Hardy–Littlewood circle method
ریاضی میں، ہارڈی-رامانوجن-لٹل ووڈ سرکل طریقہ تجزیاتی نمبر تھیوری کی ایک تکنیک ہے۔ اس کا نام جی ایچ ہارڈی، ایس رامانوجن، اور جے ای لٹل ووڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے اسے وارنگ کے مسئلے پر کاغذات کی ایک سیریز میں تیار کیا تھا۔ ابتدائی خیال کو عام طور پر ہارڈی کے کچھ سال پہلے 1916 اور 1917 میں سری نواس رامانوجن کے ساتھ پارٹیشن فنکشن کی علامات پر کام سے منسوب کیا جاتا ہے۔ اسے بہت سے دوسرے محققین نے لیا، جن میں ہیرالڈ ڈیوینپورٹ اور آئی ایم ونوگراڈوف شامل ہیں، جنہوں نے وسیع خطوط کو تبدیل کیے بغیر تشکیل میں قدرے ترمیم کی (پیچیدہ تجزیے سے ایکسپونینشیل جملوں کی طرف بڑھتے ہوئے)۔ سینکڑوں پیپرز کی پیروی کی گئی، اور یہ طریقہ اب بھی نتائج دیتا ہے۔ یہ طریقہ آر سی وان کے مونوگراف کا موضوع ہے۔ خاکہ مقصد کسی سیریز کے غیر علامتی رویے کو ثابت کرنا ہے: یہ ظاہر کرنا کہ کسی فنکشن کے لیے۔ یہ سیریز کے جنریٹنگ فنکشن کو لے کر کیا جاتا ہے، پھر بقیہ کو صفر (بنیادی طور پر فورئیر کوفیشنٹس) کے حساب سے شمار کیا جاتا ہے۔ تکنیکی طور پر، جنریٹنگ فنکشن کو کنورجنس 1 کے رداس کے لیے اسکیل کیا جاتا ہے، اس لیے یونٹ سرکل پر اس کی انفرادیت ہوتی ہے-اس طرح کوئی بھی یونٹ سرکل پر کنٹور انٹیگرل نہیں لے سکتا۔ دائرے کا طریقہ خاص طور پر یہ ہے کہ ان باقیات کا حساب کیسے لگایا جائے، دائرے کو معمولی آرکس (دائرے کا بڑا حصہ) اور بڑے آرکس (سب سے اہم انفرادیت پر مشتمل چھوٹے آرکس) میں تقسیم کرکے، اور پھر معمولی آرکس پر رویے کو باندھ کر۔ کلیدی بصیرت یہ ہے کہ، دلچسپی کے بہت سے معاملات میں (جیسے تھیٹا افعال)، انفرادیت اتحاد کی جڑوں پر واقع ہوتی ہے، اور انفرادیت کی اہمیت فیری ترتیب کی ترتیب میں ہوتی ہے۔ اس طرح کوئی بھی سب سے اہم انفرادیت کی تحقیقات کر سکتا ہے، اور، اگر خوش قسمت ہو تو، انٹیگرلز کا حساب لگائیں۔ سیٹ اپ زیر بحث دائرہ ابتدائی طور پر پیچیدہ سطح میں اکائی کا دائرہ تھا۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ مسئلہ سب سے پہلے ان شرائط میں وضع کیا گیا تھا کہ پیچیدہ اعداد کی ترتیب کے لیے، ہم اس قسم کی کچھ غیر علامتی معلومات چاہتے ہیں، جہاں ہمارے پاس (an ansatz) کے ذریعے لی گئی شکل کا اندازہ لگانے کے لیے کچھ ہیورسٹک وجہ ہے، ہم ایک پاور سیریز جنریٹنگ فنکشن لکھتے ہیں۔ دلچسپ معاملات یہ ہیں کہ پھر کنورجنس کا رداس 1 کے برابر ہے، اور ہم فرض کرتے ہیں کہ اس صورتحال کو پیش کرنے کے لیے جو مسئلہ پیش کیا گیا ہے اس میں ترمیم کی گئی ہے۔ اس تشکیل سے، یہ بقیہ تھیوریم سے براہ راست پیروی کرتا ہے کہ انٹیجرز کے لیے، جہاں رداس کا ایک دائرہ ہے اور 0 پر مرکوز ہے، کسی کے لیے بھی ؛ دوسرے الفاظ میں، ایک کنٹور انٹیگرل ہے، جو اس دائرے پر مربوط ہے جو ایک بار گھڑی کی مخالف سمت سے گزرتا ہے۔ ہم براہ راست لینا چاہیں گے، یعنی یونٹ سرکل کنٹور کا استعمال کرنا۔ پیچیدہ تجزیہ کی تشکیل میں یہ پریشانی کا باعث ہے، کیونکہ کی اقدار کی وضاحت وہاں نہیں کی جا سکتی ہے۔ اکائی دائرے پر یکسانیت دائرے کے طریقہ کار کے ذریعے حل کیا جانے والا مسئلہ اکائی دائرے پر ظاہر ہونے والی یکسانیت کی نوعیت کی اچھی تفہیم کے ذریعے لینے کے مسئلے کو مجبور کرنا ہے۔ بنیادی بصیرت وہ کردار ہے جو عقلی اعداد کی فیری ترتیب کے ذریعہ ادا کیا جاتا ہے، یا اس کے مساوی طور پر اتحاد کی جڑوں کے ذریعہ: یہاں ڈینومینیٹر، یہ فرض کرتے ہوئے کہ سب سے کم اصطلاحات میں ہے، عام قریب کے واحد رویے کی نسبتا اہمیت کا تعین کرتا ہے۔ طریقہ کار پیچیدہ تجزیاتی تشکیل کے لیے ہارڈی-لٹل ووڈ سرکل طریقہ، اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس کی تشخیص میں شراکت کو دو طریقوں سے سمجھا جانا چاہیے، جسے روایتی طور پر میجر آرکس اور مائنر آرکس کہا جاتا ہے۔ ہم اتحاد کی جڑوں کو دو طبقات میں تقسیم کرتے ہیں، اس کے مطابق کہ آیا اس کا کوئی کام ہے یا نہیں، آسانی سے انتخاب کرنا ہمارا کام ہے۔ انٹیگرل کو انٹیگرلز میں تقسیم کیا گیا ہے ہر ایک دائرے کے کسی نہ کسی آرک پر جو لمبائی کے ایک فنکشن سے متصل ہے (دوبارہ، ہماری صوابدید پر)۔ آرکس پورے دائرے کو بناتے ہیں۔ بڑے آرکس پر انٹیگرلز کا مجموعہ بنانا ہے (حقیقت میں، یہ قابل انتظام بقیہ مدت تک ہوگا)۔ معمولی آرکس پر انٹیگرلز کے مجموعے کو ایک اوپری باؤنڈ سے تبدیل کیا جانا ہے، جو اس سے ترتیب میں چھوٹا ہے۔ بحث دلیری سے اس طرح بیان کیا گیا، یہ بالکل واضح نہیں ہے کہ اسے کام میں لایا جا سکتا ہے۔ اس میں شامل بصیرت کافی گہری ہیں۔ ایک واضح ماخذ تھیٹا افعال کا نظریہ ہے۔ وارنگ کا مسئلہ وارنگ کے مسئلے کے تناظر میں، تھیٹا افعال کی طاقتیں مربع فنکشن کے مجموعے کے لیے پیدا کرنے والے افعال ہیں۔ مثال کے طور پر ان کے تجزیاتی رویے کو کیوب کے مقابلے میں بہت زیادہ درست تفصیل سے جانا جاتا ہے۔ یہ معاملہ ہے، جیسا کہ جھوٹے رنگ کے خاکہ سے پتہ چلتا ہے، کہ تھیٹا فنکشن کے لیے باؤنڈری سرکل پر 'سب سے اہم' نقطہ ہے ؛ اس کے بعد، اور پھر 7 بجے اور 11 بجے اتحاد کے دو پیچیدہ مکعب جڑ۔ اس کے بعد یہ اتحاد کی چوتھی جڑیں ہیں اور یہ سب سے زیادہ اہمیت رکھتی ہیں۔ اگرچہ اس میں کچھ بھی اس بات کی ضمانت نہیں دیتا ہے کہ تجزیاتی طریقہ کار کام کرے گا، لیکن یہ اتحاد کی جڑوں پر فیری سیریز قسم کے معیار کو استعمال کرنے کے جواز کی وضاحت کرتا ہے۔ وارنگ کے مسئلے کے معاملے میں، کوئی بھی اس صورتحال کو مجبور کرنے کے لیے جنریٹنگ فنکشن کی کافی زیادہ طاقت لیتا ہے جس میں واحدتیں، نام نہاد واحد سیریز میں منظم، غالب ہوتی ہیں۔ باقی پر استعمال ہونے والے تخمینے جتنے کم فضول ہوتے ہیں، نتائج اتنے ہی بہتر ہوتے ہیں۔ جیسا کہ برائن برچ نے کہا ہے، یہ طریقہ فطری طور پر فضول ہے۔ یہ پارٹیشن فنکشن کے معاملے پر لاگو نہیں ہوتا، جس نے اس امکان کا اشارہ کیا کہ سازگار صورتحال میں تخمینوں سے ہونے والے نقصانات پر قابو پایا جا سکتا ہے۔ ونوگراڈوف مثلثی مجموعے بعد میں، آئی ایم ونوگراڈوف نے ایک محدود فورئیر سیریز کے ساتھ ایکسپونینشیل سم فارمولیشن f (z) کی جگہ لے کر تکنیک کو بڑھایا، تاکہ متعلقہ انٹیگرل ایک فورئیر گتانک ہو۔ ونوگراڈوف نے 1926 میں وارنگ کے مسئلے پر محدود رقم کا اطلاق کیا، اور عام مثلثی رقم کا طریقہ ونوگراڈوف کے مثلثی رقم کی شکل میں "ہارڈی، لٹل ووڈ اور رامانوجن کے دائرے کے طریقہ" کے نام سے جانا جانے لگا۔ بنیادی طور پر یہ سب کچھ جنریٹنگ فنکشن کی پوری 'دم' کو ضائع کرنا ہے، جس سے محدود آپریشن کے کاروبار کو براہ راست ویلیو 1 پر سیٹ کیا جا سکے۔ طریقہ کار کی اصلاحات نے یکساں ڈیوفنٹائن مساوات کے حل کے بارے میں نتائج کو ثابت کرنے کی اجازت دی ہے، جب تک کہ متغیرات کی تعداد ڈگری کے مقابلے میں بڑی ہو (مثال کے طور پر برچ کا نظریہ دیکھیں)۔ یہ ہس کے اصول میں ایک شراکت ثابت ہوتا ہے، جو مقداری معلومات فراہم کرنے کے قابل ہے۔ اگر فکسڈ ہے اور چھوٹا ہے، تو دوسرے طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے، اور درحقیقت ہس کا اصول ناکام ہو جاتا ہے۔ ریڈماچرز کونٹور خاص صورت میں جب منفی وزن کی ماڈیولر شکل کے کوفشنٹس کو تلاش کرنے کے لیے دائرے کا طریقہ استعمال کیا جاتا ہے، تو ہنس ریڈماچر نے کونٹور میں ایک ترمیم پائی جو دائرے کے طریقہ سے پیدا ہونے والی سیریز کو عین مطابق نتیجہ پر یکجا کرتی ہے۔ اس کے کنٹور کو بیان کرنے کے لیے، یونٹ کے دائرے کو اوپری نصف طیارہ سے تبدیل کرنا آسان ہے، متبادل بنا کر، تاکہ کنٹور انٹیگرل سے ایک لازمی بن جائے۔ (نمبر کو اوپری نصف سطح پر کسی بھی نمبر سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ سب سے آسان انتخاب ہے۔) ریڈماچر کا سموچ (کم و بیش) فورڈ کے تمام حلقوں کی حدود کے ذریعے 0 سے 1 تک دیا جاتا ہے، جیسا کہ خاکہ میں دکھایا گیا ہے۔ ان حلقوں کی حدود سے لائن کو تبدیل کرنا ایک غیر معمولی محدود عمل ہے، جسے منفی وزن والی ماڈیولر شکلوں کے لیے جائز قرار دیا جا سکتا ہے، اور زیادہ دیکھ بھال کے ساتھ وزن 0 کے معاملے میں غیر مستقل اصطلاحات کے لیے بھی جائز قرار دیا جا سکتا ہے (دوسرے الفاظ میں ماڈیولر افعال)۔ مزید پڑھنے والے بیرونی روابط ٹیرنس تاؤ، دائرے کے طریقہ کار کی ہیورسٹک حدود، 2012 کے تجزیاتی نمبر تھیوری میں ایک بلاگ پوسٹ