Boussinesq approximation (water waves)
سیال حرکیات میں، پانی کی لہروں کے لیے بوسینسک کا تخمینہ کمزور غیر لکیری اور کافی لمبی لہروں کے لیے درست تخمینہ ہے۔ تخمینہ کا نام جوزف بوسینسک کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے سب سے پہلے انہیں ترجمہ کی لہر (جسے سولٹی لہر یا سولٹن بھی کہا جاتا ہے) کے جان اسکاٹ رسل کے مشاہدے کے جواب میں اخذ کیا تھا۔ بوسینسک کے 1872 کے مقالے میں ان مساوات کو متعارف کرایا گیا ہے جنہیں اب بوسینسک مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ پانی کی لہروں کے لیے بوسینسک کا تخمینہ افقی اور عمودی بہاؤ کی رفتار کے عمودی ڈھانچے کو مدنظر رکھتا ہے۔ اس کے نتیجے میں غیر لکیری جزوی تفریق مساوات پیدا ہوتی ہیں، جنہیں بوسینسک قسم کی مساوات کہا جاتا ہے، جو تعدد بازی کو شامل کرتی ہیں (اتلی پانی کی مساوات کے برعکس، جو تعدد بازی نہیں ہیں)۔ ساحلی انجینئرنگ میں، بوسینسک قسم کی مساوات اکثر کمپیوٹر ماڈلز میں اتلی سمندروں اور بندرگاہوں میں پانی کی لہروں کے تخروپن کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ اگرچہ بوسینسک کا تخمینہ کافی لمبی لہروں پر لاگو ہوتا ہے-یعنی جب پانی کی گہرائی کے مقابلے طول موج بڑی ہوتی ہے-اسٹوکس کی توسیع مختصر لہروں کے لیے زیادہ موزوں ہوتی ہے (جب طول موج پانی کی گہرائی کے برابر ہوتی ہے، یا کم ہوتی ہے)۔ بوسینسک تخمینہ بوسینسک تخمینہ میں ضروری خیال بہاؤ کی مساوات سے عمودی ہم آہنگی کا خاتمہ ہے، جبکہ پانی کی لہروں کے نیچے بہاؤ کی عمودی ساخت کے کچھ اثرات کو برقرار رکھنا ہے۔ یہ مفید ہے کیونکہ لہریں افقی سطح میں پھیلتی ہیں اور عمودی سمت میں مختلف (لہر جیسی نہیں) طرز عمل رکھتی ہیں۔ اکثر، جیسا کہ بوسینسک کے معاملے میں، دلچسپی بنیادی طور پر لہر کے پھیلاؤ میں ہوتی ہے۔ عمودی کوآرڈینیٹ کا یہ خاتمہ سب سے پہلے 1871 میں جوزف بوسینسک نے کیا تھا، تاکہ واحد لہر (یا ترجمہ کی لہر) کے لیے ایک تخمینہ حل تیار کیا جا سکے۔ اس کے بعد، 1872 میں، بوسینسک نے وہ مساوات اخذ کیں جو آج کل بوسینسک مساوات کے نام سے جانی جاتی ہیں۔ بوسینسک تخمینہ کے مراحل یہ ہیں: ٹیلر کی توسیع ایک مخصوص بلندی کے ارد گرد افقی اور عمودی بہاؤ کی رفتار (یا رفتار کی صلاحیت) سے بنی ہوتی ہے، اس ٹیلر کی توسیع کو ایک محدود تعداد میں اصطلاحات میں کاٹ دیا جاتا ہے، ایک غیر کمپریسبل بہاؤ کے لیے کمیت کا تحفظ (تسلسل مساوات دیکھیں) اور ایک غیر گردش بہاؤ کے لیے صفر کرل کی حالت استعمال کی جاتی ہے، تاکہ ٹیلر کی توسیع میں مقدار کے عمودی جزوی مشتقات کو افقی جزوی مشتقات سے تبدیل کیا جا سکے۔ اس کے بعد، عمودی کوآرڈینیٹ پر انحصار کو ختم کرنے کے لیے بقیہ بہاؤ کی مساوات پر بوسینسک کا تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، نتیجے میں جزوی تفریق مساوات افقی نقاط (اور وقت) کے افعال کے لحاظ سے ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، افقی اور عمودی کوآرڈینیٹ کے ساتھ، ہوائی جہاز میں افقی بیڈ پر ممکنہ بہاؤ پر غور کریں۔ بستر واقع ہے، جہاں پانی کی اوسط گہرائی ہے۔ ٹیلر کی توسیع بستر کی سطح کے ارد گرد رفتار کی صلاحیت سے بنی ہے: بستر پر رفتار کی صلاحیت کہاں ہے۔ کے لیے لیپلیس کی مساوات کو مدعو کرنا، جیسا کہ غیر کمپریسبل بہاؤ کے لیے درست ہے، دیتا ہے: چونکہ عمودی رفتار-ناقابل تسخیر-افقی بیڈ پر صفر ہے۔ اس سلسلے کو بعد میں محدود تعداد میں اصطلاحات میں کاٹ دیا جا سکتا ہے۔ اصل بوسینسک مساوات مشتق طیارہ میں غیر کمپریسبل سیال اور غیر گردش بہاؤ پر پانی کی لہروں کے لیے، آزاد سطح کی بلندی پر حدود کے حالات یہ ہیں: جہاں: افقی بہاؤ کی رفتار کا جزو ہے:، عمودی بہاؤ کی رفتار کا جزو ہے:، کشش ثقل کی طرف سے ایکسلریشن ہے۔ اب جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے، رفتار کی صلاحیت کے لیے بوسینسک کا تخمینہ ان باؤنڈری کنڈیشنز میں لاگو ہوتا ہے۔ مزید برآں، نتیجے میں آنے والی مساوات میں صرف اور کے حوالے سے لکیری اور کواڈریٹک اصطلاحات برقرار رکھی جاتی ہیں (بیڈ پر افقی رفتار کے ساتھ)۔ کیوبک اور اعلی آرڈر کی شرائط کو نہ ہونے کے برابر سمجھا جاتا ہے۔ پھر، درج ذیل جزوی تفریقی مساوات حاصل کی جاتی ہیں: سیٹ A-Boussinesq (1872)، مساوات (25) مساوات کا یہ سیٹ ایک فلیٹ افقی بیڈ کے لیے اخذ کیا گیا ہے، یعنی۔ اوسط گہرائی پوزیشن سے مستقل آزاد ہے۔ جب مندرجہ بالا مساوات کے دائیں جانب صفر پر سیٹ کیے جاتے ہیں، تو وہ اتلی پانی کی مساوات میں گھٹ جاتے ہیں۔ کچھ اضافی تخمینوں کے تحت، لیکن درستگی کی اسی ترتیب پر، مندرجہ بالا سیٹ A کو آزاد سطح کی بلندی کے لیے واحد جزوی تفریقی مساوات میں کم کیا جا سکتا ہے: سیٹ B-Boussinesq (1872)، مساوات (26) بریکٹ کے درمیان کی اصطلاحات سے، مساوات کی غیر لکیری کی اہمیت کا اظہار ارسل نمبر کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ بے جہتی مقداروں میں، غیر جہتی کے لیے پانی کی گہرائی اور کشش ثقل کی ایکسلریشن کا استعمال کرتے ہوئے، یہ مساوات معمول کے بعد پڑھتی ہے: اس کے ساتھ: لکیری فریکوئنسی ڈسپریشن مختلف لہر کی لمبائی کی پانی کی لہریں مختلف مرحلے کی رفتار کے ساتھ سفر کرتی ہیں، ایک رجحان جسے فریکوئنسی ڈسپریشن کہا جاتا ہے۔ لامحدود لہر طول و عرض کے معاملے میں، اصطلاح لکیری فریکوئنسی ڈسپریشن ہے۔ بوسینسک قسم کی مساوات کی تعدد بازی کی خصوصیات کو لہر کی لمبائی کی حد کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس کے لیے یہ ایک درست تخمینہ ہے۔ مساوات کے مذکورہ بالا سیٹ A کے لیے لکیری فریکوئنسی ڈسپریشن کی خصوصیات یہ ہیں: کے ساتھ: مرحلے کی رفتار، لہر نمبر (، لہر کی لمبائی کے ساتھ)۔ سیٹ A کے مرحلے کی رفتار میں رشتہ دار غلطی، پانی کی لہروں کے لکیری تھیوری کے مقابلے میں، رشتہ دار لہر نمبر کے لیے 4 فیصد سے بھی کم ہے۔ لہذا، انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں، سیٹ اے پانی کی گہرائی سے 4 گنا زیادہ طول موج کے لیے درست ہے۔ مساوات B کی لکیری فریکوئنسی ڈسپریشن کی خصوصیات یہ ہیں: مساوات B کے مرحلے کی رفتار میں رشتہ دار غلطی 4 ٪ سے کم ہے، جو پانی کی گہرائی سے 7 گنا زیادہ لمبی لہر کی لمبائی کے برابر ہے، جسے کافی لمبی لہریں کہا جاتا ہے۔ مساوات B والی مختصر لہروں کے لیے جسمانی طور پر بے معنی ہو جاتی ہیں، کیونکہ فیز سپیڈ کے اب حقیقی قدر والے حل نہیں ہیں۔ دو جزوی تفریقی مساوات کے اصل سیٹ (بوسینسک، 1872، مساوات 25، اوپر سیٹ اے دیکھیں) میں یہ کمی نہیں ہے۔ پانی کی گہرائی سے 13 گنا زیادہ لہر کی لمبائی کے لیے 4 فیصد سے کم مرحلے کی رفتار میں اتلی پانی کی مساوات میں نسبتا غلطی ہوتی ہے۔ بوسینسک قسم کی مساوات اور توسیعات ریاضیاتی نمونوں کی ایک بہت بڑی تعداد ہے جسے بوسینسک مساوات کہا جاتا ہے۔ یہ آسانی سے الجھن کا باعث بن سکتا ہے، کیونکہ اکثر انہیں بوسینسک مساوات کے طور پر حوالہ دیا جاتا ہے، جبکہ حقیقت میں اس کی ایک قسم پر غور کیا جاتا ہے۔ لہذا انہیں بوسینسک قسم کی مساوات کہنا زیادہ مناسب ہے۔ سختی سے بولتے ہوئے، بوسینسک مساوات مذکورہ بالا سیٹ B ہے، کیونکہ یہ ان کے 1872 کے مقالے کے بقیہ تجزیے میں استعمال ہوتا ہے۔ کچھ سمتوں، جن میں بوسینسک مساوات کو بڑھایا گیا ہے، وہ ہیں: مختلف باتھمیٹری، بہتر فریکوئنسی منتشر، بہتر غیر لکیری طرز عمل، مختلف عمودی بلندی کے ارد گرد ٹیلر کی توسیع کرنا، سیال ڈومین کو تہوں میں تقسیم کرنا، اور ہر پرت میں بوسینسک تخمینہ کو الگ الگ لاگو کرنا، لہر توڑنے کی شمولیت، سطح کے تناؤ کو شامل کرنا، مختلف بڑے پیمانے پر کثافت کے سیال ڈومینز کے درمیان انٹرفیس پر اندرونی لہروں تک توسیع، متغیر اصول سے مشتق۔ یک طرفہ لہر کے پھیلاؤ کے لیے مزید تخمینے اگرچہ بوسینسک مساوات لہروں کو مخالف سمتوں میں بیک وقت سفر کرنے کی اجازت دیتی ہیں، لیکن اکثر صرف ایک سمت میں سفر کرنے والی لہروں پر غور کرنا فائدہ مند ہوتا ہے۔ چھوٹے اضافی مفروضوں کے تحت، بوسینسک مساوات کو کم کر دیا جاتا ہے: ایک افقی جہت میں لہر کے پھیلاؤ کے لیے کورٹویگ-ڈی وریس مساوات، دو افقی جہتوں میں (قریب یک طرفہ) لہر کے پھیلاؤ کے لیے کاڈومتسیو-پیٹویشویلی مساوات، تنگ بینڈ لہروں (آہستہ آہستہ ماڈیول شدہ لہروں) کے پیچیدہ قدر والے طول و عرض کے لیے غیر لکیری شروڈنگر مساوات (این ایل ایس مساوات)۔ تنہا لہر کے حلوں کے علاوہ، کورٹی ویگ-ڈی وریس مساوات میں وقتا فوقتا اور درست حل بھی ہوتے ہیں، جنہیں سنائڈل لہریں کہتے ہیں۔ یہ بوسینسک مساوات کے لگ بھگ حل ہیں۔ عددی نمونے ساحلوں اور بندرگاہوں کے قریب لہر کی حرکت کے تخروپن کے لیے، عددی نمونے-تجارتی اور تعلیمی دونوں-بوسینسک قسم کی مساوات کو استعمال کرتے ہوئے موجود ہیں۔ کچھ تجارتی مثالیں مائیک 21 اور ایس ایم ایس میں بوسینسک قسم کے لہر ماڈیول ہیں۔ بوسینسک کے کچھ مفت ماڈلز سیلرس، کولوو، اور فنوو ہیں۔ زیادہ تر عددی ماڈل ماڈل مساوات کی تفریق کے لیے محدود فرق، محدود حجم یا محدود عنصر کی تکنیکوں کو استعمال کرتے ہیں۔ سائنسی جائزے اور کئی بوسینسک قسم کی مساوات کے باہمی موازنہ، ان کا عددی تخمینہ اور کارکردگی مثال کے طور پر ہیں۔ ، اور۔ نوٹ حوالہ جات حصہ 2، باب 5 دیکھیں۔ سیال حرکیات پانی کی لہریں سیال حرکیات کے مساوات