Period mapping
ریاضی میں، الجبرائی جیومیٹری کے میدان میں، پیریڈ میپنگ کا تعلق کیلر مینیفولڈز کے خاندانوں سے ہج ڈھانچے کے خاندانوں سے ہے۔ ایہرسمان کا نظریہ ایک ہولومورفک سبمرسیو مورفزم ہے۔ بی کے ایک پوائنٹ بی کے لیے، ہم ایف اوور بی بائی ایکس بی کے فائبر کو ظاہر کرتے ہیں۔ B. Ehresmann 's theorem اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ 0 کے آس پاس ایک چھوٹا سا کھلا پڑوس U ہے جس میں f فائبر بنڈل بن جاتا ہے۔ یعنی یہ ڈفیومورفک ہے۔ خاص طور پر، جامع نقشہ ایک ڈفیومورفزم ہے۔ یہ ڈفیومورفزم منفرد نہیں ہے کیونکہ یہ ٹریویلائزیشن کے انتخاب پر منحصر ہے۔ ٹریویلائزیشن کو U میں ہموار راستوں سے بنایا گیا ہے، اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ڈفیومورفزم کی ہوموٹوپی کلاس کا انحصار صرف b سے 0 تک کے راستوں کی ہوموٹوپی کلاس کے انتخاب پر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر U معاہدہ کرنے کے قابل ہے، تو ہوموٹوپی تک ایک اچھی طرح سے طے شدہ ڈفیومورفزم ہے۔ ایکس بی سے ایکس 0 تک کا ڈفیومورفزم کوہومولوجی گروپوں کی آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے اور چونکہ ہوموٹوپک نقشے کوہومولوجی پر یکساں نقشوں کو جنم دیتے ہیں، اس لیے یہ آئسومورفزم صرف بی سے 0 تک کے راستے کی ہوموٹوپی کلاس پر منحصر ہے۔ مقامی غیر قطبی مدت کے نقشے فرض کریں کہ f مناسب ہے اور یہ کہ X0 ایک کیلر قسم ہے۔ کیلر کی حالت کھلی ہے، لہذا ممکنہ طور پر یو سکڑنے کے بعد، ایکس بی کمپیکٹ ہے اور یو میں تمام بی کے لیے کیلر ہے۔ یو کو مزید سکڑنے کے بعد ہم فرض کر سکتے ہیں کہ یہ معاہدہ ہے۔ پھر X0 اور Xb کے کوہومولوجی گروپوں کے درمیان ایک اچھی طرح سے متعین آئسومورفزم ہے۔ کوہمولوجی گروپوں کے یہ آئسومورفزم عام طور پر X0 اور Xb کے ہج ڈھانچوں کو محفوظ نہیں رکھیں گے کیونکہ وہ ڈفیومورفزم سے متاثر ہوتے ہیں، نہ کہ بائیولومورفزم سے۔ آئیے ہج فلٹریشن کے پیتھ مرحلے کی نشاندہی کرتے ہیں۔ Xb کے ہج نمبر X0 کے جیسے ہی ہیں، اس لیے یہ نمبر b سے آزاد ہے۔ مدت کا نقشہ وہ نقشہ ہے جہاں F طول و عرض bp کی ذیلی جگہوں کی زنجیروں کی پرچم قسم ہے، تمام p کے لیے k، جو بھیجتا ہے کیونکہ Xb ایک کیلر کئی گنا ہے، ہج فلٹریشن ہج-ریمن دو لکیری تعلقات کو مطمئن کرتا ہے۔ ان کا مطلب یہ ہے کہ ذیلی جگہوں کے تمام جھنڈے اس شرط کو پورا نہیں کرتے ہیں۔ اس شرط کو پورا کرنے والے پرچم کی قسم کے ذیلی سیٹ کو غیر پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ مقامی پولرائزڈ پیریڈ میپنگز فرض کریں کہ اب نہ صرف یہ کہ ہر ایکس بی کیلر ہے، بلکہ یہ کہ ایک کیلر کلاس ہے جو بی میں ہولومورفک طور پر مختلف ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، فرض کریں کہ اس میں ایک کلاس ω ہے کہ ہر b کے لیے، ω سے Xb کی پابندی ωb ایک کیلر کلاس ہے۔ ωb اصول کے مطابق Hk (Xb، C) پر ایک دو لکیری شکل Q کا تعین کرتا ہے۔ یہ شکل b میں ہولومورفک طور پر مختلف ہوتی ہے، اور اس کے نتیجے میں پیریڈ میپنگ کی شبیہہ اضافی رکاوٹوں کو پورا کرتی ہے جو دوبارہ ہج-ریمن دو لکیری تعلقات سے آتی ہیں۔ یہ ہیں: آرتھوگنالیٹی: ق کے حوالے سے آرتھوگنل ہے۔ مثبت قطعییت: سب کے لیے، قسم کی ابتدائی کلاسوں پر پابندی مثبت قطعی ہے۔ پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین غیر پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین کا ذیلی مجموعہ ہے جس کے جھنڈے ان اضافی شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ پہلی شرط ایک بند حالت ہے، اور دوسری ایک کھلی حالت ہے، اور اس کے نتیجے میں پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین غیر پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین اور فلیگ کی قسم F کا مقامی طور پر بند ذیلی سیٹ ہے۔ پیریڈ میپنگ کی وضاحت پہلے کی طرح ہی کی گئی ہے۔ پولرائزڈ لوکل پیریڈ ڈومین اور پولرائزڈ پیریڈ میپنگ کو اب بھی بالترتیب اور ظاہر کیا جاتا ہے۔ عالمی دور کی نقشہ سازی صرف مقامی دور کی نقشہ سازی پر توجہ مرکوز کرنا بیس اسپیس B کی ٹوپولوجی میں موجود معلومات کو نظر انداز کرتا ہے۔ عالمی دور کے نقشے بنائے گئے ہیں تاکہ یہ معلومات اب بھی دستیاب ہو۔ عالمی دور کی نقشہ سازی کی تعمیر میں دشواری B کی مونوڈروم سے آتی ہے: اب ریشوں Xb اور X0 سے متعلق ڈفیومورفزم کی کوئی منفرد ہوموٹوپی کلاس نہیں ہے۔ اس کے بجائے، B میں راستوں کی الگ الگ ہوموٹوپی کلاسیں ممکنہ طور پر ڈفیومورفزم کی الگ الگ ہوموٹوپی کلاسوں کو جنم دیتی ہیں اور اس وجہ سے ممکنہ طور پر کوہمولوجی گروپوں کے الگ الگ آئسومورفزم ہوتے ہیں۔ اس کے نتیجے میں اب ہر فائبر کے لیے ایک اچھی طرح سے متعین پرچم نہیں ہے۔ اس کے بجائے، پرچم کی وضاحت صرف بنیادی گروہ کے عمل تک کی جاتی ہے۔ غیر پولرائزڈ صورت میں، مونوڈرومی گروپ کی تعریف GL (Hk (X0، Z)) کے ذیلی گروپ کے طور پر کریں جو اوپر کے طور پر B میں منحنی خطوط کی ہوموٹوپی کلاس کے ذریعے پیدا ہونے والے تمام آٹومورفزم پر مشتمل ہے۔ جھنڈے کی قسم ایک پیرابولک ذیلی گروپ کے ذریعہ ایک لائ گروپ کا حصہ ہے، اور مونوڈرومی گروپ لائ گروپ کا ایک ریاضی ذیلی گروپ ہے۔ عالمی غیر پولرائزڈ پیریڈ ڈومین مقامی غیر پولرائزڈ پیریڈ ڈومین کا حصص ہے جو κ کے عمل سے ہوتا ہے (اس طرح یہ ڈبل کوسیٹس کا مجموعہ ہے)۔ پولرائزڈ معاملے میں، مونوڈرومی گروپ کے عناصر کو دو لکیری شکل Q کو بھی محفوظ رکھنے کی ضرورت ہوتی ہے، اور عالمی پولرائزڈ پیریڈ ڈومین کو اسی طرح κ کے ذریعہ ایک حصص کے طور پر بنایا جاتا ہے۔ دونوں صورتوں میں، پیریڈ میپنگ ایکس بی پر ہج فلٹریشن کی کلاس میں بی کا ایک نقطہ لے جاتی ہے۔ خصوصیات گریفتھس نے ثابت کیا کہ دور کا نقشہ ہولومورفک ہے۔ اس کا ٹرانسورسلٹی تھیوریم پیریڈ میپ کی حد کو محدود کرتا ہے۔ پیریڈ میٹرکس ہج فلٹریشن کا اظہار پیریڈ میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے کوآرڈینیٹس میں کیا جا سکتا ہے۔ kth انٹیگرل ہومیولوجی گروپ کے ٹورسن فری حصے کے لیے بیس δ1،.، δr کا انتخاب کریں۔ p اور q کو ٹھیک کریں، اور قسم کی ہم آہنگ شکلوں کے لیے ایک بنیاد ω1،.، ωs کا انتخاب کریں۔ ان اڈوں کے حوالے سے X0 کا پیریڈ میٹرکس میٹرکس ہے۔ پیریڈ میٹرکس کی اندراجات کا انحصار بنیاد کے انتخاب اور پیچیدہ ساخت پر ہوتا ہے۔ δs کو میٹرکس λ کے انتخاب سے مختلف کیا جا سکتا ہے، اور ωs کو میٹرکس A کے انتخاب سے مختلف کیا جا سکتا ہے۔ ایک پیریڈ میٹرکس ω کے مساوی ہوتا ہے اگر اسے A اور λ کے کچھ انتخاب کے لیے Aω کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ الپٹک منحنی خطوط کا معاملہ الپٹک منحنی خطوط کے خاندان پر غور کریں جہاں λ کوئی پیچیدہ عدد ہے جو صفر یا ایک کے برابر نہیں ہے۔ منحنی خطوط کے پہلے کوہومولوجی گروپ پر ہج فلٹریشن کے دو مراحل ہوتے ہیں، F0 اور F1۔ تاہم، F0 پورا کوہومولوجی گروپ ہے، لہذا فلٹریشن کی واحد دلچسپ اصطلاح F1 ہے، جو کہ H1,0 ہے، جو ہولومورفک ہارمونک 1 شکلوں کی جگہ ہے۔ H1,0 یک جہتی ہے کیونکہ منحنی خطہ الپٹک ہے، اور تمام λ کے لیے، یہ تفریقی شکل کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ منحنی خطوط کے ہومولوجی گروپ کے واضح نمائندوں کو تلاش کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ منحنی خطوط کو ریمن دائرے پر ملٹی ویلیوڈ فنکشن کے گراف کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس فنکشن کے برانچ پوائنٹس صفر، ایک، λ، اور انفینیٹی پر ہیں۔ دو برانچ کٹ بنائیں، ایک صفر سے ایک تک اور دوسرا λ سے انفینیٹی تک۔ یہ فنکشن کے برانچ پوائنٹس کو ختم کر دیتے ہیں، اس لیے وہ کثیر قدر والے فنکشن کو دو واحد قدر والی شیٹس میں کاٹ دیتے ہیں۔ ایک چھوٹا سا ٹھیک کریں۔ ان میں سے کسی ایک شیٹ پر، منحنی خطوط کا سراغ لگائیں۔ کافی چھوٹے ε کے لیے، یہ منحنی خطوط شاخ کے کٹے ہوئے حصے کو گھیرے ہوئے ہیں اور شاخ کے کٹے ہوئے حصے پر پورا نہیں اترتے۔ اب ایک اور وکر δ (t) کا سراغ لگائیں جو ایک شیٹ میں شروع ہوتا ہے اور دوسری شیٹ میں جاری رہتا ہے۔ اس منحنی خطوط کا ہر نصف حصہ ریمن کی سطح کی دو چادروں پر پوائنٹس 1 اور λ کو جوڑتا ہے۔ سیفرٹ-وان کمپین تھیوریم سے، منحنی خطوط کا ہومیولوجی گروپ درجہ دو سے آزاد ہے۔ چونکہ منحنی خطوط ایک ہی نقطہ پر ملتے ہیں، اس لیے ان کی ہومیولوجی کلاسوں میں سے کوئی بھی کسی دوسرے ہومیولوجی کلاس کا مناسب ضرب نہیں ہے، اور اس لیے وہ H1 کی بنیاد بناتے ہیں۔ اس لیے اس خاندان کے لیے پیریڈ میٹرکس ہے۔ اس میٹرکس کی پہلی اندراج کو ہم A کے طور پر اور دوسرے کو B کے طور پر مختصر کریں گے۔ دو لکیری شکل ق مثبت قطعی ہے کیونکہ مقامی طور پر، ہم ہمیشہ ω کو f dz کے طور پر لکھ سکتے ہیں، اس لیے پوائن کیئر ڈوئلٹی کے مطابق، γ اور δ کوہومولوجی کلاسوں γ * اور δ * سے مطابقت رکھتے ہیں جو مل کر ایک بنیاد ہیں۔ اس کے بعد ω کو γ * اور δ * کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ کوفشنٹس دوہری بنیادی عناصر γ اور δ کے حوالے سے ω کا اندازہ لگا کر دیے جاتے ہیں: جب ہم ان اصطلاحات میں Q کی مثبت تعریف کو دوبارہ لکھتے ہیں، تو ہمارے پاس ہوتا ہے۔ چونکہ γ * اور δ * لازمی ہیں، وہ کنجگیشن کے تحت تبدیل نہیں ہوتے ہیں۔ مزید برآں، چونکہ γ اور δ ایک ہی نقطہ میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں اور ایک واحد نقطہ H0 کا جنریٹر ہے، اس لیے γ * اور δ * کا کپ پروڈکٹ X0 کی بنیادی کلاس ہے۔ نتیجتا یہ انٹیگرل برابر ہوتا ہے۔ انٹیگرل سختی سے مثبت ہے، اس لیے نہ تو A اور نہ ہی B صفر ہو سکتا ہے۔ ω کو بازیافت کرنے کے بعد، ہم یہ فرض کر سکتے ہیں کہ پیریڈ میٹرکس سختی سے مثبت خیالی حصے کے ساتھ کسی پیچیدہ نمبر τ کے برابر ہے۔ یہ عمل سے آنے والی ابہام کو دور کرتا ہے۔ اس کے بعد کی کارروائی اوپری نصف سطح پر ماڈیولر گروپ کی معمول کی کارروائی ہے۔ نتیجتا، پیریڈ ڈومین ریمن کا دائرہ ہے۔ یہ جالی کے طور پر الپٹک وکر کی معمول کی پیرامیٹرائزیشن ہے۔ یہ بھی دیکھیں ہج تھیوری جیکوبین مختلف ماڈیولر گروپ حوالہ جات حسابات شکل کے منحنی خطوط کے لیے پیریڈ میٹرکس کا واضح حساب-مثالوں میں ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے لیے پیریڈ میٹرکس کا واضح حساب شامل ہے-ہائپر سرفیس کے ادوار کی کمپیوٹنگ کے لیے الگورتھم کی مثالیں شامل ہیں جنرل وائسن، ہج تھیوری اور کمپلیکس الجبرائی جیومیٹری I، II ایپلی کیشنز شمورا منحنی خطوط ہائپرلیپٹک جیکوبیئنز کے لوکس کے اندر جینس تین بیرونی لنکس میں ریاضیاتی ہج تھیوری ایلیپٹک منحنی خطوط کے انسائیکلوپیڈیا میں پیریڈ میپنگ