Lift (mathematics)
زمرہ نظریہ میں، ریاضی کی ایک شاخ، جس میں ایک مورفزم f: X → Y اور ایک مورفزم g: Z → Y دیا گیا ہے، f کو Z پر اٹھانا یا اٹھانا ایک مورفزم h: X → Z ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ f عوامل h کے ذریعے ہوتے ہیں۔ ٹوپولوجی میں ایک بنیادی مثال ایک ٹوپولوجیکل جگہ میں کسی ڈھکنے والی جگہ میں کسی راستے کی طرف راستہ اٹھانا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک دائرے پر مخالف نکات کو ایک ہی نقطہ پر نقش کرنے پر غور کریں، پروجیکٹو طیارہ کو ڈھکنے والے دائرے سے ایک مسلسل نقشہ۔ پروجیکٹو طیارہ میں ایک راستہ اکائی وقفہ [0,1] سے ایک مسلسل نقشہ ہے۔ ہم راستے پر پہلے نقطہ کی نقشہ سازی کرنے والے دو دائرے کے نکات میں سے ایک کو منتخب کر کے دائرے کی طرف اس طرح کے راستے کو اٹھا سکتے ہیں، پھر تسلسل برقرار رکھ سکتے ہیں۔ اس صورت میں، دونوں ابتدائی نکات میں سے ہر ایک دائرے پر ایک منفرد راستے کو مجبور کرتا ہے، پروجیکٹو طیارہ میں راستے کی لفٹ۔ اس طرح ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے میں مسلسل نقشوں کے ساتھ مورفزم کے طور پر، ہمارے پاس لفٹ ہر جگہ ہیں۔ مثال کے طور پر، فائبرشن کی تعریف (ہوموٹوپی لفٹنگ پراپرٹی دیکھیں) اور اسکیموں کے الگ اور مناسب نقشوں کے ویلیوٹیو معیار کو وجود اور (آخری صورت میں) بعض لفٹوں کی انفرادیت کے لحاظ سے وضع کیا گیا ہے۔ الجبرائی ٹوپولوجی اور ہومیولوجیکل الجبرا میں، ٹینسر پروڈکٹ اور ہوم فنکٹر ملحقہ ہیں ؛ تاہم، ہو سکتا ہے کہ وہ ہمیشہ ایک درست ترتیب تک نہ پہنچ سکیں۔ یہ ایکسٹ فنکٹر اور ٹور فنکٹر کی تعریف کی طرف لے جاتا ہے۔ الجبرائی منطق فرسٹ آرڈر پریڈیکیٹ منطق کے اشارے اس وقت ہموار ہوتے ہیں جب کوانٹیفائرز کو قائم شدہ ڈومینز اور بائنری تعلقات کی حدود میں منتقل کیا جاتا ہے۔ گنتھر شمٹ اور مائیکل ونٹر نے اپنی کتاب ریلیشنل ٹوپولوجی میں ٹوپولوجی کے روایتی منطقی تاثرات کو تعلقات کے حساب سے اٹھانے کے طریقہ کار کی وضاحت کی ہے۔ ان کا مقصد "تصورات کو ایک رشتہ دار سطح تک اٹھانا ہے جس سے وہ پوائنٹ فری کے ساتھ ساتھ کوانٹیفایر فری بھی بن جائیں، اس طرح انہیں فرسٹ آرڈر پریڈیکیٹ منطق کے انداز سے آزاد کریں اور الجبرائی استدلال کی وضاحت تک پہنچیں"۔ مثال کے طور پر، ایک جزوی فنکشن M شمولیت سے مطابقت رکھتا ہے جہاں M کی حد پر شناخت کے تعلق کی نشاندہی کرتا ہے۔ "مقدار کے لیے اشارے چھپے ہوئے ہیں اور رشتہ دار کارروائیوں (یہاں منتقلی اور ساخت) اور ان کے اصولوں کی ٹائپنگ میں گہرائی سے شامل رہتے ہیں۔" دائرے کے نقشے دائرے کے نقشوں کے لیے، حقیقی لکیر پر لفٹ کی تعریف قدرے مختلف ہوتی ہے (ایک عام اطلاق گردش نمبر کا حساب ہے)۔ دائرے پر نقشے کو دیکھتے ہوئے، کی لفٹ، حقیقی لکیر پر کوئی نقشہ ہے، جس کے لیے ایک پروجیکشن (یا، احاطہ کرنے والا نقشہ) موجود ہے، جیسے کہ۔ کوورنگ اسپیس پروجیکٹو ماڈیول بھی دیکھیں رسمی طور پر ہموار نقشہ ایک لامحدود لفٹنگ پراپرٹی کو مطمئن کرتا ہے۔ مونسکی-واشنیٹزر کوہمولوجی کے زمروں میں لفٹنگ پراپرٹی پی-ایڈک اقسام کو خصوصیت صفر پر لے جاتی ہے۔ ایس بی آئی رنگ آئیڈیمپوٹینٹس کو جیکبسن ریڈیکل سے اوپر اٹھانے کی اجازت دیتا ہے۔ اکیڈا لفٹ میاواکی سیگل ماڈیولر شکلوں کی لفٹ سائیٹو-کروکاوا ماڈیولر شکلوں کی لفٹ گردش نمبر دائرے کی ہومیومورفزم کو حقیقی لکیر تک اٹھانے کا استعمال کرتا ہے۔ ریاضی کی جیومیٹری: اینڈریو وائلز (1995) ماڈیولرٹی لفٹنگ ہینسل کا لیما موناڈ (فنکشنل پروگرامنگ) سادہ آپریٹرز کو موناڈک شکل میں اٹھانے کے لیے نقشہ فنکشنل کا استعمال کرتا ہے۔ حوالہ جات زمرہ نظریہ