Taylor's law
ٹیلر کا طاقت کا قانون ماحولیات میں ایک تجرباتی قانون ہے جو رہائش گاہ کے فی اکائی رقبے میں کسی نوع کے افراد کی تعداد کے تغیر کو طاقت کے قانون کے تعلقات کے مطابق اسی اوسط سے جوڑتا ہے۔ اس کا نام ماہر ماحولیات کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے پہلی بار 1961 میں اس کی تجویز پیش کی تھی، لیونل رائے ٹیلر (1924-2007)۔ اس رشتے کے لیے ٹیلر کا اصل نام اوسط کا قانون تھا۔ ٹیلر کا قانون نام ساؤتھ ووڈ نے 1966 میں وضع کیا تھا۔ تعریف اس قانون کی تعریف اصل میں ماحولیاتی نظاموں کے لیے کی گئی تھی، خاص طور پر حیاتیات کی مقامی کلسٹرنگ کا اندازہ لگانے کے لیے۔ اوسط اور تغیر کے ساتھ آبادی کی گنتی کے لیے، ٹیلر کا قانون لکھا جاتا ہے جہاں a اور b دونوں مثبت مستقل ہوتے ہیں۔ ٹیلر نے 1961 میں اس رشتے کی تجویز پیش کی، جس میں تجویز کیا گیا کہ ایکسپوینٹ b کو جمع کرنے کا ایک نوع مخصوص اشاریہ سمجھا جائے۔ اس طاقت کے قانون کی بعد میں کئی سینکڑوں انواع کے لیے تصدیق کی گئی ہے۔ ٹیلر کے قانون کا اطلاق آبادی کی تقسیم میں وقت پر منحصر تبدیلیوں کا اندازہ لگانے کے لیے بھی کیا گیا ہے۔ کئی غیر ماحولیاتی نظاموں میں طاقت کے قوانین کے معنی سے متعلق متغیرات کا بھی مظاہرہ کیا گیا ہے: کینسر میٹاسٹاسس جاپان میں ٹونامی کے میدان پر تعمیر شدہ گھروں کی تعداد ہے۔ خسرہ ایپیڈیمیولوجی ایچ آئی وی ایپیڈیمیولوجی، بچپن کے لیوکیمیا کے خون کے بہاؤ کی جغرافیائی کلسٹرنگ متنوعیت نمبر تھیوری میں سنگل نیوکلیوٹائڈ پولیمورفزم (ایس این پیز) جین ڈھانچوں کی جینومک تقسیم مرٹنز فنکشن کی ترتیب وار اقدار کے ساتھ اور گازیئن آرتھوگنل اور بے ترتیب میٹرکس تھیوری کے یک جہتی اینسمبلز کے آئجین ویلیو انحراف سے پرائم نمبروں کی تقسیم کے ساتھ تاریخ ڈبل لاگ لاگ پلاٹ کا پہلا استعمال رینالڈز نے 1879 میں تھرمل ایروڈینامکس پر کیا تھا۔ پیریٹو نے آبادی کے تناسب اور ان کی آمدنی کا مطالعہ کرنے کے لیے اسی طرح کا پلاٹ استعمال کیا۔ متغیر کی اصطلاح فشر نے 1918 میں وضع کی تھی۔ بائیولوجی پیئرسن نے 1921 میں 1938 میں فصلوں کی پیداوار کا مطالعہ کرتے ہوئے مساوات (جس کا مطالعہ نیمین نے بھی کیا تھا) کی تجویز پیش کی جس میں ٹیلر کی طرح ایک تعلق کی تجویز پیش کی گئی۔ یہ تعلق وہ تھا جہاں Vx x اکائیوں کے پلاٹوں کے لیے پیداوار کا تغیر ہے، V1 فی اکائی رقبے کی پیداوار کا تغیر ہے اور x پلاٹوں کا سائز ہے۔ ڈھلوان (b) متفرقیت کا اشاریہ ہے۔ اس رشتے میں b کی قیمت 0 اور 1 کے درمیان ہوتی ہے۔ جہاں پیداوار کا انتہائی باہمی تعلق ہوتا ہے b کا رجحان 0 ہوتا ہے ؛ جب وہ غیر مربوط ہوتے ہیں b کا رجحان 1 ہوتا ہے۔ 1941 میں بلیس، 1941 میں فریکر اینڈ بریسچل اور 1961 میں ہیمن اینڈ لو نے بھی وہی بیان کیا جو اب ٹیلر کے قانون کے نام سے جانا جاتا ہے، لیکن واحد نوع کے اعداد و شمار کے تناظر میں۔ ٹیلر کے 1961 کے مقالے میں 1936 اور 1960 کے درمیان شائع ہونے والے 24 مقالے کے اعداد و شمار کا استعمال کیا گیا، جس میں مختلف حیاتیاتی ترتیبات پر غور کیا گیا: وائرس کے زخم، میکرو زوپلانکٹن، مٹی میں کیڑے اور سمفائلڈز، مٹی میں کیڑے مکوڑے، پودوں اور ہوا میں، پتوں پر کیڑے مکوڑے، سمندر میں بھیڑ اور مچھلیوں پر ٹک۔ بی کی قدر 1 اور 3 کے درمیان ہوتی ہے۔ ٹیلر نے طاقت کے قانون کو ان پرجاتیوں کی مقامی تقسیم کی عمومی خصوصیت کے طور پر پیش کیا۔ اس نے اس قانون کی وضاحت کے لیے ایک میکانکی مفروضہ بھی پیش کیا۔ جانوروں کی مقامی تقسیم کی وضاحت کرنے کی ابتدائی کوششیں بارٹلیٹ کے اسٹاکسٹک آبادی کے نمونوں اور منفی بائنومیل تقسیم جیسے طریقوں پر مبنی تھیں جو پیدائش اور موت کے عمل کے نتیجے میں ہو سکتی ہیں۔ ٹیلر کی وضاحت جانوروں کے متوازن ہجرت اور اجتماعی رویے کے مفروضے پر مبنی تھی۔ اس کا مفروضہ ابتدائی طور پر معیاری تھا، لیکن جیسے جیسے یہ تیار ہوا یہ نیم مقداری ہوتا گیا اور اس کی تائید تخروپن کے ذریعے کی گئی۔ طاقت کے قانون کے لیے بہت سے متبادل مفروضے پیش کیے گئے ہیں۔ ہنسکی نے ایک بے ترتیب واک ماڈل کی تجویز پیش کی، جسے تولید کے متوقع ضرب اثر سے ماڈیول کیا گیا۔ ہنسکی کے ماڈل نے پیش گوئی کی کہ پاور لاء ایکسپوینٹ 2 کی قدر کے قریب ہونے پر مجبور ہوگا، جو کہ بہت سی رپورٹ شدہ اقدار سے مطابقت نہیں رکھتا تھا۔ اینڈرسن اور دیگر نے ایک سادہ غیر معمولی پیدائش، موت، امیگریشن اور امیگریشن ماڈل وضع کیا جس سے ایک کواڈریٹک تغیر فنکشن حاصل ہوا۔ اس ماڈل کے جواب کے طور پر ٹیلر نے استدلال کیا کہ اس طرح کا مارکوف عمل پیش گوئی کرے گا کہ پاور لا ایکسپونینٹ نقل کے مشاہدات کے درمیان کافی مختلف ہوگا، اور یہ کہ اس طرح کی تغیر کا مشاہدہ نہیں کیا گیا تھا۔ کیمپ نے منفی بائنومیل، نیمین ٹائپ اے، اور پولیا-ایپلی کی تقسیم پر مبنی متعدد مجرد اسٹاکسٹک ماڈلز کا جائزہ لیا جو پیرامیٹرز کی مناسب ایڈجسٹمنٹ کے ساتھ پاور لا کے معنی میں تغیر پیدا کر سکتے ہیں۔ تاہم کیمپ نے میکانکی لحاظ سے اپنے ماڈلز کے پیرامیٹرائزیشن کی وضاحت نہیں کی۔ ٹیلر کے قانون کے دیگر نسبتا تجریدی نمونوں کی پیروی کی گئی۔ ٹیلر کے قانون کے حوالے سے شماریاتی خدشات اٹھائے گئے تھے، جو ٹیلر کے قانون اور افعال کے معنی میں دیگر تغیرات کے درمیان فرق کرنے میں حقیقی اعداد و شمار میں دشواری کے ساتھ ساتھ معیاری رجعت کے طریقوں کی غلطی پر مبنی تھے۔ ٹیلر کے قانون کا اطلاق ٹائم سیریز کے اعداد و شمار پر کیا گیا ہے، اور پیری نے تخروپن کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا کہ افراتفری کا نظریہ ٹیلر کا قانون حاصل کر سکتا ہے۔ ٹیلر کے قانون کا اطلاق پودوں اور بیکٹیریا کی آبادی کی مقامی تقسیم پر کیا گیا ہے جیسا کہ پہلے مذکور ٹوبیکو نیکروسس وائرس کے مشاہدات کے ساتھ، یہ مشاہدات ٹیلر کے جانوروں کے طرز عمل کے ماڈل سے مطابقت نہیں رکھتے تھے۔ ٹیلر کے قانون کے روبرک کے تحت، غیر ماحولیاتی نظاموں پر پاور فنکشن کے معنی میں ایک تغیر لاگو کیا گیا تھا۔ طاقت کے قانون کے مظاہروں کی حد کے لیے ایک زیادہ عمومی وضاحت ٹویڈی کی تقسیم کی بنیاد پر ایک مفروضہ تجویز کیا گیا ہے، جو ممکنہ ماڈلز کا ایک خاندان ہے جو تغیر اور اوسط کے درمیان ایک موروثی پاور فنکشن تعلقات کا اظہار کرتا ہے۔ طاقت کے قانون کے لیے کئی متبادل مفروضے تجویز کیے گئے ہیں۔ ہنسکی نے ایک بے ترتیب واک ماڈل کی تجویز پیش کی، جسے تولید کے متوقع ضرب اثر سے ماڈیول کیا گیا۔ ہنسکی کے ماڈل نے پیش گوئی کی کہ پاور لاء ایکسپوینٹ 2 کی قدر کے قریب ہونے پر مجبور ہوگا، جو کہ بہت سی رپورٹ شدہ اقدار سے مطابقت نہیں رکھتا تھا۔ اینڈرسن اور دیگر نے ایک سادہ غیر معمولی پیدائش، موت، امیگریشن اور امیگریشن ماڈل وضع کیا جس سے ایک کواڈریٹک تغیر فنکشن حاصل ہوا۔ لیونٹن کوہن گروتھ ماڈل۔ ایک اور تجویز کردہ وضاحت ہے۔ اس امکان کو اٹھایا گیا کہ طاقت کے قانون کے مشاہدات میکانکی عمل سے زیادہ ریاضیاتی نمونے کی عکاسی کر سکتے ہیں۔ تاہم ماحولیاتی آبادیوں پر لاگو ہونے والے ٹیلر کے قانون کے نمائندوں میں تغیر کی وضاحت یا پیش گوئی صرف شماریاتی بنیادوں کی بنیاد پر نہیں کی جا سکتی۔ تحقیق سے پتہ چلتا ہے کہ شمالی سمندر کی مچھلی برادری کے لیے ٹیلر کے قانون کے نمائندوں میں تغیر بیرونی ماحول کے ساتھ مختلف ہوتا ہے، جس سے ماحولیاتی عمل کم از کم جزوی طور پر ٹیلر کے قانون کی شکل کا تعین کرتے ہیں۔ طبیعیات کے ادب میں ٹیلر کے قانون کو اتار چڑھاؤ اسکیلنگ کہا جاتا ہے۔ ایسلر اور دیگر نے، اتار چڑھاؤ کی پیمائش کے لیے ایک عمومی وضاحت تلاش کرنے کی مزید کوشش میں، ایک ایسے عمل کی تجویز پیش کی جسے وہ امپیکٹ انہوموجینیٹی کہتے ہیں جس میں بار بار ہونے والے واقعات بڑے اثرات سے وابستہ ہوتے ہیں۔ تاہم، ایسلر مضمون کے ضمیمہ بی میں، مصنفین نے نوٹ کیا کہ عدم ہم آہنگی کے اثرات کے لیے مساوات سے وہی ریاضیاتی تعلقات حاصل ہوئے جو ٹوئیڈی کی تقسیم کے ساتھ پائے جاتے ہیں۔ طبیعیات دانوں کے ایک اور گروپ، فرنکزاک اور فرنکزاک نے توازن اور غیر توازن شماریاتی طبیعیات کے اصولوں سے اتار چڑھاؤ اسکیلنگ کے لیے ٹیلر کا طاقت کا قانون اخذ کیا۔ ان کی ماخوذیت جسمانی مقداروں جیسے آزاد توانائی اور ایک بیرونی میدان کے مفروضوں پر مبنی تھی جو حیاتیاتی حیاتیات کے کلسٹرنگ کا سبب بنی۔ تاہم، جانوروں یا پودوں کے جمع ہونے کے سلسلے میں ان پیش کردہ جسمانی مقداروں کا براہ راست تجرباتی مظاہرہ ابھی تک حاصل نہیں کیا گیا ہے۔ اس کے فورا بعد، فرنکزاک اور فرنکزاک کے ماڈل کا ایک تجزیہ پیش کیا گیا جس سے پتہ چلتا ہے کہ ان کی مساوات براہ راست ٹوئیڈی کی تقسیم کی طرف لے جاتی ہیں، ایک ایسی دریافت جس سے پتہ چلتا ہے کہ فرنکزاک اور فرنکزاک نے ممکنہ طور پر ان تقسیموں کی زیادہ سے زیادہ اینٹروپی مشتق فراہم کی تھی۔ ریاضی ٹیلر کے قانون کو کسی دیئے گئے حقیقی نمبر سے زیادہ نہ ہونے والے پرائم نمبروں کے لیے دکھایا گیا ہے۔ یہ نتیجہ پہلے 11 ملین پرائمز کے لیے برقرار دکھایا گیا ہے۔ اگر ہارڈی-لٹل ووڈ جڑواں پرائمز کا قیاس درست ہے تو یہ قانون جڑواں پرائمز کے لیے بھی ہے۔ ٹوئیڈی مفروضہ اس وقت کے بارے میں جب ٹیلر اپنے ماحولیاتی مشاہدات کی تصدیق کر رہے تھے، ایم سی کے ٹوئیڈی، ایک برطانوی شماریات دان اور طبی طبیعیات دان، ممکنہ نمونوں کے ایک خاندان کی تحقیقات کر رہے تھے جنہیں اب ٹوئیڈی تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، ان تمام تقسیموں کی خصوصیت ایک تغیر ہے جس کا مطلب ہے کہ طاقت کا قانون ریاضیاتی طور پر ٹیلر کے قانون سے ملتا جلتا ہے۔ ماحولیاتی مشاہدات پر سب سے زیادہ قابل اطلاق ٹوئیڈی کی تقسیم مرکب پوئسون گاما تقسیم ہے، جو گاما تقسیم کے ساتھ N آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی نمائندگی کرتی ہے جہاں N ایک بے ترتیب متغیر ہے جو پوئسون تقسیم کے مطابق تقسیم کیا گیا ہے۔ اضافی شکل میں اس کی کمولینٹ جنریٹنگ فنکشن (سی جی ایف) یہ ہے: جہاں κb (θ) کمولینٹ فنکشن ہے، ٹوئیڈی ایکسپونینٹ s جنریٹنگ فنکشن متغیر ہے، اور θ اور λ بالترتیب کینونکل اور انڈیکس پیرامیٹرز ہیں۔ یہ آخری دو پیرامیٹرز امکانی نظریہ میں استعمال ہونے والے پیمانے اور شکل کے پیرامیٹرز کے مترادف ہیں۔ اس تقسیم کے مجموعوں کا تعین سی جی ایف کی مسلسل تفریق سے کیا جا سکتا ہے اور پھر s = 0 کو نتیجہ خیز مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ پہلا اور دوسرا مجموعہ بالترتیب اوسط اور تغیر ہے، اور اس طرح مرکب پوئسون گاما سی جی ایف تناسب مستقل کے ساتھ ٹیلر کا قانون پیدا کرتا ہے مرکب پوئسون گاما مجموعی تقسیم فنکشن کی تصدیق محدود ماحولیاتی اعداد و شمار کے لیے تجرباتی تقسیم فنکشن کے ساتھ نظریاتی تقسیم فنکشن کے موازنہ کے ذریعے کی گئی ہے۔ کئی دوسرے نظام، جو ٹیلر کے قانون سے متعلق طاقت کے قوانین کے معنی میں تغیر کا مظاہرہ کرتے ہیں، اسی طرح مرکب پوئسون گاما کی تقسیم کے لیے ٹیسٹ کیے گئے ہیں۔ ٹوئیڈی مفروضے کا بنیادی جواز ٹوئیڈی کی تقسیم کی ریاضیاتی ہم آہنگی کی خصوصیات پر مبنی ہے۔ ٹوئیڈی کنورجنس تھیوریم کے لیے ٹوئیڈی ڈسٹری بیوشن کی ضرورت ہوتی ہے کہ وہ شماریاتی عمل کی ایک وسیع رینج کے لیے کنورجنس کے فوکیوں کے طور پر کام کرے۔ اس کنورجنس تھیوریم کے نتیجے میں، متعدد آزاد چھوٹی چھلانگوں کے مجموعے پر مبنی عمل ٹیلر کے قانون کا اظہار کرنے اور ٹوئیڈی کی تقسیم کی پابندی کرنے کا رجحان رکھتے ہیں۔ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ متغیرات کے لیے ایک حد تھیوریم، جیسا کہ ٹوئیڈی کنورجنس تھیوریم کے ساتھ ہے، اس کے بعد ایڈہاک آبادی کے ماڈلز، یا تخروپن یا تخمینہ کی بنیاد پر تجویز کردہ ماڈلز کے لیے بنیادی رشتہ دار سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ مفروضہ متنازعہ ہے ؛ زیادہ روایتی آبادی متحرک طریقوں کو ماہرین ماحولیات میں ترجیح دی جاتی ہے، اس حقیقت کے باوجود کہ ٹوئیڈی مرکب پوسن کی تقسیم کو آبادی متحرک میکانزم پر براہ راست لاگو کیا جا سکتا ہے۔ ٹوئیڈی مفروضے میں ایک دشواری یہ ہے کہ b کی قدر 0 اور 1 کے درمیان نہیں ہے۔ b <1 کی اقدار نایاب ہیں لیکن رپورٹ کی گئی ہیں۔ ریاضیاتی تشکیل ان علامتوں میں جہاں si2 ith نمونے کی کثافت کا تغیر ہے، mi ith نمونے کی اوسط کثافت ہے اور a اور b مستقل ہیں۔ لوگرتھمک شکل میں پیمانہ غیر متغیر ٹیلر کے قانون میں متغیر پیمانہ غیر متغیر ہے: اگر پیمائش کی اکائی کو مستقل عنصر سے تبدیل کیا جاتا ہے، تو متغیر () تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے y = cx لیں۔ پھر اصل متغیر (x) میں ظاہر ہونے والا ٹیلر کا قانون ہے اور بازیافت شدہ متغیر (y) میں یہ ہے۔ اس طرح، اب بھی متناسب ہے (حالانکہ متناسبیت مستقل تبدیل ہو چکی ہے)۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ ٹیلر کا قانون اوسط اور تغیر کے درمیان واحد تعلق ہے جو پیمانے میں غیر متغیر ہے۔ توسیعات اور اصلاحات ڈھلوان b کے تخمینے میں ایک اصلاح رینر کی طرف سے تجویز کی گئی ہے۔ جہاں اور کے درمیان پیئرسن مومنٹ ارتباط گتانک ہے، اور میں نمونے کے تغیرات کا تناسب ہے اور اور میں غلطیوں کا تناسب ہے۔ عام کم از کم مربع رجعت فرض کرتی ہے کہ φ = φ۔ یہ b کی قدر کو کم کرنے کا رجحان رکھتا ہے کیونکہ دونوں کے تخمینے غلطی کے تابع ہیں۔ ٹیلر کے قانون کی توسیع کی تجویز فیرس اور دیگر نے اس وقت پیش کی ہے جب متعدد نمونے لیے جاتے ہیں جہاں s2 اور m بالترتیب تغیر اور اوسط ہوتے ہیں، b، c اور d مستقل ہوتے ہیں اور n نمونوں کی تعداد ہوتی ہے۔ آج تک، اس مجوزہ توسیع کی تصدیق ٹیلر کے قانون کے اصل ورژن کی طرح قابل اطلاق ہونے کی نہیں ہوئی ہے۔ چھوٹے نمونوں کے لیے اس قانون کی توسیع ہنسکی نے تجویز کی ہے۔ چھوٹے نمونوں کے لیے پوئسون تغیر (پی)-وہ تغیر جسے نمونے لینے کے تغیر سے منسوب کیا جا سکتا ہے-اہم ہو سکتا ہے۔ فرض کریں کہ S کل تغیر ہے اور V حیاتیاتی (حقیقی) تغیر ہے۔ پھر ٹیلر کے قانون کی صداقت کو فرض کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے کیونکہ پوسن کی تقسیم میں اوسط تغیر کے برابر ہے، ہمارے پاس ہے یہ ہمیں دیتا ہے یہ بارلیٹ کی اصل تجویز سے قریب سے ملتا جلتا ہے۔ تشریح ڈھلوان کی اقدار (ب) نمایاں طور پر> 1 حیاتیات کے جمع ہونے کی نشاندہی کرتی ہیں۔ پوئسون تقسیم شدہ ڈیٹا میں، b = 1۔ اگر آبادی لوگن نارمل یا گاما تقسیم کی پیروی کرتی ہے، تو b = 2۔ ان آبادیوں کے لیے جو مستقل فی کس ماحولیاتی تغیر کا سامنا کر رہی ہیں، لاگ (تغیر) بمقابلہ لاگ (اوسط کثرت) کی رجعت میں b = 2 کے ساتھ ایک لکیر ہونی چاہیے۔ جن آبادیوں کا مطالعہ کیا گیا ہے ان میں b <2 (عام طور پر 1.5-1.6) ہوتی ہے لیکن 2 کی اقدار کی اطلاع دی گئی ہے۔ کبھی کبھار b> 2 کے معاملات رپورٹ ہوئے ہیں۔ 1 سے نیچے کی b اقدار غیر معمولی ہیں لیکن ان کی اطلاع بھی دی گئی ہے (b = 0.93)۔ یہ تجویز کیا گیا ہے کہ قانون (ب) کا ایکسپونینٹ بنیادی تقسیم کے منحنی پن کے متناسب ہے۔ اس تجویز پر تنقید کی گئی ہے: ایسا لگتا ہے کہ اضافی کام indicated.Random منحنی تقسیم کے نمونے لینے سے ضروری نہیں کہ ٹیلر کا قانون ظاہر ہو (2015) پروک ناٹل اکیڈمی سائنس یو ایس اے 112 (25) E3156 نوٹ اس رجعت میں ڈھلوان (b) کی ابتدا واضح نہیں ہے۔ اس کی وضاحت کے لیے دو مفروضے تجویز کیے گئے ہیں۔ ایک تجویز کرتا ہے کہ b انواع کے رویے سے پیدا ہوتا ہے اور اس نوع کے لیے مستقل ہے۔ متبادل سے پتہ چلتا ہے کہ یہ نمونے والی آبادی پر منحصر ہے۔ اس قانون (1000 سے زیادہ) پر کافی تعداد میں مطالعات کے باوجود، یہ سوال کھلا رہتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ اے اور بی دونوں ہی عمر کے لحاظ سے مخصوص پھیلاؤ، اموات اور نمونے کے یونٹ کے سائز کی وجہ سے تبدیل ہونے کے تابع ہیں۔ اگر اقدار چھوٹی ہوں تو یہ قانون ناقص ہو سکتا ہے۔ اس وجہ سے ہنسکی نے ٹیلر کے قانون میں توسیع کی تجویز پیش کی ہے جو کم کثافت پر ٹیلر کے قانون کی فٹ کو بہتر بناتا ہے۔ بائنری ڈیٹا کے کلسٹر نمونے لینے تک توسیع ٹیلر کے قانون کی ایک شکل جو کلسٹرز میں بائنری ڈیٹا پر لاگو ہوتی ہے (مثال کے طور پر، کواڈریٹس) تجویز کی گئی ہے۔ بائنومیل ڈسٹری بیوشن میں، نظریاتی تغیر وہ ہے جہاں (وربن) بائنومیل تغیر ہے، n نمونے کا سائز فی کلسٹر ہے، اور p ایک خاصیت (جیسے بیماری) والے افراد کا تناسب ہے، جو کسی فرد کے اس خاصیت کے ہونے کے امکان کا تخمینہ ہے۔ بائنری ڈیٹا کے ساتھ ایک دشواری یہ ہے کہ اوسط اور تغیر، عام طور پر، ایک خاص تعلق رکھتے ہیں: جیسے جیسے متاثرہ افراد کا اوسط تناسب 0.0 سے اوپر بڑھتا ہے، تغیر ختم ہوجاتا ہے۔ اب یہ معلوم ہوا ہے کہ مشاہدہ شدہ تغیر (ویروبس) (وربن) کے پاور فنکشن کے طور پر تبدیل ہوتا ہے۔ ہیوز اور میڈن نے نوٹ کیا کہ اگر تقسیم پوسن ہے تو اوسط اور تغیر برابر ہیں۔ چونکہ یہ واضح طور پر بہت سے مشاہدہ شدہ تناسب کے نمونوں میں معاملہ نہیں ہے، اس کے بجائے انہوں نے بائنومیل تقسیم کو فرض کیا۔ انہوں نے ٹیلر کے قانون میں اوسط کو بائنومیل تغیر سے تبدیل کیا اور پھر اس نظریاتی تغیر کا مشاہدہ شدہ تغیر سے موازنہ کیا۔ بائنومیل ڈیٹا کے لیے، انہوں نے دکھایا کہ ویروبس = اوورڈیسپریشن کے ساتھ وربن، ویروبس> وربن۔ علامتوں میں، ہیوز اور میڈن کی ٹائلور کے قانون میں ترمیم تھی۔ لوگرتھمک شکل میں یہ تعلق ہے۔ یہ مؤخر الذکر ورژن بائنری پاور قانون کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ہیوزز اور میڈن کی طرف سے بائنری پاور قانون کی مشتق میں ایک اہم قدم پاٹل اور اسٹیٹلر کا مشاہدہ تھا کہ ایک ہی نمونے میں غیر محدود گنتی کے زیادہ پھیلاؤ کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال ہونے والا تغیر سے معنی کا تناسب دراصل دو تغیرات کا تناسب ہے: مشاہدہ شدہ تغیر اور بے ترتیب تقسیم کے لیے نظریاتی تغیر۔ لامحدود گنتی کے لیے، بے ترتیب تقسیم پوئسون ہے۔ اس طرح، نمونوں کے مجموعے کے لیے ٹیلر پاور قانون کو مشاہدہ شدہ تغیر اور پوئسون تغیر کے درمیان تعلق کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ مزید وسیع پیمانے پر، میڈن اور ہیوز نے طاقت کے قانون کو دو تغیرات، مشاہدہ شدہ تغیر اور بے ترتیب تقسیم کے لیے نظریاتی تغیر کے درمیان تعلق کے طور پر سمجھا۔ بائنری ڈیٹا کے ساتھ، بے ترتیب تقسیم بائنومیل ہے (پوئسون نہیں)۔ اس طرح ٹیلر طاقت کا قانون اور بائنری طاقت کا قانون متنوعیت کے لیے عام طاقت کے قانون کے تعلقات کے دو خاص معاملات ہیں۔ جب a اور b دونوں 1 کے برابر ہوتے ہیں، تو ایک چھوٹے پیمانے کا بے ترتیب مقامی نمونہ تجویز کیا جاتا ہے اور اسے بائنومیل ڈسٹری بیوشن کے ذریعے بہترین طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ جب b = 1 اور a> 1 ہوتا ہے، تو زیادہ پھیلاؤ (چھوٹے پیمانے پر جمع) ہوتا ہے۔ جب b> 1 ہوتا ہے، تو جمع کی ڈگری p کے ساتھ مختلف ہوتی ہے۔ ٹوریچک اور دیگر نے ظاہر کیا ہے کہ بائنری پاور قانون پلانٹ پیتھولوجی میں متعدد ڈیٹا سیٹوں کی وضاحت کرتا ہے۔ عام طور پر، b 1 سے بڑا اور 2 سے کم ہوتا ہے۔ اس قانون کی فٹ کی جانچ تخروپن کے ذریعے کی گئی ہے۔ ان نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ ڈیٹا سیٹ کے لیے ایک واحد ریگریشن لائن کے بجائے، ایک سیگمنٹل ریگریشن حقیقی طور پر بے ترتیب تقسیم کے لیے ایک بہتر ماڈل ہو سکتا ہے۔ تاہم، یہ تقسیم صرف بہت کم فاصلے کے منتشر فاصلے اور بڑے چوتھائی سائز کے لیے ہوتی ہے۔ لائن میں وقفہ صرف p پر 0 کے بہت قریب ہوتا ہے۔ اس قانون میں توسیع کی تجویز پیش کی گئی ہے۔ اس قانون کی اصل شکل متناسب ہے لیکن اسے غیر متناسب شکل تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ جب پڑوسیوں کی بیماری کی حیثیت کا مثبت ارتباط ہوتا ہے تو تخروپن کا استعمال کرتے ہوئے متناسب شکل اعداد و شمار پر فٹ بیٹھتی ہے۔ جہاں پڑوسیوں کے متاثر ہونے کے امکان کے درمیان منفی ارتباط ہے، غیر متناسب ورژن ڈیٹا کے لیے بہتر فٹ ہے۔ حیاتیات میں ٹیلر کے قانون کے ہر جگہ موجود ہونے کی وجہ سے اس کے مختلف استعمال پائے گئے ہیں جن میں سے کچھ یہاں درج ہیں۔ استعمال کے بارے میں سفارشات ڈیٹا کے نمونے کے لیے ٹیلر کے قانون کی صداقت کی جانچ کرنے والی ایپلی کیشنز میں تخروپن مطالعات کی بنیاد پر اس کی سفارش کی گئی ہے کہ: (1) مطالعہ کیے گئے حیاتیات کی کل تعداد> 15 ہو (2) مطالعہ کیے گئے حیاتیات کے گروپوں کی کم از کم تعداد> 5 ہو (3) بے ترتیب طور پر تقسیم شدہ آبادیوں کے نمونے کے اندر حیاتیات کی کثافت کم از کم 2 ترتیبات کی شدت سے مختلف ہونی چاہیے۔ یہ عام فرض ہے (کم از کم ابتدائی طور پر) کہ ایک آبادی ماحول میں تصادفی طور پر تقسیم ہے۔ اگر کسی آبادی کو تصادفی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے تو آبادی کا اوسط (m) اور تغیر (s2) برابر ہوتا ہے اور نمونوں کا تناسب جس میں کم از کم ایک فرد (p) ہوتا ہے۔ اس کے برعکس جب یکساں اور بے ترتیب طور پر تقسیم شدہ پرجاتیوں کا موازنہ کیا جائے لیکن مجموعی طور پر مساوی کثافت پر، بے ترتیب طور پر تقسیم شدہ آبادی کے لیے p زیادہ ہوگا۔ اس کی جانچ گرافک طور پر پی کو ایم ولسن کے خلاف پلاٹ کرکے کی جا سکتی ہے۔ اور روم نے ایک بائنومیل ماڈل تیار کیا جس میں ٹیلر کا قانون شامل ہے۔ بنیادی تعلق وہ ہے جہاں لاگ کو بیس پر لے جایا جاتا ہے۔ ٹیلر کے قانون کو شامل کرتے ہوئے یہ تعلق ڈسپریشن پیرامیٹر تخمینہ کار بن جاتا ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کا مشترکہ ڈسپریشن پیرامیٹر (k) یہ ہے کہ نمونے کا مطلب کہاں ہے اور تغیر کہاں ہے۔ اگر 1/k> 0 ہے تو آبادی کو مجموعی سمجھا جاتا ہے۔ 1/k = 0 (s2 = m) آبادی کو تصادفی طور پر تقسیم (پوئسون) سمجھا جاتا ہے اور اگر 1/k <0 ہے تو آبادی کو یکساں طور پر تقسیم سمجھا جاتا ہے۔ تقسیم پر کوئی تبصرہ نہیں کیا جا سکتا اگر k = 0 ہو۔ ولسن اور روم یہ فرض کرتے ہوئے کہ ٹیلر کا قانون آبادی پر لاگو ہوتا ہے، نے k کے لیے ایک متبادل تخمینہ دیا: جہاں a اور b ٹیلر کے قانون سے مستقلات ہیں۔ جونز نے ولسن اور روم کے تعلقات کے ساتھ اوپر کے k کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے ایک نمونہ تلاش کرنے کے امکان کے لیے تیار کیا جس میں کم از کم ایک فرد ہو جس نے فی نمونے لینے والی اکائی میں x افراد پر مشتمل نمونے کے امکان کے لیے ایک تخمینہ تیار کیا ہو۔ جونز کا فارمولا وہ ہے جہاں P (x) فی نمونے لینے والی اکائی میں x افراد کو تلاش کرنے کا امکان ہے، k کا تخمینہ ولون اور کمرہ مساوات سے لگایا گیا ہے اور m نمونہ کا اوسط ہے۔ صفر افراد P (0) کو تلاش کرنے کے امکان کا تخمینہ منفی بائنومیل تقسیم کے ساتھ لگایا جاتا ہے۔ جونز ان امکانات کے لیے اعتماد کے وقفے بھی دیتا ہے۔ جہاں CI اعتماد کا وقفہ ہے، t t تقسیم سے لی گئی اہم قدر ہے اور N کل نمونے کا سائز ہے۔ تقسیم کے کاٹز خاندان نے 2 پیرامیٹرز (ڈبلیو 1، ڈبلیو 2) کے ساتھ تقسیم کے ایک خاندان (کاٹز خاندان) کی تجویز پیش کی۔ تقسیم کے اس خاندان میں برنولی، جیومیٹرک، پاسکل اور پوسن تقسیم بطور خصوصی معاملات شامل ہیں۔ کاٹز کی تقسیم کا اوسط اور تغیر وہ ہے جہاں m اوسط ہے اور s2 نمونے کا تغیر ہے۔ پیرامیٹرز کا اندازہ ان لمحات کے طریقہ کار سے لگایا جا سکتا ہے جن سے ہمارے پاس ہے۔ ایک پوسن کی تقسیم کے لیے ڈبلیو 2 = 0 اور ڈبلیو 1 = λ پوسن کی تقسیم کا پیرامیٹر ہے۔ تقسیم کے اس خاندان کو بعض اوقات تقسیم کے پنجر خاندان کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ کاٹز خاندان کا تعلق تقسیم کے سنڈٹ-جویل خاندان سے ہے: سنڈٹ-جویل خاندان کے صرف اراکین پوسن، بائنومیل، منفی بائنومیل (پاسکل)، توسیعی کٹے ہوئے منفی بائنومیل اور لوگرتھمک سیریز کی تقسیم ہیں۔ اگر آبادی کاٹز کی تقسیم کی پابندی کرتی ہے تو ٹیلر کے قانون کے گتانک کاٹز نے ایک شماریاتی ٹیسٹ بھی متعارف کرایا ہے جہاں Jn ٹیسٹ کا اعدادوشمار ہے، s2 نمونے کا تغیر ہے، m نمونے کا اوسط ہے اور n نمونے کا سائز ہے۔ Jn غیر علامتی طور پر عام طور پر صفر اوسط اور یونٹ تغیر کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے۔ اگر نمونہ پوئسون تقسیم شدہ ہے Jn = 0 ؛ Jn <0 اور> 0 کی اقدار بالترتیب نیچے اور زیادہ بازی کی نشاندہی کرتی ہیں۔ زیادہ پھیلاؤ اکثر پوشیدہ متفرقیت کی وجہ سے ہوتا ہے-آبادی کے اندر متعدد ذیلی آبادیوں کی موجودگی جس سے نمونہ لیا جاتا ہے۔ اس اعدادوشمار کا تعلق نیمین سکاٹ کے اعدادوشمار سے ہے جو غیر علامتی طور پر معمول کے طور پر جانا جاتا ہے اور مشروط چی مربع شدہ اعدادوشمار (پوئسون منتشر ٹیسٹ) جس کے بارے میں جانا جاتا ہے کہ جب آبادی پوئسون تقسیم ہوتی ہے تو اس میں n−1 ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ایک غیر علامتی چی مربع تقسیم ہوتی ہے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو ختم ہونے کا وقت اگر یہ فرض کیا جائے کہ ٹیلر کا قانون لاگو ہوتا ہے تو مقامی معدومیت کے اوسط وقت کا تعین کرنا ممکن ہے۔ یہ ماڈل وقت میں ایک سادہ بے ترتیب چہل قدمی اور کثافت پر منحصر آبادی کے ضابطے کی عدم موجودگی کو فرض کرتا ہے۔ جہاں Nt + 1 اور Nt بالترتیب وقت t + 1 اور t پر آبادی کے سائز ہیں اور r سالانہ اضافے (آبادی میں کمی) کے برابر پیرامیٹر ہے۔ پھر فرق کہاں ہے۔ انواع کی کثرت (حیاتیات فی اکائی رقبے) کی پیمائش ہونے دیں۔ پھر جہاں ٹی ای مقامی معدومیت کا اوسط وقت ہے۔ وقت t کے لحاظ سے معدومیت کا امکان معدومیت سے بچنے کے لیے درکار کم از کم آبادی کا سائز ہے۔ اگر کسی آبادی کو غیر معمولی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے تو آبادی کے سائز (H) کا ہم آہنگ اوسط ریاضی کے اوسط (m) سے متعلق ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ آبادی کو برقرار رکھنے کے لیے H> 0 ہونا ضروری ہے تو پھر ہمارے پاس دوبارہ ترتیب دینا پرجاتیوں کے برقرار رہنے کے لیے آبادی کا کم از کم سائز ہے۔ لوگن نارمل تقسیم کا مفروضہ 544 انواع کے نمونے میں سے تقریبا نصف پر لاگو ہوتا دکھائی دیتا ہے۔ یہ تجویز کرتے ہوئے کہ یہ کم از کم ایک قابل فہم مفروضہ ہے۔ نمونے کے سائز کے تخمینہ دہندگان درستگی کی ڈگری (D) کو s/m کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں s معیاری انحراف ہے اور m اوسط ہے۔ درستگی کی ڈگری کو دوسرے سیاق و سباق میں تغیر کے گتانک کے طور پر جانا جاتا ہے۔ ماحولیات کی تحقیق میں یہ تجویز کی جاتی ہے کہ D رینج 10-25% میں ہو۔ مطلوبہ نمونے کے سائز کا اندازہ لگانے میں مطلوبہ حد تک درستگی اہم ہے جہاں ایک تفتیش کار جانچ کرنا چاہتا ہے کہ آیا ٹیلر کا قانون ڈیٹا پر لاگو ہوتا ہے یا نہیں۔ مطلوبہ نمونے کے سائز کا تخمینہ کئی سادہ تقسیموں کے لیے لگایا گیا ہے لیکن جہاں آبادی کی تقسیم معلوم نہیں ہے یا اسے مزید پیچیدہ نہیں سمجھا جا سکتا ہے، مطلوبہ نمونے کے سائز کا تعین کرنے کے لیے مزید پیچیدہ فارمولوں کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ جہاں آبادی پوئسون تقسیم شدہ ہے نمونے کا سائز (n) درکار ہے جہاں t ٹائپ 1 کی غلطی کے لیے t تقسیم کی اہم سطح ہے جس میں ڈگری آف فریڈم کے ساتھ اوسط (m) کا حساب لگایا گیا تھا۔ اگر آبادی کو منفی بائنومیل تقسیم کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے تو مطلوبہ نمونے کا سائز وہ ہے جہاں k منفی بائنومیل تقسیم کا پیمانہ ہے۔ ایک زیادہ عام نمونے کے سائز کا تخمینہ لگانے والا بھی تجویز کیا گیا ہے جہاں a اور b ٹیلر کے قانون سے اخذ کیے گئے ہیں۔ ساؤتھ ووڈ کی طرف سے ایک متبادل تجویز کیا گیا ہے جہاں n مطلوبہ نمونے کا سائز ہے، a اور b ٹیلر کے قانون کے گتانک ہیں اور D درستگی کی مطلوبہ ڈگری ہے۔ کارانڈینوس نے n کے لیے دو اسی طرح کے تخمینے تجویز کیے۔ پہلے میں ٹیلر کے قانون کو شامل کرنے کے لیے روئسنک نے ترمیم کی تھی۔ جہاں d اوسط کے مطلوبہ اعتماد کے وقفے (CI) کے نصف کا تناسب ہے۔ علامتوں میں دوسرا تخمینہ بائنومیل (موجودگی-عدم موجودگی) نمونے لینے میں استعمال ہوتا ہے۔ مطلوبہ نمونے کا سائز (n) وہ ہے جہاں ڈی پی افراد کے ساتھ نمونے کی اکائیوں کے تناسب سے مطلوبہ اعتماد کے وقفے کے نصف کا تناسب ہے، p افراد پر مشتمل نمونوں کا تناسب ہے اور q = 1 − p۔ علامتوں میں بائنری (موجودگی/غیر موجودگی) نمونے لینے کے لیے، شولتھس اور دیگر نے کارانڈینوس کی مساوات میں ترمیم کی جہاں N مطلوبہ نمونے کا سائز ہے، p دلچسپی کے حیاتیات پر مشتمل اکائیوں کا تناسب ہے، t اہمیت کی منتخب سطح ہے اور ڈپ ٹیلر کے قانون سے ماخوذ ایک پیمانہ ہے۔ ترتیب وار نمونے لینا ترتیب وار تجزیہ شماریاتی تجزیہ کا ایک طریقہ ہے جہاں نمونے کا سائز پہلے سے طے نہیں ہوتا ہے۔ اس کے بجائے نمونے پہلے سے طے شدہ رکنے کے اصول کے مطابق لیے جاتے ہیں۔ ٹیلر کا قانون رکنے کے متعدد قوانین حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ ٹیلر کے قانون کی جانچ کے لیے سیریل سیمپلنگ میں فکسڈ صحت سے متعلق ایک فارمولا گرین نے 1970 میں اخذ کیا تھا۔ جہاں T مجموعی نمونہ کل ہے، D صحت سے متعلق سطح ہے، n نمونے کا سائز ہے اور a اور b ٹیلر کے قانون سے حاصل کیے جاتے ہیں۔ کیڑوں پر قابو پانے میں مدد کے طور پر ولسن اور دیگر نے ایک ٹیسٹ تیار کیا جس میں ایک حد کی سطح شامل کی گئی جہاں کارروائی کی جانی چاہیے۔ مطلوبہ نمونے کا سائز وہ ہے جہاں a اور b ٹیلر گتانک ہیں، | | مطلق قدر ہے، m نمونے کا اوسط ہے، T حد کی سطح ہے اور t تقسیم کی اہم سطح ہے۔ مصنفین نے بائنومیل (موجودگی-عدم موجودگی) نمونے لینے کے لیے بھی اسی طرح کا ٹیسٹ فراہم کیا جہاں p موجود کیڑوں کے ساتھ نمونہ تلاش کرنے کا امکان ہے اور q = 1 − p۔ گرین نے ٹیلر کے قانون کی بنیاد پر ترتیب وار نمونے لینے کے لیے ایک اور نمونہ فارمولا اخذ کیا جہاں D درستگی کی ڈگری ہے، a اور b ٹیلر کے قانون کے گتانک ہیں، n نمونے کا سائز ہے اور T نمونے لینے والے افراد کی کل تعداد ہے۔ سیرا اور دیگر نے ٹیلر کے قانون کی بنیاد پر رکنے کا اصول تجویز کیا ہے۔ جہاں a اور b ٹیلر کے قانون کے پیرامیٹرز ہیں، D درستگی کی مطلوبہ سطح ہے اور Tn نمونے کا کل سائز ہے۔ سیرا اور دیگر نے آئوا کے رجعت کی بنیاد پر ایک دوسرا رکنے کا اصول بھی تجویز کیا جہاں α اور β رجعت لائن کے پیرامیٹرز ہیں، D درستگی کی مطلوبہ سطح ہے اور Tn نمونے کا کل سائز ہے۔ مصنفین نے سفارش کی کہ آبادی کی حرکیات کے مطالعے کے لیے D کو 0.1 اور کیڑوں پر قابو پانے کے لیے D = 0.25 مقرر کیا جائے۔ متعلقہ تجزیے جمع کرنے کے کم از کم ایک اضافی تجزیے (ٹیلر کے قانون کے علاوہ) کا اندازہ لگانا اچھا عمل سمجھا جاتا ہے کیونکہ صرف ایک انڈیکس کا استعمال گمراہ کن ہو سکتا ہے۔ اگرچہ حیاتیاتی نمونوں میں تغیر اور اوسط کے درمیان تعلقات کا پتہ لگانے کے لیے کئی دوسرے طریقے تجویز کیے گئے ہیں، لیکن آج تک کسی نے بھی ٹیلر کے قانون کی مقبولیت حاصل نہیں کی ہے۔ ٹیلر کے قانون کے ساتھ مل کر استعمال ہونے والا سب سے مشہور تجزیہ شاید ایواؤ کا پیچنیس ریگریشن ٹیسٹ ہے لیکن یہاں درج تمام طریقے ادب میں استعمال کیے گئے ہیں۔ 1936 میں بارلیٹ-ایواؤ ماڈل بارلیٹ اور بعد میں 1968 میں آزادانہ طور پر ایواؤ دونوں نے تغیر اور اوسط کے درمیان ایک متبادل تعلق کی تجویز پیش کی۔ علامتوں میں جہاں s ith نمونے میں تغیر ہے اور mi ith نمونے کا اوسط ہے جب آبادی منفی بائنومیل تقسیم کی پیروی کرتی ہے، a = 1 اور b = k (منفی بائنومیل تقسیم کا ایکسپونینٹ)۔ یہ متبادل تشکیل زیادہ تر مطالعات میں ٹیلر کے قانون کی طرح مناسب نہیں پائی گئی ہے۔ نچمان ماڈل نچمان نے اوسط کثافت اور صفر گنتی والے نمونوں کے تناسب کے درمیان تعلق کی تجویز پیش کی: جہاں p0 صفر گنتی والے نمونے کا تناسب ہے، m اوسط کثافت ہے، a ایک پیمانے کا پیمانہ ہے اور b ایک بازی کا پیمانہ ہے۔ اگر a = b = 1 تو تقسیم بے ترتیب ہے۔ اس رشتے کی جانچ عام طور پر اس کی لوگرتھمک شکل میں کی جاتی ہے۔ آلسوپ نے ٹیلر کے قانون کے ساتھ اس رشتے کو ایک نمونے میں متاثرہ اکائیوں کے تناسب کے لیے ایک اظہار حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جہاں D2 مطلوبہ درستگی کی ڈگری ہے، zα/2 معمول کی تقسیم کا اوپری α/2 ہے، a اور b ٹیلر کے قانون کے گتانک ہیں، c اور d نچمین گتانک ہیں، n نمونہ کا سائز ہے اور N متاثرہ اکائیوں کی تعداد ہے۔ کونو-سوگینو مساوات بائنری سیمپلنگ ماحولیات میں غیر معمولی طور پر استعمال نہیں ہوتی ہے۔ 1958 میں کونو اور سوگینو نے ایک مساوات اخذ کی جو انفرادی نمونوں کے بغیر نمونوں کے تناسب کو نمونوں کی اوسط کثافت سے جوڑتی ہے۔ جہاں p0 نمونے کا تناسب ہے جس میں کوئی فرد نہیں ہے، m اوسط نمونے کی کثافت ہے، a اور b مستقل ہیں۔ ٹیلر کے قانون کی طرح یہ مساوات مختلف آبادیوں کے مطابق پائی گئی ہے جن میں وہ بھی شامل ہیں جو ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتے ہیں۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن کے برعکس یہ ماڈل اوسط کثافت سے آزاد ہے۔ اس مساوات کا مشتق سیدھا ہے۔ خالی اکائیوں کا تناسب p0 ہونے دیں اور فرض کریں کہ یہ تیزی سے تقسیم کیے گئے ہیں۔ پھر دو بار لاگ لے کر اور دوبارہ ترتیب دے کر، ہم اوپر کی مساوات حاصل کرتے ہیں۔ یہ ماڈل وہی ہے جو نچمان نے تجویز کیا تھا۔ اس ماڈل کا فائدہ یہ ہے کہ اس میں افراد کو شمار کرنے کی ضرورت نہیں ہے بلکہ ان کی موجودگی یا غیر موجودگی کی ضرورت ہے۔ بہت سے معاملات میں افراد کی گنتی ممکن نہیں ہو سکتی ہے، خاص طور پر جہاں کیڑے مکوڑے مطالعہ کا موضوع ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ مساوات متاثرہ چاول کی پہاڑیوں کے سلسلے کے تناسب P اور انفیکشن کی اوسط شدت m کے درمیان تعلق کا جائزہ لیتے ہوئے اخذ کی گئی تھی۔ مطالعہ شدہ ماڈل یہ تھا جہاں a اور b تجرباتی مستقل ہیں۔ اس ماڈل کی بنیاد پر مستقلات a اور b اخذ کیے گئے تھے اور P اور mUs کی اقدار سے متعلق ایک جدول تیار کیا گیا تھا۔ اس مساوات سے m کے پیش گوئی شدہ تخمینے تعصب کے تابع ہیں اور یہ تجویز کیا جاتا ہے کہ اس کے بجائے ایڈجسٹڈ مین (Ma) کا استعمال کیا جائے جہاں ور نمونے کی اکائی کا تغیر ہے جس کا مطلب ہے کہ mi اور m مجموعی اوسط ہے۔ اوسط تخمینوں میں ایک متبادل ایڈجسٹمنٹ وہ ہے جہاں ایم ایس ای رجعت کی اوسط مربع غلطی ہے۔ اس ماڈل کو عددی (ترتیب وار) نمونے لینے کے لیے سٹاپ لائنوں کا اندازہ لگانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تخمینہ شدہ ذرائع کا تغیر وہ ہے جہاں ایم ایس ای رجعت کی اوسط مربع غلطی ہے، α اور β بالترتیب رجعت کی مستقل اور ڈھلوان ہیں، sβ2 رجعت کی ڈھلوان کا تغیر ہے، N رجعت میں پوائنٹس کی تعداد ہے، n نمونے کی اکائیوں کی تعداد ہے اور p رجعت میں p0 کی اوسط قیمت ہے۔ پیرامیٹرز a اور b کا تخمینہ ٹیلر کے قانون سے لگایا گیا ہے: ہیوز-میڈن مساوات ہیوز اور میڈن نے کلسٹر میں بائنری مشاہدات پر لاگو ہونے والے اسی طرح کے تعلقات کی جانچ کی تجویز پیش کی ہے، جہاں ہر کلسٹر میں 0 سے n افراد ہوتے ہیں۔ جہاں a، b اور c مستقل ہیں، ویروبس مشاہدہ شدہ تغیر ہے، اور p ان افراد کا تناسب ہے جن کی خاصیت (جیسے بیماری) ہے، جو کسی خاصیت والے فرد کے امکان کا تخمینہ ہے۔ لوگرتھمک شکل میں، یہ رشتہ ہے۔ زیادہ تر معاملات میں، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ b = c، جو ایک سادہ ماڈل کی طرف لے جاتا ہے۔ اس رشتے کی ٹیلر کے قانون سے کم وسیع جانچ کی گئی ہے۔ تاہم، اس نے 100 سے زیادہ ڈیٹا سیٹوں کو درست طریقے سے بیان کیا ہے، اور ایسی کوئی شائع شدہ مثالیں نہیں ہیں جن میں بتایا گیا ہو کہ یہ کام نہیں کرتا ہے۔ اس مساوات کا ایک متغیر شییومی اور دیگر نے تجویز کیا تھا۔ () جس نے رجعت کی جانچ کرنے کا مشورہ دیا جہاں وربس تغیر ہے، a اور b رجعت کے مستقل ہیں، n یہاں نمونے کا سائز ہے (نمونے فی کلسٹر نہیں) اور p کم از کم ایک فرد پر مشتمل نمونے کا امکان ہے۔ منفی بائنومیل ڈسٹری بیوشن ماڈل ایک منفی بائنومیل ماڈل بھی تجویز کیا گیا ہے۔ لمحات کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے منتشر پیرامیٹر (k) m2/(s2-m) ہے اور پائی گنتی> 0 والے نمونوں کا تناسب ہے۔ k کے حساب میں استعمال ہونے والی s2 وہ اقدار ہیں جن کی پیش گوئی ٹیلر کے قانون نے کی ہے۔ پائی کو 1 − (k (k + m) −1) k کے خلاف پلاٹ کیا گیا ہے اور ڈیٹا کے فٹ کا بصری معائنہ کیا جاتا ہے۔ پیری اور ٹیلر نے ٹیلر کے قانون کی بنیاد پر k کا ایک متبادل تخمینہ تجویز کیا ہے۔ زیادہ سے زیادہ امکان کے طریقہ کار کے ساتھ منتشر پیرامیٹر کا بہتر تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ منفی بائنومیل کے لیے اس کا اندازہ اس مساوات سے لگایا جا سکتا ہے جہاں Ax x سے زیادہ افراد والے نمونوں کی کل تعداد ہے، N افراد کی کل تعداد ہے، x نمونے میں افراد کی تعداد ہے، m فی نمونے افراد کی اوسط تعداد ہے اور k ایکسپونینٹ ہے۔ k کی قدر کا تخمینہ عددی طور پر لگانا پڑتا ہے۔ اس ماڈل کی فٹ کی اچھائی کی جانچ کئی طریقوں سے کی جا سکتی ہے جن میں چی اسکوائر ٹیسٹ کا استعمال بھی شامل ہے۔ چونکہ یہ چھوٹے نمونوں کے ذریعہ متعصبانہ ہو سکتے ہیں اس لیے ایک متبادل U اعدادوشمار ہے-منفی بائنومیل تقسیم اور نمونے کے تحت متوقع تغیر کے درمیان فرق۔ اس تقسیم کا متوقع تغیر m + m2/k ہے اور جہاں s2 نمونہ تغیر ہے، m نمونہ کا اوسط ہے اور k منفی بائنومیل پیرامیٹر ہے۔ U کا تغیر ہے جہاں p = m/k، q = 1 + p، R = p/q اور N نمونے میں افراد کی کل تعداد ہے۔ U کی متوقع قیمت 0 ہے۔ بڑے نمونے کے سائز کے لیے U عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ نوٹ: منفی بائنومیل دراصل تقسیم کا ایک خاندان ہے جس کی تعریف اوسط اور تغیر کے تعلق سے ہوتی ہے جہاں a اور p مستقل ہوتے ہیں۔ جب a = 0 ہوتا ہے تو یہ پوسن کی تقسیم کی وضاحت کرتا ہے۔ پی = 1 اور پی = 2 کے ساتھ، تقسیم کو بالترتیب این بی 1 اور این بی 2 تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ ماڈل اس کا ایک ورژن ہے جو بارلیٹ نے پہلے تجویز کیا تھا۔ عام منتشر پیرامیٹر کے لیے ٹیسٹ منتشر پیرامیٹر (k) وہ جگہ ہے جہاں m نمونہ کا مطلب ہے اور s2 تغیر ہے۔ اگر k−1> 0 ہے تو آبادی کو مجموعی سمجھا جاتا ہے ؛ k−1 = 0 آبادی کو بے ترتیب سمجھا جاتا ہے ؛ اور اگر k−1 <0 ہے تو آبادی کو یکساں طور پر تقسیم سمجھا جاتا ہے۔ ساؤتھ ووڈ نے عام منتشر پیرامیٹر (کے سی) کے وجود کی جانچ کرنے کے لیے اوسط اور مستقل کے خلاف کے کو ریگرس کرنے کی سفارش کی ہے جہاں کی اور ایم آئی بالترتیب منتشر پیرامیٹر اور ith نمونے کا اوسط ہیں۔ ایک ڈھلوان (b) کی قدر نمایاں طور پر> 0 اوسط کثافت پر k کے انحصار کی نشاندہی کرتی ہے۔ ایلیٹ نے ایک متبادل طریقہ تجویز کیا جس نے (m2−s2/n) کے خلاف پلاٹنگ (s2−m) کی تجویز پیش کی۔ kc اس رجعت کے 1/ڈھلوان کے برابر ہے۔ چارلیئر گتانک اس گتانک (C) کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ اگر آبادی کو منفی بائنومیل انداز میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، تو C = 100 (1/k) 0.0 جہاں k تقسیم کا منتشر پیرامیٹر ہے۔ اس انڈیکس کی معمول کی تشریح مندرجہ ذیل ہے: آئی سی <1، = 1،> 1 کی اقدار کو یکساں تقسیم، بے ترتیب تقسیم یا مجموعی تقسیم کے معنی میں لیا جاتا ہے۔ اگر ٹیلر کے قانون کو برقرار رکھا جا سکتا ہے، تو لائیڈس انڈیکس کا اوسط ہجوم (آئی ایم سی) نمونے کی اکائی میں موجود دیگر نکات کی اوسط تعداد ہے جس میں بے ترتیب طور پر منتخب کردہ نقطہ ہوتا ہے۔ جہاں m نمونہ کا مطلب ہے اور s2 تغیر ہے۔ لائیڈز انڈیکس آف پیچنیس (آئی پی) یہ پیٹرن کی شدت کی ایک پیمائش ہے جو پتلی ہونے (پوائنٹس کو بے ترتیب ہٹانے) سے متاثر نہیں ہوتی ہے۔ یہ انڈیکس 1988 میں پییلو نے بھی تجویز کیا تھا اور بعض اوقات اسے اسی نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ چونکہ آئی پی کے تغیر کا اندازہ خود فارمولے سے لگانا انتہائی مشکل ہے، اس لیے ایل لیوڈ نے اعداد و شمار میں منفی بائنومیل تقسیم کو فٹ کرنے کا مشورہ دیا۔ یہ طریقہ ایک پیرامیٹر k دیتا ہے پھر پیچنیس کے انڈیکس کی معیاری غلطی کہاں ہے، پیرامیٹر k کا تغیر ہے اور q نمونے لینے والے کواڈریٹس کی تعداد ہے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو پیچنیس ریگریشن ٹیسٹ ایواؤ نے کلمپنگ کی جانچ کے لیے پیچنیس ریگریشن کی تجویز پیش کی۔ y کے خلاف mi کا ایک عام کم سے کم مربع رجعت انجام دیں۔ اس رجعت میں ڈھلوان (b) کی قیمت کلمپنگ کا ایک اشارہ ہے: اگر ڈیٹا پوئسون تقسیم کیا گیا ہے تو ڈھلوان = 1 ہے۔ مستقل (a) ان افراد کی تعداد ہے جو لامحدود کثافت پر مسکن کی اکائی کا اشتراک کرتے ہیں اور <0، 0 یا> 0 ہو سکتے ہیں۔ یہ اقدار بالترتیب مقامی نمونوں میں آبادیوں کی باقاعدگی، بے ترتیب اور جمع کی نمائندگی کرتی ہیں۔ <1 کی قدر کا مطلب یہ لیا جاتا ہے کہ تقسیم کی بنیادی اکائی ایک فرد ہے۔ جہاں اعداد و شمار s2/m مستقل نہیں ہے اس کے بجائے لائیڈ کے اشاریہ کو am + bm2 کے خلاف واپس کرنے کے لیے استعمال کرنے کی سفارش کی گئی ہے جہاں a اور b مستقل ہیں۔ اس رجعت کے لیے دی گئی ڈگری کی درستگی (D) کے لیے نمونے کا سائز (n) اس طرح دیا جاتا ہے جہاں a اس رجعت میں مستقل ہے، b ڈھلوان ہے، m اوسط ہے اور t تقسیم کی اہم قیمت ہے۔ ایواؤ نے اس رجعت کی بنیاد پر ایک ترتیب وار نمونے لینے کے ٹیسٹ کی تجویز پیش کی ہے۔ اس ٹیسٹ کی اوپری اور نچلی حدود اہم کثافت ایم سی پر مبنی ہوتی ہیں جہاں کیڑوں پر قابو پانے کے لیے کارروائی کی ضرورت ہوتی ہے۔ جہاں nu اور Nl بالترتیب اوپری اور نچلی حدود ہیں، a رجعت سے مستقل ہے، b ڈھلوان ہے اور i نمونوں کی تعداد ہے۔ کونو نے اس رجعت کی بنیاد پر ایک متبادل ترتیب وار سٹاپنگ ٹیسٹ بھی تجویز کیا ہے۔ جہاں Tn نمونے کا کل سائز ہے، D درستگی کی ڈگری ہے، n نمونوں کی اکائیوں کی تعداد ہے، a مستقل ہے اور b بالترتیب رجعت سے ڈھلوان ہے۔ کونو کا ٹیسٹ اس شرط سے مشروط ہے کہ n ± (b−1)/D2 پیرلا اور جونز نے ایک متبادل لیکن متعلقہ اسٹاپ لائن تجویز کی ہے جہاں a اور b رجعت کے پیرامیٹرز ہیں، N نمونے لینے والی اکائیوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد ہے اور n انفرادی نمونے کا سائز ہے۔ موریسیٹا کا پھیلاؤ کا اشاریہ موریسیٹا کا پھیلاؤ کا اشاریہ (آئی ایم) اس بات کا پیمانہ ہے کہ پوری آبادی سے بے ترتیب طور پر منتخب کیے گئے دو نکات ایک ہی نمونے میں ہیں۔ اعلی اقدار زیادہ کلمپڈ تقسیم کی نشاندہی کرتی ہیں۔ ایک متبادل تشکیل یہ ہے کہ جہاں n کل نمونے کا سائز ہے، m نمونے کا اوسط ہے اور x انفرادی اقدار ہیں جن میں پورے نمونے پر لیا گیا مجموعہ ہے۔ یہ اس جگہ کے برابر بھی ہے جہاں آئی ایم سی لائیڈ کا ہجوم کا اشاریہ ہے۔ یہ اشاریہ آبادی کی کثافت سے نسبتا آزاد ہے لیکن نمونے کے سائز سے متاثر ہوتا ہے۔ اقدار> 1 کلمپنگ کی نشاندہی کرتی ہیں ؛ اقدار <1 تقسیم کی یکسانیت کی نشاندہی کرتی ہیں اور 1 کی قدر بے ترتیب نمونے کی نشاندہی کرتی ہے۔ موریسیٹا نے دکھایا کہ اعداد و شمار کو n−1 ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ایک چی مربع متغیر کے طور پر تقسیم کیا گیا ہے۔ اس اشاریہ کے لیے ایک متبادل اہمیت کا ٹیسٹ بڑے نمونوں کے لیے تیار کیا گیا ہے۔ جہاں m مجموعی نمونے کا اوسط ہے، n نمونے کی اکائیوں کی تعداد ہے اور z عام تقسیم کا ابسیسا ہے۔ اہمیت کی جانچ عام تقسیم کی اقدار کے مقابلے میں z کی قدر کا موازنہ کرکے کی جاتی ہے۔ اس کے حساب کے لیے ایک فنکشن ویگن پیکیج میں شماریاتی آر زبان میں دستیاب ہے۔ نوٹ کریں، موریسیٹا کے اوورلیپ انڈیکس کے ساتھ الجھن میں نہ پڑیں۔ معیاری موریسیٹا کے انڈیکس اسمتھ گل نے موریسیٹا کے انڈیکس پر مبنی ایک اعدادوشمار تیار کیا جو نمونے کے سائز اور آبادی کی کثافت دونوں سے آزاد ہے اور −1 اور + 1 سے محدود ہے۔ اس اعدادوشمار کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے لگایا جاتا ہے پہلے معمول کے مطابق موریسیٹا کے اشاریہ (آئی ڈی) کا تعین کریں۔ پھر k کو ان اکائیوں کی تعداد ہونے دیں جن سے آبادی کا نمونہ لیا گیا تھا۔ دو اہم اقدار کا حساب لگائیں جہاں χ2 97.5% اور اعتماد کی 2.5 ٪ سطحوں پر n−1 ڈگری آف فریڈم کے لیے چی مربع قدر ہے۔ اس کے بعد معیاری اشاریہ (آئی پی) کا حساب نیچے دیے گئے فارمولوں میں سے ایک سے لگایا جاتا ہے۔ جب آئی ڈی ≤ میک> 1 جب میک> آئی ڈی ≤ 1 جب 1> آئی ڈی ≤ میو جب 1> میو> آئی ڈی آئی پی + 1 اور −1 کے درمیان 95 ٪ اعتماد کے وقفوں کے ساتھ ≤ 0.5 کے درمیان ہوتا ہے۔ اگر پیٹرن بے ترتیب ہے تو آئی پی کی قیمت 0 ہے۔ اگر پیٹرن یکساں ہے تو آئی پی <0 اور اگر پیٹرن جمع دکھاتا ہے تو آئی پی> 0۔ ساؤتھ ووڈ کے مقامی جمع کے اشاریہ ساؤتھ ووڈ کے مقامی جمع کے اشاریہ (k) کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں m نمونے کا اوسط ہے اور m * لائیڈ کا ہجوم کا اشاریہ ہے۔ فشرز انڈیکس آف ڈسپریشن فشرز انڈیکس آف ڈسپریشن فشر آر اے (1925) تحقیقی کارکنوں کے لیے شماریاتی طریقے۔ ہافنر، نیویارک یہ انڈیکس آبادی کے زیادہ پھیلاؤ کی جانچ کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ تجویز کی جاتی ہے کہ ایپلی کیشنز میں n> 5 اور نمونے کی کل تعداد کو نمونوں کی تعداد سے تقسیم کر کے> 3 ہو۔ علامتوں میں جہاں x ایک انفرادی نمونہ قدر ہے۔ انڈیکس کی توقع n کے برابر ہے اور جب آبادی پوئسون تقسیم کی جاتی ہے تو اسے n − 1 ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی مربع تقسیم کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ جب آبادی گاما تقسیم کی پابندی کرتی ہے تو یہ پیمانے کے پیرامیٹر کے برابر ہوتا ہے۔ اس کا اطلاق مجموعی آبادی اور انفرادی طور پر نمونے لیے گئے انفرادی علاقوں دونوں پر کیا جا سکتا ہے۔ انفرادی نمونے والے علاقوں پر اس ٹیسٹ کے استعمال میں بونفرونی اصلاحی عنصر کا استعمال بھی شامل ہونا چاہیے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو کلسٹر سائز کا اشاریہ کلسٹر سائز کا اشاریہ (آئی سی ایس) ڈیوڈ اور مور نے بنایا تھا۔ بے ترتیب (پوسن) تقسیم کے تحت آئی سی ایس کے 0 کے برابر ہونے کی توقع ہے۔ مثبت اقدار کلمپڈ تقسیم کی نشاندہی کرتی ہیں ؛ منفی اقدار یکساں تقسیم کی نشاندہی کرتی ہیں۔ جہاں s2 تغیر ہے اور m اوسط ہے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو ICS بھی کاٹز کے ٹیسٹ کے اعداد و شمار کے برابر ہے جسے (n/2) 1/2 سے تقسیم کیا گیا ہے جہاں n نمونے کا سائز ہے۔ اس کا تعلق کلاپھم کے ٹیسٹ کے اعداد و شمار سے بھی ہے۔ اسے بعض اوقات کلمپنگ انڈیکس بھی کہا جاتا ہے۔ گرین انڈیکس گرین انڈیکس (جی آئی) کلسٹر سائز کے انڈیکس کی ایک ترمیم ہے جو نمونے کی اکائیوں کی تعداد n سے آزاد ہے۔ یہ انڈیکس 0 کے برابر ہوتا ہے اگر تقسیم بے ترتیب ہو، 1 اگر یہ زیادہ سے زیادہ مجموعی ہو اور −1/(nm−1) اگر یہ یکساں ہو۔ گرین انڈیکس کی تقسیم فی الحال معلوم نہیں ہے اس لیے اس کے لیے شماریاتی ٹیسٹ وضع کرنا مشکل رہا ہے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو بائنری ڈسپرل انڈیکس بائنری سیمپلنگ (موجودگی/غیر موجودگی) اکثر استعمال کیا جاتا ہے جہاں درست گنتی حاصل کرنا مشکل ہوتا ہے۔ منتشر اشاریہ (D) اس وقت استعمال ہوتا ہے جب مطالعہ کی آبادی کو مساوی نمونوں کی سیریز میں تقسیم کیا جاتا ہے (اکائیوں کی تعداد = N: فی نمونے کی اکائیوں کی تعداد = n: کل آبادی کا سائز = n x N)۔ بائنومیل تقسیم والی آبادی سے نمونے کا نظریاتی تغیر یہ ہے کہ جہاں s2 تغیر ہے، n نمونے لینے والی اکائیوں کی تعداد ہے اور p نمونے لینے والی اکائیوں کا اوسط تناسب ہے جس میں کم از کم ایک فرد موجود ہے۔ منتشر اشاریہ (D) کی تعریف مشاہدہ شدہ تغیر اور متوقع تغیر کے تناسب کے طور پر کی گئی ہے۔ علامتوں میں جہاں وربس مشاہدہ شدہ تغیر ہے اور وربن متوقع تغیر ہے۔ متوقع تغیر کا حساب آبادی کے مجموعی اوسط سے لگایا جاتا ہے۔ D> 1 کی اقدار کو جمع کرنے کی تجویز سمجھا جاتا ہے۔ D (n−1) کو n−1 ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی مربع متغیر کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے جہاں n نمونے لینے والی اکائیوں کی تعداد ہے۔ ایک متبادل ٹیسٹ سی ٹیسٹ ہے۔ جہاں D منتشر اشاریہ ہے، n فی نمونے کی اکائیوں کی تعداد ہے اور N نمونوں کی تعداد ہے۔ C عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ C کی شماریاتی طور پر اہم قدر اس بات کی نشاندہی کرتی ہے کہ population.D کی حد سے زیادہ بازی کا تعلق انٹرا کلاس ارتباط (ρ) سے بھی ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں T فی نمونے میں حیاتیات کی تعداد ہے، p حیاتیات کی مطلوبہ خاصیت (بیمار، کیڑوں سے پاک، وغیرہ) کا امکان ہے، اور xi اس خاصیت کے ساتھ ith یونٹ میں موجود حیاتیات کی تعداد ہے۔ ٹی تمام نمونے والی اکائیوں کے لیے یکساں ہونا چاہیے۔ اس صورت میں n مستقل کے ساتھ اگر ڈیٹا کو بیٹا-بائنومیل تقسیم کے ساتھ نصب کیا جا سکتا ہے تو جہاں θ تقسیم کا پیمانہ ہے۔ ما کی آبادی جمع کرنے کی اہم کثافت ما نے ایک پیرامیٹر (m0)-آبادی جمع کرنے کی اہم کثافت-تجویز کی ہے تاکہ آبادی کی کثافت کو ٹیلر کے قانون سے جوڑا جا سکے۔ متعلقہ اعداد و شمار متعدد شماریاتی ٹیسٹ معلوم ہیں جو ایپلی کیشنز میں مفید ہو سکتے ہیں۔ ڈی اولیوریا کے اعداد و شمار ڈی اولیوریا کی طرف سے تجویز کردہ ایک متعلقہ اعداد و شمار تغیر اور اوسط کا فرق ہے۔ اگر آبادی پوسن تقسیم شدہ ہے تو جہاں t پوسن پیرامیٹر ہے، s2 تغیر ہے، m اوسط ہے اور n نمونہ کا سائز ہے۔ s2-m کی متوقع قیمت صفر ہے۔ یہ اعداد و شمار عام طور پر تقسیم کیے جاتے ہیں۔ اگر اس مساوات میں پوئسون پیرامیٹر کا تخمینہ t = m ڈال کر لگایا جاتا ہے، تو تھوڑی سی ہیرا پھیری کے بعد اس اعدادوشمار کو لکھا جا سکتا ہے۔ یہ تقریبا کاٹز کے اعدادوشمار سے ملتا جلتا ہے جس میں (n-1) n کی جگہ لے رہا ہے۔ پھر او ٹی کو عام طور پر اوسط 0 اور بڑے n کے لیے یونٹ تغیر کے ساتھ تقسیم کیا جاتا ہے۔ یہ اعدادوشمار نیمین سکاٹ کے اعدادوشمار کی طرح ہے۔ نوٹ ڈی اولیوریا نے اصل میں تجویز کیا کہ s2-m کا تغیر (1-2t1/2 + 3t)/n تھا جہاں t پوئسون پیرامیٹر ہے۔ انہوں نے تجویز کیا کہ ٹی کا تخمینہ نمونے کے اوسط (ایم) کے برابر رکھ کر لگایا جا سکتا ہے۔ بوہننگ کی مزید تحقیقات سے پتہ چلا کہ تغیر کا یہ تخمینہ غلط تھا۔ بوہننگ کی اصلاح مندرجہ بالا مساوات میں دی گئی ہے۔ کلاپھم کا ٹیسٹ 1936 میں کلاپھم نے اوسط کے تغیر کے تناسب کو ٹیسٹ کے اعدادوشمار (رشتہ دار تغیر) کے طور پر استعمال کرنے کی تجویز پیش کی۔ علامتوں میں ملکیت کی تقسیم کے لیے یہ تناسب 1 کے برابر ہے۔ اس قدر سے انحراف کی جانچ کرنے کے لیے اس نے n ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی مربع کی تقسیم کے خلاف اس کی قدر کی جانچ کرنے کی تجویز پیش کی جہاں n نمونے کی اکائیوں کی تعداد ہے۔ اس اعداد و شمار کی تقسیم کا مزید مطالعہ بلیک مین نے کیا جس نے نوٹ کیا کہ یہ تقریبا عام طور پر 1 کے اوسط اور 1 کے تغیر (Vθ) کے ساتھ تقسیم کیا گیا تھا۔ اس تغیر کی مشتق کا دوبارہ تجزیہ بارٹلیٹ نے کیا جس نے اسے سمجھا۔ بڑے نمونوں کے لیے یہ دونوں فارمولے تقریبا متفق ہیں۔ یہ ٹیسٹ بعد کے کاٹز کے جے این اعدادوشمار سے متعلق ہے۔ اگر آبادی ٹیلر کے قانون کی پابندی کرتی ہے تو اس ٹیسٹ پر نوٹ اے ریفائنمنٹ بھی شائع کیا گیا ہے۔ ان مصنفین نے نوٹ کیا کہ اصل ٹیسٹ اعداد و شمار میں موجود نہ ہونے کے باوجود بھی اعلی پیمانے پر حد سے زیادہ پھیلاؤ کا پتہ لگانے کا رجحان رکھتا ہے۔ انہوں نے نوٹ کیا کہ ملٹی نومیل ڈسٹری بیوشن کا استعمال اس طرح کے ڈیٹا کے لیے پوئسون ڈسٹری بیوشن کے استعمال سے زیادہ مناسب ہو سکتا ہے۔ اعداد و شمار θ تقسیم کیا جاتا ہے جہاں N نمونے کی اکائیوں کی تعداد ہے، n جانچ شدہ نمونوں کی کل تعداد ہے اور xi انفرادی ڈیٹا ویلیوز ہیں۔ θ کی توقع اور تغیرات بڑے N کے لیے، E (θ) تقریبا 1 ہے اور اگر نمونے لیے گئے افراد (n ") کی تعداد زیادہ ہے تو تغیر کا یہ تخمینہ پہلے اخذ کردہ افراد سے متفق ہے۔ تاہم، چھوٹے نمونوں کے لیے یہ مؤخر الذکر تخمینے زیادہ درست ہیں اور ان کا استعمال کیا جانا چاہیے۔ موریسیٹا کا اوورلیپ انڈیکس بھی دیکھیں قبضہ کا قدرتی ایکسپونینشل فیملی اسکیلنگ پیٹرن مقامی ماحولیات واٹسن کا طاقت کا قانون کثافت-بڑے پیمانے پر ایلومیٹری تغیر-بڑے پیمانے پر حوالہ جات ماحولیات حیاتیات کے قوانین طاقت کے قوانین شماریاتی انحراف اور بازی شماریاتی قوانین ماحولیاتی اعداد و شمار