Lagrange multipliers on Banach spaces
ریاضی میں تغیرات کے حساب کے میدان میں، بناچ خالی جگہوں پر لگرینج ملٹی پلائرز کا طریقہ کچھ لامحدود جہتی محدود اصلاح کے مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ طریقہ لگرینج ملٹی پلیئرز کے کلاسیکی طریقہ کار کی عمومی شکل ہے جیسا کہ محدود طور پر بہت سے متغیرات کے فنکشن کی انتہا کو تلاش کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ بناچ خالی جگہوں کے لیے لگرینج ملٹی پلیئر تھیوریم X اور Y کو حقیقی بناچ خالی جگہیں ہونے دیں۔ U کو X کا ایک کھلا ذیلی مجموعہ ہونے دیں اور f: U → R کو مسلسل تفریق پذیر فعل ہونے دیں۔ فرض کریں کہ g: U → Y ایک اور مسلسل تفریق پذیر فعل ہے، رکاوٹ: مقصد f کے انتہائی نکات (زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم) کو اس رکاوٹ کے تابع تلاش کرنا ہے کہ g صفر ہے۔ فرض کریں کہ u0 f کی ایک محدود انتہا ہے، یعنی۔ فرض کریں کہ Fréchet مشتق Dg (u0): X → Y of g at u0 ایک سرجیکٹو لکیری نقشہ ہے۔ پھر ایک لگرینج ملٹی پلیئر λ: Y → R موجود ہے، جو Y کے لیے دوہری جگہ ہے، اس طرح کہ چونکہ Df (u0) دوہری جگہ X ≤ کا ایک عنصر ہے، اس لیے مساوات (L) کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے جہاں (Dg (u0)) ≤ (λ) کا پل بیک بائی Dg (u0) ہے، یعنی۔ λ پر ملحقہ نقشے (Dg (u0)) کا عمل، جیسا کہ محدود جہتی کیس سے کنکشن کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ اس صورت میں کہ X اور Y دونوں محدود جہتی (یعنی۔ کچھ قدرتی اعداد m اور n کے لیے Rm اور Rn کے لیے لکیری طور پر آئسومورفک) پھر میٹرکس کی شکل میں مساوات (L) لکھنے سے پتہ چلتا ہے کہ λ معمول کا لگرینج ملٹی پلیئر ویکٹر ہے۔ n = 1 کی صورت میں، λ معمول کا لگرینج ملٹی پلیئر ہے، جو ایک حقیقی نمبر ہے۔ درخواست بہت سے اصلاح کے مسائل میں، کوئی بھی لامحدود جہتی جگہ جیسے کہ بناچ جگہ پر بیان کردہ فنکشنل کو کم سے کم کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، سوبولیو اسپیس اور اس کے ذریعہ دی گئی فنکشنل پر غور کریں بغیر کسی رکاوٹ کے، f کی کم از کم قیمت 0 ہوگی، جو −1 اور + 1 کے درمیان تمام x کے لیے u0 (x) = 0 سے حاصل ہوتی ہے۔ کوئی بھی محدود اصلاح کے مسئلے پر بھی غور کر سکتا ہے، تاکہ ان تمام u ωX میں f کو کم سے کم کیا جا سکے تاکہ u کی اوسط قیمت + 1 ہو۔ مندرجہ بالا تھیوریم کے لحاظ سے، رکاوٹ g کی طرف سے دی جائے گی تاہم اس مسئلے کو محدود جہتی صورت میں حل کیا جا سکتا ہے کیونکہ لگرینج ملٹی پلیئر صرف ایک اسکیلر ہے۔ مختلف حوالوں کے حساب میں پونٹریگین کا کم از کم اصول، ہیملٹنین طریقہ بھی دیکھیں (سیکشن 4.14، pp.270-271 دیکھیں۔) تغیرات کا حساب