Brianchon's theorem
جیومیٹری میں، برائنچن تھیوریم ایک نظریہ ہے جس میں کہا گیا ہے کہ جب ایک ہیکساگون کو کونک سیکشن کے گرد گھیر لیا جاتا ہے، تو اس کے پرنسپل ڈائیگنلز (جو مخالف عمودی حصوں کو جوڑتے ہیں) ایک ہی نقطہ میں ملتے ہیں۔ اس کا نام چارلس جولین برائنچون (1783-1864) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ رسمی بیان فرض کریں کہ کونک سیکشن کی چھ ٹینجینٹ لائنوں سے بنا ایک ہیکساگون ہو۔ پھر لکیریں (ہر ایک مخالف عمودی کو جوڑنے والے توسیعی اخترن) ایک ہی نقطہ، برائنچون پوائنٹ پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ پاسکل کے نظریہ سے تعلق اس نظریہ کا قطبی باہمی اور پروجیکٹو ڈوئل پاسکل کے نظریہ کو دیتا ہے۔ جہاں تک پاسکل کے نظریہ کا تعلق ہے، برائنچون کے نظریہ کے لیے بھی انحطاط موجود ہیں: آئیے دو پڑوسی ٹینجینٹس کے ساتھ موافق ہوں۔ ان کا چوراہے کا نقطہ مخروط کا ایک نقطہ بن جاتا ہے۔ خاکہ میں پڑوسی ٹینجینٹ کے تین جوڑے موافق ہوتے ہیں۔ اس طریقہ کار کے نتیجے میں مثلث کے انیلپس پر ایک بیان ملتا ہے۔ پروجیکٹو نقطہ نظر سے دونوں مثلث اور مرکز کے ساتھ واضح طور پر واقع ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ ایک مرکزی کولی نیشن موجود ہے، جو ایک کو دوسرے مثلث پر نقش کرتا ہے۔ لیکن صرف خاص صورتوں میں یہ کولی نیشن ایک افائن اسکیلنگ ہے۔ مثال کے طور پر سٹینر انیلپس کے لیے، جہاں برائنچون پوائنٹ سنٹرایڈ ہے۔ افائن طیارہ میں برائنچن کا نظریہ افائن طیارہ اور حقیقی پروجیکٹو طیارہ دونوں میں درست ہے۔ تاہم، افائن سطح میں اس کا بیان ایک لحاظ سے کم معلوماتی اور پروجیکٹو سطح کے مقابلے میں زیادہ پیچیدہ ہے۔ مثال کے طور پر، ایک پیرابولہ کی پانچ ٹینجینٹ لائنوں پر غور کریں۔ ان کو ایک ہیکساگون کے اطراف سمجھا جا سکتا ہے جس کا چھٹا رخ انفینیٹی پر لائن ہے، لیکن افائن پلین میں انفینیٹی پر کوئی لائن نہیں ہے۔ دو مثالوں میں، ایک (غیر موجود) ورٹیکس سے مخالف ورٹیکس تک کی لکیر پانچ ٹینجینٹ لائنوں میں سے کسی ایک کے متوازی لکیر ہوگی۔ اس لیے ایسی صورت حال میں صرف افائن طیارہ کے لیے بیان کردہ برائنچون کے نظریہ کو مختلف طریقے سے بیان کرنا پڑے گا۔ برائنچن تھیوریم کے پروجیکٹو ڈوئل میں افائن پلین میں مستثنیات ہیں لیکن پروجیکٹو پلین میں نہیں۔ ثبوت برائنچن کے نظریہ کو ریڈیکل محور یا باہمی تعامل کے خیال سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ اسے ثابت کرنے کے لیے ایک من مانی لمبائی (ایم این) درکار ہوتی ہے اور اسے رابطہ پوائنٹس سے شروع ہونے والے ٹینجینٹس پر لے جایا جاتا ہے: پی ایل = آر جے = کیو ایچ = ایم این وغیرہ۔ بنائے گئے نکات (H، W)، (J، V) اور (L، Y) پر مسدس کے مخالف اطراف میں بالترتیب a، b، c کے دائرے کھینچیں۔ کوئی بھی آسانی سے دیکھ سکتا ہے کہ ہم آہنگ لکیریں جوڑوں میں لیے گئے تین حلقوں کے ریڈیکل محوروں اب، بی سی، سی اے کے ساتھ مطابقت رکھتی ہیں۔ اس طرح O ان تینوں حلقوں کے بنیادی مرکز کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ تھیوریم سرکم اسکرپٹیبل پینٹاگونز کے معاملے میں مخصوص شکلیں اختیار کرتا ہے۔ جب R اور Q F کے ساتھ موافق ہوتے ہیں، ایک ایسا معاملہ جہاں AFE F پر ٹینجینٹ میں تبدیل ہو جاتا ہے۔ پھر، پوائنٹس T، C اور U کی مزید اسی طرح کی شناخت کرتے ہوئے، ہم کواڈرینگلز کے لیے ایک متعلقہ تھیوریم حاصل کرتے ہیں۔ سات حلقوں کا نظریہ پاسکل کا نظریہ بھی دیکھیں حوالہ جات کونک حصے پروجیکٹو جیومیٹری میں نظریات یوکلڈین طیارہ جیومیٹری کثیر الاضلاعات کے بارے میں نظریات