Tangential and normal components
ریاضی میں، ایک وکر پر ایک نقطہ پر ایک ویکٹر دیا گیا ہے، اس ویکٹر کو دو ویکٹروں کے مجموعے کے طور پر منفرد طور پر تحلیل کیا جا سکتا ہے، ایک وکر سے متصل، جسے ویکٹر کا ٹینجینشل جزو کہا جاتا ہے، اور دوسرا وکر سے عمودی، جسے ویکٹر کا نارمل جزو کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، سطح پر ایک نقطہ پر ایک ویکٹر کو اسی طرح توڑا جا سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کئی گنا M کا سب میانی فولڈ N، اور N کے ایک نقطہ پر M کے لیے ٹینجینٹ اسپیس میں ایک ویکٹر کو دیکھتے ہوئے، اسے N کے لیے ٹینجینٹ جزو اور N کے لیے نارمل جزو میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ رسمی تعریف سطح مزید رسمی طور پر، ایک سطح ہونے دیں، اور سطح پر ایک نقطہ بنیں۔ اس کے بعد کوئی بھی منفرد طور پر ایک مجموعہ کے طور پر لکھ سکتا ہے جہاں مجموعہ میں پہلا ویکٹر ٹینجینشیل جزو ہوتا ہے اور دوسرا عام جزو ہوتا ہے۔ یہ فوری طور پر ہوتا ہے کہ یہ دونوں ویکٹر ایک دوسرے کے لیے عمودی ہیں۔ ٹینجینشیل اور نارمل اجزاء کا حساب لگانے کے لیے، سطح پر ایک یونٹ نارمل پر غور کریں، یعنی تھین پر پرپینڈکولر یونٹ ویکٹر، اور اس طرح جہاں "" ڈاٹ پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ ٹینجینشیل جزو کے لیے ایک اور فارمولا یہ ہے کہ جہاں "" کراس پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ فارمولے استعمال شدہ مخصوص یونٹ نارمل پر منحصر نہیں ہوتے ہیں (کسی دیئے گئے مقام پر کسی بھی سطح پر دو یونٹ نارمل موجود ہوتے ہیں، جو مخالف سمتوں کی طرف اشارہ کرتے ہیں، لہذا یونٹ نارمل میں سے ایک دوسرے کا منفی ہوتا ہے)۔ مزید عام طور پر، کئی گنا M کے ذیلی نقاط N اور ایک نقطہ کو دیکھتے ہوئے، ہمیں ایک مختصر عین مطابق ترتیب ملتی ہے جس میں ٹینجینٹ خالی جگہیں شامل ہوتی ہیں: حصص کی جگہ عام ویکٹروں کی ایک عمومی جگہ ہے۔ اگر M ایک ریمینیئن کئی گنا ہے، تو مندرجہ بالا ترتیب تقسیم ہو جاتی ہے، اور p پر M کی ٹینجینٹ اسپیس N کے جزو ٹینجینٹ اور N کے لیے نارمل جزو کے براہ راست مجموعہ کے طور پر تحلیل ہو جاتی ہے: اس طرح ہر ٹینجینٹ ویکٹر کہاں اور کے طور پر تقسیم ہو جاتا ہے۔ حسابات فرض کریں کہ N غیر انحطاطی مساوات کے ذریعے دیا گیا ہے۔ اگر N کو واضح طور پر پیرامیٹرک مساوات (جیسے پیرامیٹرک وکر) کے ذریعے دیا جاتا ہے، تو مشتق ٹینجینٹ بنڈل کے لیے ایک اسپاننگ سیٹ دیتا ہے (یہ ایک بنیاد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پیرامیٹریزیشن ایک وسرجن ہو)۔ اگر N کو مضمر طور پر (جیسا کہ کسی سطح کی مذکورہ بالا وضاحت میں، (یا زیادہ عام طور پر) ایک ہائپر سرفیس کے طور پر) ایک سطح کے سیٹ یا سطح کی سطحوں کے چوراہے کے طور پر دیا جاتا ہے، تو اس کے میلان کے میلان عام جگہ کو پھیلاتے ہیں۔ دونوں صورتوں میں، ہم ڈاٹ پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ حساب لگا سکتے ہیں ؛ تاہم کراس پروڈکٹ 3 جہتوں کے لیے خاص ہے۔ ایپلی کیشنز لگرینج ملٹی پلیئرز: محدود اہم نکات وہ ہوتے ہیں جہاں کل مشتق کا ٹینجینشیل جزو غائب ہو جاتا ہے۔ سرفیس نارمل فرینیٹ-سیرٹ فارمولے حوالہ جات تفریقی جیومیٹری