Bring's curve
ریاضی میں، برائنز وکر (جسے برائنز سرفیس بھی کہا جاتا ہے اور، کلین کوارٹک کے ساتھ مشابہت سے، برائن سیکسٹک) وہ وکر ہے جسے یکساں مساوات کے ذریعے کاٹا جاتا ہے۔ اس کا نام ایرلینڈ سیموئل برائن کے نام پر رکھا گیا تھا جس نے 1786 میں اسی طرح کی تعمیر کا مطالعہ کیا تھا۔ نوٹ کریں کہ برائن کوئنٹک کی جڑیں xi برائن کے منحنی خطوط کو مطمئن کرتی ہیں کیونکہ وکر کا آٹومورفزم گروپ ترتیب 120 کا سمیٹرک گروپ S5 ہے، جو 5 نقاط کی ترتیب سے دیا گیا ہے۔ یہ جینس 4 پیچیدہ منحنی خطوط کا سب سے بڑا ممکنہ آٹومورفزم گروپ ہے۔ منحنی خطوط کو 12 نکات پر شاخوں والے دائرے کے ٹرپل کور کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے، اور یہ ریمن کی سطح ہے جو چھوٹے اسٹیلڈ ڈوڈیکاہڈرون سے وابستہ ہے۔ اس کی جینس 4 ہے۔ سمیٹریز کا مکمل گروپ (بشمول عکاسی) براہ راست پروڈکٹ ہے، جس کی ترتیب 240 ہے۔ بنیادی ڈومین اور سسٹول برائنز وکر کو ریمن کی سطح کے طور پر ہائپربولک آئکوسگن کے اطراف کو جوڑ کر حاصل کیا جا سکتا ہے (بنیادی کثیر الاضحی دیکھیں)۔ شناخت کا نمونہ ملحقہ خاکہ میں دیا گیا ہے۔ آئکوسگن (رقبے کا، گاؤس-بونٹ تھیوریم کے ذریعہ) کو 240 (2,4,5) مثلثوں سے ٹیسلیٹ کیا جا سکتا ہے۔ وہ اعمال جو ان مثلثوں میں سے ایک کو دوسرے مثلث میں منتقل کرتے ہیں وہ سطح کے آٹومورفزم کا مکمل گروپ دیتے ہیں (بشمول عکاسی)۔ عکاسی کو چھوٹ دیتے ہوئے، ہمیں تعارف میں مذکور 120 آٹومورفزم ملتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ 120 252 سے کم ہے، جو کہ ہرٹز کے آٹومورفزم تھیوریم کے مطابق جینس 4 کی سطح کے لیے اجازت شدہ آٹومورفزم کو محفوظ رکھنے والی واقفیت کی زیادہ سے زیادہ تعداد ہے۔ لہذا، برائن کی سطح ہرٹز سطح نہیں ہے۔ یہ ہمیں یہ بھی بتاتا ہے کہ جینس 4 کی ہروٹز سطح موجود نہیں ہے۔ سمیٹریز کے مکمل گروپ میں درج ذیل پیشکش ہوتی ہے: شناخت کا عمل کہاں ہے، بنیادی کثیر الاضحی کے مرکز کے ارد گرد ترتیب 5 کی گردش ہے، عمودی پر ترتیب 2 کی گردش ہے جہاں 4 (2,4,5) مثلث ٹیسلیشن میں ملتے ہیں، اور حقیقی لکیر میں عکاسی کرتے ہیں۔ اس پریزنٹیشن سے، GAP کا استعمال کرتے ہوئے برائنز سرفیس کے سمیٹری گروپ کے لینیر ریپریزنٹیشن تھیوری کے بارے میں معلومات کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اس گروپ میں چار 1 جہتی، چار 4 جہتی، چار 5 جہتی، اور دو 6 جہتی ناقابل تلافی نمائشیں ہیں، اور ہمارے پاس توقع کے مطابق ہے۔ سطح کے سسٹول کی لمبائی اور ضرب 20 ہے، جو اس لمبائی کا جیوڈیسیک لوپ ہے جو 240 (2,4,5) مثلثوں میں سے بارہ کی مربوط اونچائی پر مشتمل ہے۔ اسی طرح کلین کوارٹک کی طرح، آٹومورفزم گروپ کے سائز کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے باوجود، برائن کی سطح اپنے ٹپوولوجیکل زمرے (یعنی ایک ہی جینس والی سطحوں) میں کمپیکٹ ریمن سطحوں کے درمیان سسٹول کی لمبائی کو زیادہ سے زیادہ نہیں کرتی ہے۔ سسٹول کو ممکنہ طور پر اس سطح سے زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے جس کا حوالہ ایم 4 میں دیا جاتا ہے۔ M4 کی سسٹول لمبائی ہے اور اس کی کثرت 36 ہے۔ سپیکٹرم تھیوری برائنز سرفیس کے سپیکٹرم تھیوری کے بارے میں بہت کم معلوم ہے، تاہم، یہ ممکنہ طور پر اس شعبے میں دلچسپی کا باعث بن سکتا ہے۔ بولزا کی سطح اور کلین کوارٹک میں بالترتیب نسل 2 اور 3 میں مستقل منفی منحنیت کی کمپیکٹ ریمن سطحوں میں سب سے بڑے ہم آہنگی گروپ ہوتے ہیں، اور اس طرح یہ قیاس کیا گیا ہے کہ وہ لیپلیس سپیکٹرم میں پہلی مثبت آئجن ویلیو کو زیادہ سے زیادہ کرتے ہیں۔ اس مفروضے کی حمایت کرنے کے لیے مضبوط عددی ثبوت موجود ہیں، خاص طور پر بولزا کی سطح کے معاملے میں، حالانکہ سخت ثبوت فراہم کرنا اب بھی ایک کھلا مسئلہ ہے۔ اس نمونے پر عمل کرتے ہوئے، کوئی معقول طور پر یہ قیاس کر سکتا ہے کہ برائن کی سطح لیپلاسیئن (اس کی ٹوپولوجیکل کلاس کی سطحوں میں) کی پہلی مثبت آئجن ویلیو کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے۔ بولزا کی سطح کلین کوارٹک میک بیت کی سطح پہلی ہروٹز ٹرپلٹ حوالہ جات الجبرائی منحنی خطوط بھی دیکھیں۔