Solder form
ریاضی میں، زیادہ واضح طور پر تفریقی جیومیٹری میں، فائبر کے بنڈل کو ہموار کئی گنا پر سولڈرنگ (یا بعض اوقات سولڈر فارم) ریشوں کو کئی گنا سے اس طرح جوڑنے کا ایک طریقہ ہے کہ انہیں ٹینجینٹ سمجھا جا سکے۔ بدیہی طور پر، سولڈرنگ تجریدی اصطلاحات میں اس خیال کا اظہار کرتی ہے کہ ہر نقطہ پر ایک مخصوص ماڈل کلین جیومیٹری کے ساتھ کئی گنا رابطہ کا ایک نقطہ ہو سکتا ہے۔ بیرونی تفریق جیومیٹری میں، سولڈرنگ کا اظہار محض ماڈل کی جگہ کی کئی گنا تک کی ٹینجینسی کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اندرونی جیومیٹری میں، اس کے اظہار کے لیے دیگر تکنیکوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ سولڈرنگ کو اس عام شکل میں چارلس ایہرسمان نے 1950 میں متعارف کرایا تھا۔ فائبر بنڈل کی سولڈرنگ M کو ایک ہموار کئی گنا، اور G کو ایک جھوٹ گروپ، اور E کو ڈھانچہ گروپ G کے ساتھ M پر ایک ہموار فائبر بنڈل ہونے دیں۔ فرض کریں کہ G E کے عام فائبر F پر عارضی طور پر کام کرتا ہے، اور وہ مدھم F = مدھم M۔ E سے M کی سولڈرنگ مندرجہ ذیل اعداد و شمار پر مشتمل ہوتی ہے: ایک ممتاز سیکشن o: M → E۔ ویکٹر بنڈلز کی لکیری آئسومورفزم θ: TM → o * VE M کے ٹینجینٹ بنڈل سے لے کر ممتاز سیکشن کے ساتھ E کے عمودی بنڈل کے پل بیک تک۔ خاص طور پر، اس مؤخر الذکر حالت کی تشریح یہ کہتے ہوئے کی جا سکتی ہے کہ θ x پر M کی ٹینجینٹ اسپیس سے فائبر کی (عمودی) ٹینجینٹ اسپیس تک ایک لکیری آئسومورفزم کا تعین کرتا ہے جس کا تعین ممتاز حصے کے ذریعہ کیا جاتا ہے۔ فارم θ کو سولڈرنگ کے لیے سولڈر فارم کہا جاتا ہے۔ خصوصی معاملات روایت کے مطابق، جب بھی سولڈرنگ کا انتخاب منفرد یا کینونکل طور پر طے کیا جاتا ہے، تو سولڈر فارم کو کینونکل فارم، یا ٹاٹولوجیکل فارم کہا جاتا ہے۔ افائن بنڈل اور ویکٹر بنڈل فرض کریں کہ E ایک افائن ویکٹر بنڈل ہے (ایک ویکٹر بنڈل جس میں صفر سیکشن کا انتخاب نہیں ہے)۔ پھر E پر سولڈرنگ پہلے ایک ممتاز سیکشن کی وضاحت کرتی ہے: یعنی صفر سیکشن o کا انتخاب، تاکہ E کو ویکٹر بنڈل کے طور پر پہچانا جا سکے۔ سولڈر کی شکل پھر ایک لکیری آئسومورفزم ہوتی ہے تاہم، ویکٹر بنڈل کے لیے اصل میں عمودی جگہ اور فائبر وی او ای ≈ ای کے درمیان ایک کینونکل آئسومورفزم ہوتا ہے۔ اس شناخت کو بناتے ہوئے، سولڈر کی شکل کو لکیری آئسومورفزم کے ذریعے متعین کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک افائن بنڈل ای پر سولڈرنگ ایم کے ٹینجینٹ بنڈل کے ساتھ ای کے آئسومورفزم کا انتخاب ہے۔ اکثر ویکٹر بنڈل پر سولڈر کی شکل کی بات کی جاتی ہے، جہاں یہ ترجیحی طور پر سمجھا جاتا ہے کہ سولڈرنگ کا ممتاز حصہ بنڈل کا صفر حصہ ہے۔ اس صورت میں، ویکٹر بنڈل کے ڈھانچے کے گروپ کو اکثر جی ایل (این) کے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے ذریعے ای کے مخصوص فائبر (جو جی ایل (این) کی نمائندگی کرتا ہے) کے ساتھ واضح طور پر بڑھایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ایک خاص معاملے کے طور پر، مثال کے طور پر، ٹینجینٹ بنڈل خود ایک کینونکل سولڈر فارم رکھتا ہے، یعنی شناخت۔ اگر M میں ریمینیئن میٹرک (یا فرضی ریمینیئن میٹرک) ہے، تو کوویرینٹ میٹرک ٹینسر ٹینجینٹ بنڈل سے کوٹینجینٹ بنڈل تک ایک آئسومورفزم دیتا ہے، جو کہ سولڈر کی شکل ہے۔ ہیملٹنین میکانکس میں، سولڈر فارم کو ٹاٹولوجیکل ون فارم، یا متبادل طور پر لیوویل ون فارم، پوئنکیئر ون فارم، کینونکل ون فارم، یا سمپلیکٹک پوٹینشل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ویکٹر بنڈل پر ایک سولڈر فارم کنکشن کے ٹورسن اور کنٹورسن ٹینسرز کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ سولڈر شکلیں سگما ماڈل میں پائی جاتی ہیں، جہاں وہ ایک اسپیس ٹائم کئی گنا کی ٹینجینٹ اسپیس کو فیلڈ کے ٹینجینٹ اسپیس سے جوڑتے ہیں۔ وائیربینز، یا عمومی اضافیت میں ٹیٹراڈز، سولڈر شکلوں کی طرح نظر آتے ہیں، اس میں وہ سپیس ٹائم کئی گنا پر چارٹ کو مربوط کرتے ہیں، ترجیحی، عام طور پر ٹینجینٹ اسپیس پر آرتھونورمل بنیاد پر، جہاں حسابات کو کافی آسان بنایا جا سکتا ہے۔ یعنی، کوآرڈینیٹ چارٹ اوپر کی تعریفوں میں ہیں، اور فریم فیلڈ عمودی بنڈل ہے۔ سگما ماڈل میں، وائیربین واضح طور پر سولڈر کی شکلیں ہیں۔ پرنسپل بنڈل پرنسپل بنڈل کی زبان میں، ایک ہموار پرنسپل G-بنڈل P پر ایک ہموار کئی گنا M پر ایک سولڈر فارم P پر ایک افقی اور G-مساوی تفریق 1 شکل ہے جس میں G کی لکیری نمائندگی V میں اقدار اس طرح ہیں کہ ٹینجینٹ بنڈل TM سے وابستہ بنڈل P × G V سے وابستہ بنڈل کا نقشہ ایک بنڈل آئسومورفزم ہے۔ (خاص طور پر، V اور M کا طول و عرض ایک ہی ہونا چاہیے۔) سولڈر فارم کی ایک محرک مثال کئی گنا کے فریم بنڈل پر ٹاٹولوجیکل یا بنیادی شکل ہے۔ نام کی وجہ یہ ہے کہ ایک سولڈر ٹینجینٹ بنڈل کے ساتھ منسلک بنڈل کی شناخت کرکے تجریدی پرنسپل بنڈل کو کئی گنا M سے جوڑتا ہے (یا جوڑتا ہے)۔ سولڈر فارم جی-ڈھانچوں کا مطالعہ کرنے کے لیے ایک طریقہ فراہم کرتے ہیں اور کارٹن کنکشن کے نظریہ میں اہم ہیں۔ اصطلاحات اور نقطہ نظر طبیعیات کے ادب میں خاص طور پر مقبول ہے۔ نوٹ حوالہ جات متفرق شکلیں فائبر بنڈل