Free-by-cyclic group
گروپ تھیوری میں، خاص طور پر، ہندسی گروپ تھیوری میں، فری بائی سائیکلک گروپوں کی کلاس کا اہم مثالوں کے طور پر گہرائی سے مطالعہ کیا گیا ہے۔ کسی گروپ کو فری بائی سائیکلک کہا جاتا ہے اگر اس کا فری نارمل ذیلی گروپ ایسا ہو کہ حصص کا گروپ چکور ہو۔ دوسرے لفظوں میں، فری بائی سائیکلک ہے اگر اسے سائیکلک گروپ کے ذریعہ فری گروپ کی گروپ ایکسٹینشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے (این بی 'بائی' کے لیے دو کنونشن ہیں)۔ عام طور پر، ہم فرض کرتے ہیں کہ حتمی طور پر تیار کیا گیا ہے اور حصص ایک لامحدود چکور گروپ ہے۔ اسی طرح، ہم تعمیری طور پر فری بائی سائیکلک گروپ کی وضاحت کر سکتے ہیں: اگر آٹومورفزم ہے، تو سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ایک فری بائی سائیکلک گروپ ہے۔ فری بائی سائیکلک گروپ کی ایک آئسومورفزم کلاس کا تعین بیرونی آٹومورفزم کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اگر دو آٹومورفزم ایک ہی بیرونی آٹومورفزم کی نمائندگی کرتے ہیں، یعنی، کچھ اندرونی آٹومورفزم کے لیے، فری بائی سائیکلک گروپس اور آئسومورفک ہیں۔ مثالیں فری بائی سائیکلک گروپوں کی کلاس مختلف گروپوں پر مشتمل ہے جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: ایک فری بائی سائیکلک گروپ ہائپربولک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب منسلک نقشہ ایٹورائڈل ہو۔ کچھ فری بائی سائیکلک گروپ فری ایبلین ذیلی گروپوں سے متعلق ہائپربولک ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، تمام فری بائی سائیکلک گروپ ذیلی گروپوں کے مجموعے سے متعلق ہائپربولک ہوتے ہیں جو کثیر الجہتی نمو کے آٹومورفزم کے لیے فری بائی سائیکلک ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، ایک غیر سی اے ٹی (0) فری بائی سائیکلک گروپ ہے۔ حوالہ جات اے مارٹینو اور ای وینٹورا (2004)، فری بائی سائکلک گروپس کے لیے ہم آہنگی کا مسئلہ۔ سینٹر ڈی ریسرکا میٹیمیٹیکا، بارسلونا، کاتالونیا، اسپین سے پری پرنٹ۔ فین، مارک ؛ ہینڈل، مائیکل میپنگ ٹوری آف فری گروپ آٹومورفزم مربوط ہیں، این۔ ریاضی۔، جلد 149 (1999) نمبر۔ 3 گھوش، پی۔ (2023)۔ فری بائی سائیکلک ایکسٹینشنز کی رشتہ دار ہائپربولکٹی۔ کمپوزٹیو میتھمیٹکا، 159 (1)، 153-183۔ ایف دہمانی اور آر لی، مفت مصنوعات اور مفت گروپوں کے آٹومورفزم کے لیے رشتہ دار ہائپربولکٹی، جرنل آف ٹوپولوجی اینڈ اینالیسس وول۔ 14، نہیں۔ 01، پی پی۔ 55-92 (2022) لامحدود گروپ تھیوری گروپوں کی خصوصیات