R. Tyrrell Rockafellar
رالف ٹائرل راکفیلر (پیدائش 10 فروری 1935) ایک امریکی ریاضی دان اور اصلاح کے نظریہ اور تجزیہ اور امتزاج کے متعلقہ شعبوں کے سرکردہ اسکالرز میں سے ایک ہیں۔ وہ چار بڑی کتابوں کے مصنف ہیں جن میں تاریخی متن "کنویکس اینالیسس" (1970)، جس کا گوگل اسکالر کے مطابق 27,000 سے زیادہ بار حوالہ دیا گیا ہے اور یہ اس موضوع پر معیاری حوالہ ہے، اور "ویریشنل اینالیسس" (1998، راجر جے-بی ویٹس کے ساتھ) جس کے لیے مصنفین کو انسٹی ٹیوٹ فار آپریشنز ریسرچ اینڈ مینجمنٹ سائنسز (آئی این ایف او آر ایم ایس) سے فریڈرک ڈبلیو لینچسٹر انعام ملا۔ وہ یونیورسٹی آف واشنگٹن، سیئٹل میں ریاضی اور اطلاقی ریاضی کے محکموں میں پروفیسر ایمریٹس ہیں۔ ابتدائی زندگی اور تعلیم رالف ٹائرل راکفیلر ملواکی، وسکونسن میں پیدا ہوئے۔ اس کا نام اس کے والد رالف راکفیلر کے نام پر رکھا گیا ہے، جس میں ٹائرل اس کی ماں کا پہلا نام ہے۔ چونکہ اس کی ماں کو ٹیری نام پسند تھا، اس لیے والدین نے اسے ٹائرل کے عرفی نام کے طور پر اپنایا اور جلد ہی ہر کوئی اسے ٹیری کے نام سے پکارنے لگا۔ راکفیلر امریکی کاروباری شخصیت اور انسان دوست جان ڈی راکفیلر کے دور کے رشتہ دار ہیں۔ وہ دونوں اپنے آباؤ اجداد کا سراغ راکن فیلڈر نامی دو بھائیوں سے لگا سکتے ہیں جو 1728 میں جرمنی کے رائن لینڈ-فالٹز علاقے سے امریکہ آئے تھے۔ جلد ہی خاندانی نام کی ہجے تیار ہوئی، جس کے نتیجے میں راکفیلر، راکفیلر، اور نام کے بہت سے دوسرے ورژن سامنے آئے۔ راکفیلر 1953 میں ہارورڈ کالج میں تعلیم حاصل کرنے کے لیے کیمبرج، میساچوسٹس چلے گئے۔ ریاضی میں مہارت حاصل کرنے کے بعد، انہوں نے 1957 میں ہارورڈ سے سمما کم لاڈ کے ساتھ گریجویشن کیا۔ وہ فی بیٹا کپا آنر سوسائٹی کے لیے بھی منتخب ہوئے تھے۔ راکفیلر 1957-58 میں بون یونیورسٹی میں فلبرائٹ اسکالر تھے اور انہوں نے 1959 میں مارکویٹ یونیورسٹی میں ماسٹر آف سائنس کی ڈگری مکمل کی۔ رسمی طور پر پروفیسر گیریٹ برخوف کی رہنمائی میں، راکفیلر نے 1963 میں ہارورڈ یونیورسٹی سے ریاضی میں اپنی ڈاکٹر آف فلاسفی کی ڈگری "کنویکس فنکشنز اینڈ ڈوئل ایکسٹریمم پروبلمز" کے مقالے کے ساتھ مکمل کی۔ تاہم، اس وقت ہارورڈ میں کنویکسٹی اور آپٹیمائزیشن میں بہت کم دلچسپی تھی اور برخوف نہ تو تحقیق سے وابستہ تھے اور نہ ہی اس موضوع سے واقف تھے۔ یہ مقالہ جان وان نیومن کے تیار کردہ لکیری پروگرامنگ کے دوہری نظریہ سے متاثر تھا، جس کے بارے میں راکفیلر نے پرنسٹن یونیورسٹی میں البرٹ ڈبلیو ٹکر کے مرتب کردہ حالیہ مقالے کے جلدوں کے ذریعے سیکھا۔ فرانس میں جین جیکس موریو کے عصری کام کے ساتھ راکفیلر کے مقالے کو کنویکس تجزیہ کی پیدائش سمجھا جاتا ہے۔ ہارورڈ سے فارغ التحصیل ہونے کے بعد، راکفیلر یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن میں ریاضی کے اسسٹنٹ پروفیسر بن گئے، جہاں وہ شعبہ کمپیوٹر سائنس سے بھی وابستہ تھے۔ دو سال بعد، وہ سیئٹل میں واشنگٹن یونیورسٹی چلے گئے جہاں انہوں نے 1966 سے 2003 تک ریاضی اور اطلاقی ریاضی کے محکموں میں مشترکہ عہدوں پر کام کیا جب وہ ریٹائر ہوئے۔ وہ اس وقت یونیورسٹی میں پروفیسر ایمریٹس ہیں۔ انہوں نے فلوریڈا یونیورسٹی اور ہانگ کانگ پولی ٹیکنک یونیورسٹی میں ملحقہ عہدوں پر فائز رہے ہیں۔ راکفیلر ریاضی انسٹی ٹیوٹ، کوپن ہیگن (1964)، پرنسٹن یونیورسٹی (1965-66)، یونیورسٹی آف گرینوبل (1973-74)، یونیورسٹی آف کولوراڈو، بولڈر (1978)، انٹرنیشنل انسٹی ٹیوٹ آف اپلائیڈ سسٹمز اینالیسس، ویانا (1980-81)، یونیورسٹی آف پیسا (1991)، یونیورسٹی آف پیرس-ڈوفائن (1996)، یونیورسٹی آف پاؤ (1997)، کیو یونیورسٹی (2009)، نیشنل یونیورسٹی آف سنگاپور (2011)، یونیورسٹی آف ویانا (2011)، اور ییل یونیورسٹی (2012) میں وزٹنگ پروفیسر تھے۔ راکفیلر نے 1982 میں سوسائٹی فار انڈسٹریل اینڈ اپلائیڈ میتھمیٹکس (ایس آئی اے ایم) اور میتھمیٹیکل آپٹیمائزیشن سوسائٹی سے ڈینٹزگ انعام حاصل کیا، 1992 میں جان وان نیومن لیکچر دیا، جو راجر جے بی ویٹس کے ساتھ انسٹی ٹیوٹ فار آپریشنز ریسرچ اینڈ مینجمنٹ سائنسز (آئی این ایف او آر ایم ایس) کی طرف سے 1998 میں کتاب "ویریشنل اینالیسس" کے لیے فریڈرک ڈبلیو لینچسٹر انعام کے ساتھ موصول ہوا۔ 1999 میں، انہیں انفورمز کی طرف سے جان وان نیومن تھیوری انعام سے نوازا گیا۔ وہ 2002 میں فیلوز آف انفارمیشن کی کلاس کے لیے منتخب ہوئے تھے۔ وہ یونیورسٹی آف گروننگن (1984)، یونیورسٹی آف مونٹپیلیئر (1995)، یونیورسٹی آف چلی (1998)، اور یونیورسٹی آف ایلیکانٹے (2000) سے اعزازی ڈاکٹریٹ کی ڈگریاں حاصل کر چکے ہیں۔ انسٹی ٹیوٹ فار سائنٹیفک انفارمیشن (آئی ایس آئی) نے راکفیلر کو ایک انتہائی حوالہ شدہ محقق کے طور پر درج کیا ہے۔ ریسرچ راکفیلر کی تحقیق ریاضیاتی خیالات اور تصورات کو مضبوط فریم ورک میں منظم کرنے کے مقصد سے متاثر ہے جو نئی بصیرت اور تعلقات پیدا کرتے ہیں۔ یہ نقطہ نظر ان کی بنیادی کتاب "متغیر تجزیہ" (1998، راجر جے-بی ویٹس کے ساتھ) میں سب سے زیادہ نمایاں ہے، جہاں متغیر تجزیہ، غیر لکیری تجزیہ، تغیر کے حساب، ریاضیاتی اصلاح، توازن نظریہ، اور کنٹرول سسٹم کے شعبوں میں متعدد دھاگے تیار ہوئے تاکہ محدود جہتوں میں متغیر مسائل کے لیے ایک متحد نقطہ نظر تیار کیا جا سکے۔ مطالعہ کے ان مختلف شعبوں کو اب تغیراتی تجزیہ کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، متن تجزیہ کے بہت سے شعبوں میں تفریق کو ایک ضروری خاصیت کے طور پر پیش کرتا ہے اور بے راہ روی، سیٹ ویلیوڈنیس، اور توسیعی حقیقی ویلیوڈنیس کو قبول کرتا ہے، جبکہ اب بھی دور رس کیلکولس قوانین تیار کر رہا ہے۔ ریاضی میں شراکت اقدار لامحدود اور منفی لامحدود کے ساتھ حقیقی لکیر کو بڑھانے اور پھر (کنویکس) افعال کو ان اقدار کو لینے کی اجازت دینے کے نقطہ نظر کا سراغ راکفیلر کے مقالے اور آزادانہ طور پر، جین جیکس موریو کے کام سے لگایا جا سکتا ہے۔ سیٹ ویلیوڈ میپنگز (جسے ملٹی ویلیوڈ فنکشنز بھی کہا جاتا ہے) کے مرکزی کردار کو راکفیلر کے مقالے میں بھی تسلیم کیا گیا تھا اور در حقیقت، x پر فنکشن f کے سب گریڈینٹس کے سیٹ کے لیے معیاری نوٹیشن suf (x) وہاں سے شروع ہوا۔ راکفیلر نے فرمیٹ کی حکمرانی کو بڑھا کر غیر متزلزل تجزیہ میں اہم کردار ادا کیا، جو سب گریڈیئنٹ کیلکولس اور ویریشنل جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے جامع مسائل کے لیے اصلاح کے مسائل کے حل کی خصوصیت رکھتا ہے اور اس طرح امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کو نظرانداز کرتا ہے۔ یہ نقطہ نظر لیگرینج ضرب کے تصور کو ہموار مساوات اور عدم مساوات کے نظام سے بالاتر ترتیبات تک وسیع کرتا ہے۔ اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے اور بعد کی متعدد اشاعتوں میں، راکفیلر نے کنویکس کنجوگیٹ افعال پر مبنی ایک عمومی دوہری نظریہ تیار کیا جو پیرامیٹرز کے خلل سے حاصل ہونے والے مسائل کے خاندان میں کسی مسئلے کو سرایت کرنے پر مرکوز ہے۔ یہ لکیری پروگرامنگ دوہری اور لگرینجین دوہری کو سمیٹتا ہے، اور عام کنویکس مسائل کے ساتھ ساتھ غیر کنویکس مسائل تک پھیلا ہوا ہے، خاص طور پر جب اضافہ کے ساتھ مل کر۔ ایپلی کیشنز میں تعاون راکفیلر نے اطلاق شدہ مسائل اور کمپیوٹیشنل پہلوؤں پر بھی کام کیا۔ 1970 کی دہائی میں، انہوں نے پراکسیمل پوائنٹ طریقہ کار کی ترقی میں اہم کردار ادا کیا، جو کئی کامیاب الگورتھم کو تقویت دیتا ہے جس میں پراکسیمل گریڈینٹ طریقہ بھی شامل ہے جو اکثر شماریاتی ایپلی کیشنز میں استعمال ہوتا ہے۔ انہوں نے عام انٹیگرانڈز کی وضاحت اور تجزیہ کرکے سٹاکسٹک پروگرامنگ میں متوقع افعال کے تجزیے کو ٹھوس بنیاد پر رکھا۔ راکفیلر نے معاشیات میں کنٹرول سسٹم اور عمومی توازن کے نظریہ کے تجزیے میں بھی اہم کردار ادا کیا۔ 1990 کی دہائی کے آخر سے، راکفیلر مالیاتی انجینئرنگ اور وشوسنییتا انجینئرنگ میں خطرے کی تشخیص اور فیصلہ سازی کے لیے ریاضیاتی تصورات کو منظم کرنے اور وسعت دینے میں فعال طور پر شامل رہا ہے۔ اس میں خطرے کے اقدامات کی ریاضیاتی خصوصیات کا جائزہ لینا اور 2000 میں "مشروط قدر پر خطرہ" کے ساتھ ساتھ 2010 میں "سپر کوانٹائل" اور "بفرڈ فیل امکان" کی اصطلاحات بنانا شامل ہے، جو یا تو متوقع کمی کے ساتھ موافق ہیں یا ان کا قریب سے تعلق ہے۔ منتخب اشاعتیں کتابیں راکفیلر، آر۔ ٹی۔ (1974)۔ دوہری اور اصلاح کو مربوط کریں۔ جون ہاپکنز یونیورسٹی، بالٹیمور، ایم ڈی، جون، 1973 میں دیئے گئے لیکچرز۔ ریاضیاتی علوم کا کانفرنس بورڈ علاقائی کانفرنس سیریز ان اپلائیڈ میتھمیٹکس، نمبر۔ 16. سوسائٹی فار انڈسٹریل اینڈ اپلائیڈ میتھمیٹکس، فلاڈیلفیا، PA. vi + 74 pp. راکفیلر، آر۔ ٹی۔ (1981) سب گریڈینٹس کا نظریہ اور اصلاح کے مسائل پر اس کے اطلاق۔ کنویکس اور نان کنویکس افعال۔ ہیلڈرمین ورلاگ، برلن۔ vii + 107 پی پی۔ راکفیلر، آر۔ ٹی۔ (1984) نیٹ ورک کے بہاؤ اور مونوٹروپک آپٹیمائزیشن۔ ولی۔ ڈونچیو، اے ایل۔ راکفیلر، آر ٹی۔ (2009)۔ مضمر افعال اور حل کی نقشہ سازی۔ متغیر تجزیہ سے ایک نظریہ۔ ریاضی میں سپرنگر مونوگراف۔ سپرنگر، ڈورڈرچٹ۔ xii + 375 پی پی۔ ۔ پیپرز راکفیلر، آر۔ ٹی۔ (1967)۔ کنویکس اور کنکیو قسم کے مونوٹون عمل۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کی یادیں، نمبر۔ 77 امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر۔ آئی۔ آئی + 74 پی۔ (1992 جان وان نیومن لیکچر) کنویکس تجزیہ بھی دیکھیں (c. f. ورنر فینچل) کنویکس فنکشن خصوصیت فنکشن (کنویکس تجزیہ) بند کنویکس فنکشن کنویکس کنجوگیٹ ایپیگراف (ریاضی) فینچل کنجوگیٹ لیجنڈری-فینچل ٹرانسفارمیشن مناسب کنویکس فنکشن سب ڈفریٚنشل سب گریڈیئنٹ کنویکس سیٹ کاراتھیڈوری کا تھیوریم کنویکس کون ڈوئلٹی (ریاضی) مونوٹون آپریٹر (زیادہ سے زیادہ مونوٹون آپریٹر کی سائیکلک سڑنا) اورینٹڈ میٹروئڈز (قابل حصول او ایم اور ایپلی کیشنز) کاراتھیڈوری کا تھیوریم (کنویکس ہل) لیما آف فرکاس مونوٹروپک پروگرامنگ ٹکر، البرٹ ڈبلیو۔ سیٹ ویلیوڈ تجزیہ پومپیو-ہاؤسڈورف فاصلہ مورڈووچ۔ انسٹی ٹیوٹ آف آپریشنز ریسرچ اینڈ مینجمنٹ سائنسز سے آر ٹائرل راکفیلر کی سوانح عمری کنوکس تجزیہ ریاضیاتی تجزیہ 20 ویں صدی کے امریکی ریاضی دان 21 ویں صدی کے امریکی ریاضی دان امریکی کارروائیوں کے محققین امریکی شماریات دان زندہ لوگ متغیر تجزیہ کار یونیورسٹی آف واشنگٹن فیکلٹی جان وان نیومن تھیوری انعام یافتہ ہارورڈ یونیورسٹی کے سابق طالب علم جرمن نسل کے امریکی لوگ ملواکی سے تعلق رکھنے والے سائنس دان 1935 میں پیدا ہوئے وسکونسن سے تعلق رکھنے والے ماہرین اقتصادیات انسٹی ٹیوٹ فار آپریشنز ریسرچ اینڈ مینجمنٹ سائنسز کے فیلوز