Reeb sphere theorem
ریاضی میں، ریب سپیئر تھیوریم، جسے جارجز ریب کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، بیان کرتا ہے کہ ایک بند مبنی جڑا ہوا کئی گنا M n جو صرف مراکز والے واحد فولیوشن کو تسلیم کرتا ہے وہ دائرے Sn کے لیے ہومومورفک ہے اور فولیوشن میں بالکل دو انفرادیت ہوتی ہیں۔ مورس فولیئشن ایک فولیئشن F کی یکسانیت مورس قسم کی ہوتی ہے اگر اس کے چھوٹے پڑوس میں فولیئشن کے تمام پتے مورس فنکشن کے لیول سیٹ ہوتے ہیں، کیونکہ یکسانیت فنکشن کا ایک اہم نقطہ ہوتا ہے۔ انفرادیت ایک مرکز ہے اگر یہ فنکشن کا ایک مقامی انتہا ہے ؛ بصورت دیگر، انفرادیت ایک سیڈل ہے۔ مراکز c کی تعداد اور سیڈلوں کی تعداد، خاص طور پر، کئی گنا ٹوپولوجی کے ساتھ مضبوطی سے جڑی ہوئی ہے۔ ہم ایک انفرادیت کے اشاریہ کی نشاندہی کرتے ہیں، جہاں k مورس فنکشن کے متعلقہ اہم نقطہ کا اشاریہ ہے۔ خاص طور پر، ایک مرکز کا انڈیکس 0 ہوتا ہے، سیڈل کا انڈیکس کم از کم 1 ہوتا ہے۔ کئی گنا M پر مورس فولیئشن F ایک واحد ٹرانسورسلی پر مبنی کوڈیمینشن ہے جس میں الگ الگ انفرادیت کے ساتھ کلاس کا ایک فولیئشن ہے جیسے: F کی ہر انفرادیت مورس کی قسم کی ہے، ہر واحد پتی L میں ایک منفرد انفرادیت p ہوتی ہے ؛ اس کے علاوہ، اگر اس کے بعد منسلک نہیں ہے۔ رب سپیئر تھیوریم یہ معاملہ ہے، بغیر سیڈلز کا معاملہ۔ نظریہ: آئیے طول و عرض کا ایک بند مبنی جڑا ہوا کئی گنا ہو۔ فرض کریں کہ یکسانیت کے غیر خالی سیٹ کے ساتھ ایک-ٹرانسورسلی پر مبنی کوڈیمینشن ایک فولیشن کو تسلیم کرتا ہے، یہ سب مرکز ہیں۔ پھر کا واحد سیٹ دو پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے اور دائرے کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ یہ رب استحکام تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ 1978 میں، ایڈورڈ واگنیور نے ریب سپیئر تھیوریم کو سیڈلز کے ساتھ مورس فولیشنز کے لیے عام کیا۔ انہوں نے دکھایا کہ سیڈلوں کی تعداد کے مقابلے میں مراکز کی تعداد بہت زیادہ نہیں ہو سکتی، خاص طور پر۔ لہذا بالکل دو صورتیں ہیں جب: (1) (2) اس نے کئی گنا کی وضاحت حاصل کی جس میں یکسانیت کے ساتھ فولیوشن کو تسلیم کیا گیا ہے جو (1) کو مطمئن کرتا ہے۔ نظریہ: ایک کمپیکٹ منسلک کئی گنا ہونے دیں جو مراکز اور سیڈلز کے ساتھ مورس فولیشن کو تسلیم کرتا ہے۔ پھر۔ اگر ہومیومورفک ہے، تو تمام سیڈلز کا انڈیکس 1 ہوتا ہے، ہر باقاعدہ پتی ڈفیومورفک ہوتی ہے۔ آخر کار، 2008 میں، سیزر کیماچو اور برونو سکارڈوا نے کیس (2) پر غور کیا۔ یہ کم جہتوں کی ایک چھوٹی سی تعداد میں ممکن ہے۔ نظریہ: آئیے ایک کمپیکٹ منسلک کئی گنا اور ایک مورس فولیئشن آن ہو۔ اگر، تب یا، ایک ایلز-کوئپر کئی گنا ہے۔ حوالہ جات ٹوپولوجی میں پودوں کے نظریات