Cayley–Klein metric
ریاضی میں، کیلے-کلین میٹرک ایک پروجیکٹو اسپیس میں ایک فکسڈ کواڈریک کی تکمیل پر ایک میٹرک ہے جس کی تعریف کراس تناسب کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ اس تعمیر کا آغاز آرتھر کیلی کے مضمون "آن دی تھیوری آف ڈسٹنس" سے ہوا جہاں وہ کواڈریک کو مطلق کہتے ہیں۔ اس تعمیر کو فیلکس کلین نے 1871 اور 1873 میں کاغذات میں اور اس کے بعد کی کتابوں اور کاغذات میں مزید تفصیل سے تیار کیا تھا۔ کیلی-کلین میٹرکس جیومیٹری میں ایک متحد خیال ہے کیونکہ یہ طریقہ ہائپربولک جیومیٹری، ایلیپٹک جیومیٹری، اور یوکلڈین جیومیٹری میں میٹرکس فراہم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ غیر یوکلڈین جیومیٹری کا میدان بڑی حد تک کیلی-کلین میٹرکس کے فراہم کردہ فوٹنگ پر منحصر ہے۔ کارل وان اسٹاؤڈ (1847) کا تھرو کا الجبرا جیومیٹری کے لیے ایک نقطہ نظر ہے جو میٹرک سے آزاد ہے۔ خیال یہ تھا کہ پروجیکٹو ہارمونک کنجوگیٹس اور کراس تناسب کے تعلق کو لائن پر پیمائش کے لیے بنیادی طور پر استعمال کیا جائے۔ ایک اور اہم بصیرت ایڈمنڈ لاگیری (1853) کا لاگیری فارمولا تھا، جس نے یہ ظاہر کیا کہ دو لائنوں کے درمیان یوکلیڈین زاویے کو کراس تناسب کے لوگارتھم کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آخر کار، کیلی (1859) نے ایک پروجیکٹو میٹرک کے لحاظ سے فاصلے کو ظاہر کرنے کے لیے تعلقات وضع کیے، اور انہیں جیومیٹری کے مطلق کے طور پر کام کرنے والے عمومی کواڈریکس یا کونکس سے منسلک کیا۔ کلین (1871، 1873) نے وان اسٹاؤڈ کے کام سے میٹرک تصورات کی آخری باقیات کو ہٹا دیا اور اسے کیلی کے نظریہ کے ساتھ جوڑ دیا، تاکہ کیلی کے نئے میٹرک کو لوگرتھم اور کراس تناسب پر چار پوائنٹس کے ہندسی ترتیب سے پیدا ہونے والے نمبر کے طور پر مبنی کیا جا سکے۔ یہ طریقہ کار فاصلے کی سرکلر تعریف سے بچنے کے لیے ضروری ہے اگر کراس تناسب محض پہلے بیان کردہ فاصلے کا دوگنا تناسب ہے۔ خاص طور پر، اس نے دکھایا کہ غیر یوکلڈین ہندسیں کیلی-کلین میٹرک پر مبنی ہو سکتی ہیں۔ کیلی-کلین جیومیٹری حرکتوں کے اس گروپ کا مطالعہ ہے جو کیلی-کلین میٹرک کو غیر متغیر چھوڑتا ہے۔ یہ ایک کواڈریک یا کونک کے انتخاب پر منحصر ہے جو خلا کا مطلق بن جاتا ہے۔ یہ گروپ کولی نیشن کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے جس کے لیے مطلق مستحکم ہوتا ہے۔ درحقیقت، کراس تناسب کسی بھی کولی نیشن کے تحت غیر متغیر ہے، اور مستحکم مطلق میٹرک موازنہ کو قابل بناتا ہے، جو مساوات ہوگی۔ مثال کے طور پر، یونٹ سرکل ہائپربولک جیومیٹری میں پوئن کیئر ڈسک ماڈل اور بیلٹرامی-کلین ماڈل کا مطلق ہے۔ اسی طرح، حقیقی لکیر پوئنکیئر ہاف پلین ماڈل کا مطلق ہے۔ کیلی-کلین جیومیٹری کی حد کا خلاصہ ہارسٹ اور رالف اسٹروو نے 2004 میں کیا تھا: حقیقی پروجیکٹو لائن میں تین مطلق، حقیقی پروجیکٹو طیارہ میں سات، اور حقیقی پروجیکٹو اسپیس میں 18 ہیں۔ تمام کلاسیکی غیر یوکلڈین پروجیکٹو خالی جگہوں جیسے ہائپربولک، ایلیپٹک، گیلیلین اور منکوسکیان اور ان کے ڈوئلز کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ کیلے-کلین ورونوئی خاکے لکیری ہائپرپلین بائیسیکٹرز کے ساتھ افائن خاکے ہیں۔ کراس تناسب اور فاصلہ کیلی-کلین میٹرک کو پہلے حقیقی پروجیکٹو لائن P (R) اور پروجیکٹو کوآرڈینیٹس پر دکھایا گیا ہے۔ عام طور پر پروجیکٹو جیومیٹری میٹرک جیومیٹری سے وابستہ نہیں ہوتی ہے، لیکن ہوموگرافی اور قدرتی لوگرتھم والا آلہ تعلق بناتا ہے۔ P (R) پر دو پوائنٹس p اور q سے شروع کریں۔ کینونکل ایمبیڈنگ میں وہ ہیں [p: 1] اور [q: 1]۔ ہوموگرافک نقشہ p کو صفر اور q کو انفینیٹی پر لے جاتا ہے۔ مزید برآں، درمیانی نقطہ (p + q)/2 [1:1] پر جاتا ہے۔ قدرتی لوگارتھم وقفہ [p, q] کی تصویر کو حقیقی لکیر پر لے جاتا ہے، جس میں وسط نقطہ کی تصویر کا لاگ 0 ہوتا ہے۔ وقفے میں دو پوائنٹس کے درمیان فاصلے کے لیے، کیلی-کلین میٹرک پوائنٹس کے تناسب کا لوگارتھم استعمال کرتا ہے۔ چونکہ تناسب اس وقت محفوظ رہتا ہے جب عدد اور ڈینومینیٹر یکساں طور پر دوبارہ متناسب ہوتے ہیں، اس لیے اس طرح کے تناسب کا لوگارتھم محفوظ رہتا ہے۔ تناسب کی یہ لچک فاصلے کے لیے صفر نقطہ کی نقل و حرکت کو قابل بناتی ہے: اسے a پر منتقل کرنے کے لیے، مندرجہ بالا ہوموگرافی کا اطلاق کریں، جیسے کہ w حاصل کرنا۔ پھر اس ہوموگرافی کو تشکیل دیں: جس میں [w, 1] سے [1:1] لگتا ہے۔ پہلے اور دوسرے ہوموگرافیوں کی ساخت a سے 1 تک لے جاتی ہے، اس طرح وقفے میں صوابدیدی a کو معمول بناتا ہے۔ کمپوزڈ ہوموگرافیوں کو پی، کیو اور اے کا کراس ریشو ہوموگرافی کہا جاتا ہے۔ اکثر کراس تناسب کو چار اقدار کے فنکشن کے طور پر متعارف کرایا جاتا ہے۔ یہاں تین ہوموگرافی کی وضاحت کرتے ہیں اور چوتھا ہوموگرافی کی دلیل ہے۔ 0 سے اس چوتھے نقطہ کا فاصلہ تشخیص شدہ ہوموگرافی کا لوگارتھم ہے۔ P (R) پر مشتمل ایک پروجیکٹو اسپیس میں، فرض کریں کہ ایک کونک K دیا گیا ہے، جس میں K پر p اور q ہے۔ بڑی جگہ پر ہوموگرافی میں K ایک غیر متغیر سیٹ کے طور پر ہو سکتا ہے کیونکہ یہ اسپیس کے پوائنٹس کو پرموٹ کرتا ہے۔ اس طرح کی ہوموگرافی P (R) پر ایک کو متاثر کرتی ہے، اور چونکہ p اور q K پر رہتے ہیں، اس لیے کراس تناسب غیر متغیر رہتا ہے۔ اعلی ہوموگرافیاں K سے محصور خطے کی حرکتیں فراہم کرتی ہیں، جس میں حرکت کے تحفظ کا فاصلہ، ایک آئسومیٹری ہے۔ ڈسک ایپلی کیشنز فرض کریں کہ مطلق کے لیے ایک یونٹ سرکل منتخب کیا گیا ہے۔ دوسری طرف، عام پیچیدہ سطح میں اکائی کا دائرہ پیچیدہ عدد ریاضی کا استعمال کرتا ہے اور پیچیدہ پروجیکٹو لائن P (C) میں پایا جاتا ہے، جو حقیقی پروجیکٹو سطح P2 (R) سے کچھ مختلف ہے۔ پچھلے حصے میں متعارف کرایا گیا پی (آر) کے لیے فاصلہ تصور دستیاب ہے کیونکہ پی (آر) پی 2 (آر) اور پی (سی) دونوں میں شامل ہے۔ فرض کریں کہ a اور b P2 (R) میں دائرے کے اندرونی ہیں۔ پھر وہ ایک لکیر پر پڑے ہوتے ہیں جو دائرے کو p اور q پر کاٹتی ہے۔ a سے b تک کا فاصلہ ہوماگرافی کی قدر کا لوگارتھم ہے، جو b پر لاگو ہونے پر p، q، اور a سے اوپر پیدا ہوتا ہے۔ اس مثال میں ڈسک میں جیوڈیکس لائن سیگمنٹ ہیں۔ دوسری طرف، جیوڈیکسکس پیچیدہ سطح کی ڈسک میں عمومی حلقوں کے آرکس ہیں۔ منحنی خطوط کی اس کلاس کو موبیئس ٹرانسفارمیشنز کے ذریعے پرموٹ کیا جاتا ہے، جو اس ڈسک کی حرکتوں کا ذریعہ ہے جو یونٹ کے دائرے کو ایک غیر متغیر سیٹ کے طور پر چھوڑ دیتا ہے۔ اس ڈسک میں a اور b کو دیکھتے ہوئے، ایک منفرد عمومی دائرہ ہے جو یونٹ کے دائرے سے صحیح زاویہ پر ملتا ہے، فرض کریں کہ اسے p اور q پر کاٹتا ہے۔ ایک بار پھر، a سے b تک کے فاصلے کے لیے پہلے p، q، اور a کے لیے ہوماگرافی بناتا ہے، پھر b پر اس کا اندازہ کرتا ہے، اور آخر میں لوگارتھم کا استعمال کرتا ہے۔ اس انداز میں حاصل کردہ ہائپربولک طیارہ کے دو ماڈل کیلی-کلین ماڈل اور پوئن کیئر ڈسک ماڈل ہیں۔ خصوصی اضافیت 1919/20 سے ریاضی کی تاریخ پر اپنے لیکچرز میں، جو بعد از مرگ 1926 میں شائع ہوئے، کلین نے لکھا: چار جہتی دنیا میں معاملہ یا (تین جہتوں میں رہنا اور یکساں نقاط کا استعمال کرنا) نے حال ہی میں نظریہ اضافیت کے ذریعے خصوصی اہمیت حاصل کی ہے۔ طبیعیات یعنی مطلق یا ہائپربولک جیومیٹری میں (جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے)، وقفوں یا خلائی وقت سے مطابقت رکھتے ہیں، اور مطلق غیر متغیر کو چھوڑ کر اس کی تبدیلی کا تعلق لورینٹز تبدیلیوں سے ہو سکتا ہے۔ اسی طرح، ہائپربولک جیومیٹری میں یونٹ دائرے یا یونٹ دائرے کی مساوات جسمانی رفتار یا اضافیت سے مطابقت رکھتی ہیں، جو روشنی کی رفتار سے محدود ہوتی ہیں، تاکہ کسی بھی جسمانی رفتار کے لیے، تناسب کسی یونٹ دائرے کے اندرونی حصے تک محدود ہو، اور دائرے کی سطح جیومیٹری کے لیے کیلی مطلق بناتی ہے۔ ہائپربولک اسپیس کے لیے کیلی-کلین میٹرک اور خصوصی اضافیت کے منکوسکی اسپیس کے درمیان تعلق کے بارے میں اضافی تفصیلات کی طرف کلین نے 1910 میں، اور ساتھ ہی غیر یوکلڈین جیومیٹری پر اپنے لیکچرز کے 1928 کے ایڈیشن میں اشارہ کیا تھا۔ افائن سی کے جیومیٹری 2008 میں ہورسٹ مارٹینی اور مارگریٹا اسپیروا نے کیلی مطلق سے وابستہ افائن جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے کلفورڈ کے پہلے دائرے کے نظریات اور دیگر یوکلیڈین جیومیٹری کو عام کیا: اگر مطلق ایک لکیر پر مشتمل ہے، تو کوئی افائن کیلی کلین جیومیٹریز کا ذیلی خاندان حاصل کرتا ہے۔ اگر مطلق ایک لکیر f اور f پر ایک نقطہ F پر مشتمل ہے، تو ہمارے پاس آئسوٹروپک جیومیٹری ہے۔ ایک آئسوٹروپک دائرہ F پر f کو چھونے والا مخروطی ہوتا ہے۔ یکساں نقاط (x، y، z) استعمال کریں۔ لائن f لامحدود پر z = 0 ہے۔ اگر F = (0,1,0)، تو ایک پیرابولہ جس کا قطر y-محور کے متوازی ہو، ایک آئسوٹروپک دائرہ ہے۔ فرض کریں کہ P = (1,0,0) اور Q = (0,1,0) مطلق پر ہوں، لہذا f اوپر کی طرح ہے۔ (x، y) سطح میں ایک آئتاکار ہائپربولا کو انفینیٹی پر لائن پر P اور Q سے گزرنا سمجھا جاتا ہے۔ یہ منحنی خطوط فرضی یوکلڈین حلقے ہیں۔ مارٹینی اور اسپیروا کا علاج آئسوٹروپک جیومیٹری کے لیے دوہری اعداد اور فرضی یوکلڈین جیومیٹری کے لیے تقسیم پیچیدہ اعداد کا استعمال کرتا ہے۔ یہ عمومی پیچیدہ اعداد اپنی جیومیٹریز کے ساتھ اسی طرح منسلک ہوتے ہیں جیسے عام پیچیدہ اعداد یوکلڈین جیومیٹری کے ساتھ کرتے ہیں۔ تاریخ کیلی آرتھر کیلی (1859) نے "مطلق" کی تعریف کی جس پر انہوں نے اپنے پروجیکٹو میٹرک کو یکساں نقاط کے لحاظ سے سیکنڈ ڈگری کی سطح کی عمومی مساوات کے طور پر مبنی کیا: اس کے بعد دو نکات کے درمیان فاصلہ دو جہتوں میں دیا جاتا ہے جس کے فاصلے کے ساتھ انہوں نے خصوصی معاملے کو فاصلے کے ساتھ زیر بحث لایا۔ انہوں نے کیس (یونٹ دائرے) کی طرف بھی اشارہ کیا۔ کلین فیلکس کلین (1871) نے کیلی کے تاثرات کو اس طرح تبدیل کیا: اس نے مطلق (جسے وہ بنیادی کونک سیکشن کہتا ہے) کو یکساں نقاط کے لحاظ سے لکھا: اور مطلقوں کو تشکیل دے کر اور دو عناصر کے لیے، اس نے ان کے درمیان پیمائش کے فاصلے کو کراس تناسب کے لحاظ سے بیان کیا: سطح میں، پیمائش کے فاصلے کے لیے وہی تعلقات ہوتے ہیں، سوائے اس کے اور اب ان کا تعلق تین نقاط سے ہے۔ بنیادی کونک سیکشن کے طور پر انہوں نے خصوصی کیس پر تبادلہ خیال کیا، جو کہ حقیقی ہونے پر ہائپربولک جیومیٹری سے متعلق ہے، اور خیالی ہونے پر ایلیپٹک جیومیٹری سے متعلق ہے۔ اس شکل کو غیر متغیر چھوڑنے والی تبدیلیاں متعلقہ غیر یوکلڈین جگہ میں حرکتوں کی نمائندگی کرتی ہیں۔ متبادل طور پر، اس نے دائرے کی مساوات کو اس شکل میں استعمال کیا، جو مثبت ہونے پر ہائپربولک جیومیٹری (بیلٹرامی-کلین ماڈل) یا منفی ہونے پر ایلیپٹک جیومیٹری سے متعلق ہے۔ خلا میں، انہوں نے سیکنڈ ڈگری کی بنیادی سطحوں پر تبادلہ خیال کیا، جس کے مطابق خیالی سطحیں ایلیپٹک جیومیٹری کا حوالہ دیتی ہیں، حقیقی اور ریکٹلینئر سطحیں ایک شیٹ ہائپربولائڈ سے مطابقت رکھتی ہیں جن کا تین اہم جیومیٹریز میں سے کسی ایک سے کوئی تعلق نہیں ہے، جبکہ حقیقی اور غیر ریکٹلینئر سطحیں ہائپربولک جگہ کا حوالہ دیتی ہیں۔ اپنے 1873 کے مقالے میں انہوں نے کیلی میٹرک اور ٹرانسفارمیشن گروپوں کے درمیان تعلق کی نشاندہی کی۔ خاص طور پر، حقیقی کوفشنٹس کے ساتھ کواڈریٹک مساوات، جو سیکنڈ ڈگری کی سطحوں سے مطابقت رکھتی ہیں، کو مربعوں کے مجموعے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، جن میں مثبت اور منفی علامتوں کی تعداد کے درمیان فرق برابر رہتا ہے (اسے اب سلویسٹر کا لا آف انیرشیا کہا جاتا ہے)۔ اگر تمام مربعوں کی علامت ایک جیسی ہے، تو سطح مثبت منحنیت کے ساتھ خیالی ہے۔ اگر ایک علامت دوسروں سے مختلف ہے، تو سطح منفی منحنیت کے ساتھ ایک ایلیپسائڈ یا دو شیٹ ہائپربولائڈ بن جاتی ہے۔ سرمائی سمسٹر 1889/90 (شائع شدہ 1892/1893) میں غیر یوکلڈین جیومیٹری پر اپنے لیکچرز کے پہلے حصے میں، انہوں نے غیر یوکلڈین سطح پر تبادلہ خیال کیا، ان تاثرات کو مطلق کے لیے استعمال کرتے ہوئے: اور غیر یوکلڈین خالی جگہوں میں حرکت کی نمائندگی کرنے والے کولی نیشن اور موبیئس تبدیلیوں کے حوالے سے ان کی غیر متغیرات پر تبادلہ خیال کیا۔ 1890 کے سمر سمسٹر کے لیکچرز پر مشتمل دوسرے حجم میں (جسے 1892/1893 بھی شائع کیا گیا تھا)، کلین نے کیلی میٹرک کے ساتھ غیر یوکلڈین اسپیس پر تبادلہ خیال کیا اور یہ ظاہر کیا کہ اس چوتھائی کواڈریٹک شکل کی مختلف شکلوں کو حقیقی لکیری تبدیلیوں کے ذریعے درج ذیل پانچ شکلوں میں سے کسی ایک میں لایا جا سکتا ہے۔ اس شکل کو کلین نے ایلیپٹک جیومیٹری کے کیلی مطلق کے طور پر استعمال کیا تھا، جبکہ ہائپربولک جیومیٹری سے اس نے متعلقہ اور متبادل طور پر یونٹ دائرے کی مساوات۔ انہوں نے بالآخر غیر یوکلڈین خالی جگہوں میں حرکتوں کی نمائندگی کرنے والے کولی نیشن اور موبیئس تبدیلیوں کے حوالے سے ان کی غیر متغیرات پر تبادلہ خیال کیا۔ رابرٹ فرک اور کلین نے 1897 میں آٹومورفک افعال پر لیکچرز کے پہلے حجم کے تعارف میں اس سب کا خلاصہ کیا، جس میں انہوں نے طیارہ جیومیٹری میں مطلق کے طور پر استعمال کیا، اور ساتھ ہی ہائپربولک اسپیس کے لیے بھی۔ غیر یوکلڈین جیومیٹری پر کلین کے لیکچرز کو بعد از مرگ ایک جلد کے طور پر دوبارہ شائع کیا گیا اور 1928 میں والتھر روزمین نے نمایاں طور پر ترمیم کی۔ غیر یوکلڈین جیومیٹری پر کلین کے کام کا ایک تاریخی تجزیہ اے کیمپو اور پاپاڈوپولوس (2014) نے دیا تھا۔ ہلبرٹ میٹرک نوٹس حوالہ جات تاریخی (دوسرا پرنٹ، 1892 میں پہلا پرنٹ) (دوسرا پرنٹ، 1892 میں پہلا پرنٹ) ثانوی ذرائع برٹرینڈ رسل (1898) جیومیٹری کی بنیادوں پر ایک مضمون، ڈوور پبلکیشنز انکارپوریٹڈ کے ذریعہ 1956 میں دوبارہ جاری کیا گیا۔ الفریڈ نارتھ وائٹ ہیڈ (1898) یونیورسل الجبرا، کتاب VI باب 1: نظریہ فاصلہ، پی پی 347-70، خاص طور پر سیکشن 199 کیلی کا نظریہ فاصلہ۔ ڈنکن سومر ویل (1910/11) "n-جہتی خلا میں کیلی-کلین میٹرکس"، ایڈنبرا ریاضیاتی سوسائٹی کی کارروائی 28:25-41۔ انگریزی ترجمہ میں ڈیوڈ ڈیلفینیچ کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا: لورینٹز گروپ کی ہندسی بنیادوں پر ؛ انگریزی ترجمہ: 19 ویں صدی میں ریاضی کی ترقی ایم ایکر مین کے ذریعہ، ریاضی سائنس پریس ہاروی لپکن (1985) جارجیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹکنالوجی سے میٹرکل جیومیٹری مزید پڑھنے کے لیے جان ڈروسلر (1979) "کلی-کلین جیومیٹریز میں کثیر جہتی میٹرک اسکیلنگ کی بنیادیں"، برٹش جرنل آف میتھمیٹیکل اینڈ شماریاتی نفسیات 32 (2) ؛ 185-211 پروجیکٹو جیومیٹری میٹرک جیومیٹری