N = 2 superconformal algebra
ریاضیاتی طبیعیات میں، 2 ڈی این = 2 سپر کنفارمل الجبرا ایک لامحدود جہتی لائ سپر الجبرہ ہے، جو سپرسیمیٹری سے متعلق ہے، جو سٹرنگ تھیوری اور دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری میں پایا جاتا ہے۔ آئینے کی ہم آہنگی میں اس کے اہم استعمال ہیں۔ اسے یو (1) فرمیوونک سٹرنگ کے گیج الجبرا کے طور پر متعارف کرایا گیا تھا۔ تعریف N = 2 سپر کنفارمل الجبرا کو بیان کرنے کے دو قدرے مختلف طریقے ہیں، جنہیں N = 2 رامونڈ الجبرا اور N = 2 نیویو-شوارز الجبرا کہا جاتا ہے، جو آئسومورفک ہیں (نیچے دیکھیں) لیکن معیاری بنیاد کے انتخاب میں مختلف ہیں۔ N = 2 سپر کنفارمل الجبرا لائ سپر الجبرہ ہے جس میں یکساں عناصر c، Ln، Jn، n ایک عدد کے لیے، اور عجیب عناصر G، G کی بنیاد ہے، جہاں (رامونڈ بیس کے لیے) یا (نیویو-شوارز بیس کے لیے) مندرجہ ذیل تعلقات کے ذریعے بیان کیا گیا ہے: c مرکز میں ہے۔ آپریٹرز ویراسورو الجبرا کے لیے ایک لائ سب الجبرہ آئسومورفک پیدا کرتے ہیں۔ آپریٹرز کے ساتھ مل کر، وہ سپر ویراسورو الجبرا کے لیے ایک لائ سپر الجبرہ آئسومورفک پیدا کرتے ہیں، جس سے رامونڈ الجبرا اگر انٹیجر ہیں اور بصورت دیگر نیو-شوارز الجبرا ملتا ہے۔ جب کسی پیچیدہ اندرونی پروڈکٹ اسپیس پر آپریٹرز کے طور پر نمائندگی کی جاتی ہے، تو اسے ایک حقیقی اسکیلر کے ذریعہ ضرب کے طور پر عمل میں لایا جاتا ہے، جسے ایک ہی حرف سے ظاہر کیا جاتا ہے اور جسے مرکزی چارج کہا جاتا ہے، اور ملحقہ ڈھانچہ مندرجہ ذیل ہے: خصوصیات N = 2 رامونڈ اور نیویو-شوارز الجبرا اسپیکٹرل شفٹ آئسومورفزم کے ذریعہ آئسومورفک ہیں: الٹا: N = 2 رامونڈ الجبرا میں، صفر موڈ آپریٹرز، اور مستقل پانچ جہتی لائ سپر الجبرا بناتے ہیں۔ وہ انہی تعلقات کو پورا کرتے ہیں جیسے کہ کیلر جیومیٹری میں بنیادی آپریٹرز، لیپلاسیئن، ڈگری آپریٹر، اور اینڈ آپریٹرز سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہاں تک کہ سپیکٹرم شفٹ کی انٹیجر پاورز بھی N = 2 سپر کنفارمل الجبرا کی آٹومورفزم دیتی ہیں، جنہیں سپیکٹرم شفٹ آٹومورفزم کہتے ہیں۔ دوسری مدت کا ایک اور آٹومورفزم، کیلر آپریٹرز کے لحاظ سے، پیچیدہ ڈھانچے کو جوڑنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ چونکہ، آٹومورفزم اور N = 2 سپر کنفارمل الجبرا کے آٹومورفزم کا ایک گروپ پیدا کرتے ہیں جو لامحدود ڈائیڈرل گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ٹوسٹڈ آپریٹرز کو متعارف کرایا گیا اور مطمئن کیا گیا: تاکہ یہ آپریٹرز مرکزی چارج 0 کے ساتھ ویراسورو تعلق کو مطمئن کریں۔ کنسٹرکشنز کے لیے اور ترمیم شدہ تعلقات میں مستقل اب بھی ظاہر ہوتا ہے۔ فری فیلڈ کی تعمیر دو آنے جانے والے حقیقی بوسونک فیلڈز کا استعمال کرتے ہوئے ایک تعمیر دیتی ہے، اور ایک پیچیدہ فرمیوونک فیلڈ کی تعریف ویراسورو آپریٹرز کے مجموعے سے کی جاتی ہے جو قدرتی طور پر تینوں نظاموں میں سے ہر ایک سے وابستہ ہوتے ہیں جہاں بوسون اور فرمین کے لیے نارمل آرڈر استعمال کیا گیا ہے۔ موجودہ آپریٹر کی تعریف فرمینز کی معیاری تعمیر اور دو سپرسیمیٹرک آپریٹرز کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ اس سے c = 3 کے ساتھ N = 2 نیویو-شوارز الجبرا حاصل ہوتا ہے۔ ایس یو (2) سپرسیمیٹرک کوسیٹ کی تعمیر نے این = 2 سپر کنفارمل الجبرا کی ایک کوسیٹ کی تعمیر دی، جس سے ویراسورو اور سپر ویراسورو الجبرا کی مجرد سیریز کی نمائندگی کے لیے کوسیٹ کی تعمیرات کو عام کیا گیا۔ سطح پر ایس یو (2) کے افائن کاک-موڈی الجبرا کی نمائندگی کو دیکھتے ہوئے جس کی بنیاد سپرسیمیٹرک جنریٹرز کو مطمئن کرتی ہے اس کی تعریف اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اس سے این = 2 سپر کنفارمل الجبرا حاصل ہوتا ہے۔ الجبرا بوسونک آپریٹرز کے ساتھ کامیوٹ کرتا ہے۔ فزیکل اسٹیٹس کی جگہ مثبت اور سپر چارج آپریٹر (نیویو-شوارز) (رامونڈ) کے لیے ایس کے ذریعے بیک وقت ختم ہونے والے آئجین ویکٹرز پر مشتمل ہوتی ہے۔ سپر چارج آپریٹر افائن ویل گروپ کے ایکشن کے ساتھ کامیوٹ کرتا ہے اور فزیکل اسٹیٹس اس گروپ کے ایک ہی مدار میں ہوتی ہیں، یہ ایک ایسی حقیقت ہے جس کا مطلب ویل-کاک کریکٹر فارمولا ہے۔ کازاما-سوزوکی سپرسیمیٹرک کوسیٹ کی تعمیر نے ایس یو (2) کوسیٹ کی تعمیر کو کسی بھی جوڑے کے لیے عام کر دیا جس میں ایک سادہ کمپیکٹ لائ گروپ اور زیادہ سے زیادہ رینک کا ایک بند ذیلی گروپ، یعنی۔ جس میں زیادہ سے زیادہ ٹورس ہوتا ہے، اس اضافی شرط کے ساتھ کہ مرکز کا طول و عرض غیر صفر ہے۔ اس صورت میں کمپیکٹ ہرمیٹین سمیٹرک اسپیس ایک کیلر مینیفولڈ ہے، مثال کے طور پر کب۔ جسمانی حالتیں افائن ویل گروپ کے ایک واحد مدار میں واقع ہیں، جو ایک بار پھر کے افائن کاک-موڈی الجبرا کے لیے ویل کاک کردار کے فارمولے کو ظاہر کرتی ہیں۔ ویراسورو الجبرا سپر ویراسورو الجبرا کوسیٹ کنسٹرکشن ٹائپ IIB سٹرنگ تھیوری نوٹ حوالہ جات سٹرنگ تھیوری کنفارمل فیلڈ تھیوری لائ الجبراس ریپریزنٹیشن تھیوری سپرسیمیٹری بھی دیکھیں۔