Tangent measure
پیمائش کے نظریہ میں، ٹینجینٹ اقدامات ریڈان اقدامات کے مقامی رویے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں، بالکل اسی طرح جیسے ٹینجینٹ خالی جگہوں کو تفریق پذیر کئی گنا کے مقامی رویے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ٹینجینٹ پیمائش (جسے ڈیوڈ پریس نے اپنے قابل اصلاح سیٹوں کے مطالعہ میں متعارف کرایا تھا) ہندسی پیمائش کے نظریہ میں ایک مفید ذریعہ ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ مارسٹرینڈ تھیوریم اور پریس تھیوریم کو ثابت کرنے میں استعمال ہوتے ہیں۔ تعریف ایک ریڈان پیمائش پر غور کریں جس کی وضاحت n جہتی یوکلڈین اسپیس Rn کے ایک کھلے ذیلی سیٹ ω پر کی گئی ہے اور a کو ω میں ایک صوابدیدی نقطہ ہونے دیں۔ ہم a، Br (a) کے ارد گرد رداس r کی ایک چھوٹی سی کھلی گیند پر "زوم ان" کر سکتے ہیں، اس تبدیلی کے ذریعے جو رداس r کی گیند کو a کے ارد گرد 0 پر مرکوز رداس 1 کی گیند تک بڑھا دیتی ہے۔ اس کے ساتھ، اب ہم زور دے سکتے ہیں کہ جہاں r چھوٹا ہوتا جاتا ہے، پیمائش پر یہ تبدیلی پھیلتی ہے اور نقطہ a کے ارد گرد سپورٹ کیے گئے μ کے حصے کو بڑھا دیتی ہے۔ ہم یہ دیکھ کر اپنی پیمائش کے بارے میں معلومات حاصل کر سکتے ہیں کہ جب r صفر کے قریب آتا ہے تو یہ اقدامات حد میں کیسے نظر آتے ہیں۔ تعریف۔ نقطہ a پر ریڈان پیمائش کی ایک ٹینجینٹ پیمائش ایک دوسری ریڈان پیمائش ν ہے جس میں مثبت اعداد ci> 0 اور گھٹتے ہوئے ریڈی ry → 0 کے سلسلے موجود ہیں تاکہ جہاں حد کمزور-≤ ٹوپولوجی میں لی جائے، یعنی، ω میں کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ کسی بھی مسلسل فنکشن φ کے لیے، ہم a پر ٹین (μ، a) پر μ کے ٹینجینٹ اقدامات کے سیٹ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ وجود کسی پیمائش کے ٹینجینٹ اقدامات کا سیٹ ٹین (μ، a) ایک نقطہ a پر μ کی حمایت میں ہلکے حالات پر خالی نہیں ہوتا ہے۔ ریڈان پیمائشوں کی کمزور کمپیکٹنس کی وجہ سے، ٹین (μ، a) خالی نہیں ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک شرط برقرار رہے: μ غیر علامتی طور پر a پر دوگنا ہوتا ہے، یعنی۔ μ میں مثبت اور محدود اوپری کثافت ہوتی ہے، یعنی۔ کچھ کے لیے۔ خصوصیات ایک نقطہ پر ٹینجینٹ اقدامات کا مجموعہ دو قسم کی اسکیلنگ کے تحت بند ہوتا ہے۔ اقدامات کے کونوں کی تعریف بھی پریس نے کی تھی۔ کسی پیمائش کے ٹینجینٹ اقدامات کا سیٹ ٹین (μ، a) ایک نقطہ a پر μ کی حمایت میں پیمائشوں کا ایک شنک ہے، یعنی۔ اگر اور پھر۔ کون ٹین (μ، a) کسی پیمائش کے ٹینجینٹ اقدامات کا ایک نقطہ a پر μ کی حمایت میں ایک ڈی-کون یا پھیلاؤ غیر متغیر ہے، یعنی۔ اگر اور پھر۔ پیمائش کی حمایت میں عام نکات پر، تانجینٹ اقدامات کے شنک کو بھی ترجمے کے تحت بند کر دیا جاتا ہے۔ تقریبا ہر ایک a پر، a کی حمایت میں، شنک ٹین (μ، a) جو کہ a پر μ کی ٹینجینٹ پیمائش کا ترجمہ غیر متغیر ہے، یعنی۔ اگر اور x ν کی حمایت میں ہے، تو۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ ہمارے پاس R2 میں ایک دائرہ ہے جس پر یکساں پیمائش ہے۔ پھر، دائرے میں کسی بھی نقطہ a کے لیے، ٹینجینٹ اقدامات کا مجموعہ صرف مثبت مستقل اوقات 1 جہتی ہاؤز ڈورف پیمائش ہوگا جو اس مقام پر دائرے میں لائن ٹینجینٹ پر معاون ہوگا۔ 1995 میں، ٹوبی او نیل نے ریڈان پیمائش کی ایک مثال Rd پر اس طرح پیش کی کہ، تقریبا ہر نقطہ a کے لیے، ٹین (μ، a) تمام غیر صفر ریڈان پیمائشوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ متعلقہ تصورات کسی پیمائش کی ٹینجینٹ اسپیس کا ایک متعلقہ تصور ہے۔ Rn کی ایک k-جہتی ذیلی جگہ P کو k-جہتی ٹینجینٹ اسپیس کہا جاتا ہے اگر-مناسب ری اسکیلنگ کے بعد-μ "ایسا لگتا ہے جیسے" k-جہتی ہاؤس ڈورف پیمائش Hk پر P۔ مزید واضح طور پر: تعریف۔ اگر ایک θ> 0 ایسی ہے کہ جہاں μa، r ترجمہ شدہ اور بازیافت شدہ پیمائش ہے تو P، a پر μ کی k-جہتی ٹینجینٹ اسپیس ہے۔ ٹینجینٹ اقدامات اور ٹینجینٹ خالی جگہوں کا مزید مطالعہ متغیر کے تصور کی طرف لے جاتا ہے۔ حوالہ جات کی پیمائش (پیمائش کا نظریہ)