Convexity in economics
کنویکسٹی معاشیات میں ایک اہم موضوع ہے۔ عام اقتصادی توازن کے تیر-ڈیبریو ماڈل میں، ایجنٹوں کے پاس کنویکس بجٹ سیٹ اور کنویکس ترجیحات ہوتی ہیں: توازن کی قیمتوں پر، بجٹ ہائپرپلین بہترین قابل حصول بے حسی وکر کی حمایت کرتا ہے۔ منافع فنکشن لاگت فنکشن کا کنویکس کنجوگیٹ ہے۔ کنویکس تجزیہ نصابی معاشیات کا تجزیہ کرنے کا معیاری ذریعہ ہے۔ معاشیات میں غیر کنویکس مظاہر کا مطالعہ غیر متزلزل تجزیہ کے ساتھ کیا گیا ہے، جو کنویکس تجزیہ کو عام کرتا ہے۔ ابتدائی معاشیات کا انحصار کنویکس جیومیٹری کی درج ذیل تعریفوں اور نتائج پر ہے۔ حقیقی ویکٹر خالی جگہیں دو جہتوں کی ایک حقیقی ویکٹر جگہ کو کارٹیزین کوآرڈینیٹ سسٹم دیا جا سکتا ہے جس میں ہر نقطہ کی شناخت دو حقیقی اعداد کی فہرست سے کی جاتی ہے، جسے "کوآرڈینیٹ" کہا جاتا ہے، جسے روایتی طور پر x اور y سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کارٹیشین سطح میں دو نکات کو ہم آہنگی کے لحاظ سے شامل کیا جا سکتا ہے (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ؛ مزید، ایک نقطہ کو ہر حقیقی نمبر λ ہم آہنگی کے لحاظ سے λ (x, y) = (λx, λy) سے ضرب دی جا سکتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، (محدود) طول و عرض D کی کسی بھی حقیقی ویکٹر جگہ کو دو کارروائیوں کے ساتھ مل کر D حقیقی اعداد کی تمام ممکنہ فہرستوں کے سیٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: ویکٹر کا اضافہ اور حقیقی نمبر سے ضرب۔ محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کے لیے، کارٹیسی طیارہ کی مثال کے مطابق، ویکٹر کے اضافے اور حقیقی تعداد کے ضرب کی کارروائیوں کو ہم آہنگی کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ کنویکس سیٹ ایک حقیقی ویکٹر اسپیس میں، ایک سیٹ کو کنویکس کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اگر، اس کے پوائنٹس کے ہر جوڑے کے لیے، ان میں شامل ہونے والے لائن سیگمنٹ کا ہر پوائنٹ سیٹ کے ذریعے احاطہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ٹھوس مکعب کنویکس ہوتا ہے ؛ تاہم، کوئی بھی چیز جو کھوکھلی یا داغدار ہو، مثال کے طور پر، ایک ہلال کی شکل، غیر کنویکس ہوتی ہے۔ مختصر طور پر، خالی سیٹ کنویکس ہوتا ہے۔ مزید رسمی طور پر، ایک سیٹ Q کنویکس ہے اگر، Q میں تمام پوائنٹس v0 اور v1 کے لیے اور یونٹ کے وقفے میں ہر حقیقی نمبر λ کے لیے، پوائنٹ (1−λ) v0 + λv1، Q کا ممبر ہو۔ ریاضیاتی انڈکشن کے ذریعہ، ایک سیٹ Q تب اور صرف اس صورت میں کنویکس ہوتا ہے جب Q کے ممبروں کا ہر کنویکس مجموعہ بھی Q سے تعلق رکھتا ہو۔ تعریف کے مطابق، انڈیکس شدہ ذیلی سیٹ {v0، v1،... کا ایک کنویکس مجموعہ۔ ویکٹر اسپیس کا vD} غیر منفی حقیقی اعداد {λd} کے کچھ انڈیکس شدہ سیٹ کے لیے کوئی بھی وزن اوسط ہے جو مساوات = 1 کو مطمئن کرتا ہے۔ کنویکس سیٹ کی تعریف سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ دو کنویکس سیٹوں کا چوراہا ایک کنویکس سیٹ ہے۔ زیادہ عام طور پر، کنویکس سیٹوں کے خاندان کا چوراہا ایک کنویکس سیٹ ہوتا ہے۔ کنویکس ہل کسی حقیقی ویکٹر اسپیس کے ہر ذیلی سیٹ Q کے لیے، یہ کم سے کم کنویکس سیٹ ہے جس میں Q ہوتا ہے۔ اس طرح کانو (ق) ان تمام کنویکس سیٹوں کا چوراہا ہے جو ق کا احاطہ کرتے ہیں۔ کسی سیٹ کے کنویکس ہل کو مساوی طور پر ق میں پوائنٹس کے تمام کنویکس امتزاج کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ دوہری: نصف خالی جگہوں کو جوڑنا ہائپرپلین کی حمایت کرنا جیومیٹری میں ایک تصور ہے۔ ایک ہائپرپلین ایک جگہ کو دو نصف جگہوں میں تقسیم کرتا ہے۔ ایک ہائپرپلین کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ حقیقی این-اسپیس میں کسی سیٹ کی حمایت کرتا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل دونوں پر پورا اترتا ہے: ہائپرپلین کے ذریعہ طے شدہ دو بند نصف جگہوں میں سے کسی ایک میں مکمل طور پر موجود ہے جس میں ہائپرپلین پر کم از کم ایک نقطہ ہوتا ہے۔ یہاں، ایک بند آدھی جگہ آدھی جگہ ہے جس میں ہائپرپلین شامل ہے۔ سپورٹنگ ہائپرپلین تھیوریم یہ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اگر ایک بند کنویکس سیٹ ہے اور اس کی حد پر ایک نقطہ ہے تو وہاں ایک سپورٹنگ ہائپرپلین موجود ہے جس میں تھیوریم میں ہائپرپلین منفرد نہیں ہو سکتا، جیسا کہ دائیں طرف دوسری تصویر میں دیکھا گیا ہے۔ اگر بند سیٹ کنویکس نہیں ہے، تو تھیوریم کا بیان باؤنڈری کے تمام نکات پر درست نہیں ہے جیسا کہ دائیں طرف تیسری تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ معاشیات اشیا کی ایک بہترین ٹوکری وہاں ہوتی ہے جہاں صارف کی متغیر ترجیح سیٹ کو بجٹ کی رکاوٹ کی حمایت حاصل ہوتی ہے، جیسا کہ خاکہ میں دکھایا گیا ہے۔ اگر ترجیحی سیٹ کنویکس ہے، تو صارف کے زیادہ سے زیادہ فیصلوں کا سیٹ ایک کنویکس سیٹ ہے، مثال کے طور پر، ایک منفرد زیادہ سے زیادہ ٹوکری (یا یہاں تک کہ زیادہ سے زیادہ ٹوکریوں کا ایک لائن سیگمنٹ)۔ سادگی کے لیے، ہم یہ فرض کریں گے کہ صارف کی ترجیحات کو یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جو کہ ایک مسلسل فنکشن ہے، جس کا مطلب ہے کہ ترجیحی سیٹ بند ہیں۔ ("کلوزڈ سیٹ" کے معنی ذیل میں آپٹیمائزیشن ایپلی کیشنز کے ذیلی حصے میں بیان کیے گئے ہیں۔) غیر متغیر اگر ترجیحی سیٹ غیر متغیر ہے، تو کچھ قیمتیں دو مختلف زیادہ سے زیادہ کھپت کے فیصلوں کی حمایت کرنے والا بجٹ تیار کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ہم تصور کر سکتے ہیں کہ چڑیا گھروں کے لیے شیر کی قیمت عقاب جتنی ہے، اور مزید یہ کہ چڑیا گھر کا بجٹ ایک عقاب یا ایک شیر کے لیے کافی ہے۔ ہم یہ بھی فرض کر سکتے ہیں کہ چڑیا گھر کا نگہبان کسی بھی جانور کو اتنا ہی قیمتی سمجھتا ہے۔ اس صورت میں چڑیا گھر یا تو ایک شیر یا ایک عقاب خریدے گا۔ یقینا، ایک عصری چڑیا گھر کا نگہبان آدھا عقاب اور (یا گریفن) نہیں خریدنا چاہتا! اس طرح، عصری چڑیا گھر کے نگہبان کی ترجیحات غیر آلودہ ہوتی ہیں: چڑیا گھر کا نگہبان دونوں کے کسی بھی سختی سے آلودہ امتزاج کے بجائے کسی بھی جانور کو رکھنا پسند کرتا ہے۔ عام اقتصادی توازن، بازار کی ناکامیوں اور عوامی معاشیات کے نظریات میں غیر آلودہ سیٹوں کو شامل کیا گیا ہے۔ یہ نتائج مائیکرو اکنامکس، جنرل ایکولبریئم تھیوری، گیم تھیوری، ریاضیاتی معاشیات، اور اطلاقی ریاضی (ماہرین اقتصادیات کے لیے) میں گریجویٹ سطح کی نصابی کتابوں میں بیان کیے گئے ہیں۔ شیپلی-فولک مین لیما کے نتائج یہ ثابت کرتے ہیں کہ غیر متغیرات بہت سے صارفین کے ساتھ بازاروں میں لگ بھگ توازن کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ نتائج بہت سی چھوٹی فرموں والی پیداواری معیشتوں پر بھی لاگو ہوتے ہیں۔ "اولیگوپولی" (چند پروڈیوسروں کے زیر تسلط بازار) میں، خاص طور پر "اجارہ داری" (ایک پروڈیوسر کے زیر تسلط بازار) میں، غیر متغیرات اہم رہتے ہیں۔ مارکیٹ کی طاقت کا استحصال کرنے والے بڑے پروڈیوسروں سے متعلق خدشات نے درحقیقت غیر آلودہ سیٹوں پر ادب کا آغاز کیا، جب پیریو سرافا نے 1926 میں ان فرموں کے بارے میں لکھا جن کے پیمانے پر منافع میں اضافہ ہوا، جس کے بعد ہیرالڈ ہوٹلنگ نے 1938 میں معمولی لاگت کی قیمتوں کے بارے میں لکھا۔ سرافا اور ہوٹلنگ دونوں نے حریفوں کے بغیر پروڈیوسروں کی مارکیٹ کی طاقت کو روشن کیا، واضح طور پر معیشت کی فراہمی کے پہلو پر ادب کو متحرک کیا۔ غیر کنویکس سیٹ ماحولیاتی اشیا (اور دیگر خارجی)، انفارمیشن اکنامکس، اور اسٹاک مارکیٹوں (اور دیگر نامکمل بازاروں) کے ساتھ بھی پیدا ہوتے ہیں۔ اس طرح کی ایپلی کیشنز نے ماہرین اقتصادیات کو غیر کنویکس سیٹوں کا مطالعہ کرنے کی ترغیب دی۔ غیر متزلزل تجزیہ ماہرین اقتصادیات نے غیر متزلزل تجزیہ کے ساتھ غیر متزلزل سیٹوں کا تیزی سے مطالعہ کیا ہے، جو متزلزل تجزیہ کو عمومی بناتا ہے۔ (مثال کے طور پر، فرانسس کلارک کا مقامی طور پر لپشٹز کیلکولس)، جیسا کہ اور کے مطابق بیان کیا گیا ہے، "پیداوار اور کھپت دونوں میں غیر کنویکسٹی۔ ایسے ریاضیاتی آلات کی ضرورت تھی جو کنویکسٹی سے بالاتر تھے، اور مزید ترقی کے لیے غیر ہموار کیلکولس کی ایجاد کا انتظار کرنا پڑا۔" لکھا ہے کہ "قیمتوں کے قواعد کے ساتھ فرموں کے عمومی توازن کے تجزیے میں اہم طریقہ کار کی جدت" "عالمی تجزیہ (تفریق ٹوپولوجی) اور کنویکس تجزیہ کی [ترکیب] کے طور پر غیر ہموار تجزیہ کے طریقوں کا تعارف" تھا۔ اس کے مطابق، "غیر ہموار تجزیہ ٹینجینٹ طیاروں کے ذریعہ کئی گنا کے مقامی تخمینے کو بڑھاتا ہے [اور] ٹینجینٹ شنک کے ذریعہ کنویکس سیٹوں کے یکساں تخمینے کو سیٹوں تک بڑھاتا ہے" جو غیر ہموار یا غیر کنویکس ہو سکتے ہیں۔ ماہرین اقتصادیات نے الجبرائی ٹوپولوجی کا بھی استعمال کیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کنویکس ڈوئلٹی نوٹس حوالہ جات لوینبرجر، ڈیوڈ جی مائیکرو اکنامک تھیوری، میک گرا ہل، انکارپوریٹڈ، نیویارک، 1995۔ کنویکس ہلز کنویکس جیومیٹری عمومی توازن نظریہ