Parity anomaly
نظریاتی طبیعیات میں کوانٹم فیلڈ تھیوری کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں برابری کی بے ضابطگی ہوتی ہے اگر کائنات کی برابری کی تبدیلی کے تحت اس کا کلاسیکی عمل غیر متغیر ہو، لیکن کوانٹم تھیوری غیر متغیر نہ ہو۔ اس قسم کی بے ضابطگی عجیب جہتی گیج کے نظریات میں فرمینز کے ساتھ واقع ہو سکتی ہے جن کے گیج گروپوں میں عجیب دوہری کاکسٹر نمبر ہوتے ہیں۔ انہیں سب سے پہلے اینٹی جے نیمی اور گورڈن والٹر سیمنوف نے حرف محوری-بے ضابطگی سے متاثر فرمیئن فریکشنائزیشن اینڈ ایفیکٹو گیج تھیوری ایکشنز ان آڈ ڈائیمینشنل اسپیس ٹائمز میں اور اے نارمن ریڈلیچ نے حرف گیج نان انویرینس اینڈ پیریٹی نان کنزرویشن آف تھری ڈائیمینشنل فرمینز اور مضمون پیریٹی کی خلاف ورزی اور تین جہتوں میں ایفیکٹو گیج فیلڈ ایکشن کے نان انویرینس میں متعارف کرایا تھا۔ یہ کسی حد تک ایڈورڈ وٹن کی 4 جہتوں میں ایس یو (2) بے ضابطگی کا ایک عجیب جہتی ورژن ہے، اور درحقیقت ریڈلیچ لکھتے ہیں کہ ان کا مظاہرہ وٹن کی پیروی کرتا ہے۔ 3 جہتوں میں بے ضابطگی ایک کلاسیکی طور پر برابری-غیر متغیر گیج تھیوری پر غور کریں جس کے گیج گروپ G میں 3 جہتوں میں دوہری کاکسٹر نمبر h ہے۔ این میجرانا فرمینز کو شامل کریں جو جی کی حقیقی نمائندگی کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ یہ نظریہ بے وقوفی سے بالائے بنفشی انحراف کا شکار ہے۔ اگر کسی میں گیج غیر متغیر ریگولیٹر شامل ہے تو اگر h اور n عجیب ہوں تو نظریہ کی کوانٹم پیریٹی غیر متغیر کو توڑ دیا جائے گا۔ مظاہرے کا خاکہ بے ضابطگی صرف نشان کا انتخاب ہو سکتا ہے مثال کے طور پر پالی ولرز کو باقاعدہ بنانا۔ کسی کو مخالف اعداد و شمار کے ساتھ بڑے پیمانے پر میجرانا فرمینز کو شامل کرنے اور ان کی کمیت کو لامحدود تک لے جانے کی ضرورت ہے۔ پیچیدگی اس حقیقت سے پیدا ہوتی ہے کہ 3 جہتی میجرانا ماس ٹرم، برابری غیر متغیر نہیں ہے، اس لیے امکان موجود ہے کہ جب کمیت لامحدود تک جاتی ہے تو برابری کی غیر متغیر کی خلاف ورزی برقرار رہ سکتی ہے۔ درحقیقت، یہ بے ضابطگی کا منبع ہے۔ اگر n یکساں ہے، تو کوئی n میجرانا فرمین کو n/2 ڈیراک فرمین کے طور پر دوبارہ لکھ سکتا ہے۔ ان میں برابری کی غیر متغیر بڑے پیمانے کی اصطلاحات ہیں، اور اس لیے پالی-ولرز کو انحراف کو منظم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور کوئی برابری بے ضابطگی پیدا نہیں ہوتی ہے۔ لہذا، یہاں تک کہ n کے لیے کوئی بے ضابطگی نہیں ہے۔ مزید برآں، چونکہ پارٹیشن فنکشن میں 2n میجرانا فرمینوں کی شراکت n فرمینوں کی شراکت کا مربع ہے، اس لیے n فرمینوں کی بے ضابطگی میں شراکت کا مربع ایک کے برابر ہونا چاہیے۔ لہذا، بے ضابطہ مرحلہ صرف ایک کے مربع جڑ کے برابر ہو سکتا ہے، دوسرے الفاظ میں، جمع یا مائنس ایک۔ اگر یہ ایک کے برابر ہے، تو کوئی بے ضابطگی نہیں ہے۔ لہذا، سوال یہ ہے کہ-1 کے عنصر کی پارٹیشن فنکشن میں ابہام کب ہے۔ انڈیکس تھیوریم سے بے ضابطگی ہم جاننا چاہتے ہیں کہ پارٹیشن فنکشن کی علامت کا انتخاب کب غلط وضاحت شدہ ہے۔ اس بات کا امکان کہ اس کی غلط وضاحت موجود ہے کیونکہ اس عمل میں فرمیئن حرکی اصطلاح شامل ہے جہاں si ایک میجرانا فرمیئن ہے اور A ویکٹر پوٹینشل ہے۔ پاتھ انٹیگرل میں، عمل کا ایکسپونینشل تمام شعبوں میں مربوط ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا اصطلاح کو فرمیئن فیلڈز پر ضم کرتے وقت ہر ایک n میجرانا فرمیئن کے لیے ڈیراک آپریٹر کے تعین کنندہ کے مربع جڑ کا عنصر حاصل ہوتا ہے۔ جیسا کہ مربع جڑ کے ساتھ ہمیشہ ہوتا ہے، کسی کو اس کی علامت کا تعین کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ پارٹیشن فنکشن کا مجموعی مرحلہ کوانٹم میکانکس میں قابل مشاہدہ نہیں ہے، اور اس لیے کسی دی گئی ترتیب کے لیے یہ سائن کا انتخاب من مانی طور پر کیا جا سکتا ہے۔ لیکن کسی کو یہ چیک کرنے کی ضرورت ہے کہ نشان کا انتخاب مستقل ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، آئیے ہم کنفیگریشن اسپیس کے ذریعے کنفیگریشن کو ایک ایسے راستے پر تبدیل کرتے ہیں جو بالآخر اصل کنفیگریشن پر واپس آتا ہے۔ اگر نشان کا انتخاب مستقل تھا، تو اصل ترتیب پر واپس آنے کے بعد، کسی کے پاس اصل نشان ہوگا۔ یہ وہی ہے جس کی جانچ پڑتال کی ضرورت ہے۔ اصل اسپیس ٹائم 3 جہتی ہے، اسپیس کو ایم کہتے ہیں۔ اب ہم کنفیگریشن اسپیس میں ایک دائرے پر غور کر رہے ہیں، جو کہ اسپیس پر ایک واحد کنفیگریشن کی طرح ہے۔ یہ معلوم کرنے کے لیے کہ مربع جڑ کی علامت کتنی بار غائب ہوتی ہے جیسے ہی کوئی دائرے کے گرد گھومتا ہے، یہ تعین کنندہ کے صفر کی تعداد کو شمار کرنے کے لیے کافی ہے، کیونکہ ہر بار جب آئجین ویلیوز کا ایک جوڑا نشان تبدیل کرتا ہے تو وہاں ایک صفر ہوگا۔ نوٹ کریں کہ آئجین ویلیوز جوڑوں میں آتی ہیں، جیسا کہ مثال کے طور پر تھری ڈائیمینشنل گیج تھیوری کے سپرسیمیٹرک انڈیکس میں بحث کی گئی ہے، اور اس لیے جب بھی ایک آئجین ویلیو صفر کو عبور کرے گی، تو دو پار ہو جائیں گے۔ خلاصہ یہ ہے کہ ہم جاننا چاہتے ہیں کہ ڈیراک آپریٹر کے تعین کنندہ کے مربع جڑ کی علامت کتنی بار علامت کو تبدیل کرتی ہے جب کوئی دائرے کا چکر لگاتا ہے۔ ڈیراک آپریٹر کی آئجین ویلیوز جوڑوں میں آتی ہیں، اور جب بھی کوئی جوڑا صفر کو عبور کرتا ہے تو نشان بدل جاتا ہے۔ اس طرح ہم خلا پر ڈیراک آپریٹر کے صفر شمار کر رہے ہیں۔ ان صفروں کو اتیہ-سنگر انڈیکس تھیوریم کے ذریعے شمار کیا جاتا ہے، جو گیج بنڈل کے دوسرے چرن کلاس کے اوقات کا جواب دیتا ہے۔ یہ دوسری چرن کلاس کوئی بھی عدد ہو سکتی ہے۔ خاص طور پر یہ ایک ہو سکتا ہے، اس صورت میں نشان ایچ بار بدلتا ہے۔ اگر نشان عجیب تعداد میں بار بار تبدیل ہوتا ہے تو پارٹیشن فنکشن کی وضاحت غلط ہوتی ہے، اور اس لیے ایک بے ضابطگی ہوتی ہے۔ آخر میں، ہم نے پایا ہے کہ اگر میجرانا فرمینز کا نمبر n عجیب ہے اور اگر گیج گروپ کا دوہری کاکسٹر نمبر h بھی عجیب ہے تو اس میں بے ضابطگی ہے۔ چرن سائمنز گیج تھیوری 3 جہتی چرن سائمنز گیج تھیوری بھی اس وقت بے ضابطگی کا شکار ہوتی ہیں جب ان کی سطح نصف مربوط ہوتی ہے۔ درحقیقت، مشتق مندرجہ بالا سے ملتا جلتا ہے۔ اسٹوکس تھیوریم اور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ چرن سائمنز ایکشن کا بیرونی مشتق انسٹینٹن نمبر کے برابر ہے، 4 جہتی تھیوری آن کا تھیٹا زاویہ چرن سائمنز تھیوری کی سطح کے برابر ہے، اور اس لیے 4 جہتی پارٹیشن فنکشن بالکل-1 کے برابر ہے جب انسٹینٹن نمبر عجیب ہو۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ 3 جہتی پارٹیشن فنکشن-1 کے عنصر سے غیر واضح ہے جب کسی راستے پر بے ترتیب تعداد میں انسٹنٹون کے ساتھ اخترتی پر غور کیا جاتا ہے۔ فریکشنل کوانٹائزیشن کے حالات خاص طور پر، فرمینز اور نصف سطح کے چرن سائمنز کی شرائط سے آنے والی بے ضابطگیاں منسوخ ہو جائیں گی اگر اور صرف اس صورت میں جب میجرانا فرمینز کی تعداد اور چرن سائمنز کی سطح سے دوگنا برابر ہو۔ n = 1 کے معاملے میں، یہ بیان سپرسیمیٹرک چرن سائمنز گیج تھیوریز میں نصف عدد کوانٹائزیشن کی حالت ہے جو سپرسیمیٹرک یانگ ملز چرن سائمنز تھیوریز میں چرن سائمنز کوفشنٹ میں پیش کی گئی ہے۔ جب n = 2 پارٹیشن فنکشن میں یہ تعاون تین جہتی گیج تھیوریز میں برینز اور سپرسیمیٹری بریکنگ میں 3 گیج تھیوریز میں پایا گیا۔ چرن سائمنز کی سطح پر ایک لوپ کی اصلاح یہ حقیقت کہ چرن سائمنز کی اصطلاحات اور میجرانا فرمینز دونوں عجیب انسٹنٹن نمبروں کے ساتھ اخترتی کے تحت بے ضابطہ ہیں کوئی اتفاق نہیں ہے۔ جب n میجرانا فرمینوں کے لیے پالی-ولرز ماس کو انفینیٹی پر لے جایا جاتا ہے، تو ریڈلیچ نے پایا کہ پارٹیشن فنکشن میں بقیہ شراکت −n/2 کی سطح پر چرن-سائمنز اصطلاح کے برابر ہے۔ خاص طور پر اس کا مطلب یہ ہے کہ n چارج شدہ میجرانا فرمینز کو مربوط کرنے سے متعلقہ گیج تھیوری کے چرن سائمنز کی سطح کو −n/2 سے دوبارہ غیر معمولی بناتا ہے۔ یہ حقیقت کہ چرن سائمنز کی سطح کو صرف مجرد اقدار لینے کی اجازت ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ جوڑی مستقل سطح تک اصلاح میں داخل نہیں ہو سکتا۔ یہ صرف 1-لوپ اصلاح کے لیے ہوتا ہے، اس لیے چرن-سائمنز کی سطح پر میجرانا فرمینز کی شراکت کا درست حساب 1-لوپ پر لگایا جا سکتا ہے اور تمام اعلی لوپ اصلاحات ختم ہو جاتی ہیں۔ بے ضابطگیاں (طبیعیات)