Narrow class group
الجبرائی نمبر تھیوری میں، نمبر فیلڈ K کا تنگ کلاس گروپ K کے کلاس گروپ کی ایک اصلاح ہے جو حقیقی اعداد کے میدان میں K کے سرایت کے بارے میں کچھ معلومات کو مدنظر رکھتی ہے۔ رسمی تعریف فرض کریں کہ K، Q کی ایک محدود توسیع ہے۔ یاد رکھیں کہ K کے عام کلاس گروپ کو حصص کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں IK K کے فریکشنل آئیڈیلز کا گروپ ہے، اور PK K کے پرنسپل فریکشنل آئیڈیلز کا ذیلی گروپ ہے، یعنی aOK فارم کے آئیڈیلز جہاں a K کا عنصر ہے۔ تنگ کلاس گروپ کو حصص کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں اب PK + K کے مکمل طور پر مثبت پرنسپل فریکشنل آئیڈیلز کا گروپ ہے۔ یعنی، aOK فارم کے آئیڈیلز جہاں a K کا ایک عنصر ہے جہاں σ (a) ہر سرایت کرنے والے استعمال کے لیے مثبت ہے۔ تنگ کلاس گروپ کو مربع شکلوں کے ذریعے عددوں کی نمائندگی کرنے کے نظریہ میں نمایاں طور پر نمایاں کیا گیا ہے۔ ایک مثال مندرجہ ذیل نتیجہ ہے (فریہلچ اور ٹیلر، باب پنجم، نظریہ 125)۔ نظریہ۔ فرض کریں کہ جہاں d ایک مربع فری عدد ہے، اور یہ کہ K کا تنگ کلاس گروپ معمولی ہے۔ فرض کریں کہ یہ K کے انٹیجرز کی رنگ کے لیے ایک بنیاد ہے۔ ایک کواڈریٹک فارم کی وضاحت کریں، جہاں NK/Q معمول ہے۔ پھر ایک پرائم نمبر p کچھ انٹیجرز x اور y کی شکل کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یا یا جہاں dK K کا ڈسکریمیننٹ ہو، اور لیجنڈری علامت کو ظاہر کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ کواڈریٹک فیلڈز ق ()، ق ()، ق () سبھی میں معمولی تنگ کلاس گروپ ہے۔ پھر، ان فیلڈز میں سے ہر ایک کے انٹیجرز کے لیے مناسب بیسز کا انتخاب کرتے ہوئے، مندرجہ بالا تھیوریم کا مطلب مندرجہ ذیل ہے: ایک پرائم p انٹیجرز x اور y کے لیے p = x2 + y اور 2 کی شکل کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں (یہ دو مربعوں کے مجموعے پر فرمیٹس تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔) ایک پرائم p عدد x اور y کے لیے p = x2 − 2y اور ہیرسپ ؛ 2 کی شکل کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب A پرائم p عدد x اور y کے لیے p = x2 − xy + y اور ہیرسپ ؛ 2 کی شکل کا ہو اگر اور صرف اگر (cf. آئزنسٹین پرائم) ایک مثال جو تنگ کلاس گروپ اور معمول کے کلاس گروپ کے درمیان فرق کی وضاحت کرتی ہے وہ ق () کا معاملہ ہے۔ اس میں ٹریویل کلاس گروپ ہے، لیکن اس کے تنگ کلاس گروپ میں آرڈر 2 ہے۔ چونکہ کلاس گروپ معمولی ہے، اس لیے درج ذیل بیان درست ہے: ایک پرائم p یا اس کا الٹا −p عدد x اور y کے لیے ±p = x2−6y اور ہیرسپ ؛ 2 کی شکل کا ہے اگر اور صرف اس صورت میں اگر۔ تاہم، یہ بیان غلط ہے اگر ہم صرف p پر توجہ مرکوز کریں اور −p پر نہیں (اور حقیقت میں p = 2 کے لیے بھی غلط ہے)، کیونکہ تنگ کلاس گروپ غیر معمولی ہے۔ مثبت p کی درجہ بندی کرنے والا بیان درج ذیل ہے: ایک پرائم p، عدد x اور y کے لیے p = x2−6y اور ہیرسپ ؛ 2 کی شکل کا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب p = 3 یا (جب کہ پہلا بیان پرائمز کی اجازت دیتا ہے، دوسرا صرف پرائمز کی اجازت دیتا ہے۔) کلاس گروپ کواڈریٹک فارم حوالہ جات اے فریہلچ اور ایم جے ٹیلر، الجبرائی نمبر تھیوری (صفحہ 180)، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1991 بھی دیکھیں۔ الجبرائی عدد نظریہ