J-integral
جے-انٹیگرل کسی مواد میں تناؤ توانائی کی رہائی کی شرح، یا فی یونٹ فریکچر سطح کے رقبے پر کام (توانائی) کا حساب لگانے کے طریقے کی نمائندگی کرتا ہے۔ جے-انٹیگرل کا نظریاتی تصور 1967 میں جی پی چیرپانوف نے اور آزادانہ طور پر 1968 میں جیمز آر رائس نے تیار کیا تھا، جس نے دکھایا کہ ایک متحرک کنٹور پاتھ انٹیگرل (جسے جے کہا جاتا ہے) ایک دراڑ کے ارد گرد کے راستے سے آزاد تھا۔ تجرباتی طریقے انٹیگرل کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیے گئے تھے جس نے نمونے کے سائز میں اہم فریکچر کی خصوصیات کی پیمائش کی اجازت دی جو لکیری لچکدار فریکچر میکینکس (ایل ای ایف ایم) کے لیے درست ہونے کے لیے بہت چھوٹے ہیں۔ یہ تجربات فریکچر انرجی جے آئی سی کی اہم قدر سے فریکچر کی سختی کے تعین کی اجازت دیتے ہیں، جو اس نقطہ کی وضاحت کرتا ہے جس پر پھیلاؤ کے دوران بڑے پیمانے پر پلاسٹک کی پیداوار موڈ I لوڈنگ کے تحت ہوتی ہے۔ جے-انٹیگرل مونوٹونک لوڈنگ کے تابع جسم میں دراڑ کے لیے تناؤ توانائی کی رہائی کی شرح کے برابر ہے۔ یہ عام طور پر صرف لکیری لچکدار مواد کے لیے قواسسٹیٹک حالات میں درست ہے۔ ان مواد کے لیے جو کریک ٹپ پر چھوٹے پیمانے پر پیداوار کا تجربہ کرتے ہیں، جے کو خاص حالات میں توانائی کی رہائی کی شرح کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جیسے موڈ III (اینٹیپلین شیر) میں مونوٹونک لوڈنگ۔ سٹرین انرجی ریلیز ریٹ کا حساب جے سے خالص پاور لا سخت کرنے والے پلاسٹک کے مواد کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے جو کریک ٹپ پر چھوٹے پیمانے پر پیداوار سے گزرتے ہیں۔ J کی مقدار لچکدار پلاسٹک کے مواد کی مونوٹونک موڈ I اور موڈ II لوڈنگ کے لیے راستے سے آزاد نہیں ہے، اس لیے صرف کریک ٹپ کے بہت قریب ایک کنٹور توانائی کی رہائی کی شرح دیتا ہے۔ نیز، رائس نے دکھایا کہ جے پلاسٹک کے مواد میں راستے سے آزاد ہے جب کوئی غیر متناسب لوڈنگ نہیں ہوتی ہے۔ ان لوڈنگ اس کا ایک خاص معاملہ ہے، لیکن غیر متناسب پلاسٹک کی لوڈنگ بھی راستے کی آزادی کو کالعدم قرار دیتی ہے۔ اس طرح کی غیر متناسب لوڈنگ لچکدار پلاسٹک کے مواد پر جہاز میں لوڈنگ کے طریقوں کے لیے راستے پر انحصار کی وجہ ہے۔ دو جہتی J-انٹیگرل دو جہتی J-انٹیگرل کی اصل تعریف اس طرح کی گئی تھی (ایک مثال کے لیے شکل 1 دیکھیں) جہاں W (x1، x2) تناؤ توانائی کی کثافت ہے، x1، x2 مربوط سمت ہیں، t = [σ] n سطح کا کرشن ویکٹر ہے، n منحنی خطوط کے لیے نارمل ہے، [σ] کاچی تناؤ ٹینسر ہے، اور u نقل مکانی کا ویکٹر ہے۔ تناؤ کی توانائی کی کثافت ایک کریک ٹپ کے ارد گرد جے-انٹیگرل کے ذریعہ دی جاتی ہے جس کا اظہار اکثر زیادہ عام شکل (اور انڈیکس نوٹیشن میں) میں کیا جاتا ہے کیونکہ اس سمت میں کریک اوپننگ کے لیے جے-انٹیگرل کا جزو کہاں ہے اور یہ کریک ٹپ کے ارد گرد ایک چھوٹا سا خطہ ہے۔ گرین تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ یہ انٹیگرل صفر ہوتا ہے جب حد بند ہوتی ہے اور کسی ایسے خطے کو گھیر لیتی ہے جس میں کوئی انفرادیت نہ ہو اور صرف جڑا ہوا ہو۔ اگر دراڑ کے چہروں پر کوئی سطحی نقشہ نہیں ہے تو جے-انٹیگرل بھی راستے سے آزاد ہے۔ چاول نے یہ بھی دکھایا کہ جے-انٹیگرل کی قیمت پلانر کریک کی ترقی کے لیے توانائی کے اخراج کی شرح کی نمائندگی کرتی ہے۔ جے-انٹیگرل غیر لکیری لچکدار یا لچکدار پلاسٹک کے مواد میں دراڑ کے قریب تناؤ کی گنتی میں شامل مشکلات کی وجہ سے تیار کیا گیا تھا۔ چاول سے پتہ چلتا ہے کہ اگر مونوٹونک لوڈنگ فرض کی جائے (بغیر کسی پلاسٹک کی ان لوڈنگ کے) تو جے-انٹیگرل کا استعمال پلاسٹک کے مواد کی توانائی کی رہائی کی شرح کا حساب لگانے کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے۔ {| کلاس = "ٹوکلرز کولاپیبل کولاپیبل" چوڑائی = "80 ٪" سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: لیفٹ"! اس بات کا ثبوت کہ J-انٹیگرل ایک بند راستے پر صفر ہے۔-|To J-انٹیگرل کے راستے کی آزادی کو ظاہر کرتا ہے، ہمیں پہلے یہ دکھانا ہوگا کہ کی قدر ایک سیدھے منسلک ڈومین میں بند کنٹور پر صفر ہے۔ آئیے صرف اس اظہار پر غور کریں جس کے لیے ہے۔ ہم اسے اس طرح لکھ سکتے ہیں۔ گرین تھیوریم (یا دو جہتی انحراف تھیوریم) سے ہمارے پاس اس نتیجے کا استعمال کرتے ہوئے ہم اس بات کا اظہار کر سکتے ہیں کہ کونٹور سے منسلک رقبہ کہاں ہے۔ اب، اگر کوئی جسمانی قوتیں موجود نہیں ہیں، تو توازن (لکیری مومنٹم کا تحفظ) کی ضرورت ہوتی ہے کہ اس کے علاوہ، لہذا، کونیی مومنٹم کے توازن سے ہمارے پاس ہے۔ لہذا، جے-انٹیگرل کو پھر اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ اب، ایک لچکدار مواد کے لیے اسٹریس ذخیرہ شدہ توانائی فنکشن سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ پھر، اگر لچکدار ماڈیولس ٹینسر یکساں ہے، تو تفریق کے سلسلہ اصول کا استعمال کرتے ہوئے، لہذا، ہمارے پاس ایک بند سموچ ہے جو بغیر کسی لچکدار ہم آہنگی کے سیدھے جڑے ہوئے علاقے کو گھیرے ہوئے ہے، جیسے کہ وایڈز اور دراڑیں۔ |} {| کلاس = "ٹوکلرز کولاپس ایبل کولاپسڈ" چوڑائی = "80 ٪" سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: لیفٹ"! اس بات کا ثبوت کہ J-انٹیگرل پاتھ-انڈیپینڈنٹ ہے۔-| کنٹور پر غور کریں۔ چونکہ یہ سموچ بند ہے اور ایک سیدھے جڑے ہوئے علاقے کو گھیرے ہوئے ہے، سموچ کے ارد گرد جے انٹیگرل صفر ہے، یعنی۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ کریک ٹپ کے ارد گرد گھڑی کی مخالف سمت کے انٹیگرلز میں مثبت نشان ہوتا ہے۔ اب، چونکہ دراڑ کی سطحیں محور کے متوازی ہوتی ہیں، اس لیے ان سطحوں پر عام جزو ہوتا ہے۔ نیز، چونکہ دراڑ کی سطحیں کرشن سے پاک ہوتی ہیں۔ لہذا، اور جے-انٹیگرل راستہ آزاد ہے۔ |} جے-انٹیگرل اور فریکچر کی سختی آئسوٹروپک، بالکل ٹوٹنے والے، لکیری لچکدار مواد کے لیے، جے-انٹیگرل کا براہ راست تعلق فریکچر کی سختی سے ہو سکتا ہے اگر دراڑ اپنی اصل سمت کے حوالے سے سیدھے آگے بڑھ جائے۔ طیارہ تناؤ کے لیے، موڈ I لوڈنگ کے حالات کے تحت، یہ تعلق ہے جہاں اہم تناؤ توانائی کی رہائی کی شرح ہے، موڈ I لوڈنگ میں فریکچر کی سختی ہے، پوسن کا تناسب ہے، اور E مواد کا ینگ کا ماڈیولس ہے۔ موڈ II لوڈنگ کے لیے، جے-انٹیگرل اور موڈ II فریکچر ٹفنیس () کے درمیان تعلق موڈ III لوڈنگ کے لیے ہے، تعلق لچکدار پلاسٹک کا مواد ہے اور ایچ آر آر حل ہچنسن، رائس اور روزینگرین نے بعد میں دکھایا کہ جے غیر لکیری (پاور لا سخت) لچکدار پلاسٹک کے مواد میں دراڑ کی نوک پر واحد تناؤ اور تناؤ کے شعبوں کی خصوصیت رکھتا ہے جہاں پلاسٹک زون کا سائز دراڑ کی لمبائی کے مقابلے میں چھوٹا ہوتا ہے۔ ہچنسن نے ڈبلیو ریمبرگ اور ڈبلیو اوسگوڈ کی تجویز کردہ شکل کا ایک مادی آئینی قانون استعمال کیا: جہاں σ یک جہتی تناؤ میں تناؤ ہے، σy ایک پیداوار کا تناؤ ہے، ε تناؤ ہے، اور εy = σy/E متعلقہ پیداوار کا تناؤ ہے۔ مقدار E مواد کا لچکدار ینگ کا ماڈیولس ہے۔ ماڈل کو α کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، جو مواد کی ایک طول و عرض کے بغیر مستقل خصوصیت ہے، اور n، کام کی سختی کا گتانک ہے۔ یہ ماڈل صرف ان حالات پر لاگو ہوتا ہے جہاں تناؤ یکسوئی سے بڑھتا ہے، تناؤ کے اجزاء تقریبا اسی تناسب میں رہتے ہیں جیسے لوڈنگ میں اضافہ ہوتا ہے (متناسب لوڈنگ)، اور کوئی ان لوڈنگ نہیں ہوتی ہے۔ اگر ملحقہ شکل میں دکھائے گئے جسم پر دور میدان کے تناؤ σfar کا اطلاق کیا جاتا ہے، تو راستے کے ارد گرد J-انٹیگرل (مکمل طور پر لچکدار زون کے اندر ہونے کے لیے منتخب کیا گیا ہے) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ چونکہ دراڑ کے ارد گرد کل انٹیگرل غائب ہو جاتا ہے اور دراڑ کی سطح کے ساتھ شراکت صفر ہوتی ہے، ہمارے پاس ہے۔ اگر راستہ γ2 کا انتخاب اس طرح کیا جاتا ہے کہ یہ مکمل طور پر پلاسٹک ڈومین کے اندر ہے، تو ہچنسن نے دکھایا کہ جہاں K تناؤ کا طول و عرض ہے، (r، θ) ایک قطبی کوآرڈینیٹ نظام ہے جس کی ابتدا دراڑ کی نوک پر ہوتی ہے، s ایک مستقل ہے جس کا تعین دراڑ کے ارد گرد تناؤ کے میدان کی غیر علامتی توسیع سے ہوتا ہے، اور I ایک جہتی انٹیگرل ہے۔ J-انٹیگرلز کے درمیان تعلق جو کہ γ1 اور γ2 کے ارد گرد ہے، دور میدان کے تناؤ کے لحاظ سے K کے لیے رکاوٹ اور اظہار کی طرف لے جاتا ہے جہاں β = 1 طیارہ کے تناؤ کے لیے اور β = 1 − ν2 طیارہ کے تناؤ کے لیے (ν پوئسون کا تناسب ہے)۔ تناؤ کے میدان کی غیر علامتی توسیع اور مذکورہ خیالات کو J-انٹیگرل کے لحاظ سے تناؤ اور تناؤ کے شعبوں کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: جہاں اور بے جہتی افعال ہیں۔ یہ تاثرات اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ جے کی تشریح تناؤ کی شدت کے عنصر (کے) کے پلاسٹک اینالاگ کے طور پر کی جا سکتی ہے جو لکیری لچکدار فریکچر میکانکس میں استعمال ہوتا ہے، یعنی ہم جے> جے آئی سی جیسے معیار کو کریک گروتھ کے معیار کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں فریکچر کی سختی فریکچر میکانکس تناؤ کی شدت کا عنصر سلیپ بینڈ کی نوعیت مقامی فیلڈ حوالہ جات بیرونی روابط جے آر رائس، "ایک راستہ آزاد انٹیگرل اور نوچز اور کریکس کے ذریعہ تناؤ کے ارتکاز کا تخمینہ تجزیہ"، جرنل آف اپلائیڈ میکانکس، 35، 1968، پی پی۔ 379-386۔ وان ولیٹ، کرسٹین جے۔ (2006) ؛ "3.032 مکینیکل بیہویئر آف میٹریلز"، ایکس۔ چن (2014)، "پاتھ-انڈیپینڈنٹ انٹیگرل"، ان: انسائیکلوپیڈیا آف تھرمل اسٹریسز، ترمیم شدہ آر۔ بی۔ ہیٹنارسکی، سپرنگر،۔ پروفیسر جان ہچنسن کے غیر لکیری فریکچر میکینکس نوٹس (ہارورڈ یونیورسٹی سے) پروفیسر جان ہچنسن کے ذریعے پتلی فلموں اور کثیر تہوں کے فریکچر پر نوٹ (ہارورڈ یونیورسٹی سے) پروفیسرز کے ذریعے پرتوں والے مواد میں مخلوط موڈ کریکنگ۔ جان ہچنسن اور زیگانگ سو (ہارورڈ یونیورسٹی سے) فریکچر میکینکس بذریعہ پیٹ شریورس (ٹی یو آئنڈھوون، نیدرلینڈز سے) انٹروڈکشن ٹو فریکچر میکینکس بذریعہ ڈاکٹر سی ایچ وانگ (ڈی ایس ٹی او-آسٹریلیا) فریکچر میکینکس کورس کے نوٹ پروفیسر روئی ہوانگ (یونیورسٹی سے۔ آسٹن میں ٹیکساس کا) ایچ آر آر حل بذریعہ لوڈوویک نوئلز (یونیورسٹی آف لیج) ناکامی ٹھوس میکانکس مواد کی جانچ میکانکس فریکچر میکانکس