Smooth scheme
الجبرائی جیومیٹری میں، کسی فیلڈ پر ہموار اسکیم ایک ایسی اسکیم ہے جس کا کسی بھی نقطہ کے قریب افائن اسپیس کے ذریعہ اچھی طرح سے تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ ہموار پن کسی ایسی اسکیم کے تصور کو درست کرنے کا ایک طریقہ ہے جس میں کوئی واحد نقطہ نظر نہ ہو۔ ایک خاص معاملہ کسی کھیت میں ہموار قسم کا تصور ہے۔ ہموار اسکیمیں ٹوپولوجی میں کئی گنا کی الجبرائی جیومیٹری میں کردار ادا کرتی ہیں۔ تعریف سب سے پہلے، فرض کریں کہ X ایک فیلڈ k پر محدود قسم کی ایک افائن اسکیم ہے۔ اس کے مساوی طور پر، X کا افائن اسپیس میں بند وسرجن ہوتا ہے۔ کسی قدرتی نمبر n کے لیے K پر ایک۔ پھر X ایک بند سبسیم ہے جس کی تعریف کچھ مساوات g1 = 0،.، gr = 0 سے ہوتی ہے، جہاں ہر gi کثیر الجہتی رنگ k [x1،.، xn] میں ہوتا ہے۔ اگر X کا طول و عرض ہر نقطہ کے پڑوس میں کم از کم m ہے، اور مشتقات کے میٹرکس (ष्णلجی/ष्णلجی) کا درجہ X پر ہر جگہ کم از کم n−m ہے تو افائن اسکیم X طول و عرض m سے k پر ہموار ہے۔ (اس کے بعد X کا طول و عرض ہر نقطہ کے پڑوس میں m کے برابر ہے۔) ہموار پن ایکس کے افائن اسپیس میں ڈوبنے کے انتخاب سے آزاد ہے۔ مشتقات کے میٹرکس پر شرط کا مطلب یہ سمجھا جاتا ہے کہ X کا بند ذیلی سیٹ جہاں مشتقات کے میٹرکس کے تمام (n−m) × (n−m) نابالغ صفر ہیں وہ خالی سیٹ ہے۔ مساوی طور پر، تمام جی اور ان تمام نابالغوں کے ذریعہ پیدا ہونے والی کثیر الجہتی رنگ میں آئیڈیل پوری کثیر الجہتی رنگ ہے۔ ہندسی اصطلاحات میں، X میں ایک نقطہ p پر مشتقات کا میٹرکس ایک لکیری نقشہ Fn → Fr دیتا ہے، جہاں F p کی بقیہ فیلڈ ہے۔ اس نقشے کے دانے کو p پر X کی زرسکی ٹینجینٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ X کی ہموار کا مطلب ہے کہ زرسکی ٹینجینٹ اسپیس کا طول و عرض ہر نقطہ کے قریب X کے طول و عرض کے برابر ہے۔ ایک واحد نقطہ پر، زرسکی ٹینجینٹ اسپیس بڑی ہوگی۔ زیادہ عام طور پر، فیلڈ k پر ایک اسکیم X، k پر ہموار ہوتی ہے اگر X کے ہر نقطہ کا ایک کھلا پڑوس ہوتا ہے جو کہ k پر کسی طول و عرض کی ہموار افائن اسکیم ہوتی ہے۔ خاص طور پر، k پر ایک ہموار اسکیم مقامی طور پر محدود قسم کی ہوتی ہے۔ اسکیموں کی ہموار مورفزم کا ایک زیادہ عام تصور ہے، جو کہ تقریبا ہموار ریشوں کے ساتھ ایک مورفزم ہے۔ خاص طور پر، ایک سکیم X فیلڈ k پر ہموار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مورفزم X → سپیک k ہموار ہو۔ خصوصیات کسی کھیت پر ہموار سکیم باقاعدہ ہوتی ہے اور اس لیے عام ہوتی ہے۔ خاص طور پر، کسی کھیت پر ہموار اسکیم کو کم کیا جاتا ہے۔ فیلڈ k پر کسی قسم کو k پر محدود قسم کی ایک لازمی علیحدہ اسکیم کے طور پر بیان کریں۔ پھر k پر محدود قسم کی کوئی بھی ہموار علیحدہ اسکیم k پر ہموار اقسام کا ایک محدود جداگانہ اتحاد ہے۔ پیچیدہ اعداد پر ہموار قسم X کے لیے، کلاسیکی (یوکلڈین) ٹوپولوجی کا استعمال کرتے ہوئے، X کے پیچیدہ نکات کی جگہ X (C) ایک پیچیدہ کئی گنا ہے۔ اسی طرح، حقیقی اعداد پر ایک ہموار قسم X کے لیے، حقیقی پوائنٹس کی جگہ X (R) ایک حقیقی کئی گنا ہے، ممکنہ طور پر خالی ہے۔ کسی بھی اسکیم X کے لیے جو فیلڈ k پر مقامی طور پر محدود قسم کی ہو، X پر تفریق کا ایک مربوط خول ω1 ہوتا ہے۔ اسکیم X k پر ہموار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ω1 ہر نقطہ کے قریب X کے طول و عرض کے برابر درجہ کا ویکٹر بنڈل ہو۔ اس صورت میں، ω1 کو X کا کوٹینجینٹ بنڈل کہا جاتا ہے۔ k پر ہموار اسکیم کے ٹینجینٹ بنڈل کو دوہری بنڈل، TX = (ω1) * کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہموار پن ایک ہندسی خاصیت ہے، جس کا مطلب ہے کہ k کی کسی بھی فیلڈ ایکسٹینشن E کے لیے، ایک اسکیم X k پر ہموار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اسکیم XE: = X × Spec k Spec E E پر ہموار ہو۔ ایک کامل فیلڈ k کے لیے، ایک اسکیم X k پر ہموار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X مقامی طور پر k پر محدود قسم کا ہو اور X باقاعدہ ہو۔ عام نرمی ایک اسکیم X کو عام طور پر طول و عرض n سے k پر ہموار کہا جاتا ہے اگر X میں ایک کھلا گھنے ذیلی سیٹ ہوتا ہے جو طول و عرض n سے k پر ہموار ہوتا ہے۔ ایک کامل میدان پر ہر قسم (خاص طور پر الجبرائی طور پر بند میدان) عام طور پر ہموار ہوتی ہے۔ افائن اسپیس اور پروجیکٹو اسپیس کی مثالیں فیلڈ k پر ہموار اسکیمیں ہیں۔ پروجیکٹو اسپیس Pn اوور k میں ہموار ہائپر سرفیس کی ایک مثال فرمیٹ ہائپر سرفیس x0d + ہے۔ + xnd = 0، کسی بھی مثبت عدد d کے لیے جو k میں الٹا ہوتا ہے۔ فیلڈ k پر واحد (غیر ہموار) اسکیم کی ایک مثال افائن لائن A1 اوور k میں بند سبسکیم x2 = 0 ہے۔ k پر واحد (غیر ہموار) قسم کی ایک مثال افائن طیارہ A2 میں کاسپائڈل کیوبک وکر x2 = y3 ہے، جو اصل (x, y) = (0,0) سے باہر ہموار ہے۔ فیلڈ k پر ایک 0 جہتی قسم X کی شکل X = سپیک E ہے، جہاں E، k کی ایک محدود توسیعی فیلڈ ہے۔ قسم X، k پر ہموار ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب E، k کی علیحدہ توسیع ہو۔ اس طرح، اگر E، k پر علیحدہ نہیں ہوتا ہے، تو X ایک باقاعدہ اسکیم ہے لیکن k پر ہموار نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، k کو ایک پرائم نمبر p کے لیے عقلی افعال Fp (t) کا فیلڈ ہونے دیں، اور E = Fp (t1/p) ہونے دیں۔ پھر سپیک E، جہتوں کی ایک قسم ہے 0 سے k جو کہ ایک باقاعدہ اسکیم ہے، لیکن k پر ہموار نہیں ہے۔ شوبرٹ اقسام عام طور پر ہموار نہیں ہوتی ہیں۔ نوٹ حوالہ جات ڈی۔ گیٹسگوری کے چپٹے پن اور ہموار پن کے بارے میں نوٹ http://www.math.harvard.edu ~ gaitsgde/स्कीمز _ 2009/بی آر/اسموتھ میپس. پی ڈی ایف یہ بھی دیکھیں ایٹیل مورفزم ایک الجبرائی قسم کا طول و عرض اسکیم تھیوری کی لغت ہموار تکمیل