Baire set
ریاضی میں، خاص طور پر پیمائش کے نظریہ میں، بائر سیٹ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کا σ-الجبرا بناتے ہیں جو بوریل سیٹوں کی کچھ پیتھولوجیکل خصوصیات سے بچتا ہے۔ بائر سیٹوں کی کئی غیر مساوی تعریفیں ہیں، لیکن سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والے، مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس کے بائر سیٹ سب سے چھوٹے σ-الجبرا کی تشکیل کرتے ہیں جیسے کہ تمام کمپیکٹ سپورٹڈ مسلسل افعال قابل پیمائش ہوتے ہیں۔ اس طرح، اس σ-الجبرا پر بیان کردہ اقدامات، جنہیں بائر پیمائش کہا جاتا ہے، مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں پر انضمام کے لیے ایک آسان فریم ورک ہیں۔ خاص طور پر، اس طرح کی جگہ پر کوئی بھی کمپیکٹ سپورٹڈ مسلسل فنکشن کسی بھی محدود بائر پیمائش کے حوالے سے مربوط ہے۔ ہر بائر سیٹ ایک بوریل سیٹ ہے۔ اس کے برعکس بہت سے، لیکن تمام نہیں، ٹپوولوجیکل خالی جگہوں میں ہوتا ہے۔ بائر سیٹ ٹوپولوجی کے لیے قابل شمار بنیاد کے بغیر خالی جگہوں پر بریل سیٹ کی کچھ پیتھولوجیکل خصوصیات سے بچتے ہیں۔ عملی طور پر، بائر سیٹوں پر بائر اقدامات کے استعمال کو اکثر بریل سیٹوں پر باقاعدہ بریل اقدامات کے استعمال سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ بائر سیٹ متعارف کروائے گئے تھے، اور، جنہوں نے ان کا نام بائر افعال کے نام پر رکھا، جن کا نام بدلے میں رینے لوئس بائر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ بنیادی تعریفیں مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں پر بائر سیٹوں کی کم از کم تین غیر مساوی تعریفیں ہیں، اور عام ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے لیے اس سے بھی زیادہ تعریفیں ہیں، حالانکہ یہ تمام تعریفیں مقامی طور پر کمپیکٹ σ-کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے مساوی ہیں۔ مزید برآں، کچھ مصنفین اس ٹپوولوجیکل جگہ پر پابندیاں شامل کرتے ہیں جس پر بائر سیٹ کی وضاحت کی جاتی ہے، اور صرف ان جگہوں پر بائر سیٹ کی وضاحت کرتے ہیں جو کمپیکٹ ہاؤس ڈورف، یا مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف، یا σ-کمپیکٹ ہیں۔ پہلی تعریف کونیہیکو کوڈائرا نے کچھ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی وضاحت کی جسے ہم بائر سیٹ کہتے ہیں (حالانکہ وہ الجھن میں انہیں "بوریل سیٹ" کہتے ہیں) وہ سیٹ ہوتے ہیں جن کی خصوصیت ایک بائر فنکشن ہوتی ہے (افعال کی سب سے چھوٹی کلاس جس میں تمام مسلسل حقیقی قدر والے افعال ہوتے ہیں اور ترتیب کی نقطہ وار حدود کے تحت بند ہوتے ہیں)۔ ایک مساوی تعریف دیتا ہے اور ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کے بائر سیٹوں کو سب سے چھوٹے σ-الجبرا کے عناصر کے طور پر بیان کرتا ہے تاکہ تمام مسلسل حقیقی قدر والے افعال قابل پیمائش ہوں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ σ-کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے یہ مندرجہ ذیل تعریفوں کے مساوی ہے، لیکن عام طور پر تعریفیں مساوی نہیں ہیں۔ اس کے برعکس، بائر فنکشن بالکل حقیقی قدر والے فنکشن ہیں جو بائر پیمائش کے قابل ہیں۔ میٹرک خالی جگہوں کے لیے، بائر سیٹ بوریل سیٹوں کے ساتھ موافق ہوتے ہیں۔ دوسری تعریف میں مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس کے بائر سیٹوں کو کمپیکٹ Gδ سیٹوں کے ذریعہ تیار کردہ σ-رنگ کے عناصر کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ تعریف اب زیادہ استعمال نہیں کی جاتی ہے، کیونکہ σ-رنگ کسی حد تک فیشن سے باہر ہیں۔ جب جگہ σ-کمپیکٹ ہوتی ہے، تو یہ تعریف اگلی تعریف کے مساوی ہوتی ہے۔ بند Gδ سیٹوں کے بجائے کمپیکٹ Gδ سیٹوں کے ساتھ کام کرنے کی ایک وجہ یہ ہے کہ بائر کے اقدامات پھر خود بخود باقاعدہ ہوتے ہیں۔ تیسری تعریف تیسری اور سب سے زیادہ استعمال ہونے والی تعریف ہالموس کی تعریف سے ملتی جلتی ہے، جس میں ترمیم کی گئی ہے تاکہ بائر سیٹ صرف ایک σ-رنگ کے بجائے σ-الجبرا تشکیل دیں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف ٹپوولوجیکل اسپیس کے ذیلی سیٹ کو بائر سیٹ کہا جاتا ہے اگر یہ تمام کمپیکٹ Gδ سیٹوں پر مشتمل سب سے چھوٹے σ-الجبرا کا رکن ہو۔ دوسرے لفظوں میں، بائر سیٹوں کا σ-الجبرا تمام کمپیکٹ Gδ سیٹوں سے پیدا ہونے والا σ-الجبرا ہے۔ متبادل طور پر، بائر سیٹ سب سے چھوٹا σ-الجبرا اس طرح بناتے ہیں کہ کمپیکٹ سپورٹ کے تمام مسلسل افعال قابل پیمائش ہوتے ہیں (کم از کم مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں پر ؛ عام ٹوپولوجیکل خالی جگہوں پر ان دونوں شرائط کو مساوی ہونے کی ضرورت نہیں ہے)۔ σ-کمپیکٹ خالی جگہوں کے لیے یہ ہالموس کی تعریف کے برابر ہے۔ ان خالی جگہوں کے لیے جو σ-کمپیکٹ نہیں ہیں اس تعریف کے تحت بائر سیٹ وہ ہیں جو ہالموس کی تعریف کے تحت ان کی تکمیل کے ساتھ ہیں۔ تاہم، اس صورت میں یہ اب درست نہیں ہے کہ ایک محدود بائر پیمائش لازمی طور پر باقاعدہ ہے: مثال کے طور پر، بائر امکانات کی پیمائش جو ایک بے شمار مجرد جگہ کے ہر قابل گنتی ذیلی سیٹ کو پیمائش 0 تفویض کرتی ہے اور ہر قابل گنتی ذیلی سیٹ کو 1 کی پیمائش کرتی ہے، بائر امکانات کی پیمائش ہے جو باقاعدہ نہیں ہے۔ مثالیں بائر سیٹوں کی مختلف تعریفیں مساوی نہیں ہیں مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے لیے جو σ-کمپیکٹ نہیں ہیں اوپر کی تین تعریفیں مساوی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک مجرد ٹپوولوجیکل جگہ مقامی طور پر کمپیکٹ اور ہاؤزڈورف ہے۔ مجرد جگہ پر بیان کردہ کوئی بھی فنکشن مسلسل ہوتا ہے، اور اس لیے، پہلی تعریف کے مطابق، مجرد جگہ کے تمام ذیلی سیٹ بائر ہوتے ہیں۔ تاہم، چونکہ ایک مجرد جگہ کی کمپیکٹ ذیلی جگہیں قطعی طور پر محدود ذیلی جگہیں ہیں، اس لیے دوسری تعریف کے مطابق، بائر سیٹ بالکل سب سے زیادہ قابل گنتی سیٹ ہیں، جبکہ تیسری تعریف کے مطابق بائر سیٹ سب سے زیادہ قابل گنتی سیٹ اور ان کی تکمیل ہیں۔ اس طرح، تینوں تعریفیں ایک بے شمار مجرد جگہ پر غیر مساوی ہیں۔ غیر ہاؤز ڈورف خالی جگہوں کے لیے مسلسل افعال کے لحاظ سے بائر سیٹوں کی تعریفیں Gδ کمپیکٹ سیٹوں پر مشتمل تعریفیں کے مساوی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر X ایک لامحدود قابل گنتی سیٹ ہے جس کے بند سیٹ محدود سیٹ اور پوری جگہ ہیں، تو X پر صرف مسلسل حقیقی افعال مستقل ہیں، لیکن X کے تمام ذیلی سیٹ کمپیکٹ بند Gδ سیٹوں سے پیدا ہونے والے σ-الجبرا میں ہیں۔ ایک بوریل سیٹ جو بائر سیٹ نہیں ہے ایک کارٹیشین پروڈکٹ میں بے شمار کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں میں ایک سے زیادہ پوائنٹس کے ساتھ، ایک پوائنٹ کبھی بھی بائر سیٹ نہیں ہوتا ہے، اس حقیقت کے باوجود کہ یہ بند ہے، اور اس وجہ سے ایک بوریل سیٹ ہے۔ خصوصیات بائر سیٹ یوکلڈین خالی جگہوں میں بوریل سیٹ کے ساتھ موافق ہوتے ہیں۔ ہر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف اسپیس کے لیے، ہر محدود بائر پیمائش (یعنی تمام بائر سیٹوں کے σ-الجبرا پر ایک پیمائش) باقاعدہ ہے۔ ہر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف جگہ کے لیے، ہر محدود بائر پیمائش میں باقاعدہ بوریل پیمائش کی ایک منفرد توسیع ہوتی ہے۔ کولموگوروف ایکسٹینشن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ محدود جہتی امکانات کی تقسیم کا ہر مستقل مجموعہ افعال کی جگہ پر بائر پیمائش کا باعث بنتا ہے۔ کمپیکٹنس کو فرض کرتے ہوئے (دی گئی جگہ کی، اور اس وجہ سے فنکشن کی جگہ بھی) کوئی اسے باقاعدہ بوریل پیمائش تک بڑھا سکتا ہے۔ تکمیل کے بعد کسی کو ایک ممکنہ جگہ ملتی ہے جو ضروری نہیں کہ معیاری ہو۔ نوٹ حوالہ جات خاص طور پر سیکشن دیکھیں۔ 51 "بوریل سیٹ اور بائر سیٹ"۔ ۔ خاص طور پر فرقے دیکھیں۔ 7. 1 "بائر اور بوریل الجیبراس اور اقدامات کی باقاعدگی" اور فرقہ۔ 7. 3 "باقاعدگی کی توسیع"۔ جنرل ٹوپولوجی پیمائش کا نظریہ