Fractional Brownian motion
امکان کے نظریہ میں، فریکشنل براؤنین موشن (ایف بی ایم)، جسے فریکٹل براؤنین موشن بھی کہا جاتا ہے، براؤنین موشن کی عمومی شکل ہے۔ کلاسیکی براؤنین حرکت کے برعکس، ایف بی ایم کے اضافے کو آزاد ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ fBm ایک مسلسل وقت کا گوسی عمل ہے، جو صفر سے شروع ہوتا ہے، جس میں تمام کے لیے توقع صفر ہوتی ہے، اور اس میں درج ذیل کوویرینس فنکشن ہوتا ہے: جہاں H (0، 1) میں ایک حقیقی نمبر ہے، جسے ہرسٹ انڈیکس یا فرکشنل براؤنین موشن سے وابستہ ہرسٹ پیرامیٹر کہا جاتا ہے۔ ہرسٹ ایکسپوینٹ نتیجے میں حرکت کی کھردری کو بیان کرتا ہے، جس کی زیادہ قیمت ہموار حرکت کا باعث بنتی ہے۔ کے ذریعے متعارف کرایا گیا۔ H کی قدر اس بات کا تعین کرتی ہے کہ fBm کس قسم کا عمل ہے: اگر H = 1/2 تو یہ عمل درحقیقت براؤنین حرکت یا وینر عمل ہے۔ اگر H> 1/2 تو عمل کے اضافے مثبت طور پر مربوط ہیں۔ اگر H <1/2 تو عمل کے اضافے منفی طور پر مربوط ہیں۔ فریکشنل براؤنین موشن میں اسٹیشنری انکریمنٹس X (t) = BH (s + t) − BH (s) ہوتے ہیں (قیمت کسی بھی s کے لیے یکساں ہوتی ہے)۔ اضافہ کے عمل X (t) کو فریکشنل گاؤسی شور کے نام سے جانا جاتا ہے۔ فریکشنل براؤنین موشن کی عمومی شکل بھی ہے: n-th آرڈر فریکشنل براؤنین موشن، جسے مختصر طور پر n-fBm کہا جاتا ہے۔ این-ایف بی ایم ایک گوسیائی، خود ساختہ، غیر مستحکم عمل ہے جس میں آرڈر این کی اضافہ ساکن ہوتی ہے۔ n = 1 کے لیے، n-fBm کلاسیکی fBm ہے۔ براؤنین حرکت کی طرح جسے یہ عام کرتا ہے، فریکشنل براؤنین حرکت کا نام 19 ویں صدی کے ماہر حیاتیات رابرٹ براؤن کے نام پر رکھا گیا ہے۔ فریکشنل گاؤسی شور کا نام ریاضی دان کارل فریڈرک گاؤس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ پس منظر اور تعریف فریکشنل براؤنین موشن کے تعارف سے پہلے، اس عمل کی وضاحت کے لیے ریمن-لیوویل فریکشنل انٹیگرل کا استعمال کیا جاتا تھا جہاں انضمام سفید شور کی پیمائش ڈی بی (ز) کے حوالے سے ہوتا ہے۔ یہ انٹیگرل فریکشنل براؤنین موشن کی تعریف کے طور پر غیر موزوں ثابت ہوتا ہے کیونکہ اس کی اصل پر زیادہ زور دیا جاتا ہے۔ اس میں اسٹیشنری انکریمنٹ نہیں ہیں۔ اس کے بجائے خیال یہ ہے کہ عمل کی وضاحت کے لیے سفید شور کا ایک مختلف فریکشنل انٹیگرل استعمال کیا جائے: t> 0 کے لیے ویل انٹیگرل (اور اسی طرح t <0 کے لیے)۔ نتیجے کے عمل میں ساکن اضافہ ہوتا ہے۔ فریکشنل براؤنین موشن اور باقاعدہ براؤنین موشن کے درمیان بنیادی فرق یہ ہے کہ اگرچہ براؤنین موشن میں اضافہ آزاد ہے، لیکن فریکشنل براؤنین موشن کے لیے اضافہ نہیں ہے۔ اگر H> 1/2 ہے، تو مثبت آٹوکوریلیشن ہے: اگر پچھلے مراحل میں بڑھتا ہوا نمونہ ہے، تو امکان ہے کہ موجودہ مرحلہ بھی بڑھ رہا ہوگا۔ اگر H <1/2 ہے، تو خود ارتباط منفی ہے۔ خصوصیات خود مماثلت عمل خود مماثل ہے، کیونکہ امکان کی تقسیم کے لحاظ سے: یہ خاصیت اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ کوویرینس فنکشن آرڈر 2H کا یکساں ہے اور اسے فریکٹل پراپرٹی سمجھا جا سکتا ہے۔ ایف بی ایم کو منفرد اوسط-صفر گوسیائی عمل کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے، جو اصل میں صفر ہے، جس میں ساکن اور خود نما اضافہ ہوتا ہے۔ اسٹیشنری انکریمنٹس اس میں اسٹیشنری انکریمنٹس ہوتے ہیں: لانگ رینج انحصار H> 1⁄2 کے لیے یہ عمل لانگ رینج انحصار کو ظاہر کرتا ہے، ریگولرٹی سیمپل پاتھ تقریبا کہیں بھی تفریق کے قابل نہیں ہیں۔ تاہم، تقریبا تمام راستے مقامی طور پر H سے سختی سے کم کسی بھی ترتیب کے ہولڈر مسلسل ہوتے ہیں: اس طرح کے ہر راستے کے لیے، ہر T> 0 کے لیے اور ہر ε> 0 کے لیے ایک (بے ترتیب) مستقل c موجود ہوتا ہے جیسے کہ 0 <s، t <T کے لیے۔ طول و عرض امکان 1 کے ساتھ، BH (t) کے گراف میں ہاؤز ڈورف طول و عرض اور باکس طول و عرض 2−H دونوں ہوتے ہیں۔ انضمام جہاں تک باقاعدہ براؤنین حرکت کا تعلق ہے، فریکشنل براؤنین حرکت کے حوالے سے اسٹاکسٹک انٹیگرلز کی وضاحت کی جا سکتی ہے، جسے عام طور پر "فریکشنل اسٹاکسٹک انٹیگرلز" کہا جاتا ہے۔ عام طور پر اگرچہ، باقاعدہ براؤنین حرکت کے حوالے سے انٹیگرلز کے برعکس، فریکشنل اسٹوکاسٹک انٹیگرلز سیمی مارٹنگیلز نہیں ہوتے ہیں۔ فریکوئنسی ڈومین کی تشریح جس طرح براؤنین حرکت کو فلٹر شدہ سفید شور کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے (یعنی۔ انٹیگریٹڈ)، فریکشنل براؤنین موشن سفید شور ہے جسے فلٹر کیا جاتا ہے (فریکشنل انٹیگریشن کے مطابق)۔ نمونے کے راستے ایک ایف بی ایم کے عملی کمپیوٹر احساسات پیدا کیے جا سکتے ہیں، حالانکہ وہ صرف ایک محدود تخمینہ ہیں۔ منتخب کردہ نمونے کے راستوں کو ایف بی ایم کے عمل پر مجرد نمونے والے نکات دکھانے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ تین احساسات ذیل میں دکھائے گئے ہیں، ہر ایک ہرسٹ پیرامیٹر 0.75 کے ساتھ ایف بی ایم کے 1000 پوائنٹس کے ساتھ۔ ایف بی ایم کی تین مختلف اقسام کے احساسات ذیل میں دکھائے گئے ہیں، ہر ایک 1000 پوائنٹس دکھاتا ہے، پہلا ہرسٹ پیرامیٹر 0.15 کے ساتھ، دوسرا ہرسٹ پیرامیٹر 0.05 کے ساتھ، اور تیسرا ہرسٹ پیرامیٹر 0.95 کے ساتھ۔ ہرسٹ پیرامیٹر جتنا اونچا ہوگا، وکر اتنی ہی ہموار ہوگی۔ تخروپن کا طریقہ 1 معروف کوویرینس فنکشن کے ساتھ اسٹیشنری گوسیئن عمل پیدا کرنے کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے ایف بی ایم کے نمونے کے راستوں کی تقلید کی جا سکتی ہے۔ سب سے آسان طریقہ کوویرینس میٹرکس (نیچے بیان کردہ) کے چولسکی سڑنے کے طریقہ پر منحصر ہے، جس میں سائز کے گرڈ پر ترتیب کی پیچیدگی ہوتی ہے۔ ایک زیادہ پیچیدہ، لیکن کمپیوٹیشنل طور پر تیز ترین طریقہ سرکلینٹ ایمبیڈنگ کا طریقہ ہے۔ فرض کریں کہ ہم بعض اوقات چولسکی سڑنے کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ایف بی ایم کی اقدار کی تقلید کرنا چاہتے ہیں۔ جہاں میٹرکس بنائیں۔ کے مربع جڑ میٹرکس کا حساب لگائیں، یعنی۔ ۔ ڈھیلے الفاظ میں، متغیر-کوویرینس میٹرکس سے وابستہ "معیاری انحراف" میٹرکس ہے۔ ایک معیاری گاؤسی تقسیم کے مطابق آزادانہ طور پر تیار کردہ n نمبروں کے ویکٹر کی تعمیر کریں، اگر ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں تو ایک fBm کا نمونہ راستہ حاصل ہوتا ہے۔ حساب کرنے کے لیے، ہم مثال کے طور پر چولسکی سڑنے کا طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔ ایک متبادل طریقہ آئجین ویلیوز کا استعمال کرتا ہے: چونکہ سمیٹرک، مثبت-یقینی میٹرکس ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ مطمئن کرنے کے تمام آئجین ویلیوز، ()۔ آئیگن ویلیوز کا اخترن میٹرکس ہونے دیں، یعنی۔ کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے؟ ہم اندراجات کے ساتھ اخترن میٹرکس کے طور پر بیان کرتے ہیں، یعنی۔ ۔ نوٹ کریں کہ نتیجہ حقیقی قدر والا ہے کیونکہ۔ آئجین ویلیو سے وابستہ آئجین ویکٹر کو ہونے دیں۔ میٹرکس کے طور پر بیان کریں جس کا-th کالم آئجین ویکٹر ہے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ آئجین ویکٹر لکیری طور پر آزاد ہیں، اس لیے میٹرکس الٹا ہے۔ اس کے بعد ایسا ہوتا ہے کیونکہ۔ تخروپن کا طریقہ 2 یہ بھی معلوم ہے کہ جہاں B ایک معیاری براؤنین حرکت ہے اور جہاں اویلر ہائپر جیومیٹرک انٹیگرل ہے۔ فرض کریں کہ ہم پوائنٹس پر ایف بی ایم کی تقلید کرنا چاہتے ہیں۔ معیاری گاؤسی تقسیم کے مطابق تیار کردہ n نمبروں کا ویکٹر بنائیں۔ [0، T] پر براؤنین حرکت کے اضافے کو حاصل کرنے کے لیے اسے جزو کے لحاظ سے ضرب دیں۔ اس ویکٹر کو اس سے ظاہر کریں۔ ہر ایک کے لیے، انٹیگرل کا حساب گوسیئن کواڈریچر کے ذریعے مؤثر طریقے سے لگایا جا سکتا ہے۔ براؤنین سطح آٹوریگریسو فریکشنلی انٹیگریٹڈ موونگ ایوریج ملٹی فریکٹل: فریکشنل براؤنین حرکتوں کا عمومی فریم ورک بھی دیکھیں۔ گلابی شور ٹویڈی کی تقسیم نوٹ حوالہ جات۔ کریگ میل پی ایف۔ (2003)، "ڈیوس-ہارٹ الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے اسٹیشنری گوسیائی عمل کی ایک کلاس کی تقلید، طویل میموری کے عمل پر اطلاق کے ساتھ"، جرنل آف ٹائمز سیریز تجزیہ، 24:505-511۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ساموروڈنیٹسکی جی، تکق ایم ایس۔ (1994)، مستحکم غیر گاؤسی بے ترتیب عمل، باب 7: "خود سے ملتے جلتے عمل" (چیپ مین اور ہال)۔ مزید پڑھنا۔ آٹوکوریلیشن