Mittag-Leffler function
ریاضی میں، میٹاگ-لیفلر فنکشن ایک خاص فنکشن ہے، ایک پیچیدہ فنکشن جو دو پیچیدہ پیرامیٹرز پر منحصر ہے۔ اس کی تعریف مندرجہ ذیل سیریز سے کی جا سکتی ہے جب کا حقیقی حصہ سختی سے مثبت ہو: گاما فنکشن کہاں ہے۔ کب، اسے مختصر طور پر کہا جاتا ہے۔ کیونکہ، اوپر کی سیریز ہندسی سیریز کی ٹیلر توسیع کے برابر ہے اور اس کے نتیجے میں۔ اس صورت میں اور حقیقی اور مثبت ہیں، سیریز دلیل کی تمام اقدار کے لیے یکجا ہوتی ہے، اس لیے میٹاگ-لیفلر فنکشن ایک مکمل فنکشن ہے۔ اس فنکشن کا نام گوسٹا مٹاگ-لیفلر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ فنکشن کی یہ کلاس فریکشنل کیلکولس کے نظریہ میں اہم ہے۔ کیونکہ، میٹاگ-لیفلر فنکشن آرڈر کا ایک مکمل فنکشن ہے، اور کسی لحاظ سے اس کے آرڈر کا سب سے آسان پورا فنکشن ہے۔ میٹاگ-لیفلر فنکشن تکرار کی خاصیت (تھیوریم 5.1 کی) کو مطمئن کرتا ہے جس سے درج ذیل پوئن کیئر ایسمپٹوٹک توسیع ہوتی ہے: کے لیے اور حقیقی اس طرح کہ پھر سب کے لیے، ہم درج ذیل ایسمپٹوٹک توسیع (سیکشن 6 کی) دکھا سکتے ہیں:-جیسا:،-اور جیسا:، جہاں ہم نے اشارے کا استعمال کیا۔ خاص معاملات کے لیے ہم تلاش کرتے ہیں: (کا سیکشن 2) ایرر فنکشن: ہندسی ترقی کا مجموعہ: ایکسپونینشل فنکشن: ہائپربولک کوسائن: کیونکہ، ہمارے پاس ہے۔ مٹاگ-لیفلر کی لازمی نمائندگی مٹاگ-لیفلر فنکشن کی لازمی نمائندگی (کا سیکشن 6) ہے جہاں کنٹور انٹیگرانڈ کی انفرادیت اور برانچ پوائنٹس پر شروع ہوتا ہے اور ختم ہوتا ہے اور اس کے گرد چکر لگاتا ہے۔ لیپلیس ٹرانسفارم اور میٹاگ-لیفلر سمیشن سے متعلق میٹاگ-لیفلر فنکشن کی ایپلی کیشنز کا اظہار (Eq (7.5) کے ساتھ) ہے۔ میٹاگ-لیفلر فنکشن کی ایپلی کیشنز میں سے ایک فریکشنل آرڈر وسکولاسٹک میٹریل کی ماڈلنگ میں ہے۔ وسکویلسٹک مواد کے وقت پر منحصر آرام کے رویے کی تجرباتی تحقیقات کی خصوصیت یہ ہے کہ آرام کے عمل کے آغاز میں تناؤ میں بہت تیزی سے کمی آتی ہے اور بڑے اوقات میں انتہائی آہستہ زوال ہوتا ہے۔ مستقل غیر علامتی قدر تک پہنچنے میں بھی کافی وقت لگ سکتا ہے۔ لہذا، کافی درستگی کے ساتھ آرام دہ رویے کو بیان کرنے کے لیے بہت سے میکسویل عناصر کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ ایک مشکل اصلاح کے مسئلے میں ختم ہوتا ہے تاکہ بڑی تعداد میں مادی پیرامیٹرز کی شناخت کی جا سکے۔ دوسری طرف، برسوں کے دوران، فریکشنل مشتقات کا تصور وسکولاسٹکٹی کے نظریہ میں متعارف کرایا گیا ہے۔ ان ماڈلز میں، فریکشنل زینر ماڈل ربڑ جیسے مواد کی متحرک نوعیت کی پیش گوئی کرنے کے لیے بہت موثر پایا گیا جس میں صرف مادی پیرامیٹرز کی ایک چھوٹی سی تعداد تھی۔ متعلقہ آئینی مساوات کا حل میٹاگ-لیفلر قسم کے آرام دہ فنکشن کی طرف لے جاتا ہے۔ اس کی تعریف پاور سیریز کے ذریعے منفی دلائل کے ساتھ کی جاتی ہے۔ یہ فنکشن اصل پر چھلانگ کے ساتھ من مانی اور مسلسل سگنل کے زیر اثر آرام کے عمل کی تمام ضروری خصوصیات کی نمائندگی کرتا ہے۔ مٹاگ-لیفلر سمیشن مٹاگ-لیفلر ڈسٹری بیوشن فاکس-رائٹ فنکشن نوٹس آر پیکیج 'مٹاگ لیفل آر' بذریعہ گورٹیک گل، پیٹر اسٹراکا بھی دیکھیں۔ میٹاگ-لیفلر فنکشن، تقسیم، بے ترتیب متغیر نسل، اور تخمینہ کو نافذ کرتا ہے۔ حوالہ جات میٹاگ-لیفلر، ایم۔ جی۔ : سور لا نوویل فونکشن E (x)۔ سی۔ آر۔ اکاڈ۔ سائنس. پیرس 137، 554-558 (1903) میٹاگ-لیفلر، ایم۔ جی۔ : سوپرا لا فنزیون ای ±. x / بھیجیں۔ آر۔ اے سی۔ لانسی، (سر۔ 5) 13، 3-5 (1904) گورنفلو آر۔، کلباس اے۔ اے۔، مینارڈی ایف۔، روگوسن ایس۔ وی۔، مٹاگ-لیفلر فنکشنز، متعلقہ موضوعات اور ایپلی کیشنز (سپرنگر، نیویارک، 2014) 443 صفحات بیرونی روابط مٹاگ-لیفلر فنکشن: میٹ لیب کوڈ مٹاگ-لیفلر اور مستحکم بے ترتیب نمبر: مسلسل وقت کی بے ترتیب چہل قدمی اور خلائی وقت کے فریکشنل پھیلاؤ مساوات کا سٹوچسٹک حل خصوصی افعال تجزیاتی افعال