Chinese mathematics
چین میں ریاضی 11 ویں صدی قبل مسیح تک آزادانہ طور پر ابھری۔ چینیوں نے آزادانہ طور پر ایک حقیقی عدد کا نظام تیار کیا جس میں نمایاں طور پر بڑے اور منفی اعداد، ایک سے زیادہ عددی نظام (بیس 2 اور بیس 10)، الجبرا، جیومیٹری، نمبر تھیوری اور ٹرگونومیٹری شامل ہیں۔ ہان خاندان کے بعد سے، ڈیوفنٹائن کا تخمینہ ایک نمایاں عددی طریقہ ہونے کی وجہ سے، چینیوں نے کثیر الجہتی تشخیص پر خاطر خواہ پیش رفت کی۔ ریگولا فالسی جیسے الگورتھم اور مسلسل حصوں جیسے تاثرات بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں اور تب سے اچھی طرح سے دستاویزی ہیں۔ وہ جان بوجھ کر مثبت اعداد کا اصل n واں جڑ اور مساوات کے جڑ تلاش کرتے ہیں۔ اس دور کی اہم تحریروں، دی نائن چیپٹرز آن دی میتھمیٹیکل آرٹ اور بک آن نمبرز اینڈ کمپیوٹیشن نے روزمرہ کی زندگی میں مختلف ریاضیاتی مسائل کو حل کرنے کے لیے تفصیلی عمل پیش کیے۔ تمام طریقہ کار دونوں متون میں گنتی بورڈ کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیے گئے تھے، اور ان میں الٹا عناصر کے ساتھ ساتھ یوکلیڈین تقسیم بھی شامل تھے۔ نصوص گوسیائی خاتمے اور لکیری الجبرا کے لیے ہورنر کے طریقہ کار سے ملتے جلتے طریقہ کار فراہم کرتے ہیں۔ چینی الجبرا کی کامیابی 13 ویں صدی میں یوآن خاندان کے دوران تیان یوان شو کی ترقی کے ساتھ عروج پر پہنچ گئی۔ واضح لسانی اور جغرافیائی رکاوٹوں کے ساتھ ساتھ مواد کے نتیجے میں، چینی ریاضی اور قدیم بحیرہ روم کی دنیا کی ریاضی کم و بیش آزادانہ طور پر اس وقت تک ترقی کر چکی ہے جب ریاضیاتی فن پر نو ابواب اپنی حتمی شکل میں پہنچ گئے تھے، جبکہ نمبروں اور حساب کتاب اور ہوینانزی کلاسیکی یونانی ریاضی کے تقریبا ہم عصر ہیں۔ کم از کم رومی زمانے سے معروف ثقافتی تبادلوں کے ذریعے پورے ایشیا میں خیالات کے کچھ تبادلے کا امکان ہے۔ اکثر، ابتدائی معاشروں کے ریاضی کے عناصر جدید ریاضی کی شاخوں جیسے جیومیٹری یا نمبر تھیوری میں بعد میں پائے جانے والے ابتدائی نتائج سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر پایتھاگورین تھیوریم کی تصدیق ڈیوک آف چاؤ کے زمانے سے کی گئی ہے۔ پاسکل کے مثلث کا علم بھی چین میں پاسکل سے صدیوں پہلے موجود تھا، جیسے کہ سونگ خاندان کے چینی پولی میتھ شین کو۔ ابتدائی چینی ریاضی شانگ خاندان (1600-1050 BC)۔ سب سے قدیم زندہ بچ جانے والے ریاضیاتی کاموں میں سے ایک آئی چنگ ہے، جس نے چاؤ خاندان (1050-256 BC) کے دوران تحریری ادب کو بہت متاثر کیا۔ ریاضی کے لیے، اس کتاب میں ہیکسگرام کا نفیس استعمال شامل تھا۔ لیبنز نے نشاندہی کی کہ آئی چنگ (یی جنگ) بائنری نمبروں کے عناصر پر مشتمل ہے۔ شانگ دور سے، چینیوں نے پہلے ہی اعشاریہ نظام کو مکمل طور پر تیار کر لیا تھا۔ ابتدائی زمانے سے، چینی بنیادی ریاضی (جس نے مشرق بعید کی تاریخ پر غلبہ حاصل کیا)، الجبرا، مساوات، اور گنتی کی سلاخوں کے ساتھ منفی اعداد کو سمجھتے تھے۔ اگرچہ چینی فلکیاتی استعمال کے لیے ریاضی اور جدید الجبرا پر زیادہ توجہ مرکوز کر رہے تھے، لیکن وہ سب سے پہلے منفی اعداد، الجبرائی جیومیٹری (صرف چینی جیومیٹری) اور اعشاریہ کا استعمال کرنے والے بھی تھے۔ ریاضی لیو یی (جون) یا چھ فنون میں سے ایک تھی، طلباء کو چاؤ خاندان (1122-256 BC) کے دوران مہارت حاصل کرنے کی ضرورت تھی۔ ان سب کو مکمل طور پر سیکھنے کے لیے ایک کامل شریف آدمی، یا چینی معنوں میں، "نشاۃ ثانیہ کا آدمی" ہونا ضروری تھا۔ چھ فنون کی جڑیں کنفیوشس کے فلسفے میں ہیں۔ چین میں جیومیٹری پر موجود سب سے قدیم کام 330 قبل مسیح کے فلسفیانہ موہسٹ کینن سے آیا ہے، جسے موزی (470-390 BC) کے پیروکاروں نے مرتب کیا ہے۔ مو جنگ نے فزیکل سائنس سے وابستہ بہت سے شعبوں کے مختلف پہلوؤں کو بیان کیا، اور ریاضی کے بارے میں بھی معلومات کی ایک چھوٹی سی دولت فراہم کی۔ اس نے ہندسی نقطہ کی ایک 'جوہری' تعریف فراہم کی، جس میں کہا گیا ہے کہ ایک لکیر حصوں میں الگ ہوتی ہے، اور وہ حصہ جس میں کوئی باقی حصہ نہیں ہوتا ہے (یعنی۔ چھوٹے حصوں میں تقسیم نہیں کیا جا سکتا) اور اس طرح ایک لکیر کا انتہائی اختتام ایک نقطہ بنتا ہے۔ یوکلڈ کی پہلی اور تیسری تعریفوں اور افلاطون کی 'لکیر کے آغاز' کی طرح، مو جنگ نے کہا کہ "ایک نقطہ (لکیر کے) آخر میں یا اس کے آغاز میں بچے کی پیدائش میں سر کی پیشکش کی طرح کھڑا ہو سکتا ہے۔ (جہاں تک اس کے پوشیدہ ہونے کا تعلق ہے) اس سے مماثل کوئی چیز نہیں ہے۔ " ڈیموکریٹس کے ایٹمسٹس کی طرح، مو جنگ نے کہا کہ ایک پوائنٹ سب سے چھوٹی اکائی ہے، اور اسے آدھے میں نہیں کاٹا جا سکتا، کیونکہ 'کچھ بھی نہیں' کو آدھا نہیں کیا جا سکتا۔ اس میں کہا گیا ہے کہ مساوی لمبائی کی دو لائنیں ہمیشہ ایک ہی جگہ پر ختم ہوں گی، جبکہ لمبائی اور متوازی کے موازنہ کے لیے تعریفیں فراہم کرتی ہیں، ساتھ ہی جگہ اور باؤنڈڈ اسپیس کے اصولوں کے ساتھ۔ اس نے اس حقیقت کو بھی بیان کیا کہ موٹائی کے معیار کے بغیر طیاروں کا ڈھیر نہیں لگایا جا سکتا کیونکہ وہ باہمی طور پر چھو نہیں سکتے۔ اس کتاب نے حجم کی تعریف کے ساتھ دائرے، قطر اور رداس کے لیے لفظ کی شناخت فراہم کی۔ ریاضیاتی ترقی کی تاریخ میں کچھ شواہد کا فقدان ہے۔ بعض ریاضیاتی کلاسیکی کے بارے میں اب بھی بحثیں جاری ہیں۔ مثال کے طور پر، زوبی سوانجنگ تقریبا 1200-1000 قبل مسیح کی ہے، پھر بھی بہت سے اسکالرز کا خیال ہے کہ یہ 300 اور 250 قبل مسیح کے درمیان لکھی گئی تھی۔ زوبی سوانجنگ میں گوگو نظریہ (پایتھاگورین نظریہ کا ایک خاص معاملہ) کا گہرائی سے ثبوت موجود ہے لیکن فلکیاتی حسابات پر زیادہ توجہ مرکوز کرتا ہے۔ تاہم، سنہوا بانس کی پھسلیوں کی حالیہ آثار قدیمہ کی دریافت، جس کی تاریخ 305 قبل مسیح ہے، نے قبل از قین ریاضی کے کچھ پہلوؤں کا انکشاف کیا ہے، جیسے کہ پہلی معروف اعشاریہ ضرب کی میز۔ اباکس کا ذکر پہلی بار دوسری صدی قبل مسیح میں 'سلاخوں کے ساتھ حساب' (سوان زی) کے ساتھ کیا گیا تھا جس میں بانس کی چھوٹی چھڑیوں کو چیکر بورڈ کے یکے بعد دیگرے چوکوں میں رکھا جاتا ہے۔ کن ریاضی کن خاندان کی ریاضی کے بارے میں زیادہ معلومات نہیں ہے، یا اس سے پہلے، کتابوں کو جلانے اور علماء کو دفن کرنے کی وجہ سے، تقریبا 213-210 قبل مسیح۔ اس دور کے علم کا تعین سول منصوبوں اور تاریخی شواہد سے کیا جا سکتا ہے۔ کن خاندان نے وزن کا ایک معیاری نظام بنایا۔ کن خاندان کے سول منصوبے انسانی انجینئرنگ کے اہم کارنامے تھے۔ شہنشاہ کن شیہوانگ نے بہت سے آدمیوں کو حکم دیا کہ وہ دوسرے مندروں اور مزارات کے ساتھ محل کے مقبرے کے لیے بڑے، زندگی بھر کے مجسمے بنائیں، اور مقبرے کی شکل فن تعمیر کی ہندسی مہارتوں کے ساتھ ڈیزائن کی گئی تھی۔ یہ یقینی ہے کہ انسانی تاریخ کے سب سے بڑے کارناموں میں سے ایک، چین کی عظیم دیوار کے لیے بہت سی ریاضیاتی تکنیکوں کی ضرورت تھی۔ کن خاندان کی تمام عمارتوں اور عظیم الشان منصوبوں میں حجم، رقبے اور تناسب کے لیے جدید کمپیوٹیشن فارمولے استعمال کیے گئے۔ ابتدائی اطلاعات کے مطابق، یویلو اکیڈمی کے ذریعہ ہانگ کانگ کے نوادرات کے بازار میں خریدی گئی کن بانس کی نقد رقم میں ریاضیاتی مقالے کا قدیم ترین نوشتہ نمونہ موجود ہے۔ ہان ریاضیات ہان خاندان میں، اعداد کو جگہ کی قیمت کے اعشاریہ نظام میں تیار کیا گیا تھا اور گنتی بورڈ پر استعمال کیا جاتا تھا جس میں گنتی کی سلاخوں کا ایک مجموعہ ہوتا تھا جسے چوسوان کہا جاتا ہے، جو صرف نو علامتوں پر مشتمل ہوتا ہے جس میں گنتی بورڈ پر صفر کی نمائندگی کرنے والی خالی جگہ ہوتی ہے۔ اس دور کی عظیم ریاضیاتی تحریروں کے حل میں منفی اعداد اور حصوں کو بھی شامل کیا گیا۔ اس وقت کی ریاضیاتی تحریروں، سوان شو شو اور جیوژانگ سوانشو نے ریاضی کے بنیادی مسائل جیسے اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم کو حل کیا۔ مزید برآں، انہوں نے مربع اور کیوبڈ جڑ نکالنے کے عمل بتائے، جن کا اطلاق بالآخر تیسری ترتیب تک کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے پر کیا گیا۔ دونوں تحریروں نے لکیری الجبرا میں بھی خاطر خواہ پیش رفت کی، یعنی متعدد نامعلوم کے ساتھ مساوات کے نظام کو حل کرنا۔ دونوں متون میں پائی کی قیمت تین کے برابر لی گئی ہے۔ تاہم، ریاضی دان لیو ژین (وفات 23) اور ژانگ ہینگ (78-139) نے پچھلی صدیوں کے چینی کے مقابلے میں پائی کے لیے زیادہ درست تخمینے دیے۔ ریاضی کو اس وقت کے عملی مسائل جیسے زمین کی تقسیم یا ادائیگی کی تقسیم سے متعلق مسائل کو حل کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا۔ چینی علاقے یا حجم کو تلاش کرنے کے لیے مساوات کو ثابت کرنے کے جدید معنوں میں جیومیٹری یا الجبرا پر مبنی نظریاتی ثبوتوں پر توجہ نہیں دیتے تھے۔ حساب کی کتاب اور ریاضیاتی فن پر نو ابواب متعدد عملی مثالیں فراہم کرتے ہیں جو روزمرہ کی زندگی میں استعمال ہوں گی۔ سوان شو شو (حساب پر تحریریں یا حساب کی کتاب) ریاضی پر ایک قدیم چینی متن ہے جس کی لمبائی تقریبا سات ہزار حروف ہے، جو بانس کی 190 پٹیوں پر لکھی گئی ہے۔ یہ 1984 میں دیگر تحریروں کے ساتھ مل کر دریافت ہوا جب ماہرین آثار قدیمہ نے صوبہ ہوبی کے ژانگجیاشان میں ایک مقبرہ کھولا۔ دستاویزی شواہد سے معلوم ہوتا ہے کہ یہ مقبرہ 186 قبل مسیح میں مغربی ہان خاندان کے اوائل میں بند کیا گیا تھا۔ اگرچہ نو ابواب سے اس کا تعلق اب بھی اسکالرز کے زیر بحث ہے، لیکن اس کے کچھ مندرجات واضح طور پر وہاں متوازی ہیں۔ تاہم سوان شو شو کا متن نو ابواب کے مقابلے میں بہت کم منظم ہے، اور ایسا لگتا ہے کہ یہ متعدد ذرائع سے تیار کردہ متن کے کم و بیش آزاد مختصر حصوں پر مشتمل ہے۔ کمپیوٹیشن کی کتاب میں ان مسائل کے بہت سے تقاضے ہیں جن پر ریاضیاتی فن کے نو ابواب میں توسیع کی جائے گی۔ سوان شوشو میں ابتدائی ریاضی کی ایک مثال، مربع جڑ کا تخمینہ غلط پوزیشن کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جاتا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ "اضافی اور کمی کو تقسیم کنندہ کے طور پر جوڑنا ؛ (لے کر) کمی کے عدد کو اضافی ڈینومینیٹر سے ضرب دینا اور اضافی عدد کو کمی کے ڈینومینیٹر سے ضرب دینا، انہیں منافع کے طور پر جوڑنا"۔ مزید برآں، گنتی کی کتاب ایک ہی غلط پوزیشن کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے دو مساوات اور دو نامعلوم کے نظام کو حل کرتی ہے۔ ریاضیاتی فن پر نو ابواب ریاضیاتی فن پر نو ابواب ایک چینی ریاضی کی کتاب ہے، اس کی قدیم ترین آثار قدیمہ کی تاریخ 199 عیسوی (روایتی طور پر 1000 قبل مسیح کی تاریخ) ہے، لیکن شاید 300-200 قبل مسیح کے اوائل میں۔ اگرچہ مصنفین نامعلوم ہیں، لیکن انہوں نے مشرقی دنیا میں اہم کردار ادا کیا۔ سوالات کے ساتھ مسائل کو فوری طور پر ترتیب دیا جاتا ہے جس کے بعد جوابات اور طریقہ کار ہوتے ہیں۔ متن کے اندر کوئی رسمی ریاضیاتی ثبوت نہیں ہیں، صرف ایک مرحلہ وار طریقہ کار ہے۔ لیو ہوئی کے تبصرے نے متن کے اندر دیئے گئے مسائل کے ہندسی اور الجبرائی ثبوت فراہم کیے۔ ریاضیاتی فن پر نو ابواب تمام چینی ریاضیاتی کتابوں میں سب سے زیادہ بااثر میں سے ایک تھا اور یہ 246 مسائل پر مشتمل ہے۔ اسے بعد میں دس کمپیوٹیشنل قوانین میں شامل کیا گیا، جو بعد کی صدیوں میں ریاضیاتی تعلیم کا بنیادی مرکز بن گیا۔ اس کتاب میں سروے، زراعت، شراکت داری، انجینئرنگ، ٹیکس، حساب، مساوات کا حل، اور صحیح مثلث کی خصوصیات سے متعلق 246 مسائل شامل ہیں۔ نو ابواب نے ہورنر کے طریقہ کار کی طرح کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے میں اہم اضافہ کیا۔ اس نے "فینگچینگ" یا جسے اب لکیری الجبرا کے نام سے جانا جاتا ہے، میں بھی اعلی درجے کی شراکت کی۔ ساتویں باب میں دو نامعلوم کے ساتھ لکیری مساوات کے نظام کو غلط پوزیشن کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا گیا ہے، جو کہ حساب کتاب کی طرح ہے۔ آٹھویں باب مثبت اور منفی اعداد کا استعمال کرتے ہوئے مقررہ اور غیر متعین بیک وقت لکیری مساوات کو حل کرنے سے متعلق ہے، جس میں ایک مسئلہ پانچ نامعلوم میں چار مساوات کو حل کرنے سے متعلق ہے۔ نو ابواب مساوات کے نظام کو جدید گوسیائی خاتمے اور بیک متبادل سے ملتے جلتے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کرتے ہیں۔ نو ابواب کا ورژن جس نے جدید پیشکشوں کی بنیاد کے طور پر کام کیا ہے اسکالر ڈائی زین کی کوششوں کا نتیجہ تھا۔ یونگل انسائیکلوپیڈیا سے براہ راست مسائل کا نقل کرتے ہوئے، اس کے بعد انہوں نے اصل متن میں ترمیم کرنے کے ساتھ ساتھ ان تبدیلیوں کے پیچھے اپنی استدلال کی وضاحت کرتے ہوئے اپنے نوٹ بھی شامل کیے۔ ان کا مکمل کام پہلی بار 1774 میں شائع ہوا، لیکن مختلف غلطیوں کو درست کرنے کے ساتھ ساتھ جنوبی گیت کے نو ابواب کا ایک ورژن شامل کرنے کے لیے 1776 میں ایک نئی ترمیم شائع کی جائے گی جس میں لوئی ہوئی اور لی چنفینگ کے تبصرے شامل تھے۔ ڈائی زین کے کام کا حتمی ورژن 1777 میں آیا، جس کا عنوان ریپل پویلین تھا، اس حتمی پیشکش کو بڑے پیمانے پر تقسیم کیا گیا اور نو ابواب کے جدید ورژن کے معیار کے طور پر کام کرنے کے لیے آیا۔ تاہم، یہ ورژن گو شوچن کی جانچ پڑتال کے تحت آیا ہے، یہ الزام لگاتے ہوئے کہ ترمیم شدہ ورژن میں اب بھی متعدد غلطیاں ہیں اور یہ کہ تمام اصل ترامیم خود ڈائی زین نے نہیں کی تھیں۔ ریاضیاتی فن کے نو ابواب میں پائی مسائل کا حساب دائرے اور دائرے، جیسے کروی سطح کے رقبے سے متعلق مسائل کا حساب لگانے میں پائی کو تین کے برابر لیتا ہے۔ متن میں پائی کے تین ہونے کے حساب کے لیے کوئی واضح فارمولا نہیں دیا گیا ہے، لیکن یہ ریاضیاتی فن کے نو ابواب اور آرٹیفیسر ریکارڈ دونوں کے مسائل میں استعمال ہوتا ہے، جو ایک ہی مدت میں تیار کیا گیا تھا۔ مورخین کا خیال ہے کہ پائی کے اس اعداد و شمار کا حساب دائرے کے دائرے اور قطر کے درمیان 3:1 کے تعلق کا استعمال کرتے ہوئے کیا گیا تھا۔ کچھ ہان ریاضی دانوں نے اس تعداد کو بہتر بنانے کی کوشش کی، جیسے لیو ژین، جن کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ انہوں نے پائی کا تخمینہ 3.154 لگایا ہے۔ بعد میں، لیو ہوئی نے پائی کا حساب 3.141024 (تعداد کا کم تخمینہ) لگا کر حساب کو بہتر بنانے کی کوشش کی۔ لیو نے اس عدد کا حساب مسدس کے اندر کثیر الاضحی کو دائرے کے مقابلے کم حد کے طور پر استعمال کرتے ہوئے لگایا۔ زو چونگزی نے بعد میں 24,576 اطراف والے کثیر الاضلاعات کا استعمال کرتے ہوئے پائی کا حساب 3.1415926 <π <3.1415927 ہونے کا پتہ لگایا۔ یہ حساب 16 ویں صدی کے دوران یورپ میں دریافت کیا جائے گا۔ اس اندازے کا حساب کس طرح لگایا گیا اس کا کوئی واضح طریقہ یا ریکارڈ موجود نہیں ہے۔ تقسیم اور جڑ نکالنا بنیادی ریاضی کے عمل جیسے اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم ہان خاندان سے پہلے موجود تھے۔ ریاضیاتی فن کے نو ابواب ان بنیادی کارروائیوں کو معمولی سمجھتے ہیں اور صرف قارئین کو انہیں انجام دینے کی ہدایت دیتے ہیں۔ ہان ریاضی دانوں نے مربع اور مکعب جڑوں کا حساب تقسیم کی طرح ہی کیا، اور تقسیم اور جڑ نکالنے کے مسائل دونوں ریاضیاتی فن کے نو ابواب کے چوتھے باب میں پائے جاتے ہیں۔ اعداد کے مربع اور مکعب جڑوں کا حساب لگانا یکے بعد دیگرے تخمینے کے ذریعے کیا جاتا ہے، جو تقسیم کے برابر ہے، اور اکثر اسی طرح کی اصطلاحات استعمال کرتا ہے جیسے کہ ڈیویڈنڈ (شی) اور ڈیوائزر (ایف اے) پورے عمل میں۔ یکے بعد دیگرے تخمینے کے اس عمل کو پھر دوسرے اور تیسرے ترتیب کے کواڈریٹکس کو حل کرنے تک بڑھایا گیا، جیسے کہ ہورنر کے طریقہ کار سے ملتا جلتا طریقہ استعمال کرنا۔ ہان خاندان کے دوران نویں ترتیب کے کواڈریٹکس کو حل کرنے کے لیے طریقہ کار کو بڑھایا نہیں گیا تھا ؛ تاہم، یہ طریقہ بالآخر ان مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا گیا۔ لکیری الجبرا کمپیوٹیشن کی کتاب دو نامعلوم کے ساتھ مساوات کے نظام کو حل کرنے والا پہلا معروف متن ہے۔ حساب کتاب کے اندر مسائل کے کل تین سیٹ ہیں جن میں مساوات کے نظام کو غلط پوزیشن کے طریقہ کار سے حل کرنا شامل ہے، جنہیں دوبارہ عملی اصطلاحات میں رکھا گیا ہے۔ ریاضیاتی فن کے نو ابواب کا ساتواں باب دو نامعلوموں کے ساتھ دو مساوات کے نظام کو غلط پوزیشن کے طریقہ کار سے حل کرنے سے بھی متعلق ہے۔ دو نامعلوم میں سے بڑے کو حل کرنے کے لیے، غلط پوزیشن کا طریقہ قاری کو ہدایت دیتا ہے کہ وہ معمولی اصطلاحات یا زی (جو اضافی اور خسارے کے لیے دی گئی اقدار ہیں) کو بڑی اصطلاحات میو کے ساتھ ضرب دے۔ دو نامعلوم میں سے کم کے لیے حل کرنے کے لیے، صرف معمولی اصطلاحات کو ایک ساتھ شامل کریں۔ ریاضیاتی فن کے نو ابواب کا آٹھویں باب لامحدود نامعلوم کے ساتھ لامحدود مساوات کو حل کرنے سے متعلق ہے۔ اس عمل کو پورے باب میں "فینگچینگ طریقہ کار" کہا جاتا ہے۔ بہت سے مورخین نے اصطلاح کے معنی کے متضاد شواہد کی وجہ سے اصطلاح فینگچینگ کو غیر ترجمہ شدہ چھوڑنے کا انتخاب کیا۔ بہت سے مورخین آج اس لفظ کا لکیری الجبرا میں ترجمہ کرتے ہیں۔ اس باب میں، بہت سے نامعلوم افراد کے ساتھ مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے گوسیائی خاتمے اور بیک متبادل کا عمل استعمال کیا گیا ہے۔ دشواریوں کو گنتی بورڈ پر کیا گیا اور اس میں منفی نمبروں کے ساتھ ساتھ حصوں کا استعمال بھی شامل تھا۔ گنتی بورڈ مؤثر طریقے سے ایک میٹرکس تھا، جہاں اوپر کی لکیر ایک مساوات کا پہلا متغیر ہوتا ہے اور نیچے کا حصہ آخری ہوتا ہے۔ ریاضیاتی فن پر نو ابواب پر لیو ہوئی کا تبصرہ ریاضیاتی فن پر نو ابواب پر لیو ہوئی کا تبصرہ دستیاب اصل متن کا ابتدائی ایڈیشن ہے۔ زیادہ تر لوگوں کا خیال ہے کہ ہوئی ہان خاندان کے فورا بعد ایک ریاضی دان تھا۔ اپنی تفسیر میں، ہوئی نے الجبرائی یا ہندسی نقطہ نظر سے کچھ مسائل کو قابل بنایا اور ثابت کیا۔ مثال کے طور پر، ریاضیاتی فن کے نو ابواب میں، حلقوں یا شعبوں سے متعلق مسائل میں پائی کی قدر تین کے برابر لی جاتی ہے۔ اپنی تفسیر میں، لیو ہوئی کو تھکاوٹ کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے پائی کا زیادہ درست تخمینہ ملتا ہے۔ اس طریقہ کار میں دائرے کے اندر یکے بعد دیگرے کثیر الجہتی بنانا شامل ہے تاکہ آخر کار اعلی درجے کے کثیر الاضحی کا رقبہ دائرے کی طرح ہو۔ اس طریقہ کار سے، لیو ہوئی نے زور دے کر کہا کہ پائی کی قیمت تقریبا 3.14 ہے۔ لیو ہوئی نے یونانی طریقہ کار کی طرح مربع اور کیوبڈ جڑ نکالنے کا ہندسی ثبوت بھی پیش کیا، جس میں کسی بھی لکیر یا حصے میں مربع یا مکعب کو کاٹنا اور بقیہ مستطیلوں کی ہم آہنگی کے ذریعے مربع جڑ کا تعین کرنا شامل تھا۔ تیسری صدی میں لیو ہوئی نے نو ابواب پر اپنی تفسیر لکھی اور حیداؤ سوانجنگ بھی لکھی جس میں پائیتھاگورین تھیوریم (جو پہلے ہی 9 ابواب سے جانا جاتا ہے)، اور سروے کے لیے ٹرپل، چوگنا مثلث کا استعمال کیا گیا۔ ریاضیاتی سروے میں ان کی کامیابی مغرب میں ایک ہزار سال تک حاصل کردہ کامیابیوں سے تجاوز کر گئی۔ وہ پہلا چینی ریاضی دان تھا جس نے اپنے π الگورتھم کے ساتھ π = 3.1416 کا حساب لگایا۔ انہوں نے سلنڈر کے حجم کے لیے ایک درست فارمولا تلاش کرنے کے لیے کیولیری کے اصول کے استعمال کو دریافت کیا، اور تیسری صدی عیسوی کے دوران لامحدود کیلکولس کے عناصر بھی تیار کیے۔ چوتھی صدی میں، زو چونگزی نامی ایک اور بااثر ریاضی دان نے دا منگ لی کو متعارف کرایا۔ اس کیلنڈر کا حساب خاص طور پر بہت سے کائناتی چکروں کی پیش گوئی کے لیے کیا گیا تھا جو ایک مدت میں واقع ہوں گے۔ اس کی زندگی کے بارے میں واقعی بہت کم معلومات ہیں۔ آج، واحد ذرائع سوئی کی کتاب میں پائے جاتے ہیں، اب ہم جانتے ہیں کہ زو چونگزی ریاضی دانوں کی نسلوں میں سے ایک تھے۔ انہوں نے 12288-گون پر لاگو لیو ہوئی کے پائی-الگورتھم کا استعمال کیا اور 7 درست اعشاریہ مقامات (3.1415926 اور 3.1415927 کے درمیان) پر پائی کی قدر حاصل کی، جو اگلے 900 سالوں کے لیے دستیاب π کا سب سے درست تخمینہ رہے گا۔ انہوں نے اپنے فلکیات اور ریاضیاتی کاموں میں غیر معقول تعداد کو کسر کے ساتھ لگ بھگ کرنے کے لیے ہی چینگٹین کی انٹرپولیشن کا بھی اطلاق کیا، انہوں نے پائی کے لیے ایک اچھے کسر کے طور پر حاصل کیا۔ یوشیو میکامی نے تبصرہ کیا کہ نہ یونانی، نہ ہندو اور نہ عرب اس کسر کے قریب ہونے کے بارے میں جانتے تھے، جب تک کہ ڈچ ریاضی دان ایڈرین انتھونیسوم نے اسے 1585 میں دوبارہ دریافت نہیں کیا، "اس لیے چینیوں کے پاس یورپ سے پہلے ایک پورے ہزار سال کے دوران تمام کسر اقدار میں یہ سب سے غیر معمولی تھا" اپنے بیٹے زو گینگ کے ساتھ، زو چونگزی نے دائرے کے حجم کا حساب لگانے کے لیے ایک درست حل تلاش کرنے کے لیے کیولیری کے اصول کا اطلاق کیا۔ دائرے کے حجم کے فارمولوں پر مشتمل ہونے کے علاوہ، ان کی کتاب میں کیوبک مساوات کے فارمولے اور پائی کی درست قیمت بھی شامل تھی۔ ان کا کام، جھوئی شو، سونگ خاندان کے دوران ریاضی کے نصاب سے خارج کر دیا گیا اور کھو گیا۔ بہت سے لوگوں کا خیال تھا کہ جھوئی شو لکیری، میٹرکس الجبرا، π کی قدر کا حساب لگانے کے لیے الگورتھم، دائرے کے حجم کے فارمولے کے فارمولوں اور طریقوں پر مشتمل ہے۔ متن کو انٹرپولیشن کے اس کے فلکیاتی طریقوں سے بھی منسلک ہونا چاہیے، جس میں ہمارے جدید ریاضی کی طرح علم ہوگا۔ 200 اور 400 عیسوی کے درمیان سنزی ریاضیاتی کلاسک نامی ایک ریاضیاتی دستی میں گنتی کی سلاخوں کے ساتھ ضرب اور تقسیم الگورتھم کی سب سے تفصیلی مرحلہ وار تفصیل موجود تھی۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ سنزی نے پلیس ویلیو سسٹم اور پلیس ویلیو سسٹم اور مغرب میں متعلقہ گیلی ڈویژن کی ترقی کو متاثر کیا ہوگا۔ یورپی ذرائع نے 13 ویں صدی میں جگہ کی قدر کی تکنیک سیکھی، لاطینی ترجمہ سے جو کہ 9 ویں صدی کے اوائل میں الخوارزمی کا کام ہے۔ خوریزمی کی پیشکش تقریبا سنزی میں ڈویژن الگورتھم سے ملتی جلتی ہے، یہاں تک کہ طرز کے معاملات کے حوالے سے بھی (مثال کے طور پر، پیچھے والے صفر کی نمائندگی کے لیے خالی جگہوں کا استعمال) ؛ مماثلت سے پتہ چلتا ہے کہ نتائج ایک آزاد دریافت نہیں ہو سکتے۔ الخوارزمی کے کام پر اسلامی مبصرین کا خیال تھا کہ اس میں بنیادی طور پر ہندو علم کا خلاصہ ہے۔ الخوارزمی کی اپنے ذرائع کا حوالہ دینے میں ناکامی اس بات کا تعین کرنا مشکل بنا دیتی ہے کہ آیا ان ذرائع نے بدلے میں چین سے طریقہ کار سیکھا تھا۔ پانچویں صدی میں "ژانگ کیوجیان سوانجنگ" نامی دستی میں لکیری اور کواڈریٹک مساوات پر تبادلہ خیال کیا گیا۔ اس وقت تک چینیوں کے پاس منفی اعداد کا تصور تھا۔ تانگ خاندان کی طرف سے عظیم اسکولوں میں ریاضی کا مطالعہ کافی معیاری تھا۔ دس کمپیوٹیشنل کینون دس چینی ریاضیاتی کاموں کا مجموعہ تھا، جسے تانگ خاندان کے ابتدائی ریاضی دان لی چنفینگ نے ریاضی میں شاہی امتحانات کے لیے سرکاری ریاضیاتی متن کے طور پر مرتب کیا تھا۔ سوئی خاندان اور تانگ خاندان "اسکول آف کمپیوٹیشنز" چلاتے تھے۔ وانگ شیاؤتونگ تانگ خاندان کے آغاز میں ایک عظیم ریاضی دان تھے، اور انہوں نے ایک کتاب لکھی: جیگو سوانجنگ (قدیم ریاضی کا تسلسل)، جہاں عددی حل جو عام کیوبک مساوات پہلی بار ظاہر ہوتے ہیں۔ تبتی باشندوں نے ریاضی (ریاضی) کا اپنا پہلا علم چین سے نام ری سرونگ بٹسان کے دور میں حاصل کیا، جس کا انتقال 630 میں ہوا۔ ہندوستانی ریاضی دان آریہ بھٹ کی سائنس کی میز کا چینی ریاضیاتی کتاب کائیوان ژانجنگ میں ترجمہ کیا گیا تھا، جو تانگ خاندان کے دوران 718 عیسوی میں مرتب کی گئی تھی۔ اگرچہ چینیوں نے ریاضی کے دیگر شعبوں جیسے ٹھوس جیومیٹری، بائنومیل تھیوریم، اور پیچیدہ الجبرائی فارمولوں میں مہارت حاصل کی، لیکن مثلثی کی ابتدائی شکلوں کو اتنا وسیع پیمانے پر سراہا نہیں گیا جتنا کہ عصری ہندوستانی اور اسلامی ریاضی میں تھا۔ ریاضی دان اور بدھ راہب یی زنگ کو ٹینجینٹ ٹیبل کا حساب لگانے کا سہرا دیا گیا۔ اس کے بجائے، ابتدائی چینیوں نے ایک تجرباتی متبادل استعمال کیا جسے چونگ چا کہا جاتا ہے، جبکہ سائن، ٹینجینٹ اور سیکینٹ کے استعمال میں طیارہ مثلثی کا عملی استعمال جانا جاتا تھا۔ یی زنگ اپنی ذہانت کے لیے مشہور تھا، اور اسے گو بورڈ گیم میں ممکنہ پوزیشنوں کی تعداد کا حساب لگانے کے لیے جانا جاتا تھا (حالانکہ صفر کی علامت کے بغیر اسے نمبر ظاہر کرنے میں مشکلات کا سامنا کرنا پڑا)۔ سونگ اور یوآن ریاضی شمالی سونگ خاندان کے ریاضی دان جیا شیان نے مربع جڑ اور کیوبک جڑ کو نکالنے کے لیے ایک اضافی ضرب کا طریقہ تیار کیا جس نے "ہورنر" اصول کو نافذ کیا۔ چار نمایاں ریاضی دان سونگ خاندان اور یوآن خاندان کے دوران ابھرے، خاص طور پر بارہویں اور تیرہویں صدی میں: یانگ ہوئی، کن جیوشاؤ، لی زی (لی یے)، اور زو شیجی۔ یانگ ہوئی، کن جیوشاؤ، زو شیجی سب نے چھ سو سال پہلے ہورنر روفینی طریقہ استعمال کیا تھا تاکہ بعض قسم کی بیک وقت مساوات، جڑیں، کواڈریٹک، کیوبک اور کوارٹک مساوات کو حل کیا جا سکے۔ یانگ ہوئی تاریخ کا پہلا شخص بھی تھا جس نے "پاسکل کا مثلث" کو اس کے بائنومیل ثبوت کے ساتھ دریافت اور ثابت کیا (حالانکہ چین میں پاسکل کے مثلث کا قدیم ترین ذکر گیارہویں صدی عیسوی سے پہلے موجود ہے)۔ دوسری طرف لی زی نے تیان یوان شو پر مبنی الجبرائی جیومیٹری کی ایک شکل پر تحقیق کی۔ ان کی کتاب ؛ سیوان ہائیجنگ نے دائرے کو مثلثوں میں تحریر کرنے کے خیال میں انقلاب برپا کر دیا، اس جیومیٹری کے مسئلے کو پایتھاگورین تھیوریم استعمال کرنے کے روایتی طریقہ کار کے بجائے الجبرا کے ذریعے تبدیل کر دیا۔ اس دور کے گو شوجنگ نے عین مطابق فلکیاتی حسابات کے لیے کروی مثلثیات پر بھی کام کیا۔ ریاضیاتی تاریخ کے اس مقام پر، بہت سے جدید مغربی ریاضی پہلے ہی چینی ریاضی دانوں نے دریافت کر لیے تھے۔ چینی ریاضی کی تیرہویں صدی کی نشاۃ ثانیہ تک کچھ عرصے تک حالات پرسکون رہے۔ اس سے چینی ریاضی دانوں نے ان طریقوں کے ساتھ مساوات کو حل کرتے ہوئے دیکھا جو یورپ کو اٹھارہویں صدی تک معلوم نہیں تھے۔ اس دور کا عروج زو شیجی کی دو کتابوں سوانکسیو کیمینگ اور سیوان یوجیان کے ساتھ آیا۔ ایک معاملے میں انہوں نے مبینہ طور پر گاؤس کے کلیدی ارتکاز کے مساوی ایک طریقہ پیش کیا۔ کن جیوشاؤ (c. 1202-1261) چینی ریاضی میں صفر کی علامت متعارف کرانے والے پہلے شخص تھے۔ اس اختراع سے پہلے، سلاخوں کی گنتی کے نظام میں صفر کے بجائے خالی جگہیں استعمال کی جاتی تھیں۔ کن جیوشاؤ کی سب سے اہم شراکت میں سے ایک ہائی آرڈر عددی مساوات کو حل کرنے کا ان کا طریقہ تھا۔ چوتھے درجے کی مساوات کے کن کے حل کا حوالہ دیتے ہوئے، یوشیو میکامی نے کہا: "اس حقیقت سے کون انکار کر سکتا ہے کہ ہورنر کا شاندار عمل چین میں یورپ سے کم از کم تقریبا چھ لمبی صدیوں پہلے استعمال کیا جا رہا ہے؟" کن نے 10 ویں ترتیب کی مساوات کو بھی حل کیا۔ پاسکل کے مثلث کی مثال سب سے پہلے چین میں یانگ ہوئی نے اپنی کتاب ژیانگجی جیوژانگ سوانفا میں دی تھی، حالانکہ اس کی وضاحت 1100 کے آس پاس جیا شیان نے کی تھی۔ اگرچہ کمپیوٹیشنل اسٹڈیز کا تعارف زو شیجی (فل۔ 13 ویں صدی) 1299 میں چینی الجبرا میں کچھ بھی نیا نہیں تھا، اس کا جاپانی ریاضی کی ترقی پر بہت بڑا اثر پڑا۔ الجبرہ سیوان ہائیجنگ ()، یا دائرے کی پیمائش کا سی مرر، 692 فارمولوں اور 170 مسائل کا مجموعہ ہے جو مثلث میں کندہ شدہ دائرے سے متعلق ہے، جسے لی زی (یا لی یی) (1192-1272 AD) نے لکھا ہے۔ انہوں نے پیچیدہ جیومیٹری کے مسائل کو خالص الجبرا کے مسائل میں تبدیل کرنے کے لیے تیان یوان شو کا استعمال کیا۔ اس کے بعد انہوں نے چھ ڈگری تک کی مساوات کو حل کرنے کے لیے فین ایف اے، یا ہورنر کا طریقہ استعمال کیا، حالانکہ انہوں نے مساوات کو حل کرنے کے اپنے طریقہ کار کو بیان نہیں کیا۔ "لی چیہ (یا لی یہ، 1192-1279)، پیکنگ کا ایک ریاضی دان جسے 1206 میں کھوبلائی خان نے سرکاری عہدے کی پیشکش کی تھی، لیکن شائستگی سے اسے مسترد کرنے کا بہانہ ڈھونڈ لیا۔ ان کے Ts 'e-yuan hay-ching (دائرے کی پیمائش کا سی-مرر) میں 170 مسائل شامل ہیں جو [.] چھٹے درجے کی کثیر الجہتی مساوات کی طرف لے جانے والے کچھ مسائل سے نمٹتے ہیں۔ اگرچہ اس نے مساوات کے حل کے اپنے طریقہ کار کو بیان نہیں کیا، لیکن ایسا معلوم ہوتا ہے کہ یہ چو شیہ چیہ اور ہورنر کے استعمال کردہ طریقہ سے بہت مختلف نہیں تھا۔ ہورنر طریقہ استعمال کرنے والے دوسرے لوگ چن چیؤ-شاؤ (ca. 1202-ca.1261) اور یانگ ہوئی (فل۔ سی۔ 1261-1275)۔ چار نامعلوم افراد کا جیڈ آئینہ، یا چار نامعلوم افراد کا جیڈ آئینہ، جھو شیجی نے 1303 عیسوی میں لکھا تھا اور چینی الجبرا کی ترقی میں چوٹی کی نشاندہی کرتا ہے۔ ان چار عناصر، جنہیں جنت، زمین، انسان اور مادہ کہا جاتا ہے، نے ان کی الجبرائی مساوات میں چار نامعلوم مقداروں کی نمائندگی کی۔ یہ بیک وقت مساوات اور چودہ ڈگری تک کی مساوات سے متعلق ہے۔ مصنف ان مساوات کو حل کرنے کے لیے فین فے کا طریقہ استعمال کرتا ہے، جسے آج ہورنر کا طریقہ کہا جاتا ہے۔ آئینے میں ثبوت کے بغیر بہت سی سمیشن سیریز مساوات دی گئی ہیں۔ خلاصہ سیریز میں سے کچھ یہ ہیں: نو حصوں میں ریاضیاتی مقالہ شو-شو چیؤ-چانگ، یا نو حصوں میں ریاضیاتی مقالہ، امیر گورنر اور وزیر چن چیؤ-شاؤ (ca. 1202-ca. 1261 عیسوی) اور بیک وقت ہم آہنگی کو حل کرنے کے طریقہ کار کی ایجاد کے ساتھ، یہ چینی غیر متعین تجزیہ میں اعلی مقام کی نشاندہی کرتا ہے۔ جادوئی مربع اور جادوئی حلقے تین سے زیادہ ترتیب کے قدیم ترین معلوم جادوئی مربع یانگ ہوئی (فل۔ سی۔ 1261-1275)، جس نے دس سے زیادہ آرڈر کے جادوئی مربعوں کے ساتھ کام کیا۔ انہوں نے جادوئی دائرے کے ساتھ بھی کام کیا۔ چین میں مثلثی کی جنین کی حالت آہستہ آہستہ سونگ خاندان (960-1279) کے دوران بدلنا اور آگے بڑھنا شروع ہوئی، جہاں چینی ریاضی دانوں نے کیلنڈریکل سائنس اور فلکیاتی حسابات میں کروی مثلثی کی ضرورت پر زیادہ زور دینا شروع کیا۔ پولی میتھ چینی سائنسدان، ریاضی دان اور سرکاری شین کوو (1031-1095) نے کورڈز اور آرکس کے ریاضیاتی مسائل کو حل کرنے کے لیے مثلثی افعال کا استعمال کیا۔ وکٹر جے کاٹز لکھتے ہیں کہ شین کے فارمولے "چوراہوں کو کاٹنے کی تکنیک" میں، انہوں نے ایک دائرے کے آرک کا تخمینہ s سے s = c + 2v2/d بنایا، جہاں d قطر ہے، v ورسین ہے، c آرک کو کم کرنے والے کورڈ c کی لمبائی ہے۔ سال ریسٹیو لکھتے ہیں کہ حلقوں کے آرکس کی لمبائی میں شین کے کام نے 13 ویں صدی میں ریاضی دان اور ماہر فلکیات گو شوجنگ (1231-1316) کے ذریعہ تیار کردہ کروی مثلثی کی بنیاد فراہم کی۔ جیسا کہ مورخین ایل گاؤشیٹ اور جوزف نیدھم بیان کرتے ہیں، گو شوجنگ نے کیلنڈر کے نظام اور چینی فلکیات کو بہتر بنانے کے لیے اپنے حسابات میں کروی مثلث کا استعمال کیا۔ گو کے ریاضیاتی ثبوتوں کی 17 ویں صدی کے بعد کی چینی مثال کے ساتھ، نیدھم کا کہنا ہے کہ: گو نے ایک چوتھائی گول اہرام کا استعمال کیا، جس کا بنیادی چوتھائی ایک استوائی اور ایک ایکلیپٹک آرک پر مشتمل تھا، جس میں دو مریدین آرکس تھے، جن میں سے ایک موسم گرما کے انقلاب سے گزرا point.By اس طرح کے طریقوں سے وہ ڈو لو (خط استوا کی ڈگریوں کے مطابق ایکلیپٹک کی ڈگری)، جی چا (دیئے گئے ایکلیپٹک آرکس کے لیے کورڈز کی اقدار)، اور چا لو (1 ڈگری سے مختلف آرکس کی کورڈز کے درمیان فرق) حاصل کرنے میں کامیاب رہا۔ مثلثیات میں شین اور گو کے کام کی کامیابیوں کے باوجود، چینی مثلثیات میں ایک اور خاطر خواہ کام 1607 تک دوبارہ شائع نہیں ہوا، جس میں چینی عہدیدار اور ماہر فلکیات شو گوانگچی (1562-1633) اور اطالوی جیسوئٹ میٹیو رچی (1552-1610) کی طرف سے یوکلڈ کے عناصر کی دوہری اشاعت ہوئی۔ منگ ریاضی یوآن خاندان کے خاتمے کے بعد، چین کو منگول پسند کے علم پر شک ہوا۔ عدالت نے بوٹنی اور فارماکولوجی کے حق میں ریاضی اور طبیعیات سے منہ موڑ لیا۔ شاہی امتحانات میں بہت کم ریاضی شامل تھی، اور ان میں جو کچھ بھی شامل تھا اس نے حالیہ پیش رفت کو نظر انداز کر دیا۔ مارٹزلوف لکھتے ہیں: 16 ویں صدی کے آخر میں، چینی خود مختار ریاضی جو خود چینی جانتے تھے، تقریبا کچھ بھی نہیں تھی، جو اباکس کے حساب سے تھوڑی زیادہ تھی، جبکہ 17 ویں اور 18 ویں صدی میں یورپی سائنس کے تھیٹر میں انقلابی ترقی کے ساتھ کچھ بھی متوازی نہیں ہو سکتا تھا۔ مزید برآں، اسی عرصے میں، کوئی بھی اس بات کی اطلاع نہیں دے سکتا تھا کہ زیادہ دور ماضی میں کیا ہوا تھا، کیونکہ خود چینیوں کو اس کا صرف ایک ٹکڑا علم تھا۔ کسی کو یہ نہیں بھولنا چاہیے کہ خود چین میں 18 ویں صدی کی آخری سہ ماہی سے پہلے آٹوتھونس ریاضی کو بڑے پیمانے پر دوبارہ دریافت نہیں کیا گیا تھا، اسکالرز نے ریاضی پر کم توجہ دی۔ گو ینگ شیانگ اور تانگ شونزی جیسے ممتاز ریاضی دان تیان یوآن شو (ضرب میں اضافہ) کے طریقہ سے ناواقف دکھائی دیتے ہیں۔ زبانی بات چیت کرنے والوں کے بغیر ان کی وضاحت کرنے کے لیے، نصوص تیزی سے ناقابل فہم ہو گئے۔ اس سے بھی بدتر بات یہ ہے کہ زیادہ تر مسائل کو زیادہ ابتدائی طریقوں سے حل کیا جا سکتا تھا۔ اوسط اسکالر کے لیے، تب، تیانیوان عددیات لگ رہا تھا۔ جب وو جنگ نے پچھلے خاندانوں کے تمام ریاضیاتی کاموں کو ریاضیاتی فن کے نو ابواب میں دی اینوٹیشنز آف کیلکولیشنز میں جمع کیا تو انہوں نے تیان یوآن شو اور انکریس ملٹی پلائی طریقہ کو خارج کر دیا۔ اس کے بجائے، ریاضیاتی ترقی کمپیوٹیشنل ٹولز پر مرکوز ہو گئی۔ 15 ویں صدی میں، اباکس اپنی سوان پین شکل میں آیا۔ استعمال کرنے اور لے جانے میں آسان، تیز اور درست دونوں، اس نے تیزی سے حساب کی ترجیحی شکل کے طور پر راڈ کیلکولس کو پیچھے چھوڑ دیا۔ زوسوان، اباکس کے ذریعے ریاضی کے حساب نے متعدد نئے کاموں کو متاثر کیا۔ سوانفا ٹونگ زونگ (کمپیوٹیشنل طریقوں کا عمومی ماخذ)، چینگ داوی کے ذریعہ 1592 میں شائع ہونے والا 17 جلدوں کا کام، 300 سال سے زیادہ عرصے تک استعمال میں رہا۔ ژو زائییو، زینگ کے شہزادہ نے 2 سے 25 اعداد کی درستگی کے مربع جڑ اور کیوبک جڑ کا حساب لگانے کے لیے 81 پوزیشن اباکس کا استعمال کیا، ایک ایسی درستگی جس نے اس کے مساوی مزاج کے نظام کی ترقی کو قابل بنایا۔ اگرچہ گنتی کی سلاخوں سے اباکس میں اس تبدیلی نے کمپیوٹیشن کے اوقات کو کم کرنے کی اجازت دی، لیکن یہ چینی ریاضی کے جمود اور زوال کا باعث بھی بن سکتا ہے۔ گنتی بورڈوں پر چھڑی کے اعداد کی گنتی کے نمونوں سے بھرپور ترتیب نے ریاضی میں بہت سی چینی ایجادات کو متاثر کیا، جیسے کہ فریکشن کے کراس ضرب کے اصول اور لکیری مساوات کو حل کرنے کے طریقے۔ اسی طرح، جاپانی ریاضی دان میٹرکس کے تصور کی تعریف میں گنتی کی چھڑی کے عددی ترتیب سے متاثر تھے۔ اباکس کے لیے الگورتھم اسی طرح کی تصوراتی ترقی کا باعث نہیں بنے۔ (یہ فرق، یقینا، ایک جدید ہے: 20 ویں صدی تک، چینی ریاضی خصوصی طور پر ایک کمپیوٹیشنل سائنس تھی۔) 16 ویں صدی کے آخر میں، میٹو رچی نے امپیریل کورٹ میں ایک مقام قائم کرنے کے لیے مغربی سائنسی کام شائع کرنے کا فیصلہ کیا۔ شو گوانگچی کی مدد سے، وہ کلاسیکی بدھ مت کی تحریروں کو سکھانے کے لیے استعمال ہونے والی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے یوکلڈ کے عناصر کا ترجمہ کرنے میں کامیاب ہوئے۔ دیگر مشنریوں نے ان کی مثال پر عمل کرتے ہوئے خصوصی افعال (مثلثی اور لوگرتھم) پر مغربی کاموں کا ترجمہ کیا جنہیں چینی روایت میں نظر انداز کیا گیا تھا۔ تاہم، عصری اسکالرز نے حل شدہ مسائل کے برخلاف ثبوتوں پر زور کو حیران کن پایا، اور زیادہ تر صرف کلاسیکی متون سے ہی کام کرتے رہے۔ چنگ خاندان کانگسی شہنشاہ کے تحت، جس نے یسوع سے مغربی ریاضی سیکھی اور بیرونی علم اور نظریات کے لیے کھلا تھا، چینی ریاضی کو سرکاری حمایت کی ایک مختصر مدت حاصل تھی۔ کانگسی کی ہدایت پر، میی گوچینگ اور تین دیگر ممتاز ریاضی دانوں نے 53 جلدوں پر مشتمل شولی جنگیون [ریاضیاتی مطالعہ کا جوہر] (طباعت شدہ 1723) مرتب کیا جس نے مغربی ریاضیاتی علم کا ایک منظم تعارف دیا۔ اسی وقت، میئی گوچینگ نے میشی کانگشو جیانگ [میئی کے مرتب کردہ کام] کے طور پر بھی ترقی کی۔ میشی کانگشو جیانگ اس وقت چینی ریاضی کے تقریبا تمام اسکولوں کا ایک انسائیکلوپیڈک خلاصہ تھا، لیکن اس میں گوچینگ کے دادا می وینڈنگ (1633-1721) کے بین الثقافتی کام بھی شامل تھے۔ انٹرپرائز نے حوالہ جات کا سراغ لگانے میں مغربی ریاضی پر کام کرنے والے چینی ریاضی دانوں کی مشکلات کو دور کرنے کی کوشش کی۔ تاہم، یانگژینگ شہنشاہ کے تخت پر بیٹھنے سے پہلے ہی انسائیکلوپیڈیا شائع ہو گئے۔ یونگ زینگ نے چینی پالیسی میں تیزی سے مغرب مخالف رخ متعارف کرایا، اور زیادہ تر مشنریوں کو دربار سے بے دخل کر دیا۔ نہ تو مغربی متون اور نہ ہی قابل فہم چینی متون تک رسائی کے ساتھ، چینی ریاضی جمود کا شکار ہوگئی۔ 1773 میں، کیانلانگ شہنشاہ نے چار خزانوں کی مکمل لائبریری (یا سکو کوانشو) کو مرتب کرنے کا فیصلہ کیا۔ ڈائی زین (1724-1777) نے یونگل انسائیکلوپیڈیا سے ریاضیاتی فن پر نو ابواب اور ہان اور تانگ خاندانوں کے کئی دیگر ریاضیاتی کاموں کو منتخب اور پروف ریڈ کیا۔ سونگ اور یوآن خاندانوں جیسے سی-یوان یو-جیان اور سیوان ہائیجنگ کے طویل عرصے سے گمشدہ ریاضیاتی کام بھی پائے گئے اور چھاپے گئے، جس کی وجہ سے براہ راست نئی تحقیق کی لہر دوڑ گئی۔ سب سے زیادہ تشریح شدہ کام جیوژانگ سوانشو نکسوتوشو (ریاضیاتی فن کے نو ابواب کے لیے حساب کتاب کے عمل کی عکاسی) تھا جس میں لی ہوانگ اور سیوان یوجیان نکسو (سی-یوآن یو-جیان کی تفصیلی وضاحت) کا تعاون تھا جو لو شلن نے کیا تھا۔ مغربی اثرات 1840 میں، پہلی افیون کی جنگ نے چین کو اپنے دروازے کھولنے اور بیرونی دنیا کو دیکھنے پر مجبور کر دیا، جس کی وجہ سے پچھلی صدیوں میں مغربی ریاضیاتی مطالعات کی آمد بھی بے مثال شرح سے ہوئی۔ 1852 میں چینی ریاضی دان لی شانلان اور برطانوی مشنری الیگزینڈر وائیلی نے عناصر کے بعد کے نو جلدوں اور الجبرا پر 13 جلدوں کا مشترکہ ترجمہ کیا۔ جوزف ایڈکنز کی مدد سے جلد ہی فلکیات اور کیلکولس پر مزید کام ہوئے۔ چینی اسکالرز کو ابتدائی طور پر اس بات کا یقین نہیں تھا کہ آیا نئے کاموں تک پہنچنا ہے: کیا مغربی علم کا مطالعہ غیر ملکی حملہ آوروں کے سامنے ہتھیار ڈالنے کی ایک شکل تھی؟ لیکن صدی کے آخر تک، یہ واضح ہو گیا کہ چین صرف مغربی کاموں کو شامل کرکے اپنی خودمختاری کو بحال کرنا شروع کر سکتا ہے۔ چینی اسکالرز، جو مغربی مشنری اسکولوں میں پڑھائے جاتے تھے، مغربی متون سے (ترجمہ شدہ)، مقامی روایت سے تیزی سے رابطہ کھو بیٹھے۔ وہ لوگ جو خود تربیت یافتہ تھے یا روایتی حلقوں میں تھے اس کے باوجود مغربی علامتوں کا سہارا لیے بغیر الگورتھمک ریاضی کے روایتی ڈھانچے کے اندر کام کرتے رہے۔ پھر بھی، جیسا کہ مارٹزلوف نوٹ کرتے ہیں، "1911 کے بعد سے، چین میں صرف مغربی ریاضی کی مشق کی جاتی رہی ہے۔" جدید چین میں مغربی ریاضی چینی ریاضی نے 1912 میں جدید چینی جمہوریہ کے قیام کے بعد احیاء کے زبردست اضافے کا تجربہ کیا۔ اس کے بعد سے جدید چینی ریاضی دانوں نے مختلف ریاضیاتی شعبوں میں بے شمار کامیابیاں حاصل کی ہیں۔ کچھ مشہور جدید نسلی چینی ریاضی دانوں میں شامل ہیں: شنگ-شین چرن کو وسیع پیمانے پر جیومیٹری کا رہنما اور بیسویں صدی کے عظیم ترین ریاضی دانوں میں سے ایک سمجھا جاتا تھا اور انہیں ان کی بے پناہ تعداد میں ریاضیاتی شراکت کے لیے ولف انعام سے نوازا گیا تھا۔ کی فین نے ریاضی کے بہت سے مختلف شعبوں میں زبردست تعداد میں بنیادی تعاون کیا۔ فکسڈ پوائنٹ تھیوری میں ان کے کام نے، غیر لکیری فنکشنل تجزیہ کو متاثر کرنے کے علاوہ، ریاضیاتی معاشیات اور گیم تھیوری، پوٹینشل تھیوری، تغیرات کے کیلکولس، اور تفریقی مساوات میں وسیع اطلاق پایا ہے۔ شنگ تنگ یاؤ، ان کی شراکتوں نے طبیعیات اور ریاضی دونوں کو متاثر کیا ہے، اور وہ جیومیٹری اور نظریاتی طبیعیات کے درمیان انٹرفیس پر سرگرم رہے ہیں اور بعد میں ان کی شراکت کے لیے فیلڈز میڈل سے نوازا گیا۔ ٹیرنس تاؤ، ایک نسلی چینی بچہ شاندار جس نے 16 سال کی عمر میں ماسٹر کی ڈگری حاصل کی، بین الاقوامی ریاضیاتی اولمپیاڈ کی پوری تاریخ میں سب سے کم عمر شریک تھا، جس نے دس سال کی عمر میں پہلی بار مقابلہ کیا، کانسی، چاندی اور سونے کا تمغہ جیتا۔ وہ اولمپیاڈ کی تاریخ میں تین تمغوں میں سے ہر ایک کا سب سے کم عمر فاتح ہے۔ انہوں نے فیلڈز میڈل حاصل کیا۔ یتانگ ژانگ، ایک نمبر تھیوریسٹ جس نے پرائم نمبروں کے درمیان فرق پر پہلی محدود حد قائم کی۔ چن جنگرن، ایک نمبر تھیوریسٹ جس نے ثابت کیا کہ ہر کافی بڑی یکساں تعداد کو دو پرائمز، یا ایک پرائم اور ایک سیمی پرائم (دو پرائمز کا پروڈکٹ) کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جسے اب چن کا تھیوریم کہا جاتا ہے۔ ان کا کام گولڈباخ کے قیاس آرائی کی تحقیق میں ایک سنگ میل کے طور پر جانا جاتا تھا۔ عوامی جمہوریہ چین میں ریاضی 1949 میں، عوامی جمہوریہ چین کے قیام کے آغاز پر، حکومت نے سائنس کے مقصد پر بہت زیادہ توجہ دی حالانکہ ملک فنڈز کی کمی کی حالت میں تھا۔ چینی اکیڈمی آف سائنسز نومبر 1949 میں قائم کی گئی تھی۔ انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس باضابطہ طور پر جولائی 1952 میں قائم کیا گیا تھا۔ پھر، چینی ریاضیاتی سوسائٹی اور اس کے بانی جرائد کو بحال کیا گیا اور دیگر خصوصی جرائد کو شامل کیا گیا۔ 1949 کے بعد کے 18 سالوں میں شائع شدہ مقالہ جات کی تعداد 1949 سے پہلے کے مضامین کی کل تعداد سے تین گنا زیادہ تھی۔ ان میں سے کئی نے نہ صرف چین کے ماضی کے خلا کو پر کیا بلکہ دنیا کی اعلی درجے کی سطح تک بھی پہنچ گئے۔ ثقافتی انقلاب کے افراتفری کے دوران، علوم میں کمی واقع ہوئی۔ ریاضی کے میدان میں، چن جنگرن کے علاوہ، ہوا لوگینگ، ژانگ گوانگھو اور دیگر ریاضی دان اپنے کام کو جاری رکھنے کے لیے جدوجہد کر رہے ہیں۔ تباہی کے بعد، گو مورو کی ادبی "اسپرنگ آف سائنس" کی اشاعت کے ساتھ، چینی علوم اور ریاضی نے ایک احیاء کا تجربہ کیا۔ 1977 میں بیجنگ میں ایک نیا ریاضیاتی ترقیاتی منصوبہ وضع کیا گیا، ریاضی سوسائٹی کا کام دوبارہ شروع کیا گیا، جریدہ دوبارہ شائع کیا گیا، تعلیمی جریدہ شائع کیا گیا، ریاضی کی تعلیم کو مضبوط کیا گیا، اور بنیادی نظریاتی تحقیق کو مضبوط کیا گیا۔ پاور سسٹم کی سمت میں چینی ریاضی دان کی ایک اہم ریاضیاتی کامیابی یہ ہے کہ شیا ژی ہونگ نے 1988 میں پین لیو قیاس کو کیسے ثابت کیا۔ جب N آسمانی اجسام کی کچھ ابتدائی حالتیں ہوتی ہیں، تو آسمانی اجسام میں سے ایک محدود وقت میں لامحدود یا رفتار تک دوڑتا ہے۔ انفینٹی تک پہنچ جاتا ہے، یعنی غیر تصادم کی انفرادیت ہوتی ہے۔ پین لیو قیاس 1895 میں تجویز کردہ پاور سسٹمز کے میدان میں ایک اہم قیاس ہے۔ 4-باڈی کے مسئلے کے لیے ایک بہت اہم حالیہ پیش رفت یہ ہے کہ زو جنکسن اور ڈولگوپیٹ نے 2013 کے آس پاس 4-باڈی سسٹم کے ایک آسان ورژن میں غیر تصادم یکسانیت ثابت کی۔ اس کے علاوہ، 2007 میں، شین ویکسیاؤ اور کوزلوسکی، وان-اسٹریین نے حقیقی فاتو قیاس کو ثابت کیا: حقیقی ہائپربولک کثیر الجہتی مقررہ ڈگری کے ساتھ حقیقی کثیر الجہتی کی جگہ میں گھنے ہوتے ہیں۔ اس قیاس آرائی کا سراغ 1920 کی دہائی میں فاتو سے لگایا جا سکتا ہے، اور بعد میں اسمیل نے اسے 1960 کی دہائی میں پیش کیا۔ حقیقی فاتو قیاس آرائی کا ثبوت پچھلی دہائی میں مطابقت پذیر حرکیات میں سب سے اہم پیشرفتوں میں سے ایک ہے۔ آئی ایم او میں کارکردگی بین الاقوامی ریاضیاتی اولمپیاڈ میں حصہ لینے والے دیگر ممالک کے مقابلے میں، چین کے پاس سب سے زیادہ ٹیم اسکور ہیں اور اس نے سب سے زیادہ بار مکمل ٹیم کے ساتھ تمام اراکین کا گولڈ آئی ایم او جیتا ہے۔ ریاضیاتی تحریریں چاؤ خاندان چاؤبی سوانجنگ c. 1000 BCE-100 CE فلکیاتی نظریات، اور کمپیوٹیشن تکنیک پایتھاگورین تھیوریم کا ثبوت (شانگ گاؤ تھیوریم) فلکیاتی مقاصد کے لیے فریکشنل کمپیوٹیشنز پایتھاگورین تھیوریم ریاضیاتی آرٹ 1000 BCE پر نو ابواب؟ - 50 عیسوی ch. 1، کمپیوٹیشنل الگورتھم، طیارہ کے اعداد و شمار کا رقبہ، GCF، ایل سی ڈی ch. 2، تناسب ch. 3، تناسب ch. 4، مربع، مکعب جڑیں، نامعلوم ch. 5 تلاش کرنا، 3 ch. 6 کے طور پر پائی کا حجم اور استعمال، تناسب ch، 7، آپس میں طے شدہ مساوات ch. 8، گوسیائی خاتمہ اور میٹرکس ch. 9، پائیتھاگورین تھیوریم (گوگو تھیوریم) ہان خاندان کی تعداد اور حساب پر کتاب 202 قبل مسیح-186 قبل مسیح مختلف 3 جہتی شکلوں کے حجم کا حساب، مستطیل کے نامعلوم رخ کا حساب، دیا ہوا رقبہ اور ایک طرف جڑ تلاش کرنے اور لگ بھگ مربع جڑوں کو نکالنے کے لیے غلط پوزیشن کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے ریاضی میں مختلف اکائیوں کے درمیان تبدیلی ہمیں بتایا گیا ہے کہ ما شو (ایک نوجوان ca 110) اور زینگ ژوان (127-200) دونوں نے ریاضیاتی طریقہ کار پر نو ابواب کا مطالعہ کیا۔ C.Cullen کا دعوی ہے کہ ریاضی، طب کی طرح، زبانی طور پر پڑھائی جاتی تھی۔ ژانگجیاشان کے سوان شو شو کے انداز سے پتہ چلتا ہے کہ متن کو مختلف ذرائع سے جمع کیا گیا تھا اور پھر اس کی کوڈیفیکیشن کی گئی تھی۔ چینی فلکیات ریاضی کی تاریخ ہندوستانی ریاضی اسلامی ریاضی جاپانی ریاضی چینی دریافتوں کی فہرست چینی ریاضی دانوں کی فہرست چینی ثقافت میں نمبر حوالہ جات ذرائع لینڈر، برائن۔ "ابتدائی چین میں ریور ڈائیکس کا ریاستی انتظام: وسطی یانگزی خطے کی ماحولیاتی تاریخ سے متعلق نئے ذرائع۔" ٹونگ پاؤ 100.4-5 (2014): 325-62۔ عوامی ڈومین بیرونی روابط ابتدائی ریاضی کی تحریریں (چینی)-چینی ٹیکسٹ پروجیکٹ چینی ریاضی کا جائزہ چینی ریاضی ہان خاندان کے ذریعے ریاضی کا پرائمر بذریعہ جھو شیجی