Welch bounds
ریاضی میں ویلچ باؤنڈ عدم مساوات کا ایک خاندان ہے جو ویکٹر اسپیس میں یونٹ ویکٹرز کے ایک سیٹ کو یکساں طور پر پھیلانے کے مسئلے سے متعلق ہے۔ حدود ٹیلی کمیونیکیشن انجینئرنگ میں خاص طور پر کوڈنگ تھیوری میں بعض طریقوں کے ڈیزائن اور تجزیہ میں اہم اوزار ہیں۔ حدود اصل میں ایل آر ویلچ کے 1974 کے ایک مقالے میں شائع ہوئی تھیں۔ ریاضیاتی بیان اگر یونٹ ویکٹر ہیں، تو وضاحت کریں، معمول کا اندرونی پروڈکٹ کہاں ہے۔ پھر درج ذیل عدم مساوات برقرار ہیں: ویلچ کی حدود کو بعض اوقات ویکٹروں کے سیٹ کے درمیان اوسط مربع اوورلیپ کے لحاظ سے بھی بیان کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، کسی کے پاس عدم مساوات کا اطلاق ہوتا ہے اگر، تب ویکٹر ایک آرتھونورمل سیٹ تشکیل دے سکتے ہیں۔ اس صورت میں، اور حدود خالی ہیں۔ نتیجتا، حدود کی تشریح صرف تب ہی معنی خیز ہوتی ہے جب۔ یہ اس مضمون کے بقیہ حصے میں فرض کیا جائے گا۔ k = 1 کا ثبوت "پہلا ویلچ باؤنڈ"، جس سے مطابقت رکھتا ہے، اب تک ایپلی کیشنز میں سب سے زیادہ استعمال ہوتا ہے۔ اس کا ثبوت دو مراحل میں آگے بڑھتا ہے، جن میں سے ہر ایک زیادہ بنیادی ریاضیاتی عدم مساوات پر منحصر ہے۔ پہلا مرحلہ کاچی-شوارز عدم مساوات کو مدعو کرتا ہے اور ویکٹروں کے گرام میٹرکس پر غور کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ یعنی، کا سراغ اس کی آئجین ویلیوز کے مجموعے کے برابر ہے۔ کیونکہ کی درجہ بندی زیادہ سے زیادہ ہے، اور یہ ایک مثبت سیمیڈفائنٹ میٹرکس ہے، اس میں زیادہ سے زیادہ مثبت آئجن ویلیوز ہوتی ہیں اور اس کی بقیہ آئجن ویلیوز صفر کے برابر ہوتی ہیں۔ کے غیر صفر آئجین ویلیوز کو اس کے ساتھ لکھنا اور کاچی-شوارز عدم مساوات کو ایک ویکٹر والے ویکٹر کے-ویکٹر کے اندرونی پروڈکٹ پر لاگو کرنا جس کے اجزاء یہ آئجین ویلیوز ہیں اس سے فائدہ ہوتا ہے۔ کے فروبینیوس معیار (ہلبرٹ-شمڈٹ معیار) کا مربع مطمئن کرتا ہے۔ اسے سابقہ عدم مساوات کے ساتھ مل کر لینے سے ملتا ہے کیونکہ ہر ایک کی اکائی کی لمبائی ہوتی ہے، مرکزی اخترن پر موجود عناصر ایک ہوتے ہیں، اور اسی وجہ سے اس کا سراغ ہوتا ہے۔ تو، یا ثبوت کا دوسرا حصہ ایک عدم مساوات کا استعمال کرتا ہے جس میں سادہ مشاہدہ شامل ہے کہ غیر منفی اعداد کے سیٹ کی اوسط سیٹ میں سب سے بڑی تعداد سے زیادہ نہیں ہو سکتی۔ ریاضیاتی اشارے میں، اگر کے لیے، تو پچھلے اظہار کے مجموعے میں غیر منفی اصطلاحات ہیں، جن میں سے سب سے بڑا ہے۔ تو، یا جو قطعی طور پر ویلچ کی طرف سے دی گئی عدم مساوات ہے۔ ویلچ حدود کا حصول بعض ٹیلی کمیونیکیشن ایپلی کیشنز میں، ویکٹروں کے سیٹ بنانا مطلوب ہے جو ویلچ حدود کو برابری کے ساتھ پورا کرتے ہیں۔ باؤنڈ کے لیے ویکٹر کے نام نہاد ویلچ باؤنڈ ایکویلیٹی (ڈبلیو بی ای) سیٹ حاصل کرنے کے لیے کئی تکنیکیں متعارف کرائی گئی ہیں۔ اوپر دیے گئے ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ ویلچ باؤنڈ میں دو الگ الگ ریاضیاتی عدم مساوات شامل ہیں۔ کاچی-شوارز عدم مساوات کا مقابلہ مساوات سے ہوتا ہے جب اس میں شامل دو ویکٹر کالینیئر ہوتے ہیں۔ جس طرح سے اسے مندرجہ بالا ثبوت میں استعمال کیا جاتا ہے، یہ اس وقت ہوتا ہے جب گرام میٹرکس کے تمام غیر صفر آئجن ویلیوز برابر ہوتے ہیں، جو بالکل اس وقت ہوتا ہے جب ویکٹر ایک تنگ فریم تشکیل دیتے ہیں۔ ثبوت میں دوسری عدم مساوات کو مساوات سے مطمئن کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے ہر انتخاب کے لیے یکساں ہو۔ اس صورت میں، ویکٹر مساوی ہیں۔ لہذا اس ویلچ باؤنڈ کو مساوات کے ساتھ پورا کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ویکٹر کا سیٹ ایک مساوی تنگ فریم ہو۔ اسی طرح، ویلچ کی حدود جو اوسط مربع اوورلیپ کے لحاظ سے بیان کی گئی ہیں، سب کے لیے سنترپت ہوتی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس میں ویکٹروں کا سیٹ ایک-ڈیزائن ہو۔ مزید دیکھیں کروی ڈیزائن کوانٹم ٹی-ڈیزائن مساوی لکیریں حوالہ جات عدم مساوات