے جو کہ کے-گروپ ہے، تو یہ خود ایک کے-گروپ ہے ؛ اس لیے کے-گروپوں کے ذیلی گروپوں کو کے-گروپ ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن کوٹینٹ گروپ اور کے-گروپوں کے براہ راست پروڈکٹ کے-گروپ ہیں۔ اس میں دکھایا گیا ہے کہ ہر محدود سادہ گروپ ایک مکمل گروپ ہے۔ نوٹ کریں کہ محدود سادہ گروپوں کی درجہ بندی میں، کے-گروپ کا مطلب ایک ایسے گروپ کے لیے زیادہ استعمال ہوتا ہے جس کے مناسب ذیلی گروپوں میں صرف معروف محدود سادہ گروپوں کے درمیان ساخت کے عوامل ہوتے ہیں۔ ایک ایسے گروپ کی مثال جو مکمل نہیں ہے (دونوں معنوں میں) ترتیب p2 کا چکور گروپ ہے، جہاں p ایک پرائم نمبر ہے۔ اس گروپ میں صرف ایک غیر معمولی ذیلی گروپ H ہے، آرڈر p کا چکور گروپ، لہذا H کی تکمیل کرنے والا کوئی دوسرا ذیلی گروپ L نہیں ہو سکتا۔