Riemann–Hilbert correspondence
ریاضی میں، ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت کی اصطلاح سے مراد الجبرائی ویکٹر بنڈلوں پر باقاعدہ واحد فلیٹ کنکشن اور بنیادی گروپ کی نمائندگی کے درمیان خط و کتابت ہے، اور زیادہ عام طور پر اس کی کئی عامیوں میں سے ایک ہے۔ ہلبرٹ کے اکیسویں مسئلے میں ظاہر ہونے والی اصل ترتیب ریمن دائرے کے لیے تھی، جہاں یہ تجویز کردہ مونوڈرومی نمائندگی کے ساتھ لکیری باقاعدہ تفریق مساوات کے نظام کے وجود کے بارے میں تھی۔ پہلے ریمن دائرے کو ایک من مانی ریمن سطح سے تبدیل کیا جا سکتا ہے اور پھر، اعلی جہتوں میں، ریمن سطحوں کو طول و عرض> 1 کے پیچیدہ کئی گنا سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ جزوی تفریقی مساوات کے بعض نظاموں (لکیری اور ان کے حلوں کے لیے بہت خاص خصوصیات رکھنے والے) اور ان کے حلوں کے ممکنہ مونوڈرومیوں کے درمیان ایک خط و کتابت ہے۔ اس طرح کا نتیجہ باقاعدہ انفرادیت کے ساتھ الجبرائی رابطوں کے لیے پیئر ڈیلیگن (1970، ریمن سطحوں کے معاملے میں موجودہ کام کو عام کرتے ہوئے) اور زیادہ عام طور پر باقاعدہ ہولونومک ڈی-ماڈیولز کے لیے مساکی کاشی واڑہ (1980، 1984) اور زوغمان میبخوت (1980، 1984) کے ذریعے آزادانہ طور پر ثابت ہوا۔ غیر ایبلین ہج تھیوری کی ترتیب میں، ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت ماڈیولی خالی جگہوں پر تین قدرتی الجبرائی ڈھانچوں میں سے دو کے درمیان ایک پیچیدہ تجزیاتی آئسومورفزم فراہم کرتا ہے، اور اسی طرح قدرتی طور پر ڈی رام کوہومولوجی اور واحد/بیٹی کوہومولوجی کے درمیان موازنہ آئسومورفزم کے غیر ایبلین ینالاگ کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ بیان فرض کریں کہ X ایک ہموار پیچیدہ الجبرائی قسم ہے۔ ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت (باقاعدہ واحد رابطوں کے لیے): ایک فنکٹر سول ہے جسے مقامی حل فنکٹر کہا جاتا ہے، جو کہ X پر الجبرائی ویکٹر بنڈلوں پر فلیٹ کنکشن کے زمرے سے ایک مساوات ہے جو کہ X پر محدود جہتی پیچیدہ ویکٹر خالی جگہوں کے مقامی نظاموں کے زمرے کے ساتھ باقاعدہ انفرادیت کے ساتھ ہے۔ جڑے ہوئے X کے لیے، مقامی نظاموں کا زمرہ بھی X کے بنیادی گروپ کی پیچیدہ نمائندگی کے زمرے کے مساوی ہے۔ اس طرح اس طرح کے روابط ٹوپولوجیکل بنیادی گروپ کی محدود جہتی نمائندگی تک رسائی حاصل کرنے کے لیے خالصتا الجبرائی طریقہ فراہم کرتے ہیں۔ باقاعدہ انفرادیت کی شرط کا مطلب یہ ہے کہ بنڈل کے مقامی طور پر مستقل حصوں (فلیٹ کنکشن کے حوالے سے) میں Y − X کے نکات پر اعتدال پسند نمو ہوتی ہے، جہاں Y X کی الجبرائی کمپیکٹفیکیشن ہے۔ خاص طور پر، جب X کمپیکٹ ہوتا ہے، تو باقاعدہ انفرادیت کی حالت خالی ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت ہے (باقاعدہ ہولونومک ڈی-ماڈیولز کے لیے): ایک فنکٹر ڈی آر ہے جسے ڈی رام فنکٹر کہا جاتا ہے، جو کہ ایکس پر ہولونومک ڈی-ماڈیولز کے زمرے سے باقاعدہ انفرادیت کے ساتھ ایک مساوات ہے۔ ہر زمرے کے ناقابل کٹوتی عناصر پر غور کرنے سے، یہ باقاعدہ انفرادیت کے ساتھ X پر ناقابل کٹوتی ہولونومک D-ماڈیولز کی آئسومورفزم کلاسوں اور ناقابل کٹوتی مقامی نظاموں میں کوفیشنٹس کے ساتھ X کی ناقابل کٹوتی بند ذیلی اقسام کے انٹرسیکشن کوہومولوجی کمپلیکس کے درمیان 1:1 خط و کتابت فراہم کرتا ہے۔ ڈی-ماڈیول ایکس پر تفریقی مساوات کے نظام کی طرح کچھ ہے، اور ذیلی قسم پر ایک مقامی نظام ممکنہ مونوڈرومیوں کی وضاحت کی طرح کچھ ہے، لہذا اس خط و کتابت کو تفریقی مساوات کے کچھ نظاموں کو ان کے حل کے مونوڈرومیوں کے لحاظ سے بیان کرنے کے بارے میں سوچا جا سکتا ہے۔ اگر ایکس کا طول و عرض ایک (ایک پیچیدہ الجبرائی منحنی خطوط) ہے تو پھر الجبرائی رابطوں کے لیے ریمن-ہلبرٹ کا ایک زیادہ عمومی خط و کتابت ہوتا ہے جس میں کوئی باقاعدگی کا مفروضہ نہیں ہوتا ہے (یا ہولونومک ڈی-ماڈیولز کے لیے جس میں باقاعدگی کا مفروضہ نہیں ہوتا ہے) جو کہ مالگرانج (1991)، ریمن-ہلبرٹ-برخوف خط و کتابت میں بیان کیا گیا ہے۔ مثالیں ایک مثال جہاں نظریہ لاگو ہوتا ہے وہ پنکچرڈ افائن لائن A1 − {0} پر تفریق مساوات ہے (یعنی غیر صفر پیچیدہ اعداد C − {0} پر)۔ یہاں a ایک فکسڈ کمپلیکس نمبر ہے۔ اس مساوات میں پروجیکٹو لائن P1 میں 0 اور ν پر باقاعدہ انفرادیت ہوتی ہے۔ مساوات کے مقامی حل مستقلات c کے لیے cza کی شکل کے ہوتے ہیں۔ اگر a ایک عدد عدد نہیں ہے، تو فنکشن za کو تمام C− {0} پر اچھی طرح سے متعین نہیں کیا جا سکتا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مساوات میں غیر معمولی مونوڈروم ہے۔ واضح طور پر، اس مساوات کی مونوڈرومی بنیادی گروپ 1 (A1− {0}) = Z کی 1 جہتی نمائندگی ہے جس میں جنریٹر (اصل کے ارد گرد ایک لوپ) e2ia سے ضرب کے ذریعے کام کرتا ہے۔ باقاعدہ انفرادیت کے مفروضے کی ضرورت کو دیکھنے کے لیے، افائن لائن A1 (یعنی پیچیدہ اعداد C پر) پر تفریق مساوات پر غور کریں۔ یہ مساوات A1 پر معمولی الجبرائی لائن بنڈل پر ایک فلیٹ کنکشن سے مطابقت رکھتی ہے۔ مساوات کے حل مستقلات c کے لیے سی ای زی کی شکل کے ہوتے ہیں۔ چونکہ ان حلوں میں پروجیکٹو لائن P1 میں نقطہ ν کے آس پاس کے کچھ شعبوں پر کثیر الجہتی نمو نہیں ہوتی ہے، اس لیے مساوات میں ν پر باقاعدہ انفرادیت نہیں ہوتی ہے۔ (یہ مساوات کو متغیر ڈبلیو: = 1/زیڈ کے لحاظ سے دوبارہ لکھ کر بھی دیکھا جا سکتا ہے، جہاں یہ بن جاتا ہے۔ کوفشنٹس میں آرڈر 2 کے پول کا مطلب ہے کہ فوکس تھیوریم کے مطابق، مساوات میں ڈبلیو = 0 پر باقاعدہ انفرادیت نہیں ہے۔) چونکہ افعال سی ای زی کی وضاحت پوری افائن لائن اے 1 پر کی گئی ہے، اس فلیٹ کنکشن کا مونوڈروم معمولی ہے۔ لیکن یہ فلیٹ کنکشن A1 پر ٹریوئل لائن بنڈل پر واضح فلیٹ کنکشن کے لیے آئسومورفک نہیں ہے (فلیٹ کنکشن کے ساتھ الجبرائی ویکٹر بنڈل کے طور پر)، کیونکہ اس کے حلوں میں φ پر اعتدال پسند نمو نہیں ہوتی ہے۔ یہ ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت میں باقاعدہ انفرادیت کے ساتھ فلیٹ کنکشن تک محدود رہنے کی ضرورت کو ظاہر کرتا ہے۔ دوسری طرف، اگر ہم غیر کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا جیسے A1 = C پر فلیٹ کنکشن کے ساتھ ہولومورفک (الجبرائی کے بجائے) ویکٹر بنڈلوں کے ساتھ کام کرتے ہیں، تو باقاعدہ انفرادیت کے تصور کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے۔ ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت سے کہیں زیادہ ابتدائی نظریہ یہ بتاتا ہے کہ ہولومورفک ویکٹر بنڈلوں پر فلیٹ کنکشن کا تعین ان کی مونوڈرومی کے ذریعے آئسومورفزم تک کیا جاتا ہے۔ خصوصیت p میں، خصوصیت p> 0 میں اسکیموں کے لیے، ایک ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت قائم کریں جو خاص طور پر اس بات پر زور دیتا ہے کہ Z/p-کوفشنٹس کے ساتھ ایٹیل شیوز کی ایٹیل کوہمولوجی کو مربوط کوہمولوجی پر فروبینیوس اینڈومورفزم کے عمل کے لحاظ سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ ریمن-ہلبرٹ مسئلہ حوالہ جات بھی دیکھیں (الگ تھلگ ہائپر سرفیس یکسانیت کے ملنور فائبر کے لیے ریمن-ہلبرٹ خط و کتابت کی واضح نمائندگی دیتا ہے) تفریقی مساوات نمائندگی نظریہ برنہارڈ ریمن