Bernstein's problem
تفریق جیومیٹری میں، برنسٹین کا مسئلہ مندرجہ ذیل ہے: اگر Rn−1 پر کسی فنکشن کا گراف Rn میں کم سے کم سطح ہے، تو کیا اس کا مطلب یہ ہے کہ فنکشن لکیری ہے؟ یہ زیادہ سے زیادہ 8 کے لیے درست ہے، لیکن کم از کم 9 کے لیے غلط ہے۔ اس مسئلے کا نام سرگئی ناتانوویچ برنسٹین کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے 1914 میں کیس n = 3 کو حل کیا۔ بیان فرض کریں کہ f n − 1 حقیقی متغیرات کا فنکشن ہے۔ f کا گراف Rn میں ایک سطح ہے، اور یہ شرط کہ یہ ایک کم سے کم سطح ہے کہ f کم سے کم سطح کی مساوات کو مطمئن کرتا ہے برنسٹین کا مسئلہ پوچھتا ہے کہ کیا اس مساوات کو حل کرنے والا ایک پورا فنکشن (Rn−1 میں بیان کردہ فنکشن) لازمی طور پر ایک ڈگری-1 کثیر الجہتی ہے۔ تاریخ نے برنسٹین کے نظریہ کو ثابت کیا کہ R2 پر کسی حقیقی فعل کا گراف جو کہ R3 میں کم سے کم سطح بھی ہے، ایک طیارہ ہونا چاہیے۔ برنسٹین کے نظریہ کا ایک نیا ثبوت اس حقیقت سے نکال کر دیا کہ R3 میں کوئی غیر پلینر ایریا کم کرنے والا شنک نہیں ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر Rn−1 میں کوئی غیر پلینر ایریا کو کم کرنے والا شنک نہیں ہے تو برنسٹین تھیوریم کا ینالاگ Rn میں گراف کے لیے درست ہے، جس سے خاص طور پر یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ R4 میں درست ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ R4 میں کوئی غیر طیارہ کم کرنے والے شنک نہیں ہیں، اس طرح برنسٹین کے نظریہ کو R5 تک بڑھایا گیا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ R7 میں کوئی غیر طیارہ کم کرنے والے شنک نہیں ہیں، اس طرح برنسٹین کے نظریہ کو R8 تک بڑھایا گیا ہے۔ انہوں نے یہ بھی دکھایا کہ جس سطح کی طرف اشارہ کیا گیا ہے وہ R8 میں مقامی طور پر مستحکم شنک ہے، اور پوچھا کہ کیا یہ عالمی سطح پر رقبے کو کم کر رہا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ سائمنز شنک درحقیقت عالمی سطح پر کم سے کم ہو رہا ہے، اور یہ کہ Rn میں n ≤ 9 کے لیے ایسے گراف ہیں جو کم سے کم ہیں، لیکن ہائپرپلین نہیں ہیں۔ سائمنز کے نتیجے کے ساتھ مل کر، اس سے پتہ چلتا ہے کہ برنسٹین کے نظریہ کا ینالاگ Rn میں n ≤ 8 کے لیے درست ہے، اور اعلی جہتوں میں غلط ہے۔ بیرونی لنکس میں حوالہ جات جرمن ترجمہ برنسٹین تھیوریم پر انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس کا مضمون ڈفریٚنشل جیومیٹری میں فنکشنز اینڈ میپنگز ڈائیمنشن تھیوریمز