Coplanarity
جیومیٹری میں، خلا میں پوائنٹس کا ایک مجموعہ کوپلانار ہوتا ہے اگر کوئی جیومیٹرک طیارہ موجود ہو جس میں وہ سب موجود ہوں۔ مثال کے طور پر، تین پوائنٹس ہمیشہ کوپلانار ہوتے ہیں، اور اگر پوائنٹس الگ اور غیر کولینیئر ہوتے ہیں، تو وہ جس سطح کا تعین کرتے ہیں وہ منفرد ہوتا ہے۔ تاہم، چار یا اس سے زیادہ الگ الگ نکات کا مجموعہ، عام طور پر، ایک ہی سطح میں نہیں ہوگا۔ تین جہتی خلا میں دو لائنیں کوپلانار ہوتی ہیں اگر کوئی ایسا طیارہ ہو جس میں وہ دونوں شامل ہوں۔ یہ اس وقت ہوتا ہے جب لکیریں متوازی ہوں، یا اگر وہ ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ دو لائنیں جو کوپلانار نہیں ہیں انہیں سکیو لائنیں کہا جاتا ہے۔ فاصلاتی جیومیٹری اس مسئلے کے حل کے لیے ایک تکنیک فراہم کرتی ہے کہ آیا پوائنٹس کا ایک مجموعہ کوپلانار ہے، صرف ان کے درمیان کے فاصلے کو جانتے ہوئے۔ تین جہتوں میں خصوصیات تین جہتی خلا میں، ایک ہی ابتدائی نقطہ کے ساتھ دو لکیری طور پر آزاد ویکٹر اس نقطہ کے ذریعے ہوائی جہاز کا تعین کرتے ہیں۔ ان کا کراس پروڈکٹ اس پلین کا ایک نارمل ویکٹر ہے، اور ابتدائی نقطہ کے ذریعے اس کراس پروڈکٹ کا کوئی بھی ویکٹر آرتھوگنل پلین میں ہوگا۔ یہ اسکیلر ٹرپل پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل کوپلانیریٹی ٹیسٹ کی طرف لے جاتا ہے: چار الگ الگ پوائنٹس،، کوپلانیر ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں، جو اس کے مساوی بھی ہے۔ یعنی، اصل دینے کے لیے آن اور آن کے ویکٹر پروجیکشنز کا اضافہ ہوتا ہے۔ چونکہ تین یا اس سے کم پوائنٹس ہمیشہ کوپلانار ہوتے ہیں، اس لیے پوائنٹس کا ایک سیٹ کب کوپلانار ہوتا ہے اس کا تعین کرنے کا مسئلہ عام طور پر صرف اس صورت میں دلچسپی کا باعث ہوتا ہے جب کم از کم چار پوائنٹس شامل ہوں۔ اس صورت میں جب بالکل چار نکات ہوتے ہیں، کئی ایڈہاک طریقے استعمال کیے جا سکتے ہیں، لیکن ایک عام طریقہ جو پوائنٹس کی کسی بھی تعداد کے لیے کام کرتا ہے وہ ویکٹر طریقوں اور اس خاصیت کا استعمال کرتا ہے کہ ایک طیارہ دو لکیری آزاد ویکٹرز کے ذریعے طے کیا جاتا ہے۔ ایک جہتی جگہ میں جہاں، پوائنٹس کا ایک مجموعہ کوپلانار ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے متعلقہ اختلافات کا میٹرکس، یعنی وہ میٹرکس جس کے کالم (یا قطاریں) ویکٹر ہیں، رینک 2 یا اس سے کم کا ہو۔ مثال کے طور پر، چار پوائنٹس دیے گئے ہیں اگر میٹرکس رینک 2 یا اس سے کم کا ہے، تو چار پوائنٹس کوپلانار ہیں۔ کسی ایسے طیارہ کے خاص معاملے میں جس میں اصل موجود ہو، خاصیت کو مندرجہ ذیل طریقے سے آسان بنایا جا سکتا ہے: پوائنٹس کا ایک مجموعہ اور اصل کوپلانار ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب پوائنٹس کے نقاط کا میٹرکس رینک 2 یا اس سے کم کا ہو۔ ہندسی شکلیں ایک ترچھا کثیر الاضحی ایک کثیر الاضحی ہے جس کے عمودی حصے کوپلانار نہیں ہوتے ہیں۔ اس طرح کے کثیر الاضحی میں کم از کم چار عمودی ہونے چاہئیں ؛ کوئی ترچھا مثلث نہیں ہوتے۔ ایک پولی ہیڈرون جس میں مثبت حجم ہوتا ہے اس کے عمودی حصے ہوتے ہیں جو تمام کوپلینار نہیں ہوتے ہیں۔ واقعات کا کالینیریٹی طیارہ حوالہ جات بیرونی روابط طیارے (جیومیٹری) بھی دیکھیں۔