Lie theory
ریاضی میں، ریاضی دان سوفس لائی (Sophus Lie) نے مطالعہ کی لائنیں شروع کیں جن میں تفریقی مساوات، تبدیلی کے گروپوں، اور ان شعبوں کے رابطے کا انضمام شامل ہے جنہیں لائ تھیوری کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، مؤخر الذکر موضوع لائ سپیئر جیومیٹری ہے۔ یہ مضمون تبدیلی کے گروپوں کے بارے میں ان کے نقطہ نظر سے خطاب کرتا ہے، جو ریاضی کے شعبوں میں سے ایک ہے، اور اس پر ولہیم کلنگ اور ایلی کارٹن نے کام کیا تھا۔ لائ تھیوری کی بنیاد لائ الجبرا سے لائ گروپوں سے متعلق ایکسپونینشل نقشہ ہے جسے لائ گروپ-لائ الجبرا خط و کتابت کہا جاتا ہے۔ یہ موضوع تفریق جیومیٹری کا حصہ ہے کیونکہ لائ گروپ تفریق کے قابل کئی گنا ہوتے ہیں۔ لائ گروپ شناخت (1) سے تیار ہوتے ہیں اور ایک پیرامیٹر کے ذیلی گروپوں کے ٹینجینٹ ویکٹر لائ الجبرا پیدا کرتے ہیں۔ لائ گروپ کی ساخت اس کے الجبرا میں مضمر ہے، اور لائ الجبرا کی ساخت کا اظہار روٹ سسٹمز اور روٹ ڈیٹا کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ جھوٹ کا نظریہ ریاضیاتی طبیعیات میں خاص طور پر مفید رہا ہے کیونکہ یہ معیاری تبدیلی کے گروپوں کو بیان کرتا ہے: گیلیلین گروپ، لورینٹز گروپ، پوئنکیئر گروپ اور اسپیس ٹائم کا کنفارمل گروپ۔ ابتدائی جھوٹ کا نظریہ ایک پیرامیٹر گروپ جھوٹ کے نظریہ کی پہلی مثال ہیں۔ کمپیکٹ کیس پیچیدہ سطح میں اویلر کے فارمولے کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ دیگر ایک پیرامیٹر گروپ اسپلٹ کمپلیکس نمبر پلین میں یونٹ ہائپربولا کے طور پر اور ڈوئل نمبر پلین میں لائن کے طور پر پائے جاتے ہیں۔ ان صورتوں میں لائ الجبرا پیرامیٹرز کے نام ہوتے ہیں: اینگل، ہائپربولک اینگل، اور سلوپ۔ زاویے کی یہ انواع قطبی سڑن فراہم کرنے کے لیے مفید ہیں جو 2 x 2 حقیقی میٹرکس کے ذیلی الجبرا کو بیان کرتی ہیں۔ ایک کلاسیکی 3-پیرامیٹر لائ گروپ اور الجبرا جوڑا ہے: یونٹ لمبائی کے کواٹرنیئنز جن کی شناخت 3-دائرے سے کی جا سکتی ہے۔ اس کا لائ الجبرا کواٹرنیئن ویکٹروں کی ذیلی جگہ ہے۔ چونکہ کمیوٹیٹر ij−j = 2k، اس الجبرا میں لائ بریکٹ عام ویکٹر تجزیہ کے کراس پروڈکٹ سے دوگنا ہے۔ ایک اور ابتدائی 3 پیرامیٹر کی مثال ہائزن برگ گروپ اور اس کے لائ الجبرا نے دی ہے۔ لائ تھیوری کے معیاری علاج اکثر کلاسیکی گروہوں سے شروع ہوتے ہیں۔ جھوٹ کے نظریہ کے ابتدائی تاثرات 1888 سے 1896 تک فریڈرک اینگل اور جارج شیفرز کے ساتھ سوفس لی کی لکھی ہوئی کتابوں میں پائے جاتے ہیں۔ لی کے ابتدائی کام میں، خیال یہ تھا کہ فیلکس کلین اور ہنری پوئن کیری کے ہاتھوں میں، ماڈیولر شکلوں کے نظریہ میں تیار ہونے والے مجرد گروہوں کے نظریہ کی تکمیل کے لیے، مسلسل گروہوں کا ایک نظریہ تشکیل دیا جائے۔ لائ کا ابتدائی اطلاق جو ذہن میں تھا وہ تفریقی مساوات کے نظریہ پر تھا۔ گالوئس نظریہ اور کثیر الجہتی مساوات کے نمونے پر، محرک تصور ایک ایسے نظریہ کا تھا جو ہم آہنگی کے مطالعہ کے ذریعے، عام تفریقی مساوات کے پورے علاقے کو متحد کرنے کے قابل تھا۔ مورخ تھامس ڈبلیو ہاکنز کے مطابق، یہ ایلی کارٹن ہی تھے جنہوں نے جھوٹ کا نظریہ بنایا کہ یہ کیا ہے: اگرچہ جھوٹ کے بہت سے زرخیز نظریات تھے، لیکن کارٹن بنیادی طور پر اپنے نظریہ کی توسیع اور اطلاق کے لیے ذمہ دار تھا جس نے اسے جدید ریاضی کا بنیادی جزو بنا دیا ہے۔ یہ وہی تھا جس نے ویل کی کچھ مدد سے قتل کے بنیادی، بنیادی طور پر الجبرائی نظریات کو نیم سادہ جھوٹ الجبرا کی ساخت اور نمائندگی کے نظریہ میں تیار کیا جو موجودہ دور کے جھوٹ کے نظریہ میں اس طرح کا بنیادی کردار ادا کرتا ہے۔ اور اگرچہ لی نے جیومیٹری پر اپنے نظریہ کے اطلاق کا تصور کیا، لیکن یہ کارٹن ہی تھا جس نے اصل میں انہیں تخلیق کیا، مثال کے طور پر ہم آہنگی اور عمومی خالی جگہوں کے اپنے نظریات کے ذریعے، بشمول تمام حاضر آلات (حرکت پذیر فریم، بیرونی تفریقی شکلیں، وغیرہ)۔ تبدیلی کے گروپوں پر اپنے کام میں، سوفس لی نے ان کے نام والے گروپوں اور الجبرا سے متعلق تین نظریات کو ثابت کیا۔ پہلی تھیوریم نے لامحدود تبدیلیوں کے ذریعے الجبرا کی بنیاد کو ظاہر کیا۔ دوسری تھیوریم نے الجبرا میں کمیوٹیٹر پروڈکٹ کے نتیجے میں الجبرا کے ڈھانچے کے مستقل کو ظاہر کیا۔ تیسرے نظریہ سے پتہ چلتا ہے کہ یہ مستقلات مخالف ہم آہنگی ہیں اور جیکوبی شناخت کو مطمئن کرتے ہیں۔ جیسا کہ رابرٹ گلمور نے لکھا ہے: جھوٹ کے تین نظریات کسی بھی جھوٹ گروپ سے وابستہ جھوٹ الجبرا کی تعمیر کے لیے ایک طریقہ کار فراہم کرتے ہیں۔ وہ جھوٹ الجبرا کی خصوصیات کو بھی نمایاں کرتے ہیں۔ جھوٹ کے تین نظریات کی گفتگو اس کے برعکس کرتی ہے: وہ کسی بھی محدود جہتی جھوٹ الجبرا کے ساتھ ایک جھوٹ گروپ کو جوڑنے کے لیے ایک طریقہ کار فراہم کرتے ہیں۔ ٹیلر کا نظریہ جھوٹ الجبرا سے ایک کینونکل تجزیاتی ساخت فنکشن φ (β، α) کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ یہ سات نظریات-جھوٹ کے تین نظریات اور ان کے گفتگو، اور ٹیلر کا نظریہ-جھوٹ گروپوں اور الجبرا کے درمیان ایک لازمی مساوات فراہم کرتے ہیں۔ لائ تھیوری کے پہلو اکثر کلاسیکی لکیری الجبرائی گروپوں کے مطالعہ پر مبنی ہوتے ہیں۔ خصوصی شاخوں میں ویل گروپس، کاکسٹر گروپس اور عمارتیں شامل ہیں۔ کلاسیکی موضوع کو گروپس آف لائی ٹائپ تک بڑھا دیا گیا ہے۔ 1900 میں ڈیوڈ ہلبرٹ نے پیرس میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں پیش کردہ اپنے پانچویں مسئلے کے ساتھ جھوٹ کے تھیوریسٹوں کو چیلنج کیا۔ بیکر-کیمپبل-ہاؤسڈورف فارمولا لائ گروپوں کے موضوعات کی فہرست لائ گروپ انٹیگریٹر نوٹ اور حوالہ جات جان اے کولمین (1989) "دی گریٹیسٹ میتھمیٹیکل پیپر آف آل ٹائم"، دی میتھمیٹیکل انٹیلیجنسر 11 (3): 29-38 بھی دیکھیں۔ مزید پڑھنا ایم۔ اے۔ اکیوس اور بی۔ اے۔ روزن فیلڈ (1993) ایلی کارٹن (1869-1951)، وی وی کے ذریعے روسی اصل سے ترجمہ کیا گیا۔ گولڈ برگ، باب 2: جھوٹ گروپس اور جھوٹ الجبرا، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ پی ایم کوہن (1957) لائی گروپس، کیمبرج ٹریکٹس ان میتھمیٹیکل فزکس۔ جے ایل کولج (1940) جیومیٹریکل طریقوں کی تاریخ، پی پی 304-17، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس (ڈوور پبلکیشنز 2003)۔ رابرٹ گلمور (2008) لائ گروپس، فزکس، اور جیومیٹری: طبیعیات دانوں، انجینئروں اور کیمسٹوں کے لیے ایک تعارف، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ ایف۔ ریز ہاروی (1990) اسپنرز اینڈ کیلیبریشنز، اکیڈمک پریس۔ ۔ ہیلڈرمین ورلاگ جرنل آف لائی تھیوری تفریقی مساوات ریاضی کی تاریخ