Inverse problem for Lagrangian mechanics
ریاضی میں، لاگرانجین میکانکس کے لیے الٹا مسئلہ اس بات کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے کہ آیا عام تفریقی مساوات کا دیا ہوا نظام کچھ لاگرانجین فنکشن کے لیے یولر-لاگرانجین مساوات کے طور پر پیدا ہو سکتا ہے۔ 20 ویں صدی کے اوائل سے اس مسئلے کے مطالعہ میں بہت زیادہ سرگرمی ہوئی ہے۔ اس میدان میں ایک قابل ذکر پیش رفت امریکی ریاضی دان جیسی ڈگلس کا 1941 کا مقالہ تھا، جس میں انہوں نے مسئلے کے حل کے لیے ضروری اور کافی شرائط فراہم کیں۔ جرمن طبیعیات دان ہرمن وان ہیلم ہولٹز کے بعد، ان حالات کو اب ہیلم ہولٹز حالات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مسئلہ کا پس منظر اور بیان n-جہتی یوکلڈین اسپیس Rn پر لگرینجین میکانکس کا معمول سیٹ اپ مندرجہ ذیل ہے۔ ایک قابل تفریق راستے پر غور کریں u: [0, T] → Rn۔ راستے u کا عمل، جسے S (u) سے ظاہر کیا جاتا ہے، اس سے دیا جاتا ہے جہاں L وقت، پوزیشن اور رفتار کا ایک فعل ہے جسے لاگرانجین کہا جاتا ہے۔ کم سے کم عمل کے اصول میں کہا گیا ہے کہ، Rn میں ابتدائی حالت x0 اور حتمی حالت x1 کو دیکھتے ہوئے، L کے ذریعہ طے شدہ نظام جس رفتار کی پیروی کرے گا وہ ایکشن فنکشنل S کا ایک کم سے کم ہونا چاہیے جو باؤنڈری کنڈیشنز u (0) = x0، u (T) = x1 کو پورا کرتا ہے۔ مزید برآں، S کے اہم نکات (اور اس لیے کم سے کم کرنے والے) کو S کے لیے یولر-لاگرانج مساوات کو پورا کرنا چاہیے: جہاں اوپری اشاریہ جات i، u = (u1,., un) کے اجزاء کو ظاہر کرتے ہیں۔ کلاسیکی صورت میں یولر-لگرینج مساوات دوسرے درجے کی عام تفریق مساوات ہیں جنہیں نیوٹن کے حرکت کے قوانین کے نام سے جانا جاتا ہے: لگرینج میکانکس کا الٹا مسئلہ مندرجہ ذیل ہے: دوسرے درجے کی عام تفریق مساوات کے نظام کو دیکھتے ہوئے جو 0 ≤ t ≤ T اوقات کے لیے ہوتی ہے، کیا کوئی لگرینج L: [0, T] × Rn × Rn → R موجود ہے جس کے لیے یہ عام تفریق مساوات (E) یولر-لگرینج مساوات ہیں؟ عام طور پر، یہ مسئلہ یوکلڈین اسپیس Rn پر نہیں، بلکہ ایک n جہتی کئی گنا M پر پیش کیا جاتا ہے، اور لگرینجین ایک فنکشن L: [0, T] × TM → R ہے، جہاں TM، M. ڈگلس تھیوریم اور ہیلم ہولٹز کنڈیشنز کے ٹینجینٹ بنڈل کی نشاندہی کرتا ہے۔ اشارے کو آسان بنانے کے لیے، آئیے تھیوریم کے ذریعے n2 فنکشنز کے مجموعے کی وضاحت کریں۔ (ڈگلس 1941) ایک لاگرانجین L: [0, T] × TM → R اس طرح موجود ہے کہ مساوات (E) اس کی یولر-لاگرانج مساوات ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب درج ذیل تین ہیلم ہولٹز شرائط کو پورا کرنے والے u اور v دونوں پر منحصر اندراجات gij کے ساتھ ایک غیر سنگلر سمیٹرک میٹرکس g موجود ہو: (آئن سٹائن سمیشن کنونشن بار بار انڈیکس کے لیے استعمال میں ہے۔) ڈگلس تھیوریم کو لاگو کرنا پہلی نظر میں ہیلم ہولٹز مساوات (H1)-(H3) کو حل کرنا ایک انتہائی مشکل کام معلوم ہوتا ہے۔ کنڈیشن (H1) کو حل کرنا سب سے آسان ہے: ایسا g تلاش کرنا ہمیشہ ممکن ہے جو (H1) کو مطمئن کرے، اور صرف اس کا مطلب یہ نہیں ہوگا کہ لاگرانجین واحد ہے۔ مساوات (H2) عام تفریقی مساوات کا ایک نظام ہے: عام تفریقی مساوات کے حل کے وجود اور انفرادیت سے متعلق معمول کے نظریات کا مطلب یہ ہے کہ، اصولی طور پر، (H2) کو حل کرنا ممکن ہے۔ انضمام سے اضافی مستقلات حاصل نہیں ہوتے ہیں بلکہ اس کے بجائے نظام (E) کے پہلے انٹیگرلز ہوتے ہیں، لہذا یہ مرحلہ عملی طور پر مشکل ہو جاتا ہے جب تک کہ (E) میں کافی واضح پہلے انٹیگرلز نہ ہوں۔ بعض اچھے سلوک والے معاملات میں (مثال کے طور پر۔ لائ گروپ پر کینونکل کنکشن کے لیے جیوڈیسیک بہاؤ)، یہ شرط مطمئن ہے۔ حتمی اور سب سے مشکل مرحلہ مساوات (H3) کو حل کرنا ہے، جسے بندش کے حالات کہا جاتا ہے کیونکہ (H3) یہ شرط ہے کہ تفریق 1-فارم gi ہر i کے لیے ایک بند شکل ہے۔ یہ اتنا مشکل کیوں ہے اس کی وجہ یہ ہے کہ (H3) جوڑے ہوئے جزوی تفریقی مساوات کا ایک بڑا نظام تشکیل دیتا ہے: n ڈگری آف فریڈم کے لیے، (H3) 2n آزاد متغیرات میں جزوی تفریقی مساوات کا ایک نظام تشکیل دیتا ہے جو کہ g کے اجزاء ہیں، جہاں بائنومیل گتانک کو ظاہر کرتا ہے۔ سب سے زیادہ عام ممکنہ لاگرانجین کی تعمیر کے لیے، اس بڑے نظام کو حل کرنا ضروری ہے! خوش قسمتی سے، کچھ معاون شرائط ہیں جو ہیلمہولٹز کے حالات کو حل کرنے میں مدد کے لیے عائد کی جا سکتی ہیں۔ سب سے پہلے، (H1) نامعلوم میٹرکس g پر خالصتا الجبرائی حالت ہے۔ g پر معاون الجبرائی شرائط کو مندرجہ ذیل طور پر دیا جا سکتا ہے: افعال کی وضاحت کریں۔ g پر معاون شرط تب ہوتی ہے۔ در حقیقت، مساوات (H2) اور (A) اسی طرح کے الجبرائی حالات کے لامحدود درجہ بندی میں صرف پہلی ہیں۔ متوازی کنکشن کی صورت میں (جیسے کہ لائ گروپ پر کینونکل کنکشن)، اعلی ترتیب کے حالات ہمیشہ مطمئن ہوتے ہیں، اس لیے صرف (H2) اور (A) دلچسپی کے حامل ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ (A) شرائط پر مشتمل ہے جبکہ (H1) شرائط پر مشتمل ہے۔ اس طرح، یہ ممکن ہے کہ (H1) اور (A) مل کر یہ ظاہر کریں کہ لاگرانجین فنکشن واحد ہے۔ 2006 تک، صوابدیدی طول و عرض میں اس مشکل کو روکنے کے لیے کوئی عمومی نظریہ موجود نہیں ہے، حالانکہ کچھ خاص معاملات حل ہو چکے ہیں۔ حملے کا دوسرا راستہ یہ دیکھنا ہے کہ آیا نظام (ای) کسی نچلے جہتی نظام پر ڈوبنے کو قبول کرتا ہے اور نچلے جہتی نظام کے لیے ایک لاگرانجین کو اعلی جہتی نظام تک "اٹھانے" کی کوشش کرتا ہے۔ یہ واقعی ہیلم ہولٹز کے حالات کو حل کرنے کی کوشش نہیں ہے جتنا کہ یہ ایک لاگرانجین کی تعمیر کرنے اور پھر یہ ظاہر کرنے کی کوشش ہے کہ اس کی یولر-لاگرانج مساوات درحقیقت نظام (E) ہیں۔ حوالہ جات مختلف حالتوں کا حساب لگرینجین میکانکس الٹا مسائل