Matrix norm
ریاضی میں، میٹرکس کا معیار ویکٹر کی جگہ میں ایک ویکٹر کا معیار ہے جس کے عناصر (ویکٹر) میٹرکس (دی گئی جہتوں کے) ہوتے ہیں۔ ابتدائی اصلی یا پیچیدہ اعداد کے میدان کو دیکھتے ہوئے، میٹرکس کی-ویکٹر جگہ کو صفوں اور کالموں اور میدان میں اندراجات کے ساتھ ہونے دیں۔ میٹرکس کا معیار ایک معیار ہے۔ یہ مضمون ہمیشہ ایسے اصولوں کو دوہری عمودی سلاخوں کے ساتھ لکھے گا (جیسے:)۔ اس طرح، میٹرکس کا معیار ایک فنکشن ہے جسے درج ذیل خصوصیات کو پورا کرنا چاہیے: تمام اسکیلرز اور میٹرکس کے لیے، (مثبت قدر) (قطعی) (بالکل یکساں) (ذیلی اضافی یا مثلث کی عدم مساوات کو مطمئن کرنا) میٹرکس کو دوبارہ ترتیب شدہ ویکٹر سے ممتاز کرنے والی واحد خصوصیت ضرب ہے۔ میٹرکس کے معیارات خاص طور پر مفید ہوتے ہیں اگر وہ ذیلی ضرب بھی ہوتے ہیں: ہر معیار کو ذیلی ضرب کے طور پر دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے ؛ کچھ کتابوں میں، اصطلاحات میٹرکس کے معیار کو ذیلی ضرب کے اصولوں کے لیے محفوظ کیا جاتا ہے۔ میٹرکس کے معیارات جو ویکٹر کے اصولوں سے متاثر ہوتے ہیں فرض کریں کہ ایک ویکٹر کا معیار آن اور ایک ویکٹر کا معیار آن دیا گیا ہے۔ کوئی بھی میٹرکس معیاری بنیاد کے حوالے سے ایک لکیری آپریٹر کو شامل کرتا ہے، اور تمام میٹرکس کی جگہ پر متعلقہ انڈیوسڈ نارم یا آپریٹر نارم یا ماتحت نارم کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے: جہاں بالادستی کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ معیار اس بات کی پیمائش کرتا ہے کہ نقشہ سازی سے متاثر ہو کر ویکٹروں کو کتنا پھیلا سکتا ہے۔ ویکٹر کے اصولوں پر منحصر ہے، استعمال شدہ، آپریٹر کے معیار کے لیے اس کے علاوہ دیگر اشارے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ اگر ویکٹر () کے لیے پی-نارم دونوں خالی جگہوں کے لیے استعمال کیا جاتا ہے اور پھر متعلقہ آپریٹر نارم یہ ہے: یہ انڈیوسڈ نارم "اندراج کے لحاظ سے" پی-نارم اور نیچے دیے گئے میٹرکس کے لیے شیٹن پی-نارم سے مختلف ہیں، جن کی نشاندہی بھی عام طور پر اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ انڈیوسڈ میٹرکس کے اصولوں کی خاص صورتوں میں حساب یا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے جس کے ذریعے صرف میٹرکس کا زیادہ سے زیادہ مطلق کالم مجموعہ ہوتا ہے ؛ جو کہ میٹرکس کی زیادہ سے زیادہ مطلق قطار کا مجموعہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہمارے پاس یہ ہے کہ (یوکلڈین معیار یا ویکٹروں کے لیے-معیار) کے خاص معاملے میں، انڈیوسڈ میٹرکس معیار سپیکٹرم معیار ہے۔ (دونوں اقدار لامحدود جہتوں میں نہیں ملتی ہیں-مزید بحث کے لیے سپیکٹرل رداس دیکھیں۔) میٹرکس کا سپیکٹرم معیار سب سے بڑا واحد قدر ہے (یعنی میٹرکس کے سب سے بڑے آئجن ویلیو کا مربع جڑ جہاں کنجوگیٹ ٹرانسپوز کی نشاندہی کرتا ہے): جہاں میٹرکس کی سب سے بڑی واحد قدر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک اور اہم عدم مساوات ہے: فروبینیوس کا معیار کہاں ہے۔ مساوات صرف اس صورت میں ہوتی ہے جب میٹرکس ایک رینک ون میٹرکس یا صفر میٹرکس ہو۔ یہ عدم مساوات اس حقیقت سے اخذ کی جا سکتی ہے کہ میٹرکس کا سراغ اس کی آئجن ویلیوز کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ جب ہمارے پاس اس کے لیے مساوی تعریف ہو تو اسے کاچی-شوارز عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے مذکورہ بالا تعریفوں کے مساوی دکھایا جا سکتا ہے۔ میٹرکس کے معیارات جو ویکٹر α-اور β-کے اصولوں سے متاثر ہوتے ہیں فرض کریں کہ ویکٹر کے معیارات اور خالی جگہوں کے لیے استعمال ہوتے ہیں اور بالترتیب، متعلقہ آپریٹر کا معیار یہ ہے: اور کے خاص معاملات میں، حوصلہ افزائی شدہ میٹرکس کے معیارات کا حساب میٹرکس کی i-th قطار سے کیا جا سکتا ہے۔ اور کے خصوصی معاملات میں، انڈیوسڈ میٹرکس کے اصولوں کا حساب میٹرکس کا جے-تھ کالم کہاں ہے اس سے لگایا جا سکتا ہے۔ لہذا، اور بالترتیب میٹرکس کی زیادہ سے زیادہ صف اور کالم 2-معمول ہیں۔ خصوصیات کوئی بھی آپریٹر کا معیار ویکٹر کے اصولوں سے مطابقت رکھتا ہے جو اسے متاثر کرتے ہیں، فرض کریں ؛ اور آپریٹر کے معیارات ہیں جو ویکٹر کے اصولوں کے متعلقہ جوڑوں سے متاثر ہوتے ہیں ؛ اور۔ پھر، یہ مربع میٹرکس سے آتا ہے فرض کریں کہ مربع میٹرکس کی جگہ پر ایک آپریٹر کا معیار ہے جو ویکٹر کے اصولوں سے متاثر ہوتا ہے اور۔ پھر، آپریٹر کا معیار ایک ذیلی ضرب میٹرکس کا معیار ہے: اس کے علاوہ، اس طرح کا کوئی بھی معیار تمام مثبت عددوں r کے لیے عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے، جہاں کا سپیکٹرم رداس ہے۔ سمیٹرک یا ہرمیٹین کے لیے، ہمارے پاس 2-نارم کے لیے () میں مساوات ہے، کیونکہ اس صورت میں 2-نارم قطعی طور پر کا سپیکٹرم رداس ہے۔ صوابدیدی میٹرکس کے لیے، ہمارے پاس کسی بھی معیار کے لیے مساوات نہیں ہو سکتی ؛ ایک جوابی مثال ایسی ہوگی جس میں سپیکٹرم کا رداس ختم ہو رہا ہو۔ کسی بھی صورت میں، کسی بھی میٹرکس کے معیار کے لیے، ہمارے پاس سپیکٹرم رداس فارمولا ہوتا ہے: مستقل اور ہم آہنگ اصول ایک میٹرکس کے معیار کو ویکٹر کے معیار کے مطابق اور ویکٹر کے معیار کو اگر: سب کے لیے کہا جاتا ہے۔ اور کے خاص معاملے میں، کے ساتھ ہم آہنگ بھی کہا جاتا ہے۔ تمام محرک معیارات تعریف کے لحاظ سے مطابقت رکھتے ہیں۔ نیز، کوئی بھی ذیلی ضرب والے میٹرکس کے معیار کی وضاحت کرکے ایک ہم آہنگ ویکٹر کے معیار کو شامل کرتا ہے۔ "اندراج کے لحاظ سے" میٹرکس کے اصول یہ اصول میٹرکس کو سائز کے ویکٹر کے طور پر مانتے ہیں، اور ویکٹر کے واقف اصولوں میں سے ایک کا استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ویکٹروں کے لیے پی-نارم کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے: یہ انڈیوسڈ پی-نارم (اوپر دیکھیں) اور شیٹن پی-نارم (نیچے دیکھیں) سے مختلف معیار ہے، لیکن اشارے ایک جیسے ہیں۔ خصوصی صورت p = 2 فروبینیوس معیار ہے، اور p = φ زیادہ سے زیادہ معیار فراہم کرتا ہے۔ اور اصولوں کو میٹرکس کے کالم ہونے دیں۔ اصل تعریف سے، میٹرکس m-جہتی جگہ میں n ڈیٹا پوائنٹس پیش کرتا ہے۔ معیار میٹرکس کے کالموں کے یوکلیڈین اصولوں کا مجموعہ ہے: ایک ایرر فنکشن کے طور پر معیار زیادہ مضبوط ہے، کیونکہ ہر ڈیٹا پوائنٹ (ایک کالم) کے لیے غلطی مربع نہیں ہے۔ یہ مضبوط ڈیٹا تجزیہ اور غیر معمولی کوڈنگ میں استعمال ہوتا ہے۔ کیونکہ، معیار کو معمول کے مطابق عام کیا جا سکتا ہے: فروبینئس معیار جب معمول کے لیے، اسے فروبینئس معیار یا ہلبرٹ-شمڈٹ معیار کہا جاتا ہے، حالانکہ مؤخر الذکر اصطلاح (ممکنہ طور پر لامحدود جہتی) ہلبرٹ اسپیس پر آپریٹرز کے تناظر میں زیادہ کثرت سے استعمال ہوتی ہے۔ اس معیار کو مختلف طریقوں سے بیان کیا جا سکتا ہے: کی واحد اقدار کہاں ہیں۔ یاد رکھیں کہ ٹریس فنکشن مربع میٹرکس کے اخترن اندراجات کا مجموعہ واپس کرتا ہے۔ فروبینیوس معیار یوکلڈین معیار کی توسیع ہے اور یہ تمام میٹرکس کی جگہ پر فروبینیوس اندرونی پروڈکٹ سے آتا ہے۔ فروبینیوس معیار ذیلی ضرب والا ہے اور عددی لکیری الجبرا کے لیے بہت مفید ہے۔ فروبینیوس معیار کی ذیلی ضرب کو کاچی-شوارز عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ فروبینئس معیار کا حساب لگانا اکثر محرک اصولوں کے مقابلے میں آسان ہوتا ہے، اور اس میں گردشوں (اور عام طور پر یکطرفہ کارروائیوں) کے تحت غیر متغیر ہونے کی مفید خاصیت ہوتی ہے۔ یعنی کسی بھی یک جہتی میٹرکس کے لیے۔ یہ خاصیت ٹریس () کی چکور نوعیت سے ملتی ہے: اور اسی طرح: جہاں ہم نے (یعنی،) کی یک جہتی نوعیت کا استعمال کیا ہے۔ یہ بھی مطمئن کرتا ہے اور فروبینئس اندرونی پروڈکٹ کہاں ہے، اور ری ایک پیچیدہ نمبر کا حقیقی حصہ ہے (حقیقی میٹرکس کے لیے غیر متعلقہ) زیادہ سے زیادہ معیار حد میں عنصر کے لحاظ سے معیار ہے جیسا کہ انفینیٹی تک جاتا ہے: یہ معیار ذیلی ضرب نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ کچھ ادب میں (جیسے مواصلاتی پیچیدگی)، میکس-نارم کی ایک متبادل تعریف، جسے-نارم بھی کہا جاتا ہے، فیکٹرائزیشن کے معیار سے مراد ہے: شیٹن کے معیارات شیٹن کے پی-معیارات اس وقت پیدا ہوتے ہیں جب پی-معیار کو میٹرکس کی واحد اقدار کے ویکٹر پر لاگو کیا جاتا ہے۔ اگر میٹرکس کی واحد اقدار کو σi سے ظاہر کیا جاتا ہے، تو شیٹن p-نارم کی تعریف اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یہ معیارات دوبارہ اشارہ کو انڈیوسڈ اور انٹری کے لحاظ سے p-نارم کے ساتھ بانٹتے ہیں، لیکن وہ مختلف ہیں۔ شیٹن کے تمام معیارات ذیلی ضرب والے ہیں۔ وہ یک جہتی طور پر بھی غیر متغیر ہیں، جس کا مطلب ہے کہ تمام میٹرکس اور تمام یک جہتی میٹرکس کے لیے۔ سب سے زیادہ واقف معاملات p = 1، 2، φ ہیں۔ کیس p = 2 سے فروبینیوس معیار حاصل ہوتا ہے، جو پہلے متعارف کرایا گیا تھا۔ کیس p = ini سپیکٹرم کا معیار پیدا کرتا ہے، جو کہ ویکٹر 2-معمول سے متاثر آپریٹر کا معیار ہے (اوپر دیکھیں)۔ آخر میں، p = 1 جوہری معیار پیدا کرتا ہے (جسے ٹریس معیار، یا کی فین 'این'-معیار بھی کہا جاتا ہے)، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: جہاں ایک مثبت سیمیڈفائنٹ میٹرکس کی نشاندہی ہوتی ہے۔ مزید واضح طور پر، چونکہ ایک مثبت سیمیڈفائنٹ میٹرکس ہے، اس کا مربع جڑ اچھی طرح سے متعین ہے۔ نیوکلیئر معیار رینک فنکشن کا ایک کنویکس لفافہ ہے، لہذا یہ اکثر کم رینک والے میٹرکس کی تلاش کے لیے ریاضیاتی اصلاح میں استعمال ہوتا ہے۔ وان نیومن کی ٹریس عدم مساوات کو یوکلڈین اسپیس کے لیے ہولڈر کی عدم مساوات کے ساتھ جوڑنے سے شیٹن کے اصولوں کے لیے ہولڈر کی عدم مساوات کا ایک ورژن حاصل ہوتا ہے: خاص طور پر، اس سے شیٹن کے معمول کی عدم مساوات کا مطلب ہوتا ہے۔ مونوٹون کے اصول ایک میٹرکس کے معیار کو مونوٹون کہا جاتا ہے اگر یہ لوونر آرڈر کے حوالے سے مونوٹونک ہو۔ اس طرح، ایک میٹرکس کا معیار بڑھ رہا ہے اگر فروبینئس کا معیار اور سپیکٹرم کا معیار مونوٹون کے اصولوں کی مثالیں ہیں۔ میٹرکس کے اصولوں کے لیے تحریک کا ایک اور ذریعہ میٹرکس کو وزن والے، ہدایت شدہ گراف کے ملحقہ میٹرکس کے طور پر غور کرنے سے پیدا ہوتا ہے۔ نام نہاد "کٹ نارم" اس بات کی پیمائش کرتا ہے کہ متعلقہ گراف دو طرفہ ہونے کے کتنے قریب ہے: کہاں۔ مساوی تعریفیں (مستقل عنصر تک) شرائط عائد کرتی ہیں ؛ یا۔ کٹ نارم انڈیوسڈ آپریٹر نارم کے مساوی ہے، جو خود ایک اور نارم کے مساوی ہے، جسے گروتھینڈک نارم کہا جاتا ہے۔ گروتھینڈیک معیار کی وضاحت کرنے کے لیے، پہلے نوٹ کریں کہ ایک لکیری آپریٹر صرف ایک اسکیلر ہے، اور اس طرح کسی بھی پر لکیری آپریٹر تک پھیلا ہوا ہے۔ مزید برآں، اور کے لیے بنیاد کے کسی بھی انتخاب کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی لکیری آپریٹر ایک لکیری آپریٹر تک پھیلا ہوا ہے، ہر میٹرکس عنصر کو اسکیلر ضرب کے ذریعے کے عناصر پر چھوڑ کر۔ گروتھینڈیک معیار اس توسیعی آپریٹر کا معیار ہے ؛ علامتوں میں: گروتھینڈیک معیار بنیاد کے انتخاب پر منحصر ہے (عام طور پر معیاری بنیاد کے طور پر لیا جاتا ہے) اور۔ اصولوں کی مساوات کسی بھی دو میٹرکس کے اصولوں کے لیے اور، ہمارے پاس یہ ہے: کچھ مثبت اعداد r اور s کے لیے، تمام میٹرکس کے لیے۔ دوسرے لفظوں میں، تمام معیارات مساوی ہیں ؛ وہ ایک ہی ٹوپولوجی کو متاثر کرتے ہیں۔ یہ درست ہے کیونکہ ویکٹر کی جگہ کا طول و عرض محدود ہے۔ مزید برآں، ہر ویکٹر کے معیار کے لیے، ایک منفرد مثبت حقیقی نمبر موجود ہے جو کہ ہر ایک کے لیے ذیلی ضرب میٹرکس کا معیار ہے۔ ایک ذیلی ضرب والے میٹرکس کے معیار کو کم سے کم کہا جاتا ہے، اگر کوئی دوسرا ذیلی ضرب والے میٹرکس کے معیار کو مطمئن کرنے والا موجود نہ ہو۔ معیاری مساوات کی مثالیں آئیے ایک بار پھر ویکٹر پی-نارم سے متاثر ہونے والے معیار کا حوالہ دیں (جیسا کہ اوپر انڈیوسڈ نارم سیکشن میں ہے)۔ درجہ بندی کے میٹرکس کے لیے، درج ذیل عدم مساوات موجود ہیں: ڈوئل نارم لوگرتھمک نارم نوٹس حوالہ جات ببلیوگرافی جیمز ڈبلیو ڈیمل، اپلائیڈ عددی لکیری الجبرا، سیکشن 1.7، جو ایس آئی اے ایم، 1997 کے ذریعے شائع کیا گیا ہے، بھی دیکھیں۔ کارل ڈی میئر، میٹرکس تجزیہ اور اطلاقی لکیری الجبرا، SIAM، 2000 کے ذریعہ شائع کردہ۔ جان واٹروس، تھیوری آف کوانٹم انفارمیشن، 2.3 آپریٹرز کے اصول، لیکچر نوٹ، واٹرلو یونیورسٹی، 2011۔ کینڈل اٹکنسن، این انٹروڈکشن ٹو نیومریکل اینالیسس، جسے جان ولی اینڈ سنز نے شائع کیا، انکارپوریٹڈ 1989 نارمز (ریاضی) لکیری الجبرا