Disjoint union (topology)
عام ٹوپولوجی اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے خاندان کا جداگانہ اتحاد (جسے براہ راست مجموعہ، آزاد اتحاد، آزاد مجموعہ، ٹوپولوجیکل مجموعہ، یا شریک پیداوار بھی کہا جاتا ہے) ایک ایسی جگہ ہے جو بنیادی سیٹوں کے جداگانہ اتحاد کو قدرتی ٹوپولوجی سے لیس کرکے تشکیل دی جاتی ہے جسے جداگانہ یونین ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔ موٹے طور پر، جداگانہ اتحاد میں دی گئی جگہوں کو ایک نئی جگہ کا حصہ سمجھا جاتا ہے جہاں ہر ایک ایسا لگتا ہے جیسے وہ اکیلا ہوگا اور وہ ایک دوسرے سے الگ تھلگ ہیں۔ نام کا پروڈکٹ اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ جداگانہ اتحاد پروڈکٹ کی جگہ کی تعمیر کا درجہ بند دوہری ہے۔ تعریف فرض کریں کہ {xi: i bul I} ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا ایک خاندان ہے جسے I کے ذریعہ انڈیکس کیا گیا ہے۔ بنیادی سیٹوں کا جداگانہ اتحاد ہونے دیں۔ آئی میں ہر ایک آئی کے لیے، کینونکل انجکشن (کے ذریعے متعین) ہونے دیں۔ ایکس پر جداگانہ یونین ٹوپولوجی کو ایکس پر بہترین ٹوپولوجی کے طور پر بیان کیا گیا ہے جس کے لیے تمام کینونکل انجیکشن مسلسل ہوتے ہیں (یعنی۔ : یہ کینونکل انجیکشن کی وجہ سے ایکس پر حتمی ٹوپولوجی ہے)۔ واضح طور پر، جداگانہ یونین ٹوپولوجی کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ X کا ایک ذیلی سیٹ U X میں اس صورت میں کھلا رہتا ہے اور صرف اس صورت میں جب اس کی ابتدائی تصویر ہر i bul I کے لیے xi میں کھلی ہو۔ پھر بھی ایک اور تشکیل یہ ہے کہ X کا ایک ذیلی سیٹ V X کے مقابلے میں کھلا ہے اگر xi کے ساتھ اس کا چوراہا ہر i کے لیے xi کے مقابلے میں کھلا ہے۔ خصوصیات جداگانہ اتحاد کی جگہ X، کینونکل انجیکشن کے ساتھ مل کر، مندرجہ ذیل عالمگیر خاصیت کی طرف سے نمایاں کیا جا سکتا ہے: اگر Y ایک ٹپوولوجیکل جگہ ہے، اور فائی: xi → Y ہر i ω I کے لیے ایک مسلسل نقشہ ہے، تو بالکل ایک مسلسل نقشہ موجود ہے f: X → Y اس طرح کہ خاکے کا مندرجہ ذیل سیٹ منتقل ہوتا ہے: اس سے پتہ چلتا ہے کہ جداگانہ اتحاد ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے میں شریک پیداوار ہے۔ مذکورہ بالا عالمگیر خاصیت سے یہ پتہ چلتا ہے کہ نقشہ f: X → Y مسلسل ہے اگر f = f o φi I میں موجود تمام i کے لیے مسلسل ہے۔ مسلسل ہونے کے علاوہ، کینونکل انجیکشن φi: xi → X کھلے اور بند نقشے ہیں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ انجیکشن ٹپوولوجیکل سرایت ہوتے ہیں تاکہ ہر ایک ژی کو کینونکل طور پر ایکس کی ذیلی جگہ سمجھا جا سکے۔ مثال کے طور پر اگر ہر ایک X ایک مقررہ جگہ A کے لیے ہومومورفک ہے، تو جداگانہ اتحاد X پروڈکٹ کی جگہ A × I کے لیے ہومومورفک ہے جہاں میرے پاس مجرد ٹوپولوجی ہے۔ ٹوپولوجیکل خصوصیات کا تحفظ متفرق خالی جگہوں کا ہر جداگانہ اتحاد متفرق علیحدگی ہے T0 ٹی 1 خالی جگہوں کا ہر جداگانہ اتحاد T1 ہے ہاؤز ڈورف خالی جگہوں کا ہر جداگانہ اتحاد ہاؤز ڈورف کنیکٹڈنیس ہے دو یا زیادہ غیر خالی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کا جداگانہ اتحاد منقطع ہے پروڈکٹ ٹوپولوجی، ڈوئل کنسٹرکشن سب اسپیس ٹوپولوجی اور اس کا ڈوئل کوٹینٹ ٹوپولوجی ٹوپولوجیکل یونین بھی دیکھیں، اس معاملے کی عمومی شکل جہاں ٹکڑے جداگانہ جنرل ٹوپولوجی نہیں ہیں۔