Quantization of the electromagnetic field
برقی مقناطیسی میدان کی مقدار کا مطلب یہ ہے کہ برقی مقناطیسی میدان مجرد توانائی کے پارسل پر مشتمل ہوتا ہے جسے فوٹون کہتے ہیں۔ فوٹون قطعی توانایٔی، قطعی مومنٹم اور قطعی گردش کے بے کمیت ذرات ہیں۔ فوٹو الیکٹرک اثر کی وضاحت کے لیے، البرٹ آئن سٹائن نے 1905 میں تحقیقی طور پر فرض کیا کہ برقی مقناطیسی میدان ایچ این او کی مقدار کے توانائی کے ذرات پر مشتمل ہوتا ہے، جہاں ایچ پلانک کا مستقل اور ν لہر کی تعدد ہے۔ 1927 میں پال اے ایم ڈیراک فوٹون کے تصور کو نئے کوانٹم میکانکس کے تانے بانے میں باندھنے اور مادے کے ساتھ فوٹون کے تعامل کو بیان کرنے میں کامیاب ہوئے۔ انہوں نے ایک تکنیک کا اطلاق کیا جسے اب عام طور پر سیکنڈ کوانٹائزیشن کہا جاتا ہے، حالانکہ یہ اصطلاح برقی مقناطیسی شعبوں کے لیے کسی حد تک غلط نام ہے، کیونکہ وہ کلاسیکی میکسویل مساوات کے حل ہیں۔ ڈیراک کے نظریہ میں فیلڈز کو پہلی بار مقداری بنایا گیا ہے اور یہ بھی پہلی بار ہے کہ پلانک کا مستقل اظہار میں داخل ہوتا ہے۔ اپنے اصل کام میں، ڈیراک نے مختلف برقی مقناطیسی طریقوں (میدان کے فورئیر اجزاء) کے مراحل اور موڈ توانائیوں کو مقدار کے لحاظ سے متحرک متغیرات کے طور پر لیا (یعنی، انہوں نے ان کی آپریٹرز کے طور پر دوبارہ تشریح کی اور ان کے درمیان نقل و حرکت کے تعلقات کو پیش کیا)۔ فی الحال ویکٹر پوٹینشل کے فورئیر اجزاء کی مقدار کا تعین کرنا زیادہ عام ہے۔ یہ وہی ہے جو ذیل میں کیا گیا ہے۔ موڈ سے تعلق رکھنے والی کوانٹم مکینیکل فوٹون حالت کو ذیل میں متعارف کرایا گیا ہے، اور یہ دکھایا گیا ہے کہ اس کی درج ذیل خصوصیات ہیں: یہ مساوات بالترتیب کہتی ہیں: ایک فوٹون میں صفر آرام کی کمیت ہوتی ہے ؛ فوٹون توانائی hν = hc|k | ہے (k لہر ویکٹر ہے، c روشنی کی رفتار ہے) ؛ اس کی برقی مقناطیسی رفتار ꯘꯥk [ꯘꯥ = h/(2π)] ہے ؛ پولرائزیشن μ = ±1 فوٹون اسپن کے z-جزو کی آئجن ویلیو ہے۔ دوسرا کوانٹائزیشن دوسرا کوانٹائزیشن ایک اسکیلر یا ویکٹر فیلڈ (یا ویو فنکشنز) کی توسیع کے ساتھ شروع ہوتا ہے جس کی بنیاد افعال کے مکمل سیٹ پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہ توسیعی افعال ایک واحد ذرہ کے نقاط پر منحصر ہوتے ہیں۔ بیس فنکشنز کو ضرب دینے والے کوفشنٹس کی تشریح آپریٹرز کے طور پر کی جاتی ہے اور ان نئے آپریٹرز کے درمیان (اینٹی) کمیونیکیشن تعلقات عائد کیے جاتے ہیں، بوسونز کے لیے کمیونیکیشن تعلقات اور فرمینز کے لیے اینٹی کمیونیکیشن تعلقات (بیس فنکشنز کو خود کچھ نہیں ہوتا)۔ ایسا کرنے سے توسیعی فیلڈ کو فرمیئن یا بوسون آپریٹر فیلڈ میں تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ توسیعی کوفیشنٹس کو عام نمبروں سے آپریٹرز، تخلیق اور خاتمے کے آپریٹرز میں فروغ دیا گیا ہے۔ ایک تخلیق آپریٹر متعلقہ بیس فنکشن میں ایک ذرہ پیدا کرتا ہے اور ایک اناہیلیشن آپریٹر اس فنکشن میں ایک ذرہ کو ختم کر دیتا ہے۔ ای ایم فیلڈز کے معاملے میں فیلڈ کی مطلوبہ توسیع فورئیر توسیع ہے۔ برقی مقناطیسی میدان اور ویکٹر صلاحیت جیسا کہ اصطلاح سے پتہ چلتا ہے، ایک ای ایم فیلڈ دو ویکٹر فیلڈز، ایک برقی میدان اور ایک مقناطیسی میدان پر مشتمل ہوتا ہے۔ دونوں وقت پر منحصر ویکٹر فیلڈز ہیں جو ویکیوم میں تیسرے ویکٹر فیلڈ (ویکٹر پوٹینشل) کے ساتھ ساتھ ایک اسکیلر فیلڈ پر منحصر ہوتے ہیں جہاں ρ × A A کا کرل ہوتا ہے۔ کولمب گیج کا انتخاب، جس کے لیے A = 0، A کو ایک الٹا میدان بناتا ہے۔ حجم V = L3 کے ایک محدود کیوبک باکس میں منسلک ویکٹر پوٹینشل کی فورئیر توسیع تب ہوتی ہے جہاں کے پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی ہوتی ہے۔ لہر ویکٹر k A (r، t) کے متعلقہ فورئیر جزو (ایک پولرائزڈ مونوکرومیٹک لہر) کے پھیلاؤ کی سمت دیتا ہے۔ لہر ویکٹر کی لمبائی ν موڈ کی فریکوئنسی کے ساتھ ہوتی ہے۔ اس خلاصہ میں k مثبت اور منفی دونوں طرح کے تمام عدد پر چلتا ہے۔ (فورئیر بیس کا جزو جیسا کہ حقیقی ہے کے جزو کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے۔) ویکٹر k کے اجزاء کی مجرد اقدار ہوتی ہیں (باؤنڈری شرط کا نتیجہ ہے کہ باکس کی مخالف دیواروں پر A کی قدر ایک جیسی ہوتی ہے): دو e (μ) ("پولرائزیشن ویکٹر") بائیں اور دائیں ہاتھ کے سرکلر پولرائزڈ (ایل سی پی اور آر سی پی) کے لیے روایتی یونٹ ویکٹر ہیں۔ ای ایم لہریں (جونز کیلکولس یا جونز ویکٹر، جونز کیلکولس دیکھیں) اور k کے لیے پرپینڈکولر ہیں۔ وہ ایک یک جہتی تبدیلی کے ذریعے آرتھونورمل کارٹیسیئن ویکٹر ایکس اور آئی سے متعلق ہیں، A کا k-th فورئیر جزو k کے لیے ایک ویکٹر پرپینڈکولر ہے اور اس لیے یہ e (1) اور e (−1) کا لکیری مجموعہ ہے۔ سپر اسکرپٹ μ، e (μ) کے ساتھ ایک جزو کی نشاندہی کرتا ہے۔ واضح طور پر، فورئیر کوفشنٹس کا (مجرد لامحدود) سیٹ اور ویکٹر پوٹینشل کی وضاحت کرنے والے متغیر ہیں۔ مندرجہ ذیل میں انہیں آپریٹرز کے طور پر ترقی دی جائے گی۔ فیلڈ مساوات کا استعمال کرتے ہوئے اور مذکورہ بالا کے لحاظ سے، برقی اور مقناطیسی میدان شناخت کا استعمال کرتے ہوئے ہیں (اور ویکٹر ہیں) اور چونکہ ہر موڈ میں تعدد کا واحد انحصار ہوتا ہے۔ ای ایم فیلڈ کی کوانٹائزیشن کوانٹائزیشن کی سب سے مشہور مثال کسی ذرہ کے وقت پر منحصر لکیری مومنٹم کو اصول کے ذریعے تبدیل کرنا ہے۔ نوٹ کریں کہ پلانک کا مستقل یہاں متعارف کرایا گیا ہے اور کلاسیکی اظہار کا وقت پر انحصار کوانٹم مکینیکل آپریٹر میں نہیں لیا گیا ہے (یہ نام نہاد شروڈنگر تصویر میں درست ہے)۔ ای ایم فیلڈ کے لیے ہم کچھ ایسا ہی کرتے ہیں۔ مقدار برقی مستقل ہے، جو برقی مقناطیسی ایس آئی اکائیوں کے استعمال کی وجہ سے یہاں ظاہر ہوتی ہے۔ کوانٹائزیشن کے اصول یہ ہیں: بوسون کمیونیکیشن تعلقات کے تابع مربع بریکٹ ایک کمیونیٹر کی نشاندہی کرتے ہیں، جس کی تعریف کسی بھی دو کوانٹم مکینیکل آپریٹرز A اور B کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ کلاسیکی سے کوانٹم تھیوری کی طرف منتقلی میں پلانک کے مستقل کا تعارف ضروری ہے۔ عنصر کو ہیملٹنین (توانائی آپریٹر) کو ایک سادہ شکل دینے کے لیے متعارف کرایا گیا ہے، ذیل میں دیکھیں۔ مقداری فیلڈز (آپریٹر فیلڈز) درج ذیل ہیں جہاں ω = c |k | = ck۔ میدان کا ہیملٹنین کلاسیکی ہیملٹنین کی شکل ہے دائیں ہاتھ کی طرف آسانی سے پہلے استعمال کرکے حاصل کیا جاتا ہے (یولر مساوات اور مثلثی آرتھوگونالیٹی سے اخذ کیا جاسکتا ہے) جہاں k ویوین نمبر ہے جو V = L × L × L کے خانے کے اندر محدود ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے اور دوسرا، ω = kc کا استعمال کرتے ہوئے۔ کلاسیکی ہیملٹنین میں فیلڈ آپریٹرز کا متبادل ای ایم فیلڈ کا ہیملٹن آپریٹر دیتا ہے، دوسری مساوات اوپر سے بوسون کے تبادلے کے تعلقات کے تیسرے حصے کے استعمال کے بعد ہوتی ہے جس میں k′ = k اور μ′ = μ ہوتے ہیں۔ دوبارہ نوٹ کریں کہ γω = hν = γ c|k | اور یاد رکھیں کہ ω کا انحصار k پر ہے، حالانکہ یہ اشارے میں واضح نہیں ہے۔ نوٹیشن ω (k) متعارف کرایا جا سکتا تھا، لیکن یہ عام نہیں ہے کیونکہ یہ مساوات کو بے ترتیب کرتا ہے۔ ڈگرشن: ہارمونک آسکیلیٹر ایک جہتی کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کا دوسرا مقداری علاج کوانٹم مکینیکل کورسز میں ایک معروف موضوع ہے۔ ہم کھودتے ہیں اور اس کے بارے میں چند الفاظ کہتے ہیں۔ ہارمونک آسکیلیٹر ہیملٹنین کی شکل ہے جہاں ω ष्ण 2πν آسکیلیٹر کی بنیادی تعدد ہے۔ آسکیلیٹر کی زمینی حالت کو نامزد کیا جاتا ہے ؛ اور اسے "ویکیوم اسٹیٹ" کہا جاتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ ایک ایکسائٹیشن آپریٹر ہے، یہ ایک n فولڈ ایکسائٹیڈ اسٹیٹ سے n + 1 فولڈ ایکسائٹیڈ اسٹیٹ میں ایکسائٹیڈ ہوتا ہے: خاص طور پر: اور چونکہ ہارمونک آسکیلیٹر توانائیاں مساوی فاصلے پر ہوتی ہیں، اس لیے n-فولڈ ایکسائٹیڈ اسٹیٹ ؛ کو ایک واحد حالت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس میں n ذرات ہوتے ہیں (بعض اوقات وائبرون بھی کہا جاتا ہے) تمام توانائی hν۔ یہ ذرات بوسون ہیں۔ واضح وجہ سے ایکسائٹیشن آپریٹر کو کری ایشن آپریٹر کہا جاتا ہے۔ نقل مکانی کے تعلق سے یہ پتہ چلتا ہے کہ ہرمیٹین ملحقہ ڈی-ایکسائٹس: خاص طور پر تاکہ واضح وجہ سے ڈی-ایکسائٹیشن آپریٹر کو اینہیلیشن آپریٹر کہا جائے۔ ریاضیاتی انڈکشن کے ذریعے درج ذیل "تفریق اصول"، جس کی بعد میں ضرورت ہوگی، آسانی سے ثابت ہو جاتا ہے، فرض کریں کہ اب ہمارے پاس متعدد غیر تعامل (آزاد) یک جہتی ہارمونک آسکیلیٹر ہیں، جن میں سے ہر ایک کی اپنی بنیادی تعدد ωi ہے۔ چونکہ آسکیلیٹر آزاد ہوتے ہیں، اس لیے ہیملٹنین ایک سادہ مجموعہ ہے: اس کی جگہ لے کر ہم دیکھتے ہیں کہ ای ایم فیلڈ کے ہیملٹنین کو توانائی کے آزاد آسکیلیٹرز کا ہیملٹنین سمجھا جا سکتا ہے ω = |k |c سمت e (μ) کے ساتھ ساتھ ارتعاش کرتے ہوئے μ = ±1 کے ساتھ۔ فوٹون نمبر ریاستیں (فاک ریاستیں) مقداری ای ایم فیلڈ میں خلا (کوئی فوٹون نہیں) کی حالت ہوتی ہے۔ اس کا اطلاق، فرض کریں، موڈ (k، μ) میں m فوٹونوں اور موڈ (k′، μ′) میں n فوٹونوں کی کوانٹم حالت دیتا ہے۔ متناسب علامت کا استعمال اس لیے کیا جاتا ہے کیونکہ بائیں ہاتھ کی حالت اتحاد کے لیے معمول پر نہیں آتی ہے، جبکہ دائیں ہاتھ کی حالت کو معمول پر لایا جا سکتا ہے۔ آپریٹر نمبر آپریٹر ہے۔ کوانٹم مکینیکل فوٹون نمبر کی حالت پر عمل کرتے وقت، یہ موڈ (k، μ) میں فوٹونوں کی تعداد واپس کرتا ہے۔ یہ تب بھی ہوتا ہے جب اس موڈ میں فوٹونوں کی تعداد صفر ہوتی ہے، تب نمبر آپریٹر صفر واپس کرتا ہے۔ ایک فوٹون کیٹ پر نمبر آپریٹر کی کارروائی کو ظاہر کرنے کے لیے، ہم اس بات پر غور کرتے ہیں کہ، موڈ کا ایک نمبر آپریٹر (k، μ) صفر واپس کرتا ہے اگر موڈ خالی ہے اور اگر موڈ اکیلا ہے تو یونٹی واپس کرتا ہے۔ اسی موڈ کے این-فوٹون کیٹ پر موڈ (کے، ایم یو) کے نمبر آپریٹر کی کارروائی پر غور کرنے کے لیے، ہم اشاریہ جات کے اور ایم یو کو چھوڑ دیتے ہیں اور غور کرتے ہیں کہ پہلے متعارف کردہ "تفریق اصول" کا استعمال کریں اور اس کے بعد اے فوٹون نمبر اسٹیٹ (یا فاک اسٹیٹ) نمبر آپریٹر کی ایک آئجین اسٹیٹ ہے۔ یہی وجہ ہے کہ یہاں بیان کردہ رسمی نظام کو اکثر قبضے کی تعداد کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ فوٹون توانائی اس سے پہلے ہیملٹنین متعارف کرایا گیا تھا۔ توانائی کے صفر کو منتقل کیا جا سکتا ہے، جو نمبر آپریٹر کے لحاظ سے ایک اظہار کی طرف لے جاتا ہے، سنگل فوٹون حالت پر H کا اثر بظاہر ہے، سنگل فوٹون حالت H کی آئجن اسٹیٹ ہے اور γω = hν متعلقہ توانائی ہے۔ اسی طرح مثال فوٹون کثافت 100 کلو واٹ ریڈیو ٹرانسمیٹنگ اسٹیشن کے ذریعہ پیدا ہونے والی برقی مقناطیسی توانائی کی کثافت کا حساب برقی مقناطیسی لہر (کہاں؟) پر مضمون میں لگایا گیا ہے۔ اسٹیشن سے 5 کلومیٹر کے فاصلے پر توانائی کی کثافت کا تخمینہ 2.1 × 10−10 جے/ایم 3 تھا۔ کیا اسٹیشن کی نشریات کو بیان کرنے کے لیے کوانٹم میکینکس کی ضرورت ہے؟ ای ایم تابکاری کا کلاسیکی تخمینہ اچھا ہوتا ہے جب فوٹونوں کی تعداد حجم میں اتحاد سے بہت زیادہ ہوتی ہے جہاں λ ریڈیو لہروں کی لمبائی ہوتی ہے۔ اس صورت میں کوانٹم کے اتار چڑھاؤ نہ ہونے کے برابر ہوتے ہیں اور انہیں سنا نہیں جا سکتا۔ فرض کریں کہ ریڈیو اسٹیشن ν = 100 میگاہرٹز پر نشر ہوتا ہے، تو یہ νh = 1 × 108 × 6.6 × 10−34 = 6.6 × 10−26 جے کے توانائی کے مواد کے ساتھ فوٹون بھیج رہا ہے، جہاں h پلانک کا مستقل ہے۔ اسٹیشن کی طول موج λ = c/ν = 3 میٹر ہے، لہذا λ/(2π) = 48 سینٹی میٹر اور حجم 0.109 m3 ہے۔ اس حجم عنصر کی توانائی کا مواد 2.1 × 10−10 × 0.109 = 2.3 × 10−11 J ہے، جس کی مقدار 3.4 × 1014 فوٹون فی ہے ظاہر ہے، 3.4 × 1014> 1 اور اس وجہ سے کوانٹم اثرات کوئی کردار ادا نہیں کرتے ہیں۔ اس اسٹیشن سے خارج ہونے والی لہروں کو کلاسیکی حد سے اچھی طرح بیان کیا گیا ہے اور کوانٹم میکانکس کی ضرورت نہیں ہے۔ فوٹوون مومنٹم برقی مقناطیسی میدان کی فورئیر توسیع کو کلاسیکی شکل میں متعارف کرانے سے مقدار حاصل ہوتی ہے۔ اصطلاح 1/2 کو گرایا جا سکتا ہے، کیونکہ جب کوئی اجازت شدہ k پر جمع کرتا ہے، تو k − k کے ساتھ منسوخ ہو جاتا ہے۔ سنگل فوٹون حالت پر پی ای ایم کا اثر بظاہر ہے، سنگل فوٹون حالت مومنٹم آپریٹر کی ایک آئجین اسٹیٹ ہے، اور ꯘꯥk آئجین ویلیو (ایک واحد فوٹون کی رفتار) ہے۔ فوٹون ماس غیر صفر لکیری مومنٹم والا فوٹون، کوئی تصور کر سکتا ہے کہ اس میں غیر معدوم باقی ماس m0 ہے، جو کہ صفر رفتار پر اس کی کمیت ہے۔ تاہم، اب ہم دکھائیں گے کہ ایسا نہیں ہے: m0 = 0۔ چونکہ فوٹون روشنی کی رفتار کے ساتھ پھیلتا ہے، اس لیے خصوصی اضافیت کا مطالبہ کیا جاتا ہے۔ توانائی اور مومنٹم اسکوائر کے لیے رشتہ دار تاثرات ہیں، p2/E2 سے، استعمال کریں اور اس کے بعد m0 = 0 ہے۔ فوٹون اسپن فوٹون کو اسپن کوانٹم نمبر S = 1 کے ساتھ ٹرپلٹ اسپن تفویض کیا جا سکتا ہے۔ یہ 14 این آاسوٹوپ کے نیوکلیئر اسپن سے ملتا جلتا ہے، لیکن اس اہم فرق کے ساتھ کہ ایم ایس = 0 والی حالت صفر ہے، صرف ایم ایس = ± 1 والی ریاستیں غیر صفر ہیں۔ اسپن آپریٹرز کی وضاحت کریں: دو آرتھوگنل یونٹ ویکٹروں کے درمیان دو آپریٹرز ڈائیڈک پروڈکٹ ہیں۔ یونٹ ویکٹر پروپیگنڈے کی سمت k (z محور کی سمت، جو کہ اسپن کوانٹائزیشن محور ہے) کے لیے عمودی ہوتے ہیں۔ اسپن آپریٹر معمول کے اینگولر مومنٹم کمیونیکیشن تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں۔ درحقیقت، ڈائڈک پروڈکٹ پراپرٹی کا استعمال کریں کیونکہ ez یونٹ لمبائی کا ہوتا ہے۔ اس طریقے سے، معائنہ کے ذریعے یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور اس لیے μ فوٹون اسپن کو لیبل کرتا ہے، کیونکہ ویکٹر پوٹینشل A ایک ٹرانسورس فیلڈ ہے، اس لیے فوٹون کا کوئی فارورڈ (μ = 0) اسپن جزو نہیں ہوتا ہے۔ صوابدیدی اسپن فیلڈز کا کیو ای ڈی ویکیوم جنرلائزڈ پولرائزیشن ویکٹر بھی دیکھیں۔ حوالہ جات گیج تھیوری ریاضیاتی کوانٹائزیشن