Paradoxes of set theory
اس مضمون میں سیٹ تھیوری کے تضادات پر بحث شامل ہے۔ زیادہ تر ریاضیاتی تضادات کی طرح، وہ عام طور پر جدید محوری سیٹ تھیوری کے اندر حقیقی منطقی تضادات کے بجائے حیرت انگیز اور متضاد ریاضیاتی نتائج کو ظاہر کرتے ہیں۔ بنیادی باتیں کارڈینل نمبرز سیٹ تھیوری جیسا کہ جارج کینٹر نے تصور کیا ہے وہ لامحدود سیٹوں کے وجود کو فرض کرتا ہے۔ چونکہ اس مفروضے کو پہلے اصولوں سے ثابت نہیں کیا جا سکتا اس لیے اسے انفنٹی کے محور کے ذریعے محوری سیٹ تھیوری میں متعارف کرایا گیا ہے، جو قدرتی اعداد کے سیٹ N کے وجود پر زور دیتا ہے۔ ہر لامحدود سیٹ جسے قدرتی اعداد سے شمار کیا جا سکتا ہے اس کا سائز (کارڈینیلیٹی) N کے برابر ہے، اور اسے قابل گنتی کہا جاتا ہے۔ شمار کے لحاظ سے لامحدود سیٹوں کی مثالیں قدرتی اعداد، یکساں اعداد، پرائم نمبرز، اور تمام عقلی اعداد، یعنی فریکشنز ہیں۔ ان سیٹوں میں عام طور پر کارڈینل نمبر |N | = (الیف ناٹ) ہوتا ہے، جو ہر قدرتی نمبر سے بڑا ہوتا ہے۔ کارڈینل نمبروں کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ ایک ہی سائز کے دو سیٹوں کی وضاحت کریں: دونوں سیٹوں کے درمیان ایک باہمی تعلق موجود ہے (عناصر کے درمیان ایک سے ایک خط و کتابت)۔ پھر ایک کارڈینل نمبر، تعریف کے مطابق، ایک کلاس ہے جو ایک ہی سائز کے تمام سیٹوں پر مشتمل ہے۔ ایک ہی سائز کا ہونا ایک مساوات کا تعلق ہے، اور بنیادی اعداد مساوات کی کلاسیں ہیں۔ عام اعداد کارڈینیلیٹی کے علاوہ، جو کسی سیٹ کے سائز کو بیان کرتا ہے، ترتیب شدہ سیٹ بھی سیٹ تھیوری کا موضوع بناتے ہیں۔ انتخاب کا محور اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ ہر سیٹ کو اچھی طرح سے ترتیب دیا جا سکتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کے عناصر پر کل ترتیب اس طرح لگائی جا سکتی ہے کہ ہر غیر خالی ذیلی سیٹ میں اس ترتیب کے حوالے سے پہلا عنصر ہو۔ ایک اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹ کی ترتیب کو ایک آرڈینل نمبر سے بیان کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3 عام ترتیب 0 <1 <2 کے ساتھ سیٹ {0,1,2} کا آرڈینل نمبر ہے ؛ اور ω معمول کے مطابق ترتیب دیے گئے تمام قدرتی نمبروں کے سیٹ کا آرڈینل نمبر ہے۔ ترتیب کو نظر انداز کرتے ہوئے، ہمارے پاس کارڈینل نمبر |N | = |ω | = رہ جاتا ہے۔ آرڈینل نمبروں کی تعریف اسی طریقہ سے کی جا سکتی ہے جو کارڈینل نمبروں کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ایک ہی ترتیب کی قسم کے لیے دو اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹوں کی وضاحت کریں: ترتیب کا احترام کرتے ہوئے دونوں سیٹوں کے درمیان ایک بائیجیکشن موجود ہے: چھوٹے عناصر کو چھوٹے عناصر میں نقشہ بنایا جاتا ہے۔ پھر ایک آرڈینل نمبر، تعریف کے مطابق، ایک کلاس ہے جو ایک ہی ترتیب کی قسم کے تمام اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹوں پر مشتمل ہے۔ ایک ہی ترتیب کی قسم کا ہونا اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹوں کی کلاس پر ایک مساوات کا تعلق ہے، اور آرڈینل نمبر مساوات کی کلاسیں ہیں۔ ایک ہی ترتیب کی قسم کے دو سیٹوں میں ایک ہی کارڈینالیٹی ہوتی ہے۔ اس کے برعکس عام طور پر لامحدود سیٹوں کے لیے درست نہیں ہے: قدرتی اعداد کے سیٹ پر مختلف ویل آرڈر لگانا ممکن ہے جو مختلف آرڈینل نمبروں کو جنم دیتے ہیں۔ آرڈینلز پر ایک قدرتی ترتیب ہے، جو خود ایک اچھی ترتیب ہے۔ کسی بھی آرڈینل α کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی α سے کم تمام آرڈینلز کے سیٹ پر غور کر سکتا ہے۔ اس سیٹ میں آرڈینل نمبر α نکلتا ہے۔ یہ مشاہدہ آرڈینلز کو متعارف کرانے کے ایک مختلف طریقے کے لیے استعمال ہوتا ہے، جس میں ایک آرڈینل کو تمام چھوٹے آرڈینلز کے سیٹ کے برابر کیا جاتا ہے۔ آرڈینل نمبر کی یہ شکل اس طرح مساوات کلاس کی سابقہ شکل کا ایک مستند نمائندہ ہے۔ ایک سیٹ S (اس کے عناصر کے تمام ممکنہ انتخاب) کے تمام ذیلی سیٹ بنانے سے، ہم پاور سیٹ P (S) حاصل کرتے ہیں۔ جارج کینٹر نے ثابت کیا کہ پاور سیٹ ہمیشہ سیٹ سے بڑا ہوتا ہے، یعنی، |P (S) |> |S |۔ کینٹر تھیوریم کا ایک خاص معاملہ یہ ثابت کرتا ہے کہ تمام حقیقی اعداد R کے سیٹ کو قدرتی اعداد سے شمار نہیں کیا جا سکتا۔ R ناقابل شمار ہے: |R |> |N |۔ لامحدود سیٹوں کے تضادات مبہم وضاحتوں پر انحصار کرنے کے بجائے جیسے کہ "جسے بڑھایا نہیں جا سکتا" یا "پابند کے بغیر بڑھ رہا ہے"، سیٹ تھیوری لامحدود سیٹ کی اصطلاح کے لیے تعریفیں فراہم کرتا ہے تاکہ "تمام قدرتی اعداد کا مجموعہ لامحدود ہے" جیسے فقروں کو غیر واضح معنی دیا جا سکے۔ جیسا کہ محدود سیٹوں کے لیے، نظریہ مزید تعریفیں بناتا ہے جو ہمیں دو لامحدود سیٹوں کا مستقل موازنہ کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ آیا ایک سیٹ دوسرے سے "بڑا"، "چھوٹا"، یا "ایک ہی سائز" ہے۔ لیکن محدود سیٹوں کے سائز سے متعلق ہر وجدان لامحدود سیٹوں کے سائز پر لاگو نہیں ہوتا ہے، جس کی وجہ سے گنتی، سائز، پیمائش اور ترتیب کے حوالے سے مختلف بظاہر متضاد نتائج سامنے آتے ہیں۔ گنتی کے تضادات سیٹ تھیوری متعارف ہونے سے پہلے، سیٹ کے سائز کا تصور دشواری کا شکار تھا۔ اس پر گیلیلیو گیلیلی اور برنارڈ بولزانو سمیت دیگر افراد نے تبادلہ خیال کیا تھا۔ جب گنتی کے طریقہ کار سے ماپا جائے تو کیا قدرتی اعداد کے مربع کے برابر قدرتی اعداد موجود ہیں؟ جواب ہاں میں ہے، کیونکہ ہر قدرتی عدد n کے لیے ایک مربع عدد n2 ہوتا ہے، اور اسی طرح دوسری طرف بھی۔ جواب نہیں ہے، کیونکہ مربع قدرتی کا ایک مناسب ذیلی مجموعہ ہیں: ہر مربع ایک قدرتی عدد ہے لیکن قدرتی اعداد ہیں، جیسے 2، جو قدرتی اعداد کے مربع نہیں ہیں۔ کسی سیٹ کے سائز کے تصور کو اس کی بنیادی حیثیت کے لحاظ سے بیان کرکے، اس مسئلے کو حل کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ اس میں شامل دو سیٹوں کے درمیان ایک بائیجیکشن ہے، یہ حقیقت میں کسی سیٹ کی کارڈینالیٹی کی تعریف سے براہ راست پیروی کرتا ہے۔ گنتی کے تضادات کے بارے میں مزید جاننے کے لیے گرینڈ ہوٹل کا ہلبرٹ کا تضاد دیکھیں۔ میں اسے دیکھتا ہوں لیکن مجھے یقین نہیں آتا، کینٹر نے رچرڈ ڈیڈیکنڈ کو یہ ثابت کرنے کے بعد لکھا کہ مربع کے پوائنٹس کے سیٹ میں وہی کارڈینالیٹی ہوتی ہے جو مربع کے صرف ایک کنارے پر موجود پوائنٹس کی ہوتی ہے: تسلسل کی کارڈینالیٹی۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ سیٹوں کا "سائز" جیسا کہ صرف کارڈینیلیٹی کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے، سیٹوں کا موازنہ کرنے کا واحد مفید طریقہ نہیں ہے۔ پیمائش کا نظریہ سائز کا ایک زیادہ باریک نظریہ فراہم کرتا ہے جو ہمارے اس وجدان سے مطابقت رکھتا ہے کہ لمبائی اور رقبہ سائز کی متضاد پیمائش ہیں۔ شواہد سے مضبوطی سے پتہ چلتا ہے کہ کینٹر خود نتیجہ پر کافی پراعتماد تھا اور ڈیڈیکنڈ پر اس کا تبصرہ اس کے بجائے اس کے ثبوت کی صداقت کے بارے میں اس کے اس وقت کے اب تک کے خدشات کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ بہر حال، کینٹر کا تبصرہ اس حیرت کا اظہار کرنے کے لیے بھی اچھی طرح سے کام کرے گا کہ اس کے بعد بہت سے ریاضی دانوں نے پہلی بار ایسے نتیجے کا سامنا کرنے کا تجربہ کیا ہے جو اتنا متضاد ہے۔ 1904 میں ارنسٹ زرمیلو نے انتخاب کے محور (جو اس وجہ سے متعارف کرایا گیا تھا) کے ذریعے ثابت کیا کہ ہر سیٹ کو اچھی طرح سے ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ 1963 میں پال جے کوہن نے دکھایا کہ زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری میں انتخاب کے محور کے بغیر حقیقی اعداد کی اچھی ترتیب کے وجود کو ثابت کرنا ممکن نہیں ہے۔ تاہم، کسی بھی سیٹ کو اچھی طرح سے ترتیب دینے کی صلاحیت بعض تعمیرات کو انجام دینے کی اجازت دیتی ہے جنہیں متضاد کہا گیا ہے۔ ایک مثال بناچ-ترسکی پیراڈوکس ہے، ایک نظریہ جسے وسیع پیمانے پر غیر بدیہی سمجھا جاتا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ ایک مقررہ رداس کی گیند کو محدود تعداد میں ٹکڑوں میں تحلیل کرنا ممکن ہے اور پھر ایک اصل کاپی سے دو کاپیاں حاصل کرنے کے لیے عام ترجمے اور گردش (بغیر اسکیلنگ کے) کے ذریعے ان ٹکڑوں کو منتقل اور دوبارہ جمع کرنا ممکن ہے۔ ان ٹکڑوں کی تعمیر کے لیے پسند کے محور کی ضرورت ہوتی ہے۔ ٹکڑے گیند کے سادہ علاقے نہیں ہوتے بلکہ پیچیدہ ذیلی سیٹ ہوتے ہیں۔ سپر ٹاسک کے تضادات سیٹ تھیوری میں، ایک لامحدود سیٹ کو کسی ریاضیاتی عمل سے تخلیق نہیں سمجھا جاتا ہے جیسے کہ "ایک عنصر کو شامل کرنا" جو اس کے بعد "لامحدود تعداد میں بار" انجام دیا جاتا ہے۔ اس کے بجائے، ایک خاص لامحدود سیٹ (جیسے کہ تمام قدرتی اعداد کا سیٹ) پہلے سے ہی موجود ہے، "فائیٹ کے ذریعہ"، ایک مفروضہ یا محوری کے طور پر کہا جاتا ہے۔ اس لامحدود سیٹ کو دیکھتے ہوئے، دوسرے لامحدود سیٹ بھی ایک منطقی نتیجہ کے طور پر موجود ثابت ہوتے ہیں۔ لیکن یہ اب بھی ایک فطری فلسفیانہ سوال ہے کہ کسی جسمانی عمل پر غور کیا جائے جو دراصل لامحدود تعداد میں مجرد مراحل کے بعد مکمل ہوتا ہے۔ اور سیٹ تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے اس سوال کی تشریح سپر ٹاسک کے تضادات کو جنم دیتی ہے۔ لارنس سٹرن کے ایک ناول کے ہیرو ٹرسٹرم شینڈی ٹرسٹرم شینڈی کی ڈائری میں ان کی سوانح عمری اتنی دیانتداری سے لکھی گئی ہے کہ انہیں ایک دن کے واقعات بیان کرنے میں ایک سال لگتا ہے۔ اگر وہ فانی ہے تو وہ کبھی ختم نہیں کر سکتا ؛ لیکن اگر وہ ہمیشہ زندہ رہا تو اس کی ڈائری کا کوئی حصہ غیر تحریری نہیں رہے گا، کیونکہ اس کی زندگی کے ہر دن اس دن کی تفصیل کے لیے وقف ایک سال مطابقت رکھتا ہے۔ راس-لٹل ووڈ پیراڈوکس اس قسم کے پیراڈوکس کا ایک بڑھا ہوا ورژن لامحدود ریموٹ فنش کو ایک محدود وقت میں منتقل کرتا ہے۔ ایک بڑے ذخیرے کو 1 سے 10 تک کے نمبروں سے گنتی کی گئی گیندوں سے بھریں اور گیند نمبر 1 کو اتار دیں۔ پھر 11 سے 20 نمبروں میں شمار کی گئی گیندوں کو شامل کریں اور نمبر 2 کو اتار دیں۔ 10n-9 سے 10n تک کے نمبروں سے شمار شدہ گیندوں کو جوڑتے رہیں اور تمام قدرتی نمبروں n = 3، 4، 5 کے لیے بال نمبر n کو ہٹاتے رہیں۔ پہلے لین دین کو آدھے گھنٹے تک جاری رہنے دیں، دوسرے لین دین کو سہ ماہی ایک گھنٹے تک جاری رہنے دیں، اور اسی طرح، تاکہ تمام لین دین ایک گھنٹے کے بعد ختم ہو جائیں۔ ظاہر ہے کہ ذخائر میں گیندوں کا مجموعہ بغیر کسی پابندی کے بڑھ جاتا ہے۔ اس کے باوجود، ایک گھنٹے کے بعد ذخیرہ خالی ہو جاتا ہے کیونکہ ہر گیند کو ہٹانے کا وقت معلوم ہوتا ہے۔ ہٹانے کی ترتیب کی اہمیت سے تضاد مزید بڑھ جاتا ہے۔ اگر گیندوں کو ترتیب 1، 2، 3 میں نہیں ہٹایا جاتا ہے، لیکن ترتیب 1، 11، 21 میں، ایک گھنٹے کے بعد لامحدود طور پر بہت سی گیندیں ذخائر کو آباد کرتی ہیں، حالانکہ پہلے کی طرح ہی مواد کو منتقل کیا گیا ہے۔ ثبوت اور تعریف کے تضادات لامحدود سیٹوں سے متعلق سوالات کو حل کرنے میں اس کی تمام افادیت کے لیے، بے وقوف سیٹ تھیوری میں کچھ مہلک خامیاں ہیں۔ خاص طور پر، یہ منطقی تضادات کا شکار ہے جیسے کہ رسل کے تضادات سے بے نقاب۔ ان تضادات کی دریافت سے یہ بات سامنے آئی کہ وہ تمام سیٹ جن کو بے وقوف سیٹ تھیوری کی زبان میں بیان کیا جا سکتا ہے، دراصل کوئی تضاد پیدا کیے بغیر موجود نہیں کہا جا سکتا۔ 20 ویں صدی میں آج کل عام استعمال میں زیڈ ایف سی اور این بی جی جیسے سیٹ تھیوریز کے مختلف محوریات کی ترقی میں ان تضادات کا حل دیکھا گیا۔ تاہم، ان نظریات کی انتہائی رسمی اور علامتی زبان اور ریاضیاتی زبان کے ہمارے عام غیر رسمی استعمال کے درمیان فرق کے نتیجے میں مختلف متضاد حالات پیدا ہوتے ہیں، ساتھ ہی یہ فلسفیانہ سوال بھی پیدا ہوتا ہے کہ اس طرح کے رسمی نظام اصل میں کس کے بارے میں بات کرنے کی تجویز کرتے ہیں۔ ابتدائی تضادات: تمام سیٹوں کا مجموعہ 1897 میں اطالوی ریاضی دان سیزر بورالی فورٹی نے دریافت کیا کہ کوئی سیٹ نہیں ہے جس میں تمام آرڈینل نمبر ہوں۔ جیسا کہ ہر آرڈینل نمبر کی تعریف چھوٹے آرڈینل نمبروں کے ایک سیٹ سے کی جاتی ہے، تمام آرڈینل نمبروں کا اچھی طرح سے ترتیب دیا ہوا سیٹ (اگر یہ موجود ہے) تعریف کے مطابق ہے اور خود ایک آرڈینل ہے۔ دوسری طرف، کوئی بھی آرڈینل نمبر خود پر مشتمل نہیں ہو سکتا، اس لیے ω آرڈینل نہیں ہو سکتا۔ لہذا، تمام آرڈینل نمبروں کا مجموعہ موجود نہیں ہو سکتا۔ 19 ویں صدی کے آخر تک کینٹر تمام کارڈینل نمبروں کے سیٹ اور تمام آرڈینل نمبروں کے سیٹ کے عدم وجود سے واقف تھا۔ ڈیوڈ ہلبرٹ اور رچرڈ ڈیڈیکنڈ کو لکھے گئے خطوط میں انہوں نے متضاد سیٹوں کے بارے میں لکھا، جن کے عناصر کو ایک ساتھ نہیں سمجھا جا سکتا، اور انہوں نے اس نتیجے کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا کہ ہر مستقل سیٹ کا ایک کارڈینل نمبر ہوتا ہے۔ اس سب کے بعد، 1903 میں برٹرینڈ رسل کے تصور کردہ "سیٹ آف آل سیٹس" پیراڈوکس کا ورژن سیٹ تھیوری میں ایک سنگین بحران کا باعث بنا۔ رسل نے تسلیم کیا کہ بیان x = x ہر سیٹ کے لیے درست ہے، اور اس طرح تمام سیٹوں کے سیٹ کی تعریف {x | x = x} سے کی جاتی ہے۔ 1906 میں انہوں نے کئی پیراڈوکس سیٹ بنائے، جن میں سے سب سے مشہور ان تمام سیٹوں کا سیٹ ہے جو خود پر مشتمل نہیں ہیں۔ رسل نے خود کچھ بہت ہی ٹھوس تصاویر کے ذریعے اس تجریدی خیال کی وضاحت کی۔ ایک مثال، جسے حجام پیراڈوکس کے نام سے جانا جاتا ہے، بیان کرتا ہے: مرد حجام جو تمام اور صرف ان مردوں کو منڈواتا ہے جو خود منڈواتے نہیں ہیں اسے صرف اس صورت میں خود منڈوانا پڑتا ہے جب وہ خود منڈواتا نہیں ہے۔ سیٹ تھیوری میں رسل کے پیراڈوکس اور گریلنگ نیلسن پیراڈوکس کے درمیان قریبی مماثلت ہے، جو قدرتی زبان میں ایک پیراڈوکس کو ظاہر کرتی ہے۔ زبان کی تبدیلی سے تضادات کونگ کا تضاد 1905 میں ہنگری کے ریاضی دان جولیس کونگ نے اس حقیقت کی بنیاد پر ایک تضاد شائع کیا کہ صرف بہت سی محدود تعریفیں موجود ہیں۔ اگر ہم حقیقی اعداد کو ایک اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹ کے طور پر تصور کرتے ہیں، تو وہ حقیقی اعداد جن کی حتمی وضاحت کی جا سکتی ہے ایک ذیلی سیٹ تشکیل دیتے ہیں۔ لہذا اس اچھی ترتیب میں ایک پہلا حقیقی عدد ہونا چاہیے جو حتمی طور پر متعین نہ ہو۔ یہ متضاد ہے، کیونکہ اس حقیقی نمبر کو ابھی آخری جملے سے حتمی طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ بے وقوف سیٹ تھیوری میں تضاد کا باعث بنتا ہے۔ محوری سیٹ تھیوری میں اس تضاد سے گریز کیا جاتا ہے۔ اگرچہ کسی سیٹ کے بارے میں کسی تجویز کو بطور سیٹ پیش کرنا ممکن ہے، کوڈوں کے نظام کے ذریعے جسے گوڈل نمبرز کہا جاتا ہے، سیٹ تھیوری کی زبان میں ایسا کوئی فارمولا نہیں ہے جو کسی سیٹ کے بارے میں محدود تجویز کے لیے کوڈ ہو، ایک سیٹ ہو، اور اس کے لیے ہو۔ یہ نتیجہ تارسکی کے غیر متعین تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ رسمی نظاموں کے ایک وسیع طبقے پر لاگو ہوتا ہے جس میں سیٹ تھیوری کے تمام عام طور پر زیر مطالعہ محوریات شامل ہیں۔ اسی سال فرانسیسی ریاضی دان جولس رچرڈ نے بے وقوف سیٹ تھیوری میں ایک اور تضاد حاصل کرنے کے لیے کینٹر کے اخترن طریقہ کار کی ایک قسم کا استعمال کیا۔ الفاظ کے تمام محدود مجموعوں کے سیٹ A پر غور کریں۔ حقیقی اعداد کی تمام محدود تعریفوں کا مجموعہ E، A کا ذیلی مجموعہ ہے۔ جیسا کہ A قابل شمار ہے، اسی طرح E بھی ہے۔ فرض کریں کہ p سیٹ E کے ذریعہ بیان کردہ n ویں حقیقی نمبر کا n واں اعشاریہ ہے۔ ہم ایک نمبر N بناتے ہیں جس میں انٹیگرل حصے کے لیے صفر ہوتا ہے اور n ویں اعشاریہ کے لیے p + 1 ہوتا ہے اگر p 8 یا 9 کے برابر نہیں ہے، اور اتحاد اگر p 8 یا 9 کے برابر ہے۔ اس نمبر N کی تعریف سیٹ E سے نہیں کی گئی ہے کیونکہ یہ کسی بھی حتمی طور پر بیان کردہ حقیقی نمبر سے مختلف ہے، یعنی n ویں نمبر سے n ویں ہندسے کے لحاظ سے۔ لیکن اس پیراگراف میں N کی تعریف الفاظ کی ایک محدود تعداد سے کی گئی ہے۔ اس لیے یہ سیٹ ای میں ہونا چاہیے۔ یہ ایک تضاد ہے۔ کونگ کے پیراڈوکس کی طرح، اس پیراڈوکس کو محوری سیٹ تھیوری میں باضابطہ نہیں کیا جا سکتا کیونکہ اس کے لیے یہ بتانے کی صلاحیت کی ضرورت ہوتی ہے کہ آیا کوئی تفصیل کسی خاص سیٹ پر لاگو ہوتی ہے (یا، مساوی طور پر، یہ بتانے کے لیے کہ آیا کوئی فارمولا دراصل کسی ایک سیٹ کی تعریف ہے)۔ جرمن ریاضی دان لیوپولڈ لووینہیم (1915) کے کام پر مبنی ناروے کے منطق تھورالف سکولم نے 1922 میں دکھایا کہ سیٹ تھیوری جیسے فرسٹ آرڈر پریڈیکیٹ کیلکولس کے ہر مستقل نظریہ کا ایک قابل شمار نمونہ ہوتا ہے۔ تاہم، کینٹر کا نظریہ ثابت کرتا ہے کہ بے شمار سیٹ موجود ہیں۔ اس بظاہر تضاد کی جڑ یہ ہے کہ کسی سیٹ کی گنتی یا غیر گنتی ہمیشہ مطلق نہیں ہوتی، لیکن اس ماڈل پر منحصر ہو سکتی ہے جس میں کارڈینالیٹی کی پیمائش کی جاتی ہے۔ سیٹ تھیوری کے ایک ماڈل میں کسی سیٹ کا بے شمار ہونا ممکن ہے لیکن بڑے ماڈل میں قابل شمار ہونا ممکن ہے (کیونکہ گنتی کو قائم کرنے والے بائیجیکشن بڑے ماڈل میں ہوتے ہیں لیکن چھوٹے میں نہیں)۔ یہ بھی دیکھیں کہ ناممکنات کا ثبوت بیری پیراڈوکس نوٹس حوالہ جات جی۔ کینٹر: ریاضی اور فلسفیانہ انہالٹس، ای۔ زرمیلو (ایڈ۔ )، اولمس، ہلڈسہیم 1966۔ ایچ۔ میسچکووسکی، ڈبلیو۔ نیلسن: جارج کینٹر-بریف، سپرنگر، برلن 1991۔ اے۔ فرینکل: مینجینلیہرے، سپرنگر، برلن 1923 میں۔ اے۔ اے۔ فرینکل، اے۔ لیوی: تجریدی سیٹ تھیوری، نارتھ ہالینڈ، ایمسٹرڈیم 1976۔ ایف ہاؤزڈورف: گرونڈزج ڈیر مینگینلیہرے، چیلسی، نیویارک 1965۔ بی رسل: ریاضی کے اصول I، کیمبرج 1903۔ ب۔ رسل: ٹرانسفائنٹ نمبروں اور ترتیب کی اقسام کے نظریہ میں کچھ مشکلات پر، پروک۔ لندن ریاضی۔ سوک۔ (2) 4 (1907) 29-53۔ پی جے کوہن: سیٹ تھیوری اینڈ دی کنٹینم ہائپوتھیسس، بینجمن، نیویارک 1966۔ ایس ویگن: دی بناچ-ٹارسکی پیراڈوکس، کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج 1985۔ اے۔ این۔ وائٹ ہیڈ، بی۔ رسل: پرنسپیا میتھمیٹکا اول، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس، کیمبرج 1910، صفحہ 64۔ ای۔ زرمیلو: ماتھ۔ این۔ 65 (1908) پی۔ 107-128۔ بیرونی روابط پرنسپیا میتھمیٹکا ڈیفینیبلٹی پیراڈوکس از ٹموتھی گوورز سیٹ تھیوری سیٹ تھیوری