Possibility theory
امکان کا نظریہ بعض قسم کی غیر یقینی صورتحال سے نمٹنے کے لیے ایک ریاضیاتی نظریہ ہے اور امکان کے نظریہ کا متبادل ہے۔ یہ 0 اور 1 کے درمیان امکان اور ضرورت کے اقدامات کا استعمال کرتا ہے، جو بالترتیب ناممکن سے ممکنہ اور غیر ضروری سے ضروری تک ہوتے ہیں۔ پروفیسر لوٹفی زادہ نے سب سے پہلے 1978 میں فزی سیٹس اور فزی منطق کے اپنے نظریہ کی توسیع کے طور پر امکان کا نظریہ متعارف کرایا۔ دیدیئر ڈوبوئس اور ہنری پریڈ نے اس کی ترقی میں مزید تعاون کیا۔ اس سے پہلے، 1950 کی دہائی میں، ماہر معاشیات جی ایل ایس شیکل نے ممکنہ حیرت کی ڈگریوں کو بیان کرنے کے لیے کم از کم/زیادہ سے زیادہ الجبرا کی تجویز پیش کی۔ امکان کی فارملائزیشن سادگی کے لیے فرض کریں کہ گفتگو کی کائنات ایک محدود مجموعہ ہے۔ امکان کی پیمائش ایک فنکشن ہے جو [0، 1] سے اس طرح ہے کہ: محور 1: محور 2: محور 3: کسی بھی جداگانہ ذیلی سیٹوں کے لیے اور۔ اس کے بعد، محدود امکانی خالی جگہوں پر امکان کی طرح، امکان کی پیمائش کا تعین سنگلٹن پر اس کے رویے سے ہوتا ہے: محور 1 کی تشریح اس مفروضے کے طور پر کی جا سکتی ہے کہ ω دنیا کی مستقبل کی حالتوں کی ایک مکمل وضاحت ہے، کیونکہ اس کا مطلب یہ ہے کہ ω سے باہر کے عناصر کو کوئی عقیدے کا وزن نہیں دیا گیا ہے۔ محور 2 کی تشریح اس مفروضے کے طور پر کی جا سکتی ہے کہ جس ثبوت سے تعمیر کیا گیا تھا وہ کسی تضاد سے پاک ہے۔ تکنیکی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ امکان 1 کے ساتھ ω میں کم از کم ایک عنصر موجود ہے۔ محوریم 3 امکانات میں اضافی محوریم سے مطابقت رکھتا ہے۔ تاہم ایک اہم عملی فرق ہے۔ پوسیبلٹی تھیوری کمپیوٹیشنل طور پر زیادہ آسان ہے کیونکہ محور 1-3 کا مطلب یہ ہے کہ: کسی بھی ذیلی سیٹ اور کے لیے۔ چونکہ کوئی بھی ہر جزو کے امکان سے اتحاد کے امکان کو جان سکتا ہے، اس لیے یہ کہا جا سکتا ہے کہ امکان یونین آپریٹر کے حوالے سے جامع ہے۔ تاہم نوٹ کریں کہ یہ انٹرسیکشن آپریٹر کے حوالے سے جامع نہیں ہے۔ عام طور پر: جب ω محدود نہیں ہوتا ہے، تو محوریہ 3 کو اس طرح تبدیل کیا جا سکتا ہے: تمام انڈیکس سیٹوں کے لیے، اگر ذیلی سیٹ جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ہیں، تو ضرورت۔ جبکہ امکان کا نظریہ ایک واحد نمبر، امکان کا استعمال کرتا ہے، یہ بیان کرنے کے لیے کہ واقعہ ہونے کا کتنا امکان ہے، امکان کا نظریہ دو تصورات، امکان اور واقعہ کی ضرورت کا استعمال کرتا ہے۔ کسی بھی سیٹ کے لیے، ضرورت کی پیمائش کی تعریف اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مندرجہ بالا فارمولے میں، تکمیل کی نشاندہی کرتا ہے، یعنی اس کے عناصر کا تعلق نہیں ہے۔ یہ ظاہر کرنا سیدھا ہے کہ: کسی بھی اور اس کے لیے: نوٹ کریں کہ امکان کے نظریہ کے برعکس، امکان خود دوہری نہیں ہے۔ یعنی، کسی بھی واقعہ کے لیے، ہمارے پاس صرف عدم مساوات ہوتی ہے: تاہم، درج ذیل دوہری اصول کا حامل ہے: کسی بھی واقعہ کے لیے، یا تو، یا اس کے مطابق، کسی واقعہ کے بارے میں عقائد کی نمائندگی ایک عدد اور تھوڑا سے کی جا سکتی ہے۔ تشریح چار معاملات ہیں جن کی تشریح مندرجہ ذیل طور پر کی جا سکتی ہے: اس کا مطلب ہے کہ یہ ضروری ہے۔ یقینی طور پر سچ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ۔ اس کا مطلب ہے کہ یہ ناممکن ہے۔ یہ یقینی طور پر غلط ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ۔ اس کا مطلب ہے کہ یہ ممکن ہے۔ اگر ایسا ہوتا ہے تو مجھے بالکل حیرت نہیں ہوگی۔ یہ بے قابو چھوڑ دیتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ یہ غیر ضروری ہے۔ اگر ایسا نہ ہوا تو مجھے بالکل بھی حیرت نہیں ہوگی۔ یہ بے قابو چھوڑ دیتا ہے۔ آخری دو معاملات کا انٹرسیکشن ہے اور اس کا مطلب یہ ہے کہ میں اس کے بارے میں کچھ بھی نہیں مانتا ہوں۔ چونکہ یہ اس طرح کی غیر متعینیت کی اجازت دیتا ہے، امکان کا نظریہ کلاسیکی دو قدر والی منطق کے بجائے بہت سے قیمتی منطق، جیسے بدیہی منطق کی گریجویشن سے متعلق ہے۔ نوٹ کریں کہ امکان کے برعکس، فجی منطق یونین اور انٹرسیکشن آپریٹر دونوں کے حوالے سے جامع ہے۔ فجی تھیوری کے ساتھ تعلق کو درج ذیل کلاسیکی مثال سے سمجھایا جا سکتا ہے۔ مبہم منطق: جب ایک بوتل آدھی بھری ہوتی ہے، تو یہ کہا جا سکتا ہے کہ "بوتل بھری ہوئی ہے" کی تجویز کی سچائی کی سطح 0.0 ہے۔ لفظ "فل" کو ایک مبہم پیش گوئی کے طور پر دیکھا جاتا ہے جو بوتل میں مائع کی مقدار کو بیان کرتا ہے۔ امکان کا نظریہ: ایک بوتل ہوتی ہے، یا تو مکمل طور پر بھری ہوئی یا مکمل طور پر خالی۔ تجویز "امکان کی سطح کہ بوتل بھری ہوئی ہے 0.0 ہے" عقیدے کی ڈگری کو بیان کرتی ہے۔ اس تجویز میں 0.0 کی تشریح کرنے کا ایک طریقہ اس کے معنی کو اس طرح بیان کرنا ہے: میں شرط لگانے کے لیے تیار ہوں کہ یہ خالی ہے جب تک کہ مشکلات یکساں ہوں (1:1) یا بہتر ہوں، اور میں کسی بھی شرح پر شرط نہیں لگاؤں گا کہ یہ بھرا ہوا ہے۔ امکان کا نظریہ ایک غیر واضح امکان کے نظریہ کے طور پر امکان اور امکان کے نظریات کے درمیان ایک وسیع رسمی خط و کتابت ہے، جہاں اضافہ آپریٹر زیادہ سے زیادہ آپریٹر سے مطابقت رکھتا ہے۔ ڈیمپسٹر-شیفر تھیوری آف ایویڈنس میں ایک ممکنہ پیمائش کو کنسوننٹ پلازیبلٹی پیمائش کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ امکان کے نظریہ کے آپریٹرز کو منتقلی کے قابل عقیدے کے ماڈل کے آپریٹرز کے انتہائی محتاط ورژن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو نظریہ ثبوت کی جدید ترقی ہے۔ امکان کو ایک اعلی امکان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: کسی بھی امکان کی تقسیم کے ذریعے قابل قبول امکان کی تقسیم کے ایک منفرد کریڈٹ سیٹ کی وضاحت کی جاتی ہے۔ یہ کسی کو غیر واضح امکانات کے ٹولز کا استعمال کرتے ہوئے امکان کے نظریہ کا مطالعہ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ضرورت کی منطق ہم عام امکان کو کہتے ہیں کہ ہر فنکشن محوری 1 اور محوری 3 کو مطمئن کرتا ہے۔ ہم عمومی ضرورت کو عمومی امکان کا دوہرا کہتے ہیں۔ عمومی ضروریات کا تعلق ایک بہت ہی آسان اور دلچسپ مبہم منطق سے ہے جسے ضرورت کی منطق کہا جاتا ہے۔ ضرورت کی منطق کے کٹوتی کے آلے میں منطقی محوریات معمول کی کلاسیکی تعریفیں ہیں۔ اس کے علاوہ، صرف ایک مبہم تخمینہ قاعدہ ہے جو معمول کے موڈس پونینس کو بڑھاتا ہے۔ اس طرح کا ایک قاعدہ کہتا ہے کہ اگر α اور α → β بالترتیب ڈگری λ اور μ پر ثابت ہوتے ہیں، تو ہم β کو ڈگری Min {λ, μ} پر ثابت کر سکتے ہیں۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ اس طرح کی منطق کے نظریات عمومی ضروریات ہیں اور یہ کہ مکمل طور پر مستقل نظریات ضروریات کے ساتھ موافق ہیں (مثال کے طور پر گرلا 2001 دیکھیں)۔ فجی پیمائش تھیوری منطقی امکان ماڈل منطق ممکنہ منطق بے ترتیب-فجی متغیر قابل منتقلی عقیدے کا ماڈل اوپری اور نچلے امکانات حوالہ جات ڈوبوئس، ڈیڈیئر اور پریڈ، ہنری، "پوسیبلٹی تھیوری، پروبیبلٹی تھیوری اور ملٹی پل ویلیوڈ لاجکس: ایک وضاحت"، اینلز آف میتھمیٹکس اینڈ آرٹیفیشل انٹیلی جنس 32:35-66، 2002 دیکھیں۔ Gerla Giangiacomo، Fuzzy logic: Mathematical Tools for Aproximate Reasning، Kluwer Academic پبلشرز، Dordrecht 2001. لاڈیسلاو جے کوہاؤٹ، "تھیوریز آف پوسیبلٹی: میٹا ایکسیومیٹکس اینڈ سیمنٹکس"، فجی سیٹس اینڈ سسٹمز 25:357-367، 1988۔ زادہ، لوٹفی، "فزی سیٹس ایز دی بیسز فار اے تھیوری آف پوسیبلٹی"، فزی سیٹس اینڈ سسٹمز 1:3-28، 1978۔ (فجی سیٹس اینڈ سسٹمز 100 میں دوبارہ چھاپا گیا (ضمیمہ): 9-34، 1999۔) برائن آر گینز اور لاڈیسلاو جے کوہاؤٹ، "پوسیبل آٹومیٹا"، پروسیڈنگز آف دی انٹرنیشنل سمپوزیم آن ملٹی پل ویلیوڈ لاجک، پی پی۔ 183-192، بلومنگٹن، انڈیانا، مئی 13-16، 1975۔ امکان کا نظریہ مبہم منطق امکان