Edge-of-the-wedge theorem
ریاضی میں، بوگولیوبوف کے ایج آف دی ویج تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ مشترکہ طور پر "ایج" کے ساتھ دو "ویجز" پر ہولومورفک افعال ایک دوسرے کے تجزیاتی تسلسل ہیں بشرطیکہ وہ دونوں کنارے پر ایک ہی مسلسل فنکشن دیں۔ یہ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں وائٹ مین افعال کے تجزیاتی تسلسل کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ تھیوریم کی تشکیل اور پہلا ثبوت نیکولے بوگولیوبوف نے نظریاتی طبیعیات پر بین الاقوامی کانفرنس، سیئٹل، یو ایس اے (ستمبر، 1956) میں پیش کیا تھا اور اسے کتاب پروبلمز ان دی تھیوری آف ڈسپریشن ریلیشنز میں بھی شائع کیا گیا تھا۔ تھیوریم کے مزید ثبوت اور عمومییاں آر جوسٹ اور ایچ لیمن (1957)، ایف ڈائیسن (1958)، ایچ ایپسٹین (1960)، اور دیگر محققین نے دی تھیں۔ یک جہتی کیس مسلسل باؤنڈری ویلیوز ایک جہت میں ایج آف دی ویج تھیوریم کا ایک سادہ کیس درج ذیل بیان کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ f پیچیدہ سطح پر ایک مسلسل پیچیدہ قدر والا فنکشن ہے جو اوپری نصف سطح پر، اور نچلے نصف سطح پر ہولومورفک ہے۔ پھر یہ ہر جگہ ہولومورفک ہے۔ اس مثال میں، دو پچر اوپری نصف طیارہ اور نچلے نصف طیارہ ہیں، اور ان کا مشترکہ کنارہ حقیقی محور ہے۔ یہ نتیجہ موریرا کے نظریہ سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، ایک فنکشن ہولومورفک ہوتا ہے بشرطیکہ اس کا انٹیگرل گول کوئی بھی کونٹور غائب ہو جائے۔ ایک کونٹور جو حقیقی محور کو عبور کرتا ہے اسے اوپری اور نچلے نصف طیاروں میں کونٹور میں تقسیم کیا جا سکتا ہے اور انٹیگرل گول مفروضے کے ذریعے غائب ہو جاتے ہیں۔ دائرے پر تقسیم کی حد کی اقدار زیادہ عام صورت تقسیم کے لحاظ سے بیان کی جاتی ہے۔ یہ تکنیکی طور پر اس صورت میں سب سے آسان ہے جہاں مشترکہ حد پیچیدہ سطح میں اکائی کا دائرہ ہے۔ اس صورت میں ہولومورفک افعال f، g خطوں میں ہوتے ہیں اور لارنٹ کے پھیلاؤ ایک ہی خطوں میں بالکل متغیر ہوتے ہیں اور ان کی تقسیم کی حد اقدار رسمی فورئیر سیریز کے ذریعہ دی جاتی ہیں۔ ان کی تقسیم کی حد اقدار برابر ہوتی ہیں اگر تمام n کے لیے۔ تب یہ ابتدائی بات ہے کہ مشترکہ لارنٹ سیریز پورے خطے میں بالکل یکجا ہوتی ہے۔ وقفے پر تقسیم کی حد کی اقدار عام طور پر حقیقی محور پر ایک کھلا وقفہ دیا جاتا ہے اور کچھ غیر منفی عدد N کے لیے ہولومورفک افعال کی تعریف کی جاتی ہے اور انہیں مطمئن کیا جاتا ہے، کی حدود کی اقدار کو فارمولوں کے ذریعے حقیقی محور پر تقسیم کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ وجود کو اس بات سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ، مفروضے کے تحت، ہولومورفک فنکشن کا-th پیچیدہ مشتق ہے جو حد پر مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے۔ اگر f کو حقیقی محور کے اوپر اور نیچے کے طور پر بیان کیا گیا ہے اور F فارمولا کے ذریعہ مستطیل پر بیان کردہ تقسیم ہے تو F حقیقی محور کے برابر ہوتا ہے اور تقسیم حقیقی محور پر تقسیم سے متاثر ہوتی ہے۔ خاص طور پر اگر ایج آف دی ویج تھیوریم کے مفروضے لاگو ہوتے ہیں، یعنی۔ ، پھر الپٹک باقاعدگی سے یہ اس کے بعد ہوتا ہے کہ فنکشن F ہولومورفک ہے۔ اس صورت میں الپٹک باقاعدگی کا اندازہ براہ راست اس حقیقت سے لگایا جا سکتا ہے جو کاچی-ریمن آپریٹر کے لیے ایک بنیادی حل فراہم کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ دائرے اور حقیقی لکیر کے درمیان کیلی ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے، اس دلیل کو دائرے پر فورئیر سیریز اور سوبولیو خالی جگہوں کے لحاظ سے معیاری انداز میں دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، ہولومورفک افعال کو اکائی دائرے پر کسی آرک کے بیرونی اور اندرونی طور پر اس طرح بیان کیا جاتا ہے کہ مقامی طور پر ان کی کچھ سوبولیو اسپیس میں ریڈیل حدود ہوں، پھر، مساوات کو مقامی طور پر اس طرح حل کیا جا سکتا ہے کہ G اور F کی ریڈیل حدود مقامی طور پر اعلی سوبولیو اسپیس میں ایک ہی فنکشن کی طرف مائل ہوں۔ کافی بڑے k کے لیے، یہ کنورجنس سوبولیو ایمبیڈنگ تھیوریم کے مطابق یکساں ہے۔ مسلسل افعال کی دلیل سے، F اور G اس لیے آرک کے قریب ہولومورفک فنکشن دینے کے لیے پیچ کرتے ہیں اور اسی طرح f اور g بھی کرتے ہیں۔ عام صورت A پچر کسی سیٹ کے ساتھ شنک کا پروڈکٹ ہے۔ حقیقی ویکٹر کی جگہ میں ایک کھلا شنک ہونے دیں، جس کا ورٹیکس اصل پر ہو۔ فرض کریں کہ E ایک کھلا ذیلی مجموعہ ہے، جسے کنارہ کہا جاتا ہے۔ پیچیدہ ویکٹر کی جگہ میں پچر کے لیے W لکھیں، اور مخالف پچر کے لیے W 'لکھیں۔ پھر دو پٹے W اور W 'E کے کنارے پر ملتے ہیں، جہاں ہم E کی شناخت شنک کی نوک کے ساتھ E کے پروڈکٹ سے کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ f اتحاد پر ایک مسلسل فعل ہے جو W اور W دونوں پٹریوں پر ہولومورفک ہے۔ پھر ایج آف دی ویج تھیوریم کا کہنا ہے کہ f بھی E پر ہولومورفک ہے (یا زیادہ واضح طور پر، اسے E کے پڑوس پر ہولومورفک فنکشن تک بڑھایا جا سکتا ہے)۔ تھیوریم کے سچ ہونے کی شرائط کو کمزور کیا جا سکتا ہے۔ یہ فرض کرنا ضروری نہیں ہے کہ f کی وضاحت پورے پچر پر کی گئی ہے: یہ فرض کرنا کافی ہے کہ اس کی وضاحت کنارے کے قریب کی گئی ہے۔ یہ فرض کرنا بھی ضروری نہیں ہے کہ f کنارے پر متعین یا مسلسل ہے: یہ فرض کرنا کافی ہے کہ کسی بھی پچر پر بیان کردہ افعال کنارے پر یکساں تقسیم کی حد کی اقدار رکھتے ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری پر اطلاق کوانٹم فیلڈ تھیوری میں وائٹ مین کی تقسیم وائٹ مین فنکشنز W (z1,., zn) کی باؤنڈری ویلیوز ہیں جو منکوسکی اسپیس ٹائم کی پیچیدگی میں متغیر زی پر منحصر ہیں۔ ان کی وضاحت کی گئی ہے اور پچر میں ہولومورفک ہے جہاں ہر زی − زی − 1 کا خیالی حصہ کھلے مثبت ٹائم لائک شنک میں ہوتا ہے۔ متغیرات کو ترتیب دینے سے ہمیں n ملتا ہے! مختلف وائیٹ مین افعال کی وضاحت n! میں کی گئی ہے۔ مختلف گھاٹیاں۔ ایج آف دی ویج تھیوریم کو لاگو کرکے (مکمل طور پر اسپیس لائک پوائنٹس کے سیٹ کے ذریعہ دیئے گئے کنارے کے ساتھ) کوئی یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ وائٹ مین فنکشن ایک ہی ہولومورفک فنکشن کے تمام تجزیاتی تسلسل ہیں، جس کی وضاحت ایک منسلک خطے پر کی گئی ہے جس میں تمام n! گھاٹیاں۔ (کنارے پر باؤنڈری ویلیوز کی مساوات جو ہمیں ایج آف دی ویج تھیوریم کو لاگو کرنے کی ضرورت ہے، کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لوکیٹی محور سے ملتی ہے۔) ہائپر فنکشنز کے ساتھ تعلق ایج آف دی ویج تھیوریم کی ہائپر فنکشنز کی زبان میں قدرتی تشریح ہے۔ ہائپر فنکشن تقریبا ہولومورفک افعال کی باؤنڈری ویلیوز کا مجموعہ ہے، اور اسے "ڈسٹری بیوشن آف انفینٹ آرڈر" کی طرح بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ ہر نقطہ پر ہائپر فنکشن کا تجزیاتی لہر کا فرنٹ سیٹ اس نقطہ کی کوٹینجینٹ جگہ میں ایک شنک ہوتا ہے، اور اس کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے کہ وہ ان سمتوں کو بیان کرتا ہے جس میں اس مقام پر انفرادیت حرکت کر رہی ہے۔ ایج-آف-دی-ویج تھیوریم میں، ہمارے پاس کنارے پر ایک تقسیم (یا ہائپر فنکشن) f ہے، جو دو پچر پر دو ہولومورفک افعال کی باؤنڈری ویلیوز کے طور پر دی گئی ہے۔ اگر کوئی ہائپر فنکشن کسی پچر پر ہولومورفک فنکشن کی باؤنڈری ویلیو ہے، تو اس کا تجزیاتی ویو فرنٹ سیٹ متعلقہ شنک کے ڈوئل میں ہوتا ہے۔ لہذا f کا تجزیاتی لہر فرنٹ سیٹ دو مخالف شنکوں کے ڈوئلز میں ہے۔ لیکن ان ڈوئلز کا چوراہا خالی ہے، اس لیے f کا تجزیاتی لہر کا سامنے والا سیٹ خالی ہے، جس کا مطلب ہے کہ f "تجزیاتی ہے۔ یہ ایج آف دی ویج تھیوریم ہے۔ ہائپر فنکشنز کے نظریہ میں ایج آف دی ویج تھیوریم کی توسیع اس صورت میں ہوتی ہے جب دو کے بجائے کئی پچر ہوتے ہیں، جسے مارٹنو کا ایج آف دی ویج تھیوریم کہا جاتا ہے۔ تفصیلات کے لیے ہرمینڈر کی کتاب دیکھیں۔ نوٹ حوالہ جات مزید پڑھنا۔ ہائپر فنکشن کے ساتھ تعلق اس میں بیان کیا گیا ہے: کوانٹم فیلڈ تھیوری پر ایج آف دی ویج تھیوریم کے اطلاق کے لیے دیکھیں: پیچیدہ تجزیے میں محوری کوانٹم فیلڈ تھیوری تھیوریمز ریاضیاتی طبیعیات میں تھیوریمز