Neighbourhood (mathematics)
ٹوپولوجی اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، پڑوس (یا پڑوس) ٹوپولوجیکل اسپیس کے بنیادی تصورات میں سے ایک ہے۔ اس کا اوپن سیٹ اور داخلہ کے تصورات سے گہرا تعلق ہے۔ بدیہی طور پر، کسی نقطہ کا پڑوس پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے جس میں اس نقطہ پر مشتمل ہوتا ہے جہاں کوئی سیٹ کو چھوڑے بغیر اس نقطہ سے کسی بھی سمت میں کچھ رقم منتقل کر سکتا ہے۔ تعریفیں کسی نقطہ کا پڑوس اگر ایک ٹپوولوجیکل جگہ ہے اور اس میں ایک نقطہ ہے تو a کا ایک ذیلی سیٹ ہے جس میں ایک کھلا سیٹ شامل ہے جس میں، یہ بھی اس کے ٹپوولوجیکل اندرونی حصے سے تعلق رکھنے والے نقطہ کے برابر ہے۔ پڑوس کا ایک کھلا ذیلی سیٹ ہونا ضروری ہے لیکن جب کھلا ہو تو اسے an کہا جاتا ہے۔ کچھ مصنفین کو محلوں کو کھلا رکھنے کے لیے جانا جاتا ہے، اس لیے کنونشنوں کو نوٹ کرنا ضروری ہے۔ ایک سیٹ جو اس کے ہر پوائنٹ کا پڑوس ہے کھلا ہے کیونکہ اسے اس کے ہر پوائنٹ پر مشتمل کھلے سیٹ کے اتحاد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک بند مستطیل، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے، اس کے تمام نکات کا پڑوس نہیں ہے۔ مستطیل کے کناروں یا کونوں پر موجود نکات کسی بھی کھلے سیٹ میں موجود نہیں ہیں جو مستطیل کے اندر موجود ہے۔ کسی نقطہ کے تمام محلوں کے مجموعے کو نقطہ پر محلے کا نظام کہا جاتا ہے۔ کسی سیٹ کا پڑوس اگر کسی ٹپوولوجیکل اسپیس کا ذیلی سیٹ ہے، تو اس کا پڑوس ایک ایسا سیٹ ہے جس میں ایک کھلا سیٹ شامل ہوتا ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ ایک سیٹ اس کا پڑوس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ تمام پوائنٹس کا پڑوس ہو۔ مزید برآں، اس کا پڑوس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے اندرونی حصے کا ذیلی سیٹ ہو۔ اس کا پڑوس بھی ایک کھلا ذیلی سیٹ ہے جسے این کا کہا جاتا ہے۔ کسی پوائنٹ کا پڑوس اس تعریف کا صرف ایک خاص معاملہ ہے۔ میٹرک اسپیس میں ایک سیٹ کسی نقطہ کا پڑوس ہوتا ہے اگر مرکز اور رداس کے ساتھ کوئی کھلی گیند موجود ہو جس میں ایسی موجود ہو جسے کسی سیٹ کا یکساں پڑوس کہا جاتا ہے اگر کوئی مثبت نمبر موجود ہو جس کے تمام عناصر کے لیے اس میں موجود ہو۔ اسی حالت میں، کسی سیٹ کا پڑوسی ہونا ان تمام نکات کا مجموعہ ہوتا ہے جو اس سے کم فاصلے پر ہوتے ہیں (یا مساوی طور پر، رداس کی تمام کھلی گیندوں کا اتحاد ہوتا ہے جو ایک نقطہ پر مرکوز ہوتے ہیں): یہ براہ راست اس بات کی پیروی کرتا ہے کہ ایک پڑوسی ایک یکساں پڑوس ہے، اور یہ کہ ایک سیٹ ایک یکساں پڑوس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں کچھ قدر کے لیے پڑوسی ہو۔ مثال کے طور پر یوک کے ساتھ حقیقی اعداد کا مجموعہ دیا گیا ہے۔ پڑوس سے ٹوپولوجی مندرجہ بالا تعریف مفید ہے اگر اوپن سیٹ کا تصور پہلے ہی بیان کیا گیا ہو۔ ٹوپولوجی کی وضاحت کرنے کا ایک متبادل طریقہ ہے، پہلے پڑوس کے نظام کی وضاحت کرکے، اور پھر ان سیٹوں کو ان کے ہر ایک نکتے کے پڑوس پر مشتمل سیٹوں کے طور پر کھولیں۔ پڑوس کا نظام ہر ایک کے ذیلی سیٹوں کے فلٹر کی تفویض ہے جس میں نقطہ ہر ایک میں ہر ایک کا ایک عنصر ہوتا ہے جس میں کچھ اس طرح ہوتا ہے کہ ہر ایک کے لیے اندر میں ہوتا ہے۔ ایک یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ دونوں تعریفیں مطابقت رکھتی ہیں، یعنی، پڑوس کے نظام سے حاصل کردہ ٹوپولوجی جو کھلے سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے بیان کی گئی ہے وہ اصل ہے، اور اس کے برعکس جب پڑوس کے نظام سے شروع ہوتا ہے۔ یکساں محلے ایک یکساں جگہ کو یکساں محلے کہا جاتا ہے اگر کوئی ایسا وفد موجود ہو جس میں اس کے تمام نکات موجود ہوں-اس کے کسی مقام کے قریب، یعنی تمام حذف شدہ محلے کے لیے کسی نقطہ کا حذف شدہ محلے (جسے کبھی کبھی پنکچرڈ پڑوس کہا جاتا ہے) بغیر کا محلے ہے۔ مثال کے طور پر، وقفہ حقیقی لکیر کا ایک محلے ہے، لہذا سیٹ کسی دیئے گئے نقطہ کا حذف شدہ محلے کا حذف شدہ محلے ہے درحقیقت نقطہ کا محلے نہیں ہے۔ حذف شدہ پڑوس کا تصور فنکشن کی حد کی تعریف اور حد پوائنٹس کی تعریف میں (دوسری چیزوں کے علاوہ) ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات عمومی ٹوپولوجی ریاضیاتی تجزیہ