Strong antichain
ترتیب کے نظریہ میں، جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ P کا ذیلی سیٹ A نیچے کی طرف ایک مضبوط اینٹیچین ہے اگر یہ ایک اینٹیچین ہے جس میں P میں کوئی دو الگ الگ عناصر کی مشترکہ نچلی حد نہیں ہے، یعنی، اس صورت میں جہاں P کو شمولیت کے ذریعے ترتیب دیا جاتا ہے، اور ذیلی سیٹوں کے تحت بند کیا جاتا ہے، لیکن اس میں خالی سیٹ نہیں ہوتا ہے، یہ محض جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ سیٹوں کا ایک خاندان ہے۔ ایک مضبوط اوپر کی طرف اینٹی چین بی پی کا ایک ذیلی مجموعہ ہے جس میں پی میں کسی بھی دو الگ الگ عناصر کی مشترکہ اوپری حد نہیں ہوتی ہے۔ مصنفین اکثر "اوپر کی طرف" اور "نیچے کی طرف" اصطلاح کو چھوڑ دیتے ہیں اور محض مضبوط اینٹی چینز کا حوالہ دیتے ہیں۔ بدقسمتی سے، کوئی عام روایت نہیں ہے کہ کس ورژن کو مضبوط اینٹیچین کہا جاتا ہے۔ زبردستی کے تناظر میں، مصنفین بعض اوقات "مضبوط" اصطلاح کو بھی چھوڑ دیتے ہیں اور محض اینٹی چینز کا حوالہ دیتے ہیں۔ اس معاملے میں ابہام کو حل کرنے کے لیے، کمزور قسم کے اینٹیچین کو کمزور اینٹیچین کہا جاتا ہے۔ اگر (P، ≤) ایک جزوی ترتیب ہے اور اس میں الگ x موجود ہے، y ωP اس طرح کہ {x, y} ایک مضبوط اینٹیچین ہے، تو (P, ≤) ایک جالی (یا یہاں تک کہ ایک میٹ سیمیلیٹس) نہیں ہو سکتا، کیونکہ تعریف کے مطابق، جالی میں ہر دو عناصر (یا میٹ سیمیلیٹس) میں ایک مشترکہ نچلی حد ہونی چاہیے۔ اس طرح جالی میں صرف معمولی مضبوط اینٹی چین ہوتے ہیں (یعنی زیادہ سے زیادہ 1)۔ حوالہ جات آرڈر تھیوری