Divergent geometric series
ریاضی میں، شکل کا ایک لامحدود ہندسی سلسلہ متفرق ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب | r | ≤ 1 ہو۔ ڈائیورجنٹ سیریز کے مجموعے کے طریقے بعض اوقات مفید ہوتے ہیں، اور عام طور پر ڈائیورجنٹ جیومیٹرک سیریز کا اندازہ ایک ایسے مجموعے سے کرتے ہیں جو کنورجنٹ کیس کے فارمولے سے متفق ہو۔ یہ کسی بھی سمیشن طریقہ کے لیے درست ہے جس میں باقاعدگی، لکیری اور استحکام کی خصوصیات ہوتی ہیں۔ مثالوں کا مجموعہ مشکل کی بڑھتی ہوئی ترتیب میں: 1−1 + 1−1 + ··، جس کا مشترکہ تناسب −11−2 + 4−8 + ·· ہے، جس کا مشترکہ تناسب −21 + 2 + 4 + 8 + ·· ہے، جس کا مشترکہ تناسب 211 + 1 + 1 + 1 + ·· ہے، جس کا مشترکہ تناسب 1 ہے۔ مطالعہ کے لیے محرک یہ معلوم کرنا مفید ہے کہ کون سے سمیشن طریقے جیومیٹرک سیریز فارمولا تیار کرتے ہیں جس کے لیے مشترکہ تناسب ہوتے ہیں۔ اس معلومات کے لیے ایک درخواست نام نہاد بوریل-اوکاڈا اصول ہے: اگر ایک باقاعدہ خلاصہ طریقہ پیچیدہ سطح کے ذیلی سیٹ S میں تمام z کے لیے 1/(1-z) کا مجموعہ کرتا ہے، جس میں S پر کچھ پابندیاں دی گئی ہیں، تو یہ طریقہ S کے چوراہے پر کسی بھی دوسرے فنکشن کا تجزیاتی تسلسل بھی دیتا ہے جس میں f کے لیے مٹاگ-لیفلر اسٹار ہوتا ہے۔ خلاصہ بذریعہ خطہ اوپن یونٹ ڈسک عام خلاصہ صرف عام تناسب |z | <1 کے لیے کامیاب ہوتا ہے۔ بند یونٹ ڈسک سیسارو خلاصہ ایبل خلاصہ بڑی ڈسک یولر خلاصہ نصف طیارہ سیریز حقیقی حصہ <1 کے ساتھ ہر زیڈ کے لیے بوریل خلاصہ ہے۔ اس طرح کی کسی بھی سیریز کا خلاصہ مناسب a کے لیے عمومی یولر طریقہ (E، a) کے ذریعے بھی کیا جا سکتا ہے۔ سایہ دار طیارہ۔ بوریل خلاصہ کے علاوہ کچھ لمحے کے مستقل طریقے فنکشن 1/(1−z) کے پورے میٹاگ-لیفلر ستارے پر ہندسی سیریز کا خلاصہ کر سکتے ہیں، یعنی تمام z کے لیے سوائے شعاع z ≤ 1 کے۔ ہر جگہ نوٹ حوالہ جات متفرق سیریز ہندسی سیریز