Quadrature (geometry)
ریاضی میں، خاص طور پر جیومیٹری میں، کواڈریچر (جسے مربع بھی کہا جاتا ہے) ایک مربع کو اسی رقبے کے ساتھ کھینچنے یا اس رقبے کی عددی قدر کا حساب لگانے کا ایک تاریخی عمل ہے۔ ایک کلاسیکی مثال دائرے کا کواڈریچر (یا دائرے کو مربع کرنا) ہے۔ کواڈریچر کے مسائل نے کیلکولس کی نشوونما میں مسائل کے اہم ذرائع میں سے ایک کے طور پر کام کیا۔ وہ ریاضیاتی تجزیہ میں اہم موضوعات متعارف کراتے ہیں۔ قدیم یونانی ریاضی دانوں نے کسی شکل کے رقبے کے تعین کو ہندسی طور پر ایک ہی رقبے (مربع) والے مربع کی تعمیر کے عمل کے طور پر سمجھا، اس طرح اس عمل کا نام کواڈریچر ہے۔ یونانی جیومیٹر ہمیشہ کامیاب نہیں ہوتے تھے (دائرے کو مربع کرتے ہوئے دیکھیں)، لیکن انہوں نے کچھ اعداد و شمار کے کواڈریچر انجام دیے جن کے اطراف محض لائن سیگمنٹ نہیں تھے، جیسے کہ ہپپوکریٹس کا لین اور پیرابولہ۔ ایک مخصوص یونانی روایت کے مطابق، ان تعمیرات کو صرف کمپاس اور سیدھے کنارے کا استعمال کرتے ہوئے انجام دینا پڑتا تھا، حالانکہ تمام یونانی ریاضی دان اس قول پر عمل نہیں کرتے تھے۔ a اور b اطراف والے مستطیل کے چوتھائی حصے کے لیے یہ ضروری ہے کہ اس طرف (a اور b کا ہندسی اوسط) کے ساتھ ایک مربع بنایا جائے۔ اس مقصد کے لیے درج ذیل کا استعمال ممکن ہے: اگر کوئی a اور b لمبائی کے لکیر کے حصوں کو جوڑ کر بنایا گیا قطر والا دائرہ کھینچتا ہے، تو قطر کے لیے عمودی طور پر کھینچے گئے لکیر کے حصے کی اونچائی (خاکہ میں BH)، ان کے تعلق کے نقطہ سے اس نقطہ تک جہاں یہ دائرے کو عبور کرتا ہے، a اور b کے ہندسی اوسط کے برابر ہے۔ اسی طرح کی ہندسی تعمیر متوازی ہندسے اور مثلث کے کواڈریچر کے مسائل کو حل کرتی ہے۔ منحنی خطوط کے اعداد و شمار کے لیے کواڈریچر کے مسائل بہت زیادہ مشکل ہیں۔ کمپاس اور سیدھے کنارے کے ساتھ دائرے کا چوتھائی 19 ویں صدی میں ناممکن ثابت ہوا۔ اس کے باوجود، کچھ اعداد کے لیے ایک کواڈریچر انجام دیا جا سکتا ہے۔ آرکیمیڈیز کے ذریعہ دریافت کردہ دائرے کی سطح اور پیرابولہ کے حصے کے چوتھائی حصے قدیم دور میں تجزیہ کی سب سے بڑی کامیابی بن گئے۔ کسی دائرے کی سطح کا رقبہ اس دائرے کے بڑے دائرے سے بنے دائرے کے رقبے کے چار گنا کے برابر ہوتا ہے۔ پیرابولہ کے کسی حصے کا رقبہ اس حصے میں کٹے ہوئے مثلث کے رقبے کا 4/3 ہوتا ہے جس کا تعین سیدھی لکیر سے ہوتا ہے۔ ان نتائج کے ثبوت کے لیے، آرکیمیڈیز نے تھکاوٹ کا طریقہ استعمال کیا جو یوڈوکسس سے منسوب ہے۔ قرون وسطی کی ریاضی قرون وسطی کے یورپ میں، چوتھائی کا مطلب کسی بھی طریقے سے رقبے کا حساب لگانا تھا۔ اکثر ناقابل تقسیم کا طریقہ استعمال کیا جاتا تھا۔ یہ یونانیوں کی ہندسی تعمیرات سے کم سخت تھا، لیکن یہ آسان اور زیادہ طاقتور تھا۔ اس کی مدد سے، گیلیلیو گیلیلی اور گیلس ڈی رابرول نے ایک سائکلائڈ آرک کا علاقہ پایا، گریگوائر ڈی سینٹ ونسنٹ نے ایک ہائپربولا (اوپس جیومیٹریم، 1647) کے تحت اس علاقے کی تحقیقات کی، اور ڈی سینٹ ونسنٹ کے شاگرد اور مبصر الفونس انتونیو ڈی سارسا نے اس علاقے کے لوگرتھمز سے تعلق کو نوٹ کیا۔ انٹیگرل کیلکولس جان والس نے اس طریقہ کو الگ الگ کیا۔ اس نے اپنی آرتھمیٹیکا انفینیٹورم (1656) میں کچھ سیریز لکھیں جو اس کے مساوی ہیں جسے اب ڈیفینیٹ انٹیگرل کہا جاتا ہے، اور اس نے ان کی اقدار کا حساب لگایا۔ آئزک بیرو اور جیمز گریگوری نے مزید پیش رفت کی: کچھ الجبرائی منحنی خطوط اور سرپل کے لیے کواڈریچر۔ کرسچین ہیوجینز نے انقلاب کے کچھ ٹھوس مادوں کے سطحی رقبے کا ایک چوتھائی حصہ کامیابی کے ساتھ انجام دیا۔ سینٹ ونسنٹ اور ڈی سارسا کے ذریعہ ہائپربولا کے کواڈریچر نے ایک نیا فنکشن فراہم کیا، قدرتی لوگرتھم، جو اہم اہمیت کا حامل ہے۔ انٹیگرل کیلکولس کی ایجاد کے ساتھ رقبے کے حساب کے لیے ایک عالمگیر طریقہ سامنے آیا۔ جواب میں، کواڈریچر کی اصطلاح روایتی ہو گئی ہے، اور اس کے بجائے علاقے کو تلاش کرنے والا جدید فقرہ زیادہ عام طور پر اس کے لیے استعمال ہوتا ہے جو تکنیکی طور پر ایک غیر متغیر قطعی انٹیگرل کا حساب ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ گوسیئن کواڈریچر ہائپربولک اینگل عددی انضمام کواڈریٹریکس تانہ-سنگھ کواڈریچر نوٹس حوالہ جات بوئیر، سی۔ بی۔ (1989) اے ہسٹری آف میتھمیٹکس، دوسرا ایڈیشن۔ ریو. از یوٹا سی مرزباخ۔ نیو یارک: ولی، (1991 پی بی کے ایڈ۔ )۔ ایوس، ہاورڈ (1990) این انٹروڈکشن ٹو دی ہسٹری آف میتھمیٹکس، سانڈرز، کرسچین ہیوجینز (1651) تھیوریماٹا ڈی کواڈراٹورا ہائپربولس، ایلیپسس ایٹ سرکولی جین ایٹین مونٹوکلا (1873) ہسٹری آف دی کواڈریچر آف دی سرکل، جے بابین مترجم، ولیم الیگزینڈر مائرز ایڈیٹر، ہاتھی ٹرسٹ سے لنک۔ کرسٹوف سکریبا (1983) "گریگوری کا کنورجنگ ڈبل سیکوینس: دائرے کے 'تجزیاتی' کواڈریچر پر ہیوجینز اور گریگوری کے درمیان تنازعہ پر ایک نئی نظر"، ہسٹوریہ میتھمیٹکا 10:274-85۔ انٹیگرل کیلکولس ریاضی کی تاریخ جیومیٹری کی تاریخ ریاضیاتی اصطلاحات