Hyers–Ulam–Rassias stability
فنکشنل مساوات کے استحکام کا مسئلہ 1940 میں گروپ ہومومورفزم کے استحکام سے متعلق ستانی سلاو اولم کے ایک سوال سے پیدا ہوا۔ اگلے سال، ڈونلڈ ایچ ہائیرز نے اضافی نقشہ سازی کے معاملے میں بناچ خالی جگہوں کے تناظر میں اولم کے سوال کا جزوی مثبت جواب دیا، یہ پہلی اہم پیشرفت تھی اور اس شعبے میں مزید حل کی طرف ایک قدم تھا۔ اس کے بعد سے، اولم کے مسئلے اور ہائرس تھیوریم کی مختلف عمومی شکلوں کے سلسلے میں بڑی تعداد میں مقالے شائع ہوئے ہیں۔ 1978 میں، تھیمسٹوکلس ایم رسیاس نے نقشہ سازی پر تسلسل کی شرط کے تابع ایک لامحدود کاچی فرق پر غور کرکے بناچ خالی جگہوں کے درمیان نقشہ سازی کے لیے ہائرس تھیوریم کو بڑھانے میں کامیابی حاصل کی۔ وہ لکیری نقشہ سازی کے استحکام کو ثابت کرنے والے پہلے شخص تھے۔ راسیاس کے اس نتیجے نے دنیا بھر کے کئی ریاضی دانوں کو اپنی طرف متوجہ کیا جو فعال مساوات کے استحکام کے مسائل کی تحقیقات کے لیے حوصلہ افزائی کرنے لگے۔ ایس۔ ایم۔ اولم، ڈی۔ ایچ۔ ہائرس، اور تھ کے بڑے اثر و رسوخ کے حوالے سے۔ ایم۔ رسیاس فنکشنل مساوات کے استحکام کے مسائل کے مطالعہ پر، استحکام کے رجحان کو Th نے ثابت کیا۔ ایم راسیاس نے فنکشنل مساوات کے ہائرس-عالم-راسیاس استحکام کی ترقی کی قیادت کی۔ اولم کے مسئلے کے تناظر میں فعال مساوات کے استحکام کی وسیع تر پیش کش کے لیے، دلچسپی رکھنے والے قارئین کو ایس۔ ایم۔ جنگ، ایس۔ زیرویک، وائی جے کی کتابوں کا حوالہ دیا جاتا ہے۔ چو، سی پارک، ٹی ایچ ایم۔ راسیاس اور آر سداتی، وائی جے۔ چو، ٹی۔ ایم۔ راسیاس اور آر سداتی، اور پی ایل۔ کنپن، نیز مندرجہ ذیل کاغذات کے لیے۔ 1950 میں، ٹی آوکی نے ایک لامحدود کاچی فرق پر غور کیا جسے بعد میں راسیاس نے لکیری کیس میں عام کیا۔ یہ نتیجہ اضافی نقشہ سازی کے ہائرس-اولم-آوکی استحکام کے نام سے جانا جاتا ہے۔ آوکی (1950) نے نقشہ سازی پر تسلسل پر غور نہیں کیا تھا، جبکہ راسیاس (1978) نے اضافی تسلسل مفروضہ عائد کیا جس سے باضابطہ طور پر مضبوط نتیجہ اخذ ہوا۔ حوالہ جات بھی دیکھیں Th. ایم۔ راسیاس، فنکشنل مساوات کے استحکام اور اولم کے ایک مسئلے پر، ایکٹا ایپلیکینڈی میتھمیٹیکی، 62 (1) (2000)، 23-130۔ پی۔ گوروتا، تقریبا اضافی نقشوں کے ہائرس-اولم-راسیاس استحکام کی عمومی شکل، جے۔ ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 184 (1994)، 431-436۔ پی۔ گیوروتا اور ایل۔ گیوروتا، عمومی ہائرس-عالم-راسیاس استحکام کے لیے ایک نیا طریقہ، انٹ۔ جے۔ غیر لکیری مقعد۔ ایپل۔ 1 (2010)، نمبر۔ 2، 6 پی پی۔ جے چنگ، ہائرس-اولم-راسیاس اسٹیبلٹی آف کاچی ایکویشن ان دی اسپیس آف شوارٹز ڈسٹری بیوشنز، جے۔ ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 300 (2) (2004)، 343-350۔ ٹی۔ میورا، ایس۔ ای۔ تاکاہاسی، اور جی۔ ہیراساوا، ہائرس-اولم-راسیاس اسٹیبلٹی آف جورڈن ہومومورفزم آن بناچ الجیبراس، جے۔ انیکل۔ ایپل۔ 4 (2005)، 435-441۔ اے۔ نجتی اور سی۔ پارک، ہائرس-اولم-راسیاس کا ہومومورفزم کا استحکام نیم-بناچ الجبرا میں جو پیکسیڈرائیزڈ کاچی فنکشنل مساوات، جے سے وابستہ ہے۔ ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 335 (2007)، 763-778۔ ٹی۔ ایم راسیاس اور جے برجڈیک (ایڈز۔ )، فنکشنل ایکویشنز ان میتھمیٹیکل اینالیسس، سپرنگر، نیویارک، 2012۔ ڈی۔ ژانگ اور جے۔ وانگ، جینسن کی مساوات کے ہائرس-اولم-راسیاس استحکام پر، بل۔ کوریائی ریاضی۔ ایس او سی۔ 46 (4) (2009)، 645-656۔ T. Trif، ہائیرز-اولم-راسیاس اسٹیبلٹی آف اے جینسن ٹائپ فنکشنل مساوات، J. ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 250 (2000)، 579-588۔ پی ایل۔ کنپن، فنکشنل مساوات اور ایپلی کیشنز کے ساتھ عدم مساوات، سپرنگر، نیویارک، 2009۔ پی کے ساہو اور پی ایل۔ کنپن، انٹروڈکشن ٹو فنکشنل ایکویشنز، سی آر سی پریس، چیپ مین اینڈ ہال بک، فلوریڈا، 2011۔ ڈبلیو ڈبلیو بریکنر اور ٹی ٹرف، کنویکس فنکشنز اور متعلقہ فنکشنل مساوات۔ منتخب موضوعات، کلج یونیورسٹی پریس، کلج، 2008۔ ریاضیاتی تجزیہ فعال مساوات فعال تجزیہ