MUSCL scheme
جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں، ایم یو ایس سی ایل اسکیم ایک محدود حجم کا طریقہ ہے جو کسی دیئے گئے نظام کے لیے انتہائی درست عددی حل فراہم کر سکتا ہے، یہاں تک کہ ان صورتوں میں بھی جہاں حل جھٹکے، تعطل، یا بڑے میلان کی نمائش کرتے ہیں۔ ایم یو ایس سی ایل کا مطلب ہے مونوٹونک اپ اسٹریم سینٹرڈ اسکیم برائے تحفظ کے قوانین (وین لیئر، 1979)، اور یہ اصطلاح برام وین لیئر (وین لیئر، 1979) کے ذریعہ ایک بنیادی مقالے میں متعارف کرائی گئی تھی۔ اس مقالے میں انہوں نے پہلی ہائی آرڈر، کل تغیر کم کرنے والی (ٹی وی ڈی) اسکیم بنائی جہاں انہوں نے سیکنڈ آرڈر کی مقامی درستگی حاصل کی۔ خیال یہ ہے کہ گوڈونوف کی اسکیم کے ٹکڑے ٹکڑے مستقل تخمینے کو دوبارہ تعمیر شدہ حالتوں سے تبدیل کیا جائے، جو پچھلے وقت کے مرحلے سے حاصل کردہ سیل اوسط حالتوں سے اخذ کی گئی ہیں۔ ہر خلیے کے لیے، ڈھلوان محدود، دوبارہ تعمیر شدہ بائیں اور دائیں ریاستیں حاصل کی جاتی ہیں اور خلیے کی حدود (کناروں) پر بہاؤ کا حساب لگانے کے لیے استعمال کی جاتی ہیں۔ ان بہاؤوں کو، بدلے میں، ریمن سالور کے لیے ان پٹ کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے، جس کے بعد حلوں کو اوسط کیا جاتا ہے اور وقت پر حل کو آگے بڑھانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، بہاؤ کو ریمن-سالور سے پاک اسکیموں میں استعمال کیا جا سکتا ہے، جو بنیادی طور پر روسانوف جیسی اسکیمیں ہیں۔ لکیری تعمیر نو ہم مندرجہ ذیل سادہ فرسٹ آرڈر، اسکیلر، 1 ڈی سسٹم پر غور کرکے ایم یو ایس سی ایل اسکیم کے بنیادی اصولوں پر غور کریں گے، جس کے بارے میں فرض کیا جاتا ہے کہ اس میں مثبت سمت میں لہر پھیل رہی ہے، جہاں ایک ریاستی متغیر کی نمائندگی کرتا ہے اور ایک بہاؤ متغیر کی نمائندگی کرتا ہے۔ گوڈونوف کی بنیادی اسکیم ہر خلیے کے لیے ٹکڑے ٹکڑے مستقل تخمینوں کا استعمال کرتی ہے، اور اس کے نتیجے میں خلیے کے مراکز کے ساتھ مندرجہ بالا مسئلے کی پہلی ترتیب میں اپ ونڈ ڈسکریٹائزیشن ہوتی ہے۔ ایک نیم مجرد اسکیم کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، یہ بنیادی اسکیم جھٹکوں یا تیز تعطل کو سنبھالنے کے قابل نہیں ہے کیونکہ وہ داغدار ہو جاتے ہیں۔ اس اثر کی ایک مثال مخالف خاکہ میں دکھائی گئی ہے، جو دائیں طرف پھیلی ہوئی قدم لہر کے ساتھ 1 ڈی ایڈویکٹو مساوات کی وضاحت کرتی ہے۔ یہ تخروپن 200 خلیوں کے جال کے ساتھ کیا گیا تھا اور اس میں چوتھے درجے کے رانج-کٹہ ٹائم انٹیگریٹر (آر کے 4) کا استعمال کیا گیا تھا۔ منقطعیوں کی اعلی ریزولوشن فراہم کرنے کے لیے، گوڈونوف کی اسکیم کو ہر خلیے کے ٹکڑے ٹکڑے لکیری تخمینوں کو استعمال کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک مرکزی فرق اسکیم پیدا ہوتی ہے جو خلا میں دوسرے درجے کی درست ہوتی ہے۔ اس طرح، خلیے کے کناروں پر بہاؤ کا اندازہ کرتے ہوئے ہمیں درج ذیل نیم مجرد اسکیم ملتی ہے جہاں سیل ایج متغیرات کی ٹکڑے ٹکڑے تخمینہ اقدار ہیں، یعنی اگرچہ مذکورہ بالا سیکنڈ آرڈر اسکیم ہموار حل کے لیے زیادہ درستگی فراہم کرتی ہے، یہ کل تغیر کم کرنے والی (ٹی وی ڈی) اسکیم نہیں ہے اور حل میں جعلی ارتعاش متعارف کراتی ہے جہاں تعطل یا جھٹکے موجود ہوتے ہیں۔ اس اثر کی ایک مثال مخالف خاکہ میں دکھائی گئی ہے، جو 1 ڈی ایڈویکٹو مساوات کی وضاحت کرتی ہے، جس میں ایک قدم کی لہر دائیں طرف پھیلتی ہے۔ درستگی کا یہ نقصان گوڈونوف کے نظریہ کی وجہ سے متوقع ہے۔ تخروپن 200 خلیوں کے جال کے ساتھ کیا گیا تھا اور وقت کے انضمام کے لیے آر کے 4 کا استعمال کیا گیا تھا۔ ایم یو ایس سی ایل پر مبنی عددی اسکیمیں ڈھلوان محدود بائیں اور دائیں اخراج شدہ حالتوں کا استعمال کرتے ہوئے ہر خلیے کے لیے لکیری ٹکڑے ٹکڑے کا تخمینہ استعمال کرنے کے خیال کو بڑھاتی ہیں۔ اس کے نتیجے میں مندرجہ ذیل ہائی ریزولوشن، ٹی وی ڈی ڈسکریٹائزیشن اسکیم، جسے، متبادل طور پر، زیادہ مختصر شکل میں لکھا جا سکتا ہے، عددی بہاؤ مسلسل بہاؤ فنکشن کے پہلے اور دوسرے درجے کے تخمینوں کے غیر لکیری امتزاج سے مطابقت رکھتے ہیں۔ علامات اور نمائندگی اسکیم پر منحصر افعال (محدود ایکسٹراپولیٹڈ سیل ایج متغیرات کی)، یعنی، جہاں، ڈاون ونڈ سلوپس کا استعمال کرتے ہوئے: اور فنکشن ایک محدود فنکشن ہے جو حل ٹی وی ڈی کو یقینی بنانے کے لیے ٹکڑے ٹکڑے کے تخمینوں کی ڈھلوان کو محدود کرتا ہے، اس طرح جعلی ارتعاش سے بچتا ہے جو بصورت دیگر تعطل یا جھٹکوں کے آس پاس ہوتا ہے-فلکس لمیٹر سیکشن دیکھیں۔ لیمٹر صفر کے برابر ہے جب اور اتحاد کے برابر ہے جب۔ اس طرح، ٹی وی ڈی ڈسکریٹائزیشن کی درستگی مقامی انتہا پر پہلے آرڈر میں گھٹ جاتی ہے، لیکن ڈومین کے ہموار حصوں پر دوسرے آرڈر کی طرف مائل ہوتی ہے۔ الگورتھم کو لاگو کرنے کے لیے سیدھا آگے ہے۔ ایک بار جب کسی مناسب اسکیم کا انتخاب کیا جاتا ہے، جیسے کرگانوف اور ٹیڈمور اسکیم (نیچے دیکھیں)، تو حل معیاری عددی انضمام کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے آگے بڑھ سکتا ہے۔ کرگانوف اور تدمور مرکزی اسکیم کرگانوف اور تدمور (کے ٹی) مرکزی اسکیم کا پیش خیمہ، (کرگانوف اور تدمور، 2000)، نیسیاہو اور تدمور (این ٹی) ایک حیران کن مرکزی اسکیم ہے، (نیسیاہو اور تدمور، 1990)۔ یہ ایک ریمن-سولور فری، سیکنڈ آرڈر، ہائی ریزولوشن اسکیم ہے جو ایم یو ایس سی ایل کی تعمیر نو کا استعمال کرتی ہے۔ یہ ایک مکمل طور پر مجرد طریقہ ہے جسے لاگو کرنے کے لیے سیدھا آگے ہے اور اسکیلر اور ویکٹر کے مسائل پر استعمال کیا جا سکتا ہے، اور اسے اعلی ترتیب کی تعمیر نو کے ساتھ رسانوف فلکس (جسے مقامی لکس-فریڈرکس فلکس بھی کہا جاتا ہے) کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ الگورتھم ریمن قسم کے حل کنندگان کے مقابلے میں کارکردگی کے ساتھ مرکزی اختلافات پر مبنی ہوتا ہے جب پی ڈی ای کے بیان کردہ نظاموں کے حل حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے جو اعلی میلان کے مظاہر کو ظاہر کرتے ہیں۔ کے ٹی اسکیم این ٹی اسکیم کو بڑھاتی ہے اور اس میں اصل این ٹی اسکیم کے مقابلے میں عددی چپچپا کی مقدار کم ہوتی ہے۔ اس کا اضافی فائدہ یہ بھی ہے کہ اسے مکمل طور پر مجرد یا نیم مجرد اسکیم کے طور پر نافذ کیا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم نیم مجرد اسکیم پر غور کرتے ہیں۔ حساب ذیل میں دکھایا گیا ہے: جہاں مقامی پھیلاؤ کی رفتار،، زیادہ خلیوں کے جیکوبین کی آئجین ویلیو کی زیادہ سے زیادہ مطلق قدر ہے اور ان سی ایف ایل سے متعلق رفتاروں سے آگے کے سپیکٹرم رداس کی نمائندگی کرتی ہے، وہاں کسی خاص معلومات کی ضرورت نہیں ہے۔ مندرجہ بالا بہاؤ کے حساب کو اکثر لکس-فریڈرکس بہاؤ کہا جاتا ہے (حالانکہ یہ بات قابل ذکر ہے کہ اس طرح کے بہاؤ کا اظہار لکس، 1954 میں نہیں بلکہ روسانوف، 1961 میں ظاہر ہوتا ہے)۔ ہائی ریزولوشن اسکیم کو استعمال کرنے کی تاثیر کی ایک مثال مخالف خاکہ میں دکھائی گئی ہے، جو 1 ڈی ایڈویکٹو مساوات کی وضاحت کرتی ہے، جس میں دائیں طرف ایک قدم لہر پھیلتی ہے۔ سپربی لمیٹر کے ساتھ کرگانوف اور ٹیڈمور سنٹرل اسکیم کا استعمال کرتے ہوئے 200 خلیوں کے جال پر تخروپن کیا گیا اور وقت کے انضمام کے لیے آر کے-4 کا استعمال کیا گیا۔ یہ تخروپن نتیجہ اوپر دکھائے گئے پہلے درجے کے اوپر کی ہوا اور دوسرے درجے کے مرکزی فرق کے نتائج کے مقابلے میں بہت اچھی طرح سے متصادم ہے۔ یہ اسکیم مساوات کے سیٹوں پر لاگو ہونے پر بھی اچھے نتائج فراہم کرتی ہے-اویلر مساوات پر لاگو ہونے والی اس اسکیم کے لیے نیچے دیے گئے نتائج دیکھیں۔ تاہم، ایک مناسب لمٹر کے انتخاب میں احتیاط برتی جانی چاہیے کیونکہ، مثال کے طور پر، سپربی لمٹر کچھ ہموار لہروں کے لیے غیر حقیقی تیز ہونے کا سبب بن سکتا ہے۔ اسکیم میں پھیلاؤ کی شرائط آسانی سے شامل ہو سکتی ہیں، اگر وہ موجود ہوں۔ مثال کے طور پر، اگر مذکورہ بالا 1 ڈی اسکیلر کے مسئلے کو پھیلاؤ کی اصطلاح کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا جاتا ہے، تو ہمیں ملتا ہے کہ جس کے لیے کرگانوف اور ٹیڈمور مندرجہ ذیل مرکزی فرق کا تخمینہ پیش کرتے ہیں، جہاں، الگورتھم (مکمل اور نیم مجرد ورژن) اور اس کی مشتق کی مکمل تفصیلات اصل کاغذ (کرگانوف اور ٹیڈمور، 2000) میں مل سکتی ہیں، ساتھ ہی ساتھ متعدد 1 ڈی اور 2 ڈی مثالیں۔ اضافی معلومات نیسیاہو اور تدمور (1990) کے پہلے متعلقہ مقالے میں بھی دستیاب ہیں۔ نوٹ: یہ اسکیم اصل میں کرگانوف اور تدمور نے لکیری ایکسٹراپولیشن پر مبنی سیکنڈ آرڈر اسکیم کے طور پر پیش کی تھی۔ بعد کے ایک مقالے (کرگانوف اور لیوی، 2000) سے پتہ چلتا ہے کہ یہ تھرڈ آرڈر اسکیم کی بنیاد بھی بن سکتا ہے۔ پیرابولک تعمیر نو (تیسرا آرڈر) کا استعمال کرتے ہوئے ان کی اسکیم کی ایک 1 ڈی ایڈویکٹو مثال اور یولر مساوات کی مثال، ذیل میں پیرابولک تعمیر نو اور یولر مساوات کے حصوں میں دکھائی گئی ہے۔ پیس وائز پیرابولک تعمیر نو لکیری-ایکسٹراپولیشن کے خیال کو اعلی ترتیب کی تعمیر نو تک بڑھانا ممکن ہے، اور ایک مثال مخالف خاکہ میں دکھائی گئی ہے۔ تاہم، اس معاملے کے لیے بائیں اور دائیں حالتوں کا تخمینہ سیکنڈ آرڈر، اپ ونڈ بائیسڈ، فرق مساوات کے انٹرپولیشن کے ذریعے لگایا جاتا ہے۔ اس کے نتیجے میں ایک پیرابولک تعمیر نو اسکیم ہوتی ہے جو خلا میں تیسرے درجے کی درست ہوتی ہے۔ ہم کرمانی (کرمانی، اور دیگر، 2003) کے نقطہ نظر کی پیروی کرتے ہیں، اور ایک تھرڈ آرڈر اپ ونڈ بائیسڈ اسکیم پیش کرتے ہیں، جہاں علامتیں اور دوبارہ اسکیم پر منحصر افعال کی نمائندگی کرتی ہیں (محدود تعمیر شدہ سیل ایج متغیرات کی)۔ لیکن اس معاملے کے لیے وہ پیرابولک طور پر دوبارہ تعمیر شدہ حالتوں پر مبنی ہیں، یعنی، اور جہاں = 1/3 اور، اور لیمٹر فنکشن، اوپر کی طرح ہی ہے۔ پیرابولک تعمیر نو کو نافذ کرنے کے لیے سیدھا آگے ہے اور اسے اوپر دکھائے گئے لکیری ایکسٹراپولیشن کے بدلے کرگانوف اور ٹیڈمور اسکیم کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس سے کے ٹی اسکیم کے مقامی حل کو تیسرے درجے تک بڑھانے کا اثر پڑتا ہے۔ اویلر مساوات کو حل کرتے وقت یہ اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے، ذیل میں دیکھیں۔ مقامی ترتیب میں اس اضافے کے ہموار حل کے لیے دوسرے آرڈر کی اسکیموں کے مقابلے میں کچھ فوائد ہیں، تاہم، جھٹکوں کے لیے یہ زیادہ تخفیف پذیر ہے-لکیری ایکسٹراپولیشن اور سپربی لمیٹر کے ساتھ کے ٹی الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کردہ اوپر کے حل کے ساتھ مخالف خاکہ کا موازنہ کریں۔ یہ تخروپن 200 خلیوں کے جال پر اسی کے ٹی الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے لیکن پیرابولک تعمیر نو کے ساتھ کیا گیا تھا۔ وقت کا انضمام آر کے-4 کے ذریعہ کیا گیا تھا، اور وین الباڈا لمیٹر کی متبادل شکل، جعلی ارتعاش سے بچنے کے لیے استعمال کی گئی تھی۔ مثال: 1 ڈی اویلر مساوات سادگی کے لیے ہم حرارت کی منتقلی کے بغیر اور جسمانی قوت کے بغیر 1 ڈی کیس پر غور کرتے ہیں۔ لہذا، کنزرویشن ویکٹر کی شکل میں، عام یولر مساوات اس حد تک کم ہو جاتی ہیں کہ کہاں اور کہاں حالتوں کا ویکٹر ہے اور بہاؤ کا ویکٹر ہے۔ مندرجہ بالا مساوات کمیت، رفتار اور توانائی کے تحفظ کی نمائندگی کرتی ہیں۔ اس طرح تین مساوات اور چار نامعلوم، (کثافت) (سیال کی رفتار)، (دباؤ) اور (کل توانائی) ہیں۔ کل توانایٔی کی طرف سے دی جاتی ہے، جہاں مخصوص اندرونی توانایٔی کی نمائندگی ہوتی ہے۔ نظام کو بند کرنے کے لیے حالت کی مساوات درکار ہوتی ہے۔ جو ہمارے مقصد کے مطابق ہے وہ ہے جہاں سیال کے لیے مخصوص حرارت کے تناسب کے برابر ہے۔ اب ہم آگے بڑھ سکتے ہیں، جیسا کہ سادہ 1D مثال میں اوپر دکھایا گیا ہے، ہر اسٹیٹ متغیر کے لیے بائیں اور دائیں ایکسٹراپولیٹڈ اسٹیٹس حاصل کر کے۔ اس طرح، کثافت کے لیے ہم جہاں حاصل کرتے ہیں اسی طرح، رفتار اور کل توانائی کے لیے۔ رفتار کا حساب رفتار سے لگایا جاتا ہے، اور دباؤ کا حساب حالت کی مساوات سے لگایا جاتا ہے۔ محدود اخراج شدہ حالتوں کو حاصل کرنے کے بعد، ہم ان اقدار کا استعمال کرتے ہوئے کنارے کے بہاؤ کی تعمیر کے لیے آگے بڑھتے ہیں۔ معلوم کنارے کے بہاؤ کے ساتھ، اب ہم نیم مجرد اسکیم کی تعمیر کر سکتے ہیں، یعنی حل اب معیاری عددی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے انضمام کے ذریعے آگے بڑھ سکتا ہے۔ مذکورہ بالا ایم یو ایس سی ایل اسکیم کے بنیادی خیال کی وضاحت کرتا ہے۔ تاہم، اویلر مساوات کے عملی حل کے لیے، فنکشن کی وضاحت کے لیے ایک مناسب اسکیم (جیسے کہ مندرجہ بالا کے ٹی اسکیم) کا بھی انتخاب کرنا پڑتا ہے۔ الٹا خاکہ جی اے سوڈ کے شاک ٹیوب کے مسئلے (سوڈ، 1978) کا دوسرا آرڈر حل دکھاتا ہے جس میں لینیر ایکسٹریپولیشن اور آسپر لیمٹر کے ساتھ مذکورہ بالا ہائی ریزولوشن کرگانوف اور ٹیڈمور سنٹرل اسکیم (کے ٹی) کا استعمال کیا گیا ہے۔ یہ واضح طور پر اویلر مساوات کو حل کرنے کے لیے ایم یو ایس سی ایل کے نقطہ نظر کی تاثیر کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ تخروپن میٹ لیب کوڈ (ویسلنگ، 2001) کا استعمال کرتے ہوئے 200 خلیوں کے جال پر کیا گیا تھا، جسے کے ٹی الگورتھم اور آسپر لیمٹر استعمال کرنے کے لیے ڈھال لیا گیا تھا۔ وقت کا انضمام چوتھے آرڈر ایس ایچ کے (آر کے-4 کے مساوی کارکردگی) انٹیگریٹر کے ذریعے انجام دیا گیا۔ مندرجہ ذیل ابتدائی شرائط (ایس آئی اکائیاں) استعمال کی گئیں: دباؤ بائیں = 100000 [پی اے] ؛ دباؤ دائیں = 10000 [پی اے] ؛ کثافت بائیں = 1.0 [کلوگرام/ایم 3] ؛ کثافت دائیں = 0.125 [کلوگرام/ایم 3] ؛ لمبائی = 20 [ایم] ؛ رفتار بائیں = 0 [ایم/ایس] ؛ رفتار دائیں = 0 [ایم/ایس] ؛ مدت = 0.1 [ایس] ؛ لامبڈا = 0.001069 (αt/αx)۔ اس کے برعکس خاکہ اوپر کے ہائی ریزولوشن کرگانوف اور ٹیڈمور سنٹرل اسکیم (کے ٹی) کا استعمال کرتے ہوئے جی اے سوڈ کے شاک ٹیوب کے مسئلے (سوڈ، 1978) کا تھرڈ آرڈر حل دکھاتا ہے لیکن پیرابولک تعمیر نو اور وین الباڈا لمیٹر کے ساتھ۔ یہ ایک بار پھر اویلر مساوات کو حل کرنے کے لیے ایم یو ایس سی ایل کے نقطہ نظر کی تاثیر کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ تخروپن میٹ لیب کوڈ (ویسلنگ، 2001) کا استعمال کرتے ہوئے 200 خلیوں کے جال پر کیا گیا تھا، جسے پیرابولک ایکسٹریپولیشن اور وین الباڈا لمیٹر کے ساتھ کے ٹی الگورتھم استعمال کرنے کے لیے ڈھال لیا گیا تھا۔ وین الباڈا لمیٹر کی متبادل شکل،، جعلی ارتعاش سے بچنے کے لیے استعمال کی گئی تھی۔ وقت کا انضمام چوتھے آرڈر کے ایس ایچ کے انٹیگریٹر کے ذریعے انجام دیا گیا تھا۔ وہی ابتدائی شرائط استعمال کی گئیں۔ مختلف دیگر ہائی ریزولوشن اسکیمیں تیار کی گئی ہیں جو یولر مساوات کو اچھی درستگی کے ساتھ حل کرتی ہیں۔ اس طرح کی اسکیموں کی مثالیں ہیں، اوشر اسکیم، اور لیو-سٹیفن اے یو ایس ایم (ایڈویکشن اپ اسٹریم سپلیٹنگ میتھڈ) اسکیم۔ ان اور دیگر طریقوں کے بارے میں مزید معلومات نیچے دیے گئے حوالوں میں مل سکتی ہیں۔ کرگانوف اور تدمور سنٹرل اسکیم کا اوپن سورس نفاذ نیچے دیے گئے بیرونی لنکس میں پایا جا سکتا ہے۔ فائنائٹ والیوم میتھڈ فلکس لمیٹر گوڈونوف تھیوریم ہائی ریزولوشن اسکیم میتھڈ آف لائنز سرگئی کے گوڈونوف کل تغیر کو کم کرنے والا سوڈ شاک ٹیوب حوالہ جات کرمانی، ایم جے، گیربر، اے جی، اور اسٹاکی، جے ایم (2003)، تھرموڈینامک طور پر مبنی نمی کی پیش گوئی کا استعمال کرتے ہوئے روئ کی اسکیم، ایرانی ایرو اسپیس سوسائٹی کی چوتھی کانفرنس، امیر کبیر یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی، تہران، ایران، جنوری 27-29 دیکھیں۔ کرگانوف، الیگزینڈر اور ایتن ٹیڈمور (2000)، نیو ہائی ریزولوشن سنٹرل اسکیمز فار نان لائنر کنزرویشن لاز اینڈ کنویکشن-ڈفیوژن ایکویشنز، جے۔ کمپیوٹ۔ فز۔، 160، 241-282۔ کرگانوف، الیگزینڈر اور ڈورون لیوی (2000)، تحفظ کے قوانین اور کنویکشن-ڈفیوژن مساوات کے لیے ایک تیسرا آرڈر سیمی ڈسکریٹ سنٹرل اسکیم، ایس آئی اے ایم جے سائنس۔ کمپیوٹ۔، 22، 1461-1488۔ لکس، پی۔ ڈی۔ (1954)۔ غیر لکیری ہائپربولک مساوات اور ان کے عددی حساب کے کمزور حل۔ خالص ایپل۔ ریاضی۔، VII، پی پی 159-193۔ لیوک، آر۔ جے۔ (2002)۔ ہائپربولک مسائل کے لیے محدود حجم کے طریقے، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ وین لیئر، بی۔ (1979)، ٹوورڈز دی الٹیمیٹ کنزرویٹو ڈفریینس اسکیم، وی۔ اے سیکنڈ آرڈر سیکوئل ٹو گوڈونوفز میتھڈ، جے۔ کام۔ طبیعیات۔، 32، 101-136۔ Nessyahu، H. اور E. Tadmor (1990)، ہائپربولک کنزرویشن قوانین کے لیے نان آسکیلیٹری سنٹرل تفریق، J. کمپیوٹ۔ طبیعیات۔، 87، 408-463۔ ۔ رسانوف، وی۔ وی۔ (1961)۔ رکاوٹوں کے ساتھ غیر چپچپا شاک لہروں کے انٹرسیکشن کا حساب، جے۔ کمپیوٹ۔ ریاضی۔ فزیکل۔ یو ایس ایس آر، 1، پی پی 267-279۔ سوڈ، جی۔ اے۔ (1978)، ایک متغیر سلنڈریکل شاک کا عددی مطالعہ۔ جے فلوڈ میکینکس، 83، 785-794۔ ٹورو، ای۔ ایف۔ (1999)، ریمن سولورز اینڈ نیومریکل میتھڈز فار فلوڈ ڈائنامکس، سپرنگر-ورلاگ۔ ویسلنگ، پیٹر (2001)، پرنسپل آف کمپیوٹیشنل فلوڈ ڈائنامکس، سپرنگر-ورلاگ۔ مزید پڑھنے کے لیے ہرش، سی۔ (1990)، اندرونی اور بیرونی بہاؤ کی عددی گنتی، جلد 2، ولی۔ لینی، کلبرٹ بی۔ (1998)، کمپیوٹیشنل گیس ڈائنامکس، کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ ٹین ہیل، جان سی، اور دیگر۔ (1997)، کمپیوٹیشنل فلوڈ میکینکس اینڈ ہیٹ ٹرانسفر، 2nd Ed.، ٹیلر اینڈ فرانسس۔ بیرونی روابط جی ای ای ایس-اوپن سورس کوڈ کورگانوف اور ٹیڈمور سنٹرل اسکیم کا استعمال کرتے ہوئے اویلر مساوات کو حل کرتا ہے، جو فورٹرن میں لکھا گیا ہے (مصنف: آرنو مائرہوفر) سیال حرکیات عددی تفریق مساوات کمپیوٹیشنل سیال حرکیات