Visual calculus
بصری کیلکولس، جسے میمیکون منٹسکینین (جسے میمیکون کے نام سے جانا جاتا ہے) نے ایجاد کیا، مختلف قسم کے لازمی کیلکولس کے مسائل کو حل کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ بہت سے مسائل جو بصورت دیگر حساب کی بمشکل ایک لائن کے ساتھ طریقہ کار کو کافی مشکل لگتے ہیں، اکثر مارٹن گارڈنر کی یاد دلاتے ہیں جسے "آہ! حل "یا راجر نیلسن الفاظ کے بغیر ثبوت۔ میمیکون نے اپنا طریقہ 1959 میں ایک انڈرگریجویٹ کے طور پر وضع کیا، سب سے پہلے اسے جیومیٹری کے ایک معروف مسئلے پر لاگو کیا: اندرونی دائرے میں ایک کورڈ ٹینجینٹ کی لمبائی کو دیکھتے ہوئے، ایک رنگ (اینولس) کا رقبہ تلاش کریں۔ شاید حیرت انگیز طور پر، کسی اضافی معلومات کی ضرورت نہیں ہے ؛ حل انگوٹھی کے اندرونی اور بیرونی طول و عرض پر منحصر نہیں ہے۔ روایتی نقطہ نظر میں الجبرا اور پایتھاگورین تھیوریم کا اطلاق شامل ہے۔ تاہم، میمیکون کا طریقہ، انگوٹھی کی ایک متبادل تعمیر کا تصور کرتا ہے: پہلے صرف اندرونی دائرہ کھینچا جاتا ہے، پھر اس کے دائرے کے ساتھ سفر کرنے کے لیے ایک مستقل لمبائی کا ٹینجینٹ بنایا جاتا ہے، انگوٹھی کو جاتے جاتے "باہر نکال" دیتا ہے۔ اب اگر رنگ کی تعمیر میں استعمال ہونے والے تمام (مستقل لمبائی) ٹینجینٹس کا ترجمہ کیا جائے تاکہ ان کے ٹینجینسی کے نکات ایک ساتھ ہوں، تو نتیجہ معلوم رداس (اور آسانی سے شمار شدہ رقبے) کی ایک سرکلر ڈسک ہے۔ درحقیقت، چونکہ اندرونی دائرے کا رداس غیر متعلقہ ہے، اس لیے کوئی بھی صرف رداس صفر (ایک پوائنٹ) کے دائرے سے شروع کر سکتا تھا-اور صفر رداس کے دائرے کے ارد گرد ایک رنگ کو باہر نکالنا اس کے اختتامی نکات میں سے کسی ایک کے ارد گرد لائن کے حصے کو گھمانے اور ڈسک کو باہر نکالنے سے الگ نہیں ہے۔ میمیکون کی بصیرت دونوں تعمیرات کی مساوات کو تسلیم کرنا تھی ؛ اور چونکہ وہ مساوی ہیں، اس لیے وہ مساوی رقبے حاصل کرتے ہیں۔ مزید برآں، جب تک یہ دیا جاتا ہے کہ ٹینجینٹ کی لمبائی مستقل ہے، دونوں ابتدائی منحنی خطوط کو سرکلر ہونے کی ضرورت نہیں ہے-ایک ایسی تلاش جو زیادہ روایتی ہندسی طریقوں سے آسانی سے ثابت نہیں ہوتی ہے۔ اس سے میمیکون کا نظریہ حاصل ہوتا ہے: اصل منحنی خطوط کی شکل سے قطع نظر، ٹینجینٹ سویپ کا رقبہ اس کے ٹینجینٹ کلسٹر کے رقبے کے برابر ہوتا ہے۔ سائکلائڈ کا رقبہ سائکلائڈ کے رقبے کا حساب اس کے اور منسلک مستطیل کے درمیان کے رقبے پر غور کر کے لگایا جا سکتا ہے۔ ان تمام ٹینجینٹس کو ایک دائرہ بنانے کے لیے کلسٹر کیا جا سکتا ہے۔ اگر سائکلائڈ پیدا کرنے والے دائرے کا رداس ہے تو اس دائرے کا رداس اور رقبہ بھی ہے۔ مستطیل کا رقبہ ہے۔ لہذا سائکلائڈ کا رقبہ ہے: یہ پیدا کرنے والے دائرے کے رقبے کا 3 گنا ہے۔ ٹینجینٹ کلسٹر کو ایک دائرے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے کیونکہ سائکلائڈ ایک دائرے سے پیدا ہوتا ہے اور سائکلائڈ کا ٹینجینٹ جنریٹنگ پوائنٹ سے رولنگ پوائنٹ تک لائن کے صحیح زاویے پر ہوگا۔ اس طرح ٹینجینٹ اور رابطہ نقطہ کی لکیر پیدا کرنے والے دائرے میں دائیں زاویے والا مثلث بناتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک ساتھ کلسٹرڈ ٹینجینٹ پیدا کرنے والے دائرے کی شکل کو بیان کریں گے۔ کیولیری کا اصول ہوڈوگراف بھی دیکھیں-یہ ایک متعلقہ تعمیر ہے جو قطبی خاکہ کا استعمال کرتے ہوئے کسی نقطہ کی رفتار کا نقشہ بناتی ہے۔ مکینیکل تھیوریمز کا طریقہ پیپس کا سینٹروئڈ تھیوریم پلانمیٹر حوالہ جات بیرونی روابط پروج میتھ میمیکون ثبوت بغیر الفاظ کے ریاضی ورلڈ وولفرم انٹرایکٹو ڈیمانسٹریشن آف میمیکون تھیوریم کیلکولس جیومیٹری انٹیگرلز ثبوت الفاظ کے بغیر