Energy distance
توانائی کا فاصلہ امکان کی تقسیم کے درمیان ایک شماریاتی فاصلہ ہے۔ اگر X اور Y Rd میں بالترتیب مجموعی تقسیم کے افعال (cdf) F اور G کے ساتھ آزاد بے ترتیب ویکٹر ہیں، تو تقسیم F اور G کے درمیان توانائی کے فاصلے کو اس مربع جڑ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جہاں (X، X '، Y، Y') آزاد ہیں، X اور X 'کا cdf F ہے، Y اور Y' کا cdf G ہے، متوقع قیمت ہے، اور | |۔ | | ایک ویکٹر کی لمبائی کو ظاہر کرتا ہے۔ توانائی کا فاصلہ میٹرک کے تمام محوریوں کو مطمئن کرتا ہے اس طرح توانائی کا فاصلہ تقسیم کی مساوات کی خصوصیت رکھتا ہے: D (F, G) = 0 اگر اور صرف اس صورت میں جب F = G۔ شماریاتی ایپلی کیشنز کے لیے توانائی کا فاصلہ 1985 میں گابر جے زیکلی نے متعارف کرایا تھا، جس نے ثابت کیا کہ حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیرات کے لیے ہیرالڈ کریمر کے فاصلے سے بالکل دوگنا ہے: اس مساوات کے سادہ ثبوت کے لیے، زیکلی (2002) دیکھیں۔ تاہم، اعلی جہتوں میں، دونوں فاصلے مختلف ہیں کیونکہ توانائی کا فاصلہ گردش میں غیر متغیر ہے جبکہ کریمر کا فاصلہ نہیں ہے۔ (نوٹ کریں کہ کریمر کا فاصلہ تقسیم سے پاک کریمر-وون میسس کے معیار جیسا نہیں ہے۔) میٹرک خالی جگہوں پر عمومی کاری کوئی بھی میٹرک خالی جگہوں پر امکان کی تقسیم سے توانائی کے فاصلے کے تصور کو عام کر سکتا ہے۔ اس کے بوریل سگما الجبرا کے ساتھ ایک میٹرک اسپیس ہونے دیں۔ آئیے پیمائش کے قابل جگہ پر تمام امکانات کے اقدامات کے مجموعے کی نشاندہی کریں۔ اگر μ اور ν امکانات کی پیمائش ہیں، تو μ اور ν کے توانائی کے فاصلے کو اس کے مربع جڑ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، یہ ضروری نہیں کہ غیر منفی ہو۔ اگر ایک مضبوط منفی قطعی دانا ہے، تو ایک میٹرک ہے، اور اس کے برعکس۔ اس حالت کا اظہار یہ کہہ کر کیا جاتا ہے کہ اس کی قسم منفی ہے۔ منفی قسم میٹرک ہونے کے لیے کافی نہیں ہے ؛ مؤخر الذکر شرط کا اظہار یہ کہہ کر کیا جاتا ہے کہ اس کی مضبوط منفی قسم ہے۔ اس صورت حال میں، توانائی کا فاصلہ صفر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X اور Y یکساں طور پر تقسیم ہوں۔ منفی قسم کے لیکن مضبوط منفی قسم کے نہیں میٹرک کی ایک مثال ٹیکسی کیب میٹرک والا طیارہ ہے۔ تمام یوکلڈین خالی جگہوں اور یہاں تک کہ علیحدہ ہونے والی ہلبرٹ خالی جگہوں میں بھی مضبوط منفی قسم ہوتی ہے۔ مشین لرننگ کے لیے دانا کے طریقوں کے ادب میں، توانائی کے فاصلے کے ان عمومی تصورات کا مطالعہ زیادہ سے زیادہ اوسط تضاد کے نام سے کیا جاتا ہے۔ مفروضے کی جانچ کے لیے فاصلے پر مبنی اور دانا کے طریقوں کے مساوات کا احاطہ کئی مصنفین کرتے ہیں۔ توانائی کے اعداد و شمار ایک متعلقہ شماریاتی تصور، ای-شماریاتی یا توانائی کے اعداد و شمار کا تصور 1980 کی دہائی میں گابر جے زیکلی نے متعارف کرایا تھا جب وہ بڈاپسٹ، ہنگری اور ایم آئی ٹی، ییل اور کولمبیا میں بول چال کے لیکچر دے رہے تھے۔ یہ تصور نیوٹن کی ممکنہ توانائی کے تصور پر مبنی ہے۔ خیال یہ ہے کہ شماریاتی مشاہدات کو ایک شماریاتی ممکنہ توانائی کے زیر انتظام آسمانی اجسام کے طور پر سمجھا جائے جو صرف اس صورت میں صفر ہے جب ایک بنیادی شماریاتی صفر مفروضہ درست ہو۔ توانائی کے اعداد و شمار شماریاتی مشاہدات کے درمیان فاصلے کے افعال ہیں۔ زنجر اے اے، کاکوسیان اے وی، کلیبانوف ایل بی میں توانائی کے فاصلے اور ای-اعدادوشمار کو این-فاصلے اور این-اعدادوشمار سمجھا جاتا تھا۔ کچھ امکانی میٹرکس، سٹوچسٹک ماڈلز کے لیے استحکام کے مسائل کے سلسلے میں کچھ اعداد و شمار کی اوسط اقدار کے ذریعے تقسیم کی خصوصیت۔ ماسکو، VNIISI، 1989,47-55۔ (روسی میں)، انگریزی ترجمہ: اعداد و شمار کی اوسط اقدار اور بعض ممکنہ میٹرکس A کے ذریعہ تقسیم کی خصوصیت۔ جرنل آف سوویت میتھمیٹکس (1992) میں اے۔ زنجر، اے۔ وی۔ کاکوسیان، ایل۔ بی۔ کلیبانوف۔ اسی مقالے میں مضبوطی سے منفی قطعی دانا کی تعریف دی گئی تھی، اور میٹرک خالی جگہوں پر عمومی وضاحت فراہم کی گئی تھی، جس پر اوپر بحث کی گئی تھی۔ یہ کتاب ان نتائج اور ان کے اطلاقات کو شماریاتی جانچ میں بھی پیش کرتی ہے۔ اس کتاب میں پیمائش کو اس کی صلاحیت سے بازیافت کرنے کے لیے کچھ ایپلی کیشنز بھی شامل ہیں۔ مساوی تقسیم کے لیے جانچ اس صفر مفروضے پر غور کریں کہ دو بے ترتیب متغیرات، X اور Y، میں امکانات کی تقسیم ایک جیسی ہے: X اور Y سے شماریاتی نمونوں کے لیے: اور، X اور Y نمونوں کے درمیان فاصلے کی درج ذیل ریاضی اوسط کا حساب لگایا جاتا ہے: بنیادی صفر مفروضے کے ای-اعدادوشمار کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: کوئی بھی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ اور یہ کہ متعلقہ آبادی کی قیمت صفر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X اور Y کی تقسیم ایک جیسی ہو ()۔ اس کالعدم مفروضے کے تحت ٹیسٹ کے اعداد و شمار تقسیم میں آزاد معیاری عام بے ترتیب متغیرات کی ایک چوتھائی شکل میں بدل جاتے ہیں۔ متبادل مفروضے کے تحت T انفینٹی کی طرف مائل ہوتا ہے۔ اس سے ایک مستقل شماریاتی ٹیسٹ، مساوی تقسیم کے لیے توانائی ٹیسٹ کی تعمیر ممکن ہو جاتی ہے۔ غیر ہم آہنگی کا ای-گتانک بھی متعارف کرایا جا سکتا ہے۔ یہ ہمیشہ 0 اور 1 کے درمیان ہوتا ہے اور اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں متوقع قدر کی نشاندہی ہوتی ہے۔ H = 0 بالکل اس وقت جب X اور Y کی تقسیم ایک جیسی ہو۔ اچھائی کی فٹ ایک کثیر متغیر اچھائی کی فٹ پیمائش کو صوابدیدی طول و عرض میں تقسیم کے لیے بیان کیا گیا ہے (نمونے کے سائز کے لحاظ سے محدود نہیں)۔ انرجی گڈنیس آف فٹ اعدادوشمار وہ ہے جہاں X اور X 'آزاد ہیں اور قیاس شدہ تقسیم کے مطابق یکساں طور پر تقسیم ہیں، اور۔ واحد مطلوبہ شرط یہ ہے کہ صفر مفروضے کے تحت X کا مومنٹ محدود ہے۔ نیل مفروضے کے تحت، اور کیو این کی غیر علامتی تقسیم مرکوز گوسیئن بے ترتیب متغیرات کی ایک چوتھائی شکل ہے۔ ایک متبادل مفروضے کے تحت، کیو این بے ترتیب طور پر انفینیٹی کی طرف مائل ہوتا ہے، اور اس طرح اعدادوشمار کے لحاظ سے مستقل ٹیسٹ کا تعین کرتا ہے۔ زیادہ تر ایپلی کیشنز کے لیے ایکسپوینٹ 1 (یوکلڈین فاصلہ) کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ ملٹی ویریٹ نارملٹی کی جانچ کا اہم خاص معاملہ آر کے لیے انرجی پیکیج میں لاگو کیا جاتا ہے۔ ٹیسٹ بھاری دم والی تقسیم جیسے پیریٹو (پاور لا)، یا (0,1) میں متغیرات کے اطلاق کے ذریعے مستحکم تقسیم کے لیے بھی تیار کیے جاتے ہیں۔ ایپلی کیشنز کی ایپلی کیشنز میں شامل ہیں: ہائیرارکیکل کلسٹرنگ (وارڈ کے طریقہ کار کی عمومی شکل) ملٹی ویریٹ نارملٹی کی جانچ مساوی تقسیم کے ملٹی سیمپل مفروضے کی جانچ، پوائنٹ کا پتہ لگانے کی ملٹی ویریٹ آزادی کو تبدیل کریں: فاصلہ ارتباط، براؤنین کوویرینس۔ اسکورنگ کے اصول: گینیٹنگ اور رافٹری ممکنہ پیش گوئیوں کے لیے ایک نئی اور بہت ہی عام قسم کے مناسب اسکورنگ اصول، توانائی اسکور کو تیار کرنے کے لیے توانائی کے فاصلے کا اطلاق کرتے ہیں۔ مضبوط اعداد و شمار منظرنامے میں کمی جین کا انتخاب مائیکرو ارے ڈیٹا تجزیہ مادی ساخت کا تجزیہ مورفومیٹرک اور کیمومیٹرک ڈیٹا توانائی کے اعداد و شمار کی ایپلی کیشنز کو آر کے لیے اوپن سورس انرجی پیکیج میں لاگو کیا جاتا ہے۔ حوالہ جات شماریاتی فاصلہ شماریاتی مفروضہ جانچ تھیوری آف پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن