Appell sequence
ریاضی میں، ایک ایپل ترتیب، جس کا نام پال ایمیل ایپل کے نام پر رکھا گیا ہے، کوئی بھی کثیر الجہتی ترتیب ہے جو شناخت کو مطمئن کرتی ہے اور جس میں غیر صفر مستقل ہوتا ہے۔ معمولی مثال کے علاوہ سب سے قابل ذکر ایپل ترتیبات میں ہرمیٹ کثیر الجہتی، برنولی کثیر الجہتی، اور اویلر کثیر الجہتی شامل ہیں۔ ہر ایپل ترتیب ایک شیفر ترتیب ہے، لیکن زیادہ تر شیفر ترتیب ایپل ترتیب نہیں ہیں۔ ایپل کے ترتیبات میں لمحات کے نظام کے طور پر ممکنہ تشریح ہوتی ہے۔ ایپل ترتیبات کی مساوی خصوصیات کثیر الجہتی ترتیبات پر درج ذیل شرائط کو آسانی سے مساوی دیکھا جا سکتا ہے: کے لیے، اور ایک غیر صفر مستقل ہے ؛ اسکیلرز کی کچھ ترتیب کے لیے، اسکیلرز کی اسی ترتیب کے لیے، جہاں کے لیے، ریکرشن فارمولا فرض کریں کہ جہاں آخری مساوات لیینیئر آپریٹر کی وضاحت کے لیے لی گئی ہے۔ الٹا آپریٹر ہونے دیں، کوفیشنٹس رسمی پاور سیریز کے معمول کے باہمی ہوتے ہیں، تاکہ امبرل کیلکولس کے کنونشنوں میں، اکثر اس رسمی پاور سیریز کو ایپل ترتیب کی نمائندگی کرنے کے طور پر سمجھا جائے۔ کوئی بھی عام پاور سیریز کی توسیع اور رسمی پاور سیریز کی ساخت کی معمول کی تعریف کا استعمال کرکے اس کی وضاحت کر سکتا ہے۔ پھر ہمارے پاس ہے (تفریق آپریٹر میں پاور سیریز کی یہ رسمی تفریق پنچرلے تفریق کی ایک مثال ہے۔) ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے معاملے میں، یہ اس ترتیب کے لیے روایتی تکرار کے فارمولے تک کم ہو جاتا ہے۔ شیفر کثیر الجہتی کا ذیلی گروہ تمام ایپل ترتیبات کا سیٹ کثیر الجہتی ترتیبات کی امبرل کمپوزیشن کے آپریشن کے تحت بند ہوتا ہے، جس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ فرض کریں اور کثیر الجہتی ترتیبات ہیں، جو اس کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ پھر امبرل کمپوزیشن کثیر الجہتی ترتیب ہے جس کی ویں اصطلاح ہے (سبسکرپٹ اس میں ظاہر ہوتا ہے، کیونکہ یہ اس ترتیب کی چھٹی اصطلاح ہے، لیکن اس میں نہیں، کیونکہ اس سے ترتیب کو اس کی ایک اصطلاح کے بجائے مجموعی طور پر مراد کیا جاتا ہے)۔ اس آپریشن کے تحت، تمام شیفر ترتیبات کا سیٹ ایک غیر ایبلین گروپ ہے، لیکن تمام ایپل ترتیبات کا سیٹ ایک ایبلین ذیلی گروپ ہے۔ یہ کہ یہ ابیلین ہے اس حقیقت پر غور کر کے دیکھا جا سکتا ہے کہ ہر ایپل ترتیب کی شکل ہوتی ہے اور ایپل ترتیب کی امبرل ساخت آپریٹر میں ان رسمی پاور سیریز کے ضرب سے مطابقت رکھتی ہے۔ مختلف کنونشن ایک اور کنونشن جس کے بعد کچھ مصنفین (دیکھیں چیارا) اس تصور کی وضاحت مختلف انداز میں کرتے ہیں، جو ایپل کی اصل تعریف سے متصادم ہے، اس کے بجائے شناخت کا استعمال کرتے ہوئے۔ ہائپر جیومیٹرک ایپل کثیر الجہتی اپیل کثیر الجہتی کی بہت بڑی کلاس کو عمومی ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے لحاظ سے حاصل کیا جاسکتا ہے۔ آئیے تناسب کی صف کو ظاہر کرتے ہیں کثیر الجہتی پر غور کریں جہاں عمومی ہائپر جیومیٹرک فنکشن ہے۔ نظریہ۔ کثیر الجہتی خاندان کسی بھی قدرتی پیرامیٹرز کے لیے ایپل ترتیب ہے۔ مثال کے طور پر، اگر پھر کثیر الجہتی گولڈ-ہاپپر کثیر الجہتی بن جاتے ہیں اور اگر وہ ہرمائیٹ کثیر الجہتی بن جاتے ہیں۔ شیفر سیکوینس امبرل کیلکولس جنرلائزڈ ایپل کثیر الجہتی وک پروڈکٹ حوالہ جات بھی دیکھیں۔ اسی عنوان سے کتاب میں دوبارہ شائع کیا گیا، اکیڈمک پریس، نیویارک، 1975۔ بیرونی لنکس میتھ ورلڈ پولینومیئلز میں اپیل سیکوینس