Abel transform
ریاضی میں، ایبل ٹرانسفارم، جسے نیلز ہنریک ایبل کا نام دیا گیا ہے، ایک لازمی تبدیلی ہے جو اکثر کروی سمیٹرک یا محوری سمیٹرک افعال کے تجزیے میں استعمال ہوتی ہے۔ کسی فنکشن f (r) کا ایبل ٹرانسفارم یہ فرض کرتے ہوئے دیا جاتا ہے کہ f (r) 1/r سے زیادہ تیزی سے صفر پر گر جاتا ہے، الٹا ایبل ٹرانسفارم اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ تصویری تجزیے میں، فارورڈ ایبل ٹرانسفارم کو کسی طیارہ پر نظری طور پر پتلی، محوری طور پر ہم آہنگ اخراج فنکشن کو پیش کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور الٹا ایبل ٹرانسفارم کو ایک پروجیکشن (یعنی۔ اس اخراج فنکشن کا اسکین یا تصویر)۔ سلنڈریکل شعلوں یا پلمز کی جذب سپیکٹروسکوپی میں، فارورڈ ایبل ٹرانسفارم شعلہ کے مرکز سے قریب ترین فاصلے y والی کرن کے ساتھ مربوط جذب ہے، جبکہ الٹا ایبل ٹرانسفارم مرکز سے r فاصلے پر مقامی جذب گتانک دیتا ہے۔ ایبل ٹرانسفارم محوری طور پر سمیٹرک جیومیٹریز والی ایپلی کیشنز تک محدود ہے۔ زیادہ عام غیر متناسب معاملات کے لیے، زیادہ عمومی پر مبنی تعمیر نو الگورتھم جیسے الجبرائی تعمیر نو تکنیک (اے آر ٹی)، زیادہ سے زیادہ امکانات کی توقع زیادہ سے زیادہ (ایم ایل ای ایم)، فلٹرڈ بیک پروجیکشن (ایف بی پی) الگورتھم کو استعمال کیا جانا چاہیے۔ حالیہ برسوں میں، الٹا ایبل ٹرانسفارم (اور اس کی مختلف شکلیں) فوٹو فریگمنٹ آئن امیجنگ اور فوٹو الیکٹران امیجنگ میں ڈیٹا تجزیہ کا سنگ بنیاد بن گیا ہے۔ الٹا ایبل ٹرانسفارم کی حالیہ سب سے قابل ذکر توسیعات میں فوٹو الیکٹران اور فوٹو آئن امیج تجزیہ کے "پیاز چھیلنا" اور "بیس سیٹ ایکسٹینشن" (بیسیکس) طریقے ہیں۔ ہندسی تشریح دو جہتوں میں، ایبل ٹرانسفارم F (y) کی تشریح ایک سرکلر سمیٹرک فنکشن f (r) کے پروجیکشن کے طور پر کی جا سکتی ہے جو اصل سے y کے فاصلے پر متوازی لکیروں کے ایک سیٹ کے ساتھ ہے۔ دائیں طرف کے اعداد و شمار کا حوالہ دیتے ہوئے، مبصر (I) دیکھے گا کہ f (r) کہاں سرکلر سمیٹرک فنکشن ہے جس کی نمائندگی شکل میں سرمئی رنگ کرتا ہے۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ مبصر اصل میں x = ν پر ہے، تاکہ انضمام کی حدود ± ν ہوں، اور نظر کی تمام لکیریں x محور کے متوازی ہوں۔ یہ محسوس کرتے ہوئے کہ رداس r کا تعلق x اور y سے r2 = x2 + y2 کے طور پر ہے، اس کے بعد x> 0 کے لیے ہوتا ہے۔ چونکہ f (r) x میں ایک یکساں فعل ہے، اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں جس سے f (r) کی ایبل تبدیلی حاصل ہوتی ہے۔ ایبل تبدیلی کو اعلی جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ تین جہتوں تک توسیع خاص دلچسپی کا باعث ہے۔ اگر ہمارے پاس ایک محوری ہم آہنگی فنکشن f (ρ, z) ہے، جہاں ρ2 = x2 + y2 سلنڈریکل رداس ہے، تو ہم اس فنکشن کے پروجیکشن کو z محور کے متوازی سطح پر جاننا چاہیں گے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، ہم اس سطح کو yz سطح کے طور پر لے سکتے ہیں، تاکہ جو کہ ρ اور y میں f (ρ، z) کا صرف ایبل ٹرانسفارم ہو۔ محوری ہم آہنگی کی ایک خاص قسم کروی ہم آہنگی ہے۔ اس صورت میں، ہمارے پاس فنکشن f (r) ہے، جہاں r2 = x2 + y2 + z2 ہے۔ اس پر پروجیکشن، جیسے کہ، yz طیارہ پھر سرکلر سمیٹرک اور F (s) کے طور پر قابل اظہار ہوگا، جہاں s2 = y2 + z2۔ انضمام کو انجام دیتے ہوئے، ہمارے پاس دوبارہ ہے، r اور s میں f (r) کا ایبل ٹرانسفارم۔ الٹا ایبل ٹرانسفارم کی تصدیق فرض کرتے ہوئے مسلسل تفریق پذیر ہے اور، اس سے زیادہ تیزی سے صفر پر گر جاتا ہے، جسے ہم سیٹ اور کر سکتے ہیں۔ حصوں کے ذریعے انضمام کے بعد رسمی طور پر تفریق حاصل ہوتی ہے، اب اسے الٹا ایبل ٹرانسفارم فارمولے میں تبدیل کریں: فوبانی کے نظریہ کے مطابق، آخری انٹیگرل ایبل کی عمومی شکل کو منقطع F (y) میں تبدیل کرنے کے برابر ہے۔ اس صورت پر غور کریں جہاں منقطع ہے، جہاں یہ اچانک اپنی قدر کو ایک محدود مقدار سے تبدیل کرتا ہے۔ یہ ہے، اور اس کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ اس طرح کی صورتحال کا سامنا ٹیچرڈ پولیمر (پولیمر برش) میں ہوتا ہے جو عمودی مرحلے کی علیحدگی کی نمائش کرتا ہے، جہاں پولیمر ڈینسٹی پروفائل کا مطلب ہے اور اس کا تعلق پولیمر کے ٹرمینل، غیر ٹیچرڈ مونومرز کی مقامی تقسیم سے ہے۔ کسی فنکشن f (r) کا ایبل ٹرانسفارم ان حالات میں دوبارہ اس طرح دیا جاتا ہے: فرض کریں کہ f (r) 1/r سے زیادہ تیزی سے صفر پر گر جاتا ہے، الٹا ایبل ٹرانسفارم تاہم اس طرح دیا جاتا ہے کہ ڈیراک ڈیلٹا فنکشن اور ہیویسائڈ اسٹیپ فنکشن کہاں ہے۔ غیر متزلزل F کے لیے ایبل ٹرانسفارم کا توسیعی ورژن ایبل ٹرانسفارم کو منتقل، مسلسل پر لاگو کرنے پر ثابت ہوتا ہے، اور یہ کب کلاسیکی ایبل ٹرانسفارم میں گھٹ جاتا ہے۔ اگر ایک سے زیادہ تعطل ہے، تو ان میں سے کسی کو الٹا ایبل ٹرانسفارم کے عمومی ورژن کے ساتھ آنے کے لیے شفٹ متعارف کروانی پڑتی ہے جس میں n اضافی اصطلاحات ہوتی ہیں، ان میں سے ہر ایک n تعطل میں سے ایک سے مطابقت رکھتا ہے۔ دیگر مربوط تبدیلیوں سے تعلق فورئیر اور ہینکل سے تعلق تبدیل کرتا ہے ایبل ٹرانسفارم مربوط آپریٹرز کے ایف ایچ اے سائیکل کا ایک رکن ہے۔ مثال کے طور پر، دو جہتوں میں، اگر ہم A کو ایبل ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر، F کو فورئیر ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر اور H کو زیروتھ آرڈر ہینکل ٹرانسفارم آپریٹر کے طور پر بیان کرتے ہیں، تو سرکلر سمیٹرک افعال کے لیے پروجیکشن سلائس تھیوریم کا خاص معاملہ یہ بتاتا ہے کہ دوسرے لفظوں میں، ایبل ٹرانسفارم کو 1 جہتی فنکشن میں لاگو کرنا اور پھر اس نتیجے میں فورئیر ٹرانسفارم کو لاگو کرنا اس فنکشن میں ہینکل ٹرانسفارم کو لاگو کرنے کے مترادف ہے۔ اس تصور کو اعلی جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ریڈان ٹرانسفارم ایبل ٹرانسفارم سے تعلق کو آئسوٹروپک 2 ڈی فنکشن f (r) کے ریڈان ٹرانسفارم کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ چونکہ f (r) آئسوٹروپک ہے، اس لیے دیکھنے کے محور کے مختلف زاویوں پر اس کا ریڈان ٹرانسفارم ایک جیسا ہوتا ہے۔ اس طرح، ایبل ٹرانسفارم صرف دیکھنے کے محور کے ساتھ فاصلے کا ایک فنکشن ہے۔ مزید دیکھیں GPS ریڈیو اوکلٹیشن حوالہ جات انٹیگرل ٹرانسفارمز امیج پروسیسنگ نیلز ہنریک ایبل