Lipschitz domain
ریاضی میں، Lipschitz ڈومین (یا Lipschitz باؤنڈری والا ڈومین) یوکلیڈین اسپیس میں ایک ڈومین ہے جس کی باؤنڈری اس معنی میں "کافی حد تک باقاعدہ" ہے کہ اسے مقامی طور پر Lipschitz مسلسل فنکشن کا گراف سمجھا جا سکتا ہے۔ اس اصطلاح کا نام جرمن ریاضی دان روڈولف لپشٹز کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف لیٹ۔ ایک ڈومین ہونے دیں اور اس کی حد کو ظاہر کریں۔ پھر اسے Lipschitz ڈومین کہا جاتا ہے اگر ہر نقطہ کے لیے طول و عرض کا ایک ہائپرپلین موجود ہو، اس ہائپرپلین پر ایک Lipschitz-مسلسل فنکشن، اور حقیقی اور اس طرح کہ جہاں ایک یونٹ ویکٹر ہے جو کہ رداس کی کھلی گیند کے لیے نارمل ہے، دوسرے لفظوں میں، اس کی حد کے ہر نقطہ پر، مقامی طور پر کچھ Lipschitz فنکشن کے گراف کے اوپر واقع پوائنٹس کا مجموعہ ہے۔ عمومی کاری ایک زیادہ عام تصور کمزور لپشٹز ڈومینز کا ہے، جو وہ ڈومینز ہیں جن کی حدود بلپسچٹز میپنگ کے ذریعے مقامی طور پر چپٹی ہوتی ہیں۔ اوپر کے معنی میں لپشٹز ڈومینز کو بعض اوقات کمزور لپشٹز ڈومینز کے برعکس مضبوطی سے لپشٹز کہا جاتا ہے۔ ایک ڈومین کمزور طور پر لپشٹز ہوتا ہے اگر ہر پوائنٹ کے لیے ایک رداس موجود ہو اور ایک نقشہ ایسا ہو جو ایک بائیجیکشن ہو ؛ اور دونوں لپشٹز مسلسل افعال ہیں ؛ جہاں یونٹ بال کو ظاہر کرتا ہے اور A (مضبوطی سے) لپشٹز ڈومین ہمیشہ ایک کمزور لپشٹز ڈومین ہوتا ہے لیکن اس کے برعکس درست نہیں ہوتا ہے۔ کمزور لپشٹز ڈومینز کی ایک مثال جو مضبوطی سے لپشٹز ڈومین ہونے میں ناکام رہتی ہے وہ دو اینٹوں والے ڈومین ایپلی کیشنز آف لپشٹز ڈومینز کے ذریعہ دی گئی ہے۔ بہت سے سوبولیو ایمبیڈنگ تھیوریمز کے لیے ضروری ہے کہ مطالعہ کا ڈومین لپشٹز ڈومین ہو۔ نتیجتا، بہت سے جزوی تفریقی مساوات اور تغیراتی مسائل کی وضاحت Lipschitz ڈومینز پر کی جاتی ہے۔ حوالہ جات جیومیٹری Lipschitz نقشے Sobolev خالی جگہیں