Perfect Bayesian equilibrium
گیم تھیوری میں، ایک پرفیکٹ بایسیئن ایکولبریئم (پی بی ای) نامکمل معلومات کے ساتھ باری پر مبنی گیم کے لیے بایسیئن امکان کے ساتھ ایک حل ہے۔ مزید خاص طور پر، یہ ایک توازن تصور ہے جو نامکمل معلومات کے ساتھ متحرک کھیلوں میں کھلاڑی کے رویے کو بیان کرنے کے لیے بایسیئن اپ ڈیٹنگ کا استعمال کرتا ہے۔ کامل بایسیئن توازن کا استعمال کھیلوں کے نتائج کو حل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جہاں کھلاڑی باری باری کرتے ہیں لیکن اپنے مخالف کی "قسم" کے بارے میں غیر یقینی ہوتے ہیں، جو اس وقت ہوتا ہے جب کھلاڑی انفرادی چالوں کے درمیان اپنے مخالف کی ترجیح کو نہیں جانتے۔ اقسام کے ساتھ متحرک کھیل کی ایک بہترین مثال ایک جنگی کھیل ہے جہاں کھلاڑی کو یقین نہیں ہوتا ہے کہ آیا اس کا مخالف خطرہ مول لینے والا "ہاک" قسم کا ہے یا امن پسند "کبوتر" قسم کا۔ کامل بایسیئن مساوات بایسیئن نیش توازن (بی این ای) کی ایک اصلاح ہے، جو غیر موڑ پر مبنی کھیلوں کے لیے بایسیئن امکان کے ساتھ ایک حل تصور ہے۔ کسی بھی کامل بایسیئن توازن کے دو اجزاء ہوتے ہیں-حکمت عملی اور عقائد: دی گئی معلومات کے سیٹ میں کھلاڑی کی حکمت عملی اس معلومات کے سیٹ میں اس کے عمل کے انتخاب کی وضاحت کرتی ہے، جس کا انحصار تاریخ (کھیل میں پہلے کیے گئے اقدامات پر) پر ہو سکتا ہے۔ یہ ایک ترتیب وار کھیل سے ملتا جلتا ہے۔ دی گئی معلومات کے سیٹ میں کھلاڑی کا یقین اس بات کا تعین کرتا ہے کہ اس معلومات کے سیٹ میں کون سا نوڈ ہے جس کے بارے میں اس کا خیال ہے کہ کھیل پہنچ گیا ہے۔ یقین معلومات کے سیٹ میں نوڈس پر امکان کی تقسیم ہو سکتی ہے، اور عام طور پر دوسرے کھلاڑیوں کی ممکنہ اقسام پر امکان کی تقسیم ہوتی ہے۔ رسمی طور پر، ایک عقیدے کا نظام کھیل کے ہر نوڈ میں امکانات کی اس طرح کی تفویض ہے کہ کسی بھی انفارمیشن سیٹ میں امکانات کا مجموعہ 1 ہو۔ حکمت عملیوں اور عقائد کو درج ذیل شرائط کو بھی پورا کرنا چاہیے: ترتیب وار معقولیت: عقائد کو دیکھتے ہوئے ہر حکمت عملی کو توقع میں زیادہ سے زیادہ ہونا چاہیے۔ مستقل مزاجی: ہر عقیدے کو توازن کی حکمت عملیوں، مشاہدہ شدہ اعمال، اور مثبت امکان کے ساتھ توازن میں پہنچنے والے ہر راستے پر بائز کے اصول کے مطابق اپ ڈیٹ کیا جانا چاہیے۔ صفر امکان کے راستوں پر، جنہیں غیر توازن کے راستوں کے نام سے جانا جاتا ہے، عقائد کی وضاحت کی جانی چاہیے لیکن وہ من مانی ہو سکتے ہیں۔ ایک کامل بایسیئن توازن ہمیشہ نیش توازن ہوتا ہے۔ کامل بایسیئن ایکویلیبریا گفٹ گیم 1 کی مثالیں مندرجہ ذیل گیم پر غور کریں: بھیجنے والے کی دو ممکنہ قسمیں ہیں: یا تو "دوست" (امکان کے ساتھ) یا "دشمن" (امکان کے ساتھ)۔ ہر قسم کی دو حکمت عملی ہوتی ہیں: یا تو تحفہ دیں، یا نہ دیں۔ وصول کنندہ کے پاس صرف ایک قسم اور دو حکمت عملی ہوتی ہے: یا تو تحفہ قبول کریں، یا اسے مسترد کریں۔ بھیجنے والے کی افادیت 1 ہے اگر اس کا تحفہ قبول ہو جاتا ہے،-1 اگر اس کا تحفہ مسترد ہو جاتا ہے، اور 0 اگر وہ کوئی تحفہ نہیں دیتا ہے۔ وصول کنندہ کی افادیت اس بات پر منحصر ہے کہ تحفہ کون دیتا ہے: اگر بھیجنے والا دوست ہے، تو وصول کنندہ کی افادیت 1 (اگر وہ قبول کرتا ہے) یا 0 (اگر وہ مسترد کرتا ہے) ہے۔ اگر بھیجنے والا دشمن ہے، تو وصول کنندہ کی افادیت-1 (اگر وہ قبول کرتا ہے) یا 0 (اگر وہ مسترد کرتا ہے) ہے۔ توازن 1 کی کسی بھی قدر کے لیے، ایک پولنگ توازن موجود ہے جس میں دونوں قسم کے بھیجنے والے ایک ہی عمل کا انتخاب کرتے ہیں: توازن 1۔ بھیجنے والا: نہ دیں، چاہے وہ دوست کی قسم کا ہو یا دشمن کی قسم کا۔ وصول کنندہ: اس یقین کے ساتھ قبول نہ کریں کہ پروب (Friend|Not دیں) = p اور پروب (Friend|Give) = x، ایک قدر کا انتخاب کرنا بھیجنے والا بھیجنے اور قبول نہ کیے جانے سے-1 کی ادائیگی کو نہ دینے سے 0 کی ادائیگی کو ترجیح دیتا ہے۔ اس طرح، گائیو کا توازن میں صفر امکان ہے اور بائز کا قاعدہ پروب (Friend|Give) کے عقیدے کو بالکل بھی محدود نہیں کرتا ہے۔ یہ عقیدہ اتنا مایوس کن ہونا چاہیے کہ وصول کنندہ کسی تحفے کو مسترد کرنے سے لے کر قبول کرنے سے متوقع ادائیگی کو 0 کی ادائیگی کو ترجیح دیتا ہے، لہذا اس کے عقائد کو دیکھتے ہوئے وصول کنندہ کی حکمت عملی سے اس کی متوقع ادائیگی کو زیادہ سے زیادہ کرنے کی ضرورت اس بات کی ضرورت ہے کہ پروب (Friend|Give) دوسری طرف، پروب (Friend|Not دیں) = p بایس کے اصول کے مطابق ضروری ہے، کیونکہ دونوں اقسام وہ کارروائی کرتی ہیں اور یہ بھیجنے والے کی قسم کے بارے میں غیر معلوماتی ہے۔ اگر، دوسرا پولنگ توازن موجود ہے اور ساتھ ہی توازن 1، مختلف عقائد پر مبنی ہے: توازن 2۔ بھیجنے والا: دیں، چاہے وہ دوست کی قسم کا ہو یا دشمن کی قسم کا۔ وصول کنندہ: قبول کریں، اس عقیدے کے ساتھ کہ پروب (Friend|Give) = p اور پروب (Friend|Not دیں) = x، بھیجنے والے کے لیے کسی بھی قیمت کا انتخاب کرنا 1 کی ادائیگی کو ترجیح دیتا ہے، دینے سے 0 کی ادائیگی کو، یہ توقع کرتے ہوئے کہ اس کا تحفہ قبول کر لیا جائے گا۔ توازن میں، بائز کے اصول کے مطابق وصول کنندہ کو پروب (Friend|Give) = p پر یقین ہونا ضروری ہے، کیونکہ دونوں اقسام یہ عمل کرتی ہیں اور یہ اس توازن میں بھیجنے والے کی قسم کے بارے میں غیر معلوماتی ہے۔ توازن سے باہر کے عقیدے سے کوئی فرق نہیں پڑتا، کیونکہ بھیجنے والا ناٹ سے ہٹنا نہیں چاہے گا اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ وصول کنندہ کو کیا جواب ملے گا۔ توازن 1 خراب ہے اگر کھیل میں ایسا ہو سکتا ہے کہ بھیجنے والا بہت زیادہ امکان دوست ہے، لیکن وصول کنندہ پھر بھی کسی بھی تحفے سے انکار کر دے گا کیونکہ اس کا خیال ہے کہ دوستوں کے مقابلے میں دشمنوں کے تحائف دینے کا زیادہ امکان ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح مایوس کن عقائد کے نتیجے میں دونوں کھلاڑیوں کے لیے توازن خراب ہو سکتا ہے، جو کہ پیریٹو موثر نہیں ہے۔ یہ عقائد غیر حقیقی لگتے ہیں، تاہم، اور گیم تھیوریسٹ اکثر کچھ کامل بایسیئن توازن کو ناقابل یقین قرار دیتے ہوئے مسترد کرنے کے لیے تیار ہوتے ہیں۔ توازن 1 اور 2 واحد توازن ہیں جو موجود ہو سکتے ہیں، لیکن ہم دو ممکنہ علیحدہ توازن کی بھی جانچ کر سکتے ہیں، جس میں دو قسم کے بھیجنے والے مختلف اعمال کا انتخاب کرتے ہیں، اور دیکھتے ہیں کہ وہ کامل بایسیئن توازن کے طور پر کیوں موجود نہیں ہیں: فرض کریں کہ بھیجنے والے کی حکمت عملی یہ ہے: اگر کوئی دوست ہے تو دیں، اگر دشمن ہے تو نہ دیں۔ وصول کنندہ کے عقائد کو اسی کے مطابق اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے: اگر اسے کوئی تحفہ ملتا ہے، تو وہ مانتا ہے کہ بھیجنے والا دوست ہے ؛ بصورت دیگر، وہ مانتا ہے کہ بھیجنے والا دشمن ہے۔ اس طرح، وصول کنندہ قبولیت کے ساتھ جواب دے گا۔ اگر وصول کنندہ قبول کرنے کا انتخاب کرتا ہے، تاہم، دشمن بھیجنے والا اپنی ادائیگی کو 0 سے 1 تک بڑھانے کے لیے دینے سے ہٹ جائے گا، لہذا یہ توازن نہیں ہو سکتا۔ فرض کریں کہ بھیجنے والے کی حکمت عملی یہ ہے: اگر کوئی دوست ہے تو نہ دیں، اگر کوئی دشمن ہے تو دیں۔ وصول کنندہ کے عقائد کو اسی کے مطابق اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے: اگر اسے کوئی تحفہ ملتا ہے، تو وہ مانتا ہے کہ بھیجنے والا دشمن ہے ؛ بصورت دیگر، وہ مانتا ہے کہ بھیجنے والا دوست ہے۔ وصول کنندہ کی بہترین ردعمل کی حکمت عملی مسترد ہے۔ اگر وصول کنندہ مسترد کرنے کا انتخاب کرتا ہے، تاہم، دشمن بھیجنے والا اپنی ادائیگی کو-1 سے 0 تک بڑھانے کے لیے ڈو ناٹ گیون سے ہٹ جائے گا، لہذا یہ توازن نہیں ہو سکتا۔ ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ اس کھیل میں کوئی علیحدہ توازن نہیں ہے۔ گفٹ گیم 2 مندرجہ ذیل مثال میں، پی بی ایز کا سیٹ ایس پی ایز اور بی این ایز کے سیٹ سے سختی سے چھوٹا ہے۔ یہ مندرجہ بالا گفٹ گیم کا ایک متغیر ہے، جس میں وصول کنندہ کی افادیت میں درج ذیل تبدیلی ہے: اگر بھیجنے والا دوست ہے، تو وصول کنندہ کی افادیت 1 (اگر وہ قبول کرتا ہے) یا 0 (اگر وہ مسترد کرتا ہے) ہے۔ اگر بھیجنے والا دشمن ہے، تو وصول کنندہ کی افادیت 0 (اگر وہ قبول کرتے ہیں) یا-1 (اگر وہ مسترد کرتے ہیں) ہے۔ نوٹ کریں کہ اس قسم میں، قبول کرنا وصول کنندہ کے لیے ایک کمزور غالب حکمت عملی ہے۔ اسی طرح مثال 1 کے مطابق، کوئی علیحدہ توازن نہیں ہے۔ آئیے درج ذیل ممکنہ پولنگ توازن کو دیکھیں: بھیجنے والے کی حکمت عملی یہ ہے: ہمیشہ دیں۔ وصول کنندہ کے عقائد کو اپ ڈیٹ نہیں کیا جاتا ہے: وہ اب بھی اے-پریوری امکان پر یقین رکھتے ہیں، کہ بھیجنے والا امکان کے ساتھ دوست اور امکان کے ساتھ دشمن ہے۔ قبول کرنے سے ان کی ادائیگی ہمیشہ مسترد کرنے سے زیادہ ہوتی ہے، لہذا وہ قبول کرتے ہیں (اس کی قیمت سے قطع نظر)۔ یہ ایک پی بی ای ہے-یہ بھیجنے والے اور وصول کنندہ دونوں کے لیے بہترین جواب ہے۔ بھیجنے والے کی حکمت عملی ہے: کبھی نہ دیں۔ فرض کریں کہ تحفہ وصول کرتے وقت وصول کنندہ کے عقائد یہ ہیں کہ بھیجنے والا امکان کے ساتھ ایک دوست ہے، جہاں کوئی نمبر ہے۔ قطع نظر، وصول کنندہ کی بہترین حکمت عملی یہ ہے: قبول کریں۔ یہ پی بی ای نہیں ہے، کیونکہ بھیجنے والا تحفہ دے کر اپنی ادائیگی کو 0 سے 1 تک بہتر بنا سکتا ہے۔ بھیجنے والے کی حکمت عملی ہے: کبھی نہ دیں، اور وصول کنندہ کی حکمت عملی ہے: مسترد کریں۔ یہ پی بی ای نہیں ہے، کیونکہ وصول کنندہ کے کسی بھی عقیدے کے لیے، مسترد کرنا بہترین جواب نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ آپشن 3 نیش توازن ہے! اگر ہم عقائد کو نظر انداز کرتے ہیں، تو مسترد کرنا وصول کنندہ کے لیے بہترین جواب سمجھا جا سکتا ہے، کیونکہ اس سے ان کی ادائیگی متاثر نہیں ہوتی (کیونکہ ویسے بھی کوئی تحفہ نہیں ہے)۔ مزید برآں، آپشن 3 بھی ایک ایس پی ای ہے، کیونکہ یہاں واحد ذیلی کھیل پورا کھیل ہے! اس طرح کا ناقابل یقین توازن مکمل معلومات والے کھیلوں میں بھی پیدا ہو سکتا ہے، لیکن سبگیم پرفیکٹ نیش ایکولبریئم کا اطلاق کرکے انہیں ختم کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، بایسیئن گیمز میں اکثر نان سنگلٹن انفارمیشن سیٹس ہوتے ہیں اور چونکہ سبگیمز میں مکمل انفارمیشن سیٹس ہونے چاہئیں، بعض اوقات صرف ایک سبگیم ہوتا ہے-پورا گیم-اور اس لیے ہر نیش توازن معمولی طور پر سبگیم کامل ہوتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر کسی کھیل میں ایک سے زیادہ ذیلی کھیل ہوتے ہیں، تو ذیلی کھیل کے کمال کی معلومات کے سیٹوں کو کاٹنے میں ناکامی کے نتیجے میں ناقابل یقین توازن ختم نہیں ہو سکتا ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ گفٹ گیم کے اس ورژن میں، دو ایس پی ای ہوتے ہیں: یا تو بھیجنے والا ہمیشہ دیتا ہے اور وصول کنندہ ہمیشہ قبول کرتا ہے، یا بھیجنے والا ہمیشہ نہیں دیتا اور وصول کنندہ ہمیشہ مسترد کرتا ہے۔ ان میں سے صرف پہلا پی بی ای ہے ؛ دوسرا پی بی ای نہیں ہے کیونکہ اس کی حمایت کسی عقیدے کے نظام سے نہیں کی جا سکتی۔ مزید مثالوں کے لیے، سگنلنگ game#Examples دیکھیں۔ مزید مثالوں کے لیے بھی دیکھیں۔ ملٹی اسٹیج گیمز میں پی بی ای ایک ملٹی اسٹیج گیم بیک وقت کھیلوں کا ایک سلسلہ ہے جو ایک کے بعد ایک کھیلا جاتا ہے۔ یہ کھیل ایک جیسے (بار بار کھیلے جانے والے کھیلوں کی طرح) یا مختلف ہو سکتے ہیں۔ عوامی اچھے کھیل کو دہرایا گیا مندرجہ ذیل کھیل فری رائڈر کے مسئلے کی ایک سادہ نمائندگی ہے۔ دو کھلاڑی ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک یا تو عوامی بھلائی بنا سکتا ہے یا تعمیر نہیں کر سکتا۔ اگر عوامی بھلائی کی تعمیر کی جاتی ہے تو ہر کھلاڑی کو 1 حاصل ہوتا ہے اور اگر نہیں تو 0 ؛ اس کے علاوہ، اگر کھلاڑی عوامی بھلائی کی تعمیر کرتا ہے، تو اسے قیمت ادا کرنی پڑتی ہے۔ اخراجات نجی معلومات ہیں-ہر کھلاڑی اپنی قیمت جانتا ہے لیکن دوسرے کی قیمت نہیں جانتا ہے۔ یہ صرف اتنا معلوم ہے کہ ہر لاگت کچھ امکانات کی تقسیم سے بے ترتیب طور پر آزادانہ طور پر تیار کی جاتی ہے۔ یہ اس کھیل کو بیسیائی کھیل بناتا ہے۔ ون اسٹیج گیم میں، ہر کھلاڑی اگر اور صرف اس صورت میں تعمیر کرتا ہے اگر ان کی لاگت تعمیر سے ان کے متوقع منافع سے کم ہو۔ تعمیر سے متوقع فائدہ اس امکان سے بالکل 1 گنا زیادہ ہے جو دوسرا کھلاڑی نہیں بناتا ہے۔ توازن میں، ہر کھلاڑی کے لیے، ایک حد تک لاگت ہوتی ہے، اس طرح کہ کھلاڑی صرف اس صورت میں حصہ ڈالتا ہے جب ان کی لاگت اس سے کم ہو۔ اس حد کی لاگت کا حساب کھلاڑیوں کے اخراجات کی امکانات کی تقسیم کی بنیاد پر لگایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اخراجات یکساں طور پر تقسیم کیے جاتے ہیں، تو ایک ہم آہنگ توازن ہوتا ہے جس میں دونوں کھلاڑیوں کی حد لاگت 2/3 ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک کھلاڑی جس کی لاگت 2/3 اور 1 کے درمیان ہے وہ حصہ نہیں ڈالے گا، حالانکہ اس کی لاگت فائدہ سے کم ہے، اس امکان کی وجہ سے کہ دوسرا کھلاڑی حصہ ڈالے گا۔ اب فرض کریں کہ یہ کھیل دو بار دہرایا گیا ہے۔ دونوں کھیل آزاد ہوتے ہیں، یعنی ہر دن کھلاڑی بیک وقت فیصلہ کرتے ہیں کہ اس دن عوامی سامان بنانا ہے یا نہیں، اگر اس دن سامان بنایا جاتا ہے تو 1 کی ادائیگی حاصل کریں، اور اگر اس دن بنایا گیا ہے تو اس کی قیمت ادا کریں۔ کھیلوں کے درمیان واحد تعلق یہ ہے کہ پہلے دن کھیلنے سے کھلاڑی اپنے اخراجات کے بارے میں کچھ معلومات ظاہر کر سکتے ہیں، اور یہ معلومات دوسرے دن کے کھیل کو متاثر کر سکتی ہیں۔ ہم ایک سمیٹرک پی بی ای تلاش کر رہے ہیں۔ پہلے دن میں دونوں کھلاڑیوں کی دہلیز لاگت سے نشان زد کریں (لہذا پہلے دن میں، ہر کھلاڑی اگر اور صرف بناتا ہے-اگر ان کی لاگت زیادہ سے زیادہ ہو)۔ حساب لگانے کے لیے، ہم پیچھے کی طرف کام کرتے ہیں اور دوسرے دن میں کھلاڑیوں کے اعمال کا تجزیہ کرتے ہیں۔ ان کے اعمال کا انحصار تاریخ پر ہوتا ہے (= پہلے دن کے دو اعمال)، اور تین اختیارات ہیں: پہلے دن میں، کوئی کھلاڑی نہیں بنایا گیا۔ تو اب دونوں کھلاڑی جانتے ہیں کہ ان کے مخالف کی قیمت اس سے زیادہ ہے۔ وہ اسی کے مطابق اپنے عقیدے کو اپ ڈیٹ کرتے ہیں، اور یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ اس بات کا امکان کم ہے کہ ان کا مخالف دوسرے دن تعمیر کرے گا۔ لہذا، وہ اپنی حد کی لاگت میں اضافہ کرتے ہیں، اور دوسرے دن میں حد کی لاگت ہے۔ پہلے دن، دونوں کھلاڑیوں نے تعمیر کیا۔ تو اب دونوں کھلاڑی جانتے ہیں کہ ان کے مخالف کی قیمت اس سے کم ہے۔ وہ اسی کے مطابق اپنے عقیدے کو اپ ڈیٹ کرتے ہیں، اور یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ اس بات کا زیادہ امکان ہے کہ ان کا مخالف دوسرے دن تعمیر کرے گا۔ لہذا، وہ اپنی حد کی لاگت کو کم کرتے ہیں، اور دوسرے دن میں حد کی لاگت ہے۔ پہلے دن، بالکل ایک کھلاڑی بنایا گیا ؛ فرض کریں کہ یہ کھلاڑی 1 ہے۔ تو اب یہ معلوم ہوتا ہے کہ پلیئر 1 کی قیمت نیچے ہے اور پلیئر 2 کی قیمت اوپر ہے۔ ایک توازن ہے جس میں دوسرے دن کے اعمال پہلے دن کے اعمال سے ملتے جلتے ہیں-کھلاڑی 1 بناتا ہے اور کھلاڑی 2 نہیں بناتا ہے۔ ان حالات میں سے ہر ایک میں "تھریشولڈ پلیئر" (بالکل لاگت والا کھلاڑی) کی متوقع ادائیگی کا حساب لگانا ممکن ہے۔ چونکہ حد کے کھلاڑی کو حصہ ڈالنے اور حصہ نہ ڈالنے کے درمیان لاتعلق ہونا چاہیے، اس لیے دن 1 کی حد کی لاگت کا حساب لگانا ممکن ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ حد ایک مرحلے کے کھیل میں حد سے کم ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، دو مراحل والے کھیل میں، کھلاڑی ایک مراحل والے کھیل کے مقابلے میں تعمیر کرنے کے لیے کم تیار ہوتے ہیں۔ بدیہی طور پر، وجہ یہ ہے کہ، جب کوئی کھلاڑی پہلے دن میں حصہ نہیں ڈالتا ہے، تو وہ دوسرے کھلاڑی کو یقین دلاتے ہیں کہ ان کی قیمت زیادہ ہے، اور اس سے دوسرا کھلاڑی دوسرے دن میں حصہ ڈالنے کے لیے زیادہ تیار ہوتا ہے۔ چھلانگ لگانے والی بولی کھلی انگریزی نیلامی میں، بولی لگانے والے موجودہ قیمت کو چھوٹے مراحل میں بڑھا سکتے ہیں (مثال کے طور پر۔ ہر بار $1 میں)۔ تاہم، اکثر جمپ بولی ہوتی ہے-کچھ بولی لگانے والے موجودہ قیمت میں کم سے کم اضافے سے کہیں زیادہ اضافہ کرتے ہیں۔ اس کی ایک وضاحت یہ ہے کہ یہ دوسرے بولی دہندگان کے لیے ایک اشارہ کے طور پر کام کرتا ہے۔ ایک پی بی ای ہوتا ہے جس میں ہر بولی لگانے والا اگر اور صرف اس صورت میں چھلانگ لگاتا ہے جب اس کی قیمت ایک مخصوص حد سے اوپر ہو۔ چھلانگ bidding#signaling دیکھیں۔ ترتیب وار توازن بھی دیکھیں-پی بی ای کی ایک اصلاح، جو ان عقائد کو محدود کرتی ہے جو توازن سے باہر کی معلومات کے سیٹ کو "معقول" پر تفویض کیا جا سکتا ہے۔ بدیہی معیار اور الہی توازن-پی بی ای کی دیگر اصلاحات، خاص طور پر سگنلنگ گیمز کے لیے۔ حوالہ جات گیم تھیوری توازن تصورات غیر تعاون پر مبنی کھیل