André–Oort conjecture
ریاضی میں، آندرے-اورٹ قیاس ڈیوفنٹائن جیومیٹری میں ایک مسئلہ ہے، جو نمبر تھیوری کی ایک شاخ ہے، جسے مانین-ممفورڈ قیاس کے غیر ابیلین ینالاگ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو اب ایک نظریہ ہے (کئی مختلف طریقوں سے ثابت)۔ یہ قیاس شیمورا اقسام میں خاص نکات کے سیٹوں کی زرسکی بندش کی خصوصیت سے متعلق ہے۔ قیاس آرائی کا ایک خاص معاملہ 1989 میں یویس آندرے نے بیان کیا تھا اور ایک زیادہ عام بیان (اگرچہ شمورا قسم کی قسم پر پابندی کے ساتھ) 1995 میں فرانس اورٹ نے پیش کیا تھا۔ جدید ورژن ان دونوں قیاس آرائیوں کی فطری عمومی شکل ہے۔ بیان قیاس اپنی جدید شکل میں حسب ذیل ہے۔ شیمورا قسم میں خصوصی پوائنٹس کے ایک سیٹ کی زرسکی بندش کا ہر ناقابل تلافی جزو ایک خاص ذیلی قسم ہے۔ آندرے کا قیاس کا پہلا ورژن صرف ایک جہتی ناقابل کٹوتی اجزاء کے لیے تھا، جبکہ اورٹ نے تجویز پیش کی کہ یہ بنیادی طور پر پولرائزڈ ابیلین اقسام کے طول و عرض جی کے ماڈیولی اسپیس میں صوابدیدی طول و عرض کے ناقابل کٹوتی اجزاء کے لیے درست ہونا چاہیے۔ ایسا لگتا ہے کہ آندرے کو ماورائے نظریہ کی ایپلی کیشنز سے متاثر کیا گیا تھا جبکہ اورٹ منین-ممفورڈ قیاس کے ساتھ مشابہت سے۔ جزوی نتائج بین مونن، یویس آندرے، آندرے یافایف، باس ایڈیکشوون، لارنٹ کلوزل، برونو کلنگلر اور ایمانوئل المو کے ذریعہ مکمل قیاس آرائی کی طرف مختلف نتائج قائم کیے گئے ہیں۔ ان میں سے کچھ نتائج عام ریمن مفروضے (جی آر ایچ) کے درست ہونے پر مشروط تھے۔ درحقیقت، جی آر ایچ کے تحت مکمل قیاس آرائی کا ثبوت برونو کلنگلر، ایمانوئل المو اور آندرے یافایف نے 2014 میں اینلز آف میتھمیٹکس میں شائع کیا تھا۔ 2006 میں، امبرٹو زینیئر اور جوناتھن پیلا نے منین-ممفورڈ-آندرے-اورٹ قسم کے مسائل کے لیے ایک نقطہ نظر تیار کرنے کے لیے او-منیمل جیومیٹری اور ماورائے عدد نظریہ کی تکنیکوں کا استعمال کیا۔ 2009 میں، جوناتھن پیلا نے ماڈیولر منحنی خطوط کی من مانی مصنوعات کے لیے آندرے-اورٹ قیاس کو غیر مشروط طور پر ثابت کیا، جس کے نتیجے میں انہیں 2011 کا کلے ریسرچ ایوارڈ ملا۔ برونو کلنگلر، ایمانوئل المو اور آندرے یافایف نے 2014 میں ثابت کیا کہ عمومی پیلا-زینیئر نقطہ نظر کے لیے درکار فنکشنل ماورائی نتیجہ اور ایمانوئل المو نے اس سے حکمت عملی میں شامل کرنے کے مرحلے کے لیے درکار تکنیکی نتیجہ اخذ کیا ہے۔ بقیہ تکنیکی جزو خصوصی پوائنٹس کے گالوئس ڈگری سے نیچے کی حد کا مسئلہ تھا۔ سیگل ماڈیولر قسم کے معاملے کے لیے، اس باؤنڈ کا اندازہ جیکب سمیرمین نے 2015 میں اوسط کولمز قیاس آرائی اور ماسر-وسٹہولٹز آئزوجینی تخمینوں سے لگایا تھا۔ کولمز کے اوسط قیاس کو زینئی یوآن اور شو-وو ژانگ نے اور آزادانہ طور پر اینڈریٹا، گورین، ہاورڈ اور مڈاپوسی-پیرا نے ثابت کیا۔ 2019-2020 میں، گال بنیامینی، ہیری شمٹ اور آندرے یافایف نے ٹوری اور ابیلین اقسام میں ٹورسن پوائنٹس پر ہیری شمٹ کے پچھلے کام اور نظریات اور گال بنیامینی کے پوائنٹ گنتی کے نتائج پر مبنی، خصوصی پوائنٹس کی بلندیوں کی حدود پر ایک قیاس تیار کیا ہے اور اس کی صداقت سے مکمل آندرے اورٹ قیاس کے ثبوت کے لیے درکار خصوصی پوائنٹس کی گالوئس ڈگریوں کی حدود کا اندازہ لگایا ہے۔ ستمبر 2021 میں، جوناتھن پیلا، اننت شنکر، اور جیکب سمیرمین نے ایک مقالے میں دعوی کیا (جس میں ہیلین ایسناولٹ اور مائیکل گروچینگ کا لکھا ہوا ایک ضمیمہ ہے) جس میں بنیامینی-شمڈٹ-یافایف اونچائی کے قیاس کا ثبوت ہے، اس طرح پیلا-زینیر حکمت عملی کا استعمال کرتے ہوئے آندرے-اورٹ قیاس کے ثبوت کو مکمل کیا گیا۔ کولمین-اورٹ قیاس ایک متعلقہ قیاس جس کی دو شکلیں ہیں، اگر آندرے-اورٹ قیاس کو فرض کیا جائے تو اس کے مساوی، کولمین-اورٹ قیاس ہے۔ رابرٹ کولمین نے قیاس کیا کہ کافی بڑے جی کے لیے، جینس جی کے صرف بہت سے ہموار پروجیکٹو منحنی خطوط ہیں، جیسے کہ جیکوبین قسم جے (سی) سی ایم قسم کی ایک ابیلین قسم ہے۔ اس کے بعد اورٹ نے اندازہ لگایا کہ ٹوریلی لوکس-طول و عرض g کی ابیلین اقسام کے ماڈیولی اسپیس کا-کافی بڑے g کے لیے طول و عرض> 0 کی کوئی خاص ذیلی قسم نہیں ہے جو ٹوریلی میپنگ کی شبیہہ کو گھنے کھلے ذیلی سیٹ میں کاٹتا ہے۔ مانین-ممفورڈ اور آندرے-اورٹ قیاس آرائیوں کو بہت سی سمتوں میں عام کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر پوائنٹس کے 'خصوصی' ہونے کی خصوصیات کو نرم کرکے (اور اس کے بجائے نام نہاد 'غیر متوقع لوکس' پر غور کرتے ہوئے) یا زیادہ عام ماحول کی اقسام کو دیکھ کر: ابیلین یا نیم ابیلین اسکیمیں، مخلوط شمورا اقسام وغیرہ۔ ان عام فہمیوں کو بول چال میں زیلبر-گلابی قیاس آرائیوں کے نام سے جانا جاتا ہے کیونکہ اس قسم کے مسائل رچرڈ پنک اور بورس زیلبر نے تجویز کیے تھے۔ ان میں سے زیادہ تر سوالات کھلے ہیں اور موجودہ فعال تحقیق کا موضوع ہیں۔ یہ بھی دیکھیں زیلبر-گلابی قیاس آرائی حوالہ جات مزید پڑھنا ڈیوفنٹائن جیومیٹری قیاس آرائیاں