Regulated function
ریاضی میں، ایک ریگولیٹڈ فنکشن، یا رولڈ فنکشن، ایک حقیقی متغیر کا ایک خاص قسم کا اچھی طرح سے برتاؤ کرنے والا فنکشن ہے۔ ریگولیٹڈ فنکشنز انٹیگریبل فنکشنز کی ایک کلاس کے طور پر پیدا ہوتے ہیں، اور ان کی کئی مساوی خصوصیات ہوتی ہیں۔ ریگولیٹڈ فنکشنز کو نکولس بورباکی نے 1949 میں اپنی کتاب "لیوری IV: فونکشنز ڈی یون متغیر ریل" میں متعارف کرایا تھا۔ تعریف X کو معمول | |-| |X کے ساتھ بناچ کی جگہ ہونے دیں۔ ایک فنکشن f: [0, T] → X کو ایک ریگولیٹڈ فنکشن کہا جاتا ہے اگر مندرجہ ذیل دو مساوی شرائط میں سے ایک (اور اس لیے دونوں) درست ہو: وقفہ [0, T] میں ہر t کے لیے، بائیں اور دائیں دونوں حدود f (t−) اور f (t +) X میں موجود ہیں (اس کے علاوہ، ظاہر ہے، f (0−) اور f (T +) ؛ اسٹیپ فنکشنز کی ایک ترتیب موجود ہے φn: [0, T] → X یکساں طور پر f (یعنی۔ بالادستی کے معیار کے حوالے سے | |-| | ini)۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے تھوڑی محنت کی ضرورت ہوتی ہے کہ یہ دونوں شرائط مساوی ہیں۔ تاہم، یہ دیکھنا نسبتا آسان ہے کہ دوسری شرط کو درج ذیل مساوی طریقوں سے دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے: ہر δ> 0 کے لیے، کچھ اسٹیپ فنکشن φδ: [0, T] → X ایسا ہے کہ f [0, T] سے X میں تمام اسٹیپ فنکشنز کے اسٹیپ ([0, T]; X) کو بند کرنے میں مضمر ہے ([0, T] سے X میں تمام باؤنڈ فنکشنز کے سپیریمم نارم کے حوالے سے بند کرنا)۔ ریگولیٹڈ فنکشنز کی خصوصیات آئیے ریگ ([0، T] ؛ X) تمام ریگولیٹڈ فنکشنز f: [0، T] → X کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ ریگولیٹڈ افعال کے مجموعے اور اسکیلر ملٹیپل دوبارہ ریگولیٹڈ افعال ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، ریگ ([0، T] ؛ X) ایک ویکٹر اسپیس ہے جو اسی فیلڈ K پر اسپیس X کے طور پر ہے۔ عام طور پر، K حقیقی یا پیچیدہ نمبر ہوں گے۔ اگر X ضرب کے عمل سے لیس ہے، تو ریگولیٹڈ افعال کے پروڈکٹ دوبارہ ریگولیٹڈ افعال ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، اگر X ایک K-الجبرا ہے، تو ریگ ([0، T] ؛ X) بھی ایسا ہی ہے۔ بالادستی کا معیار ریگ ([0, T] ؛ X) پر ایک معیار ہے، اور ریگ ([0, T] ؛ X) بالادستی کے معیار سے متاثر ٹوپولوجی کے حوالے سے ایک ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس ہے۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، ریگ ([0، T] ؛ X) بالادستی کے معیار کے حوالے سے مرحلہ ([0، T] ؛ X) کے B ([0، T] ؛ X) میں بندش ہے۔ اگر X ایک بناچ اسپیس ہے، تو ریگ ([0، T] ؛ X) بھی بالادستی کے معیار کے حوالے سے ایک بناچ اسپیس ہے۔ ریگ ([0، T] ؛ R) ایک لامحدود جہتی حقیقی بناچ الجبرا تشکیل دیتا ہے: محدود لکیری امتزاج اور ریگولیٹڈ افعال کے پروڈکٹ دوبارہ ریگولیٹڈ افعال ہوتے ہیں۔ چونکہ ایک کمپیکٹ اسپیس (جیسے [0، T]) پر بیان کردہ مسلسل فنکشن خود بخود یکساں طور پر مسلسل ہوتا ہے، اس لیے ہر مسلسل فنکشن f: [0، T] → X کو بھی منظم کیا جاتا ہے۔ در حقیقت، بالادستی کے معیار کے حوالے سے، مسلسل افعال کی جگہ C0 ([0، T] ؛ X) ریگ ([0، T] ؛ X) کی ایک بند لکیری ذیلی جگہ ہے۔ اگر X ایک بناچ اسپیس ہے، تو باؤنڈڈ ویری ایشن کے افعال کی اسپیس BV ([0, T] ؛ X) Reg ([0, T] ؛ X) کی گھنے لکیری سب اسپیس بناتی ہے: اگر X ایک بناچ اسپیس ہے، تو ایک فنکشن f: [0, T] → X کو ریگولیٹ کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ کسی φ کے لیے باؤنڈڈ φ-ویری ایشن کا ہو: اگر X ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس ہے، تو Reg ([0, T] ؛ X) ایک کمپیکٹنس تھیوریم کو مطمئن کرتا ہے جسے فرینکووا-ہیلی سلیکشن تھیوریم کہا جاتا ہے۔ باؤنڈڈ ویری ایشن بی وی کے ریگولیٹڈ فنکشن کی منقطعیوں کا مجموعہ قابل شمار ہے کیونکہ اس طرح کے افعال میں صرف جمپ قسم کی منقطعیاں ہوتی ہیں۔ یہ دیکھنے کے لیے یہ نوٹ کرنا کافی ہے کہ دیئے گئے نکات کا مجموعہ جس پر دائیں اور بائیں حدود محدود سے زیادہ مختلف ہوتی ہیں۔ خاص طور پر، منقطع سیٹ کی پیمائش صفر ہوتی ہے، جس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ ایک ریگولیٹڈ فنکشن میں ایک اچھی طرح سے متعین ریمن انٹیگرل ہوتا ہے۔ تبصرہ: بائر زمرہ تھیوریم کے مطابق اس طرح کی فنکشن کے منقطع ہونے کے نکات کا مجموعہ یا تو کم ہوتا ہے یا اس کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہوتا ہے۔ یہ ہمیشہ گنتی کے برابر نہیں ہوتا۔ انٹیگرل، جیسا کہ اسٹیپ فنکشنز پر واضح طریقے سے بیان کیا گیا ہے، قدرتی طور پر ریگ ([0، T] ؛ X) تک پھیلا ہوا ہے جس میں ایک ریگولیٹڈ فنکشن کے انٹیگرل کو اسٹیپ فنکشنز کی کسی بھی ترتیب کے انٹیگرلز کی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے جو اس میں یکساں طور پر ضم ہوتے ہیں۔ یہ توسیع اچھی طرح سے متعین ہے اور ایک انٹیگرل کی تمام معمول کی خصوصیات کو مطمئن کرتی ہے۔ خاص طور پر، ریگولیٹڈ انٹیگرل ریگ ([0, T] ؛ X) سے ایکس تک ایک باؤنڈڈ لینیر فنکشن ہے۔ اس لیے، ایکس = آر کی صورت میں، انٹیگرل خلا کا ایک عنصر ہے جو ریگ ([0, T] ؛ R) سے دوہری ہے ؛ ریمن انٹیگرل سے اتفاق کرتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط حقیقی تجزیہ افعال کی اقسام