Pythagorean hammers
روایت کے مطابق، پائیتھاگورس نے چار لوہے کے ہتھوڑوں کی آوازیں سن کر میوزیکل ٹیوننگ کی بنیادیں دریافت کیں، جو بیک وقت ٹکرانے پر ہم آہنگی اور تضاد پیدا کرتی تھیں۔ نیکوماکس کے مطابق اپنی دوسری صدی عیسوی کی اینچریڈیون ہم آہنگی میں، پائیتھاگورس نے دیکھا کہ ہتھوڑا اے ہتھوڑا بی کے ساتھ مطابقت پیدا کرتا ہے جب انہیں ایک ساتھ مارا جاتا ہے، اور ہتھوڑا سی ہتھوڑا اے کے ساتھ مطابقت پیدا کرتا ہے، لیکن ہتھوڑے بی اور سی ایک دوسرے کے ساتھ تضاد پیدا کرتے ہیں۔ ہتھوڑا ڈی نے ہتھوڑا اے کے ساتھ اس قدر کامل ہم آہنگی پیدا کی کہ ایسا لگتا تھا کہ وہ ایک ہی نوٹ "گا رہے ہیں"۔ پائیتھاگورس لوہے کی دکان پر یہ جاننے کے لیے بھاگا کہ اس کی وجہ کیا ہے، اور پتہ چلا کہ وضاحت وزن کے تناسب میں تھی۔ ہتھوڑوں کا وزن بالترتیب 12، 9، 8 اور 6 پاؤنڈ تھا۔ ہیمر اے اور ڈی 2:1 کے تناسب میں تھے، جو کہ آکٹیو کا تناسب ہے۔ ہیمرز بی اور سی کا وزن 8 اور 9 پاؤنڈ تھا۔ ہتھوڑا D کے ساتھ ان کا تناسب (12:8 = 3:2 = کامل پانچواں) اور (12:9 = 4:3 = کامل چوتھا) تھا۔ بی اور سی کے درمیان کا فاصلہ 9:8 کا تناسب ہے، جو موسیقی کے پورے لہجے، یا پورے مرحلے کے وقفے () کے برابر ہے۔ کم از کم ہتھوڑوں کے حوالے سے یہ داستان واضح طور پر غلط ہے۔ یہ غالبا مشرق وسطی کی ایک لوک کہانی ہے۔ یہ تناسب درحقیقت تار کی لمبائی سے متعلق ہیں (مثال کے طور پر۔ ایک مونوکارڈ کا)-ان بنیادی وقفوں کا استعمال کرتے ہوئے، جدید موسیقی میں استعمال ہونے والے کرومیٹک پیمانے اور بنیادی سات ٹون ڈایٹونک پیمانے کی تعمیر ممکن ہے، اور پایتھاگورس ان تناسب کی دریافت میں اچھی طرح سے بااثر رہا ہوگا (لہذا، بعض اوقات پایتھاگورین ٹیوننگ کہا جاتا ہے)-لیکن تناسب کا ہتھوڑے کے وزن اور ان کے ذریعہ تیار کردہ ٹونز سے یکساں تعلق نہیں ہے۔ تاہم، ہتھوڑے سے چلنے والی مساوی کراس سیکشن والی چھلیاں، لمبائی یا وزن اور آئجن فریکوئنسی کے درمیان ایک درست تناسب دکھاتی ہیں۔ ابتدائی ذرائع میں پائیتھاگورس کی ہم آہنگی اور تناسب میں دلچسپی کا ذکر ہے۔ زینوکریٹس (چوتھی صدی قبل مسیح)، اگرچہ جہاں تک ہم لوہے کی کہانی کا ذکر کرتے ہوئے نہیں جانتے، انہوں نے پایتھاگورس کی دلچسپی کو عام الفاظ میں بیان کیا: "پایتھاگورس نے یہ بھی دریافت کیا کہ موسیقی میں وقفے تعداد سے الگ نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ وہ مقدار کے ساتھ مقدار کا ایک باہمی تعلق ہیں۔ لہذا وہ اس بات کی تحقیقات کرنے لگا کہ کن حالات میں ہم آہنگ وقفے آتے ہیں، اور متضاد وقفے، اور ہر چیز اچھی طرح سے مطابقت پذیر اور غیر منظم ہوتی ہے۔ " موسیقی اور تناسب کے درمیان تعلق کی دریافت کی تفصیلات جو بھی ہوں، اسے تاریخی طور پر کسی جسمانی حقیقت کی پہلی تجرباتی طور پر محفوظ ریاضیاتی وضاحت سمجھا جاتا ہے۔ اس طرح، یہ فطرت کے طریقہ کار کے طور پر ریاضی کے پایتھاگورین تصور کی علامت ہے، اور شاید اس کی طرف لے جاتا ہے۔ جیسا کہ ارسطو نے بعد میں لکھا، "پایتھاگورین پوری کائنات کو اعداد سے بناتے ہیں"۔ مائکرولوگس آف گائیڈو آف اریزو باب XX میں اس داستان کو دہراتا ہے۔ لیجنڈ کے مندرجات لیجنڈ کے سب سے قدیم ریکارڈ شدہ ورژن کے مطابق، پایتھاگورس، جو چھٹی صدی قبل مسیح میں رہتا تھا، نے صوتی ادراک کی پیمائش کے لیے ایک ٹول کی تلاش کی، جیسا کہ ہندسی مقدار کو کمپاس یا وزن کے ساتھ پیمانے کے ساتھ ماپا جاتا ہے۔ جیسے ہی وہ ایک فورج کے پاس سے گزرا جہاں چار (بعد کے ورژن کے مطابق، پانچ) کاریگر ہتھوڑوں کے ساتھ کام کر رہے تھے، اس نے محسوس کیا کہ ہر ہڑتال سے مختلف پچ کے ٹن پیدا ہوتے ہیں، جس کے نتیجے میں جوڑی بنانے پر ہم آہنگی پیدا ہوتی ہے۔ وہ آکٹیو، پانچویں اور چوتھے میں فرق کرنے میں کامیاب رہا۔ صرف ایک جوڑی، جو چوتھے اور پانچویں (ایک اہم سیکنڈ) کے درمیان وقفہ بناتی تھی، اسے اختلافی سمجھا جاتا تھا۔ پرجوش ہو کر وہ تجربات کرنے کے لیے فورج میں بھاگا۔ وہاں، اس نے دریافت کیا کہ پچ میں فرق ہتھوڑے کی شکل، مارے گئے لوہے کی پوزیشن، یا دھکے کی طاقت پر منحصر نہیں تھا۔ بلکہ، وہ پچوں کو ہتھوڑوں کے وزن سے جوڑ سکتا تھا، جسے اس نے عین مطابق ناپا تھا۔ اس کے بعد وہ تجربات جاری رکھنے کے لیے گھر واپس آئے۔ اس نے دیواروں کے کونے سے ترچھا منسلک ایک کھونٹی پر ایک کے بعد ایک چار برابر لمبے، یکساں طور پر مضبوط اور یکساں طور پر مڑے ہوئے تار لٹکا دیے، اور نیچے مختلف وزن لگا کر ان کا وزن مختلف طریقے سے کیا۔ پھر اس نے تاروں کو جوڑوں میں مارا، اور وہی ہم آہنگی گونجتی رہی جیسے فورج میں ہوتی تھی۔ بارہ یونٹوں کے سب سے زیادہ بوجھ والی تار، جب چھ یونٹوں پر مشتمل سب سے کم بوجھ والی تار کے ساتھ جوڑی جاتی ہے، تو ایک آکٹیو پیدا ہوتا ہے۔ اس طرح، یہ واضح تھا کہ آکٹیو 12:6، یا 2:1 کے تناسب پر مبنی تھا۔ سب سے زیادہ تناؤ والی تار نے دوسری ڈھیلی تار (آٹھ یونٹس) کے ساتھ پانچواں حصہ حاصل کیا، اور چوتھا دوسری سخت ترین تار (نو یونٹس) کے ساتھ۔ اس کے بعد، پانچواں تناسب 12:8، یا 3:2، اور چوتھا تناسب 12:9، یا 4:3 پر مبنی تھا۔ ایک بار پھر، 9:6، یا 3:2 کے ساتھ دوسرے سخت ترین تار اور ڈھیلے ترین کے تناسب سے پانچواں حصہ حاصل ہوا، اور 8:6، یا 4:3 کے ساتھ دوسرے ڈھیلے ترین اور ڈھیلے ترین کے تناسب سے چوتھا حصہ حاصل ہوا۔ پانچویں اور چوتھے کے درمیان اختلافی وقفے کے لیے، یہ انکشاف ہوا کہ یہ 9:8 کے تناسب پر مبنی تھا، جو فورج میں کی جانے والی وزن کی پیمائش کے ساتھ موافق تھا۔ آکٹیو پانچویں اور چوتھے کی پیداوار ثابت ہوا: پایتھاگورس نے پھر اس تجربے کو مختلف آلات تک بڑھایا، برتنوں، بانسریوں، مثلثوں، مونوکارڈ وغیرہ کے ساتھ تجربہ کیا، ہمیشہ ایک ہی عددی تناسب تلاش کیا۔ آخر میں، انہوں نے رشتہ دار پچ کے لیے عام طور پر استعمال ہونے والی اصطلاحات متعارف کروائیں۔ مزید روایات مختلف عدد لمبائی کے تناسب کے ساتھ تاروں کے جوڑوں کی ہم آہنگی کی تحقیقات اور مظاہرہ کرنے کے لیے مونوکارڈ کی ایجاد کے ساتھ، کہا جاتا ہے کہ پایتھاگورس نے موسیقی کے نظریہ کی ریاضیاتی بنیاد کی وضاحت کا ایک آسان ذریعہ متعارف کرایا ہے جو اس نے دریافت کیا تھا۔ مونوکارڈ، جسے یونانی میں κανον (کانون) اور لاطینی میں ریگولا کہا جاتا ہے، ایک گونجنے والا ڈبہ ہے جس پر ایک تار پھیلا ہوا ہے۔ باکس کے ساتھ ایک پیمائش کا پیمانہ منسلک ہوتا ہے۔ یہ آلہ ایک متحرک پل سے لیس ہے، جو تار کی ہلتی ہوئی لمبائی کو تقسیم کرنے کی اجازت دیتا ہے ؛ پیمائش کے پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے تقسیم کا قطعی تعین کیا جا سکتا ہے۔ یہ وقفوں کی پیمائش کو قابل بناتا ہے۔ "مونوکارڈ" نام کے باوجود، جس کا مطلب ہے "ایک تار والا"، کثیر تار والے مونوکارڈ بھی تھے جو بیک وقت وقفے پیدا کر سکتے تھے۔ تاہم، یہ واضح نہیں ہے کہ مونوکارڈ کب ایجاد ہوا تھا۔ والٹر برکرٹ اس کامیابی کی تاریخ ارسطو کے دور کے بعد کے وقت سے بتاتے ہیں، جو بظاہر اس آلے کو نہیں جانتے تھے۔ اس طرح، اسے پایتھاگورس کی موت کے بہت بعد متعارف کرایا گیا تھا۔ دوسری طرف، لیونڈ زمود تجویز کرتے ہیں کہ پایتھاگورس نے شاید اپنا تجربہ کیا، جس کی وجہ سے مونوکارڈ کا استعمال کرتے ہوئے عددی تناسب کی دریافت ہوئی۔ ابتدائی پایتھاگورین (6 ویں صدی قبل مسیح کے آخر اور 5 ویں صدی قبل مسیح کے اوائل)، میٹاپونٹم کے ہپاسس نے موسیقی کے وقفوں میں مقداری تحقیقات کیں۔ ہپپاسس سے منسوب تجربہ، جس میں مختلف موٹائیوں کی آزادانہ طور پر ارتعاش کرنے والی سرکلر پلیٹیں شامل ہیں، جسمانی طور پر درست ہے، پائتھاگورس کے مبینہ تجربات کے برعکس۔ یہ واضح نہیں ہے کہ آیا 5 ویں/چوتھی صدی قبل مسیح کے ایک اہم پایتھاگورین، ٹیرینٹم کے آرکیٹس نے متعلقہ تجربات کیے تھے۔ وہ شاید موسیقی میں پریکٹیشنر سے زیادہ نظریاتی تھے، لیکن انہوں نے اپنے پیشروؤں کے صوتی مشاہدات کا حوالہ دیا۔ وہ اپنے صوتی نظریہ کی حمایت میں جن موسیقی کی مثالوں کا حوالہ دیتے ہیں ان میں ہوا کے آلات شامل ہیں۔ وہ تار والے آلات یا انفرادی تاروں کے تجربات کا ذکر نہیں کرتے ہیں۔ آرکیٹس اس غلط مفروضے سے آگے بڑھا کہ پچ کا انحصار آواز کے پھیلاؤ کی رفتار اور آواز پیدا کرنے والے جسم پر اثر کی قوت پر ہوتا ہے۔ حقیقت میں، آواز کی رفتار کسی دیئے گئے میڈیم میں مستقل ہوتی ہے، اور قوت صرف حجم کو متاثر کرتی ہے۔ لیجنڈ والٹر برکرٹ کی تشریح کا خیال ہے کہ اس کی جسمانی ناممکنیت کے باوجود، لیجنڈ کو من مانی ایجاد نہیں سمجھا جانا چاہیے، بلکہ اس کا ایک ایسا معنی ہونا چاہیے جو یونانی افسانوں میں پایا جا سکتا ہے۔ کمہار کے افسانوی موجد، آئیڈین ڈیکٹائل بھی، افسانے کے مطابق، موسیقی کے موجد تھے۔ اس طرح، لوہے کو موسیقی سے جوڑنے کی ایک بہت قدیم روایت پہلے سے موجود تھی، جس میں افسانوی لوہے والوں کو جادوئی موسیقی کے راز کے حامل کے طور پر دکھایا گیا تھا۔ برکرٹ کمہاروں میں پائیتھاگورس کی داستان کو قدیم ڈیکٹیل افسانے کی دیر سے تبدیلی اور عقلی شکل کے طور پر دیکھتے ہیں: پائیتھاگورس کی داستان میں، کمہار اب قدیم جادوئی علم کے مالک کے طور پر ظاہر نہیں ہوتے ہیں، بلکہ، بغیر کسی ارادے کے، وہ پایتھاگورس کے "اساتذہ" بن جاتے ہیں۔ ابتدائی قرون وسطی میں، سیویل کے آئسیڈور نے بائبل کے کمہار توبل کو موسیقی کا موجد قرار دیا ؛ بعد کے مصنفین نے اس میں ان کی پیروی کی۔ یہ روایت ایک بار پھر کمہار اور موسیقی کے درمیان تعلق کے خیال کو ظاہر کرتی ہے، جو غیر یورپی افسانوں اور افسانوں میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ توبل جوبل کا سوتیلا بھائی تھا، جسے تمام موسیقاروں کا آباؤ اجداد سمجھا جاتا تھا۔ دونوں لامک کے بیٹے تھے اور اس طرح قائن کے پوتے تھے۔ قرون وسطی کی کچھ عیسائی روایات میں، جوبل، جس نے اپنے بھائی توبل کا مشاہدہ کیا، کو پایتھاگورس کے برابر قرار دیا گیا۔ لیونڈ زمود کے بعد ایک اور وضاحت جورجن راسٹڈ نے تجویز کی ہے۔ راسٹیڈ کے مفروضے میں کہا گیا ہے کہ لیجنڈ کی تشکیل کا نقطہ آغاز ہپاسس کے تجربات پر ایک رپورٹ تھی۔ ہپپاسس نے "اسپائرائی" نامی برتنوں کا استعمال کیا۔ اس لفظ کو ایک تحریری غلطی کی وجہ سے غلطی سے "سپھیرائی" (ہتھوڑے) کے ساتھ الجھایا گیا تھا، اور ہپپاسس کے نام کے بجائے، پائتھاگورس کے نام کو تجربات کے موجد کے طور پر استعمال کیا گیا تھا۔ اس سے فورج کی داستان سامنے آئی۔ موسیقی کے نظریہ کی بنیاد سب سے نچلے سر (نمبر 12) کے سلسلے میں پورے نمبر 6، 8، 9، اور 12، خالص وقفوں چوتھے (نمبر 9)، پانچویں (نمبر 8)، اور آکٹیو (نمبر 6) سے مطابقت رکھتے ہیں: اس طرح کے خالص وقفوں کو انسانی کان دھڑکن سے پاک سمجھتے ہیں، کیونکہ سروں کا حجم مختلف نہیں ہوتا ہے۔ شیٹ میوزک میں، ان چار پایتھاگورین سروں کا اظہار، مثال کے طور پر، سریلی ترتیب c '-f'-g '-c' کے ساتھ کیا جا سکتا ہے: اگر سروں کی اس ترتیب کو سب سے نچلے سے نہیں، بلکہ سب سے اونچے سر (نمبر 6) سے سمجھا جاتا ہے، تو درج ذیل وقفوں کا نتیجہ بھی نکلتا ہے: چوتھا (نمبر 8)، پانچواں (نمبر 9)، اور آکٹیو (نمبر 12)-اس معاملے میں، تاہم، نیچے کی طرف: پانچواں اور آکٹیو قدرتی ہارمونک سیریز میں بنیادی سر کے سلسلے میں ظاہر ہوتے ہیں، لیکن چوتھے یا اس کے آکٹیو کے مساوی نہیں۔ چوتھے کا یہ وقفہ قدیم زمانے سے جانے جانے والے وینٹ لیس پیتل کے آلات اور تار والے آلات کے ہارمونک اوورٹونز میں ہوتا ہے۔ ٹونل سسٹمز کی بعد کی ترقی کے لیے اہمیت آکٹوز، پانچویں، اور چوتھائی، اور ان کے ضرب پر مشتمل وقفوں کی مزید تحقیقات، بالآخر پایتھاگورین ٹیوننگ میں سات مختلف ٹونز (ہیپٹاٹونک پیمانے) کے ساتھ ڈائیٹونک پیمانے سے بارہ ٹونز کے ساتھ کرومیٹک پیمانے پر لے گئیں۔ پائیتھاگورین ٹیوننگ میں بھیڑیا کے وقفوں نے ایک مسئلہ کھڑا کیا: خالص پانچواں حصہ A-E اور D-A کے بجائے، پانچواں حصہ G-E اور C-A، جو پائیتھاگورین کوما سے الگ ہو گئے تھے، کی آواز سنائی دی۔ 15 ویں صدی کے دوسرے نصف میں پولی فونی کی آمد کے ساتھ، آکٹیو اور پانچویں کے علاوہ، خالص تیسرا بڑے اور چھوٹے تثلیث کے لیے اہم ہو گیا۔ اگرچہ اس ٹیوننگ کو بارہ نوٹ والے کی بورڈ پر محسوس نہیں کیا جا سکا، لیکن اسے مین ون مزاج میں اچھی طرح سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس کا نقصان یہ تھا کہ پانچوں کے دائرے کی تمام چابیاں کھیلنے کے قابل نہیں تھیں۔ اس کمی کو دور کرنے کے لیے، معتدل ٹیوننگ متعارف کروائی گئیں، حالانکہ تجارت کے ساتھ کہ خالص تیسرا کچھ چابیاں میں سخت لگتا تھا۔ آج کل، زیادہ تر آلات کو 12 چابیاں کے ساتھ مساوی مزاج میں ٹیون کیا جاتا ہے، تاکہ آکٹوز بالکل خالص ہوں، پانچواں حصہ تقریبا خالص ہو، اور تیسرا حصہ کھردرا لگے۔ موسیقی میں چار پایتھاگورین سر موسیقی میں، چار ہارمونک پایتھاگورین سر پینٹاٹونک پیمانے میں نمایاں کردار ادا کرتے ہیں، خاص طور پر ڈایٹونک ترازو کے پہلے، چوتھے، پانچویں اور آٹھویں درجے پر (خاص طور پر بڑے اور چھوٹے میں) اور کیڈینس کی ساخت میں ٹانک، سب ڈومیننٹ اور غالب کے بنیادی سروں کے طور پر۔ سروں کا یہ سلسلہ اکثر متعلقہ کورڈز کے ساتھ کیڈینسوں میں ظاہر ہوتا ہے: چار پایتھاگورین سر بہت سی کمپوزیشنز میں ظاہر ہوتے ہیں۔ قرون وسطی کے اینٹی فونز "ایڈ ٹی لیواوی" اور "فیکٹس ایسٹ ریپینٹ" کے پہلے سر کچھ زیورات اور اونچے سروں کے علاوہ بنیادی طور پر چار پایتھاگورین سروں پر مشتمل ہیں۔ ایک اور مثال جوہان سیبسٹین باخ کے ذریعہ سی مائنر میں پاساکگلیا کا آغاز ہے۔ تھیم پندرہ سروں پر مشتمل ہے، جن میں سے کل دس سروں اور خاص طور پر آخری چار سروں کو ترتیب سے اخذ کیا گیا ہے۔ ریفیوٹیشن ہیمرز کی مطلق پچ اسٹیل کے ہتھوڑوں کی گونج تعدد جسے انسانی ہاتھوں سے منتقل کیا جاسکتا ہے عام طور پر الٹراسونک رینج میں ہوتا ہے اور اس وجہ سے ناقابل سماعت ہوتا ہے۔ پایتھاگورس ان سروں کو محسوس نہیں کر سکتا تھا، خاص طور پر جب ہتھوڑوں کی پچ میں ایک آکٹیو کا فرق تھا۔ ہتھوڑے کے وزن پر منحصر پچ آزادانہ طور پر ارتعاش کرنے والے ٹھوس جسم کی کمپن تعدد، جیسے کہ طول البلد لہر، عام طور پر اس کے وزن یا حجم کے متناسب نہیں ہوتی ہے، لیکن یہ اس کی لمبائی کے متناسب ہوتی ہے، جو صرف حجم کے مکعب جڑ کے ساتھ اسی طرح کی جیومیٹری کے ساتھ تبدیل ہوتی ہے۔ پایتھاگورین ہتھوڑوں کے لیے، مندرجہ ذیل تناسب نمبر اسی طرح کی جیومیٹری (صوابدیدی اکائیوں میں اقدار) کے لیے لاگو ہوتے ہیں: سٹرنگ تناؤ کے سلسلے میں پچ یہ مفروضہ کہ سٹرنگ کی کمپن تعدد تناؤ کے متناسب ہے درست نہیں ہے۔ بلکہ، کمپن تعدد تناؤ کے مربع جڑ کے متناسب ہوتی ہے۔ کمپن کی تعدد کو دوگنا کرنے کے لیے، چار گنا تناؤ لگانا ضروری ہے اور اس طرح چار گنا بھاری وزن کو تار پر لٹکایا جانا چاہیے۔ کنسونینس انٹیجر فریکوئنسی ریشوز یہ حقیقت کہ بنیادی فریکوئنسی والا ٹون اس بنیادی فریکوئنسی کے انٹیجر ملٹیپل (کے ساتھ اور) کے ساتھ دوسرے ٹون کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے، اس حقیقت سے فوری طور پر واضح ہوتا ہے کہ ٹون کمپن کا زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم وقت میں ہم آہنگ ہوتا ہے، لیکن اس کی وضاحت اس طرح بھی کی جا سکتی ہے: بیک وقت آواز دینے والے دونوں ٹونز کی بیٹ فریکوئنسی کا حساب ریاضیاتی طور پر ان دو ٹونز کی فریکوئنسیز کے درمیان فرق سے کیا جاتا ہے اور اسے امتزاج ٹون کے طور پر سنا جا سکتا ہے: (بیٹ کی ریاضیاتی تفصیل دیکھیں)۔ یہ فرق خود بنیادی تعدد کے ساتھ ایک عدد تناسب میں ہے: دوسرے سر میں بنیادی تعدد کے تمام عدد ضرب کے لیے، بیٹ تعدد کے لیے عدد ضرب بھی ہوتے ہیں (دائیں طرف کی میز دیکھیں)، تاکہ تمام سر متناسب آواز دیں۔ عقلی تعدد کا تناسب یہاں تک کہ دو ٹنوں کے لیے جن کی تعدد کے عقلی تناسب میں ہیں، ایک ہم آہنگی ہے۔ دوسرے ٹون کی فریکوئنسی اس طرح دی جاتی ہے: نتیجتا، بیک وقت آواز دینے والے دونوں ٹونز کی بیٹ فریکوئنسی اس طرح دی جاتی ہے: اس حالت میں، بنیادی فریکوئنسی ہمیشہ بیٹ فریکوئنسی کا ایک انٹیجر ملٹیپل ہوتی ہے (دائیں طرف موجود ٹیبل دیکھیں)۔ اس لیے کوئی بے ترتیبی نہیں ہوتی۔ طول البلد ارتعاش اور ٹھوس اجسام کی قدرتی تعدد دھات کے بلاک کا اندازہ لگانے کے لیے، آئیے ایک یکساں آئتاکار پرنزم پر غور کریں جس کی زیادہ سے زیادہ لمبائی ہو اور آواز کی رفتار والے مواد سے بنا ہو۔ کمپن موڈ کے لیے اس کی سب سے لمبی طرف (طول البلد ارتعاش) کے ساتھ، اس کی سب سے کم قدرتی تعدد ہوتی ہے جس کے دونوں سروں پر اینٹی نوڈس اور بیچ میں ایک نوڈ ہوتا ہے۔ ۔ لہذا، پچ پریزم کے بڑے پیمانے پر اور کراس سیکشنل ایریا سے آزاد ہے، اور کراس سیکشنل ایریا بھی مختلف ہو سکتا ہے۔ مزید برآں، جسم کو مارتے وقت قوت اور رفتار بھی کوئی کردار ادا نہیں کرتے ہیں۔ کم از کم یہ حقیقت پایتھاگورس سے منسوب اس مشاہدے سے مطابقت رکھتی ہے کہ سمجھی جانے والی پچ کاریگروں کے ہاتھوں (اور اس طرح قوتوں) پر منحصر نہیں تھی۔ زیادہ پیچیدہ جیومیٹری والے اجسام، جیسے گھنٹیاں، کپ، یا پیالے، جو مائعوں سے بھی بھرے ہو سکتے ہیں، قدرتی تعدد رکھتے ہیں جن کے لیے کافی زیادہ وسیع جسمانی وضاحت کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ نہ صرف شکل بلکہ دیوار کی موٹائی یا یہاں تک کہ نمایاں مقام پر بھی غور کرنا ضروری ہے۔ ان صورتوں میں، ٹرانسورس ارتعاش بھی پرجوش اور قابل سماعت ہو سکتے ہیں۔ ہتھوڑے کے سر کی لمبائی = 0.2 میٹر کے ساتھ ایک بہت بڑا سلیج ہیمر (اسٹیل میں آواز کی رفتار تقریبا = 5000 میٹر فی سیکنڈ ہے) کی قدرتی تعدد 12.5 کلو ہرٹز ہوتی ہے۔ 0. 1 مربع میٹر (0.1 میٹر x 0.1 میٹر) کے مربع کراس سیکشنل رقبے کے ساتھ، اس کی کثافت 7.86 گرام فی مکعب سینٹی میٹر پر تقریبا 16 کلوگرام کی غیر معمولی طور پر بڑی کمیت ہوگی۔ تقریبا 15 کلو ہرٹز سے اوپر کی تعدد کو اب بہت سے لوگ محسوس نہیں کر سکتے ہیں (سماعت کی حد دیکھیں) ؛ لہذا، اتنے بڑے ہتھوڑے کی قدرتی تعدد شاید ہی قابل سماعت ہو۔ چھوٹے سروں والے ہتھوڑوں کی قدرتی تعدد اور بھی زیادہ ہوتی ہے جو اس لیے ناقابل سماعت ہوتی ہے۔ انول = 0.5 میٹر لمبائی والی اسٹیل کی ایک بڑی انول کی قدرتی تعدد صرف 5 کلو ہرٹز ہوتی ہے اور اس لیے اسے آسانی سے سنا جا سکتا ہے۔ مختلف قسم کی کمپوزیشنز ہیں جن میں کمپوزر موسیقی کے آلات کے طور پر انولز کے استعمال کی وضاحت کرتا ہے۔ خاص طور پر رچرڈ ویگنر کے میوزک ڈرامہ ڈیر رنگ ڈیس نیبلونگن کے دو اوپیرا مشہور ہیں: داس رینگولڈ، سین 3، ایف میں تین آکٹوز میں 18 اینویلز سیگ فرائیڈ، ایکٹ 1، سیگ فرائیڈ کا سمتھنگ گانا نوتھنگ! کچھ نہیں! نیڈلچیس شوئرٹ! اسٹیل سے آواز کی کم رفتار والے مواد، جیسے گرینائٹ یا پیتل، ہم آہنگ جیومیٹری کے ساتھ اور بھی کم تعدد پیدا کرتے ہیں۔ کسی بھی صورت میں، ابتدائی بیانات میں انولوں کا ذکر نہیں کیا گیا ہے اور انولوں کی قابل سماعت آوازوں کو افسانے کے بعد کے ورژن میں ہتھوڑوں سے منسوب کیا گیا ہے۔ دھات کی سلاخوں کا موازنہ کرنا ممکن ہے، جیسے کہ پتھر کے معماروں کے ذریعہ استعمال ہونے والی چھڑیوں یا پتھر کو توڑنے کے لیے تقسیم کرنے والے پچر، تاکہ پائیتھاگورس سے منسوب مشاہدے پر پہنچا جا سکے، یعنی کہ اوزاروں کی کمپن تعدد ان کے وزن کے متناسب ہے۔ اگر دھات کی سلاخیں، ٹیپرنگ کاٹنے والے کناروں کو نظر انداز کرتے ہوئے، سب کا یکساں کراس سیکشنل رقبہ A ہے لیکن مختلف لمبائی l ہے، تو ان کا وزن لمبائی کے متناسب ہے اور اس طرح کمپن کی تعدد کے بھی، بشرطیکہ دھات کی سلاخیں طول البلد محور کے ساتھ دھچکے کے ذریعے طول البلد کمپن کے لیے پرجوش ہوں (صوتی مثالیں دائیں طرف والے خانے میں مل سکتی ہیں)۔ موڑنے والے آسکیلیٹرز کے لیے، جیسے ٹیوننگ فورک یا میٹالوفونز کی پلیٹیں، مختلف شرائط اور قوانین لاگو ہوتے ہیں ؛ لہذا، یہ تحفظات ان پر لاگو نہیں ہوتے ہیں۔ سٹرنگ کمپن سٹرنگ کو دو سروں پر لگایا جا سکتا ہے، ہر ایک پل پر۔ طول البلد کمپن والے ٹھوس کے برعکس، دونوں پل کمپن کے دو نوڈل پوائنٹس کے لیے باؤنڈری کنڈیشنز قائم کرتے ہیں ؛ اس لیے، کمپن نوڈ بیچ میں واقع ہوتا ہے۔ قدرتی تعدد اور اس طرح لمبائی کے ساتھ تاروں کی پچ تناؤ کے متناسب نہیں ہوتی، بلکہ تناؤ کے مربع جڑ کے متناسب ہوتی ہے۔ مزید برآں، تعدد زیادہ تناؤ والے وزن کے ساتھ بڑھتی ہے اور اس طرح کم ہونے کے بجائے زیادہ تناؤ ہوتا ہے: اس کے باوجود، کمپن تعدد مستقل تناؤ پر تار کی لمبائی کے الٹا متناسب ہوتی ہے، جس کا براہ راست مونوکارڈ کے ساتھ مظاہرہ کیا جاسکتا ہے-جسے مبینہ طور پر پائیتھاگورس نے ایجاد کیا تھا۔ موسیقی کے وقفوں کی ریاضیاتی بنیاد کے بارے میں پائیتھاگورس کی دریافت کا سب سے قدیم ذکر پلاٹونسٹ زینوکریٹس (چوتھی صدی قبل مسیح) میں ملتا ہے۔ چونکہ یہ اس مفکر کے کھوئے ہوئے کام کا صرف ایک اقتباس ہے، اس لیے یہ واضح نہیں ہے کہ آیا وہ فورج لیجنڈ کو جانتے تھے یا نہیں۔ چوتھی صدی قبل مسیح میں، وقفوں کے پایتھاگورین نظریہ پر تنقید کا اظہار پہلے ہی کیا جا چکا تھا، حالانکہ پایتھاگورس کے افسانے کا حوالہ دیے بغیر ؛ فلسفی اور موسیقی کے تھیوریسٹ ارسطو نے اسے غلط سمجھا۔ اس داستان کا سب سے قدیم ریکارڈ شدہ ورژن پایتھاگورس کے زمانے کے صدیوں بعد گیراسا کے نیوپیتھاگورین نیکوماکس نے پیش کیا تھا، جس نے پہلی یا دوسری صدی عیسوی میں اس کہانی کو اپنے ہارمونک اینچیریڈیون ("ہم آہنگی کی ہینڈ بک") میں دستاویزی شکل دی تھی۔ انہوں نے موسیقی کے نظریہ میں عددی تناسب کی نمائندگی کے لیے 5 ویں صدی قبل مسیح کے پایتھاگورین فلسفی فلولاس پر انحصار کیا۔ مشہور ریاضی دان اور میوزک تھیوریسٹ بطلیموس (دوسری صدی عیسوی) اس افسانے کے ذریعے منتقل ہونے والے وزن کے طریقہ سے واقف تھے لیکن انہوں نے اسے مسترد کر دیا۔ تاہم، انہوں نے وزن کے تجربات کے جھوٹ کو تسلیم نہیں کیا۔ انہوں نے صرف یک سنگی پر عین پیمائش کے مقابلے میں ان کی غلطیوں پر تنقید کی۔ یہ ممکن ہے کہ اس نے افسانوی روایت کے بارے میں اپنا علم نیکوماکس سے نہیں بلکہ کسی پرانے ماخذ سے حاصل کیا، جو اب کھو گیا ہے۔ شاہی دور کے میوزک تھیوریسٹ، گاؤڈینٹیوس کو تاریخی طور پر جگہ دینا مشکل ہے، انہوں نے اپنی ہارمونک آئساگوگ ("ہم آہنگی کا تعارف") میں اس داستان کو نیکوماکس کے مقابلے میں قدرے چھوٹے ورژن میں بیان کیا ہے۔ تیسری صدی کے اواخر اور چوتھی صدی کے اوائل میں فلسفے کے استاد کے طور پر کام کرنے والے چالسیس کے نیوپلاٹونسٹ فلسفی آئامبلیکس نے آن دی پائیتھاگورین لائف کے عنوان سے پائیتھاگورس کی سوانح عمری لکھی، جس میں انہوں نے نیکوماکس کے ورژن میں لوہے کے افسانے کو دوبارہ پیش کیا۔ 5 ویں صدی کے پہلے نصف میں، مصنف میکروبیئس نے سیسرو کی سومنیم سیپیونس پر اپنی تفسیر میں لوہے کے افسانے پر وسیع پیمانے پر تبادلہ خیال کیا، جسے انہوں نے نیکوماکوس کی طرح بیان کیا۔ داستان کو اپنانے والے قدیم موسیقی کے تھیوریسٹوں میں سب سے مضبوط ردعمل بویتھیئس نے چھٹی صدی کے اوائل میں لکھی گئی اپنی نصابی کتاب ڈی انسٹی ٹیوشن میوزیکا ("موسیقی کا تعارف") کے ساتھ حاصل کیا، جس میں انہوں نے ابتدائی طور پر پایتھاگورس کی جعل سازی اور پھر گھر میں سمجھنے کی کوششوں کو بیان کیا۔ یہ واضح نہیں ہے کہ آیا اس نے نیکوماکس کے بیان پر انحصار کیا یا کسی اور ماخذ پر۔ پوری ابتدائی روایت کے برعکس، وہ پہلے کے مصنفین کے فرض کردہ چار کے بجائے پانچ ہتھوڑوں کی اطلاع دیتا ہے۔ اس کا دعوی ہے کہ پایتھاگورس نے پانچواں ہتھوڑا مسترد کر دیا کیونکہ اس کے نتیجے میں دوسرے تمام ہتھوڑوں سے اختلاف پیدا ہوا۔ بویتھیئس کے بیان کے مطابق (جیسا کہ میکروبیئس کے ساتھ ہے)، پائتھاگورس نے اپنے ابتدائی مفروضے کی جانچ کی کہ آواز میں فرق مردوں کے بازوؤں میں مختلف طاقت کی وجہ سے تھا جس کی وجہ سے اسمتھ ہتھوڑوں کا تبادلہ کرتے تھے، جس کی وجہ سے اس کی تردید ہوئی۔ پایتھاگورس کے گھر کے تجربات کے حوالے سے، بویتھیئس لکھتے ہیں کہ فلسفی نے پہلے تاروں کو فورج میں ہتھوڑوں کے برابر وزن کے ساتھ لٹکایا اور پھر پائپوں اور کپوں کے ساتھ تجربہ کیا، تمام تجربات کے وہی نتائج برآمد ہوئے جو ہتھوڑوں کے ساتھ ابتدائی تھے۔ لیجنڈ کو ایک بنیاد کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، بویتھیئس سائنس اور علمیات کے لحاظ سے حسی ادراک کی وشوسنییتا کے سوال کو حل کرتا ہے۔ اہم نقطہ یہ ہے کہ پایتھاگورس کو ابتدائی طور پر حسی ادراک سے اپنے سوال اور مفروضوں کو وضع کرنے کے لیے اکسایا گیا تھا، اور مفروضوں کی تجرباتی جانچ کے ذریعے، وہ ناقابل تردید یقینیت پر پہنچا۔ علم کا راستہ حسی ادراک سے ابتدائی مفروضے کی طرف گیا، جو غلط ثابت ہوا، پھر صحیح رائے کی تشکیل اور آخر میں اس کی تصدیق تک۔ بویتھیئس بصیرت کی راہ پر حسی ادراک اور رائے کی تشکیل کی ضرورت اور قدر کو تسلیم کرتا ہے، حالانکہ ایک پلاٹونسٹ کے طور پر، وہ غلطی کی وجہ سے حسی ادراک کے بارے میں فطری طور پر شکوک و شبہات کا شکار ہے۔ اس کے لیے حقیقی علم تب ہی پیدا ہوتا ہے جب باقاعدگی کو سمجھا جاتا ہے، جس سے محقق کو ناقابل اعتماد حسی ادراک پر اپنے ابتدائی انحصار سے خود کو آزاد کرنے کا موقع ملتا ہے۔ محقق کا فیصلہ صرف تجرباتی تجربے سے حاصل کردہ حسی فیصلے پر مبنی نہیں ہونا چاہیے، بلکہ یہ صرف اس وقت کیا جانا چاہیے جب وہ غور و فکر کے ذریعے کوئی قاعدہ تلاش کر لیں جو انہیں ممکنہ حسی دھوکہ دہی کے دائرے سے باہر ہونے کے قابل بنائے۔ چھٹی صدی میں، اسکالر کیسیوڈورس نے اپنے انسٹی ٹیوشنز میں لکھا کہ گاؤڈینٹیوس نے لوہے کے افسانے کے اپنے بیان میں "موسیقی کے آغاز" کو پائیتھاگورس سے منسوب کیا۔ وہ موسیقی کے نظریہ کا حوالہ دے رہے تھے، جیسا کہ آئامبلیکس نے بھی کیا تھا، جس نے لوہے کے بیانیے اور وہاں بیان کردہ تجربات کے حوالے سے پائیتھاگورس کو "موسیقی کا موجد" کہا تھا۔ قرون وسطی ابتدائی قرون وسطی میں، سیویل کے آئسیڈور نے اپنی ایٹمولوجیا میں لوہے کے قصے کا ذکر کیا، جو قرون وسطی میں تعلیم یافتہ افراد کے لیے ایک بنیادی حوالہ کام بن گیا۔ انہوں نے مختصر طور پر اس داستان کا ذکر کیا، کیسیوڈورس کے الفاظ کو اپناتے ہوئے اور پائیتھاگورس کو موسیقی کے موجد کے طور پر بھی نامزد کیا۔ چونکہ قرون وسطی میں کیسیوڈورس اور آئسیڈور اعلی درجے کے حکام تھے، اس لیے یہ خیال پھیل گیا کہ پائیتھاگورس نے موسیقی کا بنیادی قانون دریافت کیا تھا اور اس طرح وہ اس کے بانی تھے۔ اس طرح کے واضح بیانات کے باوجود، قرون وسطی کے موسیقی کے تھیوریسٹوں نے فرض کیا کہ موسیقی پایتھاگورس سے پہلے موجود تھی اور "موسیقی کی ایجاد" اس کے اصولوں کی دریافت کا حوالہ دیتی ہے۔ 9 ویں صدی میں، میوزکولوجسٹ اوریلیان آف ریوم نے اپنی میوزیکا ڈسپلن ("میوزک تھیوری") میں اس داستان کو بیان کیا۔ اوریلیان کے بیان کی پیروی 10 ویں صدی میں پروم کے ریجینو نے اپنے کام ڈی ہارمونکا انسٹی ٹیوشن ("ہارمونک تھیوری کا تعارف") میں کی تھی۔ دونوں نے اس بات پر زور دیا کہ پایتھاگورس کو ایک الہی پروویڈنس کے ذریعے لوہے کی جعل سازی میں اپنی دریافت کرنے کا موقع دیا گیا تھا۔ قدیم زمانے میں، نیکوماکس اور آئامبلیکس نے پہلے ہی ایک ڈیمونک پروویڈنس کے بارے میں بات کی تھی، اور بویتھیئس نے اسے ایک الہی فرمان میں تبدیل کر دیا تھا۔ 11 ویں صدی میں، افسانوی مواد کو کارمینا کینٹابریجینسیا میں پروسیس کیا گیا تھا۔ گیارہویں صدی کے پہلے نصف میں، قرون وسطی کے سب سے مشہور میوزک تھیوریسٹ، اریزو کے گائیڈو نے اپنے مائکرولوگس کے آخری باب میں لوہے کے افسانے کو بیان کیا، اور اسے بویتھیئس کے ورژن پر مبنی کیا، جس کا نام اس نے خاص طور پر رکھا۔ گائیڈو نے شروع میں ہی تبصرہ کیا: اور نہ ہی کسی نے اس فن (موسیقی) کے بارے میں کچھ یقینی دریافت کیا ہوتا اگر آخر کار، الہی نیکی اس کے کہنے پر اگلا واقعہ نہ لائے ہوتی۔ انہوں نے اس حقیقت کو منسوب کیا کہ ہتھوڑوں کا وزن 12، 9، 8، اور 6 یونٹ تھا اور اس طرح خدا کے پروویڈنس کے لیے ہم آہنگ آواز پیدا ہوئی۔ انہوں نے یہ بھی ذکر کیا کہ پایتھاگورس نے اپنی دریافت سے ہی مونوکارڈ ایجاد کیا تھا، لیکن اس کی خصوصیات کے بارے میں تفصیل میں نہیں گیا۔ جوہانس کوٹو کا کام ڈی میوزیکا (جسے جان کاٹن یا جوہانس افلیگیمینسس بھی کہا جاتا ہے) 1250 کے آس پاس ایلڈرزباخ کے سسٹرین ایبی میں ایک گمنام کتاب روشن کنندہ کے ذریعہ لوہے کے منظر کے ساتھ دکھایا گیا تھا۔ قرون وسطی کے موسیقی کے تھیوریسٹوں میں جنہوں نے بویتھیئس کے ورژن کے مطابق فورج کی داستان سنائی، ان میں 13 ویں صدی کے آخر اور 14 ویں صدی کے اوائل میں سرگرم جان گل ڈی زمورا (جوہانس ایجڈیئس وان زمورا)، 14 ویں صدی میں جوہانس ڈی مورس اور سائمن ٹنسٹیڈ، اور 15 ویں صدی میں ابتدائی جدید دور کی دہلیز پر ایڈم وان فلڈا بھی تھے۔ پایتھاگورین تصور کے مخالف کے طور پر، جس کا خیال تھا کہ مخطوطات مخصوص عددی تناسب پر مبنی تھے، جوہانس ڈی گروچیو 13 ویں صدی میں ارسطو کے نقطہ نظر سے شروع ہوا۔ اگرچہ اس نے واضح طور پر کہا کہ پایتھاگورس نے موسیقی کے اصولوں کو دریافت کیا تھا، اور اس نے فورج کی داستان کو بویتھیئس کا حوالہ دیتے ہوئے بتایا، جسے وہ قابل اعتماد سمجھتا تھا، اس نے پایتھاگورین تھیوری آف کنسوننس کو مسترد کر دیا، جسے وہ محض استعاراتی اظہار تک کم کرنا چاہتا تھا۔ ابتدائی جدید دور کے فرانچینو گیفیوریو نے 1480 میں نیپلز میں اپنا کام تھیوریکم اوپس میوزک ڈسپلن ("تھیوریٹیکل میوزک تھیوری") شائع کیا، جسے 1492 میں تھیوریکا میوزک ("میوزک تھیوری") کے عنوان سے نظر ثانی اور دوبارہ شائع کیا گیا۔ اس میں، اس نے فورج کی داستان کا ایک ورژن پیش کیا جس نے تفصیل سے پچھلے تمام اکاؤنٹس کو پیچھے چھوڑ دیا۔ اس نے اپنے ورژن کو بویتھیئس کے ورژن پر مبنی کیا اور بیانیہ میں آکٹیو کے زیادہ سے زیادہ سروں کو شامل کرنے کے لیے چھٹا ہتھوڑا شامل کیا۔ چار تصویری نمائندوں میں، اس نے موسیقی کے آلات یا صوتی جنریٹر پیش کیے، جن میں سے ہر ایک میں چھ ہارمونک ٹون تھے، اور لیبل میں ٹونز سے وابستہ نمبر 4، 6، 8، 9، 12، اور 16 کی نشاندہی کی۔ لیجنڈ کے چار روایتی تناسب (6، 8، 9، اور 12) کے علاوہ، اس نے 4 اور 16 کا اضافہ کیا، جو کہ ایک ٹون کو پانچویں نچلے اور دوسرے ٹون کو چوتھے اونچے کی نمائندگی کرتا ہے۔ سروں کی پوری ترتیب اب نہ صرف ایک پر بلکہ دو آکٹوز پر پھیلی ہوئی ہے۔ یہ اعداد، مثال کے طور پر، f-c '-f'-g '-c'-f "ٹونز سے مطابقت رکھتے ہیں: پینٹر ایرہارڈ سینسڈورفر کو 1546 میں ہیسین بڈینگن کیسل میں ایک فریسکو بنانے کا کام سونپا گیا تھا، جو اچھی طرح سے محفوظ ہے اور موسیقی کی تاریخ کی نمائندگی کرتا ہے جو ایک مجموعہ کی طرح پایتھاگورس کے فورج سے شروع ہوتا ہے۔ جیوسیفو زرلینو نے بھی اپنے کام لی اسٹیوشن ہارمونکی ("دی فاؤنڈیشنز آف ہارمنی") میں اس افسانے کو بیان کیا، جسے انہوں نے 1558 میں شائع کیا۔ گیفیوریو کی طرح، انہوں نے اپنے بیان کو بویتھیئس کے ورژن پر مبنی کیا۔ گیلیلیو گیلیلئی کے والد، میوزک تھیوریسٹ ونسنزو گیلیلئی نے 1589 میں اپنا مقالہ ڈسکارسو انٹورنو آل اوپیر دی میسر جیوسیفو زرلینو ("ڈسکورس آن دی ورکس آف مسٹر جیوسیفو زرلینو") شائع کیا، جو ان کے استاد زرلینو کے خیالات کے خلاف تھا۔ اس میں، انہوں نے نشاندہی کی کہ لیجنڈ میں وزن کے ساتھ تاروں کی لوڈنگ کے بارے میں معلومات درست نہیں ہیں۔ [1] 1626 میں، ڈینیل میسنر کے تھیسورس فلسفی میں ایبرہارڈ کیسر کی "ڈیوینکرچن" کے عنوان سے تانبے پر کندہ کاری کی گئی تھی، جس میں صرف تین لوہے بازوں کو دکھایا گیا تھا۔ لاطینی اور جرمن کیپشن میں لکھا ہے: [2] ٹرپلیسیبس پرکسا سوناٹ ویری آئکٹیبس انکس۔ میوزیکا پائتھاگوراس اسٹرائٹ ہنک فنڈامینا پرنس (ای پی ایس)۔ انول ٹرپل اسٹرائیکس کے ساتھ آواز دیتا ہے، جس سے تین مختلف سر پیدا ہوتے ہیں۔ موسیقی وہ بنیاد ہے جسے پایتھاگورس نے بنایا تھا، جسے کوئی گدھے کا سر حاصل نہیں کر سکتا تھا۔ چند سال بعد، گیلیلیو گیلیلی اور مارین مرسین کے سٹرنگ کمپن کے قوانین دریافت کرنے کے بعد اس معاملے کو قطعی طور پر واضح کیا گیا۔ 1636 میں، مرسین نے اپنی ہارمون یونیورسل شائع کی، جس میں انہوں نے افسانوی میں جسمانی غلطی کی وضاحت کی: کمپن کی تعدد تناؤ کے متناسب نہیں ہے، بلکہ اس کے مربع جڑ کے متناسب ہے۔ [3] کئی موسیقاروں نے اس موضوع کو اپنے کاموں میں شامل کیا، بشمول 17 ویں صدی کے آخر میں جارج مفت۔ اور روپرٹ اگناز مائر۔ جدید دور یہاں تک کہ 19 ویں صدی میں بھی، ہیگل نے فلسفہ کی تاریخ پر اپنے لیکچرز میں پائیتھاگورس لیجنڈ میں مذکور مبینہ پیمائشوں کی جسمانی درستگی کو فرض کیا۔ ورنر ہائزن برگ نے 1937 میں پہلی بار شائع ہونے والے ایک مضمون میں زور دیا کہ پایتھاگورین "ہم آہنگی کے ریاضیاتی عزم کی دریافت" "ریاضیاتی ڈھانچوں کی بامعنی طاقت کے خیال" پر مبنی ہے، ایک "بنیادی خیال جو جدید عین مطابق سائنس کو قدیم دور سے وراثت میں ملا ہے" ؛ پایتھاگورس سے منسوب دریافت کا تعلق "عام طور پر انسانی سائنس کے مضبوط ترین محرکات" سے ہے۔ اس سے بھی زیادہ حال ہی میں، بیانات شائع کیے گئے ہیں جن میں اس داستان کو اس کے جسمانی اور تاریخی جھوٹ کے حوالے کے بغیر غیر تنقیدی طور پر دوبارہ پیش کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، ڈینیئل ہیلر روزین کی غیر افسانوی کتاب دی ففتھ ہیمر: پائیتھاگوراس اینڈ دی ڈشرمنی آف دی ورلڈ میں۔ ذرائع گوٹ فرائیڈ فریڈلین (ایچ آر ایس جی۔ ): انچی منلی ٹورکوٹی سیورینی بوئٹی آف انسٹی ٹیوشن آرتھمیٹکا لبری جوڑی، دی انسٹی ٹیوشن میوزیکا لبری کوئنک۔ منرووا، فرینکفرٹ ایم مین 1966 (نچڈرک ڈیر اوسگابے لیپزگ 1867، آن لائن ؛ ڈوئچے ابرسیٹزونگ آن لائن) مائیکل ہرمیسڈورف (übersetzer): مائکرولوگس گائیڈونس ڈی ڈسپلن آرٹس میوزیکی، ڈی۔ ٹرائر 1876 (آن لائن) ایلڈے الومینیٹی، فابیو بیلسیما (ایچ آر ایس جی۔ ): فرانچینو گیفیوریو: تھیوریکا میوزیس۔ ایڈیزیون ڈیل گالوزو، فائرنز 2005، ایس۔ 66-71 (لیٹینیشر ٹیکسٹ اینڈ اٹالینش üبرسیٹ زونگ) مزید پڑھنا والٹر برکرٹ: ویشیٹ اینڈ وسینشافٹ۔ اسٹڈیئن زو پائتھاگوراس، فلولاس اینڈ پلاٹون (= ایرلینجر بیٹریج زر اسپراچ-اینڈ کنسٹویسینشافٹ۔ بینڈ 10) ہنس کارل، نورنبرگ 1962 انجا ہیلمین: بویتھیئس میوزک تھیوری اینڈ داس کواڈریویم۔ "موسیقی کے ادارے" کے نام سے موسوم "موسیقی کے ادارے" کے نام سے موسوم ہے۔ وینڈنہوک اور روپریچٹ، گوٹنگن 2007، ایس۔ 203-222 () ورنر کیل (ایچ آر ایس جی۔ ): موسیقی اور موسیقی کی بنیاد۔ ولہیلم فنک، پیڈربورن 2007، S. 342-346 () باربرا منکسیلہاؤس: پائیتھاگوراس میوزیکس۔ زیور ریزیپشن ڈیر پائتھاگوریشین میوزک تھیوری الس کواڈریویلر وسینشافٹ ان لیٹینیشین مٹیلالٹر (= آرفیوس-سکریفٹینریہی زو گرونڈفراگن ڈیر میوزک۔ بینڈ 19) ورلاگ فر سسٹمیٹیش میوزکویسینشافٹ، بون-بیڈ گوڈسبرگ 1976 جارجن راسٹڈ: پائتھاگورس کے ہتھوڑے کے تجربے کے بارے میں قصے کا ایک نظر انداز شدہ ورژن۔ میں: انسٹی ٹیوٹ آف موئین ایج یونانی اور لاطینی زبان۔ بینڈ 31 اے، 1979، ایس۔ 1-9 لیونڈ زمود: وسینشافٹ، فلاسفی اور مذہب از از پایتھاگوریسمس۔ اکیڈیمی ویرلاگ، برلن 1997، یہ بھی دیکھیں صرف تنوں کے حوالہ جات صوتیات قدیم یونانی سائنس پائیتھاگورینزم میوزیکل ٹیوننگ