Higher local field
ریاضی میں، ایک اعلی (-جہتی) مقامی میدان ایک مکمل مجرد تشخیص کے میدان کی ایک اہم مثال ہے۔ ایسے فیلڈز کو بعض اوقات کثیر جہتی مقامی فیلڈز بھی کہا جاتا ہے۔ عام مقامی فیلڈز پر (عام طور پر نمبر فیلڈز کی تکمیل یا الجبرائی منحنی خطوط کے مقامی رنگوں کے حصص والے فیلڈز) فیلڈز کے مقامی پیرامیٹر کے انتخاب سے وابستہ ایک منفرد سرجیکٹو مجرد تشخیص (رینک 1 کی) ہوتی ہے، جب تک کہ وہ حقیقی اعداد اور پیچیدہ اعداد جیسے آرکیمیڈین مقامی فیلڈز نہ ہوں۔ اسی طرح، فیلڈ کے n مقامی پیرامیٹرز کے انتخاب سے وابستہ تقریبا تمام n جہتی مقامی فیلڈز پر رینک n کی مجرد تشخیص ہوتی ہے۔ یک جہتی مقامی فیلڈز کے برعکس، اعلی مقامی فیلڈز میں بقیہ فیلڈز کی ترتیب ہوتی ہے۔ اعلی مقامی فیلڈز پر مختلف مربوط ڈھانچے ہیں، اس پر منحصر ہے کہ کوئی کتنے بقیہ فیلڈز کی معلومات کو مدنظر رکھنا چاہتا ہے۔ ہندسی طور پر، اعلی مقامی فیلڈز لوکلائزیشن اور اعلی جہتی اسکیموں کے مقامی رنگوں کی تکمیل کے عمل کے ذریعے ظاہر ہوتے ہیں۔ اعلی مقامی فیلڈز اعلی جہتی نمبر تھیوری کے موضوع کا ایک اہم حصہ ہیں، جو مقامی تحفظات کے لیے اشیاء کا مناسب مجموعہ بناتے ہیں۔ تعریف محدود فیلڈز کا طول و عرض 0 ہوتا ہے اور محدود بقایا فیلڈ کے ساتھ مکمل مجرد ویلیوایشن فیلڈز کا طول و عرض ایک ہوتا ہے (آرکیمیڈین مقامی فیلڈز جیسے R یا C کا طول و عرض 1 ہونا بھی فطری ہے)، پھر ہم کہتے ہیں کہ ایک مکمل مجرد ویلیوایشن فیلڈ کا طول و عرض n ہوتا ہے اگر اس کے بقایا فیلڈ کا طول و عرض n−1 ہو۔ اعلی مقامی فیلڈز وہ ہوتے ہیں جن کا طول و عرض ایک سے زیادہ ہوتا ہے، جبکہ ایک جہتی مقامی فیلڈز روایتی مقامی فیلڈز ہوتے ہیں۔ ہم ایک محدود جہتی اعلی مقامی میدان کے بقیہ میدان کو 'پہلا' بقیہ میدان کہتے ہیں، اس کا بقیہ میدان پھر دوسرا بقیہ میدان ہوتا ہے، اور نمونہ اس وقت تک جاری رہتا ہے جب تک کہ ہم ایک محدود میدان تک نہ پہنچ جائیں۔ مثالیں دو جہتی مقامی فیلڈز کو درج ذیل کلاسوں میں تقسیم کیا گیا ہے: مثبت خصوصیت کے فیلڈز، وہ ایک جہتی مقامی فیلڈ پر متغیر t میں رسمی پاور سیریز ہیں، یعنی۔ Fq ((u)) ((t))۔ خصوصیت صفر کے مساوی خصوصیت والے فیلڈز، وہ خصوصیت صفر کے ایک جہتی مقامی فیلڈ F پر رسمی پاور سیریز F ((t)) ہیں۔ مخلوط خصوصیت والے فیلڈز، وہ قسم F {{t}} کے فیلڈز کی محدود توسیعات ہیں، F خصوصیت صفر کا ایک جہتی مقامی فیلڈ ہے۔ اس فیلڈ کو رسمی پاور سیریز کے سیٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو دونوں سمتوں میں لامحدود ہے، F کے کوفیشنٹس کے ساتھ اس طرح کہ کوفیشنٹس کی کم از کم ویلیوایشن ایک انٹیجر ہے، اور اس طرح کہ کوفیشنٹس کی ویلیوایشن صفر کی طرف مائل ہوتی ہے کیونکہ ان کا انڈیکس مائنس انفینیٹی پر جاتا ہے۔ آرکیمیڈین دو جہتی مقامی فیلڈز، جو حقیقی اعداد R یا پیچیدہ اعداد C پر رسمی پاور سیریز ہیں۔ تعمیرات اعلی مقامی فیلڈز مختلف سیاق و سباق میں ظاہر ہوتے ہیں۔ ایک ہندسی مثال مندرجہ ذیل ہے۔ خصوصیت p کے محدود میدان پر ایک سطح کو دیکھتے ہوئے، سطح پر ایک منحنی خطوط اور منحنی خطوط پر ایک نقطہ، نقطہ پر مقامی دائرے کو لے لیں۔ پھر، اس رنگ کو مکمل کریں، اسے منحنی خطوط پر لوکلائز کریں اور نتیجے میں آنے والی رنگ کو مکمل کریں۔ آخر میں، کوشیئنٹ فیلڈ لیں۔ نتیجہ ایک محدود فیلڈ پر دو جہتی مقامی فیلڈ ہے۔ تبادلہ الجبرہ کا استعمال کرتے ہوئے ایک تعمیر بھی ہے، جو غیر باقاعدہ رنگوں کے لیے تکنیکی بن جاتی ہے۔ ابتدائی نقطہ ایک نویتھیرین، باقاعدہ، n-جہتی رنگ اور پرائم آئیڈیلز کا ایک مکمل جھنڈا ہے جس طرح ان کے متعلقہ حصص کی رنگ باقاعدہ ہوتی ہے۔ تکمیل اور لوکلائزیشن کا ایک سلسلہ اس وقت تک ہوتا ہے جب تک کہ ایک n جہتی مقامی فیلڈ تک نہ پہنچ جائے۔ اعلی مقامی شعبوں پر ٹوپولوجیز ایک جہتی مقامی شعبوں کو عام طور پر ویلیوایشن ٹوپولوجی میں سمجھا جاتا ہے، جس میں کھلی سیٹوں کی وضاحت کے لیے مجرد ویلیوایشن کا استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ اعلی جہتی مقامی شعبوں کے لیے کافی نہیں ہوگا، کیونکہ کسی کو بقیہ سطح پر بھی ٹوپولوجی کو مدنظر رکھنے کی ضرورت ہے۔ اعلی مقامی شعبوں کو مناسب ٹوپولوجیز (منفرد طور پر متعین نہیں) سے نوازا جا سکتا ہے جو اس مسئلے کو حل کرتے ہیں۔ اس طرح کی ٹوپولوجیز رینک n کی مجرد قیمتوں سے وابستہ ٹوپولوجیز نہیں ہیں، اگر n> 1 ہے۔ طول و عرض دو اور اس سے زیادہ میں فیلڈ کا اضافی گروپ ایک ٹپوولوجیکل گروپ بن جاتا ہے جو مقامی طور پر کمپیکٹ نہیں ہوتا ہے اور ٹپوولوجی کی بنیاد قابل شمار نہیں ہوتی ہے۔ سب سے حیران کن بات یہ ہے کہ ضرب مسلسل نہیں ہے ؛ تاہم، یہ ترتیب وار مسلسل ہے، جو تمام معقول ریاضی کے مقاصد کے لیے کافی ہے۔ ٹپوولوجیکل تحفظات کو زیادہ رسمی طریقوں سے تبدیل کرنے کے لیے بار بار انڈ-پرو نقطہ نظر بھی ہیں۔ اعلی مقامی شعبوں پر پیمائش، انضمام اور ہم آہنگ تجزیہ دو جہتی مقامی شعبوں پر کوئی ترجمہ غیر متغیر پیمائش نہیں ہے۔ اس کے بجائے، ایک حتمی اضافی ترجمہ غیر متغیر پیمائش ہے جس کی وضاحت بند گیندوں کے ذریعہ تیار کردہ سیٹوں کی انگوٹی پر میدان پر دو جہتی مجرد قیمتوں کے حوالے سے کی گئی ہے، اور رسمی پاور سیریز R ((X)) میں اقدار کو حقیقی سے زیادہ لیا گیا ہے۔ یہ پیمائش ایک مخصوص بہتر معنوں میں قابل ذکر اضافہ بھی ہے۔ اسے اونچے مقامی کھیتوں میں اعلی ہار پیمائش کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ہر اعلی مقامی فیلڈ کا اضافی گروپ غیر مستند طور پر خود دوہری ہوتا ہے، اور کوئی بھی افعال کی مناسب جگہوں پر اعلی فورئیر ٹرانسفارم کی وضاحت کر سکتا ہے۔ یہ اعلی ہارمونک تجزیہ کی طرف لے جاتا ہے۔ اعلی مقامی کلاس فیلڈ تھیوری طول و عرض میں مقامی کلاس فیلڈ تھیوری کے اعلی جہتوں میں اس کے مشابہت ہیں۔ ضرب گروپ کے لیے مناسب متبادل nth ملنور K-گروپ بن جاتا ہے، جہاں n فیلڈ کا طول و عرض ہے، جو اس کے بعد فیلڈ پر زیادہ سے زیادہ ابیلین توسیع کے گالوئس گروپ کے لیے باہمی نقشہ کے ڈومین کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ اس سے بھی بہتر یہ ہے کہ nth ملنور K-گروپ کے حصص کے ساتھ اس کے عناصر کے ذیلی گروپ کے ساتھ کام کیا جائے جو ہر مثبت عدد سے تقسیم ہوتا ہے۔ Fesenko تھیوریم کی وجہ سے، اس حصص کو مناسب اعلی جہتی ٹوپولوجی سے مالا مال K-گروپ کے زیادہ سے زیادہ علیحدہ ٹوپولوجیکل حصص کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ اعلی مقامی فیلڈ کی زیادہ سے زیادہ ابیلین توسیع کے گالوئس گروپ کے nth ملنور K-گروپ کے اس حصص سے اعلی مقامی باہمی ہم آہنگی میں ایک جہتی مقامی کلاس فیلڈ تھیوری کی طرح بہت سی خصوصیات ہیں۔ اعلی مقامی کلاس فیلڈ تھیوری بقیہ فیلڈ کی سطح پر کلاس فیلڈ تھیوری کے ساتھ مطابقت رکھتی ہے، جس میں ملنور کے تھیوری کے بارڈر میپ کا استعمال کرتے ہوئے فیلڈ اور بقیہ فیلڈ کی سطح پر باہمی نقشہ پر مشتمل ایک مواصلاتی خاکہ تیار کیا جاتا ہے۔ جنرل ہائر لوکل کلاس فیلڈ تھیوری کازویا کاٹو اور ایوان فیسینکو نے تیار کی تھی۔ مثبت خصوصیت میں اعلی مقامی کلاس فیلڈ تھیوری الیکسی پارشین نے تجویز کی تھی۔ نوٹ حوالہ جات میدان (ریاضی) الجبرائی عدد نظریہ ہارمونک تجزیہ