Multivariate Pareto distribution
اعداد و شمار میں، ایک کثیر متغیر پیریٹو تقسیم ایک غیر متغیر پیریٹو تقسیم کی ایک کثیر متغیر توسیع ہے۔ غیر متغیر پیریٹو تقسیم کی کئی مختلف قسمیں ہیں جن میں پیریٹو ٹائپ I − IV اور فیلر − پیریٹو شامل ہیں۔ ان میں سے بہت سی اقسام کے لیے کثیر متغیر پیریٹو تقسیم کی وضاحت کی گئی ہے۔ بائویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشنز بائیویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشنز کی پہلی قسم مارڈیا (1962) نے مشترکہ کثافت فنکشن کے ذریعہ دی گئی مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) کے ساتھ ایک بائیویریٹ ڈسٹری بیوشن کی وضاحت کی ہے۔ حاشیہ تقسیم کے ذرائع اور تغیرات کثافت افعال کے ساتھ پیریٹو ٹائپ 1 ہیں اور ایک> 2، ایکس 1 اور ایکس 2 کے لیے مثبت طور پر دوسری قسم کے بائیویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشن کے ساتھ منسلک ہیں۔ آرنلڈ تجویز کرتا ہے کہ وہ بائییویریٹ پیریٹو ٹائپ I تکمیلی سی ڈی ایف کی نمائندگی کرتا ہے۔ اگر مقام اور پیمانے کے پیرامیٹر کو مختلف ہونے کی اجازت ہے تو، تکمیلی سی ڈی ایف وہ ہے جس میں پیریٹو ٹائپ II تکمیلی تقسیم ہوتی ہے۔ اس تقسیم کو آرنلڈ کی طرف سے ٹائپ II کی ملٹی ویریٹ پیریٹو تقسیم کہا جاتا ہے۔ (یہ تعریف دوسری قسم کی مارڈیا کی دو متغیر پیریٹو تقسیم کے مساوی نہیں ہے۔) a> 1 کے لیے، مارجنل ذرائع ہیں جبکہ a> 2 کے لیے، تغیرات، کوویرینس، اور ارتباط وہی ہیں جو پہلی قسم کے ملٹی ویریٹ پیریٹو کے لیے ہیں۔ ملٹی ویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشنز ملٹی ویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشن پہلی قسم کی مارڈیا کی ملٹی ویریٹ پیریٹو ڈسٹری بیوشن میں مشترکہ امکان کثافت فنکشن ہوتا ہے جو اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ مارجنل ڈسٹری بیوشنز کی شکل (1) جیسی ہوتی ہے، اور ایک جہتی مارجنل ڈسٹری بیوشنز میں پیریٹو ٹائپ I ڈسٹری بیوشن ہوتی ہے۔ تکمیلی سی ڈی ایف مارجنل ذرائع اور تغیرات کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں اگر a> 2 کوویرینسز اور ارتباط دوسری قسم کی ملٹی ویریٹ پیریٹو تقسیم کے ساتھ مثبت ہیں تو آرنلڈ تجویز کرتا ہے کہ ملٹی ویریٹ پیریٹو ٹائپ I تکمیلی سی ڈی ایف کی نمائندگی کی جائے۔ اگر مقام اور پیمانے کے پیرامیٹر کو مختلف ہونے کی اجازت ہے تو، تکمیلی سی ڈی ایف ایسی ہے جس میں اسی قسم (3) اور پیریٹو ٹائپ II تکمیلی تقسیم کی معمولی تقسیم ہے۔ اس تقسیم کو آرنلڈ کی طرف سے ٹائپ II کی ملٹی ویریٹ پیریٹو تقسیم کہا جاتا ہے۔ a> 1 کے لیے، مارجنل ذرائع ہیں جبکہ a> 2 کے لیے، تغیرات، کوویرینسز، اور ارتباط وہی ہیں جو پہلی قسم کے ملٹی ویریٹ پیریٹو کے لیے ہیں۔ چوتھی قسم کی ملٹی ویریٹ پیریٹو تقسیم ایک بے ترتیب ویکٹر X میں چوتھی قسم کی k-جہتی ملٹی ویریٹ پیریٹو تقسیم ہوتی ہے اگر اس کی مشترکہ بقا کی تقریب k1-جہتی حاشیہ تقسیم (k1 <k) اسی قسم کی ہوتی ہے (4)، اور ایک جہتی حاشیہ تقسیم پیریٹو قسم IV ہیں۔ ملٹی ویریٹ فیلر-پیریٹو تقسیم ایک بے ترتیب ویکٹر X میں k-جہتی فیلر-پیریٹو تقسیم ہوتی ہے اگر آزاد گاما متغیرات کہاں ہیں۔ حاشیہ تقسیم اور مشروط تقسیم ایک ہی قسم کے ہیں (5) یعنی وہ ملٹی ویریٹ فیلر-پیریٹو تقسیم ہیں۔ یک جہتی حاشیہ تقسیم فیلر-پیریٹو قسم کی ہوتی ہیں۔ حوالہ جات کثیر متغیر مسلسل تقسیم