Torsion conjecture
الجبرائی جیومیٹری اور نمبر تھیوری میں، ابیلین اقسام کے لیے ٹورسن پوائنٹس کے لیے ٹورسن قیاس یا یکساں باؤنڈنیس قیاس یہ بتاتا ہے کہ نمبر فیلڈ پر ابیلین قسم کے ٹورسن گروپ کی ترتیب کو تنوع اور نمبر فیلڈ کے طول و عرض کے لحاظ سے محدود کیا جا سکتا ہے۔ قیاس کا ایک مضبوط ورژن یہ ہے کہ ٹورسن مختلف قسم کے طول و عرض اور نمبر فیلڈ کی ڈگری کے لحاظ سے پابند ہے۔ الپٹک منحنی خطوط کے معاملے میں ٹورسن قیاس کو مکمل طور پر حل کر لیا گیا ہے۔ ایلپٹک منحنی خطوط 1906 سے 1911 تک، بیپو لیوی نے عقلیتوں پر ایلپٹک منحنی خطوط پر پوائنٹس کے ممکنہ محدود آرڈرز کی تحقیقات کرنے والے کاغذات کا ایک سلسلہ شائع کیا۔ انہوں نے دکھایا کہ مندرجہ ذیل ٹورسن گروپوں کے ساتھ عقلی پر لامحدود طور پر بہت سے الپٹک منحنی خطوط موجود ہیں: 1 ≤ n ≤ 10 کے ساتھ Cn، جہاں Cn ترتیب n کے چکور گروپ کی نشاندہی کرتا ہے۔ C12 ؛ C2n × C2 1 ≤ n ≤ 4 کے ساتھ، جہاں × براہ راست رقم کی نشاندہی کرتا ہے۔ روم میں 1908 کی بین الاقوامی ریاضیاتی کانگریس میں، لیوی نے قیاس کیا کہ یہ عقلیتوں پر الپٹک منحنی خطوط کے لیے ٹورسن گروپوں کی مکمل فہرست ہے۔ عقلیتوں پر الپٹک منحنی خطوط کے لیے ٹورسن قیاس کو آزادانہ طور پر بار بار دوبارہ تشکیل دیا گیا، اس قیاس کو عام طور پر اوگ کے قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ عقلی اور کلاسیکی ماڈیولر منحنی خطوط کے نظریہ پر الپٹک منحنی خطوط کے لیے ٹورسن قیاس کے درمیان تعلق کو کھینچا۔ 1970 کی دہائی کے اوائل میں، جیرارڈ لیگوزٹ، ڈینیل کوبرٹ، بیری مزور، اور جان ٹیٹ کے کام سے پتہ چلتا ہے کہ n کی کئی چھوٹی اقدار عقلیتوں پر الپٹک منحنی خطوط پر ٹورشن پوائنٹس کے آرڈر کے طور پر نہیں ہوتی ہیں۔ عقلیتوں پر الپٹک منحنی خطوط کے لیے مکمل ٹورسن قیاس کو ثابت کیا۔ ان کی تکنیکوں کو عام کیا گیا اور، جنہوں نے بالترتیب زیادہ سے زیادہ 8 ڈگری کے کواڈریٹک فیلڈز اور نمبر فیلڈز کے لیے یکساں حد حاصل کی۔ آخر میں، کسی بھی نمبر فیلڈ پر الپٹک منحنی خطوط کے قیاس کو ثابت کیا۔ نمبر فیلڈ کی ڈگری کے لحاظ سے ٹورسن گروپ کے سائز کے لیے ایک موثر باؤنڈ دیا گیا تھا۔ کواڈریٹک نمبر فیلڈز پر ایلیپٹک منحنی خطوط کے لیے ممکنہ ٹورسن گروپوں کی مکمل فہرست بھی دی گئی ہے۔ کوارٹک اور کوئنٹک نمبر فیلڈز کے لیے کافی جزوی نتائج ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ بومبیری-لینگ قیاس آرائی قبل از وقت پوائنٹس کے لیے یکساں باؤنڈنیس قیاس آرائی عقلی پوائنٹس کے لیے یکساں باؤنڈنیس قیاس آرائی حوالہ جات کتابیات ابیلین اقسام قیاس آرائی ڈیوفنٹائن جیومیٹری تھیوری نمبر تھیوری میں نظریہ الجبرائی جیومیٹری میں