Hopf link
ریاضیاتی گرہ تھیوری میں، ہوپف لنک ایک سے زیادہ اجزاء کے ساتھ سب سے آسان غیر معمولی لنک ہے۔ یہ دو حلقوں پر مشتمل ہے جو بالکل ایک بار ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں، اور اس کا نام ہینز ہاپف کے نام پر رکھا گیا ہے۔ جیومیٹرک احساس ایک کنکریٹ ماڈل عمودی طیاروں میں دو یونٹ حلقوں پر مشتمل ہوتا ہے، ہر ایک دوسرے کے مرکز سے گزرتا ہے۔ یہ ماڈل لنک کی روپ لینتھ کو کم کرتا ہے اور 2002 تک ہاپف لنک واحد لنک تھا جس کی روپ لینتھ معلوم تھی۔ ان دونوں حلقوں کا کنویکس ہل ایک شکل بناتا ہے جسے اولائڈ کہا جاتا ہے۔ خصوصیات دونوں اجزاء کی متعلقہ سمتوں پر منحصر ہو کر ہاپف لنک کا لنکنگ نمبر ± 1 ہے۔ ہوپف لنک چوٹی کے لفظ کے ساتھ ایک (2,2)-ٹورس لنک ہے۔ ہوپف لنک کی گرہ تکمیل R × S1 × S1 ہے، جو ٹورس کے اوپر سلنڈر ہے۔ اس جگہ میں مقامی طور پر یوکلڈین جیومیٹری ہے، اس لیے ہوپف لنک ہائپربولک لنک نہیں ہے۔ ہاپف لنک کا گرہ گروپ (اس کی تکمیل کا بنیادی گروپ) زیڈ 2 (دو جنریٹرز پر آزاد ابیلین گروپ) ہے، جو اسے لوپس کی ایک غیر منسلک جوڑی سے ممتاز کرتا ہے جس میں اس کے گروپ کے طور پر دو جنریٹرز پر آزاد گروپ ہوتا ہے۔ ہوپف لنک تین رنگوں والا نہیں ہے: اس کے خاکے کے تاروں کو تین رنگوں سے رنگنا ممکن نہیں ہے، تاکہ کم از کم دو رنگ استعمال ہوں اور تاکہ ہر کراسنگ میں ایک یا تین رنگ موجود ہوں۔ ہر لنک میں صرف ایک اسٹرینڈ ہوتا ہے، اور اگر دونوں اسٹرینڈ کو ایک ہی رنگ دیا جائے تو صرف ایک رنگ استعمال کیا جاتا ہے، جبکہ اگر انہیں مختلف رنگ دیے جائیں تو کراسنگ میں دو رنگ موجود ہوں گے۔ ہوپف فائبرشن 3 دائرے (چار جہتی یوکلڈین خلا میں ایک تین جہتی سطح) سے زیادہ واقف 2 دائرے میں ایک مسلسل فعل ہے، اس خاصیت کے ساتھ کہ 2 دائرے پر ہر نقطہ کی الٹا تصویر ایک دائرہ ہے۔ اس طرح، یہ تصاویر 3 دائرے کو حلقوں کے ایک مسلسل خاندان میں تحلیل کر دیتی ہیں، اور ہر دو الگ الگ حلقے ایک ہاپف لنک بناتے ہیں۔ یہ ہوپف لنک کا مطالعہ کرنے کے لیے ہوپف کا محرک تھا: کیونکہ ہر دو ریشے جڑے ہوئے ہیں، ہوپف فائبرشن ایک غیر معمولی فائبرشن ہے۔ اس مثال نے دائرے کے ہوموٹوپی گروپوں کا مطالعہ شروع کیا۔ حیاتیات ہوپف لنک کچھ پروٹینوں میں بھی موجود ہے۔ یہ دو کوولینٹ لوپس پر مشتمل ہوتا ہے، جو پروٹین کی ریڑھ کی ہڈی کے ٹکڑوں سے بنتا ہے، جو ڈائیسلفائیڈ بانڈز سے بند ہوتا ہے۔ ہوپف لنک ٹوپولوجی پروٹین میں انتہائی محفوظ ہے اور ان کے استحکام میں اضافہ کرتی ہے۔ ہوپف لنک کا نام ماہر ٹپوولوجسٹ ہینز ہوپف کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے اسے 1931 میں ہوپف فائبرشن پر اپنی تحقیق کا حصہ سمجھا تھا۔ تاہم، ریاضی میں، یہ کارل فریڈرک گاؤس کو ہوپف کے کام سے پہلے معلوم تھا۔ یہ طویل عرصے سے ریاضی سے باہر بھی استعمال ہوتا رہا ہے، مثال کے طور پر 16 ویں صدی میں قائم ہونے والے جاپانی بدھ مت کے فرقے بوزان ہا کی چوٹی کے طور پر۔ بورومین رنگز بھی دیکھیں، تین بند لوپس والی ایک لنک کیٹینین، دو منسلک لوپس والی ایک مالیکیول سولومن کی گرہ، دو لوپس جو دوگنا جڑے ہوئے ہیں حوالہ جات بیرونی لنکس "لنک پروٹ"-معروف پروٹین لنکس کا ڈیٹا بیس۔ پرائم ناٹس اور لنکس