Bipolar theorem
ریاضی میں، دو قطبی نظریہ فنکشنل تجزیہ میں ایک نظریہ ہے جو کسی سیٹ کے دو قطبی (یعنی قطبی کے قطبی) کی خصوصیت رکھتا ہے۔ کنویکس تجزیہ میں، دو قطبی نظریہ ایک شنک کے دو قطبی کے برابر ہونے کے لیے ضروری اور کافی شرائط سے مراد ہے۔ دو قطبی نظریہ کو فینچل-موریو نظریہ کے ایک خاص معاملے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ابتدائی اصول فرض کریں کہ یہ ایک ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس (ٹی وی ایس) ہے جس میں مسلسل دوہری جگہ ہے اور سب کے لیے لیٹ اور ایک سیٹ کا کنویکس ہل سب سے چھوٹا کنویکس سیٹ ہے جس میں ایک سیٹ کا کنویکس بیلنسڈ ہل سب سے چھوٹا کنویکس بیلنسڈ سیٹ ہے جس میں ذیلی سیٹ کا پولر اس طرح بیان کیا گیا ہے: جبکہ ذیلی سیٹ کا پری پولر یہ ہے: ایک ذیلی سیٹ کا دو قطبی جسے اکثر فنکشنل تجزیہ میں سیٹ سٹیٹمنٹ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے آئیے کمزور ٹوپولوجی کو ظاہر کریں (یعنی تمام لکیری فنکشنلز کو مسلسل بنانے پر کمزور ترین ٹی وی ایس ٹوپولوجی)۔ دو قطبی نظریہ: کسی ذیلی سیٹ کا دو قطبی کنویکس تجزیہ میں بیان کے کنویکس متوازن ہل کے بند ہونے کے برابر ہوتا ہے۔ دو قطبی نظریہ: کسی لکیری جگہ میں کسی بھی غیر خالی شنک کے لیے دو قطبی سیٹ اس طرح دیا جاتا ہے: خصوصی صورت A ذیلی سیٹ ایک غیر خالی بند کنویکس شنک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی سیٹ کے مثبت دوہری شنک کو ظاہر کرتا ہے یا زیادہ عام طور پر، اگر غیر خالی کنویکس شنک ہے تو دو قطبی شنک فینچل-موریؤ تھیوریم کے تعلق سے دیا جاتا ہے۔ حوالہ جات ببلیوگرافی کنویکس تجزیہ فنکشنل تجزیہ تجزیہ میں نظریہ لکیری افعال