Howell normal form
لکیری الجبرا اور رنگ تھیوری میں، ہوول نارمل فارم ایک میٹرکس کی قطار ایکلون شکل کی عمومی شکل ہے، جو کہ انٹیجرز ماڈیولو این کی رنگ ہے۔ دو میٹرکس کی قطار کا پھیلاؤ اس صورت میں متفق ہوتا ہے جب، اور صرف اس صورت میں جب، ان کی ہوول نارمل شکلیں متفق ہوں۔ ہوول نارمل فارم ہرمائیٹ نارمل فارم کو عام بناتا ہے، جس کی تعریف میٹرکس کے لیے کی جاتی ہے۔ تعریف ایک میٹرکس اوور کو قطار ایکلون کی شکل میں کہا جاتا ہے اگر اس میں درج ذیل خصوصیات ہوں: پھر میٹرکس کی سب سے اوپر کی قطاریں غیر صفر ہوتی ہیں، کیونکہ، صف میں سب سے بائیں غیر صفر عنصر کا اشاریہ ہونے دیں۔ پھر۔ ابتدائی تبدیلیوں کے ساتھ، قطار کی ایکلون شکل میں ہر میٹرکس کو اس طرح سے کم کیا جا سکتا ہے کہ درج ذیل خصوصیات برقرار رہیں: ہر ایک کے لیے، سرکردہ عنصر کا تقسیم کنندہ ہوتا ہے، ہر ایک کے لیے یہ اسے رکھتا ہے۔ اگر مذکورہ بالا دونوں خصوصیات پر عمل پیرا ہے، تو کہا جاتا ہے کہ یہ کم صف والی سطح کی شکل میں ہے۔ اگر مندرجہ ذیل اضافی خاصیت پر عمل پیرا ہے، تو کہا جاتا ہے کہ یہ ہوول نارمل شکل میں ہے (جو کہ قطار کے دورانیے کو ظاہر کرتا ہے): آئیے قطار کے دورانیے کا ایک عنصر بنیں، جیسے کہ ہر ایک کے لیے۔ پھر، میٹرکس کے-th سے-th تک قطاروں سے حاصل کردہ میٹرکس کہاں ہے۔ خصوصیات ہر میٹرکس کے لیے، ہوول نارمل فارم میں ایک منفرد میٹرکس ہوتا ہے، جیسے کہ۔ میٹرکس کو میٹرکس سے ابتدائی تبدیلیوں کی ترتیب کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ دو میٹرکس کے لیے، ان کی قطار کا دورانیہ برابر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کی ہوول نارمل شکلیں برابر ہوں۔ مثال کے طور پر، میٹرکس کی ایک ہی ہویل نارمل شکل ہوتی ہے: نوٹ کریں کہ اور یہ صف ایکلون کی شکل میں دو الگ الگ میٹرکس ہیں، جس کا مطلب یہ ہوگا کہ اگر ان کو کسی فیلڈ پر میٹرکس کے طور پر مانا جائے تو ان کا دورانیہ یکساں ہے۔ مزید برآں، وہ ہرمائیٹ نارمل شکل میں ہیں، مطلب یہ ہے کہ اگر ان پر غور کیا جائے تو ان کی صف کا دورانیہ بھی وہی ہے، جو کہ انٹیجرز کی انگوٹی ہے۔ تاہم، یہ کوئی فیلڈ نہیں ہے اور عام رنگوں پر کبھی کبھی پوری قطار کو کالعدم کیے بغیر قطار کو اسکیلر سے ضرب دے کر قطار کے محور کو کالعدم کرنا ممکن ہوتا ہے۔ اس خاص معاملے میں، اس کا مطلب ہے، جو کسی بھی فیلڈ یا انٹیجرز پر درست نہیں ہوگا۔ حوالہ جات کتابیات میٹرکس عام شکلیں