Yetter–Drinfeld category
ریاضی میں یٹر-ڈرینفیلڈ زمرہ ایک خاص قسم کا بریڈڈ مونوئڈل زمرہ ہے۔ یہ ہوپف الجبرا پر ماڈیولز پر مشتمل ہوتا ہے جو کچھ اضافی محوریات کو پورا کرتے ہیں۔ تعریف H کو فیلڈ k پر ہاپف الجبرا ہونے دیں۔ آئیے ہم H کے کوپروڈکٹ اور S کو اینٹیپوڈ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ آئیے V کو k پر ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ پھر V کو H پر (بائیں بائیں) یٹر-ڈرین فیلڈ ماڈیول کہا جاتا ہے اگر یہ بائیں H-ماڈیول ہے، جہاں V پر H کے بائیں ایکشن کی نشاندہی کرتا ہے، ایک بائیں H-کوموڈیول ہے، جہاں V پر H کے بائیں کوکشن کی نشاندہی کرتا ہے، نقشے اور سب کے لیے مطابقت کی حالت کو پورا کرتے ہیں، جہاں سویڈلر نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، اور کے دوگنا کوپروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر کوکوموٹیٹو ہوپف الجبرا H پر کوئی بھی لیفٹ H-ماڈیول ایک یٹر ڈرین فیلڈ ماڈیول ہے جس میں ٹریوئل لیفٹ کوکشن ہوتا ہے۔ ٹریوئل ماڈیول، کے ساتھ، تمام ہوپف الجبراس ایچ کے لیے ایک یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول ہے۔ اگر ایچ کسی ابیلین گروپ جی کا گروپ الجبرا کے جی ہے، تو ایچ پر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول قطعی طور پر جی درجہ بند جی-ماڈیول ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، جہاں ہر ایک V کا G-ذیلی ماڈیول ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر گروپ G ابیلین نہیں ہے، تو H = kG پر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول G-گریڈیشن والے G-ماڈیول ہیں، جیسے کہ۔ بیس فیلڈ پر (غیر ایبلین) گروپ H = kG پر تمام محدود جہتی، ناقابل کٹوتی/سادہ یٹر-ڈرین فیلڈ ماڈیولز کو ایک کنجوگیسی کلاس کے ذریعے منفرد طور پر دیا جاتا ہے جس میں (کردار کا) کچھ نمائندگی کرنے والے سنٹرلائزر کی ناقابل کٹوتی گروپ کی نمائندگی ہوتی ہے: جیسا کہ G-ماڈیول کو انڈیوسڈ ماڈیول سمجھا جاتا ہے: (یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ g کے انتخاب پر انحصار نہیں کرنا ہے) G-گریجویشن (کوموڈیول) کی وضاحت کرنے کے لیے گریجویشن پرت کو کوئی عنصر تفویض کریں: X کے براہ راست مجموعہ کے طور پر براہ راست تعمیر کرنا اور-کوسٹس کے لیے نمائندوں کے مخصوص سیٹ کے انتخاب کے ذریعے G-ایکشن لکھنا بہت رواج ہے۔ اس نقطہ نظر سے، کوئی اکثر لکھتا ہے (یہ اشارہ ماڈیول ڈھانچے کے بجائے گریجویشن پر زور دیتا ہے) بریڈنگ H کو الٹا اینٹیپوڈ S کے ساتھ ہوپف الجبرا ہونے دیں، اور V، W کو H پر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول ہونے دیں۔ پھر نقشہ، الٹا کے ساتھ الٹا ہے۔ مزید برآں، کسی بھی تین یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز U، V، W کے لیے نقشہ c چوٹی کے رشتے کو مطمئن کرتا ہے۔ ایک مونوئڈل زمرہ جو ہپف الجبرا H پر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز پر مشتمل ہوتا ہے جس میں دو طرفہ اینٹیپوڈ ہوتا ہے اسے یٹر-ڈرینفیلڈ زمرہ کہا جاتا ہے۔ یہ ایک چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوٹی ہے۔ بائیجیکٹو اینٹیپوڈ کے ساتھ ہوپف الجبرا ایچ پر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز کے زمرے کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ حوالہ جات ہوپف الجبراس کوانٹم گروپس مونوئڈل زمرے