Monoidal t-norm logic
ریاضیاتی منطق میں، مونوئڈل ٹی-نارم پر مبنی منطق (یا مختصر طور پر ایم ٹی ایل)، بائیں مسلسل ٹی-نارمز کی منطق، ٹی-نارم مبہم منطقوں میں سے ایک ہے۔ اس کا تعلق سب اسٹرکچرل لاجکس کی وسیع تر کلاس، یا بقایا جالی کے منطق سے ہے۔ یہ پریلینیرٹی کے محور کے ذریعہ مواصلاتی باؤنڈڈ انٹیگرل بقایا جالی کے منطق کو بڑھاتا ہے (جسے ہوہل کی مونوئڈل منطق، اونو کی فلیو، یا سنکچن کے بغیر بدیہی منطق کے نام سے جانا جاتا ہے)۔ محرک مبہم منطق میں، بیانات کو سچ یا غلط ہونے کے حوالے کرنے کے بجائے، ہم ہر بیان کو اس بیان میں عددی اعتماد کے ساتھ جوڑتے ہیں۔ روایت کے مطابق اعتماد اکائی وقفے پر محیط ہوتا ہے، جہاں زیادہ سے زیادہ اعتماد سچ کے کلاسیکی تصور سے مطابقت رکھتا ہے اور کم سے کم اعتماد غلط کے کلاسیکی تصور سے مطابقت رکھتا ہے۔ ٹی-معیارات حقیقی اکائی کے وقفے [0، 1] پر بائنری افعال ہیں، جو فجی منطق میں اکثر کنجکشن کنیکٹو کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ اگر وہ اعتمادات ہیں جو ہم بیانات سے منسوب کرتے ہیں اور بالترتیب، تو کوئی مرکب بیان 'اور' سے منسوب اعتماد کا حساب لگانے کے لیے ٹی-معیار کا استعمال کرتا ہے۔ ایک ٹی-نارم کو تبادلہ، ایسوسی ایٹیویٹی، یکسانیت-اگر اور پھر، اور 1 کو شناختی عنصر کے طور پر رکھنے کی خصوصیات کو پورا کرنا ہوتا ہے۔ اس فہرست میں نمایاں طور پر غیر حاضر ہونا آئیڈیمپوٹیننس کی خاصیت ہے ؛ جو قریب ترین ہوتا ہے وہ یہ ہے۔ انصاف کے مقابلے میں 'اور' میں کم پراعتماد ہونا عجیب لگ سکتا ہے، لیکن ہم عام طور پر مشترکہ میں اعتماد کی اجازت دینا چاہتے ہیں اور 'اعتماد اور اعتماد دونوں سے کم ہونا چاہتے ہیں، اور پھر یکسانیت کے ذریعے ترتیب دینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسے رکھنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ٹی-نارم صرف اعدادوشمار کو اعداد کے طور پر مدنظر رکھ سکتا ہے، نہ کہ ان وجوہات کو جو ان اعدادوشمار کو منسوب کرنے کے پیچھے ہو سکتی ہیں۔ اس طرح یہ 'اور' کے ساتھ مختلف سلوک نہیں کر سکتا اور جہاں ہم دونوں میں یکساں طور پر پراعتماد ہیں۔ چونکہ علامت لیٹیس تھیوری میں اس کے استعمال کے ذریعے آئیڈیمپوٹیننس پراپرٹی سے بہت قریب سے وابستہ ہے، اس لیے کنجکشن کے لیے کسی مختلف علامت پر تبدیل کرنا مفید ہو سکتا ہے جو ضروری نہیں کہ آئیڈیمپوٹینٹ ہو۔ مبہم منطق کی روایت میں بعض اوقات اس "مضبوط" امتزاج کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، لیکن یہ مضمون مضبوط امتزاج کے لیے استعمال کرنے کی ذیلی ساختیاتی منطق کی روایت کی پیروی کرتا ہے۔ اس طرح ہم بیان سے منسوب اعتماد ہے (اب بھی 'اور' پڑھتے ہیں، شاید 'اور' کی اہلیت کے طور پر 'مضبوط' یا 'ضرب' کے ساتھ)۔ باضابطہ کنجکشن ہونے کے بعد، ایک دوسرے کنیکٹیوز کے ساتھ جاری رکھنا چاہتا ہے۔ ایسا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ آرڈر ریورسنگ نقشے کے طور پر نفی کو متعارف کرایا جائے، پھر ڈی مورگن کے قوانین، مادی مضمرات، اور اسی طرح کا استعمال کرتے ہوئے بقیہ رابطوں کی وضاحت کی جائے۔ ایسا کرنے میں ایک مسئلہ یہ ہے کہ نتیجے میں آنے والے منطقوں میں ناپسندیدہ خصوصیات ہو سکتی ہیں: وہ کلاسیکی منطق کے بہت قریب ہو سکتے ہیں، یا اگر اس کے برعکس متوقع قیاس کے اصولوں کی حمایت نہیں کرتے ہیں۔ ایک متبادل جو مختلف انتخاب کے نتائج کو زیادہ پیش گوئی کے قابل بناتا ہے اس کے بجائے دوسرے کنیکٹو کے طور پر مضمرات کے ساتھ جاری رکھنا ہے: یہ مجموعی طور پر منطق کے محوریات میں سب سے عام کنیکٹو ہے، اور اس کا منطق کے تخفیف پہلوؤں سے زیادہ تر دوسرے کنیکٹو کے مقابلے میں قریبی تعلق ہے۔ امپلیکیشن کنیکٹو کے ایک اعتماد کے ہم منصب کو حقیقت میں براہ راست ٹی-نارم کے بقایا کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ کنجکشن اور امپلیکیشن کے درمیان منطقی ربط کسی ایسی چیز کے ذریعے فراہم کیا جاتا ہے جو انفریینس رول موڈس پونینس کی طرح بنیادی ہے: سے اور اس کے بعد۔ مبہم منطق کے معاملے میں جسے زیادہ سختی سے اس طرح لکھا جاتا ہے، کیونکہ اس سے یہ واضح ہوتا ہے کہ یہاں کی بنیاد کے لیے ہمارا اعتماد اس میں ہے، نہ کہ ان میں اور الگ سے۔ لہذا اگر اور بالترتیب ہمارے اعتماد ہیں، تو اس میں مطلوب اعتماد ہے، اور اس میں مشترکہ اعتماد ہے۔ ہم اس بات کا مطالبہ کرتے ہیں کہ چونکہ ہمارا اعتماد اس بیان پر ہمارے اعتماد سے کم نہیں ہونا چاہیے جس سے منطقی طور پر پیروی ہوتی ہے۔ یہ مطلوب اعتماد کو محدود کرتا ہے، اور بائنری آپریشن میں تبدیل ہونے کا ایک طریقہ یہ ہوگا کہ اس حد کا احترام کرتے ہوئے اسے زیادہ سے زیادہ بڑا بنایا جائے: لینے سے ملتا ہے، لہذا بالادستی ہمیشہ ایک غیر خالی پابند سیٹ کی ہوتی ہے اور اس طرح اچھی طرح سے متعین ہوتی ہے۔ عام ٹی-نارم کے لیے یہ امکان باقی رہتا ہے کہ اس میں چھلانگ کا تعطل ہو، اس صورت میں اس سے سختی سے بڑا نکل سکتا ہے حالانکہ اس کی تعریف ایس کی کم سے کم اوپری حد کے طور پر کی گئی ہے۔ اس کو روکنے اور تعمیراتی کام کو توقع کے مطابق کرنے کے لیے، ہمیں ضرورت ہے کہ ٹی-نارم لیفٹ-کنٹینیوئس ہو۔ بائیں مسلسل ٹی-نارم کے بقایا کو اس طرح سب سے کمزور فنکشن کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو فجی موڈس پونینس کو درست بناتا ہے، جو اسے فجی منطق میں مضمرات کے لیے ایک موزوں سچائی فنکشن بناتا ہے۔ زیادہ الجبرائی طور پر، ہم کہتے ہیں کہ ایک آپریشن ایک ٹی-نارم کا بقیہ ہے اگر سب کے لیے، اور یہ صرف اس صورت میں مطمئن ہوتا ہے جب۔ عددی موازنہ کی یہ مساوات مضمرات کی مساوات کی عکاسی کرتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ موجود ہو کیونکہ بنیاد سے کسی بھی ثبوت کو اضافی مضمرات کا تعارف مرحلہ کرکے بنیاد سے ثبوت میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور اس کے برعکس بنیاد سے کسی بھی ثبوت کو اضافی مضمرات کے خاتمے کا مرحلہ کرکے بنیاد سے ثبوت میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ٹی-نارم کا لیفٹ تسلسل ٹی-نارم کنجکشن اور اس کے بقایا مضمرات کے درمیان اس رشتے کے لیے ضروری اور کافی شرط ہے۔ مزید پروپوزیشنل کنیکٹیوز کے ٹروتھ فنکشنز کی تعریف ٹی-نارم اور اس کے بقایا کے ذریعے کی جا سکتی ہے، مثال کے طور پر بقایا نفی۔ اس طرح، لیفٹ-کنٹینیوئس ٹی-نارم، اس کا بقایا، اور اضافی پروپوزیشنل کنیکٹیوز کے ٹروتھ فنکشنز (نیچے سیکشن اسٹینڈرڈ سیمنٹکس دیکھیں) [0، 1] میں پیچیدہ تجویز کردہ فارمولوں کی سچائی اقدار کا تعین کرتے ہیں۔ فارمولے جو ہمیشہ 1 کا اندازہ لگاتے ہیں پھر دیئے گئے بائیں مسلسل ٹی نارم یا ٹاٹولوجیز کے حوالے سے ٹاٹولوجیز کہلاتے ہیں۔ تمام ٹاٹولوجیز کے سیٹ کو ٹی-نارم کی منطق کہا جاتا ہے کیونکہ یہ فارمولے فجی منطق کے قوانین (ٹی-نارم کے ذریعہ طے شدہ) کی نمائندگی کرتے ہیں جو جوہری فارمولوں کی سچائی ڈگریوں سے قطع نظر (ڈگری 1 تک) رکھتے ہیں۔ کچھ فارمولے تمام لیفٹ-مسلسل ٹی-نارمز کے حوالے سے ٹاٹولوجیز ہیں: وہ پروپوزیشنل فجی منطق کے عمومی قوانین کی نمائندگی کرتے ہیں جو کسی خاص لیفٹ-مسلسل ٹی-نارم کے انتخاب سے آزاد ہیں۔ یہ فارمولے منطق ایم ٹی ایل بناتے ہیں، جسے اس طرح بائیں مسلسل ٹی-معیارات کی منطق کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ نحو زبان تجویز کردہ منطق ایم ٹی ایل کی زبان شمار کے لحاظ سے بہت سے تجویز کردہ متغیرات اور درج ذیل ابتدائی منطقی رابطوں پر مشتمل ہے: امپلیکیشن (بائنری) مضبوط امتزاج (بائنری)۔ فجی منطق پر ادب میں مضبوط امتزاج کے لیے سائن اینڈ ایک زیادہ روایتی اشارے ہے، جبکہ اشارے ذیلی ساختی منطق کی روایت کی پیروی کرتے ہیں۔ کمزور کنجکشن (بائنری)، جسے لیٹس کنجکشن بھی کہا جاتا ہے (جیسا کہ یہ ہمیشہ الجبرائی سیمنٹکس میں ملنے کے لیٹس آپریشن سے محسوس ہوتا ہے)۔ بی ایل اور مضبوط مبہم منطق کے برعکس، کمزور کنجکشن ایم ٹی ایل میں قابل تعریف نہیں ہے اور اسے ابتدائی کنیکٹیوز میں شامل کرنا پڑتا ہے۔ نیچے (صفر-ایک تجویز کردہ مستقل ؛ یا عام متبادل ٹوکن ہیں اور صفر تجویز کردہ مستقل کے لیے ایک عام متبادل نام ہے (جیسا کہ سب اسٹرکچرل لاجکس کے مستقل نیچے اور صفر ایم ٹی ایل میں موافق ہیں)۔ مندرجہ ذیل سب سے عام تعریف شدہ منطقی کنیکٹیوز ہیں: نیگیشن (یونری)، جس کی تعریف مساوات (بائنری) کے طور پر کی گئی ہے، جس کی تعریف ایم ٹی ایل میں، تعریف (کمزور) ڈسجنکشن (بائنری) کے مساوی ہے، جسے لیٹس ڈسجنکشن بھی کہا جاتا ہے (جیسا کہ اسے ہمیشہ الجبرائی سیمنٹکس میں جوائن کے لیٹس آپریشن سے محسوس کیا جاتا ہے)، جس کی تعریف ٹاپ (نیلری) کے طور پر کی جاتی ہے، جسے ایک بھی کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے یا (جیسا کہ سب اسٹرکچرل لاجکس کے مستقل اوپر اور صفر ایم ٹی ایل میں موافق ہوتے ہیں)، جس کی تعریف ایم ٹی ایل کے اچھی طرح سے تشکیل شدہ فارمولوں کے طور پر کی جاتی ہے، تجویز کردہ منطق میں معمول کے مطابق بیان کیے جاتے ہیں۔ قوسین کو بچانے کے لیے، درج ذیل ترجیحی ترتیب کا استعمال کرنا عام ہے: یونیری کنیکٹیوز (سب سے زیادہ قریب سے جڑے ہوئے) بائنری کنیکٹیوز مضمرات اور مساوات کے علاوہ امپلیکیشن اور مساوات (سب سے زیادہ ڈھیلے طریقے سے جڑے ہوئے) محوریات ایم ٹی ایل کے لیے ہلبرٹ طرز کا کٹوتی کا نظام ایسٹیوا اور گوڈو (2001) نے متعارف کرایا ہے۔ اس کا واحد مشتق اصول موڈس پونینس ہے: سے اور اخذ کیا گیا مندرجہ ذیل اس کے محوری اسکیماٹا ہیں: بائیں کالم میں دیئے گئے محوریوں کی روایتی تعداد، ہیجک کی بنیادی مبہم منطق بی ایل کے محوریوں کی تعداد سے حاصل کی گئی ہے۔ محوریہ (ایم ٹی ایل 4 اے)-(ایم ٹی ایل 4 سی) بی ایل کے تقسیم کے محوریہ (بی ایل 4) کی جگہ لے لیتے ہیں۔ محوریہ (ایم ٹی ایل 5 اے) اور (ایم ٹی ایل 5 بی) بقا کے قانون کا اظہار کرتے ہیں اور محوریہ (ایم ٹی ایل 6) قبل از وقت کی شرط سے مطابقت رکھتا ہے۔ اصل محوری نظام کے محوریات (ایم ٹی ایل 2) اور (ایم ٹی ایل 3) کو بے کار دکھایا گیا (چاوالووسکی، 2012) اور (سنٹولا، 2005)۔ دیگر تمام محوریات کو آزاد دکھایا گیا (چاوالووسکی، 2012)۔ سیمنٹکس دیگر پروپوزیشنل ٹی-نارم فجی لاجکس کی طرح، الجبرائی سیمنٹکس بنیادی طور پر ایم ٹی ایل کے لیے استعمال ہوتا ہے، جس میں الجبرا کی تین اہم کلاسیں ہوتی ہیں جن کے حوالے سے منطق مکمل ہوتی ہے: جنرل سیمنٹکس، جو تمام ایم ٹی ایل-الجبرا سے تشکیل پاتا ہے-یعنی وہ تمام الجبرا جن کے لیے منطق صوتی لکیری سیمنٹکس ہے، جو تمام لکیری ایم ٹی ایل-الجبرا سے تشکیل پاتا ہے-یعنی وہ تمام ایم ٹی ایل-الجبرا جن کا لیٹیس آرڈر لکیری اسٹینڈرڈ سیمنٹکس ہے، جو تمام معیاری ایم ٹی ایل-الجبرا سے تشکیل پاتا ہے-یعنی وہ تمام ایم ٹی ایل-الجبرا جن کی لیٹیس میں کمی حقیقی یونٹ وقفہ ہے [0,1] ان کی خصوصیت پریلینیر کمیونیٹیٹو باؤنڈڈ انٹیگرل ریسیچوایٹڈ لیٹیسیس کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ مزید تفصیل سے، ایک الجبرائی ڈھانچہ ایک ایم ٹی ایل الجبرا ہے اگر اوپر والے عنصر 0 کے ساتھ ایک باؤنڈڈ لیٹس ہو اور نیچے والے عنصر 1 ایک تبادلہ مونوئڈ ہے اور ایک ملحقہ جوڑا بناتا ہے، یعنی، اگر اور صرف اس صورت میں جب تمام x، y، اور z کے لیے لیٹس آرڈر کہاں ہے، (بقایا حالت) L میں تمام x اور y کے لیے برقرار ہے (ابتدائی حالت) ایم ٹی ایل الجبرا کی اہم مثالیں حقیقی یونٹ وقفہ [0، 1] پر معیاری ایم ٹی ایل الجبرا ہیں۔ مزید مثالوں میں تمام بولین الجیبرا، تمام لکیری ہیٹنگ الجیبرا (دونوں کے ساتھ)، تمام ایم وی-الجیبرا، تمام بی ایل-الجیبرا وغیرہ شامل ہیں۔ چونکہ بقایا حالت کو شناختوں کے ذریعے مساوی طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اس لیے ایم ٹی ایل-الجیبرا مختلف قسم کے ہوتے ہیں۔ ایم ٹی ایل الجیبراس میں منطق ایم ٹی ایل کی تشریح ایم ٹی ایل الجیبراس میں ایم ٹی ایل کے کنیکٹیوز کی تشریح اس طرح کی جاتی ہے: مونوئڈل آپریشن کے ذریعے مضبوط کنجکشن آپریشن کے ذریعے امپلیکیشن (جسے ریسیڈیوم کہا جاتا ہے) کمزور کنجکشن اور لیٹس آپریشنز کے ذریعے کمزور ڈسجنکشن اور بالترتیب (عام طور پر کنیکٹیوز کی طرح ہی علامتوں کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، اگر کوئی الجھن پیدا نہیں ہو سکتی ہے) سچائی مستقل صفر (اوپر) اور ایک (نیچے) مستقل 0 اور 1 کے ذریعے مساوات کنیکٹیو کی تشریح اس آپریشن کے ذریعے کی جاتی ہے جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے۔ اس طرح ایک فارمولہ ایک تشخیص e کے تحت مکمل طور پر درست سمجھا جاتا ہے اگر e (A) = 1۔ ایک فارمولا اے کو ایم ٹی ایل-الجبرا ایل میں درست کہا جاتا ہے اگر یہ ایل میں تمام تشخیصوں کے تحت مکمل طور پر درست ہے، یعنی، اگر ایل میں تمام تشخیصوں کے لیے ای (اے) = 1 ہے۔ کچھ فارمولے (مثال کے طور پر، پی۔ پی) کسی بھی ایم ٹی ایل-الجبرا میں درست ہیں ؛ انہیں ایم ٹی ایل کی ٹاٹولوجیز کہا جاتا ہے۔ گلوبل اینٹیلمنٹ (یا: عالمی نتیجہ) کے تصور کو ایم ٹی ایل کے لیے مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا گیا ہے: فارمولوں کے ایک سیٹ میں فارمولہ اے شامل ہوتا ہے (یا: اے کا ایک عالمی نتیجہ ہے)، علامتوں میں اگر کسی بھی تشخیص کے لیے ای کسی بھی ایم ٹی ایل الجبرا میں، جب بھی ای (بی) = 1 تمام فارمولوں کے لیے بی میں، تو ای (اے) = 1 بھی۔ غیر رسمی طور پر، عالمی نتیجہ کا تعلق سچائی کی اقدار کے کسی بھی ایم ٹی ایل-الجبرا میں مکمل سچائی کی ترسیل کی نمائندگی کرتا ہے۔ عام ساؤنڈنیس اور مکمل تھیوریمز منطق ایم ٹی ایل تمام ایم ٹی ایل-الجیبراس کی کلاس کے حوالے سے درست اور مکمل ہے (ایسٹیوا اور گوڈو، 2001): ایک فارمولا ایم ٹی ایل میں تب ہی ثابت ہوتا ہے جب یہ تمام ایم ٹی ایل-الجیبراس میں درست ہو۔ ایم ٹی ایل-الجبرا کا تصور درحقیقت اس طرح بیان کیا گیا ہے کہ ایم ٹی ایل-الجبرا تمام الجبرا کی کلاس بناتے ہیں جس کے لیے منطق ایم ٹی ایل درست ہے۔ مزید برآں، مضبوط تکمیل تھیوریم کا خیال ہے: فارمولوں کے ایک سیٹ کے ایم ٹی ایل میں ایک فارمولہ اے ایک عالمی نتیجہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اے ایم ٹی ایل میں ایم ٹی ایل سے ماخوذ ہو۔ لکیری سیمنٹکس دیگر مبہم منطقوں کے لیے الجبرا کی طرح، ایم ٹی ایل-الجبرا مندرجہ ذیل لکیری ذیلی براہ راست سڑنے کی خاصیت سے لطف اندوز ہوتے ہیں: ہر ایم ٹی ایل-الجبرا لکیری ترتیب شدہ ایم ٹی ایل-الجبرا کا ذیلی براہ راست پروڈکٹ ہے۔ (ایک ذیلی براہ راست پروڈکٹ براہ راست پروڈکٹ کا ایک ذیلی الجبرا ہے جس میں تمام پروجیکشن نقشے سرجیکٹو ہوتے ہیں۔ ایک ایم ٹی ایل الجبرا لکیری طور پر ترتیب دیا جاتا ہے اگر اس کی جالی کی ترتیب لکیری ہو۔) تمام ایم ٹی ایل-الجیبراس کی لکیری ذیلی براہ راست سڑنے کی خاصیت کے نتیجے میں، لکیری ایم ٹی ایل-الجیبراس (ایسٹیوا اور گوڈو، 2001) کے حوالے سے مکمل تھیوریم کا خیال ہے: ایک فارمولا ایم ٹی ایل میں ثابت ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ تمام لکیری ایم ٹی ایل-الجیبراس میں درست ہو۔ فارمولہ A فارمولوں کے ایک سیٹ سے ایم ٹی ایل میں مشتق ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A تمام لکیری ایم ٹی ایل-الجبرازوں میں ایک عالمی نتیجہ ہو۔ معیاری سیمنٹکس اسٹینڈرڈ کو وہ ایم ٹی ایل-الجیبرا کہا جاتا ہے جن کی جالی میں کمی حقیقی اکائی کا وقفہ ہے [0,1]۔ ان کا تعین منفرد طور پر حقیقی قدر والے فنکشن کے ذریعے کیا جاتا ہے جو مضبوط کنجکشن کی تشریح کرتا ہے، جو کہ کوئی بھی لیفٹ-کنٹینیوئس ٹی-نارم ہو سکتا ہے۔ اسٹینڈرڈ ایم ٹی ایل-الجبرا جس کا تعین لیفٹ-کنٹینیوئس ٹی-نارم سے ہوتا ہے اسے عام طور پر اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے کہ ان امپلیکیشن کو کمزور کنجکشن اور ڈسجنکشن کے بقایا سے بالترتیب کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، اور سچائی حقیقی اعداد 0 اور 1 کے ذریعے بالترتیب صفر اور ایک کو مستقل کرتی ہے۔ منطق ایم ٹی ایل معیاری ایم ٹی ایل-الجبرا کے حوالے سے مکمل ہے۔ اس حقیقت کا اظہار معیاری تکمیل تھیوریم (جینی اور مونٹاگنا، 2002) کے ذریعے کیا گیا ہے: ایک فارمولا ایم ٹی ایل میں اس صورت میں ثابت ہوتا ہے جب یہ تمام معیاری ایم ٹی ایل-الجبرا میں درست ہو۔ چونکہ ایم ٹی ایل معیاری ایم ٹی ایل-الجبرا کے حوالے سے مکمل ہے، جس کا تعین بائیں مسلسل ٹی-معیارات سے ہوتا ہے، اس لیے ایم ٹی ایل کو اکثر بائیں مسلسل ٹی-معیارات کی منطق کہا جاتا ہے (اسی طرح جیسے بی ایل مسلسل ٹی-معیارات کی منطق ہے)۔ کتابچہ ہجک پی۔، 1998، میٹماتھمیٹکس آف فزی لاجک۔ ڈورڈرچٹ: کلور۔ ایسٹیوا ایف۔ اور گوڈو ایل۔، 2001، "مونوئڈل ٹی-نارم پر مبنی منطق: بائیں مسلسل ٹی-نارمز کی منطق کی طرف"۔ فجی سیٹس اینڈ سسٹمز 124:271-288۔ جینی ایس۔ اور مونٹاگنا ایف۔، 2002، "ایسٹیوا اور گوڈو کی یک جہتی منطق ایم ٹی ایل کی معیاری تکمیل کا ثبوت"۔ اسٹڈیا لاجیکا 70:184-192۔ اونو، ایچ۔، 2003، "ذیلی ساختی منطق اور بقایا جالی-ایک تعارف"۔ ایف وی میں۔ ہینڈرکس، جے مالینووسکی (ایڈز۔ ): منطق میں رجحانات: اسٹڈیا منطق کے 50 سال، منطق میں رجحانات 20:177-212۔ سنٹولا پی۔، 2005، "مختصر نوٹ: بی ایل اور ایم ٹی ایل میں محور (اے 3) کی بے کارگی پر"۔ سافٹ کمپیوٹنگ 9:942۔ سنٹولا پی۔، 2006، "کمزور مضمر (مبہم) منطق I: بنیادی خصوصیات"۔ ریاضیاتی منطق 45 کے لیے آرکائیو: 673-704۔ چاوالووسکی کے۔، 2012، "بی ایل اور ایم ٹی ایل میں محوریات کی آزادی پر"۔ فجی سیٹس اینڈ سسٹمز 197:123-129،۔ حوالہ جات مبہم منطق