Direct stiffness method
ساختی تجزیہ کے طریقوں میں سے ایک کے طور پر، براہ راست سختی کا طریقہ، جسے میٹرکس سختی کا طریقہ بھی کہا جاتا ہے، خاص طور پر پیچیدہ ڈھانچوں کے کمپیوٹر خودکار تجزیہ کے لیے موزوں ہے جس میں مستحکم طور پر غیر متعین قسم بھی شامل ہے۔ یہ ایک میٹرکس طریقہ ہے جو اراکین کی قوتوں اور ڈھانچوں میں نقل مکانی کے حساب کے لیے اراکین کے سختی کے تعلقات کا استعمال کرتا ہے۔ براہ راست سختی کا طریقہ محدود عنصر طریقہ (ایف ای ایم) کا سب سے عام نفاذ ہے۔ طریقہ کار کو لاگو کرنے میں، نظام کو نوڈس پر باہم جڑے ہوئے آسان، مثالی عناصر کے مجموعے کے طور پر ماڈل کیا جانا چاہیے۔ ان عناصر کی مادی سختی کی خصوصیات کو، میٹرکس ریاضی کے ذریعے، ایک واحد میٹرکس مساوات میں مرتب کیا جاتا ہے جو پورے مثالی ڈھانچے کے رویے کو کنٹرول کرتا ہے۔ اس کے بعد اس مساوات کو حل کرکے ساخت کی نامعلوم نقل مکانی اور قوتوں کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ براہ راست سختی کا طریقہ زیادہ تر تجارتی اور فری سورس محدود عنصر سافٹ ویئر کی بنیاد بناتا ہے۔ براہ راست سختی کا طریقہ ایرو اسپیس کے میدان میں شروع ہوا۔ محققین نے پیچیدہ ہوائی جہاز کے فریموں کے تجزیے کے لیے مختلف طریقوں کو دیکھا۔ ان میں لچک کا نظریہ، ساختی میکانکس میں توانائی کے اصول، لچک کا طریقہ اور میٹرکس کی سختی کا طریقہ شامل تھے۔ ان طریقوں کے تجزیے کے ذریعے ہی براہ راست سختی کا طریقہ کمپیوٹر کے نفاذ کے لیے مثالی طور پر موزوں ایک موثر طریقہ کے طور پر ابھرا۔ 1934 اور 1938 کے درمیان اے آر کالر اور ڈبلیو جے ڈنکن نے آج استعمال ہونے والے میٹرکس سسٹمز کی نمائندگی اور اصطلاحات کے ساتھ پہلے مقالے شائع کیے۔ ایرویلسٹک تحقیق دوسری جنگ عظیم کے دوران جاری رہی لیکن 1938 سے 1947 تک اشاعت کی پابندیوں کی وجہ سے اس کام کا سراغ لگانا مشکل ہو گیا۔ میٹرکس ساختی تجزیہ میں دوسری بڑی پیشرفت 1954 اور 1955 کے دوران ہوئی جب پروفیسر جان ایچ آرگرس نے کسی ڈھانچے کے بنیادی اجزاء کو مساوات کے نظام میں جمع کرنے کے تصور کو منظم کیا۔ آخر کار، 6 نومبر 1959 کو، بوئنگ کے اسٹرکچرل ڈائنامکس یونٹ کے سربراہ، ایم جے ٹرنر نے ایک مقالہ شائع کیا جس میں کمپیوٹر کے نفاذ کے لیے ایک موثر ماڈل کے طور پر براہ راست سختی کے طریقہ کار کا خاکہ پیش کیا گیا۔ ممبر کی سختی کے تعلقات ایک عام ممبر کی سختی کے تعلقات کی مندرجہ ذیل عمومی شکل ہوتی ہے: جہاں m = ممبر نمبر m. = ممبر کی خصوصیت قوتوں کا ویکٹر، جو نامعلوم اندرونی قوتیں ہیں۔ = ممبر کی سختی میٹرکس جو اخترتی کے خلاف ممبر کی مزاحمت کی خصوصیت رکھتی ہے۔ = ممبر کی خصوصیت کی نقل مکانی یا اخترتی کا ویکٹر۔ = بیرونی اثرات کی وجہ سے رکن کی خصوصیت قوتوں کا ویکٹر (جیسے کہ معلوم قوتیں اور درجہ حرارت میں تبدیلیاں) جبکہ رکن پر لاگو ہوتا ہے۔ اگر مطلق نقل مکانی کے بجائے اراکین کی شکلیں ہیں، تو آزاد ممبر قوتیں ہیں، اور ایسی صورت میں (1) کو نام نہاد ممبر لچکدار میٹرکس حاصل کرنے کے لیے الٹا کیا جا سکتا ہے، جو لچکدار طریقہ کار میں استعمال ہوتا ہے۔ نظام کی سختی کا تعلق ایک ایسے نظام کے لیے جس میں بہت سے اراکین نوڈس کہلانے والے نکات پر آپس میں جڑے ہوتے ہیں، اراکین کی سختی کے تعلقات جیسے Eq۔ (1) مندرجہ ذیل مشاہدات کا استعمال کرتے ہوئے مربوط کیا جا سکتا ہے: اراکین کے درمیان مطابقت کو یقینی بنانے کے لیے اراکین کی خرابیوں کا اظہار سسٹم نوڈل نقل مکانی کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ r بنیادی نامعلوم ہوں گے۔ ممبر قوتیں نوڈس کو نوڈل قوتوں R کے تحت توازن میں رکھنے میں مدد کرتی ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ (1) کا دایاں ہاتھ پورے نظام کے لیے درج ذیل نوڈل توازن مساوات کے دائیں ہاتھ میں ضم ہو جائے گا: جہاں = نوڈل قوتوں کا ویکٹر، جو نظام کے نوڈس پر لاگو بیرونی قوتوں کی نمائندگی کرتا ہے۔ = نظام کی سختی میٹرکس، جو اراکین کی سختی میٹرکس کو جمع کرکے قائم کیا جاتا ہے۔ = نظام کی نوڈل نقل مکانی کا ویکٹر جو صوابدیدی نوڈل قوتوں کے تابع نظام کی تمام ممکنہ مسخ شدہ ترتیبات کی وضاحت کر سکتا ہے۔ R = مساوی نوڈل قوتوں کا ویکٹر، جو نوڈل قوتوں کے علاوہ تمام بیرونی اثرات کی نمائندگی کرتا ہے جو پہلے سے ہی سابقہ نوڈل قوت ویکٹر R میں شامل ہیں۔ یہ ویکٹر اراکین کو جمع کرکے قائم کیا جاتا ہے۔ حل نظام کی سختی میٹرکس K مربع ہے کیونکہ ویکٹر R اور r کا سائز ایک جیسا ہے۔ اس کے علاوہ، یہ ہم آہنگ ہے کیونکہ ہم آہنگ ہے۔ ایک بار جب سپورٹ کی رکاوٹوں کا حساب (2) میں لیا جاتا ہے، تو علامتی طور پر لکیری مساوات (2) کے نظام کو حل کرکے نوڈل نقل مکانی پائی جاتی ہے: اس کے بعد، اراکین کی خصوصیت والی قوتیں Eq سے مل سکتی ہیں۔ (1) مطابقت کے لحاظ سے r سے کہاں پایا جا سکتا ہے۔ براہ راست سختی کا طریقہ Eq ہونا عام ہے۔ (1) ایسی شکل میں جہاں اور ہیں، بالترتیب، ممبر اینڈ کی نقل مکانی اور قوتیں r اور R کے ساتھ سمت میں مماثل ہیں۔ ایسی صورت میں، اور اراکین کے میٹرکس اور کے براہ راست مجموعہ سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ کو پھر براہ راست سختی کے طریقہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ میٹرکس کی سختی کے طریقہ کار کے فوائد اور نقصانات کا موازنہ لچکدار طریقہ کار کے مضمون میں کیا گیا ہے اور ان پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ مثال بریک ڈاؤن براہ راست سختی کا طریقہ استعمال کرتے وقت پہلا قدم انفرادی عناصر کی شناخت کرنا ہے جو ساخت کو تشکیل دیتے ہیں۔ ایک بار عناصر کی شناخت ہو جانے کے بعد، ڈھانچہ نوڈس پر منقطع ہو جاتا ہے، وہ نکات جو مختلف عناصر کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں۔ اس کے بعد ممبر کی سختی کی مساوات تیار کرنے کے لیے ہر عنصر کا انفرادی طور پر تجزیہ کیا جاتا ہے۔ قوتیں اور نقل مکانی کا تعلق عنصر کی سختی میٹرکس کے ذریعے ہوتا ہے جو عنصر کی جیومیٹری اور خصوصیات پر منحصر ہوتا ہے۔ ایک ٹرس عنصر صرف کمپریشن یا تناؤ میں قوتوں کو منتقل کر سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دو جہتوں میں، ہر نوڈ میں دو ڈگری آف فریڈم (ڈی او ایف) ہوتی ہے: افقی اور عمودی نقل مکانی۔ نتیجے میں آنے والی مساوات میں چار بائی چار سختی میٹرکس ہوتا ہے۔ ایک فریم عنصر کمپریشن اور تناؤ کے علاوہ موڑنے والے لمحات کا مقابلہ کرنے کے قابل ہوتا ہے۔ اس کے نتیجے میں آزادی کی تین ڈگریاں ہوتی ہیں: افقی نقل مکانی، عمودی نقل مکانی اور ہوائی جہاز میں گردش۔ اس معاملے میں سختی میٹرکس چھ بائی چھ ہے۔ دیگر عناصر جیسے پلیٹیں اور خول بھی براہ راست سختی کے طریقہ کار میں شامل کیے جا سکتے ہیں اور اسی طرح کی مساوات تیار کی جانی چاہئیں۔ اسمبلی ایک بار انفرادی عنصر کی سختی کے تعلقات تیار ہو جانے کے بعد انہیں اصل ڈھانچے میں جمع کیا جانا چاہیے۔ اس عمل میں پہلا قدم انفرادی عناصر کے لیے سختی کے تعلقات کو پورے ڈھانچے کے لیے ایک عالمی نظام میں تبدیل کرنا ہے۔ ٹرس عنصر کے معاملے میں، سختی کے طریقہ کار کی عالمی شکل کا انحصار گلوبل کوآرڈینیٹ سسٹم کے حوالے سے عنصر کے زاویے پر ہوتا ہے (یہ نظام عام طور پر روایتی کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم ہوتا ہے)۔ (زاویہ β پر ٹرس عنصر کے لیے) مساوی طور پر، جہاں اور ٹرس عنصر کی سمت کوسائنز ہیں (یعنی، وہ ممبر کے ساتھ منسلک یونٹ ویکٹر کے اجزاء ہیں)۔ یہ شکل ظاہر کرتی ہے کہ عنصر کی سختی کو 3-D خلائی ٹرس میں صرف اس نمونے کو بڑھا کر عام کیا جائے جو اس تشکیل میں واضح ہے۔ گلوبل کوآرڈینیٹ سسٹم میں عنصر کی سختی میٹرکس کو تیار کرنے کے بعد، انہیں ایک واحد "ماسٹر" یا "گلوبل" سختی میٹرکس میں ضم کیا جانا چاہیے۔ ان میٹرکس کو ایک ساتھ ضم کرتے وقت دو اصولوں پر عمل کرنا ضروری ہے: ہر نوڈ پر نقل مکانی اور قوت توازن کی مطابقت۔ ان اصولوں کو عنصر نوڈل نقل مکانی کو عالمی نوڈل نقل مکانی سے جوڑ کر برقرار رکھا جاتا ہے۔ عالمی نقل مکانی اور قوت ویکٹروں میں سے ہر ایک میں ساخت میں ہر ڈگری کی آزادی کے لیے ایک اندراج ہوتا ہے۔ عنصر کی سختی میٹرکس کو عالمی نقل مکانی اور لوڈ ویکٹر کی تشکیل میں ہر میٹرکس کو بڑھا کر یا بڑھا کر ضم کیا جاتا ہے۔ (مذکورہ ڈھانچے کے عنصر (1) کے لیے) آخر میں، عالمی سختی میٹرکس انفرادی توسیعی عنصر میٹرکس کو ایک ساتھ جوڑ کر بنایا جاتا ہے۔ حل ایک بار عالمی سختی میٹرکس، نقل مکانی ویکٹر، اور قوت ویکٹر کی تعمیر ہو جانے کے بعد، نظام کو واحد میٹرکس مساوات کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ساخت میں آزادی کی ہر ڈگری کے لیے، یا تو نقل مکانی یا قوت معلوم ہوتی ہے۔ آزادی کی ہر ڈگری کے لیے معلوم قدر داخل کرنے کے بعد، ماسٹر سختی کی مساوات مکمل ہو جاتی ہے اور تشخیص کے لیے تیار ہو جاتی ہے۔ میٹرکس مساوات کی تشخیص کے لیے کئی مختلف طریقے دستیاب ہیں جن میں چولسکی سڑنا اور مساوات کے نظام کی بروٹ فورس کی تشخیص شامل ہیں لیکن ان تک محدود نہیں ہیں۔ اگر کسی ڈھانچے کو مناسب طریقے سے محدود نہیں کیا جاتا ہے، تو کسی قوت کے استعمال سے وہ سختی سے حرکت کرے گا اور اضافی معاون شرائط کو شامل کرنا ضروری ہے۔ اس حصے میں بیان کردہ طریقہ کار کا مطلب براہ راست سختی کے طریقہ کار کا جائزہ ہے۔ عمل کے بارے میں مزید تفصیلات کے ساتھ ساتھ عمل میں موجود مادی خصوصیات کے بارے میں مفروضوں کے لیے اضافی ذرائع سے مشورہ کیا جانا چاہیے۔ ایپلی کیشنز براہ راست سختی کا طریقہ خاص طور پر کمپیوٹر سافٹ ویئر میں مؤثر طریقے سے اور آسانی سے نافذ کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا تاکہ پیچیدہ ڈھانچوں کا اندازہ کیا جا سکے جن میں عناصر کی ایک بڑی تعداد ہوتی ہے۔ آج، دستیاب تقریبا ہر محدود عنصر حل کرنے والا براہ راست سختی کے طریقہ کار پر مبنی ہے۔ اگرچہ ہر پروگرام ایک ہی عمل کا استعمال کرتا ہے، لیکن گنتی کے وقت کو کم کرنے اور مطلوبہ میموری کو کم کرنے کے لیے بہت سے پروگراموں کو ہموار کیا گیا ہے۔ اسے حاصل کرنے کے لیے شارٹ کٹ تیار کیے گئے ہیں۔ براہ راست سختی کے طریقہ کار کو استعمال کرنے کے لیے سب سے بڑے شعبوں میں سے ایک ساختی تجزیہ کا میدان ہے جہاں اس طریقہ کو ماڈلنگ سافٹ ویئر میں شامل کیا گیا ہے۔ سافٹ ویئر صارفین کو ایک ڈھانچے کا نمونہ بنانے کی اجازت دیتا ہے اور، صارف کے عناصر کی مادی خصوصیات کی وضاحت کرنے کے بعد، پروگرام خود بخود عنصر اور عالمی سختی کے تعلقات پیدا کرتا ہے۔ جب مختلف لوڈنگ کے حالات کا اطلاق کیا جاتا ہے تو سافٹ ویئر ڈھانچے کا جائزہ لیتا ہے اور صارف کے لیے انحراف پیدا کرتا ہے۔ فنائٹ عنصر کا طریقہ بھی دیکھیں ساختی میکانکس میں فنائٹ عنصر کا طریقہ ساختی تجزیہ لچکدار طریقہ محدود عنصر سافٹ ویئر پیکجوں کی فہرست بیرونی لنکس 1-ڈی اسپرنگ سسٹم میٹرکس میں براہ راست سختی کے طریقہ کا اطلاق ساختی تجزیہ حرکت پذیری سختی کے تجزیے کے تخروپن حوالہ جات فیلیپا، کارلوس اے۔ فائنائٹ عنصر کے طریقہ کار کا تعارف۔ زوال 2001۔ کولوراڈو یونیورسٹی۔ 18 ستمبر 2005 رابنسن، جان۔ انجینئر کے لیے ساختی میٹرکس تجزیہ۔ نیویارک: جان ولی اینڈ سنز، 1966 روبنسٹائن، موشے ایف میٹرکس کمپیوٹر اینالیسس آف اسٹرکچرز۔ نیو جرسی: پرینٹس ہال، 1966 میک گائر، ڈبلیو۔، گیلاگر، آر۔ ایچ۔، اور زیمین، آر۔ ڈی۔ میٹرکس اسٹرکچرل اینالیسس، دوسرا ایڈیشن۔ نیویارک: جان ولی اینڈ سنز، 2000۔ ساختی تجزیہ عددی تفریق مساوات