Weak Hausdorff space
ریاضی میں، ایک کمزور ہاؤزڈورف اسپیس یا کمزور ہاؤزڈورف اسپیس ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہے جہاں ایک کمپیکٹ ہاؤزڈورف اسپیس سے خلا میں ہر مسلسل نقشے کی شبیہہ بند ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ہر ہاؤز ڈورف کی جگہ کمزور ہاؤز ڈورف ہے۔ علیحدگی کی خاصیت کے طور پر، یہ T1 سے زیادہ مضبوط ہے، جو اس بیان کے برابر ہے کہ پوائنٹس بند ہیں۔ خاص طور پر، ہر کمزور ہاؤز ڈورف کی جگہ ایک T1 جگہ ہے۔ یہ تصور ایم سی میک کورڈ نے ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے زمرے کے ساتھ کام کرنے کی تکلیف کو دور کرنے کے لیے متعارف کرایا تھا۔ یہ اکثر الجبرائی ٹوپولوجی میں کمپیکٹ طور پر تیار کردہ خالی جگہوں کے ساتھ مل کر استعمال ہوتا ہے۔ اس کے لیے، کمپیکٹ طور پر تیار کردہ کمزور ہاؤز ڈورف خالی جگہوں کا زمرہ دیکھیں۔ k-Hausdorff خالی جگہیں A ایک ٹپوولوجیکل جگہ ہے جو مندرجہ ذیل میں سے کسی بھی مساوی شرائط کو پورا کرتی ہے: ہر کمپیکٹ ذیلی جگہ Hausdorff ہے۔ اخترن k-بند ہے ایک ذیلی سیٹ ہے، اگر ہر کمپیکٹ کے لیے بند ہے تو ہر کمپیکٹ ذیلی جگہ بند ہے اور مقامی طور پر مضبوطی سے کمپیکٹ ہے۔ ایک جگہ اس صورت میں ہوتی ہے جب وہاں کے ہر ایک (ضروری نہیں کہ کھلا ہو) محلے کے لیے اس طرح کا ایک کمپیکٹ پڑوس موجود ہو کہ پراپرٹیز اے کے-ہاؤس ڈورف کی جگہ کمزور ہاؤس ڈورف ہو۔ کیونکہ اگر کے-ہاؤز ڈورف ہے اور ایک کمپیکٹ اسپیس سے ایک مسلسل نقشہ ہے تو کمپیکٹ ہے، لہذا ہاؤز ڈورف، اس لیے بند ہے۔ ہاؤز ڈورف کی جگہ کے-ہاؤز ڈورف ہے۔ کسی جگہ کے لیے ہاؤز ڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اخترن بند ہو اور ہر بند ذیلی سیٹ کے-بند سیٹ ہو۔ کے-ہاؤس ڈورف کی جگہ کے سی ہے۔ اے ایک ٹپوولوجیکل جگہ ہے جس میں ہر کمپیکٹ سب اسپیس بند ہوتی ہے۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ کمپیکٹ ہاؤز ڈورف ذیلی جگہوں سے متاثر مربوط ٹوپولوجی کمپیکٹ ہاؤز ڈورف ذیلی جگہوں کو محفوظ رکھتی ہے اور ان کی ذیلی جگہ ٹوپولوجی کے لیے ضروری ہے کہ جگہ k-ہاؤز ڈورف ہو ؛ کمزور ہاؤز ڈورف کافی نہیں ہے۔ اس لیے کے-ہاؤس ڈورف کو زیادہ بنیادی تعریف کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ہر کمزور ہاؤز ڈورف کی جگہ-ہاؤز ڈورف ہے، اور ہر-ہاؤز ڈورف کی جگہ ایک T1 جگہ ہے۔ ایک جگہ اس صورت میں ہوتی ہے جب اس کی ٹوپولوجی بہترین ٹوپولوجی ہو جیسے کہ ٹوپولوجیکل-سمپلیکس سے لے کر ہر نقشہ مسلسل ہو۔ ہاؤز ڈورف خالی جگہیں ٹو جنریٹڈ خالی جگہیں ہیں کیونکہ کمزور ہاؤز ڈورف خالی جگہیں کمپیکٹ طور پر پیدا شدہ خالی جگہوں کے لیے ہوتی ہیں۔ یہ بھی دیکھیں، ایک ہاؤز ڈورف اسپیس جہاں اسپیس سے اپنے اندر ہر مسلسل فنکشن کا ایک مقررہ نقطہ ہوتا ہے۔ حوالہ جات ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی خصوصیات علیحدگی محوریات