Bernstein–von Mises theorem
بایسیائی تخمینہ میں، برنسٹین-وان میسس تھیوریم پیرامیٹرک ماڈلز میں اعتماد کے بیانات کے لیے بایسیائی قابل اعتماد سیٹوں کے استعمال کی بنیاد فراہم کرتا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ کچھ شرائط کے تحت، ایک پوسٹرئر ڈسٹری بیوشن لامحدود ڈیٹا کی حد میں ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن میں یکجا ہو جاتی ہے جو زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے پر مرکوز ہوتی ہے جس کے ذریعہ کوویرینس میٹرکس دیا جاتا ہے، جہاں حقیقی آبادی کا پیرامیٹر ہے اور حقیقی آبادی کے پیرامیٹر ویلیو پر فشر انفارمیشن میٹرکس ہے: برنسٹین-وان میسس تھیوریم بیسیئن کے تخمینے کو فریکوینٹسٹ انفریشن سے جوڑتا ہے۔ یہ فرض کرتا ہے کہ کچھ حقیقی امکانی عمل ہے جو مشاہدات کو پیدا کرتا ہے، جیسا کہ فریکوینٹیزم میں ہوتا ہے، اور پھر اس عمل کو بازیافت کرنے کے بیسیائی طریقوں کے معیار کا مطالعہ کرتا ہے، اور اس عمل کے بارے میں غیر یقینی بیانات دیتا ہے۔ خاص طور پر، اس میں کہا گیا ہے کہ ایک مخصوص ساکھ کی سطح کے بایسیائی قابل اعتماد سیٹ غیر علامتی طور پر اعتماد کی سطح کے اعتماد کے سیٹ ہوں گے، جو بایسیائی قابل اعتماد سیٹوں کی تشریح کی اجازت دیتا ہے۔ ہیورسٹک بیان کسی ماڈل میں، کچھ باقاعدگی کے حالات (محدود جہتی، اچھی طرح سے متعین، ہموار، ٹیسٹوں کا وجود) کے تحت، اگر پہلے کی تقسیم میں لیبسگ پیمائش کے حوالے سے کثافت ہے جو کافی ہموار ہے (صفر سے قریب سے محدود ہے)، تو بازیافت شدہ پوسٹر ڈسٹری بیوشن (مرکزیت اور بازیافت کے ذریعے) اور کسی بھی موثر تخمینہ کار پر مرکوز ایک گوسیائی تقسیم کے درمیان کل تغیر کا فاصلہ اور متغیر کے طور پر الٹا فشر کی معلومات کے ساتھ امکان صفر میں یکجا ہو جائے گا۔ برنسٹین-وون میسس اور زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ اگر زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ لگانے والا ایک موثر تخمینہ لگانے والا ہے، تو ہم اسے جوڑ سکتے ہیں، اور ہم برنسٹین-وون میسس تھیوریم کا ایک عام، زیادہ مخصوص ورژن بازیافت کرتے ہیں۔ اثرات برنسٹین-وان میسس تھیوریم کا سب سے اہم مضمر یہ ہے کہ باسیائی تخمینہ کثرت پسندانہ نقطہ نظر سے غیر علامتی طور پر درست ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اعداد و شمار کی بڑی مقدار کے لیے، کوئی بھی پچھلی تقسیم کو استعمال کر سکتا ہے، اکثر نقطہ نظر سے، تخمینہ اور غیر یقینی کے بارے میں درست بیانات دے سکتا ہے۔ تھیوریم کا نام رچرڈ وان میسس اور ایس این برنسٹین کے نام پر رکھا گیا ہے، حالانکہ پہلا مناسب ثبوت 1949 میں جوزف ایل ڈوب نے محدود امکانی جگہ کے ساتھ بے ترتیب متغیرات کے لیے دیا تھا۔ بعد میں لوسین لی کیم، ان کے پی ایچ ڈی کے طالب علم لورین شوارٹز، ڈیوڈ اے فریڈمین اور پرسی ڈیاکونس نے مزید عام مفروضوں کے تحت ثبوت کو بڑھایا۔ حدود غلط وضاحت شدہ ماڈل کی صورت میں، پچھلی تقسیم بھی صحیح اوسط کے ساتھ غیر علامتی طور پر گوسیئن بن جائے گی، لیکن ضروری نہیں کہ فشر کی معلومات کے ساتھ متغیر ہو۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ بیسیائی سطح کے قابل اعتماد سیٹوں کی تشریح سطح کے اعتماد کے سیٹوں کے طور پر نہیں کی جا سکتی۔ غیر پیرامیٹرک اعداد و شمار کے معاملے میں، برنسٹین-وان میسس تھیوریم عام طور پر ڈیرچلیٹ عمل کی ایک قابل ذکر رعایت کے ساتھ برقرار رکھنے میں ناکام رہتا ہے۔ فریڈمین نے 1965 میں ایک قابل ذکر نتیجہ پایا: برنسٹین-وان میسس تھیوریم تقریبا یقینی طور پر برقرار نہیں ہے اگر بے ترتیب متغیر میں لامحدود قابل گنتی امکان کی جگہ ہے۔ تاہم، یہ ممکنہ ترجیحات کی ایک بہت وسیع رینج کی اجازت دینے پر منحصر ہے۔ عملی طور پر، تحقیق میں عام طور پر استعمال ہونے والے ترجیحات میں مطلوبہ خاصیت ہوتی ہے یہاں تک کہ لامحدود قابل گنتی امکان کی جگہ کے ساتھ بھی۔ مختلف خلاصہ کے اعداد و شمار جیسے موڈ اور اوسط پوسٹر ڈسٹری بیوشن میں مختلف طریقے سے برتاؤ کر سکتے ہیں۔ فریڈمین کی مثالوں میں، پوسٹریر ڈینسٹی اور اس کا اوسط غلط نتیجہ پر یکجا ہو سکتا ہے، لیکن پوسٹرئر موڈ مستقل ہے اور صحیح نتیجہ پر یکجا ہو جائے گا۔ نوٹ حوالہ جات ڈوب، جوزف ایل۔ (1949)، نظریہ مارٹنگیلز کا اطلاق۔ کولوک۔ انٹرن۔ ڈو C.N.R.S (پیرس)، نمبر۔ 13، پی پی۔ 23-27۔ فریڈمین، ڈیوڈ اے۔ (1963)۔ بےز کے غیر علامتی رویے پر مجرد کیس I میں تخمینہ لگایا گیا ہے۔ دی اینلز آف میتھمیٹیکل سٹیٹسٹکس، جلد۔ 34، پی پی۔ 1386-1403۔ فریڈمین، ڈیوڈ اے۔ (1965)۔ بےز کے غیر علامتی رویے پر مجرد کیس II میں تخمینہ لگایا گیا ہے۔ دی اینلز آف میتھمیٹیکل سٹیٹسٹکس، جلد۔ 36، پی پی۔ 454-456۔ لی کیم، لوسین (1986)۔ شماریاتی فیصلہ تھیوری میں غیر علامتی طریقے، سپرنگر۔ (صفحات 336 اور 618-621)۔ لورین شوارٹز (1965)۔ بائز کے طریقہ کار پر۔ Z. واہرشینلیچکیٹس تھیوری، نمبر۔ 4، پی پی۔ 10-26۔ اعداد و شمار میں بایسیائی تخمینہ تھیوریمز