Residually finite group
گروپ تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، ایک گروپ G بقایا طور پر محدود یا حتمی طور پر قریب ہے اگر ہر عنصر g کے لیے جو G میں شناخت نہیں ہے، G سے ایک محدود گروپ میں ہومومورفزم h ہے، اس طرح کہ متعدد مساوی تعریفیں ہیں: ایک گروپ بقایا طور پر محدود ہے اگر گروپ میں ہر غیر شناخت والے عنصر کے لیے، محدود انڈیکس کا ایک عام ذیلی گروپ ہو جس میں وہ عنصر نہ ہو۔ ایک گروپ بقایا طور پر محدود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محدود انڈیکس کے اس کے تمام ذیلی گروپوں کا چوراہا معمولی ہو۔ ایک گروپ بقایا طور پر محدود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محدود انڈیکس کے اس کے تمام عام ذیلی گروپوں کا چوراہا معمولی ہو۔ ایک گروپ بقایا طور پر محدود ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اسے محدود گروپوں کے خاندان کے براہ راست پروڈکٹ کے اندر سرایت کیا جا سکے۔ بقایا طور پر محدود گروپوں کی مثالیں محدود گروپ، آزاد گروپ، حتمی طور پر تیار کردہ نیلپوٹینٹ گروپ، پولی سائیکلک-بائی-فائنٹ گروپ، حتمی طور پر تیار کردہ لکیری گروپ، اور کمپیکٹ 3-مینیفولڈ کے بنیادی گروپ ہیں۔ بقیہ طور پر محدود گروپوں کے ذیلی گروپ بقیہ طور پر محدود ہوتے ہیں، اور بقیہ طور پر محدود گروپوں کے براہ راست پروڈکٹ بقیہ طور پر محدود ہوتے ہیں۔ بقایا طور پر محدود گروہوں کی کوئی بھی الٹی حد بقایا طور پر محدود ہوتی ہے۔ خاص طور پر، تمام متفرق گروہ بقایا طور پر محدود ہیں۔ غیر بقایا طور پر محدود گروپوں کی مثالیں اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے بنائی جا سکتی ہیں کہ تمام حتمی طور پر پیدا شدہ بقایا طور پر محدود گروپ ہوپفین گروپ ہیں۔ مثال کے طور پر بومسلاگ-سولٹر گروپ B (2,3) ہاپفین نہیں ہے، اور اس وجہ سے بقایا طور پر محدود نہیں ہے۔ ہر گروپ G کو شناخت کے کھلے محلوں، G میں محدود اشاریہ کے تمام عام ذیلی گروپوں کے مجموعہ کی بنیاد کے طور پر لے کر ایک ٹوپولوجیکل گروپ میں بنایا جا سکتا ہے۔ اس کے نتیجے میں ٹوپولوجی کو G پر پروفینیٹ ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔ ایک گروپ بقایا طور پر محدود ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، اس کی پروفینیٹ ٹوپولوجی ہاؤزڈورف ہو۔ ایک ایسا گروہ جس کے چکور ذیلی گروہ پروفائنٹ ٹوپولوجی میں بند ہوتے ہیں کہا جاتا ہے۔ جن گروپوں میں سے ہر ایک محدود طور پر تیار کردہ ذیلی گروپوں کو پروفائنٹ ٹوپولوجی میں بند کیا جاتا ہے انہیں ذیلی گروپ علیحدہ کہا جاتا ہے (ایل ای آر ایف بھی، مقامی طور پر توسیع شدہ بقایا طور پر محدود کے لیے)۔ ایک گروپ جس میں ہر کنجوگیسی کلاس پروفینیٹ ٹوپولوجی میں بند ہوتی ہے اسے کنجوگیسی سیپر ایبل کہا جاتا ہے۔ بقایا طور پر محدود گروپوں کی اقسام ایک سوال یہ ہے کہ: مختلف قسم کی خصوصیات کیا ہیں جن کے تمام گروپ بقایا طور پر محدود ہیں؟ ان کے بارے میں دو نتائج یہ ہیں: کوئی بھی قسم جو صرف بقایا طور پر محدود گروپوں پر مشتمل ہو، اے گروپ کے ذریعے تیار کی جاتی ہے۔ صرف بقایا طور پر محدود گروپوں پر مشتمل کسی بھی قسم کے لیے، یہ ایک محدود گروپ پر مشتمل ہوتا ہے جیسے کہ تمام ممبران اس محدود گروپ کے براہ راست پروڈکٹ میں سرایت کر چکے ہوتے ہیں۔ بقیہ جائیداد (ریاضی) حوالہ جات بیرونی روابط آرٹیکل مندرجہ بالا بیانات میں سے کچھ کے ثبوت کے ساتھ انفنائٹ گروپ تھیوری گروپوں کی خصوصیات