Lie point symmetry
لائ پوائنٹ سمیٹری جدید ریاضی میں ایک تصور ہے۔ انیسویں صدی کے آخر میں، سوفس لی نے عام تفریقی مساوات (او ڈی ای) کے حل کا مطالعہ کرنے کے لیے لائ گروپ کا تصور متعارف کرایا۔ انہوں نے مندرجہ ذیل اہم خاصیت دکھائی: ایک عام تفریقی مساوات کی ترتیب کو ایک سے کم کیا جا سکتا ہے اگر یہ نقطہ تبدیلیوں کے ایک پیرامیٹر لائ گروپ کے تحت غیر متغیر ہو۔ اس مشاہدے نے انضمام کی دستیاب تکنیکوں کو متحد اور وسعت دی۔ لی نے اپنے ریاضیاتی کیریئر کا بقیہ حصہ ان مسلسل گروہوں کو تیار کرنے کے لیے وقف کر دیا جن کا اب ریاضی پر مبنی علوم کے بہت سے شعبوں پر اثر پڑتا ہے۔ تفریقی نظاموں میں جھوٹ گروپوں کے استعمال کو بنیادی طور پر جھوٹ اور ایمی نویتھر نے قائم کیا تھا، اور پھر ایلی کارٹن نے اس کی وکالت کی تھی۔ موٹے طور پر، کسی نظام کی لائ پوائنٹ سمیٹری تبدیلیوں کا ایک مقامی گروپ ہے جو نظام کے ہر حل کو اسی نظام کے دوسرے حل سے جوڑتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ نظام کے حل سیٹ کا نقشہ خود بناتا ہے۔ لائ گروپوں کی ابتدائی مثالیں ترجمے، گردش اور اسکیلنگ ہیں۔ لائ سمیٹری تھیوری ایک معروف موضوع ہے۔ اس میں مسلسل ہم آہنگی پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے، مثال کے طور پر، مجرد ہم آہنگی۔ اس نظریہ کا ادب دیگر جگہوں کے علاوہ ان نوٹوں میں پایا جا سکتا ہے۔ جائزہ ہم آہنگی کی اقسام جھوٹے گروپ اور اس لیے ان کے لامحدود جنریٹرز کو قدرتی طور پر آزاد متغیرات، ریاستی متغیرات (منحصر متغیرات) اور کسی بھی محدود ترتیب تک ریاستی متغیرات کے مشتقات کی جگہ پر عمل کرنے کے لیے "بڑھایا" جا سکتا ہے۔ ہم آہنگی کی اور بھی بہت سی قسمیں ہیں۔ مثال کے طور پر، رابطے کی تبدیلیاں تبدیلیوں کے کوفیشنٹس کو لامحدود جنریٹر کا انحصار کوآرڈینیٹس کے پہلے مشتقات پر بھی کرتی ہیں۔ لائ-بیکلنڈ تبدیلیاں انہیں صوابدیدی ترتیب تک مشتقات کو شامل کرنے دیتی ہیں۔ اس طرح کی ہم آہنگی کے وجود کے امکان کو نویتھر نے تسلیم کیا تھا۔ لائ پوائنٹ سمیٹریز کے لیے، لامحدود جنریٹرز کے کوفیشنٹس صرف نقاط پر منحصر ہوتے ہیں، جن کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ ایپلی کیشنز عام تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے جھوٹ کے ذریعے جھوٹ کی ہم آہنگی متعارف کرائی گئی تھی۔ ہم آہنگی کے طریقوں کا ایک اور اطلاق تفریق مساوات کے نظام کو کم کرنا، سادہ شکل کے تفریق مساوات کے مساوی نظام تلاش کرنا ہے۔ اسے تخفیف کہا جاتا ہے۔ ادب میں، کلاسیکی تخفیف کا عمل، اور حرکت پذیر فریم پر مبنی تخفیف کا عمل پایا جا سکتا ہے۔ اس کے علاوہ سمیٹری گروپوں کو حل کی مختلف سمیٹری کلاسوں کی درجہ بندی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جیومیٹریکل فریم ورک انفینٹیسیمل اپروچ لائ کے بنیادی نظریات اس بات پر زور دیتے ہیں کہ لائ گروپوں کی خصوصیت ان عناصر سے کی جا سکتی ہے جنہیں انفینٹیسیمل جنریٹر کہا جاتا ہے۔ یہ ریاضیاتی اشیاء لامحدود جنریٹرز کا لائ الجبرا بناتی ہیں۔ تخفیف شدہ "لامحدود ہم آہنگی کے حالات" (ہم آہنگی گروپ کی مساوات کی وضاحت) کو واضح طور پر حل کیا جا سکتا ہے تاکہ ہم آہنگی گروپوں کی بند شکل کو تلاش کیا جا سکے، اور اس طرح منسلک لامحدود جنریٹر۔ آتے ہیں کہ نقاط کا مجموعہ جس پر کسی نظام کی وضاحت کی جاتی ہے جہاں کی بنیادی حیثیت ہے۔ میدان میں ایک لامحدود جنریٹر ایک لکیری آپریٹر ہوتا ہے جس کے دانے میں ہوتا ہے اور جو لیبنز اصول کو مطمئن کرتا ہے: ابتدائی مشتقات کی مستند بنیاد میں، اسے اس طرح لکھا گیا ہے: جہاں میں سب کے لیے ہے۔ لامحدود جنریٹرز کے لائ گروپس اور لائ الجیبرا، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، لامحدود جنریٹرز کے پیدا کرنے والے سیٹ کے ذریعے لائ الجیبرا تیار کیے جا سکتے ہیں۔ ہر لائ گروپ کے لیے، کوئی بھی لائ الجبرا کو منسلک کر سکتا ہے۔ تقریبا، ایک لائ الجبرا ایک الجبرا ہے جو ایک ویکٹر اسپیس کے ذریعہ تشکیل دیا گیا ہے جو اضافی آپریشن کے طور پر لائ بریکٹ سے لیس ہے۔ جھوٹ الجبرا کا بنیادی میدان غیر متغیر کے تصور پر منحصر ہوتا ہے۔ یہاں صرف محدود جہتی لائ الجبرا پر غور کیا جاتا ہے۔ مسلسل متحرک نظام ایک متحرک نظام (یا بہاؤ) ایک پیرامیٹر گروپ ایکشن ہے۔ آئیے اس طرح کے متحرک نظام سے، زیادہ واضح طور پر، کئی گنا پر کسی گروپ کے (بائیں) عمل کی نشاندہی کرتے ہیں: جیسے کہ تمام نکات کے لیے: غیر جانبدار عنصر کہاں ہے ؛ سب کے لیے،۔ ایک مسلسل متحرک نظام کی وضاحت ایک ایسے گروپ پر کی جاتی ہے جس کی شناخت کی جا سکتی ہے یعنی۔ گروپ کے عناصر مسلسل ہوتے ہیں۔ ایک غیر متغیر، تقریبا بولتے ہوئے، ایک ایسا عنصر ہے جو تبدیلی کے تحت تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ لائ پوائنٹ سمیٹریز کی تعریف اس پیراگراف میں، ہم عین مطابق توسیع شدہ لائ پوائنٹ سمیٹریز پر غور کرتے ہیں یعنی۔ ہم ایک توسیعی جگہ میں کام کرتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ آزاد متغیر، ریاستی متغیرات اور پیرامیٹرز کے درمیان فرق سے زیادہ سے زیادہ گریز کیا جاتا ہے۔ کسی نظام کا سمیٹری گروپ ایک مسلسل متحرک نظام ہے جس کی وضاحت ایک مقامی لائ گروپ پر کی جاتی ہے جو کئی گنا پر کام کرتا ہے۔ وضاحت کی خاطر، ہم اپنے آپ کو n-جہتی حقیقی کئی گنا تک محدود رکھتے ہیں جہاں نظام کے نقاط کی تعداد ہے۔ الجبرائی نظاموں کی لائ پوائنٹ سمیٹریز آئیے ہم آنے والی سمیٹری کی تعریف میں استعمال ہونے والے الجبرائی نظاموں کی وضاحت کریں۔ الجبرائی نظام اس میدان پر عقلی افعال کا ایک محدود مجموعہ ہونے دیں جہاں اور کثیر الجہتی ہیں یعنی۔ متغیرات میں کوفیشنٹس کے ساتھ۔ ایک الجبرائی نظام سے وابستہ نظام کی تعریف درج ذیل مساوات اور عدم مساوات سے کی جاتی ہے: ایک الجبرائی نظام جس کی تعریف باقاعدگی سے کی جاتی ہے (a. k. a. ہموار) اگر نظام زیادہ سے زیادہ درجہ کا ہے، جس کا مطلب ہے کہ جیکوبین میٹرکس متعلقہ نیم الجبرائی قسم کے ہر حل پر درجہ کا ہے۔ لائ پوائنٹ سمیٹریز کی تعریف مندرجہ ذیل تھیوریم (دیکھیں th. 2 میں) ضروری اور کافی شرائط دیتا ہے تاکہ ایک مقامی لائ گروپ الجبرائی نظام کا ہم آہنگی گروپ ہو۔ نظریہ۔ آئیے n جہتی خلا میں کام کرنے والے مسلسل متحرک نظام کا ایک جڑا ہوا مقامی لائ گروپ بنیں۔ آئیے الجبرائی مساوات کے ایک باقاعدہ نظام کی وضاحت کریں: پھر اس الجبرائی نظام کا ایک سمیٹری گروپ ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، کے لائ الجبرا میں ہر لامحدود جنریٹر کے لیے۔ مثال 6 متغیرات کی جگہ پر بیان کردہ الجبرائی نظام پر غور کریں، یعنی: لامحدود جنریٹر ایک پیرامیٹر سمیٹری گروپوں میں سے ایک سے وابستہ ہے۔ یہ 4 متغیرات پر عمل کرتا ہے، یعنی اور۔ کوئی بھی آسانی سے اس کی تصدیق کر سکتا ہے۔ اس طرح تعلقات کسی بھی ایسے کے لیے مطمئن ہوتے ہیں جو الجبرائی نظام کو ختم کر دیتا ہے۔ لائ پوائنٹ سمیٹریز آف ڈائنامکل سسٹمز آئیے ہم آنے والی سمیٹری کی تعریف میں استعمال ہونے والے فرسٹ آرڈر او ڈی ایز کے سسٹمز کی وضاحت کرتے ہیں۔ ODEs اور اس سے وابستہ لامحدود جنریٹرز کے نظام W. r. t. سے ماخوذ ہیں۔ مسلسل آزاد متغیر۔ ہم دو سیٹوں پر غور کرتے ہیں۔ متعلقہ کوآرڈینیٹ سیٹ کی وضاحت کی گئی ہے اور اس کا بنیادی ہے۔ ان اشارے کے ساتھ، فرسٹ آرڈر او ڈی ایز کا نظام ایک ایسا نظام ہے جہاں: اور سیٹ او ڈی ایز ڈبلیو آر ٹی کے ریاستی متغیرات کے ارتقاء کی وضاحت کرتا ہے۔ آزاد متغیر۔ سیٹ کے عناصر کو ریاستی متغیر کہا جاتا ہے، یہ پیرامیٹرز کے ہوتے ہیں۔ کوئی بھی ایک مسلسل متحرک نظام کو او ڈی ای کے نظام سے اس کی مساوات کو حل کرکے بھی جوڑ سکتا ہے۔ ایک لامحدود جنریٹر ایک مشتق ہے جس کا او ڈی ای کے نظاموں سے گہرا تعلق ہے (زیادہ واضح طور پر مسلسل متحرک نظاموں سے)۔ ODEs کے نظام، متعلقہ ویکٹر فیلڈ اور لامحدود جنریٹر کے درمیان ربط کے لیے، کا سیکشن 1.3 دیکھیں۔ او ڈی ایز کے نظام سے وابستہ لامحدود جنریٹر، جو اوپر بیان کیا گیا ہے، کی تعریف اسی اشارے کے ساتھ کی گئی ہے جیسا کہ: لائ پوائنٹ سمیٹریز کی تعریف۔ ایک مسلسل متحرک نظام اور اس کا لامحدود جنریٹر ہونے دیں۔ ایک مسلسل متحرک نظام ایک لائ پوائنٹ سمیٹری ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، اس کے ہر مدار کو مدار میں بھیجتا ہے۔ لہذا، لامحدود جنریٹر لائ بریکٹ کی بنیاد پر درج ذیل تعلق کو مطمئن کرتا ہے: جہاں کا کوئی مستقل ہے اور یعنی۔ ۔ یہ جنریٹر لکیری طور پر آزاد ہیں۔ کسی کو اس کی ہم آہنگی کے لامحدود جنریٹرز کا حساب لگانے کے لیے کے واضح فارمولوں کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال پیئر فرانکوئس ورہلسٹ کے لاجسٹک گروتھ ماڈل پر لکیری پریڈیشن کے ساتھ غور کریں، جہاں ریاستی متغیر آبادی کی نمائندگی کرتا ہے۔ پیرامیٹر نمو اور شکار کی شرح کے درمیان فرق ہے اور پیرامیٹر ماحول کی قبول کرنے کی صلاحیت سے مطابقت رکھتا ہے: ODEs کے اس نظام سے وابستہ مسلسل متحرک نظام یہ ہے: آزاد متغیر مسلسل مختلف ہوتا ہے ؛ اس طرح منسلک گروپ کی شناخت اس کے ساتھ کی جا سکتی ہے۔ او ڈی ایز کے اس نظام سے وابستہ لامحدود جنریٹر یہ ہے: درج ذیل لامحدود جنریٹرز کا تعلق 2 جہتی سمیٹری گروپ سے ہے: سافٹ ویئر اس شعبے میں بہت سے سافٹ ویئر پیکیجز موجود ہیں۔ مثال کے طور پر، میپل کا پیکیج لائسمم پی ڈی ایز کے لیے کچھ لائ سمیٹری کے طریقے فراہم کرتا ہے۔ یہ تعین کرنے والے نظاموں کے انضمام اور تفریقی شکلوں میں بھی ہیرا پھیری کرتا ہے۔ چھوٹے نظاموں پر اس کی کامیابی کے باوجود، تعین کرنے والے نظاموں کو خود بخود حل کرنے کے لیے اس کی انضمام کی صلاحیتیں پیچیدگی کے مسائل کی وجہ سے محدود ہیں۔ DETools پیکیج ODEs کی لائ سمیٹریز کو تلاش کرنے کے لیے ویکٹر فیلڈز کی لمبائی کا استعمال کرتا ہے۔ او ڈی ایز کے لیے لائ سمیٹریز تلاش کرنا، عام صورت میں، اتنا ہی پیچیدہ ہو سکتا ہے جتنا کہ اصل نظام کو حل کرنا۔ حوالہ جات جھوٹ گروپس سمیٹری