Distortion problem
فنکشنل تجزیہ میں، جو ریاضی کی ایک شاخ ہے، مسخ کا مسئلہ اس بات کا تعین کرنا ہے کہ کوئی مساوی معیار کا استعمال کرتے ہوئے دی گئی بناچ جگہ میں یونٹ کے دائرے کو کتنا مسخ کر سکتا ہے۔ خاص طور پر، ایک بناچ اسپیس X کو λ-مسخ شدہ کہا جاتا ہے اگر X پر ایک مساوی معیار |x | موجود ہو تاکہ، X میں تمام لامحدود جہتی ذیلی جگہوں Y کے لیے، (مسخ (ریاضی) دیکھیں)۔ نوٹ کریں کہ ہر بناچ کی جگہ معمولی طور پر 1-مسخ شدہ ہے۔ بناچ کی جگہ کو مسخ کرنے والا کہا جاتا ہے اگر یہ کچھ λ> 1 کے لیے λ-مسخ کرنے والا ہو اور اسے من مانی طور پر مسخ کرنے والا کہا جاتا ہے اگر یہ کسی بھی λ کے لیے λ-مسخ کرنے والا ہو۔ بگاڑ سب سے پہلے 1960 کی دہائی میں بناچ کی جگہوں کی ایک اہم خاصیت کے طور پر ابھرا، جہاں اس کا مطالعہ اور نے کیا تھا۔ جیمز نے ثابت کیا کہ c0 اور l1 مسخ نہیں ہوتے۔ ملمان نے دکھایا کہ اگر X ایک بناچ اسپیس ہے جس میں کچھ کے لیے c0 یا lp کی آئسومورفک کاپی نہیں ہے (سیکوینس اسپیس دیکھیں)، تو X کی کچھ لامحدود جہتی سب اسپیس مسخ شدہ ہے۔ لہذا مسخ کا مسئلہ اب بنیادی طور پر خالی جگہوں ایل پی پر دلچسپی کا باعث ہے، جن میں سے سبھی علیحدہ اور یکساں کنویکس ہیں۔ علیحدہ اور یکساں کنویکس خالی جگہوں میں، بگاڑ کو آسانی سے بظاہر زیادہ عام سوال کے مساوی دیکھا جاتا ہے کہ آیا X میں دائرے پر بیان کردہ ہر حقیقی قدر والی لپشیٹز فنکشن f ایک لامحدود جہتی ذیلی جگہ کے دائرے پر مستحکم ہوتی ہے یا نہیں، یعنی، آیا کوئی حقیقی نمبر a bulR ہے تاکہ ہر δ> 0 کے لیے X کی ایک لامحدود جہتی ذیلی جگہ Y ہو، تاکہ |a −f (y) | <δ، تمام y bul Y کے لیے، | |y | = 1 کے ساتھ۔ لیکن اس کے نتیجے میں l1 پر Lipschitz افعال ہوتے ہیں جو مستحکم نہیں ہوتے ہیں، حالانکہ یہ جگہ اس سے مسخ نہیں ہوتی ہے۔ علیحدہ ہلبرٹ جگہ میں، مسخ کا مسئلہ اس سوال کے مساوی ہے کہ آیا مثبت فاصلے سے الگ ہونے والے یونٹ دائرے کے ذیلی سیٹ موجود ہیں اور پھر بھی ہر لامحدود جہتی بند ذیلی جگہ کو کاٹتے ہیں۔ بناچ خالی جگہوں کی بہت سی خصوصیات کے برعکس، مسخ کا مسئلہ ہلبرٹ خالی جگہوں پر اتنا ہی مشکل معلوم ہوتا ہے جتنا کہ دیگر بناچ خالی جگہوں پر۔ ایک علیحدہ ہلبرٹ جگہ پر، اور دیگر ایل پی خالی جگہوں کے لیے، 1 <p <φ، مسخ کا مسئلہ مثبت طور پر حل کیا گیا، جس نے ظاہر کیا کہ l2 من مانی طور پر مسخ کرنے کے قابل ہے، اس کے ذریعے تعمیر کی گئی پہلی معروف من مانی طور پر مسخ کرنے والی جگہ کا استعمال کرتے ہوئے۔ سیرلسن خلائی بناچ خلائی حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ فنکشنل تجزیہ