Euler's three-body problem
طبیعیات اور فلکیات میں، اویلر کا تین اجسام کا مسئلہ ایک ایسے ذرہ کی حرکت کو حل کرنا ہے جس پر دو دیگر نقطہ کمیتوں کے کشش ثقل کے میدان کے ذریعے عمل کیا جاتا ہے جو خلا میں فکس ہوتے ہیں۔ یہ مسئلہ بالکل حل کرنے کے قابل ہے، اور پرولیٹ اور اوبلیٹ سپرائڈز کے کشش ثقل کے شعبوں میں حرکت کرنے والے ذرات کے لیے ایک تخمینہ حل فراہم کرتا ہے۔ اس مسئلے کا نام لیون ہارڈ اویلر کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1760 میں شائع ہونے والی یادداشتوں میں اس پر تبادلہ خیال کیا تھا۔ اہم توسیعات اور تجزیوں میں بعد میں دیگر کے علاوہ لگرینج، لیوویل، لیپلیس، جیکوبی، ڈاربوکس، لی ویریر، ویلڈے، ہیملٹن، پوئن کیئر، برخوف اور ای ٹی وٹیکر نے حصہ ڈالا۔ اویلر کا مسئلہ اس معاملے کا بھی احاطہ کرتا ہے جب ذرہ پر دیگر الٹا مربع مرکزی قوتوں کے ذریعہ عمل کیا جاتا ہے، جیسے کہ کولمب کے قانون کے ذریعہ بیان کردہ الیکٹروسٹیٹک تعامل۔ اویلر کے مسئلے کے کلاسیکی حل کو کیمیائی بندھن کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے، جس میں دو جوہری مرکزوں کے میدان میں حرکت کرنے والے ایک واحد الیکٹران کی توانائی کی سطح کا سیمی کلاسیکل تخمینہ استعمال کیا گیا ہے، جیسے کہ ڈائیٹومک آئن HH2 +۔ یہ سب سے پہلے وولف گینگ پالی نے آرنلڈ سومر فیلڈ کے تحت اپنے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں کیا تھا، جو سالماتی ہائیڈروجن کے پہلے آئن یعنی ہائیڈروجن مالیکیول آئن H2 + کا مطالعہ ہے۔ ان توانائی کی سطحوں کا حساب آئن سٹائن-برلوئن-کیلر طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے معقول درستگی کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، جو جوہری ہائیڈروجن کے بوہر ماڈل کی بنیاد بھی ہے۔ حال ہی میں، جیسا کہ کوانٹم-مکینیکل ورژن میں مزید وضاحت کی گئی ہے، آئجین ویلیوز (توانائیاں) کے تجزیاتی حل حاصل کیے گئے ہیں: یہ لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن کی عمومی شکل ہیں۔ درست حل، مکمل تین جہتی معاملے میں، ویئراسٹراس کے الپٹک افعال کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ سہولت کے لیے، مسئلہ کو عددی طریقوں سے بھی حل کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ حرکت کی مساوات کا رنگے-کٹہ انضمام۔ حرکت پذیر ذرہ کی کل توانائی محفوظ ہے، لیکن اس کی لکیری اور کونیی رفتار نہیں ہے، کیونکہ دو فکسڈ مراکز خالص قوت اور ٹارک کا اطلاق کر سکتے ہیں۔ اس کے باوجود، ذرہ کی ایک دوسری محفوظ مقدار ہوتی ہے جو کونیی مومنٹم یا لیپلیس-رینج-لینز ویکٹر سے مطابقت رکھتی ہے۔ اویلر تھری باڈی کا مسئلہ مختلف ناموں سے جانا جاتا ہے، جیسے کہ دو فکسڈ سینٹرز کا مسئلہ، اویلر-جیکوبی کا مسئلہ، اور دو سینٹر کیپلر کا مسئلہ۔ اویلر کے مسئلے کی مختلف عامیاں معلوم ہیں۔ یہ عامیاں لکیری اور الٹا کیوبک قوتوں اور قوت کے پانچ مراکز تک کا اضافہ کرتی ہیں۔ ان عمومی مسائل کے خاص معاملات میں ڈاربوکس کا مسئلہ اور ویلڈے کا مسئلہ شامل ہیں۔ جائزہ اور تاریخ اویلر کا تین اجسام کا مسئلہ دو مراکز کے زیر اثر کسی ذرہ کی حرکت کو بیان کرنا ہے جو مرکزی قوتوں کے ساتھ ذرہ کو اپنی طرف متوجہ کرتا ہے جو فاصلے کے ساتھ الٹا مربع قانون کے طور پر کم ہوتا ہے، جیسے کہ نیوٹنین کشش ثقل یا کولمب کا قانون۔ اویلر کے مسئلے کی مثالوں میں دو مرکزوں کے برقی میدان میں حرکت کرنے والا الیکٹران شامل ہے، جیسے کہ ہائیڈروجن مالیکیول آئن۔ دو الٹا مربع قوتوں کی طاقت برابر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، دونوں مرکزوں میں مختلف چارجز ہو سکتے ہیں، جیسا کہ سالماتی آئن HH2 + میں ہوتا ہے۔ اویلر کے تھری باڈی کے مسئلے میں ہم فرض کرتے ہیں کہ کشش کے دو مراکز ساکن ہیں۔ اس طرح کے معاملے میں یہ سختی سے درست نہیں ہے، لیکن پروٹون الیکٹران کے مقابلے میں بہت کم ایکسلریشن کا تجربہ کرتے ہیں۔ تاہم، یولر تھری باڈی کا مسئلہ دو ستاروں کے کشش ثقل کے میدان میں حرکت کرنے والے سیارے پر لاگو نہیں ہوتا ہے، کیونکہ اس صورت میں کم از کم ایک ستارے میں اسی طرح کی رفتار کا تجربہ ہوتا ہے جس کا تجربہ سیارے نے کیا ہے۔ اس مسئلے پر سب سے پہلے لیون ہارڈ اویلر نے غور کیا، جس نے ظاہر کیا کہ اس کا صحیح حل 1760 میں ہے۔ جوزف لوئس لاگرانج نے ایک عمومی مسئلہ حل کیا جس میں مراکز لکیری اور الٹا مربع دونوں قوتوں کا استعمال کرتے ہیں۔ 67-121 ؛ میکانیک تجزیاتی، پہلا ایڈیشن، پی پی۔ 262-286 ؛ دوسرا ایڈیشن، 2، پی پی۔ 108-121 ؛ اویوورس، 12، پی پی۔ کارل گستاو جیکب جیکوبی نے دکھایا کہ دو فکسڈ مراکز کے محور کے ارد گرد ذرہ کی گردش کو الگ کیا جا سکتا ہے، جس سے عام تین جہتی مسئلہ کو پلینر مسئلہ میں کم کیا جا سکتا ہے۔ 2008 میں، برکھاؤسر نے "انٹیگریبل سسٹمز ان سیلشیل میکینکس" کے عنوان سے ایک کتاب شائع کی۔ اس کتاب میں ایک آئرش ریاضی دان، ڈائرموئڈ او متھونا، طیارہ دو فکسڈ مراکز کے مسئلے اور تین جہتی مسئلے دونوں کے لیے بند شکل کے حل پیش کرتے ہیں۔ دو فکسڈ مراکز کا مسئلہ توانائی کو محفوظ رکھتا ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، کل توانائی E حرکت کا مستقل ہے۔ ممکنہ توانائی اس طرح دی جاتی ہے جہاں r ذرہ کی پوزیشن کی نمائندگی کرتا ہے، اور r1 اور r2 ذرہ اور قوت کے مراکز کے درمیان فاصلے ہیں۔ μ1 اور μ2 مستقل ہیں جو بالترتیب پہلی اور دوسری قوتوں کی طاقت کی پیمائش کرتے ہیں۔ کل توانایٔی ذرہ کی حرکی توانایٔی کے ساتھ اس ممکنہ توانایٔی کے مجموعے کے برابر ہوتی ہے جہاں m اور p بالترتیب ذرہ کی کمیت اور لکیری رفتار ہیں۔ یولر کے مسئلے میں ذرہ کی لکیری اور کونیی رفتار محفوظ نہیں ہے، کیونکہ قوت کے دو مراکز ذرہ پر بیرونی قوتوں کی طرح کام کرتے ہیں، جو ذرہ پر خالص قوت اور ٹارک پیدا کر سکتے ہیں۔ بہر حال، اویلر کے مسئلے میں حرکت کا دوسرا مستقل ہے جہاں 2a قوت کے دو مراکز کی علیحدگی ہے، θ1 اور θ2 ذرات کو قوت کے مراکز سے جوڑنے والی لکیروں کے زاویے ہیں، مراکز کو جوڑنے والی لکیر کے حوالے سے۔ حرکت کے اس دوسرے مستقل کی شناخت ای ٹی وٹیکر نے تجزیاتی میکانکس پر اپنے کام میں کی تھی، اور 1967 میں کولسن اور جوزف نے اسے n طول و عرض میں عام کیا تھا۔ کولسن جوزف کی شکل میں، حرکت کا مستقل لکھا جاتا ہے۔ حرکت کا یہ مستقل اس حد میں کل کونیی رفتار |L |2 سے مطابقت رکھتا ہے جب قوت کے دو مراکز ایک ہی نقطہ (a → 0) پر یکجا ہوتے ہیں، اور اس حد میں لیپلیس-رینج-لینز ویکٹر A کے متناسب ہوتا ہے جب مراکز میں سے کوئی ایک انفینیٹی کی طرف جاتا ہے (a → φ جبکہ x−a محدود رہتا ہے)۔ کوانٹم مکینیکل ورژن کوانٹم مکینیکل تھری باڈی کے مسئلے کا ایک خاص معاملہ ہائیڈروجن مالیکیول آئن ہے۔ تین اجسام میں سے دو مرکزے ہیں اور تیسرا تیز رفتار حرکت پذیر الیکٹران ہے۔ دونوں مرکزے الیکٹران سے 1800 گنا بھاری ہوتے ہیں اور اس طرح انہیں فکسڈ سینٹرز کے طور پر بنایا گیا ہے۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ شروڈنگر لہر کی مساوات پرولیٹ اسپیرائڈل کوآرڈینیٹس میں الگ کی جا سکتی ہے اور اسے توانائی آئجین ویلیو اور علیحدگی مستقل کے ساتھ مل کر دو عام تفریقی مساوات میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، حل کے لیے بنیادی سیٹوں سے سیریز کی توسیع کی ضرورت ہوتی ہے۔ بہر حال، تجرباتی ریاضی کے ذریعے، یہ پایا گیا کہ توانائی آئجین ویلیو ریاضیاتی طور پر لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن کی عمومی شکل تھی (مزید تفصیلات کے لیے لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن اور اس میں حوالہ جات دیکھیں)۔ کلیمپڈ نیوکلئی کے معاملے میں ہائیڈروجن مالیکیولر آئن کو کمپیوٹر الجبرا سسٹم کے اندر مکمل طور پر تیار کیا جا سکتا ہے۔ یہ حقیقت کہ اس کا حل ایک مضمر فعل ہے اپنے آپ میں انکشاف کر رہا ہے۔ نظریاتی طبیعیات کی کامیابیوں میں سے ایک محض یہ معاملہ نہیں ہے کہ یہ ریاضیاتی علاج کے لیے قابل قبول ہے بلکہ یہ کہ اس میں شامل الجبرائی مساوات کو علامتی طور پر اس وقت تک ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے جب تک کہ ایک تجزیاتی حل، ترجیحا ایک بند شکل کا حل، الگ نہ ہو جائے۔ تھری باڈی کے مسئلے کے ایک خاص معاملے کے لیے اس قسم کا حل ہمیں اس بات کے امکانات کو ظاہر کرتا ہے کہ کوانٹم تھری باڈی اور ملٹی باڈی کے مسئلے کے تجزیاتی حل کے طور پر کیا ممکن ہے۔ 1911 میں ایڈم ہلٹیبیٹل نے اویلر کے تین جسم کے مسئلے کی گھلنشیل عمومی کا ایک مکمل تجزیہ کیا۔ اویلر کے تین اجسام کے مسئلے کی سب سے آسان عمومی شکل اصل دو مراکز کے درمیان بیچ میں قوت کا تیسرا مرکز شامل کرنا ہے، جو صرف ایک لکیری ہک فورس کا استعمال کرتا ہے (ہک کے قانون کو عطا کرتا ہے)۔ اگلی عمومی شکل الٹا مربع قوت کے قوانین کو ایک ایسی قوت کے ساتھ بڑھانا ہے جو فاصلے کے ساتھ لکیری طور پر بڑھتی ہے۔ عام کرنے کا حتمی مجموعہ ایسی پوزیشنوں پر قوت کے دو فکسڈ مراکز کو شامل کرنا ہے جو خیالی اعداد ہیں، ایسی قوتوں کے ساتھ جو لکیری اور الٹا مربع دونوں قوانین ہیں، مل کر خیالی مراکز کے محور کے متوازی قوت کے ساتھ اور اس محور کے فاصلے کے الٹا مکعب کے طور پر مختلف ہوتی ہیں۔ اصل اویلر مسئلے کا حل ایک پرولیٹ باڈی کے کشش ثقل کے میدان میں کسی ذرہ کی حرکت کا ایک تخمینہ حل ہے، یعنی ایک دائرہ جو ایک سمت میں لمبا ہوا ہے، جیسے کہ سگریٹ کی شکل۔ اوبلیٹ اسپیرائڈ کے میدان میں حرکت کرنے والے ذرہ کے لیے متعلقہ تخمینہ حل (ایک دائرہ جو ایک سمت میں ٹکڑے ٹکڑے کیا جاتا ہے) قوت کے دو مراکز کی پوزیشنوں کو خیالی نمبروں میں بنا کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اوبلیٹ اسپیرائڈ حل فلکیاتی لحاظ سے زیادہ اہم ہے، کیونکہ زیادہ تر سیارے، ستارے اور کہکشاؤں میں تقریبا اوبلیٹ اسپیرائڈز ہوتے ہیں۔ پرولیٹ اسپیرائڈز بہت کم ہوتے ہیں۔ عمومی اضافیت میں اوبلیٹ کیس کا ینالاگ کیر بلیک ہول ہے۔ اس شے کے ارد گرد جیوڈیکس کو مربوط ہونے کے لیے جانا جاتا ہے، جس کی وجہ حرکت کا چوتھا مستقل (توانائی، کونیی رفتار، اور چار مومنٹم کی شدت کے علاوہ) موجود ہے، جسے کارٹر مستقل کہا جاتا ہے۔ اویلر کا اوبلیٹ تھری باڈی مسئلہ اور کیر بلیک ہول ایک ہی بڑے پیمانے پر لمحات کا اشتراک کرتے ہیں، اور یہ سب سے زیادہ واضح ہے اگر مؤخر الذکر کے لیے میٹرک کیر-چائلڈ کوآرڈینیٹس میں لکھا جائے۔ لکیری ہک اصطلاح کے ساتھ بڑھا ہوا اوبلیٹ کیس کا ینالاگ کیر-ڈی سیٹر بلیک ہول ہے۔ جیسا کہ ہک کے قانون میں، کائناتی مستقل اصطلاح کا انحصار لکیری طور پر اصل سے فاصلے پر ہوتا ہے، اور کیر-ڈی سیٹر اسپیس ٹائم بھی مومینٹا میں کارٹر قسم کے مستقل کواڈریٹک کو قبول کرتا ہے۔ ریاضیاتی حل اصل اویلر کا مسئلہ اصل اویلر کے مسئلے میں، ذرہ پر عمل کرنے والے قوت کے دو مراکز کو خلا میں فکسڈ سمجھا جاتا ہے۔ ان مراکز کو ±a پر x-محور کے ساتھ واقع ہونے دیں۔ اسی طرح یہ سمجھا جاتا ہے کہ ذرہ ایک مقررہ سطح تک محدود ہے جس میں قوت کے دو مراکز ہوتے ہیں۔ ان مراکز کے میدان میں ذرہ کی ممکنہ توانایٔی اس طرح دی جاتی ہے کہ جہاں متناسبیت کے مستقلات μ1 اور μ2 مثبت یا منفی ہو سکتے ہیں۔ کشش کے دو مراکز کو ایلیپس کے ایک سیٹ کے فوکی کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ اگر دونوں میں سے کوئی بھی مرکز غیر حاضر ہوتا تو یہ ذرہ کیپلر کے مسئلے کے حل کے طور پر ان میں سے کسی ایک ایلیپس پر حرکت کرتا۔ لہذا، بونٹ کے نظریہ کے مطابق، وہی ایلیپسس اویلر کے مسئلے کا حل ہیں۔ الپٹک کوآرڈینیٹس متعارف کراتے ہوئے، ممکنہ توانائی کو اور حرکی توانائی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ ایک لیوویل متحرک نظام ہے اگر ω اور ω کو بالترتیب φ1 اور φ2 کے طور پر لیا جائے۔ اس طرح، فنکشن Y کے برابر ہے اور فنکشن W کے برابر ہے۔ لیوویل متحرک نظام کے عمومی حل کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی حاصل کرتا ہے۔ فارمولے کے ذریعے ایک پیرامیٹر u کا تعارف پیرامیٹرک حل دیتا ہے۔ چونکہ یہ الپٹک انٹیگرلز ہیں، تو نقاط ω اور ω کو u کے الپٹک افعال کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ کارٹر مستقل ہائیڈروجن سالماتی آئن جیکوبی انٹیگرل لگرینجین پوائنٹ لیوویل متحرک نظام تھری باڈی مسئلہ حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی روابط اویلر آرکائیو آربٹس