Infinitary combinatorics
ریاضی میں، انفینیٹری کمبینٹوریکس، یا کمبینٹوریل سیٹ تھیوری، کمبینٹوریکس میں خیالات کی لامحدود سیٹوں تک توسیع ہے۔ جن چیزوں کا مطالعہ کیا گیا ان میں مسلسل گراف اور درخت، رمسی کے نظریہ کی توسیع، اور مارٹن کا محور شامل ہیں۔ حالیہ پیش رفت واحد کارڈینلز کے جانشینوں پر تسلسل اور امتزاج کے امتزاج سے متعلق ہے۔ لامحدود سیٹوں کے لیے رمسی کا نظریہ κ لکھیں، λ آرڈینلز کے لیے، m کارڈینل نمبر کے لیے اور n قدرتی نمبر کے لیے۔ نوٹیشن کو یہ کہنے کے شارٹ ہینڈ طریقے کے طور پر متعارف کرایا گیا کہ m ٹکڑوں میں n-عنصر کے ذیلی سیٹوں کے سیٹ [κ] n کی ہر تقسیم میں ترتیب کی قسم λ کا ایک یکساں مجموعہ ہوتا ہے۔ ایک یکساں سیٹ اس صورت میں κ کا ایک ذیلی سیٹ ہے جس میں ہر n-عنصر کا ذیلی سیٹ پارٹیشن کے ایک ہی عنصر میں ہوتا ہے۔ جب m 2 ہوتا ہے تو اسے اکثر خارج کر دیا جاتا ہے۔ انتخاب کے محور کو فرض کرتے ہوئے، κ → (ω) ω کے ساتھ کوئی آرڈینلز κ نہیں ہیں، لہذا n کو عام طور پر محدود سمجھا جاتا ہے۔ ایک توسیع جہاں n کو تقریبا لامحدود ہونے کی اجازت دی جاتی ہے وہ اشارہ ہے جو یہ کہنے کا ایک مختصر طریقہ ہے کہ κ کے محدود ذیلی سیٹوں کے سیٹ کی m ٹکڑوں میں ہر تقسیم میں آرڈر ٹائپ λ کا ایک ذیلی سیٹ ہوتا ہے جیسے کہ کسی بھی محدود n کے لیے، سائز n کے تمام ذیلی سیٹ تقسیم کے ایک ہی عنصر میں ہوتے ہیں۔ جب m 2 ہوتا ہے تو اسے اکثر خارج کر دیا جاتا ہے۔ ایک اور تغیر نوٹیشن ہے جو یہ کہنے کا ایک مختصر طریقہ ہے کہ 2 رنگوں کے ساتھ κ کے n-عنصر کے ذیلی سیٹوں کے سیٹ [κ] n کے ہر رنگ میں آرڈر ٹائپ λ کا ایک ذیلی سیٹ ہوتا ہے جس میں [λ] n کے تمام عناصر کا پہلا رنگ ہوتا ہے، یا آرڈر ٹائپ μ کا ایک ذیلی سیٹ ایسا ہوتا ہے کہ [μ] n کے تمام عناصر کا دوسرا رنگ ہوتا ہے۔ اس کی کچھ خصوصیات میں شامل ہیں: (جس میں مندرجہ ذیل ایک کارڈینل ہے) تمام محدود n اور k (رمسی تھیوریم) کے لیے۔ (ایردوس-راڈو تھیوریم۔) (سیرپینسکی تھیوریم) (ایرڈس-دشنک-ملر تھیوریم)۔ چنچل کائناتوں میں، لامحدود متغیرات کے ساتھ تقسیم کی خصوصیات برقرار رہ سکتی ہیں، اور ان میں سے کچھ محرکات (AD) کے نتائج کے طور پر حاصل کی جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ڈونلڈ اے مارٹن نے ثابت کیا کہ AD سے مراد بڑے کارڈینلز ہیں۔ اس اشارے کا استعمال کرتے ہوئے کئی بڑے کارڈینل خصوصیات کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ خاص طور پر: کمزور کمپیکٹ کارڈینلز κ وہ ہوتے ہیں جو κ → (κ) 2 α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α-α