Algebraic interior
فنکشنل تجزیہ میں، ریاضی کی ایک شاخ، ویکٹر اسپیس کے ذیلی سیٹ کا الجبرائی اندرونی یا ریڈیل دانا اندرونی تصور کی اصلاح ہے۔ تعریف فرض کریں کہ یہ ویکٹر اسپیس کا ایک ذیلی سیٹ ہے۔ کے حوالے سے الجبرائی اندرونی (یا ریڈیل دانا) ان تمام نکات کا مجموعہ ہے جن پر ریڈیل سیٹ ہے۔ ایک نقطہ کو این آف کہا جاتا ہے اور کہا جاتا ہے کہ اگر ہر ایک کے لیے ایک حقیقی نمبر موجود ہو تاکہ ہر ایک کے لیے یہ آخری شرط اس طرح بھی لکھی جا سکتی ہے جہاں سیٹ لائن سیگمنٹ (یا بند وقفہ) ہے جو اس لائن سیگمنٹ سے شروع ہوتا ہے اور اس پر ختم ہوتا ہے جس کا ذیلی سیٹ اس کی سمت سے نکلتا ہے (یعنی متوازی/ترجمہ)۔ اس طرح ہندسی طور پر، کسی ذیلی سیٹ کا اندرونی نقطہ اس خاصیت کے ساتھ ایک نقطہ ہے جس میں ہر ممکنہ سمت (ویکٹر) میں کچھ (غیر انحطاط) لائن کا حصہ ہوتا ہے جو اس سمت سے شروع ہوتا ہے اور اس کی طرف جاتا ہے (یعنی۔ شعاع کا ایک ذیلی مجموعہ)۔ الجبرائی اندرونی (کے حوالے سے) ایسے تمام نکات کا مجموعہ ہے۔ یعنی یہ کسی دیئے گئے سیٹ میں موجود پوائنٹس کا ذیلی سیٹ ہے جس کے حوالے سے یہ سیٹ کے ریڈیل پوائنٹس ہیں۔ اگر ایک لکیری ذیلی جگہ ہے اور پھر اس تعریف کو الجبرائی اندرونی کے حوالے سے عام کیا جا سکتا ہے: جہاں ہمیشہ ہوتا ہے اور اگر پھر کہاں کا افائن ہل ہے (جو اس کے برابر ہے)۔ الجبرائی بندش ایک نقطہ کو ذیلی سیٹ سے کہا جاتا ہے اگر کوئی ایسی چیز موجود ہو جس میں لکیر کا حصہ موجود ہو، جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے اور اس میں موجود تمام نکات الجبرائی اندرونی (کور) سے لکیری طور پر قابل رسائی ہیں۔ خاص صورت میں جہاں سیٹ کو یا کا کہا جاتا ہے اور اسے یا رسمی طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اگر ویکٹر کی جگہ ہے تو اس کا الجبرائی اندرونی حصہ ہے۔ اگر خالی نہیں ہے، تو یہ اضافی ذیلی سیٹ کنویکس فنکشنل تجزیہ میں بہت سے نظریات کے بیانات کے لیے بھی مفید ہیں (جیسے کہ ارسیسکو تھیوریم): اگر فریچیٹ کی جگہ ہے، تو کنویکس ہے، اور اس میں بند ہے لیکن عام طور پر یہ ممکن ہے کہ جبکہ خالی ہو۔ مثالیں اگر پھر لیکن اور کور کی خصوصیات فرض کریں کہ عام طور پر، لیکن اگر ایک کنویکس سیٹ ہے تو: اور سب کے لیے تو ایک حقیقی ویکٹر اسپیس کا ایک جذب کرنے والا ذیلی سیٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کسی کنویکس سیٹ کا کور اور الجبرائی بندش دونوں دوبارہ کنویکس ہوں۔ اگر کنویکس ہے، اور پھر لائن کا حصہ ٹپوولوجیکل داخلہ کے سلسلے میں موجود ہے تو، اندرونی آپریٹر کی نشاندہی کریں، اور پھر: اگر غیر خالی کنویکس ہے اور محدود جہتی ہے، تو اگر غیر خالی اندرونی کے ساتھ کنویکس ہے، تو پھر رشتہ دار الجبرائی داخلہ اگر ایک بند کنویکس سیٹ ہے اور ایک مکمل میٹرک اسپیس ہے، تو رشتہ دار الجبرائی داخلہ اگر پھر سیٹ کو اشارہ کیا جاتا ہے اور اسے رشتہ دار الجبرائی داخلہ کہا جاتا ہے۔ یہ نام اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ اگر اور صرف اگر اور (جہاں صرف اگر اور صرف اگر)۔ رشتہ دار داخلہ اگر کسی ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کا ذیلی سیٹ ہے تو اس کا رشتہ دار اندرونی سیٹ A کا ٹوپولوجیکل اندرونی سیٹ ہے جس میں موجود سب سے چھوٹی افائن لکیری سب اسپیس ہے۔ مندرجہ ذیل سیٹ بھی مفید ہے: نیم رشتہ دار اندرونی اگر ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس کا ذیلی سیٹ ہے تو اس کا نیم رشتہ دار اندرونی سیٹ ہے۔ ہاؤس ڈورف کے محدود جہتی ٹوپولوجیکل ویکٹر اسپیس میں، حوالہ جات بھی دیکھیں۔