Arcsine laws (Wiener process)
امکان کے نظریہ میں، آرکسین قوانین ایک جہتی بے ترتیب چہل قدمی اور براؤنین حرکت (وینر عمل) کے نتائج کا مجموعہ ہیں۔ ان میں سے سب سے مشہور سے منسوب کیا جاتا ہے۔ تینوں قوانین وینر عمل کی راستے کی خصوصیات کو آرکسین کی تقسیم سے متعلق کرتے ہیں۔ [0,1] پر ایک بے ترتیب متغیر X کو آرکسین تقسیم کیا جاتا ہے اگر قوانین کا بیان پورے میں ہم فرض کرتے ہیں کہ (Wt) 0 ≤ t ≤ 1 ωR [0,1] پر یک جہتی وینر عمل ہے۔ پیمانے کی غیر متغیریت اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ نتائج کو عام طور پر وینر کے عمل کے لیے عام کیا جا سکتا ہے جو t ω [0, ω] کے لیے چلتے ہیں۔ پہلا (لیوی کا) آرکسین قانون پہلا آرکسین قانون بتاتا ہے کہ وقت کا وہ تناسب جو یک جہتی وینر عمل مثبت ہے، آرکسین کی تقسیم کے بعد آتا ہے۔ آئیے [0,1] میں اوقات کے سیٹ کی پیمائش کریں جس پر وینر کا عمل مثبت ہے۔ پھر آرکسین تقسیم کیا جاتا ہے۔ دوسرا آرکسین قانون دوسرا آرکسین قانون آخری بار وینر عمل کے نشان کو تبدیل کرنے کی تقسیم کو بیان کرتا ہے۔ آخری صفر کا وقت ہونے دیں۔ پھر L آرکسین تقسیم شدہ ہے۔ تیسرا آرکسین قانون تیسرا آرکسین قانون بیان کرتا ہے کہ جس وقت وینر عمل اپنی زیادہ سے زیادہ حد تک پہنچتا ہے وہ آرکسین تقسیم ہوتا ہے۔ قانون کا بیان اس حقیقت پر منحصر ہے کہ وینر کے عمل میں تقریبا یقینی طور پر منفرد زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے، اور اس لیے ہم بے ترتیب متغیر M کی وضاحت کر سکتے ہیں جو وہ وقت ہے جس پر زیادہ سے زیادہ حاصل کیا جاتا ہے۔ یعنی۔ منفرد M ایسا ہے کہ پھر M آرکسین تقسیم شدہ ہے۔ دوسرے اور تیسرے قوانین کی مساوات وینر عمل کے چلنے والے زیادہ سے زیادہ عمل Mt کی وضاحت کرتے ہوئے Xt = Mt − Wt کے قانون میں وہی قانون ہے جو عکاسی شدہ وینر عمل |Bt | ہے (جہاں Bt ایک وینر عمل ہے جو Wt سے آزاد ہے)۔ چونکہ B اور |B | کے صفر ایک ساتھ ملتے ہیں، اس لیے X کے آخری صفر کی تقسیم L کے برابر ہے، جو وینر عمل کا آخری صفر ہے۔ X کا آخری صفر بالکل اس وقت ہوتا ہے جب W اپنی زیادہ سے زیادہ حد تک پہنچ جاتا ہے۔ اس کے بعد دوسرے اور تیسرے قوانین مساوی ہیں۔ نوٹ حوالہ جات وینر عمل شماریاتی میکانکس