Linear complex structure
ریاضیات میں، ایک حقیقی ویکٹر اسپیس V پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ V کی ایک آٹومورفزم ہے جو مائنس شناخت، −I سے مربع ہوتی ہے۔ V پر اس طرح کی ساخت کسی کو کینونکل انداز میں پیچیدہ اسکیلرز کے ذریعہ ضرب کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتی ہے تاکہ V کو ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس سمجھا جا سکے۔ ہر پیچیدہ ویکٹر کی جگہ کو ایک مطابقت پذیر پیچیدہ ڈھانچے سے لیس کیا جا سکتا ہے، تاہم، عام طور پر ایسی کوئی کینونکل ساخت نہیں ہے۔ پیچیدہ ڈھانچوں کا استعمال نمائندگی کے نظریہ کے ساتھ ساتھ پیچیدہ جیومیٹری میں بھی ہوتا ہے جہاں وہ پیچیدہ کئی گنا کے برعکس تقریبا پیچیدہ کئی گنا کی تعریف میں ایک اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ اصطلاح "پیچیدہ ڈھانچہ" اکثر کئی گنا پر اس ڈھانچے سے مراد ہے ؛ جب یہ ویکٹر خالی جگہوں پر کسی ڈھانچے کی طرف اشارہ کرتا ہے، تو اسے لکیری پیچیدہ ڈھانچہ کہا جا سکتا ہے۔ تعریف اور خصوصیات ایک حقیقی ویکٹر اسپیس V پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ ایک حقیقی لکیری تبدیلی ہے جس کا مطلب ہے کہ یہاں خود کے ساتھ تشکیل شدہ ہے اور شناخت کا نقشہ ہے۔ یعنی دو بار لگانے کا اثر ضرب کے برابر ہوتا ہے۔ یہ تخیلاتی اکائی سے ضرب کی یاد دلاتا ہے۔ ایک پیچیدہ ڈھانچہ کسی کو پیچیدہ ویکٹر اسپیس کی ساخت کے ساتھ منسلک کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ پیچیدہ اسکیلر ضرب کی تعریف تمام حقیقی اعداد اور تمام ویکٹروں کے لیے کی جا سکتی ہے۔ کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ یہ حقیقت میں ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس کی ساخت دیتا ہے جس کی ہم نشاندہی کرتے ہیں۔ دوسری سمت میں جاتے ہوئے، اگر کوئی ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس سے شروع ہوتا ہے تو کوئی بھی سب کے لیے وضاحت کر کے بنیادی حقیقی اسپیس پر ایک پیچیدہ ڈھانچے کی وضاحت کر سکتا ہے۔ مزید رسمی طور پر، ایک حقیقی ویکٹر کی جگہ پر ایک لکیری پیچیدہ ڈھانچہ پیچیدہ اعداد کی الجبرا کی نمائندگی ہے، جسے حقیقی اعداد پر ایسوسی ایٹیو الجبرا سمجھا جاتا ہے۔ اس الجبرا کو ٹھوس طور پر حاصل کیا جاتا ہے جو اس سے مطابقت رکھتا ہے۔ پھر کی نمائندگی ایک حقیقی ویکٹر اسپیس ہے، جس کے ساتھ ساتھ (ایک نقشہ) پر عمل ہوتا ہے۔ خاص طور پر، یہ صرف ایک عمل ہے، کیونکہ یہ الجبرا پیدا کرتا ہے، اور آپریٹر جس کی نمائندگی کرتا ہے (کی تصویر) بالکل ہے۔ اگر پیچیدہ جہت ہے تو اس کی حقیقی جہت ہونی چاہیے۔ یعنی، ایک محدود جہتی جگہ ایک پیچیدہ ساخت کو صرف اس صورت میں قبول کرتی ہے جب وہ یکساں جہتی ہو۔ یہ دیکھنا مشکل نہیں ہے کہ ہر یکساں جہتی ویکٹر کی جگہ ایک پیچیدہ ساخت کو تسلیم کرتی ہے۔ کوئی بھی بیس ویکٹروں کے جوڑوں کی وضاحت کر سکتا ہے اور پھر ان سب کو لکیریٹی کے ذریعے بڑھا سکتا ہے۔ اگر پیچیدہ ویکٹر کی جگہ کے لیے ایک بنیاد ہے تو بنیادی حقیقی جگہ کے لیے ایک بنیاد ہے۔ ایک حقیقی لکیری تبدیلی متعلقہ پیچیدہ جگہ کی ایک پیچیدہ لکیری تبدیلی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے ساتھ سفر کیا جائے، یعنی۔ اگر اور صرف اگر اسی طرح، کی ایک حقیقی ذیلی جگہ ایک پیچیدہ ذیلی جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محفوظ ہو، یعنی۔ اگر اور صرف اگر مثالیں ابتدائی مثال حقیقی میدان پر 2x2 حقیقی میٹرکس M (2، R) کا مجموعہ 4 جہتی ہے۔ a2 + bc =-1 والے کسی بھی میٹرکس کا مربع شناختی میٹرکس کے منفی کے برابر ہوتا ہے۔ ایک پیچیدہ ڈھانچہ M (2، R) میں تشکیل پایا جا سکتا ہے: شناخت میٹرکس I کے ساتھ، عناصر x I + y J، میٹرکس ضرب کے ساتھ پیچیدہ اعداد تشکیل دیتے ہیں۔ Cn لکیری پیچیدہ ڈھانچے کی بنیادی مثال R2n پر ڈھانچہ ہے جو Cn پر پیچیدہ ڈھانچے سے آتا ہے۔ یعنی پیچیدہ n جہتی خلا Cn بھی ایک حقیقی 2n جہتی جگہ ہے-ایک ہی ویکٹر کے اضافے اور حقیقی اسکیلر ضرب کا استعمال کرتے ہوئے-جبکہ پیچیدہ نمبر i سے ضرب نہ صرف خلا کی ایک پیچیدہ لکیری تبدیلی ہے، جسے ایک پیچیدہ ویکٹر جگہ کے طور پر سمجھا جاتا ہے، بلکہ خلا کی ایک حقیقی لکیری تبدیلی بھی ہے، جسے ایک حقیقی ویکٹر جگہ سمجھا جاتا ہے۔ خاص طور پر، اس کی وجہ یہ ہے کہ i سے اسکیلر ضرب حقیقی اعداد سے اسکیلر ضرب کے ساتھ منتقل ہوتی ہے-اور ویکٹر کے اضافے میں تقسیم ہوتی ہے۔ ایک پیچیدہ n × n میٹرکس کے طور پر، یہ محض اسکیلر میٹرکس ہے جس میں i اخترن پر ہے۔ متعلقہ حقیقی 2n × 2n میٹرکس کو J سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ پیچیدہ جگہ کے لیے ایک بنیاد کو دیکھتے ہوئے، یہ سیٹ، ان ویکٹروں کے ساتھ مل کر i سے ضرب دے کر، یعنی حقیقی جگہ کے لیے ایک بنیاد بناتا ہے۔ اس بنیاد کو ترتیب دینے کے دو قدرتی طریقے ہیں، تجریدی طور پر اس کے مطابق کہ آیا کوئی ٹینسر پروڈکٹ کو بطور یا اس کے بجائے لکھتا ہے۔ اگر کوئی بنیاد کا حکم دیتا ہے تو جے کے لیے میٹرکس بلاک ڈائیگنل شکل اختیار کرتا ہے (جہت کی نشاندہی کرنے کے لیے سبسکرپٹ شامل کیے جاتے ہیں): اس ترتیب کا فائدہ یہ ہے کہ یہ پیچیدہ ویکٹر خالی جگہوں کے براہ راست مجموعے کا احترام کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہاں اس کی بنیاد ویکٹر کے لیے اسی طرح ہے۔ دوسری طرف، اگر کوئی بنیاد کا حکم دیتا ہے، تو جے کے لیے میٹرکس بلاک اینٹی ڈائیگنل ہے: یہ ترتیب زیادہ فطری ہے اگر کوئی پیچیدہ جگہ کو حقیقی خالی جگہوں کے براہ راست مجموعہ کے طور پر سوچتا ہے، جیسا کہ نیچے بحث کی گئی ہے۔ حقیقی ویکٹر اسپیس اور جے میٹرکس کا ڈیٹا بالکل وہی ہے جو پیچیدہ ویکٹر اسپیس کا ڈیٹا ہے، کیونکہ جے میٹرکس کسی کو پیچیدہ ضرب کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ لائ الجبرا اور لائ گروپوں کی سطح پر، یہ گل (2n، R) میں گل (n، C) (لائ الجبرا-میٹرکس، ضروری طور پر الٹا نہیں) اور جی ایل (2n، R) میں جی ایل (n، C) کی شمولیت سے مطابقت رکھتا ہے: شمولیت پیچیدہ ڈھانچے کو بھولنے (اور صرف حقیقی رکھنے) سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ ذیلی گروپ جی ایل (n، C) کو (مساوات میں دیا گیا ہے) میٹرکس کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو جے کے ساتھ بات چیت کرتے ہیں: لائ الجبرا کے بارے میں متعلقہ بیان یہ ہے کہ پیچیدہ میٹرکس کا ذیلی الجبرا گل (n، C) وہ ہیں جن کا جے کے ساتھ لائ بریکٹ غائب ہو جاتا ہے، جس کا مطلب دوسرے الفاظ میں ہے۔ براہ راست مجموعہ اگر V کوئی حقیقی ویکٹر جگہ ہے تو براہ راست مجموعہ V پر ایک کینونکل کمپلیکس ڈھانچہ ہے جو اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ J کی بلاک میٹرکس شکل وہ ہے جہاں V پر شناختی نقشہ ہے۔ یہ ٹینسر پروڈکٹ پر پیچیدہ ڈھانچے سے مطابقت رکھتا ہے۔ دیگر ڈھانچوں کے ساتھ مطابقت اگر دو لکیری شکل ہے تو ہم کہتے ہیں کہ اگر سب کے لیے محفوظ ہے۔ ایک مساوی خصوصیت یہ ہے کہ اس کے حوالے سے اسکیو ایڈجوائنٹ ہے: اگر کوئی اندرونی پروڈکٹ آن ہے تو محفوظ رہتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آرتھوگنل تبدیلی ہو۔ اسی طرح، ایک غیر پیدا شدہ، سکیو-سمیٹرک شکل کو محفوظ رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک سمپلیکٹک تبدیلی ہو (یعنی، اگر)۔ سمپلیکٹک شکلوں کے لیے اور کے درمیان ایک دلچسپ مطابقت کی شرط ہے جو تمام غیر صفر کے لیے ہوتی ہے۔ اگر یہ شرط پوری ہو جاتی ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ ٹامس (مترادف طور پر: یہ اس کے حوالے سے ٹامس ہے ؛ یہ اس کے حوالے سے ٹامس ہے ؛ یا یہ کہ جوڑا ٹامس ہے)۔ ایک سمپلیکٹک شکل اور ایک لکیری پیچیدہ ڈھانچے کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی ایک متعلقہ دو لکیری شکل کی وضاحت کر سکتا ہے کیونکہ ایک سمپلیکٹک شکل غیر جینیاتی ہوتی ہے، اسی طرح اس سے وابستہ دو لکیری شکل بھی ہوتی ہے۔ متعلقہ شکل کو اگر اور صرف اس صورت میں محفوظ کیا جاتا ہے جب سمپلیکٹک شکل ہے۔ مزید برآں، اگر سمپلیکٹک شکل کو محفوظ کیا جاتا ہے، تو اس سے وابستہ شکل سمیٹرک ہوتی ہے۔ اگر اضافی طور پر قابو کیا جاتا ہے، تو اس سے وابستہ شکل مثبت قطعی ہوتی ہے۔ اس طرح اس معاملے میں اس کے حوالے سے ایک اندرونی پروڈکٹ کی جگہ ہے۔ اگر سمپلیکٹک شکل کو محفوظ رکھا جاتا ہے (لیکن ضروری نہیں کہ اس پر قابو پایا جائے)، تو ہرمیٹین شکل کا حقیقی حصہ (پہلی دلیل میں کنونشن اینٹیلینئر کے ذریعے) ہے جس کی تعریف پیچیدگیوں سے تعلق کے ذریعے کی گئی ہے۔ کسی بھی حقیقی ویکٹر اسپیس V کو دیکھتے ہوئے ہم اسکیلرز کی توسیع کے ذریعے اس کی پیچیدگی کی وضاحت کر سکتے ہیں: یہ ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہے جس کی پیچیدہ جہت V کے حقیقی طول و عرض کے برابر ہے۔ اس میں ایک کینونکل کمپلیکس کنجگیشن ہے جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ اگر J، V پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ ہے، تو ہم J کو لکیری طور پر VC تک بڑھا سکتے ہیں: چونکہ C الجبرائی طور پر بند ہے، J کو آئجین ویلیوز کی ضمانت دی جاتی ہے جو λ2 = −1 کو مطمئن کرتی ہیں، یعنی λ = ±i۔ اس طرح ہم لکھ سکتے ہیں کہ جہاں V + اور V-بالترتیب + i اور-i کی آئجین اسپیس ہیں۔ کمپلیکس کنجگیشن V + اور V− کو آپس میں بدلتا ہے۔ V ± آئجین اسپیس پر پروجیکشن نقشے اس طرح دیئے گئے ہیں کہ VJ اور V + کے درمیان ایک قدرتی پیچیدہ لکیری آئسومورفزم ہے، لہذا ان ویکٹر اسپیس کو یکساں سمجھا جا سکتا ہے، جبکہ V− کو VJ کا پیچیدہ کنجوگیٹ سمجھا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر VJ کا پیچیدہ طول و عرض n ہے تو V + اور V− دونوں کا پیچیدہ طول و عرض n ہے جبکہ VC کا پیچیدہ طول و عرض 2n ہے۔ مختصرا، اگر کوئی ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس W سے شروع ہوتا ہے اور بنیادی حقیقی جگہ کی پیچیدگی لیتا ہے، تو کوئی W اور اس کے کنجوگیٹ کے براہ راست مجموعہ کے لیے ایک اسپیس آئسومورفک حاصل کرتا ہے: متعلقہ ویکٹر خالی جگہوں تک توسیع V کو ایک پیچیدہ ساخت J کے ساتھ ایک حقیقی ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ دوہری جگہ V * میں ایک قدرتی پیچیدہ ڈھانچہ J * ہے جو J کے دوہری (یا ٹرانسپوز) کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس لیے دوہری جگہ (V *) C کی پیچیدگی J * کے ±i آئجین اسپیس میں قدرتی طور پر سڑ جاتی ہے۔ (V *) C کی قدرتی شناخت کے تحت (VC) * کے ساتھ کوئی بھی (V *) + کو ان پیچیدہ لکیری افعال کے طور پر ظاہر کر سکتا ہے جو V− پر غائب ہو جاتے ہیں۔ اسی طرح (V *)-ان پیچیدہ لکیری افعال پر مشتمل ہوتا ہے جو V + پر غائب ہو جاتے ہیں۔ وی سی پر (پیچیدہ) ٹینسر، سمیٹرک، اور بیرونی الجبرا بھی سڑنے کو تسلیم کرتے ہیں۔ بیرونی الجبرا شاید اس سڑنے کا سب سے اہم اطلاق ہے۔ عام طور پر، اگر ایک ویکٹر اسپیس U کسی سڑنے کو تسلیم کرتا ہے تو U کی بیرونی طاقتوں کو مندرجہ ذیل طور پر سڑ دیا جا سکتا ہے: V پر ایک پیچیدہ ڈھانچہ J اس لیے ایک سڑنے کو جنم دیتا ہے جہاں تمام بیرونی طاقتوں کو پیچیدہ اعداد پر لے لیا جاتا ہے۔ لہذا اگر VJ کا پیچیدہ طول و عرض n (حقیقی طول و عرض 2n) ہے تو طول و عرض وینڈرمونڈے کی شناخت کے نتیجے میں صحیح طریقے سے جمع ہوتے ہیں۔ (p، q) شکلوں λp، q VJ * کی جگہ VC پر (پیچیدہ) کثیر لکیری شکلوں کی جگہ ہے جو یکساں عناصر پر غائب ہو جاتے ہیں جب تک کہ p V + سے نہ ہو اور q V− سے نہ ہو۔ یہ بھی ممکن ہے کہ λp، q VJ * کو VJ سے C تک کے حقیقی کثیر لکیری نقشوں کی جگہ سمجھا جائے جو p اصطلاحات میں پیچیدہ لکیری اور q اصطلاحات میں کنجوگیٹ لکیری ہیں۔ ان خیالات کے اطلاق کے لیے پیچیدہ تفریقی شکل اور تقریبا پیچیدہ کئی گنا دیکھیں۔ تقریبا پیچیدہ کئی گنا پیچیدہ کئی گنا پیچیدہ تفریقی شکل پیچیدہ کنجوگیٹ ویکٹر اسپیس ہرمیٹین ڈھانچہ حقیقی ساخت حوالہ جات کوبیاشی ایس۔ اور نومیزو کے۔، فاؤنڈیشنز آف ڈفریینشل جیومیٹری، جان ولی اینڈ سنز، 1969۔ (پیچیدہ ڈھانچوں پر جلد II، باب IX، سیکشن 1 میں بحث کی گئی ہے)۔ بوڈینیچ، پی۔ اور ٹراٹ مین، اے۔ اسپنوریل شطرنج بورڈ، سپرنگر-ورلاگ، 1988۔ (پیچیدہ ڈھانچے پر سیکشن 3.1 میں بحث کی گئی ہے)۔ گولڈ برگ ایس آئی، کرویچر اینڈ ہومیولوجی، ڈوور پبلکیشنز، 1982۔ (پیچیدہ ڈھانچے اور تقریبا پیچیدہ کئی گنا پر سیکشن 5.2 میں بحث کی گئی ہے)۔ کئی گنا پر ڈھانچے