Inverse-variance weighting
اعداد و شمار میں، الٹا تغیر وزن وزن اوسط کے تغیر کو کم کرنے کے لیے دو یا زیادہ بے ترتیب متغیرات کو جمع کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ ہر بے ترتیب متغیر کا وزن اس کے تغیر کے الٹا تناسب میں کیا جاتا ہے، یعنی اس کی درستگی کے متناسب۔ تغیرات کے ساتھ آزاد مشاہدات کی ترتیب کو دیکھتے ہوئے، الٹا-تغیر وزن اوسط کی طرف سے دیا جاتا ہے۔ الٹا-تغیر وزن اوسط میں تمام وزن اوسط میں سب سے کم تغیر ہوتا ہے، جس کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے کہ اگر پیمائش کے تمام تغیرات برابر ہیں، تو الٹا-تغیر وزن اوسط سادہ اوسط بن جاتا ہے۔ الٹا متغیر وزن کا استعمال عام طور پر شماریاتی میٹا تجزیہ یا سینسر فیوژن میں آزاد پیمائش کے نتائج کو یکجا کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ سیاق و سباق فرض کریں کہ کوئی تجربہ کار کسی مقدار کی قیمت کی پیمائش کرنا چاہتا ہے، جیسے کہ زمین کی کشش ثقل کی وجہ سے ہونے والی ایکسلریشن، جس کی اصل قیمت ہوتی ہے۔ ایک محتاط تجربہ کار متعدد پیمائش کرتا ہے، جسے ہم بے ترتیب متغیرات سے ظاہر کرتے ہیں۔ اگر وہ سب شور مچاتے ہیں لیکن غیر جانبدار ہیں، یعنی پیمائش کرنے والا آلہ منظم طریقے سے حقیقی قدر کو زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم نہیں کرتا ہے اور غلطیاں متناسب طور پر بکھری ہوئی ہیں، تو توقع کی قیمت۔ اس کے بعد پیمائش میں بکھرے ہوئے بے ترتیب متغیرات کی تغیر کی خصوصیت ہوتی ہے، اور اگر پیمائش ایک جیسے منظرناموں کے تحت کی جاتی ہے، تو سب ایک جیسے ہوتے ہیں، جس کا ہم حوالہ دیں گے۔ پیمائش کو دیکھتے ہوئے، ایک عام تخمینہ کار، جسے اس کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، سادہ اوسط کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ تجرباتی اوسط بھی ایک بے ترتیب متغیر ہے، جس کی توقع کی قیمت ہے لیکن اس کا بکھرنا بھی ہے۔ اگر انفرادی پیمائش غیر مربوط ہیں، تو تخمینہ میں غلطی کا مربع اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ لہذا، اگر تمام برابر ہیں، تو تخمینے میں غلطی کے ساتھ ساتھ اس میں اضافہ کم ہوتا ہے، اس طرح مزید مشاہدات کو ترجیح دی جاتی ہے۔ ایک آلے سے بار بار پیمائش کرنے کے بجائے، اگر تجربہ کار پیمائش کے مختلف معیار کے ساتھ مختلف آلات سے ایک ہی مقدار میں پیمائش کرتا ہے، تو پھر مختلف کے ایک جیسے ہونے کی توقع کرنے کی کوئی وجہ نہیں ہے۔ کچھ آلات دوسروں کے مقابلے میں زیادہ شور والے ہو سکتے ہیں۔ کشش ثقل کی وجہ سے ہونے والی ایکسلریشن کی پیمائش کی مثال میں، مختلف "آلات" کی پیمائش ایک سادہ لاکٹ سے، ایک پروجیکٹائل حرکت وغیرہ کا تجزیہ کرنے سے کی جا سکتی ہے۔ سادہ اوسط اب زیادہ سے زیادہ تخمینہ لگانے والا نہیں ہے، کیونکہ اگر مختلف پیمائشوں میں بہت مختلف غلطیاں ہوں تو اس میں غلطی اصل میں کم سے کم شور کی پیمائش میں غلطی سے تجاوز کر سکتی ہے۔ شور کی پیمائش کو ضائع کرنے کے بجائے جو حتمی غلطی کو بڑھاتا ہے، تجربہ کار تمام پیمائشوں کو مناسب وزن کے ساتھ جوڑ سکتا ہے تاکہ کم سے کم شور کی پیمائش کو زیادہ اہمیت دی جا سکے اور اس کے برعکس۔ کے علم کو دیکھتے ہوئے، پیمائش کے لیے ایک بہترین تخمینہ لگانے والا پیمائش کا وزن کا اوسط ہوگا، وزن کے مخصوص انتخاب کے لیے۔ تخمینہ لگانے والے کا تغیر، جو وزن کے زیادہ سے زیادہ انتخاب کے لیے بن جاتا ہے، نوٹ کریں کہ چونکہ تخمینہ لگانے والے کا بکھرنا کسی بھی انفرادی پیمائش میں بکھرنے والے سے چھوٹا ہوتا ہے۔ مزید برآں، مزید پیمائشوں کو شامل کرنے کے ساتھ بکھرنے میں کمی آتی ہے، تاہم ان پیمائشوں میں شور ہو سکتا ہے۔ مشتق ایک عام وزن کی رقم پر غور کریں، جہاں وزن کو اس طرح معمول پر لایا جاتا ہے۔ اگر تمام آزاد ہیں، تو کا تغیر اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اصلاح کے لیے، ہم کم سے کم کرنا چاہتے ہیں جو کہ اس رکاوٹ کو برقرار رکھتے ہوئے، صفر کے وزن کے حوالے سے میلان کو مساوی بنا کر کیا جا سکتا ہے۔ رکاوٹ کو نافذ کرنے کے لیے لگرینج ملٹی پلیئر کا استعمال کرتے ہوئے، ہم تغیر کا اظہار کرتے ہیں: فار، جس کا مطلب یہ ہے کہ: یہاں اہم فائدہ یہ ہے۔ چونکہ، انفرادی نارملائزڈ وزن یہ ہیں: یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ انتہائی حل دوسرے جزوی مشتق ٹیسٹ سے کم از کم سے مطابقت رکھتا ہے، یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ تغیر وزن کا ایک کواڈریٹک فنکشن ہے۔ اس طرح، تخمینہ لگانے والے کا کم از کم تغیر اس طرح دیا جاتا ہے: عام تقسیم عام طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے لیے الٹا-تغیر وزن اوسط کو بھی حقیقی قیمت کے لیے زیادہ سے زیادہ امکان کے تخمینے کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، بایسیائی نقطہ نظر سے عام طور پر تقسیم شدہ مشاہدات اور ایک فلیٹ پریور دی گئی حقیقی قیمت کے لیے پوسٹر ڈسٹری بیوشن ایک اوسط اور متغیر ملٹی ویریٹ کیس کے طور پر الٹا متغیر وزن اوسط کے ساتھ ایک عام تقسیم ہے۔ ملٹی ویریٹ ڈسٹری بیوشن کے لیے ایک مساوی دلیل انفرادی ویکٹر ویلیوڈ تخمینوں کے کوویرینس میٹرکس کی بنیاد پر زیادہ سے زیادہ وزن کا باعث بنتی ہے: ملٹی ویریٹ ڈسٹری بیوشن کے لیے "صحت سے متعلق وزن" اوسط کی اصطلاح زیادہ عام طور پر استعمال ہوتی ہے۔ ویٹڈ لیسٹ اسکوائرز پورٹ فولیو تھیوری کریمر-راؤ باؤنڈ حوالہ جات میٹا تجزیہ تخمینہ کے طریقے بھی دیکھیں۔