Freund–Rubin compactification
فرینڈ روبن کمپیکٹفیکیشن جہتی تخفیف کی ایک شکل ہے جس میں d جہتی خلائی وقت میں ایک فیلڈ تھیوری، جس میں کشش ثقل اور کچھ فیلڈ جس کی فیلڈ کی طاقت ایک رینک s اینٹیسیمیٹرک ٹینسر ہے، کو s یا d-s کے طول و عرض کے ساتھ خلائی وقت تک کم کرنا 'ترجیح' دیتا ہے۔ مشتق d خلائی وقت کے طول و عرض میں عمومی اضافیت پر غور کریں۔ اینٹیسیمیٹرک ٹینسر فیلڈ (بیرونی ذرائع کے بغیر) کی موجودگی میں، آئن سٹائن فیلڈ مساوات، اور اینٹیسیمیٹرک ٹینسر کے لیے حرکت کی مساوات یہ ہیں کہ جہاں تناؤ-توانائی ٹینسر شکل اختیار کرتا ہے ایک درجہ s اینٹیسیمیٹرک ٹینسر ہونے کے ناطے، فیلڈ کی طاقت میں اس کے حل کے لیے ایک قدرتی این سیٹز ہوتا ہے، جو کسی s-جہتی کئی گنا پر لیوی-سیویٹا ٹینسر کے متناسب ہوتا ہے۔ یہاں، اشارے وسیع d-جہتی خلائی وقت کے طول و عرض کے s پر چلتے ہیں، اس s-جہتی ذیلی جگہ کے میٹرک کا تعین کنندہ ہے، اور بڑے پیمانے پر مربع (قدرتی اکائیوں میں) کے طول و عرض کے ساتھ کچھ مستقل ہے۔ چونکہ میدان کی طاقت صرف ایک s-جہتی ذیلی منی فولڈ پر غیر صفر ہوتی ہے، اس لیے میٹرک کو قدرتی طور پر دو حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، بلاک-ڈائیگنل شکل کے ساتھ، اور میدان کی طاقت کے طور پر اسی s طول و عرض پر پھیلا ہوا، اور،، اور بقیہ d-s طول و عرض کا احاطہ کرتا ہے۔ ہمارے d جہتی خلا کو دو ذیلی جگہوں کے پروڈکٹ میں الگ کرنے کے بعد، آئن سٹائن کی فیلڈ مساوات ہمیں ان دو ذیلی نقاط کی منحنیت کے لیے حل کرنے کی اجازت دیتی ہیں، اور ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ ہم پاتے ہیں کہ s-اور (d-s)-جہتی ذیلی نقاط کی رچی منحنیت اشارے میں لازمی طور پر مخالف ہوتی ہیں۔ ایک میں مثبت منحنیت ہونی چاہیے، اور دوسرے میں منفی منحنیت ہونی چاہیے، اور اس لیے ان میں سے ایک کئی گنا کمپیکٹ ہونا چاہیے۔ نتیجتا، کمپیکٹ کئی گنا سے نمایاں طور پر بڑے پیمانے پر، کائنات میں یا تو s یا (d-s) طول و عرض ہوتے دکھائی دیتے ہیں، جیسا کہ بنیادی d کے برعکس۔ اس کی ایک اہم مثال کے طور پر، 11D-سپر گریویٹی میں 4 فارم فیلڈ کی طاقت کے ساتھ 3 فارم کا اینٹیسیمیٹرک ٹینسر ہوتا ہے، اور اس کے نتیجے میں اس کے 7 یا 4 اسپیس جیسے طول و عرض کو کمپیکٹ کرنا پسند کرتا ہے، لہذا بڑے پیمانے پر اسپیس ٹائم یا تو 4 یا 7 جہتی ہونا چاہیے، جن میں سے سابقہ سٹرنگ تھیوری سے فینومینولوجیکل نقطہ نظر سے پرکشش ہے۔ سٹرنگ تھیوری میں برانز کے رویے کو دیکھنے سے فرینڈ روبن کمپیکٹفیکیشن کی کچھ اہم مثالیں آتی ہیں۔ جس طرح برقی مقناطیسی میدان سے جوڑنا برقی طور پر چارج شدہ ذرات کو مستحکم کرتا ہے، اسی طرح سٹرنگ تھیوری میں مختلف رینک کے اینٹیسیمیٹرک ٹینسر فیلڈز کی موجودگی مختلف جہتوں کی شاخوں کو مستحکم کرتی ہے۔ بدلے میں، شاخوں کے ڈھیر کے قریب خلائی وقت کی جیومیٹری اس طرح سے مسخ ہو جاتی ہے کہ فرینڈ-روبن کمپیکٹفیکیشن کا احساس ہوتا ہے۔ ٹائپ II-B سٹرنگ تھیوری میں، جس کے لیے دس اسپیس ٹائم طول و عرض کی ضرورت ہوتی ہے، پانچ شکلوں والی فیلڈ طاقت ہوتی ہے جو تین جہتی D-برینز کی اجازت دیتی ہے، اور D3-برینز کے اسٹیک کی قریب افق جیومیٹری پانچ جہتی اینٹی ڈی سیٹر اسپیس گنا پانچ جہتی دائرہ ہے، جو پانچ جہتوں میں کمپیکٹ ہے۔ یہ جیومیٹری ایڈ ایس/سی ایف ٹی خط و کتابت کا ایک اہم حصہ ہے۔ اسی طرح، ایم تھیوری اور اس کی 11 ڈی سپر گریویٹی کی کم توانائی کی حد میں 4 شکلوں کی فیلڈ طاقت ہوتی ہے، جو ایم 2 اور ایم 5 شاخوں کو مستحکم کرتی ہے۔ ان شاخوں کے اسٹیکوں کی قریب افق جیومیٹری بالترتیب اور ہیں۔ حوالہ جات عمومی اضافیت سپرسیمیٹری سٹرنگ تھیوری