Tight span
میٹرک جیومیٹری میں، میٹرک لفافہ یا میٹرک اسپیس M کا تنگ دورانیہ ایک انجیکشن میٹرک اسپیس ہے جس میں M کو سرایت کیا جا سکتا ہے۔ کچھ معنوں میں یہ M کے نکات کے درمیان تمام نکات پر مشتمل ہوتا ہے، جو یوکلڈین اسپیس میں مقرر کردہ نقطہ کے کنویکس ہل کے مترادف ہوتا ہے۔ تنگ مدت کو بعض اوقات انجیکشن لفافے یا ایم کے ہائپرکونویکس ہل کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ اسے انجیکشن ہول بھی کہا جاتا ہے، لیکن الجبرا میں کسی ماڈیول کے انجیکشن ہول کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، یہ تصور میٹرک خالی جگہوں کے بجائے آر-ماڈیولز کے زمرے سے متعلق اسی طرح کی وضاحت کے ساتھ ہے۔ تنگ دور کو سب سے پہلے بیان کیا گیا تھا، اور اس کا مطالعہ اور اطلاق 1960 کی دہائی میں ہولسٹینسکی نے کیا تھا۔ اسے بعد میں آزادانہ طور پر اور کے ذریعہ دوبارہ دریافت کیا گیا۔ اس تاریخ کے لیے دیکھیں۔ تنگ اسپان ٹی تھیوری کی مرکزی تعمیرات میں سے ایک ہے۔ تعریف میٹرک اسپیس کے تنگ دورانیے کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ (X, d) ایک میٹرک اسپیس ہے، اور T (X) کو X پر انتہائی افعال کا مجموعہ ہونے دیں، جہاں ہم X پر ایک انتہائی فنکشن کہتے ہیں جس کا مطلب ہے کہ X سے R تک فنکشن f اس طرح ہے کہ کسی بھی x کے لیے، x میں y، d (x, y) ≤ f (x) + f (y)، اور X میں ہر x کے لیے، f (x) = sup {d (x, y)-f (y): y in X}۔ خاص طور پر (x = y کو اوپر کی پراپرٹی 1 میں لیتے ہوئے) تمام x کے لیے f (x) ≤ 0۔ مندرجہ بالا پہلی ضرورت کی تشریح کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ f کسی نئے نقطہ سے X میں موجود نکات تک ممکنہ فاصلے کے ایک مجموعے کی وضاحت کرتا ہے جو مثلث کی عدم مساوات کو (X، d) میں موجود فاصلے کے ساتھ پورا کرتا ہے۔ دوسری ضرورت میں کہا گیا ہے کہ مثلث کی عدم مساوات کی خلاف ورزی کیے بغیر ان میں سے کسی بھی فاصلے کو کم نہیں کیا جا سکتا۔ (X، d) کا تنگ دورانیہ میٹرک سپیس (T (X)، δ) ہے، جہاں معیار کے ذریعہ متاثر ہونے والے میٹرک کے مترادف ہے۔ (اگر d باؤنڈ ہے، تو δ سب اسپیس میٹرک ہے جو معمول سے متاثر ہونے والے میٹرک سے متاثر ہوتا ہے۔ اگر d باؤنڈ نہیں ہے، تو X پر ہر انتہائی فنکشن غیر باؤنڈ ہے اور اس لیے قطع نظر، یہ سچ ہوگا کہ T (X) میں کسی بھی f، g کے لیے، فرق کا تعلق ہے، یعنی باؤنڈ ہے۔) انتہائی افعال کی مساوی تعریفیں ایکس سے آر تک کسی فنکشن کے لیے پہلی ضرورت کو پورا کرنے کے لیے، دوسری ضرورت کے درج ذیل ورژن مساوی ہیں: ایکس میں ہر ایکس کے لیے، ایف (ایکس) = سپ {ڈی (ایکس، وائی)-ایف (وائی): ایکس میں وائی۔ f مذکورہ بالا پہلی ضرورت کے حوالے سے نقطہ وار کم سے کم ہے، یعنی، X سے R تک کسی بھی فنکشن g کے لیے اس طرح کہ d (x, y) ≤ g (x) + g (y) تمام x کے لیے، x میں y، اگر g ≤ f نقطہ وار، تو f = g۔ بنیادی خصوصیات اور مثالیں X میں موجود تمام x کے لیے، X میں موجود ہر x کے لیے، انتہائی ہے۔ (ثبوت: ہم آہنگی اور مثلث کی عدم مساوات کا استعمال کریں۔) اگر X محدود ہے، تو X سے R تک کسی بھی فنکشن f کے لیے جو پہلی ضرورت کو پورا کرتا ہے، دوسری ضرورت اس شرط کے مساوی ہے کہ X میں ہر x کے لیے، X میں y موجود ہے جیسے کہ f (x) + f (y) = d (x, y)۔ (اگر پھر دونوں شرائط درست ہیں۔ اگر پھر بالادستی حاصل ہو جاتی ہے، اور پہلی ضرورت کا مطلب مساوات ہے۔) |X | = 2 کہیں، اور الگ a، b کا انتخاب کریں تاکہ X = {a, b} ہو۔ پھر {{(a, 1), (b, 0)}، {(a, 0), (b, 1)}} کا کنویکس ہل ہے۔ [ایک تصویر شامل کریں۔ عنوان: اگر X = {0,1}، تو {(0,1)، (1,0)} کا کنویکس ہل ہے۔] X پر ہر انتہائی فنکشن f کیٹیٹوف ہے: f پہلی ضرورت کو پورا کرتا ہے اور یا مساوی طور پر، f پہلی ضرورت کو پورا کرتا ہے اور (1-Lipschitz ہے)، یا مساوی طور پر، f پہلی ضرورت کو پورا کرتا ہے اور T (X) C (X)۔ (Lipschitz افعال مسلسل ہیں۔) T (X) مساوی ہے۔ (X کے 1-Lipschitz ہونے پر ہر انتہائی فنکشن سے پیروی کرتا ہے ؛ cf. Equicontinuity#Examples.) X پر ہر کیٹیٹوف فنکشن انتہائی نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ a، b الگ ہے، فرض کریں کہ X = {a, b}، فرض کریں کہ d = ([x ष्णور y]) x، X میں y، X پر مجرد میٹرک ہے، اور فرض کریں کہ f = {(a, 1)، (b, 2)}۔ پھر f کیٹیٹوف ہے لیکن انتہا پسند نہیں ہے۔ (یہ تقریبا فوری ہے کہ f کاٹیٹوف ہے۔ f انتہائی نہیں ہے کیونکہ یہ اس حصے کی تیسری گولی میں خاصیت کو ناکام بناتا ہے۔) اگر d باؤنڈ ہے، تو T (X) میں ہر f باؤنڈ ہے۔ در حقیقت، T (X) میں ہر f کے لیے، (نوٹ) (مندرجہ بالا حصے میں تیسری مساوی خاصیت سے پیروی کرتا ہے۔) اگر d لامحدود ہے، تو T (X) میں ہر f لامحدود ہے۔ (پہلی ضرورت کی پیروی کرتا ہے۔) پوائنٹ وائز حدود کے تحت بند کیا جاتا ہے۔ اگر (X، d) کمپیکٹ ہے، تو (T (X)، δ) کمپیکٹ ہے۔ (ثبوت: انتہائی قدر تھیوریم کا مطلب ہے کہ d، ایک فنکشن کے طور پر مسلسل ہونے کی وجہ سے پابند ہے، لہذا (پچھلی گولی دیکھیں) C (X) کا ایک پابند ذیلی سیٹ ہے۔ ہم نے دکھایا ہے کہ T (X) مساوی ہے، اس لیے ارزیل-اسکولی تھیوریم کا مطلب ہے کہ T (X) نسبتا کمپیکٹ ہے۔ تاہم، پچھلی گولی کا مطلب ہے کہ T (X) معمول کے تحت بند ہے، کیونکہ کنورجنس کا مطلب پوائنٹ وائز کنورجنس ہے۔ اس طرح T (X) کمپیکٹ ہے۔) X سے R تک کسی بھی فنکشن g کے لیے جو پہلی ضرورت کو پورا کرتا ہے، T (X) میں f موجود ہے جیسے کہ f ≤ g پوائنٹ وائز۔ X پر کسی بھی انتہائی فعل f کے لیے، کسی بھی f کے لیے، T (X) میں g، فرق سے تعلق رکھتا ہے، یعنی، پابند ہے۔ (اوپر دی گئی گولی کا استعمال کریں۔) کوراتووسکی نقشہ ایک آئسومیٹری ہے۔ (جب X = युل ہو تو نتیجہ واضح ہوتا ہے۔ جب X ष्णور ष्णور، الٹا مثلث کی عدم مساوات نتیجہ کو ظاہر کرتی ہے۔) T (X) میں f لیں۔ X میں کسی بھی a کے لیے، اگر f (a) = 0، تو f = e (a)۔ (X میں ہر x کے لیے ہمارے پاس f کی کم سے کم (اوپر والے حصے میں دوسری مساوی خصوصیت) ہے اور یہ حقیقت کہ پہلی ضرورت کو پورا کرتی ہے اس کے بعد) (X, d) ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب (T (X)، δ) ہائپربولک ہو۔ ہائپر کنویکسٹی خصوصیات (T (X)، δ) اور دونوں ہائپر کنویکس ہیں۔ کسی بھی Y کے لیے جو ہائپر کنویکس نہیں ہے۔ ((T (X)، δ) (X، d) کا ایک ہائپر کنویکس ہل ہے۔) اور کے ساتھ ایک ہائپر کنویکس میٹرک اسپیس ہونے دیں۔ اگر تمام I کے ساتھ ہائپر کنویکس نہیں ہے، تو اور (T (X)، δ) آئسومیٹرک ہیں۔ ("(X، d) کا ہر ہائپرکونویکس ہل (T (X)، δ) کے ساتھ آئسومیٹرک ہے۔") مثال کے طور پر |X | = 3 کہیں، الگ الگ a، b، c کا انتخاب کریں تاکہ X = {a, b, c}، اور آئی = d (a, b)، j = d (a, c)، k = d (b, c)۔ پھر کہاں [تصویر شامل کریں۔ کیپشن: اگر X = {0,1,2}، تو T (X) = کنو {(،،)، (،،)} u کنو {(،،)، (،،)} u کنو {(،،)، (،،)} حرف Y کی شکل میں ہے۔ (سی ایف۔) یہ اعداد و شمار جہاز میں 16 پوائنٹس کا ایک سیٹ X دکھاتا ہے ؛ ان پوائنٹس سے ایک محدود میٹرک اسپیس بنانے کے لیے، ہم مین ہیٹن فاصلہ (فاصلہ) استعمال کرتے ہیں۔ شکل میں دکھایا گیا نیلا خطہ آرتھوگنل کنویکس ہل ہے، پوائنٹس z کا مجموعہ اس طرح ہے کہ چار بند چوتھائیوں میں سے ہر ایک جس کی چوٹی z ہے اس میں X کا ایک نقطہ ہوتا ہے۔ اس طرح کا کوئی بھی نقطہ z تنگ مدت کے ایک نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے: فنکشن f (x) ایک نقطہ z سے مطابقت رکھتا ہے f (x) = d (z, x) ہے۔ اس فارم کا فنکشن مین ہیٹن میٹرک کے لیے مثلث کی عدم مساوات کے ذریعے مین ہیٹن میٹرک پلین میں کسی بھی z کے لیے تنگ دورانیے کی خاصیت 1 کو مطمئن کرتا ہے۔ تنگ مدت کی خاصیت 2 کو ظاہر کرنے کے لیے، X میں کسی نقطہ x پر غور کریں ؛ ہمیں X میں y کو اس طرح تلاش کرنا چاہیے کہ f (x) + f (y) = d (x, y) ہو۔ لیکن اگر x چار چوتھائیوں میں سے کسی ایک میں ہے جس کی چوٹی z ہے، تو y کو مخالف چوتھائی میں کسی بھی نقطہ کے طور پر لیا جا سکتا ہے، اس لیے خاصیت 2 بھی مطمئن ہے۔ اس کے برعکس یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ تنگ وقفہ کا ہر نقطہ اس طرح ان نکات کے آرتھوگنل کنویکس ہل میں ایک نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ تاہم، اعلی جہتوں میں مین ہیٹن میٹرک کے ساتھ پوائنٹ سیٹوں کے لیے، اور منقطع آرتھوگنل ہلز کے ساتھ پلانر پوائنٹ سیٹوں کے لیے، تنگ دورانیہ آرتھوگنل کنویکس ہل سے مختلف ہوتا ہے۔ تنگ دورانیے کا طول و عرض جب X محدود ہوتا ہے تو اوپر کی تعریف n () کے سیٹ کے تنگ دورانیے T (X) کو RX میں شامل کرتی ہے، جو طول و عرض n کی ایک حقیقی ویکٹر جگہ ہے۔ دوسری طرف، اگر ہم T (X) کے طول و عرض کو پولی ہیڈرل کمپلیکس سمجھتے ہیں، تو یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، میٹرک پر مناسب عمومی پوزیشن کے مفروضے کے ساتھ، یہ تعریف n/3 اور n/2 کے درمیان طول و عرض والی جگہ کی طرف لے جاتی ہے۔ متبادل تعریفیں میٹرک اسپیس کے تصور پر مبنی ایک متبادل تعریف جس کا مقصد اس کی ذیلی جگہ کو بیان کیا گیا تھا، جس نے ثابت کیا کہ بناچ اسپیس کا انجیکشن لفافہ، بناچ اسپیس کے زمرے میں، تنگ مدت کے ساتھ (لکیری ڈھانچے کو بھول جانے کے بعد) موافق ہے۔ یہ نظریہ کچھ مسائل کو صوابدیدی بناچ خالی جگہوں سے لے کر C (X) کی شکل کے بناچ خالی جگہوں تک کم کرنے کی اجازت دیتا ہے، جہاں X ایک کمپیکٹ جگہ ہے۔ خلا میں ہر نقطہ سے ایک دوسرے نقطہ تک کے فاصلے کے ویکٹروں کے اشنکٹبندیی کنویکس ہل کے طور پر ایک محدود میٹرک اسپیس کے تنگ دورانیے کی متبادل تعریف فراہم کرنے کی کوشش کی۔ تاہم، اسی سال کے آخر میں انہوں نے ایک ایراٹم میں تسلیم کیا کہ، اگرچہ اشنکٹبندیی کنویکس ہل ہمیشہ تنگ مدت پر مشتمل ہوتا ہے، لیکن یہ اس کے ساتھ موافق نہیں ہوسکتا ہے۔ ایپلی کیشنز حیاتیاتی اعداد و شمار سے ارتقائی درختوں کی تعمیر نو میں تنگ دورانیے کے استعمال کو بیان کرتی ہیں۔ تنگ دورانیہ کے-سرور کے مسئلے کے لیے کئی آن لائن الگورتھم میں ایک کردار ادا کرتا ہے۔ چھ پوائنٹس تک میٹرک خالی جگہوں کی درجہ بندی کرنے کے لیے تنگ دورانیہ کا استعمال کرتا ہے۔ زیادہ عام محدود میٹرک خالی جگہوں میں کٹ میٹرکس پیک کرنے کے بارے میں نتائج کو ثابت کرنے کے لیے تنگ مدت کا استعمال کرتا ہے۔ کوراتووسکی ایمبیڈنگ بھی دیکھیں، کسی بھی میٹرک کی جگہ کو بناچ کی جگہ میں سرایت کرنا جس کی وضاحت کوراتووسکی نقشے کے انجیکشن میٹرک اسپیس نوٹس حوالہ جات کی طرح کی گئی ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط۔ میٹرک جیومیٹری