Triple correlation
حقیقی لائن پر کسی عام فنکشن کا ٹرپل ارتباط اس فنکشن کے پروڈکٹ کا لازمی جزو ہوتا ہے جس میں خود کی دو آزادانہ طور پر منتقل شدہ کاپیاں ہوتی ہیں: ٹرپل ارتباط کا فورئیر ٹرانسفارم بائی سپیکٹرم ہوتا ہے۔ ٹرپل ارتباط آٹوکوریلیشن کے تصور کو بڑھاتا ہے، جو کسی فنکشن کو خود کی ایک شفٹ شدہ کاپی کے ساتھ جوڑتا ہے اور اس طرح اس کی پوشیدہ دورانیے کو بڑھاتا ہے۔ ٹرپل ارتباط کے نظریہ کی تحقیقات سب سے پہلے شماریات دانوں نے کی تھی جو غیر گاؤسی بے ترتیب عمل کی مجموعی ساخت کا جائزہ لے رہے تھے۔ اس کا آزادانہ طور پر طبیعیات دانوں نے لیزر بیم کی سپیکٹروسکوپی کے آلے کے طور پر بھی مطالعہ کیا تھا۔ 1963 میں ہیڈیا گامو نے لیزر بیم کے ٹرپل ارتباط کی پیمائش کے لیے ایک آلات کو بیان کیا، اور یہ بھی دکھایا کہ کس طرح بیس سپیکٹرم کے حقیقی حصے سے مرحلے کی معلومات کو بازیافت کیا جا سکتا ہے-الٹا اور لکیری آفسیٹ تک۔ تاہم، گاما کے طریقہ کار میں واضح طور پر فورئیر ٹرانسفارم کی ضرورت ہوتی ہے کہ وہ کسی بھی فریکوئنسی پر کبھی صفر نہ ہو۔ اس ضرورت میں نرمی کی گئی، اور افعال کی وہ کلاس جو ان کے ٹرپل (اور اعلی درجے) ارتباط سے منفرد طور پر شناخت کی جاتی ہے، یلوٹ اور ایورسن (1992) کے مطالعہ سے کافی حد تک پھیل گئی۔ یلوٹ اور ایورسن نے ٹرپل ارتباط اور بیلا جولیز کے تجویز کردہ بصری ساخت کے امتیازی نظریہ کے درمیان تعلق کی بھی نشاندہی کی۔ ایپلی کیشنز ٹرپل ارتباط کے طریقے اکثر سگنل پروسیسنگ میں ان سگنلز کے علاج کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں جو اضافی سفید گاؤسی شور سے خراب ہو جاتے ہیں۔ خاص طور پر، ٹرپل ارتباط کی تکنیکیں اس وقت موزوں ہوتی ہیں جب سگنل کے متعدد مشاہدات دستیاب ہوتے ہیں اور سگنل مشاہدات کے درمیان ترجمہ ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، شور والے پس منظر پر ترجمہ کرنے والی کسی شے کی تصاویر کا ایک سلسلہ۔ جو چیز ٹرپل ارتباط کو اس طرح کے کاموں کے لیے خاص طور پر مفید بناتی ہے وہ تین خصوصیات ہیں: (1) یہ بنیادی سگنل کے ترجمہ کے تحت غیر متغیر ہے ؛ (2) یہ اضافی گوسی شور میں غیر جانبدار ہے ؛ اور (3) یہ بنیادی سگنل میں تقریبا تمام متعلقہ مرحلے کی معلومات کو برقرار رکھتی ہے۔ ٹرپل ارتباط کی خصوصیات (1)-(3) بہت سے معاملات میں صوابدیدی مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ پر افعال تک پھیلی ہوئی ہیں، خاص طور پر یوکلڈین اسپیس کے گردشوں اور سخت حرکتوں کے گروپوں تک جو کمپیوٹر وژن اور سگنل پروسیسنگ میں پیدا ہوتے ہیں۔ گروپوں تک توسیع ٹرپل ارتباط کو کسی بھی مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ کے لیے گروپ کے بائیں غیر متغیر ہار پیمائش کا استعمال کرکے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ آسانی سے دکھایا جاتا ہے کہ نتیجے میں آنے والی شے بنیادی فنکشن کے بائیں ترجمہ کے تحت غیر متغیر ہے اور اضافی گاؤسی شور میں غیر جانبدار ہے۔ جو چیز زیادہ دلچسپ ہے وہ انفرادیت کا سوال ہے: جب دو افعال کا ایک ہی ٹرپل ارتباط ہوتا ہے، تو افعال کیسے متعلق ہوتے ہیں؟ عملی دلچسپی کے بہت سے معاملات کے لیے، ایک تجریدی گروپ پر کسی فنکشن کا ٹرپل ارتباط منفرد طور پر اس فنکشن کی شناخت ایک نامعلوم گروپ ایکشن تک کرتا ہے۔ یہ انفرادیت ایک ریاضیاتی نتیجہ ہے جو پونٹریگین ڈوئلٹی تھیوریم، تنکا-کریین ڈوئلٹی تھیوریم، اور ایوہری-سگیورا، اور تاتسوما کے متعلقہ نتائج پر منحصر ہے۔ الگورتھم یوکلڈین اسپیس پر ان کے ٹرپل ارتباط کے ساتھ ساتھ دو اور تین جہتوں میں گردش کے گروپوں سے بینڈ لمیٹڈ افعال کی بازیابی کے لیے موجود ہیں۔ وینر کے ٹابیرین تھیوریم کے ساتھ ایک دلچسپ تعلق بھی ہے: کوئی بھی فنکشن جس کے ترجمے گھنے ہوتے ہیں، جہاں مقامی طور پر کمپیکٹ ابیلین گروپ ہوتا ہے، اس کی شناخت بھی اس کے ٹرپل ارتباط سے ہوتی ہے۔ حوالہ جات کے۔ ہاسیل مین، ڈبلیو منک، اور جی میکڈونلڈ (1963)، ٹائم سیریز اینالیسس، ایم۔ روزن بلیٹ، ایڈ۔، نیویارک: ولی، 125-139 میں "سمندر کی لہروں کا پہلو"۔ آر کاکڑالا (1992) گروپوں پر ٹرپل ارتباط، پی ایچ ڈی تھیسس، شعبہ ریاضی، یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، ارون۔ آر کونڈور (2007)، "تصاویر کے لیے گردش اور ترجمہ کے لحاظ سے غیر متغیر خصوصیات کا ایک مکمل مجموعہ"، انٹیگرل فوریر تجزیہ سگنل پروسیسنگ کوویرینس اور ارتباط کو تبدیل کرتا ہے۔