Erdős distinct distances problem
مجرد جیومیٹری میں، ایرڈس کے الگ فاصلے کا مسئلہ بیان کرتا ہے کہ طیارہ میں پوائنٹس کے ہر سیٹ میں الگ الگ فاصلے کی تقریبا لکیری تعداد ہوتی ہے۔ اسے پال ایرڈس نے 1946 میں پیش کیا تھا اور 2015 میں لیری گوتھ اور نیٹز کاٹز نے تقریبا ثابت کیا تھا۔ قیاس مندرجہ ذیل میں ہوائی جہاز میں پوائنٹس کے درمیان الگ الگ فاصلے کی کم سے کم تعداد، یا مساوی طور پر ان کے فاصلے کے سیٹ کی سب سے چھوٹی ممکنہ کارڈینالیٹی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اپنے 1946 کے مقالے میں، ایردوس نے کچھ مستقل کے تخمینوں کو ثابت کیا۔ نچلی حد ایک آسان دلیل کے ذریعے دی گئی تھی۔ اوپری حد مربع گرڈ کے ذریعے دی جاتی ہے۔ اس طرح کے گرڈ کے لیے، n سے نیچے کے نمبر ہوتے ہیں جو دو مربعوں کے مجموعے ہوتے ہیں، جن کا اظہار بڑے O اشارے میں کیا جاتا ہے۔ لینڈو-رامانوجن مستقل دیکھیں۔ ایردوس نے قیاس کیا کہ اوپری حد g (n) کی حقیقی قدر کے قریب تھی، اور خاص طور پر یہ کہ (بڑے اومیگا اشارے کا استعمال کرتے ہوئے) ہر ایک کے لیے ہے۔ جزوی نتائج پال ایرڈس کی 1946 کی نچلی حد میں یکے بعد دیگرے بہتری آئی: لیو موزر نے 1952 میں، فین چنگ نے 1984 میں، فین چنگ، اینڈری زیمیرڈی اور ولیم ٹی ٹراٹر نے 1992 میں، لاسزلو اے زیکلی نے 1993 میں، جوزف سولیموسی اور سیسابا ڈی ٹاتھ نے 2001 میں، گابر تردوس نے 2003 میں، نیٹ کٹز اور گابر تردوس نے 2004 میں، لیری گوتھ اور نیٹ کٹز نے 2015 میں۔ اعلی طول و عرض ایرڈس نے اس مسئلے کے اعلی جہتی متغیر پر بھی غور کیا: کیونکہ آئیے جہتی یوکلڈین اسپیس میں پوائنٹس کے درمیان الگ الگ فاصلے کی کم سے کم ممکنہ تعداد کی نشاندہی کریں۔ اس نے یہ ثابت کیا اور قیاس کیا کہ اوپری حد حقیقت میں تیز ہے، یعنی۔ جوزف سولیموسی اور وان ایچ وو نے 2008 میں نچلی حد حاصل کی۔ فالکنر کا قیاس ایردوس اکائی کے فاصلے کا مسئلہ حوالہ جات بیرونی روابط اس مسئلے پر ولیم گیسارک کا صفحہ قیاس پال ایردوس ڈسکریٹ جیومیٹری