Transpositions matrix
ٹرانسپوزیشن میٹرکس (ٹر میٹرکس) مربع میٹرکس ہے،، کون سے عناصر دیئے گئے n-جہتی ویکٹر کے عناصر سے حاصل کیے جاتے ہیں:، جہاں آپریشن "بٹ وائز خصوصی یا" (XOR) کی نشاندہی کرتا ہے۔ ٹرانسپوزیشن میٹرکس کی قطاریں اور کالم ویکٹر X کے عناصر کی ترتیب پر مشتمل ہوتے ہیں، کیونکہ میٹرکس کی ہر دو قطاروں یا کالموں کے درمیان n/2 ٹرانسپوزیشن ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر نیچے دی گئی شکل آرڈر 8 کے ٹرانسپوزیشن میٹرکس کو ظاہر کرتی ہے، جو صوابدیدی ویکٹر پراپرٹیز میٹرکس سے بنایا گیا ہے، سمیٹرک میٹرکس ہے۔ میٹرکس پرسیمیٹرک میٹرکس ہے، یعنی۔ یہ شمال مشرق سے جنوب مغربی اخترن کے حوالے سے بھی ہم آہنگ ہے۔ میٹرکس کی ہر ایک قطار اور کالم بغیر تکرار کے دیئے گئے ویکٹر کے تمام n عناصر پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہر دو قطاروں کا میٹرکس عناصر کے چاروں پر مشتمل ہوتا ہے جس میں اخترن عناصر کی ایک جیسی اقدار ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر اگر اور میٹرکس کے ایک ہی کالم q سے دو من مانی منتخب عناصر ہیں، تو میٹرکس عناصر کے ایک چار پر مشتمل ہوتا ہے، جس کے لیے مساوات کو مطمئن کیا جاتا ہے اور۔ یہ خاصیت، جسے "ٹر-پراپرٹی" کہا جاتا ہے، میٹرکس کے لیے مخصوص ہے۔ دائیں طرف کی شکل میٹرکس میں عناصر کے کچھ چوکوں کو دکھاتی ہے۔ باہمی آرتھوگنل قطاروں کے ساتھ ٹرانسپوزیشن میٹرکس (ٹرس میٹرکس) میٹرکس کے چاروں کی خاصیت چار میں سے ہر ایک میں اشارے کو عناصر کی عجیب تعداد میں تبدیل کرکے باہمی آرتھوگنل قطاروں اور کالموں (میٹرکس) کے ساتھ میٹرکس بنانے کا امکان فراہم کرتی ہے۔ [5] میں ٹی آر میٹرکس اور این-جہتی ہڈمارڈ میٹرکس کے ہڈمارڈ پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے میٹرکس بنانے کے لیے الگورتھم پیش کیا جاتا ہے جس کی قطاریں (پہلے کے علاوہ) سلویسٹر-ہڈمارڈ میٹرکس کی قطاروں کے مقابلے میں ترتیب میں دوبارہ ترتیب دی جاتی ہیں، جس کے نتیجے میں ٹی آر ایس میٹرکس کی قطاریں باہمی طور پر آرتھوگنل ہوتی ہیں۔ جہاں: "" آپریشن کی نشاندہی کرتا ہے ہڈمارڈ پروڈکٹ n-جہتی شناخت میٹرکس ہے۔ n-جہتی ہڈمارڈ میٹرکس ہے، جس میں قطاروں کو سلویسٹر-ہڈمارڈ [4] میٹرکس کے خلاف دی گئی ترتیب میں تبدیل کیا جاتا ہے جس کے نتیجے میں میٹرکس کی قطاریں باہمی طور پر آرتھوگنل ہوتی ہیں۔ وہ ویکٹر ہے جس سے میٹرکس کے عناصر اخذ کیے جاتے ہیں۔ ہڈمارڈ میٹرکس کی قطاروں کی آر ترتیبات تجرباتی طور پر 2، 4 اور 8 سائز کے میٹرکس کے لیے حاصل کی گئیں۔ یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ ہڈمارڈ میٹرکس کی قطاروں کی ترتیب R (سلویسٹر-ہڈمارڈ میٹرکس کے خلاف) ویکٹر پر منحصر نہیں ہے۔ ثابت کیا گیا ہے [5] کہ، اگر یونٹ ویکٹر ہے (یعنی۔ )، پھر میٹرکس (حاصل کیا گیا جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا تھا) عکاسی کا میٹرکس ہے۔ ویکٹر کے لیے ترتیب 4 کی باہمی آرتھوگنل قطاروں (میٹرکس) کے ساتھ ٹرس میٹرکس ٹرانسپوزیشن میٹرکس حاصل کرنے کی مثال اس طرح حاصل کی جاتی ہے: جہاں میٹرکس ہے، ویکٹر سے حاصل کیا جاتا ہے، اور "" آپریشن ہڈمارڈ پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے اور ہڈمارڈ میٹرکس ہے، جس کے لیے قطاروں کو دی گئی ترتیب میں تبدیل کیا جاتا ہے جس کے نتیجے میں میٹرکس کی قطاریں باہمی طور پر آرتھوگنل ہوتی ہیں۔ جیسا کہ اوپر کے اعداد و شمار سے دیکھا جا سکتا ہے، نتیجے میں میٹرکس کی پہلی صف میں ویکٹر کے عناصر بغیر ٹرانسپوزیشن اور سائن کی تبدیلی کے ہوتے ہیں۔ اس بات کو مدنظر رکھتے ہوئے کہ میٹرکس کی قطاریں باہمی طور پر آرتھوگنل ہیں، ہمیں ملتا ہے جس کا مطلب ہے کہ میٹرکس ویکٹر کو گھومتا ہے، جس سے یہ اخذ کیا گیا ہے، کوآرڈینیٹ محور کی سمت میں [5] میں میٹ لیب افعال کے کوڈ کی مثال کے طور پر دیا گیا ہے جو سائز n = 2، 4، یا، 8 کے ویکٹر کے لیے میٹرکس بناتا ہے۔ کھلا سوال رکھیں کہ کیا 8 سے زیادہ سائز کے میٹرکس بنانا ممکن ہے۔ سمیٹرک میٹرکس پرسیمیٹرک میٹرکس آرتھوگنل میٹرکس حوالہ جات بیرونی لنکس http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html میٹرکس بھی دیکھیں۔