Segre embedding
ریاضی میں، سیگری ایمبیڈنگ کو پروجیکٹو جیومیٹری میں استعمال کیا جاتا ہے تاکہ دو پروجیکٹو خالی جگہوں کے کارٹیشین پروڈکٹ (سیٹوں کے) کو پروجیکٹو قسم کے طور پر سمجھا جا سکے۔ اس کا نام کورراڈو سیگری کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف سیگر نقشے کی تعریف اس نقشے کے طور پر کی جا سکتی ہے جو ان کے پروڈکٹ پر ایک جوڑے کے نکات لے جاتا ہے (ژی وائی جے کو لغت کی ترتیب میں لیا جاتا ہے)۔ یہاں، اور کچھ صوابدیدی میدان پر پروجیکٹو ویکٹر خالی جگہیں ہیں، اور اشارہ خلا پر یکساں نقاط کا ہے۔ نقشے کی تصویر ایک قسم کی ہے، جسے سیگر قسم کہا جاتا ہے۔ اسے بعض اوقات اس طرح لکھا جاتا ہے۔ بحث لکیری الجبرا کی زبان میں، ایک ہی فیلڈ K پر دی گئی ویکٹر خالی جگہوں U اور V کے لیے، ان کے کارٹیشین پروڈکٹ کو ان کے ٹینسر پروڈکٹ سے جوڑنے کا ایک قدرتی طریقہ ہے۔ عام طور پر، اسے انجیکشن کی ضرورت نہیں ہے کیونکہ، کے لیے، اور کسی بھی غیر صفر کے لیے، بنیادی پروجیکٹو خالی جگہوں P (U) اور P (V) کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ نقشہ سازی اقسام کی مورفزم بن جاتی ہے۔ یہ صرف سیٹ تھیوریٹک معنوں میں انجیکشن نہیں ہے: یہ الجبرائی جیومیٹری کے معنی میں ایک بند وسرجن ہے۔ یعنی تصویر کے لیے مساوات کا ایک مجموعہ دیا جا سکتا ہے۔ علامتی پریشانی کے علاوہ، یہ کہنا آسان ہے کہ اس طرح کی مساوات کیا ہیں: وہ ٹینسر پروڈکٹ سے نقاط کے پروڈکٹ کو فیکٹر کرنے کے دو طریقوں کا اظہار کرتے ہیں، جو دو مختلف طریقوں سے حاصل ہوتے ہیں جیسے کہ U سے کچھ گنا V سے کچھ ہوتا ہے۔ یہ نقشہ سازی یا مورفزم σ سیگری ایمبیڈنگ ہے۔ طول و عرض کی گنتی، یہ ظاہر کرتی ہے کہ کس طرح طول و عرض m اور n کے پروجیکٹو خالی جگہوں کا پروڈکٹ طول و عرض کلاسیکی اصطلاحات میں مربوط ہوتا ہے، پروڈکٹ پر کوآرڈینیٹس کو ملٹی ہوموجینیئس کہتے ہیں، اور پروڈکٹ کو عام طور پر k عوامل k-وے پروجیکٹو اسپیس کہا جاتا ہے۔ خصوصیات سیگری قسم ایک تعیناتی قسم کی ایک مثال ہے۔ یہ میٹرکس کے 2 × 2 نابالغوں کا صفر لوکس ہے۔ یعنی، سیگری قسم کواڈریٹک کثیر الجہتی کا مشترکہ صفر لوکس ہے۔ یہاں، سیگری نقشے کی تصویر پر قدرتی کوآرڈینیٹ سمجھا جاتا ہے۔ سیگری قسم اور کی درجہ بندی کی پیداوار ہے۔ پہلے عنصر کے لیے پروجیکشن کی وضاحت ایم + 1 نقشوں کے ذریعے کھلی ذیلی سیٹوں پر کی جا سکتی ہے جو سیگری قسم کا احاطہ کرتے ہیں، جو ذیلی سیٹوں کے چوراہوں پر متفق ہیں۔ فکسڈ کے لیے نقشہ بھیج کر دیا جاتا ہے۔ مساوات اس بات کو یقینی بناتی ہیں کہ یہ نقشے ایک دوسرے سے متفق ہوں، کیونکہ اگر ہمارے پاس ہیں۔ مصنوعات کے ریشے لکیری ذیلی جگہیں ہیں۔ یعنی، پہلے عنصر کا تخمینہ ہونا چاہیے ؛ اور اسی طرح دوسرے عنصر کے لیے بھی۔ پھر ایک مقررہ نقطہ p کے لیے نقشے کی تصویر کوڈومین کی لکیری ذیلی جگہ ہے۔ مثالیں کواڈریک مثال کے طور پر m = n = 1 کے ساتھ ہم P3 میں خود کے ساتھ پروجیکٹو لائن کے پروڈکٹ کی سرایت حاصل کرتے ہیں۔ تصویر ایک کواڈریک ہے، اور آسانی سے لائنوں کے دو ایک پیرامیٹر خاندانوں پر مشتمل نظر آتی ہے۔ پیچیدہ اعداد پر یہ کافی عام غیر سنگل کواڈریک ہے۔ P3 پر یکساں نقاط ہونے کے ناطے، یہ کواڈریک کو کواڈریٹک کثیر کے صفر لوکس کے طور پر دیا گیا ہے جو کہ تعین کنندہ سیگر تین گنا کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ نقشہ سیگر تین گنا کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ عقلی عام طومار کی ایک مثال ہے۔ سیگری تین گنا اور تین سطح کا چوراہا ایک مڑا ہوا کیوبک وکر ہے۔ ویرونیز قسم سیگری نقشے کے نیچے اخترن کی شبیہہ ڈگری دو ایپلی کیشنز کی ویرونیز قسم ہے کیونکہ سیگری نقشہ پروجیکٹو خالی جگہوں کے زمرہ جاتی پروڈکٹ کے لیے ہے، یہ کوانٹم میکانکس اور کوانٹم انفارمیشن تھیوری میں غیر الجھے ہوئے حالات کو بیان کرنے کے لیے ایک قدرتی نقشہ سازی ہے۔ مزید واضح طور پر، سیگری نقشہ بیان کرتا ہے کہ پروجیکٹو ہلبرٹ خالی جگہوں کی مصنوعات کو کیسے لیا جائے۔ الجبرائی اعداد و شمار میں، سیگر کی اقسام آزادی کے نمونوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ پی 8 میں پی 2 × پی 2 کی سیگری ایمبیڈنگ طول و عرض 4 کی واحد شدید قسم ہے۔ حوالہ جات الجبرائی اقسام پروجیکٹو جیومیٹری