Bellman pseudospectral method
بیل مین سڈو سپیکٹرل طریقہ بیل مین کے اصلاح کے اصول پر مبنی زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے لیے ایک سڈو سپیکٹرل طریقہ ہے۔ یہ سیڈو سپیکٹرل آپٹیمل کنٹرول کے بڑے نظریہ کا حصہ ہے، یہ اصطلاح راس نے تیار کی ہے۔ اس طریقہ کار کا نام رچرڈ ای بیلمین کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اسے راس اور دیگر نے متعارف کرایا تھا۔ پہلے کثیر پیمانے پر زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل کو حل کرنے کے ایک ذریعہ کے طور پر، اور بعد میں عام زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسائل کے لیے سب آپٹیمل حل حاصل کرنے کے لیے توسیع کی گئی۔ نظریاتی بنیادیں بیل مین سیڈو اسپیکٹرل طریقہ کار کا ملٹی اسکیل ورژن راس-فاہرو سیڈو اسپیکٹرل طریقوں کی سپیکٹرل کنورجنس پراپرٹی پر مبنی ہے۔ یعنی، کیونکہ راس-فاہرو سیڈو سپیکٹرل طریقہ ایک تیز رفتار شرح سے یکجا ہوتا ہے، حل میں پوائنٹ وائز کنورجنس بہت کم تعداد میں نوڈس پر حاصل کی جاتی ہے یہاں تک کہ جب حل میں ہائی فریکوئنسی اجزاء ہوتے ہیں۔ زیادہ سے زیادہ کنٹرول میں یہ عرفیت کا رجحان سب سے پہلے راس اور دیگر نے دریافت کیا تھا۔ الیاس کے خلاف حل کے لیے سگنل پروسیسنگ تکنیک استعمال کرنے کے بجائے، راس اور دیگر۔ تجویز پیش کی کہ بیلمین کے اصلاح کے اصول کو نوڈس کے درمیان معلومات نکالنے کے لیے مربوط حل پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ کیونکہ گوس-لوبیٹو نوڈس باؤنڈری پوائنٹس پر جمع ہوتے ہیں، راس اور دیگر۔ تجویز کیا کہ اگر ابتدائی حالات کے ارد گرد نوڈ کی کثافت نائکوسٹ-شینن سیمپلنگ تھیوریم کو مطمئن کرتی ہے، تو پھر بیل مین سیگمنٹس کے نام سے جانے والے ٹکڑے ٹکڑے والے حصوں پر زیادہ سے زیادہ کنٹرول کے مسئلے کو تکراری انداز میں حل کرکے مکمل حل حاصل کیا جا سکتا ہے۔ طریقہ کار کے ایک توسیعی ورژن میں، راس اور دیگر نے تجویز پیش کی کہ طریقہ کار کو قابل عمل حل پیدا کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جو ضروری نہیں کہ زیادہ سے زیادہ بہتر ہو۔ اس ورژن میں، کوئی بھی بیل مین سڈو اسپیکٹرل طریقہ کو نوڈس کی اس سے بھی کم تعداد پر اس علم کے تحت بھی لاگو کر سکتا ہے کہ حل زیادہ سے زیادہ نہیں ہوا ہے۔ اس صورت حال میں، ایک قابل عمل حل حاصل ہوتا ہے۔ بیل مین سیڈو سپیکٹرل طریقہ کار کی ایک قابل ذکر خصوصیت یہ ہے کہ یہ اصل سیڈو سپیکٹرل لاگت اور بیل مین حصوں کے مجموعے سے پیدا ہونے والی لاگت کی بنیاد پر خود بخود ذیلی اصلاح کے کئی اقدامات کا تعین کرتا ہے۔ کمپیوٹیشنل کارکردگی بیل مین سڈو اسپیکٹرل طریقہ کار کے کمپیوٹیشنل فوائد میں سے ایک یہ ہے کہ یہ نوڈ پوائنٹس کی تقسیم میں گوسیائی اصولوں سے بچنے کی اجازت دیتا ہے۔ یعنی، ایک معیاری سیڈو سپیکٹرل طریقہ کار میں، نوڈ پوائنٹس کی تقسیم گاؤسیئن (عام طور پر محدود افق کے لیے گاؤس-لوباٹو اور لامحدود افق کے لیے گاؤس-راڈو) ہوتی ہے۔ وقفے کے وسط میں گوسی پوائنٹس کم ہوتے ہیں (درمیانی کی تعریف لامحدود افق کے مسائل کے لیے منتقل شدہ معنوں میں کی جاتی ہے) اور حدود پر گھنے ہوتے ہیں۔ حدود کے قریب پوائنٹس کے دوسرے درجے کے جمع ہونے سے نوڈس ضائع ہونے کا اثر پڑتا ہے۔ بیل مین سڈو اسپیکٹرل طریقہ ابتدائی نقطہ پر نوڈ کے جمع ہونے کا فائدہ اٹھاتا ہے تاکہ حل کو مخالف الیاس بنایا جا سکے اور بقیہ نوڈس کو خارج کر دیا جا سکے۔ اس طرح نوڈس کی حتمی تقسیم غیر گوسیائی اور گھنے ہوتی ہے جبکہ کمپیوٹیشنل طریقہ ایک غیر معمولی ساخت کو برقرار رکھتا ہے۔ ایپلی کیشنز بیل مین سڈو اسپیکٹرل طریقہ سب سے پہلے راس اور دیگر نے لاگو کیا تھا۔ بہت کم زور والی رفتار کو بہتر بنانے کے چیلنجنگ مسئلے کو حل کرنے کے لیے۔ اسے کامیابی سے دوبارہ داخلے کے لیے قمری مدار سے ایک خلائی کیپسول کو پن پوائنٹڈ ارتھ انٹرفیس کی حالت میں لانے کے ٹرانس ارتھ انجیکشن کے مسئلے کے بہت زیادہ درستگی کے حل پیدا کرنے کے عملی مسئلے کو حل کرنے کے لیے کامیابی سے لاگو کیا گیا ہے۔ بیل مین سیڈو سپیکٹرل طریقہ عام طور پر راس-فاہرو سیڈو سپیکٹرل طریقوں سے پیدا ہونے والے سیڈو سپیکٹرل حل کی اصلاح پر اضافی جانچ کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔ یعنی، راس-فاہرو سیوڈو سپیکٹرل طریقوں سے حاصل کردہ حل کے ساتھ مل کر پونٹریگین کے کم از کم اصول کے استعمال کے علاوہ، بیل مین سیوڈو سپیکٹرل طریقہ کو کمپیوٹڈ حل کی اصلاح پر صرف ابتدائی ٹیسٹ کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ لیجنڈری سیڈو سپیکٹرل طریقہ چیبیشیف سیڈو سپیکٹرل طریقہ حوالہ جات بہترین کنٹرول عددی تجزیہ کنٹرول تھیوری بھی دیکھیں۔