Checking whether a coin is fair
اعداد و شمار میں، یہ جانچنے کا سوال کہ آیا کوئی سکہ منصفانہ ہے، وہ ہے جس کی اہمیت، سب سے پہلے، ایک سادہ مسئلہ فراہم کرنے میں ہے جس پر شماریاتی تخمینہ کے بنیادی خیالات کی وضاحت کی جائے اور دوسرا، ایک سادہ مسئلہ فراہم کرنے میں جس کا استعمال شماریاتی تخمینہ کے مختلف مسابقتی طریقوں کا موازنہ کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے، بشمول فیصلہ نظریہ۔ یہ جانچنے کا عملی مسئلہ کہ آیا کوئی سکہ منصفانہ ہے، کافی بڑی تعداد میں ٹرائلز انجام دے کر آسانی سے حل سمجھا جا سکتا ہے، لیکن اعداد و شمار اور امکانی نظریہ دو قسم کے سوالات پر رہنمائی فراہم کر سکتے ہیں۔ خاص طور پر وہ کہ کتنے ٹرائلز کرنے ہیں اور ٹرائلز کے دیئے گئے نمونے سے حاصل ہونے والے سروں کو موڑنے کے امکان کے تخمینے کی درستگی۔ منصفانہ سکہ ایک مثالی بے ترتیب آلہ ہے جس میں دو ریاستیں (عام طور پر "ہیڈز" اور "ٹیلز" کے نام سے موسوم) ہوتی ہیں جن کے ہونے کا امکان یکساں ہوتا ہے۔ یہ کھیلوں اور دیگر حالات میں بڑے پیمانے پر استعمال ہونے والے سکے فلپ پر مبنی ہے جہاں دونوں فریقوں کو جیتنے کا ایک ہی موقع دینا ضروری ہے۔ یا تو ایک خاص طور پر ڈیزائن کردہ چپ یا زیادہ عام طور پر ایک سادہ کرنسی کا سکہ استعمال کیا جاتا ہے، حالانکہ وزن کی غیر متناسب تقسیم کی وجہ سے مؤخر الذکر قدرے "غیر منصفانہ" ہو سکتا ہے، جس کی وجہ سے ایک ریاست دوسرے کے مقابلے میں زیادہ کثرت سے واقع ہو سکتی ہے، جس سے ایک فریق کو غیر منصفانہ فائدہ مل سکتا ہے۔ لہذا تجرباتی طور پر جانچ کرنا ضروری ہو سکتا ہے کہ آیا سکہ حقیقت میں "منصفانہ" ہے-یعنی، جب سکہ پھینک دیا جائے تو اس کے دونوں طرف گرنے کا امکان بالکل 50 فیصد ہے۔ منصفانہ سے من مانی طور پر چھوٹے انحراف کو مسترد کرنا یقینا ناممکن ہے جیسے کہ پلٹنے کی زندگی میں صرف ایک پلٹ کو متاثر کرنے کی توقع کی جا سکتی ہے ؛ نیز یہ بھی ممکن ہے کہ کسی غیر منصفانہ (یا "متعصبانہ") سکے کا 20 پلٹاو میں بالکل 10 سر ہو جائیں۔ لہذا، کسی بھی انصاف پسندی کے امتحان کو صرف ایک خاص حد تک انصاف پسندی (ایک خاص حد تک زیادہ سے زیادہ تعصب) میں ایک خاص حد تک اعتماد قائم کرنا چاہیے۔ زیادہ سخت اصطلاحات میں، مسئلہ برنولی عمل کے پیرامیٹرز کا تعین کرنے کا ہے، جسے برنولی ٹرائلز کا صرف ایک محدود نمونہ دیا گیا ہے۔ تمہید یہ مضمون اس بات کا تعین کرنے کے تجرباتی طریقہ کار کی وضاحت کرتا ہے کہ آیا کوئی سکہ منصفانہ ہے یا غیر منصفانہ۔ اس طرح کے تجرباتی طریقہ کار کا تجزیہ کرنے کے لیے بہت سے شماریاتی طریقے ہیں۔ یہ مضمون ان میں سے دو کی وضاحت کرتا ہے۔ دونوں طریقے ایک تجربہ (یا آزمائش) تجویز کرتے ہیں جس میں سکے کو کئی بار پھینک دیا جاتا ہے اور ہر ٹاس کا نتیجہ ریکارڈ کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد نتائج کا شماریاتی تجزیہ کیا جا سکتا ہے تاکہ یہ فیصلہ کیا جا سکے کہ سکہ "منصفانہ" ہے یا "شاید منصفانہ نہیں"۔ پوسٹر پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن، یا پی ڈی ایف (بایسیئن اپروچ)۔ ابتدائی طور پر، جب کوئی سکہ پھینک دیا جاتا ہے تو کسی خاص پہلو کو حاصل کرنے کا حقیقی امکان معلوم نہیں ہے، لیکن غیر یقینی صورتحال کی نمائندگی "پیشگی تقسیم" سے ہوتی ہے۔ بایسیئن انفریشن کا نظریہ سابقہ تقسیم اور امکانات کے فنکشن کو ملا کر پوسٹر ڈسٹری بیوشن حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو تجربے سے حاصل کردہ معلومات کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس بات کا امکان کہ یہ مخصوص سکہ ایک "منصفانہ سکہ" ہے، اس کے بعد متعلقہ وقفے پر پچھلی تقسیم کی پی ڈی ایف کو مربوط کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے جو ان تمام امکانات کی نمائندگی کرتا ہے جنہیں عملی معنوں میں "منصفانہ" کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ حقیقی امکان کا تخمینہ (کثرت پسندانہ نقطہ نظر)۔ یہ طریقہ یہ فرض کرتا ہے کہ تجربہ کار سکے کو کسی بھی تعداد میں ٹاس کرنے کا فیصلہ کر سکتا ہے۔ تجربہ کار سب سے پہلے مطلوبہ اعتماد کی سطح اور غلطی کے قابل برداشت مارجن کا فیصلہ کرتا ہے۔ یہ پیرامیٹرز ٹاس کی کم از کم تعداد کا تعین کرتے ہیں جو تجربہ مکمل کرنے کے لیے انجام دی جانی چاہیے۔ ان دونوں طریقوں کے درمیان ایک اہم فرق یہ ہے کہ پہلا نقطہ نظر کسی کے سکے پھینکنے کے سابقہ تجربے کو کچھ اہمیت دیتا ہے، جبکہ دوسرا ایسا نہیں کرتا ہے۔ اس سوال پر کہ پہلے کے تجربے کو کتنا وزن دینا ہے، اس تجربے کے معیار (ساکھ) پر منحصر ہے، ساکھ کے نظریہ کے تحت بحث کی جاتی ہے۔ پوسٹر پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن ایک طریقہ یہ ہے کہ بایسیئن پروبیبلٹی تھیوری کے پوسٹر پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن کا حساب لگایا جائے۔ ایک ٹیسٹ سکے کو N بار پھینک کر اور سروں، h، اور دم، t کی مشاہدہ شدہ تعداد کو نوٹ کرکے کیا جاتا ہے۔ علامات H اور T بالترتیب سروں اور دم کی تعداد کو ظاہر کرنے والے زیادہ عمومی متغیرات کی نمائندگی کرتے ہیں جو تجربے میں مشاہدہ کیے گئے ہوں گے۔ اس طرح N = H + T = h + t۔ اگلا، آئیے کہ r سکے کی ایک ٹاس میں ہیڈز حاصل کرنے کا حقیقی امکان ہے۔ یہ اس سکے کی ملکیت ہے جس کی تفتیش کی جا رہی ہے۔ بائز تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، h اور t پر مشروط r کی پوسٹر پروبیبلٹی ڈینسٹی کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے: جہاں g (r) r کی پری پروبیبلٹی ڈینسٹی ڈسٹری بیوشن کی نمائندگی کرتا ہے، جو 0 سے 1 کی حد میں ہے۔ قبل از امکان کثافت کی تقسیم اس بات کا خلاصہ پیش کرتی ہے جو کسی مشاہدے کی عدم موجودگی میں r کی تقسیم کے بارے میں معلوم ہے۔ ہم فرض کریں گے کہ وقفہ [0,1] کے دوران r کی پیشگی تقسیم یکساں ہے۔ یعنی g (r) = 1۔ (عملی طور پر، حقیقی سکوں کے ساتھ ہمارے تجربے کی عکاسی کرنے کے لیے، ایک پیشگی تقسیم کو فرض کرنا زیادہ مناسب ہوگا جس کا 0.5 کے آس پاس کے علاقے میں بہت زیادہ وزن ہے۔) کسی سکے کے N ٹاسز میں r کے برابر سروں کے امکان کے ساتھ h سروں کو حاصل کرنے کا امکان بائنومیل ڈسٹری بیوشن کے ذریعے دیا جاتا ہے: اسے پچھلے فارمولے میں تبدیل کرنا: یہ درحقیقت ایک بیٹا ڈسٹری بیوشن ہے (بائنومیل ڈسٹری بیوشن سے پہلے کنجوگیٹ)، جس کے ڈینومینیٹر کا اظہار بیٹا فنکشن کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے: جیسا کہ ایک یکساں پیشگی تقسیم فرض کی گئی ہے، اور چونکہ h اور t انٹیجرز ہیں، اس لیے اسے فیکٹوریلز کے لحاظ سے بھی لکھا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، فرض کریں کہ N = 10، h = 7، یعنی۔ سکے کو 10 بار ٹاس کیا جاتا ہے اور 7 سر حاصل کیے جاتے ہیں: دائیں طرف کا گراف r کی امکانی کثافت فنکشن کو ظاہر کرتا ہے کیونکہ 7 سر 10 ٹاس میں حاصل کیے گئے تھے۔ (نوٹ: r ایک ہی سکے کو ایک بار پھینکتے وقت سر حاصل کرنے کا امکان ہے۔) متبادل مفروضے (ایک متعصبانہ سکہ) کے مقابلے میں ایک غیر جانبدار سکے کا امکان (اس مقصد کے لیے اس کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس کے نیچے آنے کا امکان 45 ٪ اور 55 ٪ کے درمیان ہے) بہت کم ہے۔ تاہم، یہ اتنا چھوٹا نہیں ہے کہ ہمیں یقین ہو کہ سکے میں ایک اہم تعصب ہے۔ یہ امکان اس امکان کے ہمارے مفروضے سے قدرے زیادہ ہے کہ سکہ یکساں پیشگی تقسیم کے مطابق منصفانہ تھا، جو کہ 10 فیصد تھا۔ ایک پیشگی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے جو کہ ایک سکہ کیا ہے اور یہ کیسے کام کرتا ہے اس کے بارے میں ہمارے پہلے علم کی عکاسی کرتا ہے، پچھلی تقسیم تعصب کے مفروضے کی حمایت نہیں کرے گی۔ تاہم اس مثال میں ٹرائلز کی تعداد (10 ٹاسز) بہت کم ہے، اور زیادہ ٹرائلز کے ساتھ پیشگی تقسیم کا انتخاب کچھ کم متعلقہ ہوگا۔) پہلے والی وردی کے ساتھ، پوسٹرئیر پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن f (r | H = 7، T = 3) r = h/(h + t) = 0.7 پر اپنے عروج کو حاصل کرتی ہے۔ اس قدر کو r کا زیادہ سے زیادہ پوسٹریوری (MAP) تخمینہ کہا جاتا ہے۔ نیز پہلے والی وردی کے ساتھ، پوسٹرئیر ڈسٹری بیوشن کے تحت r کی متوقع قیمت حقیقی امکان کا تخمینہ ہے۔ اس نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے، سکے کو کتنی بار پھینکنا چاہیے اس کا تعین کرنے کے لیے، دو پیرامیٹرز درکار ہیں: اعتماد کی سطح جسے اعتماد کے وقفے (Z) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ (قابل قبول) غلطی (E) اعتماد کی سطح کو Z سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے معیاری نارمل ڈسٹری بیوشن کے Z-ویلیو کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس قدر کو عام تقسیم کے لیے معیاری اسکور کے اعداد و شمار کی میز سے پڑھا جا سکتا ہے۔ کچھ مثالیں یہ ہیں: زیادہ سے زیادہ غلطی (E) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ سر حاصل کرنے کا تخمینہ شدہ امکان کہاں ہے۔ نوٹ: کیا (سر حاصل کرنے کا) وہی حقیقی امکان ہے جو اس مضمون کے پچھلے حصے میں ہے۔ اعداد و شمار میں، نمونے کے تناسب کا تخمینہ (p کے ذریعہ ظاہر کیا گیا) ایک معیاری غلطی ہے: جہاں n آزمائشوں کی تعداد ہے (جسے پچھلے حصے میں N کے ذریعہ ظاہر کیا گیا تھا)۔ p کی اس معیاری ایرر فنکشن میں زیادہ سے زیادہ ہے۔ مزید برآں، ایک سکے کے ٹاس ہونے کی صورت میں، یہ امکان ہے کہ p 0.0 سے زیادہ دور نہیں ہوگا، لہذا مندرجہ ذیل میں p = 0.0 لینا مناسب ہے: {| بارڈر = "0" سیل پیڈنگ = "0" |-| |} اور اس لیے زیادہ سے زیادہ غلطی (E) کی قیمت {| بارڈر = "0" سیل پیڈنگ = "0" |-| |} کے ذریعے دی جاتی ہے۔ اگر 0.1 کی زیادہ سے زیادہ غلطی مطلوب ہے، تو سکے کو کتنی بار پھینکنا چاہیے؟ 68.27% اعتماد کی سطح (Z = 1) پر 95.45% اعتماد کی سطح (Z = 2) پر 99.90% اعتماد کی سطح (Z = 3.3) 2 پر۔ اگر سکے کو 10000 بار ٹاس کیا جاتا ہے، تو اس کی قیمت پر تخمینہ لگانے والے کی زیادہ سے زیادہ غلطی کیا ہے (سکے کو ٹاس کرنے میں سر حاصل کرنے کا اصل امکان)؟ 68.27% اعتماد کی سطح (Z = 1) پر 95.45% اعتماد کی سطح (Z = 2) پر 99.90% اعتماد کی سطح (Z = 3.3) 3 پر۔ سکے کو 5961 سروں (اور 6039 دموں) کے نتیجے میں 12000 بار پھینک دیا جاتا ہے۔ اگر 99.999% کی اعتماد کی سطح مطلوب ہے تو (ہیڈز حاصل کرنے کا حقیقی امکان) کی قیمت کس وقفے کے اندر ہے؟ اب Z کی قدر تلاش کریں جو 99.999% اعتماد کی سطح سے مطابقت رکھتی ہے۔ اب E کا حساب لگائیں جس وقفہ میں r شامل ہے وہ اس طرح ہے: دیگر نقطہ نظر فیصلہ نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے یہ جانچنے کے سوال کے دوسرے نقطہ نظر دستیاب ہیں کہ آیا کوئی سکہ منصفانہ ہے یا نہیں، جس کے اطلاق کے لیے لاس فنکشن یا یوٹیلیٹی فنکشن کی تشکیل کی ضرورت ہوگی جو کسی دیئے گئے فیصلے کے نتائج کو بیان کرتی ہے۔ ایک ایسا نقطہ نظر جو نقصان کی تقریب یا پیشگی امکان کی ضرورت سے بچتا ہے (جیسا کہ بایسیائی نقطہ نظر میں) "قبولیت نمونے لینے" کا ہے۔ دیگر ایپلی کیشنز اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ آیا کوئی سکہ منصفانہ ہے، مذکورہ بالا ریاضیاتی تجزیہ کا اطلاق دوسرے استعمالوں پر بھی کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: کسی خاص (لیکن اچھی طرح سے متعین) حالت کے تابع مصنوعات کے لیے عیب دار اشیاء کے تناسب کا تعین کرنا۔ بعض اوقات کوئی پروڈکٹ تیار کرنا بہت مشکل یا مہنگا ہو سکتا ہے۔ مزید برآں، اگر اس طرح کی مصنوعات کی جانچ کے نتیجے میں ان کی تباہی ہوگی، تو کم سے کم اشیاء کی جانچ کی جانی چاہیے۔ اسی طرح کے تجزیے کا استعمال کرتے ہوئے، پروڈکٹ نقائص کی شرح کا امکانی کثافت فنکشن پایا جا سکتا ہے۔ دو جماعتوں کا انتخاب۔ اگر ایک چھوٹا بے ترتیب نمونہ سروے لیا جاتا ہے جہاں صرف دو باہمی خصوصی انتخاب ہوتے ہیں، تو یہ ممکنہ طور پر متعصبانہ سکے کا استعمال کرتے ہوئے ایک سکے کو متعدد بار پھینکنے کے مترادف ہے۔ اس لیے ڈالے گئے ووٹوں کے اصل تناسب سے منسوب اعتماد کا تعین کرنے کے لیے اسی طرح کے تجزیے کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ (اگر لوگوں کو پرہیز کرنے کی اجازت ہے تو تجزیہ کو اس کا حساب رکھنا چاہیے، اور سکے پلٹانے کی مشابہت بالکل نہیں ہے۔) جانوروں کی انواع کے ایک بڑے گروپ میں جنسی تناسب کا تعین کرنا۔ بشرطیکہ ایک چھوٹا بے ترتیب نمونہ (یعنی۔ کل آبادی کے مقابلے میں چھوٹا) آبادی کے بے ترتیب نمونے لیتے وقت لیا جاتا ہے، تجزیہ سکے ٹاس میں سر حاصل کرنے کے امکان کا تعین کرنے سے ملتا جلتا ہے۔ بائنومیل ٹیسٹ سکے پلٹنا اعتماد کا وقفہ تخمینہ تھیوری انفیرنشل شماریات لوڈڈ ڈائس مارجن آف ایرر پوائنٹ تخمینہ شماریاتی بے ترتیب حوالہ جات گٹ مین، ولکس، اور ہنٹر: تعارفی انجینئرنگ شماریات، جان ولی اینڈ سنز، انکارپوریٹڈ (1971) دیویندر سیویا: ڈیٹا تجزیہ، ایک بیسیئن ٹیوٹوریل، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس (1996) شماریاتی ٹیسٹ بیسیئن انفریشن تجربات سکے پلٹنا