Logarithmically convex function
ریاضی میں، ایک فنکشن f لوگرتھمک طور پر کنویکس یا سپر کنویکس ہے اگر، f کے ساتھ لوگرتھم کی ترکیب خود ایک کنویکس فنکشن ہے۔ تعریف ایک حقیقی ویکٹر اسپیس کا ایک کنویکس سب سیٹ ہونے دیں، اور غیر منفی اقدار لینے والا فنکشن ہونے دیں۔ پھر یہ ہے: لوگرتھمک طور پر کنویکس اگر کنویکس ہے، اور سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس اگر سختی سے کنویکس ہے۔ یہاں ہم اس کی تشریح کرتے ہیں۔ واضح طور پر، لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، سب کے لیے اور سب کے لیے، درج ذیل دو مساوی شرائط برقرار ہوں: اسی طرح، سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، مذکورہ بالا دو تاثرات میں، سخت عدم مساوات سب کے لیے ہو۔ مندرجہ بالا تعریف صفر ہونے کی اجازت دیتی ہے، لیکن اگر لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اور کہیں بھی غائب ہو جاتا ہے، تو یہ اس کے اندرونی حصے میں ہر جگہ غائب ہو جاتا ہے۔ مساوی شرائط اگر ایک وقفہ پر بیان کردہ تفریق پذیر فنکشن ہے، تو لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مندرجہ ذیل شرط سب کے لیے اور میں ہو: یہ اس شرط کے مساوی ہے کہ، جب بھی اور میں ہوں اور، اس کے علاوہ، سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ عدم مساوات ہمیشہ سخت ہوں۔ اگر دو بار تفریق قابل ہے، تو یہ لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، سب کے لیے، اگر عدم مساوات ہمیشہ سخت ہو، تو سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہو۔ تاہم، الٹا غلط ہے: یہ ممکن ہے کہ یہ سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہو اور کچھ لوگوں کے لیے، ہمارے پاس ہو۔ مثال کے طور پر، اگر، تو سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے، لیکن۔ مزید برآں، لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب سب کے لیے کنویکس ہو۔ کافی حالات اگر لوگرتھمک طور پر کنویکس ہیں، اور اگر غیر منفی حقیقی اعداد ہیں، تو لوگرتھمک طور پر کنویکس ہیں۔ اگر لوگرتھمک طور پر کنویکس افعال کا کوئی خاندان ہے، تو لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے۔ اگر کنویکس ہے اور لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے اور غیر کم ہوتا ہے، تو لوگرتھمک طور پر کنویکس ہے۔ لوگرتھمک طور پر کنویکس فنکشن f ایک کنویکس فنکشن ہے کیونکہ یہ بڑھتی ہوئی کنویکس فنکشن اور فنکشن کا مرکب ہے، جو تعریف کے مطابق کنویکس ہے۔ تاہم، لوگرتھمک طور پر کنویکس ہونا کنویکس ہونے کے مقابلے میں سختی سے مضبوط خاصیت ہے۔ مثال کے طور پر، مربع فنکشن کنویکس ہے، لیکن اس کا لوگرتھم نہیں ہے۔ لہذا اسکوائرنگ فنکشن لوگرتھمک طور پر کنویکس نہیں ہے۔ مثال کے طور پر لوگرتھمک طور پر کنویکس کب ہوتا ہے اور سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس کب ہوتا ہے۔ تمام اویلر کے گاما فنکشن کے لیے سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس آن ہے جب مثبت حقیقی اعداد تک محدود ہو تو سختی سے لوگرتھمک طور پر کنویکس ہوتا ہے۔ درحقیقت، بوہر-مولرپ تھیوریم کے مطابق، اس خاصیت کو حقیقی دلائل کے لیے فیکٹوریئل فنکشن کی ممکنہ توسیع کے درمیان اویلر کے گاما فنکشن کی خصوصیت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ لوگرتھمک طور پر کنکیو فنکشن نوٹس حوالہ جات جان بی کونوے بھی دیکھیں۔ ایک پیچیدہ متغیر I، دوسرے ایڈیشن کے افعال۔ سپرنگر-ورلاگ، 1995۔ ۔ ۔ حقیقی تجزیہ