Rodrigues' rotation formula
تھری ڈائیمینشنل گردش کے نظریہ میں، روڈریگز کا گردش فارمولا، جس کا نام اولینڈے روڈریگز کے نام پر رکھا گیا ہے، خلا میں ویکٹر کو گھومنے کے لیے ایک موثر الگورتھم ہے، جس میں ایک محور اور گردش کا زاویہ دیا گیا ہے۔ توسیع کے ذریعے، اس کا استعمال محور زاویہ کی نمائندگی سے، تمام گردش میٹرکس کے گروپ میں گردش میٹرکس کا حساب لگانے کے لیے تینوں بنیادی ویکٹروں کو تبدیل کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ لائ تھیوری کے لحاظ سے، روڈریگز کا فارمولا لائ الجبرا سے اس کے لائ گروپ تک ایکسپونینشیل نقشہ کا حساب لگانے کے لیے ایک الگورتھم فراہم کرتا ہے۔ اس فارمولے کا سہرا مختلف طور پر لیون ہارڈ اویلر، اولینڈے روڈریگس، یا دونوں کے امتزاج کو جاتا ہے۔ 1989 میں ایک تفصیلی تاریخی تجزیے نے یہ نتیجہ اخذ کیا کہ اس فارمولے کو اویلر سے منسوب کیا جانا چاہیے، اور اسے "اویلر کا محدود گردش فارمولا" کہنے کی سفارش کی۔ اس تجویز کو قابل ذکر حمایت حاصل ہوئی ہے، لیکن کچھ دوسرے لوگوں نے اس فارمولے کو یولر-روڈریگس فارمولے کے بہت سے تغیرات میں سے صرف ایک کے طور پر دیکھا ہے، اس طرح دونوں کو کریڈٹ دیا گیا ہے۔ بیان اگر ایک ویکٹر میں ہے اور ایک یونٹ ویکٹر ہے جو گردش کے محور کو بیان کرتا ہے جس کے بارے میں دائیں ہاتھ کے اصول کے مطابق زاویہ سے گھومتا ہے، تو گھمایا ہوا ویکٹر کے لیے روڈریگز فارمولا ہے۔ مندرجہ بالا فارمولے کا وجدان یہ ہے کہ پہلی اصطلاح ویکٹر کو نیچے اسکیل کرتی ہے، جبکہ دوسری اصطلاح اسے (ویکٹر کے اضافے کے ذریعے) نئی گردش کی پوزیشن کی طرف موڑ دیتی ہے۔ تیسری میعاد اس اونچائی کو دوبارہ شامل کرتی ہے جو پہلی میعاد سے کھو گئی تھی۔ ایک متبادل بیان محور ویکٹر کو کسی بھی دو غیر صفر ویکٹر کے کراس پروڈکٹ کے طور پر لکھنا ہے اور جو گردش کے طیارہ کی وضاحت کرتا ہے، اور زاویے کے احساس کو اس سے اور اس کی طرف ماپا جاتا ہے۔ لیٹنگ ان ویکٹروں کے درمیان کے زاویے کی نشاندہی کرتی ہے، دونوں زاویے ضروری نہیں کہ برابر ہوں، لیکن ان کی پیمائش ایک ہی معنی میں کی جاتی ہے۔ پھر اکائی محور ویکٹر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ شکل اس وقت زیادہ مفید ہو سکتی ہے جب ہوائی جہاز کی وضاحت کرنے والے دو ویکٹر شامل ہوں۔ طبیعیات میں ایک مثال تھامس پریسیشن ہے جس میں روڈریگس کے فارمولے کی طرف سے دی گئی گردش شامل ہے، دو غیر کالینیئر بوسٹ ویلیوٹیز کے لحاظ سے، اور گردش کا محور ان کے جہاز پر عمودی ہے۔ مشتق ایک گردش کے محور کی وضاحت کرنے والا یونٹ ویکٹر ہونے دیں، اور گھومنے والے ویکٹر کو پیدا کرتے ہوئے، زاویہ (دائیں ہاتھ کے اصول، شکل میں گھڑی کی مخالف سمت) کے ذریعے گھومنے کے لیے کوئی بھی ویکٹر ہونے دیں۔ ڈاٹ اور کراس پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے، ویکٹر کو محور کے متوازی اور عمودی اجزاء میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جہاں متوازی جزو کو ویکٹر پروجیکشن آف آن کہا جاتا ہے، اور عمودی جزو کو ویکٹر رد کرنا کہا جاتا ہے:، جہاں آخری مساوات ویکٹر ٹرپل پروڈکٹ فارمولے سے ملتی ہے: آخر میں، ویکٹر 90° کے گرد گھومنے کی ایک نقل ہے۔ اس طرح تینوں ویکٹر برابر لمبائی کے آخری دو ویکٹر کے ساتھ دائیں ہاتھ سے آرتھوگنل بنیاد بناتے ہیں۔ گردش کے تحت، محور کے متوازی جزو طول و عرض اور سمت کو تبدیل نہیں کرے گا: جبکہ عمودی جزو اپنی شدت کو برقرار رکھے گا لیکن کارٹیسی بنیاد میں پلینر پولر کوآرڈینیٹس کے ساتھ مشابہت کے مطابق، اور کے ذریعے پھیلے ہوئے عمودی سطح میں اپنی سمت کو گھومے گا،: اب مکمل گھمایا ہوا ویکٹر ہے: متبادل یا آخری اظہار میں بالترتیب دیتا ہے: میٹرکس نوٹیشن کراس پروڈکٹ کے ذریعہ بیان کردہ لکیری تبدیلی کو کوآرڈینیٹس میں کالم میٹرکس کی نمائندگی اور اس کے طور پر دیا جاتا ہے: یعنی، اس لکیری تبدیلی کا میٹرکس (معیاری کوآرڈینیٹس کے حوالے سے) کراس پروڈکٹ میٹرکس ہے: اس لیے پچھلے حصے کا آخری فارمولا اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جمع کرنے والی اصطلاحات کمپیکٹ اظہار کی اجازت دیتی ہیں جہاں یہ میٹرکس کے گردش گروپ کا ایک عنصر ہے، اور یہ لائ الجبرا کا ایک عنصر ہے جو اس لائ گروپ کو پیدا کرتا ہے (نوٹ کریں کہ اسکیو سمیٹرک ہے، جو خصوصیت رکھتا ہے)۔ میٹرکس ایکسپونینشیل کے لحاظ سے، یہ دیکھنے کے لیے کہ آخری شناخت برقرار ہے، ایک پیرامیٹر ذیلی گروپ کی خصوصیت کو نوٹ کرتا ہے، یعنی۔ ایکسپونینشل، اور یہ کہ فارمولے لامحدود سے ملتے ہیں۔ اس ایکسپونینشیل رشتے پر مبنی متبادل مشتق کے لیے، سے ایکسپونینشیل نقشہ دیکھیں۔ الٹا نقشہ سازی کے لیے، سے لاگ نقشہ دیکھیں۔ گردش کا ہج ڈوئل صرف وہی ہے جو گردش کے محور اور گردش کے زاویے کے سائن دونوں کو گردش میٹرکس سے ہی نکالنے کے قابل بناتا ہے، معمول کی ابہام کے ساتھ، جہاں۔ مندرجہ بالا سادہ اظہار اس حقیقت کا نتیجہ ہے کہ ہج ڈوئلز آف اینڈ صفر ہیں، اور۔ تاہم، روڈریگز کے فارمولے کو لاگو کرتے وقت، معمول کی ابہام کو فارمولے کی توسیعی شکل سے دور کیا جا سکتا ہے۔ محوری زاویے کی گردش (ریاضی) ایس او (3) اور ایس او (4) یولر-روڈریگز فارمولا حوالہ جات لیونہارڈ یولر، "پروبلما الجبریکم او بی فافٹیس پرورسس سنگلارس میموریبائل"، کمنٹیٹیو 407 انڈیسیس اینسٹومیانی، نووی کام بھی دیکھیں۔ اکاڈ۔ سائنس. پیٹروپولیٹن 15 (1770)، 75-106۔ Olinde Rodriguez، "Déslois géométriques qi régissent les déplaces d 'un sistème solide dans l' Espace، et de the variation des Coordonnees reprovenant de ces déplacesrees indépendants des causes qi peuvent les product"، جرنل ڈی میتھمیٹیکس پیورس اینڈ ایپلکیز 5 (1840)، 380-440۔ آن لائن۔ فریڈبرگ، رچرڈ (2022)۔ "روڈریگز، اولینڈے: ترجمہ اور تفسیر۔" arXiv: 2211.07787۔ ڈان کوکس، (2006) ایکسپلوریشنز ان میتھمیٹیکل فزکس، سپرنگر سائنس + بزنس میڈیا، ایل ایل سی۔ ۔ چوتھائی، پی پی ایس 147 وغیرہ۔ جیومیٹرک الجبرا کے لیے ایک راؤنڈاباوٹ روٹ بیرونی روابط جوہان ای میبیئس، چار جہتی گردشوں کے لیے عمومی فارمولے سے تین جہتی گردشوں کے لیے یولر-روڈریگز فارمولے کا مشتق۔، arXiv جنرل ریاضی 2007۔ ایک اور وضاحتی مثال کے لیے دیکھیں: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles، کرس ہیکر، فزکس سیکشن، حصہ 4۔ "تیسرا طول و عرض"-صفحہ 3 پر، سیکشن "محور اور زاویہ"، http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf تین جہتوں میں گردش یوکلڈین جیومیٹری واقفیت (جیومیٹری) fr: گردش vectorielle#Cas جنرل