Lebesgue differentiation theorem
ریاضی میں، لیبسیگ تفریق نظریہ حقیقی تجزیہ کا ایک نظریہ ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ تقریبا ہر نقطہ کے لیے، ایک مربوط فعل کی قدر نقطہ کے بارے میں لی گئی لامحدود اوسط کی حد ہے۔ اس تھیوریم کا نام ہنری لیبسگ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ Rn پر لیبسگیو انٹیگریبل ریئل یا کمپلیکس ویلیوڈ فنکشن f کے لیے، غیر معینہ انٹیگرل ایک سیٹ فنکشن ہے جو ایک قابل پیمائش سیٹ A کو لیبسگیو انٹیگرل کا نقشہ بناتا ہے، جہاں سیٹ A کی خصوصیت فنکشن کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ عام طور پر λ n جہتی لیبسیگ پیمائش کے ساتھ لکھا جاتا ہے۔ x پر اس انٹیگرل کا مشتق اس طرح بیان کیا گیا ہے جہاں |B | x پر مرکوز گیند B کے حجم (یعنی لیبسگیو پیمائش) کی نشاندہی کرتا ہے، اور B → x کا مطلب ہے کہ B کا قطر 0 کی طرف جاتا ہے۔ لیبسیگ تفریق تھیوریم بیان کرتا ہے کہ یہ مشتق موجود ہے اور تقریبا ہر نقطہ x bul Rn پر f (x) کے برابر ہے۔ درحقیقت ایک قدرے مضبوط بیان درست ہے۔ نوٹ کریں کہ: مضبوط دعوی یہ ہے کہ دائیں ہاتھ کی طرف تقریبا ہر پوائنٹ x کے لیے صفر کی طرف جاتا ہے۔ جن پوائنٹس x کے لیے یہ درست ہے انہیں f کے لیبسگیو پوائنٹس کہا جاتا ہے۔ ایک زیادہ عام ورژن بھی ہے۔ گیند B کو باؤنڈ سنکیریٹی کے سیٹ U کے خاندان سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کچھ فکسڈ c> 0 موجود ہے جیسے کہ خاندان کا ہر سیٹ U گیند B کے ساتھ موجود ہوتا ہے۔ یہ بھی فرض کیا جاتا ہے کہ ہر نقطہ x bul Rn من مانی طور پر چھوٹے سیٹوں میں موجود ہے۔ جب یہ سیٹ x تک سکڑ جاتے ہیں، تو وہی نتیجہ ہوتا ہے: تقریبا ہر نقطہ x کے لیے، کیوب کا خاندان اس طرح کے خاندان کی ایک مثال ہے، جیسا کہ R2 میں مستطیلوں کا خاندان (m) اس طرح ہے کہ کچھ مقررہ m ≤ 1 کے لیے اطراف کا تناسب m−1 اور m کے درمیان رہتا ہے۔ اگر آر این پر ایک من مانی معیار دیا جاتا ہے، تو معیار سے وابستہ میٹرک کے لیے گیندوں کا مجموعہ ایک اور مثال ہے۔ یک جہتی کیس پہلے ثابت ہوا تھا۔ اگر f حقیقی لائن پر انٹیگریبل ہے، تو فنکشن تقریبا ہر جگہ تفریق پذیر ہے، جس کی تعریف ریمن انٹیگرل کے ذریعہ کی گئی ہے، یہ بنیادی طور پر کیلکولس کا بنیادی نظریہ ہوگا، لیکن لیبسگ نے ثابت کیا کہ لیبسگ انٹیگرل کا استعمال کرتے وقت یہ درست رہتا ہے۔ ثبوت تھیوریم اپنی مضبوط شکل میں-کہ تقریبا ہر نقطہ مقامی طور پر مربوط فنکشن f کا لیبسگ پوائنٹ ہے-ہارڈی-لٹل ووڈ میکسمل فنکشن کے کمزور-L1 تخمینوں کے نتیجے میں ثابت کیا جا سکتا ہے۔ نیچے دیا گیا ثبوت معیاری علاج کی پیروی کرتا ہے جو،، اور میں پایا جا سکتا ہے۔ چونکہ بیان کردار میں مقامی ہے، اس لیے f کو محدود رداس کی کسی گیند کے باہر صفر سمجھا جا سکتا ہے اور اس لیے مربوط ہے۔ اس کے بعد یہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے کہ سیٹ میں تمام α> 0 کے لیے پیمائش 0 ہے۔ ε> 0 دیا جائے۔ L1 (Rn) میں کمپیکٹ سپورٹ کے مسلسل افعال کی کثافت کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی ایسا فنکشن تلاش کر سکتا ہے جو g کو مطمئن کرتا ہے۔ اس کے بعد بنیادی فرق کو دوبارہ لکھنا مددگار ہے۔ پہلی اصطلاح کو f−g کے لیے زیادہ سے زیادہ فنکشن کے x پر ویلیو سے پابند کیا جا سکتا ہے، جسے یہاں اس طرح ظاہر کیا گیا ہے: دوسری اصطلاح حد میں غائب ہو جاتی ہے کیونکہ g ایک مسلسل فنکشن ہے، اور تیسری اصطلاح |f (x) −g (x) | سے پابند ہے۔ حد میں اصل فرق کی مطلق قیمت 2α سے زیادہ ہونے کے لیے، پہلی یا تیسری اصطلاحات میں سے کم از کم ایک مطلق قیمت میں α سے زیادہ ہونی چاہیے۔ تاہم، ہارڈی-لٹل ووڈ فنکشن پر تخمینہ یہ کہتا ہے کہ کچھ مستقل این کے لیے صرف طول و عرض n پر منحصر ہے۔ مارکوف عدم مساوات (جسے چیبیشیف کی عدم مساوات بھی کہا جاتا ہے) کا کہنا ہے کہ چونکہ ε من مانی تھی، اس لیے اسے من مانی طور پر چھوٹا سمجھا جا سکتا ہے، اور نظریہ اس کے بعد آتا ہے۔ ثبوت کی بحث لیما کا احاطہ کرنے والی ویتالی اس نظریہ کے ثبوت کے لیے اہم ہے ؛ اس کا کردار ہارڈی-لٹل ووڈ میکسمل فنکشن کے تخمینے کو ثابت کرنے میں مضمر ہے۔ نظریہ یہ بھی مانتا ہے کہ اگر گیندوں کو مشتق کی تعریف میں، قطر والے سیٹوں کے خاندانوں کے ذریعہ تبدیل کیا جاتا ہے جو صفر کی طرف مائل ہوتے ہیں جو لیبسیگ کی باقاعدگی کی حالت کو مطمئن کرتے ہیں، جس کی تعریف اوپر پابند سنکیتا والے سیٹوں کے خاندان کے طور پر کی گئی ہے۔ اس کے بعد ویٹالی کے لیما کا احاطہ کرنے والے بیان میں بھی یہی متبادل بنایا جا سکتا ہے۔ بحث یہ کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا ایک ینالاگ، اور عمومی شکل ہے، جو ایک ریمن انٹیگریبل فنکشن اور اس کے (غیر معینہ مدت) انٹیگرل کے مشتق کے مساوی ہے۔ ایک متغیر ظاہر کرنا بھی ممکن ہے-کہ ہر تفریق پذیر فنکشن اس کے مشتق کے انٹیگرل کے برابر ہے، لیکن اس کے لیے ایک من مانی مشتق کو مربوط کرنے کے قابل ہونے کے لیے ہین اسٹاک-کرزویل انٹیگرل کی ضرورت ہوتی ہے۔ لیبسیگ تفریق تھیوریم کا ایک خاص معاملہ لیبسیگ کثافت تھیوریم ہے، جو قابل پیمائش سیٹوں کے خصوصیت والے افعال کے لیے تفریق تھیوریم کے مساوی ہے۔ کثافت تھیوریم عام طور پر ایک آسان طریقہ استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ پیمائش اور زمرہ دیکھیں)۔ یہ نظریہ لیبزگ پیمائش کے بجائے Rn پر ہر محدود بوریل پیمائش کے لیے بھی درست ہے (ایک ثبوت مثال کے طور پر پایا جا سکتا ہے۔ )۔ زیادہ عام طور پر، یہ کسی علیحدہ میٹرک اسپیس پر کسی بھی محدود بوریل پیمائش کے بارے میں درست ہے جیسے کہ مندرجہ ذیل میں سے کم از کم ایک ہولڈ: میٹرک اسپیس ایک ریمینیئن کئی گنا ہے، میٹرک اسپیس مقامی طور پر کمپیکٹ الٹرا میٹرک اسپیس ہے، پیمائش دوگنی ہو رہی ہے۔ ان نتائج کا ثبوت (فیڈرر 1969) کے حصوں 2.8-2.9 میں پایا جا سکتا ہے۔ لیبزگ کا کثافت تھیوریم بھی دیکھیں حقیقی تجزیہ میں حوالہ جات تھیوریم پیمائش تھیوری میں تھیوریم