Viviani's theorem
ویویانی کا نظریہ، جس کا نام ونسنزو ویویانی کے نام پر رکھا گیا ہے، کہتا ہے کہ کسی بھی اندرونی نقطہ سے مساوی مثلث کے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ مثلث کی اونچائی کی لمبائی کے برابر ہوتا ہے۔ یہ ایک نظریہ ہے جو عام طور پر ریاضی کے مختلف مقابلوں، ثانوی اسکول کے ریاضی کے امتحانات میں استعمال ہوتا ہے، اور حقیقی دنیا میں بہت سے مسائل پر اس کا وسیع اطلاق ہوتا ہے۔ ثبوت یہ ثبوت آسانی سے ثابت شدہ اس تجویز پر منحصر ہے کہ مثلث کا رقبہ اس کی بنیاد گنا اونچائی کا آدھا ہے-یعنی اس طرف سے اونچائی کے ساتھ ایک طرف کا آدھا پروڈکٹ۔ فرض کریں کہ ABC ایک مساوی مثلث ہے جس کی اونچائی h ہے اور جس کی طرف a ہے۔ فرض کریں کہ P مثلث کے اندر کوئی بھی نقطہ ہے، اور u، s، t اطراف سے P کے فاصلے ہیں۔ پی سے اے، بی، اور سی میں سے ہر ایک پر ایک لکیر کھینچیں، جس سے تین مثلث پی اے بی، پی بی سی، اور پی سی اے بنتے ہیں۔ اب، ان مثلثوں کے علاقے ہیں، اور۔ وہ بالکل گھیرے ہوئے مثلث کو بھرتے ہیں، لہذا ان علاقوں کا مجموعہ گھیرے ہوئے مثلث کے رقبے کے برابر ہوتا ہے۔ تو ہم لکھ سکتے ہیں: اور اس طرح ق۔ ای۔ ڈی۔ الٹا بھی ہوتا ہے: اگر مثلث کے اندرونی نقطہ سے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام سے آزاد ہے، تو مثلث مساوی ہے۔ ویویانی کے نظریہ کا مطلب یہ ہے کہ مساوی مثلث کے اطراف کے متوازی لکیریں ٹرنیری پلاٹ بنانے کے لیے نقاط دیتی ہیں، جیسے آتش گیر خاکے۔ زیادہ عام طور پر، وہ کسی کو اسی طرح باقاعدہ سمپلیکس پر نقاط دینے کی اجازت دیتے ہیں۔ توسیع متوازی ہندسہ متوازی ہندسے کے کسی بھی اندرونی نقطہ سے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام سے آزاد ہوتا ہے۔ اس کے برعکس یہ بھی ہے: اگر کسی چوتھائی کے اندرونی حصے میں کسی نقطہ سے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام سے آزاد ہے، تو چوتھائی ایک متوازی ہندسہ ہے۔ نتیجہ مخالف اطراف متوازی کے ساتھ کسی بھی 2n-گون کو عام کرتا ہے۔ چونکہ مخالف متوازی اطراف کے کسی بھی جوڑے کے درمیان فاصلے کا مجموعہ مستقل ہوتا ہے، اس لیے متوازی اطراف کے جوڑوں کے درمیان تمام جوڑی وار جملوں کا مجموعہ بھی مستقل ہوتا ہے۔ عام طور پر الٹا درست نہیں ہے، کیونکہ نتیجہ ایک مساوی مسدس کے لیے ہوتا ہے، جس میں ضروری نہیں کہ مخالف اطراف متوازی ہوں۔ باقاعدہ کثیر الاضحی اگر ایک کثیر الاضحی باقاعدہ ہے (مساوی اور مساوی دونوں)، تو اندرونی نقطہ سے اطراف کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام سے آزاد ہوتا ہے۔ خاص طور پر، یہ اپوتھیم کے n گنا کے برابر ہے، جہاں n اطراف کی تعداد ہے اور اپوتھیم مرکز سے ایک طرف کا فاصلہ ہے۔ تاہم، الٹا نہیں ہوتا ہے ؛ غیر مربع متوازی ہندسہ ایک جوابی مثال ہے۔ ایکویانگولر کثیر الاضحی کسی اندرونی نقطہ سے ایکویانگولر کثیر الاضحی کے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام پر منحصر نہیں ہے۔ کنویکس کثیر الاضحی ایک کنویکس کثیر الاضحی کے لیے کسی بھی اندرونی نقطہ سے اطراف تک کے فاصلے کا مستقل مجموعہ رکھنے کے لیے ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ مساوی فاصلے کے ساتھ تین غیر کالینیئر اندرونی نکات موجود ہیں۔ باقاعدہ پولی ہیڈرون ایک باقاعدہ پولی ہیڈرون کے اندرونی حصے میں کسی بھی نقطہ سے اطراف تک کے فاصلے کا مجموعہ نقطہ کے مقام سے آزاد ہوتا ہے۔ تاہم، الٹا نہیں ہوتا، یہاں تک کہ ٹیٹراہیڈرا کے لیے بھی نہیں۔ مزید پڑھنے والے حوالہ جات بیرونی روابط لی چاؤ، ویویانی پولی ٹاپس اور فرمیٹ پوائنٹس ایٹ کٹ دی گرہ ہیں۔ وولفرم مظاہرے کا منصوبہ۔ متحرک جیومیٹری خاکے، ایک انٹرایکٹو متحرک جیومیٹری خاکہ۔ مساوی مثلث کے بارے میں نظریات ثبوت پر مشتمل مضامین