Sufficient dimension reduction
اعداد و شمار میں، کافی طول و عرض میں کمی (ایس ڈی آر) اعداد و شمار کا تجزیہ کرنے کے لیے ایک نمونہ ہے جو طول و عرض میں کمی کے خیالات کو کافی کے تصور کے ساتھ جوڑتا ہے۔ طول و عرض میں کمی طویل عرصے سے رجعت تجزیہ کا ایک بنیادی مقصد رہا ہے۔ ایک رسپانس متغیر y اور ایک p-جہتی پیشن گوئی کرنے والے ویکٹر کو دیکھتے ہوئے، رجعت تجزیہ کا مقصد دی گئی کی مشروط تقسیم کا مطالعہ کرنا ہے۔ طول و عرض میں کمی ایک فنکشن ہے جو k <p کے ذیلی سیٹ کا نقشہ بناتی ہے، اس طرح کے طول و عرض کو کم کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، کے ایک یا زیادہ لکیری امتزاج ہو سکتے ہیں۔ طول و عرض میں کمی کو کافی کہا جاتا ہے اگر کی تقسیم کے برابر ہو۔ دوسرے لفظوں میں، اگر کمی کافی ہے تو طول و عرض کو کم کرنے میں رجعت کے بارے میں کوئی معلومات ضائع نہیں ہوتی ہے۔ گرافیکل محرک رجعت کی ترتیب میں، گرافک طور پر تقسیم کا خلاصہ کرنا اکثر مفید ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی ایک یا ایک سے زیادہ پیشن گوئی کرنے والوں کے بکھرے ہوئے پلاٹ پر غور کر سکتا ہے۔ ایک بکھرے ہوئے پلاٹ جس میں تمام دستیاب رجعت کی معلومات ہوتی ہیں اسے کافی خلاصہ پلاٹ کہا جاتا ہے۔ اعلی جہتی کب ہے، خاص طور پر جب، اعداد و شمار کو کم کیے بغیر کافی خلاصہ پلاٹوں کی تعمیر اور بصری طور پر تشریح کرنا تیزی سے مشکل ہو جاتا ہے۔ یہاں تک کہ تین جہتی بکھرے ہوئے پلاٹوں کو بھی کمپیوٹر پروگرام کے ذریعے دیکھا جانا چاہیے، اور تیسرے طول و عرض کو صرف مربوط محوروں کو گھما کر دیکھا جا سکتا ہے۔ تاہم، اگر کافی چھوٹے طول و عرض کے ساتھ کافی طول و عرض میں کمی موجود ہے، تو بمقابلہ کا کافی خلاصہ پلاٹ بنایا جا سکتا ہے اور نسبتا آسانی کے ساتھ بصری طور پر اس کی تشریح کی جا سکتی ہے۔ لہذا طول و عرض میں کافی کمی کی تقسیم کے بارے میں گرافیکل وجدان کی اجازت دیتی ہے، جو دوسری صورت میں اعلی جہتی ڈیٹا کے لیے دستیاب نہیں ہوتی۔ زیادہ تر گرافیکل طریقہ کار بنیادی طور پر طول و عرض میں کمی پر مرکوز ہے جس میں لکیری امتزاج شامل ہیں۔ اس مضمون کا باقی حصہ صرف اس طرح کی کٹوتیوں سے متعلق ہے۔ طول و عرض میں کمی ذیلی جگہ فرض کریں کہ کافی طول و عرض میں کمی ہے، جہاں درجہ بندی والا میٹرکس ہے۔ پھر کی تقسیم کا مطالعہ کرکے رجعت کی معلومات کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے، اور بمقابلہ کا پلاٹ کافی خلاصہ پلاٹ ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، صرف ضرورت کے کالموں کے ذریعہ پھیلی ہوئی جگہ پر غور کیا جائے۔ کالم کی جگہ کے لیے ایک بنیاد بننے دیں، اور اس کے ذریعے پھیلی ہوئی جگہ کو اس کے ذریعے ظاہر ہونے دیں۔ یہ کافی طول و عرض میں کمی کی تعریف سے پیروی کرتا ہے جہاں مناسب تقسیم کی تقریب کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس خاصیت کو ظاہر کرنے کا ایک اور طریقہ دیا گیا ہے یا اس سے مشروط طور پر آزاد ہے۔ پھر سب اسپیس کو طول و عرض میں کمی سب اسپیس (ڈی آر ایس) کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ساختی جہت کسی رجعت کے لیے، ساختی جہت، کی مشروط تقسیم کو محفوظ رکھنے کے لیے ضروری مختلف لکیری امتزاج کی سب سے چھوٹی تعداد ہے۔ دوسرے لفظوں میں، سب سے چھوٹی طول و عرض کی کمی جو اب بھی کافی ہے اس کے ذیلی سیٹ کے نقشے۔ متعلقہ ڈی آر ایس ڈی جہتی ہوگا۔ کم از کم طول و عرض میں کمی سب اسپیس ایک سب اسپیس کو کم از کم ڈی آر ایس کہا جاتا ہے اگر یہ ڈی آر ایس ہے اور اس کا طول و عرض دیگر تمام ڈی آر ایس سے کم یا برابر ہے۔ کم از کم ڈی آر ایس لازمی طور پر منفرد نہیں ہے، لیکن اس کا طول و عرض تعریف کے مطابق اس کے ساختی طول و عرض کے برابر ہے۔ اگر بنیاد ہے اور کم سے کم ڈی آر ایس ہے، تو y بمقابلہ کا پلاٹ کم سے کم کافی خلاصہ پلاٹ ہے، اور یہ (d + 1) جہتی ہے۔ اگر کوئی ذیلی جگہ ڈی آر ایس کے لیے ہے، اور اگر دیگر تمام ڈی آر ایس کے لیے ہے، تو یہ ایک مرکزی جہتی تخفیف ذیلی جگہ ہے، یا محض ایک مرکزی ذیلی جگہ ہے، اور اسے اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کے لیے ایک مرکزی ذیلی جگہ موجود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب تمام جہتی تخفیف ذیلی جگہوں کا چوراہا بھی ایک جہتی تخفیف ذیلی جگہ ہو، اور وہ چوراہا مرکزی ذیلی جگہ ہو۔ مرکزی ذیلی جگہ لازمی طور پر موجود نہیں ہے کیونکہ چوراہا لازمی طور پر ڈی آر ایس نہیں ہے۔ تاہم، اگر موجود ہے، تو یہ منفرد کم از کم طول و عرض میں کمی کی ذیلی جگہ بھی ہے۔ مرکزی ذیلی جگہ کا وجود اگرچہ ہر رجعت کی صورتحال میں مرکزی ذیلی جگہ کے وجود کی ضمانت نہیں ہے، لیکن کچھ بلکہ وسیع حالات ہیں جن کے تحت اس کا وجود براہ راست ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کک (1998) کی مندرجہ ذیل تجویز پر غور کریں: آئیے اور اس کے لیے طول و عرض میں کمی کی ذیلی جگہیں بنیں۔ اگر سب کے لیے اور ہر جگہ کثافت ہے، جہاں کنویکس ہے، تو انٹرسیکشن بھی ایک طول و عرض میں کمی کی ذیلی جگہ ہے۔ اس تجویز سے یہ پتہ چلتا ہے کہ اس طرح کے لیے مرکزی ذیلی جگہ موجود ہے۔ طول و عرض میں کمی کے طریقے طول و عرض میں کمی کے بہت سے موجودہ طریقے ہیں، گرافیکل اور عددی دونوں۔ مثال کے طور پر، کٹے ہوئے الٹا رجعت (ایس آئی آر) اور کٹے ہوئے اوسط تغیر کا تخمینہ (سیو) 1990 کی دہائی میں متعارف کرایا گیا تھا اور اب بھی بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔ اگرچہ ایس آئی آر کو اصل میں ذیلی جگہ کو کم کرنے والے ایک موثر طول و عرض کا اندازہ لگانے کے لیے ڈیزائن کیا گیا تھا، لیکن اب یہ سمجھا جاتا ہے کہ یہ صرف مرکزی ذیلی جگہ کا تخمینہ لگاتا ہے، جو عام طور پر مختلف ہے۔ طول و عرض میں کمی کے مزید حالیہ طریقوں میں امکان پر مبنی کافی طول و عرض میں کمی، الٹا تیسرے لمحے (یا kth لمحے) کی بنیاد پر مرکزی ذیلی جگہ کا تخمینہ لگانا، مرکزی حل کی جگہ کا تخمینہ لگانا، گرافیکل رجعت، لفافہ ماڈل، اور پرنسپل سپورٹ ویکٹر مشین شامل ہیں۔ ان اور دیگر طریقوں کے بارے میں مزید تفصیلات کے لیے شماریاتی ادب سے مشورہ کریں۔ پرنسپل اجزاء کا تجزیہ (پی سی اے) اور طول و عرض میں کمی کے لیے اسی طرح کے طریقے کافی اصول پر مبنی نہیں ہیں۔ مثال: لکیری رجعت رجعت ماڈل پر غور کریں نوٹ کریں کہ کی تقسیم کی تقسیم کے برابر ہے۔ لہذا، کی مدت ایک طول و عرض میں کمی ذیلی جگہ ہے۔ نیز، 1 جہتی ہے (جب تک کہ)، لہذا اس رجعت کی ساختی جہت ہے۔ OLS کا تخمینہ مستقل ہے، اور اس لیے کا دورانیہ ایک مستقل تخمینہ ہے۔ بمقابلہ کا پلاٹ اس رجعت کے لیے کافی خلاصہ پلاٹ ہے۔ طول و عرض میں کمی کٹی ہوئی الٹا رجعت پرنسپل جزو تجزیہ لکیری امتیازی تجزیہ طول و عرض کی لعنت کثیر لکیری ذیلی جگہ سیکھنے کے نوٹ حوالہ جات کک، آر ڈی بھی دیکھیں۔ (1998) رجعت گرافکس: گرافکس کے ذریعے رجعت کا مطالعہ کرنے کے لیے خیالات، امکان اور شماریات میں ولی سیریز۔ رجعت گرافکس۔ کک، آر ڈی۔ اور ادراگنی، کے۔ پی۔ (2009) "کافی طول و عرض میں کمی اور رجعت میں پیش گوئی"، رائل سوسائٹی کے فلسفیانہ لین دین A: ریاضیاتی، جسمانی اور انجینئرنگ سائنسز، 367 (1906)، 4385-4405۔ مکمل متن کک، آر۔ ڈی۔ اور ویسبرگ، ایس۔ (1991) "سائز میں کمی کے لیے کٹا ہوا الٹا رجعت: تبصرہ"، جرنل آف دی امریکن شماریاتی ایسوسی ایشن، 86 (414)، 328-332۔ Jstor Li, K-C. (1991) "سائز میں کمی کے لیے کٹا ہوا الٹا رجعت"، جرنل آف دی امریکن شماریاتی ایسوسی ایشن، 86 (414)، 316-327۔ Jstor بیرونی روابط کافی طول و عرض میں کمی طول و عرض میں کمی