Harris chain
سٹاکسٹک عمل کے ریاضیاتی مطالعہ میں، ہیرس سلسلہ ایک مارکوف سلسلہ ہے جہاں سلسلہ ریاستی جگہ کے کسی خاص حصے میں بے حد بار واپس آتا ہے۔ ہیرس کی زنجیراں دوبارہ پیدا ہونے والے عمل ہیں اور ان کا نام تھیوڈور ہیرس کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ہیرس زنجیروں اور ہیرس کی تکرار کا نظریہ عام (ممکنہ طور پر بے شمار لامحدود) ریاستی جگہوں پر مارکوف زنجیروں کے علاج کے لیے مفید ہے۔ تعریف آئیے اسٹاکسٹک دانا کے ساتھ عام ریاستی جگہ پر مارکوف سلسلہ بنیں۔ دانا ایک عمومی ایک قدم منتقلی کے امکان کے قانون کی نمائندگی کرتا ہے، تاکہ پیمائش کے قابل سیٹوں میں موجود تمام ریاستوں کے لیے۔ زنجیر ایک ہیرس سلسلہ ہے اگر موجود ہے، اور امکان کی پیمائش اس طرح سے کی جاتی ہے کہ اگر، تو سب کے لیے۔ اگر اور (جہاں قابل پیمائش ہے)، تب۔ تعریف کا پہلا حصہ اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ سلسلہ امکانات 1 کے ساتھ کسی حالت میں واپس آئے، اس سے قطع نظر کہ یہ کہاں سے شروع ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ لامحدود طور پر اکثر ریاست کا دورہ کرتا ہے (امکان 1 کے ساتھ)۔ دوسرے حصے کا مطلب یہ ہے کہ ایک بار مارکوف سلسلہ ریاست میں آنے کے بعد، اس کی اگلی ریاست ایک آزاد برنولی سکے فلپ کی مدد سے پیدا کی جا سکتی ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، پہلے نوٹ کریں کہ پیرامیٹر 0 اور 1 کے درمیان ہونا چاہیے (یہ تعریف کے دوسرے حصے کو سیٹ پر لاگو کر کے دکھایا جا سکتا ہے)۔ اب ایک نقطہ نظر ہونے دیں اور فرض کریں۔ اگلی ریاست کا انتخاب کرنے کے لیے، کامیابی کے امکان کے ساتھ آزادانہ طور پر ایک متعصبانہ سکے کو پلٹائیں۔ اگر سکے کا پلٹنا کامیاب ہوتا ہے، تو امکان کی پیمائش کے مطابق اگلی ریاست کا انتخاب کریں۔ بصورت دیگر (اور اگر)، پیمائش کے مطابق اگلی حالت کا انتخاب کریں (تمام قابل پیمائش ذیلی سیٹوں کے لیے متعین)۔ دو بے ترتیب عمل اور جن میں ایک ہی امکان کا قانون ہے اور ہیرس کی زنجیروں کو مندرجہ ذیل تعریف کے مطابق جوڑا جا سکتا ہے: فرض کریں کہ وہ اور، کہاں اور پوائنٹس ہیں۔ دونوں عملوں کی اگلی حالت کا فیصلہ کرنے کے لیے ایک ہی سکے فلپ کا استعمال کرتے ہوئے، اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگلی ریاستیں کم از کم امکان کے ساتھ یکساں ہیں۔ مثال 1: قابل گنتی ریاستی جگہ ω ایک قابل گنتی ریاستی جگہ ہے۔ دانا K کی تعریف ایک قدم کے مشروط منتقلی کے امکانات P [Xn + 1 = y | Xn = x] x، y ω کے لیے کی جاتی ہے۔ پیمائش ρ حالتوں پر ایک امکانی کمیت فعل ہے، تاکہ تمام x ω کے لیے ρ (x) ω0، اور ρ (x) امکانات کا مجموعہ ایک کے برابر ہو۔ فرض کریں کہ مندرجہ بالا تعریف کسی دیئے گئے سیٹ A ′ ′ ′ اور کسی دیئے گئے پیرامیٹر ε> 0 کے لیے مطمئن ہے۔ پھر P [Xn + 1 = c | Xn = x] ω ερ (c) تمام x ω A اور تمام c ω کے لیے۔ مثال 2: مسلسل کثافت کے ساتھ زنجیروں کو ایک کرنل کے ساتھ ایک مارکوف سلسلہ ہونے دیں جو لیبسیگ پیمائش کے حوالے سے بالکل مسلسل ہے: K (x, dy) = K (x, y) dy اس طرح کہ K (x, y) ایک مسلسل فعل ہے۔ (x0، y0) کو اس طرح منتخب کریں کہ K (x0، y0)> 0 ہو، اور A اور ω کو بالترتیب x0 اور y0 پر مشتمل کھلے سیٹ ہونے دیں جو کافی چھوٹے ہوں تاکہ A × ω پر K (x, y) ≤ ε> 0 ہو۔ ρ (C) = |Ω θC |/|Ω | جہاں |Ω | ω کی لیبسیگ پیمائش ہے، ہمارے پاس مندرجہ بالا تعریف میں (2) ہے۔ اگر (1) برقرار رہتا ہے، تو {Xn} ایک ہیرس سلسلہ ہے۔ درج ذیل میں تخفیف اور وقتا فوقتا ؛ یعنی وقت 0 کے بعد پہلی بار ہے کہ عمل خطے میں داخل ہوتا ہے۔ آئیے مارکوف سلسلہ کی ابتدائی تقسیم کی نشاندہی کرتے ہیں، یعنی۔ ۔ تعریف: اگر سب کے لیے، تو ہیرس سلسلہ کو بار بار کہا جاتا ہے۔ تعریف: ایک بار بار آنے والی ہیرس سلسلہ aperiodic ہے اگر، اس طرح، نظریہ: مستحکم تقسیم کے ساتھ ایک aperiodic بار بار آنے والی ہیرس سلسلہ ہونے دیں۔ اگر پھر کے طور پر، جہاں ایک ہی قابل پیمائش جگہ پر بیان کردہ دستخط شدہ اقدامات کے لیے کل تغیر کی نشاندہی کرتا ہے۔ حوالہ جات مارکوف کے عمل