Bessel–Clifford function
ریاضیاتی تجزیے میں، بیسل-کلفورڈ فنکشن، جس کا نام فریڈرک بیسل اور ولیم کنگڈن کلفورڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، دو پیچیدہ متغیرات کا ایک پورا فنکشن ہے جسے بیسل افعال کے نظریہ کی متبادل ترقی فراہم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر باہمی گاما فنکشن کے ذریعے پوری فنکشن کی وضاحت کی جاتی ہے، تو بیسیل-کلفورڈ فنکشن کی تعریف سیریز کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یکے بعد دیگرے اصطلاحات کا تناسب z/k (n + k) ہے، جو z اور n کی تمام اقدار کے لیے بڑھتے ہوئے k کے ساتھ صفر کی طرف جاتا ہے۔ تناسب ٹیسٹ کے ذریعے، یہ سیریز تمام z اور n کے لیے بالکل یکجا ہوتی ہے، اور تمام خطوں کے لیے یکساں طور پر پابند |z | کے ساتھ، اور اس لیے بیسیل-کلفورڈ فنکشن دو پیچیدہ متغیر n اور z کا ایک پورا فنکشن ہے۔ بیسیل-کلفورڈ فنکشن کی تفریقی مساوات یہ x کے حوالے سے تفریق پر مندرجہ بالا سیریز سے پیروی کرتی ہے جو لکیری دوسرے درجے کی یکساں تفریقی مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ یہ مساوات عمومی ہائپر جیومیٹرک قسم کی ہے، اور درحقیقت بیسیل-کلفورڈ فنکشن ایک اسکیلنگ فیکٹر تک ہے جو کہ پوچھیمر-بارنس ہائپر جیومیٹرک فنکشن ہے۔ ہمارے پاس ہے جب تک کہ n ایک منفی عدد نہ ہو، اس صورت میں دائیں ہاتھ کی طرف غیر متعین ہو، دو تعریفیں بنیادی طور پر مساوی ہیں۔ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کو معمول پر لایا جا رہا ہے تاکہ اس کی قیمت z = 0 پر ایک ہو۔ بیسیل فنکشن سے تعلق پہلی قسم کے بیسیل فنکشن کی تعریف بیسیل-کلفورڈ فنکشن کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے جیسے کہ جب n ایک عدد نہیں ہے تو ہم اس سے دیکھ سکتے ہیں کہ بیسیل فنکشن مکمل نہیں ہے۔ اسی طرح، پہلی قسم کے ترمیم شدہ بیسیل فنکشن کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ طریقہ کار کو یقینا الٹا کیا جا سکتا ہے، تاکہ ہم بیسیل-کلفورڈ فنکشن کی وضاحت کر سکیں لیکن اس ابتدائی نقطہ سے ہمیں یہ دکھانے کی ضرورت ہوگی کہ یہ مکمل تھا۔ تعریفی سیریز سے، یہ فوری طور پر اس طرح ہوتا ہے کہ اس کا استعمال کرتے ہوئے، ہم تفریقی مساوات کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں جس کے لیے بیسیل-کلفورڈ فنکشن کے لیے تکرار کے تعلقات کی وضاحت ہوتی ہے۔ یہ 0F1 کے لیے اسی طرح کے تعلق کے برابر ہے۔ ہمارے پاس، گاؤس کے مسلسل حصے کے ایک خاص معاملے کے طور پر یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ مسلسل حصہ تمام صورتوں میں یکجا ہوتا ہے۔ دوسری قسم کی بیسیل-کلفورڈ فنکشن بیسیل-کلفورڈ تفریق مساوات کے دو لکیری آزاد حل ہیں۔ چونکہ اصل تفریقی مساوات کا ایک باقاعدہ واحد نقطہ ہے، اور چونکہ مکمل ہے، اس لیے دوسرا حل اصل میں واحد ہونا چاہیے۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں کہ کون سا کنورج کرتا ہے، اور تجزیاتی طور پر اسے جاری رکھتے ہیں، تو ہم تفریق مساوات کا دوسرا لکیری طور پر آزاد حل حاصل کرتے ہیں۔ دوسری قسم کے بیسیل افعال کے مطابق بنانے کے لیے 1/2 کا عنصر داخل کیا جاتا ہے۔ ہمارے پاس ہے اور K کے لحاظ سے، ہمارے پاس ہے۔ لہذا، جس طرح بیسیل فنکشن اور پہلی قسم کے ترمیم شدہ بیسیل فنکشن دونوں کو اس کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، اسی طرح دوسری قسم کے دونوں کو اس کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہم ایکسپ (ٹی) اور ایکسپ (زیڈ/ٹی) کے لیے بالکل متغیر سیریز کو ایک ساتھ ضرب دیتے ہیں، تو ہمیں ایکسپ (ٹی + زیڈ/ٹی) کے لیے ایک بالکل متغیر سیریز ملتی ہے (جب ٹی صفر نہیں ہوتا ہے)۔ ٹی میں اصطلاحات جمع کرتے ہوئے، ہم پاور سیریز کی تعریف کے مقابلے میں پاتے ہیں کہ ہمارے پاس یہ جنریٹنگ فنکشن پھر مزید فارمولے حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، خاص طور پر ہم کاچی کا انٹیگرل فارمولا استعمال کر سکتے ہیں اور انٹیجر این کے لیے حوالہ جات کے طور پر حاصل کر سکتے ہیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ خصوصی ہائپر جیومیٹرک افعال