Unimodular lattice
جیومیٹری اور ریاضیاتی گروپ تھیوری میں، ایک غیر ماڈیولر جالی تعین کنندہ 1 یا-1 کی ایک لازمی جالی ہے۔ n-جہتی یوکلڈین جگہ میں جالی کے لیے، یہ اس ضرورت کے برابر ہے کہ جالی کے لیے کسی بھی بنیادی ڈومین کا حجم 1 ہو۔ E8 جالی اور لیچ جالی دو مشہور مثالیں ہیں۔ تعریفیں ایک جالی محدود درجہ کا ایک آزاد ابیلین گروپ ہے جس کی ہم آہنگی دو لکیری شکل (·، ·) ہے۔ جالی لازمی ہے اگر (·، ·) عدد اقدار لیتا ہے۔ جالی کا طول و عرض اس کے درجہ کے برابر ہوتا ہے (بطور زیڈ ماڈیول)۔ جالی عنصر a کا معیار (a، a) ہے۔ اگر تمام غیر صفر عناصر کا معیار مثبت ہو تو جالی مثبت قطعی ہوتی ہے۔ جالی کا تعین کرنے والا گرام میٹرکس کا تعین کرنے والا ہوتا ہے، ایک میٹرکس جس میں اندراجات (اے آئی، اے جے) ہوتے ہیں، جہاں عناصر اے آئی جالی کے لیے بنیاد بناتے ہیں۔ ایک لازمی جالی غیر ماڈیولر ہوتی ہے اگر اس کا تعین کنندہ 1 یا-1 ہو۔ ایک غیر ماڈیولر جالی یکساں یا ٹائپ II ہوتی ہے اگر تمام معیارات یکساں ہوں، بصورت دیگر عجیب یا ٹائپ I۔ مثبت قطعی جالی کا کم از کم سب سے کم غیر صفر معیار ہے۔ جالیں اکثر ایک حقیقی ویکٹر کی جگہ میں سمیٹرک دو لکیری شکل کے ساتھ سرایت ہوتی ہیں۔ جالی مثبت قطعی ہے، لورینٹزیئن، اور اسی طرح اگر اس کی ویکٹر جگہ ہے۔ جالی کا دستخط ویکٹر اسپیس پر فارم کا دستخط ہے۔ مثالیں غیر ماڈیولر جالی کی تین سب سے اہم مثالیں یہ ہیں: ایک جہت میں جالی Z۔ E8 جالی، ایک یکساں 8 جہتی جالی، لیچ جالی، 24 جہتی حتی کہ غیر ماڈیولر جالی جس کی کوئی جڑیں نہیں ہیں۔ خصوصیات ایک لازمی جالی غیر متزلزل ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی دوہری جالی لازمی ہو۔ یونیموڈولر جالیں ان کے دوہری جالی کے برابر ہوتی ہیں، اور اسی وجہ سے یونیموڈولر جالیں سیلف ڈوئل کے نام سے بھی جانی جاتی ہیں۔ غیر منفی انٹیجرز کے جوڑے (m، n) کو دیکھتے ہوئے، دستخط (m، n) کی ایک یکساں غیر ماڈیولر جالی موجود ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب m−n 8 سے قابل تقسیم ہو، لیکن دستخط (m، n) کی ایک عجیب غیر ماڈیولر جالی ہمیشہ موجود رہتی ہے۔ خاص طور پر، یہاں تک کہ غیر ماڈیولر قطعی جالیں بھی صرف 8 سے تقسیم ہونے والے طول و عرض میں موجود ہیں۔ تمام قابل قبول دستخطوں میں مثالیں بالترتیب IIm، n اور IM، n تعمیرات کے ذریعے دی گئی ہیں۔ غیر ماڈیولر مثبت قطعی جالی کا تھیٹا فنکشن ایک ماڈیولر شکل ہے جس کا وزن رینک کا نصف ہے۔ اگر جالی یکساں ہے، تو شکل کی سطح 1 ہے، اور اگر جالی عجیب ہے تو شکل کی ساخت γ0 (4) ہے (یعنی، یہ سطح 4 کی ماڈیولر شکل ہے)۔ ماڈیولر شکلوں کی خالی جگہوں پر پابند طول و عرض کی وجہ سے، ایک یکساں غیر ماڈیولر جالی کے غیر صفر ویکٹر کا کم از کم معیار n/24 + 1 سے زیادہ نہیں ہوتا ہے۔ ایک یکساں غیر ماڈیولر جالی جو اس حد کو حاصل کرتی ہے اسے انتہا کہا جاتا ہے۔ غیر معمولی یہاں تک کہ غیر ماڈیولر جالی 80 تک متعلقہ جہتوں میں جانی جاتی ہیں، اور ان کا عدم وجود 163,264 سے اوپر کے طول و عرض کے لیے ثابت ہوا ہے۔ درجہ بندی غیر معینہ مدت کے جالی کے لیے، درجہ بندی کو بیان کرنا آسان ہے۔ Rm، n کو m + n جہتی ویکٹر اسپیس Rm + n کے لیے (a1,., am + n) اور (b1,., bm + n) کے اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ لکھیں۔ جب تک کہ m − n 8 سے تقسیم نہ ہو تب تک کوئی غیر معینہ مدتی اور غیر ماڈیولر جالیں نہیں ہیں، اس صورت میں آئسومورفزم تک کی ایک منفرد مثال موجود ہے، جسے IIm، n سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ Rm، n میں تمام ویکٹروں (a1،.، am + n) کے ذریعہ اس طرح دیا جاتا ہے کہ یا تو تمام AI انٹیجر ہیں یا وہ تمام انٹیجر جمع 1/2 ہیں، اور ان کا مجموعہ یکساں ہے۔ جالی II8,0 E8 جالی کی طرح ہے۔ مثبت قطعی غیر ماڈیولر جالی کو طول و عرض 25 تک درجہ بند کیا گیا ہے۔ میں ایک منفرد مثال ہے، ہر طول و عرض میں 0 8 سے کم، اور طول و عرض 8 میں دو مثالیں (I8,0 اور II8,0) ہیں۔ جالی کی تعداد طول و عرض 25 تک اعتدال سے بڑھتی ہے (جہاں ان میں سے 665 ہیں)، لیکن طول و عرض 25 سے آگے اسمتھ-منکوسکی-سیگل ماس فارمولا سے پتہ چلتا ہے کہ تعداد طول و عرض کے ساتھ بہت تیزی سے بڑھتی ہے۔ مثال کے طور پر، طول و عرض 32 میں 80، 000,000,000، 000، 000 سے زیادہ ہیں۔ کچھ معنوں میں طول و عرض 9 تک کے غیر ماڈیولر جالی E8 کے ذریعے کنٹرول کیے جاتے ہیں، اور طول و عرض 25 تک وہ لیچ جالی کے ذریعے کنٹرول کیے جاتے ہیں، اور یہ ان جہتوں میں ان کے غیر معمولی اچھے رویے کا سبب بنتا ہے۔ مثال کے طور پر، 25 تک طول و عرض میں غیر ماڈیولر جالی کے نارم-2 ویکٹروں کے ڈائنکن خاکہ کو قدرتی طور پر لیچ جالی میں ویکٹروں کی ترتیب سے پہچانا جا سکتا ہے۔ 25 جہتوں سے زیادہ تعداد میں جنگلی اضافے کو اس حقیقت سے منسوب کیا جا سکتا ہے کہ یہ جالیں اب لیچ جالی کے زیر کنٹرول نہیں ہیں۔ یہاں تک کہ مثبت قطعی غیر ماڈیولر جالی صرف 8 سے تقسیم ہونے والے طول و عرض میں موجود ہے۔ طول و عرض 8 (E8 جالی) میں ایک، طول و عرض 16 (E82 اور II16,0) میں دو، اور طول و عرض 24 میں 24 ہے، جسے نیمیئر جالی کہتے ہیں (مثال کے طور پر: لیچ جالی، II24,0, II16,0 + II8,0, II)۔ 24 جہتوں سے آگے تعداد بہت تیزی سے بڑھتی ہے ؛ 32 جہتوں میں ان میں سے ایک ارب سے زیادہ ہیں۔ بغیر جڑوں والے یونیموڈولر جالی (معمول 1 یا 2 کے ویکٹر) کو طول و عرض 28 تک درجہ بند کیا گیا ہے۔ کوئی بھی طول و عرض 23 سے کم نہیں ہے (صفر جالی کے علاوہ!)۔ طول و عرض 23 میں ایک ہے (جسے مختصر لیچ لیٹس کہا جاتا ہے)، طول و عرض 24 میں دو (لیچ لیٹس اور عجیب لیچ لیٹس)، اور ظاہر کیا کہ طول و عرض 25، 26، 27، 28 میں بالترتیب 0، 1، 3، 38 ہیں۔ اس کے علاوہ تعداد بہت تیزی سے بڑھتی ہے ؛ طول و عرض 29 میں کم از کم 8000 ہیں۔ کافی زیادہ طول و عرض میں زیادہ تر غیر ماڈیولر جالی کی کوئی جڑیں نہیں ہوتی ہیں۔ یہاں تک کہ مثبت قطعی غیر ماڈیولر جالی کی واحد غیر صفر مثال جس کی جڑیں 32 سے کم طول و عرض میں نہیں ہیں، طول و عرض 24 میں لیچ جالی ہے۔ طول و عرض 32 میں ایک کروڑ سے زیادہ مثالیں ہیں، اور طول و عرض 32 سے اوپر کی تعداد بہت تیزی سے بڑھتی ہے۔ سے درج ذیل جدول مختلف جہتوں میں یکساں یا عجیب غیر ماڈیولر جالی کی تعداد (یا کم حدود) دیتا ہے، اور طول و عرض 24 کے فورا بعد شروع ہونے والی بہت تیز رفتار نمو کو ظاہر کرتا ہے۔ 32 جہتوں سے آگے، تعداد اور بھی تیزی سے بڑھتی ہے۔ ایپلی کیشنز ایک بند سیدھے جڑے ہوئے ٹوپولوجیکل 4-مینی فولڈ کا دوسرا کوہمولوجی گروپ ایک غیر ماڈیولر جالی ہے۔ مائیکل فریڈمین نے دکھایا کہ یہ جالی تقریبا کئی گنا کا تعین کرتی ہے: ہر یکساں غیر ماڈیولر جالی کے لیے اس طرح کا ایک منفرد کئی گنا ہوتا ہے، اور ہر عجیب غیر ماڈیولر جالی کے لیے بالکل دو ہوتے ہیں۔ خاص طور پر اگر ہم جالی کو 0 لیتے ہیں، تو اس سے 4 جہتی ٹپوولوجیکل مینیفولڈز کے لیے پوئنکیئر قیاس ظاہر ہوتا ہے۔ ڈونلڈسن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر کئی گنا ہموار ہے اور جالی مثبت قطعی ہے، تو یہ Z کی نقلوں کا مجموعہ ہونا چاہیے، لہذا ان میں سے زیادہ تر کئی گنا کی کوئی ہموار ساخت نہیں ہے۔ ایسی ہی ایک مثال کئی گنا ہے۔ حوالہ جات بیرونی ربط گیبریئل نیبے اور نیل سلوین کے غیر ماڈیولر جالی کے کیٹلاگ سے ہیں۔ کواڈریٹک فارمز لیٹیس پوائنٹس