Inverse curve
الٹا جیومیٹری میں، کسی دیئے گئے منحنی خطوط کا الٹا منحنی خطوط اس پر الٹا عمل لاگو کرنے کا نتیجہ ہے۔ خاص طور پر، مرکز اور رداس کے ساتھ ایک مقررہ دائرے کے حوالے سے کسی نقطہ کا الٹا وہ نقطہ ہوتا ہے جس کے لیے شعاع پر ہوتا ہے اور۔ اس کے بعد منحنی خطوط کا الٹا اس کا لوکس ہوتا ہے جو اس کے اوپر سے گزرتا ہے۔ اس تعمیر میں نقطہ کو الٹ کا مرکز، دائرے کو الٹ کا دائرہ، اور الٹ کا رداس کہا جاتا ہے۔ دو بار لاگو ہونے والا الٹا شناخت کی تبدیلی ہے، لہذا ایک ہی دائرے کے حوالے سے الٹا منحنی خطوط کا الٹا اصل منحنی خطوط ہوتا ہے۔ الٹ کے دائرے پر پوائنٹس الٹ کے ذریعے طے کیے جاتے ہیں، اس لیے اس کا الٹ خود ہوتا ہے۔ مساوات اکائی دائرے کے حوالے سے نقطہ کا الٹا جہاں یا مساوی ہے تو اکائی دائرے کے حوالے سے طے شدہ منحنی خطوط کا الٹا یہ ہے کہ اس سے واضح ہوتا ہے کہ دائرے کے حوالے سے ڈگری کے الجبرائی منحنی خطوط کو الٹا کرنے سے زیادہ سے زیادہ ڈگری کا الجبرائی منحنی خطوط پیدا ہوتے ہیں۔ اسی طرح، اکائی دائرے کے حوالے سے مساوات کے ذریعہ پیرامیٹرک طور پر بیان کردہ منحنی خطوط کا الٹا پیرامیٹرک طور پر دیا جاتا ہے۔ اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ عقلی منحنی خطوط کا سرکلر الٹا بھی عقلی ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، مرکز اور رداس والے دائرے کے حوالے سے طے شدہ منحنی خطوط کا الٹا ہوتا ہے۔ اسی دائرے کے حوالے سے پیرامیٹرک طور پر بیان کردہ منحنی خطوط کا الٹا پیرامیٹرک طور پر دیا جاتا ہے جیسا کہ قطبی نقاط میں، مساوات اس وقت آسان ہوتی ہیں جب الٹا خطوط کا دائرہ اکائی دائرہ ہوتا ہے۔ اکائی دائرے کے حوالے سے نقطہ کا الٹا ہے جہاں تو منحنی خطوط کا الٹا اس سے طے ہوتا ہے اور منحنی خطوط کا الٹا ہوتا ہے۔ ڈگری جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، ڈگری کے منحنی دائرے کے حوالے سے الٹا زیادہ سے زیادہ ڈگری رکھتا ہے۔ ڈگری بالکل اس وقت تک ہوتی ہے جب تک کہ اصل وکر الٹ کے نقطہ سے نہ گزرے یا یہ سرکلر نہ ہو، جس کا مطلب ہے کہ اس میں سرکلر پوائنٹس ہوتے ہیں، جب اسے پیچیدہ پروجیکٹو پلین میں وکر سمجھا جاتا ہے۔ عام طور پر، صوابدیدی منحنی خطوط کے حوالے سے الٹا متناسب طور پر بڑی ڈگری کے ساتھ الجبرائی منحنی خطوط پیدا کر سکتا ہے۔ خاص طور پر، اگر ڈگری کا-سرکلر ہے، اور اگر الٹ کا مرکز ترتیب کی انفرادیت ہے، تو الٹا وکر ڈگری کا-سرکلر وکر ہوگا اور الٹ کا مرکز الٹا وکر پر ترتیب کی انفرادیت ہے۔ یہاں اگر منحنی خطوط میں الٹ کا مرکز نہیں ہے اور اگر الٹ کا مرکز اس پر ایک غیر واحد نقطہ ہے ؛ اسی طرح سرکلر پوائنٹس،، ترتیب کی انفرادیت ہیں۔ ان رلیشنز سے ویلیو کو ختم کیا جا سکتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ ڈگری کے سرکلر منحنی خطوط کا سیٹ، جہاں مختلف ہو سکتا ہے لیکن ایک فکسڈ مثبت عدد ہے، الٹ کے تحت غیر متغیر ہے۔ مندرجہ بالا تبدیلی کو برنولی کے لیمنسکیٹ پر لاگو کرنے سے ہمیں ہائپربولا کی مساوات ملتی ہے۔ چونکہ الٹنا ایک بائریشنل تبدیلی ہے اور ہائپربولا ایک عقلی وکر ہے، اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ لیمنسکیٹ بھی ایک عقلی وکر ہے، جسے جینس صفر کا وکر کہا جاتا ہے۔ اگر ہم فرمیٹ منحنی خطوط پر تبدیلی کا اطلاق کرتے ہیں، جہاں عجیب ہے، تو ہم حاصل کرتے ہیں کہ فرمیٹ منحنی خطوط پر کوئی بھی عقلی نقطہ اس منحنی خطوط پر ایک متعلقہ عقلی نقطہ رکھتا ہے، جو فرمیٹ کے آخری نظریہ کی مساوی تشکیل دیتا ہے۔ خاص صورتیں سادگی کے لیے، مندرجہ ذیل صورتوں میں الٹ کا دائرہ اکائی دائرہ ہوگا۔ الٹ کے دیگر حلقوں کے نتائج اصل منحنی خطوط کے ترجمہ اور وسعت سے مل سکتے ہیں۔ لکیریں اصل سے گزرنے والی لکیر کے لیے، قطبی مساوات وہ جگہ ہے جہاں طے شدہ ہے۔ یہ الٹ کے تحت تبدیل نہیں ہوتا ہے۔ ابتدا سے نہ گزرنے والی لکیر کے لیے قطبی مساوات ہے اور الٹا منحنی خطوط کی مساوات ہے جو ابتدا سے گزرنے والے دائرے کی وضاحت کرتی ہے۔ الٹ کو دوبارہ لاگو کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ اصل سے گزرنے والے دائرے کا الٹا ایک لکیر ہے۔ قطبی نقاط میں، کسی دائرے کے لیے عمومی مساوات جو اصل سے نہیں گزرتی ہے (دوسرے معاملات کا احاطہ کیا گیا ہے) وہ ہے جہاں رداس ہے اور مرکز کے قطبی نقاط ہیں۔ الٹا منحنی خطوط کی مساوات تب ہے یا یہ رداس اور مرکز والے دائرے کی مساوات ہے جس کے قطبی نقاط منفی ہو سکتے ہیں۔ اگر اصل دائرہ اکائی دائرے کے ساتھ ٹکرا جاتا ہے، تو دونوں حلقوں کے مراکز اور نقاط کا ایک نقطہ اطراف کے ساتھ ایک مثلث بناتا ہے۔ یہ ایک دائیں مثلث ہے، یعنی۔ ریڈی صحیح زاویہ پر ہوتے ہیں، بالکل جب۔ لیکن اوپر کی مساوات سے، اصل دائرہ بالکل الٹا دائرے جیسا ہی ہوتا ہے جب۔ تو کسی دائرے کا الٹا ایک ہی دائرہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ اکائی دائرے کو صحیح زاویہ پر کاٹتا ہے۔ اس کا خلاصہ کرنے اور پچھلے حصے کو عام کرنے کے لیے: کسی لکیر یا دائرے کا الٹا ایک لکیر یا دائرہ ہوتا ہے۔ اگر اصل منحنی خطوط ایک لکیر ہے تو الٹا منحنی خطوط الٹ کے مرکز سے گزرے گا۔ اگر اصل منحنی خطوط الٹ کے مرکز سے گزرتے ہیں تو الٹا منحنی خطوط ایک لکیر ہوگا۔ الٹا منحنی خطوط اصل منحنی خطوط کی طرح ہی ہوں گے جب منحنی خطوط الٹا دائرے کو صحیح زاویہ پر کاٹتے ہیں۔ ایک پیرابولہ کی مساوات، مماثلت تک، ترجمہ کرتی ہے تاکہ ورٹیکس اصل پر ہو اور گھوم رہا ہو تاکہ محور افقی ہو۔ قطبی نقاط میں یہ الٹا منحنی خطوط بن جاتا ہے پھر اس کی مساوات ہوتی ہے جو ڈیوکلس کا سیسوئڈ ہے۔ مرکز پر الٹ کے مرکز کے ساتھ مخروطی حصے اصل پر ایک مرکز کے ساتھ مخروطی حصے کی قطبی مساوات ہے، مماثلت تک جہاں e سنکیتا ہے۔ اس منحنی خطوط کا الٹا تب ہوگا جو پاسکل کے لیماکون کی مساوات ہے۔ جب یہ الٹ کا دائرہ ہو۔ جب اصل منحنی خطوط ایک الپس ہوتے ہیں اور الٹا ایک سادہ بند منحنی خطوط ہوتا ہے جس کے اصل میں ایک ایک نوڈ ہوتا ہے۔ جب اصل منحنی خطہ ایک پیرابولہ ہوتا ہے اور الٹا کارڈیوئڈ ہوتا ہے جس کی ابتدا میں ایک چوٹی ہوتی ہے۔ جب اصل منحنی خطہ ہائپربولا ہوتا ہے اور الٹا اصل میں کرونوڈ کے ساتھ دو لوپس بناتا ہے۔ ایلیپسس اور ہائپربولس ایک سرے پر الٹ کے مرکز کے ساتھ ایک ایلیپس یا ہائپربولا کی عمومی مساوات اس کا ترجمہ کر رہی ہے تاکہ اصل عمودی میں سے ایک ہو اور دوبارہ ترتیب دے یا، مستقل تبدیل کر کے، نوٹ کریں کہ اوپر کا پیرابولہ اب ڈال کر اس اسکیم میں فٹ بیٹھتا ہے اور. الٹا کی مساوات ہے یا یہ مساوات منحنی خطوط کے ایک خاندان کو بیان کرتی ہے جسے ڈی سلوز کا کنچوئڈز کہا جاتا ہے۔ اس خاندان میں، اوپر درج کردہ ڈیوکلز کے سیسوئڈ کے علاوہ، میکلورین () کا ٹرائسیکٹرکس اور رائٹ اسٹروفائیڈ () شامل ہیں۔ مرکز میں الپسیس اور ہائپربولس کے ساتھ الٹ کے مرکز کے ساتھ ایک الپس یا ہائپربولا کی مساوات کو الٹنا دیتا ہے جو ہپپوڈ ہے۔ جب یہ برنولی کا خط ہے۔ بالائی ڈگری فارمولے کو لاگو کرتے ہوئے، کونک کا الٹا (دائرے کے علاوہ) ایک سرکلر کیوبک ہوتا ہے اگر الٹ کا مرکز منحنی خطوط پر ہوتا ہے، اور بصورت دیگر دو سرکلر کوارٹک ہوتا ہے۔ کونکس عقلی ہوتے ہیں اس لیے الٹا منحنی خطوط بھی عقلی ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، کوئی بھی عقلی سرکلر کیوبک یا عقلی بائی سرکلر کوارٹک کونک کا الٹا ہوتا ہے۔ درحقیقت، اس طرح کے کسی بھی منحنی خطوط میں ایک حقیقی انفرادیت ہونی چاہیے اور اس نقطہ کو الٹ کے مرکز کے طور پر لیتے ہوئے، الٹا منحنی خطوط ڈگری فارمولے کے لحاظ سے ایک مخروط ہوگا۔ اینالاگمیٹک منحنی خطوط ایک اینالاگمیٹک منحنی خطوط وہ ہوتے ہیں جو اپنے آپ میں الٹ جاتے ہیں۔ مثالوں میں دائرے، کارڈیوڈ، کیسینی کا انڈاکار، اسٹروفائیڈ، اور میکلورین کا ٹرائسیکٹرکس شامل ہیں۔ منحنی خطوط اور سطحوں کا الٹا جیومیٹری (جرمن) حوالہ جات "الٹا" خصوصی طیارہ منحنی خطوط کی بصری لغت میں "الٹا ڈی یون کوربے پار ریپورٹ ا یون پوائنٹ" انسائیکلوپیڈی ڈیس فارمس میتھیمیٹیکس ریمارکیبلز بیرونی لنکس میک ٹیوٹر کے مشہور منحنی خطوط پر تعریف۔ اس سائٹ میں الٹا منحنی خطوط کی مثالیں اور انڈیکس میں ہر منحنی خطوط کے الٹا منحنی خطوط کو تلاش کرنے کے لیے ایک جاوا ایپلٹ بھی ہے۔ منحنی پروجیکٹو جیومیٹری الٹا جیومیٹری