Mollifier
ریاضی میں، مولفائرز (شناخت کے تخمینے کے طور پر بھی جانا جاتا ہے) خاص خصوصیات کے ساتھ ہموار افعال ہیں، مثال کے طور پر تقسیم کے نظریہ میں کنولوشن کے ذریعے غیر متزلزل (عمومی) افعال کے قریب ہموار افعال کے سلسلے بنانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ بدیہی طور پر، ایک فنکشن کو دیکھتے ہوئے جو کہ بے قاعدہ ہے، اسے مولفائر کے ساتھ جوڑنے سے فنکشن "مولفائیڈ" ہو جاتا ہے، یعنی اس کی تیز خصوصیات ہموار ہو جاتی ہیں، جبکہ اب بھی اصل نانسموتھ (عمومی) فنکشن کے قریب رہتی ہیں۔ انہیں کرٹ اوٹو فریڈرکس کے نام پر فریڈرکس مولفائرز کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، جنہوں نے انہیں متعارف کرایا تھا۔ تاریخی نوٹ مولفائرز کو کرٹ اوٹو فریڈرکس نے اپنے مقالے میں متعارف کرایا تھا، جسے جزوی تفریق مساوات کے جدید نظریہ میں ایک واٹرشیڈ سمجھا جاتا ہے۔ اس ریاضیاتی شے کے نام کی ایک متجسس ابتداء تھی، اور پیٹر لکس فریڈرکس کے "سلیکٹا" میں شائع ہونے والے اس مقالے پر اپنی تفسیر میں پوری کہانی بیان کرتا ہے۔ ان کے مطابق، اس وقت ریاضی دان ڈونلڈ الیگزینڈر فلینڈرس فریڈرکس کے ساتھی تھے: چونکہ وہ انگریزی کے استعمال کے بارے میں ساتھیوں سے مشورہ کرنا پسند کرتے تھے، اس لیے انہوں نے فلینڈرس سے مشورہ مانگا کہ وہ جس ہموار آپریٹر کا استعمال کر رہے ہیں اس کا نام کیسے رکھا جائے۔ فلینڈرس ایک پیوریٹن تھا، جسے اس کے دوست مول نے اس کی اخلاقی خصوصیات کے اعتراف میں مول فلینڈرس کے نام سے موسوم کیا تھا: اس نے نئے ریاضیاتی تصور کو "مولفائر" کہنے کا مشورہ دیا جس میں فلینڈرس کا عرفی نام اور فعل "ٹو مولفائی" دونوں شامل ہیں، جس کا مطلب علامتی معنوں میں "ہموار کرنا" ہے۔ اس سے قبل، سرگئی سوبولیو نے 1938 کے اپنے عہد سازی کے مقالے میں مولفائرز کا استعمال کیا تھا، جس میں سوبولیو ایمبیڈنگ تھیوریم کا ثبوت موجود ہے: فریڈرکس نے خود مولفائرز پر سوبولیو کے کام کو تسلیم کرتے ہوئے کہا تھا کہ:-"یہ مولفائرز سوبولیو اور مصنف نے متعارف کروائے تھے۔" اس بات کی نشاندہی کی جانی چاہیے کہ "مولفائر" کی اصطلاح ان بنیادی کاموں کے وقت سے لسانی بہاؤ سے گزری ہے: فریڈرکس نے "مولفائر" کے طور پر تعریف کی ہے جو کہ انٹیگرل آپریٹر ہے جس کا دانا ان افعال میں سے ایک ہے جسے آج کل مولفائر کہا جاتا ہے۔ تاہم، چونکہ لکیری انٹیگرل آپریٹر کی خصوصیات کا تعین مکمل طور پر اس کے دانے سے ہوتا ہے، اس لیے عام استعمال کے نتیجے میں مولفائر نام خود دانے کو وراثت میں ملا تھا۔ تعریف جدید (تقسیم پر مبنی) تعریف اگر Rn، n ≤ 1 پر ایک ہموار فنکشن ہے، جو مندرجہ ذیل تین تقاضوں کو پورا کرتا ہے، تو اسے کمپیکٹ طور پر سپورٹ کیا جاتا ہے جہاں ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہے اور حد کو شوارٹز ڈسٹری بیوشن کی جگہ میں سمجھنا ضروری ہے، تو یہ ایک مولفائر ہے۔ فنکشن مزید شرائط کو بھی پورا کر سکتا ہے: مثال کے طور پر، اگر یہ تمام x ωRn کے لیے ω0 کو مطمئن کرتا ہے، تو اسے مثبت مولفائر = کہا جاتا ہے کسی لامحدود تفریق پذیر فنکشن کے لیے: R + → R، پھر اسے سمیٹرک مولفائر کہا جاتا ہے۔ جب تقسیم کا نظریہ ابھی تک وسیع پیمانے پر معلوم نہیں تھا اور نہ ہی استعمال کیا گیا تھا، تو مذکورہ پراپرٹی کو یہ کہہ کر وضع کیا گیا تھا کہ کسی مناسب ہلبرٹ یا بناچ اسپیس سے تعلق رکھنے والے دیئے گئے فنکشن کے ساتھ فنکشن کا ارتقاء اس فنکشن میں ε → 0 کے طور پر یکجا ہوتا ہے: بالکل یہی فریڈرکس نے کیا۔ اس سے یہ بھی واضح ہوتا ہے کہ مولفائرز کا تعلق لگ بھگ شناختوں سے کیوں ہے۔ نوٹ 2. جیسا کہ اس اندراج کے "تاریخی نوٹوں" کے حصے میں مختصر طور پر نشاندہی کی گئی ہے، اصل میں، اصطلاح "مولفائر" نے مندرجہ ذیل کنولوشن آپریٹر کی نشاندہی کی: جہاں اور ایک ہموار فنکشن ہے جو اوپر بیان کردہ پہلی تین شرائط کو پورا کرتا ہے اور مثبتیت اور ہم آہنگی کے طور پر ایک یا ایک سے زیادہ اضافی شرائط کو پورا کرتا ہے۔ ٹھوس مثال Rn میں متغیر کے ٹکرانے کے فنکشن پر غور کریں جس کی وضاحت کی گئی ہے جہاں عددی مستقل معمول کو یقینی بناتا ہے۔ یہ فنکشن لامحدود طور پر تفریق پذیر، غیر تجزیاتی ہے جس کے لیے مشتق غائب ہو رہا ہے۔ اس لیے اسے مولفائر کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے: کوئی یہ دیکھ سکتا ہے کہ مثبت اور ہم آہنگ مولفائر کی وضاحت کرتا ہے۔ خصوصیات مولفائر کی تمام خصوصیات ارتقاء کے عمل کے تحت اس کے رویے سے متعلق ہیں: ہم درج ذیل کی فہرست دیتے ہیں، جن کے ثبوت تقسیم کے نظریہ پر ہر متن میں مل سکتے ہیں۔ ہموار کرنے کی خاصیت کسی بھی تقسیم کے لیے، کنولیوشن کا مندرجہ ذیل خاندان جو حقیقی نمبر سے انڈیکس کیا جاتا ہے جہاں کنولیوشن کی نشاندہی ہوتی ہے، ہموار افعال کا ایک خاندان ہے۔ شناخت کا تخمینہ کسی بھی تقسیم کے لیے، حقیقی تعداد کے ذریعے انڈیکس کیے گئے ارتعاش کا مندرجہ ذیل خاندان ارتقاء کی حمایت میں یکجا ہو جاتا ہے۔ کسی بھی تقسیم کے لیے، جہاں تقسیم کے معنی میں حمایت کی نشاندہی ہوتی ہے، اور ان کے منکوسکی کے اضافے کی نشاندہی ہوتی ہے۔ ایپلی کیشنز مولفائرز کا بنیادی اطلاق یہ ثابت کرنا ہے کہ ہموار افعال کے لیے درست خصوصیات غیر متزلزل حالات میں بھی درست ہیں: تقسیم کا پروڈکٹ عمومی افعال کے کچھ نظریات میں، تقسیم کے ضرب کی وضاحت کے لیے مولفائرز کا استعمال کیا جاتا ہے: قطعی طور پر، دو تقسیم اور، ہموار فنکشن کے پروڈکٹ کی حد اور تقسیم عام افعال کے مختلف نظریات میں ان کے پروڈکٹ کی وضاحت (اگر یہ موجود ہے) کرتی ہے۔ "کمزور = مضبوط" تھیوریم بہت غیر رسمی طور پر، مولفائرز کا استعمال تفریق آپریٹرز کی دو مختلف قسم کی توسیع کی شناخت کو ثابت کرنے کے لیے کیا جاتا ہے: مضبوط توسیع اور کمزور توسیع۔ مقالہ اس تصور کی کافی اچھی طرح سے وضاحت کرتا ہے: تاہم تکنیکی تفصیلات کی بڑی تعداد یہ ظاہر کرنے کے لیے درکار ہے کہ اس کا اصل مطلب کیا ہے جو انہیں اس مختصر وضاحت میں باضابطہ طور پر تفصیلی ہونے سے روکتا ہے۔ ہموار کٹ آف افعال ہموار فنکشن کے ساتھ یونٹ بال کی خصوصیت فنکشن کے ارتقاء سے (جس کی تعریف کے ساتھ کی گئی ہے)، کوئی اس فنکشن کو حاصل کرتا ہے جو آن کے برابر ہموار فنکشن ہے، جس میں سپورٹ موجود ہے۔ یہ مشاہدہ کر کے آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ اگر ≤ اور ≤ تو ≤۔ لہذا ≤ کے لیے۔ کوئی یہ دیکھ سکتا ہے کہ اس تعمیر کو کس طرح عام کیا جا سکتا ہے تاکہ کسی دیئے گئے کمپیکٹ سیٹ کے پڑوس میں ایک جیسی ہموار فنکشن حاصل کی جا سکے، اور ہر نقطہ میں صفر کے برابر ہو جس کا اس سیٹ سے فاصلہ دیئے گئے سے زیادہ ہو۔ اس طرح کے فنکشن کو (ہموار) کٹ آف فنکشن کہا جاتا ہے: ان افعال کو ضرب کے ذریعے کسی دی گئی (عمومی) فنکشن کی انفرادیت کو ختم کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ وہ (عمومی) فنکشن کی قدر میں کوئی تبدیلی نہیں کرتے ہیں وہ صرف ایک دیئے گئے سیٹ پر ضرب دیتے ہیں، اس طرح اس کی حمایت میں ترمیم کرتے ہیں: کٹ آف فنکشن بھی اتحاد کی ہموار تقسیم کے بنیادی حصے ہیں۔ لگ بھگ شناخت بمپ فنکشن کنولیوشن ڈسٹری بیوشن (ریاضی) جنرلائزڈ فنکشن کرٹ اوٹو فریڈرک کا غیر تجزیاتی ہموار فنکشن سرگئی سوبولیو ویرسٹراس ٹرانسفارم نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ پہلا کاغذ جہاں مولفائر متعارف کرائے گئے تھے۔ ۔ ایک کاغذ جہاں ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے حل کی تفریق کی تحقیقات مولفائرز کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ ۔ فریڈرکس کے کاموں میں سے ایک انتخاب ڈیوڈ آئزکسن، فرٹز جان، توسیو کاٹو، پیٹر لکس، لوئس نیرنبرگ، وولف گیگ واسو، ہیرالڈ ویٹزنر کی سوانح عمری اور تبصروں کے ساتھ ہے۔ ۔ ۔ ۔ وہ مقالہ جہاں سرگئی سوبولیو نے اپنے ایمبیڈنگ تھیوریم کو ثابت کیا، انٹیگرل آپریٹرز کو متعارف کرایا اور ان کا استعمال کیا جو مولفائرز سے بہت ملتا جلتا ہے، ان کا نام لیے بغیر۔ فنکشنل تجزیہ ہموار افعال شوارٹز کی تقسیم