Projective bundle
ریاضی میں، ایک پروجیکٹو بنڈل ایک فائبر بنڈل ہے جس کے ریشے پروجیکٹو خالی جگہیں ہیں۔ تعریف کے مطابق، نویتھیرین اسکیم S پر ایک اسکیم X ایک Pn-بنڈل ہے اگر یہ مقامی طور پر ایک پروجیکٹو n-اسپیس ہے۔ یعنی، اور منتقلی آٹومورفزم لکیری ہیں۔ ایک باقاعدہ اسکیم S پر، جیسے کہ ہموار قسم، ہر پروجیکٹو بنڈل کسی ویکٹر بنڈل (مقامی طور پر فری شیف) E کی شکل کا ہوتا ہے۔ ایک ویکٹر بنڈل کا پروجیکٹو بنڈل مختلف قسم کے X پر ہر ویکٹر بنڈل ریشوں کی پروجیکٹو خالی جگہوں کو لے کر ایک پروجیکٹو بنڈل دیتا ہے، لیکن تمام پروجیکٹو بنڈل اس طرح پیدا نہیں ہوتے ہیں: کوہومولوجی گروپ H2 (X، O *) میں رکاوٹ ہوتی ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ کیوں، یاد رکھیں کہ ایک پروجیکٹو بنڈل ایک مناسب کھلے کور کے دوہرے چوراہوں پر منتقلی کے افعال سے لیس ہوتا ہے۔ ٹرپل اوورلیپس پر، ان ٹرانزیشن فنکشنز کی کوئی بھی لفٹ کوکیکل کی حالت کو انورٹ ایبل فنکشن تک مطمئن کرتی ہے۔ ان افعال کا مجموعہ ایک 2-سائیکل بناتا ہے جو H2 (X، O *) میں صرف اس صورت میں غائب ہوتا ہے جب پروجیکٹو بنڈل ویکٹر بنڈل کا پروجیکٹوائزیشن ہو۔ خاص طور پر، اگر X ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے تو H2 (X، O *) = 0، اور اس طرح یہ رکاوٹ ختم ہو جاتی ہے۔ ویکٹر بنڈل E کا پروجیکٹو بنڈل E میں 1 طیاروں کے گراس مین بنڈل کی طرح ہی ہے۔ ویکٹر بنڈل E کا پروجیکٹو بنڈل P (E) عالمگیر خاصیت سے منسوب ہوتا ہے جس میں کہا گیا ہے: ایک مورفزم f: T → X کو دیکھتے ہوئے، پروجیکشن نقشے کے ذریعے f کو فیکٹرائز کرنا f * E کی لائن سب بنڈل کی وضاحت کرنا ہے۔ مثال کے طور پر، f کو p لینے سے، کسی کو p * E کی لائن سب بنڈل O (-1) مل جاتی ہے، جسے P (E) پر ٹاٹولوجیکل لائن بنڈل کہا جاتا ہے۔ مزید برآں، یہ O (-1) اس معنی میں ایک عالمگیر بنڈل ہے کہ جب ایک لائن بنڈل L ایک فیکٹرائزیشن f = p ° g دیتا ہے، تو L g کے ساتھ O (-1) کا پل بیک ہوتا ہے۔ O (-1) کی زیادہ واضح تعمیر کے لیے Cone#O (1) بھی دیکھیں۔ پی (ای) پر، ایک قدرتی عین مطابق ترتیب ہے (جسے ٹاٹولوجیکل عین مطابق ترتیب کہا جاتا ہے): جہاں کیو کو ٹاٹولوجیکل کوٹینٹ-بنڈل کہا جاتا ہے۔ X اور G = F/E پر EÂF کو ویکٹر بنڈل (محدود درجہ کے مقامی طور پر آزاد شیوز) ہونے دیں۔ فرض کریں کہ q: P (F) → X پروجیکشن ہے۔ پھر قدرتی نقشہ شیف ہوم کا ایک عالمی حصہ ہے۔ مزید برآں، یہ قدرتی نقشہ ایک ایسے مقام پر غائب ہو جاتا ہے جب نقطہ E میں ایک لکیر ہو ؛ دوسرے لفظوں میں، اس حصے کا صفر لوکس P (E) ہے۔ اس تعمیر کی ایک خاص طور پر مفید مثال اس وقت ہوتی ہے جب F E کا براہ راست مجموعہ E ≈ 1 اور معمولی لائن بنڈل (یعنی ساخت کا خول) ہوتا ہے۔ پھر P (E) P میں ایک ہائپرپلین ہے، جسے انفینیٹی پر ہائپرپلین کہا جاتا ہے، اور P (E) کی تکمیل کو E سے پہچانا جا سکتا ہے۔ اس طرح، P (E) کو E کی پروجیکٹو تکمیل (یا "کمپیکٹفیکیشن") کہا جاتا ہے۔ پروجیکٹو بنڈل P (E) لائن بنڈل کے ذریعے E کو موڑنے کے تحت مستحکم ہوتا ہے۔ عین مطابق، لائن بنڈل L کو دیکھتے ہوئے، قدرتی آئسومورفزم ہوتا ہے: جیسے کہ (درحقیقت، دائیں طرف لائن بنڈل پر لاگو ہونے والی یونیورسل پراپرٹی کے ذریعے g حاصل ہوتا ہے۔) مثالیں پروجیکٹو بنڈلوں کی بہت سی غیر معمولی مثالیں لیفشیٹز فائبرشن جیسے فائبرشن کا استعمال کرتے ہوئے پائی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک الپٹک K3 سطح ایک K3 سطح ہے جس میں ریشے ہوتے ہیں جیسے کہ ریشے عام طور پر الپٹک منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ چونکہ ہر الپٹک وکر ایک مخصوص نقطہ کے ساتھ ایک جینس 1 وکر ہے، اس لیے فائبرشن کا ایک عالمی حصہ موجود ہے۔ اس عالمی حصے کی وجہ سے، ویئراسٹراس مساوات کے ذریعہ متعین کردہ پروجیکٹو بنڈل کو مورفزم دینے کا ایک نمونہ موجود ہے جہاں بالترتیب مقامی نقاط کی نمائندگی کرتے ہیں، اور کوفیشنٹس شیوز کے حصے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ مساوات اچھی طرح سے متعین ہے کیونکہ ویرسٹراس مساوات میں ہر اصطلاح کی کل ڈگری ہوتی ہے (یعنی گتانک کی ڈگری اور مونومیل کی ڈگری۔ مثال کے طور پر)۔ کوہومولوجی رنگ اور چو گروپ X کو ایک پیچیدہ ہموار پروجیکٹو قسم اور E کو اس پر رینک r کا ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہونے دیں۔ فرض کریں کہ p: P (E) → X E کا پروجیکٹو بنڈل ہے۔ پھر کوہمولوجی رنگ H * (P (E)) پل بیک p * کے ذریعے H * (X) پر ایک الجبرا ہے۔ پھر پہلی چرن کلاس ζ = c1 (O (1)) H * (P (E)) کو اس تعلق کے ساتھ پیدا کرتی ہے جہاں ci (E) E کی i-th چرن کلاس ہے۔ اس تفصیل کی ایک دلچسپ خصوصیت یہ ہے کہ کوئی بھی چرن کلاسوں کو اس تعلق میں کوفیشنٹس کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ یہ گروتھینڈیک کا اپنا نقطہ نظر ہے۔ پیچیدہ فیلڈ کے علاوہ دیگر فیلڈز پر، کوہومولوجی رنگ کی جگہ چو رنگ کے ساتھ بھی یہی وضاحت درست رہتی ہے (پھر بھی فرض کریں کہ X ہموار ہے)۔ خاص طور پر، چو گروپوں کے لیے، براہ راست مجموعہ سڑنا ہوتا ہے جیسا کہ یہ پتہ چلا، یہ سڑنا درست رہتا ہے چاہے X ہموار نہ ہو اور نہ ہی پروجیکٹو۔ اس کے برعکس، Ak (E) = Ak-r (X)، گیسن ہومومورفزم کے ذریعے، اخلاقی طور پر اس وجہ سے کہ E کے ریشے، ویکٹر خالی جگہیں، سکڑنے کے قابل ہیں۔ پروج کنسٹرکشن شنک (الجبرائی جیومیٹری) حکمرانی کی سطح (ایک پروجیکٹو بنڈل کی مثال) سیوری-براؤر قسم ہرزبروچ سطح حوالہ جات الجبرائی ٹوپولوجی الجبرائی جیومیٹری بھی دیکھیں۔