Three subgroups lemma
ریاضی میں، زیادہ خاص طور پر گروپ تھیوری، تین ذیلی گروپس لیما کمیونیٹرز سے متعلق ایک نتیجہ ہے۔ یہ فلپ ہال اور ارنسٹ وٹ کی اسی نام کی شناخت کا نتیجہ ہے۔ نوٹیشن مندرجہ ذیل میں، درج ذیل نوٹیشن کا استعمال کیا جائے گا: اگر H اور K کسی گروپ G کے ذیلی گروپ ہیں، تو H اور K کے کمیونیٹر، جسے [H، K] سے ظاہر کیا جاتا ہے، کی تعریف G کے ذیلی گروپ کے طور پر کی جاتی ہے جو دو ذیلی گروپوں میں عناصر کے درمیان کمیونیٹرز کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ اگر ایل تیسرا ذیلی گروہ ہے، تو اس روایت کی پیروی کی جائے گی کہ [H, K, L] = [[H, K], L]۔ اگر x اور y کسی گروپ G کے عناصر ہیں، تو x کی طرف سے y کے امتزاج کو اس سے ظاہر کیا جائے گا۔ اگر H گروپ G کا ذیلی گروپ ہے، تو G میں H کے سنٹرلائزر کو CG (H) سے ظاہر کیا جائے گا۔ بیان X، Y اور Z کو گروپ G کے ذیلی گروپ ہونے دیں، اور فرض کریں اور پھر۔ زیادہ عام طور پر، ایک عام ذیلی گروپ کے لیے، اگر اور، پھر۔ ثبوت اور ہال وٹ شناخت ہال وٹ شناخت اگر، تو تین ذیلی گروپوں کا ثبوت لیما لیٹ، اور۔ پھر، اور اوپر ہال وٹ شناخت کے مطابق، یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور اسی طرح۔ لہذا، سب کے لیے اور۔ چونکہ یہ عناصر پیدا ہوتے ہیں، اس لیے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں۔ کمیونیٹر لوئر سنٹرل سیریز گرون کی لیما جیکوبی شناخت نوٹ حوالہ جات گروپ تھیوری میں لیما ثبوت پر مشتمل مضامین بھی دیکھیں۔