Virtually
ریاضی میں، خاص طور پر تجریدی الجبرا کے شعبے میں جو لامحدود گروپوں کا مطالعہ کرتا ہے، ایڈورب عملی طور پر کسی پراپرٹی میں ترمیم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے تاکہ اسے صرف محدود انڈیکس کے ذیلی گروپ کے لیے برقرار رکھنے کی ضرورت ہو۔ ایک خاصیت P کو دیکھتے ہوئے، گروپ G کو عملی طور پر P کہا جاتا ہے اگر کوئی محدود انڈیکس ذیلی گروپ ہے جس میں H کی خاصیت P ہے۔ اس کے لیے عام استعمال تب ہوگا جب P ابیلین، نیل پوٹینٹ، قابل حل یا آزاد ہو۔ مثال کے طور پر، عملی طور پر قابل حل گروپ ٹیٹس متبادل میں دو متبادلات میں سے ایک ہیں، جبکہ گروموف کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ کثیر الجہتی نمو کے ساتھ حتمی طور پر تیار کردہ گروپ قطعی طور پر حتمی طور پر پیدا شدہ نیلپوٹینٹ گروپ ہیں۔ یہ اصطلاح اس وقت بھی استعمال ہوتی ہے جب P صرف ایک اور گروپ ہوتا ہے۔ یعنی، اگر G اور H گروپ ہیں تو G عملی طور پر H ہے اگر G کے پاس G میں محدود انڈیکس کا ذیلی گروپ K ہے جیسے کہ K H کے لیے آئسومورفک ہے۔ خاص طور پر، ایک گروپ عملی طور پر معمولی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ محدود ہو۔ دو گروہ عملی طور پر برابر ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ قابل قدر ہوں۔ مثالیں عملی طور پر ابیلین مندرجہ ذیل گروہ عملی طور پر ابیلین ہیں۔ کوئی بھی ابیلین گروپ۔ کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N ابیلین ہو اور H محدود ہو۔ (مثال کے طور پر، کوئی بھی عمومی ڈائیڈرل گروپ۔) کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N محدود ہو اور H ابیلین ہو۔ کوئی بھی محدود گروہ (چونکہ معمولی ذیلی گروہ ابیلین ہے)۔ عملی طور پر نیلپوٹینٹ کوئی بھی گروہ جو عملی طور پر ابیلین ہو۔ کوئی بھی نیل پوٹینٹ گروپ۔ کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N نیل پوٹینٹ ہے اور H محدود ہے۔ کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N محدود ہو اور H نیل پوٹینٹ ہو۔ گروموف کا نظریہ کہتا ہے کہ ایک حتمی طور پر پیدا شدہ گروپ عملی طور پر نیلپوٹینٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں کثیر الجہتی نمو ہو۔ عملی طور پر پولی سائیکلک کسی بھی مفت گروپ کو عملی طور پر آزاد کرتا ہے۔ کوئی بھی عملی طور پر چکور گروہ۔ کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N آزاد ہے اور H محدود ہے۔ کوئی بھی سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ جہاں N محدود ہو اور H آزاد ہو۔ کوئی بھی مفت پروڈکٹ، جہاں H اور K دونوں محدود ہیں۔ (مثال کے طور پر، ماڈیولر گروپ۔) یہ اسٹالنگ کے نظریہ کے مطابق ہے کہ کوئی بھی ٹورسن سے پاک عملی طور پر آزاد گروپ آزاد ہے۔ دیگر 2 جنریٹرز پر آزاد گروپ عملی طور پر نیلسن-شریئر تھیوریم اور شریئر انڈیکس فارمولے کے نتیجے میں کسی کے لیے بھی ہے۔ گروپ عملی طور پر جڑا ہوا ہے کیونکہ اس میں انڈیکس 2 ہے۔ حوالہ جات گروپ تھیوری