Auslander–Reiten theory
الجبرا میں، آسلینڈر-ریٹین نظریہ آرٹینین بجتوں کی نمائندگی کے نظریہ کا مطالعہ کرتا ہے جس میں آسلینڈر-ریٹین ترتیبات (جسے تقریبا تقسیم ترتیب بھی کہا جاتا ہے) اور آسلینڈر-ریٹین قوورز جیسی تکنیکوں کا استعمال کیا جاتا ہے۔ آسلینڈر-ریٹین کا نظریہ ان کے ذریعے متعارف کرایا گیا اور بعد کے کئی مقالے میں تیار کیا گیا۔ آسلینڈر-ریٹین تھیوری پر سروے کے مضامین کے لیے دیکھیں،، اور کتاب۔ آسلینڈر-ریٹین تھیوری پر بہت سے اصل مقالے دوبارہ شائع کیے گئے ہیں۔ تقریبا تقسیم کے سلسلے فرض کریں کہ R ایک آرٹن الجبرا ہے۔ R پر حتمی طور پر تیار شدہ بائیں ماڈیولز کی ترتیب 0 → A → B → C → 0 کو تقریبا تقسیم ترتیب (یا آسلینڈر-ریٹین ترتیب) کہا جاتا ہے اگر اس میں درج ذیل خصوصیات ہوں: ترتیب تقسیم نہیں ہے C ناقابل تشکیل ہے اور کوئی بھی ہومومورفزم ایک ناقابل تشکیل ماڈیول سے C تک جو B کے ذریعے آئسومورفزم عوامل نہیں ہے۔ A ناقابل تشکیل ہے اور A سے کسی ناقابل تشکیل ماڈیول میں کوئی بھی ہومومورفزم جو B کے ذریعے آئسومورفزم عوامل نہیں ہے۔ کسی بھی حتمی طور پر تیار کردہ بائیں ماڈیول سی کے لیے جو ناقابل تشکیل ہے لیکن پروجیکٹو نہیں ہے، اوپر کی طرح تقریبا تقسیم کی ترتیب ہے، جو آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ اسی طرح کسی بھی حتمی طور پر تیار کردہ بائیں ماڈیول اے کے لیے جو ناقابل مرکب ہے لیکن انجیکشن نہیں ہے، اوپر کی طرح تقریبا تقسیم کی ترتیب ہے، جو آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ ماڈیول A تقریبا تقسیم شدہ ترتیب میں D TR C کے لیے آئسومورفک ہے، جو کہ C کے ٹرانسپوز کا دوہرا ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ R کسی فیلڈ k کے لیے رنگ k [x]/(xn) ہے اور ایک عدد n ≤ 1 ہے۔ ناقابل تلافی ماڈیول 1 ≤ m ≤ n کے لیے k [x]/(xm) میں سے کسی ایک کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں، اور واحد پروجیکٹو میں m = n ہوتا ہے۔ تقریبا تقسیم شدہ ترتیبات 1 ≤ m <n کے لیے آئسومورفک ہیں۔ پہلا مورفزم a کو (xa، a) پر لے جاتا ہے اور دوسرا (b، c) کو b − xc پر لے جاتا ہے۔ آسلینڈر-ریٹین قویور آرٹن الجبرا کے آسلینڈر-ریٹین قویور میں ہر ناقابل تلافی ماڈیول کے لیے ایک ورٹیکس ہوتا ہے اور اگر متعلقہ ماڈیولز کے درمیان ناقابل تلافی مورفزم ہو تو عمودی حصوں کے درمیان ایک تیر ہوتا ہے۔ اس میں ایک نقشہ τ = D Tr ہے جسے غیر پروجیکٹو عمودی سے غیر انجیکشن عمودی تک ترجمہ کہا جاتا ہے، جہاں D دوہری اور Tr ٹرانسپوز ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط نمائندگی کا نظریہ