Fuzzy mathematics
مبہم ریاضی ریاضی کی وہ شاخ ہے جس میں مبہم سیٹ تھیوری اور مبہم منطق شامل ہیں جو سپیکٹرم پر کسی سیٹ میں عناصر کی جزوی شمولیت سے متعلق ہے، جیسا کہ سادہ بائنری "ہاں" یا "نہیں" (0 یا 1) کی شمولیت کے برخلاف ہے۔ اس کا آغاز 1965 میں لوٹفی اسکر زادہ کے بنیادی کام فزی سیٹس کی اشاعت کے بعد ہوا۔ لسانیات ایک ایسے شعبے کی مثال ہے جو فجی سیٹ تھیوری کا استعمال کرتا ہے۔ تعریف کسی سیٹ X کا ایک مبہم ذیلی سیٹ A ایک فنکشن A: X → L ہے، جہاں L وقفہ [0,1] ہے۔ اس فنکشن کو ممبرشپ فنکشن بھی کہا جاتا ہے۔ رکنیت فنکشن L = {0,1} کے لیے بیان کردہ ذیلی سیٹ کے اشارے فنکشن (جسے خصوصیت فنکشن بھی کہا جاتا ہے) کی عمومی شکل ہے۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی کسی مبہم ذیلی سیٹ اے کی تعریف میں کسی بھی مکمل جالی ایل کا استعمال کر سکتا ہے۔ فزیفیکیشن ریاضیاتی تصورات کی فزیفیکیشن کے ارتقاء کو تین مراحل میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: ساٹھ اور ستر کی دہائی کے دوران سیدھی سی فزیفیکیشن، اسی کی دہائی کے دوران عمومی عمل میں ممکنہ انتخاب کا دھماکہ، نوے کی دہائی میں معیاری کاری، محوریت اور ایل-فزیفیکیشن۔ عام طور پر، ریاضیاتی تصورات کی مبہم شکل ان تصورات کو خصوصیت کے افعال سے لے کر رکنیت کے افعال تک عام کرنے پر مبنی ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ A اور B X کے دو مبہم ذیلی مجموعے ہیں۔ انٹرسیکشن A ≤ B اور یونین A ≤ B کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: (A ≤ B) (x) = منٹ (A (x)، B (x)، (A ≤ B) (x) = میکس (A (x)، B (x)) X میں موجود تمام x کے لیے۔ اس کے بجائے اور کوئی بھی بالترتیب ٹی-نارم اور ٹی-کنورم استعمال کر سکتا ہے ؛ مثال کے طور پر، منٹ (اے، بی) کو ضرب اے بی سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ایک سیدھی سی فجیفیکیشن عام طور پر اور کارروائیوں پر مبنی ہوتی ہے کیونکہ اس معاملے میں روایتی ریاضی کی مزید خصوصیات کو فجی کیس تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ الجبرائی کارروائیوں کی فزیفیکیشن میں استعمال ہونے والا ایک اہم عمومی اصول کلوزر پراپرٹی ہے۔ فرض کریں کہ * X پر بائنری آپریشن ہے۔ ایکس کے مبہم ذیلی سیٹ اے کے لیے بند کرنے کی خاصیت یہ ہے کہ تمام ایکس کے لیے، ایکس میں وائی، اے (ایکس * وائی) ≤ منٹ (اے (ایکس)، اے (وائی))۔ فرض کریں کہ (G، *) ایک گروپ ہے اور A G کا ایک مبہم ذیلی مجموعہ ہے۔ پھر A G کا ایک مبہم ذیلی گروپ ہے اگر G میں موجود تمام x، y کے لیے، A (x * y−1) ≤ منٹ (A (x)، A (y−1))۔ اسی طرح کا عمومی اصول استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، ٹرانزیٹیویٹی پراپرٹی کی فزیفیکیشن کے لیے۔ فرض کریں کہ R X پر ایک مبہم تعلق ہے، یعنی۔ R X × X کا ایک مبہم ذیلی مجموعہ ہے۔ پھر R (فجی-) عارضی ہے اگر X میں تمام x، y، z کے لیے، R (x، z) ≤ منٹ (R (x, y)، R (y, z))۔ فجی اینالاگس فجی سب گروپائڈز اور فجی سب گروپس 1971 میں اے روزن فیلڈ نے متعارف کروائے تھے۔ دیگر ریاضیاتی مضامین کے اینالاگس کا ترجمہ مبہم ریاضی میں کیا گیا ہے، جیسے کہ مبہم فیلڈ تھیوری اور مبہم گالوئس تھیوری، مبہم ٹوپولوجی، مبہم جیومیٹری، مبہم ترتیب، اور مبہم گراف۔ یہ بھی دیکھیں کہ فجی پیمائش کا نظریہ فجی ذیلی الجبرا مونوئڈل ٹی-نارم منطق پوسیبلٹی تھیوری ٹی-نارم حوالہ جات بیرونی روابط زادہ، ایل اے۔ فجی لاجک-مضمون اسکالرپیڈیا حاجیک، پی فجی لاجک-مضمون اسٹینفورڈ انسائیکلوپیڈیا آف فلاسفی نوارا، ایم ٹرائنگولر نارمز اینڈ کونارمز-مضمون اسکالرپیڈیا ڈوبوئس، ڈی۔، پریڈ ایچ پوسیبلٹی تھیوری-مضمون اسکالرپیڈیا سینٹر فار میتھمیٹکس آف انسرٹینٹی فجی میتھ ریسرچ میں-ویب سائٹ کریئٹن یونیورسٹی سیزنگ، آر۔ فجی سیٹس کے ریاضیاتی نظریہ کی تاریخ پر کتاب: سسٹمز کی فجیفیکیشن۔ فجی سیٹ تھیوری کی ابتداء اور اس کی ابتدائی ایپلی کیشنز-1970 کی دہائی تک کی پیش رفت (اسٹڈیز ان فجینیس اینڈ سافٹ کمپیوٹنگ، جلد۔ 216) برلن، نیویارک، [اور دیگر۔ ]: سپرنگر 2007۔ مبہم منطق