Grothendieck–Riemann–Roch theorem
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی جیومیٹری میں، گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم مربوط ہم آہنگی پر ایک دور رس نتیجہ ہے۔ یہ پیچیدہ کئی گنا کے بارے میں ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم کی عمومی شکل ہے، جو خود کمپیکٹ ریمن سطحوں پر لائن بنڈلوں کے لیے کلاسیکی ریمن-راک تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ ریمن-راک قسم کے نظریات ویکٹر بنڈل کی کوہمولوجی کی اویلر خصوصیات کو ان کی ٹپوولوجیکل ڈگریوں سے، یا زیادہ عام طور پر ان کی خصوصیت کی کلاسوں کو (شریک) ہومیولوجی یا الجبرائی ینالاگوں میں جوڑتے ہیں۔ کلاسیکی ریمن-راک تھیوریم منحنی خطوط اور لائن بنڈلوں کے لیے ایسا کرتا ہے، جبکہ ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم اسے کئی گنا پر ویکٹر بنڈلوں کے لیے عام کرتا ہے۔ گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم دونوں تھیوریمز کو دو کئی گنا (یا زیادہ عام اسکیموں) کے درمیان مورفزم کی متعلقہ صورتحال میں مرتب کرتا ہے اور تھیوریم کو ایک بنڈل کے بارے میں بیان سے تبدیل کر کے شیوز کے چین کمپلیکس پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ تھیوریم بہت بااثر رہا ہے، کم از کم عطیہ-سنگر انڈیکس تھیوریم کی ترقی کے لیے تو نہیں۔ اس کے برعکس، گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم کے پیچیدہ تجزیاتی اینالاگس کو خاندانوں کے لیے انڈیکس تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ الیگزینڈر گروتھینڈیک نے 1957 کے ایک مخطوطے میں پہلا ثبوت دیا، جو بعد میں شائع ہوا۔ آرمنڈ بوریل اور جین پیئر سیر نے 1958 میں گروتھینڈیک کا ثبوت لکھا اور شائع کیا۔ بعد میں، گروتھینڈیک اور اس کے ساتھیوں نے ثبوت کو آسان اور عام کیا۔ فارمولیشن X کو کسی فیلڈ پر ہموار نیم پروجیکٹو اسکیم ہونے دیں۔ ان مفروضوں کے تحت، مربوط شیوز کے باؤنڈ کمپلیکس کا گروتھینڈیک گروپ محدود درجے کے ویکٹر بنڈلوں کے باؤنڈ کمپلیکس کے گروتھینڈیک گروپ کے لیے کینونکل طور پر آئسومورفک ہے۔ اس آئسومورفزم کا استعمال کرتے ہوئے، چرن کردار (چرن کلاسوں کا ایک عقلی مجموعہ) کو ایک فنکٹوریئل تبدیلی کے طور پر سمجھیں: جہت d ماڈیولو عقلی مساوات کے X پر چکروں کا چو گروپ کہاں ہے، جو عقلی اعداد کے ساتھ ٹینسر کیا گیا ہے۔ اگر پیچیدہ اعداد پر X کی وضاحت کی جاتی ہے تو، مؤخر الذکر گروپ ٹوپوولوجیکل کوہمولوجی گروپ کا نقشہ بناتا ہے: اب ہموار نیم پروجیکٹو اسکیموں اور شیوز کے ایک پابند کمپلیکس کے درمیان ایک مناسب مورفزم پر غور کریں۔ گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم پش فارورڈ نقشے (اعلی براہ راست تصاویر کا متبادل مجموعہ) اور فارمولے کے ذریعہ پش فارورڈ سے متعلق ہے۔ اس طرح نظریہ مندرجہ بالا حواس اور چرن کردار میں دھکے کو آگے لے جانے کی تبادلہ کی کمی کی ایک عین مطابق پیمائش دیتا ہے اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ مطلوبہ اصلاح کے عوامل صرف X اور Y پر منحصر ہیں۔ درحقیقت، چونکہ ٹوڈ جینس فنکٹوریئل اور درست ترتیب میں ضرب پذیر ہے، اس لیے ہم گروتھینڈیک-ریمن-راک فارمولے کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں جہاں f کا رشتہ دار ٹینجینٹ شیف ہے، جسے عنصر کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، جب f ایک ہموار مورفزم ہوتا ہے، تو یہ محض ایک ویکٹر بنڈل ہوتا ہے، جسے f کے ریشوں کے ساتھ ٹینجینٹ بنڈل کہا جاتا ہے۔ A1-ہوموٹوپی تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے، گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم کو اس صورت حال تک بڑھایا گیا ہے جہاں f دو ہموار اسکیموں کے درمیان ایک مناسب نقشہ ہے۔ تھیوریم کی عمومی اور خصوصی عمومی کاری کو غیر ہموار معاملے میں امتزاج کی مناسب عمومی کاری پر غور کرکے اور غیر درست معاملے میں کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ کوہمولوجی پر غور کرکے بنایا جا سکتا ہے۔ ریاضیاتی ریمن-راک تھیوریم گروتھینڈیک-ریمن-راک تھیوریم کو ریاضی کی اسکیموں تک پھیلاتا ہے۔ ہرزبروچ-ریمن-راک تھیوریم (بنیادی طور پر) ایک خاص معاملہ ہے جہاں Y ایک نقطہ ہے اور فیلڈ پیچیدہ اعداد کا میدان ہے۔ مبنی ہم آہنگی کے نظریات کے لیے ریمن-راک تھیوریم کا ایک ورژن ایوان پینن اور الیگزینڈر سمرنوف نے ثابت کیا تھا۔ اس کا تعلق الجبرائی مبنی ہم آہنگی کے نظریات (جیسے الجبرائی کوبورڈزم) کے درمیان ضرب کی کارروائیوں سے ہے۔ گروتھینڈیک-ریمن-راک اس نتیجے کا ایک خاص معاملہ ہے، اور چرن کردار اس ترتیب میں قدرتی طور پر سامنے آتا ہے۔ مثال کے طور پر وکر پر ویکٹر بنڈل کسی فیلڈ پر ہموار پروجیکٹو وکر پر رینک اور ڈگری کا ایک ویکٹر بنڈل (جس کی تعریف اس کے تعین کنندہ کی ڈگری کے طور پر کی گئی ہے ؛ یا اس کے مساوی طور پر اس کی پہلی چرن کلاس کی ڈگری) کا فارمولا لائن بنڈل کے لیے ریمن-راک سے ملتا جلتا ہے۔ اگر ہم ایک پوائنٹ لیتے ہیں، تو گروتھینڈیک-ریمن-راک فارمولا کو اس طرح پڑھا جا سکتا ہے، یہ فارمولا رینک اور ڈگری کے مربوط شیوز کے لیے بھی ہے۔ ہموار مناسب نقشے گروتھینڈیک-ریمن-راک فارمولے کے فوائد میں سے ایک یہ ہے کہ اس کی تشریح ہرزبروچ-ریمن-راک فارمولے کے متعلقہ ورژن کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ہموار مورفزم میں ریشے ہوتے ہیں جو تمام مساوی جہتی ہوتے ہیں (اور بیس کے تبدیل ہونے پر ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے طور پر آئسومورفک ہوتے ہیں)۔ یہ حقیقت ماڈیولی تھیوری میں مفید ہے جب ایک ماڈیولی اسپیس پیرامیٹرائزنگ ہموار مناسب خالی جگہوں پر غور کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیوڈ ممفورڈ نے الجبرائی منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ پر چو رنگ کے تعلقات کا اندازہ لگانے کے لیے اس فارمولے کا استعمال کیا۔ منحنی خطوط کا ماڈیولی جینس منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک کے لیے (اور کوئی نشان زدہ پوائنٹ نہیں) ایک عالمگیر وکر ہے جہاں (جینس کے منحنی خطوط کا ماڈیولی اسٹیک اور ایک نشان زدہ پوائنٹ ہے۔ پھر، وہ ٹاٹولوجیکل کلاسوں کی وضاحت کرتا ہے جہاں اور رشتہ دار ڈوئلائزنگ شیف ہے۔ ایک پوائنٹ سے زیادہ کے فائبر کو نوٹ کریں یہ ڈوئلائزنگ شیف ہے۔ وہ گروتھینڈیک-ریمن-راک کا استعمال کرتے ہوئے ہموار لوکس کی چو رنگ پر (کورلری 6.2) کے مجموعے کے لحاظ سے اور بیان کرنے کے درمیان تعلقات تلاش کرنے میں کامیاب رہا۔ چونکہ یہ ایک ہموار ڈیلیگن-ممفورڈ اسٹیک ہے، اس لیے اس نے ایک اسکیم کے ذریعے احاطہ کرنے پر غور کیا جو کچھ محدود گروپ کے لیے پیش کرتا ہے۔ وہ حاصل کرنے کے لیے گروتھینڈیک-ریمن-راک کا استعمال کرتا ہے کیونکہ اس سے فارمولا ملتا ہے۔ کے حساب کو پھر اور بھی کم کیا جا سکتا ہے۔ یکساں طول و عرض میں، نیز، طول و عرض 1 پر، حد پر ایک کلاس کہاں ہے۔ معاملے میں اور ہموار لوکس پر ایسے تعلقات ہوتے ہیں جن کا اندازہ چرن کے کردار کا تجزیہ کرکے لگایا جا سکتا ہے۔ کلوزڈ ایمبیڈنگ کلوزڈ ایمبیڈنگز میں گروتھینڈیک-ریمن-راک فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے ایک تفصیل بھی ہے، جس میں ایک اور غیر معمولی کیس دکھایا گیا ہے جہاں فارمولا موجود ہے۔ طول و عرض کی ہموار قسم اور کوڈیمینشن کی ذیلی قسم کے لیے، فارمولہ موجود ہے۔ مختصر عین مطابق ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے، مثالی شیف کا فارمولہ موجود ہے۔ ایپلی کیشنز ماڈیولی خالی جگہوں گروتھینڈیک-ریمن-راک کی نیم پروجیکٹوٹی کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ایک موٹی ماڈیولی جگہ، جیسے کہ نکیلی الجبرائی منحنی خطوط کی ماڈیولی جگہ، ایک پروجیکٹو جگہ میں سرایت کو تسلیم کرتی ہے، اس لیے یہ ایک نیم پروجیکٹو قسم ہے۔ یہ کینونکل طور پر منسلک شیوز کو دیکھ کر اور متعلقہ لائن بنڈلوں کی ڈگری کا مطالعہ کر کے پورا کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، منحنی خطوط کا خاندان ان حصوں کے ساتھ ہے جو نشان زد پوائنٹس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ چونکہ ہر فائبر میں کینونکل بنڈل ہوتا ہے، اس سے وابستہ لائن بنڈل ہوتے ہیں اور یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک کافی لائن بنڈل پی جی 209 ہے، اس لیے موٹے ماڈیولی کی جگہ نیم پروجیکٹو ہے۔ تاریخ الیگزینڈر گروتینڈیک کے ریمن-راک تھیوریم کے ورژن کو اصل میں 1956-1957 کے آس پاس جین پیئر سیر کو لکھے گئے ایک خط میں بتایا گیا تھا۔ اسے 1957 میں ابتدائی بون آربیٹسٹاگنگ میں عام کیا گیا تھا۔ سیرے اور آرمنڈ بوریل نے بعد میں اسے سمجھنے کے لیے پرنسٹن یونیورسٹی میں ایک سیمینار کا اہتمام کیا۔ حتمی شائع شدہ مقالہ مؤثر طور پر بوریل سیر کی نمائش تھی۔ گروتھینڈیک کے نقطہ نظر کی اہمیت کئی نکات پر منحصر ہے۔ سب سے پہلے، گروتھینڈیک نے خود بیان کو تبدیل کیا: اس تھیوریم کو، اس وقت، مختلف قسم کے بارے میں ایک تھیوریم سمجھا جاتا تھا، جبکہ گروتھینڈیک نے اسے اقسام کے درمیان مورفزم کے بارے میں ایک تھیوریم کے طور پر دیکھا۔ صحیح عام کاری تلاش کرنے سے، ثبوت آسان ہو گیا جبکہ نتیجہ زیادہ عام ہو گیا۔ مختصرا، گروتھینڈیک نے تجزیہ کے ایک سخت ٹکڑے پر ایک مضبوط درجہ بندی کے نقطہ نظر کا اطلاق کیا۔ مزید برآں، گروتھینڈیک نے K-گروپس متعارف کروائے، جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے، جس نے الجبرائی K-تھیوری کی راہ ہموار کی۔ کاواساکی کا ریمن-راک فارمولا بھی دیکھیں حوالہ جات بیرونی روابط گروتھینڈیک-ریمن-راک نظریہ تھریڈ "ایپلی کیشنز آف گروتھینڈیک-ریمن-راک؟" میتھ اوور فلو پر۔ تھریڈ "کوئی جی آر آر کو کیسے سمجھتا ہے؟ (گروتھینڈیک ریمن روچ) "میتھ اوور فلو پر۔ اسٹیک ایکسچینج پر تھریڈ "چرن کلاس آف آئیڈیل شیف" ہے۔ الجبرائی جیومیٹری کے ٹپوولوجیکل طریقے الجبرائی جیومیٹری میں نظریات برنہارڈ ریمن