Instrumental variables estimation
اعداد و شمار، اکانومیٹرکس، وبائی امراض اور متعلقہ مضامین میں، آلہ ساز متغیرات (IV) کا طریقہ کار کاسل تعلقات کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جب کنٹرول شدہ تجربات ممکن نہیں ہوتے ہیں یا جب بے ترتیب تجربے میں ہر یونٹ تک علاج کامیابی سے نہیں پہنچایا جاتا ہے۔ بدیہی طور پر، IVs کا استعمال اس وقت کیا جاتا ہے جب دلچسپی کے ایک وضاحتی متغیر کو غلطی کی اصطلاح سے منسلک کیا جاتا ہے، اس صورت میں عام کم سے کم مربع اور اے این او وی اے متعصبانہ نتائج دیتے ہیں۔ ایک درست آلہ وضاحتی متغیر میں تبدیلیوں کو جنم دیتا ہے لیکن منحصر متغیر پر اس کا کوئی آزاد اثر نہیں ہوتا ہے، جس سے محقق کو منحصر متغیر پر وضاحتی متغیر کے وجہ اثر کو بے نقاب کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ آلات متغیر طریقے مستقل تخمینے کی اجازت دیتے ہیں جب وضاحتی متغیرات (کوویریٹس) رجعت ماڈل میں غلطی کی اصطلاحات کے ساتھ مربوط ہوتے ہیں۔ اس طرح کا ارتباط اس وقت ہو سکتا ہے جب: منحصر متغیر میں تبدیلیاں کم از کم ایک کوویریٹس ("ریورس" کاسیشن) کی قدر کو تبدیل کرتی ہیں، ایسے متغیرات ہیں جو منحصر اور وضاحتی متغیرات دونوں کو متاثر کرتے ہیں، یا کوویریٹس غیر بے ترتیب پیمائش کی غلطی کے تابع ہیں۔ وضاحتی متغیرات جو رجعت کے تناظر میں ان میں سے ایک یا زیادہ مسائل کا شکار ہوتے ہیں انہیں بعض اوقات اینڈوجینس کہا جاتا ہے۔ اس صورت حال میں، عام کم سے کم مربع متعصبانہ اور متضاد تخمینے پیدا کرتے ہیں۔ تاہم، اگر کوئی آلہ دستیاب ہے، تو پھر بھی مستقل تخمینے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ایک آلہ ایک متغیر ہے جس کا تعلق خود وضاحتی مساوات سے نہیں ہوتا ہے بلکہ اس کا تعلق اینڈوجینس وضاحتی متغیرات کے ساتھ ہوتا ہے، مشروط طور پر دوسرے کوویریٹس کی قدر پر۔ لکیری ماڈلز میں، IVs کے استعمال کے لیے دو اہم تقاضے ہیں: آلہ کو دیگر کوویریٹس پر مشروط طور پر اینڈوجینس وضاحتی متغیرات کے ساتھ مربوط ہونا چاہیے۔ اگر یہ ارتباط مضبوط ہے، تو کہا جاتا ہے کہ آلہ کا پہلا مرحلہ مضبوط ہے۔ ایک کمزور ارتباط پیرامیٹر کے تخمینوں اور معیاری غلطیوں کے بارے میں گمراہ کن نتائج فراہم کر سکتا ہے۔ آلہ کو وضاحتی مساوات میں غلطی کی اصطلاح کے ساتھ منسلک نہیں کیا جا سکتا، مشروط طور پر دوسرے کوویریٹس پر۔ دوسرے لفظوں میں، آلہ اسی مسئلے کا شکار نہیں ہو سکتا جیسا کہ اصل پیشن گوئی کرنے والا متغیر ہے۔ اگر یہ شرط پوری ہو جاتی ہے، تو کہا جاتا ہے کہ آلہ اخراج کی پابندی کو پورا کرتا ہے۔ مثال غیر رسمی طور پر، کسی دوسرے Y ("منحصر متغیر") پر کسی متغیر X ("کوویریٹ" یا "وضاحتی متغیر") کے وجہ اثر کا اندازہ لگانے کی کوشش میں، ایک آلہ تیسرا متغیر Z ہے جو صرف X پر اپنے اثر کے ذریعے Y کو متاثر کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایک محقق عام صحت (Y) پر تمباکو نوشی (X) کے وجہ اثر کا اندازہ لگانا چاہتا ہے۔ تمباکو نوشی اور صحت کے درمیان تعلق کا مطلب یہ نہیں ہے کہ تمباکو نوشی خراب صحت کا سبب بنتی ہے کیونکہ دیگر متغیرات، جیسے ڈپریشن، صحت اور تمباکو نوشی دونوں کو متاثر کر سکتے ہیں، یا اس وجہ سے کہ صحت تمباکو نوشی کو متاثر کر سکتی ہے۔ عام آبادی میں تمباکو نوشی کی حیثیت پر کنٹرول شدہ تجربات کرنا ممکن نہیں ہے۔ محقق تمباکو کی مصنوعات (Z) کے لیے ٹیکس کی شرح کو تمباکو نوشی کے آلے کے طور پر استعمال کر کے مشاہداتی اعداد و شمار سے صحت پر تمباکو نوشی کے وجہ اثرات کا اندازہ لگانے کی کوشش کر سکتا ہے۔ تمباکو کی مصنوعات کے لیے ٹیکس کی شرح کسی آلے کے لیے ایک معقول انتخاب ہے کیونکہ محقق یہ فرض کرتا ہے کہ اسے صرف تمباکو نوشی پر اس کے اثرات کے ذریعے صحت سے منسلک کیا جا سکتا ہے۔ اگر محقق تب تمباکو کے ٹیکس اور صحت کی حالت کو باہمی تعلق کے طور پر دیکھتا ہے، تو اسے اس بات کے ثبوت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ تمباکو نوشی صحت میں تبدیلیوں کا سبب بنتی ہے۔ آلے کے متغیر کا پہلا استعمال فلپ جی رائٹ کی 1928 کی کتاب میں ہوا، جو ریاستہائے متحدہ میں 1900 کی دہائی کے اوائل میں سبزیوں اور جانوروں کے تیل کی پیداوار، نقل و حمل اور فروخت کے بارے میں اپنی بہترین وضاحت کے لیے مشہور ہیں، جبکہ 1945 میں، اولاو ریئرسل نے اپنے مقالے میں غلطیوں میں متغیر ماڈل کے تناظر میں اسی نقطہ نظر کا اطلاق کیا، جس سے طریقہ کار کو اس کا نام ملا۔ رائٹ نے ریاستہائے متحدہ میں فروخت ہونے والی قیمتوں اور مقدار کے بارے میں پینل ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے مکھن کی فراہمی اور طلب کا تعین کرنے کی کوشش کی۔ خیال یہ تھا کہ ایک رجعت تجزیہ طلب یا فراہمی کا منحنی خطوط پیدا کر سکتا ہے کیونکہ وہ قیمتوں اور طلب یا فراہمی کی مقدار کے درمیان کے راستے سے تشکیل پاتے ہیں۔ مسئلہ یہ تھا کہ مشاہداتی اعداد و شمار مانگ یا فراہمی کے منحنی خطوط نہیں بناتے تھے، بلکہ نقطہ مشاہدات کا بادل بناتے تھے جنہوں نے بازار کے مختلف حالات میں مختلف شکلیں اختیار کیں۔ ایسا لگتا تھا کہ اعداد و شمار سے کٹوتی کرنا مشکل رہا۔ مسئلہ یہ تھا کہ قیمت نے رسد اور طلب دونوں کو متاثر کیا تاکہ دونوں میں سے صرف ایک کو بیان کرنے والی فنکشن کو مشاہداتی ڈیٹا سے براہ راست تعمیر نہیں کیا جا سکے۔ رائٹ نے صحیح طور پر یہ نتیجہ اخذ کیا کہ اسے ایک متغیر کی ضرورت ہے جو طلب یا فراہمی سے متعلق ہو لیکن دونوں سے نہیں-یعنی ایک آلہ ساز متغیر۔ بہت غور و فکر کے بعد، رائٹ نے علاقائی بارش کو اپنے آلات متغیر کے طور پر استعمال کرنے کا فیصلہ کیا: اس نے یہ نتیجہ اخذ کیا کہ بارش نے گھاس کی پیداوار کو متاثر کیا اور اس وجہ سے دودھ کی پیداوار اور بالآخر مکھن کی فراہمی، لیکن مکھن کی طلب کو نہیں۔ اس طرح وہ قیمت اور فراہمی کے صرف آلہ ساز متغیر کے ساتھ ایک رجعت مساوات کی تعمیر کرنے میں کامیاب رہا۔ جوابی حقائق اور گرافیکل معیار کا استعمال کرتے ہوئے آلات متغیرات کی رسمی تعریفیں جوڈیا پرل نے 2000 میں دی تھیں۔ اینگرسٹ اینڈ کروگر (2001) آلہ ساز متغیر تکنیکوں کی تاریخ اور استعمال کا ایک سروے پیش کرتے ہیں۔ اکانومیٹرکس میں وجہ کے تصورات، اور آلات متغیرات اور دیگر طریقوں کے ساتھ ان کے تعلقات، ہیک مین (2008) کے ذریعہ زیر بحث ہیں۔ نظریہ اگرچہ IV کے پیچھے کے خیالات ماڈلز کے ایک وسیع طبقے تک پھیلے ہوئے ہیں، لیکن IV کے لیے ایک بہت ہی عام سیاق و سباق لکیری رجعت میں ہے۔ روایتی طور پر، ایک آلہ ساز متغیر کو متغیر Z کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو آزاد متغیر X کے ساتھ منسلک ہوتا ہے اور لکیری مساوات میں "ایرر ٹرم" U کے ساتھ غیر منسلک ایک ویکٹر ہوتا ہے۔ ایک میٹرکس ہے، عام طور پر ایک کالم کے ساتھ اور شاید دوسرے کوویریٹس کے لیے اضافی کالموں کے ساتھ۔ غور کریں کہ کس طرح ایک آلہ بازیافت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یاد رکھیں کہ او ایل ایس اس کے لیے حل کرتا ہے کہ (جب ہم مربع شدہ غلطیوں کے مجموعے کو کم سے کم کرتے ہیں، تو فرسٹ آرڈر کی شرط بالکل درست ہوتی ہے۔) اگر خیال کیا جاتا ہے کہ حقیقی ماڈل اوپر درج کردہ وجوہات میں سے کسی کی وجہ سے ہے-مثال کے طور پر، اگر کوئی خارج شدہ متغیر ہے جو دونوں کو الگ الگ متاثر کرتا ہے-تو یہ OLS طریقہ کار ON کا وجہ اثر نہیں دے گا۔ او ایل ایس صرف اس پیرامیٹر کا انتخاب کرے گا جس کے نتیجے میں ہونے والی غلطیاں غیر متعلقہ دکھائی دیتی ہیں۔ سادگی کے لیے واحد متغیر کیس پر غور کریں۔ فرض کریں کہ ہم ایک متغیر اور ایک مستقل کے ساتھ رجعت پر غور کر رہے ہیں (شاید کوئی اور کوویریٹس ضروری نہیں ہیں، یا شاید ہم نے کسی دوسرے متعلقہ کوویریٹس کو جزوی کر دیا ہے): اس صورت میں، سود کے رجعت کنندہ پر گتانک اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ کے لیے تبدیل کرنا بتاتا ہے کہ اگر x کا u کے ساتھ تعلق نہ ہو تو تخمینہ شدہ گتانک ویکٹر کہاں ہوگا۔ اس صورت میں، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ ایک غیر جانبدار تخمینہ ہے اگر بنیادی ماڈل میں جس پر ہم یقین رکھتے ہیں، تو OLS ایک گتانک دیتا ہے جو سود کے بنیادی وجہ اثر کی عکاسی نہیں کرتا ہے۔ IV پیرامیٹرز کی شناخت کرکے اس مسئلے کو حل کرنے میں مدد کرتا ہے اس بنیاد پر نہیں کہ آیا اس کا غیر متعلقہ ہے، بلکہ اس بنیاد پر کہ آیا کوئی دوسرا متغیر اس کے ساتھ غیر متعلقہ ہے۔ اگر نظریہ یہ بتاتا ہے کہ اس کا تعلق (پہلے مرحلے) سے ہے لیکن اس کا (اخراج کی پابندی) سے کوئی تعلق نہیں ہے، تو IV دلچسپی کے وجہ پیرامیٹر کی نشاندہی کر سکتا ہے جہاں OLS ناکام ہوتا ہے۔ چونکہ صرف لکیری کیس (IV، 2SLS، GMM) میں بھی IV تخمینوں کو استعمال کرنے اور اخذ کرنے کے متعدد مخصوص طریقے ہیں، اس لیے ہم ذیل میں تخمینہ کے حصے کے لیے مزید بحث محفوظ کرتے ہیں۔ گرافیکل ڈیفینیشن IV تکنیک غیر لکیری ماڈلز کی ایک بہت وسیع تر کلاس کے درمیان تیار کی گئی ہیں۔ جوابی حقیقت پسندانہ اور گرافیکل فارملزم کا استعمال کرتے ہوئے آلات متغیرات کی عمومی تعریفیں پرل (2000 ؛ صفحہ 248) نے دی تھیں۔ گرافیکل تعریف کے لیے ضروری ہے کہ Z مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرے: جہاں d-علیحدگی کا مطلب ہے اور اس گراف کا مطلب ہے جس میں X میں داخل ہونے والے تمام تیر کاٹ دیے جاتے ہیں۔ متضاد تعریف کے لیے ضروری ہے کہ Z مطمئن ہو جہاں Yx اس قدر کے لیے کھڑا ہے جو Y حاصل کرے گا اگر X x ہوتا اور آزادی کے لیے کھڑا ہوتا۔ اگر اضافی کوویریٹس W ہیں تو مندرجہ بالا تعریفوں میں ترمیم کی جاتی ہے تاکہ Z ایک آلہ کے طور پر اہل ہو جائے اگر دیا گیا معیار W پر مشروط ہو۔ پرل کی تعریف کا جوہر یہ ہے: دلچسپی کی مساوات "ساختی" ہیں، نہ کہ "رجعت"۔ غلطی کی اصطلاح U ان تمام خارجی عوامل کے لیے ہے جو X کے مستقل ہونے پر Y کو متاثر کرتے ہیں۔ آلہ Z کو U سے آزاد ہونا چاہیے۔ آلہ Z کو Y کو متاثر نہیں کرنا چاہیے جب X کو مستقل رکھا جائے (اخراج کی پابندی)۔ آلہ Z کو X سے آزاد نہیں ہونا چاہیے۔ یہ شرائط مساوات کی مخصوص فعال شکل پر انحصار نہیں کرتی ہیں اور اس لیے غیر لکیری مساوات پر لاگو ہوتی ہیں، جہاں U غیر اضافی ہو سکتا ہے (غیر پیرامیٹرک تجزیہ دیکھیں)۔ وہ متعدد مساوات کے نظام پر بھی لاگو ہوتے ہیں، جس میں X (اور دیگر عوامل) کئی انٹرمیڈیٹ متغیرات کے ذریعے Y کو متاثر کرتے ہیں۔ ایک آلہ ساز متغیر کو X کی وجہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اس طرح کی وجہ کا ایک پراکسی بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، اگر یہ 1 سے 5 شرائط کو پورا کرتا ہے۔ اخراج کی پابندی (شرط 4) بے کار ہے ؛ یہ شرائط 2 اور 3 کے مطابق ہے۔ موزوں آلات کا انتخاب چونکہ U غیر مشاہدہ شدہ ہے، اس لیے Z کے U سے آزاد ہونے کی ضرورت کا ڈیٹا سے اندازہ نہیں لگایا جا سکتا اور اس کے بجائے ماڈل ڈھانچے یعنی ڈیٹا پیدا کرنے کے عمل سے اس کا تعین کیا جانا چاہیے۔ وجہ گراف اس ڈھانچے کی نمائندگی کرتے ہیں، اور اوپر دی گئی گرافیکل تعریف کو فوری طور پر اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا متغیر Z کوویریٹس W کے ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے ایک آلات متغیر کے طور پر اہل ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ کیسے، درج ذیل مثال پر غور کریں۔ فرض کریں کہ ہم گریڈ پوائنٹ ایوریج (جی پی اے) پر یونیورسٹی ٹیوشن پروگرام کے اثرات کا اندازہ لگانا چاہتے ہیں۔ ٹیوشن پروگرام میں شرکت اور جی پی اے کے درمیان تعلق کئی عوامل سے الجھ سکتا ہے۔ ٹیوشن پروگرام میں شرکت کرنے والے طلباء اپنے گریڈ کے بارے میں زیادہ پرواہ کر سکتے ہیں یا اپنے کام کے ساتھ جدوجہد کر رہے ہوں گے۔ اس الجھن کو ٹیوشن پروگرام اور جی پی اے کے درمیان دو طرفہ آرک کے ذریعے دائیں طرف کے اعداد و شمار 1-3 میں دکھایا گیا ہے۔ اگر طلباء کو بے ترتیب طور پر ہاسٹلریوں میں تفویض کیا جاتا ہے، تو ٹیوشن پروگرام سے طالب علم کے ہاسٹل کی قربت ایک آلہ ساز متغیر ہونے کے لیے ایک فطری امیدوار ہے۔ تاہم، اگر ٹیوشن پروگرام کالج کی لائبریری میں واقع ہے تو کیا ہوگا؟ اس صورت میں، قربت طلباء کو لائبریری میں زیادہ وقت گزارنے کا سبب بھی بن سکتی ہے، جس کے نتیجے میں ان کے جی پی اے میں بہتری آتی ہے (شکل 1 دیکھیں)۔ شکل 2 میں دکھائے گئے کازل گراف کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ قربت ایک آلات متغیر کے طور پر اہل نہیں ہے کیونکہ یہ جی پی اے سے قربت لائبریری آورس جی پی اے کے راستے سے جڑا ہوا ہے۔ تاہم، اگر ہم لائبریری کے اوقات کو کوویریٹ کے طور پر شامل کر کے کنٹرول کرتے ہیں تو قربت ایک آلہ کار متغیر بن جاتی ہے، کیونکہ قربت کو لائبریری کے اوقات کو دیکھتے ہوئے جی پی اے سے الگ کیا جاتا ہے۔ اب، فرض کریں کہ ہم دیکھتے ہیں کہ ایک طالب علم کی "فطری صلاحیت" لائبریری میں اس کے گھنٹوں کی تعداد کے ساتھ ساتھ اس کے جی پی اے کو بھی متاثر کرتی ہے، جیسا کہ شکل 3 میں ہے۔ کازل گراف کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ لائبریری آورس ایک کولائڈر ہے اور اس پر کنڈیشنگ قربت لائبریری آورس جی پی اے کا راستہ کھولتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، قربت کو آلہ ساز متغیر کے طور پر استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ آخر میں، فرض کریں کہ لائبریری کے اوقات دراصل جی پی اے کو متاثر نہیں کرتے ہیں کیونکہ جو طلباء لائبریری میں نہیں پڑھتے ہیں وہ صرف دوسری جگہوں پر پڑھتے ہیں، جیسا کہ شکل 4 میں ہے۔ اس صورت میں، لائبریری آورس کو کنٹرول کرنا اب بھی قربت سے جی پی اے تک کا جعلی راستہ کھولتا ہے۔ تاہم، اگر ہم لائبریری آورس کو کنٹرول نہیں کرتے ہیں اور اسے کوویریٹ کے طور پر ہٹا دیتے ہیں تو قربت کو دوبارہ ایک آلات متغیر کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تخمینہ اب ہم IV کے میکانکس پر مزید تفصیل سے نظر ثانی اور توسیع کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ ڈیٹا اس فارم کے عمل سے تیار کیا جاتا ہے جہاں i مشاہدات کو انڈیکس کرتا ہے، منحصر متغیر کی i-th ویلیو ہے، آزاد متغیر (ز) کی i-th ویلیوز کا ویکٹر ہے اور ایک مستقل، ایک غیر مشاہدہ شدہ غلطی کی اصطلاح کی i-th ویلیو ہے جو اس کے علاوہ دیگر تمام وجوہات کی نمائندگی کرتی ہے، اور یہ ایک غیر مشاہدہ شدہ پیرامیٹر ویکٹر ہے۔ پیرامیٹر ویکٹر ہر عنصر میں ایک یونٹ کی تبدیلی کا وجہ اثر ہے، جو مستقل کی دیگر تمام وجوہات کو برقرار رکھتا ہے۔ اکانومیٹرک مقصد تخمینہ لگانا ہے۔ سادگی کی خاطر فرض کریں کہ ای کے ڈرا غیر مربوط ہیں اور یہ کہ وہ اسی تغیر کے ساتھ تقسیم سے تیار کیے گئے ہیں (یعنی، غلطیاں سیریل طور پر غیر مربوط اور ہم آہنگ ہیں)۔ فرض کریں کہ برائے نام اسی شکل کا ایک رجعت ماڈل تجویز کیا گیا ہے۔ اس عمل سے T مشاہدات کے بے ترتیب نمونے کو دیکھتے ہوئے، عام کم سے کم مربع تخمینہ وہ ہے جہاں X، y اور e لمبائی T کے کالم ویکٹر کو ظاہر کرتے ہیں۔ یہ مساوات تعارف میں شامل مساوات سے ملتی جلتی ہے (یہ اس مساوات کا میٹرکس ورژن ہے)۔ جب X اور e غیر مربوط ہوتے ہیں، تو کچھ باقاعدگی کے حالات میں دوسری اصطلاح کی متوقع قیمت صفر کے X پر مشروط ہوتی ہے اور حد میں صفر میں بدل جاتی ہے، لہذا تخمینہ کار غیر جانبدار اور مستقل ہوتا ہے۔ جب X اور دیگر غیر پیمائش شدہ، e اصطلاح میں گرنے والے وجہ متغیرات باہمی تعلق رکھتے ہیں، تاہم، OLS تخمینہ کار عام طور پر β کے لیے متعصبانہ اور متضاد ہوتا ہے۔ اس صورت میں، X کی دی گئی اقدار کی اقدار کی پیش گوئی کے لیے تخمینوں کا استعمال درست ہے، لیکن تخمینہ Y پر X کے وجہ اثر کو بازیافت نہیں کرتا ہے۔ بنیادی پیرامیٹر کو بازیافت کرنے کے لیے، ہم متغیرات Z کا ایک مجموعہ متعارف کراتے ہیں جو X کے ہر اینڈوجینس جزو کے ساتھ انتہائی مربوط ہے لیکن (ہمارے بنیادی ماڈل میں) e کے ساتھ مربوط نہیں ہے۔ سادگی کے لیے، X کو ایک T × 2 میٹرکس سمجھا جا سکتا ہے جو مستقلات کے کالم اور ایک اینڈوجینس متغیر پر مشتمل ہے، اور Z کو ایک T × 2 سمجھا جا سکتا ہے جو مستقلات کے کالم اور ایک آلات متغیر پر مشتمل ہے۔ تاہم، یہ تکنیک عام طور پر X کو ایک مستقل اور 5 اینڈوجینس متغیرات کا میٹرکس قرار دیتی ہے، جس میں Z ایک مستقل اور 5 آلات پر مشتمل میٹرکس ہے۔ اس کے بعد ہونے والی بحث میں، ہم فرض کریں گے کہ X ایک T × K میٹرکس ہے اور اس قدر K کو غیر متعین چھوڑ دیں گے۔ ایک تخمینہ لگانے والا جس میں X اور Z دونوں T × K میٹرکس ہیں اسے صرف شناخت شدہ کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ ہر اینڈوجینس جزو xi اور آلات کے درمیان تعلق اس کے ذریعے دیا گیا ہے۔ سب سے عام IV تفصیلات مندرجہ ذیل تخمینہ کار کا استعمال کرتی ہیں: یہ تفصیلات حقیقی پیرامیٹر تک پہنچتی ہیں جیسے جیسے نمونہ بڑا ہوتا جاتا ہے، جب تک کہ حقیقی ماڈل میں: جب تک کہ بنیادی عمل میں جو ڈیٹا تیار کرتا ہے، IV تخمینہ کار کا مناسب استعمال اس پیرامیٹر کی شناخت کرے گا۔ یہ کام کرتا ہے کیونکہ IV منفرد پیرامیٹر کے لیے حل کرتا ہے جو مطمئن کرتا ہے، اور اس لیے جیسے جیسے نمونے کا سائز بڑھتا ہے حقیقی بنیادی پیرامیٹر کو بہتر بناتا ہے۔ اب ایک توسیع: فرض کریں کہ دلچسپی کی مساوات میں کوویریائٹس سے زیادہ آلات موجود ہیں، تاکہ Z ایک T × M میٹرکس ہے جس میں M> K ہے۔ اسے اکثر زیادہ شناخت شدہ کیس کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں، لمحات کا عمومی طریقہ (جی ایم ایم) استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جی ایم ایم IV تخمینہ وہ جگہ ہے جہاں پروجیکشن میٹرکس کا حوالہ دیا جاتا ہے۔ یہ اظہار اس وقت پہلے پر گر جاتا ہے جب آلات کی تعداد دلچسپی کی مساوات میں کوویریٹس کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔ اس لیے زیادہ شناخت شدہ IV صرف شناخت شدہ IV کی عمومی شکل ہے۔ اظہار کو تیار کرنا: صرف شناخت شدہ معاملے میں، ہمارے پاس اتنے ہی آلات ہیں جتنے کوویریٹس، تاکہ X کا طول و عرض Z کے برابر ہو۔ لہذا، اور ایک ہی جہت کے تمام مربع میٹرکس ہیں۔ ہم الٹا کو اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے بڑھا سکتے ہیں کہ، کسی بھی الٹا n-by-n میٹرکس A اور B کے لیے، (AB) −1 = B −1A −1 (دیکھیں الٹا matrix#Properties): حوالہ: دیکھیں ڈیوڈسن اور میکنن (1993) اس معاملے کے لیے ایک مساوی کم شناخت شدہ تخمینہ ہے جہاں m <k ہے۔ چونکہ پیرامیٹرز لکیری مساوات کے ایک سیٹ کا حل ہیں، مساوات کے سیٹ کا استعمال کرتے ہوئے ایک کم شناخت شدہ ماڈل کا کوئی منفرد حل نہیں ہوتا ہے۔ دو مرحلے کے کم سے کم مربع کے طور پر تشریح ایک کمپیوٹیشنل طریقہ جو IV تخمینوں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے وہ دو مرحلے کے کم سے کم مربع (2 ایس ایل ایس یا ٹی ایس ایل ایس) ہے۔ پہلے مرحلے میں، ہر وضاحتی متغیر جو دلچسپی کی مساوات میں ایک اینڈوجینس کوویریٹ ہے، ماڈل کے تمام بیرونی متغیرات پر ریگرس کیا جاتا ہے، بشمول دلچسپی کی مساوات میں بیرونی کوویریٹس اور خارج شدہ آلات دونوں۔ ان رجعتوں سے پیشین گوئی کی گئی اقدار حاصل کی جاتی ہیں: مرحلہ 1: Z پر X کے ہر کالم کو واپس کریں، (): اور پیشین گوئی کی گئی اقدار کو محفوظ کریں: دوسرے مرحلے میں، سود کی رجعت کا تخمینہ معمول کے مطابق لگایا جاتا ہے، سوائے اس کے کہ اس مرحلے میں ہر اینڈوجینس کوویریٹ کو پہلے مرحلے سے پیشین گوئی کی گئی اقدار سے تبدیل کیا جاتا ہے: مرحلہ 2: پہلے مرحلے سے پیشین گوئی کی گئی اقدار پر Y کو واپس کریں: جو دیتا ہے یہ طریقہ صرف لکیری ماڈلز میں درست ہے۔ درجہ بند اینڈوجینس کوویریٹس کے لیے، کسی کو عام کم از کم مربعوں سے مختلف پہلا مرحلہ استعمال کرنے کا لالچ ہو سکتا ہے، جیسے کہ پہلے مرحلے کے لیے پروبیٹ ماڈل اور اس کے بعد دوسرے کے لیے او ایل ایس۔ یہ عام طور پر اکانومیٹرک ادب میں ممنوعہ رجعت کے طور پر جانا جاتا ہے، کیونکہ دوسرے مرحلے کے چوتھے پیرامیٹر کے تخمینے صرف خاص معاملات میں مستقل ہوتے ہیں۔ عام او ایل ایس تخمینہ کار یہ ہے: اس کو تبدیل کرنا اور نوٹ کرنا کہ ایک ہم آہنگ اور مثالی میٹرکس ہے، تاکہ اس کے نتیجے میں تخمینہ لگانے والا عددی طور پر اوپر دکھائے گئے اظہار سے ملتا جلتا ہو۔ دوسرے مرحلے کے فٹ شدہ ماڈل میں مربع بقیہ کے مجموعے میں ایک چھوٹی سی اصلاح کی جانی چاہیے تاکہ کے کوویرینس میٹرکس کا صحیح حساب لگایا جا سکے۔ غیر پیرامیٹرک تجزیہ جب ساختی مساوات کی شکل نامعلوم ہوتی ہے، تب بھی ایک آلہ کار متغیر کو مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے: جہاں اور وہ دو صوابدیدی افعال ہیں اور ان سے آزاد ہیں۔ تاہم، لکیری ماڈلز کے برعکس، کی پیمائش اور پر کے اوسط وجہ اثر کی شناخت کی اجازت نہیں دیتی ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اے سی ای بالک اور پرل [1997] نے اے سی ای پر تنگ حدود حاصل کیں اور یہ ظاہر کیا کہ یہ اے سی ای کی علامت اور سائز کے بارے میں قیمتی معلومات فراہم کر سکتے ہیں۔ لکیری تجزیے میں، اس مفروضے کو غلط ثابت کرنے کے لیے کوئی ٹیسٹ نہیں ہے جو جوڑی سے متعلق سازگار ہے۔ جب مجرد ہوتا ہے تو ایسا نہیں ہوتا ہے۔ پرل (2000) نے دکھایا ہے کہ، سب کے لیے اور، مندرجہ ذیل رکاوٹ، جسے "آلات کی عدم مساوات" کہا جاتا ہے، جب بھی اوپر کی دو مساوات کو مطمئن کرتا ہے تو اسے برقرار رکھنا چاہیے: ٹریٹمنٹ ایفیکٹ ہیٹرجینیٹی کے تحت تشریح اوپر کی وضاحت یہ فرض کرتی ہے کہ دلچسپی کا وجہ اثر مشاہدات میں مختلف نہیں ہوتا ہے، یعنی یہ ایک مستقل ہے۔ عام طور پر، مختلف مضامین "علاج" x میں ہونے والی تبدیلیوں کا مختلف طریقوں سے جواب دیں گے۔ جب اس امکان کو پہچانا جاتا ہے، تو y پر x میں تبدیلی کا آبادی میں اوسط اثر کسی دی گئی ذیلی آبادی کے اثر سے مختلف ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، نوکری کے تربیتی پروگرام کا اوسط اثر ان لوگوں کے گروپ میں کافی حد تک مختلف ہو سکتا ہے جو اصل میں تربیت حاصل کرتے ہیں اور وہ گروپ جو تربیت حاصل نہ کرنے کا انتخاب کرتا ہے۔ ان وجوہات کی بناء پر، IV طریقے رویے کے ردعمل پر مضمر مفروضوں، یا زیادہ عام طور پر علاج کے ردعمل اور علاج حاصل کرنے کے رجحان کے درمیان ارتباط پر مفروضوں کو جنم دیتے ہیں۔ معیاری IV تخمینہ لگانے والا اوسط علاج کے اثرات (اے ٹی ای) کے بجائے مقامی اوسط علاج کے اثرات (ایل اے ٹی ای) کو بازیافت کر سکتا ہے۔ امبنس اور اینگرسٹ (1994) یہ ظاہر کرتے ہیں کہ لکیری IV تخمینہ کو کمزور حالات میں مقامی اوسط علاج کے اثرات کی اوسط اوسط کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جہاں وزن کا انحصار آلات کے متغیرات میں ہونے والی تبدیلیوں کے لیے اینڈوجینس ریگریسر کی لچک پر ہوتا ہے۔ موٹے طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ متغیر کا اثر صرف آلات میں مشاہدہ شدہ تبدیلیوں سے متاثر ہونے والی ذیلی آبادی کے لیے ظاہر ہوتا ہے، اور یہ کہ ذیلی آبادی جو آلات میں ہونے والی تبدیلیوں کا سب سے زیادہ جواب دیتی ہے، IV تخمینے کی شدت پر سب سے زیادہ اثرات مرتب کرے گی۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی محقق کمائی کی رجعت میں کالج کی تعلیم کے لیے ایک آلے کے طور پر لینڈ گرانٹ کالج کی موجودگی کا استعمال کرتا ہے، تو وہ ذیلی آبادی میں کمائی پر کالج کے اثرات کی نشاندہی کرتی ہے جو کالج موجود ہونے پر کالج کی ڈگری حاصل کرے گا لیکن جو کالج موجود نہ ہونے پر ڈگری حاصل نہیں کرے گا۔ یہ تجرباتی نقطہ نظر، مزید مفروضوں کے بغیر، محقق کو ان لوگوں میں کالج کے اثر کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا جو یا تو ہمیشہ یا کبھی کالج کی ڈگری حاصل نہیں کریں گے اس سے قطع نظر کہ مقامی کالج موجود ہے یا نہیں۔ کمزور آلات کا مسئلہ جیسا کہ باؤنڈ، جیگر، اور بیکر (1995) نوٹ کرتے ہیں، ایک مسئلہ "کمزور" آلات کے انتخاب کی وجہ سے ہوتا ہے، وہ آلات جو پہلے مرحلے کی مساوات میں اینڈوجینس سوالیہ پیشن گوئی کرنے والے کے ناقص پیشن گوئی کرنے والے ہوتے ہیں۔ اس صورت میں، آلے کی طرف سے سوال پیشن گوئی کرنے والے کی پیشین گوئی ناقص ہوگی اور پیشین گوئی شدہ اقدار میں بہت کم تغیر ہوگا۔ نتیجتا، جب وہ دوسرے مرحلے کی مساوات میں سوالیہ پیشن گوئی کرنے والے کو تبدیل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں تو حتمی نتائج کی پیش گوئی کرنے میں انہیں زیادہ کامیابی حاصل ہونے کا امکان نہیں ہوتا ہے۔ اوپر بیان کردہ تمباکو نوشی اور صحت کی مثال کے تناظر میں، تمباکو کے ٹیکس تمباکو نوشی کے لیے کمزور آلات ہیں اگر تمباکو نوشی کی حیثیت ٹیکسوں میں ہونے والی تبدیلیوں کے لیے بڑی حد تک غیر ذمہ دار ہے۔ اگر زیادہ ٹیکس لوگوں کو تمباکو نوشی چھوڑنے (یا تمباکو نوشی شروع نہ کرنے) پر آمادہ نہیں کرتے ہیں، تو ٹیکس کی شرحوں میں تغیر ہمیں صحت پر تمباکو نوشی کے اثرات کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا ہے۔ اگر ٹیکس تمباکو نوشی پر ان کے اثرات کے علاوہ دیگر چینلز کے ذریعے صحت کو متاثر کرتے ہیں، تو آلات غلط ہیں اور آلہ ساز متغیر نقطہ نظر گمراہ کن نتائج دے سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، نسبتا صحت سے آگاہ آبادی والی جگہیں اور اوقات دونوں تمباکو کے زیادہ ٹیکس نافذ کر سکتے ہیں اور بہتر صحت کی نمائش کر سکتے ہیں یہاں تک کہ تمباکو نوشی کی شرح کو مستقل رکھتے ہوئے، لہذا ہم صحت اور تمباکو کے ٹیکس کے درمیان ارتباط کا مشاہدہ کریں گے چاہے یہ معاملہ ہو کہ تمباکو نوشی کا کوئی اثر نہیں ہے۔ صحت پر اس صورت میں، ہم تمباکو کے ٹیکس اور صحت کے درمیان مشاہدہ شدہ ارتباط سے صحت پر تمباکو نوشی کے وجہ سے ہونے والے اثرات کا اندازہ لگانے میں غلطی کریں گے۔ کمزور آلات کی جانچ آلات کی طاقت کا براہ راست اندازہ لگایا جا سکتا ہے کیونکہ اینڈوجینس کوویریٹس اور آلات دونوں قابل مشاہدہ ہیں۔ ایک اینڈوجینس ریگریسر والے ماڈلز کے لیے انگوٹھے کا ایک عام اصول یہ ہے: اس صفر کے خلاف ایف-اعدادوشمار کہ خارج شدہ آلات پہلے مرحلے کے رجعت میں غیر متعلقہ ہیں، 10 سے بڑا ہونا چاہیے۔ شماریاتی تخمینہ اور مفروضے کی جانچ جب کوویریٹس خارجی ہوتے ہیں، تو OLS تخمینہ کار کی چھوٹے نمونے کی خصوصیات کو X پر مشروط تخمینہ کار کے لمحات کا حساب لگا کر سیدھے انداز میں اخذ کیا جا سکتا ہے۔ جب کچھ کوویریٹس اینڈوجینس ہوتے ہیں تاکہ آلہ ساز متغیرات کا تخمینہ لاگو کیا جائے، تو تخمینہ لگانے والے کے لمحات کے لیے سادہ تاثرات اس طرح حاصل نہیں کیے جا سکتے۔ عام طور پر، آلہ ساز متغیر تخمینہ کاروں کے پاس صرف مطلوبہ غیر علامتی ہوتے ہیں، نہ کہ محدود نمونے، خصوصیات، اور تخمینہ تخمینہ کے نمونے کی تقسیم کے غیر علامتی تخمینوں پر مبنی ہوتا ہے۔ یہاں تک کہ جب آلات کا دلچسپی کی مساوات میں غلطی سے کوئی تعلق نہ ہو اور جب آلات کمزور نہ ہوں، تب بھی آلہ ساز متغیر تخمینہ کار کی محدود نمونہ خصوصیات ناقص ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، بالکل شناخت شدہ ماڈل بغیر کسی لمحے کے محدود نمونہ تخمینہ کار تیار کرتے ہیں، لہذا تخمینہ کار کو نہ تو متعصبانہ اور نہ ہی غیر جانبدار کہا جا سکتا ہے، ٹیسٹ کے اعداد و شمار کا برائے نام سائز کافی حد تک مسخ ہو سکتا ہے، اور تخمینے عام طور پر پیرامیٹر کی حقیقی قیمت سے بہت دور ہو سکتے ہیں۔ اخراج کی پابندی کی جانچ یہ مفروضہ کہ آلات کا دلچسپی کی مساوات میں غلطی کی اصطلاح سے کوئی تعلق نہیں ہے، بالکل شناخت شدہ ماڈلز میں قابل جانچ نہیں ہے۔ اگر ماڈل کی حد سے زیادہ شناخت کی گئی ہے، تو ایسی معلومات دستیاب ہیں جو اس مفروضے کی جانچ کے لیے استعمال کی جا سکتی ہیں۔ ان حد سے زیادہ شناخت کرنے والی پابندیوں کا سب سے عام ٹیسٹ، جسے سارگن-ہینسن ٹیسٹ کہا جاتا ہے، اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ اگر آلات واقعی خارجی ہیں تو بقایا متغیرات کے سیٹ کے ساتھ غیر مربوط ہونا چاہئے۔ سرگن-ہینسن ٹیسٹ کے اعدادوشمار کا حساب بقیہ متغیرات کے سیٹ پر او ایل ایس رجعت سے (مشاہدات کی تعداد کو تعین کے گتانک سے ضرب) کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ یہ اعداد و شمار غیر علامتی طور پر ایم-کے ڈگری آف فریڈم کے ساتھ اس صفر کے تحت ہوں گے کہ غلطی کی اصطلاح آلات کے ساتھ غیر متعلقہ ہے۔ یہ بھی دیکھیں کنٹرول فنکشن (اکانومیٹرکس) بہترین آلات حوالہ جات مزید پڑھنا کتابچہ وولڈریج، جے۔ (1997): کواسی-لیکلی ہڈ میتھڈز فار کاؤنٹ ڈیٹا، ہینڈ بک آف اپلائیڈ اکانومیٹرکس، جلد 2، ایڈیشن۔ ایم۔ ایچ۔ پیسران اور پی۔ شمٹ، آکسفورڈ، بلیک ویل، پی۔ 352-406 Terza, J. V. (1998): "اینڈوجینس سوئچنگ کے ساتھ گنتی کے ماڈلز کا تخمینہ لگانا: نمونہ انتخاب اور اینڈوجینس علاج کے اثرات"۔ جرنل آف اکنامٹریکس (84)، پی پی۔ 129-154 وولڈریج، جے۔ (2002): "کراس سیکشن اور پینل ڈیٹا کا اکانومیٹرک تجزیہ"، ایم آئی ٹی پریس، کیمبرج، میساچوسٹس۔ بیرونی روابط ڈینیل میک فیڈن کی مارک تھوما کی نصابی کتاب کا باب۔ مارک تھوما رجعت تجزیہ بیک وقت مساوات کے طریقے (اکانومیٹرکس)