Discrete Chebyshev polynomials
ریاضی میں، مجرد چیبیشیف کثیر الجہتی، یا گرام کثیر الجہتی، ایک قسم کے مجرد آرتھوگنل کثیر الجہتی ہیں جو تخمینہ نظریہ میں استعمال ہوتے ہیں، جنہیں پافنٹی چیبیشیف نے متعارف کرایا اور گرام نے دوبارہ دریافت کیا۔ بعد میں یہ سپن اینگولر مومنٹم کی مختلف الجبرائی خصوصیات پر لاگو ہوتے پائے گئے۔ ابتدائی تعریف مجرد چیبیشیف کثیر الجہتی x میں n ڈگری کا ایک کثیر الجہتی ہے، کیونکہ، اس طرح تعمیر کیا گیا ہے کہ غیر مساوی ڈگری کے دو کثیر الجہتی ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہونے کے ساتھ وزن کی تقریب کے حوالے سے آرتھوگنل ہوں۔ یعنی، بائیں طرف کا انٹیگرل دراصل ڈیلٹا فنکشن کی وجہ سے ایک مجموعہ ہے، اور ہمارے پاس ہے، اس طرح، اگرچہ یہ ایک کثیر الجہتی ہے، لیکن صرف نکات کے مجرد سیٹ پر اس کی اقدار کی کوئی اہمیت ہے۔ بہر حال، چونکہ ان کثیر الجہتی کو غیر منفی وزن کی تقریب کے حوالے سے آرتھوگونالیٹی کے لحاظ سے بیان کیا جاسکتا ہے، اس لیے آرتھوگونل کثیر الجہتی کا پورا نظریہ لاگو ہوتا ہے۔ خاص طور پر، کثیر الجہتی اس معنی میں مکمل ہیں کہ چیبیشیف نے معمول کا انتخاب کیا تاکہ یہ کثیر الجہتی کو سائن کنونشن کے ساتھ مکمل طور پر طے کرے۔ اگر آزاد متغیر کو لکیری طور پر اسکیل کیا جاتا ہے اور منتقل کیا جاتا ہے تاکہ اختتامی نکات اقدار کو فرض کریں اور پھر، ایک مستقل کے اوقات کے طور پر، لیجنڈری کثیر الجہتی کہاں ہے۔ اعلی درجے کی تعریف آئیے ایک ہموار فنکشن ہو جس کی وضاحت بند وقفہ [−1,1] پر کی گئی ہے، جس کی اقدار واضح طور پر صرف پوائنٹس پر معلوم ہوتی ہیں، جہاں k اور m عدد ہیں اور۔ کام f کو ڈگری n <m کے کثیر الجہتی کے طور پر لگ بھگ کرنا ہے۔ ایک مثبت نیم متعین دو لکیری شکل پر غور کریں جہاں اور [−1,1] پر مسلسل ہیں اور ایک مجرد نیم معمول ہونے دیں۔ جب بھی برابر نہ ہو تو ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل کثیر الجہتی کا ایک خاندان ہونے دیں۔ فرض کریں کہ تمام کثیر الجہتی میں ایک مثبت لیڈنگ گتانک ہوتا ہے اور وہ اس طرح سے نارمل ہوتے ہیں کہ انہیں مجرد چیبیشیف (یا گرام) کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ اسپن الجبرا کے ساتھ تعلق مجرد چیبیشیف کثیر الجہتی کا اسپن کی مختلف الجبرائی خصوصیات کے ساتھ حیرت انگیز تعلق ہے: اسپن منتقلی کے امکانات، آئن سٹائن-پوڈولسکی-روزن تجربے کے بوہم کے اسپن-ایس ورژن میں اسپن کے مشاہدات کے امکانات، اور مختلف اسپن ریاستوں کے لیے وگنر افعال۔ خاص طور پر، کثیر الجہتی گردش میٹرکس (وگنر D-میٹرکس) کے مطلق مربع کے آئجین ویکٹر بن جاتے ہیں۔ متعلقہ آئجین ویلیو لیجنڈری کثیر الجہتی ہے، جہاں گردش کا زاویہ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر معمول کی کونیی مومنٹم یا اسپن آئجین اسٹیٹس کہاں ہیں، اور پھر آئجین ویکٹر چیبیشیف کثیر الجہتی کے اسکیلڈ اور شفٹڈ ورژن ہیں۔ انہیں منتقل کیا جاتا ہے تاکہ متعلقہ، اور متعلقہ کے بجائے پوائنٹس پر سپورٹ حاصل ہو۔ اس کے علاوہ، اسکیل کیا جا سکتا ہے تاکہ معمول کی دیگر شرائط کی پابندی کی جا سکے۔ مثال کے طور پر، کوئی یہ مطالبہ کر سکتا ہے کہ وہ اس کے ساتھ مطمئن ہوں۔ حوالہ جات آرتھوگنل کثیر الجہتی تخمینہ نظریہ