Schwarz's list
خصوصی افعال کے ریاضیاتی نظریہ میں، شوارز کی فہرست یا شوارٹز ٹیبل 15 صورتوں کی فہرست ہے جو اس وقت ملتی ہے جب ہائپر جیومیٹرک افعال کو الجبرائی طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، یہ پیرامیٹرز کی ایک فہرست ہے جو ان صورتوں کا تعین کرتی ہے جن میں ہائپر جیومیٹرک مساوات کا ایک محدود مونوڈرومی گروپ ہوتا ہے، یا اس کے مساوی طور پر دو آزاد حل ہوتے ہیں جو الجبرائی افعال ہوتے ہیں۔ اس میں 15 کیسوں کی فہرست دی گئی ہے، جنہیں مونوڈرومی گروپ کے آئسومورفزم کلاس کے ذریعہ تقسیم کیا گیا ہے (ایک چکور گروپ کے معاملے کو چھوڑ کر)، اور سب سے پہلے شوارز نے پیچیدہ تجزیاتی جیومیٹری کے طریقوں سے اخذ کیا تھا۔ اسی کے مطابق بیان براہ راست ہائپر جیومیٹرک مساوات کی وضاحت کرنے والے پیرامیٹرز کے لحاظ سے نہیں ہے، بلکہ کچھ کروی مثلثوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والی مقدار کے لحاظ سے ہے۔ ٹیبل کی وسیع تر اہمیت، پیچیدہ سطح میں عام دوسرے درجے کی تفریقی مساوات کے لیے، فیلکس کلین نے دکھائی، جس نے اس اثر کا نتیجہ ثابت کیا کہ اس طرح کی مساوات اور باقاعدہ انفرادیت کے لیے محدود مونوڈروم کے معاملات کو متغیر کی تبدیلیوں سے منسوب کیا جا سکتا ہے (ریمن دائرے کی پیچیدہ تجزیاتی نقشہ سازی خود) جو مساوات کو ہائپر جیومیٹرک شکل میں کم کرتی ہے۔ حقیقت میں اس سے بھی زیادہ درست ہے: شوارز کی فہرست تمام دوسرے درجے کی مساوات کو مستقل انفرادیت کے ساتھ کمپیکٹ ریمن کی سطحوں پر محدود مونوڈرومی کے ساتھ، ریمن کے دائرے پر ہائپر جیومیٹرک مساوات سے ایک پیچیدہ تجزیاتی نقشہ سازی کے ذریعے، مساوات کے اعداد و شمار سے قابل حساب ڈگری کے پل بیک کے ذریعے زیر کرتی ہے۔ اعداد تین واحد نکات پر ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کے متغیرات کے فرق ہیں (تغیرات، اشاروں کی تبدیلیوں اور یکساں کے ساتھ اضافے تک)۔ وہ عقلی اعداد ہیں اگر اور صرف اس صورت میں اور ہیں، ایک نقطہ جو نظریہ کے جیومیٹرک نقطہ نظر کے بجائے ریاضی میں اہمیت رکھتا ہے۔ مزید کام شوارز کے نتائج کی توسیع ٹی کمورا نے دی تھی، جس نے ایسے معاملات سے نمٹا جہاں ہائپر جیومیٹرک مساوات کے تفریق گالوئس گروپ کا شناختی جزو ایک قابل حل گروپ ہے۔ تفریق گالوئس گروپ G اور مونوڈرومی گروپ کو جوڑنے والا ایک عمومی نتیجہ γ بیان کرتا ہے کہ G γ کی زرسکی بندش ہے-اس نظریہ کو متسودا کی کتاب میں مشیو کوگا سے منسوب کیا گیا ہے۔ عمومی تفریق گالوئس نظریہ کے مطابق، اس کے نتیجے میں کمورا-شوارز ٹیبل الجبرائی افعال اور کواڈریچروں کے ذریعہ مساوات کی انضمام کے معاملات کی درجہ بندی کرتا ہے۔ ایک اور متعلقہ فہرست کے ٹیکوچی کی ہے، جس نے (ہائپربولک) مثلث گروپوں کی درجہ بندی کی جو ریاضی کے گروپ ہیں (85 مثالیں)۔ ایمیل پیکارڈ نے شوارز کے کام کو پیچیدہ جیومیٹری میں، ایک عمومی ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے ذریعے، مساوات کے ایسے معاملات کی تعمیر کے لیے بڑھانے کی کوشش کی جہاں مونوڈرومی پروجیکٹو یونٹری گروپ پی یو (1، این) میں ایک مجرد گروپ تھا۔ پیئر ڈیلیگن اور جارج موسٹو نے اپنے خیالات کو پروجیکٹو یونٹیری گروپ میں جالی بنانے کے لیے استعمال کیا۔ یہ کام کلاسیکی معاملے میں ٹیکوچی کی فہرست کی حد کو بحال کرتا ہے، اور ان جالی کی خصوصیت کے ذریعے جو وہ بناتے ہیں جو ریاضی کے گروپ ہیں، پی یو (1، این) میں غیر ریاضی کے جالی کی نئی مثالیں فراہم کرتے ہیں۔ بالڈاساری نے شوارز فہرست کے ذریعے لیم مساوات کے الجبرائی حل پر بحث کرنے کے لیے کلین عالمگیریت کا اطلاق کیا۔ دیگر ہائپر جیومیٹرک افعال جن کا اظہار الجبرائی طور پر کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ شوارز کی فہرست میں، نظریاتی طبیعیات میں دو جہتی گیج نظریات کی اخترتی کے تناظر میں پیدا ہوتے ہیں۔ شوارز مثلث نوٹ حوالہ جات غیر لکیری شوارز کی فہرست کی طرف بیرونی لنکس (پی ڈی ایف) ہائپر جیومیٹرک افعال بھی دیکھیں۔