Quantum pendulum
کوانٹم پنڈلم کیمسٹری میں رکاوٹ اندرونی گردشوں، بکھرے ہوئے ایٹموں کی کوانٹم خصوصیات کے ساتھ ساتھ متعدد دیگر کوانٹم مظاہر کو سمجھنے میں بنیادی ہے۔ اگرچہ ایک لاکٹ جو چھوٹے زاویے کے تخمینے کے تابع نہیں ہے اس میں ایک موروثی غیر لکیریتا ہوتی ہے، لیکن مقداری نظام کے لیے شروڈنگر مساوات کو نسبتا آسانی سے حل کیا جا سکتا ہے۔ شروڈنگر مساوات کلاسیکی میکانکس سے لاگرانجین میکانکس کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی نظام کے لیے ہیملٹنین تیار کر سکتا ہے۔ ایک سادہ پنڈلم میں ایک عمومی کوآرڈینیٹ (کونیی نقل مکانی) اور دو رکاوٹیں (تار کی لمبائی اور حرکت کا طیارہ) ہوتی ہیں۔ نظام کی حرکی اور ممکنہ توانائیاں پائی جا سکتی ہیں۔ اس کا نتیجہ ہیملٹنین میں نکلتا ہے۔ نظام کے لیے وقت پر منحصر شروڈنگر مساوات یہ ہے کہ توانائی کی سطحوں اور متعلقہ آئجین اسٹیٹس کو تلاش کرنے کے لیے وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات کو حل کرنا ضروری ہے۔ یہ سب سے بہتر طور پر آزاد متغیر کو مندرجہ ذیل طور پر تبدیل کرکے پورا کیا جاتا ہے: یہ محض میتھیو کی تفریقی مساوات ہے جس کے حل میتھیو افعال ہیں۔ حلوں کی توانائیاں، قابل شمار بہت سی خاص اقدار کے لیے، جنہیں خصوصیت کی اقدار کہا جاتا ہے، میتھیو مساوات ان حلوں کو تسلیم کرتی ہے جو مدت کے ساتھ وقتا فوقتا ہوتے ہیں۔ میتھیو کوسائن، سائن افعال کی خصوصیت والی اقدار بالترتیب لکھی جاتی ہیں، جہاں ایک قدرتی نمبر ہے۔ میتھیو کوسائن اور سائن افعال کے وقتا فوقتا خصوصی معاملات اکثر بالترتیب لکھے جاتے ہیں، حالانکہ انہیں روایتی طور پر ایک مختلف معمول دیا جاتا ہے (یعنی، کہ ان کا معیار برابر ہے)۔ کوانٹم پنڈلم میں باؤنڈری کنڈیشنز کا مطلب یہ ہے کہ کسی دیئے گئے کے لیے مندرجہ ذیل ہیں: نظام کی توانائیاں، بالترتیب یکساں/عجیب حلوں کے لیے، میتھیو مساوات کو حل کرکے پائی جانے والی خصوصیت کی اقدار کی بنیاد پر متعین کی جاتی ہیں۔ مؤثر ممکنہ گہرائی کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ ایک گہری صلاحیت ایک آزاد صلاحیت میں کسی ذرہ کی حرکیات پیدا کرتی ہے۔ اس کے برعکس، ایک اتلی صلاحیت میں، بلاچ لہروں کے ساتھ ساتھ کوانٹم ٹنلنگ بھی اہمیت کا حامل ہو جاتی ہے۔ عام حل a اور q کی دی گئی قدر کے لیے مندرجہ بالا تفریقی مساوات کا عمومی حل لکیری طور پر آزاد میتھیو کوسائنز اور میتھیو سائنز کا ایک مجموعہ ہے، جو بالترتیب یکساں اور عجیب حل ہیں۔ عام طور پر، میتھیو افعال اپریوڈک ہوتے ہیں ؛ تاہم، کی خصوصیت والی اقدار کے لیے، میتھیو کوسائن اور سائن کی مدت کے ساتھ وقتا فوقتا بن جاتے ہیں۔ آئجین اسٹیٹس q کی مثبت اقدار کے لیے، درج ذیل درست ہیں: اس کے لیے پہلے چند پیریڈک میتھیو کوسائن افعال یہ ہیں۔ نوٹ کریں کہ، مثال کے طور پر، (سبز) ایک کوسین فنکشن سے ملتا جلتا ہے، لیکن چپٹی پہاڑیوں اور اتلی وادیوں کے ساتھ۔ مزید دیکھیں کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کتابچہ محمد ایوب، ایٹم آپٹکس کوانٹم پینڈلم، 2011، اسلام آباد، پاکستان۔، https://arxiv.org/abs/1012.6011 کوانٹم ماڈل پینڈلمز