Principles and Standards for School Mathematics
اسکول ریاضی کے اصول اور معیارات (پی ایس ایس ایم) نیشنل کونسل آف ٹیچرز آف میتھمیٹکس (این سی ٹی ایم) کی طرف سے 2000 میں تیار کردہ رہنما خطوط ہیں، جو ریاضی کے اساتذہ کے لیے سفارشات پیش کرتے ہیں۔ وہ امریکہ اور کینیڈا میں بارہویں جماعت کی ریاضی کی تعلیم کے ذریعے پری اسکول کے لیے ایک قومی وژن تشکیل دیتے ہیں۔ یہ معیارات پر مبنی ریاضی کا بنیادی نمونہ ہے۔ این سی ٹی ایم نے ایک متفقہ عمل کا استعمال کیا جس میں کلاس روم کے اساتذہ، ریاضی دان اور تعلیمی محققین شامل تھے۔ نتیجے میں بننے والی دستاویز میں چھ اصولوں (مساوات، نصاب، تدریس، سیکھنے، تشخیص اور ٹیکنالوجی) کا ایک مجموعہ پیش کیا گیا ہے جو ریاضی کے پروگراموں کے لیے این سی ٹی ایم کے تجویز کردہ فریم ورک کو بیان کرتا ہے، اور دس عمومی سٹرینڈ یا معیارات جو اسکول کے ریاضی کے نصاب کو کاٹتے ہیں۔ ان تاروں کو ریاضی کے مواد (نمبر اور آپریشنز، الجبرا، جیومیٹری، پیمائش، اور ڈیٹا تجزیہ اور امکان) اور عمل (مسئلہ حل کرنے، استدلال اور ثبوت، مواصلات، کنکشنز، اور نمائندگی) میں تقسیم کیا گیا ہے۔ طلباء کی تعلیم کے لیے مخصوص توقعات کو درجات کی حدود (پری اسکول سے 2، 3 سے 5، 6 سے 8، اور 9 سے 12) کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ اسکول ریاضی کے اصول اور معیارات این سی ٹی ایم نے تیار کیے تھے۔ این سی ٹی ایم کا بیان کردہ ارادہ ریاضی کی تعلیم کو بہتر بنانا تھا۔ مواد موجودہ نصاب کے مواد، نصاب اور بہت سے ممالک کی پالیسیوں، تعلیمی تحقیقی اشاعتوں، اور یو ایس نیشنل سائنس فاؤنڈیشن جیسی سرکاری ایجنسیوں کے سروے پر مبنی تھا۔ اصل مسودے کا 1998 کے آخر میں وسیع پیمانے پر جائزہ لیا گیا اور اساتذہ کی سینکڑوں تجاویز کے جواب میں اس میں ترمیم کی گئی۔ پی ایس ایس ایم کا مقصد "ایک واحد وسیلہ ہونا ہے جسے ریاضی کے نصاب، تدریس اور تشخیص کو بہتر بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے"۔ تازہ ترین اپ ڈیٹ 2000 میں شائع ہوئی تھی۔ پی ایس ایس ایم ایک کتاب کے طور پر اور این سی ٹی ایم ویب سائٹ پر ہائپر ٹیکسٹ فارمیٹ میں دستیاب ہے۔ پی ایس ایس ایم این سی ٹی ایم کی تین سابقہ اشاعتوں کی جگہ لے لیتا ہے: اسکول ریاضی کے لیے نصاب اور تشخیص کے معیارات (1989)، جو کسی سرکاری ایجنسی کے بجائے کسی آزاد پیشہ ور تنظیم کی طرف سے اس طرح کی پہلی اشاعت تھی اور اس میں اس بات کا خاکہ پیش کیا گیا تھا کہ طلباء کو کیا سیکھنا چاہیے اور ان کے سیکھنے کی پیمائش کیسے کرنی چاہیے۔ ریاضی کی تعلیم کے لیے پیشہ ورانہ معیارات (1991)، جس میں ریاضی کی تعلیم کے لیے بہترین طریقوں کے بارے میں معلومات شامل کی گئیں۔ اسسمنٹ اسٹینڈرڈز فار اسکول میتھمیٹکس (1995)، جس میں تشخیص کے درست طریقوں کے استعمال پر توجہ دی گئی۔ مساوات کے چھ اصول: مساوات کے لیے این سی ٹی ایم کے معیارات، جیسا کہ پی ایس ایس ایم میں بیان کیا گیا ہے، تمام طلباء کے لیے ریاضی تک مساوی رسائی کی حوصلہ افزائی کرتے ہیں، "خاص طور پر وہ طلباء جو غریب ہیں، انگریزی کے مقامی بولنے والے نہیں، معذور، خواتین، یا اقلیتی گروہوں کے ارکان نہیں ہیں"۔ پی ایس ایس ایم اس مقصد کو واضح کرتا ہے کہ تمام طلباء کو اعلی سطح کا ریاضی سیکھنا چاہیے، خاص طور پر اقلیتوں اور خواتین جیسے پسماندہ گروہوں کو۔ یہ اصول ان طلباء کو اضافی مدد فراہم کرنے کی حوصلہ افزائی کرتا ہے جو جدوجہد کر رہے ہیں اور تمام طلباء کے لیے اعلی توقعات اور بہترین تدریس کی وکالت کرتے ہیں۔ نصاب: پی ایس ایس ایم کے نصاب کے حصے میں، این سی ٹی ایم ایک "مربوط" نصاب کو فروغ دیتا ہے، جس میں ایک منظم اور منطقی پیش رفت طلباء کی ریاضی کی سمجھ میں اضافہ کرتی ہے اور غیر ضروری تکرار کے ساتھ وقت ضائع کرنے سے بچتی ہے۔ وہ تسلیم کرتے ہیں کہ کچھ مخصوص موضوعات کی نسبتا اہمیت وقت کے ساتھ بدلتی ہے۔ مثال کے طور پر، تکرار کی بنیادی تفہیم ان طلباء کے لیے اہم ہے جو کمپیوٹر پروگرامنگ سیکھ رہے ہیں، اور 19 ویں صدی کی نصابی کتابوں سے تقریبا غائب ہیں۔ اسی طرح، پرانی امریکی ریاضی کی نصابی کتابوں میں ایسے اسباق شامل تھے جنہیں اب اہم نہیں سمجھا جاتا، جیسے کہ گھاس کے جھاڑیوں کی تعداد کا حساب لگانے کے اصول جنہیں بیان کردہ جہتوں کے ڈبے میں ذخیرہ کیا جا سکتا تھا، کیونکہ یہ مہارت اس وقت کے کسانوں کے لیے مفید تھی۔ این سی ٹی ایم تجویز کرتا ہے کہ جدید کلاس رومز میں پڑھائی جانے والی ریاضی وہ مہارتیں ہوں جو طلباء کی زندگیوں اور کیریئر کے لیے سب سے زیادہ اہم ہیں۔ تدریس: پی۔ ایس۔ ایس۔ ایم میں، این۔ سی۔ ٹی۔ ایم سب کے لیے یکساں نقطہ نظر تجویز کیے بغیر، اچھے تدریسی طریقوں کو فروغ دیتا ہے۔ این سی ٹی ایم چاہتا ہے کہ اساتذہ تدریسی تکنیکوں کے انتخاب میں اپنے پیشہ ورانہ فیصلے کو استعمال کر سکیں۔ وہ ریاضی (مواد) اور موثر تدریسی تکنیکوں (طریقوں) دونوں میں پیشہ ورانہ ترقی کے مواقع کو پسند کرتے ہیں۔ سیکھنا: پی ایس ایس ایم کے مطابق، طلباء کے لیے ریاضی کا استعمال کرنے کے لیے "حقیقت پسندانہ علم، طریقہ کار کی سہولت، اور تصوراتی تفہیم" کا مجموعہ ضروری ہے۔ اگرچہ وہ کہتے ہیں کہ "بنیادی باتیں سیکھنا اہم ہے"، این سی ٹی ایم دہرانے کے ذریعے حفظ کرنے کی سب سے آسان شکلوں کو ریاضی میں کافی کامیابی نہیں مانتا ہے۔ ایک اچھا طالب علم نہ صرف یہ سمجھتا ہے کہ حقائق، طریقہ کار اور تصورات کو کیسے اور کب استعمال کرنا ہے، بلکہ وہ چیزوں کا پتہ لگانا بھی چاہتا ہے اور چیلنج کا سامنا کرتے ہوئے ثابت قدم رہتا ہے۔ این سی ٹی ایم خاص طور پر اسکولوں میں ایسے رویوں کی مذمت کرتا ہے جو تجویز کرتے ہیں کہ صرف مخصوص طلباء ریاضی میں مہارت حاصل کرنے کے قابل ہیں۔ تشخیصی ٹیکنالوجی کے معیارات ریاضی کے مواد اور عمل کے دس عمومی سٹرینڈز یا معیارات کی وضاحت کی گئی تھی جو اسکول کے ریاضی کے نصاب میں شامل تھے۔ طلباء کے سیکھنے کے لیے مخصوص توقعات، جو نتائج پر مبنی تعلیم کے فلسفے سے اخذ کی گئی ہیں، درجات کی حدود (پری اسکول سے 2، 3 سے 5، 6 سے 8، اور 9 سے 12) کے لیے بیان کی گئی ہیں۔ ان معیارات کو تقریبا تمام نتائج پر مبنی تعلیم اور بعد میں معیارات پر مبنی تعلیمی اصلاحات کے پروگراموں کا ایک لازمی حصہ بنایا گیا تھا جنہیں پورے امریکہ میں بڑے پیمانے پر اپنایا گیا تھا۔ مواد کے معیارات نمبر اور آپریشنز: یہ تمام ریاضی کی بنیادی بنیاد ہیں، اور اس اہم شعبے کی تعلیم مواد کا پہلا معیار ہے۔ تمام طلباء کو "نمبروں، نمبروں کی نمائندگی کرنے کے طریقوں، نمبروں کے درمیان تعلقات، اور نمبر سسٹم کو سمجھنا سکھایا جانا چاہیے ؛ کارروائیوں کے معانی کو سمجھنا اور وہ ایک دوسرے سے کس طرح متعلق ہیں ؛ [اور] روانی سے حساب لگانا اور معقول تخمینے لگانا"۔ ذہنی حسابات انجام دینے اور کاغذ پر جوابات کا حساب لگانے کی صلاحیت "ضروری" ہے۔ الجبرا: پی ایس ایس ایم الجبرا سے متعلق چار مہارتوں کے نام دیتا ہے جنہیں تمام طلباء کو سکھایا جانا چاہیے: "نمونوں، تعلقات اور افعال کو سمجھنا ؛ الجبرائی علامتوں کا استعمال کرتے ہوئے ریاضیاتی حالات اور ڈھانچوں کی نمائندگی اور تجزیہ کرنا ؛ مقداری تعلقات کی نمائندگی اور سمجھنے کے لیے ریاضیاتی نمونوں کا استعمال کرنا ؛ [اور] مختلف سیاق و سباق میں تبدیلی کا تجزیہ کرنا"۔ الجبرہ کی بہت سادہ مہارتیں اکثر چھوٹے بچوں کو سکھائی جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک طالب علم 19 + 15 =؟ جیسی اضافی مساوات کو تبدیل کر سکتا ہے۔ ایک آسان مساوات میں، 20 + 14 =؟ آسان حساب کے لیے۔ رسمی طور پر، یہ الجبرائی اشارے میں اس طرح بیان کیا گیا ہے: (19 + 1) + (15−1) = x، لیکن یہاں تک کہ ایک نوجوان طالب علم بھی اس تکنیک کو الجبرا کہے بغیر استعمال کر سکتا ہے۔ پی ایس ایس ایم تجویز کرتا ہے کہ تمام طلباء آٹھویں جماعت کے اختتام تک پری الجبرا کورس ورک مکمل کریں اور ہائی اسکول کے دوران الجبرا کلاس لیں۔ جیومیٹری: جیومیٹری سیکھنے کے مجموعی اہداف یہ ہیں کہ "دو اور تین جہتی ہندسی شکلوں کی خصوصیات اور خصوصیات کا تجزیہ کیا جائے اور ہندسی تعلقات کے بارے میں ریاضیاتی دلائل تیار کیے جائیں۔ مقامات کی وضاحت کی جائے اور مربوط جیومیٹری اور دیگر نمائندگی کے نظاموں کا استعمال کرتے ہوئے مقامی تعلقات کو بیان کیا جائے۔ تبدیلیوں کا اطلاق کیا جائے اور ریاضیاتی حالات کا تجزیہ کرنے کے لیے ہم آہنگی کا استعمال کیا جائے۔ [اور] مسائل کو حل کرنے کے لیے تصور، مقامی استدلال اور ہندسی ماڈلنگ کا استعمال کیا جائے۔" جیومیٹری کی کچھ مہارتیں روزمرہ کے بہت سے کاموں میں استعمال ہوتی ہیں، جیسے نقشہ پڑھنا، کسی شے کی شکل بیان کرنا، فرنیچر کا انتظام کرنا تاکہ وہ کسی کمرے میں فٹ ہو، یا کسی پروجیکٹ کے لیے درکار کپڑے یا تعمیراتی مواد کی مقدار کا تعین کرنا۔ تدریس طلباء کی ترقی کی سطح کے لیے موزوں ہونی چاہیے: نوجوان طلباء کو مستطیل اور مربع کے درمیان فرق کی وضاحت کرنے کے قابل ہونا چاہیے، جبکہ بڑے طلباء کو سادہ ریاضیاتی ثبوتوں سمیت زیادہ پیچیدہ استدلال کا اظہار کرنے کے قابل ہونا چاہیے۔ (وین ہیل ماڈل دیکھیں۔) پی ایس ایس ایم جیومیٹری کی تعلیم کے لیے فزیکل آبجیکٹ، ڈرائنگ اور کمپیوٹر سافٹ ویئر کے مناسب استعمال کو فروغ دیتا ہے۔ پیمائش: پیمائش کی مہارتوں کے بہت سے عملی استعمال ہوتے ہیں، ساتھ ہی ساتھ ریاضیاتی تفہیم کو آگے بڑھانے اور دیگر ریاضیاتی مہارتوں، خاص طور پر نمبر آپریشنز (مثال کے طور پر، اضافہ یا گھٹاؤ) اور جیومیٹری پر عمل کرنے کے مواقع فراہم کرتے ہیں۔ طلباء کو "اشیاء کی قابل پیمائش صفات اور پیمائش کی اکائیوں، نظاموں اور عمل کو سمجھنا چاہیے ؛ [اور] پیمائش کے تعین کے لیے مناسب تکنیکوں، اوزاروں اور فارمولوں کا اطلاق کرنا چاہیے"۔ زیادہ تجریدی مہارتوں کے برعکس، پیمائش کی عملی اہمیت طلباء اور والدین کے لیے آسانی سے واضح ہے۔ اعداد و شمار کا تجزیہ اور امکان: پی ایس ایس ایم کا کہنا ہے کہ تمام طلباء کو "ایسے سوالات مرتب کرنا سیکھنا چاہیے جنہیں اعداد و شمار کے ساتھ حل کیا جا سکے اور ان کا جواب دینے کے لیے متعلقہ اعداد و شمار کو جمع، منظم اور ظاہر کرنا چاہیے ؛ اعداد و شمار کا تجزیہ کرنے کے لیے مناسب شماریاتی طریقوں کا انتخاب اور استعمال کرنا چاہیے ؛ اعداد و شمار پر مبنی نتائج اور پیش گوئیوں کو تیار اور ان کا جائزہ لینا چاہیے ؛ [اور] امکانات کے بنیادی تصورات کو سمجھنا اور ان کا اطلاق کرنا چاہیے"۔ یہ مہارتیں طلباء کو اہم معلومات، جیسے طبی اعداد و شمار اور سیاسی سروے کے نتائج کو سمجھنے میں مدد دیتی ہیں۔ یہ مہارتیں تیزی سے اہم ہو رہی ہیں کیونکہ اعداد و شمار کے اعداد و شمار کو مینوفیکچررز مصنوعات کو فروغ دینے کے لیے منتخب طور پر استعمال کرتے ہیں۔ اگرچہ نوجوان طلباء سادہ مہارتیں سیکھتے ہیں جیسے اپنے ہم جماعتوں سے تعلق رکھنے والے پالتو جانوروں کی تعداد کی نمائندگی کرنے کے طریقے، یا روایتی مہارتیں جیسے کہ متعدد نمبروں کے ریاضی کے اوسط کا حساب لگانا، بوڑھے طلباء ایسے تصورات سیکھ سکتے ہیں جو روایتی طور پر نظر انداز کیے گئے تھے، جیسے کہ کبھی کبھار ڈرامائی رشتہ دار خطرے میں کمی کے اعداد و شمار اور زیادہ ٹھوس مطلق خطرے میں کمی، یا سیاسی رائے دہندگان اپنے سروے کے نتائج کے ساتھ غلطی کے مارجن کی اطلاع کیوں دیتے ہیں۔ عمل کے معیارات مسئلہ حل کرنے کی استدلال اور ثبوت مواصلاتی روابط نمائندگی نصاب فوکل پوائنٹس 2006 میں، این سی ٹی ایم نے "نصاب فوکل پوائنٹس" کے نام سے ایک دستاویز جاری کی جس میں ابتدائی اور مڈل اسکولوں میں ہر گریڈ کے لیے سب سے اہم ریاضیاتی موضوعات پیش کیے گئے۔ امریکی ریاضی کی تعلیم وسیع ہوتی ہے اور ہر سال بہت سے موضوعات کو شامل کرنے پر تنقید کی جاتی ہے۔ جزوی طور پر، اس اشاعت کا مقصد اساتذہ کو ہدف توجہ کے لیے سب سے اہم مواد کی نشاندہی کرنے میں مدد کرنا ہے۔ اس طرح کی مزید اشاعتوں کا منصوبہ بنایا گیا ہے۔ این سی ٹی ایم نے کہا کہ "فوکل پوائنٹس" معیارات کے نفاذ میں ایک قدم تھا، نہ کہ طلبا کو تصوراتی تفہیم کے ساتھ بنیادی موضوعات سیکھنے کی تعلیم دینے کے بارے میں اس کے موقف میں تبدیلی۔ بہت سے نصابی کتابوں کے ناشرین اور تعلیمی ترقی پسندوں کی توقعات کے برعکس، 2006 کے نصاب فوکل پوائنٹس نے نچلے اور متوسط درجے میں بنیادی ریاضی کی مہارتوں کی اہمیت پر زور دیا۔ اس کی وجہ سے، "نصاب فوکل پوائنٹس" کو میڈیا نے ایک اعتراف کے طور پر سمجھا کہ پی ایس ایس ایم نے اصل میں سفارش کی تھی، یا کم از کم اس کی تشریح بنیادی ریاضی کے حقائق میں کم ہدایات کی سفارش کے طور پر کی گئی تھی۔ 2006 کے نصاب فوکل پوائنٹس میں پری کنڈرگارٹن سے لے کر گریڈ 8 تک ہر گریڈ کی سطح پر تین اہم شعبوں کی نشاندہی کی گئی ہے۔ تین درجات کے لیے مخصوص فوکل پوائنٹس کے نمونے ذیل میں ہیں۔ (نوٹ کریں کہ نیچے دی گئی سادہ مثالیں فوکل پوائنٹس سے اقتباسات نہیں ہیں، بلکہ فوکل پوائنٹس میں پائی جانے والی سرگرمیوں کی وضاحت پر مبنی ہیں۔) فوکل پوائنٹس نہ صرف تجویز کردہ نصاب پر زور دیتے ہیں، بلکہ ان طریقوں کی بھی وضاحت کرتے ہیں جن میں طلباء کو انہیں سیکھنا چاہیے، جیسا کہ پی ایس ایس ایم میں ہے۔ ایک فوکل پوائنٹ کی مکمل وضاحت کی ایک مثال چوتھی جماعت کے لیے درج ذیل ہے: نمبر اور آپریشنز اور الجبرا: ضرب کے حقائق اور متعلقہ تقسیم کے حقائق کو تیزی سے یاد کرنا اور پوری تعداد کے ضرب کے ساتھ روانی پیدا کرنا۔ طلباء ضرب کی تفہیم کا استعمال کرتے ہیں تاکہ ضرب کے بنیادی حقائق اور متعلقہ تقسیم کے حقائق کو تیزی سے یاد کیا جا سکے۔ وہ ماڈلز کے بارے میں اپنی سمجھ کو ضرب (یعنی مساوی سائز کے گروپس، صف، ایریا ماڈل، نمبر لائن پر مساوی وقفے)، جگہ کی قیمت، اور کارروائیوں کی خصوصیات (خاص طور پر، تقسیم کی خاصیت) کے لیے لاگو کرتے ہیں جب وہ ترقی کرتے ہیں، تبادلہ خیال کرتے ہیں، اور کثیر ہندسوں والے پورے نمبروں کو ضرب دینے کے لیے موثر، درست، اور عمومی طریقوں کا استعمال کرتے ہیں۔ وہ مناسب طریقوں کا انتخاب کرتے ہیں اور اس میں شامل سیاق و سباق اور تعداد کے لحاظ سے مصنوعات کا اندازہ لگانے یا ذہنی طور پر ان کا حساب لگانے کے لیے ان کا درست اطلاق کرتے ہیں۔ وہ پورے اعداد کو ضرب دینے کے لیے معیاری الگورتھم سمیت موثر طریقہ کار کے ساتھ روانی پیدا کرتے ہیں، یہ سمجھتے ہیں کہ طریقہ کار کیوں کام کرتا ہے (جگہ کی قیمت اور کارروائیوں کی خصوصیات کی بنیاد پر)، اور مسائل کو حل کرنے کے لیے ان کا استعمال کرتے ہیں۔ چونکہ ریاستہائے متحدہ میں زیادہ تر تعلیمی ایجنسیوں نے این سی ٹی ایم کی سفارشات کو مختلف ڈگریوں تک اپنایا ہے، اس لیے بہت سے نصابی کتابوں کے پبلشرز اپنی مصنوعات کو پی ایس ایس ایم کے ناشرین کی تشریحات کے مطابق ہونے کے طور پر فروغ دیتے ہیں۔ تاہم، این سی ٹی ایم کسی بھی نصابی کتاب یا دیگر مصنوعات کی توثیق، منظوری یا سفارش نہیں کرتا ہے اور اس بات پر کبھی اتفاق نہیں کیا ہے کہ کوئی بھی نصابی کتاب ان کے مقاصد کی درست نمائندگی کرتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں ریاستہائے متحدہ میں تعلیم اصلاحات ریاضی حوالہ جات بیرونی لنکس تعلیمی وسائل انفارمیشن سینٹر سے معیارات پر مبنی ریاضی کے نصاب میں حصہ لینے میں معذور طلباء کی مدد کرنے والے معیارات کے آن لائن ورژن تک رسائی۔ ریاضی کی تعلیم سے متعلق کتابیں