Campbell's theorem (probability)
امکانی نظریہ اور شماریات میں، کیمبل تھیوریم یا کیمبل-ہارڈی تھیوریم یا تو ایک خاص مساوات یا نتائج کا مجموعہ ہے جو کسی فنکشن کی توقع سے متعلق ہے جس کا خلاصہ پوائنٹ کے عمل پر ایک انٹیگرل پر کیا گیا ہے جس میں پوائنٹ کے عمل کی اوسط پیمائش شامل ہے، جو حساب کی اجازت دیتا ہے۔ متوقع قیمت اور بے ترتیب رقم کے تغیر۔ تھیوریم کا ایک ورژن، جسے کیمبل کا فارمولا بھی کہا جاتا ہے، ایک عمومی نقطہ عمل پر مذکورہ بالا رقم کے لیے ایک لازمی مساوات پر مشتمل ہے، اور ضروری نہیں کہ کوئی پوئسون پوائنٹ عمل ہو۔ لمحات کے اقدامات اور فیکٹوریل لمحات کے اقدامات پر مشتمل مساوات بھی موجود ہیں جو کیمبل کے فارمولے کے ورژن سمجھے جاتے ہیں۔ ان تمام نتائج کو نقطہ عمل کے نظریہ اور قطار کے نظریہ کے ساتھ ساتھ متعلقہ شعبوں اسٹاکسٹک جیومیٹری، تسلسل پرکولیشن تھیوری، اور مقامی اعداد و شمار میں ایک خاص اہمیت کے ساتھ امکانات اور اعداد و شمار میں استعمال کیا جاتا ہے۔ کیمبل تھیوریم کے نام سے ایک اور نتیجہ خاص طور پر پوسن پوائنٹ کے عمل کے لیے ہے اور لمحات کے حساب کے ساتھ ساتھ پوسن پوائنٹ کے عمل کے لیپلیس فنکشنل کے لیے ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ دونوں نظریات کا نام نارمن آر کیمبل کے ویکیوم ٹیوبوں میں تھرمیونک شور، جسے شاٹ شور بھی کہا جاتا ہے، پر کام سے نکلا ہے، جو جزوی طور پر الفا پارٹیکل کا پتہ لگانے پر ارنسٹ ردرفورڈ اور ہنس گیگر کے کام سے متاثر تھا، جہاں پوسن پوائنٹ کا عمل ہیری بیٹ مین کے تفریقی مساوات کے ایک خاندان کے حل کے طور پر پیدا ہوا تھا۔ کیمبل کے کام میں، وہ حقیقی لکیر پر پوسن عمل کے بے ترتیب مجموعہ کے لمحات اور پیدا کرنے والے افعال پیش کرتے ہیں، لیکن تبصرہ کرتے ہیں کہ بنیادی ریاضیاتی دلیل جی ایچ ہارڈی کی وجہ سے تھی، جس نے نتیجہ کو بعض اوقات کیمبل-ہارڈی تھیوریم کہلانے کی ترغیب دی ہے۔ پس منظر ڈی جہتی یوکلڈین اسپیس پر بیان کردہ نقطہ عمل کے لیے، کیمبل کا نظریہ ایک حقیقی قدر والے فنکشن کی توقعات کا حساب لگانے کا ایک طریقہ پیش کرتا ہے جس پر بھی وضاحت کی گئی ہے اور اس کا خلاصہ کیا گیا ہے، یعنی: جہاں توقع کی نشاندہی ہوتی ہے اور سیٹ نوٹیشن کا استعمال اس طرح کیا جاتا ہے جسے بے ترتیب سیٹ سمجھا جاتا ہے (پوائنٹ پروسیس نوٹیشن دیکھیں)۔ ایک نقطہ عمل کے لیے، کیمبل کا نظریہ مندرجہ بالا توقع کو شدت کی پیمائش سے جوڑتا ہے۔ بوریل سیٹ B کے سلسلے میں شدت کی پیمائش کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: جہاں پیمائش کے اشارے کا استعمال اس طرح کیا جاتا ہے جسے بے ترتیب گنتی کی پیمائش سمجھا جاتا ہے۔ مقدار کی تشریح سیٹ B میں واقع پوائنٹ کے عمل کے پوائنٹس کی اوسط تعداد کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ پہلی تعریف: عمومی نقطہ عمل کیمبل کے نظریہ کا ایک ورژن شدت کی پیمائش کے ساتھ ایک عمومی (ضروری نہیں کہ سادہ) نقطہ عمل کے لیے ہے: اسے کیمبل کا فارمولا یا کیمبل کا نظریہ کہا جاتا ہے، جو حقیقی لکیر پر حدود کے ساتھ قابل پیمائش افعال کے مجموعے کی توقعات کا حساب لگانے کا طریقہ فراہم کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر، ایک پوائنٹ کے عمل اور قابل پیمائش فنکشن کے لیے، اوور پوائنٹ کے عمل کا مجموعہ مساوات کے ذریعے دیا جاتا ہے: جہاں اگر مساوات کا ایک رخ محدود ہے، تو دوسری طرف بھی ایسا ہی ہے۔ یہ مساوات بنیادی طور پر فوبانی کے نظریہ کا ایک اطلاق ہے اور یہ نقطہ عمل کی ایک وسیع کلاس کے لیے ہے، سادہ یا نہیں۔ انٹیگرل نوٹیشن پر منحصر ہے، اس انٹیگرل کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے: اگر کسی پوائنٹ کے عمل کی شدت کی پیمائش میں کثافت ہوتی ہے، تو کیمبل کا فارمولا بن جاتا ہے: اسٹیشنری پوائنٹ کا عمل مستقل کثافت کے ساتھ ایک اسٹیشنری پوائنٹ کے عمل کے لیے، کیمبل کا تھیوریم یا فارمولا حجم کے انٹیگرل تک کم ہو جاتا ہے: یہ مساوات قدرتی طور پر یکساں پوسن پوائنٹ کے عمل کے لیے ہوتی ہے، جو کہ اسٹیشنری سٹوچسٹک عمل کی ایک مثال ہے۔ اطلاقات: عام نقطہ عمل کے لیے بے ترتیب مجموعہ کیمبل کا نظریہ نقطہ عمل کے تمام نکات پر خلاصہ کردہ نقطہ (نقطہ عمل کے) کے فنکشن کی توقع کا حساب لگانے کے لیے ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ نقطہ عمل پر یہ بے ترتیب رقم بہت سے علاقوں میں استعمال ہوتی ہیں جہاں انہیں ریاضیاتی نمونوں کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ شاٹ شور کیمبل نے اصل میں والو میں تھرمیونک شور کو سمجھنے سے متاثر بے ترتیب رقم کے مسئلے کا مطالعہ کیا، جسے شاٹ شور بھی کہا جاتا ہے۔ نتیجتا، نقطہ عمل پر افعال کے بے ترتیب جملوں کا مطالعہ امکان میں شاٹ شور اور خاص طور پر نقطہ عمل نظریہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ وائرلیس نیٹ ورک میں مداخلت وائرلیس نیٹ ورک مواصلات میں، جب کوئی ٹرانسمیٹر رسیور کو سگنل بھیجنے کی کوشش کر رہا ہوتا ہے، تو نیٹ ورک کے دیگر تمام ٹرانسمیٹر کو مداخلت سمجھا جا سکتا ہے، جو کہ اسی طرح کا مسئلہ پیدا کرتا ہے جیسا کہ شور روایتی وائرڈ ٹیلی کمیونیکیشن نیٹ ورک میں انفارمیشن تھیوری پر مبنی ڈیٹا بھیجنے کی صلاحیت کے لحاظ سے ہوتا ہے۔ اگر مداخلت کرنے والے ٹرانسمیٹر کی پوزیشننگ کو کسی نقطہ عمل کی تشکیل سمجھا جاتا ہے، تو شاٹ شور کو ان کے مداخلت کرنے والے سگنلز کے مجموعے کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس کی وجہ سے وائرلیس نیٹ ورک کے اسٹاکسٹک جیومیٹری ماڈل بن گئے ہیں۔ عمومی نقطہ عمل کے لیے، کیمبل کے نظریہ کے دیگر عمومی ورژن بے ترتیب رقم کی نوعیت اور خاص طور پر نقطہ عمل پر خلاصہ کیے جانے والے فنکشن کے لحاظ سے موجود ہیں۔ متعدد نکات کے افعال اگر فنکشن پوائنٹ کے عمل کے ایک سے زیادہ نکات کا فنکشن ہے، تو پوائنٹ کے عمل کے لمحات کے اقدامات یا فیکٹوریئل لمحات کے اقدامات کی ضرورت ہوتی ہے، جن کا موازنہ بے ترتیب متغیرات کے لمحات اور فیکٹوریئل سے کیا جا سکتا ہے۔ پیمائش کی قسم کی ضرورت اس بات پر منحصر ہے کہ بے ترتیب رقم میں پوائنٹ کے عمل کے نکات کو الگ کرنے کی ضرورت ہے یا دہرایا جا سکتا ہے۔ جب پوائنٹس کو دہرانے کی اجازت دی جاتی ہے تو ریپیٹنگ پوائنٹس مومنٹ اقدامات استعمال کیے جاتے ہیں۔ جب پوائنٹس کو دہرانے کی اجازت نہیں ہوتی ہے تو مخصوص پوائنٹس فیکٹوریئل مومنٹ کے اقدامات استعمال کیے جاتے ہیں، اس لیے پوائنٹس الگ ہوتے ہیں۔ پوائنٹس کے افعال اور پوائنٹ کے عمل عمومی پوائنٹ کے عمل کے لیے، کیمبل کا نظریہ صرف پوائنٹ کے عمل کے ایک نقطہ کے افعال کے مجموعے کے لیے ہے۔ کسی ایک نقطہ کے فنکشن کے ساتھ ساتھ پورے نقطہ عمل کے مجموعے کا حساب لگانے کے لیے، پھر پوائنٹ کے عمل کی پام ڈسٹری بیوشن کا استعمال کرتے ہوئے عام کیمبل کے نظریات کی ضرورت ہوتی ہے، جو کہ پام تھیوری یا پام کیلکولس کے نام سے مشہور امکان کی شاخ پر مبنی ہوتا ہے۔ دوسری تعریف: پوئسون پوائنٹ عمل کیمبل کے نظریہ کا ایک اور ورژن کہتا ہے کہ شدت کی پیمائش اور قابل پیمائش فنکشن کے ساتھ پوئسون پوائنٹ کے عمل کے لیے، بے ترتیب مجموعہ امکانات کے ساتھ بالکل متغیر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب انٹیگرل فراہم کیا جائے کہ یہ انٹیگرل محدود ہے، تو نظریہ مزید زور دے کر کہتا ہے کہ کسی بھی پیچیدہ قدر کے لیے مساوات برقرار رہتی ہے اگر دائیں ہاتھ کی طرف کا انٹیگرل یکجا ہو جائے، جو کہ خالص خیالی صورت میں ہے۔ مزید برآں، اور اگر یہ انٹیگرل یکجا ہوتا ہے، تو بے ترتیب رقم کے تغیر کو کہاں ظاہر کرتا ہے۔ اس تھیوریم سے پوسن پوائنٹ کے عمل کے لیے کچھ متوقع نتائج سامنے آتے ہیں، بشمول اس کے لیپلیس فنکشنل۔ اطلاق: لیپلیس فنکشنل شدت کی پیمائش کے ساتھ ایک پوسن پوائنٹ کے عمل کے لیے، لیپلیس فنکشنل کیمبل کے تھیوریم کے مذکورہ ورژن کا نتیجہ ہے اور اس کے ذریعہ دیا گیا ہے: جو یکساں صورت کے لیے ہے: نوٹ حوالہ جات امکان تھیوریم