Local boundedness
ریاضی میں، ایک فنکشن مقامی طور پر پابند ہوتا ہے اگر وہ ہر نقطہ کے ارد گرد پابند ہو۔ افعال کا ایک خاندان مقامی طور پر پابند ہوتا ہے اگر ان کے ڈومین میں کسی بھی نقطہ کے لیے تمام افعال اس نقطہ کے ارد گرد اور ایک ہی نمبر سے پابند ہوں۔ مقامی طور پر باؤنڈ فنکشن کسی ٹپوولوجیکل اسپیس پر بیان کردہ ایک حقیقی قدر یا پیچیدہ قدر والے فنکشن کو a کہا جاتا ہے اگر کسی کے لیے اس طرح کا کوئی پڑوس موجود ہے جو ایک باؤنڈ سیٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہر ایک کے لیے ایک مستقل تلاش کیا جا سکتا ہے، اس پر منحصر ہے کہ کون سا پڑوس میں فنکشن کی تمام اقدار سے بڑا ہے، اس کا موازنہ باؤنڈ فنکشن سے کریں، جس کے لیے مستقل انحصار نہیں کرتا ہے۔ ظاہر ہے، اگر کوئی فنکشن باؤنڈ ہے تو وہ مقامی طور پر باؤنڈ ہے۔ اس کے برعکس عام طور پر درست نہیں ہے (نیچے دیکھیں)۔ اس تعریف کو اس معاملے تک بڑھایا جا سکتا ہے جب کچھ میٹرک جگہ میں اقدار لی جاتی ہیں تو پھر اوپر کی عدم مساوات کو میٹرک جگہ میں کچھ نقطہ کہاں ہے اس سے تبدیل کرنے کی ضرورت ہے۔ کا انتخاب تعریف کو متاثر نہیں کرتا ؛ ایک مختلف مرضی کا انتخاب زیادہ سے زیادہ اس مستقل میں اضافہ کرتا ہے جس کے لیے یہ عدم مساوات درست ہے۔ مثال کے طور پر جس فنکشن کے ذریعے بیان کیا گیا ہے وہ باؤنڈ ہے، کیونکہ سب کے لیے، یہ مقامی طور پر بھی باؤنڈ ہے۔ کے ذریعے بیان کردہ فنکشن باؤنڈ ہے، کیونکہ یہ من مانی طور پر بڑا ہو جاتا ہے۔ تاہم، یہ مقامی طور پر پابند ہے کیونکہ پڑوس میں ہر ایک کے لیے جہاں سے بیان کردہ فنکشن نہ تو مقامی طور پر پابند ہے۔ 0 کے کسی بھی پڑوس میں یہ فنکشن من مانی طور پر بڑی شدت کی اقدار لیتا ہے۔ کوئی بھی مسلسل فنکشن مقامی طور پر پابند ہوتا ہے۔ یہاں ایک حقیقی متغیر کے افعال کا ثبوت ہے۔ جہاں ہم دکھائیں گے کہ مقامی طور پر پابند ہے۔ تسلسل کی تعریف میں ε = 1 لیتے ہوئے، ایسا موجود ہے کہ سب کے ساتھ۔ اب مثلث کی عدم مساوات سے، جس کا مطلب ہے کہ مقامی طور پر پابند ہے (لینا اور پڑوس)۔ یہ دلیل آسانی سے اس وقت تک عام ہو جاتی ہے جب ڈومین کسی بھی ٹپوولوجیکل اسپیس کا ہو۔ تاہم، مندرجہ بالا نتیجہ کا الٹا درست نہیں ہے ؛ یعنی، ایک متضاد فنکشن مقامی طور پر پابند ہو سکتا ہے۔ اس کے بعد 0 پر منقطع ہے لیکن مقامی طور پر پابند ہے۔ یہ صفر کے علاوہ مقامی طور پر مستقل ہے، جہاں ہم لے سکتے ہیں اور مثال کے طور پر پڑوس۔ مقامی طور پر پابند خاندان کسی ٹپوولوجیکل جگہ پر بیان کردہ حقیقی قدر یا پیچیدہ قدر والے افعال کے ایک سیٹ (جسے فیملی بھی کہا جاتا ہے) U کو مقامی طور پر پابند کہا جاتا ہے اگر کسی کے لیے ایک پڑوس اور ایک مثبت نمبر موجود ہو تاکہ سب کے لیے اور دوسرے الفاظ میں، خاندان کے تمام افعال کو مقامی طور پر پابند ہونا چاہیے، اور ہر نقطہ کے ارد گرد انہیں ایک ہی مستقل سے پابند ہونے کی ضرورت ہے۔ اس تعریف کو اس صورت میں بھی بڑھایا جا سکتا ہے جب خاندان U میں افعال کچھ میٹرک جگہ میں اقدار لیتے ہیں، پھر سے مطلق قدر کو فاصلاتی فعل سے تبدیل کر کے۔ مثال افعال کا خاندان جہاں مقامی طور پر پابند ہے۔ درحقیقت، اگر کوئی حقیقی عدد ہے، تو کوئی پڑوس کو وقفہ کے طور پر منتخب کر سکتا ہے۔ پھر اس وقفے میں سب کے لیے اور سب کے پاس ہے۔ مزید برآں، خاندان یکساں طور پر پابند ہے، کیونکہ نہ تو پڑوس اور نہ ہی مستقل اشاریہ پر منحصر ہے۔ افعال کا خاندان مقامی طور پر پابند ہے، اگر صفر سے بڑا ہے۔ کسی کے لیے بھی پڑوس خود ہونے کا انتخاب کر سکتا ہے۔ پھر ہمارے پاس نوٹ ہے کہ کی قیمت x0 یا اس کے پڑوس کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ یہ خاندان تب نہ صرف مقامی طور پر پابند ہوتا ہے بلکہ یکساں طور پر پابند بھی ہوتا ہے۔ افعال کا خاندان مقامی طور پر پابند ہے۔ درحقیقت، کسی کے لیے بھی اقدار کو پابند نہیں کیا جا سکتا جیسا کہ انفینٹی کی طرف ہوتا ہے۔ ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس مقامی حد بندی سے مراد ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کی خاصیت، یا ٹوپولوجیکل اسپیس سے ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس (ٹی وی ایس) میں افعال کی خاصیت بھی ہو سکتی ہے۔ مقامی طور پر باؤنڈڈ ٹوپوولوجیکل ویکٹر اسپیس ایک ٹوپوولوجیکل ویکٹر اسپیس (ٹی وی ایس) کے ذیلی سیٹ کو باؤنڈڈ کہا جاتا ہے اگر وہاں اصل کے ہر پڑوس کے لیے ایک حقیقی نمبر موجود ہو جیسے کہ اے ایک ٹی وی ایس ہے جو اصل کا ایک باؤنڈڈ پڑوس رکھتا ہے۔ کولموگوروف کے معمول کے معیار کے مطابق، یہ مقامی طور پر کنویکس اسپیس کے بارے میں سچ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ٹی وی ایس کی ٹوپولوجی کسی سیمی نارم سے متاثر ہو۔ خاص طور پر، ہر مقامی طور پر پابند ٹی وی ایس مقامی طور پر کنویکس اور سیڈومیٹریزیبل ہوتا ہے۔ لوکللی باؤنڈڈ فنکشنز ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان ایک فنکشن کو مقامی طور پر باؤنڈڈ فنکشن کہا جاتا ہے اگر ہر نقطہ کا ایک پڑوس ہو جس کی تصویر نیچے باؤنڈ ہو۔ مندرجہ ذیل نظریہ افعال کی مقامی حد کا تعلق ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کی مقامی حد سے کرتا ہے: نظریہ۔ ایک ٹوپوولوجیکل ویکٹر اسپیس مقامی طور پر پابند ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب شناخت کا نقشہ مقامی طور پر پابند ہو۔ مقامی طور پر باؤنڈڈ این لیب انٹری کے لیے بیرونی لنکس پلینٹ میتھ انٹری بھی دیکھیں۔ مسلسل افعال کی مقامی طور پر باؤنڈڈ کیٹیگری تھیوری فنکشنل تجزیہ ریاضیاتی تجزیہ