Tube domain
ریاضی میں، ٹیوب ڈومین پیچیدہ سطح میں عمودی پٹی (یا نصف سطح) کے تصور کو کئی پیچیدہ متغیرات میں عام کرنا ہے۔ ایک پٹی کو پیچیدہ اعداد کے مجموعے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس کا حقیقی حصہ حقیقی لکیر کے دیئے گئے ذیلی سیٹ میں ہوتا ہے اور جس کا خیالی حصہ غیر محدود ہوتا ہے۔ اسی طرح، ایک ٹیوب پیچیدہ ویکٹرز کا مجموعہ ہوتا ہے جس کا حقیقی حصہ حقیقی ویکٹرز کے کسی دیئے گئے مجموعہ میں ہوتا ہے، اور جس کا خیالی حصہ غیر محدود ہوتا ہے۔ ٹیوب ڈومینز کئی حقیقی متغیرات کے فنکشن کے لیپلیس ٹرانسفارم کے ڈومینز ہیں (کثیر جہتی لیپلیس ٹرانسفارم دیکھیں)۔ ٹیوبوں پر ہارڈی خالی جگہوں کی تعریف اس انداز میں کی جا سکتی ہے جس میں ایک متغیر سے پیلے-وینر تھیوریم کا ایک ورژن برقرار رہتا ہے، اور ہارڈی خالی جگہوں کے عناصر کو اس طرح بیان کرتا ہے کہ لیپلیس مناسب انٹیگریبلٹی خصوصیات کے ساتھ افعال کو تبدیل کرتا ہے۔ کنویکس سیٹوں پر ٹیوبیں ہولومورفی کے ڈومین ہیں۔ کنویکس شنک پر ٹیوبوں پر ہارڈی خالی جگہوں میں خاص طور پر بھرپور ڈھانچہ ہوتا ہے، تاکہ ایچ پی افعال کی باؤنڈری ویلیوز کے حوالے سے عین نتائج معلوم ہوں۔ ریاضیاتی طبیعیات میں، مستقبل کی ٹیوب منکوسکی خلا میں ماضی کے نیل شنک کے اندرونی حصے سے وابستہ ٹیوب ڈومین ہے، اور نظریہ اضافیت اور کوانٹم کشش ثقل میں اس کی ایپلی کیشنز ہیں۔ شنک کے اوپر کچھ ٹیوبیں برگمین میٹرک کو سپورٹ کرتی ہیں جس کے لحاظ سے وہ باؤنڈڈ سمیٹرک ڈومین بن جاتے ہیں۔ ان میں سے ایک سیگل ہاف اسپیس ہے جو ریاضی میں بنیادی ہے۔ تعریف Rn طول و عرض n کی حقیقی ہم آہنگی کی جگہ کو ظاہر کرتا ہے اور Cn پیچیدہ ہم آہنگی کی جگہ کو ظاہر کرتا ہے۔ پھر Cn کے کسی بھی عنصر کو حقیقی اور خیالی حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ A، Rn کا ایک کھلا ذیلی مجموعہ ہے۔ اے کے اوپر کی ٹیوب، جسے ٹی اے کہا جاتا ہے، سی این کا سب سیٹ ہے جو ان تمام عناصر پر مشتمل ہے جن کے حقیقی حصے اے میں ہیں: ہولومورفی کے ڈومین کے طور پر ٹیوبیں فرض کریں کہ اے ایک منسلک کھلا سیٹ ہے۔ پھر کوئی بھی پیچیدہ قدر والا فنکشن جو ٹیوب ٹی اے میں ہولومورفک ہوتا ہے اسے ٹیوب کے کنویکس ہل پر ہولومورفک فنکشن تک منفرد طور پر بڑھایا جا سکتا ہے، جو کہ ایک ٹیوب بھی ہے، اور درحقیقت چونکہ کوئی بھی کنویکس اوپن سیٹ ہولومورفی (ہولومورفک طور پر کنویکس) کا ڈومین ہوتا ہے، ایک کنویکس ٹیوب بھی ہولومورفی کا ڈومین ہوتا ہے۔ لہذا کسی بھی ٹیوب کا ہولومورفک لفافہ اس کے کنویکس ہل کے برابر ہوتا ہے۔ ہارڈی خالی جگہیں اے کو آر این میں ایک کھلا سیٹ بننے دیں۔ ہارڈی اسپیس ایچ پی (ٹی اے) ٹی اے میں تمام ہولومورفک افعال ایف کا مجموعہ ہے جیسے کہ اے میں تمام ایکس کے لیے۔ پی = 2 کے خاص معاملے میں، ایچ 2 (ٹی اے) میں افعال کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ f ایک پیچیدہ قدر والا فنکشن ہے جو Rn کو مطمئن کرتا ہے۔ f کے فورئیر-لیپلیس ٹرانسفارم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ پھر F اچھی طرح سے متعین ہے اور H2 (ٹی اے) سے تعلق رکھتا ہے۔ اس کے برعکس، H2 (ٹی اے) کے ہر عنصر کی یہ شکل ہوتی ہے۔ اس خصوصیت کا ایک نتیجہ یہ ہے کہ H2 (ٹی اے) ایک غیر صفر فنکشن پر مشتمل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A میں کوئی سیدھی لکیر نہ ہو۔ شنک پر نلیاں A کو Rn میں ایک کھلا کنویکس شنک ہونے دیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ A ایک کھلا کنویکس سیٹ ہے کہ، جب بھی x A میں ہوتا ہے، تو اسی طرح اصل سے لے کر x تک کی پوری کرن بھی ہوتی ہے۔ علامتی طور پر، اگر A ایک شنک ہے، تو H2 (TA) کے عناصر کی L2 حد اس معنی میں ہوتی ہے جو L2 (B) میں موجود ہے۔ ایچ پی (ٹی اے) کے لیے ایک یکساں نتیجہ ہے، لیکن اس کے لیے شنک کی اضافی باقاعدگی کی ضرورت ہوتی ہے (خاص طور پر، دوہری شنک اے * کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہونا چاہیے)۔ رین ہارٹ ڈومین سیگل ڈومین نوٹس سائٹیشن سورس بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ فورئیر تجزیہ ہارمونک تجزیہ متعدد پیچیدہ متغیرات