Monsky's theorem
جیومیٹری میں، مونسکی کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ کسی مربع کو مساوی رقبے کے مثلثوں کی عجیب تعداد میں تقسیم کرنا ممکن نہیں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، مربع کا کوئی عجیب مساوی حصہ نہیں ہوتا ہے۔ یہ مسئلہ فریڈ رچ مین نے 1965 میں امریکن میتھمیٹیکل منتھلی میں پیش کیا تھا، اور اسے 1970 میں پال مونسکی نے ثابت کیا تھا۔ ثبوت مونسکی کا ثبوت مشترکہ اور الجبرائی تکنیکوں کو یکجا کرتا ہے، اور خاکہ مندرجہ ذیل ہے: مربع کو (0,0)، (0,1)، (1,0) اور (1,1) پر عمودی مربع کے طور پر لیں۔ اگر مساوی رقبے والے n مثلثوں میں کوئی تفریق ہو تو ہر مثلث کا رقبہ 1/n ہے۔ مربع میں ہر نقطہ کو تین رنگوں میں سے کسی ایک کے ساتھ رنگ دیں، جو اس کے نقاط کی 2-ایڈک تشخیص پر منحصر ہے۔ دکھائیں کہ ایک سیدھی لکیر میں صرف دو رنگوں کے نکات ہو سکتے ہیں۔ اسپرنر لیما کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کریں کہ مربع کے ہر مثلث کو مثلث میں ملا کر کنارے سے کنارے تک کم از کم ایک مثلث پر مشتمل ہونا چاہیے جس کے عمودی حصوں میں تین مختلف رنگ ہوں۔ سیدھی لکیر کی خاصیت سے یہ نتیجہ اخذ کریں کہ مربع کے ہر ٹکڑے میں مثلث میں ایک ترنگا مثلث بھی موجود ہونا چاہیے، ضروری نہیں کہ کنارے سے کنارے تک ملے۔ کارٹیزین جیومیٹری کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کریں کہ مثلث کے رقبے کی 2-ایڈک تشخیص جس کے عمودی تین مختلف رنگ ہیں 1 سے زیادہ ہے۔ لہذا مربع کے مثلث میں ہر ٹکڑے میں کم از کم ایک مثلث ہونا چاہیے جس کے رقبے کی 2-ایڈک قیمت 1 سے زیادہ ہو۔ اگر n عجیب ہے تو 1/n کی 2-ایڈک ویلیوایشن 1 ہے، اس لیے مربع کو مثلثوں میں تقسیم کرنا ناممکن ہے جن میں سے سبھی کا رقبہ 1/n ہے۔ بہترین تفرقہ مونسکی کے نظریہ کے مطابق کسی مربع کو مثلث کی عجیب تعداد میں تقسیم کرنے کے لیے مختلف علاقوں والے مثلث کا ہونا ضروری ہے۔ رقبے کے فرق کے لیے نچلی حدود کا مطالعہ کیا گیا ہے جو کسی مربع کو مثلث کی عجیب تعداد میں تقسیم کرنے کے لیے ہونا ضروری ہے اور زیادہ سے زیادہ تفریق کا مطالعہ کیا گیا ہے۔ تھیوریم کو اعلی جہتوں میں عام کیا جا سکتا ہے: ایک n-جہتی ہائپر کیوب کو صرف مساوی حجم کی آسانیوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اگر آسانیوں کی تعداد n! کا ضرب ہو۔ حوالہ جات یوکلڈین طیارہ جیومیٹری متضاد جیومیٹری میں نظریہ جیومیٹرک ڈسیکشن