Quasisymmetric map
ریاضی میں، میٹرک خالی جگہوں کے درمیان کواسیسیمیٹرک ہومومورفزم ایک نقشہ ہے جو دو لپشیٹز نقشوں کو عام کرتا ہے۔ جب کہ دو لپشٹز نقشے کسی سیٹ کے قطر کو ضرب عنصر سے زیادہ نہیں سکڑتے یا بڑھاتے ہیں، قواسیسیمیٹرک نقشے کمزور ہندسی خاصیت کو مطمئن کرتے ہیں کہ وہ سیٹوں کے متعلقہ سائز کو محفوظ رکھتے ہیں: اگر دو سیٹوں A اور B کا قطر t ہے اور فاصلے t سے زیادہ نہیں ہیں، تو ان کے سائز کا تناسب ضرب مستقل سے زیادہ نہیں بدلتا ہے۔ یہ نقشے نیم رسمی نقشوں سے بھی متعلق ہیں، کیونکہ بہت سے حالات میں وہ حقیقت میں مساوی ہیں۔ تعریف (X، dX) اور (Y، dY) کو دو میٹرک خالی جگہیں ہونے دیں۔ ایک ہومیومورفزم f: X → Y کو η-قواسسیمیٹرک کہا جاتا ہے اگر کوئی بڑھتی ہوئی فنکشن η: [0, ≤) → [0, ≤) ایسی ہو کہ X میں مختلف پوائنٹس کے کسی بھی ٹرپل x، y، z کے لیے، ہمارے پاس بنیادی خصوصیات ہوں۔ الٹا قواسسیمیٹرک ہے۔ اگر f: X → Y اوپر کے طور پر ایک الٹا η-قواسسیمیٹرک نقشہ ہے، تو اس کا الٹا نقشہ-قواسسیمیٹرک ہے، جہاں قواسسیمیٹرک نقشے سیٹوں کے متعلقہ سائز کو محفوظ رکھتے ہیں۔ اگر اور وہ سیٹوں کے ذیلی سیٹ ہیں، تو پھر مثالیں کمزور قواسسیمیٹرک نقشے ایک نقشہ f: X → Y کہا جاتا ہے۔ تاہم، اگر جڑے ہوئے ہیں اور دوگنا ہو رہے ہیں، تو تمام کمزور قواسیسمٹرک نقشے قواسیسمٹرک ہیں۔ اس نتیجے کی اپیل یہ ہے کہ کمزور قواسسیمیٹری کو ثابت کرنا قواسسیمیٹری کو براہ راست ثابت کرنے سے کہیں زیادہ آسان ہے، اور بہت سی قدرتی ترتیبات میں دونوں تصورات مساوی ہیں۔ δ-مونوٹون نقشے ہلبرٹ جگہ پر ایک مونوٹون نقشہ f: H → H δ-مونوٹون ہے اگر H میں موجود تمام x اور y کے لیے، یہ سمجھنے کے لیے کہ اس حالت کا ہندسی معنی کیا ہے، فرض کریں کہ f (0) = 0 اور مندرجہ بالا تخمینے پر غور کریں جب y = 0 ہو۔ پھر اس کا مطلب یہ ہے کہ ویکٹر x اور اس کی شبیہہ f (x) کے درمیان زاویہ 0 اور آرکوس δ <π/2 کے درمیان رہتا ہے۔ یہ نقشے نیم متناسب ہیں، حالانکہ یہ نیم متناسب نقشوں کا ایک بہت ہی تنگ ذیلی زمرہ ہیں۔ مثال کے طور پر، جب کہ پیچیدہ سطح میں ایک عام قواسیسیمیٹرک نقشہ حقیقی لکیر کو ہاؤز ڈورف طول و عرض کے ایک سیٹ میں نقشہ بنا سکتا ہے جو سختی سے ایک سے بڑا ہے، ایک δ-مونوٹون ہمیشہ حقیقی لکیر کو لپشٹز فنکشن L: R → R کے گھمایا ہوا گراف میں نقشہ بنائے گا۔ دوگنا کرنے کے اقدامات حقیقی لکیر کے حقیقی لکیر قواسیسمٹرک ہومومورفزم کو ان کے مشتقات کے لحاظ سے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ ایک بڑھتی ہوئی ہومیومورفزم f: R → R کواسسیمیٹرک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب حقیقی لکیر پر مستقل C> 0 اور ڈبلنگ پیمائش μ ہو جیسے کہ یوکلڈین اسپیس ایک ہم آہنگ نتیجہ یوکلڈین اسپیس میں ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ C = 0 اور ہم f کے لیے مندرجہ بالا مساوات کو دوبارہ لکھتے ہیں۔ اسے اس طرح لکھتے ہوئے، ہم اسی انٹیگرل کا استعمال کرتے ہوئے نقشے کی وضاحت کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں، لیکن اس کے بجائے Rn پر انٹیگریٹ (جو اب ایک ویکٹر ویلیوڈ انٹیگرینڈ ہے) کر سکتے ہیں: اگر Rn پر ایک ڈبلنگ پیمائش ہے اور پھر نقشہ قواسیسیمیٹرک ہے (درحقیقت، یہ پیمائش μ پر منحصر کچھ δ کے لیے δ-مونوٹون ہے)۔ یوکلڈین خلا میں قواسیسیمیٹری اور قواسیکونفارمالیٹی Rn کے کھلے ذیلی مجموعے ہونے دیں۔ اگر f: ω → ω 'η-قواسسیمیٹرک ہے، تو یہ K-قواسکونفارمل بھی ہے، جہاں اس پر منحصر مستقل ہے۔ اس کے برعکس، اگر f: ω → ω 'K-قوسیکونفارمل ہے اور اس میں موجود ہے، تو η-قوسیسیمیٹرک ہے، جہاں صرف انحصار کرتا ہے۔ کواسی-موبیئس نقشے ایک متعلقہ لیکن کمزور حالت کواسی-موبیئس نقشوں کا تصور ہے جہاں تناسب کے بجائے صرف کراس تناسب پر غور کیا جاتا ہے: تعریف آئیے (X, dX) اور (Y, dY) دو میٹرک خالی جگہیں ہوں اور آئیے η: [0, ν) → [0, ν) ایک بڑھتی ہوئی تقریب ہو۔ ایک η-کواسی-موبیئس ہومومورفزم f: X → Y ایک ہومومورفزم ہے جس کے لیے X میں الگ الگ پوائنٹس کے ہر چوگنا x، y، z، t کے لیے، ہمارے پاس ڈوڈی-ایرل ایکسٹینشن حوالہ جات ہومومورفزم جیومیٹری ریاضیاتی تجزیہ میٹرک جیومیٹری بھی دیکھیں۔