Shimura variety
نمبر تھیوری میں، شمورا قسم ایک ماڈیولر وکر کا ایک اعلی جہتی ینالاگ ہے جو ق پر بیان کردہ تخفیف الجبرائی گروپ کے ہم آہنگی ذیلی گروپ کے ذریعہ ہرمیٹین سمیٹرک اسپیس کے حصص کی قسم کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ شمورا اقسام الجبرائی اقسام نہیں ہیں بلکہ الجبرائی اقسام کے خاندان ہیں۔ شمورا منحنی خطوط ایک جہتی شمورا اقسام ہیں۔ ہلبرٹ ماڈیولر سطحیں اور سیگل ماڈیولر اقسام شمورا اقسام کی سب سے مشہور کلاسوں میں سے ہیں۔ شمورا اقسام کی خصوصی مثالیں اصل میں گورو شمورا نے پیچیدہ ضرب کے نظریہ کی عمومی شکل کے دوران متعارف کروائی تھیں۔ شمورا نے دکھایا کہ اگرچہ ابتدائی طور پر تجزیاتی طور پر ان کی تعریف کی گئی ہے، لیکن وہ ریاضیاتی اشیاء ہیں، اس معنی میں کہ وہ شمورا قسم کے اضطراری میدان، نمبر فیلڈ پر بیان کردہ نمونوں کو تسلیم کرتے ہیں۔ 1970 کی دہائی میں، پیئر ڈیلیگن نے شمورا کے کام کے لیے ایک محوری فریم ورک بنایا۔ 1979 میں، رابرٹ لینگ لینڈز نے تبصرہ کیا کہ شمورا کی اقسام مثالوں کا ایک قدرتی دائرہ تشکیل دیتی ہیں جس کے لیے لینگ لینڈز پروگرام میں پیش کردہ محرک اور آٹومورفک ایل افعال کے درمیان مساوات کی جانچ کی جا سکتی ہے۔ شمورا قسم کی ہم آہنگی میں محسوس ہونے والی آٹومورفک شکلیں عام آٹومورفک شکلوں کے مقابلے میں مطالعہ کے لیے زیادہ قابل عمل ہیں۔ خاص طور پر، ان سے گالوئس نمائندگی منسلک کرنے والی ایک تعمیر ہے۔ تعریف شمورا ڈیٹم S = ResC/R Gm پیچیدہ اعداد سے حقیقی اعداد تک ضرب گروپ کی ویل پابندی ہے۔ یہ ایک حقیقی الجبرائی گروپ ہے، جس کے R-پوائنٹس کا گروپ، S (R)، C * ہے اور C-پوائنٹس کا گروپ C * × C * ہے۔ شمورا ڈیٹم ایک جوڑا (G، X) ہوتا ہے جس میں ایک (جڑا ہوا) تخفیف الجبرائی گروپ G ہوتا ہے جس کی وضاحت عقلی اعداد کے میدان Q پر کی جاتی ہے اور ایک G (R)-ہم آہنگی کلاس X جو ہومومورفزم h: S → GR کے درج ذیل محوریات کو پورا کرتا ہے: X میں کسی بھی h کے لیے، صرف وزن (0,0)، (1، −1)، (−1,1) gC میں ہو سکتا ہے، یعنی۔ G کا پیچیدہ لائ الجبرا ایک براہ راست مجموعہ میں تحلیل ہو جاتا ہے جہاں کسی بھی z bul S کے لیے، h (z) پہلے مجموعہ پر معمولی طور پر اور دوسرے (بالترتیب، تیسرے) مجموعہ پر (بالترتیب،) کے ذریعے کام کرتا ہے۔ ایچ (آئی) کا ملحقہ عمل جی آر کے ملحقہ گروپ پر کارٹن ارتقاء کو جنم دیتا ہے۔ GR کا ملحقہ گروپ Q پر بیان کردہ عنصر H کو اس طرح تسلیم نہیں کرتا ہے کہ H پر h کا پروجیکشن معمولی ہو۔ ان محوریوں سے یہ پتہ چلتا ہے کہ X ایک پیچیدہ کئی گنا (ممکنہ طور پر منقطع) کی ایک منفرد ساخت رکھتا ہے جیسے کہ ہر نمائندگی کے لیے ρ: GR → GL (V)، خاندان (V، ρ ⋅h) ہج ڈھانچوں کا ایک ہولومورفک خاندان ہے۔ اس کے علاوہ، یہ ہج ڈھانچے کی ایک تغیر تشکیل کرتا ہے، اور X ہرمیٹین سمیٹرک ڈومینز کا ایک محدود جداگانہ اتحاد ہے۔ شیمورا قسم فرض کریں کہ اے ایف کیو کے محدود ایڈیلز کی انگوٹی ہے۔ جی (اے ایف) کے ہر کافی چھوٹے کمپیکٹ اوپن سب گروپ کے کے لیے، ڈبل کوسیٹ اسپیس فارم کی مقامی طور پر ہم آہنگ اقسام کا ایک محدود جداگانہ اتحاد ہے، جہاں پلس سپر اسکرپٹ ایک منسلک جزو کی نشاندہی کرتا ہے۔ اقسام ایس ایچ کے (جی، ایکس) پیچیدہ الجبرائی اقسام ہیں اور وہ تمام کافی چھوٹے کمپیکٹ اوپن ذیلی گروپس کے پر ایک الٹا نظام بناتے ہیں۔ یہ الٹا نظام جی (اے ایف) کے قدرتی دائیں عمل کو تسلیم کرتا ہے۔ اسے شمورا دتم (جی، ایکس) سے وابستہ شمورا قسم کہا جاتا ہے اور اسے ایس ایچ (جی، ایکس) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تاریخ خاص قسم کے ہرمیٹین سمیٹرک ڈومینز اور ہم آہنگی کے ذیلی گروپوں کے لیے، 1960 کی دہائی کے دوران گورو شمورا کے مقالے کی ایک سیریز میں، الجبرائی اقسام کی شکل κ\X = ShK (G، X) اور ان کی کمپیکٹفیکیشنز متعارف کرائی گئیں۔ شمورا کا نقطہ نظر، جو بعد میں ان کے مونوگراف میں پیش کیا گیا، بڑی حد تک فینومینولوجیکل تھا، جو پیچیدہ ضرب کے نظریہ کے باہمی قانون کی تشکیل کی وسیع تر عمومی شکلوں کا تعاقب کرتا تھا۔ ماضی کے تناظر میں، "شمورا قسم" کا نام ڈیلیگن نے متعارف کرایا تھا، جس نے شمورا کے نظریہ میں کردار ادا کرنے والی تجریدی خصوصیات کو الگ کرنے کے لیے آگے بڑھا۔ ڈیلیگن کی تشکیل میں، شمورا کی اقسام مخصوص قسم کے ہج ڈھانچوں کی پیرامیٹر خالی جگہیں ہیں۔ اس طرح وہ ماڈیولر منحنی خطوط کی ایک قدرتی اعلی جہتی عمومی شکل بناتے ہیں جسے سطح کی ساخت کے ساتھ ایلیپٹک منحنی خطوط کی ماڈیولی خالی جگہوں کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ بہت سے معاملات میں، ماڈیولی مسائل جن کے حل شمورا کی اقسام ہیں، ان کی بھی اسی طرح نشاندہی کی گئی ہے۔ مثالیں فرض کریں کہ F ایک مکمل طور پر حقیقی نمبر فیلڈ ہے اور D ایک کواٹرنیئن ڈویژن الجبرا F پر۔ ضرب گروپ D × ایک کینونکل شمورا قسم کو جنم دیتا ہے۔ اس کا طول و عرض d ان لامحدود مقامات کی تعداد ہے جن پر D تقسیم ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر ڈی = 1 (مثال کے طور پر، اگر ایف = کیو اور ڈی آر ایم 2 (آر))، ڈی × کے کافی چھوٹے ریاضی کے ذیلی گروپ کو فکس کرتے ہوئے، کسی کو شمورا وکر ملتا ہے، اور اس تعمیر سے پیدا ہونے والے منحنی خطوط پہلے ہی کمپیکٹ ہوتے ہیں (یعنی۔ پروجیکٹو)۔ واضح طور پر معلوم مساوات کے ساتھ شمورا منحنی خطوط کی کچھ مثالیں کم جینس کے ہروٹز منحنی خطوط کے ذریعہ دی گئی ہیں: کلین کوارٹک (جینس 3) میک بیت کی سطح (جینس 7) فرسٹ ہروٹز ٹرپلٹ (جینس 14) اور ڈگری 7 کے فرمیٹ وکر کے ذریعہ۔ شمورا اقسام کی دیگر مثالوں میں پکارڈ ماڈیولر سطحیں اور ہلبرٹ ماڈیولر سطحیں شامل ہیں، جنہیں ہلبرٹ-بلومنٹل اقسام بھی کہا جاتا ہے۔ کینونکل ماڈل اور خصوصی پوائنٹس ہر شمورا قسم کی وضاحت کینونکل نمبر فیلڈ E پر کی جا سکتی ہے جسے ریفلیکس فیلڈ کہا جاتا ہے۔ شمورا کی وجہ سے یہ اہم نتیجہ ظاہر کرتا ہے کہ شمورا کی اقسام، جو کہ صرف ایک ترجیحی پیچیدہ کئی گنا ہیں، تعریف کا الجبرائی میدان رکھتی ہیں اور اس لیے ریاضی کی اہمیت رکھتی ہیں۔ یہ اس کے باہمی قانون کی تشکیل میں نقطہ آغاز بناتا ہے، جہاں ریاضی کے لحاظ سے بیان کردہ کچھ خاص نکات ایک اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ شیمورا قسم پر خصوصی پوائنٹس کے سیٹوں کی زرسکی بندش کی معیاری نوعیت کو آندرے-اورٹ قیاس آرائی سے بیان کیا گیا ہے۔ اس قیاس پر مشروط نتائج حاصل کیے گئے ہیں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ یہ ایک عمومی ریمن مفروضہ ہے۔ لینگ لینڈز پروگرام میں شمورا اقسام کا کردار لینگ لینڈز پروگرام میں نمایاں کردار ادا کرتا ہے۔ پروٹوٹائپکل تھیوریم، ایچلر-شمورا ہم آہنگی کا تعلق، اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ ماڈیولر وکر کا ہس-ویل زیٹا فنکشن وزن 2 کی واضح طور پر طے شدہ ماڈیولر شکلوں سے وابستہ L-افعال کا ایک پروڈکٹ ہے۔ درحقیقت، اس نظریہ کو عام کرنے کے عمل میں ہی گورو شمورا نے اپنی اقسام متعارف کروائیں اور اپنے باہمی قانون کو ثابت کیا۔ گروپ GL2 سے وابستہ شمورا اقسام کے زیٹا افعال دیگر نمبر فیلڈز اور اس کی اندرونی شکلوں پر (یعنی۔ کواٹرنیئن الجیبراس) کے ضرب گروپوں کا مطالعہ ایچلر، شمورا، کوگا، ساتو اور ایہار نے کیا۔ ان کے نتائج کی بنیاد پر، رابرٹ لینگ لینڈز نے ایک پیش گوئی کی کہ کسی بھی الجبرائی قسم W کا ہس-ویل زیٹا فنکشن جو کسی نمبر فیلڈ پر بیان کیا گیا ہے، آٹومورفک L-افعال کی مثبت اور منفی طاقتوں کا نتیجہ ہوگا، یعنی۔ یہ آٹومورفک نمائندگی کے مجموعے سے پیدا ہونا چاہیے۔ اگرچہ فلسفیانہ طور پر اس طرح کی وضاحت کی توقع کرنا فطری ہو سکتا ہے، اس قسم کے بیانات صرف اس وقت ثابت ہوئے ہیں جب W شمورا کی قسم ہے۔ لینگ لینڈز کے الفاظ میں: نوٹس حوالہ جات جیمز آرتھر، ڈیوڈ ایل ووڈ، اور رابرٹ کوٹ وٹز (ای ڈی) ہارمونک تجزیہ، ٹریس فارمولا اور شمورا اقسام، مٹی ریاضی کی کارروائی، جلد 4، اے ایم ایس، 2005 پیئر ڈیلیگن، ٹراواکس ڈی شمورا۔ Séminaire Bourbaki, 23ème annee (1970/71), Exp. نہیں۔ 389، پی پی۔ 123-165۔ لیکچر نوٹس ان میتھ۔، جلد۔ 244، سپرنگر، برلن، 1971۔، نمڈم پیئر ڈیلیگن، ویریٹس ڈی شمورا: انٹرپریٹیشن ماڈیولر، اور تکنیکیں ڈی کنسٹرکشن ڈی ماڈلز کینونکس، آٹومورفک شکلوں، نمائندگی اور ایل فنکشنز میں، پروک۔ سمپوز۔ خالص ریاضی۔، XXXIII (کوروالس، OR، 1977)، حصہ 2، پی پی۔ 247-289، آمیر۔ ریاضی۔ ایس او سی۔، پروویڈنس، آر۔ آئی۔، 1979۔ پیئر ڈیلیگن، جیمز ایس ملن، آرتھر اوگس، کوانگ ین شی، ہج سائیکل، محرکات، اور شمورا اقسام۔ لیکچر نوٹس ان میتھمیٹکس، 900۔ سپرنگر-ورلاگ، برلن-نیویارک، 1982۔ II + 414 پی پی۔ جے ملن، شیمورا اقسام اور محرکات، یو جینسن، ایس کلیمین میں۔ جے۔ پی۔ سیرے (ایڈ۔ )، محرکات، پروک۔ سمپ۔ خالص ریاضی، 55:2، آمیر۔ ریاضی۔ ایس او سی۔ (1994)، پی۔ 447-523 جے ایس ملن، شیمورا اقسام کا تعارف، آرتھر، ایل ووڈ، اور کوٹ وٹز میں (2005) ہیری ریمن، کواٹرنیئنک شیمورا اقسام کا نیم سادہ زیٹا فنکشن، لیکچر نوٹس ان میتھمیٹکس، 1657، سپرنگر، 1997 گورو شیمورا، دی کلیکٹڈ ورکس آف گورو شیمورا (2003)، جلد 1-5 گورو شیمورا آٹومورفک فنکشنز الجبرائی جیومیٹری زیٹا اور ایل فنکشنز آٹومورفک فارمز کا ریاضیاتی نظریہ کا تعارف