Monodromy theorem
پیچیدہ تجزیے میں، مونوڈروم تھیوریم ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن کے بڑے سیٹ تک تجزیاتی تسلسل کے بارے میں ایک اہم نتیجہ ہے۔ خیال یہ ہے کہ فنکشن کے اصل ڈومین میں شروع ہونے والے اور بڑے سیٹ میں ختم ہونے والے منحنی خطوط کے ساتھ ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن (جسے یہاں سے محض تجزیاتی فنکشن کہا جاتا ہے) کو بڑھایا جا سکتا ہے۔ منحنی حکمت عملی کے ساتھ اس تجزیاتی تسلسل کا ایک ممکنہ مسئلہ یہ ہے کہ عام طور پر بہت سے منحنی خطوط ہوتے ہیں جو بڑے سیٹ میں ایک ہی مقام پر ختم ہوتے ہیں۔ مونوڈرومی تھیوریم تجزیاتی تسلسل کے لیے کافی شرائط فراہم کرتا ہے کہ وہ کسی دیئے گئے نقطہ پر ایک ہی قدر دے، قطع نظر اس کے کہ وہاں جانے کے لیے استعمال ہونے والے منحنی خطوط، تاکہ نتیجے میں توسیع شدہ تجزیاتی فعل اچھی طرح سے متعین اور واحد قدر والا ہو۔ اس نظریہ کو بیان کرنے سے پہلے یہ ضروری ہے کہ کسی منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل کی وضاحت کی جائے اور اس کی خصوصیات کا مطالعہ کیا جائے۔ منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل کی تعریف تھوڑی تکنیکی ہے، لیکن بنیادی خیال یہ ہے کہ ایک نقطہ کے ارد گرد بیان کردہ تجزیاتی فنکشن سے شروع ہوتا ہے، اور اس منحنی خطوط کو ڈھکنے والی چھوٹی اوور لیپنگ ڈسک پر بیان کردہ تجزیاتی افعال کے ذریعے اس فعل کو بڑھاتا ہے۔ رسمی طور پر، ایک منحنی خطوط پر غور کریں (ایک مسلسل فنکشن) آئیے ایک تجزیاتی فنکشن ہو جس کی وضاحت ایک کھلی ڈسک پر کی گئی ہے جو مرکز میں ہے۔ جوڑے کا ایک تجزیاتی تسلسل اس طرح کے جوڑوں کا مجموعہ ہے اور ہر ایک کے لیے ایک کھلی ڈسک ہے جس پر مرکز ہے اور یہ ایک تجزیاتی فنکشن ہے۔ ہر ایک کے لیے ایسا موجود ہے کہ ایک کے ساتھ سب کے لیے وہ ہوتا ہے (جس کا مطلب یہ ہے کہ اور ایک خالی چوراہا نہیں ہے) اور افعال اور چوراہے پر موافق ہوتے ہیں ایک منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل کی خصوصیات ایک منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل بنیادی طور پر منفرد ہے، اس معنی میں کہ دو تجزیاتی تسلسل اور افعال کے ساتھ اور غیر رسمی طور پر موافق ہوتے ہیں، یہ کہتا ہے کہ ساتھ کے کوئی بھی دو تجزیاتی تسلسل کے پڑوس میں ایک ہی اقدار کے ساتھ ختم ہوں گے۔ اگر منحنی خطوط بند ہیں (یعنی،)، تو کسی کو کے پڑوس میں برابر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی ایک نقطہ کے ساتھ شروع ہوتا ہے اور اس نقطہ کے پڑوس میں بیان کردہ پیچیدہ لوگارتھم، اور ایک کو اصل پر مرکوز رداس کا دائرہ ہونا چاہیے (سفر شدہ کاؤنٹر کلاک)۔ جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، ایک ہی منحنی خطوط کے ساتھ دو تجزیاتی تسلسل منحنی خطوط کے اختتامی نقطہ پر ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں۔ تاہم، ایک ہی نقطہ سے باہر نکلنے والے دو مختلف منحنی خطوط کو دیکھتے ہوئے جس کے ارد گرد ایک تجزیاتی فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے، منحنی خطوط کے آخر میں دوبارہ جڑنے کے ساتھ، یہ عام طور پر درست نہیں ہے کہ دونوں منحنی خطوط کے ساتھ اس فنکشن کے تجزیاتی تسلسل سے ان کے مشترکہ اختتامی نقطہ پر ایک ہی قدر حاصل ہوگی۔ درحقیقت، کوئی بھی پچھلے حصے کی طرح، ایک نقطہ کے پڑوس میں بیان کردہ پیچیدہ لوگارتھم اور اصل اور رداس پر مرکوز دائرے پر غور کر سکتا ہے۔ پھر، اس دائرے کے اوپری نصف طیارہ آرک پر، گھڑی کی سمت میں، اور نچلے نصف طیارہ آرک پر، دو طریقوں سے سفر کرنا ممکن ہے۔ اگر، تاہم، ابتدائی نکات اور اختتامی نکات کو مستحکم رکھتے ہوئے کوئی ایک منحنی خطوط میں سے ایک کو مسلسل دوسرے میں تبدیل کر سکتا ہے، اور ہر ایک درمیانی منحنی خطوط پر تجزیاتی تسلسل ممکن ہے، تو دونوں منحنی خطوط کے ساتھ تجزیاتی تسلسل اپنے مشترکہ اختتامی نقطہ پر ایک جیسے نتائج حاصل کریں گے۔ اسے مونوڈروم تھیوریم کہا جاتا ہے اور اس کا بیان ذیل میں درست کیا گیا ہے۔ ایک نقطہ پر مرکوز پیچیدہ سطح میں ایک کھلی ڈسک ہونے دیں اور ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن بنیں۔ پیچیدہ سطح میں ایک اور نقطہ ہونے دیں۔ اگر منحنی خطوط کا ایک خاندان موجود ہے جس کے ساتھ اور تمام فنکشن مسلسل ہے، اور ہر ایک کے لیے اس کے ساتھ ایک تجزیاتی تسلسل کرنا ممکن ہے تو تجزیاتی تسلسل کے ساتھ ساتھ وہی اقدار حاصل کریں گے۔ مونوڈرومی تھیوریم منحنی خطوط کے ذریعے ایک تجزیاتی فنکشن کو بڑے سیٹ تک بڑھانا ممکن بناتا ہے جو فنکشن کے اصل ڈومین میں ایک نقطہ کو بڑے سیٹ میں پوائنٹس سے جوڑتا ہے۔ وہ تھیوریم جس کے نیچے کہا گیا ہے کہ اسے مونوڈرومی تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ ایک نقطہ پر مرکوز پیچیدہ سطح میں ایک کھلی ڈسک ہونے دیں اور ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن بنیں۔ اگر ایک کھلا سیدھا سیدھا جڑا ہوا سیٹ ہے اور اس میں موجود کسی بھی منحنی خطوط پر تجزیاتی تسلسل انجام دینا ممکن ہے جس میں شروع ہوتا ہے تو اس کے معنی میں براہ راست تجزیاتی تسلسل کو تسلیم کرتا ہے کہ ایک پیچیدہ تجزیاتی فنکشن موجود ہے جس کی پابندی ہے۔ یہ بھی دیکھیں تجزیاتی تسلسل مونوڈروم حوالہ جات پیچیدہ تجزیہ میں انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس تھیوریم میں ریاضی ورلڈ مونوڈروم تھیوریم میں مونوڈروم تھیوریم کو بیرونی روابط سے جوڑتا ہے۔