Skolem–Mahler–Lech theorem
اضافی اور الجبرائی نمبر تھیوری میں، اسکولیم-مہلر-لیک تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اگر اعداد کا ایک سلسلہ لکیری فرق مساوات کو مطمئن کرتا ہے، تو محدود طور پر بہت سی مستثنیات کے ساتھ وہ پوزیشنیں جن پر ترتیب صفر ہے وہ باقاعدگی سے دہرائے جانے والے نمونے کی تشکیل کرتی ہیں۔ اس نتیجے کا نام تھورالف سکولم (جس نے عقلی اعداد کے سلسلے کے لیے نظریہ ثابت کیا)، کرٹ ماہلر (جس نے اسے الجبرائی اعداد کے سلسلے کے لیے ثابت کیا)، اور کرسٹر لیچ (جس نے اسے ان ترتیبات کے لیے ثابت کیا جن کے عناصر کا تعلق خصوصیت 0 کے کسی بھی میدان سے ہے) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اس کے معروف ثبوت پی-ایڈک تجزیہ کا استعمال کرتے ہیں اور غیر تعمیری ہوتے ہیں۔ نظریہ بیان آئیے پیچیدہ اعداد کی ایک ترتیب ہے جو سب کے لیے اطمینان بخش ہے، جہاں پیچیدہ تعداد مستقل ہیں (یعنی ترتیب کی مستقل تکراری ترتیب)۔ پھر صفر کا سیٹ ایک محدود سیٹ اور حتمی طور پر بہت سے ریاضی کی ترقی کے اتحاد کے برابر ہوتا ہے۔ اگر ہمارے پاس (1، 0، 0، 0، جیسے ترتیبات کو چھوڑ کر) ہے، تو صفر کا مجموعہ درحقیقت ایک محدود سیٹ کے اتحاد اور حتمی طور پر بہت سے مکمل ریاضی کی پیش رفت کے برابر ہے، جہاں ایک لامحدود ریاضی کی ترقی مکمل ہوتی ہے اگر انٹیجرز a اور b موجود ہوں تاکہ ترقی b ماڈیولو a کے برابر تمام مثبت انٹیجرز پر مشتمل ہو۔ مثال اس ترتیب پر غور کریں جو صفر اور فبونیکی نمبروں کے درمیان باری باری ہوتی ہے۔ یہ ترتیب لکیری تکرار کے تعلق (فبونیکی تکرار کی ایک ترمیم شدہ شکل) سے پیدا کی جا سکتی ہے، جو بنیادی معاملات F (1) = F (2) = F (4) = 0 اور F (3) = 1 سے شروع ہوتی ہے۔ اس ترتیب کے لیے، F (i) = 0 اگر اور صرف اس صورت میں جب i یا تو ایک یا یکساں ہو۔ اس طرح، جن پوزیشنوں پر ترتیب صفر ہے انہیں ایک محدود سیٹ (سنگلٹن سیٹ {1}) اور ایک مکمل ریاضی کی ترقی (مثبت یکساں اعداد) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اس مثال میں، صرف ایک ریاضی کی ترقی کی ضرورت تھی، لیکن دیگر تکرار کے سلسلے میں متعدد ریاضی کی ترقی کی تشکیل کرنے والی پوزیشنوں پر صفر ہو سکتے ہیں۔ متعلقہ نتائج اسکولیم کا مسئلہ اس بات کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے کہ آیا دی گئی تکرار کی ترتیب میں صفر ہے۔ یہ جانچنے کے لیے ایک الگورتھم موجود ہے کہ آیا لامحدود طور پر بہت سے صفر موجود ہیں، اور اگر ایسا ہے تو ان صفروں کو دورانیے کے سیٹوں میں سڑنے کا پتہ لگانے کے لیے اسکولیم-مہلر-لیک تھیوریم کے ذریعے اس کے وجود کی ضمانت دی گئی ہے۔ تاہم، یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا اس بات کا تعین کرنے کے لیے کوئی الگورتھم موجود ہے کہ آیا تکرار کی ترتیب میں کوئی غیر وقتی صفر ہے یا نہیں۔ حوالہ جات، لیچ 1953 میں حوالہ دیا گیا۔، لیچ 1953 میں حوالہ دیا گیا۔ ۔ ۔ نمبر تھیوری میں تھیوریمز الجبرائی نمبر تھیوری اضافی نمبر تھیوری تکرار تعلقات