Belinski–Zakharov transform
بیلنسکی-زاخاروف (الٹا) تبدیلی ایک غیر لکیری تبدیلی ہے جو ویکیوم آئن سٹائن کی فیلڈ مساوات کے نئے درست حل پیدا کرتی ہے۔ اسے 1978 میں ولادیمیر بیلنسکی اور ولادیمیر زاخاروف نے تیار کیا تھا۔ بیلنسکی-زاخاروف تبدیلی الٹا بکھرنے والی تبدیلی کی عمومی شکل ہے۔ اس تبدیلی سے پیدا ہونے والے حلوں کو کشش ثقل (گریویسولیٹن) کہا جاتا ہے۔ کشش ثقل کے سولٹنوں کو بیان کرنے کے لیے 'سولٹن' کی اصطلاح استعمال ہونے کے باوجود، ان کا طرز عمل دوسرے (کلاسیکی) سولٹنوں سے بہت مختلف ہے۔ خاص طور پر، کشش ثقل کے سولٹون وقت کے ساتھ اپنے طول و عرض اور شکل کو محفوظ نہیں رکھتے، اور جون 2012 تک ان کی عمومی تشریح نامعلوم ہے۔ تاہم جو بات معلوم ہے وہ یہ ہے کہ زیادہ تر بلیک ہولز (اور خاص طور پر شوارزچلڈ میٹرک اور کیر میٹرک) کشش ثقل کے سولٹون کے خاص معاملات ہیں۔ تعارف بیلنسکی-زاخاروف تبدیلی اس شکل کے خلائی وقفوں کے لیے کام کرتی ہے جس کے لیے ہم آئن سٹائن کا سمیشن کنونشن استعمال کرتے ہیں۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ فنکشن اور میٹرکس دونوں کا انحصار صرف نقاط پر ہوتا ہے۔ خلائی وقفہ کی ایک مخصوص شکل ہونے کے باوجود جو صرف دو متغیرات پر منحصر ہے، اس میں خاص معاملات جیسے شوارزچلڈ میٹرک، کیر میٹرک، آئن سٹائن-روزن میٹرک، اور بہت سے دوسرے دلچسپ حل شامل ہیں۔ اس صورت میں، آئن سٹائن کی ویکیوم مساوات میٹرکس اور فنکشن کے لیے مساوات کے دو سیٹوں میں تحلیل ہو جاتی ہے۔ لائٹ کون کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتے ہوئے، میٹرکس کے لیے پہلی مساوات یہ ہے کہ جہاں کے ڈیٹرمیننٹ کا مربع جڑ ہے، یعنی مساوات کا دوسرا سیٹ میٹرکس مساوات کا سراغ لگانا ہے جس سے پتہ چلتا ہے کہ حقیقت میں لہر کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ لکس جوڑی لکیری آپریٹرز پر غور کریں جہاں ایک معاون پیچیدہ سپیکٹرم پیرامیٹر ہے۔ ایک سادہ حساب سے پتہ چلتا ہے کہ چونکہ لہر کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے، آپریٹرز کی یہ جوڑی سفر کرتی ہے، یہ لکس جوڑی ہے۔ الٹا بکھرے ہوئے تغیر کے پیچھے کا خلاصہ غیر لکیری آئن سٹائن مساوات کو ایک نئے میٹرکس فنکشن کے لیے مساوات کے حد سے زیادہ طے شدہ لکیری نظام کے طور پر دوبارہ لکھنا ہے۔ بیلنسکی-زاخاروف مساوات پر غور کریں: پہلی مساوات کے بائیں ہاتھ کی طرف دوسری مساوات کے ساتھ اور بائیں ہاتھ کی طرف کام کرنے اور نتائج کو گھٹانے سے، اور کی تبادلہیت کے نتیجے میں بائیں ہاتھ کی طرف غائب ہو جاتی ہے۔ جہاں تک دائیں ہاتھ کی طرف کا تعلق ہے، ایک مختصر حساب سے پتہ چلتا ہے کہ درحقیقت یہ غیر لکیری میٹرکس آئن سٹائن مساوات کو مطمئن کرنے پر بالکل ٹھیک غائب ہو جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ غیر لکیری میٹرکس مساوات کو حل کرنے پر حد سے زیادہ طے شدہ لکیری بیلنسکی-زاخاروف مساوات بالکل بیک وقت حل کرنے کے قابل ہوتی ہیں۔ دراصل، ایک سادہ محدود عمل کے ذریعے میٹرکس ویلیوڈ فنکشن سے آسانی سے بحال کیا جا سکتا ہے۔ بیلنسکی-زاخاروف مساوات میں حد کو لینا اور دائیں سے ضرب دینا اس طرح غیر لکیری مساوات کا حل لکیری بیلنسکی-زاخاروف مساوات کے حل سے ایک سادہ تشخیص کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔