Coxeter notation
جیومیٹری میں، کاکسٹر نوٹیشن (کاکسٹر علامت بھی) سمیٹری گروپوں کی درجہ بندی کرنے کا ایک نظام ہے، جو کاکسٹر گروپ کے بنیادی عکاسی کے درمیان زاویوں کو ایک بریکٹڈ نوٹیشن میں بیان کرتا ہے جو کاکسٹر-ڈینکن خاکہ کی ساخت کا اظہار کرتا ہے، جس میں کچھ ذیلی گروپوں کی نشاندہی کرنے کے لیے ترمیمات ہوتے ہیں۔ اس اشارے کا نام ایچ ایس ایم کاکسٹر کے نام پر رکھا گیا ہے، اور اس کی زیادہ جامع وضاحت نارمن جانسن نے کی ہے۔ عکاسی کرنے والے گروپ کاکسٹر گروپوں کے لیے، جو خالص عکاسی سے متعین ہوتے ہیں، بریکٹ کے اشارے اور کاکسٹر-ڈینکن خاکہ کے درمیان براہ راست خط و کتابت ہوتا ہے۔ بریکٹ کے اشارے میں موجود اعداد کاکسٹر خاکہ کی شاخوں میں آئینے کے عکاسی کے احکامات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ یہ اسی آسان کاری کا استعمال کرتا ہے، آرتھوگنل آئینوں کے درمیان 2s کو دباتا ہے۔ لکیری خاکہ کے لیے قطار میں شاخوں کی تعداد کی نمائندگی کرنے کے لیے کاکسٹر نوٹیشن کو ایکسپوینٹس کے ساتھ آسان بنایا گیا ہے۔ لہذا این گروپ کی نمائندگی [3n−1] کے ذریعہ کی جاتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ n نوڈس جو n−1 آرڈر-3 شاخوں سے جڑے ہوئے ہیں۔ مثال A2 = [3,3] = [32] یا [31,1] خاکے کی نمائندگی کرتا ہے یا۔ کاکسٹر نے ابتدائی طور پر اعداد کی عمودی پوزیشننگ کے ساتھ بفرکیٹنگ ڈایگرامز کی نمائندگی کی، لیکن بعد میں [., 3p, q] یا [3p, q, r] جیسے ایک ایکسپوینٹ نوٹیشن کے ساتھ مختصر کیا، جس کا آغاز [31,1,1] یا [3,31,1] = یا D4 کے طور پر ہوتا ہے۔ کاکسٹر نے ایک خاندان کو فٹ کرنے کے لیے خاص صورتوں کے طور پر صفر کی اجازت دی، جیسے A3 = [3,3,3، 3] = [[34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2]، جیسے = =۔ چکور خاکے سے بننے والے کاکسٹر گروپوں کی نمائندگی بریکٹ کے اندر قوسین کے ذریعے کی جاتی ہے، جیسے [(p, q, r)] = مثلث گروپ (p q r) کے لیے۔ اگر برانچ آرڈر برابر ہیں، تو انہیں ایک ایکسپوینٹ کے طور پر بریکٹ میں سائیکل کی لمبائی کے طور پر گروپ کیا جا سکتا ہے، جیسے [(3,3,3، 3)] = [3 [4]، جو کاکسٹر خاکہ کی نمائندگی کرتا ہے یا۔ اس کی نمائندگی [3، (3,3,3)] یا [3,3 [3] کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ زیادہ پیچیدہ لوپنگ خاکے بھی احتیاط کے ساتھ ظاہر کیے جا سکتے ہیں۔ پیرا کامپیکٹ کاکسٹر گروپ کی نمائندگی کاکسٹر نوٹیشن [(3,3, (3), 3,3)] کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جس میں نیسٹڈ/اوور لیپنگ قوسین دو ملحقہ [(3,3,3)] لوپس دکھاتے ہیں، اور اسے زیادہ کمپیکٹ طور پر [3 [] × [] کے طور پر بھی دکھایا جاتا ہے، جو کاکسٹر خاکہ کی رومبک سمیٹری کی نمائندگی کرتا ہے۔ پیرا کامپیکٹ مکمل گراف خاکہ یا، کو اس کے باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون کاکسٹر خاکہ کی ہم آہنگی کے طور پر سپر اسکرپٹ [3,3] کے ساتھ [3 [3,3]] کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ افائن اور ہائپربولک گروپوں کے لیے، سبسکرپٹ ہر معاملے میں نوڈس کی تعداد سے ایک کم ہے، کیونکہ ان میں سے ہر گروپ کو ایک محدود گروپ کے خاکہ میں نوڈ شامل کرکے حاصل کیا گیا تھا۔ غیر منسلک گروپ کاکسٹر خاکہ عام طور پر آرڈر-2 شاخوں کو غیر منقطع چھوڑ دیتا ہے، لیکن بریکٹ کے اشارے میں ذیلی گراف کو جوڑنے کے لیے ایک واضح 2 شامل ہوتا ہے۔ لہذا کاکسٹر خاکہ = A2 × A2 = 2A2 کی نمائندگی [3] × [3] = [3] 2 = [3,2,3] سے کی جا سکتی ہے۔ بعض اوقات واضح 2 شاخوں کو یا تو 2 لیبل کے ساتھ، یا وقفے والی لائن کے ساتھ شامل کیا جا سکتا ہے: یا، [3,2,3] کی طرح ایک جیسی پیشکش کے طور پر۔ رینک اور طول و عرض کاکسٹر پوائنٹ گروپ رینک نوڈس کی تعداد کے برابر ہے جو طول و عرض کے برابر بھی ہے۔ ایک واحد آئینہ 1 جہت میں موجود ہے، []، جبکہ 2 جہتوں میں [1]، یا [] × [] +۔ 1 ایک پلیس ہولڈر ہے، اصل برانچ آرڈر نہیں، بلکہ آرتھوگنل غیر فعال آئینے کے لیے ایک مارکر ہے۔ نوٹیشن [n، 1]، رینک 3 گروپ کی نمائندگی کرتا ہے، جیسا کہ [n] × [] + یا۔ اسی طرح، [1,1] جیسا کہ [] × [] + × [] + یا ترتیب 2 اور [1,1] + جیسا کہ [] + × [] + × [] + یا، ترتیب 1! ذیلی گروپ کاکسٹر کا اشارہ بریکٹ کے باہر ایک + سپر اسکرپٹ آپریٹر [X] + شامل کرکے گردش/ترجمہ کی ہم آہنگی کی نمائندگی کرتا ہے، جو گروپ [X] کی ترتیب کو نصف میں کاٹتا ہے، اس طرح ایک انڈیکس 2 ذیلی گروپ ہے۔ اس آپریٹر کا مطلب ہے کہ گردشوں (یا ترجمے) کے ساتھ عکاسی کو تبدیل کرتے ہوئے آپریٹرز کی یکساں تعداد کا اطلاق کرنا ضروری ہے۔ جب کاکسٹر گروپ پر لاگو کیا جاتا ہے، تو اسے براہ راست ذیلی گروپ کہا جاتا ہے کیونکہ جو باقی رہتا ہے وہ صرف براہ راست آئسومیٹریز ہوتے ہیں جن میں عکاسی کرنے والی ہم آہنگی نہیں ہوتی ہے۔ + آپریٹرز کو بریکٹ کے اندر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے، جیسے [X، Y +] یا [X، (Y، Z) +]، اور "سیمی ڈائریکٹ" ذیلی گروپ بناتے ہیں جن میں عکاس اور غیر عکاس جنریٹر دونوں شامل ہو سکتے ہیں۔ سیمی ڈائریکٹ ذیلی گروہ صرف کاکسٹر گروپ کے ذیلی گروپوں پر لاگو ہو سکتے ہیں جن کی شاخیں بھی اس سے ملحقہ ہوتی ہیں۔ کاکسٹر گروپ کے اندر قوسین کے ذریعے عناصر کو + سپر اسکرپٹ آپریٹر دیا جا سکتا ہے، جو ملحقہ ترتیب شدہ شاخوں کو نصف ترتیب میں تقسیم کرنے کا اثر رکھتا ہے، اس طرح عام طور پر صرف یکساں نمبروں کے ساتھ لاگو ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، [4,3 +] اور [4، (3,3) +] ()۔ اگر ملحقہ عجیب شاخ کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے، تو یہ انڈیکس 2 کا ذیلی گروپ نہیں بناتا ہے، بلکہ اس کے بجائے اوور لیپنگ بنیادی ڈومینز بناتا ہے، جیسے [5,1 +] = [5/2]، جو دوگنا لپٹے ہوئے کثیر الاضلاعات کی وضاحت کر سکتا ہے جیسے کہ پینٹاگرام، {5/2}، اور [5,3 +] کا تعلق شوارز مثلث [5/2,3]، کثافت 2 سے ہے۔ ہمسایہ + عناصر کے بغیر گروپس کو رنگڈ نوڈس میں دیکھا جا سکتا ہے۔ یکساں پولی ٹاپس کے لیے کاکسٹر-ڈینکن خاکہ اور ہنی کومب + عناصر کے ارد گرد ہول نوڈس سے متعلق ہیں، خالی حلقے جن میں متبادل نوڈس کو ہٹا دیا گیا ہے۔ لہذا سنب کیوب میں ہم آہنگی [4,3] + () ہے، اور سنب ٹیٹراہیڈرون میں ہم آہنگی [4,3 +] () ہے، اور ایک ڈیمی کیوب، h {4,3} = {3,3} (یا =) میں ہم آہنگی [1 +، 4,3] = [3,3] (یا = =) ہے۔ نوٹ: پیریٹوہیڈرل سمیٹری کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، وضاحت کے لیے خلا کے ساتھ گراف کو الگ کرتے ہوئے، کاکسٹر گروپ سے جنریٹرز {0,1,2} کے ساتھ، پیریٹوہیڈرل جنریٹرز {0,12}، ایک عکاسی اور 3 گنا گردش پیدا کرتے ہیں۔ اور چیرل ٹیٹراہیڈرل سمیٹری کو یا، [1 +، 4,3 +] = [3,3] +، جنریٹرز {12,0120} کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ ذیلی گروپوں اور توسیعی گروپوں کو آدھا کرنا جانسن + آپریٹر کو پلیس ہولڈر 1 + نوڈس کے ساتھ کام کرنے کے لیے بڑھاتا ہے، جو آئینے کو ہٹا دیتا ہے، بنیادی ڈومین کے سائز کو دوگنا کرتا ہے اور گروپ آرڈر کو آدھے میں کاٹ دیتا ہے۔ عام طور پر یہ عمل صرف انفرادی آئینوں پر لاگو ہوتا ہے جو یکساں ترتیب کی شاخوں سے جڑے ہوتے ہیں۔ 1 ایک آئینے کی نمائندگی کرتا ہے لہذا [2p] کو [2p، 1]، [1,2p]، یا [1,2p، 1] کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جیسے خاکہ یا، 2 آئینے کے ساتھ جو آرڈر-2p ڈائیڈرل زاویے سے متعلق ہیں۔ آئینے کو ہٹانے کا اثر منسلک نوڈس کی نقل کرنا ہے، جو کاکسٹر خاکے میں دیکھا جا سکتا ہے: =، یا بریکٹ کے اشارے میں: [1 +, 2p, 1] = [1, p, 1] = [p]۔ ان آئینوں میں سے ہر ایک کو ہٹا دیا جا سکتا ہے لہذا h [2p] = [1 +, 2p, 1] = [1,2p, 1 +] = [p]، ایک عکاس ذیلی گروپ انڈیکس 2۔ اسے کاکسٹر خاکہ میں نوڈ کے اوپر + علامت شامل کر کے دکھایا جا سکتا ہے: = =۔ اگر دونوں آئینے ہٹا دیے جاتے ہیں، تو ایک چوتھائی ذیلی گروپ تیار ہوتا ہے، جس میں برانچ آرڈر نصف آرڈر کا جریشن پوائنٹ بن جاتا ہے: q [2p] = [1 +, 2p, 1 +] = [p] +، انڈیکس 4 کا ایک گردش ذیلی گروپ۔ = = = = =۔ مثال کے طور پر، (p = 2 کے ساتھ): [4,1 +] = [1 +، 4] = [2] = [] × []، ترتیب 4۔ [1 +، 4,1 +] = [2] +، آرڈر 2۔ ہافونگ کے برعکس ڈبلنگ ہے جو آئینے کا اضافہ کرتا ہے، ایک بنیادی ڈومین کو دو حصوں میں تقسیم کرتا ہے، اور گروپ آرڈر کو دوگنا کرتا ہے۔ = [2p] نصف کارروائیاں اعلی درجے کے گروپوں کے لیے لاگو ہوتی ہیں، جیسے ٹیٹراہیڈرل سمیٹری آکٹاڈرل گروپ کا ایک نصف گروپ ہے: h [4,3] = [1 +, 4,3] = [3,3]، 4 شاخ پر آدھے آئینے کو ہٹاتا ہے۔ آئینے کو ہٹانے کا اثر تمام منسلک نوڈس کو نقل کرنا ہے، جو کہ کاکسٹر خاکے میں دیکھا جا سکتا ہے: =، h [2p, 3] = [1 +, 2p, 3] = [(p, 3,3)]۔ اگر نوڈس کو انڈیکس کیا جاتا ہے، تو آدھے ذیلی گروپوں کو کمپوزائٹس کے طور پر نئے آئینے کے ساتھ لیبل کیا جا سکتا ہے۔ جیسے، جنریٹرز {0,1} میں ذیلی گروپ =، جنریٹرز {1,010} ہوتے ہیں، جہاں آئینے 0 کو ہٹا دیا جاتا ہے، اور آئینے 1 کی ایک کاپی سے تبدیل کیا جاتا ہے جو آئینے 0 پر جھلکتا ہے۔ یہ بھی دیا گیا ہے، جنریٹر {0,1,2}، اس میں آدھا گروپ =، جنریٹر {1,2,010} ہے۔ آئینے کو شامل کرکے دوگنا کرنا آدھے عمل کو الٹنے میں بھی لاگو ہوتا ہے: = [4,3]، یا زیادہ عام طور پر = [2p, q]۔ ریڈیکل ذیلی گروپس جانسن نے "ریڈیکل" ذیلی گروپس کے لیے ایک ستارے یا اسٹار * آپریٹر کو بھی شامل کیا، جو + آپریٹر کی طرح کام کرتا ہے، لیکن گردشی ہم آہنگی کو دور کرتا ہے۔ ریڈیکل ذیلی گروپ کا اشاریہ ہٹائے گئے عنصر کی ترتیب ہے۔ مثال کے طور پر، [4,3 *] [2,2]۔ ہٹایا گیا [3] ذیلی گروپ آرڈر 6 ہے لہذا [2,2] [4,3] کا انڈیکس 6 ذیلی گروپ ہے۔ ریڈیکل ذیلی گروہ ایک توسیعی سمیٹری آپریشن کے الٹا عمل کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، [4,3 *] [2,2]، اور اس کے برعکس [2,2] کو [3 [2,2] [4,3] کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ ذیلی گروپوں کو کاکسٹر خاکہ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: یا۔ ہٹایا ہوا نوڈ (آئینہ) ملحقہ آئینے کے ورچوئل آئینے کو حقیقی آئینے بننے کا سبب بنتا ہے۔ اگر [4,3] کے پاس جنریٹر ہیں {0,1,2}، [4,3 +]، انڈیکس 2 میں جنریٹر ہیں {0,12} ؛ [1 +, 4,3] [3,3]، انڈیکس 2 میں جنریٹر ہیں [010,1,2} ؛ جبکہ ریڈیکل ذیلی گروپ [4,3 *] [2,2]، انڈیکس 6 میں جنریٹر ہیں {01210,2, (012) 3} ؛ اور آخر میں [1 +, 4,3 *]، انڈیکس 12 میں جنریٹر ہیں {0 (12) 20, (012) 201}۔ ٹریونک ذیلی گروہ ایک ٹریونک ذیلی گروپ ایک انڈیکس 3 ذیلی گروپ ہے۔ جانسن آپریٹر، انڈیکس 3 کے ساتھ ایک سہ رخی ذیلی گروپ کی وضاحت کرتا ہے۔ رینک 2 کاکسٹر گروپوں کے لیے، [3]، ٹریونک ذیلی گروپ، [3] ایک واحد آئینہ ہے۔ اور [3p] کے لیے، سہ رخی ذیلی گروہ [3p] [p] ہے۔ دی گئی ہے، جنریٹرز {0,1} کے ساتھ، 3 ٹریونک ذیلی گروہ ہیں۔ انہیں ہٹائے جانے والے آئینے کے جنریٹر کے ساتھ علامت ڈال کر، یا دونوں کے لیے ایک شاخ پر رکھ کر فرق کیا جا سکتا ہے: [3p, 1] = =، =، اور [3p] = = جنریٹرز کے ساتھ {0,10101}، {01010,1}، یا {101,010}۔ ٹیٹراہیڈرل سمیٹری کے ٹریونک ذیلی گروپس: [3,3] [2 +, 4]، جو باقاعدہ ٹیٹراہیڈرون اور ٹیٹراگونل ڈسپینائڈ کی سمیٹری سے متعلق ہیں۔ رینک 3 کاکسٹر گروپوں کے لیے، [p, 3]، ایک سہ رخی ذیلی گروپ [p, 3] [p/2, p]، یا = ہے۔ مثال کے طور پر، محدود گروہ [4,3] [2,4]، اور یوکلیڈین گروہ [6,3] [3,6]، اور ہائپربولک گروپ [8,3] [4,8]۔ ایک عجیب ترتیب والی ملحقہ شاخ، پی، گروپ آرڈر کو کم نہیں کرے گی، بلکہ اوور لیپنگ بنیادی ڈومینز بنائے گی۔ گروپ آرڈر یکساں رہتا ہے، جبکہ کثافت میں اضافہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، باقاعدہ پولی ہیڈرا آئکوساہیڈرون کی آئکوساہیڈرل سمیٹری، [5,3]، [5/2,5] بن جاتی ہے، جو 2 باقاعدہ اسٹار پولی ہیڈرا کی سمیٹری ہے۔ یہ ہائپربولک ٹائلنگز {p, 3}، اور اسٹار ہائپربولک ٹائلنگز {p/2, p} سے بھی متعلق ہے۔ رینک 4 کے لیے، [q, 2p, 3] = [2p, ((p, q, q))]، =۔ مثال کے طور پر، [3,4,3] = [4,3,3]، یا =، جنریٹر [0,1,2، 3} [3,4,3] میں ٹریونک ذیلی گروپ [4,3,3] جنریٹر {0,1,2، 32123} کے ساتھ۔ ہائپربولک گروپوں کے لیے، [3,6,3] = [6,3 [3]، اور [4,4,3] = [4,4,4]۔ جانسن نے [3,3] کے دو مخصوص ٹریونک ذیلی گروپوں کی نشاندہی کی، پہلے ایک انڈیکس 3 ذیلی گروپ [3,3] [2 +, 4]، [3,3] (= =) جنریٹرز {0,1,2} کے ساتھ۔ اسے اس کے جنریٹرز {02,1} کی یاد دہانی کے طور پر [(3,3,2)] () کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ یہ ہم آہنگی میں کمی باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون اور ٹیٹراگونل ڈسپینائڈ کے درمیان تعلق ہے، جو دو مخالف کناروں پر عمودی طور پر ٹیٹرا ہیڈرون کے پھیلاؤ کی نمائندگی کرتا ہے۔ دوم وہ ایک متعلقہ انڈیکس 6 ذیلی گروپ [3,3] Δ یا [(3,3,2] + ()، انڈیکس 3 کو [3,3] + [2,2] + سے، جنریٹرز {02,102} کے ساتھ، [3,3] اور اس کے جنریٹرز {0,1,2} سے شناخت کرتا ہے۔ یہ ذیلی گروہ بڑے کاکسٹر گروپوں کے اندر بھی لاگو ہوتے ہیں [3,3] ذیلی گروپ کے ساتھ پڑوسی شاخیں تمام یکساں ترتیب میں۔] مثال کے طور پر، [(3,3) +, 4]، [(3,3)]، 4]، اور [(3,3), 4] بالترتیب [3,3,4]، انڈیکس 2، 3 اور 6 کے ذیلی گروہ ہیں۔ [(3,3)، 4] کے جنریٹر [8,2 +، 8]، آرڈر 128، [3,3,4] جنریٹرز {0,1,2، 3} سے ہیں۔ اور [(3,3)، 4]، آرڈر 64، میں جنریٹر {02,1021,3} ہیں۔ نیز، [3]، 4,3] [(3,3)، 4]۔ اس کے علاوہ متعلقہ [31,1,1] = [3,3,4، 1 +] میں سہ رخی ذیلی گروہ ہیں: [31,1,1] ′ = [(3,3) ′، 4,1 +]، ترتیب 64، اور 1 = [31,1,1] ′ = [(3,3) ′، 4,1 +] ′ [[4,2 +, 4]] +، ترتیب 32۔ مرکزی الٹ ایک مرکزی الٹ، ترتیب 2، جہت کے لحاظ سے عملی طور پر مختلف ہے۔ گروپ [] n = [2n−1] n جہتی جگہ میں n آرتھوگنل آئینے، یا اعلی جہتی جگہ کے n فلیٹ سب اسپیس کی نمائندگی کرتا ہے۔ گروپ [2n−1] کے آئینے نمبر والے ہیں۔ الٹ کے معاملے میں آئینے کی ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا۔ مرکزی الٹ کا میٹرکس، آئڈینٹیٹی میٹرکس ہے جس کے اخترن پر منفی میٹرکس ہوتا ہے۔ اس بنیاد سے، مرکزی الٹ میں تمام آرتھوگنل آئینوں کی پیداوار کے طور پر ایک جنریٹر ہوتا ہے۔ کاکسٹر نوٹیشن میں اس الٹ گروپ کا اظہار ہر 2 شاخوں میں ایک متبادل + شامل کرکے کیا جاتا ہے۔ متبادل سمیٹری کو کاکسٹر ڈائیگرام نوڈس پر کھلے نوڈس کے طور پر نشان زد کیا جاتا ہے۔ ایک کاکسٹر-ڈینکن خاکہ کو واضح 2 شاخوں کے ساتھ نشان زد کیا جا سکتا ہے جو عکاسی جنریٹرز کی زنجیر کو ظاہر کرنے کے لیے آئینے، اوپن نوڈس، اور مشترکہ ڈبل اوپن نوڈس کی لکیری ترتیب کی وضاحت کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، [2 +, 2] اور [2,2 +] [2,2] کے ذیلی گروپ انڈیکس 2 ہیں، اور جنریٹرز {1,2} اور {0,12} کے ساتھ بالترتیب (یا) اور (یا) کے طور پر پیش کیے جاتے ہیں۔ ان کا مشترکہ ذیلی گروپ انڈیکس 4 [2 +، 2 +] ہے، اور اس کی نمائندگی (یا) کے ذریعہ کی جاتی ہے، جس میں ڈبل اوپن دو متبادلات میں مشترکہ نوڈ کو نشان زد کرتا ہے، اور ایک واحد روٹر ریفلیکشن جنریٹر {012}۔ گردش اور روٹری عکاسی گردش اور روٹری عکاسی ایک پریسمٹک گروپ کے تمام عکاسی کے ایک واحد جنریٹر پروڈکٹ کے ذریعہ تعمیر کی جاتی ہیں، [2p] × [2q] × جہاں gcd (p, q,.) = 1، وہ خلاصہ سائیکلک گروپ Zn کے لیے آئسومورفک ہیں، جس کی ترتیب n = 2pq ہے۔ 4 جہتی دوہری گردش، [2p +، 2 +، 2q +] (gcd (p، q) = 1 کے ساتھ)، جس میں ایک مرکزی گروپ شامل ہے، اور کونوے کے ذریعہ ± [Cp × Cq] کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، آرڈر 2pq۔ کاکسٹر خاکہ سے، جنریٹرز {0,1,2، 3}، کو [2p +، 2 +، 2q +] کے لیے دو جنریٹر کی ضرورت ہوتی ہے، جیسا کہ {0123,0132}۔ ہاف گروپس، [2p +، 2 +، 2q +] +، یا سائیکلک گراف، [(2p +، 2 +، 2q +، 2 +)]، کونوے کے ذریعہ ظاہر کیا گیا ہے [Cp × Cq]، آرڈر pq، ایک جنریٹر کے ساتھ، جیسے {0123}۔ اگر کوئی مشترکہ عنصر f ہے، تو ڈبل گردش کو [2pf +، 2 +، 2qf +] (gcd (p, q) = 1 کے ساتھ)، جنریٹر {0123,0132}، آرڈر 2pqf کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، p = q = 1، f = 2، [4 +، 2 +، 4 +] ترتیب 4 ہے۔ اور [2 پی ایف +، 2 +، 2 کیو ایف +] +، جنریٹر {0123}، آرڈر پی کیو ایف ہے۔ مثال کے طور پر، [4 +، 2 +، 4 +] + آرڈر 2 ہے، جو ایک مرکزی الٹ ہے۔ عام طور پر ایک n-گردش گروپ، [2p1 +، 2,2p2 +، 2،.، pn +] کو n جنریٹرز تک کی ضرورت پڑ سکتی ہے اگر gcd (p1،.، pn)> 1، تمام آئینوں کے پروڈکٹ کے طور پر، اور پھر ترتیب وار جوڑوں کو تبدیل کرنا۔ نصف گروپ، [2p1 +، 2,2p2 +، 2،.، pn +] + میں جنریٹر مربع ہوتے ہیں۔ این-روٹری عکاسی اسی طرح کی ہوتی ہیں۔ کمیونیٹر ذیلی گروہ سادہ گروپ جن میں صرف عجیب ترتیب والے برانچ عناصر ہوتے ہیں ان میں آرڈر 2 کا صرف ایک ہی گردش/ترجمہ ذیلی گروپ ہوتا ہے، جو کمیونیٹر ذیلی گروپ بھی ہے، مثال کے طور پر [3,3] +، [3,5] +، [3,3,3] +، [3,3,5] +۔ یکساں ترتیب والی شاخوں والے دوسرے کاکسٹر گروپوں کے لیے، کمیونیٹر ذیلی گروپ میں انڈیکس 2 سی ہوتا ہے، جہاں سی منقطع ذیلی گرافوں کی تعداد ہے جب تمام یکساں ترتیب والی شاخوں کو ہٹا دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب 4s کو ہٹا دیا جاتا ہے تو کاکسٹر خاکہ میں [4,4] کے تین آزاد نوڈس ہوتے ہیں، لہذا اس کا کمیونیٹر ذیلی گروپ انڈیکس 23 ہے، اور اس کی مختلف نمائشیں ہو سکتی ہیں، سبھی تین + آپریٹرز کے ساتھ: [4 +، 4 +] +، [1 +، 4,1 +، 4,1 +]، [1 +، 4,4,1 +] +، یا [(4 +، 4 +، 2 +)]۔ ایک عام اشارے کو + c کے ساتھ بطور گروپ ایکسپوینٹ استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے [4,4] + 3۔ مثال ذیلی گروپ رینک 2 مثال ذیلی گروپ ڈائی ہیڈرل سمیٹری گروپس جن میں یکساں آرڈرز ہوتے ہیں ان میں متعدد ذیلی گروپ ہوتے ہیں۔ یہ مثال سرخ اور سبز رنگ میں [4] کے دو جنریٹر آئینے دکھاتی ہے، اور تمام ذیلی گروپوں کو نصف، درجہ بندی میں کمی، اور ان کے براہ راست ذیلی گروپوں کے ذریعے دیکھتی ہے۔ گروپ [4]، میں دو آئینے جنریٹر 0، اور 1 ہیں۔ ہر ایک دوسرے پر عکاسی کے ذریعے دو ورچوئل آئینے 101 اور 010 تیار کرتا ہے۔ درجہ 3 یوکلڈین مثال ذیلی گروہ [4,4] گروپ میں 15 چھوٹے انڈیکس ذیلی گروہ ہیں۔ یہ ٹیبل ان سب کو دکھاتا ہے، خالص عکاسی کرنے والے گروپوں کے لیے پیلے رنگ کے بنیادی ڈومین کے ساتھ، اور باری باری سفید اور نیلے ڈومینز جو گردش کرنے والے ڈومین بنانے کے لیے جوڑے بنائے جاتے ہیں۔ سیان، سرخ اور سبز آئینے کی لکیریں کاکسٹر خاکہ میں ایک ہی رنگین نوڈس سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ذیلی گروپ جنریٹرز کو بنیادی ڈومین، {0,1,2} کے اصل 3 آئینوں کی مصنوعات کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جو کہ کاکسٹر خاکہ کے 3 نوڈس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ دو انٹرسیکٹنگ ریفلیکشن لائنوں کا پروڈکٹ ایک گردش کرتا ہے، جیسے {012}، {12}، یا {02}۔ آئینے کو ہٹانے سے ہٹائے گئے آئینے کے پار پڑوسی آئینوں کی دو کاپیاں بنتی ہیں، جیسے {010}، اور {212}۔ سیریز میں دو گردشوں نے گردش کی ترتیب کو نصف میں کاٹ دیا، جیسے {0101} یا {(01) 2}، {1212} یا {(02) 2}۔ تینوں آئینوں کا پروڈکٹ ایک ٹرانس ریفلکشن بناتا ہے، جیسے {012} یا {120}۔ ہائپربولک مثال ذیلی گروہ 15 چھوٹے ذیلی گروپوں کا ایک ہی مجموعہ تمام مثلث گروپوں پر یکساں ترتیب والے عناصر کے ساتھ موجود ہے، جیسے ہائپربولک طیارہ میں [6,4]: پیرابولک ذیلی گروپ کاکسٹر گروپ کے ایک پیرابولک ذیلی گروپ کی شناخت ایک یا زیادہ جنریٹر آئینوں کو ہٹا کر کی جا سکتی ہے جن کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ کے ساتھ کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر آکٹاڈرل گروپ میں پیرابولک ذیلی گروپ ہوتے ہیں،،،،،۔ بریکٹ نوٹیشن میں [4,3] پیرابولک ذیلی گروہ [4]، [2]، [3]، اور ایک واحد آئینہ [] ہوتا ہے۔ ذیلی گروپ کی ترتیب معلوم ہے، اور ہمیشہ ایک انٹیجر ڈیوائزر گروپ آرڈر، یا انڈیکس ہوتا ہے۔ پیرابولک ذیلی گروپوں کو x نوڈس کے ساتھ بھی لکھا جا سکتا ہے، جیسے = [4,3] ذیلی گروپ دوسرے آئینے کو ہٹا کر: یا = = [4,1 ×، 3] = [2]۔ پیٹری ذیلی گروپ ایک ناقابل تلافی کاکسٹر گروپ کا پیٹری ذیلی گروپ تمام جنریٹرز کے پروڈکٹ کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے۔ یہ ایک باقاعدہ پولیٹوپ کے سکیو باقاعدہ پیٹری کثیر الاضحی میں دیکھا جا سکتا ہے۔ نئے گروپ کی ترتیب کو اصل کاکسٹر گروپ کا کاکسٹر نمبر کہا جاتا ہے۔ کاکسٹر گروپ کا کاکسٹر نمبر 2m/n ہے، جہاں n درجہ ہے، اور m عکاسی کی تعداد ہے۔ پیٹری ذیلی گروپ کو سپر اسکرپٹ کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، [3,3] ایک ٹیٹراہیڈرل گروپ کا پیٹری ذیلی گروپ ہے، سائیکلک گروپ آرڈر 4، جو روٹر ریفلیکشن سے پیدا ہوتا ہے۔ ایک رینک 4 کاکسٹر گروپ میں ڈبل گردش جنریٹر ہوگا، جیسے [4,3,3] آرڈر 8 ہے۔ ایکسٹینڈڈ سمیٹری کاکسٹر کی نوٹیشن میں ڈبل اسکوائر بریکٹ نوٹیشن شامل ہے، تاکہ کاکسٹر خاکہ کے اندر آٹومورفک سمیٹری کا اظہار کیا جا سکے۔ جانسن نے اینگلڈ بریکٹ <[X]> کے ذریعے متبادل ڈبلنگ کا اضافہ کیا۔ جانسن نے ایک سابقہ سمیٹری ماڈیفائر [Y [X]] بھی شامل کیا، جہاں Y یا تو [X] کے کاکسٹر خاکہ کی سمیٹری، یا [X] کے بنیادی ڈومین کی سمیٹری کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3D میں یہ مساوی مستطیل اور rhombic جیومیٹری کے خاکے: اور، پہلے مربع بریکٹ کے ساتھ دوگنا، یا دو بار [2 [3 [4]] کے طور پر دوگنا، [2] کے ساتھ، آرڈر 4 اعلی سمیٹری۔ دوسرے میں فرق کرنے کے لیے، اینگلڈ بریکٹ کو دوگنا کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، <[3 [4]]> اور دو بار <2 [3 [4]]> کے طور پر دوگنا کیا جاتا ہے، ایک مختلف [2]، آرڈر 4 سمیٹری کے ساتھ بھی۔ آخر میں ایک مکمل ہم آہنگی جہاں تمام 4 نوڈس مساوی ہوں، کی نمائندگی [4 [3 [4]]، ترتیب 8، [4] مربع کی ہم آہنگی کے ساتھ کی جا سکتی ہے۔ لیکن ٹیٹراگونل ڈسپینائڈ بنیادی ڈومین پر غور کرکے مربع گراف کی [4] توسیعی ہم آہنگی کو زیادہ واضح طور پر [(2 +, 4) [3 [4]] یا [2 +, 4 [3 [4]] کے طور پر نشان زد کیا جا سکتا ہے۔ مزید ہم آہنگی چکور اور شاخ سازی، اور خاکے میں موجود ہے۔ ایک باقاعدہ n-گون، {n} کی ترتیب 2n سمیٹری ہے، اور اس کی نمائندگی [n [3 [n]] کے ذریعے کی جاتی ہے۔ اور ان کی نمائندگی بالترتیب [3 [31,1,1] = [3,4,3] اور [3 [32,2,2]] کے ذریعے کی جاتی ہے جبکہ [(3,3) [31,1,1، 1] = [3,3,4,3] کے ذریعے، خاکہ کے ساتھ جس میں باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون، {3,3} کی ترتیب 24 سمیٹری ہوتی ہے۔ پیرا کامپیکٹ ہائپربولک گروپ = [31,1,1، 1,1]، ایک 5 سیل، {3,3,3} کی ہم آہنگی پر مشتمل ہے، اور اس طرح اس کی نمائندگی [(3,3,3) [31,1,1، 1,1]] = [3,4,3، 3,3] کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ستارے * کا سپر اسکرپٹ مؤثر طریقے سے ایک الٹا عمل ہے، جس سے بنیادی ذیلی گروہ بنتے ہیں جو عجیب ترتیب والے آئینوں سے منسلک ہوتے ہیں۔ مثال: جنریٹرز کو دیکھتے ہوئے، ڈبل سمیٹری کو ایک نئے آپریٹر کو شامل کرنے کے طور پر دیکھا جاتا ہے جو کاکسٹر خاکہ میں سمیٹرک پوزیشنوں کا نقشہ بناتا ہے، جس سے کچھ اصل جنریٹرز بے کار ہو جاتے ہیں۔ 3D خلائی گروپوں، اور 4D پوائنٹ گروپوں کے لیے، کاکسٹر ایک انڈیکس دو ذیلی گروپ کی وضاحت کرتا ہے، جسے وہ ڈبلنگ جنریٹر کے ذریعے [X] کے اصل جنریٹرز کے پروڈکٹ کے طور پر بیان کرتا ہے۔ یہ + سے ملتا جلتا لگتا ہے، جو اس کا چیرل ذیلی گروہ ہے۔ لہذا مثال کے طور پر 3D خلائی گروہ + (I432، 211) اور (Pmn، 223) (IMM، 229) کے الگ الگ ذیلی گروہ ہیں۔ ایک جہت میں، دو طرفہ گروپ [] ایک واحد آئینے کی ہم آہنگی، تجریدی ڈیہ 1 یا زیڈ 2، ہم آہنگی کی ترتیب 2 کی نمائندگی کرتا ہے۔ اسے ایک واحد نوڈ کے ساتھ کاکسٹر-ڈینکن خاکہ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ شناخت گروپ براہ راست ذیلی گروپ [] +، Z1، سمیٹری آرڈر 1 ہے۔ + سپر اسکرپٹ کا سیدھا مطلب یہ ہے کہ متبادل آئینے کی عکاسی کو نظر انداز کر دیا جاتا ہے، جس سے شناختی گروپ کو اس آسان ترین صورت میں چھوڑ دیا جاتا ہے۔ کاکسٹر نے متبادل کی نمائندگی کرنے کے لیے ایک واحد کھلا نوڈ استعمال کیا۔ دو جہتوں میں، آئتاکار گروپ [2]، تجریدی D22 یا D4، کو براہ راست پروڈکٹ [] × [] کے طور پر بھی پیش کیا جا سکتا ہے، جو کہ دو دو طرفہ گروپوں کا پروڈکٹ ہونے کے ناطے، کاکسٹر خاکہ کے ساتھ، ترتیب 4 کے ساتھ، دو آرتھوگنل آئینوں کی نمائندگی کرتا ہے۔ 2 میں [2] کاکسٹر خاکہ میں آرتھوگنل ذیلی گراف کی لکیریائزیشن سے آتا ہے، جیسا کہ واضح برانچ آرڈر 2 کے ساتھ ہوتا ہے۔ رومبک گروپ، [2] + (یا)، آئتاکار گروپ کا نصف، نقطہ عکاسی سمیٹری، Z2، آرڈر 2۔ نچلے درجے کے گروپوں کے لیے 1 پلیس ہولڈر کی اجازت دینے کے لیے کاکسٹر نوٹیشن، لہذا [1] وہی ہے جو [] ہے، اور [1 +] یا [1] + وہی ہے جو [] + اور کاکسٹر خاکہ ہے۔ مکمل p-گونل گروپ [p]، تجریدی ڈائیڈرل گروپ D2p، (p> 2 کے لیے نانبیلین)، ترتیب 2p کا، زاویہ π/p پر دو آئینوں سے پیدا ہوتا ہے، جس کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ کرتا ہے۔ پی-گونل ذیلی گروپ [پی] +، سائیکلک گروپ Zp، آرڈر پی کا، جو π/p کے گردش کے زاویے سے پیدا ہوتا ہے۔ کاکسٹر نوٹیشن بنیادی ڈومین میں بزیکٹنگ آئینے کو شامل کرکے سمیٹری کے آٹومورفک ڈبلنگ کی نمائندگی کرنے کے لیے ڈبل بریکنگ کا استعمال کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، [[p]] [p] میں دو حصوں والے آئینے کا اضافہ کرتا ہے، اور [2p] کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ حد میں، ایک جہت تک نیچے جاتے ہوئے، جب زاویہ صفر پر جاتا ہے تو مکمل ایپیروگنل گروپ حاصل ہوتا ہے، لہذا [ν]، خلاصہ طور پر لامحدود ڈائیڈرل گروپ D ν، دو متوازی آئینوں کی نمائندگی کرتا ہے اور اس میں کاکسٹر خاکہ ہوتا ہے۔ ایپیروگنل گروپ [ini] +، تجریدی طور پر لامحدود چکور گروپ Z ini، جو انٹیجرز کے اضافی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، ایک واحد غیر صفر ترجمہ کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ ہائپربولک سطح میں، ایک مکمل سڈوگنل گروپ [iπ/λ]، اور سڈوگنل ذیلی گروپ [iπ/λ] +، ہوتا ہے۔ یہ گروہ باقاعدہ لامحدود رخا کثیر الاضلاعات میں موجود ہیں، جن کے کنارے کی لمبائی λ ہے۔ آئینے ایک ہی لکیر کے لیے تمام آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ رینک تھری گروپس پوائنٹ گروپس کو 3 جہتوں میں رینک 3 کاکسٹر گروپس سے متعلق بریکٹ نوٹیشن میں ظاہر کیا جا سکتا ہے: تین جہتوں میں، مکمل آرتھورومبک گروپ یا آرتھوریکٹونولر [2,2]، تجریدی طور پر Z23، آرڈر 8، تین آرتھوگنل آئینوں کی نمائندگی کرتا ہے، (جس کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ بھی تین الگ الگ نقطوں کے طور پر کرتا ہے)۔ اسے ایک براہ راست پروڈکٹ [] × [] × [] کے طور پر بھی پیش کیا جا سکتا ہے، لیکن [2,2] اظہار ذیلی گروپوں کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے: پہلے ایک "سیمی ڈائریکٹ" ذیلی گروپ ہے، آرتھورہومبک گروپ، [2,2 +] (یا)، خلاصہ Z2 × Z2، ترتیب 4 کا۔ جب + سپر اسکرپٹ کو بریکٹ کے اندر دیا جاتا ہے، تو اس کا مطلب ہے کہ صرف ملحقہ آئینوں سے پیدا ہونے والے عکاسی (جیسا کہ کاکسٹر خاکہ کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے) متبادل ہوتے ہیں۔ عام طور پر، + نوڈ کے پڑوسی برانچ آرڈرز کو یکساں ہونا چاہیے۔ اس صورت میں [2,2 +] اور [2 +, 2] دو آئسومورفک ذیلی گروپوں کی نمائندگی کرتے ہیں جو ہندسی طور پر الگ ہیں۔ دوسرے ذیلی گروہ پیرارہومبک گروپ [2,2] + (یا) ہیں، جو آرڈر 4 بھی ہیں، اور آخر میں آرڈر 2 کا مرکزی گروپ [2 +، 2 +] (یا) ہے۔ اگلا مکمل آرتھو-پی-گونل گروپ ہے، [2, p] ()، خلاصہ طور پر Z2 × D2p، ترتیب 4p کا، جو ڈائیڈرل زاویہ π/p پر دو آئینوں کی نمائندگی کرتا ہے، اور دونوں تیسرے آئینے کے لیے آرتھوگنل ہیں۔ اس کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ بھی کرتا ہے۔ براہ راست ذیلی گروپ کو پیرا-پی-گونل گروپ، [2، پی] + (یا)، تجریدی طور پر ڈی 2 پی، آرڈر 2 پی کا کہا جاتا ہے، اور دوسرا ذیلی گروپ تجریدی طور پر زیڈ 2 × زیڈ پی ہے، جو آرڈر 2 پی کا بھی ہے۔ مکمل gyro-p-gonal گروپ، [2 +، 2p] (یا)، خلاصہ D4p، ترتیب 4p کا۔ گائرو-پی-گونل گروپ، [2 +، 2 پی +] (یا)، تجریدی طور پر زیڈ 2 پی، آرڈر 2 پی کا [2 +، 2 پی] اور [2,2 پی +] دونوں کا ذیلی گروپ ہے۔ پولی ہیڈرل گروپ پلاٹونک ٹھوسوں کی ہم آہنگی پر مبنی ہیں: ٹیٹرا ہیڈرون، آکٹا ہیڈرون، کیوب، آئکوساہیڈرون، اور ڈوڈیکاہیڈرون، بالترتیب شلافلی علامتوں {3,3}، {3,4}، {4,3}، {3,5}، اور {5,3} کے ساتھ۔ ان کے لیے کاکسٹر گروپس یہ ہیں: [3,3] ()، [3,4] ()، [3,5] () جسے فل ٹیٹراہیڈرل سمیٹری، آکٹاڈرل سمیٹری، اور آئکوساہیڈرل سمیٹری کہا جاتا ہے، 24، 48، اور 120 کے آرڈرز کے ساتھ۔ ان تمام ہم آہنگیوں میں، 12، 24، اور 60 کی ترتیب کے گردشی ٹیٹراہیڈرل [3,3] + ()، آکٹاڈرل [3,4] + ()، اور آئکوساہیڈرل [3,5] + () گروپوں کو پیدا کرنے والے متبادل عکاسی کو ہٹایا جا سکتا ہے۔ آکٹاڈرل گروپ میں ایک منفرد انڈیکس 2 ذیلی گروپ بھی ہوتا ہے جسے پیریٹو ہیڈرل سمیٹری گروپ کہا جاتا ہے، [3 +، 4] (یا)، ترتیب 12 کا، جس میں گردش اور عکاسی سمیٹری کا مرکب ہوتا ہے۔ پیریٹوہیڈرل سمیٹری بھی آئکوساہیڈرل سمیٹری کا ایک انڈیکس 5 ذیلی گروپ ہے:-->، جس میں ورچوئل آئینہ 1 0 کے پار، {010}، اور 3 گنا گردش {12} ہے۔ ٹیٹراہیڈرل گروپ، [3,3] ()، میں ڈبلنگ ہوتی ہے (جس کی نمائندگی رنگین نوڈس کے ذریعے کی جا سکتی ہے)، جو پہلے اور آخری آئینے کو ایک دوسرے پر نقش کرتی ہے، اور اس سے [3,4] (یا) گروپ پیدا ہوتا ہے۔ ذیلی گروہ [3,4,1 +] (یا) وہی ہے جو [3,3] ہے، اور [3 +، 4,1 +] (یا) وہی ہے جو [3,3] + ہے۔ افائن یوکلڈین سطح میں 3 آئینوں سے پیدا ہونے والے 3 بنیادی عکاسی کرنے والے گروپ ہوتے ہیں، جن کی نمائندگی کاکسٹر خاکے کرتے ہیں، اور، اور انہیں کاکسٹر نوٹیشن [4,4]، [6,3]، اور [(3,3,3)] کے طور پر دیا جاتا ہے۔ آخری گروپ کے قوسین خاکہ سائیکل کی نشاندہی کرتے ہیں، اور اس میں شارٹ ہینڈ نوٹیشن [3 [3] بھی ہے۔ [4,4] گروپ کے دوگنا ہونے سے آئینے کے اصل سیٹ سے π/4 گھمایا ہوا ایک ہی توازن پیدا ہوا۔ گردشی ہم آہنگی کے براہ راست ذیلی گروہ یہ ہیں: [4,4] +، [6,3] +، اور [(3,3,3)] +۔ [4 +، 4] اور [6,3 +] نیم براہ راست ذیلی گروہ ہیں۔ کاکسٹر نوٹیشن (آربی فولڈ نوٹیشن) میں دیئے گئے، کچھ کم انڈیکس افائن ذیلی گروپس یہ ہیں: درجہ چار گروپس پوائنٹ گروپس درجہ چار گروپس نے 4 جہتی پوائنٹ گروپس کی وضاحت کی: ذیلی گروپس اسپیس گروپس لائن گروپس درجہ چار گروپس نے بھی 3 جہتی لائن گروپس کی وضاحت کی: ڈوپریسمٹک گروپ رینک چار گروپس نے 4 جہتی ڈوپریسمٹک گروپس کی وضاحت کی۔ اس حد میں جیسے ہی p اور q انفینٹی پر جاتے ہیں، وہ 2 جہتوں اور وال پیپر گروپوں میں انحطاط پذیر ہوتے ہیں۔ وال پیپر گروپس رینک فور گروپس نے بھی دو جہتی وال پیپر گروپس میں سے کچھ کی وضاحت کی، جیسا کہ چار جہتی ڈوپریزم گروپس کے معاملات کو محدود کرنا: [φ، 2، φ]، (* 2222) کے ذیلی گروپس کو اس کے انڈیکس 16 کمیونیٹر ذیلی گروپ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے: پیچیدہ عکاسی کاکسٹر نوٹیشن کو کمپلیکس اسپیس، Cn تک بڑھا دیا گیا ہے جہاں نوڈس مدت 2 یا اس سے زیادہ کے یک جہتی عکاسی ہیں۔ نوڈس کو انڈیکس کے ذریعے لیبل کیا جاتا ہے، اگر دبایا جائے تو عام حقیقی عکاسی کے لیے 2 سمجھا جاتا ہے۔ پیچیدہ عکاسی گروپوں کو کاکسٹر گروپوں کے بجائے شیفرڈ گروپ کہا جاتا ہے، اور پیچیدہ پولی ٹاپس کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ میں، رینک 1 شیفرڈ گروپ، آرڈر p، کی نمائندگی p []، [] p یا] p [کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس میں ایک واحد جنریٹر ہے، جو کمپلیکس پلین میں 2π/p ریڈین گردش کی نمائندگی کرتا ہے: کاکسٹر رینک 2 پیچیدہ گروپ لکھتا ہے، p [q] r کاکسٹر خاکہ کی نمائندگی کرتا ہے۔ p اور r کو صرف اس صورت میں دبایا جانا چاہیے جب دونوں 2 ہوں، جو کہ حقیقی صورت [q] ہے۔ رینک 2 گروپ p [q] r کی ترتیب ہے۔ درجہ 2 کے حل جو پیچیدہ کثیر الاضلاعات پیدا کرتے ہیں وہ ہیں: p [4] 2 (p 2,3,4 ہے۔)، 3 [3] 3، 3 [6] 2، 3 [4] 3، 4 [3] 4، 3 [8] 2، 4 [6] 2، 4 [4] 3، 3 [5] 3، 5 [3] 5، 3 [10] 2، 5 [6] 2، اور 5 [4] 3 کاکسٹر خاکے کے ساتھ،،،،،،،،،،،،،،۔ لامحدود گروہ 3 [12] 2، 4 [8] 2، 6 [6] 2، 3 [6] 3، 6 [4] 3، 4 [4] 4، اور 6 [3] 6 یا،،،،، ہیں۔ انڈیکس 2 ذیلی گروہ ایک حقیقی عکاسی کو ہٹانے سے موجود ہوتے ہیں: p [2q] 2 → p [q] p۔ نیز انڈیکس r ذیلی گروہ 4 شاخوں کے لیے موجود ہیں: p [4] r → p [r] p۔ لامحدود خاندان p [4] 2 کے لیے، کسی بھی p = 2، 3، 4 کے لیے، دو ذیلی گروہ ہیں: p [4] 2 → [p]، انڈیکس p، جبکہ p [4] 2 → p [] × p []، انڈیکس 2۔ سمیٹری جنریٹرز کے طور پر ریفلیکشن میٹرکس کے ساتھ کمپیوٹیشن ایک کاکسٹر گروپ، جس کی نمائندگی کاکسٹر خاکہ کرتا ہے، کو برانچ آرڈرز کے لیے کاکسٹر نوٹیشن [p, q] دیا جاتا ہے۔ کاکسٹر خاکہ میں ہر نوڈ آئینے کی نمائندگی کرتا ہے، روایت کے مطابق جسے ρi (اور میٹرکس Ri) کہا جاتا ہے۔ اس گروپ [p، q] کے جنریٹر عکاسی ہیں: ρ0، ρ1، اور ρ2۔ گردش کی ذیلی ہم آہنگی کو عکاسی کے پروڈکٹ کے طور پر دیا جاتا ہے: روایت کے مطابق، σ0,1 (اور میٹرکس S0,1) = ρ0ρ1 زاویہ π/p کی گردش کی نمائندگی کرتا ہے، اور σ1,2 = ρ1ρ2 زاویہ π/q کی گردش ہے، اور σ0,2 = ρ0ρ2 زاویہ π/2 کی گردش کی نمائندگی کرتا ہے۔ [p، q] +، ایک انڈیکس 2 ذیلی گروپ ہے جس کی نمائندگی دو گردش جنریٹرز کرتے ہیں، ہر ایک دو عکاسی کے پروڈکٹ ہیں: σ0,1,2، اور بالترتیب π/p، اور π/q زاویوں کی گردش کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک یکساں شاخ کے ساتھ، [p +, 2q]، یا، انڈیکس 2 کا ایک اور ذیلی گروپ ہے، جس کی نمائندگی گردش جنریٹر σ0,1، اور عکاسی ρ2 کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ یکساں شاخوں کے ساتھ، [2p +، 2q +]، انڈیکس 4 کا ایک ذیلی گروپ ہے جس میں دو جنریٹر ہیں، جو تینوں عکاسی میٹرکس کے پروڈکٹ کے طور پر بنائے گئے ہیں: روایت کے مطابق: ± 0,1,2 اور ± 1,2,0، جو کہ گردش عکاسی ہیں، جو عکاسی اور گردش یا عکاسی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ افائن کاکسٹر گروپوں کے معاملے میں، جیسے، یا، ایک آئینہ، عام طور پر آخری، اصل سے ترجمہ کیا جاتا ہے۔ ایک ترجمہ جنریٹر τ0,1 (اور میٹرکس T0,1) کو دو (یا یکساں تعداد میں) عکاسی کے پروڈکٹ کے طور پر بنایا گیا ہے، بشمول افائن عکاسی۔ ایک عکاسی (عکاسی اور ترجمہ) عکاسی کی ایک عجیب تعداد φ 0,1,2 (اور میٹرکس V 0,1,2) کا پروڈکٹ ہو سکتا ہے، جیسے انڈیکس 4 ذیلی گروپ: [4 +، 4 +] =۔ ایک اور جامع جنریٹر، روایت کے مطابق ζ (اور میٹرکس Z) کے طور پر، الٹ کی نمائندگی کرتا ہے، ایک نقطہ کو اس کے الٹ کی نقشہ سازی کرتا ہے۔ [4,3] اور [5,3] کے لیے، ζ = (ρ0ρ1ρ2) h/2، جہاں h بالترتیب 6 اور 10 ہے، ہر خاندان کے لیے کاکسٹر نمبر ہے۔ 3D کاکسٹر گروپ [p, q] () کے لیے، یہ ذیلی گروپ ایک روٹری عکاسی [2 +, h +] ہے۔ کاکسٹر گروپوں کی درجہ بندی ان کے درجہ بندی کے مطابق کی جاتی ہے، جو کہ اس کے کاکسٹر-ڈینکن خاکہ میں نوڈس کی تعداد ہے۔ گروپوں کی ساخت ان کے تجریدی گروپ کی اقسام کے ساتھ بھی دی گئی ہے: اس مضمون میں، تجریدی ڈائیڈرل گروپوں کو ڈہن کے طور پر پیش کیا گیا ہے، اور چکور گروپوں کی نمائندگی زیڈ این کے ذریعے کی گئی ہے، جس میں ڈیہ 1 = زیڈ 2 ہے۔ رینک 2 مثال کے طور پر، 2D میں، کاکسٹر گروپ [p] () کی نمائندگی دو عکاسی میٹرکس R0 اور R1 کے ذریعے کی جاتی ہے، سائیکلک سمیٹری [p] + () کی نمائندگی میٹرکس S0,1 کے گردش جنریٹر کے ذریعے کی جاتی ہے۔ رینک 3 محدود رینک 3 کاکسٹر گروپس ہیں [1، p]، [2، p]، [3,3]، [3,4]، اور [3,5]۔ ہوائی جہاز کے ذریعے ایک نقطہ کی عکاسی کرنے کے لیے (جو اصل سے گزرتا ہے)، کوئی استعمال کر سکتا ہے، جہاں 3 × 3 شناختی میٹرکس ہے اور ہوائی جہاز کے ویکٹر نارمل کے لیے سہ جہتی یونٹ ویکٹر ہے۔ اگر L2 کا معیار اور اتحاد ہے، تو تبدیلی میٹرکس کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: [p, 2] قابل تخفیف 3 جہتی محدود عکاسی گروپ ڈائیڈرل سمیٹری، [p, 2]، آرڈر 4p، ہے۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = شناخت۔ [p، 2] + () 3 میں سے 2 گردشوں سے پیدا ہوتا ہے: S0,1، S1,2، اور S0,2۔ ایک آرڈر p روٹر ریفلیکشن V 0,1,2 کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے، جو تمام 3 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ [3,3] سب سے آسان ناقابل تلافی 3 جہتی محدود عکاسی گروپ ٹیٹراہیڈرل سمیٹری، [3,3]، آرڈر 24، ہے۔ ڈی 3 = اے 3 کی تعمیر سے عکاسی کرنے والے جنریٹر میٹرکس آر 0، آر 1، آر 2 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = شناخت۔ [3,3] + () 3 میں سے 2 گردشوں سے پیدا ہوتا ہے: S0,1,2، اور S0,2۔ ایک سہ رخی ذیلی گروہ، [2 +, 4]، ترتیب 8 کے لیے آئسومورفک، S0,2 اور R1 کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ ایک آرڈر 4 روٹر ریفلیکشن V 0,1,2 کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے، جو تمام 3 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ [4,3] ایک اور ناقابل تلافی 3 جہتی محدود عکاسی گروپ آکٹاڈرل سمیٹری، [4,3]، آرڈر 48، ہے۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = شناخت۔ چیرل آکٹاڈرل سمیٹری، [4,3] +، () 3 میں سے 2 گردشوں سے پیدا ہوتی ہے: S0,1,2، اور S0,2۔ پیریٹوہیڈرل سمیٹری [4,3 +]، () عکاسی R0 اور گردش S1,2 سے پیدا ہوتی ہے۔ 6 گنا روٹر ریفلیکشن V 0,1,2 کے ذریعے پیدا ہوتا ہے، جو تمام 3 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ [5,3] ایک حتمی ناقابل تلافی 3 جہتی محدود عکاسی گروپ آئکوساہیڈرل سمیٹری، [5,3]، آرڈر 120، ہے۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R0 × R2) 2 = شناخت۔ [5,3] + () 3 میں سے 2 گردشوں سے پیدا ہوتا ہے: S0,1,2، اور S0,2۔ ایک 10 گنا روٹر ریفلیکشن V 0,1,2 کے ذریعے پیدا ہوتا ہے، جو تمام 3 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ درجہ 4 4 جہتوں میں 4 ناقابل تلافی کاکسٹر گروپ ہیں: [3,3,3]، [4,3,3]، [31,1,1]، [3,4,4]، [5,3,3]، نیز ڈوپریسمٹک گروپوں کا ایک لامحدود خاندان [p, 2, q]۔ [p, 2, q] ڈوپریسمٹک گروپ، [p, 2, q]، کا آرڈر 4pq ہے۔ [[p, 2, p]] ڈوپریسمٹک گروپ دو طیاروں کے درمیان دو گنا گردش کے ساتھ، 8p2 کی ترتیب میں دوگنا ہو سکتا ہے۔ [3,3,3] ہائپرٹیٹریڈرل سمیٹری، [3,3,3]، آرڈر 120، [4,3,3، 3] کے ذیلی گروپ کے طور پر، 5 جہتوں میں 4 آئینوں کے ساتھ نمائندگی کرنا سب سے آسان ہے۔ [[3,3,3] توسیعی گروپ [[3,3,3]]، آرڈر 240، کو 2 گنا گردش میٹرکس T سے دوگنا کیا جاتا ہے، یہاں کوآرڈینیٹ آرڈر اور نشان کو الٹ دیا جاتا ہے: 3 جنریٹر ہیں {T, R0, R1}۔ چونکہ T خود باہمی R3 = TR0T ہے، اور R2 = TR1T ہے۔ [4,3,3] ایک ناقابل تلافی 4 جہتی محدود عکاسی گروپ ہائپر آکٹاہیڈرل گروپ (یا ہیکساڈیکاچورک گروپ (16 خلیوں کے لیے)، B4 = [4,3,3]، آرڈر 384، ہے۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2، R3 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 4 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = شناخت۔ چیرل ہائپر آکٹاڈرل سمیٹری، [4,3,3] +، () 6 میں سے 3 گردشوں سے پیدا ہوتی ہے: S0,1, S1,2,3, S0,2, S1,3، اور S0,3۔ ہائپرپیریٹوہیڈرل سمیٹری [4، (3,3) +]، () عکاسی R0 اور گردش S1,2 اور S2,3 سے پیدا ہوتی ہے۔ 8 گنا دوہری گردش W 0,1,2، 3 کے ذریعہ پیدا ہوتی ہے، جو تمام 4 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ [4,3,3] کا نصف گروپ [3,31,1]، آرڈر 192 ہے۔ یہ [4,3,3] گروپ کے ساتھ 3 جنریٹر بانٹتا ہے، لیکن اس میں ملحقہ جنریٹر کی دو کاپیاں ہوتی ہیں، جن میں سے ایک ہٹائے گئے آئینے میں جھلکتا ہے۔ [3,4,3] ایک ناقابل تلافی 4 جہتی محدود عکاسی گروپ آئکوسیٹیٹراچورک گروپ (24 خلیوں کے لیے)، F4 = [3,4,3]، آرڈر 1152، ہے۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2، R3 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 3 = (R1 × R2) 4 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R1 × R3) 2 = (R0 × R3) 2 = شناخت۔ چیرل آئکوسیٹیٹراچورک سمیٹری، [3,4,3] +، () 6 میں سے 3 گردشوں سے پیدا ہوتی ہے: S0,1, S1,2, S2, S0,2, S1,3، اور S0,3۔ آئنک کم شدہ [3,4,3 +] گروپ، () عکاسی R0 اور گردش S1,2 اور S2,3 سے پیدا ہوتا ہے۔ 12 گنا ڈبل گردش W 0,1,2، 3 سے پیدا ہوتی ہے، جو تمام 4 عکاسی کا پروڈکٹ ہے۔ [[3,4,3] گروپ [[3,4,3]] [3,4,3] کو 2 گنا گردش، T، ڈبلنگ آرڈر سے 2304 تک بڑھاتا ہے۔ [5,3,3] ہائپر-آئکوساہیڈرل سمیٹری، [5,3,3]، آرڈر 14400،۔ ریفلیکشن جنریٹر میٹرکس R0، R1، R2، R3 ہیں۔ R02 = R12 = R22 = R32 = (R0 × R1) 5 = (R1 × R2) 3 = (R2 × R3) 3 = (R0 × R2) 2 = (R0 × R3) 2 = (R1 × R3) 2 = شناخت۔ [5,3,3] + () 3 گردشوں سے پیدا ہوتا ہے: S0,1 = R0 × R1، S1,2 = R1 × R2، S2,3 = R2 × R3، وغیرہ۔ رینک 8 [34,2,1] E8 کاکسٹر گروپ، [34,2,1]، میں 8 آئینے کے نوڈس ہیں، آرڈر 696729,600 (192x10!)۔ E7 اور E6، [33,2,1]، اور [32,2,1]، بالترتیب پہلے آئینے یا پہلے دو آئینوں کو نظر انداز کر کے بنائے جا سکتے ہیں۔ افائن رینک 2 افائن میٹرکس کی نمائندگی ایک اضافی قطار اور کالم کو شامل کرکے کی جاتی ہے، آخری صف صفر ہوتی ہے سوائے آخری اندراج 1 کے۔ آخری کالم ترجمہ ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ۔ ہے سکتا جا دیا ذریعے کے میٹرکس عکاسی دو، x = 0 اور x = 1، گروپ افائن []]] افائن رینک 3 [4,4] افائن گروپ [4,4]،، (p4m)، تین عکاسی میٹرکس، x محور (y = 0) کے پار عکاسی، ایک اخترن (x = y)، اور لائن کے پار افائن عکاسی (x = 1) کے ذریعے دیا جا سکتا ہے۔ [4,4] + () (p4) S0,1 S1,2، اور S0,2 کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ [4 +، 4 +] () (پی جی جی) 2 گنا گردش S0,2 اور گلائڈ ریفلیکشن (ٹرانس ریفلیکشن) V 0,1,2 سے پیدا ہوتا ہے۔ [4 +، 4] () (p4g) S0,1 اور R3 سے پیدا ہوتا ہے۔ گروپ [(4,4,2 +)] () (cmm)، 2 گنا گردش S1,3 اور عکاسی R2 سے پیدا ہوتا ہے۔ [3,6] افائن گروپ [3,6]، (p6m)، کو تین عکاسی میٹرکس کے ذریعے دیا جا سکتا ہے، x محور (y = 0)، لائن y = (√3/2) x، اور عمودی لائن x = 1 کے پار عکاسی۔ [3 [3] افائن گروپ [3 [3]] کو نصف گروپ کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ R2 کی جگہ R '2 = R2 × R1 × R2 لے لیتا ہے، جسے ہائپرپلین پیش کرتا ہے: y + (η3/2) x = 2۔ بنیادی ڈومین ایک مساوی مثلث ہے جس کے کنارے کی لمبائی 2 ہے۔ افائن رینک 4 [4,3,4] افائن گروپ [4,3,4] () ہے، جسے چار عکاسی میٹرکس کے ذریعے دیا جا سکتا ہے۔ آئینہ R0 کو z = 0 سطح پر رکھا جا سکتا ہے۔ آئینہ R1 کو طیارہ y = z پر رکھا جا سکتا ہے۔ آئینہ R2 کو x = y سطح پر رکھا جا سکتا ہے۔ آئینہ R3 کو x = 1 سطح پر رکھا جا سکتا ہے۔ [4,3,4] + () S0, S1,2، اور S2,3 کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ [[4,3,4] توسیعی گروپ [[4,3,4]] گروپ آرڈر کو دوگنا کرتا ہے، 2 گنا گردش میٹرکس T کے ساتھ جوڑتا ہے، پوائنٹس (1,1/2، 0) اور (1/2,1 2,1/2) کے ذریعے ایک مقررہ محور کے ساتھ۔ جنریٹر ہیں {R0, R1, T}۔ R2 = T × R1 × T اور R3 = T × R0 × T۔ [4,31,1] گروپ [4,31,1] کو [4,3,4 سے، [4,3,4، 1 +] کا حساب لگا کر، R '3 = R3 × R2 × R3 کے طور پر، نئے R' 3 کے ساتھ R3 کے پار R2 کی تصویر کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ [3 [4] گروپ [3 [4]] کو [4,3,4] سے، پہلے اور آخری آئینے، [1 +، 4,3,4، 1 +] کو ہٹا کر، R '1 = R0 × R1 × R0 اور R' 3 = R3 × R2 × R3 کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات نوٹ ایچ ایس ایم۔ کاکسٹر: کالیڈوسکوپس: ایچ ایس ایم کی منتخب تحریریں۔ کاکسٹر، ترمیم شدہ ایف آرتھر شیرک، پیٹر میک مولن، انتھونی سی تھامسن، ایشیا آئویک ویس، ولی-انٹرسائنس پبلکیشن، 1995، (پیپر 22) (پیپر 23) (پیپر 24) نارمن جانسن یونیفارم پولی ٹاپس، مخطوطات (1991) این ڈبلیو۔ جانسن: دی تھیوری آف یونیفارم پولی ٹاپس اینڈ ہنی کامبس، پی ایچ ڈی۔ (1966) نارمن ڈبلیو جانسن اینڈ ایشیا آئویک ویس کواڈریٹک انٹیجرز اینڈ کاکسٹر گروپس پی ڈی ایف کین۔ جے۔ ریاضی۔ جلد۔ 51 (6)، 1999 پی پی۔ 1307-1336 N. W. جانسن: جیومیٹریز اینڈ ٹرانسفارمیشنز، (2018) PDF جان ایچ کونوے اور ڈیریک اے سمتھ، آن کواٹرنیئنز اینڈ آکٹونیئنز، 2003، دی سمیٹریز آف تھنگز 2008، جان ایچ کونوے، ہیڈی برجیئل، چیم گڈ مین-اسٹراس، Ch.22 35 پرائم اسپیس گروپس، ch.25 184 کمپوزٹ اسپیس گروپس، ch.26 ہائیر اسٹیل، 4D پوائنٹ گروپس سمیٹری گروپ تھیوری