Product operator formalism
این ایم آر سپیکٹروسکوپی میں، پروڈکٹ آپریٹر فارملزم ایک ایسا طریقہ ہے جو نبض کے سلسلے کے نتائج کا سخت لیکن سیدھے طریقے سے تعین کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس طریقہ کار سے یہ پیش گوئی کرنا ممکن ہے کہ مختلف سمتوں میں لگائی جانے والی دالوں کی کارروائی کے تحت بلک میگنیٹائزیشن وقت کے ساتھ کیسے تیار ہوتی ہے۔ یہ نیم کلاسیکی ویکٹر ماڈل سے ایک خالص بہتری ہے جو این ایم آر سپیکٹروسکوپی میں بہت سے نتائج کی پیش گوئی کرنے کے قابل نہیں ہے اور یہ مکمل کثافت میٹرکس رسمی نظام کی ایک آسان کاری ہے۔ اس ماڈل میں، ایک واحد اسپن کے لیے، چار بیس آپریٹر موجود ہیں:،، اور جو بالترتیب پولرائزیشن (دو اسپن اسٹیٹس کے درمیان آبادی کا فرق)، سنگل کوانٹم کوہرینس (xy پلین پر مقناطیسیت) اور یونٹ آپریٹر کی نمائندگی کرتے ہیں۔ جوڑے ہوئے نظاموں کے لیے بہت سے دوسرے غیر کلاسیکی آپریٹر موجود ہیں۔ اس نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے، آزاد پیش قدمی کے تحت مقناطیسیت کے ارتقاء کی نمائندگی اس کے ذریعے کی جاتی ہے اور یہ ز-محور کے ارد گرد گردش سے مطابقت رکھتا ہے جس میں زیر بحث گردش کی کیمیائی تبدیلی کے متناسب فیز اینگل ہوتا ہے: x اور y محور کے ارد گرد دالوں کی نمائندگی بالترتیب کی جا سکتی ہے۔ یہ طیاروں کے درمیان مقناطیسیت کو آپس میں تبدیل کرنے اور بالآخر ترتیب کے آخر میں اس کا مشاہدہ کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ چونکہ ہر گھماؤ اس کی شفٹ کے لحاظ سے مختلف طریقے سے تیار ہوگا، اس رسمی طور پر یہ حساب لگانا ممکن ہے کہ مقناطیسیت کہاں ختم ہوگی اور اس لیے دوسروں کو چھوڑ کر مطلوبہ سگنل کی پیمائش کے لیے پلس کے سلسلے وضع کریں۔ پروڈکٹ آپریٹر فارملزم خاص طور پر دو جہتوں جیسے سی او ایس وائی، ایچ ایس کیو سی اور ایچ ایم بی سی میں تجربات کو بیان کرنے میں مفید ہے۔ اسپن-1/2 ذرات کے سیٹوں کے لیے تحریک اس پورے حصے میں، سہولت کے لیے کم شدہ پلانک مستقل۔ پروڈکٹ آپریٹر کی رسمی حیثیت عام طور پر اسپن-1/2 ذرات کے سیٹوں پر لاگو ہوتی ہے، کیونکہ یہ حقیقت کہ انفرادی آپریٹرز مطمئن ہوتے ہیں، جہاں شناختی آپریٹر ہوتا ہے، پروڈکٹ آپریٹرز کے تبادلے کے تعلقات کو خاص طور پر آسان بناتا ہے۔ اصول میں رسمی طور پر اعلی گھماؤ تک بڑھایا جا سکتا ہے، لیکن عملی طور پر عام ناقابل تلافی گول ٹینسر علاج زیادہ کثرت سے استعمال ہوتا ہے۔ اس طرح، ہم ذیل میں صرف اسپن-1/2 کیس پر غور کرتے ہیں۔ رسمی نظام کا بنیادی خیال سسٹم ڈینسٹی آپریٹر کی پیروی کرنا آسان بنانا ہے، جو لیوویل-وان نیومن مساوات کے مطابق ہیملٹنین کے تحت تیار ہوتا ہے۔ ایک وقت سے آزاد ہیملٹنین کے لیے، ڈینسٹی آپریٹر اپنے حل شروڈنگر ٹائم-ایوولوشن آپریٹر سے ڈینسٹی آپریٹر-اسٹیٹ ڈوئلٹی کے طور پر وراثت میں حاصل کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ایک واحد اسپن-1/2 ریاست میں ہے، جو کہ زیڈ اسپن آپریٹر کی ایک آئجین اسٹیٹ ہے۔ اسی طرح۔ آئجین ویلیوز کے ساتھ اس کے آئجینکیٹس پر پروجیکشن کے لحاظ سے ہرمیٹین آپریٹر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے، وابستہ کثافت آپریٹر وہ جگہ ہے جہاں شناختی آپریٹر ہے۔ اسی طرح، ریاست کے لیے ڈینسٹی آپریٹر یہ ہے کہ چونکہ اسپن آپریٹر تمام ٹریسل لیس ہوتے ہیں اور ڈینسٹی آپریٹر والے سسٹم کے لیے آپریٹر کی متوقع قیمت یہ ہے کہ یونٹ آپریٹر کے متناسب اصطلاحات اسپن آپریٹرز کی توقعات کو متاثر نہیں کرتی ہیں۔ مزید برآں وہ حصے وقت کے ساتھ تیار نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ وہ معمولی طور پر ہیملٹنین کے ساتھ سفر کرتے ہیں۔ لہذا ان اصطلاحات کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے، اور حالت کثافت آپریٹر سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ حالت کثافت آپریٹر سے مطابقت رکھتی ہے۔ بالکل اسی انداز میں، مثبت x-محور کے ساتھ پولرائزیشن، یعنی ایک حالت، کثافت آپریٹر سے مطابقت رکھتی ہے۔ یہ خیال قدرتی طور پر متعدد اسپنوں تک پھیلا ہوا ہے، جہاں ریاستیں اور آپریٹرز سنگل اسپن ریاستوں اور آپریٹرز کی براہ راست مصنوعات ہیں۔ لہذا کثافت آپریٹر میں آپریٹر کی اصطلاحات ریاستوں کے ساتھ براہ راست دوہری ہوتی ہیں۔ دو گھماؤ کے معاملے میں، ڈینسٹی آپریٹر میں اصطلاحات (خود شناخت کو نظر انداز کرتے ہوئے) کی تشریح-لانگٹیوڈینل میگنیٹائزیشن-ان فیز ٹرانسورس میگنیٹائزیشن کی نمائندگی کے طور پر کی جا سکتی ہے، جو کہ این ایم آر میں قابل مشاہدہ مقدار ہے۔ - اینٹی فیز لانگٹیوڈینل میگنیٹائزیشن-لانگٹیوڈینل ٹو اسپن آرڈر-دیگر ہم آہنگی، جن کی تشریح کرنا زیادہ مشکل ہے، لیکن دوسری اصطلاحات میں تیار ہو سکتی ہے جہاں مثال کے طور پر کرونکر پروڈکٹ کے لیے شارٹ ہینڈ ہے، جہاں اسپن پر آئیڈینٹی آپریٹر ہے، اور اسی طرح اس کے لیے شارٹ ہینڈ ہے۔ 'سچے' دو اسپن آپریٹرز میں دو کے عوامل اس مخصوص اسپن-1/2 کیس میں آسان تبادلے کے تعلقات کی اجازت دیتے ہیں-نیچے دیکھیں۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ اس کے بجائے ہم بیس وغیرہ میں ڈینسٹی آپریٹر کو بڑھانے کا انتخاب کر سکتے ہیں، جہاں ٹرانسورس آپریٹرز کو بڑھانے اور کم کرنے والے آپریٹرز سے تبدیل کر دیا گیا ہے۔ کواڈریچر کا پتہ لگانے کے ساتھ، انفرادی گھماؤ سے وابستہ قابل مشاہدہ مؤثر طریقے سے غیر ہرمیٹین ہوتا ہے، لہذا یہ بعض اوقات زیادہ آسان ہوتا ہے۔ ڈینسٹی آپریٹر کا ارتقاء ان آپریٹرز پر غور کریں جو سائیکلک کمیونیکیشن تعلقات کی پابندی کرتے ہیں درحقیقت مندرجہ ذیل مشتقات کے لیے صرف پہلے دو تعلقات ضروری ہیں، لیکن چونکہ ہم عام طور پر کارٹیشین سمتوں سے وابستہ آپریٹرز کے ساتھ کام کر رہے ہیں، جیسے کہ انفرادی اینگولر مومنٹم آپریٹرز، اس لیے تیسرا کمیونیٹر ایک سمیٹری آرگمینٹ کی پیروی کرتا ہے۔ ایک آپریٹر کے کمیونیکیشن سپر آپریٹر کو بھی متعارف کروائیں (ہمارے معاملے میں، یہ لائ الجبرا کی ملحقہ نمائندگی سے زیادہ باضابطہ طور پر متعلق ہے جس کے عناصر ہیں)، جو اس طرح کام کرتا ہے۔ خاص طور پر، چکور آپریٹرز کے لیے، ہمارے پاس ہے اور اس کے نتیجے میں انٹیجر کے لیے دو آپریٹرز کے لیے ایک شناخت ہے جو ایک اسکیلر پیرامیٹر رکھ کر حاصل کی جا سکتی ہے، جس کے حوالے سے دونوں اطراف کو الگ کیا جا سکتا ہے، اور یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ دونوں اطراف اس پیرامیٹر میں ایک ہی تفریق مساوات کو پورا کرتے ہیں، اسی ابتدائی شرط کے ساتھ۔ خاص طور پر، کچھ اسکیلر پیرامیٹر کے لیے، ہمارے پاس ہے جہاں سائن اور کوسائن کے لیے ٹیلر سیریز کو تسلیم کرنے سے حتمی مساوات حاصل ہوتی ہے۔ اب فرض کریں کہ وقت صفر پر کثافت آپریٹر ہے، اور اسے ہیملٹنین کے تحت آزادانہ طور پر تیار ہونے کی اجازت ہے جہاں کچھ اسکیلر ہے۔ اس کی تشریح یہ ہے کہ اگرچہ نیوکلیئر اسپن اینگولر مومنٹم خود تین جہتی خلا میں گردشوں سے اسی طرح منسلک نہیں ہے جس طرح اینگولر مومنٹم ہے، ڈینسٹی آپریٹر کے ارتقاء کو ایک تجریدی جگہ میں گردش کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس میں آپریٹر محوروں کے گرد گردش کے جنریٹر ہوتے ہیں۔ جنریٹرز کے اس طرح کے سیٹ کی ایک مثال صرف اسپن آپریٹرز خود ہیں۔ اب ہم عام طور پر این ایم آر میں استعمال ہونے والے 'تیر کے اشارے' کو بھی متعارف کراتے ہیں، جو اوپر دیے گئے عمومی ارتقاء کو شارٹ ہینڈ کے طور پر لکھتا ہے۔ این ایم آر تجربات کے دوران استعمال ہونے والی ریڈیو فریکوئنسی دالوں کے زیادہ مخصوص حوالہ کے ساتھ، ایک سمت کے ارد گرد نوک کے زاویے کے ساتھ ایک سخت نبض تیر کے اوپر لکھی جاتی ہے اور مساوات میں گردش جنریٹر کے طور پر لینے سے مطابقت رکھتی ہے۔ جب کوئی ابہام نہ ہو تو تیر کا لیبل چھوڑا جا سکتا ہے، یا اس کے بجائے متن ہو سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ایک زیادہ پیچیدہ حساب کو اب ایک آسان طریقہ کار تک محدود کر دیا گیا ہے جس میں بنیادی کوانٹم میکانکس کے بارے میں کسی علم کی ضرورت نہیں ہے، خاص طور پر چونکہ سائیکلک آپریٹرز کی ذیلی جگہوں کو پہلے سے ٹیبل کیا جا سکتا ہے۔ مثال 180°-ری فوکسنگ پلس کونیی تعدد کی کیمیائی شفٹ کے تحت تیار ہونے والے ایک واحد اسپن کے لیے ہیملٹنین ہے جس کا مطلب ہے کہ قدرے مختلف کیمیائی شفٹوں کے ساتھ اس طرح کے بہت سے گھماؤ کے مجموعے میں،-طیارہ میں مقناطیسیت کا انحطاط ہوتا ہے۔ نبض کی ترتیب پر غور کریں---جہاں وقت کا وقفہ ہے۔ - محور کے ساتھ تمام پولرائزیشن کے ساتھ ایک توازن کی حالت میں شروع ہوتا ہے، جوڑے میں انفرادی گھماؤ کا ارتقاء ہوتا ہے لہذا یہ ترتیب کیمیائی شفٹ کی قیمت سے آزاد، پہلی نبض کے ذریعہ پیدا ہونے والی ٹرانسورس مقناطیسیت پر دوبارہ توجہ مرکوز کرتی ہے۔ رسمی نظام کی افادیت کے اشارے کے طور پر، فرض کریں کہ اس کے بجائے ہم نے صرف ریاستوں اور اس وجہ سے شروڈنگر ٹائم ایوولوشن آپریٹرز کا استعمال کرتے ہوئے ایک ہی نتیجہ تک پہنچنے کی کوشش کی۔ یہ یکطرفہ پروپیگیٹر کو آسان بنانے کی کوشش کرنے کے مترادف ہے جو ابتدائی حالت کو حتمی حالت میں لے جاتا ہے، جہاں واضح طور پر بنیادی طور پر ہم پروپیگیٹر کو اس شکل میں تلاش کرنا چاہتے ہیں، جو کہ آپریٹرز کے امتزاج کے واحد ایکسپونینشل کے طور پر ہے، کیونکہ اس سے ترتیب کے دوران مؤثر ہیملٹنین اداکاری ملتی ہے۔ چونکہ پروپیگیٹر کی اصل شکل میں ایکسپونینشیلز کے دلائل منتقل نہیں ہوتے ہیں، اس لیے یہ بیکر-کیمپبل-ہاؤسڈورف (بی سی ایچ) کے مسئلے کی ایک مخصوص مثال کو حل کرنے کے مترادف ہے۔ اس نسبتا سادہ صورت میں ہم بی سی ایچ کے مسئلے کو اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے حل کر سکتے ہیں کہ یکطرفہ آپریٹر، آپریٹر اور فنکشن کے ساتھ ساتھ جسمانی گردش جنریٹرز کے ساتھ اسپن آپریٹرز کی ریاضیاتی مماثلت، جو ہمیں لہذا لکھنے کی اجازت دیتی ہے اور صرف 180° پلس کا اثر باقی رہتا ہے، جو پروڈکٹ آپریٹر کے علاج سے اتفاق کرتا ہے۔ دالوں کے بڑے سلسلے کے لیے یہ حالت کا علاج تیزی سے اور بھی زیادہ بھاری ہو جاتا ہے، جب تک کہ زیادہ جدید طریقے جیسے کہ عین مطابق موثر ہیملٹنین تھیوری (جو کیلی-ہیملٹن تھیوریم اور ایجینڈ کمپوزیشن کے ذریعے الجھے ہوئے پروپیگیٹرز کے لیے بند شکل کے تاثرات دیتا ہے) استعمال نہ کیے جائیں۔ ایک غیر یکساں مقناطیسی میدان میں ہان گونج کا طول و عرض اوپر بیان کردہ ری فوکسنگ پلس کی توسیع کے طور پر، من مانی پلپ اینگل کے ساتھ دو دالوں کے ایک سیٹ پر غور کریں اور، یعنی ترتیب-- جہاں دوبارہ وقت کا وقفہ ہے۔ آزادانہ طور پر غیر متعلقہ اصطلاحات کو چھوڑتے ہوئے، دوسری نبض کے فورا بعد تک آفسیٹ کے ساتھ ایک ہی گھماؤ کا ارتقاء اب مقناطیسی میدان میں گھماؤ کے ایک مجموعے پر غور کریں جو دالوں کے درمیان وقفے میں گھماؤ کو مکمل طور پر ختم کرنے کے لیے کافی حد تک غیر یکساں ہے۔ دوسری نبض کے بعد، ہم بقیہ اصطلاحات کو دو گھماؤ آبادی کے مجموعے میں تقسیم کر سکتے ہیں جو صرف اصطلاح کی علامت میں مختلف ہیں، اس معنی میں کہ انفرادی گھماؤ کے لیے ہمارے پاس وہ جگہ ہے جہاں ہم شناخت اور استعمال کرتے ہیں۔ یہ نئی آبادی میں گھماؤ ہے جو دوسری نبض سے پیدا ہوا ہے، یعنی جس کے ساتھ ہے، جو اگلے وقفے کے لیے ارتقاء کے بعد گونج کی تشکیل کا باعث بنے گا۔ لہذا، پہلی نبض کے ذریعے متعارف کردہ کو شامل کرنا یاد رکھتے ہوئے، ایک مثالی 90°-180° ری فوکسنگ پلس سیکوینس کے ذریعے پیدا ہونے والی ہہن گونج کا طول و عرض جو کہ مثالی 90°-180° ری فوکسنگ پلس سیکوینس کے ذریعے پیدا ہوتا ہے، تقریبا نوٹ کریں کہ یہ ایک قطعی نتیجہ نہیں ہے، کیونکہ یہ صرف پولرائزیشن کی ری فوکسنگ پر غور کرتا ہے جو دوسری نبض سے فورا پہلے ٹرانسورس تھی۔ حقیقت میں لانگٹیوڈینل میگنیٹائزیشن کے ٹپنگ سے پیدا ہونے والے مزید ٹرانسورس اجزاء ہوں گے جو پہلی نبض کے بعد باقی رہے۔ تاہم، بہت سے ٹپ اینگلز کے لیے، یہ انگوٹھے کا ایک اچھا اصول ہے۔ اس کے بجائے ریاستی رسمی نظام کا استعمال کرتے ہوئے اس نتیجے پر پہنچنے کے لیے، ہمیں گردش کے پروپیگیٹر کا غیر معمولی اندازہ لگانا پڑتا اور پھر ٹرانسورس پلین میں پولرائزیشن کی نمائندگی کرنے والی حالت پر اس کا اطلاق کرنے کے نتیجے پر غور کرکے منتقلی کے امکان کا اندازہ لگانا پڑتا۔ ڈی ای پی ٹی (ڈسٹورشن لیس اینہانسمنٹ بائی پولرائزیشن ٹرانسفر) ڈی ای پی ٹی (ڈسٹورشن لیس اینہانسمنٹ بائی پولرائزیشن ٹرانسفر) ایک نبض کی ترتیب ہے جو کاربن سے منسلک ہائیڈروجن کی کثرت کے درمیان فرق کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے، یعنی یہ سی، سی ایچ، سی ایچ 2 اور سی ایچ 3 گروپوں کو الگ کر سکتی ہے۔ یہ ہیٹرو نیوکلیئر کاربن-ہائیڈروجن-جوڑے کا استحصال کرکے اور ترتیب میں حتمی نبض کے نوک کے زاویے کو تبدیل کرکے ایسا کرتا ہے۔ بنیادی نبض کی ترتیب ذیل میں دکھائی گئی ہے۔ کمزور جوڑے کے مفروضے کے تحت، کیمیائی شفٹ کی اصطلاحات ہیملٹنین میں-جوڑے کی اصطلاح کے ساتھ منتقل ہوتی ہیں۔ لہذا ہم-دالوں پر مشتمل دو وقفوں میں ری فوکسڈ کیمیائی شفٹ (دیکھیں) کو نظر انداز کر سکتے ہیں، یعنی اور، اور اضافی طور پر آخری مدت میں کیمیائی شفٹ ارتقاء کا اندازہ کرنے سے گریز کر سکتے ہیں۔ نبض کی علیحدگی کا وقت جوڑی کی طاقت (منسلک ہیملٹنین گتانک کے ساتھ) میں اس طرح ایڈجسٹ کیا جاتا ہے کہ یہ مطمئن ہو، کیونکہ اس کے بعد مساوات میں تیار شدہ کثافت آپریٹر میں پہلی اصطلاح دالوں کے درمیان خالص جوڑی ارتقاء کے تحت غائب ہو جاتی ہے۔ سی ایچ ہائیڈروجن کے گھومنے کو اس کے طور پر اور کاربن کے گھومنے کو اس کے ذریعے لیبل کریں۔ مثال کے مقاصد کے لیے، ہم فرض کرتے ہیں کہ توازن کی حالت میں صرف-اسپن پر پولرائزیشن ہوتی ہے (حقیقت میں، اسپن پر پولرائزیشن بھی ہوگی، جس میں متعلقہ آبادی کا تعین تھرمل بولٹزمین عوامل سے ہوتا ہے)۔ - جوڑا ہیملٹنین وہ ہے جو مندرجہ ذیل ارتقاء دیتا ہے۔ غیر معمولی کمیوٹیٹرز سائیکلک سب اسپیس کی شناخت کے لیے استعمال ہوتے ہیں اور اس کے نتیجے میں اگلی سائیکلک گردش جہاں ہم نے 'مکسڈ پروڈکٹ آئیڈینٹی' کا استعمال کیا، جو میٹرکس اور کرونکر پروڈکٹ کو مطابقت پذیر جہتوں سے متعلق کرتا ہے، اور یہ حقیقت بھی کہ چونکہ کسی بھی اسپن-1/2 آپریٹرز کی دو آئجین ویلیوز ہیں، ان میں سے کوئی بھی مربع کیلی-ہیملٹن تھیوریم کے ذریعے دیا گیا ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ یہ اصطلاح-جوڑی ارتقاء کے تحت غیر متغیر ہے۔ یہ ہے کہ یہ اصطلاح ہیملٹنین کے ساتھ منتقل ہوتی ہے، اور اس معاملے میں، اسپن آپریٹرز کی میٹرکس نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے کمیونیٹر کا جائزہ لے کر دستی طور پر اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے۔ CH2 اب دو ہائیڈروجن گھماؤ کو اس کے طور پر اور کاربن کو اس کے ذریعے لیبل کریں۔ اب-جوڑا ہیملٹنین ہے جو مندرجہ ذیل ارتقاء دیتا ہے جہاں 'دوسرے' مختلف اصطلاحات کی نشاندہی کرتے ہیں جنہیں محفوظ طریقے سے نظر انداز کیا جا سکتا ہے کیونکہ وہ ہدف کے چکر پر قابل مشاہدہ ٹرانسورس پولرائزیشن میں تیار نہیں ہوں گے۔ جوڑے کے ارتقاء سے نمٹنے کے لیے مطلوبہ چکور حرکت پذیری مندرجہ ذیل تین سیٹ ہیں (اور اگر ضرورت ہو تو ان کے ورژن) CH3 A اسی طرح کا (لیکن زیادہ طویل) علاج حتمی قابل مشاہدہ اصطلاح دیتا ہے۔ اے پی ٹی (منسلک پروٹون ٹیسٹ) اس مثال میں استعمال ہونے والے اشارے کا حوالہ دیں۔ اے پی ٹی ڈی ای پی ٹی سے ملتا جلتا ہے کیونکہ یہ کاربن کی کثرت کا پتہ لگاتا ہے۔ تاہم، اس میں اضافی انحطاط ہوتے ہیں: یہ C اور CH2 کے لیے یکساں مثبت اشارے دیتا ہے، اور CH اور CH3 کے لیے یکساں منفی اشارے دیتا ہے۔ بنیادی نبض کی ترتیب پر ایک تغیر ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ کلیدی مشاہدہ یہ ہے کہ چونکہ ہم دوبارہ توجہ مرکوز کی گئی کیمیائی تبدیلی کو نظر انداز کر سکتے ہیں، اس لیے صرف متعلقہ حرکیات وقفے میں ہوتی ہیں جس میں کوئی ہائیڈروجن ڈیکپلنگ نہیں ہوتی، جہاں ہم صرف-جوڑے پر غور کر سکتے ہیں۔ ڈی ای پی ٹی کے معاملے میں دوگنا وقفہ استعمال کرتے ہوئے، ہم اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ وقفے کے آغاز میں ڈینسٹی آپریٹر کا صرف جوڑے کے بعد اس کا نشان الٹا ہو (چونکہ یہ عام علاج سے مطابقت رکھتا ہے، اور)۔ الگ الگ پڑوسی ہائیڈروجن ایٹموں میں سے ہر ایک کے جوڑے کے لیے ہیملٹنین سفر کرتے ہیں، لہذا مجموعی اثر ایک عنصر سے ضرب کرنا ہے۔ یہ اوپر بیان کردہ سگنل کی متبادل علامت کو متحرک کرتا ہے۔ حوالہ جات جوہری مقناطیسی گونج