Law of cotangents
مثلثیات میں، کوٹینجینٹ کا قانون مثلث کے اطراف کی لمبائی اور تین زاویوں کے حصوں کے کوٹینجینٹ کے درمیان تعلق ہے۔ جس طرح تین مقداریں جن کی مساوات کا اظہار سائنس کے قانون کے ذریعہ کیا جاتا ہے وہ مثلث کے گھیرے ہوئے دائرے کے قطر کے برابر ہیں (یا اس کے باہمی، اس بات پر منحصر ہے کہ قانون کا اظہار کیسے کیا جاتا ہے)، اسی طرح کوٹینجینٹس کا قانون بھی ایک مثلث (انریڈیئس) کے کندہ شدہ دائرے کے رداس کو اس کے اطراف اور زاویوں سے جوڑتا ہے۔ ایک مثلث کے لیے معمول کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے (اوپری دائیں طرف کی شکل دیکھیں)، جہاں، تین اطراف کی لمبائی ہیں،، ان تین متعلقہ اطراف کے مخالف عمودی ہیں،، ان عمودی حصوں پر متعلقہ زاویہ ہیں، سیمی پیری میٹر ہے، یعنی، اور کندہ شدہ دائرے کا رداس ہے، کوٹینجینٹس کا قانون یہ بتاتا ہے کہ اور اس کے علاوہ کہ انریڈیئس ثبوت کے ذریعے دیا گیا ہے۔ اوپری شکل میں، مثلث کے اطراف کے ساتھ اندرونی دائرے کے ٹینجینسی کے نکات دائرے کو 6 حصوں میں، 3 جوڑوں میں توڑ دیتے ہیں۔ ہر جوڑے میں حصوں کی لمبائی برابر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ورٹیکس سے ملحقہ 2 حصے برابر ہیں۔ اگر ہم ہر جوڑے میں سے ایک حصہ چنتے ہیں، تو ان کا مجموعہ سیمی پیریمیٹر ہوگا۔ اس کی ایک مثال شکل میں رنگ میں دکھائے گئے حصے ہیں۔ سرخ لکیر بنانے والے دو حصے جوڑتے ہیں، اس لیے نیلے حصے کی لمبائی ہونی چاہیے۔ ظاہر ہے، دیگر پانچ حصوں کی لمبائی بھی ہونی چاہیے، یا، جیسا کہ نچلی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ اعداد و شمار کے معائنہ سے، کوٹینجینٹ فنکشن کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس اور اسی طرح دوسرے دو زاویوں کے لیے، پہلا دعوی ثابت ہوتا ہے۔ دوسرے کے لیے-انریڈیئس فارمولا-ہم عمومی اضافے کے فارمولے سے شروع کرتے ہیں: اس پر لاگو ہوتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں: (یہ بھی ٹرپل کوٹینجینٹ شناخت ہے) پہلے حصے میں حاصل کردہ اقدار کو تبدیل کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے: کے ذریعے ضرب دینے سے قیمت ملتی ہے، دوسرے دعوے کو ثابت کرتا ہے۔ کوٹینجینٹ کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے کچھ ثبوت کوٹینجینٹ کے قانون سے متعدد دیگر نتائج حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ہیرون کا فارمولا۔ نوٹ کریں کہ مثلث کے رقبے کو بھی 6 چھوٹے مثلثوں میں تقسیم کیا گیا ہے، یہ بھی 3 جوڑوں میں ہے، جس میں ہر جوڑے میں مثلث کا رقبہ ایک جیسا ہے۔ مثال کے طور پر، چوٹی کے قریب دو مثلث، چوڑائی اور اونچائی کے دائیں مثلث ہونے کی وجہ سے، ہر ایک کا رقبہ ہے۔ تو ان دونوں مثلثوں کا مل کر رقبہ ہے، اور اس لیے پورے مثلث کا رقبہ ہے۔ مولویڈ کا پہلا فارمولا۔ اضافی فارمولے اور کوٹینجینٹس کے قانون سے ہمارے پاس یہ ضرورت کے مطابق نتیجہ دیتا ہے۔ مولویڈ کا دوسرا فارمولا۔ ہمارے پاس موجود اضافی فارمولے اور کوٹینجینٹس کے قانون سے، جمع/پروڈکٹ فارمولے کے مطابق، کسی پروڈکٹ کو رقم میں تبدیل کرنے کے لیے ایک اضافی قدم درکار ہوتا ہے۔ یہ ضرورت کے مطابق نتیجہ دیتا ہے۔ ٹینجینٹ کا قانون بھی اس سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ دیگر شناختوں کو "کوٹینجینٹس کا قانون" کہا جاتا ہے۔ کوٹینجینٹس کا قانون اتنا عام یا اچھی طرح سے قائم نہیں ہے جتنا کہ سائنس، کوسینز، یا ٹینجینٹس کے قوانین ہیں، لہذا یہی نام بعض اوقات کوٹینجینٹس پر مشتمل دیگر مثلث شناختوں پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر: دو زاویوں کے کوٹینجینٹ کا مجموعہ تیسرے سرے کے ذریعے ان کے درمیان کی طرف اور اونچائی کے تناسب کے برابر ہوتا ہے: کوسینوں کے قانون کا اظہار کوسین کے بجائے کوٹینجینٹ کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے، جو مثلث کے رقبے کو شناخت میں لاتا ہے: کیونکہ مثلث کے تین زاویے اپنے کوٹینجینٹ کے جوڑی وار پروڈکٹ کے مجموعے کے لیے ایک ہوتے ہیں: یہ بھی دیکھیں کہ کوسینوں کے قانون کا قانون ٹینجینٹ کا قانون مولویڈ کا فارمولا ہیرون کا فارمولا حوالہ جات مثلث کے بارے میں مثلث کے نظریہ