Abelian von Neumann algebra
فنکشنل تجزیے میں، ایک ابیلین وان نیومن الجبرا ہلبرٹ اسپیس پر آپریٹرز کا ایک وان نیومن الجبرا ہے جس میں تمام عناصر حرکت کرتے ہیں۔ ایک ابیلین وان نیومن الجبرا کی پروٹو ٹائپکل مثال الجبرہ ایل این آئی (ایکس، ایم یو) ہے جو ہلبرٹ اسپیس ایل 2 (ایکس، ایم یو) پر آپریٹرز کے الجبرا کے طور پر محسوس ہونے والی ایکس پر ایک σ-لامحدود پیمائش کے لیے درج ذیل ہے: ہر ایف ایل ایل این آئی (ایکس، ایم یو) کی شناخت ضرب آپریٹر کے ساتھ کی جاتی ہے۔ خاص اہمیت کے حامل الگ الگ ہلبرٹ خالی جگہوں پر ابیلین وان نیومن الجبرا ہیں، خاص طور پر اس لیے کہ وہ سادہ غیر متغیرات کے ذریعے مکمل طور پر درجہ بندی کر سکتے ہیں۔ اگرچہ غیر الگ ہونے والی ہلبرٹ خالی جگہوں پر وان نیومن الجبرا کا ایک نظریہ موجود ہے (اور درحقیقت اس معاملے میں عمومی نظریہ کا زیادہ تر حصہ اب بھی موجود ہے) نظریہ الگ ہونے والی جگہوں پر الجبرا کے لیے کافی آسان ہے اور ریاضی یا طبیعیات کے دیگر شعبوں میں زیادہ تر ایپلی کیشنز صرف الگ ہونے والی ہلبرٹ خالی جگہوں کا استعمال کرتی ہیں۔ نوٹ کریں کہ اگر پیمائش کی خالی جگہیں (X، μ) ایک معیاری پیمائش کی جگہ ہے (یعنی X−N کسی صفر سیٹ N کے لیے ایک معیاری بوریل جگہ ہے اور μ ایک σ-لامحدود پیمائش ہے) تو L2 (X، μ) علیحدہ ہے۔ درجہ بندی مواصلاتی وان نیومن الجبرا اور پیمائش کے خالی جگہوں کے درمیان تعلق مواصلاتی C *-الجبرا اور مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے درمیان تعلق کے مترادف ہے۔ الگ ہونے والی ہلبرٹ جگہ پر ہر متغیر وان نیومن الجبرا کسی معیاری پیمائش کی جگہ (X، μ) کے لیے L ≤ (X) کے لیے آئسومورفک ہے اور اس کے برعکس، ہر معیاری پیمائش کی جگہ X کے لیے، L ≤ (X) ایک وان نیومن الجبرا ہے۔ یہ آئسومورفزم جیسا کہ بیان کیا گیا ہے ایک الجبرائی آئسومورفزم ہے۔ درحقیقت ہم اسے مزید واضح طور پر اس طرح بیان کر سکتے ہیں: نظریہ۔ علیحدہ ہلبرٹ جگہ پر آپریٹرز کا کوئی بھی ابیلین وان نیومن الجبرا مندرجہ ذیل میں سے بالکل ایک کے لیے *-آئسومورفک ہے۔ کمزور آپریٹر ٹوپولوجی کو محفوظ رکھنے کے لیے آئسومورفزم کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ مندرجہ بالا فہرست میں، وقفہ [0,1] میں لیبسگیو پیمائش ہے اور سیٹوں {1,2,., n} اور N میں گنتی کی پیمائش ہے۔ یونین الگ الگ یونین ہیں۔ یہ درجہ بندی بنیادی طور پر الگ کرنے کے قابل پیمائش الجبرا کے لیے مہارام کی درجہ بندی تھیوریم کا ایک متغیر ہے۔ مہارام کی درجہ بندی تھیوریم کا ورژن جو سب سے زیادہ مفید ہے اس میں مساوات کا ایک نقطہ احساس شامل ہے، اور یہ کسی حد تک لوک تھیوریم کا ہے۔ اگرچہ ہر معیاری پیمائش کی جگہ مذکورہ بالا میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہے اور اس لحاظ سے فہرست مکمل ہے، لیکن ابیلین وان نیومین الجبرا اے کے معاملے میں پیمائش کی جگہ کے لیے ایک زیادہ کینونکل انتخاب ہے: تمام پروجیکٹرز کا مجموعہ ایک مکمل بولین الجبرا ہے، جو کہ ایک پوائنٹ فری الجبرا ہے۔ خاص صورت میں کوئی تجریدی-الجبرا کو بازیافت کرتا ہے۔ اس پوائنٹ فری نقطہ نظر کو ابیلین وان نیومن الجبرا کے زمرے اور تجریدی-الجبرا کے زمرے کے درمیان گیلفینڈ-ڈوئلٹی کے متوازی ڈوئلٹی تھیوریم میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ μ اور ν بالترتیب معیاری بوریل خالی جگہوں X اور Y پر غیر جوہری امکان کے اقدامات ہیں۔ پھر ایکس کا ایک ایم یو نیل سب سیٹ این، وائی کا ایک ν نیل سب سیٹ ایم اور ایک بوریل آئسومورفزم ہے جو ایم یو کو ν میں لے جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ مندرجہ بالا نتیجہ میں، نتیجہ کو کام کرنے کے لیے پیمائش صفر کے سیٹوں کو کاٹنا ضروری ہے۔ مندرجہ بالا نظریہ میں، کمزور آپریٹر ٹوپولوجی کو محفوظ رکھنے کے لیے آئسومورفزم کی ضرورت ہے۔ جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے (اور تعریفوں سے آسانی سے پیروی کرتا ہے)، الجبراس L φ (X، μ) کے لیے، درج ذیل ٹوپولوجیز معیاری پابند سیٹوں پر متفق ہیں: L φ (X، μ) پر کمزور آپریٹر ٹوپولوجی ؛ L φ (X، μ) پر الٹرا ویک آپریٹر ٹوپولوجی ؛ L φ (X، μ) پر کمزور * کنورجنس کی ٹوپولوجی جسے L1 (X، μ) کی دوہری جگہ سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، ایک ابیلین وان نیومن الجبرا اے کے لیے علیحدہ ہلبرٹ اسپیس پر آپریٹرز کے الجبرا کے طور پر اے کا ادراک انتہائی غیر منفرد ہے۔ A کے آپریٹر الجبرا کے احساسات کی مکمل درجہ بندی سپیکٹرم ملٹی پلیسیٹی تھیوری کے ذریعے دی گئی ہے اور اس میں براہ راست انٹیگرلز کے استعمال کی ضرورت ہوتی ہے۔ مقامی آئسومورفزم براہ راست انٹیگرل تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ایل 2 (ایکس، ایم یو) پر آپریٹرز کے طور پر کام کرنے والے ایل این آئی (ایکس، ایم یو) کی شکل کے ابیلین وان نیومین الجبرا سب زیادہ سے زیادہ ابیلین ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ انہیں مناسب طریقے سے بڑے ابیلین الجبرا تک نہیں بڑھایا جا سکتا۔ انہیں زیادہ سے زیادہ ابیلین سیلف ایڈجوائنٹ الجیبرا (یا M.A.S.A.s) بھی کہا جاتا ہے۔ ان کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والا ایک اور فقرہ یکساں ضرب 1 کے ابیلین وان نیومن الجبرا ہے۔ یہ وضاحت صرف ذیل میں بیان کردہ ضرب کے نظریہ کے سلسلے میں معنی رکھتی ہے۔ H پر وان نیومن الجبرا A، K پر B مقامی طور پر آئسومورفک (یا یک جہتی طور پر آئسومورفک) ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی یک جہتی آپریٹر U: H → K ایسا ہو کہ خاص طور پر مقامی طور پر آئسومورفک وان نیومن الجبرا الجبرائی طور پر آئسومورفک ہوں۔ ایک علیحدہ ہلبرٹ اسپیس H پر سب سے عام ابیلین وان نیومن الجبرا کو مقامی آئسومورفزم تک بیان کرنے کے لیے، ہمیں H کی براہ راست انٹیگرل سڑن کا حوالہ دینے کی ضرورت ہے۔ اس سڑن کی تفصیلات پر ابیلین وان نیومن الجبرا کے سڑنے میں تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ خاص طور پر: نظریہ کسی علیحدہ ہلبرٹ اسپیس H پر کوئی بھی ابیلین وان نیومن الجبرا مقامی طور پر L φ (X، μ) کے لیے آئسومورفک ہے جو ہلبرٹ اسپیس {Hx} x φ X کے کچھ قابل پیمائش خاندان کے لیے کام کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس طرح کے براہ راست انٹیگرل خالی جگہوں پر کام کرنے والے ابیلین وان نیومن الجبرا کے لیے، کمزور آپریٹر ٹوپولوجی، انتہائی کمزور ٹوپولوجی اور معمول کے پابند سیٹوں پر کمزور * ٹوپولوجی کی مساوات اب بھی برقرار ہے۔ آٹومورفزم کا نقطہ اور مقامی ادراک ایرگوڈک تھیوری میں بہت سے مسائل ابیلین وان نیومن الجبرا کے آٹومورفزم کے بارے میں مسائل تک کم ہو جاتے ہیں۔ اس سلسلے میں، درج ذیل نتائج مفید ہیں: نظریہ۔ فرض کریں کہ μ، ν بالترتیب X، Y پر معیاری پیمائش ہیں۔ پھر کوئی بھی غیر متزلزل آئسومورفزم جو کمزور *-بائیکونٹینیوس ہے مندرجہ ذیل معنوں میں ایک پوائنٹ ٹرانسفارمیشن سے مطابقت رکھتا ہے: یہاں X کے M اور Y کے N کے بوریل نل سبسیٹ ہیں اور ایک بوریل آئسومورفزم اس طرح ہے کہ η پیمائش μ کو Y پر ایک پیمائش میں لے جاتا ہے جو اس معنی میں ν کے مساوی ہے کہ μ 'اور ν پیمائش صفر کے ایک ہی سیٹ ہیں۔ η تبدیلی کا احساس کرتا ہے، یعنی نوٹ کریں کہ عام طور پر ہم η سے ν میں μ لے جانے کی توقع نہیں کر سکتے۔ اگلا نتیجہ یکطرفہ تبدیلیوں سے متعلق ہے جو ابیلین وان نیومن الجبرا کے درمیان ایک کمزور *-بائیکونٹینوس آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ نظریہ۔ فرض کریں کہ μ، ν X، Y پر اور ہلبرٹ خالی جگہوں کے قابل پیمائش خاندانوں کے لیے ہیں۔ اگر U: H → K ایک یک جہتی ہے تو تقریبا ہر جگہ ایک بیان کردہ بوریل پوائنٹ ٹرانسفارمیشن η: X → Y جیسا کہ پچھلے نظریہ میں ہے اور یک جہتی آپریٹرز کا ایک قابل پیمائش خاندان {Ux} x bulX ایسا ہے کہ جہاں مربع جڑ کے نشان میں اظہار ν کے حوالے سے μ η−1 کا ریڈون-نیکوڈیم مشتق ہے۔ یہ بیان اوپر بیان کردہ آٹومورفزم کے نقطہ احساس پر تھیوریم کو اس تھیوریم کے ساتھ جوڑنے کے بعد ہے جو ڈائیگنلائزبل آپریٹرز کے الجبرا کی خصوصیت رکھتا ہے جو براہ راست انٹیگرلز پر مضمون میں بیان کیا گیا ہے۔ نوٹ حوالہ جات جے ڈکسمیئر، لیس الجیبرس ڈی اوپریٹریس ڈینز ایل اسپیس ہلبرٹین، گوتھیر ولرز، 1969۔ باب اول، سیکشن 6 دیکھیں۔ مسامیچی تاکسیکی "تھیوری آف آپریٹر الجیبراس I، II، III"، انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز، سپرنگر-ورلاگ، 2001-2003 (پہلا حجم 1979 میں 1 میں شائع ہوا تھا۔ ایڈیشن) وان نیومن الگبراس