Nichols algebra
الجبرا میں، ایک بریڈڈ ویکٹر اسپیس کا نکولس الجبرا (جس میں بریڈنگ اکثر ایک محدود گروپ کے ذریعہ متاثر ہوتی ہے) ایک بریڈڈ ہوپف الجبرا ہے جس کی نشاندہی ریاضی دان وارن نکولس کے نام پر کی گئی ہے۔ یہ کوانٹم بریل کا کردار ادا کرتا ہے جو ایک نوک دار ہوپف الجبرا کا حصہ ہے جیسے کہ کوانٹم گروپس اور ان کے معروف محدود جہتی ٹرنکیشنز۔ نکولس الجبرا کو ریڈ فورڈ بائی پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے فوری طور پر اس طرح کے نئے کوانٹم گروپوں کو لکھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے تمام نکولس الجبرا اور یہاں تک کہ تمام متعلقہ کوانٹم گروپوں کی درجہ بندی (درخواست دیکھیں) تیزی سے آگے بڑھ رہی ہے، حالانکہ اب بھی بہت کچھ کھلا ہے: ایک ابیلین گروپ کا معاملہ 2005 میں حل کیا گیا تھا، لیکن بصورت دیگر یہ رجحان بہت کم معلوم ہوتا ہے، جس میں مٹھی بھر معروف اور طاقتور نفی کے معیارات قائم ہیں (نیچے دیکھیں)۔ محدود جہتی نکولس الجبرا کی یہ فہرست بھی دیکھیں۔ محدود جہتی نظریہ جڑ کے نظام اور ڈائنکن خاکے کے نظریہ کے ذریعے بہت زیادہ زیر انتظام ہے، جو حیرت انگیز طور پر نیم سادہ لائ الجبرا سے ملتا جلتا ہے۔ ہیکنبرگر کے لیکچر میں ایک جامع تعارف ملتا ہے۔ تعریف یٹر-ڈرنفیلڈ زمرے میں یٹر-ڈرنفیلڈ ماڈیول V پر غور کریں۔ یہ خاص طور پر ایک چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوڑی چوٹی ہے۔ یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول کا ٹینسر الجبرا ہمیشہ ایک بریڈڈ ہوپف الجبرا ہوتا ہے۔ نکولس الجبرا کو منفرد طور پر کئی مساوی خصوصیات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، جن میں سے کچھ ہوپف الجبرا کی ساخت پر مرکوز ہیں اور کچھ زیادہ مشترکہ ہیں۔ قطع نظر، نکولس الجبرا کا واضح طور پر تعین کرنا (یہاں تک کہ یہ طے کرنا کہ آیا یہ محدود جہتی ہے) بہت مشکل ہو سکتا ہے اور کئی ٹھوس مثالوں میں کھلا ہے (نیچے دیکھیں)۔ تعریف I: مشترکہ فارمولا آئیے ایک بریڈڈ ویکٹر اسپیس ہونے دیں، اس کا مطلب ہے کہ کسی کے لیے بھی بریڈ گروپ کا ایک ایکشن ہوتا ہے، جہاں ٹرانسپوزیشن اس طرح کام کرتی ہے۔ واضح طور پر سمیٹرک گروپ میں ہومومورفزم ہے لیکن نہ تو یہ کسی حصے کو تسلیم کرتا ہے، اور نہ ہی عام طور پر عمل اس پر فیکٹرائز ہوتا ہے۔ اس کے باوجود ایک سیٹ تھیوریٹک سیکشن پر غور کریں جو کسی بھی کم اظہار کے ذریعے منتقلی اور صوابدیدی عناصر کو منتقل کرتا ہے۔ یہ گروپ ہومومورفزم نہیں ہے، لیکن ماتسوموٹو کا نظریہ (گروپ تھیوری) ہمیں بتاتا ہے کہ کسی بھی آن کا عمل کم شدہ اظہار کے انتخاب سے آزادانہ طور پر اچھی طرح سے متعین ہے۔ آخر میں نکولس الجبرا تب ہوتا ہے۔ یہ تعریف بعد میں (لیکن آزادانہ طور پر) ورونوویز نے دی تھی۔ اسے الجبرائی ثبوتوں میں شاذ و نادر ہی مفید ہونے کا نقصان ہے لیکن یہ اپنے آپ میں ایک وجدان کی نمائندگی کرتا ہے اور اس میں ہوپف الجبرا کے اشارے سے بہت واضح اور آزاد ہونے کا تدریسی فائدہ ہے۔ تعریف II: تجویز کردہ پرائمیٹیوز نکولس الجبرا ایک منفرد ہوپف الجبرا ہے جو اس کے ذریعہ تیار کردہ چوٹی والے زمرے میں ہے، جیسے کہ صرف قدیم عناصر ہیں۔ یہ نکولس کی وجہ سے اصل تعریف ہے اور یہ ہوپف الجبرا کی درجہ بندی میں ایک بنیادی تصور کے طور پر نکولس الجبرا کے کردار کو بہت شفاف بناتا ہے۔ تعریف III: یونیورسل کوشیئنٹ لیٹ۔ مندرجہ ذیل خصوصیات کے ساتھ ایک سب سے بڑا آئیڈیل موجود ہے: (یہ خودکار ہے) نکولس الجبرا تعریف IV: نان ڈیجینریٹ پیئرنگ ہے منفرد ہوپف جوڑی ایک نان ڈیجینریٹ ہوپف جوڑی کو فیکٹرائز کرتی ہے اور یہ حقیقت نکولس الجبرا کو منفرد طور پر نمایاں کرتی ہے۔ یہ نظریاتی طور پر بہت مددگار خصوصیت Lusztig کی وجہ سے ہے۔ تعریف V: منحنی مشتقات یہ پچھلی تعریف کی کسی حد تک واضح شکل ہے: ایک یکساں بنیاد کا انتخاب کریں (یعنی۔ کویکشن/گریجویشن) کوئی بھی ٹینسر الجبرا کی عالمگیر خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے اسکیو مشتقات کی وضاحت کر سکتا ہے: پھر نکولس الجبرا سب سے بڑے یکساں آئیڈیل کا حصص ہے جس میں کوئی مستقل نہیں ہوتا ہے اور تمام مشتقات کے تحت غیر متغیر ہوتا ہے۔ موٹے طور پر، کوئی بھی تمام سکیو مشتقات کے دانے میں موجود عناصر کو تلاش کر سکتا ہے اور انہیں تقسیم کر سکتا ہے ؛ پھر ان تمام عناصر کو دوبارہ دیکھیں جو اب تمام سکیو مشتقات کے دانے میں ہیں اور انہیں بھی تقسیم کر سکتے ہیں وغیرہ۔ مثالیں ہم محدود جہتی نکولس الجبرا کی مثالیں دیتے ہیں۔ خصوصیت پی پر، یہ اثر پہلے سے ہی غیر بریڈڈ صورتحال میں ظاہر ہو سکتا ہے، یعنی پی-محدود لائ الجبرا کے کٹے ہوئے عالمگیر لفافے۔ خصوصیت صفر میں اور ایک ابیلین گروپ سے آنے والی چوٹی کے ساتھ، یہ اسی طرح کا اکثر واقعہ معلوم ہوتا ہے (تاہم زیادہ ملوث، درجہ بندی دیکھیں)۔ دوسری طرف جی نانبیلین کے لیے، اب تک صرف بہت کم مثالیں معلوم ہیں، اور طاقتور نفی کے معیار میں بہت سے گروپ بالکل بھی شامل نہیں ہیں (درجہ بندی دیکھیں)۔ 1 جہتی مثالیں پہلی مثال کے طور پر، گروپ ہوپف الجبرا H = k [Z/2Z] پر 1 جہتی یٹر ڈرین فیلڈ ماڈیول پر غور کریں جس میں چکور گروپ کو ضرب سے ظاہر کیا جاتا ہے (جیسا کہ الجبرا میں ہمیشہ ہوتا ہے) اور کچھ g سے پیدا ہوتا ہے۔ H-کویکشن (रेसپ) کے طور پر لیں۔ Z/2Z-گریجویشن) آن: H-ایکشن کے طور پر لیں۔ Z/2Z-کارروائی) پر: اس طرح چوڑی ہے پھر، نشان کے انتخاب پر منحصر ہے، نکولس الجبرا یہ ہیں: نوٹ کریں کہ پہلا توقع کے مطابق ہے (غیر چوڑی کیس)، جبکہ دوسرے کو اس حد تک کاٹ دیا گیا ہے کہ یہ محدود جہتی ہے! اسی طرح، ایک اعلی چکور گروہ پر Vq جس میں g، k میں کچھ q کے ذریعے کام کرتا ہے، نکلز الجبرا رکھتا ہے اگر q ष्ण 1 اتحاد کا ایک ابتدائی n-th جڑ ہے، اور بصورت دیگر۔ (جسمانی نقطہ نظر سے، V + ایک بوسون سے مطابقت رکھتا ہے، جبکہ V-ایک فرمیئن کی نمائندگی کرتا ہے جو پالی اخراج کے اصول سے محدود ہے۔ ایک مشابہت جو بریڈڈ کمیونیٹرز پر غور کرتے وقت دہرائی جاتی ہے، ان معاملات میں (مخالف) کمیونیٹرز ہونے کے ناطے، کوانٹم گروپ اور بحث کے طور پر سپرسیمیٹری کو بھی دیکھیں) G ابیلین پر اعلی درجے کی مثالیں: بریڈڈ کمیونیٹرز اگلی مثالیں دو بنیادی عناصر کے تعامل کو ظاہر کرتی ہیں: دو جہتی یٹر-ڈرین فیلڈ ماڈیول V0,1 = kx ky پر غور کریں گروپ ہوپف الجبرا H = k [Z/2Z × Z/2Z] کے ساتھ کلین چار گروپ کو ضرب سے ظاہر کیا جاتا ہے اور کچھ g، h کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ V0,1 پر H-کوایکشن/گریجویشن کے طور پر لیں: اور H-ایکشن کے طور پر لیں۔ Z/2Z-کارروائی) V0,1 پر: V0 کے لیے "+" کے ساتھ (ہم آہنگ) اور V1 کے لیے "-" (غیر متناسب) اس طرح چوڑی ہوتی ہے۔ پھر، نشان کے انتخاب پر منحصر ہے، نکولس الجبرا طول و عرض 4 اور 8 کے ہوتے ہیں (وہ نیچے کی درجہ بندی میں ظاہر ہوتے ہیں): وہاں کوئی سیمی سمپل لائ الجبرا سے نمایاں مشابہت دیکھ سکتا ہے: پہلی صورت میں، بریڈڈ کمیونیٹر [x, y] (یہاں: اینٹی کمیونیٹر) صفر ہوتا ہے، جبکہ دوسرے میں، جڑ کی تار لمبی ہوتی ہے [x, [x, y]] = 0۔ لہذا یہ دونوں ڈائنکن خاکے اور اے 2 سے تعلق رکھتے ہیں۔ ڈائنکن ڈائیگرام B2، G2 (لیکن اس سے بھی اونچے نہیں) کے مطابق جڑ کے اور بھی لمبے تار V2، V3 کے ساتھ مثالیں بھی تشکیل دی جاتی ہیں۔ لائ الجیبراس، کوانٹم گروپس نکولس الجیبراس کی عالمگیر لفافہ شاید کوانٹم گروپس کا بوریل حصہ ہونے اور ان کی عمومی کاری کے لیے مشہور ہیں۔ مزید واضح طور پر ایک ابیلین گروپ کے اوپر اخترن یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول ہونے دیں جہاں ایک نیم سادہ (محدود جہتی) لائ الجبرا کی قتل کی شکل ہے، پھر نکولس الجبرا لوزٹگ کے چھوٹے کوانٹم گروپ کا مثبت حصہ ہے جس میں سپر-لی الجبرا شامل ہیں۔ ہیکن برگروں کی فہرست میں لائ الجبرا سے زیادہ اخترن نکولس الجبرا ہیں، اور جڑ کے نظام کا نظریہ منظم ہے، لیکن زیادہ پیچیدہ ہے (نیچے دیکھیں)۔ خاص طور پر اس میں سپر-لی-الجیبراس (نیچے دی گئی مثال) کے ساتھ ساتھ کچھ لائ الجیبراس اور سپر-لی-الجیبراس کی درجہ بندی بھی شامل ہے جو صرف ایک مخصوص محدود خصوصیت میں ظاہر ہوتے ہیں۔ اس طرح نکولس الجبرا تھیوری اور روٹ سسٹم تھیوری ان تصورات کے لیے ایک متحد فریم ورک فراہم کرتے ہیں۔ نان ڈائیگنل بریڈنگز، نان ایبلین گروپس اب تک k = C پر صرف مٹھی بھر محدود جہتی نکولس الجبرا معلوم ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ اس معاملے میں ہر ناقابل کٹوتی یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول گروپ کے کنجوگیسی کلاس سے مطابقت رکھتا ہے (جی کے سنٹرلائزر کی ناقابل کٹوتی نمائندگی کے ساتھ)۔ ایک صوابدیدی یٹر-ڈرین فیلڈ ماڈیول اس طرح کا ایک براہ راست مجموعہ ہے، مجموعوں کی تعداد کو رینک کہا جاتا ہے۔ ہر خلاصہ ڈائنکن خاکہ میں انوڈ سے مطابقت رکھتا ہے (نیچے دیکھیں)۔ نوٹ کریں کہ مذکورہ بالا ابیلین گروپوں کے لیے، ناقابل تلافی خلاصہ 1 جہتی ہوتے ہیں، اس لیے درجہ اور طول و عرض ایک ساتھ ہوتے ہیں۔ خاص مثالوں میں کاکسٹر گروپ میں عکاسی کی کنجوگیسی کلاس (ایس) سے وابستہ نکولس الجبرا شامل ہے، ان کا تعلق فومین کیریلوف الجبرا سے ہے۔ یہ معلوم ہے کہ یہ نکولس الجیبرا محدود جہتی ہیں لیکن یہ کیس پہلے ہی 2000 سے کھلا ہے۔ مثالوں کی ایک اور کلاس کو ابیلین کیس سے ڈائیگرام آٹومورفزم کے ذریعے فولڈنگ کے ذریعے بنایا جا سکتا ہے۔ ہمارے علم کی حد تک محدود جہتی نکولس الجبرا کی فہرست کے لیے یہاں دیکھیں۔ جڑوں کا نظام ایک بہت ہی قابل ذکر خصوصیت یہ ہے کہ ہر نکولس الجبرا کے لیے (کافی حد کے حالات میں) جڑوں کے ایک سیٹ کے ساتھ ایک عمومی جڑوں کا نظام موجود ہے، جو نکولس الجبرا کو کنٹرول کرتا ہے۔ یہ دو حرفی کے لحاظ سے اخترن نکولس الجبرا کے لیے اور عام نیم سادہ نکولس الجبرا کے لیے دریافت کیا گیا ہے۔ لائ الجبرا سے جانے جانے والے عام کرسٹلگرافک جڑ کے نظام کے برعکس، ایک ہی عمومی جڑ کے نظام میں کئی مختلف ویل چیمبرز ہو سکتے ہیں، جو مثبت جڑوں اور سادہ مثبت جڑوں کے سیٹوں کے غیر مساوی انتخاب سے مطابقت رکھتے ہیں، جن میں مختلف کارٹن میٹرکس اور مختلف ڈائنکن خاکے ہوتے ہیں۔ مختلف ویل چیمبر حقیقت میں مختلف غیر آئسومورفک نکولس الجبرا سے مطابقت رکھتے ہیں جنہیں ویل مساوی کہا جاتا ہے۔ کوانٹم گروپ اس حقیقت کے حوالے سے بہت خاص ہیں کہ یہاں تمام بوریل حصے آئسومورفک ہیں۔ اس کے باوجود اس معاملے میں بھی لوسٹگ کا ریفلیکشن آپریٹر دوبارہ ہوپف الجبرا آئسومورفزم نہیں ہے! ویل گروپائڈ اور عمومی جڑوں کے نظام کی تعریف رسمی بنیاد کے ساتھ درجہ بندی کہاں ہے۔ ہم سب سے پہلے عمومی کارٹن گرافوں پر بحث کرتے ہیں: ایک عمومی کارٹن میٹرکس ایک لازمی میٹرکس ہے جیسے کہ کارٹن گراف اس طرح کے کارٹن میٹرکس کا ایک مجموعہ ہے جسے اشیاء/چیمبروں کے ایک سیٹ کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، (آبجیکٹ چینج) مورفزم کے ساتھ مل کر نقشوں کی وضاحت کریں (نوٹ کریں کہ لائ الجبرا لٹریچر میں ٹرانسپوز کنونشن بھی ہے، مثال کے طور پر۔ ہمفری کی کتاب میں) ویل گروپائڈ وہ زمرہ ہے جس میں اشیاء اور مورفزم رسمی طور پر اس سے پیدا ہونے والے گروپ ہوتے ہیں۔ اصل جڑوں کا مجموعہ سیٹ کی وضاحت کرتا ہے، پھر ایک جڑ کا نظام ایک سیٹ ہوتا ہے جس میں فار کے ساتھ کرسٹلگرافک ہائپرپلین انتظامات کے محدود مساوات ہوتی ہے۔ اس میں دکھایا گیا تھا کہ ویل گروپائڈز کرسٹلگرافک ہائپرپلین انتظامات کے 1:1 خط و کتابت میں ہوتے ہیں۔ یہ عام ویکٹروں کی اصل اور انتخاب کے ذریعے ہائپرپلین کا ایک مجموعہ ہے جیسے کہ عام ویکٹروں کے ساتھ ہائپرپلین سے منسلک ہر سادہ چیمبر کے لیے دیگر تمام منتخب کردہ نارمل ویکٹر کو ان کے لازمی لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ تمام محدود کرسٹلگرافک ہائپرپلین انتظامات کے سیٹ میں (اور اس وجہ سے محدود ویل گروپائڈز یا محدود عمومی جڑ کے نظام) کی درجہ بندی کی گئی ہے۔ عکاسی کے انتظامات کے علاوہ ایک اور لامحدود خاندان ہے اور مجموعی طور پر 74 مستثنیات ہیں جن کی درجہ بندی تک ہے۔ رینک 3 کی مثال (ایک سپر لائ الجبرا بھی) سب سے چھوٹی کرسٹلگرافک ہائپرپلین ترتیب، ویل گروپائڈ، عمومی جڑ کا نظام، جو عام لائ قسم کا نہیں ہے، مندرجہ ذیل ہے۔ یہ ایک اخترن نکولس الجبرا کے لیے ظاہر ہوتا ہے، یہاں تک کہ ایک سپر لائ الجبرا کے لیے بھی۔ ہائپرپلین کا انتظام کیوبکٹی ہیڈرون (ایک پلاٹونک ٹھوس) سے بنایا جا سکتا ہے: اس کی جڑیں (ریسپ) ہوتی ہیں۔ ہائپرپلین، مساوی مثلث ریسپ کو پابند کرنے والی تصاویر میں۔ مربعوں میں ڈائیگنلز، سپر لائ الجبرا میں عجیب ریسپ۔ یہاں تک کہ جڑیں)۔ اس میں واضح طور پر مختلف قسم کے ویل چیمبرز (مساوی مثلث ریسپ) ہیں۔ دائیں مثلث) مختلف کارٹن میٹرکس کے ساتھ جس میں سادہ جڑوں کے لحاظ سے جڑیں مندرجہ ذیل ہیں: تصویر میں سفید چیمبر، مثال کے طور پر بنیاد کے ساتھ۔ واضح طور پر، اس قسم کے چیمبر کا ڈائنکن خاکہ ایک سیدھا سیدھا مثلث ہے، ریفلیکشن آن ہمیں دوسری قسم کے چیمبر میں لاتا ہے۔ تصویر میں گرے چیمبر، مثال کے طور پر بیس کے ساتھ۔ اس قسم کے چیمبر کا ڈائنکن خاکہ صرف (لیکن ایک اور جڑ) ہے۔ یہ جڑ کا نظام لامحدود سیریز کا سب سے چھوٹا رکن ہے۔ تصاویر سے ہیں، جہاں مثال بھی اچھی طرح سے بحث کی گئی ہے. درجہ بندی (تفصیلات) ابیلین گروپوں پر k = C میں ابیلین گروپوں پر محدود طول و عرض کے نکولس الجبرا کو استوان ہیکنبرگر نے سالوں 2004-2005 میں ریاضی کے جڑ کے نظام اور عمومی ڈائنکن خاکے کی درجہ بندی کرکے درجہ بندی کیا تھا۔ جہاں پہلے ہی کھرچینکو نے ثابت کیا تھا کہ وہ تکرار شدہ (چوڑی چوٹی والے) کمیونیٹرز کی پوائنکیری-برخوف-وٹ بنیاد رکھتے ہیں۔ کسی کو صرف بریڈنگ میٹرکس کی ضرورت ہوتی ہے، جو اس ترتیب میں اخترن ہے (اوپر کی مثالیں دیکھیں) اگرچہ زیادہ تر صرف کلاسیکی کارٹن کیس ظاہر ہوتے ہیں، چھوٹے پرائمز کے لیے کئی غیر ملکی خاکے ممکن ہیں، جیسے کہ مثلث۔ ان صورتوں میں ایک خاکہ کی ویل عکاسی "ایک ہی" خاکہ میں نہیں، بلکہ ایک نام نہاد ویل مساوی میں اتر سکتی ہے۔ یہی صحیح وجہ بھی ہے، کہ ان غیر ملکی معاملات میں معمول کے گروپ کے بجائے ویل گروپائڈ ہوتا ہے۔ نکولس الجبرا کے جنریٹر اور تعلقات جڑ کے نظام سے آسانی سے دستیاب نہیں ہیں۔ بلکہ، لینونڈ الفاظ کے ساتھ تکلیف دہ کام کرنا پڑتا ہے۔ یہ مکمل طور پر منفی معیار میں کیا گیا ہے: ابیلین سبریکس خاص طور پر ناقابل تلافی V کے لیے کوئی ذیلی ماڈیول نہیں ہیں ؛ تاہم کوئی بھی سبریک کا زیادہ تجریدی تصور استعمال کر سکتا ہے جو صرف دو موجود عناصر کی چوٹی کی عکاسی کرتا ہے۔ کئی کاغذات میں، نکولس اینڈروسکیوٹش اور دیگر۔ منفی معیارات دیے گئے جن میں گروپوں کو (ناقابل تشکیل) نکولس الجبرا رکھنے سے بالکل خارج کر دیا گیا۔ ان کی تکنیکوں کا خلاصہ کیا جا سکتا ہے (مزید تفصیلات! ): یہ انساتز بعض اوقات مضبوط حالات رکھتا ہے خاص طور پر کسی بھی جی درجہ بند عنصر x کو اپنے ساتھ جوڑنے پر (جیسے۔ اوپر دی گئی پہلی مثال سے پتہ چلتا ہے کہ q ष्ण 1) ہے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ g سنٹرلائزر میں مرکزی ہے، اس لیے یہ شور لیما کے نتیجے میں اسکیلر کے ذریعے ناقابل کٹوتی نمائندگی پر کام کرتا ہے۔ اس لیے یہ سیلف بریڈنگ ریسپ ہے۔ 1-ڈم سب-یٹر-ڈرینفیلڈ ماڈیول/بریڈڈ ویکٹر اسپیس/1-ڈم سبریک اخترن ہے۔ یہ عام طور پر جی کو خارج کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ عجیب ترتیب کا ہونا اور/یا اعلی جہت کا χ: اگر g حقیقی ہے (یعنی۔ اس کے الٹا سے جڑا ہوا) تو q =-1 (خاص طور پر g کو یکساں ترتیب کا ہونا چاہیے) اگر g نیم حقیقی ہے (یعنی۔ پھر یا تو q =-1 جیسا کہ اوپر ہے یا نمائندگی χ یک جہتی ہے جس میں q = ζ3 اتحاد کا ایک قدیم تیسرا جڑ ہے (خاص طور پر g کی ترتیب 3 سے قابل تقسیم ہے) اگر اس کے برعکس g ایک ارتقاء ہے اور کچھ مرکزی کرنے والا h = tgt ہے تو اس پر کام کرنے والے h (میٹرکس کے طور پر دیکھا جاتا ہے) کی آئجن ویلیوز سختی سے محدود ہیں۔ غیر ایبلین گروپوں پر جڑ کے نظام غیر ایبلین کیس میں بھی جڑ کے نظام کا وجود فوری طور پر مندرجہ ذیل بہت مضبوط مضمرات کا اشارہ کرتا ہے: رینک 2 نکولس الجبرا کے لیے فوری نتائج مضمر ہیں جو کہ g، h ڈسکوموٹنگ ؛ پھر: عناصر کے بریڈڈ کمیونیٹر [x، y] تمام صفر نہیں ہوتے ہیں۔ بریڈڈ کمیوٹیٹرز کی جگہ ایک ناقابل تلافی ذیلی-یٹر-ڈرین فیلڈ ماڈیول بناتی ہے (یعنی۔ جڑ منفرد ہے جیسا کہ لائ الجبرا کے معاملے میں ہے) وہ "آمد و رفت کے قریب" ہیں۔ اس سے تقریبا یہ ظاہر ہوتا ہے کہ نان ایبلین گروپوں پر محدود جہتی نکولس الجبرا بہت کم درجے کے (اگر بالکل بھی ہوں) ہونے چاہئیں یا گروپ کو قریب سے ایبلین ہونا چاہیے۔ منفی معیار: نان ایبلین سبریکس (ٹائپ ڈی) چونکہ ایبلین سبریکس ایبلین گروپوں پر نکولس الجیبراس کے لیے ہیکنبرجر کی ساختی درجہ بندی کا استعمال کرتے ہیں (اوپر دیکھیں) کوئی بھی نان ایبلین سبریکس پر بھی غور کر سکتا ہے۔ اگر اس طرح کا ذیلی ریک کئی ٹکڑوں میں تحلیل ہو جاتا ہے (کیونکہ اب کم عنصر جوڑنے کے لیے موجود ہیں)، تو جڑ کے نظام پر مندرجہ بالا نتائج لاگو ہوتے ہیں۔ ایک مخصوص معاملہ جہاں یہ انتہائی کامیاب ہوتا ہے وہ ٹائپ ڈی ہے، یعنی۔ r کے لیے، s پیدا شدہ ذیلی گروپ میں کنجوگیٹ نہیں ہے اس معاملے میں سبریک کا نکولس الجبرا لامحدود جہتی ہے اور اسی طرح پورا نکولس الجبرا بھی ہے۔ معروف گروپ محدود جہتی نکولس الجبرا کو قبول نہیں کر رہے ہیں۔ اوپر دی گئی دونوں نفی کی تکنیکیں (ناقابل تشکیل) محدود جہتی نکولس الجبرا کو مسترد کرنے کے لیے بہت نتیجہ خیز رہی ہیں: سمیٹرک گروپوں کے لیے متبادل گروپوں کے لیے مثالوں کی ایک مختصر فہرست کے علاوہ جھوٹ کی قسم کے کچھ گروپ (ذرائع، مکمل فہرست؟) امکانات کی ایک مختصر فہرست کے علاوہ تمام وقفے وقفے والے گروپ (ریسپ۔ اے ٹی ایل اے ایس نوٹیشن میں کنجوگیسی کلاسیں) جو تمام حقیقی ہیں یا جے = 3-قوسیریل:. فشر گروپ کے لیے کلاسیں۔ بیبی مونسٹر گروپ بی کے لیے کلاسیں۔ مونسٹر گروپ ایم کے لیے کلاسیں عام طور پر بڑی تعداد میں کنجوگیسی کلاسز ای ٹائپ ڈی ("کافی کمیوٹیٹو نہیں") کی ہوتی ہیں، جبکہ دیگر میں کافی ابیلین سبریکس ہوتے ہیں اور انہیں ان کے غور سے خارج کیا جا سکتا ہے۔ کئی معاملات ہاتھ سے کرنے پڑتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ کھلے معاملات میں بہت چھوٹے سنٹرلائزر (عام طور پر چکور) اور نمائندگی χ (عام طور پر 1 جہتی علامت کی نمائندگی) ہوتی ہے۔ اہم مستثنیات آرڈر 16، 32 کی کنجوگیسی کلاسیں ہیں جن میں سینٹرلائزرز پی-گروپس آف آرڈر 2048 ریسپ ہیں۔ 128 اور فی الحال χ پر کوئی پابندی نہیں ہے۔ ایپلی کیشنز نکولس الجبرا، خاص طور پر کوانٹم گروپس، نکولس اینڈروسکیوٹش اور ہنس جرگن شنائیڈر کے ذریعہ محدود جہتی نوک دار ہوپف الجبرا (چھوٹے پرائمز کے بغیر) کی درجہ بندی میں کوانٹم بوریل حصے کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اور اتحاد کی جڑ q کے لیے ان کی معروف کٹوتیاں ایک عام نیم سادہ جھوٹ الجبرا کی طرح E کے (بوریل حصہ)، دوہری F کے اور K کے (کارٹن الجبرا) میں تحلیل ہو جاتی ہیں: یہاں، جیسا کہ کلاسیکی نظریہ V میں طول و عرض n (کی درجہ بندی) کا ایک ویکٹر اسپیس ہے جو E کے ذریعے پھیلا ہوا ہے، اور σ (ایک نام نہاد کوکیلیس موڑ) E اور F کے درمیان غیر معمولی ربط پیدا کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کلاسیکی نظریہ کے برعکس، دو سے زیادہ منسلک اجزاء ظاہر ہو سکتے ہیں۔ سی آئی ٹی دیکھیں۔ لوکی۔ " A3 قسم کے 4 حصوں کے ساتھ ایک غیر ملکی مثال کے لیے۔ درجہ بندی تقریبا ایک دی گئی فرضی مثال کو (کوریڈیکل-) گروپ اور (منسلک-) حصے کے ریڈفورڈ بائی پروڈکٹ تک کم کر دیتی ہے، جس میں نکلس الجبرا ہوتا ہے، متعلقہ "درجہ بند آبجیکٹ" (تمام روابط کو مار کر) لے کر۔ مذکورہ بالا محدود جہتی نکولس الجبرا کی درجہ بندی کے علم کے ساتھ، مصنفین منسلک حصے (ڈگری 1 میں نسل) میں ظاہر ہونے کے لیے کوئی اضافی عنصر ثابت نہیں کرتے، اور آخر میں تمام ممکنہ لفٹنگ کو عمومی ڈائنکن خاکے میں "ڈاٹڈ لائنز" کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ حال ہی میں، اس خط و کتابت کو ویل گروپ کے ساتھ 1:1 خط و کتابت میں ہونے والے کچھ نام نہاد کویڈیل سبلجبراس کی نشاندہی کرنے کے لیے بہت بڑھایا گیا ہے، جسے پہلے "عددی اتفاق" کے طور پر قیاس کیا گیا ہے اور بعض صورتوں میں ہاتھ سے ثابت کیا گیا ہے۔ حوالہ جات ہوپف الجبرا کوانٹم گروپس