Wigner–Seitz cell
وگنر سیٹز خلیہ، جس کا نام یوجین وگنر اور فریڈرک سیٹز کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک قدیم خلیہ ہے جسے کرسٹل جالی پر ورونوئی کے سڑنے کو لگا کر بنایا گیا ہے۔ یہ کرسٹلگرافی میں کرسٹل مواد کے مطالعہ میں استعمال ہوتا ہے۔ کرسٹل کی منفرد خاصیت یہ ہے کہ اس کے ایٹم ایک باقاعدہ تین جہتی صف میں ترتیب دیے جاتے ہیں جسے جالی کہا جاتا ہے۔ کرسٹل مواد سے منسوب تمام خصوصیات اس انتہائی ترتیب شدہ ڈھانچے سے نکلتی ہیں۔ اس طرح کی ساخت مجرد ٹرانسلیشنل سمیٹری کو ظاہر کرتی ہے۔ اس طرح کے دورانیے کے نظام کا نمونہ بنانے اور اس کا مطالعہ کرنے کے لیے، ہم آہنگی کو بیان کرنے کے لیے ایک ریاضیاتی "ہینڈل" کی ضرورت ہوتی ہے اور اس لیے اس ہم آہنگی کے نتیجے میں مادی خصوصیات کے بارے میں نتائج اخذ کیے جاتے ہیں۔ وگنر سیٹز خلیہ اسے حاصل کرنے کا ایک ذریعہ ہے۔ وگنر سیٹز خلیہ ایک ابتدائی خلیے کی مثال ہے، جو ایک یونٹ خلیہ ہے جس میں بالکل ایک جالی نقطہ ہوتا ہے۔ کسی بھی دی گئی جالی کے لیے ممکنہ ابتدائی خلیوں کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ تاہم کسی بھی جالی کے لیے صرف ایک وگنر سیٹز خلیہ ہوتا ہے۔ یہ خلا میں پوائنٹس کا لوکس ہے جو کسی بھی دوسرے لیٹس پوائنٹس کے مقابلے میں اس لیٹس پوائنٹ کے قریب ہوتا ہے۔ وگنر سیٹز خلیہ، کسی بھی قدیم خلیے کی طرح، جالی کے مجرد ترجمہ کی ہم آہنگی کے لیے ایک بنیادی ڈومین ہے۔ مومنٹم اسپیس میں باہمی جالی کے ابتدائی خلیے کو برلوئن زون کہا جاتا ہے۔ جائزہ پس منظر ورونوئی سڑنے کے تصور کی تحقیقات پیٹر گستاو لیجین ڈیرچلیٹ نے کی تھی، جس کی وجہ سے اس کا نام ڈیرچلیٹ ڈومین پڑا۔ مزید شراکت ایوگراف فیڈوروف، (فیڈوروف متوازی ہیڈرون)، جارج ورونوئے (ورونوئی پولی ہیڈرون)، اور پال نگلی (ویرکنگسبیریچ) کی طرف سے کی گئی۔ گاڑھا مادے کی طبیعیات کے لیے اطلاق سب سے پہلے یوجین وگنر اور فریڈرک سیٹز نے 1933 کے ایک مقالے میں تجویز کیا تھا، جہاں اسے عنصر سوڈیم میں آزاد الیکٹرانوں کے لیے شروڈنگر مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ انہوں نے سوڈیم میں وگنر سیٹز خلیے کی شکل کا تخمینہ لگایا، جو کہ ایک کٹا ہوا آکٹا ہیڈرون ہے، مساوی حجم کے دائرے کے طور پر، اور شروڈنگر مساوات کو بالکل وقتا فوقتا حدود کے حالات کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا، جو دائرے کی سطح پر درکار ہوتے ہیں۔ اسی طرح کا حساب جو وگنر سیٹز خلیے کی غیر کروی نوعیت کا بھی حساب رکھتا تھا، بعد میں جان سی سلیٹر نے انجام دیا۔ صرف پانچ ٹپوولوجیکل طور پر الگ الگ پولی ہیڈرا ہیں جو تین جہتی جگہ کو ٹائل کرتے ہیں۔ ان کو متوازی ہیڈر کہا جاتا ہے۔ وہ ریاضیاتی دلچسپی کا موضوع ہیں، جیسے کہ اعلی جہتوں میں۔ جیسا کہ جان ہارٹن کونوے اور نیل سلوین نے تجویز کیا ہے، ان پانچ متوازی جالی کو پروجیکٹو طیارہ کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے تین جہتی جالی کی درجہ بندی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، جب کہ ایک ٹپوولوجیکل درجہ بندی کسی بھی افائن تبدیلی کو ایک جیسی کلاس کی طرف لے جانے پر غور کرتی ہے، ایک زیادہ مخصوص درجہ بندی متوازی کناروں کے ساتھ ورونوئی پولی ہیڈرا کی 24 الگ الگ کلاسوں کی طرف لے جاتی ہے جو جگہ کو ٹائل کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، آئتاکار کیوبائڈ، دائیں مربع پریزم، اور کیوب کا تعلق ایک ہی ٹپوولوجیکل کلاس سے ہے، لیکن ان کے اطراف کے مختلف تناسب سے ممتاز ہیں۔ براویس جالی کے لیے 24 اقسام کے ورونوئی پولی ہیڈرا کی یہ درجہ بندی سب سے پہلے بورس ڈیلونی نے کی تھی۔ تعریف جالی کے نقطہ کے ارد گرد وگنر سیٹز خلیے کی تعریف خلا میں ان نکات کے لوکس کے طور پر کی گئی ہے جو جالی کے دوسرے نکات کے مقابلے اس نقطہ کے قریب ہوتے ہیں۔ یہ ریاضیاتی طور پر دکھایا جا سکتا ہے کہ وگنر سیٹز خلیہ ایک قدیم خلیہ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ خلیہ کسی بھی خلا یا سوراخ کو چھوڑے بغیر پوری براہ راست جگہ پر پھیلا ہوا ہے، ایک خاصیت جسے ٹیسلیشن کہا جاتا ہے۔ سیل کی تعمیر وگنر سیٹز سیل میں موجود عمومی ریاضیاتی تصور کو زیادہ عام طور پر ورونوئی سیل کہا جاتا ہے، اور پوائنٹ سائٹس کے دیئے گئے سیٹ کے لیے ان خلیوں میں طیارہ کی تقسیم کو ورونوئی خاکہ کہا جاتا ہے۔ خلیے کا انتخاب پہلے جالی کے نقطہ کو چن کر کیا جا سکتا ہے۔ ایک نقطہ منتخب کرنے کے بعد، تمام قریبی جالی والے مقامات پر لکیریں کھینچی جاتی ہیں۔ ہر لائن کے وسط نقطہ پر، لائنوں کے پہلے سیٹ میں سے ہر ایک کے لیے ایک اور لائن نارمل کھینچی جاتی ہے۔ اس طرح سے منسلک سب سے چھوٹا علاقہ وگنر سیٹز پرائمیٹیو سیل کہلاتا ہے۔ 3 جہتی جالی کے لیے، مراحل مماثل ہوتے ہیں، لیکن مرحلہ 2 میں عمودی لکیریں کھینچنے کے بجائے، عمودی طیاروں کو جالی کے نکات کے درمیان کی لکیروں کے وسط نقطہ پر کھینچا جاتا ہے۔ جیسا کہ تمام ابتدائی خلیوں کے معاملے میں، جالی کے اندر موجود تمام رقبے یا جگہ کو وگنر سیٹز خلیوں سے پر کیا جا سکتا ہے اور اس میں کوئی خلا نہیں ہوگا۔ قریبی جالی کے نکات کا مسلسل اس وقت تک معائنہ کیا جاتا ہے جب تک کہ منسلک رقبہ یا حجم کسی قدیم خلیے کے لیے صحیح رقبہ یا حجم نہ ہو۔ متبادل طور پر، اگر جالی کے بیس ویکٹروں کو جالی میں کمی کا استعمال کرتے ہوئے کم کیا جاتا ہے تو صرف جالی پوائنٹس کی ایک مقررہ تعداد استعمال کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ دو جہتوں میں صرف جالی کے وہ نکات استعمال کرنے کی ضرورت ہے جو 4 اکائی خلیوں کو بناتے ہیں جو اصل کے ساتھ ورٹیکس کا اشتراک کرتے ہیں۔ تین جہتوں میں صرف وہ جالی کے نکات استعمال کرنے کی ضرورت ہے جو 8 اکائی خلیوں کو بناتے ہیں جو اصل کے ساتھ ایک سرے کا اشتراک کرتے ہیں۔ جامع جالی کے لیے، (کرسٹل جن کی بنیاد میں ایک سے زیادہ ویکٹر ہوتے ہیں) ہر ایک جالی نقطہ متعدد ایٹموں کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہم قریب ترین جالی نقطہ کے بجائے قریب ترین ایٹم کے مطابق مزید ورونوئی سڑنے سے ہر وگنر سیٹز خلیے کو ذیلی خلیوں میں تقسیم کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ڈائمنڈ کرسٹل ڈھانچہ دو ایٹم کی بنیاد پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہیرے میں، کاربن ایٹموں میں ٹیٹراہیڈرل ایس پی 3 بانڈنگ ہوتی ہے، لیکن چونکہ ٹیٹراہیڈرا ٹائل کی جگہ نہیں رکھتا ہے، اس لیے ڈائمنڈ کرسٹل ڈھانچے کا ورونوئی سڑنا دراصل ٹرائکیس کاٹا ہوا ٹیٹراہیڈرل ہنی کامب ہوتا ہے۔ ایک اور مثال اے 15 مراحل میں ایٹموں پر ورونوئی سڑنے کا اطلاق ہے، جو ویئر-فیلان ڈھانچے کا پولی ہیڈرل تخمینہ بناتا ہے۔ سمیٹری وگنر سیٹز سیل میں ہمیشہ وہی پوائنٹ سمیٹری ہوتی ہے جو بنیادی براویس لیٹس میں ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، کیوب، کٹے ہوئے آکٹاہیڈرون، اور رومبیک ڈوڈیکاہیڈرون میں پوائنٹ سمیٹری اوہ ہوتی ہے، کیونکہ ان سب کو پیدا کرنے کے لیے استعمال ہونے والے متعلقہ براویس لیٹیسز کیوبک لیٹیس سسٹم سے تعلق رکھتے ہیں، جس میں اوہ پوائنٹ سمیٹری ہوتی ہے۔ برلوئن زون عملی طور پر، وگنر سیٹز سیل خود دراصل براہ راست جگہ کی وضاحت کے طور پر شاذ و نادر ہی استعمال ہوتا ہے، جہاں اس کے بجائے عام طور پر روایتی یونٹ سیل استعمال ہوتے ہیں۔ تاہم، ایک ہی سڑنا انتہائی اہم ہے جب باہمی جگہ پر لاگو ہوتا ہے۔ باہمی جگہ میں وگنر سیٹز سیل کو برلوئن زون کہا جاتا ہے، جس میں اس بارے میں معلومات ہوتی ہیں کہ آیا کوئی مواد موصل، سیمی کنڈکٹر یا موصلیت ہوگا۔ ڈیلونی مثلث کوآرڈینیشن جیومیٹری کرسٹل فیلڈ تھیوری وگنر کرسٹل حوالہ جات کرسٹلگرافی معدنیات بھی دیکھیں۔