Subgroup series
ریاضی میں، خاص طور پر گروپ تھیوری میں، کسی گروپ کا ذیلی گروپ سلسلہ ذیلی گروپوں کا ایک سلسلہ ہوتا ہے: معمولی ذیلی گروپ کہاں ہے۔ ذیلی گروپ سیریز کسی گروپ کے مطالعہ کو آسان بنا کر آسان ذیلی گروپوں اور ان کے تعلقات کا مطالعہ کر سکتی ہے، اور کئی ذیلی گروپ سیریز کی مستقل طور پر تعریف کی جا سکتی ہے اور یہ گروپوں کے اہم غیر متغیر ہیں۔ ذیلی گروپ کے طریقہ کار میں ذیلی گروپ سیریز کا استعمال کیا جاتا ہے۔ ذیلی گروپ سیریز تجریدی الجبرا میں فلٹریشن کے استعمال کی ایک خاص مثال ہیں۔ تعریف نارمل سیریز، سب نارمل سیریز گروپ جی کی ایک سب نارمل سیریز (نارمل سیریز، نارمل ٹاور، سب انویرنٹ سیریز، یا صرف سیریز بھی) ذیلی گروپوں کی ایک ترتیب ہے، ہر ایک اگلے گروپ کا ایک نارمل ذیلی گروپ ہے۔ ایک معیاری اشارے میں کوئی ضرورت نہیں ہے کہ AI G کا ایک عام ذیلی گروہ ہو، صرف AI + 1 کا ایک عام ذیلی گروہ۔ حصص کے گروپوں AI + 1/AI کو سیریز کا فیکٹر گروپ کہا جاتا ہے۔ اگر اس کے علاوہ G میں ہر AI نارمل ہے، تو اس سیریز کو نارمل سیریز کہا جاتا ہے، جب یہ اصطلاح کمزور احساس، یا غیر متغیر سیریز کے لیے استعمال نہیں ہوتی ہے۔ لمبائی A سیریز اس اضافی خاصیت کے ساتھ کہ تمام i کے لیے AI ष्णید AI + 1 کو بغیر تکرار کے سیریز کہا جاتا ہے۔ مساوی طور پر، ہر AI AI + 1 کا ایک مناسب ذیلی گروپ ہے۔ سیریز کی لمبائی سخت شمولیت AI <AI + 1 کی تعداد ہے۔ اگر سیریز کی تکرار نہیں ہوتی ہے تو لمبائی n ہے۔ ایک سب نارمل سیریز کے لیے، لمبائی غیر معمولی عنصر گروپوں کی تعداد ہے۔ ہر غیر معمولی گروپ کی لمبائی 1 کی ایک عام سیریز ہوتی ہے، یعنی، اور کوئی بھی غیر معمولی مناسب عام ذیلی گروپ لمبائی 2 کی ایک عام سیریز دیتا ہے۔ سادہ گروپوں کے لیے، لمبائی 1 کی معمولی سیریز سب سے طویل سب نارمل سیریز ہے۔ چڑھتی ہوئی سیریز، اترتی ہوئی سیریز کو یا تو چڑھتی ہوئی ترتیب: یا اترتی ہوئی ترتیب میں نوٹ کیا جا سکتا ہے: کسی دی گئی محدود سیریز کے لیے، اشارے سے آگے "چڑھتی ہوئی سیریز" یا "اترتی ہوئی سیریز" کے درمیان کوئی فرق نہیں ہے۔ تاہم لامحدود سیریز کے لیے، ایک فرق ہے: چڑھتے ہوئے سیریز کی ایک سب سے چھوٹی اصطلاح، دوسری سب سے چھوٹی اصطلاح، اور اسی طرح، لیکن کوئی سب سے بڑی مناسب اصطلاح نہیں، کوئی دوسری سب سے بڑی اصطلاح نہیں، اور اسی طرح، جبکہ اس کے برعکس اترتے ہوئے سیریز کی سب سے بڑی اصطلاح ہوتی ہے، لیکن کوئی سب سے چھوٹی مناسب اصطلاح نہیں۔ مزید برآں، سیریز تیار کرنے کے لیے ایک تکراری فارمولا دیا گیا ہے، پیدا ہونے والی اصطلاحات یا تو چڑھتی ہیں یا اترتی ہیں، اور اس کے نتیجے میں آنے والی سیریز کو بالترتیب چڑھتی یا اترتی سیریز کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ماخوذ سیریز اور نچلی مرکزی سیریز نزولی سیریز ہیں، جبکہ اوپری مرکزی سیریز ایک چڑھتی سیریز ہے۔ نویتھیرین گروہ، آرٹینین گروہ ایک گروپ جو ذیلی گروپوں پر چڑھتی ہوئی زنجیر کی حالت (اے سی سی) کو مطمئن کرتا ہے اسے نویتھیرین گروپ کہا جاتا ہے، اور ایک گروپ جو اترتی ہوئی زنجیر کی حالت (ڈی سی سی) کو مطمئن کرتا ہے اسے آرٹینین گروپ کہا جاتا ہے (آرٹن گروپوں کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا)، نویتھیرین رنگوں اور آرٹینین رنگوں کے ساتھ مشابہت سے۔ اے سی سی زیادہ سے زیادہ حالت کے مساوی ہے: ذیلی گروپوں کے ہر غیر خالی مجموعہ میں زیادہ سے زیادہ رکن ہوتا ہے، اور ڈی سی سی کم سے کم حالت کے مساوی ہوتا ہے۔ ایک گروہ نویتھیرین ہو سکتا ہے لیکن آرٹینین نہیں، جیسے کہ لامحدود چکور گروہ، اور رنگوں کے برعکس، ایک گروہ آرٹینین ہو سکتا ہے لیکن نویتھیرین نہیں، جیسے کہ پرفر گروپ۔ ہر محدود گروہ واضح طور پر نویتھیرین اور آرٹینین ہے۔ ہومومورفک تصاویر اور نویتھیرین گروپوں کے ذیلی گروپ نویتھیرین ہیں، اور نویتھیرین گروپ کے ذریعہ نویتھیرین گروپ کی توسیع نویتھیرین ہے۔ اسی طرح کے نتائج آرٹینین گروپوں کے لیے ہوتے ہیں۔ نویتھیرین گروپ مساوی طور پر وہ ہوتے ہیں جو ہر ذیلی گروپ کو حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے، جو اس گروپ سے زیادہ مضبوط ہے جو خود کو حتمی طور پر تیار کیا جا رہا ہے: 2 یا حتمی طور پر زیادہ جنریٹرز پر آزاد گروپ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے، لیکن ان میں لامحدود درجے کے آزاد گروپ ہوتے ہیں۔ نویتھیرین گروپوں کو پولی سائیکلک گروپوں کی محدود توسیع ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ لامحدود اور ٹرانسفائنٹ سیریز لامحدود ذیلی گروپ سیریز کی تعریف بھی کی جا سکتی ہے اور قدرتی طور پر پیدا ہوتی ہے، اس صورت میں مخصوص (مکمل طور پر ترتیب دیا ہوا) انڈیکسنگ سیٹ اہم ہو جاتا ہے، اور چڑھتے اور اترتے ہوئے سیریز کے درمیان فرق ہوتا ہے۔ ایک چڑھتی ہوئی سیریز جہاں قدرتی اعداد کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے اسے صرف ایک لامحدود چڑھتی ہوئی سیریز کہا جا سکتا ہے، اور اس کے برعکس ایک لامحدود اترتی ہوئی سیریز کے لیے۔ اگر ذیلی گروپوں کو عام طور پر آرڈینل نمبروں کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے، تو کوئی ایک ٹرانسفائنٹ سیریز حاصل کرتا ہے، جیسے کہ یہ چڑھتی ہوئی سیریز: سیریز تیار کرنے کے لیے ایک تکراری فارمولے کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی (چڑھتی ہوئی سیریز کے لیے) یا (اترتی ہوئی سیریز کے لیے) حد آرڈینلز پر سیریز کی وضاحت کرکے ٹرانسفائنٹ ریکرشن کے ذریعے ایک ٹرانسفائنٹ سیریز کی وضاحت کر سکتا ہے۔ اس تعمیر کی بنیادی مثالیں ٹرانسفائنٹ لوئر سینٹرل سیریز اور اپر سینٹرل سیریز ہیں۔ دیگر مکمل طور پر ترتیب شدہ سیٹ شاذ و نادر ہی پیدا ہوتے ہیں، اگر کبھی بھی، ذیلی گروپ سیریز کے انڈیکسنگ سیٹ کے طور پر۔ مثال کے طور پر، کوئی اس کی وضاحت کر سکتا ہے لیکن شاذ و نادر ہی قدرتی طور پر پائے جانے والے دو لامحدود ذیلی گروپ سیریز (انٹیجرز کے ذریعہ انڈیکس کردہ سیریز) کو دیکھ سکتا ہے: سیریز کا موازنہ ایک سیریز کی اصلاح ایک اور سیریز ہے جس میں اصل سیریز کی ہر اصطلاحات شامل ہیں۔ دو سب نارمل سیریز کو مساوی یا آئسومورفک کہا جاتا ہے اگر ان کے فیکٹر گروپوں کے سیٹوں کے درمیان اس طرح کا بائیجیکشن ہو کہ متعلقہ فیکٹر گروپ آئسومورفک ہوں۔ ریفائنمنٹ سیریز پر ایک جزوی ترتیب دیتا ہے، مساوات تک، اور وہ ایک جالی بناتے ہیں، جبکہ سب نارمل سیریز اور نارمل سیریز ذیلی جالی بناتے ہیں۔ دو سب نارمل سیریز کی بالادستی کا وجود شریئر ریفائنمنٹ تھیوریم ہے۔ تکرار کے بغیر زیادہ سے زیادہ سیریز خاص دلچسپی کا باعث ہیں۔ مثالیں زیادہ سے زیادہ سیریز ایک کمپوزیشن سیریز ایک زیادہ سے زیادہ سب نارمل سیریز ہے۔ مساوی طور پر، ایک سب نارمل سیریز جس کے لیے ہر ایک AI + 1 کا زیادہ سے زیادہ نارمل ذیلی گروپ ہے۔ مساوی طور پر، کمپوزیشن سیریز ایک سب نارمل سیریز ہے جس کے لیے ہر فیکٹر گروپ سادہ ہوتے ہیں۔ چیف سیریز ایک زیادہ سے زیادہ عام سیریز ہے۔ قابل حل اور نیل پوٹینٹ ایک قابل حل گروپ، یا گھلنشیل گروپ، وہ ہے جس کی ذیلی معمول سیریز ہوتی ہے جس کے تمام فیکٹر گروپ ابیلین ہوتے ہیں۔ نیل پوٹینٹ سیریز ایک سب نارمل سیریز ہے جس میں یکے بعد دیگرے کوٹینٹ نیل پوٹینٹ ہوتے ہیں۔ ایک نیل پوٹینٹ سلسلہ اس صورت میں موجود ہوتا ہے جب گروپ قابل حل ہو۔ سنٹرل سیریز ایک سب نارمل سیریز ہے جس میں یکے بعد دیگرے کوٹینٹ سنٹرل ہوتے ہیں، یعنی۔ کے لیے، مندرجہ بالا سیریز دی گئی ہے۔ ایک مرکزی سلسلہ تب ہی موجود ہوتا ہے جب گروپ نیل پوٹینٹ ہو۔ فنکشنل سیریز کچھ ذیلی گروپ سیریز کو ذیلی گروپوں جیسے مرکز اور کارروائیوں جیسے کمیونیٹر کے لحاظ سے فنکشنل طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ان میں شامل ہیں: لوئر سینٹرل سیریز اپر سینٹرل سیریز مشتق سیریز لوئر فٹنگ سیریز اپر فٹنگ سیریز پی-سیریز پرائم پاور آرڈر یا پرائم پاور انڈیکس کے ذیلی گروپوں سے آنے والی سیریز ہیں، جو سائلو ذیلی گروپوں جیسے خیالات سے متعلق ہیں۔ زیریں پی سیریز اوپری پی سیریز حوالہ جات