Epsilon number
ریاضی میں، ایپسیلون نمبرز لامحدود اعداد کا مجموعہ ہیں جن کی وضاحتی خاصیت یہ ہے کہ وہ ایک ایکسپونینشل نقشے کے فکسڈ پوائنٹس ہیں۔ نتیجتا، وہ منتخب کردہ ایکسپونینشل نقشے اور "کمزور" کارروائیوں جیسے اضافہ اور ضرب کی ایپلی کیشنز کی ایک محدود سیریز کے ذریعے 0 سے قابل رسائی نہیں ہیں۔ اصل ایپسلون نمبروں کو جارج کینٹر نے آرڈینل ریاضی کے تناظر میں متعارف کرایا تھا۔ وہ آرڈینل نمبر ε ہیں جو اس مساوات کو پورا کرتے ہیں جس میں ω سب سے چھوٹا لامحدود آرڈینل ہے۔ اس طرح کا سب سے کم آرڈینل ε0 ہے (جس کا تلفظ ایپسیلون ناٹ یا ایپسیلون صفر ہے)، جسے چھوٹے حد آرڈینلز کی ترتیب سے ٹرانسفائنٹ ریکرشن کے ذریعے حاصل کردہ "حد" کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: جہاں سپریمم فنکشن ہے، جو کہ آرڈینلز کی وان نیومن نمائندگی کے معاملے میں سیٹ یونین کے مساوی ہے۔ ایکسپونینشل نقشے کے بڑے آرڈینل فکسڈ پوائنٹس کو آرڈینل سبسکرپٹس کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں۔ آرڈینل ε0 اب بھی قابل گنتی ہے، جیسا کہ کوئی بھی ایپسلون نمبر ہے جس کا انڈیکس قابل گنتی ہے (بے شمار آرڈینلز موجود ہیں، اور بے شمار ایپسلون نمبر جن کا انڈیکس بے شمار آرڈینل ہے)۔ سب سے چھوٹا ایپسلون نمبر ε0 بہت سے انڈکشن ثبوتوں میں ظاہر ہوتا ہے، کیونکہ بہت سے مقاصد کے لیے، ٹرانسفائنٹ انڈکشن صرف ε0 تک درکار ہوتا ہے (جیسا کہ جینٹزن کے مستقل ثبوت اور گڈسٹین کے نظریہ کے ثبوت میں)۔ پیانو ریاضی کی مستقل مزاجی کو ثابت کرنے کے لیے جینٹزن کے ذریعے اس کا استعمال، گوڈل کے دوسرے نامکمل نظریہ کے ساتھ، یہ ظاہر کرتا ہے کہ پیانو ریاضی اس ترتیب کی اچھی بنیاد کو ثابت نہیں کر سکتی (یہ حقیقت میں اس خاصیت کے ساتھ سب سے کم آرڈینل ہے، اور اس طرح، پروف تھیوریٹک آرڈینل تجزیہ میں، پیانو ریاضی کے نظریہ کی طاقت کی پیمائش کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے)۔ ویبلن فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے بہت سے بڑے ایپسیلون نمبروں کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ ایپسلون نمبروں کی ایک زیادہ عام کلاس کی شناخت جان ہارٹن کونوے اور ڈونلڈ نوتھ نے حقیقت پسندانہ نمبر سسٹم میں کی ہے، جو ان تمام حقیقت پسندوں پر مشتمل ہے جو بیس ω ایکسپونینشیل نقشہ x → ωx کے فکسڈ پوائنٹس ہیں۔ بیان کردہ گاما اعداد (اضافی طور پر غیر مرکب آرڈینل دیکھیں) اعداد γ> 0 ہونے کے لیے اس طرح کہ α + γ = γ جب بھی α <γ، اور ڈیلٹا نمبر (ضرب کے لحاظ سے ناقابل مرکب آرڈینلز دیکھیں) اعداد δ> 1 اس طرح ہوں کہ αδ = δ جب بھی 0 <α <δ، اور ایپسیلون نمبر ε> 2 ایسے ہوں کہ αε = ε جب بھی 1 <α <ε۔ اس کے گاما نمبر وہ ہیں جو ωβ کی شکل کے ہیں، اور اس کے ڈیلٹا نمبر وہ ہیں جو ωωβ کی شکل کے ہیں۔ آرڈینل ε نمبر بیس α کے ساتھ آرڈینل ایکسپوینٹیشن کی معیاری تعریف یہ ہے: جب اس کا فوری پیشرو ہوتا ہے۔ ، جب بھی ایک حد آرڈینل ہو۔ اس تعریف سے، یہ پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی فکسڈ آرڈینل کے لیے، نقشہ سازی ایک نارمل فنکشن ہے، اس لیے اس میں نارمل فنکشنز کے لیے فکسڈ پوائنٹ لیما کے ذریعے من مانی طور پر بڑے فکسڈ پوائنٹس ہوتے ہیں۔ جب، یہ فکسڈ پوائنٹس قطعی طور پر آرڈینل ایپسیلون نمبر ہوتے ہیں۔ جب کوئی فوری پیشرو ہو۔ ، جب بھی ایک حد آرڈینل ہو۔ کیونکہ ایک ہی بالادستی کے ساتھ ایک مختلف ترتیب،، 0 سے شروع کرکے اور اس کے بجائے بیس ε0 کے ساتھ ایکسپونینٹیٹ کرکے حاصل کی جاتی ہے: عام طور پر، کسی بھی آرڈینل کے ذریعہ انڈیکس شدہ ایپسلون نمبر جس کا فوری پیشرو ہوتا ہے اسی طرح تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، چاہے انڈیکس β ایک لمٹ آرڈینل ہو یا نہ ہو، یہ نہ صرف بیس ω ایکسپونینٹیشن کا ایک فکسڈ پوائنٹ ہے بلکہ تمام آرڈینلز کے لیے بیس δ ایکسپونینٹیشن کا بھی ہے۔ چونکہ ایپسیلون نمبرز آرڈینل نمبروں کی ایک غیر محدود ذیلی کلاس ہیں، اس لیے انہیں خود آرڈینل نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا ہے۔ کسی بھی آرڈینل نمبر کے لیے، سب سے کم ایپسیلون نمبر (ایکسپونینشل نقشے کا فکسڈ پوائنٹ) سیٹ میں پہلے سے نہیں ہے۔ یہ ظاہر ہو سکتا ہے کہ یہ تکراری ایکسپونینٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے تعمیری تعریف کا غیر تعمیری مساوی ہے۔ لیکن دونوں تعریفیں لمٹ آرڈینلز کے ذریعہ انڈیکس کیے گئے مراحل پر یکساں طور پر غیر تعمیری ہیں، جو ایک ایکسپونینشل سیریز کی بالادستی لینے کے مقابلے میں اعلی ترتیب کے ٹرانسفائنٹ ریکرشن کی نمائندگی کرتی ہیں۔ ایپسلون نمبروں کے بارے میں درج ذیل حقائق ثابت کرنے کے لیے سیدھے سادے ہیں: اگرچہ یہ کافی بڑی تعداد ہے، پھر بھی قابل گنتی ہے، جو کہ قابل گنتی آرڈینلز کا قابل گنتی اتحاد ہے ؛ درحقیقت، قابل گنتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب قابل گنتی ہو۔ ایپسلون نمبروں کے کسی بھی غیر خالی سیٹ کا اتحاد (یا سپریمم) ایک ایپسلون نمبر ہے۔ لہذا مثال کے طور پر ایک ایپسلون نمبر ہے۔ اس طرح نقشہ سازی ایک عام کام ہے۔ کسی بھی بے شمار کارڈینل کا ابتدائی آرڈینل ایک ایپسلون نمبر ہوتا ہے۔ جڑوں والے درختوں کے ذریعہ ε0 کی نمائندگی کسی بھی ایپسلون نمبر ε کی کینٹر نارمل شکل ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ کینٹر نارمل فارم ایپسلون نمبروں کے لیے زیادہ مفید نہیں ہے۔ تاہم، ε0 سے کم آرڈینلز کو ان کی کینٹر نارمل شکلوں کے ذریعے مفید طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جس کی وجہ سے ε0 کی نمائندگی تمام محدود جڑوں والے درختوں کے ترتیب شدہ سیٹ کے طور پر ہوتی ہے، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ کسی بھی آرڈینل کی کینٹر نارمل شکل ہوتی ہے جہاں k ایک قدرتی عدد ہے اور اس کے ساتھ آرڈینلز ہوتے ہیں، جس کا تعین منفرد طور پر اس کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ بدلے میں ہر ایک آرڈینلز کی ایک جیسی کینٹر نارمل شکل ہوتی ہے۔ ہم ایک نئی جڑ کی نمائندگی کرنے والے درختوں کی جڑوں کو جوڑ کر α کی نمائندگی کرنے والا محدود جڑا ہوا درخت حاصل کرتے ہیں۔ (اس کا نتیجہ یہ ہے کہ نمبر 0 کو ایک جڑ سے ظاہر کیا جاتا ہے جبکہ نمبر کو ایک درخت سے ظاہر کیا جاتا ہے جس میں جڑ اور ایک پتی ہوتی ہے۔) محدود جڑوں والے درختوں کے سیٹ پر ایک ترتیب کو بار بار بیان کیا جاتا ہے: ہم پہلے کم ہوتے ہوئے ترتیب میں جڑ سے جڑے ذیلی درختوں کا حکم دیتے ہیں، اور پھر ذیلی درختوں کے ان ترتیب شدہ ترتیبات پر لغت کی ترتیب کا استعمال کرتے ہیں۔ اس طرح تمام محدود جڑوں والے درختوں کا مجموعہ ایک اچھی طرح سے ترتیب شدہ مجموعہ بن جاتا ہے جو ε0 کے لیے ترتیب-آئسومورفک ہوتا ہے۔ یہ نمائندگی ہائیڈرا تھیوریم کے ثبوت سے متعلق ہے، جو گراف تھیوریٹک گیم کے طور پر آرڈینلز کی گھٹتی ہوئی ترتیب کی نمائندگی کرتا ہے۔ ویبلن درجہ بندی "ایپسیلون میپنگ" کے فکسڈ پوائنٹس ایک نارمل فنکشن بناتے ہیں، جن کے فکسڈ پوائنٹس ایک نارمل فنکشن بناتے ہیں۔ اسے ویبلن درجہ بندی (بیس φ0 (α) = ωα کے ساتھ ویبلن فنکشن) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ویبلن کے درجہ بندی کے اشارے میں، ایپسلون کی نقشہ سازی φ1 ہے، اور اس کے مقررہ نکات φ2 سے شمار کیے جاتے ہیں۔ اس رگ کو جاری رکھتے ہوئے، نقشہ φα کی وضاحت بتدریج بڑے آرڈینلز α کے لیے کی جا سکتی ہے (بشمول، ٹرانسفائنٹ ریکرشن کی اس نایاب شکل کے ذریعے، محدود آرڈینلز)، جس میں بتدریج بڑے کم از کم فکسڈ پوائنٹس φα + 1 (0) ہوتے ہیں۔ اس طریقہ کار کے ذریعے 0 سے قابل رسائی کم از کم آرڈینل-i۔ e.، سب سے کم آرڈینل α جس کے لیے φα (0) = α، یا مساوی طور پر نقشے کا پہلا فکسڈ پوائنٹ-ففرمین-شوٹ آرڈینل κ0 ہے۔ ایک سیٹ تھیوری میں جہاں اس طرح کے آرڈینل کا وجود ثابت کیا جا سکتا ہے، کسی کے پاس ایک نقشہ ہوتا ہے جس میں فکسڈ پوائنٹس کی گنتی کی جاتی ہے۔ یہ سب اب بھی ایپسیلون نمبر ہیں، کیونکہ وہ ہر β ≤ γ0 کے لیے φβ کی تصویر میں ہوتے ہیں، بشمول نقشہ φ1 جو ایپسیلون نمبروں کی گنتی کرتا ہے۔ غیر حقیقی ε اعداد آن نمبرز اینڈ گیمز میں، غیر حقیقی اعداد پر کلاسیکی نمائش، جان ہارٹن کونوے نے تصورات کی متعدد مثالیں فراہم کیں جن میں آرڈینلز سے لے کر حقیقتوں تک قدرتی توسیع تھی۔ ایسا ہی ایک فنکشن-نقشہ ہے ؛ یہ نقشہ سازی قدرتی طور پر اپنے ڈومین میں تمام حقیقی نمبروں کو شامل کرنے کے لیے عمومی بناتی ہے، جو بدلے میں حقیقی نمبروں کے لیے کینٹر نارمل فارم کی قدرتی عمومی شکل فراہم کرتی ہے۔ اس توسیعی نقشے کے کسی بھی مقررہ نقطہ کو ایپسلون نمبر سمجھنا فطری ہے، چاہے وہ سختی سے ایک آرڈینل نمبر ہو یا نہ ہو۔ غیر معمولی ایپسیلون نمبروں کی کچھ مثالیں ہیں اور ہر حقیقی نمبر n کی وضاحت کرنے کا ایک قدرتی طریقہ ہے، اور نقشہ ترتیب سے محفوظ رہتا ہے۔ کونوے "ناقابل تلافی" حقیقی اعداد کی ایک وسیع تر کلاس کی وضاحت کرتے ہیں جس میں ایپسلون نمبرز کو خاص طور پر دلچسپ ذیلی کلاس کے طور پر شامل کیا گیا ہے۔ آرڈینل ریاضی بڑے قابل گنتی آرڈینل حوالہ جات جے ایچ بھی دیکھیں۔ کونوے، آن نمبرز اینڈ گیمز (1976) اکیڈمک پریس سیکشن XIV.20 آف آرڈینل نمبرز