Time-evolving block decimation
ٹائم-ایوولونگ بلاک ڈیسیمیشن (ٹی ای بی ڈی) الگورتھم ایک عددی اسکیم ہے جو ایک جہتی کوانٹم ملٹی باڈی سسٹمز کی تقلید کے لیے استعمال ہوتی ہے، جس کی خصوصیت زیادہ سے زیادہ قریبی پڑوسی تعاملات ہیں۔ اسے ٹائم-ایوولونگ بلاک ڈیسیمیشن کا نام دیا گیا ہے کیونکہ یہ متحرک طور پر ایک تیزی سے بڑے اصل ہلبرٹ اسپیس کے متعلقہ کم جہتی ہلبرٹ سب اسپیس کی شناخت کرتا ہے۔ میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹس فارملزم پر مبنی الگورتھم انتہائی موثر ہوتا ہے جب نظام میں الجھاو کی مقدار محدود ہوتی ہے، یہ ضرورت ایک جہت میں کوانٹم ملئی باڈی سسٹمز کی ایک بڑی کلاس کے ذریعے پوری کی جاتی ہے۔ تعارف عمومی کوانٹم ملٹی باڈی سسٹمز کی تقلید کرنے کی موروثی مشکلات، سسٹم کے سائز کے ساتھ پیرامیٹرز میں تیزی سے اضافے، اور اسی کے مطابق، اعلی کمپیوٹیشنل اخراجات کو مدنظر رکھتے ہوئے، ایک حل عددی طریقوں کی تلاش کرنا ہوگا جو خصوصی معاملات سے نمٹتے ہیں، جہاں کوئی نظام کی طبیعیات سے فائدہ اٹھا سکتا ہے۔ خام نقطہ نظر، کوانٹم ملٹی باڈی سسٹم کی مکمل خصوصیت کے لیے استعمال ہونے والے تمام پیرامیٹرز کے ساتھ براہ راست نمٹنے سے تخروپن کے لیے درکار متغیرات کی مقدار کے نظام کے سائز کے ساتھ شاندار طور پر تیز رفتار تعمیر کی وجہ سے سنگین طور پر رکاوٹ پیدا ہوتی ہے، جو بہترین صورتوں میں، غیر معقول حد تک طویل کمپیوٹیشنل اوقات اور میموری کے طویل استعمال کی طرف لے جاتا ہے۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے متعدد مختلف طریقے تیار کیے گئے ہیں اور وقت کے ساتھ عمل میں لائے گئے ہیں، جن میں سے ایک سب سے کامیاب طریقہ کوانٹم مونٹی کارلو طریقہ (کیو ایم سی) ہے۔ نیز ڈینسٹی میٹرکس ری نارملائزیشن گروپ (ڈی ایم آر جی) طریقہ، کیو ایم سی کے ساتھ، ایک بہت ہی قابل اعتماد طریقہ ہے، جس میں صارفین کی بڑھتی ہوئی کمیونٹی اور فزیکل سسٹمز میں ایپلی کیشنز کی بڑھتی ہوئی تعداد ہے۔ جب پہلا کوانٹم کمپیوٹر پلگ ان کیا جاتا ہے اور کام کرتا ہے، تو کمپیوٹیشنل فزکس کے شعبے کے تناظر کافی امید افزا نظر آئیں گے، لیکن اس دن تک کسی کو خود کو کلاسیکی کمپیوٹرز کے ذریعہ پیش کردہ معمولی ٹولز تک محدود رکھنا پڑتا ہے۔ جب کہ تجرباتی طبیعیات دان پہلا کوانٹم کمپیوٹر بنانے کی کوشش میں بہت زیادہ کوشش کر رہے ہیں، نظریاتی طبیعیات دان کوانٹم انفارمیشن تھیوری (کیو آئی ٹی) کے میدان میں، حقیقی کوانٹم الگورتھم کے لیے تلاش کر رہے ہیں، جو ان مسائل کے لیے موزوں ہیں جو کلاسیکی کمپیوٹر پر حل کرنے کی کوشش کرتے وقت بری کارکردگی کا مظاہرہ کریں گے، لیکن کوانٹم پر کافی تیز اور کامیاب ہوں گے۔ اس طرح کے الگورتھم کی تلاش اب بھی جاری ہے، سب سے مشہور (اور تقریبا صرف وہی پائے گئے ہیں) شور کا الگورتھم، بڑی تعداد کو فیکٹرنگ کرنے کے لیے، اور گروور کا سرچ الگورتھم ہے۔ کیو آئی ٹی کے میدان میں کسی کو حقیقی کوانٹم کمپیوٹیشن کے لیے ضروری بنیادی وسائل کی نشاندہی کرنی ہوتی ہے۔ اس طرح کا وسیلہ کوانٹم بمقابلہ کلاسیکی میں تیز رفتار کے حصول کے لیے ذمہ دار ہو سکتا ہے، ان کی شناخت کا مطلب ان نظاموں کی شناخت کرنا بھی ہے جنہیں کلاسیکی کمپیوٹر پر معقول طور پر موثر انداز میں نقل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا وسیلہ کوانٹم الجھاؤ ہے ؛ اس لیے، کوانٹم کمپیوٹیشنل سپیڈ اپس کے لیے درکار الجھاؤ کے لیے ایک الگ نچلی حد قائم کرنا ممکن ہے۔ اس وقت انسٹی ٹیوٹ فار کوانٹم انفارمیشن، کیلٹیک میں گائفری ویڈل نے حال ہی میں کوانٹم سسٹمز کے ایک مخصوص زمرے کی تقلید کے لیے مفید اسکیم کی تجویز پیش کی ہے۔ وہ اس بات پر زور دیتے ہیں کہ "خالص حالتوں کے ساتھ کسی بھی کوانٹم کمپیوٹیشن کو کلاسیکی کمپیوٹر کے ساتھ مؤثر طریقے سے نقل کیا جا سکتا ہے بشرطیکہ اس میں شامل الجھاؤ کی مقدار کافی حد تک محدود ہو۔" ایسا عام ہیملٹنیوں کے ساتھ ہوتا ہے جو مقامی تعاملات کی نمائش کرتے ہیں، مثال کے طور پر، ہبارڈ جیسے ہیملٹنین۔ یہ طریقہ نظام میں موجود الجھاو کی مقدار کے حوالے سے کمپیوٹیشنل وقت میں اضافے میں کم ڈگری کے کثیر الجہتی رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ الگورتھم ایک ایسی اسکیم پر مبنی ہے جو اس حقیقت کا استحصال کرتی ہے کہ ان یک جہتی نظاموں میں نظام کی دو طرفہ تقسیم پر کم کثافت میٹرکس کی آئجن ویلیوز تیزی سے ختم ہو رہی ہیں، اس طرح ہمیں دوبارہ سائز کی جگہ میں کام کرنے کی اجازت ملتی ہے جو ہمارے منتخب کردہ آئجن ویلیوز کے مطابق آئجن ویکٹرز کے ذریعے پھیلی ہوئی ہے۔ کلاسیکی کمپیوٹر پر کوانٹم سسٹم کے تخروپن کے لیے درکار کمپیوٹیشنل وسائل کی مقدار کا اندازہ بھی لگایا جا سکتا ہے، یہ جانتے ہوئے کہ سسٹم کے پیمانے میں موجود الجھاؤ سسٹم کے سائز کے ساتھ کیسے ہوتا ہے۔ کلاسیکی طور پر (اور کوانٹم کے ساتھ ساتھ) قابل عمل تخروپن وہ ہوتے ہیں جن میں صرف ہلکے سے الجھے ہوئے نظام شامل ہوتے ہیں-دوسری طرف مضبوطی سے الجھے ہوئے نظام صرف حقیقی کوانٹم کمپیوٹیشن کے لیے اچھے امیدوار ہوتے ہیں۔ عددی طریقہ حقیقی وقت کی حرکیات یا زمینی ریاستوں کے حسابات کی تقلید کرنے میں موثر ہے جس میں تخیلاتی وقت کے ارتقاء یا ہدف ہیملٹنین اور ہیملٹنین کے درمیان آئسنٹروپک انٹرپولیشنز کا استعمال کیا جاتا ہے جس کی پہلے سے معلوم زمینی حالت ہوتی ہے۔ کمپیوٹیشنل وقت نظام کے سائز کے ساتھ لکیری طور پر پیمانہ کرتا ہے، اس لیے 1 ڈی میں بہت سے ذرات کے نظام کی تفتیش کی جا سکتی ہے۔ ٹی ای بی ڈی الگورتھم کی ایک مفید خصوصیت یہ ہے کہ اسے وقت پر منحصر ہیملٹنین کے وقت ارتقاء کے تخروپن کے لیے قابل اعتماد طریقے سے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو ان نظاموں کو بیان کرتا ہے جن کا ادراک آپٹیکل لیٹیسیس میں ٹھنڈے ایٹموں کے ساتھ، یا کوانٹم ٹرانسپورٹ میں توازن سے دور نظاموں میں کیا جا سکتا ہے۔ اس نقطہ نظر سے، ٹی ای بی ڈی کا ڈی ایم آر جی پر ایک خاص عروج تھا، جو ایک بہت طاقتور تکنیک ہے، لیکن حال ہی میں وقت کے ارتقاء کی تقلید کے لیے بہت موزوں نہیں تھا۔ میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹس کی رسمی حیثیت ڈی ایم آر جی کے ریاضیاتی مرکز میں ہونے کی وجہ سے، ٹی ای بی ڈی اسکیم کو ڈی ایم آر جی کمیونٹی نے اپنایا، اس طرح مختصر طور پر وقت پر منحصر ڈی ایم آر جی، ٹی-ڈی ایم آر جی کو جنم دیا۔ تقریبا اسی وقت، دوسرے گروپوں نے اسی طرح کے نقطہ نظر تیار کیے ہیں جن میں کوانٹم کی معلومات ایک اہم کردار ادا کرتی ہیں، مثال کے طور پر، وقتا فوقتا حدود کے حالات کے لیے ڈی ایم آر جی کے نفاذ میں، اور ایک جہتی کوانٹم جالی کے نظام میں مخلوط ریاست کی حرکیات کا مطالعہ کرنے کے لیے۔ وہ آخری نقطہ نظر دراصل ایک رسمی حیثیت فراہم کرتے ہیں جو اصل ٹی ای بی ڈی نقطہ نظر سے زیادہ عام ہے، کیونکہ یہ میٹرکس پروڈکٹ آپریٹرز کے ساتھ ارتقاء سے نمٹنے کی بھی اجازت دیتا ہے۔ یہ ٹی ای بی ڈی کیس کے برخلاف غیر معمولی غیر لامحدود ارتقاء کی تقلید کو قابل بناتا ہے، اور میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹس کے اعلی جہتی ینالاگوں سے نمٹنے کے لیے ایک اہم جزو ہے۔ حالت کا سڑنا ریاست کے سڑنے کا تعارف فنکشن کے ذریعہ بیان کردہ این کیوبیٹس کے سلسلے پر غور کریں۔ بیان کرنے کا سب سے فطری طریقہ مقامی جہتی بنیاد کا استعمال کرنا ہوگا: جہاں M آن سائٹ طول و عرض ہے۔ ٹی ای بی ڈی کی چال کوفیشنٹس کو دوبارہ لکھنا ہے: یہ فارم، جسے میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹ کہا جاتا ہے، حساب کو بہت آسان بناتا ہے۔ یہ سمجھنے کے لیے کہ کیوں، کوئی بھی کسی حالت کے شمٹ سڑنے کو دیکھ سکتا ہے، جو محدود الجھاؤ والی حالت کو زیادہ آسانی سے ظاہر کرنے کے لیے واحد قدر سڑنے کا استعمال کرتا ہے۔ شمٹ سڑنا دو طرفہ نظام کی حالت پر غور کریں۔ ایسی ہر حالت کی نمائندگی مناسب طور پر منتخب کردہ بنیاد پر کی جا سکتی ہے: جہاں ویکٹرز کے ساتھ تشکیل پاتے ہیں جو اور اسی کے مطابق، ویکٹرز میں آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں، جو ایک آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں، جس میں کوفیشنٹس حقیقی اور مثبت ہوتے ہیں۔ اسے کسی ریاست کا شمٹ سڑنا (ایس ڈی) کہا جاتا ہے۔ عام طور پر مجموعہ تک جاتا ہے۔ دو طرفہ تقسیم کا شمٹ درجہ غیر صفر شمٹ گتانک کی تعداد سے دیا جاتا ہے۔ اگر شمٹ کا درجہ ایک ہے، تو تقسیم کی خصوصیت پروڈکٹ کی حالت ہے۔ ایس ڈی کے ویکٹرز کا تعین ایک مرحلے تک کیا جاتا ہے اور آئجن ویلیوز اور شمٹ رینک منفرد ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، دو کیوبٹ حالت: میں درج ذیل ایس ڈی ہے: دوسری طرف، حالت: ایک پروڈکٹ حالت ہے: حالت کے سڑنے کی تعمیر اس مقام پر ہم یہ دیکھنے کی کوشش کرنے کے لیے کافی جانتے ہیں کہ ہم کس طرح واضح طور پر سڑنے کی تعمیر کرتے ہیں (آئیے اسے ڈی کہتے ہیں)۔ دو طرفہ تقسیم پر غور کریں۔ ایس ڈی میں گتانک اور آئجین ویکٹر ہوتے ہیں۔ مقامی بنیادوں میں 's' کو بڑھا کر، کوئی لکھ سکتا ہے: اس عمل کو تین مراحل میں تحلیل کیا جا سکتا ہے، سلسلہ میں ہر بانڈ (اور اسی کے مطابق، SD) کے لیے دہرایا جا سکتا ہے: مرحلہ 1: کیوبٹ 2 کے لیے مقامی بنیادوں میں 's' کا اظہار کریں: ضروری نہیں کہ ویکٹر معمول پر ہوں۔ مرحلہ 2: ہر ویکٹر کو زیادہ سے زیادہ (ویڈل کا زور) شمٹ ویکٹرز کے لحاظ سے لکھیں اور اسی کے مطابق، گتانک: مرحلہ 3: متبادل بنائیں اور حاصل کریں: 1 سے 3 مراحل کو دہراتے ہوئے، کوئی بھی حالت D کی پوری سڑن کی تعمیر کر سکتا ہے۔ آخری ایک خاص معاملہ ہے، پہلے کی طرح، بانڈ پر دائیں ہاتھ کے شمٹ ویکٹرز کو جالی کی جگہ پر مقامی بنیاد کے لحاظ سے ظاہر کرتا ہے۔ جیسا کہ اس میں دکھایا گیا ہے، بانڈ پر شمٹ سڑنا حاصل کرنا سیدھا ہے، یعنی۔ شمٹ آئجین ویلیوز، واضح طور پر D میں دی گئی ہیں: شمٹ آئجین ویکٹرز سادہ ہیں: اور ریشنل اب، D کو دیکھتے ہوئے، ابتدائی اصطلاحات کے بجائے، موجود ہیں۔ بظاہر یہ کوفیشنٹس کو دوبارہ لکھنے کا صرف ایک فینسی طریقہ ہے، لیکن حقیقت میں اس میں اس سے بھی زیادہ کچھ ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ N یکساں ہے، سلسلہ کے وسط میں دو طرفہ کٹ کے لیے شمٹ رینک کی زیادہ سے زیادہ قیمت ہو سکتی ہے۔ اس صورت میں ہم کم از کم کوفشنٹس کے ساتھ ختم ہوتے ہیں، صرف ان پر غور کرتے ہوئے، ابتدائی سے قدرے زیادہ! حقیقت یہ ہے کہ سڑنا D ان نظاموں سے نمٹنے کے لیے مفید ہے جو کم حد تک الجھاو کا مظاہرہ کرتے ہیں، جو خوش قسمتی سے بہت سے 1D نظاموں کے ساتھ ہوتا ہے، جہاں زمینی حالت کے شمٹ گتانک ایک متغیر انداز میں اس کے ساتھ ختم ہو جاتے ہیں: لہذا، صرف کچھ شمٹ گتانک (یعنی سب سے بڑے) کو مدنظر رکھنا ممکن ہے، دوسروں کو چھوڑنا اور اس کے نتیجے میں ریاست کو دوبارہ معمول پر لانا: رکھے ہوئے شمٹ گتانک کی تعداد کہاں ہے۔ آئیے اس تجریدی تصویر سے ہٹ جائیں اور ایک ٹھوس مثال کے ساتھ خود کو تازہ کریں، تاکہ اس سڑنے کے فائدے پر زور دیا جا سکے۔ مثال کے طور پر، سادگی کی خاطر، ایک فیرومیگنیٹک سلسلہ میں 50 فرمین کے معاملے پر غور کریں۔ 12 کا طول و عرض، فرض کریں، کیونکہ ایک معقول انتخاب ہوگا، ضائع شدہ آئجن ویلیوز کو کل کے% پر رکھنا، جیسا کہ عددی مطالعات سے ظاہر ہوتا ہے، جس کا مطلب تقریبا کوفیشنٹس ہے، اصل کے مقابلے میں۔ یہاں تک کہ اگر شمٹ آئجین ویلیوز میں یہ ایکسپونینشل ڈیک نہیں ہے، لیکن وہ الجبرائی کمی ظاہر کرتے ہیں، تب بھی ہم اپنی حالت کو بیان کرنے کے لیے D کا استعمال کر سکتے ہیں۔ قابل اعتماد وضاحت کے لیے کوفشنٹس کی تعداد سمجھدار طور پر بڑی ہو سکتی ہے، لیکن پھر بھی حتمی عددی تخروپن کی پہنچ میں ہے۔ سڑنے کی تازہ کاری اب سڑنے والے ڈی کے رویے کی تحقیقات کے لیے آگے بڑھ سکتا ہے جب پڑوسی کیوبٹس پر کام کرنے والے ون-کیوبٹ گیٹس (او کیو جی) اور ٹو-کیوبٹ گیٹس (ٹی کیو جی) کے ساتھ عمل کیا جائے۔ تمام کوفیشنٹس کو اپ ڈیٹ کرنے کے بجائے، ہم اپنے آپ کو متعدد کارروائیوں تک محدود رکھیں گے جو کم ڈگری کے کثیر الجہتی کے طور پر بڑھتے ہیں، اس طرح کمپیوٹیشنل وقت کی بچت ہوتی ہے۔ کیوبیٹ کے پر کام کرنے والے ون-کیوبیٹ گیٹس او کیو جیز صرف اس کیوبیٹ کو متاثر کر رہے ہیں جس پر وہ کام کر رہے ہیں، کیوبیٹ کے پر ایک یکطرفہ آپریٹر کے بعد ریاست کی اپ ڈیٹ بائیں طرف شمٹ آئگن ویلیوز یا ویکٹرز میں ترمیم نہیں کرتی ہے، اس کے نتیجے میں 's، یا دائیں طرف، اس لیے' s۔ صرف 's جو اپ ڈیٹ کیے جائیں گے وہ ہیں' s (صرف زیادہ تر کارروائیوں کی ضرورت ہوتی ہے)، کیونکہ دو-کوبٹ گیٹس جو کوبٹ k، k + 1 پر کام کرتے ہیں 's اور' s کو اپ ڈیٹ کرنے کے لیے درکار تبدیلیاں، کوبٹ k، k + 1 پر یکطرفہ آپریشن V کے بعد، صرف تشویش، اور۔ وہ کئی بنیادی کارروائیوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ ویڈل کے اصل نقطہ نظر کی پیروی کرتے ہوئے، اسے صرف چار ذیلی نظاموں سے تعلق رکھنے والا سمجھا جا سکتا ہے: ذیلی جگہ J کو کم کثافت والے میٹرکس کے آئجین ویکٹرز کے ذریعے پھیلایا جاتا ہے: اسی طرح، ذیلی جگہ K کو کم کثافت والے میٹرکس کے آئجین ویکٹرز کے ذریعے پھیلایا جاتا ہے: ذیلی جگہیں اور ان کا تعلق کیوبیٹس k اور k + 1 سے ہے۔ اس بنیاد اور سڑنے والے ڈی کا استعمال کرتے ہوئے، اس طرح لکھا جا سکتا ہے: او کیو جی کے لیے اسی استدلال کا استعمال کرتے ہوئے، ٹی کیو جی وی کو کیوبیٹس کے، کے + 1 پر لاگو کرنا صرف اپ ڈیٹ کرنے کی ضرورت ہے، اور ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں: جہاں نئی سڑنے کا پتہ لگانے کے لیے، بانڈ کے پر نئے اور ان کے متعلقہ شمٹ آئجین ویکٹرز کا حساب لگانا اور سڑنے والے ڈی کے لحاظ سے اظہار کیا جانا چاہیے۔ اس لیے کم کثافت والے میٹرکس کو اخترن کیا جاتا ہے: اس کی آئجین ویلیوز کے مربع جڑ نئے ہیں۔ ڈائیگنلائزڈ میٹرکس کے آئجین ویکٹرز کو اس بنیاد پر ظاہر کرنا: 's بھی حاصل کیے جاتے ہیں: بائیں ہاتھ کے آئجین ویکٹرز سے، ان کو بنیاد میں ظاہر کرنے کے بعد،' s ہیں: کمپیوٹیشنل لاگت D میں سب سے بڑے ٹینسرز کا طول و عرض ترتیب کا ہوتا ہے۔ جب ایک کی تعمیر ہوتی ہے تو خلاصہ ختم ہوجاتا ہے، اور ہر ایک کے لیے، کل کارروائیوں میں اضافہ ہوتا ہے۔ یہی بات عناصر کی تشکیل کے لیے، یا بائیں ہاتھ کے آئجین ویکٹرز کی گنتی کے لیے، بالترتیب زیادہ سے زیادہ، بنیادی کارروائیوں کے لیے بھی ہے۔ کیوبیٹس کے معاملے میں، اس لیے اس کا کردار بنیادی کارروائیوں کی تعداد کی شدت کی ترتیب کے لیے زیادہ متعلقہ نہیں ہے، لیکن اس صورت میں جب سائٹ پر طول و عرض دو سے زیادہ ہو تو اس کی بجائے فیصلہ کن شراکت ہوتی ہے۔ عددی تخروپن عددی تخروپن ایک لائن میں ترتیب شدہ ذرات کے نظام کے (ممکنہ طور پر وقت پر منحصر) ہیملٹنیوں کو نشانہ بنا رہا ہے، جو صوابدیدی او کیو جیز اور ٹی کیو جیز پر مشتمل ہیں: دو ممکنہ طور پر غیر مواصلاتی اصطلاحات کے مجموعے کے طور پر تحلیل کرنا مفید ہے، جہاں کوئی بھی دو جسم کی اصطلاحات منتقل ہوتی ہیں:، یہ ایکسپونینشل آپریٹر کی سوزوکی-ٹراٹر توسیع (ایس ٹی) بنانے کے لیے کیا جاتا ہے، جس کا نام ماسو سوزوکی اور ہیل ٹراٹر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ سوزوکی-ٹراٹر توسیع فرسٹ آرڈر (ایس ٹی 1) کی سوزوکی-ٹراٹر توسیع ایکسپونینشل آپریٹرز لکھنے کے ایک عام طریقے کی نمائندگی کرتی ہے: یا، مساوی طور پر اصلاح کی اصطلاح حد میں ختم ہو جاتی ہے۔ کوانٹم ڈائنامکس کے تخروپن کے لیے ایسے آپریٹرز کا استعمال کرنا مفید ہے جو یکطرفہ ہوں، معیار کو محفوظ رکھیں (پاور سیریز کی توسیع کے برعکس)، اور وہیں ٹراٹر-سوزوکی توسیع آتی ہے۔ کوانٹم ڈائنامکس کے مسائل میں ایس ٹی توسیع میں آپریٹرز کی یکسانیت کافی عملی ثابت ہوتی ہے، کیونکہ غلطی مجموعی مرحلے میں مرکوز ہوتی ہے، اس طرح ہمیں وفاداری سے توقع کی اقدار کا حساب لگانے اور مقدار کو محفوظ کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ چونکہ ایس ٹی فیز اسپیس حجم کو محفوظ رکھتا ہے، اس لیے اسے سمپلیکٹک انٹیگریٹر بھی کہا جاتا ہے۔ ایس ٹی 2 کی چال یکطرفہ آپریٹرز کو اس طرح لکھنا ہے: کہاں۔ اس نمبر کو ٹراٹر نمبر کہا جاتا ہے۔ وقت کے ارتقاء کا تخروپن آپریٹرز کا اظہار کرنا آسان ہے، کیونکہ: چونکہ کوئی بھی دو آپریٹرز، (بالترتیب،،) کے لیے کامیوٹ کرتے ہیں اور پہلے آرڈر کی ایس ٹی توسیع صرف ایکسپونینشیلز کا پروڈکٹ رکھتی ہے، اس صورت میں تخمینہ درست ہوجاتا ہے۔ وقت کا ارتقاء اس کے مطابق کیا جا سکتا ہے۔ ہر "وقت کے مرحلے" کے لیے، تمام عجیب سائٹوں پر، پھر یکساں سائٹوں پر، اور پھر عجیب سائٹوں پر یکے بعد دیگرے لاگو کیا جاتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر ٹی کیو جی کا ایک سلسلہ ہے، اور اس کی وضاحت اوپر کی گئی ہے کہ ان کا اطلاق کرتے وقت سڑنے کو کیسے اپ ڈیٹ کیا جائے۔ ہمارا مقصد این-پارٹیکل ہیملٹنین کا استعمال کرتے ہوئے ریاست کی طرف ایک وقت ٹی کے لیے کسی ریاست کا وقت ارتقاء کرنا ہے۔ اگر ممکن ہو تو، کسی صوابدیدی n-ذرہ حالت کے لیے سڑنے کی تعمیر کرنا کافی مشکل ہے، کیونکہ اس کا مطلب یہ ہوگا کہ کسی کو ہر بانڈ پر شمٹ سڑنے کا حساب لگانا ہوگا، تاکہ شمٹ آئجین ویلیوز کو گھٹتی ہوئی ترتیب میں ترتیب دیا جا سکے اور پہلے اور مناسب شمٹ آئجین ویکٹرز کا انتخاب کیا جا سکے۔ ذہن میں رکھیں کہ اس کا مطلب کچھ حد تک فراخدلی سے کم کثافت والے میٹرکس کو اخترن کرنا ہوگا، جو کہ اس نظام پر منحصر ہے جس کی کسی کو تقلید کرنی ہے، یہ ہماری پہنچ اور صبر سے باہر کا کام ہو سکتا ہے۔ اس کے بجائے، کوئی مندرجہ ذیل کرنے کی کوشش کر سکتا ہے: i) ایک سادہ ابتدائی حالت کے لیے سڑنے کی تعمیر کریں، ہم کہتے ہیں، کچھ پروڈکٹ کی حالت، جس کے لیے سڑنا سیدھا ہے۔ ii) ایک ہیملٹنین کی زمینی حالت سے کافی حد تک مقامی تبدیلی کے ذریعے تعلق رکھتا ہے (جس کا اظہار مثال کے طور پر ٹی کیو جیز کی پیداوار کے طور پر کیا جا سکتا ہے) iii) ہیملٹنین کی زمینی حالت کی طرف ایک خیالی وقت کا ارتقاء کریں، اس کے مطابق: یا، متبادل طور پر، وقت پر منحصر ہیملٹنین کا استعمال کرتے ہوئے ایک آئسنٹروپک ارتقاء کی تقلید کریں، جو ہیملٹنین کے درمیان مداخلت کرتا ہے، جس کی پیداواری حالت اس کی زمینی حالت ہے، اور ہیملٹنین ؛ ارتقاء کافی سست ہونا چاہیے، جیسے کہ نظام ہمیشہ زمینی حالت میں ہو یا کم از کم اس کے بہت قریب ہو۔ iv) آخر میں، ہیملٹنین کے استعمال کی طرف ریاست کا وقت کا ارتقاء کریں: غلطی کے ذرائع تخروپن میں غلطیاں سوزوکی-ٹراٹر کے تخمینے اور ہلبرٹ اسپیس کے شامل کٹوتی کے نتیجے میں ہوتی ہیں۔ سوزوکی-ٹراٹر کی توسیع سے آنے والی غلطیاں آرڈر کے ٹراٹر کے تخمینے کی صورت میں، غلطی ترتیب کی ہوتی ہے۔ اقدامات کو مدنظر رکھتے ہوئے، وقت T کے بعد غلطی یہ ہے: غیر متوقع حالت یہ ہے کہ: ٹراٹر کی توسیع کے بعد ریاست کو کہاں رکھا جاتا ہے اور توسیع کرتے وقت اس حصے کو نظر انداز کیا جاتا ہے۔ کل غلطی وقت کے ساتھ اس طرح پیمائش کرتی ہے: ٹراٹر کی غلطی زنجیر کے طول و عرض سے آزاد ہے۔ ہلبرٹ اسپیس کی کٹوتی سے آنے والی غلطیاں سڑنے والے D پر مشتمل ہلبرٹ اسپیس کی کٹوتی سے پیدا ہونے والی غلطیوں کو مدنظر رکھتے ہوئے، وہ دو گنا ہیں۔ سب سے پہلے، جیسا کہ ہم اوپر دیکھ چکے ہیں، شمٹ سپیکٹرم میں سب سے چھوٹی شراکت کو چھوڑ دیا جاتا ہے، جس حالت کی وفاداری سے نمائندگی کی جاتی ہے: بانڈ پر کم کثافت میٹرکس کے تمام ضائع شدہ آئجن ویلیوز کا مجموعہ کہاں ہے۔ حالت، ایک دیئے گئے بانڈ پر ہے، جسے شمٹ سڑنے سے بیان کیا گیا ہے: کٹوتی کے بعد حالت کو کہاں رکھا جاتا ہے اور یہ وہ حالت ہے جو سب سے چھوٹے، غیر متعلقہ شمٹ گتانک کے مطابق آئجن فنکشنز سے بنتی ہے، جسے نظر انداز کیا جاتا ہے۔ اب، کیونکہ وہ آرتھوگنل خالی جگہوں سے مطابقت رکھنے والے ویکٹروں کے ذریعہ پھیلے ہوئے ہیں۔ ٹراٹر کی توسیع کے لیے اسی دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، کٹوتی کے بعد غلطی یہ ہے: اگلے بانڈ کی طرف بڑھنے کے بعد، حالت اسی طرح ہے: دوسری کٹوتی کے بعد غلطی یہ ہے: اور اسی طرح، جب ہم بانڈ سے بانڈ کی طرف بڑھتے ہیں۔ سڑنے میں جوڑ دیا گیا دوسرا غلطی کا ذریعہ زیادہ لطیف ہوتا ہے اور اس کے لیے تھوڑا سا حساب درکار ہوتا ہے۔ جیسا کہ ہم نے پہلے حساب لگایا، بانڈ پر کٹوتی کرنے کے بعد معمول کا مستقل یہ ہے: اب ہم بانڈ پر جاتے ہیں اور دائیں ہاتھ کے شمٹ ویکٹر کے معیار کا حساب لگاتے ہیں۔ مکمل شمٹ طول و عرض کو مدنظر رکھتے ہوئے، معیار یہ ہے:، جہاں۔ کٹی ہوئی جگہ کو مدنظر رکھتے ہوئے، معمول یہ ہے: فرق کو مدنظر رکھتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے: لہذا، کم کثافت والے میٹرکس کی تعمیر کرتے وقت، میٹرکس کا سراغ عنصر سے ضرب دیا جاتا ہے: کل کٹوتی کی غلطی دونوں ذرائع پر غور کرتے ہوئے، کل کٹوتی کی غلطی، اوپری پابند ہوتی ہے: ٹراٹر توسیع کا استعمال کرتے وقت، ہم بانڈ سے بانڈ میں نہیں جاتے ہیں، بلکہ ایک ہی برابری کے بانڈوں کے درمیان جاتے ہیں۔ اس کے علاوہ، ایس ٹی 2 کے لیے، ہم طاق کے لیے یکساں اور دو کا سویپ کرتے ہیں۔ لیکن اس کے باوجود، اوپر پیش کردہ حساب اب بھی برقرار ہے۔ ہر بار جب ہم کم کثافت میٹرکس بناتے ہیں اور اس کی متعلقہ آئجن ویلیوز کو منتخب کرتے ہیں تو غلطی کا اندازہ نارملائزیشن مستقل کے ساتھ لگاتار ضرب دے کر کیا جاتا ہے۔ "اڈیپٹو" شمٹ طول و عرض ایک چیز جو درستگی کے نقصان کے بغیر بہت زیادہ کمپیوٹیشنل وقت بچا سکتی ہے وہ یہ ہے کہ ہر بانڈ کے لیے تمام بانڈز کے لیے ایک مقررہ کے بجائے ایک مختلف شمٹ طول و عرض کا استعمال کیا جائے، ہمیشہ کی طرح صرف متعلقہ کوفیشنٹس کی ضروری مقدار کو برقرار رکھا جائے۔ مثال کے طور پر، پہلا بانڈ لیتے ہوئے، کیوبٹس کے معاملے میں، شمٹ طول و عرض صرف دو ہے۔ لہذا، پہلے بانڈ پر، بے سود ڈائیگنلائزنگ کے بجائے، ہم کہتے ہیں، 10 بائی 10 یا 20 بائی 20 میٹرکس، ہم اپنے آپ کو صرف عام 2 بائی 2 والوں تک محدود رکھ سکتے ہیں، اس طرح الگورتھم کو عام طور پر تیز تر بنا سکتے ہیں۔ اس کے بجائے ہم جو کچھ کر سکتے ہیں وہ ایس ڈی کی آئجن ویلیوز کے لیے ایک حد مقرر کرنا ہے، صرف ان کو رکھنا جو حد سے اوپر ہیں۔ ٹی ای بی ڈی سوزوکی-ٹراٹر توسیع کا استعمال کرتے ہوئے ایکسپونینشل ٹائم-ایوولوشن آپریٹر کی فیکٹرائزیشن کی وجہ سے سیدھے متوازی ہونے کا امکان بھی پیش کرتا ہے۔ ایک متوازی-ٹی ای بی ڈی میں وہی ریاضی ہوتی ہے جو اس کے غیر متوازی ہم منصب کی ہوتی ہے، فرق صرف عددی نفاذ میں ہوتا ہے۔ حوالہ جات کوانٹم میکانکس کمپیوٹیشنل فزکس