Quasimorphism
گروپ تھیوری میں، کسی گروپ کو دیکھتے ہوئے، کواسمورفزم (یا کواسی مورفزم) ایک فنکشن ہے جو باؤنڈ ایرر تک اضافی ہے، یعنی۔ ایک مستقل چیز موجود ہے جو سب کے لیے ہے۔ جس کم از کم مثبت قدر کے لیے یہ عدم مساوات مطمئن ہوتی ہے اسے ڈیفیکٹ آف کہا جاتا ہے، جیسا کہ لکھا جاتا ہے۔ کسی گروپ کے لیے، قوسیمورفزم فنکشن اسپیس کی ذیلی جگہ بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر گروپ ہومومورفزم اور باؤنڈڈ فنکشن کواسمورفزم ہیں۔ گروپ ہومومورفزم اور باؤنڈ فنکشن کا مجموعہ بھی ایک قوسمورفزم ہے، اور اس شکل کے افعال کو بعض اوقات "ٹریوئل" قوسمورفزم کہا جاتا ہے۔ ایک سیٹ پر ایک آزاد گروپ بننے دیں۔ کم شدہ لفظ کے لیے، ہم سب سے پہلے بڑی گنتی فنکشن کی وضاحت کرتے ہیں، جو کے کم شدہ نمائندے کی نقلوں کی تعداد کے لیے واپس آتی ہے۔ اسی طرح، ہم چھوٹے گنتی فنکشن کی وضاحت کرتے ہیں، کم شدہ نمائندے میں غیر اوور لیپنگ کاپیوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد واپس کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اور۔ پھر، ایک بڑی گنتی قوسمورفزم (ریسپ۔ چھوٹی گنتی قوسمورفزم) فارم (ریسپ) کا ایک فنکشن ہے۔ ۔ گردش نمبر ایک قوسمورفزم ہے، جہاں دائرے کی واقفیت کو محفوظ رکھنے والے ہومومورفزم کو ظاہر کرتا ہے۔ اگر سب کے لیے ہو تو ہوموجینیئس کواسیمورفزم ہوموجینیئس ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ قوسمورفزم کے مطالعہ کو یکساں قوسمورفزم کے مطالعہ تک کم کیا جا سکتا ہے، کیونکہ ہر قوسمورفزم ایک منفرد یکساں قوسمورفزم سے دور ایک محدود فاصلہ ہے، جو اس کے ذریعہ دیا گیا ہے: ایک یکساں قوسمورفزم میں درج ذیل خصوصیات ہوتی ہیں: یہ کنجوگیسی کلاسوں پر مستقل ہوتا ہے، یعنی۔ سب کے لیے، اگر ابیلین ہے، تو یہ ایک گروپ ہومومورفزم ہے۔ مندرجہ بالا تبصرے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اس معاملے میں تمام قوسمورفزم "معمولی" ہیں۔ انٹیجر ویلیوڈ ایک فنکشن کے معاملے میں اسی طرح کواسیمورفزم کی وضاحت بھی کر سکتا ہے۔ اس معاملے میں، یکساں قوسمورفزم کے بارے میں مذکورہ بحث اب برقرار نہیں ہے، کیونکہ حد عام طور پر موجود نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، نقشہ ایک قوسمورفزم ہے۔ حقیقی اعداد کی تعمیر ایک مناسب مساوات کے تعلق سے قوسمورفزم کے حصص کے طور پر ہوتی ہے، دیکھیں انٹیجرز سے حقیقی اعداد کی تعمیر (یوڈوکسس ریئلز)۔ مزید پڑھنے کے لیے حوالہ جات کو نوٹ کریں کواسی مورفزم کیا ہے؟ ڈی۔ کوٹشک گروپ تھیوری اضافی افعال