Villarceau circles
جیومیٹری میں، ویلارسو حلقے () حلقوں کا ایک جوڑا ہے جو مرکز کے ذریعے ایک خاص زاویے پر ٹورس کو عمودی طور پر کاٹ کر تیار ہوتا ہے۔ ٹورس پر ایک صوابدیدی نقطہ کو دیکھتے ہوئے، اس کے ذریعے چار حلقے کھینچے جا سکتے ہیں۔ ایک ٹورس کے استوائی سطح کے متوازی سطح پر ہے اور دوسرا اس سطح پر عمودی ہے (یہ زمین پر عرض البلد اور طول البلد کی لکیروں سے مشابہت رکھتے ہیں)۔ دیگر دو ویلارسو حلقے ہیں۔ وہ ٹورس کے ایک ہوائی جہاز کے ساتھ چوراہے کے طور پر حاصل کیے جاتے ہیں جو ٹورس کے مرکز سے گزرتا ہے اور اسے دو اینٹی پوڈل پوائنٹس پر ٹھوس طور پر چھوتا ہے۔ اگر کوئی ان تمام طیاروں پر غور کرتا ہے، تو ٹورس پر حلقوں کے دو خاندان حاصل ہوتا ہے۔ ان خاندانوں میں سے ہر ایک جداگانہ حلقوں پر مشتمل ہوتا ہے جو ٹورس کے ہر نقطہ کا بالکل ایک بار احاطہ کرتا ہے اور اس طرح ٹورس کا 1 جہتی فولیشن بناتا ہے۔ ویلارسو حلقوں کا نام فرانسیسی ماہر فلکیات اور ریاضی دان یوون ویلارسو (1813-1883) کے نام پر رکھا گیا ہے جنہوں نے 1848 میں ان کے بارے میں لکھا تھا۔ مینہیم (1903) نے دکھایا کہ ویلارسو حلقے ٹورس کے تمام متوازی سرکلر کراس سیکشنز سے ایک ہی زاویے پر ملتے ہیں، جس کے نتیجے میں انہوں نے کہا کہ ایک کرنل شولچر نے 1891 میں ایک کانگریس میں پیش کیا تھا۔ مثال xyz خلا میں ایک افقی ٹورس پر غور کریں، جو اصل پر مرکوز ہے اور جس کا بڑا رداس 5 اور معمولی رداس 3 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ٹورس تین رداس کے کچھ عمودی حلقوں کا لوکس ہے جس کے مراکز افقی xy طیارہ میں پانچ رداس کے دائرے پر ہوتے ہیں۔ اس ٹورس پر موجود نکات اس مساوات کو پورا کرتے ہیں: z = 0 سطح کے ساتھ ٹکڑے ٹکڑے کرنے سے دو متمرکز حلقے پیدا ہوتے ہیں، x2 + y2 = 22 اور x2 + y2 = 82، بیرونی اور اندرونی خط استوا۔ x = 0 سطح کے ساتھ ٹکڑے ٹکڑے کرنے سے دو شانہ بہ شانہ دائرے پیدا ہوتے ہیں، (y−5) 2 + z2 = 32 اور (y + 5) 2 + z2 = 32۔ ویلارسو کے حلقوں کی دو مثالیں طیارہ 3x = 4z کے ساتھ کاٹ کر تیار کی جا سکتی ہیں۔ ایک (0، + 3، 0) پر مرکوز ہے اور دوسرا (0، −3، 0) پر ؛ دونوں کا رداس پانچ ہے۔ انہیں پیرامیٹرک شکل میں لکھا جا سکتا ہے اور سلائسنگ پلین کو اس کے مرکز سے گزرتے ہوئے دو نکات پر ٹورس سے متصل ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ یہ (16⁄5,0,12⁄5) اور (−16⁄5,0, −12⁄5) پر ٹینجینٹ ہے۔ سلائسنگ کا زاویہ منفرد طور پر منتخب ٹورس کے طول و عرض سے طے ہوتا ہے۔ اس طرح کے کسی بھی ایک سطح کو زیڈ محور کے گرد گھومنے سے اس ٹورس کے لیے ویلارسو کے تمام حلقے ملتے ہیں۔ وجود اور مساوات حلقوں کے وجود کا ثبوت اس حقیقت سے بنایا جا سکتا ہے کہ ٹکڑے ٹکڑے کرنے والا طیارہ دو نکات پر ٹورس سے متصل ہے۔ ٹورس کی ایک خصوصیت یہ ہے کہ یہ انقلاب کی سطح ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، ایک مربوط نظام کا انتخاب کریں تاکہ انقلاب کا محور z محور ہو۔ xz طیارہ میں رداس r کے دائرے سے شروع کریں، جو (R، 0، 0) پر مرکوز ہے۔ سویپنگ x کی جگہ (x2 + y2) 1/2 لے لیتا ہے، اور مربع جڑ کو صاف کرنے سے ایک چوتھائی مساوات پیدا ہوتی ہے۔ ایکس زیڈ طیارہ میں بہتی ہوئی سطح کے کراس سیکشن میں اب دوسرا دائرہ شامل ہے۔ حلقوں کی اس جوڑی میں دو مشترکہ اندرونی ٹینجینٹ لائنیں ہیں، جن کی اصل میں ڈھلوان دائیں مثلث سے ہائپوٹینوس R اور مخالف طرف r کے ساتھ پائی جاتی ہے (جس کا صحیح زاویہ ٹینجینسی کے مقام پر ہوتا ہے)۔ اس طرح z/x ±r/(R2−r2) 1/2 کے برابر ہوتا ہے، اور پلس کے نشان کو منتخب کرنے سے ٹورس کے لیے طیارہ بٹینجینٹ کی مساوات پیدا ہوتی ہے۔ سمیٹری کے ذریعے، z محور کے ارد گرد اس سطح کی گردش مرکز کے ذریعے تمام بٹینجینٹ طیاروں کو دیتی ہے۔ (ٹورس کے اوپری اور نچلے حصے میں افقی طیارے بھی ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک "ڈبل دائرہ" دیتا ہے، لیکن ویلارسو حلقے نہیں۔) ہم ٹورس کے ساتھ طیارہ (ز) کے چوراہے کا تجزیاتی حساب لگا سکتے ہیں، اور اس طرح یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ نتیجہ حلقوں کا ایک ہم آہنگ جوڑا ہے، جن میں سے ایک رداس R کا ایک دائرہ ہے جو ان لائنوں کے ساتھ A ٹریٹمنٹ پر مرکوز ہے جو کاکسٹر (1969) میں پایا جا سکتا ہے۔ ایک زیادہ تجریدی-اور زیادہ لچکدار-نقطہ نظر کو ہرش (2002) نے ایک پروجیکٹو ترتیب میں الجبرائی جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا تھا۔ ٹورس کے لیے یکساں چوتھائی مساوات میں، ڈبلیو کو صفر پر ترتیب دینے سے "انفینیٹی پر طیارہ" کے ساتھ چوراہا ملتا ہے، اور مساوات کو کم کر دیتا ہے۔ یہ چوراہا ایک ڈبل پوائنٹ ہے، درحقیقت ایک ڈبل پوائنٹ دو بار شمار کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، یہ ہر بٹینجینٹ پلین میں شامل ہوتا ہے۔ ٹینجینسی کے دو پوائنٹس بھی ڈبل پوائنٹس ہیں۔ اس طرح انٹرسیکشن وکر، جو نظریہ کہتا ہے کہ کوارٹک ہونا چاہیے، چار ڈبل پوائنٹس پر مشتمل ہے۔ لیکن ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ تین سے زیادہ دوہرے نکات والے چوتھائی کو عنصر ہونا چاہیے (یہ ناقابل تلافی نہیں ہو سکتا)، اور ہم آہنگی کے لحاظ سے عوامل کو دو ہم آہنگ مخروطی ہونا چاہیے۔ ہرش اس دلیل کو کونک سے پیدا ہونے والے انقلاب کی کسی بھی سطح تک پھیلاتا ہے، اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ بٹینجینٹ طیارہ کے ساتھ چوراہے پر اسی قسم کے دو کونک پیدا ہونے چاہئیں جب چوراہے کا منحنی خطوط حقیقی ہوں۔ جگہ بھرنا ٹورس عام دائرے، S2، جس کے دائرے، S1، ریشوں کے طور پر ہوتے ہیں، کے اوپر 3 دائرے، S3 کے ہوپف فائبرشن میں مرکزی کردار ادا کرتا ہے۔ جب 3-دائرے کو سٹیریوگرافک پروجیکشن کے ذریعے یوکلڈین 3-اسپیس میں نقشہ بنایا جاتا ہے، تو فائبر کے نقشے کے نیچے S2 پر عرض البلد کے دائرے کی الٹا تصویر ٹورس ہوتی ہے، اور ریشے خود ولارسو کے حلقے ہوتے ہیں۔ بینچوف نے کمپیوٹر گرافکس امیجری کے ساتھ اس طرح کے ٹورس کی کھوج کی ہے۔ حلقوں کے بارے میں غیر معمولی حقائق میں سے ایک یہ ہے کہ ہر ایک دوسرے کے ذریعے جوڑتا ہے، نہ صرف اپنے ٹورس میں بلکہ تمام جگہ کو بھرنے والے مجموعہ میں ؛ برجر میں ایک بحث اور ڈرائنگ ہے۔ ٹورک سیکشن ویسیکا پیسکیس حوالہ جات بھی دیکھیں بیرونی روابط تین دائرے میں فلیٹ ٹورس ٹورس کے دائرے (لیس سرکلز ڈو ٹور) سرکلز ٹورک سیکشن فائبر بنڈل