Magic hexagon
ترتیب n کا جادوئی ہیکساگون ایک مرکوز ہیکساگونل پیٹرن میں نمبروں کا ایک انتظام ہے جس کے ہر کنارے پر n خلیات ہوتے ہیں، اس طرح کہ ہر صف میں موجود اعداد، تینوں سمتوں میں، ایک ہی جادوئی مستقل M کا مجموعہ بنتے ہیں۔ ایک عام جادوئی ہیکساگون 1 سے 3n2−3n + 1 تک مسلسل انٹیجرز پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ عام جادوئی ہیکساگون صرف n = 1 (جو معمولی ہے، کیونکہ یہ صرف 1 خلیے پر مشتمل ہے) اور n = 3 کے لیے موجود ہیں۔ مزید برآں، آرڈر 3 کا حل بنیادی طور پر منفرد ہے۔ مینگ نے ایک کم پیچیدہ تعمیری ثبوت بھی دیا۔ آرڈر-3 جادوئی ہیکساگون کو کئی بار 'نئی' دریافت کے طور پر شائع کیا گیا ہے۔ ایک ابتدائی حوالہ، اور ممکنہ طور پر پہلا دریافت کنندہ، ارنسٹ وان ہیسلبرگ (1887) ہے۔ عام جادوئی ہیکساگون کا ثبوت ہیکساگون میں نمبر لگاتار ہوتے ہیں، اور 1 سے 1 تک چلتے ہیں۔ لہذا ان کا مجموعہ ایک مثلث نمبر ہے، یعنی r = 2n−1 قطاریں کسی بھی دی گئی سمت (E-W، NE-SW، یا NW-SE) کے ساتھ چل رہی ہیں۔ ان قطاروں میں سے ہر ایک کا مجموعہ ایک ہی نمبر M تک ہوتا ہے۔ لہذا: اسے 32 سے ضرب دینے کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک عدد ہونا چاہیے، اس لیے 2n−1 کو 5 کا عنصر ہونا چاہیے، یعنی 2n−1 = ±1 یا 2n−1 = ±5۔ صرف وہی جو اس شرط کو پورا کرتے ہیں اور، یہ ثابت کرتے ہیں کہ آرڈر 1 اور 3 کے علاوہ کوئی عام جادوئی ہیکساگون نہیں ہیں۔ غیر معمولی جادوئی ہیکساگون اگرچہ کوئی عام جادوئی ہیکساگون نہیں ہیں جن کی ترتیب 3 سے زیادہ ہے، لیکن کچھ غیر معمولی ہیکساگون موجود ہیں۔ اس صورت میں، غیر معمولی کا مطلب 1 کے علاوہ دیگر اعداد کی ترتیب شروع کرنا ہے۔ آرسن زہرے نے یہ ترتیب 4 اور 5 ہیکساگون دریافت کیے: ترتیب 4 ہیکساگون 3 سے شروع ہوتی ہے اور 39 پر ختم ہوتی ہے، اس کی قطاریں 111 تک جمع ہوتی ہیں۔ ترتیب 5 مسدس 6 سے شروع ہوتا ہے اور 66 پر ختم ہوتا ہے اور 244 کا مجموعہ ہوتا ہے۔ ایک آرڈر 5 ہیکساگون 15 سے شروع ہوتا ہے، 75 سے ختم ہوتا ہے اور 305 کا مجموعہ یہ ہے: آرڈر 5 ہیکساگون کے لیے 305 سے زیادہ رقم ممکن نہیں ہے۔ آرڈر 5 ہیکساگون، جہاں "X" آرڈر 3 ہیکساگون کے لیے پلیس ہولڈر ہوتے ہیں، جو نمبر کی ترتیب کو مکمل کرتے ہیں۔ بائیں جانب مسدس 38 (نمبر 1 سے 19) اور دائیں جانب مسدس 0 (نمبر −9 سے 9) کے ساتھ 26 مسدسوں میں سے ایک پر مشتمل ہے۔ مزید معلومات کے لیے جرمن ویکیپیڈیا کا مضمون دیکھیں۔ ایک آرڈر 6 ہیکساگون نیچے دیکھا جا سکتا ہے۔ اسے لوئس ہولبلنگ نے 11 اکتوبر 2004 کو تخلیق کیا تھا: یہ 21 سے شروع ہوتا ہے، 111 پر ختم ہوتا ہے، اور اس کا مجموعہ 546 ہے۔ آرڈر 7 کا یہ جادوئی ہیکساگون 22 مارچ 2006 کو آرسن زہرے کی مصنوعی اینیلنگ کا استعمال کرتے ہوئے دریافت کیا گیا تھا: یہ 2 سے شروع ہوتا ہے، 128 پر ختم ہوتا ہے اور اس کا مجموعہ 635 ہے۔ لوئس کے ہویلبلنگ نے 5 فروری 2006 کو ایک آرڈر 8 جادوئی ہیکساگون تیار کیا تھا: یہ-84 سے شروع ہوتا ہے اور 84 پر ختم ہوتا ہے، اور اس کا مجموعہ 0 ہے۔ جادوئی ٹی-ہیکساگون ہیکساگون کو مثلث کے ساتھ بھی بنایا جا سکتا ہے، جیسا کہ درج ذیل خاکے سے ظاہر ہوتا ہے۔ اس قسم کی ترتیب کو ٹی-ہیکساگون کہا جا سکتا ہے اور اس میں ہیکساگون کے ہیکساگون سے کہیں زیادہ خصوصیات ہیں۔ جیسا کہ اوپر کے ساتھ ہوتا ہے، مثلث کی قطاریں تین سمتوں میں چلتی ہیں اور ترتیب 2 کے ٹی-ہیکسگن میں 24 مثلث ہوتے ہیں۔ عام طور پر، ترتیب n کے T-ہیکسگن میں مثلث ہوتے ہیں۔ ان تمام اعداد کا مجموعہ اس طرح دیا گیا ہے: اگر ہم سائیڈ n کا جادوئی T-ہیکسگن بنانے کی کوشش کرتے ہیں، تو ہمیں n کو یکساں ہونے کے لیے منتخب کرنا ہوگا، کیونکہ قطاریں ہیں اس لیے ہر صف میں مجموعہ ہونا ضروری ہے۔ آج تک، ترتیب 2، 4، 6 اور 8 کے جادوئی ٹی-ہیکساگون دریافت ہو چکے ہیں۔ پہلا آرڈر 2 کا جادوئی ٹی-ہیکسگن تھا، جسے جان بیکر نے 13 ستمبر 2003 کو دریافت کیا تھا۔ اس وقت سے، جان ڈیوڈ کنگ کے ساتھ تعاون کر رہا ہے، جس نے دریافت کیا کہ آرڈر 2 کے غیر مطابقت پذیر جادوئی ٹی-ہیکساگون موجود ہیں۔ جادوئی ٹی-ہیکساگون میں جادوئی چوکوں کے ساتھ متعدد خصوصیات مشترک ہیں، لیکن ان کی اپنی خصوصی خصوصیات بھی ہیں۔ ان میں سب سے زیادہ حیرت انگیز بات یہ ہے کہ مثلثوں میں جو اعداد اوپر کی طرف اشارہ کرتے ہیں ان کا مجموعہ مثلثوں میں ان کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے جو نیچے کی طرف اشارہ کرتے ہیں (چاہے ٹی-ہیکسگن کتنا ہی بڑا کیوں نہ ہو)۔ مندرجہ بالا مثال میں، نوٹس ریفرنسز بیکر۔ جے ای اور کنگ، ڈی آر (2004) "مسدس کی خصوصیات کو تلاش کرنے کے لیے بصری اسکیما کا استعمال" بصری ریاضی، جلد 5، نمبر 3 بیکر، جے ای اور بیکر، اے جے۔ (2004) "ہیکساگون، فطرت کا انتخاب" آرکیمیڈیز، جلد 4 یہ بھی دیکھیں کہ ہیکساگونل کچھوے کا مسئلہ جادوئی ہیکسگرام جادوئی شکلیں