Todd class
ریاضی میں، ٹوڈ کلاس ایک مخصوص تعمیر ہے جسے اب خصوصیت والی کلاسوں کی الجبرائی ٹوپولوجی میں نظریہ کا ایک حصہ سمجھا جاتا ہے۔ ویکٹر بنڈل کی ٹوڈ کلاس کی تعریف چرن کلاسوں کے نظریہ کے ذریعے کی جا سکتی ہے، اور اس کا سامنا وہاں ہوتا ہے جہاں چرن کلاس موجود ہیں-خاص طور پر تفریقی ٹوپولوجی میں، پیچیدہ کئی گنا اور الجبرائی جیومیٹری کا نظریہ۔ موٹے الفاظ میں، ایک ٹوڈ کلاس چرن کلاس کے باہمی کی طرح کام کرتا ہے، یا اس کے سلسلے میں کھڑا ہوتا ہے جیسا کہ ایک عام بنڈل عام بنڈل کے ساتھ کرتا ہے۔ ٹاڈ کلاس کلاسکل ریمن-راک تھیوریم کو اعلی جہتوں تک عام کرنے میں بنیادی کردار ادا کرتا ہے، ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم اور گروتھینڈیک-ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم میں۔ تاریخ اس کا نام جے کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اے۔ ٹوڈ، جنہوں نے چرن کلاسوں کی وضاحت سے پہلے 1937 میں الجبرائی جیومیٹری میں تصور کا ایک خاص کیس متعارف کرایا۔ اس میں شامل ہندسی خیال کو بعض اوقات ٹوڈ ایگر کلاس کہا جاتا ہے۔ اعلی جہتوں میں عمومی تعریف فریڈرک ہرزبروچ کی وجہ سے ہے۔ تعریف ٹوڈ کلاس کی وضاحت کرنے کے لیے جہاں ایک ٹپوولوجیکل اسپیس پر ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہے، عام طور پر خصوصیت کلاس تھیوری کے عمومی آلے کے ذریعے لائن بنڈلوں کے وٹنی مجموعہ کے معاملے میں تعریف کو محدود کرنا ممکن ہے، چرن کے جڑوں کا استعمال (عرف، تقسیم کا اصول)۔ تعریف کے لیے، اس خاصیت کے ساتھ رسمی پاور سیریز ہونے دیں کہ ان کا گتانک 1 ہے، جہاں-th برنولی نمبر کو ظاہر کرتا ہے۔ کسی بھی چیز کے لیے پروڈکٹ کے گتانک پر غور کریں۔ یہ s میں ہم آہنگ اور وزن میں یکساں ہے: اسی طرح s کے ابتدائی ہم آہنگ افعال میں کثیر الجہتی کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ پھر ٹوڈ کثیر الجہتی کی وضاحت کرتا ہے: وہ خصوصیت پاور سیریز کے ساتھ ایک ضرب کی ترتیب بناتے ہیں۔ اگر اس کی چرن جڑیں ہیں، تو ٹوڈ کلاس جس کا حساب کوہومولوجی رنگ میں کیا جانا ہے (یا اس کی تکمیل میں اگر کوئی لامحدود جہتی کئی گنا پر غور کرنا چاہتا ہے)۔ چرن کلاسوں میں ٹوڈ کلاس کو واضح طور پر ایک رسمی پاور سیریز کے طور پر مندرجہ ذیل طور پر دیا جا سکتا ہے: جہاں کوہمولوجی کلاسز چرن کلاسز ہیں، اور کوہمولوجی گروپ میں ہیں۔ اگر محدود جہتی ہے تو زیادہ تر اصطلاحات ختم ہو جاتی ہیں اور چرن کلاسوں میں ایک کثیر الجہتی ہوتی ہیں۔ ٹوڈ کلاس کی خصوصیات ٹوڈ کلاس ضرب ہے: آئیے ہائپرپلین سیکشن کی بنیادی کلاس بنیں۔ ضرب پذیری اور اویلر سے کسی کے ٹینجینٹ بنڈل کے لیے عین ترتیب ٹوڈ کلاس کے حسابات حاصل کرتی ہے کسی بھی الجبرائی منحنی خطوط کے لیے ٹوڈ کلاس منصفانہ ہے۔ چونکہ یہ پروجیکٹو ہے، اس لیے اسے کچھ میں سرایت کیا جا سکتا ہے اور ہم چرن کلاسوں کی عام ترتیب اور خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے تلاش کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ہمارے پاس ڈگری طیارہ وکر ہے، تو ہم کل چرن کلاس کو پاتے ہیں جہاں ہائپرپلین کلاس محدود ہے۔ ہرزبروچ-ریمن-راک فارمولا کسی ہموار کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا M پر کسی بھی مربوط شیف F کے لیے، کسی کے پاس اس کی ہولومورفک یولر خصوصیت اور اس کا چرن کردار ہے۔ مزید دیکھیں ضرب کی ترتیب کی نسل نوٹ حوالہ جات فریڈرک ہرزبروچ، الجبرائی جیومیٹری میں ٹپوولوجیکل طریقے، سپرنگر (1978) خصوصیت کی کلاسیں