Class formation
ریاضی میں، کلاس کی تشکیل ایک ٹپوولوجیکل گروپ ہے جو کسی ماڈیول پر کام کرتا ہے جو کچھ شرائط کو پورا کرتا ہے۔ کلاس فارمیشنز کو ایمل آرٹن اور جان ٹیٹ نے مختلف گالوئس گروپس اور ماڈیولز کو منظم کرنے کے لیے متعارف کرایا تھا جو کلاس فیلڈ تھیوری میں ظاہر ہوتے ہیں۔ تعریف A تشکیل ایک ٹوپولوجیکل گروپ G ہے جس کے ساتھ ایک ٹوپولوجیکل G-ماڈیول A ہے جس پر G مسلسل کام کرتا ہے۔ تشکیل کی ایک پرت E/F کھلے ذیلی گروپوں E، G کے F کا ایک جوڑا ہوتا ہے جس میں F، E کا ایک محدود اشاریہ ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ اگر F، E کا ایک عام ذیلی گروپ ہے تو اسے عام پرت کہا جاتا ہے، اور اگر اس کے علاوہ حصص کا گروپ چکور ہوتا ہے تو اسے چکور پرت کہا جاتا ہے۔ اگر ای جی کا ذیلی گروپ ہے، تو اے ای کی تعریف ای کے ذریعہ طے شدہ اے کے عناصر کے طور پر کی جاتی ہے۔ جب بھی ای/ایف ایک عام پرت ہو تو ہم ٹیٹ کوہومولوجی گروپ ایچ این (ای/ایف، اے ایف) کے لیے ایچ این (ای/ایف) لکھتے ہیں۔ (کچھ مصنفین E اور F کو G کے ذیلی گروپ کے بجائے فکسڈ فیلڈز سمجھتے ہیں، اس لیے E/F کے بجائے F/E لکھیں۔) ایپلی کیشنز میں، G اکثر کسی فیلڈ کا مطلق گالوئس گروپ ہوتا ہے، اور خاص طور پر لامحدود ہوتا ہے، اور اس لیے کھلے ذیلی گروپ کچھ مقررہ علیحدہ بندش میں موجود فیلڈ کی محدود توسیع سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کلاس کی تشکیل ایک ایسی تشکیل ہے کہ ہر عام پرت کے لیے E/F H1 (E/F) معمولی ہے، اور H2 (E/F) ترتیب |E F | کا چکور ہے۔ عملی طور پر، یہ چکور گروہ کینونکل جنریٹر یو ای/ایف Π ایچ 2 (ای/ایف) کے ساتھ فراہم کیے جاتے ہیں، جنہیں بنیادی کلاسیں کہا جاتا ہے، جو اس معنی میں ایک دوسرے کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں کہ بنیادی کلاس کی پابندی (کوہمولوجی کلاسوں کی) ایک اور بنیادی کلاس ہے۔ اکثر بنیادی کلاسوں کو کلاس کی تشکیل کے ڈھانچے کا حصہ سمجھا جاتا ہے۔ ایسی تشکیل جو صرف H1 (E/F) = 1 کی شرط کو پورا کرتی ہے اسے بعض اوقات فیلڈ فارمیشن کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر G کوئی محدود گروپ ہے جو کسی فیلڈ L اور A = L × پر کام کر رہا ہے، تو یہ ہلبرٹ کے تھیوریم 90 کے ذریعہ فیلڈ کی تشکیل ہے۔ کلاس فارمیشنز کی سب سے اہم مثالیں (تقریبا مشکل کی ترتیب میں ترتیب دی گئی) مندرجہ ذیل ہیں: آرکیمیڈین لوکل کلاس فیلڈ تھیوری: ماڈیول اے غیر صفر کمپلیکس نمبروں کا گروپ ہے، اور جی یا تو معمولی ہے یا کمپلیکس کنجگیشن سے پیدا ہونے والی ترتیب 2 کا چکور گروپ ہے۔ محدود فیلڈز: ماڈیول A انٹیجرز ہے (معمولی G-ایکشن کے ساتھ)، اور G ایک محدود فیلڈ کا مطلق گالوئس گروپ ہے، جو انٹیجرز کی لامحدود تکمیل کے لیے آئسومورفک ہے۔ خصوصیت p> 0 کا مقامی کلاس فیلڈ تھیوری: ماڈیول A ایک محدود فیلڈ پر رسمی لارنٹ سیریز کے فیلڈ کا الگ الگ الجبرائی بندش ہے، اور G گالوئس گروپ ہے۔ خصوصیت 0 کا غیر آرکیمیڈین مقامی کلاس فیلڈ تھیوری: ماڈیول A، p-adic نمبروں کے میدان کی الجبرائی بندش ہے، اور G گالوئس گروپ ہے۔ خصوصیت p> 0 کا گلوبل کلاس فیلڈ تھیوری: ماڈیول A ایک محدود فیلڈ پر کچھ فنکشن فیلڈ کی علیحدہ محدود توسیعات کے آئیڈل کلاسوں کے گروپوں کا اتحاد ہے، اور G گالوئس گروپ ہے۔ خصوصیت 0 کا گلوبل کلاس فیلڈ تھیوری: ماڈیول A الجبرائی نمبر فیلڈز کے آئیڈل کلاسوں کے گروپوں کا اتحاد ہے، اور G عقلی نمبروں (یا کچھ الجبرائی نمبر فیلڈ) کا گالوئس گروپ ہے جو A پر کام کرتا ہے۔ محدود فیلڈ کیس اور آرکیمیڈین لوکل فیلڈ کیس کے لیے کلاس فارمیشن پراپرٹی کی تصدیق کرنا آسان ہے، لیکن باقی معاملات زیادہ مشکل ہیں۔ کلاس فیلڈ تھیوری کی زیادہ تر محنت یہ ثابت کرنے پر مشتمل ہوتی ہے کہ یہ واقعی کلاس فارمیشن ہیں۔ یہ کئی مراحل میں کیا جاتا ہے، جیسا کہ ذیل کے حصوں میں بیان کیا گیا ہے۔ پہلی عدم مساوات کلاس فیلڈ تھیوری کی پہلی عدم مساوات میں کہا گیا ہے کہ |H0 (E/F) | ≤ |E F | چکور تہوں E/F کے لیے۔ یہ عام طور پر ہربرانڈ حصص کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، زیادہ عین مطابق شکل |H0 (E/F) | = |E F | × |H1 (E/F) | میں ثابت ہوتا ہے۔ یہ ثابت کرنا کافی حد تک سیدھا ہے، کیونکہ ہربرانڈ کوشیئنٹ پر کام کرنا آسان ہے، کیونکہ یہ مختصر عین ترتیب پر ضرب ہے، اور محدود ماڈیولز کے لیے 1 ہے۔ تقریبا 1950 سے پہلے، پہلی عدم مساوات کو دوسری عدم مساوات کے نام سے جانا جاتا تھا، اور اس کے برعکس۔ دوسری عدم مساوات کلاس فیلڈ تھیوری کی دوسری عدم مساوات میں کہا گیا ہے کہ تمام عام تہوں E/F کے لیے |H0 (E/F) | ≤ |E F۔ مقامی شعبوں کے لیے، یہ عدم مساوات ہلبرٹ کے نظریہ 90 سے پہلی عدم مساوات اور گروپ کوہمولوجی کی کچھ بنیادی خصوصیات کے ساتھ آسانی سے پیروی کرتی ہے۔ دوسری عدم مساوات سب سے پہلے عالمی شعبوں کے لیے ویبر نے درج ذیل نمبر فیلڈز کی ایل سیریز کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کی تھی۔ فرض کریں کہ پرت E/F عالمی شعبوں کی توسیع kÂ K سے مطابقت رکھتی ہے۔ کے ون کے ڈیڈیکنڈ زیٹا فنکشن کا مطالعہ کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ کے کے ڈگری 1 پرائمز میں ڈیرچلیٹ کثافت ہوتی ہے جو کہ ایس = 1 پر پول کی ترتیب سے دی جاتی ہے، جو کہ 1 ہے (جب کے ریشنلز ہوتے ہیں، تو یہ بنیادی طور پر اویلر کا ثبوت ہے کہ ریمن زیٹا فنکشن کے ایس = 1 پر پول کا استعمال کرتے ہوئے لامحدود تعداد میں پرائمز موجود ہیں۔) چونکہ k میں ہر ایک پرائم جو کہ ایک نارم ہے، ڈگری (K/k) = |E F | کے الگ الگ ڈگری 1 پرائمز کا پروڈکٹ ہے، اس سے پتہ چلتا ہے کہ k کے پرائمز کے سیٹ جو کہ نارمز ہیں ان کی کثافت 1/|E F | ہے۔ دوسری طرف، گروپ H0 (E/F) کے حروف کی ڈیرچلیٹ L-سیریز کا مطالعہ کرنے سے، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اس گروپ کے معمولی عنصر کی نمائندگی کرنے والے k کے پرائمز کی ڈیرچلیٹ کثافت 1/|H0 (E/F) | ہے۔ (ثبوت کا یہ حصہ ڈیرچلیٹ کے اس ثبوت کی عمومی شکل ہے کہ ریاضی کی ترقی میں لامحدود تعداد میں پرائم موجود ہیں۔) لیکن ایک پرائم گروپ H0 (E/F) کے ایک معمولی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے اگر یہ ایک معیاری ماڈیولو پرنسپل آئیڈیلز کے برابر ہے، تو یہ سیٹ کم از کم اتنا ہی گھنے ہے جتنا کہ پرائمز کا سیٹ جو کہ اصول ہیں۔ تو 1/|H0 (E/F) | ≤1/|E F | جو دوسری عدم مساوات ہے۔ 1940 میں چیولی نے دوسری عدم مساوات کا خالصتا الجبرائی ثبوت پایا، لیکن یہ ویبر کے اصل ثبوت سے لمبا اور مشکل ہے۔ تقریبا 1950 سے پہلے، دوسری عدم مساوات کو پہلی عدم مساوات کے نام سے جانا جاتا تھا۔ نام تبدیل کر دیا گیا تھا کیونکہ شیوللی کا الجبرائی ثبوت اس میں پہلی عدم مساوات کا استعمال کرتا ہے۔ تکاگی نے ایک طبقاتی میدان کی تعریف اس طرح کی ہے جہاں مساوات دوسری عدم مساوات میں ہوتی ہے۔ ذیل میں آرٹن آئسومورفزم کے مطابق، H0 (E/F) E/F کی ابیلینائزیشن کے لیے آئسومورفک ہے، اس لیے دوسری عدم مساوات میں مساوات بالکل ابیلین ایکسٹینشنز کے لیے ہے، اور کلاس فیلڈز ابیلین ایکسٹینشنز کی طرح ہیں۔ پہلی اور دوسری عدم مساوات کو مندرجہ ذیل طریقے سے جوڑا جا سکتا ہے۔ چکور تہوں کے لیے، دونوں عدم مساوات مل کر یہ ثابت کرتی ہیں کہ H1 (E/F) |E F | = H0 (E/F) ≤ |E F | تو H0 (E/F) = |E F | اور H1 (E/F) = 1۔ اب کوہمولوجی گروپوں کے بارے میں ایک بنیادی تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ چونکہ تمام چکور تہوں کے لیے H1 (E/F) = 1 ہے، اس لیے ہمارے پاس تمام عام تہوں کے لیے H1 (E/F) = 1 ہے (اس لیے خاص طور پر تشکیل ایک فیلڈ فارمیشن ہے)۔ یہ ثبوت کہ H1 (E/F) ہمیشہ معمولی ہوتا ہے بلکہ گول ہوتا ہے ؛ عالمی شعبوں کے لیے اس کا کوئی "براہ راست" ثبوت (جو بھی اس کا مطلب ہے) معلوم نہیں ہے۔ (مقامی شعبوں کے لیے H1 (E/F) کا غائب ہونا صرف ہلبرٹ کا نظریہ 90 ہے۔) چکور گروہ کے لیے، H0 H2 جیسا ہی ہے، اس لیے تمام چکور تہوں کے لیے H2 (E/F) = |E F | ہے۔ گروپ کوہومولوجی کی ایک اور تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ چونکہ تمام عام تہوں کے لیے H1 (E/F) = 1 اور تمام چکور تہوں کے لیے H2 (E/F) ≤ |E F |، ہمارے پاس تمام عام تہوں کے لیے H2 (E/F) ≤ |E F | ہے۔ (درحقیقت، مساوات تمام عام تہوں کے لیے ہوتی ہے، لیکن اس میں زیادہ محنت درکار ہوتی ہے ؛ اگلا حصہ دیکھیں۔) براؤر گروپ کلاس کی تشکیل کے براؤر گروپ H2 (E/*) کو گروپ H2 (E/F) کی براہ راست حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے کیونکہ F E کے تمام کھلے ذیلی گروپوں پر چلتا ہے۔ تمام تہوں کے لیے H1 کے غائب ہونے کا ایک آسان نتیجہ یہ ہے کہ گروپ H2 (E/F) براؤر گروپ کے تمام ذیلی گروپ ہیں۔ مقامی کلاس فیلڈ تھیوری میں براؤر گروپ فیلڈز کے براؤر گروپوں کی طرح ہی ہیں، لیکن عالمی کلاس فیلڈ تھیوری میں تشکیل کا براؤر گروپ متعلقہ عالمی فیلڈ کا براؤر گروپ نہیں ہے (حالانکہ وہ متعلقہ ہیں)۔ اگلا مرحلہ یہ ثابت کرنا ہے کہ H2 (E/F) بالکل |E F | ترتیب کا چکور ہے۔ پچھلے حصے سے پتہ چلتا ہے کہ اس میں زیادہ سے زیادہ یہ ترتیب ہے، لہذا یہ H2 (E/F) میں ترتیب کے کسی عنصر |E F | کو تلاش کرنے کے لیے کافی ہے۔ صوابدیدی توسیعات کا ثبوت G گروپ سے ایک ہومومورفزم کا استعمال کرتا ہے جو دانا G φ کے ساتھ انٹیجرز کی لامحدود تکمیل پر ہوتا ہے، یا دوسرے الفاظ میں دانا Gn کے ساتھ تمام n کے لیے ترتیب n کے چکور گروپوں پر G کے ہومومورفزم کی مطابقت پذیر ترتیب۔ یہ ہومومورفزم فیلڈز کی سائیکلک سائکلوٹومک ایکسٹینشنز کا استعمال کرتے ہوئے بنائے جاتے ہیں۔ محدود فیلڈز کے لیے وہ الجبرائی بندش کے ذریعے دیے جاتے ہیں، غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈز کے لیے وہ زیادہ سے زیادہ غیر منظم ایکسٹینشنز کے ذریعے دیے جاتے ہیں، اور عالمی فیلڈز کے لیے وہ قدرے زیادہ پیچیدہ ہوتے ہیں۔ چونکہ یہ توسیعات واضح طور پر دی گئی ہیں اس لیے کوئی یہ چیک کر سکتا ہے کہ ان کے پاس یہ خاصیت ہے کہ H2 (G/Gn) کینونکل جنریٹر کے ساتھ آرڈر n کا چکور ہے۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی پرت E کے لیے، گروپ H2 (E/E θ G φ) ق/زیڈ کے لیے مستند طور پر آئسومورفک ہے۔ اتحاد کی جڑوں کو استعمال کرنے کا یہ خیال چیبوٹریف نے چیبوٹریف کے کثافت تھیوریم کے ثبوت میں متعارف کرایا تھا، اور اس کے فورا بعد آرٹن نے اپنے باہمی نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ عام تہوں E، F کے لیے ایک عین مطابق ترتیب ہے۔ اس ترتیب میں آخری دو گروپوں کو دونوں کو Q/Z سے پہچانا جا سکتا ہے اور ان کے درمیان کا نقشہ پھر |E F | سے ضرب ہے۔ تو پہلا گروپ کینونکل طور پر Z/nZ کے لیے آئسومورفک ہے۔ چونکہ H2 (E/F) کی ترتیب زیادہ سے زیادہ Z/nZ کے برابر ہونی چاہیے (اور خاص طور پر درمیانی گروپ میں موجود ہے)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی پرت کا دوسرا ہم آہنگی گروپ H2 (E/F) ترتیب |E F | کا چکور ہوتا ہے، جو کلاس کی تشکیل کے محوریات کی تصدیق کو مکمل کرتا ہے۔ ثبوتوں میں تھوڑی زیادہ احتیاط کے ساتھ، ہمیں H2 (E/F) کا ایک کینونکل جنریٹر ملتا ہے، جسے بنیادی کلاس کہا جاتا ہے۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ براؤر گروپ H2 (E/*) (کینونکل طور پر) گروپ Q/Z کے لیے آئسومورفک ہے، سوائے آرکیمیڈین لوکل فیلڈز R اور C کے معاملے میں جب اس کی ترتیب 2 یا 1 ہو۔ گروپ کوہمولوجی میں ٹیٹ کا تھیوریم اور آرٹن کا نقشہ ٹیٹ کا تھیوریم مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں کہ A ایک محدود گروپ G پر ایک ماڈیول ہے اور a H2 (G, A) کا ایک عنصر ہے، اس طرح کہ G H1 (E, A) کے ہر ذیلی گروپ E کے لیے معمولی ہے، اور H2 (E, A) Res (a) کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے جس کا آرڈر E ہے۔ پھر a کے ساتھ کپ پروڈکٹ ایک آئسومورفزم Hn (G, Z) → Hn + 2 (G, A) ہے۔ اگر ہم ٹیٹ تھیوریم کے کیس n = −2 کو کلاس کی تشکیل پر لاگو کرتے ہیں، تو ہم پاتے ہیں کہ کسی بھی عام پرت E/F کے لیے ایک آئسومورفزم H − 2 (E/F، Z) → H0 (E/F، AF) موجود ہے۔ گروپ H−2 (E/F، Z) صرف E/F کی ابیلینائزیشن ہے، اور گروپ H0 (E/F، AF) اے ای ماڈیولو اے ایف کے اصولوں کا گروپ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہمارے پاس اے ای کے لحاظ سے گالوئس گروپ ای/ایف کی ابیلینائزیشن کی واضح وضاحت ہے۔ اس آئسومورفزم کا الٹا ہونا ای/ایف کی ہومومورفزم اے ای → ابیلینائزیشن دیتا ہے، اور تمام کھلے ذیلی گروپوں ایف پر حد لینے سے ای کی ہومومورفزم اے ای → ابیلینائزیشن ملتی ہے، جسے آرٹن نقشہ کہا جاتا ہے۔ آرٹن کا نقشہ لازمی طور پر سرجیکٹو نہیں ہے، لیکن اس میں گھنے نقشے ہیں۔ وجود کے نظریہ کے مطابق اس کے دانے کے نیچے اے ای (کلاس فیلڈ تھیوری کے لیے) کا منسلک جزو ہے، جو غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈز کے کلاس فیلڈ تھیوری اور فنکشن فیلڈز کے لیے معمولی ہے، لیکن آرکیمیڈین مقامی فیلڈز اور نمبر فیلڈز کے لیے غیر معمولی ہے۔ تکاگی وجود تھیوریم کلاس فیلڈ تھیوری کا بنیادی بقیہ تھیوریم تکاگی وجود تھیوریم ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ آئیڈل کلاس گروپ کا ہر محدود انڈیکس بند ذیلی گروپ کچھ ابیلین توسیع کے مطابق اصولوں کا گروپ ہے۔ اس کو ثابت کرنے کا کلاسیکی طریقہ یہ ہے کہ اصولوں کے چھوٹے گروہوں کے ساتھ کچھ توسیعات کی تعمیر کی جائے، پہلے اتحاد کی بہت سی جڑوں کو شامل کرکے، اور پھر کمر توسیعات اور آرٹن-شریئر توسیعات کو لے کر۔ یہ توسیعات غیر ابیلین ہو سکتی ہیں (حالانکہ وہ ابیلین گروہوں کے ذریعہ ابیلین گروہوں کی توسیعات ہیں) ؛ تاہم، اس سے واقعی کوئی فرق نہیں پڑتا، کیونکہ غیر ابیلین گالوئس توسیعی کا معمول گروپ اس کی زیادہ سے زیادہ ابیلین توسیعی کے برابر ہے (یہ اس کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے جو ہم کلاس فیلڈز کے بارے میں پہلے سے جانتے ہیں)۔ یہ کافی (ابیلین) توسیعات دیتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ آئیڈل کلاس گروپ کے کسی بھی محدود انڈیکس ذیلی گروپ کے مطابق ایک ابیلین توسیع موجود ہے۔ ایک نتیجہ یہ ہے کہ آرٹن نقشے کا دانا آئیڈل کلاس گروپ کی شناخت کا منسلک جزو ہے، تاکہ ایف کے گالوئس گروپ کی ابیلینائزیشن آئیڈل کلاس گروپ کی لامحدود تکمیل ہے۔ لوکل کلاس فیلڈ تھیوری کے لیے، لوبن-ٹیٹ رسمی گروپ قوانین کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ واضح طور پر ابیلین ایکسٹینشنز کی تعمیر بھی ممکن ہے۔ گلوبل فیلڈز کے لیے، ابیلین ایکسٹینشنز کو کچھ معاملات میں واضح طور پر بنایا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، ریشنلز کی ابیلین ایکسٹینشنز کو یونٹی کی جڑوں کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جا سکتا ہے، اور کواڈریٹک خیالی فیلڈز کی ابیلین ایکسٹینشنز کو ایلیپٹک افعال کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جا سکتا ہے، لیکن صوابدیدی گلوبل فیلڈز کے لیے اس کا ینالاگ تلاش کرنا ایک حل طلب مسئلہ ہے۔ ویل گروپ یہ ویل گروپ نہیں ہے اور اس کا ویل-چیٹلیٹ گروپ یا مورڈیل-ویل گروپ سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ بنیادی کلاسوں کے ساتھ کلاس کی تشکیل کا ویل گروپ یو ای/ایف، ایچ 2 (ای/ایف، اے ایف) ایک قسم کا ترمیم شدہ گالوئس گروپ ہے، جسے کلاس فیلڈ تھیوری کی مختلف فارمولیشنز میں اور خاص طور پر لینگ لینڈز پروگرام میں متعارف کرایا اور استعمال کیا جاتا ہے۔ اگر E/F ایک نارمل پرت ہے، تو E/F کا ویل گروپ U H2 (E/F، AF) میں بنیادی کلاس uE/F سے مطابقت رکھنے والی توسیع 1 → AF → U → E/F → 1 ہے۔ پوری تشکیل کے ویل گروپ کو تمام تہوں G/F کے ویل گروپوں کی الٹی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے، F کے لیے G کا ایک کھلا ذیلی گروپ۔ کلاس کی تشکیل (G، A) کا باہمی نقشہ AG سے ویل گروپ کی ابیلینائزیشن میں ایک آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ ایبلین ایکسٹینشن آرٹن ایل فنکشن آرٹن ریسیکروٹی کلاس فیلڈ تھیوری کمپلیکس ملٹی پلیکیشن گالوئس کوہمولوجی ہس نارم تھیوریم ہربرانڈ کوشیئنٹ ہلبرٹ کلاس فیلڈ کرونکر-ویبر تھیوریم مقامی کلاس فیلڈ تھیوری تکاگی وجود تھیوریم ٹیٹ کوہمولوجی گروپ حوالہ جات، خاص طور پر۔ باب الیون: کلاس فارمیشنز، جو ان کے جمع کردہ کاغذات کے حجم اول میں دوبارہ شائع ہوئے، الجبرائی نمبر تھیوری کلاس فیلڈ تھیوری