Series expansion
ریاضی میں، سیریز کی توسیع ایک ایسی تکنیک ہے جو کسی فنکشن کو آسان افعال کے لامحدود مجموعہ، یا سیریز کے طور پر ظاہر کرتی ہے۔ یہ کسی فنکشن کا حساب لگانے کا ایک طریقہ ہے جس کا اظہار صرف ابتدائی آپریٹرز (اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم) کے ذریعے نہیں کیا جا سکتا۔ نتیجے میں نام نہاد سیریز اکثر اصطلاحات کی ایک محدود تعداد تک محدود ہو سکتی ہے، اس طرح فنکشن کا تخمینہ ملتا ہے۔ ترتیب کی جتنی کم اصطلاحات استعمال کی جائیں گی، یہ تخمینہ اتنا ہی آسان ہوگا۔ اکثر، نتیجے میں ہونے والی غلطی (یعنی چھوڑی گئی اصطلاحات کا جزوی مجموعہ) کو بگ او نوٹیشن پر مشتمل مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے (اسمپٹوٹک توسیع بھی دیکھیں)۔ کھلے وقفے پر سلسلہ کی توسیع بھی غیر تجزیاتی افعال کے لیے ایک تخمینہ ہوگی۔ سلسلہ کی توسیع کی اقسام سلسلہ کی توسیع کی کئی قسمیں ہیں، جو ذیل میں درج ہیں۔ ٹیلر سیریز ایک پاور سیریز ہے جو ایک ہی نقطہ پر فنکشن کے مشتقات پر مبنی ہے۔ مزید خاص طور پر، اگر کوئی فنکشن کسی نقطہ کے ارد گرد لامحدود طور پر تفریق پذیر ہے، تو اس نقطہ کے ارد گرد f کی ٹیلر سیریز کنونشن کے تحت دی جاتی ہے۔ ایف کی میکلورین سیریز اس کی ٹیلر سیریز ہے۔ لارنٹ سیریز اے لارنٹ سیریز ٹیلر سیریز کی عمومی شکل ہے، جو منفی متغیرات کے ساتھ اصطلاحات کی اجازت دیتی ہے۔ یہ شکل اختیار کرتی ہے اور اینولس میں یکجا ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ایک لارنٹ سیریز کو یکسانیت کے قریب ایک پیچیدہ فنکشن کے رویے کی جانچ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس میں یکسانیت پر مرکوز اینولس پر سیریز کی توسیع پر غور کیا جا سکتا ہے۔ ڈیرچلیٹ سیریز ایک عام ڈیرچلیٹ سیریز اس شکل کا ایک سلسلہ ہے۔ اس کا ایک اہم خاص معاملہ عام ڈیرچلیٹ سیریز ہے جو نمبر تھیوری میں استعمال ہوتا ہے۔ فورئیر سیریز ایک فورئیر سیریز بہت سے سائن اور کوسائن افعال کے مجموعے کے طور پر پیریڈک افعال کی توسیع ہے۔ مزید خاص طور پر، پیریڈ کی فنکشن کی فورئیر سیریز اس اظہار کے ذریعے دی جاتی ہے جہاں کوفیشنٹس کو دیگر سیریز کے فارمولوں کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ صوتیات میں، مثال کے طور پر، بنیادی ٹون اور اوورٹونز مل کر فورئیر سیریز کی ایک مثال بناتے ہیں۔ نیوٹنین سیریز لیجنڈری کثیر الجہتی: طبیعیات میں صوابدیدی برقی میدان کو دو قطبی میدان، کواڈروپول فیلڈ، آکٹپول فیلڈ وغیرہ کی سپرپوزیشن کے طور پر بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ زرنائیک کثیر الجہتی: آپٹیکل سسٹمز کے انحراف کا حساب لگانے کے لیے آپٹکس میں استعمال ہوتے ہیں۔ سیریز کی ہر اصطلاح ایک خاص قسم کی انحراف کو بیان کرتی ہے۔ سٹرلنگ سیریز لاگ گاما فنکشن کا تخمینہ ہے۔ مثالیں مندرجہ ذیل ٹیلر سیریز ہے: ریمن زیٹا فنکشن کی ڈیرچلیٹ سیریز حوالہ جات الجبرا کثیر الجہتی ریاضیاتی تجزیہ ریاضیاتی سیریز ہے۔