C0-semigroup
ریاضی میں، ایک C0-سیمی گروپ، جسے مضبوطی سے مسلسل ایک پیرامیٹر سیمی گروپ بھی کہا جاتا ہے، ایکسپونینشیل فنکشن کی عمومی شکل ہے۔ جس طرح ایکسپونینشل فنکشن اسکیلر لکیری مستقل گتانک عام تفریق مساوات کے حل فراہم کرتے ہیں، اسی طرح مضبوطی سے مسلسل سیمی گروپس بناچ خالی جگہوں میں لکیری مستقل گتانک عام تفریق مساوات کے حل فراہم کرتے ہیں۔ بناچ خالی جگہوں میں اس طرح کی تفریقی مساوات مثال کے طور پر پیدا ہوتی ہیں۔ تفریق مساوات اور جزوی تفریق مساوات میں تاخیر۔ رسمی طور پر، ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ کچھ بناچ اسپیس X پر سیمی گروپ (R +, +) کی نمائندگی ہے جو مضبوط آپریٹر ٹوپولوجی میں مسلسل ہے۔ اس طرح، سختی سے بات کرتے ہوئے، ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ ایک سیمی گروپ نہیں ہے، بلکہ ایک بہت ہی خاص سیمی گروپ کی مسلسل نمائندگی ہے۔ رسمی تعریف بناچ کی جگہ پر ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ ایک نقشہ ہے جس پر، (شناختی آپریٹر)، جیسا کہ۔ پہلے دو محوری الجبرائی ہیں، اور بیان کرتے ہیں کہ سیمی گروپ کی نمائندگی ہے ؛ آخری ٹوپوولوجیکل ہے، اور بیان کرتا ہے کہ نقشہ مضبوط آپریٹر ٹوپولوجی میں مسلسل ہے۔ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T کے لامحدود جنریٹر A کی تعریف اس وقت کی جاتی ہے جب بھی حد موجود ہو۔ A، D (A) کا ڈومین x ωX کا مجموعہ ہے جس کے لیے یہ حد موجود ہے۔ D (A) ایک لکیری سب اسپیس ہے اور A اس ڈومین پر لکیری ہے۔ آپریٹر A بند ہے، اگرچہ ضروری نہیں کہ پابند ہو، اور ڈومین X میں گھنے ہیں۔ جنریٹر اے کے ساتھ مضبوطی سے مسلسل سیمی گروپ ٹی کو اکثر علامت (یا، مساوی طور پر،) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ اشارہ میٹرکس ایکسپونینشیلز کے اشارے کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے، اور فنکشنل کیلکولس کے ذریعے بیان کردہ آپریٹر کے افعال کے لیے (مثال کے طور پر، سپیکٹرم تھیوریم کے ذریعے)۔ یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ ایک یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T ہے جو برقرار رہتا ہے۔ اس صورت میں، T کا لامحدود جنریٹر A باؤنڈ ہے اور ہمارے پاس ہے اور اس کے برعکس، کوئی بھی باؤنڈ آپریٹر یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ کا لامحدود جنریٹر ہے۔ اس طرح، ایک لکیری آپریٹر A یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ کا لامحدود جنریٹر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A ایک باؤنڈڈ لکیری آپریٹر ہو۔ اگر X ایک محدود جہتی بناچ اسپیس ہے، تو کوئی بھی مضبوط مسلسل سیمی گروپ یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ ہے۔ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ کے لیے جو یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ نہیں ہے، لامحدود جنریٹر اے پابند نہیں ہے۔ اس صورت میں، کنورج کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ضرب سیمی گروپ کی مثالیں بناچ کی جگہ پر غور کریں جو سپ نارم سے مالا مال ہے۔ اس کے ساتھ ایک مسلسل فنکشن ہونے دیں۔ ڈومین والا آپریٹر ایک بند گھنے طور پر متعین آپریٹر ہے اور ضرب سیمی گروپ تیار کرتا ہے جہاں ضرب آپریٹرز کو اخترن میٹرکس کی لامحدود جہتی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے اور اس کی بہت سی خصوصیات کو اس کی خصوصیات سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پابند ہے۔ ترجمہ سیمی گروپ آئیے سپ معیار سے مالا مال پابند، یکساں طور پر مسلسل افعال کی جگہ بنیں۔ (بائیں) ترجمہ سیمی گروپ کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس کا جنریٹر ڈومین کے ساتھ مشتق ہے۔ خلاصہ کاچی کے مسائل تجریدی کاچی کے مسئلے پر غور کریں: جہاں A بناچ اسپیس X اور x ωX پر ایک بند آپریٹر ہے۔ اس مسئلے کے حل کے دو تصورات ہیں: ایک مسلسل تفریق پذیر فنکشن u: [0, ini) → X کو کاچی مسئلے کا کلاسیکی حل کہا جاتا ہے اگر تمام t> 0 کے لیے u (t & hairsp;) bul D (A) اور یہ ابتدائی قدر کے مسئلے کو مطمئن کرتا ہے، ایک مسلسل فنکشن u: [0, ini) → X کو کاچی مسئلے کا ہلکا حل کہا جاتا ہے اگر کوئی کلاسیکی حل ہلکا حل ہو۔ ہلکا حل ایک کلاسیکی حل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مسلسل تفریق پذیر ہو۔ مندرجہ ذیل نظریہ تجریدی کاچی مسائل اور مضبوطی سے مسلسل سیمی گروپس کو جوڑتا ہے۔ نظریہ: A کو بناچ اسپیس X پر ایک بند آپریٹر ہونے دیں۔ مندرجہ ذیل دعوے مساوی ہیں: تمام x ωX کے لیے تجریدی کاچی مسئلے کا ایک منفرد ہلکا حل موجود ہے، آپریٹر A ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ تیار کرتا ہے، A کا حل کرنے والا سیٹ غیر خالی ہے اور تمام x ωD (A) کے لیے کاچی مسئلے کا ایک منفرد کلاسیکی حل موجود ہے۔ جب یہ دعوے برقرار رہتے ہیں، تو کاچی مسئلے کا حل یو (ٹی اینڈ ہیئر ایس پی ؛) = ٹی (ٹی اینڈ ہیئر ایس پی ؛) ایکس کے ذریعے دیا جاتا ہے اور ٹی کے ساتھ اے کے ذریعے پیدا ہونے والا مضبوط مسلسل سیمی گروپ ہوتا ہے۔ جنریشن تھیوریمز کاچی مسائل کے سلسلے میں، عام طور پر ایک لکیری آپریٹر اے دیا جاتا ہے اور سوال یہ ہے کہ کیا یہ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ کا جنریٹر ہے۔ اس سوال کا جواب دینے والے نظریات جنریشن تھیوریمز کہلاتے ہیں۔ آپریٹرز کی ایک مکمل خصوصیت جو تیزی سے پابند مضبوطی سے مسلسل سیمی گروپس پیدا کرتی ہے ہل-یوسیڈا تھیوریم کے ذریعہ دی گئی ہے۔ تاہم زیادہ عملی اہمیت کے حامل حالات کی تصدیق کرنا بہت آسان ہے جو لومر-فلپس تھیوریم کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ سیمی گروپوں کی خصوصی کلاسیں یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ مضبوط طور پر مسلسل سیمی گروپ T کو یکساں طور پر مسلسل کہا جاتا ہے اگر نقشہ t → T (t & hairsp;) [0, φ) سے L (X) تک مسلسل ہو۔ یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ کا جنریٹر ایک باؤنڈ آپریٹر ہوتا ہے۔ تجزیاتی سیمی گروپس کنٹریکشن سیمی گروپس ڈفریٚنٹایبل سیمی گروپس ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T کو بالآخر ڈفریٚنٹایبل کہا جاتا ہے اگر ایسا موجود ہو (مساوی طور پر: سب کے لیے اور T فوری طور پر ڈفریٚنٹایبل ہے اگر سب کے لیے۔ ہر تجزیاتی سیمی گروپ فوری طور پر تفریق پذیر ہوتا ہے۔ کاچی مسائل کے لحاظ سے ایک مساوی خصوصیت درج ذیل ہے: A کے ذریعہ پیدا ہونے والا مضبوطی سے مسلسل سیمی گروپ بالآخر تب ہی تفریق پذیر ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں موجود ہو کہ تجریدی کاچی مسئلے کے تمام حل کے لیے u تفریق پذیر ہو۔ اگر t1 کو صفر کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے تو سیمی گروپ فوری طور پر تفریق پذیر ہوتا ہے۔ کمپیکٹ سیمی گروپ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T کو بالآخر کمپیکٹ کہا جاتا ہے اگر کوئی t0> 0 موجود ہو کہ T (t0) ایک کمپیکٹ آپریٹر ہو (مساوی طور پر اگر T (t & hairsp;) تمام t ≤ t0 کے لیے ایک کمپیکٹ آپریٹر ہو)۔ سیمی گروپ کو فوری طور پر کمپیکٹ کہا جاتا ہے اگر ٹی (ٹی & ہیئر ایس پی ؛) تمام ٹی> 0 کے لیے ایک کمپیکٹ آپریٹر ہے۔ نارم مسلسل سیمی گروپ ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ کو بالآخر نارم مسلسل کہا جاتا ہے اگر کوئی t0 ≤ 0 موجود ہو تاکہ نقشہ t → T (t & hairsp;) (t0, ≤) سے L (X) تک مسلسل ہو۔ اگر t0 کو صفر منتخب کیا جا سکتا ہے تو سیمی گروپ کو فوری طور پر مستقل معمول کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ فوری طور پر معمول کے مسلسل سیمی گروپ کے لیے نقشہ t → T (t & hairsp;) t = 0 میں مسلسل نہیں ہو سکتا (جو سیمی گروپ کو یکساں طور پر مسلسل بنا دے گا)۔ تجزیاتی سیمی گروپس، (آخر کار) تفریق پذیر سیمی گروپس اور (آخر کار) کمپیکٹ سیمی گروپس سبھی بالآخر معمول کے مطابق مسلسل ہوتے ہیں۔ استحکام ایکسپونینشیل استحکام سیمی گروپ T کی نشوونما کا پابند مستقل ہے۔ اسے اس لیے کہا جاتا ہے کیونکہ یہ نمبر تمام حقیقی اعداد ω کا لامحدود بھی ہے اس طرح کہ تمام t ≤ 0 کے لیے ایک مستقل M (≤ 1) موجود ہے۔ مندرجہ ذیل مساوی ہیں: M، ω> 0 اس طرح موجود ہے کہ تمام t ≤ 0 کے لیے: گروتھ باؤنڈ منفی ہے: ω0 <0، سیمی گروپ یکساں آپریٹر ٹوپولوجی میں صفر پر یکجا ہوتا ہے:، ایک t0> 0 اس طرح موجود ہے کہ، ایک t1> 0 اس طرح موجود ہے کہ T (t1) کا سپیکٹرم رداس 1 سے سختی سے چھوٹا ہے، ایک p ≤ [1, ≤] اس طرح موجود ہے کہ تمام x ≤ X کے لیے:، تمام p ≤ [1, ≤] اور تمام x ≤ X کے لیے: ایک سیمی گروپ جو ان مساوی شرائط کو پورا کرتا ہے اسے تیزی سے مستحکم یا یکساں طور پر مستحکم کہا جاتا ہے (مندرجہ بالا بیانات میں سے پہلے تین میں سے کسی ایک کو اس طرح لیا جاتا ہے: یہ کہ ایل پی کے حالات ایکسپونینشل استحکام کے مساوی ہیں، ڈاٹکو-پازی تھیوریم کہلاتا ہے۔ اگر X ہلبرٹ اسپیس ہے تو ایک اور شرط ہے جو جنریٹر کے ریزولوینٹ آپریٹر کے لحاظ سے ایکسپونینشل استحکام کے مساوی ہے: مثبت حقیقی حصے والے تمام λ کا تعلق A کے ریزولوینٹ سیٹ سے ہے اور ریزولوینٹ آپریٹر یکساں طور پر دائیں نصف سطح پر پابند ہے، یعنی۔ (λI−A) −1 کا تعلق ہارڈی اسپیس سے ہے۔ اسے گیئر ہارٹ-پرش تھیوریم کہا جاتا ہے۔ آپریٹر A کا سپیکٹرم باؤنڈ مستقل ہے، اس روایت کے ساتھ کہ s (A) = − ≤ اگر A کا سپیکٹرم خالی ہے۔ سیمی گروپ کی گروتھ باؤنڈ اور اس کے جنریٹر کی سپیکٹرم باؤنڈ کا تعلق s (A) ≤ ω0 (T) سے ہوتا ہے۔ ایسی مثالیں موجود ہیں جہاں s (A) <ω0 (T)۔ اگر s (A) = ω0 (T) ہے، تو کہا جاتا ہے کہ T سپیکٹرم سے طے شدہ نمو کی حالت کو پورا کرتا ہے۔ بالآخر معمول کے مسلسل سیمی گروپ سپیکٹرم سے طے شدہ نمو کی حالت کو پورا کرتے ہیں۔ یہ ان سیمی گروپوں کے لیے ایکسپونینشیل استحکام کی ایک اور مساوی خصوصیت دیتا ہے: ایک بالآخر معمول سے مسلسل سیمی گروپ تیزی سے مستحکم ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب s (A) <0 ہو۔ نوٹ کریں کہ بالآخر کمپیکٹ، بالآخر تفریق پذیر، تجزیاتی اور یکساں طور پر مسلسل سیمی گروپ آخر کار معمول کے مطابق ہوتے ہیں تاکہ سپیکٹرم سے طے شدہ نمو کی حالت خاص طور پر ان سیمی گروپوں کے لیے برقرار رہے۔ مضبوط استحکام ایک مضبوط مسلسل سیمی گروپ T کو مضبوط طور پر مستحکم یا غیر علامتی طور پر مستحکم کہا جاتا ہے اگر تمام x bul X: کے لیے۔ ایکسپونینشیل استحکام کا مطلب مضبوط استحکام ہے، لیکن اگر X لامحدود جہتی ہے تو اس کے برعکس عام طور پر درست نہیں ہے (یہ X محدود جہتی کے لیے درست ہے)۔ مضبوط استحکام کے لیے درج ذیل کافی شرط کو آرنڈٹ-بیٹی-لیوبیچ-فونگ تھیوریم کہا جاتا ہے: فرض کریں کہ T پابند ہے: ایک M ≤ 1 اس طرح موجود ہے کہ، خیالی محور پر A کا بقایا سپیکٹرم نہیں ہے، اور خیالی محور پر واقع A کا سپیکٹرم قابل شمار ہے۔ پھر T مضبوطی سے مستحکم ہے۔ اگر X اضطراری ہے تو حالات آسان ہو جاتے ہیں: اگر T پابند ہے، A کی خیالی محور پر کوئی آئجن ویلیو نہیں ہے اور خیالی محور پر واقع A کا سپیکٹرم قابل شمار ہے، تو T مضبوطی سے مستحکم ہے۔ ہل-یوسیڈا تھیوریم لومر-فلپس تھیوریم ٹراٹر-کاٹو تھیوریم تجزیاتی سیمی گروپ کنٹریکشن سیمی گروپ میٹرکس ایکسپونینشل آپریٹرز کا مضبوط مسلسل خاندان خلاصہ تفریقی مساوات نوٹ حوالہ جات ای ہل، آر ایس فلپس: فنکشنل تجزیہ اور سیمی گروپ۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، 1975۔ آر ایف کرٹین، ایچ جے زوارٹ: لامحدود جہتی لکیری سسٹمز تھیوری کا تعارف۔ سپرنگر ورلاگ، 1995۔ ای۔ بی۔ ڈیوس: ون پیرامیٹر سیمی گروپس (ایل ایم ایس۔ مونوگراف)، اکیڈمک پریس، 1980،۔ فنکشنل تجزیہ سیمی گروپ تھیوری غیر لکیری نظام