Chopsticks (hand game)
چپ اسٹک (جسے بعض اوقات کیلکولیٹر یا صرف اسٹک کہا جاتا ہے) دو یا زیادہ کھلاڑیوں کے لیے ایک ہینڈ گیم ہے، جس میں کھلاڑی ہر ہاتھ سے کئی انگلیاں بڑھاتے ہیں اور باری باری ایک ہاتھ کو دوسرے کے خلاف ٹیپ کرنے کے لیے ان اسکورز کو منتقل کرتے ہیں۔ چپسٹک ایک مشترکہ کھیل کی ایک مثال ہے، اور اسے اس معنی میں حل کیا جاتا ہے کہ کامل کھیل کے ساتھ، کسی بھی نقطہ سے ایک بہترین حکمت عملی معلوم ہوتی ہے۔ اگر آپ کے ہر ہاتھ پر انگلیوں کی تعداد یکساں ہے تو آپ انہیں ایک ساتھ مار سکتے ہیں اور ہر ہاتھ پر ایک انگلی چھوڑ کر انہیں تقسیم کر سکتے ہیں۔ جب کھلاڑی کے پاس صرف ایک انگلی باقی رہ جائے تو اسے ہاتھوں کے درمیان تبدیل نہیں کیا جا سکتا اور اسے مخالف پر حملہ کرنا چاہیے۔ ایک چاپسٹک پوزیشن کو آسانی سے چار ہندسوں کے کوڈ [اے بی سی ڈی] میں مختصر کیا جا سکتا ہے۔ اے اور بی کھلاڑی کے ہاتھ (انگلیوں کی چڑھتی ہوئی ترتیب میں) ہیں جو اپنی باری لینے والے ہیں۔ سی اور ڈی اس کھلاڑی کے ہاتھ (انگلیوں کی چڑھتی ہوئی ترتیب میں) ہیں جو اپنی باری لینے والا نہیں ہے۔ ہر کھلاڑی کے ہاتھوں کو چڑھتے ہوئے ترتیب میں نوٹ کرنا ضروری ہے، تاکہ ایک الگ پوزیشن کو غلطی سے دو کوڈوں سے ظاہر نہ کیا جائے۔ مثال کے طور پر، کوڈ [1032] کی اجازت نہیں ہے، اور اسے نوٹ کیا جانا چاہیے [0123]۔ لہذا، ابتدائی پوزیشن [1111] ہے۔ اگلی پوزیشن [1211] ہونی چاہیے۔ اگلی پوزیشن یا تو [1212] یا [1312] ہونی چاہیے۔ ہر پوزیشن کو 4 ہندسوں کے نمبر کے طور پر مانتے ہوئے، سب سے چھوٹی پوزیشن 0000 ہے، اور سب سے بڑی پوزیشن 4444 ہے۔ یہ مخفف فارمولہ آسانی سے زیادہ کھلاڑیوں والے کھیلوں تک پھیل جاتا ہے۔ تین کھلاڑیوں کے کھیل کی نمائندگی چھ ہندسوں سے کی جا سکتی ہے (مثال کے طور پر۔ [111211])، جہاں ملحقہ ہندسوں کی ہر جوڑی ایک کھلاڑی کی نمائندگی کرتی ہے، اور ہر جوڑی کو اس بنیاد پر ترتیب دیا جاتا ہے کہ کھلاڑی اپنی باری کب لیں گے۔ بائیں طرف کا جوڑا کھلاڑی کے ہاتھوں کی نمائندگی کرتا ہے جو اپنی باری لینے والا ہے ؛ درمیانی جوڑی اس کھلاڑی کی نمائندگی کرتی ہے جو آگے جائے گا، وغیرہ۔ سب سے دائیں جوڑی اس کھلاڑی کی نمائندگی کرتی ہے جسے اپنی باری سے پہلے سب سے زیادہ انتظار کرنا پڑتا ہے (عام طور پر اس وجہ سے کہ وہ ابھی گیا تھا)۔ عام قوانین کے تحت، زیادہ سے زیادہ 14 ممکنہ حرکتیں ہوتی ہیں: چار حملے (اے-سی، اے-ڈی، بی-سی، بی-ڈی) چار ڈویژن (02-11، 03-12، 04-13، 04-22) چھ منتقلی (13-22، 22-13، 14-23، 23-14، 24-33، 33-24) تاہم، ان میں سے صرف 5 یا اس سے کم ایک مقررہ باری پر دستیاب ہیں۔ مثال کے طور پر، ابتدائی پوزیشن 1312 2213، 1313، 2413، 0113، یا 1222 پر جا سکتی ہے۔ کھیل کی لمبائی سب سے مختصر ممکنہ کھیل 5 چالوں کا ہوتا ہے۔ ایک مثال ہے: 1111 1211 1312 0113 1401 0014 سب سے طویل ممکنہ گیم جو ہر حرکت کے ساتھ ابتدائی مقام سے مزید دور ہو جاتی ہے وہ 9 حرکتیں ہیں۔ دو مثالیں ہیں: 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001 1111 1211 1212 2323 0323 0303 0103 0401 0004 نظر ثانی کے ساتھ سب سے طویل ممکنہ کھیل غیر معینہ مدت کا ہے۔ پوزیشنیں چونکہ رول اوور کی رقم 5 ہے، اس لیے چاپسٹک بیس-5 گیم ہے۔ ہر پوزیشن چار ہندسوں کی لمبی ہوتی ہے۔ 0000 سے 4444 تک گنتی (بیس-5 میں) 625 پوزیشن حاصل کرتی ہے۔ تاہم، ان میں سے زیادہ تر پوزیشنیں غلط اشارے ہیں (جیسے۔ 0132، 1023، اور 1032)۔ وہ مختلف نظر آتے ہیں لیکن گیم پلے میں عملی طور پر ایک جیسے ہوتے ہیں۔ فنکشنل طور پر مختلف پوزیشنوں کی تعداد تلاش کرنے کے لیے، فنکشنل طور پر مختلف جوڑوں کی تعداد کو مربع کریں۔ 15 الگ الگ جوڑے ہیں (00، 01، 02، 03، 04، 11، 12، 13، 14، 22، 23، 24، 33، 34، اور 44)۔ چونکہ کسی بھی کھلاڑی کے پاس ان میں سے کوئی بھی جوڑا ہو سکتا ہے، ہم صرف 15 * 15 کو ضرب دیتے ہیں، جو 225 فعال طور پر الگ پوزیشن دیتا ہے۔ 625 آسامیاں ہیں، جن میں بے کاریاں بھی شامل ہیں۔ عملی طور پر 225 الگ الگ پوزیشنیں ہیں۔ 204 قابل رسائی پوزیشنیں ہیں۔ 21 ناقابل رسائی پوزیشنیں ہیں: 0000، 0100، 0200، 0300، 0400، 1100، 1101، 1200، 1300، 1400، 2200، 2202، 2300، 2400، 3300، 3303، 3400، 3444، 4400، 4404، اور 4444۔ ان میں سے 15 صرف ایک کھلاڑی ہے جس میں 15 مختلف جوڑوں میں سے ہر ایک ہے، اور دوسرا کھلاڑی مردہ ہے۔ مسئلہ یہ ہے کہ مردہ کھلاڑی وہ کھلاڑی ہوتا ہے جس نے ابھی اپنی باری لی تھی (اس لیے دائیں طرف "00")۔ چونکہ کھلاڑی اپنی باری پر ہار نہیں سکتا، اس لیے یہ پوزیشنیں واضح طور پر ناقابل رسائی ہیں۔ ان میں سے 4 جوڑے وہ ہیں جہاں کھلاڑی کو [kk] کے ساتھ منتقل ہونا ہے، اور دوسرے کھلاڑی کے پاس [0k] ہے، جہاں۔ یہ ناقابل رسائی ہے کیونکہ جو کھلاڑی ابھی گیا تھا [0k] وہ تقسیم نہیں ہو سکے گا، اس لیے اس کھلاڑی نے اپنے [0k] کا استعمال کرتے ہوئے حملہ کیا ہوگا۔ لیکن دشمن پر حملہ کرنے کے لیے [0k] استعمال کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے تاکہ وہ [kk] پر چلے جائیں۔ اس کے لیے مردہ ہاتھ پر حملہ کرنے کی ضرورت ہوگی، جو کہ غیر قانونی ہے۔ باقی دو پوزیشنیں 3444 اور 4444 ہیں۔ 4444 ناقابل رسائی ہے کیونکہ کوئی کھلاڑی تقسیم سے [44] تک نہیں پہنچ سکتا، اور اس وجہ سے اسے پہلے ہی [44] ہونا پڑا۔ واحد ممکنہ جوڑی جو [44] کے حملے کے بعد [44] پر جاتی ہے وہ ہے [04]، جس کے لیے دوبارہ ڈیڈ ہینڈ پر حملہ کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ 3444 اصل میں قابل رسائی ہے، لیکن صرف 4444 سے۔ چونکہ 4444 4444 سے قابل رسائی نہیں ہے، نہ ہی 3444 ہے۔ 14 قابل رسائی اختتامی کھیل ہیں: 0001,0002,0003,0004,0011,0012,0013,0014,0022,0023,0024,0033,0034,0044۔ اطمینان بخش طور پر کافی، یہ تمام 14 ممکنہ اختتامی کھیل ہیں ؛ دوسرے لفظوں میں، کوئی بھی 14 مختلف زندہ جوڑوں میں سے کسی ایک کا استعمال کرتے ہوئے جیت سکتا ہے۔ ان 14 اختتامی کھیلوں میں سے، پہلا کھلاڑی ان میں سے 8 جیتتا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ کھیل کم سے کم چالوں میں ختم ہوتے ہیں۔ تغیرات مسیر: پہلا کھلاڑی جس کے دونوں ہاتھ مارے گئے وہ جیت جاتا ہے۔ خودکشی: کھلاڑیوں کو تقسیم کے ساتھ اپنا ایک ہاتھ مارنے کی اجازت ہے۔ مثال کے طور پر، پوزیشن [1201] میں، ایک کھلاڑی 12-03 پر عمل درآمد کر سکتا ہے، اس طرح کھیل کو [0103] پر لایا جا سکتا ہے۔ مخالف کو بی-ڈی کھیلنے پر مجبور کیا جاتا ہے، جس سے کھیل کو [0401] پر لایا جاتا ہے، جس مقام پر پہلے کھلاڑی کے لیے فوری جیت ممکن ہے۔ تبادلے/چیری: اگر کھلاڑیوں کے پاس دو غیر مساوی زندہ ہاتھ ہیں، تو وہ انہیں تبدیل کر سکتے ہیں (حالانکہ وہ اپنی باری کھو دیتے ہیں)۔ یہ تغیر عام طور پر واضح وجوہات کی بناء پر تکرار یا لامحدود لوپ کے ذریعے ڈرا حاصل کرتا ہے۔ اس سے بچنے کے لیے، مسلسل تبادلوں کی تعداد پر حدود رکھی جا سکتی ہیں جو ایک کھلاڑی حملہ کرنے پر مجبور ہونے سے پہلے حملہ کیے بغیر کر سکتا ہے۔ اچانک موت: کھلاڑی اس وقت ہار جاتے ہیں جب ان کے پاس صرف ایک انگلی باقی رہتی ہے (دونوں ہاتھوں پر)۔ متبادل طور پر، ہر کھلاڑی تین زندگیوں سے آغاز کر سکتا ہے، اور جب بھی وہ نیچے اترتے ہیں [1]، وہ ایک زندگی کھو دیتے ہیں۔ میٹا: اگر کسی کھلاڑی کے ہاتھ پانچ سے زیادہ ہو جاتے ہیں، تو وہ انہیں یکجا کر سکتے ہیں، کل میں سے پانچ کو گھٹا سکتے ہیں، اور پھر بقیہ کو تقسیم کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، [44] 8 تک کا اضافہ کرتا ہے۔ میٹا قوانین کے تحت، 4 اور 4 کو 8 میں جوڑا جا سکتا ہے، جو پانچ کو گھٹانے کے بعد 3 ہو جاتا ہے۔ پھر ان کو [12] میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، ایک ہی حرکت میں [44] سے [12] تک جانا ممکن ہے۔ میٹا 2 نئی ممکنہ چالوں (34-11، 44-12) کو کھولتا ہے۔ اگر میٹا اور خودکشی دونوں کھیل رہے ہیں، تو زیادہ سے زیادہ 20 ممکنہ چالوں کے لیے چار اضافی چالوں کو غیر مقفل کر دیا جاتا ہے (24-01، 33-01، 34-02، 44-03)۔ لوگن شق: کھلاڑیوں کو خودکشی اور تبادلے کی اجازت ہے، لیکن صرف اس صورت میں جب وہ دونوں کام بیک وقت کریں (یعنی۔ زندہ ہاتھ کے لیے مردہ ہاتھ کا تبادلہ کرنا)۔ ڈیتھ اٹیک: کھلاڑیوں کو مردہ ہاتھوں پر حملہ کرنے کی اجازت ہے۔ ڈیڈ ہینڈ پر حملہ کرنے سے حملہ ہونے سے پہلے ڈیڈ ہینڈ کو 0 سمجھا جائے گا۔ کٹ آف: اگر کوئی ہاتھ پانچ انگلیوں سے اوپر جاتا ہے، تو وہ مردہ ہے (رول اوور کے برخلاف، جو سرکاری قواعد میں بیان کیا گیا ہے)۔ زومبی: تین یا اس سے زیادہ کھلاڑیوں کے ساتھ، اگر کوئی کھلاڑی ناک آؤٹ ہو جاتا ہے، تو وہ مستقل طور پر ایک ہاتھ کی ایک انگلی تک کم ہو جاتے ہیں۔ اپنی باری پر، وہ حملہ کر سکتے ہیں، لیکن تقسیم نہیں ہو سکتے یا حملہ نہیں ہو سکتا (کرس بینڈی نے ایجاد کیا)۔ صرف منتقلی: ڈویژنوں کی اجازت نہیں ہے۔ صرف تقسیم کی اجازت منتقلی ہے۔ صرف ڈویژن: منتقلی کی اجازت نہیں ہے۔ تقسیم کی اجازت صرف تقسیم ہے۔ نصفیاں: تقسیم کی اجازت صرف اس وقت دی جاتی ہے جب کسی یکساں عدد کو دو مساوی حصوں میں تقسیم کیا جائے، یا اختیاری طور پر، کسی طاق عدد کو جتنا ممکن ہو مساوی طور پر تقسیم کیا جائے (مکمل اعداد کا استعمال کرتے ہوئے)۔ اس تغیر میں، دوسرے کھلاڑی کے پاس جیتنے کی حکمت عملی ہوتی ہے (ہمیشہ جیت پر مجبور کر سکتا ہے)۔ اسٹمپس: اگر کوئی کھلاڑی [1] پر ہے، تو [0.0.0.0] میں تقسیم ہونا قانونی ہے۔ زیادہ ہاتھ: ہر کھلاڑی کے دو سے زیادہ ہاتھ ہوتے ہیں۔ یہ عام طور پر متعدد لوگوں کی ٹیموں میں کھیلا جاتا ہے، کیونکہ لوگوں کے صرف دو ہاتھ ہوتے ہیں۔ فی کھلاڑی زیادہ ہاتھوں کے ساتھ، مختلف منتقلی، تقسیم، تبادلہ، اور خودکشی کے قوانین ممکن ہیں، اور ان میں شامل ہیں لیکن ان تک محدود نہیں ہیں: سنگل ٹرانسفر: ہر کھلاڑی صرف دو ہاتھوں کے درمیان انگلیاں منتقل کر سکتا ہے۔ ایک سے زیادہ منتقلی: ہر کھلاڑی انگلیوں کو دو سے زیادہ ہاتھوں کے درمیان منتقل کر سکتا ہے، جب تک کہ نتیجے کی حالت اصل حالتوں سے مختلف ہو۔ سنگل ڈویژن: کھلاڑی انگلیوں کو صرف ایک ہاتھ سے صرف ایک مردہ ہاتھ میں منتقل کر سکتا ہے۔ تقسیم: کھلاڑی انگلیوں کو صرف ایک ہاتھ سے متعدد مردہ ہاتھوں میں منتقل کر سکتا ہے۔ منتقلی اور تقسیم: کھلاڑی مردہ ہاتھوں کو زندہ کرنے کے لیے متعدد ہاتھوں سے انگلیاں منتقل کر سکتا ہے۔ مختلف نمبر: ایک ہاتھ اس وقت مر جاتا ہے جب وہ مثبت نمبر تک پہنچ جاتا ہے۔ یہ معیاری چاپسٹک ورژن ہے۔ 5 سے زیادہ نمبروں کے لیے ہاتھ کی گنتی کے مختلف نظام استعمال کیے جا سکتے ہیں جیسے چینی ہاتھ کے اعداد، سینری فنگر گنتی، اور فنگر بائنری۔ اس تغیر میں اکثر رول اوور شامل ہوتے ہیں۔ سورج: دونوں کھلاڑی اپنے ہر ہاتھ میں 4 سے شروع کرتے ہیں ([4444])۔ یہ ایک ایسی پوزیشن ہے جو عام گیم پلے میں ناقابل رسائی ہے (یعنی۔ افتتاحی پوزیشن سے [1111])۔ انٹیجرز: ہاتھ کے +/- نشان کو تبدیل کرتے ہوئے اسے پلٹ کر اپنے ہاتھوں میں سے کسی ایک کو تبدیل کرنے کی اجازت ہے۔ یہ منفی اور صفر قدر والے ہاتھوں کی اجازت دیتا ہے، حالانکہ ایک ہاتھ پھر بھی 5 یا-5 پر مر جاتا ہے۔ رول اوور کے ساتھ، یہ عمل ہاتھ کی قیمت کو 5 مائنس قیمت سے تبدیل کرنے کے مترادف ہو جاتا ہے۔ نام ظاہر نہ کرنا: اپنے ہاتھوں پر حملہ کرنے کی اجازت ہے، جس میں دو اضافی حرکتیں (اے-بی، بی-اے) شامل ہیں۔ عام طور پر سویپ اور کٹ آف متغیرات کے ساتھ مل کر کھیلا جاتا ہے۔ چیری بم: بالکل 5 پر منتقل ہونے سے صارف کا ہاتھ [1 1] بن جائے گا اور حملہ آور کھلاڑی کا ہاتھ ختم ہو جائے گا، اور اس کھلاڑی کا دوسرا ہاتھ 1 ہو جائے گا۔ بنیادی طور پر، 1 بمقابلہ 1 کھیل میں پوزیشن [1101] بن جاتی ہے۔ 1 بمقابلہ ایک کھیل میں، یہ ایک آسان جبری جیت بن جاتی ہے، لہذا یہ 2 سے زیادہ لوگوں کے ساتھ کھیلا جاتا ہے۔ خود شامل کرنا: کھلاڑی اپنی باری میں کسی بھی زندہ ہاتھ میں 1 انگلی شامل کر سکتے ہیں اور اس عمل سے کھلاڑی کی باری ختم ہو جائے گی۔ وہ 4 انگلیاں اٹھا کر زندہ ہاتھ میں 1 جوڑ کر خود کو تباہ بھی کر سکتے ہیں۔ اور متعدد انگلیوں کو مردہ ہاتھ میں منتقل کرنے کی اجازت ہے۔ کھیل کی تبدیلی اسے پیچیدہ حکمت عملی کی اجازت دیتی ہے۔ بہترین حکمت عملی مندرجہ بالا اصولوں کا استعمال کرتے ہوئے، دو کامل کھلاڑی غیر معینہ مدت تک کھیلیں گے ؛ کھیل ایک لوپ میں جاری رہے گا۔ درحقیقت، بہت ناتجربہ کار کھلاڑی بھی صرف ایک قدم آگے دیکھ کر ہارنے سے بچ سکتے ہیں۔ کٹ آف تغیر میں، پہلا کھلاڑی جیت پر مجبور کر سکتا ہے۔ جیتنے کی ایک حکمت عملی یہ ہے کہ ہر حرکت کے بعد ہمیشہ درج ذیل ترتیبات میں سے کسی ایک تک پہنچ جائے، ترجیحی طور پر فہرست میں پہلے کا انتخاب کریں اگر ایک سے زیادہ انتخاب ہوں۔ [1211] (یہاں سے شروع ہو رہا ہے) [اے بی 12]، جہاں اے اور بی کسی بھی تعداد میں انگلیاں ہو سکتی ہیں (اگر ممکن ہو تو فوری طور پر جیتنا) اس کے برعکس، ڈویژن اور خودکشی کے صرف تغیر میں، پھر دوسرے کھلاڑی کی جیت کی حکمت عملی ہوتی ہے۔ عامیاں چپسٹک کو (پی، آر) قسم کے کھیل میں عام کیا جا سکتا ہے، جہاں پی کھلاڑیوں کی تعداد ہے اور آر رول اوور کی رقم ہے۔ دو سے کم کھلاڑی ایک کھلاڑی کے ساتھ ایک کھیل معمولی طور پر کھیل میں آخری کھلاڑی ہونے کی وجہ سے کھیل جیت جاتا ہے۔ صفر کھلاڑیوں والا کھیل بھی اسی طرح معمولی ہے کیونکہ اس کھیل میں کوئی کھلاڑی نہیں ہوتا ہے اور اس طرح کوئی فاتح نہیں ہوتا ہے۔ دو کھلاڑیوں کو رول اوور دیا گیا ہے، بے کاریوں سمیت پوزیشنیں ہیں۔ عملی طور پر الگ الگ پوزیشنیں ہیں۔ کیونکہ، قابل رسائی پوزیشنیں ہیں۔ چونکہ رول اوور کی رقم ہے، اس لیے چاپ اسٹک ایک بیس گیم ہے۔ ہر پوزیشن کے ہندسے لمبے ہوتے ہیں۔ ہندسوں کے ساتھ تمام اعداد کو بیس میں شمار کرنے سے ہمیں پوزیشنیں ملتی ہیں۔ تاہم، ان میں سے زیادہ تر پوزیشنیں غلط اشارے ہیں (جیسے۔ 1002، 0120، اور 1020)۔ وہ مختلف نظر آتے ہیں لیکن گیم پلے میں عملی طور پر ایک جیسے ہوتے ہیں۔ فنکشنل طور پر مختلف پوزیشنوں کی تعداد تلاش کرنے کے لیے، ہم فنکشنل طور پر مختلف جوڑوں کی تعداد کو مربع کرتے ہیں۔ کے رول اوور کے لیے، الگ الگ جوڑے ہوتے ہیں، جہاں-th مثلث نمبر ہوتا ہے۔ چونکہ کسی بھی کھلاڑی کے پاس ان میں سے کوئی بھی جوڑا ہو سکتا ہے، اس لیے ہم صرف نتیجے کی قیمت کو مربع کرتے ہیں، جو ہمیں فعال طور پر الگ پوزیشن دیتا ہے۔ کے لیے ناقابل رسائی پوزیشنیں ہیں۔ ان میں سے صرف ایک کھلاڑی ہے جس میں ہر ایک کے الگ الگ جوڑے ہوتے ہیں، اور دوسرا کھلاڑی مردہ ہوتا ہے۔ مسئلہ یہ ہے کہ مردہ کھلاڑی وہ کھلاڑی ہے جس نے ابھی اپنی باری لی ہے۔ چونکہ کھلاڑی اپنی باری پر ہار نہیں سکتا، اس لیے یہ پوزیشنیں واضح طور پر ناقابل رسائی ہیں۔ ان پوزیشنوں میں سے وہ ہوتے ہیں جب کھلاڑی، جس کی باری ہے، کے دو ہاتھ قابل قدر ہوتے ہیں اور دوسرے کھلاڑی کے پاس صرف ایک زندہ ہاتھ قابل قدر ہوتا ہے۔ یہ پوزیشنیں ناقابل رسائی ہیں کیونکہ جس کھلاڑی کا صرف ایک زندہ ہاتھ قابل قدر ہے وہ تقسیم نہیں ہو سکے گا، لہذا اس کھلاڑی نے اپنے واحد زندہ سر کا استعمال کرتے ہوئے حملہ کیا ہوگا۔ لیکن دشمن پر حملہ کرنے کے لیے اس کے واحد زندہ ہاتھ کو استعمال کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے تاکہ ان کے دو ہاتھ قیمتی ہوں، کیونکہ اس کے لیے مردہ ہاتھ پر حملہ کرنے کی ضرورت ہوگی، جو کہ غیر قانونی ہے۔ وہ پوزیشن جب دونوں کھلاڑیوں کے دو ہاتھ قابل قدر ہوں۔ یہ پوزیشن ناقابل رسائی ہیں کیونکہ کوئی بھی کھلاڑی جس کے پاس صرف قابل قدر ہاتھ ہوں گے وہ تقسیم نہیں ہو سکے گا، لہذا اس کھلاڑی نے اپنے قابل قدر ہاتھوں میں سے کسی ایک کا استعمال کرتے ہوئے حملہ کیا ہوگا۔ لیکن قابل قدر ہاتھ استعمال کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے تاکہ ان کے ہاتھ قابل قدر ہوں، کیونکہ اس کے لیے مردہ ہاتھ پر حملہ کرنے کی ضرورت ہوگی، جو کہ غیر قانونی ہے۔ پوزیشن جب کھلاڑی جس کی باری ہے اس کا ایک ہاتھ قابل قدر اور ایک ہاتھ قابل قدر ہوتا ہے، اور دوسرے کھلاڑی کے دو ہاتھ قابل قدر ہوتے ہیں۔ یہ پوزیشن صرف پچھلی پوزیشن سے قابل رسائی ہے، لیکن پچھلی پوزیشن ابتدائی پوزیشن سے قابل رسائی نہیں ہے، اس لیے یہ پوزیشن بھی نہیں ہے۔ دو سے زیادہ کھلاڑیوں کو 5 کا رول اوور دیا جاتا ہے۔ 2 کھلاڑیوں کے ساتھ 204 پوزیشنیں ہیں۔ 3 کھلاڑیوں کے ساتھ، 3,337 پوزیشنیں ہیں۔ 4 کھلاڑیوں کے ساتھ، 25,000 سے زیادہ پوزیشنیں ہیں۔ 1 کی رول اوور رقم والا کھیل معمولی کھیل ہے، کیونکہ شروع میں تمام ہاتھ ختم ہو جاتے ہیں کیونکہ ایک کی اقدار صفر کی اقدار بن جاتی ہیں۔ 2 کی رول اوور رقم والا کھیل انحطاط پذیر ہوتا ہے، کیونکہ تقسیم کرنا ناممکن ہے اور رول اوور اور کٹ آف کے تغیرات کا نتیجہ ایک ہی کھیل میں نکلتا ہے۔ ہاتھ یا تو 'زندہ' اور 'مردہ' ہوتے ہیں، اور ہاتھ پر حملہ کرنے سے ہاتھ ختم ہو جاتا ہے۔ درحقیقت، کوئی بھی کھلاڑی کے ہاتھوں کی تعداد (انگلیوں یا گنتی کے کسی دوسرے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے) کو آسانی سے شمار کر سکتا ہے، اور جب کوئی کھلاڑی مخالف پر حملہ کرتا ہے، تو مخالف کے ہاتھوں کی تعداد ایک سے کم ہو جاتی ہے۔ کھیل میں کل قابل رسائی پوزیشنیں ہیں، اور کھیل کی لمبائی. دو کھلاڑیوں کے کھیل کو پہلے شخص کی جیت کے طور پر مضبوطی سے حل کیا جاتا ہے۔ جب دو کھلاڑیوں کا صرف ایک ہاتھ ہوتا ہے، تو کھیل خراب ہو جاتا ہے، کیونکہ تقسیم نہیں ہو سکتا اور ہر کھلاڑی کے پاس صرف ایک حرکت ہوتی ہے۔ کھیل میں چالوں کے بعد ہر پوزیشن کا رول اوور دیا گیا ہے جس کی نمائندگی ٹپل کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جہاں-th فبونیکی نمبر اور کے ساتھ ہے۔ پوزیشنوں کی تعداد کم از کم مثبت نمبر سے دی جاتی ہے جو تقسیم ہوتی ہے۔ اس متغیر کو فبونیکی نمبروں کی تقسیم کی خصوصیات کے لحاظ سے دونوں فریقوں کے لیے جیت کے طور پر مضبوطی سے حل کیا جاتا ہے۔ کھیل کی لمبائی ہے۔ موررا (گیم) بھی دیکھیں-ایک مختلف ہینڈ گیم، جو منطق کے بجائے موقع پر مبنی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط ناقابل شکست چوپسٹکس اے آئی بوٹ۔ یہ بوٹ رول اوور اور ٹرانسفر کے ساتھ کھیل کھیلتا ہے۔ بچوں کے کھیل ہاتھ کے کھیل تجریدی حکمت عملی کے کھیل حل شدہ کھیل مشترکہ گیم تھیوری