II25,1
{{DISPLAYITLE: II25,1}} ریاضی میں، II25,1 یکساں 26 جہتی لورینٹزیئن غیر ماڈیولر جالی ہے۔ اس کی کئی غیر معمولی خصوصیات ہیں، جو کونوے کی دریافت سے پیدا ہوتی ہیں کہ اس میں ایک معیاری صفر ویل ویکٹر ہے۔ خاص طور پر اس کا تعلق لیچ لیٹیس λ سے ہے، اور اس کے آٹومورفزم گروپ کے اوپری حصے میں کونوے گروپ Co1 ہے۔ (a1,., am + n) اور (b1,., bm + n) کے اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ m + n جہتی ویکٹر اسپیس Rm + n کے لیے rm، n لکھیں جو a1b1 + کے ذریعے دیا گیا ہے۔ جالی II25,1 کو R25,1 میں تمام ویکٹروں (a1,., a26) کے ذریعے اس طرح دیا گیا ہے کہ یا تو تمام AI عدد ہیں یا وہ تمام عدد جمع 1/2 ہیں، اور ان کا مجموعہ یکساں ہے۔ عکاسی گروپ جالی II25,1، λ ωH کے لیے آئسومورفک ہے جہاں: λ لیچ جالی ہے، H 2 جہتی یہاں تک کہ لورینٹزیئن جالی ہے، جو 2 نارم 0 ویکٹرز z اور اندرونی پروڈکٹ-1 کے ساتھ w سے پیدا ہوتی ہے، اور دونوں مجموعے آرتھوگنل ہیں۔ لہذا ہم II25,1 کے ویکٹروں کو (λ، m، n) = λ + mz + nw کے ساتھ λ میں λ اور m، n انٹیجرز کے طور پر لکھ سکتے ہیں، جہاں (λ، m، n) کا معیار λ2-2mn ہے۔ واضح طور پر آئسومورفزم دینے کے لیے، اور، تاکہ ذیلی جگہ 2 جہتی یکساں لورینٹزیئن جالی سے پیدا ہو اور ہو۔ پھر ہم آئسومورفک ہوتے ہیں اور ہم λ کی تعریفوں میں سے ایک کو بازیافت کرتے ہیں۔ کونوے نے دکھایا کہ جڑیں (معمول 2 ویکٹر) جن کا اندرونی پروڈکٹ-1 ہے جس میں w = (0,0,1) عکاسی گروپ کی سادہ جڑیں ہیں۔ یہ لیچ لیٹس میں λ کے ویکٹر (λ، 1، λ 2/2-1) ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، سادہ جڑوں کی شناخت لیچ لیٹس کے نکات سے کی جا سکتی ہے، اور اس کے علاوہ یہ سادہ جڑوں کے سیٹ سے لے کر لیچ لیٹس تک ایک آئسومیٹری ہے۔ عکاسی گروپ ایک ہائپربولک عکاسی گروپ ہے جو 25 جہتی ہائپربولک اسپیس پر کام کرتا ہے۔ عکاسی گروپ کے بنیادی ڈومین میں 1+23 + 284 عمودی مدار ہیں جو مندرجہ ذیل ہیں: ایک ورٹیکس لامحدود پر معیاری 0 ویل ویکٹر سے مطابقت رکھتا ہے۔ انفینٹی پر عمودی کے 23 مدار بنیادی ڈومین کے چہروں کی ایک محدود تعداد سے ملتے ہیں۔ یہ عمودی حصے لیچ لیٹس کے گہرے سوراخوں سے مطابقت رکھتے ہیں، اور ان کے 23 مدار ہیں جو لیچ لیٹس کے علاوہ 23 نیمیر لیٹس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ان چوٹیوں میں سے کسی ایک سے ملنے والی سادہ جڑیں رینک 24 کا ایک افائن ڈائنکن خاکہ بناتی ہیں۔ ہائپربولک اسپیس میں عمودی کے 284 مدار۔ یہ لیچ جالی کے اتلی سوراخوں کے 284 مداروں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ان میں سے کسی بھی سرے سے ملنے والی سادہ جڑیں رینک 25 کا ایک کروی ڈائنکن خاکہ بناتی ہیں۔ آٹومورفزم گروپ نے II25,1 کے آٹومورفزم گروپ آٹ (II25,1) کو درج ذیل بیان کیا۔ سب سے پہلے، آٹو (II25,1) وقت کی سمت کو محفوظ رکھنے والے آٹومورفزم کے انڈیکس 2 ذیلی گروپ آٹو + (II25,1) کے ذریعہ-1 کے ذریعہ تیار کردہ آرڈر 2 کے گروپ کا پروڈکٹ ہے۔ گروپ آٹو + (II25,1) میں ایک عام ذیلی گروپ ریف ہوتا ہے جو اس کے عکاسی سے پیدا ہوتا ہے، جس کی سادہ جڑیں لیچ لیٹس ویکٹر سے مطابقت رکھتی ہیں۔ گروپ آٹو + (II25,1)/ریف لیچ لیٹیس λ کے افائن آٹومورفزم کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، اور اسی طرح اس کے ترجمے کا ایک عام ذیلی گروپ ہے جو λ = Z24 کے لیے آئسومورفک ہے، اور حصص لیچ لیٹیس کے تمام آٹومورفزم کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، جو کہ کونوے گروپ Co1 کا ڈبل کور ہے، جو کہ ایک وقفے وقفے سے سادہ گروپ ہے۔ ویکٹر II25,1 کے ہر غیر صفر ویکٹر کو ایک ابتدائی ویکٹر کے مثبت عدد کے ضرب کے طور پر منفرد طور پر لکھا جا سکتا ہے، لہذا تمام ویکٹرز کی درجہ بندی کرنے کے لیے یہ ابتدائی ویکٹرز کی درجہ بندی کرنے کے لیے کافی ہے۔ مثبت معمول کے ویکٹر ایک ہی معیار کے ساتھ کوئی بھی دو مثبت معمول کے ابتدائی ویکٹر آٹومورفزم گروپ کے تحت مربوط ہوتے ہیں۔ نارم زیرو ویکٹر ابتدائی نارم 0 ویکٹر کے 24 مدار ہوتے ہیں، جو 24 نیمیئر جالی کے مطابق ہوتے ہیں۔ خط و کتابت مندرجہ ذیل طور پر دیا گیا ہے: اگر z ایک معیاری 0 ویکٹر ہے، تو جالی z/z ایک 24 جہتی یکساں غیر ماڈیولر جالی ہے اور اس لیے نیمیئر جالی میں سے ایک ہے۔ II25,1 کے عکاسی گروپ کے معیاری 0 ویل ویکٹر سے مطابقت رکھنے والی نیمیئر جالی لیچ جالی ہے۔ نارم-2 ویکٹر نارم-2 کے ویکٹر v کے 121 مدار ہیں، جو ڈٹرمیننٹ 2 کے 25 جہتی یکساں جالی L کی 121 آئسومورفزم کلاسوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اس خط و کتابت میں، جالی L ویکٹر v کے آرتھوگنل تکمیل کے لیے آئسومورفک ہے۔ نارم-4 ویکٹر۔ نارم-4 کے ویکٹر v کے 665 مدار ہیں، جو 25 جہتی یک جہتی جالی L کے 665 آئسومورفزم کلاسوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اس خط و کتابت میں، جالی L کے یکساں ویکٹرز کا انڈیکس 2 ذیلی جالی ویکٹر v کے آرتھوگنل تکمیل کے لیے آئسومورفک ہے۔ دیگر ویکٹر n = 3، 4، 5 کے لیے نارم-2n کے ویکٹرز کی اسی طرح کی لیکن تیزی سے پیچیدہ وضاحتیں ہیں۔، اور ایسے ویکٹرز کے مداروں کی تعداد کافی تیزی سے بڑھتی ہے۔ حوالہ جات کونوے، جے۔ ایچ۔ سلوین، این۔ جے۔ اے۔ (1999)۔ سپیئر پیکنگز، لیٹیسیس اور گروپس۔ (تیسرا ایڈیشن۔) ای بینائی، آر ای بورچرڈز، جان لیچ، سائمن پی نارٹن، اے ایم اوڈلیزکو، رچرڈ اے پارکر، ایل کوئین اور بی کے اضافی تعاون کے ساتھ۔ بی وینکوف۔ گرونڈلیہرن ڈیر میتھمیٹشین وسینشافٹن، 290۔ نیو یارک: سپرنگر-ورلاگ۔ ۔ کواڈریٹک فارمز لیٹیس پوائنٹس اسپوراڈک گروپس مونشائن تھیوری جان ہارٹن کونوے