Vaughan's identity
ریاضی اور تجزیاتی نمبر تھیوری میں، وان کی شناخت ایک ایسی شناخت ہے جو مثلثی جملوں پر ونوگراڈوف کے کام کو آسان بنانے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے۔ اس کا استعمال اس شکل کے سمیٹری فنکشنز کا اندازہ لگانے کے لیے کیا جا سکتا ہے جہاں f قدرتی انٹیجرز n کی کچھ ریاضیاتی فنکشن ہے، جن کی ایپلی کیشنز میں اقدار اکثر یونٹی کی جڑیں ہوتی ہیں، اور λ وان مینگولٹ فنکشن ہے۔ طریقہ کار کو لاگو کرنے کا طریقہ کار وان کی اپنی شناخت کی تعمیر کے محرک پر ڈیوینپورٹ میں باب 24 کے آغاز میں مختصر طور پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ ابھی کے لیے، ہم شناخت اور ایپلی کیشنز میں اس کے استعمال کی حوصلہ افزائی کرنے والی زیادہ تر تکنیکی تفصیلات کو چھوڑ دیں گے، اور اس کے بجائے حصوں کے لحاظ سے اس کی تعمیر کے سیٹ اپ پر توجہ دیں گے۔ حوالہ کے بعد، ہم ریمن زیٹا فنکشن کے لوگرتھمک مشتق کی توسیع کی بنیاد پر ان افعال کے لحاظ سے چار الگ الگ جملوں کی تعمیر کرتے ہیں جو بالترتیب اور کی اوپری حدود میں کٹے ہوئے جزوی ڈیرچلیٹ سیریز ہیں۔ مزید واضح طور پر، ہم وضاحت کرتے ہیں اور، جو ہمیں صحیح شناخت کی طرف لے جاتا ہے کہ یہ آخری توسیع اس بات کا اشارہ کرتی ہے کہ ہم لکھ سکتے ہیں جہاں اجزاء کے افعال کو بیان کیا گیا ہے۔ ہم پھر متعلقہ خلاصہ افعال کی وضاحت کرتے ہیں تاکہ ہم لکھ سکیں۔ آخر میں، تکنیکی اور بعض اوقات ان رقوم کے نازک تخمینوں کی کثیر صفحات پر مشتمل دلیل کے اختتام پر، ہم وان کی شناخت کی درج ذیل شکل حاصل کرتے ہیں جب ہم یہ فرض کرتے ہیں، اور: یہ تبصرہ کیا جاتا ہے کہ بعض صورتوں میں جزو کی رقم کو زیادہ احتیاط سے اس کی شکل میں بڑھا کر وان کی شناخت سے تیز تخمینے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ وان کی شناخت کو لاگو کرکے حاصل کردہ اوپری حد کی اصلاح بہترین افعال کے حوالے سے اطلاق پر منحصر دکھائی دیتی ہے اور ہم مساوات (V1) میں ان پٹ کرنے کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ متعدد مصنفین کے زیر غور بالترتیب مختلف سیاق و سباق میں پیدا ہونے والی مخصوص مثالوں کے لیے اگلے حصے میں مذکور ایپلی کیشنز دیکھیں۔ وان کی شناخت کو بمبیری-ونوگراڈوف تھیوریم کے ثبوت کو آسان بنانے اور کممر جملوں کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے (ذیل میں حوالہ جات اور بیرونی لنکس دیکھیں)۔ ڈیوینپورٹ کے باب 25 میں، وان کی شناخت کا ایک اطلاق ونوگراڈوف کے ایک اہم پرائم سے متعلق ایکسپونینشل مجموعہ کا تخمینہ لگانا ہے جس کی وضاحت اس نے کی ہے۔ خاص طور پر، ہم ان رقوم کے لیے ایک غیر علامتی اوپری حد حاصل کرتے ہیں (عام طور پر غیر معقول پر تشخیص کی جاتی ہے) جن کے عقلی تخمینے اس شکل کو پورا کرتے ہیں۔ اس تخمینے کے لیے دلیل وان کی شناخت سے کچھ پیچیدہ دلیل کے ذریعے ثابت ہوتی ہے کہ اور پھر غیر معمولی معاملات میں اوپر دیے گئے پہلے فارمولے کو کب اور اس کے ساتھ نکالتا ہے۔ وان کی شناخت کا ایک اور اطلاق ڈیوینپورٹ کے باب 26 میں پایا جاتا ہے جہاں یہ طریقہ تین پرائمز کے جملوں (ایکسپونینشل جملوں) کے تخمینے حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ عملی طور پر وان کی شناخت کی مثالیں اس معلوماتی پوسٹ میں درج ذیل حوالوں/حوالوں کے طور پر دی گئی ہیں: جنرلائزیشنز وان کی شناخت کو عام کیا گیا۔ حوالہ جات بیرونی روابط ثبوت ویکی پر وان کی شناخت جونی کے ریاضی کے نوٹ (بہت تفصیلی وضاحت) انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس ٹیری تاؤ کا بلاگ بڑی چھلنی پر اور تجزیاتی نمبر تھیوری میں بومبیری-ونوگراڈوف تھیوریم تھیوریمز ریاضیاتی شناخت