Hyperbolic manifold
ریاضی میں، ہائپربولک مینیفولڈ ایک ایسی جگہ ہے جہاں ہر نقطہ مقامی طور پر کسی جہت کی ہائپربولک جگہ کی طرح نظر آتا ہے۔ ان کا خاص طور پر طول و عرض 2 اور 3 میں مطالعہ کیا جاتا ہے، جہاں انہیں بالترتیب ہائپربولک سطحیں اور ہائپربولک 3-مینیفولڈ کہا جاتا ہے۔ ان جہتوں میں، وہ اہم ہیں کیونکہ زیادہ تر کئی گنا کو ہومیومورفزم کے ذریعے ہائپربولک کئی گنا بنایا جا سکتا ہے۔ یہ سطحوں کے لیے یونیفارمائزیشن تھیوریم اور 3-مینیفولڈز کے لیے جیومیٹریزیشن تھیوریم کا نتیجہ ہے جسے پیریل مین نے ثابت کیا ہے۔ سخت تعریف ایک ہائپربولک-مینی فولڈ مستقل سیکشنل منحنی خطوط کا ایک مکمل ریمینیئن-مینی فولڈ ہے۔ مستقل منفی منحنی خطوط کا ہر مکمل، جڑا ہوا، آسانی سے جڑا ہوا کئی گنا حقیقی ہائپربولک اسپیس کے لیے آئسومیٹرک ہوتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، مستقل منفی منحنی خطوط کے کسی بھی بند کئی گنا کا عالمگیر احاطہ ہے۔ اس طرح، اس طرح کے ہر ایک کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ آئسومیٹریز کا ٹورسن فری مجرد گروپ کہاں ہے۔ یعنی، کا ایک مجرد ذیلی گروہ ہے۔ کئی گنا کا حجم محدود ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ جالی ہو۔ اس کی موٹی پتلی سڑن کا ایک پتلا حصہ ہوتا ہے جو بند جیوڈیکس اور سروں کے نلکے والے محلوں پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک یوکلیڈین ()-مینی فولڈ اور بند نصف رے کی پیداوار ہوتے ہیں۔ کئی گنا محدود حجم کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا موٹا حصہ کمپیکٹ ہو۔ ہائپربولک مینیفولڈ کی سب سے آسان مثال ہائپربولک اسپیس ہے، کیونکہ ہائپربولک اسپیس میں ہر پوائنٹ میں پڑوس آئسومیٹرک سے ہائپربولک اسپیس ہوتا ہے۔ تاہم، ایک سادہ غیر معمولی مثال ایک بار پنکچر شدہ ٹورس ہے۔ یہ ایک (آئسوم ()،)-مینی فولڈ کی مثال ہے۔ یہ ایک مثالی آئتاکار میں لے کر تشکیل دیا جا سکتا ہے-یعنی ایک آئتاکار جہاں عمودیں لامحدود پر حد پر ہوتی ہیں، اور اس طرح نتیجے میں کئی گنا میں موجود نہیں ہوتی ہیں-اور مخالف تصاویر کی شناخت کرتے ہیں۔ اسی طرح، ہم دو مثالی مثلثوں کو ایک ساتھ جوڑ کر، نیچے دکھائے گئے تین پنکچر والے دائرے کی تعمیر کر سکتے ہیں۔ اس سے یہ بھی پتہ چلتا ہے کہ سطح پر منحنی خطوط کیسے کھینچے جاتے ہیں-جب سبز کناروں کو ایک ساتھ چپکایا جاتا ہے تو خاکہ میں سیاہ لکیر بند منحنی خطوط بن جاتی ہے۔ جیسا کہ ہم ایک پنکچرڈ دائرے کے ساتھ کام کر رہے ہیں، سطح میں رنگین حلقے-بشمول ان کی حدود-سطح کا حصہ نہیں ہیں، اور اس لیے خاکہ میں مثالی عمودی طور پر پیش کیے گئے ہیں۔ بہت سے گانٹھ اور لنکس، بشمول کچھ آسان گانٹھ جیسے کہ آٹھ گانٹھ اور بورومین کے حلقے، ہائپربولک ہوتے ہیں، اور اس لیے گانٹھ یا لنک کی تکمیل محدود حجم کا ہائپربولک 3-مینی فولڈ ہوتا ہے۔ اہم نتائج ایک محدود حجم پر ہائپربولک ڈھانچے کے لیے ہائپربولک-مینی فولڈ موسٹو کی سختی کے لحاظ سے منفرد ہے اور اس لیے ہندسی غیر متغیرات حقیقت میں ٹوپولوجیکل غیر متغیرات ہیں۔ ٹوپولوجیکل غیر متغیر کے طور پر استعمال ہونے والے ان ہندسی غیر متغیرات میں سے ایک گرہ یا لنک تکمیل کا ہائپربولک حجم ہے، جو ہمیں ان کے متعلقہ کئی گنا کی جیومیٹری کا مطالعہ کرکے دو گانٹھوں کو ایک دوسرے سے ممتاز کرنے کی اجازت دے سکتا ہے۔ ہائپربولک 3-مینیفولڈ ہائپربولک اسپیس ہائپربولائزیشن تھیوریم مارگولس لیما عام طور پر ہائپربولک غیر متغیر کئی گنا حوالہ جات ہائپربولک جیومیٹری مینیفولڈز ریمینیئن مینیفولڈز بھی دیکھیں۔