Volatility smile
اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹیں اتار چڑھاؤ کے مضمر نمونے ہیں جو مالیاتی اختیارات کی قیمتوں میں پیدا ہوتے ہیں۔ یہ ایک پیرامیٹر (مضمر اتار چڑھاؤ) ہے جس میں مارکیٹ کی قیمتوں کو فٹ کرنے کے لیے بلیک-شولز فارمولے کے لیے ترمیم کرنے کی ضرورت ہے۔ خاص طور پر کسی دی گئی میعاد ختم ہونے کے لیے، وہ آپشن جن کی اسٹرائیک پرائس بنیادی اثاثہ کی قیمت سے کافی حد تک مختلف ہوتی ہے، معیاری آپشن پرائسنگ ماڈلز کی طرف سے تجویز کردہ قیمتوں سے زیادہ قیمتوں (اور اس طرح مضمر اتار چڑھاؤ) کا حکم دیتے ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ یہ اختیارات یا تو پیسے کے اندر یا پیسے سے باہر ہیں۔ گرافنگ سے کسی دی گئی میعاد ختم ہونے پر ہڑتال کی قیمتوں کے خلاف مضمر اتار چڑھاؤ متوقع ہموار سطح کے بجائے ایک منحنی "مسکراہٹ" پیدا کرتا ہے۔ مختلف بازاروں میں نمونہ مختلف ہوتا ہے۔ امریکی بازاروں میں تجارت ہونے والے ایکویٹی آپشنز نے 1987 کے کریش سے پہلے اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ نہیں دکھائی لیکن بعد میں ظاہر ہونا شروع کیا۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ فیٹ ٹیل کے امکانات کے بارے میں سرمایہ کاروں کی دوبارہ تشخیص سے پیسے سے باہر کے اختیارات کی قیمتیں بڑھ گئی ہیں۔ یہ بے ضابطگی معیاری بلیک-شولز آپشن پرائسنگ ماڈل میں خامیوں کو ظاہر کرتی ہے جو بنیادی اثاثوں کی واپسی کی مستقل اتار چڑھاؤ اور لاگ نارمل تقسیم کو فرض کرتی ہے۔ تجرباتی اثاثوں کی واپسی کی تقسیم، تاہم، موٹی دم (کرٹوسس) اور سکیو کی نمائش کرتی ہے۔ اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ کا نمونہ بنانا مقداری مالیات میں تحقیق کا ایک فعال شعبہ ہے، اور بہتر قیمتوں کے ماڈل جیسے کہ اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ والا ماڈل جزوی طور پر اس مسئلے کو حل کرتا ہے۔ ایک متعلقہ تصور اتار چڑھاؤ کی اصطلاح کی ساخت کا ہے، جو بیان کرتا ہے کہ مختلف پختگی کے ساتھ متعلقہ اختیارات کے لیے (مضمر) اتار چڑھاؤ کس طرح مختلف ہوتا ہے۔ ایک مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح ایک 3-D پلاٹ ہے جو کسی دیئے گئے بنیادی اثاثے پر تمام آپشنز کے لیے ایک مربوط تین جہتی سطح میں اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ اور اتار چڑھاؤ کی اصطلاح کی ساخت کو پلاٹ کرتی ہے۔ مضمر اتار چڑھاؤ بلیک-شولز ماڈل میں، ونیلا آپشن کی نظریاتی قدر بنیادی اثاثہ کی اتار چڑھاؤ کا یک جہتی سے بڑھتا ہوا فنکشن ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ عام طور پر کسی آپشن کے لیے دی گئی مارکیٹ قیمت سے ایک منفرد مضمر اتار چڑھاؤ کا حساب لگانا ممکن ہے۔ اس مضمر اتار چڑھاؤ کو بہترین طور پر آپشن کی قیمتوں کی بازیافت کے طور پر سمجھا جاتا ہے جو مختلف ہڑتالوں، میعاد ختم ہونے، اور انڈر لائنز کے درمیان موازنہ کو آسان اور زیادہ بدیہی بناتا ہے۔ جب اسٹرائیک پرائس کے خلاف مضمر اتار چڑھاؤ کا منصوبہ بنایا جاتا ہے، تو اس کے نتیجے میں گراف عام طور پر ایکویٹی مارکیٹوں کے لیے نیچے کی طرف ڈھلوان ہوتا ہے، یا کرنسی مارکیٹوں کے لیے وادی کی شکل کا ہوتا ہے۔ بازاروں کے لیے جہاں گراف نیچے کی طرف ڈھل رہا ہے، جیسے کہ ایکویٹی آپشنز کے لیے، اصطلاح "اتار چڑھاؤ سکیو" اکثر استعمال کی جاتی ہے۔ دیگر بازاروں کے لیے، جیسے کہ ایف ایکس آپشنز یا ایکویٹی انڈیکس آپشنز، جہاں عام گراف دونوں سروں پر ظاہر ہوتا ہے، زیادہ واقف اصطلاح "اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ" استعمال کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، الٹا کے لیے مضمر اتار چڑھاؤ (یعنی۔ ہائی اسٹرائیک) ایکویٹی آپشنز عام طور پر ایٹ دی منی ایکویٹی آپشنز کے مقابلے میں کم ہوتے ہیں۔ تاہم، زرمبادلہ کے معاہدوں پر اختیارات کی مضمر اتار چڑھاؤ منفی اور الٹا دونوں سمتوں میں بڑھتے ہیں۔ ایکویٹی مارکیٹوں میں، ایک چھوٹی سی جھکی ہوئی مسکراہٹ اکثر پیسے کے قریب عام طور پر نیچے کی طرف ڈھلوان والے مضمر اتار چڑھاؤ کے گراف میں ایک جھلک کے طور پر دیکھی جاتی ہے۔ بعض اوقات "مسکراہٹ" کی اصطلاح منحرف مسکراہٹ کو بیان کرنے کے لیے استعمال کی جاتی ہے۔ مارکیٹ پریکٹیشنرز اے ٹی ایم (ایٹ دی منی) آپشن کے لیے اتار چڑھاؤ کے پیرامیٹر کی نشاندہی کرنے کے لیے مضمر اتار چڑھاؤ کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں۔ اس قدر میں ایڈجسٹمنٹ رسک ریورسل اور فلائز (اسکیوز) کی اقدار کو شامل کرکے کی جاتی ہیں تاکہ اصل اتار چڑھاؤ کی پیمائش کا تعین کیا جا سکے جو ڈیلٹا کے ساتھ آپشنز کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو 50 نہیں ہے۔ فارمولہ جہاں: وہ مضمر اتار چڑھاؤ ہے جس پر ایکس ٪-ڈیلٹا کال مارکیٹ میں ٹریڈ کر رہی ہے وہ ایکس ٪-ڈیلٹا پٹ اے ٹی ایم کا مضمر اتار چڑھاؤ ہے جس پر اے ٹی ایم کالز اور پٹس مارکیٹ میں ٹریڈ کر رہے ہیں۔ رسک ریورسلز کو عام طور پر ایکس ٪ ڈیلٹا رسک ریورسل کے طور پر حوالہ دیا جاتا ہے اور بنیادی طور پر لانگ ایکس ٪ ڈیلٹا کال، اور شارٹ ایکس ٪ ڈیلٹا پٹ ہوتا ہے۔ بٹر فلائی، دوسری طرف، ایک حکمت عملی ہے جس میں شامل ہیں:-y ٪ ڈیلٹا فلائی جس کا مطلب ہے لانگ y ٪ ڈیلٹا کال، لانگ y ٪ ڈیلٹا پٹ، شارٹ ون اے ٹی ایم کال اور شارٹ ون اے ٹی ایم پٹ (چھوٹی ٹوپی کی شکل)۔ مضمر اتار چڑھاؤ اور تاریخی اتار چڑھاؤ یہ نوٹ کرنا مددگار ہے کہ مضمر اتار چڑھاؤ کا تعلق تاریخی اتار چڑھاؤ سے ہے، لیکن یہ دونوں الگ الگ ہیں۔ تاریخی اتار چڑھاؤ حالیہ تاریخ کے دوران بنیادی قیمت (احساس شدہ اتار چڑھاؤ) کی نقل و حرکت کا ایک براہ راست پیمانہ ہے۔ ٹریلنگ 21 دن کی مدت)۔ اس کے برعکس، مضمر اتار چڑھاؤ کا تعین خود مشتق معاہدے کی مارکیٹ قیمت سے ہوتا ہے، نہ کہ بنیادی قیمت سے۔ لہذا، ایک ہی بنیادی پر مختلف مشتق معاہدوں میں ان کی اپنی فراہمی اور طلب کی حرکیات کے فنکشن کے طور پر مختلف مضمر اتار چڑھاؤ ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، آئی بی ایم کال آپشن، $100 پر ہڑتال کرتا ہے اور 6 ماہ میں ختم ہوتا ہے، اس میں 18 فیصد کا مضمر اتار چڑھاؤ ہو سکتا ہے، جبکہ پٹ آپشن $105 پر ہڑتال کرتا ہے اور 1 ماہ میں ختم ہوتا ہے، اس میں 21 فیصد کا مضمر اتار چڑھاؤ ہو سکتا ہے۔ اسی وقت، پچھلے 21 دن کی مدت کے لیے آئی بی ایم کے لیے تاریخی اتار چڑھاؤ 17 فیصد ہو سکتا ہے (تمام اتار چڑھاؤ کا اظہار سالانہ فیصد چالوں میں کیا جاتا ہے)۔ اتار چڑھاؤ کی مدت کا ڈھانچہ مختلف پختگی کے اختیارات کے لیے، ہم مضمر اتار چڑھاؤ میں خصوصیت کے فرق بھی دیکھتے ہیں۔ تاہم، اس معاملے میں، غالب اثر کا تعلق مارکیٹ کے آنے والے واقعات کے مضمر اثرات سے ہے۔ مثال کے طور پر، یہ اچھی طرح سے مشاہدہ کیا گیا ہے کہ اسٹاک کی قیمتوں میں اتار چڑھاؤ کا احساس اس دن نمایاں طور پر بڑھتا ہے جس دن کمپنی اپنی آمدنی کی اطلاع دیتی ہے۔ اسی کے مطابق، ہم دیکھتے ہیں کہ آپشنز کے لیے مضمر اتار چڑھاؤ آمدنی کے اعلان سے پہلے کی مدت کے دوران بڑھے گا، اور پھر جیسے ہی اسٹاک کی قیمت نئی معلومات کو جذب کرے گی پھر دوبارہ گر جائے گی۔ پہلے پختہ ہونے والے اختیارات طویل پختگی والے اختیارات کے مقابلے میں مضمر اتار چڑھاؤ (جسے بعض اوقات "حجم کا حجم" کہا جاتا ہے) میں ایک بڑا جھول ظاہر کرتے ہیں۔ دیگر آپشن مارکیٹیں دوسرے رویے کو ظاہر کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اجناس کے مستقبل کے اختیارات عام طور پر فصل کی پیشن گوئی کے اعلان سے ٹھیک پہلے بڑھتی ہوئی مضمر اتار چڑھاؤ کو ظاہر کرتے ہیں۔ یو ایس ٹریژری بل فیوچرس پر اختیارات فیڈرل ریزرو بورڈ کے اجلاسوں سے ٹھیک پہلے (جب قلیل مدتی شرح سود میں تبدیلیوں کا اعلان کیا جاتا ہے) بڑھتی ہوئی مضمر اتار چڑھاؤ کو ظاہر کرتے ہیں۔ بازار بہت سی دوسری اقسام کے واقعات کو اتار چڑھاؤ کی اصطلاح کے ڈھانچے میں شامل کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، منشیات کے ٹرائل کے آنے والے نتائج کا اثر دواسازی کے اسٹاک کے لیے مضمر اتار چڑھاؤ کا سبب بن سکتا ہے۔ پیٹنٹ قانونی چارہ جوئی کی متوقع حل کی تاریخ ٹیکنالوجی اسٹاک وغیرہ کو متاثر کر سکتی ہے۔ اتار چڑھاؤ اصطلاح کے ڈھانچے مضمر اتار چڑھاؤ اور میعاد ختم ہونے کے وقت کے درمیان تعلقات کی فہرست دیتے ہیں۔ اصطلاح کے ڈھانچے تاجروں کو سستے یا مہنگے اختیارات کا اندازہ لگانے کا ایک اور طریقہ فراہم کرتے ہیں۔ مضمر اتار چڑھاؤ کی سطح یہ اکثر اسٹرائیک پرائس اور پختگی کے وقت دونوں کے فنکشن کے طور پر مضمر اتار چڑھاؤ کو پلاٹ کرنے کے لیے مفید ہے۔ نتیجہ ایک دو جہتی مڑے ہوئے سطح کا ہوتا ہے جسے تین جہتوں میں پلاٹ کیا جاتا ہے جس کے تحت موجودہ مارکیٹ میں تمام آپشنز کے لیے اتار چڑھاؤ (Z-محور) کو قیمت (Y-محور) اور پختگی کے وقت (x-محور "DTM") کے خلاف پلاٹ کیا جاتا ہے۔ یہ مطلق مضمر اتار چڑھاؤ کی سطح کی وضاحت کرتا ہے۔ نقاط کو تبدیل کرنا تاکہ قیمت کو ڈیلٹا سے تبدیل کیا جائے جس سے متعلقہ مضمر اتار چڑھاؤ کی سطح حاصل ہو۔ مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح بیک وقت اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ اور اتار چڑھاؤ کی اصطلاح کی ساخت دونوں کو ظاہر کرتی ہے۔ آپشن ٹریڈرز ایک مضمر اتار چڑھاؤ والے پلاٹ کا استعمال کرتے ہیں تاکہ مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح کی شکل کا فوری تعین کیا جا سکے، اور کسی بھی ایسے علاقے کی نشاندہی کی جا سکے جہاں پلاٹ کی ڈھلوان (اور اس وجہ سے رشتہ دار مضمر اتار چڑھاؤ) لائن سے باہر دکھائی دیتی ہے۔ گراف کسی خاص بنیادی اسٹاک کی قیمت پر تمام پٹ آپشنز کے لیے ایک مضمر اتار چڑھاؤ کی سطح کو ظاہر کرتا ہے۔ زیڈ محور فیصد میں مضمر اتار چڑھاؤ کی نمائندگی کرتا ہے، اور ایکس اور وائی محور آپشن ڈیلٹا، اور پختگی کے دنوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ پٹ کال کی برابری کو برقرار رکھنے کے لیے، 20 ڈیلٹا پٹ میں وہی مضمر اتار چڑھاؤ ہونا چاہیے جو 80 ڈیلٹا کال میں ہوتا ہے۔ اس سطح کے لیے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ بنیادی علامت میں اتار چڑھاؤ اسکیو (ڈیلٹا محور کے ساتھ ایک جھکاؤ) کے ساتھ ساتھ ایک اتار چڑھاؤ اصطلاح کا ڈھانچہ بھی ہے جو مستقبل قریب میں متوقع واقعہ کی نشاندہی کرتا ہے۔ ارتقاء: چپچپا ایک مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح جامد ہوتی ہے: یہ وقت کے ایک مخصوص لمحے میں مضمر اتار چڑھاؤ کو بیان کرتی ہے۔ جیسے جیسے جگہ بدلتی ہے سطح کیسے بدلتی ہے اسے مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح کا ارتقاء کہا جاتا ہے۔ عام تحقیقات میں شامل ہیں: "چپچپا ہڑتال" (یا "چپچپا-بائی-ہڑتال"، یا "چھڑی سے ہڑتال"): اگر جگہ بدل جاتی ہے، تو دی گئی مطلق ہڑتال کے ساتھ کسی آپشن کی مضمر اتار چڑھاؤ تبدیل نہیں ہوتی ہے۔ "چپچپا پیسہ" (عرف، "چپچپا ڈیلٹا" ؛ پیسہ دیکھیں کہ یہ مساوی اصطلاحات کیوں ہیں): اگر جگہ بدل جاتی ہے، تو دی گئی پیسہ (ڈیلٹا) کے ساتھ کسی آپشن کی مضمر اتار چڑھاؤ تبدیل نہیں ہوتی ہے۔ (ڈیلٹا کا مطلب یہاں "ڈیلٹا اتار چڑھاؤ ایڈجسٹمنٹ" ہے، یونانی کے طور پر ڈیلٹا نہیں۔ دوسرے لفظوں میں، اے ٹی ایم اسٹرائیک اتار چڑھاؤ کے لیے نسبتا اتار چڑھاؤ ایڈجسٹمنٹ جو ہمیشہ موجودہ بنیادی اثاثہ قیمت کے قریب ترین 100% پیسہ اور ڈیلٹا اتار چڑھاؤ ایڈجسٹمنٹ کے لیے 0 مقرر ہوتی ہے۔) لہذا اگر اسپاٹ 100 ڈالر سے 120 ڈالر تک جاتا ہے، تو چپچپا ہڑتال پیش گوئی کرے گی کہ 120 ڈالر کے اسٹرائیک آپشن کا مضمر اتار چڑھاؤ اس اقدام سے پہلے جو کچھ بھی تھا (حالانکہ یہ او ٹی ایم سے اے ٹی ایم میں منتقل ہو گیا ہے)، جبکہ چپچپا ڈیلٹا پیش گوئی کرے گا کہ 120 ڈالر کے اسٹرائیک آپشن کا مضمر اتار چڑھاؤ اس اقدام سے پہلے جو بھی 100 ڈالر کے اسٹرائیک آپشن کا مضمر اتار چڑھاؤ تھا (کیونکہ یہ دونوں اس وقت اے ٹی ایم ہیں)۔ اتار چڑھاؤ کی مسکراہٹ کی ماڈلنگ کے طریقوں میں اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے ماڈل اور مقامی اتار چڑھاؤ کے ماڈل شامل ہیں۔ یہاں تیار کردہ مختلف متبادل طریقوں کے بارے میں بحث کے لیے، دیکھیں اور۔ اتار چڑھاؤ (مالیات) اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ ماڈل وانا وولگا طریقہ ہیسٹن ماڈل امپلیڈ بائنومیل ٹری امپلیڈ ٹرائنومیل ٹری ایج ورتھ بائنومیل ٹری حوالہ جات بیرونی روابط ایمانوئل ڈرمین، دی وولٹیلیٹی اسمائیل اینڈ اس امپلیڈ ٹری (آر آئی ایس کے، 7-2 فروری 1994، پی پی۔ 139-145، پی پی۔ 32-39) (PDF) مارک روبنسٹائن، امپلیڈ بائنومیل ٹریز (PDF) ڈیمیانو بریگو، فابیو مرکیوریو، فرانسیسکو ریپسرڈا اور گیولی سارٹوریلی، مکسچر اسٹوچسٹک ڈفریٚنشل مساوات کے ساتھ اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ ماڈلنگ (PDF) اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ کا تصور C. گرنسپین، "امپلیڈ لوگن نارمل اتار چڑھاؤ کے لیے غیر علامتی توسیع: ایک ماڈل فری اپروچ" Y. Li، "ایک اوسط پابند مالیاتی ماڈل اور اختیارات کی قیمتوں کا تعین" اجناس کے اتار چڑھاؤ کی مثالیں مسکراہٹ/اسکیوز ریاضیاتی مالیاتی اختیارات (فنانس)