Harish-Chandra's c-function
ریاضی میں، ہریش-چندر کا سی-فنکشن دو پرنسپل سیریز کی نمائندگی کے درمیان باہم جڑنے والے آپریٹر سے متعلق ایک فنکشن ہے، جو نیم سادہ لائ گروپوں کے لیے پلانچریل پیمائش میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس نے ایک خاص کیس متعارف کرایا جس کی وضاحت ایک لائ گروپ کے زونل کروی فنکشن کے غیر علامتی رویے کے لحاظ سے کی گئی ہے، اور ایک زیادہ عام سی فنکشن متعارف کرایا جسے ہریش چندر کا (عمومی) سی فنکشن کہا جاتا ہے۔ گندیکن-کارپیلویچ فارمولا متعارف کرایا، جو ہریش-چندر کے سی-فنکشن کے لیے ایک پروڈکٹ فارمولا ہے۔ Gindikin-Karpelevich فارمولا سی-فنکشن میں ویل گروپ کے عنصر ڈبلیو کے لحاظ سے ایک عمومی cw (λ) ہے۔ سب سے بڑی لمبائی s0 کا منفرد عنصر، وہ منفرد عنصر ہے جو ویل چیمبر کو اوپر لے جاتا ہے۔ ہریش-چندر کے انٹیگرل فارمولے کے مطابق، سی ایس 0 ہریش-چندر کا سی فنکشن ہے: سی فنکشن کی تعریف عام طور پر اس مساوات سے کی جاتی ہے جہاں ایل 2 (کے/ایم) میں مستقل فنکشن 1 ہے۔ انٹرٹائننگ آپریٹرز کی کوکیکل پراپرٹی سی فنکشنز کے لیے اسی طرح کی ضرب کی خاصیت کا اشارہ کرتی ہے: بشرطیکہ یہ سی ایس کی گنتی کو اس صورت میں کم کر دیتا ہے جب s = sα، ایک (سادہ) جڑ α میں عکاسی، جس کی نام نہاد "رینک ون کمی" ہے۔ در حقیقت انٹیگرل میں صرف بند منسلک ذیلی گروپ Gα شامل ہوتا ہے جو کہ لائ ذیلی الجبرا سے مطابقت رکھتا ہے جہاں α، σ0 + میں ہوتا ہے۔ پھر Gα ایک حقیقی نیم سادہ جھوٹ گروپ ہے جس کا حقیقی درجہ ایک ہے، یعنی۔ ڈم Aα = 1، اور cs صرف Gα کا ہریش-چندر c-فنکشن ہے۔ اس صورت میں سی-فنکشن کا براہ راست حساب لگایا جا سکتا ہے اور اسے کہاں اور α0 = α/α، α کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ c (λ) کے لیے عمومی Gindikin-Karpelevich فارمولا اس فارمولے اور cs (λ) کی ضرب کی خصوصیات کا فوری نتیجہ ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: جہاں مستقل c0 کا انتخاب کیا جاتا ہے تاکہ c (-iρ) = 1 ہو۔ پلانچریل پیمائش سی فنکشن گول افعال کے لیے پلانچریل تھیوریم میں ظاہر ہوتا ہے، اور پلانچریل پیمائش 1/سی 2 گنا لیبسگ پیمائش ہے۔ پی-ایڈک لائ گروپس پی-ایڈک لائ گروپس کے لیے اسی طرح کا سی-فنکشن ہے۔ اور پی-اڈک لائ گروپ کے سی-فنکشن کے لیے ایک یکساں پروڈکٹ فارمولا پایا۔ حوالہ جات جھوٹے گروہ