Direct comparison test
ریاضی میں، موازنہ ٹیسٹ، جسے بعض اوقات اسی طرح کے متعلقہ ٹیسٹوں (خاص طور پر حد موازنہ ٹیسٹ) سے ممتاز کرنے کے لیے براہ راست موازنہ ٹیسٹ کہا جاتا ہے، لامحدود سیریز یا نامناسب انٹیگرل کے کنورجنس یا انحراف کا اندازہ لگانے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ دونوں صورتوں میں، ٹیسٹ دی گئی سیریز یا انٹیگرل کا موازنہ اس سے کر کے کام کرتا ہے جس کی کنورجنس خصوصیات معلوم ہیں۔ سیریز کے لیے کیلکولس میں، سیریز کے لیے موازنہ ٹیسٹ عام طور پر غیر منفی (حقیقی قدر) اصطلاحات کے ساتھ لامحدود سیریز کے بارے میں بیانات کے ایک جوڑے پر مشتمل ہوتا ہے: اگر لامحدود سیریز یکجا ہوتی ہے اور تمام کافی بڑے n کے لیے (یعنی کسی مقررہ قدر N کے لیے سب کے لیے)، تو لامحدود سیریز بھی یکجا ہوتی ہے۔ اگر لامحدود سیریز مختلف ہوتی ہے اور تمام کافی بڑے n کے لیے، تو لامحدود سیریز بھی مختلف ہوتی ہے۔ نوٹ کریں کہ بڑی اصطلاحات والی سیریز کے بارے میں بعض اوقات کہا جاتا ہے کہ وہ چھوٹی اصطلاحات کے ساتھ سیریز پر غلبہ حاصل کرتی ہے (یا بالآخر غالب ہوتی ہے)۔ متبادل طور پر، ٹیسٹ کو مطلق کنورجنس کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے، اس صورت میں یہ پیچیدہ اصطلاحات والی سیریز پر بھی لاگو ہوتا ہے: اگر لامحدود سیریز بالکل کنورجنٹ ہے اور تمام کافی بڑے n کے لیے، تو لامحدود سیریز بھی بالکل کنورجنٹ ہے۔ اگر لامحدود سلسلہ بالکل متغیر نہیں ہے اور تمام کافی بڑے n کے لیے، تو لامحدود سلسلہ بھی بالکل متغیر نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ اس آخری بیان میں، سیریز اب بھی مشروط طور پر متغیر ہو سکتی ہے ؛ حقیقی قدر والی سیریز کے لیے، یہ ہو سکتا ہے اگر تمام این غیر منفی نہ ہوں۔ بیانات کا دوسرا جوڑا حقیقی قدر والی سیریز کے معاملے میں پہلے کے برابر ہے کیونکہ بالکل اس صورت میں یکجا ہوتا ہے جب غیر منفی اصطلاحات والی سیریز یکجا ہو۔ ثبوت اوپر دیے گئے تمام بیانات کے ثبوت ایک جیسے ہیں۔ یہاں تیسرے بیان کا ثبوت ہے۔ مان لیں کہ لامحدود سلسلہ ایسا ہے جو بالکل یکجا ہوتا ہے (اس طرح یکجا ہوتا ہے)، اور عامیت کے نقصان کے بغیر فرض کریں کہ تمام مثبت عددوں n کے لیے۔ جزوی جملوں پر غور کریں چونکہ بالکل یکجا ہوتا ہے، کسی حقیقی عدد T کے لیے۔ تمام n کے لیے، ایک غیر گھٹتی ہوئی ترتیب ہے اور غیر بڑھتی ہوئی ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ دونوں کا تعلق وقفے سے ہے، جس کی لمبائی صفر ہو جاتی ہے جیسا کہ انفینیٹی تک جاتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک کاچی ترتیب ہے، اور اس لیے اسے ایک حد تک یکجا ہونا چاہیے۔ لہذا، بالکل کنورجنٹ ہے۔ انٹیگرلز کے لیے موازنہ ٹیسٹ کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ مسلسل حقیقی قدر والے فنکشن f اور g پر b کے ساتھ یا ایک حقیقی نمبر ہے جس پر f اور g میں سے ہر ایک کا عمودی ایسمپٹوٹ ہے: اگر نامناسب انٹیگرل کنورج ہوتا ہے اور کے لیے، تو نامناسب انٹیگرل بھی اس کے ساتھ کنورج ہوتا ہے۔ تناسب موازنہ ٹیسٹ حقیقی قدر والی سیریز کے انضمام کے لیے ایک اور ٹیسٹ، جو اوپر دیے گئے براہ راست موازنہ ٹیسٹ اور تناسب ٹیسٹ دونوں سے ملتا جلتا ہے، کو تناسب موازنہ ٹیسٹ کہا جاتا ہے: اگر لامحدود سیریز یکجا ہوتی ہے اور،، اور تمام کافی بڑے n کے لیے، تو لامحدود سیریز بھی یکجا ہوتی ہے۔ اگر لامحدود سلسلہ جدا ہوتا ہے اور،، اور تمام کافی بڑے n کے لیے، تو لامحدود سلسلہ بھی جدا ہوتا ہے۔ کنورجنس ٹیسٹ کنورجنس (ریاضی) ڈومینیٹڈ کنورجنس تھیوریم انٹیگرل ٹیسٹ فار کنورجنس لمٹ کمپریژن ٹیسٹ مونوٹون کنورجنس تھیوریم نوٹ حوالہ جات کنورجنس ٹیسٹ ایف آر: سیری convergente#Principe جنرل: ریگلس ڈی کمپاریسن