Pullback bundle
ریاضی میں، پل بیک بنڈل یا انڈیوسڈ بنڈل فائبر بنڈل ہے جو اس کی بیس اسپیس کے نقشے سے متاثر ہوتا ہے۔ فائبر بنڈل اور مسلسل نقشے کو دیکھتے ہوئے کوئی بھی "پل بیک" کو بنڈل اوور کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ ایک پوائنٹ سے زیادہ کا ریشہ صرف اوور کا ریشہ ہوتا ہے۔ اس طرح ایک مناسب ٹوپولوجی سے لیس ان تمام ریشوں کا جداگانہ اتحاد ہے۔ رسمی تعریف آئیے تجریدی فائبر کے ساتھ ایک فائبر بنڈل بنیں اور ایک مسلسل نقشہ بنیں۔ پل بیک بنڈل کی وضاحت کریں اور اسے سب اسپیس ٹوپولوجی اور پہلے عنصر پر پروجیکشن کے ذریعہ دیئے گئے پروجیکشن نقشے سے لیس کریں، یعنی، دوسرے عنصر پر پروجیکشن ایک نقشہ اس طرح دیتا ہے کہ مندرجہ ذیل خاکہ منتقل ہوتا ہے: اگر اس کی مقامی ٹریویلائزیشن ہے تو اس کی مقامی ٹریویلائزیشن ہے۔ بنڈل کو پل بیک آف ای بائی یا بنڈل انڈیوسڈ بائی کہا جاتا ہے۔ نقشہ پھر ایک بنڈل مورفزم کا احاطہ کرتا ہے۔ خصوصیات اوور کا کوئی بھی حصہ پل بیک سیکشن کے ایک حصے کو شامل کرتا ہے، جسے پل بیک سیکشن کہا جاتا ہے، صرف سب کے لیے وضاحت کر کے۔ اگر بنڈل میں ٹرانزیشن افعال کے ساتھ اسٹرکچر گروپ ہے (مقامی ٹریویلائزیشن کے خاندان کے حوالے سے) تو پل بیک بنڈل میں اسٹرکچر گروپ بھی ہوتا ہے۔ اگر ایک ویکٹر بنڈل یا پرنسپل بنڈل ہے تو پل بیک بھی اسی طرح ہوتا ہے۔ پرنسپل بنڈل کے معاملے میں آن کا صحیح عمل اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ نقشہ کا احاطہ مساوی ہے اور اس طرح پرنسپل بنڈلوں کی مورفزم کی وضاحت کرتا ہے۔ زمرہ نظریہ کی زبان میں، پل بیک بنڈل کی تعمیر زیادہ عام درجہ بند پل بیک کی ایک مثال ہے۔ اس طرح یہ متعلقہ عالمگیر ملکیت کو مطمئن کرتا ہے۔ پل بیک بنڈل کی تعمیر ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے کے ذیلی زمروں میں کی جا سکتی ہے، جیسے کہ ہموار کئی گنا کا زمرہ۔ مؤخر الذکر کی تعمیر تفریق جیومیٹری اور ٹوپولوجی میں مفید ہے۔ بنڈلوں اور شییو بنڈلوں کو ان کے حصوں کے شییو سے بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ بنڈلوں کا پل بیک پھر شیوز کی الٹی تصویر سے مطابقت رکھتا ہے، جو کہ ایک متضاد فنکٹر ہے۔ تاہم، ایک شیف زیادہ قدرتی طور پر ایک متغیر شے ہے، کیونکہ اس میں ایک پش فارورڈ ہوتا ہے، جسے شیف کی براہ راست شبیہہ کہا جاتا ہے۔ بنڈلوں اور شیوز کے درمیان تناؤ اور تعامل، یا الٹا اور براہ راست تصویر، جیومیٹری کے بہت سے شعبوں میں فائدہ مند ثابت ہو سکتا ہے۔ تاہم، بنڈل کے حصوں کے ڈھیر کی براہ راست تصویر عام طور پر کسی براہ راست تصویر کے بنڈل کے حصوں کی ڈھیر نہیں ہوتی ہے، لہذا اگرچہ 'بنڈل کے پش فارورڈ' کے تصور کو کچھ سیاق و سباق میں بیان کیا گیا ہے (مثال کے طور پر، ڈفیومورفزم کے ذریعہ پش فارورڈ)، عام طور پر اسے ڈھیروں کے زمرے میں بہتر سمجھا جاتا ہے، کیونکہ اس سے جو اشیاء بنتی ہیں وہ عام طور پر بنڈل نہیں ہو سکتی ہیں۔ حوالہ جات ذرائع مزید پڑھنے والے فائبر بنڈل