Conjugate points
تفریق جیومیٹری میں، کنجوگیٹ پوائنٹس یا فوکل پوائنٹس، تقریبا، ایسے پوائنٹس ہوتے ہیں جن میں جیوڈیکس کے 1-پیرامیٹر فیملی کے ذریعے تقریبا شامل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی دائرے پر، شمالی قطب اور جنوبی قطب کسی بھی مریدین سے جڑے ہوتے ہیں۔ ایک اور نقطہ نظر یہ ہے کہ کنجوگیٹ پوائنٹس بتاتے ہیں کہ جیوڈیکس کب لمبائی کو کم کرنے میں ناکام ہوتے ہیں۔ تمام جیوڈیکسکس مقامی طور پر لمبائی کو کم کرتے ہیں، لیکن عالمی سطح پر نہیں۔ مثال کے طور پر کسی دائرے پر، شمالی قطب سے گزرنے والے کسی بھی جیوڈیسک کو جنوبی قطب تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور اس لیے قطبوں کو جوڑنے والا کوئی بھی جیوڈیسک حصہ (منفرد طور پر) عالمی سطح پر لمبائی کو کم نہیں کرتا ہے۔ یہ ہمیں بتاتا ہے کہ معیاری 2-دائرے پر اینٹی پوڈل پوائنٹس کا کوئی بھی جوڑا کنجوگیٹ پوائنٹس ہیں۔ تعریف فرض کریں کہ p اور q ریمینیئن کئی گنا پر پوائنٹس ہیں، اور یہ ایک جیوڈیسیک ہے جو p اور q کو جوڑتا ہے۔ پھر p اور q کنجوگیٹ پوائنٹس ہیں اگر کوئی غیر صفر جیکوبی فیلڈ موجود ہو جو p اور q پر غائب ہو جائے۔ یاد رکھیں کہ کسی بھی جیکوبی فیلڈ کو جیوڈیسیک تغیر کے مشتق کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (جیکوبی فیلڈز پر مضمون دیکھیں)۔ لہذا، اگر p اور q کنجوگیٹ ہیں، تو کوئی جیوڈیکس کا ایک خاندان بنا سکتا ہے جو p سے شروع ہوتا ہے اور تقریبا q پر ختم ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر جیوڈیکس کا وہ خاندان ہے جس کا مشتق s میں جیکوبی فیلڈ J پیدا کرتا ہے، تو تغیر کا اختتامی نقطہ، یعنی، صرف s میں پہلی ترتیب تک کا نقطہ q ہے۔ لہذا، اگر دو پوائنٹس کنجوگیٹ ہیں، تو یہ ضروری نہیں ہے کہ ان میں شامل ہونے والی دو الگ الگ جیوڈیکس موجود ہوں۔ مثالیں دائرے پر، اینٹی پوڈل پوائنٹس کنجوگیٹ ہوتے ہیں۔ حقیقی کوآرڈینیٹ اسپیس پر، کوئی کنجوگیٹ پوائنٹس نہیں ہوتے ہیں۔ غیر مثبت سیکشنل منحنی خطوط والے ریمینیئن مینیفولڈز پر کوئی کنجوگیٹ پوائنٹ نہیں ہوتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کٹ لوکس جیکوبی فیلڈ حوالہ جات ریمینین جیومیٹری