Symmetric space
ریاضی میں، ایک سمیٹرک اسپیس ایک ریمینیئن کئی گنا (یا زیادہ عام طور پر، ایک چھدم-ریمینیئن کئی گنا) ہے جس کی سمیٹریز کا گروپ ہر نقطہ کے بارے میں الٹ سمیٹری پر مشتمل ہوتا ہے۔ اس کا مطالعہ ریمینین جیومیٹری کے ٹولز کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں تھیوری آف ہولونومی میں نتائج سامنے آتے ہیں ؛ یا الجبرائی طور پر لائ تھیوری کے ذریعے، جس نے کارٹن کو مکمل درجہ بندی دینے کی اجازت دی۔ سمیٹرک خالی جگہیں عام طور پر تفریقی جیومیٹری، نمائندگی کے نظریہ اور ہارمونک تجزیہ میں پائی جاتی ہیں۔ ہندسی اصطلاحات میں، ایک مکمل، محض جڑا ہوا ریمینیئن کئی گنا ایک ہم آہنگ جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا منحنی ٹینسر متوازی نقل و حمل کے تحت غیر متغیر ہو۔ زیادہ عام طور پر، ایک ریمینیئن کئی گنا (M، g) کو سمیٹرک کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، M کے ہر نقطہ p کے لیے، M فکسنگ p کی ایک آئسومیٹری موجود ہو اور ٹینجینٹ اسپیس پر منفی شناخت کے طور پر کام کرے (ہر سمیٹرک اسپیس مکمل ہے، کیونکہ کسی بھی جیوڈیسیک کو اختتامی نکات کے بارے میں سمیٹریز کے ذریعے غیر معینہ مدت تک بڑھایا جا سکتا ہے)۔ دونوں وضاحتوں کو قدرتی طور پر چھدم-ریمینیئن کئی گنا کی ترتیب تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ لائ تھیوری کے نقطہ نظر سے، ایک سمیٹرک اسپیس ایک منسلک لائ گروپ G کا حصص G/H ہے جو ایک لائ ذیلی گروپ H کے ذریعہ ہے جو کہ G کے ارتقاء کے غیر متغیر گروپ کا (ایک منسلک جزو) ہے۔ اس تعریف میں ریمینی تعریف سے زیادہ شامل ہے، اور جب H کمپیکٹ ہوتا ہے تو اس میں کمی واقع ہوتی ہے۔ ریاضیات اور طبیعیات دونوں میں مختلف قسم کے حالات میں ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہیں پیدا ہوتی ہیں۔ ہولوونومی کے نظریہ میں ان کا مرکزی کردار مارسل برجر نے دریافت کیا تھا۔ وہ نمائندگی کے نظریہ اور ہارمونک تجزیہ کے ساتھ ساتھ تفریقی جیومیٹری میں مطالعہ کے اہم مقاصد ہیں۔ جیومیٹرک تعریف فرض کریں کہ M ایک جڑا ہوا ریمینیئن کئی گنا اور p کا ایک نقطہ M ہے۔ p کے پڑوس کے ایک ڈفیومورفزم f کو جیوڈیسیک سمیٹری کہا جاتا ہے اگر یہ نقطہ p کو طے کرتا ہے اور اس نقطہ کے ذریعے جیوڈیکس کو الٹ دیتا ہے، یعنی۔ اگر γ ایک جیوڈیسیک ہے تو اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ p پر نقشہ f کا مشتق p کی ٹینجینٹ اسپیس پر شناخت کا نقشہ مائنس ہے۔ عام ریمینیئن کئی گنا پر، f کو آئسومیٹرک ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اور نہ ہی اسے عام طور پر، p کے پڑوس سے تمام M تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ M کو مقامی طور پر ریمینیئن سمیٹرک کہا جاتا ہے اگر اس کی جیوڈیسیک سمیٹریز حقیقت میں آئسومیٹرک ہوں۔ یہ منحنی ٹینسر کے کوویرینٹ مشتق کے غائب ہونے کے برابر ہے۔ مقامی طور پر سمیٹرک اسپیس کو (عالمی سطح پر) سمیٹرک اسپیس کہا جاتا ہے اگر اس کے علاوہ اس کی جیوڈیسیک سمیٹریز کو تمام ایم پر آئسومیٹریز تک بڑھایا جا سکے۔ بنیادی خصوصیات کارٹن-ایمبروس-ہکس تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایم مقامی طور پر ریمینیئن سمیٹرک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا کرویچر ٹینسر متغیر طور پر مستقل ہو، اور اس کے علاوہ کہ ہر آسانی سے جڑا ہوا، مقامی طور پر مکمل ریمینیئن سمیٹرک اسپیس دراصل ریمینیئن سمیٹرک ہو۔ ہر ریمینیائی سمیٹرک اسپیس M مکمل اور ریمینیائی یکساں ہے (جس کا مطلب ہے کہ M کا آئسومیٹری گروپ M پر عارضی طور پر کام کرتا ہے)۔ درحقیقت، آئسومیٹری گروپ کا شناختی جزو پہلے سے ہی ایم پر عارضی طور پر کام کرتا ہے (کیونکہ ایم جڑا ہوا ہے)۔ مقامی طور پر ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہیں جو ریمینیائی سمیٹرک نہیں ہیں، ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کے کوٹینٹس کے طور پر بغیر کسی مقررہ نکات کے آئسومیٹریز کے مجرد گروپوں کے ذریعے، اور (مقامی طور پر) ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کے کھلے ذیلی سیٹوں کے طور پر تعمیر کی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر ریمینیائی ہم آہنگی خالی جگہوں کی بنیادی مثالیں یوکلڈین اسپیس، دائرے، پروجیکٹو اسپیس، اور ہائپربولک اسپیس ہیں، جن میں سے ہر ایک اپنے معیاری ریمینیائی میٹرکس کے ساتھ ہے۔ مزید مثالیں کمپیکٹ، نیم سادہ لائ گروپوں کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہیں جو دو متغیر ریمینیئن میٹرک سے لیس ہوتے ہیں۔ 1 سے زیادہ جینس کی ہر کمپیکٹ ریمن سطح (مستقل منحنی-1 کے اپنے معمول کے میٹرک کے ساتھ) ایک مقامی طور پر ہم آہنگ جگہ ہے لیکن ہم آہنگ جگہ نہیں ہے۔ ہر لینس کی جگہ مقامی طور پر ہم آہنگ ہوتی ہے لیکن ہم آہنگ نہیں ہوتی، سوائے اس کے کہ ہم آہنگ ہوتی ہے۔ لینس کی خالی جگہیں ایک مجرد آئسومیٹری کے ذریعہ 3 دائرے کے حصص ہیں جن کے کوئی مقررہ نکات نہیں ہیں۔ غیر ریمینین سمیٹرک اسپیس کی ایک مثال اینٹی ڈی سیٹر اسپیس ہے۔ الجبرائی تعریف G کو ایک جڑا ہوا جھوٹ گروپ ہونے دیں۔ پھر G کے لیے ایک ہم آہنگ جگہ ایک یکساں جگہ G/H ہے جہاں ایک عام نقطہ کا اسٹیبلائزر H آٹو (G) میں ارتقاء σ کے فکسڈ پوائنٹ سیٹ کا ایک کھلا ذیلی گروپ ہے۔ اس طرح σ G کا ایک آٹومورفزم ہے جس میں σ2 = آئی ڈی جی ہے اور H غیر متغیر سیٹ کا ایک کھلا ذیلی گروپ ہے کیونکہ H کھلا ہے، یہ Gσ کے اجزاء کا اتحاد ہے (بشمول، شناخت کا جزو)۔ G کی آٹومورفزم کے طور پر، σ شناخت کے عنصر کو درست کرتا ہے، اور اس لیے، شناخت میں فرق کرکے، یہ G کے لائ الجبرا کی آٹومورفزم کو جنم دیتا ہے، جسے σ سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے، جس کا مربع شناخت ہے۔ اس کے بعد σ کی آئجین ویلیوز ± 1 ہیں۔ + 1 آئجین اسپیس H کا لائ الجبرا ہے (چونکہ یہ Gσ کا لائ الجبرا ہے)، اور −1 آئجین اسپیس کو ظاہر کیا جائے گا۔ پہلی شرط کسی بھی یکساں جگہ کے لیے خودکار ہے: یہ صرف یہ کہتا ہے کہ لامحدود اسٹیبلائزر کا ایک لائ سب الجبرہ ہے۔ دوسری شرط کا مطلب ہے کہ یہ ایک غیر متغیر تکمیل ہے۔ اس طرح کوئی بھی سمیٹرک اسپیس ایک ریڈکٹو ہوموجینیئس اسپیس ہے، لیکن بہت سے ریڈکٹو ہوموجینیئس اسپیس ہیں جو سمیٹرک اسپیس نہیں ہیں۔ سمیٹرک خالی جگہوں کی کلیدی خصوصیت تیسری شرط ہے جو بریکٹ میں داخل ہوتی ہے۔ اس کے برعکس، ان تینوں شرائط کو پورا کرنے والے براہ راست مجموعہ سڑنے کے ساتھ کسی بھی لائ الجبرا کو دیکھتے ہوئے، لکیری نقشہ σ، جو شناخت پر اور مائنس شناخت کے برابر ہے، ایک غیر متزلزل آٹومورفزم ہے۔ اگر M ایک ریمینیائی سمیٹرک اسپیس ہے، تو M کے آئسومیٹری گروپ کا شناختی جزو G ایک لائ گروپ ہے جو M پر عارضی طور پر کام کرتا ہے (یعنی، M ریمینیائی یکساں ہے)۔ لہذا، اگر ہم M کے کسی نقطہ p کو طے کرتے ہیں، تو M حصص G/K کے لیے ڈفیومورفک ہے، جہاں K، p پر M پر G کے عمل کے آئسوٹروپی گروپ کو ظاہر کرتا ہے۔ p پر عمل کو الگ کرنے سے ہم TpM پر K کا آئسومیٹرک عمل حاصل کرتے ہیں۔ یہ عمل وفادار ہے (مثال کے طور پر، کوسٹینٹ کے نظریہ کے مطابق، شناخت کے جزو میں کسی بھی آئسومیٹری کا تعین کسی بھی مقام پر اس کے 1-جیٹ سے ہوتا ہے) اور اس لیے K ٹی پی ایم کے آرتھوگنل گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے، اس لیے کمپیکٹ ہے۔ مزید برآں، اگر ہم ایس پی: ایم → ایم سے ایم کی جیوڈیسیک سمیٹری کو پی پر ظاہر کرتے ہیں، تو نقشہ ایک غیر متزلزل لائ گروپ آٹومورفزم ہے جیسے کہ آئسوٹروپی گروپ کے فکسڈ پوائنٹ گروپ اور اس کے شناختی جزو کے درمیان موجود ہے (اس لیے ایک کھلا ذیلی گروپ) مزید معلومات کے لیے صفحہ 209، باب IV، ہیلگاسن کی تفریقی جیومیٹری، لائ گروپس، اور سمیٹرک اسپیس میں سیکشن 3 پر تعریف اور مندرجہ ذیل تجویز دیکھیں۔ خلاصہ یہ ہے کہ M ایک سمیٹرک اسپیس G/K ہے جس میں ایک کمپیکٹ آئسوٹروپی گروپ K ہے۔ اس کے برعکس، کمپیکٹ آئسوٹروپی گروپ کے ساتھ سمیٹرک اسپیس ریمینیئن سمیٹرک اسپیس ہیں، حالانکہ ضروری نہیں کہ منفرد انداز میں ہوں۔ ریمینیائی سمیٹرک خلائی ڈھانچہ حاصل کرنے کے لیے ہمیں شناخت کوسیٹ eK پر G/K کے لیے ٹینجینٹ اسپیس پر K-غیر متغیر اندرونی پروڈکٹ کو فکس کرنے کی ضرورت ہے: اس طرح کا اندرونی پروڈکٹ ہمیشہ اوسط سے موجود ہوتا ہے، کیونکہ K کمپیکٹ ہوتا ہے، اور G کے ساتھ کام کرنے سے، ہم G/K پر G-غیر متغیر ریمینیائی میٹرک g حاصل کرتے ہیں۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ G/K ریمینیائی سمیٹرک ہے، کسی بھی نقطہ p = hK (K کا ایک کوسیٹ، جہاں h bul G) پر غور کریں اور اس بات کی وضاحت کریں کہ جہاں σ G فکسنگ K کا ارتقاء ہے۔ پھر کوئی یہ چیک کر سکتا ہے کہ sp ایک آئسومیٹری ہے جس میں (واضح طور پر) sp (p) = p اور (تفریق کرکے) dsp TpM پر شناخت کو مائنس کرنے کے برابر ہے۔ اس طرح ایس پی ایک جیوڈیسیک سمیٹری ہے اور چونکہ پی من مانی تھا، اس لیے ایم ایک ریمینیئن سمیٹرک اسپیس ہے۔ اگر کوئی ریمینیائی سمیٹرک اسپیس M سے شروع ہوتا ہے، اور پھر ان دونوں تعمیرات کو ترتیب میں انجام دیتا ہے، تو حاصل ہونے والی ریمینیائی سمیٹرک اسپیس اصل کے لیے آئسومیٹرک ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ "الجبرائی ڈیٹا" (G, K, σ, g) مکمل طور پر M کی ساخت کو بیان کرتا ہے۔ ریمینی سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی ریمینی سمیٹرک خالی جگہوں کی الجبرائی وضاحت نے ایلی کارٹن کو 1926 میں ان کی مکمل درجہ بندی حاصل کرنے کے قابل بنایا۔ کسی دی گئی ریمینیائی سمیٹرک اسپیس M کے لیے (G، K، σ، g) کو اس سے وابستہ الجبرائی ڈیٹا ہونے دیں۔ ایم کی ممکنہ آئسومیٹری کلاسوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے، پہلے نوٹ کریں کہ ریمینیئن سمیٹرک اسپیس کا یونیورسل کور ایک بار پھر ریمینیئن سمیٹرک ہے، اور کورنگ میپ کو کورنگ کے منسلک آئسومیٹری گروپ جی کو اس کے مرکز کے ذیلی گروپ سے تقسیم کرکے بیان کیا گیا ہے۔ لہذا، ہم عامیت کو کھونے کے بغیر فرض کر سکتے ہیں کہ M محض جڑا ہوا ہے۔ (اس کا مطلب ہے کہ K ایک ریشے کی لمبی عین ترتیب سے جڑا ہوا ہے، کیونکہ G مفروضے سے جڑا ہوا ہے۔) درجہ بندی کی اسکیم ایک سیدھے جڑے ہوئے ریمینیائی سمیٹرک اسپیس کو ناقابل تلافی کہا جاتا ہے اگر یہ دو یا زیادہ ریمینیائی سمیٹرک اسپیس کا پروڈکٹ نہیں ہے۔ اس کے بعد یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کوئی بھی سیدھا جڑا ہوا ریمینیائی سمیٹرک اسپیس ناقابل تلافی کا ریمینیائی پروڈکٹ ہے۔ لہذا، ہم اپنے آپ کو ناقابل تلافی، محض جڑے ہوئے ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی کرنے تک محدود کر سکتے ہیں۔ اگلا مرحلہ یہ ظاہر کرنا ہے کہ کوئی بھی ناقابل تلافی، محض جڑی ہوئی ریمینیائی سمیٹرک اسپیس M درج ذیل تین اقسام میں سے ایک ہے: 1. یوکلڈین قسم: ایم میں منحنی شکل ختم ہو رہی ہے، اور اس لیے یہ یوکلڈین جگہ کے لیے آئسومیٹرک ہے۔ 2. کمپیکٹ قسم: ایم میں غیر منفی (لیکن یکساں طور پر صفر نہیں) سیکشنل منحنیت ہوتی ہے۔ 3. غیر کمپیکٹ قسم: ایم میں غیر مثبت (لیکن یکساں طور پر صفر نہیں) سیکشنل منحنیت ہوتی ہے۔ ایک زیادہ بہتر غیر متغیر درجہ ہے، جو ٹینجینٹ اسپیس (کسی بھی نقطہ پر) کی ذیلی جگہ کا زیادہ سے زیادہ طول و عرض ہے جس پر منحنی خطوط یکساں طور پر صفر ہیں۔ درجہ ہمیشہ کم از کم ایک ہوتا ہے، مساوات کے ساتھ اگر سیکشن کا منحنی پن مثبت یا منفی ہو۔ اگر گھماؤ مثبت ہے، تو جگہ کمپیکٹ قسم کی ہے، اور اگر منفی ہے، تو یہ غیر کمپیکٹ قسم کی ہے۔ یوکلڈین قسم کی خالی جگہوں کا درجہ ان کے طول و عرض کے برابر ہوتا ہے اور وہ اس طول و عرض کی یوکلڈین جگہ کے لیے آئسومیٹرک ہوتے ہیں۔ لہذا، کمپیکٹ اور غیر کمپیکٹ قسم کے ناقابل تلافی، محض جڑے ہوئے ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی کرنا باقی ہے۔ دونوں صورتوں میں دو کلاسیں ہیں۔ A. G ایک (حقیقی) سادہ جھوٹ گروپ ہے ؛ B. G یا تو اپنے ساتھ ایک کمپیکٹ سادہ جھوٹ گروپ (کمپیکٹ قسم) کی پیداوار ہے، یا اس طرح کے جھوٹ گروپ (غیر کمپیکٹ قسم) کی پیچیدگی ہے۔ کلاس بی میں مثالیں مکمل طور پر سادہ جھوٹ گروپوں کی درجہ بندی کے ذریعے بیان کی جاتی ہیں۔ کمپیکٹ قسم کے لیے، M ایک کمپیکٹ سیدھا جڑا ہوا سادہ لائ گروپ ہے، G M × M ہے اور K اخترن ذیلی گروپ ہے۔ غیر کمپیکٹ قسم کے لیے، G ایک سیدھا جڑا ہوا پیچیدہ سادہ لائ گروپ ہے اور K اس کا زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ دونوں صورتوں میں، درجہ G کا درجہ ہے۔ کمپیکٹ سیدھے جڑے ہوئے لائ گروپ کلاسیکی لائ گروپوں کے عالمگیر احاطے ہیں، اور پانچ غیر معمولی لائ گروپ E6، E7، E8، F4، G2 ہیں۔ کلاس اے کی مثالیں مکمل طور پر غیر کمپیکٹ سے منسلک حقیقی سادہ لائ گروپوں کی درجہ بندی کے ذریعے بیان کی گئی ہیں۔ غیر کمپیکٹ قسم کے لیے، G ایک ایسا گروپ ہے اور K اس کا زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ اس طرح کی ہر مثال میں کمپیکٹ قسم کی ایک متعلقہ مثال ہے، جس میں G کی پیچیدگی کے زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ پر غور کیا گیا ہے جس میں K شامل ہے۔ مزید براہ راست، کمپیکٹ قسم کی مثالوں کی درجہ بندی کمپیکٹ سے منسلک سادہ لائ گروپس G (کنجگیشن تک) کے غیر فعال آٹومورفزم کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ اس طرح کے ارتقاء G کی پیچیدگی کے ارتقاء تک پھیلے ہوئے ہیں، اور یہ بدلے میں G کی غیر کمپیکٹ حقیقی شکلوں کی درجہ بندی کرتے ہیں۔ اس طرح کلاس A اور کلاس B دونوں میں کمپیکٹ قسم اور غیر کمپیکٹ قسم کی سمیٹرک خالی جگہوں کے درمیان خط و کتابت ہوتا ہے۔ یہ ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کے لیے دوہری کے طور پر جانا جاتا ہے۔ درجہ بندی کا نتیجہ کلاس A اور کمپیکٹ قسم کی ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں میں مہارت حاصل کرتے ہوئے، کارٹن نے پایا کہ مندرجہ ذیل سات لامحدود سیریز اور بارہ غیر معمولی ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہیں G/K ہیں۔ اگر آسانی سے دستیاب ہو تو وہ یہاں جی اور کے کے لحاظ سے، ہندسی تشریح کے ساتھ دیئے گئے ہیں۔ ان جگہوں کی لیبلنگ کارٹن کی طرف سے دی گئی ہے۔ گراس مینین کے طور پر ایک زیادہ جدید درجہ بندی یکساں طور پر ریمینین سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی کرتی ہے، کمپیکٹ اور غیر کمپیکٹ دونوں، ایک فرائیڈینتھل جادو مربع تعمیر کے ذریعے۔ ناقابل تلافی کمپیکٹ ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہیں، محدود احاطے تک، یا تو ایک کمپیکٹ سادہ لائ گروپ، ایک گراس مینین، ایک لاگرانجین گراس مینین، یا معیاری ڈویژن الجبرا A اور B کے ذیلی جگہوں کی ڈبل لاگرانجین گراس مینین ہیں۔ اسی طرح کی تعمیر ناقابل تلافی غیر کمپیکٹ ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہیں پیدا کرتی ہے۔ ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کو عام کرنے والی سمیٹرک خالی جگہوں کی ایک اہم کلاس چھدم-ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہیں ہیں، جن میں ریمینیائی میٹرک کو ایک چھدم-ریمینیائی میٹرک سے تبدیل کیا جاتا ہے (ہر ٹینجینٹ اسپیس پر مثبت ڈیفینیٹ کے بجائے نان ڈیجینریٹ)۔ خاص طور پر، لورینٹزیئن سمیٹرک خالی جگہیں، یعنی، دستخط کی n جہتی سڈو-ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہیں (n−1,1)، عمومی اضافیت میں اہم ہیں، جن کی سب سے قابل ذکر مثالیں منکوسکی اسپیس، ڈی سیٹر اسپیس اور اینٹی ڈی سیٹر اسپیس ہیں (بالترتیب صفر، مثبت اور منفی منحنی خطوط کے ساتھ)۔ طول و عرض n کی ڈی سیٹر جگہ کی شناخت طول و عرض n + 1 کی منکوسکی جگہ میں 1 شیٹ والے ہائپربولائڈ سے کی جا سکتی ہے۔ سمیٹرک اور مقامی طور پر سمیٹرک خالی جگہوں کو عام طور پر افائن سمیٹرک خالی جگہوں کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ اگر M = G/H ایک ہم آہنگ جگہ ہے، تو نومیزو نے دکھایا کہ ایک G-غیر متغیر ٹورسن فری افائن کنکشن ہے (یعنی۔ ایک افائن کنکشن جس کا ٹورسن ٹینسر غائب ہو جاتا ہے) M پر جس کی منحنیت متوازی ہوتی ہے۔ اس کے برعکس اس طرح کے تعلق کے ساتھ کئی گنا مقامی طور پر ہم آہنگ ہوتا ہے (یعنی، اس کا عالمگیر احاطہ ایک ہم آہنگ جگہ ہے)۔ اس طرح کے کئی گنا کو ان افائن کئی گنا کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے جن کی جیوڈیسیک سمیٹریز تمام عالمی سطح پر بیان کردہ افائن ڈفیومورفزم ہیں، جو ریمینیئن اور سڈو-ریمینیئن کیس کو عام کرتی ہیں۔ درجہ بندی کے نتائج ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی عام صورت میں آسانی سے اس سادہ وجہ سے نہیں پھیلتی ہے کہ کسی سمیٹرک خالی جگہ کی کوئی عمومی تقسیم ناقابل تلافی کے پروڈکٹ میں نہیں ہوتی ہے۔ یہاں لائ الجبرا کے ساتھ ایک سمیٹرک اسپیس G/H کو ناقابل تلافی کہا جاتا ہے اگر اس کی ناقابل تلافی نمائندگی ہو۔ چونکہ عام طور پر نیم سادہ (یا یہاں تک کہ تخفیف) نہیں ہے، اس میں ناقابل تلافی نمائشیں ہو سکتی ہیں جو ناقابل تلافی نہیں ہیں۔ تاہم، ناقابل تلافی ہم آہنگی خالی جگہوں کی درجہ بندی کی جا سکتی ہے۔ جیسا کہ کٹسومی نومیزو نے دکھایا ہے، ایک ڈائکوٹومی ہے: ایک ناقابل تلافی سمیٹرک اسپیس G/H یا تو فلیٹ ہے (یعنی، ایک افائن اسپیس) یا نیم آسان ہے۔ یہ یوکلیڈین خالی جگہوں اور کمپیکٹ یا غیر کمپیکٹ قسم کے جگہوں کے درمیان ریمینیئن ڈائکوٹومی کا ینالاگ ہے، اور اس نے ایم برجر کو نیم سادہ سمیٹرک خالی جگہوں (یعنی نیم سادہ جگہوں کے ساتھ) کی درجہ بندی کرنے اور اس بات کا تعین کرنے کی ترغیب دی کہ ان میں سے کون سے ناقابل تلافی ہیں۔ مؤخر الذکر سوال ریمینیائی معاملے کے مقابلے میں زیادہ لطیف ہے: اگر سادہ بھی ہو تو G/H ناقابل تلافی نہیں ہو سکتا۔ جیسا کہ ریمینیائی معاملے میں G = H × H کے ساتھ نیم سادہ سمیٹرک خالی جگہیں ہیں۔ کوئی بھی نیم سادہ سمیٹرک خالی جگہ اس شکل کی سمیٹرک خالی جگہوں کی پیداوار ہے جس میں سمیٹرک خالی جگہیں ایسی ہوتی ہیں جو سادہ ہوتی ہیں۔ مؤخر الذکر کیس کو بیان کرنا باقی ہے۔ اس کے لیے، ایک (حقیقی) سادہ جھوٹ الجبرا کے ارتقاء σ کی درجہ بندی کرنے کی ضرورت ہے۔ اگر سادہ نہیں ہے، تو ایک پیچیدہ سادہ لائ الجبرا ہے، اور متعلقہ سمیٹرک خالی جگہوں کی شکل G/H ہے، جہاں H G کی ایک حقیقی شکل ہے: یہ ریمینیئن سمیٹرک خالی جگہوں G/K کے اینالاگس ہیں جن میں G ایک پیچیدہ سادہ لائ گروپ ہے، اور K ایک زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ اس طرح ہم فرض کر سکتے ہیں کہ یہ آسان ہے۔ حقیقی ذیلی الجبرا کو ایک پیچیدہ اینٹی لینیر انوولیوشن τ کے فکسڈ پوائنٹ سیٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جبکہ σ، τ کے ساتھ آمد و رفت کے ایک پیچیدہ اینٹی لینیر انوولیوشن تک پھیلا ہوا ہے اور اس لیے یہ ایک پیچیدہ لکیری انوولیوشن بھی ہے۔ اس لیے درجہ بندی ایک پیچیدہ لائ الجبرا کے اینٹی لینیر ارتقاء کے آنے جانے والے جوڑوں کی درجہ بندی تک کم ہو جاتی ہے۔ مرکب σ° τ ایک پیچیدہ ہم آہنگی کی جگہ کا تعین کرتا ہے، جبکہ τ ایک حقیقی شکل کا تعین کرتا ہے۔ اس سے کسی بھی دی گئی جگہ کے لیے سمیٹرک خالی جگہوں کی میزیں بنانا آسان ہے، اور اس کے علاوہ، σ اور τ کا تبادلہ کرکے ایک واضح دوہری حیثیت دی جاتی ہے۔ یہ ریمنی کیس سے کمپیکٹ/غیر کمپیکٹ دوہری کو بڑھاتا ہے، جہاں σ یا τ ایک کارٹن ارتقاء ہے، یعنی، اس کا فکسڈ پوائنٹ سیٹ ایک زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی الجبرا ہے۔ جدول درج ذیل جدول ہر کلاسیکی اور غیر معمولی پیچیدہ سادہ لائ گروپ کے لیے پیچیدہ سمیٹرک خالی جگہوں اور حقیقی شکلوں کے ذریعے حقیقی سمیٹرک خالی جگہوں کو انڈیکس کرتا ہے۔ غیر معمولی سادہ جھوٹ گروپوں کے لیے، ریمینیئن کیس کو واضح طور پر نیچے شامل کیا گیا ہے، جس میں σ کو شناخت کا ارتکاب ہونے کی اجازت دی گئی ہے (ڈیش کے ذریعے اشارہ کیا گیا ہے)۔ مندرجہ بالا جدولوں میں یہ واضح طور پر kl = 0 کیس سے احاطہ کرتا ہے۔ 1950 کی دہائی میں ایٹل سیلبرگ نے کارٹن کی سمیٹرک اسپیس کی تعریف کو کمزور سمیٹرک ریمینیئن اسپیس، یا موجودہ اصطلاحات میں کمزور سمیٹرک اسپیس تک بڑھا دیا۔ ان کی تعریف ریمینیئن مینیفولڈ M کے طور پر کی گئی ہے جس میں آئسومیٹریز G کا ایک عارضی طور پر جڑا ہوا لائ گروپ ہے اور ایک آئسومیٹری σ جو G کو اس طرح معمول پر لاتی ہے کہ M میں x، y دیا گیا ہے تو G میں ایک آئسومیٹری s اس طرح ہے کہ sx = σy اور sy = σx۔ (سیلبرگ کا یہ مفروضہ کہ σ2 G کا عنصر ہونا چاہیے، بعد میں ارنسٹ ونبرگ نے غیر ضروری ثابت کیا۔) سیلبرگ نے ثابت کیا کہ کمزور سمیٹرک خالی جگہیں گیلفینڈ جوڑوں کو جنم دیتی ہیں، تاکہ خاص طور پر L2 (M) پر G کی یکطرفہ نمائندگی ضرب سے پاک ہو۔ سیلبرگ کی تعریف کو جیوڈیسیک سمیٹری کی عمومی شکل کے لحاظ سے بھی مساوی طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ ضروری ہے کہ M میں ہر نقطہ x اور x پر ٹینجینٹ ویکٹر X کے لیے، M کی ایک آئسومیٹری s ہو، جو x اور X پر منحصر ہو، اس طرح کہ s x کو طے کرتا ہے ؛ x پر s کا مشتق X کو-X بھیجتا ہے۔ جب s، X سے آزاد ہوتا ہے، تو M ایک ہم آہنگ جگہ ہوتی ہے۔ کمزور سمیٹرک خالی جگہوں اور ان کی درجہ بندی کا ایک بیان اکیزر اور ونبرگ کے ذریعہ، پیچیدہ سیمی سمپل لائ الجبرا کے پیریڈک آٹومورفزم کی درجہ بندی پر مبنی، میں دیا گیا ہے۔ خصوصیات ہم آہنگی خالی جگہوں کی کچھ خصوصیات اور شکلیں نوٹ کی جا سکتی ہیں۔ میٹرک ٹینسر کو اٹھانا ریمینیئن کئی گنا پر موجود میٹرک ٹینسر کو کلنگ فارم کے ساتھ ملا کر اسکیلر پروڈکٹ پر اٹھایا جا سکتا ہے۔ یہ یہاں کی وضاحت کر کے کیا جاتا ہے، جس پر ریمینیئن میٹرک کی وضاحت کی گئی ہے، اور یہ قتل کی شکل ہے۔ مائنس کا نشان ظاہر ہوتا ہے کیونکہ قتل کی شکل منفی-یقینی ہے اس پر مثبت-یقینی بناتا ہے۔ فیکٹرائزیشن ٹینجینٹ اسپیس کو کلنگ فارم کے ذریعہ درجہ بند آئجین اسپیس میں مزید فیکٹر کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک ملحقہ نقشے کی وضاحت کرکے پورا کیا جاتا ہے جس میں یہ لیا جاتا ہے کہ ریمینیئن میٹرک کہاں ہے اور یہ قتل کی شکل ہے۔ اس نقشے کو بعض اوقات عمومی ٹرانسپوز کہا جاتا ہے، جیسا کہ آرتھوگنل گروپوں کے لیے ٹرانسپوز اور یکطرفہ گروپوں کے لیے ہرمیٹین کنجوگیٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ ایک لکیری فنکشنل ہے، اور یہ سیلف ایڈجوائنٹ ہے، اور اس لیے کوئی یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ اس کے ساتھ ایک آرتھونورمل بنیاد ہے۔ یہ میٹرک کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں، اس میں چونکہ کلنگ فارم سمیٹرک ہے۔ یہ فار کے ساتھ آئجین اسپیس میں فیکٹرائز ہوتا ہے۔ سیمی سمپل کے معاملے کے لیے، تاکہ قتل کی شکل غیر انحطاط پذیر ہو، میٹرک اسی طرح فیکٹرائز کرتا ہے: بعض عملی ایپلی کیشنز میں، اس فیکٹرائزیشن کو آپریٹرز کے سپیکٹرم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جیسے۔ ہائیڈروجن ایٹم کا سپیکٹرم، ایک مداری کے کونیی مومنٹم کی مختلف اقدار کے مطابق کلنگ فارم کی آئجن ویلیوز کے ساتھ (یعنی۔ قتل کی شکل ایک کاسیمیر آپریٹر ہونے کی وجہ سے ہے جو مختلف نمائندگی کی درجہ بندی کر سکتا ہے جس کے تحت مختلف مدار تبدیل ہوتے ہیں۔) سمیٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی اس بنیاد پر ہوتی ہے کہ قتل کی شکل مثبت/منفی قطعی ہے یا نہیں۔ ایپلی کیشنز اور خصوصی معاملات سمیٹرک خالی جگہیں اور ہولوونومی اگر کسی نقطہ پر ریمینیئن کئی گنا کے ہولوونومی گروپ کا شناختی جزو ٹینجینٹ اسپیس پر ناقابل تلافی طور پر کام کرتا ہے، تو یا تو کئی گنا مقامی طور پر ریمینیئن سمیٹرک اسپیس ہے، یا یہ 7 خاندانوں میں سے کسی ایک میں ہے۔ ہرمیٹین سمیٹرک اسپیس ایک ریمینیئن سمیٹرک اسپیس جو اضافی طور پر ریمینیئن میٹرک کے ساتھ مطابقت رکھنے والے متوازی پیچیدہ ڈھانچے سے لیس ہے اسے ہرمیٹین سمیٹرک اسپیس کہا جاتا ہے۔ کچھ مثالیں پیچیدہ ویکٹر خالی جگہیں اور پیچیدہ پروجیکٹو خالی جگہیں ہیں، دونوں اپنے معمول کے ریمینیئن میٹرک کے ساتھ، اور مناسب میٹرکس کے ساتھ پیچیدہ یونٹ گیندیں تاکہ وہ مکمل اور ریمینیئن سمیٹرک بن جائیں۔ ایک ناقابل کٹوتی سمیٹرک اسپیس G/K ہرمیٹین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب K ایک مرکزی دائرے پر مشتمل ہو۔ اس دائرے کی طرف سے ایک چوتھائی موڑ شناخت کوسیٹ پر ٹینجینٹ اسپیس پر i کی طرف سے ضرب کے طور پر کام کرتا ہے۔ اس طرح ہرمیٹین سمیٹرک خالی جگہوں کو درجہ بندی سے آسانی سے پڑھ لیا جاتا ہے۔ کمپیکٹ اور غیر کمپیکٹ دونوں صورتوں میں یہ پتہ چلتا ہے کہ چار لامحدود سیریز ہیں، یعنی اے آئی آئی، پی = 2 کے ساتھ بی ڈی آئی، ڈی آئی آئی اور سی آئی، اور دو غیر معمولی خالی جگہیں، یعنی ای آئی آئی اور ای وی آئی آئی۔ غیر کمپیکٹ ہرمیٹین سمیٹرک خالی جگہوں کو پیچیدہ ویکٹر خالی جگہوں میں پابند سمیٹرک ڈومینز کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ کواٹرنیئن-کیلر سمیٹرک اسپیس ایک ریمینیئن سمیٹرک اسپیس جو اضافی طور پر ہر نقطہ پر خیالی کواٹرنیئنز کے لیے اینڈ (TM) آئسومورفک کے متوازی ذیلی بنڈل سے لیس ہوتی ہے، اور ریمینیئن میٹرک کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے، کو کواٹرنیئن-کیلر سمیٹرک اسپیس کہا جاتا ہے۔ ایک ناقابل تلافی سمیٹرک اسپیس G/K کواٹرنیئن-کیلر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب K کی آئسوٹروپی کی نمائندگی ایک کواٹرنیئنک ویکٹر اسپیس پر یونٹ کواٹرنیئنز کی طرح کام کرنے والا ایک Sp (1) مجموعہ پر مشتمل ہو۔ اس طرح کواٹرنیئن-کیلر سمیٹرک خالی جگہوں کو درجہ بندی سے آسانی سے پڑھ لیا جاتا ہے۔ کمپیکٹ اور غیر کمپیکٹ دونوں صورتوں میں یہ پتہ چلتا ہے کہ ہر پیچیدہ سادہ لائ گروپ کے لیے بالکل ایک ہے، یعنی پی = 2 یا کیو = 2 کے ساتھ اے آئی (یہ آئسومورفک ہیں)، پی = 4 یا کیو = 4 کے ساتھ بی ڈی آئی، پی = 1 یا کیو = 1 کے ساتھ سی آئی آئی، ای آئی آئی، ای وی آئی، ای آئی ایکس، ایف آئی اور جی۔ باٹ پیریڈسیٹی تھیوریم باٹ پیریڈسیٹی تھیوریم میں، مستحکم آرتھوگنل گروپ کے لوپ اسپیس کو ریڈکٹو سمیٹرک اسپیس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ آرتھوگنل سمیٹرک لائ الجبرا ریلیٹو روٹ سسٹم ساٹیک ڈائیگرام کارٹن انولوشن حوالہ جات ایک کمپیکٹ تعارف اور بہت سی ٹیبلز پر مشتمل ہے۔ ریمانین سمیٹرک خالی جگہوں پر معیاری کتاب۔ باب الیون میں ریمینیائی سمیٹرک خالی جگہوں کا ایک اچھا تعارف ہے۔ متفرق جیومیٹری ریمانین جیومیٹری لائ گروپس یکساں خالی جگہیں