Mixed Hodge module
ریاضی میں، مکسڈ ہج ماڈیول ہج تھیوری، مکسڈ ہج اسٹرکچرز، انٹرسیکشن کوہمولوجی، اور ڈکمپزیشن تھیوریم کا اختتام ہے جو چھ فنکٹر فارملزم کے ذریعے ڈیجینریٹنگ مکسڈ ہج اسٹرکچرز کی تغیرات پر بحث کرنے کے لیے ایک مربوط فریم ورک فراہم کرتا ہے۔ بنیادی طور پر، یہ اشیاء ایک فلٹر شدہ ڈی-ماڈیول کی ایک جوڑی ہیں جس کے ساتھ ایک منحرف شیف ہے جسے ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت کا فنکٹر بھیجتا ہے۔ اس سے انٹرسیکشن کوہمولوجی پر ہج ڈھانچے کی تعمیر ممکن ہو جاتی ہے، جو اس موضوع کے دریافت ہونے کے وقت اہم مسائل میں سے ایک تھا۔ اسے موریہیکو سائیٹو نے حل کیا جس نے ہج ڈھانچے کے لیے ہج فلٹریشن کے ینالاگ کے طور پر ایک مربوط ڈی-ماڈیول پر فلٹریشن کو استعمال کرنے کا ایک طریقہ تلاش کیا۔ اس سے ایک انٹرسیکشن کوہمولوجی شیف پر ایک ہج ڈھانچہ دینا ممکن ہو گیا، جو کہ ابیلین زمرے کے منحرف شیفس میں سادہ اشیاء ہیں۔ مکسڈ ہاج ماڈیولز کی وضاحت کی نٹی کریٹی تفصیلات میں جانے سے پہلے، جو کہ کافی وسیع ہے، یہ سمجھنا مفید ہے کہ مکسڈ ہاج ماڈیولز کا زمرہ اصل میں کیا فراہم کرتا ہے۔ ایک پیچیدہ الجبرائی قسم کو دیکھتے ہوئے ایک ابیلین زمرہ پی جی 339 ہے جس میں درج ذیل فنکٹوریئل خصوصیات ہیں ایک وفادار فنکٹر ہے جسے ریشنلائزیشن فنکٹر کہا جاتا ہے۔ یہ ایک مکسڈ ہج ماڈیول کا بنیادی عقلی منفی خول فراہم کرتا ہے۔ ایک وفادار فنکٹر ہے جو ایک مخلوط ہج ماڈیول کو اس کے بنیادی ڈی-ماڈیول پر بھیجتا ہے۔ یہ فنکٹر ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت کے حوالے سے اچھا برتاؤ کرتے ہیں، یعنی ہر مخلوط ہج ماڈیول کے لیے ایک آئسومورفزم ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، مندرجہ ذیل درجہ بندی کی خصوصیات ہیں۔ ایک نقطہ پر مکسڈ ہج ماڈیولز کا زمرہ مکسڈ ہج ڈھانچوں کے زمرے کے لیے آئسومورفک ہے، ہر شے وزن کی فلٹریشن کو اس طرح تسلیم کرتی ہے کہ ہر مورفزم وزن کی فلٹریشن کو سختی سے محفوظ رکھتا ہے، متعلقہ درجہ بندی والی اشیاء نیم سادہ ہوتی ہیں، اور ایک نقطہ پر مکسڈ ہج ماڈیولز کے زمرے میں، یہ مکسڈ ہج ڈھانچے کے وزن کی فلٹریشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ ورڈیئر ڈوئلائزنگ فنکٹر کو اٹھانے والا ایک ڈوئلائزنگ فنکٹر ہوتا ہے جس پر ایک انوولیوشن ہوتا ہے۔ الجبرائی اقسام کی مورفزم کے لیے، منسلک چھ فنکٹر اور جن میں درج ذیل خصوصیات ہیں وہ مخلوط ہج ماڈیولز کے کمپلیکس کے وزن میں اضافہ نہیں کرتے ہیں۔ مخلوط ہج ماڈیولز کے کمپلیکس کا وزن کم نہ کریں۔ ماخوذ زمروں کے درمیان تعلق مکسڈ ہج ماڈیولز کے ماخوذ زمرے کا تعمیری شییوز کے ماخوذ زمرے سے گہرا تعلق ہے جو منحرف شییوز کے ماخوذ زمرے کے مساوی ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کس طرح عقلی فنکٹر مخلوط ہج ماڈیولز کے کمپلیکس کے کوہمولوجی فنکٹر کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ عقلییت لیتے وقت، درمیانی بگاڑ کے لیے ایک آئسومورفزم ہوتا ہے۔ نوٹ پی جی 310 یہ فنکشن بھیجنے والا ہے، جو سڈوومینیفولڈز کے معاملے سے مختلف ہے جہاں بگاڑ ایک فنکشن ہے جہاں۔ یاد رکھیں کہ اس کی تعریف شفٹ فنکٹر، ایس او پی جی 341 کے ساتھ متفرق ٹرنکیشن کی ساخت کو لینے کے طور پر کی گئی ہے۔ اس قسم کا سیٹ اپ اخذ شدہ پش اینڈ پل فنکٹر میں بھی ظاہر ہوتا ہے اور قریبی اور غائب ہونے والے چکروں کے ساتھ، عقلی فنکٹر انہیں متفرق شیوز کے اخذ کردہ زمرے پر ان کے ہم آہنگ متفرق فنکٹرز تک لے جاتا ہے۔ ٹیٹ ماڈیولز اور کوہمولوجی یہاں ہم کینونکل پروجیکشن کو ایک نقطہ سے ظاہر کرتے ہیں۔ دستیاب پہلے مخلوط ہج ماڈیولز میں سے ایک وزن 0 ٹیٹ آبجیکٹ ہے، جس کی نشاندہی اس کے متعلقہ آبجیکٹ کے پل بیک کے طور پر کی گئی ہے، لہذا اس کا وزن صفر ہے، لہذا مخلوط ہج ڈھانچے کے زمرے میں وزن 0 ٹیٹ آبجیکٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ آبجیکٹ مفید ہے کیونکہ اسے چھ فنکٹر فارملزم کے ذریعے مختلف ہم آہنگی کا حساب لگانے اور انہیں ایک مخلوط ہج ڈھانچہ دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان کا خلاصہ ٹیبل موریوور کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، ایک بند سرایت کو دیکھتے ہوئے وہاں مقامی کوہومولوجی گروپ ہے مخلوط ہج ڈھانچوں کی تغیرات مختلف اقسام کی مورفزم کے لیے پش فارورڈ نقشے اور مخلوط ہج ڈھانچوں کی انحطاط پذیر تغیرات دیتے ہیں۔ ان تغیرات کو بہتر طور پر سمجھنے کے لیے، سڑنے کی تھیوریم اور انٹرسیکشن کوہمولوجی کی ضرورت ہے۔ مکسڈ ہج ماڈیولز کے زمرے کی وضاحتی خصوصیات میں سے ایک حقیقت یہ ہے کہ انٹرسیکشن کوہمولوجی کو اس کی زبان میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس سے اقسام کے نقشوں کے لیے سڑنے کا نظریہ استعمال کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔ انٹرسیکشن کمپلیکس کی وضاحت کرنے کے لیے، مختلف قسم کا کھلا ہموار حصہ بننے دیں۔ اس کے بعد کے انٹرسیکشن کمپلیکس کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے جیسے کہ منحرف شیفس پی جی 311 کے ساتھ۔ خاص طور پر، اس سیٹ اپ کو انٹرسیکشن کوہومولوجی گروپ کو خالص وزن والے ہج ڈھانچے کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مخلوط محرکات (ریاضی) ڈیلیگن کوہمولوجی حوالہ جات مخلوط ہج ماڈیولز کے لیے ایک نوجوان شخص کا رہنما الجبرائی جیومیٹری عمومی کئی گنا ہومیولوجیکل الجبرا ہج تھیوری