Metaplectic structure
تفریق جیومیٹری میں، ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچہ قابل سمت ریمینیئن مینیفولڈز پر اسپن ڈھانچے کا سمپلیکٹک ینالاگ ہے۔ سمپلیکٹک کئی گنا پر ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچہ کسی کو سمپلیکٹک اسپنر بنڈل کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جو کہ میٹاپلیکٹک نمائندگی کے ذریعے میٹاپلیکٹک ڈھانچے سے وابستہ ہلبرٹ اسپیس بنڈل ہے، جو تفریقی جیومیٹری میں سمپلیکٹک اسپنر فیلڈ کے تصور کو جنم دیتا ہے۔ علامتی اسپن ڈھانچے ریاضیاتی طبیعیات کے لیے وسیع پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں، خاص طور پر کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لیے جہاں وہ اس خیال کو قائم کرنے میں ایک لازمی جزو ہیں کہ سمپلیکٹک اسپن جیومیٹری اور سمپلیکٹک ڈیراک آپریٹرز سمپلیکٹک جیومیٹری اور سمپلیکٹک ٹوپولوجی میں قیمتی اوزار دے سکتے ہیں۔ وہ تفریقی جیومیٹری، الجبرائی ٹوپولوجی، اور کے تھیوری میں بھی خالصتا ریاضیاتی دلچسپی رکھتے ہیں۔ وہ سمپلیکٹک اسپن جیومیٹری کی بنیاد بناتے ہیں۔ رسمی تعریف سمپلیکٹک کئی گنا پر ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچہ ڈبل کورنگ کے حوالے سے سمپلیکٹک فریم بنڈل کی ایک مساوی لفٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک جوڑا پرنسپل بنڈل پر ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچہ ہوتا ہے جب a) پرنسپل بنڈل ہوتا ہے، b) ایک مساوی فولڈ کورنگ نقشہ ہوتا ہے جیسے کہ اور سب کے لیے اور پرنسپل بنڈل کو میٹاپلیکٹک فریموں کا بنڈل بھی کہا جاتا ہے۔ دو میٹاپلیکٹک ڈھانچے اور ایک ہی سمپلیکٹک کئی گنا کو مساوی کہا جاتا ہے اگر کوئی مساوی نقشہ موجود ہو جیسے کہ اور سب کے لیے اور یقینا، اس معاملے میں اور دیئے گئے سمپلیکٹک کئی گنا کے سمپلیکٹک فریم-بنڈل کے دو مساوی ڈبل کورنگ ہیں۔ رکاوٹ چونکہ ہر سمپلیکٹک کئی گنا لازمی طور پر یکساں طول و عرض اور سمت کا ہوتا ہے، اس لیے کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ میٹاپلیکٹک ڈھانچوں کے وجود میں ٹپوولوجیکل رکاوٹ بالکل وہی ہے جو ریمینیئن اسپن جیومیٹری میں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک سمپلیکٹک کئی گنا ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچے کو قبول کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دوسرا سٹیفل وٹنی کلاس غائب ہو جائے۔ درحقیقت، پہلی چرن کلاس کی ماڈیولو کمی دوسری سٹیفل وٹنی کلاس ہے۔ لہذا، میٹاپلیکٹک ڈھانچے کو قبول کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یکساں ہو، یعنی اگر اور صرف اس صورت میں جب صفر ہو۔ اگر ایسا ہے تو، میٹاپلیکٹک ڈھانچوں کی آئسومورفی کلاسوں کی درجہ بندی-کوفیشنٹس کے ساتھ پہلے کوہمولوجی گروپ کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ جیسا کہ کئی گنا پر مبنی سمجھا جاتا ہے، پہلی سٹیفل وٹنی کلاس بھی غائب ہو جاتی ہے۔ مثالیں ایک میٹاپلیکٹک ڈھانچے کو تسلیم کرتے ہوئے ظاہر کرتی ہیں۔ فیز خالی جگہوں میں کوئی بھی قابل سمت کئی گنا ہوتا ہے۔ پیچیدہ پروجیکٹو خالی جگہیں چونکہ آسانی سے جڑی ہوئی ہیں، اس طرح کی ساخت منفرد ہونی چاہیے۔ گراس مینین وغیرہ۔ میٹا پلیکٹک گروپ سمپلیکٹک فریم بنڈل سمپلیکٹک گروپ سمپلیکٹک اسپنر بنڈل نوٹ حوالہ جات سمپلیکٹک جیومیٹری کئی گنا الجبرائی ٹوپولوجی پر ڈھانچے