Linear group
ریاضی میں، میٹرکس گروپ ایک گروپ G ہے جو میٹرکس ضرب کے عمل کے ساتھ ایک مخصوص فیلڈ K پر الٹا میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے۔ لکیری گروپ ایک ایسا گروپ ہے جو میٹرکس گروپ کے لیے آئسومورفک ہے (یعنی K پر ایک وفادار، محدود جہتی نمائندگی کو تسلیم کرنا)۔ کوئی بھی محدود گروپ لکیری ہوتا ہے، کیونکہ اسے کیلی کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے تعدد میٹرکس کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ لامحدود گروپوں میں، لکیری گروپ ایک دلچسپ اور قابل رسائی کلاس بناتے ہیں۔ ایسے گروپوں کی مثالیں جو لکیری نہیں ہیں ان میں وہ گروپ شامل ہیں جو "بہت بڑے" ہیں (مثال کے طور پر، ایک لامحدود سیٹ کے تغیرات کا گروپ)، یا جو کچھ روگیاتی رویے کی نمائش کرتے ہیں (مثال کے طور پر، محدود طور پر تیار کردہ لامحدود ٹورسن گروپ)۔ تعریف اور بنیادی مثالیں A گروپ G کو لکیری کہا جاتا ہے اگر کوئی فیلڈ K موجود ہو، ایک انٹیجر d اور G سے لے کر عمومی لکیری گروپ GLd (K) تک ایک انجیکٹو ہومومورفزم موجود ہو (طول و عرض d کی K پر ایک وفادار لکیری نمائندگی): اگر ضرورت ہو تو کوئی یہ کہہ کر فیلڈ اور طول و عرض کا ذکر کر سکتا ہے کہ G ڈگری d کی K پر لکیری ہے۔ بنیادی مثالیں وہ گروپ ہیں جن کی تعریف لکیری گروپ کے ذیلی گروپوں کے طور پر کی جاتی ہے، مثال کے طور پر: گروپ GLn (K) خود ؛ خصوصی لکیری گروپ SLn (K) (ڈیٹرمیننٹ 1 کے ساتھ میٹرکس کا ذیلی گروپ) ؛ الٹا اوپری (یا نچلے) مثلث میٹرکس کا گروپ اگر gi GLn (K) میں عناصر کا مجموعہ ہے۔ جھوٹ گروپوں کے مطالعہ میں، بعض اوقات تعلیمی طور پر جھوٹ گروپوں کی طرف توجہ محدود کرنا آسان ہوتا ہے جن کی پیچیدہ تعداد کے میدان میں وفاداری سے نمائندگی کی جا سکتی ہے۔ (کچھ مصنفین کا مطالبہ ہے کہ گروپ کو جی ایل این (سی) کے بند ذیلی گروپ کے طور پر پیش کیا جائے۔) اس نقطہ نظر کی پیروی کرنے والی کتابوں میں ہال (2015) اور راسمین (2002) شامل ہیں۔ لکیری گروپوں کی کلاسیں کلاسیکی گروپ اور متعلقہ مثالیں نام نہاد کلاسیکی گروپ اوپر 1 اور 2 کی مثالوں کو عام کرتے ہیں۔ وہ لکیری الجبرائی گروپوں کے طور پر پیدا ہوتے ہیں، یعنی GLn کے ذیلی گروپوں کے طور پر جو مساوات کی ایک محدود تعداد سے متعین ہوتے ہیں۔ بنیادی مثالیں آرتھوگنل، یونٹیری اور سمپلیکٹک گروپ ہیں لیکن ڈویژن الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے مزید تعمیر کرنا ممکن ہے (مثال کے طور پر کواٹرنیئن الجبرا کا یونٹ گروپ ایک کلاسیکی گروپ ہے)۔ نوٹ کریں کہ ان گروپوں سے وابستہ پروجیکٹو گروپ بھی لکیری ہیں، حالانکہ واضح طور پر کم ہیں۔ مثال کے طور پر، گروپ پی ایس ایل 2 (آر) 2 × 2 میٹرکس کا گروپ نہیں ہے، لیکن اس کی 3 × 3 میٹرکس (ملحقہ نمائندگی) کے طور پر وفادار نمائندگی ہے، جسے عام صورت میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بہت سے لائ گروپ لکیری ہوتے ہیں، لیکن ان میں سے سبھی نہیں ہوتے۔ ایس ایل 2 (آر) کا عالمگیر احاطہ لکیری نہیں ہے، جیسا کہ بہت سے قابل حل گروپ ہیں، مثال کے طور پر مرکزی چکور ذیلی گروپ کے ذریعہ ہائزن برگ گروپ کا حصّہ۔ کلاسیکی لائ گروپوں کے مجرد ذیلی گروپ (مثال کے طور پر جالی یا پتلی گروپ) بھی دلچسپ لکیری گروپوں کی مثالیں ہیں۔ محدود گروپ ترتیب n کا ایک محدود گروپ G کسی بھی فیلڈ K پر زیادہ سے زیادہ n پر ڈگری کا لکیری ہوتا ہے۔ اس بیان کو بعض اوقات کیلی کا تھیوریم کہا جاتا ہے، اور صرف اس حقیقت کا نتیجہ ہے کہ گروپ رنگ K [G] پر G کا عمل بائیں (یا دائیں) ضرب سے لکیری اور وفادار ہے۔ لائ قسم کے محدود گروپ (محدود شعبوں پر کلاسیکی گروپ) محدود سادہ گروپوں کا ایک اہم خاندان ہیں، کیونکہ وہ محدود سادہ گروپوں کی درجہ بندی میں زیادہ تر سلاٹ لیتے ہیں۔ اگرچہ اوپر کی مثال 4 ایک مخصوص کلاس کی وضاحت کرنے کے لیے بہت عام ہے (اس میں تمام لکیری گروپ شامل ہیں)، ایک محدود انڈیکس سیٹ I تک محدود، یعنی حتمی طور پر تیار کردہ گروپ بہت سی دلچسپ مثالیں بنانے کی اجازت دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر: پنگ پونگ لیما کو لکیری گروپوں کی بہت سی مثالوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو آزاد گروپ ہیں (مثال کے طور پر جس گروپ سے پیدا ہوتا ہے وہ آزاد ہے)۔ ریاضی کے گروپوں کو حتمی طور پر تیار کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ دوسری طرف، کسی دیئے گئے ریاضیاتی گروپ کے لیے جنریٹرز کا ایک واضح سیٹ تلاش کرنا ایک مشکل مسئلہ ہے۔ بریڈ گروپس (جن کی تعریف ایک محدود طور پر پیش کردہ گروپ کے طور پر کی جاتی ہے) میں ایک محدود جہتی پیچیدہ ویکٹر اسپیس پر وفادار لکیری نمائندگی ہوتی ہے جہاں جنریٹر واضح میٹرکس کے ذریعے کام کرتے ہیں۔ جیومیٹری سے مثالیں بعض صورتوں میں کئی گنا کے بنیادی گروپ کو ہندسی ڈھانچے سے آنے والی نمائندگی کا استعمال کرکے لکیری دکھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کم از کم 2 جینس کی تمام بند سطحیں ہائپربولک ریمن سطحیں ہیں۔ یونیفارمائزیشن تھیوریم کے ذریعے یہ ہائپربولک پلین کے آئسومیٹری گروپ میں اس کے بنیادی گروپ کی نمائندگی کو جنم دیتا ہے، جو پی ایس ایل 2 (آر) کے لیے آئسومورفک ہے اور اس سے بنیادی گروپ کو فوچیان گروپ کے طور پر محسوس ہوتا ہے۔ اس ساخت کی عمومی شکل کئی گنا پر a (G، X)-ساخت کے تصور سے دی گئی ہے۔ ایک اور مثال سیفرٹ مینیفولڈز کا بنیادی گروپ ہے۔ دوسری طرف، یہ معلوم نہیں ہے کہ 3-مینیفولڈ کے تمام بنیادی گروپ لکیری ہیں یا نہیں۔ اگرچہ لکیری گروپ مثالیں کی ایک وسیع کلاس ہیں، لیکن تمام لامحدود گروپوں میں وہ بہت سی قابل ذکر خصوصیات سے ممتاز ہیں۔ محدود طور پر تیار کردہ لکیری گروپوں کی درج ذیل خصوصیات ہیں: وہ بقایا طور پر محدود ہیں۔ برن سائیڈ کا نظریہ: محدود ایکسپونینٹ کا ایک ٹورسن گروپ جو خصوصیت 0 کی فیلڈ پر لکیری ہے اسے محدود ہونا چاہیے۔ شور کا نظریہ: ایک ٹورسن لکیری گروپ مقامی طور پر محدود ہے۔ خاص طور پر، اگر یہ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے تو یہ محدود ہے۔ سیلبرگ کا لیما: کوئی بھی حتمی طور پر تیار کردہ لکیری گروپ محدود انڈیکس کا ٹورسن فری ذیلی گروپ پر مشتمل ہوتا ہے۔ ٹیٹس متبادل بیان کرتا ہے کہ ایک لکیری گروپ یا تو غیر ایبلین فری گروپ پر مشتمل ہوتا ہے یا پھر عملی طور پر حل کرنے کے قابل ہوتا ہے (یعنی، محدود انڈیکس کا حل کرنے والا گروپ ہوتا ہے)۔ اس کے بہت سے مزید نتائج ہوتے ہیں، مثال کے طور پر: ایک محدود طور پر تیار کردہ لکیری گروپ کا ڈیہن فنکشن صرف کثیر الجہتی یا ایکسپونینشل ہو سکتا ہے۔ ایک قابل قبول لکیری گروپ عملی طور پر قابل حل ہوتا ہے، خاص طور پر ابتدائی طور پر قابل قبول ؛ وان نیومن قیاس لکیری گروپوں کے لیے درست ہے۔ غیر لکیری گروپوں کی مثالیں غیر لکیری گروپوں کی لامحدود طور پر پیدا شدہ مثالیں دینا مشکل نہیں ہے: مثال کے طور پر لامحدود ابیلین گروپ (Z/2Z) N x (Z/3Z) N لکیری نہیں ہو سکتا۔ چونکہ ایک لامحدود سیٹ پر سمیٹرک گروپ اس گروپ پر مشتمل ہوتا ہے اس لیے یہ لکیری بھی نہیں ہوتا۔ حتمی طور پر تیار کردہ مثالیں تلاش کرنا زیادہ باریک ہوتا ہے اور عام طور پر اوپر درج کردہ خصوصیات میں سے کسی ایک کے استعمال کی ضرورت ہوتی ہے۔ چونکہ کوئی بھی حتمی لکیری گروپ بقایا طور پر محدود ہوتا ہے، اس لیے یہ سادہ اور لامحدود دونوں نہیں ہو سکتا۔ اس طرح محدود طور پر پیدا ہونے والے لامحدود سادہ گروپ، مثال کے طور پر تھامسن کا گروپ F، اور زیادہ سے زیادہ مناسب عام ذیلی گروپ کے ذریعہ ہیگ مین کے گروپ کا حصص، لکیری نہیں ہیں۔ اوپر بیان کردہ ٹیٹس متبادل کے نتیجے کے مطابق، درمیانی نمو کے گروپ جیسے گریگورچک گروپ لکیری نہیں ہیں۔ ایک بار پھر ٹیٹس متبادل کے ذریعہ، جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے کہ وان نیومن قیاس آرائی کے تمام جوابی مثالیں لکیری نہیں ہیں۔ اس میں تھامسن کا گروپ ایف اور ٹارسکی مونسٹر گروپ شامل ہیں۔ برن سائیڈ کے نظریہ کے مطابق، لامحدود، حتمی طور پر پیدا ہونے والے ٹورسن گروپ جیسے کہ ٹارسکی مونسٹر گروپ لکیری نہیں ہو سکتے۔ ہائپربولک گروپوں کی مثالیں موجود ہیں جو لکیری نہیں ہیں، جو لائ گروپس ایس پی (این، 1) میں جالی کے حصص کے طور پر حاصل کیے جاتے ہیں۔ آزاد گروپ کا بیرونی آٹومورفزم گروپ آؤٹ (Fn) کم از کم n 4 کے لیے لکیری نہیں جانا جاتا ہے۔ چوٹی کے گروپوں کے معاملے کے برعکس، یہ ایک کھلا سوال ہے کہ آیا جینس> 1 کی سطح کا نقشہ سازی کلاس گروپ لکیری ہے۔ نمائندگی کا نظریہ ایک بار جب کسی گروپ کو لکیری ہونے کے لیے قائم کر لیا جاتا ہے تو اس کے لیے "زیادہ سے زیادہ" وفادار لکیری نمائندگی تلاش کرنے کی کوشش کرنا دلچسپ ہوتا ہے، مثال کے طور پر سب سے کم ممکنہ جہت، یا یہاں تک کہ اس کی تمام لکیری نمائندگی (بشمول وہ جو وفادار نہیں ہیں) کی درجہ بندی کرنے کی کوشش کرنا۔ یہ سوالات نمائندگی کے نظریہ کا مقصد ہیں۔ نظریہ کے نمایاں حصوں میں شامل ہیں: محدود گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ ؛ جھوٹ گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ اور زیادہ عام طور پر لکیری الجبرائی گروپ۔ لامحدود حد تک پیدا شدہ گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ عام طور پر پراسرار ہے۔ اس معاملے میں دلچسپی کا مقصد گروپ کے کردار کی اقسام ہیں، جنہیں صرف بہت کم معاملات میں اچھی طرح سے سمجھا جاتا ہے، مثال کے طور پر آزاد گروپ، سطح کے گروپ اور زیادہ عام طور پر لائ گروپوں میں جالی (مثال کے طور پر مارگولس کے سپرریجیڈیٹی تھیوریم اور دیگر سختی کے نتائج کے ذریعے)۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ لامحدود گروپ تھیوری میٹرکس