Stufe (algebra)
فیلڈ تھیوری میں، ریاضی کی ایک شاخ، کسی فیلڈ F کا سٹوف (/ʃtuːfə/؛ جرمن: لیول) s (F) مربعوں کی سب سے کم تعداد ہے جس کا مجموعہ −1 ہے۔ اگر-1 کو مربعوں کے مجموعے کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا، تو s (F) =۔ اس صورت میں، F ایک رسمی طور پر حقیقی فیلڈ ہے۔ البرچٹ فسٹر نے ثابت کیا کہ اسٹوف، اگر محدود ہے، تو ہمیشہ 2 کی طاقت ہوتی ہے، اور اس کے برعکس 2 کی ہر طاقت ہوتی ہے۔ 2 کی طاقتیں اگر پھر کسی قدرتی عدد کے لیے۔ ثبوت: اس طرح منتخب کیا جائے۔ جانے دیں۔ پھر ایسے عناصر ہوتے ہیں جو دونوں اور مربعوں کے مجموعے ہوتے ہیں، اور چونکہ دوسری صورت میں، اس مفروضے کے برعکس ہوتے ہیں۔ فسٹر فارمز کے نظریہ کے مطابق، پروڈکٹ خود مربعوں کا مجموعہ ہے، یعنی کچھ کے لیے۔ لیکن چونکہ، ہمارے پاس بھی ہے، اور اس لیے اور اس طرح۔ مثبت خصوصیت مثبت خصوصیت والے کسی بھی شعبے میں ہوتی ہے۔ ثبوت: چلو۔ یہ دعوی ثابت کرنے کے لیے کافی ہے۔ اگر ایسا ہے تو۔ اگر مربعوں کے سیٹ پر غور کریں۔ اشاریہ کا ایک ذیلی گروہ ہے جو چکور گروپ میں عناصر کے ساتھ ہے۔ اس طرح بالکل عناصر پر مشتمل ہے، اور اسی طرح ہوتا ہے۔ چونکہ صرف عناصر مجموعی طور پر ہوتے ہیں، اور جدا نہیں ہو سکتے، یعنی اس کے ساتھ اور اس طرح ہوتے ہیں۔ اسٹوف s (F) کا تعلق پائیتھاگورس نمبر p (F) سے p (F) ≤ s (F) + 1 سے ہے۔ اگر F باضابطہ طور پر حقیقی نہیں ہے تو s (F) ≤ p (F) ≤ s (F) + 1۔ فارم (1) کی اضافی ترتیب، اور اس لیے F کے وٹ گروپ کا ایکسپونینٹ 2s (F) کے برابر ہے۔ مثالیں چوتھائی طور پر بند فیلڈ کا اسٹف 1 ہے۔ الجبرائی نمبر فیلڈ کا اسٹوف ν، 1، 2 یا 4 (سیگل کا نظریہ) ہے۔ مثال کے طور پر ق، ق (ρ−1)، ق (ρ−2) اور ق (ρ−7) ہیں۔ ایک محدود فیلڈ GF (q) کا اسٹوف 1 ہے اگر q ष्ण 1 موڈ 4 اور 2 اگر q ष्ण 3 موڈ 4 ہے۔ عجیب بقیہ خصوصیت والے مقامی فیلڈ کا اسٹف اس کے بقیہ فیلڈ کے برابر ہوتا ہے۔ 2-اڈک فیلڈ Q2 کا سٹوف 4 ہے۔ نوٹس حوالہ جات مزید پڑھنے کا میدان (ریاضی)