Alvis–Curtis duality
ریاضی میں، ایلوس-کرٹس دوہری پن ایک محدود میدان پر ایک تخفیف گروپ کے کرداروں پر ایک دوہری عمل ہے، جسے اس کے طالب علم نے متعارف کرایا اور اس کا مطالعہ کیا۔ لائ الجیبراس کے لیے اسی طرح کا دوہری آپریشن متعارف کرایا۔ ایلوس-کرٹس دوہری ترتیب 2 ہے اور عام حروف پر ایک آئسومیٹری ہے۔ ایلوس-کرٹس کے دوہرے پن پر تفصیل سے بحث کرتا ہے۔ تعریف ایک محدود گروپ G کے کردار ζ کی تقسیم شدہ BN-جوڑی کے ساتھ دوہری ζ * کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ یہاں مجموعہ G کے کاکسٹر نظام کے سادہ جڑوں کے سیٹ R کے تمام ذیلی سیٹوں J پر ہے۔ کردار ζ ذیلی سیٹ J کے پیرابولک ذیلی گروپ PJ میں ζ کی کٹوتی ہے، جو ζ کو PJ تک محدود کرکے اور پھر PJ کے یونی پوٹینٹ ریڈیکل کے غیر متغیرات کی جگہ لے کر دی گئی ہے، اور ζ G کی محرک نمائندگی ہے۔ (کٹوتی کا عمل پیرابولک انڈکشن کا ملحقہ فنکٹر ہے۔) مثالیں معمولی کردار 1 کا دوہرا سٹینبرگ کردار ہے۔ ظاہر کیا کہ ڈیلیگن-لوزٹگ کردار R کا دوہرا εGεTR ہے۔ کاسپائڈل کردار χ کا دوہرا (-1) |Δ |χ ہے، جہاں Δ سادہ جڑوں کا مجموعہ ہے۔ گیلفینڈ-گریو کردار کا دوہرا وہ کردار ہے جو باقاعدہ یک طاقت عناصر پر |ZF |ql کی قدر کرتا ہے اور کہیں اور غائب ہو جاتا ہے۔ حوالہ جات نمائندگی نظریہ دوہری نظریات