Lattice of subgroups
ریاضی میں، کسی گروپ کے ذیلی گروپوں کی جالی وہ جالی ہوتی ہے جس کے عناصر ذیلی گروپ ہوتے ہیں، جس میں جزوی ترتیب کا تعلق شامل کیا جاتا ہے۔ اس جالی میں، دو ذیلی گروپوں کا جوڑ ان کے اتحاد سے پیدا ہونے والا ذیلی گروپ ہے، اور دو ذیلی گروپوں کا ملنا ان کا چوراہا ہے۔ مثال ڈائی ہیڈرل گروپ ڈیہ 4 میں دس ذیلی گروپ ہوتے ہیں، جو خود کو اور معمولی ذیلی گروپ کو شمار کرتے ہیں۔ آٹھ گروپ عناصر میں سے پانچ ترتیب دو کے ذیلی گروپ تیار کرتے ہیں، اور دیگر دو غیر شناخت والے عناصر دونوں ترتیب چار کا ایک ہی چکور ذیلی گروپ تیار کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ، Z2 × Z2 کی شکل کے دو ذیلی گروہ ہیں، جو ترتیب دو عناصر کے جوڑوں سے پیدا ہوتے ہیں۔ ان دس ذیلی گروہوں سے بنی جالی کو مثال میں دکھایا گیا ہے۔ اس مثال سے یہ بھی پتہ چلتا ہے کہ کسی گروپ کے تمام ذیلی گروپوں کی جالی عام طور پر ماڈیولر جالی نہیں ہے۔ درحقیقت، اس مخصوص جالی میں ممنوع "پینٹاگون" N5 ذیلی جالی کے طور پر موجود ہے۔ خصوصیات کسی گروپ کے کسی بھی A، B، اور C ذیلی گروپ کے لیے جس میں A ≤ C (C کا ایک ذیلی گروپ) ہو پھر AB ≤ C = A (B ≤ C) ؛ یہاں ضرب ذیلی گروپوں کا پروڈکٹ ہے۔ اس خاصیت کو گروہوں کی ماڈیولر پراپرٹی یا (ڈیڈیکائنڈ کا) ماڈیولر قانون (،) کہا گیا ہے۔ چونکہ دو عام ذیلی گروپوں کے لیے پروڈکٹ دراصل سب سے چھوٹا ذیلی گروپ ہوتا ہے جس میں دونوں ہوتے ہیں، اس لیے عام ذیلی گروپ ایک ماڈیولر جالی بناتے ہیں۔ لیٹیس تھیوریم کسی گروپ کے ذیلی گروپوں کے لیٹیس اور اس کے کوٹینٹس کے درمیان گالوئس تعلق قائم کرتا ہے۔ Zassenhaus لیما ذیلی گروپوں کی جالی میں کوٹینٹس اور مصنوعات کے کچھ امتزاج کے درمیان ایک آئسومورفزم دیتا ہے۔ عام طور پر، ذیلی گروپوں کے جالی کی شکل پر کوئی پابندی نہیں ہے، اس معنی میں کہ ہر جالی کسی گروپ کے ذیلی گروپ کے جالی کے ذیلی جالی کے لیے آئسومورفک ہے۔ مزید برآں، ہر محدود جالی کسی محدود گروپ کے ذیلی گروپ جالی کے ذیلی جالی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ مخصوص خصوصیات والے خصوصیت والے جالی ذیلی گروہ جالی بناتے ہیں، لیکن دیگر خصوصیات نہیں بناتے ہیں۔ عام ذیلی گروہ ہمیشہ ایک ماڈیولر جالی بناتے ہیں۔ درحقیقت، ضروری خاصیت جو اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ جالی ماڈیولر ہے وہ یہ ہے کہ ذیلی گروہ ایک دوسرے کے ساتھ سفر کرتے ہیں، یعنی۔ کہ وہ غیر معمولی ذیلی گروہ ہیں۔ نیل پوٹینٹ نارمل ذیلی گروہ ایک جالی بناتے ہیں، جو فٹنگز تھیوریم کے مواد کا (حصہ) ہے۔ عام طور پر، کسی بھی فٹنگ کلاس F کے لیے، سب نارمل F-سب گروپس اور نارمل F-سب گروپس دونوں جالی بناتے ہیں۔ اس میں نیل پوٹینٹ گروپوں کی کلاس F کے ساتھ ساتھ دیگر مثالیں جیسے کہ حل کرنے کے قابل گروپوں کی کلاس F شامل ہیں۔ گروپوں کی ایک کلاس کو فٹنگ کلاس کہا جاتا ہے اگر یہ آئسومورفزم، سب نارمل سب گروپس، اور سب نارمل سب گروپس کے پروڈکٹ کے تحت بند ہو۔ مرکزی ذیلی گروہ ایک جالی بناتے ہیں۔ تاہم، نہ تو محدود ذیلی گروہ اور نہ ہی ٹورسن ذیلی گروہ جالی بناتے ہیں: مثال کے طور پر، آزاد پروڈکٹ دو ٹورسن عناصر سے پیدا ہوتا ہے، لیکن یہ لامحدود ہے اور لامحدود ترتیب کے عناصر پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ حقیقت کہ عام ذیلی گروہ ماڈیولر جالی بناتے ہیں زیادہ عام نتیجہ کا ایک خاص معاملہ ہے، یعنی کہ کسی بھی مالٹسیو قسم میں (جن میں سے گروپ ایک مثال ہیں)، ہم آہنگی کی جالی ماڈیولر ہوتی ہے۔ ذیلی گروپوں کی جالی کے بارے میں نظریاتی معلومات کو بعض اوقات اصل گروپ کے بارے میں معلومات کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یہ ایک ایسا خیال ہے جو گروپوں کے کام پر واپس جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، جیسا کہ اوری نے ثابت کیا، ایک گروپ مقامی طور پر چکور ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے ذیلی گروپوں کی جالی تقسیم پذیر ہو۔ اگر اضافی طور پر جالی چڑھتی ہوئی زنجیر کی حالت کو مطمئن کرتی ہے، تو گروپ چکور ہوتا ہے۔ وہ گروپ جن کے ذیلی گروپوں کی جالی ایک مکمل جالی ہوتی ہے انہیں مکمل گروپ کہا جاتا ہے، اور وہ گروپ جن کے ذیلی گروپوں کی جالی ماڈیولر جالی ہوتی ہے انہیں ایواساوا گروپ یا ماڈیولر گروپ کہا جاتا ہے۔ اس قسم کی جالی-نظریاتی خصوصیات قابل حل گروہوں اور کامل گروہوں کے لیے بھی موجود ہیں۔ بل میں رالف فریز کا حوالہ جات کا جائزہ۔ اے ایم ایس 33 (4): 487-492۔ بیرونی روابط ذیلی گروپوں کی جالی پر پلینیٹ میتھ کا اندراج مثال: سمیٹرک گروپ ایس 4 کے ذیلی گروپوں کا جالی نظریہ جالی گروپ