Weierstrass functions
ریاضی میں، ویئراسٹراس افعال ایک پیچیدہ متغیر کے خصوصی افعال ہیں جو ویئسٹراس ایلیپٹک فنکشن کے معاون ہیں۔ ان کا نام کارل ویرسٹراس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ سگما، زیٹا، اور افعال کے درمیان تعلق سائن، کوٹینجینٹ، اور اسکوائرڈ کوسینٹ افعال کے درمیان تعلق کے مترادف ہے: سائن کا لوگرتھمک مشتق کوٹینجینٹ ہے، جس کا مشتق منفی اسکوائرڈ کوسینٹ ہے۔ ویئراسٹراس سگما فنکشن دو جہتی جالی سے وابستہ ویئسٹراس سگما فنکشن کی تعریف اس پروڈکٹ کے طور پر کی گئی ہے جہاں ادوار کی ایک بنیادی جوڑی کی نشاندہی ہوتی ہے یا ہوتی ہے۔ ویئراسٹراس فیکٹرائزیشن تھیوریم کی محتاط ہیرا پھیری کے ذریعے جیسا کہ اس کا تعلق سائن فنکشن سے بھی ہے، ایک اور ممکنہ طور پر زیادہ قابل انتظام لامحدود پروڈکٹ کی تعریف کسی کے ساتھ اور جہاں ہم نے اشارے کا استعمال کیا ہے (نیچے زیٹا فنکشن دیکھیں)۔ ویئراسٹراس زیٹا فنکشن ویئسٹراس زیٹا فنکشن کی تعریف اس رقم سے کی جاتی ہے۔ ویئسٹراس زیٹا فنکشن سگما فنکشن کا لوگرتھمک مشتق ہے۔ زیٹا فنکشن کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: وزن 2k + 2 کی آئزنسٹین سیریز کہاں ہے۔ زیٹا فنکشن کا مشتق ہے، جہاں ویئراسٹراس ایلیپٹک فنکشن ہے۔ ویئراسٹراس زیٹا فنکشن کو نمبر تھیوری میں ریمن زیٹا فنکشن کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ ویئراسٹراس ایٹا فنکشن ویئسٹراس ایٹا فنکشن کی تعریف جالی میں کسی بھی ڈبلیو کے طور پر کی گئی ہے۔ یہ اچھی طرح سے متعین ہے، یعنی۔ صرف لیٹس ویکٹر ڈبلیو پر منحصر ہے۔ ویئراسٹراس ایٹا فنکشن کو ڈیڈیکائنڈ ایٹا فنکشن یا ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ ویئراسٹراس-فنکشن ویئسٹراس پی-فنکشن کا تعلق زیٹا فنکشن سے ہے۔ ویئسٹراس-فنکشن آرڈر N = 2 کا ایک یکساں ایلیپٹک فنکشن ہے جس میں ہر لیٹس پوائنٹ پر ڈبل پول ہوتا ہے اور کوئی دوسرا پول نہیں ہوتا ہے۔ ڈیجینریٹ کیس اس صورت حال پر غور کریں جہاں ایک پیریڈ حقیقی ہے، جسے ہم پیمانے پر لے سکتے ہیں اور دوسرے کو اس حد تک لے جایا جاتا ہے تاکہ فنکشن صرف سنگل پیریڈک ہوں۔ متعلقہ غیر متغیرات امتیازی ہوتے ہیں۔ پھر ہمارے پاس اور اس طرح مذکورہ بالا لامحدود پروڈکٹ کی تعریف سے درج ذیل مساوات ہے: دیگر دوگنا مدتی جالی پر دیگر سائن جیسے افعال کے لیے عمومی شکل ایلیپٹک افعال تجزیاتی افعال ہیں۔