Vector projection
ویکٹر پروجیکشن (جسے ویکٹر جزو یا ویکٹر ریزولوشن بھی کہا جاتا ہے) ایک ویکٹر کا غیر صفر ویکٹر پر (یا اس پر) ایک سیدھی لکیر پر اس کے متوازی آرتھوگنل پروجیکشن ہے۔ آنٹو کا پروجیکشن اکثر یا کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ پرپینڈکولر کا ویکٹر جزو یا ویکٹر ریزولوٹ، جسے بعض اوقات سے (اشارہ شدہ یا) کا ویکٹر رد بھی کہا جاتا ہے، طیارہ (یا، عام طور پر، ہائپرپلین) پر آرتھوگنل پروجیکشن ہے جو آرتھوگنل ہے۔ چونکہ دونوں اور ویکٹر ہیں، اور ان کا مجموعہ برابر ہے، اس لیے سے کا رد اس طرح دیا گیا ہے: اشارے کو آسان بنانے کے لیے، یہ مضمون وضاحت کرتا ہے اور اس طرح، ویکٹر ویکٹر کے متوازی ہے اور اس کے لیے آرتھوگنل ہے اور آنٹو کے پروجیکشن کو اس طرح لکھ کر ایک سمت اور اسکیلر شدت میں تحلیل کیا جا سکتا ہے جہاں ایک اسکیلر ہے، جسے آنٹو کا اسکیلر پروجیکشن کہا جاتا ہے، اور اس کی سمت میں یونٹ ویکٹر ہے۔ اسکیلر پروجیکشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں آپریٹر ⋅ ایک ڈاٹ پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے، ′a′ کی لمبائی ہے، اور θ اور کے درمیان کا زاویہ ہے۔ اسکیلر پروجیکشن ویکٹر پروجیکشن کی لمبائی کے مطلق قدر کے برابر ہے، مائنس سائن کے ساتھ اگر پروجیکشن کی سمت کی سمت کے برعکس ہے، یعنی اگر ویکٹروں کے درمیان زاویہ 90 ڈگری سے زیادہ ہے۔ ویکٹر پروجیکشن کا حساب ڈاٹ پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے اور اس طرح: نوٹیشن یہ مضمون اس روایت کو استعمال کرتا ہے کہ ویکٹرز کو بولڈ فونٹ میں ظاہر کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ )، اور اسکیلرز عام فونٹ میں لکھے جاتے ہیں (مثال کے طور پر۔ a1)۔ ویکٹروں کا ڈاٹ پروڈکٹ اور اس کے طور پر لکھا جاتا ہے، کے معیار کو لکھا جاتا ہے، اور اس کے درمیان کا زاویہ θ سے ظاہر ہوتا ہے۔ زاویہ θ اسکیلر پروجیکشن پر مبنی تعریفیں آن کا اسکیلر پروجیکشن ایک اسکیلر ہے جس کے برابر ہے جہاں θ اور کے درمیان کا زاویہ ہے۔ ایک اسکیلر پروجیکشن کو متعلقہ ویکٹر پروجیکشن کا حساب لگانے کے لیے پیمانے کے عنصر کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ویکٹر پروجیکشن آن کا ویکٹر پروجیکشن ایک ویکٹر ہے جس کی شدت اسی سمت کے ساتھ آن کا اسکیلر پروجیکشن ہے۔ یعنی، اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ متعلقہ اسکیلر پروجیکشن کہاں ہے، جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، اور وہی سمت والا یونٹ ویکٹر ہے: ویکٹر مسترد تعریف کے مطابق، آن کا ویکٹر مسترد ہے: لہذا، a اور b کے لحاظ سے تعریفیں جب معلوم نہیں ہوتا ہے، تو کی کوسائن کو ڈاٹ پروڈکٹ اسکیلر پروجیکشن کی درج ذیل خاصیت کے لحاظ سے شمار کیا جاسکتا ہے۔ ڈاٹ پروڈکٹ کی مذکورہ پراپرٹی کے ذریعہ، اسکیلر پروجیکشن کی تعریف بن جاتی ہے: دو جہتوں میں، یہ ویکٹر پروجیکشن بن جاتا ہے۔ اسی طرح، آنٹو کے ویکٹر پروجیکشن کی تعریف بن جاتی ہے: جو دونوں میں سے کسی ایک کے برابر ہے یا اسکیلر مسترد دو جہتوں میں، اسکیلر مسترد آنٹو کے پروجیکشن کے برابر ہے، جسے 90° گھمایا جاتا ہے۔ لہذا، اس طرح کے ڈاٹ پروڈکٹ کو "پرپ ڈاٹ پروڈکٹ" کہا جاتا ہے۔ ویکٹر مسترد تعریف کے مطابق، اس لیے، پرپ ڈاٹ پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے اسکیلر مسترد کا استعمال کرنے سے یہ پراپرٹیز اسکیلر پروجیکشن دیتا ہے۔ اسکیلر پروجیکشن ایک اسکیلر ہے جس میں منفی نشان ہوتا ہے اگر 90 ڈگری <θ ≤ 180 ڈگری ہو۔ اگر زاویہ 90° سے چھوٹا ہو تو یہ ویکٹر پروجیکشن کی لمبائی کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر: اگر، اگر۔ ویکٹر پروجیکشن آن کا ویکٹر پروجیکشن ایک ویکٹر ہے جو یا تو صفر ہے یا اس کے متوازی ہے۔ مزید واضح طور پر: اگر، اور ایک ہی سمت ہے اگر، اور مخالف سمت ہے اگر۔ ویکٹر رد کرنا آن کا ویکٹر رد کرنا ایک ویکٹر ہے جو یا تو کالعدم ہے یا آرتھوگنل ہے۔ مزید واضح طور پر: اگر یا، اگر کے لیے آرتھوگنل ہے، میٹرکس کی نمائندگی آرتھوگنل پروجیکشن کو پروجیکشن میٹرکس کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے۔ یونٹ ویکٹر پر ویکٹر کو پیش کرنے کے لیے، اسے اس پروجیکشن میٹرکس کے ساتھ ضرب دینے کی ضرورت ہوگی: استعمال ویکٹر پروجیکشن ویکٹر خلائی اڈوں کی گرام-شمڈٹ آرتھونورملائزیشن میں ایک اہم عمل ہے۔ یہ علیحدہ محور تھیوریم میں بھی استعمال ہوتا ہے تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ آیا دو کنویکس شکلیں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں یا نہیں۔ چونکہ ویکٹر کی لمبائی اور ویکٹروں کے درمیان زاویے کے تصورات کو کسی بھی n جہتی اندرونی پروڈکٹ اسپیس میں عام کیا جا سکتا ہے، اس لیے یہ ویکٹر کے آرتھوگنل پروجیکشن، دوسرے پر ویکٹر کے پروجیکشن، اور دوسرے سے ویکٹر کے مسترد ہونے کے تصورات کے لیے بھی درست ہے۔ بعض صورتوں میں، اندرونی پروڈکٹ ڈاٹ پروڈکٹ کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ جب بھی وہ موافق نہیں ہوتے ہیں، تو پروجیکشن اور مسترد ہونے کی رسمی تعریفوں میں ڈاٹ پروڈکٹ کے بجائے اندرونی پروڈکٹ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ تین جہتی اندرونی پروڈکٹ اسپیس کے لیے، ایک ویکٹر کے دوسرے پر پروجیکشن اور دوسرے سے ویکٹر کے مسترد ہونے کے تصورات کو کسی ویکٹر کے ہوائی جہاز پر پروجیکشن کے تصورات، اور ہوائی جہاز سے ویکٹر کے مسترد ہونے کے تصورات میں عام کیا جا سکتا ہے۔ کسی سطح پر ویکٹر کا پروجیکشن اس سطح پر اس کا آرتھوگنل پروجیکشن ہوتا ہے۔ کسی سطح سے ویکٹر کا مسترد ہونا اس کی سیدھی لکیر پر آرتھوگنل پروجیکشن ہے جو اس سطح کے لیے آرتھوگنل ہے۔ دونوں ویکٹر ہیں۔ پہلا طیارہ کے متوازی ہے، دوسرا آرتھوگنل ہے۔ کسی دیئے گئے ویکٹر اور طیارہ کے لیے، پروجیکشن اور مسترد ہونے کا مجموعہ اصل ویکٹر کے برابر ہوتا ہے۔ اسی طرح، تین سے زیادہ جہتوں والی اندرونی پروڈکٹ خالی جگہوں کے لیے، ویکٹر پر پروجیکشن کے تصورات اور ویکٹر سے مسترد ہونے کے تصورات کو ہائپرپلین پر پروجیکشن کے تصورات، اور ہائپرپلین سے مسترد ہونے تک عام کیا جا سکتا ہے۔ ہندسی الجبرا میں، انہیں کسی بھی الٹا k-بلیڈ پر/سے عام ملٹی ویکٹر کے پروجیکشن اور مسترد ہونے کے تصورات کے مطابق مزید عام کیا جا سکتا ہے۔ اسکیلر پروجیکشن ویکٹر نوٹیشن حوالہ جات بیرونی لنکس ویکٹر کا طیارہ پر پروجیکشن ویکٹر پر آپریشنز ٹرانسفارمیشن (فنکشن) افعال اور نقشے بھی دیکھیں۔