Schottky group
ریاضی میں، ایک شاٹکی گروپ کلینیائی گروپ کی ایک خاص قسم ہے، جس کا سب سے پہلے اس نے مطالعہ کیا۔ تعریف ریمن دائرے پر کچھ نقطہ p طے کریں۔ پی سے نہ گزرنے والا ہر جارڈن وکر ریمن کے دائرے کو دو ٹکڑوں میں تقسیم کرتا ہے، اور ہم پی پر مشتمل ٹکڑے کو منحنی خطوط کا "بیرونی" اور دوسرے ٹکڑے کو اس کا "اندرونی" کہتے ہیں۔ فرض کریں کہ ریمن دائرے میں جداگانہ اندرونی حصوں کے ساتھ 2 جی جداگانہ اردن منحنی خطوط A1، B1،.، Ag، Bg ہیں۔ اگر وہاں موبیئس تبدیلیاں ہیں جو آئی کے باہر سے بی کے اندر کی طرف لے جا رہی ہیں، تو ان تبدیلیوں سے پیدا ہونے والا گروپ ایک کلینین گروپ ہے۔ شٹکی گروپ کوئی بھی کلینیائی گروپ ہے جسے اس طرح بنایا جا سکتا ہے۔ خصوصیات کے لحاظ سے، ایک حتمی طور پر تیار کردہ کلینیائی گروپ شاٹکی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ حتمی طور پر تیار کیا گیا ہو، آزاد ہو، اس میں تعطل کا غیر خالی ڈومین ہو، اور تمام غیر معمولی عناصر لوکسوڈرومک ہوں۔ ریمن دائرے میں اپنے باقاعدہ نکات ω (G) پر شٹکی گروپ G کے عمل کے لیے ایک بنیادی ڈومین اردن کے منحنی خطوط کے بیرونی حصے کے ذریعے دیا گیا ہے جو اس کی وضاحت کرتا ہے۔ متعلقہ حصص کی جگہ ω (G)/G جورڈن کے منحنی خطوط کو جوڑوں میں جوڑ کر دی جاتی ہے، اسی طرح جینس G کی ایک کمپیکٹ ریمن سطح بھی ہے۔ یہ 3 جہتی ہائپربولک H جگہ کے حصص (H ω (G))/G کے ساتھ ساتھ شاٹکی گروپ G کے باقاعدہ سیٹ ω (G) کو لے کر دی گئی 3 گنا کی حد ہے، جو جینس G کا ہینڈل باڈی ہے۔ اس کے برعکس جینس G کی کوئی بھی کمپیکٹ ریمن سطح جینس G کے کچھ شاٹکی گروپ سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ کلاسیکی اور غیر کلاسیکی شاٹکی گروپ A شاٹکی گروپ کو کلاسیکی کہا جاتا ہے اگر جنریٹرز کے کچھ سیٹ سے مطابقت رکھنے والے تمام جداگانہ جارڈن منحنی خطوط کو حلقے منتخب کیا جا سکتا ہے۔ غیر کلاسیکی شاٹکی گروہوں کے وجود کا بالواسطہ اور غیر تعمیری ثبوت دیا، اور ایک کی واضح مثال دی۔ اس سے یہ ظاہر ہوا ہے کہ تمام حتمی طور پر تیار کردہ کلاسیکی شاٹکی گروپوں میں ہاؤزڈورف طول و عرض کے محدود سیٹ ہوتے ہیں جو 2 سے کم عالمگیر مستقل سے سختی سے منسلک ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، اس نے ثابت کیا ہے کہ تمام غیر کلاسیکی شاٹکی گروپوں کے حد سیٹوں کے ہاؤزڈورف طول و عرض پر ایک عالمگیر نچلی حد موجود ہے۔ شٹکی گروپوں کے محدود سیٹ شٹکی گروپ کے محدود سیٹ، جو کہ ω (G) کی تکمیل ہے، میں ہمیشہ لیبسگیو پیمائش صفر ہوتی ہے، لیکن d <2 کے لیے مثبت d-جہتی ہاؤز ڈورف پیمائش ہو سکتی ہے۔ یہ کامل ہے اور مثبت لوگرتھمک صلاحیت کے ساتھ کہیں بھی گھنے نہیں ہے۔ لیبسگیو اقدامات پر بیان کلاسیکی شاٹکی گروپوں کے لیے پوئنکیئر سیریز پوئنکیئر کے وجود سے درج ذیل ہے جس سے پتہ چلتا ہے کہ سیریز | ci | −4 گروپ کے غیر شناخت والے عناصر پر خلاصہ ہے۔ درحقیقت بنیادی ڈومین کے اندرونی حصے میں ایک بند ڈسک لیتے ہوئے، مختلف گروپ عناصر کے تحت اس کی تصاویر جداگانہ ہوتی ہیں اور تقریبا 0 فکسڈ ڈسک میں موجود ہوتی ہیں۔ لہذا علاقوں کا مجموعہ محدود ہے۔ متغیر فارمولے کی تبدیلیوں سے، رقبہ مستقل اوقات | ci | −4 سے زیادہ ہوتا ہے۔ اسی طرح کی دلیل سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ لمٹ سیٹ میں لیبسگیو پیمائش صفر ہے۔ کیونکہ یہ بنیادی خطے کی تصاویر کے گروپ عناصر کے اتحاد کی تکمیل میں موجود ہے جس میں لفظ کی لمبائی n سے منسلک ہے۔ یہ حلقوں کا ایک محدود اتحاد ہے لہذا اس کا رقبہ محدود ہے۔ اس علاقے کو لفظ کی لمبائی n کے عناصر کے پوائن کیری مجموعہ میں شراکت کے مستقل اوقات سے اوپر سے محدود کیا گیا ہے، لہذا یہ گھٹ کر 0 ہو جاتا ہے۔ شٹکی اسپیس (کچھ جینس جی 2 کی) جینس جی کے نشان زد شٹکی گروپوں کی جگہ ہے، دوسرے لفظوں میں پی ایس ایل 2 (سی) کے جی عناصر کے سیٹوں کی جگہ جو شٹکی گروپ پیدا کرتی ہے، موبیئس تبدیلیوں کے تحت مساوات تک۔ یہ پیچیدہ طول و عرض 3g−3 کا ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ اس میں کلاسیکی شاٹکی گروپوں سے مطابقت رکھنے والے ذیلی سیٹ کے طور پر کلاسیکی شاٹکی اسپیس شامل ہے۔ جینس جی کی شاٹکی جگہ محض عام طور پر جڑی ہوئی نہیں ہے، لیکن اس کی عالمگیر احاطہ کی جگہ کو کمپیکٹ جینس جی ریمن سطحوں کے ٹیک مولر جگہ سے پہچانا جا سکتا ہے۔ بیلٹرامی مساوات ریلی سلائس نوٹس حوالہ جات ڈیوڈ ممفورڈ، کیرولین سیریز، اور ڈیوڈ رائٹ، اندرا کے موتی: فیلکس کلین کا وژن، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2002 بیرونی روابط تین تبدیلیاں جن سے ایک شاٹکی گروپ پیدا ہوتا ہے۔ کلینیائی گروپس گروپ تھیوری مجرد گروپس لائ گروپس