Cardinality of the continuum
سیٹ تھیوری میں، تسلسل کی بنیادی حیثیت حقیقی اعداد کے سیٹ کی بنیادی حیثیت یا "سائز" ہے، جسے بعض اوقات تسلسل کہا جاتا ہے۔ یہ ایک لامحدود کارڈینل نمبر ہے اور اس کی نشاندہی (چھوٹے حروف فرکٹور "سی") یا سے کی جاتی ہے۔ حقیقی اعداد قدرتی اعداد سے زیادہ تعداد میں ہوتے ہیں۔ مزید برآں، علامت کے پاور سیٹ کے طور پر عناصر کی اتنی ہی تعداد ہے، اگر کی کارڈینالیٹی کو اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے، تو تسلسل کی کارڈینالیٹی ہے۔ یہ جارج کینٹر نے 1874 کے اپنے بے حساب ثبوت میں ثابت کیا تھا، جو مختلف انفینیٹیز کے اپنے تاریخی مطالعہ کا حصہ ہے۔ اس عدم مساوات کو بعد میں 1891 میں ان کی اخترن دلیل میں مزید آسانی سے بیان کیا گیا۔ کینٹر نے باجیکٹو افعال کے لحاظ سے کارڈینیلیٹی کی وضاحت کی: دو سیٹوں میں ایک ہی کارڈینیلیٹی ہوتی ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، ان کے درمیان ایک باجیکٹو فنکشن موجود ہو۔ کسی بھی دو حقیقی اعداد a <b کے درمیان، چاہے وہ ایک دوسرے کے کتنے ہی قریب ہوں، ہمیشہ لامحدود طور پر بہت سے دوسرے حقیقی اعداد ہوتے ہیں، اور کینٹر نے دکھایا کہ وہ اتنے ہی ہیں جتنے حقیقی اعداد کے پورے سیٹ میں موجود ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، کھلا وقفہ (a، b) برابر ہے۔ یہ کئی دیگر لامحدود سیٹوں کے لیے بھی درست ہے، جیسے کہ کسی بھی n-جہتی یوکلڈین جگہ (خلا بھرنے کا وکر دیکھیں)۔ یعنی سب سے چھوٹا لامحدود کارڈینل نمبر (الیف-نل) ہے۔ دوسرا سب سے چھوٹا (الیف-ون) ہے۔ تسلسل مفروضہ، جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایسا کوئی سیٹ نہیں ہے جس کی کارڈینالیٹی سختی سے درمیان ہو اور اس کا مطلب ہے۔ اس مفروضے کی سچائی یا جھوٹ ناقابل فیصلہ ہے اور اسے وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والے زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری کے اندر انتخاب کے محور (ZFC) کے ساتھ ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ خصوصیات بے شمار جارج کینٹر نے لامحدود سیٹوں کے سائز کا موازنہ کرنے کے لیے کارڈینیلیٹی کا تصور متعارف کرایا۔ انہوں نے مشہور طور پر دکھایا کہ حقیقی اعداد کا مجموعہ بے شمار لامحدود ہے۔ یعنی، قدرتی اعداد کی بنیادییت سے سختی سے زیادہ ہے،: عملی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ انٹیجرز کے مقابلے میں سختی سے زیادہ حقیقی اعداد موجود ہیں۔ کینٹر نے اس بیان کو کئی مختلف طریقوں سے ثابت کیا۔ اس موضوع پر مزید معلومات کے لیے، کینٹر کا پہلا بے حساب ثبوت اور کینٹر کی اخترن دلیل دیکھیں۔ کارڈینل مساوات کینٹر کی اخترن دلیل کی ایک تغیر کو کینٹر کے نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی سیٹ کی کارڈینالٹی اس کے پاور سیٹ سے سختی سے کم ہوتی ہے۔ یعنی (اور اس طرح کہ قدرتی اعداد کا پاور سیٹ ناقابل شمار ہو)۔ در حقیقت، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ کی بنیادی حیثیت مندرجہ ذیل کے برابر ہے: حقیقی سے عقلی کے پاور سیٹ تک کے نقشے کی وضاحت کریں، ہر حقیقی نمبر کو تمام عقلی سے کم یا برابر کے سیٹ پر بھیج کر (حقیقی کے ساتھ ڈیڈیکائنڈ کٹ کے طور پر دیکھا جاتا ہے، یہ عقلی کے سیٹ میں شمولیت کے نقشے کے علاوہ اور کچھ نہیں ہے)۔ چونکہ ریشنلز گھنے ہیں، اس لیے یہ نقشہ انجیکشن والا ہے، اور چونکہ ریشنلز قابل شمار ہیں، اس لیے ہمارے پاس یہ ہے۔ آئیے سیٹ میں اقدار کے ساتھ لامحدود ترتیبات کا مجموعہ بنیں۔ اس سیٹ میں کارڈینالیٹی ہوتی ہے (بائنری سیکوینس کے سیٹ کے درمیان قدرتی بائیجیکشن اور انڈیکیٹر فنکشن کے ذریعے دیا جاتا ہے)۔ اب، اس طرح کی ہر ترتیب کے ساتھ وقفے میں منفرد حقیقی نمبر کو ہندسوں کے ذریعہ دی گئی سہ رخی توسیع کے ساتھ جوڑیں، یعنی فریکشنل پوائنٹ کے بعد-th ہندسہ بیس کے حوالے سے ہے۔ اس نقشے کی تصویر کو کینٹر سیٹ کہا جاتا ہے۔ یہ دیکھنا مشکل نہیں ہے کہ یہ نقشہ انجیکٹو ہے، کیونکہ ان کی سہ رخی توسیع میں ہندسوں 1 کے ساتھ پوائنٹس سے گریز کرنے سے، ہم اس حقیقت سے پیدا ہونے والے تنازعات سے بچتے ہیں کہ حقیقی تعداد کی سہ رخی توسیع منفرد نہیں ہے۔ پھر ہمارے پاس یہ ہے۔ کینٹر-برنسٹین-شرویڈر تھیوریم کے ذریعے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ بنیادی مساوات کا مظاہرہ بنیادی ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے: بنیادی ریاضی کے اصولوں کا استعمال کرتے ہوئے، یہ بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ جہاں n کوئی محدود بنیادی ω2 ہے، اور جہاں R کے پاور سیٹ کی بنیادی حیثیت ہے، اور۔ ہر حقیقی عدد کے لیے متبادل وضاحت میں کم از کم ایک لامحدود اعشاریہ توسیع ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، (یہ اس صورت میں بھی درست ہے جب توسیع دہرائی جاتی ہے، جیسا کہ پہلی دو مثالوں میں ہے۔) کسی بھی صورت میں، ہندسوں کی تعداد قابل شمار ہوتی ہے کیونکہ انہیں قدرتی اعداد کے سیٹ کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت میں رکھا جا سکتا ہے۔ اس سے پہلے، ایک سوویں، یا π کے دس لاکھ ویں ہندسے کے بارے میں بات کرنا سمجھدار ہو جاتا ہے۔ چونکہ قدرتی اعداد میں کارڈینالیٹی ہوتی ہے اس لیے ہر حقیقی عدد کی توسیع میں ہندسے ہوتے ہیں۔ چونکہ ہر حقیقی عدد کو ایک عدد کے حصے اور اعشاریہ کے حصے میں توڑا جا سکتا ہے، اس لیے ہمیں ملتا ہے: جہاں ہم نے اس حقیقت کو استعمال کیا کہ دوسری طرف، اگر ہم نقشہ بناتے ہیں اور اس بات پر غور کرتے ہیں کہ صرف 3 یا 7 پر مشتمل اعشاریہ کے حصے حقیقی اعداد کا صرف ایک حصہ ہیں، تو ہمیں ملتا ہے اور اس طرح بیتھ نمبر۔ بیتھ نمبروں کی ترتیب کی وضاحت ترتیب اور ترتیب سے کی جاتی ہے۔ تو دوسرا بیتھ نمبر، بیتھ-ایک ہے: تیسرا بیتھ نمبر، بیتھ-دو، (یعنی) کے پاور سیٹ کی بنیادی حیثیت ہے۔ حقیقی لکیر کے تمام ذیلی سیٹوں کا مجموعہ): تسلسل مفروضہ مشہور تسلسل مفروضہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ یہ دوسرا الیف نمبر بھی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، تسلسل کے مفروضے میں کہا گیا ہے کہ ایسا کوئی سیٹ نہیں ہے جس کی بنیادی حیثیت سختی سے اور اس کے درمیان ہو۔ یہ بیان اب زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری کے محوریات سے آزاد ہونے کے لیے جانا جاتا ہے جس میں محوری انتخاب (ZFC) ہے، جیسا کہ کرٹ گوڈل اور پال کوہن نے دکھایا ہے۔ یعنی مفروضہ اور اس کی نفی دونوں ہی ان محوریات سے مطابقت رکھتے ہیں۔ در حقیقت، ہر غیر صفر قدرتی نمبر n کے لیے، مساوات = ZFC سے آزاد ہے (کیس تسلسل مفروضہ ہونے کی وجہ سے)۔ یہی بات زیادہ تر دوسرے الیفس کے لیے بھی درست ہے، حالانکہ کچھ معاملات میں مساوات کو کونگ کے نظریہ کے ذریعے کوفینیلیٹی کی بنیاد پر مسترد کیا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر،)۔ خاص طور پر، یا تو ہو سکتا ہے یا، جہاں پہلا ناقابل شمار آرڈینل ہے، لہذا یہ یا تو جانشین کارڈینل یا لمٹ کارڈینل، اور یا تو باقاعدہ کارڈینل یا واحد کارڈینل ہو سکتا ہے۔ تسلسل کی کارڈینالیٹی کے ساتھ سیٹ ریاضی میں زیر مطالعہ بہت سے سیٹوں میں کارڈینالیٹی کے برابر ہوتی ہے۔ کچھ عام مثالیں درج ذیل ہیں: زیادہ کارڈینیلیٹی والے سیٹ اس سے زیادہ کارڈینیلیٹی والے سیٹ شامل ہیں: (یعنی، پاور سیٹ) کے تمام ذیلی سیٹوں کا سیٹ 2R اشارے کے افعال کا سیٹ جو حقیقی کے ذیلی سیٹوں پر بیان کیا گیا ہے (سیٹ آئسومورفک ہے-اشارے کا فنکشن شامل کرنے کے لیے ہر ذیلی سیٹ کے عناصر کا انتخاب کرتا ہے) تمام افعال کا سیٹ لیبسیگ σ-الجبرا سے، یعنی تمام لیبسیگ پیمائش کے قابل سیٹوں کا سیٹ۔ تمام لیبسگیو-انٹیگریبل افعال کا سیٹ تمام لیبسگیو-پیمائش کے قابل افعال کے سیٹ سے لے کر اسٹون-سیچ کمپیکٹفیکیشن تک، اور پیچیدہ نمبروں کے (مجرد) فیلڈ کے تمام آٹومورفزم کا سیٹ۔ ان سب میں کارڈینالیٹی (بیتھ ٹو) ہوتی ہے۔ مسلسل حوالہ جات کتابچہ پال ہالموس، نائیو سیٹ تھیوری کی کارڈینل خصوصیت بھی دیکھیں۔ پرنسٹن، این جے: ڈی۔ وان نوسٹرینڈ کمپنی، 1960۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1974 کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا۔ (سپرنگر-ورلاگ ایڈیشن)۔ جیچ، تھامس، 2003۔ سیٹ تھیوری: تیسرا ملینیم ایڈیشن، نظر ثانی شدہ اور توسیع شدہ۔ سپرنگر۔ ۔ کونن، کینتھ، 1980۔ سیٹ تھیوری: آزادی کے ثبوت کا تعارف۔ ایلسیویئر۔ ۔ کارڈینل نمبرز سیٹ تھیوری انفینٹی