Tilting theory
ریاضی میں، خاص طور پر نمائندگی کا نظریہ، جھکاؤ کا نظریہ نام نہاد جھکاؤ والے ماڈیولز اور متعلقہ جھکاؤ والے فنکٹروں کا استعمال کرتے ہوئے دو الجبرا کے ماڈیول کے زمروں کو جوڑنے کا ایک طریقہ بیان کرتا ہے۔ یہاں، دوسرا الجبرا پہلے الجبرا پر جھکاؤ والے ماڈیول کا اینڈومورفزم الجبرا ہے۔ جھکاؤ کا نظریہ عکاسی کرنے والے فنکٹروں کے تعارف سے متاثر ہوا تھا۔ ان فنکٹروں کو دو قووروں کی نمائندگی سے متعلق کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ ان فنکٹروں کو ٹیلنٹنگ فنکٹروں کو متعارف کرانے والے کے ذریعہ اصلاح اور عام کیا گیا تھا۔ جھکاؤ والے الجبرا اور جھکاؤ والے ماڈیولز کو اس کی مزید عامیوں کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ تعریفیں فرض کریں کہ A کسی فیلڈ پر ایک محدود جہتی یونیٹل ایسوسی ایٹیو الجبرا ہے۔ ایک حتمی طور پر تیار کردہ دائیں اے-ماڈیول ٹی کو ٹیلنٹنگ ماڈیول کہا جاتا ہے اگر اس میں درج ذیل تین خصوصیات ہوں: ٹی میں زیادہ سے زیادہ 1 پر پروجیکٹو طول و عرض ہوتا ہے، دوسرے الفاظ میں یہ ایک پروجیکٹو ذیلی ماڈیول کے ذریعہ پروجیکٹو ماڈیول کا حصّہ ہوتا ہے۔ ایکسٹ (T، T) = 0۔ دائیں اے-ماڈیول اے ٹی کے براہ راست مجموعوں کے محدود براہ راست مجموعوں کے درمیان سرجیکٹو مورفزم کا دانا ہے۔ اس طرح کے جھکاؤ والے ماڈیول کو دیکھتے ہوئے، ہم اینڈومورفزم الجبرا بی = اینڈ اے (ٹی) کی وضاحت کرتے ہیں۔ یہ ایک اور محدود جہتی الجبرا ہے، اور T ایک حتمی طور پر پیدا شدہ بائیں B-ماڈیول ہے۔ جھکاؤ والے فنکٹر ہوم اے (ٹی،-)، ایکسٹ (ٹی،-)،-بی ٹی اور ٹور (-، ٹی) حتمی طور پر تیار کردہ دائیں اے-ماڈیولز کے زمرہ موڈ-اے کو حتمی طور پر تیار کردہ دائیں بی-ماڈیولز کے زمرہ موڈ-بی سے جوڑتے ہیں۔ عملی طور پر کوئی بھی اکثر موروثی محدود جہتی الجبرا A پر غور کرتا ہے کیونکہ اس طرح کے الجبرا پر ماڈیول کیٹیگریز کو کافی اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے۔ موروثی محدود جہتی الجبرا پر جھکاؤ والے ماڈیول کے اینڈومورفزم الجبرا کو جھکاؤ والا الجبرا کہا جاتا ہے۔ حقائق فرض کریں کہ اے ایک محدود جہتی الجبرا ہے، ٹی اے پر جھکاؤ والا ماڈیول ہے، اور بی = اینڈ اے (ٹی) ہے۔ F = HomA (T، −)، F′ = Ext (T، −)، G = − ′BT، اور G′ = ٹور (−، T) لکھیں۔ F G کے بالکل قریب ہے اور F′ G′ کے بالکل قریب ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ جھکاؤ والے فنکٹر موڈ-اے اور موڈ-بی کے کچھ ذیلی زمروں کے درمیان مساوات دیتے ہیں۔ خاص طور پر، اگر ہم دو ذیلی زمرہ جات اور اے-موڈ، اور دو ذیلی زمرہ جات اور بی-موڈ کی وضاحت کرتے ہیں، تو اے-موڈ میں ایک ٹورسن جوڑی ہے (یعنی۔ اور پراپرٹی کے ساتھ زیادہ سے زیادہ ذیلی زمرہ جات ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اے-موڈ میں ہر ایم یو ان اور وی ان کے ساتھ ایک قدرتی مختصر عین مطابق ترتیب کو تسلیم کرتا ہے) اور بی-موڈ میں ایک ٹورسن جوڑی ہے۔ مزید برآں، فنکٹرز F اور G کی پابندیاں اور کے درمیان الٹا مساوات پیدا کرتی ہیں، جبکہ F′ اور G′ کی پابندیاں اور کے درمیان الٹا مساوات پیدا کرتی ہیں۔ (نوٹ کریں کہ یہ مساوات ٹورسن جوڑوں کی ترتیب کو تبدیل کرتی ہیں اور۔) ٹیلٹنگ تھیوری کو موریٹا مساوات کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو اس صورت میں بازیافت کیا جاتا ہے اگر T ایک پروجیکٹو جنریٹر ہے۔ اگر A کا عالمی طول و عرض محدود ہے، تو B کا بھی عالمی طول و عرض محدود ہے، اور F اور F کا فرق گروتھینڈیک گروپوں K0 (A) اور K0 (B) کے درمیان ایک آئسومیٹری کو جنم دیتا ہے۔ اگر A موروثی ہے (یعنی۔ بی ایک جھکا ہوا الجبرا ہے)، بی کا عالمی طول و عرض زیادہ سے زیادہ 2 ہے، اور ٹورسن جوڑا تقسیم ہوتا ہے، یعنی۔ بی-موڈ کا ہر غیر کمپوز ایبل آبجیکٹ یا تو اندر یا اندر ہے۔ اور ظاہر کیا کہ عام طور پر A اور B مساوی اخذ کیے گئے ہیں (یعنی۔ اخذ شدہ زمرہ جات ڈی بی (اے-موڈ) اور ڈی بی (بی-موڈ) مثلث شدہ زمرہ جات کے مساوی ہیں۔ عامیاں اور توسیعات محدود جہتی الجبرا A پر ایک عمومی جھکاؤ والا ماڈیول ایک صحیح A-ماڈیول T ہے جس میں درج ذیل تین خصوصیات ہیں: T کا محدود پروجیکٹو طول و عرض ہے۔ ایکسٹ (T، T) = 0 تمام i> 0 کے لیے۔ ایک عین مطابق ترتیب ہے جہاں ٹی آئی ٹی کے براہ راست مجموعوں کے محدود براہ راست مجموعے ہیں۔ یہ عمومی جھکاؤ والے ماڈیول بھی اے اور بی کے درمیان اخذ کردہ مساوات فراہم کرتے ہیں، جہاں بی = اینڈ اے (ٹی) ہے۔ اخذ شدہ مساوات پر نتائج کو یہ ثابت کرتے ہوئے بڑھایا کہ دو محدود جہتی الجبرا R اور S مساوی اخذ کیے گئے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب S R پر "ٹیلنٹنگ کمپلیکس" کا اینڈومورفزم الجبرا ہو۔ ٹیلنٹنگ کمپلیکس عمومی ٹیلنٹنگ ماڈیولز کی عمومی کاریں ہیں۔ اس تھیوریم کا ایک ورژن صوابدیدی رنگوں R اور S کے لیے درست ہے۔ موروثی ابیلین زمروں میں جھکی ہوئی اشیاء کی وضاحت کی گئی ہے جس میں تمام ہوم اور ایکسٹ اسپیس کچھ الجبرائی طور پر بند فیلڈ k پر محدود جہتی ہیں۔ ان جھکی ہوئی اشیاء کے اینڈومورفزم الجبرا نیم جھکی ہوئی الجبرا ہیں، جو جھکی ہوئی الجبرا کی عمومی شکل ہے۔ k پر نیم جھکاؤ والے الجبرا قطعی طور پر عالمی طول و عرض ≤2 کے k پر محدود جہتی الجبرا ہوتے ہیں جیسے کہ ہر ناقابل مرکب ماڈیول میں یا تو پروجیکٹو طول و عرض ≤1 یا انجیکشن طول و عرض ≤1 ہوتا ہے۔ موروثی ابیلین زمروں کی درجہ بندی کی جاتی ہے جو مذکورہ بالا تعمیر میں ظاہر ہو سکتے ہیں۔ جھکاؤ والی اشیاء T کو صوابدیدی ابیلین زمرہ C میں بیان کیا گیا ہے۔ ان کی تعریف کے لیے ضروری ہے کہ C میں T کی نقلوں کی صوابدیدی (ممکنہ طور پر لامحدود) تعداد کا براہ راست مجموعہ ہو، لہذا یہ اوپر سمجھی گئی محدود جہتی صورتحال کی براہ راست عمومی شکل نہیں ہے۔ اینڈومورفزم رنگ R کے ساتھ اس طرح کے جھکاؤ والے آبجیکٹ کو دیکھتے ہوئے، وہ جھکاؤ والے فنکٹر قائم کرتے ہیں جو C میں ایک ٹورسن جوڑی اور R-موڈ میں ایک ٹورسن جوڑی کے درمیان مساوات فراہم کرتے ہیں، جو تمام R-ماڈیولز کا زمرہ ہے۔ کلسٹر الجبرا کے نظریہ سے کلسٹر زمرہ (سے) اور کلسٹر جھکا ہوا الجبرا "() کی تعریف موروثی الجبرا اے سے وابستہ ہے۔ ایک کلسٹر جھکا ہوا الجبرا ایک جھکا ہوا الجبرا سے ایک مخصوص سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر پیدا ہوتا ہے، اور اے کا کلسٹر زمرہ اے سے پیدا ہونے والے کلسٹر جھکا ہوا الجبرا کے تمام ماڈیول زمروں کا خلاصہ کرتا ہے۔ حوالہ جات کی نمائندگی کا نظریہ