Standard error
اعداد و شمار کی معیاری غلطی (ایس ای) (عام طور پر کسی پیرامیٹر کا تخمینہ) اس کی نمونے کی تقسیم کا معیاری انحراف یا اس معیاری انحراف کا تخمینہ ہے۔ اگر اعداد و شمار نمونے کا مطلب ہے، تو اسے اوسط کی معیاری غلطی (SEM) کہا جاتا ہے۔ معیاری غلطی اعتماد کے وقفے پیدا کرنے میں ایک کلیدی جزو ہے۔ اوسط کی نمونے لینے کی تقسیم اسی آبادی سے بار بار نمونے لینے اور حاصل کردہ نمونے کے ذرائع کی ریکارڈنگ سے پیدا ہوتی ہے۔ یہ مختلف ذرائع کی تقسیم بناتا ہے، اور اس تقسیم کا اپنا مطلب اور تغیر ہے۔ ریاضیاتی طور پر، حاصل کردہ نمونے لینے کی اوسط تقسیم کا تغیر نمونے کے سائز سے تقسیم شدہ آبادی کے تغیر کے برابر ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ جیسے جیسے نمونے کا سائز بڑھتا ہے، نمونے کا مطلب آبادی کے اوسط کے ارد گرد زیادہ قریب سے جمع ہونا ہے۔ لہذا، اوسط کی معیاری غلطی اور معیاری انحراف کے درمیان تعلق ایسا ہے کہ، کسی دیئے گئے نمونے کے سائز کے لیے، اوسط کی معیاری غلطی نمونے کے سائز کے مربع جڑ سے تقسیم شدہ معیاری انحراف کے برابر ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اوسط کی معیاری غلطی آبادی کے اوسط کے ارد گرد نمونے کے ذرائع کے منتشر ہونے کی پیمائش ہے۔ رجعت تجزیہ میں، "معیاری غلطی" کی اصطلاح یا تو کم شدہ چی مربع شدہ اعداد و شمار کے مربع جڑ سے مراد ہے یا کسی خاص رجعت گتانک کے لیے معیاری غلطی (جیسا کہ اعتماد کے وقفوں میں استعمال ہوتا ہے)۔ نمونے کی معیاری غلطی کا مطلب درست قدر فرض کریں کہ مشاہدات کا ایک شماریاتی طور پر آزاد نمونہ شماریاتی آبادی سے لیا گیا ہے جس کی معیاری انحراف ہے۔ نمونے سے شمار کی گئی اوسط قیمت، اوسط پر ایک متعلقہ معیاری غلطی ہوگی، جس کے ذریعہ دی گئی ہے: عملی طور پر یہ ہمیں بتاتا ہے کہ جب آبادی کے اوسط کی قیمت کا اندازہ لگانے کی کوشش کی جاتی ہے، تو عنصر کی وجہ سے، تخمینے پر غلطی کو دو کے عنصر سے کم کرنے کے لیے نمونے میں چار گنا زیادہ مشاہدات حاصل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسے دس کے عنصر سے کم کرنے کے لیے سو گنا زیادہ مشاہدات کی ضرورت ہوتی ہے۔ تخمینہ نمونے لی جانے والی آبادی کا معیاری انحراف شاذ و نادر ہی معلوم ہوتا ہے۔ لہذا، اوسط کی معیاری غلطی کا تخمینہ عام طور پر اس کے بجائے نمونے کے معیاری انحراف سے لگایا جاتا ہے: چونکہ یہ صرف حقیقی "معیاری غلطی" کا تخمینہ لگانے والا ہے، اس لیے یہاں دیگر اشارے دیکھنا عام ہے جیسے: الجھن کا ایک مشترکہ ذریعہ اس وقت پیدا ہوتا ہے جب آبادی کا معیاری انحراف ()، نمونے کا معیاری انحراف ()، خود اوسط کا معیاری انحراف (، جو کہ معیاری غلطی ہے)، اور اوسط کے معیاری انحراف کا تخمینہ لگانے والا (، جو کہ اکثر شمار کی جانے والی مقدار ہے، اور جسے اکثر بول چال میں معیاری غلطی بھی کہا جاتا ہے) کے درمیان واضح طور پر فرق کرنے میں ناکام رہتا ہے۔ تخمینہ لگانے والے کی درستگی جب نمونے کا سائز چھوٹا ہوتا ہے، تو آبادی کے حقیقی معیاری انحراف کے بجائے نمونے کے معیاری انحراف کا استعمال آبادی کے معیاری انحراف کو منظم طریقے سے کم کرنے کا رجحان رکھتا ہے، اور اس وجہ سے معیاری غلطی بھی ہوتی ہے۔ n = 2 کے ساتھ، کم تخمینہ تقریبا 25 ٪ ہے، لیکن n = 6 کے لیے، کم تخمینہ صرف 5 ٪ ہے۔ گورلینڈ اور ترپاٹھی (1971) اس اثر کے لیے ایک اصلاح اور مساوات فراہم کرتے ہیں۔ سوکال اور روہلف (1981) n <20 کے چھوٹے نمونوں کے لیے اصلاحی عنصر کی مساوات دیتے ہیں۔ مزید بحث کے لیے معیاری انحراف کا غیر جانبدارانہ تخمینہ دیکھیں۔ مشتق اوسط پر معیاری غلطی آزاد بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کے تغیر سے اخذ کی جا سکتی ہے، متغیر کی تعریف اور اس کی کچھ سادہ خصوصیات کو دیکھتے ہوئے۔ اگر اوسط اور معیاری انحراف والی آبادی سے آزاد مشاہدات کا نمونہ ہے، تو ہم کل کی وضاحت کر سکتے ہیں جس میں بینائیمی فارمولے کی وجہ سے، تغیر ہوگا جہاں ہم نے پیمائش کے معیاری انحراف، یعنی غیر یقینی صورتحال کا تخمینہ لگایا ہے۔ آبادی کے معیاری انحراف کے لیے بہترین قیمت کے ساتھ۔ معیاری غلطی، تعریف کے مطابق، جس کا معیاری انحراف محض تغیر کا مربع جڑ ہے: مربوط بے ترتیب متغیرات کے لیے نمونے کے تغیر کو مارکوف چین سنٹرل لمٹ تھیوریم کے مطابق شمار کرنے کی ضرورت ہے۔ بے ترتیب نمونے کے سائز کے ساتھ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات ایسے معاملات ہوتے ہیں جب نمونہ یہ جانے بغیر لیا جاتا ہے کہ پہلے سے، کچھ معیار کے مطابق کتنے مشاہدات قابل قبول ہوں گے۔ ایسے معاملات میں، نمونے کا سائز ایک بے ترتیب متغیر ہے جس کی تغیرات اس طرح کی تغیرات میں اضافہ کرتی ہیں، جو کل تغیر کے قانون کے مطابق ہے۔ اگر پوسن کی تقسیم ہے، تو تخمینہ لگانے والے کے ساتھ۔ لہذا کا تخمینہ لگانے والا بن جاتا ہے، جو معیاری غلطی کے لیے درج ذیل فارمولے کی قیادت کرتا ہے: (چونکہ معیاری انحراف تغیر کا مربع جڑ ہے)۔ طالب علم کا تخمینہ جب σ قدر نامعلوم ہو۔ بہت سے عملی ایپلی کیشنز میں، σ کی حقیقی قدر نامعلوم ہے۔ نتیجے کے طور پر، ہمیں ایک ایسی تقسیم کا استعمال کرنے کی ضرورت ہے جو ممکنہ σs کے پھیلاؤ کو مدنظر رکھے۔ جب حقیقی بنیادی تقسیم گوسیئن کے طور پر جانا جاتا ہے، اگرچہ نامعلوم σ کے ساتھ، تو اس کے نتیجے میں تخمینہ شدہ تقسیم طالب علم t-تقسیم کے بعد ہوتی ہے۔ معیاری غلطی اسٹوڈنٹ ٹی-ڈسٹری بیوشن کا معیاری انحراف ہے۔ ٹی-تقسیم گاؤسیئن سے قدرے مختلف ہیں، اور نمونے کے سائز کے لحاظ سے مختلف ہوتے ہیں۔ چھوٹے نمونوں میں آبادی کے معیاری انحراف کو کم کرنے کا امکان کچھ زیادہ ہوتا ہے اور اس کا اوسط حقیقی آبادی کے اوسط سے مختلف ہوتا ہے، اور اسٹوڈنٹ ٹی-ڈسٹری بیوشن ان واقعات کے امکان کو گوسیئن کے مقابلے میں کچھ بھاری دم کے ساتھ بیان کرتا ہے۔ طالب علم کی ٹی تقسیم کی معیاری غلطی کا اندازہ لگانے کے لیے σ کے بجائے نمونہ معیاری انحراف "s" کا استعمال کرنا کافی ہے، اور ہم اس قدر کو اعتماد کے وقفوں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ نوٹ: جب نمونے کا سائز 100 سے زیادہ ہوتا ہے تو طالب علم کی امکانات کی تقسیم کا اندازہ گوسی تقسیم کے ذریعے اچھی طرح سے لگایا جاتا ہے۔ اس طرح کے نمونوں کے لیے کوئی بھی مؤخر الذکر کی تقسیم کا استعمال کر سکتا ہے، جو کہ بہت آسان ہے۔ نیز، اگرچہ آبادی کی 'صحیح' تقسیم نامعلوم ہے، نمونے لینے کی تقسیم کی معمول کو معقول نمونے کے سائز کے لیے سمجھ میں آتا ہے، اور کچھ نمونے لینے کے حالات کے تحت، سی ایل ٹی دیکھیں۔ اگر ان شرائط کو پورا نہیں کیا جاتا ہے، تو پھر معیاری غلطی کا اندازہ لگانے کے لیے بوٹسٹریپ ڈسٹری بیوشن کا استعمال کرنا اکثر ایک اچھا راستہ ہوتا ہے، لیکن یہ کمپیوٹیشنل طور پر شدید ہو سکتا ہے۔ مفروضے اور استعمال کس طرح استعمال کیا جاتا ہے اس کی ایک مثال نامعلوم آبادی کے اعتماد کے وقفوں کو معنی بنانا ہے۔ اگر نمونے کی تقسیم عام طور پر تقسیم کی جاتی ہے، تو نمونے کا مطلب، معیاری غلطی، اور عام تقسیم کی مقدار کو حقیقی آبادی کے اوسط کے لیے اعتماد کے وقفوں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل تاثرات کو اوپری اور نچلے 95 ٪ اعتماد کی حدود کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جہاں نمونے کے اوسط کے برابر ہے، نمونے کے اوسط کے لیے معیاری غلطی کے برابر ہے، اور 1.96 عام تقسیم کے 97.5 فیصد نقطہ کی تخمینہ قیمت ہے: خاص طور پر، نمونے کے اعداد و شمار کی معیاری غلطی (جیسے نمونے کا اوسط) اس عمل میں نمونے کے اوسط کی اصل یا تخمینہ شدہ معیاری انحراف ہے جس کے ذریعے اسے پیدا کیا گیا تھا۔ دوسرے لفظوں میں، یہ نمونے کے اعدادوشمار کی نمونے کی تقسیم کا حقیقی یا تخمینہ شدہ معیاری انحراف ہے۔ معیاری غلطی کا اشارہ ایس ای، ایس ای ایم (پیمائش یا اوسط کی معیاری غلطی کے لیے)، یا ایس ای میں سے کوئی بھی ہو سکتا ہے۔ معیاری غلطیاں کسی قدر میں غیر یقینی صورتحال کے آسان اقدامات فراہم کرتی ہیں اور اکثر اس لیے استعمال کی جاتی ہیں کیونکہ: بہت سے معاملات میں، اگر متعدد انفرادی مقداروں کی معیاری غلطی معلوم ہو تو مقداروں کے کچھ فنکشن کی معیاری غلطی کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ جب قدر کی امکانات کی تقسیم معلوم ہو جاتی ہے، تو اسے ایک درست اعتماد کے وقفے کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ جب امکانات کی تقسیم معلوم نہیں ہوتی ہے، تو چیبیشیف یا ویسوچانسکی-پیٹونن کی عدم مساوات کو قدامت پسند اعتماد کے وقفے کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اور چونکہ نمونے کا سائز لامحدود ہوتا ہے، مرکزی حد تھیوریم اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ اوسط کی نمونے لینے کی تقسیم غیر علامتی طور پر عام ہے۔ سائنسی اور تکنیکی ادب میں، تجرباتی ڈیٹا کا خلاصہ اکثر نمونے کے ڈیٹا کے اوسط اور معیاری انحراف یا معیاری غلطی کے ساتھ اوسط کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ یہ اکثر ان کے تبادلے کے بارے میں الجھن کا باعث بنتا ہے۔ تاہم، اوسط اور معیاری انحراف وضاحتی اعداد و شمار ہیں، جبکہ اوسط کی معیاری غلطی بے ترتیب نمونے لینے کے عمل کی وضاحتی ہے۔ نمونے کے اعداد و شمار کا معیاری انحراف پیمائش میں تغیر کی تفصیل ہے، جبکہ اوسط کی معیاری غلطی ایک ممکنہ بیان ہے کہ مرکزی حد تھیوریم کی روشنی میں نمونے کا سائز آبادی کے اوسط کے تخمینوں پر بہتر پابند کیسے فراہم کرے گا۔ سیدھے الفاظ میں، نمونے کے اوسط کی معیاری غلطی اس بات کا تخمینہ ہے کہ نمونے کا اوسط آبادی کے اوسط سے کتنی دور ہونے کا امکان ہے، جبکہ نمونے کا معیاری انحراف اس حد تک ہے جس تک نمونے کے اندر موجود افراد نمونے کے اوسط سے مختلف ہیں۔ اگر آبادی کا معیاری انحراف محدود ہے، تو نمونے کے اوسط کی معیاری غلطی نمونے کے بڑھتے ہوئے سائز کے ساتھ صفر ہو جائے گی، کیونکہ آبادی کے اوسط کا تخمینہ بہتر ہو جائے گا، جبکہ نمونے کا معیاری انحراف نمونے کے سائز میں اضافے کے ساتھ آبادی کے معیاری انحراف کا تخمینہ لگاتا ہے۔ توسیعات محدود آبادی کی اصلاح (ایف پی سی) معیاری غلطی کے لیے اوپر دیا گیا فارمولا یہ فرض کرتا ہے کہ آبادی لامحدود ہے۔ بہر حال، یہ اکثر محدود آبادی کے لیے استعمال ہوتا ہے جب لوگ اس عمل کی پیمائش کرنے میں دلچسپی رکھتے ہیں جس نے موجودہ محدود آبادی پیدا کی (اسے تجزیاتی مطالعہ کہا جاتا ہے)۔ اگرچہ آبادی محدود ہونے پر مذکورہ فارمولہ بالکل درست نہیں ہوتا ہے، لیکن جب نمونے لینے کا حصہ چھوٹا ہوتا ہے تو محدود اور لامحدود آبادی کے ورژن کے درمیان فرق کم ہوگا (جیسے۔ ایک محدود آبادی کے ایک چھوٹے تناسب کا مطالعہ کیا جاتا ہے)۔ اس صورت میں لوگ اکثر محدود آبادی کے لیے درست نہیں کرتے، بنیادی طور پر اسے "تقریبا لامحدود" آبادی کے طور پر مانتے ہیں۔ اگر کوئی موجودہ محدود آبادی کی پیمائش کرنے میں دلچسپی رکھتا ہے جو وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوگی، تو آبادی کے سائز کے لیے ایڈجسٹ کرنا ضروری ہے (جسے گنتی مطالعہ کہا جاتا ہے)۔ جب کسی شماریاتی مطالعہ میں نمونے لینے کا حصہ (جسے اکثر f کہا جاتا ہے) بڑا (تقریبا 5 فیصد یا اس سے زیادہ) ہوتا ہے، تو معیاری غلطی کے تخمینے کو "محدود آبادی کی اصلاح" (a. k. a.) سے ضرب دے کر درست کیا جانا چاہیے۔ : ایف پی سی): جو، بڑے این کے لیے: آبادی کے ایک بڑے فیصد کے قریب نمونے لینے سے حاصل ہونے والی اضافی درستگی کا حساب ہے۔ ایف پی سی کا اثر یہ ہے کہ غلطی صفر ہو جاتی ہے جب نمونے کا سائز n آبادی کے سائز N کے برابر ہوتا ہے۔ یہ سروے کے طریقہ کار میں ہوتا ہے جب بغیر کسی تبدیلی کے نمونے لیے جاتے ہیں۔ اگر متبادل کے ساتھ نمونے لینا، تو ایف پی سی کام میں نہیں آتا ہے۔ نمونے میں ارتباط کے لیے اصلاح اگر ناپی گئی مقدار A کی اقدار شماریاتی طور پر آزاد نہیں ہیں لیکن پیرامیٹر اسپیس x "میں معلوم مقامات سے حاصل کی گئی ہیں، تو اوسط کی حقیقی معیاری غلطی کا غیر جانبدار تخمینہ (دراصل معیاری انحراف کے حصے پر ایک اصلاح) نمونے کی حساب شدہ معیاری غلطی کو عنصر f" سے ضرب دے کر حاصل کیا جا سکتا ہے: جہاں نمونے کا تعصب گتانک ρ تمام نمونے پوائنٹ جوڑوں کے لیے آٹوکوریلیشن گتانک (−1 اور + 1 کے درمیان کی مقدار) کا وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والا پریس-ونسٹن تخمینہ ہے۔ یہ تخمینہ فارمولہ معتدل سے لے کر بڑے نمونے کے سائز کے لیے ہے۔ حوالہ کسی بھی نمونے کے سائز کے لیے صحیح فارمولے دیتا ہے، اور وال اسٹریٹ اسٹاک کوٹس جیسے بھاری آٹوکوریلیٹڈ ٹائم سیریز پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، یہ فارمولا مثبت اور منفی ρ کے لیے یکساں طور پر کام کرتا ہے۔ مزید بحث کے لیے معیاری انحراف کا غیر جانبدارانہ تخمینہ بھی دیکھیں۔ سنٹرل لمٹ تھیوریم مارجن آف ایرر کی مثال بھی دیکھیں ممکنہ غلطی وزن والے اوسط کی معیاری غلطی نمونہ کا مطلب اور نمونہ کوویرینس اوسط اور پیش گوئی شدہ ردعمل کے میڈین تغیر کی معیاری غلطی حوالہ جات شماریاتی انحراف اور بازی