Càdlàg
ریاضی میں، ایک کیڈلاگ (فرانسیسی: "جاری کرو، محدود کرو")، آر سی ایل ایل ("بائیں حدود کے ساتھ دائیں مسلسل")، یا کورلول ("دائیں پر مسلسل، (بائیں) پر حد") فنکشن ایک فنکشن ہے جس کی وضاحت حقیقی اعداد (یا ان کے ذیلی سیٹ) پر کی گئی ہے جو ہر جگہ دائیں مسلسل ہے اور ہر جگہ بائیں حدود ہیں۔ براؤنین حرکت کے برعکس، جس میں مسلسل نمونے کے راستے ہوتے ہیں، سٹوچسٹک عمل کے مطالعہ میں کیڈلاگ افعال اہم ہیں جو چھلانگ کو تسلیم کرتے ہیں (یا اس کی ضرورت بھی ہوتی ہے)۔ کسی دیئے گئے ڈومین پر کیڈلیگ افعال کا مجموعہ سکورکوڈ اسپیس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ دو متعلقہ اصطلاحات کیگلڈ ہیں، جن کا مطلب ہے "جاری رکھیں گاؤچے، محدود کریں ڈرائیٹ"، کیڈلگ کا بائیں دائیں طرف الٹ جانا، اور "جاری رکھیں ایل 'یون، محدود کریں ایل' آٹری" (ایک طرف مسلسل، دوسری طرف حد) کے لیے کیلل، ایک فنکشن کے لیے جو ڈومین کے ہر مقام پر یا تو کیڈلگ یا کیگلڈ ہے۔ تعریف ایک میٹرک اسپیس ہونے دیں، اور ہونے دیں۔ ایک فنکشن کو کیڈلاگ فنکشن کہا جاتا ہے اگر، ہر ایک کے لیے، بائیں حد موجود ہو ؛ اور دائیں حد موجود ہو اور برابر ہو۔ یعنی بائیں حدود کے ساتھ دائیں مسلسل ہے۔ مثالیں حقیقی اعداد کے ذیلی سیٹ پر مسلسل تمام افعال اس ذیلی سیٹ پر کیڈلاگ افعال ہوتے ہیں۔ ان کی تعریف کے نتیجے میں، تمام مجموعی تقسیم کے افعال کیڈلگ افعال ہیں۔ مثال کے طور پر نقطہ پر مجموعی اس سے کم یا برابر ہونے کے امکان سے مطابقت رکھتا ہے، یعنی۔ دوسرے لفظوں میں، دو دم کی تقسیم کے لیے تشویش کا نیم کھلا وقفہ دائیں بند ہوتا ہے۔ کھلے وقفے پر بیان کردہ کسی بھی کنویکس فنکشن کا دائیں مشتق، ایک بڑھتی ہوئی کیڈلاگ فنکشن ہے۔ سے لے کر تک کے تمام کیڈلاگ افعال کے سیٹ کو اکثر (یا صرف) سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے یوکرائنی ریاضی دان اناتولی سکورکوڈ کے نام پر سکورکوڈ اسپیس کہا جاتا ہے۔ سکورکوڈ اسپیس کو ایک ٹوپولوجی تفویض کی جا سکتی ہے جو بدیہی طور پر ہمیں "جگہ اور وقت کو تھوڑا سا ہلانے" کی اجازت دیتی ہے (جبکہ یکساں کنورجنس کی روایتی ٹوپولوجی ہمیں صرف "جگہ کو تھوڑا سا ہلانے" کی اجازت دیتی ہے)۔ سادگی کے لیے، لے لو اور-مزید عمومی تعمیر کے لیے بلنگسلی دیکھیں۔ ہمیں پہلے تسلسل کے ماڈیولس کے اینالاگ کی وضاحت کرنی چاہیے۔ کسی بھی کے لیے، سیٹ کریں اور، کے لیے، کیڈلگ ماڈیولس کی وضاحت کریں جہاں انفیمیم تمام پارٹیشنوں پر چلتا ہے، کے ساتھ۔ یہ تعریف غیر کیڈلیگ کے لیے معنی رکھتی ہے (جس طرح تسلسل کا معمول ماڈیولس متضاد افعال کے لیے معنی رکھتا ہے) اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کیڈلیگ ہے اگر اور صرف اگر۔ اب تمام سختی سے بڑھتے ہوئے، مسلسل بائیجیکشنز کے سیٹ کو خود سے ظاہر کرتے ہیں (یہ "وقت میں گھماؤ" ہیں)۔ چلو پر افعال پر یکساں معیار کی نشاندہی کرتے ہیں۔ شناخت فنکشن کہاں ہے اس پر سکورکوڈ میٹرک کی وضاحت کریں۔ "وگل" وجدان کے لحاظ سے، "وقت میں وگل" کے سائز کی پیمائش کرتا ہے، اور "خلا میں وگل" کے سائز کی پیمائش کرتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ سکورکوڈ میٹرک درحقیقت ایک میٹرک ہے۔ اس سے پیدا ہونے والی ٹوپولوجی کو سکورکوڈ ٹوپولوجی آن کہا جاتا ہے۔ ایک مساوی میٹرک، آزادانہ طور پر متعارف کرایا گیا تھا اور سوئچنگ سسٹم کے تجزیے کے لیے کنٹرول تھیوری میں استعمال کیا گیا تھا۔ سکورکوڈ خلا کی خصوصیات یکساں ٹوپولوجی کی عمومی کاری پر مسلسل افعال کی جگہ کی ذیلی جگہ ہے۔ سکورکوڈ ٹوپولوجی وہاں کی یکساں ٹوپولوجی کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے۔ مکملتا یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگرچہ یہ سکورکوڈ میٹرک کے حوالے سے ایک مکمل جگہ نہیں ہے، لیکن ایک ٹوپوولوجیکل مساوی میٹرک ہے جس کے حوالے سے مکمل ہے۔ علیحدگی یا، کے حوالے سے ایک علیحدہ جگہ ہے۔ اس طرح، سکورکوڈ کی جگہ پولینڈ کی جگہ ہے۔ آرزیل-اسکولی تھیوریم کے اطلاق سے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ سکورکوڈ اسپیس پر امکانی اقدامات کا ایک سلسلہ تب ہی سخت ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب مندرجہ ذیل دونوں شرائط پوری ہو جائیں: اور الجبرائی اور ٹوپولوجیکل ڈھانچہ سکورکوڈ ٹوپولوجی کے تحت اور افعال کا پوائنٹ وائز اضافہ، ایک ٹوپولوجیکل گروپ نہیں ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل مثال سے دیکھا جا سکتا ہے: آئیے آدھا کھلا وقفہ ہو اور خصوصیت کے افعال کا ایک سلسلہ ہو۔ اس حقیقت کے باوجود کہ سکورکوڈ ٹوپولوجی میں، ترتیب 0 پر نہیں ملتی ہے۔ مزید حوالہ جات مزید پڑھنا حقیقی تجزیہ اسٹوکاسٹک عمل بھی دیکھیں