Two-sided Laplace transform
ریاضی میں، دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم یا دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم امکان کے مومنٹ جنریٹنگ فنکشن کے مساوی ایک لازمی تبدیلی ہے۔ دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارمز کا فورئیر ٹرانسفارمز، میلن ٹرانسفارمز، زیڈ ٹرانسفارمز اور عام یا یک طرفہ لیپلیس ٹرانسفارمز سے گہرا تعلق ہے۔ اگر f (t) تمام حقیقی اعداد کے لیے بیان کردہ حقیقی متغیر t کا حقیقی یا پیچیدہ قدر والا فنکشن ہے، تو دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کی تعریف انٹیگرل کے ذریعے کی جاتی ہے۔ انٹیگرل کو عام طور پر ایک نامناسب انٹیگرل کے طور پر سمجھا جاتا ہے، جو صرف اس صورت میں یکجا ہوتا ہے جب دونوں انٹیگرل موجود ہوں۔ ایسا لگتا ہے کہ دو طرفہ تبدیلی کے لیے کوئی عام طور پر قبول شدہ اشارہ نہیں ہے ؛ یہاں استعمال شدہ "دو طرفہ" کو یاد کرتا ہے۔ خالص ریاضی میں دلیل t کوئی بھی متغیر ہو سکتی ہے، اور لیپلیس ٹرانسفارمز کا استعمال یہ مطالعہ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے کہ تفریقی آپریٹرز فنکشن کو کس طرح تبدیل کرتے ہیں۔ سائنس اور انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں، دلیل t اکثر وقت (سیکنڈ میں) کی نمائندگی کرتی ہے، اور فنکشن f (t) اکثر ایک سگنل یا لہر کی نمائندگی کرتا ہے جو وقت کے ساتھ بدلتا ہے۔ ان صورتوں میں، سگنلز کو فلٹرز کے ذریعے تبدیل کیا جاتا ہے، جو ریاضیاتی آپریٹر کی طرح کام کرتے ہیں، لیکن ایک پابندی کے ساتھ۔ انہیں کازل ہونا پڑتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کسی دیئے گئے وقت t میں آؤٹ پٹ کسی آؤٹ پٹ پر منحصر نہیں ہو سکتا جو t کی زیادہ قیمت ہے۔ آبادی کے ماحولیات میں، دلیل t اکثر ایک منتشر دانا میں مقامی نقل مکانی کی نمائندگی کرتی ہے۔ وقت کے افعال کے ساتھ کام کرتے وقت، f (t) کو سگنل کی ٹائم ڈومین نمائندگی کہا جاتا ہے، جبکہ F (s) کو s-ڈومین (یا لیپلیس ڈومین) نمائندگی کہا جاتا ہے۔ الٹا تبدیلی پھر سگنل کی ترکیب کی نمائندگی کرتی ہے جو اس کے فریکوئنسی اجزاء کے مجموعے کے طور پر تمام فریکوئنسیز پر لیا جاتا ہے، جبکہ فارورڈ ٹرانسفارمیشن سگنل کے تجزیہ کو اس کے فریکوئنسی اجزاء میں ظاہر کرتا ہے۔ فورئیر ٹرانسفارم سے تعلق فورئیر ٹرانسفارم کی تعریف دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے: نوٹ کریں کہ فورئیر ٹرانسفارم کی تعریفیں مختلف ہوتی ہیں، اور خاص طور پر اس کے بجائے اکثر استعمال ہوتی ہیں۔ فورئیر ٹرانسفارم کے لحاظ سے، ہم دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم بھی حاصل کر سکتے ہیں، کیونکہ فورئیر ٹرانسفارم کو عام طور پر اس طرح بیان کیا جاتا ہے کہ یہ حقیقی اقدار کے لیے موجود ہو۔ مندرجہ بالا تعریف ایک پٹی میں تصویر کی وضاحت کرتی ہے جس میں حقیقی محور شامل نہیں ہو سکتا ہے جہاں فورئیر ٹرانسفارم کو یکجا ہونا چاہیے۔ یہی وجہ ہے کہ لیپلیس ٹرانسفارمز کنٹرول تھیوری اور سگنل پروسیسنگ میں اپنی قدر برقرار رکھتے ہیں: اس کے ڈومین کے اندر ایک فورئیر ٹرانسفارم انٹیگرل کے انضمام کا صرف یہ مطلب ہے کہ اس کے ذریعہ بیان کردہ لکیری، شفٹ-انویرنٹ سسٹم مستحکم یا اہم ہے۔ دوسری طرف لیپلیس ایک ہر امپلس رسپانس کے لیے کہیں نہ کہیں یکجا ہو جائے گا جو زیادہ سے زیادہ تیزی سے بڑھ رہا ہے، کیونکہ اس میں ایک اضافی اصطلاح شامل ہوتی ہے جسے ایک ایکسپونینشل ریگولیٹر کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ چونکہ کوئی سپر ایکسپونینشیل طور پر بڑھتے ہوئے لکیری فیڈ بیک نیٹ ورک نہیں ہیں، اس لیے لیپلیس ٹرانسفارم پر مبنی تجزیہ اور لکیری، شفٹ-غیر متغیر نظاموں کا حل، لیپلیس کے تناظر میں اپنی سب سے عام شکل اختیار کرتا ہے، نہ کہ فورئیر، ٹرانسفارمز۔ ایک ہی وقت میں، آج کل لیپلیس ٹرانسفارم تھیوری زیادہ عمومی انٹیگرل ٹرانسفارمز، یا یہاں تک کہ عمومی ہم آہنگ تجزیہ کے دائرے میں آتی ہے۔ اس فریم ورک اور نامیات میں، لیپلیس ٹرانسفارمز صرف فورئیر تجزیہ کی ایک اور شکل ہیں، چاہے پس منظر میں زیادہ عام ہوں۔ اگر u ہیویسائڈ اسٹیپ فنکشن ہے، صفر کے برابر جب اس کی دلیل صفر سے کم ہو، ایک نصف جب اس کی دلیل صفر کے برابر ہو، اور ایک کے لیے جب اس کی دلیل صفر سے زیادہ ہو، تو لیپلیس ٹرانسفارم کی تعریف دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ دوسری طرف، ہمارے پاس یہ بھی ہے کہ وہ فنکشن کہاں ہے جو منفی ایک () سے ضرب دیتا ہے، لہذا لیپلیس ٹرانسفارم کے کسی بھی ورژن کو دوسرے کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ میلن ٹرانسفارم کی تعریف دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کے لحاظ سے اوپر کے طور پر کی جا سکتی ہے، اور اس کے برعکس ہم میلن ٹرانسفارم سے دو طرفہ ٹرانسفارم حاصل کر سکتے ہیں۔ خصوصیات مندرجہ ذیل خصوصیات میں پائی جا سکتی ہیں اور دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کی زیادہ تر خصوصیات یکطرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کی خصوصیات سے بہت ملتی جلتی ہیں، لیکن کچھ اہم اختلافات ہیں: پارسیول تھیوریم اور پلانچریل تھیوریم آئیے اور دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارمز کے ساتھ اور کنورجنس کی سٹرپس میں افعال ہوں۔ ساتھ رہنے دیں۔ پھر پارسیول تھیوریم کا مؤقف ہے: یہ تھیوریم ارتباط تھیوریم پر الٹا لیپلیس ٹرانسفارم کو کراس ارتباط کی شکل میں لاگو کرکے ثابت ہوتا ہے۔ کنورجنس کی پٹی میں دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کے ساتھ ایک فنکشن ہونے دیں۔ ساتھ رہنے دیں۔ پھر پلانچریل تھیوریم کا مؤقف ہے: انفرادیت کسی بھی دو افعال کے لیے جس کے لیے دو طرفہ لیپلیس تبدیل ہوتا ہے، اگر۔ تقریبا ہر جگہ کی ہر قیمت کے لیے۔ کنورجنس کا علاقہ کنورجنس کے لیے دو طرفہ تبدیلی کی ضروریات یکطرفہ تبدیلیوں سے زیادہ مشکل ہیں۔ کنورجنس کا علاقہ عام طور پر چھوٹا ہوگا۔ اگر f ایک مقامی طور پر مربوط فنکشن ہے (یا زیادہ عام طور پر باؤنڈڈ تغیر کی مقامی طور پر ایک بوریل پیمائش)، تو f کا لیپلیس ٹرانسفارم F (s) یکجا ہوتا ہے بشرطیکہ حد موجود ہو۔ لیپلیس ٹرانسفارم بالکل یکجا ہوتا ہے اگر انٹیگرل موجود ہو (ایک مناسب لیبسیگ انٹیگرل کے طور پر)۔ لیپلیس ٹرانسفارم کو عام طور پر مشروط طور پر متغیر سمجھا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ مؤخر الذکر کے بجائے سابقہ میں متغیر ہوتا ہے۔ اقدار کا مجموعہ جس کے لیے F (s) بالکل یکجا ہوتا ہے وہ یا تو Re (s)> a کی شکل میں ہوتا ہے یا پھر Re (s) ≤ a کی شکل میں، جہاں a ایک توسیعی حقیقی مستقل ہے، − φ ≤ a ≤ φ۔ (یہ ڈومینٹڈ کنورجنس تھیوریم سے ملتا ہے۔) مستقل a کو مطلق کنورجنس کا ابسیسا کہا جاتا ہے، اور اس کا انحصار f (t) کے نمو کے رویے پر ہوتا ہے۔ اسی طرح، دو طرفہ تبدیلی بالکل a <Re (s) <b کی شکل کی ایک پٹی میں یکجا ہوتی ہے، اور ممکنہ طور پر اس میں ری (s) = a یا ری (s) = b لائنیں شامل ہوتی ہیں۔ s کی اقدار کا سب سیٹ جس کے لیے لیپلیس ٹرانسفارم بالکل یکجا ہوتا ہے اسے ریجن آف مطلق کنورجنس یا ڈومین آف مطلق کنورجنس کہا جاتا ہے۔ دو طرفہ معاملے میں، اسے بعض اوقات مطلق کنورجنس کی پٹی کہا جاتا ہے۔ لیپلیس ٹرانسفارم مطلق کنورجنس کے علاقے میں تجزیاتی ہے۔ اسی طرح، اقدار کا وہ مجموعہ جس کے لیے F (s) یکجا ہوتا ہے (مشروط یا بالکل) مشروط کنورجنس کا علاقہ، یا محض کنورجنس کا علاقہ (ROC) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اگر لیپلیس ٹرانسفارم s = s0 پر (مشروط طور پر) یکجا ہوتا ہے، تو یہ خود بخود تمام s کے لیے Re (s)> Re (s0) کے ساتھ یکجا ہو جاتا ہے۔ لہذا، کنورجنس کا علاقہ ری (ایس)> اے کی شکل کا ایک نصف طیارہ ہے، جس میں ممکنہ طور پر باؤنڈری لائن ری (ایس) = اے کے کچھ نکات شامل ہیں۔ کنورجنس Re (s)> Re (s0) کے علاقے میں، f کے لیپلیس ٹرانسفارم کو حصوں کے ذریعے انٹیگرل کے طور پر ضم کر کے ظاہر کیا جا سکتا ہے یعنی کنورجنس F (s) کے علاقے میں مؤثر طریقے سے کسی دوسرے فنکشن کے بالکل کنورجنٹ لیپلیس ٹرانسفارم کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، یہ تجزیاتی ہے۔ کنورجنس کے علاقے میں f کی ڈیک پراپرٹیز اور لیپلیس ٹرانسفارم کی پراپرٹیز کے درمیان تعلق سے متعلق کئی پیلے-وینر تھیوریمز ہیں۔ انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں، لکیری ٹائم انویرینٹ (ایل ٹی آئی) سسٹم سے مطابقت رکھنے والا فنکشن مستحکم ہوتا ہے اگر ہر باؤنڈڈ ان پٹ باؤنڈڈ آؤٹ پٹ پیدا کرتا ہے۔ وجہ دو طرفہ تبدیلیاں وجہ کا احترام نہیں کرتی ہیں۔ جب عام افعال پر لاگو کیا جاتا ہے تو وہ معنی رکھتے ہیں لیکن وقت کے افعال (سگنلز) کے ساتھ کام کرتے وقت یکطرفہ تبدیلیوں کو ترجیح دی جاتی ہے۔ منتخب کردہ دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارمز کی ٹیبل دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارمز کے لیے دلچسپ مثالوں کی درج ذیل فہرست کو متعلقہ فورئیر یا یکطرفہ لیپلیس ٹرانسفارمیشنز سے اخذ کیا جا سکتا ہے (یہ بھی دیکھیں): کازل فلٹر ایکاسل سسٹم کازل سسٹم سنک فلٹر-آئیڈیل سنک فلٹر (عرف آئتاکار فلٹر) ایکاسل ہے اور اس میں لامحدود تاخیر ہوتی ہے۔ حوالہ جات وان ڈیر پول، بالتھاسار، اور بریمر، ایچ۔، دو طرفہ لیپلیس انٹیگرل پر مبنی آپریشنل کیلکولس، چیلسی پب۔ کمپنی، تیسرا ایڈیشن، 1987... انٹیگرل ٹرانسفارمز لیپلیس ٹرانسفارمز