Mereotopology
رسمی آنٹولوجی میں، مابعد الطبیعات کی ایک شاخ، اور آنٹولوجیکل کمپیوٹر سائنس میں، میریوٹوپولوجی ایک فرسٹ آرڈر تھیوری ہے، جس میں محض، حصوں، حصوں کے حصوں، اور حصوں کے درمیان حدود کے درمیان تعلقات کے محض اور ٹوپولوجیکل تصورات شامل ہیں۔ تاریخ اور محرک میریٹوپولوجی فلسفہ میں ان نظریات سے شروع ہوتی ہے جو اے این وائٹ ہیڈ نے 1916 اور 1929 کے درمیان شائع ہونے والی متعدد کتابوں اور مضامین میں بیان کیے تھے، جو جزوی طور پر ڈی لگونا (1922) کی میری جیومیٹری پر مبنی تھے۔ ریاضی میں ٹپوولوجیکل اسپیس کے تصور کی پوائنٹ فری تعریف کا خیال سب سے پہلے کارل مینجر نے اپنی کتاب ڈائیمینشن تھیوری (1928) میں پیش کیا تھا۔ میریوٹوپولوجی کے ابتدائی تاریخی پس منظر کو بیلینجر اینڈ مارکوئس (2013) میں دستاویزی شکل دی گئی ہے اور وائٹ ہیڈ کے ابتدائی کام پر نیبون (1963: ch. 13. 5) اور سائمنز (1987:2.1.1)۔ وائٹ ہیڈ کے 1929 کے عمل اور حقیقت کے نظریہ نے ہم آہنگی اور تعلق جیسے ٹپوولوجیکل تصورات کے ساتھ جزوی طور پر پورے تعلق کو بڑھایا۔ ریاضی دان کی حیثیت سے وائٹ ہیڈ کی ذہانت کے باوجود، ان کے نظریات ناکافی طور پر رسمی تھے، یہاں تک کہ ناقص بھی تھے۔ یہ ظاہر کرتے ہوئے کہ وائٹ ہیڈ کے نظریات کو کس طرح مکمل طور پر باقاعدہ اور مرمت کیا جا سکتا ہے، کلارک (1981، 1985) نے عصری محض علم کی بنیاد رکھی۔ کلارک اور وائٹ ہیڈ کے نظریات پر سائمنز (1987:2.10.2)، اور لوکاس (2000: ch. 10)۔ اندراج وائٹ ہیڈ کی پوائنٹ فری جیومیٹری میں وائٹ ہیڈ کے نظریات کے دو عصری علاج شامل ہیں، جن میں سے ہر ایک اگلے حصے میں بیان کردہ نظریہ سے مختلف ہے۔ اگرچہ میریوٹوپولوجی ایک ریاضیاتی نظریہ ہے، لیکن ہم اس کے بعد کی ترقی کا ذمہ دار منطقوں اور نظریاتی کمپیوٹر سائنسدانوں کو دیتے ہیں۔ لوکاس (2000: ch. 10) اور کاساتی اور ورزی (1999: ch. 4, 5) محض علمیات کا تعارف ہے جسے فرسٹ آرڈر منطق میں کورس کرنے والا کوئی بھی شخص پڑھ سکتا ہے۔ میریوٹوپولوجی کے مزید جدید علاج میں کون اور ورزی (2003) اور ریاضیاتی طور پر نفیس، روپر (1997) شامل ہیں۔ پوائنٹ فری جیومیٹری کے ریاضیاتی علاج کے لیے، دیکھیں گیرلا (1995)۔ رابطہ الجیبرا کے طور پر میریوٹوپولوجی کے لیٹیس تھیوریٹک (الجبرائی) علاج کا اطلاق ٹوپولوجیکل کو محضیاتی ڈھانچے سے الگ کرنے کے لیے کیا گیا ہے، دیکھیں اسٹیل (2000)، ڈنٹش اور ونٹر (2004)۔ ایپلی کیشنز بیری اسمتھ، انتھونی کوہن، اچیل ورزی اور ان کے شریک مصنفین نے یہ ظاہر کیا ہے کہ میریوٹوپولوجی رسمی آنٹولوجی اور کمپیوٹر سائنس میں مفید ثابت ہوسکتی ہے، جس میں رابطے، کنکشن، حدود، اندرونی، سوراخ وغیرہ جیسے تعلقات کو باضابطہ بنانے کی اجازت دی جاتی ہے۔ میریٹوپولوجی کو کوالٹی مقامی-عارضی استدلال کے لیے ایک آلے کے طور پر بھی استعمال کیا گیا ہے، جس میں رکاوٹ کیلکولی جیسے ریجن کنکشن کیلکولس (آر سی سی) شامل ہیں۔ یہ اسمتھ اور ورزی کے تیار کردہ فائیٹ حدود کے نظریہ کے لیے نقطہ آغاز فراہم کرتا ہے، جو حدود (جغرافیہ، جغرافیائی سیاست، اور دیگر ڈومینز میں) کے درمیان باضابطہ طور پر فرق کرنے کی کوشش سے نکلا ہے جو کم و بیش من مانی انسانی حد بندی اور حدود کی عکاسی کرتے ہیں جو حقیقی جسمانی تضادات کی عکاسی کرتے ہیں (اسمتھ 1995، 2001)۔ ڈیجیٹل مینوفیکچرنگ (سالسٹری، 2002) کے شعبے میں سالسٹری اور اسمتھ اور ورزی کے ذریعے ماحولیات اور ماحولیاتی حیاتیات (اسمتھ اور ورزی، 1999، 2002) کے بنیادی تصورات کو باضابطہ بنانے کے لیے میریٹوپولوجی کا اطلاق کیا جا رہا ہے۔ اس کا اطلاق جغرافیہ میں مبہم حدود سے نمٹنے کے لیے بھی کیا گیا ہے (اسمتھ اور مارک، 2003)، اور مبہم اور دانے بازی کے مطالعہ میں (اسمتھ اور بروگارڈ، 2002، بٹنر اور اسمتھ، 2001، 2001 اے)۔ کاساٹی اور ورزی کاساٹی اور ورزی (1999: ch. 4) کے ترجیحی نقطہ نظر نے ایک مستقل اشارے میں مختلف قسم کے محض نظریاتی نظریات مرتب کیے۔ یہ سیکشن کئی نیسٹڈ نظریات کا تعین کرتا ہے جو ان کے ترجیحی نظریہ جی ای ایم ٹی سی میں ختم ہوتے ہیں، اور ان کی نمائش کو قریب سے دیکھتے ہیں۔ جی ای ایم ٹی سی کا محض سائنسی حصہ روایتی نظریہ جی ای ایم ہے۔ کاساٹی اور ورزی یہ نہیں بتاتے کہ جی ای ایم ٹی سی کے ماڈلز میں کوئی روایتی ٹپوولوجیکل خالی جگہیں شامل ہیں یا نہیں۔ ہم گفتگو کے کچھ ڈومین سے شروع کرتے ہیں، جن کے عناصر کو افراد کہا جاتا ہے (محضیات کا مترادف "افراد کا حساب" ہے)۔ کاساٹی اور ورزی آنٹولوجی کو جسمانی اشیاء تک محدود رکھنے کو ترجیح دیتے ہیں، لیکن دوسرے آزادانہ طور پر جیومیٹرک اعداد و شمار اور واقعات کے بارے میں استدلال کرنے اور مشین انٹیلی جنس میں تحقیق سے پیدا ہونے والے مسائل کو حل کرنے کے لیے محض علمیات کا استعمال کرتے ہیں۔ ایک اپر کیس لاطینی حرف فرسٹ آرڈر منطق میں اس رشتے کا حوالہ دیتے ہوئے ایک رشتہ اور پیش گوئی خط دونوں کی نشاندہی کرتا ہے۔ حروف تہجی کے آخر سے لوور کیس کے حروف ڈومین کے متغیرات کی نشاندہی کرتے ہیں۔ حروف تہجی کے آغاز سے حروف صوابدیدی افراد کے نام ہیں۔ اگر کوئی فارمولا جوہری فارمولے سے شروع ہوتا ہے جس کے بعد دو شرائط ہوتی ہیں، تو دو شرائط کے دائیں طرف کا ذیلی فارمولہ جوہری فارمولے کی تعریف ہے، جس کے متغیر غیر پابند ہوتے ہیں۔ بصورت دیگر، متغیرات جو واضح طور پر مقداری نہیں ہیں وہ عالمی طور پر مقداری ہوتے ہیں۔ نیچے دیے گئے محوری Cn کاساٹی اور ورزی (1999: ch. 4)۔ ہم ایک ٹپوولوجیکل پرائمیٹیو سے شروع کرتے ہیں، ایک بائنری رشتہ جسے کنکشن کہا جاتا ہے ؛ جوہری فارمولا Cxy اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ "x y سے جڑا ہوا ہے"۔ کنکشن، کم از کم، محوریوں کے ذریعے کنٹرول کیا جاتا ہے: C1۔ (اضطراری) C2۔ (ہم آہنگ) فرض کریں کہ E، گھیرے کے بائنری تعلق کی تعریف اس طرح کی جائے: Exy کو "y گھیرے ہوئے x" کے طور پر پڑھا جاتا ہے اور یہ فطرت میں ٹپوولوجیکل بھی ہے۔ C1-2 کا نتیجہ یہ ہے کہ E اضطراری اور عارضی ہے، اور اس لیے ایک پری آرڈر ہے۔ اگر E کو بھی ایکسٹینشنل سمجھا جائے، تاکہ: تب E کو اینٹیسیمیٹرک ثابت کیا جا سکے اور اس طرح یہ ایک جزوی ترتیب بن جائے۔ انکلوزر، نوٹ شدہ xKy، وائٹ ہیڈ (1919، 1920) میں نظریات کا واحد قدیم تعلق ہے، جو محض آبادی کا نقطہ آغاز ہے۔ پارہوڈ کو بنیادی محضیات کا وضاحتی قدیم بائنری رشتہ ہونے دیں، اور جوہری فارمولا Pxy کو اس بات کی نشاندہی کرنے دیں کہ "x y کا حصہ ہے"۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ P ایک جزوی ترتیب ہے۔ نتیجے میں آنے والے کم سے کم محض نظریہ کو ایم کہتے ہیں۔ اگر x، y کا حصہ ہے، تو ہم یہ مانتے ہیں کہ y، x: C3 کو گھیرے ہوئے ہے۔ C3 محض محض پارہوڈ کو ٹپوولوجیکل انکلوزر سے اچھی طرح جوڑتا ہے۔ فرض کریں کہ O، محض نظریاتی اوورلیپ کے بائنری تعلق کی تعریف اس طرح کی جائے: Oxy اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ "x اور y اوورلیپ" ہیں۔ O ہاتھ میں ہونے کی صورت میں، C3 کا نتیجہ یہ ہے: نوٹ کریں کہ اس کے برعکس ہونا ضروری نہیں ہے۔ اگرچہ اوورلیپ ہونے والی چیزیں لازمی طور پر جڑی ہوئی ہوتی ہیں، لیکن جڑی ہوئی چیزیں لازمی طور پر اوورلیپ نہیں ہوتی ہیں۔ اگر ایسا نہ ہوتا تو ٹوپولوجی محض محض علم کا ایک نمونہ ہوتا (جس میں "اوورلیپ" ہمیشہ یا تو قدیم ہوتا ہے یا اس کی وضاحت کی جاتی ہے)۔ گراؤنڈ میریوٹوپولوجی (ایم ٹی) وہ نظریہ ہے جو ابتدائی سی اور پی پر مشتمل ہے، جس کی وضاحت ای اور او، محور سی 1-3، اور اس بات کی یقین دہانی کرنے والے محوریات ہیں کہ پی ایک جزوی ترتیب ہے۔ ایم ٹی میں ایم کو معیاری توسیعی محضیات جی ای ایم کے ساتھ تبدیل کرنے سے نظریہ جی ای ایم ٹی کا نتیجہ نکلتا ہے۔ آئی پی ایکس آئی کو ظاہر کرنے دیں کہ "x، y کا اندرونی حصہ ہے"۔ آئی پی کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: فرض کریں کہ σxφ (x)، φ (x) کو مطمئن کرنے والے ڈومین میں تمام افراد کے محض مجموعہ (فیوژن) کی نشاندہی کرتا ہے۔ σ ایک متغیر بائنڈنگ پریفیکس آپریٹر ہے۔ جی ای ایم کے محوریات اس بات کی یقین دہانی کراتے ہیں کہ یہ رقم موجود ہے اگر φ (x) فرسٹ آرڈر فارمولا ہے۔ σ اور ہاتھ میں تعلق آئی پی کے ساتھ، ہم x کے اندرونی حصے کی وضاحت کر سکتے ہیں، x کے تمام اندرونی حصوں z کے محض مجموعہ کے طور پر، یا: df اس تعریف کے دو آسان نتائج یہ ہیں: جہاں W عالمگیر فرد ہے، اور C5۔ (شمولیت) آپریٹر i کی دو مزید محوری خصوصیات ہیں: C6۔ (آئیڈیمپوٹیننس) C7۔ جہاں a × b، a اور b کا محض پروڈکٹ ہے، اس کی وضاحت اس وقت نہیں کی جاتی جب Oab غلط ہو۔ میں پروڈکٹ پر تقسیم کرتا ہوں۔ اب یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ آئی ٹوپولوجی کے اندرونی آپریٹر کے لیے آئسومورفک ہے۔ لہذا i کے دوہرے، ٹپوولوجیکل کلوزر آپریٹر c، کی تعریف i کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے، اور c کے لیے کوراتووسکی کے محوری نظریہ ہیں۔ اسی طرح، سی کی محوریت کو دیکھتے ہوئے جو سی 5-7 سے مشابہت رکھتی ہے، آئی کی تعریف سی کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے، اور سی 5-7 تھیوریم بن جاتے ہیں۔ جی ای ایم ٹی میں سی 5-7 کو شامل کرنے سے کاساتی اور ورزی کے ترجیحی محض نظریہ، جی ای ایم ٹی سی کے نتائج برآمد ہوتے ہیں۔ x خود سے جڑا ہوا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل پیشن گوئی کو مطمئن کرتا ہے: نوٹ کریں کہ صرف ایم ٹی کی ابتدائی اور متعین پیش گوئیاں اس تعریف کے لیے کافی ہیں۔ پریڈیکیٹ ایس سی دو افراد کے محض مجموعہ کے وجود کے لیے وائٹ ہیڈ کے عمل اور حقیقت میں دی گئی ضروری شرط کو باضابطہ بنانے کے قابل بناتا ہے: انہیں جڑا ہونا چاہیے۔ رسمی طور پر: C8۔ کچھ محض آبادی X کو دیکھتے ہوئے، C8 کو X میں شامل کرنے کے نتیجے میں جسے کاساتی اور ورزی X کی وائٹ ہیڈین ایکسٹینشن کہتے ہیں، WX کی نشاندہی کرتے ہیں۔ لہذا وہ نظریہ جس کے محرکات C1-8 ہیں WGMTC ہے۔ C8 کا الٹا GEMTC تھیوریم ہے۔ لہذا جی ای ایم ٹی سی کے محوری اصولوں کو دیکھتے ہوئے، اگر او اور ایس سی کو ابتدائی پیش گوئیوں کے طور پر لیا جائے تو سی ایک متعین پیش گوئی ہے۔ اگر بنیادی محضیات ایٹم کے بغیر اور جی ای ایم سے کمزور ہے، تو ایٹموں کی عدم موجودگی کو یقینی بنانے والے محور (کاساتی اور ورزی 1999 میں پی 9) کو سی 9 سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، جو یہ دعوی کرتا ہے کہ کسی بھی فرد کی ٹپوولوجیکل حد نہیں ہے: سی 9۔ جب ڈومین ہندسی اعداد و شمار پر مشتمل ہوتا ہے، تو حدود پوائنٹس، منحنی خطوط اور سطحیں ہو سکتی ہیں۔ دیگر آنٹولوجیز کو دیکھتے ہوئے حدود کا کیا مطلب ہو سکتا ہے، یہ کوئی آسان معاملہ نہیں ہے اور اس پر کاساتی اور ورزی (1999: ch. 5)۔ مزید دیکھیں میرولوجی پوائنٹ لیس ٹوپولوجی پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی ٹوپولوجی اسپیس (T0 سے T6 تک کے لنکس کے ساتھ) وائٹ ہیڈ کی پوائنٹ فری جیومیٹری نوٹس حوالہ جات بیاسینو ایل، اور گیرلا جی، 1991، "کنکشن اسٹرکچرز"، نوٹری ڈیم جرنل آف فارمل لاجک 32:242-47۔ کاساٹی، رابرٹو، اور ورزی، اچیل، 1999۔ حصے اور مقامات: مقامی نمائندگی کے ڈھانچے۔ ایم آئی ٹی پریس۔ اسٹیل جے جی، 2000، "بولین کنکشن الجبرا: ریجن کنکشن کیلکولس کے لیے ایک نیا نقطہ نظر"، مصنوعی ذہانت 122:111-136۔ بیرونی روابط اسٹینفورڈ انسائیکلوپیڈیا آف فلاسفی: باؤنڈری-بذریعہ اچیل ورزی۔ بہت سے حوالوں کے ساتھ۔ ریاضیاتی محوریات میرولوجی آنٹولوجی ٹوپولوجی