Eigenvalue perturbation
ریاضی میں، آئجین ویلیو پرٹربیشن کا مسئلہ کسی ایسے نظام کے آئجین ویکٹرز اور آئجین ویلیوز کو تلاش کرنا ہے جو معروف آئجین ویکٹرز اور آئجین ویلیوز والے نظام سے پریشان ہوتا ہے۔ یہ اس بات کا مطالعہ کرنے کے لیے مفید ہے کہ اصل نظام کے آئجین ویکٹر اور آئجین ویلیوز نظام میں ہونے والی تبدیلیوں کے لیے کتنے حساس ہیں۔ اس قسم کے تجزیے کو لارڈ ریلیگ نے چھوٹے غیر ہم آہنگی سے پریشان ایک تار کے ہارمونک کمپن کی اپنی تحقیقات میں مقبول کیا تھا۔ اس مضمون میں مشتقات بنیادی طور پر خود مختار ہیں اور عددی لکیری الجبرا یا عددی فنکشنل تجزیہ پر بہت سی تحریروں میں پائے جا سکتے ہیں۔ یہ مضمون ایک سادہ آئجن ویلیو کے خلل کے معاملے پر مرکوز ہے (آئجن ویلیو کی کثرت میں دیکھیں)۔ عام کردہ آئجین ویلیوز کیوں؟ آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کی انٹری ایپلی کیشنز میں ہمیں متعدد سائنسی شعبے ملتے ہیں جن میں حل حاصل کرنے کے لیے آئجین ویلیوز کا استعمال کیا جاتا ہے۔ عمومی آئجن ویلیو کے مسائل کم وسیع ہیں لیکن کمپن کے مطالعہ میں کلیدی حیثیت رکھتے ہیں۔ وہ مفید ہوتے ہیں جب ہم گیلرکن طریقہ یا ریلیگ رٹز طریقہ استعمال کرتے ہیں تاکہ جزوی تفریقی مساوات کے تخمینہ حل تلاش کیے جا سکیں جو تاروں اور پلیٹوں جیسے ڈھانچوں کے کمپن کو ماڈلنگ کرتے ہیں۔ کورانٹ کا کاغذ (1943) بنیادی ہے۔ محدود عنصر کا طریقہ ایک وسیع پیمانے پر مخصوص معاملہ ہے۔ کلاسیکی میکانکس میں، جب ہم توازن کے قریب متعدد ڈگری آف فریڈم سسٹمز کی کمپنوں کی تلاش کرتے ہیں تو ہمیں عمومی آئجین ویلیوز مل سکتی ہیں۔ حرکی توانائی بڑے پیمانے پر میٹرکس فراہم کرتی ہے، ممکنہ تناؤ توانائی سختی میٹرکس فراہم کرتی ہے۔ تفصیلات حاصل کرنے کے لیے، مثال کے طور پر وائن سٹائن کے اس مضمون کا پہلا حصہ دیکھیں (1941، فرانسیسی میں) دونوں طریقوں کے ساتھ، ہم ماس میٹرکس، ڈیمپنگ میٹرکس اور رگڈیٹی میٹرکس کے ساتھ تفریق مساوات یا میٹرکس تفریق مساوات کا ایک نظام حاصل کرتے ہیں۔ اگر ہم ڈمپنگ اثر کو نظر انداز کرتے ہیں، تو ہم استعمال کرتے ہیں، ہم مندرجہ ذیل شکل کا حل تلاش کر سکتے ہیں۔ ہم اسے حاصل کرتے ہیں اور عمومی آئجن ویلیو کے مسئلے کا حل ہیں۔ یعنی، ہم کے لیے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کو جانتے ہیں۔ یہ بھی ضروری ہے کہ آئجین ویلیوز الگ ہوں۔ اب فرض کریں کہ ہم میٹرکس کو تھوڑی مقدار میں تبدیل کرنا چاہتے ہیں۔ یعنی، ہم جہاں پرٹربیشن کے ساتھ آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹر تلاش کرنا چاہتے ہیں اور بالترتیب اس سے بہت چھوٹے ہیں۔ پھر ہم توقع کرتے ہیں کہ نئے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز اصل سے ملتے جلتے ہوں گے، اس کے علاوہ چھوٹی پریشانیاں: اقدامات ہم فرض کرتے ہیں کہ میٹرکس ہم آہنگ اور مثبت قطعی ہیں، اور فرض کرتے ہیں کہ ہم نے آئجین ویکٹرز کو اس طرح اسکیل کیا ہے کہ کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے۔ اب ہم مساوات کو حل کرنا چاہتے ہیں۔ اس مضمون میں ہم مطالعہ کو فرسٹ آرڈر پرٹربیشن تک محدود رکھتے ہیں۔ مساوات کی پہلی ترتیب کی توسیع (1) میں تبدیل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں جو (0) () سے منسوخ ہونے تک پھیلتا ہے۔ اعلی ترتیب کی اصطلاحات کو ہٹاتے ہوئے، یہ آسان ہو جاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، اب آئجن ویلیو کی صحیح تغیر کو نہیں بلکہ اس کے پہلے ترتیب کے تخمینے کو ظاہر کرتا ہے۔ چونکہ میٹرکس ہم آہنگ ہوتا ہے، اس لیے غیر متزلزل آئجین ویکٹر آرتھوگنل ہوتے ہیں اور اس لیے ہم انہیں متزلزل آئجین ویکٹرز کے لیے بنیاد کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔ یعنی، ہم اس کے ساتھ تعمیر کرنا چاہتے ہیں، جہاں چھوٹے مستقل ہوتے ہیں جن کا تعین کیا جانا ہے۔ اسی طرح، (2) میں تبدیل کرتے ہوئے، اور اعلی آرڈر کی شرائط کو ہٹاتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے کہ مشتق دو کانٹوں کے ساتھ جاری رہ سکتا ہے۔ پہلا کانٹا: پہلا آئجین ویلیو پرٹربیشن حاصل کریں آئجین ویلیو پرٹربیشن ہم (3) کے ساتھ شروع کرتے ہیں ہم نے ضرب اور استعمال (2) کے ساتھ ساتھ اس کے پہلے آرڈر کے تغیر (5) کو چھوڑ دیا ہے۔ ہمیں ملتا ہے یا ہم دیکھتے ہیں کہ یہ فکسڈ کے ساتھ جنرلائزڈ ریلیگ کوٹینٹ کا پہلا آرڈر پرٹربیشن ہے: مزید برآں، فارمولے کا موازنہ باؤر فائیک تھیوریم سے کیا جانا چاہیے جو آئجین ویلیو پرٹربیشن کے لیے ایک باؤنڈ فراہم کرتا ہے۔ آئجین ویکٹر پرٹربیشن ہم نے (3) کو ضرب دینا چھوڑ دیا اور حاصل کیا ہم استعمال کرتے ہیں۔ یا جیسا کہ آئجین ویلیوز کو سادہ سمجھا جاتا ہے، کیونکہ اس کے علاوہ (5) ((2) کی پہلی ترتیب کی تبدیلی) پیداوار ہم نے کے تمام اجزاء حاصل کر لیے ہیں۔ دوسرا کانٹا: سیدھے سیدھے ہیرا پھیری (4) کو (3) میں تبدیل کرنا اور دوبارہ ترتیب دینا دیتا ہے کیونکہ آئجین ویکٹر-آرتھوگنل ہوتے ہیں جب مثبت قطعی ہوتے ہیں، تو ہم خلاصہ کو بائیں سے ضرب دے کر ہٹا سکتے ہیں: مساوات (1) کے دوبارہ استعمال سے: دو اصطلاحات پر مشتمل برابر ہیں کیونکہ بائیں سے ضرب (1) ان اصطلاحات کو (6) میں منسوخ کرنے سے دوبارہ ترتیب ملتی ہے لیکن (2) سے، یہ ڈینومینیٹر 1 کے برابر ہے۔ اس طرح، جہاں تک (مفروضہ سادہ آئجین ویلیوز) کو بائیں ضرب کی مساوات (5) سے: یا اشاریوں کے نام کو تبدیل کرکے: تلاش کرنے کے لیے، اس حقیقت کو استعمال کریں کہ: اس کا مطلب ہے: فرسٹ آرڈر پرٹربیشن نتیجہ کا خلاصہ اس صورت میں جہاں تمام میٹرکس ہرمیٹین مثبت قطعی ہیں اور تمام آئجین ویلیوز الگ الگ ہیں، انفنٹیسیمل کے لیے اور ((3) میں اعلی ترتیب کی اصطلاحات کو نظر انداز کیا جا رہا ہے)۔ ابھی تک ہم نے یہ ثابت نہیں کیا ہے کہ اعلی درجے کی ان شرائط کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ یہ نقطہ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے ؛ اگلے حصے میں، ہم فرسٹ آرڈر کی توسیع حاصل کرنے کے لیے اس تھیوریم کے استعمال کا خلاصہ پیش کرتے ہیں۔ ایک مضمر فنکشن کی نظریاتی مشتق تعطل۔ اگلے پیراگراف میں، ہم امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم (تھیوریم کا بیان) استعمال کریں گے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ ایک مسلسل تفریق پذیر فنکشن کے لیے، ایک الٹا جیکوبین میٹرکس کے ساتھ، کے نقطہ حل سے، ہمیں اس کے قریب کے حل اس شکل میں ملتے ہیں جہاں ایک مسلسل تفریق پذیر فنکشن ہے۔ اس کے علاوہ جیکوبین میریکس لکیری سسٹم کے ذریعے فراہم کیا جاتا ہے۔ جیسے ہی تھیوریم کے مفروضے کو پورا کیا جاتا ہے، جیکوبین میٹرکس کا حساب پہلے آرڈر کی توسیع کے ساتھ کیا جا سکتا ہے، ہمیں ملتا ہے ؛ جیسا کہ، یہ مساوات کے مساوی ہے۔ آئجین ویلیو پرٹربیشن: ایک نظریاتی بنیاد۔ ہم پچھلے پیراگراف (ایک مضمر فنکشن کی رکاوٹ) کا استعمال کچھ مختلف اشاروں کے ساتھ کرتے ہیں جو آئجن ویلیو پرٹربیشن کے لیے موزوں ہیں۔ ہم اس کے ساتھ متعارف کراتے ہیں۔ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم کو استعمال کرنے کے لیے، ہم جیکوبین کی الٹ پن کا مطالعہ کرتے ہیں۔ درحقیقت، کا حل توسیعی مشتق سے ملتے جلتے حسابات کے ساتھ اخذ کیا جا سکتا ہے۔ ایک سادہ آئجین ویلیو کب ہے، جیسا کہ آئجین ویکٹر ایک آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں، کسی بھی دائیں ہاتھ کی طرف کے لیے، ہم نے ایک حل حاصل کیا ہے لہذا، جیکوبین الٹا ہے۔ امپلیسیٹ فنکشن تھیوریم ایک مسلسل تفریق پذیر فنکشن فراہم کرتا ہے اس لیے کم o نوٹیشن کے ساتھ توسیع: اس کے ساتھ یہ پریشان آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کی پہلی ترتیب کی توسیع ہے۔ جو ثابت ہوتا ہے۔ میٹرکس کے اندراجات کے حوالے سے حساسیت کے تجزیے کے نتائج نتائج اس کا مطلب ہے کہ میٹرکس کے اندراجات میں ہونے والی تبدیلیوں کے فنکشن کے طور پر حساسیت کا تجزیہ مؤثر طریقے سے کرنا ممکن ہے۔ (یاد رکھیں کہ میٹرکس ہم آہنگ ہیں اور اس لیے بدلنا بھی بدل جائے گا، اس لیے اصطلاح۔) اسی طرح آئجین ویلیو حساسیت، ایک چھوٹی سی مثال ایک سادہ سی صورت ہے ؛ تاہم آپ آن لائن ٹولز جیسے (ویکیپیڈیا ڈبلیو آئی ایم ایس میں تعارف دیکھیں) یا سیج سیج میتھ کا استعمال کرتے ہوئے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کا حساب لگا سکتے ہیں۔ آپ کو سب سے چھوٹی آئجین ویلیو اور ایک واضح کمپیوٹیشن ملتی ہے۔ اس سے زیادہ، ایک وابستہ آئجین ویکٹر ہے ؛ یہ ایک یکطرفہ ویکٹر نہیں ہے۔ لہذا ؛ ہمیں ملتا ہے اور ؛ اس مثال کے لیے، ہم نے اسے چیک کیا ہے یا۔ آئجین ویکٹرز کا وجود نوٹ کریں کہ مندرجہ بالا مثال میں ہم نے فرض کیا کہ غیر متزلزل اور متزلزل دونوں نظاموں میں سمیٹرک میٹرکس شامل ہیں، جو لکیری طور پر آزاد آئجین ویکٹرز کے وجود کی ضمانت دیتے ہیں۔ غیر ہم آہنگی میٹرکس پر مشتمل آئجین ویلیو کا مسئلہ لکیری طور پر آزاد آئجین ویکٹرز کی ضمانت نہیں دیتا ہے، حالانکہ ایک کافی شرط یہ ہے کہ اور بیک وقت اخترن پذیر ہو۔ بار بار آئجین ویلیوز کا معاملہ آئجین ویلیو کے مسائل میں خلل ڈالنے کے لیے ریلچ کی ایک تکنیکی رپورٹ کئی مثالیں فراہم کرتی ہے۔ ابتدائی مثالیں باب 2 میں ہیں۔ رپورٹ کو archive.org سے ڈاؤن لوڈ کیا جا سکتا ہے۔ ہم ایک مثال پیش کرتے ہیں جس میں آئجین ویکٹرز کا برا رویہ ہوتا ہے۔ مثال 1 مندرجہ ذیل میٹرکس پر غور کریں اور اس کے لیے، میٹرکس میں آئجین ویلیوز سے تعلق رکھنے والے آئجین ویکٹر ہوتے ہیں۔ چونکہ اگر کوئی نارملائزڈ آئجین ویکٹر بالترتیب تعلق رکھتے ہیں تو اس کے لیے حقیقی کہاں ہیں۔ اس کی وضاحت کرنا، کہنا، اس طرح سے ناممکن ہے کہ اس کی حد تک پہنچ جائے کیونکہ اس مثال میں نوٹ کے طور پر اس کی کوئی حد نہیں ہے جو نہ صرف مسلسل ہے بلکہ اس میں تمام آرڈرز کے مسلسل مشتق بھی ہیں۔ ریلیچ مندرجہ ذیل اہم نتیجہ اخذ کرتا ہے۔ <<چونکہ عام طور پر انفرادی آئجین ویکٹر پرٹربیشن پیرامیٹر پر مسلسل انحصار نہیں کرتے ہیں حالانکہ آپریٹر کرتا ہے، اس لیے ضروری ہے کہ کام کریں، کسی آئجین ویکٹر کے ساتھ نہیں، بلکہ اسی آئجین ویلیو سے تعلق رکھنے والے تمام آئجین ویکٹرز کے ذریعے پھیلی جگہ کے ساتھ۔ >> مثال 2 یہ مثال پچھلے سے کم ناگوار ہے۔ فرض کریں کہ 2x2 شناختی میٹرکس ہے، کوئی بھی ویکٹر ایک آئجین ویکٹر ہے ؛ پھر ایک ممکنہ آئجین ویکٹر ہے۔ لیکن اگر کوئی ایک چھوٹی سی خلل پیدا کرتا ہے، جیسے کہ پھر آئجین ویکٹر ہیں اور ؛ وہ اس کے حوالے سے مستقل ہیں تاکہ وہ مستقل ہو اور صفر پر نہ جائے۔ پرٹربیشن تھیوری (کوانٹم میکانکس) باؤر فائیک تھیوریم حوالہ جات بھی دیکھیں۔ مزید کتابیں پڑھنا۔ بھاٹیہ، آر۔ (1987)۔ میٹرکس آئجین ویلیوز کے لیے پرٹربیشن باؤنڈ۔ سیام۔ رپورٹ جرنل کے کاغذات سائمن، بی۔ (1982)۔ آئیگن ویلیو پرٹربیشن تھیوری کے بڑے آرڈرز اور خلاصہ: ایک ریاضیاتی جائزہ۔ انٹرنیشنل جرنل آف کوانٹم کیمسٹری، 21 (1)، 3-25۔ کرینڈل، ایم۔ جی۔، اور رابینووٹز، پی۔ ایچ۔ (1973)۔ بفرکیشن، سادہ آئجین ویلیوز میں خلل، اور لکیری استحکام۔ آرکائیو فار ریشنل میکینکس اینڈ اینالیسس، 52 (2)، 161-180۔ سٹیورٹ، جی۔ ڈبلیو۔ (1973)۔ بعض آئجین ویلیو کے مسائل سے وابستہ ذیلی جگہوں کے لیے غلطی اور خلل کی حدود۔ SIAM جائزہ، 15 (4)، 727-764۔ لودین، پی۔ او۔ (1962)۔ پرٹربیشن تھیوری میں مطالعہ۔ IV. پروجیکشن آپریٹر فارملزم کے ذریعے آئجن ویلیو کے مسئلے کا حل۔ ریاضیاتی طبیعیات کا جریدہ، 3 (5)، 969-982۔ پرٹربیشن تھیوری ڈفریٚنشل کیلکولس ملٹی ویری ایبل کیلکولس لکیری الجبرا عددی لکیری الجبرا