Superquadrics
ریاضی میں، سپرکواڈریکس یا سپرکواڈریکس (سپرکواڈریکس بھی) ہندسی شکلوں کا ایک خاندان ہے جس کی وضاحت فارمولوں کے ذریعے کی جاتی ہے جو ایلیپسائڈز اور دیگر کواڈریکس سے ملتے جلتے ہیں، سوائے اس کے کہ مربع سازی کی کارروائیوں کو صوابدیدی طاقتوں سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ انہیں سپرلیپس کے تین جہتی رشتہ دار کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اصطلاح سیاق و سباق کے لحاظ سے ٹھوس شے یا اس کی سطح کا حوالہ دے سکتی ہے۔ نیچے دی گئی مساوات سطح کی وضاحت کرتی ہیں۔ ٹھوس کی وضاحت مساوات کی علامتوں کو کم یا مساوی علامتوں سے بدل کر کی جاتی ہے۔ سپرکواڈریکس میں بہت سی شکلیں شامل ہیں جو گول یا تیز کونوں کے ساتھ کیوب، آکٹھیڈرا، سلنڈر، لوزینجز اور اسپنڈلز سے ملتی جلتی ہیں۔ ان کی لچک اور نسبتا سادگی کی وجہ سے، وہ مقبول ہندسی ماڈلنگ ٹولز ہیں، خاص طور پر کمپیوٹر گرافکس میں۔ یہ ایک اہم ہندسی قدیم بن جاتا ہے جو کمپیوٹر وژن، روبوٹکس اور جسمانی تخروپن میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔ کچھ مصنفین، جیسے ایلن بار، "سپرکواڈریکس" کی وضاحت کرتے ہیں کہ اس میں سپرلیپسائڈز اور سپرٹورائڈز دونوں شامل ہیں۔ جدید کمپیوٹر وژن لٹریچرز میں، سپرکواڈریکس اور سپرلیپسائڈز کو ایک دوسرے کے بدلے استعمال کیا جاتا ہے، کیونکہ سپرلیپسائڈز تمام سپرکواڈریکس میں سب سے زیادہ نمائندہ اور وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والی شکل ہیں۔ سپرکواڈریکس کی ہندسی خصوصیات اور رینج امیجز اور پوائنٹ کلاؤڈز سے ان کی بازیابی کے طریقوں کی جامع کوریج کا احاطہ کئی کمپیوٹر وژن لٹریچرز میں کیا گیا ہے۔ سپرکواڈریکس ویژوئلائزیشن، سیمپلنگ، اور ریکوری کے لیے مفید ٹولز اور الگورتھم یہاں اوپن سورس ہیں۔ فارمولے امپلیسیٹ مساوات بنیادی سپرکواڈریک کی سطح اس طرح دی جاتی ہے جہاں r، s، اور t مثبت حقیقی اعداد ہیں جو سپرکواڈریک کی اہم خصوصیات کا تعین کرتے ہیں۔ یعنی: 1 سے کم: ایک نکیلی آکٹاہیڈرون جس میں کنکریٹ چہرے اور تیز کناروں کے لیے ترمیم کی گئی ہے۔ بالکل 1: ایک باقاعدہ آکٹاہیڈرون۔ 1 اور 2 کے درمیان: ایک آکٹا ہیڈرون کو کنویکس چہروں، دھندلے کناروں اور دھندلے کونوں میں تبدیل کیا گیا۔ بالکل 2:2 سے بڑا دائرہ: ایک مکعب کو گول کناروں اور کونوں میں تبدیل کیا گیا۔ لامحدود (حد میں): ایک مکعب مشترکہ شکلیں حاصل کرنے کے لیے ہر ایک متغیر کو آزادانہ طور پر مختلف کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر r = s = 2، اور t = 4، تو کوئی انقلاب کا ایک ٹھوس حاصل کرتا ہے جو گول کراس سیکشن کے ساتھ ایک ایلیپسائڈ سے ملتا جلتا ہے لیکن چپٹے سروں کے ساتھ۔ یہ فارمولا سپرلیپسائڈ کے فارمولے کا ایک خاص معاملہ ہے اگر (اور صرف اس صورت میں جب) r = s۔ اگر کسی ایکسپونینٹ کو منفی ہونے دیا جائے تو شکل لامحدود تک پھیل جاتی ہے۔ اس طرح کی شکلوں کو بعض اوقات سپر ہائپربولائڈز کہا جاتا ہے۔ اوپر کی بنیادی شکل ہر کوآرڈینیٹ محور کے ساتھ-1 سے + 1 تک پھیلی ہوئی ہے۔ عام سپرکواڈریک اس بنیادی شکل کو ہر محور کے ساتھ مختلف مقداروں A، B، C سے اسکیل کرنے کا نتیجہ ہے۔ اس کی عمومی مساوات سطح کے پیرامیٹرز u اور v کے لحاظ سے پیرامیٹرک وضاحت پیرامیٹرک مساوات ہے (طول بلد اور عرض البلد کے مساوی اگر m 2 کے برابر ہے) جہاں معاون افعال ہیں اور سائن فنکشن sgn (x) کروی پروڈکٹ ہے بار کروی پروڈکٹ متعارف کراتا ہے جس میں دو طیارہ منحنی خطوط دیے گئے ہیں جو 3D سطح پیدا کرتے ہیں۔ اگر دو طیارہ منحنی خطوط ہیں تو کروی پروڈکٹ ہے۔ یہ ایک دائرے کی عام پیرامیٹرک مساوات سے ملتا جلتا ہے: جو کروی پروڈکٹ کے نام کو جنم دیتا ہے۔ بار کواڈریک سطحوں، جیسے ایلیپسائڈز، اور ہائپربولائڈز کے ساتھ ساتھ ٹورس، سپرلیپسائڈ، ایک اور دو شیٹس کے سپرکواڈریک ہائپربولائڈز، اور سپرٹورائڈز کی وضاحت کے لیے کروی پروڈکٹ کا استعمال کرتا ہے۔ پلاٹنگ کوڈ مندرجہ ذیل جی این یو آکٹیو کوڈ ایک سپرکواڈریک کا میش تخمینہ پیدا کرتا ہے: فنکشن سپرکواڈریک (ایپسیلون، اے) این = 50 ؛ ایٹامیکس = پائی/2 ؛ ایٹامین =-پائی/2 ؛ ڈبلیو میکس = پائی ؛ ڈبلیو من =-پائی ؛ ڈیٹا = (ایٹامیکس-ایٹامین)/این ؛ ڈی ڈبلیو = (ڈبلیو میکس-ومین)/این ؛ [آئی، جے] = میش گرڈ (1: این + 1,1: این + 1) ایٹا = ایٹامین + (آئی-1) * ڈیٹا ؛ ڈبلیو = ڈبلیو من + (جے-1) * ڈی ڈبلیو ؛ ایکس = اے (1)۔ * نشان (کوس (ایٹا))۔ * ایبس (کوس (ایٹا))۔ ^ ایپسلون (1)۔ * نشان (کوس (ڈبلیو))۔ * ایبس (کوس (ڈبلیو))۔ ^ ایپسیلون (1) ؛ وائی = اے (2)۔ * نشان (کوس (ایٹا))۔ * ایبس (کوس (ایٹا))۔ ^ ایپسلون (2)۔ * نشان (گناہ (ڈبلیو))۔ * ABS (sin (w)). ^ ایپسلون (2) ؛ z = a (3)۔ * نشان (گناہ (ایٹا))۔ * ABS (sin (eta)). ^ ایپسلون (3) ؛ میش (x, y, z) ؛ اینڈ یہ بھی دیکھیں سپریگ سپرلیپسائڈ ایلیپسائڈ بیرونی حوالہ جات لنکس ببلیوگرافی: سپرکواڈریک نمائندگی سپرکواڈریک ٹینسر گلائفس سپرکواڈریک ایلیپسائڈز اور ٹورائڈز، اوپن جی ایل لائٹنگ، اور ٹائمنگ سپرکواڈریکس بذریعہ رابرٹ کریگلر، دی وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ۔ پائیتھن میں سپرکواڈریکس پائیتھن اور میٹ لیب میں ریکوری الگورتھم کمپیوٹر وژن روبوٹکس جیومیٹری کمپیوٹر وژن میں