Quasitoric manifold
ریاضی میں، کواسیٹورک مینیفولڈ الجبرائی جیومیٹری کی نان سنگولر پروجیکٹو ٹورک قسم کا ٹپوولوجیکل اینالاگ ہے۔ ایک ہموار جہتی کئی گنا ایک کواسیٹورک کئی گنا ہے اگر یہ ایک جہتی ٹورس کے ہموار، مقامی طور پر معیاری عمل کو تسلیم کرتا ہے، جس میں مدار کی جگہ ایک جہتی سادہ کنویکس پولیٹوپ ہے۔ کواسیٹورک مینیفولڈز کو 1991 میں ایم ڈیوس اور ٹی جانوسکیوز نے متعارف کرایا تھا، جنہوں نے انہیں "ٹورک مینیفولڈز" کہا تھا۔ تاہم، اصطلاح "کواسیٹورک مینیفولڈ" کو بالآخر کمپیکٹ ہموار ٹورک اقسام کی کلاس کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے اپنایا گیا، جو الجبرائی جیومیٹرز کو ٹورک مینیفولڈ کے طور پر جانا جاتا ہے۔ کواسیٹورک مینیفولڈز کا مطالعہ الجبرائی ٹوپولوجی میں مختلف سیاق و سباق میں کیا جاتا ہے، جیسے کہ پیچیدہ کوبورڈزم تھیوری، اور دیگر مبنی کوہمولوجی تھیوری۔ تعریفیں-ٹورس کے-th ذیلی دائرے کو اس طرح ظاہر کرتی ہیں۔ پھر آن کے کوآرڈینیٹ کے لحاظ سے ضرب کو معیاری نمائندگی کہا جاتا ہے۔ ان اور ان میں کھلے سیٹوں کو دیکھتے ہوئے، جو کے عمل کے تحت بند ہوتے ہیں، a-ایکشن آن کو معیاری نمائندگی کے لیے مقامی طور پر آئسومورفک قرار دیا جاتا ہے اگر، سب کے لیے ان، ان، جہاں ہومومورفزم ہے، اور اس کی آٹومورفزم ہے۔ پہلوؤں کے ساتھ ایک سادہ کنویکس پولیٹوپ کو دیکھتے ہوئے، a-مینی فولڈ ایک کواسیٹورک کئی گنا ہے اگر،-ایکشن معیاری نمائندگی کے لیے مقامی طور پر آئسومورفک ہے، تو ایک پروجیکشن ہے جو ہر جہتی مدار کو ایک جہتی چہرے کے اندرونی حصے میں ایک نقطہ پر نقشہ بناتا ہے۔ تعریف کا مطلب یہ ہے کہ-ایکشن کے نیچے کے فکسڈ پوائنٹس کو بائی کے عمودی حصوں پر نقشہ بنایا جاتا ہے، جبکہ ایسے پوائنٹس جہاں ایکشن آزاد ہوتا ہے پولیٹوپ کے اندرونی حصے میں پیش کیا جاتا ہے۔ ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن A کواسیٹورک مینیفولڈ کو ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن اور ایک متعلقہ ڈائکرکٹیرسٹک میٹرکس کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس ترتیب میں یہ فرض کرنا مفید ہے کہ کے پہلوؤں کو ترتیب دیا گیا ہے تاکہ چوراہا ایک ورٹیکس ہو، جسے ابتدائی ورٹیکس کہا جاتا ہے۔ ایک ڈائکرکٹرسٹک فنکشن ایک ہومومورفزم ہے، اس طرح کہ اگر ایک کوڈیمینشن-فیس ہے، تو اس میں سبٹورس پر پابندی پر ایک مونومورفزم ہے۔ ابتدائی ورٹیکس سے مطابقت رکھنے والے سبٹورس پر λ کی پابندی ایک آئسومورفزم ہے، اور اس لیے اس کے لائ الجبرا کی بنیاد کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ λ سے وابستہ لائ الجبراس کی ایپیمورفزم کو ایک لکیری تبدیلی کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جس کی نمائندگی ڈائکرکٹرسٹک میٹرکس کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ چونکہ ہر پہلو ویکٹر ابتدائی ہوتا ہے، جب بھی پہلو کسی سرے میں ملتے ہیں، تو متعلقہ کالم اس کی بنیاد بناتے ہیں، جس کا تعین کرنے والا برابر ہوتا ہے۔ ہر پہلو سے وابستہ آئسوٹروپی ذیلی گروہ کو کچھ میں بیان کیا گیا ہے۔ کواسیٹورک مینیفولڈز کے اپنے اصل علاج میں، ڈیوس اور جانسکیوز نے ایک خصوصیت والے فنکشن کا تصور متعارف کرایا جس نے پولیٹوپ کے ہر پہلو کو ایک ویکٹر سے نقشہ بنایا جس سے پہلو کے آئسوٹروپی ذیلی گروپ کا تعین ہوتا ہے، لیکن اس کی وضاحت صرف نشان تک کی جاتی ہے۔ کواسیٹورک مینیفولڈز کے حالیہ مطالعات میں، اس ابہام کو ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن کے تعارف اور اس کے اصرار سے ہٹا دیا گیا ہے کہ ہر دائرے کو مبنی کیا جائے، جس سے ہر ویکٹر کے لیے نشان کے انتخاب پر مجبور کیا گیا ہے۔ ڈائکرکٹرسٹک فنکشن کا تصور اصل میں وی بکسٹابر اور این رے کو متعارف کرایا گیا تھا تاکہ پیچیدہ کوبورڈزم تھیوری میں کواسیٹورک مینیفولڈز کے مطالعہ کو قابل بنایا جا سکے۔ ابتدائی ورٹیکس کی وضاحت کے لیے پولیٹوپ کے پہلوؤں کی ترتیب کو متعارف کروا کر اسے مزید بہتر بنایا گیا، جو بالآخر ڈائکرکٹیرسٹک میٹرکس کی مذکورہ بالا صاف نمائندگی کی طرف لے جاتا ہے، جہاں شناختی میٹرکس ہے اور ایک ذیلی میٹرکس ہے۔ مومنٹ اینگل کمپلیکس سے تعلق ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن کا دانا مومنٹ اینگل کمپلیکس پر آزادانہ طور پر کام کرتا ہے، اور اس طرح نتیجے میں ہونے والے حصص کی جگہ پر ایک پرنسپل بنڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ اس حصص کی جگہ کو اس طرح دیکھا جا سکتا ہے کہ جہاں کے جوڑوں کی شناخت کی جاتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں اور سبٹورس پر پابندی کی تصویر میں ہو جو کچھ لوگوں کے لیے نقطہ پر مشتمل ہونے کے منفرد چہرے سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کوئی بھی کواسیٹورک کئی گنا اوپر کے حصص کی جگہ کی شکل کے کواسیٹورک کئی گنا کے مساوی طور پر مختلف ہے۔ مثالیں-جہتی پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس-سمپلیکس پر ایک کواسیٹورک کئی گنا ہے۔ اگر اس میں سرایت کی گئی ہے تاکہ اصل ابتدائی ورٹیکس ہو، تو ایک ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن کا انتخاب کیا جا سکتا ہے تاکہ متعلقہ ڈائکرکٹیرسٹک میٹرکس ہو۔ مومنٹ اینگل کمپلیکس-کرہ ہے، دانا اخترن ذیلی گروپ ہے، لہذا کے عمل کے تحت کا حصص ہے۔ باٹ مینیفولڈ جو باٹ ٹاور میں مراحل بناتے ہیں وہ-کیوب پر کواسیٹورک مینیفولڈ ہوتے ہیں۔ - کیوب کو سرایت کیا جاتا ہے تاکہ اصل ابتدائی ورٹیکس ہو، اور ایک ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن کا انتخاب کیا جاتا ہے تاکہ متعلقہ ڈائکرکٹیرسٹک میٹرکس انٹیجرز کے لیے دیا گیا ہو۔ مومنٹ اینگل کمپلیکس 3 دائرے کی نقلوں کا ایک پروڈکٹ ہے جس میں سرایت کی گئی ہے، دانا اس کے ذریعہ دیا گیا ہے، تاکہ کی کارروائی کے تحت کا حصص باٹ ٹاور کا-th مرحلہ ہو۔ انٹیجر ویلیوز لائن بنڈلوں کی ٹینسر پاورز ہیں جن کا پروڈکٹ باٹ ٹاور کی تکراری دائرے-بنڈل کی تعمیر میں استعمال ہوتا ہے۔ ایک کواسیٹورک کئی گنا کینونکل کمپلیکس لائن بنڈلوں کی کوہمولوجی رنگ، کے ذریعہ دی گئی ہے، کے ہر پہلو کے ساتھ منسلک کیا جا سکتا ہے، کے لیے، جہاں کام کرتا ہے، سرایت شدہ کے-th ذیلی دائرے کی پابندی سے۔ ان بنڈلوں کو کواسیٹورک کئی گنا سے وابستہ چہرے کے بنڈلوں کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کی تعریف کے مطابق، کسی پہلو کی ابتدائی تصویر ایک جہتی کواسیٹورک چہرے کا ذیلی منی فولڈ ہے، جس کا آئسوٹروپی ذیلی گروپ اس کے ذیلی دائرے پر پابندی ہے۔ کی پابندی ان کی سرایت کا عام 2-طیارہ بنڈل دیتی ہے۔ چرن کی پہلی کلاس کو ظاہر کرتے ہیں۔ انٹیگرل کوہمولوجی رنگ تعلقات کے دو سیٹوں کے تابع، کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ پہلا وہ تعلقات ہیں جو اسٹینلے-ریزنر آئیڈیل کے ذریعہ پیدا ہوتے ہیں۔ ڈائکرکٹیرسٹک فنکشن کے ذریعہ طے شدہ لکیری تعلقات دوسرے سیٹ پر مشتمل ہیں: لہذا صرف ضرب پیدا کرنے کی ضرورت ہے۔ ٹورک کئی گنا کے ساتھ موازنہ کوئی بھی پروجیکٹو ٹورک کئی گنا ایک کواسیٹورک کئی گنا ہوتا ہے، اور بعض صورتوں میں غیر پروجیکٹو ٹورک کئی گنا بھی کواسیٹورک کئی گنا ہوتے ہیں۔ تمام کواسیٹورک کئی گنا ٹورک کئی گنا نہیں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، منسلک رقم کو کواسیٹورک کئی گنا کے طور پر بنایا جا سکتا ہے، لیکن یہ ٹورک کئی گنا نہیں ہے۔ نوٹ حوالہ جات الجبرائی ٹوپولوجی ٹوپولوجی مینیفولڈز