Schwinger function
کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، وائٹ مین کی تقسیم کو تجزیاتی طور پر یوکلڈین اسپیس میں تجزیاتی افعال تک جاری رکھا جا سکتا ہے جس میں ڈومین یوکلڈین اسپیس میں پوائنٹس کے ترتیب شدہ سیٹ تک محدود ہوتا ہے جس میں کوئی مطابقت پذیر پوائنٹس نہیں ہوتے ہیں۔ ان افعال کو شونگر افعال کہا جاتا ہے (جولین شونگر کے نام سے منسوب) اور وہ حقیقی تجزیاتی، دلائل کی ترتیب کے تحت ہم آہنگ (فرمیوونک فیلڈز کے لیے اینٹیسیمیٹرک)، یوکلڈین کوویرینٹ ہیں اور عکاسی کی مثبتیت کے نام سے جانے جانے والی خاصیت کو پورا کرتے ہیں۔ شونگر افعال کی خصوصیات کو اوسٹر والڈر-شریڈر محوریات کے نام سے جانا جاتا ہے (کونراڈ اوسٹر والڈر اور رابرٹ شریڈر کے نام سے منسوب)۔ شونگر افعال کو یوکلڈین ارتباط افعال بھی کہا جاتا ہے۔ یہاں ہم ہرمیٹین اسکیلر فیلڈ کے یوکلیڈین کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لیے اوسٹر والڈر-شریڈر (او ایس) محوروں کو بیان کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ ایک عام کوانٹم فیلڈ تھیوری میں لامحدود طور پر بہت سے مقامی آپریٹرز شامل ہوں گے، جن میں جامع آپریٹرز بھی شامل ہیں، اور ان کے ارتباط کاروں کو بھی ذیل میں بیان کردہ او ایس محوروں کو پورا کرنا چاہیے۔ شونگر کے افعال کو او ایس محوریوں کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے جن کی تعداد (E0)-(E4) ہے اور ان کے درج ذیل معنی ہیں: (E0) مزاج (E1) یوکلڈین کوویرینس (E2) مثبتیت (E3) ہم آہنگی (E4) کلسٹر پراپرٹی درجہ حرارت درجہ حرارت محوری (E0) کا کہنا ہے کہ شونگر کے افعال اتفاقیہ نکات سے دور مزاج کی تقسیم ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ انہیں شوارٹز ٹیسٹ فنکشنز کے خلاف مربوط کیا جا سکتا ہے جو ان کے تمام مشتقات کے ساتھ ان ترتیبات پر غائب ہو جاتے ہیں جہاں دو یا زیادہ پوائنٹس موافق ہوتے ہیں۔ یہ اس محوری اور دیگر او ایس محوریوں سے دکھایا جا سکتا ہے (لیکن لکیری نمو کی حالت نہیں) کہ شونگر افعال حقیقت میں اتفاق کے نکات سے دور حقیقی تجزیاتی ہیں۔ یوکلیڈین کوویرینس یوکلیڈین کوویرینس محور (E1) کا کہنا ہے کہ شونگر افعال گردشوں اور ترجموں کے تحت متغیر طور پر تبدیل ہوتے ہیں، یعنی: ایک صوابدیدی گردش میٹرکس اور ایک صوابدیدی ترجمہ ویکٹر کے لیے۔ گردش گروپ کی صوابدیدی نمائندگی میں تبدیل ہونے والے شعبوں کے شونگر افعال کے لیے او ایس محوریات وضع کیے جا سکتے ہیں۔ سمیٹری سمیٹری محور (E3) کا کہنا ہے کہ شونگر فنکشن پوائنٹس کی ترتیب کے تحت غیر متغیر ہیں:، جہاں کی صوابدیدی ترتیب ہے۔ فرمیوونک فیلڈز کے شونگر فنکشن اس کے بجائے اینٹیسیمیٹرک ہوتے ہیں۔ ان کے لیے اس مساوات میں ± کا نشان ہوگا جو تعدد کے دستخط کے برابر ہوگا۔ کلسٹر پراپرٹی کلسٹر پراپرٹی (E4) کا کہنا ہے کہ اگر پوائنٹس کے دو گروپوں کو ایک بڑے مستقل ترجمہ کے ذریعے ایک دوسرے سے الگ کیا جائے تو شونگر فنکشن پروڈکٹ میں کم ہو جاتا ہے۔ حد کو تقسیم کے معنی میں سمجھا جاتا ہے۔ ایک تکنیکی مفروضہ یہ بھی ہے کہ پوائنٹس کے دو گروپ ہائپرپلین کے دونوں اطراف ہوتے ہیں، جبکہ ویکٹر اس کے متوازی ہوتا ہے: ریفلیکشن پوزیٹیویٹی پوزیٹیویٹی محور (E2) درج ذیل خاصیت پر زور دیتا ہے جسے (اوسٹر والڈر-شریڈر) ریفلیکشن پوزیٹیویٹی کہا جاتا ہے۔ کسی بھی صوابدیدی کوآرڈینیٹ τ کو منتخب کریں اور این پوائنٹس کے ساتھ ایک ٹیسٹ فنکشن fN کو اس کے دلائل کے طور پر منتخب کریں۔ فرض کریں کہ 0 <τ1 <. <τN کے ساتھ N پوائنٹس کے "ٹائم آرڈرڈ" سب سیٹ میں fN کی حمایت ہے۔ ہر مثبت N کے لیے ایسا ہی ایک fN منتخب کریں، جس میں کسی عدد M سے بڑے تمام N کے لیے f کا صفر ہونا۔ ایک نقطہ کو دیکھتے ہوئے، τ = 0 ہائپرپلین کے بارے میں عکاسی شدہ نقطہ ہونے دیں۔ پھر، جہاں * پیچیدہ کنجگیشن کی نمائندگی کرتا ہے۔ بعض اوقات نظریاتی طبیعیات کے ادب میں عکاسی کی مثبتیت کو اس ضرورت کے طور پر بیان کیا جاتا ہے کہ اگر ہائپرپلین کے حوالے سے پوائنٹس کو متناسب طور پر داخل کیا جائے تو من مانی یکساں ترتیب کا شونگر فنکشن غیر منفی ہونا چاہیے۔ یہ خاصیت درحقیقت عکاسی کی مثبتیت سے ملتی ہے لیکن یہ مکمل عکاسی کی مثبتیت سے کمزور ہے۔ بدیہی تفہیم (رسمی طور پر) شونگر افعال کی تعمیر کا ایک طریقہ جو مندرجہ بالا خصوصیات کو پورا کرتا ہے وہ یوکلیڈین پاتھ انٹیگرل کے ذریعے ہے۔ خاص طور پر، یوکلڈین پاتھ انٹیگرلز (رسمی طور پر) عکاسی کی مثبتیت کو مطمئن کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ F فیلڈ φ کا کوئی بھی کثیر الجہتی فنکشنل ہے جو صرف ان نکات x کے لیے φ (x) کی قدر پر منحصر ہے جن کے τ نقاط غیر منفی ہیں۔ پھر چونکہ عمل S حقیقی ہے اور اسے اس میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جو صرف مثبت نصف جگہ () پر φ پر منحصر ہے، اور جو صرف منفی نصف جگہ () پر φ پر منحصر ہے، اور اگر S بھی تمام شعبوں کو یکجا کرنے والے عکاسی اور پیچیدہ عمل کے مشترکہ عمل کے تحت غیر متغیر ہوتا ہے، تو پچھلی مقدار غیر منفی ہونی چاہیے۔ اوسٹر والڈر-شریڈر تھیوریم۔ اوسٹر والڈر-شریڈر تھیوریم بیان کرتا ہے کہ یوکلیڈین شونگر افعال جو مذکورہ بالا محوریات (E0)-(E4) کو مطمئن کرتے ہیں اور ایک اضافی خاصیت (E0 ') جسے لکیری گروتھ کنڈیشن کہا جاتا ہے، کو تجزیاتی طور پر لورینٹزیئن وائٹ مین کی تقسیم تک جاری رکھا جا سکتا ہے جو وائٹ مین کے محوریات کو مطمئن کرتے ہیں اور اس طرح کوانٹم فیلڈ تھیوری کی وضاحت کرتے ہیں۔ لکیری نمو کی حالت یہ حالت، جسے (E0 ') in کہا جاتا ہے، اس بات پر زور دیتی ہے کہ جب ترتیب کے شونگر فنکشن کو ایک صوابدیدی شوارٹز ٹیسٹ فنکشن کے ساتھ جوڑا جاتا ہے جو اتفاق کے مقامات پر غائب ہو جاتا ہے، تو ہمارے پاس درج ذیل باؤنڈ ہوتا ہے: جہاں ایک انٹیجر مستقل ہے، ترتیب کا شوارٹز-اسپیس سیمی نارم ہے، یعنی۔ اور فیکٹوریئل گروتھ کے مستقلات کا ایک سلسلہ، یعنی کچھ مستقلات کے ساتھ۔ لکیری نمو کی حالت باریک ہوتی ہے کیونکہ اسے بیک وقت تمام شونگر افعال کے لیے مطمئن ہونا پڑتا ہے۔ یہ ویٹ مین محوریات سے بھی اخذ نہیں کیا گیا ہے، لہذا او ایس محوریات (E0)-(E4) کے علاوہ لکیری گروتھ کنڈیشن (E0 ') کا نظام ویٹ مین محوریات سے زیادہ مضبوط معلوم ہوتا ہے۔ سب سے پہلے، اوسٹر والڈر اور شریڈر نے ایک مضبوط نظریہ کا دعوی کیا کہ محوریات (E0)-(E4) خود سے وائٹ مین محوریات کا اشارہ کرتے ہیں، تاہم ان کے ثبوت میں ایک غلطی موجود ہے جسے اضافی مفروضوں کو شامل کیے بغیر درست نہیں کیا جا سکتا۔ دو سال بعد انہوں نے ایک نیا نظریہ شائع کیا، جس میں لکیری گروتھ کنڈیشن کو ایک مفروضہ اور درست ثبوت کے طور پر شامل کیا گیا۔ نیا ثبوت ایک پیچیدہ تعمیری دلیل (ولادیمیر گلیزر کی طرف سے بھی تجویز کردہ) پر مبنی ہے، جس کے ذریعے شونگر افعال کی تجزیات کے علاقے کو آہستہ آہستہ منکووسکی جگہ کی طرف بڑھایا جاتا ہے، اور وائٹ مین کی تقسیم کو ایک حد کے طور پر بازیافت کیا جاتا ہے۔ لکیری گروتھ کنڈیشن (E0 ') کو یہ ظاہر کرنے کے لیے اہم طور پر استعمال کیا جاتا ہے کہ حد موجود ہے اور یہ ایک معتدل تقسیم ہے۔ اوسٹر والڈر اور شریڈر کے مقالے میں ایک اور نظریہ بھی شامل ہے جو (E0 ') کی جگہ ایک اور مفروضہ ہے جسے کہا جاتا ہے۔ یہ دوسرا نظریہ شاذ و نادر ہی استعمال ہوتا ہے، کیونکہ عملی طور پر اس کی جانچ کرنا مشکل ہے۔ شونگر افعال کے دیگر محوریات محوریات بذریعہ گلیم اور جیف یوکلڈین ارتباط کے محوریات کے لیے ایک متبادل نقطہ نظر کو گلیم اور جیف نے اپنی کتاب میں بیان کیا ہے۔ اس نقطہ نظر میں یہ فرض کیا جاتا ہے کہ تقسیم کی جگہ پر ایک پیمائش دی جاتی ہے۔ اس کے بعد ایک جنریٹنگ فنکشنل پر غور کیا جاتا ہے جس کے بارے میں فرض کیا جاتا ہے کہ وہ او ایس 0-او ایس 4: (او ایس 0) تجزیاتی خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔ یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ کمپیکٹلی سپورٹڈ ٹیسٹ افعال کے کسی بھی مجموعہ کے لیے یہ ایک مکمل تجزیاتی فنکشن ہے۔ بدیہی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ پیمائش کسی بھی ایکسپونینشل سے زیادہ تیزی سے ختم ہوتی ہے۔ (او ایس 1) باقاعدگی۔ یہ اس طرح کے لحاظ سے پابند ترقی کا مطالبہ کرتا ہے۔ درست حالت کے لیے دیکھیں۔ (او ایس 2) یوکلڈین انواریینس۔ یہ کہتا ہے کہ یوکلڈین تبدیلیوں کے تحت فنکشنل غیر متغیر ہے۔ (او ایس 3) عکاسی مثبت۔ ٹیسٹ فنکشنز کی ایک محدود ترتیب لیں جو سب اوپری نصف جگہ یعنی سپورٹ ہیں۔ پر۔ اس بات کی نشاندہی کریں کہ اوپر بیان کردہ ریفلیکشن آپریشن کہاں ہے۔ یہ محوریات کہتے ہیں کہ میٹرکس کو مثبت سیمیڈفائنٹ ہونا چاہیے۔ (او ایس 4) ایرگوڈیسیٹی۔ ٹائم ٹرانسلیشن سیمی گروپ پیمائش کی جگہ پر ایرگوڈیکل طور پر کام کرتا ہے۔ درست حالت کے لیے دیکھیں۔ اگرچہ مذکورہ بالا محوریات کا نام گلیم اور جیف (او ایس 0)-(او ایس 4) نے اوسٹر والڈر اور شریڈر کے اعزاز میں رکھا تھا، لیکن وہ اوسٹر والڈر-شریڈر محوریات کے مساوی نہیں ہیں۔ دی گئی (او ایس 0)-(او ایس 4)، کوئی بھی شونگر افعال کو پیمائش کے لمحات کے طور پر بیان کر سکتا ہے، اور یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ لمحات اوسٹر والڈر-شریڈر محور (ای 0)-(ای 4) اور لکیری نمو کے حالات (ای 0 ') کو بھی مطمئن کرتے ہیں۔ اس کے بعد کوئی بھی آسٹر والڈر-شریڈر تھیوریم سے اپیل کر سکتا ہے کہ یہ ظاہر کیا جائے کہ وائٹ مین کے افعال معتدل تقسیم ہیں۔ متبادل طور پر، اور بہت آسان، کوئی بھی براہ راست (او ایس 0)-(او ایس 4) سے وائٹ مین محوریات حاصل کر سکتا ہے۔ تاہم نوٹ کریں کہ مکمل کوانٹم فیلڈ تھیوری میں لامحدود طور پر بہت سے دوسرے مقامی آپریٹرز شامل ہوں گے، جیسے کہ، اور اس کے مشتقات سے بنے دیگر جامع آپریٹرز۔ پیمائش سے ان شونگر افعال کو نکالنا اور یہ ظاہر کرنا آسان نہیں ہے کہ وہ OS محوریات کو مطمئن کرتے ہیں، جیسا کہ ہونا چاہیے۔ خلاصہ یہ ہے کہ گلیم اور جیف کے ذریعے (او ایس 0)-(او ایس 4) کہلانے والے محوریات او ایس محوریوں سے زیادہ مضبوط ہیں جہاں تک فیلڈ کے ارتباط کا تعلق ہے، لیکن او ایس محوریوں کے مکمل سیٹ سے کمزور ہیں کیونکہ وہ جامع آپریٹرز کے ارتباط کے بارے میں زیادہ کچھ نہیں کہتے ہیں۔ نیلسن کے محوریات یہ محوریات ایڈورڈ نیلسن نے تجویز کیے تھے۔ بیری سائمن کی کتاب میں ان کی تفصیل بھی دیکھیں۔ جیسا کہ گلیم اور جیف کے ذریعہ مذکورہ بالا محوریات میں، کوئی یہ فرض کرتا ہے کہ فیلڈ ایک پیمائش کے ساتھ بے ترتیب تقسیم ہے۔ یہ پیمائش کافی حد تک باقاعدہ ہے تاکہ میدان میں منفی مشتق ترتیب کی سوبولیو جگہ کی باقاعدگی ہو۔ ان محوریوں کی اہم خصوصیت یہ ہے کہ کسی سطح تک محدود میدان پر غور کیا جائے۔ محوریوں میں سے ایک مارکوف پراپرٹی ہے، جو اس بدیہی تصور کو باقاعدہ بناتا ہے کہ بند سطح کے اندر میدان کی حالت صرف سطح پر میدان کی حالت پر منحصر ہوتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ وک گردش محوری کوانٹم فیلڈ تھیوری وائٹ مین محوری حوالہ جات محوری کوانٹم فیلڈ تھیوری