Elliptic boundary value problem
ریاضی میں، ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ ایک خاص قسم کا باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ ہے جسے ارتقاء کے مسئلے کی مستحکم حالت سمجھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، لیپلاسیئن کے لیے ڈیرچلیٹ کا مسئلہ ہیٹنگ آن ہونے کے کئی گھنٹوں بعد کمرے میں گرمی کی حتمی تقسیم دیتا ہے۔ تفریقی مساوات قدرتی مظاہر کی ایک بڑی کلاس کو بیان کرتی ہیں، حرارت کی مساوات سے جو (مثال کے طور پر) دھات کی پلیٹ میں حرارت کے ارتقاء کو بیان کرتی ہے، نیویئر-اسٹوکس مساوات تک جو سیالوں کی حرکت کو بیان کرتی ہے، بشمول آئن سٹائن کی مساوات جو جسمانی کائنات کو رشتہ دار انداز میں بیان کرتی ہیں۔ اگرچہ یہ تمام مساوات باؤنڈری ویلیو کے مسائل ہیں، لیکن انہیں مزید زمروں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ یہ ضروری ہے کیونکہ ہر زمرے کا تجزیہ مختلف تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جانا چاہیے۔ موجودہ مضمون باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے زمرے سے متعلق ہے جسے لکیری ایلیپٹک مسائل کہا جاتا ہے۔ باؤنڈری ویلیو کے مسائل اور جزوی تفریق مساوات دو یا زیادہ مقداروں کے درمیان تعلقات کی وضاحت کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، حرارت کی مساوات میں، کسی نقطہ پر درجہ حرارت کی تبدیلی کی شرح کا تعلق اس نقطہ اور قریبی مقامات کے درمیان درجہ حرارت کے فرق سے ہوتا ہے تاکہ وقت کے ساتھ گرمی گرم مقامات سے ٹھنڈے مقامات کی طرف بہے۔ باؤنڈری ویلیو کے مسائل میں جگہ، وقت اور دیگر مقدار جیسے درجہ حرارت، رفتار، دباؤ، مقناطیسی میدان وغیرہ شامل ہو سکتے ہیں۔ کچھ مسائل میں وقت شامل نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی گھر اور درخت کے درمیان کپڑوں کی لکیر لٹکاتا ہے، تو ہوا کی عدم موجودگی میں، کپڑوں کی لکیر حرکت نہیں کرے گی اور ایک ہلکی لٹکتی ہوئی مڑی ہوئی شکل اختیار کرے گی جسے کیٹینری کہا جاتا ہے۔ اس مڑے ہوئے شکل کو پوزیشن، تناؤ، زاویہ اور کشش ثقل سے متعلق تفریقی مساوات کے حل کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے، لیکن چونکہ شکل وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی، اس لیے کوئی وقت متغیر نہیں ہے۔ ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل مسائل کی ایک کلاس ہیں جن میں وقت متغیر شامل نہیں ہوتا ہے، اور اس کے بجائے صرف خلائی متغیرات پر منحصر ہوتا ہے۔ اہم مثال دو جہتوں میں، کوآرڈینیٹ ہونے دیں۔ ہم کے حوالے سے پہلے اور دوسرے جزوی مشتقات کے لیے اشارے کا استعمال کریں گے، اور کے لیے اسی طرح کے اشارے کا استعمال کریں گے۔ ہم اور میں علامتوں اور جزوی تفریق آپریٹرز کے لیے استعمال کریں گے۔ دوسرے جزوی مشتقات کی نشاندہی کی جائے گی اور۔ ہم گریڈینٹ، لیپلیس آپریٹر اور ڈائیورجنس کی بھی وضاحت کرتے ہیں۔ تعریفوں سے نوٹ کریں کہ۔ باؤنڈری ویلیو کے مسائل کی اہم مثال لیپلیس آپریٹر ہے، جہاں طیارہ میں ایک خطہ ہے اور اس خطے کی حد ہے۔ فنکشن معلوم ڈیٹا ہے اور حل وہی ہے جس کا حساب لگانا ضروری ہے۔ اس مثال میں وہی ضروری خصوصیات ہیں جو دیگر تمام ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل میں ہیں۔ حل کی تشریح دھات کی پلیٹ میں حرارت کی مستحکم یا محدود تقسیم کے طور پر کی جا سکتی ہے، جیسے کہ اگر اس دھات کی پلیٹ کی حد برف سے متصل ہو (جسے صفر ڈگری پر رکھا جاتا ہے، اس طرح ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشن)۔ فنکشن پلیٹ میں ہر نقطہ پر حرارت پیدا کرنے کی شدت کی نمائندگی کرتا ہے (شاید دھات کی پلیٹ پر ایک برقی ہیٹر آرام کر رہا ہے، جو پلیٹ میں حرارت کو شرح سے پمپ کر رہا ہے، جو وقت کے ساتھ مختلف نہیں ہوتا ہے، لیکن دھات کی پلیٹ پر جگہ میں غیر یکساں ہو سکتا ہے۔) طویل انتظار کے بعد دھات کی پلیٹ میں درجہ حرارت کی تقسیم قریب آجائے گی۔ نام بندی کہاں اور کہاں مستقل ہیں۔ اسے سیکنڈ آرڈر ڈفریٚنشل آپریٹر کہا جاتا ہے۔ اگر ہم مشتقات کو باضابطہ طور پر اور کے ذریعہ تبدیل کرتے ہیں، تو ہم اظہار حاصل کرتے ہیں۔ اگر ہم اس اظہار کو کسی مستقل کے برابر مقرر کرتے ہیں، تو ہم یا تو ایک ایلیپس (اگر سب ایک ہی علامت ہیں) یا ہائپربولا (اگر اور مخالف علامتوں کے ہیں) حاصل کرتے ہیں۔ اس وجہ سے، ایلپٹک کب اور ہائپربولک اگر کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، آپریٹر ایک پیرابولہ کی طرف جاتا ہے، اور اس لیے اسے پیرابولک کہا جاتا ہے۔ اب ہم الپٹیسیٹی کے تصور کو عام کرتے ہیں۔ اگرچہ یہ واضح نہیں ہو سکتا کہ ہماری عمومی کاری صحیح ہے، لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ تجزیہ کے مقصد کے لیے زیادہ تر ضروری خصوصیات کو محفوظ رکھتی ہے۔ سیکنڈ ڈگری کے عمومی لکیری ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل کو خلائی متغیر ہونے دیں۔ کے حقیقی قابل قدر افعال ہونے دیں۔ آئیے سیکنڈ ڈگری لینیر آپریٹر بنیں۔ یعنی (انحراف کی شکل)۔ (نان ڈائیورجنس فارم) ہم نے خلا متغیر کے حوالے سے جزوی مشتق کو ظاہر کرنے کے لیے سبسکرپٹ کا استعمال کیا ہے۔ دونوں فارمولے مساوی ہیں، بشرطیکہ۔ میٹرکس نوٹیشن میں، ہم ایک میٹرکس ویلیوڈ فنکشن بن سکتے ہیں اور ایک جہتی کالم ویکٹر ویلیوڈ فنکشن بن سکتے ہیں، اور پھر ہم (ڈائیورجنس فارم) لکھ سکتے ہیں۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، کوئی یہ فرض کر سکتا ہے کہ میٹرکس ہم آہنگ ہے (یعنی، سب کے لیے،۔ ہم اس مضمون کے بقیہ حصے میں یہ مفروضہ پیش کرتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ آپریٹر الپٹک ہے اگر، کچھ مستقل کے لیے، مندرجہ ذیل میں سے کوئی بھی مساوی شرائط برقرار رہیں: (آئجن ویلیو دیکھیں)۔ ۔ ۔ ایک الپٹک باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ پھر مساوات کا ایک نظام ہے جیسے (پی ڈی ای) اور (باؤنڈری ویلیو)۔ یہ خاص مثال ڈیرچلیٹ کا مسئلہ ہے۔ نیومن کا مسئلہ ہے اور اس کا مشتق باہر کی طرف اشارہ کرنے والے نارمل کی سمت میں کہاں ہے۔ عام طور پر، اگر کوئی ٹریس آپریٹر ہے، تو کوئی باؤنڈری ویلیو کا مسئلہ بنا سکتا ہے اور۔ اس مضمون کے بقیہ حصے میں، ہم فرض کرتے ہیں کہ یہ الپٹک ہے اور باؤنڈری کنڈیشن ڈیرچلیٹ کنڈیشن ہے۔ سوبولیو خالی جگہیں الپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے تجزیے کے لیے فنکشنل تجزیہ کے کچھ کافی نفیس ٹولز کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہمیں جگہ کی ضرورت ہوتی ہے، "ایک بار تفریق پذیر" افعال کی سوبولیو جگہ، اس طرح کہ فنکشن اور اس کے جزوی مشتقات دونوں، تمام مربع مربوط ہوں۔ یہاں ایک لطیفہ یہ ہے کہ جزوی مشتقات کی تعریف "کمزور معنوں میں" کی جانی چاہیے (تفصیلات کے لیے سوبولیو خالی جگہوں پر مضمون دیکھیں۔) یہ جگہ ایک ہلبرٹ جگہ ہے، جو ان مسائل کا تجزیہ کرنے میں زیادہ آسانی کا سبب بنتی ہے۔ سوبولیو خالی جگہوں کی تفصیلات پر بحث اس مضمون کے دائرہ کار سے باہر ہے، لیکن ہم مطلوبہ نتائج کا حوالہ دیں گے جیسے جیسے وہ سامنے آئیں گے۔ جب تک کہ دوسری صورت میں نوٹ نہ کیا جائے، اس مضمون کے تمام مشتقات کی تشریح کمزور، سوبولیو معنوں میں کی جانی چاہیے۔ ہم کیلکولس کے کلاسیکی مشتق کا حوالہ دینے کے لیے "مضبوط مشتق" کی اصطلاح استعمال کرتے ہیں۔ ہم یہ بھی واضح کرتے ہیں کہ خالی جگہیں، ان افعال پر مشتمل ہوتی ہیں جو اوقات میں مضبوطی سے تفریق پذیر ہوتے ہیں، اور یہ کہ th مشتق مسلسل ہوتا ہے۔ کمزور یا متغیر تشکیل باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کو کاسٹ کرنے کا پہلا قدم جیسا کہ سوبولیو خالی جگہوں کی زبان میں ہے اسے اس کی کمزور شکل میں دوبارہ بیان کرنا ہے۔ لیپلیس کے مسئلے پر غور کریں۔ مساوات کے ہر پہلو کو "ٹیسٹ فنکشن" سے ضرب دیں اور حاصل کرنے کے لیے گرین تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے حصوں سے مربوط کریں۔ ہم ڈیرچلیٹ کا مسئلہ حل کریں گے، تاکہ۔ تکنیکی وجوہات کی بناء پر، یہ فرض کرنا مفید ہے کہ یہ افعال کی اسی جگہ سے لیا گیا ہے جیسا کہ ہے لہذا ہم یہ بھی فرض کرتے ہیں۔ اس سے اصطلاح سے چھٹکارا مل جاتا ہے، جس سے (*) کہاں اور ملتا ہے۔ اگر ایک عام الپٹک آپریٹر ہے، تو وہی استدلال دو لکیری شکل کی طرف لے جاتا ہے۔ ہم نیومن کے مسئلے پر بحث نہیں کرتے لیکن نوٹ کرتے ہیں کہ اس کا تجزیہ اسی طرح کیا جاتا ہے۔ مسلسل اور زبردستی دو قطبی شکلیں نقشے کی وضاحت افعال کی سوبولیو جگہ پر کی گئی ہے جو ایک بار تفریق کے قابل اور حد پر صفر ہوتے ہیں، بشرطیکہ ہم اور پر کچھ شرائط عائد کریں۔ بہت سے ممکنہ انتخاب ہیں، لیکن اس مضمون کے مقصد کے لیے، ہم یہ فرض کریں گے کہ مسلسل تفریق کے قابل ہے کیونکہ مسلسل جاری ہے اور پابند ہے۔ قاری اس بات کی تصدیق کر سکتا ہے کہ نقشہ مزید دو لکیری اور مسلسل ہے، اور یہ کہ نقشہ لکیری ہے، اور اگر (مثال کے طور پر) مربع مربوط ہے تو مسلسل ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ نقشہ زبردستی ہے اگر سب کے لیے ایک ہے، یہ لیپلاسیئن (کے ساتھ) کے لیے معمولی طور پر درست ہے اور اگر ہم فرض کریں اور تو یہ ایک ایلیپٹک آپریٹر کے لیے بھی درست ہے۔ (یاد رکھیں کہ جب الپٹک ہو۔) کمزور حل کا وجود اور انفرادیت لکش ملگرام لیما کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے کہ جب بھی جبر ہوتا ہے اور مسلسل ہوتا ہے، تب کمزور مسئلے کا ایک منفرد حل موجود ہوتا ہے (*)۔ اگر مزید ہم آہنگی (یعنی،) ہے، تو اس کے بجائے ریز نمائندگی تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے وہی نتیجہ دکھایا جا سکتا ہے۔ یہ اس حقیقت پر منحصر ہے جو ایک اندرونی پروڈکٹ بناتا ہے، جو خود پوئن کیری کی عدم مساوات پر منحصر ہے۔ مضبوط حل ہم نے دکھایا ہے کہ ایک ایسا نظام ہے جو کمزور نظام کو حل کرتا ہے، لیکن ہمیں نہیں معلوم کہ یہ مضبوط نظام کو حل کرتا ہے یا نہیں۔ اس سے بھی زیادہ پریشان کن بات یہ ہے کہ ہمیں اس بات کا یقین بھی نہیں ہے کہ یہ دوگنا تفریق پذیر ہے، جس سے تاثرات بظاہر بے معنی ہو جاتے ہیں۔ صورت حال کو ٹھیک کرنے کے بہت سے طریقے ہیں، جن میں سب سے اہم باقاعدگی ہے۔ باقاعدگی دوسری ترتیب کے لکیری ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کے لیے ایک ریگولرٹی تھیوریم تھیوریم کی شکل اختیار کرتا ہے اگر (کچھ شرط)، تو حل "دو بار تفریق پذیر" افعال کی جگہ میں ہے، جن کے دوسرے مشتقات مربع انٹیگریبل ہیں۔ نظریہ کے اختتام کے لیے کوئی معلوم سادہ شرط ضروری اور کافی نہیں ہے، لیکن درج ذیل شرائط کافی ہونے کے لیے جانی جاتی ہیں: کی حد ہے، یا کنویکس ہے۔ یہ اندازہ لگانا پرکشش ہو سکتا ہے کہ اگر ٹکڑے ٹکڑے ہو تو واقعی میں ہے، لیکن بدقسمتی سے یہ غلط ہے۔ تقریبا ہر جگہ حل اس صورت میں کہ پھر کے دوسرے مشتقات کی وضاحت تقریبا ہر جگہ کی جاتی ہے، اور اس صورت میں تقریبا ہر جگہ۔ مضبوط حل کوئی بھی مزید ثابت کر سکتا ہے کہ اگر کی حد ایک ہموار کئی گنا ہے اور مضبوط معنوں میں لامحدود تفریق پذیر ہے، تو مضبوط معنوں میں بھی لامحدود تفریق پذیر ہے۔ اس صورت میں، مشتق کی مضبوط تعریف کے ساتھ۔ اس کا ثبوت ایک بہتر ریگولرٹی تھیوریم پر منحصر ہے جو کہتا ہے کہ اگر ہے اور، تو، ایک سوبولیو امبیڈنگ تھیوریم کے ساتھ مل کر یہ کہتے ہوئے کہ افعال بھی جب بھی ہوتے ہیں۔ عددی حل اگرچہ غیر معمولی حالات میں، الپٹک مسائل کو واضح طور پر حل کرنا ممکن ہے، لیکن عام طور پر یہ ایک ناممکن کام ہے۔ قدرتی حل یہ ہے کہ ایلپٹک مسئلے کا تخمینہ ایک آسان مسئلے سے لگایا جائے اور اس آسان مسئلے کو کمپیوٹر پر حل کیا جائے۔ ان اچھی خصوصیات کی وجہ سے جو ہم نے شمار کی ہیں (اور ساتھ ہی بہت سی ہمارے پاس نہیں ہیں)، لکیری ایلیپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے لیے انتہائی موثر عددی حل کار موجود ہیں (مثال کے طور پر محدود عنصر کا طریقہ، محدود فرق کا طریقہ اور سپیکٹرم کا طریقہ دیکھیں۔) آئجین ویلیوز اور آئجین سولیوشنز ایک اور سوبولیو امبیڈنگ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ شمولیت ایک کمپیکٹ لکیری نقشہ ہے۔ کمپیکٹ لینیر آپریٹرز کے لیے سپیکٹرم تھیوریم سے لیس، مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل ہوتا ہے۔ نظریہ فرض کریں کہ یہ زبردستی، مسلسل اور ہم آہنگ ہے۔ سے کا نقشہ ایک کمپیکٹ لکیری نقشہ ہے۔ اس میں آئجین ویویکٹرز اور مماثل آئجین ویلیوز کی بنیاد ہوتی ہے جیسے کہ، جب بھی اور تمام سیریز کے حلوں کے لیے اور آئجین سولیوشنز کی اہمیت اگر کسی نے آئجین ویلیوز اور آئجین ویویکٹرز کا حساب لگایا ہے، تو اس فارمولے کے ذریعے اس کا "واضح" حل مل سکتا ہے جہاں (فورئیر سیریز دیکھیں۔) سلسلہ یکجا ہوتا ہے۔ عددی تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے کمپیوٹر پر لاگو کیا جاتا ہے، اسے سپیکٹرم طریقہ کہا جاتا ہے۔ ایک مثال (ڈیرچلیٹ کنڈیشنز) کے مسئلے پر غور کریں۔ قاری اس بات کی تصدیق کر سکتا ہے کہ آئجین ویکٹر بالکل ہیں، آئجین ویلیوز کے ساتھ فورئیر کوفیشنٹس کو ٹیبل میں دیکھا جا سکتا ہے، حاصل کر رہا ہے۔ لہذا، حل پیش کرتے ہوئے زیادہ سے زیادہ اصول زیادہ سے زیادہ اصول کی بہت سی قسمیں ہیں۔ ہم ایک سادہ سی بات دیتے ہیں۔ نظریہ۔ (کمزور زیادہ سے زیادہ اصول۔) چلو، اور فرض کرو کہ. یہ اندر سے کہو۔ پھر۔ دوسرے لفظوں میں، حد پر زیادہ سے زیادہ حاصل کیا جاتا ہے۔ ایک مضبوط زیادہ سے زیادہ اصول یہ نتیجہ اخذ کرے گا کہ سب کے لیے جب تک کہ مستقل نہ ہو۔ حوالہ جات مزید پڑھنا ریاضیاتی تجزیہ جزوی تفریق مساوات باؤنڈری ویلیو کے مسائل