Convolution of probability distributions
امکان کی تقسیم کا ارتقاء/مجموعہ امکان کے نظریہ اور اعداد و شمار میں امکان کی تقسیم کے لحاظ سے عمل کے طور پر پیدا ہوتا ہے جو آزاد بے ترتیب متغیرات کے اضافے سے مطابقت رکھتا ہے اور توسیع کے ذریعے بے ترتیب متغیرات کے لکیری امتزاج کی تشکیل کرتا ہے۔ امکان کی تقسیم کے تناظر میں یہاں آپریشن ارتقاء کا ایک خاص معاملہ ہے۔ تعارف دو یا دو سے زیادہ آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی امکانات کی تقسیم ان کی انفرادی تقسیم کا ارتقاء ہے۔ یہ اصطلاح اس حقیقت سے متاثر ہوتی ہے کہ آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کا امکان بڑے پیمانے پر فنکشن یا امکان کثافت فنکشن بالترتیب ان کے متعلقہ امکان بڑے پیمانے پر افعال یا امکان کثافت افعال کا ارتقاء ہے۔ بہت سی معروف تقسیموں میں سادہ ارتکاز ہوتے ہیں: امکانات کی تقسیم کے ارتکاز کی فہرست دیکھیں دو آزاد انٹیجر ویلیوڈ (اور اس وجہ سے مجرد) بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی تقسیم کا عمومی فارمولا ہے۔ بالترتیب امکانات کی کثافت کے افعال (پی ڈی ایف) اور مجموعی تقسیم کے افعال (سی ڈی ایف) کے ساتھ آزاد، مسلسل بے ترتیب متغیرات کے لیے، ہمارے پاس یہ ہے کہ رقم کا سی ڈی ایف یہ ہے: اگر ہم بے ترتیب متغیرات سے شروع کرتے ہیں اور، ان سے متعلق، اور ان کی ممکنہ آزادی کے بارے میں کوئی معلومات نہیں رکھتے ہیں، تو: تاہم، اگر اور آزاد ہیں، تو: اور یہ فارمولا امکانات کی تقسیم کا ارتکاز بن جاتا ہے: مثال مشتق امکانات کی تقسیم کے ارتکاز کے لیے فارمولے حاصل کرنے کے کئی طریقے ہیں۔ اکثر انٹیگرلز کی ہیرا پھیری سے کسی قسم کے جنریٹنگ فنکشن کے استعمال سے بچا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے طریقے نتیجے میں ہونے والی تقسیم کی خصوصیات حاصل کرنے میں بھی مفید ثابت ہو سکتے ہیں، جیسے لمحات، چاہے تقسیم کے لیے کوئی واضح فارمولا ہی اخذ نہ کیا جا سکے۔ سیدھی سیدھی تکنیکوں میں سے ایک خصوصیت والے افعال کا استعمال کرنا ہے، جو ہمیشہ موجود ہوتے ہیں اور کسی دی گئی تقسیم کے لیے منفرد ہوتے ہیں۔ برنولی تقسیم کا ارتقاء دو آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ برنولی بے ترتیب متغیرات کا ارتقاء ایک بائنومیل بے ترتیب متغیر ہے۔ نیز، Z کو ایک عام بائنومیل بے ترتیب متغیر کی نشاندہی کرنے دیں: امکانات کے بڑے پیمانے پر افعال کا استعمال کرتے ہوئے جیسا کہ آزاد ہیں، یہاں، ہم نے اس حقیقت کو استعمال کیا کہ k> n کے لیے آخری لیکن تین مساوات میں، اور پاسکل کے اصول کی دوسری آخری مساوات میں۔ خصوصیت کے افعال کا استعمال کرنا ہر ایک اور کی خصوصیت کا فنکشن وہ ہے جہاں t صفر کے کسی پڑوس میں ہوتا ہے۔ پروڈکٹ کی توقع توقعات کی پیداوار ہے کیونکہ ہر ایک آزاد ہے۔ چونکہ اور ایک ہی خصوصیت کا کام ہے، اس لیے ان کی تقسیم ایک جیسی ہونی چاہیے۔ امکانات کی تقسیم کے ارتقاء کی فہرست بھی دیکھیں حوالہ جات امکان کی تقسیم کا نظریہ