Quantum mutual information
کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں، کوانٹم باہمی معلومات، یا وان نیومن باہمی معلومات، جان وان نیومن کے بعد، کوانٹم حالت کے ذیلی نظاموں کے درمیان ارتباط کی ایک پیمائش ہے۔ یہ شینن باہمی معلومات کا کوانٹم مکینیکل ینالاگ ہے۔ محرک سادگی کے لیے، یہ فرض کیا جائے گا کہ مضمون میں موجود تمام اشیاء محدود جہتی ہیں۔ کوانٹم میوچل اینٹروپی کی تعریف کلاسیکی کیس سے متاثر ہے۔ دو متغیر p (x، y) کی امکانی تقسیم کے لیے، دو معمولی تقسیم ہیں۔ کلاسیکی باہمی معلومات I (X: Y) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں S (q) امکان کی تقسیم q کی شینن اینٹروپی کو ظاہر کرتا ہے۔ کوئی بھی براہ راست حساب لگا سکتا ہے تو باہمی معلومات وہ ہے جہاں بٹس میں باہمی معلومات حاصل کرنے کے لیے لوگرتھم کو بیس 2 میں لیا جاتا ہے۔ لیکن یہ قطعی طور پر p (x, y) اور p (x) p (y) کے درمیان رشتہ دار اینٹروپی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ دو متغیر x اور y غیر مربوط ہیں، تو باہمی معلومات اس (ممکنہ طور پر غلط) مفروضے کے نتیجے میں غیر یقینی صورتحال میں تضاد ہے۔ رشتہ دار اینٹروپی کی خاصیت سے یہ پتہ چلتا ہے کہ I (X: Y) ≤0 اور مساوات تب ہی برقرار رہتی ہے جب p (x, y) = p (x) p (y) ہو۔ تعریف کلاسیکی امکانات کی تقسیم کے کوانٹم مکینیکل ہم منصب کو کثافت میٹرکس کے ساتھ ماڈل کیا جاتا ہے۔ ایک ایسے کوانٹم نظام پر غور کریں جسے دو حصوں، اے اور بی میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، تاکہ دونوں حصوں پر آزاد پیمائش کی جا سکے۔ پورے کوانٹم نظام کی ریاستی جگہ پھر دونوں حصوں کے لیے خالی جگہوں کا ٹینسر پروڈکٹ ہے۔ فرض کریں کہ ρAB ایک کثافت میٹرکس ہے جو ایچ اے بی میں حالتوں پر کام کرتا ہے۔ کثافت میٹرکس S (ρ) کی وان نیومن اینٹروپی، شینن اینٹروپی کی کوانٹم مکینیکل مشابہت ہے۔ امکان کی تقسیم p (x، y) کے لیے، متغیر x یا y کو مربوط کرکے حاشیہ تقسیم حاصل کی جاتی ہے۔ کثافت میٹرکس کے لیے متعلقہ عمل جزوی ٹریس ہے۔ لہذا کوئی بھی ذیلی نظام A پر ایک حالت ρ کو تفویض کر سکتا ہے جہاں نظام B کے حوالے سے ٹر بی جزوی ٹریس ہے۔ یہ نظام A پر ρAB کی کم حالت ہے۔ سسٹم A کے حوالے سے ρAB کی کم شدہ وان نیومن اینٹروپی S (ρB) ہے اسی طرح بیان کی گئی ہے۔ اب یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ کلاسیکی تعریف کے مطابق کوانٹم باہمی معلومات کی تعریف مندرجہ ذیل ہونی چاہیے۔ کوانٹم باہمی معلومات کی تشریح اسی طرح کی جا سکتی ہے جس طرح کلاسیکی معاملے میں کی جاتی ہے: یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کہاں کوانٹم رشتہ دار اینٹروپی کی نشاندہی کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کوانٹم کیس میں باہمی معلومات کی ایک متبادل عام کاری ہے۔ کسی دی گئی حالت کے لیے دونوں کے درمیان فرق کوانٹم ڈسکارڈ کہا جاتا ہے، جو زیر بحث حالت کے کوانٹم ارتباط کی پیمائش ہے۔ خصوصیات جب حالت خالص ہوتی ہے (اور اس طرح)، باہمی معلومات حالت کی الجھاو اینٹروپی سے دوگنا ہوتی ہے: تاہم، ایک مثبت کوانٹم باہمی معلومات لازمی طور پر الجھاو کی نشاندہی نہیں کرتی ہے۔ علیحدہ ہونے والی حالتوں کے کلاسیکی مرکب میں ہمیشہ صفر الجھاو ہوتا ہے، لیکن اس میں غیر صفر کیو ایم آئی ہو سکتا ہے، جیسے کہ اس صورت میں، ریاست محض ایک کلاسیکی طور پر مربوط حالت ہے۔ ملٹی پارٹی جنرلائزیشن فرض کریں کہ ایک نظام n ذیلی نظاموں پر مشتمل ہے تو: جہاں اور مجموعہ بغیر تکرار کے ذیلی نظام کے تمام الگ الگ امتزاج پر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، لے لو: ابھی لے لو: نوٹ کریں کہ ہم اصل میں جو کر رہے ہیں وہ فی وقت ایک ذیلی نظام پر جزوی سراغ لگانا ہے، مثال لیں، پہلی مدت میں ہم سراغ لگا رہے ہیں، دوسری مدت میں سراغ ختم ہو گیا ہے اور اسی طرح۔ حوالہ جات کوانٹم مکینیکل اینٹروپی کوانٹم انفارمیشن تھیوری