Cerf theory
ریاضی میں، سنگلٹی تھیوری اور ڈفریٚنشل ٹوپولوجی کے سنگم پر، سیرف تھیوری ہموار حقیقی قدر والے افعال کے خاندانوں کا مطالعہ ہے جو ہموار کئی گنا پر ہوتے ہیں، ان کی عام سنگلٹیز اور ذیلی جگہوں کی ٹوپولوجی ان سنگلٹیز کو فنکشن اسپیس کے ذیلی مقامات کے طور پر بیان کرتی ہیں۔ اس نظریہ کا نام جین سیرف کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1960 کی دہائی کے آخر میں اس کا آغاز کیا تھا۔ مارسٹن مورس کی ایک مثال نے ثابت کیا کہ، بشرطیکہ کمپیکٹ ہو، کسی بھی ہموار فنکشن کا تخمینہ مورس فنکشن سے لگایا جا سکتا ہے۔ اس طرح، بہت سے مقاصد کے لیے، کوئی بھی مورس افعال کے ذریعے من مانی افعال کو تبدیل کر سکتا ہے۔ اگلے مرحلے کے طور پر، کوئی پوچھ سکتا ہے، 'اگر آپ کے پاس افعال کا ایک پیرامیٹر خاندان ہے جو مورس کے افعال سے شروع ہوتا ہے اور ختم ہوتا ہے، تو کیا آپ فرض کر سکتے ہیں کہ پورا خاندان مورس ہے؟' عام طور پر، جواب نہیں ہے۔ غور کریں، مثال کے طور پر، فنکشنز کے ایک پیرامیٹر کے خاندان کے ذریعہ دیئے گئے وقت پر، اس کے کوئی اہم نکات نہیں ہیں، لیکن وقت پر، یہ ایک مورس فنکشن ہے جس میں دو اہم نکات ہیں۔ سیرف نے دکھایا کہ دو مورس افعال کے درمیان افعال کے ایک پیرامیٹر خاندان کا تخمینہ ایک سے لگایا جا سکتا ہے جو کہ مورس ہے لیکن حتمی طور پر کئی بار انحطاط پذیر ہے۔ انحطاط میں اہم نکات کی پیدائش/موت کی منتقلی شامل ہوتی ہے، جیسا کہ مندرجہ بالا مثال میں جب، ایک اشاریہ 0 اور اشاریہ 1 اہم نقطہ بڑھتے ہوئے پیدا ہوتا ہے۔ ایک لامحدود جہتی خلا کی درجہ بندی عام صورت میں واپس آتی ہے جہاں ایک کمپیکٹ کئی گنا ہے، آئیے مورس افعال کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں، اور حقیقی قدر والے ہموار افعال کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ مورس نے ثابت کیا کہ یہ ٹوپولوجی میں ایک کھلا اور گھنے ذیلی سیٹ ہے۔ وجدان کے مقاصد کے لیے، یہاں ایک مشابہت ہے۔ مورس کے افعال کو درجہ بندی میں اوپری جہتی کھلی پرت کے طور پر سوچیں (ہم یہ دعوی نہیں کرتے کہ اس طرح کی درجہ بندی موجود ہے، لیکن فرض کریں کہ کوئی موجود ہے)۔ نوٹ کریں کہ اسٹریٹیفائیڈ خالی جگہوں میں، مشترکہ طول و عرض 0 کھلا اسٹراٹم کھلا اور گھنے ہوتا ہے۔ علامتی مقاصد کے لیے، ایک مستحکم جگہ میں سٹریٹیفیکیشنز کو انڈیکس کرنے کے لیے کنونشن کو الٹ دیں، اور کھلی سطح کو ان کے طول و عرض سے نہیں، بلکہ ان کے مشترکہ طول و عرض سے انڈیکس کریں۔ یہ آسان ہے کیونکہ یہ لامحدود جہتی ہے اگر یہ ایک محدود سیٹ نہیں ہے۔ مفروضے کے مطابق، کھلی مشترکہ جہت 0 کی پرت ہے، یعنی۔ :۔ ایک مستحکم جگہ میں، اکثر منقطع ہوتا ہے۔ کو ڈائیمینشن 1 اسٹریٹم کی لازمی خاصیت یہ ہے کہ کوئی بھی راستہ جس میں شروع ہوتا ہے اور ختم ہوتا ہے اس کا تخمینہ ایک ایسے راستے سے لگایا جا سکتا ہے جو محدود طور پر بہت سے نکات کو عبور کرتا ہے، اور کسی کے لیے بھی نہیں کاٹتا ہے۔ اس طرح سیرف تھیوری مثبت ہم جہتی پرتوں کا مطالعہ ہے، یعنی۔ : کے لیے۔ کی صورت میں، صرف اس کے لیے فنکشن مورس نہیں ہے، اور اس میں پیدائش/موت کی منتقلی کے مطابق کیوبک ڈیجینریٹ کریٹیکل پوائنٹ ہوتا ہے۔ ایک سنگل ٹائم پیرامیٹر، تھیوریم کا بیان مورس تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ اگر مورس فنکشن ہے، تو ایک اہم نقطہ کے قریب یہ اس شکل کے فنکشن سے منسلک ہوتا ہے جہاں۔ سیرف کا ایک پیرامیٹر تھیوریم شریک طول و عرض ایک پرت کی لازمی خاصیت پر زور دیتا ہے۔ واضح طور پر، اگر ہموار افعال کا ایک پیرامیٹر خاندان ہے، اور مورس، تو ایک ہموار ایک پیرامیٹر خاندان موجود ہے جیسے کہ، افعال پر-ٹوپولوجی میں یکساں طور پر قریب ہے۔ اس کے علاوہ، مورس بالکل لیکن محدود طور پر کئی بار ہوتا ہے۔ غیر موریس وقت پر فنکشن کا صرف ایک انحطاطی نازک نقطہ ہوتا ہے، اور اس مقام کے قریب خاندان اس خاندان سے منسلک ہوتا ہے جہاں۔ اگر یہ افعال کا ایک پیرامیٹر خاندان ہے جہاں دو اہم نکات پیدا ہوتے ہیں (اضافے کے طور پر)، اور اس کے لیے افعال کا ایک پیرامیٹر خاندان ہے جہاں دو اہم نکات تباہ ہو جاتے ہیں۔ اصل پی ایل-شینفلیز کا مسئلہ جے ڈبلیو الیگزینڈر نے 1924 میں حل کیا تھا۔ اس کے ثبوت کو مورس اور ایمیلیو بائیڈا نے ہموار کیس میں ڈھال لیا تھا۔ ضروری خاصیت کو سیرف نے یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا تھا کہ اس کی ہر واقفیت کو محفوظ رکھنے والی ڈفیومورفزم شناخت کے لیے آئسوٹوپک ہے، جسے شینفلیز تھیوریم کے ایک پیرامیٹر کی توسیع کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ اس وقت کے ارتقاء کے تفریقی ٹوپولوجی میں وسیع اثرات تھے۔ ضروری خاصیت کو بعد میں سیرف نے اعلی جہتی سیدھے جڑے ہوئے کئی گنا کے لیے چھدم آئسوٹوپی تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ ثبوت اسٹیفن سمیل کے ایچ-کوبورڈزم تھیوریم کے ثبوت کی ایک پیرامیٹر توسیع ہے (اسمیل کے ثبوت کو فنکشنل فریم ورک میں دوبارہ لکھنا مورس نے کیا تھا، اور جان ملنور اور سیرف، آندرے گرامین اور برنارڈ مورین نے بھی رینی تھام کی تجویز پر عمل کیا تھا)۔ سیرف کا ثبوت تھام اور جان میتھر کے کام پر بنایا گیا ہے۔ اس دور سے تھام اور میتھر کے کام کا ایک مفید جدید خلاصہ مارٹی گلوبٹسکی اور وکٹر گیلمین کی کتاب ہے۔ ایپلی کیشنز مذکورہ بالا ایپلی کیشنز کے علاوہ، روبین کربی نے کربی کیلکولس کو جواز پیش کرنے میں سیرف تھیوری کو ایک اہم قدم کے طور پر استعمال کیا۔ عمومی کاری ہموار نقشوں کی جگہ کی ایک لامحدود ہم جہتی ذیلی جگہ کی تکمیل کی ایک درجہ بندی بالآخر فرانسس سرجیرٹ نے تیار کی تھی۔ ستر کی دہائی کے دوران، غیر سیدھے جڑے ہوئے کئی گنا کی چھدم آئسوٹوپیز کے لیے درجہ بندی کے مسئلے کو ایلن ہیچر اور جان ویگنر نے حل کیا، () اور () پر الجبرائی-رکاوٹ کو دریافت کیا اور کیوشی اگوسا نے () پر اسی طرح کی نوعیت کی رکاوٹیں دریافت کیں۔ حوالہ جات تفریقی ٹوپولوجی یکسانیت کا نظریہ