Sum and Product Puzzle
سم اینڈ پروڈکٹ پزل، جسے ناممکن پزل بھی کہا جاتا ہے کیونکہ ایسا لگتا ہے کہ اس میں حل کے لیے کافی معلومات کی کمی ہے، ایک منطقی پہیلی ہے۔ یہ سب سے پہلے 1969 میں ہنس فرائیڈنتھال نے شائع کیا تھا، اور نام ناممکن پزل مارٹن گارڈنر نے وضع کیا تھا۔ پہیلی حل کرنے کے قابل ہے، حالانکہ آسانی سے نہیں۔ اسی طرح کی بہت سی پہیلیاں موجود ہیں۔ پزل X اور Y دو مختلف مکمل اعداد ہیں جو 1 سے بڑے ہیں۔ ان کی رقم 100 سے زیادہ نہیں ہے۔ S اور P دو ریاضی دان ہیں (اور اس کے نتیجے میں کامل منطق) ؛ S X + Y کا مجموعہ جانتا ہے اور P پروڈکٹ X × Y کو جانتا ہے۔ ایس اور پی دونوں اس پیراگراف کی تمام معلومات جانتے ہیں۔ مندرجہ ذیل گفتگو میں، دونوں شرکاء ہمیشہ سچ کہہ رہے ہیں: S کہتا ہے کہ "P X اور Y کو نہیں جانتا"۔ P کہتا ہے "اب میں X اور Y کو جانتا ہوں"۔ S کہتا ہے "اب میں X اور Y کو بھی جانتا ہوں"۔ X اور Y کیا ہیں؟ وضاحت تصورات اور نقطہ نظر واضح ہونے کے بعد مسئلہ آسانی سے حل ہو جاتا ہے۔ اس میں تین فریق شامل ہیں، ایس، پی، اور او۔ S مجموعہ X + Y جانتا ہے، P پروڈکٹ X·Y جانتا ہے، اور مبصر O اصل مسئلہ کے بیان سے زیادہ کچھ نہیں جانتا ہے۔ تینوں فریق ایک ہی معلومات رکھتے ہیں لیکن اس کی تشریح مختلف طریقے سے کرتے ہیں۔ پھر یہ معلومات کا کھیل بن جاتا ہے۔ آئیے ایک عدد A کی تقسیم کو دو اصطلاحات A = B + C a 2-تقسیم کہتے ہیں۔ گولڈباخ کے قیاس آرائی یا اس حقیقت جیسے کسی اعلی درجے کے علم کی ضرورت نہیں ہے کہ اس طرح کے 2-تقسیم کے پروڈکٹ B·C کے لیے منفرد ہونا (یعنی۔ کوئی اور دو اعداد نہیں ہیں جو ضرب ہونے پر بھی ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں)۔ لیکن گولڈباخ کے قیاس کے ساتھ، اس حقیقت کے ساتھ کہ P فوری طور پر X اور Y کو جان لے گا اگر ان کا پروڈکٹ سیمی پرائم تھا، تو یہ اندازہ لگایا جا سکتا ہے کہ مجموعہ x + y یکساں نہیں ہو سکتا، کیونکہ ہر یکساں نمبر کو دو پرائم نمبروں کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ان دو اعداد کا پروڈکٹ پھر سیمی پرائم ہوگا۔ مندرجہ ذیل مراحل حل دیتے ہیں: S (Sue)، P (Pete)، اور O (Otto) ان تمام مصنوعات کی میزیں بناتے ہیں جو رینج میں رقم کے 2 حصوں سے بنائی جا سکتی ہیں، یعنی۔ 5 سے 100 تک (X> 1 اور Y> X کے لیے ہمیں 5 سے شروع کرنے کی ضرورت ہے)۔ مثال کے طور پر، 11 کو 2 + 9، 3 + 8، 4 + 7، اور 5 + 6 میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ متعلقہ مصنوعات 18، 24، 28، اور 30 ہیں اور کھلاڑی اپنی میزوں میں ان میں سے ہر ایک مصنوعات کے ساتھ ایک ٹک مارک لگاتے ہیں (ٹیبل 1)۔ جب وہ ہو جاتے ہیں، تو کچھ نمبروں میں کوئی نشان نہیں ہوتے، کچھ میں ایک ہوتا ہے، اور کچھ میں ایک سے زیادہ ہوتے ہیں۔ سو اب اس کی رقم اور اس کے تمام 2 حصوں کو دیکھتی ہے۔ وہ دیکھتی ہے کہ تمام دو حصوں میں ایسی مصنوعات ہوتی ہیں جو منفرد نہیں ہوتیں، یعنی۔ ایک مختلف فیکٹرائزیشن موجود ہے جو کسی اور ممکنہ رقم کی 2 تقسیم ہے۔ وہ اسے مرحلہ 1 میں میز سے دیکھتی ہے جہاں اس کی تمام مصنوعات پر ایک سے زیادہ ٹک مارک ہوتے ہیں۔ وہ محسوس کرتی ہے کہ اس حقیقت کی وجہ سے، پیٹ پروڈکٹ کو دیکھ کر ایکس اور وائی عوامل کا منفرد طور پر تعین کرنے سے قاصر ہوں گے (جس کے لیے کم از کم ایک امیدوار پروڈکٹ میں صرف ایک ٹک مارک ہونا ضروری ہوتا)۔ اس طرح وہ کہتی ہے کہ "P X اور Y کو نہیں جان سکتا"۔ جب پیٹ اور اوٹو یہ سنتے ہیں، تو انہیں یہ معلومات ملتی ہیں کہ سو کی رقم سے وابستہ کوئی بھی پروڈکٹ منفرد نہیں ہے۔ ممکنہ رقوم سے گزر کر، ایک ایک کر کے، سو، پیٹ اور اوٹو اب، ہر ایک خود ہی، تمام اہل رقوم کی فہرست بنا سکتے ہیں (جدول 2)۔ میز ان جملوں پر مشتمل ہے جن کے تمام 2-حصوں میں ایسی مصنوعات ہیں جو غیر منفرد ہیں، یعنی۔ ٹیبل 1 میں ایک سے زیادہ ٹک مارک رکھیں۔ سو، پیٹ اور اوٹو نے امیدواروں کی رقم کی میز تیار کی ہے (سو یقینا پہلے سے ہی اس کی رقم جانتی ہے لیکن اسے پیٹ کی سوچ کا سراغ لگانے کی ضرورت ہے)۔ ٹیبل 2 میں نئی معلومات پر غور کرتے ہوئے، پیٹ ایک بار پھر اپنے پروڈکٹ کو دیکھتا ہے۔ 5 اور 100 کے درمیان کے تمام اعداد کے مقابلے میں ٹیبل 2 سے اس کے پروڈکٹ کے تمام ممکنہ 2 حصوں کے مجموعے غائب ہو گئے ہیں جنہیں شروع سے ہی مجموعے کے طور پر سمجھا جاتا تھا۔ صرف وہی جو باقی رہتا ہے وہ ان دو پوشیدہ نمبروں X اور Y کا مجموعہ ہونا چاہیے جن کا پروڈکٹ X·Y وہ جانتا ہے۔ رقم اور پروڈکٹ سے، انفرادی نمبروں کو جاننا آسان ہے اور اس طرح وہ سو سے کہتا ہے کہ "اب میں X اور Y کو جانتا ہوں"۔ پیٹ اب ختم ہو چکا ہے اور کھیل سے باہر نکل جاتا ہے۔ سو اور اوٹو ٹیبل 1 کا دوبارہ حساب لگائیں، اس بار اصل ٹیبل 1 کی طرح 5 سے 100 کی حد میں موجود تمام نمبروں کے بجائے ٹیبل 2 میں موجود رقوم میں سے صرف 2 حصوں کے پروڈکٹ کو شمار کریں۔ اس تازہ ترین ٹیبل کو ٹیبل 1 بی کہا جاتا ہے۔ سو اپنی رقم کے 2 حصوں کی تمام مصنوعات کو دیکھتی ہے اور محسوس کرتی ہے کہ ان میں سے صرف ایک ہی ٹیبل 1 بی میں بالکل ایک بار ظاہر ہوتا ہے۔ اس کے بعد پیٹر کے پاس یہ پروڈکٹ ہونا چاہیے، اور وہ ان کے مجموعے اور پروڈکٹ سے دونوں نمبروں کا اندازہ اتنی آسانی سے لگا سکتی ہے جتنی پیٹر نے کیا تھا۔ اس طرح، وہ اوٹو (پیٹ پہلے ہی چلا گیا ہے) سے کہتی ہے کہ "اب میں ایکس اور وائی کو بھی جانتی ہوں"۔ سو بھی اب ہو چکا ہے اور کھیل سے باہر نکل جاتا ہے، صرف اوٹو باقی رہتا ہے۔ مرحلہ 4 کی معلومات سے، اوٹو ٹیبل 2 میں موجود تمام رقوم کو اسکین کرتا ہے جس میں سے صرف ایک 2-تقسیم ٹیبل 1 بی میں ایک ہی ٹک کا نشان ہے۔ مطلوبہ شخص کے پاس صرف ایک ٹک مارک ہو سکتا ہے، یا سو X اور Y کو یقین کے ساتھ نہیں جان پاتا۔ آخر میں، اوٹو مطلوبہ رقم پر پہنچتا ہے جو ان خصوصیات کے ساتھ واحد بھی ہوتی ہے، جس سے اصل مسئلہ ایک منفرد حل کے ساتھ حل ہو جاتا ہے۔ اوٹو کا کام بھی اب ہو چکا ہے۔ حل حل میں X اور Y 4 اور 13 ہیں، ابتدائی طور پر P کو معلوم ہے کہ پروڈکٹ 52 ہے اور S کو معلوم ہے کہ مجموعہ 17 ہے۔ ابتدائی طور پر P حل نہیں جانتا ہے، کیونکہ 52 = 4 × 13 = 2 × 26 اور S جانتا ہے کہ P حل نہیں جانتا ہے کیونکہ رکاوٹوں کے اندر 17 کے تمام ممکنہ مجموعے اسی طرح مبہم مصنوعات پیدا کرتے ہیں۔ تاہم ایک بار جب P جانتا ہے کہ S کا خیال ہے کہ پروڈکٹ کو دیکھتے ہوئے متعدد ممکنہ حل موجود ہیں، تو P 2 x 26 کو مسترد کر سکتا ہے، کیونکہ اس صورت میں رقم 28 ہے۔ اگر S کو 28 بتایا گیا ہوتا، تو وہ یقین کے ساتھ یہ نہیں کہہ سکتی تھی کہ P اقدار کو نہیں جانتی تھی، کیونکہ ممکنہ جوڑا 5 اور 23 ہوتا، اور اگر P کو کل 5 x 23 بتایا جاتا، تو وہ دو نمبر ہی واحد ممکنہ حل ہوتے۔ تو P اب جانتا ہے کہ اعداد 4 اور 13 ہیں اور S کو بتاتا ہے کہ وہ اعداد جانتا ہے۔ اس سے، S اب جانتا ہے کہ ممکنہ جوڑوں میں سے مجموعہ کی بنیاد پر (یعنی۔ 2+15، 3+14، 4+13، 5+12، 6+11، 7+10، 8 + 9) صرف ایک ہی پروڈکٹ ہے جو P کو جواب نکالنے کی اجازت دے گا، یعنی 4 + 13۔ اس کے بعد قاری اس حقیقت کی بنیاد پر واحد ممکنہ حل کا اندازہ لگا سکتا ہے کہ S اس کا تعین کرنے میں کامیاب رہا۔ نوٹ کریں کہ مثال کے طور پر، اگر S کو 97 (48 + 49) بتایا جاتا اور P کو 2352 (48 * 49) بتایا جاتا، تو P واحد ممکنہ حل نکال سکتا، لیکن S ایسا نہیں کرتا، کیونکہ 44 اور 53 اب بھی منطقی طور پر ممکنہ متبادل ہوتے۔ دیگر حل مسئلہ کو عام کیا جا سکتا ہے۔ باؤنڈ X + Y ≤ 100 کو جان بوجھ کر منتخب کیا گیا ہے۔ اگر X + Y کی حد کو تبدیل کر دیا جائے تو حل کی تعداد تبدیل ہو سکتی ہے۔ X + Y <62 کے لیے کوئی حل نہیں ہے۔ یہ شروع میں متضاد لگ سکتا ہے کیونکہ حل X = 4، Y = 13 حد کے اندر فٹ بیٹھتا ہے۔ لیکن ان حدود کے درمیان نمبروں کے مجموعے والے عوامل کے ساتھ مصنوعات کو خارج کرنے سے، اب تمام غیر حلوں کو فیکٹر کرنے کے متعدد طریقے نہیں ہیں، جس کی وجہ سے معلومات سے مسئلے کا کوئی حل نہیں ملتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر X = 2، Y = 62، X + Y = 64، X·Y = 124 پر غور نہیں کیا جاتا ہے، تو 124 کا صرف ایک پروڈکٹ باقی رہتا ہے، یعنی۔ 4·31، 35 کی رقم حاصل کرتے ہوئے۔ پھر 35 کو ختم کر دیا جاتا ہے جب S اعلان کرتا ہے کہ P پروڈکٹ کے عوامل کو نہیں جان سکتا، جو کہ 64 کے مجموعے کی اجازت ہوتی تو ایسا نہیں ہوتا۔ دوسری طرف، جب حد X + Y ≤ 1685 یا اس سے زیادہ ہوتی ہے، تو دوسرا حل X = 4، Y = 61 ظاہر ہوتا ہے۔ اس طرح، اس کے بعد سے، مسئلہ اس معنی میں حل کرنے کے قابل نہیں ہے کہ اب کوئی منفرد حل نہیں ہے۔ اسی طرح، اگر X + Y ≤ 1970 یا اس سے زیادہ ہو تو تیسرا حل ظاہر ہوتا ہے (X = 16، Y = 73)۔ ان تینوں حلوں میں ایک پرائم نمبر ہوتا ہے۔ پہلا حل جس میں کوئی پرائم نمبر نہیں ہے وہ چوتھا ہے جو X + Y ≤ 2522 یا اس سے زیادہ پر ظاہر ہوتا ہے جس کی اقدار X = 16 = 2·2·2 اور Y = 111 = 3·37 ہیں۔ اگر حالت Y> X> 1 کو Y> X> 2 میں تبدیل کر دیا جائے تو 124 <t <5045 کے لیے X + Y ≤ t کی حد کے لیے ایک منفرد حل ہے، جس کے بعد متعدد حل ہوتے ہیں۔ 124 اور اس سے نیچے، کوئی حل نہیں ہے۔ یہ حیرت کی بات نہیں ہے کہ حل کی حد بڑھ گئی ہے۔ بدیہی طور پر، مسئلہ کی جگہ "اسپارسر" ہو گئی جب پرائم نمبر 2 اب عنصر X کے طور پر دستیاب نہیں ہے، جس سے دی گئی رقم A سے کم ممکنہ پروڈکٹ X·Y پیدا ہوتے ہیں۔ جب بہت سے حل ہوتے ہیں، یعنی اعلی t کے لیے، کچھ حل Y> X> 1 کے ساتھ اصل مسئلے کے ساتھ موافق ہوتے ہیں، مثال کے طور پر X = 16، Y = 163۔ اگر کسی حد t کے لیے شرط X + Y ≤ t کا تبادلہ X·Y ≤ u کے لیے کیا جاتا ہے، تو مسئلہ ظاہری شکل بدل دیتا ہے۔ کم حسابات کی ضرورت کے ساتھ اسے حل کرنا آسان ہو جاتا ہے۔ دو عوامل کے سب سے بڑے پروڈکٹ کی بنیاد پر متعلقہ t کے لیے u کی معقول قیمت u = t·t/4 ہو سکتی ہے جس کا مجموعہ t ہے (t/2) · (t/2)۔ اب اس مسئلے کا 47 <t <60، 71 <t <80، 107 <t <128، اور 131 <t <144 کی حدود میں ایک منفرد حل ہے اور اس حد سے نیچے کوئی حل نہیں ہے۔ متبادل تشکیل کے نتائج اصل تشکیل کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتے، نہ تو حل کی تعداد میں، اور نہ ہی مواد میں۔ چیریل کی سالگرہ کے حوالہ جات بیرونی لنکس دی امپاسبل پروبلم بذریعہ ٹورسٹن سلکے دو ریاضی دانوں کا ریاضی فورم کے مجموعے پر مسئلہ اور میتھ ورکس کوڈی ماڈل چیکنگ سم اور پروڈکٹ لاجک پزل پر پروڈکٹ کا مسئلہ بھی دیکھیں۔