Geometric invariant theory
ریاضی میں، ہندسی غیر متغیر نظریہ (یا جی آئی ٹی) الجبرائی جیومیٹری میں گروپ کے اعمال کے ذریعے کوٹینٹس کی تعمیر کا ایک طریقہ ہے، جو ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اسے ڈیوڈ ممفورڈ نے 1965 میں کلاسیکی غیر متغیر نظریہ میں کاغذ کے خیالات کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیا تھا۔ جیومیٹرک غیر متغیر نظریہ الجبرائی قسم (یا اسکیم) پر کسی گروپ کے عمل کا مطالعہ کرتا ہے اور معقول خصوصیات کے ساتھ ایک اسکیم کے طور پر بائی کے 'حصص' کی تشکیل کے لیے تکنیک فراہم کرتا ہے۔ ایک محرک یہ تھا کہ الجبرائی جیومیٹری میں ماڈیولی خالی جگہوں کو نشان زد اشیاء کو پیرامیٹرائز کرنے والی اسکیموں کے کوٹینٹ کے طور پر تعمیر کیا جائے۔ 1970 اور 1980 کی دہائیوں میں اس نظریے نے سمپلیکٹک جیومیٹری اور مساوی ٹوپولوجی کے ساتھ تعاملات تیار کیے، اور اسے تفریقی جیومیٹری میں اشیاء کے ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا گیا، جیسے کہ انسٹنٹون اور مونوپولز۔ پس منظر غیر متغیر نظریہ کا تعلق الجبرائی قسم (یا اسکیم) پر کسی گروپ کے گروپ ایکشن سے ہے۔ کلاسیکی غیر متغیر نظریہ اس صورت حال سے خطاب کرتا ہے جب ایک ویکٹر اسپیس ہو اور یا تو ایک محدود گروپ ہو، یا کلاسیکی لائ گروپوں میں سے ایک ہو جو لکیری طور پر کام کرتا ہے۔ یہ عمل فارمولا کے ذریعے کثیر الجہتی افعال کی جگہ پر ایک لکیری عمل کو جنم دیتا ہے۔-ایکشن کے کثیر الجہتی غیر متغیر وہ کثیر الجہتی افعال ہیں جن پر گروپ کے عمل کی وجہ سے 'متغیرات کی تبدیلی' کے تحت طے ہوتے ہیں، تاکہ تمام کے لیے اندر۔ وہ ایک تبادلہ الجبرہ بناتے ہیں، اور اس الجبرا کی تشریح 'غیر متغیر نظریہ حصص' پر افعال کے الجبرا کے طور پر کی جاتی ہے کیونکہ ان میں سے کوئی بھی فنکشن ان تمام نکات کے لیے یکساں قدر دیتا ہے جو مساوی ہیں (یعنی سب کے لیے)۔ جدید الجبرائی جیومیٹری کی زبان میں، اس وضاحت سے کئی مشکلات سامنے آتی ہیں۔ پہلا، جسے ہلبرٹ نے عام لکیری گروپ کے معاملے میں کامیابی کے ساتھ نمٹا، یہ ثابت کرنا ہے کہ الجبرا حتمی طور پر تیار کیا گیا ہے۔ یہ ضروری ہے اگر کوئی چاہے کہ حصّہ ایک افائن الجبرائی قسم ہو۔ کیا صوابدیدی گروہوں کے لیے بھی ایسی ہی حقیقت ہے، یہ ہلبرٹ کے چودہویں مسئلے کا موضوع تھا، اور ناگاٹا نے یہ ظاہر کیا کہ جواب عام طور پر منفی تھا۔ دوسری طرف، بیسویں صدی کے پہلے نصف میں نمائندگی کے نظریہ کی ترقی کے دوران، گروہوں کے ایک بڑے طبقے کی نشاندہی کی گئی جس کے لیے جواب مثبت ہے۔ انہیں تخفیف گروپ کہا جاتا ہے اور اس میں تمام محدود گروپ اور تمام کلاسیکی گروپ شامل ہوتے ہیں۔ الجبرا کی محدود نسل مکمل وضاحت کی طرف پہلا قدم ہے، اور اس زیادہ نازک سوال کو حل کرنے میں پیش رفت معمولی تھی۔ غیر متغیرات کو کلاسیکی طور پر صرف محدود حالات میں بیان کیا گیا تھا، اور پہلے چند معاملات سے آگے اس تفصیل کی پیچیدگی نے عام طور پر غیر متغیرات کے الجبرا کی مکمل تفہیم کے لیے بہت کم امید ظاہر کی۔ مزید برآں، ایسا ہو سکتا ہے کہ کوئی بھی کثیر الجہتی غیر متغیر پوائنٹس کی دی گئی جوڑی پر ایک ہی قدر لیتا ہے، پھر بھی یہ پوائنٹس-ایکشن کے مختلف مداروں میں ہوتے ہیں۔ ایک سادہ سی مثال غیر صفر پیچیدہ اعداد کے ضرب گروپ کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے جو اسکیلر ضرب کے ذریعہ ایک جہتی پیچیدہ ویکٹر اسپیس پر کام کرتا ہے۔ اس صورت میں، ہر کثیر الجہتی غیر متغیر ایک مستقل ہے، لیکن عمل کے بہت سے مختلف مدار ہیں۔ صفر ویکٹر اپنے آپ میں ایک مدار بناتا ہے، اور کسی بھی غیر صفر ویکٹر کے غیر صفر ضرب ایک مدار بناتے ہیں، تاکہ غیر صفر مدار پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کے نکات کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیے جائیں۔ اگر ایسا ہوتا ہے (ایک ہی فنکشن ویلیو والے مختلف مدار)، تو ایک کہتا ہے کہ "غیر متغیر مداروں کو الگ نہیں کرتے ہیں"، اور الجبرا ٹوپولوجیکل کوٹینٹ اسپیس کو نامکمل طور پر ظاہر کرتا ہے۔ درحقیقت، مؤخر الذکر جگہ، کوشیئنٹ ٹوپولوجی کے ساتھ، اکثر غیر الگ شدہ (غیر ہاؤزڈورف) ہوتی ہے۔ (یہ ہماری مثال میں معاملہ ہے-صفر مدار کھلا نہیں ہے کیونکہ صفر ویکٹر کے کسی بھی پڑوس میں دوسرے تمام مداروں میں پوائنٹس ہوتے ہیں، لہذا حصص کی ٹوپولوجی میں صفر مدار کے کسی بھی پڑوس میں دوسرے تمام مدار ہوتے ہیں۔) 1893 میں ہلبرٹ نے ان مداروں کے تعین کے لیے ایک معیار وضع کیا اور ثابت کیا جو غیر متغیر کثیر الجہتی کے ذریعے صفر مدار سے الگ نہیں ہوتے ہیں۔ بلکہ قابل ذکر طور پر، غیر متغیر نظریہ میں ان کے پہلے کام کے برعکس، جس کی وجہ سے تجریدی الجبرا کی تیزی سے ترقی ہوئی، ہلبرٹ کا یہ نتیجہ اگلے 70 سالوں تک بہت کم معلوم اور بہت کم استعمال ہوا۔ بیسویں صدی کے پہلے نصف میں غیر متغیر نظریہ کی زیادہ تر ترقی غیر متغیرات کے ساتھ واضح حسابات سے متعلق تھی، اور کسی بھی شرح پر، جیومیٹری کے بجائے الجبرا کی منطق کی پیروی کی۔ مم فورڈ کی کتاب جیومیٹرک انویرینٹ تھیوری کی بنیاد اور ترقی مم فورڈ نے ایک مونوگراف میں کی تھی، جو پہلی بار 1965 میں شائع ہوئی تھی، جس میں انیسویں صدی کے انویرینٹ تھیوری کے نظریات کا اطلاق کیا گیا تھا، بشمول ہلبرٹ کے کچھ نتائج، جدید الجبرائی جیومیٹری کے سوالات پر۔ (اس کتاب کو بعد کے دو ایڈیشنوں میں بہت بڑھایا گیا، جس میں فوگارٹی اور ممفورڈ کے اضافی ضمیمہ اور کروان کے سمپلیکٹک کوٹینٹس پر ایک باب شامل تھا۔) کتاب میں اسکیم تھیوری اور کمپیوٹیشنل تکنیک دونوں کا استعمال کیا گیا ہے جو مثالوں میں دستیاب ہیں۔ استعمال شدہ تجریدی ترتیب کسی اسکیم پر گروپ ایکشن کی ہوتی ہے۔ مدار کی جگہ کا سادہ ذہن کا خیال یعنی۔ گروپ ایکشن کی طرف سے حصص کی جگہ، الجبرائی جیومیٹری میں مشکلات کا شکار ہوتی ہے، ان وجوہات کی بنا پر جو تجریدی اصطلاحات میں قابل وضاحت ہیں۔ حقیقت میں اس کی کوئی عمومی وجہ نہیں ہے کہ مساوات کے تعلقات (بلکہ سخت) باقاعدہ افعال (کثیر الجہتی افعال) کے ساتھ اچھی طرح سے تعامل کریں، جو الجبرائی جیومیٹری کے مرکز میں ہیں۔ مدار کی جگہ پر جن افعال پر غور کیا جانا چاہیے وہ ہیں جو کے عمل کے تحت غیر متغیر ہیں۔ براہ راست نقطہ نظر مختلف قسم کے فنکشن فیلڈ کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے (یعنی۔ عقلی افعال): اس پر G-غیر متغیر عقلی افعال کو حصص کی قسم کے فنکشن فیلڈ کے طور پر لیں۔ بدقسمتی سے یہ-بائریشنل جیومیٹری کا نقطہ نظر-جواب کا صرف پہلا تخمینہ دے سکتا ہے۔ جیسا کہ ممفورڈ نے اسے کتاب کی تمہید میں رکھا ہے: مسئلہ یہ ہے کہ نتیجے میں پیدا ہونے والی بائریشنل کلاس کے تمام ماڈلز کے سیٹ کے اندر، ایک ماڈل ہے جس کے ہندسی نکات کسی عمل میں مداروں کے سیٹ کی درجہ بندی کرتے ہیں، یا الجبرائی اشیاء کے سیٹ کو کسی ماڈیولی مسئلے میں۔ باب 5 میں وہ مخصوص تکنیکی مسئلے کو مزید الگ کرتا ہے، بالکل کلاسیکی قسم کے ماڈیولی مسئلے میں-تمام الجبرائی اقسام کے بڑے 'سیٹ' کی درجہ بندی کریں جو صرف غیر واحد ہونے کے تابع ہے (اور پولرائزیشن پر ایک مطلوبہ شرط)۔ ماڈیولی کو پیرامیٹر کی جگہ کی وضاحت کرنی چاہیے۔ مثال کے طور پر، الجبرائی منحنی خطوط کے لیے یہ ریمن کے زمانے سے معلوم ہے کہ جینس کے مطابق طول و عرض کے منسلک اجزاء ہونے چاہئیں، اور ماڈیولی ہر جزو پر افعال ہیں۔ موٹے ماڈیولی کے مسئلے میں ممفورڈ رکاوٹوں کو اس طرح سمجھتا ہے: ماڈیولی کی جگہ پر غیر الگ شدہ ٹوپولوجی (یعنی۔ اچھی حالت میں کافی پیرامیٹرز نہیں) لامحدود طور پر بہت سے ناقابل تلافی اجزاء (جن سے گریز نہیں کیا جا سکتا، لیکن مقامی حد برقرار رہ سکتی ہے) اجزاء کی اسکیموں کے طور پر نمائندگی کرنے میں ناکامی، اگرچہ ٹپوولوجیکل طور پر قابل نمائندگی ہے۔ یہ تیسرا نقطہ ہے جس نے پورے نظریہ کو تحریک دی۔ جیسا کہ ممفورڈ کہتے ہیں، اگر پہلی دو مشکلات حل ہو جائیں تو [تیسرا سوال] بنیادی طور پر اس سوال کے مساوی ہو جاتا ہے کہ آیا پروجیکٹو گروپ کے ذریعہ ہلبرٹ یا چو اسکیموں کے کچھ مقامی طور پر بند ذیلی سیٹ کی مدار کی جگہ موجود ہے یا نہیں۔ اس سے نمٹنے کے لیے انہوں نے استحکام کا ایک تصور (درحقیقت تین) متعارف کرایا۔ اس نے اسے پہلے کے غدار علاقے کو کھولنے کے قابل بنایا-بہت کچھ لکھا گیا تھا، خاص طور پر فرانسیسکو سیوری نے، لیکن ادب کے طریقوں کی حدود تھیں۔ پیدائشی نقطہ نظر کوڈیمینشن 1 کے ذیلی سیٹوں کے بارے میں لاپرواہی کا متحمل ہو سکتا ہے۔ ایک اسکیم کے طور پر ماڈیولی کی جگہ کا ہونا ایک طرف اسکیموں کو قابل نمائندگی فنکٹر کے طور پر نمایاں کرنے کے بارے میں سوال ہے (جیسا کہ گروتھینڈک اسکول اسے دیکھے گا) ؛ لیکن ہندسی طور پر یہ ایک کمپیکٹفیکیشن سوال کی طرح ہے، جیسا کہ استحکام کے معیار سے پتہ چلتا ہے۔ غیر سنگل اقسام پر پابندی کسی بھی لحاظ سے ایک کمپیکٹ اسپیس کا باعث نہیں بنے گی کیونکہ ماڈیولی اسپیس: اقسام یکسانیت رکھنے کے لیے انحطاط پذیر ہو سکتی ہیں۔ دوسری طرف، وہ نکات جو انتہائی واحد اقسام سے مطابقت رکھتے ہیں وہ یقینی طور پر جواب میں شامل کرنے کے لیے بہت 'خراب' ہیں۔ صحیح درمیانی میدان، جس میں داخل ہونے کے لیے کافی مستحکم پوائنٹس تھے، ممفورڈ کے کام سے الگ تھلگ تھا۔ یہ تصور مکمل طور پر نیا نہیں تھا، کیونکہ اس کے کچھ پہلو ڈیوڈ ہلبرٹ کے غیر متغیر نظریہ پر حتمی خیالات میں پائے جانے تھے، اس سے پہلے کہ وہ دوسرے شعبوں میں چلے جائیں۔ کتاب کی تمہید میں ممفورڈ کے قیاس کو بھی بیان کیا گیا، جسے بعد میں ولیم حبوش نے ثابت کیا۔ استحکام اگر کوئی تخفیف گروپ ویکٹر اسپیس پر لکیری طور پر کام کرتا ہے، تو ایک غیر صفر نقطہ کو غیر مستحکم کہا جاتا ہے اگر 0 اس کے مدار کی بندش میں ہو، نیم مستحکم اگر 0 اس کے مدار کی بندش میں نہ ہو، مستحکم اگر اس کا مدار بند ہو، اور اس کا استحکام محدود ہو۔ ان کو بیان کرنے کے مساوی طریقے ہیں (اس معیار کو ہلبرٹ-ممفورڈ معیار کے نام سے جانا جاتا ہے): ایک غیر صفر نقطہ غیر مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان سب کا 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ ہو جس کے وزن کے حوالے سے مثبت ہوں۔ ایک غیر صفر نقطہ غیر مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر غیر متغیر کثیر الجہتی کی قدر 0 اور پر یکساں ہو۔ ایک غیر صفر پوائنٹ سیمی اسٹیبل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ان تمام کا کوئی 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ نہ ہو جس کے وزن مثبت ہوں۔ ایک غیر صفر نقطہ سیمی اسٹیبل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی غیر متغیر کثیر الجہتی کی 0 اور پر مختلف اقدار ہوں۔ ایک غیر صفر نقطہ مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے ہر 1-پیرامیٹر کے ذیلی گروپ کا مثبت (اور منفی) وزن کے حوالے سے ہو۔ ایک غیر صفر نقطہ تب مستحکم ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اس کے مدار میں موجود ہر غیر متغیر کے لیے کچھ غیر متغیر کثیر الجہتی ہو جس کی اور پر مختلف اقدار ہوں، اور غیر متغیر کثیر الجہتی کے دائرے میں ماورائی ڈگری ہو۔ متعلقہ پروجیکٹو اسپیس کے ایک نقطہ کو غیر مستحکم، نیم مستحکم، یا مستحکم کہا جاتا ہے اگر یہ ایک ہی پراپرٹی کے ساتھ کسی نقطہ کی شبیہہ ہو۔ "غیر مستحکم" "سیمسٹیبل" ("مستحکم" نہیں) کے برعکس ہے۔ غیر مستحکم پوائنٹس پروجیکٹو اسپیس کا ایک زرسکی بند سیٹ بناتے ہیں، جبکہ سیمیسٹیبل اور مستحکم پوائنٹس دونوں زرسکی اوپن سیٹ (ممکنہ طور پر خالی) بناتے ہیں۔ یہ تعریفیں ممفورڈ کی کتاب کے پہلے ایڈیشن سے ہیں اور ان کے مساوی نہیں ہیں۔ بہت سے ماڈیولی خالی جگہوں کو کچھ گروپ ایکشن کے ذریعے پروجیکٹو اسپیس کے کچھ ذیلی سیٹ کے مستحکم پوائنٹس کی جگہ کے کوٹینٹس کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ ان خالی جگہوں کو اکثر سیمی اسٹیبل پوائنٹس کی کچھ مساوات کی کلاسوں کو شامل کرکے کمپیکٹ کیا جا سکتا ہے۔ مختلف مستحکم مدار حصص میں مختلف نکات سے مطابقت رکھتے ہیں، لیکن دو مختلف نیم قابل مدار حصص میں ایک ہی نقطہ سے مطابقت رکھتے ہیں اگر ان کی بندش ایک دوسرے کو کاٹتی ہے۔ مثال: ایک مستحکم منحنی خطہ جینس 2 کا ایک کم جڑا ہوا منحنی خطہ ہے جس میں اس کی واحدتیں عام ڈبل پوائنٹس ہیں اور ہر غیر سنگل عقلی جزو کم از کم 3 پوائنٹس میں دوسرے اجزاء سے ملتا ہے۔ جینس کے مستحکم منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ گروپ کے ذریعہ ہلبرٹ کثیر الجہتی کے ساتھ منحنی خطوط کی ہلبرٹ اسکیم کے ذیلی سیٹ کا حصص ہے۔ مثال: الجبرائی منحنی خطوط (یا ریمن کی سطح پر) پر ایک ویکٹر بنڈل ایک مستحکم ویکٹر بنڈل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کے تمام مناسب غیر صفر ذیلی بنڈلوں کے لیے اور سیمیسٹیبل ہو اگر یہ شرط ≤ کے ساتھ برقرار رہے۔ جی آئی ٹی کوشیئنٹ جیومیٹرک پیچیدگی تھیوری جیومیٹرک کوشیئنٹ زمرہ بندی کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشیئنٹ کوشی ریاضیاتی نوٹ، 31۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، پرنسٹن، این جے، 1984۔ i + 211 پی پی۔ کرافٹ، ہانسپیٹر، جیومیٹریش میتھڈین ان ویرینٹینتھیوری میں۔ (جرمن) (غیر متغیر نظریہ میں ہندسی طریقے) ریاضی کے پہلو، D1۔ فریڈر۔ ویویگ اینڈ سوہن، برونشویگ، 1984۔ x + 308 پی پی۔ (پہلی ایڈیشن 1965) ؛ (دوسری ایڈیشن) وی۔ ایل۔ پوپوف، ای۔ بی۔ ونبرگ، انویرنٹ تھیوری، الجبرائی جیومیٹری میں۔ IV. انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹیکل سائنسز، 55 (1989 کے روسی ایڈیشن سے ترجمہ شدہ) سپرنگر-ورلاگ، برلن، 1994۔ vi + 284 پی پی۔ ماڈیولی تھیوری اسکیم تھیوری الجبرائی گروہ غیر متغیر تھیوری