Poincaré disk model
جیومیٹری میں، پوئن کیئر ڈسک ماڈل، جسے کنفارمل ڈسک ماڈل بھی کہا جاتا ہے، 2 جہتی ہائپربولک جیومیٹری کا ایک ماڈل ہے جس میں تمام نکات یونٹ ڈسک کے اندر ہوتے ہیں، اور سیدھی لکیریں یا تو ڈسک کے اندر موجود سرکلر آرکس ہوتی ہیں جو یونٹ کے دائرے یا یونٹ کے دائرے کے قطر کے لیے آرتھوگنل ہوتی ہیں۔ ڈسک ماڈل کے آئسومیٹریز کو محفوظ رکھنے والے واقفیت کا گروپ پروجیکٹو اسپیشل یونٹیری گروپ کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جو اس کے مرکز کے ذریعہ خصوصی یونٹیری گروپ ایس یو (1,1) کا حصّہ ہے۔ کلین ماڈل اور پوئن کیئر ہاف اسپیس ماڈل کے ساتھ، یہ یوجینیو بیلٹرامی نے تجویز کیا تھا جس نے ان ماڈلز کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا کہ ہائپربولک جیومیٹری یوکلڈین جیومیٹری کے برابر ہے۔ اس کا نام ہنری پوئن کیری کے نام پر رکھا گیا ہے، کیونکہ اس کی اس نمائندگی کی دوبارہ دریافت چودہ سال بعد بیلٹرامی کے اصل کام سے زیادہ مشہور ہوئی۔ پوئن کیئر بال ماڈل 3 یا n-جہتی ہائپربولک جیومیٹری کے لیے اسی طرح کا ماڈل ہے جس میں جیومیٹری کے پوائنٹس n-جہتی یونٹ بال میں ہوتے ہیں۔ ڈسک ماڈل کو سب سے پہلے برن ہارڈ ریمن نے 1854 کے لیکچر (1868 میں شائع) میں بیان کیا تھا، جس نے یوجینیو بیلٹرامی کے 1868 کے مقالے کو متاثر کیا تھا۔ ہنری پوئن کیری نے اسے اپنے 1882 کے ہائپربولک، پیرابولک اور ایلیپٹک افعال کے علاج میں استعمال کیا، لیکن یہ پوئن کیری کے 1905 کے فلسفیانہ مقالے، سائنس اور مفروضے میں پیش کرنے کے بعد بڑے پیمانے پر مشہور ہوا۔ وہاں وہ ایک ایسی دنیا کی وضاحت کرتا ہے، جسے اب پوئن کیری ڈسک کے نام سے جانا جاتا ہے، جس میں جگہ یوکلڈین تھی، لیکن جو اس کے باشندوں کو ہائپربولک جیومیٹری کے محرکات کو پورا کرنے کے لیے نمودار ہوئی: "فرض کریں، مثال کے طور پر، ایک ایسی دنیا جو ایک بڑے دائرے میں بند ہے اور مندرجہ ذیل قوانین کے تابع ہے: درجہ حرارت یکساں نہیں ہے۔ یہ ان کے مرکز میں سب سے بڑا ہے، اور جیسے جیسے ہم دائرے کے دائرے کی طرف بڑھتے ہیں، آہستہ آہستہ کم ہوتا جاتا ہے، جہاں یہ مطلق صفر ہے۔ اس درجہ حرارت کا قانون مندرجہ ذیل ہے: اگر دائرے کا رداس اور مرکز سے سمجھے جانے والے نقطہ کا فاصلہ ہو تو مطلق درجہ حرارت اس کے متناسب ہوگا۔ مزید برآں، میں فرض کروں گا کہ اس دنیا میں تمام اجسام میں پھیلاؤ کا ایک ہی گتانک ہے، تاکہ کسی بھی اجسام کا لکیری پھیلاؤ اس کے مطلق درجہ حرارت کے متناسب ہو۔ آخر میں، میں یہ فرض کروں گا کہ مختلف درجہ حرارت کا ایک مقام سے دوسرے مقام پر منتقل ہونے والا جسم اپنے نئے ماحول کے ساتھ فوری طور پر تھرمل توازن میں ہے۔ ۔ اگر وہ جیومیٹری بناتے ہیں، تو یہ ہماری طرح نہیں ہوگا، جو کہ ہمارے غیر متغیر ٹھوسوں کی نقل و حرکت کا مطالعہ ہے۔ یہ پوزیشن کی تبدیلیوں کا مطالعہ ہوگا جسے انہوں نے اس طرح ممتاز کیا ہوگا، اور یہ 'غیر یوکلڈین نقل مکانی' ہوگی، اور یہ غیر یوکلڈین جیومیٹری ہوگی۔ تاکہ ایسی دنیا میں تعلیم یافتہ ہم جیسے مخلوق کی جیومیٹری ہماری جیسی نہ ہو۔ " (pp.65-68) پوئن کیئر کی ڈسک اس مفروضے کے لیے ثبوت کا ایک اہم ٹکڑا تھا کہ مقامی جیومیٹری کا انتخاب حقیقت پسندانہ کے بجائے روایتی ہے، خاص طور پر روڈولف کارنیپ اور ہنس ریچنباخ کے بااثر فلسفیانہ مباحثوں میں۔ ہائپربولک سیدھی لکیریں ڈسک کے اندر موجود یوکلڈین حلقوں کے تمام آرکس پر مشتمل ہوتی ہیں جو ڈسک کی حدود کے لیے آرتھوگنل ہوتے ہیں، نیز ڈسک کے تمام قطر۔ کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیر باؤنڈری سرکل کے قطر پر نہیں بلکہ دو پوائنٹس کے ذریعے منفرد ہائپربولک لائن کی تعمیر اس طرح کی جا سکتی ہے: آئیے پوائنٹ کے باؤنڈری سرکل میں الٹ ہونا چاہیے، آئیے پوائنٹ کے باؤنڈری سرکل میں الٹ ہونا چاہیے، آئیے سیگمنٹ کا وسط نقطہ ہونا چاہیے، سیگمنٹ کے عمودی حصے سے لائن کھینچیں، سیگمنٹ کے عمودی حصے سے لائن کھینچیں، جہاں لائن اور لائن ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ مرکز کے ساتھ دائرہ کھینچیں اور (اور) سے گزریں۔ دائرے کا وہ حصہ جو ڈسک کے اندر ہے ہائپربولک لائن ہے۔ اگر P اور Q باؤنڈری سرکل کے قطر پر ہوں تو وہ قطر ہائپربولک لائن ہے۔ ایک اور طریقہ یہ ہے کہ: سیگمنٹ کا وسط نقطہ ہونے دیں۔ سیگمنٹ کو پرپینڈکولر کے ذریعے لکیر m کھینچیں، نقطہ کے باؤنڈری سرکل میں الٹا ہونے دیں، سیگمنٹ کا وسط نقطہ ہونے دیں۔ سیگمنٹ کو پرپینڈکیولر کے ذریعے لکیر کھینچیں، جہاں لکیر اور لکیر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ مرکز کے ساتھ دائرہ کھینچیں اور (اور) سے گزریں۔ دائرے کا وہ حصہ جو ڈسک کے اندر ہے ہائپربولک لائن ہے۔ اس ماڈل میں فاصلے کیلے-کلین میٹرکس ہیں۔ ڈسک کے اندر دو الگ الگ پوائنٹس p اور q کو دیکھتے ہوئے، ان کو جوڑنے والی منفرد ہائپربولک لائن باؤنڈری کو دو مثالی پوائنٹس، a اور b پر کاٹتی ہے، انہیں لیبل لگائیں تاکہ پوائنٹس ترتیب میں، a، p، q، b اور اور ہوں۔ اس کے بعد p اور q کے درمیان ہائپربولک فاصلہ ہے عمودی سلاخیں ماڈل میں ان کے درمیان پوائنٹس کو جوڑنے والے لائن سیگمنٹ کی یوکلڈین لمبائی کی نشاندہی کرتی ہیں (دائرے کے آرک کے ساتھ نہیں)، ln قدرتی لوگرتھم ہے۔ دو نکات کے درمیان ہائپربولک فاصلے کا حساب لگانے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ڈسک کے مرکز سے p متعلقہ q کا فاصلہ کہاں اور کہاں ہے، p اور q کے درمیان فاصلہ، ڈسک کے باؤنڈری سرکل کا رداس اور ہائپربولک کوسین کا الٹا ہائپربولک فنکشن ہے۔ جب استعمال شدہ ڈسک کھلی یونٹ ڈسک ہوتی ہے اور ان نکات میں سے ایک نقطہ اصل ہوتا ہے اور نکات کے درمیان یوکلڈین فاصلہ r ہوتا ہے تو ہائپربولک فاصلہ ہوتا ہے: ہائپربولک ٹینجینٹ کا الٹا ہائپربولک فنکشن کہاں ہے۔ جب استعمال شدہ ڈسک کھلی یونٹ ڈسک ہوتی ہے اور نقطہ اصل اور نقطہ کے درمیان ہوتا ہے (یعنی۔ دونوں نکات ایک ہی رداس پر ہیں، ایک ہی قطبی زاویہ رکھتے ہیں اور)، ان کا ہائپربولک فاصلہ ہے۔ دائرے (دائرے میں تمام نکات کا مجموعہ جو کسی دیئے گئے نقطہ، اس کے مرکز سے دیئے گئے فاصلے پر ہوتا ہے) ڈسک کے اندر مکمل طور پر ایک دائرہ ہوتا ہے جو اس کی حدود کو چھوتا یا کاٹتا نہیں ہے۔ ماڈل میں دائرے کا ہائپربولک مرکز عام طور پر دائرے کے یوکلڈین مرکز سے مطابقت نہیں رکھتا ہے، لیکن وہ حدود کے دائرے کے اسی رداس پر ہوتے ہیں۔ ہائپر سائیکل ایک ہائپر سائیکل (ہوائی جہاز میں تمام نکات کا مجموعہ جو ایک طرف اور کسی دی گئی لکیر، اس کے محور سے دیئے گئے فاصلے پر ہوتا ہے) باؤنڈری سرکل کا ایک یوکلڈین سرکل آرک یا کورڈ ہوتا ہے جو باؤنڈری سرکل کو مثبت لیکن غیر دائیں زاویے پر کاٹتا ہے۔ اس کا محور ہائپربولک لائن ہے جو ایک ہی دو مثالی نکات کا اشتراک کرتی ہے۔ اسے مساوی فاصلاتی منحنی خطوط کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ہاروسائیکلز (ہاروسائیکلز) (ایک وکر جس کے نارمل یا پرپینڈکولر جیوڈیکسکس سب ایک ہی سمت میں غیر علامتی طور پر یکجا ہوتے ہیں)، ڈسک کے اندر ایک دائرہ ہے جو ڈسک کے باؤنڈری سرکل کو چھوتا ہے۔ جس مقام پر یہ باؤنڈری سرکل کو چھوتا ہے وہ ہاروسکل کا حصہ نہیں ہے۔ یہ ایک مثالی نقطہ ہے اور کنڈلی کا ہائپربولک مرکز ہے۔ یوکلڈین خلاصہ ایک یوکلڈین دائرہ: جو کہ مکمل طور پر ڈسک کے اندر ہے ایک ہائپربولک دائرہ ہے۔ (جب ڈسک کا مرکز دائرے کے اندر نہیں ہوتا ہے، تو یوکلڈین مرکز ہمیشہ ڈسک کے مرکز کے قریب ہوتا ہے جو کہ ہائپربولک مرکز ہوتا ہے، یعنی۔ پکڑتا ہے۔) جو ڈسک کے اندر ہے اور حد کو چھوتا ہے وہ ایک ہاروسائیکل ہے ؛ جو حد کو آرتھوگونلی طور پر کاٹتا ہے وہ ایک ہائپربولک لائن ہے ؛ اور جو حد کو غیر آرتھوگونلی طور پر کاٹتا ہے وہ ایک ہائپر سائیکل ہے۔ باؤنڈری سرکل کا ایک یوکلڈین کورڈ: جو مرکز سے گزرتا ہے وہ ایک ہائپربولک لائن ہے ؛ اور جو مرکز سے نہیں گزرتا وہ ایک ہائپر سائیکل ہے۔ اگر u اور v حقیقی n جہتی ویکٹر اسپیس Rn میں معمول کے یوکلڈین معیار کے ساتھ دو ویکٹر ہیں، جن میں دونوں کا معیار 1 سے کم ہے، تو ہم ایک آئسومیٹرک غیر متغیر کی وضاحت کر سکتے ہیں جہاں سے معمول کے یوکلڈین معیار کی نشاندہی ہوتی ہے۔ پھر فاصلہ فنکشن ہے اس طرح کے فاصلے کی فنکشن کو ایک سے کم معیار کے کسی بھی دو ویکٹرز کے لیے بیان کیا جاتا ہے، اور اس طرح کے ویکٹرز کے سیٹ کو میٹرک اسپیس میں بناتا ہے جو مستقل منحنی-1 کی ہائپربولک اسپیس کا ماڈل ہے۔ ماڈل میں یہ کنفارمل پراپرٹی ہے کہ ہائپربولک اسپیس میں دو انٹرسیکٹنگ منحنی خطوط کے درمیان زاویہ ماڈل کے زاویے کے برابر ہے۔ پوئن کیری ڈسک ماڈل کا متعلقہ میٹرک ٹینسر اس طرح دیا جاتا ہے جہاں xi وسیع یوکلڈین اسپیس کے کارٹیشین نقاط ہیں۔ ڈسک ماڈل کی جیوڈیکسکس باؤنڈری دائرے Sn−1 کے عمودی دائرے ہیں۔ اس ریمینیئن میٹرک کے حوالے سے ایک آرتھونورمل فریم 1 شکلوں کے دوہری کو فریم کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ دو جہتوں میں، ان فریموں اور لیوی-سیویتا کنکشن کے حوالے سے، کنکشن فارم 1 شکلوں کے منفرد اسکیو-سمیٹرک میٹرکس کے ذریعے دیے جاتے ہیں جو ٹورسن فری ہوتے ہیں، یعنی میٹرکس مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ اس مساوات کو پیداوار کے لیے حل کرنا جہاں منحنی میٹرکس ہے۔ لہذا، ہائپربولک ڈسک کا منحنی پن ہائپربولک جیومیٹری کے دیگر ماڈلز سے تعلق ہے۔ کلین ڈسک ماڈل سے تعلق کلین ڈسک ماڈل (جسے بیلٹرامی-کلین ماڈل بھی کہا جاتا ہے) اور پوائن کیئر ڈسک ماڈل دونوں ماڈل ہیں جو پورے ہائپربولک طیارہ کو ڈسک میں پیش کرتے ہیں۔ دونوں ماڈلز کا تعلق نصف کرہ کے ماڈل پر یا اس سے پروجیکشن کے ذریعے ہے۔ کلین ڈسک ماڈل نصف کرہ ماڈل کے لیے ایک آرتھوگرافک پروجیکشن ہے جبکہ پوئنکیئر ڈسک ماڈل ایک سٹیریوگرافک پروجیکشن ہے۔ کلین ڈسک ماڈل کا ایک فائدہ یہ ہے کہ اس ماڈل میں لکیریں یوکلیڈین سیدھی کورڈز ہیں۔ ایک نقصان یہ ہے کہ کلین ڈسک ماڈل مطابقت پذیر نہیں ہے (حلقے اور زاویہ مسخ شدہ ہیں)۔ ایک ڈسک پر دونوں ماڈلز میں ایک ہی لائنیں پیش کرتے وقت دونوں لائنیں ایک ہی دو مثالی نکات سے گزرتی ہیں۔ (مثالی نکات ایک ہی جگہ پر رہتے ہیں) کلائن ڈسک ماڈل میں کورڈ کا قطب بھی دائرے کا مرکز ہوتا ہے جس میں پوئنکیری ڈسک ماڈل میں آرک ہوتا ہے۔ پوئن کیری ڈسک ماڈل میں ایک نقطہ (x، y) کلین ماڈل میں نقشہ بناتا ہے۔ کلین ماڈل میں ایک نقطہ (x، y) پوائن کیری ڈسک ماڈل میں نقشہ بناتا ہے۔ مثالی پوائنٹس اور فارمولوں کے لیے اس طرح بن جاتے ہیں کہ پوائنٹس طے ہو جائیں۔ اگر ایک سے کم معیار کا ویکٹر پوئن کیری ڈسک ماڈل کے ایک نقطہ کی نمائندگی کرتا ہے، تو کلین ڈسک ماڈل کا متعلقہ نقطہ اس طرح دیا جاتا ہے: اس کے برعکس، بیلٹرامی-کلین ماڈل کے ایک نقطہ کی نمائندگی کرنے والے ایک سے کم معیار کے ویکٹر سے، پوئن کیری ڈسک ماڈل کا متعلقہ نقطہ اس طرح دیا جاتا ہے: پوئن کیری ہاف پلین ماڈل سے تعلق پوئن کیری ڈسک ماڈل اور پوئن کیری ہاف پلین ماڈل دونوں کا نام ہنری پوئن کیری کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اگر معیار کی ایک پیچیدہ تعداد ایک سے کم ہے جو پوئن کیئر ڈسک ماڈل کے ایک نقطہ کی نمائندگی کرتی ہے، تو ہاف پلین ماڈل کا متعلقہ نقطہ کیلی ٹرانسفارم کے الٹا دیا جاتا ہے: ڈسک ماڈل میں ایک نقطہ (x، y) ہاف پلین ماڈل میں نقشہ جات۔ ہافپلین ماڈل میں ایک نقطہ (x، y) ڈسک ماڈل میں نقشہ بناتا ہے۔ ہائپربولائڈ ماڈل سے تعلق پوئن کیئر ڈسک ماڈل کے ساتھ ساتھ کلین ماڈل، پروجیکٹو طور پر ہائپربولائڈ ماڈل سے متعلق ہیں۔ اگر ہمارے پاس ہائپربولائڈ ماڈل کے ہائپربولائڈ کی اوپری شیٹ پر ایک نقطہ [t, x1,., xn] ہے، جس سے ہائپربولائڈ ماڈل میں ایک نقطہ کی وضاحت ہوتی ہے، تو ہم اسے [−1,0,., 0] کے ذریعے کھینچی گئی لکیر کے ساتھ کاٹ کر ہائپرپلین t = 0 پر پیش کر سکتے ہیں۔ نتیجہ پوئن کیری ڈسک ماڈل کا متعلقہ نقطہ ہے۔ ہائپربولائڈ پر کارٹیشین کوآرڈینیٹس (t، xi) اور ہوائی جہاز پر (yi) کے لیے، تبادلوں کے فارمولے یہ ہیں: دائرے اور ہوائی جہاز کے درمیان سٹیریوگرافک پروجیکشن کے فارمولوں کا موازنہ کریں۔ ہائپربولک طیارہ میں تجزیاتی جیومیٹری کی تعمیرات تجزیاتی جیومیٹری کی بنیادی تعمیر دو دیئے گئے نکات کے ذریعے ایک لکیر تلاش کرنا ہے۔ پوئن کیری ڈسک ماڈل میں، طیارہ میں لکیروں کی تعریف حلقوں کے ان حصوں سے کی جاتی ہے جن کی مساوات اس شکل کی ہوتی ہیں جو اکائی دائرے کے لیے دائرے آرتھوگنل کی عمومی شکل ہوتی ہے، یا پھر قطر کے لحاظ سے۔ ڈسک میں دو پوائنٹس u = (u1, u2) اور v = (v1, v2) دیئے گئے ہیں جو قطر پر نہیں ہوتے ہیں، ہم دونوں پوائنٹس سے گزرنے والے اس فارم کے دائرے کے لیے حل کر سکتے ہیں، اور حاصل کر سکتے ہیں۔ اگر پوائنٹس u اور v ڈسک کی حدود پر پوائنٹس ہیں جو قطر کے اختتامی نکات پر نہیں پڑے ہیں، تو مذکورہ بالا زاویوں کو آسان بناتا ہے۔ ہم سرکلر آرک کے درمیان زاویہ کا حساب لگا سکتے ہیں جس کے اختتامی نکات (مثالی نکات) یونٹ ویکٹر u اور v کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں، اور وہ آرک جس کے اختتامی نکات s اور t ہیں، ایک فارمولے کے ذریعے۔ چونکہ کلین ماڈل اور پوئن کیئر ڈسک ماڈل میں مثالی نکات ایک جیسے ہیں، اس لیے فارمولے ہر ماڈل کے لیے یکساں ہیں۔ اگر دونوں ماڈلز کی لائنیں قطر ہیں، تاکہ v = −u اور t = −s، تو ہم محض دو یونٹ ویکٹروں کے درمیان زاویہ تلاش کر رہے ہیں، اور زاویہ θ کا فارمولا ہے۔ اگر v = −u لیکن t = −s نہیں، تو فارمولہ بن جاتا ہے، پچر پروڈکٹ () کے لحاظ سے، جہاں اگر دونوں کورڈز قطر نہیں ہیں، تو عمومی فارمولا حاصل ہوتا ہے جہاں بینیٹ-کاچی شناخت کا استعمال کرتے ہوئے اور یہ حقیقت کہ یہ یونٹ ویکٹر ہیں ہم اوپر کے تاثرات کو خالصتا ڈاٹ پروڈکٹ کے لحاظ سے دوبارہ لکھ سکتے ہیں، جیسا کہ فنکارانہ احساسات ایم سی ایسچر نے دو جہتی سطح پر انفینٹی کی نمائندگی کرنے کے تصور کی کھوج کی۔ کینیڈین ریاضی دان ایچ ایس ایم کے ساتھ بات چیت۔ 1956 کے آس پاس کاکسٹر نے ہائپربولک ٹیسلیشنز میں ایسچر کی دلچسپی کو متاثر کیا، جو ہائپربولک سطح کی باقاعدہ جھکاؤ ہیں۔ ایسچر کی لکڑی کی نقاشی سرکل لمٹ I-IV 1958 اور 1960 کے درمیان اس تصور کا مظاہرہ کرتی ہے، جس میں آخری سرکل لمٹ IV: ہیون اینڈ ہیل 1960 میں ہے۔ برونو ارنسٹ کے مطابق، ان میں سے سب سے بہترین سرکل لمٹ III ہے۔ ہائپر روگ، ایک روگوئلک گیم، اپنی عالمی جیومیٹری کے لیے ہائپربولک طیارہ استعمال کرتا ہے، اور پوئن کیئر ڈسک ماڈل بھی استعمال کرتا ہے۔ ہائپربولک جیومیٹری بیلٹرامی-کلین ماڈل پوائنکر نصف طیارہ ماڈل پوائنکر میٹرک سیوڈوسفیئر ہائپربولائڈ ماڈل الٹا جیومیٹری ہائپربولک طیارہ میں یکساں ٹائلنگ حوالہ جات مزید پڑھنا جیمز ڈبلیو اینڈرسن، ہائپربولک جیومیٹری، دوسرا ایڈیشن، سپرنگر، 2005۔ یوجینیو بیلٹرامی، ٹیوریا فینڈمینٹل ڈیگلی اسپازی دی کروٹورا کوسٹینٹ، انالی۔ دی میٹ۔، سیر II 2 (1868)، 232-255۔ ساؤل اسٹہل، دی پوئن کیئر ہاف پلین، جونز اینڈ بارٹلیٹ، 1993۔ بیرونی روابط کثیر جہتی جیومیٹری ہائپربولک جیومیٹری ڈسک