Spectral element method
جزوی تفریقی مساوات کے عددی حل میں، جو ریاضی کا ایک موضوع ہے، سپیکٹرم عنصر طریقہ (SEM) محدود عنصر طریقہ (FEM) کی تشکیل ہے جو ہائی ڈگری پیس وائز کثیر الجہتی کو بنیادی افعال کے طور پر استعمال کرتا ہے۔ سپیکٹرم عنصر کا طریقہ 1984 کے ایک مقالے میں اے ٹی پٹیرا نے متعارف کرایا تھا۔ اگرچہ پٹیرا کو طریقہ کار کی ترقی کا سہرا دیا جاتا ہے، لیکن ان کا کام ایک موجودہ طریقہ کار کی دوبارہ دریافت تھا (دیکھیں ڈویلپمنٹ ہسٹری) بحث سپیکٹرم طریقہ مثلثی سیریز میں حل کو وسعت دیتا ہے، ایک اہم فائدہ یہ ہے کہ اس کے نتیجے میں طریقہ بہت اعلی ترتیب کا ہوتا ہے۔ یہ نقطہ نظر اس حقیقت پر منحصر ہے کہ مثلثی کثیر الجہتی ایک آرتھونورمل بنیاد ہیں۔ سپیکٹرم عنصر کا طریقہ اس کے بجائے ایک ہائی ڈگری پیس وائز کثیر الجہتی بنیادی افعال کا انتخاب کرتا ہے، جس سے درستگی کا ایک بہت ہی اعلی آرڈر بھی حاصل ہوتا ہے۔ اس طرح کے کثیر الجہتی عام طور پر غیر یکساں فاصلے والے نوڈس پر آرتھوگنل چیبیشیف کثیر الجہتی یا بہت اعلی درجے کے لگرینج کثیر الجہتی ہوتے ہیں۔ ایس ای ایم میں کمپیوٹیشنل غلطی تیزی سے کم ہوتی جاتی ہے جیسے جیسے کثیر الجہتی کا تخمینہ لگانے کی ترتیب میں اضافہ ہوتا ہے، اس لیے ایف ای ایم کے مقابلے میں ساخت کی آزادی کی کم ڈگریوں کے ساتھ عین حل کا تیزی سے ارتکاز محسوس ہوتا ہے۔ ساختی صحت کی نگرانی میں، ایف ای ایم کو کسی ڈھانچے میں بڑی خامیوں کا پتہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن جیسے جیسے خامی کا سائز کم ہوتا جاتا ہے، ہائی فریکوئنسی ویو استعمال کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اعلی تعدد لہر کے پھیلاؤ کی تقلید کرنے کے لیے درکار ایف ای ایم میش بہت عمدہ ہے جس کے نتیجے میں کمپیوٹیشنل وقت میں اضافہ ہوتا ہے۔ دوسری طرف، SEM کم ڈگری آف فریڈم کے ساتھ اچھی درستگی فراہم کرتا ہے۔ نوڈس کی عدم یکسانیت ماس میٹرکس ڈائیگنل بنانے میں مدد کرتی ہے، جس سے وقت اور میموری کی بچت ہوتی ہے اور مرکزی فرق طریقہ (سی ڈی ایم) کو اپنانے کے لیے بھی مفید ہے۔ SEM کے نقصانات میں FEM کی لچک کے مقابلے پیچیدہ جیومیٹری کی ماڈلنگ میں دشواری شامل ہے۔ اگرچہ اس طریقہ کو موڈل پیس وائز آرتھوگنل کثیر الجہتی بنیاد کے ساتھ لاگو کیا جاسکتا ہے، لیکن اسے اکثر نوڈل ٹینسر پروڈکٹ لگرینج بنیاد کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے۔ یہ طریقہ نوڈل پوائنٹس کو لیجنڈری-گاؤس-لوبیٹو (ایل جی ایل) پوائنٹس پر رکھ کر اور اسی نوڈس کا استعمال کرتے ہوئے کم شدہ گاؤس-لوبیٹو کواڈریچر کے ساتھ گیلرکن طریقہ انضمام انجام دے کر اپنی کارکردگی حاصل کرتا ہے۔ اس امتزاج کے ساتھ، آسانیوں کا نتیجہ اس طرح نکلتا ہے کہ تمام نوڈس پر بڑے پیمانے پر لمپنگ ہوتی ہے اور اندرونی نکات پر کولاکیشن کے طریقہ کار کا نتیجہ نکلتا ہے۔ اس طریقہ کار کی سب سے زیادہ مقبول ایپلی کیشنز کمپیوٹیشنل فلوئڈ ڈائنامکس اور زلزلے کی لہر کے پھیلاؤ کی ماڈلنگ میں ہیں۔ گیلرکن کے طریقوں اور سیئ کے لیما کا کلاسیکی تجزیہ یہاں موجود ہے اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ، اگر کمزور مساوات کا حل ہے تو، تخمینہ حل ہے اور: جہاں ڈومین کی تفریق سے متعلق ہے (یعنی۔ عنصر کی لمبائی)، سے آزاد ہے، اور ٹکڑے ٹکڑے کی کثیر الجہتی بنیاد کی ڈگری سے بڑا نہیں ہے۔ مضبوط ٹوپولوجیز میں غلطی کو پابند کرنے کے لیے اسی طرح کے نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ اگر جیسے جیسے ہم بڑھتے جائیں، ہم بیس افعال کی ڈگری میں بھی اضافہ کر سکتے ہیں۔ اس صورت میں، اگر ایک تجزیاتی فعل ہے: جہاں صرف اس پر منحصر ہے۔ ہائبرڈ-کولاکیشن-گیلرکن میں کچھ سپر کنورجنس خصوصیات ہیں۔ ایس ای ایم کی ایل جی ایل شکل مساوی ہے، لہذا یہ وہی سپر کنورجنس خصوصیات حاصل کرتی ہے۔ طریقہ کار کی سب سے مشہور ایل جی ایل شکل کی ترقی کو عام طور پر میڈے اور پٹیرا سے منسوب کیا جاتا ہے۔ تاہم، یہ ایک دہائی سے زیادہ پہلے تیار کیا گیا تھا۔ سب سے پہلے، ہائبرڈ-کولاکیشن-گیلرکن طریقہ (ایچ سی جی ایم) ہے، جو اندرونی لوباٹو پوائنٹس پر کولاکیشن کا اطلاق کرتا ہے اور عنصر انٹرفیس پر گیلرکن جیسے لازمی طریقہ کار کا استعمال کرتا ہے۔ ینگ کی طرف سے بیان کردہ لوبیٹو-گیلرکن طریقہ SEM سے ملتا جلتا ہے، جبکہ HCGM ان طریقوں کے مساوی ہے۔ اس ابتدائی کام کو سپیکٹرم ادب میں نظر انداز کر دیا گیا ہے۔ متعلقہ طریقے G-NI یا SEM-NI سب سے زیادہ استعمال ہونے والے سپیکٹرم طریقے ہیں۔ بالترتیب جی-این آئی یا ایس ای ایم-این آئی کے لیے سپیکٹرم طریقوں یا سپیکٹرم عنصر طریقوں کی گیلرکن تشکیل میں ترمیم کی گئی ہے اور دو لکیری شکل کی تعریف میں اور فنکشنل میں انٹیگرلز کے بجائے گاؤس-لوبیٹو انضمام کا استعمال کیا جاتا ہے۔ ان کی ہم آہنگی اسٹرانگ کے لیما کا نتیجہ ہے۔ SEM ایک گیلرکن پر مبنی FEM (محدود عنصر کا طریقہ) ہے جس میں لگرینج بیس (شکل) افعال ہیں اور اسی نوڈس کا استعمال کرتے ہوئے لوبیٹو کواڈریچر کے ذریعہ عددی انضمام کو کم کیا گیا ہے۔ سیڈو سپیکٹرل طریقہ، آرتھوگنل کولاکیشن، تفریق کواڈریچر طریقہ، اور جی-این آئی ایک ہی طریقہ کے مختلف نام ہیں۔ یہ طریقے پیس وائز پولینومیل بیس افعال کے بجائے گلوبل کو استعمال کرتے ہیں۔ ٹکڑے ٹکڑے ایف ای ایم یا ایس ای ایم کی بنیاد تک توسیع تقریبا معمولی ہے۔ سپیکٹرم عنصر کا طریقہ ایک ٹینسر پروڈکٹ اسپیس کا استعمال کرتا ہے جو گاؤس-لوبیٹو پوائنٹس سے وابستہ نوڈل بیس افعال کے ذریعہ پھیلا ہوا ہے۔ اس کے برعکس، پی-ورژن محدود عنصر کا طریقہ نوڈ لیس بیس افعال کے ذریعہ ہائی آرڈر کثیر الجہتی کی جگہ پر پھیلا ہوا ہے، جو عددی استحکام کے لیے تقریبا آرتھوگنل منتخب کیا گیا ہے۔ چونکہ تمام اندرونی بنیاد کے افعال موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے، پی-ورژن محدود عنصر کا طریقہ ایک ایسی جگہ بنا سکتا ہے جس میں تمام کثیر الجہتی ایک دی گئی ڈگری تک کم ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ہوں۔ تاہم، ان کے ٹینسر پروڈکٹ کردار کی وجہ سے سپیکٹرم طریقوں میں ممکن کچھ اسپیڈ اپ تکنیک اب دستیاب نہیں ہیں۔ پی-ورژن نام کا مطلب یہ ہے کہ میش کے سائز کو کم کرنے کے بجائے لگ بھگ کثیر الجہتی (اس طرح، پی) کی ترتیب کو بڑھا کر درستگی میں اضافہ کیا جاتا ہے۔ ایچ پی محدود عنصر کا طریقہ (ایچ پی-ایف ای ایم) ایکسپونینشل کنورجنس ریٹ حاصل کرنے کے لیے ایچ اور پی ریفائنمنٹ کے فوائد کو یکجا کرتا ہے۔ نوٹ عددی تفریق مساوات جزوی تفریق مساوات کمپیوٹیشنل فلوئڈ ڈائنامکس فائنائٹ عنصر طریقہ