Projection-slice theorem
ریاضی میں، پروجیکشن سلائس تھیوریم، سنٹرل سلائس تھیوریم یا فورئیر سلائس تھیوریم دو جہتوں میں بیان کرتا ہے کہ درج ذیل دو حسابات کے نتائج برابر ہیں: دو جہتی فنکشن f (r)، پروجیکٹ (مثال کے طور پر۔ ریڈان ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے) اسے (ایک جہتی) لائن پر، اور اس پروجیکشن کا فورئیر ٹرانسفارم کریں۔ وہی فنکشن لیں، لیکن پہلے دو جہتی فورئیر ٹرانسفارم کریں، اور پھر اسے اس کے اصل کے ذریعے کاٹ دیں، جو پروجیکشن لائن کے متوازی ہے۔ آپریٹر کے لحاظ سے، اگر F1 اور F2 اوپر بیان کردہ 1-اور 2-جہتی فورئیر ٹرانسفارم آپریٹر ہیں، تو P1 پروجیکشن آپریٹر ہے (جو 1-D لائن پر 2-D فنکشن کو پیش کرتا ہے)، S1 ایک سلائس آپریٹر ہے (جو کسی فنکشن سے 1-D مرکزی ٹکڑا نکالتا ہے)، تو اس خیال کو اعلی جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ یہ نظریہ، مثال کے طور پر، طبی سی ٹی اسکین کے تجزیے میں استعمال ہوتا ہے جہاں "پروجیکشن" کسی اندرونی اعضاء کی ایک ایکس رے تصویر ہوتی ہے۔ ان تصاویر کے فورئیر ٹرانسفارمز کو اندرونی اعضاء کی 3 جہتی کثافت کے فورئیر ٹرانسفارمز کے ذریعے سلائسز کے طور پر دیکھا جاتا ہے، اور ان سلائسز کو اس کثافت کی مکمل فورئیر ٹرانسفارمز بنانے کے لیے انٹرپولیٹ کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد الٹا فورئیر ٹرانسفارم کو آبجیکٹ کی 3 جہتی کثافت کو بازیافت کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ تکنیک سب سے پہلے 1956 میں رونالڈ این بریس ویل نے ریڈیو فلکیات کے مسئلے کے لیے تیار کی تھی۔ N جہتوں میں پروجیکشن-سلائس تھیوریم N جہتوں میں، پروجیکشن-سلائس تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک N-جہتی فنکشن f (r) کے پروجیکشن کا m-جہتی لکیری ذیلی منی فولڈ پر فورئیر ٹرانسفارم اس فنکشن کے N-جہتی فورئیر ٹرانسفارم کے m-جہتی ٹکڑے کے برابر ہے جو فورئیر اسپیس میں اصل کے ذریعے m-جہتی لکیری ذیلی منی فولڈ پر مشتمل ہے جو پروجیکشن ذیلی منی فولڈ کے متوازی ہے۔ آپریٹر کے لحاظ سے: عمومی فورئیر-سلائس تھیوریم N طول و عرض کو عام کرنے کے علاوہ، پروجیکشن-سلائس تھیوریم کو بنیاد کی من مانی تبدیلی کے ساتھ مزید عام کیا جا سکتا ہے۔ اشارے کی سہولت کے لیے، ہم بنیاد کی تبدیلی کو B کے طور پر پیش کرنے پر غور کرتے ہیں، جو کہ N-جہتی کالم ویکٹر پر کام کرنے والا N-by-N الٹا میٹرکس ہے۔ پھر عمومی فورئیر-سلائس تھیوریم کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے کہ بیس ٹرانسفارم کی تبدیلی کے الٹا کا ٹرانسپوز کہاں ہے۔ دو جہتوں میں ثبوت پروجیکشن-سلائس تھیوریم دو جہتوں کے معاملے میں آسانی سے ثابت ہوتا ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، ہم پروجیکشن لائن کو ایکس محور کے طور پر لے سکتے ہیں۔ عام طور پر کوئی نقصان نہیں ہوتا ہے کیونکہ اگر ہم منتقل شدہ اور گھومتی ہوئی لکیر کا استعمال کرتے ہیں تو پھر بھی قانون لاگو ہوتا ہے۔ منتقل شدہ لکیر (y میں) کا استعمال ایک ہی پروجیکشن دیتا ہے اور اسی وجہ سے وہی 1D فورئیر ٹرانسفارم نتائج دیتا ہے۔ گھمایا ہوا فنکشن گھمایا ہوا فورئیر ٹرانسفارم کا فورئیر جوڑا ہے، جس کے لیے تھیوریم دوبارہ برقرار ہے۔ اگر f (x, y) ایک دو جہتی فعل ہے، تو x محور پر f (x, y) کا پروجیکشن p (x) ہے جہاں کا فورئیر ٹرانسفارم p (x) ہے۔ اعلی طول و عرض کے ثبوت کو مندرجہ بالا مثال سے آسانی سے عام کیا جاتا ہے۔ اگر دو جہتی فنکشن f (r) سرکلر سمیٹرک ہے، تو اسے f (r) کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، جہاں r = |r | ہے۔ اس صورت میں کسی بھی پروجیکشن لائن پر پروجیکشن f (r) کا ایبل ٹرانسفارم ہوگا۔ f (r) کا دو جہتی فورئیر ٹرانسفارم ایک سرکلر سمیٹرک فنکشن ہوگا جو f (r) کے زیروتھ آرڈر ہینکل ٹرانسفارم کے ذریعے دیا جاتا ہے، جو اس لیے اصل کے ذریعے کسی بھی ٹکڑے کی نمائندگی بھی کرے گا۔ پروجیکشن-سلائس تھیوریم پھر بیان کرتا ہے کہ پروجیکشن کا فورئیر ٹرانسفارم سلائس کے برابر ہے یا جہاں A1 ایبل-ٹرانسفارم آپریٹر کی نمائندگی کرتا ہے، ایک جہتی لائن پر دو جہتی سرکلر سمیٹرک فنکشن کو پیش کرتا ہے، F1 1-D فورئیر-ٹرانسفارم آپریٹر کی نمائندگی کرتا ہے، اور H زیروتھ آرڈر ہینکل-ٹرانسفارم آپریٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ فین بیم یا کون بیم سی ٹی تک توسیع پروجیکشن سلائس تھیوریم متوازی بیم پروجیکشن کے ساتھ سی ٹی امیج کی تعمیر نو کے لیے موزوں ہے۔ یہ براہ راست فین بیم یا کونبیم سی ٹی پر لاگو نہیں ہوتا ہے۔ تھیوریم کو 1995 میں شوانگ-رین زاؤ کے ذریعہ فین-بیم اور کونبیم سی ٹی امیج کی تعمیر نو تک بڑھایا گیا تھا۔ یہ بھی دیکھیں ریڈون ٹرانسفارم § فورئیر ٹرانسفارم حوالہ جات کے ساتھ تعلق مزید پڑھنا بیرونی روابط فورئیر تجزیہ میں نظریات انٹیگرل ٹرانسفارمز امیج پروسیسنگ