Differentially closed field
ریاضی میں، ایک تفریقی میدان K تفریقی طور پر بند ہوتا ہے اگر تفریقی مساوات کے ہر محدود نظام کا حل کسی تفریقی میدان میں ہوتا ہے جو K کو پھیلاتا ہے اور اس کا حل پہلے سے ہی K میں ہوتا ہے۔ متفرق طور پر بند فیلڈز کثیر الجہتی مساوات کے لیے الجبرائی طور پر بند فیلڈز کی تفریقی مساوات کے لیے اینالاگس ہیں۔ تفریقی طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ہمیں یاد ہے کہ تفریقی فیلڈ ایک ایسی فیلڈ ہے جو مشتق آپریٹر سے لیس ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ K مشتق آپریٹر کے ساتھ ایک تفریقی فیلڈ ہے۔ x میں ایک تفریقی کثیر الجہتی رسمی تاثرات x، ष्ण، ष्ण، میں ایک کثیر الجہتی ہے۔ K میں گتانک کے ساتھ۔ x میں غیر صفر تفریقی کثیر الجہتی کی ترتیب سب سے بڑی n ایسی ہوتی ہے کہ اس میں ष्ण ہوتا ہے، یا −1 اگر تفریقی کثیر الجہتی ایک مستقل ہو۔ ترتیب n ≤ 0 کے تفریقی کثیر الجہتی کا جداکار Sf، nx کے حوالے سے f کا مشتق ہے۔ K کے مستقلات کا میدان عناصر a کا ذیلی میدان ہے جس میں ष्णول = 0 ہے۔ غیر صفر خصوصیت والے p کے تفریقی میدان K میں، تمام pth طاقتیں مستقل ہوتی ہیں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ نہ تو K اور نہ ہی اس کے مستقلات کا میدان کامل ہے، جب تک کہ سلم معمولی نہ ہو۔ مشتق کے ساتھ ایک فیلڈ K کو تفریقی طور پر کامل کہا جاتا ہے اگر یہ خصوصیت 0، یا خصوصیت p کا ہو اور ہر مستقل K کے عنصر کی pth طاقت ہو۔ ایک تفریقی طور پر بند فیلڈ ایک تفریقی طور پر کامل تفریقی فیلڈ K ہے کہ اگر f اور g تفریقی کثیر الجہتی ہیں جیسے کہ Sf ष्णور 0 اور g ष्णور 0 اور f کی ترتیب g سے زیادہ ہے، تو K میں کچھ x ہے جس میں f (x) = 0 اور g (x) ष्णور 0 ہے۔ (کچھ مصنفین اس شرط کو شامل کرتے ہیں کہ K کی خصوصیت 0 ہے، اس صورت میں Sf خود بخود غیر صفر ہے، اور K خود بخود کامل ہے۔) ڈی سی ایف پی خصوصیت پی کے مختلف طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ہے (جہاں پی 0 یا پرائم ہے)۔ g = 1 اور f کو کسی بھی عام علیحدہ کثیر الجہتی سے ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی مختلف طور پر بند فیلڈ علیحدہ طور پر بند ہے۔ خصوصیت 0 میں اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ الجبرائی طور پر بند ہے، لیکن خصوصیت p> 0 میں مختلف طور پر بند فیلڈز الجبرائی طور پر کبھی بند نہیں ہوتے ہیں۔ الجبرائی طور پر بند فیلڈز کے نظریہ میں پیچیدہ اعداد کے برعکس، مختلف طور پر بند فیلڈ کی کوئی قدرتی مثال نہیں ہے۔ کسی بھی تفریقی طور پر کامل فیلڈ K میں تفریقی بندش ہوتی ہے، ایک پرائم ماڈل ایکسٹینشن، جو تفریقی طور پر بند ہوتی ہے۔ شیلاہ نے دکھایا کہ تفریقی بندش K. شیلاہ کے مقابلے میں آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ شیلاہ نے یہ بھی ظاہر کیا کہ خصوصیت 0 (ریشنلز کی تفریقی بندش) کا بنیادی تفریقی طور پر بند فیلڈ کم سے کم نہیں ہے۔ یہ ایک حیرت انگیز نتیجہ تھا، کیونکہ یہ وہ نہیں ہے جس کی الجبرائی طور پر بند فیلڈز کے ساتھ مشابہت سے توقع کی جائے۔ ڈی سی ایف پی کا نظریہ مکمل اور ماڈل مکمل ہے (پی = 0 کے لیے یہ رابنسن نے دکھایا تھا، اور پی> 0 کے لیے)۔ نظریہ ڈی سی ایف پی خصوصیت پی کے تفریقی شعبوں کے نظریہ کا نمونہ ساتھی ہے۔ یہ خصوصیت پی کے تفریقی طور پر کامل شعبوں کے نظریہ کا نمونہ تکمیل ہے اگر کوئی زبان میں ایک علامت کا اضافہ کرتا ہے جو p> 0 پر مستقل کا pth جڑ دیتا ہے۔ خصوصیت p> 0 کے تفریقی شعبوں کے نظریہ میں ماڈل کی تکمیل نہیں ہوتی ہے، اور خصوصیت p = 0 میں تفریقی طور پر کامل شعبوں کے نظریہ کی طرح ہی ہے لہذا اس کے ماڈل کی تکمیل کے طور پر ڈی سی ایف 0 ہے۔ کچھ لامحدود کارڈینالیٹی κ کے مختلف طور پر بند فیلڈز کی تعداد 2κ ہے۔ κ بے شمار کے لیے یہ ثابت ہوا، اور κ قابل شمار کے لیے ہرشووسکی اور سوکولووچ نے ثابت کیا۔ کولچن ٹوپولوجی K m پر کولچن ٹوپولوجی کی تعریف بنیادی بند سیٹوں کے طور پر m متغیرات میں K پر تفریق مساوات کے نظاموں کے حل کے سیٹوں کو لے کر کی جاتی ہے۔ زرسکی ٹوپولوجی کی طرح، کولچن ٹوپولوجی نویتھیرین ہے۔ ڈی-کنسٹرکٹبل سیٹ کولچن ٹوپولوجی میں بند اور کھلے سیٹوں کا ایک محدود اتحاد ہے۔ مساوی طور پر، ایک ڈی-کنسٹرکٹبل سیٹ ایک کوانٹیفایر فری، یا ایٹم فارمولے کے حل کا مجموعہ ہے جس میں کے میں پیرامیٹرز ہوتے ہیں۔ کوانٹیفایر کا خاتمہ الجبرائی طور پر بند فیلڈز کے نظریہ کی طرح، خصوصیت 0 کے مختلف طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ڈی سی ایف 0 کوانٹیفایرز کو ختم کرتا ہے۔ اس بیان کا ہندسی مواد یہ ہے کہ ڈی-کنسٹرکٹبل سیٹ کا پروجیکشن ڈی-کنسٹرکٹبل ہے۔ یہ خیالی تصورات کو بھی ختم کرتا ہے، مکمل ہوتا ہے، اور ماڈل مکمل ہوتا ہے۔ خصوصیت p> 0 میں، نظریہ ڈی سی ایف پی تفریقی شعبوں کی زبان میں ایک یونیری فنکشن r کے ساتھ کوانٹیفائرز کو ختم کرتا ہے جو کہ تمام مستقلات کا pth جڑ ہے، اور ان عناصر پر 0 ہے جو مستقل نہیں ہیں۔ تفریقی نلسٹیلنساتز تفریقی نلسٹیلنساتز ہلبرٹ کے نلسٹیلنساتز کے تفریقی الجبرا میں ینالاگ ہے۔ ایک تفریقی آئیڈیل یا ष्ण-آئیڈیل ایک آئیڈیل ہے جو ष्ण کے تحت بند ہے۔ ایک آئیڈیل کو ریڈیکل کہا جاتا ہے اگر اس میں اس کے عناصر کی تمام جڑیں ہوں۔ فرض کریں کہ K ایک مختلف طور پر بند فیلڈ ہے جس کی خصوصیت 0 ہے۔ پھر سیڈن برگ کا تفریقی nullstellensatz بیان کرتا ہے کہ n متغیرات میں تفریقی کثیر الجہتی کے دائرے میں ریڈیکل تفریقی آئیڈیلز اور Kn کے ष्ण-بند ذیلی سیٹوں کے درمیان ایک بائیجیکشن ہے۔ یہ خط و کتابت اس پر غائب ہونے والے عناصر کے آئیڈیل کے لیے ایک بند ذیلی سیٹ کا نقشہ بناتا ہے، اور اس کے صفر کے سیٹ کے لیے ایک آئیڈیل کا نقشہ بناتا ہے۔ اومیگا استحکام خصوصیت 0 میں بلم نے ظاہر کیا کہ تفریقی طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ω-مستحکم ہے اور اس کا مورلی رینک ω ہے۔ غیر صفر خصوصیت سے پتہ چلتا ہے کہ تفریقی طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ω-مستحکم نہیں ہے، اور زیادہ واضح طور پر ظاہر کیا کہ یہ مستحکم ہے لیکن سپرٹیبل نہیں ہے۔ قابل تعریف سیٹوں کی ساخت: زیلبر کی ٹرائکوٹومی فیصلہ سازی کے مسائل منین دانا ایپلی کیشنز یہ بھی دیکھیں تفریقی گالوئس نظریہ حوالہ جات تفریقی الجبرا ماڈل نظریہ