O-minimal theory
ریاضیاتی منطق میں، اور خاص طور پر ماڈل تھیوری میں، ایک لامحدود ڈھانچہ (M، <،.) جو مکمل طور پر <کے ذریعہ ترتیب دیا جاتا ہے اسے O-Minimal ڈھانچہ کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر قابل تعریف ذیلی سیٹ X′M (M سے لیے گئے پیرامیٹرز کے ساتھ) وقفوں اور نکات کا ایک محدود اتحاد ہو۔ او-کم سے کم کو مقداری خاتمے کی ایک کمزور شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ ایک ڈھانچہ M او-منیمل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب M میں ایک آزاد متغیر اور پیرامیٹرز والا ہر فارمولا ایک مقداری آزاد فارمولے کے مساوی ہو جس میں صرف ترتیب شامل ہو، M میں پیرامیٹرز کے ساتھ بھی۔ یہ کم سے کم ڈھانچوں سے مشابہت رکھتا ہے، جو مساوات کے بالکل مماثل پراپرٹی ہیں۔ ایک تھیوری T ایک O-منیمل تھیوری ہے اگر T کا ہر ماڈل O-منیمل ہے۔ یہ معلوم ہے کہ او-منیمل ساخت کا مکمل نظریہ ٹی ایک او-منیمل نظریہ ہے۔ یہ نتیجہ قابل ذکر ہے کیونکہ، اس کے برعکس، کم سے کم ساخت کا مکمل نظریہ انتہائی کم سے کم نظریہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے، یعنی، ایک بنیادی طور پر مساوی ڈھانچہ ہو سکتا ہے جو کم سے کم نہ ہو۔ سیٹ تھیوریٹک تعریف O-Minimal ڈھانچے کو ماڈل تھیوری کا سہارا لیے بغیر بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم ایک غیر خالی سیٹ M پر ایک ساخت کی وضاحت سیٹ تھیوریٹک انداز میں کرتے ہیں، ایک ترتیب S = (Sn)، n = 0,1,2 کے طور پر۔ اس طرح کہ Sn Mn کے ذیلی سیٹوں کا ایک بولین الجبرا ہے اگر A bul Sn تو M × A اور A × M Sn + 1 میں ہیں۔ سیٹ {(x1,., xn) bul Mn: x1 = xn} Sn میں ہے اگر A bul Sn + 1 اور π: Mn + 1 → Mn پہلے n نقاط پر پروجیکشن نقشہ ہے، تو π (A) bul Sn۔ اگر M پر اختتامی نکات کے بغیر گھنے لکیری ترتیب ہے، تو فرض کریں کہ <، تو M پر ایک ڈھانچہ S کو او-منیمل کہا جاتا ہے اگر یہ اضافی محوریوں کو مطمئن کرتا ہے <Li> سیٹ <(= {(x, y) bul M2: x <y}) S2 میں ہے <Li> S1 میں سیٹ قطعی طور پر وقفوں اور پوائنٹس کے محدود اتحاد ہیں۔ "او" کا مطلب "آرڈر" ہے، کیونکہ کسی بھی او-کم سے کم ڈھانچے کے لیے بنیادی سیٹ پر آرڈر کی ضرورت ہوتی ہے۔ ماڈل نظریاتی تعریف O-کم سے کم ڈھانچے ماڈل تھیوری میں شروع ہوئے اور اس لیے ماڈل تھیوری کی زبان کا استعمال کرتے ہوئے ایک آسان لیکن مساوی تعریف ہے۔ خاص طور پر اگر L ایک ایسی زبان ہے جس میں بائنری رشتہ بھی شامل ہے <، اور (M، <،.) ایک L-ساخت ہے جہاں <کی تشریح گھنے لکیری ترتیب کے محوریات کو پورا کرنے کے لیے کی جاتی ہے، تو (M، <،.) کو o-کم سے کم ڈھانچہ کہا جاتا ہے اگر کسی قابل تعریف سیٹ X کے لیے حتمی طور پر بہت سے کھلے وقفے I1، M میں IR اور ایک محدود سیٹ X0 ایسے ہوں کہ O-کم سے کم نظریات کی مثالیں یہ ہیں: صرف ترتیب کے ساتھ زبان میں گھنے لکیری ترتیبات کا مکمل نظریہ۔ آر سی ایف، حقیقی بند فیلڈز کا نظریہ۔ محدود تجزیاتی افعال کے ساتھ حقیقی میدان کا مکمل نظریہ شامل کیا گیا (یعنی۔ [0,1] n کے پڑوس پر تجزیاتی افعال، جو [0,1] n تک محدود ہیں ؛ نوٹ کریں کہ غیر محدود سائن فنکشن میں لامحدود طور پر بہت سی جڑیں ہیں، اور اس لیے او-منیمل ڈھانچے میں اس کی تعریف نہیں کی جا سکتی۔) ولکی کے نظریہ کے ذریعہ ایکسپونینشل فنکشن کی علامت کے ساتھ حقیقی فیلڈ کا مکمل نظریہ۔ زیادہ عام طور پر، فافین افعال کے ساتھ حقیقی اعداد کا مکمل نظریہ شامل کیا گیا۔ آخری دو مثالوں کو یکجا کیا جا سکتا ہے: حقیقی فیلڈ کی کسی بھی کم سے کم توسیع کو دیکھتے ہوئے (جیسے کہ محدود تجزیاتی افعال کے ساتھ حقیقی فیلڈ)، کوئی بھی اس کے فافین بندش کی وضاحت کر سکتا ہے، جو ایک بار پھر ایک کم سے کم ڈھانچہ ہے۔ (کسی ڈھانچے کی فافین بندش، خاص طور پر، فافین زنجیروں کے تحت بند ہوتی ہے جہاں کثیر الجہتی کی جگہ من مانی تعریف کے قابل افعال استعمال ہوتے ہیں۔) آر سی ایف کے معاملے میں، قابل تعریف سیٹ نیم الجبرائی سیٹ ہوتے ہیں۔ اس طرح او-منیمل ڈھانچوں اور نظریات کا مطالعہ حقیقی الجبرائی جیومیٹری کو عام کرتا ہے۔ موجودہ تحقیق کی ایک بڑی لائن حقیقی ترتیب شدہ فیلڈ کی توسیع کو دریافت کرنے پر مبنی ہے جو کم سے کم O ہے۔ اطلاق کی عامیت کے باوجود، کوئی بھی کم سے کم ڈھانچوں میں قابل تعریف سیٹ کی جیومیٹری کے بارے میں بہت کچھ دکھا سکتا ہے۔ سیل ڈکمپزیشن تھیوریم، وٹنی اور ورڈیئر اسٹریٹیفیکیشن تھیوریم اور طول و عرض اور اویلر کی خصوصیت کا ایک اچھا تصور ہے۔ مزید برآں، او-منیمل ڈھانچے میں مسلسل تفریق پذیر قابل تعریف افعال، لاجاسیویکس عدم مساوات کی عمومی وضاحت کو پورا کرتے ہیں، ایک ایسی خاصیت جو کچھ غیر ہموار اصلاح کے طریقوں، جیسے کہ سٹوچسٹک سب گریڈینٹ طریقہ (کچھ ہلکے مفروضوں کے تحت) کی ہم آہنگی کی ضمانت کے لیے استعمال کی گئی ہے۔ سیمی الجبرائی سیٹ حقیقی الجبرائی جیومیٹری مضبوط طور پر کم سے کم نظریہ کمزور او-کم سے کم ڈھانچہ سی-کم سے کم نظریہ ٹپولوجی نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط ماڈل تھیوری پری پرنٹ سرور حقیقی الجبرائی اور تجزیاتی جیومیٹری پری پرنٹ سرور ریاضیاتی منطق ماڈل تھیوری حقیقی الجبرائی جیومیٹری ٹپولوجی