Regularized meshless method
عددی ریاضی میں، ریگولیرائزڈ میش لیس میتھڈ (آر ایم ایم)، جسے سنگلر میش لیس میتھڈ یا ڈیسنگولرائزڈ میش لیس میتھڈ بھی کہا جاتا ہے، ایک میش لیس باؤنڈری کولاکیشن طریقہ ہے جو بعض جزوی تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے جس کا بنیادی حل واضح طور پر جانا جاتا ہے۔ آر ایم ایم ایک مضبوط شکل کا کولاکیشن طریقہ ہے جس کی خوبیاں میش لیس، انضمام سے پاک، عمل درآمد میں آسان اور اعلی استحکام ہیں۔ اب تک اس طریقہ کو کچھ عام مسائل پر کامیابی کے ساتھ لاگو کیا گیا ہے، جیسے ممکنہ، صوتی، پانی کی لہر، اور پابند اور غیر محدود ڈومینز کے الٹا مسائل۔ تفصیل آر ایم ایم ممکنہ نظریہ سے دوہری پرت کی صلاحیت کو اس کی بنیاد/دانا افعال کے طور پر استعمال کرتا ہے۔ بنیادی حلوں کے طریقہ کار (ایم ایف ایس) کی طرح، عددی حل کا تخمینہ مختلف ماخذ پوائنٹس کے حوالے سے ڈبل پرت کے دانا افعال کے لکیری امتزاج سے لگایا جاتا ہے۔ ایم ایف ایس کے برعکس، آر ایم ایم کے تصادم اور ماخذ پوائنٹس، تاہم، اتفاق سے ہوتے ہیں اور ایم ایف ایس میں فرضی حد کی ضرورت کے بغیر جسمانی حد پر رکھے جاتے ہیں۔ اس طرح، آر ایم ایم حقیقی دنیا کے مسائل کے لیے ایم ایف ایس ایپلی کیشنز میں بڑی رکاوٹ کو دور کرتا ہے۔ کولاکیشن اور سورس پوائنٹس کے اتفاق پر، ڈبل لیئر کرنل فنکشن یکسانیت کے مختلف آرڈر پیش کریں گے۔ اس طرح، ایک گھٹاؤ اور ایڈڈنگ بیک ریگولرائزنگ تکنیک متعارف کرائی جاتی ہے اور اس لیے، اس طرح کی انفرادیت کو ہٹا یا منسوخ کر دیتی ہے۔ تاریخ اور حالیہ ترقی ان دنوں محدود عنصر کا طریقہ (ایف ای ایم)، محدود فرق کا طریقہ (ایف ڈی ایم)، محدود حجم کا طریقہ (ایف وی ایم)، اور باؤنڈری عنصر کا طریقہ (بی ای ایم) انجینئرنگ اور سائنس کے بہت سے شعبوں کے عددی نمونوں میں غالب عددی تکنیک ہیں۔ میش نسل اعلی جہتی حرکت پذیر یا پیچیدہ شکل کے باؤنڈری مسائل کے حل میں تکلیف دہ اور یہاں تک کہ بہت مشکل مسائل ہیں اور کمپیوٹیشنل طور پر مہنگا اور اکثر ریاضیاتی طور پر پریشان کن ہوتا ہے۔ بی ای ایم کے بارے میں طویل عرصے سے یہ دعوی کیا جاتا رہا ہے کہ وہ صرف حدود کی تفریق اور اس کی نیم تجزیاتی نوعیت کی بدولت اس طرح کی خرابیوں کو دور کرتا ہے۔ ان خوبیوں کے باوجود، بی ای ایم، تاہم، کافی نفیس ریاضی اور کچھ مشکل واحد انٹیگرلز پر مشتمل ہے۔ مزید برآں، تین جہتی ڈومین میں سطح کو جوڑنا ایک غیر معمولی کام ہے۔ پچھلی دہائیوں کے دوران، ان مشکلات کو دور کرنے یا ختم کرنے کے لیے کافی کوششیں کی گئی ہیں، جس کی وجہ سے میش لیس/میش فری باؤنڈری کولیکیشن کے طریقے تیار ہوئے ہیں جن کے لیے نہ تو ڈومین اور نہ ہی باؤنڈری میشنگ کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان طریقوں میں، ایم ایف ایس آسان پروگرامنگ، ریاضیاتی سادگی، اعلی درستگی، اور تیز ارتکاز کی اہلیت کے ساتھ سب سے زیادہ مقبول ہے۔ ایم ایف ایس میں، بنیادی حل کی یکسانیت سے بچنے کے لیے مسئلہ کے دائرے سے باہر ایک فرضی حد کی ضرورت ہوتی ہے۔ تاہم، فرضی حد کے زیادہ سے زیادہ مقام کا تعین کرنا ایک غیر معمولی کام ہے جس کا مطالعہ کیا جانا چاہیے۔ اس طویل الجھن کے مسئلے کو دور کرنے کے لیے تب سے ڈرامائی کوششیں کی جا رہی ہیں۔ حالیہ پیشرفتوں میں، مثال کے طور پر، باؤنڈری ناٹ میتھڈ (بی کے ایم)، ریگولرائزڈ میش لیس میتھڈ (آر ایم ایم)، ترمیم شدہ ایم ایف ایس (ایم ایم ایف ایس)، اور سنگل باؤنڈری میتھڈ (ایس بی ایم) شامل ہیں۔ آر ایم ایم کا طریقہ کار سب سے پہلے ینگ اور اس کے ساتھیوں نے 2005 میں تجویز کیا تھا۔ کلیدی خیال یہ ہے کہ اصل پر ڈبل لیئر کرنل فنکشن کی انفرادیت کو دور کرنے کے لیے ایک گھٹاؤ اور ایڈڈنگ بیک ریگولرائزنگ تکنیک متعارف کروائی جائے، تاکہ ماخذ پوائنٹس کو براہ راست حقیقی حد پر رکھا جا سکے۔ اب تک، آر ایم ایم کو مختلف قسم کے جسمانی مسائل پر کامیابی کے ساتھ لاگو کیا گیا ہے، جیسے کہ ممکنہ، بیرونی صوتی اینٹیپلین پیزو-الیکٹرکٹی، ملٹی پلائی سے منسلک ڈومین کے ساتھ صوتی آئجن پروبلم، الٹا مسئلہ، پوزیشن مساوات اور پانی کی لہر کے مسائل۔ مزید برآں، کچھ بہتر فارمولیشنز بنائی گئی ہیں جن کا مقصد اس طریقہ کار کی فزیبلٹی اور کارکردگی کو مزید بہتر بنانا ہے، مثال کے طور پر، بے قاعدہ ڈومین کے مسائل کے لیے ویٹڈ آر ایم ایم اور 2 ڈی لیپلیس کے مسائل کے لیے تجزیاتی آر ایم ایم دیکھیں۔ ریڈیل بیس فنکشن باؤنڈری عنصر طریقہ بنیادی حل کا طریقہ باؤنڈری ناٹ طریقہ باؤنڈری پارٹیکل طریقہ سنگلر باؤنڈری طریقہ حوالہ جات عددی تجزیہ عددی تفریق مساوات