Parity-check matrix
کوڈنگ تھیوری میں، لکیری بلاک کوڈ C کا پیریٹی چیک میٹرکس ایک میٹرکس ہے جو لکیری تعلقات کو بیان کرتا ہے جسے کوڈ ورڈ کے اجزاء کو پورا کرنا چاہیے۔ یہ فیصلہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا کوئی مخصوص ویکٹر کوڈ ورڈ ہے اور اسے ڈیکوڈنگ الگورتھم میں بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ تعریف رسمی طور پر، لکیری کوڈ C کا پیریٹی چیک میٹرکس H ڈوئل کوڈ، C δ کا جنریٹر میٹرکس ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک کوڈ ورڈ c C میں ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب میٹرکس ویکٹر پروڈکٹ (کچھ مصنفین اسے مساوی شکل میں لکھیں گے، cH = 0۔) پیریٹی چیک میٹرکس کی قطاریں پیریٹی چیک مساوات کے گتانک ہیں۔ یعنی، وہ دکھاتے ہیں کہ کس طرح ہر کوڈ ورڈ کے مخصوص ہندسوں (اجزاء) کے لکیری امتزاج صفر کے برابر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، پیریٹی چیک میٹرکس، کمپیکٹ طور پر پیریٹی چیک مساوات کی نمائندگی کرتا ہے، جسے ویکٹر کے لیے C کا کوڈ ورڈ ہونے کے لیے مطمئن ہونا چاہیے۔ پیریٹی چیک میٹرکس کی تعریف سے یہ براہ راست کوڈ کے کم از کم فاصلے کی پیروی کرتا ہے جو کہ کم از کم نمبر d ہے تاکہ پیریٹی چیک میٹرکس H کے ہر d-1 کالم لکیری طور پر آزاد ہوں جبکہ H کے d کالم موجود ہیں جو لکیری طور پر منحصر ہیں۔ پیریٹی چیک میٹرکس بنانا کسی دیئے گئے کوڈ کے لیے پیریٹی چیک میٹرکس اس کے جنریٹر میٹرکس (اور اس کے برعکس) سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اگر [n, k]-کوڈ کے لیے جنریٹر میٹرکس معیاری شکل میں ہے، تو پیریٹی چیک میٹرکس اس کے ذریعے دیا جاتا ہے، کیونکہ۔ نفی محدود فیلڈ Fq میں کی جاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر بنیادی فیلڈ کی خصوصیت 2 ہے (یعنی اس فیلڈ میں 1 + 1 = 0)، جیسا کہ بائنری کوڈز میں ہے، تو-P = P، لہذا نفی غیر ضروری ہے۔ مثال کے طور پر، اگر بائنری کوڈ میں جنریٹر میٹرکس ہے، تو اس کا پیریٹی چیک میٹرکس ہے۔ اس بات کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ G ایک میٹرکس ہے، جبکہ H ایک میٹرکس ہے۔ سنڈروم ایمبیئنٹ ویکٹر اسپیس کے کسی بھی (قطار) ویکٹر x کے لیے، s = Hx′ کو x کا سنڈروم کہا جاتا ہے۔ ویکٹر x ایک کوڈ ورڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب s = 0 ہو۔ سنڈروم کا حساب سنڈروم ڈیکوڈنگ الگورتھم کی بنیاد ہے۔ ہیمنگ کوڈ نوٹس حوالہ جات کوڈنگ تھیوری بھی دیکھیں۔