Depth (ring theory)
تبادلہ اور ہومیولوجیکل الجبرا میں، گہرائی رنگوں اور ماڈیولز کا ایک اہم غیر متغیر ہے۔ اگرچہ گہرائی کو زیادہ عام طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، لیکن سب سے عام معاملہ جس پر غور کیا جاتا ہے وہ ایک مواصلاتی نویتھیرین مقامی رنگ پر ماڈیولز کا معاملہ ہے۔ اس صورت میں، ماڈیول کی گہرائی کا تعلق اس کے پروجیکٹو طول و عرض سے آسلینڈر-بوکسبام فارمولے سے ہے۔ گہرائی کی ایک زیادہ بنیادی خاصیت عدم مساوات ہے جہاں ماڈیول کے کرل طول و عرض کی نشاندہی ہوتی ہے۔ گہرائی کا استعمال اچھی خصوصیات کے ساتھ رنگوں اور ماڈیولز کی کلاسوں کی وضاحت کے لیے کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، کوہن-میکالے رنگز اور ماڈیولز، جن کے لیے مساوات ہوتی ہے۔ تعریف ایک مواصلاتی رنگ، ایک آئیڈیل اور اس پراپرٹی کے ساتھ ایک حتمی طور پر تیار کردہ-ماڈیول ہونا چاہیے جو مناسب طریقے سے موجود ہے۔ (یعنی کچھ عناصر میں نہیں ہیں۔) پھر کی-گہرائی، جسے عام طور پر کی گریڈ بھی کہا جاتا ہے، کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے تعریف کے مطابق، زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے ساتھ مقامی رنگ کی گہرائی خود پر ایک ماڈیول کے طور پر اس کی-گہرائی ہوتی ہے۔ اگر کوہن-میکالے مقامی رنگ ہے، تو کی گہرائی کے طول و عرض کے برابر ہے۔ ڈیوڈ ریس کے ایک نظریہ کے مطابق، گہرائی کو باقاعدہ ترتیب کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے بھی نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ نظریہ (ریز) فرض کریں کہ یہ زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے ساتھ ایک مواصلاتی نویتھیرین مقامی رنگ ہے اور ایک حتمی طور پر تیار کردہ-ماڈیول ہے۔ پھر تمام زیادہ سے زیادہ باقاعدہ ترتیبات، جہاں ہر ایک کا تعلق ہے، کی لمبائی-گہرائی کے برابر ہے۔ گہرائی اور پروجیکٹو طول و عرض ایک مواصلاتی نویتھیرین مقامی رنگ پر ایک ماڈیول کا پروجیکٹو طول و عرض اور گہرائی ایک دوسرے کی تکمیل کرتے ہیں۔ یہ آسلینڈر-بوکسبوم فارمولے کا مواد ہے، جو نہ صرف بنیادی نظریاتی اہمیت کا حامل ہے، بلکہ ماڈیول کی گہرائی کا حساب لگانے کا ایک موثر طریقہ بھی فراہم کرتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے ساتھ ایک مواصلاتی نویتھیرین مقامی رنگ ہے اور ایک حتمی طور پر تیار کردہ-ماڈیول ہے۔ اگر کا پروجیکٹو طول و عرض محدود ہے، تو آسلینڈر-بوکسبوم فارمولا بتاتا ہے کہ گہرائی صفر کے حلقے ایک مواصلاتی نویتھیرین مقامی دائرے کی گہرائی صفر ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ایک وابستہ پرائم ہو، یا، مساوی طور پر، جب اس طرح کا کوئی غیر صفر عنصر ہو (یعنی، ختم ہو جاتا ہے)۔ اس کا مطلب ہے، بنیادی طور پر، کہ بند نقطہ ایک سرایت شدہ جزو ہے۔ مثال کے طور پر، رنگ (جہاں ایک فیلڈ ہے)، جو اصل پر ایک سرایت شدہ ڈبل پوائنٹ کے ساتھ ایک لائن () کی نمائندگی کرتا ہے، اس کی ابتدا میں گہرائی صفر ہوتی ہے، لیکن طول و عرض ایک ہوتا ہے: اس سے ایک رنگ کی مثال ملتی ہے جو کوہن-میکالے نہیں ہے۔ حوالہ جات ون فرائیڈ برنز ؛ جورجن ہرزوگ، کوہن-میکالے بجتے ہیں۔ اعلی درجے کی ریاضی میں کیمبرج اسٹڈیز، 39. کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج، 1993۔ xii + 403 پی پی۔ ماڈیول تھیوری مواصلاتی الجبرا