Affine root system
ریاضی میں، افائن روٹ سسٹم یوکلڈین اسپیس پر افائن لکیری افعال کا ایک جڑ نظام ہے۔ وہ افائن لائ الجیبرا اور سپر الجیبرا، اور نیم سادہ پی-ایڈک الجبرائی گروہوں کی درجہ بندی میں استعمال ہوتے ہیں، اور میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے خاندانوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کم شدہ افائن جڑ کے نظام کا استعمال کاک اور موڈی نے کاک-موڈی الجبرا پر اپنے کام میں کیا تھا۔ ممکنہ طور پر غیر کم شدہ افائن جڑ کے نظام کو اور کے ذریعہ متعارف کرایا گیا اور ان کی درجہ بندی کی گئی (سوائے اس کے کہ ان دونوں کاغذات نے غلطی سے ڈائنکن خاکہ کو چھوڑ دیا)۔ تعریف ای کو ایک افائن اسپیس اور وی کو اس کے ترجمے کی ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ یاد رکھیں کہ V E پر وفاداری اور عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ خاص طور پر، اگر، تو اس کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے کہ V میں ایک عنصر جس کی نشاندہی کی گئی ہے کہ وہ واحد عنصر ہے جو ایسا ہے۔ اب فرض کریں کہ ہمارے پاس V پر ایک اسکیلر پروڈکٹ ہے۔ یہ E پر ایک میٹرک کی وضاحت کرتا ہے۔ افائن لکیری افعال کے ویکٹر اسپیس F پر غور کریں۔ a کو فکس کرنے کے بعد، F میں ہر عنصر کو V پر لکیری فنکشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جو کہ کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ اب منتخب اسکیلر پروڈکٹ کی بدولت V کے ڈوئل کی شناخت V سے کی جا سکتی ہے اور ہم F پر پروڈکٹ کی تعریف اس طرح کر سکتے ہیں۔ سیٹ کریں اور کسی کے لیے اور بالترتیب۔ شناخت آئیے E پر عکاسی کی وضاحت مندرجہ ذیل طریقے سے کرتے ہیں: منتقلی کے ذریعے F پر بھی عمل ہوتا ہے کیونکہ ایک افائن روٹ سسٹم ایک ذیلی سیٹ ہے جس میں: S کے عناصر کو افائن روٹس کہا جاتا ہے۔ ساتھ کے ذریعہ تیار کردہ گروپ کے ساتھ اشارہ کریں۔ ہم یہ بھی پوچھتے ہیں کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی دو کمپیکٹ کے لیے ایسے عناصر جو ایک محدود تعداد ہیں۔ درجہ بندی افائن جڑوں کے نظام A1 = B1 = B = C1 = C ایک جیسے ہیں، جیسا کہ جوڑے B2 = C2، B = C، اور A3 = D3 ہیں۔ میز میں دیے گئے مداروں کی تعداد ویل گروپ کے تحت سادہ جڑوں کے مداروں کی تعداد ہے۔ ڈائنکن خاکے میں، غیر کم شدہ سادہ جڑیں α (2α a جڑ کے ساتھ) سبز رنگ کی ہوتی ہیں۔ کسی سلسلے میں پہلا ڈائنکن خاکہ بعض اوقات دوسروں کی طرح اسی اصول کی پیروی نہیں کرتا ہے۔ رینک 1 کے لحاظ سے ناقابل کٹوتی افائن جڑ کے نظام: A1، BC1، (BC1، C1)، (C، BC1)، (C، C1)۔ رینک 2: اے 2، سی 2، سی، بی سی 2، (بی 2، سی 2)، (سی، بی 2)، (بی 2، بی)، (سی، سی 2)، جی 2، جی۔ رینک 3: اے 3، بی 3، بی، سی 3، سی، بی 3، (بی سی 3، سی 3)، (سی، بی سی 3)، (بی 3، بی)، (سی، سی 3)۔ رینک 4: A4، B4، B، C4، C، BC4، (BC4، C4)، (C، BC4)، (B4، B)، (C، C4)، D4، F4، F۔ رینک 5: A5، B5، B، C5، C، BC5، (BC5، C5)، (C، BC5)، (B5، B)، (C، C5)، (D5۔ رینک 6: اے 6، بی 6، بی، سی 6، بی سی 6، (بی سی 6، سی 6)، (سی، بی 6)، (بی 6، بی)، (سی، سی 6)، ڈی 6، ای 6، رینک 7: اے 7، بی 7، بی 7، سی 7، (بی سی 7، سی 7)، (سی، بی 7)، (بی 7، بی)، (سی، سی 7)، ڈی 7، ای 7، رینک 8: اے 8، بی 8، بی 8، سی 8، (بی سی 8، سی 8)، (سی، بی 8)، (بی 8، بی)، (سی، سی 8)، (ڈی ایپلی کیشنز سے پتہ چلتا ہے کہ افائن روٹ سسٹمز انڈیکس میکڈونلڈ شناختوں نے پی-ایڈک الجبرائی گروپوں کا مطالعہ کرنے کے لیے افائن روٹ سسٹمز کا استعمال کیا۔ کم افائن جڑ کے نظام افائن کاک-موڈی الجیبراس کی درجہ بندی کرتے ہیں، جبکہ غیر کم افائن جڑ کے نظام افائن لائ سپر الجیبراس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے افائن روٹس سسٹمز انڈیکس فیملی۔ حوالہ جات متفرق گروہ آرتھوگنل کثیر الجہتی ہوتے ہیں