Subcountability
تعمیری ریاضی میں، ایک مجموعہ قابل گنتی ہے اگر اس پر قدرتی اعداد سے جزوی سرجیکشن موجود ہو۔ اس کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے جہاں اس کی نشاندہی ہوتی ہے کہ یہ a سے ایک سرجیکٹو فنکشن ہے۔ سرجیکشن ایک ممبر ہے اور یہاں ذیلی کلاس کا ایک سیٹ ہونا ضروری ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ذیلی گنتی کے مجموعے کے تمام عناصر فعال طور پر گنتی کے نمبروں کے انڈیکسنگ سیٹ کی تصویر میں ہوتے ہیں اور اس طرح سیٹ کو قابل گنتی سیٹ کے زیر تسلط سمجھا جا سکتا ہے۔ بحث نام بندی نوٹ کریں کہ گنتی اور حد بندی کی خصوصیات کا نام کافی حد تک مختلف ہوتا ہے-جزوی طور پر کیونکہ ان میں سے بہت سے اس وقت موافق ہوتے ہیں جب یہ فرض کیا جاتا ہے کہ وسط کو خارج کر دیا گیا ہے۔ اس بات کا اعادہ کرنے کے لیے، یہاں بحث اس خاصیت سے متعلق ہے جس کی خصوصیت سیٹ پر اضافے کے لحاظ سے بیان کی گئی ہے۔ یہاں کی زبان تعمیری سیٹ تھیوری کے متن میں عام ہے، لیکن ذیلی شمار کا نام بصورت دیگر خصوصیت والے سیٹ سے باہر انجکشن کے لحاظ سے خصوصیات کو بھی دیا گیا ہے۔ تعریف میں سیٹ کو خلاصہ بھی کیا جا سکتا ہے، اور زیادہ عام تصور کے لحاظ سے اس کا ذیلی حصہ کہا جا سکتا ہے۔ مثال اہم معاملات وہ ہیں جہاں زیر بحث سیٹ افعال کی ایک بڑی کلاس کا کچھ ذیلی طبقہ ہے جیسا کہ کمپیوٹیبلٹی تھیوری میں مطالعہ کیا گیا ہے۔ کل کمپیوٹیبل افعال کے سیٹ سے کمپیوٹیبل سرجیکشن نہیں ہو سکتا، جیسا کہ ڈائیگنل کنسٹرکشن سے فنکشن کے ذریعے دکھایا گیا ہے، جو اس طرح کے سرجیکشن امیج میں کبھی نہیں ہو سکتا۔ تاہم، تمام ممکنہ جزوی کمپیوٹیبل فنکشنز کے کوڈز کے ذریعے، جو نان ٹرمینیٹنگ پروگرامز کی بھی اجازت دیتے ہیں، فنکشنز کے ایسے سبسیٹس، جیسے کل فنکشنز، کو سب کاؤنٹیبل سیٹس کے طور پر دیکھا جاتا ہے: کل فنکشنز قدرتی نمبروں کے کچھ سخت سبسیٹ کی حد ہیں۔ ایک ناقابل حساب، اور اس طرح تعمیری طور پر ناقابل شمار، اعداد کے مجموعے کا غلبہ ہونے کی وجہ سے، ذیلی شمار نام اس طرح یہ بتاتا ہے کہ تعمیری طور پر ناقابل شمار مجموعہ اس سے بڑا نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ تمام گنتی نمبروں اور غیر محدود اور غیر محدود انڈیکسنگ سیٹ کے درمیان کوئی موثر نقشہ یہاں زور نہیں دیا گیا ہے، محض ذیلی سیٹ کا تعلق۔ کل ہونا مشہور طور پر فیصلہ کن خاصیت نہیں ہے۔ انڈیکس سیٹوں پر رائس کے نظریہ کے مطابق، انڈیکس کے زیادہ تر ڈومین حقیقت میں کمپیوٹیبل سیٹ نہیں ہیں۔ وہ مظاہرہ جو قابل گنتی ہے اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ یہ کلاسیکی طور پر (غیر تعمیری طور پر) رسمی طور پر قابل گنتی ہے، لیکن یہ کسی موثر گنتی کی عکاسی نہیں کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ حقیقت کہ تمام کل افعال کو ترتیب میں درج کرنے والے الگورتھم کو کوڈ اپ نہیں کیا جا سکتا ہے، سیٹ اور فنکشن کے وجود کے حوالے سے کلاسیکی محوریات کے ذریعے حاصل نہیں کیا جاتا ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ، کسی نظریہ کے محوریات کے لحاظ سے، گنتی کے مقابلے میں ذیلی گنتی کے ثابت ہونے کا امکان زیادہ ہو سکتا ہے۔ تعمیری منطق اور سیٹ تھیوریوں میں خارج شدہ درمیانی سے تعلق لامحدود (غیر لامحدود) سیٹوں کے درمیان فنکشن کے وجود کو فیصلہ سازی اور ممکنہ طور پر تاثیر کے سوالات سے جوڑتا ہے۔ وہاں، ذیلی گنتی کی خاصیت گنتی سے الگ ہو جاتی ہے اور اس طرح یہ کوئی بے کار تصور نہیں ہے۔ قدرتی اعداد کا انڈیکسنگ سیٹ موجود ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ سیٹ نظریاتی محوریات جیسے علیحدگی محوری اسکیم کے ذریعے ایک ذیلی سیٹ کے طور پر۔ پھر تعریف کے مطابق، لیکن یہ سیٹ پھر بھی الگ ہونے میں ناکام ہو سکتا ہے، اس معنی میں کہ اسے محوری تصور کیے بغیر ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ اگر کوئی اس وجہ سے انڈیکسنگ سیٹ میں گنتی کے نمبروں کا نقشہ بنانے میں ناکام رہتا ہے تو کوئی قابل گنتی سیٹ کو مؤثر طریقے سے شمار کرنے میں ناکام ہو سکتا ہے۔ قابل گنتی ہونے کا مطلب ہے قابل گنتی ہونا۔ مارکوف کے اصول کے ساتھ مناسب سیاق و سباق میں، الٹا خارج شدہ درمیانی کے قانون کے مساوی ہے، یعنی۔ یہ تمام تجاویز کے لیے ہے۔ خاص طور پر، تعمیری طور پر یہ متضاد سمت عام طور پر برقرار نہیں رہتی ہے۔ کلاسیکی ریاضی میں کلاسیکی منطق کے تمام قوانین پر زور دیتے ہوئے، اوپر زیر بحث کی اختلاط خاصیت درحقیقت تمام سیٹوں کے لیے ہوتی ہے۔ پھر، غیر خالی کے لیے، عددی خصوصیات (جس کا مطلب یہاں یہ ہوگا کہ داخل ہوتا ہے)، قابل گنتی (اس کی حد کے طور پر ہے)، قابل گنتی (سرجیکٹ کا ایک ذیلی سیٹ) اور غیر پیداواری (ایک گنتی کی خاصیت جس کی بنیادی طور پر ذیلی سیٹوں کے لحاظ سے وضاحت کی گئی ہے) سبھی مساوی ہیں اور اس بات کا اظہار کرتے ہیں کہ ایک سیٹ محدود یا قابل گنتی لامحدود ہے۔ غیر کلاسیکی دعوے خارج شدہ مڈل کے قانون کے بغیر، کلاسیکی طور پر (یعنی) سیٹوں کی ذیلی گنتی پر زور دینا مستقل ہو سکتا ہے۔ غیر تعمیری طور پر) قدرتی اعداد کی بنیادییت سے تجاوز کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ تعمیری ترتیب میں، مکمل سیٹ سے باہر فنکشن کی جگہ کے بارے میں گنتی کا دعوی، جیسا کہ، غلط ثابت ہو سکتا ہے۔ لیکن کسی سیٹ کے ذریعہ بے شمار سیٹ کی ذیلی گنتی کی اجازت دی جا سکتی ہے جو مؤثر طریقے سے الگ نہیں ہے۔ جیسا کہ بے شمار اور کلاسیکی طور پر ثابت طور پر قابل شمار نہیں ہے، کلاسیکی فریم ورک اپنے بڑے فنکشن کی جگہ کے ساتھ تعمیری چرچ کے مقالے سے مطابقت نہیں رکھتا ہے، جو روسی تعمیرییت کا ایک محور ہے۔ سب کاؤنٹیبل اور ω-پروڈکٹیو باہمی طور پر خصوصی ہوتے ہیں۔ ایک سیٹ کو-پروڈکٹیو کہا جائے گا اگر، جب بھی اس کے کسی ذیلی سیٹ پر کسی جزوی فنکشن کی حد ہوتی ہے، تو ہمیشہ ایک عنصر موجود ہوتا ہے جو اس رینج کی تکمیل میں رہتا ہے۔ اگر کسی پر کوئی سرجیکشن موجود ہے، تو اس کی متعلقہ تعریف جیسا کہ بیان کیا گیا ہے خالی سیٹ کے برابر ہوگی، اور اس لیے ایک ذیلی قابل شمار سیٹ کبھی بھی نتیجہ خیز نہیں ہوتا ہے۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، پیداواری ہونے کی خاصیت کسی بھی جزوی فنکشن کی حد کو کسی خاص قدر سے جوڑتی ہے جو فنکشن کی حد میں نہیں ہے۔ اس طرح، ایک سیٹ کا پیداواری ہونا اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ اس کے تمام عناصر کو پیدا کرنا کتنا مشکل ہے: وہ کسی ایک فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے قدرتی طور پر پیدا نہیں کیے جا سکتے۔ پیداواریت کی خاصیت ذیلی گنتی میں رکاوٹ بناتی ہے۔ چونکہ اس سے بے حساب ہونے کا بھی اشارہ ملتا ہے، اس لیے اخترن دلائل میں اکثر یہ تصور شامل ہوتا ہے، واضح طور پر ستر کی دہائی کے آخر سے۔ کوئی بھی صرف قابل گنتی قابل گنتی ذیلی سیٹوں پر غور کرکے گنتی کے قابل گنتی کی ناممکنیت کو قائم کر سکتا ہے اور کسی کو تمام رکاوٹوں کے سیٹ کو کل تکراری نام نہاد پروڈکشن فنکشن کی شبیہہ ہونے کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ سیٹ تھیوری میں، جہاں جزوی افعال کو جوڑوں کے مجموعے کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے، اس طرح دی گئی جگہ بالکل اس پر تمام جزوی افعال رکھتی ہے، ان کی حد کے طور پر، صرف ان کے ذیلی سیٹ ہوتے ہیں۔ ایک-پیداواری سیٹ کے لیے جسے کوئی تعمیری طور پر پڑھتا ہے، یہ کسی بھی جزوی فنکشن کو کسی عنصر کے ساتھ جوڑتا ہے جو اس فنکشن کی حد میں نہیں ہے۔ یہ خاصیت کسی بھی سرجیکٹو (ممکنہ طور پر جزوی) فنکشن کے ساتھ-پیداواری سیٹ کی مطابقت پر زور دیتی ہے۔ ذیل میں اس کا اطلاق ذیلی گنتی کے مفروضوں کے مطالعہ میں کیا گیا ہے۔ قدرتی کے ذیلی سیٹوں پر کینٹوریائی دلائل مرتب کریں جیسا کہ حوالہ نظریہ ہم تعمیری سیٹ تھیوری CZF کو دیکھتے ہیں، جس میں تبدیلی، باؤنڈڈ سیپریشن، مضبوط انفینٹی ہے، پاور سیٹوں کے وجود کے تئیں اگنوسٹک ہے، لیکن اس میں وہ محور بھی شامل ہے جو اس بات پر زور دیتا ہے کہ کوئی بھی فنکشن اسپیس سیٹ ہے، دیئے گئے سیٹ بھی ہیں۔ اس نظریہ میں، یہ دعوی کرنا بھی مستقل ہے کہ ہر سیٹ قابل گنتی ہے۔ گنتی کے اعداد کے لامحدود سیٹ پر ممکنہ سرجیکشن کے ذریعے اس حصے میں مختلف مزید محوریات کی مطابقت پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ یہاں معیاری قدرتی اعداد کے نمونے کی نشاندہی کی جائے گی۔ یاد رکھیں کہ فنکشنز کے لیے، کل فعالیت کی تعریف کے مطابق، ڈومین میں تمام اقدار کے لیے ایک منفرد واپسی کی قیمت موجود ہے، اور ایک ذیلی قابل گنتی سیٹ کے لیے، سرجیکشن اب بھی کے ذیلی سیٹ پر کل ہے۔ تعمیری طور پر، اس طرح کے وجود کے کم دعوے کلاسیکی طور پر ثابت ہوں گے۔ ذیل میں زیر بحث حالات-پاور کلاسز بمقابلہ فنکشن خالی جگہوں پر-ایک دوسرے سے مختلف ہیں: عام ذیلی طبقے کی وضاحت کرنے والی پیش گوئیوں اور ان کی سچائی کی اقدار کے مخالف (ضروری نہیں کہ صرف سچ اور غلط ثابت ہو)، ایک فنکشن (جو پروگرامنگ کے لحاظ سے ختم ہو رہا ہے) اپنے تمام ذیلی ڈومینز (کے ذیلی سیٹوں) کے ڈیٹا کے بارے میں قابل رسائی معلومات بناتا ہے۔ جب ان کے ذیلی سیٹوں، افعال کے لیے خصوصیت کے افعال کے طور پر، ان کی واپسی کی اقدار کے ذریعے، ذیلی سیٹ کی رکنیت کا فیصلہ کریں۔ چونکہ عام طور پر متعین سیٹ میں رکنیت لازمی طور پر فیصلہ کن نہیں ہوتی ہے، اس لیے (کل) افعال خود بخود تمام ذیلی سیٹوں کے ساتھ بجیکشن میں نہیں ہوتے ہیں۔ لہذا تعمیری طور پر، ذیلی سیٹ خصوصیت کے افعال سے زیادہ وسیع تصور ہیں۔ در حقیقت، سی زیڈ ایف کے اوپر کچھ غیر کلاسیکی محوریوں کے تناظر میں، یہاں تک کہ سنگلٹن کی پاور کلاس، جیسے۔ کے تمام ذیلی سیٹوں کی کلاس کو ایک مناسب کلاس دکھایا گیا ہے۔ پاور کلاسز کے بارے میں ذیل میں، یہ حقیقت استعمال کی گئی ہے کہ نفی کے تعارف کے قانون کا خاص معاملہ اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ یہ متضاد ہے۔ سادہ دلیل کے لیے، فرض کریں کہ یہ ایک سیٹ ہے۔ پھر ذیلی سیٹ اور فنکشن پر غور کریں۔ مزید برآں، جیسا کہ پاور سیٹوں کے بارے میں کینٹر کے نظریہ میں، وضاحت کریں کہ کہاں، یہ انحصار میں بیان کردہ ایک ذیلی طبقہ ہے اور اسے یہ بھی لکھا جا سکتا ہے کہ یہ علیحدگی کے ذریعے ذیلی سیٹ کے طور پر موجود ہے۔ اب یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک نمبر موجود ہے جس سے تضاد کا اشارہ ملتا ہے لہذا ایک سیٹ کے طور پر، کسی کو اس میں نتیجہ خیز معلوم ہوتا ہے کہ ہم کسی بھی سرجیکشن کے لیے رکاوٹ کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ سرجیکشن کا وجود خود بخود سی زیڈ ایف میں تبدیلی کے ذریعے ایک سیٹ بن جائے گا، اور اس لیے یہ فنکشن کا وجود غیر مشروط طور پر ناممکن ہے۔ ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ سب کاؤنٹ ایبلٹی محور، جس میں یہ دعوی کیا گیا ہے کہ تمام سیٹ سب کاؤنٹ ایبل ہیں، ایک سیٹ ہونے کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتا، جیسا کہ اشارہ کیا گیا ہے۔ پاور سیٹ محور کے ذریعہ۔ مندرجہ بالا ثبوت پر عمل کرنے سے یہ واضح ہوتا ہے کہ ہم صرف دونوں میں سے کسی ایک کا نقشہ نہیں بنا سکتے۔ باؤنڈڈ سیپرشن کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی سیٹ اس پر نقش نہیں کرتا ہے۔ متعلقہ طور پر، کسی بھی فنکشن کے لیے، اس کی رینج کے ذیلی سیٹ کا استعمال کرتے ہوئے اسی طرح کے تجزیے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ انجکشن نہیں ہو سکتا۔ فنکشن خالی جگہوں کے لیے صورتحال زیادہ پیچیدہ ہے۔ کلاسیکی ZFC میں پاورسیٹ یا اس کے کسی بھی مساوی کے بغیر، یہ بھی مستقل ہے کہ حقیقی کے تمام ذیلی کلاسیں جو سیٹ ہیں سب کاؤنٹیبل ہیں۔ اس تناظر میں، یہ اس بیان کا ترجمہ کرتا ہے کہ حقیقی اعداد کے تمام سیٹ قابل گنتی ہیں۔ یقینا اس نظریہ میں فنکشن اسپیس سیٹ نہیں ہے۔ فنکشن خالی جگہوں کی تعریف کے مطابق، سیٹ سیٹ کے ان ذیلی سیٹوں کو رکھتا ہے جو ثابت طور پر کل اور فعال ہیں۔ تمام سیٹوں کی اجازت شدہ ذیلی گنتی پر زور دینا، خاص طور پر، ایک ذیلی قابل گنتی سیٹ میں بدل جاتا ہے۔ لہذا یہاں ہم ایک سرجیکٹو فنکشن اور علیحدہ کے ذیلی سیٹ پر غور کرتے ہیں جیسا کہ اخترن پیش گوئی کے ساتھ بیان کیا گیا ہے جس کے طور پر ہم نفی کے بغیر بھی جملے بنا سکتے ہیں کیونکہ یہ سیٹ کلاسیکی طور پر ثابت طور پر ایک فنکشن ہے، جسے مخصوص ان پٹ کے لیے قدر لینے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ اور اسے کلاسیکی طور پر یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ سرجیکشن کے طور پر کا وجود دراصل متضاد ہے۔ تاہم، تعمیری طور پر، جب تک کہ اس کی تعریف میں تجویز فیصلہ کن نہ ہو تاکہ سیٹ نے اصل میں ایک فنکشنل اسائنمنٹ کی وضاحت کی ہو، ہم اس سیٹ کو فنکشن اسپیس کا ممبر ثابت نہیں کر سکتے۔ اور اس لیے ہم کلاسیکی نتیجہ نہیں نکال سکتے۔ اس انداز میں، کی ذیلی گنتی کی اجازت ہے، اور درحقیقت نظریہ کے نمونے موجود ہیں۔ بہر حال، سی زیڈ ایف کے معاملے میں بھی، ڈومین کے ساتھ ایک مکمل سرجیکشن کا وجود درحقیقت متضاد ہے۔ کی فیصلہ کن رکنیت سیٹ کو بھی قابل شمار نہیں بناتی، یعنی۔ بے شمار۔ ان مشاہدات کے علاوہ، یہ بھی نوٹ کریں کہ کسی بھی غیر صفر نمبر کے لیے، سرجیکشن کو شامل کرنے میں افعال کو اسی طرح کے تضاد کی دلیل کے ذریعے سب تک نہیں بڑھایا جا سکتا۔ اس کا اظہار یہ کہتے ہوئے کیا جا سکتا ہے کہ پھر جزوی افعال ہوتے ہیں جن میں مکمل افعال تک توسیع نہیں کی جا سکتی۔ نوٹ کریں کہ جب a دیا جاتا ہے، تو کوئی لازمی طور پر یہ فیصلہ نہیں کر سکتا کہ آیا، اور اس لیے کوئی یہ بھی فیصلہ نہیں کر سکتا کہ آیا پوٹینشیل فنکشن ایکسٹینشن کی قیمت پہلے سے نمایاں سرجیکشن کے لیے پہلے ہی طے کی گئی ہے یا نہیں۔ ذیلی گنتی محوریہ، جس میں یہ دعوی کیا گیا ہے کہ تمام سیٹ قابل گنتی ہیں، کسی بھی نئے محوریہ کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتا ہے، بشمول ایل ای ایم۔ ماڈلز مندرجہ بالا تجزیہ کوڈنگ کی رسمی خصوصیات کو متاثر کرتا ہے۔ ذیلی گنتی کے مفروضوں کے ذریعہ سی زیڈ ایف تھیوری کی غیر کلاسیکی توسیع کے ماڈل بنائے گئے ہیں۔ اس طرح کے غیر تعمیری محوریات کو انتخاب کے اصولوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو، تاہم، نظریات کی ثبوت-نظریاتی طاقتوں میں زیادہ اضافہ نہیں کرتے ہیں۔ آئی زیڈ ایف کے ماڈل ہیں جن میں الگ تھلگ تعلقات والے تمام سیٹ قابل گنتی ہیں۔ سی زیڈ ایف کا ایک نمونہ ہے، مثال کے طور پر، مارٹن-لوف ٹائپ تھیوری۔ کلاسیکی طور پر ناقابل شمار فنکشن خالی جگہوں کے ساتھ اس تعمیری سیٹ تھیوری میں، یہ بتانا کہ ہر سیٹ قابل گنتی ہے، سب کاؤنٹ ایبلٹی محور پر زور دینے کے لیے درحقیقت مطابقت رکھتا ہے۔ جیسا کہ بحث کی گئی ہے، نتیجہ خیز نظریہ پاور سیٹ کے محور اور خارج شدہ مڈل کے قانون سے متصادم ہے۔ ابھی تک زیادہ مضبوط، کرپکے-پلیٹک سیٹ تھیوری کے کچھ ماڈل، فنکشن اسپیس پوسٹلیٹ کے بغیر ایک نظریہ، یہاں تک کہ اس بات کی توثیق کرتے ہیں کہ تمام سیٹ قابل گنتی ہیں۔ چھوٹے سائز کے فیصلے کے طور پر سائز کی ذیلی گنتی کے تصور کو کارڈینیلیٹی تعلقات کی معیاری ریاضیاتی تعریف کے ساتھ نہیں جوڑا جائے گا جیسا کہ کینٹر نے بیان کیا ہے، چھوٹے کارڈینیلیٹی کو انجیکشن کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے اور کارڈینیلیٹیز کی مساوات کو بائیجیکشن کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے۔ تعمیری طور پر، سیٹ کی کلاس پر "پری آرڈر" فیصلہ کن اور اینٹی سمیٹرک ہونے میں ناکام رہتا ہے۔ کینٹر کی اخترن دلیل کے مطابق، اعتدال پسند امیر سیٹ تھیوری میں فنکشن اسپیس (اور بھی) ہمیشہ نہ تو محدود پایا جاتا ہے اور نہ ہی اس کے ساتھ بجیکشن میں۔ بے شمار ہونے کا یہی مطلب ہے۔ لیکن یہ دلیل کہ اس سیٹ کی کارڈینالیٹی اس طرح کسی لحاظ سے قدرتی اعداد سے تجاوز کر جائے گی، صرف کلاسیکی سائز کے تصور اور کارڈینالیٹی کے لحاظ سے سیٹوں کی اس کی حوصلہ افزائی کی ترتیب پر پابندی پر منحصر ہے۔ جیسا کہ کمپیوٹیبلٹی تھیوری میں زیر غور فنکشن اسپیس کی مثال میں دیکھا گیا ہے، ضروری نہیں کہ ہر لامحدود ذیلی سیٹ تعمیری بائیجیکشن میں ہو، اس طرح تعمیری سیاق و سباق میں بے شمار سیٹوں کے درمیان زیادہ بہتر فرق کی گنجائش پیدا ہوتی ہے۔ مندرجہ بالا حصوں سے حوصلہ افزائی کرتے ہوئے، لامحدود سیٹ کو کلاس سے "چھوٹا" سمجھا جا سکتا ہے۔ متعلقہ خصوصیات ایک ذیلی قابل گنتی سیٹ کو متبادل طور پر ذیلی قابل گنتی اشاریہ بھی کہا جاتا ہے۔ مماثل تصور موجود ہے جس میں تعریف میں "" کی جگہ ایک سیٹ کا وجود ہوتا ہے جو کسی محدود سیٹ کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔ اس خاصیت کو مختلف طور پر سب فائنٹلی انڈیکسڈ کہا جاتا ہے۔ زمرہ نظریہ میں یہ تمام تصورات ذیلی متناسب ہیں۔ کینٹر کی اخترن دلیل کمپیوٹیبل فنکشن تعمیری سیٹ تھیوری شروڈر-برنسٹین تھیوریم ذیلی کل ترتیب حوالہ جات تعمیرییت (ریاضی) بھی دیکھیں۔