Semifield
ریاضی میں، سیمی فیلڈ ایک الجبرائی ڈھانچہ ہے جس میں دو بائنری آپریشنز، اضافہ اور ضرب ہوتے ہیں، جو کسی فیلڈ سے ملتے جلتے ہیں، لیکن کچھ محوریوں کے ساتھ آرام دہ ہوتے ہیں۔ جائزہ سیمی فیلڈ کی اصطلاح کے دو متضاد معنی ہیں، دونوں میں فیلڈز بطور خاص شامل ہیں۔ پروجیکٹو جیومیٹری اور محدود جیومیٹری (ایم ایس سی 51 اے، 51 ای، 12 کے 10) میں، سیمی فیلڈ ایک غیر وابستہ ڈویژن رنگ ہے جس میں ضرب شناخت عنصر ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر، یہ ایک غیر وابستہ رنگ ہے جس کے غیر صفر عناصر ضرب کے تحت ایک لوپ بناتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، سیمی فیلڈ ایک سیٹ S ہے جس میں دو آپریشنز + (اضافہ) اور · (ضرب) ہوتے ہیں، جیسے کہ (S, +) ایک ابیلین گروپ ہے، ضرب بائیں اور دائیں دونوں طرف تقسیم ہے، ایک ضرب شناخت عنصر موجود ہے، اور تقسیم ہمیشہ ممکن ہے: S میں ہر a اور ہر غیر صفر b کے لیے، S میں منفرد x اور y موجود ہیں جس کے لیے b·x = a اور y·b = a۔ خاص طور پر نوٹ کریں کہ ضرب کو تبادلہ یا ملحقہ نہیں سمجھا جاتا ہے۔ ایک سیمی فیلڈ جو ایسوسی ایٹیو ہے وہ ڈویژن رنگ ہے، اور جو ایسوسی ایٹیو اور کمیونیٹیٹو دونوں ہے وہ فیلڈ ہے۔ اس تعریف کے مطابق سیمی فیلڈ کواسی فیلڈ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اگر S محدود ہے، تو مندرجہ بالا تعریف میں آخری محوری کو اس مفروضے سے تبدیل کیا جا سکتا ہے کہ کوئی صفر تقسیم کار نہیں ہیں، تاکہ a·b = 0 کا مطلب یہ ہو کہ a = 0 یا b = 0۔ نوٹ کریں کہ ایسوسی ایٹیویٹی کی کمی کی وجہ سے، آخری محور اس مفروضے کے مساوی نہیں ہے کہ ہر غیر صفر عنصر کا ضرب الٹا ہوتا ہے، جیسا کہ عام طور پر فیلڈز اور ڈویژن رنگز کی تعریفوں میں پایا جاتا ہے۔ رنگ تھیوری، کمبینٹوریکس، فنکشنل تجزیہ، اور نظریاتی کمپیوٹر سائنس (ایم ایس سی 16 وائی 60) میں، سیمی فیلڈ ایک سیمیرنگ (ایس، +، ·) ہے جس میں تمام غیر صفر عناصر کا ضرب الٹا ہوتا ہے۔ ان اشیاء کو مناسب سیمی فیلڈز بھی کہا جاتا ہے۔ اس تعریف میں تغیر اس صورت میں پیدا ہوتا ہے جب S میں ایک جذب کرنے والا صفر ہو جو ضرب اکائی e سے مختلف ہو، یہ ضروری ہے کہ غیر صفر عناصر الٹا ہوں، اور a·0 = 0·a = 0۔ چونکہ ضرب ملحقہ ہے، اس لیے سیمی فیلڈ کے (غیر صفر) عناصر ایک گروپ بناتے ہیں۔ تاہم، جوڑا (S، +) صرف ایک سیمی گروپ ہے، یعنی۔ اضافی الٹا موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے، یا، بول چال میں، 'کوئی گھٹاؤ نہیں ہے'۔ بعض اوقات، یہ نہیں مانا جاتا ہے کہ ضرب ملحقہ ہے۔ سیمی فیلڈز کی پریمیٹیویٹی اے سیمی فیلڈ ڈی کو رائٹ (ریسپ) کہا جاتا ہے۔ بائیں) ابتدائی اگر اس میں کوئی عنصر ڈبلیو ایسا ہو کہ D * کے غیر صفر عناصر کا مجموعہ تمام دائیں (ریسپ) کے سیٹ کے برابر ہو۔ بائیں) ڈبلیو کی بنیادی طاقتیں۔ مثالیں ہم دوسرے معنوں میں صرف سیمی فیلڈز کی مثالیں دیتے ہیں، یعنی۔ تقسیم شدہ ضرب کے ساتھ اضافی نیم گروہ۔ مزید برآں، اضافہ تبادلہ ہے اور ضرب ہماری مثالوں میں معاون ہے۔ معمول کے اضافے اور ضرب کے ساتھ مثبت عقلی اعداد ایک تبادلہ سیمی فیلڈ بناتے ہیں۔ اسے جذب کرنے والے 0 سے بڑھایا جا سکتا ہے۔ معمول کے اضافے اور ضرب کے ساتھ مثبت حقیقی اعداد ایک تبادلہ سیمی فیلڈ بناتے ہیں۔ اسے جذب کرنے والے 0 کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے، جس سے امکانی سیمیئرنگ بنتی ہے، جو لاگ سیمیرنگ کے لیے آئسومورفک ہے۔ f/g کی شکل کے عقلی افعال، جہاں f اور g مثبت گتانک کے ساتھ ایک متغیر میں کثیر الجہتی ہیں، ایک تبادلہ سیمی فیلڈ بناتے ہیں۔ اسے 0 شامل کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے۔ حقیقی اعداد R کو ایک سیمی فیلڈ دیکھا جا سکتا ہے جہاں دو عناصر کے مجموعے کو ان کے زیادہ سے زیادہ اور پروڈکٹ کو ان کے عام مجموعے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اس سیمی فیلڈ کو زیادہ کمپیکٹ طور پر ظاہر کیا جاتا ہے (R، زیادہ سے زیادہ، +)۔ اسی طرح (R، Min، +) ایک سیمی فیلڈ ہے۔ ان کو ٹراپیکل سیمیئرنگ کہا جاتا ہے۔ اسے − ν تک بڑھایا جا سکتا ہے (ایک جذب کرنے والا 0) ؛ یہ لاگ سیمیرنگ کی حد (ٹراپیکلائزیشن) ہے کیونکہ بیس انفینیٹی کی طرف جاتا ہے۔ پچھلی مثال کو عام کرتے ہوئے، اگر (A, ·, ≤) ایک جالی سے ترتیب دیا گیا گروپ ہے تو (A, +, ·) ایک اضافی طور پر مثالی سیمی فیلڈ ہے جس میں سیمی فیلڈ کا مجموعہ دو عناصر کی بالادستی کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس کے برعکس، کوئی بھی اضافی طور پر آئیڈیمپوٹینٹ سیمی فیلڈ (A، +، ·) جالی کے حکم والے گروپ (A، ·، ≤) کی وضاحت کرتا ہے، جہاں a ≤ b اگر اور صرف اس صورت میں جب a + b = b ہو۔ بولین سیمی فیلڈ B = {0,1} جس میں اضافہ منطقی یا، اور ضرب منطقی اور سے بیان کیا گیا ہے۔ پلانر ٹرنیری رنگ (فرسٹ سینس) حوالہ جات الجبرائی ڈھانچے رنگ تھیوری بھی دیکھیں۔