Ross–Littlewood paradox
راس لٹل ووڈ پیراڈوکس (جسے گیندوں اور گلدان کا مسئلہ یا پنگ پونگ بال کا مسئلہ بھی کہا جاتا ہے) تجریدی ریاضی اور منطق میں ایک فرضی مسئلہ ہے جو متضاد، یا کم از کم غیر بدیہی، انفینٹی کی نوعیت کی وضاحت کے لیے بنایا گیا ہے۔ مزید خاص طور پر، تھامسن کے لیمپ پیراڈوکس کی طرح، راس لٹل ووڈ پیراڈوکس ایک سپر ٹاسک کے تصور کے ساتھ تصوراتی مشکلات کی وضاحت کرنے کی کوشش کرتا ہے، جس میں لامحدود تعداد میں کام ترتیب سے مکمل ہوتے ہیں۔ اس مسئلے کو اصل میں ریاضی دان جان ای لٹل ووڈ نے اپنی 1953 کی کتاب لٹل ووڈ کی مسیلنی میں بیان کیا تھا، اور بعد میں شیلڈن راس نے اپنی 1988 کی کتاب اے فرسٹ کورس ان پروبیبلٹی میں اس کی توسیع کی تھی۔ مسئلہ ایک خالی گلدان اور گیندوں کی لامحدود فراہمی سے شروع ہوتا ہے۔ اس کے بعد لامحدود تعداد میں اقدامات کیے جاتے ہیں، جیسے کہ ہر مرحلے پر 10 گیندوں کو گلدان میں شامل کیا جاتا ہے اور اس میں سے 1 گیند کو ہٹا دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد سوال اٹھایا جاتا ہے: کام ختم ہونے پر گلدان میں کتنی گیندیں ہوتی ہیں؟ لامتناہی مراحل کو مکمل کرنے کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ دوپہر سے ایک منٹ پہلے گلدستہ خالی ہو جاتا ہے، اور یہ کہ درج ذیل مراحل انجام دیے جاتے ہیں: پہلا قدم دوپہر سے 30 سیکنڈ پہلے انجام دیا جاتا ہے۔ دوسرا مرحلہ دوپہر سے 15 سیکنڈ پہلے کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد کا ہر مرحلہ پچھلے مرحلے کے آدھے وقت میں انجام دیا جاتا ہے، یعنی مرحلہ n دوپہر سے 2 منٹ پہلے انجام دیا جاتا ہے۔ یہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ دوپہر تک بے شمار اقدامات انجام دیے جاتے ہیں۔ چونکہ اس کے بعد کے ہر مرحلے میں پچھلے مرحلے کے مقابلے میں آدھا وقت لگتا ہے، اس لیے ایک منٹ گزرنے تک لامحدود تعداد میں اقدامات انجام دیے جاتے ہیں۔ پھر سوال یہ ہے کہ دوپہر کے وقت گلدان میں کتنی گیندیں ہوتی ہیں؟ حل پہیلی کے جوابات کئی زمروں میں آتے ہیں۔ گلدان میں لامحدود کئی گیندیں ہوتی ہیں۔ سب سے زیادہ بدیہی جواب یہ معلوم ہوتا ہے کہ گلدان میں دوپہر تک گیندوں کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، کیونکہ راستے میں ہر قدم پر ہٹانے سے زیادہ گیندیں شامل کی جا رہی ہیں۔ تعریف کے مطابق، ہر مرحلے پر، پچھلے مرحلے کے مقابلے میں گیندوں کی تعداد زیادہ ہوگی۔ حقیقت میں ایسا کوئی مرحلہ نہیں ہے جہاں گیندوں کی تعداد پچھلے مرحلے سے کم ہو۔ اگر ہر بار گیندوں کی تعداد میں اضافہ ہوتا ہے، تو لامحدود مراحل کے بعد گیندوں کی لامحدود تعداد ہوگی۔ گلدان خالی ہے فرض کریں کہ گیندوں کی لامحدود فراہمی کی گیندوں کو نمبر دیا گیا تھا، اور یہ کہ مرحلہ 1 پر 1 سے 10 گیندوں کو گلدان میں ڈالا جاتا ہے، اور پھر گیند نمبر 1 کو ہٹا دیا جاتا ہے۔ مرحلہ 2 پر، 11 سے 20 گیندوں کو داخل کیا جاتا ہے، اور پھر گیند 2 کو ہٹا دیا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دوپہر تک، گلدان میں ڈالی جانے والی این لیبل والی ہر گیند کو بالآخر اگلے مرحلے میں ہٹا دیا جاتا ہے (یعنی، مرحلہ این پر)۔ اس لیے دوپہر کو گلدان خالی ہوتا ہے۔ یہ وہ حل ہے جسے ریاضی دان ایلس اور کوئٹسیر نے پسند کیا۔ یہ اس دلیل کا مجموعہ ہے کہ دوپہر کے وقت گلدان خالی ہوتا ہے، اس کے ساتھ ساتھ زیادہ بدیہی جواب کہ گلدان میں لامحدود گیندیں ہونی چاہئیں، اس مسئلے کو راس-لٹل ووڈ پیراڈوکس کا نام دینے کی ضمانت دیتا ہے۔ راس کے مسئلے کے ممکنہ ورژن نے ہٹانے کے طریقہ کار کو اس صورت تک بڑھا دیا جہاں جب بھی کسی گیند کو واپس لینا ہو تو اس گیند کو یکساں طور پر بے ترتیب طور پر اس وقت گلدان میں موجود لوگوں میں سے منتخب کیا جاتا ہے۔ اس معاملے میں انہوں نے دکھایا کہ دوپہر کے وقت گلدان میں کسی خاص گیند کے باقی رہنے کا امکان 0 تھا اور اس لیے، بول کی عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے اور گیندوں پر قابل شمار رقم لیتے ہوئے، کہ دوپہر کو گلدان خالی ہونے کا امکان 1 تھا۔ حالات پر منحصر ہے درحقیقت، گیندوں کی تعداد جو کسی کے ساتھ ختم ہوتی ہے اس کا انحصار اس ترتیب پر ہوتا ہے جس میں گیندوں کو گلدان سے نکالا جاتا ہے۔ جیسا کہ پہلے بتایا گیا ہے، گیندوں کو اس طرح سے شامل اور ہٹایا جا سکتا ہے کہ دوپہر کے وقت گلدان میں کوئی گیند باقی نہ رہے۔ تاہم، اگر گیند نمبر 10 کو مرحلہ 1 پر، گیند نمبر 20 کو مرحلہ 2 پر، اور اسی طرح ہٹایا گیا، تو یہ واضح ہے کہ دوپہر کے وقت گلدان میں گیندوں کی لامحدود تعداد باقی رہے گی۔ درحقیقت، اس بات پر منحصر ہے کہ مختلف مراحل پر کون سی گیند کو ہٹایا جاتا ہے، گیند کی کسی بھی منتخب تعداد کو دوپہر تک گلدان میں رکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ نیچے دیے گئے طریقہ کار سے ظاہر ہوتا ہے۔ یہ وہ حل ہے جسے فلسفی منطق ٹام ٹموکزکو اور ریاضی دان منطق جم ہینلے نے پسند کیا۔ یہ حل ریاضیاتی طور پر سیٹوں کی ترتیب سے کمتر حد لینے سے مطابقت رکھتا ہے۔ مندرجہ ذیل طریقہ کار بالکل واضح کرتا ہے کہ گلدان میں بقیہ گیندوں کی منتخب کردہ تعداد کیسے حاصل کی جائے۔ آئیے n گلدان میں گیندوں کی مطلوبہ آخری تعداد کو ظاہر کرتا ہے (n ≤ 0)۔ آئی اس وقت ہونے والے آپریشن کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے (i ≤ 1)۔ طریقہ کار: i = 1 سے انفینیٹی کے لیے: (10 * i-9) سے (10 * i) تک کی گیندوں کو گلدان میں ڈالیں اگر i ≤ n تو گیند نمبر 2 * i کو ہٹا دیں اگر i> n تو گیند نمبر n + i کو ہٹا دیں واضح طور پر، پہلی n عجیب گیندیں نہیں ہٹائی جاتی ہیں، جبکہ 2n سے بڑی یا اس کے برابر تمام گیندیں ہیں۔ لہذا، بالکل n گیندیں گلدان میں رہتی ہیں۔ اگرچہ گیند اور گلدان کی حالت دوپہر سے پہلے وقت کے ہر لمحے اچھی طرح سے متعین ہوتی ہے، لیکن دوپہر کے وقت یا اس کے بعد وقت کے کسی بھی لمحے کے بارے میں کوئی نتیجہ نہیں نکالا جا سکتا۔ اس طرح، ہم سب جانتے ہیں، دوپہر کے وقت، گلدان محض جادوئی طور پر غائب ہو جاتا ہے، یا اس کے ساتھ کچھ اور ہوتا ہے۔ لیکن ہم نہیں جانتے، کیونکہ مسئلہ بیان اس کے بارے میں کچھ نہیں کہتا ہے۔ لہذا، پچھلے حل کی طرح، اس حل میں کہا گیا ہے کہ مسئلہ کم واضح ہے، لیکن پچھلے حل سے مختلف انداز میں۔ اس حل کو ریاضی کے فلسفی پال بیناسراف نے پسند کیا ہے۔ مسئلہ غیر تشکیل شدہ ہے مسئلہ غیر تشکیل شدہ ہے۔ واضح طور پر، مسئلہ کے بیان کے مطابق، دوپہر سے پہلے لامحدود تعداد میں آپریشن کیے جائیں گے، اور پھر دوپہر کو حالات کے بارے میں پوچھیں گے۔ لیکن، جیسا کہ زینو کے تضادات میں، اگر دوپہر سے پہلے لامحدود طور پر بہت سے آپریشن (ترتیب وار) کرنے ہوں، تو دوپہر وقت کا ایک نقطہ ہے جس تک کبھی نہیں پہنچا جا سکتا۔ دوسری طرف، یہ پوچھنا کہ دوپہر کو کتنی گیندیں باقی رہیں گی، یہ فرض کرنا ہے کہ دوپہر تک پہنچ جائے گی۔ لہذا مسئلہ کے بیان میں ہی ایک تضاد مضمر ہے، اور یہ تضاد یہ مفروضہ ہے کہ کوئی بھی کسی نہ کسی طرح لامحدود مراحل کو 'مکمل' کر سکتا ہے۔ یہ وہ حل ہے جس کی حمایت ریاضی دان اور فلسفی جین پال وان بینڈیگم نے کی ہے۔ سپر ٹاسک تھامسن کا لیمپ زینو کا پیراڈوکس ہلبرٹ کا گرینڈ ہوٹل حوالہ جات کا پیراڈوکس مزید پڑھیں "لٹل ووڈ کا مسیلنی" (ایڈ۔ بیلا بولوباس)، کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج، 1986۔ صفحہ 26۔ (سب سے پہلے "اے میتھمیٹشینز مسیلنی" کے نام سے شائع ہوا۔ Béla Bollobás, Methuen & Co., 1953) "ٹاسک، سپر ٹاسک، اور ماڈرن ایلیٹکس"، پال بیناسراف، جرنل آف فلاسفی، LIX، 1962، پی پی۔ 765-784 "اے فرسٹ کورس ان پروبیبلٹی"، شیلڈن راس، نیویارک: میک ملن، 1976 "آن سم پیراڈوکسز آف دی انفینٹ"، وکٹر ایلس اور ٹیونس کوئٹسیر، دی برٹش جرنل فار دی فلاسفی آف سائنس، v. 42 n. 2، جون 1991، pp. 187-194 "راس پیراڈوکس ایک ناممکن سپر ٹاسک ہے"، جین پال وان بینڈیگم، دی برٹش جرنل فار دی فلاسفی آف سائنس، v. 45 n. 2، جون 1994، پی پی۔ 743-748 "انفینٹ پینز: دی ٹربل ود سپر ٹاسکس"، ایرمین، جے۔ اور نارٹن، جے ڈی، ایس سٹچ میں (ایڈیشن۔) پال بیناسراف: فلسفی اور اس کے ناقدین (نیویارک: بلیک ویل)، 1994 "سویٹ ریزن: اے فیلڈ گائیڈ ٹو ماڈرن لاجک"، ٹام ٹموکوزکو اور جم ہینلے، فری مین پریس، 1995 سپر ٹاسک پیراڈوکس آف انفینیٹی