Mumford–Shah functional
ممفورڈ-شاہ فنکشنل ایک فنکشنل ہے جو کسی تصویر کو ذیلی خطوں میں تقسیم کرنے کے لیے ایک بہترین معیار قائم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ایک تصویر کو پیس وائز ہموار فنکشن کے طور پر بنایا گیا ہے۔ فنکشنل ماڈل اور ان پٹ امیج کے درمیان فاصلے، ذیلی خطوں کے اندر ماڈل کی ہموار کی کمی، اور ذیلی خطوں کی حدود کی لمبائی کو سزا دیتا ہے۔ فنکشنل کو کم سے کم کرکے بہترین امیج سیگمنٹشن کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ فنکشنل کی تجویز ریاضی دان ڈیوڈ ممفورڈ اور جینت شاہ نے 1989 میں پیش کی تھی۔ ممفورڈ-شاہ فنکشنل کی تعریف ڈی کی تعریف کے ڈومین کے ساتھ ایک امیج I پر غور کریں، جے کو امیج کا ماڈل کہیں، اور بی کو وہ حدود کہیں جو ماڈل سے وابستہ ہیں: ممفورڈ-شاہ فنکشنل ای [جے، بی] کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ فنکشنل کی اصلاح کو کسی اور فنکشنل کے ساتھ لگ بھگ کرکے حاصل کیا جاسکتا ہے، جیسا کہ ایمبروسیو اور ٹورٹوریلی نے تجویز کیا ہے۔ فنکشنل ایمبروسیو-ٹورٹوریلی حد ایمبروسیو اور ٹورٹوریلی کو کم سے کم کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ ممفورڈ-شاہ فنکشنل E [J, B] کو انرجی فنکشنل E [J, z, ε] کے خاندان کی حد کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے جہاں باؤنڈری B کو مسلسل فنکشن z سے تبدیل کیا جاتا ہے جس کی شدت باؤنڈری کی موجودگی کی نشاندہی کرتی ہے۔ ان کے تجزیے سے پتہ چلتا ہے کہ ممفورڈ-شاہ فنکشنل میں اچھی طرح سے طے شدہ کم از کم ہے۔ یہ کم سے کم تخمینہ لگانے کے لیے ایک الگورتھم بھی فراہم کرتا ہے۔ وہ جن فنکشنلز کی وضاحت کرتے ہیں ان کی درج ذیل شکل ہوتی ہے: جہاں ε> 0 ایک (چھوٹا) پیرامیٹر ہے اور φ (z) ایک پوٹینشل فنکشن ہے۔ φ (z) کے لیے دو عام انتخاب ہیں یہ انتخاب ایج سیٹ B کو پوائنٹس z کے سیٹ کے ساتھ اس طرح جوڑتا ہے کہ φ1 (z) ≈ 0 یہ انتخاب ایج سیٹ B کو پوائنٹس z کے سیٹ کے ساتھ اس طرح جوڑتا ہے کہ φ2 (z) ≈ 1/4 ان کی کٹوتی میں غیر معمولی مرحلہ اس بات کا ثبوت ہے کہ، بطور، انرجی فنکشن کی آخری دو اصطلاحات (یعنی۔ توانائی فنکشنل کی آخری انٹیگرل اصطلاح) ایج سیٹ انٹیگرل umBds میں یکجا ہوتی ہے۔ توانائی فنکشنل E [J، z، ε] کو گریڈیئنٹ ڈیسنٹ طریقوں کے ذریعے کم سے کم کیا جا سکتا ہے، جس سے مقامی کم سے کم کنورجنس کی یقین دہانی ہوتی ہے۔ ایمبروسیو، فوسکو، اور ہچنسن نے ممفورڈ-شاہ توانائی کے کم سے کم کرنے والے واحد سیٹ کے ہاؤسڈورف طول و عرض کا زیادہ سے زیادہ تخمینہ دینے کے لیے ایک نتیجہ قائم کیا۔ ایک جہتی مسائل میں تقسیم کرکے کم سے کم کرنا ممفورڈ شاہ فنکشنل کو جوڑے ہوئے ایک جہتی ذیلی مسائل میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ ذیلی مسائل بالکل متحرک پروگرامنگ کے ذریعے حل کیے جاتے ہیں۔ باؤنڈڈ ویری ایشن کیکیوپولی سیٹ ڈیجیٹل امیج پروسیسنگ لوئیگی امبروسیو نوٹس حوالہ جات امیج سیگمنٹشن بھی دیکھیں۔