Tangent half-angle substitution
انٹیگرل کیلکولس میں، ٹینجینٹ ہاف اینگل متبادل انٹیگرلز کی تشخیص کے لیے استعمال ہونے والے متغیرات کی تبدیلی ہے، جو مثلثی افعال کے عقلی فنکشن کو ترتیب کے ذریعے ایک عام عقلی فنکشن میں تبدیل کرتا ہے۔ یہ حقیقی لکیر پر زاویہ پیمائش کے ذریعہ پیرامیٹرائزڈ یونٹ دائرے کا یک جہتی سٹیریوگرافک پروجیکشن ہے۔ عمومی تبدیلی کا فارمولا یہ ہے: نصف زاویے کا ٹینجینٹ کروی مثلثی میں اہم ہے اور بعض اوقات 17 ویں صدی میں اسے نصف ٹینجینٹ یا نیم ٹینجینٹ کے طور پر جانا جاتا تھا۔ لیون ہارڈ اویلر نے اسے اپنی 1768 کی انٹیگرل کیلکولس نصابی کتاب میں انٹیگرل کا جائزہ لینے کے لیے استعمال کیا، اور ایڈرین میری لیجنڈری نے 1817 میں عمومی طریقہ بیان کیا۔ متبادل کو 19 ویں صدی کے آخر سے زیادہ تر لازمی حساب کتاب کی نصابی کتابوں میں بیان کیا گیا ہے، عام طور پر بغیر کسی خاص نام کے۔ یہ روس میں عالمگیر مثلثی متبادل کے طور پر جانا جاتا ہے، اور مختلف ناموں سے بھی جانا جاتا ہے جیسے نصف ٹینجینٹ متبادل یا نصف زاویہ متبادل۔ اسے بعض اوقات ویرسٹراس کے متبادل کے طور پر غلط طور پر منسوب کیا جاتا ہے۔ مائیکل اسپیوک نے اسے "دنیا کا سب سے خفیہ متبادل" قرار دیا۔ متبادل ایک نئے متغیر سائنوں اور کوسینوں کو متعارف کرانے کو عقلی افعال کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے اور اس کا اظہار مندرجہ ذیل کے پروڈکٹ اور عقلی فنکشن کے طور پر کیا جا سکتا ہے: مشتق ڈبل اینگل فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، پائیتھاگورین تھیوریم کی بدولت ایک کے برابر ڈینومینیٹرز کو متعارف کرانا، اور پھر ہندسوں اور ڈینومینیٹرز کو ایک سے تقسیم کرنا ہوتا ہے۔ آخر میں، چونکہ، تفریق کے قواعد کا مطلب ہوتا ہے اور اس طرح کوسیکینٹ کی مثالیں۔ ہم کوسیکینٹ انٹیگرل کا اندازہ کرنے کے ایک معیاری طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے کوسیکینٹ انٹیگرل کو ضرب دے کر اور متبادل انجام دے کر مندرجہ بالا نتیجہ کی تصدیق کر سکتے ہیں۔ یہ دونوں جوابات ایک جیسے ہیں کیونکہ سیکینٹ انٹیگرل کا اندازہ اسی طرح کیا جا سکتا ہے۔ ایک قطعی انٹیگرل پہلی سطر میں، کوئی بھی انضمام کی دونوں حدود کو محض متبادل نہیں بنا سکتا۔ اے ٹی کی انفرادیت (اس معاملے میں، ایک عمودی ایسمپٹوٹ) کو مدنظر رکھنا چاہیے۔ متبادل طور پر، پہلے غیر معینہ مدت کے انٹیگرل کا اندازہ کریں، پھر باؤنڈری ویلیوز کا اطلاق کریں۔ سمیٹری کے لحاظ سے، جو پچھلے جواب کی طرح ہے۔ تیسری مثال: سائن اور کوسین دونوں اگر جیومیٹری جیسا کہ x مختلف ہوتا ہے، نقطہ (cos x، sin x) بار بار (0، 0) پر مرکوز اکائی دائرے کے گرد گھومتا ہے۔ نقطہ دائرے کے ارد گرد صرف ایک بار جاتا ہے کیونکہ t − ini سے + ini تک جاتا ہے، اور کبھی بھی نقطہ (−1,0) تک نہیں پہنچتا ہے، جس حد کے طور پر رابطہ کیا جاتا ہے جیسے ہی t ± ini تک پہنچتا ہے۔ جیسا کہ t − ini سے −1 تک جاتا ہے، t کے ذریعہ طے شدہ نقطہ تیسرے کواڈرینٹ میں دائرے کے حصے سے گزرتا ہے، (−1,0) سے (0, −1) تک۔ جیسا کہ t −1 سے 0 تک جاتا ہے، نقطہ (0، −1) سے (1، 0) تک چوتھے کواڈرینٹ میں دائرے کے حصے کی پیروی کرتا ہے۔ جیسا کہ t 0 سے 1 تک جاتا ہے، نقطہ (1، 0) سے (0، 1) تک پہلے کواڈرینٹ میں دائرے کے حصے کی پیروی کرتا ہے۔ آخر میں، جیسا کہ t 1 سے + ini تک جاتا ہے، نقطہ دوسرے کواڈرینٹ میں دائرے کے حصے کے بعد (0، 1) سے (−1، 0) تک جاتا ہے۔ یہاں ایک اور ہندسی نقطہ نظر ہے۔ اکائی کا دائرہ کھینچیں، اور P کو نقطہ ہونے دیں۔ پی کے ذریعے ایک لکیر (عمودی لکیر کے علاوہ) کا تعین اس کی ڈھلوان سے ہوتا ہے۔ مزید برآں، ہر ایک لکیر (عمودی لکیر کے علاوہ) اکائی کے دائرے کو بالکل دو نکات میں کاٹتی ہے، جن میں سے ایک پی ہے۔ یہ اکائی کے دائرے کے نکات سے ڈھلوانوں تک فنکشن کا تعین کرتا ہے۔ مثلثی افعال اکائی دائرے پر زاویوں سے پوائنٹس تک فنکشن کا تعین کرتے ہیں، اور ان دونوں افعال کو یکجا کرکے ہمارے پاس زاویوں سے ڈھلوانوں تک فنکشن ہوتا ہے۔ ٹریگونومیٹرک افعال اور ہائپربولک افعال کے درمیان مشترکہ دیگر خصوصیات کی طرح، متبادل کی اسی طرح کی شکل کی تعمیر کے لیے ہائپربولک شناختوں کا استعمال کرنا ممکن ہے،: جیومیٹریکل طور پر، متغیرات کی یہ تبدیلی پوائنکیری ڈسک پروجیکشن کا ایک جہتی ینالاگ ہے۔ عقلی وکر سٹیریوگرافک پروجیکشن ٹینجینٹ ہاف اینگل فارمولا ٹریگونومیٹرک متبادل اویلر متبادل مزید پڑھنا دوسرا ایڈیشن 1916، پی پی۔ 52-62 نوٹ اور حوالہ جات پلینٹ میتھ انٹیگرل کیلکولس میں بیرونی لنکس ویئراسٹراس متبادل فارمولے