Solution concept
گیم تھیوری میں، حل کا تصور یہ پیش گوئی کرنے کے لیے ایک رسمی اصول ہے کہ گیم کیسے کھیلا جائے گا۔ ان پیش گوئیوں کو "حل" کہا جاتا ہے، اور یہ بیان کرتا ہے کہ کھلاڑی کون سی حکمت عملی اپنائیں گے اور اس لیے کھیل کا نتیجہ۔ سب سے زیادہ استعمال ہونے والے حل کے تصورات توازن کے تصورات ہیں، سب سے مشہور نیش توازن۔ بہت سے حل کے تصورات، بہت سے کھیلوں کے لیے، ایک سے زیادہ حل کے نتیجے میں ہوں گے۔ اس سے کسی بھی حل پر شک پیدا ہوتا ہے، اس لیے گیم تھیوریسٹ حل کو کم کرنے کے لیے اصلاح کا اطلاق کر سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل میں پیش کردہ ہر یکے بعد دیگرے حل کا تصور امیر کھیلوں میں ناقابل یقین توازن کو ختم کرکے اپنے پیشرو پر بہتری لاتا ہے۔ رسمی تعریف آئیے تمام کھیلوں کی کلاس بنیں اور، ہر کھیل کے لیے، اس کی حکمت عملی کے پروفائلز کا مجموعہ بنیں۔ حل کا تصور براہ راست پروڈکٹ کا ایک عنصر ہے یعنی، ایک فنکشن ایسا ہے کہ تمام عقلی اور تکراری غلبہ کے لیے اس حل کے تصور میں، کھلاڑیوں کو عقلی سمجھا جاتا ہے اور اس لیے سختی سے غالب حکمت عملیوں کو حکمت عملیوں کے سیٹ سے ختم کر دیا جاتا ہے جو ممکنہ طور پر کھیلی جا سکتی ہیں۔ ایک حکمت عملی پر سختی سے غلبہ حاصل ہوتا ہے جب کھلاڑی کے لیے کوئی دوسری حکمت عملی دستیاب ہوتی ہے جس کی ادائیگی ہمیشہ زیادہ ہوتی ہے، قطع نظر اس کے کہ دوسرے کھلاڑی کون سی حکمت عملی منتخب کرتے ہیں۔ (منی میکس گیم ٹری کی تلاش میں سختی سے غالب حکمت عملی بھی اہم ہیں۔) مثال کے طور پر، (سنگل پیریڈ) قیدیوں کے مخمصے میں (نیچے دکھایا گیا ہے)، تعاون پر سختی سے دونوں کھلاڑیوں کے لیے عیب کا غلبہ ہے کیونکہ کوئی بھی کھلاڑی ہمیشہ عیب کھیلنا بہتر ہے، اس سے قطع نظر کہ اس کا مخالف کیا کرتا ہے۔ نیش توازن ایک حکمت عملی پروفائل ہے (ایک حکمت عملی پروفائل ہر کھلاڑی کے لیے حکمت عملی کی وضاحت کرتا ہے، مثال کے طور پر۔ مذکورہ بالا قیدیوں کے مشکوک کھیل (تعاون، عیب) میں یہ واضح کیا گیا ہے کہ قیدی 1 تعاون کرتا ہے اور قیدی 2 عیب کھیلتا ہے) جس میں ہر حکمت عملی ہر دوسری حکمت عملی کا بہترین جواب ہے۔ کسی کھلاڑی کی حکمت عملی دوسرے کھلاڑی کی حکمت عملی کا بہترین جواب ہوتی ہے اگر ایسی کوئی دوسری حکمت عملی نہیں ہے جو کھیلی جا سکے جو کسی بھی صورت حال میں زیادہ ادائیگی کرے جس میں دوسرے کھلاڑی کی حکمت عملی کھیلی جائے۔ بیک ورڈ انڈکشن کچھ کھیلوں میں، متعدد نیش توازن ہوتے ہیں، لیکن ان میں سے سبھی حقیقت پسندانہ نہیں ہوتے ہیں۔ متحرک کھیلوں میں، غیر حقیقی نیش توازن کو ختم کرنے کے لیے بیکورڈ انڈکشن کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بیک ورڈ انڈکشن یہ فرض کرتا ہے کہ کھلاڑی عقلی ہیں اور اپنی مستقبل کی توقعات کی بنیاد پر بہترین فیصلے کریں گے۔ یہ ناقابل یقین دھمکیوں کو ختم کرتا ہے، جو وہ دھمکیاں ہیں جن پر کھلاڑی عمل نہیں کرے گا اگر انہیں کبھی ایسا کرنے کے لیے بلایا جائے۔ مثال کے طور پر، ایک متحرک کھیل پر غور کریں جس میں ایک موجودہ فرم اور صنعت میں ممکنہ طور پر داخل ہونے والا ہو۔ عہدہ دار کی اجارہ داری ہوتی ہے اور وہ اپنے مارکیٹ شیئر کو برقرار رکھنا چاہتا ہے۔ اگر داخل ہونے والا داخل ہوتا ہے، تو عہدہ دار یا تو لڑ سکتا ہے یا داخل ہونے والے کو ایڈجسٹ کر سکتا ہے۔ اگر عہدہ دار ایڈجسٹ کرتا ہے، تو داخل ہونے والا داخل ہوگا اور منافع حاصل کرے گا۔ اگر عہدہ دار لڑتا ہے، تو یہ اس کی قیمتیں کم کر دے گا، داخل ہونے والے کو کاروبار سے باہر نکال دے گا (اخراج کے اخراجات)، اور اس کے اپنے منافع کو نقصان پہنچائے گا۔ اگر داخلہ لینے والا داخل ہوتا ہے تو عہدہ دار کے لیے بہترین جواب ایڈجسٹ کرنا ہے، اور اگر عہدہ دار ایڈجسٹ کرتا ہے تو داخلہ لینے والے کے لیے بہترین جواب داخل کرنا ہے۔ اس کے نتیجے میں نیش توازن پیدا ہوتا ہے۔ تاہم، اگر عہدہ دار لڑنے کا انتخاب کرتا ہے، تو داخل ہونے والے کے لیے بہترین جواب داخل نہ ہونا ہے۔ اگر داخل ہونے والا داخل نہیں ہوتا ہے، تو اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ عہدہ دار کیا کرنے کا انتخاب کرتا ہے۔ لہذا، اگر داخل ہونے والا داخل نہیں ہوتا ہے تو لڑائی کو عہدہ دار کے لیے بہترین ردعمل سمجھا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک اور نیش توازن پیدا ہوتا ہے۔ تاہم، اس دوسرے نیش توازن کو بیکورڈ انڈکشن کے ذریعے ختم کیا جا سکتا ہے کیونکہ یہ عہدہ دار کی طرف سے ایک ناقابل یقین خطرے پر انحصار کرتا ہے۔ جب تک عہدہ دار فیصلہ نوڈ تک پہنچ جاتا ہے جہاں وہ لڑنے کا انتخاب کر سکتا ہے، ایسا کرنا غیر منطقی ہوگا کیونکہ داخل ہونے والا پہلے ہی داخل ہو چکا ہوتا ہے۔ لہذا، بیکورڈ انڈکشن اس غیر حقیقی نیش توازن کو ختم کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں: مانیٹری پالیسی تھیوری اسٹیکلبرگ مقابلہ سبگیم پرفیکٹ نیش ایکولبریئم بیکورڈ انڈکشن کی عمومی شکل سبگیم پرفیکشن ہے۔ بیک ورڈ انڈکشن یہ فرض کرتا ہے کہ مستقبل کا تمام کھیل معقول ہوگا۔ سبگیم پرفیکٹ ایکولبرییا میں، ہر سبگیم میں کھیلنا عقلی ہوتا ہے (خاص طور پر نیش ایکولبریئم)۔ بیک ورڈ انڈکشن کا استعمال صرف مقررہ لمبائی کے (محدود) گیمز کو ختم کرنے میں کیا جا سکتا ہے اور اس کا اطلاق نامکمل معلومات والے گیمز پر نہیں کیا جا سکتا۔ ان صورتوں میں سبگیم پرفیکشن کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اوپر بیان کردہ ختم شدہ نیش توازن ذیلی گیم نامکمل ہے کیونکہ یہ ذیلی گیم کا نیش توازن نہیں ہے جو داخل ہونے والے کے داخل ہونے کے بعد پہنچنے والے نوڈ سے شروع ہوتا ہے۔ کامل بایسیئن توازن بعض اوقات ذیلی کھیل کی کمال غیر معقول نتائج پر کافی حد تک بڑی پابندی عائد نہیں کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، چونکہ ذیلی کھیل معلومات کے سیٹوں کو کاٹ نہیں سکتے، اس لیے نامکمل معلومات کے کھیل میں صرف ایک ذیلی کھیل ہو سکتا ہے-خود-اور اس لیے ذیلی کھیل پرفیکشن کو کسی بھی نیش توازن کو ختم کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ ایک کامل بایسیئن توازن (پی بی ای) کھلاڑیوں کی حکمت عملیوں اور عقائد کی ایک وضاحت ہے جس کے بارے میں معلومات کے سیٹ میں کون سا نوڈ کھیل کے کھیل کے ذریعے پہنچا ہے۔ فیصلہ نوڈ کے بارے میں یقین اس بات کا امکان ہے کہ کوئی خاص کھلاڑی سوچتا ہے کہ نوڈ کھیل میں ہے یا ہوگا (توازن کے راستے پر)۔ خاص طور پر، پی بی ای کا انترجشتھان یہ ہے کہ یہ کھلاڑی کی حکمت عملیوں کی وضاحت کرتا ہے جو کھلاڑی کے عقائد کو دیکھتے ہوئے عقلی ہیں اور جو عقائد اس کی وضاحت کرتے ہیں وہ اس کی وضاحت کردہ حکمت عملیوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ بایسیئن گیم میں ایک حکمت عملی اس بات کا تعین کرتی ہے کہ کھلاڑی اس کھلاڑی کے زیر کنٹرول ہر معلومات پر کیا کھیلتا ہے۔ یہ ضرورت کہ عقائد حکمت عملیوں کے مطابق ہوں وہ ایسی چیز ہے جس کی وضاحت ذیلی کھیل کے کمال سے نہیں ہوتی ہے۔ لہذا، پی بی ای کھلاڑیوں کے عقائد پر مستقل مزاجی کی شرط ہے۔ جس طرح نیش توازن میں کسی بھی کھلاڑی کی حکمت عملی پر سختی سے غلبہ نہیں ہوتا ہے، پی بی ای میں، کسی بھی معلومات کے سیٹ کے لیے کسی بھی کھلاڑی کی حکمت عملی پر سختی سے غلبہ نہیں ہوتا ہے۔ یعنی، ہر اس عقیدے کے لیے کہ کھلاڑی اس معلومات کے سیٹ کو برقرار رکھ سکتا ہے، ایسی کوئی حکمت عملی نہیں ہے جو اس کھلاڑی کے لیے زیادہ متوقع ادائیگی کا باعث بنے۔ مندرجہ بالا حل کے تصورات کے برعکس، کسی بھی کھلاڑی کی حکمت عملی پر سختی سے غلبہ نہیں ہے جو کسی بھی معلومات کے سیٹ سے شروع ہوتی ہے چاہے وہ توازن کے راستے سے دور ہو۔ اس طرح پی بی ای میں، کھلاڑی ایسی حکمت عملی کھیلنے کی دھمکی نہیں دے سکتے جو توازن کے راستے سے شروع ہونے والی کسی بھی معلومات پر سختی سے غالب ہوں۔ اس حل کے تصور کے نام پر بائزین اس حقیقت کی طرف اشارہ کرتا ہے کہ کھلاڑی بائز کے نظریہ کے مطابق اپنے عقائد کو اپ ڈیٹ کرتے ہیں۔ وہ امکانات کا حساب لگاتے ہیں جو کھیل میں پہلے ہی ہو چکا ہے۔ فارورڈ انڈکشن کو فارورڈ انڈکشن کہا جاتا ہے کیونکہ جس طرح بیکورڈ انڈکشن یہ فرض کرتا ہے کہ مستقبل کا کھیل عقلی ہوگا، اسی طرح فارورڈ انڈکشن یہ فرض کرتا ہے کہ ماضی کا کھیل معقول تھا۔ جہاں ایک کھلاڑی نہیں جانتا کہ دوسرا کھلاڑی کس قسم کا ہے (یعنی۔ نامکمل اور غیر متناسب معلومات موجود ہیں)، وہ کھلاڑی اس کھلاڑی کے ماضی کے اعمال کا مشاہدہ کرکے اس بات کا یقین پیدا کر سکتا ہے کہ وہ کھلاڑی کس قسم کا ہے۔ لہذا اس کھلاڑی کا یہ یقین کہ مخالف کے ایک خاص قسم کے ہونے کا امکان اس مخالف کے ماضی کے کھیل کے عقلی ہونے پر مبنی ہے۔ ایک کھلاڑی اپنے اعمال کے ذریعے اپنی قسم کا اشارہ کرنے کا انتخاب کر سکتا ہے۔ کوہلبرگ اور مرٹنز (1986) نے مستحکم توازن کا حل تصور متعارف کرایا، ایک ایسی اصلاح جو فارورڈ انڈکشن کو مطمئن کرتی ہے۔ ایک جوابی مثال ملی جہاں اس طرح کا مستحکم توازن بیکورڈ انڈکشن کو مطمئن نہیں کرتا تھا۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے جین فرانکوئس مرٹنز نے متعارف کرایا جسے گیم تھیوریسٹ اب مرٹنز اسٹیبل ایکویلیبریئم تصور کہتے ہیں، شاید پہلا حل تصور جو فارورڈ اور بیکورڈ انڈکشن دونوں کو مطمئن کرتا ہے۔ فارورڈ انڈکشن جلتے ہوئے پیسے کے کھیل کے لیے ایک منفرد حل پیش کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ وسیع فارم گیم کانپتے ہوئے ہاتھ کا توازن "بدیہی معیار" حوالہ جات ہرسنی، جے۔ (1973) توازن پوائنٹس کی تعداد کی عجیب و غریب: ایک نیا ثبوت۔ انٹرنیشنل جرنل آف گیم تھیوری 2:235-250۔ گووندان، سری ہری اور رابرٹ ولسن، 2008۔ "ریفائنمنٹس آف نیش ایکولبریئم"، دی نیو پالگریو ڈکشنری آف اکنامکس، دوسرا ایڈیشن۔ ہائنز، ڈبلیو جی ایس۔ (1987) ارتقاء کی مستحکم حکمت عملی: بنیادی نظریہ کا جائزہ۔ نظریاتی آبادی حیاتیات 31:195-272۔ کوہلبرگ، ایلون اور جین فرانکوئس مرٹنز، 1986۔ "آن دی اسٹریٹجک اسٹیبلٹی آف ایکولبریا"، اکانومیٹریکا، اکانومیٹرک سوسائٹی، جلد۔ 54 (5)، صفحات 1003-37، ستمبر۔ مرٹنز، جین فرانکوئس، 1989۔ "مستحکم توازن-ایک اصلاح۔ حصہ 1 بنیادی تعریفیں اور خصوصیات "میتھمیٹکس آف آپریشنز ریسرچ، جلد۔ 14، نہیں۔ 4، نومبر۔ نولڈیک، جی۔ اور سیموئلسن، ایل۔ (1993) پسماندہ اور آگے کی شمولیت کا ایک ارتقائی تجزیہ۔ کھیل اور اقتصادی طرز عمل 5:425-454۔ مینارڈ سمتھ، جے۔ (1982) ارتقاء اور تھیوری آف گیمز۔ ۔ سیلٹن، آر۔ (1983) وسیع دو افراد کے کھیلوں میں ارتقائی استحکام۔ ریاضی۔ سوک۔ سائنس. 5:269-363۔ سیلٹن، آر۔ (1988) وسیع دو افراد کے کھیلوں میں ارتقائی استحکام-اصلاح اور مزید ترقی۔ ریاضی۔ سوک۔ سائنس. 16:223-266 تھامس، B. (1985 اے) ارتقائی مستحکم سیٹوں پر۔ جے۔ ریاضی۔ بائیول۔ 22:105-115۔ تھامس، بی۔ (1985b) مخلوط اسٹریٹجسٹ ماڈلز میں ارتقاء کے مستحکم سیٹ۔ تھیور۔ پاپ۔ بائیول۔ 28:332-341 گیم تھیوری گیم تھیوری توازن تصورات