Ricci calculus
ریاضی میں، رچی کیلکولس انڈیکس نوٹیشن اور ٹینسرز اور ٹینسر فیلڈز کے لیے ہیرا پھیری کے اصولوں کو تشکیل دیتا ہے، جو میٹرک ٹینسر یا کنکشن کے ساتھ یا اس کے بغیر، ایک تفریق پذیر کئی گنا پر ہوتا ہے۔ یہ اس کا جدید نام بھی ہے جسے مطلق تفریقی کیلکولس (ٹینسر کیلکولس کی بنیاد) کہا جاتا تھا، جسے گریگوریو رچی-کرباسٹرو نے 1887-1896 میں تیار کیا تھا، اور اس کے بعد 1900 میں اپنے شاگرد ٹولیو لیوی-سیویتا کے ساتھ لکھے گئے ایک مقالے میں اسے مقبول کیا گیا۔ جان آرنلڈس شوٹن نے اس ریاضیاتی فریم ورک کے لیے جدید نوٹیشن اور فارملزم تیار کیا، اور بیسویں صدی کے اوائل میں عمومی اضافیت اور تفریقی جیومیٹری پر اس کے اطلاق کے دوران اس نظریہ میں حصہ ڈالا۔ ٹینسر کا جزو ایک حقیقی عدد ہے جو ٹینسر کی جگہ کے لیے بنیادی عنصر کے گتانک کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔ ٹینسر اس کے اجزاء کا مجموعہ ہے جسے ان کے متعلقہ بنیادی عناصر سے ضرب دی جاتی ہے۔ ٹینسرز اور ٹینسر فیلڈز کا اظہار ان کے اجزاء کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے، اور ٹینسرز اور ٹینسر فیلڈز پر کارروائیوں کا اظہار ان کے اجزاء پر کارروائیوں کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ ٹینسر فیلڈز کی تفصیل اور ان کے اجزاء کے لحاظ سے ان پر ہونے والی کارروائیاں رچی کیلکولس کا مرکز ہیں۔ یہ اشارے اس طرح کے ٹینسر فیلڈز اور آپریشنز کے موثر اظہار کی اجازت دیتا ہے۔ اگرچہ زیادہ تر اشارے کا اطلاق کسی بھی ٹینسر کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، لیکن تفریق ڈھانچے سے متعلق کارروائیاں صرف ٹینسر فیلڈز پر لاگو ہوتی ہیں۔ جہاں ضرورت ہو، اشارے غیر ٹینسرز کے اجزاء، خاص طور پر کثیر جہتی صفوں تک پھیلا ہوا ہے۔ ایک ٹینسر کو ویکٹر اور کوویکٹر پر مبنی عناصر کے ٹینسر پروڈکٹ کے لکیری مجموعہ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ نتیجے میں ٹینسر اجزاء کو بنیاد کے اشاریہ جات کے ذریعہ لیبل کیا جاتا ہے۔ ہر انڈیکس میں بنیادی ویکٹر اسپیس کے فی طول و عرض کی ایک ممکنہ قیمت ہوتی ہے۔ اشاریوں کی تعداد ٹینسر کی ڈگری (یا ترتیب) کے برابر ہوتی ہے۔ کمپیکٹنس اور سہولت کے لیے، رچی کیلکولس آئن سٹائن نوٹیشن کو شامل کرتا ہے، جس کا مطلب ہے انڈیکس پر خلاصہ جو ایک اصطلاح کے اندر دہرایا جاتا ہے اور آزاد انڈیکس پر عالمگیر مقدار۔ رچی کیلکولس کے اشارے میں اظہارات کی تشریح عام طور پر بیک وقت مساوات کے ایک سیٹ کے طور پر کی جا سکتی ہے جو اجزاء کو کئی گنا پر افعال کے طور پر بیان کرتی ہے، عام طور پر زیادہ خاص طور پر کئی گنا پر نقاط کے افعال کے طور پر۔ یہ صرف قواعد کے ایک محدود سیٹ سے واقفیت کے ساتھ تاثرات کی بدیہی ہیرا پھیری کی اجازت دیتا ہے۔ جہاں کلاسیکی طبیعیات کے چار جہتی اسپیس ٹائم میں خلا جیسے بنیادی عناصر اور وقت جیسے عنصر کے درمیان فرق کیا جانا ہے، یہ روایتی طور پر اشاریہ جات کے ذریعے کیا جاتا ہے: چھوٹے حروف لاطینی حروف تہجی کو 3 جہتی یوکلڈین اسپیس پر پابندی کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جو مقامی اجزاء کے لیے 1، 2، 3 اقدار لیتا ہے ؛ اور وقت جیسے عنصر، جو 0 سے ظاہر ہوتا ہے، کو الگ سے دکھایا جاتا ہے۔ چھوٹے حروف یونانی حروف 4 جہتی خلائی وقت کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جو عام طور پر وقت کے اجزاء کے لیے 0 اور مقامی اجزاء کے لیے 1، 2، 3 اقدار لیتے ہیں۔ کچھ ذرائع وقت کے مطابق انڈیکس ویلیو کے طور پر 0 کے بجائے 4 کا استعمال کرتے ہیں۔ اس مضمون میں، 0 استعمال کیا گیا ہے۔ بصورت دیگر، عام ریاضیاتی سیاق و سباق میں، اشاریہ جات کے لیے کوئی بھی علامت استعمال کی جا سکتی ہے، جو عام طور پر ویکٹر اسپیس کے تمام جہتوں پر چلتی ہے۔ کوآرڈینیٹ اور انڈیکس نوٹیشن مصنف عام طور پر یہ واضح کرے گا کہ آیا سبسکرپٹ انڈیکس کے طور پر ہے یا لیبل کے طور پر۔ مثال کے طور پر، 3-D یوکلڈین اسپیس میں اور کارٹیزین کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتے ہوئے ؛ کوآرڈینیٹ ویکٹر سبسکرپٹس 1، 2، 3 اور لیبلز کے درمیان براہ راست خط و کتابت ظاہر کرتا ہے۔ اظہار میں، 1، 2، 3 اقدار پر مشتمل انڈیکس کے طور پر تشریح کی جاتی ہے، جبکہ،، سبسکرپٹ صرف لیبل ہوتے ہیں، متغیر نہیں۔ اسپیس ٹائم کے تناظر میں، انڈیکس ویلیو 0 روایتی طور پر لیبل سے مطابقت رکھتی ہے۔ بیس انڈیکس کا حوالہ خود کو ڈائیکریٹک جیسی علامتوں کا استعمال کرتے ہوئے لیبل کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ ٹوپی (̃)، بار (̃)، ٹلڈے (̃)، یا پرائم (′) جیسا کہ: اس انڈیکس کے لیے ممکنہ طور پر مختلف بنیاد کی نشاندہی کرنے کے لیے۔ ایک مثال لورینٹز ٹرانسفارمیشنز میں حوالہ کے ایک فریم سے دوسرے فریم میں ہے، جہاں ایک فریم کو ان پرائم کیا جا سکتا ہے اور دوسرے کو پرائمیڈ کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ: اسے اسپنرز کے لیے وین ڈیر ویرڈن نوٹیشن کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جو اسپنر کی چیرالیٹی کی عکاسی کرنے کے لیے انڈیکس پر ٹوپیاں اور اوور ڈاٹس استعمال کرتا ہے۔ اوپری اور نچلے انڈیکس رچی کیلکولس، اور انڈیکس نوٹیشن زیادہ عام طور پر، نچلے انڈیکس (سبسکرپٹ) اور اوپری انڈیکس (سپر اسکرپٹ) کے درمیان فرق کرتا ہے۔ مؤخر الذکر ایکسپوینٹ نہیں ہیں، حالانکہ وہ قارئین کو صرف ریاضی کے دوسرے حصوں سے واقف نظر آسکتے ہیں۔ اس خاص صورت میں کہ میٹرک ٹینسر ہر جگہ شناختی میٹرکس کے برابر ہے، اوپری اور نچلے اشاریوں کے درمیان فرق کو کم کرنا ممکن ہے، اور پھر تمام اشاریوں کو نچلی پوزیشن میں لکھا جا سکتا ہے۔ لکیری الجبرا میں مربوط فارمولے جیسے کہ میٹرکس کے پروڈکٹ اس کی مثالیں ہو سکتی ہیں۔ لیکن عام طور پر، اوپری اور نچلے اشاریوں کے درمیان فرق کو برقرار رکھا جانا چاہیے۔ کوویرینٹ ٹینسر اجزاء ایک کم انڈیکس (سبسکرپٹ) اس انڈیکس کے حوالے سے اجزاء کی کوویرینس کی نشاندہی کرتا ہے: متضاد ٹینسر اجزاء ایک اوپری انڈیکس (سپر اسکرپٹ) اس انڈیکس کے حوالے سے اجزاء کی متضاد کی نشاندہی کرتا ہے: مخلوط تغیر ٹینسر اجزاء ایک ٹینسر میں اوپری اور نچلے دونوں انڈیکس ہو سکتے ہیں: انڈیکس کی ترتیب اہم ہے، یہاں تک کہ جب مختلف تغیرات ہوں۔ تاہم، جب یہ سمجھا جاتا ہے کہ بنیادی علامت کو برقرار رکھتے ہوئے کوئی اشاریہ بلند یا کم نہیں کیا جائے گا، تو متغیر اشاریہ جات کو بعض اوقات علامتی سہولت کے لیے متضاد اشاریہ جات سے نیچے رکھا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ عام کرونیکر ڈیلٹا کے ساتھ)۔ ٹینسر کی قسم اور ڈگری ٹینسر کے ہر اوپری اور نچلے انڈیکس کی تعداد اس کی قسم دیتی ہے: اوپری اور نچلے انڈیکس والے ٹینسر کو ٹائپ کا کہا جاتا ہے، یا ٹائپ ٹینسر کہا جاتا ہے۔ ٹینسر کے اشاریوں کی تعداد، قطع نظر تغیر سے، ٹینسر کی ڈگری کہلاتی ہے (متبادل طور پر، اس کی ویلینس، آرڈر یا رینک، حالانکہ رینک مبہم ہے)۔ اس طرح، قسم کے ٹینسر کی ڈگری ہوتی ہے۔ خلاصہ روایت ایک اصطلاح کے اندر دو بار (ایک اوپری اور ایک نچلا) ہونے والی ایک ہی علامت اشاریہ جات کے ایک جوڑے کی نشاندہی کرتی ہے جس کا خلاصہ کیا جاتا ہے: اس طرح کے خلاصہ سے ظاہر ہونے والے عمل کو ٹینسر سنکچن کہا جاتا ہے: یہ خلاصہ ایک اصطلاح کے اندر ایک سے زیادہ بار ہو سکتا ہے جس میں فی جوڑی اشاریہ جات کی ایک الگ علامت ہو، مثال کے طور پر: ایک اصطلاح کے اندر بار بار ہونے والے اشاریہ جات کے دیگر امتزاج کو غیر تشکیل شدہ سمجھا جاتا ہے، جیسے کہ {| |-| | | | (دونوں واقعات کم ہیں ؛ ٹھیک ہوں گے) |-| | (کم اشاریہ کے طور پر دو بار ہوتا ہے ؛ یا ٹھیک ہوگا)۔ |} اس طرح کے فارمولوں کو خارج کرنے کی وجہ یہ ہے کہ اگرچہ ان مقداروں کو اعداد کی صفوں کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے، لیکن وہ عام طور پر بنیاد کی تبدیلی کے تحت ٹینسر کے طور پر تبدیل نہیں ہوں گے۔ ملٹی انڈیکس نوٹیشن اگر کسی ٹینسر کے پاس تمام اوپری یا نچلے انڈیکس کی فہرست ہے، تو ایک شارٹ ہینڈ فہرست کے لیے بڑے حرف کا استعمال کرنا ہے: کہاں اور کہاں۔ ترتیب وار خلاصہ تمام اعلی اشاریہ جات یا تمام کم اشاریہ جات (لیکن دونوں نہیں) کے ایک سیٹ کے ارد گرد عمودی سلاخوں کا ایک جوڑا، اشاریہ جات کے دوسرے سیٹ کے ساتھ سنکچن سے وابستہ ہوتا ہے جب اشاریہ جات کے دو سیٹوں میں سے ہر ایک میں اظہار مکمل طور پر متضاد ہوتا ہے: اس کا مطلب اشاریہ اقدار پر محدود رقم ہے، جہاں ہر اشاریہ اگلے سے سختی سے کم ہونے پر مجبور ہوتا ہے۔ ایک سے زیادہ گروپوں کا خلاصہ اس طرح کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر: ملٹی انڈیکس نوٹیشن کا استعمال کرتے وقت، انڈیکس کے بلاک کے نیچے ایک انڈر ایرو رکھا جاتا ہے: جہاں انڈیکس کو بڑھانا اور کم کرنا غیر سنگلر میٹرک ٹینسر کے ساتھ انڈیکس کو سکڑنے سے، ٹینسر کی قسم کو تبدیل کیا جا سکتا ہے، نچلے انڈیکس کو اوپری انڈیکس میں تبدیل کیا جا سکتا ہے یا اس کے برعکس: بہت سے معاملات میں بنیادی علامت کو برقرار رکھا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ استعمال کرتے ہوئے جہاں یہاں ظاہر ہوتا ہے)، اور جب کوئی ابہام نہیں ہوتا ہے، تو اس عمل کو ظاہر کرنے کے لیے انڈیکس کی تبدیلی کی جا سکتی ہے۔ انڈیکس پوزیشنوں اور غیر متغیر کے درمیان ارتباط یہ جدول خلاصہ پیش کرتا ہے کہ کس طرح کوویرینٹ اور متضاد انڈیکس کی ہیرا پھیری اڈوں کے درمیان غیر فعال تبدیلی کے تحت غیر متغیر کے ساتھ فٹ بیٹھتی ہے، جس میں ہر بنیاد کے اجزاء دوسرے کے لحاظ سے پہلے کالم میں ظاہر ہوتے ہیں۔ برڈ انڈیکس تبدیلی کے بعد حتمی کوآرڈینیٹ سسٹم کا حوالہ دیتے ہیں۔ کرونکر ڈیلٹا استعمال کیا جاتا ہے، نیچے بھی دیکھیں۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل" |-! ! بنیادی تبدیلی! اجزاء کی تبدیلی! غیر متغیر۔-! کوویکٹر، کوویرینٹ ویکٹر، 1-فارم | | |-! ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ نتیجتا، اشارے کے ایسے پہلو ہیں جو یہ جانچنے میں مفید ہیں کہ مساوات معنی رکھتی ہے (جہتی تجزیہ کے لیے ایک ہم آہنگ طریقہ کار)۔ آزاد اور ڈمی اشاریہ جات جو سنکچن میں شامل نہیں ہیں انہیں آزاد اشاریہ جات کہا جاتا ہے۔ سنکچن میں استعمال ہونے والے انڈیکس کو ڈمی انڈیکس یا سمیشن انڈیکس کہا جاتا ہے۔ ٹینسر مساوات بہت سی عام (حقیقی قدر والی) مساوات کی نمائندگی کرتی ہے۔ یہ صرف حقیقی اعداد ہیں۔ چونکہ اشاریہ جات ٹینسر کے مخصوص اجزاء کو منتخب کرنے کے لیے مختلف عدد اقدار لیتے ہیں، اس لیے ایک واحد ٹینسر مساوات بہت سی عام مساوات کی نمائندگی کرتی ہے۔ اگر ٹینسر مساوات میں آزاد اشاریہ جات ہیں، اور اگر بنیادی ویکٹر اسپیس کی جہت ہے، تو مساوات مساوات کی نمائندگی کرتی ہے: ہر انڈیکس اقدار کے ایک مخصوص سیٹ کی ہر قیمت پر لیتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر چار جہتوں میں ہے (یعنی، ہر انڈیکس 0 سے 3 یا 1 سے 4 تک چلتا ہے)، تو چونکہ تین آزاد انڈیکس () ہیں، اس لیے 43 = 64 مساوات ہیں۔ ان میں سے تین یہ ہیں: یہ انڈیکس نوٹیشن کے استعمال کی کمپیکٹنس اور کارکردگی کی وضاحت کرتا ہے: بہت سی مساوات جو سب ایک جیسی ساخت کا اشتراک کرتی ہیں انہیں ایک سادہ ٹینسر مساوات میں جمع کیا جا سکتا ہے۔ انڈیکس قابل تبدیلی لیبل ہوتے ہیں۔ کسی بھی انڈیکس کی علامت کو دوسرے سے تبدیل کرنے سے ٹینسر مساوات میں کوئی تبدیلی نہیں آتی ہے (بشرطیکہ پہلے سے استعمال شدہ دیگر علامتوں کے ساتھ کوئی تنازعہ نہ ہو)۔ انڈیکس میں ہیرا پھیری کرتے وقت یہ مفید ثابت ہو سکتا ہے، جیسے کہ ویکٹر کیلکولس کی شناخت یا کرونکر ڈیلٹا اور لیوی-سیویٹا علامت کی شناخت کی تصدیق کے لیے انڈیکس نوٹیشن کا استعمال کرنا (نیچے بھی دیکھیں)۔ درست تبدیلی کی ایک مثال یہ ہے: جبکہ ایک غلط تبدیلی یہ ہے: پہلے متبادل میں، ہر جگہ تبدیل اور تبدیل کیا جاتا ہے، لہذا اظہار کا اب بھی ایک ہی معنی ہے۔ دوسرے میں، مکمل طور پر تبدیل نہیں ہوا، اور مکمل طور پر تبدیل نہیں ہوا (اتفاق سے، انڈیکس پر سنکچن ایک ٹینسر پروڈکٹ بن گیا)، جو آگے دکھائی گئی وجوہات کی بناء پر مکمل طور پر متضاد ہے۔ ٹینسر کے اظہار میں آزاد اشاریہ جات ہمیشہ ہر اصطلاح میں ایک ہی (اوپری یا نچلے) پوزیشن میں ظاہر ہوتے ہیں، اور ٹینسر مساوات میں آزاد اشاریہ جات ہر طرف یکساں ہوتے ہیں۔ ڈمی انڈیکس (جس کا مطلب اس انڈیکس پر خلاصہ ہے) ایک جیسے ہونے کی ضرورت نہیں ہے، مثال کے طور پر: جیسا کہ غلط اظہار کے لیے: دوسرے لفظوں میں، مساوات کی ہر اصطلاح میں غیر بار بار ہونے والے انڈیکس ایک ہی قسم کے ہونے چاہئیں۔ مندرجہ بالا شناخت میں، لائن اپ کریں اور سنکچن کی وجہ سے ایک مدت میں دو بار ہوتا ہے (ایک بار اوپری انڈیکس کے طور پر اور ایک بار نچلے انڈیکس کے طور پر)، اور اس طرح یہ ایک درست اظہار ہے۔ غلط اظہار میں، جبکہ لائن اپ، اور نہیں، اور ایک اصطلاح میں دو بار ظاہر ہوتا ہے (سنکچن) اور ایک بار دوسری اصطلاح میں، جو متضاد ہے۔ متعدد اشاریہ جات (تفریق، ہم آہنگی وغیرہ، جو آگے دکھایا گیا ہے) پر کسی اصول کا اطلاق کرتے وقت، قواعد کی نشاندہی کرنے والے بریکٹ یا پنکچوایشن کے نشانات صرف اشاریہ جات کے ایک گروپ پر دکھائے جاتے ہیں جس پر وہ لاگو ہوتے ہیں۔ اگر بریکٹ کوویرینٹ انڈیکس کو گھیرے ہوئے ہیں-یہ قاعدہ صرف بریکٹ میں منسلک تمام کوویرینٹ انڈیکس پر لاگو ہوتا ہے، نہ کہ کسی بھی متضاد انڈیکس پر جو بریکٹ کے درمیان فوری طور پر رکھے جاتے ہیں۔ اسی طرح اگر بریکٹ متضاد اشاریہ جات کو گھیرے ہوئے ہیں-یہ قاعدہ صرف تمام منسلک متضاد اشاریہ جات پر لاگو ہوتا ہے، نہ کہ فوری طور پر رکھے گئے متغیر اشاریہ جات پر۔ متعدد اشاریہ جات کے ارد گرد ہم آہنگی اور ہم آہنگی مخالف حصے ٹینسر پیرنتھیسز کا ہم آہنگی حصہ، ()، ٹینسر کے ہم آہنگی والے حصے کی نشاندہی کرتا ہے۔ جب اشاریہ جات کو 1 سے 1 تک کے اعداد کی ترتیبات پر رینج کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، تو کوئی ان اشاریہ جات کی ترتیبات پر ایک مجموعہ لیتا ہے، اور پھر ترتیبات کی تعداد سے تقسیم ہوتا ہے: مثال کے طور پر، دو ہم آہنگی اشاریہ جات کا مطلب ہے کہ دو اشاریہ جات ہیں جو ترتیب دیں اور مجموعہ کریں: جبکہ تین ہم آہنگی اشاریہ جات کے لیے، تین اشاریہ جات ہیں جن کا مجموعہ اور ترتیب دیں: ہم آہنگی اضافے پر تقسیم ہے ؛ اشاریہ جات ہم آہنگی کا حصہ نہیں ہیں جب وہ ہیں: ایک ہی سطح پر نہیں، مثال کے طور پر ؛ قوسین کے اندر اور عمودی سلاخوں کے درمیان (یعنی. ۔ ہے نہیں، ہیں ہوتے سمیٹریزڈ انڈیکس اور یہاں، کریں ترمیم میں مثال پچھلی،) ⋅ | ٹینسر اسکوائر بریکٹ کا اینٹیسیمیٹرک یا متبادل حصہ، []، متعدد اشاریوں کے ارد گرد ٹینسر کے اینٹیسیمیٹریزڈ حصے کی نشاندہی کرتا ہے۔ اینٹیسیمیٹریزنگ انڈیکس کے لیے-ان انڈیکس کی ترتیبات پر جمع کو ترتیب کے دستخط سے ضرب دی جاتی ہے، پھر ترتیبات کی تعداد سے تقسیم کیا جاتا ہے: ڈگری کا عمومی کرونیکر ڈیلٹا کہاں ہے، اسکیلنگ کے ساتھ جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، دو اینٹیسیمیٹریزنگ انڈیکس کا مطلب ہے: جبکہ تین اینٹیسیمیٹریزنگ انڈیکس کا مطلب ہے: جہاں تک زیادہ مخصوص مثال کے لیے، اگر برقی مقناطیسی ٹینسر کی نمائندگی کرتا ہے، تو مساوات مقناطیسیت کے لیے گاؤس کے قانون اور فیراڈے کے انضمام کے قانون کی نمائندگی کرتی ہے۔ پہلے کی طرح، اینٹیسیمیٹریزیشن اضافی پر تقسیم ہے ؛ جیسا کہ سمیٹریزیشن کے ساتھ ہوتا ہے، انڈیکس کو اینٹیسیمیٹریز نہیں کیا جاتا ہے جب وہ ہوتے ہیں: ایک ہی سطح پر نہیں، مثال کے طور پر ؛ مربع بریکٹ کے اندر اور عمودی سلاخوں کے درمیان (یعنی۔ ۔ ہے نہیں، ہیں اینٹیسیمیٹریزڈ انڈیکس اور یہاں، کریں ترمیم میں مثال پچھلی، | ⋅ |) سمیٹرک اور اینٹیسیمیٹرک حصوں کا مجموعہ کسی بھی ٹینسر کو دو اشاریوں پر اس کے سمیٹرک اور اینٹیسیمیٹرک حصوں کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: جیسا کہ اور کے لیے مذکورہ بالا تاثرات کو شامل کرکے دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ دو اشاریہ جات کے علاوہ کسی اور کے لیے نہیں ہے۔ تفریق کمپیکٹنس کے لیے، مشتقات کو کوما یا سیمی کولن کے بعد اشاریہ جات شامل کر کے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ جزوی مشتق اگرچہ رچی کیلکولس کے زیادہ تر تاثرات صوابدیدی اڈوں کے لیے درست ہیں، نقاط کے حوالے سے ٹینسر اجزاء کے جزوی مشتقات پر مشتمل تاثرات صرف ایک مربوط بنیاد کے ساتھ لاگو ہوتے ہیں: ایک ایسی بنیاد جس کی وضاحت نقاط کے حوالے سے تفریق کے ذریعے کی جاتی ہے۔ کوآرڈینیٹس کو عام طور پر اس کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے، لیکن عام طور پر ویکٹر کے اجزاء کی شکل میں نہیں ہوتے ہیں۔ فلیٹ اسپیس ٹائم میں لکیری کوآرڈینیٹائزیشن کے ساتھ، کوآرڈینیٹس میں فرق کا ایک ٹپل، ایک متضاد ویکٹر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ جگہ پر اور کوآرڈینیٹ سسٹم کے انتخاب پر یکساں رکاوٹوں کے ساتھ، کوآرڈینیٹ کے حوالے سے جزوی مشتقات ایک ایسا نتیجہ دیتے ہیں جو مؤثر طریقے سے متغیر ہوتا ہے۔ اس خاص معاملے میں استعمال کے علاوہ، ٹینسرز کے اجزاء کے جزوی مشتقات عام طور پر متغیر طور پر تبدیل نہیں ہوتے ہیں، لیکن ایسے تاثرات کی تعمیر میں مفید ہوتے ہیں جو متغیر ہوتے ہیں، حالانکہ پھر بھی مربوط بنیاد کے ساتھ اگر جزوی مشتقات واضح طور پر استعمال کیے جاتے ہیں، جیسا کہ نیچے کوویرینٹ، بیرونی اور لائ مشتقات کے ساتھ ہوتا ہے۔ کوآرڈینیٹ متغیر کے حوالے سے ٹینسر فیلڈ کے اجزاء کی جزوی تفریق کی نشاندہی کرنے کے لیے، کوما کو کوآرڈینیٹ متغیر کے منسلک نچلے انڈیکس سے پہلے رکھا جاتا ہے۔ اسے دہرایا جا سکتا ہے (مزید کوما شامل کیے بغیر): یہ اجزاء متغیر طور پر تبدیل نہیں ہوتے ہیں، جب تک کہ تفریق کا اظہار اسکیلر نہ ہو۔ اس مشتق کی خصوصیت پروڈکٹ رول اور نقاط کے مشتقات ہیں جہاں کرونکر ڈیلٹا ہے۔ کوویرینٹ مشتق کوویرینٹ مشتق کی وضاحت صرف اس صورت میں کی جاتی ہے جب کنکشن کی وضاحت کی جائے۔ کسی بھی ٹینسر فیلڈ کے لیے، منسلک نچلے (کوویرینٹ) انڈیکس سے پہلے رکھا گیا سیمی کولن () کوویرینٹ تفریق کی نشاندہی کرتا ہے۔ سیمی کولن کے کم عام متبادلات میں فارورڈ سلیش () یا تین جہتی مڑے ہوئے خلا میں ایک واحد عمودی بار () شامل ہے۔ ایک اسکیلر فنکشن، ایک متضاد ویکٹر اور ایک متغیر ویکٹر کے متغیر مشتق یہ ہیں: کنکشن کوفیشنٹس کہاں ہیں۔ صوابدیدی ٹینسر کے لیے: کسی بھی ٹینسر کے کوویرینٹ مشتق کے لیے ایک متبادل اشارے سبسکرپٹڈ نابلا علامت ہے۔ ویکٹر فیلڈ کے معاملے کے لیے: ویکٹر کے ساتھ کسی بھی ٹینسر فیلڈ کے دشاتمک مشتق کی کوویرینٹ تشکیل کو کوویرینٹ مشتق کے ساتھ اس کے سنکچن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ : ٹینسر فیلڈ کے اس مشتق کے اجزاء متغیر طور پر تبدیل ہوتے ہیں، اور اس وجہ سے ذیلی تاثرات (جزوی مشتق اور کنکشن کوفیشنٹس) کے الگ الگ متغیر طور پر تبدیل نہ ہونے کے باوجود ایک اور ٹینسر فیلڈ تشکیل دیتے ہیں۔ اس مشتق کی خصوصیت پروڈکٹ رول ہے: کنکشن کی اقسام ایک تفریق پذیر کئی گنا کے ٹینجینٹ بنڈل پر ایک کوزول کنکشن کو افائن کنکشن کہا جاتا ہے۔ کنکشن ایک میٹرک کنکشن ہوتا ہے جب میٹرک ٹینسر کا کوویرینٹ مشتق غائب ہو جاتا ہے: ایک افائن کنکشن جو میٹرک کنکشن بھی ہے اسے ریمینین کنکشن کہا جاتا ہے۔ ایک ریمینین کنکشن جو ٹورسن سے پاک ہے (یعنی، جس کے لیے ٹورسن ٹینسر غائب ہو جاتا ہے:) ایک لیوی-سیویتا کنکشن ہے۔ مربوط بنیاد پر لیوی-سیویتا کے تعلق کو دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتیں کہا جاتا ہے۔ اجزاء کے ساتھ مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک قسم کے ٹینسر فیلڈ کا بیرونی مشتق (جسے تفریقی شکل بھی کہا جاتا ہے) ایک مشتق ہے جو بنیادی تبدیلیوں کے تحت متغیر ہے۔ یہ میٹرک ٹینسر یا کنکشن پر منحصر نہیں ہے: اس کے لیے صرف تفریق کے قابل کئی گنا کی ساخت کی ضرورت ہوتی ہے۔ مربوط بنیاد پر، اس کا اظہار ٹینسر اجزاء کے جزوی مشتقات کے اینٹیسیمیٹریزیشن کے طور پر کیا جا سکتا ہے: یہ مشتق کسی بھی ٹینسر فیلڈ پر متضاد اشاریہ جات کے ساتھ بیان نہیں کیا گیا ہے یا جو مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک نہیں ہے۔ اس کی خصوصیت ایک درجہ بند پروڈکٹ رول ہے۔ جھوٹ مشتق ایک اور مشتق ہے جو بنیادی تبدیلیوں کے تحت متغیر ہے۔ بیرونی مشتق کی طرح، یہ میٹرک ٹینسر یا کنکشن پر منحصر نہیں ہوتا ہے۔ متغیر ویکٹر فیلڈ کے ساتھ (کے بہاؤ) ایک قسم کے ٹینسر فیلڈ کا لائ مشتق کو مربوط بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس مشتق کی خصوصیت پروڈکٹ رول اور اس حقیقت سے ہے کہ اپنے ساتھ ایک متغیر ویکٹر فیلڈ کا لائ مشتق صفر ہے: قابل ذکر ٹینسرز کرونکر ڈیلٹا جب ضرب اور معاہدہ ہوتا ہے تو کرونکر ڈیلٹا شناختی میٹرکس کی طرح ہوتا ہے: اجزاء کسی بھی بنیاد پر ایک جیسے ہوتے ہیں اور قسم کے غیر متغیر ٹینسر کی تشکیل کرتے ہیں، یعنی۔ بیس مینیفولڈ کی شناختی نقشہ سازی پر ٹینجینٹ بنڈل کی شناخت، اور اس لیے اس کا سراغ ایک غیر متغیر ہے۔ اس کا سراغ خلا کی جہت ہے ؛ مثال کے طور پر، چار جہتی خلائی وقت میں، کرونکر ڈیلٹا عمومی کرونکر ڈیلٹا کے خاندان میں سے ایک ہے۔ ڈگری کے عمومی کرونیکر ڈیلٹا کی تعریف کرونیکر ڈیلٹا کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے (ایک عام تعریف میں دائیں طرف کا ایک اضافی ضرب شامل ہے): اور اشاریہ جات پر اینٹیسیمیٹریزر کے طور پر کام کرتا ہے: ٹورسن ٹینسر ایک افائن کنکشن میں ٹورسن ٹینسر ہوتا ہے: جہاں مقامی بنیاد کے لائ بریکٹ کے اجزاء کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جو مربوط بنیاد ہونے پر غائب ہو جاتا ہے۔ لیوی-سیویٹا کنکشن کے لیے اس ٹینسر کی تعریف صفر کے طور پر کی گئی ہے، جو ایک مربوط بنیاد کے لیے مساوات ریمن کرویچر ٹینسر دیتا ہے۔ اگر اس ٹینسر کی تعریف اس طرح کی گئی ہے تو یہ خود کے ساتھ کوویرینٹ مشتق کا کمیونیٹر ہے: چونکہ کنکشن ٹورسن لیس ہے، جس کا مطلب ہے کہ ٹورسن ٹینسر غائب ہو جاتا ہے۔ کسی صوابدیدی ٹینسر کے دو کوویرینٹ مشتقات کے لیے کمیونیٹیٹر حاصل کرنے کے لیے اسے عام کیا جا سکتا ہے: جنہیں اکثر رچی شناخت کہا جاتا ہے۔ میٹرک ٹینسر انڈیکس کو کم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے اور کسی بھی جگہ جیسے منحنی خطوط کی لمبائی دیتا ہے جہاں راستے کی کوئی ہموار سختی سے مونوٹون پیرامیٹرائزیشن ہوتی ہے۔ یہ کسی بھی وقت کی طرح منحنی خطوط کی مدت بھی دیتا ہے جہاں رفتار کی سختی سے یک سنگی پیرامیٹرائزیشن ہوتی ہے۔ لائن عنصر بھی دیکھیں۔ میٹرک ٹینسر کا الٹا میٹرکس ایک اور اہم ٹینسر ہے، جو اشاریہ جات کو بلند کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے: خلاصہ انڈیکس نوٹیشن کنکشن بیرونی الجبرا ڈفریٚنشل فارم بھی دیکھیں ہاج اسٹار آپریٹر ہولونومک بیسڈ میٹرک ٹینسر ریج کیلکولس رچی سڑنا ٹینسر (اندرونی تعریف) ٹینسر کیلکولس ٹینسر فیلڈ نوٹ حوالہ جات کیلکولس ڈفریٚنشل جیومیٹری ٹینسر