Standard conjectures on algebraic cycles
ریاضی میں، الجبرائی چکروں کے بارے میں معیاری قیاس آرائیاں کئی قیاس آرائیاں ہیں جو الجبرائی چکروں اور ویل کوہمولوجی کے نظریات کے تعلقات کو بیان کرتی ہیں۔ ان قیاس آرائیوں کی اصل ایپلی کیشنز میں سے ایک، جس کا تصور الیگزینڈر گروتھینڈیک نے کیا تھا، یہ ثابت کرنا تھا کہ اس کے خالص محرکات کی تعمیر نے ایک ابیلین زمرہ دیا جو نیم آسان ہے۔ مزید برآں، جیسا کہ انہوں نے نشاندہی کی، معیاری قیاس آرائیاں بھی ویل قیاس آرائیوں کے سب سے مشکل حصے کا اشارہ کرتی ہیں، یعنی "ریمن مفروضہ" قیاس جو 1960 کی دہائی کے آخر میں کھلا رہا اور بعد میں پیئر ڈیلیگن نے ثابت کیا۔ ویل اور معیاری قیاس آرائیوں کے درمیان تعلق کی تفصیلات کے لیے، دیکھیں۔ معیاری قیاس آرائیاں کھلے مسائل بنی رہتی ہیں، تاکہ ان کا اطلاق نتائج کے صرف مشروط ثبوت فراہم کرے۔ بہت سے معاملات میں، بشمول ویل قیاس آرائیوں میں، اس طرح کے نتائج کو غیر مشروط طور پر ثابت کرنے کے دوسرے طریقے پائے گئے ہیں۔ معیاری قیاس آرائیوں کی کلاسیکی فارمولیشن میں ایک فکسڈ ویل کوہمولوجی تھیوری شامل ہے۔ تمام قیاس آرائیاں "الجبرائی" کوہمولوجی کلاسوں سے متعلق ہیں، جس کا مطلب سائیکل کلاس کے نقشے کے ذریعے پروڈکٹ پر عقلی گتانک کے ساتھ الجبرائی سائیکل کے ذریعے متاثر ہونے والی ہموار پروجیکٹو قسم کی کوہمولوجی پر مورفزم ہے، جو ویل کوہمولوجی تھیوری کے ڈھانچے کا حصہ ہے۔ قیاس اے قیاس بی کے مساوی ہے (دیکھیں، صفحہ 196)، اور اس لیے درج نہیں ہے۔ لیفشیٹز قسم کا معیاری قیاس (قیاس بی) ویل تھیوری کے محوروں میں سے ایک نام نہاد ہارڈ لیفشیٹز تھیوریم (یا محور) ہے: ایک مقررہ ہموار ہائپرپلین سیکشن سے شروع کریں، جہاں وسیع پروجیکٹو اسپیس میں دی گئی ہموار پروجیکٹو قسم ہے اور یہ ایک ہائپرپلین ہے۔ پھر کے لیے، لیفشیٹز آپریٹر، جس کی تعریف کوہمولوجی کلاسوں کو ایک دوسرے کے ساتھ جوڑ کر کی جاتی ہے، ایک آئسومورفزم دیتا ہے۔ اب، وضاحت کے لیے: قیاس یہ بتاتا ہے کہ لیفشیٹز آپریٹر () الجبرائی سائیکل سے متاثر ہوتا ہے۔ کونیتھ قسم کا معیاری قیاس (قیاس سی) یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ پروجیکٹر الجبرائی ہیں، یعنی۔ عقلی گتانک کے ساتھ ایک سائیکل کی طرف سے حوصلہ افزائی. اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی ہموار پروجیکٹو قسم (اور زیادہ عام طور پر، ہر خالص مقصد) کا مقصد محرکات کے طور پر تحلیل ہو جاتا ہے اور اسے ہمیشہ براہ راست خلاصہ کے طور پر تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے قیاس فوری طور پر منحنی خطوط کے لیے موزوں ہے۔ یہ سطحوں کے لیے ثابت ہوا۔ صوابدیدی طول و عرض میں محدود فیلڈز پر بیان کردہ الجبرائی اقسام کے قیاس کو ظاہر کرنے کے لیے ویل قیاس آرائیوں کا استعمال کیا ہے۔ ابیلین اقسام A کے لیے کونیتھ سڑنے کو ثابت کیا۔ A کے چو مقصد کے فنکٹوریئل کونیتھ سڑنے کو اس طرح ظاہر کر کے اس نتیجے کو بہتر بنایا کہ ابیلین قسم پر n-ضرب i-th مجموعہ کے طور پر کام کرتی ہے۔ ہلبرٹ اسکیم کے لیے ہموار سطح پر پوائنٹس کی کونیتھ سڑن کو ثابت کیا۔ قیاس D (عددی مساوات بمقابلہ ہومولوجیکل مساوات) قیاس D بیان کرتا ہے کہ عددی اور ہومولوجیکل مساوات متفق ہیں۔ (اس کا مطلب یہ ہے کہ خاص طور پر مؤخر الذکر کا انحصار ویل کوہمولوجی تھیوری کے انتخاب پر نہیں ہے)۔ یہ قیاس لیفشیٹز کے قیاس کو ظاہر کرتا ہے۔ اگر ہج معیاری قیاس آرائی برقرار ہے، تو لیفشیٹز قیاس آرائی اور قیاس ڈی مساوی ہیں۔ یہ قیاس لیبرمین نے طول و عرض کی اقسام کے لیے زیادہ سے زیادہ 4، اور ابیلین اقسام کے لیے دکھایا تھا۔ دی ہج اسٹینڈرڈ کنجیکچر دی ہج اسٹینڈرڈ کنجیکچر کو ہج انڈیکس تھیوریم پر بنایا گیا ہے۔ یہ ابتدائی الجبرائی کوہمولوجی کلاسوں پر کپ پروڈکٹ کی جوڑی کی قطعی (مثبت یا منفی، طول و عرض کے مطابق) بیان کرتا ہے۔ اگر ایسا ہے تو لیفشیٹز قیاس آرائی سے مراد قیاس ڈی ہے۔ خصوصیت صفر میں ہج معیاری قیاس آرائی ہوتی ہے، جو کہ ہج تھیوری کا نتیجہ ہے۔ مثبت خصوصیت میں ہج معیاری قیاس سطحوں () اور طول و عرض 4 () کی ابیلین اقسام کے لیے جانا جاتا ہے۔ ہج معیاری قیاس آرائی کو ہج قیاس آرائی کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے جس میں کہا گیا ہے کہ ہموار پروجیکٹو اقسام کے لیے، ہر عقلی-کلاس الجبرائی ہے۔ ہج قیاس سے مراد لیفشیٹز اور کونیتھ قیاس آرائیاں اور قیاس ڈی ہے جو خصوصیت صفر کے شعبوں پر مختلف قسموں کے لیے ہے۔ ٹیٹ قیاس آرائی سے مراد تمام شعبوں میں ایل-ایڈک کوہمولوجی کے لیے لیفشیٹز، کونیتھ، اور قیاس ڈی ہے۔ معیاری قیاس آرائیوں کی مستقل خصوصیات دو الجبرائی اقسام X اور Y کے لیے، ایک شرط متعارف کرائی گئی ہے کہ Y X سے متحرک ہے۔ عین مطابق شرط یہ ہے کہ Y کا محرک (آندرے کے محرکات کے زمرے میں) X کے محرک سے رقم، خلاصہ اور مصنوعات کے ذریعے ظاہر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی سرجیکٹو مورفزم ہو تو Y متحرک ہوتا ہے۔ اگر Y زمرہ میں نہیں پایا جاتا ہے، تو یہ اس تناظر میں غیر متحرک ہے۔ ہموار پروجیکٹو پیچیدہ الجبرائی اقسام X اور Y کے لیے، جیسے کہ Y X سے متاثر ہوتا ہے، معیاری قیاس D (یکساں مساوات عددی کے برابر ہے)، B (لیفشیٹز)، ہج قیاس اور Y کے لیے عمومی ہج قیاس بھی اگر وہ X کی تمام طاقتوں کو برقرار رکھتے ہیں۔ اس حقیقت کا اطلاق، مثال کے طور پر، الجبرائی سطح پر پوائنٹس کی ہلبرٹ اسکیم کے لیے لیفشیٹز قیاس کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ دیگر قیاس آرائیوں سے تعلق سے پتہ چلتا ہے کہ محرکات کے مثلث زمرے پر نام نہاد محرک ٹی ساخت کا (قیاس آرائی) وجود لیفشیٹز اور کونیتھ معیاری قیاس آرائیوں بی اور سی سے مراد ہے۔ حوالہ جات۔ ۔ ۔ بیرونی روابط الجبرائی چکروں پر معیاری قیاس آرائیوں پر پیش رفت اینالاگس کیلریئنز ڈی سیریٹس قیاس آرائیاں ڈی ویل۔ جے-پی سیرے (ایکسٹریٹ ڈی یون لیٹری اے ویل، 9 نومبر 1959) الجبرائی جیومیٹری کو اسکین کرتا ہے جیومیٹری میں غیر حل شدہ مسائل کے قیاس آرائیاں