Fréchet filter
ریاضی میں، فریشیٹ فلٹر، جسے کوفائنٹ فلٹر بھی کہا جاتا ہے، ایک سیٹ پر ذیلی سیٹوں کا ایک خاص مجموعہ ہوتا ہے (یعنی، یہ پاور سیٹ کا ایک خاص ذیلی سیٹ ہے)۔ کا ایک ذیلی سیٹ فریشیٹ فلٹر سے تعلق رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کی تکمیل محدود ہو۔ اس طرح کے کسی بھی سیٹ کو کہا جاتا ہے، یہی وجہ ہے کہ اسے متبادل طور پر کوفینیٹ فلٹر آن کہا جاتا ہے۔ فریشیٹ فلٹر ٹوپولوجی میں دلچسپی کا حامل ہے، جہاں فلٹرز کی ابتدا ہوئی، اور اس کا تعلق آرڈر اور لیٹس تھیوری سے ہے کیونکہ سیٹ کا پاور سیٹ سیٹ کی شمولیت کے تحت جزوی طور پر ترتیب دیا گیا سیٹ ہوتا ہے (زیادہ خاص طور پر، یہ لیٹس بناتا ہے)۔ فریشیٹ فلٹر کا نام فرانسیسی ریاضی دان مورس فریشیٹ (1878-1973) کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ٹوپولوجی میں کام کیا تھا۔ تعریف کسی سیٹ کے ذیلی سیٹ کو کوفائنٹ کہا جاتا ہے اگر اس کی تکمیل (یعنی سیٹ) محدود ہو۔ اگر خالی سیٹ کو فلٹر میں رہنے کی اجازت ہے، تو فریچیٹ فلٹر آن، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، اس کے تمام کوفائنٹ سبسیٹس کا سیٹ ہے۔ یعنی: اگر ایک محدود سیٹ ہے، تو اس کا ہر کوفائنٹ سب سیٹ لازمی طور پر خالی نہیں ہے، تاکہ اس صورت میں، اس سے پہلے کیے گئے خالی سیٹ مفروضے کو بنانا ضروری نہیں ہے۔ یہ جالی پر سیٹ کی شمولیت کے ساتھ ایک پاور سیٹ بناتا ہے، یہ دیکھتے ہوئے کہ مندرجہ ذیل دو شرائط میں ایک سیٹ کی تکمیل کی نشاندہی کرتا ہے: انٹرسیکشن کنڈیشن اگر دو سیٹ کو حتمی طور پر مکمل کیا جاتا ہے تو ان کا انٹرسیکشن بھی ہوتا ہے، چونکہ اور اپر سیٹ کنڈیشن اگر کسی سیٹ کو حتمی طور پر مکمل کیا جاتا ہے تو اس کے سپرسیٹ بھی ہوتے ہیں۔ خصوصیات اگر بیس سیٹ محدود ہے، تو چونکہ ہر ذیلی سیٹ اور خاص طور پر ہر تکمیل، تب محدود ہے۔ اس معاملے کو بعض اوقات تعریف کے لحاظ سے خارج کر دیا جاتا ہے یا پھر اسے نامناسب فلٹر کہا جاتا ہے جسے محدود ہونے کی اجازت دینا فریشیٹ فلٹر کے آزاد اور غیر پرنسپل ہونے کے لیے ایک واحد رعایت پیدا کرتا ہے کیونکہ ایک محدود سیٹ پر فلٹر آزاد نہیں ہو سکتا اور غیر پرنسپل فلٹر میں اراکین کے طور پر کوئی سنگلٹن نہیں ہو سکتا۔ اگر لامحدود ہے، تو اس کا ہر ممبر لامحدود ہے کیونکہ یہ صرف اس کے بہت سے ممبروں کو مائنس کرتا ہے۔ مزید برآں، لامحدود ہے کیونکہ اس کا ایک ذیلی سیٹ ان سب کا مجموعہ ہے جہاں فریشیٹ فلٹر مفت اور غیر پرنسپل دونوں ہے، سوائے اوپر بیان کردہ محدود کیس کے، اور ہر مفت فلٹر میں شامل ہے۔ یہ (لامحدود) کے تمام محدود ذیلی سیٹوں کے آئیڈیل کا دوہری فلٹر بھی ہے۔ فریشیٹ فلٹر لازمی طور پر ایک الٹرا فلٹر (یا زیادہ سے زیادہ مناسب فلٹر) ہے۔ پاور سیٹ پر غور کریں جہاں قدرتی اعداد ہیں۔ یکساں اعداد کا مجموعہ عجیب اعداد کے مجموعے کی تکمیل ہے۔ چونکہ ان میں سے کوئی بھی سیٹ محدود نہیں ہے، نہ ہی سیٹ فریشیٹ فلٹر میں ہے تاہم، ایک (کوئی دوسرا غیر انحطاطی فلٹر) مفت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں فریشیٹ فلٹر شامل ہو۔ الٹرا فلٹر لیما میں کہا گیا ہے کہ ہر غیر انحطاط پذیر فلٹر کسی الٹرا فلٹر میں موجود ہوتا ہے۔ آزاد الٹرا فلٹرز کا وجود ترسکی نے 1930 میں قائم کیا تھا، جو انتخاب کے محور کے مساوی نظریہ پر انحصار کرتا ہے اور غیر معیاری تجزیے میں ہائپرریلز کی تعمیر میں استعمال ہوتا ہے۔ مثال اگر ایک محدود سیٹ ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ خالی سیٹ فلٹر میں ہو سکتا ہے، تو فریشیٹ فلٹر آن کے تمام ذیلی سیٹوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ قدرتی اعداد کے سیٹ پر، لامحدود وقفوں کا سیٹ ایک فریشیٹ فلٹر بیس ہوتا ہے، یعنی فریشیٹ فلٹر آن عناصر کے تمام سپرسیٹس پر مشتمل ہوتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط جے بی نیشن، نوٹز آن لیٹیس تھیوری، کورس نوٹ، نظر ثانی شدہ 2017 بھی دیکھیں۔ آرڈر تھیوری ٹوپولوجی