Kodaira–Spencer map
ریاضی میں، کوڈائرا-اسپینسر نقشہ، جسے کونیہیکو کوڈائرا اور ڈونلڈ سی اسپینسر نے متعارف کرایا ہے، ایک ایسا نقشہ ہے جو کسی اسکیم یا پیچیدہ کئی گنا ایکس کی اخترتی سے وابستہ ہے، جو اخترتی کی جگہ کے ایک نقطہ کی ٹینجینٹ اسپیس کو ایکس پر ویکٹر فیلڈز کے شیف کے پہلے کوہومولوجی گروپ تک لے جاتا ہے۔ تعریف تاریخی محرک کوڈیرا-اسپینسر نقشہ اصل میں پیچیدہ کئی گنا کی ترتیب میں بنایا گیا تھا۔ چارٹس اور بائیو ہولومورفک نقشوں کے ساتھ ایک پیچیدہ تجزیاتی کئی گنا کو دیکھتے ہوئے جو چارٹس کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں، ڈیفارمیشن تھیوری کا خیال یہ ہے کہ ان منتقلی کے نقشوں کو پیرامیٹرائزڈ ٹرانزیشن میپس کے ذریعے کسی بیس (جو ایک حقیقی کئی گنا ہو سکتا ہے) پر نقاط کے ساتھ تبدیل کیا جائے، جیسے کہ۔ اس کا مطلب ہے کہ پیرامیٹرز اصل کمپلیکس کے پیچیدہ ڈھانچے کو کئی گنا خراب کرتے ہیں۔ پھر، ان افعال کو کوکیکل کی حالت کو بھی پورا کرنا چاہیے، جو 1-سائیکل کو اس کے ٹینجینٹ بنڈل میں اقدار کے ساتھ دیتا ہے۔ چونکہ بیس کو پولی ڈسک سمجھا جا سکتا ہے، اس لیے یہ عمل بیس کے ٹینجینٹ اسپیس کے درمیان ایک نقشہ دیتا ہے جسے کوڈائرا-اسپینسر نقشہ کہا جاتا ہے۔ اصل تعریف مزید رسمی طور پر، کوڈائرا-اسپینسر نقشہ وہ ہے جہاں پیچیدہ خالی جگہوں کے درمیان ایک ہموار مناسب نقشہ ہے (یعنی، خصوصی فائبر کی اخترتی۔) منسلک ہومومورفزم ہے جو سرجیکشن کی ایک لمبی عین مطابق کوہمولوجی ترتیب لے کر حاصل کیا جاتا ہے جس کا دانا ٹینجینٹ بنڈل ہوتا ہے۔ اگر اس میں ہے، تو اس کی تصویر کو کوڈائرا-اسپینسر کلاس آف کہا جاتا ہے۔ تبصرے کیونکہ اخترتی کے نظریہ کو متعدد دیگر سیاق و سباق تک بڑھایا گیا ہے، جیسے کہ اسکیم تھیوری میں اخترتی، یا رنگڈ ٹوپوئی، ان سیاق و سباق کے لیے کوڈائرا-اسپینسر نقشے کی تعمیرات موجود ہیں۔ خصوصیت کے بنیادی میدان پر سکیم تھیوری میں، اور کی آئسومورفزم کلاسوں کے درمیان ایک قدرتی بائیجیکشن ہے۔ شکلوں کے لیے لامحدود سائیکل کی حالت کا استعمال کرتے ہوئے تعمیرات خصوصیت سے زیادہ کوڈائرا-اسپینسر نقشے کی تعمیر کوکیکل کی حالت کی لامحدود تشریح کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے۔ اگر ہمارے پاس نقاط اور منتقلی کے افعال کے ساتھ محدود طور پر بہت سے چارٹس سے ڈھکا ہوا ایک پیچیدہ کئی گنا ہے جہاں یاد رکھیں کہ ایک اخترتی ایک مواصلاتی خاکہ کے ذریعے دی گئی ہے جہاں دوہری نمبروں کی انگوٹی ہے اور عمودی نقشے چپٹے ہیں، اخترتی کی کوکیکلز کے طور پر ہم آہنگی کی تشریح ہے جہاں کوکیکل کی حالت کو پورا کرتا ہے، تو وہ اخترتی پر چپک جاتے ہیں۔ اسے اس طرح پڑھا جا سکتا ہے کہ دوہری نمبروں کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، یعنی ہمارے پاس کوکیکل کی حالت درج ذیل دو اصول ہیں۔ ویکٹر فیلڈز کے کوکیکلز میں تبدیلی۔ اخترتی کے کوکیکل کو آسانی سے ویکٹر فیلڈز کے کوکیکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے: کوکیکل کو دیکھتے ہوئے ہم ویکٹر فیلڈ تشکیل دے سکتے ہیں جو کہ 1-کوچین ہے۔ پھر منتقلی کے نقشوں کا قاعدہ اس 1-کوچین کو 1-سائیکل کے طور پر دیتا ہے، لہذا ایک کلاس۔ ویکٹر فیلڈز کا استعمال اس نقشے کی اصل تعمیرات میں سے ایک نے تفریقی جیومیٹری اور پیچیدہ تجزیہ کی ترتیبات میں ویکٹر فیلڈز کا استعمال کیا۔ مندرجہ بالا اشارے کو دیکھتے ہوئے، نقالی سے کوکیکل کی حالت میں منتقلی طول و عرض کی ایک چھوٹی سی بنیاد پر شفاف ہوتی ہے، لہذا صرف ایک پیرامیٹر ہوتا ہے۔ پھر، کوکیکل کی حالت کو اس طرح پڑھا جا سکتا ہے۔ پھر، کے حوالے سے مشتق کا حساب پچھلی مساوات سے اس طرح کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کیونکہ اور، پھر مشتق اس طرح پڑھتا ہے۔ پچھلے ہولومورفک ویکٹر فیلڈ کے حصے کے نقاط میں تبدیلی کے ساتھ ان جزوی مشتقات کو گتانک کے طور پر رکھتے ہوئے، ہم لکھ سکتے ہیں۔ اس طرح ہم اوپر کی مساوات کو ویکٹر فیلڈز کی درج ذیل مساوات کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ اسے ویکٹر فیلڈ کے طور پر دوبارہ لکھنا کوکیکل کی حالت دیتا ہے۔ اس لیے اس کی اصل اخترتی سے ایک وابستہ کلاس ہے۔ سکیم تھیوری میں ہموار قسم کی شکلوں میں کوڈائرا-اسپینسر کلاس کوہمولوجیکل طور پر تعمیر کیا گیا ہے۔ اس اخترتی سے وابستہ مختصر عین مطابق ترتیب (جہاں) ہے جو جب-ماڈیول کے ذریعہ ٹینسر کیا جاتا ہے تو مختصر عین مطابق ترتیب دیتا ہے۔ اخذ کردہ زمروں کا استعمال کرتے ہوئے، یہ کوڈائرا-اسپینسر نقشے کو عام کرنے والے عنصر کی وضاحت کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کوٹینجینٹ ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے اسے کسی بھی ہموار نقشے میں عام کیا جا سکتا ہے، جس میں ایک عنصر دیا جاتا ہے۔ رنگڈ ٹوپوئی کی کوڈائرا-اسپینسر نقشوں کی سب سے تجریدی تعمیرات میں سے ایک کوٹینجینٹ کمپلیکس سے آتی ہے جو رنگڈ ٹوپوئی کے نقشوں کی ساخت سے وابستہ ہے۔ پھر، اس ساخت سے وابستہ ایک ممتاز مثلث ہے اور یہ باؤنڈری نقشہ کوڈائرا-اسپینسر نقشہ (یا کوہمولوجی کلاس، جس کی نشاندہی کی گئی ہے) بناتا ہے۔ اگر ساخت میں دو نقشے اسکیموں کے ہموار نقشے ہیں، تو یہ کلاس کلاس کے ساتھ موافق ہے۔ تجزیاتی جراثیم کے ساتھ مثالیں کوڈائرا-اسپینسر نقشہ جب تجزیاتی جراثیم پر غور کیا جاتا ہے تو ڈیفارمیشن تھیوری اور اس کی ورسل ڈیفارمیشنز میں ٹینجینٹ کوہمولوجی کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی کثیر الجہتی کے جراثیم کو دیکھتے ہوئے، اس کی اخترتی کی جگہ ماڈیول کے ذریعے دی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اس کے بعد اس کی ورسل اخترتی اس کے ذریعے دی جاتی ہے تو ایک من مانی اخترتی اس کے ذریعے دی جاتی ہے۔ پھر ایک ویکٹر کے لیے، جس میں بیسسٹ ہے جہاں نقشہ کوٹینجینٹ کمپلیکس کے ساتھ افائن ہائپر سرفیس پر بھیجتا ہے۔ کثیر الجہتی کے ذریعہ بیان کردہ فیلڈ پر ایک افائن ہائپر سرفیس کے لیے، متعلقہ بنیادی مثلث ہوتا ہے۔ پھر، لاگو کرنے سے لمبی عین ترتیب ملتی ہے۔ یاد رکھیں کہ مشتق زمروں کے عمومی نظریہ سے آئسومورفزم موجود ہے، اور ایکسٹ گروپ فرسٹ آرڈر کی اخترتی کی درجہ بندی کرتا ہے۔ پھر، تخفیف کے سلسلے کے ذریعے، اس گروپ کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ سب سے پہلے، چونکہ ایک مفت ماڈیول ہے۔ نیز، کیونکہ آئسومورفزم موجود ہیں۔ آخری آئسومورفزم آئسومورفزم سے آتا ہے، اور مطلوبہ آئسومورفزم دینے میں ایک مورفزم۔ کوٹینجینٹ ترتیب سے (جو کہ بنیادی مثلث کا ایک کٹا ہوا ورژن ہے) طویل عین مطابق ترتیب کا منسلک نقشہ ڈوئل ہے، جس سے آئسومورفزم ملتا ہے۔ نوٹ یہ حساب کوٹینجینٹ ترتیب اور کمپیوٹنگ کا استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے۔ پھر، کوڈائرا-اسپینسر نقشہ عنصر کو ایک اخترتی بھیجتا ہے۔ مزید دیکھیں ڈیفارمیشن تھیوری کوٹینجینٹ کمپلیکس شلیسنجر کا تھیوریم منحنی خطوط کے الجبرائی خاندان کا خصوصیت والا لکیری نظام گاؤس-منین کنکشن مشتق زمرہ ایکسٹ فنکٹر حوالہ جات میتھوور فلو پوسٹ جو جیکوبین رنگ سے متعلق اخترتی سے متعلق ہے۔ الجبرائی جیومیٹری