Restriction (mathematics)
ریاضی میں، فنکشن کی پابندی ایک نیا فنکشن ہے، جسے اصل فنکشن کے لیے ایک چھوٹے ڈومین کا انتخاب کرکے ظاہر یا حاصل کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد فنکشن کو رسمی تعریف کو بڑھانے کے لیے کہا جاتا ہے۔ اگر فنکشن کو کارٹیشین پروڈکٹ پر ایک تعلق کے طور پر سمجھا جاتا ہے تو اس کی پابندی کو اس کے گراف کے ذریعے ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں جوڑے گراف ایکسٹینشنز میں ترتیب شدہ جوڑوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ایک فنکشن کو کسی اور فنکشن کا ایک کہا جاتا ہے اگر جب بھی ڈومین میں ہو تو اس کے ڈومین میں بھی ہے اور یعنی، اگر اور اے (بالترتیب، وغیرہ)۔ کسی فنکشن کی توسیع اس کی بھی ایک لکیری نقشہ ہے (بالترتیب، ایک مسلسل نقشہ، وغیرہ)۔ مثالیں ڈومین پر غیر انجیکشن فنکشن کی پابندی انجکشن ہے فیکٹوریل فنکشن گاما فنکشن کی مثبت انٹیجرز پر پابندی ہے، جس میں دلیل ایک کے ذریعے منتقل ہوتی ہے: پابندیوں کی خصوصیات کسی فنکشن کو اس کے پورے ڈومین تک محدود کرنا اصل فنکشن کو واپس دیتا ہے، یعنی کسی فنکشن کو دو بار محدود کرنا اسے ایک بار محدود کرنے کے مترادف ہے، یعنی اگر پھر۔ ایپلی کیشنز الٹا فنکشن کسی فنکشن کے الٹا ہونے کے لیے اسے ون ٹو ون ہونا چاہیے۔ اگر کوئی فنکشن ون ٹو ون نہیں ہے، تو ڈومین کو محدود کرکے جزوی الٹا کی وضاحت کرنا ممکن ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، پورے پر بیان کردہ فنکشن ون ٹو ون نہیں ہے کیونکہ کسی کے لیے بھی۔ تاہم، فنکشن ون ٹو ون بن جاتا ہے اگر ہم ڈومین تک محدود رہتے ہیں تو ایسی صورت میں (اگر ہم اس کے بجائے ڈومین تک محدود رہتے ہیں تو الٹا اس کے مربع جڑ کا منفی ہوتا ہے) متبادل طور پر، ڈومین کو محدود کرنے کی ضرورت نہیں ہے اگر ہم الٹا کو ملٹی ویلیوڈ فنکشن ہونے دیں۔ سلیکشن آپریٹرز ریلیشنل الجبرا میں، سلیکشن (جسے بعض اوقات ایس کیو ایل کے سلیکٹ کے استعمال کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے پابندی کہا جاتا ہے) ایک یونیری آپریشن ہے جسے اس طرح لکھا جاتا ہے یا جہاں: اور خاصیت کے نام ہیں، سیٹ میں بائنری آپریشن ایک ویلیو مستقل ہے، ایک رشتہ ہے۔ سلیکشن ان تمام ٹپلوں کا انتخاب کرتا ہے جن کے لیے خاصیت اور خاصیت کے درمیان ہوتا ہے۔ سلیکشن ان تمام ٹپلوں کا انتخاب کرتا ہے جن کے لیے خاصیت اور قدر کے درمیان ہوتا ہے۔ اس طرح، سلیکشن آپریٹر پورے ڈیٹا بیس کے ذیلی سیٹ تک محدود رہتا ہے۔ چسپاں لیما چسپاں لیما ٹوپولوجی کا ایک نتیجہ ہے جو کسی فنکشن کے تسلسل کو ذیلی سیٹوں پر اس کی پابندیوں کے تسلسل سے جوڑتا ہے۔ کسی ٹپوولوجیکل اسپیس کے دو بند سبسیٹ (یا دو کھلے سبسیٹ) اس طرح ہونے دیں اور ایک ٹپوولوجیکل اسپیس بھی ہونے دیں۔ اگر مسلسل ہے جب دونوں تک محدود ہے اور پھر مسلسل ہے۔ یہ نتیجہ کسی کو ٹوپولوجیکل اسپیس کے بند (یا کھلے) ذیلی سیٹوں پر بیان کردہ دو مسلسل افعال لینے اور ایک نیا بنانے کی اجازت دیتا ہے۔ شییوز شییوز افعال کے علاوہ اشیاء پر پابندیوں کو عام کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتے ہیں۔ شیف تھیوری میں، ایک ٹوپوولوجیکل اسپیس کے ہر کھلے سیٹ کو ایک زمرہ میں ایک آبجیکٹ تفویض کیا جاتا ہے، اور اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ آبجیکٹ کچھ شرائط کو پورا کریں۔ سب سے اہم شرط یہ ہے کہ گھونسلے والے کھلے سیٹوں سے وابستہ اشیاء کے ہر جوڑے کے درمیان پابندی کے مورفزم ہوتے ہیں۔ یعنی، اگر کوئی مورفزم مندرجہ ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے، جو کسی فنکشن کی پابندی کی نقل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے: پابندی کے ہر کھلے سیٹ کے لیے مورفزم شناخت کا مورفزم ہے۔ اگر ہمارے پاس تین کھلے سیٹ ہیں تو مرکب (لوکلٹی) اگر ایک کھلے سیٹ کا کھلا احاطہ ہے اور اگر ایسا ہے کہ ڈھکن کے ہر سیٹ کے لیے ہے، تو ؛ اور (گلوئنگ) اگر ایک کھلے سیٹ کا کھلا احاطہ ہے اور اگر ہر ایک کے لیے ایک سیکشن اس طرح دیا گیا ہے کہ ڈھکن کے ہر جوڑے کے لیے پابندیاں عائد ہوتی ہیں اور اوورلیپس پر اتفاق ہوتا ہے: تو ایک ایسا سیکشن ہے جو ہر ایک کے لیے ایسی تمام اشیاء کا مجموعہ ہے۔ اگر صرف پہلی دو خصوصیات مطمئن ہیں، تو یہ ایک پری شیف ہے۔ بائیں اور دائیں پابندی زیادہ عام طور پر، اور کے درمیان بائنری تعلق کی پابندی (یا ڈومین کی پابندی یا بائیں پابندی) کو ڈومین کوڈومین اور گراف والے تعلق کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، کوئی دائیں پابندی یا حد کی پابندی کی وضاحت کر سکتا ہے۔ یہ معاملات شییوز کی اسکیم میں فٹ نہیں ہوتے ہیں۔ کسی سیٹ کے ذریعہ کسی فنکشن یا بائنری ریلیشن (ڈومین اور کوڈومین کے ساتھ) کے ڈومین اینٹی ریسٹریکشن (یا ڈومین گھٹاؤ) کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے ؛ یہ ڈومین کے تمام عناصر کو ڈومین سے ہٹا دیتا ہے۔ اسی طرح، کسی سیٹ کے ذریعہ کسی فنکشن یا بائنری ریلیشن کی رینج اینٹی ریسٹریکشن (یا رینج گھٹاؤ) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ یہ کوڈومین کے تمام عناصر کو ہٹا دیتا ہے۔ بعض اوقات حوالہ جات شیف تھیوری بھی دیکھیں