Hilbert–Mumford criterion
ریاضی میں، ہلبرٹ-ممفورڈ معیار، جسے ڈیوڈ ہلبرٹ اور ڈیوڈ ممفورڈ نے متعارف کرایا ہے، ویکٹر اسپیس پر گروپ ایکشن کے سیمی اسٹیبل اور مستحکم پوائنٹس کو 1-پیرامیٹر ذیلی گروپوں کی آئجین ویلیوز کے لحاظ سے نمایاں کرتا ہے۔ استحکام کی تعریف فرض کریں کہ G ایک تخفیف گروپ ہے جو ویکٹر اسپیس V پر لکیری طور پر کام کرتا ہے، V کے غیر صفر نقطہ کو نیم مستحکم کہا جاتا ہے اگر 0 اس کے مدار کی بندش میں موجود نہیں ہے، اور بصورت دیگر غیر مستحکم ؛ مستحکم اگر اس کا مدار بند ہے، اور اس کا استحکام محدود ہے۔ ایک مستحکم نقطہ ایک فورٹیوری نیم مستحکم ہوتا ہے۔ ایک نیم مستحکم لیکن غیر مستحکم نقطہ کو سختی سے نیم مستحکم کہا جاتا ہے۔ جب G ضرب گروپ ہے، مثال کے طور پر۔ پیچیدہ ترتیب میں C *، عمل ایک محدود جہتی نمائندگی کے مترادف ہے۔ ہم V کو براہ راست رقم میں تقسیم کر سکتے ہیں، جہاں ہر جزو Vi پر عمل اس طرح دیا جاتا ہے۔ عدد I کو وزن کہا جاتا ہے۔ پھر ہر نقطہ x کے لیے، ہم وزن کے سیٹ کو دیکھتے ہیں جس میں اس کا غیر صفر جزو ہوتا ہے۔ اگر تمام وزن سختی سے مثبت ہیں، تو، اس طرح 0 x کے مدار کی بندش میں ہے، یعنی۔ x غیر مستحکم ہے ؛ اگر تمام وزن غیر منفی ہیں، جس میں 0 وزن ہے، تو یا تو 0 واحد وزن ہے، جس صورت میں x کو C * سے مستحکم کیا جاتا ہے ؛ یا 0 کے ساتھ کچھ مثبت وزن ہوتے ہیں، تو حد x کے وزن-0 جزو کے برابر ہے، جو x کے مدار میں نہیں ہے۔ لہذا دونوں صورتیں ایک مستحکم نقطہ کی تعریف میں دونوں شرائط کی متعلقہ ناکامی سے بالکل مطابقت رکھتی ہیں، یعنی۔ ہم نے دکھایا ہے کہ x سختی سے نیم مستحکم ہے۔ بیان ہلبرٹ-ممفورڈ معیار بنیادی طور پر کہتا ہے کہ ضرب گروپ کیس عام صورتحال ہے۔ واضح طور پر، ویکٹر اسپیس V پر لکیری طور پر کام کرنے والے عام تخفیف گروپ G کے لیے، ایک نقطہ x کے استحکام کو G کے 1-پیرامیٹر ذیلی گروپوں کے مطالعہ کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے، جو کہ غیر معمولی مورفزم ہیں۔ نوٹ کریں کہ الٹا کے وزن بالکل مائنس کے ہیں، لہذا بیانات کو ہم آہنگ بنایا جا سکتا ہے۔ ایک نقطہ x غیر مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کا 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ ہو جس کے لیے x صرف مثبت وزن یا صرف منفی وزن کو قبول کرتا ہے۔ مساوی طور پر، x نیم مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایسا کوئی 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ نہ ہو، یعنی۔ ہر 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ کے لیے غیر مثبت اور غیر منفی دونوں وزن ہوتے ہیں۔ ایک نقطہ x سختی سے نیم مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کا 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ ہو جس کے لیے x 0 کو وزن کے طور پر تسلیم کرتا ہے، تمام وزن غیر منفی (یا غیر مثبت) ہوتے ہیں۔ ایک نقطہ x مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کا کوئی 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ نہ ہو جس کے لیے x صرف غیر منفی وزن یا صرف غیر مثبت وزن کو قبول کرتا ہے، یعنی۔ ہر 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ کے لیے مثبت اور منفی دونوں وزن ہوتے ہیں۔ مثالیں اور ایپلی کیشنز طیارہ پر C * کا عمل معیاری مثال طیارہ C2 پر C * کا عمل ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ واضح طور پر x سمت میں وزن 1 ہے اور y سمت میں وزن-1 ہے۔ اس طرح ہلبرٹ-ممفورڈ معیار کے مطابق، x-محور پر ایک غیر صفر نقطہ 1 کو اپنا واحد وزن تسلیم کرتا ہے، اور y-محور پر ایک غیر صفر نقطہ-1 کو اپنا واحد وزن تسلیم کرتا ہے، اس لیے وہ دونوں غیر مستحکم ہیں۔ سطح میں ایک عمومی نقطہ 1 اور-1 دونوں کو وزن کے طور پر تسلیم کرتا ہے، اس لیے یہ مستحکم ہے۔ P1 میں نکات ماڈیولی کے مسائل میں بہت سی مثالیں پیدا ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، عقلی منحنی خطوط P1 پر n پوائنٹس کے ایک سیٹ پر غور کریں (زیادہ واضح طور پر، P1 کا لمبائی-n سبسکیم)۔ پی 1، پی ایس ایل (2، سی) کا آٹومورفزم گروپ، اس طرح کے سیٹوں (سبسکیمز) پر کام کرتا ہے، اور ہلبرٹ-ممفورڈ معیار ہمیں اس عمل کے تحت استحکام کا تعین کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ہم دو متغیرات میں ڈگری-n یکساں کثیر الجہتی کے ساتھ n پوائنٹس کے ایک سیٹ کی شناخت کرکے مسئلے کو لکیریائز کر سکتے ہیں۔ اس لیے ہم اس طرح کے یکساں کثیر الجہتی کے ویکٹر اسپیس پر SL (2، C) کے عمل پر غور کرتے ہیں۔ 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ کو دیکھتے ہوئے، ہم نقاط x اور y کا انتخاب کر سکتے ہیں تاکہ P1 پر عمل اس طرح دیا جائے۔ لہذا کثیر الجہتی مثبت اور منفی دونوں کو قبول کرتا ہے۔ غیر مثبت اور غیر منفی) وزن اگر اور صرف اس صورت میں جب i> n/2 اور i <n/2 کے ساتھ اصطلاحات ہوں۔ i ≤ n/2 اور i ≤ n/2)۔ خاص طور پر x یا y کی ضرب <n/2 (Reps. ≤ n/2) ہونی چاہیے۔ اگر ہم تمام 1-پیرامیٹر ذیلی گروپوں پر دہراتے ہیں، تو ہم P1 میں تمام پوائنٹس کے لیے ضرب کی ایک ہی شرط حاصل کر سکتے ہیں۔ ہلبرٹ-ممفورڈ معیار کے مطابق، کثیر الجہتی (اور اس طرح n پوائنٹس کا مجموعہ) مستحکم ہے۔ نیم مستحکم) اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی بھی مقام پر اس کی ضرب <n/2 ہو۔ ≤ n/2)۔ طیارہ کیوبک طیارہ کیوبک کے استحکام کا تعین کرنے کے لیے یکساں کثیر الجہتی کا استعمال کرتے ہوئے اسی طرح کا تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ ہلبرٹ-ممفورڈ معیار سے پتہ چلتا ہے کہ ایک طیارہ کیوبک مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ہموار ہو۔ یہ نیم مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ بدترین عام ڈبل پوائنٹس پر انفرادیت کے طور پر تسلیم کرتا ہے۔ بدتر انفرادیت کے ساتھ ایک کیوبک (مثال کے طور پر۔ a cusp) غیر مستحکم ہے۔ جیومیٹرک غیر متغیر نظریہ جی آئی ٹی حصص حوالہ جات غیر متغیر نظریہ بھی دیکھیں۔