Line integral convolution
سائنسی تصور میں، لائن انٹیگرل کنولیوشن (ایل آئی سی) ویکٹر فیلڈ کو تصور کرنے کا ایک طریقہ ہے، جیسے سیال حرکت۔ خصوصیات عالمی طریقہ انضمام پر مبنی طریقہ ساخت پر مبنی طریقہ ارتقاء سگنل پروسیسنگ میں اس عمل کو مجرد ارتقاء کے نام سے جانا جاتا ہے۔ انضمام پر مبنی طریقہ یہ انضمام پر مبنی طریقہ (تکنیک) ہے۔ مزید واضح طور پر یہ یکساں گرڈ پر مجرد لائن انٹیگرل پر مبنی ہے۔ مجرد عددی انضمام ایک لکیر (زیادہ واضح طور پر منحنی) کے ساتھ انجام دیا جاتا ہے۔ یہاں لکیر کا مطلب ہے ویکٹر فیلڈ کی فیلڈ لائن۔ ان پٹ ویکٹر فیلڈ کی فیلڈ لائنوں کا حساب لگانے والی دیگر انضمام پر مبنی تکنیکوں کے مقابلے میں، ایل آئی سی کو یہ فائدہ حاصل ہے کہ ویکٹر فیلڈ کی تمام ساختی خصوصیات ظاہر کی جاتی ہیں، بغیر فیلڈ لائنوں کے آغاز اور اختتامی نکات کو مخصوص ویکٹر فیلڈ کے مطابق ڈھالنے کی ضرورت کے۔ دوسرے لفظوں میں، آئی ٹی آر ویکٹر فیلڈ کی ٹوپولوجی کو ظاہر کرتا ہے۔ صارف کی جانچ میں، ایل آئی سی کو خاص طور پر اہم نکات کی نشاندہی کرنے کے لیے اچھا پایا گیا۔ دیگر اعلی کارکردگی والے جی پی یو پر مبنی نفاذ کی دستیابی کے ساتھ، محدود تعامل کا سابقہ نقصان اب موجود نہیں ہے۔ بناوٹ پر مبنی طریقہ ایل آئی سی بناوٹ کو ایک ان پٹ کے طور پر لیتا ہے اور بناوٹ (آؤٹ پٹ) دیتا ہے۔ تو یہ ساخت کی ترکیب ہے۔ ہسٹری ایل آئی سی تکنیک کی تجویز برائن کیبرال اور لیتھ کیسی لیڈم الگورتھم غیر رسمی وضاحت اصول نے پیش کی تھی: فیلڈ لائنوں کے ساتھ پکسل کی اقدار مضبوطی سے مربوط ہیں، لیکن آرتھوگنل طور پر ان سے تقریبا غیر متعلقہ ہیں۔ نتیجے کے طور پر، فیلڈ لائنیں پس منظر سے بصری طور پر الگ ہو جاتی ہیں اور نظر آتی ہیں۔ وجدان: بے ترتیب طور پر تقسیم شدہ لوہے کی فائلنگ کا استعمال کرتے ہوئے مقناطیسی فیلڈ لائنوں کے دریا کے تصور میں پینٹ پھینکنا "اس بات کی تقلید کرتا ہے کہ جب بڑے پیمانے پر باریک ریت کے آئتاکار علاقے کو تیز ہوا سے اڑا دیا جاتا ہے" بدیہی طور پر، کسی ڈومین میں ویکٹر فیلڈ کے بہاؤ کو سیاہ اور ہلکے پینٹ ذرائع کے جامد بے ترتیب نمونے کو شامل کرکے دیکھا جاتا ہے۔ جیسے جیسے بہاؤ ذرائع سے گزرتا ہے، سیال کا ہر پارسل ماخذ کے کچھ رنگ کو اٹھاتا ہے، اس کا اوسط اس رنگ کے ساتھ ہوتا ہے جو اس نے پہلے ہی حاصل کر لیا ہے جیسے دریا میں پینٹ پھینکنا۔ نتیجہ ایک بے ترتیب دھاری دار ساخت ہے جہاں ایک ہی سٹریم لائن کے ساتھ پوائنٹس کا رنگ ایک جیسا ہوتا ہے۔ رسمی ریاضیاتی تفصیل اگرچہ ان پٹ ویکٹر فیلڈ اور نتیجہ کی تصویر کو مجرد کیا گیا ہے، لیکن اسے مسلسل نقطہ نظر سے دیکھنے کی ضرورت ہے۔ کچھ ڈومین میں دیا گیا ویکٹر فیلڈ ہونے دیں۔ اگرچہ ان پٹ ویکٹر فیلڈ کو عام طور پر مجرد کیا جاتا ہے، ہم فیلڈ کو ہر نقطہ میں بیان کردہ سمجھتے ہیں، یعنی۔ ہم ایک انٹرپولیشن فرض کرتے ہیں۔ سٹریم لائنز، یا زیادہ عام طور پر فیلڈ لائنیں، ہر نقطہ میں ویکٹر فیلڈ کے لیے ٹینجینٹ ہوتی ہیں۔ وہ یا تو حد پر یا اہم مقامات پر ختم ہوتے ہیں۔ سادگی کی خاطر، مندرجہ ذیل اہم نکات اور حدود کو نظر انداز کیا جاتا ہے۔ ایک فیلڈ لائن، جسے آرک لمبائی کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ آئیے وہ فیلڈ لائن بنیں جو نقطہ سے گزرتی ہے۔ پھر امیج گرے ویلیو کو سیٹ کیا جاتا ہے کہ کنولیوشن کرنل کہاں ہے، شور امیج ہے، اور فیلڈ لائن سیگمنٹ کی لمبائی ہے جس کی پیروی کی جاتی ہے۔ ایل آئی سی کی تصویر میں ہر پکسل کے لیے حساب لگانا پڑتا ہے۔ اگر اسے بے وقوفی سے انجام دیا جائے تو یہ کافی مہنگا ہے۔ سب سے پہلے، فیلڈ لائنوں کو عام تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے عددی طریقہ استعمال کرتے ہوئے شمار کرنا پڑتا ہے، جیسے کہ رانج-کٹہ طریقہ، اور پھر ہر پکسل کے لیے فیلڈ لائن کے حصے کے ساتھ ارتقاء کا حساب لگانا پڑتا ہے۔ آؤٹ پٹ امیج عام طور پر کسی نہ کسی طرح رنگین ہوگی۔ عام طور پر کچھ اسکیلر فیلڈ کا استعمال کیا جاتا ہے، جیسے ویکٹر کی لمبائی، رنگ کا تعین کرنے کے لیے، جبکہ گرے اسکیل ایل آئی سی امیج رنگ کی چمک کا تعین کرتی ہے۔ ارتقاء کے دانے اور بے ترتیب شور کے مختلف انتخاب مختلف بناوٹ پیدا کرتے ہیں: مثال کے طور پر گلابی شور ایک ابر آلود نمونہ پیدا کرتا ہے جہاں زیادہ بہاؤ کے علاقے اسمیئرنگ کے طور پر کھڑے ہوتے ہیں، جو موسمی تصور کے لیے موزوں ہیں۔ ارتقاء میں مزید اصلاحات تصویر کے معیار کو بہتر بنا سکتی ہیں۔ پروگرامرز کے لیے تفصیل الگورتھمک طور پر، تکنیک ویکٹر فیلڈ کے ڈومین میں مطلوبہ آؤٹ پٹ ریزولوشن پر بے ترتیب سرمئی سطح کی تصویر تیار کرنے سے شروع ہوتی ہے۔ پھر، اس تصویر میں ہر پکسل کے لیے، ایک مقررہ آرک لمبائی کی آگے اور پیچھے کی ندی کا حساب لگایا جاتا ہے۔ موجودہ پکسل کو تفویض کردہ قیمت کا حساب اس سٹریم لائن کے ایک حصے پر پڑے تمام پکسلز کی سرمئی سطح کے ساتھ ایک مناسب کنولوشن دانا کے ارتقاء کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اس سے سرمئی سطح کی ایل آئی سی تصویر بنتی ہے۔ مسئلہ فیلڈ لائنوں اور 2 ڈی اسٹیشنری ویکٹر فیلڈ کی انفرادیت کو تصور کریں (2 ڈی مستحکم بہاؤ کی ندی لائنیں) ان پٹ ویکٹر فیلڈ: 2 ڈی اسٹیشنری ویکٹر فیلڈ شور: اسٹیشنری وائٹ شور (اسکیلر فیلڈ = ساخت) آؤٹ پٹ نتیجہ (آؤٹ پٹ امیج) = ان پٹ ویکٹر فیلڈ کی آخری ایل آئی سی امیج اقدامات کی رکاوٹیں غلط انفرادیت ورژن بنیادی ایل آئی سی امیجز گرے اسکیل امیجز ہیں، بغیر رنگ اور حرکت پذیری کے۔ اگرچہ اس طرح کی ایل آئی سی تصویر فیلڈ ویکٹروں کی واقفیت کو ظاہر کرتی ہے، لیکن یہ ان کی سمت کی نشاندہی نہیں کرتی ہے ؛ اسٹیشنری فیلڈز کے لیے، اس کا حرکت پذیری کے ذریعے ازالہ کیا جا سکتا ہے۔ بنیادی ایل آئی سی تصاویر ویکٹر کی لمبائی (یا فیلڈ کی طاقت) نہیں دکھاتی ہیں۔ رنگ ویکٹر کی لمبائی (یا میدان کی طاقت) عام طور پر رنگ میں کوڈ کی جاتی ہے ؛ متبادل طور پر، حرکت پذیری استعمال کی جا سکتی ہے۔ اینیمیٹڈ ورژن ایل آئی سی امیجز کو ایک دانا استعمال کرکے اینیمیٹ کیا جا سکتا ہے جو وقت کے ساتھ بدلتا ہے۔ اسٹریم لائن سے مستقل وقت پر نمونے اب بھی استعمال کیے جائیں گے، لیکن ایک جامد دانا کے ساتھ اسٹریم لائن میں تمام پکسلز کو اوسط کرنے کے بجائے، پیریڈک فنکشن سے بنایا گیا ریپل جیسا دانا ونڈو کے طور پر کام کرنے والے ہان فنکشن سے ضرب دیا جاتا ہے (نمونے کو روکنے کے لیے) استعمال کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد پیریڈک فنکشن کو اینیمیشن بنانے کے لیے پیریڈ کے ساتھ منتقل کیا جاتا ہے۔ ایف ایل آئی سی فاسٹ لائسنس (ایف ایل آئی سی) پہلے سے ہی کمپیوٹ شدہ فیلڈ لائنوں کے حصوں کو دوبارہ استعمال کرکے، کنولیوشن کرنل کے طور پر باکس فنکشن میں مہارت حاصل کرکے اور کنولیوشن کے دوران بے کار کمپیوٹیشن سے گریز کرکے کمپیوٹیشن کو نمایاں طور پر تیز کیا جا سکتا ہے۔ نتیجے میں آنے والے تیز رفتار ایل آئی سی طریقہ کو عام طور پر ارتقاء کے دانے بنائے جا سکتے ہیں جو صوابدیدی کثیر الجہتی ہوتے ہیں۔ او ایل آئی سی اورینٹڈ لائن انٹیگرل کنولیوشن (او ایل آئی سی) اورینٹڈ لائن انٹیگرل کنولیوشن (ایف آر او ایل آئی سی) یو ایف ایل آئی سی کی تیز رینڈرنگ وقت پر منحصر ویکٹر فیلڈز (غیر مستحکم بہاؤ) کے لیے ایک مختلف قسم (یو ایف ایل آئی سی = غیر مستحکم بہاؤ ایل آئی سی) ڈیزائن کیا گیا ہے جو بہاؤ حرکت پذیری کی ہم آہنگی کو برقرار رکھتا ہے۔ متوازی ورژن چونکہ ایل آئی سی کی تصویر کا حساب لگانا مہنگا ہے لیکن فطری طور پر متوازی ہے، اس لیے اسے متوازی بھی بنایا گیا ہے اور جی پی یو پر مبنی نفاذ کی دستیابی کے ساتھ، یہ پی سی پر انٹرایکٹو بن گیا ہے۔ اس کے علاوہ یو ایف ایل آئی سی کے لیے ایک انٹرایکٹو جی پی یو پر مبنی نفاذ پیش کیا گیا ہے۔ کثیر جہتی نوٹ کریں کہ ڈومین کا 2 ڈی ڈومین ہونا ضروری نہیں ہے: یہ طریقہ کثیر جہتی شور فیلڈز کا استعمال کرتے ہوئے اعلی جہتی ڈومینز پر لاگو ہوتا ہے۔ تاہم، اعلی جہتی ایل آئی سی ساخت کا تصور دشواری کا باعث ہے ؛ ایک طریقہ یہ ہے کہ 2 ڈی سلائسز کے ساتھ انٹرایکٹو ایکسپلوریشن کا استعمال کیا جائے جو دستی طور پر پوزیشن میں اور گھمایا جاتا ہے۔ ڈومین کا چپٹا ہونا بھی ضروری نہیں ہے ؛ ایل آئی سی کی ساخت کا حساب تھری ڈی جگہ میں من مانی شکل کی 2 ڈی سطحوں کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے۔ ایپلی کیشنز یہ تکنیک 1993 میں پہلی بار شائع ہونے کے بعد سے وسیع پیمانے پر مسائل پر لاگو کی گئی ہے۔ ایپلی کیشنز: مستحکم (وقت آزاد) بہاؤ کے لیے ان پٹ ویکٹر فیلڈ فلو ویژولائزیشن طریقہ کی فیلڈ لائنوں کے تخمینے کے ذریعے ویکٹر فیلڈز کی نمائندگی کرنا۔ یہاں فیلڈ لائنوں کو اسٹریم لائنز کہا جاتا ہے 2 ڈی خود مختار متحرک نظاموں کی بصری ایکسپلوریشن ہوا دار نقشے پانی کی سمتوں کے فنکارانہ اثرات فینسی امیجز پیدا کرنے کے لیے پنسل ڈرائنگ خودکار پنسل ڈرائنگ جنریشن تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے ایل آئی سی پنسل فلٹر بالوں کی ساخت کی خودکار نسل ماربلنگ ٹیکسٹچر ٹیرائن جنرلائزیشن: عام شیڈڈ ریلیف امپلیمینٹیشنز جی پی یو پر مبنی امیج پروسیسنگ ٹولز بذریعہ ریمنڈ میک گائر پیرا ویو: لائن انٹیگرل کنولیوشن ایل آئی سی اور آر کے 4 پر مبنی 2 ڈی فلو ویژوئلائزیشن ٹول۔ C + + اور VTK کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیا گیا۔ بذریعہ اینڈریس بیجرانو وولفرم ریسرچ (2008)، لائن انٹیگرل کنولیوشن پلاٹ، وولفرم لینگویج فنکشن، https://reference.wolfram.com/language/ref/LineIntegralConvolutionPlot.html (اپ ڈیٹ شدہ 2014)۔ ویٹڈ ارتھمیٹک مین یا ویٹڈ ایوریج حوالہ جات عددی فنکشن ڈرائنگ ویکٹر کیلکولس فلوڈ ڈائنامکس کمپلیکس تجزیہ کمپیوٹر گرافکس بھی دیکھیں۔