Bochner's theorem (Riemannian geometry)
ریاضی میں، سولومن بوچنر نے 1946 میں ثابت کیا کہ منفی رچی منحنیت کے ساتھ کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا کا کوئی بھی کلنگ ویکٹر فیلڈ صفر ہونا چاہیے۔ نتیجتا کئی گنا کا آئسومیٹری گروپ محدود ہونا چاہیے۔ نظریہ بوچنر کے زیادہ بنیادی نتیجہ کا ایک نتیجہ ہے جس میں کہا گیا ہے کہ منفی رچی منحنی خطوط کے کسی بھی منسلک ریمینیئن کئی گنا پر، غیر صفر کلنگ ویکٹر فیلڈ کی لمبائی مقامی زیادہ سے زیادہ نہیں ہو سکتی۔ خاص طور پر، منفی رچی منحنیت کے بند ریمینیئن کئی گنا پر، ہر کلنگ ویکٹر فیلڈ یکساں طور پر صفر ہے۔ چونکہ ایک مکمل ریمینیئن کئی گنا کا آئسومیٹری گروپ ایک لائ گروپ ہے جس کا لائ الجبرا قدرتی طور پر کلنگ ویکٹر فیلڈز کے ویکٹر اسپیس کے ساتھ شناخت کیا جاتا ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ آئسومیٹری گروپ صفر جہتی ہے۔ بوچنر تھیوریم اس کے بعد اس حقیقت کی پیروی کرتا ہے کہ ایک بند ریمینیئن کئی گنا کا آئسومیٹری گروپ کمپیکٹ ہے۔ کلنگ ویکٹر فیلڈز پر بوچنر کا نتیجہ مندرجہ ذیل زیادہ سے زیادہ اصول کا اطلاق ہے۔ رچی کمیوٹیشن شناختوں کے اطلاق کے طور پر، فارمولہ کسی بھی ویکٹر فیلڈ کے لیے فرضی ریمینیئن کئی گنا پر ہوتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، ایک کلنگ ویکٹر فیلڈ کی صورت میں، یہ آسان ہو جاتا ہے۔ ریمینیئن میٹرک کی صورت میں، بائیں ہاتھ کی طرف کسی بھی مقامی زیادہ سے زیادہ لمبائی پر غیر مثبت ہوتی ہے۔ تاہم، منفی رچی منحنیت کے ریمینیائی میٹرک پر، جہاں کہیں بھی غیر صفر ہو، دائیں ہاتھ کی طرف سختی سے مثبت ہوتی ہے۔ لہذا اگر مقامی زیادہ سے زیادہ ہے، تو یہ پڑوس میں یکساں طور پر صفر ہونا چاہیے۔ چونکہ منسلک کئی گنا پر کلنگ ویکٹر فیلڈز کا تعین ان کی قدر اور مشتق سے ایک ہی نقطہ پر منفرد طور پر کیا جاتا ہے، اس کے بعد یہ یکساں طور پر صفر ہونا چاہیے۔ متفرق جیومیٹری میں حوالہ جات کے نظریات کو نوٹ کریں