Implicit surface
ریاضیات میں، ایک مضمر سطح یوکلڈین خلا میں ایک ایسی سطح ہے جس کی تعریف ایک مساوات کے ذریعے کی گئی ہے۔ ایک مضمر سطح تین متغیرات کے فعل کے صفر کا مجموعہ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مساوات کو یا یا کے لیے حل نہیں کیا گیا ہے۔ فنکشن کا گراف عام طور پر ایک مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے اور اسے ایکسپلیکٹ ریپریزنٹیشن کہا جاتا ہے۔ سطح کی تیسری ضروری وضاحت پیرامیٹرک ہے:، جہاں سطح کے نکات کے -،-اور-کوآرڈینیٹس کو مشترکہ پیرامیٹرز کے لحاظ سے تین افعال کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ عام طور پر نمائندگی کی تبدیلی صرف اس وقت آسان ہوتی ہے جب واضح نمائندگی دی جاتی ہے: (مضمر)، (پیرامیٹرک)۔ مثال: طیارہ دائرہ ٹورس اے جینس 2 کی سطح: (خاکہ دیکھیں)۔ انقلاب کی سطح (ڈائیگرام وائن گلاس دیکھیں)۔ ایک طیارہ، ایک دائرہ، اور ایک ٹورس کے لیے سادہ پیرامیٹرک نمائشیں موجود ہیں۔ چوتھی مثال کے لیے یہ درست نہیں ہے۔ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم ان حالات کو بیان کرتا ہے جن کے تحت کسی مساوات کو (کم از کم مبہم طور پر) یا کے لیے حل کیا جا سکتا ہے۔ لیکن عام طور پر حل واضح نہیں کیا جا سکتا ہے۔ یہ نظریہ کسی سطح کی ضروری ہندسی خصوصیات کے حساب کی کلید ہے: ٹینجینٹ طیاروں، سطح کے معمول، منحنی خطوط (نیچے دیکھیں)۔ لیکن ان میں ایک بنیادی خرابی ہے: ان کا تصور مشکل ہے۔ اگر کثیر الجہتی ہے، اور، سطح کو الجبرائی کہا جاتا ہے۔ مثال 5 غیر الجبرائی ہے۔ تصور میں دشواری کے باوجود، مضمر سطحیں نظریاتی طور پر پیدا کرنے کے لیے نسبتا آسان تکنیک فراہم کرتی ہیں (مثال کے طور پر۔ اسٹینر سطح) اور عملی طور پر (نیچے دیکھیں) دلچسپ سطحیں۔ فارمولے مندرجہ ذیل غور و فکر کے دوران مضمر سطح کی نمائندگی ایک مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے جہاں فنکشن تفریق کی ضروری شرائط کو پورا کرتا ہے۔ کے جزوی مشتق ہیں۔ ٹینجینٹ طیارہ اور نارمل ویکٹر ایک سطحی نقطہ کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب at کا میلان صفر ویکٹر نہ ہو، یعنی۔ اگر سطح کا نقطہ باقاعدہ نہیں ہے، تو اسے واحد کہا جاتا ہے۔ باقاعدہ نقطہ پر ٹینجینٹ پلین کی مساوات ہے اور ایک نارمل ویکٹر نارمل کرویچر ہے۔ فارمولے کو سادہ رکھنے کے لیے دلائل کو خارج کر دیا جاتا ہے: یونٹ ٹینجینٹ سمت کے لیے باقاعدہ نقطہ پر سطح کی نارمل کرویچر ہے۔ (دوسرے مشتقات کا میٹرکس) کا ہیسیئن میٹرکس ہے۔ اس فارمولے کا ثبوت (جیسا کہ ایک مضمر منحنی خطوط کے معاملے میں) مضمر فنکشن تھیوریم اور پیرامیٹرک سطح کے نارمل منحنی خطوط کے فارمولے پر منحصر ہے۔ مضمر سطحوں کی ایپلی کیشنز جیسا کہ مضمر منحنی خطوط کے معاملے میں سادہ ابتدائی پر الجبرائی کارروائیوں (اضافہ، ضرب) کو لاگو کرکے مطلوبہ شکلوں کے ساتھ مضمر سطحوں کو پیدا کرنا ایک آسان کام ہے۔ نقطہ چارج کی مساوی صلاحیت والی سطح نقطہ پر ایک نقطہ چارج کی برقی صلاحیت نقطہ پر صلاحیت پیدا کرتی ہے (جسمانی مستقلات کو چھوڑ کر) ممکنہ قدر کے لیے مساوی صلاحیت والی سطح مضمر سطح ہے جو ایک دائرہ ہے جس کا مرکز نقطہ پر ہے۔ پوائنٹ چارجز کی صلاحیت کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے۔ تصویر کے لیے چار چارجز 1 کے برابر ہیں اور پوائنٹس پر واقع ہیں۔ دکھائی گئی سطح مساوی سطح (مضمر سطح) ہے۔ مستقل فاصلہ پروڈکٹ کی سطح ایک کیسینی اوول کو اس پوائنٹ سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس کے لیے دو دیئے گئے پوائنٹس کے فاصلے کا پروڈکٹ مستقل ہوتا ہے (اس کے برعکس، ایک ایلیپس کے لیے مجموعہ مستقل ہوتا ہے)۔ اسی طرح مضمر سطحوں کی تعریف کئی مقررہ نکات پر مستقل فاصلے کے پروڈکٹ کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ نقشہ کی تبدیلی میں اوپری بائیں سطح اس اصول سے پیدا ہوتی ہے: مستقل فاصلے کے ساتھ مصنوعات کی سطح ظاہر ہوتی ہے۔ مضمر سطحوں کی تغیرات نئی مضمر سطحوں کو پیدا کرنے کے لیے ایک اور آسان طریقہ کو مضمر سطحوں کی تغیرات کہا جاتا ہے: دو مضمر سطحوں کے لیے (خاکہ میں: ایک مستقل فاصلہ پروڈکٹ کی سطح اور ایک ٹورس) ایک ڈیزائن پیرامیٹر کا استعمال کرتے ہوئے نئی سطحوں کی وضاحت کرتا ہے: خاکہ میں ڈیزائن پیرامیٹر یکے بعد دیگرے ہوتا ہے۔ کئی مضمر سطحوں کے ہموار تخمینے-سطحوں کو کسی بھی دی گئی ہموار اور پابند شے کا تخمینہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس کی سطح کو ایک واحد کثیر الجہتی کے ذریعے ذیلی کثیر الجہتی کی پیداوار کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ہم کسی بھی ہموار شے کو واحد الجبرائی سطح کے ساتھ ڈیزائن کر سکتے ہیں۔ آئیے ہم تعریف شدہ کثیر الجہتی کو اس طرح ظاہر کرتے ہیں۔ پھر، لگ بھگ شے کی تعریف کثیر الجہتی سے کی جاتی ہے جہاں مرکب پیرامیٹر کا مطلب ہوتا ہے جو لگ بھگ غلطی کو کنٹرول کرتا ہے۔ مبہم منحنی خطوط کے ساتھ ہموار تخمینے کے مطابق، مساوات مناسب پیرامیٹرز کے لیے مساوات کے ساتھ تین چوراہوں کے ہموار تخمینوں کی نمائندگی کرتی ہے (خاکہ میں پیرامیٹرز ہیں) مبہم سطحوں کا تصور مبہم سطحوں کو پیش کرنے کے لیے مختلف الگورتھم ہیں، بشمول مارچنگ کیوب الگورتھم۔ بنیادی طور پر ایک مضمر سطح کو دیکھنے کے لیے دو نظریات ہیں: ایک کثیر الاضحی کا جال پیدا کرتا ہے جس کا تصور کیا جاتا ہے (سطح کا مثلث دیکھیں) اور دوسرا رے ٹریسنگ پر انحصار کرتا ہے جو سطح کے ساتھ شعاعوں کے انٹرسیکشن پوائنٹس کا تعین کرتا ہے۔ سطح تک کا فاصلہ تلاش کرنے کے لیے ایک دستخط شدہ فاصلہ فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے، دائرے کا سراغ لگانے کے ذریعے چوراہے کے نکات کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے امپلیسیٹ وکر حوالہ جات دیکھیں۔ گومز، اے۔، وائکولیسکو، آئی۔، جارج، جے۔، وائول، بی۔، گیلبریتھ، سی۔: امپلیسیٹ وکرز اینڈ سرفیسز: میتھمیٹکس، ڈیٹا اسٹرکچرز اینڈ الگورتھمز، 2009، سپرنگر-ورلاگ لندن، تھورپ: ایلیمنٹری ٹاپکس ان ڈفریینشل جیومیٹری، سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1979، بیرونی روابط سلطانو: امپلیزائٹ فلیچن ہارٹ مین: جیومیٹری اینڈ الگورتھمز فار کمپیوٹر ایڈڈ ڈیزائن جیومی ویو K3Dsurf: 3d سرفیس جنریٹر ایس یو آر ایف: ویژوئلائزیرنگ الجبریشر فلا۔