Cunningham Project
کننگھم پروجیکٹ ایک باہمی تعاون کی کوشش ہے جو 1925 میں شروع کی گئی تھی تاکہ b = 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 12 اور بڑے n کے لیے bn ± 1 فارم کے نمبروں کو عنصر بنایا جا سکے۔ اس منصوبے کا نام ایلن جوزف چمپنیز کننگھم کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ہربرٹ جے ووڈال کے ساتھ مل کر ٹیبل کا پہلا ورژن شائع کیا تھا۔ میز کے تین طباعت شدہ ورژن ہیں، سب سے حالیہ 2002 میں شائع ہوا، نیز سیموئل واگسٹاف کا ایک آن لائن ورژن بھی ہے۔ متغیرات کی موجودہ حدود یہ ہیں: کننگھم نمبر کے عوامل فیکٹرائزیشن الگورتھم کا استعمال کیے بغیر کننگھم نمبر سے دو قسم کے عوامل حاصل کیے جا سکتے ہیں: بائنومیل نمبروں کے الجبرائی عوامل (مثال کے طور پر۔ دو مربعوں کا فرق اور دو کیوبوں کا مجموعہ)، جو ایکسپوینٹ پر منحصر ہے، اور اوریفیویلین عوامل، جو بیس اور ایکسپوینٹ دونوں پر منحصر ہیں۔ الجبرائی عوامل ابتدائی الجبرا سے، تمام k کے لیے، اور عجیب k کے لیے۔ اس کے علاوہ، b2n−1 = (bn−1) (bn + 1)۔ اس طرح، جب m n کو تقسیم کرتا ہے، bm−1 اور bm + 1 bn−1 کے عوامل ہیں اگر n کا حصص m پر مساوی ہے۔ صرف پہلا نمبر ایک عنصر ہے اگر حصص عجیب ہو۔ bm + 1 bn−1 کا ایک عنصر ہے، اگر m n کو تقسیم کرتا ہے اور حصّہ عجیب ہے۔ درحقیقت، اور مزید معلومات کے لیے یہ صفحہ دیکھیں۔ جب نمبر کسی خاص شکل کا ہوتا ہے (صحیح اظہار بیس کے ساتھ مختلف ہوتا ہے)، تو اوریفیویلین فیکٹرائزیشن کا استعمال کیا جا سکتا ہے، جو دو یا تین نمبروں کا پروڈکٹ دیتا ہے۔ مندرجہ ذیل مساوات کننگھم پروجیکٹ بیسز کے لیے اوریفیویلین عوامل کو F، L اور M کے پروڈکٹ کے طور پر دیتی ہیں: فرض کریں کہ b = s2 × k مربع فری k کے ساتھ، اگر شرائط میں سے کوئی ایک برقرار رہتا ہے، تو پھر اوریفیویلین فیکٹرائزیشن کریں۔ (i) اور (ii) اور دیگر عوامل ایک بار الجبرائی اور اوریفیویلین عوامل کو ہٹا دینے کے بعد، bn ± 1 کے دیگر عوامل ہمیشہ 2kn + 1 کی شکل کے ہوتے ہیں، کیونکہ وہ تمام عوامل ہیں۔ جب n پرائم ہوتا ہے، تو الجبرائی اور اوریفیویلین دونوں عوامل ممکن نہیں ہوتے ہیں، سوائے معمولی عوامل کے (b − 1 bn − 1 کے لیے اور b + 1 bn + 1 کے لیے)۔ مرسین نمبروں کے لیے، بنیادی n کے لیے معمولی عوامل ممکن نہیں ہیں، اس لیے تمام عوامل 2kn + 1 کی شکل کے ہوتے ہیں۔ عام طور پر، (bn−1) اور (b−1) کے تمام عوامل 2kn + 1 کی شکل کے ہوتے ہیں، جہاں b ≤ 2 اور n پرائم ہوتے ہیں، سوائے اس کے کہ جب n b−1 کو تقسیم کرتا ہے، اس صورت میں (bn−1)/(b−1) خود n سے تقسیم ہوتا ہے۔ کننگھم نمبرز کی شکل bn−1 صرف اس صورت میں پرائم ہو سکتے ہیں جب b = 2 اور n پرائم ہو، یہ فرض کرتے ہوئے کہ n ≤ 2 ؛ یہ مرسین نمبر ہیں۔ bn + 1 کی شکل کے نمبر صرف اس صورت میں پرائم ہو سکتے ہیں جب b یکساں ہو اور n 2 کی طاقت ہو، پھر سے n ≤ 2 فرض کرتے ہوئے ؛ یہ عمومی فرمیٹ نمبر ہیں، جو کہ fermat نمبر ہیں جب b = 2 ہوں۔ فرمیٹ نمبر 22n + 1 کا کوئی بھی عنصر k2n + 2 + 1 کی شکل کا ہوتا ہے۔ نوٹیشن bn−1 کو b، n− کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، bn + 1 کو b، n + کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اوریفیویلین فیکٹرائزیشن کے لیے درکار فارم کی تعداد کے ساتھ کام کرتے وقت، b، nL اور b، nM کا استعمال اوپر کی مصنوعات میں L اور M کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ b، n − اور b، n + کے حوالہ جات اس نمبر کے لیے ہیں جس میں تمام الجبرائی اور اوریفیویلین عوامل کو ہٹا دیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، مرسین نمبرز 2، n-کی شکل کے ہوتے ہیں اور فرمیٹ نمبرز 2,2n + کی شکل کے ہوتے ہیں۔ 1871 میں فیکٹر کیا گیا نمبر اوریفیوئل 2,58L اور 2,58M کا پروڈکٹ تھا۔ کننگھم نمبر ای سی ایم این ای ٹی اور NFS@Home بھی دیکھیں، کننگھم پروجیکٹ کے لیے کام کرنے والے دو تعاون حوالہ جات بیرونی لنکس کننگھم پروجیکٹ ہوم پیج bn ± 1، b = 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 12 ہائی پاورز تک، دوسرا ایڈیشن bn ± 1، b = 2، 3، 5، 6، 7، 10، 11، 12 ہائی پاورز تک، تیسرا ایڈیشن مشین سے پڑھنے کے قابل کننگھم ٹیبل کننگھم پروجیکٹ برینٹ-مونٹگمری-ٹی ریلی ٹیبل (اعلی اڈوں کے لیے کننگھم ٹیبلز (بیس 13 ≤ b ≤ 99، کامل طاقتوں کو خارج کر دیا گیا ہے، کیونکہ bn کی طاقت بھی b کی طاقت ہے) پرائم ڈبلیو پر کننگھم آن لائن فیکٹر کلیکشن پروجیکٹ