Generalized extreme value distribution
امکان کے نظریہ اور اعداد و شمار میں، عمومی انتہائی قدر (جی ای وی) تقسیم مسلسل امکان کی تقسیم کا ایک خاندان ہے جو انتہائی قدر کے نظریہ کے اندر تیار کیا گیا ہے تاکہ گمبل، فریشیٹ اور ویبل خاندانوں کو جوڑا جا سکے جسے ٹائپ I، II اور III انتہائی قدر کی تقسیم بھی کہا جاتا ہے۔ انتہائی قدر تھیوریم کے مطابق جی ای وی کی تقسیم آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کے مناسب طریقے سے عام کردہ زیادہ سے زیادہ کی واحد ممکنہ حد تقسیم ہے۔ نوٹ کریں کہ ایک حد کی تقسیم موجود ہونی چاہیے، جس کے لیے تقسیم کی دم پر باقاعدگی کے حالات کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس کے باوجود، جی ای وی کی تقسیم کو اکثر بے ترتیب متغیرات کے طویل (محدود) ترتیبات کے زیادہ سے زیادہ ماڈل بنانے کے لیے ایک تخمینہ کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ اطلاق کے کچھ شعبوں میں عمومی انتہائی قدر کی تقسیم کو فشر-ٹپیٹ تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے، جس کا نام رونالڈ فشر اور ایل ایچ سی ٹپیٹ کے نام پر رکھا گیا ہے جنہوں نے ذیل میں بیان کردہ تین مختلف شکلوں کو تسلیم کیا۔ تاہم اس نام کا استعمال بعض اوقات گمبل کی تقسیم کے خاص معاملے کے معنی تک محدود ہوتا ہے۔ تمام 3 تقسیموں کے لیے مشترکہ فعال شکل کی ابتدا کم از کم جینکنسن، اے ایف (1955) سے ہوئی ہے، حالانکہ مبینہ طور پر یہ وان میسس، آر (1936) کے ذریعے بھی دی جا سکتی تھی۔ وضاحتیں معیاری متغیر کا استعمال کرتے ہوئے جہاں لوکیشن پیرامیٹر، کوئی بھی حقیقی نمبر ہو سکتا ہے، اور اسکیل پیرامیٹر ہے ؛ جی ای وی ڈسٹری بیوشن کا مجموعی تقسیم فنکشن تب ہوتا ہے جہاں شکل کا پیرامیٹر، کوئی بھی حقیقی نمبر ہو سکتا ہے۔ اس طرح، کے لیے، اظہار درست ہے جبکہ اس کے لیے درست ہے۔ پہلی صورت میں، منفی، نچلا اختتامی نقطہ ہے، جہاں 0 ہے ؛ دوسری صورت میں، مثبت، اوپری اختتامی نقطہ ہے، جہاں 1 ہے۔ کیونکہ دوسرا اظہار رسمی طور پر غیر متعین ہے اور اسے پہلے اظہار سے تبدیل کیا جاتا ہے، جو دوسرے کی حد لینے کا نتیجہ ہے، جیسا کہ اس صورت میں کوئی حقیقی عدد ہو سکتا ہے۔ اس کے خاص معاملے میں اور جو بھی اقدار اور ہو سکتی ہیں ان کے لیے۔ معیاری تقسیم کا امکانی کثافت فنکشن معاملے میں اور معاملے میں اس کے لیے دوبارہ درست ہے۔ کثافت متعلقہ حد سے باہر صفر ہے۔ اس صورت میں کثافت پوری حقیقی لکیر پر مثبت ہوتی ہے۔ چونکہ مجموعی ڈسٹری بیوشن فنکشن الٹا ہوتا ہے، جی ای وی ڈسٹری بیوشن کے لیے کوانٹائل فنکشن کا ایک واضح اظہار ہوتا ہے، یعنی اور اس لیے کوانٹائل ڈینسٹی فنکشن کسی بھی حقیقی خلاصہ کے اعدادوشمار کے لیے درست ہے۔ تقسیم کے کچھ سادہ اعداد و شمار یہ ہیں: اس کے لیے سکیونیس φ> 0 کے لیے ہے۔ φ <0 کے لیے، عددی کا نشان الٹا ہوتا ہے۔ اضافی کرٹوسس یہ ہے: کہاں، اور گاما فنکشن ہے۔ فریچیٹ، ویبل اور گمبل خاندانوں سے لنک شکل کا پیمانہ تقسیم کے دم کے رویے کو کنٹرول کرتا ہے۔ ذیلی خاندانوں کی تعریف، اور بالترتیب، گمبل، فریشیٹ اور ویبل خاندانوں سے مطابقت رکھتے ہیں، جن کے مجموعی تقسیم کے افعال ذیل میں دکھائے گئے ہیں۔ گمبل یا ٹائپ I انتہائی قدر کی تقسیم () فریشیٹ یا ٹائپ II انتہائی قدر کی تقسیم، اگر اور الٹا ویبل یا ٹائپ III انتہائی قدر کی تقسیم، اگر اور نیچے دیے گئے ذیلی حصے ان تقسیم کی خصوصیات پر تبصرہ کرتے ہیں۔ میکسما کے بجائے منیما کے لیے ترمیم یہاں نظریہ ڈیٹا میکسما سے متعلق ہے اور جس تقسیم پر تبادلہ خیال کیا جا رہا ہے وہ میکسما کے لیے انتہائی قدر کی تقسیم ہے۔ ڈیٹا منیما کے لیے ایک عمومی انتہائی قدر کی تقسیم حاصل کی جا سکتی ہے، مثال کے طور پر ڈسٹری بیوشن فنکشن میں x کے لیے (−x) کو تبدیل کر کے، اور ایک سے گھٹا کر: اس سے تقسیم کا ایک الگ خاندان حاصل ہوتا ہے۔ ویبل کی تقسیم کے لیے متبادل روایت عام ویبل کی تقسیم وشوسنییتا کی ایپلی کیشنز میں پیدا ہوتی ہے اور متغیر کا استعمال کرتے ہوئے یہاں کی تقسیم سے حاصل کی جاتی ہے، جو یہاں انتہائی قدر کے نظریہ میں استعمال کے برعکس سختی سے مثبت حمایت دیتی ہے۔ یہ اس لیے پیدا ہوتا ہے کیونکہ عام ویبل ڈسٹری بیوشن کا استعمال ایسے معاملات میں کیا جاتا ہے جو ڈیٹا میکسما کے بجائے ڈیٹا منیما سے نمٹتے ہیں۔ یہاں تقسیم میں ویبل کی تقسیم کی معمول کی شکل کے مقابلے میں ایک اضافی پیرامیٹر ہے اور اس کے علاوہ، الٹ دیا جاتا ہے تاکہ تقسیم میں نچلی حد کے بجائے اوپری حد ہو۔ اہم بات یہ ہے کہ جی ای وی کی ایپلی کیشنز میں، اوپری باؤنڈ نامعلوم ہے اور اس لیے اس کا اندازہ لگانا ضروری ہے، جبکہ وشوسنییتا ایپلی کیشنز میں عام ویبل ڈسٹری بیوشن کا اطلاق کرتے وقت نچلی باؤنڈ کو عام طور پر صفر کے طور پر جانا جاتا ہے۔ تقسیم کی حدود تین انتہائی قدر کی تقسیم کے لیے دلچسپی کی حدود میں فرق کو نوٹ کریں: گمبل لامحدود ہے، فریشیٹ کی کم حد ہے، جبکہ الٹا ویبل کی اوپری حد ہے۔ مزید واضح طور پر، انتہائی قدر کا نظریہ (غیر متغیر نظریہ) بیان کرتا ہے کہ ابتدائی قانون X کے مطابق اور خاص طور پر اس کی دم پر منحصر ہے کہ تینوں میں سے کون سا محدود قانون ہے۔ لاگ متغیرات کی تقسیم ٹائپ I کو ٹائپ II اور III سے مندرجہ ذیل طریقے سے جوڑا جا سکتا ہے: اگر کسی بے ترتیب متغیر کا مجموعی تقسیم فنکشن ٹائپ II کا ہے، اور مثبت نمبروں کو سپورٹ کے طور پر، یعنی۔ ، پھر کی مجموعی تقسیم فنکشن ٹائپ I کی ہے، یعنی۔ اسی طرح، اگر کی مجموعی تقسیم فنکشن ٹائپ III کی ہے، اور منفی نمبروں کو سپورٹ کے طور پر، یعنی۔ ، پھر کی مجموعی تقسیم فنکشن ٹائپ I کی ہے، یعنی۔ لاگٹ ماڈلز (لاجسٹک ریگریشن) سے لنک ملٹی نومیئل لاگٹ ماڈل، اور کچھ دیگر قسم کے لاجسٹک ریگریشن، کو لیٹنٹ متغیر ماڈل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس میں ایرر متغیرات کو گمبل ڈسٹری بیوشن کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے (ٹائپ I نے انتہائی قدر کی تقسیم کو عام کیا)۔ یہ فقرہ مجرد انتخاب کے ماڈلز کے نظریہ میں عام ہے، جس میں لاجٹ ماڈل، پروبٹ ماڈل، اور ان کی مختلف توسیعات شامل ہیں، اور اس حقیقت سے ماخوذ ہے کہ دو قسم-I GEV-تقسیم شدہ متغیرات کا فرق لاجسٹک تقسیم کی پیروی کرتا ہے، جس میں لاجٹ فنکشن کوانٹائل فنکشن ہے۔ ٹائپ-I جی ای وی کی تقسیم اس طرح ان لاجٹ ماڈلز میں وہی کردار ادا کرتی ہے جو عام تقسیم متعلقہ پروبٹ ماڈلز میں کرتی ہے۔ خصوصیات عمومی انتہائی قدر کی تقسیم کا مجموعی تقسیم فنکشن استحکام پوسٹلیٹ مساوات کو حل کرتا ہے۔ عمومی انتہائی قدر کی تقسیم زیادہ سے زیادہ مستحکم تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے، اور یہ کم سے کم مستحکم تقسیم کی تبدیلی ہے۔ ایپلی کیشنز جی ای وی کی تقسیم انشورنس سے لے کر فنانس تک کے شعبوں میں "دم کے خطرات" کے علاج میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہے۔ مؤخر الذکر معاملے میں، اسے خطرے کی قیمت جیسے میٹرکس کے ذریعے مختلف مالی خطرات کا اندازہ لگانے کے ایک ذریعہ کے طور پر سمجھا گیا ہے۔ تاہم، نتیجے میں شکل کے پیرامیٹرز اس حد میں پائے گئے ہیں جو غیر متعین ذرائع اور تغیرات کی طرف لے جاتے ہیں، جو اس حقیقت کو واضح کرتا ہے کہ قابل اعتماد ڈیٹا تجزیہ اکثر ناممکن ہوتا ہے۔ ہائیڈرولوجی میں جی ای وی کی تقسیم کا اطلاق انتہائی واقعات جیسے سالانہ زیادہ سے زیادہ ایک دن کی بارش اور دریا کے اخراج پر ہوتا ہے۔ کم فریک کے ساتھ بنائی گئی نیلی تصویر، جی ای وی کی تقسیم کو سالانہ زیادہ سے زیادہ ایک دن کی بارشوں کی درجہ بندی میں فٹ کرنے کی ایک مثال پیش کرتی ہے جو بائنومیل تقسیم کی بنیاد پر 90 فیصد اعتماد کی پٹی کو بھی ظاہر کرتی ہے۔ بارش کے اعداد و شمار کی نمائندگی مجموعی تعدد تجزیہ کے حصے کے طور پر پوزیشنوں کو پلاٹ کرکے کی جاتی ہے۔ عام طور پر تقسیم شدہ متغیرات کی مثال آئیے۔ عام طور پر اوسط 0 اور تغیر 1 کے ساتھ تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات۔ فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم ہمیں بتاتا ہے کہ، کہاں۔ اس سے ہمیں اندازہ لگانے میں مدد ملتی ہے جیسے۔ جی ای وی تقسیم کے اوسط سے کا اوسط: یولر-ماسچیرونی مستقل کہاں ہے۔ متعلقہ تقسیم اگر پھر اگر (گمبل کی تقسیم) پھر اگر (ویبل کی تقسیم) پھر اگر پھر (ویبل کی تقسیم) اگر (ایکسپونینشیل تقسیم) پھر اگر اور پھر (لاجسٹک تقسیم دیکھیں)۔ اگر اور پھر (رقم لاجسٹک تقسیم نہیں ہے)۔ اس بات کو نوٹ کریں۔ ثبوت 4. چلو، پھر کی مجموعی تقسیم ہے: جس کے لیے سی ڈی ایف ہے۔ 5. آئیے، پھر کی مجموعی تقسیم یہ ہے: جو کی مجموعی تقسیم ہے۔ یہ بھی دیکھیں انتہائی قدر کا نظریہ (غیر متغیر نظریہ) فشر-ٹپیٹ-گینڈینکو تھیوریم جنرلائزڈ پیریٹو ڈسٹری بیوشن جرمن ٹینک کا مسئلہ، آبادی کا مخالف سوال زیادہ سے زیادہ دیا گیا نمونہ زیادہ سے زیادہ پکینڈس-بالکیما-ڈی ہان تھیوریم حوالہ جات مزید پڑھنا مسلسل تقسیم انتہائی قدر ڈیٹا مقام پیمانے پر خاندانی امکان کی تقسیم استحکام (امکان)