Prime model
ریاضی میں، اور خاص طور پر ماڈل تھیوری میں، پرائم ماڈل ایک ایسا ماڈل ہے جو جتنا ممکن ہو اتنا آسان ہے۔ خاص طور پر، ایک ماڈل پرائم ہوتا ہے اگر وہ کسی بھی ماڈل میں ابتدائی سرایت کو قبول کرتا ہے جس کے ساتھ وہ بنیادی طور پر مساوی ہے (یعنی کسی بھی ماڈل میں جو اسی مکمل نظریہ کو مطمئن کرتا ہے)۔ کارڈینیلیٹی سنترپت ماڈل کے تصور کے برعکس، بنیادی ماڈل لووینہیم-سکولیم تھیوریم کے ذریعہ بہت مخصوص کارڈینیلیٹیز تک محدود ہیں۔ اگر کارڈینیلیٹی کے ساتھ فرسٹ آرڈر زبان ہے اور اس پر ایک مکمل نظریہ ہے تو یہ تھیوریم کارڈینیلیٹی کے ماڈل کی ضمانت دیتا ہے لہذا کے کسی بھی پرائم ماڈل میں بڑی کارڈینیلیٹی نہیں ہو سکتی کیونکہ کم از کم اسے اس طرح کے ماڈل میں بنیادی طور پر سرایت کرنا ضروری ہے۔ یہ اب بھی اصل کارڈینالیٹی میں بہت زیادہ ابہام چھوڑتا ہے۔ قابل گنتی زبانوں کے معاملے میں، تمام پرائم ماڈل زیادہ سے زیادہ قابل گنتی لامحدود ہیں۔ سیچوریٹڈ ماڈلز کے ساتھ تعلق پرائم اور سیچوریٹڈ ماڈلز کی تعریفوں کے درمیان دوہری حیثیت ہے۔ اس دوہری کا نصف حصہ سیچوریٹڈ ماڈلز پر مضمون میں زیر بحث ہے، جبکہ دوسرا نصف مندرجہ ذیل ہے۔ جب کہ ایک سنترپت ماڈل زیادہ سے زیادہ اقسام کا ادراک کرتا ہے، ایک پرائم ماڈل زیادہ سے زیادہ کم اقسام کا ادراک کرتا ہے: یہ ایک جوہری ماڈل ہے، جس میں صرف ان اقسام کا ادراک ہوتا ہے جنہیں خارج نہیں کیا جا سکتا اور بقیہ کو خارج کر دیا جاتا ہے۔ اس کی تشریح اس معنی میں کی جا سکتی ہے کہ ایک پرائم ماڈل "کوئی فریلز نہیں" کا اعتراف کرتا ہے: کسی ماڈل کی کوئی بھی خصوصیت جو اختیاری ہو اسے اس میں نظر انداز کر دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ماڈل قدرتی اعداد N کے نظریہ کا ایک پرائم ماڈل ہے جس کا جانشین آپریشن S ہے۔ ایک غیر پرائم ماڈل کا مطلب یہ ہو سکتا ہے کہ مکمل عددوں کی ایک کاپی موجود ہے جو اس ماڈل کے اندر قدرتی اعداد کی اصل کاپی سے الگ ہے۔ اس ایڈ آن میں، ریاضی معمول کے مطابق کام کرتی ہے۔ یہ نمونے بنیادی طور پر مساوی ہیں۔ ان کا نظریہ مندرجہ ذیل محوریت (زبانی) کو تسلیم کرتا ہے: ایک منفرد عنصر ہے جو کسی عنصر کا جانشین نہیں ہے۔ کسی بھی دو الگ الگ عناصر کا ایک ہی جانشین نہیں ہے۔ کوئی بھی عنصر Sn (x) = x کو n> 0 سے مطمئن نہیں کرتا ہے۔ درحقیقت یہ پیانو کے دو محوریات ہیں، جبکہ تیسرا پہلے سے انڈکشن (پیانو کے ایک اور محوریات) کی پیروی کرتا ہے۔ اس نظریہ کا کوئی بھی ماڈل قدرتی اعداد کے علاوہ مکمل عددوں کی جداگانہ نقلوں پر مشتمل ہوتا ہے، کیونکہ ایک بار جب کوئی 0 سے ذیلی ماڈل تیار کرتا ہے تو باقی تمام نکات پیشروؤں اور جانشینوں دونوں کو غیر معینہ مدت تک تسلیم کرتے ہیں۔ یہ ایک ثبوت کا خاکہ ہے جو ایک بنیادی نمونہ ہے۔ حوالہ جات ریاضیاتی منطق ماڈل تھیوری