Consistent estimator
اعداد و شمار میں، ایک مستقل تخمینہ لگانے والا یا غیر علامتی طور پر مستقل تخمینہ لگانے والا ایک تخمینہ لگانے والا ہوتا ہے-ایک پیرامیٹر θ0 کے تخمینوں کی کمپیوٹنگ کے لیے ایک قاعدہ-جس میں یہ خاصیت ہوتی ہے کہ جیسے جیسے استعمال شدہ ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد غیر معینہ مدت تک بڑھتی ہے، تخمینوں کی نتیجے میں ترتیب امکان میں θ0 میں بدل جاتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ تخمینوں کی تقسیم زیادہ سے زیادہ تخمینہ شدہ پیرامیٹر کی حقیقی قیمت کے قریب مرکوز ہو جاتی ہے، تاکہ تخمینہ لگانے والے کے من مانی طور پر θ0 کے قریب ہونے کا امکان ایک میں بدل جائے۔ عملی طور پر ایک تخمینہ کار کو سائز n کے دستیاب نمونے کے فنکشن کے طور پر تشکیل دیتا ہے، اور پھر تصور کرتا ہے کہ وہ ڈیٹا اکٹھا کرنے اور نمونے کو لامحدود توسیع دینے کے قابل ہے۔ اس طرح کوئی بھی n کے ذریعہ انڈیکس شدہ تخمینوں کا ایک سلسلہ حاصل کرے گا، اور مستقل مزاجی اس بات کی خاصیت ہے کہ نمونے کے سائز کے "لامحدود تک بڑھنے" کے ساتھ کیا ہوتا ہے۔ اگر تخمینوں کی ترتیب کو ریاضیاتی طور پر حقیقی قدر θ0 کے امکانات میں یکجا دکھایا جا سکتا ہے، تو اسے مستقل تخمینہ کار کہا جاتا ہے ؛ بصورت دیگر تخمینہ کار کو متضاد کہا جاتا ہے۔ مستقل مزاجی جیسا کہ یہاں بیان کیا گیا ہے بعض اوقات اسے کمزور مستقل مزاجی کہا جاتا ہے۔ جب ہم امکان میں کنورجنس کو تقریبا یقینی کنورجنس کے ساتھ تبدیل کرتے ہیں، تو تخمینہ لگانے والے کو مضبوطی سے مستقل کہا جاتا ہے۔ مستقل مزاجی کا تعلق تعصب سے ہے ؛ تعصب بمقابلہ مستقل مزاجی دیکھیں۔ تعریف رسمی طور پر، پیرامیٹر θ کے تخمینہ لگانے والے Tn کو کمزور طور پر مستقل کہا جاتا ہے، اگر یہ پیرامیٹر کی حقیقی قیمت کے امکانات میں یکجا ہو جائے: یعنی۔ اگر، تمام ε> 0 کے لیے θ پیرامیٹر کا ایک تخمینہ لگانے والا Tn مضبوطی سے مطابقت رکھتا ہے، اگر یہ تقریبا یقینی طور پر پیرامیٹر کی صحیح قیمت میں ضم ہو جائے: ایک زیادہ سخت تعریف اس حقیقت کو مدنظر رکھتی ہے کہ θ اصل میں نامعلوم ہے، اور اس طرح، اس پیرامیٹر کی ہر ممکنہ قیمت کے لیے امکان میں ہم آہنگی ہونی چاہیے۔ فرض کریں کہ} تقسیم کا ایک خاندان ہے (پیرامیٹرک ماڈل)، اور} تقسیم pθ سے ایک لامحدود نمونہ ہے۔ فرض کریں کہ {Tn (Xθ)} کسی پیرامیٹر g (θ) کے لیے تخمینوں کی ترتیب ہے۔ عام طور پر، Tn نمونے کے پہلے n مشاہدات پر مبنی ہوگا۔ پھر اس ترتیب {Tn} کو (کمزور) مستقل کہا جاتا ہے اگر یہ تعریف صرف θ کے بجائے g (θ) کا استعمال کرتی ہے، کیونکہ اکثر کوئی شخص کسی خاص فنکشن یا بنیادی پیرامیٹر کے ذیلی ویکٹر کا اندازہ لگانے میں دلچسپی رکھتا ہے۔ اگلی مثال میں، ہم ماڈل کے لوکیشن پیرامیٹر کا تخمینہ لگاتے ہیں، لیکن پیمانے کا نہیں: مثالیں عام بے ترتیب متغیر کا نمونہ مطلب فرض کریں کہ کسی کے پاس عام N (μ، σ2) کی تقسیم سے شماریاتی طور پر آزاد مشاہدات {X1, X2,.} کی ترتیب ہے۔ پہلے n مشاہدات کی بنیاد پر μ کا اندازہ لگانے کے لیے، نمونہ کا مطلب استعمال کیا جا سکتا ہے: Tn = (X1 +. + Xn)/n۔ یہ تخمینہ کاروں کی ترتیب کی وضاحت کرتا ہے، جو نمونے کے سائز n سے ترتیب دی جاتی ہے۔ عام تقسیم کی خصوصیات سے، ہم اس اعداد و شمار کی نمونے لینے کی تقسیم کو جانتے ہیں: Tn خود عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، جس میں اوسط μ اور تغیر σ2/n ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، ایک معیاری نارمل تقسیم ہے: جیسا کہ n کسی بھی فکسڈ کے لیے انفینٹی کی طرف جاتا ہے۔ لہذا، نمونے کے ذرائع کی ترتیب Tn آبادی کے اوسط کے لیے مطابقت رکھتی ہے (یاد کرنا کہ عام تقسیم کی مجموعی تقسیم ہے)۔ مستقل مزاجی کا قیام غیر علامتی مستقل مزاجی کا تصور بہت قریب ہے، جو امکان میں ہم آہنگی کے تصور کا مترادف ہے۔ اس طرح، کوئی بھی تھیوریم، لیما، یا پراپرٹی جو امکان میں کنورجنس قائم کرتی ہے، مستقل مزاجی کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے۔ اس طرح کے بہت سے اوزار موجود ہیں: تعریف سے براہ راست مستقل مزاجی کا مظاہرہ کرنے کے لیے کوئی بھی عدم مساوات کو استعمال کر سکتا ہے جو کہ فنکشن ایچ کے لیے سب سے عام انتخاب ہے جو یا تو مطلق قدر ہے (اس صورت میں اسے مارکوف عدم مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے)، یا کواڈریٹک فنکشن (بالترتیب چیبیشیف کی عدم مساوات)۔ ایک اور مفید نتیجہ مسلسل نقشہ سازی تھیوریم ہے: اگر Tn θ کے لیے مستقل ہے اور g (·) نقطہ θ پر مسلسل ایک حقیقی قدر والی فنکشن ہے، تو g (θ) کے لیے g (Tn) مستقل ہوگا: سلوٹسکی تھیوریم کو کئی مختلف تخمینوں کو یکجا کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یا غیر بے ترتیب متغیر ترتیب کے ساتھ ایک تخمینہ لگانے والا۔ اگر Tn → dα، اور Sn → pβ، تو اگر تخمینہ کار Tn کو ایک واضح فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے، تو زیادہ تر امکان ہے کہ فارمولہ بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کو استعمال کرے گا، اور پھر بڑی تعداد کا قانون استعمال کیا جا سکتا ہے: بے ترتیب متغیرات کی ترتیب {Xn} کے لیے اور مناسب حالات کے تحت، اگر تخمینہ کار Tn کو مضمر طور پر بیان کیا گیا ہے، مثال کے طور پر ایک ایسی قدر کے طور پر جو کچھ معروضی فعل کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے (انتہائی تخمینہ کار دیکھیں)، تو اسٹوکاسٹک مساوات پر مشتمل ایک زیادہ پیچیدہ دلیل استعمال کرنی ہوگی۔ تعصب بمقابلہ مستقل مزاجی غیر جانبدار لیکن مستقل نہیں ایک تخمینہ غیر جانبدار لیکن مستقل نہیں ہو سکتا۔ مثال کے طور پر، ایک آئی آئی ڈی نمونے {x,., x} کے لیے کوئی T (X) = x کو اوسط E [X] کے تخمینہ کار کے طور پر استعمال کر سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہاں T کی نمونے لینے کی تقسیم بنیادی تقسیم کے برابر ہے (کسی بھی n کے لیے، کیونکہ یہ تمام نکات کو نظر انداز کرتا ہے لیکن آخری)، لہذا E [T (X)] = E [X] اور یہ غیر جانبدار ہے، لیکن یہ کسی بھی قدر میں یکجا نہیں ہوتا ہے۔ تاہم، اگر تخمینوں کا ایک سلسلہ غیر جانبدار ہے اور کسی قدر میں ضم ہو جاتا ہے، تو یہ مستقل ہے، کیونکہ اسے صحیح قدر میں ضم ہونا چاہیے۔ متعصبانہ لیکن مستقل متبادل طور پر، ایک تخمینہ ساز متعصبانہ لیکن مستقل ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر اس کے ذریعہ اوسط کا تخمینہ لگایا جاتا ہے تو یہ متعصبانہ ہے، لیکن جیسے جیسے یہ صحیح قدر کے قریب پہنچتا ہے، اور اس طرح یہ مستقل ہے۔ اہم مثالوں میں نمونہ تغیر اور نمونہ معیاری انحراف شامل ہیں۔ بیسیل کی اصلاح کے بغیر (یعنی، ڈگری آف فریڈم کے بجائے نمونے کے سائز کا استعمال کرتے وقت)، یہ دونوں منفی طور پر متعصبانہ لیکن مستقل تخمینہ لگانے والے ہیں۔ اصلاح کے ساتھ، درست نمونے کا تغیر غیر جانبدار ہے، جبکہ درست نمونے کا معیاری انحراف اب بھی متعصبانہ ہے، لیکن کم ہے، اور دونوں اب بھی مستقل ہیں: جیسے جیسے نمونے کا سائز بڑھتا ہے اصلاح کا عنصر 1 میں بدل جاتا ہے۔ یہاں ایک اور مثال ہے۔ آئیے تخمینوں کا ایک سلسلہ بنیں۔ ہم یہ دیکھ سکتے ہیں، اور تعصب صفر میں تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ موثر تخمینہ لگانے والے فشر کی مستقل مزاجی-متبادل بھی دیکھیں، حالانکہ تخمینہ لگانے والوں کے لیے مستقل مزاجی کا تصور شاذ و نادر ہی استعمال ہوتا ہے۔ بیرونی روابط بذریعہ مارک تھوما تخمینہ غیر علامتی نظریہ (شماریات)