Hilbert's fourth problem
ریاضی میں، ہلبرٹ کے مسائل کی 1900 کی فہرست میں ہلبرٹ کا چوتھا مسئلہ جیومیٹری میں ایک بنیادی سوال ہے۔ اصل سے ماخوذ ایک بیان میں، یہ تلاش کرنا تھا-ایک آئسومورفزم تک-تمام جیومیٹریز جن میں کلاسیکی جیومیٹری (یوکلڈین، ہائپربولک اور ایلیپٹک) کا محوری نظام ہے، ان ہم آہنگی کے محوریوں کے ساتھ جو زاویے کے تصور کو شامل کرتے ہیں گر گیا، اور 'مثلث عدم مساوات'، جسے محوری سمجھا جاتا ہے، شامل کیا گیا۔ اگر کوئی اس کے علاوہ تسلسل کے محور کو فرض کرتا ہے، تو پھر، یوکلڈین سطح کے معاملے میں، ہم جین گیسٹن ڈاربوکس کی طرف سے پیش کردہ مسئلے پر آتے ہیں: "اس سطح میں تغیر کے مسائل کے تمام حساب کا تعین کرنے کے لیے جس کے تمام حل سطح کی سیدھی لکیریں ہیں۔" ڈیوڈ ہلبرٹ کے اصل بیان کی کئی تشریحات ہیں۔ اس کے باوجود، ایک حل تلاش کیا گیا، جس میں جرمن ریاضی دان جارج ہیمل نے سب سے پہلے ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کے حل میں حصہ ڈالا۔ سوویت ریاضی دان الیکسی پوگوریلوف نے 1973 میں ایک تسلیم شدہ حل دیا تھا۔ پوگوریلو، پولنو ریشنین IV پروبلمی گیلبرٹا، ڈین سی ایس ایس آر نمبر 208، ٹی 1 (1973)، 46-49۔ انگریزی ترجمہ: {{حوالہ جرنل۔ آخری 1 = پوگوریلوف۔ پہلا 1 = اے۔ V۔ عنوان = ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کا ایک مکمل حل۔ جرنل = ڈوکلاڈی اکیڈمی نوکری SSSR۔ حجم = 208۔ مسئلہ = 1۔ تاریخ = 1973۔ صفحات = 48-52} </ریف> 1976 میں آرمینیائی ریاضی دان روبن وی امبرٹزومین نے ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کا ایک اور ثبوت پیش کیا۔ اصل بیان ہلبرٹ غیر یوکلڈین جیومیٹری اور غیر آرکیمیڈین جیومیٹری کے وجود پر بحث کرتا ہے۔ ایک ایسی جیومیٹری جس میں عام یوکلڈین جیومیٹری کے تمام محوریات ہوتے ہیں، اور خاص طور پر مثلث کی ہم آہنگی کے علاوہ تمام ہم آہنگی محوریات (یا آئسوسلز مثلث میں بنیادی زاویوں کی مساوات کے نظریہ کے علاوہ)، اور جس میں، اس تجویز کے علاوہ کہ ہر مثلث میں دونوں اطراف کا مجموعہ تیسرے سے زیادہ ہے، ایک خاص محوری کے طور پر فرض کیا جاتا ہے۔ اس خیال کی وجہ سے کہ 'سیدھی لکیر' کو دو نکات کے درمیان مختصر ترین راستے کے طور پر بیان کیا گیا ہے، اس نے ذکر کیا ہے کہ یوکلڈ کے اس ثبوت کے لیے کہ ہوائی جہاز میں سیدھی لکیر دو نکات کے درمیان سب سے کم فاصلہ ہے، مثلثوں کی ہم آہنگی کس طرح ضروری ہے۔ اس نے خلاصہ اس طرح کیا: دو نکات کے درمیان سب سے کم فاصلے کے طور پر سیدھی لکیر کا نظریہ اور مثلث کے اطراف کے بارے میں یوکلڈ کا بنیادی طور پر مساوی نظریہ، نہ صرف نمبر تھیوری میں بلکہ سطحوں کے نظریہ اور تغیرات کے حساب میں بھی اہم کردار ادا کرتا ہے۔ اس وجہ سے، اور چونکہ مجھے یقین ہے کہ اس نظریہ کی صداقت کے لیے شرائط کی مکمل تحقیقات فاصلے کے خیال کے ساتھ ساتھ دیگر ابتدائی نظریات پر بھی ایک نئی روشنی ڈالے گی، مثال کے طور پر، سطح کے خیال پر، اور سیدھی لکیر کے خیال کے ذریعے اس کی تعریف کا امکان، یہاں جیومیٹریز کی تعمیر اور منظم علاج مجھے مطلوب لگتا ہے۔ فلیٹ میٹرکس ڈیسرگیوز تھیوریم: اگر دو مثلث کسی سطح پر ایسے پڑے ہیں کہ مثلثوں کے متعلقہ عمودی حصوں کو جوڑنے والی لکیریں ایک مقام پر ملتی ہیں، تو وہ تین نکات، جن پر مثلثوں کے متعلقہ اطراف کے تین جوڑوں کی لمبائی ایک دوسرے کو کاٹتی ہے، ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کو حل کرنے کے لیے ضروری شرط یہ ہے کہ ایک میٹرک اسپیس جو اس مسئلے کے محوریوں کو مطمئن کرتی ہے وہ ڈیسرگویسیئن ہونی چاہیے، یعنی: اگر جگہ طول و عرض 2 کی ہے، تو ڈیسرگیوز تھیوریم اور اس کا الٹا ہونا چاہیے ؛ اگر جگہ 2 سے زیادہ طول و عرض کی ہے، تو کوئی بھی تین پوائنٹس ایک سطح پر ہونے چاہئیں۔ ڈیسرگویسیائی خالی جگہوں کے لیے جارج ہیمل نے ثابت کیا کہ ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کے ہر حل کو حقیقی پروجیکٹو اسپیس میں یا کنویکس ڈومین میں پیش کیا جا سکتا ہے اگر کوئی خاص میٹرک میں حصوں کی لمبائی کی مساوات سے ان کے ہم آہنگی کا تعین کرتا ہے جس کے لیے پروجیکٹو اسپیس کی لکیریں جیوڈیکس ہیں۔ اس قسم کے میٹرکس کو فلیٹ یا پروجیکٹو کہا جاتا ہے۔ اس طرح، ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کا حل تمام مکمل فلیٹ میٹرکس کے تعمیری عزم کے مسئلے کے حل تک محدود ہو گیا۔ ہیمل نے میٹرک کی اعلی باقاعدگی کے مفروضے کے تحت اس مسئلے کو حل کیا۔ تاہم، جیسا کہ سادہ مثالیں ظاہر کرتی ہیں، باقاعدہ فلیٹ میٹرکس کی کلاس تمام فلیٹ میٹرکس کی کلاس سے چھوٹی ہوتی ہے۔ زیر غور جیومیٹریز کے محوریات صرف میٹرکس کے تسلسل کو ظاہر کرتے ہیں۔ لہذا، ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کو مکمل طور پر حل کرنے کے لیے تمام مسلسل فلیٹ میٹرکس کا تعمیری طور پر تعین کرنا ضروری ہے۔ ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کی قبل از تاریخ 1900 سے پہلے، یونٹ ڈسک میں لوباچوسکی جیومیٹری کا کیلی-کلین ماڈل جانا جاتا تھا، جس کے مطابق جیوڈیسیک لائنیں ڈسک کی کورڈز ہوتی ہیں اور پوائنٹس کے درمیان فاصلے کو چار گنا کے کراس تناسب کے لوگارتھم کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ دو جہتی ریمینیائی میٹرکس کے لیے، یوجینیو بیلٹرامی (1835-1900) نے ثابت کیا کہ فلیٹ میٹرکس مستقل منحنی خطوط ہیں۔ کثیر جہتی ریمنی میٹرکس کے لیے اس بیان کو 1930 میں ای کارٹن نے ثابت کیا تھا۔ 1890 میں، اعداد کے نظریہ پر مسائل کو حل کرنے کے لیے، ہرمن منکووسکی نے خلا کا ایک تصور متعارف کرایا جسے آج کل محدود جہتی بناچ جگہ کہا جاتا ہے۔ منکووسکی جگہ آئیے یوکلڈین جگہ میں ایک کمپیکٹ کنویکس ہائپر سرفیس ہو جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ فنکشن درج ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے: اور شکل مثبت طور پر قطعی ہے۔ ویکٹر OA کی لمبائی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: اس میٹرک والی جگہ کو منکووسکی جگہ کہا جاتا ہے۔ ہائپر سرفیس کنویکس ہے اور بے قاعدہ ہو سکتا ہے۔ متعین میٹرک فلیٹ ہے۔ فنسلر خالی جگہیں M اور بالترتیب ایک ہموار محدود جہتی کئی گنا اور اس کا ٹینجینٹ بنڈل ہونے دیں۔ فنکشن کو فنسلر میٹرک کہا جاتا ہے اگر ؛ کسی بھی نقطہ کے لیے آن کی پابندی منکوسکی معیار ہے۔ فنسلر اسپیس ہے۔ ہلبرٹ کی جیومیٹری کو کلاس C2 کی حد اور مثبت نارمل منحنی خطوط کے ساتھ ایک باؤنڈڈ اوپن کنویکس سیٹ ہونے دیں۔ اسی طرح لوباچوسکی خلا کے لیے، ہائپر سرفیس کو ہلبرٹ کی جیومیٹری کا مطلق کہا جاتا ہے۔ ہلبرٹ کا فاصلہ (فگر دیکھیں۔) اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ فاصلہ ہلبرٹ-فنسلر میٹرک کو U پر مائل کرتا ہے۔ کسی بھی اور کے لیے (دیکھیں فگر۔ )، ہمارے پاس ہے میٹرک سمیٹرک اور فلیٹ ہے۔ 1895 میں، ہلبرٹ نے اس میٹرک کو لوباچوسکی جیومیٹری کی عمومی شکل کے طور پر متعارف کرایا۔ اگر ہائپر سرفیس ایک ایلیپسائڈ ہے، تو ہمارے پاس لوباچوسکی جیومیٹری ہے۔ فنک میٹرک 1930 میں فنک نے ایک غیر ہم آہنگ میٹرک متعارف کرایا۔ اس کی تعریف ایک ایسے ڈومین میں کی گئی ہے جو ایک بند کنویکس ہائپر سرفیس سے جڑا ہوا ہے اور چپٹا بھی ہے۔ σ-میٹرکس فلیٹ میٹرکس کے لیے کافی شرط جارج ہیمل نے سب سے پہلے ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کے حل میں حصہ ڈالا۔ اس نے مندرجہ ذیل بیان کو ثابت کیا۔ نظریہ۔ ایک باقاعدہ فنسلر میٹرک چپٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ شرائط کو پورا کرتا ہے: کرافٹن فارمولا ہوائی جہاز پر تمام سمتوں والی لکیروں کے ایک سیٹ پر غور کریں۔ ہر لائن کی وضاحت پیرامیٹرز کے ذریعہ کی جاتی ہے اور اصل سے لائن تک کا فاصلہ کہاں ہے، اور یہ لائن اور ایکس محور کے درمیان ایک زاویہ ہے۔ پھر تمام مبنی لائنوں کا سیٹ ایریا عنصر کے ساتھ رداس 1 کے سرکلر سلنڈر کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ ہوائی جہاز پر ایک قابل اصلاح منحنی خطوط ہونے دیں۔ پھر لمبائی ہے جہاں لکیروں کا ایک مجموعہ ہے جو منحنی خطوط کو کاٹتا ہے، اور اس کے ساتھ لائن کے چوراہوں کی تعداد ہے۔ کرافٹن نے اس بیان کو 1870 میں ثابت کیا۔ اسی طرح کا بیان پروجیکٹو اسپیس کے لیے ہے۔ بلاشکے-بوسیمن پیمائش 1966 میں، ماسکو میں بین الاقوامی ریاضیاتی کانگریس میں اپنی تقریر میں، ہربرٹ بوسیمن نے فلیٹ میٹرکس کی ایک نئی کلاس متعارف کرائی۔ پروجیکٹو طیارہ پر لائنوں کے ایک سیٹ پر انہوں نے ایک مکمل طور پر اضافی غیر منفی پیمائش متعارف کرائی، جو مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتی ہے:، جہاں ایک نقطہ P سے گزرنے والی سیدھی لائنوں کا ایک سیٹ ہے ؛، جہاں کسی سیٹ X سے گزرنے والی سیدھی لائنوں کا ایک سیٹ ہے جس میں سیدھی لائن کا حصہ ہوتا ہے ؛ محدود ہے۔ اگر ہم کسی پروجیکٹو اسپیس کے صوابدیدی کنویکس ڈومین میں-میٹرک پر غور کرتے ہیں، تو شرط 3) کو درج ذیل سے تبدیل کیا جانا چاہئے: کسی بھی سیٹ H کے لیے جس میں H موجود ہو اور H کی بندش اس کی حد کو نہیں کاٹتی ہے، عدم مساوات برقرار ہے۔ اس پیمائش کا استعمال کرتے ہوئے،-میٹرک آن کی تعریف اس بات سے کی جاتی ہے کہ سیدھی لکیروں کا مجموعہ کہاں ہے جو حصے کو کاٹتا ہے۔ اس میٹرک کے لیے مثلث کی عدم مساوات پاسچ کے نظریہ سے ملتی ہے۔ نظریہ۔ - میٹرک آن چپٹا ہے، یعنی جیوڈیکس پروجیکٹو اسپیس کی سیدھی لکیریں ہیں۔ لیکن بوسیمن اس خیال سے دور تھے کہ-میٹرکس تمام فلیٹ میٹرکس کو ختم کر دیتا ہے۔ انہوں نے لکھا، "دی گئی جیوڈیکس کے ساتھ میٹرک کے انتخاب میں آزادی غیر ریمینی میٹرکس کے لیے اتنی عظیم ہے کہ اس پر شک کیا جا سکتا ہے کہ کیا واقعی تمام ڈیسرگویسی خالی جگہوں کی کوئی قابل اعتماد خصوصیت موجود ہے۔" دو جہتی کیس پوگوریلوف کا نظریہ مندرجہ ذیل نظریہ کو پوگوریلوف نے 1973 کے نظریہ میں ثابت کیا تھا۔ کوئی بھی دو جہتی مسلسل مکمل فلیٹ میٹرک a ہے-metric.Thus دو جہتی کیس کے لیے ہلبرٹ کا چوتھا مسئلہ مکمل طور پر حل ہو گیا تھا۔ اس کا نتیجہ یہ ہے کہ آپ ایک ہی پلینر کنویکس شکل کی دو نقلوں کو باؤنڈری کرنے کے لیے باؤنڈری گلو کر سکتے ہیں، ان کے درمیان ایک زاویہ موڑ کے ساتھ، آپ کو کریز لائنوں کے بغیر ایک 3D آبجیکٹ ملے گا، دونوں چہرے قابل ترقی ہیں۔ امبرٹسومین کے ثبوت 1976 میں، امبرٹسومین نے ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کا ایک اور ثبوت پیش کیا۔ اس کا ثبوت اس حقیقت کا استعمال کرتا ہے کہ دو جہتی معاملے میں پوری پیمائش کو بائنگلز پر اس کی اقدار کے ذریعے بحال کیا جا سکتا ہے، اور اس طرح مثلث پر اسی طرح بیان کیا جا سکتا ہے جس طرح مثلث کے رقبے کو دائرے پر بیان کیا جاتا ہے۔ چونکہ مثلث کی عدم مساوات برقرار ہے، اس لیے یہ پیمائش غیر انحطاطی مثلثوں پر مثبت ہے اور تمام بوریل سیٹوں پر متعین ہوتی ہے۔ تاہم، ہلبرٹ کے تیسرے مسئلے کو میکس ڈہن کے ذریعے حل کرنے کی وجہ سے اس ڈھانچے کو اعلی جہتوں تک عام نہیں کیا جا سکتا۔ دو جہتی صورت میں، ایک ہی حجم والے کثیر الاضحی قینچی سے ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ جیسا کہ ڈیہن نے دکھایا ہے کہ یہ اعلی جہت کے لیے درست نہیں ہے۔ تین جہتی کیس کے لیے پوگوریلوف نے مندرجہ ذیل نظریہ کو ثابت کیا۔ نظریہ۔ کوئی بھی تین جہتی باقاعدہ مکمل فلیٹ میٹرک a-metric.However ہے، تین جہتی صورت میں-اقدامات مثبت یا منفی اقدار لے سکتے ہیں۔ سیٹ کے فلیٹ ہونے کی تقریب کے ذریعہ بیان کردہ باقاعدہ میٹرک کے لیے ضروری اور کافی شرائط درج ذیل تین شرائط ہیں: کسی بھی سطح پر قدر صفر کے برابر ہوتی ہے، کسی بھی شنک میں قدر غیر منفی ہوتی ہے، اگر شنک اندرونی نکات پر مشتمل ہو تو قیمت مثبت ہوتی ہے۔ مزید برآں، پوگوریلوف نے دکھایا کہ تین جہتی معاملے میں کوئی بھی مکمل مسلسل فلیٹ میٹرک میٹرک کے ڈومین کے کسی بھی کمپیکٹ ذیلی ڈومین پر یکساں کنورجنس کے ساتھ باقاعدہ میٹرکس کی حد ہے۔ انہوں نے انہیں عمومی-میٹرکس کہا۔ اس طرح پوگوریلوف مندرجہ ذیل بیان کو ثابت کر سکے۔ نظریہ۔ تین جہتی معاملے میں کوئی بھی مکمل مسلسل فلیٹ میٹرک عمومی meaning.Busemann میں ایک-میٹرک ہے، پوگوریلوف کی کتاب "ہلبرٹس فورتھ پروبلم" کے اپنے جائزے میں لکھا ہے، "اس وقت کی روح میں ہلبرٹ نے خود کو n = 2، 3 تک محدود رکھا اور اسی طرح پوگوریلوف بھی کرتا ہے۔ تاہم، اس کی بلا شبہ تعلیمی وجوہات ہیں، کیونکہ وہ قارئین کے ایک وسیع طبقے سے خطاب کرتے ہیں۔ حقیقی فرق n = 2 اور n> 2 کے درمیان ہے۔ پوگوریلوف کا طریقہ n> 3 کے لیے کام کرتا ہے، لیکن اس میں زیادہ تکنیکی خصوصیات کی ضرورت ہوتی ہے۔ کثیر جہتی کیس چوتھے ہلبرٹ مسئلے کے کثیر جہتی کیس کا مطالعہ زابو نے کیا تھا۔ 1986 میں، انہوں نے ثابت کیا، جیسا کہ انہوں نے لکھا، عمومی پوگوریلوف تھیوریم۔ نظریہ۔ کلاس کی ہر n-جہتی ڈیسرگویسیائی جگہ، بلاشکے-بوسیمن کی تعمیر سے پیدا ہوتی ہے۔ ایک پیمائش جو ایک فلیٹ پیمائش پیدا کرتی ہے اس کی درج ذیل خصوصیات ہوتی ہیں: ایک مقررہ نقطہ سے گزرنے والے ہائپرپلین کی پیمائش صفر کے برابر ہوتی ہے۔ ہائپرپلین کے سیٹ کی پیمائش جو دو حصوں [x, y]، [y, z] کو کاٹتی ہے، جہاں x، ytaz کالینیئر نہیں ہیں، مثبت ہے۔ ایک فلیٹ میٹرک کی مثال دی گئی تھی جو بلاشکے-بوسیمن کی تعمیر سے پیدا نہیں ہوئی تھی۔ Szabo نے تمام مسلسل فلیٹ میٹرکس کو عمومی افعال کے لحاظ سے بیان کیا۔ ہلبرٹ کا چوتھا مسئلہ اور کنویکس باڈیز ہلبرٹ کا چوتھا مسئلہ بھی کنویکس باڈیز کی خصوصیات سے قریب سے متعلق ہے۔ کنویکس پولی ہیڈرون کو زونوٹوپ کہا جاتا ہے اگر یہ حصوں کا منکووسکی مجموعہ ہو۔ ایک کنویکس باڈی جو بلاشکے-ہاؤز ڈورف میٹرک میں زونوٹوپس کی ایک حد ہے، زونوئڈ کہلاتا ہے۔ زونوئڈز کے لیے، سپورٹ فنکشن کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے جہاں ایک دائرے پر یکساں مثبت بوریل پیمائش ہوتی ہے۔ منکووسکی کی جگہ بلاشکے-بوسیمن کی تعمیر سے پیدا ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب انڈیکیٹریکس کے سپورٹ فنکشن میں (1) کی شکل ہو، جہاں یکساں ہو اور ضروری نہیں کہ مثبت بوریل پیمائش کا ہو۔ اس طرح کے ہائپر سرفیس سے منسلک اجسام کو عام زونائڈز کہا جاتا ہے۔ یوکلڈین خلا میں آکٹاہیڈرون ایک عمومی زونوئڈ نہیں ہے۔ مندرجہ بالا بیان سے یہ پتہ چلتا ہے کہ معیار کے ساتھ منکوسکی جگہ کا فلیٹ میٹرک بلاشکے-بوسیمن کی تعمیر سے پیدا نہیں ہوتا ہے۔ ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کی عمومییاں گراس مین مینیفولڈ وی پر پلانر این جہتی فنسلر میٹرکس اور خصوصی سمپلیکٹک شکلوں کے درمیان خط و کتابت پایا گیا۔ ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کے وقتا فوقتا حل سمجھے جاتے تھے: آئیے (ایم، جی) مقامی طور پر ایک کمپیکٹ یوکلیڈین ریمینیئن کئی گنا ہو۔ فرض کریں کہ M پر فنسلر میٹرک اسی جیوڈیکس کے ساتھ دی گئی ہے جیسا کہ میٹرک g میں ہے۔ پھر فنسلر میٹرک مقامی طور پر منکووسکی میٹرک اور بند 1 شکل کا مجموعہ ہے۔ فرض کریں کہ (M، g) ایک سے زیادہ درجہ کی ایک کمپیکٹ سمیٹرک ریمینیائی جگہ ہے۔ اگر F ایک سمیٹرک فنسلر میٹرک ہے جس کی جیوڈیکس ریمینیئن میٹرک g کی جیوڈیکسکس کے ساتھ موافق ہے، تو (M, g) ایک سمیٹرک فنسلر اسپیس ہے۔ رینک ون سمیٹرک خالی جگہوں کے لیے اس تھیوریم کا ینالاگ ابھی تک ثابت نہیں ہوا ہے۔ ہلبرٹ کے چوتھے مسئلے کی ایک اور وضاحت پیوا کے کام میں مل سکتی ہے۔ غیر حل شدہ مسائل غیر متناسب فنسلر میٹرک کے لیے ہلبرٹ کا چوتھا مسئلہ ابھی تک حل نہیں ہوا ہے۔ اس میٹرک کی تفصیل جس پر k-طیاروں نے k "-ایریا کو کم سے کم کیا ہے (بوسیمن) نہیں دی گئی ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا جیومیٹری کی بنیادیں 04