Formally étale morphism
مواصلاتی الجبرا اور الجبرائی جیومیٹری میں، مورفزم کو رسمی طور پر ایٹیل کہا جاتا ہے اگر اس میں لفٹنگ پراپرٹی ہو جو مقامی ڈفیومورفزم ہونے کے مترادف ہو۔ رسمی طور پر رنگوں کے ایٹیل ہومومورفزم A کو ایک ٹپوولوجیکل رنگ ہونے دیں، اور B کو ٹپوولوجیکل A-الجبرا ہونے دیں۔ پھر B رسمی طور پر étale ہے اگر تمام مجرد A-الجبراس C، C کے تمام نیلپوٹینٹ آئیڈلز J، اور تمام مسلسل A-ہومومورفزم کے لیے، ایک منفرد مسلسل A-الجبرا نقشہ موجود ہے، جہاں کینونکل پروجیکشن ہے۔ رسمی طور پر étale رسمی طور پر ہموار اور رسمی طور پر غیر منظم کے برابر ہے۔ اسکیموں کے رسمی طور پر ایٹیل مورفزم چونکہ کسی اسکیم کے ڈھانچے میں قدرتی طور پر صرف مجرد ٹوپولوجی ہوتی ہے، اس لیے اسکیموں کے لیے رسمی طور پر ایٹیل کا تصور رنگوں کے لیے مجرد ٹوپولوجی کے لیے رسمی طور پر ایٹیل کے مترادف ہے۔ یعنی، اسکیموں کی مورفزم کو باضابطہ طور پر étale کہا جاتا ہے اگر ہر افائن Y-اسکیم Z کے لیے، Z پر آئیڈلز J کا ہر نیلپوٹینٹ شیف J کے ذریعے طے شدہ بند وسرجن ہو، اور ہر Y-مورفزم، ایک منفرد Y-مورفزم موجود ہو۔ یہ Z کو کوئی بھی Y-اسکیم ہونے دینے کے برابر ہے اور J کو Z پر آئیڈیلز کا مقامی طور پر نیلپوٹینٹ شیف ہونے دیں۔ خصوصیات کھلے وسرجن رسمی طور پر étale ہیں۔ رسمی طور پر ایٹل ہونے کی خاصیت کو کمپوزائٹس، بیس چینج، اور فائبر والی مصنوعات کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے۔ اگر اور اسکیمیں کے مورفزم ہیں، تو g رسمی طور پر غیر منظم ہے، اور gf رسمی طور پر étale ہے، تو f رسمی طور پر étale ہے۔ خاص طور پر، اگر g رسمی طور پر étale ہے، تو f رسمی طور پر étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب gf ہے۔ رسمی طور پر ایٹل ہونے کی خاصیت ماخذ اور ہدف پر مقامی ہے۔ رسمی طور پر ایٹل ہونے کی خاصیت کو ڈنٹھل پر چیک کیا جا سکتا ہے۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ رنگوں کا مورفزم باضابطہ طور پر étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب B کے ہر پرائم Q کے لیے، انڈیوسڈ نقشہ رسمی طور پر étale ہو۔ نتیجتا، f رسمی طور پر étale ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب B کے ہر پرائم Q کے لیے، نقشہ رسمی طور پر étale ہو، جہاں۔ لوکلائزیشن کی مثالیں رسمی طور پر étale ہیں۔ محدود علیحدہ فیلڈ ایکسٹینشنز رسمی طور پر étale ہیں۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی (تبادلہ) فلیٹ علیحدہ A-الجبرا B رسمی طور پر étale ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ رسمی طور پر غیر منظم رسمی طور پر ہموار ایٹیل مورفزم نوٹ حوالہ جات اسکیموں کے مورفزم