Mathematics: The Loss of Certainty
ریاضی: یقینی کا نقصان مورس کلائن کی ایک کتاب ہے جو صدیوں کے دوران ریاضیاتی ثقافتوں کے اندر ترقی پذیر نقطہ نظر پر ہے۔ اس کتاب میں اس تاریخ کا سراغ لگایا گیا ہے کہ کس طرح ریاضی کے نئے نتائج نے صدیوں سے ریاضی دانوں کو حیرت میں ڈال دیا ہے۔ مثالوں میں یہ شامل ہے کہ کس طرح 19 ویں صدی کے ریاضی دان غیر یوکلڈین جیومیٹری کی دریافت سے حیران تھے اور کس طرح گوڈل کے نامکمل نظریہ نے بہت سے منطقوں کو مایوس کیا۔ کلائن مزید کچھ ممتاز ریاضی دانوں جیسے نیوٹن اور لیبنز کے خدا سے قریبی تعلقات پر تبادلہ خیال کرتا ہے۔ ان کا ماننا ہے کہ نیوٹن کے مذہبی مفادات ہی ان کے ریاضیاتی اور سائنسی کام کا حقیقی محرک تھے۔ انہوں نے 10 دسمبر 1692 کو ریورنڈ رچرڈ بینٹلے کو لکھے گئے ایک خط سے نیوٹن کا حوالہ دیا: جب میں نے اپنے نظام کے بارے میں اپنا مقالہ لکھا تھا تو قدرتی فلسفہ کے ریاضیاتی اصول، میری نظر ایسے اصولوں پر تھی جو انسانوں کو دیوتا میں یقین کے لیے غور کرنے کے ساتھ کام کر سکتے ہیں۔ اور مجھے اس کے لیے مفید تلاش کرنے سے زیادہ کوئی خوشی نہیں ہو سکتی کہ لیبنز سائنس کو ایک مذہبی مشن کے طور پر سمجھتے تھے جسے سائنس دان انجام دینے کے پابند تھے۔ کلائن 1699 یا 1700 کے ایک غیر تاریخ شدہ خط سے لیبنز کا حوالہ دیتے ہیں: مجھے ایسا لگتا ہے کہ پوری بنی نوع انسان کا بنیادی مقصد خدا کے عجائبات کا علم اور نشوونما ہونا چاہیے، اور یہی وجہ ہے کہ خدا نے اسے globe.Kline کی سلطنت عطا کی ہے، یہ بھی استدلال کرتا ہے کہ ریاضی کا ایک عالمی طور پر قابل قبول، منطقی طور پر مستحکم جسم قائم کرنے کی کوشش ناکام ہو گئی ہے۔ ان کا ماننا ہے کہ آج کل زیادہ تر ریاضی دان ایپلی کیشنز پر کام نہیں کرتے۔ اس کے بجائے وہ مسلسل بڑھتی ہوئی رفتار سے خالص ریاضی میں نئے نتائج پیدا کرتے رہتے ہیں۔ تنقید اس کتاب کے جائزوں میں، متعدد ماہرین، مصنف کے نقطہ نظر کو خراج تحسین پیش کرتے ہوئے، اس پر متعصبانہ جذباتیت، بے ایمانی اور نااہلی کا الزام لگاتے ہیں۔ خاص طور پر، دی امریکن میتھمیٹیکل منتھلی میں ریمنڈ جی ایوب لکھتے ہیں: صدیوں سے یوکلڈین جیومیٹری خلا کا ایک اچھا نمونہ معلوم ہوتا تھا۔ نتائج فلکیات اور نیویگیشن میں مؤثر طریقے سے استعمال ہوتے تھے اور اب بھی ہوتے ہیں۔ جب اسے رسمیت کی گہری جانچ پڑتال کا نشانہ بنایا گیا تو اس میں کمزوریاں پائی گئیں اور یہ مشاہدہ کرنا دلچسپ ہے کہ اس بار یہ رسمیت کی گہری جانچ پڑتال تھی جس کی وجہ سے غیر یوکلڈین جیومیٹری کی دریافت (کچھ لوگ ایجاد کہیں گے) ہوئی۔ (کئی سال بعد ایک تسلی بخش یوکلڈین ماڈل وضع کیا گیا۔) یہ مصنف یہ سمجھنے میں ناکام رہا کہ یہ دریافت، کلائن کے الفاظ میں، ایک "شکست" کیوں تھی۔ کیا اس کے برعکس یہ ایک بڑی فتح نہیں ہے؟ پروفیسر کلائن اپنے قارئین کے ساتھ ایمانداری سے پیش نہیں آتے۔ وہ ایک تعلیم یافتہ آدمی ہے اور بالکل اچھی طرح جانتا ہے کہ خلاصہ میں تخلیق کیے گئے بہت سے ریاضیاتی خیالات کا حقیقی دنیا میں نمایاں اطلاق ہوا ہے۔ وہ اس حقیقت کو نظر انداز کرنے کا انتخاب کرتا ہے، جسے ریاضی کے سب سے زیادہ جنونی مخالفین نے بھی تسلیم کیا ہے۔ وہ ایک ناقابل قبول عقیدے کی حمایت کرنے کے لیے ایسا کرتا ہے۔ ایک کو لوئس XIV کو درباری جیسٹر کی کہانی یاد آتی ہے: مؤخر الذکر نے ایک نظم لکھی تھی اور جیسٹر سے اس کی رائے پوچھی تھی۔ "آپ کی عظمت کچھ بھی کرنے کے قابل ہے۔ آپ کی عظمت ڈاگجریل لکھنے کے لیے نکلی ہے اور آپ کی عظمت کامیاب ہوئی ہے۔ " توازن پر، اس طرح، افسوس، اس کتاب کے بارے میں کہا جانا چاہیے۔ ریاضی کے جائزوں میں جان کورکورن: کتاب کا مجموعی مقصد ریاضی کے فلسفے کے طور پر ایک ذہنی عملیت پسندی کو آگے بڑھانا ہے جو "اطلاقی ریاضی" کو بلند کرتا ہے اور "خالص ریاضی" اور بنیادی مطالعات دونوں کو بدنام کرتا ہے۔ اگرچہ اس کا مقالہ جزوی طور پر بیسویں صدی کے منطقوں کی گہری بنیادی کامیابیوں پر مبنی ہے، لیکن بنیادی فلسفہ مختلف فلسفوں کا قریبی کزن ہے جو انیسویں صدی میں بااثر تھے۔ مزید برآں، جیسا کہ اوپر درج خیالات سے دیکھا جا سکتا ہے، بیسویں صدی کی منطق کے بارے میں مصنف کی سمجھ قابل اعتماد نہیں ہے۔ اس کے مطابق اسے یہ حیرت انگیز لگتا ہے (صفحہ 322، 323) کہ ہلبرٹ، گوڈل، چرچ، بورباکی اسکول کے ممبران، اور فاؤنڈیشنز پر کام کرنے والے دیگر رہنما اس بات کی تصدیق کرتے ہیں کہ ریاضیاتی تصورات اور خصوصیات کچھ معروضی معنوں میں موجود ہیں اور انہیں انسانی ذہنوں سے پکڑا جا سکتا ہے۔ ابھی ذکر کردہ ریاضی دانوں کی افلاطونیت حقیقت پسندی کے خلاف ان کی واحد دلیل (انسانی) غلطی اور (ریاضیاتی) جھوٹ (صفحہ 324) کے درمیان فرق کرنے میں ان کی اپنی ناکامی پر مبنی ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ مصنف کو یہ احساس نہیں ہے کہ علم حاصل کرنے کے لیے بے عیب ہونا ضروری نہیں ہے، اور نہ ہی وہ تسلیم کرتا ہے کہ یقین کا نقصان سچائی کے نقصان کے مترادف نہیں ہے۔ مصنف کی دلیل کے فلسفیانہ اور بنیادی پہلوؤں کو ریاضی کی تاریخ کے جامع سروے اور تشریح میں باندھا گیا ہے۔ کوئی امید کر سکتا ہے کہ اس دلیل کو ٹھوس تاریخی کام سے کسی حد تک چھڑایا جائے گا، لیکن ایسا نہیں ہے۔ مصنف کے نقطہ نظر کے لیے سب سے اہم دو ادوار کی تشریح متضاد طور پر کی گئی ہے۔ (ا) کچھ حصوں میں مصنف اس واضح سچائی کو تسلیم کرتا ہے کہ تجربے اور مشاہدے نے کلاسیکی یونانی ریاضی کی ترقی میں کلیدی کردار ادا کیا۔ 9، 18، 24، 167)۔ لیکن دوسرے حصوں میں، وہ الزام لگاتے ہیں کہ کلاسیکی یونانی ریاضی دانوں نے "خود واضح سچائیوں" (پی پی) پر اپنے نظریات کی بنیاد رکھتے ہوئے تجربے اور مشاہدے کی توہین کی۔ 17، 20، 21، 22، 29، 95، 307)۔ (ب) کچھ حصوں میں مصنف نے انیسویں صدی کے آغاز کو ریاضی کی مضبوطی پر وسیع پیمانے پر اعتماد کے دور کے طور پر پیش کیا ہے۔ 6، 68، 78، 103، 173)، لیکن دوسرے حصوں میں وہ اس دور کو دانشورانہ افراتفری کے دور کے طور پر بیان کرتے ہیں جس میں ریاضی دانوں نے اپنی سائنس کی بنیاد کے بارے میں سنگین شکوک و شبہات کا اظہار کیا (پی پی۔ 152، 153، 170، 308)۔ کوئی بھی صرف ان فلسفیانہ، بنیادی اور تاریخی ناکافی باتوں پر افسوس کر سکتا ہے جو بنیادی دلیل کو خراب کرتی ہیں اور جو کتاب کے ذریعہ فراہم کردہ بہت سے ٹھوس اور دلچسپ مشاہدات اور بصیرت سے توجہ ہٹاتی ہیں۔ ایمی دہان ریویو ڈی ہسٹوائر ڈیس سائنسز میں: کوانٹ آکس ڈرنئیرز چیپٹرس سر لیس گرینڈس ٹینڈنسز ڈیس میتھمیٹیکس کنٹیمپرائنز، ان کے بیٹے فرنچمنٹ ڈیکوینٹس، اسسز سطحی۔ یہ ریاضی کے معاصر تجزیے کا ایک حصہ نہیں ہے (گرانڈے پیریڈ اسٹرکچرلسٹ، ریٹور آ "کنکریٹ"، فلکس انٹری لیس میتھمیٹکس اور لا فزیک، وغیرہ)۔ سکاٹ وائن سٹائن میں ای ٹی سی: جنرل سیمنٹکس کا ایک جائزہ: پروفیسر کلائن کی کتاب ایک دلچسپ موضوع کا ایک زندہ بیان ہے۔ تاہم، اس کے نتائج حد سے زیادہ اور بہت سے معاملات میں بلاجواز ہیں۔ بیسویں صدی کی بنیادی تحقیق سے جو سبق سیکھنا چاہیے وہ یہ نہیں ہے کہ ریاضی افسوس ناک حالت میں ہے، بلکہ یہ ہے کہ ریاضی کے بارے میں گہرے فلسفیانہ مسائل کو، اگر حل نہیں کیا گیا تو خود ریاضی کے ذریعے کس حد تک روشن کیا جا سکتا ہے۔ گوڈل کے نظریات واقعی یہ بتاتے ہیں کہ ریاضی میں جو کچھ ہم جان سکتے ہیں اس کی حدود ہو سکتی ہیں، لیکن وہ اپنے ذریعے ان عظیم بلندیوں کا بھی مظاہرہ کرتے ہیں جن پر انسانی عقل ریاضیاتی سوچ کے ذریعے چڑھ سکتی ہے۔ ریاضی میں تعلیمی مطالعات میں ایان اسٹیورٹ: یہ کتاب مضبوطی سے اس روایت میں ہے جس کی ہم اس مصنف سے توقع کرنے آئے ہیں۔ اور اس پر میرا ردعمل اس کے پیشروؤں کے بارے میں میرے رد عمل کی طرح ہے: مجھے لگتا ہے کہ اس کا تین چوتھائی حصہ شاندار ہے، اور دوسرا چوتھائی اشتعال انگیز بکواس ہے۔ اور اس کی وجہ یہ ہے کہ مورس کلائن واقعی میں آج کی ریاضی کے بارے میں نہیں سمجھتے، حالانکہ انہیں کل کی قابل رشک گرفت ہے۔ مورس کلائن نے کہیں اور کہا ہے کہ وہ بیسویں صدی کی ریاضی کی سب سے بڑی کامیابی کو گوڈل تھیوریم سمجھتے ہیں۔ میں اس بات سے متفق نہیں ہوں: جیڈل تھیوریم، جو حیرت انگیز اور گہری ہے، کا حقیقی ریاضیاتی ترقی کے مرکزی دھارے پر بہت کم اثر پڑا۔ یہ اصل میں ایک ہی قسم کے مزید نظریات کے علاوہ کسی نئی اور طاقتور چیز کا باعث نہیں بنا۔ اس نے اس بات کو متاثر کیا کہ ریاضی دان کس طرح سوچتے ہیں کہ وہ کیا کر رہے ہیں ؛ لیکن اس کا اثر جو انہوں نے اصل میں کیا اس پر صفر کے قریب ہے۔ اس کا موازنہ ٹوپولوجی کے عروج سے کریں: ریاضی دانوں کی پچاس سال کی بظاہر انٹروورٹڈ کوششیں، جس میں بڑے پیمانے پر اطلاقی سائنس کو نظر انداز کیا گیا ؛ پالش اور کامل اور بے پناہ اور اب بھی بڑے پیمانے پر غیر حقیقی طاقت کی تکنیک کے جسم میں تیار کیا گیا ؛ اور پچھلی دہائی کے اندر اطلاقی سائنس کے عملی طور پر ہر شعبے میں اہم ہوتا گیا: انجینئرنگ، طبیعیات، کیمسٹری، عددی تجزیہ۔ ٹوپولوجی کا اس صدی کی سب سے بڑی کامیابی ہونے کا کہیں زیادہ دعوی ہے۔ لیکن مورس کلائن صرف انٹروورشن دیکھ سکتے ہیں۔ اسے ایسا نہیں لگتا کہ کسی ریاضیاتی مسئلے کے لیے ریاضی پر مرکوز غور و فکر کی ضرورت پڑ سکتی ہے، بجائے اس مسئلے کے جس پر کوئی تسلی بخش حل حاصل کرنے کے لیے نتیجہ خیز نظریہ کو لاگو کرنے کی امید کرتا ہے۔ لیکن اگر میں ایک سیب کے درخت کو کاٹنا چاہتا ہوں، اور میری آڑ بہت تیز ہے، تو اس درخت کے بارے میں سوچنے کی کوئی مقدار اسے تیز نہیں کرے گی۔ اچھی ریاضی ہے، خراب ریاضی ہے۔ ایسے ریاضی دان ہیں جو سائنس میں مکمل طور پر دلچسپی نہیں رکھتے، جو ایسے اوزار بنا رہے ہیں جو سائنس کو ناگزیر لگیں گے۔ ایسے ریاضی دان ہیں جو سائنس میں دلچسپی رکھتے ہیں، اور وہاں مخصوص استعمال کے لیے اوزار بناتے ہیں، جن کا کام زیپلن یا الیکٹرانک والو کی طرح متروک ہو جائے گا۔ دریافت سے افادیت تک کا راستہ جھوٹے مقاصد کا خرگوش ہے: ریاضی نے اپنی خاطر چیزوں کی اسکیم میں اپنی جگہ رکھی ہے، اور برقرار رہے گی۔ اور، آخر کار، اس ٹوپولوجسٹ کی تنہائی جو طبیعیات کو نہیں جانتی ہے اس طبیعیات دان سے بھی بدتر نہیں ہے جو ٹوپولوجی کو نہیں جانتا ہے۔ آج کی سائنس کو اپنے افراد سے تخصص کی ضرورت ہے: مجموعی طور پر سائنسدانوں کی اجتماعی سرگرمی وہ جگہ ہے جہاں روابط جعلی ہیں۔ اگر صرف مورس کلائن نے اس عمل کی نوعیت کا کچھ اشارہ دکھایا تو میں ان کے دلائل کو زیادہ سنجیدگی سے لوں گا۔ لیکن اس کا یہ دعوی کہ ریاضی زوال پذیر ہو چکی ہے، بہت زیادہ لاعلمی پر مبنی ہے، اور اس کے دلائل آج کے ریاضی کے حیرت انگیز، چمکتے ہوئے جوش کے مقابلے میں ناقص ہیں۔ میں بھی ریاضی دانوں کی طرف سے سائنسی مسائل کی اہمیت کو زیادہ واضح طور پر تسلیم ہوتے دیکھنا چاہوں گا ؛ لیکن اس حقیقت کو نظر انداز کرنا کہ وہ اس ظاہری تنہائی میں بھی شاندار کام کرتے ہیں، جنگ شروع ہونے سے پہلے ہی ہار جانا ہے۔ ببلیوگرافی مورس کلائن، ریاضی: یقینی کا نقصان، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، 1980 نوٹ ریاضی کی تاریخ کے بارے میں مزید پڑھنے والی کتابیں