Abstract cell complex
ریاضی میں، ایک تجریدی سیل کمپلیکس ایک تجریدی سیٹ ہے جس میں الیگزینڈرروف ٹوپولوجی ہے جس میں ہر نقطہ کو ایک غیر منفی عدد نمبر تفویض کیا جاتا ہے جسے طول و عرض کہا جاتا ہے۔ کمپلیکس کو "تجریدی" کہا جاتا ہے کیونکہ اس کے نکات، جنہیں "سیل" کہا جاتا ہے، ہاؤس ڈورف اسپیس کے ذیلی سیٹ نہیں ہیں جیسا کہ یوکلڈین اور سی ڈبلیو کمپلیکس میں ہوتا ہے۔ تجریدی سیل کمپلیکس تصویری تجزیہ اور کمپیوٹر گرافکس میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ خلاصہ سیل کمپلیکس کا خیال (جسے تجریدی سیلولر کمپلیکس بھی کہا جاتا ہے) جے سے متعلق ہے۔ لسٹنگ (1862) اور ای۔ اسٹینٹز (1908)۔ اس کے علاوہ اے ڈبلیو ٹکر (1933)، کے ریڈمیسٹر (1938)، پی ایس۔ الیکساندروف (1956) کے ساتھ ساتھ آر کلیٹ اور اے روزن فیلڈ (2004) نے خلاصہ سیل کمپلیکس کو بیان کیا ہے۔ ای۔ اسٹینٹز نے ایک تجریدی سیل کمپلیکس کی تعریف اس طرح کی ہے جہاں ای ایک تجریدی سیٹ ہے، بی ایک غیر متناسب، غیر متغیر اور عارضی بائنری رشتہ ہے جسے ای کے عناصر کے درمیان باؤنڈنگ رشتہ کہا جاتا ہے اور ڈم ایک فنکشن ہے جو ای کے ہر عنصر کو غیر منفی عدد اس طرح تفویض کرتا ہے کہ اگر، تو۔ وی۔ کووالیوسکی (1989) نے 3D اور اعلی جہتوں کے لیے تجریدی سیل کمپلیکس کو بیان کیا۔ انہوں نے تصویری تجزیہ کے لیے متعدد ایپلی کیشنز بھی تجویز کیں۔ اپنی کتاب (2008) میں انہوں نے مقامی طور پر محدود ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا ایک محوری نظریہ تجویز کیا ہے جو تجریدی سیل کمپلیکس کی عمومی شکل ہے۔ اس کتاب میں دیگر کے علاوہ میٹرک سے آزاد ٹپوولوجیکل گیندوں اور شعبوں کی نئی تعریفیں، مشترکہ کئی گنا کی ایک نئی تعریف اور تصویری تجزیہ کے لیے مفید بہت سے الگورتھم شامل ہیں۔ بنیادی نتائج خلاصہ سیل کمپلیکس کی ٹوپولوجی اس کے نکات یا خلیوں کے سیٹ میں جزوی ترتیب پر مبنی ہوتی ہے۔ ای۔ اسٹینٹز کے ذریعہ بیان کردہ تجریدی سیل کمپلیکس کا تصور ایک تجریدی سادہ کمپلیکس کے تصور سے متعلق ہے اور یہ ایک سادہ کمپلیکس سے اس خاصیت کے لحاظ سے مختلف ہے کہ اس کے عناصر کوئی آسان نہیں ہیں: ایک تجریدی کمپلیکس کے ایک n جہتی عنصر میں n + 1 صفر جہتی اطراف نہیں ہونے چاہئیں، اور سیل کے صفر جہتی اطراف کے سیٹ کا ہر ذیلی سیٹ سیل نہیں ہے۔ یہ اہم ہے کیونکہ ایک تجریدی سیل کمپلیکس کے تصور کو امیج پروسیسنگ میں استعمال ہونے والے دو اور تین جہتی گرڈ پر لاگو کیا جا سکتا ہے، جو کہ سادہ کمپلیکس کے لیے درست نہیں ہے۔ ایک غیر آسان کمپلیکس ایک عمومی شکل ہے جو سیل کوآرڈینیٹس کے تعارف کو ممکن بناتا ہے: غیر آسان کمپلیکس ہوتے ہیں جو اس طرح کے "لکیری" ایک جہتی کمپلیکس کے کارٹیشین پروڈکٹ ہوتے ہیں جہاں ہر صفر جہتی سیل، ان میں سے دو کے علاوہ، بالکل دو ایک جہتی خلیوں کو پابند کرتا ہے۔ صرف اس طرح کے کارٹیزین کمپلیکس اس طرح کے نقاط کو متعارف کرانا ممکن بناتے ہیں کہ ہر خلیے میں نقاط کا ایک مجموعہ ہوتا ہے اور کسی بھی دو مختلف خلیوں میں مختلف نقاط کے مجموعے ہوتے ہیں۔ کوآرڈینیٹ سیٹ کمپلیکس کے ہر سیل کے نام کے طور پر کام کر سکتا ہے جو کمپلیکس کی پروسیسنگ کے لیے اہم ہے۔ تجریدی کمپلیکس ڈیجیٹل امیج پروسیسنگ کی بنیاد ہونے کے ناطے گرڈ میں کلاسیکی ٹوپولوجی (الیگزینڈرروف-ٹوپولوجی) کے تعارف کی اجازت دیتے ہیں۔ یہ امکان تجریدی سیل کمپلیکس کے بڑے فائدے کی وضاحت کرتا ہے: رابطے اور ذیلی سیٹوں کی حدود کے تصورات کی قطعی وضاحت کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔ خلیوں اور کمپلیکس کے طول و عرض کی تعریف عام صورت میں سادہ کمپلیکس سے مختلف ہے (نیچے دیکھیں)۔ ایک تجریدی سیل کمپلیکس کا تصور بنیادی طور پر سی ڈبلیو کمپلیکس سے مختلف ہے کیونکہ ایک تجریدی سیل کمپلیکس کوئی ہاؤس ڈورف اسپیس نہیں ہے۔ یہ کمپیوٹر سائنس کے نقطہ نظر سے اہم ہے کیونکہ کمپیوٹر میں غیر مجرد ہاؤس ڈورف کی جگہ کو واضح طور پر پیش کرنا ناممکن ہے۔ (اس طرح کی جگہ میں ہر نقطہ کے پڑوس میں لامحدود پوائنٹس ہونے چاہئیں)۔ وی۔ کووالیوسکی کی کتاب میں مقامی طور پر محدود خالی جگہوں کے نظریہ کی تفصیل شامل ہے جو تجریدی سیل کمپلیکس کی عمومی شکل ہے۔ مقامی طور پر محدود جگہ S پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے جہاں S کے ہر نقطہ P کے لیے S کے ذیلی سیٹ کی وضاحت کی جاتی ہے۔ یہ ذیلی سیٹ جس میں پوائنٹس کی محدود تعداد ہوتی ہے اسے P کا سب سے چھوٹا پڑوس کہا جاتا ہے۔ بائنری پڑوس کا تعلق مقامی طور پر محدود جگہ S کے پوائنٹس کے سیٹ میں بیان کیا جاتا ہے: عنصر (نقطہ) b عنصر a کے ساتھ پڑوس کے تعلق میں ہوتا ہے اگر b عنصر a کے سب سے چھوٹے پڑوس سے تعلق رکھتا ہے۔ مقامی طور پر محدود جگہ کے نئے محوریات وضع کیے گئے ہیں، اور یہ ثابت ہوا ہے کہ جگہ S صرف اس صورت میں محوریات کے مطابق ہے جب پڑوس کا تعلق مخالف ہم آہنگی اور عارضی ہو۔ پڑوس کا رشتہ الٹا باؤنڈنگ رشتہ کا اضطراری ڈھانچہ ہے۔ یہ دکھایا گیا کہ ٹوپولوجی کے کلاسیکی محوریات کو نئے محوریات سے نظریہ کے طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، نئے محوریوں کو مطمئن کرنے والی مقامی طور پر محدود جگہ کلاسیکی ٹوپولوجیکل جگہ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس کی ٹوپولوجی ایک پوزیٹ ٹوپولوجی یا الیگزینڈر ٹوپولوجی ہے۔ خلاصہ سیل کمپلیکس مقامی طور پر محدود جگہ کا ایک خاص معاملہ ہے جس میں ہر نقطہ کے لیے طول و عرض کی وضاحت کی جاتی ہے۔ یہ ظاہر کیا گیا کہ خلاصہ سیل کمپلیکس کے سیل سی کا طول و عرض کمپلیکس کے کسی بھی سیل سے سیل تک جانے والے زیادہ سے زیادہ باؤنڈنگ پاتھ کی لمبائی (خلیوں کی تعداد مائنس 1) کے برابر ہے۔ باؤنڈنگ پاتھ خلیوں کی ایک ترتیب ہے جس میں ہر سیل اگلے سیل کو باؤنڈ کرتا ہے۔ اس کتاب میں 2 ڈی کمپلیکس میں ڈیجیٹل سیدھے حصوں کا نظریہ، 2 ڈی اور 3 ڈی میں حدود کا پتہ لگانے کے لیے متعدد الگورتھم، اقتصادی طور پر حدود کو انکوڈنگ کرنے اور اس کے حدود کے کوڈ سے ایک ذیلی سیٹ کو بالکل دوبارہ تعمیر کرنے کے لیے شامل ہیں۔ خلاصہ سیل کمپلیکس کا استعمال کرتے ہوئے، حدود کا سراغ لگانے، کوڈنگ اور کثیر الاضحی کے ساتھ ساتھ کنارے کا پتہ لگانے کے لیے موثر الگورتھم تیار کیے گئے ہیں اور کتاب تجریدی سیل کمپلیکس ڈیجیٹل امیج ریپریزنٹیشن میں بیان کیے گئے ہیں۔ ایک ڈیجیٹل امیج کی نمائندگی 2 ڈی تجریدی سیل کمپلیکس (اے سی سی) کے ذریعے امیج کو اس کے اے سی سی جہتی اجزاء میں تحلیل کرکے کی جا سکتی ہے: پوائنٹس (0-سیل)، دراڑیں/کنارے (1-سیل)، اور پکسلز/چہرے (2-سیل)۔ یہ سڑنا ایک مربوط تفویض کے اصول کے ساتھ مل کر تصویر کے پکسلز سے جہتی اجزاء کو غیر واضح طور پر نقاط تفویض کرنے کے لیے تصویر پر کچھ تصویری تجزیہ کی کارروائیوں کو خوبصورت الگورتھم جیسے کریک باؤنڈری ٹریسنگ، ڈیجیٹل سٹریٹ سیگمنٹ سب ڈویژن وغیرہ کے ساتھ انجام دینے کی اجازت دیتا ہے۔ ایسا ہی ایک قاعدہ پکسل کے اوپری بائیں کوآرڈینیٹ پر پوائنٹس، دراڑوں اور چہروں کا نقشہ بناتا ہے۔ ان جہتی اجزاء کو ان کے اپنے ڈیٹا ڈھانچے میں واضح ترجمہ کی ضرورت نہیں ہے لیکن یہ واضح طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور 2D صف سے متعلق ہو سکتا ہے جو کہ ڈیجیٹل امیج کی معمول کے ڈیٹا ڈھانچے کی نمائندگی ہے۔ یہ کوآرڈینیٹ اسائنمنٹ رول اور اس تصویر میں ہر سیل کے واقعے کی پیش کش دائیں طرف کی تصویر میں دکھائی گئی ہے۔ سادہ پیچیدہ کیوبکل پیچیدہ حوالہ جات ٹوپولوجی بھی دیکھیں۔