Method of fundamental solutions
سائنسی حساب کتاب اور تخروپن میں، بنیادی حل کا طریقہ (ایم ایف ایس) بنیادی حل کو بنیادی فعل کے طور پر استعمال کرنے کی بنیاد پر جزوی تفریق مساوات کو حل کرنے کی ایک تکنیک ہے۔ ایم ایف ایس کو باؤنڈری عنصر طریقہ (بی ای ایم) میں بڑی خرابیوں پر قابو پانے کے لیے تیار کیا گیا تھا جو گورننگ مساوات کو مطمئن کرنے کے لیے بنیادی حل کا بھی استعمال کرتا ہے۔ نتیجتا، ایم ایف ایس اور بی ای ایم دونوں باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن عددی تکنیک کے ہیں اور کمپیوٹیشنل پیچیدگی کو ایک جہتی سے کم کرتے ہیں اور ڈومین کی قسم کی عددی تکنیکوں پر خاص برتری رکھتے ہیں جیسے کہ لامحدود ڈومین کے حل پر محدود عنصر اور محدود حجم کے طریقے، پتلی دیواروں والے ڈھانچے، اور الٹا مسائل۔ بی ای ایم کے برعکس، ایم ایف ایس واحد بنیادی حل کے عددی انضمام سے گریز کرتا ہے اور یہ ایک موروثی میش فری طریقہ ہے۔ تاہم، بنیادی حل کی انفرادیت کو روکنے کے لیے فزیکل ڈومین سے باہر ایک متنازعہ فرضی حد کی ضرورت کے ذریعے طریقہ کار سے سمجھوتہ کیا جاتا ہے، جس نے حقیقی دنیا کے مسائل پر اس کے اطلاق کو سنجیدگی سے محدود کر دیا ہے۔ لیکن اس کے باوجود ایم ایف ایس کو کچھ ایپلی کیشن کے شعبوں جیسے لامحدود ڈومین کے مسائل کے لیے بہت مسابقتی پایا گیا ہے۔ ایم ایف ایس کو ادب میں مختلف ناموں سے بھی جانا جاتا ہے، بشمول چارج تخروپن طریقہ، سپرپوزیشن طریقہ، ڈیسنگولرائزڈ طریقہ، بالواسطہ باؤنڈری عنصر طریقہ اور ورچوئل باؤنڈری عنصر طریقہ۔ ایم ایف ایس تشکیل بعض قسم کے مسائل کو کنٹرول کرنے والی جزوی تفریق مساوات پر غور کریں جہاں تفریق جزوی آپریٹر ہے، کمپیوٹیشنل ڈومین کی نمائندگی کرتا ہے، اور بالترتیب ڈیرچلیٹ اور نیومن کی حد کو ظاہر کرتا ہے، اور۔ ایم ایف ایس آپریٹر کے بنیادی حل کو اس کے بنیادی فنکشن کے طور پر استعمال کرتا ہے تاکہ نامعلوم فنکشن یو کے تخمینے کی نمائندگی کی جا سکے جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے جہاں کولاکیشن پوائنٹس اور سورس پوائنٹس کے درمیان یوکلڈین فاصلے کی نشاندہی ہوتی ہے، بنیادی حل ہے جو مطمئن کرتا ہے جہاں ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے، اور نامعلوم کوفیشنٹس ہیں۔ فزیکل ڈومین سے باہر واقع سورس پوائنٹس کے ساتھ، ایم ایف ایس بنیادی حل کی یکسانیت سے بچتے ہیں۔ تخمینہ کو باؤنڈری کنڈیشن میں تبدیل کرنے سے درج ذیل میٹرکس مساوات حاصل ہوتی ہے جہاں ڈیرچلیٹ اور نیومن حدود پر بالترتیب کولاکیشن پوائنٹس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ نامعلوم کوفشنٹس کا تعین مندرجہ بالا الجبرائی مساوات سے منفرد طور پر کیا جا سکتا ہے۔ اور پھر ہم فزیکل ڈومین میں کسی بھی مقام پر عددی حل کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ تاریخ اور حالیہ پیش رفت ایم ایف ایس کے پیچھے کے خیالات بنیادی طور پر وی ڈی کپرڈزے اور ایم اے الیکسڈزے نے 1950 کی دہائی کے آخر اور 1960 کی دہائی کے اوائل میں تیار کیے تھے۔ تاہم، اس طریقہ کو سب سے پہلے 1970 کی دہائی کے آخر میں آر میتھون اور آر ایل جانسٹن نے ایک کمپیوٹیشنل تکنیک کے طور پر تجویز کیا تھا، اس کے بعد میتھون، جانسٹن اور گریم فیئر ویدر نے متعدد مقالے پیش کیے۔ ایم ایف ایس پھر آہستہ آہستہ جسمانی اور انجینئرنگ کے مسائل کی ایک بڑی قسم کے حل کے لیے ایک مفید ذریعہ بن گیا۔ 1990 کی دہائی میں، ایم اے گولبرگ اور سی ایس چن نے ایم ایف ایس کو غیر یکساں مساوات اور وقت پر منحصر مسائل سے نمٹنے کے لیے بڑھایا، جس سے اس کا اطلاق بہت بڑھ گیا۔ بعد کی پیش رفتوں نے اشارہ کیا کہ ایم ایف ایس کو متغیر گتانک کے ساتھ جزوی تفریق مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایم ایف ایس خاص طور پر مسائل کی بعض کلاسوں جیسے الٹا، غیر محدود ڈومین، اور فری باؤنڈری مسائل کے لیے موثر ثابت ہوا ہے۔ ایم ایف ایس میں فرضی باؤنڈری کے مسئلے کو ٹھیک کرنے کے لیے کچھ تکنیکیں تیار کی گئی ہیں، جیسے باؤنڈری ناٹ کا طریقہ، واحد باؤنڈری کا طریقہ، اور باقاعدگی سے میش لیس کا طریقہ۔ ریڈیل بیس فنکشن باؤنڈری عنصر میتھڈ باؤنڈری ناٹ میتھڈ باؤنڈری پارٹیکل میتھڈ سنگلر باؤنڈری میتھڈ ریگولرائزڈ میش لیس میتھڈ حوالہ جات بیرونی لنکس انٹرنیشنل سینٹر فار نیومریکل سیمولیشن سافٹ ویئر ان انجینئرنگ اینڈ سائنسز عددی تجزیہ عددی تفریق مساوات