Detrended fluctuation analysis
سٹوچسٹک عمل میں، افراتفری کا نظریہ اور ٹائم سیریز تجزیہ، ڈیٹرینڈڈ فلوکچوایشن تجزیہ (ڈی ایف اے) سگنل کی شماریاتی خود وابستگی کا تعین کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ ٹائم سیریز کا تجزیہ کرنے کے لیے مفید ہے جو طویل میموری کے عمل کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں (ارتباط کا وقت، مثال کے طور پر۔ پاور-لا ڈیکنگ آٹوکوریلیشن فنکشن) یا 1/f شور۔ حاصل کردہ ایکسپونینٹ ہرسٹ ایکسپونینٹ سے ملتا جلتا ہے، سوائے اس کے کہ ڈی ایف اے کا اطلاق ان اشاروں پر بھی کیا جا سکتا ہے جن کے بنیادی اعداد و شمار (جیسے اوسط اور تغیر) یا حرکیات غیر مستحکم ہیں (وقت کے ساتھ بدلتے ہوئے)۔ اس کا تعلق سپیکٹرم تکنیکوں جیسے آٹوکوریلیشن اور فورئیر ٹرانسفارم پر مبنی اقدامات سے ہے۔ پینگ اور دیگر۔ 1994 میں ڈی ایف اے کو ایک مقالے میں متعارف کرایا گیا جس کا 2022 تک 3,000 سے زیادہ بار حوالہ دیا گیا ہے اور یہ (عام) اتار چڑھاؤ کے تجزیے (ایف اے) کی توسیع کی نمائندگی کرتا ہے، جو غیر اسٹیشنریٹیز سے متاثر ہوتا ہے۔ تعریف الگورتھم دیا گیا: ایک ٹائم سیریز۔ اس کی اوسط قیمت کا حساب لگائیں۔ اسے ایک عمل میں شامل کریں۔ یہ اصل ٹائم سیریز کی مجموعی رقم، یا پروفائل ہے۔ مثال کے طور پر، کسی آئی آئی ڈی کا پروفائل۔ سفید شور ایک معیاری بے ترتیب چہل قدمی ہے۔ انٹیجرز کا ایک سیٹ منتخب کریں، جیسے کہ سب سے چھوٹا، سب سے بڑا، اور ترتیب تقریبا لاگ پیمانے میں یکساں طور پر تقسیم ہو: دوسرے لفظوں میں، یہ تقریبا ایک ہندسی ترقی ہے۔ ہر ایک کے لیے، ترتیب کو لمبائی کے مسلسل حصوں میں تقسیم کریں۔ ہر حصے کے اندر، کم سے کم مربع سیدھی لائن فٹ (مقامی رجحان) کا حساب لگائیں۔ نتیجے میں ٹکڑے ٹکڑے لکیری فٹ ہونے دیں۔ مقامی رجحان (مقامی اتار چڑھاؤ) سے جڑ-مطلب-مربع انحراف کا حساب لگائیں: اور ان کا جڑ-مطلب-مربع کل اتار چڑھاؤ ہے: (اگر اس سے تقسیم نہیں ہوتا ہے، تو کوئی یا تو باقی ترتیب کو رد کر سکتا ہے، یا طریقہ کار کو الٹا ترتیب پر دہرا سکتا ہے، پھر ان کا جڑ-مطلب-مربع لیں۔) لاگ لاگ پلاٹ بنائیں۔ تشریح لاگ لاگ پلاٹ پر ڈھلوان کی سیدھی لکیر شکل کی شماریاتی خود وابستگی کی نشاندہی کرتی ہے۔ چونکہ یکسوئی کے ساتھ بڑھتا ہے، ہمارے پاس ہمیشہ ہوتا ہے۔ اسکیلنگ ایکسپونینٹ ہرسٹ ایکسپونینٹ کی عمومی شکل ہے، جس میں عین مطابق قدر سیریز کے خود ارتباط کے بارے میں معلومات دیتی ہے:: مخالف ارتباط: غیر مربوط، سفید شور: باہمی تعلق: 1/f-شور، گلابی شور: غیر مستحکم، غیر محدود: براؤنین شور کیونکہ لمبائی N کی غیر متعلقہ بے ترتیب چہل قدمی میں متوقع نقل مکانی اس طرح بڑھتی ہے، جس کا ایک ایکسپونینٹ غیر متعلقہ سفید شور سے مطابقت رکھتا ہے۔ جب ایکسپوینٹ 0 اور 1 کے درمیان ہوتا ہے، تو نتیجہ فریکشنل گاؤسی شور ہوتا ہے۔ تشریح میں نقصانات اگرچہ ڈی ایف اے الگورتھم ہمیشہ کسی بھی ٹائم سیریز کے لیے ایک مثبت نمبر پیدا کرتا ہے، لیکن اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ٹائم سیریز خود سے ملتی جلتی ہے۔ خود مماثلت کے لیے لاگ لاگ گراف کی وسیع رینج پر کافی حد تک لکیری ہونا ضروری ہے۔ مزید برآں، کم سے کم مربع کے بجائے ایم ایل ای سمیت تکنیکوں کے امتزاج کو اسکیلنگ، یا پاور لا، ایکسپوینٹ کا بہتر تخمینہ لگانے کے لیے دکھایا گیا ہے۔ نیز، اسکیلنگ ایکسپونینٹ جیسی بہت سی مقداریں ہیں جن کی پیمائش خود سے ملتی جلتی ٹائم سیریز کے لیے کی جا سکتی ہے، بشمول ڈیوائڈر طول و عرض اور ہرسٹ ایکسپونینٹ۔ لہذا، ڈی ایف اے اسکیلنگ ایکسپونینٹ فریکٹل طول و عرض نہیں ہے، اور اس میں کچھ مطلوبہ خصوصیات نہیں ہیں جو ہاؤس ڈورف طول و عرض میں ہیں، حالانکہ بعض خاص معاملات میں یہ ٹائم سیریز کے گراف کے لیے باکس گنتی کے طول و عرض سے متعلق ہے۔ عمومی سے کثیر الجہتی رجحانات کی عمومی کاری (اعلی درجے کا ڈی ایف اے) اوپر دیا گیا معیاری ڈی ایف اے الگورتھم ہر حصے میں لکیری رجحان کو دور کرتا ہے۔ اگر ہم ہر حصے میں ڈگری-این کثیر الجہتی رجحان کو ہٹا دیتے ہیں، تو اسے ڈی ایف اے این، یا اعلی آرڈر ڈی ایف اے کہا جاتا ہے۔ چونکہ ایک مجموعی مجموعہ ہے، ایک لکیری رجحان میں ایک مستقل رجحان ہے، جو میں ایک مستقل رجحان ہے ("فلیٹ سطح مرتفع" کے مختصر حصوں کے طور پر نظر آتا ہے)۔ اس سلسلے میں، ڈی ایف اے 1 اتار چڑھاؤ کی مقدار طے کرنے سے پہلے ٹائم سیریز کے حصوں سے اوسط کو ہٹا دیتا ہے۔ اسی طرح، ایک ڈگری n رجحان ایک ڈگری (n-1) رجحان ہے۔ مثال کے طور پر، ڈی ایف اے 1 اتار چڑھاؤ کی مقدار طے کرنے سے پہلے ٹائم سیریز کے حصوں سے لکیری رجحانات کو ہٹا دیتا ہے، ڈی ایف اے 1 پیرابولک رجحانات کو ہٹا دیتا ہے، اور اسی طرح۔ ہرسٹ آر/ایس تجزیہ اصل ترتیب میں مستقل رجحانات کو دور کرتا ہے اور اس طرح، اس کی تخفیف میں یہ ڈی ایف اے 1 کے برابر ہے۔ مختلف لمحات کو عام کرنا (ملٹی فریکٹل ڈی ایف اے) ڈی ایف اے کو کمپیوٹنگ کے ذریعے عام کیا جا سکتا ہے اور پھر لاگ لاگ پلاٹ بنایا جا سکتا ہے، اگر پلاٹ میں مضبوط لکیریٹی ہے، تو وہ ڈھلوان ہے۔ ڈی ایف اے وہ خاص معاملہ ہے جہاں۔ ملٹی فریکٹل سسٹم ایک فنکشن کے طور پر پیمائش کرتے ہیں۔ بنیادی طور پر، اسکیلنگ ایکسپوینٹس کو نظام کے پیمانے سے آزاد ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ خاص طور پر، ڈی ایف اے دوسرے لمحے کے اتار چڑھاؤ کے اسکیلنگ رویے کی پیمائش کرتا ہے۔ Kantelhard et al. اس اسکیلنگ ایکسپونینٹ کا مقصد کلاسیکی ہرسٹ ایکسپونینٹ کی عمومی شکل کے طور پر تھا۔ کلاسیکی ہرسٹ ایکسپونینٹ اسٹیشنری معاملات اور غیر اسٹیشنری معاملات کے لیے مطابقت رکھتا ہے۔ ڈی ایف اے طریقہ بہت سے نظاموں پر لاگو کیا گیا ہے، مثال کے طور پر۔ ڈی این اے کے سلسلے، نیورونل ارتعاش، اسپیچ پیتھولوجی کا پتہ لگانا، نیند کے مختلف مراحل میں دل کی دھڑکن میں اتار چڑھاؤ، اور جانوروں کے طرز عمل کا تجزیہ۔ ڈی ایف اے پر رجحانات کے اثرات کا مطالعہ کیا گیا ہے۔ دیگر طریقوں سے تعلقات، مخصوص قسم کے اشاروں کے لیے طاقت کے قانون کو ختم کرنے والے خود ارتباط کے ساتھ اشاروں کے لیے طاقت کے قانون کو ختم کرنے والے خود ارتباط کی صورت میں، ارتباط فنکشن ایک ایکسپوینٹ کے ساتھ ختم ہو جاتا ہے: اس کے علاوہ پاور سپیکٹرم اس طرح ختم ہو جاتا ہے۔ تینوں متغیرات کا تعلق: اور سے ہے۔ تعلقات کو وینر-کھنچن تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ پاور سپیکٹرم طریقہ کار سے ڈی ایف اے کے تعلق کا اچھی طرح سے مطالعہ کیا گیا ہے۔ اس طرح، پاور سپیکٹرم کی ڈھلوان سے جڑا ہوا ہے اور اس رشتے کے ذریعے شور کے رنگ کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے: فریکشنل گوسی شور کے لیے فریکشنل گوسی شور (ایف جی این) کے لیے، ہمارے پاس ہے، اور اس طرح، اور، ہارسٹ ایکسپونینٹ کہاں ہے۔ ایف جی این کے لیے برابر ہے۔ فریکشنل براؤنین موشن (ایف بی ایم) کے لیے، ہمارے پاس ہے، اور اس طرح، اور، ہارسٹ ایکسپونینٹ کہاں ہے۔ ایف بی ایم کے لیے برابر ہے۔ اس تناظر میں، ایف بی ایم مجموعی رقم یا ایف جی این کا لازمی حصہ ہے، اس طرح، ان کے پاور سپیکٹرے کے متغیرات 2 سے مختلف ہوتے ہیں۔ ملٹی فریکٹل سسٹم سیلف آرگنائزڈ کریٹیلٹی سیلف افیینٹی ٹائم سیریز تجزیہ ہارسٹ ایکسپونینٹ حوالہ جات بیرونی لنکس ٹیوٹوریل دیکھیں کہ نیورو فزیولوجیکل بائیو مارکر ٹول باکس کا استعمال کرتے ہوئے میٹ لیب میں ڈیٹرینڈڈ اتار چڑھاؤ کے تجزیے کا حساب کیسے لگایا جائے۔ بہت بڑے ڈیٹا سیٹس پر ڈی ایف اے اسکیلنگ ایکسپونینٹ کا تیزی سے حساب لگانے کے لیے فاسٹ ڈی ایف اے میٹ لیب کوڈ۔ فزیونٹ اس کا حساب لگانے کے لیے ڈی ایف اے اور سی کوڈ کا ایک اچھا جائزہ۔ ایم ایف ڈی ایف اے ازگر کا نفاذ (ملٹی فریکٹل) ڈیٹرینڈڈ فلوٹیشن تجزیہ۔ آٹوکوریلیشن فریکٹلز