Atkinson's theorem
آپریٹر تھیوری میں، اٹکنسن تھیوریم (جس کا نام فریڈرک ویلنٹائن اٹکنسن کے نام پر رکھا گیا ہے) فریڈ ہوم آپریٹرز کی خصوصیت دیتا ہے۔ نظریہ H کو ہلبرٹ اسپیس اور L (H) کو H پر باؤنڈڈ آپریٹرز کا مجموعہ مان لیں۔ مندرجہ ذیل فریڈہولم آپریٹر کی کلاسیکی تعریف ہے: ایک آپریٹر T bul L (H) کو فریڈہولم آپریٹر کہا جاتا ہے اگر دانا کیر (T) محدود جہتی ہے، کیر (T *) محدود جہتی ہے (جہاں T * T کے ملحقہ کو ظاہر کرتا ہے)، اور رینج رن (T) بند ہے۔ اٹکنسن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ: اے ٹی ایل ایل (ایچ) ایک فریڈہولم آپریٹر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ٹی الٹا ماڈیولو کمپیکٹ پرٹربیشن ہو، یعنی۔ TS = I + C1 اور ST = I + C2 کچھ باؤنڈڈ آپریٹر S اور کمپیکٹ آپریٹرز C1 اور C2 کے لیے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک آپریٹر T bul L (H) فریڈہولم ہے، کلاسیکی معنوں میں، اگر اور صرف اس صورت میں جب کالکن الجبرا میں اس کا پروجیکشن الٹا ہو۔ ثبوت کا خاکہ ثبوت کا خاکہ مندرجہ ذیل ہے۔ آرتھوگنل براہ راست رقم کے طور پر H کا اظہار کریں۔ پابندی T: کیر (T) δ → رن (T) ایک بائیجیکشن ہے، اور اس لیے اوپن میپنگ تھیوریم کے ذریعے الٹا ہے۔ اس الٹا کو 0 سے ران (T) δ = کیر (T *) پر ایک آپریٹر S تک بڑھا دیں جس کی وضاحت تمام H پر کی گئی ہے۔ پھر I − TS کیر (T *) پر محدود رینک کا پروجیکشن ہے، اور I − ST کیر (T) پر پروجیکشن ہے۔ یہ تھیوریم کا واحد حصہ ثابت ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، فرض کریں کہ اب کسی کمپیکٹ آپریٹر C2 کے لیے ST = I + C2 ہے۔ اگر x bul کیر (T)، تو STx = x + C2x = 0۔ لہذا کیر (T) C2 کی ایک آئجین اسپیس میں موجود ہے، جو کہ محدود جہتی ہے (کمپیکٹ آپریٹرز کا سپیکٹرم تھیوری دیکھیں)۔ لہذا، کیر (T) بھی محدود جہتی ہے۔ اسی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ کیر (T *) بھی محدود جہتی ہے۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ رن (T) بند ہے، ہم تخمینہ پراپرٹی کا استعمال کرتے ہیں: فرض کریں کہ F ایک محدود رینک کا آپریٹر ہو۔ اس طرح کہ | |F −C2 | | <r۔ پھر کیر (F) میں ہر x کے لیے، | |S | | |Tx | | |x + C2x | = | |x + Fx + C2x − Fx | ≤ | |x | − | |C2 −F | ≤ | |x | ≤ (1 − r) | |x | |۔ اس طرح T کیر (F) پر نیچے پابند ہے، جس کا مطلب ہے کہ T (کیر (F)) بند ہے۔ دوسری طرف، T (کیر (F) D) محدود جہتی ہے، کیونکہ کیر (F) D = رن (F *) محدود جہتی ہے۔ لہذا، رن (T) = T (کیر (F)) + T (کیر (F)) بند ہے، اور یہ نظریہ کو ثابت کرتا ہے۔ اٹکنسن تھیوریم کا ایک مزید مکمل علاج اروسن کے حوالے میں ہے: اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر B ایک بناچ اسپیس ہے، تو ایک آپریٹر فریڈ ہوم ہے اگر یہ ایک محدود رینک آپریٹر ہے (اور یہ کہ مؤخر الذکر ایک کمپیکٹ آپریٹر کے الٹا ماڈیولو ہونے کے برابر ہے، جو کہ اینفلو کی کمپیکٹ آپریٹرز کے ساتھ علیحدہ، اضطراری بناچ اسپیس کی مثال کے پیش نظر اہم ہے جو کہ محدود رینک آپریٹرز کی معمول کی حدود نہیں ہیں)۔ بناچ خالی جگہوں کے لیے، فریڈہولم آپریٹر وہ ہوتا ہے جس میں محدود جہتی دانا اور محدود کوڈیمینشن کی حد ہوتی ہے (اس کے ملحقہ دانے کے محدود جہتی ہونے کے برابر)۔ نوٹ کریں کہ یہ مفروضہ کہ رن (ٹی) بند ہے بے کار ہے کیونکہ محدود کوڈیمینشن کی جگہ جو کہ ایک باؤنڈ آپریٹر کی حد بھی ہے ہمیشہ بند رہتی ہے (نیچے آرویسن حوالہ دیکھیں) ؛ یہ اوپن میپنگ تھیوریم کا نتیجہ ہے (اور اگر جگہ باؤنڈ آپریٹر کی حد نہیں ہے تو یہ درست نہیں ہے، مثال کے طور پر ایک غیر متزلزل لکیری فنکشنل کا دانا)۔ حوالہ جات آرویسن، ولیم بی۔، سپیکٹرم تھیوری پر ایک مختصر کورس، ریاضی میں سپرنگر گریجویٹ ٹیکسٹس، جلد 209، 2002، فریڈہولم تھیوری تھیوریمز ان فنکشنل تجزیہ