Closeness (mathematics)
قربت ٹوپولوجی اور ریاضی میں متعلقہ شعبوں میں ایک بنیادی تصور ہے۔ بدیہی طور پر، ہم کہتے ہیں کہ دو سیٹ قریب ہیں اگر وہ من مانی طور پر ایک دوسرے کے قریب ہیں۔ اس تصور کی تعریف قدرتی طور پر ایک میٹرک اسپیس میں کی جا سکتی ہے جہاں اسپیس کے عناصر کے درمیان فاصلے کا تصور بیان کیا جاتا ہے، لیکن اسے ٹوپوولوجیکل اسپیس میں عام کیا جا سکتا ہے جہاں ہمارے پاس فاصلے کی پیمائش کرنے کا کوئی ٹھوس طریقہ نہیں ہے۔ کلوزر آپریٹر کسی دیئے گئے سیٹ کو ایک بند سیٹ پر نقشہ بنا کر بند کر دیتا ہے جس میں اصل سیٹ اور اس کے قریب کے تمام پوائنٹس ہوتے ہیں۔ قربت کا تصور لمٹ پوائنٹ سے متعلق ہے۔ تعریف ایک میٹرک جگہ کو دیکھتے ہوئے ایک نقطہ کو ایک سیٹ کے قریب یا قریب کہا جاتا ہے، جہاں ایک نقطہ اور ایک سیٹ کے درمیان فاصلے کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں inf کا مطلب لامحدود ہے۔ اسی طرح ایک سیٹ کو سیٹ کے قریب کہا جاتا ہے اگر کہاں۔ خصوصیات اگر کوئی نقطہ کسی سیٹ اور سیٹ کے قریب ہے اور قریب ہے (الٹا درست نہیں ہے!)۔ ایک نقطہ اور ایک سیٹ کے درمیان قربت کو مسلسل افعال کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے۔ دو سیٹوں کے درمیان قربت کو یکساں طور پر مسلسل افعال کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے۔ ایک نقطہ اور ایک سیٹ کے درمیان قربت کا تعلق۔ کے نکات اور ذیلی سیٹوں کے درمیان تعلق ایک قربت کا تعلق ہے اگر یہ مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے: دو ذیلی سیٹوں اور ایک نقطہ ہونے دیں۔ اگر تب قریب ہے۔ اگر قریب ہے تو اگر قریب ہے اور پھر قریب ہے اگر قریب ہے تو قریب ہے یا قریب ہے اگر قریب ہے اور ہر پوائنٹ کے لیے قریب ہے، تو قریب ہے۔ ٹوپوولوجیکل خالی جگہوں میں ایک قربت کا رشتہ ہوتا ہے: کسی نقطہ کو ذیلی سیٹ کے قریب ہونے کی وضاحت صرف اس صورت میں کی جائے جب وہ بند ہونے میں ہو اور مندرجہ بالا شرائط کو پورا کرے۔ اسی طرح، قربت کے تعلق کے ساتھ ایک سیٹ دیا گیا ہے، ایک ذیلی سیٹ کے بند ہونے میں ایک نقطہ کی وضاحت صرف اس صورت میں کی جاتی ہے جب کوراتووسکی کے بند ہونے کے محرکات کو مطمئن کرنے کے قریب ہو۔ اس طرح، کسی سیٹ پر قربت کے تعلق کی وضاحت کرنا بالکل اس سیٹ پر ٹوپولوجی کی وضاحت کرنے کے مترادف ہے۔ دو سیٹوں کے درمیان قربت کا تعلق لیٹ، اور سیٹ بنیں۔ اگر اور قریب ہیں تو اور اگر اور قریب ہیں تو اور قریب ہیں اگر اور قریب ہیں اور پھر اور قریب ہیں اگر اور قریب ہیں تو یا تو اور قریب ہیں یا اور قریب ہیں اگر پھر اور قریب ہیں۔ عمومی تعریف کسی سیٹ اور نقطہ کے درمیان قربت کا تعلق کسی بھی ٹپوولوجیکل اسپیس کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ ایک ٹپوولوجیکل جگہ اور ایک نقطہ کو دیکھتے ہوئے، اسے ایک سیٹ کے قریب کہا جاتا ہے۔ دو سیٹوں کے درمیان قربت کے تعلق کی وضاحت کے لیے ٹپوولوجیکل ڈھانچہ بہت کمزور ہے اور ہمیں ایک یکساں ڈھانچہ استعمال کرنا پڑتا ہے۔ یکساں جگہ کو دیکھتے ہوئے، سیٹ A اور B کو ایک دوسرے کے قریب کہا جاتا ہے اگر وہ تمام محلوں کو کاٹتے ہیں، یعنی کسی بھی وفد U کے لیے، (A × B) θ U خالی نہیں ہے۔ مزید دیکھیں ٹوپوولوجیکل اسپیس یونیفارم اسپیس حوالہ جات جنرل ٹوپولوجی