Generalized Kac–Moody algebra
ریاضی میں، ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا ایک لائ الجبرا ہے جو کاک-موڈی الجبرا سے ملتا جلتا ہے، سوائے اس کے کہ اسے خیالی سادہ جڑیں رکھنے کی اجازت ہے۔ عمومی کاک-موڈی الجبرا کو بعض اوقات جی کے ایم الجبرا، بورچرڈز-کاک-موڈی الجبرا، بی کے ایم الجبرا، یا بورچرڈز الجبرا بھی کہا جاتا ہے۔ سب سے مشہور مثال راکشس جھوٹ الجبرا ہے۔ محرک محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا کی درج ذیل خصوصیات ہیں: ان میں ایک غیر پیدا شدہ ہم آہنگی غیر متغیر دو لکیری شکل (،) ہوتی ہے۔ ان کی درجہ بندی اس طرح کی ہوتی ہے کہ ڈگری زیرو پیس (کارٹن سب الجبرہ) ابیلین ہے۔ ان کا ارتقاء (کارٹن) ڈبلیو ہے۔ (اے، ڈبلیو (اے) مثبت ہے اگر اے غیر صفر ہے۔ مثال کے طور پر، ٹریس صفر کے n بائی n میٹرکس کے الجبرا کے لیے، دو لکیری شکل (a، b) = ٹریس (ab) ہے، کارٹن انولوشن کو مائنس ٹرانسپوز کے ذریعے دیا جاتا ہے، اور درجہ بندی کو "ڈائیگنل سے فاصلہ" کے ذریعے دیا جا سکتا ہے تاکہ کارٹن سب الجبرہ ڈائیگنل عناصر ہوں۔ اس کے برعکس کوئی بھی ان خصوصیات کے ساتھ تمام لائ الجبرا کو تلاش کرنے کی کوشش کر سکتا ہے (اور کچھ دیگر تکنیکی شرائط کو پورا کر سکتا ہے)۔ جواب یہ ہے کہ کسی کو محدود جہتی اور افائن لائ الجبرا کے مجموعے ملتے ہیں۔ راکشس جھوٹ الجبرا مندرجہ بالا شرائط کے قدرے کمزور ورژن کو مطمئن کرتا ہے: (a، w (a)) مثبت ہے اگر a غیر صفر ہے اور غیر صفر ڈگری ہے، لیکن منفی ہو سکتا ہے جب a کی ڈگری صفر ہو۔ ان کمزور حالات کو مطمئن کرنے والے لائ الجبرا کم و بیش عام کاک-موڈی الجبرا ہوتے ہیں۔ وہ بنیادی طور پر کچھ جنریٹرز اور تعلقات (ذیل میں بیان کردہ) کے ذریعہ دیئے گئے الجبرا جیسے ہی ہیں۔ غیر رسمی طور پر، عمومی کاک-موڈی الجبرا لائ الجبرا ہیں جو محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ خاص طور پر ان کے پاس ویل گروپ، ویل کریکٹر فارمولا، کارٹن سب الجبرہ، جڑیں، وزن وغیرہ ہیں۔ تعریف ایک سمیٹریزڈ کارٹن میٹرکس ایک (ممکنہ طور پر لامحدود) مربع میٹرکس ہے جس میں اندراجات ہوتے ہیں جیسے کہ اگر ایک عدد ہے۔ دی گئی سمیٹریزڈ کارٹن میٹرکس کے ساتھ یونیورسل جنرلائزڈ کاک-موڈی الجبرا کی تعریف جنریٹرز اور اور تعلقات کے ذریعہ کی جاتی ہے اگر، 0 بصورت دیگر، کے استعمال کے لیے یا اگر یہ بنیادی طور پر کارٹن میٹرکس کے اخترن اندراجات کو غیر مثبت ہونے کی اجازت دے کر (سمیٹریز ایبل) کاک-موڈی الجبرا کے تعلقات سے مختلف ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، ہم سادہ جڑوں کو خیالی ہونے دیتے ہیں، جبکہ کاک-موڈی الجبرا میں سادہ جڑیں ہمیشہ حقیقی ہوتی ہیں۔ ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا کارٹن میٹرکس کو تبدیل کرکے، مرکز میں کسی چیز کو مارنے، یا مرکزی توسیع لینے، یا بیرونی مشتقات کو شامل کرنے کی کارروائیوں سے حاصل کیا جاتا ہے۔ کچھ مصنفین اس شرط کو ہٹا کر زیادہ عمومی تعریف دیتے ہیں کہ کارٹن میٹرکس سمیٹرک ہونا چاہیے۔ ان غیر ہم آہنگ عمومی کاک-موڈی الجبرا کے بارے میں زیادہ معلومات نہیں ہیں، اور ایسا لگتا ہے کہ کوئی دلچسپ مثالیں موجود نہیں ہیں۔ تعریف کو سپرالجبراس تک بڑھانا بھی ممکن ہے۔ ساخت ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا کو ای آئی ڈگری 1، فائی ڈگری −1، اور ہائی ڈگری 0 دے کر درجہ بندی کی جا سکتی ہے۔ ڈگری زیرو پیس ایک ابیلین ذیلی الجبرا ہے جو عناصر ہائی کے ذریعے پھیلا ہوا ہے اور اسے کارٹن ذیلی الجبرا کہا جاتا ہے۔ خصوصیات عمومی کاک-موڈی الجبرا کی زیادہ تر خصوصیات (ہم آہنگ) کاک-موڈی الجبرا کی معمول کی خصوصیات کی سیدھی سیدھی توسیعات ہیں۔ ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا میں ایک غیر متغیر سمیٹرک دو لکیری شکل ہوتی ہے۔ سب سے زیادہ وزن والے ماڈیولز کے لیے ایک کردار کا فارمولا ہے، جو کاک-موڈی الجبرا کے لیے ویل-کاک کردار کے فارمولے سے ملتا جلتا ہے سوائے اس کے کہ اس میں خیالی سادہ جڑوں کے لیے اصلاح کی اصطلاحات ہیں۔ مثالیں زیادہ تر عام کاک-موڈی الجبرا کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ ان میں امتیازی خصوصیات نہیں ہیں۔ دلچسپ تین قسم کے ہوتے ہیں: محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا۔ لورینٹزیئن کارٹن سب الجبرہ کے ساتھ افائن کاک-موڈی الجبرا جن کا ڈینومینیٹر فنکشن واحد وزن کی ایک آٹومورفک شکل ہے۔ تیسری قسم کی مثالوں کی صرف ایک محدود تعداد دکھائی دیتی ہے۔ دو مثالیں راکشس لی الجبرا ہیں، جن پر راکشس گروپ نے عمل کیا اور راکشس مونشائن قیاس آرائیوں میں استعمال کیا گیا، اور جعلی راکشس لی الجبرا۔ اسی طرح کی مثالیں کچھ دوسرے چھٹپٹ سادہ گروہوں سے وابستہ ہیں۔ مندرجہ ذیل اصول کا استعمال کرتے ہوئے عمومی کاک-موڈی الجبرا کی بہت سی مثالیں تلاش کرنا ممکن ہے: کوئی بھی چیز جو عمومی کاک-موڈی الجبرا کی طرح نظر آتی ہے وہ ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر ایک لائ الجبرا کو لورینٹزیئن جالی کے ذریعے درجہ بند کیا جاتا ہے اور اس کی غیر متغیر دو لکیری شکل ہوتی ہے اور یہ آسانی سے چیک کیے گئے کچھ دیگر تکنیکی حالات کو پورا کرتی ہے، تو یہ ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا ہے۔ خاص طور پر کوئی بھی کسی بھی یکساں جالی سے لائ الجبرا کی تعمیر کے لیے ورٹیکس الجبرا کا استعمال کر سکتا ہے۔ اگر جالی مثبت قطعی ہے تو یہ ایک محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا دیتا ہے، اگر یہ مثبت سیمی فائنائٹ ہے تو یہ ایک افائن لائ الجبرا دیتا ہے، اور اگر یہ لورینٹزیئن ہے تو یہ ایک الجبرا دیتا ہے جو اوپر کے حالات کو پورا کرتا ہے لہذا یہ ایک عمومی کاک-موڈی الجبرا ہے۔ جب جالی یکساں 26 جہتی غیر ماڈیولر لورینٹزیئن جالی ہوتی ہے تو تعمیر جعلی راکشس لائ الجبرا دیتی ہے ؛ دیگر تمام لورینٹزیئن جالیں غیر دلچسپ الجبرا دیتی دکھائی دیتی ہیں۔ حوالہ جات جھوٹے الجبرا