Fuzzy measure theory
ریاضی میں، مبہم پیمائش کا نظریہ عمومی اقدامات پر غور کرتا ہے جس میں اضافی خاصیت کو یکسانیت کی کمزور خاصیت سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ مبہم پیمائش کے نظریہ کا مرکزی تصور مبہم پیمائش ہے (صلاحیت بھی، دیکھیں)، جسے چوکیٹ نے 1953 میں متعارف کرایا تھا اور آزادانہ طور پر سوجینو نے 1974 میں مبہم انٹیگرلز کے تناظر میں اس کی تعریف کی تھی۔ مبہم اقدامات کی متعدد مختلف کلاسیں موجود ہیں جن میں امکانات/عقیدے کے اقدامات، امکانات/ضرورت کے اقدامات، اور امکانات کے اقدامات شامل ہیں، جو کلاسیکی اقدامات کا ایک ذیلی مجموعہ ہیں۔ تعریفیں گفتگو کی کائنات بنیں، اور کے ذیلی مجموعوں کی ایک کلاس بنیں۔ ایک فنکشن جہاں اسے فجی پیمائش کہا جاتا ہے۔ ایک مبہم پیمائش کو نارملائزڈ یا باقاعدہ کہا جاتا ہے۔ مبہم اقدامات کی خصوصیات ایک مبہم پیمائش یہ ہے: اگر ہمارے پاس ایسی کسی چیز کے لیے اضافی ہے ؛ اگر کسی کے لیے سپر ماڈیولر ہے، تو ہمارے پاس ہے ؛ اگر کسی کے لیے ذیلی ماڈیولر ہے، تو ہمارے پاس ہے ؛ اگر ایسی کسی چیز کے لیے اضافی ہے، تو ہمارے پاس ہے ؛ اگر ایسی کسی چیز کے لیے ذیلی اضافی ہے، تو ہمارے پاس ہے ؛ اگر کسی کے لیے ہم آہنگی ہے، تو ہمارے پاس ہے ؛ اگر کسی کے لیے بولین ہے، تو ہمارے پاس ہے یا ہے۔ مبہم اقدامات کی خصوصیات کو سمجھنا اطلاق میں مفید ہے۔ جب کسی فنکشن کی وضاحت کے لیے ایک مبہم پیمائش کا استعمال کیا جاتا ہے جیسے کہ سوجینو انٹیگرل یا چوکیٹ انٹیگرل، تو یہ خصوصیات فنکشن کے رویے کو سمجھنے میں اہم ہوں گی۔ مثال کے طور پر، ایک اضافی مبہم پیمائش کے حوالے سے چوکیٹ انٹیگرل لیبسگیو انٹیگرل تک کم ہو جاتا ہے۔ مجرد صورتوں میں، ایک سمیٹرک فجی پیمائش کے نتیجے میں آرڈرڈ ویٹڈ ایوریجنگ (او ڈبلیو اے) آپریٹر ہوگا۔ سب ماڈیولر فجی اقدامات کے نتیجے میں کنویکس افعال ہوتے ہیں، جبکہ سپر ماڈیولر فجی اقدامات کے نتیجے میں کنکیو افعال ہوتے ہیں جب چوکیٹ انٹیگرل کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ موبیئس کی نمائندگی فرض کریں کہ جی ایک مبہم پیمائش ہے۔ g کی موبیئس نمائندگی سیٹ فنکشن M کے ذریعہ دی گئی ہے، جہاں ہر ایک کے لیے، موبیئس نمائندگی میں مساوی محوریات یہ ہیں: اگر موبیئس کی نمائندگی کو اس بات کا اشارہ دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ X کے کون سے ذیلی سیٹ ایک دوسرے کے ساتھ تعامل کرتے ہیں تو موبیئس کی نمائندگی M میں تمام A مبہم پیمائش کو نارملائزڈ کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک اضافی مبہم پیمائش میں موبیئس کی اقدار تمام صفر کے برابر ہوتی ہیں سوائے سنگلٹن کے۔ معیاری نمائندگی میں مبہم پیمائش g کو زیٹا ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے موبیئس فارم سے بازیافت کیا جا سکتا ہے: مبہم اقدامات کے لیے آسانیوں کے مفروضوں کو مبہم اقدامات کی تعریف سیٹوں یا مونوٹون کلاس کے سیمیئرنگ پر کی جاتی ہے، جو X کے پاور سیٹ کی طرح دانے دار ہو سکتے ہیں، اور یہاں تک کہ مجرد صورتوں میں متغیرات کی تعداد 2|X | جتنی بڑی ہو سکتی ہے۔ اس وجہ سے، کثیر معیار کے فیصلے کے تجزیے اور دیگر مضامین کے تناظر میں، مبہم پیمائش پر آسان مفروضے متعارف کرائے گئے ہیں تاکہ اس کا تعین اور استعمال کرنا کمپیوٹیشنل طور پر کم مہنگا ہو۔ مثال کے طور پر، جب یہ فرض کیا جاتا ہے کہ مبہم پیمائش اضافی ہے، تو یہ برقرار رہے گی اور مبہم پیمائش کی اقدار کا اندازہ X پر موجود اقدار سے کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، ایک ہم آہنگ مبہم پیمائش کو |X | اقدار کے ذریعے منفرد طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ دو اہم مبہم اقدامات جو استعمال کیے جا سکتے ہیں وہ سوجینو-یا-فجی پیمائش اور کے-اضافی اقدامات ہیں، جو بالترتیب سوجینو اور گرابش نے متعارف کروائے ہیں۔ سوجینو λ پیمائش سوجینو پیمائش بار بار بیان کردہ مبہم اقدامات کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس کی مندرجہ ذیل تعریف ہے: تعریف ایک محدود سیٹ ہونے دیں اور جانے دیں۔ سوجینو پیمائش ایک ایسا فنکشن ہے۔ اگر (متبادل طور پر) تب کے ساتھ۔ ایک روایت کے طور پر، سنگلٹن سیٹ پر g کی قدر کو کثافت کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ، ہمارے پاس وہ ہے جو جائیداد کو مطمئن کرتا ہے۔ تہانی اور کیلر کے ساتھ ساتھ وانگ اور کلر نے یہ ظاہر کیا ہے کہ ایک بار کثافت معلوم ہو جانے کے بعد، منفرد کی اقدار کو حاصل کرنے کے لیے پچھلے کثیرالجہتی کا استعمال کرنا ممکن ہے۔ کے-اضافی مبہم پیمائش کے-اضافی مبہم پیمائش ذیلی سیٹوں کے درمیان تعامل کو سائز تک محدود کرتی ہے۔ اس سے مبہم پیمائش کی وضاحت کے لیے درکار متغیرات کی تعداد بہت کم ہو جاتی ہے، اور چونکہ k 1 (جس صورت میں مبہم پیمائش اضافی ہوتی ہے) سے X تک کچھ بھی ہو سکتا ہے، اس لیے یہ ماڈلنگ کی صلاحیت اور سادگی کے درمیان سمجھوتہ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ تعریف ایک سیٹ X پر ایک مجرد مبہم پیمائش g کو k-اضافی () کہا جاتا ہے اگر اس کی موبیئس نمائندگی تصدیق کرتی ہے، جب بھی کسی کے لیے، اور k عناصر کے ساتھ ایک ذیلی سیٹ F موجود ہے۔ شیپلی اور تعامل کے اشاریہ جات گیم تھیوری میں، شیپلی ویلیو یا شیپلی انڈیکس کا استعمال کھیل کے وزن کی نشاندہی کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ ہر سنگلٹن کی اہمیت کا کچھ اشارہ دینے کے لیے مبہم اقدامات کے لیے شیپلی اقدار کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ اضافی مبہم اقدامات کے معاملے میں، شیپلی ویلیو ہر سنگلٹن کے برابر ہوگی۔ کسی دی گئی مبہم پیمائش کے لیے g، اور، ہر ایک کے لیے شیپلی انڈیکس یہ ہے: شیپلی ویلیو ویکٹر ہے۔ یہ بھی دیکھیں امکان کا نظریہ امکانات کا نظریہ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے بیلیاکوف، پریڈیرا اور کالوو، ایگریگیشن فنکشنز: پریکٹیشنرز کے لیے ایک گائیڈ، سپرنگر، نیویارک 2007۔ وانگ، زینیوان، اور جارج جے کلر، فزی میزر تھیوری، پلینم پریس، نیویارک، 1991۔ بیرونی روابط فجی امیج پروسیسنگ پر فجی پیمائش تھیوری غیر ملکی امکانات پیمائش تھیوری فجی منطق