Perron–Frobenius theorem
میٹرکس تھیوری میں، پیرون-فروبینیوس تھیوریم، جو اور کے ذریعے ثابت ہوتا ہے، اس بات پر زور دیتا ہے کہ مثبت اندراجات کے ساتھ ایک حقیقی مربع میٹرکس کی سب سے بڑی شدت کی منفرد آئجن ویلیو ہوتی ہے اور یہ کہ آئجن ویلیو حقیقی ہے۔ متعلقہ آئجین ویکٹر کو سختی سے مثبت اجزاء کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے، اور غیر منفی میٹرکس کی بعض کلاسوں کے لیے بھی اسی طرح کے بیان پر زور دیتا ہے۔ یہ تھیوریم امکانی نظریہ (مارکوف زنجیروں کی ایرگوڈیسیٹی) ؛ متحرک نظاموں کے نظریہ (محدود قسم کی سب شفٹ) ؛ معاشیات (اوکیشیو کا تھیوریم، ہاکنز سائمن کی حالت) ؛ آبادی (لیسلی آبادی کی عمر کی تقسیم کا ماڈل) ؛ سوشل نیٹ ورکس (ڈیگروٹ سیکھنے کا عمل) ؛ انٹرنیٹ سرچ انجن (پیج رینک) ؛ اور یہاں تک کہ فٹ بال ٹیموں کی درجہ بندی کے لیے بھی اہم ایپلی کیشنز ہیں۔ پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹرز کا استعمال کرتے ہوئے ٹورنامنٹس کے اندر کھلاڑیوں کی ترتیب پر سب سے پہلے بات کرنے والا ایڈمنڈ لینڈو ہے۔ مثبت اور غیر منفی کو بالترتیب خاص طور پر مثبت حقیقی اعداد والے میٹرکس کو عناصر کے طور پر اور خاص طور پر غیر منفی حقیقی اعداد والے میٹرکس کو عناصر کے طور پر بیان کرنے دیں۔ حقیقی مربع میٹرکس A کی آئجن ویلیوز پیچیدہ اعداد ہیں جو میٹرکس کے سپیکٹرم کو تشکیل دیتے ہیں۔ میٹرکس پاورز کے ایکسپونینشل گروتھ ریٹ کے طور پر اے کے کو سب سے بڑی مطلق قیمت (ماڈیولس) کے ساتھ اے کی آئجن ویلیو کے ذریعے کنٹرول کیا جاتا ہے۔ پیرون-فروبینیوس تھیوریم سرکردہ آئجین ویلیو اور متعلقہ آئجین ویکٹرز کی خصوصیات کو بیان کرتا ہے جب A ایک غیر منفی حقیقی مربع میٹرکس ہوتا ہے۔ ابتدائی نتائج مثبت میٹرکس کی وجہ سے اور اس سے متعلق تھے۔ بعد میں، ان کی توسیع غیر منفی میٹرکس کی کچھ کلاسوں تک پائی گئی۔ مثبت میٹرکس ایک مثبت میٹرکس ہونے دیں: کے لیے۔ پھر درج ذیل بیانات برقرار رہتے ہیں۔ ایک مثبت حقیقی عدد r ہے، جسے پیرون جڑ یا پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو کہا جاتا ہے (جسے معروف آئجین ویلیو یا غالب آئجین ویلیو بھی کہا جاتا ہے)، اس طرح کہ r A کی آئجین ویلیو ہے اور مطلق قدر میں کوئی بھی دیگر آئجین ویلیو λ (ممکنہ طور پر پیچیدہ) r سے سختی سے چھوٹا ہے، |λ | <r۔ اس طرح، سپیکٹرم کا رداس r کے برابر ہے۔ اگر میٹرکس کے کوفشنٹس الجبرائی ہیں، تو اس کا مطلب یہ ہے کہ آئجین ویلیو ایک پیرون نمبر ہے۔ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو سادہ ہے: r A کی خصوصیت والی کثیر الجہتی کا ایک سادہ جڑ ہے۔ اس کے نتیجے میں، r سے وابستہ آئجین اسپیس ایک جہتی ہے۔ (یہی بات بائیں آئجین اسپیس کے لیے بھی درست ہے، یعنی اے ٹی کے لیے آئجین اسپیس، اے کا ٹرانسپوز۔) ایک آئجین ویوکٹر v = (v1,., vn) T موجود ہے جس میں A کا آئجین ویلیو r اس طرح ہے کہ v کے تمام اجزاء مثبت ہیں: A v = r v, vi> 0 1 ≤ i ≤ n کے لیے۔ یہ ادب میں بہت سے تغیرات کے تحت پیرون ویکٹر، پیرون آئجین ویکٹر، پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر، لیڈنگ آئجین ویکٹر، یا غالب آئجین ویکٹر کے طور پر جانا جاتا ہے۔ کوئی اور مثبت (اس کے علاوہ غیر منفی) آئجین ویکٹر نہیں ہیں سوائے v کے مثبت ضرب کے (بالترتیب، بائیں آئجین ویکٹر سوائے 'ڈبلیو ڈبلیو' ڈبلیو)، یعنی دیگر تمام آئجین ویکٹر میں کم از کم ایک منفی یا غیر حقیقی جزو ہونا چاہیے۔ جہاں A کے لیے بائیں اور دائیں آئجین ویکٹر کو نارمل کیا جاتا ہے تاکہ wTv = 1 ہو۔ مزید برآں، میٹرکس v ڈبلیو ٹی r کے مطابق آئجین اسپیس پر پروجیکشن ہے۔ اس پروجیکشن کو پیرون پروجیکشن کہا جاتا ہے۔ کولاٹز-ویلینڈٹ فارمولا: تمام غیر منفی غیر صفر ویکٹروں x کے لیے، فرض کریں کہ f (x) ان تمام i پر لی گئی [Ax] i/xi کی کم از کم قیمت ہو تاکہ xi  ऒत्त 0 ہو۔ پھر f ایک حقیقی قابل قدر فنکشن ہے جس کے تمام غیر منفی غیر صفر ویکٹر x پر زیادہ سے زیادہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو ہے۔ ایک "من میکس" کولاٹز-ویلینڈٹ فارمولا مندرجہ بالا سے ملتی جلتی شکل اختیار کرتا ہے: تمام سختی سے مثبت ویکٹر x کے لیے، g (x) کو [Ax] i/xi کی زیادہ سے زیادہ قیمت مان لیں جو i پر لی گئی ہے۔ پھر g ایک حقیقی قابل قدر فنکشن ہے جس کے تمام سختی سے مثبت ویکٹر x پر کم از کم پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو ہے۔ برخوف-ورگا فارمولا: فرض کریں کہ x اور y سختی سے مثبت ویکٹر ہیں۔ پھر ڈونسکر-وردھن-فریڈ لینڈ فارمولا: فرض کریں کہ p ایک امکانی ویکٹر ہے اور x ایک سختی سے مثبت ویکٹر ہے۔ پھر فریڈ لینڈ، ایس۔، 1981۔ کنویکس سپیکٹرم افعال۔ لکیری اور کثیر لکیری الجبرا، 9 (4)، pp.299-316۔ فیڈلر فارمولا: پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو عدم مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ یہ تمام خصوصیات سختی سے مثبت میٹرکس سے آگے بڑھ کر ابتدائی میٹرکس تک جاتی ہیں (نیچے دیکھیں)۔ حقائق 1-7 میئر باب 8 کے دعووں 8.2.11-15 صفحہ 667 میں پائے جا سکتے ہیں اور 8.2.5.7.9 صفحات 668-669 کی مشق کرتے ہیں۔ بائیں اور دائیں آئجین ویکٹرز ڈبلیو اور وی کو بعض اوقات نارمل کیا جاتا ہے تاکہ ان کے اجزاء کا مجموعہ 1 کے برابر ہو۔ اس صورت میں، انہیں بعض اوقات سٹوچسٹک آئجین ویکٹر کہا جاتا ہے۔ اکثر انہیں معمول پر لایا جاتا ہے تاکہ صحیح آئجین ویکٹر v کا مجموعہ ایک ہو، جبکہ۔ غیر منفی میٹرکس غیر منفی اندراجات کے ساتھ میٹرکس کی توسیع ہوتی ہے۔ چونکہ کوئی بھی غیر منفی میٹرکس مثبت میٹرکس کی حد کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے، اس لیے کوئی بھی غیر منفی اجزاء کے ساتھ ایک آئجین ویکٹر کا وجود حاصل کرتا ہے۔ متعلقہ آئجین ویلیو غیر منفی اور مطلق قدر میں، دیگر تمام آئجین ویلیوز سے زیادہ یا برابر ہوگی۔ تاہم، مثال کے طور پر، زیادہ سے زیادہ آئجین ویلیو r = 1 کی وہی مطلق قیمت ہوتی ہے جو دوسرے آئجین ویلیو −1 کی ہوتی ہے ؛ جبکہ اس کے لیے، زیادہ سے زیادہ آئجین ویلیو r = 0 ہے، جو خصوصیت کثیر کا سادہ جڑ نہیں ہے، اور متعلقہ آئجین ویکٹر (1، 0) سختی سے مثبت نہیں ہے۔ تاہم، فروبینیوس نے غیر منفی میٹرکس کی ایک خاص ذیلی کلاس-ناقابل تلافی میٹرکس-پائی جس کے لیے غیر معمولی عمومی کاری ممکن ہے۔ اس طرح کے میٹرکس کے لیے، اگرچہ زیادہ سے زیادہ مطلق قدر حاصل کرنے والی آئجین ویلیوز منفرد نہیں ہو سکتی ہیں، لیکن ان کی ساخت قابو میں ہے: ان کی شکل ہوتی ہے، جہاں ایک حقیقی سختی سے مثبت آئجین ویلیو ہوتی ہے، اور کچھ مثبت عدد ایچ کے لیے 1 کے پیچیدہ ایچ ویں جڑوں پر ہوتی ہے جسے میٹرکس کی مدت کہا جاتا ہے۔ آئجین ویکٹر میں سختی سے مثبت اجزاء ہوتے ہیں (غیر منفی میٹرکس کے عمومی معاملے کے برعکس، جہاں اجزاء صرف غیر منفی ہوتے ہیں)۔ اس کے علاوہ اس طرح کی تمام آئجین ویلیوز خصوصیت والی کثیر الجہتی کی سادہ جڑیں ہیں۔ مزید خصوصیات ذیل میں بیان کی گئی ہیں۔ میٹرکس کی درجہ بندی A کو فیلڈ F پر ایک n × n مربع میٹرکس ہونے دیں۔ میٹرکس A ناقابل تلافی ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کسی بھی مساوی پراپرٹی holds.Definition 1: A میں غیر معمولی غیر متغیر کوآرڈینیٹ ذیلی جگہیں نہیں ہیں۔ یہاں ایک غیر معمولی کوآرڈینیٹ سب اسپیس کا مطلب ہے ایک لکیری سب اسپیس جو Fn کے معیاری بیس ویکٹرز کے کسی بھی مناسب سب سیٹ کے ذریعے پھیلی ہوئی ہے۔ مزید واضح طور پر، کسی بھی لکیری سب اسپیس کے لیے جو معیاری بیس ویکٹر ای آئی 1،.، ای آئی کے، 0 <کے <این کے ذریعے پھیلا ہوا ہے، اس کی شبیہہ اے کی کارروائی کے تحت اسی subspace.Definition 2 میں موجود نہیں ہے: اے کو بلاک اپر ٹرائنگولر فارم میں کسی پرموٹیشن میٹرکس پی کے ذریعے جوڑ نہیں کیا جا سکتا: جہاں ای اور جی غیر معمولی ہیں (یعنی۔ صفر سے زیادہ سائز کا) مربع matrices.Definition 3: کوئی بھی میٹرکس A کے ساتھ ایک مخصوص ہدایت شدہ گراف GA سے منسلک کر سکتا ہے۔ اس میں 1،.، n کے لیبل والے n عمودی ہوتے ہیں، اور عمودی i سے عمودی j تک ایک کنارہ ہوتا ہے جب عین مطابق aij ष्णور 0 ہوتا ہے۔ پھر میٹرکس اے تب اور صرف اس صورت میں ناقابل تلافی ہے جب اس سے وابستہ گراف GA مضبوطی سے جڑا ہوا ہو۔ اگر F حقیقی یا پیچیدہ اعداد کا میدان ہے، تو ہمارے پاس درج ذیل condition.Definition 4 بھی ہے: آن یا آن کی گروپ کی نمائندگی میں کوئی غیر معمولی غیر متغیر کوآرڈینیٹ سب اسپیس نہیں ہے۔ (اس کے مقابلے میں، یہ ایک ناقابل تلافی نمائندگی ہوگی اگر کوئی غیر معمولی غیر متغیر ذیلی جگہیں بالکل نہ ہوں، نہ کہ صرف مربوط ذیلی جگہوں پر غور کیا جائے۔) ایک میٹرکس قابل تخفیف ہے اگر یہ ناقابل تخفیف نہیں ہے۔ ایک حقیقی میٹرکس A ابتدائی ہے اگر یہ غیر منفی ہو اور اس کی mth طاقت کسی قدرتی عدد m (یعنی m) کے لیے مثبت ہو۔ ایم کی تمام اندراجات مثبت ہیں)۔ A کو حقیقی اور غیر منفی ہونے دیں۔ ایک انڈیکس i طے کریں اور انڈیکس i کی مدت کو تمام قدرتی اعداد m کا سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ قرار دیں جیسے کہ (Am) ii> 0۔ جب A ناقابل کٹوتی ہو تو ہر انڈیکس کی مدت ایک جیسی ہوتی ہے اور اسے A کی مدت کہا جاتا ہے۔ در حقیقت، جب A ناقابل تلافی ہوتا ہے، تو اس مدت کو GA میں بند سمت والے راستوں کی لمبائی کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (باورچی خانے کا صفحہ 16 دیکھیں)۔ اس مدت کو انڈیکس آف امپریمیٹیویٹی (میئر پیج 674) یا آرڈر آف سائیکلسیٹی بھی کہا جاتا ہے۔ اگر مدت 1 ہے، تو A aperiodic ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ابتدائی میٹرکس ناقابل کٹوتی ایپیریوڈک غیر منفی میٹرکس کی طرح ہیں۔ مثبت میٹرکس کے لیے پیرون-فروبینیوس تھیوریم کے تمام بیانات ابتدائی میٹرکس کے لیے درست ہیں۔ وہی بیانات غیر منفی ناقابل تلافی میٹرکس کے لیے بھی ہوتے ہیں، سوائے اس کے کہ اس میں کئی آئجن ویلیوز ہو سکتی ہیں جن کی مطلق قیمت اس کے سپیکٹرم رداس کے برابر ہے، اس لیے بیانات میں اسی طرح ترمیم کرنے کی ضرورت ہے۔ درحقیقت اس طرح کی آئجین ویلیوز کی تعداد پیریڈ کے برابر ہوتی ہے۔ غیر منفی میٹرکس کے نتائج پہلی بار فروبینیوس نے 1912 میں حاصل کیے تھے۔ ایرڈیوسیبل نان نیگیٹیو میٹرکس کے لیے پیرون-فروبینیوس تھیوریم آئیے پیریڈ اور سپیکٹرم ریڈیئس کے ساتھ ایک ایرڈیوسیبل نان نیگیٹیو میٹرکس ہوں۔ پھر درج ذیل بیانات برقرار رہتے ہیں۔ عدد ایک مثبت حقیقی عدد ہے اور یہ میٹرکس کی آئجن ویلیو ہے۔ اسے پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو کہا جاتا ہے۔ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو سادہ ہے۔ دائیں اور بائیں دونوں آئجین اسپیس ایک جہتی ہیں۔ اس میں بالترتیب دائیں اور بائیں دونوں آئجین ویکٹر ہوتے ہیں، اور، آئجین ویلیو کے ساتھ اور جن کے تمام اجزاء مثبت ہوتے ہیں۔ مزید برآں یہ واحد آئجین ویکٹر ہیں جن کے تمام اجزاء مثبت ہیں وہ ہیں جو آئجین ویلیو سے وابستہ ہیں۔ میٹرکس میں بالکل (جہاں مدت ہے) مطلق قدر کے ساتھ پیچیدہ آئجین ویلیوز ہوتی ہیں۔ ان میں سے ہر ایک خصوصیت والی کثیر الجہتی کی ایک سادہ جڑ ہے اور اتحاد کی ایک ویں جڑ کے ساتھ کی پیداوار ہے۔ جانے دیں۔ پھر میٹرکس سے ملتا جلتا ہے، اس کے نتیجے میں کا سپیکٹرم ضرب کے تحت غیر متغیر ہے (یعنی۔ زاویہ کے لحاظ سے پیچیدہ سطح کی گردش)۔ اگر پھر ایک تعدد میٹرکس موجود ہے جہاں صفر میٹرکس کی نشاندہی ہوتی ہے اور مرکزی اخترن کے ساتھ والے بلاکس مربع میٹرکس ہوتے ہیں۔ کولاٹز-ویلینڈٹ فارمولا: تمام غیر منفی غیر صفر ویکٹروں کے لیے ان تمام پر لی گئی کم از کم قیمت ہونی چاہیے۔ پھر ایک حقیقی قابل قدر فنکشن ہے جس کی زیادہ سے زیادہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو ہے۔ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو عدم مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ مثال سے پتہ چلتا ہے کہ اخترن کے ساتھ (مربع) صفر میٹرکس مختلف سائز کے ہو سکتے ہیں، بلاکس اج کو مربع ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اور ایچ کو n کو تقسیم کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ مزید خصوصیات A کو ایک ناقابل تلافی غیر منفی میٹرکس ہونے دیں، پھر: (I + A) n−1 ایک مثبت میٹرکس ہے۔ (میئر کا دعوی 8.3.5 ص. 672)۔ غیر منفی اے کے لیے، یہ بھی کافی شرط ہے۔ ویلینڈٹ کا نظریہ۔ اگر |B | <A، تو ρ (B) ≤ ρ (A)۔ اگر مساوات برقرار رہے (یعنی۔ اگر بی) کے لیے ایم یو = ρ (اے) ای آئی ایف آئی آئجین ویلیو ہے، تو کچھ ڈائیگنل یونٹیری میٹرکس ڈی کے لیے بی = ای آئی ایف آئی ڈی اے ڈی-1 (یعنی۔ D کے ڈائیگنل عناصر ایی ہومل کے برابر ہیں، غیر ڈائیگنل صفر ہیں)۔ اگر کچھ پاور Aq قابل تخفیف ہے، تو یہ مکمل طور پر قابل تخفیف ہے، یعنی۔ کچھ پرموٹیشن میٹرکس P کے لیے، یہ سچ ہے کہ:، جہاں AI ایک ہی زیادہ سے زیادہ آئجن ویلیو والے ناقابل تلافی میٹرکس ہیں۔ ان میٹرکس کی تعداد d q اور h کا سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہے، جہاں h A کی مدت ہے۔ اگر c (x) = xn + ck1 xn-k1 + ck2 xn-k2 +. + cks xn-ks A کی خصوصیت والی کثیر الجہتی ہے جس میں صرف غیر صفر اصطلاحات درج ہیں، تو A کی مدت k1، k2، ks کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے برابر ہے۔ سیسارو اوسط: جہاں اے کے لیے بائیں اور دائیں آئجین ویکٹر کو معمول بنایا جاتا ہے تاکہ ڈبلیو ٹی وی = 1 ہو۔ مزید برآں، میٹرکس v ڈبلیو ٹی r، پیرون پروجیکشن کے مطابق سپیکٹرم پروجیکشن ہے۔ فرض کریں کہ r پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو ہے، پھر (r-A) کے لیے ملحقہ میٹرکس مثبت ہے۔ اگر A میں کم از کم ایک غیر صفر اخترن عنصر ہے، تو A ابتدائی ہے۔ اگر 0 ≤ A <B، تو rA ≤ rB۔ مزید برآں، اگر B ناقابل تلافی ہے، تو عدم مساوات سخت ہے: rA <rB۔ ایک میٹرکس A ابتدائی ہے بشرطیکہ یہ غیر منفی ہو اور AM کچھ m کے لیے مثبت ہو، اور اس لیے تمام k ≤ m کے لیے Ak مثبت ہے۔ ابتدائی پن کی جانچ کرنے کے لیے، کسی کو اس بات کی حد درکار ہوتی ہے کہ اس طرح کا کم از کم m کتنا بڑا ہو سکتا ہے، جو کہ A کے سائز پر منحصر ہے: اگر A سائز n کا غیر منفی ابتدائی میٹرکس ہے، تو An2−2n + 2 مثبت ہے۔ مزید برآں، یہ بہترین ممکنہ نتیجہ ہے، کیونکہ نیچے دیے گئے میٹرکس M کے لیے، پاور Mk ہر k <n2−2n + 2 کے لیے مثبت نہیں ہے، کیونکہ (Mn2−2n + 1) 11 = 0 ہے۔ غیر منفی میٹرکس کے موضوع پر متعدد کتابیں لکھی گئی ہیں، اور پیرون-فروبینیوس نظریہ ہمیشہ ایک مرکزی خصوصیت ہے۔ ذیل میں دی گئی مثالیں صرف اس کے وسیع ایپلی کیشن ڈومین کی سطح کو کھرچتی ہیں۔ غیر منفی میٹرکس پیرون-فروبینیوس تھیوریم براہ راست غیر منفی میٹرکس پر لاگو نہیں ہوتا ہے۔ بہر حال، کوئی بھی قابل تخفیف مربع میٹرکس A کو اوپری سہ رخی بلاک کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے (جسے قابل تخفیف میٹرکس کی عام شکل کہا جاتا ہے) PAP−1 = جہاں P ایک تعدد میٹرکس ہے اور ہر Bi ایک مربع میٹرکس ہے جو یا تو ناقابل تخفیف یا صفر ہے۔ اب اگر A غیر منفی ہے تو اسی طرح PAP−1 کا ہر بلاک بھی ہے، اس کے علاوہ A کا سپیکٹرم صرف Bi کے سپیکٹرم کا اتحاد ہے۔ اے کی الٹا ہونے کی صلاحیت کا بھی مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔ پی اے پی-1 کے الٹا (اگر یہ موجود ہے) میں بی-1 کی شکل کے اخترن بلاکس ہونے چاہئیں لہذا اگر کوئی بی الٹا نہیں ہے تو نہ ہی پی اے پی-1 یا اے ہے۔ اس کے برعکس ڈی کو پی اے پی-1 کے مطابق بلاک-اخترن میٹرکس ہونے دیں، دوسرے الفاظ میں پی اے پی-1 جس میں ستاروں کو صفر کیا گیا ہے۔ اگر ہر Bi الٹا ہے تو اسی طرح D اور D−1 (PAP−1) شناخت کے علاوہ ایک نیل پوٹینٹ میٹرکس کے برابر ہے۔ لیکن اس طرح کا میٹرکس ہمیشہ الٹا ہوتا ہے (اگر Nk = 0 1 − N کا الٹا 1 + N + N2 +. + Nk − 1 ہے) تو PAP − 1 اور A دونوں الٹا ہوتے ہیں۔ لہذا، A کی بہت سی سپیکٹرم خصوصیات کا اندازہ تھیوریم کو ناقابل تلافی Bi پر لاگو کرکے لگایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، پیرون جڑ ρ (Bi) کی زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے۔ اگرچہ اب بھی غیر منفی اجزاء کے ساتھ آئجین ویکٹر ہوں گے لیکن یہ بالکل ممکن ہے کہ ان میں سے کوئی بھی مثبت نہ ہو۔ سٹوچسٹک میٹرکس ایک قطار (کالم) سٹوچسٹک میٹرکس ایک مربع میٹرکس ہے جس کی ہر قطار (کالم) غیر منفی حقیقی اعداد پر مشتمل ہوتی ہے جس کا مجموعہ اتحاد ہوتا ہے۔ تھیوریم کو براہ راست اس طرح کے میٹرکس پر لاگو نہیں کیا جا سکتا کیونکہ انہیں ناقابل تلافی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر A رو-اسٹوچسٹک ہے تو ہر اندراج 1 والا کالم ویکٹر آئجن ویلیو 1 کے مطابق ایک آئجن ویکٹر ہے، جو کہ اوپر دیے گئے ریمارک کے مطابق بھی ρ (A) ہے۔ یہ اکائی دائرے پر واحد آئجین ویلیو نہیں ہو سکتا ہے: اور متعلقہ آئجین اسپیس کثیر جہتی ہو سکتی ہے۔ اگر A قطار-غیر مستحکم اور ناقابل تلافی ہے تو پیرون پروجیکشن بھی قطار-غیر مستحکم ہے اور اس کی تمام قطاریں برابر ہیں۔ الجبرائی گراف تھیوری الجبرائی گراف تھیوری میں تھیوریم کا خاص استعمال ہوتا ہے۔ غیر منفی n-مربع میٹرکس کا "بنیادی گراف" وہ گراف ہے جس کے عمودی نمبر 1،.، n اور آرک ij ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب Aij  ऒत्त 0 ہو۔ اگر اس طرح کے میٹرکس کا بنیادی گراف مضبوطی سے جڑا ہوا ہے، تو میٹرکس ناقابل تلافی ہے، اور اس طرح نظریہ لاگو ہوتا ہے۔ خاص طور پر، مضبوطی سے جڑے ہوئے گراف کا ملحقہ میٹرکس ناقابل تلافی ہے۔ محدود مارکوف زنجیروں تھیوریم کی محدود مارکوف زنجیروں کے نظریہ میں ایک قدرتی تشریح ہے (جہاں یہ ایک ناقابل تلافی محدود مارکوف زنجیر کے اس کی ساکن تقسیم میں ہم آہنگی کے میٹرکس-نظریاتی مساوی ہے، جو سلسلہ کے منتقلی میٹرکس کے لحاظ سے وضع کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، محدود قسم کی ذیلی شفٹ پر مضمون دیکھیں)۔ کمپیکٹ آپریٹرز زیادہ عام طور پر، اسے غیر منفی کمپیکٹ آپریٹرز کے معاملے تک بڑھایا جا سکتا ہے، جو بہت سے طریقوں سے محدود جہتی میٹرکس سے ملتے جلتے ہیں۔ ان کا مطالعہ عام طور پر طبیعیات میں، ٹرانسفر آپریٹرز کے نام سے، یا بعض اوقات روئل-پیرون-فروبینیوس آپریٹرز (ڈیوڈ روئل کے نام سے) کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، سرکردہ آئجین ویلیو ایک متحرک نظام کے تھرموڈینامک توازن سے مطابقت رکھتا ہے، اور کم آئجین ویلیو کسی ایسے نظام کے انحطاط کے طریقوں سے مطابقت رکھتا ہے جو توازن میں نہیں ہے۔ اس طرح، نظریہ وقت کے تیر کو دریافت کرنے کا ایک طریقہ پیش کرتا ہے جو بصورت دیگر پلٹنے کے قابل، فیصلہ کن متحرک عمل معلوم ہوتے ہیں، جب پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی کے نقطہ نظر سے جانچ پڑتال کی جاتی ہے۔ ثبوت کے طریقے بہت سے ثبوتوں میں ایک عام دھاگہ بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم ہے۔ ایک اور مقبول طریقہ ویلینڈٹ (1950) کا ہے۔ انہوں نے فروبینیوس کے کام کو بڑھانے اور واضح کرنے کے لیے اوپر بیان کردہ کولاٹز-ویلینڈ فارمولہ استعمال کیا۔ ایک اور ثبوت سپیکٹرم تھیوری پر مبنی ہے جس سے دلائل کا حصہ لیا گیا ہے۔ اگر A ایک مثبت (یا زیادہ عام طور پر قدیم) میٹرکس ہے، تو ایک حقیقی مثبت آئجن ویلیو r (Perron-Frobenius igenvalue یا Perron root) موجود ہے، جو مطلق قدر میں دیگر تمام آئجن ویلیوز سے سختی سے زیادہ ہے، اس لیے r A کا سپیکٹرم رداس ہے۔ یہ بیان عام غیر منفی ناقابل کٹوتی میٹرکس کے لیے نہیں ہے، جن میں r کی طرح مطلق آئجن ویلیو کے ساتھ h آئجن ویلیوز ہیں، جہاں h A کی مدت ہے۔ مثبت میٹرکس کا ثبوت A کو ایک مثبت میٹرکس ہونے دیں، فرض کریں کہ اس کا سپیکٹرم رداس ρ (A) = 1 ہے (بصورت دیگر A/ρ (A) پر غور کریں)۔ لہذا، اکائی دائرے پر ایک آئجین ویلیو λ موجود ہے، اور دیگر تمام آئجین ویلیوز مطلق قدر میں 1 سے کم یا برابر ہیں۔ فرض کریں کہ ایک اور آئجین ویلیو λ §1 بھی اکائی دائرے پر آتا ہے۔ پھر ایک مثبت عدد m اس طرح موجود ہے کہ AM ایک مثبت میٹرکس ہے اور λm کا حقیقی حصہ منفی ہے۔ فرض کریں کہ ε AM کی سب سے چھوٹی اخترن اندراج کا نصف ہے اور T = Am−εI سیٹ کریں جو کہ ایک اور مثبت میٹرکس ہے۔ مزید برآں، اگر Ax = λx تو Amx = λmx اس طرح λm−ε T کی ایک آئجن ویلیو ہے۔ m کے انتخاب کی وجہ سے یہ نقطہ یونٹ ڈسک کے باہر واقع ہے جس کے نتیجے میں ρ (T)> 1 ہے۔ دوسری طرف، T میں تمام اندراجات مثبت ہیں اور AM میں ان سے کم یا برابر ہیں لہذا گیلفینڈ کے فارمولے ρ (T) ≤ ρ (Am) ≤ ρ (A) m = 1 کے مطابق۔ اس تضاد کا مطلب یہ ہے کہ λ = 1 اور اکائی دائرے پر کوئی دوسری آئجن ویلیو نہیں ہو سکتی۔ بالکل وہی دلائل ابتدائی میٹرکس کے معاملے پر لاگو کیے جا سکتے ہیں۔ ہمیں صرف مندرجہ ذیل سادہ لیما کا ذکر کرنے کی ضرورت ہے، جو ابتدائی میٹرکس کی خصوصیات کو واضح کرتا ہے۔ لیما کو غیر منفی A دیا گیا ہے، فرض کریں کہ وہاں m موجود ہے، جیسے کہ Am مثبت ہے، پھر Am + 1، Am + 2، Am + 3،. تمام مثبت ہیں۔ ایم + 1 = اے اے ایم، لہذا اس میں صفر عنصر صرف اس صورت میں ہو سکتا ہے جب اے کی کچھ صف مکمل طور پر صفر ہو، لیکن اس صورت میں ایم کی وہی صف صفر ہوگی۔ ابتدائی میٹرکس کے لیے اوپر کی طرح ہی دلائل کا اطلاق، مرکزی دعوے کو ثابت کریں۔ پاور کا طریقہ اور مثبت آئجن پیئر مثبت (یا زیادہ عام طور پر ناقابل کٹوتی غیر منفی) میٹرکس اے کے لیے غالب آئجن ویکٹر حقیقی اور سختی سے مثبت ہوتا ہے (غیر منفی اے کے لیے بالترتیب غیر منفی)۔ یہ پاور طریقہ استعمال کرتے ہوئے قائم کیا جا سکتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کافی حد تک عام (نیچے دیے گئے معنی میں) میٹرکس A کے لیے ویکٹر bk + 1 = abk/| abk | کی ترتیب زیادہ سے زیادہ آئجن ویلیو کے ساتھ آئجن ویکٹر میں ضم ہو جاتی ہے۔ (ابتدائی ویکٹر b0 کو من مانی طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے سوائے کسی پیمائش صفر سیٹ کے)۔ غیر منفی ویکٹر b0 سے شروع کرتے ہوئے غیر منفی ویکٹر bk کی ترتیب پیدا ہوتی ہے۔ لہذا محدود کرنے والا ویکٹر بھی غیر منفی ہوتا ہے۔ طاقت کے طریقہ کار سے یہ محدود کرنے والا ویکٹر A کے لیے غالب آئجین ویکٹر ہے، جو اس دعوے کو ثابت کرتا ہے۔ متعلقہ آئجن ویلیو غیر منفی ہے۔ ثبوت کے لیے دو اضافی دلائل درکار ہوتے ہیں۔ سب سے پہلے، پاور کا طریقہ میٹرکس کے لیے یکجا ہوتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ مطلق قدر کے کئی آئجن ویلیوز نہیں ہوتے ہیں۔ پچھلے حصے کی دلیل اس کی ضمانت دیتی ہے۔ دوسرا، ناقابل تلافی میٹرکس کے معاملے میں آئجین ویکٹر کے تمام اجزاء کی سخت مثبتیت کو یقینی بنانا۔ یہ مندرجہ ذیل حقیقت سے ملتا ہے، جو آزادانہ دلچسپی کا حامل ہے: لیما: A کے لیے کسی بھی غیر منفی آئجین ویکٹر کے طور پر ایک مثبت (یا زیادہ عام طور پر ناقابل کٹوتی غیر منفی) میٹرکس A اور v کو دیا گیا ہے، تو یہ لازمی طور پر سختی سے مثبت ہے اور متعلقہ آئجین ویلیو بھی سختی سے مثبت ہے۔ ثبوت۔ غیر منفی میٹرکس کے لیے ناقابل کٹوتی کی تعریفوں میں سے ایک یہ ہے کہ تمام اشاریہ جات i، j کے لیے m موجود ہے، اس طرح کہ (Am) ij سختی سے مثبت ہے۔ ایک غیر منفی آئجین ویکٹر v کو دیکھتے ہوئے، اور یہ کہ اس کے اجزاء میں سے کم از کم ایک کا کہنا ہے کہ j-th سختی سے مثبت ہے، متعلقہ آئجین ویلیو سختی سے مثبت ہے، درحقیقت، n کو اس طرح دیا گیا ہے کہ (An) ii> 0، اس لیے: rnvi = Anvi ± (An) iivi> 0۔ لہذا r سختی سے مثبت ہے۔ آئجین ویکٹر سخت مثبتیت ہے۔ پھر m دیا جاتا ہے، اس طرح کہ (Am) ij> 0، اس لیے: rmvj = (Amv) j ≤ (Am) ijvi> 0، اس لیے vj سختی سے مثبت ہے، یعنی آئجین ویکٹر سختی سے مثبت ہے۔ ضرب ایک یہ سیکشن ثابت کرتا ہے کہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو میٹرکس کی خصوصیت والی کثیر الجہتی کا ایک سادہ جڑ ہے۔ لہذا پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r سے وابستہ آئجین اسپیس ایک جہتی ہے۔ یہاں کے دلائل میئر کے قریب ہیں۔ ایک سختی سے مثبت آئجین ویکٹر v جو r سے مطابقت رکھتا ہے اور ایک اور آئجین ویکٹر W اسی آئجین ویلیو کے ساتھ دیا گیا ہے۔ (ویکٹر v اور w کو حقیقی ہونے کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے، کیونکہ A اور r دونوں حقیقی ہیں، اس لیے A-r کی خالی جگہ کی ایک بنیاد ہے جو حقیقی ویکٹر پر مشتمل ہے۔) فرض کریں کہ ڈبلیو کے اجزاء میں سے کم از کم ایک مثبت ہے (بصورت دیگر ڈبلیو کو −1 سے ضرب دیں)۔ زیادہ سے زیادہ ممکنہ α اس طرح دیا گیا ہے کہ u = v-αw غیر منفی ہے، تو u کے اجزاء میں سے ایک صفر ہے، بصورت دیگر α زیادہ سے زیادہ نہیں ہے۔ ویکٹر یو ایک آئجین ویکٹر ہے۔ یہ غیر منفی ہے، اس لیے پچھلے حصے میں بیان کردہ لیما کے مطابق غیر منفی کا مطلب کسی بھی آئجین ویکٹر کے لیے سخت مثبتیت ہے۔ دوسری طرف، جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے کہ u کا کم از کم ایک جزو صفر ہے۔ تضاد کا مطلب ہے کہ W موجود نہیں ہے۔ کیس: پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r اور دیگر تمام آئجین ویلیوز سے مطابقت رکھنے والے کوئی جارڈن سیل نہیں ہیں جن کی مطلق قدر ایک جیسی ہو۔ اگر کوئی جارڈن خلیہ موجود ہے، تو انفنٹی نارم (A/r) k ν کے لیے انفنٹی کی طرف مائل ہوتا ہے، لیکن یہ مثبت آئجین ویکٹر کے وجود سے متصادم ہے۔ r = 1، یا A/r دیا گیا ہے۔ v کو پیرون-فروبینیوس سختی سے مثبت آئجین ویکٹر ہونے دیں، لہذا Av = v، پھر: تو Ak φ تمام k کے لیے پابند ہے۔ اس سے ایک اور ثبوت ملتا ہے کہ ایسی کوئی آئجین ویلیو نہیں ہے جس کی مطلق قدر پیرون-فروبینیوس سے زیادہ ہو۔ یہ کسی بھی آئجین ویلیو کے لیے جارڈن سیل کے وجود سے بھی متصادم ہے جس کی مطلق قیمت 1 کے برابر ہے (خاص طور پر پیرون-فروبینیوس ایک کے لیے)، کیونکہ جارڈن سیل کے وجود سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ Ak φ غیر محدود ہے۔ دو بائی دو میٹرکس کے لیے: اس لیے Jk φ = |k + λ | (|λ | = 1 کے لیے)، لہذا جب k ایسا کرتا ہے تو یہ انفینیٹی کی طرف جاتا ہے۔ چونکہ جے کے = سی − 1 اے کے سی، پھر اے کے ≤ جے کے/(سی − 1 سی)، اس لیے یہ بھی انفینیٹی کی طرف مائل ہوتا ہے۔ نتیجے میں ہونے والے تضاد کا مطلب یہ ہے کہ متعلقہ آئجن ویلیوز کے لیے کوئی اردن سیل موجود نہیں ہیں۔ مذکورہ بالا دو دعووں کو یکجا کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r خصوصیت والی کثیر الجہتی کا سادہ جڑ ہے۔ غیر ابتدائی میٹرکس کے معاملے میں، دیگر آئجین ویلیوز موجود ہیں جن کی مطلق قدر r کے برابر ہے۔ وہی دعوی ان کے لیے درست ہے، لیکن مزید کام کی ضرورت ہے۔ کوئی اور غیر منفی آئجین ویکٹر نہیں مثبت (یا زیادہ عام طور پر ناقابل کٹوتی غیر منفی میٹرکس) A دیا گیا ہے، پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر A کے لیے واحد (مستقل سے ضرب تک) غیر منفی آئجین ویکٹر ہے۔ دیگر آئجین ویویکٹرز میں منفی یا پیچیدہ اجزاء ہونے چاہئیں کیونکہ مختلف آئجین ویلیوز کے لیے آئجین ویویکٹرز کسی نہ کسی لحاظ سے آرتھوگنل ہوتے ہیں، لیکن دو مثبت آئجین ویویکٹرز آرتھوگنل نہیں ہو سکتے، اس لیے انہیں ایک ہی آئجین ویلیو سے مطابقت رکھنی چاہیے، لیکن پیرون-فروبینیوس کے لیے آئجین اسپیس ایک جہتی ہے۔ فرض کریں کہ A کے لیے ایک آئجین پیئر (λ، y) موجود ہے، اس طرح کہ ویکٹر y مثبت ہے، اور دیا گیا ہے (r، x)، جہاں x-A کے لیے بائیں پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر ہے (یعنی۔ اے ٹی) کے لیے آئجین ویکٹر، پھر rxTy = (xTA) y = xT (Ay) = λxTy، یہ بھی xTy> 0 ہے، تو کسی کے پاس: r = λ ہے۔ چونکہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r کے لیے آئجین اسپیس ایک جہتی ہے، اس لیے غیر منفی آئجین ویکٹر y پیرون-فروبینیوس ون کا ایک ضرب ہے۔ کولاٹز-ویلینڈٹ فارمولا ایک مثبت (یا زیادہ عام طور پر ناقابل کٹوتی غیر منفی میٹرکس) A کو دیکھتے ہوئے، تمام غیر منفی غیر صفر ویکٹر x کے سیٹ پر فنکشن f کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ f (x) ان تمام i پر لی گئی [Ax] i/xi کی کم از کم قیمت ہے تاکہ xi  ऒत्त 0 ہو۔ پھر f ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے، جس کا زیادہ سے زیادہ پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r ہے۔ ثبوت کے لیے ہم f کی زیادہ سے زیادہ قدر R سے ظاہر کرتے ہیں۔ ثبوت کے لیے R = r دکھانے کی ضرورت ہوتی ہے۔ پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر v کو f میں داخل کرنے سے، ہم f (v) = r حاصل کرتے ہیں اور r ≤ R کا نتیجہ اخذ کرتے ہیں۔ مخالف عدم مساوات کے لیے، ہم ایک من مانی غیر منفی ویکٹر x پر غور کرتے ہیں اور φ = f (x) سمجھتے ہیں۔ f کی تعریف 0 ≤ ωx ≤ Ax (اجزاء کے لحاظ سے) دیتی ہے۔ اب، ہم پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r کے لیے A کے لیے مثبت دائیں آئجین ویکٹر w کا استعمال کرتے ہیں، پھر ωwTx = ωWT ωx ωx ωx (Ax) = (WTA) x = rWTx۔ اس لیے f (x) = x ≤ r، جس کا مطلب ہے R ≤ r۔ ایک حد کے طور پر پیرون پروجیکشن: Ak/rk A کو ایک مثبت (یا زیادہ عام طور پر، ابتدائی) میٹرکس ہونے دیں، اور r کو اس کا پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو ہونے دیں۔ کے کے لیے ایک حد اے کے/آر کے موجود ہے، جسے پی کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ پی ایک پروجیکشن آپریٹر ہے: پی 2 = پی، جو اے: اے پی = پی کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ پی کی شبیہہ ایک جہتی ہے اور پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر v کے ذریعے پھیلی ہوئی ہے (بالترتیب پی ٹی کے لیے-اے ٹی کے لیے پیرون-فروبینیوس آئجین ویکٹر ڈبلیو کے ذریعے)۔ پی = وی ڈبلیو ٹی، جہاں وی، ڈبلیو کو اس طرح نارمل کیا جاتا ہے کہ ڈبلیو ٹی وی = 1۔ اس لیے P ایک مثبت آپریٹر ہے۔ لہذا P پیرون-فروبینیوس آئجین ویلیو r کے لیے ایک سپیکٹرم پروجیکشن ہے، اور اسے پیرون پروجیکشن کہا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا دعوی عام غیر منفی ناقابل تلافی میٹرکس کے لیے درست نہیں ہے۔ دراصل مذکورہ بالا دعوے (سوائے دعوے 5 کے) کسی بھی میٹرکس M کے لیے اس طرح درست ہیں کہ ایک آئجن ویلیو r موجود ہے جو مطلق قدر میں دیگر آئجن ویلیوز سے سختی سے زیادہ ہے اور خصوصیت والی کثیر الجہتی کا سادہ جڑ ہے۔ (یہ تقاضے اوپر کی طرح ابتدائی میٹرکس کے لیے ہیں)۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ M ڈائیگنل ایبل ہے، M ایک ڈائیگنل میٹرکس سے جڑا ہوا ہے جس میں آئجن ویلیوز r1،.، rn ڈائیگنل پر ہے (r1 = r کو ظاہر کرتا ہے)۔ میٹرکس Mk/rk کنجوگیٹ (1، (r2/r) k،.، (rn/r) k) ہوگا، جو (1,0,0،.، 0) کی طرف مائل ہوتا ہے، k → φ کے لیے، اس لیے حد موجود ہے۔ یہی طریقہ عام M کے لیے کام کرتا ہے (یہ فرض کیے بغیر کہ M اخترن ہے)۔ پروجیکشن اور کمیوٹیٹیویٹی خصوصیات تعریف کے ابتدائی متناسب ہیں: ایم ایم کے/آر کے = ایم کے/آر کے ایم ؛ پی 2 = لم ایم 2 کے/آر 2 کے = پی۔ تیسری حقیقت بھی ابتدائی ہے: ایم (پیو) = ایم لم ایم کے/آر کے یو = لم آر ایم کے + 1/آر کے + 1 یو، لہذا حد لینے سے ایم (پیو) = آر (پیو) حاصل ہوتا ہے، لہذا پی کی شبیہہ ایم کے لیے آر-آئجین اسپیس میں ہے، جو مفروضوں کے لحاظ سے یک جہتی ہے۔ v سے ظاہر کرتے ہوئے، m کے لیے r-آئجین ویکٹر (mt کے لیے w سے)۔ P کے کالم v کے ضرب ہیں، کیونکہ P کی شبیہہ اس کے ذریعے پھیلی ہوئی ہے۔ تو P ایک شکل اختیار کرتا ہے (a v wT)، کچھ a کے لیے۔ اس لیے اس کا سراغ (a wT v) کے برابر ہے۔ پروجیکٹر کا سراغ اس کی تصویر کے طول و عرض کے برابر ہوتا ہے۔ یہ پہلے بھی ثابت ہو چکا ہے کہ یہ ایک جہتی سے زیادہ نہیں ہے۔ تعریف سے کوئی یہ دیکھتا ہے کہ P، M کے لیے r-آئجین ویکٹر پر یکساں طور پر کام کرتا ہے۔ تو یہ یک جہتی ہے۔ تو چننا (ڈبلیو ٹی وی) = 1، کا مطلب ہے پی = وی ڈبلیو ٹی۔ کسی بھی غیر منفی میٹرکس A کے لیے اس کی پیرون-فروبینئس آئجین ویلیو r عدم مساوات کو مطمئن کرتی ہے: یہ غیر منفی میٹرکس کے لیے مخصوص نہیں ہے: کسی بھی میٹرکس A کے لیے آئجین ویلیو کے ساتھ یہ درست ہے۔ یہ گیرشگورن سرکل تھیوریم کا فوری نتیجہ ہے۔ تاہم ایک اور ثبوت زیادہ براہ راست ہے: کوئی بھی میٹرکس پر مبنی معیار کسی بھی آئجن ویلیو کے لیے عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے کیونکہ، اگر ایک متعلقہ آئجن ویکٹر ہے، تو۔ میٹرکس کا انفینٹی نارم قطار کے مجموعوں کا زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے: اس لیے مطلوبہ عدم مساوات بالکل غیر منفی میٹرکس A پر لاگو ہوتی ہے۔ ایک اور عدم مساوات یہ ہے کہ: یہ حقیقت غیر منفی میٹرکس کے لیے مخصوص ہے ؛ عام میٹرکس کے لیے ایسا کچھ نہیں ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ A مثبت ہے (نہ صرف غیر منفی)، تب ایک مثبت آئجین ویکٹر موجود ہوتا ہے جس میں اے ڈبلیو = آر ڈبلیو اور ڈبلیو کا سب سے چھوٹا جزو (جیسے وائی) 1 ہوتا ہے۔ پھر r = (اے او) i، A کی صف i میں موجود اعداد کا مجموعہ ہے۔ اس طرح کم از کم صف کا مجموعہ r کے لیے ایک نچلی حد دیتا ہے اور اس مشاہدے کو تسلسل کے ذریعے تمام غیر منفی میٹرکس تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس پر بحث کرنے کا ایک اور طریقہ کولیٹز-ویلینڈ فارمولہ کے ذریعے ہے۔ ایک ویکٹر x = (1، 1،.، 1) لیتا ہے اور فوری طور پر عدم مساوات حاصل کرتا ہے۔ مزید ثبوت پیرون پروجیکشن ثبوت اب سپیکٹرم سڑنے کا استعمال کرتے ہوئے آگے بڑھتا ہے۔ یہاں چال یہ ہے کہ پیرون کی جڑ کو دیگر آئجن ویلیوز سے تقسیم کیا جائے۔ پیرون جڑ سے وابستہ سپیکٹرم پروجیکشن کو پیرون پروجیکشن کہا جاتا ہے اور یہ مندرجہ ذیل خاصیت سے لطف اندوز ہوتا ہے: ایک ناقابل کٹوتی غیر منفی مربع میٹرکس کا پیرون پروجیکشن ایک مثبت میٹرکس ہے۔ پیرون کے نتائج اور تھیوریم کے (1)-(5) بھی اس نتیجے کے متناسب ہیں۔ کلیدی نقطہ یہ ہے کہ ایک مثبت پروجیکشن میں ہمیشہ ایک درجہ ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر A ایک ناقابل کٹوتی غیر منفی مربع میٹرکس ہے تو اس کے پیرون جڑ کی الجبرائی اور ہندسی ضرب دونوں ایک ہیں۔ اس کے علاوہ اگر P اس کا پیرون پروجیکشن ہے تو AP = PA = ρ (A) P تو P کا ہر کالم A کا ایک مثبت دائیں آئجین ویکٹر ہے اور ہر صف ایک مثبت بائیں آئجین ویکٹر ہے۔ مزید برآں، اگر Ax = λx تو PAx = λPx = ρ (A) Px جس کا مطلب ہے Px = 0 اگر λ  ऒत्त ρ (A) ہو۔ اس طرح صرف مثبت آئجین ویکٹر وہ ہیں جو ρ (A) سے وابستہ ہیں۔ اگر A ایک ابتدائی میٹرکس ہے جس میں ρ (A) = 1 ہے تو اسے P ω (1−P) A کے طور پر تحلیل کیا جا سکتا ہے تاکہ An = P + (1−P) An ہو۔ جیسے جیسے n بڑھتا ہے ان اصطلاحات میں سے دوسرا صفر پر ختم ہو جاتا ہے اور P کو an کی حد کے طور پر n ≤ ≤ کے طور پر چھوڑ دیتا ہے۔ پاور کا طریقہ ابتدائی میٹرکس کے پیرون پروجیکشن کا حساب لگانے کا ایک آسان طریقہ ہے۔ اگر وی اور ڈبلیو مثبت صف اور کالم ویکٹر ہیں جو یہ پیدا کرتے ہیں تو پیرون پروجیکشن صرف ڈبلیو وی/وی ڈبلیو ہے۔ سپیکٹرم پروجیکشنز کو صاف طور پر بلاک نہیں کیا گیا ہے جیسا کہ اردن کی شکل میں ہے۔ یہاں وہ ڈھکے ہوئے ہیں اور ہر ایک میں عام طور پر پیچیدہ اندراجات ہوتے ہیں جو مربع میٹرکس کے چاروں کونوں تک پھیلے ہوتے ہیں۔ اس کے باوجود، وہ اپنی باہمی آرتھوگونالیٹی کو برقرار رکھتے ہیں جو سڑنے کو آسان بناتا ہے۔ پیریفرل پروجیکشن تجزیہ جب A ناقابل تلافی اور غیر منفی ہوتا ہے تو وسیع پیمانے پر ایک جیسا ہوتا ہے۔ پیرون پروجیکشن اب بھی مثبت ہے لیکن اب ماڈیولس ρ (A) کی دیگر آئجن ویلیوز بھی ہو سکتی ہیں جو پاور میتھڈ کے استعمال کو مسترد کرتی ہیں اور (1−P) A کی طاقتوں کو گرنے سے روکتی ہیں جیسا کہ ابتدائی صورت میں جب بھی ρ (A) = 1 ہوتا ہے۔ لہذا ہم پردیی پروجیکشن 'پر غور کرتے ہیں، جو کہ اے کا سپیکٹرم پروجیکشن ہے جو ان تمام آئجین ویلیوز سے مطابقت رکھتا ہے جن میں ماڈیولس ρ (A) ہے۔ اس کے بعد یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ایک ناقابل کٹوتی غیر منفی مربع میٹرکس کا پردیی پروجیکشن ایک مثبت اخترن کے ساتھ ایک غیر منفی میٹرکس ہے۔ چکور پن فرض کریں کہ اس کے علاوہ ρ (A) = 1 اور A کی اکائی دائرے پر h آئجین ویلیوز ہیں۔ اگر P پردیی پروجیکشن ہے تو میٹرکس R = AP = PA غیر منفی اور ناقابل تلافی ہے، Rh = P، اور چکور گروپ P، R، R2،.، Rh−1 A کی ہم آہنگی کی نمائندگی کرتا ہے۔ اکائی دائرے پر آئجین ویلیو λ پر A کا سپیکٹرم پروجیکشن فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ان تمام تخمینوں (بشمول پیرون پروجیکشن) میں ایک ہی مثبت اخترن ہوتا ہے، اس کے علاوہ ان میں سے کسی ایک کا انتخاب کرنا اور پھر ہر اندراج کا ماڈیولس لینا ہمیشہ پیرون پروجیکشن حاصل کرتا ہے۔ چکور خصوصیات (6)-(8) کو قائم کرنے کے لیے اب بھی کچھ گدھے کے کام کی ضرورت ہے لیکن یہ بنیادی طور پر صرف ہینڈل کو موڑنے کی بات ہے۔ A کا سپیکٹرم سڑنا A = R ω (1−P) A کے ذریعہ دیا جاتا ہے لہذا An اور Rn کے درمیان فرق An − Rn = (1−P) an ہے جو کہ A کے عارضی اجزاء کی نمائندگی کرتا ہے جو بالآخر صفر ہو جاتا ہے۔ پی کو این ایچ کی حد کے طور پر n → φ کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ میٹرکس L =، P =، T =، M = سادہ مثالیں فراہم کرتے ہیں کہ اگر ضروری شرائط پوری نہ ہوں تو کیا غلط ہو سکتا ہے۔ یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ایل کے پیرون اور پردیی تخمینے دونوں پی کے برابر ہیں، اس طرح جب اصل میٹرکس قابل تخفیف ہوتا ہے تو تخمینے غیر منفی کھو سکتے ہیں اور ان کو اپنی طاقتوں کی حدود کے طور پر ظاہر کرنے کا کوئی امکان نہیں ہے۔ میٹرکس T ایک ابتدائی میٹرکس کی ایک مثال ہے جس میں صفر اخترن ہے۔ اگر کسی ناقابل کٹوتی غیر منفی مربع میٹرکس کا اخترن غیر صفر ہے تو میٹرکس کو ابتدائی ہونا چاہیے لیکن یہ مثال ظاہر کرتی ہے کہ الٹا غلط ہے۔ M کئی گمشدہ سپیکٹرم دانتوں والے میٹرکس کی ایک مثال ہے۔ اگر ω = eiπ/3 تو ω6 = 1 اور M کی آئجن ویلیوز {1, ω2, ω3 =-1, ω4} ہیں جن کی طول و عرض 2 + 1 کے لیے آئجن اسپیس ہے تو ω اور ω5 دونوں غیر حاضر ہیں۔ مزید واضح طور پر، چونکہ M بلاک ڈائیگنل سائیکلک ہے، اس لیے پہلے بلاک کے لیے آئجن ویلیوز {1,-1} ہیں، اور نچلے بلاک کے لیے {1, ω2, ω4} اصطلاحات ایک مسئلہ جو الجھن کا سبب بنتا ہے تعریفوں میں معیاری کاری کی کمی ہے۔ مثال کے طور پر، کچھ مصنفین سختی سے مثبت اور مثبت اصطلاحات کا استعمال بالترتیب> 0 اور ≤ 0 کے معنی میں کرتے ہیں۔ اس مضمون میں مثبت کا مطلب ہے> 0 اور غیر منفی کا مطلب ہے ≤ 0۔ ایک اور پریشان کن علاقہ سڑنے اور کم کرنے سے متعلق ہے: ناقابل تلافی ایک زیادہ بوجھ والی اصطلاح ہے۔ شک سے بچنے کے لیے ایک غیر صفر غیر منفی مربع میٹرکس A جیسا کہ 1 + A ابتدائی ہے بعض اوقات منسلک کہا جاتا ہے۔ پھر ناقابل کٹوتی غیر منفی مربع میٹرکس اور منسلک میٹرکس مترادف ہیں۔ غیر منفی آئجین ویکٹر کو اکثر نارمل کیا جاتا ہے تاکہ اس کے اجزاء کا مجموعہ اتحاد کے برابر ہو۔ اس صورت میں، آئجین ویکٹر امکانات کی تقسیم کا ویکٹر ہوتا ہے اور اسے بعض اوقات اسٹاکسٹک eigenvector.Perron-Frobenius آئجین ویلیو کہا جاتا ہے اور غالب آئجین ویلیو پیرون جڑ کے متبادل نام ہیں۔ سپیکٹرم پروجیکشنز کو سپیکٹرم پروجیکٹرز اور سپیکٹرم آئیڈیمپوٹینٹس بھی کہا جاتا ہے۔ اس مدت کو بعض اوقات انڈیکس آف امپریمیٹیویٹی یا آرڈر آف سائیکلسیٹی کہا جاتا ہے۔ میٹزلر میٹرکس (کواسی پوزیٹیو میٹرکس) نوٹ حوالہ جات (1959 ایڈیشن کا مختلف عنوان تھا: "میٹرکس کے نظریہ کی ایپلی کیشنز"۔ نیز دونوں ایڈیشنوں میں ابواب کی تعداد مختلف ہے۔) مزید پڑھنے کے لیے ابراہم برمن، رابرٹ جے پلیمنس، نان نیگیٹیو میٹرکس ان دی میتھمیٹیکل سائنسز، 1994، ایس آئی اے ایم۔ ۔ کرس گوڈسل اور گورڈن روئل، الجبرائی گراف تھیوری، سپرنگر، 2001۔ اے گراہم، غیر منفی میٹرکس اور لکیری الجبرا میں قابل اطلاق موضوعات، جان ولی اینڈ سنز، نیویارک، 1987۔ آر اے ہارن اور سی آر۔ جانسن، میٹرکس اینالیسس، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1990 باس لیمنس اور راجر نسبوم، نان لائنر پیرون-فروبینیوس تھیوری، کیمبرج ٹریکٹس ان میتھمیٹکس 189، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس، 2012۔ ایس پی میئن اور آر ایل ٹوئیڈی، مارکوف چینز اینڈ اسٹوچسٹک اسٹیبلٹی لندن: سپرنگر-ورلاگ، 1993۔ (دوسرا ایڈیشن، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2009) سینیٹا، ای۔ غیر منفی میٹرکس اور مارکوف زنجیر۔ 2nd Rev. ایڈ۔، 1981، XVI، 288 پی۔، سافٹ کور سپرنگر سیریز ان سٹیٹسٹکس۔ (اصل میں ایلن اینڈ انون لمیٹڈ، لندن، 1973 کے ذریعہ شائع کیا گیا) (یہ دعوی کہ نظریہ کے بیان کے آخر میں اج کا آرڈر n/h ہے غلط ہے۔) ۔ میٹرکس تھیوری لکیری الجبرا مارکوف کے عمل میں نظریات