Locally compact group
ریاضی میں، ایک مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ ایک ٹوپولوجیکل گروپ G ہے جس کے لیے بنیادی ٹوپولوجی مقامی طور پر کمپیکٹ اور ہاؤز ڈورف ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ اہم ہیں کیونکہ ریاضی میں پیدا ہونے والے گروپوں کی بہت سی مثالیں مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتی ہیں اور اس طرح کے گروپوں کی ایک قدرتی پیمائش ہوتی ہے جسے ہار پیمائش کہا جاتا ہے۔ یہ کسی کو G پر بریل پیمائش کے قابل افعال کے انٹیگرلز کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے تاکہ فورئیر ٹرانسفارم اور خالی جگہوں جیسے معیاری تجزیہ کے تصورات کو عام کیا جا سکے۔ محدود گروپ کی نمائندگی کے نظریہ کے بہت سے نتائج گروپ پر اوسط سے ثابت ہوتے ہیں۔ کمپیکٹ گروپوں کے لیے، ان ثبوتوں کی تبدیلیاں عام ہار انٹیگرل کے حوالے سے اوسط سے اسی طرح کے نتائج حاصل کرتی ہیں۔ عام طور پر مقامی طور پر کمپیکٹ ترتیب میں، اس طرح کی تکنیکوں کو برقرار رکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ نتیجے میں نظریہ ہارمونک تجزیہ کا ایک مرکزی حصہ ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپوں کے لیے نمائندگی کا نظریہ پونٹریگین دوہری طرف سے بیان کیا گیا ہے۔ مثالیں اور جوابی مثالیں کوئی بھی کمپیکٹ گروپ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ خاص طور پر ضرب کے تحت یونٹ ماڈیولس کی پیچیدہ تعداد کا سرکل گروپ T کمپیکٹ ہے، اور اس لیے مقامی طور پر کمپیکٹ ہے۔ سرکل گروپ نے تاریخی طور پر پہلے ٹپوولوجیکل طور پر غیر معمولی گروپ کے طور پر کام کیا جس کے پاس مقامی کمپیکٹنس کی خاصیت بھی ہے، اور اس طرح یہاں پیش کردہ زیادہ عمومی نظریہ کی تلاش کو متحرک کیا۔ کوئی بھی مجرد گروہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ اس لیے مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں کا نظریہ عام گروپوں کے نظریہ کو گھیرے ہوئے ہے کیونکہ کسی بھی گروپ کو مجرد ٹوپولوجی دی جا سکتی ہے۔ جھوٹ گروپ، جو مقامی طور پر یوکلڈین ہیں، تمام مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ ہیں۔ ہاؤز ڈورف ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ محدود جہتی ہو۔ عقلی اعداد ق کا اضافی گروپ مقامی طور پر کمپیکٹ نہیں ہوتا ہے اگر حقیقی اعداد کے ذیلی سیٹ کے طور پر رشتہ دار ٹوپولوجی کو دیا جائے۔ اگر مجرد ٹوپولوجی دی جائے تو یہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہے۔ پی-اڈک نمبروں کا اضافی گروپ کیو پی کسی بھی پرائم نمبر پی کے لیے مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ خصوصیات یکسانیت کے لحاظ سے، ٹوپولوجیکل گروپ کے لیے بنیادی جگہ کی مقامی کمپیکٹنس کو صرف شناخت پر چیک کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ یعنی، گروپ جی ایک مقامی طور پر کمپیکٹ جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب شناختی عنصر کا کمپیکٹ پڑوس ہو۔ اس کے بعد ہر مقام پر کمپیکٹ محلوں کا ایک مقامی اڈہ موجود ہے۔ ایک ٹپوولوجیکل گروپ ہاؤزڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب معمولی ایک عنصر ذیلی گروپ بند ہو۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کا ہر بند ذیلی گروپ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ (بندش کی شرط ضروری ہے جیسا کہ عقلیت کا گروپ ظاہر کرتا ہے۔) اس کے برعکس، ہاؤس ڈورف گروپ کا ہر مقامی طور پر کمپیکٹ ذیلی گروپ بند ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کا ہر حصّہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں کے خاندان کی پیداوار مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب عوامل کی ایک محدود تعداد کے علاوہ تمام حقیقت میں کمپیکٹ ہوں۔ ٹوپوولوجیکل گروپ ہمیشہ ٹوپوولوجیکل خالی جگہوں کے طور پر مکمل طور پر باقاعدہ ہوتے ہیں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں میں عام ہونے کی مضبوط خاصیت ہوتی ہے۔ ہر مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ جو پہلے شمار کے قابل ہے ایک ٹپوولوجیکل گروپ کے طور پر قابل پیمائش ہے (یعنی۔ ٹوپولوجی کے ساتھ مطابقت رکھنے والا بائیں غیر متغیر میٹرک دیا جا سکتا ہے) اور مکمل کیا جا سکتا ہے۔ اگر اس کے علاوہ جگہ دوسری گنتی کے قابل ہے، تو میٹرک کو مناسب ہونے کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے۔ (ٹپوولوجیکل گروپس پر مضمون دیکھیں۔) پولینڈ کے گروپ G میں، ہار نیل سیٹوں کا σ-الجبرا قابل گنتی سلسلہ کی حالت کو مطمئن کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G مقامی طور پر کمپیکٹ ہو۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ کسی بھی مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین (ایل سی اے) گروپ اے کے لیے، مسلسل ہومومورفزم ہوم (اے، ایس 1) کا گروپ اے سے دائرے کے گروپ میں دوبارہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتا ہے۔ پونٹریگین دوہری حیثیت اس بات پر زور دیتی ہے کہ یہ فنکٹر زمرہ جات ایل سی اے او پی → ایل سی اے کے مساوات کو جنم دیتا ہے۔ یہ فنکٹر ٹپوولوجیکل گروپوں کی کئی خصوصیات کا تبادلہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، محدود گروپ محدود گروپوں سے مطابقت رکھتے ہیں، کمپیکٹ گروپ مجرد گروپوں سے مطابقت رکھتے ہیں، اور پیمائش کے قابل گروپ کمپیکٹ گروپوں کے قابل شمار اتحاد سے مطابقت رکھتے ہیں (اور تمام بیانات میں اس کے برعکس)۔ ایل سی اے گروپ ایک عین مطابق زمرہ بناتے ہیں، جس میں قابل قبول مونومورفزم بند ذیلی گروپ ہوتے ہیں اور قابل قبول ایپیمورفزم ٹپوولوجیکل کوٹینٹ نقشے ہوتے ہیں۔ اس لیے اس زمرے کے کے تھیوری سپیکٹرم پر غور کرنا ممکن ہے۔ اس نے دکھایا ہے کہ یہ Z اور R کے الجبرائی K-تھیوری، انٹیجرز اور حقیقی کے درمیان فرق کی پیمائش کرتا ہے، بالترتیب، اس معنی میں کہ ایک ہوموٹوپی فائبر سیکوینس K (Z) → K (R) → K (LCA) ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ٹوپوولوجیکل گروپس