Bethe–Salpeter equation
بیتھ-سلپٹر مساوات (جس کا نام ہنس بیتھ اور ایڈون سلپیٹر کے نام پر رکھا گیا ہے) دو اجسام (ذرات) والے کوانٹم فیلڈ کے نظریاتی نظام کی باؤنڈ اسٹیٹس کو ایک رشتہ دار کوویرینٹ فارملزم میں بیان کرتی ہے۔ یہ مساوات پہلی بار 1950 میں ایک مقالے کے آخر میں یوچیرو نمبو نے شائع کی تھی، لیکن بغیر مشتق کے۔ اس کی عامیت اور نظریاتی طبیعیات کی بہت سی شاخوں میں اس کے اطلاق کی وجہ سے، بیتھ-سلپٹر مساوات بہت سی مختلف شکلوں میں ظاہر ہوتی ہے۔ ایک شکل، جو اکثر ہائی انرجی فزکس میں استعمال ہوتی ہے وہ ہے جہاں κ بیتھ-سلپٹر طول و عرض، K تعامل اور S حصہ لینے والے دو ذرات کے پروپیگیٹر ہیں۔ کوانٹم تھیوری میں، باؤنڈ اسٹیٹس ایسی اشیاء ہیں جن کی عمر ان کی ساخت پر حکمرانی کرنے والے تعامل کے وقت کے پیمانے سے بہت زیادہ لمبی ہوتی ہے (بصورت دیگر انہیں گونج کہا جاتا ہے)۔ اس طرح اجزاء بنیادی طور پر لامحدود طور پر کئی بار تعامل کرتے ہیں۔ خلاصہ یہ ہے کہ، لامحدود کئی بار، دونوں اجزاء کے درمیان ہونے والے تمام ممکنہ تعاملات، بیتھ-سلپٹر مساوات باؤنڈ اسٹیٹس کی خصوصیات کا حساب لگانے کا ایک ذریعہ ہے۔ اس کا حل، بیتھ-سلپٹر طول و عرض، زیر غور باؤنڈ اسٹیٹ کی وضاحت ہے۔ چونکہ یہ ایس میٹرکس میں قطبوں کے ساتھ باؤنڈ اسٹیٹس کی شناخت کے ذریعے اخذ کیا جا سکتا ہے، اس لیے اسے بکھرنے کے عمل اور گرین کے افعال کی کوانٹم نظریاتی وضاحت سے جوڑا جا سکتا ہے۔ بیتھ-سلپٹر مساوات ایک عمومی کوانٹم فیلڈ نظریاتی ٹول ہے، اس طرح اس کے لیے استعمال کسی بھی کوانٹم فیلڈ تھیوری میں پایا جا سکتا ہے۔ کچھ مثالیں پوزیٹرونیم (الیکٹران پوزیٹرون جوڑی کی باؤنڈ اسٹیٹ)، ایکسائٹن (الیکٹران ہول جوڑوں کی باؤنڈ اسٹیٹس)، اور میسون (کوارک اینٹیکارک باؤنڈ اسٹیٹس کے طور پر) ہیں۔ یہاں تک کہ پوزیٹرونیم جیسے سادہ نظاموں کے لیے بھی مساوات کو قطعی طور پر حل نہیں کیا جا سکتا، حالانکہ اصولی طور پر اسے قطعی طور پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ ریاستوں کی درجہ بندی کسی قطعی حل کی ضرورت کے بغیر حاصل کی جا سکتی ہے۔ اگر ذرات میں سے ایک دوسرے کے مقابلے میں نمایاں طور پر زیادہ بڑا ہے، تو مسئلہ کافی حد تک آسان ہو جاتا ہے کیونکہ ایک بھاری ذرہ کی بیرونی صلاحیت کے تحت ہلکے ذرہ کے لیے ڈیراک مساوات کو حل کرتا ہے۔ مشتق بیتھ-سلپٹر مساوات کے مشتق کا ابتدائی نقطہ مومنٹم اسپیس میں دو ذرات (یا چار نقطہ) ڈائیسن مساوات ہے، جہاں "G" دو ذرات گرین فنکشن ہے، "S" آزاد پروپیگیٹر ہیں اور "K" ایک تعامل کرنل ہے، جس میں دونوں ذرات کے درمیان تمام ممکنہ تعاملات شامل ہیں۔ اب اہم قدم یہ فرض کرنا ہے کہ پابند ریاستیں گرین فنکشن میں قطبوں کے طور پر ظاہر ہوتی ہیں۔ ایک یہ فرض کرتا ہے کہ دو ذرات اکٹھے ہوتے ہیں اور کمیت "M" کے ساتھ ایک پابند حالت بناتے ہیں، یہ پابند حالت آزادانہ طور پر پھیلتی ہے، اور پھر پابند حالت دوبارہ اپنے دو اجزاء میں تقسیم ہو جاتی ہے۔ لہذا، کوئی بیتھ-سلپٹر لہر فنکشن کو متعارف کراتا ہے، جو کہ دو اجزاء کا باؤنڈ اسٹیٹ میں منتقلی کا طول و عرض ہے، اور پھر قطب کے آس پاس گرین فنکشن کے لیے ایک این سیٹز بناتا ہے جہاں P نظام کی کل رفتار ہے۔ کوئی یہ دیکھتا ہے کہ اگر اس مومنٹم کے لیے مساوات برقرار رہتی ہے، جو کہ بالکل آئن سٹائن انرجی-مومنٹم رشتہ ہے (چار مومنٹم اور کے ساتھ)، تو چار نکاتی گرین فنکشن ایک پول پر مشتمل ہے۔ اگر کوئی اس این سیٹز کو اوپر کی ڈائیسن مساوات میں جوڑتا ہے، اور کل مومنٹم "P" کو اس طرح سیٹ کرتا ہے کہ توانائی اور مومنٹم کا تعلق برقرار رہے، تو اصطلاح کے دونوں اطراف ایک قطب ظاہر ہوتا ہے۔ بقیہ پیداوار کا موازنہ کرنا یہ پہلے سے ہی بیتھ-سلپٹر مساوات ہے، جو بیتھ-سلپٹر لہر افعال کے لحاظ سے لکھی گئی ہے۔ مندرجہ بالا فارم کو حاصل کرنے کے لیے کوئی بھی بیتھی-سلپٹر طول و عرض کو متعارف کراتا ہے اور آخر میں حاصل کرتا ہے جو واضح رفتار کے انحصار کے ساتھ اوپر لکھا گیا ہے۔ رینبو-سیڑھی کا تخمینہ اصولی طور پر انٹرایکشن دانا K میں وہ تمام ممکنہ دو ذرات-ناقابل تخفیف تعاملات ہوتے ہیں جو دونوں اجزاء کے درمیان ہو سکتے ہیں۔ اس طرح، عملی حسابات میں کسی کو اس کا نمونہ بنانا ہوتا ہے اور صرف تعاملات کا ایک ذیلی مجموعہ منتخب کرنا ہوتا ہے۔ جیسا کہ کوانٹم فیلڈ کے نظریات میں، تعامل کو ذرات کے تبادلے کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے (مثال کے طور پر۔ کوانٹم برقی حرکیات میں فوٹون، یا کوانٹم کروموڈینامکس میں گلوون)، سب سے آسان تعامل ان قوت ذرات میں سے صرف ایک کا تبادلہ ہے۔ جیسا کہ بیتھ-سلپٹر مساوات لامحدود طور پر کئی بار تعامل کا خلاصہ کرتی ہے، اس کے نتیجے میں فین مین گراف میں سیڑھی (یا اندردخش) کی شکل ہوتی ہے۔ جبکہ کوانٹم الیکٹرو ڈائنامکس میں سیڑھی کا تخمینہ کراسنگ سمیٹری اور گیج انویرینس کے ساتھ مسائل کا باعث بنتا ہے اور اس طرح کراسڈ سیڑھی کی اصطلاحات کو شامل کرنا پڑتا ہے، کوانٹم کروموڈینامکس میں یہ تخمینہ ہیڈرون ماس کا حساب لگانے کے لیے فینومینولوجیکل طور پر کافی استعمال ہوتا ہے، کیونکہ یہ چیرل سمیٹری بریکنگ کا احترام کرتا ہے اور اس لیے ان ماس کی نسل کا ایک اہم حصہ ہے۔ جہاں تک کسی بھی یکساں مساوات کا تعلق ہے، بیتھ-سلپٹر مساوات کا حل صرف ایک عددی عنصر تک طے کیا جاتا ہے۔ اس عنصر کو ایک مخصوص معمول کی حالت کے ذریعہ متعین کرنا پڑتا ہے۔ بیتھ-سلپٹر طول و عرض کے لیے یہ عام طور پر امکانات کے تحفظ کا مطالبہ کر کے کیا جاتا ہے (کوانٹم مکینیکل ویو فنکشن کو معمول پر لانے کی طرح)، جو باؤنڈ اسٹیٹ کے چارج اور توانائی-مومنٹم ٹینسر کی مساوات نارملائزیشن سے مطابقت رکھتا ہے جو اسی مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ سیڑھی کے تخمینے میں تعامل دانا بیتھ-سلپٹر طول و عرض کی کل رفتار پر منحصر نہیں ہوتا ہے، اس طرح، اس معاملے کے لیے، معمول کی حالت کی دوسری اصطلاح ختم ہو جاتی ہے۔ ABINIT اراکی-سوچر اصلاح بریٹ مساوات لپ مین-شونگر مساوات شونگر-ڈائیسن مساوات دو جسم ڈیراک مساوات YAMBO کوڈ حوالہ جات کتابچہ بہت سی جدید کوانٹم فیلڈ تھیوری کی نصابی کتابیں اور چند مضامین بیتھ-سلپٹر مساوات کے سیاق و سباق اور استعمال کے لیے تدریسی بیانات فراہم کرتے ہیں۔ دیکھیں: پھر بھی نقانیشی کے جائزے کے مضمون میں ایک اچھا تعارف دیا گیا ہے تاریخی پہلوؤں کے لیے، کوڈز کے بیرونی لنکس دیکھیں جہاں بیتھ-سلپٹر مساوات کو یمبو کوڈ کیا گیا ہے-طیارہ-لہر سڈوپوٹینشیل برکلے جی ڈبلیو-طیارہ-لہر سڈوپوٹینشیل ایکس سی-طیارہ-لہر سڈوپوٹینشیل فیئسٹا-گوسیئن آل الیکٹران ابینیٹ-طیارہ-لہر سڈوپوٹینشیل وی اے ایس پی-طیارہ-لہر سڈوپوٹینشیل کوڈز کی زیادہ جامع فہرست کے لیے یہاں دیکھیں: طبیعیات کوانٹم فیلڈ تھیوری کوانٹم میکانکس کی نام نہاد مساوات کی فہرست _ کوانٹم کیمسٹری _ اور _ سالڈ اسٹیٹ _ فزکس _ سافٹ ویئر