Van Hiele model
ریاضی کی تعلیم میں، وان ہیل ماڈل ایک نظریہ ہے جو بیان کرتا ہے کہ طلباء جیومیٹری کیسے سیکھتے ہیں۔ یہ نظریہ 1957 میں نیدرلینڈز کی اتریچٹ یونیورسٹی میں ڈینا وین ہیل گیلڈوف اور پیئر وین ہیل (بیوی اور شوہر) کے ڈاکٹریٹ کے مقالے میں شروع ہوا۔ سوویتوں نے 1960 کی دہائی میں اس نظریہ پر تحقیق کی اور اپنے نتائج کو اپنے نصاب میں شامل کیا۔ امریکی محققین نے 1970 کی دہائی کے آخر اور 1980 کی دہائی کے اوائل میں وین ہیل تھیوری پر کئی بڑے مطالعات کیے، یہ نتیجہ اخذ کیا کہ طلباء کی کم وین ہیل کی سطح نے ثبوت پر مبنی جیومیٹری کورسز میں کامیاب ہونا اور ابتدائی گریڈ کی سطحوں پر بہتر تیاری کا مشورہ دینا مشکل بنا دیا۔ پیئر وین ہیل نے 1986 میں اسٹرکچر اینڈ انسائٹ شائع کیا، جس میں انہوں نے اپنے نظریہ کو مزید بیان کیا۔ ابتدائی درجے کی سطحوں پر شکلوں کی خصوصیات اور درجہ بندی کے تجزیے پر زور دینے کے ذریعے اس ماڈل نے پوری دنیا میں جیومیٹری کے نصاب کو بہت متاثر کیا ہے۔ ریاستہائے متحدہ میں، اس نظریہ نے نیشنل کونسل آف ٹیچرز آف میتھمیٹکس اور کامن کور اسٹینڈرڈز کے ذریعہ شائع کردہ معیارات کی جیومیٹری اسٹرینڈ کو متاثر کیا ہے۔ وان ہیل کی سطحیں طالب علم روٹ کے ذریعے ان [ریاضیاتی] رشتوں کے ساتھ کام کرنا سیکھتا ہے جو اسے سمجھ نہیں آتے، اور جن کی ابتدا اس نے نہیں دیکھی ہے۔ لہذا تعلقات کا نظام ایک آزاد تعمیر ہے جس کا بچے کے دوسرے تجربات سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ طالب علم صرف وہی جانتا ہے جو اسے سکھایا گیا ہے اور اس سے کیا اخذ کیا گیا ہے۔ اس نے نظام اور حسی دنیا کے درمیان روابط قائم کرنا نہیں سیکھا ہے۔ وہ نہیں جانتا کہ اس نے جو سیکھا ہے اسے نئی صورتحال میں کیسے لاگو کیا جائے۔ - پیئر وین ہیل، 1959 وین ہیل ماڈل کا سب سے مشہور حصہ وہ پانچ درجے ہیں جنہیں وین ہیلز نے یہ بیان کرنے کے لیے پیش کیا کہ بچے جیومیٹری میں استدلال کرنا کیسے سیکھتے ہیں۔ طلباء سے جیومیٹرک نظریات کو ثابت کرنے کی توقع نہیں کی جا سکتی جب تک کہ وہ جیومیٹرک خیالات کے درمیان تعلقات کے نظام کی وسیع تفہیم پیدا نہ کر لیں۔ ان نظاموں کو روٹ کے ذریعے نہیں سیکھا جا سکتا، لیکن متعدد مثالوں اور جوابی مثالوں، ہندسی اعداد و شمار کی مختلف خصوصیات، خصوصیات کے درمیان تعلقات، اور ان خصوصیات کو کس طرح ترتیب دیا جاتا ہے، کا تجربہ کرکے واقفیت کے ذریعے تیار کیا جانا چاہیے۔ وین ہیلز کے ذریعہ پیش کردہ پانچ درجے بیان کرتے ہیں کہ طلباء اس تفہیم کے ذریعے کیسے آگے بڑھتے ہیں۔ پانچ وین ہیل کی سطحوں کو بعض اوقات اس بات کی وضاحت کے طور پر غلط سمجھا جاتا ہے کہ طلباء شکل کی درجہ بندی کو کس طرح سمجھتے ہیں، لیکن یہ سطحیں دراصل اس طریقے کو بیان کرتی ہیں جس سے طلباء شکلوں اور دیگر ہندسی خیالات کے بارے میں استدلال کرتے ہیں۔ پیئر وان ہیل نے محسوس کیا کہ ان کے طالب علم جیومیٹری کی سمجھ میں بعض نکات پر "سطح مرتفع" کی طرف مائل ہوتے ہیں اور انہوں نے ان سطح مرتفع کے نکات کو سطحوں کے طور پر شناخت کیا۔ عام طور پر، یہ سطحیں عمر کے بجائے تجربے اور تعلیم کی پیداوار ہیں۔ یہ پیاجٹ کے علمی نشوونما کے نظریہ کے برعکس ہے، جو عمر پر منحصر ہے۔ ایک بچے کو اعلی درجے کی نفاست کی طرف بڑھنے کے لیے ان ہندسی خیالات کے ساتھ کافی تجربہ (کلاس روم یا دوسری صورت میں) ہونا چاہیے۔ بھرپور تجربات کے ذریعے بچے ابتدائی اسکول میں سطح 2 تک پہنچ سکتے ہیں۔ اس طرح کے تجربات کے بغیر، بہت سے بالغ (اساتذہ سمیت) اپنی ساری زندگی لیول 1 میں رہتے ہیں، چاہے وہ سیکنڈری اسکول میں رسمی جیومیٹری کورس ہی کیوں نہ لیں۔ سطحیں مندرجہ ذیل ہیں: سطح 0۔ تصور: اس سطح پر، بچے کی سوچ کا مرکز انفرادی شکلوں پر ہوتا ہے، جسے بچہ ان کی مجموعی شکل کا اندازہ لگا کر درجہ بندی کرنا سیکھ رہا ہوتا ہے۔ بچے صرف یہ کہتے ہیں، "یہ ایک دائرہ ہے"، عام طور پر مزید وضاحت کے بغیر۔ بچے بنیادی ہندسی اعداد و شمار (مثلث، دائرہ، مربع) کے نمونوں کی شناخت کرتے ہیں۔ ان بصری نمونوں کو پھر دوسری شکلوں کی شناخت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ شکل ایک دائرہ ہے کیونکہ یہ سورج کی طرح لگتا ہے۔ شکل ایک مستطیل ہے کیونکہ یہ دروازے یا خانے کی طرح لگتا ہے۔ اور اسی طرح۔ ایک مربع ایک آئتاکار سے مختلف قسم کی شکل لگتا ہے، اور ایک رومبس دوسرے متوازی ہندسے کی طرح نہیں لگتا ہے، لہذا ان شکلوں کو بچے کے ذہن میں مکمل طور پر الگ الگ درجہ بندی کیا جاتا ہے۔ بچے اعداد و شمار کو ان کی خصوصیات کا تجزیہ کیے بغیر مجموعی طور پر دیکھتے ہیں۔ اگر کوئی شکل کافی حد تک اس کے پروٹو ٹائپ سے مشابہت نہیں رکھتی ہے، تو بچہ درجہ بندی کو مسترد کر سکتا ہے۔ اس طرح، اس مرحلے پر بچے ایک پتلی، پچر کی شکل والے مثلث (جس کے اطراف 1، 20، 20 یا اطراف 20، 20، 39 ہیں) کو "مثلث" کہنے سے گریز کر سکتے ہیں، کیونکہ یہ ایک مساوی مثلث سے شکل میں بہت مختلف ہے، جو کہ "مثلث" کا معمول کا نمونہ ہے۔ اگر مثلث کی افقی بنیاد اوپر اور مخالف ورٹیکس نیچے ہے، تو بچہ اسے مثلث کے طور پر پہچان سکتا ہے، لیکن دعوی کر سکتا ہے کہ یہ "الٹا نیچے" ہے۔ گول یا نامکمل اطراف والی شکلوں کو "مثلث" کے طور پر قبول کیا جا سکتا ہے اگر وہ مساوی مثلث سے جامع مشابہت رکھتے ہیں۔ مربعوں کو "ہیرے" کہا جاتا ہے اور اگر ان کے اطراف 45° پر افقی سمت میں ہوں تو انہیں مربع کے طور پر تسلیم نہیں کیا جاتا ہے۔ اس سطح کے بچے اکثر یہ مانتے ہیں کہ ایک ہی مثال کی بنیاد پر کچھ سچ ہے۔ سطح 1۔ تجزیہ: اس سطح پر، شکلیں اپنی خصوصیات کی حامل بن جاتی ہیں۔ فکر کے مقاصد شکلوں کی کلاسیں ہیں، جن کا تجزیہ کرنا بچے نے خصوصیات کے طور پر سیکھ لیا ہے۔ اس سطح پر کوئی شخص کہہ سکتا ہے، "ایک مربع کے 4 مساوی رخ اور 4 مساوی زاویے ہوتے ہیں۔ اس کے ترازو یکجا اور عمودی ہوتے ہیں، اور وہ ایک دوسرے کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ " خصوصیات شکل کی ظاہری شکل سے زیادہ اہم ہیں۔ اگر کسی شکل کو بلیک بورڈ پر خاکہ بنایا گیا ہے اور استاد کا دعوی ہے کہ اس کا مقصد ہم آہنگ اطراف اور زاویے ہیں، تو طلباء قبول کرتے ہیں کہ یہ ایک مربع ہے، چاہے وہ ناقص طور پر تیار کیا گیا ہو۔ اس سطح پر پراپرٹیز کا آرڈر ابھی تک نہیں دیا گیا ہے۔ بچے بنیادی اعداد و شمار کی خصوصیات پر تبادلہ خیال کر سکتے ہیں اور انہیں ان خصوصیات سے پہچان سکتے ہیں، لیکن عام طور پر زمرہ جات کو اوورلیپ کرنے کی اجازت نہیں دیتے کیونکہ وہ ہر پراپرٹی کو دوسروں سے الگ تھلگ سمجھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ پھر بھی اصرار کریں گے کہ "مربع مستطیل نہیں ہے"۔ (وہ اس طرح کے عقائد کی تائید کے لیے غیر معمولی خصوصیات متعارف کرا سکتے ہیں، جیسے کہ ایک مستطیل کو ایک ایسی شکل کے طور پر بیان کرنا جس کے اطراف کی ایک جوڑی دوسری جوڑی سے لمبی ہو۔) بچے شکلوں کی بہت سی خصوصیات کو دیکھنا شروع کر دیتے ہیں، لیکن خصوصیات کے درمیان تعلقات کو نہیں دیکھتے ہیں۔ اس لیے وہ ضروری اور کافی شرائط کے ساتھ خصوصیات کی فہرست کو مختصر تعریف تک کم نہیں کر سکتے۔ وہ عام طور پر کئی مثالوں سے تعمیری استدلال کرتے ہیں، لیکن ابھی تک تخفیف سے استدلال نہیں کر سکتے کیونکہ وہ یہ نہیں سمجھتے کہ شکلوں کی خصوصیات کا تعلق کیسے ہے۔ سطح 2۔ خلاصہ: اس سطح پر، خصوصیات کا حکم دیا جاتا ہے۔ فکر کے مقاصد ہندسی خصوصیات ہیں، جنہیں طالب علم نے کٹوتی سے جوڑنا سیکھا ہے۔ طالب علم سمجھتا ہے کہ خصوصیات متعلق ہیں اور خصوصیات کا ایک مجموعہ دوسری پراپرٹی کا اشارہ دے سکتا ہے۔ طلباء ہندسی اعداد و شمار کے بارے میں سادہ دلائل کے ساتھ استدلال کر سکتے ہیں۔ اس سطح پر ایک طالب علم کہہ سکتا ہے، "آئسوسلز مثلث متناسب ہوتے ہیں، اس لیے ان کے بنیادی زاویے برابر ہونے چاہئیں۔" سیکھنے والے شکلوں کی اقسام کے درمیان تعلقات کو پہچانتے ہیں۔ وہ تسلیم کرتے ہیں کہ تمام مربع مستطیل ہیں، لیکن تمام مستطیل مربع نہیں ہیں، اور وہ سمجھتے ہیں کہ مربع ہر ایک کی خصوصیات کو سمجھنے کی بنیاد پر مستطیل کی ایک قسم کیوں ہیں۔ وہ بتا سکتے ہیں کہ آیا یہ ممکن ہے یا نہیں کہ ایک آئتاکار ہو جو، مثال کے طور پر، ایک رومبس بھی ہو۔ وہ ضروری اور کافی شرائط کو سمجھتے ہیں اور مختصر تعریفیں لکھ سکتے ہیں۔ تاہم، وہ ابھی تک کٹوتی کے اندرونی معنی کو نہیں سمجھتے ہیں۔ وہ کسی پیچیدہ دلیل کی پیروی نہیں کر سکتے، تعریفوں کی جگہ کو نہیں سمجھ سکتے، یا محوریات کی ضرورت کو نہیں سمجھ سکتے، اس لیے وہ ابھی تک رسمی ہندسی ثبوتوں کے کردار کو نہیں سمجھ سکتے۔ سطح 3. کٹوتی: اس سطح کے طلباء کٹوتی کے معنی کو سمجھتے ہیں۔ فکر کا مقصد تخفیف استدلال (سادہ ثبوت) ہے، جسے طالب علم رسمی ثبوتوں (یوکلڈین جیومیٹری) کا نظام بنانے کے لیے جوڑنا سیکھتا ہے۔ سیکھنے والے ثانوی اسکول کی سطح پر ہندسی ثبوت بنا سکتے ہیں اور ان کے معنی سمجھ سکتے ہیں۔ وہ یوکلڈین جیومیٹری میں غیر متعین اصطلاحات، تعریفیں، محوریات اور نظریات کے کردار کو سمجھتے ہیں۔ تاہم، اس سطح کے طلباء کا خیال ہے کہ محوریات اور تعریفیں من مانی کے بجائے طے شدہ ہیں، اس لیے وہ ابھی تک غیر یوکلڈین جیومیٹری کا تصور نہیں کر سکتے۔ جیومیٹرک خیالات کو اب بھی یوکلڈین سطح میں اشیاء کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ سطح 4. سختی: اس سطح پر جیومیٹری کو ریاضی دان کی سطح پر سمجھا جاتا ہے۔ طلباء سمجھتے ہیں کہ تعریفیں من مانی ہیں اور حقیقت میں کسی ٹھوس احساس کا حوالہ دینے کی ضرورت نہیں ہے۔ فکر کا مقصد کٹوتی ہندسی نظام ہے، جس کے لیے سیکھنے والا محوری نظاموں کا موازنہ کرتا ہے۔ سیکھنے والے تفہیم کے ساتھ غیر یوکلڈین ہندسی کا مطالعہ کر سکتے ہیں۔ لوگ جیومیٹری کے نظم و ضبط کو سمجھ سکتے ہیں اور یہ فلسفیانہ طور پر غیر ریاضیاتی مطالعات سے کس طرح مختلف ہے۔ امریکی محققین نے سطحوں کو 1 سے 5 تک دوبارہ نمبر دیا تاکہ وہ ایک "لیول 0" شامل کر سکیں جس میں چھوٹے بچوں کو بیان کیا گیا تھا جو شکلوں کی بالکل شناخت نہیں کر سکتے تھے۔ دونوں نمبر کے نظام اب بھی استعمال میں ہیں۔ کچھ محققین سطحوں کو مختلف نام بھی دیتے ہیں۔ سطحوں کی خصوصیات وین ہیل کی سطحوں کی پانچ خصوصیات ہیں: 1. فکسڈ سیکوینس: سطحیں درجہ بندی پر مبنی ہوتی ہیں۔ طلباء کسی سطح کو "چھوڑ" نہیں سکتے۔ وین ہیلز کا دعوی ہے کہ جیومیٹری کے طلباء کو درپیش زیادہ تر دشواری کٹوتی کی سطح پر پڑھائی جانے کی وجہ سے ہے جب کہ انہوں نے ابھی تک خلاصہ کی سطح حاصل نہیں کی ہے۔ 2. ایڈجسینسی: وہ خصوصیات جو ایک سطح پر اندرونی ہوتی ہیں اگلی سطح پر بیرونی ہو جاتی ہیں۔ (خصوصیات تصور کی سطح پر موجود ہیں، لیکن طالب علم تجزیہ کی سطح تک ان کے بارے میں ابھی تک شعوری طور پر آگاہ نہیں ہے۔ پراپرٹیز درحقیقت تجزیہ کی سطح پر متعلق ہیں، لیکن طلباء ابھی تک تعلقات سے واضح طور پر واقف نہیں ہیں۔) 3. امتیاز: ہر سطح کی اپنی لسانی علامتیں اور رشتوں کا نیٹ ورک ہوتا ہے۔ لسانی علامت کے معنی اس کی واضح تعریف سے زیادہ ہیں۔ اس میں وہ تجربات شامل ہیں جو اسپیکر دی گئی علامت کے ساتھ جوڑتا ہے۔ جو ایک سطح پر "درست" ہو سکتا ہے وہ ضروری نہیں کہ دوسری سطح پر درست ہو۔ سطح 0 پر ایک مربع ایسی چیز ہے جو باکس کی طرح نظر آتی ہے۔ سطح 2 پر مربع ایک خاص قسم کا مستطیل ہے۔ ان میں سے کوئی بھی سطح 1 پر استدلال کرنے والے کے لیے "مربع" کے معنی کی درست وضاحت نہیں ہے۔ اگر طالب علم کو محض تعریف اور اس سے وابستہ خصوصیات سونپی جائیں، تصور کے ساتھ بامعنی تجربات کو فروغ دینے کی اجازت دیے بغیر، طالب علم اس علم کو سبق میں استعمال ہونے والے حالات سے آگے لاگو نہیں کر سکے گا۔ 4. علیحدگی: ایک استاد جو ایک سطح پر استدلال کر رہا ہے وہ نچلی سطح کے طالب علم سے مختلف "زبان" بولتا ہے، جو سمجھنے سے روکتا ہے۔ جب کوئی استاد "مربع" کی بات کرتا ہے تو اس کا مطلب ایک خاص قسم کا مستطیل ہوتا ہے۔ 0 یا 1 کی سطح کے طالب علم کو اس اصطلاح کی یکساں سمجھ نہیں ہوگی۔ طالب علم استاد کو نہیں سمجھتا، اور استاد یہ نہیں سمجھتا کہ طالب علم کس طرح استدلال کر رہا ہے، اکثر یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ طالب علم کے جوابات محض "غلط" ہیں۔ وین ہیلز کا خیال تھا کہ یہ خاصیت جیومیٹری میں ناکامی کی ایک اہم وجہ ہے۔ اساتذہ کا خیال ہے کہ وہ خود کو واضح اور منطقی طور پر ظاہر کر رہے ہیں، لیکن ان کی سطح 3 یا 4 کی استدلال نچلی سطح کے طلباء کے لیے قابل فہم نہیں ہے، اور نہ ہی اساتذہ اپنے طلباء کے سوچنے کے عمل کو سمجھتے ہیں۔ مثالی طور پر، استاد اور طلباء کو اپنی زبان کے پیچھے مشترکہ تجربات کی ضرورت ہوتی ہے۔ 5. حصول: وین ہیلز نے کسی دیئے گئے موضوع پر طلباء کی ایک سطح سے دوسری سطح تک رہنمائی کے لیے پانچ مراحل کی سفارش کی: معلومات یا انکوائری: طلباء مواد سے واقف ہو جاتے ہیں اور اس کی ساخت کو دریافت کرنا شروع کر دیتے ہیں۔ اساتذہ ایک نیا خیال پیش کرتے ہیں اور طلباء کو نئے تصور کے ساتھ کام کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ طلباء کو اسی طرح نئے تصور کے ڈھانچے کا تجربہ کروانے سے، وہ اس کے بارے میں بامعنی بات چیت کر سکتے ہیں۔ (ایک استاد کہہ سکتا ہے، "یہ ایک رومبس ہے۔ اپنے کاغذ پر کچھ اور رومبی بنائیں۔ ") ہدایت یافتہ یا ہدایت یافتہ واقفیت: طلباء ایسے کام کرتے ہیں جو انہیں مضمر تعلقات کو تلاش کرنے کے قابل بناتے ہیں۔ اساتذہ منصفانہ رہنمائی والی نوعیت کی سرگرمیاں پیش کرتے ہیں جو طلباء کو نئے تصور کی خصوصیات سے واقف ہونے کا موقع فراہم کرتی ہیں جو استاد چاہتے ہیں کہ وہ سیکھیں۔ (ایک استاد پوچھ سکتا ہے، "جب آپ رومبس کو اخترن کے ساتھ کاٹ کر جوڑتے ہیں تو کیا ہوتا ہے؟ دوسرا ڈائیگنل؟ " اور اسی طرح، بحث کے بعد۔) وضاحت: طلباء نے جو دریافت کیا ہے اس کا اظہار کرتے ہیں اور الفاظ متعارف کروائے جاتے ہیں۔ طلباء کے تجربات مشترکہ لسانی علامتوں سے جڑے ہوئے ہیں۔ وین ہیلز کا خیال ہے کہ طلباء کو اس تصور سے واقف ہونے کا موقع ملنے کے بعد الفاظ سیکھنا زیادہ منافع بخش ہے۔ دریافتوں کو ہر ممکن حد تک واضح کیا جاتا ہے۔ (ایک استاد کہہ سکتا ہے، "یہ وہ خصوصیات ہیں جو ہم نے دیکھی ہیں اور ان چیزوں کے لیے کچھ متعلقہ الفاظ جو آپ نے دریافت کیے ہیں۔ آئیے بات کرتے ہیں کہ ان کا کیا مطلب ہے۔ " آزاد واقفیت: طلباء زیادہ پیچیدہ کام کرتے ہیں جو انہیں مواد میں تعلقات کے نیٹ ورک میں مہارت حاصل کرنے کے قابل بناتے ہیں۔ وہ ان خصوصیات کو جانتے ہیں جن کا مطالعہ کیا جا رہا ہے، لیکن مختلف حالات میں رشتوں کے نیٹ ورک کو نیویگیٹ کرنے میں روانی پیدا کرنے کی ضرورت ہے۔ اس قسم کی سرگرمی گائیڈڈ واقفیت سے کہیں زیادہ کھلی ہوتی ہے۔ ان کاموں کو حل کرنے کے لیے کوئی طے شدہ طریقہ کار نہیں ہوگا۔ مسائل زیادہ پیچیدہ ہو سکتے ہیں اور حل تلاش کرنے کے لیے مزید آزادانہ تلاش کی ضرورت ہوتی ہے۔ (ایک استاد کہہ سکتا ہے، "آپ ایک رومبس کی تعمیر کیسے کر سکتے ہیں جس کے صرف دو رخ ہیں؟" اور دیگر مسائل جن کے لیے طلباء نے ایک مقررہ طریقہ کار نہیں سیکھا ہے۔) انضمام: طلباء نے جو کچھ سیکھا ہے اس کا خلاصہ کرتے ہیں اور اسے یادداشت کے لیے وقف کرتے ہیں۔ استاد طلباء کو ہر اس چیز کا جائزہ دے سکتا ہے جو انہوں نے سیکھی ہے۔ یہ ضروری ہے کہ استاد اس مرحلے کے دوران کوئی نیا مواد پیش نہ کرے، بلکہ صرف اس کا خلاصہ پیش کرے جو پہلے ہی سیکھا جا چکا ہے۔ استاد مستقبل کے کام کے لیے سیکھے گئے اصولوں اور الفاظ کو یاد رکھنے کا کام بھی دے سکتا ہے، ممکنہ طور پر مزید مشقوں کے ذریعے۔ (ایک استاد کہہ سکتا ہے، "جو ہم نے سیکھا ہے اس کا خلاصہ یہ ہے۔ اسے اپنی نوٹ بک میں لکھیں اور یہ مشقیں ہوم ورک کے لیے کریں۔ " وین ہیل ماڈل کے حامی بتاتے ہیں کہ روایتی تعلیم میں اکثر صرف یہ آخری مرحلہ شامل ہوتا ہے، جو اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ طلباء مواد میں مہارت کیوں نہیں رکھتے۔ ڈینا وین ہیل گیلڈوف کے ڈاکٹریٹ کے مقالے کے لیے، اس نے نیدرلینڈ کے مونٹیسوری سیکنڈری اسکول میں 12 سالہ بچوں کے ساتھ تدریسی تجربہ کیا۔ انہوں نے بتایا کہ اس طریقہ کار کو استعمال کرتے ہوئے وہ 20 اسباق میں طلباء کی سطح کو 0 سے 1 اور 50 اسباق میں 1 سے 2 تک بڑھانے میں کامیاب ہوئیں۔ وین ہیل کی سطحوں کو معیار کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، جیومیٹری کے تقریبا نصف طلباء کو ایک ایسے کورس میں رکھا جاتا ہے جس میں ان کے کامیاب ہونے کے امکانات صرف 50-50 ہوتے ہیں۔ - زالمان یوسکن، 1982 محققین نے پایا کہ امریکی طلباء کی وین ہیل کی سطح کم ہے۔ یورپی محققین نے یورپی طلباء کے لیے بھی اسی طرح کے نتائج پائے ہیں۔ بہت سے، شاید زیادہ تر، امریکی طلباء ثبوت پر مبنی ہائی اسکول جیومیٹری کورس کو کامیابی کے ساتھ مکمل کرنے کے بعد بھی کٹوتی کی سطح حاصل نہیں کرتے ہیں، شاید اس وجہ سے کہ مواد روٹ کے ذریعے سیکھا جاتا ہے، جیسا کہ وین ہیلز نے دعوی کیا ہے۔ ایسا لگتا ہے کیونکہ امریکی ہائی اسکول جیومیٹری کورسز یہ فرض کرتے ہیں کہ طلباء پہلے ہی کم از کم لیول 2 پر ہیں، لیول 3 میں جانے کے لیے تیار ہیں، جبکہ ہائی اسکول کے بہت سے طلباء اب بھی لیول 1، یا یہاں تک کہ لیول 0 پر ہیں۔ اوپر فکسڈ سیکوینس پراپرٹی دیکھیں۔ نظریہ کی تنقید اور تبدیلیاں سطحیں متضاد ہیں، جیسا کہ اوپر کی خصوصیات میں بیان کیا گیا ہے، لیکن محققین نے اس بات پر بحث کی ہے کہ سطحیں اصل میں کتنی غیر متزلزل ہیں۔ مطالعات سے پتہ چلا ہے کہ بہت سے بچے متعدد سطحوں، یا درمیانی سطحوں پر استدلال کرتے ہیں، جو نظریہ سے متصادم معلوم ہوتا ہے۔ بچے بھی مختلف تصورات کے لیے مختلف شرحوں پر سطحوں کے ذریعے آگے بڑھتے ہیں، جو اس موضوع سے ان کی نمائش پر منحصر ہوتا ہے۔ اس لیے وہ بعض شکلوں کے لیے ایک سطح پر، لیکن دوسری سطح پر دوسری شکلوں کے لیے استدلال کر سکتے ہیں۔ کچھ محققین نے پایا ہے کہ تصور کی سطح پر بہت سے بچے مکمل طور پر جامع انداز میں استدلال نہیں کرتے ہیں، لیکن کسی ایک خاصیت پر توجہ مرکوز کر سکتے ہیں، جیسے مربع کے مساوی اطراف یا دائرے کی گول پن۔ انہوں نے اس سطح کا نام بدل کر مطابقت پذیری سطح رکھنے کی تجویز پیش کی ہے۔ دیگر ترامیم بھی تجویز کی گئی ہیں، جیسے کہ اہم سطحوں کے درمیان ذیلی سطحوں کی وضاحت، حالانکہ ان میں سے کسی بھی ترمیم نے ابھی تک مقبولیت حاصل نہیں کی ہے۔ مزید پڑھنے والی وین ہیل لیولز آف جیومیٹرک انڈرسٹینڈنگ بذریعہ مارگوریٹ میسن ینگ چلڈرنز ڈویلپنگ انڈرسٹینڈنگ آف جیومیٹرک شیپس بذریعہ میری این ہینیبل حوالہ جات بیرونی روابط وین ہیل لیولز آف جیومیٹرک انڈرسٹینڈنگ-پی ڈی ایف آف فریکوینٹلی پوچھے جانے والے سوالات وین ہیل ماڈل کے بارے میں، کتابچہ کے ساتھ وین ہیل تھیوری کو ہدایات سے جوڑنا-وین ہیل تھیوری پر مبنی سرگرمیاں مقامی اور جیومیٹرک سوچ کی ترقی: ہدایات کی اہمیت۔ وان ہیل لیولز اینڈ اچیومنٹ ان سیکنڈری اسکول جیومیٹری-1982 کا شکاگو کا بڑا مطالعہ وین ہیل ماڈل کا تجزیہ کرتا ہے اور جیومیٹری میں امریکی ہائی اسکول کے طلباء کی کامیابی کو سمجھنے پر اس کی اہمیت جیومیٹری کے لیے ایک فریم ورک K-12-پاور پوائنٹ پریزنٹیشن جیومیٹرک تھنکنگ کا وین ہیل ماڈل وین ہیل ماڈل انٹرنیشنل کانفرنس "ریاضیاتی تعلیم میں وان ہیل تھیوری"، کروشیا کے اہم پہلوؤں کی ایک مختصر پریزنٹیشن۔ اس کا اہتمام: یونیورسٹی آف زادر، محکمہ برائے اساتذہ کی تعلیم اور ہنی-ہرواٹسکا ادروگا ناسٹاونیکا استراژواکا (کروشین ایسوسی ایشن آف ٹیچر ریسرچرز) نے کیا۔ پیشہ ورانہ لیکچرز اور ورکشاپس میں ایکشن ریسرچ کے پہلوؤں کے بارے میں موضوعات کا مواد، افعال میں وین ہیل تھیوری کے سطح کے پہلو-اور کروشین اسٹیٹ اسکول کے استعمال کے لیے ٹیسٹ پروپوزل شامل تھے۔ جیومیٹری کی تعلیم تدریس