Pentadecagon
جیومیٹری میں، پینٹاڈیکگن یا پینٹاکائیڈیکگن یا 15-گون پندرہ رخا کثیر الاضحی ہوتا ہے۔ باقاعدہ پینٹا ڈیکگن ایک باقاعدہ پینٹا ڈیکگن کی نمائندگی شلافلی علامت {15} کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ایک باقاعدہ پینٹا ڈیکگن کے اندرونی زاویے 156° ہوتے ہیں، اور ایک طرف کی لمبائی a کے ساتھ، تعمیر کے ذریعہ دیا گیا رقبہ ہوتا ہے۔ جیسا کہ 15 = 3 × 5، الگ الگ فرمیٹ پرائمز کا ایک پروڈکٹ ہے، ایک باقاعدہ پینٹا ڈیکگن کمپاس اور سیدھے کنارے کا استعمال کرتے ہوئے تعمیر کیا جا سکتا ہے: دیئے گئے دائرے کے ساتھ باقاعدہ پینٹا ڈیکگنز کی درج ذیل تعمیرات یوکلڈ کے عناصر کی کتاب IV میں تجویز XVI کی مثال سے ملتی جلتی ہیں۔ اس تصویر میں یوکلڈ کے مطابق تعمیر کا موازنہ کریں: پینٹا ڈیکگن دیئے گئے دائرے کی تعمیر میں: مساوی مثلث کا ایک رخ ہے اور ایک باقاعدہ پینٹاگن کا ایک رخ ہے۔ نقطہ رداس کو سنہری تناسب میں تقسیم کرتا ہے: پہلی حرکت پذیری (سبز لکیروں کے ساتھ) کے مقابلے میں مندرجہ ذیل دو تصاویر میں دو سرکلر آرکس (زاویہ 36° اور 24° کے لیے) 90° گھڑی کی مخالف سمت میں دکھائے گئے ہیں۔ وہ حصے کا استعمال نہیں کرتے، بلکہ وہ دوسرے سرکلر آرک (زاویہ 36°) کے لیے حصے کو رداس کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔ ایک دی گئی طرف کی لمبائی کے لیے کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیر۔ تعمیر ایک دی گئی طرف پینٹاگون کے برابر ہے، پھر بھی پریزنٹیشن کو ایک طرف توسیع کے ذریعے کامیاب کیا جاتا ہے اور یہ ایک طبقہ پیدا کرتا ہے، جسے یہاں سنہری تناسب کے مطابق تقسیم کیا گیا ہے: سرکمریڈیئس سائیڈ لمبائی اینگل سمیٹری باقاعدہ پینٹاڈیکگن میں ڈیہ 15 ڈائیڈرل سمیٹری ہوتی ہے، آرڈر 30، جس کی نمائندگی عکاسی کی 15 لائنیں کرتی ہیں۔ دیہ 15 میں 3 ڈائی ہیڈرل ذیلی گروہ ہیں: دیہ 5، دیہ 3، اور دیہ 1۔ اور چار مزید چکور ہم آہنگی: Z15، Z5، Z3، اور Z1، جس میں Zn π/n ریڈیائی گردش ہم آہنگی کی نمائندگی کرتا ہے۔ پینٹا ڈیکگن پر، 8 الگ الگ ہم آہنگی ہیں۔ جان کونوے ان ہم آہنگی کو ایک حرف کے ساتھ لیبل کرتا ہے اور ہم آہنگی کی ترتیب خط کے بعد آتی ہے۔ وہ مکمل عکاسی سمیٹری کے لیے r30 دیتا ہے، ڈیہ 15۔ وہ چوٹیوں کے ذریعے عکاسی کی لکیروں کے ساتھ d (اخترن)، کناروں (عمودی) کے ذریعے عکاسی کی لکیروں کے ساتھ p، اور دونوں عمودی اور کناروں کے ذریعے آئینے کی لکیروں کے ساتھ عجیب رخا پینٹاڈیکگن i کے لیے، اور چکور ہم آہنگی کے لیے g دیتا ہے۔ a1 کوئی سمیٹری لیبل نہیں کرتا ہے۔ یہ کم ہم آہنگی بے قاعدہ پینٹاڈیکگنوں کی وضاحت میں ڈگری آف فریڈمز کی اجازت دیتی ہیں۔ صرف جی 15 ذیلی گروپ میں کوئی ڈگری آف فریڈم نہیں ہے لیکن اسے ہدایت شدہ کناروں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تین باقاعدہ ستارہ کثیر الاضلاعات ہیں: {15/2}، {15/4}، {15/7}، جو ایک باقاعدہ پینٹا ڈیکگن کے انہی 15 عمودی حصوں سے بنائے گئے ہیں، لیکن بالترتیب ہر سیکنڈ، چوتھے یا ساتویں عمودی حصے کو چھوڑ کر جڑے ہوئے ہیں۔ تین باقاعدہ ستاروں کے اعداد بھی ہیں: {15/3}، {15/5}، {15/6}، پہلا تین پینٹاگون کا مرکب ہے، دوسرا پانچ مساوی مثلث کا مرکب ہے، اور تیسرا تین پینٹاگرام کا مرکب ہے۔ مرکب شکل {15/3} کو آسانی سے پانچ ٹیٹراہیڈرا کے 3D مرکب کے دو جہتی مساوی کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ آئسوگنل پینٹاڈیکگنز باقاعدہ پینٹاڈیکگن اور پینٹاڈیکگرامز کی گہری تراشیں مساوی فاصلے والے عمودی اور دو کنارے کی لمبائی کے ساتھ آئسوگنل (ورٹیکس-ٹرانزیکٹو) انٹرمیڈیٹ اسٹار پولیگن کی شکلیں پیدا کر سکتی ہیں۔ پیٹری کثیر الاضحی کچھ اعلی جہتی کثیر الاضحی کے لیے باقاعدہ پینٹا ڈیکگن پیٹری کثیر الاضحی ہے، جو ایک سکیو آرتھوگنل پروجیکشن میں پیش کیا جاتا ہے: استعمال ایک باقاعدہ مثلث، ڈیکگن، اور پینٹا ڈیکگن ایک طیارہ کے سرے کو مکمل طور پر بھر سکتا ہے۔ تاہم، مثلث کے اطراف کی عجیب تعداد کی وجہ سے، اعداد مثلث کے ارد گرد تبدیل نہیں ہو سکتے، اس لیے ورٹیکس سیمی ریگولر ٹائلنگ پیدا نہیں کر سکتا۔ یہ بھی دیکھیں کہ دی گئی طرف کی لمبائی پر پینٹا ڈیکگن کی تعمیر، سرکمریڈیئس (جرمن) کا حساب دی گئی طرف کی لمبائی پر پینٹا ڈیکگن کی تعمیر، مثال: سرکمریڈیئس حوالہ جات بیرونی روابط اطراف کی تعداد کے لحاظ سے تعمیری کثیر الاضلاعات کثیر الاضلاعات