Berry connection and curvature
طبیعیات میں، بیری کنکشن اور بیری منحنی خطوط متعلقہ تصورات ہیں جنہیں بالترتیب، بیری مرحلے یا ہندسی مرحلے سے وابستہ مقامی گیج صلاحیت اور گیج فیلڈ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس تصور کو سب سے پہلے ایس پنچ رتنم نے ہندسی مرحلے کے طور پر متعارف کرایا تھا اور بعد میں مائیکل بیری نے 1984 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں اس بات پر زور دیا کہ کس طرح ہندسی مراحل کلاسیکی اور کوانٹم طبیعیات کی کئی شاخوں میں ایک طاقتور متحد تصور فراہم کرتے ہیں۔ بیری مرحلہ اور چکور اڈیباٹک ارتقاء کوانٹم میکانکس میں، بیری مرحلہ ایک چکور اڈیباٹک ارتقاء میں پیدا ہوتا ہے۔ کوانٹم اڈیباٹک تھیوریم ایک ایسے نظام پر لاگو ہوتا ہے جس کا ہیملٹنین ایک (ویکٹر) پیرامیٹر پر منحصر ہوتا ہے جو وقت کے ساتھ مختلف ہوتا ہے۔ اگر راستے میں ہر جگہ آئیگن ویلیو غیر انحطاط پذیر رہتی ہے اور وقت t کے ساتھ تغیر کافی سست ہے، تو ابتدائی طور پر نارملائزڈ آئیگن اسٹیٹ میں ایک نظام ہیملٹنین کے ایک فوری آئیگن اسٹیٹ میں، ایک مرحلے تک، پورے عمل میں رہے گا۔ مرحلے کے حوالے سے، وقت t پر حالت کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں دوسری ایکسپونینشل اصطلاح "متحرک مرحلے کا عنصر" ہے۔ پہلی ایکسپونینشل اصطلاح جیومیٹرک اصطلاح ہے، جس میں بیری فیز ہے۔ اس ضرورت سے جو وقت پر منحصر شروڈنگر مساوات کو پورا کرتی ہے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ بیری مرحلے کا انحصار صرف پیرامیٹر اسپیس میں راستے پر ہوتا ہے، نہ کہ اس شرح پر جس پر راستہ گزرتا ہے۔ بند راستے کے ارد گرد چکور ارتقاء کی صورت میں، بند راستہ بیری مرحلہ جسمانی نظام کی ایک مثال ہے جہاں ایک الیکٹران بند راستے پر چلتا ہے وہ سائکلوٹرون حرکت ہے (تفصیلات بیری مرحلے کے صفحہ میں دی گئی ہیں)۔ درست مقداری حالت حاصل کرنے کے لیے بیری مرحلے پر غور کیا جانا چاہیے۔ گیج کی تبدیلی ایک گیج کی تبدیلی کو ریاستوں کے ایک نئے سیٹ میں انجام دیا جا سکتا ہے جو صرف ایک منحصر مرحلے کے عنصر سے اصل سے مختلف ہوتی ہے۔ یہ اوپن پاتھ بیری مرحلے کو تبدیل کرتا ہے۔ بند راستے کے لیے، تسلسل کی ضرورت ہوتی ہے کہ (ایک عدد)، اور یہ اس کے بعد ہوتا ہے جو کہ غیر متغیر، ماڈیولو، ایک صوابدیدی گیج تبدیلی کے تحت ہوتا ہے۔ بیری کنکشن اوپر بیان کردہ بند راستے والے بیری مرحلے کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ ایک ویکٹر ویلیوڈ فنکشن کہاں ہے جسے بیری کنکشن (یا بیری پوٹینشل) کہا جاتا ہے۔ بیری کنکشن گیج پر منحصر ہے، جیسا کہ تبدیل ہوتا ہے۔ اس لیے مقامی بیری کنکشن کبھی بھی جسمانی طور پر قابل مشاہدہ نہیں ہو سکتا۔ تاہم، ایک بند راستے کے ساتھ اس کا لازمی، بیری فیز، کے ایک انٹیجر ملٹیپل تک گیج-غیر متغیر ہے۔ اس طرح، بالکل گیج غیر متغیر ہے، اور اس کا تعلق فزیکل آبزرویبلز سے ہو سکتا ہے۔ بیری منحنیت بیری منحنیت ایک اینٹی سمیٹرک سیکنڈ رینک ٹینسر ہے جو بیری کنکشن سے ماخوذ ہے۔ تین جہتی پیرامیٹر کی جگہ میں بیری منحنیت کو سڈوویکٹر کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ بیری منحنیت کی ٹینسر اور سڈوویکٹر شکلیں لیوی-سیویٹا اینٹی سمیٹرک ٹینسر کے ذریعے ایک دوسرے سے متعلق ہیں۔ بیری کنکشن کے برعکس، جو ایک بند راستے کے ارد گرد ضم ہونے کے بعد ہی جسمانی ہوتا ہے، بیری منحنی پن پیرامیٹر کی جگہ میں ویو فنکشن کی ہندسی خصوصیات کا ایک گیج غیر متغیر مقامی مظہر ہے، اور مختلف قسم کی الیکٹرانک خصوصیات کو سمجھنے کے لیے ایک لازمی جسمانی جزو ثابت ہوا ہے۔ ایک بند راستے کے لیے جو کسی سطح کی حد بناتا ہے، بند راستے والے بیری مرحلے کو اسٹوکس تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جیسے کہ اگر سطح ایک بند کئی گنا ہے، تو باؤنڈری ٹرم ختم ہو جاتی ہے، لیکن باؤنڈری ٹرم ماڈیولو کی غیر تعیناتی چرن تھیوریم میں ظاہر ہوتی ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ بند کئی گنا پر بیری منحنی خطوط کا انٹیگرل ان کی اکائیوں میں شمار کیا جاتا ہے۔ یہ نمبر نام نہاد چرن نمبر ہے، اور مختلف مقداری اثرات کو سمجھنے کے لیے ضروری ہے۔ آخر میں، نوٹ کریں کہ بیری کے منحنی خطوط کو دیگر تمام آئجین اسٹیٹس کے مجموعے کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ مثال: مقناطیسی میدان میں اسپنر مقناطیسی میدان میں ایک اسپن-1/2 ذرہ کا ہیملٹنین اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں پالی میٹرکس کو ظاہر کیا جاتا ہے، مقناطیسی لمحہ ہے، اور B مقناطیسی میدان ہے۔ تین جہتوں میں، آئجین اسٹیٹس میں توانائیاں ہوتی ہیں اور ان کے آئجین ویکٹر ہوتے ہیں۔ اس کے بیری کنکشن کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے، اور بیری کا منحنی پن ہے۔ اگر ہم (یا کسی دوسرے مرحلے) سے ضرب دے کر ایک نئی گیج کا انتخاب کرتے ہیں، تو بیری کے کنکشن اور ہوتے ہیں، جبکہ بیری کا منحنی پن یکساں رہتا ہے۔ یہ اس نتیجے سے مطابقت رکھتا ہے کہ بیری کنکشن گیج پر منحصر ہے جبکہ بیری منحنی نہیں ہے۔ بیری کا منحنی پن فی ٹھوس زاویہ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، مقناطیسی میدان کی جگہ میں اکائی دائرے پر کسی بھی دیے گئے راستے سے مطابقت رکھنے والا بیری مرحلہ راستے کے ذریعے کم کیے گئے ٹھوس زاویے کا صرف نصف ہوتا ہے۔ اس لیے پورے دائرے پر بیری منحنی خطوط کا لازمی حصہ بالکل ٹھیک ہے، تاکہ چرن نمبر اتحاد ہے، جو چرن تھیوریم کے مطابق ہے۔ کرسٹل میں استعمال بیری مرحلہ کرسٹل ٹھوسوں میں الیکٹرانک خصوصیات کی جدید تحقیقات اور کوانٹم ہال اثر کے نظریہ میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔ کرسٹل لائن پوٹینشل کی پیریڈکٹی بلوچ تھیوریم کے اطلاق کی اجازت دیتی ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ہیملٹنین آئجین اسٹیٹس اس شکل کو اختیار کرتے ہیں جہاں ایک بینڈ انڈیکس ہوتا ہے، ریسپروکل اسپیس (برلوئن زون) میں ایک ویو ویکٹر ہوتا ہے، اور اس کا ایک پیریڈک فنکشن ہوتا ہے۔ پھر، پیرامیٹر کا کردار ادا کرنے کی اجازت دیتے ہوئے، کوئی بھی باہمی جگہ میں بیری مراحل، کنکشنز اور منحنی خطوط کی وضاحت کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، باہمی خلا میں بیری کا تعلق ہے کیونکہ بلوچ تھیوریم سے یہ بھی ظاہر ہوتا ہے کہ باہمی جگہ خود بند ہے، برلوئن زون میں تین جہتوں میں 3-ٹورس کی ٹوپولوجی ہے، بند لوپ یا کئی گنا پر انضمام کی ضروریات کو آسانی سے پورا کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، برقی پولرائزیشن، آربیٹل میگنیٹائزیشن، انوملس ہال کنڈکٹیویٹی، اور آربیٹل میگنیٹو الیکٹرک جوڑی جیسی خصوصیات کو بیری مراحل، رابطوں اور منحنی خطوط کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط کوانٹم مرحلہ، پانچ سال بعد۔ ایم بیری۔ الیکٹرانک اسٹرکچر تھیوری میں بیری فیزز اور منحنی خطوط ڈی وینڈربلٹ کی ایک گفتگو۔ بیری -ولوجی، آربیٹل میگنیٹو الیکٹرک ایفیکٹس، اور ٹوپولوجیکل انسولٹرز-ڈی وینڈربلٹ کی ایک گفتگو۔ کلاسیکی میکینکس کوانٹم مراحل