Probit model
اعداد و شمار میں، پروبیٹ ماڈل ایک قسم کی رجعت ہے جہاں منحصر متغیر صرف دو اقدار لے سکتا ہے، مثال کے طور پر شادی شدہ یا غیر شادی شدہ۔ لفظ ایک پورٹمینٹو ہے، جو امکان + یونٹ سے آتا ہے۔ ماڈل کا مقصد اس امکان کا اندازہ لگانا ہے کہ مخصوص خصوصیات والا مشاہدہ کسی مخصوص زمرے میں آئے گا۔ اس کے علاوہ، مشاہدات کو ان کی پیش گوئی شدہ امکانات کی بنیاد پر درجہ بندی کرنا بائنری درجہ بندی ماڈل کی ایک قسم ہے۔ ایک پروبیٹ ماڈل بائنری رسپانس ماڈل کے لیے ایک مقبول وضاحت ہے۔ اس طرح یہ مسائل کے اسی سیٹ کا علاج کرتا ہے جیسا کہ اسی طرح کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے لاجسٹک ریگریشن کرتا ہے۔ جب عمومی لکیری ماڈل فریم ورک میں دیکھا جاتا ہے، تو پروبیٹ ماڈل ایک پروبیٹ لنک فنکشن کو استعمال کرتا ہے۔ اس کا تخمینہ اکثر زیادہ سے زیادہ امکانات کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جاتا ہے، اس طرح کے تخمینے کو پروبیٹ ریگریشن کہا جاتا ہے۔ تصوراتی فریم ورک فرض کریں کہ ایک رسپانس متغیر Y بائنری ہے، یعنی اس کے صرف دو ممکنہ نتائج ہو سکتے ہیں جنہیں ہم 1 اور 0 کے طور پر ظاہر کریں گے۔ مثال کے طور پر، Y کسی خاص حالت کی موجودگی/غیر موجودگی، کسی ڈیوائس کی کامیابی/ناکامی کی نمائندگی کر سکتا ہے، سروے پر ہاں/نہیں وغیرہ کا جواب دے سکتا ہے۔ ہمارے پاس ریگریسرز X کا ایک ویکٹر بھی ہے، جس کے بارے میں فرض کیا جاتا ہے کہ وہ نتیجہ Y پر اثر انداز ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ہم فرض کرتے ہیں کہ ماڈل وہ شکل اختیار کرتا ہے جہاں P امکان ہے اور معیاری معمول کی تقسیم کا مجموعی تقسیم فنکشن ہے۔ پیرامیٹرز β کا تخمینہ عام طور پر زیادہ سے زیادہ امکان سے لگایا جاتا ہے۔ پروبیٹ ماڈل کو ایک پوشیدہ متغیر ماڈل کے طور پر متحرک کرنا ممکن ہے۔ فرض کریں کہ ایک معاون بے ترتیب متغیر موجود ہے جہاں ε ~ N (0,1) ہے۔ پھر Y کو ایک اشارے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ آیا یہ پوشیدہ متغیر مثبت ہے: معیاری عام تقسیم کا استعمال صوابدیدی اوسط اور معیاری انحراف کے ساتھ عام تقسیم کے استعمال کے مقابلے میں عامیت کا کوئی نقصان نہیں کرتا ہے، کیونکہ اوسط میں ایک مقررہ رقم شامل کرنے کی تلافی انٹرسیپٹ سے ایک ہی رقم کو گھٹا کر کی جا سکتی ہے، اور معیاری انحراف کو ایک مقررہ رقم سے ضرب دے کر وزن کو ایک ہی رقم سے ضرب دے کر معاوضہ دیا جا سکتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ دونوں ماڈل مساوی ہیں، نوٹ کریں کہ ماڈل تخمینہ زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ فرض کریں کہ ڈیٹا سیٹ میں اوپر کے ماڈل کے مطابق n آزاد شماریاتی اکائیاں ہیں۔ واحد مشاہدے کے لیے، جو اس مشاہدے کے ان پٹ کے ویکٹر پر مشروط ہے، ہمارے پاس: جہاں ان پٹ کا ویکٹر ہے، اور کوفشنٹس کا ویکٹر ہے۔ ایک واحد مشاہدے کا امکان تب ہوتا ہے درحقیقت، اگر، تب، اور اگر، تب۔ چونکہ مشاہدات آزاد اور یکساں طور پر تقسیم ہوتے ہیں، اس لیے پورے نمونے کا امکان، یا مشترکہ امکان، واحد مشاہدات کے امکانات کے پروڈکٹ کے برابر ہوگا: مشترکہ لاگ-لیکلی ہڈ فنکشن اس طرح ہے۔ تخمینہ لگانے والا جو اس فنکشن کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے وہ مستقل، غیر علامتی طور پر عام اور موثر ہوگا بشرطیکہ وہ موجود ہو اور واحد نہ ہو۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ لاگ لائکلی ہڈ فنکشن عالمی سطح پر کنکیو ہے، اور اس لیے اصلاح کے لیے معیاری عددی الگورتھم تیزی سے منفرد زیادہ سے زیادہ میں ضم ہو جائیں گے۔ کے لیے غیر علامتی تقسیم معیاری عام تقسیم کے ممکنہ کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) کے ذریعے دی جاتی ہے۔ پروبیٹ ٹائپ اور دیگر متعلقہ ماڈلز کے لیے نیم پیرامیٹرک اور غیر پیرامیٹرک زیادہ سے زیادہ امکانات کے طریقے بھی دستیاب ہیں۔ برکسن کا کم از کم چی مربع طریقہ یہ طریقہ صرف اس صورت میں لاگو کیا جا سکتا ہے جب ردعمل متغیر کے بہت سے مشاہدات ہوتے ہیں جن کی ریگریسرز کے ویکٹر کی ایک ہی قدر ہوتی ہے (ایسی صورتحال کو "فی سیل بہت سے مشاہدات" کہا جا سکتا ہے)۔ مزید خاص طور پر، ماڈل کو مندرجہ ذیل طریقے سے وضع کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ n مشاہدات میں ریگریسرز کی صرف T الگ الگ اقدار ہیں، جنہیں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آئیے مشاہدات کی تعداد اور اس طرح کے مشاہدات کی تعداد کے ساتھ۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ ہر "خلیے" کے لیے درحقیقت "بہت سے" مشاہدات ہیں: ہر ایک کے لیے۔ اس کے بعد نشان زد کریں کہ برکسن کا کم از کم چی مربع تخمینہ لگانے والا وزن کے ساتھ آن کے رجعت میں ایک عمومی کم از کم مربع تخمینہ لگانے والا ہے: یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ تخمینہ لگانے والا مستقل ہے (جیسا کہ n → φ اور T فکسڈ)، غیر علامتی طور پر عام اور موثر ہے۔ اس کا فائدہ تخمینہ لگانے والے کے لیے بند فارم فارمولے کی موجودگی ہے۔ تاہم، اس تجزیے کو تب ہی انجام دینا بامعنی ہے جب انفرادی مشاہدات دستیاب نہ ہوں، صرف ان کی مجموعی گنتی، اور (مثال کے طور پر ووٹنگ کے رویے کے تجزیے میں)۔ گبز کے نمونے لینے والے گبز کے نمونے لینے والے پروبیٹ ماڈل کا نمونہ لینا ممکن ہے کیونکہ رجعت ماڈل عام طور پر وزن پر معمول کی سابقہ تقسیم کا استعمال کرتے ہیں، اور یہ تقسیم غلطیوں کی معمول کی تقسیم (اور اس وجہ سے پوشیدہ متغیر Y *) کے ساتھ مربوط ہوتی ہے۔ ماڈل کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے کہ اس سے، ہم مطلوبہ مکمل مشروط کثافت کا تعین کر سکتے ہیں: اس کا نتیجہ بیسیئن لکیری رجعت پر مضمون میں دیا گیا ہے، حالانکہ مختلف اشارے کے ساتھ اس کی وضاحت کی گئی ہے۔ واحد چال آخری دو مساوات میں ہے۔ اشارے ایورسن بریکٹ ہے، بعض اوقات لکھا ہوا یا اسی طرح کا۔ یہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ تقسیم کو دی گئی حد کے اندر کاٹا جانا چاہیے، اور مناسب طریقے سے دوبارہ ترتیب دیا جانا چاہیے۔ اس خاص صورت میں، ایک کٹی ہوئی عام تقسیم پیدا ہوتی ہے۔ اس تقسیم سے نمونے لینے کا انحصار اس بات پر ہے کہ کتنا کاٹا جاتا ہے۔ اگر اصل کمیت کا ایک بڑا حصہ باقی رہتا ہے، تو نمونے لینے کو مسترد نمونے لینے کے ساتھ آسانی سے کیا جا سکتا ہے-صرف غیر کٹے ہوئے تقسیم سے ایک نمبر کا نمونہ لیں، اور اگر یہ کٹوتی کی طرف سے لگائی گئی پابندی سے باہر آتا ہے تو اسے مسترد کر دیں۔ اگر اصل کمیت کے صرف ایک چھوٹے سے حصے سے نمونے لیے جائیں، تاہم (مثال کے طور پر۔ اگر عام تقسیم کی دم میں سے کسی ایک سے نمونے لینا-مثال کے طور پر اگر تقریبا 3 یا اس سے زیادہ ہے، اور ایک منفی نمونہ مطلوب ہے)، تو یہ غیر موثر ہوگا اور دوسرے نمونے لینے والے الگورتھم پر واپس آنا ضروری ہو جاتا ہے۔ کٹے ہوئے نارمل سے عمومی نمونے عام سی ڈی ایف اور پروبیٹ فنکشن کے تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیے جا سکتے ہیں، اور کٹے ہوئے نارمل نمونے تیار کرنے کے لیے آر کا فنکشن rtnorm () ہے۔ ماڈل کی تشخیص ایک تخمینہ شدہ بائنری ماڈل کی موزونیت کا اندازہ 1 کے برابر حقیقی مشاہدات کی تعداد اور صفر کے برابر تعداد کو گن کر کیا جا سکتا ہے، جس کے لیے ماڈل 1/2 (یا، 1/2 سے نیچے) سے اوپر کے کسی بھی تخمینہ شدہ امکان کو 1 (یا، 0) کی پیش گوئی کی تفویض کے طور پر درست پیش گوئی کی درجہ بندی تفویض کرتا ہے۔ تفصیلات کے لیے دیکھیں۔ غلط وضاحت کے تحت کارکردگی پروبیٹ ماڈل کے پوشیدہ متغیر ماڈل کی تشکیل پر غور کریں۔ جب کنڈیشنل آن کا تغیر مستقل نہیں ہوتا بلکہ اس پر منحصر ہوتا ہے، تو ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کا مسئلہ پیدا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک مسلسل مثبت وضاحتی متغیر کہاں ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کے تحت، پروبیٹ تخمینہ کار عام طور پر متضاد ہوتا ہے، اور کوفیشنٹس کے بارے میں زیادہ تر ٹیسٹ غلط ہوتے ہیں۔ اس سے بھی اہم بات یہ ہے کہ تخمینہ لگانے والا بھی متضاد ہو جاتا ہے۔ اس مسئلے سے نمٹنے کے لیے، اصل ماڈل کو ہوموسکڈاسٹک میں تبدیل کرنے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، اسی مثال میں، کہاں کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ لہذا، اور چل رہا پروبیٹ آن مشروط امکان کے لیے ایک مستقل تخمینہ پیدا کرتا ہے جب عام طور پر تقسیم کیا گیا مفروضہ برقرار رکھنے میں ناکام ہو جاتا ہے، تو ایک فعال شکل کی غلط وضاحت کا مسئلہ پیدا ہوتا ہے: اگر ماڈل کا اب بھی پروبیٹ ماڈل کے طور پر تخمینہ لگایا جاتا ہے، تو کوفیشنٹس کے تخمینے متضاد ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر حقیقی ماڈل میں لاجسٹک تقسیم کی پیروی کی جاتی ہے، لیکن ماڈل کا تخمینہ پروبیٹ کے ذریعے لگایا جاتا ہے، تو تخمینے عام طور پر حقیقی قیمت سے کم ہوں گے۔ تاہم، گتانک تخمینوں کی عدم مطابقت عملی طور پر غیر متعلقہ ہے کیونکہ جزوی اثرات کے تخمینے، حقیقی لاگٹ ماڈل کے ذریعہ دیئے گئے تخمینوں کے قریب ہوں گے۔ تقسیم کی غلط وضاحت کے مسئلے سے بچنے کے لیے، غلطی کی اصطلاح کے لیے عام تقسیم کا مفروضہ اپنایا جا سکتا ہے، اس طرح کہ تقسیم کی بہت سی مختلف اقسام کو ماڈل میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ قیمت زیادہ گنتی اور پیرامیٹر کی تعداد میں اضافے کے لیے کم درستگی ہے۔ عملی طور پر زیادہ تر معاملات میں جہاں ڈسٹری بیوشن فارم کی غلط وضاحت کی گئی ہے، کوفیشنٹس کے تخمینے متضاد ہیں، لیکن مشروط امکان اور جزوی اثرات کے تخمینے اب بھی بہت اچھے ہیں۔ کوئی بھی نیم پیرامیٹرک یا غیر پیرامیٹرک نقطہ نظر بھی اختیار کر سکتا ہے، مثال کے طور پر، مقامی روزی روٹی یا غیر پیرامیٹرک نیم روزی روٹی کے طریقوں کے ذریعے، جو انڈیکس فنکشن کے لیے پیرامیٹرک شکل پر مفروضوں سے بچتے ہیں اور لنک فنکشن کے انتخاب کے لیے مضبوط ہوتے ہیں (مثال کے طور پر، پروبیٹ یا لاگٹ)۔ پروبیٹ ماڈل کا سہرا عام طور پر چیسٹر بلس کو جاتا ہے، جس نے 1934 میں "پروبیٹ" کی اصطلاح تیار کی، اور جان گیڈم (1933) کو، جس نے پہلے کے کام کو منظم کیا۔ تاہم، بنیادی ماڈل گستاو فیچنر کے ویبر-فیچنر قانون کا ہے، جو 1930 میں شائع ہوا تھا، اور 1930 کی دہائی تک اسے بار بار دوبارہ دریافت کیا گیا تھا۔ پروبیٹ ماڈل کے لیے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینوں کی گنتی کے لیے ایک تیز طریقہ رونالڈ فشر نے 1935 میں بلیس کے کام کے ضمیمہ کے طور پر تجویز کیا تھا۔ جنرلائزڈ لینیر ماڈل لمیٹڈ ڈیپینڈینٹ متغیر لاجٹ ماڈل ملٹی نومیل پروبیٹ ملٹی ویریٹ پروبیٹ ماڈل آرڈرڈ پروبیٹ اور آرڈرڈ لاجٹ ماڈل علیحدگی (شماریات) ٹوبیٹ ماڈل حوالہ جات میں شائع: مزید پڑھنا مارک تھوما کی طرف سے بیرونی لنکس زمرہ بندی رجعت ماڈل درجہ بندی الگورتھم