Dessin d'enfant
ریاضی میں، ڈیسین ڈی اینفینٹ ایک قسم کی گراف ایمبیڈنگ ہے جو ریمن کی سطحوں کا مطالعہ کرنے اور عقلی اعداد کے مطلق گالوئس گروپ کے عمل کے لیے مشترکہ غیر متغیرات فراہم کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ ان سرایتوں کا نام "بچوں کی ڈرائنگ" کے لیے فرانسیسی ہے ؛ اس کا جمع یا تو ڈیسینس ڈی اینفینٹ، "بچوں کی ڈرائنگ"، یا ڈیسینس ڈی اینفینٹس، "بچوں کی ڈرائنگ" ہے۔ ڈیسین ڈی انفینٹ ایک گراف ہے، جس کے عمودی حصے باری باری سیاہ اور سفید رنگ کے ہوتے ہیں، جو ایک متصل سطح میں سرایت ہوتے ہیں، جو بہت سے معاملات میں محض ایک طیارہ ہوتا ہے۔ رنگ کے وجود کے لیے، گراف دو طرفہ ہونا چاہیے۔ سرایت کے چہروں کو ٹپوولوجیکل ڈسک ہونا ضروری ہے۔ سطح اور سرایت کو ایک گردش کے نظام کا استعمال کرتے ہوئے مشترکہ طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، گراف کے ہر سرے کے ارد گرد کناروں کی ایک چکور ترتیب جو اس ترتیب کو بیان کرتی ہے جس میں کناروں کو ایک راستے سے عبور کیا جائے گا جو سرے کے ارد گرد ایک چھوٹے سے لوپ میں سطح پر گھڑی کی سمت سفر کرتا ہے۔ کوئی بھی میٹھا اس سطح کو فراہم کر سکتا ہے جس میں اسے ریمن کی سطح کے طور پر ڈھانچے کے ساتھ سرایت کیا گیا ہے۔ یہ پوچھنا فطری ہے کہ ریمن کی کون سی سطحیں اس طرح پیدا ہوتی ہیں۔ جواب بیلی کے نظریہ کے ذریعے فراہم کیا گیا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ریمن کی وہ سطحیں جنہیں ڈیسن کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے وہ بالکل وہی ہیں جنہیں الجبرائی اعداد کے میدان میں الجبرائی منحنی خطوط کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مطلق گالوئس گروپ ان مخصوص منحنی خطوط کو ایک دوسرے میں تبدیل کر دیتا ہے، اور اس طرح بنیادی میٹھی چیزوں کو بھی تبدیل کر دیتا ہے۔ اس موضوع کے مزید تفصیلی علاج کے لیے، دیکھیں یا۔ 19 ویں صدی کی تاریخ میٹھے بچوں کی ابتدائی ابتدائی شکلیں ولیم روون ہیملٹن کے آئکوسیئن کیلکولس میں 1856 کے اوائل میں نمودار ہوئیں۔ جدید اصطلاحات میں، یہ آئکوساہیڈرل گراف پر ہیملٹنین راستے ہیں۔ فیلکس کلین نے قابل شناخت جدید ڈیسن ڈی اینفنٹس اور بیلی افعال استعمال کیے تھے۔ کلین نے ان خاکے کو لینینزج کہا (جرمن، لینینزگ کا جمع "لائن ٹریک"، جو کثیر الاضحی کے لیے ایک اصطلاح کے طور پر بھی استعمال ہوتا ہے) ؛ اس نے 0 کی ابتدائی تصویر کے لیے ایک سفید دائرہ اور 1 کی ابتدائی تصویر کے لیے '+' کا استعمال کیا، بجائے اس کے کہ 0 کے لیے ایک سیاہ دائرہ اور 1 کے لیے سفید دائرہ جیسا کہ جدید اشارے میں ہے۔ انہوں نے ان خاکے کو خود ہی ریمن دائرے کا 11 گنا احاطہ بنانے کے لیے استعمال کیا، مونوڈرومی گروپ کے ساتھ، کلین کوارٹک سے منسلک مونوڈرومی کے ساتھ 7 گنا احاطہ کی سابقہ تعمیرات کے بعد۔ ان سب کا تعلق کوئنٹک مساوات کی جیومیٹری کی ان کی تحقیقات اور آئکوساہیڈرون پر ان کے مشہور 1884/88 لیکچرز میں جمع کردہ گروپ سے تھا۔ ان تینوں گروہوں سے اس طرح تعمیر کی گئی تین سطحوں کو بہت بعد میں تثلیث کے رجحان کے ذریعے قریب سے متعلق دکھایا گیا۔ 20 ویں صدی کے ڈیسنس ڈی اینفنٹ کو ان کی جدید شکل میں ایک صدی کے بعد دوبارہ دریافت کیا گیا اور اس کا نام الیگزینڈر گروتھینڈیک نے 1984 میں اپنے ایسکوئس ڈی ان پروگرام میں رکھا۔ گروتھینڈیک ڈیسن ڈی اینفنٹس پر گالوئس ایکشن کی اپنی دریافت کے حوالے سے حوالہ دیتے ہیں: نظریہ کا کچھ حصہ گروتھینڈیک سے کچھ وقت پہلے ہی آزادانہ طور پر تیار کیا جا چکا تھا۔ وہ ٹپوولوجیکل سطحوں پر نقشوں، ریمن کی سطحوں پر نقشوں، اور بعض ممتاز جنریٹرز والے گروپوں کے درمیان خط و کتابت کا خاکہ پیش کرتے ہیں، لیکن گالوئس ایکشن پر غور نہیں کرتے ہیں۔ نقشے کے بارے میں ان کا تصور ڈیسن ڈی اینفنٹ کی ایک خاص مثال سے مطابقت رکھتا ہے۔ بعد میں علاج کو حد والی سطحوں تک بڑھا کر کام کریں۔ ریمن کی سطحیں اور بیلی جوڑے پیچیدہ اعداد، ایک خاص نقطہ کے ساتھ مل کر، ایک ٹپوولوجیکل اسپیس بناتے ہیں جسے ریمن سپیئر کہا جاتا ہے۔ کوئی بھی کثیر الجہتی، اور زیادہ عام طور پر کوئی بھی عقلی فعل جہاں اور کثیر الجہتی ہیں، ریمن دائرے کو خود سے نقشہ بنا کر تبدیل کر دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، عقلی فعل پر غور کریں۔ ریمن دائرے کے زیادہ تر نکات پر، یہ تبدیلی ایک مقامی ہومومورفزم ہے: یہ کسی بھی مقام پر ایک سے ایک طریقے سے مرکوز ایک چھوٹی ڈسک کو دوسری ڈسک میں نقشہ بناتا ہے۔ تاہم، بعض اہم نکات پر، نقشہ سازی زیادہ پیچیدہ ہوتی ہے، اور نقطہ پر مرکوز ایک ڈسک کو اس کی شبیہہ پر ایک سے ایک طریقے سے نقش کرتی ہے۔ اس عدد کو اہم نقطہ کی ڈگری کہا جاتا ہے اور اہم نقطہ کی تبدیل شدہ تصویر کو اہم قدر کہا جاتا ہے۔ اوپر دی گئی مثال میں، درج ذیل اہم نکات اور تنقیدی اقدار ہیں۔ (ریمن دائرے کے کچھ نکات جو، اگرچہ خود تنقیدی نہیں ہیں، لیکن تنقیدی اقدار میں سے کسی ایک کا نقشہ بناتے ہیں، بھی شامل ہیں ؛ ان کی نشاندہی ڈگری ایک سے کی جاتی ہے۔) کوئی بھی 0 (یعنی 1 اور 9 پر) کی پری امیجز پر سیاہ پوائنٹس، 1 (یعنی، at) کی پری امیجز پر سفید پوائنٹس، اور لائن سیگمنٹ [0، 1] کی پری امیجز پر آرکس رکھ کر ڈیسین ڈی اینفنٹ تشکیل دے سکتا ہے۔ اس لائن سیگمنٹ میں چار پری امیجز ہیں، دو لائن سیگمنٹ کے ساتھ 1 سے 9 تک اور دو ایک سادہ بند منحنی خطوط بناتے ہیں جو 1 سے خود تک لوپ کرتے ہیں، 0 کے ارد گرد ؛ نتیجے میں ڈیسن کو شکل میں دکھایا گیا ہے۔ دوسری سمت میں، اس ڈیسن سے، جسے اہم نکات کے مقامات کی وضاحت کیے بغیر ایک مشترکہ شے کے طور پر بیان کیا گیا ہے، کوئی بھی ایک کمپیکٹ ریمن کی سطح بنا سکتا ہے، اور اس سطح سے ریمن کے دائرے تک کا نقشہ، اس نقشے کے مساوی ہے جہاں سے ڈیسن اصل میں بنایا گیا تھا۔ ایسا کرنے کے لیے، میٹھے کے ہر علاقے کے اندر ایک نقطہ نشان زد کریں (دوسری شکل میں سرخ نکات کے طور پر دکھایا گیا ہے)، اور اس نقطہ کو خطے کی سرحد بنانے والے سیاہ اور سفید نکات سے جوڑ کر ہر خطے کو مثلث بنائیں، اگر یہ خطے کی سرحد پر متعدد بار ظاہر ہوتا ہے تو ایک ہی سیاہ یا سفید نقطہ سے متعدد بار جوڑتا ہے۔ مثلث میں ہر مثلث کے تین عمودی حصے ہوتے ہیں جن پر 0 (سیاہ نکات کے لیے)، 1 (سفید نکات کے لیے)، یا کا نشان ہوتا ہے۔ ہر مثلث کے لیے، ایک نصف طیارہ تبدیل کریں، یا تو ایک مثلث کے لیے اوپری نصف طیارہ جس میں 0، 1 اور گھڑی کی مخالف سمت ہو، یا ایک مثلث کے لیے نچلا نصف طیارہ جس میں وہ گھڑی کی سمت میں ہو، اور مثلث کے ہر ملحقہ جوڑے کے لیے متعلقہ نصف طیاروں کو ایک ساتھ ان کی حدود کے حصے کے ساتھ جو ورٹیکس لیبلز سے ظاہر ہوتا ہے چپکائیں۔ نتیجے میں بننے والی ریمن کی سطح کو ہر نصف سطح کے اندر شناختی نقشے کا استعمال کرکے ریمن کے دائرے میں نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ اس طرح، ڈیسن ڈی اینفینٹ خود کو بائیولومورفزم تک بیان کرنے کے لیے کافی ہے۔ تاہم، یہ تعمیر ریمن کی سطح کی شناخت صرف پیچیدہ ساخت کے ساتھ کئی گنا کے طور پر کرتی ہے۔ یہ پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ میں الجبرائی منحنی خطوط کے طور پر اس کئی گنا کی سرایت کی تعمیر نہیں کرتا ہے، حالانکہ اس طرح کی سرایت ہمیشہ موجود رہتی ہے۔ یہی تعمیر زیادہ عام طور پر اس وقت لاگو ہوتی ہے جب کوئی ریمن سطح ہو اور یہ ایک بیلی فنکشن ہو ؛ یعنی، ریمن دائرے سے ایک ہولومورفک فنکشن جس میں صرف 0، 1، اور تنقیدی اقدار ہوں۔ اس قسم کی جوڑی کو بیلی جوڑی کہا جاتا ہے۔ کسی بھی بیلی جوڑی سے کوئی بھی ڈیسن ڈی اینفینٹ بنا سکتا ہے، جس پر 0 کی ابتدائی تصویروں پر اس کے سیاہ نکات ہوتے ہیں، 1 کی ابتدائی تصویروں پر اس کے سفید نکات ہوتے ہیں، اور اس کے کناروں کو لائن سیگمنٹ کی ابتدائی تصویروں کے ساتھ رکھا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، کسی بھی سطح پر کسی بھی ڈیسین ڈی انفینٹ کو ہاف اسپیسز کے مجموعے کے لیے گلوئنگ ہدایات کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو مل کر ریمن سطح ہومیومورفک بناتی ہیں۔ ریمن دائرے کی شناخت کے ذریعے ہر ہاف اسپیس کی نقشہ سازی سے بیلی فنکشن پیدا ہوتا ہے، اور اس وجہ سے بیلی جوڑی کی طرف جاتا ہے۔ کوئی بھی دو بیلی جوڑے جو مشترکہ طور پر مساوی ڈیسن ڈی اینفنٹس کی طرف لے جاتے ہیں وہ بائیو ہولومورفک ہوتے ہیں، اور بیلی کے نظریہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ الجبرائی نمبروں پر بیان کردہ کسی بھی کمپیکٹ ریمن سطح کے لیے، ایک بیلی فنکشن اور ایک ڈیسن ڈی اینفنٹ ہوتا ہے جو نقشوں اور ہائپر میپس دونوں کی مشترکہ وضاحت فراہم کرتا ہے۔ ایک ڈیسن میں ایک ورٹیکس میں گراف تھیوریٹک ڈگری ہوتی ہے، واقعے کے کناروں کی تعداد، جو بیلی فنکشن کے ایک اہم نقطہ کے طور پر اس کی ڈگری کے برابر ہوتی ہے۔ مندرجہ بالا مثال میں، تمام سفید پوائنٹس کی ڈگری دو ہوتی ہے۔ اس خاصیت کے ساتھ کہ ہر سفید پوائنٹ کے دو کنارے ہوتے ہیں، صاف کے نام سے جانا جاتا ہے، اور ان کے متعلقہ بیلی افعال کو خالص کہا جاتا ہے۔ جب ایسا ہوتا ہے تو، کوئی بھی میٹھے کو ایک آسان سرایت شدہ گراف کے ذریعے بیان کر سکتا ہے، جس میں اس کے عمودی طور پر صرف سیاہ نکات ہوتے ہیں اور جس میں سفید نقطہ کے دو سیاہ پڑوسیوں پر اختتامی نکات کے ساتھ ہر سفید نقطہ کے لیے ایک کنارے ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، شکل میں دکھائے گئے میٹھے کو اس طرح سے زیادہ آسانی سے سیاہ پوائنٹس کے جوڑے کے طور پر کھینچا جا سکتا ہے جس کے درمیان ایک کنارے اور ایک پوائنٹ پر سیلف لوپ ہوتا ہے۔ صاف میٹھے کے صرف سیاہ نکات کھینچنا اور سفید نکات کو غیر نشان زدہ چھوڑنا عام بات ہے۔ نقشہ کے ہر کنارے کے وسط میں ایک سفید نقطہ شامل کرکے مکمل میٹھے کو بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، کسی ایسی سطح میں گراف کی کوئی بھی سرایت جس میں ہر چہرہ ایک ڈسک ہے (یعنی ایک ٹپوولوجیکل نقشہ) گراف کے عمودی حصوں کو ڈیسن کے سیاہ نکات کے طور پر مان کر، اور ہر سرایت شدہ گراف کے کنارے کے وسط نقطہ پر سفید نکات رکھ کر ڈیسن کو جنم دیتا ہے۔ اگر کوئی نقشہ بیلی فنکشن سے مطابقت رکھتا ہے، تو اس کا دوہری نقشہ (لائن سیگمنٹ کی پری امیجز سے بنا ہوا ڈیسن) اے ڈیسن سے مطابقت رکھتا ہے جو صاف نہیں ہے، اسی سطح پر ایک صاف ڈیسن میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اس کے تمام نکات کو سیاہ رنگ کے طور پر دوبارہ رنگ کر کے اور اس کے ہر کنارے پر نئے سفید نکات شامل کر کے۔ بیلی جوڑوں کی متعلقہ تبدیلی بلی فنکشن کو خالص بیلی فنکشن سے تبدیل کرنا ہے۔ اس فارمولے سے براہ راست اہم نکات کا حساب لگایا جا سکتا ہے:،، اور۔ اس طرح، لائن سیگمنٹ کے وسط نقطہ کے نیچے کی ابتدائی تصویر ہے، اور میٹھے کے کناروں سے بنے میٹھے کے کناروں کو ذیلی تقسیم کیا جاتا ہے۔ نقشے کے طور پر صاف میٹھی کی تشریح کے تحت، ایک من مانی میٹھی ایک ہائپر میپ ہے: یعنی، ایک ہائپر گراف کی ڈرائنگ جس میں سیاہ نکات عمودی کی نمائندگی کرتے ہیں اور سفید نکات ہائپر ایجز کی نمائندگی کرتے ہیں۔ باقاعدہ نقشے اور مثلث کے گروپ پانچ پلاٹونک ٹھوس-باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون، مکعب، آکٹا ہیڈرون، ڈوڈیکاہیڈرون، اور آئکوساہیڈرون-جنہیں دو جہتی سطحوں کے طور پر دیکھا جاتا ہے، میں یہ خاصیت ہوتی ہے کہ کسی بھی جھنڈے (ایک سرے، کنارے اور چہرے کا تین گنا جو سب ایک دوسرے سے ملتے ہیں) کو سطح کی ہم آہنگی کے ذریعے کسی دوسرے جھنڈے پر لے جایا جا سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، ایک ہی خاصیت کے ساتھ کسی سطح میں سرایت شدہ نقشہ، کہ کسی بھی پرچم کو ہم آہنگی کے ذریعے کسی دوسرے پرچم میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، باقاعدہ نقشہ کہلاتا ہے۔ اگر ایک باقاعدہ نقشہ ایک صاف ڈیسن تیار کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور اس کے نتیجے میں ڈیسن کو مثلث ریمن کی سطح پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، تو مثلث کے کنارے سطح کی ہم آہنگی کی لکیروں کے ساتھ ہوتے ہیں، اور ان لائنوں کے پار عکاسی ایک ہم آہنگی گروپ پیدا کرتی ہے جسے مثلث گروپ کہا جاتا ہے، جس کے لیے مثلث بنیادی ڈومین بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ شکل ایک باقاعدہ ڈوڈیکاہڈرون سے شروع ہونے والے اس طرح سے پیدا ہونے والے مثلث کے سیٹ کو ظاہر کرتی ہے۔ جب باقاعدہ نقشہ کسی ایسی سطح پر ہوتا ہے جس کی جینس ایک سے زیادہ ہوتی ہے، تو سطح کا عالمگیر احاطہ ہائپربولک طیارہ ہوتا ہے، اور اٹھائے گئے مثلث سے بنے ہائپربولک طیارے میں مثلث گروپ ایک (کوکمپیکٹ) فوچیان گروپ ہوتا ہے جو ہائپربولک طیارے کے آئسومیٹریز کے مجرد سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس صورت میں، ابتدائی سطح اس گروپ میں ایک محدود انڈیکس ذیلی گروپ کے ذریعہ ہائپربولک طیارہ کا حصص ہے۔ اس کے برعکس، ایک ریمن سطح دی گئی ہے جو ٹائلنگ کا حصہ ہے (دائرے کی ٹائلنگ، یوکلڈین طیارہ، یا زاویوں کے ساتھ مثلث کے ذریعہ ہائپربولک طیارہ، اور، متعلقہ ڈیسن کیلی گراف ہے جو ترتیب دو کے ذریعہ دیا گیا ہے اور گروپ کے تین جنریٹرز کو ترتیب دیتا ہے، یا مساوی طور پر، ایک ہی سطح کی ٹائلنگ بائی-گونز تین فی ورٹیکس سے ملتی ہے۔ اس ٹائلنگ کے عمودی حصے میٹھے کے سیاہ نقطے دیتے ہیں، کناروں کے مراکز سفید نقطے دیتے ہیں، اور چہروں کے مراکز لامحدود پر پوائنٹس دیتے ہیں۔ درخت اور شبات کثیر الجہتی سب سے آسان دو طرفہ گراف درخت ہیں۔ درخت کے کسی بھی سرایت کا ایک ہی خطہ ہوتا ہے، اور اس لیے اویلر کے فارمولے کے مطابق یہ ایک کروی سطح میں ہوتا ہے۔ متعلقہ بیلی جوڑا ریمن دائرے کی تبدیلی بناتا ہے کہ، اگر کوئی قطب کو رکھتا ہے، تو اسے کثیر الجہتی کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس، کوئی بھی کثیر الجہتی جس میں 0 اور 1 اپنی محدود تنقیدی اقدار کے طور پر ریمن دائرے سے اپنے آپ میں ایک بیلی فنکشن بناتا ہے، جس میں ایک واحد لامحدود قدر والا تنقیدی نقطہ ہوتا ہے، اور یہ ایک درخت یعنی ڈیسین ڈی اینفنٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ کثیر الجہتی کی ڈگری متعلقہ درخت میں کناروں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ اس طرح کی کثیر الجہتی بیلی فنکشن کو جارج شبات کے بعد شبات کثیر الجہتی کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، یک جہتی کو صرف ایک محدود تنقیدی نقطہ اور تنقیدی قدر کے ساتھ لیں، دونوں صفر ہیں۔ اگرچہ 1 کے لیے ایک اہم قدر نہیں ہے، پھر بھی ریمن دائرے سے خود تک بیلی فنکشن کے طور پر تشریح کرنا ممکن ہے کیونکہ اس کی تمام اہم اقدار سیٹ میں ہوتی ہیں۔ متعلقہ ڈیسین ڈی اینفینٹ ایک ستارہ ہے جس کا ایک مرکزی سیاہ ورٹیکس سفید پتوں سے جڑا ہوا ہے (ایک مکمل دو طرفہ گراف)۔ زیادہ عام طور پر، ایک کثیر الجہتی جس میں دو تنقیدی اقدار ہوتی ہیں اور اسے شبات کثیر الجہتی کہا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے کثیر الجہتی کو فارمولا کے ذریعے 0 اور 1 پر اس کی اہم اقدار کے ساتھ بیلی فنکشن میں معمول بنایا جا سکتا ہے لیکن اس کی غیر معمول کی شکل میں چھوڑنا زیادہ آسان ہو سکتا ہے۔ شبات کثیر الجہتی کی مثالوں کا ایک اہم خاندان پہلی قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی کے ذریعہ دیا گیا ہے، جن کی تنقیدی اقدار −1 اور 1 ہیں۔ متعلقہ میٹھے راستے میں کناروں کے ساتھ، سیاہ اور سفید عمودی کے درمیان باری باری، راستے کے گراف کی شکل اختیار کرتے ہیں۔ شبات کثیر الجہتی اور چیبیشیف کثیر الجہتی کے درمیان تعلق کی وجہ سے، شبات کثیر الجہتی خود کو بعض اوقات عمومی چیبیشیف کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ مختلف درخت، عام طور پر، مختلف شبات کثیر الجہتی کے مطابق ہوں گے، جیسا کہ ایک ہی درخت کے مختلف سرایت یا رنگ ہوں گے۔ اس کی دلیل کو معمول پر لانے اور لکیری تبدیلیوں تک، شبات کثیر الجہتی کا تعین ایک سرایت شدہ درخت کے رنگ سے منفرد طور پر کیا جاتا ہے، لیکن شبات کثیر الجہتی کو تلاش کرنا ہمیشہ سیدھا نہیں ہوتا ہے جس میں ایک سرایت شدہ درخت کو اس کے ڈیسین ڈی اینفنٹ کے طور پر دیا جاتا ہے۔ مطلق گالوئس گروپ اور اس کے غیر متغیرات کثیر الجہتی کو دو بیلی افعال اور لیڈ کے دو انتخاب کو منتخب کرکے شبات کثیر الجہتی میں بنایا جاسکتا ہے۔ یہ افعال، اگرچہ ایک دوسرے سے قریب سے متعلق ہیں، مساوی نہیں ہیں، کیونکہ انہیں شکل میں دکھائے گئے دو غیر آئسومورفک درختوں سے بیان کیا گیا ہے۔ تاہم، جیسا کہ ان کثیر الجہتی کو الجبرائی نمبر فیلڈ پر بیان کیا گیا ہے، وہ عقلی اعداد کے مطلق گالوئس گروپ کے عمل سے تبدیل ہو سکتے ہیں۔ اس کا ایک عنصر جس میں تبدیل ہوتا ہے اس میں تبدیل ہو جائے گا اور اس کے برعکس، اور اس طرح یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ شکل میں دکھائے گئے دو درختوں میں سے ہر ایک کو دوسرے درخت میں تبدیل کر دے گا۔ زیادہ عام طور پر، اس حقیقت کی وجہ سے کہ کسی بھی بیلی فنکشن کی اہم اقدار خالص عقلی 0، 1 ہیں، اور، یہ اہم اقدار گالوئس ایکشن کے ذریعہ تبدیل نہیں ہوتی ہیں، لہذا یہ عمل بیلی جوڑوں کو دوسرے بیلی جوڑوں میں لے جاتا ہے۔ بلی جوڑوں پر متعلقہ عمل کے ذریعے کسی بھی ڈیسن ڈی اینفنٹ پر کے عمل کی وضاحت کی جا سکتی ہے ؛ یہ عمل، مثال کے طور پر، شکل میں دکھائے گئے دو درختوں کو روکتا ہے۔ بیلی کے نظریہ کی وجہ سے، میٹھی چیزوں پر عمل وفادار ہے (یعنی، میٹھی چیزوں کے سیٹ پر مختلف تغیرات کی وضاحت کرنے والے ہر دو عناصر)، لہذا میٹھی چیزوں کا مطالعہ ہمیں اپنے بارے میں بہت کچھ بتا سکتا ہے۔ اس روشنی میں، یہ سمجھنے میں بہت دلچسپی ہے کہ کون سی میٹھی چیزیں ایک دوسرے کے عمل سے ایک دوسرے میں تبدیل ہو سکتی ہیں اور کون سی نہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی مشاہدہ کر سکتا ہے کہ دکھائے گئے دو درختوں میں ان کے سیاہ نوڈس اور سفید نوڈس کے لیے ایک ہی ڈگری ترتیب ہے: دونوں میں ڈگری تین کے ساتھ ایک سیاہ نوڈ، ڈگری دو کے ساتھ دو سیاہ نوڈس، ڈگری دو کے ساتھ دو سفید نوڈس، اور ڈگری ایک کے ساتھ تین سفید نوڈس ہیں۔ یہ مساوات کوئی اتفاق نہیں ہے: جب بھی ایک ڈش کو دوسرے میں تبدیل کرتا ہے، تو دونوں کی ڈگری کی ترتیب ایک جیسی ہوگی۔ ڈگری کی ترتیب گالوئس عمل کا ایک معروف غیر متغیر ہے، لیکن واحد غیر متغیر نہیں ہے۔ ڈیسن کا اسٹیبلائزر گروپ عناصر پر مشتمل ذیلی گروپ ہے جو ڈیسن کو بغیر کسی تبدیلی کے چھوڑ دیتا ہے۔ ذیلی گروپوں اور الجبرائی نمبر فیلڈز کے درمیان گالوئس خط و کتابت کی وجہ سے، اسٹیبلائزر ایک فیلڈ، ڈیسن کے ماڈیولی کے فیلڈ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ڈیسن کا مدار دیگر تمام ڈیسن کا مجموعہ ہے جس میں اسے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ڈگری غیر متغیر ہونے کی وجہ سے، مدار لازمی طور پر محدود ہوتے ہیں اور اسٹیبلائزر محدود اشاریہ کے ہوتے ہیں۔ اسی طرح کوئی مدار کے اسٹیبلائزر (وہ ذیلی گروہ جو مدار کے تمام عناصر کو طے کرتا ہے) اور مدار کے ماڈیولی کے متعلقہ میدان کی وضاحت کر سکتا ہے، جو ڈیسن کا ایک اور غیر متغیر ہے۔ مدار کا اسٹیبلائزر ڈیسن کے اسٹیبلائزر میں موجود زیادہ سے زیادہ عام ذیلی گروہ ہے، اور مدار کے ماڈیولی کا میدان اس کی سب سے چھوٹی عام توسیع سے مطابقت رکھتا ہے جس میں ڈیسن کے ماڈیولی کا میدان ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس حصے میں زیر غور دو کنجوگیٹ ڈیسن کے لیے، مدار کے ماڈیولی کا میدان ہے۔ دو بیلی افعال اور اس مثال کی وضاحت ماڈیولی کے میدان میں کی گئی ہے، لیکن ایسی ڈشز موجود ہیں جن کے لیے بیلی فنکشن کی تعریف کا میدان ماڈیولی کے میدان سے بڑا ہونا چاہیے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ ۔ ۔ میں جمع کیا۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ، پی پی کے طور پر جمع کیا گیا۔ 140-165 اویوورس، ٹوم 3 میں۔ ۔ خاص طور پر باب 2 دیکھیں، "ڈیسنس ڈی اینفنٹس"، پی پی۔ 79-153۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ پیچیدہ تجزیہ الجبرائی جیومیٹری ٹوپوولوجیکل گراف تھیوری