Scale (map)
نقشے کا پیمانہ نقشے پر موجود فاصلے اور زمین پر موجود اسی فاصلے کا تناسب ہے۔ یہ سادہ تصور زمین کی سطح کے منحنی پن کی وجہ سے پیچیدہ ہے، جو پیمانے کو نقشے میں مختلف ہونے پر مجبور کرتا ہے۔ اس تغیر کی وجہ سے پیمانے کا تصور دو الگ الگ طریقوں سے معنی خیز ہو جاتا ہے۔ پہلا طریقہ پیدا کرنے والے گلوب کے سائز اور زمین کے سائز کا تناسب ہے۔ پیدا کرنے والا گلوب ایک تصوراتی نمونہ ہے جس پر زمین سکڑ جاتی ہے اور جس سے نقشہ پیش کیا جاتا ہے۔ زمین کے سائز اور پیدا ہونے والے گلوب کے سائز کے تناسب کو برائے نام پیمانہ کہا جاتا ہے (جسے پرنسپل پیمانہ یا نمائندہ حصہ بھی کہا جاتا ہے)۔ بہت سے نقشے برائے نام پیمانے کو بیان کرتے ہیں اور یہاں تک کہ اس کی نمائندگی کرنے کے لیے بار پیمانے (جسے کبھی کبھی محض "پیمانے" کہا جاتا ہے) کو بھی ظاہر کر سکتے ہیں۔ پیمانے کا دوسرا الگ تصور نقشے میں پیمانے میں تغیر پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ نقشہ شدہ نقطہ کے پیمانے اور برائے نام پیمانے کا تناسب ہے۔ اس صورت میں 'پیمانے' کا مطلب پیمانے کا عنصر ہے (جسے نقطہ پیمانہ یا مخصوص پیمانہ بھی کہا جاتا ہے)۔ اگر نقشے کا علاقہ اتنا چھوٹا ہے کہ زمین کی منحنیت کو نظر انداز کر سکتا ہے، جیسے کہ ٹاؤن پلان میں، تو پیمائش کی غلطیاں پیدا کیے بغیر ایک واحد قدر کو پیمانے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بڑے علاقوں، یا پوری زمین کا احاطہ کرنے والے نقشوں میں، نقشے کا پیمانہ فاصلے کی پیمائش میں کم مفید یا یہاں تک کہ بیکار بھی ہو سکتا ہے۔ نقشہ پروجیکشن یہ سمجھنے میں اہم ہو جاتا ہے کہ پورے نقشے میں پیمانے میں کس طرح فرق ہوتا ہے۔ جب پیمانہ نمایاں طور پر مختلف ہوتا ہے، تو اسے پیمانے کے عنصر کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ ٹیسوٹ کا انڈیکیٹریکس اکثر نقشے میں پوائنٹ اسکیل کی تغیر کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ مقداری نقشہ اسکیلنگ کی بنیادیں متن کے شواہد کے ساتھ قدیم چین میں واپس جاتی ہیں کہ نقشہ اسکیلنگ کا خیال دوسری صدی قبل مسیح تک سمجھا گیا تھا۔ قدیم چینی سروے کرنے والوں اور نقشہ نگاروں کے پاس نقشے تیار کرنے کے لیے کافی تکنیکی وسائل موجود تھے جیسے کہ گنتی کی سلاخیں، بڑھئی کا مربع، پلمب لائنیں، دائرے کھینچنے کے لیے کمپاس، اور جھکاؤ کی پیمائش کے لیے نلیاں دیکھنا۔ مقامات کی شناخت کے لیے ایک نوزائیدہ کوآرڈینیٹ سسٹم کو پیش کرنے والے حوالہ فریموں کا اشارہ قدیم چینی ماہرین فلکیات نے دیا تھا جنہوں نے آسمان کو مختلف شعبوں یا قمری رہائش گاہوں میں تقسیم کیا تھا۔ تین سلطنتوں کے دور کے چینی نقشہ نگار اور جغرافیہ دان پائی ژیو نے بڑے علاقے کے نقشوں کا ایک مجموعہ بنایا جو پیمانے پر تیار کیے گئے تھے۔ انہوں نے اصولوں کا ایک مجموعہ تیار کیا جس میں نقشہ بنائے جانے والے خطوں میں مستقل پیمانے، سمت کی پیمائش، اور زمین کی پیمائش میں ایڈجسٹمنٹ کی اہمیت پر زور دیا گیا۔ پیمانہ نقشہ پیمانے کی نمائندگی کا اظہار الفاظ میں (ایک لفظی پیمانے)، تناسب کے طور پر، یا ایک فریکشن کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ مثالیں یہ ہیں: 'ایک سینٹی میٹر سے ایک سو میٹر' یا 1:10,000 یا 1/10,000 'ایک انچ سے ایک میل' یا 1:63,360 یا 1/63,360 'ایک سینٹی میٹر سے ایک ہزار کلومیٹر' یا 1:100,000، 000 یا 1/100,000، 000۔ (تناسب کو عام طور پر 1:100 M کے طور پر مختصر کیا جاتا ہے) بار اسکیل بمقابلہ لیکسیکل اسکیل مندرجہ بالا بہت سے نقشوں کے علاوہ ایک یا زیادہ (گرافیکل) بار اسکیل رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کچھ جدید برطانوی نقشوں میں تین بار اسکیل ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک کلومیٹر، میل اور سمندری میل کے لیے ہوتا ہے۔ صارف کو معلوم زبان میں ایک لفظی پیمانے کو تناسب کے مقابلے میں تصور کرنا آسان ہو سکتا ہے: اگر پیمانہ ایک انچ سے دو میل کا ہے اور نقشہ استعمال کرنے والا نقشے پر دو دیہات دیکھ سکتا ہے جو تقریبا دو انچ کے فاصلے پر ہیں، تو یہ معلوم کرنا آسان ہے کہ دیہات زمین پر تقریبا چار میل کے فاصلے پر ہیں۔ ایک لفظی پیمانہ مسائل کا باعث بن سکتا ہے اگر اس کا اظہار کسی ایسی زبان میں کیا جائے جو صارف کو سمجھ میں نہ آئے یا متروک یا غیر متعین اکائیوں میں ہو۔ مثال کے طور پر، ایک انچ سے ایک فرلانگ (1:7920) کے پیمانے کو ان ممالک کے بہت سے بوڑھے لوگ سمجھ پائیں گے جہاں شاہی اکائیوں کو اسکولوں میں پڑھایا جاتا تھا۔ لیکن ایک لیگ کے لیے ایک پاؤس کا پیمانہ تقریبا 1:144,000 ہو سکتا ہے، جو کارٹوگرافر کے لیگ کی بہت سی ممکنہ تعریفوں کے انتخاب پر منحصر ہے، اور جدید صارفین کی صرف ایک اقلیت استعمال شدہ اکائیوں سے واقف ہوگی۔ بڑے پیمانے پر، درمیانے پیمانے پر، چھوٹے پیمانے پر مقامی پیمانے کے برعکس۔ چھوٹے پیمانے کا نقشہ بڑے خطوں کا احاطہ کرتا ہے، جیسے کہ دنیا کے نقشے، براعظم یا بڑی قومیں۔ دوسرے لفظوں میں، وہ ایک چھوٹی سی جگہ پر زمین کے بڑے رقبے دکھاتے ہیں۔ انہیں چھوٹا پیمانہ کہا جاتا ہے کیونکہ نمائندہ حصہ نسبتا چھوٹا ہوتا ہے۔ بڑے پیمانے کے نقشے چھوٹے علاقوں کو مزید تفصیل سے دکھاتے ہیں، جیسے کاؤنٹی کے نقشے یا قصبے کے منصوبے۔ اس طرح کے نقشوں کو بڑا پیمانہ کہا جاتا ہے کیونکہ نمائندہ حصہ نسبتا بڑا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر ایک ٹاؤن پلان، جو کہ بڑے پیمانے کا نقشہ ہے، 1:10,000 کے پیمانے پر ہو سکتا ہے، جبکہ دنیا کا نقشہ، جو کہ چھوٹے پیمانے کا نقشہ ہے، 1:100,000,000 کے پیمانے پر ہو سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل جدول ان ترازو کے لیے مخصوص حدود کی وضاحت کرتا ہے لیکن اسے مستند نہیں سمجھنا چاہیے کیونکہ کوئی معیار نہیں ہے: اصطلاحات بعض اوقات جدول کے مطلق معنوں میں استعمال ہوتی ہیں، لیکن دوسرے اوقات نسبتا معنوں میں۔ مثال کے طور پر، ایک نقشہ پڑھنے والا جس کا کام صرف بڑے پیمانے کے نقشوں کا حوالہ دیتا ہے (جیسا کہ اوپر ٹیبل کیا گیا ہے) 1:500,000 پر نقشے کو چھوٹے پیمانے کے طور پر حوالہ دے سکتا ہے۔ انگریزی زبان میں، بڑے پیمانے کا لفظ اکثر "وسیع" کے معنی میں استعمال ہوتا ہے۔ تاہم، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، نقشہ نگار کم وسیع نقشوں کا حوالہ دینے کے لیے "بڑے پیمانے" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں-وہ جو چھوٹے رقبے کو ظاہر کرتے ہیں۔ نقشے جو وسیع رقبے کو ظاہر کرتے ہیں وہ "چھوٹے پیمانے" کے نقشے ہوتے ہیں۔ یہ الجھن کا سبب بن سکتا ہے۔ پیمانے میں تغیر بڑے علاقوں کی نقشہ سازی نمایاں مسخ کا سبب بنتی ہے کیونکہ یہ زمین کی مڑے ہوئے سطح کو نمایاں طور پر چپٹا کرتی ہے۔ مسخ کیسے تقسیم ہوتا ہے اس کا انحصار نقشہ پروجیکشن پر ہوتا ہے۔ نقشہ بھر میں پیمانہ مختلف ہوتا ہے، اور بیان کردہ نقشہ پیمانہ صرف ایک تخمینہ ہے۔ اس پر ذیل میں تفصیل سے بحث کی گئی ہے۔ منحنی خطوط کے ساتھ بڑے پیمانے کے نقشوں کو نظر انداز کیا گیا وہ خطہ جس پر زمین کو چپٹا سمجھا جا سکتا ہے سروے کی پیمائش کی درستگی پر منحصر ہے۔ اگر صرف قریب ترین میٹر تک ماپا جائے تو تقریبا 80 کلومیٹر (45 ڈگری کے عرض البلد پر) کی مشرقی-مغربی لکیر کے تقریبا مریدین فاصلے پر زمین کی منحنیت کا پتہ نہیں چل سکتا ہے۔ اگر قریب ترین مقام پر سروے کیا جائے تو تقریبا 10 کلومیٹر کے مریڈیئن فاصلے پر اور تقریبا 8 کلومیٹر کی مشرقی-مغربی لائن پر منحنی خطوط کا پتہ نہیں چل سکتا۔ اس طرح نیویارک شہر کا ایک میٹر تک درست منصوبہ یا ایک ملی میٹر تک درست بلڈنگ سائٹ کا منصوبہ دونوں منحنی خطوط کو نظر انداز کرنے کے لیے مذکورہ بالا شرائط کو پورا کریں گے۔ ان کا علاج طیارہ سروے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے اور پیمانے کے نقشے کے ذریعے نقشہ بنایا جا سکتا ہے جس میں ڈرائنگ پر ایک ہی فاصلے پر کوئی بھی دو نکات زمین پر ایک ہی فاصلے پر ہوتے ہیں۔ حقیقی زمینی فاصلے کا حساب نقشے پر فاصلے کی پیمائش کرکے اور پھر پیمانے کے حصے کے الٹا سے ضرب دے کر یا مساوی طور پر، صرف تقسیم کاروں کا استعمال کرتے ہوئے نقشے پر موجود نکات کے درمیان علیحدگی کو نقشے پر بار پیمانے پر منتقل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ پوائنٹ اسکیل (یا مخصوص پیمانہ) جیسا کہ گاؤس کے تھیوریما ایگریجیم سے ثابت ہوتا ہے، کسی دائرے (یا ایلیپسائڈ) کو بغیر کسی مسخ کے ہوائی جہاز پر پیش نہیں کیا جا سکتا۔ اس کی مثال عام طور پر سنتری کے چھلکے کو پھاڑنے اور خراب کیے بغیر ہموار سطح پر ہموار کرنے کی ناممکنیت سے ملتی ہے۔ مستقل پیمانے پر کسی دائرے کی واحد حقیقی نمائندگی ایک اور دائرہ ہے جیسے گلوب۔ گلوبز کے محدود عملی سائز کو دیکھتے ہوئے، ہمیں تفصیلی نقشہ سازی کے لیے نقشے استعمال کرنے چاہئیں۔ نقشوں میں تخمینوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایک پروجیکشن کا مطلب مسخ ہے: نقشے پر مستقل علیحدگی زمین پر مستقل علیحدگی سے مطابقت نہیں رکھتی ہے۔ اگرچہ نقشہ گرافیکل بار پیمانے کو ظاہر کر سکتا ہے، لیکن پیمانے کو اس سمجھ کے ساتھ استعمال کیا جانا چاہیے کہ یہ نقشے کی صرف کچھ لائنوں پر درست ہوگا۔ (اس پر مندرجہ ذیل حصوں میں مثالوں میں مزید بحث کی گئی ہے۔) P کو دائرے (یا ایلیپسائڈ) پر عرض البلد اور طول البلد پر ایک نقطہ سمجھیں۔ فرض کریں کہ Q ایک پڑوسی نقطہ ہے اور P پر عنصر PQ اور مریدین کے درمیان کا زاویہ ہے: یہ زاویہ عنصر PQ کا ایزموتھ زاویہ ہے۔ فرض کریں کہ P 'اور Q' پروجیکشن پر متعلقہ نکات ہیں۔ سمت P 'Q' اور مریدین کے پروجیکشن کے درمیان کا زاویہ اثر ہے۔ عام طور پر۔ تبصرہ: ایزموتھ (زمین کی سطح پر) اور اثر (نقشے پر) کے درمیان یہ قطعی فرق عالمگیر طور پر مشاہدہ نہیں کیا جاتا ہے، بہت سے مصنفین اصطلاحات کو تقریبا ایک دوسرے کے ساتھ بدل کر استعمال کرتے ہیں۔ تعریف: P پر پوائنٹ اسکیل دو فاصلے P 'Q' اور PQ کا تناسب ہے جس حد میں Q P کے قریب پہنچتا ہے۔ ہم اسے اس طرح لکھتے ہیں جہاں اشارہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ پوائنٹ اسکیل P کی پوزیشن کا فنکشن ہے اور عنصر PQ کی سمت بھی۔ تعریف: اگر P اور Q ایک ہی مریدین پر واقع ہیں، تو مریڈین پیمانے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تعریف: اگر P اور Q ایک ہی متوازی پر واقع ہیں، تو متوازی پیمانے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تعریف: اگر نقطہ پیمانہ صرف پوزیشن پر منحصر ہے، سمت پر نہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ یہ آئسوٹروپک ہے اور روایتی طور پر متوازی پیمانے کے عنصر کے ذریعہ کسی بھی سمت میں اس کی قدر کی نشاندہی کرتا ہے۔ تعریف: نقشہ پروجیکشن کو مطابقت پذیری کہا جاتا ہے اگر نقطہ P پر ایک دوسرے کو کاٹنے والی لائنوں کے جوڑے کے درمیان کا زاویہ نقطہ P پر ایک دوسرے کو کاٹنے والی لائنوں کے تمام جوڑوں کے لیے متوقع نقطہ P پر متوقع لائنوں کے درمیان کے زاویہ کے برابر ہو۔ ایک مطابقت پذیری نقشے میں آئسوٹروپک پیمانے کا عنصر ہوتا ہے۔ اس کے برعکس نقشے میں آئسوٹروپک پیمانے کے عوامل ایک کنفارمل پروجیکشن کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پیمانے کی آئسوٹروپی کا مطلب یہ ہے کہ چھوٹے عناصر تمام سمتوں میں یکساں طور پر پھیلے ہوئے ہیں، یعنی ایک چھوٹے عنصر کی شکل محفوظ ہے۔ یہ آرتھومورفزم کی خاصیت ہے (یونانی 'دائیں شکل' سے)۔ اہلیت 'چھوٹے' کا مطلب ہے کہ پیمائش کی کچھ دی گئی درستگی پر عنصر کے پیمانے کے عنصر میں کوئی تبدیلی نہیں پائی جا سکتی۔ چونکہ کنفارمل پروجیکشنز میں ایک آئسوٹروپک پیمانے کا عنصر ہوتا ہے اس لیے انہیں آرتھومورفک پروجیکشنز بھی کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، مرکیٹر پروجیکشن مطابقت رکھتا ہے کیونکہ یہ زاویوں کو محفوظ رکھنے کے لیے بنایا گیا ہے اور اس کا پیمانے کا عنصر آئسوٹروپک ہے، جو صرف عرض البلد کا ایک فعل ہے: مرکیٹر چھوٹے علاقوں میں شکل کو محفوظ رکھتا ہے۔ تعریف: آئسوٹروپک پیمانے کے ساتھ ایک مطابقت پذیر پروجیکشن پر، ایک ہی پیمانے کی قیمت والے پوائنٹس کو آئسو اسکیل لائنیں بنانے کے لیے جوڑا جا سکتا ہے۔ یہ اختتامی صارفین کے لیے نقشوں پر پلاٹ نہیں کیے گئے ہیں لیکن وہ بہت سے معیاری متن میں نمایاں ہیں۔ (سنیڈر کے صفحات 203-206 دیکھیں۔) نمائندہ فریکشن (آر ایف) یا پرنسپل اسکیل کسی بھی پروجیکشن کی مساوات کو ترتیب دینے میں دو کنونشن استعمال ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوی سلنڈریکل پروجیکشن کو نقشہ نگاروں کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: ریاضی دان: یہاں ہم ان میں سے پہلے کنونشن کو اپنائیں گے (سنائڈر کے سروے میں استعمال کے بعد)۔ واضح طور پر مذکورہ بالا پروجیکشن مساوات زمین کے گرد لپٹے ہوئے ایک بڑے سلنڈر پر پوزیشنوں کی وضاحت کرتی ہیں اور پھر انرولڈ ہوتی ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ نقاط پروجیکشن نقشے کی وضاحت کرتے ہیں جسے اصل طباعت شدہ (یا دیکھے گئے) نقشوں سے منطقی طور پر ممتاز کیا جانا چاہیے۔ اگر پچھلے حصے میں پوائنٹ اسکیل کی تعریف پروجیکشن نقشے کے لحاظ سے ہے تو ہم توقع کر سکتے ہیں کہ پیمانے کے عوامل اتحاد کے قریب ہوں گے۔ عام ٹینجینٹ سلنڈریکل پروجیکشنز کے لیے خط استوا کے ساتھ پیمانہ k = 1 ہے اور عام طور پر جب ہم خط استوا سے ہٹتے ہیں تو پیمانہ بدل جاتا ہے۔ پروجیکشن نقشے پر پیمانے کا تجزیہ اتحاد کی حقیقی قدر سے دور k کی تبدیلی کی تحقیقات ہے۔ اصل طباعت شدہ نقشے پروجیکشن نقشے سے ایک مستقل اسکیلنگ کے ذریعے تیار کیے جاتے ہیں جسے 1:100 M (پوری دنیا کے نقشوں کے لیے) یا 1:10000 (جیسے شہر کے منصوبوں کے لیے) کے تناسب سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ لفظ 'پیمانے' کے استعمال میں الجھن سے بچنے کے لیے اس مستقل پیمانے کے حصے کو طباعت شدہ نقشے کا نمائندہ حصہ (آر ایف) کہا جاتا ہے اور اس کی شناخت نقشے پر چھپے تناسب سے کی جانی چاہیے۔ مساوی سلنڈریکل پروجیکشن کے لیے اصل طباعت شدہ نقشہ نقاط طباعت شدہ نقشے ہیں: یہ روایت اندرونی پروجیکشن اسکیلنگ اور تخفیف اسکیلنگ کے واضح فرق کی اجازت دیتی ہے۔ اس مقام سے ہم آر ایف کو نظر انداز کرتے ہیں اور پروجیکشن نقشے کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ نقطہ پیمانے کا تصور: ٹسوٹ انڈیکیٹریکس زمین کی سطح پر ایک چھوٹے سے دائرے پر غور کریں جو عرض البلد اور طول البلد پر ایک نقطہ P پر مرکوز ہے۔ چونکہ نقطہ پیمانہ پوزیشن اور سمت کے ساتھ مختلف ہوتا ہے اس لیے پروجیکشن پر دائرے کا پروجیکشن مسخ ہو جائے گا۔ ٹسوٹ نے ثابت کیا کہ، جب تک مسخ بہت زیادہ نہیں ہے، دائرہ پروجیکشن پر ایک ایلیپس بن جائے گا۔ عام طور پر الپس کا طول و عرض، شکل اور رخ پروجیکشن کے ساتھ بدل جائے گا۔ نقشے کے پروجیکشن پر ان مسخ شدہ ایلیپس کو سپر امپوز کرنا اس طریقے کو ظاہر کرتا ہے جس میں نقشہ پر پوائنٹ اسکیل تبدیل ہو رہا ہے۔ مسخ شدہ الپس کو ٹسوٹ کا انڈیکیٹریکس کہا جاتا ہے۔ یہاں دکھائی گئی مثال ونکل ٹرپل پروجیکشن ہے، جو نیشنل جیوگرافک سوسائٹی کے ذریعہ بنائے گئے عالمی نقشوں کے لیے معیاری پروجیکشن ہے۔ کم از کم تحریف مرکزی مریدین پر 30 ڈگری (شمال اور جنوب) کے عرض البلد پر ہوتی ہے۔ (دیگر مثالیں)۔ دائرے کے عام سلنڈریکل پروجیکشنز کے لیے پوائنٹ اسکیل پیمانے کی مقداری تفہیم کی کلید دائرے پر ایک لامحدود عنصر پر غور کرنا ہے۔ شکل دائرے پر عرض البلد اور طول البلد پر ایک نقطہ P دکھاتی ہے۔ نقطہ ق عرض البلد اور طول البلد پر ہے۔ پی کے اور ایم کیو لکیریں لمبائی کے مریدین کے آرکس ہیں جہاں دائرے کا رداس ہے اور ریڈین پیمائش میں ہے۔ پی ایم اور کے کیو لائنیں ریڈین پیمائش کے ساتھ لمبائی کے متوازی حلقوں کے آرکس ہیں۔ پی پر پروجیکشن کی ایک پوائنٹ پراپرٹی حاصل کرنے میں سطح کے ایک لامحدود عنصر پی ایم کیو کے کو لینا کافی ہے: پی کے قریب آنے والے کیو کی حد میں ایسا عنصر ایک لامحدود چھوٹے پلینر آئتاکار کی طرف مائل ہوتا ہے۔ دائرے کے عام سلنڈریکل پروجیکشنز صرف عرض البلد کے فنکشن کے برابر ہوتے ہیں۔ لہذا، دائرے پر موجود لامحدود عنصر پی ایم کیو کے ایک لامحدود عنصر پی ایم کیو کے کو پیش کرتا ہے جو کہ بنیاد اور اونچائی کے ساتھ ایک عین مطابق مستطیل ہے۔ دائرے اور پروجیکشن پر موجود عناصر کا موازنہ کرکے ہم متوازی اور مریدین پر پیمانے کے عوامل کے لیے فوری طور پر تاثرات نکال سکتے ہیں۔ (عام سمت میں پیمانے کا علاج ذیل میں پایا جا سکتا ہے۔) متوازی پیمانے کا عنصر میریڈیئن پیمانے کا عنصر نوٹ کریں کہ متوازی پیمانے کا عنصر تعریف سے آزاد ہے لہذا یہ تمام عام سلنڈریکل تخمینوں کے لیے یکساں ہے۔ یہ نوٹ کرنا مفید ہے کہ عرض البلد 30 ڈگری پر متوازی پیمانہ عرض البلد 45 ڈگری پر ہوتا ہے متوازی پیمانہ عرض البلد 60 ڈگری پر ہوتا ہے متوازی پیمانہ عرض البلد 80 ڈگری پر ہوتا ہے متوازی پیمانہ عرض البلد 85 ڈگری پر ہوتا ہے متوازی پیمانہ مندرجہ ذیل مثالیں تین عام سلنڈریکل تخمینوں کی وضاحت کرتی ہیں اور ہر معاملے میں پوزیشن اور سمت کے ساتھ پیمانے کی تغیر کو ٹسوٹ کے اشارے کے استعمال سے واضح کیا جاتا ہے۔ عام سلنڈریکل پروجیکشن کی تین مثالیں مساوی آئتاکار پروجیکشن مساوی آئتاکار پروجیکشن، جسے پلیٹ کیری ("فلیٹ مربع" کے لیے فرانسیسی) یا (کسی حد تک گمراہ کن طور پر) مساوی فاصلاتی پروجیکشن بھی کہا جاتا ہے، کی تعریف اس بات سے کی جاتی ہے کہ دائرے کا رداس کہاں ہے، پروجیکشن کے مرکزی مریدین سے طول بلد ہے (یہاں گرین وچ میریڈین کے طور پر لیا گیا ہے) اور عرض البلد ہے۔ نوٹ کریں کہ اور ریڈینس میں ہیں (ڈگری پیمائش کو/180 کے عنصر سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے)۔ طول بلد رینج میں ہے اور عرض البلد رینج میں ہے۔ چونکہ پچھلا حصہ متوازی پیمانہ دیتا ہے، میریڈیئن پیمانہ صوابدیدی سمت میں پوائنٹ پیمانے کے حساب کے لیے ضمیمہ دیکھیں۔ یہ شکل اس پروجیکشن کے لیے ٹسوٹ انڈیکیٹریکس کی وضاحت کرتی ہے۔ خط استوا پر h = k = 1 اور سرکلر عناصر پروجیکشن پر غیر درج شدہ ہیں۔ اعلی عرض البلد پر حلقوں کو صرف متوازی سمت میں پھیلا کر ایک الپس میں مسخ کیا جاتا ہے: مریدین کی سمت میں کوئی مسخ نہیں ہوتا ہے۔ بڑے محور اور چھوٹے محور کا تناسب ہے۔ واضح طور پر الپس کا رقبہ اسی عنصر سے بڑھتا ہے۔ بار اسکیلز کے استعمال پر غور کرنا سبق آموز ہے جو اس پروجیکشن کے طباعت شدہ ورژن پر ظاہر ہو سکتے ہیں۔ خط استوا پر پیمانہ درست (k = 1) ہے تاکہ طباعت شدہ نقشے پر اس کی لمبائی کو RF (یا پرنسپل پیمانے) کے الٹا سے ضرب دینے سے زمین کا اصل دائرہ معلوم ہوتا ہے۔ نقشے پر بار پیمانہ بھی صحیح پیمانے پر تیار کیا جاتا ہے تاکہ خط استوا پر دو نکات کے درمیان علیحدگی کو بار پیمانے پر منتقل کرنے سے ان نکات کے درمیان صحیح فاصلہ مل جائے۔ مریدین پر بھی ایسا ہی ہوتا ہے۔ خط استوا کے علاوہ کسی اور متوازی پر پیمانہ ایسا ہوتا ہے کہ جب ہم بار پیمانے کے متوازی سے علیحدگی کو منتقل کرتے ہیں تو ہمیں متوازی کے ساتھ ماپا جانے پر پوائنٹس کے درمیان فاصلہ حاصل کرنے کے لیے بار پیمانے کے فاصلے کو اس عنصر سے تقسیم کرنا ہوگا (جو کہ ایک عظیم دائرے کے ساتھ صحیح فاصلہ نہیں ہے)۔ ایک لکیر پر 45 ڈگری () کے اثر پر پیمانہ عرض البلد کے ساتھ مسلسل مختلف ہوتا رہتا ہے اور لکیر کے ساتھ ساتھ علیحدگی کو بار پیمانے پر منتقل کرنا کسی بھی آسان طریقے سے حقیقی فاصلے سے متعلق فاصلہ نہیں دیتا ہے۔ (لیکن ضمیمہ دیکھیں)۔ یہاں تک کہ اگر مستقل طیارہ زاویے کی اس لکیر کے ساتھ ایک فاصلہ طے کیا جا سکتا ہے، تو اس کی مطابقت قابل اعتراض ہے کیونکہ پروجیکشن پر ایسی لکیر دائرے پر ایک پیچیدہ منحنی خطوط سے مطابقت رکھتی ہے۔ ان وجوہات کی بناء پر چھوٹے پیمانے کے نقشوں پر بار اسکیل کو انتہائی احتیاط کے ساتھ استعمال کیا جانا چاہیے۔ مرکیٹر پروجیکشن دائرے کو مساوات کے ذریعہ ایک مستطیل (-سمت میں لامحدود حد تک) کی طرف نقشہ بناتا ہے جہاں a، اور جیسا کہ پچھلی مثال میں ہے۔ چونکہ پیمانے کے عوامل یہ ہیں: متوازی پیمانے کا مریدین پیمانہ ریاضیاتی ضمیمہ میں یہ دکھایا گیا ہے کہ صوابدیدی سمت میں نقطہ پیمانہ بھی برابر ہے لہذا پیمانہ آئسوٹروپک (تمام سمتوں میں یکساں) ہے، اس کی شدت عرض البلد کے ساتھ بڑھتی ہے۔ ٹسوٹ خاکہ میں ہر لامحدود سرکلر عنصر اپنی شکل کو محفوظ رکھتا ہے لیکن جیسے جیسے عرض البلد بڑھتا ہے زیادہ سے زیادہ بڑھتا جاتا ہے۔ لیمبرٹ کا مساوی رقبے کا تخمینہ لیمبرٹ کا مساوی رقبے کا تخمینہ دائرے کو ایک محدود مستطیل کی طرف ان مساوات کے ذریعے نقشہ بناتا ہے جہاں a، اور جیسا کہ پچھلی مثال میں ہے۔ چونکہ پیمانے کے عوامل متوازی پیمانے کے مریدین پیمانے ہیں اس لیے صوابدیدی سمت میں پوائنٹ پیمانے کا حساب ذیل میں دیا گیا ہے۔ عمودی اور افقی ترازو اب ایک دوسرے کی تلافی کرتے ہیں (ایچ کے = 1) اور ٹسوٹ خاکہ میں ہر لامحدود سرکلر عنصر کو اسی رقبے کے ایک ایلیپس میں مسخ کیا جاتا ہے جس پر خط استوا پر غیر درج دائرے ہوتے ہیں۔ پیمانے کے عوامل کے گراف گراف مندرجہ بالا تین مثالوں کے پیمانے کے عوامل کی تغیر کو ظاہر کرتا ہے۔ اوپری پلاٹ آئسوٹروپک مرکیٹر پیمانے کی تقریب کو ظاہر کرتا ہے: متوازی پر پیمانہ مریدین پر پیمانے کے برابر ہے۔ دوسرے پلاٹ ایکویریکٹونولر پروجیکشن (ایچ = 1) اور لیمبرٹ کے مساوی رقبے کے پروجیکشن کے لیے مریڈین پیمانے کا عنصر دکھاتے ہیں۔ ان آخری دو تخمینوں کا متوازی پیمانہ مرکیٹر پلاٹ سے ملتا جلتا ہے۔ لیمبرٹ کے لیے نوٹ کریں کہ متوازی پیمانہ (مرکیٹر اے کے طور پر) عرض البلد کے ساتھ بڑھتا ہے اور مریڈین پیمانہ (سی) عرض البلد کے ساتھ اس طرح کم ہوتا ہے کہ ایچ کے = 1، علاقے کے تحفظ کی ضمانت دیتا ہے۔ مرکیٹر پروجیکشن پر پیمانے کی تغیر مرکیٹر پوائنٹ پیمانہ خط استوا پر اتحاد ہے کیونکہ یہ ایسا ہے کہ اس کی تعمیر میں استعمال ہونے والا معاون سلنڈر خط استوا پر زمین سے متصل ہے۔ اس وجہ سے معمول کے پروجیکشن کو ٹینجینٹ پروجیکشن کہا جانا چاہیے۔ پیمانہ عرض البلد کے ساتھ مختلف ہوتا ہے۔ چونکہ جب ہم قطبوں کے قریب پہنچتے ہیں تو مرکیٹر کا نقشہ اونچے عرض البلد پر انتہائی مسخ ہو جاتا ہے اور اس وجہ سے پروجیکشن دنیا کے نقشوں کے لیے مکمل طور پر نامناسب ہے (جب تک کہ ہم نیویگیشن اور رمب لائنوں پر بات نہ کریں)۔ تاہم، تقریبا 25 ڈگری کے عرض البلد پر مرکیٹر کی قیمت تقریبا 1.1 ہے لہذا مرکیٹر خط استوا پر مرکوز 50 ڈگری چوڑائی کی پٹی میں 10 فیصد کے اندر درست ہے۔ تنگ سٹرپس بہتر ہیں: چوڑائی 16 ڈگری (خط استوا پر مرکوز) کی ایک پٹی 100 میں 1 ٪ یا 1 حصے کے اندر درست ہے۔ اچھے بڑے پیمانے کے نقشوں کے لیے ایک معیاری معیار یہ ہے کہ درستگی 10,000، یا 0.04% میں 4 حصوں کے اندر ہونی چاہیے۔ چونکہ یہ قدر ڈگریوں پر حاصل ہوتی ہے (نیچے کی شکل، سرخ لکیر دیکھیں)۔ لہذا، ٹینجینٹ مرکیٹر پروجیکشن خط استوا پر مرکوز چوڑائی 3.24 ڈگری کی پٹی کے اندر انتہائی درست ہے۔ یہ تقریبا شمال-جنوب کے فاصلے سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس پٹی کے اندر مرکیٹر بہت اچھا، انتہائی درست اور شکل کا تحفظ کرنے والا ہے کیونکہ یہ مطابقت پذیر (زاویے کا تحفظ) ہے۔ ان مشاہدات نے ٹرانسورس مرکیٹر پروجیکشنز کی ترقی کو فروغ دیا جس میں ایک مریدین کو پروجیکشن کے خط استوا کی طرح سمجھا جاتا ہے تاکہ ہم اس مریڈین کے تنگ فاصلے کے اندر ایک درست نقشہ حاصل کر سکیں۔ اس طرح کے نقشے تقریبا شمال-جنوب (جیسے برطانیہ) سے منسلک ممالک کے لیے اچھے ہیں اور ایسے 60 نقشوں کا ایک مجموعہ یونیورسل ٹرانسورس مرکیٹر (یو ٹی ایم) کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ان دونوں تخمینوں میں (جو مختلف ایلیپسائڈز پر مبنی ہیں) x اور y کے لیے تبدیلی کی مساوات اور پیمانے کے عنصر کے لیے اظہار عرض البلد اور طول البلد دونوں کے پیچیدہ افعال ہیں۔ سیکنڈ، یا ترمیم شدہ، پروجیکشن ایک سیکنڈ پروجیکشن کا بنیادی خیال یہ ہے کہ دائرے کو ایک سلنڈر پر پیش کیا جاتا ہے جو دائرے کو دو متوازی طور پر کاٹتا ہے، جیسے شمال اور جنوب۔ واضح طور پر ان عرض البلد پر پیمانہ اب درست ہے جبکہ ان عرض البلد کے نیچے متوازی پروجیکشن کے ذریعے سکڑ جاتے ہیں اور ان کا (متوازی) پیمانے کا عنصر ایک سے کم ہونا چاہیے۔ نتیجہ یہ ہے کہ اتحاد سے پیمانے کا انحراف طول بلد کی ایک وسیع رینج میں کم ہو جاتا ہے۔ عددی ضرب پروجیکشن کی شکل کو تبدیل نہیں کرتے ہیں لیکن اس کا مطلب یہ ہے کہ پیمانے کے عوامل میں ترمیم کی گئی ہے: سیکنڈ مرکیٹر پیمانے، اس طرح خط استوا پر پیمانہ 0.9996 ہے، پیمانے k = 1 ایک عرض البلد پر ہے جہاں اس طرح ڈگری، k = 1.0004 ایک عرض البلد پر جس کے ذریعہ ڈگری دی گئی ہے۔ لہذا، 4.58 ڈگری کی وسیع پٹی پر پروجیکشن، یعنی 0.04% کی درستگی ہے (ٹینجینٹ فارم کے لیے 3.24 ڈگری کے مقابلے میں)۔ اس کی مثال پچھلے حصے کے اعداد و شمار میں نچلے (سبز) منحنی خطوط سے ملتی ہے۔ اعلی درستگی کے اس طرح کے تنگ زونز کو یو ٹی ایم اور برطانوی او ایس جی بی پروجیکشن میں استعمال کیا جاتا ہے، یہ دونوں وسطی مریدین مستقل پر پیمانے کے ساتھ ایلیپسائڈ پر سیکنڈ، ٹرانسورس مرکیٹر ہوتے ہیں۔ آئسو اسکیل لائنیں مرکزی مریدین سے تقریبا 180 کلومیٹر مشرق اور مغرب میں قدرے مڑی ہوئی لائنیں ہیں۔ پیمانے کے عنصر کی زیادہ سے زیادہ قیمت UTM کے لیے 1.001 اور OSGB کے لیے 1.0007 ہے۔ عرض البلد (شمال اور جنوب) پر اکائی پیمانے کی لکیریں، جہاں سلنڈریکل پروجیکشن کی سطح دائرے کو کاٹتی ہے، سیکینٹ پروجیکشن کے معیاری متوازی ہیں۔ اگرچہ بڑے پیمانے پر اعلی درستگی کی نقشہ سازی کے لیے ایک تنگ بینڈ اہم ہے، لیکن دنیا کے نقشوں کے لیے پیمانے کی تغیر کو کنٹرول کرنے کے لیے بہت وسیع فاصلے والے معیاری متوازی استعمال کیے جاتے ہیں۔ 30N، 30S پر معیاری متوازی کے ساتھ بہارمن مثالیں ہیں۔ 45N، 45S پر معیاری متوازی کے ساتھ گال مساوی رقبہ۔ لیمبرٹ کے مساوی رقبے کے پیمانے کے عوامل کے مقابلے میں مؤخر الذکر کے پیمانے کے پلاٹ ذیل میں دکھائے گئے ہیں۔ مؤخر الذکر میں خط استوا ایک واحد معیاری متوازی ہے اور متوازی پیمانہ مریدین پیمانے میں کمی کی تلافی کے لیے k = 1 سے بڑھتا ہے۔ گال کے لیے متوازی پیمانے کو خط استوا پر کم کیا جاتا ہے (k = 0.707) جبکہ مریدین پیمانے میں اضافہ کیا جاتا ہے (k = 1.414)۔ یہ گال-پیٹرز پروجیکشن میں شکل کی مجموعی مسخ کو جنم دیتا ہے۔ (گلوب پر افریقہ تقریبا اتنا ہی لمبا ہے جتنا یہ وسیع ہے)۔ نوٹ کریں کہ مریدین اور متوازی ترازو دونوں معیاری متوازی پر اتحاد ہیں۔ ریاضیاتی ضمیمہ عام سلنڈریکل پروجیکشنز کے لیے لامحدود عناصر کی جیومیٹری زاویوں کے درمیان تعلق دیتی ہے اور مرکیٹر پروجیکشن دینے کے لیے: زاویہ محفوظ ہیں۔ (شاید ہی حیرت کی بات ہے کیونکہ یہ تعلق مرکیٹر حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے)۔ مساوی فاصلے اور لیمبرٹ پروجیکشنز کے لیے ہمارے پاس بالترتیب ہے اور اس لیے اور کے درمیان تعلق عرض البلد پر منحصر ہے۔ نقطہ پیمانے کو P پر ظاہر کریں جب لامحدود عنصر PQ مریدین کے ساتھ ایک زاویہ بناتا ہے۔ یہ فاصلے کے تناسب سے دیا جاتا ہے: ترتیب اور متبادل اور مساوات (a) اور (b) سے بالترتیب ملتا ہے۔ مرکیٹر کے علاوہ دیگر تخمینوں کے لیے ہمیں پہلے مساوات (c) سے حساب لگانا اور استعمال کرنا چاہیے، اس سے پہلے کہ ہم تلاش کر سکیں۔ مثال کے طور پر، ایکوائرکٹینگولر پروجیکشن میں ایسا ہوتا ہے کہ اگر ہم پروجیکشن پر مستقل ڈھلوان کی لکیر پر غور کریں تو لائن کے ساتھ متعلقہ ویلیو اور اسکیل فیکٹر دونوں کے پیچیدہ افعال ہیں۔ عام محدود علیحدگی کو بار پیمانے پر منتقل کرنے اور بامعنی نتائج حاصل کرنے کا کوئی آسان طریقہ نہیں ہے۔ تناسب کی علامت اگرچہ بڑی آنت کو اکثر تناسب کے اظہار کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، یونیکوڈ تناسب کے لیے مخصوص علامت کا اظہار کر سکتا ہے، جو قدرے بڑھا ہوا ہے: جیوگرافک ڈسٹنس اسکیل (تجزیاتی ٹول) اسکیل (تناسب) اسکیلنگ (جیومیٹری) اسپاٹیل اسکیل آن ایکزیکٹیوڈ ان سائنس نوٹس حوالہ جات کارٹوگرافی چینی ایجادات پیمائش بھی دیکھیں۔