Real hyperelliptic curve
ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کی دو قسمیں ہیں، الجبرائی منحنی خطوط کی ایک کلاس: حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط اور خیالی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط جو انفینیٹی پر پوائنٹس کی تعداد سے مختلف ہوتے ہیں۔ ہر جینس کے لیے ہائپرلیپٹک منحنی خطوط موجود ہیں۔ ایک محدود فیلڈ پر ہائپرلیپٹک وکر کا عمومی فارمولا اس طرح دیا جاتا ہے جہاں بعض شرائط کو پورا کیا جاتا ہے۔ اس صفحہ میں، ہم حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے بارے میں مزید وضاحت کرتے ہیں، یہ وہ منحنی خطوط ہیں جن کے دو نکات انفینیٹی پر ہوتے ہیں جبکہ خیالی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کا ایک نقطہ انفینیٹی پر ہوتا ہے۔ تعریف K پر جینس g کے ایک حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کی تعریف اس شکل کی مساوات سے کی جاتی ہے جس کی ڈگری g + 1 سے بڑی نہ ہو جبکہ ڈگری 2g + 1 یا 2g + 2 ہونی چاہیے۔ یہ وکر ایک غیر واحد وکر ہے جہاں الجبرائی بندش میں کوئی نقطہ وکر مساوات اور دونوں جزوی مشتق مساوات کو مطمئن نہیں کرتا ہے: اور۔ C پر (محدود)-عقلی پوائنٹس کا سیٹ اس طرح دیا جاتا ہے کہ انفنٹی پر پوائنٹس کا سیٹ کہاں ہے۔ حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے لیے، انفینیٹی پر دو پوائنٹس ہوتے ہیں، اور۔ کسی بھی نقطہ کے لیے، کا مخالف نقطہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے ؛ یہ x-ہم آہنگی a والا دوسرا نقطہ ہے جو منحنی خطوط پر بھی واقع ہے۔ مثال لیٹ ہویر اوور۔ چونکہ اور اس کی ڈگری 6 ہے، اس طرح جینس جی = 2 کا ایک منحنی خطہ ہے۔ منحنی مساوات کا یکساں ورژن اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اس کا لامحدود پر ایک نقطہ ہے جو (0:1:0) کے ذریعہ دیا گیا ہے لیکن یہ نقطہ واحد ہے۔ کے دھماکے میں انفینیٹی پر 2 مختلف نکات ہوتے ہیں، جن کی ہم نشاندہی کرتے ہیں اور۔ لہذا یہ وکر ایک حقیقی ہائپرلیپٹک وکر کی ایک مثال ہے۔ عام طور پر، مساوات کے ذریعہ دیا گیا ہر منحنی خطوط جہاں f کی ڈگری یکساں ہوتی ہے، ان کے انفینیٹی پر دو نکات ہوتے ہیں اور یہ ایک حقیقی ہائپر ایلپٹک منحنی خطوط ہوتا ہے جبکہ جہاں f کی ڈگری عجیب ہوتی ہے، ان کے بلو اپ میں صرف ایک نقطہ ہوتا ہے (0:1:0) اور اس طرح وہ خیالی ہائپر ایلپٹک منحنی خطوط ہوتے ہیں۔ دونوں صورتوں میں یہ فرض کیا جاتا ہے کہ منحنی خطوط کا افائن حصہ غیر یک جہتی ہے (اوپر مشتقات پر شرائط دیکھیں) حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط میں ریاضی۔ حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط میں، اضافے کی تعریف اب ان نکات پر نہیں کی جاتی جیسا کہ ایلیپٹک منحنی خطوط میں ہوتی ہے بلکہ تقسیم کاروں اور جیکوبین پر ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ ایک محدود فیلڈ K پر جینس G کا ایک ہائپرلیپٹک وکر ہے۔ A ڈیویزر آن پر پوائنٹس کا ایک رسمی محدود مجموعہ ہے۔ ہم کہاں اور تقریبا سب کے لیے لکھتے ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ کی ڈگری کی وضاحت کی جاتی ہے اگر تمام آٹومورفزم σ سے زیادہ کے لیے۔ تعریف شدہ اوور کے تقسیم کاروں کا مجموعہ اضافی اصول کے تحت ایک اضافی ابیلین گروپ تشکیل دیتا ہے۔ تعریف شدہ اوور کے تمام ڈگری صفر تقسیم کاروں کا مجموعہ ان کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ ہم ایک مثال لیتے ہیں: چلو اور۔ اگر ہم انہیں شامل کریں تو۔ کی ڈگری ہے اور کی ڈگری ہے۔ پھر، کثیر الجہتی کے لیے، کے تقسیم کار کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ اگر فنکشن میں ایک نقطہ پر پول ہے تو یہ at کے غائب ہونے کی ترتیب ہے۔ فرض کریں کہ وہ کثیر الجہتی ہیں ؛ عقلی فعل کے تقسیم کار کو پرنسپل تقسیم کار کہا جاتا ہے اور اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ ہم پرنسپل ڈیوائزرز کے گروپ کو، یعنی، سے ظاہر کرتے ہیں۔ جیکوبین آف اوور کی تعریف اس کے ذریعہ کی گئی ہے۔ فیکٹر گروپ کو ڈیویزر کلاس گروپ بھی کہا جاتا ہے۔ وہ عناصر جن کی وضاحت کی گئی ہے وہ گروپ بناتے ہیں۔ ہم کلاس کے ذریعے اشارہ کرتے ہیں۔ حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط کے لیے ڈیوائزر کلاسوں کی نمائندگی کرنے کے دو کینونکل طریقے ہیں جن میں دو پوائنٹس انفینیٹی ہوتے ہیں۔ پہلا یہ ہے کہ ڈگری زیرو ڈیوائزر کو اس طرح سے پیش کیا جائے کہ، کہاں، اور اگر کے نمائندے کو سیمی ریڈیسڈ کہا جاتا ہے۔ اگر اضافی شرط کو پورا کرتا ہے تو نمائندے کو کم کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کچھ i کے لیے اجازت ہے۔ اس کے بعد ہر ڈگری 0 ڈیویزر کلاس میں ایک منفرد نمائندہ ہوتا ہے جس کے ساتھ ڈیویزر کہاں ہے جو اور، اور دونوں کے ساتھ کوپرائم ہے۔ دوسری نمائندگی انفینٹی پر متوازن ہے۔ آئیے، نوٹ کریں کہ یہ تقسیم کنندہ-عقلی ہے یہاں تک کہ اگر پوائنٹس آزادانہ طور پر نہیں ہیں۔ کلاس کے نمائندے کو اس طرح لکھیں، جہاں اسے افائن حصہ کہا جاتا ہے اور اس میں اور نہیں ہوتا ہے، اور جانے دیں۔ مثال کے طور پر، دو تقسیم کاروں کے افائن حصوں کو اس کے ذریعہ دیا جائے اور پھر متوازن تقسیم کار ہیں اور حقیقی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط سے خیالی ہائپرلیپٹک منحنی خطوط میں تبدیلی۔ اگر ڈگری 1 کا ریمفائیڈ پرائم ڈیوائزر موجود ہے تو ہم ایک خیالی کواڈریٹک وکر میں بائریشنل تبدیلی انجام دینے کے قابل ہیں۔ ایک (محدود یا لامحدود) نقطہ کو ریمفائیڈ کہا جاتا ہے اگر وہ اپنے مخالف کے برابر ہو۔ اس کا مطلب ہے، یعنی۔ کہ۔ اگر ریمفائیڈ کیا جاتا ہے تو یہ ایک ریمفائیڈ پرائم ڈیوائزر ہے۔ جینس کا حقیقی ہائپرلیپٹک وکر جس میں ایک ریمفائیڈ-ریشنل فائنٹ پوائنٹ ہوتا ہے، بائریشنل طور پر جینس کے ایک خیالی ماڈل کے برابر ہوتا ہے، یعنی۔ اور فنکشن فیلڈز برابر ہیں۔ یہاں: ہماری مثال میں جہاں، h (x) 0 کے برابر ہے۔ کسی بھی پوائنٹ کے لیے، 0 کے برابر ہوتا ہے اور اس لیے P کو ریمفائیڈ کرنے کی ضرورت بن جاتی ہے۔ تبدیل کرنا اور، ہم حاصل کرتے ہیں، کہاں، یعنی۔ سے ()، ہم حاصل کرتے ہیں اور۔ g = 2 کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ مثال کے طور پر، پھر اور، ہم حاصل کرتے ہیں ڈینومینیٹرز کو ہٹانے کے لیے اس اظہار کو اس سے ضرب دی جاتی ہے، پھر: اس منحنی خطوط کو دینا جہاں ایک خیالی کواڈریٹک وکر ہے کیونکہ اس کی ڈگری ہوتی ہے۔ حوالہ جات الجبرائی منحنی خطوط