Orthodiagonal quadrilateral
یوکلیڈین جیومیٹری میں، ایک آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل ایک کواڈریلیٹرل ہے جس میں ڈائیگنلز صحیح زاویوں پر عبور کرتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، یہ ایک چار رخا شکل ہے جس میں غیر ملحقہ چوٹیوں کے درمیان لکیر کے حصے ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل (عمودی) ہوتے ہیں۔ خصوصی صورتوں میں پتنگ ایک آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل ہے جس میں ایک اخترن ہم آہنگی کی لکیر ہے۔ پتنگیں بالکل آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل ہیں جو اپنے چاروں اطراف میں ایک دائرے پر مشتمل ہیں۔ یعنی، پتنگیں ٹینجینشل آرتھوڈیگنل کواڈریٹرل ہیں۔ رومبس ایک آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل ہے جس کے متوازی اطراف کے دو جوڑے ہوتے ہیں (یعنی ایک آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل جو کہ ایک متوازی ہندسہ بھی ہے)۔ مربع پتنگ اور رومبس دونوں کا ایک محدود کیس ہے۔ آرتھوڈیگنل ایکویڈیگنل کواڈریلیٹرلز جن میں ڈائیگنلز کم از کم اتنے لمبے ہوتے ہیں جتنا کہ تمام کواڈریلیٹرلز کے اطراف میں تمام کواڈریلیٹرلز کے درمیان ان کے قطر کے لیے زیادہ سے زیادہ رقبہ ہوتا ہے، جس سے سب سے بڑے چھوٹے کثیر الاضحی مسئلے کے n = 4 کیس کو حل کیا جاتا ہے۔ مربع ایسا ہی ایک چوطرفہ ہے، لیکن لامحدود طور پر اور بھی بہت سے ہیں۔ ایک آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل جو مساوی بھی ہے ایک مڈ اسکوائر کواڈری لیٹرل ہوتا ہے کیونکہ اس کا ویریگنن متوازی ہندسہ ایک مربع ہوتا ہے۔ اس کے رقبے کا اظہار خالصتا اس کے اطراف کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ خصوصیات کسی بھی آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کے لیے، دو مخالف اطراف کے مربعوں کا مجموعہ دوسرے دو مخالف اطراف کے برابر ہوتا ہے: یکے بعد دیگرے اطراف a، b، c، اور d کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ یہ پائیتھاگورین تھیوریم سے ملتا ہے، جس کے ذریعے دو مربعوں کے ان دو مجموعوں میں سے کسی ایک کو کواڈریلیٹرل کے عمودی حصوں سے چار مربع فاصلے کے مجموعے کے برابر کیا جا سکتا ہے جہاں تک کہ اخترن ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ اس کے برعکس، کوئی بھی چوتھائی جس میں a2 + c2 = b2 + d2 آرتھوڈیگنل ہونا چاہیے۔ یہ کئی طریقوں سے ثابت کیا جا سکتا ہے، بشمول کوسائنز کے قانون، ویکٹرز، بالواسطہ ثبوت، اور پیچیدہ اعداد کا استعمال کرنا۔ کنویکس کواڈریلیٹرل کے ڈائیگنلز عمودی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب دونوں بائیمیڈینس کی لمبائی برابر ہو۔ ایک اور خصوصیت کے مطابق، کنویکس کواڈریلیٹرل اے بی سی ڈی کے ڈائیگنلز عمودی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جہاں پی ڈائیگنلز کے انٹرسیکشن کا نقطہ ہو۔ اس مساوات سے یہ تقریبا فوری طور پر ہوتا ہے کہ کنویکس کواڈریلیٹرل کے ڈائیگنلز عمودی ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب کواڈریلیٹرل کے اطراف پر ڈائیگنل انٹرسیکشن کے پروجیکشن ایک چکور کواڈریلیٹرل کے عمودی ہوں۔ ایک کنویکس کواڈری لیٹرل آرتھوڈیگنل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ویگنن پیرللوگرام (جس کے عمودی حصے اس کے اطراف کے درمیانی نکات ہوں) ایک مستطیل ہو۔ ایک متعلقہ خصوصیت میں کہا گیا ہے کہ ایک کنویکس کواڈریلیٹرل آرتھوڈیگنل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اطراف کے مڈ پوائنٹ اور چار میلٹیٹیوڈز کے پاؤں آٹھ کونسیکلک پوائنٹ ہوں۔ آٹھ پوائنٹ کا دائرہ۔ اس دائرے کا مرکز چوطرفہ کا مرکز ہے۔ مالٹیٹیوڈز کے پیروں سے بننے والے کواڈری لیٹرل کو پرنسپل آرتھک کواڈری لیٹرل کہا جاتا ہے۔ اگر ڈائیگنل چوراہے کے ذریعے کسی کنویکس کواڈریلیٹرل اے بی سی ڈی کے اطراف کے نارمل R، S، T، U، اور K، L، M، N میں مخالف اطراف کو کاٹتے ہیں تو ان نارملز کے پاؤں ہیں، تو ABCD آرتھوڈیگنل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آٹھ نکات K، L، M، N، R، S، T اور U ہم آہنگ ہوں ؛ دوسرا آٹھ نکاتی دائرہ۔ ایک متعلقہ خصوصیت میں کہا گیا ہے کہ ایک کنویکس کواڈریلیٹرل آرتھوڈیگنل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب RSTU ایک آئتاکار ہو جس کے اطراف ABCD کے ڈائیگنلز کے متوازی ہوں۔ ڈائیگنل انٹرسیکشن P اور کنویکس کواڈری لیٹرل اے بی سی ڈی کے عمودی حصوں سے بننے والے چار مثلثوں کے حوالے سے کئی میٹرک خصوصیات ہیں۔ مثلث اے بی پی، بی سی پی، سی ڈی پی، ڈی اے پی میں پی سے بالترتیب اے بی، بی سی، سی ڈی، ڈی اے کے اطراف میں میڈینز کو ایم 1، ایم 2، ایم 3، ایم 4 سے ظاہر کریں۔ اگر آر 1، آر 2، آر 3، آر 4 اور ایچ 1، ایچ 2، ایچ 3، ایچ 4 بالترتیب ان مثلثوں کے گردشی حلقوں اور اونچائی کی نشاندہی کرتے ہیں، تو کواڈریلیٹرل اے بی سی ڈی آرتھوڈیگنل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک مساوات برقرار رہے: مزید برآں، ڈائیگنلز کے انٹرسیکشن پی کے ساتھ ایک کواڈریلیٹرل اے بی سی ڈی آرتھوڈیگنل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مثلثوں کے دائرے اے بی پی، بی سی پی، سی ڈی پی اور ڈی اے پی کواڈریلیٹرل کے اطراف کے مڈ پوائنٹ ہوں۔ ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل کے ساتھ موازنہ ٹینجینشیل کواڈری لیٹرل اور آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل کی چند میٹرک خصوصیات ظاہری شکل میں بہت ملتی جلتی ہیں، جیسا کہ اس جدول میں دیکھا جا سکتا ہے۔ اطراف a، b، c، d، سرکمراڈی R1، R2، R3، R4، اور اونچائی H1، H2، H3، H4 دونوں قسم کے کواڈریلیٹرلز میں اوپر کی طرح ہی ہیں۔ رقبے آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کا رقبہ K مثلث p اور q کی لمبائی کے پروڈکٹ کے نصف کے برابر ہوتا ہے: اس کے برعکس، کوئی بھی کنویکس کواڈریلیٹرل جہاں اس فارمولے کے ساتھ رقبے کا حساب لگایا جا سکتا ہے اسے آرتھوڈیگنل ہونا چاہیے۔ آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل میں تمام کنویکس کواڈریلیٹرلز کا سب سے بڑا رقبہ دیا گیا ہے۔ دیگر خصوصیات آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل واحد کواڈریلیٹرل ہیں جن کے اطراف اور ڈائیگنلز کے ذریعہ تشکیل شدہ زاویہ منفرد طور پر رقبے کا تعین نہیں کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، دو رومبی دونوں کا مشترکہ پہلو a ہے (اور، جیسا کہ تمام رومبی کے لیے، دونوں کا مثلثوں کے درمیان سیدھا زاویہ ہے)، لیکن ایک کا دوسرے کے مقابلے میں چھوٹا تیز زاویہ ہے، اس کے مختلف علاقے ہیں (سابق کا رقبہ صفر کے قریب پہنچ رہا ہے جب شدید زاویہ صفر کے قریب پہنچتا ہے)۔ اگر چوکوں کو کسی چوطرفہ (کنویکس، کنکیو، یا کراسڈ) کے اطراف میں باہر کی طرف کھڑا کیا جاتا ہے، تو ان کے مراکز (سینٹروئڈز) ایک آرتھوڈیگنل چوطرفہ کے عمودی ہوتے ہیں جو مساوی بھی ہوتے ہیں (یعنی مساوی لمبائی کے اخترن والے)۔ اسے وان اوبل کا نظریہ کہا جاتا ہے۔ آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کے ہر طرف پاسکل پوائنٹس کے دائرے کے ساتھ کم از کم ایک مشترکہ نقطہ ہوتا ہے۔ آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرلز کی خصوصیات جو چکور سرکمریڈیئس اور رقبہ بھی ہیں ایک چکور آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کے لیے (جو ایک دائرے میں کندہ کیا جا سکتا ہے)، فرض کریں کہ ڈائیگنلز کا چوراہا ایک ڈائیگنل کو لمبائی p1 اور p2 کے حصوں میں تقسیم کرتا ہے اور دوسرے ڈائیگنل کو لمبائی q1 اور q2 کے حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔ پھر (پہلی مساوات آرکیمیڈیز کی بک آف لیما میں پروپوزیشن 11 ہے) جہاں D گردشی دائرے کا قطر ہے۔ ایسا اس لیے ہوتا ہے کیونکہ ڈائیگنلز ایک دائرے کے عمودی کورڈز ہوتے ہیں۔ اس طرح، اویلر کے کواڈریلیٹرل تھیوریم کے مطابق، سرکمریڈیئس کو ڈائیگنلز p اور q کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور ڈائیگنلز کے مڈ پوائنٹس کے درمیان فاصلہ x کو چار اطراف کے لحاظ سے ایک سائیکلک آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کے رقبے K کے لیے ایک فارمولہ کے طور پر حاصل کیا جاتا ہے جب ٹولیمی کے تھیوریم اور آرتھوڈیگنل کواڈریٹرل کے رقبے کے فارمولے کو یکجا کیا جاتا ہے۔ نتیجہ دیگر خصوصیات ہیں ایک چکور آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل میں، اینٹی سینٹر اس نقطہ کے ساتھ موافق ہوتا ہے جہاں ڈائیگنلز ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ برہم گپتا کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ ایک چکور آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل کے لیے، کسی بھی طرف سے پرپینڈکولر مثلثوں کے چوراہے کے نقطہ کے ذریعے مخالف سمت کو دو حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔ اگر ایک آرتھوڈیگنل کواڈری لیٹرل بھی چکور ہے، تو دائرے کے مرکز (گھیرے ہوئے دائرے کا مرکز) سے کسی بھی طرف کا فاصلہ مخالف طرف کی نصف لمبائی کے برابر ہوتا ہے۔ ایک چکور آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل میں، ڈائیگنلز کے مڈ پوائنٹس کے درمیان فاصلہ دائرے کے مرکز اور اس نقطہ کے درمیان فاصلے کے برابر ہوتا ہے جہاں ڈائیگنلز ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ کندہ شدہ آئتاکار کے لامحدود سیٹ ہر آرتھوڈیگنل کواڈریلیٹرل کے لیے، ہم آئتاکار کے دو لامحدود سیٹ لکھ سکتے ہیں: (i) آئتاکار کا ایک سیٹ جس کے اطراف کواڈریلیٹرل کے ڈائیگنلز کے متوازی ہوتے ہیں (ii) پاسکل پوائنٹس کے حلقوں سے متعین آئتاکار کا ایک سیٹ۔ حوالہ جات کواڈریلیٹرلز کی اقسام