Claude Berge
کلاڈ جیکس برج (5 جون 1926-30 جون 2002) ایک فرانسیسی ریاضی دان تھے، جنہیں امتزاج اور گراف تھیوری کے جدید بانیوں میں سے ایک کے طور پر تسلیم کیا جاتا ہے۔ سوانح عمری اور پیشہ ورانہ تاریخ کلاڈ برج کے والدین آندرے برج اور جینیویو فورکیڈ تھے۔ آندرے برج (1902-1995) ایک طبیب اور ماہر نفسیات تھے جنہوں نے اپنے پیشہ ورانہ کام کے علاوہ کئی ناول شائع کیے تھے۔ وہ رینے برج، ایک کان کنی انجینئر، اور اینٹوینیٹ فیور کے بیٹے تھے۔ فیلکس فرانکوئس فیور (1841-1899) اینٹوینیٹ فیور کے والد تھے۔ وہ 1895 سے 1899 تک فرانس کے صدر رہے۔ آندرے برج نے 1924 میں جینیویو سے شادی کی، اور کلاڈ ان کے چھ بچوں میں دوسرے نمبر پر تھے۔ اس کے پانچ بہن بھائی نیکول (سب سے بڑے)، انٹون، فلپ، ایڈیتھ اور پیٹرک تھے۔ کلاڈ نے پیرس کے مغرب میں واقع قریب ورنیل-سر-ایوری میں شرکت کی۔ یہ مشہور نجی اسکول، جس کی بنیاد ماہر سماجیات ایڈمنڈ ڈیمولنز نے 1899 میں رکھی تھی، نے پورے فرانس کے طلباء کو اس کے جدید تعلیمی پروگرام کی طرف راغب کیا۔ اپنی زندگی کے اس مرحلے پر، کلاڈ کو اس موضوع کے بارے میں یقین نہیں تھا جس میں اسے مہارت حاصل کرنی چاہیے۔ انہوں نے بعد کی زندگی میں کہا: "مجھے پورا یقین نہیں تھا کہ میں ریاضی کرنا چاہتا ہوں۔ ادب کا مطالعہ کرنے کی خواہش اکثر زیادہ ہوتی تھی۔ " ادب اور دیگر غیر ریاضیاتی مضامین سے ان کی محبت نے انہیں کبھی نہیں چھوڑا اور ہم ذیل میں بحث کریں گے کہ انہوں نے ان کی زندگی میں کس طرح بڑا کردار ادا کیا۔ تاہم، اس نے پیرس یونیورسٹی میں ریاضی کی تعلیم حاصل کرنے کا فیصلہ کیا۔ اپنی پہلی ڈگری کے اعزاز کے بعد، انہوں نے اپنی ڈاکٹریٹ کے لیے تحقیق جاری رکھی، جس کا مشورہ آندرے لیچنروویز نے دیا تھا۔ انہوں نے 1950 میں ریاضی کے مقالے شائع کرنا شروع کیے۔ اس سال ان کے دو مقالے شائع ہوئے، مختصر مقالہ سر آئیسوولیننس ایٹ لا ریگولیریٹ ڈیس ٹرانسفارمیٹرز اور اہم، 30 صفحات پر مشتمل مقالہ سر ان نووو کیلکول علامتی اور ایس ای ایس ایپلی کیشنز۔ علامتی کیلکولس جس پر انہوں نے اس بڑے مقالے میں بحث کی ہے وہ جنریٹنگ فنکشنز اور لیپلیس ٹرانسفارمز کا مجموعہ ہے۔ اس کے بعد اس نے اس علامتی حساب کو مشترکہ تجزیہ، برنولی نمبروں، فرق مساوات، تفریق مساوات، اور خلاصہ عوامل پر لاگو کیا۔ 1951 میں انہوں نے مزید دو مختصر مقالے شائع کیے، سر ایل انورژن ڈیس ٹرانسفارمیٹرز اور سر یون تھیوری اینسمبلسٹ ڈیس جیکس الٹرنیٹفس، جس نے مختلف نتائج کا اعلان کیا جن پر ان کے مقالے میں مکمل طور پر تبادلہ خیال کیا جائے گا۔ انہیں 1953 میں آندرے لیچنروویز کی نگرانی میں ان کے مقالے سر یون تھیوری اینسمبلسٹ ڈیس جیکس الٹرنیٹفس کے لیے ڈاکٹریٹ کی ڈگری سے نوازا گیا۔ اس مقالے میں، انہوں نے ان کھیلوں کا جائزہ لیا جہاں کامل معلومات دستیاب ہیں جن میں، ہر حرکت پر، ممکنہ طور پر لامحدود تعداد میں انتخاب ہوتے ہیں۔ کھیل لازمی طور پر محدود نہیں ہیں، جس میں غیر معینہ مدت تک جاری رہنے کی اجازت ہے۔ برج نے مکمل تجزیہ کے ساتھ اس طرح کے کھیلوں کی خصوصیات کا جائزہ لیا۔ ان کے مقالے پر مبنی اور اسی عنوان کے ساتھ 55 صفحات پر مشتمل مقالہ 1953 میں شائع ہوا۔ برج نے 29 دسمبر 1952 کو جین جینٹاز (پیدائش 7 جنوری 1925) سے شادی کی۔ ان کا ایک بچہ تھا، ڈیلفین، جو 1 مارچ 1964 کو پیدا ہوا۔ 1952 میں، اپنے ڈاکٹریٹ کے اعزاز سے پہلے، برج کو سینٹر نیشنل ڈی لا ریچرچ سائنٹیفک میں ریسرچ اسسٹنٹ کے طور پر مقرر کیا گیا تھا۔ 1957 میں انہوں نے پرنسٹن یونیورسٹی میں وزٹنگ پروفیسر کی حیثیت سے امریکہ میں وقت گزارا۔ انہوں نے وہاں اکنامکس ریسرچ پروجیکٹ میں حصہ لیا جو آفس آف نیول ریسرچ کے ساتھ معاہدے کے تحت تھا۔ پرنسٹن میں رہتے ہوئے انہوں نے کام شروع کیا جو کہ ریاستہائے متحدہ امریکہ کی نیشنل اکیڈمی آف سائنسز کی کارروائی میں شائع ہونے والے مقالے ٹو تھیوریمز ان گراف تھیوری میں پیش کیا گیا تھا۔ یہ گراف تھیوری پر ان کے پہلے مقالے میں سے ایک تھا، ان کا ابتدائی کام تھیوری آف گیمز اینڈ کمبینٹوریکس پر تھا۔ وہ اس وقت اپنی مشہور کتاب تھیوری ڈیس گرافس ایٹ سیس ایپلی کیشنز (گراف تھیوری اینڈ ایپلی کیشنز) لکھ رہے تھے اور ابھی ابھی تھیوری آف گیمز پر اپنی کتاب شائع کی تھی، تھیوری جنرل ڈیس جیکس این پرسننس (این کھلاڑیوں کے ساتھ کھیلوں کا عمومی نظریہ) (1957)۔ ریاستہائے متحدہ سے فرانس واپس آکر، برج نے سینٹر نیشنل ڈی لا ریچرچ سائنٹفک میں ڈائریکٹر آف ریسرچ کا عہدہ سنبھالا۔ نیز، 1957 میں انہیں پیرس یونیورسٹی کے انسٹی ٹیوٹ آف سٹیٹسٹکس میں پروفیسر کے طور پر مقرر کیا گیا۔ تھیوری ڈیس گرافز ایٹ سیز ایپلی کیشنز 1958 میں شائع ہوئی اور، قابل ذکر طور پر، اگلے سال ان کی تیسری کتاب، ایسپیسز ٹوپولوجیکس، فونکشنز ملٹی ویوکس (ٹوپولوجیکل اسپیس، ملٹی ویلیوڈ فنکشنز) شائع ہوئی۔ تیس کی دہائی کے اوائل میں ایک ریاضی دان کے لیے اتنے ہی سالوں میں تین بڑی کتابیں شائع کرنا واقعی ایک شاندار کامیابی ہے۔ 1952 میں شروع کرتے ہوئے وہ فرانسیسی نیشنل سینٹر فار سائنٹفک ریسرچ (سی این آر ایس) میں ریسرچ اسسٹنٹ تھے، اور 1957 سے 1964 تک وہ پیرس یونیورسٹی کے انسٹی ٹیوٹ آف سٹیٹسٹکس میں پروفیسر رہے۔ 1965 سے 1967 تک انہوں نے روم میں انٹرنیشنل کمپیوٹنگ سینٹر کی ہدایت کاری کی۔ وہ سینٹر ڈی اینالیس ایٹ ڈی میتھیمیٹک سوشلز (سی اے ایم ایس) سے بھی وابستہ تھے، جو ایکول ڈیس ہاؤٹس ایٹیوڈز این سائنسز سوشلز کا ایک تحقیقی مرکز ہے۔ انہوں نے 1957 میں پرنسٹن یونیورسٹی، 1968 میں پنسلوانیا اسٹیٹ یونیورسٹی، اور 1985 میں نیویارک یونیورسٹی میں وزٹنگ عہدوں پر فائز رہے، اور انڈین شماریاتی انسٹی ٹیوٹ، کلکتہ کے اکثر دورے کرتے رہے۔ 1960 کے آس پاس کا دور برج کے لیے خاص طور پر اہم اور نتیجہ خیز معلوم ہوتا ہے۔ کتاب تھیوری ڈیس گرافز ایٹ سیز ایپلی کیشنز کے ذریعے اس نے اپنے لیے ایک ریاضیاتی نام قائم کیا تھا۔ 1959 میں انہوں نے ڈوبوگوکو، ہنگری میں پہلی گراف تھیوری کانفرنس میں شرکت کی اور ہنگری کے گراف تھیوریسٹوں سے ملاقات کی۔ انہوں نے گراف کلرنگ پر ایک سروے پیپر شائع کیا، جہاں انہوں نے ان خیالات کو متعارف کرایا جو جلد ہی کامل گراف کی طرف لے گئے۔ مارچ 1960 میں انہوں نے مشرقی جرمنی کے ہالے میں ایک اجلاس میں اس بارے میں بات کی۔ اسی سال نومبر میں، وہ OuLiPo (Ouvroir de Litt 'erature Potentiel) کے دس بانی ارکان میں سے ایک تھے۔ اور 1961 میں، اپنے دوست اور ساتھی مارسل پال شٹزنبرگر کے ساتھ، انہوں نے پیرس یونیورسٹی (جو بعد میں ایکویپ کمبینٹوائر ڈو سی این آر ایس بن گیا) میں سیمینائر سر لیس پروبلمز کمبینٹوائرز کا آغاز کیا۔ اس کے ساتھ ہی، برج نے ایک مجسمہ ساز کی حیثیت سے کامیابی حاصل کی۔ 1994 میں برج نے اولیپو کے لیے ایک 'ریاضیاتی' قتل معمہ لکھا۔ اس مختصر کہانی میں، ڈیوک آف ڈینسمور کو کس نے قتل کیا (1995)، ڈیوک آف ڈینسمور کو اس کی چھ مالکنوں میں سے ایک نے قتل کر دیا ہے، اور شیرلوک ہومز اور ڈاکٹر واٹسن کو کیس حل کرنے کے لیے طلب کیا گیا ہے۔ واٹسن کو ہومز ڈیوک کے محل میں بھیجتا ہے لیکن اس کی واپسی پر وہ ہومز کو جو معلومات پہنچاتا ہے وہ بہت گڑبڑ ہے۔ ہومز اس معلومات کا استعمال کرتا ہے جو واٹسن اسے گراف بنانے کے لیے دیتا ہے۔ اس کے بعد وہ گراف پر گیوگی ہاجوس کا ایک نظریہ لاگو کرتا ہے جس سے قاتل کا نام نکلتا ہے۔ اولیپو میں برج کی دیگر ہوشیار شراکتوں کو بیان کیا گیا ہے۔ برج کی ایک اور دلچسپی فن اور مجسمہ سازی میں تھی۔ انہوں نے اپنی کتاب مجسمہ سازی ملٹی پیٹرز (1962) میں اپنے ابتدائی مجسموں کو بیان کیا، جو جزوی طور پر دریائے سین میں پائے جانے والے پتھروں سے بنائے گئے تھے۔ بجرن ٹوفٹ لکھتے ہیں: ریاضیاتی شراکت برج نے گیم تھیوری (1957)، گراف تھیوری اور اس کی ایپلی کیشنز (1958)، ٹپوولوجیکل اسپیس (1959)، اصولوں کے امتزاج (1968) اور ہائپر گراف (1970) پر پانچ کتابیں لکھیں، جن میں سے ہر ایک کا کئی زبانوں میں ترجمہ کیا گیا۔ ان کتابوں نے مضامین کے کامیاب عملی استعمال کو اجاگر کرکے گراف تھیوری اور امتزاج کے مضامین کو بدنامی سے نکالنے میں مدد کی۔ انہیں خاص طور پر کامل گرافوں پر دو قیاس آرائیوں کے لیے یاد کیا جاتا ہے جو انہوں نے 1960 کی دہائی کے اوائل میں بنائے تھے لیکن بعد میں نمایاں طور پر ثابت نہیں ہوئے: ایک گراف تب ہی کامل ہوتا ہے جب اس کی تکمیل کامل ہو، جسے 1972 میں لاسلو لووز نے ثابت کیا اور اب اسے کامل گراف تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے، اور ایک گراف تب ہی کامل ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب نہ تو اس میں اور نہ ہی اس کی تکمیل میں کم از کم پانچ کی عجیب لمبائی کا ایک محرک چکر ہو، جسے ماریہ چوڈنووسکی، نیل رابرٹسن، پال سیمور، اور رابن تھامس نے 2006 میں شائع کردہ کام میں ثابت کیا اور اب اسے مضبوط کامل گراف تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کلاڈ برج کو اپنی پوری زندگی میں کھیل کھیلنے کا شوق رہا، چاہے ان کو کھیلنا-جیسے کہ شطرنج، بیک گیمن اور ہیکس-یا مزید نظریاتی پہلوؤں کی کھوج کرنا۔ اس جذبے نے ریاضی میں ان کی دلچسپی کو کنٹرول کیا۔ انہوں نے 1951 میں گیم تھیوری پر لکھنا شروع کیا، 1957 میں پرنسٹن، نیو جرسی میں انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں ایک سال گزارا، اور اسی سال اپنی پہلی بڑی کتاب، تھیوری جنرل ڈیس جیکس این پرسنز تیار کی۔ یہاں، کسی کو نہ صرف جان وان نیومن اور جان نیش جیسے نام ملتے ہیں، جیسا کہ کوئی توقع کرے گا، بلکہ ڈینس کونگ، اوسٹین اوری اور رچرڈسن جیسے نام بھی ملتے ہیں۔ درحقیقت، اس کتاب میں بہت زیادہ گراف تھیوری ہے، یعنی گیم تھیوری کے لیے مفید گراف تھیوری ؛ اس میں بہت زیادہ ٹوپولوجی بھی شامل ہے، یعنی گیم تھیوری سے مطابقت کی ٹوپولوجی۔ اس طرح، یہ فطری تھا کہ برج نے دو بڑی جلدوں، تھیوری ڈیس گرافس ایٹ سیس ایپلی کیشنز اور ایسپیسز ٹوپوولوجیکس، فونکشن ملٹی ویوکس کے ساتھ اس کام کو تیزی سے آگے بڑھایا۔ پہلا ایک شاہکار ہے، جس میں عمومی نظریہ، نظریات-آسان اور مشکل، ثبوت، مثالیں، اطلاق، خاکے کا انوکھا امتزاج ہے۔ یہ ایک مکمل وضاحت کے بجائے گراف تھیوری کا ذاتی منشور ہے، جیسا کہ کینیگ کی کتاب میں کوشش کی گئی ہے۔ گراف تھیوری پر پہلی دو سابقہ کتابوں کا موازنہ کرنا ایک دلچسپ منصوبہ ہوگا، بالترتیب آندرے سینٹ-لاگو اور کونگ کی، برج کی کتاب سے۔ یہ واضح ہے کہ برج کی کتاب خاص طور پر کونگ کے مقابلے میں زیادہ آرام دہ اور چنچل ہے۔ یہ برج کے ذائقہ سے چلتا ہے اور اس کا ذیلی عنوان 'سیڈکشن انٹو گراف تھیوری' ہو سکتا ہے (پیش لفظ سے لے کر برج کی کتاب کے انگریزی ترجمہ تک گیان کارلو روٹا کے الفاظ استعمال کرنے کے لیے)۔ اس کتاب کے اہم موضوعات میں فیکٹرائزیشن، ملاپ اور متبادل راستے شامل ہیں۔ یہاں برج تبور گلائی کے بنیادی کاغذ پر انحصار کرتا ہے۔ گلائی سب سے بڑے گراف تھیوریسٹوں میں سے ایک تھے-انہیں کسی حد تک نظر انداز کیا گیا تھا-لیکن برج نے نہیں۔ گلائی ان سب سے پہلے لوگوں میں سے تھے جنہوں نے کم از کم زیادہ سے زیادہ نظریات اور امتزاج میں ایل پی-دوہری پر زور دیا۔ وہ اصلاح میں اپنے زیادہ سے زیادہ نظریہ اور برج کے لیما کے لیے بھی جانا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ گراف G میں مماثل M زیادہ سے زیادہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G میں M کے حوالے سے کوئی اضافہ کا راستہ نہ ہو۔ کلاڈ برج ریاضی کے علاوہ ادب، مجسمہ سازی اور فن سے لطف اندوز ہوتے تھے۔ برج نے ادب کی نئی شکلیں تخلیق کرنے کے لیے 1960 میں ناول نگاروں اور دیگر ریاضی دانوں کے ساتھ مل کر فرانسیسی ادبی گروپ اولیپو کی مشترکہ بنیاد رکھی۔ اس ایسوسی ایشن میں، اس نے ریاضیاتی نظریہ کی بنیاد پر ایک قتل معمہ لکھا: ڈیوک آف ڈینسمور کو کس نے مارا؟ اس کہانی کی موافقت میں، ڈیوک آف ڈینسمور ایک دھماکے سے ہلاک ہو جاتا ہے۔ دس سال بعد، شرلاک ہومز اور ڈاکٹر واٹسن کو اس غیر حل شدہ کیس کی تحقیقات کے لیے بلایا جاتا ہے۔ ڈیوک کی سات سابق بیویوں کی شہادتوں اور وقفے کے گراف کے بارے میں ان کے علم کا استعمال کرتے ہوئے، ہومز اس بات کا تعین کرنے کے قابل ہے کہ کس نے ڈیوک سے متعدد بار ملاقات کی اور بم نصب کرنے میں کامیاب رہا۔ ایوارڈز اور اعزازات برج نے 1989 میں ایسوسی ایشن آف یورپین آپریشنل ریسرچ سوسائٹیز کی طرف سے یورو گولڈ میڈل جیتا، اور (رونالڈ گراہم کے ساتھ) 1993 میں انسٹی ٹیوٹ آف کمبینٹوریکس اور اس کی ایپلی کیشنز کی طرف سے افتتاحی اویلر میڈل جیتا۔ منتخب اشاعتیں بڑے ریاضیاتی کام (نوٹ: قوسین میں کھردری انگریزی ترجمہ) تھیوری جنرل ڈیس جیکس این پرسننس (این کھلاڑیوں کے لیے کھیلوں کا عمومی نظریہ)، 1957، ٹرانس۔ روسی میں، 1961 تھیوری ڈیس گرافس اور سیس ایپلی کیشنز، ولی، 1958، ٹرانس۔ انگریزی، روسی، ہسپانوی، رومانیائی، چینی۔ انگریزی ترجمہ: گراف اور اس کی ایپلی کیشنز کا نظریہ، ولی، 1964 ایسپیس ٹپوولوجیکس، فونکشن ملٹی ویوکس، 1959، ٹرانس۔ انگریزی میں، 1963۔ انگریزی ترجمہ ٹوپوولوجیکل سپیسز: بشمول ملٹی ویلیوڈ فنکشنز کا علاج، ویکٹر سپیسز اور کنویکسٹی، ڈوور بکس، 2010۔ پروگرام، جیکس اینڈ ریساکس ڈی ٹرانسپورٹ، اے گھوئلا-ہوری کے ساتھ، ولی، 1962، ٹرانس۔ انگریزی، ہسپانوی، جرمن، چینی۔ انگریزی ترجمہ: پروگرامنگ، گیمز اینڈ ٹرانسپورٹیشن نیٹ ورکس، ولی، 1965 گرافز پارفیٹس (کامل گراف)، 1963 پرنسپس ڈی کمبینٹوائر، ولی، 1968۔ انگریزی ترجمہ: کمبینٹوریکس کے اصول، اکیڈمک پریس، 1971 گراف اور ہائپر گراف، 1969 اور 1970 میں، ٹرانس۔ انگریزی، جاپانی میں۔ انگریزی ترجمہ: گراف اور ہائپر گراف، نارتھ ہالینڈ پبلشنگ کمپنی، 1973۔ ہائپر گراف۔ کمبینٹوائرز ڈیس اینسمبلز فائنس (ہائپر گراف۔ مشترکہ محدود سیٹ)، گوتھیر-ولرز، 1987، ٹرانس۔ انگریزی ادبی کام اسکلپچرز ملٹی پیٹرز، 1961 لا رین ایزٹیک (ایزٹیک کوئین)، 1983 کیو اے ٹیو لی ڈیوک ڈی ڈینسمور؟ (ڈیوک آف ڈینسمور کو کس نے قتل کیا؟) 1994 ریمنڈ کوئینو ایٹ لا کمبینٹوائر (ریمنڈ کوئینو اور کمبینٹوریکس)، 1997 حوالہ جات بیرونی روابط کلاڈ برج کلاڈ برج پیج کے ریاضیاتی کام مونٹریال یونیورسٹی میں جینا ہان اوبیچوریبی سرینیواس بھوگلے اوبیچوری بذریعہ ویکلاو چوتال تخلیق اور تفریح: مجرد ریاضی میں کلاڈ برج کی یاد کو خراج تحسین، جلد 306، اکتوبر 6 2006 پیدائش 2002 پیرس یونیورسٹی کے سابق طلباء پیرس یونیورسٹی کے تعلیمی عملے کے پیئر اور میری کیوری یونیورسٹی کے 20 ویں صدی کے فرانسیسی ریاضی دان گراف تھیوریسٹس کمبینٹوریالسٹس فرانسیسی نیشنل سینٹر برائے سائنسی تحقیق کے سائنسدانوں اولیپو ممبران