De Bruijn–Erdős theorem (incidence geometry)
واقعات کی جیومیٹری میں، ڈی بروجن-ایرڈوس تھیوریم، جو اصل میں ڈی بروجن-ایرڈوس تھیوریم کے ذریعہ شائع کیا گیا تھا، ایک پروجیکٹو طیارہ میں n پوائنٹس کے ذریعہ طے شدہ لائنوں کی تعداد پر ایک نچلی حد بیان کرتا ہے۔ دوہری کی طرف سے، یہ لائنوں کی ترتیب کے ذریعہ طے شدہ چوراہوں کی تعداد پر بھی پابند ہے۔ اگرچہ ڈی بروجن اور ایردوس کی طرف سے دیا گیا ثبوت مشترکہ ہے، ڈی بروجن اور ایردوس نے اپنے مقالے میں نوٹ کیا کہ مماثل (یوکلیڈین) نتیجہ پوائنٹس کی تعداد پر انڈکشن کے ذریعے سلویسٹر-گیلائی تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ نظریہ کا بیان فرض کریں کہ P ایک پروجیکٹو پلین میں n پوائنٹس کی ترتیب ہے، نہ کہ تمام ایک لائن پر۔ فرض کریں کہ t ان لائنوں کی تعداد ہے جن کا تعین P کرتا ہے۔ پھر، t ≤ n، اور اگر t = n ہے، تو کسی بھی دو لائنوں میں P کا بالکل ایک نقطہ مشترک ہوتا ہے۔ اس صورت میں، P یا تو ایک پروجیکٹو طیارہ ہے یا P ایک قریب پنسل ہے، جس کا مطلب ہے کہ بالکل n-1 پوائنٹس کالینیئر ہیں۔ یوکلڈین ثبوت تھیوریم تین غیر کالینیئر پوائنٹس کے لیے واضح طور پر درست ہے۔ ہم انڈکشن کے ذریعے آگے بڑھتے ہیں۔ فرض کریں کہ n> 3 اور نظریہ n − 1 کے لیے درست ہے۔ فرض کریں کہ P n پوائنٹس کا مجموعہ ہے نہ کہ تمام کالینیئر۔ سلویسٹر-گلائی تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ ایک لکیر ہے جس میں P کے بالکل دو نکات ہوتے ہیں۔ ایسی دو نکاتی لکیروں کو عام لکیریں کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ a اور b ایک عام لکیر پر P کے دو نکات ہیں۔ اگر نقطہ a کو ہٹانے سے کالینیئر پوائنٹس کا ایک مجموعہ پیدا ہوتا ہے تو P n لائنوں کی قریب پنسل پیدا کرتا ہے (n-1 عام لائنیں a کے ذریعے ایک لائن کو جمع کرتی ہیں جس میں دوسرے n-1 پوائنٹس ہوتے ہیں)۔ بصورت دیگر، a کو ہٹانے سے n−1 پوائنٹس کا ایک سیٹ، P 'پیدا ہوتا ہے جو تمام کالینیئر نہیں ہوتے ہیں۔ انڈکشن مفروضے کے مطابق، P 'کم از کم n−1 لائنوں کا تعین کرتا ہے۔ عام لکیر جس کا تعین a اور b کرتے ہیں ان میں سے نہیں ہے، اس لیے P کم از کم n لکیروں کا تعین کرتا ہے۔ جے ایچ کونوے کے ثبوت جان ہارٹن کونوے کے پاس خالصتا مشترکہ ثبوت ہے جو نتیجتا پیچیدہ اعداد، کواٹرنیئنز اور آکٹونیئنز پر پوائنٹس اور لائنوں کے لیے بھی ہے۔ حوالہ جات ذرائع۔ پروجیکٹو جیومیٹری میں تھیوریمز یوکلڈین طیارہ جیومیٹری متضاد جیومیٹری میں تھیوریمز انسیڈنس جیومیٹری پال ایرڈس