Unit hyperbola
جیومیٹری میں، یونٹ ہائپربولا کارٹیسی طیارہ میں پوائنٹس (x، y) کا مجموعہ ہے جو مضمر مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ غیر معینہ مدت کے آرتھوگنل گروپوں کے مطالعہ میں، یونٹ ہائپربولا ایک متبادل ریڈیل لمبائی کی بنیاد بناتا ہے جبکہ یونٹ کا دائرہ اس کے مرکز کو گھیرے ہوئے ہوتا ہے، یونٹ ہائپربولا کو جہاز میں اس کی تکمیل کے لیے کنجوگیٹ ہائپربولا کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہائپربولاس کی یہ جوڑی بے علامات y = x اور y = −x کا اشتراک کرتی ہے۔ جب یونٹ ہائپربولا کا کنجوگیٹ استعمال میں ہوتا ہے، تو متبادل ریڈیل لمبائی ہوتی ہے۔ یونٹ ہائپربولا آئتاکار ہائپربولا کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں ایک خاص سمت، مقام اور پیمانہ ہوتا ہے۔ اس طرح، اس کی سنکیتا برابر ہوتی ہے۔ یونٹ ہائپربولا ایسی ایپلی کیشنز تلاش کرتا ہے جہاں تجزیاتی جیومیٹری کے مقاصد کے لیے دائرے کو ہائپربولا سے تبدیل کیا جانا چاہیے۔ ایک نمایاں مثال خلائی وقت کی ایک فرضی یوکلڈین جگہ کے طور پر عکاسی ہے۔ وہاں یونٹ ہائپربولا کے ایسمپٹوٹس ہلکے شنک کی تشکیل کرتے ہیں۔ مزید برآں، گریگوائر ڈی سینٹ ونسنٹ کے ذریعہ ہائپربولک شعبوں کے علاقوں پر توجہ مرکوز کرنے سے لوگرتھم فنکشن اور سیکٹر کے علاقوں کے لحاظ سے ہائپربولا کی جدید پیرامیٹریزیشن ہوئی۔ جب کنجوگیٹ ہائپربولس اور ہائپربولک زاویوں کے تصورات کو سمجھا جاتا ہے، تو کلاسیکی پیچیدہ اعداد، جو یونٹ کے دائرے کے ارد گرد بنائے جاتے ہیں، کو یونٹ ہائپربولہ کے ارد گرد بنائے گئے نمبروں سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ غیر علامات عام طور پر کسی منحنی خطوط پر غیر علامتی لکیروں کو منحنی خطوط کی طرف یکجا ہونے کے لیے کہا جاتا ہے۔ الجبرائی جیومیٹری اور الجبرائی منحنی خطوط کے نظریہ میں ایسمپٹوٹس کے لیے ایک مختلف نقطہ نظر ہے۔ منحنی خطوط کی تشریح سب سے پہلے پروجیکٹو طیارہ میں یکساں نقاط کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ پھر ایسمپٹوٹس ایسی لکیریں ہیں جو انفینیٹی پر ایک نقطہ پر پروجیکٹو وکر سے متصل ہوتی ہیں، اس طرح فاصلے کے تصور اور کنورجنس کی کسی بھی ضرورت کو روکتی ہیں۔ ایک مشترکہ فریم ورک میں (x، y، z) مساوات z = 0 کے ذریعہ طے شدہ لامحدود پر لائن کے ساتھ یکساں نقاط ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سی جی گبسن نے لکھا: R2 میں معیاری آئتاکار ہائپربولا کے لیے، متعلقہ پروجیکٹو وکر وہ ہے جو پوائنٹس P = (1:1:0) اور Q = (1: −1:0) پر z = 0 سے ملتا ہے۔ P اور Q دونوں F پر سادہ ہیں، جن میں ٹینجینٹ x + y = 0، x − y = 0 ہیں۔ اس طرح ہم ابتدائی جیومیٹری کے واقف 'ایسمپٹوٹس' کو بازیافت کرتے ہیں۔ منکوسکی خاکہ منکوسکی خاکہ ایک خلائی طیارہ میں تیار کیا گیا ہے جہاں مقامی پہلو کو ایک ہی جہت تک محدود رکھا گیا ہے۔ اس طرح کے سطح پر فاصلے اور وقت کی اکائیاں 30 سینٹی میٹر لمبائی اور نینو سیکنڈ، یا فلکیاتی اکائیاں اور 8 منٹ اور 20 سیکنڈ کے وقفے، یا ہلکے سال اور سال کی اکائیاں ہوتی ہیں۔ نقاط کے ان ترازو میں سے ہر ایک کے نتیجے میں سلوپ پلس یا مائنس ون کی اخترن لائنوں کے ساتھ واقعات کے فوٹون کنکشن ہوتے ہیں۔ پانچ عناصر خاکہ ہرمن منکوسکی پر مشتمل ہیں جو اضافیت کی تبدیلیوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں: یونٹ ہائپربولا، اس کا کنجوگیٹ ہائپربولا، ہائپربولا کے محور، یونٹ ہائپربولا کا قطر، اور کنجوگیٹ قطر۔ محوروں والا طیارہ حوالہ کے آرام دہ فریم سے مراد ہے۔ یونٹ ہائپربولا کا قطر رفتار a کے ساتھ حرکت میں حوالہ کے ایک فریم کی نمائندگی کرتا ہے جہاں تنہ a = y/x اور (x، y) یونٹ ہائپربولا پر قطر کا اختتامی نقطہ ہے۔ کنجوگیٹ قطر رفتار a کے مطابق بیک وقت کے مقامی ہائپرپلین کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس تناظر میں یونٹ ہائپربولا ایک انشانکن ہائپربولا ہے۔ عام طور پر اضافیت کے مطالعہ میں عمودی محور کے ساتھ ہائپربولا کو بنیادی طور پر لیا جاتا ہے: وقت کا تیر شکل کے نیچے سے اوپر تک جاتا ہے-یہ روایت رچرڈ فین مین نے اپنے مشہور خاکے میں اپنائی ہے۔ خلا کی نمائندگی وقت کے محور پر عمودی طیاروں کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یہاں اور اب درمیان میں ایک انفرادیت ہے۔ عمودی وقت محور کنونشن 1908 میں منکووسکی سے نکلا ہے، اور ایڈنگٹن کی دی نیچر آف دی فزیکل ورلڈ (1928) کے صفحہ 48 پر بھی اس کی تصویر کشی کی گئی ہے۔ پیرامیٹریزیشن یونٹ ہائپربولا کو پیرامیٹرائز کرنے کا ایک براہ راست طریقہ ہائپربولا xy = 1 پیرامیٹرائزڈ ایکسپونینشل فنکشن سے شروع ہوتا ہے: یہ ہائپربولا میٹرکس والی لکیری میپنگ کے ذریعے یونٹ ہائپربولا میں تبدیل ہو جاتا ہے۔ یہ پیرامیٹر t ہائپربولک زاویہ ہے، جو ہائپربولک افعال کی دلیل ہے۔ کسی کو ڈبلیو کے کلفورڈ کے عناصر آف ڈائنامک (1878) میں پیرامیٹرائزڈ یونٹ ہائپربولا کا ابتدائی اظہار ملتا ہے۔ وہ ہائپربولا میں نیم ہارمونک حرکت کو اس طرح بیان کرتا ہے: اس حرکت میں الپٹک ہارمونک حرکت سے کچھ متجسس مشابہت ہوتی ہے۔ ۔ اس طرح ایکسلریشن ہمیشہ مرکز سے فاصلے کے متناسب ہوتا ہے، جیسا کہ ایلیپٹک ہارمونک موشن میں ہوتا ہے، لیکن مرکز سے دور ہوتا ہے۔ ایک مخصوص کونک کے طور پر، ہائپربولا کو کونک پر پوائنٹس کے اضافے کے عمل کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ روسی تجزیہ کاروں کی طرف سے درج ذیل وضاحت دی گئی تھی: کونک پر ایک نقطہ E طے کریں۔ ان نکات پر غور کریں جن پر AB کے متوازی E کے ذریعے کھینچی گئی سیدھی لکیر شنک کو دوسری بار کاٹتی ہے جو کہ پوائنٹس A اور B کا مجموعہ ہے۔ فکسڈ پوائنٹ E = (1,0) والے ہائپربولا کے لیے پوائنٹس کا مجموعہ اور پیرامیٹریزیشن کے تحت نقطہ ہے اور یہ اضافہ پیرامیٹر t کے اضافے سے مطابقت رکھتا ہے۔ پیچیدہ طیارہ الجبرا جبکہ یونٹ کا دائرہ پیچیدہ نمبروں سے وابستہ ہے، یونٹ ہائپربولا اسپلٹ کمپلیکس نمبر پلین کی کلید ہے جو z = x + yj پر مشتمل ہے، جہاں j2 = + 1۔ پھر جے زیڈ = وائی + ایکس جے، تو طیارہ پر جے کا عمل نقاط کو تبدیل کرنا ہے۔ خاص طور پر، یہ عمل یونٹ ہائپربولا کو اس کے کنجوگیٹ کے ساتھ تبدیل کرتا ہے اور ہائپربولا کے کنجوگیٹ قطر کے جوڑوں کو تبدیل کرتا ہے۔ ہائپربولک اینگل پیرامیٹر a کے لحاظ سے، یونٹ ہائپربولا پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے، جہاں j = (0,1) ہے۔ یونٹ ہائپربولا کی دائیں شاخ مثبت گتانک سے مطابقت رکھتی ہے۔ درحقیقت، یہ شاخ جے-محور پر کام کرنے والے ایکسپونینشل نقشے کی تصویر ہے۔ اس طرح یہ شاخ منحنی ہے a پر منحنی خطوط کی ڈھلوان مشتق کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ کسی بھی a،) کے لیے ہائپربولک-آرتھوگنل ہے۔ یہ تعلق ایکسپ (a i) اور ایکسپ (a i) کی پرپینڈکیولرٹی کے مترادف ہے جب کہ i2 = −1 ہو۔ چونکہ شاخ ضرب کے تحت ایک گروپ ہے۔ سرکل گروپ کے برعکس، یہ یونٹ ہائپربولا گروپ کمپیکٹ نہیں ہے۔ عام پیچیدہ سطح کی طرح، ایک نقطہ جو ڈائیگنلز پر نہیں ہے اس میں یونٹ ہائپربولا کے پیرامیٹریزیشن اور متبادل ریڈیل لمبائی کا استعمال کرتے ہوئے قطبی سڑنا ہوتا ہے۔ حوالہ جات ایف۔ ریز ہاروی (1990) اسپنرز اینڈ کیلیبریشنز، شکل 4.33، صفحہ 70، اکیڈمک پریس،۔ کونک سیکشن 1 (نمبر) تجزیاتی جیومیٹری لکیری الجبرائی گروپس