Injective sheaf
ریاضی میں، ابیلین گروپوں کے انجیکشن شائیوز کا استعمال شیف کوہمولوجی (اور دیگر اخذ شدہ فنکٹرز، جیسے شیف ایکسٹ) کی وضاحت کے لیے درکار قراردادوں کی تعمیر کے لیے کیا جاتا ہے۔ شیوز پر لاگو ہونے والے متعلقہ تصورات کا ایک اور گروپ ہے: فلیبی (فرانسیسی میں فلاسک)، ٹھیک، نرم (فرانسیسی میں مو)، ایسائکلک۔ موضوع کی تاریخ میں انہیں الیگزینڈر گروتھینڈیک کے 1957 کے "توہوکو پیپر" سے پہلے متعارف کرایا گیا تھا، جس سے پتہ چلتا ہے کہ انجیکشن آبجیکٹ کا ابیلین زمرہ تصور نظریہ کو تلاش کرنے کے لیے کافی تھا۔ شیوز کی دیگر کلاسیں تاریخی طور پر پرانے تصورات ہیں۔ کوہمولوجی اور مشتق فنکٹروں کی وضاحت کے لیے تجریدی فریم ورک کی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، زیادہ تر ٹھوس حالات میں، ایسائکلک شیوز کے ذریعے ریزولوشنز کی تعمیر اکثر آسان ہوتی ہے۔ اس لیے آکیکلک شیوز کمپیوٹیشنل مقاصد کے لیے کام کرتے ہیں، مثال کے طور پر لیری سپیکٹرم کی ترتیب۔ انجیکشن شیفس ایک انجیکشن شیفس ایک شیفس ہے جو ابیلین شیفس کے زمرے کا ایک انجیکشن آبجیکٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہومومورفزم کو ہمیشہ کسی بھی شیفس تک بڑھایا جا سکتا ہے جس میں ابیلین شیفس کے زمرے میں کافی انجیکشن آبجیکٹ ہوتے ہیں: اس کا مطلب ہے کہ کوئی بھی شیفس انجیکشن شیفس کا ذیلی شیفس ہے۔ گروتھینڈیک کا یہ نتیجہ زمرہ کے جنریٹر کے وجود سے ملتا ہے (اسے واضح طور پر لکھا جا سکتا ہے، اور ذیلی آبجیکٹ کی درجہ بندی سے متعلق ہے)۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ کسی بھی بائیں عین مطابق فنکٹر کے دائیں طرف سے اخذ کردہ فنکٹر موجود ہیں اور کینونکل آئسومورفزم تک منفرد ہیں۔ تکنیکی مقاصد کے لیے، انجیکشن والے شییوز عام طور پر اوپر بیان کردہ شییوز کی دوسری کلاسوں سے بہتر ہوتے ہیں: وہ تقریبا کچھ بھی کر سکتے ہیں جو دوسرے کلاس کر سکتے ہیں، اور ان کا نظریہ آسان اور زیادہ عام ہے۔ در حقیقت، انجیکشن کے خول دبے ہوئے (چپچپا)، نرم اور چکنی ہوتے ہیں۔ تاہم، ایسے حالات موجود ہیں جہاں شیوز کی دیگر کلاسیں قدرتی طور پر واقع ہوتی ہیں، اور یہ خاص طور پر ٹھوس کمپیوٹیشنل حالات میں سچ ہے۔ دوہری تصور، پروجیکٹو شیفس، زیادہ استعمال نہیں کیا جاتا ہے، کیونکہ شیفس کے ایک عام زمرے میں ان میں سے کافی نہیں ہیں: ہر شیفس ایک پروجیکٹو شیفس کا حصہ نہیں ہے، اور خاص طور پر پروجیکٹو ریزولوشنز ہمیشہ موجود نہیں ہوتے ہیں۔ یہ معاملہ ہے، مثال کے طور پر، جب زرسکی ٹوپولوجی میں پروجیکٹو اسپیس پر شیوز کے زمرے کو دیکھتے ہیں۔ دائیں عین مطابق فنکٹر (جیسے ٹور) کے بائیں طرف سے اخذ کردہ فنکٹرز کی وضاحت کرنے کی کوشش کرتے وقت یہ مسائل کا باعث بنتا ہے۔ یہ بعض اوقات ایڈہاک ذرائع سے کیا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، ٹور کے بائیں طرف سے اخذ کردہ فنکٹرز کو پروجیکٹو کے بجائے فلیٹ ریزولوشن کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ ظاہر کرنے کے لیے کچھ محنت درکار ہوتی ہے کہ یہ ریزولوشن سے آزاد ہے۔ شیوز کے تمام زمرے اس مسئلے میں نہیں آتے ؛ مثال کے طور پر، ایک افائن اسکیم پر شیوز کے زمرے میں کافی پروجیکٹس ہوتے ہیں۔ ایسائکلک شیفس ایکس کے اوپر ایک ایسائکلک شیفس ایسا ہے کہ تمام اعلی شیفس کوہمولوجی گروپ غائب ہو جاتے ہیں۔ کسی بھی شیف کے کوہمولوجی گروپوں کا حساب اس کے کسی بھی ایسیکلک ریزولوشن سے لگایا جا سکتا ہے (یہ ڈی رام-ویل تھیوریم کے نام سے جاتا ہے)۔ باریک شیفس X پر ایک باریک شیفس وہ ہے جس میں "اتحاد کی تقسیم" ہوتی ہے۔ زیادہ واضح طور پر خلا X کے کسی بھی کھلے کور کے لیے ہم شیفس سے لے کر خود تک ہومومورفزم کا ایک خاندان اس طرح تلاش کر سکتے ہیں کہ ہر ہومومورفزم کھلے کور کے کسی عنصر کے باہر 0 ہو۔ باریک شیوز عام طور پر صرف پیرا کامپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں X پر استعمال ہوتے ہیں۔ عام مثالیں اس طرح کی جگہ پر مسلسل حقیقی قدر والے افعال کے جراثیم کا ڈھیر، یا ہموار (پیرا کامپیکٹ ہاؤس ڈورف) کئی گنا پر ہموار افعال، یا بجتوں کے ان ڈھیروں پر ماڈیول ہیں۔ اس کے علاوہ، پیرا کامپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں پر باریک چھلکے نرم اور تیز دھار ہوتے ہیں۔ الیگزینڈر-اسپینر ریزولوشن کا استعمال کرتے ہوئے باریک شیوز کے ذریعے ہموار کئی گنا پر شیف کا ریزولوشن پایا جا سکتا ہے۔ ایک درخواست کے طور پر، ایک حقیقی کئی گنا X پر غور کریں۔ (ہموار) تفریقی شکلوں کی باریک چھلکے کے ذریعے مستقل چھلکے کا درج ذیل حل ہوتا ہے: یہ ایک حل ہے، یعنی۔ پوئن کیری لیما کے ذریعہ شیوز کا ایک عین مطابق کمپلیکس۔ اس طرح اقدار کے ساتھ X کی ہم آہنگی کو عالمی سطح پر متعین تفریقی شکلوں کے کمپلیکس کی ہم آہنگی کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے: نرم شیفس X پر ایک نرم شیف ایسا ہوتا ہے کہ X کے کسی بھی بند ذیلی سیٹ پر کسی بھی حصے کو عالمی حصے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ نرم شیوز پیرا کامپیکٹ ہاؤز ڈورف خالی جگہوں پر چکنی ہوتی ہیں۔ فلیسک یا فلیبی شیفس ایک فلیسک شیف (جسے فلیبی شیف بھی کہا جاتا ہے) ایک شیف ہے جس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: اگر بیس ٹوپوولوجیکل اسپیس ہے جس پر شیف کی وضاحت کی گئی ہے اور کھلی ذیلی سیٹیں ہیں، تو پابندی کا نقشہ سرجیکٹو ہے، جیسا کہ گروپوں کے نقشے (رنگز، ماڈیولز وغیرہ)۔ فلاسک شیوز مفید ہیں کیونکہ (تعریف کے مطابق) ان کے حصوں میں توسیع ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ وہ ہومیولوجیکل الجبرا کے لحاظ سے ہینڈل کرنے کے لیے کچھ آسان ترین شیوز ہیں۔ کسی بھی شیف میں ایٹل اسپیس کے تمام ممکنہ طور پر منقطع حصوں کے فلاسک شیف میں ایک کینونکل سرایت ہوتی ہے، اور اسے دہرانے سے ہم کسی بھی شیف کے لیے کینونکل فلاسک ریزولوشن تلاش کر سکتے ہیں۔ فلاسک ریزولوشنز، یعنی فلاسک شیوز کے ذریعے ریزولوشنز، شیف کوہمولوجی کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ فلاسک شیوز نرم اور ایکائکلک ہوتے ہیں۔ فلاسک ایک فرانسیسی لفظ ہے جس کا انگریزی میں کبھی کبھی فلابی کے طور پر ترجمہ کیا جاتا ہے۔ میتھ اوور فلو الجبرائی جیومیٹری ہومولوجیکل الجبرا شیف تھیوری پر حوالہ جات "شیف کوہمولوجی اور انجیکشن ریزولوشنز"