Classical capacity
کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں، کوانٹم چینل کی کلاسیکی صلاحیت وہ زیادہ سے زیادہ شرح ہے جس پر کلاسیکی ڈیٹا کو چینل کے بہت سے استعمال کی حد میں غلطی سے پاک بھیجا جا سکتا ہے۔ ہولوو، شوماکر، اور ویسٹ مور لینڈ نے کسی بھی کوانٹم چینل کی کلاسیکی صلاحیت پر درج ذیل کم سے کم اوپری حد کو ثابت کیا: جہاں مندرجہ ذیل شکل کی کلاسیکی-کوانٹم حالت ہے: امکان کی تقسیم ہے، اور ہر ایک کثافت آپریٹر ہے جو چینل میں ان پٹ ہو سکتا ہے۔ ہم مختصر طور پر ایچ ایس ڈبلیو کوڈنگ تھیوریم (کوانٹم چینل پر کلاسیکی ڈیٹا کو منتقل کرنے کے لیے ہولوو انفارمیشن ریٹ کی حصول پذیری کا بیان) کا جائزہ لیتے ہیں۔ ہم سب سے پہلے تھیوریم کے لیے درکار کوانٹم میکانکس کی کم سے کم مقدار کا جائزہ لیتے ہیں۔ اس کے بعد ہم کوانٹم کی خصوصیت کا احاطہ کرتے ہیں، اور آخر میں ہم ایک حالیہ ترتیب وار ڈیکوڈنگ تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے تھیوریم کو ثابت کرتے ہیں۔ کوانٹم میکانکس کا جائزہ ایچ ایس ڈبلیو کوڈنگ تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے ہمیں واقعی کوانٹم میکانکس سے صرف چند بنیادی چیزوں کی ضرورت ہے۔ سب سے پہلے، کوانٹم اسٹیٹ ایک یونٹ ٹریس، مثبت آپریٹر ہے جسے ڈینسٹی آپریٹر کہا جاتا ہے۔ عام طور پر، ہم اسے،، وغیرہ سے ظاہر کرتے ہیں۔ کوانٹم چینل کے لیے سب سے آسان ماڈل کو کلاسیکی کوانٹم چینل کے نام سے جانا جاتا ہے: مندرجہ بالا اشارے کا مطلب یہ ہے کہ کلاسیکی حرف کو منتقل کرنے والے سرے پر داخل کرنا وصول کرنے والے سرے پر کوانٹم حالت کی طرف لے جاتا ہے۔ یہ وصول کنندہ کا کام ہے کہ وہ بھیجنے والے کے ان پٹ کا تعین کرنے کے لیے پیمائش کرے۔ اگر یہ سچ ہے کہ ریاستیں ایک دوسرے سے بالکل الگ ہیں (یعنی، اگر ان کے پاس آرتھوگنل سپورٹ اس طرح کے لیے ہیں)، تو چینل ایک بے شور چینل ہے۔ ہم ان حالات میں دلچسپی رکھتے ہیں جن کے لیے ایسا نہیں ہے۔ اگر یہ سچ ہے کہ تمام ریاستیں ایک دوسرے کے ساتھ سفر کرتی ہیں، تو یہ مؤثر طریقے سے کلاسیکی چینل کی صورتحال سے ملتا جلتا ہے، اس لیے ہمیں بھی ان حالات میں دلچسپی نہیں ہے۔ لہذا، جس صورت حال میں ہمیں دلچسپی ہے وہ یہ ہے کہ جس میں ریاستوں کو اوور لیپنگ سپورٹ حاصل ہے اور وہ غیر تبادلہ پذیر ہیں۔ کوانٹم پیمائش کو بیان کرنے کا سب سے عام طریقہ مثبت آپریٹر ویلیوڈ پیمائش (پی او وی ایم) کے ساتھ ہے۔ ہم عام طور پر پی او وی ایم کے عناصر کو اس طرح ظاہر کرتے ہیں۔ ان آپریٹرز کو ایک درست پی او وی ایم بنانے کے لیے مثبتیت اور تکمیل کو مطمئن کرنا چاہیے: کوانٹم میکانکس کی ممکنہ تشریح میں کہا گیا ہے کہ اگر کوئی پی او وی ایم سے مطابقت رکھنے والے پیمائش کے آلے کا استعمال کرتے ہوئے کوانٹم کی حالت کی پیمائش کرتا ہے، تو نتیجہ حاصل کرنے کا امکان برابر ہوتا ہے اور پیمائش کے بعد کی حالت یہ ہوتی ہے کہ اگر پیمائش کرنے والا شخص نتیجہ حاصل کرتا ہے۔ یہ اصول ہمارے لیے سی کیو چینلز پر کلاسیکی مواصلاتی اسکیموں پر غور کرنے کے لیے کافی ہیں۔ کوانٹم کی خصوصیت قارئین کو عام ذیلی جگہ کے بارے میں مضمون میں اس موضوع کا ایک اچھا جائزہ مل سکتا ہے۔ نرم آپریٹر لیما ہمارے ثبوتوں کے لیے درج ذیل لیما اہم ہے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ ایک پیمائش جو اوسطا زیادہ امکان کے ساتھ کامیاب ہوتی ہے وہ ریاست کو اوسطا بہت زیادہ پریشان نہیں کرتی: لیما: [سرمائی] متوقع کثافت آپریٹر کے ساتھ ایک جوڑے کو دیکھتے ہوئے، فرض کریں کہ ایک آپریٹر جو ریاست پر زیادہ امکان کے ساتھ کامیاب ہوتا ہے: پھر ذیلی معمول کی حالت اصل حالت کے متوقع ٹریس فاصلے کے قریب ہے: (نوٹ کریں کہ آپریٹر کا جوہری معیار ہے تاکہ ٹر۔) مندرجہ ذیل عدم مساوات ہمارے لیے بھی مفید ہے۔ یہ کسی بھی آپریٹر کے لیے ہے، اس طرح کہ: مندرجہ بالا عدم مساوات کی کوانٹم انفارمیشن تھیوریٹک تشریح یہ ہے کہ حالت پر عمل کرنے والی کوانٹم پیمائش سے نتیجہ حاصل کرنے کا امکان ریاست پر نتیجہ حاصل کرنے کے امکان سے بالائی حد تک محدود ہے جس کا خلاصہ دو ریاستوں کی تفریق کے ساتھ کیا گیا ہے اور۔ غیر متغیر اتحاد باؤنڈ لیما: [سین کا باؤنڈ] مندرجہ ذیل باؤنڈ ایک غیر معمول شدہ حالت کے لیے ہے جیسے کہ اور پروجیکٹر ہونے کے ساتھ: ہم سین کے باؤنڈ کو "غیر متغیر اتحاد باؤنڈ" کے طور پر سوچ سکتے ہیں کیونکہ یہ امکانی نظریہ سے منسلک مندرجہ ذیل اتحاد سے مشابہت رکھتا ہے: واقعات کہاں ہیں۔ اگر ہم ذیلی جگہوں کے چوراہے پر ایک پروجیکٹر کے طور پر سوچیں تو پروجیکٹر منطق کے لیے یکساں پابند ہوگا۔ اگرچہ، مذکورہ بالا حد صرف اس صورت میں برقرار رہتی ہے جب پروجیکٹر،...، سفر کر رہے ہوں (چن رہے ہوں، اور جوابی مثال دے رہے ہوں)۔ اگر پروجیکٹر غیر آمد و رفت کر رہے ہیں، تو سین کی باؤنڈ اگلی بہترین چیز ہے اور یہاں ہمارے مقاصد کے لیے کافی ہے۔ ہم اب سین کے نان کمیونیٹیٹو یونین باؤنڈ کے ساتھ ایچ ایس ڈبلیو تھیوریم کو ثابت کرتے ہیں۔ ہم ثبوت کو چند حصوں میں تقسیم کرتے ہیں: کوڈ بک جنریشن، پی او وی ایم کنسٹرکشن، اور ایرر تجزیہ۔ کوڈ بک جنریشن۔ ہم سب سے پہلے بیان کرتے ہیں کہ کس طرح ایلس اور باب کوڈ کے بے ترتیب انتخاب پر متفق ہیں۔ ان کے پاس چینل اور تقسیم ہے۔ وہ آئی آئی ڈی کی تقسیم کے مطابق کلاسیکی ترتیبات کا انتخاب کرتے ہیں۔ انہیں منتخب کرنے کے بعد، وہ ان پر اشاریہ جات کے طور پر لیبل لگاتے ہیں۔ یہ مندرجہ ذیل کوانٹم کوڈ ورڈز کی طرف لے جاتا ہے: اس کے بعد کوانٹم کوڈ بک ہے۔ اس کے بعد کوڈ بک کی اوسط حالت کہاں ہے۔ پی او وی ایم کنسٹرکشن۔ مذکورہ بالا لیما سے منسلک سینس باب کے لیے ایسی حالت کو ڈی کوڈ کرنے کا ایک طریقہ تجویز کرتا ہے جسے ایلس منتقل کرتی ہے۔ باب کو پہلے پوچھنا چاہیے کہ "کیا موصول شدہ حالت اوسط عام ذیلی جگہ میں ہے؟" وہ اس کے مطابق ایک عام ذیلی جگہ کی پیمائش انجام دے کر اسے عملی طور پر کر سکتا ہے۔ اس کے بعد، وہ ترتیب وار پوچھتا ہے، "کیا موصول شدہ کوڈ ورڈ مشروط طور پر عام سب اسپیس میں ہے؟" یہ کسی لحاظ سے اس سوال کے مساوی ہے، "کیا موصول شدہ کوڈ ورڈ منتقل شدہ کوڈ ورڈ ہے؟" وہ مشروط طور پر عام پروجیکٹر کے مطابق پیمائش انجام دے کر ان سوالات کو عملی طور پر پوچھ سکتا ہے۔ اس ترتیب وار ڈیکوڈنگ اسکیم کو اچھی طرح سے کام کیوں کرنا چاہیے؟ وجہ یہ ہے کہ منتقل شدہ کوڈ ورڈ اوسطا عام سب اسپیس میں ہوتا ہے: جہاں عدم مساوات (\ref {eq: 1st-type-प्रप}) سے ہوتی ہے۔ نیز، پروجیکٹر حالتوں کے لیے (اوسطا) "اچھے ڈٹیکٹر" ہوتے ہیں کیونکہ مندرجہ ذیل شرط مشروط کوانٹم کی خصوصیت سے ہوتی ہے: غلطی کا تجزیہ۔ ہماری ترتیب وار ڈیکوڈنگ اسکیم کے تحت کوڈ ورڈ کا صحیح طریقے سے پتہ لگانے کا امکان اس جگہ کے برابر ہے جہاں ہم مخفف بناتے ہیں۔ (مشاہدہ کریں کہ ہم اوسط عام ذیلی جگہ میں صرف ایک بار پیش کرتے ہیں۔) اس طرح، کوڈ ورڈ کے غلط پتہ لگانے کا امکان اس کے ذریعے دیا جاتا ہے اور اس اسکیم کا اوسط غلطی کا امکان برابر ہے۔ اوسط غلطی کے امکان کا تجزیہ کرنے کے بجائے، ہم اوسط غلطی کے امکان کی توقع کا تجزیہ کرتے ہیں، جہاں توقع کوڈ کے بے ترتیب انتخاب کے حوالے سے ہوتی ہے: ہمارا پہلا قدم سین کے باؤنڈ کو مندرجہ بالا مقدار پر لاگو کرنا ہے۔ لیکن ایسا کرنے سے پہلے، ہمیں مندرجہ بالا اظہار کو تھوڑا سا دوبارہ لکھنا چاہیے، یہ مشاہدہ کرتے ہوئے کہ () میں تبدیل کرنا (اور ابھی کے لیے چھوٹی اصطلاح کو بھول جانا) ایک اوپری حد دیتا ہے۔ یہ اوپری باؤنڈ دیتا ہے۔ مربع جڑ کی کنکیوٹی کی وجہ سے، ہم اس اظہار کو اوپر سے باؤنڈ کر سکتے ہیں جہاں دوسرا باؤنڈ کوڈ ورڈ کے برابر نہ ہونے والے تمام کوڈ ورڈز کا خلاصہ کرکے ہوتا ہے (یہ رقم صرف بڑی ہو سکتی ہے)۔ اب ہم خصوصی طور پر یہ ظاہر کرنے پر توجہ مرکوز کرتے ہیں کہ مربع جڑ کے اندر کی اصطلاح کو چھوٹا بنایا جا سکتا ہے۔ پہلی اصطلاح پر غور کریں: جہاں پہلی عدم مساوات () کی پیروی کرتی ہے اور دوسری عدم مساوات نرم آپریٹر لیما اور غیر مشروط اور مشروط خصوصیت کی خصوصیات کی پیروی کرتی ہے۔ اب دوسری اصطلاح اور عدم مساوات کے مندرجہ ذیل سلسلے پر غور کریں: پہلی مساوات اس کے بعد آتی ہے کیونکہ کوڈ ورڈز اور آزاد ہیں کیونکہ وہ مختلف ہیں۔ دوسری مساوات () کے بعد آتی ہے۔ پہلی عدم مساوات (\ref {eq: 3rd-type-प्रप}) کے بعد آتی ہے۔ جاری رکھتے ہوئے، ہمارے پاس پہلی عدم مساوات ہے جس کے بعد توقع کے ساتھ نشان کا تبادلہ ہوتا ہے۔ دوسری عدم مساوات (\ref {eq: 2nd-سیکنڈ-ٹائپ}) سے ملتی ہے۔ اگلے دو سیدھے سیدھے ہیں۔ ہر چیز کو ایک ساتھ رکھ کر، ہم اوسط غلطی کے امکان کی توقع پر اپنا حتمی پابند حاصل کرتے ہیں: اس طرح، جب تک ہم انتخاب کرتے ہیں، ایک کوڈ موجود ہوتا ہے جس میں غلطی کا امکان ختم ہوتا ہے۔ الجھن کی مدد سے کلاسیکی صلاحیت کوانٹم کی صلاحیت کوانٹم انفارمیشن تھیوری عام سب اسپیس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ کوانٹم انفارمیشن تھیوری حساب کی حدود