Euclidean tilings by convex regular polygons
کنویکس باقاعدہ کثیر الاضلاعات کے ذریعہ یوکلڈین طیارہ ٹائلنگ قدیم زمانے سے بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا رہا ہے۔ پہلا منظم ریاضیاتی علاج کیپلر کی اپنی ہارمونسیس منڈی (لاطینی: دنیا کی ہم آہنگی، 1619) میں تھا۔ یوکلڈین ٹائلنگ کے نوٹیشن کا نام عام طور پر کنڈی اور رولیٹ کے نوٹیشن کے نام پر رکھا جاتا ہے۔ یہ نوٹیشن (i) چوٹیوں کی تعداد، (ii) ہر سرے کے ارد گرد کثیر الاضلاعات کی تعداد (گھڑی کی سمت ترتیب دی گئی) اور (iii) ان کثیر الاضلاعات میں سے ہر ایک کے اطراف کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر: 36 ؛ 36 ؛ 34.6، ہمیں بتاتا ہے کہ 2 مختلف ورٹیکس اقسام کے ساتھ 3 عمودی ہیں، لہذا اس ٹائلنگ کو '3-یکساں (2-ورٹیکس اقسام)' ٹائلنگ کے طور پر درجہ بند کیا جائے گا۔ ٹوٹا ہوا، 36 ؛ 36 (دونوں مختلف ٹرانزیٹیویٹی کلاس کے)، یا (36) 2، ہمیں بتاتا ہے کہ 2 عمودی ہیں (سپر اسکرپٹ 2 سے ظاہر ہوتے ہیں)، ہر ایک 6 مساوی 3 رخا کثیر الاضحی (مثلث) کے ساتھ۔ ایک حتمی ورٹیکس 34.6 کے ساتھ، 4 مزید متصل مساوی مثلث اور ایک باقاعدہ ہیکساگون۔ تاہم، اس اشارے میں مبہم تشکیل اور انفرادیت سے متعلق دو اہم مسائل ہیں۔ سب سے پہلے، جب کے-یکساں ٹائلنگ کی بات آتی ہے، تو اشارے عمودی کے درمیان تعلقات کی وضاحت نہیں کرتے ہیں۔ اس سے صرف اشارے کو دیکھتے ہوئے ڈھکا ہوا طیارہ تیار کرنا ناممکن ہو جاتا ہے۔ اور دوسرا، کچھ ٹیسلیشنز کا ایک ہی نام ہے، وہ بہت ملتے جلتے ہیں لیکن یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ ہیکساگونز کی متعلقہ پوزیشنیں مختلف ہیں۔ لہذا، دوسرا مسئلہ یہ ہے کہ یہ نام ہر ٹیسلیشن کے لیے منفرد نہیں ہے۔ ان مسائل کو حل کرنے کے لیے، گوم جو-ہوگ کا اشارے 2012 میں پیش کی گئی تحقیق اور اشارے کا تھوڑا سا ترمیم شدہ ورژن ہے، جو ٹیسلیشنز اور ڈبل لیئر گرڈ کی نسل اور نام کے بارے میں ہے۔ اینٹورپ v3.0، ایک مفت آن لائن ایپلی کیشن، شکل کے تعین کے مراحل اور تکراری گردش اور عکاسی کی کارروائیوں کے ایک سیٹ کے ذریعے باقاعدہ کثیر الاضحی ٹائلنگ کی لامحدود نسل کی اجازت دیتی ہے، جو براہ راست گوم جو-ہوگ کے اشارے سے حاصل کی جاتی ہے۔ گرون بوم اور شیفرڈ (سیکشن 1.3) کے بعد، ایک ٹائلنگ کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر ٹائلنگ کا سمیٹری گروپ ٹائلنگ کے جھنڈوں پر عارضی طور پر کام کرتا ہے، جہاں ایک جھنڈا تین گنا ہوتا ہے جو ٹائلنگ کے باہمی واقعے والے سرے، کنارے اور ٹائل پر مشتمل ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، جھنڈوں کے ہر جوڑے کے لیے، ایک سمیٹری آپریشن ہوتا ہے جو پہلے جھنڈے کو دوسرے جھنڈے کی نقشہ سازی کرتا ہے۔ یہ ٹائلنگ کے برابر ہے جو کہ ہم آہنگ باقاعدہ کثیر الاضلاعات کے ذریعہ کنارے سے کنارے تک ٹائلنگ ہے۔ ایک سرے پر چھ مساوی مثلث، چار مربع یا تین باقاعدہ ہیکساگون ہونے چاہئیں، جس سے تین باقاعدہ ٹیسلیشنز حاصل ہوتے ہیں۔ C & R: کنڈی اور رولٹ کا نوٹیشن GJ-H: گوم جو-ہوگ آرکیمیڈین کا نوٹیشن، یکساں یا سیمی ریگولر ٹائلنگ ورٹیکس-ٹرانزیٹیویٹی کا مطلب ہے کہ عمودی کے ہر جوڑے کے لیے ایک سمیٹری آپریشن ہوتا ہے جو پہلے ورٹیکس کو دوسرے پر نقش کرتا ہے۔ اگر فلیگ-ٹرانزیٹیویٹی کی ضرورت کو ورٹیکس-ٹرانزیٹیویٹی میں سے کسی ایک میں نرمی دی جاتی ہے، جبکہ یہ شرط رکھی جاتی ہے کہ ٹائلنگ کنارے سے کنارے تک ہے، تو آٹھ اضافی ٹائلنگ ممکن ہیں، جنہیں آرکیمیڈین، یونیفارم یا سیمی ریگولر ٹائلنگ کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ 34.6 (سنب ہیکساگونل) ٹائلنگ کی دو آئینہ امیج (اینانٹیومورفک یا چیرل) شکلیں ہیں، جن میں سے صرف ایک ہی مندرجہ ذیل ٹیبل میں دکھایا گیا ہے۔ دیگر تمام باقاعدہ اور نیم ریگولیر ٹائلنگ اچیرل ہیں۔ سی اینڈ آر: کنڈی اینڈ رولٹ کا نوٹیشن جی جے-ایچ: گوم جو-ہوگ گرون بوم اور شیفرڈ کا نوٹیشن ان ٹائلنگ کی وضاحت کو آرکیمیڈین کے طور پر ممتاز کرتا ہے جو صرف ہر سرے کے ارد گرد ٹائلوں کے انتظام کی مقامی خاصیت کا حوالہ دیتا ہے، اور یہ کہ ورٹیکس-منتقلی کی عالمی خاصیت کا حوالہ دیتے ہوئے یکساں ہے۔ اگرچہ یہ سطح میں ایک ہی ٹائلنگ کا مجموعہ پیدا کرتے ہیں، دوسری جگہوں پر آرکیمیڈین ٹائلنگ ہوتے ہیں جو یکساں نہیں ہوتے ہیں۔ طیارہ-ورٹیکس ٹائلنگ باقاعدہ کنویکس کثیر الاضلاعات کے 17 امتزاج ہیں جو طیارہ-ورٹیکس ٹائلنگ کی 21 اقسام بناتے ہیں۔ ان میں کثیر الاضحی ایک ایسے مقام پر ملتے ہیں جس میں کوئی خلا یا اوورلیپ نہیں ہوتا ہے۔ ان کے عمودی اعداد و شمار کے مطابق، ایک میں 6 کثیر الاضحی، تین میں 5 کثیر الاضحی، سات میں 4 کثیر الاضحی اور دس میں 3 کثیر الاضحی ہوتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر کے حصوں میں تفصیل سے بتایا گیا ہے، ان میں سے تین باقاعدہ ٹائلنگ (63، 44، 36) بنا سکتے ہیں، اور آٹھ مزید سیمی ریگولر یا آرکیمیڈین ٹائلنگ بنا سکتے ہیں، (3.12.12، 4.6.12، 4.8.8، (3.6) 2، 3.4.6.4، 3.3.4.3.4، 3.3.3.4.4، 3.3.3.3.6)۔ ان میں سے چار اعلی کے-یکساں ٹائلنگ (3.3.4.12، 3.4.3.12، 3.3.6.6، 3.4.4.6) میں موجود ہو سکتے ہیں، جبکہ چھ کو باقاعدہ کثیر الاضلاعات کے ذریعے طیارہ کو مکمل طور پر ٹائل کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا جس میں کوئی خلا یا اوورلیپ نہ ہو-وہ صرف ٹیسیلیٹ کی جگہ کو مکمل طور پر تب استعمال کرتے ہیں جب بے قاعدہ کثیر الاضلاعات شامل ہوتے ہیں (3.7.42، 3.8.24، 3.9.18، 3.10.15، 4.5.20، 5.5.10)۔ k-یکساں ٹائلنگ اس طرح کے وقتا فوقتا ٹائلنگ کی درجہ بندی عمودی، کناروں اور ٹائلوں کے مداروں کی تعداد کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ اگر عمودی مدار ہوتے ہیں، تو ٹائلنگ کو-یکساں یا-آئسوگنل کہا جاتا ہے ؛ اگر ٹائلز کے مدار ہوتے ہیں، تو-آئسوہیڈرل کے طور پر ؛ اگر کناروں کے مدار ہوتے ہیں، تو-آئسوٹوکسل کے طور پر۔ ایک ہی ورٹیکس کے اعداد و شمار کے ساتھ کے-یکساں ٹائلنگ کو ان کے وال پیپر گروپ سمیٹری کے ذریعے مزید شناخت کیا جا سکتا ہے۔ 1-یکساں ٹائلنگ میں 3 باقاعدہ ٹائلنگ اور 8 سیمی ریگولر شامل ہیں، جن میں 2 یا اس سے زیادہ قسم کے باقاعدہ کثیر الاضحی چہرے ہوتے ہیں۔ یہاں 20 2-یکساں ٹائلنگ، 61 3-یکساں ٹائلنگ، 151 4-یکساں ٹائلنگ، 332 5-یکساں ٹائلنگ اور 673 6-یکساں ٹائلنگ ہیں۔ ہر ایک کو مختلف ورٹیکس اعداد و شمار کے نمبر m سے گروپ کیا جا سکتا ہے، جنہیں m-آرکیمیڈین ٹائلنگ بھی کہا جاتا ہے۔ آخر میں، اگر عمودی کی اقسام کی تعداد یکسانیت (m = k نیچے) کے برابر ہے، تو ٹائلنگ کو کروٹینہرڈٹ کہا جاتا ہے۔ عام طور پر، یکسانیت عمودی حصوں کی اقسام کی تعداد سے زیادہ یا اس کے برابر ہوتی ہے، کیونکہ مختلف قسم کے عمودی حصوں میں لازمی طور پر مختلف مدار ہوتے ہیں، لیکن اس کے برعکس نہیں۔ m = n = k ترتیب دیتے ہوئے، n = 1 کے لیے 11 ایسے ٹائلنگ ہیں ؛ n = 2 کے لیے 20 ایسے ٹائلنگ ؛ n = 3 کے لیے 39 ایسے ٹائلنگ ؛ n = 4 کے لیے 33 ایسے ٹائلنگ ؛ n = 5 کے لیے 15 ایسے ٹائلنگ ؛ n = 6 کے لیے 10 ایسے ٹائلنگ ؛ اور n = 7 کے لیے 7 ایسے ٹائلنگ ہیں۔ ذیل میں 3-یونیفام ٹائلنگ کی ایک مثال دی گئی ہے: 2-یکساں ٹائلنگ یوکلڈین سطح کے بیس (20) 2-یکساں ٹائلنگ ہیں۔ (جسے 2-آئسوگنل ٹائلنگ یا ڈیمیریگولر ٹائلنگ بھی کہا جاتا ہے) ہر ایک کے لیے ورٹیکس کی اقسام درج ہیں۔ اگر دو ٹائلنگ ایک ہی دو ورٹیکس اقسام کا اشتراک کرتے ہیں، تو انہیں سبسکرپٹ 1,2 دیئے جاتے ہیں۔ اعلی کے-یکساں ٹائلنگ کے-یکساں ٹائلنگ کو 6 تک شمار کیا گیا ہے۔ یوکلڈین سطح کے 673 6 یکساں ٹائلنگ ہیں۔ برائن گیلباخ کی تلاش نے کروٹینہرڈٹ کی 6 مختلف ورٹیکس اقسام کے ساتھ 10 6 یکساں ٹائلنگ کی فہرست کو دوبارہ پیش کیا، ساتھ ہی ان میں سے 92 کو 5 ورٹیکس اقسام کے ساتھ، ان میں سے 187 کو 4 ورٹیکس اقسام کے ساتھ، ان میں سے 284 کو 3 ورٹیکس اقسام کے ساتھ، اور 100 کو 2 ورٹیکس اقسام کے ساتھ تلاش کیا۔ ک-یکساں ٹائلنگ کو فریکٹالائز کرنا پرانے ک-یکساں ٹائلنگ سے نئے ک-یکساں ٹائلنگ پیدا کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ مثال کے طور پر، نوٹ کریں کہ 2-وردی [3.12.12 ؛ 3.4.3.12] ٹائلنگ میں مربع جالی ہوتی ہے، 4 (3-1)-وردی [343.12 ؛ (3.122) 3] ٹائلنگ میں سنب مربع جالی ہوتی ہے، اور 5 (3-1-1)-وردی [334.12 ؛ 343.12 ؛ (3.12.12) 3] ٹائلنگ میں لمبا مثلث جالی ہوتا ہے۔ یہ اعلی درجے کی یکساں ٹائلنگ ایک ہی جالی کا استعمال کرتی ہیں لیکن زیادہ پیچیدگی رکھتی ہیں۔ ان ٹائلنگ کے لیے فریکٹالائزنگ کی بنیاد مندرجہ ذیل ہے: طرف کی لمبائی کے عنصر سے پھیل جاتی ہے۔ یہ اسی طرح ایک بنیاد کے طور پر کٹے ہوئے ٹرائی ہیکساگونل ٹائلنگ کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، اسی طرح کے پھیلاؤ کے ساتھ۔ فریکٹالائزنگ کی مثالیں ٹیلنگز جو کنارے سے کنارے تک کنویکس کے باقاعدہ کثیر الاضلاعہ نہیں ہیں وہ ہوائی ٹائلنگ بھی تشکیل دے سکتے ہیں جو کنارے سے کنارے تک نہیں ہیں۔ اس طرح کے جھکاؤ کو ملحقہ کالینیئر کناروں کے ساتھ غیر باقاعدہ کثیر الاضحی کے طور پر کنارے سے کنارے پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ہر خاندان میں آئسوگنل کے سات خاندان ہوتے ہیں جن میں ایک حقیقی قدر والا پیرامیٹر ہوتا ہے جو ملحقہ ٹائلوں کے اطراف کے درمیان اوورلیپ یا مختلف ٹائلوں کے کنارے کی لمبائی کے درمیان تناسب کا تعین کرتا ہے۔ دو خاندان منتقل شدہ مربع سے پیدا ہوتے ہیں، یا تو ترقی پسند یا زگ زگ پوزیشن سے۔ گرون بوم اور شیفرڈ ان ٹائلنگز کو وردی کہتے ہیں حالانکہ یہ یکسانیت کے لیے کاکسٹر کی تعریف سے متصادم ہے جس کے لیے کنارے سے کنارے تک باقاعدہ کثیر الاضحی کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح کے آئسوگنل ٹائلنگ دراصل ٹپوولوجیکل طور پر یکساں ٹائلنگ سے ملتے جلتے ہیں، مختلف ہندسی تناسب کے ساتھ۔ گرڈ (اسپاٹیل انڈیکس) ہائپربولک پلین میں یکساں ٹائلنگز یکساں ٹائلنگز کی فہرست وائتھوف علامت ٹیسلیشن وال پیپر گروپ ریگولر پولی ہیڈرون (پلاٹونک سالڈ) سیمی ریگولر پولی ہیڈرون (بشمول آرکیمیڈین سالڈ) ہائپربولک جیومیٹری پینروز ٹائلنگ ٹائلنگ ود ریکٹینگلز لیٹیس (گروپ) حوالہ جات آرڈر ان اسپیس: اے ڈیزائن سورس بک، کیتھ کریچلو، 1970 چیپٹر ایکس: دی ریگولر پولی ٹاپس ڈیل سیمور اینڈ جل بریٹن، انٹروڈکشن ٹو ٹیسیلیشنز، 1989، پی پی۔ 50-57 بیرونی روابط یوکلڈین اور عام ٹائلنگ لنکس: n-یکساں ٹائلنگ، برائن گیلباچ یوکلڈین طیارہ جیومیٹری باقاعدہ ٹائلنگ ٹیسیلیشن