Heesch's problem
جیومیٹری میں، کسی شکل کا ہیش نمبر ایک ہی شکل کی نقلوں کی تہوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد ہے جو اسے بغیر کسی اوورلیپ اور بغیر کسی خلا کے گھیر سکتی ہے۔ ہیش کا مسئلہ ان اعداد کے سیٹ کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے جو ہیش نمبر ہو سکتے ہیں۔ دونوں کا نام جیومیٹر ہینرچ ہیش کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ہیش نمبر 1 (مربع، مساوی مثلث، اور 30-60-90 دائیں مثلث کا اتحاد) کے ساتھ ایک ٹائل دریافت کیا اور زیادہ عام مسئلہ پیش کیا۔ مثال کے طور پر، ایک مربع مربع ٹائلنگ میں ہم آہنگ مربعوں کی لامحدود بہت سی تہوں سے گھرا ہوا ہو سکتا ہے، جبکہ ایک دائرہ کچھ خلا چھوڑے بغیر ہم آہنگ حلقوں کی ایک تہ سے بھی گھرا نہیں ہو سکتا۔ مربع کا ہیش نمبر لامحدود ہے اور دائرے کا ہیش نمبر صفر ہے۔ زیادہ پیچیدہ مثالوں میں، جیسے کہ مثال میں دکھایا گیا ہے، ایک کثیر الاضحی ٹائل کئی تہوں سے گھرا ہوا ہو سکتا ہے، لیکن لامحدود طور پر نہیں۔ تہوں کی زیادہ سے زیادہ تعداد ٹائل کا ہیش نمبر ہے۔ رسمی تعریفیں ہوائی جہاز کا ٹیسلیشن ہوائی جہاز کو چھوٹے چھوٹے علاقوں میں تقسیم کرنا ہے جسے ٹائلیں کہتے ہیں۔ ٹائل کے زیروتھ کورونا کی تعریف خود ٹائل کے طور پر کی جاتی ہے، اور k> 0 کے لیے kth کورونا ٹائلوں کا مجموعہ ہے جو (k−1) th کورونا کے ساتھ باؤنڈری پوائنٹ کا اشتراک کرتا ہے۔ کسی شکل S کا ہیش نمبر زیادہ سے زیادہ قدر k ہے جس میں طیارہ کی ٹائلنگ موجود ہوتی ہے، اور اس ٹائلنگ کے اندر ٹائل t، جس کے لیے t کے kth کروناس کے ذریعے صفر میں موجود تمام ٹائلیں S سے مطابقت رکھتی ہیں۔ اس مسئلے پر کچھ کام میں اس تعریف میں اضافی طور پر ترمیم کی گئی ہے کہ t کے kth کروناس کے ذریعے صفر کا اتحاد ایک سیدھا جڑا ہوا خطہ ہے۔ اگر ان تہوں کی تعداد پر کوئی اوپری حد نہیں ہے جس سے ٹائل کو گھیر لیا جا سکتا ہے، تو اس کا ہیش نمبر لامحدود کہا جاتا ہے۔ اس معاملے میں، کینیگ کے لیما پر مبنی ایک دلیل کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ٹائل کی ہم آہنگ کاپیوں کے ذریعے پورے جہاز کا ایک ٹیسلیشن موجود ہے۔ مثال دائیں طرف کے اعداد و شمار میں دکھائے گئے غیر کنویکس کثیر الاضحی P پر غور کریں، جو ایک باقاعدہ مسدس سے اس کے دو اطراف پر پروجیکشنز کو شامل کرکے اور تین اطراف سے مماثل انڈیٹیشن کے ذریعے تشکیل پاتا ہے۔ یہ شکل ایک ٹیسلیشن دکھاتی ہے جس میں چوتھی پرت کے اندر پی کی 61 کاپیاں، ایک بڑا لامحدود خطہ، اور ہیرے کی شکل کے چار چھوٹے کثیر الاضلاعات شامل ہیں۔ مرکزی کثیر الاضحی کے پہلے سے چوتھے کرونا مکمل طور پر P کی ہم آہنگ نقلوں پر مشتمل ہوتے ہیں، اس لیے اس کا ہیش نمبر کم از کم چار ہوتا ہے۔ ہیرے کی شکل کے چھوٹے کثیر الاضحی بنانے سے بچنے کے لیے اس اعداد و شمار میں کثیر الاضحی کی نقول کو دوبارہ ترتیب نہیں دیا جا سکتا، کیونکہ P کی 61 نقلوں میں ان تخمینوں کی تعداد کے مقابلے میں بہت زیادہ اشارے ہیں جو انہیں بھر سکتے ہیں۔ اس دلیل کو باقاعدہ بنا کر، یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ P کا ہیش نمبر بالکل چار ہے۔ ترمیم شدہ تعریف کے مطابق جس کے لیے ضروری ہے کہ کرونا کو آسانی سے جوڑا جائے، ہیش نمبر تین ہے۔ یہ مثال رابرٹ امان نے دریافت کی تھی۔ معلوم نتائج یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا تمام مثبت عدد ہیش نمبر ہو سکتے ہیں۔ ہیش نمبر 2 کے ساتھ کثیر الاضلاعات کی پہلی مثالیں ان کے ذریعہ فراہم کی گئیں، جنہوں نے ظاہر کیا کہ لامحدود طور پر بہت سے کثیر الاضلاعات میں یہ خاصیت ہے۔ کیسی مان نے ٹائلوں کا ایک خاندان بنایا ہے، جن میں سے ہر ایک ہیش نمبر 5 کے ساتھ ہے۔ مان کی ٹائلوں میں ہیش نمبر 5 ہے یہاں تک کہ محدود تعریف کے ساتھ جس میں ہر کورونا کو آسانی سے جوڑا جانا چاہیے۔ 2020 میں، بوجن باشیک نے ہیش نمبر 6 کے ساتھ ایک اعداد و شمار پایا، جو موجودہ وقت تک سب سے زیادہ محدود نمبر ہے۔ ہائپربولک سطح میں متعلقہ مسئلہ کے لیے، ہیش نمبر من مانی طور پر بڑا ہو سکتا ہے۔ حوالہ جات ذرائع مزید پڑھنے والے بیرونی لنکس ہیش نمبرز کے بارے میں نمبر فائل ویڈیو۔ جیومیٹری میں ٹیسیلیشن غیر حل شدہ مسائل