Contorsion tensor
تفریقی جیومیٹری میں کنٹورشن ٹینسر اس میں ٹورسن کے ساتھ اور اس کے بغیر تعلق کے درمیان فرق ہے۔ یہ عام طور پر اسپن کنکشن کے مطالعہ میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس طرح، مثال کے طور پر، ایک ویلبین ایک اسپن کنکشن کے ساتھ مل کر، جب ٹورسن کے غائب ہونے کی حالت کے تابع ہوتا ہے، تو آئن سٹائن کشش ثقل کی تفصیل دیتا ہے۔ سپرسیمیٹری کے لیے، وہی رکاوٹ، غائب ہونے والے ٹورسن کی، 11 جہتی سپر گریویٹی (کی فیلڈ مساوات) دیتی ہے۔ یعنی، کنکشن کے ساتھ کونٹورشن ٹینسر، نظریہ کی متحرک اشیاء میں سے ایک بن جاتا ہے، جو میٹرک کو ثانوی، اخذ کردہ کردار میں گھٹا دیتا ہے۔ کسی کنکشن میں ٹورسن کے خاتمے کو ٹورسن کا جذب کہا جاتا ہے، اور یہ ہندسی ڈھانچے کی مساوات کو قائم کرنے کے لیے کارٹن کے مساوات کے طریقہ کار کے مراحل میں سے ایک ہے۔ میٹرک جیومیٹری میں تعریف میٹرک جیومیٹری میں، کونٹورشن ٹینسر کرسٹوفیل علامت کے ساتھ میٹرک ہم آہنگ افائن کنکشن اور اسی میٹرک کے لیے منفرد ٹورسن فری لیوی-سیویتا کنکشن کے درمیان فرق کا اظہار کرتا ہے۔ کنٹورشن ٹینسر کو ٹورسن ٹینسر کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے (ایک علامت تک، نیچے دیکھیں) جہاں انڈیکس کو میٹرک کے حوالے سے اٹھایا اور کم کیا جا رہا ہے: کنٹورشن ٹینسر کی تعریف میں غیر واضح رقم کی وجہ رقم کے فرق کی وجہ سے ہے جو میٹرک مطابقت کو نافذ کرتا ہے۔ کنٹورشن ٹینسر پہلے دو اشاریوں میں اینٹیسیمیٹرک ہے، جبکہ ٹورسن ٹینسر خود اپنے آخری دو اشاریوں میں اینٹیسیمیٹرک ہے۔ یہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ مکمل میٹرک ہم آہنگ افائن کنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں ٹورسن فری لیوی-سیویتا کنکشن: افائن جیومیٹری میں تعریف افائن جیومیٹری میں، کسی کے پاس میٹرک نہیں ہوتا ہے اور نہ ہی میٹرک کنکشن ہوتا ہے، اور اس لیے کوئی مانگ پر انڈیکس کو بڑھانے اور کم کرنے کے لیے آزاد نہیں ہوتا ہے۔ کوئی بھی اب بھی سولڈر فارم کا استعمال کرکے اسی طرح کا اثر حاصل کر سکتا ہے، جس سے بنڈل کو اس کی بنیادی جگہ پر کیا ہو رہا ہے اس سے متعلق ہونے کی اجازت ملتی ہے۔ یہ ایک واضح طور پر ہندسی نقطہ نظر ہے، جس میں ٹینسرز اب فائبر بنڈل کے عمودی اور افقی بنڈلوں میں ہندسی اشیاء ہیں، بجائے اس کے کہ صرف بیس اسپیس پر بیان کردہ الجبرائی اشیاء کو انڈیکس کیا جائے۔ اس صورت میں، کوئی ایک کنٹورشن ٹینسر بنا سکتا ہے، جو ٹینجینٹ بنڈل پر ایک شکل کے طور پر رہتا ہے۔ یاد رکھیں کہ کنکشن کے ٹورسن کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ سولڈر کی شکل کہاں ہے (ٹاٹولوجیکل ون فارم)۔ سبسکرپٹ صرف ایک یاد دہانی کے طور پر کام کرتا ہے کہ یہ ٹورسن ٹینسر کنکشن سے حاصل کیا گیا تھا۔ اوپر والے حصے پر ٹورسن ٹینسر پر انڈیکس کو کم کرنے کی مشابہت سے، کوئی بھی سولڈر فارم کے ساتھ اسی طرح کا آپریشن کر سکتا ہے، اور ٹینسر بنا سکتا ہے۔ اس ٹینسر کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ مقدار کونٹورشن کی شکل ہے اور بالکل وہی ہے جو ٹورسن فری لیوی-سیویٹا کنکشن حاصل کرنے کے لیے من مانی کنکشن میں شامل کرنے کی ضرورت ہے۔ یعنی، ایہرسمان کنکشن کو دیکھتے ہوئے، ایک اور کنکشن ہے جو ٹورسن سے پاک ہے۔ اس کے بعد ٹورسن کا غائب ہونا یا ہونے کے برابر ہوتا ہے۔ اسے ایک فیلڈ مساوات کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو کنکشن کی حرکیات کو کنٹورسن ٹینسر سے متعلق ہے۔ مشتق ایک میٹرک ہم آہنگ افائن کنکشن کو تیزی سے حاصل کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ لیوی-سیویٹا کنکشن کے مشتق میں استعمال ہونے والے رقم کے فرق کے خیال کو دہرایا جائے لیکن ٹورسن کو صفر نہ لیا جائے۔ ذیل میں ایک مشتق ہے۔ مشتق کے لیے کنونشن (کنکشن کوفیشنٹس کو اس طرح بیان کرنے کا انتخاب کریں۔ گیج تھیوری میں کنکشن-ون فارمز کا محرک ہے): ہم میٹرک مطابقت پذیر حالت سے شروع کرتے ہیں: اب ہم رقم کے فرق کا استعمال کرتے ہیں (حالت پر انڈیکس کو سائیکل کریں): اب ہم کنکشن کو دوبارہ لکھنے کے لیے نیچے دی گئی ٹورسن ٹینسر کی تعریف (ہولونومک فریم کے لیے) استعمال کرتے ہیں: نوٹ کریں کہ ٹورسن کی اس تعریف میں معمول کے برعکس علامت ہوتی ہے جب کنکشن کوفیشنٹس کے نچلے انڈیکس آرڈر کے لیے مندرجہ بالا کنونشن کا استعمال کرتے ہیں، یعنی۔ جیومیٹری کے نیچے والے حصے میں کوآرڈینیٹ فری تعریف کے طور پر اس کی مخالف علامت ہے۔ اس عدم مطابقت کو درست کرنے (جو ادب میں عام معلوم ہوتا ہے) کے نتیجے میں مخالف علامت کے ساتھ ایک متضاد تناؤ پیدا ہوگا۔ ٹورسن ٹینسر کی تعریف کو اس میں تبدیل کریں جو ہمارے پاس ہے: اسے صاف کریں اور اصطلاحات کی طرح یکجا کریں ٹورسن کی اصطلاحات ایک ایسی چیز بنانے کے لیے یکجا ہوتی ہیں جو ٹینسوریل طور پر تبدیل ہوتی ہے۔ چونکہ یہ اصطلاحات میٹرک مطابقت پذیری انداز میں ایک ساتھ مل جاتی ہیں، اس لیے انہیں ایک نام دیا جاتا ہے، کونٹورشن ٹینسر، جو میٹرک مطابقت پذیری افائن کنکشن کے سکیو-سمیٹرک حصے کا تعین کرتا ہے۔ ہم یہاں اس کی وضاحت اس محرک کے ساتھ کریں گے کہ یہ اوپر کی مساوات کے بائیں ہاتھ کے اشارے سے میل کھاتا ہے۔ ٹورسن ٹینسر کی اینٹی سمیٹری کا استعمال کرتے ہوئے صفائی کرنے سے وہ حاصل ہوتا ہے جسے ہم کونٹورسن ٹینسر کے طور پر بیان کریں گے: اسے اپنے اظہار میں واپس ڈالتے ہوئے، ہمارے پاس ہے: اب کنکشن کوفیشنٹس کو الگ کریں، اور ٹورسن کی اصطلاحات کو ایک ساتھ گروپ کریں: یاد رکھیں کہ جزوی مشتقات کے ساتھ پہلی اصطلاح لیوی-سیویٹا کنکشن کا اظہار ہے جو اکثر رشتہ داروں کے ذریعہ استعمال ہوتا ہے۔ اس کے بعد، مندرجہ ذیل کو ٹورسن فری لیوی-سیویٹا کنکشن کے طور پر بیان کریں: پھر ہمارے پاس یہ ہے کہ مکمل میٹرک ہم آہنگ افائن کنکشن کو اب اس طرح لکھا جا سکتا ہے: ٹیلی پیرالیلزم سے تعلق۔ ٹیلی پیرالیلزم کے نظریہ میں، کسی کا سامنا ایک کنکشن، ویٹزن بیک کنکشن سے ہوتا ہے، جو چپٹا ہوتا ہے (ریمن کے منحنی پن کو ختم کرتا ہے) لیکن اس میں غیر معدوم ٹورسن ہوتا ہے۔ چپٹی پن بالکل وہی ہے جو متوازی فریم فیلڈز کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ ان تصورات کو سپر منی فولڈز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ بیلین فینٹے-روزن فیلڈ اسٹریس-انرجی ٹینسر حوالہ جات ٹینسرز ریمینیئن جیومیٹری کنکشن (ریاضی) بھی دیکھیں۔