Alexander's trick
الیگزینڈر کی چال، جسے الیگزینڈر کی چال بھی کہا جاتا ہے، ہندسی ٹوپولوجی کا ایک بنیادی نتیجہ ہے، جس کا نام جے ڈبلیو الیگزینڈر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ بیان این جہتی گیند کے دو ہومومورفزم جو باؤنڈری دائرے پر متفق ہیں آئسوٹوپک ہیں۔ زیادہ عام طور پر، Dn کے دو ہومومورفزم جو حد پر آاسوٹوپک ہوتے ہیں آاسوٹوپک ہوتے ہیں۔ پروف بیس کیس: ہر ہومومورفزم جو باؤنڈری طے کرتا ہے باؤنڈری سے متعلق شناخت کے لیے آئسوٹوپک ہوتا ہے۔ اگر مطمئن ہوتا ہے، تو شناخت سے f کو جوڑنے والی ایک آاسوٹوپی بصری طور پر دی جاتی ہے، ہومیومورفزم کو باؤنڈری سے 'سیدھا' کیا جاتا ہے، اور اصل تک 'نچوڑ' جاتا ہے۔ ولیم تھرسٹن اس کو "تمام پیچیدگیوں کو ایک نقطہ پر جوڑنا" کہتے ہیں۔ اصل 2 صفحات کے مقالے میں، جے ڈبلیو الیگزینڈر وضاحت کرتا ہے کہ ہر ایک کے لیے تبدیلی مختلف پیمانے پر، رداس کی ڈسک پر نقل کرتی ہے، اس طرح یہ توقع کرنا مناسب ہے کہ وہ شناخت میں ضم ہو جائے۔ باریکی یہ ہے کہ، "غائب" ہو جاتا ہے: اصل میں جراثیم شناخت کے لامحدود پھیلاؤ والے ورژن سے "چھلانگ" لگاتا ہے۔ ہوموٹوپی میں ہر قدم کو ہموار کیا جا سکتا ہے (منتقلی کو ہموار)، لیکن ہوموٹوپی (مجموعی نقشہ) میں ایک انفرادیت ہے۔ یہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ الیگزینڈر چال ایک پی ایل تعمیر ہے، لیکن ہموار نہیں ہے۔ عام صورت: حد پر آاسوٹوپک کا مطلب آاسوٹوپک ہے۔ اگر دو ہومومورفزم ہیں جو متفق ہیں، تو شناخت آن ہے، لہذا ہمارے پاس شناخت سے آاسوٹوپی ہے۔ نقشہ پھر سے ایک آئسوٹوپی ہے۔ ریڈیل ایکسٹینشن کچھ مصنفین الیگزینڈر ٹرک کی اصطلاح اس بیان کے لیے استعمال کرتے ہیں کہ ہر ہومومورفزم کو پوری گیند کے ہومومورفزم تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ تاہم، یہ اوپر بیان کردہ نتیجہ کے مقابلے میں ثابت کرنا بہت آسان ہے: اسے ریڈیل ایکسٹینشن (یا کوننگ) کہا جاتا ہے اور یہ ٹکڑے ٹکڑے سے لکیری بھی ہے، لیکن آسانی سے نہیں۔ خاص طور پر، ایک ہومیومورفزم ہونے دیں، پھر گیند کے ہومیومورفزم کی وضاحت کریں۔ غیر ملکی دائرے ہموار شعاعی توسیع کی ناکامی اور پی ایل شعاعی توسیع کی کامیابی مڑے ہوئے شعبوں کے ذریعے غیر ملکی دائرے پیدا کرتی ہے۔ کلاچنگ کنسٹرکشن حوالہ جات جیومیٹرک ٹوپولوجی ہومومورفزم بھی دیکھیں۔