Quantum Fourier transform
کوانٹم کمپیوٹنگ میں، کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم (کیو ایف ٹی) کوانٹم بٹس پر ایک لکیری تبدیلی ہے، اور مجرد فورئیر ٹرانسفارم کا کوانٹم اینالاگ ہے۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم بہت سے کوانٹم الگورتھم کا ایک حصہ ہے، خاص طور پر مجرد لوگرتھم کو فیکٹرنگ اور کمپیوٹنگ کے لیے شور کا الگورتھم، یکطرفہ آپریٹر کی آئجین ویلیوز کا اندازہ لگانے کے لیے کوانٹم فیز تخمینہ الگورتھم، اور پوشیدہ ذیلی گروپ کے مسئلے کے لیے الگورتھم۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو ڈان کاپر اسمتھ نے دریافت کیا تھا۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو کوانٹم کمپیوٹر پر موثر طریقے سے انجام دیا جا سکتا ہے جس میں سادہ یکطرفہ میٹرکس کے پروڈکٹ میں سڑنا ہوتا ہے۔ طول و عرض پر مجرد فورئیر ٹرانسفارم کو کوانٹم سرکٹ کے طور پر لاگو کیا جا سکتا ہے جس میں صرف ہڈمارڈ گیٹس اور کنٹرولڈ فیز شفٹ گیٹس ہوتے ہیں، جہاں کیوبیٹس کی تعداد ہے۔ اس کا موازنہ کلاسیکی مجرد فورئیر ٹرانسفارم سے کیا جا سکتا ہے، جو گیٹس لیتا ہے (جہاں بٹس کی تعداد ہے)، جو تیزی سے اس سے زیادہ ہے۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم ایک کوانٹم اسٹیٹ ویکٹر (ایک کوانٹم رجسٹر) پر کام کرتا ہے، اور کلاسیکی فورئیر ٹرانسفارم ایک ویکٹر پر کام کرتا ہے۔ دونوں قسم کے ویکٹروں کو پیچیدہ اعداد کی فہرستوں کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ کوانٹم کے معاملے میں یہ پیمائش پر تمام ممکنہ نتائج کے لیے امکانات کے طول و عرض کا ایک سلسلہ ہے (جسے بیس اسٹیٹس، یا آئجین اسٹیٹس کہا جاتا ہے)۔ چونکہ پیمائش کوانٹم کی حالت کو ایک ہی بنیادی حالت میں ختم کر دیتی ہے، اس لیے کلاسیکی فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرنے والا ہر کام کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کی تیز رفتار سے فائدہ نہیں اٹھا سکتا۔ بہترین کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم الگورتھم (2000 کے آخر تک) کو ایک موثر تخمینہ حاصل کرنے کے لیے صرف گیٹس کی ضرورت ہوتی ہے، بشرطیکہ ایک کنٹرولڈ فیز گیٹ کو مقامی آپریشن کے طور پر لاگو کیا جائے۔ تعریف کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کلاسیکی مجرد فورئیر ٹرانسفارم ہے جو کوانٹم حالت کے طول و عرض کے ویکٹر پر لاگو ہوتا ہے، جس کی لمبائی عام طور پر ہوتی ہے۔ کلاسیکی فورئیر ٹرانسفارم ایک ویکٹر پر عمل کرتا ہے اور اسے فارمولے کے مطابق ویکٹر سے جوڑتا ہے: جہاں اور اتحاد کا N-th جڑ ہے۔ اسی طرح، کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم ایک کوانٹم حالت پر عمل کرتا ہے اور اس فارمولے کے مطابق اسے کوانٹم حالت میں نقشہ بناتا ہے: (فیز فیکٹر ایکسپونینٹ کی علامت کے لیے کنونشن مختلف ہوتے ہیں ؛ یہاں کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کا وہی اثر ہوتا ہے جو الٹا مجرد فورئیر ٹرانسفارم ہوتا ہے، اور اس کے برعکس۔) چونکہ یہ ایک گردش ہے، اس لیے الٹا کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم اسی طرح کام کرتا ہے لیکن اس کے ساتھ: اگر یہ ایک بنیادی حالت ہے، تو کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو نقشے کے مساوی طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے، کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو کوانٹم اسٹیٹ ویکٹرز پر کام کرنے والے یونٹری میٹرکس (یا کوانٹم گیٹ) کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جہاں یونٹری میٹرکس ڈی ایف ٹی میٹرکس ہے۔ مثال کے طور پر، اور فیز کے معاملے میں ٹرانسفارمیشن میٹرکس پراپرٹیز یونٹریٹی ہے۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کی زیادہ تر خصوصیات اس حقیقت سے ملتی ہیں کہ یہ ایک یک جہتی تبدیلی ہے۔ اس کی جانچ میٹرکس ضرب انجام دے کر اور اس بات کو یقینی بنا کر کی جا سکتی ہے کہ رشتہ برقرار رہے، جہاں کا ہرمیٹین ملحقہ ہے۔ متبادل طور پر، کوئی بھی چیک کر سکتا ہے کہ نارم 1 کے آرتھوگنل ویکٹرز کو نارم 1 کے آرتھوگنل ویکٹرز کے ساتھ نقشہ بنایا جائے۔ یک جہتی خاصیت سے یہ پتہ چلتا ہے کہ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کا الٹا فورئیر میٹرکس کا ہرمیٹین ملحقہ ہے۔ چونکہ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو نافذ کرنے والا ایک موثر کوانٹم سرکٹ موجود ہے، اس لیے سرکٹ کو الٹا کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم انجام دینے کے لیے الٹا چلایا جا سکتا ہے۔ اس طرح دونوں تبدیلیاں کوانٹم کمپیوٹر پر مؤثر طریقے سے انجام دی جا سکتی ہیں۔ سرکٹ کا نفاذ کیوبیٹس کے سرکٹ میں استعمال ہونے والے کوانٹم گیٹ ہڈمارڈ گیٹ اور فیز گیٹ ہیں: سرکٹ گیٹس اور ان کے کنٹرول شدہ ورژن پر مشتمل ہوتا ہے: ایک آرتھونورمل بنیاد بنیادی حالتوں پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہ بنیادی ریاستیں کیوبیٹس کی تمام ممکنہ حالتوں میں پھیلی ہوتی ہیں: جہاں، ٹینسر پروڈکٹ نوٹیشن کے ساتھ، اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ کیوبیٹ حالت میں ہے، 0 یا 1 کے ساتھ۔ روایت کے مطابق، بیس اسٹیٹ انڈیکس بائنری نمبر ہے جسے سب سے اہم بٹ کے ذریعے انکوڈ کیا جاتا ہے۔ ہڈمارڈ گیٹ کا عمل ہے، جہاں نشان کا انحصار ہوتا ہے۔ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو اصطلاحات کی ایک سیریز کے ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: فریکشنل بائنری نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کے عمل کو کمپیکٹ انداز میں ظاہر کیا جا سکتا ہے: اوپر دکھائے گئے سرکٹ سے اس حالت کو حاصل کرنے کے لیے، ان کے آرڈر کو الٹا کرنے کے لیے کیوبیٹس کا تبادلہ عمل انجام دیا جانا چاہیے۔ زیادہ تر تبادلوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ چونکہ مجرد فورئیر ٹرانسفارم، جو کہ n کیوبٹس پر ایک آپریشن ہے، کو n سنگل کیوبٹ آپریشنز کے ٹینسر پروڈکٹ میں فیکٹر کیا جا سکتا ہے، اس لیے اسے آسانی سے کوانٹم سرکٹ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے (آؤٹ پٹ کے آرڈر ریورسل تک)۔ ان سنگل کوئبٹ کارروائیوں میں سے ہر ایک کو ایک ہڈمارڈ گیٹ اور کنٹرولڈ فیز گیٹس کی لکیری تعداد کا استعمال کرتے ہوئے مؤثر طریقے سے نافذ کیا جا سکتا ہے۔ پہلی اصطلاح کے لیے ایک ہڈمارڈ گیٹ اور کنٹرولڈ فیز گیٹ کی ضرورت ہوتی ہے، اگلی اصطلاح کے لیے ایک ہڈمارڈ گیٹ اور کنٹرولڈ فیز گیٹ کی ضرورت ہوتی ہے، اور ہر اگلی اصطلاح کے لیے ایک کم کنٹرولڈ فیز گیٹ کی ضرورت ہوتی ہے۔ آؤٹ پٹ ریورسل کے لیے درکار گیٹس کو چھوڑ کر گیٹس کی تعداد کا خلاصہ کرنے سے گیٹس ملتے ہیں، جو کیوبیٹس کی تعداد میں کواڈریٹک کثیر الجہتی ہوتے ہیں۔ لکیری قریب ترین پڑوسی فن تعمیر پر کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کے سرکٹ سطح کے نفاذ کا پہلے بھی مطالعہ کیا جا چکا ہے۔ سرکٹ کی گہرائی کیوبیٹس کی تعداد میں لکیری ہے۔ مثال تین کیوبیٹس پر کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم، کے ساتھ، مندرجہ ذیل تبدیلی سے ظاہر ہوتا ہے: جہاں اتحاد کا آٹھواں جڑ تسلی بخش ہے۔ تین کیوبیٹس پر فورئیر ٹرانسفارم کی میٹرکس نمائندگی یہ ہے: 3-کیوبیٹ کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: درج ذیل خاکہ متعلقہ سرکٹ کو ظاہر کرتا ہے (مناسب کیو ایف ٹی کے حوالے سے آؤٹ پٹ کیوبیٹس کی الٹی ترتیب کے ساتھ): جیسا کہ اوپر شمار کیا گیا ہے، استعمال شدہ گیٹس کی تعداد اس کے برابر ہے، کے لیے۔ کوانٹم ہڈمارڈ ٹرانسفارم سے تعلق محدود (ابیلین) گروپوں پر عمومی فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے، دراصل n-qbit کوانٹم رجسٹر پر کوانٹم فورئیر ٹرانسفارم کی وضاحت کرنے کے دو قدرتی طریقے ہیں۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے کہ کیو ایف ٹی ڈی ایف ٹی کے مساوی ہے، جو ان این کیوبیٹس کو سائیکلک گروپ کے ذریعہ انڈیکس شدہ سمجھتا ہے۔ تاہم، یہ بھی سمجھ میں آتا ہے کہ کیوبیٹس کو بولین گروپ کے ذریعہ انڈیکس کیا گیا ہے، اور اس صورت میں فورئیر ٹرانسفارم ہڈمارڈ ٹرانسفارم ہے۔ یہ متوازی طور پر ہر ایک n کیوبٹ پر ہڈمارڈ گیٹ لگا کر حاصل کیا جاتا ہے۔ شور کا الگورتھم دونوں قسم کے فورئیر ٹرانسفارمز کا استعمال کرتا ہے، ایک ابتدائی ہڈمارڈ ٹرانسفارمز کے ساتھ ساتھ ایک کیو ایف ٹی بھی۔ حوالہ جات کے آر پارتھا سارتھی، لیکچرز آن کوانٹم کمپیوٹیشن اینڈ کوانٹم ایرر کریکٹنگ کوڈز (انڈین شماریاتی ادارہ، دہلی سینٹر، جون 2001) جان پریسکل، لیکچر نوٹس فار فزکس 229: کوانٹم انفارمیشن اینڈ کمپیوٹیشن (سی آئی ٹی، ستمبر 1998) بیرونی روابط وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ: کوانٹم سرکٹ امپلیمنٹنگ گروورز سرچ الگورتھم وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ: کوانٹم سرکٹ امپلیمنٹنگ کوانٹم فوریر ٹرانسفارم آن لائن لائف کوانٹم فوریر ٹرانسفارم کوانٹم الگورتھم فوریر تجزیہ