Bounded type (mathematics)
ریاضی میں، پیچیدہ سطح کے کسی خطے پر بیان کردہ فنکشن کو باؤنڈڈ ٹائپ کا کہا جاتا ہے اگر وہ اس خطے میں باؤنڈڈ دو تجزیاتی افعال کے تناسب کے برابر ہو۔ لیکن زیادہ عام طور پر، ایک فنکشن کسی خطے میں باؤنڈڈ ٹائپ کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس پر تجزیاتی ہو اور اس پر ہارمونک میجرینٹ ہو۔ دو باؤنڈڈ تجزیاتی افعال کا تناسب ہونے کے ناطے کسی فنکشن کے باؤنڈڈ ٹائپ (ہارمونک میجر کے لحاظ سے بیان کردہ) ہونے کے لیے کافی شرط ہے، اور اگر محض جڑا ہوا ہے تو شرط بھی ضروری ہے۔ اس طرح کے تمام آن کی کلاس کو عام طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور بعض اوقات اس کے لیے نیوانلننا کلاس کہا جاتا ہے۔ نیوانلننا کلاس میں تمام ہارڈی کلاسز شامل ہیں۔ باؤنڈڈ ٹائپ کے افعال لازمی طور پر باؤنڈڈ نہیں ہوتے ہیں، اور نہ ہی ان کی کوئی خاصیت ہوتی ہے جسے "ٹائپ" کہا جاتا ہے جو باؤنڈڈ ہے۔ نام کی وجہ شاید یہ ہے کہ جب ڈسک پر اس کی وضاحت کی جاتی ہے، تو نیوانلننا کی خصوصیت (ڈسک کے مرکز سے فاصلے کا ایک فعل) پابند ہوتا ہے۔ واضح طور پر، اگر کوئی فنکشن دو باؤنڈڈ فنکشنز کا تناسب ہے، تو اسے دو فنکشنز کے تناسب کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو 1 سے پابند ہیں: کے اور کے لوگرتھم خطے میں غیر منفی ہیں، لہذا مؤخر الذکر ایک تجزیاتی فنکشن کا حقیقی حصہ ہے اور اس وجہ سے ہارمونک ہے، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اس پر ہارمونک میجرٹ ہے۔ کسی دیئے گئے خطے کے لیے، رقم، فرق، اور باؤنڈڈ قسم کے افعال کے پروڈکٹ باؤنڈڈ قسم کے ہوتے ہیں، جیسا کہ اس طرح کے دو افعال کا حصص ہوتا ہے جب تک کہ ڈینومینیٹر یکساں طور پر صفر نہ ہو۔ مثال کے طور پر کثیر الجہتی کسی بھی باؤنڈڈ ریجن میں باؤنڈڈ قسم کے ہوتے ہیں۔ وہ اوپری نصف سطح (یو ایچ پی) میں بھی پابند قسم کے ہوتے ہیں، کیونکہ ڈگری این کے کثیر الجہتی کو یو ایچ پی میں پابند دو تجزیاتی افعال کے تناسب کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے: کسی کثیر الجہتی کا الٹا بھی کسی خطے میں پابند قسم کا ہوتا ہے، جیسا کہ کوئی عقلی فعل ہوتا ہے۔ فنکشن یو ایچ پی میں باؤنڈڈ ٹائپ کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب a حقیقی ہو۔ اگر a مثبت ہے تو فنکشن خود UHP میں پابند ہے (لہذا ہم استعمال کر سکتے ہیں)، اور اگر a منفی ہے تو فنکشن 1/Q (z) کے برابر ہے۔ یو ایچ پی میں سائن اور کوسین باؤنڈڈ قسم کے ہوتے ہیں۔ درحقیقت، ان دونوں کے ساتھ یو ایچ پی میں پابند ہیں۔ مندرجہ بالا تمام مثالیں نچلے نصف سطح میں بھی مختلف پی اور کیو افعال کا استعمال کرتے ہوئے باؤنڈڈ ٹائپ کی ہیں۔ لیکن "باؤنڈڈ ٹائپ" کی اصطلاح کی تعریف میں مذکور خطہ مکمل پیچیدہ طیارہ نہیں ہو سکتا جب تک کہ فنکشن مستقل نہ ہو کیونکہ کسی کو پورے خطے پر ایک ہی P اور Q کا استعمال کرنا چاہیے، اور صرف پورے افعال (یعنی پورے پیچیدہ سطح میں تجزیاتی) جو پابند ہیں وہ مستقل ہیں، لیوویل کے نظریہ کے مطابق۔ اوپری نصف سطح میں ایک اور مثال "نیوانلننا فنکشن" ہے، یعنی ایک تجزیاتی فنکشن جو یو ایچ پی کو بند یو ایچ پی سے جوڑتا ہے۔ اگر f (z) اس قسم کا ہے، تو جہاں P اور Q باؤنڈ فنکشن ہیں: (یہ واضح طور پر اس فنکشن پر بھی لاگو ہوتا ہے، یعنی، جس کا حقیقی حصہ UHP میں غیر منفی ہے۔) خصوصیات کسی دیئے گئے خطے کے لیے، باؤنڈڈ ٹائپ کے دو (نان نل) افعال کا مجموعہ، پروڈکٹ، یا حصص بھی باؤنڈڈ ٹائپ کا ہوتا ہے۔ باؤنڈڈ ٹائپ کے افعال کا مجموعہ پیچیدہ اعداد پر ایک الجبرا ہے اور درحقیقت یہ ایک فیلڈ ہے۔ اوپری نصف سطح میں باؤنڈڈ ٹائپ کے کسی بھی فنکشن (0 کے کچھ پڑوس میں جڑوں کی ایک محدود تعداد کے ساتھ) کو بلاشکے پروڈکٹ (ایک تجزیاتی فنکشن، جو خطے میں باؤنڈڈ ہے، جو صفر کو عوامل کرتا ہے) کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو حصص کو ضرب دیتا ہے جہاں اور 1 سے باؤنڈڈ ہیں اور یو ایچ پی میں کوئی صفر نہیں ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی اس حصص کو اس طرح ظاہر کر سکتا ہے کہ یو ایچ پی میں غیر منفی حقیقی حصہ رکھنے والے تجزیاتی افعال کہاں اور کہاں ہیں۔ بدلے میں ان میں سے ہر ایک کا اظہار پوئسون کی نمائندگی کے ذریعے کیا جا سکتا ہے (نیوانلننا افعال دیکھیں): جہاں c اور d خیالی مستقلات ہیں، p اور q غیر منفی حقیقی مستقلات ہیں، اور μ اور ν حقیقی متغیر کے غیر کم ہونے والے افعال ہیں (اچھی طرح سے برتاؤ کیا گیا ہے تاکہ انٹیگرلز یکجا ہوں)۔ فرق q−p کو لوئس ڈی برانجز نے "اوسط قسم" کا نام دیا ہے اور خیالی محور کے ساتھ فنکشن کی نشوونما یا انحطاط کو بیان کرتا ہے: اوپری نصف سطح میں اوسط قسم فنکشن کی مطلق قدر کے لوگارتھم کی وزن اوسط کی حد ہے جسے صفر سے فاصلے سے تقسیم کیا جاتا ہے، اس طرح سے معمول بنایا گیا ہے کہ اس کی قیمت 1 ہے: اگر کوئی پورا فنکشن اوپری اور نچلے نصف سطح دونوں میں پابند قسم کا ہے تو یہ دو متعلقہ "اوسط اقسام" میں سے اوپری کے برابر ایکسپونینشل قسم کا ہے (اور اوپری سطح غیر منفی ہوگی)۔ 1 سے زیادہ آرڈر کا پورا فنکشن (جس کا مطلب ہے کہ کسی سمت میں یہ ایکسپونینشل قسم کے فنکشن سے زیادہ تیزی سے بڑھتا ہے) کسی بھی ہاف پلین میں باؤنڈڈ ٹائپ کا نہیں ہو سکتا۔ اس طرح ہم z کے مناسب ایکسپونینشل اور صوابدیدی نیوانلننا افعال کے ایکسپونینشیل کو i سے ضرب دے کر باؤنڈڈ ٹائپ کی فنکشن تیار کر سکتے ہیں، مثال کے طور پر: اوپر دی گئی مثالوں کے حوالے سے، کثیر الجہتی کی اوسط قسم یا ان کے الٹ صفر ہیں۔ اوپری نصف سطح میں اوسط قسم − a ہے، جبکہ نچلے نصف سطح میں یہ a ہے۔ دونوں نصف طیاروں میں اوسط قسم 1 ہے۔ اوپری نصف سطح میں غیر مثبت اوسط قسم کے ساتھ باؤنڈڈ ٹائپ کے افعال اور حقیقی محور تک مسلسل، مربع مربوط توسیع رکھنے کی دلچسپ خاصیت ہوتی ہے (ایپلی کیشنز میں مفید) کہ انٹیگرل (حقیقی محور کے ساتھ) برابر ہوتا ہے اگر z اوپری نصف سطح میں ہو اور صفر اگر z نچلے نصف سطح میں ہو۔ اسے اوپری نصف سطح کے لیے کاچی فارمولا کہا جا سکتا ہے۔ مزید دیکھیں ڈی برانجز اسپیس رالف نیوانلننا حوالہ جات کمپلیکس تجزیہ خصوصی افعال افعال کی اقسام