Mordell–Weil group
ریاضی کی جیومیٹری میں، مورڈیل-ویل گروپ ایک ابیلین گروپ ہے جو کسی بھی ابیلین قسم سے وابستہ ہے جس کی وضاحت نمبر فیلڈ پر کی گئی ہے، یہ ابیلین قسم کا ایک ریاضی غیر متغیر ہے۔ یہ محض پوائنٹس کا گروپ ہے، اسی طرح مورڈیل ویل گروپ 207 بھی ہے۔ اس گروپ کے بارے میں بنیادی ساخت تھیوریم مورڈیل-ویل تھیوریم ہے جو ظاہر کرتا ہے کہ یہ گروپ درحقیقت ایک حتمی طور پر تیار کردہ ابیلین گروپ ہے۔ مزید برآں، اس گروپ سے متعلق بہت سے قیاس آرائیاں ہیں، جیسے کہ برچ اور سوئنرٹن ڈائر قیاس جو ایک خاص مقام پر متعلقہ ایل فنکشن کے صفر کے درجہ سے متعلق ہے۔ مثالیں ابیلین قسم کے مورڈیل-ویل گروپ کی واضح مثالوں کی تعمیر ایک غیر معمولی عمل ہے جس کے کامیاب ہونے کی ہمیشہ ضمانت نہیں ہوتی ہے، لہذا ہم اس کے بجائے ایک مخصوص الپٹک وکر کے معاملے میں مہارت حاصل کرتے ہیں۔ آئیے عقلی اعداد پر ویئراسٹراس مساوات کے ذریعے تعریف کی جائے۔ اس میں امتیازی ہے (اور اس کثیر الجہتی کو عالمی ماڈل کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے)۔ یہ مندرجہ ذیل طریقہ کار کے ذریعے پایا جا سکتا ہے۔ سب سے پہلے، ہم کچھ نمبروں کو جوڑ کر کچھ واضح ٹورسن پوائنٹس تلاش کرتے ہیں، جو ہیں۔ اس کے علاوہ، انٹیجرز کے کچھ چھوٹے جوڑوں کو آزمانے کے بعد، ہم پاتے ہیں کہ یہ ایک ایسا نقطہ ہے جو واضح طور پر ٹورسن نہیں ہے۔ ٹورسن حصے کو تلاش کرنے کے لیے ایک مفید نتیجہ یہ ہے کہ پرائم کا ٹورسن، اچھی کمی کے لیے، اشارہ شدہ انجکشن میں داخل ہوتا ہے، لہذا ہم دو پرائمز پر چیک کرتے ہیں اور سیٹ نوٹ کی کارڈینالٹی کا حساب لگاتے ہیں کہ کیونکہ دونوں پرائمز میں صرف ایک عنصر ہوتا ہے، ہمیں تمام ٹورسن پوائنٹس مل گئے ہیں۔ اس کے علاوہ، ہم جانتے ہیں کہ نقطہ کی لامحدود ترتیب ہوتی ہے کیونکہ بصورت دیگر دونوں کارڈینالیٹیز کے درمیان ایک بنیادی عنصر مشترک ہوتا، اس لیے کم از کم درجہ بندی ہوتی ہے۔ اب، رینک کا حساب لگانا ایک زیادہ مشکل عمل ہے جس میں گروپ کا حساب لگانا شامل ہے جہاں ہومیولوجیکل الجبرا اور کمر نقشے سے کچھ طویل عین مطابق ترتیبات کا استعمال کیا جاتا ہے۔ خاص معاملات سے متعلق نظریات ادب میں مخصوص جہتوں کی ابیلین اقسام کے مورڈیل-ویل گروپوں کی ساخت، مخصوص شعبوں پر، یا کسی اور خاص خاصیت کے بارے میں بہت سے نظریات موجود ہیں۔ عقلی فنکشن فیلڈ k (t) پر ابیلین اقسام ایک ہائپرلیپٹک وکر اور ایک فکسڈ فیلڈ پر بیان کردہ ابیلین قسم کے لیے، ہم کورنگ میپ سے وابستہ فیلڈ ایکسٹینشن کے 1-کوسیل فار گالوئس کوہمولوجی کے ذریعے (فنکشن فیلڈ کی پل بیک) کے موڑ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ نوٹ کریں جو نقشے سے ہائپرلیپٹک ہونے کے بعد آتا ہے۔ مزید واضح طور پر، یہ 1-کوکیل گروپوں کے نقشے کے طور پر دیا گیا ہے جو عالمگیر خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے دو نقشے دینے کے مترادف ہے، لہذا ہم اسے نقشے کے طور پر لکھ سکتے ہیں جہاں شمولیت کا نقشہ ہے اور اسے منفی پر بھیجا جاتا ہے۔ اس کا استعمال الجبرائی جیومیٹری پی جی 5 کے عمومی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے مڑے ہوئے ابیلین قسم کی وضاحت کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اس تعمیر کی عالمگیر خصوصیات سے، ایک ابیلین قسم ہے جس پر بیس-تبدیلی کے بعد آئسومورفک ہے۔ نظریہ اوپر دیئے گئے سیٹ اپ کے لیے، ابیلین گروپوں کی ایک آئسومورفزم ہے جہاں وکر کا جیکوبین ہے، اور اس کا 2-ٹورسن ذیلی گروپ ہے۔ مزید مثالیں اور معاملات مورڈیل-ویل گروپ آف وکرز آف جینس 2 ایک عالمگیر الپٹک وکر کے مورڈیل-ویل گروپ کا تعین گالوئس نزول اور ایک ابیلین قسم کے موڑ پر جیکوبین کے مورڈیل-ویل گروپوں پر فنکشن فیلڈز پر ڈیوفنٹین جیومیٹری ایلیپٹک منحنی خطوط ابیلین اقسام