Free boundary problem
ریاضی میں، فری باؤنڈری پروبلم (ایف بی پروبلم) ایک جزوی تفریقی مساوات ہے جسے کسی نامعلوم فنکشن اور نامعلوم ڈومین دونوں کے لیے حل کیا جاتا ہے۔ جس حد کا حصہ مسئلہ کے آغاز میں معلوم نہیں ہے وہ آزاد حد ہے۔ ایف بی مختلف ریاضیاتی ماڈلز میں پیدا ہوتے ہیں جن میں ایسی ایپلی کیشنز شامل ہوتی ہیں جو جسمانی سے لے کر اقتصادی، مالی اور حیاتیاتی مظاہر تک ہوتی ہیں، جہاں میڈیم کا اضافی اثر ہوتا ہے۔ یہ اثر عام طور پر میڈیم کی کوالٹی تبدیلی ہے اور اس لیے ایک مرحلے کی منتقلی کی ظاہری شکل ہے: برف سے پانی، مائع سے کرسٹل، خرید سے فروخت (اثاثے)، فعال سے غیر فعال (حیاتیات)، نیلے سے سرخ (رنگین کھیل)، غیر منظم سے منظم (خود منظم تنقید)۔ اس طرح کی تنقید کا ایک دلچسپ پہلو نام نہاد سینڈپائل ڈائنامک (یا اندرونی ڈی ایل اے) ہے۔ سب سے کلاسیکی مثال برف کا پگھلنا ہے: برف کے ایک بلاک کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی اس کے درجہ حرارت کا تعین کرنے کے لیے مناسب ابتدائی اور باؤنڈری حالات کے پیش نظر حرارت کی مساوات کو حل کر سکتا ہے۔ لیکن، اگر کسی بھی خطے میں درجہ حرارت برف کے پگھلنے کے مقام سے زیادہ ہے، تو اس کے بجائے اس ڈومین پر مائع پانی کا قبضہ ہوگا۔ برف/مائع انٹرفیس سے بننے والی حد کو پی ڈی ای کے حل کے ذریعے متحرک طور پر کنٹرول کیا جاتا ہے۔ دو مرحلے والے اسٹیفن کے مسائل برف کا پگھلنا درجہ حرارت کے میدان کے لیے اسٹیفن کا مسئلہ ہے، جسے مندرجہ ذیل شکل دی گئی ہے۔ دو مراحل پر مشتمل خطے پر قابض میڈیم پر غور کریں، مرحلہ 1 جو کب موجود ہے اور مرحلہ 2 جو کب موجود ہے۔ دونوں مراحل کو تھرمل تفریق اور ہونے دیں۔ مثال کے طور پر، پانی کی تھرمل بازی 1.4 × 10−7 m2/s ہے، جبکہ برف کی بازی 1.335 × 10−6 m2/s ہے۔ صرف ایک مرحلے پر مشتمل علاقوں میں، درجہ حرارت کا تعین حرارت کی مساوات سے ہوتا ہے: خطے میں، جبکہ خطے میں، یہ (معلوم) حد پر مناسب حالات کے تابع ہے ؛ حرارت کے ذرائع یا ڈوب کی نمائندگی کرتا ہے۔ آئیے وہ سطح ہو جہاں وقت پر ؛ یہ سطح دونوں مراحل کے درمیان انٹرفیس ہے۔ آئیے یونٹ کو دوسرے (ٹھوس) مرحلے میں باہر کی طرف عام ویکٹر کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اسٹیفن حالت اس سمت میں آزاد سطح کی رفتار کو کنٹرول کرنے والی مساوات دے کر سطح کے ارتقاء کا تعین کرتی ہے، خاص طور پر پگھلنے کی پوشیدہ حرارت کہاں ہے۔ اس سے ہمارا مطلب خطے سے آنے والے میلان کی حد ہے، اور ہمارے لیے خطے سے آنے والے میلان کی حد ہے۔ اس مسئلے میں، ہم پورے خطے کو پہلے سے جانتے ہیں لیکن ہم وقت پر صرف آئس مائع انٹرفیس کو جانتے ہیں۔ اسٹیفن کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے ہمیں نہ صرف ہر خطے میں حرارت کی مساوات کو حل کرنا ہوگا، بلکہ ہمیں آزاد حد کو بھی ٹریک کرنا ہوگا۔ ایک مرحلے کا اسٹیفن مسئلہ یا تو لینے یا صفر ہونے سے مطابقت رکھتا ہے۔ یہ دو مرحلے کے مسئلے کا ایک خاص معاملہ ہے۔ زیادہ پیچیدگی کی سمت میں ہم مراحل کی صوابدیدی تعداد کے ساتھ مسائل پر بھی غور کر سکتے ہیں۔ رکاوٹ کے مسائل ایک اور مشہور فری باؤنڈری مسئلہ رکاوٹ کا مسئلہ ہے، جس کا کلاسیکی پوسن مساوات سے قریبی تعلق ہے۔ تفریق مساوات کے حل ایک تغیراتی اصول کو پورا کرتے ہیں، یعنی یہ کہ وہ حد پر قدر لینے والے تمام افعال پر فنکشنل کو کم سے کم کرتے ہیں۔ رکاوٹ کے مسئلے میں، ہم ایک اضافی رکاوٹ عائد کرتے ہیں: ہم کسی دیئے گئے فنکشن کے لیے فنکشنل سبجیکٹ کو کنڈیشن میں کم کرتے ہیں۔ اتفاق سیٹ C کو اس خطے کے طور پر بیان کریں جہاں۔ مزید برآں، غیر اتفاق سیٹ کو اس خطے کے طور پر بیان کریں جہاں برابر نہیں ہے، اور آزاد حد کو دونوں کے درمیان انٹرفیس کے طور پر بیان کریں۔ پھر کی حد پر آزاد حد کے مسئلے کو مطمئن کرتا ہے، اور نوٹ کریں کہ تمام افعال کا مجموعہ جیسے کہ کنویکس ہے۔ جہاں پوئسون کا مسئلہ افعال کی لکیری ذیلی جگہ پر کواڈریٹک فنکشنل کو کم سے کم کرنے سے مطابقت رکھتا ہے، وہاں فری باؤنڈری کا مسئلہ کنویکس سیٹ پر کم سے کم کرنے سے مطابقت رکھتا ہے۔ متغیر عدم مساوات کے ساتھ تعلق بہت سے آزاد حدود کے مسائل کو تجزیہ کی خاطر متغیر عدم مساوات کے طور پر منافع بخش طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس نقطہ کی وضاحت کے لیے، ہم سب سے پہلے ایک کنویکس سیٹ پر حقیقی متغیرات کے فنکشن کو کم کرنے کی طرف رجوع کرتے ہیں۔ منیائزر کی خصوصیت اس حالت سے ہوتی ہے۔ اگر اس کے اندرونی حصے میں ہے، تو اس کا میلان صفر ہونا چاہیے۔ اگر اس کی حد پر ہے، تو اس کا میلان حد سے عمودی ہونا چاہیے۔ یہی خیال ہلبرٹ اسپیس کے کنویکس سب سیٹ پر تفریق کے قابل فنکشنل کو کم کرنے پر لاگو ہوتا ہے، جہاں میلان کو اب متغیر مشتق کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اس خیال کو ٹھوس بنانے کے لیے، ہم اسے رکاوٹ کے مسئلے پر لاگو کرتے ہیں، جسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ یہ تشکیل کمزور حل کی تعریف کی اجازت دیتی ہے: آخری مساوات پر حصوں کے ذریعے انضمام کا استعمال کرتے ہوئے یہ ملتا ہے کہ اس تعریف کے لیے صرف ایک مشتق کی ضرورت ہوتی ہے، بالکل اسی طرح جیسے الپٹک باؤنڈری ویلیو کے مسائل کی کمزور تشکیل۔ آزاد حدود کی باقاعدگی الپٹک جزوی تفریق مساوات کے نظریہ میں، کچھ فعال تجزیاتی دلائل کا استعمال کرتے ہوئے معقول آسانی کے ساتھ تفریق مساوات کے کمزور حل کے وجود کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ تاہم، ظاہر ہونے والا کمزور حل افعال کی ایک ایسی جگہ میں مضمر ہے جس میں مطلوبہ سے کم مشتقات ہوں۔ مثال کے طور پر، پوئسون مسئلے کے لیے، ہم آسانی سے اس بات پر زور دے سکتے ہیں کہ ایک کمزور حل ہے جو اس میں ہے، لیکن اس میں دوسرا مشتقات نہیں ہو سکتا ہے۔ اس کے بعد کچھ کیلکولس تخمینوں کو لاگو کیا جاتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ کمزور حل حقیقت میں کافی باقاعدہ ہے۔ فری باؤنڈری کے مسائل کے لیے، یہ کام دو وجوہات کی بنا پر زیادہ مضبوط ہے۔ ایک کے لیے، حل اکثر آزاد حد کے پار متضاد مشتقات کی نمائش کرتے ہیں، جبکہ وہ اس سے دور کسی بھی محلے میں تجزیاتی ہو سکتے ہیں۔ دوسرا، کسی کو آزاد حد کی باقاعدگی کا بھی مظاہرہ کرنا چاہیے۔ مثال کے طور پر، اسٹیفن کے مسئلے کے لیے، آزاد حد ایک سطح ہے۔ متعلقہ مسائل خالصتا تعلیمی نقطہ نظر سے آزاد حدود کا تعلق مسائل کے ایک بڑے طبقے سے ہے جسے عام طور پر حد سے زیادہ طے شدہ مسائل کہا جاتا ہے، یا جیسا کہ ڈیوڈ کنڈرلیہرر اور گائیڈو اسٹیمپچیا نے اپنی کتاب: کاچی ڈیٹا سے ملنے کا مسئلہ میں خطاب کیا ہے۔ دیگر متعلقہ ایف بی پی جن کا ذکر کیا جا سکتا ہے وہ ہیں پومپیو مسئلہ، شیفر کے قیاس آرائیاں۔ ذیل میں بیرونی لنکس دیکھیں۔ اسی طرح کے مسائل کو ماڈل بنانے کے لیے استعمال ہونے والا ایک اور طریقہ فیز فیلڈ ماڈل ہے۔ حوالہ جات پی ڈی ای میں مماثل مسئلہ، پومپیو مسئلہ، شیفر کا قیاس، جزوی تفریق مساوات باؤنڈری ویلیو کے مسائل