Hochschild homology
ریاضی میں، ہوکسچلڈ ہومیولوجی (اور کوہمولوجی) رنگوں پر ملحقہ الجبرا کے لیے ایک ہومیولوجی تھیوری ہے۔ بعض فنکٹروں کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی کے لیے بھی ایک نظریہ موجود ہے۔ ہوکسچلڈ کوہمولوجی کو کسی میدان میں الجبراس کے لیے متعارف کرایا گیا تھا، اور اسے زیادہ عام بجتوں پر الجبراس تک بڑھایا گیا تھا۔ ہوکسچلڈ ہومیولوجی آف الجیبراز کی تعریف فرض کریں کہ k ایک فیلڈ ہے، A ایک ایسوسی ایٹیو k-الجبرا ہے، اور M ایک A-بائی موڈیول ہے۔ اے کا لفافے والا الجبرا اس کے مخالف الجبرا کے ساتھ اے کا ٹینسر پروڈکٹ ہے۔ A پر بموڈیولز بنیادی طور پر A کے لفافے والے الجبرا پر ماڈیولز کی طرح ہوتے ہیں، لہذا خاص طور پر A اور M کو Ae-ماڈیولز سمجھا جا سکتا ہے۔ ہوکسچلڈ کمپلیکس کے ذریعہ ٹور فنکٹر اور ایکسٹ فنکٹر کے لحاظ سے M میں کوفیشنٹس کے ساتھ A کے ہوکسچلڈ ہومیولوجی اور کوہومولوجی گروپ کی وضاحت کی گئی ہے۔ چلو k ایک رنگ ہے، A ایک ایسوسی ایٹیو k-الجبرا ہے جو ایک پروجیکٹو k-ماڈیول ہے، اور M ایک A-بیمڈیول ہے۔ ہم A اوور k کے n-فولڈ ٹینسر پروڈکٹ کے لیے لکھیں گے۔ وہ سلسلہ کمپلیکس جو ہوکسچلڈ ہومیولوجی کو جنم دیتا ہے، باؤنڈری آپریٹر کے ذریعے دیا جاتا ہے جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ A میں سب کے لیے کہاں ہے اور۔ اگر ہم پھر جانے دیں تو، اسی طرح ایک سلسلہ کمپلیکس ہے جسے ہوکسچلڈ کمپلیکس کہا جاتا ہے، اور اس کی ہومیولوجی ایم میں کوفیشنٹس کے ساتھ اے کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی ہے۔ اس کے بعد، ہم سادہ طور پر لکھیں گے۔ تبصرے نقشے چہرے کے نقشے ہیں جو ماڈیولز کے خاندان کو کے-ماڈیولز کے زمرے میں ایک آسان آبجیکٹ بناتے ہیں، یعنی ایک فنکٹر کے-موڈ، جہاں کے سمپلیکس زمرہ ہے اور کے-موڈ کے-ماڈیولز کا زمرہ ہے۔ یہاں δo، δ کا مخالف زمرہ ہے۔ انحطاط کے نقشوں کی تعریف ہوکسچلڈ ہومیولوجی کے ذریعہ کی گئی ہے جو اس آسان ماڈیول کی ہومیولوجی ہے۔ بار کمپلیکس کے ساتھ تعلق ایک ایسا ہی نظر آنے والا کمپلیکس ہے جسے بار کمپلیکس کہا جاتا ہے جو رسمی طور پر ہوکسچلڈ کمپلیکس پی جی 4-5 سے بہت ملتا جلتا ہے۔ درحقیقت، ہوکسچلڈ کمپلیکس کو بار کمپلیکس سے بازیافت کیا جا سکتا ہے جس سے ایک واضح آئسومورفزم پیدا ہوتا ہے۔ ایک اخذ شدہ سیلف انٹرسیکشن کے طور پر ہوکسچلڈ کمپلیکس کی ایک اور مفید تشریح مواصلاتی رنگوں کے معاملے میں ہے، اور زیادہ عام طور پر، مواصلاتی رنگوں کی چھڑیوں کے لیے: یہ کسی بنیادی اسکیم پر کسی اسکیم (یا یہاں تک کہ اخذ کردہ اسکیم) کے اخذ کردہ سیلف انٹرسیکشن سے بنایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم ماخوذ فائبر پروڈکٹ تشکیل دے سکتے ہیں جس میں ماخوذ بجتوں کا خول ہوتا ہے۔ پھر، اگر اخترن نقشے کے ساتھ سرایت کیا جائے تو ہوکسچلڈ کمپلیکس کو اخترن پروڈکٹ اسکیم میں اخترن کے ماخوذ خود چوراہے کے پل بیک کے طور پر بنایا گیا ہے۔ اس تشریح سے، یہ واضح ہونا چاہیے کہ ہوکسچلڈ ہومیولوجی کا کیلر تفریق سے کچھ تعلق ہونا چاہیے کیونکہ کیلر تفریق کو اخترن سے خود چوراہے کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے، یا زیادہ عام طور پر، کوٹینجینٹ کمپلیکس کیونکہ یہ کیلر تفریق کے لیے ماخوذ متبادل ہے۔ ہم ہوکسچلڈ کمپلیکس کی اصل تعریف کو ترتیب دے کر بازیافت کر سکتے ہیں اور پھر، ہوکسچلڈ کمپلیکس نیم آئسومورفک ہے۔ اگر ایک فلیٹ-الجبرا ہے، تو آئسومورفزم کا سلسلہ ہے جو ہوکسچلڈ کمپلیکس کی ایک متبادل لیکن مساوی پیشکش دیتا ہے۔ فنکٹرز کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی سادہ دائرہ محدود نکیلی سیٹوں کے زمرے میں ایک آسان آبجیکٹ ہے، یعنی ایک فنکٹر۔ اس طرح، اگر F ایک فنکٹر ہے، تو ہمیں F کے ساتھ کمپوز کرکے ایک آسان ماڈیول ملتا ہے۔ اس سادہ ماڈیول کی ہومیولوجی فنکٹر ایف کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی ہے۔ ہوکسچلڈ ہومیولوجی آف کمیونیٹیٹو الجیبراز کی مذکورہ تعریف وہ خاص معاملہ ہے جہاں ایف لوڈے فنکٹر ہے۔ لوڈے فنکٹر محدود نکیلی سیٹوں کے زمرے کے لیے ایک کنکال ان اشیاء کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں 0 بیس پوائنٹ ہے، اور مورفزم بیس پوائنٹ محفوظ سیٹ نقشے ہیں۔ فرض کریں کہ A ایک متغیر k-الجبرا ہے اور M ایک سمیٹرک A-بائی موڈیول ہے۔ لوڈے فنکٹر ایک مورفزم کے ذریعے اشیاء پر دیا جاتا ہے جس کے ذریعے مورفزم کو بھیجا جاتا ہے جہاں الگبراز کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی کی ایک اور تفصیل ہوکسچلڈ ہومیولوجی ایک مواصلاتی الجبرا A کی ہم آہنگی A-bimodle M میں کوفیشنٹس کے ساتھ ساخت سے وابستہ ہومیولوجی ہے اور یہ تعریف اوپر والے سے متفق ہے۔ مثال ہوکسچلڈ ہومیولوجی کے حسابات کی مثالوں کو متعدد الگ الگ معاملات میں مستحکم کیا جا سکتا ہے جس میں کافی عام نظریات ہومیولوجی گروپوں کی ساخت اور ایسوسی ایٹیو الجبرا کے لیے ہومیولوجی رنگ کو بیان کرتے ہیں۔ مواصلاتی الجبرا کے معاملے کے لیے، متعدد نظریات موجود ہیں جو خصوصیت 0 پر کمپیوٹیشن کو بیان کرتے ہیں جس سے اس بات کی سیدھی سمجھ پیدا ہوتی ہے کہ ہومیولوجی اور کوہمولوجی کیا حساب کرتی ہے۔ تبدلیاتی خصوصیت 0 کیس تبدلیاتی الجبرا کے معاملے میں جہاں، ہوکسچلڈ ہومیولوجی میں ہموار الجبرا سے متعلق دو اہم نظریات ہیں، اور زیادہ عام غیر فلیٹ الجبرا ؛ لیکن، دوسرا پہلے کی براہ راست عمومی کاری ہے۔ ہموار صورت میں، یعنی۔ ہموار الجبرا کے لیے، ہوکسچلڈ-کوسٹینٹ-روزنبرگ تھیوریمپگ 43-44 کہتا ہے کہ ہر ایک کے لیے ایک آئسومورفزم ہے۔ اس آئسومورفزم کو اینٹی سمیٹریزیشن نقشے کا استعمال کرتے ہوئے واضح طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، ایک تفریقی شکل کا نقشہ ہوتا ہے۔ اگر الجبرا ہموار، یا چپٹا بھی نہیں ہے، تو کوٹینجینٹ کمپلیکس کا استعمال کرتے ہوئے ایک مماثل نظریہ موجود ہے۔ ایک آسان حل کے لیے، ہم سیٹ کرتے ہیں۔ اس کے بعد، ایک نزولی-فلٹریشن موجود ہے جس کے درجہ بند ٹکڑوں پر آئسومورفک ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ تھیوریم ہوکسچلڈ ہومیولوجی کا حساب لگانا نہ صرف ہموار الجبرا کے لیے بلکہ مقامی مکمل انٹرسیکشن الجبرا کے لیے بھی قابل رسائی بناتا ہے۔ اس صورت میں، کے لیے ایک پیشکش دی گئی ہے، کوٹینجینٹ کمپلیکس دو مدتی کمپلیکس ہے۔ عقلی پر کثیر الجہتی حلقے ایک آسان مثال یہ ہے کہ-جنریٹرز کے ساتھ کثیر الجہتی حلقے کی ہوکسچلڈ ہومیولوجی کا حساب لگانا ہے۔ ایچ کے آر تھیوریم آئسومورفزم دیتا ہے جہاں الجبرا ان جنریٹرز پر فری اینٹیسیمیٹرک الجبرا ہے۔ اس کی مصنوعات کا ڈھانچہ ویکٹروں کے پچر پروڈکٹ کے ذریعہ دیا جاتا ہے، لہذا اس کے لیے۔ خصوصیت پی کے معاملے میں، ہوکسچلڈ-کوسٹینٹ-روزنبرگ تھیوریم کی ایک استعمال شدہ جوابی مثال ہے جو ہوکسچلڈ ہومیولوجی کی وضاحت کے لیے سادہ الجبرا سے باہر ایک نظریہ کی ضرورت کو واضح کرتی ہے۔ - الجبرا پر غور کریں۔ ہم آزاد تفریق درجہ بند الجبراس کے طور پر ایک قرارداد کا حساب لگا سکتے ہیں جو اخذ شدہ چوراہے کو دیتا ہے جہاں اور تفریق صفر نقشہ ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ ہم صرف اوپر والے کمپلیکس کو ٹینسر کرتے ہیں، جس سے ڈگری میں جنریٹر کے ساتھ ایک رسمی کمپلیکس ملتا ہے جس کا مربع ہوتا ہے۔ پھر، ہوکسچلڈ کمپلیکس کی طرف سے دیا جاتا ہے۔ اس کا حساب لگانے کے لیے، ہمیں-الجبرا کے طور پر حل کرنا ہوگا۔ مشاہدہ کریں کہ الجبرہ کی ساخت قوت بناتی ہے۔ یہ کمپلیکس کی ڈگری صفر اصطلاح دیتا ہے۔ پھر، کیونکہ ہمیں دانا کو حل کرنا ہے، ہم ڈگری میں منتقل کی ایک کاپی لے سکتے ہیں اور اسے ڈگری میں دانا کے ساتھ نقشہ بنا سکتے ہیں۔ اس الجبرا کو زیادہ دے کر ٹینسر کرنا کیونکہ کسی بھی عنصر کے ساتھ ضرب کرنا صفر ہے۔ الجبرہ کا ڈھانچہ تقسیم شدہ پاور الجیبراس اور تفریقی درجہ بند الجیبراس پر عمومی نظریہ سے آتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس حساب کو ایک تکنیکی نمونے کے طور پر دیکھا جاتا ہے کیونکہ انگوٹھی کا اچھا سلوک نہیں ہوتا ہے۔ مثلا۔ اس مسئلے کا ایک تکنیکی جواب ٹوپوولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی کے ذریعے ہے، جہاں بیس رنگ کو سپیریئر سپیکٹرم سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ ہوکسچلڈ کمپلیکس کی مذکورہ بالا تعمیر کو زیادہ عام حالات کے مطابق ڈھالا جا سکتا ہے، یعنی (کمپلیکس کے)-ماڈیولز کے زمرے کو (ٹینسر پروڈکٹ سے لیس)، اور اس زمرے میں ایک ایسوسی ایٹیو الجبرا کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اسے سپیکٹرم کے زمرے میں لاگو کرنا، اور ایک عام رنگ سے وابستہ ایلین برگ-میک لین سپیکٹرم ہونے کی وجہ سے ٹپوولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی حاصل ہوتی ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ اوپر پیش کردہ (غیر ٹپوولوجیکل) ہوکسچلڈ ہومیولوجی کی ان خطوط پر دوبارہ تشریح کی جا سکتی ہے، جس میں ماڈیولز کے مشتق زمرے کو (بطور φ-زمرہ) لیا جا سکتا ہے۔ دائرے کے سپیکٹرم پر ٹینسر پروڈکٹس کو ٹینسر پروڈکٹس کے ذریعے تبدیل کرنا (یا ایلین برگ-میک لین-سپیکٹرم) ایک قدرتی موازنہ نقشے کی طرف لے جاتا ہے۔ یہ 0، 1، اور 2 ڈگریوں میں ہوموٹوپی گروپوں پر آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ تاہم، عام طور پر، وہ مختلف ہوتے ہیں، اور ایچ ایچ کے مقابلے میں آسان گروپ پیدا کرنے کا رجحان رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کثیر الجہتی رنگ (ڈگری 2 میں x کے ساتھ)، ایک متغیر میں منقسم طاقتوں کی رنگ کے مقابلے میں ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ایک ہموار مناسب قسم کے ہس-ویل زیٹا فنکشن کا اظہار ٹپوولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی پر مشتمل باقاعدہ تعین کنندگان کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ سائکلک ہومیولوجی حوالہ جات جین لوئس لوڈے، سائکلک ہومیولوجی، گرونڈلیہرن ڈیر میتھمیٹشین وسینشافٹن جلد بھی دیکھیں۔ 301، سپرنگر (1998) رچرڈ ایس پیئرس، ایسوسی ایٹیو الجیبراس، گریجویٹ ٹیکسٹس ان میتھمیٹکس (88)، سپرنگر، 1982۔ بیرونی روابط تعارفی مضامین ڈیلن جی ایل الگریٹی، غیر متغیر جگہوں پر متفرق شکلیں۔ غیر تبادلہ جیومیٹری کا ایک ابتدائی تعارف جو تفریقی شکلوں کو عام کرنے کے لیے ہوکسچلڈ ہومیولوجی کا استعمال کرتا ہے)۔ ریاضی کی جیومیٹری میں ٹوپولوجیکل ہوکسچلڈ ہومیولوجی مواصلاتی کیس غیر مواصلاتی کیس رنگ تھیوری ہومیولوجیکل الجبرا