Euler summation
کنورجنٹ اور ڈائیورجنٹ سیریز کی ریاضی میں، اویلر سمیشن ایک سمیشن طریقہ ہے۔ یعنی یہ کسی سیریز کو قدر تفویض کرنے کا ایک طریقہ ہے، جو جزوی رقم کی حدود لینے کے روایتی طریقہ سے مختلف ہے۔ ایک سیریز σan کو دیکھتے ہوئے، اگر اس کا یولر ٹرانسفارم کسی رقم میں بدل جاتا ہے، تو اس رقم کو اصل سیریز کا یولر مجموعہ کہا جاتا ہے۔ متفرق سیریز کے لیے اقدار کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے کے ساتھ ساتھ، اویلر سمیشن کو سیریز کے کنورجنس کو تیز کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اویلر کے مجموعے کو (E، q) سے ظاہر کردہ طریقوں کے خاندان میں عام کیا جا سکتا ہے، جہاں q ≤ 0 ہے۔ (E، 1) کا مجموعہ عام یولر کا مجموعہ ہے۔ یہ تمام طریقے بوریل سمیشن سے سختی سے کمزور ہیں۔ q> 0 کے لیے وہ ایبل سمیشن سے بے مثال ہیں۔ تعریف کچھ قدر y کے لیے ہم یولر کے مجموعے کی وضاحت کر سکتے ہیں (اگر یہ y کی اس قدر کے لیے یکجا ہوتا ہے) جو کہ کسی خاص رسمی خلاصہ سے مطابقت رکھتا ہے: اگر تمام رسمی مجموعے اصل میں یکجا ہوتے ہیں، تو یولر کا مجموعہ بائیں ہاتھ کی طرف کے برابر ہوگا۔ تاہم، یولر سمیشن کا استعمال کنورجنس کو تیز کر سکتا ہے (یہ خاص طور پر باری باری سیریز کے لیے مفید ہے) ؛ بعض اوقات یہ متفرق جملوں کو بھی مفید معنی دے سکتا ہے۔ نقطہ نظر کو درست ثابت کرنے کے لیے نوٹ کریں کہ باہم تبدیل شدہ رقم کے لیے، اویلر کا خلاصہ ابتدائی سیریز تک کم ہو جاتا ہے، کیونکہ یہ طریقہ خود تکراری درخواست کے ذریعے بہتر نہیں کیا جا سکتا، مثال کے طور پر رسمی رقم کے لیے y = 1 کا استعمال کرتے ہوئے ہمیں ملتا ہے اگر Pk ڈگری k کا کثیر الجہتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اندرونی مجموعہ صفر ہوگا، لہذا اس صورت میں اویلر کا خلاصہ ایک لامحدود سیریز کو ایک محدود رقم تک کم کر دیتا ہے۔ مخصوص انتخاب برنولی نمبروں کی ایک واضح نمائندگی فراہم کرتا ہے، چونکہ (ریمن زیٹا فنکشن)۔ درحقیقت، اس معاملے میں رسمی رقم مختلف ہوتی ہے کیونکہ k مثبت ہے، لیکن زیٹا فنکشن (یا اس کے بجائے، متعلقہ ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن پر) ایولڈ (cf. عالمی سطح پر متغیر سلسلہ) جو بند شکل کا ہوتا ہے۔ Y کے مناسب انتخاب کے ساتھ (یعنی۔ یہ سلسلہ −) کے برابر یا اس کے قریب یکجا ہوتا ہے۔ بائنومیئل ٹرانسفارم بوریل سمیشن سیسارو سمیشن لیمبرٹ سمیشن پیرون کا فارمولا ابیلین اور ٹوبیرین تھیوریمز ابیل-پلانا فارمولا ابیل کا سمیشن فارمولا وان وجنگارڈن ٹرانسفارمیشن یولر-بول سمیشن حوالہ جات ریاضیاتی سیریز سمیبلٹی کے طریقے