Spherical mean
ریاضی میں، کسی نقطہ کے ارد گرد کسی فنکشن کا کروی اوسط اس نقطہ پر مرکوز دیے گئے رداس کے دائرے پر اس فنکشن کی تمام اقدار کی اوسط ہے۔ تعریف یوکلڈین اسپیس Rn میں ایک کھلے سیٹ U اور حقیقی یا پیچیدہ اقدار کے ساتھ U پر بیان کردہ ایک مسلسل فنکشن U پر غور کریں۔ فرض کریں کہ x U میں ایک نقطہ ہو اور r> 0 ایسا ہو کہ مرکز x اور رداس r کی بند گیند B (x، r) U میں موجود ہو۔ x پر مرکوز رداس r کے دائرے پر کروی اوسط کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں b (x, r) کی حد بنانے والا (n−1) کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی کروی مساوی طور پر، کروی اوسط اس طرح دیا جاتا ہے جہاں ωn−1 رداس 1 کے (n−1)-دائرے کا رقبہ ہے۔ کروی اوسط کو اکثر اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے کہ کروی اوسط کو قدرتی انداز میں ریمینیئن مینیفولڈز کے لیے بھی بیان کیا جاتا ہے۔ خصوصیات اور استعمال اس کے تسلسل سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ فنکشن مسلسل ہے، اور اس کی حد جیسا کہ کروی ذرائع ہیں، کو عجیب جگہ کے طول و عرض میں لہر مساوات کے لیے کاچی مسئلے کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نتیجہ، جسے کرچوف کا فارمولا کہا جاتا ہے، کروی ذرائع کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے تاکہ لہر کی مساوات کو (عجیب کے لیے) لہر کی مساوات میں کم کیا جا سکے، اور پھر ڈی ایلمبرٹ کا فارمولا استعمال کیا جا سکے۔ اظہار خود لہر مساوات کے مضمون میں پیش کیا گیا ہے۔ اگر اوپن سیٹ ان ہے اور اس پر C2 فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے، تو ہارمونک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب آل ان اور ایسے تمام کے لیے کہ بند گیند ایک میں موجود ہو۔ یہ نتیجہ ہارمونک افعال کے لیے زیادہ سے زیادہ اصول کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط جزوی تفریق مساوات کا مطلب