Mapping cylinder
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی ٹوپولوجی، ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے درمیان ایک مسلسل فنکشن کا نقشہ سازی سلنڈر اور وہ حصص ہے جہاں جداگانہ اتحاد کی نشاندہی کرتا ہے، اور اس کے ذریعہ پیدا ہونے والا مساوات کا تعلق ہے۔ نوٹ کریں کہ سلنڈر کا "اوپر" ہومومورفک ہے، جبکہ "نیچے" جگہ ہے۔ اشارے کے لیے لکھنا، اور استعمال کرنا یا نقشہ سازی سلنڈر کی تعمیر کے لیے عام ہے۔ یعنی، کوئی سبسکرپٹ شدہ کپ کی علامت کے ساتھ لکھتا ہے جو مساوات کی نشاندہی کرتا ہے۔ نقشہ سازی سلنڈر عام طور پر نقشہ سازی شنک کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتا ہے، جو سلنڈر کے ایک سرے کو ایک نقطہ پر گرانے سے حاصل ہوتا ہے۔ نقشہ سازی کے سلنڈر کوفیبریشن کی تعریف میں مرکزی حیثیت رکھتے ہیں۔ بنیادی خصوصیات نیچے Y کا ایک ڈیفارمیشن ریٹریکٹ ہے۔ پروجیکشن تقسیم ہوتا ہے (ویا)، اور ڈیفارمیشن ریٹریکشن اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے: (جہاں پوائنٹس سب کے لیے مقررہ رہتے ہیں)۔ نقشہ ایک ہوموٹوپی مساوات ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب "ٹاپ" ایک مضبوط ڈیفارمیشن ریٹریکٹ ہو۔ مضبوط ڈیفارمیشن ریٹریکشن کے لیے ایک واضح فارمولا تیار کیا جا سکتا ہے۔ مثال فائبر بنڈل کی نقشہ سازی سلنڈر فائبر کے ساتھ فائبر بنڈل کے لیے، نقشہ سازی سلنڈر کا مساوی تعلق ہوتا ہے۔ پھر، ایک کینونکل نقشہ ہوتا ہے جو ایک نقطہ کو نقطہ پر بھیجتا ہے، جس سے ایک فائبر بنڈل ملتا ہے جس کا فائبر شنک ہوتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، نوٹ کریں کہ ایک نقطہ پر فائبر حصص کی جگہ ہے جہاں ہر نقطہ مساوی ہے۔ تشریح نقشہ سازی سلنڈر کو من مانی نقشے کو مساوی ہم آہنگی سے تبدیل کرنے کے ایک طریقے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، مندرجہ ذیل معنوں میں: نقشے کو دیکھتے ہوئے، نقشہ سازی سلنڈر ایک جگہ ہے، جس میں ہم آہنگی اور سرجیکٹو ہوموٹوپی مساوات (درحقیقت، Y ایک اخترتی کی واپسی ہے) کے ساتھ مل کر، اس طرح کہ ساخت f کے برابر ہوتی ہے۔ اس طرح جگہ Y کو ہوموٹوپی مساوی جگہ سے تبدیل کر دیا جاتا ہے، اور نقشہ f کو اٹھائے ہوئے نقشے سے تبدیل کر دیا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، خاکہ ان کے درمیان ہوموٹوپی مساوات کے ساتھ مل کر ایک خاکہ سے تبدیل ہو جاتا ہے۔ یہ تعمیر ٹوپوولوجیکل خالی جگہوں کے کسی بھی نقشے کو ہوموٹوپی کے مساوی کوفیبریشن سے تبدیل کرنے کا کام کرتی ہے۔ نوٹ کریں کہ نقطہ نظر سے، کوفائبریشن ایک بند شمولیت ہے۔ ایپلی کیشنز میپنگ سلنڈر کافی عام ہوموٹوپیکل ٹولز ہیں۔ نقشہ سازی کے سلنڈروں کا ایک استعمال عام نقشوں میں خالی جگہوں کو شامل کرنے سے متعلق نظریات کا اطلاق کرنا ہے، جو انجیکشن نہیں ہو سکتے ہیں۔ نتیجتا، نظریات یا تکنیکیں (جیسے ہومیولوجی، کوہمولوجی یا ہوموٹوپی تھیوری) جو صرف خالی جگہوں اور نقشوں کی ہوموٹوپی کلاس پر منحصر ہیں، اس مفروضے کے ساتھ لاگو کی جا سکتی ہیں کہ اور یہ دراصل ایک ذیلی جگہ کی شمولیت ہے۔ تعمیر کی ایک اور، زیادہ بدیہی اپیل یہ ہے کہ یہ کسی فنکشن کی معمول کی ذہنی شبیہہ کے مطابق پوائنٹس کو "بھیجنے" کے طور پر مطابقت رکھتی ہے اور اس وجہ سے اس حقیقت کے باوجود کہ فنکشن کو ون ٹو ون ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ کٹیگوریکل ایپلی کیشن اور تشریح کوئی بھی نقشہ سازی سلنڈر کو ہوموٹوپی کولیمیٹس کی تعمیر کے لیے استعمال کر سکتا ہے: یہ عام بیان سے ملتا ہے کہ تمام پش آؤٹ اور کویکوئلائزر والے کسی بھی زمرے میں تمام کولیمیٹس ہوتے ہیں۔ یعنی، ایک خاکہ دیا گیا ہے، نقشوں کو کوفیبریشنز (میپنگ سلنڈر کا استعمال کرتے ہوئے) سے تبدیل کریں اور پھر عام نقطہ نظر کی حد لیں (کسی کو تھوڑا زیادہ خیال رکھنا چاہیے، لیکن میپنگ سلنڈر ایک جزو ہیں)۔ اس کے برعکس، نقشہ سازی سلنڈر خاکہ کا ہوموٹوپی پش آؤٹ ہے جہاں اور۔ نقشہ سازی کی دوربین نقشوں کی ترتیب کو دیکھتے ہوئے نقشہ سازی کی دوربین ہوموٹوپیکل براہ راست حد ہے۔ اگر نقشے پہلے سے ہی ہم آہنگ ہیں (جیسے کہ آرتھوگنل گروپوں کے لیے)، تو براہ راست حد اتحاد ہے، لیکن عام طور پر نقشہ سازی کی دوربین کا استعمال کرنا چاہیے۔ نقشہ سازی کی دوربین نقشہ سازی کے سلنڈروں کا ایک سلسلہ ہے، جو آخر سے آخر تک جڑا ہوا ہے۔ تعمیر کی تصویر ایک دوربین کی طرح بڑھتے ہوئے بڑے سلنڈروں کے ڈھیر کی طرح نظر آتی ہے۔ رسمی طور پر، اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جیسے کوفیبریشن میپنگ سلنڈر (ہومیولوجیکل الجبرا) ہوموٹوپی کولمیٹ میپنگ پاتھ اسپیس، جسے میپنگ کوکیلینڈر حوالہ جات الجبرائی ٹوپولوجی کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔