Mock modular form
ریاضی میں، فرضی ماڈیولر شکل ہارمونک کمزور ماس شکل کا ہولومورفک حصہ ہے، اور فرضی تھیٹا فنکشن بنیادی طور پر وزن کی فرضی ماڈیولر شکل ہے۔ فرضی تھیٹا افعال کی پہلی مثالیں سری نواس رامانوجن نے جی ایچ ہارڈی کو اپنے آخری 1920 کے خط میں اور اپنی گمشدہ نوٹ بک میں بیان کی تھیں۔ سینڈر زویگرز نے دریافت کیا کہ ان میں کچھ غیر ہولومورفک افعال کا اضافہ انہیں ہارمونک کمزور ماس کی شکلوں میں بدل دیتا ہے۔ تاریخ رامانوجن کے 12 جنوری 1920 کو ہارڈی کو لکھے گئے خط میں افعال کی 17 مثالیں درج کی گئیں جنہیں انہوں نے فرضی تھیٹا افعال کہا، اور ان کی گمشدہ نوٹ بک میں کئی اور مثالیں موجود تھیں۔ (رامانوجن نے "تھیٹا فنکشن" کی اصطلاح اس کے لیے استعمال کی جسے آج ماڈیولر شکل کہا جائے گا۔) رامانوجن نے نشاندہی کی کہ ان کی کاسپس پر ایک غیر علامتی توسیع ہے، جو وزن کی ماڈیولر شکلوں کی طرح ہے، ممکنہ طور پر کاسپس پر قطبوں کے ساتھ، لیکن "عام" تھیٹا افعال کے لحاظ سے ظاہر نہیں کیا جا سکتا۔ انہوں نے اسی طرح کی خصوصیات والے افعال کو "ماک تھیٹا افعال" کہا۔ زویگرز نے بعد میں ماس کی کمزور شکلوں کے ساتھ فرضی تھیٹا فنکشن کا تعلق دریافت کیا۔ رامانوجن نے ایک آرڈر کو اپنے فرضی تھیٹا افعال سے جوڑا، جس کی واضح وضاحت نہیں کی گئی تھی۔ زویگرز کے کام سے پہلے، معروف فرضی تھیٹا افعال کے آرڈرز میں 3، 5، 6، 7، 8، 10 شامل تھے۔ رامانوجن کا ترتیب کا تصور بعد میں وزن ہارمونک ماس کی شکلوں کے نیبینٹیپس کردار کے موصل سے مطابقت رکھتا ہے جو رامانوجن کے فرضی تھیٹا افعال کو اپنے ہولومورفک پروجیکشن کے طور پر تسلیم کرتے ہیں۔ اگلی چند دہائیوں میں، رامانوجن کے فرضی تھیٹا افعال کا مطالعہ واٹسن، اینڈریوز، سیلبرگ، ہیکرسن، چوئی، میکینٹوش اور دیگر نے کیا، جنہوں نے ان کے بارے میں رامانوجن کے بیانات کو ثابت کیا اور کئی اور مثالیں اور شناخت حاصل کیں۔ (زیادہ تر "نئی" شناخت اور مثالیں رامانوجن کو پہلے سے معلوم تھیں اور ان کی گمشدہ نوٹ بک میں دوبارہ نمودار ہوئیں۔) 1936 میں، واٹسن نے پایا کہ ماڈیولر گروپ کے عناصر کی کارروائی کے تحت، آرڈر 3 موک تھیٹا افعال تقریبا وزن کی ماڈیولر شکلوں کی طرح تبدیل ہو جاتے ہیں (q کی مناسب طاقتوں سے ضرب دی جاتی ہے)، سوائے اس کے کہ فنکشنل مساوات میں "ایرر ٹرمز" موجود ہیں، جو عام طور پر ایکسپلیکٹ انٹیگرلز کے طور پر دی جاتی ہیں۔ تاہم، کئی سالوں تک فرضی تھیٹا فنکشن کی کوئی اچھی تعریف نہیں تھی۔ یہ 2001 میں بدل گیا جب زویگرز نے غیر ہولومورفک ماڈیولر شکلوں، لرچ سمز، اور غیر معینہ تھیٹا سیریز کے ساتھ تعلق دریافت کیا۔ زویگرز نے واٹسن اور اینڈریوز کے پچھلے کام کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا کہ آرڈر 3، 5، اور 7 کے فرضی تھیٹا افعال کو وزن کی ایک کمزور ماس شکل کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے اور ایک ایسا فنکشن جو جیوڈیکس کے ساتھ جڑا ہوا ہے جو کسپس پر ختم ہوتا ہے۔ کمزور ماس کی شکل میں ہائپربولک لیپلاسیئن کے تحت آئجین ویلیو ہوتی ہے (وہی قدر جو وزن کی ہولومورفک ماڈیولر شکلوں کی ہوتی ہے) ؛ تاہم، یہ کسپس کے قریب تیزی سے بڑھتا ہے، اس لیے یہ ماس لہر کی شکلوں کے لیے معمول کی نشوونما کی حالت کو پورا نہیں کرتا ہے۔ زویگرز نے اس نتیجے کو تین مختلف طریقوں سے ثابت کیا، ماک تھیٹا افعال کو ہیک کے طول و عرض 2 کے غیر معینہ مدت کے جالی کے تھیٹا افعال، اور ایپل-لرچ جملوں، اور مورومورفک جیکوبی شکلوں سے جوڑ کر۔ زویگرز کے بنیادی نتیجہ سے پتہ چلتا ہے کہ فرضی تھیٹا افعال وزن کی حقیقی تجزیاتی ماڈیولر شکلوں کے "ہولومورفک حصے" ہیں۔ یہ تھیٹا افعال کا مذاق اڑانے کے لیے ماڈیولر شکلوں کے بارے میں بہت سے نتائج کو بڑھانے کی اجازت دیتا ہے۔ خاص طور پر، ماڈیولر شکلوں کی طرح، فرضی تھیٹا افعال سبھی کچھ واضح محدود جہتی خالی جگہوں میں ہوتے ہیں، جو ان کے درمیان بہت سی شناختوں کے طویل اور سخت ثبوتوں کو معمول کے لکیری الجبرا تک کم کر دیتا ہے۔ پہلی بار فرضی تھیٹا افعال کی لامحدود تعداد میں مثالیں پیش کرنا ممکن ہوا۔ اس کام سے پہلے صرف تقریبا 50 مثالیں معلوم تھیں (جن میں سے زیادہ تر سب سے پہلے رامانوجن نے پائی تھیں)۔ زویگرز کے نظریات کی مزید ایپلی کیشنز کے طور پر، کیتھرین برنگمین اور کین اونو نے دکھایا کہ راجرز فائن بنیادی ہائپر جیومیٹرک سیریز سے پیدا ہونے والی کچھ ق سیریز وزن ہارمونک کمزور ماس کی شکلوں کے ہولومورفک حصوں سے متعلق ہیں اور یہ ظاہر کیا کہ جارج اینڈریوز اور لیلا ڈریگنٹ کے زیر مطالعہ آرڈر 3 کے کوفیشنٹس کے لیے ایسمپٹوٹک سیریز کوفیشنٹس میں بدل جاتی ہے۔ خاص طور پر موک تھیٹا افعال میں ماڈیولر گروپ کے کاسپس پر آسپٹوٹک توسیع ہوتی ہے، جو اوپری نصف سطح پر کام کرتی ہے، جو کاسپس پر قطبوں کے ساتھ وزن کی ماڈیولر شکلوں سے ملتی جلتی ہوتی ہے۔ تعریف ایک فرضی ماڈیولر شکل کو ہارمونک کمزور ماس شکل کے "ہولومورفک حصے" کے طور پر بیان کیا جائے گا۔ عام طور پر 2k انٹیگرل کے ساتھ وزن k کو ٹھیک کریں۔ ایس ایل 2 (زیڈ) کا ایک ذیلی گروپ (یا میٹاپلیکٹک گروپ کا اگر کے نصف انٹیگرل ہے) اور जात کا ایک کردار ρ طے کریں۔ اس کردار اور اس گروپ کے لیے ایک ماڈیولر فارم f، وزن k کی ایک کمزور ماس شکل کے ذریعے، عناصر کے تحت تبدیل ہوتا ہے، اوپری نصف سطح پر ایک مسلسل فنکشن ہے جو وزن k کی ماڈیولر شکل کی طرح تبدیل ہوتا ہے اور وزن k لیپلاسیئن آپریٹر کا ایک آئجن فنکشن ہے، اور اگر اس کی آئجن ویلیو ہے تو اسے ہارمونک کہا جاتا ہے۔ یہ ہولومورفک وزن کے ماڈیولر شکلوں کی آئجین ویلیو ہے، لہذا یہ تمام ہارمونک کمزور ماس شکلوں کی مثالیں ہیں۔ (ماس فارم ماس کی ایک کمزور شکل ہے جو کسپس پر تیزی سے کم ہوتی ہے۔) اگر F کوئی ہارمونک کمزور ماس کی شکل ہے تو اس کے ذریعہ دیا گیا فنکشن g ہولومورفک ہے اور وزن k کی ماڈیولر شکل کی طرح تبدیل ہوتا ہے، حالانکہ یہ کاسپس پر ہولومورفک نہیں ہو سکتا ہے۔ اگر ہم اسی امیج g کے ساتھ کوئی اور فنکشن g * تلاش کر سکتے ہیں، تو F − g * ہولومورفک ہوگا۔ اس طرح کا فنکشن انضمام کے ذریعے تفریقی آپریٹر کو الٹ کر دیا جاتا ہے ؛ مثال کے طور پر ہم اس بات کی وضاحت کر سکتے ہیں کہ بنیادی طور پر نامکمل گاما فنکشن کہاں ہے۔ انٹیگرل اس وقت یکجا ہوتا ہے جب بھی g کا کسپ i φ پر صفر ہوتا ہے، اور نامکمل گاما فنکشن کو تجزیاتی تسلسل کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے، لہذا اس فارمولے کو F کے ہولومورفک حصہ g * کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے یہاں تک کہ جب g i φ پر مورومورفک ہوتا ہے، حالانکہ اس میں کچھ دیکھ بھال کی ضرورت ہوتی ہے اگر k 1 ہے یا انٹیگرل نہیں ہے یا اگر n = 0 ہے۔ تفریق آپریٹر کا الٹا منفرد نہیں ہے کیونکہ ہم کسی بھی ہومومورفک فنکشن کو g * میں اس کی شبیہہ کو متاثر کیے بغیر شامل کر سکتے ہیں، اور اس کے نتیجے میں فنکشن g * کو گروپ κ کے تحت غیر متغیر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ فنکشن h = F − g * کو F کا ہولومورفک حصہ کہا جاتا ہے۔ ایک فرضی ماڈیولر فارم کو کسی ہارمونک کمزور ماس فارم F کا ہولومورفک حصہ h کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ لہذا فرضی ماڈیولر فارموں کی جگہ سے ہارمونک کمزور ماس فارموں کی ذیلی جگہ تک ایک آئسومورفزم ہے۔ فرضی ماڈیولر شکل ایچ ہولومورفک ہے لیکن بالکل ماڈیولر نہیں ہے، جبکہ ایچ + جی * ماڈیولر ہے لیکن بالکل ہولومورفک نہیں ہے۔ وزن k کی فرضی ماڈیولر شکلوں کی جگہ میں ذیلی جگہ کے طور پر وزن k کی تقریبا ماڈیولر شکلوں ("ماڈیولر شکلیں جو کسپس پر مورومورفک ہو سکتی ہیں") کی جگہ ہوتی ہے۔ حصص وزن 2 − k کی ہولومورفک ماڈیولر شکلوں کی جگہ کے لیے (اینٹیلینرلی) آئسومورفک ہے۔ موک ماڈیولر شکل h سے مطابقت رکھنے والی وزن-(2 − k) ماڈیولر شکل g کو اس کا سایہ کہا جاتا ہے۔ مختلف فرضی تھیٹا افعال کا ایک ہی سایہ ہونا کافی عام ہے۔ مثال کے طور پر، رامانوجن کے ذریعہ پائے جانے والے آرڈر 5 کے 10 فرضی تھیٹا افعال 5 کے دو گروپوں میں آتے ہیں، جہاں ہر گروپ کے تمام افعال کا سایہ ایک جیسا ہوتا ہے (مستقل سے ضرب تک)۔ ڈان زاجیر ایک فرضی تھیٹا فنکشن کو ق = ای 2 آئی کی عقلی طاقت کے طور پر بیان کرتا ہے جو وزن کی ایک فرضی ماڈیولر شکل ہے جس کا سایہ مثبت عقلی κ اور ایک عجیب دورانیے کی تقریب ε کے لیے شکل کی تھیٹا سیریز ہے۔ (ایسی کوئی بھی تھیٹا سیریز وزن کی ایک ماڈیولر شکل ہے)۔ ق کی عقلی طاقت ایک تاریخی حادثہ ہے۔ زیادہ تر فرضی ماڈیولر شکلیں اور کمزور ماس شکلیں کسپس میں تیزی سے ترقی کرتی ہیں۔ یہ شرط عائد کرنا عام ہے کہ وہ کسپس پر زیادہ سے زیادہ تیزی سے بڑھتے ہیں (جس کا مطلب ہے کہ فرضی ماڈیولر شکلوں کے لیے وہ کسپس پر "میرمورفک" ہیں)۔ فرضی ماڈیولر شکلوں (دیئے گئے وزن اور گروپ کی) کی جگہ جس کی نشوونما کاسپس پر کسی مقررہ ایکسپونینشل فنکشن سے محدود ہے وہ محدود جہتی ہے۔ ایپل-لرچ کے مجموعے ایپل-لرچ کے مجموعے، لیمبرٹ سیریز کی عمومی شکل، کا سب سے پہلے پال ایمیل ایپل اور میتھیاس لرچ نے مطالعہ کیا۔ واٹسن نے آرڈر 3 کے فرضی تھیٹا افعال کا مطالعہ اپیل-لرچ کے جملوں کے لحاظ سے ان کا اظہار کرتے ہوئے کیا، اور زویگرز نے انہیں یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا کہ فرضی تھیٹا افعال بنیادی طور پر فرضی ماڈیولر شکلیں ہیں۔ اپیل-لرچ سلسلہ ہے جہاں اور ترمیم شدہ سلسلہ جہاں اور y = IM () اور مندرجہ ذیل تبدیلی کی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ترمیم شدہ اپیل-لرچ سلسلہ کے حوالے سے ایک ماڈیولر شکل کی طرح تبدیل ہوتا ہے۔ چونکہ فرضی تھیٹا افعال کا اظہار ایپل-لرچ سیریز کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ فرضی تھیٹا افعال ماڈیولر شکلوں کی طرح تبدیل ہو جاتے ہیں اگر ان میں کوئی خاص غیر تجزیاتی سیریز شامل ہو۔ غیر معینہ تھیٹا سیریز جارج اینڈریوز نے دکھایا کہ رامانوجن کے پانچویں آرڈر کے متعدد فرضی تھیٹا افعال کوٹینٹس کے برابر ہیں جہاں θ () وزن کی ایک ماڈیولر شکل ہے اور θ () ایک غیر معینہ مدت کے بائنری کواڈریٹک فارم کا تھیٹا فنکشن ہے، اور ڈین ہیکرسن نے ساتویں آرڈر کے فرضی تھیٹا افعال کے لیے اسی طرح کے نتائج ثابت کیے۔ زویگرز نے دکھایا کہ حقیقی تجزیاتی ماڈیولر شکلیں تیار کرنے کے لیے غیر معینہ تھیٹا افعال کو کیسے مکمل کیا جائے، اور اس کا استعمال فرضی تھیٹا افعال اور کمزور ماس لہر کی شکلوں کے درمیان تعلق کا ایک اور ثبوت دینے کے لیے کیا۔ مارمورفک جیکوبی شکلیں جارج اینڈریوز نے مشاہدہ کیا کہ رامانوجن کے پانچویں آرڈر کے کچھ فرضی تھیٹا افعال کا اظہار جیکوبی کے تھیٹا افعال کے کوٹینٹس کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ زویگرز نے اس خیال کو فرضی تھیٹا افعال کو مورومورفک جیکوبی شکلوں کے فورئیر گتانک کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا۔ ایپلی کیشنز روتھ لارنس اور ڈان زاجیر نے 3-مینیفولڈ کے کوانٹم غیر متغیرات سے متعلق فرضی تھیٹا افعال کا حوالہ دیا۔ اے ایم سیمیکھاتوف، اے ٹاورمینا، اور آئی یو ٹیپونن نے ماک تھیٹا افعال کو لامحدود جہتی لائ سپرلجبراس اور دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری سے متعلق کیا۔ جے ٹروسٹ نے دکھایا کہ فرضی ماڈیولر شکلوں کی ماڈیولر تکمیل مسلسل سپیکٹرم کے ساتھ کنفارمل فیلڈ تھیوریز کی ایلیپٹک نسل کے طور پر پیدا ہوتی ہے۔ فرضی تھیٹا افعال امبرل مونشائن کے نظریہ میں ظاہر ہوتے ہیں۔ اتیش دابھولکر، سمیر مورتی، اور ڈان زاجیر نے دکھایا کہ فرضی ماڈیولر شکلیں N = 4 سٹرنگ تھیوریز میں کوانٹم بلیک ہولز کے انحطاط سے متعلق ہیں۔ مثال کے طور پر وزن k کی کوئی بھی ماڈیولر شکل (ممکنہ طور پر صرف cusps پر میرومورفک) شیڈو 0 کے ساتھ وزن k کی ایک فرضی ماڈیولر شکل ہے۔ وزن 2 اور سطح 1 کی قوسیموڈولر آئزنسٹین سیریز وزن 2 کی ایک فرضی ماڈیولر شکل ہے، جس کا سایہ مستقل ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ وزن 2 کی ماڈیولر شکل کی طرح تبدیل ہوتا ہے (جہاں = x + iy)۔ ڈان زاجیر نے فورئیر کوفشنٹس کے ساتھ جس فنکشن کا مطالعہ کیا ہے جو کہ خیالی کواڈریٹک فیلڈز کے ہروٹز کلاس نمبر H (N) ہیں، وزن، لیول 4 اور شیڈو σQn2 کی ایک فرضی ماڈیولر شکل ہے۔ متعلقہ کمزور ماس لہر کی شکل ہے جہاں y = Im ()، q = e2i۔ موک تھیٹا افعال وزن کی فرضی ماڈیولر شکلیں ہیں جن کا سایہ ایک یونری تھیٹا فنکشن ہے، جسے q کی عقلی طاقت سے ضرب دی جاتی ہے (تاریخی وجوہات کی بناء پر)۔ اس سے پہلے کہ زویگرز کے کام سے ان کی تعمیر کے لیے ایک عمومی طریقہ کار سامنے آیا، زیادہ تر مثالیں بنیادی ہائپر جیومیٹرک افعال کے طور پر دی گئیں، لیکن یہ بڑی حد تک ایک تاریخی حادثہ ہے، اور زیادہ تر فرضی تھیٹا افعال میں اس طرح کے افعال کے لحاظ سے کوئی معروف سادہ اظہار نہیں ہے۔ "ٹریویل" فرضی تھیٹا افعال وزن کی (ہولومورفک) ماڈیولر شکلیں ہیں، جن کی درجہ بندی سیر اور سٹارک نے کی تھی، جنہوں نے ظاہر کیا کہ ان سب کو 1 جہتی جالی کے تھیٹا افعال کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل مثالیں ق-پوچھیمر علامتوں (a ؛ q) n کا استعمال کرتی ہیں جن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: آرڈر 2 کچھ آرڈر 2 فرضی تھیٹا افعال کا مطالعہ میکینٹوش نے کیا تھا۔ فنکشن μ کو رامانوجن نے اپنی گمشدہ نوٹ بک میں پایا تھا۔ ان کا تعلق آرڈر 3 رامانوجن کے آرڈر 8 افعال پر سیکشن میں درج افعال سے ہے جس میں ہارڈی کو لکھے گئے اپنے خط میں چار آرڈر 3 موک تھیٹا افعال کا ذکر کیا گیا ہے، اور اپنی گمشدہ نوٹ بک میں مزید تین کو درج کیا گیا ہے، جنہیں جی این واٹسن نے دوبارہ دریافت کیا تھا۔ مؤخر الذکر نے رامانوجن کے بیان کردہ ان کے درمیان تعلقات کو ثابت کیا اور ماڈیولر گروپ کے عناصر کے تحت ان کی تبدیلیوں کو اپیل-لرچ جملوں کے طور پر ظاہر کرکے بھی پایا۔ ڈریگنٹ نے ان کے کوفیشنٹس کی غیر علامتی توسیع کو بیان کیا۔ زویگرز نے انہیں ہارمونک کمزور ماس کی شکلوں سے منسلک کیا۔ ناتھن فائن کا مونوگراف بھی دیکھیں۔ رامانوجن کی طرف سے دیئے گئے سات آرڈر-3 فرضی تھیٹا افعال ہیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ان میں سے پہلے چار ایک ہی سایہ (ایک مستقل تک) کے ساتھ ایک گروپ بناتے ہیں، اور اسی طرح آخری تین بھی کرتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، افعال مندرجہ ذیل تعلقات کو پورا کرتے ہیں (رامانوجن نے پایا اور واٹسن نے ثابت کیا): آرڈر 5 رامانوجن نے ہارڈی کو اپنے 1920 کے خط میں آرڈر 5 کے دس فرضی تھیٹا افعال لکھے، اور ان کے درمیان کچھ تعلقات بیان کیے جو واٹسن نے ثابت کیے تھے۔ اپنی گمشدہ نوٹ بک میں انہوں نے ان افعال سے متعلق کچھ مزید شناخت بیان کیں، جو فرضی تھیٹا قیاس آرائیوں کے مساوی ہیں، جنہیں ہیکرسن نے ثابت کیا تھا۔ اینڈریوز نے وزن کی ماڈیولر شکلوں کے ذریعہ ان میں سے بہت سے افعال کی نمائندگی کو غیر معینہ تھیٹا سیریز کے حصص کے طور پر پایا۔ آرڈر 6 رامانوجن نے اپنی گمشدہ نوٹ بک میں آرڈر 6 کے سات فرضی تھیٹا افعال لکھے، اور ان کے درمیان 11 شناختوں کو بیان کیا، جنہیں اینڈریوز اور ہیکرسن نے ثابت کیا۔ رامانوجن کی دو شناختوں کا تعلق مختلف دلائل میں φ اور si سے ہے، ان میں سے چار ایپل-لرچ سیریز کے لحاظ سے φ اور si کا اظہار کرتے ہیں، اور آخری پانچ شناختوں میں بقیہ پانچ چھٹے درجے کے فرضی تھیٹا افعال کو φ اور si کے لحاظ سے ظاہر کیا گیا ہے۔ برنڈٹ اور چن نے چھٹے درجے کے دو مزید افعال دریافت کیے۔ آرڈر 6 کے فرضی تھیٹا افعال یہ ہیں: آرڈر 7 رامانوجن نے ہارڈی کو اپنے 1920 کے خط میں آرڈر 7 کے تین فرضی تھیٹا افعال دیے۔ ان کا مطالعہ سیلبرگ نے کیا، جنہوں نے ان کے کوفیشنٹس کے لیے ایسمپٹوٹک توسیع پائی، اور اینڈریوز نے۔ ہیکرسن نے وزن کی ماڈیولر شکلوں کے ذریعہ ان میں سے بہت سے افعال کی نمائندگی کو غیر معینہ تھیٹا سیریز کے حصص کے طور پر پایا۔ زویگرز نے ان کی ماڈیولر تبدیلی کی خصوصیات بیان کیں۔ ان تینوں فرضی تھیٹا افعال کے مختلف سائے ہوتے ہیں، اس لیے رامانوجن کے آرڈر-3 اور آرڈر-5 افعال کے معاملے کے برعکس، ان کے اور عام ماڈیولر شکلوں کے درمیان کوئی لکیری تعلقات نہیں ہیں۔ متعلقہ کمزور ماس فارم وہ ہیں جہاں کم و بیش تکمیلی ایرر فنکشن ہے۔ میٹاپلیکٹک گروپ کے تحت، یہ تینوں افعال میٹاپلیکٹک گروپ کی ایک مخصوص 3 جہتی نمائندگی کے مطابق تبدیل ہوتے ہیں جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ دوسرے لفظوں میں، وہ وزن کی سطح 1 ویکٹر ویلیوڈ ہارمونک کمزور ماس شکل کے اجزاء ہیں۔ آرڈر 8 گورڈن اور میکینٹوش نے آرڈر 8 کے آٹھ فرضی تھیٹا افعال پائے۔ انہوں نے ان میں شامل پانچ لکیری تعلقات پائے، اور چار افعال کو اپیل-لرچ کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا، اور ماڈیولر گروپ کے تحت ان کی تبدیلیوں کو بیان کیا۔ دو افعال V1 اور U0 کو پہلے رامانوجن نے اپنی گمشدہ نوٹ بک میں پایا تھا۔ آرڈر 10 رامانوجن نے اپنی گمشدہ نوٹ بک میں چار آرڈر-10 فرضی تھیٹا افعال کو درج کیا، اور ان کے درمیان کچھ تعلقات بیان کیے، جنہیں چوئی نے ثابت کیا۔ نوٹ حوالہ جات جو ان کے جمع کردہ کاموں کے حجم اول میں دوبارہ شائع ہوئے۔ مزید پڑھنے کے لیے بیرونی روابط بین الاقوامی کانفرنس: فرضی تھیٹا افعال اور ایپلی کیشنز 2009 جارج اینڈریوز کے فرضی تھیٹا افعال پر مقالے کیتھرین برنگمین کے فرضی تھیٹا افعال پر مقالے کین اونو کے فرضی تھیٹا افعال پر مقالے سینڈر زویگرز کے فرضی تھیٹا افعال پر مقالے ماڈیولر فارمز کیو-اینالاگس سرینواس رامانوجن