Hille–Yosida theorem
فنکشنل تجزیے میں، ہل-یوسیڈا تھیوریم بناچ خالی جگہوں پر لکیری آپریٹرز کے مضبوطی سے مسلسل ایک پیرامیٹر سیمی گروپ کے جنریٹرز کی خصوصیت رکھتا ہے۔ یہ بعض اوقات سنکچن سیمی گروپس کے خصوصی کیس کے لیے بیان کیا جاتا ہے، جس میں عام کیس کو فیلر-میاڈیرا-فلپس تھیوریم کہا جاتا ہے (ولیم فیلر، اساؤ میاڈیرا، اور رالف فلپس کے بعد)۔ سنکچن سیمی گروپ کیس وسیع پیمانے پر مارکوف کے عمل کے نظریہ میں استعمال ہوتا ہے۔ دوسرے منظرناموں میں، قریب سے متعلق لومر-فلپس تھیوریم اکثر اس بات کا تعین کرنے میں زیادہ مفید ہوتا ہے کہ آیا کوئی دیا ہوا آپریٹر مضبوطی سے مسلسل سنکچن سیمی گروپ پیدا کرتا ہے۔ اس تھیوریم کا نام ریاضی دان اینار ہل اور کوساکو یوسیڈا کے نام پر رکھا گیا ہے جنہوں نے 1948 کے آس پاس آزادانہ طور پر نتیجہ دریافت کیا۔ رسمی تعریفیں اگر X ایک بناچ اسپیس ہے، تو X پر آپریٹرز کا ایک پیرامیٹر سیمی گروپ آپریٹرز کا ایک خاندان ہے جو غیر منفی حقیقی نمبروں {T (t)} t ω [0, ω] پر اس طرح انڈیکس کیا گیا ہے کہ سیمی گروپ کو مضبوطی سے مسلسل کہا جاتا ہے، جسے a (C0) سیمی گروپ بھی کہا جاتا ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب نقشہ سازی تمام x ω X کے لیے مسلسل ہو، جہاں [0, ω] میں معمول کی ٹوپولوجی ہو اور X میں معیاری ٹوپولوجی ہو۔ ایک پیرامیٹر سیمی گروپ T کا لامحدود جنریٹر ایک آپریٹر A ہے جس کی وضاحت X کی ممکنہ طور پر مناسب ذیلی جگہ پر اس طرح کی گئی ہے: A کا ڈومین x bul X کا ایسا مجموعہ ہے جس کی حد ہوتی ہے جب h دائیں طرف سے 0 تک پہنچتا ہے۔ ایکس کی قدر مذکورہ بالا حد کی قدر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، Ax فنکشن کے 0 پر دائیں مشتق ہے ایک مضبوط مسلسل ایک پیرامیٹر سیمی گروپ کا لامحدود جنریٹر ایک بند لکیری آپریٹر ہے جس کی وضاحت X کی گھنے لکیری ذیلی جگہ پر کی گئی ہے۔ ہل-یوسیڈا تھیوریم بناچ اسپیس پر ایک بند لکیری آپریٹر A کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط فراہم کرتا ہے کہ وہ مضبوطی سے مسلسل ایک پیرامیٹر سیمی گروپ کا لامحدود جنریٹر ہو۔ نظریہ کا بیان A کو ایک لکیری آپریٹر ہونے دیں جس کی وضاحت بناچ اسپیس X کے لکیری سب اسپیس D (A)، ω ایک حقیقی نمبر، اور M> 0 پر کی گئی ہے۔ پھر A ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T پیدا کرتا ہے جو صرف اس صورت میں مطمئن ہوتا ہے جب A بند ہو اور D (A) X میں گھنے ہو، ہر حقیقی λ> ω کا تعلق A کے ریزولوینٹ سیٹ سے ہو اور اس طرح کے λ اور تمام مثبت انٹیجرز n کے لیے، ہل-یوسیڈا تھیوریم سنکچن سیمی گروپس کے لیے۔ عام صورت میں ہل-یوسیڈا تھیوریم بنیادی طور پر نظریاتی اہمیت کا حامل ہے کیونکہ ریزولوینٹ آپریٹر کی طاقتوں کے تخمینے جو تھیوریم کے بیان میں ظاہر ہوتے ہیں عام طور پر ٹھوس مثالوں میں چیک نہیں کیے جا سکتے۔ سنکچن سیمی گروپس کے خاص معاملے میں (مذکورہ تھیوریم میں M = 1 اور ω = 0) صرف n = 1 کیس کی جانچ پڑتال کرنی ہے اور تھیوریم بھی کچھ عملی اہمیت کا حامل ہو جاتا ہے۔ سنکچن سیمی گروپس کے لیے ہل-یوسیڈا تھیوریم کا واضح بیان یہ ہے: فرض کریں کہ A ایک لکیری آپریٹر ہے جس کی وضاحت بناچ اسپیس X کے لکیری سب اسپیس D (A) پر کی گئی ہے۔ پھر A ایک سنکچن سیمی گروپ پیدا کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A بند ہو اور D (A) X میں گھنے ہو، ہر حقیقی λ> 0 کا تعلق A کے ریزولوینٹ سیٹ سے ہو اور اس طرح کے λ کے لیے، C0 سیمی گروپ لومر-فلپس تھیوریم بھی دیکھیں ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپوں پر اسٹون کا تھیوریم نوٹ حوالہ جات فنکشنل تجزیہ میں سیمی گروپ تھیوریم