Indicator function (complex analysis)
ریاضی کے میدان میں جسے پیچیدہ تجزیہ کہا جاتا ہے، ایک پورے فنکشن کا اشارے فنکشن مختلف سمتوں میں فنکشن کی ترقی کی شرح کی نشاندہی کرتا ہے۔ تعریف آئیے ایک پورے فنکشن پر غور کریں۔ فرض کریں، کہ اس کی گروتھ آرڈر ہے، کے انڈیکیٹر فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ انڈیکیٹر فنکشن کو ان افعال کے لیے بھی بیان کیا جا سکتا ہے جو مکمل نہیں ہیں لیکن زاویہ کے اندر تجزیاتی ہیں۔ بنیادی خصوصیات اشارے فنکشن کی بالکل تعریف کے مطابق، ہمارے پاس یہ ہے کہ دو افعال کے پروڈکٹ کا اشارے اشارے کے مجموعے سے زیادہ نہیں ہوتا ہے: اسی طرح، دو افعال کے مجموعے کا اشارے دو اشارے میں سے بڑے سے زیادہ نہیں ہوتا ہے: مثالیں ابتدائی حسابات سے پتہ چلتا ہے کہ، اگر، تو۔ اس طرح، خاص طور پر، ایک اور آسانی سے قابل تخفیف اشارے فنکشن باہمی گاما فنکشن کا ہے۔ تاہم، یہ فنکشن لامحدود قسم (اور ترتیب کی) کا ہے، لہذا کسی کو اشارے کی فنکشن کی وضاحت کرنے کی ضرورت ہے کہ اسٹرلنگ کا گاما فنکشن کا تخمینہ ہو، پھر نتیجہ نکلتا ہے، کہ ایک اور مثال میٹاگ-لیفلر فنکشن کی ہے۔ یہ فنکشن ترتیب کا ہے، اور اشارے کی مزید خصوصیات وہ اشارے کے افعال جو شکل کے ہوتے ہیں انہیں-ٹریگونومیٹرک طور پر کنویکس (اور حقیقی مستقل ہوتے ہیں) کہا جاتا ہے۔ اگر، ہم صرف یہ کہتے ہیں، تو یہ مثلثی طور پر کنویکس ہے۔ اس طرح کے اشارے کچھ خاص خصوصیات رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل بیانات ایک اشارے فنکشن کے لیے درست ہیں جو کم از کم ایک وقفے پر مثلثی طور پر کنویکس ہے۔ اگر پابند ہے، تو یہ اس وقفے پر مسلسل ہے۔ اس کے علاوہ، Lipschitz شرط کو پورا کرتا ہے۔ اگر پابند ہے، تو اس میں وقفے کے ہر نقطہ پر بائیں ہاتھ کی طرف اور دائیں ہاتھ کی طرف دونوں مشتق ہوتے ہیں۔ مزید برآں، بائیں ہاتھ کی طرف مشتق دائیں ہاتھ کی طرف مشتق سے زیادہ نہیں ہے۔ یہ بھی درست ہے، کہ دائیں ہاتھ کی طرف مشتق دائیں سے مسلسل ہے، جبکہ بائیں ہاتھ کی طرف مشتق بائیں سے مسلسل ہے۔ اگر پابند ہے، تو اس میں تمام نکات پر مشتق ہوتا ہے، سوائے ممکنہ طور پر قابل شمار سیٹ کے۔ اگر-ٹریگونومیٹرک طور پر کنویکس آن ہے، تو، جب بھی۔ نوٹس حوالہ جات پیچیدہ تجزیہ