Fluctuation-dissipation theorem
فلوکچوایشن-ڈسیپیشن تھیوریم (ایف ڈی ٹی) یا فلوکچوایشن-ڈسیپیشن ریلیشن (ایف ڈی آر) شماریاتی طبیعیات میں تفصیلی توازن کی پابندی کرنے والے نظاموں کے رویے کی پیش گوئی کرنے کا ایک طاقتور ذریعہ ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ کوئی نظام تفصیلی توازن کی پابندی کرتا ہے، نظریہ اس بات کا ثبوت ہے کہ کسی جسمانی متغیر میں تھرموڈینامک اتار چڑھاؤ اسی جسمانی متغیر (جیسے وولٹیج، درجہ حرارت کا فرق، وغیرہ) کے ایڈمیٹنس یا امپیڈنس (ان کے عمومی معنوں میں، نہ صرف برقی مقناطیسی اصطلاحات میں) کے ذریعہ مقداری ردعمل کی پیش گوئی کرتے ہیں۔ )، اور اس کے برعکس۔ اتار چڑھاؤ-اخراج تھیوریم کلاسیکی اور کوانٹم مکینیکل دونوں نظاموں پر لاگو ہوتا ہے۔ اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ ہربرٹ کالین اور تھیوڈور ویلٹن نے 1951 میں ثابت کیا تھا اور ریوگو کوبو نے اس کی توسیع کی تھی۔ جنرل تھیوریم کے پس منظر موجود ہیں، جن میں آئن سٹائن کی اپنی اینس میرابلس کے دوران براؤنین حرکت کی وضاحت اور 1928 میں ہیری نائکوسٹ کی برقی مزاحموں میں جانسن کے شور کی وضاحت شامل ہے۔ کوالٹیٹو جائزہ اور مثالیں اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ کہتا ہے کہ جب کوئی ایسا عمل ہوتا ہے جو توانائی کو ختم کرتا ہے، اسے حرارت میں بدل دیتا ہے (مثال کے طور پر، رگڑ)، تو تھرمل اتار چڑھاؤ سے متعلق ایک الٹا عمل ہوتا ہے۔ یہ کچھ مثالوں پر غور کرکے بہتر طور پر سمجھا جاتا ہے: ڈریگ اور براؤنین موشن اگر کوئی چیز کسی سیال سے گزر رہی ہے تو اسے ڈریگ (ہوا کی مزاحمت یا سیال کی مزاحمت) کا تجربہ ہوتا ہے۔ ڈریگ حرکی توانائی کو خارج کر دیتا ہے، اسے حرارت میں بدل دیتا ہے۔ متعلقہ اتار چڑھاؤ براؤنین حرکت ہے۔ سیال میں موجود کوئی شے خاموش نہیں بیٹھتی، بلکہ ایک چھوٹی اور تیزی سے بدلتی ہوئی رفتار کے ساتھ گھومتی ہے، کیونکہ سیال میں موجود مالیکیول اس سے ٹکراتے ہیں۔ براؤنین حرکت حرارت کی توانائی کو حرکی توانائی میں تبدیل کرتی ہے-ڈریگ کے برعکس۔ مزاحمت اور جانسن شور اگر برقی کرنٹ تار کے لوپ سے گزر رہا ہے جس میں مزاحم ہے، تو مزاحمت کی وجہ سے کرنٹ تیزی سے صفر پر چلا جائے گا۔ مزاحمت برقی توانائی کو ختم کر دیتی ہے، اسے حرارت (جول ہیٹنگ) میں تبدیل کر دیتی ہے۔ متعلقہ اتار چڑھاؤ جانسن شور ہے۔ ایک تار لوپ جس میں مزاحم ہوتا ہے اس میں دراصل صفر کرنٹ نہیں ہوتا ہے، اس میں ایک چھوٹا اور تیزی سے اتار چڑھاؤ والا کرنٹ ہوتا ہے جو مزاحم میں الیکٹرانوں اور ایٹموں کے تھرمل اتار چڑھاؤ کی وجہ سے ہوتا ہے۔ جانسن شور حرارت کی توانائی کو برقی توانائی میں تبدیل کرتا ہے-مزاحمت کا الٹا۔ روشنی کا جذب اور تھرمل تابکاری جب روشنی کسی شے پر اثر انداز ہوتی ہے تو روشنی کا کچھ حصہ جذب ہو جاتا ہے، جس سے شے زیادہ گرم ہو جاتی ہے۔ اس طرح روشنی کا جذب روشنی کی توانائی کو حرارت میں بدل دیتا ہے۔ متعلقہ اتار چڑھاؤ تھرمل تابکاری ہے (مثال کے طور پر، "سرخ گرم" شے کی چمک)۔ تھرمل تابکاری حرارت کی توانائی کو روشنی کی توانائی میں بدل دیتی ہے-جو روشنی کے جذب ہونے کے برعکس ہے۔ درحقیقت، کرچوف کا تھرمل تابکاری کا قانون اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ کوئی شے جتنی زیادہ مؤثر طریقے سے روشنی کو جذب کرتی ہے، اتنی ہی زیادہ تھرمل تابکاری خارج ہوتی ہے۔ تفصیل میں مثالیں اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ شماریاتی تھرموڈینامکس کا ایک عمومی نتیجہ ہے جو کسی ایسے نظام میں اتار چڑھاؤ کے درمیان تعلق کی مقدار طے کرتا ہے جو تفصیلی توازن کی پابندی کرتا ہے اور اطلاق شدہ پریشانیوں پر نظام کے ردعمل کی تعمیل کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، البرٹ آئن سٹائن نے براؤنین موشن پر اپنے 1905 کے مقالے میں نوٹ کیا کہ وہی بے ترتیب قوتیں جو براؤنین موشن میں کسی ذرہ کی بے ترتیب حرکت کا سبب بنتی ہیں اگر ذرہ کو سیال کے ذریعے کھینچا جائے تو وہ بھی ڈریگ کا سبب بنے گی۔ دوسرے لفظوں میں، اگر کوئی نظام کو کسی خاص سمت میں پریشان کرنے کی کوشش کرتا ہے تو باقی ذرہ کے اتار چڑھاؤ کی اصل وہی ہوتی ہے جس کے خلاف ڈسپیٹیو فریکشنل فورس کو کام کرنا چاہیے۔ اس مشاہدے سے آئن سٹائن شماریاتی میکانکس کا استعمال کرتے ہوئے آئن سٹائن-سمولوچووسکی تعلق حاصل کرنے کے قابل ہو گیا جو پھیلاؤ مستقل D اور ذرہ کی نقل و حرکت کو جوڑتا ہے، جو کہ ذرہ کی ٹرمینل ڈرفٹ رفتار کا تناسب ایک لاگو قوت سے ہے۔ kB بولٹزمین مستقل ہے، اور T مطلق درجہ حرارت ہے۔ 1928 میں جان بی جانسن نے ایک مزاحم میں تھرمل شور دریافت کیا اور ہیری نائکوسٹ نے جانسن نائکوسٹ شور کی وضاحت کی۔ بغیر کسی اطلاق شدہ کرنٹ کے، اوسط مربع وولٹیج کا انحصار مزاحمت، اور بینڈوتھ پر ہوتا ہے جس پر وولٹیج کی پیمائش کی جاتی ہے: اس مشاہدے کو اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم کے عینک کے ذریعے سمجھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک سادہ سرکٹ لیں جس میں مزاحمت کے ساتھ مزاحم اور چھوٹے کیپسیٹنس کے ساتھ کیپسیٹر ہوتا ہے۔ کرچوف کا قانون پیداوار دیتا ہے اور اس لیے اس سرکٹ کے لیے رسپانس فنکشن ہے کم فریکوئنسی کی حد میں، اس کا خیالی حصہ صرف وہی ہے جسے پھر اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم کے ذریعے وولٹیج کے پاور سپیکٹرم ڈینسٹی فنکشن سے جوڑا جا سکتا ہے۔ جانسن-نائکوسٹ وولٹیج شور کا مشاہدہ ارد گرد مرکوز ایک چھوٹی فریکوئنسی بینڈوتھ کے اندر کیا گیا تھا۔ لہذا عمومی تشکیل اتار چڑھاؤ-بازی کے نظریہ کو کئی طریقوں سے وضع کیا جا سکتا ہے ؛ ایک خاص طور پر مفید شکل درج ذیل ہے: آئیے تھرمل اتار چڑھاؤ کے تابع ہیملٹنین کے ساتھ متحرک نظام کا مشاہدہ کریں۔ قابل مشاہدہ اپنی اوسط قیمت کے ارد گرد اتار چڑھاؤ کے ساتھ اتار چڑھاؤ کرے گا جس کی خصوصیت پاور سپیکٹرم ہے۔ فرض کریں کہ ہم وقت کے لحاظ سے مختلف، مقامی طور پر مستقل فیلڈ کو آن کر سکتے ہیں جو ہیملٹنین کو بدل دیتا ہے۔ وقت پر منحصر فیلڈ کے لیے قابل مشاہدہ کا ردعمل اس نظام کی حساسیت یا لکیری رسپانس فنکشن کے ذریعے پہلی ترتیب کی خصوصیت رکھتا ہے جہاں پرٹربیشن کو اڈیبیٹک طور پر (بہت آہستہ آہستہ) آن کیا جاتا ہے۔ اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ دو طرفہ پاور سپیکٹرم سے متعلق ہے (یعنی۔ مثبت اور منفی دونوں تعدد) کی حساسیت کے فورئیر ٹرانسفارم کے خیالی حصے میں: جو فورئیر ٹرانسفارم کنونشن کے تحت ہے۔ بائیں ہاتھ کی طرف اتار چڑھاؤ کو بیان کرتا ہے، دائیں ہاتھ کی طرف کا ارتعاش کے میدان کے ذریعے پمپ کیے جانے پر نظام کے ذریعے ختم ہونے والی توانائی سے گہرا تعلق ہوتا ہے۔ یہ تھیوریم کی کلاسیکی شکل ہے ؛ کوانٹم کے اتار چڑھاؤ کو (جس کی حد ہے) کے ساتھ تبدیل کرکے مدنظر رکھا جاتا ہے۔ ایک ثبوت ایل ایس زیڈ کمی کے ذریعے پایا جا سکتا ہے، جو کوانٹم فیلڈ تھیوری سے ایک شناخت ہے۔ اتار چڑھاؤ-بازی کے نظریہ کو خلا پر منحصر شعبوں کے معاملے میں، کئی متغیرات کے معاملے میں یا کوانٹم میکانکس کی ترتیب میں سیدھے سیدھے طریقے سے عام کیا جا سکتا ہے۔ ایک خاص صورت جس میں اتار چڑھاؤ کی مقدار خود توانایٔی ہوتی ہے، تعدد پر منحصر مخصوص حرارت کے لیے اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ ہے۔ مشتق کلاسیکی ورژن ہم اسی اشارے کا استعمال کرتے ہوئے اوپر دی گئی شکل میں اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا نظریہ اخذ کرتے ہیں۔ مندرجہ ذیل ٹیسٹ کیس پر غور کریں: فیلڈ f لامحدود وقت سے آن ہے اور t = 0 پر بند ہے جہاں ہیویسائڈ فنکشن ہے۔ ہم امکانات کی تقسیم W (x, 0) اور منتقلی کے امکانات کی طرف سے توقع کی قیمت کا اظہار کر سکتے ہیں۔ امکانات کی تقسیم کی تقریب W (x, 0) ایک توازن کی تقسیم ہے اور اس لیے بولٹزمین کی طرف سے دی گئی ہے۔ کمزور فیلڈ کے لیے، ہم دائیں ہاتھ کی طرف کو بڑھا سکتے ہیں یہاں فیلڈ کی عدم موجودگی میں توازن کی تقسیم ہے۔ اس تخمینے کو پیداوار کے فارمولے میں جوڑنا جہاں A (t) فیلڈ کی عدم موجودگی میں x کا آٹو ارتباط فنکشن ہے: نوٹ کریں کہ فیلڈ کی عدم موجودگی میں نظام ٹائم شفٹ کے تحت غیر متغیر ہے۔ ہم نظام کی حساسیت کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ لکھ سکتے ہیں اور اس لیے مندرجہ بالا مساوات (*) کے ساتھ تلاش کر سکتے ہیں۔ نتیجتا، تعدد انحصار کے بارے میں بیان دینے کے لیے، مساوات (* *) کا فورئیر ٹرانسفارم لینا ضروری ہے۔ حصوں کے لحاظ سے ضم کرنے سے، یہ ظاہر کرنا ممکن ہے کہ چونکہ یہ حقیقی اور متناسب ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ آخر کار، ساکن عمل کے لیے، وینر-کھنچن تھیوریم بیان کرتا ہے کہ دو طرفہ سپیکٹرم کثافت آٹو-ارتباط فنکشن کے فورئیر ٹرانسفارم کے برابر ہے: لہذا، یہ اس کوانٹم ورژن کے مطابق ہے۔ اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم تعدد ڈومین (ضائع ہونے کی پیمائش) میں رسپانس فنکشن کے خیالی حصے سے قابل مشاہدہ (اتار چڑھاؤ کی پیمائش) کے ارتباط فنکشن سے متعلق ہے۔ ان مقداروں کے درمیان ایک تعلق نام نہاد کوبو فارمولے کے ذریعے پایا جا سکتا ہے جو لکیری رسپانس تھیوری کے مفروضوں کے تحت، ایک پریشان کن ماخذ کی موجودگی میں قابل مشاہدہ کے مجموعی اوسط کے وقت کے ارتقاء سے ہوتا ہے۔ ایک بار فورئیر تبدیل ہونے کے بعد، کوبو فارمولا رسپانس فنکشن کے خیالی حصے کو لکھنے کی اجازت دیتا ہے جیسا کہ کینونکل اینسمبل میں، دوسری اصطلاح کو دوبارہ ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں دوسری مساوات میں ہم نے ٹریس کی سائیکلک پراپرٹی کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ پوزیشن کی۔ اگلا، تیسری مساوات میں، ہم نے ٹریس کے ساتھ داخل کیا اور خیالی وقت کے وقفے کے ساتھ وقت ارتقاء آپریٹر کے طور پر تشریح کی۔ خیالی ٹائم شفٹ فورئیر ٹرانسفارم کے بعد ایک عنصر میں بدل جاتی ہے اور اس طرح کے اظہار کو آسانی سے کوانٹم کے اتار چڑھاؤ-بازی کے تعلق کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جہاں پاور سپیکٹرم کثافت آٹو ارتباط کا فورئیر ٹرانسفارم ہے اور یہ بوس آئن سٹائن ڈسٹری بیوشن فنکشن ہے۔ اسی حساب سے بھی نتیجہ نکلتا ہے، کلاسیکی معاملے میں جو حاصل کیا گیا ہے اس سے مختلف، پاور سپیکٹرم کثافت کوانٹم کی حد میں بالکل فریکوئنسی سمیٹرک نہیں ہے۔ مستقل طور پر، آپریٹرز کے تبادلے کے قوانین سے پیدا ہونے والا ایک خیالی حصہ ہے۔ مثبت تعدد کے اظہار میں اضافی "" اصطلاح کو بے ساختہ اخراج سے منسلک سمجھا جا سکتا ہے۔ اکثر حوالہ دیا جانے والا نتیجہ سمیٹریزڈ پاور سپیکٹرم ڈینسٹی بھی ہے۔ "" کوانٹم کے اتار چڑھاؤ، یا قابل مشاہدہ کی صفر نکاتی حرکت سے منسلک سمجھا جا سکتا ہے۔ کافی زیادہ درجہ حرارت پر، یعنی۔ کوانٹم کا تعاون نہ ہونے کے برابر ہے، اور ہم کلاسیکی ورژن کو بازیافت کرتے ہیں۔ شیشے کے نظاموں میں خلاف ورزیاں اگرچہ اتار چڑھاؤ-خارج کرنے کا نظریہ تفصیلی توازن کی پابندی کرنے والے نظاموں کے ردعمل کے درمیان ایک عمومی تعلق فراہم کرتا ہے، جب تفصیلی توازن کی خلاف ورزی کی جاتی ہے تو اتار چڑھاؤ کا کھپت سے موازنہ زیادہ پیچیدہ ہوتا ہے۔ نام نہاد شیشے کے درجہ حرارت سے نیچے، شیشے کے نظام متوازن نہیں ہوتے ہیں، اور آہستہ آہستہ اپنی توازن کی حالت تک پہنچ جاتے ہیں۔ توازن کے لیے یہ سست نقطہ نظر تفصیلی توازن کی خلاف ورزی کا مترادف ہے۔ اس طرح ان نظاموں کا مطالعہ کرنے کے لیے وقت کے بڑے پیمانے کی ضرورت ہوتی ہے جبکہ وہ آہستہ آہستہ توازن کی طرف بڑھتے ہیں۔ شیشے کے نظام میں اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کے تعلق کی خلاف ورزی کا مطالعہ کرنا، خاص طور پر اسپن شیشے، حوالہ۔ میکروسکوپک سسٹمز کے عددی تخروپن انجام دیے (یعنی۔ ان کے ارتباط کی لمبائی کے مقابلے میں بڑا) سپر کمپیوٹرز کا استعمال کرتے ہوئے تین جہتی ایڈورڈز اینڈرسن ماڈل کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے۔ ان کے تخروپن میں، نظام کو ابتدائی طور پر اعلی درجہ حرارت پر تیار کیا جاتا ہے، شیشے کے درجہ حرارت سے نیچے درجہ حرارت پر تیزی سے ٹھنڈا کیا جاتا ہے، اور مقناطیسی میدان کے تحت بہت طویل عرصے تک توازن قائم کرنے کے لیے چھوڑ دیا جاتا ہے۔ پھر، بعد میں، دو متحرک مشاہدات کی جانچ کی جاتی ہے، یعنی رسپانس فنکشن اور اسپن-ٹیمپورل ارتباط فنکشن جہاں حجم کے کیوبک لیٹس کے نوڈ پر رہنے والا اسپن ہے، اور مقناطیسی کثافت ہے۔ اس نظام میں اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا تعلق ان مشاہدہ کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے کیونکہ ان کے نتائج اس توقع کی تصدیق کرتے ہیں کہ چونکہ نظام کو طویل عرصے تک توازن کے لیے چھوڑ دیا گیا ہے، اتار چڑھاؤ-خارج ہونے کا تعلق مطمئن ہونے کے قریب ہے۔ 1990 کی دہائی کے وسط میں، اسپن گلاس ماڈلز کی حرکیات کے مطالعہ میں، اتار چڑھاؤ-اخراج تھیوریم کی عمومی شکل دریافت کی گئی تھی جو غیر متصل غیر مستحکم حالتوں کے لیے موزوں ہے، جہاں توازن کے رشتے میں ظاہر ہونے والے درجہ حرارت کو وقت کے پیمانے پر غیر معمولی انحصار کے ساتھ ایک موثر درجہ حرارت سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ یہ تعلق شیشے کے نظام میں ان ماڈلز سے آگے رکھنے کے لیے تجویز کیا گیا ہے جن کے لیے یہ ابتدائی طور پر پایا گیا تھا۔ مزید پڑھیں پارڈیو یونیورسٹی کے پروفیسر ای ڈبلیو کارلسن کے لیکچر کی آڈیو ریکارڈنگ مزید پڑھیں۔ کبو کا مشہور متن: اتار چڑھاؤ-بازی تھیوریم شماریاتی میکانکس غیر توازن تھرموڈینامکس فزکس تھیوریمز شماریاتی میکانکس تھیوریم