Countable chain condition
آرڈر تھیوری میں، جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ X کو قابل گنتی سلسلہ کی حالت کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے، یا سی سی سی کہا جاتا ہے، اگر X میں ہر مضبوط اینٹیچین قابل گنتی ہو۔ جائزہ واقعی دو شرائط ہیں: اوپر کی طرف اور نیچے کی طرف قابل گنتی سلسلہ کے حالات۔ یہ مساوی نہیں ہیں۔ قابل گنتی سلسلہ کی حالت کا مطلب نیچے کی طرف قابل گنتی سلسلہ کی حالت ہے، دوسرے الفاظ میں کسی بھی دو عناصر کی مشترکہ نچلی حد نہیں ہے۔ مکمل بولین الجبرا میں ٹپوولوجیکل خالی جگہوں اور زنجیروں میں کھلے سیٹوں کی کچھ زنجیروں سے متعلق تاریخی وجوہات کی بناء پر اسے زیادہ منطقی اصطلاح "گنتی کے قابل اینٹیچین حالت" کے بجائے "گنتی کے قابل زنجیر حالت" کہا جاتا ہے، جہاں زنجیر کے حالات بعض اوقات اینٹیچین حالات کے مساوی ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر κ ایک کارڈینل ہے، تو ایک مکمل بولین الجبرا میں ہر اینٹیچین کا سائز κ سے کم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب عناصر کی کوئی نزولی κ-ترتیب نہ ہو، تو سلسلہ کے حالات اینٹیچین حالات کے مساوی ہوتے ہیں۔ جزوی آرڈرز اور سی سی سی کو مطمئن کرنے والی جگہیں مارٹن کے محور کے بیان میں استعمال ہوتی ہیں۔ تھیوری آف فورسنگ میں، سی سی سی جزوی آرڈرز استعمال کیے جاتے ہیں کیونکہ اس طرح کے آرڈر پر کسی بھی عام سیٹ کے ساتھ فورسنگ کارڈینلز اور کو فائنلٹیز کو محفوظ رکھتی ہے۔ مزید برآں، سی سی سی پراپرٹی کو محدود سپورٹ تکرار کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے (دیکھیں تکرار فورسنگ)۔ زبردستی کے تناظر میں سی سی سی کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، دیکھیں۔ زیادہ عام طور پر، اگر κ ایک کارڈینل ہے تو ایک پوسیٹ کو κ-زنجیر کی حالت کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر ہر اینٹیچین کا سائز κ سے کم ہو۔ قابل گنتی زنجیر کی حالت اے 1-زنجیر کی حالت ہے۔ ٹوپولوجی میں مثالیں اور خصوصیات ایک ٹوپولوجیکل اسپیس کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ قابل گنتی سلسلہ کی حالت، یا سوسلن کی حالت کو پورا کرتی ہے، اگر X کے غیر خالی کھلے ذیلی سیٹوں کا جزوی طور پر ترتیب دیا گیا سیٹ قابل گنتی سلسلہ کی حالت کو پورا کرتا ہے، یعنی۔ X کے غیر خالی کھلے ذیلی سیٹوں کا ہر جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ مجموعہ قابل شمار ہے۔ یہ نام سوسلن کے مسئلے سے نکلا ہے۔ ہر علیحدہ ٹوپولوجیکل جگہ سی سی سی ہے۔ مزید برآں، زیادہ تر علیحدہ جگہوں پر پروڈکٹ کی جگہ ایک علیحدہ جگہ ہے اور اس طرح، سی سی سی۔ ایک میٹرک اسپیس سی سی سی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ علیحدہ ہو۔ عام طور پر، سی سی سی ٹوپولوجیکل اسپیس کو الگ کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، پروڈکٹ ٹوپولوجی کے ساتھ سی سی سی ہے، اگرچہ علیحدہ نہیں ہے۔ پیرا کامپیکٹ سی سی سی خالی جگہیں لنڈیلوف ہیں۔ حوالہ جات علیحدہ جگہوں کی مصنوعات، کے۔ اے۔ راس، اور اے۔ ایچ۔ اسٹون۔ امریکی ریاضیاتی ماہانہ 71 (4): پی پی۔ 398-403 (1964) آرڈر تھیوری فورسنگ (ریاضی)