Jellium
جیلیم، جسے یکساں الیکٹران گیس (UEG) یا یکساں الیکٹران گیس (HEG) بھی کہا جاتا ہے، کسی ٹھوس میں تعامل کرنے والے الیکٹرانوں کا ایک کوانٹم مکینیکل ماڈل ہے جہاں مثبت چارجز (یعنی۔ جوہری مرکزے) کو خلا میں یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ الیکٹران کی کثافت خلا میں بھی یکساں مقدار ہے۔ یہ ماڈل کسی کو ٹھوس مادوں میں ہونے والے اثرات پر توجہ مرکوز کرنے کی اجازت دیتا ہے جو الیکٹرانوں کی کوانٹم نوعیت اور ان کے باہمی پسپا تعاملات (لائک چارج کی وجہ سے) کی وجہ سے ہوتے ہیں بغیر جوہری جالی کے واضح تعارف اور ایک حقیقی مواد بنانے والی ساخت کے۔ جیلیم کو اکثر ٹھوس حالت کی طبیعیات میں دھات میں ڈیلوکلائزڈ الیکٹرانوں کے ایک سادہ ماڈل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، جہاں یہ حقیقی دھاتوں کی خصوصیات جیسے اسکریننگ، پلازمونز، وگنر کرسٹلائزیشن اور فریڈل ارتعاش کو کوالٹی طور پر دوبارہ پیش کر سکتا ہے۔ صفر درجہ حرارت پر، جیلیم کی خصوصیات کا انحصار صرف مستقل الیکٹرانک کثافت پر ہوتا ہے۔ یہ خاصیت اسے ڈینسٹی فنکشنل تھیوری کے اندر علاج کے لیے فراہم کرتی ہے۔ فارملزم خود ایکسچینج-کوریلیشن انرجی ڈینسٹی فنکشنل کے لیے مقامی کثافت کے تخمینے کی بنیاد فراہم کرتا ہے۔ جیلیم کی اصطلاح 1952 میں کونئرز ہیرنگ نے "مثبت جیلی" کے پس منظر اور اس کے عام دھاتی رویے کی طرف اشارہ کرتے ہوئے تیار کی تھی۔ ہیملٹنین جیلیم ماڈل الیکٹران الیکٹران جوڑے کا سختی سے علاج کرتا ہے۔ مصنوعی اور بے ساخت پس منظر چارج خود اور الیکٹرانوں کے ساتھ برقی طور پر تعامل کرتا ہے۔ N الیکٹرانوں کے لیے جیلیم ہیملٹنین خلا ω کے حجم کے اندر محدود ہے، اور الیکٹرانک کثافت ρ (r) اور (مستقل) پس منظر چارج کثافت n (R) = N/ω کے ساتھ جہاں ہیل الیکٹرانک ہیملٹنین ہے جو حرکی اور الیکٹران الیکٹران پسپائی کی اصطلاحات پر مشتمل ہے: H بیک مثبت پس منظر چارج کا ہیملٹنین ہے جو برقی طور پر اپنے ساتھ تعامل کرتا ہے: ہیل بیک الیکٹران بیک گراؤنڈ تعامل ہیملٹنین ہے، پھر ایک برقی تعامل: H بیک ایک مستقل ہے اور، لامحدود حجم کی حد میں، ہیل بیک کے ساتھ متفرق ہے۔ انحراف کو الیکٹران-الیکٹران جوڑے سے ایک اصطلاح کے ذریعے منسوخ کیا جاتا ہے: پس منظر کی تعاملات منسوخ ہو جاتی ہیں اور نظام پر حرکی توانائی اور الیکٹرانوں کے جوڑے کا غلبہ ہوتا ہے۔ اس طرح کا تجزیہ فورئیر اسپیس میں کیا جاتا ہے ؛ ہیملٹنین کی تعامل کی اصطلاحات جو الیکٹران جوڑے کی فورئیر توسیع سے مطابقت رکھتی ہیں جس کے لیے q  ऒत्त 0 ہے۔ کل توانائی میں شراکت الیکٹران گیس کا مطالعہ کرنے کا روایتی طریقہ غیر تعامل کرنے والے الیکٹرانوں سے شروع کرنا ہے جو صرف ہیملٹنین کے حرکی توانائی کے حصے سے چلتے ہیں، جسے فرمی گیس بھی کہا جاتا ہے۔ فی الیکٹران حرکی توانایٔی اس طرح دی جاتی ہے کہ فرمی توانایٔی کہاں ہے، فرمی لہر ویکٹر ہے، اور آخری اظہار وگنر سیٹز رداس پر انحصار کو ظاہر کرتا ہے جہاں توانایٔی کو رائیڈبرگز میں ماپا جاتا ہے۔ زیادہ کام کیے بغیر، کوئی اندازہ لگا سکتا ہے کہ الیکٹران-الیکٹران تعاملات اوسط الیکٹران-الیکٹران علیحدگی کے الٹا پیمانے پر ہوں گے اور اس لیے (چونکہ کولمب تعامل چارجز کے درمیان فاصلے پر ایک کی طرح جاتا ہے) تاکہ اگر ہم تعاملات کو حرکی توانائی کی ایک چھوٹی سی اصلاح کے طور پر دیکھیں تو ہم چھوٹے کی حد (یعنی۔ ) سے بڑا ہونا اور اس وجہ سے الیکٹران کی کثافت زیادہ ہونا۔ بدقسمتی سے، حقیقی دھاتیں عام طور پر 2 سے 5 کے درمیان ہوتی ہیں جس کا مطلب ہے کہ اس تصویر پر سنجیدگی سے نظر ثانی کی ضرورت ہے۔ جیلیم کے لیے آزاد الیکٹران ماڈل کی پہلی اصلاح الیکٹران الیکٹران تعاملات میں فوک تبادلے کی شراکت سے ہے۔ اس میں اضافہ کرتے ہوئے، کسی کی کل توانائی ہوتی ہے جہاں منفی اصطلاح تبادلے کی وجہ سے ہوتی ہے: تبادلے کے تعاملات کل توانائی کو کم کرتے ہیں۔ کل توانائی میں اعلی ترتیب کی اصلاحات الیکٹران ارتباط کی وجہ سے ہوتی ہیں اور اگر کوئی چھوٹے کے لیے ایک سیریز میں کام کرنے کا فیصلہ کرتا ہے، تو پتہ چلتا ہے کہ اصل دھاتوں میں پائی جانے والی اقدار کے لیے سیریز چھوٹی لیکن مشکوک قیمت کے لیے کافی درست ہے۔ کی مکمل رینج کے لیے، چاچیو کی ارتباط توانائی کی کثافت کو اعلی ترتیب کی اصلاح کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس معاملے میں، جو کوانٹم مونٹی کارلو تخروپن کے ساتھ کافی اچھی طرح سے (ملی ہارٹری کی ترتیب پر) متفق ہے۔ تین اور دو جہتوں میں جیلیم کا صفر درجہ حرارت کے مرحلے کا خاکہ جیلیم کے صفر درجہ حرارت کے مرحلے کے رویے کی طبیعیات الیکٹرانوں کی حرکی توانائی اور الیکٹران الیکٹران تعامل توانائی کے درمیان مقابلے سے کارفرما ہے۔ ہیملٹنین پیمانے میں حرکی توانائی آپریٹر کے طور پر، جہاں وگنر سیٹز رداس ہے، جبکہ تعامل توانائی آپریٹر پیمانے کے طور پر ہے۔ لہذا حرکی توانایٔی زیادہ کثافت (چھوٹی) پر غالب ہوتی ہے، جبکہ تعامل توانایٔی کم کثافت (بڑی) پر غالب ہوتی ہے۔ زیادہ کثافت کی حد وہ ہے جہاں جیلیم زیادہ تر غیر تعامل کرنے والی آزاد الیکٹران گیس سے مشابہت رکھتا ہے۔ حرکی توانایٔی کو کم سے کم کرنے کے لیے، واحد الیکٹران حالتوں کو غیر مقامی بنایا جاتا ہے، ایسی حالت میں جو طیارہ لہروں سے بنے سلیٹر ڈیٹرمیننٹ (غیر تعامل حالت) کے بہت قریب ہو۔ یہاں سب سے کم مومنٹم طیارہ لہر کی حالتوں پر دوگنا اسپن اپ اور اسپن ڈاؤن الیکٹرانوں کا قبضہ ہوتا ہے، جس سے پیرا مقناطیسی فرمی سیال ملتا ہے۔ کم کثافتوں پر، جہاں تعامل کی توانائی زیادہ اہم ہوتی ہے، الیکٹران گیس کے لیے پولرائز کرنا توانائی کے لحاظ سے فائدہ مند ہوتا ہے (یعنی، اسپن اپ اور اسپن ڈاؤن الیکٹرانوں کی تعداد میں عدم توازن ہونا)، جس کے نتیجے میں فیرومیگنیٹک فرمی سیال پیدا ہوتا ہے۔ اس رجحان کو سفر کرنے والے فیرومیگنیٹزم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کافی کم کثافت پر، اعلی مومنٹم طیارہ لہر کی حالتوں پر قبضہ کرنے کی ضرورت کے نتیجے میں متحرک توانائی کا جرمانہ تعامل توانائی میں کمی کی وجہ سے اس حقیقت کی وجہ سے زیادہ ہے کہ تبادلے کے اثرات ناقابل شناخت الیکٹرانوں کو ایک دوسرے سے دور رکھتے ہیں۔ تعامل توانائی میں مزید کمی (حرکی توانائی کی قیمت پر) الیکٹران آربیٹلز کو مقامی بنا کر حاصل کی جا سکتی ہے۔ نتیجے کے طور پر، کافی کم کثافت پر صفر درجہ حرارت پر جیلیم ایک نام نہاد وگنر کرسٹل بنائے گا، جس میں واحد ذرہ مدار تقریبا گاؤسی شکل کے ہوتے ہیں جو کرسٹل جالی کے مقامات پر مرکوز ہوتے ہیں۔ ایک بار جب وگنر کرسٹل بن جاتا ہے، تو بنیادی طور پر مختلف کرسٹل ڈھانچوں کے درمیان اور وگنر کرسٹل کے لیے مختلف مقناطیسی حالتوں کے درمیان مزید مرحلے کی منتقلی ہو سکتی ہے (مثال کے طور پر، اینٹیفیرومیگنیٹک سے فیرومیگنیٹک اسپن کنفیگریشن) کیونکہ کثافت کم ہو جاتی ہے۔ جب وگنر کرسٹلائزیشن ہوتی ہے تو جیلیم بینڈ گیپ حاصل کرتا ہے۔ ہارٹری فوک تھیوری کے اندر، تین جہتوں (3D) اور دو جہتوں (2D) میں کثافت کے پیرامیٹر پر فیرومیگنیٹک سیال اچانک پیرا مقناطیسی سیال سے زیادہ مستحکم ہو جاتا ہے۔ تاہم، ہارٹری فوک تھیوری کے مطابق، وگنر کرسٹلائزیشن 3 ڈی اور 2 ڈی میں ہوتی ہے، تاکہ جیلیم اس سے پہلے کرسٹلائز ہو جائے کہ اس سے پہلے کہ سفر کرنے والا فیرومیگنیٹزم واقع ہو۔ مزید برآں، ہارٹری فوک تھیوری غیر ملکی مقناطیسی رویے کی پیش گوئی کرتی ہے، جس میں پیرا مقناطیسی سیال سرپل اسپن کثافت لہر کی تشکیل کے لیے غیر مستحکم ہوتا ہے۔ بدقسمتی سے، ہارٹری فوک تھیوری میں ارتباط کے اثرات کی کوئی تفصیل شامل نہیں ہے، جو توانائی کے لحاظ سے بالکل بھی اہم ہیں لیکن بہت زیادہ کثافت ہیں، اور اس لیے جیلیم کے مرحلے کے خاکے کے بارے میں مقداری بیانات دینے کے لیے نظریہ کی زیادہ درست سطح کی ضرورت ہے۔ کوانٹم مونٹی کارلو (کیو ایم سی) طریقے، جو الیکٹران ارتباط کے اثرات کا واضح علاج فراہم کرتے ہیں، عام طور پر جیلیم کے صفر درجہ حرارت کے مرحلے کے خاکہ کے تعین کے لیے انتہائی درست مقداری نقطہ نظر فراہم کرنے پر متفق ہیں۔ ڈفیوژن مونٹی کارلو طریقہ کار کا پہلا اطلاق سیپرلی اور ایلڈر کا تھری ڈی جیلیم کے صفر درجہ حرارت کے مرحلے کے خاکے کا مشہور 1980 کا حساب تھا۔ انہوں نے پیرامیگنیٹک-فیرومیگنیٹک سیال کی منتقلی کا حساب لگایا اور وگنر کرسٹلائزیشن (جسم پر مرکوز کیوبک کرسٹل میں) کا حساب لگایا۔ اس کے بعد کے کیو ایم سی حسابات نے ان کے مرحلے کے خاکے کو بہتر بنایا ہے: ایک پیرا مقناطیسی سیال کی حالت سے جزوی طور پر گھماؤ دار قطبی سیال میں دوسرے درجے کی منتقلی ہوتی ہے۔ اور وگنر کرسٹلائزیشن یہاں ہوتی ہے۔ 2 ڈی میں، کیو ایم سی کے حساب سے پتہ چلتا ہے کہ پیرا مقناطیسی سیال سے فیرومیگنیٹک سیال کی منتقلی اور وگنر کرسٹلائزیشن اسی طرح کے کثافت کے پیرامیٹرز پر ہوتی ہے۔ کیو ایم سی کے حالیہ حسابات سے پتہ چلتا ہے کہ فیرومیگنیٹک سیال کے لیے استحکام کا کوئی خطہ نہیں ہے۔ اس کے بجائے ایک پیرا مقناطیسی سیال سے ایک ہیکساگونل وگنر کرسٹل میں منتقلی ہوتی ہے۔ فیرومیگنیٹک کرسٹل میں مزید منتقلی سے پہلے ممکنہ طور پر (مایوس) اینٹیفیرومیگنیٹک وگنر کرسٹل کے لیے استحکام کا ایک چھوٹا سا علاقہ ہے۔ 2 ڈی میں کرسٹلائزیشن کی منتقلی فرسٹ آرڈر نہیں ہے، اس لیے سیال سے کرسٹل میں منتقلی کا ایک مسلسل سلسلہ ہونا چاہیے، جس میں شاید دھاری دار کرسٹل/سیال مراحل شامل ہوں۔ GaAs/AlGaAs ہیٹرو اسٹرکچر میں 2D ہول گیس کے تجرباتی نتائج (جو، صاف ہونے کے باوجود، مثالی جیلیم ماڈل سے بالکل مطابقت نہیں رکھتے ہیں) کی وگنر کرسٹلائزیشن کثافت کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ایپلی کیشنز جیلیم انٹرایکٹنگ الیکٹرانوں کا سب سے آسان نمونہ ہے۔ یہ دھاتوں کی خصوصیات کے حساب میں استعمال ہوتا ہے، جہاں بنیادی الیکٹرانوں اور مرکزوں کو یکساں مثبت پس منظر کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے اور ویلینس الیکٹرانوں کو مکمل سختی کے ساتھ علاج کیا جاتا ہے۔ نیم لامحدود جیلیم سلیب کا استعمال سطح کی خصوصیات جیسے ورک فنکشن اور سطح کے اثرات جیسے ایڈسورپشن کی تحقیقات کے لیے کیا جاتا ہے۔ قریب کی سطحوں پر الیکٹرانک کثافت ارتعاشی انداز میں مختلف ہوتی ہے، جو بلک میں مستقل قدر تک گھٹ جاتی ہے۔ کثافت فنکشنل تھیوری کے اندر، جیلیم کو مقامی کثافت کے تخمینے کی تعمیر میں استعمال کیا جاتا ہے، جو بدلے میں زیادہ نفیس تبادلے-ارتباط توانائی کے افعال کا ایک جزو ہے۔ جیلیم کے کوانٹم مونٹی کارلو حسابات سے، الیکٹرانک کثافت کی کئی اقدار کے لیے ارتباط توانائی کی کثافت کی درست اقدار حاصل کی گئی ہیں، جنہیں نیم تجرباتی ارتباط افعال کی تعمیر کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ جیلیم ماڈل کا اطلاق سپر ایٹموں، دھاتی کلسٹروں، آکٹاکاربونیل کمپلیکس پر کیا گیا ہے، اور جوہری طبیعیات میں استعمال ہوتا ہے۔ فری الیکٹران ماڈل بھی دیکھیں-ایک ماڈل الیکٹران گیس جہاں الیکٹران کسی چیز کے ساتھ تعامل نہیں کرتے ہیں۔ تقریبا آزاد الیکٹران ماڈل-ایک ماڈل الیکٹران گیس جہاں الیکٹران ایک دوسرے کے ساتھ تعامل نہیں کرتے ہیں، لیکن جوہری جالی سے (کمزور) صلاحیت محسوس کرتے ہیں۔ کنڈینسڈ میٹر فزکس کثافت فنکشنل تھیوری نیوکلیئر فزکس