Braided Hopf algebra
ریاضی میں، ایک بریڈڈ ہوپف الجبرا ایک بریڈڈ مونوئڈل زمرے میں ہوپف الجبرا ہے۔ سب سے عام بریڈڈ ہوپف الجبرا ہوپف الجبرا ایچ کے یٹر-ڈرین فیلڈ زمرے میں موجود اشیاء ہیں، خاص طور پر اس زمرے میں بریڈڈ ویکٹر اسپیس کا نکولس الجبرا۔ اس تصور کو کواسیٹریانگولر ہوپف الجبرا کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ تعریف H کو فیلڈ k پر ہوپف الجبرا ہونے دیں، اور فرض کریں کہ H کا اینٹی پوڈ بائیجیکٹو ہے۔ ایک یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول R اوور H کو یٹر-ڈرینفیلڈ زمرے میں بریڈڈ بائیئل الجبرا کہا جاتا ہے اگر یہ ایک یونیٹل ایسوسی ایٹیو الجبرا ہے، جہاں ضرب کا نقشہ اور یونٹ یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز کے نقشے ہیں، کاؤنٹ کے ساتھ ایک ہم آہنگ کوئلہ الجبرا ہے، اور دونوں اور یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز کے نقشے ہیں، نقشے اور زمرے میں الجبرا نقشے ہیں، جہاں الجبرا کی ساخت کا تعین یونٹ اور ضرب کے نقشے سے ہوتا ہے۔ اگر یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیولز کی مورفزم ایسی ہو کہ سب کے لیے جہاں قدرے ترمیم شدہ سویڈلر نوٹیشن میں-نوٹیشن کی تبدیلی کی جاتی ہے تاکہ نیچے ریڈفورڈ کے بائی پروڈکٹ میں الجھن سے بچا جا سکے، تو ایک بریڈڈ بائیئل الجبرا کو بریڈڈ ہوپ الجبرا کہا جاتا ہے۔ مثالیں کوئی بھی ہاپف الجبرا بھی ایک بریڈڈ ہاپف الجبرا ہے۔ ایک سپر ہاپف الجبرا گروپ الجبرا پر ایک بریڈڈ ہاپف الجبرا کے سوا کچھ نہیں ہے۔ یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول کا ٹینسر الجبرا ہمیشہ ایک بریڈڈ ہوپف الجبرا ہوتا ہے۔ کے شریک پروڈکٹ کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ V کے عناصر ابتدائی ہیں، یعنی کاؤنٹ پھر تمام کے لیے مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ وہ نکیلی ہوپف الجبرا کی درجہ بندی میں کوانٹم بوریل الجبرا کا کردار ادا کرتے ہیں، جو کلاسیکی لائ الجبرا کیس کے مترادف ہے۔ کسی بھی بریڈڈ ہوپف الجبرا R کے لیے ایک قدرتی ہوپف الجبرا موجود ہے جس میں R ذیلی الجبرا کے طور پر اور H ایک ہوپف ذیلی الجبرا کے طور پر ہوتا ہے۔ اسے ریڈ فورڈز بائی پروڈکٹ کہا جاتا ہے، جس کا نام اس کے دریافت کنندہ، ہوپف الجبرائسٹ ڈیوڈ ریڈ فورڈ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اسے شاہ ماجد نے دوبارہ دریافت کیا، جس نے اسے بوسونائزیشن کہا۔ ویکٹر اسپیس کے طور پر، صرف ہے۔ الجبرہ کا ڈھانچہ اس طرح دیا جاتا ہے کہ کہاں، (سویڈلر نوٹیشن) کا شریک پروڈکٹ ہے، اور R پر H کا بائیں ایکشن ہے۔ مزید برآں، کا شریک پروڈکٹ کا تعین فارمولے سے ہوتا ہے۔ یہاں R میں r کے شریک پروڈکٹ کی نشاندہی ہوتی ہے، اور حوالہ جات پر H کا بائیں کوکشن ہے۔ اینڈروسکیوٹش، نکولس اور شنائیڈر، ہنس-جرگن، پوائنٹڈ ہوپف الجبرا، ہوپف الجبرا میں نئی سمت، 1-68، ریاضی۔ سائنس. ریز۔ انسٹا۔ اشاعت۔، 43، کیمبرج یونیورسٹی۔ پریس، کیمبرج، 2002۔ ہوپف الجبرا