Hyperbolic partial differential equation
ریاضی میں، ترتیب کی ہائپربولک جزوی تفریق مساوات ایک جزوی تفریق مساوات (پی ڈی ای) ہے جو، تقریبا بولتے ہوئے، پہلے مشتقات کے لیے ایک اچھی طرح سے پیش کردہ ابتدائی قدر کا مسئلہ رکھتی ہے۔ مزید واضح طور پر، کاچی مسئلہ کو کسی بھی غیر خصوصیت والے ہائپر سرفیس کے ساتھ صوابدیدی ابتدائی ڈیٹا کے لیے مقامی طور پر حل کیا جا سکتا ہے۔ میکانکس کی بہت سی مساوات ہائپربولک ہیں، اور اس لیے ہائپربولک مساوات کا مطالعہ کافی عصری دلچسپی کا حامل ہے۔ ماڈل ہائپربولک مساوات لہر کی مساوات ہے۔ ایک مقامی جہت میں، یہ ہے مساوات کی خاصیت یہ ہے کہ، اگر اور اس کا پہلی بار مشتق لائن پر من مانی طور پر مخصوص ابتدائی ڈیٹا ہے (کافی ہموار خصوصیات کے ساتھ)، تو ہر وقت کے لیے ایک حل موجود ہے۔ ہائپربولک مساوات کے حل "لہر کی طرح" ہوتے ہیں۔ اگر ہائپربولک تفریق مساوات کے ابتدائی اعداد و شمار میں خلل پیدا کیا جاتا ہے، تو خلا کا ہر نقطہ ایک ہی وقت میں خلل محسوس نہیں کرتا ہے۔ ایک مقررہ ٹائم کوآرڈینیٹ سے متعلق، خلل کی ایک محدود پھیلاؤ کی رفتار ہوتی ہے۔ وہ مساوات کی خصوصیات کے ساتھ سفر کرتے ہیں۔ یہ خصوصیت معیاری طور پر ہائپربولک مساوات کو ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات اور پیرابولک جزوی تفریق مساوات سے ممتاز کرتی ہے۔ ایلیپٹک یا پیرابولک مساوات کے ابتدائی (یا باؤنڈری) ڈیٹا کا خلل ڈومین کے بنیادی طور پر تمام نکات کے ذریعہ ایک ہی وقت میں محسوس کیا جاتا ہے۔ اگرچہ ہائپربولکٹی کی تعریف بنیادی طور پر ایک کوالٹی ہے، لیکن ایسے عین مطابق معیار موجود ہیں جو زیر غور مخصوص قسم کی تفریقی مساوات پر منحصر ہیں۔ مائکرو لوکل تجزیہ کے تناظر میں لارس گارڈنگ کی وجہ سے لکیری تفریق آپریٹرز کے لیے ایک اچھی طرح سے تیار شدہ نظریہ موجود ہے۔ غیر لکیری تفریق مساوات ہائپربولک ہوتی ہیں اگر ان کی لکیریائزیشن گارڈنگ کے معنی میں ہائپربولک ہوتی ہیں۔ تحفظ کے قوانین کے نظاموں سے آنے والے مساوات کے فرسٹ آرڈر سسٹم کے لیے کچھ مختلف نظریہ ہے۔ تعریف ایک جزوی تفریق مساوات ایک ایسے مقام پر ہائپربولک ہوتی ہے بشرطیکہ کاچی مسئلہ غیر خصوصیت والی ہائپر سرفیس سے گزرنے والے کسی بھی ابتدائی ڈیٹا کے پڑوس میں منفرد طور پر حل کرنے کے قابل ہو۔ یہاں مقرر کردہ ابتدائی ڈیٹا سطح پر فنکشن کے تمام (ٹرانسورس) مشتقات پر مشتمل ہوتا ہے جو تفریق مساوات کی ترتیب سے ایک کم تک ہوتا ہے۔ مثال متغیرات کی لکیری تبدیلی سے، شکل کی کسی بھی مساوات کو لہر کی مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اس کے علاوہ نچلے درجے کی اصطلاحات جو مساوات کی کوالٹی تفہیم کے لیے غیر ضروری ہیں۔ یہ تعریف پلانر ہائپربولا کی تعریف سے مشابہت رکھتی ہے۔ یک جہتی لہر مساوات: ہائپربولک مساوات کی ایک مثال ہے۔ دو جہتی اور تین جہتی لہر کی مساوات بھی ہائپربولک پی ڈی ای کے زمرے میں آتی ہیں۔ اس قسم کی سیکنڈ آرڈر ہائپربولک جزوی تفریق مساوات کو فرسٹ آرڈر تفریق مساوات کے ہائپربولک نظام میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جزوی تفریق مساوات کا ہائپربولک نظام درج ذیل نامعلوم افعال کے لیے فرسٹ آرڈر جزوی تفریق مساوات کا ایک نظام ہے جہاں ایک بار مسلسل تفریق پذیر افعال ہوتے ہیں، عام طور پر غیر لکیری۔ اگلا، ہر ایک کے لیے جیکوبین میٹرکس کی وضاحت کریں سسٹم () ہائپربولک ہے اگر تمام میٹرکس کے لیے صرف حقیقی آئجن ویلیوز ہوں اور اخترن پذیر ہوں۔ اگر میٹرکس میں الگ حقیقی آئجین ویلیوز ہیں، تو اس کے بعد یہ ڈائیگنل ایبل ہے۔ اس صورت میں نظام () کو سختی سے ہائپربولک کہا جاتا ہے۔ اگر میٹرکس ہم آہنگ ہے، تو اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ اخترن پذیر ہے اور آئجن ویلیوز حقیقی ہیں۔ اس صورت میں نظام () کو سمیٹرک ہائپربولک کہا جاتا ہے۔ ہائپربولک نظام اور تحفظ کے قوانین ہائپربولک نظام اور تحفظ کے قانون کے درمیان ایک تعلق ہے۔ ایک نامعلوم فنکشن کے لیے ایک جزوی تفریق مساوات کے ہائپربولک نظام پر غور کریں۔ پھر نظام () کی شکل ہے یہاں، اس کی تشریح ایک ایسی مقدار کے طور پر کی جا سکتی ہے جو اس کے ذریعہ دیئے گئے بہاؤ کے مطابق گھومتی ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ مقدار محفوظ ہے، ڈومین پر انٹیگریٹ کریں () اگر اور کافی حد تک ہموار افعال ہیں، تو ہم ڈائیورجنس تھیوریم کا استعمال کر سکتے ہیں اور انٹیگریشن کی ترتیب کو تبدیل کر سکتے ہیں اور عام شکل میں مقدار کے لیے تحفظ کا قانون حاصل کر سکتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ ڈومین میں تبدیلی کی وقت کی شرح اس کی حدود کے ذریعے خالص بہاؤ کے برابر ہے۔ چونکہ یہ ایک مساوات ہے، اس لیے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ یہ اپنے اندر محفوظ ہے۔ ایلیپٹک پارشیل ڈفریٚنشل ایکویشن ہائپویلپٹک آپریٹر پیرابولک پارشیل ڈفریٚنشل ایکویشن حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے اے۔ ڈی۔ پولیانن، ہینڈ بک آف لینیر پارشیل ڈفریٚنشل ایکویشنز فار انجینئرز اینڈ سائنٹسٹس، چیپمین اینڈ ہال/سی آر سی پریس، بوکا ریٹن، 2002 دیکھیں۔ بیرونی روابط لکیری ہائپربولک مساوات ای کیو ورلڈ میں: ریاضیاتی مساوات کی دنیا۔ ایکو ورلڈ میں غیر لکیری ہائپربولک مساوات: ریاضیاتی مساوات کی دنیا۔