Omitted-variable bias
اعداد و شمار میں، خارج شدہ متغیر تعصب (او وی بی) اس وقت ہوتا ہے جب شماریاتی ماڈل ایک یا زیادہ متعلقہ متغیرات کو چھوڑ دیتا ہے۔ ماڈل میں تعصب کا نتیجہ لاپتہ متغیرات کے اثر کو ان لوگوں سے منسوب کرتا ہے جو شامل تھے۔ مزید خاص طور پر، او وی بی وہ تعصب ہے جو رجعت تجزیہ میں پیرامیٹرز کے تخمینوں میں ظاہر ہوتا ہے، جب فرض کردہ تفصیلات اس میں غلط ہوتی ہیں کہ یہ ایک آزاد متغیر کو چھوڑ دیتا ہے جو منحصر متغیر کا تعین کرنے والا ہوتا ہے اور ایک یا زیادہ شامل آزاد متغیرات کے ساتھ مربوط ہوتا ہے۔ لکیری رجعت وجدان میں فرض کریں کہ حقیقی وجہ اور اثر کا تعلق اس طرح دیا گیا ہے: پیرامیٹرز a، b، c، منحصر متغیر y، آزاد متغیر x اور z، اور غلطی کی اصطلاح u کے ساتھ۔ ہم y پر x کا اثر جاننا چاہتے ہیں (یعنی ہم b کا تخمینہ حاصل کرنا چاہتے ہیں)۔ لکیری رجعت میں خارج شدہ متغیر تعصب کے وجود کے لیے دو شرائط درست ہونی چاہئیں: خارج شدہ متغیر کو منحصر متغیر کا تعین کنندہ ہونا چاہیے (یعنی، اس کا حقیقی رجعت گتانک صفر نہیں ہونا چاہیے) ؛ اور خارج شدہ متغیر کو رجعت میں مخصوص آزاد متغیر کے ساتھ مربوط ہونا چاہیے (یعنی، cov (z, x) صفر کے برابر نہیں ہونا چاہیے)۔ فرض کریں کہ ہم رجعت سے z کو ہٹا دیتے ہیں، اور فرض کریں کہ x اور z کے درمیان تعلق پیرامیٹرز d، f اور غلطی کی اصطلاح e کے ساتھ دیا گیا ہے۔ دوسری مساوات کو پہلے میں تبدیل کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ اگر y کا رجعت صرف x پر کیا جاتا ہے، تو یہ آخری مساوات وہی ہے جس کا تخمینہ لگایا جاتا ہے، اور x پر رجعت گتانک دراصل (b + cf) کا تخمینہ ہے، جو صرف y پر x کے مطلوبہ براہ راست اثر کا تخمینہ نہیں دیتا ہے (جو کہ b ہے)، بلکہ اس کے بالواسطہ اثر کے ساتھ اس کے مجموعے کا تخمینہ دیتا ہے (x پر x کا اثر f گنا y پر z کا اثر c ہے)۔ اس طرح رجعت سے متغیر z کو ہٹا کر، ہم نے x کے حوالے سے اس کے جزوی مشتق کے بجائے x کے حوالے سے y کے کل مشتق کا تخمینہ لگایا ہے۔ اگر c اور f دونوں غیر صفر ہوں تو یہ مختلف ہوتے ہیں۔ تعصب کی سمت اور حد دونوں سی ایف میں موجود ہیں، کیونکہ مطلوبہ اثر بی ہے لیکن رجعت کا تخمینہ بی + سی ایف ہے۔ تعصب کی حد cf کی مطلق قدر ہے، اور تعصب کی سمت اوپر کی طرف (زیادہ مثبت یا کم منفی قدر کی طرف) ہے اگر cf> 0 (اگر y اور z کے درمیان ارتباط کی سمت x اور z کے درمیان کی سمت کے برابر ہے)، اور یہ بصورت دیگر نیچے کی طرف ہے۔ تفصیلی تجزیہ ایک مثال کے طور پر، اس فارم کے ایک لکیری ماڈل پر غور کریں جہاں xi وقت i پر مشاہدہ کردہ p آزاد متغیرات کی اقدار کا 1 × p قطار ویکٹر ہے یا i ویں مطالعہ کے شریک کے لیے ؛ β غیر مشاہدہ شدہ پیرامیٹرز کا ایک p × 1 کالم ویکٹر ہے (xi میں ہر p آزاد متغیر کے لیے منحصر متغیر کے رسپانس کوفیشنٹس) جس کا تخمینہ لگایا جانا چاہیے ؛ zi ایک اسکیلر ہے اور ایک اور آزاد متغیر کی قیمت ہے جو وقت i پر یا i ویں مطالعہ کے شریک کے لیے مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ δ ایک اسکیلر ہے اور ایک ناقابل مشاہدہ پیرامیٹر ہے (انحصار متغیر کا رسپانس کوفیشنٹ) جس کا تخمینہ لگایا جانا ہے۔ ہم تمام متغیرات کے مشاہدات کو جمع کرتے ہیں جن کی سبسکرپٹ i = 1،., n ہے، اور میٹرکس X اور ویکٹر Y، Z، اور U حاصل کرنے کے لیے انہیں ایک دوسرے کے نیچے اسٹیک کرتے ہیں: اور اگر آزاد متغیر z کو رجعت سے خارج کر دیا جاتا ہے، تو دوسرے آزاد متغیرات کے رسپانس پیرامیٹرز کی تخمینہ شدہ اقدار معمول کے کم سے کم مربع حساب سے دی جائیں گی، (جہاں "پرائم" نوٹیشن کا مطلب میٹرکس کا ٹرانسپوز ہے اور-1 سپر اسکرپٹ میٹرکس الٹ ہے)۔ فرض شدہ لکیری ماڈل کی بنیاد پر Y کے لیے تبدیل کرنا، توقعات لینے پر، حتمی اصطلاح کا تعاون صفر ہوتا ہے ؛ یہ اس مفروضے سے ملتا ہے کہ U ریگریسرز X کے ساتھ غیر مربوط ہے۔ بقیہ اصطلاحات کو آسان بنانے پر: مساوی علامت کے بعد دوسری اصطلاح اس معاملے میں خارج شدہ متغیر تعصب ہے، جو کہ غیر صفر ہے اگر خارج شدہ متغیر z میٹرکس X میں شامل کسی بھی متغیر کے ساتھ مربوط ہے (یعنی، اگر X′Z صفر کے ویکٹر کے برابر نہیں ہے)۔ نوٹ کریں کہ تعصب زی کے وزن والے حصے کے برابر ہے جس کی وضاحت xi نے کی ہے۔ عام کم سے کم مربعوں میں اثر گاؤس-مارکوف تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ رجعت ماڈل جو کلاسیکی لکیری رجعت ماڈل کے مفروضوں کو پورا کرتے ہیں وہ سب سے زیادہ موثر، لکیری اور غیر جانبدار تخمینہ فراہم کرتے ہیں۔ عام کم از کم مربعوں میں، کلاسیکی لکیری رجعت ماڈل کا متعلقہ مفروضہ یہ ہے کہ غلطی کی اصطلاح رجعت کاروں کے ساتھ غیر مربوط ہے۔ خارج شدہ متغیر تعصب کی موجودگی اس مخصوص مفروضے کی خلاف ورزی کرتی ہے۔ خلاف ورزی OLS تخمینہ کار کو متعصبانہ اور متضاد ہونے کا سبب بنتی ہے۔ تعصب کی سمت تخمینوں کے ساتھ ساتھ ریگریسرز اور خارج شدہ متغیرات کے درمیان ہم آہنگی پر منحصر ہے۔ ایک ریگریسر اور منحصر متغیر دونوں کے ساتھ خارج شدہ متغیر کی مثبت ہم آہنگی شامل ریگریسر کے گتانک کا OLS تخمینہ اس گتانک کی حقیقی قیمت سے زیادہ ہونے کا باعث بنے گی۔ یہ اثر پیرامیٹر کی توقع کو لے کر دیکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ پچھلے حصے میں دکھایا گیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں الجھن متغیر حوالہ جات رجعت تجزیہ تجرباتی تعصب