Desargues graph
گراف تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، ڈیسرگس گراف 20 عمودی اور 30 کناروں کے ساتھ ایک فاصلہ منتقلی، کیوبک گراف ہے۔ اس کا نام جیرارڈ ڈیسرگس کے نام پر رکھا گیا ہے، جو کئی مختلف مشترکہ تعمیرات سے پیدا ہوتا ہے، اس میں اعلی سطح کی ہم آہنگی ہوتی ہے، یہ واحد معروف غیر پلینر کیوبک جزوی کیوب ہے، اور اسے کیمیائی ڈیٹا بیس میں لاگو کیا گیا ہے۔ "ڈیسرگس گراف" کا نام دس ورٹیکس گراف کے حوالے سے بھی استعمال کیا گیا ہے، جو پیٹرسن گراف کی تکمیل ہے، جسے 20 ورٹیکس ڈیسرگس گراف کے دو طرفہ نصف کے طور پر بھی بنایا جا سکتا ہے۔ تعمیرات ڈیسرگس گراف کی تعمیر کے کئی مختلف طریقے ہیں: یہ عمومی پیٹرسن گراف ہے۔ اس طرح ڈیسرگز گراف بنانے کے لیے، دس عمودی حصوں کو ایک باقاعدہ ڈیکگن میں جوڑیں، اور دیگر دس عمودی حصوں کو ایک دس نکاتی ستارے میں جوڑیں جو دوسرے ڈیکگن میں تین کے فاصلے پر عمودی حصوں کے جوڑوں کو جوڑتا ہے۔ ڈیسرگز گراف ان دو کثیر الاضلاعات کے 20 کناروں پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ایک اضافی 10 کناروں کے ساتھ ایک ڈیکگن کے پوائنٹس کو دوسرے کے متعلقہ پوائنٹس سے جوڑتا ہے۔ یہ ڈیسرگس ترتیب کا لیوی گراف ہے۔ یہ ترتیب دس نکات اور دس لائنوں پر مشتمل ہے جو دو نقطہ نظر مثلث، ان کے نقطہ نظر کا مرکز، اور ان کے نقطہ نظر کے محور کو بیان کرتی ہے۔ ڈیسرگیوز گراف میں ہر پوائنٹ کے لیے ایک ورٹیکس، ہر لائن کے لیے ایک ورٹیکس، اور ہر انسیڈنٹ پوائنٹ لائن جوڑی کے لیے ایک کنارے ہوتے ہیں۔ ڈیسرگس تھیوریم، جس کا نام 17 ویں صدی کے فرانسیسی ریاضی دان جیرارڈ ڈیسرگس کے نام پر رکھا گیا ہے، اس ترتیب کو تشکیل دینے والے نکات اور لکیروں کے ایک مجموعے کو بیان کرتا ہے، اور ترتیب اور گراف اس سے اپنا نام لیتے ہیں۔ یہ پیٹرسن گراف کا دو طرفہ ڈبل کور ہے، جو ہر پیٹرسن گراف کے سرے کو عمودی کے جوڑے سے اور ہر پیٹرسن گراف کے کنارے کو کراس شدہ کناروں کے جوڑے سے تبدیل کرکے تشکیل دیا گیا ہے۔ یہ دو طرفہ کنیسر گراف ہے۔ اس کے عمودی حصوں کو دس دو عنصر والے ذیلی سیٹوں اور پانچ عنصر والے سیٹ کے دس تین عنصر والے ذیلی سیٹوں کے ذریعے نشان زد کیا جا سکتا ہے، جس میں دو عمودی حصوں کو جوڑنے والا ایک کنارہ ہوتا ہے جب متعلقہ سیٹوں میں سے ایک دوسرے کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، ڈیسرگس گراف وزن 2 اور وزن 3 کے عمودی حصوں سے طے شدہ 5 جہتی ہائپر کیوب کا محرک ذیلی گراف ہے۔ ڈیسرگس گراف ہیملٹنین ہے اور اسے ایل سی ایف نوٹیشن سے بنایا جا سکتا ہے: جیسا کہ ایرڈس نے قیاس کیا کہ، وزن کے عمودی حصوں سے متاثر-جہتی ہائپر کیوب کا ذیلی گراف اور ہیملٹنین ہے، ڈیسرگس گراف کی ہیملٹنسیٹی کوئی تعجب کی بات نہیں ہے۔ (یہ لووز کے مضبوط قیاس آرائی سے بھی ملتا ہے کہ چند معروف جوابی مثالوں کے علاوہ، تمام ورٹیکس ٹرانزیکٹو گرافوں میں ہیملٹنین سائیکل ہوتے ہیں۔) الجبرائی خصوصیات ڈیسرگز گراف ایک ہم آہنگ گراف ہے: اس میں ہم آہنگی ہوتی ہے جو کسی بھی سرے کو کسی دوسرے سرے اور کسی بھی کنارے کو کسی دوسرے کنارے تک لے جاتی ہے۔ اس کے سمیٹری گروپ کی ترتیب 240 ہے، اور یہ ترتیب 2 کے گروپ کے ساتھ 5 پوائنٹس پر سمیٹرک گروپ کے پروڈکٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہم آہنگی گروپ کی اس پروڈکٹ نمائندگی کی تشریح ڈیسرگیوز گراف کی تعمیرات کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے: پانچ نکات پر ہم آہنگی گروپ ڈیسرگیوز ترتیب کا ہم آہنگی گروپ ہے، اور آرڈر-2 ذیلی گروپ عمودی کے کرداروں کو تبدیل کرتا ہے جو ڈیسرگیوز ترتیب کے نکات کی نمائندگی کرتے ہیں اور عمودی جو لائنوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ متبادل طور پر، دو طرفہ کنیسر گراف کے لحاظ سے، پانچ پوائنٹس پر سمیٹرک گروپ پانچ پوائنٹس کے دو عنصر اور تین عنصر کے ذیلی سیٹوں پر الگ الگ کام کرتا ہے، اور ذیلی سیٹوں کی تکمیل ترتیب دو کا ایک گروپ بناتی ہے جو ایک قسم کے ذیلی سیٹ کو دوسرے میں تبدیل کرتی ہے۔ پانچ پوائنٹس پر سمیٹرک گروپ بھی پیٹرسن گراف کا سمیٹری گروپ ہے، اور آرڈر-2 ذیلی گروپ ڈبل کور کی تعمیر میں بننے والے عمودی حصوں کے ہر جوڑے کے اندر عمودی حصوں کو تبدیل کرتا ہے۔ عمومی پیٹرسن گراف ورٹیکس ٹرانزیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں اور اگر اور صرف مندرجہ ذیل سات صورتوں میں ایج ٹرانزیکٹو ہے:،،،،،۔ لہذا ڈیسرگس گراف صرف سات سمیٹرک جنرلائزڈ پیٹرسن گرافوں میں سے ایک ہے۔ ان سات گرافوں میں کیوبکل گراف، پیٹرسن گراف، موبیئس-کانٹور گراف، ڈوڈیکاہیڈرل گراف اور نورو گراف شامل ہیں۔ ڈیسرگیوز گراف کی خصوصیت کثیر الجہتی ہے لہذا، ڈیسرگیوز گراف ایک لازمی گراف ہے: اس کا سپیکٹرم مکمل طور پر انٹیجرز پر مشتمل ہے۔ کیمسٹری میں، ڈیسرگس گراف کو ڈیسرگس-لیوی گراف کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ 5-لیگینڈ مرکبات کے سٹیریو آئسومرز کے نظام کو منظم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس ایپلی کیشن میں، گراف کے تیس کنارے لگینڈوں کے سڈووروٹیشن سے مطابقت رکھتے ہیں۔ دیگر خصوصیات ڈیسرگز گراف میں ریکٹلینیر کراسنگ نمبر 6 ہے، اور یہ اس کراسنگ نمبر کے ساتھ سب سے چھوٹا کیوبک گراف ہے۔ یہ واحد معروف غیر طیارہ کیوبک جزوی کیوب ہے۔ ڈیسرگس گراف میں کرومیٹک نمبر 2، کرومیٹک انڈیکس 3، رداس 5، قطر 5 اور گرتھ 6 ہے۔ یہ 3-ورٹیکس سے منسلک اور 3-کنارے سے منسلک ہیملٹنین گراف بھی ہے۔ اس میں کتاب کی موٹائی 3 اور قطار نمبر 2 ہے۔ تمام کیوبک فاصلہ-باقاعدہ گراف معلوم ہیں۔ ڈیسرگز گراف ایسے 13 گرافوں میں سے ایک ہے۔ ڈیسرگس گراف کو ڈیکگنل چہروں کے ساتھ جینس 6 کے غیر متصل کئی گنا میں سیلف پیٹری ڈوئل باقاعدہ نقشے کے طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے۔ گیلری حوالہ جات انفرادی گراف باقاعدہ گراف