Rössler attractor
راسلر کشش راسلر نظام کے لیے پرکشش ہے، جو تین غیر لکیری عام تفریق مساوات کا ایک نظام ہے جس کا اصل مطالعہ 1970 کی دہائی میں اوٹو راسلر نے کیا تھا۔ یہ تفریقی مساوات ایک مسلسل وقت کے متحرک نظام کی وضاحت کرتی ہیں جو کشش کی فریکٹل خصوصیات سے وابستہ افراتفری کی حرکیات کو ظاہر کرتی ہیں۔ راسلر نے اس کی تشریح ٹیفی کھینچنے والی مشین کی رسمی شکل کے طور پر کی۔ راسلر نظام کی کچھ خصوصیات کا اندازہ لکیری طریقوں جیسے آئجین ویکٹرز کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے، لیکن نظام کی اہم خصوصیات کے لیے غیر لکیری طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے جیسے کہ پوئن کیئر نقشے اور بفرکیشن ڈایگرام۔ اصل راسلر مقالے میں کہا گیا ہے کہ راسلر پرکشش کا مقصد لورینز پرکشش کی طرح برتاؤ کرنا تھا، لیکن معیار کے لحاظ سے تجزیہ کرنا بھی آسان تھا۔ کشش کے اندر ایک مدار ایک غیر مستحکم مقررہ نقطہ کے ارد گرد ہوائی جہاز کے قریب ایک بیرونی سرپل کی پیروی کرتا ہے۔ ایک بار جب گراف کافی حد تک سرپل ہو جاتا ہے، تو دوسرا فکسڈ پوائنٹ گراف کو متاثر کرتا ہے، جس کی وجہ سے-طول و عرض میں اضافہ اور موڑ ہوتا ہے۔ ٹائم ڈومین میں، یہ واضح ہو جاتا ہے کہ اگرچہ ہر متغیر اقدار کی ایک مقررہ حد کے اندر ارتعاش کر رہا ہے، لیکن ارتعاش افراتفری کا شکار ہیں۔ یہ پرکشش لورینز پرکشش سے کچھ مماثلت رکھتا ہے، لیکن آسان ہے اور اس میں صرف ایک کئی گنا ہے۔ اوٹو راسلر نے 1976 میں راسلر پرکشش ڈیزائن کیا تھا، لیکن اصل نظریاتی مساوات بعد میں کیمیائی رد عمل میں توازن کی ماڈلنگ میں مفید پائی گئیں۔ تعریف راسلر نظام کی وضاحتی مساوات یہ ہیں: راسلر نے، اور، اگرچہ، کی خصوصیات کے ساتھ افراتفری کشش کا مطالعہ کیا، اور اس کے بعد سے زیادہ عام طور پر استعمال ہوتا رہا ہے۔ پیرامیٹر اسپیس کی ایک اور لائن کی ٹوپوولوجیکل تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے تفتیش کی گئی۔ یہ، سے مطابقت رکھتا ہے، اور اسے بفرکیشن پیرامیٹر کے طور پر منتخب کیا گیا تھا۔ راسلر نے مساوات کے اس سیٹ کو کیسے دریافت کیا اس کی تحقیقات لیٹیلیئر اور میسیجر نے کی تھی۔ استحکام کا تجزیہ روسلر پرکشش کی کچھ خوبصورتی اس کی دو مساوات کے لکیری ہونے کی وجہ سے ہے۔ ترتیب، ہوائی جہاز پر رویے کے معائنے کی اجازت دیتی ہے۔ اس کے بعد ہوائی جہاز میں استحکام جیکوبین کی آئجین ویلیوز کا حساب لگا کر پایا جا سکتا ہے، جو ہیں۔ اس سے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ کب، آئجین ویلیوز پیچیدہ ہوتی ہیں اور دونوں میں ایک مثبت حقیقی جزو ہوتا ہے، جس سے جہاز پر بیرونی سرپل کے ساتھ اصل غیر مستحکم ہو جاتا ہے۔ اب اس رینج کے تناظر میں ہوائی جہاز کے رویے پر غور کریں۔ لہذا جب تک اس سے چھوٹا ہے، یہ اصطلاح مدار کو ہوائی جہاز کے قریب رکھے گی۔ جیسے جیسے مدار اس سے بڑا ہوتا جاتا ہے،-اقدار چڑھنا شروع ہو جاتی ہیں۔ جیسے جیسے چڑھتا ہے، تاہم، مساوات میں ترقی کو روکتا ہے۔ فکسڈ پوائنٹس فکسڈ پوائنٹس کو تلاش کرنے کے لیے، تین راسلر مساوات کو صفر پر سیٹ کیا جاتا ہے اور ہر فکسڈ پوائنٹ کے (،،) نقاط کا تعین نتیجے میں آنے والی مساوات کو حل کرکے کیا جاتا ہے۔ اس سے ہر فکسڈ پوائنٹ کوآرڈینیٹس کی عمومی مساوات حاصل ہوتی ہیں: جو بدلے میں پیرامیٹر ویلیوز کے دیئے گئے سیٹ کے لیے اصل فکسڈ پوائنٹس کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: جیسا کہ اوپر راسلر ایٹریکٹر کے عمومی پلاٹس میں دکھایا گیا ہے، ان فکسڈ پوائنٹس میں سے ایک پرکشش لوپ کے مرکز میں رہتا ہے اور دوسرا پرکشش سے نسبتا دور ہے۔ آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز ان میں سے ہر ایک فکسڈ پوائنٹ کے استحکام کا تجزیہ ان کے متعلقہ آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کا تعین کرکے کیا جا سکتا ہے۔ جیکوبین سے شروع کرتے ہوئے: آئجین ویلیوز کا تعین مندرجہ ذیل کیوبک کو حل کرکے کیا جا سکتا ہے: مرکزی طور پر واقع فکسڈ پوائنٹ کے لیے، راسلر کی اصل پیرامیٹر ویلیوز a = 0.2، b = 0.2، اور c = 5.7 کی آئجین ویلیوز حاصل کرتی ہیں: منفی آئجین ویلیو کی شدت متعلقہ آئجین ویکٹر کے ساتھ کشش کی سطح کی خصوصیت رکھتی ہے۔ اسی طرح ایک مثبت آئجین ویلیو کی شدت متعلقہ آئجین ویکٹر کے ساتھ پسپائی کی سطح کی خصوصیت رکھتی ہے۔ ان آئجین ویلیوز سے مطابقت رکھنے والے آئجین ویکٹر یہ ہیں: ان آئجین ویکٹرز کے کئی دلچسپ مضمرات ہیں۔ سب سے پہلے، دو آئجین ویلیو/آئجین ویکٹر جوڑے (اور) مستحکم بیرونی سلائیڈ کے لیے ذمہ دار ہیں جو پرکشش کی مرکزی ڈسک میں ہوتی ہے۔ آخری آئجین ویلیو/آئجین ویکٹر جوڑا ایک محور کے ساتھ اپنی طرف متوجہ ہو رہا ہے جو کئی گنا کے مرکز سے گزرتا ہے اور کشش کے اندر ہونے والی z حرکت کا سبب بنتا ہے۔ یہ اثر تقریبا نیچے دیے گئے اعداد و شمار سے ظاہر ہوتا ہے۔ یہ اعداد و شمار مرکزی فکسڈ پوائنٹ آئجین ویکٹرز کا جائزہ لیتے ہیں۔ نیلی لکیر، اور کے ساتھ پیدا ہونے والے معیاری راسلر پرکشش سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس کشش کے مرکز میں سرخ نقطہ ہے۔ اس فکسڈ پوائنٹ کو کاٹنے والی سرخ لکیر اور کے ذریعہ پیدا ہونے والے پسپا طیارہ کی ایک مثال ہے۔ سبز لکیر کشش کی ایک مثال ہے۔ میجینٹا لائن کشش آئجین ویکٹر پر ایک نقطہ سے وقت کے ساتھ پیچھے کی طرف قدم رکھ کر پیدا ہوتی ہے جو قدرے اوپر ہے-یہ ان نکات کے رویے کی وضاحت کرتا ہے جو اس ویکٹر کے زیر تسلط ہو جاتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ میجینٹا لائن مقررہ نقطہ میں اوپر کی طرف کھینچنے سے پہلے پرکشش کے جہاز کو تقریبا چھوتی ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ راسلر پرکشش کی عمومی ظاہری شکل اور طرز عمل بڑی حد تک پرکشش اور پسپا اور ہوائی جہاز کے درمیان تعامل کی پیداوار ہے۔ خاص طور پر اس کا مطلب یہ ہے کہ راسلر مساوات سے پیدا ہونے والی ترتیب ارد گرد گھومنا شروع کر دے گی، ویکٹر میں اوپر کی طرف کھینچنا شروع کر دے گی، جس سے ایک منحنی خطوط کا اوپر کی طرف بازو بن جائے گا جو ویکٹر کی طرف تھوڑا سا اندر کی طرف جھکتا ہے اس سے پہلے کہ اسے دوبارہ باہر کی طرف دھکیل دیا جائے کیونکہ اسے پیچھے ہٹانے والے جہاز کی طرف کھینچ لیا جاتا ہے۔ آؤٹ لیئر فکسڈ پوائنٹ کے لیے، راسلر کی اصل پیرامیٹر ویلیوز، اور ان کے آئجین ویلیوز حاصل کرتے ہیں: ان آئجین ویلیوز سے مطابقت رکھنے والے آئجین ویکٹرز یہ ہیں: اگرچہ یہ آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز راسلر پرکشش میں موجود ہیں، لیکن ان کا اثر راسلر سسٹم کے تکرار تک محدود ہے جس کے ابتدائی حالات اس آؤٹ لیئر فکسڈ پوائنٹ کے عمومی آس پاس ہیں۔ سوائے ان صورتوں کے جہاں ابتدائی حالات اور کے ذریعہ پیدا ہونے والے پرکشش ہوائی جہاز پر ہوتے ہیں، اس اثر میں مؤثر طریقے سے نتیجے میں آنے والے نظام کو عام راسلر پرکشش کی طرف دھکیلنا شامل ہے۔ جیسے جیسے نتیجہ خیز ترتیب مرکزی فکسڈ پوائنٹ اور خود کشش کے قریب پہنچتی ہے، اس دور دراز فکسڈ پوائنٹ (اور اس کے آئجین ویکٹرز) کا اثر کم ہوتا جائے گا۔ پوائن کیری نقشہ فنکشن کی قدر کو ہر بار جب یہ کسی مخصوص سمت میں کسی سیٹ طیارے سے گزرتا ہے تو پلاٹ کرکے بنایا جاتا ہے۔ ایک مثال یہ ہوگی کہ ہر بار جب یہ اس ہوائی جہاز سے گزرتا ہے جہاں منفی سے مثبت میں تبدیل ہو رہا ہوتا ہے، عام طور پر لورینز پرکشش کا مطالعہ کرتے وقت کیا جاتا ہے۔ راسلر پرکشش کے معاملے میں، طیارہ غیر دلچسپ ہے، کیونکہ نقشہ ہمیشہ راسلر مساوات کی نوعیت کی وجہ سے سطح کو عبور کرتا ہے۔ کے لیے سطح میں،، پوائن کیری نقشہ اقدار میں اضافے کو ظاہر کرتا ہے جیسے جیسے اضافہ ہوتا ہے، جیسا کہ روسلر پلاٹ کے اوپر اور موڑ والے حصے کی وجہ سے متوقع ہے۔ اس مخصوص پوئن کیری پلاٹ میں پوائنٹس کی تعداد لامحدود ہے، لیکن جب ایک مختلف قدر استعمال کی جاتی ہے تو پوائنٹس کی تعداد مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، 4 کی قدر کے ساتھ، پوئن کیری نقشے پر صرف ایک نقطہ ہے، کیونکہ فنکشن ایک پیریڈ کا پیریڈک آربٹ دیتا ہے، یا اگر ویلیو 12.8 پر سیٹ کی گئی ہے، تو پیریڈ چھ آربٹ کے مطابق چھ پوائنٹس ہوں گے۔ لورینز نقشہ لورینز نقشہ ایک رفتار میں ایک کوآرڈینیٹ کے یکے بعد دیگرے زیادہ سے زیادہ کے درمیان تعلق ہے۔ پرکشش پر ایک رفتار پر غور کریں، اور اس کے ایکس کوآرڈینیٹ کا n-th زیادہ سے زیادہ ہونے دیں۔ پھر-بکھرے ہوئے پلاٹ تقریبا ایک وکر ہے، جس کا مطلب ہے کہ کسی کو جاننا تقریبا بالکل پیش گوئی کر سکتا ہے۔ لورینز ایٹریکٹر پر اصل مقالے میں، ایڈورڈ لورینز نے فوری طور پر سابقہ مقامی میکسما کے مقابلے میں مقامی میکسما کا تجزیہ کیا۔ جب تصور کیا گیا تو پلاٹ خیمے کے نقشے سے ملتا جلتا تھا، جس کا مطلب یہ ہے کہ نقشے اور پرکشش کے درمیان اسی طرح کا تجزیہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ راسلر پرکشش کے لیے، جب مقامی زیادہ سے زیادہ کو اگلے مقامی زیادہ سے زیادہ کے خلاف پلاٹ کیا جاتا ہے، تو اس کے نتیجے میں پلاٹ (یہاں کے لیے دکھایا گیا ہے،،) غیر معمولی ہوتا ہے، جو ایک منحنی ہینون نقشے سے ملتا جلتا ہے۔ یہ جانتے ہوئے کہ راسلر پرکشش کو فرضی 1-ڈی نقشہ بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اس کے بعد اسی طرح کے تجزیے کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔ بفرکیشن ڈائیگرام ایک خاص طور پر مفید تجزیہ کا طریقہ ہے۔ پیرامیٹرز کی تغیر روسلر پرکشش کا طرز عمل بڑی حد تک اس کے مستقل پیرامیٹرز کی اقدار کا ایک عنصر ہے، اور۔ عام طور پر، ہر پیرامیٹر کو تبدیل کرنے کا ایک موازنہ اثر ہوتا ہے جس کی وجہ سے نظام ایک دورانیے کے مدار، مقررہ نقطہ، یا انفینٹی کی طرف فرار ہو جاتا ہے، تاہم ہر پیرامیٹر کے لیے مخصوص حدود اور طرز عمل کافی حد تک مختلف ہوتے ہیں۔ راسلر نظام کے دورانیے کے مدار، یا "یونٹ سائیکل" کی تعریف مرکزی نقطہ کے ارد گرد لوپس کی تعداد سے کی جاتی ہے جو لوپس سیریز کے خود کو دہرانا شروع کرنے سے پہلے ہوتی ہے۔ متحرک نظاموں کے رویے کا تجزیہ کرنے کے لیے بفرکیشن ڈایگرام ایک عام ذریعہ ہیں، جن میں سے ایک راسلر پرکشش ہے۔ وہ نظام کی مساوات کو چلا کر بنائے جاتے ہیں، تمام متغیرات میں سے ایک کو مستقل رکھتے ہیں اور آخری کو تبدیل کرتے ہیں۔ پھر، ان نکات کا ایک گراف تیار کیا جاتا ہے کہ عارضی عوامل کے بعد تبدیل شدہ متغیر دوروں کے لیے ایک خاص قدر کو بے اثر کر دیا گیا ہے۔ افراتفری والے علاقوں کو پلاٹ کے بھرے ہوئے علاقوں سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ متغیر a یہاں، 0.2 پر مقرر کیا گیا ہے، 5.7 پر طے کیا گیا ہے اور تبدیلیاں ہوتی ہیں۔ بدلتے ہوئے پرکشش کے رویے کی عددی جانچ سے پتہ چلتا ہے کہ اس کا پرکشش کے رویے پر غیر متناسب اثر پڑتا ہے۔ تجزیہ کے نتائج یہ ہیں:: مرکزی طور پر واقع فکسڈ پوائنٹ میں ضم ہوتا ہے: پیریڈ 1 کا یونٹ سائیکل: راسلر کے ذریعہ منتخب کردہ معیاری پیرامیٹر ویلیو، افراتفری: افراتفری کشش، نمایاں طور پر زیادہ موبیئس پٹی کی طرح (اپنے اوپر فولڈنگ)۔ :. 3 کی طرح، لیکن تیزی سے افراتفری:. 35 کی طرح، لیکن تیزی سے افراتفری۔ متغیر b یہاں، 0.2 پر مقرر کیا گیا ہے، 5.7 پر طے کیا گیا ہے اور تبدیل ہوتا ہے۔ جیسا کہ ساتھ والے خاکہ میں دکھایا گیا ہے، جیسے جیسے 0 تک پہنچتا ہے کشش لامحدود تک پہنچتی ہے (کی بہت چھوٹی اقدار کے لیے اتار چڑھاؤ کو نوٹ کریں۔ دوسرے پیرامیٹرز کے مقابلے میں، جب پیریڈ-3 اور پیریڈ-6 کے مدار ہوں گے تو مختلف ہونے سے زیادہ رینج پیدا ہوتی ہے۔ اور کے برعکس، اعلی اقدار پیریڈ-1 میں بدل جاتی ہیں، نہ کہ افراتفری کی حالت میں۔ متغیر c یہاں، اور تبدیلیاں۔ بفرکیشن ڈایگرام سے پتہ چلتا ہے کہ کی کم اقدار وقتا فوقتا ہوتی ہیں، لیکن بڑھتے ہوئے تیزی سے افراتفری کا شکار ہو جاتی ہیں۔ یہ نمونہ بڑھتے ہوئے خود کو دہراتا ہے-افراتفری کے ادوار کے ساتھ وقفے وقفے کے حصے ہوتے ہیں، اور رجحان بڑھتے ہوئے اعلی مدت کے مداروں کی طرف ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، مدت ایک مدار صرف 4 کے ارد گرد کی اقدار کے لیے ظاہر ہوتا ہے اور دوبارہ کبھی بفرکیشن ڈایگرام میں نہیں پایا جاتا ہے۔ یہی رجحان پیریڈ تین کے ساتھ دیکھا جاتا ہے ؛ یہاں تک کہ پیریڈ تین مدار پائے جا سکتے ہیں، لیکن اس کے بعد، وہ ظاہر نہیں ہوتے ہیں۔ اقدار کی ایک رینج پر بدلتے ہوئے پرکشش کی ایک گرافیکل مثال ان تمام پیرامیٹر کے تجزیے کے لیے دیکھے جانے والے عمومی رویے کی وضاحت کرتی ہے-وقتا فوقتا اور aperiodicity کے درمیان بار بار منتقلی۔ تصاویر کا مندرجہ بالا سیٹ پوسٹ ٹرانزینٹ روسلر سسٹم میں تغیرات کی وضاحت کرتا ہے جیسا کہ اقدار کی ایک حد میں مختلف ہے۔ یہ تصاویر اس کے ساتھ بنائی گئی تھیں۔ پیریڈ-1 آربیٹ۔ پیریڈ-2 آربیٹ۔ پیریڈ 4 آربیٹ۔ پیریڈ-8 آربیٹ۔ ، غیر معمولی افراتفری کشش. پیریڈ-3 آربیٹ۔ پیریڈ-6 آربیٹ۔ ، غیر معمولی افراتفری کشش. ، بھرا ہوا افراتفری کشش. دورانیے کے مدار کشش دورانیے کے مداروں سے گھنے طور پر بھرا ہوا ہے: حل جس کے لیے اس کی غیر صفر قدر موجود ہے۔ ان دلچسپ حلوں کو نیوٹن کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے عددی طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ وقتا فوقتا مدار فنکشن کی جڑیں ہیں، جہاں وقت کے لحاظ سے ارتقاء ہے اور شناخت ہے۔ چونکہ حرکیات کی اکثریت x-y طیارہ میں واقع ہوتی ہے، اس لیے وقتا فوقتا مداروں کی درجہ بندی پروجیکشن کے بعد مرکزی توازن کے ارد گرد ان کے گھومنے والے نمبر کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ عددی تجربے سے ایسا لگتا ہے کہ تمام مثبت گھومنے والے نمبروں کے لیے ایک منفرد دورانیے کا مدار ہے۔ انحطاط کی یہ کمی ممکنہ طور پر مسئلے کی ہم آہنگی کی کمی کی وجہ سے ہے۔ کشش کو آسانی سے ہضم ہونے والے غیر متغیر کئی گنا میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: 1 ڈی دورانیے کے مدار اور دورانیے کے مداروں کے 2 ڈی مستحکم اور غیر مستحکم کئی گنا۔ یہ غیر متغیر کئی گنا کشش کا ایک قدرتی کنکال ہیں، جس طرح عقلی اعداد حقیقی اعداد کے لیے ہوتے ہیں۔ متحرک نظام کے نظریہ کے مقاصد کے لیے، ان کئی گنا کے ٹپوولوجیکل غیر متغیرات میں دلچسپی ہو سکتی ہے۔ دورانیے کے مدار سرایت شدہ نقلیں ہیں، لہذا ان کی ٹپوولوجیکل خصوصیات کو گرہ تھیوری سے سمجھا جا سکتا ہے۔ گھماؤ والے نمبر 1 اور 2 کے ساتھ دورانیے کے مدار ایک ہاپف لنک بناتے ہیں، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی ڈفیومورفزم ان مداروں کو الگ نہیں کر سکتا۔ دیگر موضوعات کے لنکس راسلر پرکشش میں واضح بینڈنگ کینٹر سیٹ سے ملتی جلتی ہے جو اس کے وسط نقطہ کے ارد گرد گھومتی ہے۔ مزید برآں، روسلر پرکشش میں ہونے والا نصف موڑ صرف پرکشش کے ایک حصے کو متاثر کرتا ہے۔ روسلر نے دکھایا کہ اس کا پرکشش حقیقت میں ایک "نارمل بینڈ" اور ایک موبیئس پٹی کا امتزاج تھا۔ حوالہ جات بیرونی روابط PovRay Rossler1976.pdf Lorenz اور Rössler کشش کا استعمال کرتے ہوئے فلیش حرکت پذیری-جاوا حرکت پذیری 3D پرکشش: میک پروگرام 3 جہتوں میں Rössler اور Lorenz کشش کا تصور اور کھوج کرنے کے لیے Rössler کشش میں Scholarpedia Rössler Atractor: 3D میں عددی انٹرایکٹو تجربہ-experiences.math.cnrs.fr-(جاوا اسکرپٹ/ویبگل) افراتفری کے نقشے