Reflected Brownian motion
امکان کے نظریہ میں، عکاسی شدہ براؤنین حرکت (یا ریگولیٹڈ براؤنین موشن، دونوں مخفف آر بی ایم کے ساتھ) ایک ایسی جگہ میں وینر عمل ہے جس میں عکاسی کرنے والی حدود ہوتی ہیں۔ جسمانی ادب میں، یہ عمل ایک محدود جگہ میں پھیلاؤ کو بیان کرتا ہے اور اسے اکثر محدود براؤنین حرکت کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر یہ دو دیواروں کے درمیان محدود پانی میں سخت دائرے کی حرکت کو بیان کر سکتا ہے۔ آر بی ایم کو بھاری ٹریفک کا سامنا کرنے والے قطار والے ماڈلز کو بیان کرنے کے لیے دکھایا گیا ہے جیسا کہ سب سے پہلے کنگ مین نے تجویز کیا تھا اور ایگل ہارٹ اور وائٹ نے ثابت کیا تھا۔ تعریف اے ڈی جہتی عکاسی شدہ براؤنین حرکت زیڈ ایک اسٹاکاسٹک عمل ہے جس کی منفرد طور پر وضاحت ڈی جہتی ڈرفٹ ویکٹر μ a d × d غیر سنگلر کوویرینس میٹرکس اور ایک ڈی × ڈی عکاسی میٹرکس آر کے ذریعہ کی گئی ہے۔ جہاں ایکس (ٹی) ایک غیر پابند براؤنین حرکت ہے اور وائی (ٹی) کے ساتھ ایک ڈی جہتی ویکٹر جہاں Y مسلسل ہے اور Y (0) = 0 Yj کے ساتھ غیر کم ہوتا ہے صرف ایسے اوقات میں بڑھتا ہے جس کے لیے Zj = 0 کے لیے j = 1,2،، d Z (t) ω، t ± 0۔ عکاسی میٹرکس باؤنڈری رویے کو بیان کرتا ہے۔ عمل کے اندرونی حصے میں وینر عمل کی طرح برتاؤ ہوتا ہے ؛ باؤنڈری پر "تقریبا بولتے ہوئے، جب بھی باؤنڈری کی سطح کو مارا جاتا ہے تو Z کو Rj کی سمت دھکیل دیا جاتا ہے، جہاں Rj میٹرکس R کا j واں کالم ہوتا ہے۔ استحکام کے حالات 1، 2، اور 3 جہتوں میں آر بی ایم کے لیے جانے جاتے ہیں۔ "چار اور اعلی جہتوں میں ایس آر بی ایم کے لیے تکرار کی درجہ بندی کا مسئلہ کھلا ہے"۔ اس خاص صورت میں جہاں R ایک M-میٹرکس ہے تو استحکام کے لیے ضروری اور کافی شرائط یہ ہیں کہ R ایک غیر سنگل میٹرکس ہے اور R−1μ <0 ہے۔ مارجنل اور اسٹیشنری ڈسٹری بیوشن ایک طول و عرض 0 سے شروع ہونے والی ایک جہتی براؤنین حرکت کی مارجنل ڈسٹری بیوشن (عارضی تقسیم) مثبت اقدار (0 پر ایک واحد عکاسی کرنے والی رکاوٹ) تک محدود ہے جس میں ڈرفٹ μ اور تغیر σ2 تمام t ≤ 0 کے لیے ہے، (عام تقسیم کے مجموعی ڈسٹری بیوشن فنکشن کے ساتھ) جو t → ≤ ایک ایکسپونینشل ڈسٹری بیوشن لیتے وقت (μ <0 کے لیے) حاصل ہوتا ہے۔ فکسڈ t کے لیے، Z (t) کی تقسیم براؤنین حرکت کے چلنے والے زیادہ سے زیادہ M (t) کی تقسیم کے ساتھ موافق ہے، لیکن آگاہ رہیں کہ مجموعی طور پر عمل کی تقسیم بہت مختلف ہے۔ خاص طور پر، M (t) t میں بڑھ رہا ہے، جو کہ Z (t) کے معاملے میں نہیں ہے۔ عکاسی شدہ براؤنین حرکت کے لیے حرارت کا دانا: متعدد جہتوں سے اوپر کے ہوائی جہاز کے لیے متعدد جہتوں میں عکاسی شدہ براؤنین حرکت کی ساکن تقسیم تجزیاتی طور پر تب قابل عمل ہوتی ہے جب پروڈکٹ کی شکل ساکن تقسیم ہوتی ہے، جو اس وقت ہوتی ہے جب عمل مستحکم ہوتا ہے اور جہاں D = ڈائیگ (β) ہوتا ہے۔ اس صورت میں امکانی کثافت فنکشن یہ ہے جہاں ηk = 2μkγk/βkk اور γ = R−1μ ہے۔ ایسے حالات کے لیے بند شکل کے تاثرات جہاں پروڈکٹ فارم کی حالت برقرار نہیں ہے، عددی طور پر شمار کیے جا سکتے ہیں جیسا کہ تخروپن سیکشن میں ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ تخروپن ایک جہت ایک جہت میں تخروپن عمل وینر عمل کی مطلق قدر ہے۔ مندرجہ ذیل MATLAB پروگرام ایک نمونہ راستہ بناتا ہے۔ % rbm.m n = 10 4 ؛ h = 10 3 ؛ t = h۔ * (0: n) ؛ mu =-1 ؛ X = صفر (1, n + 1) ؛ M = X ؛ B = X ؛ B (1) = 3 ؛ X (1) = 3 ؛ k = 2 کے لیے: n + 1 Y = sqrt (h) * randn ؛ U = rand (1) ؛ B (k) = B (k-1) + mu * h-Y ؛ M = (Y + sqrt (Y ^ 2-2 * h * log (U))/2 ؛ X (k) = زیادہ سے زیادہ (M-Y, X (k-1) + h * mu-Y) ؛ اختتامی ذیلی پلاٹ (2,1,1) پلاٹ (پلاٹ) متعدد جہتوں والا کیو این ای ٹی مستحکم حالت والے آر بی ایم کے تخروپن کی اجازت دیتا ہے۔ دیگر باؤنڈری کنڈیشنز فیلر نے عمل کے جذب یا مارنے والی براؤنین حرکت کے لیے ممکنہ باؤنڈری کنڈیشن کو بیان کیا، ایک ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشن فوری عکاسی، جیسا کہ نیومین باؤنڈری کنڈیشن لچکدار عکاسی کے اوپر بیان کیا گیا ہے، ایک رابن باؤنڈری کنڈیشن تاخیر سے عکاسی (حد پر گزارا گیا وقت امکان ایک کے ساتھ مثبت ہے) جزوی عکاسی جہاں عمل یا تو فوری طور پر عکاسی کرتا ہے یا چپچپا براؤنین حرکت جذب ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ سکورکوڈ مسئلہ حوالہ جات وینر عمل مضامین مثال کے طور پر میٹ لیب/آکٹیو کوڈ کے ساتھ