Tate curve
ریاضی میں، ٹیٹ وکر ایک وکر ہے جس کی وضاحت انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ رسمی پاور سیریز کے رنگ پر کی جاتی ہے۔ کھلے سبسکیم کے اوپر جہاں q الٹا ہے، ٹیٹ وکر ایک الپٹک وکر ہے۔ ٹیٹ وکر کو q کے لیے 1 سے کم معیار کی مکمل فیلڈ کے عنصر کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے، ایسی صورت میں رسمی پاور سیریز یکجا ہوتی ہے۔ ٹیٹ وکر کو 1959 کے ایک مخطوطے میں متعارف کرایا گیا تھا جس کا اصل عنوان "ریشنل پوائنٹس آن ایلیپٹک وکرز اوور کمپلیٹ فیلڈز" تھا۔ اس نے کئی سال بعد تک اپنے نتائج شائع نہیں کیے، اور اس کا کام پہلی بار 1959 میں شائع ہوا۔ تعریف ٹیٹ وکر رسمی پاور سیریز کے رنگ Z پر پروجیکٹو طیارہ وکر ہے جس میں انٹیجر کوفیشنٹس (پروجیکٹو پلین کے ایک افائن اوپن سب سیٹ میں) مساوات کے ذریعہ دیئے گئے ہیں جہاں انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ پاور سیریز ہیں۔ ایک مکمل فیلڈ پر ٹیٹ وکر فرض کریں کہ فیلڈ k کسی مطلق قدر | | کے حوالے سے مکمل ہے، اور q فیلڈ k کا ایک غیر صفر عنصر ہے جس کے ساتھ |q | <1 ہے۔ پھر سب سے اوپر کا سلسلہ یکجا ہوتا ہے، اور k پر ایک الپٹک منحنی خطوط کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر اس کے علاوہ q غیر صفر ہے تو k */qZ سے اس الپٹک منحنی خطوط تک گروپوں کی ایک آئسومورفزم ہوتی ہے، جس میں q کی طاقت نہیں، جہاں اور q کی طاقتوں کو الپٹک منحنی خطوط کے لامحدود مقام پر نقطہ تک لے جاتے ہیں۔ سیریز x (ڈبلیو) اور y (ڈبلیو) ڈبلیو میں رسمی پاور سیریز نہیں ہیں۔ بدیہی مثال مکمل فیلڈ پر منحنی خطوط کی صورت میں، تصور کرنے کا سب سے آسان معاملہ یہ ہے کہ ایک ضرب مدت سے پیدا ہونے والا مجرد ذیلی گروپ کہاں ہے، جہاں مدت ہے۔ نوٹ کریں کہ اس کے لیے آئسومورفک ہے، جہاں پیچیدگیاں جمع کی جا رہی ہیں۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ ٹیٹ وکر اخلاقی طور پر ٹورس سے مطابقت کیوں رکھتا ہے جب کہ فیلڈ معمول کے مطابق C ہے، پہلے سے ہی واحد دورانیہ ہے ؛ q کی انٹیگرل طاقتوں سے باہر نکلنا جس سے آپ باہر نکل رہے ہیں، جو کہ ٹورس ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہمارے پاس ایک اینولس ہے، اور ہم اندرونی اور بیرونی کناروں کو چپکاتے ہیں۔ لیکن اینولس دائرے مائنس ایک پوائنٹ سے مطابقت نہیں رکھتا: اینولس q کی دو مسلسل طاقتوں کے درمیان پیچیدہ اعداد کا مجموعہ ہے۔ 1 اور q کے درمیان شدت والے تمام پیچیدہ اعداد کہیں۔ یہ ہمیں دو دائرے دیتا ہے، یعنی اینولس کے اندرونی اور بیرونی کنارے۔ یہاں دی گئی ٹورس کی تصویر اندرونی حلقوں کا ایک گچھا ہے جو جیسے جیسے اصل کے قریب پہنچتے جاتے ہیں تنگ اور تنگ ہوتے جاتے ہیں۔ یہ کاغذ کی چپٹی شیٹ سے شروع ہونے والے معمول کے طریقہ سے قدرے مختلف ہے، اور سلنڈر بنانے کے لیے اطراف کو ایک ساتھ جوڑنا، اور پھر سلنڈر کے کناروں کو ایک ساتھ جوڑ کر ٹورس بنانا۔ یہ قدرے حد سے زیادہ آسان ہے۔ ٹیٹ وکر واقعی سی پر منحنی خطوط کے بجائے ایک رسمی پاور سیریز رنگ پر ایک منحنی خطوط ہے۔ بدیہی طور پر، یہ منحنی خطوط کا ایک خاندان ہے جو ایک رسمی پیرامیٹر پر منحصر ہے۔ جب وہ رسمی پیرامیٹر صفر ہوتا ہے تو یہ ایک پنچڈ ٹورس میں تبدیل ہو جاتا ہے، اور جب یہ غیر صفر ہوتا ہے تو یہ ٹورس ہوتا ہے)۔ خصوصیات ٹیٹ وکر کا جے-غیر متغیر q میں ایک پاور سیریز کے ذریعے دیا جاتا ہے جس میں اہم اصطلاح q−1 ہوتی ہے۔ پی-اڈک مقامی فیلڈ پر، اس لیے، جے غیر مربوط ہے اور ٹیٹ وکر میں ضرب کی قسم کی نیم تخفیف ہوتی ہے۔ اس کے برعکس، مقامی فیلڈ پر ہر سیمی ایبل ایلپٹک وکر ٹیٹ وکر (کواڈریٹک موڑ تک) کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ حوالہ جات الپٹک منحنی خطوط