Cassini and Catalan identities
کیسینی کی شناخت (جسے بعض اوقات سمسن کی شناخت کہا جاتا ہے) اور کاتالان کی شناخت فبونیکی نمبروں کے لیے ریاضیاتی شناخت ہیں۔ کیسینی کی شناخت، کاتالان کی شناخت کا ایک خاص معاملہ، بیان کرتا ہے کہ n ویں فبونیکی نمبر کے لیے، یہاں نوٹ کو 0 لیا گیا ہے، اور اسے 1 لیا گیا ہے۔ کاتالان کی شناخت اس کو عام کرتی ہے: وجدا کی شناخت اس کو عام کرتی ہے: ہسٹری کیسینی کا فارمولا 1680 میں پیرس آبزرویٹری کے اس وقت کے ڈائریکٹر جیوانی ڈومینیکو کیسینی نے دریافت کیا تھا، اور آزادانہ طور پر رابرٹ سمسن (1753) نے ثابت کیا تھا۔ تاہم جوہانس کیپلر غالبا 1608 میں پہلے سے ہی اس شناخت کو جانتے تھے۔ کاتالان کی شناخت کا نام یوجین کاتالان (1814-1894) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ یہ ان کے نجی تحقیقی نوٹوں میں سے ایک میں پایا جا سکتا ہے، جس کا عنوان "سور لا سیری ڈی لامے" ہے اور اس کی تاریخ اکتوبر 1879 ہے۔ تاہم، شناخت ان کے جمع کردہ کاموں کے حصے کے طور پر دسمبر 1886 تک پرنٹ میں ظاہر نہیں ہوئی۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ کچھ لوگ 1879 اور دوسرے 1886 کو کاتالان کی شناخت کی تاریخ کیوں دیتے ہیں۔ ہنگری-برطانوی ریاضی دان اسٹیون وجدا (1901-95) نے فبونیکی نمبروں (فبونیکی اور لوکاس نمبرز، اور گولڈن سیکشن: تھیوری اینڈ ایپلی کیشنز، 1989) پر ایک کتاب شائع کی جس میں ان کے نام کی شناخت موجود ہے۔ تاہم یہ شناخت پہلے ہی 1960 میں ڈسٹن ایورمین نے دی امریکن میتھمیٹیکل منتھلی میں مسئلہ 1396 کے طور پر شائع کی تھی۔ کیسینی شناخت کا ثبوت بذریعہ میٹرکس تھیوری کیسینی کی شناخت کا ایک فوری ثبوت مساوات کے بائیں جانب کو فبونیکی نمبروں کے 2 × 2 میٹرکس کے تعین کنندہ کے طور پر پہچان کر دیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ تقریبا فوری ہوتا ہے جب میٹرکس کو ڈیٹرمیننٹ −1 کے ساتھ میٹرکس کی th پاور کے طور پر دیکھا جاتا ہے: انڈکشن کے ذریعے ثبوت انڈکشن بیان پر غور کریں: بیس کیس درست ہے۔ فرض کریں کہ بیان درست ہے۔ پھر: تو بیان تمام انٹیجرز کے لیے درست ہے۔ کاتالان شناخت کا ثبوت ہم بینیٹ کا فارمولا استعمال کرتے ہیں، وہ، کہاں اور۔ اس لیے، اور۔ لہذا، استعمال کرنا، اور پھر جیسا کہ، لوکاس نمبر کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، کیونکہ s کو منسوخ کرنے سے نتیجہ ملتا ہے۔ نوٹوں کے حوالہ جات بیرونی روابط کیسینی کی شناخت کا ثبوت فبونیکی نمبروں کے لیے کاتالان کے شناختی کیسینی فارمولے کا ثبوت فبونیکی اور فائی فارمولا ریاضیاتی شناخت فبونیکی نمبر ثبوت پر مشتمل مضامین جیوانی ڈومینیکو کیسینی