Leonardo number
لیونارڈو نمبرز تکرار کے ذریعہ دیئے گئے نمبروں کی ایک ترتیب ہیں: ایڈسگر ڈبلیو ڈیکسٹرا نے انہیں اپنے ہموار ترتیب الگورتھم کے لازمی حصے کے طور پر استعمال کیا، اور ان کا کچھ تفصیل سے تجزیہ بھی کیا۔ لیونارڈو پرائم ایک لیونارڈو نمبر ہے جو بھی پرائم ہے۔ اقدار پہلے چند لیونارڈو نمبر 1، 1، 3، 5، 9، 15، 25، 41، 67، 109، 177، 287، 465، 753، 1219، 1973، 3193، 5167، 8361، ہیں۔ پہلے چند لیونارڈو پرائمز ہیں 3,5,41,67,109,1973,5167,2692537,11405773,126491971,331160281,535828591,279167724889,145446920496281,28944668049352441,5760134388741632239,638808698019980,1672422869696845953,5972222253637954133837103،۔ ماڈیولو سائیکل لیونارڈو نمبر کسی بھی ماڈیولو نمبر 2 میں ایک سائیکل بناتے ہیں۔ اسے دیکھنے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ: اگر نمبروں کا ایک جوڑا ماڈیولو این ترتیب میں دو بار ظاہر ہوتا ہے، تو ایک سائیکل ہوتا ہے۔ اگر ہم پچھلے بیان کا استعمال کرتے ہوئے مرکزی بیان کو غلط سمجھتے ہیں، تو اس کا مطلب یہ ہوگا کہ 0 اور n-1 کے درمیان اعداد کے لامحدود الگ الگ جوڑے ہیں، جو کہ غلط ہے کیونکہ ایسے n2 جوڑے ہیں۔ n ≤ 8 کے سائیکل یہ ہیں: سائیکل ہمیشہ جوڑی (1، n-1) پر ختم ہوتا ہے، کیونکہ یہ واحد جوڑی ہے جو جوڑی (1,1) سے پہلے ہو سکتی ہے۔ اظہارات مندرجہ ذیل مساوات کا اطلاق ہوتا ہے: فبونیکی نمبروں سے تعلق لیونارڈو نمبروں کا تعلق فبونیکی نمبروں سے ہوتا ہے۔ اس تعلق سے لیونارڈو نمبروں کے لیے ایک بند شکل کا اظہار حاصل کرنا سیدھا ہے، جو فبونیکی نمبروں کے لیے بینیٹ کے فارمولے سے ملتا جلتا ہے: جہاں سنہری تناسب اور کواڈریٹک کثیر الجہتی کی جڑیں ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط عدد ترتیب فبونیکی اعداد تکرار تعلقات