Pushforward (differential)
تفریق جیومیٹری میں، پش فارورڈ ٹینجینٹ خالی جگہوں پر ہموار نقشوں کا ایک لکیری تخمینہ ہے۔ فرض کریں کہ یہ ہموار کئی گنا کے درمیان ایک ہموار نقشہ ہے ؛ پھر ایک نقطہ پر کا تفریق، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، کسی لحاظ سے، قریب کا بہترین لکیری تخمینہ ہے۔ اسے عام کیلکولس کے کل مشتق کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ واضح طور پر، تفریق ایک لکیری نقشہ ہے جو اے ٹی کی ٹینجینٹ اسپیس سے اے ٹی کی ٹینجینٹ اسپیس تک ہے۔ لہذا اس کا استعمال ٹینجینٹ ویکٹرز کو ٹینجینٹ ویکٹرز کی طرف آگے بڑھانے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ نقشے کے تفریق کو مختلف مصنفین کے ذریعہ نقشہ کا مشتق یا کل مشتق بھی کہا جاتا ہے۔ محرک ایک کھلے ذیلی سیٹ سے لے کر ایک کھلے ذیلی سیٹ تک کا ہموار نقشہ بننے دیں۔ کسی بھی نقطہ کے لیے، at کا جیکوبین (معیاری نقاط کے حوالے سے) at کے کل مشتق کی میٹرکس نمائندگی ہے، جو ان کی ٹینجینٹ خالی جگہوں کے درمیان ایک لکیری نقشہ ہے۔ نوٹ کریں کہ ٹینجینٹ خالی جگہیں بالترتیب اور کے لیے آئسومورفک ہیں۔ پش فارورڈ اس تعمیر کو اس معاملے میں عام کرتا ہے جو کسی بھی ہموار کئی گنا اور کے درمیان ایک ہموار فنکشن ہے۔ ہموار نقشے کا تفریق چلیں ہموار کئی گنا کا ہموار نقشہ بنیں۔ اس پش فارورڈ کی صحیح تعریف ٹینجینٹ ویکٹرز کے لیے استعمال ہونے والی تعریف پر منحصر ہے (مختلف تعریفوں کے لیے ٹینجینٹ اسپیس دیکھیں)۔ اگر ٹینجینٹ ویکٹرز کو منحنی خطوط کی مساوات کی کلاسوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جس کے لیے تب تفریق یہاں کے ذریعے دی جاتی ہے، ایک منحنی خطوط کے ساتھ ایک منحنی خطوط ہوتا ہے اور وہ منحنی خطوط پر ٹینجینٹ ویکٹر ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ٹینجینٹ ویکٹر کا آگے کی طرف موڑ پر ٹینجینٹ ویکٹر ہوتا ہے۔ متبادل طور پر، اگر ٹینجینٹ ویکٹرز کو ہموار حقیقی قدر والے افعال پر کام کرنے والے مشتقات کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، تو تفریق کو ایک صوابدیدی فعل اور نقطہ پر صوابدیدی مشتقات کے لیے دیا جاتا ہے (مشتقات کو لکیری نقشے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو لیبنز اصول کو مطمئن کرتا ہے، دیکھیں: مشتقات کے ذریعے ٹینجینٹ اسپیس کی تعریف)۔ تعریف کے مطابق، کا پش فارورڈ اندر ہے اور اس لیے خود ایک مشتق ہے۔ ارد گرد اور ارد گرد دو چارٹس کا انتخاب کرنے کے بعد مقامی طور پر اور کے کھلے سیٹوں کے درمیان ایک ہموار نقشے کے ذریعے طے کیا جاتا ہے، اور آئن سٹائن سمیشن نوٹیشن میں، جہاں جزوی مشتقات کا اندازہ دیئے گئے چارٹ کے مطابق پوائنٹ پر کیا جاتا ہے۔ لکیریٹی کے ذریعے توسیع مندرجہ ذیل میٹرکس دیتی ہے۔ اس طرح تفریق ایک لکیری تبدیلی ہے، ٹینجینٹ خالی جگہوں کے درمیان، جو ہر نقطہ پر ہموار نقشے سے وابستہ ہے۔ لہذا، کچھ منتخب کردہ مقامی نقاط میں، اس کی نمائندگی متعلقہ ہموار نقشے کے جیکوبین میٹرکس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ عام طور پر، تفریق کو الٹا ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، اگر ایک مقامی ڈفیومورفزم ہے، تو الٹا ہے، اور الٹا پل بیک کا پل بیک دیتا ہے۔ تفریق کا اظہار اکثر مختلف قسم کے دیگر اشاروں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے جیسے کہ یہ اس تعریف سے ملتا ہے کہ مرکب کا تفریق تفریق کا مرکب ہے (یعنی فنکٹوریئل رویے)۔ ہموار نقشوں کے لیے یہ سلسلہ اصول ہے۔ نیز، مقامی ڈفیومورفزم کا تفریق ٹینجینٹ خالی جگہوں کا لکیری آئسومورفزم ہے۔ ٹینجینٹ بنڈل پر تفریق ہموار نقشے کا تفریق، ایک واضح انداز میں، ایک بنڈل نقشہ (درحقیقت ایک ویکٹر بنڈل ہومومورفزم) کو ٹینجینٹ بنڈل سے ٹینجینٹ بنڈل تک، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، جو مندرجہ ذیل مواصلاتی خاکہ میں فٹ بیٹھتا ہے: جہاں اور بالترتیب ٹینجینٹ بنڈلوں کے بنڈل پروجیکشنز کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک بنڈل کا نقشہ پل بیک بنڈل φ ≤ ٹی این پر کہاں اور کہاں سے آتا ہے۔ مؤخر الذکر کے نقشے کو بدلے میں ایم پر ویکٹر بنڈل کے ایک حصے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ بنڈل کے نقشے کو ٹینجینٹ نقشہ بھی کہا جاتا ہے۔ اس طرح، ایک فنکٹر ہے۔ ویکٹر فیلڈز کا پش فارورڈ M پر ہموار نقشہ اور ویکٹر فیلڈ X کو دیکھتے ہوئے، عام طور پر N پر کسی ویکٹر فیلڈ Y کے ساتھ X کی طرف سے φ کی پش فارورڈ کی شناخت کرنا ممکن نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر نقشہ φ سرجیکٹو نہیں ہے، تو φ کی شبیہہ سے باہر اس طرح کے پش فارورڈ کی وضاحت کرنے کا کوئی قدرتی طریقہ نہیں ہے۔ نیز، اگر φ انجیکشن نہیں ہے تو کسی دیئے گئے مقام پر پش فارورڈ کے ایک سے زیادہ انتخاب ہو سکتے ہیں۔ بہر حال، نقشہ کے ساتھ ویکٹر فیلڈ کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی اس مشکل کو درست بنا سکتا ہے۔ M پر φrTN کا ایک حصہ φ کے ساتھ ویکٹر فیلڈ کہلاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر M N کا ذیلی نقشہ ہے اور φ شمولیت ہے، تو φ کے ساتھ ایک ویکٹر فیلڈ M کے ساتھ N کے ٹینجینٹ بنڈل کا صرف ایک حصہ ہے۔ خاص طور پر، M پر ایک ویکٹر فیلڈ ٹی این کے اندر TM کی شمولیت کے ذریعے اس طرح کے حصے کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ خیال صوابدیدی ہموار نقشوں کو عام کرتا ہے۔ فرض کریں کہ X M پر ایک ویکٹر فیلڈ ہے، یعنی TM کا ایک حصہ۔ پھر، پیداوار، مذکورہ بالا معنوں میں، پش فارورڈ φ * X، جو کہ φ کے ساتھ ایک ویکٹر فیلڈ ہے، یعنی M پر φ * TN کا ایک حصہ۔ N پر کوئی بھی ویکٹر فیلڈ Y، φ * TN کے پل بیک سیکشن φ * Y کی وضاحت کرتا ہے۔ M پر ایک ویکٹر فیلڈ X اور N پر ایک ویکٹر فیلڈ Y کو φ سے متعلق کہا جاتا ہے اگر φ کے ساتھ ویکٹر فیلڈز کے طور پر۔ دوسرے لفظوں میں، M میں موجود تمام x کے لیے۔ کچھ حالات میں، M پر ایک X ویکٹر فیلڈ دی گئی ہے، N پر ایک منفرد ویکٹر فیلڈ Y ہے جو X سے متعلق ہے۔ یہ خاص طور پر اس وقت درست ہوتا ہے جب φ ایک ڈفیومورفزم ہو۔ اس صورت میں، پش فارورڈ N پر ایک ویکٹر فیلڈ Y کی وضاحت کرتا ہے، جو A کے ذریعہ دی گئی ہے، زیادہ عام صورتحال اس وقت پیدا ہوتی ہے جب φ سرجیکٹو ہوتا ہے (مثال کے طور پر فائبر بنڈل کا بنڈل پروجیکشن)۔ پھر M پر ایک ویکٹر فیلڈ X کو پروجیکٹیبل کہا جاتا ہے اگر N میں تمام y کے لیے، dφx (Xx) φ−1 ({y}) میں x کے انتخاب سے آزاد ہو۔ یہ قطعی طور پر وہ شرط ہے جو اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ N پر ویکٹر فیلڈ کے طور پر X کا پش فارورڈ اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ مثالوں میں جھوٹ گروپوں پر ضرب سے پش فارورڈ ایک جھوٹ گروپ کو دیکھتے ہوئے، ہم بائیں ضرب اور دائیں ضرب کے نقشے حاصل کرنے کے لیے ضرب کا نقشہ استعمال کر سکتے ہیں۔ ان نقشوں کو اصل پر اس کی ٹینجینٹ اسپیس سے بائیں یا دائیں غیر متغیر ویکٹر فیلڈز کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے (جو کہ اس سے وابستہ لائ الجبرا ہے)۔ مثال کے طور پر، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں ہر ایک کے لیے ایک منسلک ویکٹر فیلڈ ملتا ہے۔ پش فارورڈ نقشوں کی منحنی خطوط کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے اس کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ اگر ہمارے پاس کوئی منحنی خطہ ہے جہاں سے ہم حاصل کرتے ہیں تو اس کے حوالے سے مستقل ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ہم ٹینجینٹ خالی جگہوں کی تشریح اس طرح کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر میٹرکس کے ذریعہ دیا گیا ہائزن برگ گروپ ہے تو اس میں میٹرکس کے سیٹ کے ذریعہ دیا گیا لائ الجبرا ہے کیونکہ ہم (i-th صف اور j-th کالم) کے ساتھ اوپری میٹرکس اندراجات میں سے کسی ایک میں کوئی حقیقی نمبر دینے والا راستہ تلاش کر سکتے ہیں۔ پھر، ہمارے پاس جو میٹرکس کے اصل سیٹ کے برابر ہے۔ یہ ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا ہے، مثال کے طور پر، گروپ میں ہمارے پاس میٹرکس کے سیٹ کے طور پر اس کا لائ الجبرا ہے لہذا کچھ میٹرکس کے لیے ہمارے پاس میٹرکس کا ایک ہی سیٹ نہیں ہے۔ پل بیک (تفریقی جیومیٹری) بہاؤ پر مبنی پیداواری ماڈل حوالہ جات سیکشن 1.6 دیکھیں۔ سیکشن 1.7 اور 2.3 دیکھیں۔ مشتق تفریقی جیومیٹری کی عمومی کاریں ہموار افعال