Spherical polyhedron
جیومیٹری میں، ایک کروی پولی ہیڈرون یا کروی ٹائلنگ اس دائرے کی ٹائلنگ ہے جس میں سطح کو بڑے آرکس کے ذریعے محدود علاقوں میں تقسیم یا تقسیم کیا جاتا ہے جسے کروی کثیر الاضحی کہتے ہیں۔ سمیٹریکل پولی ہیڈرا کا زیادہ تر نظریہ اس طرح سے آسانی سے اخذ کیا گیا ہے۔ سب سے زیادہ معروف کروی پولی ہیڈرون فٹ بال ہے، جسے کروی کٹے ہوئے آئکوساہیڈرون کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اگلا سب سے مشہور کروی پولی ہیڈرون بیچ بال ہے، جسے ہوسو ہیڈرون سمجھا جاتا ہے۔ کچھ "نامناسب" پولی ہیڈرا، جیسے ہوسوہیڈرا اور ان کے ڈوئلز، ڈائیڈرا، کروی پولی ہیڈرا کے طور پر موجود ہیں، لیکن ان کے چپٹے چہرے والے اینالاگس انحطاط پذیر ہیں۔ ہیکساگونل بیچ بال کی مثال، ایک ہوسو ہیڈرون ہے، اور اس کا دوہری ڈائی ہیڈرون ہے۔ پہلی معروف انسان ساختہ پولی ہیڈرا پتھر میں کھدی ہوئی کروی پولی ہیڈرا ہیں۔ بہت سے اسکاٹ لینڈ میں پائے گئے ہیں، اور یہ نوپیتھک دور (نئے پتھر کے دور) سے ظاہر ہوتے ہیں۔ 10 ویں صدی کے دوران، اسلامی عالم ابو الوافہ بوزجانی (ابو الوافہ) نے گول پولی ہیڈرا کا پہلا سنجیدہ مطالعہ لکھا۔ دو سو سال پہلے، 19 ویں صدی کے آغاز میں، پوئنسوٹ نے چار باقاعدہ اسٹار پولی ہیڈرا کو دریافت کرنے کے لیے کروی پولی ہیڈرا کا استعمال کیا۔ 20 ویں صدی کے وسط میں، کاکسٹر نے کالیڈوسکوپس (وائتھوف کی تعمیر) کی تعمیر کے ذریعے یکساں پولی ہیڈرا میں سے ایک کے علاوہ سب کی گنتی کے لیے ان کا استعمال کیا۔ مثال کے طور پر تمام باقاعدہ پولی ہیڈرا، سیمی ریگولر پولی ہیڈرا، اور ان کے ڈوئلز کو دائرے پر ٹائلنگ کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: غلط معاملات میں گول ٹائلنگ ایسے معاملات کی اجازت دیتے ہیں جو پولی ہیڈرا نہیں کرتے ہیں، یعنی ہوسو ہیڈرا: اعداد {2, n} کے طور پر، اور ڈائیڈرا: اعداد {n, 2} کے طور پر۔ عام طور پر، باقاعدہ ہوشیڈرا اور باقاعدہ دیہیڈرا استعمال کیے جاتے ہیں۔ کم از کم ایک الٹا توازن رکھنے والے پروجیکٹو طیارہ کے ٹیلنگ سے تعلق پروجیکٹو پولی ہیڈرا (حقیقی پروجیکٹو طیارہ کے ٹیسلیشنز) سے متعلق ہے-جس طرح دائرے میں پروجیکٹو طیارہ کا 2 سے 1 کا احاطہ کرنے والا نقشہ ہوتا ہے، اسی طرح پروجیکٹو پولی ہیڈرا 2 گنا احاطے کے تحت کروی پولی ہیڈرا سے مطابقت رکھتا ہے جو اصل کے ذریعے عکاسی کے تحت ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ پروجیکٹو پولی ہیڈرا کی سب سے مشہور مثالیں باقاعدہ پروجیکٹو پولی ہیڈرا، مرکزی طور پر ہم آہنگ پلاٹونک ٹھوسوں کے کوٹینٹس کے ساتھ ساتھ یکساں ڈائیڈرا اور ہوسو ہیڈرا کی دو لامحدود کلاسیں ہیں: ہیمی کیوب، {4,3}/2 ہیمی-آکٹاہیڈرون، {3,4}/2 ہیمی-ڈوڈیکاہیڈرون، {5,3}/2 ہیمی-آئکوساہیڈرون، {3,5}/2 ہیمی-ڈائی ہیڈرون، {2p, 2}/2، p> = 1 ہیمی-ہوسو ہیڈرون، {2,2p}/2، p> = 1 کروی ہندسی ہندسی مثلث بھی دیکھیں۔