Leslie matrix
لیسلی میٹرکس آبادی میں اضافے کا ایک مجرد، عمر کی ساخت والا نمونہ ہے جو آبادی کے ماحولیات میں بہت مقبول ہے جس کا نام پیٹرک ایچ لیسلی کے نام پر رکھا گیا ہے۔ لیسلی میٹرکس (جسے لیسلی ماڈل بھی کہا جاتا ہے) آبادی کی ترقی (اور ان کی متوقع عمر کی تقسیم) کو بیان کرنے کے سب سے مشہور طریقوں میں سے ایک ہے، جس میں آبادی ہجرت کے قریب ہوتی ہے، لامحدود ماحول میں بڑھتی ہے، اور جہاں صرف ایک جنس، عام طور پر عورت، پر غور کیا جاتا ہے۔ لیسلی میٹرکس ماحولیات میں ایک مدت کے دوران حیاتیات کی آبادی میں ہونے والی تبدیلیوں کا نمونہ بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ لیسلی ماڈل میں، آبادی کو عمر کی کلاسوں کی بنیاد پر گروپوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ اسی طرح کا ایک ماڈل جو عمر کی کلاسوں کو آنٹوجینیٹک مراحل سے بدلتا ہے اسے لیفکووچ میٹرکس کہا جاتا ہے، جس کے تحت افراد دونوں ایک ہی مرحلے کی کلاس میں رہ سکتے ہیں یا اگلے مرحلے کی طرف بڑھ سکتے ہیں۔ ہر وقت کے مرحلے پر، آبادی کی نمائندگی ایک ویکٹر کے ذریعے کی جاتی ہے جس میں ہر عمر کے طبقے کے لیے ایک عنصر ہوتا ہے جہاں ہر عنصر اس وقت اس طبقے میں موجود افراد کی تعداد کی نشاندہی کرتا ہے۔ لیسلی میٹرکس ایک مربع میٹرکس ہے جس میں قطاریں اور کالموں کی اتنی ہی تعداد ہوتی ہے جتنی آبادی ویکٹر میں عناصر ہوتے ہیں۔ میٹرکس میں (i، j) واں خلیہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ مرحلہ J میں ہر فرد کے لیے اگلے مرحلے میں پہلی عمر کے کتنے افراد ہوں گے۔ ہر وقت کے مرحلے پر، آبادی کے ویکٹر کو لیسلی میٹرکس سے ضرب دی جاتی ہے تاکہ بعد کے وقت کے مرحلے کے لیے آبادی کا ویکٹر تیار کیا جا سکے۔ میٹرکس بنانے کے لیے، آبادی سے درج ذیل معلومات معلوم ہونی چاہئیں:، ہر عمر کی کلاس x کے افراد (n) کی گنتی، عمر کی کلاس x سے لے کر عمر کی کلاس x + 1 تک زندہ رہنے والے افراد کا حصہ، زرخیزی، عمر کی کلاس x کی ماں سے پیدا ہونے والی خاتون اولاد کی فی کس اوسط تعداد۔ مزید واضح طور پر، اسے اگلی عمر کی کلاس میں پیدا ہونے والی اولاد کی تعداد کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس کا وزن اگلی عمر کی کلاس تک پہنچنے کے امکان سے ہوتا ہے۔ لہذا، ان مشاہدات سے کہ وقت t + 1 محض پچھلے وقت کے مرحلے سے پیدا ہونے والی تمام اولادوں کا مجموعہ ہے اور یہ کہ وقت t + 1 تک زندہ رہنے والے جاندار وہ جاندار ہیں جو وقت t پر امکانات پر زندہ رہتے ہیں، ایک حاصل ہوتا ہے۔ اس سے درج ذیل میٹرکس کی نمائندگی ظاہر ہوتی ہے: آبادی میں قابل حصول زیادہ سے زیادہ عمر کہاں ہے۔ اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: یا: وقت t پر آبادی کا ویکٹر کہاں ہے اور لیسلی میٹرکس ہے۔ کی غالب آئجین ویلیو، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، آبادی کی غیر علامتی نمو کی شرح (مستحکم عمر کی تقسیم پر نمو کی شرح) دیتی ہے۔ متعلقہ آئجین ویکٹر مستحکم عمر کی تقسیم، آبادی کے اندر ہر عمر کے افراد کا تناسب فراہم کرتا ہے، جو اہم شرحوں میں تبدیلیوں کو چھوڑ کر غیر علامتی نمو کے اس مقام پر مستقل رہتا ہے۔ ایک بار جب مستحکم عمر کی تقسیم تک پہنچ جاتی ہے، تو آبادی میں شرح کے لحاظ سے تیزی سے اضافہ ہوتا ہے۔ میٹرکس کی خصوصیت کثیر الجہتی یولر-لوٹکا مساوات کے ذریعہ دی گئی ہے۔ لیسلی ماڈل ایک مجرد وقت کے مارکوف سلسلہ سے بہت ملتا جلتا ہے۔ اہم فرق یہ ہے کہ مارکوف ماڈل میں، ہر ایک کے لیے ایک ہوگا، جبکہ لیسلی ماڈل میں یہ رقم 1 سے زیادہ یا کم ہو سکتی ہے۔ مستحکم عمر کا ڈھانچہ عمر کی ساخت کا یہ ماڈل ایک مستحکم حالت، یا مستحکم، عمر کی ساخت اور ترقی کی شرح کی تجویز کرتا ہے۔ ابتدائی آبادی کے سائز، یا عمر کی تقسیم سے قطع نظر، آبادی اس عمر کی ساخت اور نمو کی شرح کی طرف غیر علامتی طور پر مائل ہوتی ہے۔ یہ بھی خلل کے بعد اس حالت میں واپس آ جاتا ہے۔ یولر-لوٹکا مساوات داخلی شرح نمو کی شناخت کا ایک ذریعہ فراہم کرتی ہے۔ مستحکم عمر کی ساخت کا تعین ترقی کی شرح اور بقا کی تقریب دونوں سے ہوتا ہے (یعنی۔ لیسلی میٹرکس)۔ مثال کے طور پر، ایک بڑی اندرونی شرح نمو والی آبادی میں غیر متناسب طور پر "نوجوان" عمر کی ساخت ہوگی۔ ایسی آبادی جس میں ہر عمر میں اموات کی شرح زیادہ ہو (یعنی۔ کم بقا) کی عمر کی ساخت ایک جیسی ہوگی۔ بے ترتیب لیسلی ماڈل آبادی میں اضافے کی شرح کی عمومی شکل تب ہوتی ہے جب لیسلی میٹرکس میں بے ترتیب عناصر ہوتے ہیں جن کا باہمی تعلق ہو سکتا ہے۔ اہم پیرامیٹرز میں خرابی، یا غیر یقینی صورتحال کی خصوصیت دیتے وقت ؛ لکیری غیر منفی بے ترتیب میٹرکس فرق مساوات سے نمٹنے کے لیے ایک پریشان کن رسمی نظام کا استعمال کرنا پڑتا ہے۔ پھر غیر معمولی، موثر آئجین ویلیو جو اوسط قیمت والی آبادی کے ریاستی ویکٹر کی طویل مدتی غیر علامتی حرکیات کی وضاحت کرتی ہے، کو مؤثر شرح نمو کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس آئجین ویلیو اور اس سے وابستہ اوسط قدر غیر متغیر ریاستی ویکٹر کا حساب ایک سیکولر کثیر الجہتی کے سب سے چھوٹے مثبت جڑ اور اوسط قدر والے گرین فنکشن کے بقیہ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح بے ضابطگی کے کئی ماڈلز کے لیے درست اور پریشان کن نتائج کا تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا آبادی کا ماحولیات میٹرکس