Incidence geometry
ریاضی میں، انسیڈنٹس جیومیٹری انسیڈنٹس ڈھانچوں کا مطالعہ ہے۔ یوکلیڈین طیارہ جیسی ہندسی ساخت ایک پیچیدہ شے ہے جس میں لمبائی، زاویہ، تسلسل، بیچینی اور واقعات جیسے تصورات شامل ہوتے ہیں۔ واقعات کا ڈھانچہ وہ ہوتا ہے جو اس وقت حاصل ہوتا ہے جب دیگر تمام تصورات کو ہٹا دیا جاتا ہے اور جو کچھ باقی رہتا ہے وہ اعداد و شمار ہوتے ہیں کہ کون سے نکات کون سی لکیروں پر ہوتے ہیں۔ اس سخت حد کے باوجود، نظریات کو ثابت کیا جا سکتا ہے اور اس ڈھانچے سے متعلق دلچسپ حقائق سامنے آتے ہیں۔ اس طرح کے بنیادی نتائج درست رہتے ہیں جب اضافی تصورات کو ایک بہتر جیومیٹری بنانے کے لیے شامل کیا جاتا ہے۔ بعض اوقات ایسا ہوتا ہے کہ مصنفین کسی مطالعے اور اس مطالعے کے مقاصد کے درمیان فرق کو دھندلا دیتے ہیں، لہذا یہ جان کر حیرت نہیں ہوتی کہ کچھ مصنفین واقعات کے ڈھانچے کو واقعات کی جیومیٹریز کے طور پر حوالہ دیتے ہیں۔ واقعات کے ڈھانچے قدرتی طور پر پیدا ہوتے ہیں اور ریاضی کے مختلف شعبوں میں ان کا مطالعہ کیا گیا ہے۔ نتیجتا، ان اشیاء کو بیان کرنے کے لیے مختلف اصطلاحات موجود ہیں۔ گراف تھیوری میں انہیں ہائپر گراف کہا جاتا ہے، اور مشترکہ ڈیزائن تھیوری میں انہیں بلاک ڈیزائن کہا جاتا ہے۔ اصطلاحات میں فرق کے علاوہ، ہر شعبہ موضوع کو مختلف انداز سے دیکھتا ہے اور اس شعبے سے متعلق ان اشیاء کے بارے میں سوالات میں دلچسپی رکھتا ہے۔ ہندسی زبان کا استعمال، جیسا کہ انسیڈنس جیومیٹری میں کیا جاتا ہے، ان موضوعات اور مثالوں کی تشکیل کرتا ہے جو عام طور پر پیش کیے جاتے ہیں۔ تاہم، ایک شعبے کے نتائج کو دوسرے شعبے کی اصطلاحات میں ترجمہ کرنا ممکن ہے، لیکن یہ اکثر عجیب اور پیچیدہ بیانات کی طرف لے جاتا ہے جو موضوعات کی فطری ترقی نہیں لگتے ہیں۔ اس مضمون کے لیے منتخب کردہ مثالوں میں ہم صرف ان کا استعمال کرتے ہیں جن میں قدرتی ہندسی ذائقہ ہوتا ہے۔ ایک خاص معاملہ جس نے بہت زیادہ دلچسپی پیدا کی ہے وہ یوکلڈین سطح میں پوائنٹس کے محدود سیٹوں سے متعلق ہے اور ان (سیدھی) لائنوں کی تعداد اور اقسام کے بارے میں کیا کہا جا سکتا ہے۔ اس صورتحال کے کچھ نتائج زیادہ عام ترتیبات تک پھیل سکتے ہیں کیونکہ صرف واقعات کی خصوصیات پر غور کیا جاتا ہے۔ واقعات کا ڈھانچہ ایک ایسے سیٹ پر مشتمل ہوتا ہے جس کے عناصر کو پوائنٹس کہا جاتا ہے، ایک جداگانہ سیٹ جس کے عناصر کو لائنیں کہا جاتا ہے اور ان کے درمیان واقعات کا تعلق، یعنی ایک ذیلی سیٹ جس کے عناصر کو فلیگ کہا جاتا ہے۔ اگر جھنڈا ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ اس کے ساتھ واقعہ ہے یا اس کے ساتھ واقعہ ہے (اصطلاحات ہم آہنگ ہیں)، اور لکھیں۔ بدیہی طور پر، ایک نقطہ اور لکیر اس سلسلے میں ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب نقطہ لکیر پر ہو۔ ایک نقطہ اور ایک لکیر کو دیکھتے ہوئے جو جھنڈا نہیں بناتی، یعنی نقطہ لکیر پر نہیں ہے، اس جوڑے کو اینٹی فلیگ کہا جاتا ہے۔ واقعات کے ڈھانچے میں فاصلہ کسی واقعات کے ڈھانچے میں فاصلے (ایک میٹرک) کا کوئی قدرتی تصور نہیں ہے۔ تاہم، ایک مشترکہ میٹرک متعلقہ واقعات گراف (لیوی گراف) میں موجود ہے، یعنی اس دو طرفہ گراف میں دو عمودی کے درمیان مختصر ترین راستے کی لمبائی۔ ایک واقع کی ساخت کی دو اشیاء کے درمیان فاصلہ-دو پوائنٹس، دو لائنیں یا ایک پوائنٹ اور ایک لائن-کو واقع کی ساخت کے واقع گراف میں متعلقہ عمودی کے درمیان فاصلے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ فاصلے کی وضاحت کرنے کا ایک اور طریقہ ایک متعلقہ ڈھانچے میں گراف تھیوریٹک تصور کا استعمال کرتا ہے، اس بار واقعات کے ڈھانچے کا کالینیریٹی گراف۔ کالینیریٹی گراف کے عمودی واقعات کے ڈھانچے کے نکات ہیں اور اگر دونوں نکات کے ساتھ کوئی لائن واقعہ موجود ہو تو دو نکات جڑے ہوئے ہیں۔ اس کے بعد واقعات کے ڈھانچے کے دو نکات کے درمیان فاصلے کو کالینیریٹی گراف میں ان کے فاصلے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ جب کسی واقع کے ڈھانچے میں فاصلے پر غور کیا جاتا ہے، تو یہ بتانا ضروری ہے کہ اس کی تعریف کیسے کی جا رہی ہے۔ جزوی لکیری خالی جگہوں کے واقعات کے ڈھانچے جن کا سب سے زیادہ مطالعہ کیا جاتا ہے وہ ہیں جو کچھ اضافی خصوصیات (محوریات) کو پورا کرتے ہیں، جیسے کہ پروجیکٹو طیاروں، افائن طیاروں، عمومی کثیر الاضلاعات، جزوی ہندسی اور قریب کثیر الاضلاعات۔ بہت عام واقعات کے ڈھانچے "ہلکے" حالات کو مسلط کرکے حاصل کیے جا سکتے ہیں، جیسے: ایک جزوی لکیری جگہ ایک واقعات کا ڈھانچہ ہے جس کے لیے درج ذیل محوریات درست ہیں: مختلف نکات کا ہر جوڑا زیادہ سے زیادہ ایک لکیر کا تعین کرتا ہے۔ ہر لائن میں کم از کم دو الگ الگ پوائنٹس ہوتے ہیں۔ جزوی لکیری جگہ میں یہ بھی درست ہے کہ الگ الگ لکیروں کا ہر جوڑا زیادہ سے زیادہ ایک نقطہ پر ملتا ہے۔ اس بیان کو فرض کرنے کی ضرورت نہیں ہے کیونکہ یہ اوپر والے محور سے آسانی سے ثابت ہوتا ہے۔ مزید رکاوٹیں باقاعدگی کے حالات کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہیں: آر ایل کے: ہر لائن پوائنٹس کی ایک ہی تعداد کے ساتھ واقع ہوتی ہے۔ اگر محدود ہو تو اس نمبر کو اکثر اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ آر پی آر: ہر پوائنٹ ایک ہی تعداد میں لائنوں کے ساتھ واقع ہوتا ہے۔ اگر محدود ہو تو اس نمبر کو اکثر اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ جزوی لکیری خلا کا دوسرا محور اس بات کا اشارہ کرتا ہے۔ نہ ہی باقاعدگی کی حالت دوسرے کا مطلب ہے، لہذا یہ فرض کرنا ہوگا۔ ایک محدود جزوی لکیری جگہ جو باقاعدگی کے دونوں حالات کو پورا کرتی ہے اسے تاکتیکی ترتیب کہا جاتا ہے۔ کچھ مصنفین ان کو محض ترتیبات، یا پروجیکٹو ترتیبات کے طور پر حوالہ دیتے ہیں۔ اگر حکمت عملی کی ترتیب میں پوائنٹس اور لائنیں ہیں، تو، جھنڈوں کو دو بار گننے سے، رشتہ قائم ہوتا ہے۔ ایک عام نوٹیشن سے مراد-کنفیگریشن ہے۔ خاص صورت میں جہاں (اور اس لیے،) اشارے کو اکثر صرف اس طرح لکھا جاتا ہے۔ لکیری اسپیس ایک جزوی لکیری اسپیس ہے جس میں: مختلف پوائنٹس کا ہر جوڑا بالکل ایک لائن کا تعین کرتا ہے۔ کچھ مصنفین (جزوی) لکیری اسپیس کی تعریف میں "غیر انحطاط" (یا "غیر معمولی") محور شامل کرتے ہیں، جیسے: کم از کم دو الگ الگ لائنیں موجود ہیں۔ اس کا استعمال کچھ بہت چھوٹی مثالوں کو مسترد کرنے کے لیے کیا جاتا ہے (بنیادی طور پر جب سیٹ یا دو سے کم عناصر ہوتے ہیں) جو عام طور پر واقعات کے ڈھانچے کے بارے میں کیے گئے عمومی بیانات سے مستثنی ہوں گے۔ محوریہ کو شامل کرنے کا ایک متبادل ان واقعات کے ڈھانچے کا حوالہ دینا ہے جو محوریہ کو معمولی اور غیر معمولی کے طور پر مطمئن نہیں کرتے ہیں۔ ہر غیر معمولی لکیری جگہ کم از کم تین نکات اور تین لکیروں پر مشتمل ہوتی ہے، اس لیے سب سے آسان غیر معمولی لکیری جگہ جو موجود ہو سکتی ہے وہ مثلث ہے۔ ایک لکیری جگہ جس میں ہر لائن پر کم از کم تین پوائنٹس ہوں وہ سلویسٹر-گلائی ڈیزائن ہے۔ بنیادی ہندسی مثالیں کچھ بنیادی تصورات اور اصطلاحات ہندسی مثالوں، خاص طور پر پروجیکٹو طیاروں اور افائن طیاروں سے پیدا ہوتی ہیں۔ پروجیکٹو طیارہ ایک لکیری جگہ ہے جس میں: مختلف لکیروں کا ہر جوڑا بالکل ایک نقطہ پر ملتا ہے، اور جو غیر انحطاط کی حالت کو پورا کرتا ہے: چار نکات موجود ہیں، جن میں سے کوئی تین کالینیئر نہیں ہیں۔ پروجیکٹو طیارہ میں اور اس کے درمیان ایک بائیجیکشن ہوتا ہے۔ اگر ایک محدود سیٹ ہے، تو پروجیکٹو طیارہ کو ایک محدود پروجیکٹو طیارہ کہا جاتا ہے۔ ایک محدود پروجیکٹو طیارہ کی ترتیب، یعنی، ایک لائن پر پوائنٹس کی تعداد سے ایک کم ہے۔ تمام معروف پروجیکٹو طیاروں کے آرڈر ہوتے ہیں جو اہم طاقتیں ہیں۔ آرڈر کا پروجیکٹو طیارہ ایک ترتیب ہے۔ سب سے چھوٹے پروجیکٹو طیارہ کا آرڈر دو ہوتا ہے اور اسے فانو طیارہ کہا جاتا ہے۔ فینو طیارہ یہ مشہور واقعہ جیومیٹری اطالوی ریاضی دان گینو فینو نے تیار کی تھی۔ پروجیکٹو این-اسپیس کے لیے محوریوں کے سیٹ کی آزادی کو ثابت کرنے کے اپنے کام میں جو اس نے تیار کیا، اس نے 15 پوائنٹس، 35 لائنوں اور 15 طیاروں کے ساتھ ایک محدود تین جہتی جگہ تیار کی، جس میں ہر لائن پر صرف تین پوائنٹس تھے۔ اس جگہ کے طیارے سات پوائنٹس اور سات لائنوں پر مشتمل تھے اور اب انہیں فانو طیاروں کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فینو طیارہ کو یوکلڈین طیارہ میں صرف پوائنٹس اور سیدھی لکیر کے حصوں کا استعمال کرتے ہوئے پیش نہیں کیا جا سکتا (یعنی، یہ قابل حصول نہیں ہے)۔ یہ سلویسٹر-گلائی تھیوریم کا نتیجہ ہے، جس کے مطابق ہر قابل حصول واقع جیومیٹری میں ایک عام لکیر شامل ہونی چاہیے، ایک ایسی لکیر جس میں صرف دو نکات ہوں۔ فانو طیارہ میں ایسی کوئی لکیر نہیں ہے (یعنی یہ سلویسٹر-گلائی ترتیب ہے)، اس لیے یہ قابل حصول نہیں ہے۔ ایک مکمل چوتھائی چار پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے، جن میں سے کوئی تین کالینیئر نہیں ہوتے۔ فینو طیارہ میں، وہ تین نکات جو مکمل کواڈرینگل پر نہیں ہیں، اس کواڈرینگل کے ڈائیگنل پوائنٹس ہیں اور کالینیئر ہیں۔ یہ فانو محوری سے متصادم ہے، جسے اکثر یوکلڈین سطح کے محوری کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ مکمل چوتھائی کے تین اخترن نقطہ کبھی بھی کالینیئر نہیں ہوتے ہیں۔ ایک افائن طیارہ ایک لکیری جگہ ہے جو اطمینان بخش ہے: کسی بھی نقطہ اور لکیر کے لیے جو اس سے متصادم نہ ہو (ایک اینٹی فلیگ) اس کے ساتھ بالکل ایک لائن انسیٹنٹ ہوتا ہے (یعنی)، جو پورا نہیں ہوتا (جسے پلے فیئر کا محور کہا جاتا ہے)، اور غیر انحطاط کی حالت کو مطمئن کرتا ہے: ایک مثلث موجود ہے، یعنی۔ تین غیر کالینیئر پوائنٹس۔ پلے فیئر کے محور کے بیان میں اور لکیروں کو متوازی کہا جاتا ہے۔ ہر افائن طیارہ کو منفرد طور پر پروجیکٹو طیارہ تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ایک محدود افائن طیارہ کی ترتیب، ایک لکیر پر پوائنٹس کی تعداد ہے۔ آرڈر کا ایک افائن طیارہ ایک ترتیب ہے۔ ہیسے ترتیب آرڈر تین کا افائن طیارہ ایک ترتیب ہے۔ جب کسی ماحول کی جگہ میں سرایت کی جاتی ہے تو اسے ہیس کی ترتیب کہا جاتا ہے۔ یہ یوکلڈین سطح میں قابل ادراک نہیں ہے لیکن پیچیدہ پروجیکٹو سطح میں قابل ادراک ہے کیونکہ ان میں سے تین لائنوں کے ساتھ 12 لائنوں کے ساتھ الپٹک وکر کے نو انفلیکشن پوائنٹس ہوتے ہیں۔ 12 لائنوں کو تین لائنوں کی چار کلاسوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جہاں ہر کلاس میں لائنیں باہمی طور پر جداگانہ ہوتی ہیں۔ ان کلاسوں کو متوازی کلاسیں کہا جاتا ہے۔ چار نئے پوائنٹس کا اضافہ، ہر ایک کو ایک متوازی کلاس کی تمام لائنوں میں شامل کیا جاتا ہے (لہذا یہ تمام لائنیں اب ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں)، اور صرف ان چار نئے پوائنٹس پر مشتمل ایک نئی لائن آرڈر تین کا پروجیکٹو طیارہ تیار کرتی ہے، جو ایک ترتیب ہے۔ اس کے برعکس، آرڈر تھری کے پروجیکٹو پلین سے شروع کرنا (یہ منفرد ہے) اور کسی بھی ایک لائن کو ہٹانا اور اس لائن کے تمام پوائنٹس آرڈر تھری کا یہ افائن پلین پیدا کرتے ہیں (یہ بھی منفرد ہے)۔ ایک نقطہ اور اس نقطہ سے گزرنے والی چار لکیروں کو ہٹانے سے (لیکن ان پر موجود دوسرے نکات نہیں) موبیئس-کینٹور ترتیب پیدا ہوتی ہے۔ جزوی ہندسیں ایک عدد کو دیکھتے ہوئے، ایک تاکتیکی ترتیب تسلی بخش ہوتی ہے: ہر مخالف پرچم کے لیے ایسے جھنڈے ہوتے ہیں جنہیں جزوی جیومیٹری کہا جاتا ہے۔ اگر کسی لائن پر پوائنٹس ہوں اور کسی پوائنٹ کے ذریعے لائنیں ہوں، تو جزوی جیومیٹری کا اشارہ ہے۔ اگر یہ جزوی جیومیٹریز عام شدہ کواڈرینگلز ہیں۔ اگر ان کو اسٹینر سسٹم کہا جاتا ہے۔ عام کردہ کثیر الاضلاعات کے لیے، ایک عمومی-گون ایک جزوی لکیری خلا ہے جس کے واقعات کے گراف کی خاصیت ہے: (مختصر ترین چکر کی لمبائی) کا گرتھ قطر سے دوگنا ہے (اس معاملے میں دو عمودی حصوں کے درمیان سب سے بڑا فاصلہ)۔ ایک عمومی 2-گون ایک واقع ڈھانچہ ہے، جو جزوی لکیری جگہ نہیں ہے، جو کم از کم دو پوائنٹس اور دو لائنوں پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ہر پوائنٹ ہر لائن کے ساتھ واقع ہوتا ہے۔ عمومی 2-گون کا انسیڈنس گراف ایک مکمل دو طرفہ گراف ہے۔ ایک عمومی-گون کے لیے کوئی عام-گون نہیں ہوتا ہے اور اشیاء کے ہر جوڑے (دو پوائنٹس، دو لائنیں یا ایک پوائنٹ اور ایک لائن) کے لیے ایک عام-گون ہوتا ہے جس میں وہ دونوں ہوتے ہیں۔ عام 3-گون پروجیکٹو طیارے ہوتے ہیں۔ عمومی 4-گونز کو عمومی کواڈرینگلز کہا جاتا ہے۔ فیٹ-ہیگ مین تھیوریم کے مطابق کم از کم تین پوائنٹس فی لائن اور تین لائنیں فی پوائنٹ کے ساتھ واحد محدود عمومی-گونز = 2، 3، 4، 6 یا 8 ہوتے ہیں۔ قریب کثیر الاضحی ایک غیر منفی عدد کے لیے قریب-گون ایک واقعہ ڈھانچہ ہے جس میں: دو نکات کے درمیان زیادہ سے زیادہ فاصلہ (جیسا کہ کالینیریٹی گراف میں ماپا جاتا ہے) ہے، اور ہر نقطہ اور لکیر کے لیے اس پر ایک منفرد نقطہ ہوتا ہے جو اس کے قریب ہوتا ہے۔ قریب 0-گون ایک نقطہ ہے، جبکہ قریب 2-گون ایک لکیر ہے۔ قریب 2-گون کا کالینیریٹی گراف ایک مکمل گراف ہے۔ قریب 4-گون ایک عمومی کواڈرینگل (ممکنہ طور پر انحطاط شدہ) ہے۔ پروجیکٹو طیاروں کے علاوہ ہر محدود عمومی کثیر الاضحی ایک قریب کثیر الاضحی ہے۔ کوئی بھی جڑا ہوا دو طرفہ گراف قریب کا کثیر الاضحی ہوتا ہے اور کوئی بھی قریب کا کثیر الاضحی جس میں فی لائن بالکل دو پوائنٹس ہوتے ہیں ایک جڑا ہوا دو طرفہ گراف ہوتا ہے۔ نیز، تمام دوہری قطبی جگہیں کثیر الاضحی کے قریب ہیں۔ بہت سے قریب کثیر الاضلاعات کا تعلق محدود سادہ گروہوں جیسے میتھیو گروپس اور جانکو گروپ جے 2 سے ہے۔ مزید برآں، عام 2 ڈی-گونز، جو گروپس آف لائی ٹائپ سے متعلق ہیں، قریب 2 ڈی-گونز کے خاص معاملات ہیں۔ ایک تجریدی موبیئس طیارہ (یا الٹا طیارہ) ایک واقعہ ڈھانچہ ہے جہاں، کلاسیکی کیس کی اصطلاحات کے ساتھ ممکنہ الجھن سے بچنے کے لیے، لائنوں کو سائیکل یا بلاکس کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، موبیئس طیارہ پوائنٹس اور سائیکلوں کا ایک واقع ڈھانچہ ہے جس میں: مختلف پوائنٹس کا ہر تین گنا عین مطابق ایک سائیکل کے ساتھ واقع ہوتا ہے۔ کسی بھی جھنڈے اور کسی بھی نقطہ کے لیے جو اس کے ساتھ نہیں ہوتا ہے اور کے ساتھ ایک منفرد چکر ہوتا ہے۔ (سائیکلوں کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ چھوتے ہیں۔) ہر سائیکل میں کم از کم تین پوائنٹس ہوتے ہیں اور کم از کم ایک سائیکل موجود ہوتا ہے۔ موبیئس سطح کے کسی بھی مقام پر حاصل ہونے والے واقعات کا ڈھانچہ، صرف ان چکروں پر مشتمل (ہٹائے جانے کے ساتھ) کے علاوہ تمام نکات کو پوائنٹس کے طور پر اور لائنوں کے طور پر لے کر، ایک افائن طیارہ ہے۔ اس ڈھانچے کو ڈیزائن تھیوری میں بقایا کہا جاتا ہے۔ ایک محدود موبیئس طیارہ ترتیب ایک تاکتیکی ترتیب ہے جس میں پوائنٹس فی سائیکل ہوتا ہے جو کہ 3-ڈیزائن ہوتا ہے، خاص طور پر بلاک ڈیزائن۔ سلویسٹر-گلائی تھیوریم ایک سوال جو جے جے سلویسٹر نے 1893 میں اٹھایا تھا اور آخر کار تبور گلائی نے حل کیا تھا، وہ یوکلڈین سطح میں نکات کے ایک محدود سیٹ کے واقعات سے متعلق تھا۔ نظریہ (سلویسٹر-گیلائی): یوکلڈین سطح میں پوائنٹس کا ایک محدود مجموعہ یا تو کالینیئر ہوتا ہے یا بالکل دو پوائنٹس کے ساتھ ایک لائن واقعہ موجود ہوتا ہے۔ اس تناظر میں بالکل دو نکات پر مشتمل لکیر کو عام لکیر کہا جاتا ہے۔ سلویسٹر کو شاید اس سوال کی طرف لے جایا گیا جب وہ ہیس کی ترتیب کی سرایت کے بارے میں سوچ رہے تھے۔ ڈی بروجن-ایرڈوس تھیوریم ایک متعلقہ نتیجہ ڈی بروجن-ایرڈوس تھیوریم ہے۔ نیکولاس گوورٹ ڈی بروجن اور پال ایرڈس نے پروجیکٹو طیاروں کی زیادہ عمومی ترتیب میں نتیجہ ثابت کیا، لیکن یہ اب بھی یوکلڈین طیارے میں موجود ہے۔ نظریہ یہ ہے کہ: ایک پروجیکٹو پلین میں، پوائنٹس کا ہر غیر کالینیئر سیٹ کم از کم الگ الگ لائنوں کا تعین کرتا ہے۔ جیسا کہ مصنفین نے نشاندہی کی، چونکہ ان کا ثبوت مشترکہ تھا، اس لیے نتیجہ ایک بڑی ترتیب میں ہوتا ہے، درحقیقت کسی بھی واقع جیومیٹری میں جس میں مختلف نکات کے ہر جوڑے کے ذریعے ایک منفرد لکیر ہوتی ہے۔ انہوں نے یہ بھی ذکر کیا ہے کہ یوکلڈین طیارہ ورژن کو انڈکشن کا استعمال کرتے ہوئے سلویسٹر-گلائی تھیوریم سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ Szemerédi-Trotter تھیوریم A جھنڈوں کی تعداد پر مبنی ہے جس کا تعین پوائنٹس کے ایک محدود سیٹ سے ہوتا ہے اور وہ جو لائنیں طے کرتے ہیں ان کے ذریعہ دیا جاتا ہے: تھیوریم (Szemerédi-Trotter): طیارہ میں پوائنٹس اور لائنیں دی گئی ہیں، جھنڈوں کی تعداد (واقع پوائنٹ لائن جوڑے) ہے: اور اس حد کو بہتر نہیں بنایا جا سکتا، سوائے مضمر مستقلات کے لحاظ سے۔ یہ نتیجہ بیک کے نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پوائنٹ سرکل کے واقعات کے لیے واقعات کی تعداد کے لیے اسی طرح کی حد کا قیاس کیا جاتا ہے، لیکن صرف کمزور اوپری حدود معلوم ہیں۔ بیک کا نظریہ بیک کا نظریہ کہتا ہے کہ طیارہ میں پوائنٹس کا محدود مجموعہ دو انتہاؤں میں سے ایک میں آتا ہے۔ ایک جہاں پوائنٹس کا ایک بڑا حصہ ایک ہی لائن پر ہوتا ہے، اور ایک جہاں تمام پوائنٹس کو جوڑنے کے لیے بڑی تعداد میں لائنوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ نظریہ مثبت مستقلات کے وجود پر زور دیتا ہے کہ سطح میں کسی بھی نقطہ کو دیکھتے ہوئے، درج ذیل بیانات میں سے کم از کم ایک درست ہے: ایک ایسی لکیر ہوتی ہے جس میں کم از کم پوائنٹس ہوتے ہیں۔ کم از کم لائنیں موجود ہیں، جن میں سے ہر ایک میں کم از کم دو پوائنٹس ہوتے ہیں۔ بیک کی اصل دلیل میں، 100 ہے اور یہ ایک غیر متعینہ مستقل ہے ؛ یہ معلوم نہیں ہے کہ اور کی بہترین اقدار کیا ہیں۔ مزید مثالیں پروجیکٹو جیومیٹریز موفانگ پولیگن شلافلی ڈبل سکس ریئ کنفیگریشن کریمونا-رچمنڈ کنفیگریشن کمر کنفیگریشن کلین کنفیگریشن نان-ڈیزرگویسیئن طیارے مشترکہ ڈیزائن فائنائٹ جیومیٹری انٹرسیکشن تھیوریم لیوی گراف نوٹس حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس میں بیرونی روابط کے واقعات کا نظام