N = 1 supersymmetric Yang–Mills theory
نظریاتی طبیعیات میں، خاص طور پر کوانٹم فیلڈ تھیوری اور سپرسیمیٹری میں، سپرسیمیٹرک یانگ ملز، جسے سپر یانگ ملز بھی کہا جاتا ہے اور جسے ایس وائی ایم کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، یانگ ملز تھیوری کی ایک سپرسیمیٹرک جنرلائزیشن ہے، جو ایک گیج تھیوری ہے جو ذرہ طبیعیات میں قوتوں کی ریاضیاتی تشکیل میں اہم کردار ادا کرتی ہے۔ سپر یانگ ملز کا مطالعہ جولیس ویس اور برونو زومینو نے کیا تھا جس میں انہوں نے نظریہ کے سپر گیج-تغیر کا مظاہرہ کیا اور ویس زومینو ماڈل کے عمل کے ساتھ ساتھ اس کے عمل کو لکھا، جو ایک اور ابتدائی سپرسیمیٹرک فیلڈ تھیوری ہے۔ اس مضمون کا علاج بڑی حد تک سپرسیمیٹری اور ٹونگ پر فیگوئرو-او فیرل کے لیکچرز کی پیروی کرتا ہے۔ اگرچہ N = 4 سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری بھی ایک سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری ہے، لیکن اس میں سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری سے بہت مختلف خصوصیات ہیں، جو کہ اس مضمون میں زیر بحث نظریہ ہے۔ سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری کا مطالعہ سیبرگ اور وٹن نے سیبرگ وٹن تھیوری میں کیا تھا۔ تینوں نظریات سپر منکوسکی خالی جگہوں پر مبنی ہیں۔ سپرسیمیٹرک یانگ ملز ایکشن ابتدائی علاج ایک پہلا علاج سپر اسپیس کی وضاحت کے بغیر کیا جا سکتا ہے، اس کے بجائے نظریہ کو غیر سپرسیمیٹرک کوانٹم فیلڈ تھیوری میں واقف شعبوں کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ اسپیس ٹائم اور مادے کا مواد بیس اسپیس ٹائم فلیٹ اسپیس ٹائم (منکوسکی اسپیس) ہے۔ ایس وائی ایم ایک گیج تھیوری ہے، اور اس تھیوری سے وابستہ گیج گروپ ہے۔ گیج گروپ نے لائ الجبرا کو منسلک کیا ہے۔ اس کے بعد فیلڈ کا مواد ایک ویلیوڈ گیج فیلڈ ایک ویلیوڈ میجرانا اسپنر فیلڈ (ایک ملحقہ ویلیوڈ اسپنر) پر مشتمل ہوتا ہے، جسے 'گوگینو' اے ویلیوڈ معاون اسکیلر فیلڈ کہا جاتا ہے۔ گیج-تغیر کے لیے، گیج فیلڈ لازمی طور پر ماس لیس ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر سپرسیمیٹری کو برقرار رکھنا ہے تو اس کا سپر پارٹنر بھی ماس لیس ہے۔ لہذا دو ویل اسپنرز کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے جو ایک دوسرے سے مربوط ہیں:، اور نظریہ کو اس کے بجائے ویل اسپنر فیلڈ کے لحاظ سے وضع کیا جا سکتا ہے۔ سپرسیمیٹرک خالص برقی مقناطیسی نظریہ جب، تصوراتی مشکلات کسی حد تک آسان ہو جاتی ہیں، اور یہ کسی لحاظ سے سب سے آسان گیج نظریہ ہے۔ فیلڈ کا مواد محض ایک (شریک) ویکٹر فیلڈ، ایک میجرانا اسپنر اور ایک معاون حقیقی اسکیلر فیلڈ ہے۔ فیلڈ طاقت ٹینسر کو ہمیشہ کی طرح بیان کیا گیا ہے۔ اس کے بعد ویس اور زومینو کے لکھے ہوئے لاگرانجین کو جوڑے کے مستقل اور تھیٹا اصطلاح کو شامل کرنے کے لیے عام کیا جا سکتا ہے، جہاں دوہری فیلڈ طاقت ٹینسر ہے اور یہ متبادل ٹینسر یا مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک ٹینسر ہے۔ اگر ہم فیلڈ کو ویل اسپنر سے بھی تبدیل کرتے ہیں، تو ایک سپرسیمیٹرک ایکشن کو لکھا جا سکتا ہے۔ اسے پیور گیج تھیوری کی سپرسیمیٹرک جنرلائزیشن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جسے میکسویل تھیوری یا پیور الیکٹرو میگنیٹک تھیوری بھی کہا جاتا ہے۔ سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری (ابتدائی علاج) مکمل عام طور پر، ہمیں گلوون فیلڈ کی طاقت کے ٹینسر، اور ملحقہ ویل اسپنر کے کوویرینٹ مشتق کی وضاحت کرنی چاہیے، عمل کو لکھنے کے لیے، ایک غیر متغیر اندرونی پروڈکٹ کی ضرورت ہوتی ہے: کلنگ فارم ایک ایسا اندرونی پروڈکٹ ہے، اور اشارے کے ایک عام غلط استعمال میں ہم صرف اس حقیقت کی نشاندہی کرتے ہوئے لکھتے ہیں کہ غیر متغیر اندرونی پروڈکٹ کی کچھ نمائندگی میں ٹریس کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ سپرسیمیٹرک یانگ ملز پھر سپرسیمیٹرک میکسویل تھیوری سے آسانی سے عام ہوجاتا ہے۔ ایک سادہ ورژن ہے جبکہ ایک زیادہ عام ورژن سپر اسپیس ٹریٹمنٹ سپر اسپیس اور سپر فیلڈ مواد کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ بیس سپر اسپیس سپر منکوسکی اسپیس ہے۔ نظریہ کی تعریف ایک واحد ملحقہ قدر والے حقیقی سپر فیلڈ کے لحاظ سے کی گئی ہے، جو ویس-زومینو گیج میں طے شدہ ہے۔ سپر اسپیس پر سپرسیمیٹرک میکسویل تھیوری اس تھیوری کی تعریف ایک سپر فیلڈ کے لحاظ سے کی گئی ہے جو: کے کوویرینٹ مشتقات لینے سے پیدا ہوتا ہے۔ اس کے بعد سپرسیمیٹرک ایکشن کو ایک پیچیدہ جوڑے کے مستقل کے ساتھ لکھا جاتا ہے، جہاں ایچ سی پچھلی اصطلاح کے ہرمیٹین کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ سپر اسپیس پر سپرسیمیٹرک یانگ ملز غیر ایبلین گیج تھیوری کے لیے، اس کے بجائے اور کی وضاحت کریں۔ پھر عمل سمٹریز آف دی ایکشن سپرسیمیٹری ہے۔ منکوسکی اسپیس (سپر اسپیس پر نہیں) پر آسان یانگ ملز ایکشن کے لیے، سپرسیمیٹری تبدیلیاں کہاں ہیں۔ سپر اسپیس پر یانگ ملز ایکشن کے لیے، چونکہ چیرل ہے، اسی طرح فیلڈز بھی بنائے گئے ہیں۔ پھر آدھے سے زیادہ سپر اسپیس کو مربوط کرنے سے، ایک سپرسیمیٹرک ایکشن ملتا ہے۔ ایک اہم مشاہدہ یہ ہے کہ ویس-زومینو گیج ایک سپرسیمیٹرک گیج نہیں ہے، یعنی یہ سپرسیمیٹری کے ذریعے محفوظ نہیں ہے۔ تاہم، ویس-زومینو گیج پر واپس آنے کے لیے معاوضہ گیج کی تبدیلی کرنا ممکن ہے۔ پھر، سپرسیمیٹری کی تبدیلی اور معاوضہ گیج کی تبدیلی کے بعد، سپر فیلڈز گیج سمیٹری کے طور پر تبدیل ہو جاتے ہیں۔ اسپیس ٹائم پر بیان کردہ ابتدائی نظریہ واضح طور پر گیج غیر متغیر ہے کیونکہ یہ غیر سپرسیمیٹرک گیج تھیوری میں زیر مطالعہ اصطلاحات سے بنایا گیا ہے جو گیج غیر متغیر ہیں۔ سپر فیلڈ تشکیل کے لیے عمومی گیج تبدیلیوں کے نظریہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ (سپر گیج تبدیلیاں نہیں، جو مقامی سپرسیمیٹری کے ساتھ نظریہ میں تبدیلیاں ہوں گی)۔ عمومی ابیلین گیج تبدیلیاں اس طرح کی تبدیلی کو چیرل سپر فیلڈ کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، جس کے تحت حقیقی سپر فیلڈ خاص طور پر، توسیع کرنے اور مناسب طور پر جزو سپر فیلڈز میں تبدیل ہو جاتا ہے، پھر اس میں ایک ویکٹر سپر فیلڈ ہوتا ہے جبکہ اس میں ایک اسکیلر سپر فیلڈ ہوتا ہے، جیسے کہ عمل کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے والا چیرل سپر فیلڈ، گیج غیر متغیر ہوتا ہے۔ عمومی غیر ایبلین گیج تبدیلیاں چیرل سپر فیلڈ کی ملحقہ قدر کی جاتی ہے۔ کی تبدیلی اس کے ذریعہ تجویز کی جاتی ہے، جس سے بیکر-کیمپبل-ہاؤسڈورف فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے تبدیلی حاصل کی جا سکتی ہے۔ چیرل سپر فیلڈ غیر متغیر نہیں ہے لیکن کنجگیشن کے ذریعے تبدیل ہوتا ہے:، تاکہ عمل میں سراغ لگانے پر، عمل گیج-غیر متغیر ہو۔ ایکسٹرا کلاسیکی سمیٹریز سپر کنفارمل سمیٹری ایک کلاسیکی نظریہ کے طور پر، سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری سمیٹریز کے ایک بڑے سیٹ کو تسلیم کرتی ہے، جسے الجبرا کی سطح پر سپر کنفارمل الجبرا کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ جس طرح سپر پوئنکیری الجبرا پوئنکیری الجبرا کی ایک سپرسیمیٹرک توسیع ہے، اسی طرح سپر کنفارمل الجبرا کنفارمل الجبرا کی ایک سپرسیمیٹرک توسیع ہے جس میں کنفارمل سپرسیمیٹری کا ایک اسپنوریئل جنریٹر بھی ہوتا ہے۔ کوانٹم تھیوری میں کنفارمل انویرینس کو ٹریس اور کنفارمل بے ضابطگیوں کے ذریعے توڑا جاتا ہے۔ اگرچہ کوانٹم سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری میں سپر کنفارمل سمیٹری نہیں ہے، لیکن کوانٹم N = 4 سپرسیمیٹرک یانگ ملز تھیوری کرتی ہے۔ سپرسیمیٹری کے لیے R-سمیٹری کلاسیکی نظریہ کی سمیٹری ہے، لیکن بے ضابطگی کی وجہ سے کوانٹم نظریہ کی نہیں۔ ایبلین گیج میٹر کو ویس زومینو ماڈل قسم کے سپر فیلڈز کی شکل میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ گیج کی تبدیلی کے تحت، اور ویس-زومینو ماڈل کی طرح لگرینجین کو استعمال کرنے کے بجائے، گیج کے غیر متغیر کے لیے اسے تبدیل کرنا ضروری ہے۔ یہ کیو ای ڈی کو ایک سپرسیمیٹرک ینالاگ دیتا ہے۔ عمل لکھا جا سکتا ہے ذائقوں کے لیے، ہمارے پاس اس کے بجائے سپر فیلڈز ہیں، اور عمل کو مضمر خلاصہ کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ تاہم، ایک اچھی طرح سے متعین کوانٹم تھیوری کے لیے، ایک نظریہ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے گیج بے ضابطگی کا شکار ہوتا ہے۔ ہم ہر چیرل سپر فیلڈ (سپر پارٹنرز کے خیال سے الگ، اور کنجوگیٹ سپر فیلڈز سے الگ) میں ایک پارٹنر شامل کرنے کے پابند ہیں، جس کا الٹا چارج ہوتا ہے۔ یہ عمل غیر ایبلین گیج دیتا ہے غیر ایبلین گیج کے لیے، مادہ چیرل سپر فیلڈز کی اب گیج گروپ کی نمائندگی میں قدر کی جاتی ہے: ویس-زومینو حرکی اصطلاح کو ایڈجسٹ کیا جانا چاہیے۔ پھر ایک سادہ ایس کیو سی ڈی کارروائی یہ ہوگی کہ اسے بنیادی نمائندگی کے طور پر لیا جائے، اور ویس-زومینو اصطلاح کو شامل کیا جائے: سپر کیو سی ڈی ایکشن کی مزید عمومی اور تفصیلی شکلیں اس مضمون میں دی گئی ہیں۔ فائیٹ-ایلیپوولس اصطلاح جب لائ الجبرا کا مرکز غیر معمولی ہوتا ہے، تو ایک اضافی اصطلاح ہوتی ہے جسے فائیٹ-ایلیپوولس اصطلاح کے نام سے جانے والے عمل میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات سپرسیمیٹرک کوانٹم فیلڈ تھیوری