Flat topology
ریاضی میں، فلیٹ ٹوپولوجی الجبرائی جیومیٹری میں استعمال ہونے والی گروتھینڈیک ٹوپولوجی ہے۔ یہ فلیٹ کوہمولوجی کے نظریہ کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ نزول کے نظریہ (وفادار فلیٹ نزول) میں بھی بنیادی کردار ادا کرتا ہے۔ یہاں فلیٹ کی اصطلاح فلیٹ ماڈیولز سے آتی ہے۔ کئی قدرے مختلف فلیٹ ٹوپولوجیز ہیں، جن میں سے سب سے عام ایف پی پی ایف ٹوپولوجی اور ایف پی کیو سی ٹوپولوجی ہیں۔ ایف پی پی ایف کا مطلب ہے، اور اس ٹوپولوجی میں، افائن اسکیموں کا مورفزم ایک کور مورفزم ہے اگر یہ وفادار طور پر چپٹا اور محدود پیشکش کا ہو۔ ایف پی کیو سی کا مطلب ہے، اور اس ٹوپولوجی میں، افائن اسکیموں کا مورفزم ایک کورنگ مورفزم ہے اگر یہ وفادار طور پر چپٹا ہے۔ دونوں زمروں میں، احاطہ کرنے والے خاندان کی تعریف ایک خاندان کے طور پر کی گئی ہے جو زرسکی اوپن سبسیٹس پر ایک احاطہ ہے۔ ایف پی کیو سی ٹوپولوجی میں، کوئی بھی وفادار فلیٹ اور نیم کمپیکٹ مورفزم ایک کور ہے۔ یہ ٹوپولوجیز نزول سے قریب سے متعلق ہیں۔ "خالص" وفادار فلیٹ ٹوپولوجی بغیر کسی مزید حد بندی کے حالات جیسے کہ نیم کمپیکٹنیس یا محدود پریزنٹیشن کا زیادہ استعمال نہیں کیا جاتا ہے کیونکہ یہ سبکینونکل نہیں ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، نمائندگی کرنے والے فنکٹرز کو شیوز ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ بدقسمتی سے فلیٹ ٹوپولوجیز کی اصطلاحات معیاری نہیں ہیں۔ کچھ مصنفین پریٹوپولوجی کے لیے "ٹوپولوجی" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں، اور کئی قدرے مختلف پریٹوپولوجیز ہیں جنہیں بعض اوقات ایف پی پی ایف یا ایف پی کیو سی (پری) ٹوپولوجی کہا جاتا ہے، جو بعض اوقات ایک ہی ٹوپولوجی دیتے ہیں۔ فلیٹ کوہمولوجی کو گروتھینڈیک نے تقریبا 1960 میں متعارف کرایا تھا۔ بڑی اور چھوٹی ایف پی پی ایف سائٹس X کو ایک افائن اسکیم بننے دیں۔ ہم ایکس کے ایف پی پی ایف کور کو مورفزم کے ایک محدود اور مشترکہ سرجیکٹو خاندان (φa: Xa → X) کے طور پر بیان کرتے ہیں جس میں ہر ایک Xa افائن اور ہر ایک φa فلیٹ، حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ یہ ایک پریٹوپولوجی پیدا کرتا ہے: ایکس صوابدیدی کے لیے، ہم ایکس کے ایف پی پی ایف کور کو ایک فیملی (φa: Xa → X) کے طور پر بیان کرتے ہیں جو ایکس کے اوپن افائن سبسکیم میں تبدیل ہونے کے بعد ایک ایف پی پی ایف کور ہے۔ یہ پریٹوپولوجی ایک ٹوپولوجی پیدا کرتی ہے جسے ایف پی پی ایف ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔ (یہ وہی ٹوپولوجی نہیں ہے جو ہمیں ملتی ہے اگر ہم صوابدیدی X اور Xa سے شروع کرتے ہیں اور احاطہ کرنے والے خاندانوں کو فلیٹ، محدود طور پر پیش کردہ مورفزم کے مشترکہ سرجیکٹو خاندانوں کے طور پر لیتے ہیں۔) ہم ایف پی پی ایف ٹوپولوجی کے ساتھ اسکیموں کے زمرے کے لیے ایف پی پی ایف لکھتے ہیں۔ ایکس کی چھوٹی ایف پی پی ایف سائٹ زمرہ او (ایکس ایف پی پی ایف) ہے جس کے آبجیکٹ یو اسکیمیں ہیں جن میں ایک فکسڈ مورفزم یو۔ ایکس ہے جو کچھ کورنگ فیملی کا حصہ ہے۔ (اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ مورفزم چپٹا ہے، حتمی طور پر پیش کیا گیا ہے۔) مورفزمز اسکیموں کے مورفزمز ہیں جو ایکس کے مقررہ نقشوں کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ ایکس کی بڑی ایف پی پی ایف سائٹ زمرہ ایف پی پی ایف/ایکس ہے، یعنی ایکس کے لیے ایک مقررہ نقشے والی اسکیموں کا زمرہ، جسے ایف پی پی ایف ٹوپولوجی کے ساتھ سمجھا جاتا ہے۔ "ایف پی پی ایف" "فیڈلمنٹ پلیٹ ڈی پریسینٹیشن فائن" کا مخفف ہے، یعنی "وفادار طور پر چپٹا اور محدود پیشکش کا"۔ فلیٹ اور حتمی طور پر پیش کردہ مورفزم کا ہر سرجیکٹو خاندان اس ٹوپولوجی کے لیے ایک کورنگ فیملی ہے، اس لیے یہ نام ہے۔ ایف پی پی ایف پریٹوپولوجی کی تعریف ایک اضافی نیم اختتامی حالت کے ساتھ بھی دی جا سکتی ہے۔ یہ ای جی اے IV4 میں کورلری 17.16.2 سے ملتا ہے کہ یہ وہی ٹوپولوجی دیتا ہے۔ بڑی اور چھوٹی ایف پی کیو سی سائٹس X کو ایک افائن اسکیم بننے دیں۔ ہم X کے ایک fpqc کور کو ہر Xα افائن اور ہر uα فلیٹ کے ساتھ مورفزم {uα: Xα → X} کے ایک محدود اور مشترکہ سرجیکٹو خاندان کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ یہ ایک پریٹوپولوجی پیدا کرتا ہے: X صوابدیدی کے لیے، ہم X کے ایک fpqc کور کو ایک فیملی {uα: Xα → X} کے طور پر بیان کرتے ہیں جو کہ X کے اوپن افائن سبسکیم میں تبدیل ہونے کے بعد ایک fpqc کور ہے۔ یہ پریٹوپولوجی ایک ٹوپولوجی پیدا کرتی ہے جسے ایف پی کیو سی ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔ (یہ وہی ٹوپولوجی نہیں ہے جو ہمیں ملتی ہے اگر ہم صوابدیدی X اور Xα سے شروع کرتے ہیں اور احاطہ کرنے والے خاندانوں کو فلیٹ مورفزم کے مشترکہ سرجیکٹو خاندانوں کے طور پر لیتے ہیں۔) ہم ایف پی کیو سی ٹوپولوجی کے ساتھ اسکیموں کے زمرے کے لیے ایف پی کیو سی لکھتے ہیں۔ ایکس کی چھوٹی ایف پی کیو سی سائٹ زمرہ او (ایکس ایف پی کیو سی) ہے جس کی اشیاء یو یو اسکیمیں ہیں جن میں ایک فکسڈ مورفزم یو ایکس ہے جو کچھ کورنگ فیملی کا حصہ ہے۔ مورفزمز اسکیموں کے مورفزمز ہیں جو ایکس کے مقررہ نقشوں کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ ایکس کی بڑی ایف پی کیو سی سائٹ زمرہ ایف پی کیو سی/ایکس ہے، یعنی ایکس کے لیے ایک مقررہ نقشے والی اسکیموں کا زمرہ، جسے ایف پی کیو سی ٹوپولوجی کے ساتھ سمجھا جاتا ہے۔ "ایف پی کیو سی" "فیڈلمنٹ پلیٹ کواسی کمپیکٹ" کا مخفف ہے، یعنی "وفادار فلیٹ اور کواسی کمپیکٹ"۔ فلیٹ اور نیم کمپیکٹ مورفزم کا ہر سرجیکٹو خاندان اس ٹوپولوجی کے لیے ایک کورنگ فیملی ہے، اس لیے یہ نام ہے۔ فلیٹ کوہمولوجی کوہمولوجی گروپوں کی وضاحت کرنے کا طریقہ کار معیاری ہے: کوہمولوجی کی تعریف فنکٹر کے اخذ کردہ فنکٹروں کی ترتیب کے طور پر کی گئی ہے جو ابیلین گروپوں کے ڈھیر کے حصوں کو لے کر ہے۔ اگرچہ اس طرح کے گروپوں کی متعدد ایپلی کیشنز ہوتی ہیں، لیکن ان کا حساب لگانا عام طور پر آسان نہیں ہوتا ہے، سوائے ان صورتوں کے جہاں وہ دوسرے نظریات تک محدود ہو جاتے ہیں، جیسے کہ ایٹیل کوہمولوجی۔ مثال مندرجہ ذیل مثال سے پتہ چلتا ہے کہ "وفادار فلیٹ ٹوپولوجی" بغیر کسی حد کے حالات کے کیوں اچھا سلوک نہیں کرتی ہے۔ فرض کریں کہ X الجبرائی طور پر بند فیلڈ k پر افائن لائن ہے۔ X کے ہر بند پوائنٹ x کے لیے ہم اس پوائنٹ پر مقامی رنگ Rx پر غور کر سکتے ہیں، جو کہ ایک مجرد ویلیوایشن رنگ ہے جس کے سپیکٹرم میں ایک بند پوائنٹ اور ایک کھلا (عام) پوائنٹ ہوتا ہے۔ اسکیم Y حاصل کرنے کے لیے ہم ان سپیکٹرا کو ان کے کھلے نکات کی شناخت کر کے ایک ساتھ چپکاتے ہیں۔ Y سے X تک ایک قدرتی نقشہ ہے۔ افائن لائن X کا احاطہ سیٹوں سپیک (Rx) سے کیا گیا ہے جو وفادار فلیٹ ٹوپولوجی میں کھلے ہیں، اور ان سیٹوں میں سے ہر ایک میں Y کا قدرتی نقشہ ہے، اور یہ نقشے چوراہوں پر یکساں ہیں۔ تاہم انہیں ایکس سے وائی تک کا نقشہ دینے کے لیے جوڑا نہیں جا سکتا، کیونکہ ایکس اور وائی کی بنیادی جگہوں میں مختلف ٹوپولوجیز ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ ایف پی کیو سی مورفزم نوٹس حوالہ جات ایلیمنٹس ڈی جیومیٹری الجیبریک، جلد۔ IV. 2 ملن، جیمز ایس۔ (1980)، ایٹیل کوہومولوجی، پرنسٹن یونیورسٹی پریس، مائیکل آرٹن اور جے ایس ملن، "ڈوئلٹی ان دی فلیٹ کوہومولوجی آف وکرز"، ایجاد ریاضی، جلد 35، نمبر 1، دسمبر، 1976 بیرونی روابط ریاضی ڈوئلٹی تھیوریمز (پی ڈی ایف)، جیمز ملن کی آن لائن کتاب، فلیٹ کوہومولوجی ڈوئلٹی تھیوریمز کی سطح پر وضاحت کرتی ہے جو گالوئس کوہومولوجی الجبرائی جیومیٹری شیف تھیوری کے ٹیٹ-پوئیٹو ڈوئلٹی سے شروع ہوتی ہے۔