Index group
آپریٹر تھیوری میں، جو کہ ریاضی کی ایک شاخ ہے، ہر بناچ الجبرا کو ایک ایسے گروپ سے منسلک کیا جا سکتا ہے جسے اس کا تجریدی اشاریہ گروپ کہا جاتا ہے۔ تعریف A کو بناچ الجبرا اور G کو A میں الٹا عناصر کا گروپ مان لیں۔ سیٹ G کھلا اور ایک ٹپوولوجیکل گروپ ہے۔ شناخت کے جزو G0 پر غور کریں، یا دوسرے الفاظ میں منسلک جزو جس میں A کی شناخت 1 ہے۔ G0 G کا ایک عام ذیلی گروہ ہے۔ حصص گروپ λA = G/G0 A کا تجریدی اشاریہ گروپ ہے۔ کیونکہ G0، ایک کھلے سیٹ کا جزو ہونے کے ناطے، G میں کھلا اور بند دونوں ہے، انڈیکس گروپ ایک مجرد گروپ ہے۔ مثال کے طور پر ایل (ایچ) کو ہلبرٹ اسپیس پر باؤنڈڈ آپریٹرز کا بناچ الجبرا ہونے دیں۔ ایل (ایچ) میں الٹ عناصر کا مجموعہ راستے سے جڑا ہوا ہے۔ لہذا، λL (H) ایک معمولی گروہ ہے۔ T کو پیچیدہ سطح میں اکائی کے دائرے کی نشاندہی کرنے دیں۔ ٹی سے پیچیدہ اعداد تک مسلسل افعال کا الجبرا سی (ٹی) ایک بناچ الجبرا ہے، جس میں یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی ہے۔ سی (ٹی) میں ایک فنکشن الٹا ہے (اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کا پوائنٹ وائز ملٹی پلیکیٹو الٹا ہے، یہ نہیں کہ یہ ایک الٹا فنکشن ہے) اگر یہ ٹی کے کسی عنصر کو صفر سے نہیں جوڑتا ہے۔ گروپ G0 عناصر ہوموٹوپک پر مشتمل ہے، G میں، G میں شناخت کے لیے، مستقل فنکشن 1۔ کوئی بھی فنکشن fn (z) = zn کو نقشوں T → T کی مختلف ہوموٹوپی کلاسوں کے G میں نمائندوں کے طور پر منتخب کر سکتا ہے۔ اس طرح انڈیکس گروپ λC (T) ہوموٹوپی کلاسوں کا مجموعہ ہے، جو اس کے اراکین کے سمیٹنے والے نمبر سے انڈیکس کیا جاتا ہے۔ اس طرح λC (T) T کے بنیادی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ ایک قابل شمار مجرد گروپ ہے۔ کالکن الجبرا K کمپیکٹ آپریٹرز کے حوالے سے L (H) کا حصص C *-الجبرا ہے۔ فرض کریں کہ π حصص کا نقشہ ہے۔ اٹکنسن کے نظریہ کے مطابق، K میں ایک الٹا عنصر π (T) کی شکل کا ہوتا ہے جہاں T فریڈہولم آپریٹر ہوتا ہے۔ انڈیکس گروپ λK پھر سے ایک قابل گنتی مجرد گروپ ہے۔ درحقیقت، λK فریڈہولم انڈیکس کے ذریعے انٹیجرز Z کے اضافی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ دوسرے لفظوں میں، فریڈہولم آپریٹرز کے لیے، انڈیکس کے دو تصورات موافق ہیں۔ حوالہ جات Zhu, Kehe (1993)۔ آپریٹر الجبراس کا تعارف، سی آر سی پریس، بوکا ریٹن، ایل اے، آپریٹر تھیوری بناچ الجبراس ڈسکریٹ گروپس