Lagrange inversion theorem
ریاضیاتی تجزیے میں، لگرینج الٹ نظریہ، جسے لگرینج-برمن فارمولا بھی کہا جاتا ہے، ایک تجزیاتی فعل کے الٹا فعل کی ٹیلر سیریز کی توسیع دیتا ہے۔ بیان فرض کریں کہ اس فارم کے ایک فنکشن کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں ایک نقطہ پر تجزیاتی ہے اور پھر مساوات کو الٹنا یا حل کرنا ممکن ہے، اسے پاور سیریز کے ذریعہ دی گئی شکل میں ظاہر کرنا جہاں تھیوریم مزید بیان کرتا ہے کہ اس سیریز میں کنورجنس کا غیر صفر رداس ہے، یعنی، اس کے پڑوس میں ایک تجزیاتی فنکشن کی نمائندگی کرتا ہے۔ اسے سیریز کا ریورژن بھی کہا جاتا ہے۔ اگر تجزیات کے بارے میں دعووں کو خارج کر دیا جائے تو فارمولہ رسمی پاور سیریز کے لیے بھی درست ہے اور اسے مختلف طریقوں سے عام کیا جا سکتا ہے: اسے کئی متغیرات کے افعال کے لیے وضع کیا جا سکتا ہے ؛ اسے کسی بھی تجزیاتی فعل کے لیے تیار فارمولہ فراہم کرنے کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے ؛ اور اسے اس صورت میں عام کیا جا سکتا ہے جہاں الٹا ایک کثیر قدر والا فعل ہو۔ اس نظریہ کو لگرینج نے ثابت کیا اور ہنس ہینرچ برمن نے عام کیا، دونوں 18 ویں صدی کے آخر میں۔ پیچیدہ تجزیہ اور کنٹور انضمام کا استعمال کرتے ہوئے ایک سیدھا سیدھا مشتق ہے۔ پیچیدہ رسمی پاور سیریز ورژن کثیر الجہتی کے فارمولے کو جاننے کا نتیجہ ہے، لہذا تجزیاتی افعال کا نظریہ لاگو کیا جاسکتا ہے۔ دراصل، تجزیاتی فنکشن تھیوری کی مشینری اس ثبوت میں صرف رسمی طریقے سے داخل ہوتی ہے، اس میں جس چیز کی واقعی ضرورت ہے وہ رسمی باقیات کی کچھ خاصیت ہے، اور ایک زیادہ براہ راست رسمی ثبوت دستیاب ہے۔ اگر ایک رسمی پاور سیریز ہے، تو مندرجہ بالا فارمولا سیریز کے کوفشنٹس کے لحاظ سے براہ راست کمپوزیشنل انورس سیریز کے کوفشنٹس نہیں دیتا ہے۔ اگر کوئی افعال کا اظہار کر سکتا ہے اور رسمی پاور سیریز میں اور کے ساتھ، تو بیل کثیر الجہتی کی اصطلاح میں الٹا گتانک کی ایک واضح شکل دی جا سکتی ہے: بڑھتی ہوئی فیکٹوریل کہاں ہے۔ کب، آخری فارمولے کی تشریح اسوشیاہیڈرا کے چہروں کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے جہاں اسوشیاہیڈرون کے ہر چہرے کے لیے مثال مثال کے طور پر، ڈگری کی الجبرائی مساوات کو فنکشن کے لیے لگرینج الٹ فارمولے کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک رسمی سیریز حل ہوتا ہے۔ کنورجنس ٹیسٹ کے ذریعے، یہ سیریز حقیقت میں کنورجنٹ ہے جس کے لیے سب سے بڑی ڈسک بھی ہے جس میں مقامی الٹ کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ ثبوت کا خاکہ سادگی کے لیے فرض کریں۔ اگر ہم ہندسی سیریز کا استعمال کرتے ہوئے انٹیگرینڈ کو وسعت دیتے ہیں تو ہمیں ملتا ہے کہ آخری مرحلے میں ہم نے اس حقیقت کو استعمال کیا جس میں ایک سادہ صفر ہے۔ آخر میں ہم اکاؤنٹ میں لے کر اوور انٹیگریٹ کر سکتے ہیں۔ سمیشن انڈیکس کی نئی تعریف پر ہمیں بیان کردہ فارمولا ملتا ہے۔ ایپلی کیشنز لگرینج-برمن فارمولا لگرینج انورژن تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے جو کمبینٹوریکس میں استعمال ہوتا ہے اور اس کا اطلاق تب ہوتا ہے جب ٹیک کے ساتھ کچھ تجزیاتی حاصل کرنے کے لیے ہوتا ہے۔ پھر الٹا (اطمینان بخش) کے لیے، ہمارے پاس ایسا ہوتا ہے جسے متبادل طور پر لکھا جا سکتا ہے کہ ایک آپریٹر کہاں ہے جو کے فنکشن کی ٹیلر سیریز میں کے گتانک کو نکالتا ہے۔ فارمولے کی عمومی شکل کو لگرینج-برمن فارمولے کے نام سے جانا جاتا ہے: جہاں ایک صوابدیدی تجزیاتی فعل ہے۔ بعض اوقات مشتق کافی پیچیدہ ہو سکتا ہے۔ فارمولے کا ایک آسان ورژن حاصل کرنے کی جگہ لے لیتا ہے جس میں اس کے بجائے شامل ہوتا ہے۔ لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن لیمبرٹ فنکشن وہ فنکشن ہے جس کی وضاحت اس مساوات سے ہوتی ہے۔ ہم نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے ٹیلر سیریز کا حساب لگا سکتے ہیں اور یہ تسلیم کر سکتے ہیں کہ اس سے کنورجنس کا رداس ملتا ہے (لیمبرٹ فنکشن کی پرنسپل برانچ دیتا ہے)۔ ایک سلسلہ جو (تقریبا) کے لیے یکجا ہوتا ہے، سلسلہ الٹ کے ذریعے بھی اخذ کیا جا سکتا ہے۔ فنکشن مساوات کو مطمئن کرتا ہے پھر اسے پاور سیریز میں بڑھایا جا سکتا ہے اور الٹا کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک سیریز دیتا ہے جس کے لیے مندرجہ بالا سیریز میں متبادل بنا کر حساب لگایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کے لیے متبادل بائنری درختوں کی قدر دیتا ہے غیر لیبل شدہ بائنری درختوں کے سیٹ پر غور کریں۔ کا عنصر یا تو سائز صفر کا پتی ہے، یا دو ذیلی درختوں والا جڑ نوڈ ہے۔ نوڈس پر بائنری درختوں کی تعداد سے ظاہر کریں۔ جڑ کو ہٹانے سے بائنری درخت چھوٹے سائز کے دو درختوں میں تقسیم ہو جاتا ہے۔ اس سے جنریٹنگ فنکشن لیٹنگ پر فنکشنل مساوات حاصل ہوتی ہے، اس طرح تھیوریم کو پیداوار کے ساتھ لاگو کرنا یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ واں کاتالان نمبر ہے۔ انٹیگرلز کا غیر علامتی تخمینہ لیپلیس-ایرڈلی تھیوریم میں جو لیپلیس قسم کے انٹیگرلز کے لیے غیر علامتی تخمینہ دیتا ہے، فنکشن الٹ کو ایک اہم قدم کے طور پر لیا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ فاؤ دی برونو کا فارمولا ان دو سیریز کے کوفشنٹس کے لحاظ سے دو رسمی پاور سیریز کی ساخت کے کوفشنٹس دیتا ہے۔ مساوی طور پر، یہ ایک جامع فنکشن کے nth مشتق کے لیے ایک فارمولا ہے۔ ایک اور تھیوریم کے لیے لگرینج ریورژن تھیوریم جسے بعض اوقات الٹا تھیوریم کہا جاتا ہے رسمی طاقت series#The لگرینج الٹا فارمولا حوالہ جات بیرونی لنکس برمن-لگرینج سیریز اسپرنجر EOM الٹا افعال میں حقیقی تجزیہ میں تھیوریمز پیچیدہ تجزیہ میں تھیوریمز کمبینٹوریکس میں تھیوریمز