Fréchet inequalities
ممکنہ منطق میں، فریشیٹ عدم مساوات، جسے بول-فریشیٹ عدم مساوات بھی کہا جاتا ہے، جارج بول کے کام میں مضمر قوانین ہیں اور واضح طور پر مورس فریشیٹ کے ذریعے اخذ کیے گئے ہیں جو منطقی تجاویز یا واقعات کے بارے میں امکانات کے امتزاج کو کنٹرول کرتے ہیں جو منطقی طور پر امتزاج (AND آپریشنز) یا اختلاط (OR آپریشنز) میں ایک ساتھ جڑے ہوئے ہیں جیسا کہ بولین تاثرات یا غلطی یا واقعہ کے درخت جو خطرے کی تشخیص، انجینئرنگ ڈیزائن اور مصنوعی ذہانت میں عام ہیں۔ ان عدم مساوات کو اس بارے میں قواعد سمجھا جا سکتا ہے کہ آزادی کو فرض کیے بغیر یا درحقیقت انحصار کے مفروضے بنائے بغیر امکانات پر مشتمل حسابات کو کیسے پابند کیا جائے۔ فریشیٹ کی عدم مساوات کا بول-بونفرونی-فریشیٹ کی عدم مساوات اور فریشیٹ کی حدود سے گہرا تعلق ہے۔ اگر منطقی تجاویز یا واقعات ہیں، تو فریچیٹ عدم مساوات منطقی امتزاج کا امکان ہیں () منطقی اختلاط کا امکان () جہاں P () کسی واقعہ یا تجویز کے امکان کو ظاہر کرتا ہے۔ ایسی صورت میں جہاں صرف دو واقعات ہوتے ہیں، جیسے کہ اے اور بی، عدم مساوات منطقی امتزاج کے امکانات تک کم ہو جاتی ہیں () منطقی اختلاط کا امکان () عدم مساوات انفرادی واقعات کے امکانات کو دیکھتے ہوئے دو قسم کے مشترکہ واقعات کے امکانات کو پابند کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر اے کو "پھیپھڑوں کا کینسر ہے"، اور بی کو "میسوتھیلوما ہے"، تو اے اینڈ بی کو "پھیپھڑوں کا کینسر اور میسوتھیلوما دونوں ہیں"، اور اے۔ بی کو "پھیپھڑوں کا کینسر یا میسوتھیلوما یا دونوں بیماریاں ہیں"، اور عدم مساوات ان واقعات کے خطرات سے متعلق ہیں۔ نوٹ کریں کہ منطقی امتزاج کو مختلف شعبوں میں مختلف طریقوں سے ظاہر کیا جاتا ہے، بشمول AND، &، &، اور گرافیکل AND-gates۔ منطقی اختلاط کو بھی اسی طرح مختلف طریقوں سے ظاہر کیا جاتا ہے، بشمول OR، |، ′، اور گرافیکل OR-gates۔ اگر کسی واقعہ کا امکان P (A) = a = 0.7 ہے، اور واقعہ B کا امکان P (B) = b = 0.8 ہے، تو پھر امتزاج کا امکان، یعنی مشترکہ واقعہ A اور B، یقینی طور پر وقفے میں ہوتا ہے۔ اسی طرح، اختلاط A کا امکان یقینی طور پر وقفے میں ہوتا ہے۔ جب معمولی امکانات بہت کم (یا بڑے) ہوتے ہیں، تو فریشیٹ کے وقفے آزادی کے تحت مماثل نتائج کے بارے میں مضبوطی سے غیر متناسب ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ P (A) = 0.000002 = اور P (B) = 0.000003 =۔ پھر فریچیٹ کی عدم مساوات کا کہنا ہے کہ P (A & B) وقفہ [0،] میں ہے، اور P (A * B) وقفہ [،] میں ہے۔ اگر A اور B آزاد ہیں، تاہم، A اور B کا امکان ہے جو، نسبتا، فریچیٹ وقفہ کی نچلی حد (صفر) کے بہت قریب ہے۔ اسی طرح، اے۔ بی کا امکان ہے، جو فریچیٹ وقفہ کی اوپری حد کے بہت قریب ہے۔ یہی وہ چیز ہے جو وشوسنییتا کے نظریہ میں اکثر استعمال ہونے والے نایاب واقعہ کے تخمینے کو درست ثابت کرتی ہے۔ ثبوت ثبوت بنیادی ہوتے ہیں۔ یاد رکھیں کہ پی (اے) بی) = پی (اے) + پی (بی) − پی (اے اور بی)، جس کا مطلب ہے پی (اے) + پی (بی) − پی (اے) بی) = پی (اے اور بی)۔ چونکہ تمام امکانات 1 سے بڑے نہیں ہیں، اس لیے ہم P (A) ≤ 1 جانتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ P (A) + P (B) −1 ≤ P (A & B)۔ کیونکہ تمام امکانات بھی مثبت ہیں ہم اسی طرح 0 ≤ P (A & B) کہہ سکتے ہیں، لہذا زیادہ سے زیادہ (0، P (A) + P (B) −1) ≤ P (A & B)۔ یہ کنجکشن پر نچلی حد دیتا ہے۔ اوپری باؤنڈ حاصل کرنے کے لیے یاد رکھیں کہ P (A & B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A)۔ کیونکہ P (A|B) ≤ 1 اور P (B|A) ≤ 1، ہم P (A & B) ≤ P (A) اور P (A & B) ≤ P (B) جانتے ہیں۔ لہذا، پی (اے اور بی) ≤ منٹ (پی (اے)، پی (بی))، جو اوپری باؤنڈ ہے۔ ان حدود کی بہترین ممکنہ نوعیت اس مشاہدے سے ملتی ہے کہ ان کا احساس واقعات A اور B کے درمیان کچھ انحصار سے ہوتا ہے۔ اختلاط پر تقابلی حدود اسی طرح اخذ کی جاتی ہیں۔ توسیعات جب ان پٹ امکانات خود وقفے کی حدود ہوتے ہیں، تو فریچیٹ فارمولے اب بھی امکان کی حدود کے تجزیے کے طور پر کام کرتے ہیں۔ ہیلپرین نے ممکنہ بولین تاثرات کا جائزہ لینے کے مسئلے پر غور کیا جس میں پیچیدہ امتزاج اور اختلاط میں بہت سے واقعات شامل ہیں۔ کچھ لوگوں نے مصنوعی ذہانت کی مختلف ایپلی کیشنز میں عدم مساوات کو استعمال کرنے کا مشورہ دیا ہے اور واقعات کے درمیان انحصار کے بارے میں مختلف مفروضوں کے حساب سے قواعد کو بڑھا دیا ہے۔ عدم مساوات کو دیگر منطقی کارروائیوں میں بھی عام کیا جا سکتا ہے، بشمول موڈس پونینس۔ ویگنر، سی۔ جی۔ (2004)۔ موڈس ٹولنز کا امکان ہے۔ برٹش جرنل فار دی فلاسفی آف سائنس 55:747-753۔ جب ان پٹ کے امکانات کو امکانات کی تقسیم کی طرف سے نمایاں کیا جاتا ہے، تو یکساں کارروائیاں جو ان پٹ کے درمیان انحصار کے بارے میں مفروضوں کے بغیر منطقی اور ریاضی کے ارتعاش کو عام کرتی ہیں، کی تعریف فریشیٹ bounds.Weisstein، ایرک ڈبلیو فریشیٹ باؤنڈ کے متعلقہ تصور کی بنیاد پر کی جا سکتی ہے۔ میتھ ورلڈ-ایک وولفرم ویب ریسورس۔ کوانٹم فریشیٹ باؤنڈ اسی طرح کی حدود کوانٹم میکانکس میں بھی علیحدہ کوانٹم سسٹمز کے معاملے میں ہوتی ہیں اور یہ کہ الجھے ہوئے حالات ان حدود کی خلاف ورزی کرتے ہیں۔ ایک جامع کوانٹم نظام پر غور کریں۔ خاص طور پر، ہم ایک جامع کوانٹم سسٹم اے بی پر توجہ مرکوز کرتے ہیں جو دو محدود ذیلی نظاموں کے ذریعہ بنایا گیا ہے جسے اے اور بی کے طور پر ظاہر کیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ ہم ذیلی نظام A کے کثافت میٹرکس کو جانتے ہیں، یعنی (جہت کے ہرمیٹین میٹرکس کی جگہ) میں ایک ٹریس-ون مثبت قطعی میٹرکس ہے، اور ذیلی نظام B کے کثافت میٹرکس کو ظاہر کیا گیا ہے جیسا کہ ہم سوچ سکتے ہیں اور ذیلی نظام A اور B کے حاشیے کے طور پر۔ ان مارجنلز کے علم سے، ہم جوڑوں کے بارے میں کچھ اندازہ لگانا چاہتے ہیں۔ ہم اپنی توجہ ان جوڑوں تک محدود رکھتے ہیں جو الگ ہوتے ہیں۔ مرکب نظام پر ڈینسٹی میٹرکس کو الگ کیا جا سکتا ہے اگر وہاں موجود ہو اور جو متعلقہ ذیلی نظاموں کی مخلوط حالتیں ایسی ہوں کہ جہاں بصورت دیگر اسے الجھے ہوئے حالت کہا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل فریشیٹ جیسی حدود میں علیحدہ کثافت میٹرکس کے لیے: عدم مساوات میٹرکس کی عدم مساوات ہیں، جو ٹینسر پروڈکٹ اور طول و عرض کے شناختی میٹرکس کی نشاندہی کرتی ہیں۔ یہ واضح ہے کہ ساختی طور پر مذکورہ بالا عدم مساوات منطقی امتزاج کے لیے کلاسیکی فریشیٹ حدود کے مشابہت ہیں۔ یہ بھی نوٹ کرنے کے قابل ہے کہ جب میٹرکس اور ڈائیگنل ہونے تک محدود ہوتے ہیں، تو ہم کلاسیکی فریچیٹ حدود حاصل کرتے ہیں۔ اوپری باؤنڈ کو کوانٹم میکینکس میں کثافت میٹرکس کے لیے تخفیف کے معیار کے طور پر جانا جاتا ہے۔ یہ سب سے پہلے کے ذریعے ثابت کیا گیا تھا اور آزادانہ طور پر کے ذریعے وضع کیا گیا تھا۔ نچلی حد حاصل کی گئی ہے جو ان حدود کی بایسیائی تشریح فراہم کرتی ہے۔ عددی مثالیں ہم نے مشاہدہ کیا ہے کہ جب میٹرکس اور تمام اخترن ہوتے ہیں، تو ہم کلاسیکی فریشیٹ کی حدود حاصل کرتے ہیں۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے، پچھلی عددی مثال پر دوبارہ غور کریں: پھر ہمارے پاس ہے: جس کا مطلب ہے: اس بات کی نشاندہی کرنا قابل قدر ہے کہ الجھے ہوئے ریاستیں مندرجہ بالا فریشیٹ حدود کی خلاف ورزی کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر الجھے ہوئے کثافت میٹرکس پر غور کریں (جو الگ کرنے کے قابل نہیں ہے): جس میں حاشیہ الجھے ہوئے اسٹیٹس ہیں وہ الگ کرنے کے قابل نہیں ہیں اور اس کی آسانی سے تصدیق کی جا سکتی ہے کہ چونکہ نتیجے میں آنے والے میٹرکس میں ایک منفی آئجن ویلیو ہوتی ہے۔ ممکنہ حدود کی خلاف ورزی کی ایک اور مثال مشہور بیل کی عدم مساوات سے فراہم کی گئی ہے: الجھے ہوئے ریاستیں مضبوط ترین کلاسیکی انحصار سے زیادہ مضبوط انحصار کی ایک شکل کا مظاہرہ کرتی ہیں: اور درحقیقت وہ فریچیٹ جیسی حدود کی خلاف ورزی کرتی ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ امکانی منطق منطقی امتزاج فریشیٹ بول کی عدم مساوات کو پابند کرتا ہے بونفیرونی عدم مساوات امکان کی حدود تجزیہ جوڑی کے لحاظ سے آزاد واقعات کے اتحاد کا امکان حوالہ جات ثبوت پر مشتمل مضامین ممکنہ عدم مساوات شماریاتی عدم مساوات امکان کی حدود تجزیہ