Standard probability space
امکان کے نظریہ میں، ایک معیاری امکان کی جگہ، جسے لیبسگیو-روکلین امکان کی جگہ یا صرف لیبسگیو جگہ بھی کہا جاتا ہے (مؤخر الذکر اصطلاح مبہم ہے) ایک امکان کی جگہ ہے جو 1940 میں ولادیمیر روکلین کے متعارف کردہ کچھ مفروضوں کو پورا کرتی ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ ایک امکان کی جگہ ہے جو ایک وقفہ اور/یا ایٹموں کی ایک محدود یا قابل گنتی تعداد پر مشتمل ہے۔ معیاری امکانی خالی جگہوں کا نظریہ 1932 میں وان نیومن نے شروع کیا تھا اور 1940 میں ولادیمیر روکھلن نے اس کی تشکیل کی تھی۔ روکھلن نے دکھایا کہ لیبسیگ پیمائش سے مالا مال یونٹ وقفہ عام امکانات کی جگہوں پر اہم فوائد رکھتا ہے، پھر بھی امکانات کے نظریہ میں ان میں سے بہت سے کے لیے مؤثر طریقے سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اکائی وقفہ کا طول و عرض کوئی رکاوٹ نہیں ہے، جیسا کہ نوربرٹ وینر کو پہلے ہی واضح تھا۔ اس نے وینر عمل (جسے براؤنین موشن بھی کہا جاتا ہے) کو اکائی کے وقفے سے مسلسل افعال کی جگہ تک قابل پیمائش نقشے کی شکل میں بنایا۔ معیاری امکانی خالی جگہوں کا نظریہ 1932 میں وان نیومن نے شروع کیا تھا اور 1940 میں ولادیمیر روکھلن نے اس کی تشکیل کی تھی۔ جدید پریزنٹیشنز کے لیے دیکھیں، اور۔ آج کل معیاری امکانی خالی جگہوں کو معیاری بوریل خالی جگہوں کے ذریعے، وضاحتی سیٹ تھیوری کے فریم ورک میں علاج کیا جا سکتا ہے (اور اکثر کیا جاتا ہے)، مثال کے طور پر دیکھیں۔ یہ نقطہ نظر معیاری بوریل خالی جگہوں کے لیے آئسومورفزم تھیوریم پر مبنی ہے۔ پیمائش کے نظریہ پر مبنی روکھلن کا ایک متبادل نقطہ نظر، وضاحتی سیٹ تھیوری کے برعکس، کالعدم سیٹوں کو نظر انداز کرتا ہے۔ ایرگوڈک تھیوری میں معیاری امکانی خالی جگہیں معمول کے مطابق استعمال ہوتی ہیں۔ تعریف معیار کی کئی معروف مساوی تعریفوں میں سے ایک کچھ تیاریوں کے بعد ذیل میں دی گئی ہے۔ تمام ممکنہ خالی جگہوں کو مکمل سمجھا جاتا ہے۔ آئسومورفزم دو امکانی خالی جگہوں کے درمیان ایک آئسومورفزم، ایک الٹا نقشہ ہے جو اور دونوں (قابل پیمائش اور) محفوظ نقشوں کی پیمائش کرتے ہیں۔ دو امکانی خالی جگہیں آئسومورفک ہوتی ہیں اگر ان کے درمیان آئسومورفزم موجود ہو۔ آئسومورفزم ماڈیولو صفر دو امکانی خالی جگہیں، آئسومورفک ہوتی ہیں اگر صفر سیٹ موجود ہوں، جیسے کہ امکانی خالی جگہیں، آئسومورفک ہوتی ہیں (قدرتی طور پر سگما فیلڈز اور امکانی اقدامات سے مالا مال ہوتی ہیں)۔ ایک معیاری امکان کی جگہ معیاری ہے، اگر یہ لیبسیگ پیمائش کے ساتھ وقفے کے لیے آئسومورفک ہے، ایٹموں کا ایک محدود یا قابل گنتی مجموعہ، یا دونوں کا مجموعہ (جداگانہ اتحاد)۔ دیکھیں، اور۔ یہ بھی دیکھیں، اور۔ پیمائش میں محدود سمجھا جاتا ہے، ضروری نہیں کہ امکانی ہو۔ ایٹموں میں اجازت نہیں ہے۔ غیر معیاری امکان خالی جگہوں کی مثالیں ایک سادہ سفید شور تمام افعال کی جگہ کو حقیقی لکیر کی نقلوں کے تسلسل کی پیداوار کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ کوئی امکان کی پیمائش کے ساتھ دے سکتا ہے، جیسے کہ معیاری معمول کی تقسیم، اور افعال کی جگہ کو یکساں امکان خالی جگہوں کے تسلسل کی پیداوار کے طور پر مان سکتا ہے۔ پروڈکٹ کی پیمائش امکان کی پیمائش ہے۔ احمقانہ طور پر ایسا لگ سکتا ہے کہ یہ سفید شور کو بیان کرتا ہے۔ تاہم، 0 سے 1 تک سفید شور فنکشن کا انٹیگرل ایک بے ترتیب متغیر تقسیم شدہ N (0، 1) ہونا چاہیے۔ اس کے برعکس، کا انٹیگرل (0 سے 1 تک) غیر متعین ہے۔ f بھی تقریبا یقینی طور پر قابل پیمائش ہونے میں ناکام رہتا ہے، اور f کے قابل پیمائش ہونے کا امکان غیر واضح ہے۔ درحقیقت، اگر X ایک بے ترتیب متغیر ہے جو یکساں طور پر (0، 1) پر تقسیم کیا گیا ہے اور f سے آزاد ہے، تو f (X) بے ترتیب متغیر بالکل نہیں ہے (اس میں پیمائش کا فقدان ہے)۔ ایک سوراخ شدہ وقفہ ایک ایسا سیٹ ہے جس کی اندرونی لیبسیگ پیمائش 0 کے برابر ہے، لیکن بیرونی لیبسیگ پیمائش 1 کے برابر ہے (اس طرح، انتہائی سے ناقابل پیمائش ہے)۔ اس پر ایک امکان کی پیمائش موجود ہے کہ ہر لیبسیگ کے لیے قابل پیمائش ہو۔ (یہ لیبسیگ پیمائش ہے۔) امکانات کی جگہ (علاج شدہ) پر واقعات اور بے ترتیب متغیرات امکانات کی جگہ پر واقعات اور بے ترتیب متغیرات کے ساتھ قدرتی ایک سے ایک خط و کتابت میں ہوتے ہیں۔ ایسا لگ سکتا ہے کہ امکان کی جگہ اتنی ہی اچھی ہے۔ تاہم، ایسا نہیں ہے۔ ایک بے ترتیب متغیر کی وضاحت کی گئی ہے جس پر یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ مشروط پیمائش، دی گئی ہے، صرف ایک ایٹم (اے ٹی) ہے، بشرطیکہ یہ بنیادی امکان کی جگہ ہو۔ تاہم، اگر اس کے بجائے استعمال کیا جاتا ہے، تو مشروط پیمائش کب موجود نہیں ہے۔ ایک سوراخ شدہ دائرہ اسی طرح بنایا گیا ہے۔ اس کے واقعات اور بے ترتیب متغیرات معمول کے دائرے کی طرح ہی ہیں۔ گردشوں کا گروہ ان پر قدرتی طور پر عمل کرتا ہے۔ تاہم، یہ سوراخ شدہ دائرے پر عمل کرنے میں ناکام رہتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں۔ ایک غیر ضروری قابل پیمائش سیٹ جیسا کہ پچھلی مثال میں ہے۔ فارم کے سیٹ جہاں اور صوابدیدی لیبسیگ پیمائش کے قابل سیٹ ہیں، ایک σ-الجبرا ہیں جس میں لیبسیگ σ-الجبرا اور فارمولا پرابیلٹی پیمائش کی عمومی شکل دیتا ہے جو لیبسیگ پیمائش کو بڑھاتا ہے۔ یہاں ایک پیرامیٹر ہے۔ مخصوص ہونے کے لیے، ہم اس کا انتخاب کرتے ہیں ایسا لگ سکتا ہے کہ لیبسگیو پیمائش کی اس طرح کی توسیع کم از کم بے ضرر ہے۔ تاہم، یہ بھیس میں سوراخ شدہ وقفہ ہے۔ نقشہ اور سوراخ شدہ وقفے کے درمیان ایک آئسومورفزم ہے جو سیٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اندرونی لیبسیگ پیمائش کا ایک اور سیٹ 0 لیکن بیرونی لیبسیگ پیمائش 1 ہے۔ یہ بھی دیکھیں۔ معیار کا ایک معیار کسی دی گئی امکانی جگہ کا معیار قابل پیمائش جگہ سے پیمائش کے نقشے کی ایک خاص خاصیت کے برابر ہے۔ جواب (معیاری، یا نہیں) اور کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ یہ حقیقت کافی مفید ہے ؛ کوئی بھی تمام معاملات کی جانچ پڑتال کرنے کی ضرورت نہیں کے انتخاب اور اس کے مطابق ڈھال سکتا ہے۔ بے ترتیب متغیر ایک بے ترتیب ویکٹر ایک بے ترتیب ترتیب یا واقعات کے سلسلے کی جانچ کرنا آسان ہو سکتا ہے جسے دو قدر والے بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اس پر دو شرائط عائد کی جائیں گی (انجیکشن ہونا، اور پیدا کرنا)۔ ذیل میں یہ فرض کیا گیا ہے کہ ایسا دیا گیا ہے۔ اس کے وجود کے سوال کو بعد میں حل کیا جائے گا۔ امکان کی جگہ کو مکمل سمجھا جاتا ہے (بصورت دیگر یہ معیاری نہیں ہو سکتا)۔ ایک واحد بے ترتیب متغیر ایک قابل پیمائش فنکشن ایک پش فارورڈ پیمائش کو جنم دیتا ہے، جو کہ بوریل سیٹوں کے لیے ممکنہ پیمائش ہے۔ بے ترتیب متغیر کی تقسیم۔ تصویر ہمیشہ مکمل بیرونی پیمائش کا ایک مجموعہ ہوتی ہے، لیکن اس کی اندرونی پیمائش مختلف ہو سکتی ہے (ایک سوراخ شدہ وقفہ دیکھیں)۔ دوسرے لفظوں میں، مکمل پیمائش کا مجموعہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک قابل پیمائش فنکشن کو جنریٹنگ کہا جاتا ہے اگر الٹا امیجز کے σ-الجبرا کے حوالے سے تکمیل ہو جہاں تمام بوریل سیٹوں پر چلتا ہے۔ احتیاط۔ پیدا کرنے کے لیے درج ذیل شرط کافی نہیں ہے: ہر ایک کے لیے ایک بوریل سیٹ موجود ہے جس کا مطلب ہے ہم آہنگی کا فرق۔ نظریہ۔ ایک قابل پیمائش فنکشن کو انجیکشن اور جنریٹنگ ہونے دیں، پھر درج ذیل دو شرائط مساوی ہیں: (یعنی۔ اندرونی پیمائش میں بھی مکمل پیمائش ہوتی ہے، اور تصویر تکمیل کے حوالے سے قابل پیمائش ہوتی ہے) ؛ ایک معیاری امکان کی جگہ ہے۔ یہ بھی دیکھیں۔ ایک بے ترتیب ویکٹر وہی نظریہ کسی بھی (کی جگہ) کے لیے ہے۔ پیمائش کے قابل فنکشن کو بے ترتیب متغیرات کی ایک محدود ترتیب کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور یہ صرف اس صورت میں پیدا ہو رہا ہے جب ایک بے ترتیب ترتیب سے پیدا ہونے والے σ-الجبرا کی تکمیل ہو۔ تھیوریم اب بھی لامحدود ترتیبات کی جگہ کے لیے برقرار ہے۔ پیمائش کے قابل فنکشن کو بے ترتیب متغیرات کی لامحدود ترتیب کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور یہ صرف اس صورت میں پیدا ہو رہا ہے جب واقعات کی ترتیب سے پیدا ہونے والے σ-الجبرا کی تکمیل ہو۔ خاص طور پر، اگر بے ترتیب متغیرات صرف دو اقدار 0 اور 1 پر چلتے ہیں، تو ہم ایک قابل پیمائش فنکشن اور سیٹوں کی ترتیب سے نمٹتے ہیں۔ فنکشن اس صورت میں پیدا ہو رہا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اس کے ذریعہ پیدا ہونے والے σ-الجبرا کی تکمیل ہو۔ ایک بنیاد کو مکمل موڈ 0 کہا جاتا ہے، اگر مکمل پیمائش کی ہو تو دیکھیں۔ اسی حصے میں روکھلن نے ثابت کیا کہ اگر کوئی امکانی جگہ کسی بنیاد کے حوالے سے مکمل موڈ 0 ہے، تو یہ ہر دوسری بنیاد کے حوالے سے مکمل موڈ 0 ہے، اور اس مکمل خاصیت سے لیبسگ خالی جگہوں کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں اور۔ اضافی تبصرے مذکورہ بالا چار معاملات باہمی مساوی ہیں، اور متحد ہو سکتے ہیں، کیونکہ پیمائش کے قابل خالی جگہیں اور باہمی طور پر آئسومورفک ہیں۔ وہ سب معیاری پیمائش کے قابل خالی جگہیں ہیں (دوسرے الفاظ میں، معیاری بوریل خالی جگہیں)۔ ایک انجیکشن پیمائش کے قابل فنکشن کا وجود ایک معیاری پیمائش کے قابل جگہ پر انحصار کرنے کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ ہم اس پراپرٹی کو اچھی طرح سے شمار کے لحاظ سے الگ ہونے کے طور پر جانتے ہیں (لیکن اسے الگ کرنے کے قابل کہا جاتا ہے)۔ ایک معیاری پیمائش کے قابل جگہ سے پیمائش پیدا کرنے والے فنکشن کا وجود بھی اس کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ ایک معیاری امکانی جگہ سے لے کر ایک معیاری قابل پیمائش جگہ تک ہر انجیکشن قابل پیمائش فنکشن پیدا ہو رہا ہے۔ دیکھیں،۔ یہ خاصیت اس غیر معیاری امکان کی جگہ کے لیے نہیں ہے جس سے اوپر کے ذیلی حصے "ایک غیر ضروری پیمائش کے قابل سیٹ" میں نمٹا گیا ہے۔ احتیاط۔ شمار کے لحاظ سے پیدا ہونے کی خاصیت ماڈ 0 آئسومورفزم کے تحت غیر متغیر ہے، لیکن شمار کے لحاظ سے الگ ہونے کی خاصیت نہیں ہے۔ در حقیقت، ایک معیاری امکان کی جگہ کو شمار کے لحاظ سے الگ کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کی کارڈینالیٹی تسلسل سے زیادہ نہ ہو (دیکھیں)۔ ایک معیاری امکان کی جگہ میں کسی بھی کارڈینیلیٹی کا ایک کالعدم سیٹ ہو سکتا ہے، اس طرح، اسے گنتی سے الگ کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ تاہم، اس میں ہمیشہ مکمل پیمائش کا ایک شمار کے لحاظ سے الگ ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔ مساوی تعریفیں آئیے ایک مکمل امکان کی جگہ ایسی ہو کہ کی کارڈینالیٹی تسلسل سے زیادہ نہ ہو (عام صورت اس خاص صورت میں کم ہو جاتی ہے، اوپر احتیاط دیکھیں)۔ مطلق پیمائش کی تعریف کے ذریعے۔ یہ معیاری ہے اگر یہ شمار کے لحاظ سے الگ، شمار کے لحاظ سے تیار، اور بالکل قابل پیمائش ہو۔ دیکھیں اور۔ "بالکل قابل پیمائش" کا مطلب ہے: ہر گنتی سے الگ، گنتی سے پیدا ہونے والی امکانی جگہ میں قابل پیمائش۔ کمالیت کی تعریف کے ذریعے۔ معیاری ہے اگر یہ شمار کے لحاظ سے الگ اور کامل ہو۔ دیکھ لیں۔ "کامل" کا مطلب ہے کہ ہر قابل پیمائش فنکشن کے لیے تصویر کی پیمائش باقاعدہ ہے۔ (یہاں تصویر کی پیمائش ان تمام سیٹوں پر بیان کی گئی ہے جن کی الٹا تصاویر کا تعلق ہے، قطع نظر اس کے کہ اس کی بوریل ساخت سے قطع نظر)۔ ٹوپولوجی تعریف کے ذریعے۔ معیاری ہے اگر اس پر کوئی ٹوپولوجی موجود ہو جس پر ٹوپولوجیکل اسپیس پیمائش کے قابل ہو۔ (یعنی تمام کھلے سیٹوں کے ذریعہ) پیدا ہونے والے σ-الجبرا کی تکمیل ہے۔ ہر ایک کے لیے اس طرح کا ایک کمپیکٹ سیٹ موجود ہے جس میں دیکھیں۔ معیار کی تصدیق خلا پر ہر امکان کی تقسیم اسے ایک معیاری امکان کی جگہ میں بدل دیتی ہے۔ (یہاں، امکان کی تقسیم کا مطلب ایک امکان کی پیمائش ہے جس کی وضاحت ابتدائی طور پر بوریل سگما الجبرا پر کی گئی ہے اور مکمل کی گئی ہے۔) یہی بات ہر پولینڈ کی جگہ، دیکھیں، اور پر بھی لاگو ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، وینر پیمائش پولینڈ کی جگہ (مقامی یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی سے مالا مال تمام مسلسل افعال کی) کو ایک معیاری امکانی جگہ میں بدل دیتی ہے۔ ایک اور مثال: بے ترتیب متغیرات کی ہر ترتیب کے لیے، ان کی مشترکہ تقسیم پولینڈ کی جگہ (ترتیبات کی ؛ پروڈکٹ ٹوپولوجی سے مالا مال) کو ایک معیاری امکان کی جگہ میں بدل دیتی ہے۔ (اس طرح، طول و عرض کا خیال، جو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے لیے بہت فطری ہے، معیاری امکانی خالی جگہوں کے لیے بالکل نامناسب ہے۔) دو معیاری امکانات کی جگہوں کا پروڈکٹ ایک معیاری امکانات کی جگہ ہے۔ شمار کے لحاظ سے بہت سی جگہوں کے پروڈکٹ کے لیے بھی یہی ہے، دیکھیں، اور۔ معیاری امکان کی جگہ کا قابل پیمائش ذیلی سیٹ ایک معیاری امکان کی جگہ ہے۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ سیٹ ایک کالعدم سیٹ نہیں ہے، اور مشروط پیمائش سے مالا مال ہے۔ دیکھیں اور۔ ایک معیاری بوریل جگہ پر ہر امکان کی پیمائش اسے ایک معیاری امکان کی جگہ میں بدل دیتی ہے۔ معیار کا استعمال باقاعدہ مشروط امکانات مجرد ترتیب میں، مشروط امکان ایک اور امکان کی پیمائش ہے، اور مشروط توقع کو مشروط پیمائش کے حوالے سے (معمول) توقع کے طور پر مانا جا سکتا ہے، مشروط توقع دیکھیں۔ غیر مجرد سیٹ اپ میں، کنڈیشنگ کا اکثر بالواسطہ علاج کیا جاتا ہے، کیونکہ حالت کا امکان 0 ہو سکتا ہے، مشروط توقع دیکھیں۔ نتیجے کے طور پر، متعدد معروف حقائق کے خصوصی 'مشروط' ہم منصب ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر: توقع کی لکیریٹی ؛ جینسن کی عدم مساوات (مشروط توقع دیکھیں) ؛ ہولڈر کی عدم مساوات ؛ مونوٹون کنورجنس تھیوریم، وغیرہ۔ امکان کی جگہ پر بے ترتیب متغیر کو دیکھتے ہوئے، ایک مشروط پیمائش، یعنی دی گئی کی مشروط تقسیم کی تعمیر کی کوشش کرنا فطری ہے۔ عام طور پر یہ ناممکن ہے (دیکھیں)۔ تاہم، ایک معیاری امکان کی جگہ کے لیے یہ ممکن ہے، اور پیمائش کے کینونکل سسٹم کے طور پر جانا جاتا ہے (دیکھیں)، جو بنیادی طور پر مشروط امکان کے اقدامات (دیکھیں)، پیمائش کی تحلیل (دیکھیں)، اور باقاعدہ مشروط امکانات (دیکھیں) کے برابر ہے۔ مشروط جینسن کی عدم مساوات صرف (معمول کی) جینسن کی عدم مساوات ہے جو مشروط پیمائش پر لاگو ہوتی ہے۔ یہی بات بہت سے دوسرے حقائق پر بھی لاگو ہوتی ہے۔ تبدیلیوں کو محفوظ رکھنے کی پیمائش دو امکانی خالی جگہوں کو دیکھتے ہوئے، اور نقشے کو محفوظ رکھنے کی ایک پیمائش، تصویر کو پورے کا احاطہ کرنے کی ضرورت نہیں ہے، یہ ایک کالعدم سیٹ سے محروم ہو سکتی ہے۔ ایسا لگ سکتا ہے کہ یہ 1 کے برابر ہونا چاہیے، لیکن ایسا نہیں ہے۔ کی بیرونی پیمائش 1 کے برابر ہے، لیکن اندرونی پیمائش مختلف ہو سکتی ہے۔ تاہم، اگر امکانی خالی جگہیں، معیاری ہیں تو، دیکھیں۔ اگر یہ بھی ون ٹو ون ہے تو ہر ایک مطمئن ہوتا ہے۔ لہذا، قابل پیمائش ہے (اور تحفظ کی پیمائش)۔ دیکھیں اور۔ یہ بھی دیکھیں۔ "پیمائش کی جگہ میں پیمائش 0 کے سیٹوں کو نظر انداز کرنے کا ایک مربوط طریقہ ہے"۔ کالعدم سیٹوں سے چھٹکارا پانے کی کوشش میں، ریاضی دان اکثر قابل پیمائش سیٹوں یا افعال کی مساوات کی کلاسیں استعمال کرتے ہیں۔ امکانات کی جگہ کے قابل پیمائش ذیلی سیٹوں کی مساوات کی کلاسیں ایک معیاری مکمل بولین الجبرا بناتی ہیں جسے پیمائش الجبرا (یا میٹرک ڈھانچہ) کہا جاتا ہے۔ نقشے کو محفوظ رکھنے والی ہر پیمائش پیمائش الجبرا کی ہومومورفزم کی طرف لے جاتی ہے۔ بنیادی طور پر، کے لیے۔ ایسا لگ سکتا ہے کہ پیمائش الجیبرا کی ہر ہومومورفزم کو نقشے کو محفوظ رکھنے والی کسی پیمائش سے مطابقت رکھتی ہے، لیکن ایسا نہیں ہے۔ تاہم، معیاری امکانی خالی جگہوں کے لیے ہر ایک کچھ سے مطابقت رکھتا ہے۔ دیکھیں،۔ نوٹ کے حوالہ جات بھی دیکھیں۔ روسی سے ترجمہ کیا گیا: ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ تجربہ (امکان کا نظریہ) پیمائش کا نظریہ