Modern triangle geometry
ریاضی میں، جدید مثلث جیومیٹری، یا نئی مثلث جیومیٹری، انیسویں صدی کی آخری سہ ماہی کے آغاز سے تقریبا دریافت اور تیار کردہ مثلث کی خصوصیات سے متعلق علم کا مجموعہ ہے۔ مثلث اور ان کی خصوصیات کم از کم یوکلڈ کے زمانے سے تحقیقات کا موضوع تھے۔ در حقیقت، یوکلڈ کے عناصر میں مثلث سے وابستہ چار خاص نکات-سینٹرایڈ، انسینٹر، سرکم سینٹر اور آرتھو سینٹر کی تفصیل شامل ہے۔ اگرچہ سترہویں صدی میں پاسکل اور سیوا، اٹھارہویں صدی میں اویلر اور انیسویں صدی میں فیورباخ اور بہت سے دوسرے ریاضی دانوں نے مثلث کی خصوصیات کے بارے میں اہم دریافتیں کی تھیں، لیکن یہ 1873 میں ایمیل لیموائن (1840-1912) کے ایک مقالے کی اشاعت تھی جس کا عنوان "مثلث کے ایک قابل ذکر نقطہ پر" تھا، ناتھن الٹسچلر کورٹ کے مطابق، "مجموعی طور پر مثلث کی جدید جیومیٹری کو foundations.of رکھا۔" امریکن میتھمیٹیکل منتھلی، جس میں لیموائن کا زیادہ تر کام شائع ہوا ہے، نے اعلان کیا کہ "ان میں سے کسی بھی [جیومیٹر] کے لیے جدید مثلث جیومیٹری کی اس حرکت کو شروع کرنے کا اعزاز ایمیل-مشیل-ہائیسینٹے لیموائن سے زیادہ نہیں ہے۔" اس مقالے کی اشاعت نے انیسویں صدی کی آخری سہ ماہی اور بیسویں صدی کے ابتدائی سالوں کے دوران مثلث کی خصوصیات کی تحقیقات میں دلچسپی کا ایک قابل ذکر اضافہ کیا۔ 1914 میں شائع ہونے والے کلین کے انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز میں مثلث جیومیٹری پر ایک سو صفحات پر مشتمل مضمون مثلث جیومیٹری میں دلچسپی کے اس عروج کا گواہ ہے۔ ابتدائی دنوں میں، اظہار "نیا مثلث جیومیٹری" صرف مثلث سے وابستہ دلچسپ اشیاء کے مجموعے کا حوالہ دیتا ہے جیسے لیموائن پوائنٹ، لیموائن سرکل، بروکارڈ سرکل اور لیموائن لائن۔ بعد میں خط و کتابت کا نظریہ جو ہندسی تبدیلیوں کے نظریہ کی ایک شاخ تھی، مختلف الگ تھلگ نتائج کو ہم آہنگی دینے کے لیے تیار کیا گیا۔ اس کی نشوونما کے ساتھ، اظہار "نیا مثلث جیومیٹری" نہ صرف مثلث سے وابستہ بہت سی قابل ذکر اشیاء کی نشاندہی کرتا ہے بلکہ ان اشیاء کا مطالعہ اور درجہ بندی کرنے کے لیے استعمال ہونے والے طریقوں کی بھی نشاندہی کرتا ہے۔ 1887 سے مثلث جیومیٹری کی ایک تعریف یہ ہے: "مثلث کے طیارہ میں ایک نقطہ M دیے جانے کے بعد، ہم ہمیشہ ایک دوسرا نقطہ M 'پا سکتے ہیں جو ایک تصور شدہ ہندسی قانون کے مطابق پہلے سے مطابقت رکھتا ہے۔ ان دونوں نکات کے درمیان ہندسی تعلقات ہوتے ہیں جن کی سادگی کم و بیش قانون کے خوش قسمت انتخاب پر منحصر ہوتی ہے جو انہیں متحد کرتا ہے اور ہر ہندسی قانون تبدیلی کے ایک طریقہ کو جنم دیتا ہے جس کا مطالعہ کرنا باقی رہتا ہے۔" (کانفرنس کا مقالہ دیکھیں جس کا عنوان ہے "انیسویں اور بیسویں صدی میں ایک قدیم شخصیت کے ساتھ نئے ہندسی طریقوں کی تعلیم: یورپ اور امریکہ میں نصابی کتابوں میں نیا مثلث جیومیٹری (1888-1952)" جو پالین رومیرہ-لیبرٹ نے 2009 میں پیش کیا تھا۔) تاہم، دلچسپی کا یہ اضافہ جلد ہی ختم ہو گیا اور بیسویں صدی کے اختتامی سالوں تک مثلث جیومیٹری کو مکمل طور پر نظر انداز کر دیا گیا۔ اپنی "ڈویلپمنٹ آف میتھمیٹکس" میں، ایرک ٹیمپل بیل 1940 میں جدید مثلث جیومیٹری کی حیثیت کے بارے میں اپنا فیصلہ اس طرح پیش کرتے ہیں: "20 ویں صدی کے جیومیٹروں نے طویل عرصے سے ان تمام خزانوں کو جیومیٹری کے عجائب گھر میں منتقل کر دیا ہے جہاں تاریخ کی دھول نے جلد ہی ان کی چمک کو کم کر دیا ہے۔" (ریاضی کی ترقی، صفحہ 323) فلپ ڈیوس نے مثلث جیومیٹری میں دلچسپی میں کمی کی کئی وجوہات تجویز کی ہیں۔ ان میں شامل ہیں: یہ احساس کہ مضمون ابتدائی اور کم پیشہ ورانہ حیثیت کا ہے۔ اس کے طریقہ کار کے امکانات کا ختم ہونا۔ موضوع کے نام نہاد گہرے نتائج کی بصری پیچیدگی۔ الجبرائی کے حق میں بصری کو کم کرنا۔ دوسرے شعبوں سے رابطوں کی کمی۔ مضبوط بصری مواد جیسے ٹیسلیشنز، فریکٹلز، گراف تھیوری وغیرہ کے ساتھ دیگر موضوعات کے ساتھ مقابلہ۔ جدید الیکٹرانک کمپیوٹر کی آمد کے ساتھ دلچسپی کا مزید احیاء دیکھا گیا۔ مثلث جیومیٹری ایک بار پھر تحقیق کا ایک فعال شعبہ بن گیا ہے جس کی پیروی وقف شدہ جیومیٹرز کے ایک گروپ نے کی ہے۔ اس احیاء کی علامت کے طور پر، کوئی بھی "مثلث مرکز" کے تصور کی تشکیل اور کلارک کمبرلنگ کی طرف سے مثلث مراکز کے ایک انسائیکلوپیڈیا کی تالیف کی طرف اشارہ کر سکتا ہے جس میں تقریبا 50,000 مثلث مراکز اور ان کی خصوصیات کی فہرست شامل ہے اور 1200 سے زیادہ مثلث کیوبک کی متعدد خصوصیات کی تفصیلی وضاحت کے ساتھ مثلث کیوبک کی فہرست کی تالیف بھی ہے۔ 2001 میں فلوریڈا اٹلانٹک یونیورسٹی کے پال ییو کے ذریعہ قائم کردہ اوپن ایکسیس جرنل فورم جیومیٹریورم نے بھی مثلث جیومیٹری کے لیے اس نئے پائے جانے والے جوش و خروش کو آگے بڑھانے میں زبردست تحریک فراہم کی۔ بدقسمتی سے، 2019 سے، جریدہ پیشکشوں کو قبول نہیں کر رہا ہے حالانکہ بیک ایشوز اب بھی آن لائن دستیاب ہیں۔ لیموائن جیومیٹری لیموائن پوائنٹ سینٹرائڈ G کے ساتھ دیئے گئے مثلث ABC کے لیے، ورٹیکس کے ذریعے سممیڈین زاویہ A کے بائیسیکٹر میں لائن AG کی عکاسی ہے۔ مثلث کے لیے تین سممیڈین ہوتے ہیں جن میں سے ایک ہر سرے سے گزرتا ہے۔ تینوں سممیڈین ہم آہنگ ہوتے ہیں اور ہم آہنگی کے نقطہ، جسے عام طور پر K سے ظاہر کیا جاتا ہے، کو لیموائن پوائنٹ یا سممیڈین پوائنٹ یا مثلث ABC کا گریب پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ اگر مثلث ABC کی سائیڈ لینتھ a، b، c ہیں تو لیموائن پوائنٹ کے باریسینٹرک نقاط a2: b2: c2 ہیں۔ اسے "جدید جیومیٹری کے تاج کے جواہرات میں سے ایک" کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ ریاضیاتی ادب میں اس نقطہ کے کئی سابقہ حوالہ جات موجود ہیں جن کی تفصیلات جان میکے کی سممیڈین پوائنٹ کی تاریخ میں دستیاب ہیں۔ در حقیقت، سممیڈینس کی ہم آہنگی زیادہ عام نتیجہ کا ایک خاص معاملہ ہے: مثلث اے بی سی کے طیارہ میں کسی بھی نقطہ پی کے لیے، لائنوں اے پی، بی پی، سی پی کے آئسوگنل ہم آہنگ ہوتے ہیں، اے پی کا آئسوگنل (بالترتیب بی پی، سی پی) زاویہ اے (بالترتیب بی، سی) کے دو حصوں میں لائن اے پی کی عکاسی کرتا ہے۔ ہم آہنگی کے نقطہ کو P کا آئسوگنل کنجوگیٹ کہا جاتا ہے۔ اس اصطلاح میں، لیموائن پوائنٹ سنٹرائڈ کا آئسوگنل کنجوگیٹ ہے۔ لیموائن کے حلقے مثلث کے اطراف کے متوازی مثلث ABC کے لیموائن پوائنٹ کے ذریعے لکیروں کے چوراہوں کے نکات ایک دائرے پر ہوتے ہیں جسے مثلث ABC کا پہلا لیموائن دائرہ کہا جاتا ہے۔ پہلے لیموائن دائرے کا مرکز مثلث کے دائرے کے مرکز اور لیموائن پوائنٹ کے درمیان واقع ہے، مثلث ABC کے لیموائن پوائنٹ کے ذریعے مثلث ABC کے اطراف میں مخالف متوازی کے چوراہوں کے نکات ایک دائرے پر واقع ہیں جسے دوسرا لیموائن دائرہ یا مثلث ABC کا کوسین دائرہ کہا جاتا ہے۔ "کوسین سرکل" کا نام دوسرے لیموائن سرکل کی خاصیت کی وجہ سے ہے کہ حصوں کی لمبائی مثلث کے اطراف میں دائرے کے ذریعہ روکتی ہے جو اطراف کے مخالف زاویوں کی کوسینوں کے متناسب ہوتی ہے۔ دوسرے لیموائن دائرے کا مرکز لیموائن پوائنٹ ہے۔ لیموائن محور کوئی بھی مثلث ABC اور اس کا ٹینجینشیل مثلث نقطہ نظر میں ہوتا ہے اور نقطہ نظر کے محور کو مثلث ABC کا لیموائن محور کہا جاتا ہے۔ یہ مثلث ABC کے سممیڈین پوائنٹ کا سہ رخی قطبی ہے اور مثلث ABC کے دائرے کے حوالے سے K کا قطبی بھی ہے۔ ابتدائی جدید مثلث جیومیٹری جدید مثلث جیومیٹری کی دنیا پر ایک فوری نظر جیسا کہ یہ لیموائن کے مقالے کی اشاعت کے بعد مثلث جیومیٹری میں دلچسپی کے عروج کے دوران موجود تھی ذیل میں پیش کی گئی ہے۔ یہ پیشکش بڑی حد تک 1910 میں شائع ہونے والی ولیم گیلٹلی کی کتاب اور 1929 میں پہلی بار شائع ہونے والی راجر اے جانسن کی کتاب میں زیر بحث موضوعات پر مبنی ہے۔ پورسٹک مثلث دو مثلثوں کو پورسٹک مثلث کہا جاتا ہے اگر ان کا اندرونی دائرہ اور دائرہ ایک جیسا ہو۔ مرکز O اور رداس R کے ساتھ ایک دائرے اور مرکز I اور رداس r کے ساتھ ایک اور دائرے کو دیکھتے ہوئے، مثلث ABC کی ایک لامحدود تعداد ہوتی ہے جس میں دائرہ O (R) دائرہ کے طور پر ہوتا ہے اور I (r) دائرے میں ہوتا ہے اگر اور صرف اگر۔ یہ مثلث مثلثوں کا ایک پورسٹک نظام بناتے ہیں۔ حوالہ مثلث کے طور پر سینٹرائڈ جیسے کچھ خاص نکات کا لوکی مختلف مثلثوں کا سراغ لگاتا ہے جس کے ساتھ یہ دائرے اور نکات بن جاتے ہیں۔ سمسن لکیر مثلث ABC کے دائرے پر کسی بھی نقطہ P کے لیے، P سے مثلث ABC کے اطراف تک پرپینڈکیولر کے پاؤں کالینیئر ہوتے ہیں اور کالینیریٹی کی لکیر P کی معروف سمسن لائن ہوتی ہے۔ پیڈل اور اینٹیپیڈل مثلث ایک نقطہ P کو دیکھتے ہوئے، P سے مثلث ABC کے اطراف تک پرپینڈکیولر کے پاؤں D، E، F ہونے دیں۔ مثلث DEF کو P کا پیڈل مثلث کہا جاتا ہے۔ P کا اینٹیپیڈل مثلث بالترتیب A، B، C سے PA، PB، PC پر پرپینڈکیولر لائنوں کے ذریعے تشکیل شدہ مثلث ہے۔ دو پوائنٹس P اور Q کو کاؤنٹر پوائنٹس کہا جاتا ہے اگر P کا پیڈل مثلث Q کے اینٹی پیڈل مثلث کے لیے ہوموتھیٹک ہے اور Q کا پیڈل مثلث P کے اینٹی پیڈل مثلث کے لیے ہوموتھیٹک ہے۔ آرتھوپول کو کسی بھی لکیر l کو دیکھتے ہوئے، P، Q، R کو مثلث ABC کے عمودی A، B، C سے l تک عمودی پاؤں ہونے دیں۔ P. Q، R کے ذریعے لکیریں بالترتیب BC، CA، AB کے اطراف سے متوازی ہیں اور اتفاق کا نقطہ مثلث ABC کے حوالے سے لائن L کا آرتھوپول ہے۔ جدید مثلث جیومیٹری میں، آرتھو پولز کی خصوصیات سے متعلق ادب کا ایک بڑا مجموعہ موجود ہے۔ بروکارڈ پوائنٹس دائرے کو مثلث اے بی سی کے اطراف بی سی، سی اے، اے بی پر بیان کیا جاتا ہے جس کے بیرونی حصے بالترتیب زاویہ سی، اے، بی اور بی، سی، اے کے دو مثلث پر مشتمل ہوتے ہیں۔ زاویوں کے تثلیث سے طے شدہ حلقوں کا ہر تثلیث ایک مشترکہ نقطہ پر ایک دوسرے کو کاٹتا ہے اس طرح اس طرح کے دو نکات حاصل ہوتے ہیں۔ ان نکات کو مثلث اے بی سی کے بروکارڈ پوائنٹس کہا جاتا ہے اور عام طور پر ان کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ اگر P پہلا بروکارڈ پوائنٹ ہے (جو کہ بروکارڈ پوائنٹ ہے جس کا تعین حلقوں کے پہلے تثلیث سے ہوتا ہے) تو زاویہ PBC، PCA اور PAB ایک دوسرے کے برابر ہوتے ہیں اور مشترکہ زاویے کو مثلث ABC کا بروکارڈ اینگل کہا جاتا ہے اور عام طور پر اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ بروکارڈ اینگل بروکارڈ پوائنٹس کے ذریعے دیا جاتا ہے اور بروکارڈ اینگل میں کئی دلچسپ خصوصیات ہوتی ہیں۔ کچھ تصاویر عصری جدید مثلث جیومیٹری مثلث مرکز بیسویں صدی کے اختتامی سالوں کے دوران مثلث جیومیٹری میں دلچسپی کے احیاء کے دوران ابھرنے والے سب سے اہم خیالات میں سے ایک مثلث مرکز کا تصور ہے۔ 1994 میں کلارک کمبرلنگ کی طرف سے متعارف کرایا گیا یہ تصور مثلث سے وابستہ بہت سے خاص اور قابل ذکر نکات کو ایک تصور میں متحد کرتا ہے۔ اس خیال کے تعارف کے بعد سے، مثلث سے وابستہ کسی بھی نتیجے پر تقریبا کوئی بحث اس بحث کے بغیر مکمل نہیں ہوتی کہ نتیجہ مثلث کے مراکز سے کیسے جوڑتا ہے۔ مثلث مرکز کی تعریف تین حقیقی متغیرات a، b، c کے حقیقی قدر والے فنکشن f میں درج ذیل خصوصیات ہو سکتی ہیں: یکسانیت: f (ta، tb، tc) = tn f (a، b، c) کسی مستقل n کے لیے اور تمام t> 0 کے لیے۔ دوسرے اور تیسرے متغیر میں دو ہم آہنگی: f (a، b، c) = f (a، c، b)۔ اگر غیر صفر f میں یہ دونوں خصوصیات ہوں تو اسے مثلث مرکز فنکشن کہا جاتا ہے۔ اگر f ایک مثلث مرکز فنکشن ہے اور a، b، c حوالہ مثلث کی طرف کی لمبائی ہیں تو وہ نقطہ جس کے سہ رخی نقاط f (a، b، c): f (b، c، a): f (c، a، b) مثلث مرکز کہلاتا ہے۔ کلارک کمبرلنگ مثلث مراکز کے مجموعے کے لیے وقف ایک ویب سائٹ کو برقرار رکھے ہوئے ہے۔ انسائیکلوپیڈیا آف ٹرائنگل سینٹرز نامی ویب سائٹ میں تقریبا 50,000 مثلث مراکز کی تعریفیں اور وضاحتیں ہیں۔ مرکزی لکیر عصری جدید مثلث جیومیٹری کا ایک اور متحد تصور مرکزی لکیر کا ہے۔ یہ تصور مثلث سے وابستہ کئی خاص سیدھی لکیروں کو متحد کرتا ہے۔ مرکزی لکیر کا تصور مثلث مرکز کے تصور سے بھی متعلق ہے۔ مرکزی لکیر کی تعریف ABC کو ایک طیارہ مثلث ہونے دیں اور (x: y: z) کو مثلث ABC کے طیارہ میں کسی صوابدیدی نقطہ کے سہ رخی نقاط ہونے دیں۔ مثلث ABC کی سطح میں ایک سیدھی لکیر جس کی مساوات سہ رخی نقاط میں f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 کی شکل رکھتی ہے جہاں سہ رخی نقاط والا نقطہ (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c) ایک مثلث مرکز ہے، مثلث ABC کے نسبت مثلث ABC کی سطح میں ایک مرکزی لکیر ہے۔ مرکزی لکیر کی ہندسی تعمیر X کو مثلث ABC کا کوئی بھی مثلث مرکز ہونے دیں۔ AX، BX اور CX لکیروں اور ان کے عکاسی کو بالترتیب A، B، C عمودی زاویوں کے اندرونی دو حصوں میں کھینچیں۔ عکاسی شدہ لکیریں ہم آہنگ ہوتی ہیں اور اتفاق کا نقطہ X کا آئسوگنل کنجوگیٹ Y ہوتا ہے۔ Cevians AY، BY، CY کو بالترتیب A '، B'، C 'پر مثلث ABC کے مخالف رخ سے ملنے دیں۔ مثلث A 'B' C 'Y کا سیویائی مثلث ہے۔ مثلث ABC اور سیویائی مثلث A 'B' C نقطہ نظر میں ہیں اور DEF کو دونوں مثلثوں کی نقطہ نظر کا محور ہونے دیں۔ ڈی ای ایف لکیر نقطہ Y کا سہ رخی قطبی ہے۔ لکیر DEF مثلث مرکز X سے وابستہ مرکزی لکیر ہے۔ مثلث مخروطی ایک مثلث مخروطی حوالہ مثلث کے سطح میں ایک مخروطی ہے اور کسی نہ کسی طرح اس سے وابستہ ہے۔ مثال کے طور پر، حوالہ مثلث کا دائرہ اور اندرونی دائرہ مثلث مخروطی ہیں۔ دیگر مثالیں اسٹینر ایلیپس ہیں جو ایک ایلیپس ہے جو عمودی حصوں سے گزرتا ہے اور حوالہ مثلث کے مرکز پر اس کا مرکز ہوتا ہے، کیپرٹ ہائپربولا جو عمودی حصوں سے گزرنے والا شنک ہے، حوالہ مثلث کا مرکز اور آرتھو سینٹر اور آرٹزٹ پیرابولس جو مثلث کے عمودی حصوں میں حوالہ مثلث کے دو اطراف کو چھونے والے پیرابولس ہیں۔ کچھ حال ہی میں زیر مطالعہ مثلث کونکس میں ہوفسٹاڈر ایلیپسس اور وائی ایف ایف کونکس شامل ہیں۔ تاہم، ادب میں مثلث کونک کی اصطلاحات کی کوئی رسمی تعریف نہیں ہے ؛ یعنی، حوالہ مثلث کے ساتھ کونک کے تعلقات ہونے چاہئیں تاکہ اسے مثلث کونک کہا جا سکے۔ وولفرم میتھ ورلڈ میں "ٹرائنگل کونکس" کے عنوان سے ایک صفحہ ہے جس میں مثلث کونک کی تعریف دیے بغیر 42 اشیاء کی فہرست دی گئی ہے (ان میں سے سبھی کونک نہیں ہیں)۔ مثلث کیوبک کیوبک منحنی خطوط مثلث کے مطالعہ میں قدرتی طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، حوالہ مثلث ABC کے طیارہ میں ایک نقطہ P کا لوکس اس طرح ہے کہ، اگر مثلث ABC کے سائیڈ لائن میں P کے عکاسی PA، Pb، Pc ہیں، تو APA، BPb اور CPc لائنیں ہم آہنگ ہیں جو نیوبرگ کیوبک نامی کیوبک وکر ہے۔ یہ برنارڈ گلبرٹ کے کیٹلاگ آف ٹرائنگل کیوبکس میں درج پہلا کیوبک ہے۔ اس کیٹلاگ میں 1200 سے زیادہ مثلث کیوبک کی فہرست دی گئی ہے جس میں ہر منحنی خطوط کے بارے میں معلومات ہیں جیسے کہ منحنی خطوط کی باریسینٹرک مساوات، مثلث کے مراکز جو منحنی خطوط پر واقع ہیں، منحنی خطوط کی لوکس خصوصیات اور منحنی خطوط پر ادب کے حوالے۔ مثلث جیومیٹری میں کمپیوٹر بیسویں صدی کے اختتامی سالوں اور موجودہ صدی کے ابتدائی سالوں کے دوران مثلث جیومیٹری میں دلچسپی کے پیش نظر ترقی کے راستے پر کمپیوٹر کے داخلے کا فیصلہ کن اثر پڑا۔ کمپیوٹرز نے اس کورس کو جن طریقوں سے متاثر کیا تھا ان میں سے کچھ کو فلپ ڈیوس نے بیان کیا ہے۔ مثلث جیومیٹری میں نئے نتائج پیدا کرنے کے لیے کمپیوٹر کا استعمال کیا گیا ہے۔ 2015 میں شائع ہونے والا ایک سروے آرٹیکل کمپیوٹر پروگرام "ڈیرکوورر" کے دریافت کردہ کچھ اہم نئے نتائج کا بیان دیتا ہے۔ نظریات کا درج ذیل نمونہ دریافت کنندہ کے دریافت کردہ نئے نتائج کا ذائقہ دیتا ہے۔ نظریہ 6.1 فرض کریں کہ P اور Q پوائنٹس ہیں، نہ ہی مثلث ABC کی سائیڈ لائن پر پڑے ہیں۔ اگر اے بی سی کے حوالے سے پی اور کیو آئسوگنل کنجوگیٹس ہیں، تو ان کی تکمیل کا سیوا پروڈکٹ کیپرٹ ہائپربولا پر ہوتا ہے۔ نظریہ 9.1۔ ہم آہنگی کا Yff مرکز انسیٹر کے پیڈل مثلث کے حوالے سے اندرونی دائرے اور گردشی دائرے کی مماثلت کا اندرونی مرکز ہے۔ لیسٹر سرکل وہ دائرہ ہے جو گردشی مرکز، نو نکاتی مرکز اور بیرونی اور اندرونی فرمیٹ پوائنٹس سے گزرتا ہے۔ عام لیسٹر دائرہ ایک دائرہ ہے جو کم از کم چار مثلث مراکز سے گزرتا ہے۔ دریافت کنندہ نے کئی عمومی لیسٹر حلقے دریافت کیے ہیں۔ سووا گروزدیو، ہیروشی اوکمورا، ڈیکو ڈیکوو یوکلیڈین جیومیٹری کے کمپیوٹر سے دریافت شدہ انسائیکلوپیڈیا کے لیے وقف ایک ویب پورٹل کو برقرار رکھے ہوئے ہیں۔ حوالہ جات اضافی پڑھنے مثلث جیومیٹری جیومیٹری کی تاریخ