Totally bounded space
ٹوپولوجی اور ریاضی کی متعلقہ شاخوں میں، کل حدود ان حالات کے لیے کمپیکٹنس کی عمومی شکل ہے جن میں ایک سیٹ لازمی طور پر بند نہیں ہوتا ہے۔ ایک مکمل طور پر پابند سیٹ کا احاطہ ہر مقررہ "سائز" کے محدود طور پر بہت سے ذیلی سیٹوں سے کیا جا سکتا ہے (جہاں "سائز" کے معنی ماحول کی جگہ کی ساخت پر منحصر ہوتے ہیں)۔ پری کمپیکٹ (یا پری کمپیکٹ) کی اصطلاح بعض اوقات اسی معنی کے ساتھ استعمال ہوتی ہے، لیکن پری کمپیکٹ کا مطلب نسبتا کمپیکٹ بھی ہوتا ہے۔ یہ تعریفیں مکمل میٹرک اسپیس کے ذیلی سیٹوں کے لیے موافق ہیں، لیکن عام طور پر نہیں۔ میٹرک خالی جگہوں میں ایک میٹرک جگہ مکمل طور پر پابند ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر حقیقی تعداد کے لیے، رداس کی کھلی گیندوں کا ایک محدود مجموعہ موجود ہو جس کے مراکز M میں ہوں اور جس کا اتحاد موجود ہو۔ مساوی طور پر، میٹرک اسپیس M مکمل طور پر پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ایک کے لیے، ایک محدود احاطہ موجود ہو کہ احاطہ کے ہر عنصر کا رداس زیادہ سے زیادہ ہو۔ یہ ایک محدود ε-نیٹ کے وجود کے برابر ہے۔ ایک میٹرک اسپیس کو مکمل طور پر باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر ہر ترتیب کاچی سیکوینس کو قبول کرتی ہے۔ مکمل میٹرک اسپیس میں، ایک سیٹ کمپیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ بند اور مکمل طور پر باؤنڈ ہو۔ ہر مکمل طور پر باؤنڈڈ اسپیس باؤنڈڈ ہوتی ہے (کیونکہ محدود طور پر بہت سے باؤنڈڈ سیٹوں کا اتحاد باؤنڈڈ ہوتا ہے)۔ اس کے برعکس یوکلڈین اسپیس (سب اسپیس ٹوپولوجی کے ساتھ) کے ذیلی سیٹوں کے لیے درست ہے، لیکن عام طور پر نہیں۔ مثال کے طور پر، مجرد میٹرک سے لیس ایک لامحدود سیٹ باؤنڈ ہے لیکن مکمل طور پر باؤنڈ نہیں ہے: رداس یا اس سے کم کی ہر مجرد گیند سنگلٹن ہے، اور سنگلٹن کا کوئی محدود اتحاد لامحدود سیٹ کا احاطہ نہیں کر سکتا۔ یکساں (ٹپوولوجیکل) خالی جگہیں ایک میٹرک کل حدود کی تعریف میں صرف اس بات کو یقینی بنانے کے لیے ظاہر ہوتا ہے کہ محدود احاطہ کا ہر عنصر تقابلی سائز کا ہو، اور اسے یکساں ڈھانچے سے کمزور کیا جا سکتا ہے۔ یکساں جگہ کا ایک ذیلی سیٹ مکمل طور پر پابند ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، کسی بھی وفد کے لیے، ہر ایک کے ذیلی سیٹوں کا ایک محدود احاطہ موجود ہو جس کے کارٹیشین مربع کا ذیلی سیٹ ہو۔ (دوسرے لفظوں میں، "سائز" کی جگہ لے لیتا ہے، اور ایک ذیلی سیٹ سائز کا ہوتا ہے اگر اس کا کارٹیشین مربع کا ذیلی سیٹ ہو۔) تعریف کو مزید بڑھایا جا سکتا ہے، جگہوں کے کسی بھی زمرے میں جس میں کمپیکٹنس اور کاچی تکمیل کا تصور ہو: ایک جگہ مکمل طور پر پابند ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی (کاچی) تکمیل کمپیکٹ ہو۔ مثال اور ابتدائی خصوصیات ہر کمپیکٹ سیٹ مکمل طور پر پابند ہوتا ہے، جب بھی تصور کی وضاحت کی جاتی ہے۔ ہر مکمل طور پر باؤنڈ سیٹ باؤنڈ ہے۔ حقیقی لکیر کا ایک ذیلی سیٹ، یا زیادہ عام طور پر محدود جہتی یوکلڈین اسپیس کا، مکمل طور پر پابند ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ پابند ہو۔ ہلبرٹ اسپیس میں یونٹ بال، یا زیادہ عام طور پر بناچ اسپیس میں، مکمل طور پر پابند ہے (معیاری ٹوپولوجی میں) اگر اور صرف اس صورت میں جب اسپیس کا طول و عرض محدود ہو۔ ایک کمپیکٹ سیٹ پر مساوی پابند افعال یکساں ٹوپولوجی میں پری کمپیکٹ ہوتے ہیں۔ یہ آرزلا-اسکولی تھیوریم ہے۔ ایک میٹرک کی جگہ تب اور صرف اس صورت میں الگ کی جا سکتی ہے جب یہ مکمل طور پر پابند میٹرک کی جگہ کے لیے ہومومورفک ہو۔ مکمل طور پر پابند ذیلی سیٹ کی بندش ایک بار پھر مکمل طور پر پابند ہے۔ کمپیکٹ سیٹوں کے ساتھ موازنہ میٹرک خالی جگہوں میں، ایک سیٹ کمپیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مکمل اور مکمل طور پر پابند ہو۔ انتخاب کے محور کے بغیر صرف آگے کی سمت برقرار رہتی ہے۔ پری کمپیکٹ سیٹ کمپیکٹ سیٹ کے ساتھ متعدد خصوصیات کا اشتراک کرتے ہیں۔ کمپیکٹ سیٹوں کی طرح، مکمل طور پر پابند سیٹوں کا ایک محدود اتحاد مکمل طور پر پابند ہوتا ہے۔ کمپیکٹ سیٹوں کے برعکس، مکمل طور پر پابند سیٹ کا ہر ذیلی سیٹ دوبارہ مکمل طور پر پابند ہوتا ہے۔ کمپیکٹ سیٹ کی مسلسل تصویر کمپیکٹ ہوتی ہے۔ پری کمپیکٹ سیٹ کی یکساں طور پر مسلسل تصویر پری کمپیکٹ ہوتی ہے۔ ٹپوولوجیکل گروپوں میں اگرچہ کل حد بندی کا تصور میٹرک خالی جگہوں سے قریب سے جڑا ہوا ہے، لیکن ٹپوولوجیکل گروپوں کا بڑا الجبرائی ڈھانچہ کسی کو علیحدگی کی کچھ خصوصیات کو تبدیل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، میٹرک خالی جگہوں میں، ایک سیٹ کمپیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مکمل اور مکمل طور پر پابند ہو۔ نیچے دی گئی تعریف کے تحت، یہ کسی بھی ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس کے لیے یکساں ہے (ضروری نہیں کہ ہاؤز ڈورف ہو اور نہ ہی مکمل)۔ تعریف کی عمومی منطقی شکل یہ ہے کہ: کسی جگہ کا ذیلی سیٹ مکمل طور پر پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی بھی سائز کو دیکھتے ہوئے اس کا ایک محدود احاطہ موجود ہو کہ ہر عنصر کا زیادہ سے زیادہ سائز ہو تو مکمل طور پر پابند ہو جائے اگر اور صرف اس صورت میں جب اسے مکمل طور پر پابند کیا جائے جب اسے خود کا ذیلی سیٹ سمجھا جائے۔ ہم یہ روایت اپناتے ہیں کہ، شناخت کے کسی بھی پڑوس کے لیے، ایک ذیلی سیٹ کو () کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی ٹپوولوجیکل گروپ کا ایک ذیلی سیٹ () ہو اگر وہ مندرجہ ذیل مساوی شرائط میں سے کسی کو مطمئن کرے:: شناخت کے کسی بھی پڑوس کے لیے محدود طور پر بہت سے ایسے موجود ہیں کہ وہاں کے کسی بھی پڑوس کے لیے ایک محدود ذیلی سیٹ موجود ہے جیسے کہ (جہاں دائیں طرف منکوسکی کا مجموعہ ہے)۔ کسی بھی پڑوس کے لیے اس طرح کے محدود طور پر بہت سے ذیلی سیٹ موجود ہیں اور ہر ایک-چھوٹا ہے۔ شناخت عنصر کے پڑوس کے فلٹر کے کسی بھی دیئے گئے فلٹر سب بیس کے لیے (جو اندر کے تمام محلوں پر مشتمل ہوتا ہے) اور ہر ایک کے لیے محدود طور پر بہت سے چھوٹے ذیلی سیٹوں کا احاطہ موجود ہے: شناخت کے ہر محلے کے لیے اور ہر شمار کے لحاظ سے لامحدود ذیلی سیٹ اس طرح موجود ہے کہ (اگر محدود ہے تو یہ شرط خالی طور پر مطمئن ہے)۔ مندرجہ ذیل تین سیٹوں میں سے کوئی بھی (بائیں) کے مکمل طور پر پابند ہونے کو مطمئن کرتا ہے: فہرست میں اس سیٹ کی بندش کا مطلب یہ ہے کہ درج ذیل خصوصیت برقرار ہے: (بائیں) مکمل طور پر پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب (بائیں) مکمل طور پر پابند ہو (اوپر بیان کردہ کسی بھی تعریف شدہ شرائط کے مطابق)۔ ذیل میں درج دیگر سیٹوں کے لیے بھی یہی خصوصیت ہے۔ کینونکل حصص کے تحت کی تصویر جس کی وضاحت کی گئی ہے (جہاں شناختی عنصر ہے)۔ یہ اصطلاح عام طور پر ہاؤسڈورف ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے تناظر میں ظاہر ہوتی ہے۔ اس صورت میں، مندرجہ ذیل شرائط بھی (بائیں) مکمل طور پر پابند ہونے کے برابر ہیں: کی بندش کی تکمیل میں کمپیکٹ ہے۔ ہر الٹرا فلٹر پر کاچی فلٹر ہوتا ہے۔ کی تعریف مماثل ہے: صرف مصنوعات کی ترتیب کو تبدیل کریں۔ شرط 4 کا مطلب ہے کہ کا کوئی بھی ذیلی سیٹ مکمل طور پر پابند ہے (درحقیقت، کمپیکٹ ؛ اوپر دیکھیں)۔ اگر ہاؤز ڈورف نہیں ہے تو، مثال کے طور پر، ایک کمپیکٹ مکمل سیٹ ہے جو بند نہیں ہے۔ ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کوئی بھی ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس اضافے کے تحت ایک ابیلین ٹوپولوجیکل گروپ ہے، لہذا مذکورہ بالا شرائط لاگو ہوتی ہیں۔ تاریخی طور پر، تعریف 1 (بی) ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے لیے کل حدود کی پہلی اصلاح تھی۔ یہ جان وان نیومن کے 1935 کے مقالے کی تاریخ ہے۔ اس تعریف میں یہ پرکشش خاصیت ہے کہ، کمزور ٹوپولوجی سے مالا مال مقامی طور پر کنویکس اسپیس میں، پری کمپیکٹ سیٹ بالکل باؤنڈڈ سیٹ ہوتے ہیں۔ علیحدہ بنچ خالی جگہوں کے لیے، فنکشنلز کے کمزور کنورجنٹ سیکوینس کے لحاظ سے پری کمپیکٹ سیٹوں (معیاری ٹوپولوجی میں) کی ایک اچھی خصوصیت ہے: اگر ایک علیحدہ بنچ جگہ ہے، تو پری کمپیکٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب فنکشنلز کا ہر کمزور کنورجنٹ تسلسل کنویکسٹی کے ساتھ تعامل پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کے مکمل طور پر پابند سب سیٹ کا متوازن ہل پھر سے مکمل طور پر پابند ہوتا ہے۔ دو کمپیکٹ (مکمل طور پر پابند) سیٹوں کا منکوسکی مجموعہ کمپیکٹ (ریسپ) ہے۔ مکمل طور پر پابند)۔ مقامی طور پر کنویکس (ہاؤز ڈورف) جگہ میں، کنویکس ہل اور مکمل طور پر پابند سیٹ کا ڈسکڈ ہل مکمل طور پر پابند ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مکمل ہو۔ کمپیکٹ اسپیس مقامی طور پر کمپیکٹ اسپیس غیر کمپیکٹنس آرتھو کمپیکٹ اسپیس پیرا کامپیکٹ اسپیس کی پیمائش نسبتا کمپیکٹ سب اسپیس حوالہ جات کتابچہ یکساں خالی جگہیں میٹرک جیومیٹری ٹوپولوجی فنکشنل تجزیہ کمپیکٹنس (ریاضی)