Semiregular polyhedron
جیومیٹری میں، اصطلاح سیمی ریگولر پولی ہیڈرون (یا سیمی ریگولر پولیٹوپ) مختلف مصنفین کے ذریعہ مختلف طریقے سے استعمال کی جاتی ہے۔ تعریفیں اس کی اصل تعریف میں، یہ ایک پولی ہیڈرون ہے جس کے باقاعدہ کثیر الاضحی چہرے ہیں، اور ایک ہم آہنگی گروپ ہے جو اس کے عمودی حصوں پر عارضی ہے۔ آج، اسے زیادہ عام طور پر یکساں پولی ہیڈرون کہا جاتا ہے (یہ تھورولڈ گوسیٹ کی 1900 کی زیادہ عام سیمی ریگولر پولیٹوپ کی تعریف سے ملتا ہے)۔ ان پولی ہیڈرا میں شامل ہیں: تیرہ آرکیمیڈین ٹھوس۔ لمبا مربع گیروبیکوپولا، جسے سڈو-رومبیکوبوکٹاہیڈرون بھی کہا جاتا ہے، ایک جانسن سالڈ ہے، اس میں ایک جیسے ورٹیکس کے اعداد و شمار ہیں 3.4.4.4، لیکن یہ ورٹیکس ٹرانزیکٹو نہیں ہے جس میں ایک موڑ بھی شامل ہے جسے برانکو گرونبام نے 14 ویں آرکیمیڈین سالڈ کے طور پر شامل کرنے کے لیے استدلال کیا ہے۔ کنویکس پریزموں کا ایک لامحدود سلسلہ۔ کنویکس اینٹی پریزمز کا ایک لامحدود سلسلہ (ان کی نیم ریگولیر نوعیت کا مشاہدہ سب سے پہلے کیپلر نے کیا تھا)۔ ان سیمی ریگولر ٹھوسوں کو مکمل طور پر ایک ورٹیکس ترتیب کے ذریعے متعین کیا جا سکتا ہے: پہلوؤں کی تعداد کے لحاظ سے چہروں کی فہرست، جس ترتیب میں وہ ورٹیکس کے ارد گرد پائے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر: آئکوسیڈوڈیکاہڈرون کی نمائندگی کرتا ہے، جو ہر سرے کے ارد گرد دو مثلث اور دو پینٹاگون کو بدلتا ہے۔ اس کے برعکس: ایک پینٹاگونل اینٹی پریزم ہے۔ ان پولی ہیڈرا کو بعض اوقات ورٹیکس ٹرانزیکٹو کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ گوسیٹ کے بعد سے، دوسرے مصنفین نے اعلی جہتی پولی ٹاپس کے سلسلے میں سیمی ریگولر کی اصطلاح کو مختلف طریقوں سے استعمال کیا ہے۔ ای ایل ایلٹے نے ایک تعریف فراہم کی جسے کاکسٹر نے بہت زیادہ مصنوعی پایا۔ کاکسٹر نے خود گوسیٹ کے اعداد و شمار کو وردی کا نام دیا، جس میں صرف ایک کافی محدود ذیلی سیٹ کو سیمی ریگولیر کے طور پر درجہ بند کیا گیا تھا۔ پھر بھی دوسروں نے مخالف راستہ اختیار کیا ہے، زیادہ پولی ہیڈرا کو سیمی ریگولیر کے طور پر درجہ بندی کیا ہے۔ ان میں شامل ہیں: اسٹار پولی ہیڈرا کے تین سیٹ جو گوسیٹ کی تعریف پر پورا اترتے ہیں، جو اوپر درج تین کنویکس سیٹوں سے ملتے جلتے ہیں۔ مذکورہ بالا سیمی ریگولیر ٹھوسوں کے ڈوئلز، یہ دلیل دیتے ہیں کہ چونکہ ڈوئل پولی ہیڈرا اصل کی طرح ہی ہم آہنگی کا اشتراک کرتے ہیں، اس لیے انہیں بھی سیمی ریگولیر سمجھا جانا چاہیے۔ ان ڈیولز میں کاتالان ٹھوس، کنویکس ڈائپرامائڈز، اور کنویکس اینٹی ڈائپرامائڈز یا ٹریپیزوہیڈرا، اور ان کے نان کنویکس اینالاگس شامل ہیں۔ الجھن کا ایک اور ذریعہ اس طریقے میں مضمر ہے کہ آرکیمیڈین ٹھوسوں کی وضاحت کی جاتی ہے، ایک بار پھر مختلف تشریحات ظاہر ہوتی ہیں۔ سیمی ریگولر کی گوسیٹ کی تعریف میں اعلی ہم آہنگی کے اعداد و شمار شامل ہیں: باقاعدہ اور قوسیریگولر پولی ہیڈرا۔ کچھ بعد کے مصنفین یہ کہنا پسند کرتے ہیں کہ یہ نیم ریگولیر نہیں ہیں، کیونکہ وہ اس سے زیادہ باقاعدہ ہیں-پھر کہا جاتا ہے کہ یکساں پولی ہیڈرا میں باقاعدہ، نیم ریگولیر اور نیم ریگولیر شامل ہیں۔ یہ نام رکھنے کا نظام اچھی طرح سے کام کرتا ہے، اور بہت سے (لیکن کسی بھی طرح سے نہیں) الجھنوں کو حل کرتا ہے۔ عملی طور پر یہاں تک کہ سب سے نامور حکام بھی خود کو الجھن میں ڈال سکتے ہیں، پولی ہیڈرا کے دیئے گئے سیٹ کو سیمی ریگولر اور/یا آرکیمیڈین کے طور پر بیان کرتے ہیں، اور پھر بعد میں ہونے والی بات چیت میں ایک مختلف سیٹ فرض کرتے ہیں (یا یہاں تک کہ بیان کرتے ہیں)۔ یہ فرض کرنا کہ کسی کی بیان کردہ تعریف صرف کنویکس پولی ہیڈرا پر لاگو ہوتی ہے شاید سب سے عام ناکامی ہے۔ کاکسٹر، کروم ویل، اور کنڈی اینڈ رولیٹ سبھی اس طرح کی پھسلیوں کے مجرم ہیں۔ عام تبصرے جوہانس کیپلر نے اپنی کتاب ہارمونسیس منڈی (1619) میں سیمی ریگولیر زمرہ وضع کیا، جس میں 13 آرکیمیڈین ٹھوس، دو لامحدود خاندان (باقاعدہ اڈوں پر پریزم اور اینٹی پریزم)، اور دو کنارے سے منتقلی کاتالان ٹھوس، رومبیک ڈوڈیکاہڈرون اور رومبیک ٹرائیکونٹا ہیڈرون شامل ہیں۔ اس نے رومبس کو ایک نیم ریگولیر کثیر الاضحی (مساوی اور متبادل دو زاویہ ہونے کی وجہ سے) کے ساتھ ساتھ اسٹار کثیر الاضحی کے طور پر بھی سمجھا، جسے اب آئسوٹوکسل اعداد و شمار کہا جاتا ہے جسے اس نے پلینر ٹائلنگ میں استعمال کیا۔ مثلث ٹریپیزوہیڈرون، جو کہ ایک ٹپوولوجیکل مکعب ہے جس میں ہم آہنگ رومبی چہرے ہیں، بھی سیمی ریگولر کے طور پر اہل ہوگا، حالانکہ کیپلر نے اس کا خاص طور پر ذکر نہیں کیا۔ بہت سے کاموں میں سیمی ریگولر پولی ہیڈرون کو آرکیمیڈین ٹھوس کے مترادف کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، کنڈی اینڈ رولیٹ (1961)۔ ہم گوسیٹ کی بنیاد پر چہرے سے باقاعدہ اور عمودی طور پر عارضی اعداد و شمار کے درمیان فرق کر سکتے ہیں، اور ان کے عمودی طور پر باقاعدہ (یا ورسی باقاعدہ) اور چہرے سے عارضی ڈوئلز۔ کاکسٹر اور دیگر۔ (1954) سمیرگولر پولی ہیڈرا کی اصطلاح استعمال کرتے ہوئے یکساں پولی ہیڈرا کی درجہ بندی کی گئی ہے جس میں ویتھف کی علامت p q | r ہے، یہ تعریف صرف چھ آرکیمیڈین ٹھوسوں کے ساتھ ساتھ باقاعدہ پریزم (لیکن باقاعدہ اینٹی پریزم نہیں) اور متعدد نان کنویکس ٹھوسوں پر مشتمل ہے۔ بعد میں، کاکسٹر (1973) نے بغیر کسی تبصرہ کے گوسیٹ کی تعریف کا حوالہ دیا، اس طرح اسے مضمر طور پر قبول کیا۔ ایرک ویسسٹین، رابرٹ ولیمز اور دیگر اس اصطلاح کو پانچ باقاعدہ پولی ہیڈرا کو چھوڑ کر کنویکس یونیفارم پولی ہیڈرا کے معنی کے لیے استعمال کرتے ہیں-بشمول آرکیمیڈین ٹھوس، یکساں پریزم، اور یکساں اینٹی پریزم (کیوب کے ساتھ بطور پریزم اور باقاعدہ آکٹاہیڈرون کے ساتھ بطور اینٹی پریزم اوور لیپنگ)۔ پیٹر کرامویل (1997) صفحہ 149 پر ایک فوٹ نوٹ میں لکھتے ہیں کہ، "موجودہ اصطلاحات میں، 'سیمی ریگولر پولی ہیڈرا' سے مراد آرکیمیڈین اور کاتالان (آرکیمیڈین ڈوئل) ٹھوس ہیں"۔ صفحہ 80 پر انہوں نے تیرہ آرکیمیڈینس کو سیمی ریگولیر کے طور پر بیان کیا ہے، جبکہ صفحات 367 ایف ایف پر۔ وہ کاتالان اور 'سیمی ریگولر' آرکیمیڈینز کے ساتھ ان کے تعلقات پر تبادلہ خیال کرتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ کاتالان کو نیم ریگولیر نہیں مانتا ہے، اس طرح اس نے پہلے کے فوٹ نوٹ میں فراہم کردہ تعریف کی مؤثر طریقے سے تردید (یا کم از کم الجھن) کی ہے۔ وہ نان کنویکس پولی ہیڈرا کو نظر انداز کرتا ہے۔ سیمی ریگولر پولی ٹیپ ریگولر پولی ہیڈرون حوالہ جات بھی دیکھیں بیرونی روابط جارج ہارٹ: آرکیمیڈین سیمی ریگولر پولی ہیڈران ڈیوڈ ڈارلنگ: سیمی ریگولر پولی ہیڈران polyhedra.mathmos.net: ریاضی کا سیمی ریگولر پولی ہیڈرون انسائیکلوپیڈیا: سیمی ریگولر پولی ہیڈران، وردی پولی ہیڈران، آرکیمیڈین ٹھوس پولی ہیڈران