Innovation Method
اعداد و شمار میں، انوویشن میتھڈ ریاستی متغیرات کے (ممکنہ طور پر شور) مشاہدات کی ٹائم سیریز کو دیکھتے ہوئے اسٹاکسٹک تفریق مساوات کے پیرامیٹرز کے لیے ایک تخمینہ فراہم کرتا ہے۔ مسلسل غیر متزلزل ریاستی خلائی ماڈلز کے فریم ورک میں، اختراعی تخمینہ پیرامیٹرز کے حوالے سے متعلقہ غیر متزلزل وقت کے اختراعی عمل کے لاگ لائکولیوڈ کو زیادہ سے زیادہ کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ اختراعی تخمینہ لگانے والے کو ایم-تخمینہ لگانے والے، ایک نیم زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ لگانے والے یا پیشن گوئی کی غلطی کے تخمینہ لگانے والے کے طور پر درجہ بند کیا جا سکتا ہے جو ان تشخیصی تحفظات پر منحصر ہے جن پر زور دیا جانا چاہیے۔ اختراعی طریقہ پیمائش شدہ اعداد و شمار سے متحرک نظاموں کے ریاضیاتی نمونوں کو تیار کرنے اور تجربات کے بہترین ڈیزائن کے لیے نظام کی شناخت کی ایک تکنیک ہے۔ پس منظر اسٹاکسٹک تفریق مساوات (ایس ڈی ای) قدرتی، سماجی اور اطلاقی علوم میں متعدد بے ترتیب مظاہر کے وقت کے ارتقاء کو بیان کرنے کے لیے ایک اہم ریاضیاتی ذریعہ بن چکے ہیں۔ ایس ڈی ایز کے لیے شماریاتی تخمینہ اس طرح ماڈل کی تعمیر، ماڈل کے انتخاب، ماڈل کی شناخت اور پیش گوئی کے لیے ایپلی کیشنز میں بہت اہمیت کا حامل ہے۔ ایس ڈی ایز کے لیے شماریاتی تخمینہ لگانے کے لیے، ان بے ترتیب مظاہر کے ریاستی متغیرات کی پیمائش ناگزیر ہے۔ عام طور پر، عملی طور پر، صرف چند ریاستی متغیرات کو جسمانی آلات کے ذریعے ماپا جاتا ہے جو بے ترتیب پیمائش کی غلطیاں (مشاہداتی غلطیاں) متعارف کراتے ہیں۔ اختراعی تخمینہ کے لیے ریاضیاتی ماڈل۔ ایس ڈی ایز کے لیے مسلسل مجرد ریاستی خلائی ماڈلز کے فریم ورک میں بیان کیا گیا ہے۔ یہ نمونے مسلسل بے ترتیب مظاہر کے عارضی ارتقاء کی قدرتی ریاضیاتی نمائندگی اور وقت کے لمحات میں ان کی پیمائش کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ آسان ترین تشکیل میں، ان مسلسل مجرد ماڈلز کا اظہار ایس ڈی ای کی شکل میں کیا جاتا ہے جو ہر وقت فوری طور پر رجحان کے ریاستی متغیرات کے وقت کے ارتقاء کو بیان کرتا ہے، اور ایک مشاہداتی مساوات جو کم از کم ایک کی پیمائش کے وقت کے سلسلے کو بیان کرتی ہے۔ وقت کے لمحات میں بے ترتیب رجحان کے متغیرات۔ ماڈل (1)-(2) میں، اور تفریق پذیر افعال ہیں، ایک جہتی معیاری وینر عمل ہے، پیرامیٹرز کا ویکٹر ہے، جہتی یعنی ڈی کی ترتیب ہے۔ ایک مثبت قطعی میٹرکس، اور ایک میٹرکس سے آزاد گوسیئن بے ترتیب ویکٹر۔ حل کرنے کے لیے شماریاتی مسئلہ ایک بار جب کسی رجحان کی حرکیات کو ریاستی مساوات کے ذریعے (1) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اور مشاہداتی مساوات کے ذریعے متعین ریاستی متغیرات کی پیمائش کے طریقے کو (2) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، تو حل کرنے کے لیے تخمینہ کا مسئلہ درج ذیل ہوتا ہے: مشاہداتی اوقات پر سٹوچسٹک عمل کے جزوی اور شور والے مشاہدات کو دیکھتے ہوئے، غیر مشاہدہ شدہ ریاستی متغیر اور (1) میں نامعلوم پیرامیٹرز کا تخمینہ لگائیں جو دیئے گئے مشاہدات کے لیے بہتر فٹ ہوں۔ مجرد وقت اختراعی عمل (1) کی حالتوں کے مشاہدے کے اوقات کی ترتیب، اور مشاہدے کی مساوات (2) کے ذریعہ بیان کردہ جزوی اور شور کی پیمائش کا وقت سلسلہ ہے۔ مزید برآں، ساتھ کا مشروط اوسط اور تغیر ہونے دیں، جہاں بے ترتیب ویکٹروں کی متوقع قیمت کی نشاندہی ہوتی ہے۔ بے ترتیب ترتیب کے ساتھ مجرد وقت کے اختراعی عمل کی وضاحت کرتا ہے، جہاں ایک آزاد عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب ویکٹر ثابت ہوتا ہے جس میں صفر کا مطلب اور کافی چھوٹے کے لیے تغیر ہوتا ہے۔ عملی طور پر، مجرد وقت کی اختراع کے لیے یہ تقسیم اس وقت درست ہوتی ہے جب، دونوں کے مناسب انتخاب کے ساتھ، مشاہدات کی تعداد اور مسلسل مشاہدات کے درمیان وقت کا فاصلہ، ایس ڈی ای کے مشاہدات کا ٹائم سیریز مسلسل وقت کے عمل کے بارے میں اہم معلومات پر مشتمل ہوتا ہے۔ یعنی، جب مسلسل وقت کے عمل کے نمونے لینے میں کم مسخ (عرفیت) ہوتی ہے اور جب مناسب سگنل شور کا تناسب ہوتا ہے۔ اختراعی تخمینہ لگانے والا ایس ڈی ای (1) کے پیرامیٹرز کے لیے اختراعی تخمینہ لگانے والا وہ ہے جو پیرامیٹرز کے حوالے سے ڈسکرٹ ٹائم انوویشن کے عمل کے امکانات کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ریاستی خلائی ماڈل کی دی گئی پیمائش (1)-(2) کے پیرامیٹرز کے لیے اختراعی تخمینہ کار کے ساتھ (1) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں ماڈلز کی مجرد وقت کی جدت (3) اور اختراعی تغیر (4) سب کے لیے (1)-(2) ہے۔ مشروط اوسط اور تغیر کے لیے مذکورہ بالا اظہار کا حساب لمحات کے ارتقاء کے لیے مسلسل مجرد فلٹرینگ الگورتھم (سیکشن 6.4 انچ) کے ذریعے کیا جاتا ہے، زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ کار کے ساتھ تمام اختلافات ماڈل میں پیرامیٹرز کے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ کار (1)-(2) میں مشاہدے کے تمام اوقات کے لیے ریاستوں اور پھیلاؤ کے عمل کے درمیان-عام طور پر نامعلوم-منتقلی کثافت فنکشن کی تشخیص شامل ہوتی ہے۔ اس کے بجائے، انوویشن اسٹیمیٹر (5) کو ڈسکرٹ ٹائم انوویشن کے عمل کے امکانات کو زیادہ سے زیادہ کرکے حاصل کیا جاتا ہے جو کہ گوسیئن اور آزاد بے ترتیب ویکٹر ہیں۔ قابل ذکر بات یہ ہے کہ جب ایس ڈی ای کرتا ہے تو ٹرانزیشن ڈینسٹی فنکشن بدل جاتا ہے، اختراعی عمل کے لیے ٹرانزیشن ڈینسٹی فنکشن ایس ڈی ایز سے آزادانہ طور پر گوسیئن رہتا ہے۔ صرف اس صورت میں جب پھیلاؤ کو ایک لکیری ایس ڈی ای کے ذریعہ اضافی شور کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے، تو کثافت فنکشن گوسیئن اور اس کے برابر ہوتی ہے اور اس طرح زیادہ سے زیادہ امکان اور اختراعی تخمینہ موافق ہوتا ہے۔ بصورت دیگر، اختراعی تخمینہ لگانے والا زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ لگانے والا ہوتا ہے اور اس لحاظ سے اختراعی تخمینہ لگانے والا نیم زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ لگانے والا ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، اختراعی طریقہ میں دی گئی تعریف کے مطابق پیشن گوئی کی غلطی کے طریقہ کار کی ایک خاص مثال ہے۔ لہذا، تخمینہ کاروں کے اس عام طبقے کے لیے حاصل کیے گئے غیر علامتی نتائج اختراعی تخمینہ کاروں کے لیے درست ہیں۔ بدیہی طور پر، عام کنٹرول انجینئرنگ کے نقطہ نظر پر عمل کرتے ہوئے، یہ توقع کی جاتی ہے کہ اختراعی عمل-جسے فٹ شدہ ماڈل کی پیشن گوئی کی غلطیوں کی پیمائش کے طور پر دیکھا جاتا ہے-تقریبا ایک سفید شور کا عمل ہو جب ماڈل ڈیٹا کو فٹ کرتے ہیں، جسے ماڈل کے ڈیزائن اور زیادہ سے زیادہ تجرباتی ڈیزائن کے لیے ایک عملی ٹول کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ انوویشن اسٹیمیٹر (5) میں متعدد اہم صفات ہیں: روایتی باقاعدگی کے حالات میں، انوویشن اسٹیمیٹر (5) مستقل اور غیر علامتی طور پر عام تقسیم شدہ ہے۔ ماڈلز کے انتخاب کے لیے، اختراعی تخمینہ کار (5) کی زیادہ سے زیادہ لاگ لائکلی ہڈ کو اکائیکے یا بایسیئن معلومات کے معیار کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اختراعی تخمینہ لگانے والے کے لیے اعتماد کی حدود کا تخمینہ اس بات سے لگایا جاتا ہے کہ اہمیت کی سطح اور ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ٹی-طالب علم کی تقسیم کہاں ہے۔ یہاں، انوویشن تخمینہ کار کے تغیر کی نشاندہی کرتا ہے، جہاں فشر انفارمیشن میٹرکس انوویشن تخمینہ کار ہے اور میٹرکس کا اندراج اور کے ساتھ ہے۔ فٹنگ-انوویشن کے عمل کی تقسیم ڈیٹا میں ماڈل کے فٹ ہونے کی اچھائی کی پیمائش کرتی ہے۔ کافی ہموار فنکشن کے لیے، فارم کی غیر لکیری مشاہداتی مساوات کو آسان (2) میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور اختراعی تخمینہ (5) کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ لگ بھگ اختراعی تخمینہ کار عملی طور پر، کمپیوٹنگ کے لیے قریبی فارم کے تاثرات اور (5) میں صرف چند ماڈلز (1)-(2) کے لیے دستیاب ہیں۔ لہذا، ایپلی کیشنز میں مندرجہ ذیل کے طور پر لگ بھگ فلٹرنگ الگورتھم استعمال کیے جاتے ہیں۔ پیمائش اور ابتدائی فلٹر کے تخمینوں کو دیکھتے ہوئے، ماڈل (1)-(2) کے لیے لگ بھگ لکیری کم از کم تغیر (ایل ایم وی) فلٹر کو ہر مشاہدے کے وقت پیشن گوئی کے تخمینوں اور ابتدائی حالات کے ساتھ اور فلٹر کے تخمینوں کے ساتھ اور سب کے لیے فلٹر کے حصول کے ساتھ بار بار بیان کیا جاتا ہے، جہاں مشاہدے کے اوقات پر (1) کے حل کا تخمینہ ہے۔ ریاستی خلائی ماڈل (1)-(2) کے ساتھ پیمائش کو دیکھتے ہوئے، (1) کے پیرامیٹرز کے لیے لگ بھگ اختراعی تخمینہ کی تعریف اس بات سے کی جاتی ہے کہ فلٹرینگ الگورتھم (7)-(8) کے نتیجے میں بالترتیب مجرد وقت کی جدت (3) اور اختراعی تغیر (4) کا وجود اور تخمینہ کہاں ہے۔ شور سے پاک مکمل مشاہدات والے ماڈلز کے لیے (یعنی (2) کے ساتھ اور اس میں)، تخمینی اختراعی تخمینہ کار (9) ایس ڈی ایز کے لیے معروف نیم زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینہ کاروں تک کم ہو جاتا ہے۔ روایتی قسم کے اہم تخمینہ کار روایتی قسم کے اختراعی تخمینہ کار وہ ہیں (9) جو روایتی قسم کے مسلسل-مجرد یا مجرد-مجرد لگ بھگ فلٹرنگ الگورتھم سے اخذ کیے گئے ہیں۔ لگ بھگ مسلسل مجرد فلٹرز کے ساتھ مقامی لکیریائزیشن (ایل ایل) فلٹرز، توسیعی کالمان فلٹر، اور دوسرے آرڈر کے فلٹرز پر مبنی اختراعی تخمینہ کار ہوتے ہیں۔ مجرد-مجرد فلٹرز پر مبنی لگ بھگ اختراعی تخمینے ایک عددی اسکیم کے ذریعے ایس ڈی ای (1) کی تفریق کا نتیجہ ہیں۔ عام طور پر، ان اختراعی تخمینوں کی تاثیر کا براہ راست تعلق شامل فلٹرنگ الگورتھم کے استحکام سے ہوتا ہے۔ ان روایتی قسم کے فلٹرز کی ایک مشترکہ خرابی یہ ہے کہ، ایک بار مشاہدات دیے جانے کے بعد، تخمینہ اور عین مطابق اختراعی عمل کے درمیان کی غلطی طے ہو جاتی ہے اور مشاہدات کے درمیان وقت کے فاصلے سے مکمل طور پر طے ہو جاتی ہے۔ یہ کچھ ایپلی کیشنز میں لگ بھگ اختراعی تخمینوں کا ایک بڑا تعصب قائم کر سکتا ہے، تعصب جسے مشاہدات کی تعداد میں اضافہ کرکے درست نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم، روایتی قسم کے اختراعی تخمینے بہت سے عملی حالات میں مفید ہیں جن کے لیے پیرامیٹر تخمینے کے لیے صرف درمیانی یا کم درستگی کی ضرورت ہوتی ہے۔ آرڈر-β اختراعی تخمینہ لگانے والے آئیے حالات کو مطمئن کرنے والے وقت کے وقفے کی باریک وقت کی تفہیم پر غور کریں۔ مزید برآں، سب کے لیے مساوات (1) کی تخفیف سے حاصل کی گئی قیمت کا تخمینہ لگائیں، اور سب کے لیے ایک مسلسل وقت کا تخمینہ۔ آرڈر-ایل ایم وی فلٹر۔ ایک لگ بھگ ایل ایم وی فلٹر ہے جس کے لیے (10) کو مطمئن کرنے کے لیے ایک آرڈر-کمزور تخمینہ ہے اور تمام اور کسی بھی وقت مسلسل تفریق پذیر افعال کے لیے کمزور کنورجنس کی حالت ہے جس کے لیے اور اس کے تمام جزوی مشتقات آرڈر تک کثیر الجہتی نمو رکھتے ہیں، جو ایک مثبت مستقل ہوتا ہے۔ یہ آرڈر-ایل ایم وی فلٹر شرح کے ساتھ عین مطابق ایل ایم وی فلٹر میں یکجا ہوتا ہے جیسا کہ صفر پر جاتا ہے، جہاں وقت کی تفریق کا زیادہ سے زیادہ مرحلہ سائز ہے جس پر تخمینہ کی وضاحت کی جاتی ہے۔ آرڈر-انوویشن کا تخمینہ لگانے والا ایک لگ بھگ انوویشن کا تخمینہ لگانے والا (9) ہوتا ہے جس کے لیے آرڈر-ایل ایم وی فلٹر کے نتیجے میں بالترتیب ڈسکرٹ ٹائم انوویشن (3) اور انوویشن تغیر (4) کا تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ کمزور معنوں میں تبدیل ہونے والے کسی بھی قسم کے تخمینوں (جیسے، ان میں) کو آرڈر-ایل ایم وی فلٹر ڈیزائن کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں، ایک آرڈر-انوویشن تخمینہ کار۔ یہ ترتیب-اختراعی تخمینے بار بار آنے والی عملی صورتحال کے لیے ہوتے ہیں جس میں وقت میں دور کے مشاہدات کی کم تعداد سے یا جب تخمینہ شدہ پیرامیٹرز کے لیے اعلی درستگی کی ضرورت ہو تو پھیلاؤ کے عمل کی نشاندہی کی جانی چاہیے۔ ایک آرڈر-انوویشن تخمینہ لگانے والے کی متعدد اہم خصوصیات ہوتی ہیں: مشاہدات کے ہر دیئے گئے ڈیٹا کے لیے، عین مطابق انوویشن تخمینہ لگانے والے میں ضم ہو جاتا ہے کیونکہ وقت کی تفریق کا زیادہ سے زیادہ مرحلہ صفر پر جاتا ہے۔ مشاہدات کے محدود نمونوں کے لیے، مشاہدوں کی متوقع قیمت عین مطابق اختراعی تخمینہ کار کی متوقع قیمت میں بدل جاتی ہے جیسا کہ صفر پر جاتا ہے۔ مشاہدات کی بڑھتی ہوئی تعداد کے لیے، غیر علامتی طور پر عام تقسیم شدہ ہے اور صفر پر جانے پر اس کا تعصب کم ہو جاتا ہے۔ اسی طرح آرڈر-ایل ایم وی فلٹر کے عین مطابق ایل ایم وی فلٹر کے ساتھ کنورجنس کے لیے، کنورجنس اور ایسمپٹوٹک خصوصیات کے لیے دو مسلسل مشاہدات کے درمیان وقت کے فاصلے پر کوئی رکاوٹ نہیں ہے اور نہ ہی وقت کی تفریق پر اکائیکے یا بایسیئن معلومات کے معیار اور اعتماد کی حدود کے لیے تخمینے براہ راست عین مطابق تخمینہ کار کو اس کے تخمینے سے تبدیل کر کے حاصل کیے جاتے ہیں۔ یہ تخمینے اسی عین مطابق میں بدل جاتے ہیں جب وقت کی تفریق کا زیادہ سے زیادہ سائز صفر ہو جاتا ہے۔ لگ بھگ فٹنگ-انوویشن کے عمل کی تقسیم ڈیٹا میں ماڈل کے فٹ ہونے کی اچھائی کی پیمائش کرتی ہے، جسے ماڈلز کے ڈیزائن اور زیادہ سے زیادہ تجرباتی ڈیزائن کے لیے ایک عملی ٹول کے طور پر بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ کافی ہموار فنکشن کے لیے، فارم (6) کی غیر لکیری مشاہداتی مساوات کو آسان (2) میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور آرڈر-انوویشن ایسٹیمیٹر کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ شکل 1 مشاہدے کے اوقات کے شور والے مشاہدات کی 100 ٹائم سیریز سے حاصل کردہ مساوات کے پیرامیٹرز اور مساوات کے لیے روایتی اور آرڈر-انوویشن تخمینہ کاروں کے ساتھ عین مطابق انوویشن تخمینہ کار کے درمیان اور اختلافات کے ہسٹوگرام پیش کرتا ہے، اور کے ساتھ۔ کلاسیکی اور ترتیب-اختراعی تخمینوں کے مقامی لکیریائزیشن فلٹر اور ان کی تعریف بالترتیب، یکساں وقت کی تفریق پر اور کے ساتھ کی گئی ہے۔ آرڈر کے اسٹاکسٹک سمیلیشنز کی تعداد-لوکل لکیریائزیشن فلٹر کا تخمینہ اعتدال پسند رواداری کے ساتھ انکولی نمونے لینے والے الگورتھم کے ذریعے لگایا جاتا ہے۔ شکل 1 آرڈر-انوویشن تخمینہ کار کی اختلاط کو درست انوویشن تخمینہ کاروں کے ساتھ کم ہونے کے ساتھ واضح کرتی ہے، جو روایتی انوویشن تخمینہ کار کے فراہم کردہ تخمینے کو کافی حد تک بہتر بناتی ہے۔ تعیناتی تخمینہ ترتیب-اختراعی تخمینہ لگانے والے تعصب کو کم کرنے کی ناممکنیت سے متعلق روایتی قسم کے اختراعی تخمینہ لگانے والوں کی خرابی پر قابو پاتے ہیں۔ تاہم، آرڈر-انوویشن تخمینہ کاروں کے قابل عمل تعصب میں کمی کے لیے آخر کار اس بات کی ضرورت پڑ سکتی ہے کہ متعلقہ آرڈر-ایل ایم وی فلٹر بڑی تعداد میں اسٹاکسٹک سمیلیشن انجام دے۔ ایسے حالات میں جہاں صرف کم یا درمیانے درجے کی درستگی کے تخمینہ کاروں کی ضرورت ہوتی ہے، ایک متبادل تعیناتی فلٹر الگورتھم-جسے ڈیٹرمینیسٹک آرڈر-ایل ایم وی فلٹر کہا جاتا ہے-پہلے دو مشروط لمحات اور ترتیب کے کمزور تخمینے کو ٹریک کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یعنی پیش گوئیوں کی قدر اور فلٹرنگ الگورتھم میں ریکرسو فارمولوں سے اور ساتھ اور ساتھ شمار کیا جاتا ہے۔ ان تعیناتی ترتیب-ایل ایم وی فلٹرز کے ساتھ بیان کردہ لگ بھگ اختراعی تخمینہ لگانے والے اب بالکل اختراعی تخمینہ لگانے والے کے ساتھ یکجا نہیں ہوتے ہیں، لیکن کم کمپیوٹیشنل لاگت کے ساتھ دیئے گئے محدود نمونے کے لیے تخمینہ شدہ پیرامیٹرز میں نمایاں تعصب کی کمی کی اجازت دیتے ہیں۔ شکل 2 ہسٹوگرام اور قریب قریب اختراعی تخمینوں اور پیرامیٹرز اور وان ڈیر پول آسکیلیٹر کے اعتماد کی حدود کو بے ترتیب تعدد کے ساتھ پیش کرتا ہے جو مشاہدے کے اوقات کے جزوی اور شور والے مشاہدات کی 100 ٹائم سیریز سے حاصل ہوتا ہے، اور کے ساتھ۔ ڈیٹرمینیسٹک آرڈر-انوویشن تخمینہ کاروں کا مقامی لکیریائزیشن فلٹر اور ہر تخمینہ لگانے والے کے لیے، یکساں وقت کی تفریق پر، بالترتیب اعتدال پسند رشتہ دار اور مطلق رواداری کے ساتھ موافقت پذیر ٹائم اسٹیپنگ ڈسکریٹائزیشن کے ساتھ اور اس پر بیان کیا جاتا ہے۔ تخفیف کے طور پر تخمینہ شدہ پیرامیٹر کی تعصب میں کمی کا مشاہدہ کریں۔ سافٹ ویئر مختلف لگ بھگ اختراعی تخمینوں کا ایک میٹ لیب نفاذ ایس ڈی ای اسٹیمیشن ٹول باکس کے ذریعے فراہم کیا جاتا ہے۔ اس ٹول باکس میں مقامی لکیریائزیشن فلٹر ہیں، جن میں مقررہ مرحلہ سائز اور نمونے کے نمبروں کے ساتھ تعیناتی اور غیر معمولی اختیارات شامل ہیں۔ یہ اختراعی تخمینے کے لیے مقامی اور عالمی اصلاحاتی الگورتھم کے ساتھ ساتھ انکولی ٹائم سٹیپنگ اور سیمپلنگ الگورتھم بھی پیش کرتا ہے۔ شور سے پاک مکمل مشاہدات والے ماڈلز کے لیے، نیم زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے کے مختلف تخمینے آر میں نافذ کیے جاتے ہیں۔ حوالہ جات تخمینہ کے طریقے