Minimum-variance unbiased estimator
اعداد و شمار میں کم از کم تغیر غیر جانبدار تخمینہ کار (ایم وی یو ای) یا یکساں طور پر کم از کم تغیر غیر جانبدار تخمینہ کار (یو ایم وی یو ای) ایک غیر جانبدار تخمینہ کار ہے جس میں پیرامیٹر کی تمام ممکنہ اقدار کے لیے کسی بھی دوسرے غیر جانبدار تخمینہ کار سے کم تغیر ہوتا ہے۔ عملی اعداد و شمار کے مسائل کے لیے، ایم وی یو ای کا تعین کرنا ضروری ہے اگر کوئی موجود ہے، کیونکہ قدرتی طور پر زیادہ سے کم طریقہ کار سے گریز کیا جائے گا، دوسری چیزیں برابر ہوں گی۔ اس سے زیادہ سے زیادہ تخمینہ کے مسئلے سے متعلق شماریاتی نظریہ کی خاطر خواہ ترقی ہوئی ہے۔ غیر جانبداری کی رکاوٹ کو کم سے کم تغیر کے مطلوبہ میٹرک کے ساتھ جوڑنے سے زیادہ تر عملی ترتیبات میں اچھے نتائج برآمد ہوتے ہیں-جس سے ایم وی یو ای تجزیہ کی ایک وسیع رینج کے لیے ایک فطری نقطہ آغاز بن جاتا ہے-ایک ٹارگٹڈ تفصیلات کسی دیئے گئے مسئلے کے لیے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کر سکتی ہیں۔ اس طرح، ایم وی یو ای ہمیشہ بہترین اسٹاپ پوائنٹ نہیں ہوتا ہے۔ تعریف اعداد و شمار یعنی ڈی پر مبنی تخمینے پر غور کریں۔ کثافت کے خاندان کے کسی رکن سے، پیرامیٹر کی جگہ کہاں ہے۔ ایک غیر جانبدار تخمینہ لگانے والا UMVUE ہے اگر، کسی دوسرے غیر جانبدار تخمینہ لگانے والے کے لیے اگر کوئی غیر جانبدار تخمینہ لگانے والا موجود ہے، تو کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ ایک بنیادی طور پر منفرد MVUE موجود ہے۔ راؤ-بلیک ویل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے یہ بھی ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ایم وی یو ای کا تعین کرنا محض خاندان کے لیے ایک مکمل کافی اعداد و شمار تلاش کرنے اور اس پر کسی بھی غیر جانبدار اندازے لگانے والے کو کنڈیشنگ کرنے کا معاملہ ہے۔ مزید برآں، لیمن-شیف تھیوریم کے مطابق، ایک غیر جانبدار تخمینہ لگانے والا جو ایک مکمل، کافی اعداد و شمار کا فنکشن ہے، UMVUE تخمینہ لگانے والا ہے۔ رسمی طور پر، فرض کریں کہ اس کے لیے غیر جانبدار ہے، اور یہ کثافت کے خاندان کے لیے مکمل طور پر کافی اعداد و شمار ہیں۔ اس کے بعد ایک بایسیئن اینالاگ کے لیے ایم وی یو ای ایک بایئز تخمینہ ہے، خاص طور پر کم از کم اوسط مربع غلطی (ایم ایم ایس ای) کے ساتھ۔ تخمینہ کار کا انتخاب ایک موثر تخمینہ کار کے موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن اگر ایسا ہوتا ہے اور اگر یہ غیر جانبدار ہے تو یہ ایم وی یو ای ہے۔ چونکہ ایک تخمینہ کار کی اوسط مربع غلطی (ایم ایس ای) δ ہے ایم وی یو ای غیر جانبدار تخمینہ کاروں میں ایم ایس ای کو کم سے کم کرتا ہے۔ کچھ معاملات میں متعصبانہ تخمینہ لگانے والوں کے پاس ایم ایس ای کم ہوتا ہے کیونکہ ان میں کسی بھی غیر جانبدار تخمینہ لگانے والے کے مقابلے میں کم تغیر ہوتا ہے۔ تخمینہ لگانے والے کا تعصب دیکھیں۔ مثال اعداد و شمار کو کثافت کے ساتھ بالکل مسلسل تقسیم سے ایک واحد مشاہدہ سمجھیں اور ہم اس کا UMVU تخمینہ تلاش کرنا چاہتے ہیں۔ پہلے ہم تسلیم کرتے ہیں کہ کثافت کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جو کافی اعداد و شمار کے ساتھ ایک متغیر خاندان ہے۔ درحقیقت یہ ایک مکمل رینک ایکسپونینشیل فیملی ہے، اور اس لیے کافی مکمل ہے۔ ایک مشتق کے لیے ایکسپونینشیل فیملی دیکھیں جو ظاہر کرتا ہے۔ لہذا، یہاں ہم ایم وی یو ای کو حاصل کرنے کے لیے لیمن-شیف تھیوریم کا استعمال کرتے ہیں۔ واضح طور پر غیر جانبدار ہے اور مکمل طور پر کافی ہے، اس طرح یو ایم وی یو تخمینہ لگانے والا ہے۔ یہ مثال واضح کرتی ہے کہ مکمل کافی اعداد و شمار کا غیر جانبدار فنکشن یو ایم وی یو ہوگا، جیسا کہ لیمن-شیف تھیوریم بیان کرتا ہے۔ دیگر مثالیں نامعلوم اوسط اور تغیر کے ساتھ معمول کی تقسیم کے لیے، نمونے کا اوسط اور (غیر جانبدار) نمونے کا تغیر آبادی کے اوسط اور آبادی کے تغیر کے لیے ایم وی یو ای ہیں۔ تاہم، آبادی کے معیاری انحراف کے لیے نمونہ معیاری انحراف غیر جانبدار نہیں ہے-معیاری انحراف کا غیر جانبدار تخمینہ دیکھیں۔ مزید برآں، دیگر تقسیمات کے لیے نمونے کا اوسط اور نمونے کا تغیر عام طور پر ایم وی یو ای میں نہیں ہے-نامعلوم اوپری اور نچلی حدود کے ساتھ یکساں تقسیم کے لیے، درمیانی رینج آبادی کے اوسط کے لیے ایم وی یو ای ہے۔ اگر k مثالیں سیٹ {1,2,., N} پر نامعلوم اوپری باؤنڈ N کے ساتھ ایک مجرد یکساں تقسیم سے (متبادل کے بغیر) منتخب کی جاتی ہیں، تو N کے لیے MVUE وہ جگہ ہے جہاں m نمونہ زیادہ سے زیادہ ہے۔ یہ نمونے کی زیادہ سے زیادہ پیمائش شدہ اور منتقل شدہ (اتنی غیر جانبدارانہ) تبدیلی ہے، جو کہ کافی اور مکمل اعداد و شمار ہے۔ تفصیلات کے لیے جرمن ٹینک کا مسئلہ دیکھیں۔ یہ بھی دیکھیں Cramér-Rao پابند بہترین لکیری غیر جانبدار تخمینہ کار (BLUE) ویاس-تغیر ٹریڈ آف لیمن-شیف تھیوریم U-شماریاتی بایسیئن ینالاگس بایس تخمینہ کار کم از کم اوسط مربع غلطی (MMSE) حوالہ جات کینر، رابرٹ ڈبلیو۔ (2010)۔ نظریاتی اعداد و شمار: بنیادی کورس کے موضوعات۔ نیویارک: سپرنگر۔ ڈی او آئی 10.1007/978-0-387-93839-4 تخمینہ کار