Schur algebra
ریاضی میں، شور الجبرا، جس کا نام اسائی شور کے نام پر رکھا گیا ہے، کچھ محدود جہتی الجبرا ہیں جو عام لکیری اور سمیٹرک گروپوں کے درمیان شور ویل دوہری سے قریب سے وابستہ ہیں۔ ان کا استعمال ان دونوں گروہوں کے نمائندگی کے نظریات کو جوڑنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ ان کے استعمال کو جے کے بااثر مونوگراف نے فروغ دیا۔ اے۔ گرین پہلی بار 1980 میں شائع ہوا۔ "شور الجبرا" نام سبز رنگ کی وجہ سے ہے۔ ماڈیولر معاملے میں (مثبت خصوصیت کے لامحدود شعبوں پر) گورڈن جیمز اور کیرن ایرڈمین نے شور الجبرا کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا تھا کہ عام لکیری گروپوں اور سمیٹرک گروپوں کے لیے سڑنے والے نمبروں کی کمپیوٹنگ کے (اب بھی کھلے) مسائل دراصل مساوی ہیں۔ فریڈ لینڈر اور سوسلن نے محدود گروپ اسکیموں کی ہم آہنگی کی محدود نسل کو ثابت کرنے کے لیے شور الجبرا کا استعمال کیا۔ تعمیر شور الجبرا کی تعریف کسی بھی مواصلاتی رنگ اور انٹیجرز کے لیے کی جا سکتی ہے۔ متغیرات کی آمد و رفت میں کثیر الجہتی کے الجبرا (کوفیشنٹس کے ساتھ) پر غور کریں، 1 ≤ i، j ≤۔ ڈگری کے یکساں کثیر الجہتی سے ظاہر کریں۔ کے عناصر مونومیلز کے کے-لکیری امتزاج ہیں جو جنریٹرز کو ایک ساتھ ضرب دے کر تشکیل پاتے ہیں (تکرار کی اجازت دیتے ہیں)۔ اس طرح اب، مجموعہ کے ساتھ ایک قدرتی کوئلہ الجبرا ڈھانچہ ہے اور جنریٹرز پر (کرونکرز ڈیلٹا) کے ذریعہ دیئے گئے الجبرا ہومومورفزم کو شمار کرتا ہے۔ چونکہ ملٹی پلیکیشن ایک الجبرہ ہومومورفزم ہے، اس لیے یہ ایک دو الجبرہ ہے۔ یہ آسانی سے چیک کیا جا سکتا ہے کہ یہ ہر r ≤ 0 کے لیے بائل الجبرہ کا ذیلی کوئلہ الجبرا ہے۔ تعریف۔ شور الجبرا (ڈگری میں) الجبرا ہے۔ یعنی لکیری ڈوئل ہے۔ یہ ایک عام حقیقت ہے کہ کوئلہ الجبرا کا لکیری ڈوئل قدرتی انداز میں ایک الجبرا ہے، جہاں الجبرا میں ضرب کوئلہ الجبرا میں جمع کو دوگنا کرنے سے ہوتی ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، لکیری فنکشنلز کو دیکھتے ہوئے، ان کے پروڈکٹ کو لکیری فنکشنل کے طور پر بیان کریں۔ فنکشنلز کے اس ضرب کے لیے شناختی عنصر کاؤنٹ ہے۔ اہم خصوصیات سب سے بنیادی خصوصیات میں سے ایک سنٹرلائزر الجبرا کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ آئیے رینک کالم ویکٹروں کی جگہ پر ہوں، اور ٹینسر پاور بنائیں۔ پھر حروف پر سمیٹرک گروپ قدرتی طور پر ٹینسر اسپیس پر جگہ کی ترتیب کے ذریعے کام کرتا ہے، اور کسی میں آئسومورفزم ہوتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، سمیٹرک گروپ کے عمل کے ساتھ آنے والی ٹینسر اسپیس کے اینڈومورفزم کے الجبرا کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ بائنومیل گتانک کے ذریعہ دی گئی درجہ بندی سے آزاد ہے۔ کے مختلف اڈے معلوم ہیں، جن میں سے بہت سے نیم معیاری نوجوان ٹیبلو کی شکل کے جوڑوں کے ذریعہ انڈیکس کیے گئے ہیں، جیسا کہ حصوں کے سیٹ پر مختلف ہوتا ہے۔ اگر k ایک لامحدود فیلڈ ہے، تو اس پر عمل کرنے والے عمومی لکیری گروپ کے عمل کے لیے لفافے والے الجبرا (H. Weyl کے معنی میں) کے ساتھ بھی شناخت کی جا سکتی ہے (ٹینسرز پر اخترن عمل کے ذریعے، میٹرکس ضرب کے ذریعے دیئے گئے پر کے قدرتی عمل سے متاثر)۔ شور الجبراز کو "انٹیجرز پر بیان کیا گیا ہے"۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ وہ اسکیلرز پراپرٹی کی درج ذیل تبدیلی کو پورا کرتے ہیں: کسی بھی مواصلاتی رنگ کے لیے۔ شور الجبراس نیم موروثی الجبراس کی قدرتی مثالیں فراہم کرتے ہیں (جیسا کہ کلائن، پارشل اور اسکاٹ نے بیان کیا ہے)، اور اس طرح اچھی ہم جنسیاتی خصوصیات رکھتے ہیں۔ خاص طور پر، شور الجبراس کی محدود عالمی جہت ہوتی ہے۔ جنرلائزیشنز جنرلائزڈ شور الجبرا (کسی بھی تخفیف الجبرائی گروپ سے وابستہ) کو 1980 کی دہائی میں ڈونکن نے متعارف کرایا تھا۔ یہ بھی نیم موروثی ہیں۔ تقریبا اسی وقت، ڈپر اور جیمز نے مقداری شور الجبرا (یا مختصر میں ق-شور الجبرا) متعارف کروائے، جو اوپر بیان کردہ کلاسیکی شور الجبرا کی ایک قسم ہے، جس میں ہم آہنگی گروپ کو متعلقہ ہیک الجبرا اور عمومی لکیری گروپ کو ایک مناسب کوانٹم گروپ سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ عام کردہ ق-شور الجبرا بھی ہیں، جو ڈپر اور جیمز کے کام کو اسی طرح عام کرکے حاصل کیے جاتے ہیں جس طرح ڈونکن نے کلاسیکی شور الجبرا کو عام کیا تھا۔ مزید عامیاں ہیں، جیسے افائن ق-شور الجبرا جو افائن کاک-موڈی لائ الجبرا سے متعلق ہیں اور دیگر عامیاں، جیسے سائکلوٹومک ق-شور الجبرا جو اریکی-کوئیک الجبرا سے متعلق ہیں (جو کچھ پیچیدہ عکاسی گروپوں کی ق-اخترتی ہیں)۔ عام کرنے کی ان مختلف کلاسوں کا مطالعہ عصری تحقیق کا ایک فعال شعبہ تشکیل دیتا ہے۔ مزید پڑھنے والے حوالہ جات اسٹیورٹ مارٹن، شور الجیبراس اینڈ ریپریزنٹیشن تھیوری، کیمبرج یونیورسٹی پریس 1993۔، اینڈریو ماتھاس، ایواہوری ہیک الجیبراس اینڈ شور الجیبراس آف دی سمیٹرک گروپ، یونیورسٹی لیکچر سیریز، vol.15، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، 1999۔، ہرمن ویل، دی کلاسیکل گروپس۔ ان کے متغیرات اور نمائشیں۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، پرنسٹن، این جے، 1939۔ الجبرا ریپریزنٹیشن تھیوری