Confluent hypergeometric function
ریاضی میں، کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن ایک کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک مساوات کا حل ہے، جو کہ ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کی ایک انحطاط شدہ شکل ہے جہاں تین میں سے دو باقاعدہ انفرادیت ایک بے قاعدہ انفرادیت میں ضم ہو جاتی ہیں۔ کنفلوینٹ کی اصطلاح تفریق مساوات کے خاندانوں کے واحد نکات کے انضمام سے مراد ہے۔ کنفلوئر لاطینی زبان میں "ایک ساتھ بہنے" کے لیے ہے۔ کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک افعال کی کئی عام معیاری شکلیں ہیں: کممر کا (کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک) فنکشن، جو کممر کے تفریقی مساوات کا حل ہے۔ اسے پہلی قسم کے کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ایک ہی نام کا ایک مختلف اور غیر متعلقہ کمر فنکشن ہے۔ ٹریکومی کا (کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک) فنکشن، جسے بعض اوقات کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، کممر کی مساوات کا ایک اور حل ہے۔ اسے دوسری قسم کے کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ وٹیکر فنکشن (ایڈمنڈ ٹیلر وٹیکر کے لیے) وٹیکر کی مساوات کے حل ہیں۔ کولمب لہر کے افعال کولمب لہر مساوات کے حل ہیں۔ کمر فنکشنز، وائٹیکر فنکشنز، اور کولمب ویو فنکشنز بنیادی طور پر ایک جیسے ہیں، اور صرف ابتدائی افعال اور متغیرات کی تبدیلی سے ایک دوسرے سے مختلف ہیں۔ کمر کی مساوات کمر کی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: ایک باقاعدہ واحد نقطہ کے ساتھ اور ایک غیر منظم واحد نقطہ کے ساتھ۔ اس کے دو (عام طور پر) لکیری طور پر آزاد حل ہوتے ہیں۔ کممر کا فنکشن پہلی قسم کا ایک عمومی ہائپر جیومیٹرک سلسلہ ہے جس میں متعارف کرایا گیا ہے، جس کے ذریعہ دیا گیا ہے: کہاں: بڑھتی ہوئی فیکٹوریل ہے۔ اس حل کے لیے ایک اور عام اشارہ ہے۔ فنکشن کے طور پر سمجھا جاتا ہے، یا دیگر دو ہولڈ مستقل کے ساتھ، یہ یا کے پورے فنکشن کی وضاحت کرتا ہے، سوائے اس کے کہ جب اس کا فنکشن غیر مثبت انٹیجرز پر پولز کے علاوہ تجزیاتی ہو۔ کچھ اقدار اور پیداوار کے حل جن کا اظہار دیگر معروف افعال کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ #Special معاملات دیکھیں۔ غیر مثبت عدد کب ہوتا ہے، تب کممر فنکشن (اگر اس کی وضاحت کی گئی ہے) ایک عمومی لیگوری کثیر الجہتی ہے۔ جس طرح کنفلوئنٹ تفریق مساوات ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کی ایک حد ہے جیسا کہ 1 پر واحد نقطہ کو واحد نقطہ کی طرف منتقل کیا جاتا ہے، اسی طرح کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کو ہائپر جیومیٹرک فنکشن کی حد کے طور پر دیا جا سکتا ہے اور کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کی بہت سی خصوصیات ہائپر جیومیٹرک فنکشن کی خصوصیات کے معاملات کو محدود کر رہی ہیں۔ چونکہ کمر کی مساوات سیکنڈ آرڈر ہے اس لیے ایک اور آزاد حل ہونا چاہیے۔ فروبینیوس کے طریقہ کار کی اشارے کی مساوات ہمیں بتاتی ہے کہ کمر مساوات کے پاور سیریز حل کی سب سے کم طاقت یا تو 0 یا 0 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ایک حل ہے جب تک کہ 1 سے بڑا عدد نہ ہو، جیسا کہ ایک حل ہے جب تک کہ عدد 1 سے کم نہ ہو۔ ہم ٹریکومی کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کا بھی استعمال کر سکتے ہیں جسے متعارف کرایا گیا ہے، اور بعض اوقات اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ یہ مذکورہ بالا دو حلوں کا مجموعہ ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ اگرچہ یہ اظہار عدد کے لیے غیر متعین ہے، لیکن اس کا فائدہ یہ ہے کہ اسے تسلسل کے ذریعے کسی بھی عدد تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ کمر فنکشن کے برعکس جو کہ ایک مکمل فنکشن ہے، عام طور پر صفر پر یکسانیت رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اور پھر غیر علامتی ہے جیسا کہ صفر پر جاتا ہے۔ لیکن کچھ مثالوں کے لیے #Special کیس دیکھیں جہاں یہ ایک مکمل فنکشن (کثیر الجہتی) ہے۔ نوٹ کریں کہ کمر کی مساوات کا حل حل کے جیسا ہی ہے، #Kummer کی تبدیلی دیکھیں۔ حقیقی یا پیچیدہ کے زیادہ تر امتزاج کے لیے اور، افعال اور آزاد ہیں، اور اگر غیر مثبت عدد ہے، تو موجود نہیں ہے، تو ہم دوسرے حل کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ لیکن اگر ایک غیر مثبت عدد ہے اور غیر مثبت عدد نہیں ہے، تو اس کا ایک ضرب ہے۔ اس صورت میں بھی، دوسرے حل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے اگر یہ موجود ہے اور مختلف ہے۔ لیکن جب ایک عدد 1 سے بڑا ہوتا ہے، تو یہ حل موجود نہیں ہوتا ہے، اور اگر پھر یہ موجود ہوتا ہے لیکن اس کا ایک ضرب ہوتا ہے۔ ان صورتوں میں مندرجہ ذیل شکل کا دوسرا حل موجود ہوتا ہے اور یہ کسی بھی حقیقی یا پیچیدہ اور کسی بھی مثبت عدد کے لیے درست ہوتا ہے سوائے اس کے کہ جب مثبت عدد اس سے کم ہو: جب a = 0 ہم متبادل طور پر استعمال کر سکتے ہیں: جب یہ ایکسپونینشل انٹیگرل ہوتا ہے۔ اسی طرح کا مسئلہ اس وقت پیدا ہوتا ہے جب ایک منفی عدد ہوتا ہے اور 1 سے کم عدد ہوتا ہے۔ اس صورت میں موجود نہیں ہے، اور اس کا ایک سے زیادہ ہے۔ دوسرا حل پھر اس شکل کا ہوتا ہے: دیگر مساوات کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک افعال کو توسیعی کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس کی عمومی شکل اس طرح دی گئی ہے: نوٹ کریں کہ جب یا جب خلاصہ صرف ایک اصطلاح پر مشتمل ہوتا ہے، تو یہ روایتی کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک مساوات میں گھٹ جاتا ہے۔ اس طرح متغیر ہائپر جیومیٹرک افعال کو "سب سے زیادہ" دوسرے درجے کی عام تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جن کے متغیر گتانک تمام لکیری افعال ہوتے ہیں، کیونکہ انہیں توسیعی متغیر ہائپر جیومیٹرک مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مساوات پر غور کریں: پہلے ہم کے متبادل کا استعمال کرتے ہوئے باقاعدہ واحد نقطہ کو منتقل کرتے ہیں، جو مساوات کو تبدیل کرتا ہے: کی نئی اقدار کے ساتھ، اور۔ اگلا ہم متبادل کا استعمال کرتے ہیں: اور مساوات کو اسی عنصر سے ضرب دیتے ہیں، حاصل کرتے ہیں: جس کا حل یہ ہے کہ کمر کی مساوات کا حل کہاں ہے۔ نوٹ کریں کہ مربع جڑ ایک خیالی یا پیچیدہ نمبر دے سکتی ہے۔ اگر یہ صفر ہے، تو ایک اور حل استعمال کیا جانا چاہیے، یعنی جہاں ایک کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک لمٹ فنکشن تسلی بخش ہے۔ جیسا کہ ذیل میں بتایا گیا ہے، یہاں تک کہ بیسل مساوات کو بھی کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک افعال کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ انٹیگرل نمائشیں اگر، ایک انٹیگرل کے طور پر پیش کی جا سکتی ہیں تو اس طرح بیٹا ڈسٹری بیوشن کا خاص کام ہے۔ کیونکہ مثبت حقیقی حصہ کو لیپلیس انٹیگرل کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ انٹیگرل دائیں نصف سطح میں حل کی وضاحت کرتا ہے۔ ان کی نمائندگی بارنس انٹیگرلز کے طور پر بھی کی جا سکتی ہے جہاں سموچ قطبوں کے ایک طرف اور قطبوں کے دوسری طرف گزرتا ہے۔ غیر علامتی طرز عمل اگر کمر کی مساوات کا حل اس کی طاقت کے لیے غیر علامتی ہے، تو طاقت ہونی چاہیے۔ یہ حقیقت میں ٹریکومی کے حل کا معاملہ ہے۔ اس کے غیر علامتی رویے کا اندازہ لازمی نمائندگی سے لگایا جا سکتا ہے۔ اگر، پھر انٹیگرل میں متغیرات کی تبدیلی کرنے کے بعد بائنومیل سیریز کو وسعت دینے اور اسے باضابطہ طور پر اصطلاح در اصطلاح مربوط کرنے سے ایک غیر علامتی سیریز کی توسیع کو جنم ملتا ہے، جو اس طرح درست ہے: جہاں ایک عام ہائپر جیومیٹرک سیریز ہے جس میں 1 بطور اہم اصطلاح ہے، جو عام طور پر کہیں بھی یکجا نہیں ہوتا ہے، لیکن اس میں ایک رسمی پاور سیریز کے طور پر موجود ہے۔ یہ ایسمپٹوٹک توسیع حقیقی کے بجائے پیچیدہ کے لیے بھی درست ہے، بڑے کے لیے کمر کے حل کا ایسمپٹوٹک طرز عمل یہ ہے: کی طاقتوں کو استعمال کرتے ہوئے لیا جاتا ہے۔ پہلی اصطلاح کی ضرورت اس وقت نہیں ہوتی جب وہ محدود ہو، یعنی جب وہ غیر مثبت عدد نہ ہو اور اس کا حقیقی حصہ منفی انفینیٹی میں چلا جائے، جبکہ دوسری اصطلاح کی ضرورت اس وقت نہیں ہوتی جب وہ محدود ہو، یعنی جب وہ غیر مثبت عدد نہ ہو اور اس کا حقیقی حصہ مثبت انفینیٹی میں چلا جائے۔ کمر کی مساوات کا ہمیشہ کوئی نہ کوئی حل ہوتا ہے۔ عام طور پر یہ دونوں کا مجموعہ ہوگا اور لیکن اس کا اظہار بھی کیا جا سکتا ہے۔ تعلقات مختلف دلائل اور ان کے مشتقات کے لیے کمر افعال کے درمیان بہت سے تعلقات ہیں۔ یہ حصہ چند مخصوص مثالیں دیتا ہے۔ متصل تعلقات کو دیکھتے ہوئے، ان چار افعال کو متصل کہا جاتا ہے۔ فنکشن کو اس کے ملحقہ افعال میں سے کسی بھی دو کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جس میں عقلی گتانک کے لحاظ سے، اور۔ یہ تعلقات دیتا ہے، جو اوپر کے اشارے میں،، وغیرہ کے دائیں ہاتھ کی طرف کسی بھی دو لائنوں کی شناخت کرکے دیا گیا ہے۔ ان رلیشنز کو بار بار لاگو کرنے سے فارم کے کسی بھی تین افعال (اور ان کے اعلی مشتقات) کے درمیان ایک لکیری تعلق ملتا ہے، جہاں، انٹیجر ہیں۔ کے لیے اسی طرح کے تعلقات ہیں۔ کمر کی تبدیلی کمر کے افعال بھی کمر کی تبدیلیوں سے متعلق ہیں: ضرب کا نظریہ درج ذیل ضرب کا نظریہ درست ہے: لیگوری کثیر الجہتی اور اسی طرح کی نمائندگی کے ساتھ تعلق لیگوری کثیر الجہتی کے لحاظ سے، کممر کے افعال میں کئی توسیعات ہیں، مثال کے طور پر یا خصوصی معاملات جن افعال کو کنفلوینٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے خصوصی معاملات کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے ان میں شامل ہیں: کچھ ابتدائی افعال جہاں بائیں ہاتھ کی طرف کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے جب کہ غیر مثبت عدد ہوتا ہے، لیکن دائیں ہاتھ کی طرف اب بھی متعلقہ کممر مساوات کا حل ہوتا ہے: (ایک کثیر الجہتی اگر غیر مثبت عدد ہوتا ہے) غیر مثبت عدد کے لیے ایک عمومی لیگوری کثیر الجہتی ہے۔ غیر مثبت عدد کے لیے عمومی لیگوری کثیر کا ایک ضرب ہوتا ہے، جو اس وقت کے برابر ہوتا ہے جب مؤخر الذکر موجود ہوتا ہے۔ مثبت عدد کب ہے ایک بند شکل ہے جس کی طاقتیں اس وقت کے برابر ہوتی ہیں جب مؤخر الذکر موجود ہوتا ہے۔ غیر منفی عدد کے لیے ایک بیسیل کثیر الجہتی ہے (نیچے دیکھیں)۔ وغیرہ۔ ملحقہ تعلق کا استعمال کرتے ہوئے ہمیں ملتا ہے، مثال کے طور پر، بیٹ مین کا فنکشن بیسیل فنکشن اور بہت سے متعلقہ فنکشن جیسے ایری فنکشن، کیلون فنکشن، ہینکل فنکشن۔ مثال کے طور پر، خاص صورت میں فنکشن بیسیل فنکشن میں گھٹ جاتا ہے: اس شناخت کو بعض اوقات کمر کی دوسری تبدیلی بھی کہا جاتا ہے۔ اسی طرح جب ایک غیر مثبت عدد ہوتا ہے، تو یہ ایک بیسیل کثیر الجہتی کے برابر ہوتا ہے۔ ایرر فنکشن کو کولمب ویو فنکشن کننگھم افعال ایکسپونینشل انٹیگرل اور متعلقہ افعال جیسے سائن انٹیگرل، لوگرتھمک انٹیگرل ہرمائیٹ کثیر الجہتی نامکمل گاما فنکشن لیگوری پولیانومیئلز پیرابولک سلنڈر فنکشن (یا ویبر فنکشن) پوئسون-چارلیئر فنکشن ٹورنٹو فنکشن وٹیکر افعال وٹیکر کی مساوات کے حل ہیں جن کا اظہار کمر افعال کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے اور اس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ عام-th خام لمحے (ضروری نہیں کہ ایک عدد) کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے جیسے دوسرے فارمولے میں فنکشن کی دوسری برانچ کٹ کو ضرب دے کر منتخب کیا جا سکتا ہے۔ مسلسل حصوں پر اطلاق گاؤس کے مسلسل حصے پر ایک محدود دلیل کا اطلاق کرکے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اور یہ کہ یہ مسلسل حصہ ہر باؤنڈڈ ڈومین میں یکساں طور پر ایک مورومورفک فنکشن میں بدل جاتا ہے جس میں پول شامل نہیں ہوتا ہے۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط این آئی ایس ٹی میں متفرق ہائپر جیومیٹرک افعال ریاضیاتی افعال کی ڈیجیٹل لائبریری کممر ہائپر جیومیٹرک فنکشن وولفرم فنکشنز سائٹ پر ٹریکومی ہائپر جیومیٹرک فنکشن وولفرم فنکشنز سائٹ ہائپر جیومیٹرک افعال خصوصی ہائپر جیومیٹرک افعال خصوصی افعال