Logarithmically concave function
کنویکس تجزیہ میں، ایک غیر منفی فنکشن لوگرتھمک طور پر کنکیو (یا مختصر طور پر لاگ کنکیو) ہے اگر اس کا ڈومین ایک کنویکس سیٹ ہے، اور اگر یہ سب کے لیے عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے اور۔ اگر سختی سے مثبت ہے، تو یہ کہنے کے مترادف ہے کہ فنکشن کا لوگارتھم،، کنکیو ہے ؛ یعنی، سب کے لیے اور۔ لاگ کنکیو افعال کی مثالیں کنویکس سیٹوں کے 1-0 اشارے والے افعال ہیں (جن کے لیے زیادہ لچکدار تعریف کی ضرورت ہوتی ہے)، اور گاؤسی فنکشن۔ اسی طرح، ایک فنکشن لاگ-کنویکس ہے اگر یہ سب کے لیے الٹا عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے اور۔ خصوصیات ایک لاگ کنکیو فنکشن بھی نیم کنکیو ہے۔ اس کا نتیجہ اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ لوگرتھم مونوٹون ہے جس کا مطلب ہے کہ اس فنکشن کے سپر لیول سیٹ کنویکس ہیں۔ ہر کنکیو فنکشن جو اس کے ڈومین پر غیر منفی ہے لاگ کنکیو ہے۔ تاہم، اس کا الٹا ہونا ضروری نہیں ہے۔ ایک مثال گوسی فنکشن = ہے جو لاگ-کنکیو ہے کیونکہ = کا ایک کنکیو فنکشن ہے۔ لیکن کنکیو نہیں ہے کیونکہ دوسرا مشتق | |> 1 کے لیے مثبت ہے: دو پوائنٹس سے اوپر، کنکیوٹی لاگ-کنکیوٹی کواسیکونکیوٹی۔ کنویکس ڈومین کے ساتھ دو بار تفریق پذیر، غیر منفی فنکشن لاگ کنکیو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب سب کے لیے اطمینان بخش ہو، یعنی۔ منفی نیم یقینی ہے۔ ایک متغیر کے افعال کے لیے، یہ شرط لاگ-کونکیوٹی پروڈکٹس کو محفوظ رکھنے والے آپریشنز کو آسان بناتی ہے: لاگ-کونکیو افعال کا پروڈکٹ بھی لاگ-کونکیو ہوتا ہے۔ درحقیقت، اگر اور لاگ کنکیو افعال ہیں، تو اور تعریف کے مطابق کنکیو ہیں۔ اس لیے یہ کنکیو ہے، اور اس لیے یہ لاگ کنکیو بھی ہے۔ مارجنلز: اگر: لاگ کنکیو ہے، تو لاگ کنکیو ہے (دیکھیں پریکوپا-لینڈلر عدم مساوات)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ارتقاء لاگ-کنکیوٹی کو محفوظ رکھتا ہے، کیونکہ = لاگ-کنکیو ہے اگر اور لاگ-کنکیو ہیں، اور اس لیے لاگ-کنکیو ہے۔ لاگ-کنکیو کی تقسیم متعدد الگورتھم کے لیے لاگ-کنکیو کی تقسیم ضروری ہے، مثال کے طور پر۔ انکولی مسترد نمونے لینا۔ لاگ-کنکیو کثافت کے ساتھ ہر تقسیم ایک زیادہ سے زیادہ اینٹروپی امکانات کی تقسیم ہے جس میں مخصوص اوسط μ اور انحراف کے خطرے کی پیمائش D ہے۔ جیسا کہ ایسا ہوتا ہے، بہت سے عام امکانات کی تقسیم لاگ-کنکیو ہیں۔ کچھ مثالیں: نارمل ڈسٹری بیوشن اور ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن۔ ایکسپونینشل تقسیم۔ کسی بھی کنویکس سیٹ پر یکساں تقسیم۔ لاجسٹک تقسیم۔ انتہائی قدر کی تقسیم۔ لیپلیس کی تقسیم۔ چی کی تقسیم۔ ہائپربولک سیکینٹ کی تقسیم۔ وشارٹ تقسیم، جہاں n> = p + 1۔ ڈیرچلیٹ کی تقسیم، جہاں تمام پیرامیٹرز> = 1 ہیں۔ گاما تقسیم اگر شکل کا پیرامیٹر> = 1 ہے۔ چی مربع تقسیم اگر ڈگری آف فریڈم کی تعداد> = 2 ہے۔ بیٹا تقسیم اگر دونوں شکل کے پیرامیٹرز> = 1 ہیں۔ ویبل کی تقسیم اگر شکل کا پیرامیٹر> = 1 ہے۔ نوٹ کریں کہ پیرامیٹر کی تمام پابندیوں کا ایک ہی بنیادی ماخذ ہے: فنکشن کے لاگ کنکیو ہونے کے لیے غیر منفی مقدار کا ایکسپونینٹ غیر منفی ہونا چاہیے۔ مندرجہ ذیل تقسیم تمام پیرامیٹرز کے لیے غیر لاگ کنکیو ہیں: طالب علم کی ٹی تقسیم۔ کاچی کی تقسیم۔ پیریٹو کی تقسیم۔ لاگ نارمل تقسیم۔ F-تقسیم۔ نوٹ کریں کہ تمام لاگ-کنکیو کی تقسیم کا مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) بھی لاگ-کنکیو ہے۔ تاہم، کچھ غیر لاگ-کنکیو تقسیم میں لاگ-کنکیو سی ڈی ایف بھی ہوتے ہیں: لاگ-نارمل تقسیم۔ پیریٹو کی تقسیم۔ ویبل کی تقسیم جب شکل کا پیرامیٹر <1 ہو۔ گاما تقسیم جب شکل پیرامیٹر <1 ہو۔ لاگ-کنکیو تقسیم کی خصوصیات میں درج ذیل شامل ہیں: اگر کثافت لاگ-کنکیو ہے، تو اسی طرح اس کی مجموعی تقسیم کی تقریب (سی ڈی ایف) بھی ہے۔ اگر ایک کثیر متغیر کثافت لاگ کنکیو ہے، تو اسی طرح متغیرات کے کسی بھی ذیلی سیٹ پر معمولی کثافت ہے۔ دو آزاد لاگ-کنکیو بے ترتیب متغیرات کا مجموعہ لاگ-کنکیو ہے۔ اس کا نتیجہ اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ دو لاگ کنکیو افعال کا ارتقاء لاگ کنکیو ہے۔ دو لاگ-کنکیو افعال کا پروڈکٹ لاگ-کنکیو ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دو امکانی کثافتوں کو ضرب دینے سے مشترکہ کثافتاں بنتی ہیں (مثال کے طور پر۔ نارمل-گاما تقسیم، جس میں ہمیشہ شکل کا پیرامیٹر> = 1 ہوتا ہے) لاگ-کنکیو ہوگا۔ یہ خاصیت عام مقصد کے گبز نمونے لینے کے پروگراموں جیسے BUGS اور JAGS میں بہت زیادہ استعمال ہوتی ہے، جو اس طرح دیگر تقسیمات کے پروڈکٹ سے حاصل کردہ مختلف قسم کے مشروط تقسیمات پر انکولی مسترد نمونے لینے کے قابل ہوتے ہیں۔ اگر کثافت لاگ کنکیو ہے، تو اس کی بقا کی تقریب بھی ہے۔ اگر کثافت لاگ کنکیو ہے، تو اس میں مونوٹون رسڈر ریٹ (ایم ایچ آر) ہے، اور یہ ایک باقاعدہ تقسیم ہے کیونکہ بقا کی تقریب کے لوگارتھم کا مشتق منفی رسڈر ریٹ ہے، اور کنکیوٹی کے لحاظ سے مونوٹون یعنی۔ جو کم ہو رہا ہے کیونکہ یہ کنکیو فنکشن کا مشتق ہے۔ لوگرتھمک طور پر کنکیو سیکوینس لوگرتھمک طور پر کنکیو پیمائش لوگرتھمک طور پر کنویکس فنکشن کنویکس فنکشن نوٹ حوالہ جات ریاضیاتی تجزیہ کنویکس تجزیہ