Limit (mathematics)
ریاضی میں، حد وہ قدر ہے جو ایک فنکشن (یا ترتیب) اس وقت پہنچتی ہے جب ان پٹ (یا انڈیکس) کسی قدر کے قریب پہنچتا ہے۔ حدود کیلکولس اور ریاضیاتی تجزیہ کے لیے ضروری ہیں، اور تسلسل، مشتقات اور انٹیگرلز کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ ترتیب کی حد کے تصور کو ٹپوولوجیکل نیٹ کی حد کے تصور کے لیے مزید عام کیا گیا ہے، اور زمرہ نظریہ میں حد اور براہ راست حد سے قریب سے متعلق ہے۔ فارمولوں میں، فنکشن کی ایک حد کو عام طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے (حالانکہ کچھ مصنفین "لم" کے بجائے "لیفٹیننٹ" استعمال کرتے ہیں) اور اسے "نقطہ نظر کے برابر ہونے کی حد" کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ ایک فنکشن حد تک پہنچتا ہے جیسا کہ قریب آتا ہے بعض اوقات دائیں تیر (→ یا) سے ظاہر ہوتا ہے، جیسا کہ اس میں لکھا جاتا ہے کہ "کا رجحان ہوتا ہے جیسا کہ ہوتا ہے"۔ تاریخ گریگوائر ڈی سینٹ ونسنٹ نے اپنے کام اوپس جیومیٹریم (1647) میں ہندسی سلسلے کی حد (ٹرمینس) کی پہلی تعریف دی: "ترقی کا اختتام سلسلہ کا اختتام ہے، جس تک کوئی پیش رفت نہیں پہنچ سکتی، چاہے وہ لامحدود میں جاری رہے، لیکن جس تک وہ کسی دیئے گئے حصے کے قریب پہنچ سکتی ہے۔" حد کی جدید تعریف برنارڈ بولزانو سے ملتی ہے جس نے 1817 میں مسلسل افعال کی وضاحت کے لیے ایپسلون ڈیلٹا تکنیک کی بنیادی باتیں تیار کیں۔ تاہم، ان کا کام ان کی موت کے تیس سال بعد تک دوسرے ریاضی دانوں کے لیے نامعلوم رہا۔ 1821 میں آگسٹن لوئس کاچی، اس کے بعد کارل ویرسٹراس نے فنکشن کی حد کی تعریف کو باقاعدہ بنایا جو (ε، δ)-حد کی تعریف کے نام سے مشہور ہوا۔ تیر کو حد کی علامت سے نیچے رکھنے کا جدید اشارہ جی ایچ ہارڈی کی وجہ سے ہے، جس نے اسے 1908 میں اپنی کتاب اے کورس آف پیور میتھمیٹکس میں متعارف کرایا تھا۔ حدود کی اقسام ترتیب میں حقیقی اعداد اظہار 0.999. کی تشریح ترتیب 0.1، 0.1، 0.999، وغیرہ کی حد کے طور پر کی جانی چاہیے۔ اس ترتیب کو سختی سے حد 1 کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے، اور اس لیے اس اظہار کی معنی خیز تشریح 1 کی قدر کے طور پر کی جاتی ہے۔ رسمی طور پر، فرض کریں کہ یہ حقیقی اعداد کی ترتیب ہے۔ جب ترتیب کی حد موجود ہوتی ہے، تو حقیقی عدد اس ترتیب کی حد ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر حقیقی عدد کے لیے ایک قدرتی عدد موجود ہو کہ سب کے لیے ہمارے پاس موجود ہو۔ عام اشارے کو اس طرح پڑھا جاتا ہے: "ایک کی حد جب n انفینٹی کے قریب پہنچتا ہے تو وہ L کے برابر ہوتی ہے" یا "وہ حد جب n انفینٹی کے قریب پہنچتا ہے تو وہ L کے برابر ہوتی ہے۔" رسمی تعریف کا بدیہی مطلب یہ ہے کہ آخر کار، ترتیب کے تمام عناصر من مانی طور پر حد کے قریب ہو جاتے ہیں، کیونکہ مطلق قدر اور کے درمیان کا فاصلہ ہے۔ ہر ترتیب کی کوئی حد نہیں ہوتی۔ حد والی ترتیب کو کنورجنٹ کہا جاتا ہے ؛ بصورت دیگر اسے ڈائیورجنٹ کہا جاتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ متغیر ترتیب کی صرف ایک حد ہوتی ہے۔ ترتیب کی حد اور فنکشن کی حد کا گہرا تعلق ہے۔ ایک طرف، جب حد کسی ترتیب کے انفینٹی کے قریب پہنچتی ہے تو وہ محض کسی فنکشن کے انفینٹی کی حد ہوتی ہے-جس کی وضاحت قدرتی اعداد پر کی جاتی ہے۔ دوسری طرف، اگر X کسی فنکشن کا ڈومین ہے اور اگر حد جس طرح سے لامحدود تک پہنچتی ہے وہ X−x0 میں پوائنٹس کی ہر صوابدیدی ترتیب کے لیے ہے جو یکجا ہوتی ہے، تو نقطہ نظر کے طور پر فنکشن کی حد اس کے برابر ہے۔ ایسی ہی ایک ترتیب ہوگی۔ ایک حد کے طور پر انفینٹی ایک محدود قدر کے بجائے ایک حد "انفینٹی کی طرف مائل" ہونے کا تصور بھی ہے۔ ایک ترتیب کو "انفینٹی کی طرف مائل" کہا جاتا ہے اگر، ہر حقیقی نمبر کے لیے، جسے باؤنڈ کہا جاتا ہے، ایک عدد موجود ہو کہ ہر ایک کے لیے، یعنی ہر ممکنہ باؤنڈ کے لیے، ترتیب بالآخر باؤنڈ سے تجاوز کر جائے۔ یہ اکثر لکھا یا سادہ ہوتا ہے۔ یہ ممکن ہے کہ ایک ترتیب متفرق ہو، لیکن لامحدود کی طرف مائل نہ ہو۔ اس طرح کے سیکوینس کو آسکیلیٹری کہا جاتا ہے۔ ارتعاشی ترتیب کی ایک مثال ہے۔ منفی انفینٹی کی طرف مائل ہونے کا ایک متعلقہ تصور ہے، جس کی تعریف مندرجہ بالا تعریف میں عدم مساوات کو تبدیل کر کے A کے ساتھ ترتیب کو لامحدود کہا جاتا ہے، یہ تعریف پیچیدہ اعداد میں ترتیب کے لیے یکساں طور پر درست ہے، یا کسی بھی میٹرک اسپیس میں۔ ایسی ترتیبات جو لامحدود کی طرف مائل نہیں ہوتیں انہیں باؤنڈ کہا جاتا ہے۔ وہ سلسلے جو مثبت انفینٹی کی طرف مائل نہیں ہوتے ہیں انہیں اوپر سے باؤنڈ کہا جاتا ہے، جبکہ جو منفی انفینٹی کی طرف مائل نہیں ہوتے ہیں وہ نیچے سے باؤنڈ کیے جاتے ہیں۔ میٹرک اسپیس مندرجہ بالا ترتیبات کی بحث حقیقی اعداد کے ترتیبات کے لیے ہے۔ حدود کے تصور کی وضاحت زیادہ تجریدی خالی جگہوں، جیسے میٹرک خالی جگہوں میں قابل قدر ترتیبات کے لیے کی جا سکتی ہے۔ اگر فاصلاتی فعل کے ساتھ ایک میٹرک اسپیس ہے، اور اس میں ایک ترتیب ہے، تو ترتیب کی حد (جب یہ موجود ہے) ایک ایسا عنصر ہے کہ، دیا گیا ہے، اس طرح موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے، ہمارے پاس مساوی بیان ہے کہ اگر حقیقی اعداد کی ترتیب۔ مثال: Rn ایک اہم مثال-جہتی حقیقی ویکٹروں کی جگہ ہے، جس میں عناصر میں سے ہر ایک حقیقی ہے، مناسب فاصلاتی فنکشن کی ایک مثال یوکلڈین فاصلہ ہے، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ ٹوپولوجیکل اسپیس کچھ معنوں میں سب سے زیادہ تجریدی جگہ جس میں حدود کی وضاحت کی جا سکتی ہے وہ ٹوپولوجیکل خالی جگہیں ہیں۔ اگر ٹوپولوجی کے ساتھ ایک ٹوپولوجیکل اسپیس ہے، اور اس میں ایک ترتیب ہے، تو ترتیب کی حد (جب یہ موجود ہے) ایک نقطہ ہے کہ، کے (کھلے) پڑوس کو دیکھتے ہوئے، ایسا موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے مطمئن ہے۔ اس صورت میں، حد (اگر موجود ہے) منفرد نہیں ہو سکتی ہے۔ تاہم اگر ہاؤز ڈورف کی جگہ ہے تو یہ منفرد ہونا چاہیے۔ فنکشن اسپیس یہ سیکشن فنکشن کے سلسلے کی حدود کے خیال سے متعلق ہے، افعال کی حدود کے خیال سے الجھن میں نہ پڑنا، جس پر ذیل میں تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ فنکشنل تجزیہ کا میدان جزوی طور پر فنکشن خالی جگہوں پر کنورجنس کے مفید تصورات کی نشاندہی کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، عام سیٹ سے فنکشن کی جگہ پر غور کریں۔ فنکشنز کی ایک ترتیب کو دیکھتے ہوئے کہ ہر ایک فنکشن ہے، فرض کریں کہ ایک فنکشن موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے، پھر کہا جاتا ہے کہ ترتیب پوائنٹ وائز کنورج ہوتی ہے۔ تاہم، اس طرح کے سلسلے غیر متوقع رویے کی نمائش کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مسلسل افعال کی ایک ایسی ترتیب کی تعمیر ممکن ہے جس میں متضاد نقطہ نظر کی حد ہو۔ کنورجنس کا ایک اور تصور یکساں کنورجنس ہے۔ دو افعال کے درمیان یکساں فاصلہ دونوں افعال کے درمیان زیادہ سے زیادہ فرق ہے کیونکہ دلیل مختلف ہے۔ یعنی، پھر کہا جاتا ہے کہ ترتیب یکساں طور پر یکجا ہوتی ہے یا اس فاصلے کے حوالے سے اگر کی یکساں حد ہوتی ہے۔ یکساں حد میں پوائنٹ وائز حد سے "بہتر" خصوصیات ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، مسلسل افعال کی ترتیب کی یکساں حد مسلسل ہوتی ہے۔ کنورجنس کے بہت سے مختلف تصورات کو فنکشن اسپیس پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ کبھی کبھی جگہ کی باقاعدگی پر منحصر ہوتا ہے۔ کنورجنس کے کچھ تصور کے ساتھ فنکشن اسپیس کی نمایاں مثالیں ایل پی اسپیس اور سوبولیو اسپیس ہیں۔ فنکشن میں فرض کریں کہ یہ ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے اور ایک حقیقی نمبر ہے۔ بدیہی طور پر، اظہار کا مطلب ہے کہ کافی حد تک قریب تر بنا کر اسے مطلوبہ حد تک قریب بنایا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، مندرجہ بالا مساوات کو "کی حد، جیسا کہ قریب آتا ہے، ہے" کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے۔ رسمی طور پر "نقطہ نظر کی حد" کی تعریف درج ذیل دی گئی ہے۔ حد ایک حقیقی عدد ہے تاکہ، ایک صوابدیدی حقیقی عدد (جسے "غلطی" سمجھا جاتا ہے) کو دیکھتے ہوئے، ایک ایسا عدد ہے جو کسی بھی اطمینان بخش کے لیے، اسے برقرار رکھتا ہے۔ اسے (ε، δ)-حد کی تعریف کے طور پر جانا جاتا ہے۔ عدم مساوات کو زیر غور نکات کے مجموعے سے خارج کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، لیکن کچھ مصنفین اسے اپنی حدود کی تعریف میں شامل نہیں کرتے ہیں، جس کی جگہ سادہ طور پر لیتے ہیں۔ یہ تبدیلی اضافی طور پر مسلسل رہنے کی ضرورت کے برابر ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ایک مساوی تعریف ہے جو ترتیب کی حدود اور افعال کی حدود کے درمیان تعلق کو ظاہر کرتی ہے۔ مساوی تعریف درج ذیل دی گئی ہے۔ پہلے مشاہدہ کریں کہ ڈومین کے ہر ترتیب کے لیے، ایک متعلقہ ترتیب ہے، نیچے ترتیب کی تصویر۔ حد ایک حقیقی عدد ہے تاکہ، تمام ترتیبات کے لیے، متعلقہ ترتیب۔ یک طرفہ حد "بائیں ہاتھ کی" حد ("نیچے سے")، اور "دائیں ہاتھ کی" حد ("اوپر سے") کے تصور کی وضاحت کرنا ممکن ہے۔ ان سے اتفاق کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک مثال مثبت اشارے فنکشن کے ذریعہ دی گئی ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ اگر، اور اگر۔ پر، فنکشن کی "بائیں ہاتھ کی حد" 0 ہے، "دائیں ہاتھ کی حد" 1 ہے، اور اس کی حد موجود نہیں ہے۔ علامتی طور پر، اسے اس مثال کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، اور، اور اس سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے کہ یہ موجود نہیں ہے، کیونکہ۔ افعال کی حدود میں انفینٹی کے ڈومین میں "انفینٹی کی طرف مائل ہونے" کے تصور کی وضاحت کرنا ممکن ہے، اس اظہار میں، انفینٹی کو دستخط شدہ سمجھا جاتا ہے: یا تو یا۔ "f کی حد جیسا کہ x مثبت لامحدود کی طرف جاتا ہے" کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ یہ ایک حقیقی عدد ہے کہ، کسی بھی حقیقی کو دیکھتے ہوئے، ایک موجود ہے تاکہ اگر،۔ مساوی طور پر، کسی بھی ترتیب کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ کی قدر میں "انفینٹی کی طرف جھکاؤ" کے تصور کی وضاحت کرنا بھی ممکن ہے، تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ کسی بھی حقیقی عدد کو دیکھتے ہوئے، اس کے لیے فنکشن کی مطلق قدر ہوتی ہے۔ مساوی طور پر، کسی بھی ترتیب کے لیے، ترتیب۔ غیر معیاری تجزیہ غیر معیاری تجزیے میں (جس میں نمبر سسٹم کی ہائپر ریئل توسیع شامل ہوتی ہے)، کسی ترتیب کی حد کو لامحدود ہائپر نیچرل انڈیکس n = H پر ترتیب کی قدرتی توسیع کی قدر کے معیاری حصے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، یہاں، معیاری حصہ فنکشن "سٹ" ہر محدود ہائپر ریئل نمبر کو قریب ترین حقیقی نمبر پر راؤنڈ کرتا ہے (ان کے درمیان فرق لامحدود ہے)۔ یہ اس فطری وجدان کو باقاعدہ بناتا ہے کہ اشاریہ کی "بہت بڑی" اقدار کے لیے، ترتیب میں اصطلاحات ترتیب کی حد قدر کے "بہت قریب" ہیں۔ اس کے برعکس، ایک ہائپرریئل کا معیاری حصہ جس کی نمائندگی الٹرا پاور کنسٹرکشن میں کاچی سیکوینس کے ذریعے کی جاتی ہے، محض اس ترتیب کی حد ہے: اس لحاظ سے، حد لینا اور معیاری حصہ لینا مساوی طریقہ کار ہیں۔ لمٹ سیٹ ایک ترتیب کا لمٹ سیٹ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس میں ایک ترتیب ہونے دیں۔ ٹھوسیت کے لیے، کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، لیکن تعریفیں زیادہ عام ہیں۔ لمٹ سیٹ پوائنٹس کا مجموعہ ہے جیسے کہ اگر اس کے ساتھ کنورجنٹ سیکسونس ہے، تو اس کا تعلق لمٹ سیٹ سے ہے۔ اس تناظر میں، اس طرح کے نقطہ کو بعض اوقات لمٹ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ اس تصور کا استعمال ارتعاش کے سلسلے کے "طویل مدتی رویے" کی خصوصیت کے لیے ہے۔ مثال کے طور پر، ترتیب پر غور کریں۔ n = 1 سے شروع کرتے ہوئے، اس ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات ہیں۔ یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ یہ ارتعاش ہے، اس لیے اس کی کوئی حد نہیں ہے، لیکن اس کے پوائنٹس کی حد ہے۔ ٹریجیکٹوری کا لمٹ سیٹ یہ تصور متحرک نظاموں میں ٹریجیکٹوریز کی حدود کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ٹریجیکٹوری کو فنکشن قرار دیتے ہوئے، نقطہ کو "وقت" پر ٹریجیکٹوری کی "پوزیشن" سمجھا جاتا ہے۔ ٹریجیکٹوری کی لمٹ سیٹ کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ بڑھتے ہوئے اوقات کے کسی بھی سلسلے میں، پوزیشنوں کی ایک متعلقہ ترتیب ہوتی ہے۔ اگر بڑھتے ہوئے اوقات کے کسی بھی سلسلے کے لیے ترتیب کی حد سیٹ ہے، تو پھر رفتار کا ایک حد سیٹ ہے۔ تکنیکی طور پر، یہ-حد سیٹ ہے۔ گھٹتے وقت کے سلسلے کے لیے مقرر کردہ متعلقہ حد کو-حد سیٹ کہا جاتا ہے۔ ایک مثالی مثال دائرے کی رفتار ہے: اس کی کوئی منفرد حد نہیں ہے، لیکن ہر ایک کے لیے، نقطہ ایک حد نقطہ ہے، جو اوقات کی ترتیب سے دیا جاتا ہے۔ لیکن رفتار پر حد پوائنٹس حاصل کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ٹریجیکٹوری میں یونٹ سرکل بھی اس کی حد مقرر کے طور پر ہے۔ استعمال کی حدود تجزیہ میں متعدد اہم تصورات کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ دلچسپی کا ایک خاص اظہار جسے ترتیب کی حد کے طور پر باقاعدہ بنایا جاتا ہے وہ لامحدود سیریز کا مجموعہ ہوتا ہے۔ یہ حقیقی اعداد کے "لامحدود مجموعے" ہیں، جنہیں عام طور پر اس طرح لکھا جاتا ہے کہ اس کی تعریف حدود کے ذریعے اس طرح کی جاتی ہے: حقیقی اعداد کی ترتیب کو دیکھتے ہوئے، جزوی جملوں کی ترتیب کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ اگر ترتیب کی حد موجود ہے، تو اظہار کی قیمت کو حد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ورنہ کہا جاتا ہے کہ یہ سلسلہ مختلف ہے۔ ایک کلاسک مثال باسل کا مسئلہ ہے، جہاں۔ پھر تاہم، جب کہ ترتیبات کے لیے بنیادی طور پر کنورجنس کا ایک منفرد تصور ہے، سیریز کے لیے کنورجنس کے مختلف تصورات ہیں۔ یہ اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ اظہار ترتیب کی مختلف ترتیبات کے درمیان تفریق نہیں کرتا ہے، جبکہ جزوی رقم کی ترتیب کی کنورجنس خصوصیات ترتیب کی ترتیب پر منحصر ہو سکتی ہیں۔ ایک سلسلہ جو تمام ترتیبات کے لیے یکجا ہوتا ہے اسے غیر مشروط کنورجنٹ کہا جاتا ہے۔ یہ مطلق کنورجنس کے مساوی ثابت کیا جا سکتا ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ اگر اچھی طرح سے وضاحت کی جائے تو ایک سلسلہ بالکل متغیر ہوتا ہے۔ مزید برآں، تمام ممکنہ ترتیبات ایک ہی قدر دیتی ہیں۔ بصورت دیگر، سلسلہ مشروط طور پر متغیر ہے۔ مشروط کنورجنٹ سیریز کے لیے ایک حیرت انگیز نتیجہ ریمن سیریز تھیوریم ہے: ترتیب کے لحاظ سے، جزوی جملوں کو کسی بھی حقیقی نمبر کے ساتھ ساتھ کنورج کرنے کے لیے بنایا جا سکتا ہے۔ پاور سیریز سیریز کے مجموعے کے نظریہ کا ایک مفید اطلاق پاور سیریز کے لیے ہے۔ یہ فارم کی سیریز کے مجموعے ہیں اکثر ایک پیچیدہ نمبر کے طور پر سوچا جاتا ہے، اور پیچیدہ ترتیبات کے ارتکاز کے مناسب تصور کی ضرورت ہوتی ہے۔ اقدار کا مجموعہ جس کے لیے سیریز کا مجموعہ یکجا ہوتا ہے وہ ایک دائرہ ہے، جس کے رداس کو کنورجنس کا رداس کہا جاتا ہے۔ ایک نقطہ پر فنکشن کا تسلسل ایک نقطہ پر تسلسل کی تعریف حدود کے ذریعے دی جاتی ہے۔ حد کی مذکورہ تعریف درست ہے چاہے وہ درست ہی کیوں نہ ہو۔ درحقیقت، فنکشن کی وضاحت کرنے کی بھی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، اگر تعریف کی گئی ہے اور اس کے برابر ہے، تو فنکشن کو نقطہ پر مسلسل کہا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، فنکشن جب بھی، تب، اگر کے طور پر، یا ترتیب کے لحاظ سے مسلسل ہوتا ہے۔ اس حد کی ایک مثال ذیل میں دی گئی ہے جہاں اس کی وضاحت نہیں کی گئی ہے۔ اس بات پر غور کریں کہ فنکشن کی وضاحت نہیں کی گئی ہے (غیر متعین شکل دیکھیں)، پھر بھی جیسے جیسے حرکت من مانی طور پر 1 کے قریب ہوتی ہے، اسی طرح 2 کے قریب پہنچتی ہے: اس طرح، من مانی طور پر 2 کی حد کے قریب بنایا جا سکتا ہے-صرف کافی حد تک قریب بنا کر۔ دوسرے لفظوں میں، اس کا حساب الجبرائی طور پر بھی کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ تمام حقیقی اعداد کے لیے ہے۔ اب، چونکہ 1 پر مسلسل ہے، اب ہم 1 کے لیے پلگ ان کر سکتے ہیں، جو مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ محدود اقدار پر حدود کے علاوہ، افعال کی لامحدود پر حدود بھی ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اس فنکشن پر غور کریں جہاں: جیسا کہ انتہائی بڑا ہو جاتا ہے، نقطہ نظر کی قیمت، اور اس کی قیمت کو اتنا قریب بنایا جا سکتا ہے جتنا کوئی چاہے-کافی بڑا بنا کر۔ لہذا اس معاملے میں، لامحدود کے قریب پہنچنے کی حد ہے، یا ریاضیاتی اشارے میں، مسلسل افعال افعال کی ایک اہم کلاس جب حدود پر غور کیا جاتا ہے تو مسلسل افعال ہوتے ہیں۔ یہ قطعی طور پر وہ فنکشن ہیں جو حدود کو محفوظ رکھتے ہیں، اس معنی میں کہ اگر ایک مسلسل فنکشن ہے، تو جب بھی ڈومین میں، تب حد موجود ہوتی ہے اور اس کے علاوہ ہوتی ہے۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی سب سے عام ترتیب میں، ایک مختصر ثبوت ذیل میں دیا گیا ہے: آئیے ٹپوولوجیکل خالی جگہوں اور کے درمیان ایک مسلسل فعل ہے۔ تعریف کے مطابق، ہر اوپن سیٹ کے لیے، پری امیج اوپن ان ہے۔ اب فرض کریں کہ یہ ایک ترتیب ہے جس میں حد ہے۔ پھر ایک ترتیب ہے، اور کچھ نقطہ ہے۔ پڑوس کا انتخاب کریں۔ پھر ایک کھلا سیٹ (تسلسل کے لحاظ سے) ہے جس میں خاص طور پر شامل ہے، اور اس وجہ سے اس کا پڑوس ہے۔ کے ارتکاز سے، ایک ایسی چیز موجود ہے جس کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ پھر دونوں اطراف پر درخواست دینے سے وہی ملتا ہے، اسی کے لیے، ہر ایک کے لیے ہمارے پاس ہے۔ اصل میں ایک صوابدیدی پڑوس تھا، تو. اس سے ثبوت کا اختتام ہوتا ہے۔ حقیقی تجزیے میں، کسی ذیلی سیٹ پر بیان کردہ حقیقی قدر والے افعال کے زیادہ ٹھوس معاملے کے لیے، یعنی، ایک مسلسل فنکشن کو ایک ایسے فنکشن کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے جو اس کے ڈومین کے ہر مقام پر مسلسل ہو۔ حد پوائنٹس ٹوپولوجی میں، حدود کو ٹوپولوجیکل اسپیس کے ذیلی سیٹ کے حد پوائنٹس کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جو بدلے میں بند سیٹوں کی مفید خصوصیت دیتے ہیں۔ ٹپوولوجیکل جگہ میں، ایک ذیلی سیٹ پر غور کریں۔ ایک نقطہ کو لمٹ پوائنٹ کہا جاتا ہے اگر اس میں کوئی ترتیب ہو۔ جس وجہ سے صرف ہونے کے بجائے اندر ہونے کی وضاحت کی گئی ہے اسے درج ذیل مثال سے واضح کیا گیا ہے۔ لے لو اور۔ پھر، اور اس لیے مستقل ترتیب کی حد ہے۔ لیکن یہ ایک حد نہیں ہے۔ ایک بند سیٹ، جسے ایک کھلے سیٹ کی تکمیل کے طور پر بیان کیا گیا ہے، مساوی طور پر کوئی بھی سیٹ ہے جس میں اس کے تمام حد پوائنٹس ہوتے ہیں۔ مشتق مشتق کو رسمی طور پر ایک حد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ حقیقی تجزیہ کے دائرہ کار میں، مشتق کو سب سے پہلے کسی ذیلی سیٹ پر بیان کردہ حقیقی افعال کے لیے بیان کیا جاتا ہے۔ مشتق کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ اگر حد موجود ہے، تو مشتق یہ حد ہے۔ مساوی طور پر، یہ حد ہے۔ اگر مشتق موجود ہے، تو اسے عام طور پر اس کے ذریعہ ظاہر کیا جاتا ہے۔ حقیقی اعداد کی خصوصیات کے سلسلے حقیقی اعداد کے سلسلے کے لیے، متعدد خصوصیات کو ثابت کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ اور دو ترتیبات ہیں جو بالترتیب اور میں ضم ہو رہے ہیں۔ حدود کا مجموعہ رقم کی حد کے برابر ہے حدود کا پروڈکٹ پروڈکٹ کی حد کے برابر ہے حد کا الٹا الٹا کی حد کے برابر ہے (جب تک کہ) مساوی طور پر، فنکشن غیر صفر کے بارے میں مسلسل ہے۔ کاچی ترتیب حقیقی اعداد کے متغیر ترتیبات کی خاصیت یہ ہے کہ وہ کاچی ترتیبات ہیں۔ کاچی ترتیب کی تعریف یہ ہے کہ ہر حقیقی نمبر کے لیے، ایک ایسی چیز ہوتی ہے کہ جب بھی، غیر رسمی طور پر، کسی من مانی طور پر چھوٹی غلطی کے لیے، قطر کا وقفہ اس طرح تلاش کرنا ممکن ہے کہ آخر کار ترتیب وقفے کے اندر موجود ہو۔ کاچی ترتیبات متغیر ترتیبات سے قریب سے متعلق ہیں۔ درحقیقت، حقیقی اعداد کی ترتیب کے لیے وہ مساوی ہیں: کوئی بھی کاچی ترتیب متغیر ہوتی ہے۔ عام میٹرک خالی جگہوں میں، یہ برقرار رہتا ہے کہ متغیر ترتیبات بھی کاچی ہیں۔ لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہے: ہر کاچی ترتیب عام میٹرک اسپیس میں متغیر نہیں ہوتی ہے۔ ایک کلاسک جوابی مثال عقلی اعداد ہیں، جو معمول کے فاصلے کے ساتھ ہیں۔ اعشاریہ تخمینوں کی ترتیب، جو کہ ویں اعشاریہ مقام پر کاٹی گئی ہے، ایک کاچی ترتیب ہے، لیکن اس میں یکجا نہیں ہوتی ہے۔ ایک میٹرک اسپیس جس میں ہر کاچی سیکوینس بھی کنورجنٹ ہوتی ہے، یعنی کاچی سیکوینسز کنورجنٹ سیکوینسز کے مساوی ہوتے ہیں، اسے مکمل میٹرک اسپیس کہا جاتا ہے۔ متغیر ترتیبات کے مقابلے کاچی ترتیبات کے ساتھ "کام کرنا آسان" ہونے کی ایک وجہ یہ ہے کہ وہ صرف ترتیب کی خاصیت ہیں، جبکہ متغیر ترتیبات کے لیے نہ صرف ترتیب بلکہ ترتیب کی حد کی بھی ضرورت ہوتی ہے۔ کنورجنس کی ترتیب اس سے آگے کہ کوئی ترتیب ایک حد میں ضم ہوتی ہے یا نہیں، یہ بیان کرنا ممکن ہے کہ ایک ترتیب کتنی تیزی سے ایک حد میں ضم ہوتی ہے۔ اس کی مقدار طے کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ کسی ترتیب کے ارتکاز کی ترتیب کا استعمال کیا جائے۔ کنورجنس کی ترتیب کی رسمی تعریف مندرجہ ذیل طور پر بیان کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ حقیقی اعداد کی ایک ترتیب ہے جو حد کے ساتھ متغیر ہے۔ اس کے علاوہ، سب کے لیے۔ اگر مثبت مستقلات اور اس طرح موجود ہیں کہ پھر کہا جاتا ہے کہ کنورجنس کی ترتیب کے ساتھ کنورج ہوتا ہے۔ مستقل کو ایسمپٹوٹک ایرر مستقل کہا جاتا ہے۔ کنورجنس کا آرڈر مثال کے طور پر عددی تجزیہ کا میدان، غلطی کے تجزیے میں استعمال ہوتا ہے۔ کمپیوٹیبلٹی حدود کا حساب لگانا مشکل ہو سکتا ہے۔ ایسے حد کے تاثرات موجود ہیں جن کا ارتکاز کا ماڈیولس ناقابل فیصلہ ہے۔ تکرار کے نظریہ میں، حد لیما ثابت کرتا ہے کہ حدود کا استعمال کرتے ہوئے ناقابل فیصلہ مسائل کو انکوڈ کرنا ممکن ہے۔ کئی نظریات یا ٹیسٹ ہیں جو اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ آیا حد موجود ہے۔ ان کو کنورجنس ٹیسٹ کہا جاتا ہے۔ مثالوں میں تناسب ٹیسٹ اور سکویز تھیوریم شامل ہیں۔ تاہم وہ یہ نہیں بتا سکتے کہ حد کا حساب کیسے لگانا ہے۔ غیر علامتی تجزیہ بھی دیکھیں: محدود رویے کو بیان کرنے کا ایک طریقہ بگ او نوٹیشن: کسی فنکشن کے محدود رویے کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جب دلیل کسی خاص قدر یا لامحدود کی طرف مائل ہوتی ہے بنچ کی حد جو بنچ کی جگہ پر بیان کی جاتی ہے جو معمول کی حدود کو بڑھاتی ہے۔ بے ترتیب متغیرات کا کنورجنس زمرہ تھیوری میں کنورجنٹ میٹرکس کی حد براہ راست حد کسی فنکشن کی الٹی حد یک طرفہ حد: کسی حقیقی متغیر x کے افعال کی دو حدود میں سے کوئی ایک، جیسا کہ x اوپر یا نیچے سے ایک نقطہ تک پہنچتا ہے۔ حدود کی فہرست: مشترکہ افعال کے لیے حدود کی فہرست سکویز تھیوریم: دو دیگر افعال کے ساتھ موازنہ کے ذریعے کسی فنکشن کی حد تلاش کرتا ہے۔ کنورجنس کے اعلی اور کمتر طریقوں کو محدود کریں۔ ایک اینوٹیٹڈ انڈیکس نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط کنورجنس (ریاضی) حقیقی تجزیہ غیر علامتی تجزیہ تفریقی کیلکولس جنرل ٹوپولوجی