Bapat–Beg theorem
امکانی نظریہ میں، باپٹ-بیگ تھیوریم بے ترتیب متغیرات کے مجموعی تقسیم افعال کے لحاظ سے آزاد لیکن ضروری نہیں کہ یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات کے آرڈر کے اعداد و شمار کی مشترکہ امکان کی تقسیم فراہم کرتا ہے۔ رویندر باپٹ اور بیگ نے 1989 میں نظریہ شائع کیا، حالانکہ انہوں نے کوئی ثبوت پیش نہیں کیا۔ ہینڈے نے 1994 میں ایک سادہ سا ثبوت پیش کیا تھا۔ اکثر، نمونے کے تمام عناصر ایک ہی آبادی سے حاصل کیے جاتے ہیں اور اس طرح امکانات کی تقسیم ایک جیسی ہوتی ہے۔ باپٹ-بیگ تھیوریم ترتیب کے اعداد و شمار کو بیان کرتا ہے جب نمونے کا ہر عنصر مختلف شماریاتی آبادی سے حاصل کیا جاتا ہے اور اس وجہ سے اس کی اپنی امکانی تقسیم ہوتی ہے۔ بیان آئیے بالترتیب مجموعی تقسیم کے افعال کے ساتھ آزاد حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر ہوں۔ آرڈر کے اعدادوشمار کے لیے لکھیں۔ پھر آرڈر کے اعداد و شمار (اور کے ساتھ) کی مشترکہ امکان کی تقسیم یہ ہے کہ دیئے گئے بلاک میٹرکس کا مستقل کہاں ہے۔ (منحنی خطوط کے نیچے کے اعداد کالموں کی تعداد کو ظاہر کرتے ہیں۔) آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ صورت اس صورت میں جب متغیرات آزاد ہوتے ہیں اور تمام i کے لیے مجموعی امکانات کی تقسیم کے فنکشن کے ساتھ یکساں طور پر تقسیم ہوتے ہیں تو نظریہ تبصرے تک کم ہو جاتا ہے۔ مجموعی تقسیم کے افعال کے تسلسل کے کسی مفروضے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر عدم مساوات x1 <x2 <. <xk عائد نہیں کی جاتی ہیں، تو کچھ عدم مساوات "بے کار ہو سکتی ہیں اور ضروری کمی کرنے کے بعد امکان کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے"۔ پیچیدگی گلوک اور دیگر۔ نوٹ کریں کہ باپٹ-بیگ فارمولا کمپیوٹیشنل طور پر ناقابل تلافی ہے، کیونکہ اس میں بے ترتیب متغیرات کی تعداد کے سائز کی مستقل تعداد شامل ہوتی ہے۔ تاہم، جب بے ترتیب متغیرات میں صرف دو ممکنہ تقسیم ہوتے ہیں، تو پیچیدگی کو کم کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، دو آبادیوں کے معاملے میں، پیچیدگی اعداد و شمار کی کسی بھی مقررہ تعداد کے لیے کثیر الجہتی ہوتی ہے۔ حوالہ جات امکانات کے نظریات اعداد و شمار میں نظریات