Martin's axiom
سیٹ تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، مارٹن کا محور، جسے ڈونلڈ اے مارٹن اور رابرٹ ایم سولووے نے متعارف کرایا ہے، ایک ایسا بیان ہے جو زیڈ ایف سی سیٹ تھیوری کے معمول کے محوروں سے آزاد ہے۔ یہ تسلسل کے مفروضے سے مضمر ہے، لیکن یہ ZFC اور تسلسل کے مفروضے کی نفی سے مطابقت رکھتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ کہتا ہے کہ تسلسل کی بنیادی حیثیت سے کم تمام کارڈینلز، تقریبا اس طرح کا سلوک کرتے ہیں۔ اس کے پیچھے کے وجدان کو راسیووا-سکورسکی لیما کے ثبوت کا مطالعہ کرکے سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ ایک ایسا اصول ہے جو بعض مجبور کرنے والے دلائل کو کنٹرول کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ کسی بھی کارڈینل κ کے لیے، مندرجہ ذیل بیان پر غور کریں: MA (κ) کسی بھی جزوی ترتیب P کے لیے قابل گنتی سلسلہ کی حالت (اس کے بعد cCC) اور P کے گھنے ذیلی سیٹوں کے کسی بھی خاندان D کے لیے اس طرح کہ |D | ≤ κ، P پر ایک فلٹر F ہے کہ D میں ہر d کے لیے F θd خالی نہیں ہے۔ اس معاملے میں (cCC کے اطلاق کے لیے)، ایک اینٹیچین P کا ایک ذیلی سیٹ A ہے جس میں A کے کوئی بھی دو الگ الگ ممبران مطابقت نہیں رکھتے ہیں (دو عناصر کو مطابقت رکھتا ہے اگر جزوی ترتیب میں ان دونوں کے نیچے کوئی مشترکہ عنصر موجود ہو)۔ یہ، مثال کے طور پر، درختوں کے تناظر میں اینٹیچین کے تصور سے مختلف ہے۔ ایم اے (0) محض سچ ہے-راسیووا-سکورسکی لیما۔ ایم اے (2 & aleph; 0) غلط ہے: [0,1] ایک علیحدہ کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس ہے، اور اس لیے (پی، شمولیت کے تحت کھلے ذیلی سیٹوں کا پوسیٹ، ہے) سی سی سی۔ لیکن اب درج ذیل دو سائز-2 = P میں گھنے سیٹوں کے خاندانوں پر غور کریں: کوئی x ω [0,1] الگ تھلگ نہیں ہے، اور اس لیے ہر x گھنے ذیلی سیٹ {S: x′S} کی وضاحت کرتا ہے۔ اور ہر r ω (0، 1)، گھنے ذیلی سیٹ {S: قطر (S) <r} کی وضاحت کرتا ہے۔ دونوں خاندان مشترکہ طور پر بھی سائز کے ہوتے ہیں، اور ایک فلٹر میٹنگ دونوں کو بیک وقت [0، 1] کے تمام نکات سے بچنا چاہیے جبکہ من مانی طور پر چھوٹے قطر کے سیٹوں پر مشتمل ہونا چاہیے۔ لیکن من مانی طور پر چھوٹے قطر کے سیٹوں پر مشتمل فلٹر F میں کمپیکٹنس کے لحاظ سے بگ کیپ F میں ایک نقطہ ہونا چاہیے۔ (یہ بھی دیکھیں۔) مارٹن کا محور یہ ہے کہ ایم اے (κ) "جب تک ممکن ہو" رکھتا ہے: مارٹن کا محور (ایم اے) ہر κ <کے لیے، ایم اے (κ) رکھتا ہے۔ ایم اے (κ) کی مساوی شکلیں مندرجہ ذیل بیانات ایم اے (κ) کے مساوی ہیں: اگر ایکس ایک کمپیکٹ ہاؤس ڈورف ٹپوولوجیکل اسپیس ہے جو سی سی سی کو مطمئن کرتا ہے تو ایکس κ یا اس سے کم گھنے ذیلی سیٹوں کا اتحاد نہیں ہے۔ اگر P ایک غیر خالی اوپر کی طرف سی سی سی پوزیٹ ہے اور Y |Y | ≤ κ کے ساتھ P کے شریک ذیلی سیٹوں کا ایک خاندان ہے تو اوپر کی طرف ایک سیٹ A ہے جس میں A Y کے ہر عنصر سے ملتا ہے۔ فرض کریں کہ A ایک غیر صفر سی سی سی بولین الجبرا ہے اور F |F | ≤ κ کے ساتھ A کے ذیلی مجموعوں کا ایک خاندان ہے۔ پھر ایک بولین ہومومورفزم φ: A → Z/2Z اس طرح ہے کہ F میں ہر X کے لیے یا تو X میں a ہے جس میں φ (a) = 1 ہے یا X کے لیے ایک اوپری باؤنڈ b ہے جس میں φ (b) = 0 ہے۔ نتائج مارٹن کے محوریہ کے متعدد دیگر دلچسپ مشترکہ، تجزیاتی اور ٹپوولوجیکل نتائج ہیں: پولینڈ کی جگہ پر بغیر کسی ایٹم کے σ-لامحدود بوریل پیمائش میں κ یا اس سے کم کالعدم سیٹوں کا اتحاد کالعدم ہے۔ خاص طور پر، لیبسیگ پیمائش 0 کے R کے κ یا اس سے کم ذیلی سیٹوں کے اتحاد میں بھی لیبسیگ پیمائش 0 ہے۔ |X | <2κ کے ساتھ ایک کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس X ترتیب وار کمپیکٹ ہے، یعنی ہر ترتیب کا ایک متغیر تسلسل ہوتا ہے۔ N پر کسی بھی غیر پرنسپل الٹرا فلٹر میں کارڈینالیٹی کی بنیاد نہیں ہوتی ہے۔ اس کے مساوی طور پر βN\N میں کسی بھی x کے لیے ہمارے پاس χ (x) ≤ κ ہے، جہاں χ x کا کردار ہے، اور اس لیے χ (βN) ≤ κ۔ MA (الیف 1) سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سی سی سی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کا پروڈکٹ سی سی سی ہے (اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی سسلن لائنیں نہیں ہیں)۔ ایم اے پلس ایچ کا مطلب ہے کہ ایک وائٹ ہیڈ گروپ موجود ہے جو آزاد نہیں ہے۔ شیلاہ نے اس کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا کہ وائٹ ہیڈ کا مسئلہ زیڈ ایف سی سے آزاد ہے۔ مزید ترقی مارٹن کے محوریہ میں عامیاں ہیں جنہیں مناسب مجبور کرنے والا محوریہ اور مارٹن کا زیادہ سے زیادہ کہا جاتا ہے۔ شیلڈن ڈبلیو ڈیوس نے اپنی کتاب میں تجویز کیا ہے کہ مارٹن کا محور بائر کیٹیگری تھیوریم سے متاثر ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے حوالہ جات جیک، تھامس، 2003۔ سیٹ تھیوری: تیسرا ملینیم ایڈیشن، نظر ثانی شدہ اور توسیع شدہ۔ سپرنگر۔ ۔ کونن، کینتھ، 1980۔ سیٹ تھیوری: آزادی کے ثبوت کا تعارف۔ ایلسیویئر۔ ۔ سیٹ تھیوری کے محوریات آزادی کے نتائج سیٹ تھیوری