Euclid number
ریاضی میں، یوکلڈ نمبر اس شکل کے انٹیجر ہوتے ہیں، جہاں pn #n واں پرائمرل ہے، یعنی۔ پہلے n پرائم نمبروں کا پروڈکٹ۔ ان کا نام قدیم یونانی ریاضی دان یوکلڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، جو کہ یوکلڈ کے اس نظریہ کے سلسلے میں ہے کہ لامحدود تعداد میں پرائم نمبر موجود ہیں۔ مثال کے طور پر، پہلے تین پرائمز 2، 3، 5 ہیں ؛ ان کا پروڈکٹ 30 ہے، اور متعلقہ یوکلڈ نمبر 31 ہے۔ پہلے چند یوکلڈ نمبر 3، 7، 31، 211، 2311، 30031، 510511، 9699691، 223092871، 6469693231، 200560490131، ہیں۔ تاریخ بعض اوقات یہ غلط کہا جاتا ہے کہ یوکلڈ کا پرائم نمبروں کے انفینیٹیوڈ کا مشہور ثبوت ان نمبروں پر انحصار کرتا ہے۔ یوکلڈ کا آغاز اس مفروضے سے نہیں ہوا کہ تمام پرائمز کا مجموعہ محدود ہے۔ اس کے بجائے، اس نے کہا: پرائمز کے کسی بھی محدود سیٹ پر غور کریں (اس نے یہ نہیں مانا کہ اس میں صرف پہلے n پرائمز ہیں، مثال کے طور پر۔ یہ ہو سکتا تھا) اور وہاں سے اس نتیجے پر پہنچا کہ کم از کم ایک پرائم موجود ہے جو اس سیٹ میں نہیں ہے۔ بہر حال، یوکلڈ کی دلیل، جو پہلے n پرائمز کے سیٹ پر لاگو ہوتی ہے، یہ ظاہر کرتی ہے کہ n ویں یوکلڈ نمبر کا ایک پرائم فیکٹر ہے جو اس سیٹ میں نہیں ہے۔ تمام یوکلڈ نمبر پرائم نہیں ہوتے۔ E6 = 13 #+ 1 = 30031 = 59 × 509 پہلا جامع یوکلڈ نمبر ہے۔ ہر یوکلڈ نمبر 3 ماڈیولو 4 سے ہم آہنگ ہے کیونکہ جس پرائمری پر یہ مشتمل ہے وہ صرف عجیب پرائمز کے پروڈکٹ سے دوگنا ہے اور اس طرح 2 ماڈیولو 4 سے ہم آہنگ ہے۔ اس خاصیت کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی یوکلڈ نمبر مربع نہیں ہو سکتا۔ این کے تمام آخری ہندسوں کے لیے 1 ہے، کیونکہ یہ 2 اور 5 سے تقسیم ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، چونکہ E2 سے بڑے تمام ابتدائی اعداد میں 2 اور 5 بنیادی عوامل کے طور پر ہوتے ہیں، اس لیے وہ 10 سے تقسیم ہوتے ہیں، اس طرح تمام En ≤ 3 + 1 کا حتمی ہندسہ 1 ہوتا ہے۔ غیر حل شدہ مسائل یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا پرائم یوکلڈ نمبروں (پرائمری پرائمز) کی لامحدود تعداد موجود ہے۔ یہ بھی معلوم نہیں ہے کہ آیا ہر یوکلڈ نمبر ایک مربع فری نمبر ہے۔ جنرلائزیشن دوسری قسم کا یوکلڈ نمبر (جسے کمر نمبر بھی کہا جاتا ہے) En = pn #−1 کی شکل کا ایک عدد ہے، جہاں pn #n واں ابتدائی ہے۔ اس طرح کے پہلے چند اعداد یہ ہیں: 1، 5، 29، 209، 2309، 30029، 510509، 9699689، 223092869، 6469693229، 200560490129،۔ یوکلڈ نمبروں کی طرح، یہ معلوم نہیں ہے کہ لامحدود تعداد میں کمر پرائم نمبر ہیں یا نہیں۔ ان میں سے جامع ہونے والی پہلی تعداد 209 ہے۔ یوکلڈ-مولن سیکوینس پرائمز کے انفینیٹیوڈ کا ثبوت (یوکلڈ تھیوریم) بھی دیکھیں حوالہ جات ریاضی میں نام نہاد نمبرز انٹیجر سیکوینس نمبر تھیوری میں حل نہ ہونے والے مسائل