Open set condition
فریکٹل جیومیٹری میں، اوپن سیٹ کنڈیشن (او ایس سی) عام طور پر خود سے ملتے جلتے فریکٹلز پر عائد کی جانے والی حالت ہے۔ کچھ معنوں میں، یہ حالت فریکٹل تعمیر میں اوورلیپ پر پابندیاں عائد کرتی ہے۔ خاص طور پر، کنٹریکٹیو میپنگ کے ایک تکراری فنکشن سسٹم کو دیکھتے ہوئے، اوپن سیٹ کی شرط کے لیے ضروری ہے کہ ایک نان ایمپٹی، اوپن سیٹ V موجود ہو جو دو شرائط کو پورا کرے: سیٹ جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ہیں۔ 1946 میں پی اے پی موران کے ذریعہ متعارف کرایا گیا، اوپن سیٹ کنڈیشن کا استعمال کچھ خود سے ملتے جلتے فریکٹلز، خاص طور پر سیرپنسکی گیسکیٹ کے طول و عرض کا حساب لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔ یہ پیکنگ پیمائش کے حساب کو آسان بنانے کے لیے بھی استعمال ہوتا ہے۔ اوپن سیٹ کنڈیشن کا ایک مساوی بیان یہ ہے کہ سیٹ کی ایس جہتی ہاؤز ڈورف پیمائش صفر سے زیادہ ہو۔ کمپیوٹنگ ہاؤزڈورف طول و عرض جب کھلی سیٹ کی حالت برقرار رہتی ہے اور ہر ایک ایک مماثلت ہے (یعنی، ایک آئسومیٹری کی ساخت اور کسی نقطہ کے ارد گرد پھیلاؤ)، تو کا منفرد فکسڈ پوائنٹ ایک سیٹ ہے جس کا ہاؤزڈورف طول و عرض درج ذیل کے s کے لیے منفرد حل ہے: جہاں ri مماثلت کے پھیلاؤ کی شدت ہے۔ اس نظریہ کے ساتھ، سیرپنسکی گیسکیٹ کے ہاؤزڈورف طول و عرض کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ طیارہ R2 میں تین غیر کالینیئر پوائنٹس a1، a2، a3 پر غور کریں اور آئی کے ارد گرد تناسب 1/2 کا پھیلاؤ ہونے دیں۔ متعلقہ نقشہ سازی کا منفرد غیر خالی فکسڈ پوائنٹ سیرپنسکی گیسکیٹ ہے، اور طول و عرض s اس کا منفرد حل ہے۔ مندرجہ بالا مساوات کے دونوں اطراف کے قدرتی لوگرتھم لیتے ہوئے، ہم s کے لیے حل کر سکتے ہیں، یعنی: s = ln (3)/ln (2)۔ سیرپنسکی گیسکٹ خود سے ملتا جلتا ہے اور او ایس سی کو مطمئن کرتا ہے۔ مضبوط اوپن سیٹ کنڈیشن مضبوط اوپن سیٹ کنڈیشن (ایس او ایس سی) اوپن سیٹ کنڈیشن کی توسیع ہے۔ ایک فریکٹل ایف ایس او ایس سی کو مطمئن کرتا ہے اگر، او ایس سی کو مطمئن کرنے کے علاوہ، ایف اور اوپن سیٹ وی کے درمیان چوراہا خالی نہ ہو۔ یہ دونوں شرائط خود سے ملتے جلتے اور خود سے مطابقت رکھنے والے سیٹوں کے لیے مساوی ہیں، لیکن دوسرے سیٹوں کی بعض کلاسوں کے لیے نہیں، جیسے کہ لامحدود نقشہ سازی والے فنکشن سسٹم اور غیر یوکلڈین میٹرک خالی جگہوں میں۔ ان صورتوں میں، ایس او سی ایس درحقیقت ایک مضبوط حالت ہے۔ کینٹر سیٹ لسٹ آف فریکٹلز بائے ہاؤسڈورف طول و عرض منکوسکی-بولگینڈ طول و عرض پیکنگ طول و عرض حوالہ جات فریکٹلز آئٹریٹڈ فنکشن سسٹم فریکٹلز بھی دیکھیں۔