Von Neumann–Morgenstern utility theorem
فیصلہ کے نظریہ میں، وان نیومن-مورگنسٹرن (وی این ایم) یوٹیلیٹی تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ، عقلی رویے کے کچھ محوری اصولوں کے تحت، مختلف انتخاب کے خطرناک (ممکنہ) نتائج کا سامنا کرنے والا فیصلہ ساز ایسا سلوک کرے گا جیسے وہ مستقبل میں کسی مخصوص مقام پر ممکنہ نتائج پر بیان کردہ کسی فنکشن کی متوقع قیمت کو زیادہ سے زیادہ کر رہے ہوں۔ اس فنکشن کو وان نیومن-مورگنسٹرن یوٹیلیٹی فنکشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ نظریہ متوقع افادیت کے نظریہ کی بنیاد ہے۔ 1947 میں، جان وان نیومن اور آسکر مورگنسٹرن نے ثابت کیا کہ کوئی بھی فرد جس کی ترجیحات چار محوروں کو مطمئن کرتی ہیں اس کا ایک افادیت فنکشن ہوتا ہے۔ اس طرح کے فرد کی ترجیحات کو وقفے کے پیمانے پر پیش کیا جا سکتا ہے اور فرد ہمیشہ ایسے اعمال کو ترجیح دے گا جو متوقع افادیت کو زیادہ سے زیادہ کرے۔ یعنی، انہوں نے ثابت کیا کہ ایک ایجنٹ (VNM-) عقلی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی حقیقی قدر والا فنکشن موجود ہو جس کی وضاحت ممکنہ نتائج سے کی گئی ہو جیسے کہ ایجنٹ کی ہر ترجیح کی خصوصیت u کی متوقع قیمت کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہو، جسے پھر ایجنٹ کی VNM-افادیت کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (یہ مستقل کو شامل کرنے اور مثبت اسکیلر سے ضرب دینے تک منفرد ہے)۔ کوئی دعوی نہیں کیا جاتا ہے کہ ایجنٹ کو زیادہ سے زیادہ یو کرنے کی "شعوری خواہش" ہے، صرف یہ کہ یو موجود ہے۔ متوقع افادیت کا مفروضہ یہ ہے کہ عقلیت کو ایک متوقع قدر کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے، جسے نظریہ دیا گیا ہے، اس کا خلاصہ "عقلیت وی این ایم-عقلیت ہے" کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، خود محوریوں کو مختلف بنیادوں پر تنقید کا نشانہ بنایا گیا ہے، جس کے نتیجے میں محوریوں کو مزید جواز فراہم کیا گیا ہے۔ وی این ایم یوٹیلیٹی ایک فیصلہ کی افادیت ہے جس میں اسے فیصلہ کی ترجیحات کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ متعلقہ ہے لیکن نام نہاد ای-یوٹیلیٹیز (تجربہ افادیت) کے مساوی نہیں ہے، افادیت کے تصورات جن کا مقصد خوشی کی پیمائش کرنا ہے جیسے کہ بینتھم کا سب سے بڑا خوشی کا اصول۔ سیٹ اپ تھیوریم میں، ایک انفرادی ایجنٹ کو اختیارات کا سامنا کرنا پڑتا ہے جسے لاٹری کہتے ہیں۔ کچھ باہمی طور پر خصوصی نتائج کو دیکھتے ہوئے، لاٹری ایک ایسا منظر نامہ ہے جہاں ہر نتیجہ ایک دیئے گئے امکان کے ساتھ ہوگا، تمام امکانات کا خلاصہ ایک ہوگا۔ مثال کے طور پر، دو نتائج A اور B کے لیے، ایک ایسے منظر نامے کی نشاندہی کرتا ہے جہاں P (A) = 25 ٪ A کے ہونے کا امکان ہے اور P (B) = 75 ٪ (اور ان میں سے بالکل ایک ہوگا)۔ زیادہ عام طور پر، بہت سے ممکنہ نتائج والی لاٹری کے لیے، ہم لکھتے ہیں: 1 کے برابر s کے مجموعے کے ساتھ۔ لاٹری میں نتائج خود دوسرے نتائج کے درمیان لاٹری ہو سکتے ہیں، اور توسیعی اظہار کو مساوی لاٹری سمجھا جاتا ہے: 0.5 (0.5A + 0.5B) + 0.5C = 0.25A + 0.25B + 0.50C۔ اگر لاٹری ایم کو لاٹری ایل پر ترجیح دی جاتی ہے، تو ہم لکھتے ہیں، یا اس کے مساوی،۔ اگر ایجنٹ L اور M کے درمیان لاتعلق ہے، تو ہم بے حسی کا تعلق لکھتے ہیں اگر M کو یا تو ترجیح دی جاتی ہے یا L کے مقابلے میں بے حسی کے ساتھ دیکھا جاتا ہے، تو ہم محوریات لکھتے ہیں۔ مکملتا یہ فرض کرتی ہے کہ ایک فرد کی اچھی طرح سے متعین ترجیحات ہیں: محور 1 (مکملتا) کسی بھی لاٹری L، M کے لیے، درج ذیل میں سے کم از کم ایک ہولڈ:، (فرد کو کچھ ترجیح یا بے حسی کا اظہار کرنا چاہیے)۔ نوٹ کریں کہ اس کا مطلب اضطراری ہے۔ ٹرانزٹیویٹی یہ فرض کرتی ہے کہ ترجیحات کسی بھی تین آپشنز میں مطابقت رکھتی ہیں: محور 2 (ٹرانزٹیویٹی) اگر اور پھر۔ تسلسل یہ فرض کرتا ہے کہ کسی دیئے گئے درمیانی آپشن سے بہتر اور بدتر ہونے کے درمیان ایک "ٹپنگ پوائنٹ" موجود ہے: محوریم 3 (تسلسل): اگر، تو اس کا امکان اس طرح موجود ہے کہ جہاں بائیں طرف کا اشارہ ایسی صورتحال سے مراد ہے جس میں L امکان p کے ساتھ موصول ہوتا ہے اور N امکان (1-p) کے ساتھ موصول ہوتا ہے۔ تسلسل کے بجائے، ایک متبادل محور فرض کیا جا سکتا ہے جس میں قطعی مساوات شامل نہ ہو، جسے آرکیمیڈین پراپرٹی کہا جاتا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ ترجیح میں کسی بھی علیحدگی کو امکانات میں کافی چھوٹے انحراف کے تحت برقرار رکھا جا سکتا ہے: محور 3′ (آرکیمیڈین پراپرٹی): اگر، تب ایسا امکان موجود ہے کہ (3) یا (3′) میں سے صرف ایک کو فرض کرنے کی ضرورت ہے، اور دوسرا نظریہ کے ذریعہ مضمر ہوگا۔ غیر متعلقہ متبادلات کی آزادی یہ فرض کرتی ہے کہ ترجیح کسی دوسرے نتیجے کے امکان سے آزادانہ طور پر ہوتی ہے: محور 4 (آزادی): کسی کے لیے اور، نوٹ کریں کہ نظریہ کے کام کرنے کے لیے "صرف اگر" سمت ضروری ہے۔ اس کے بغیر، ہمارے پاس یہ جوابی مثال ہے: صرف دو نتائج ہوتے ہیں، اور ایجنٹ لاتعلق ہوتا ہے، اور سختی سے ان سب کو ترجیح دیتا ہے۔ "صرف اگر" سمت کے ساتھ، ہم بحث کر سکتے ہیں کہ اس کا مطلب ہے، اس طرح اس جوابی مثال کو خارج کر دیا گیا ہے۔ آزادانہ محوریہ مرکب لاٹریوں کو کم کرنے کے محوریہ سے مراد ہے: محوریہ 4′ (مرکب لاٹریوں کو کم کرنا): کسی بھی لاٹری اور کسی بھی لاٹری کے لیے، یہ دیکھنے کے لیے کہ محوریہ 4 کا مطلب محوریہ 4 'ہے، جو محوریہ 4 میں اظہار میں مقرر ہے، اور توسیع کرتا ہے۔ نظریہ کسی بھی وی این ایم عقلی ایجنٹ کے لیے (یعنی۔ محوریات 1-4 کو مطمئن کرنے کے لیے، ایک فنکشن u موجود ہے جو ہر نتیجہ A کو ایک حقیقی نمبر u (A) تفویض کرتا ہے جیسے کہ کسی بھی دو لاٹریوں کے لیے، جہاں E (u (L))، یا زیادہ مختصر طور پر Eu (L) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس طرح، u کو سادہ لاٹریوں کے درمیان ترجیحات کے ذریعے منفرد طور پر طے کیا جا سکتا ہے (ایک مستقل کو شامل کرنے اور مثبت اسکیلر سے ضرب دینے تک)، یعنی pA + (1−p) B کی شکل کے صرف دو نتائج ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، کوئی بھی ایجنٹ جو کسی فنکشن u کی توقع کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے کام کرے گا، 1-4 کے محوری اصولوں کی پابندی کرے گا۔ اس طرح کے فنکشن کو ایجنٹ کی وان نیومن-مورگنسٹرن (وی این ایم) یوٹیلیٹی کہا جاتا ہے۔ ثبوت خاکہ ثبوت تعمیری ہے: یہ ظاہر کرتا ہے کہ مطلوبہ فنکشن کیسے بنایا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم اس کیس کے لیے تعمیراتی عمل کا خاکہ پیش کرتے ہیں جس میں یقینی نتائج کی تعداد محدود ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ یقینی نتائج ہیں۔ نوٹ کریں کہ ہر یقینی نتیجہ کو لاٹری کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: یہ ایک انحطاط شدہ لاٹری ہے جس میں نتیجہ کا انتخاب امکان 1 کے ساتھ کیا جاتا ہے۔ لہذا، تکمیل اور منتقلی کے محرکات سے، نتائج کو بدترین سے بہترین تک ترتیب دینا ممکن ہے: ہم فرض کرتے ہیں کہ عدم مساوات میں سے کم از کم ایک سخت ہے (بصورت دیگر افادیت کا فعل معمولی ہے-ایک مستقل)۔ تو۔ ہم ان دو انتہائی نتائج-بدترین اور بہترین-کو اپنے یوٹیلیٹی فنکشن کی اسکیلنگ یونٹ کے طور پر استعمال کرتے ہیں، اور اس کی وضاحت کرتے ہیں: اور ہر امکان کے لیے، ایک لاٹری کی وضاحت کریں جو امکان کے ساتھ بہترین نتیجہ کا انتخاب کرتی ہے اور بصورت دیگر بدترین نتیجہ: نوٹ کریں کہ اور۔ تسلسل کے محور کے مطابق، ہر یقینی نتیجہ کے لیے، ایک امکان ہے کہ: اور ہر ایک کے لیے، نتیجہ کے لیے افادیت فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ ہر لاٹری کی افادیت آپ کی توقع ہے: یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ افادیت فنکشن کیوں سمجھ میں آتا ہے، لاٹری پر غور کریں، جو امکان کے ساتھ نتیجہ کا انتخاب کرتا ہے۔ لیکن، ہمارے مفروضے کے مطابق، فیصلہ ساز یقینی نتیجہ اور لاٹری کے درمیان لاتعلق ہے۔ لہذا، تخفیف محوری کے ذریعہ، وہ لاٹری اور مندرجہ ذیل لاٹری کے درمیان لاتعلق ہے: لاٹری درحقیقت ایک لاٹری ہے جس میں امکان کے ساتھ بہترین نتیجہ جیتا جاتا ہے، اور بصورت دیگر بدترین نتیجہ ہوتا ہے۔ لہذا، اگر، ایک عقلی فیصلہ ساز لاٹری کے بجائے لاٹری کو ترجیح دے گا، کیونکہ اس سے اسے بہترین نتیجہ جیتنے کا زیادہ موقع ملتا ہے۔ لہذا: اگر اور صرف اس صورت میں جب رد عمل وان نیومن اور مورگنسٹرن نے اپنے نتیجے کی طاقت پر حیرت کی توقع کی ہو۔ لیکن ان کے مطابق، ان کے یوٹیلیٹی فنکشن کے کام کرنے کی وجہ یہ ہے کہ اس کی تعمیر کسی ایسی چیز کے کردار کو پورا کرنے کے لیے کی گئی ہے جس کی توقع زیادہ سے زیادہ ہو: "بہت سے معاشی ماہرین محسوس کریں گے کہ ہم بہت زیادہ فرض کر رہے ہیں۔ کیا ہم نے بہت زیادہ نہیں دکھایا؟ جہاں تک ہم دیکھ سکتے ہیں، ہمارے مفروضے قابل فہم ہیں۔ ہم نے عملی طور پر عددی افادیت کی تعریف اس چیز کے طور پر کی ہے جس کے لیے ریاضیاتی توقعات کا حساب جائز ہے۔ " - VNM 1953، § 3.1.1 p. 16 اور § 3.7.1 p. 28 اس طرح، نظریہ کا مواد یہ ہے کہ u کی تعمیر ممکن ہے، اور وہ اس کی نوعیت کے بارے میں بہت کم دعوی کرتے ہیں۔ نتائج خطرے سے نفرت پر خودکار غور اکثر ایسا ہوتا ہے کہ کوئی شخص، جسے حقیقی دنیا میں پیسے کے ساتھ جوئے کا سامنا کرنا پڑتا ہے، اپنے ڈالر کے اثاثوں کی متوقع قیمت کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے لیے کام نہیں کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک شخص جس کے پاس صرف 1000 ڈالر کی بچت ہے وہ 10,000 ڈالر جیتنے کے 20 فیصد امکانات کے لیے یہ سب خطرہ مول لینے سے گریزاں ہو سکتا ہے، حالانکہ، اگر وہ شخص وی این ایم معقول ہے، تو اس طرح کے حقائق خود بخود ان کے یوٹیلیٹی فنکشن یو میں شمار ہو جاتے ہیں۔ اس مثال میں، ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ یہاں ڈالر کی رقم واقعی نتائج کی نمائندگی کرتی ہے (cf. "ویلیو")، وہ تین ممکنہ حالات جن کا فرد سامنا کر سکتا ہے۔ خاص طور پر، آپ وی این ایم کی معقولیت سے بالکل بھی متصادم ہوئے بغیر u ($1) + u ($1)  ऒत्त u ($2) جیسی خصوصیات کی نمائش کر سکتے ہیں۔ یہ مالیاتی خطرے سے نفرت کے مقداری نظریہ کی طرف لے جاتا ہے۔ متوقع افادیت کے مفروضے کے مضمرات 1738 میں، ڈینیل برنولی نے ایک مقالہ شائع کیا جس میں ان کا مؤقف ہے کہ عقلی رویے کو کسی فنکشن u کی توقع کو زیادہ سے زیادہ کرنے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جس کی خاص طور پر مالیاتی قدر کی ضرورت نہیں ہے، اس طرح خطرے سے نفرت کا حساب کتاب کیا جاتا ہے۔ یہ متوقع افادیت کا مفروضہ ہے۔ جیسا کہ بیان کیا گیا ہے، مفروضہ ایک جرات مندانہ دعوی معلوم ہو سکتا ہے۔ متوقع افادیت تھیوریم کا مقصد "معمولی شرائط" فراہم کرنا ہے (یعنی۔ محوریات) بیان کرتے ہیں کہ متوقع افادیت کا مفروضہ کب برقرار رہتا ہے، جس کا براہ راست اور بدیہی طور پر جائزہ لیا جا سکتا ہے: "محوریات بہت زیادہ نہیں ہونے چاہئیں، ان کا نظام جتنا ممکن ہو اتنا آسان اور شفاف ہونا چاہیے، اور ہر محوری کا فوری بدیہی معنی ہونا چاہیے جس کے ذریعے اس کی موزونیت کا براہ راست اندازہ لگایا جا سکے۔ ہماری جیسی صورتحال میں یہ آخری ضرورت خاص طور پر اہم ہے، اس کی مبہم ہونے کے باوجود: ہم ایک بدیہی تصور کو ریاضیاتی علاج کے قابل بنانا چاہتے ہیں اور یہ واضح طور پر دیکھنا چاہتے ہیں کہ اس کے لیے کیا مفروضوں کی ضرورت ہے۔ " - وی این ایم 1953 § 3.5.2، صفحہ 25 اس طرح، یہ دعوی کرتا ہے کہ متوقع افادیت کا مفروضہ عقلیت کی خصوصیت نہیں رکھتا ہے، اسے وی این ایم کے ایک محرک کو مسترد کرنا چاہیے۔ مختلف قسم کے عمومی متوقع افادیت کے نظریات پیدا ہوئے ہیں، جن میں سے زیادہ تر آزادی کے محور کو چھوڑ دیتے ہیں یا اس میں نرمی کرتے ہیں۔ اخلاقیات اور اخلاقی فلسفے کے مضمرات کیونکہ نظریہ جوئے کے ممکنہ نتائج کی نوعیت کے بارے میں کچھ نہیں مانتا، وہ اخلاقی طور پر اہم واقعات ہو سکتے ہیں، مثال کے طور پر دوسروں کی زندگی، موت، بیماری یا صحت سے متعلق۔ ایک وان نیومن-مورگنسٹرن عقلی ایجنٹ اس طرح کے واقعات کے لیے بڑی تشویش کے ساتھ کام کرنے کی صلاحیت رکھتا ہے، بہت زیادہ ذاتی دولت یا فلاح و بہبود کی قربانی دیتا ہے، اور یہ تمام اقدامات ایجنٹ کے وی این ایم-یوٹیلیٹی فنکشن کی تعمیر/تعریف میں شامل ہوں گے۔ دوسرے لفظوں میں، دونوں جو قدرتی طور پر "ذاتی فائدہ" کے طور پر سمجھے جاتے ہیں، اور جو قدرتی طور پر "پرہیزگاری" کے طور پر سمجھے جاتے ہیں، وہ وی این ایم-عقلی فرد کے وی این ایم-یوٹیلیٹی فنکشن میں مضمر طور پر متوازن ہوتے ہیں۔ لہذا، ایجنٹ پر مرکوز ایجنٹ غیر جانبدار طرز عمل کی مکمل رینج ہیں۔ اگر اس کی افادیت ہے، تو ایک وان نیومن-مورگنسٹرن عقلی ایجنٹ کو اور کے درمیان لاتعلق ہونا چاہیے۔ لہذا ایک ایجنٹ پر مرکوز وان نیومن-مورگنسٹرن عقلی ایجنٹ اپنے ممکنہ مستقبل کے درمیان افادیت کی زیادہ مساوی، یا "منصفانہ" تقسیم کی حمایت نہیں کر سکتا۔ افادیت کے دیگر تصورات سے تفریق کچھ مفید اخلاقی نظریات کا تعلق مجموعوں کی "کل افادیت" اور "اوسط افادیت" کہلانے والی مقداروں سے ہے، اور اخلاقیات کو دوسروں کی افادیت یا خوشی کی حمایت کرنے کے لحاظ سے اپنی ذات کو نظر انداز کرتے ہوئے نمایاں کرتے ہیں۔ ان تصورات کا تعلق وی این ایم یوٹیلیٹی سے ہو سکتا ہے، لیکن یہ اس سے الگ ہیں: 1) وی این ایم یوٹیلیٹی ایک فیصلہ افادیت ہے: یہ وہ چیز ہے جس کے مطابق کوئی فیصلہ کرتا ہے، اور اس طرح تعریف کے لحاظ سے ایسی چیز نہیں ہو سکتی جسے کوئی نظر انداز کرے۔ 2) VNM-افادیت متعدد افراد میں مستند طور پر اضافی نہیں ہے (حدود دیکھیں)، لہذا "کل VNM-افادیت" اور "اوسط VNM-افادیت" فوری طور پر معنی خیز نہیں ہیں (کسی طرح کے معمول کا مفروضہ درکار ہے)۔ "تجربے کی افادیت" کے لیے ای-یوٹیلیٹی کی اصطلاح بینتھم کے سب سے بڑے خوشی کے اصول کی طرح "خوشنما" افادیت کی اقسام کے حوالے سے بنائی گئی ہے۔ چونکہ اخلاقیات فیصلوں کو متاثر کرتی ہے، اس لیے وی این ایم-عقلی ایجنٹ کے اخلاق اس کی اپنی افادیت کی تقریب کی تعریف کو متاثر کریں گے (اوپر دیکھیں)۔ اس طرح، وی این ایم-عقلی ایجنٹ کی اخلاقیات کو دوسرے ذرائع کے علاوہ، ایجنٹ کی وی این ایم-افادیت، ای-افادیت، یا دوسروں کی "خوشی" کے ساتھ ایجنٹ کی وی این ایم-افادیت کے ارتباط سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، لیکن ایجنٹ کی اپنی وی این ایم-افادیت کو نظر انداز کرنے سے نہیں، جو کہ ایک تضاد ہے۔ چونکہ اگر ایل اور ایم لاٹریاں ہیں، تو پی ایل + (1 − پی) ایم کو صرف "توسیع شدہ" سمجھا جاتا ہے اور اسے خود ایک لاٹری سمجھا جاتا ہے، وی این ایم کی رسمی حیثیت ان چیزوں کو نظر انداز کرتی ہے جن کا تجربہ "نیسٹڈ جوئے" کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ اس کا تعلق ایلسبرگ کے مسئلے سے ہے جہاں لوگ خطرات کے بارے میں خطرات کے تاثر سے بچنے کا انتخاب کرتے ہیں۔ وان نیومن اور مورگنسٹرن نے اس حد کو تسلیم کیا: "جوئے کی ایک مخصوص افادیت جیسے تصورات کو اس سطح پر تضاد سے پاک نہیں بنایا جا سکتا۔ یہ ایک متضاد دعوی معلوم ہو سکتا ہے۔ لیکن جس نے بھی سنجیدگی سے اس مبہم تصور کو خود ساختہ کرنے کی کوشش کی ہے، وہ شاید اس سے اتفاق کرے گا۔ " - وی این ایم 1953 § 3.7.1، صفحہ 28۔ چونکہ کسی بھی دو VNM-ایجنٹوں X اور Y کے لیے، ان کے VNM-یوٹیلیٹی افعال uX اور uY کا تعین صرف اضافی مستقل اور ضرب مثبت اسکیلرز تک کیا جاتا ہے، اس لیے تھیوریم دونوں کا موازنہ کرنے کا کوئی مستند طریقہ فراہم نہیں کرتا ہے۔ لہذا uX (L) + uY (L) اور uX (L) −uY (L) جیسے تاثرات کو مستند طور پر بیان نہیں کیا گیا ہے، اور نہ ہی uX (L) <uY (L) جیسے موازنہ مستند طور پر درست یا غلط ہیں۔ خاص طور پر، آبادی کی مذکورہ بالا "کل وی این ایم-افادیت" اور "اوسط وی این ایم-افادیت" معمول کے مفروضوں کے بغیر مستند طور پر معنی خیز نہیں ہیں۔ معاشیات پر اطلاق متوقع افادیت کے مفروضے کو لیب پر مبنی تجرباتی تجربات کے ایک سیٹ میں محدود پیش گوئی کی درستگی کے طور پر دکھایا گیا ہے، جیسے کہ الیس پیراڈوکس۔ جو کچھ لوگوں کو اس بات کے ثبوت کے طور پر تشریح کرنے کی طرف لے جاتا ہے کہ انسان ہمیشہ عقلی نہیں ہوتے ہیں، یا وی این ایم-معقولیت معقولیت کی مناسب خصوصیت نہیں ہے، یا دونوں کا کچھ مجموعہ، یا انسان وی این ایم-معقولیت سے برتاؤ کرتے ہیں لیکن یو کی معروضی تشخیص اور یو کی تعمیر ناقابل حل مسائل ہیں۔ حوالہ جات اور مزید پڑھنا آنند، پال۔ رسک کے تحت عقلی انتخاب کی بنیادیں آکسفورڈ، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس۔ 1993 میں 1995، 2002 میں فش برن، پیٹر سی۔ یوٹیلیٹی تھیوری برائے فیصلہ سازی کو دوبارہ شائع کیا گیا۔ ہنٹنگٹن، نیویارک۔ رابرٹ ای کریگر پبلشنگ کمپنی۔ 1970۔ سکٹو ریوس (1998) فیصلہ سائنس میں کچھ مسائل اور پیش رفت، ریوسٹا میٹیمیٹکا کمپلیٹینس 11 (1): 113-41۔ پیٹرسن، مارٹن (2009)۔ فیصلہ تھیوری کا تعارف (کیمبرج انٹروڈکشنز ٹو فلاسفی)۔ کیمبرج: کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ تھیوریم گیم تھیوری یوٹیلیٹی جان وان نیومن