Multivariate stable distribution
کثیر متغیر مستحکم تقسیم ایک کثیر متغیر امکانات کی تقسیم ہے جو کہ غیر متغیر مستحکم تقسیم کی کثیر متغیر عمومی شکل ہے۔ کثیر متغیر مستحکم تقسیم مستحکم تقسیم کے حاشیے کے درمیان لکیری تعلقات کی وضاحت کرتی ہے۔ اسی طرح جیسے غیر متغیر معاملے کے لیے، تقسیم کی تعریف اس کی خصوصیت کے فنکشن کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ ملٹی ویریٹ مستحکم تقسیم کو ملٹی ویریٹ نارمل تقسیم کی توسیع کے طور پر بھی سوچا جا سکتا ہے۔ اس میں پیرامیٹر، α ہے، جس کی وضاحت 0 <α ≤ 2 کی حد پر کی گئی ہے، اور جہاں صورت α = 2 ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن کے مساوی ہے۔ اس میں ایک اضافی سکیو پیرامیٹر ہے جو غیر ہم آہنگ تقسیم کی اجازت دیتا ہے، جہاں ملٹی ویریٹ نارمل تقسیم ہم آہنگ ہوتی ہے۔ تعریف میں اکائی کا دائرہ ہونے دیں۔ ایک بے ترتیب ویکٹر، ایک کثیر متغیر مستحکم تقسیم رکھتا ہے-جس کی نشاندہی-کے طور پر کی جاتی ہے، اگر مشترکہ خصوصیت فنکشن 0 <α <2 ہے، اور اس کے لیے یہ بنیادی طور پر فیلڈہیم کا نتیجہ ہے، کہ کسی بھی مستحکم بے ترتیب ویکٹر کی خصوصیت سپیکٹرم پیمائش (ایک محدود پیمائش) اور شفٹ ویکٹر سے کی جا سکتی ہے۔ پروجیکشن کا استعمال کرتے ہوئے پیرامیٹریزیشن ایک مستحکم بے ترتیب ویکٹر کو بیان کرنے کا ایک اور طریقہ پروجیکشن کے لحاظ سے ہے۔ کسی بھی ویکٹر کے لیے، پروجیکشن کچھ منحنی پن، پیمانے اور کچھ شفٹ کے ساتھ غیر متغیر مستحکم ہوتا ہے۔ اشارے کا استعمال اس صورت میں کیا جاتا ہے جب X ہر ایک کے ساتھ مستحکم ہو۔ اسے پروجیکشن پیرامیٹرائزیشن کہا جاتا ہے۔ سپیکٹرم پیمائش پروجیکشن پیرامیٹر افعال کا تعین اس طرح کرتی ہے: خصوصی معاملات ایسے خاص معاملات ہیں جہاں ملٹی ویریٹ خصوصیت فنکشن ایک آسان شکل اختیار کرتی ہے۔ مستحکم حاشیہ کے خصوصیت والے فنکشن کو آئسوٹروپک ملٹی ویریٹ مستحکم تقسیم کے طور پر بیان کریں خصوصیت والا فنکشن یہ ہے کہ سپیکٹرم کی پیمائش مسلسل اور یکساں ہوتی ہے، جس کی وجہ سے ریڈیل/آئسوٹروپک سمیٹری ہوتی ہے۔ ملٹی نارمل کیس کے لیے، یہ آزاد اجزاء سے مطابقت رکھتا ہے، لیکن جب ایسا ہوتا ہے تو ایسا نہیں ہوتا۔ آئسوٹروپی الپٹیسیٹی کا ایک خاص معاملہ ہے (اگلا پیراگراف دیکھیں)-صرف آئیڈینٹیٹی میٹرکس کا ایک ملٹیپل لیں۔ ایلیپٹک طور پر کنٹورڈ ملٹی ویریٹ مستحکم تقسیم ایلیپٹک طور پر کنٹورڈ ملٹی ویریٹ مستحکم تقسیم ملٹی ویریٹ مستحکم تقسیم کا ایک خاص سمیٹرک کیس ہے۔ اگر X α-مستحکم ہے اور الپٹک طور پر متضاد ہے، تو اس میں کچھ شفٹ ویکٹر (جب یہ موجود ہوتا ہے تو اس کے اوسط کے برابر) اور کچھ مثبت قطعی میٹرکس (ارتباط میٹرکس کے مترادف، اگرچہ ارتباط کی معمول کی تعریف بامعنی ہونے میں ناکام رہتی ہے) کے لیے مشترکہ خصوصیت کی تقریب ہوتی ہے۔ ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن کی خصوصیت فنکشن سے تعلق کو نوٹ کریں: جب α = 2 حاصل ہوتا ہے۔ آزاد اجزاء مارجنلز کے ساتھ آزاد ہوتے ہیں، پھر خصوصیت فنکشن یہ ہے کہ مشاہدہ کریں کہ جب α = 2 یہ دوبارہ ملٹی ویریٹ نارمل میں گھٹ جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ جب α <2 ہوتا ہے تو آئی آئی ڈی کیس اور آئسوٹروپک کیس موافق نہیں ہوتے ہیں۔ آزاد اجزاء مجرد سپیکٹرم پیمائش کا ایک خاص معاملہ ہے (اگلا پیراگراف دیکھیں)، جس میں سپیکٹرم پیمائش کو معیاری یونٹ ویکٹرز کی حمایت حاصل ہے۔ مجرد اگر سپیکٹرم پیمائش خصوصیت فنکشن پر کمیت کے ساتھ مجرد ہے تو لکیری خصوصیات ہیں۔ اگر ڈی جہتی ہے، اے ایک ایم ایکس ڈی میٹرکس ہے، اور پھر اے ایکس + بی ایم جہتی ہے-اسکیل فنکشن اسکیونیس فنکشن اور لوکیشن فنکشن کے ساتھ مستحکم ہے۔ آزاد جزو ماڈل میں تخمینہ حال ہی میں یہ دکھایا گیا تھا کہ لکیری ماڈل (یا مساوی طور پر ایک عنصر تجزیہ ماڈل) میں بند شکل میں تخمینہ کیسے لگایا جاتا ہے، جس میں آزاد جزو ماڈل شامل ہوتے ہیں۔ مزید خاص طور پر، آئی آئی ڈی کا ایک سیٹ ہونے دیں۔ غیر مشاہدہ شدہ غیر متغیر ایک مستحکم تقسیم سے تیار کیا گیا ہے۔ سائز کے معروف لکیری ریلیشن میٹرکس اے کو دیکھتے ہوئے، مشاہدے کو پوشیدہ عوامل کے ارتقاء کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ ۔ لینیر ریلیشن میٹرکس اے اور مشاہدات کو دیکھتے ہوئے، اندازہ لگانے کا کام سب سے زیادہ ممکنہ کا حساب لگانا ہے۔ اس کام کا حساب O (n3) میں بند شکل میں لگایا جا سکتا ہے۔ اس تعمیر کے لیے ایک ایپلی کیشن مستحکم، غیر گوسی شور کے ساتھ ملٹی یوزر کا پتہ لگانا ہے۔ ملٹی ویریٹ کاچی ڈسٹری بیوشن ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن ریسورسز مارک ویلٹ کا مستحکم ڈسٹری بیوشن میٹ لیب پیکیج http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514 اس صفحہ کے پلاٹ جہاں لکیری مستحکم ماڈل میٹ لیب پیکیج میں ڈینی بیکسن کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے پلاٹ کیا گیا ہے: https://www.cs.cmu.edu ~ بیکسن/مستحکم نوٹ ملٹی ویریٹ مسلسل تقسیم غیر لامحدود تغیر کے ساتھ امکان کی تقسیم