Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor
ریاضیاتی طبیعیات میں، بیلین فینٹ-روزن فیلڈ ٹینسر توانائی-مومنٹم ٹینسر کی ایک ترمیم ہے جو کینونکل توانائی-مومنٹم ٹینسر اور اسپن کرنٹ سے بنائی گئی ہے تاکہ ہم آہنگ ہو لیکن پھر بھی محفوظ رہے۔ کلاسیکی یا کوانٹم لوکل فیلڈ تھیوری میں، لورینٹز ٹرانسفارمیشنز کے جنریٹر کو مقامی کرنٹ کے لازمی حصے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں کینونکل نویتھر انرجی-مومنٹم ٹینسر ہے، اور یہ اندرونی (اسپن) کونیی مومنٹم کی شراکت ہے۔ کونیی مومنٹم کے مقامی تحفظ کی ضرورت ہوتی ہے کہ اس طرح اسپن کرنٹ کا ایک ذریعہ غیر ہم آہنگ کینونکل انرجی مومنٹم ٹینسر کا اشارہ کرتا ہے۔ بیلین فینٹے-روزن فیلڈ ٹینسر توانائی مومنٹم ٹینسر کی ایک ترمیم ہے جو کینونکل توانائی مومنٹم ٹینسر اور اسپن کرنٹ سے بنایا گیا ہے تاکہ ہم آہنگ ہو لیکن پھر بھی محفوظ رہے۔ حصوں کے لحاظ سے انضمام سے پتہ چلتا ہے کہ اور اس طرح بیلینفینٹ ٹینسر کی جسمانی تشریح یہ ہے کہ اس میں اندرونی کونیی رفتار کے میلان سے وابستہ "باؤنڈ مومنٹم" شامل ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اضافی اصطلاح مقناطیسی کثافت سے وابستہ "باؤنڈ کرنٹ" کا ایک ینالاگ ہے۔ سمیٹرک بنانے کے لیے درکار اسپن-کرنٹ اجزاء کا متجسس امتزاج اور پھر بھی محفوظ ہونا مکمل طور پر ایڈہاک لگتا ہے، لیکن یہ روزن فیلڈ اور بیلین فینٹے دونوں کے ذریعے دکھایا گیا ہے کہ ترمیم شدہ ٹینسر بالکل سمیٹرک ہلبرٹ انرجی-مومنٹم ٹینسر ہے جو عمومی اضافیت میں کشش ثقل کے منبع کے طور پر کام کرتا ہے۔ جس طرح یہ باؤنڈ اور فری کرنٹس کا مجموعہ ہے جو مقناطیسی میدان کے منبع کے طور پر کام کرتا ہے، اسی طرح یہ باؤنڈ اور فری انرجی مومنٹم کا مجموعہ ہے جو کشش ثقل کے منبع کے طور پر کام کرتا ہے۔ بیلین فینٹ-روزن فیلڈ اور ہلبرٹ انرجی-مومنٹم ٹینسر ہلبرٹ انرجی-مومنٹم ٹینسر کی تعریف میٹرک کے حوالے سے فنکشنل ایکشن کی تغیر سے یا اس کے مساوی طور پر کی جاتی ہے (دوسری مساوات میں مائنس سائن اس لیے پیدا ہوتا ہے کیونکہ) ہم حاصل کرنے کے لیے منکوسکی-آرتھونورمل وائیربین کو تبدیل کر کے انرجی-مومنٹم ٹینسر کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں۔ وائیربین تغیر کے ساتھ ہم آہنگ ہونے کی فوری طور پر کوئی واضح وجہ نہیں ہے۔ تاہم، ایک لامحدود مقامی لورینٹز تبدیلی کے تحت ایکشن فنکشنل غیر متغیر ہونا چاہیے، اور اسی طرح صفر ہونا چاہیے۔ جیسا کہ ایک صوابدیدی پوزیشن پر منحصر اسکیو سمیٹرک میٹرکس ہے، ہم دیکھتے ہیں کہ مقامی لورینٹز اور گردش انواریینس دونوں کی ضرورت ہوتی ہے اور اس کا مطلب ہے۔ ایک بار جب ہم جان لیں کہ یہ ہم آہنگ ہے، تو یہ ظاہر کرنا آسان ہے، اور اس لیے وائیربین-تغیر توانائی-مومنٹم ٹینسر میٹرک-تغیر ہلبرٹ ٹینسر کے برابر ہے۔ اب ہم نویتھر کینونکل انرجی مومنٹم ٹینسر کی بیلین فینٹے-روزن فیلڈ ترمیم کی ابتدا کو سمجھ سکتے ہیں۔ اس عمل کو انجام دیں کہ اسپن کنکشن کہاں ہے جس کا تعین میٹرک ہم آہنگ اور ٹورسن سے پاک ہونے کی شرط کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد اسپن کرنٹ کی تعریف عمودی بار کے تغیر سے کی جاتی ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ وہ تغیر کے دوران فکسڈ ہوتے ہیں۔ "کینونکل" نویتھر انرجی مومنٹم ٹینسر وہ حصہ ہے جو اس تغیر سے پیدا ہوتا ہے جہاں ہم اسپن کنکشن کو درست رکھتے ہیں: پھر اب، ایک ٹورسن فری اور میٹرک مطابقت پذیر کنکشن کے لیے، ہمارے پاس وہ ہے جہاں ہم نوٹیشن استعمال کر رہے ہیں۔ اسپن کنکشن کی تغیر کا استعمال کرتے ہوئے، اور حصوں کے انضمام کے بعد، ہم پاتے ہیں۔ اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ بیلینفینٹ-روزن فیلڈ ٹینسر میں ظاہر ہونے والے کینونکل نویتھر ٹینسر میں اصلاحات ہوتی ہیں کیونکہ اگر ہمیں مقامی لورینٹز انواریینس کو محفوظ رکھنا ہے تو ہمیں بیک وقت وائیربین اور اسپن کنکشن کو تبدیل کرنے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیراک فیلڈ کے لیے کلاسیکی لاگرانجین پر غور کریں۔ یہاں اسپنر کوویرینٹ مشتقات ہیں۔ اس لیے ہمیں ملتا ہے کہ اگر ہم حرکت کی مساوات استعمال کرتے ہیں تو اس میں کوئی حصہ نہیں ہے، یعنی۔ ہم شیل پر ہیں۔ اب اگر الگ ہیں اور بصورت دیگر صفر ہیں۔ اس کے نتیجے میں یہ مکمل طور پر مخالف ہم آہنگی ہے۔ اب، اس نتیجے کا استعمال کرتے ہوئے، اور پھر حرکت کی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ اس طرح بیلین فینٹ-روزن فیلڈ ٹینسر بن جاتا ہے۔ اس لیے ڈیراک فیلڈ کے لیے بیلین فینٹ-روزن فیلڈ ٹینسر کو سمیٹریزڈ کینونکل انرجی-مومنٹم ٹینسر کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ وینبرگ کی تعریف اسٹیون وینبرگ نے بیلین فینٹ ٹینسر کی تعریف اس طرح کی ہے کہ جہاں لاگرانجین کثافت ہے، سیٹ {म्बाق} وہ فیلڈز ہیں جو لاگرانجین میں ظاہر ہوتے ہیں، غیر بیلین فینٹ توانائی مومنٹم ٹینسر کی تعریف کی جاتی ہے اور یہ میٹرکس کا ایک مجموعہ ہے جو یکساں لورینٹز گروپ کے الجبرا کو مطمئن کرتا ہے۔ عمومی اضافیت میں حوالہ جات ٹینسرز