Smooth structure
ریاضی میں، کئی گنا پر ایک ہموار ڈھانچہ ہموار فعل کے غیر واضح تصور کی اجازت دیتا ہے۔ خاص طور پر، ایک ہموار ڈھانچہ کسی کو کئی گنا پر ریاضیاتی تجزیہ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ تعریف کئی گنا پر ہموار ڈھانچہ آسانی سے مساوی ہموار اٹلس کا مجموعہ ہے۔ یہاں، ٹپوولوجیکل کئی گنا کے لیے ایک ہموار اٹلس اس طرح کا اٹلس ہے کہ ہر منتقلی فنکشن ایک ہموار نقشہ ہے، اور دو ہموار اٹلس آسانی سے مساوی ہیں بشرطیکہ ان کا اتحاد دوبارہ ہموار اٹلس کے لیے ہو۔ ایک ہموار کئی گنا ایک ٹوپولوجیکل کئی گنا ہے جس کے ساتھ زیادہ سے زیادہ ہموار اٹلس پر ہموار ڈھانچہ ہوتا ہے۔ ایک ہموار ڈھانچے سے تعلق رکھنے والے تمام اٹلس کا اتحاد لینے سے، ہم ایک زیادہ سے زیادہ ہموار اٹلس حاصل کرتے ہیں۔ اس اٹلس میں ہر وہ چارٹ موجود ہے جو ہموار ساخت کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ ہموار ڈھانچوں اور زیادہ سے زیادہ ہموار اٹلس کے درمیان ایک قدرتی ون ٹو ون خط و کتابت ہے۔ اس طرح، ہم ایک ہموار ڈھانچے کو زیادہ سے زیادہ ہموار اٹلس اور اس کے برعکس سمجھ سکتے ہیں۔ عام طور پر، کئی گنا کے زیادہ سے زیادہ اٹلس کے ساتھ حسابات کافی بھاری ہوتے ہیں۔ زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے، چھوٹے اٹلس کا انتخاب کرنا کافی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کئی گنا کمپیکٹ ہے، تو کوئی ایسا اٹلس تلاش کر سکتا ہے جس میں صرف بہت سے چارٹ ہوں۔ ہموار ڈھانچوں کی مساوات دو ہموار ڈھانچوں سے وابستہ ہیں اور ان کو مساوی کہا جاتا ہے اگر کوئی ڈفیومورفزم ہے جیسے کہ غیر ملکی دائرے جان ملنور نے 1956 میں دکھایا کہ 7 جہتی دائرہ ایک ہموار ڈھانچے کو قبول کرتا ہے جو معیاری ہموار ڈھانچے کے مساوی نہیں ہے۔ غیر معیاری ہموار ساخت سے لیس دائرے کو غیر ملکی دائرہ کہا جاتا ہے۔ E8 کئی گنا E8 کئی گنا ایک ٹپوولوجیکل کئی گنا کی مثال ہے جو ہموار ڈھانچے کو تسلیم نہیں کرتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر ظاہر کرتا ہے کہ روکھلن کا نظریہ صرف ہموار ڈھانچوں کے لیے ہے، اور عام طور پر ٹپوولوجیکل کئی گنا نہیں۔ متعلقہ ڈھانچے منتقلی کے افعال پر نرمی کی ضروریات کو کمزور کیا جا سکتا ہے، تاکہ ہمیں صرف منتقلی کے نقشوں کی ضرورت ہوتی ہے-اوقات مسلسل تفریق پذیر ؛ یا مضبوط، تاکہ ہمیں منتقلی کے نقشوں کو حقیقی تجزیاتی ہونے کی ضرورت ہو۔ اس کے مطابق، یہ ہموار ڈھانچے کے بجائے کئی گنا پر ایک یا (حقیقی) تجزیاتی ڈھانچہ دیتا ہے۔ اسی طرح، ہم منتقلی کے نقشوں کو ہولومورفک ہونے کی ضرورت کے ذریعے ایک پیچیدہ ڈھانچے کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات تفریقی ٹوپولوجی کئی گنا پر ڈھانچے