Guderley–Landau–Stanyukovich problem
گڈرلی-لنڈاؤ-اسٹینیوکووچ مسئلہ شاک لہروں کو یکجا کرنے کے وقت کے ارتقاء کو بیان کرتا ہے۔ اس مسئلے پر جی گڈرلی نے 1942 میں اور آزادانہ طور پر لیو لینڈو اور کے پی اسٹینیوکووچ نے 1944 میں بحث کی تھی، جہاں بعد کے مصنفین کا تجزیہ 1955 میں شائع ہوا تھا۔ ریاضیاتی تفصیل ایک کروی طور پر تبدیل ہونے والی شاک ویو پر غور کریں جو کسی شعاعی مقام پر کسی ذریعہ سے شروع کی گئی تھی اور مرکز کی طرف تھی۔ جیسے جیسے شاک ویو اصل کی طرف سفر کرتی ہے، اس کی طاقت بڑھتی جاتی ہے کیونکہ شاک ویو پھیلتے ہی کم سے کم مقدار میں دباؤ ڈالتی ہے۔ اس طرح شاک ویو کا مقام وقت کے ساتھ بدلتا رہتا ہے۔ بیان کیا جانے والا خود ساختہ حل خطے سے مطابقت رکھتا ہے، یعنی کہ شاک ویو نے ابتدائی حالت کو بھولنے کے لیے کافی سفر کیا ہے۔ چونکہ خود سے ملتے جلتے علاقے میں شاک ویو مضبوط ہوتی ہے، اس لیے لہر کے پیچھے کا دباؤ لہر کے آگے کے دباؤ کے مقابلے میں بہت زیادہ ہوتا ہے۔ رینکائن-ہیوگونیوٹ حالات کے مطابق، مضبوط لہروں کے لیے، اگرچہ، جہاں گیس کی کثافت کی نمائندگی کرتا ہے ؛ دوسرے الفاظ میں، شاک لہر کے پار کثافت کی چھلانگ محدود ہے۔ تجزیہ کے لیے، اس طرح کوئی فرض کر سکتا ہے اور، جو اس کے بعد سے ترتیب دے کر رفتار کے پیمانے کو ہٹا دیتا ہے۔ اس مقام پر، یہ بات قابل غور ہے کہ اسی طرح کا مسئلہ جس میں ایک مضبوط شاک لہر باہر کی طرف پھیل رہی ہے، ٹیلر-وان نیومن-سیڈوف بلاسٹ ویو کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ ٹیلر-وان نیومن-سیڈوف بلاسٹ ویو کی تفصیل ایک خود نما حل تیار کرنے کے لیے بہاؤ کی کل توانائی کے مواد کا استعمال کرتی ہے۔ اس مسئلے کے برعکس، پھٹنے والی شاک ویو پورے خطے میں خود سے ملتی جلتی نہیں ہے (قریب کا بہاؤ کا میدان اس انداز پر منحصر ہے جس میں شاک ویو پیدا ہوتا ہے) اور اس طرح گڈرلی-لینڈو-اسٹینیوکووچ مسئلہ خود سے ملتی جلتی انداز میں بیان کرنے کی کوشش کرتا ہے، بہاؤ کا میدان صرف اس کے لیے ؛ اس خود سے ملتی جلتی خطے میں، توانائی مستقل نہیں ہے اور درحقیقت، وقت کے ساتھ کم ہوتی دکھائی دے گی (پورے خطے کی کل توانائی اب بھی مستقل ہے)۔ چونکہ شاک ویو ریجن کے ابتدائی سائز کے مقابلے میں خود ساختہ خطہ چھوٹا ہے، اس لیے خود ساختہ خطے میں کل توانائی کا صرف ایک چھوٹا سا حصہ جمع ہوتا ہے۔ اس طرح اس مسئلے میں کوئی لمبائی کا پیمانہ نہیں ہے جو خود سے ملتی جلتی وضاحت کا پتہ لگانے کے لیے جہتی دلائل کا استعمال کرے یعنی انحصار کا تعین صرف جہتی دلائل سے نہیں کیا جا سکتا۔ اس قسم کے مسائل کو دوسری قسم کے خود ساختہ حل سے بیان کیا جاتا ہے۔ سہولت کے لیے، وقت کی پیمائش اس طرح کریں کہ متغیر شاک لہر وقت پر اصل تک پہنچ جائے۔ کیونکہ، متغیر جھٹکا اصل کے قریب پہنچتا ہے اور اس کے لیے، عکاسی شدہ جھٹکا لہر اصل سے ابھرتی ہے۔ شاک ویو کا مقام اس فنکشن کے ذریعہ بیان کیا جاتا ہے جہاں مماثلت انڈیکس ہے اور مستقل ہے۔ عکاسی شدہ جھٹکا اسی مماثلت کے اشاریہ کے ساتھ ابھرتا ہے۔ کی قدر کا تعین اس شرط سے کیا جاتا ہے کہ ایک خود ساختہ حل موجود ہے، جبکہ مستقل کو خود ساختہ تجزیے سے بیان نہیں کیا جا سکتا ؛ مستقل خطے سے معلومات پر مشتمل ہوتا ہے اور اس لیے اس کا تعین صرف اس وقت کیا جا سکتا ہے جب بہاؤ کا پورا خطہ حل ہو جائے۔ کا طول و عرض صرف کے لیے حل کرنے کے بعد پایا جائے گا۔ ٹیلر-وان نیومن-سیڈوف بلاسٹ ویو کے لیے، جہتی دلائل حاصل کرنے کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ شاک ویو کی رفتار رینکائن-ہیوگونیوٹ حالات کے مطابق مضبوط شاک فرنٹ کے فورا پیچھے گیس کی رفتار، دباؤ اور کثافت کے ذریعے دی جاتی ہے، کیونکہ ایک مثالی گیس کے ذریعے دی جاتی ہے۔ یہ شاک فرنٹ کے پیچھے کے بہاؤ کے لیے باؤنڈری شرائط کے طور پر کام کریں گے۔ خود یکساں حل گورننگ مساوات وہ ہیں جہاں کثافت ہے، دباؤ ہے، اینٹروپی ہے اور شعاعی رفتار ہے۔ دباؤ کی جگہ ہم ربط کا استعمال کرتے ہوئے آواز کی رفتار کا استعمال کر سکتے ہیں۔ خود جیسی مساوات حاصل کرنے کے لیے، ہم نوٹ متعارف کراتے ہیں کہ چونکہ دونوں اور منفی ہیں، رسمی طور پر رینج کے لیے حل تلاش کرنا پڑتا ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز کی طرف سے دیئے گئے ہیں۔ باؤنڈری کنڈیشنز کو گرنے کے وقت کے مشاہدے سے اخذ کیا جا سکتا ہے، جس میں یہ لامحدود ہو جاتا ہے۔ گرنے کے وقت، اصل سے کسی بھی فاصلے پر بہاؤ کے متغیرات کو محدود ہونا چاہیے، یعنی، اور اس کے لیے محدود ہونا چاہیے۔ یہ صرف اس صورت میں ممکن ہے جب خود سے ملتے جلتے متغیرات کو گورننگ مساوات میں تبدیل کرنے سے آگے بڑھے۔ یہاں سے، ہم آسانی سے دو مساوات تلاش کرنے کے لیے (یا،) حل کر سکتے ہیں۔ تیسری مساوات کے طور پر، ہم متغیر کو ختم کر کے دو مساوات کر سکتے ہیں۔ نتیجہ خیز مساوات کہاں اور ہیں۔ تیسری مساوات کے حل ہونے کے بعد اسے آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کیونکہ پہلی دو مساوات کو سادہ کواڈریچرز کا استعمال کرتے ہوئے مربوط کیا جا سکتا ہے۔ تیسری مساوات شاک فرنٹ کے پیچھے کی حالت سے متعلق باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ فنکشن کے لیے فرسٹ آرڈر ڈفریٚنشل مساوات ہے۔ لیکن ایک اور حد کی شرط ہے جسے پورا کرنے کی ضرورت ہے، یعنی اس پر پائی جانے والی شرط سے متعلق۔ اس اضافی شرط کو کسی بھی صوابدیدی قدر کے لیے پورا نہیں کیا جا سکتا، لیکن صرف ایک قدر موجود ہے جس کے لیے دوسری شرط کو پورا کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح ایک آئجن ویلیو کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ آئجن ویلیو عددی طور پر حاصل کی جا سکتی ہے۔ جس حالت کا تعین ہوتا ہے اس کی وضاحت انٹیگرل وکر کو پلاٹ کرکے کی جا سکتی ہے جیسا کہ شکل میں ٹھوس وکر کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ نقطہ تفریق مساوات کی ابتدائی شرط ہے، یعنی۔ انٹیگرل وکر کو نقطہ پر ختم ہونا چاہیے۔ اسی شکل میں، حالت سے مطابقت رکھنے والے پیرابولہ کو بھی ایک نقطے دار منحنی خطوط کے طور پر پلاٹ کیا جاتا ہے۔ اسے آسانی سے دکھایا جا سکتا ہے کہ نقطہ ہمیشہ اس پیرابولہ کے اوپر ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ انٹیگرل وکر کو نقطہ تک پہنچنے کے لیے پیرابولہ کو کاٹنا چاہیے۔ تینوں تفریقی مساوات میں، تناسب کا مطلب یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ تناسب اس مقام پر غائب ہو جاتا ہے جہاں انٹیگرل وکر پیرابولہ کو کاٹتا ہے۔ افعال کے لیے جسمانی ضرورت یہ ہے کہ وہ ایک منفرد حل حاصل کرنے کے لیے واحد قدر والے افعال ہونے چاہئیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ افعال اور ڈومین کے اندر کہیں بھی انتہا نہیں ہو سکتے۔ لیکن اس وقت، غائب ہو سکتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ مذکورہ بالا افعال میں انتہا ہے۔ اس صورتحال سے بچنے کا واحد طریقہ یہ ہے کہ تناسب کو محدود کیا جائے۔ یعنی، جیسے جیسے صفر ہوتا جاتا ہے، ہمیں حاصل کرنے کے لیے اس انداز میں صفر ہونے کی بھی ضرورت ہوتی ہے۔ پر، تیسری مساوات کے عددی انضمام کے لیے اور کے لیے فراہم کرتے ہیں۔ ان اقدار کا موازنہ ایک لگ بھگ فارمولے سے کیا جا سکتا ہے، جو لینڈو اور اسٹینیوکووچ نے اخذ کیا ہے۔ یہ اس طرح قائم کیا جا سکتا ہے، عام طور پر مماثلت انڈیکس ایک غیر معقول عدد ہے۔ مزید دیکھیں ٹیلر-وان نیومن-سیڈوف بلاسٹ ویو زیلڈوویچ-ٹیلر فلو حوالہ جات بہاؤ کی حکومتیں سیال حرکیات دہن لیو لینڈو