Omega-categorical theory
ریاضیاتی منطق میں، اومیگا زمرہ جاتی نظریہ ایک ایسا نظریہ ہے جس میں آئسومورفزم تک بالکل ایک شمار کے لحاظ سے لامحدود نمونہ ہے۔ اومیگا زمرہ بندی κ-زمرہ بندی کا خاص معاملہ κ = = ω ہے، اور اومیگا زمرہ بندی کے نظریات کو ω-زمرہ بندی بھی کہا جاتا ہے۔ یہ تصور قابل شمار پہلے درجے کے نظریات کے لیے سب سے اہم ہے۔ اومیگا زمرہ بندی کے لیے مساوی شرائط کسی نظریہ پر بہت سی شرائط اومیگا زمرہ بندی کی خاصیت کے مساوی ہوتی ہیں۔ 1959 میں ایرون اینگلر، سیزلاو ریل-نارڈزیوسکی اور لارز سوانونیئس نے کئی آزادانہ طور پر ثابت کیے۔ اس کے باوجود، ادب اب بھی وسیع پیمانے پر ان حالات کے نام کے طور پر ریل-نارڈزیوسکی تھیوریم کا حوالہ دیتا ہے۔ تھیوریم کے ساتھ شامل شرائط مصنفین کے درمیان مختلف ہوتی ہیں۔ لامحدود ماڈلز کے ساتھ ایک قابل شمار مکمل فرسٹ آرڈر تھیوری T کو دیکھتے ہوئے، درج ذیل مساوی ہیں: تھیوری T اومیگا زمرہ جاتی ہے۔ T کے ہر قابل شمار ماڈل میں ایک اولیگومورفک آٹومورفزم گروپ ہوتا ہے (یعنی، ہر n کے لیے Mn پر محدود طور پر بہت سے مدار ہوتے ہیں)۔ ٹی کے کچھ قابل شمار ماڈل میں اولیگومورفک آٹومورفزم گروپ ہوتا ہے۔ نظریہ T کا ایک نمونہ ہے جو، ہر قدرتی نمبر n کے لیے، صرف محدود طور پر بہت سی n اقسام کا احساس کرتا ہے، یعنی اسٹون اسپیس Sn (T) محدود ہے۔ ہر قدرتی عدد n کے لیے، T کی صرف محدود طور پر بہت سی n-قسمیں ہیں۔ ہر قدرتی عدد n کے لیے، ہر n قسم کو الگ کیا جاتا ہے۔ ہر قدرتی عدد n کے لیے، مساوات ماڈیولو T تک، n آزاد متغیرات کے ساتھ صرف محدود طور پر بہت سے فارمولے ہیں، دوسرے لفظوں میں، ہر n کے لیے، T کا n واں لنڈن بوم-ٹارسکی الجبرا محدود ہے۔ T کا ہر ماڈل جوہری ہے۔ T کا ہر قابل شمار ماڈل جوہری ہے۔ نظریہ T میں ایک قابل شمار جوہری اور سنترپت نمونہ ہے۔ تھیوری T میں ایک سیچوریٹڈ پرائم ماڈل ہے۔ مثالیں کسی بھی شمار کے لحاظ سے لامحدود ساخت کا نظریہ جو ایک محدود رشتہ دار زبان پر یکساں ہے اومیگا زمرہ جاتی ہے۔ لہذا، مندرجہ ذیل نظریات اومیگا زمرہ جاتی ہیں: اختتامی نکات کے بغیر گھنے لکیری آرڈرز کا نظریہ (کینٹر کا آئسومورفزم تھیوریم) ریڈو گراف کا نظریہ کسی بھی محدود فیلڈ پر لامحدود لکیری خالی جگہوں کا نظریہ نوٹ حوالہ جات ماڈل تھیوری ریاضیاتی تھیوریم