Ehresmann connection
تفریق جیومیٹری میں، ایہرسمان کنکشن (فرانسیسی ریاضی دان چارلس ایہرسمان کے بعد جس نے سب سے پہلے اس تصور کو باقاعدہ بنایا تھا) کنکشن کے تصور کا ایک ورژن ہے، جو کسی بھی ہموار فائبر بنڈل پر معنی رکھتا ہے۔ خاص طور پر، یہ بنیادی فائبر بنڈل کے ممکنہ ویکٹر بنڈل ڈھانچے پر انحصار نہیں کرتا ہے، لیکن اس کے باوجود، لکیری کنکشن کو ایک خاص صورت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایہرسمان کنکشنز کا ایک اور اہم خاص معاملہ پرنسپل بنڈلوں پر پرنسپل کنکشنز ہیں، جن کا پرنسپل لائ گروپ ایکشن میں مساوی ہونا ضروری ہے۔ متغیر جیومیٹری میں ایک متغیر مشتق ایک لکیری تفریق آپریٹر ہے جو ویکٹر بنڈل کے ایک حصے کے دشاتمک مشتق کو متغیر انداز میں لیتا ہے۔ یہ کسی کو ویکٹر کی سمت میں بنڈل کے متوازی حصے کا تصور وضع کرنے کی بھی اجازت دیتا ہے: ایک سیکشن s ویکٹر X کے ساتھ متوازی ہے اگر۔ لہذا ایک متغیر مشتق کم از کم دو چیزیں فراہم کرتا ہے: ایک تفریقی آپریٹر، اور اس کا تصور کہ ہر سمت میں متوازی ہونے کا کیا مطلب ہے۔ ایہرسمان کنکشن تفریقی آپریٹر کو مکمل طور پر چھوڑ دیتا ہے اور ہر سمت میں متوازی حصوں کے لحاظ سے خود ساختہ طور پر کنکشن کی وضاحت کرتا ہے۔ خاص طور پر، ایہرسمان کنکشن فائبر بنڈل کی کل جگہ پر ہر ٹینجینٹ اسپیس کے ویکٹر سب اسپیس کو الگ کرتا ہے، جسے افقی اسپیس کہا جاتا ہے۔ اگر ایک افقی جگہ میں واقع ہے تو ایک سیکشن s X کی سمت میں افقی (یعنی متوازی) ہوتا ہے۔ یہاں ہم s کو بیس M سے فائبر بنڈل E تک ایک فنکشن کے طور پر دیکھ رہے ہیں، لہذا یہ ٹینجینٹ ویکٹرز کا پش فارورڈ ہے۔ افقی خالی جگہیں مل کر ایک ویکٹر سب بنڈل بناتی ہیں۔ اس کا فوری فائدہ محض ویکٹر بنڈلوں کے مقابلے میں ڈھانچوں کی ایک بہت وسیع کلاس پر قابل تعریف ہونے کا ہے۔ خاص طور پر، یہ عام فائبر بنڈل پر اچھی طرح سے متعین ہے۔ مزید برآں، کوویرینٹ مشتق کی بہت سی خصوصیات اب بھی باقی ہیں: متوازی نقل و حمل، منحنی پن، اور ہولونومی۔ ربط کا گمشدہ جزو، لکیریٹی کے علاوہ، کوویرینس ہے۔ کلاسیکی کوویرینٹ مشتقات کے ساتھ، کوویرینس مشتقات کی ایک پوسٹرری خصوصیت ہے۔ ان کی تعمیر میں کوئی بھی کرسٹوفیل علامتوں کے تبدیلی کے قانون کی وضاحت کرتا ہے-جو کہ متغیر نہیں ہے-اور پھر اس کے نتیجے میں مشتق کا عمومی متغیر ہوتا ہے۔ ایہرسمان کنکشن کے لیے، فائبر بنڈل کے ریشوں پر کام کرنے والے لائ گروپ کو متعارف کروا کر شروع سے ہی ایک عمومی کوویرینس اصول نافذ کرنا ممکن ہے۔ مناسب شرط یہ ہے کہ افقی خالی جگہیں، ایک خاص لحاظ سے، گروپ ایکشن کے حوالے سے مساوی ہوں۔ ایہرسمان کنکشن کے لیے اختتامی ٹچ یہ ہے کہ اسے ایک تفریقی شکل کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، بالکل اسی طرح جیسے کنکشن فارم کے معاملے میں ہوتا ہے۔ اگر گروپ ریشوں پر عمل کرتا ہے اور کنکشن مساوی ہے، تو فارم بھی مساوی ہوگا۔ مزید برآں، کنکشن فارم منحنی شکل کے طور پر منحنی شکل کی تعریف کی بھی اجازت دیتا ہے۔ رسمی تعریف ایک ہموار فائبر بنڈل ہونے دیں۔ آئیے عمودی بنڈل جس میں ای کے "ریشوں سے متصل" ویکٹر ہوتے ہیں، یعنی۔ V کا ریشہ ہے۔ اس کے ذیلی بنڈل کی تعریف اس وقت بھی کی جاتی ہے جب بیس اسپیس M کے لیے کوئی کینونکل سب اسپیس ٹینجینٹ نہ ہو۔ (یقینا، یہ غیر متناسبیت فائبر بنڈل کی بالکل تعریف سے آتی ہے، جس میں "صرف ایک پروجیکشن ہوتا ہے" جبکہ ایک پروڈکٹ میں دو ہوتے ہیں۔) افقی ذیلی جگہوں کے ذریعے تعریف E پر ایہرسمان کنکشن ایک ہموار ذیلی بنڈل H ہے، جسے کنکشن کا افقی بنڈل کہا جاتا ہے، جو V کی تکمیل کرتا ہے، اس معنی میں کہ یہ براہ راست رقم کے سڑنے کی وضاحت کرتا ہے۔ مزید تفصیل سے، افقی بنڈل میں درج ذیل خصوصیات ہیں۔ ہر نقطہ کے لیے، ای پر ای کے لیے ٹینجینٹ اسپیس کا ایک ویکٹر سب اسپیس ہے، جسے ای پر کنکشن کا افقی سب اسپیس کہا جاتا ہے۔ آسانی سے ای پر منحصر ہوتا ہے۔ ہر ایک کے لیے، ٹی ای ای میں کوئی بھی ٹینجینٹ ویکٹر (کسی بھی ای کے لیے) ایک افقی اور عمودی جزو کا مجموعہ ہے، تاکہ ٹی ای ای = ہی + وی۔ زیادہ نفیس اصطلاحات میں، ان خصوصیات کو مطمئن کرنے والی افقی خالی جگہوں کی اس طرح کی تفویض بالکل جیٹ بنڈل J1E → E کے ہموار حصے سے مطابقت رکھتی ہے۔ ایک کنکشن فارم کے ذریعے تعریف مساوی طور پر، H کے ساتھ عمودی بنڈل V پر پروجیکشن ہونے دیں (تاکہ H = کیر)۔ اس کا تعین ٹی ای کے افقی اور عمودی حصوں میں اوپر کی براہ راست رقم کے سڑنے سے ہوتا ہے اور اسے بعض اوقات ایہرسمان کنکشن کی کنکشن فارم کہا جاتا ہے۔ اس طرح ٹی ای سے اپنے آپ میں ایک ویکٹر بنڈل ہومومورفزم ہے جس میں درج ذیل خصوصیات ہیں (عام طور پر پروجیکشنز کی): 2 = ؛ V = IM پر شناخت ہے۔ اس کے برعکس، اگر ٹی ای کا ویکٹر بنڈل اینڈومورفزم ان دو خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے، تو ایچ = کیر ایہرسمان کنکشن کا افقی ذیلی بنڈل ہے۔ آخر میں، نوٹ کریں کہ، اپنے آپ میں ہر ٹینجینٹ اسپیس کی لکیری میپنگ ہونے کی وجہ سے، اسے ای پر ٹی ای ویلیوڈ 1 فارم بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ آنے والے حصوں میں ایک مفید نقطہ نظر ہوگا۔ افقی لفٹوں کے ذریعے متوازی نقل و حمل ایک ایہرسمان کنکشن بیس کئی گنا M سے منحنی خطوط کو فائبر بنڈل E کی کل جگہ میں اٹھانے کا ایک طریقہ بھی تجویز کرتا ہے تاکہ منحنی خطوط افقی ہوں۔ یہ افقی لفٹیں کنکشن فارملزم کے دیگر ورژن کے لیے متوازی نقل و حمل کا براہ راست ینالاگ ہیں۔ خاص طور پر، فرض کریں کہ γ (t) نقطہ x = γ (0) کے ذریعے M میں ایک ہموار منحنی خطوط ہے۔ فرض کریں کہ e bul Ex فائبر میں x کے اوپر ایک نقطہ ہے۔ γ سے e کی لفٹ کل جگہ E میں ایک وکر ہے، اور ایک لفٹ افقی ہے اگر، اس کے علاوہ، وکر کا ہر ٹینجینٹ ٹی ای کے افقی ذیلی بنڈل میں واقع ہے: اسے π پر لاگو رینک نلیٹی تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے اور یہ کہ ہر ویکٹر X bul TxM میں ویکٹر کے لیے ایک منفرد افقی لفٹ ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ٹینجینٹ فیلڈ سے γ پل بیک بنڈل γ * E کی کل جگہ میں ایک افقی ویکٹر فیلڈ پیدا کرتا ہے۔ پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم کے مطابق، یہ ویکٹر فیلڈ انٹیگریبل ہے۔ اس طرح، x = γ (0) پر کسی بھی منحنی خطوط γ اور نقطہ e کے لیے، چھوٹے وقت t کے لیے γ سے e کی ایک منفرد افقی لفٹ موجود ہے۔ نوٹ کریں کہ، عام ایہرسمان رابطوں کے لیے، افقی لفٹ راستے پر منحصر ہے۔ جب M میں دو ہموار منحنی خطوط، جو γ1 (0) = γ2 (0) = x0 پر موافق ہوتے ہیں اور دوسرے نقطہ x1 ωM پر بھی ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، اسی e ωπ−1 (x0) کے ذریعے افقی طور پر E کی طرف اٹھائے جاتے ہیں، تو وہ عام طور پر π−1 (x1) کے مختلف نکات سے گزرتے ہیں۔ فائبر بنڈلوں کی تفریقی جیومیٹری کے لیے اس کے اہم نتائج ہیں: H کے حصوں کی جگہ E پر ویکٹر فیلڈز کی جگہ کا لائ ذیلی الجبرا نہیں ہے، کیونکہ یہ (عام طور پر) ویکٹر فیلڈز کے لائ بریکٹ کے تحت بند نہیں ہوتا ہے۔ لائ بریکٹ کے تحت بندش کی اس ناکامی کو منحنی خطوط سے ماپا جاتا ہے۔ خصوصیات کا منحنی خطوط ایک ایہرسمان کنکشن ہونے دیں۔ پھر کی منحنیت اس طرح دی جاتی ہے جہاں [-،-] خود کے ساتھ ω1 (E، TE) کے فریلیچر-نجینہوئس بریکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس طرح R ω2 (E، TE) E پر دو شکلیں ہیں جن کی ٹی ای میں اقدار کی وضاحت کی گئی ہے، یا، دوسری اصطلاحات میں، جہاں X = XH + XV بالترتیب H اور V اجزاء میں براہ راست رقم کے سڑنے کی نشاندہی کرتا ہے۔ منحنی خطوط کے اس آخری اظہار سے، یہ اسی طرح غائب ہوتا نظر آتا ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب افقی ذیلی بنڈل فروبینئس انٹیگریبل ہو۔ اس طرح منحنی پن افقی ذیلی بنڈل کے لیے فائبر بنڈل E → M کے ٹرانسورس حصوں کو حاصل کرنے کے لیے انٹیگریبلٹی کی حالت ہے۔ ایہرسمان کنکشن کا منحنی پن بھی بیاانچی شناخت کے ایک ورژن کو مطمئن کرتا ہے: جہاں دوبارہ [-،-] فریلیچر-نجینہوئس بریکٹ ہے جو ω1 (E, TE) اور R ω2 (E, TE) کا ہے۔ مکمل ایہرسمان کنکشن منحنی خطوط کو مقامی طور پر منفرد افقی لفٹ رکھنے کی اجازت دیتا ہے۔ ایک مکمل ایہرسمان کنکشن کے لیے، ایک منحنی خطوط کو اس کے پورے ڈومین پر افقی طور پر اٹھایا جا سکتا ہے۔ کنکشن کی ہولونومی فلیٹنیس مقامی طور پر افقی خالی جگہوں کی فروبینیوس انٹیگریبلٹی سے مطابقت رکھتی ہے۔ دوسری انتہا پر، غیر غائب ہونے والی منحنیت سے مراد کنکشن کی ہولونومی کی موجودگی ہے۔ خاص صورتوں میں پرنسپل بنڈل اور پرنسپل کنکشن فرض کریں کہ E، M پر ایک ہموار پرنسپل G-بنڈل ہے۔ پھر E پر ایہرسمان کنکشن H کو پرنسپل (ایہرسمان) کنکشن کہا جاتا ہے اگر یہ E پر G ایکشن کے حوالے سے اس معنی میں غیر متغیر ہے کہ کسی بھی e ω E اور g ω G کے لیے ؛ یہاں E پر G کے صحیح ایکشن کے تفریق کی نشاندہی کرتا ہے۔ G کے ایک پیرامیٹر کے ذیلی گروپ E پر عمودی طور پر کام کرتے ہیں۔ اس عمل کا تفریق کسی کو ذیلی جگہ کو گروپ G کے لائ الجبرا g کے ساتھ شناخت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جیسے نقشے کے ذریعے۔ ایہرسمان کنکشن کی کنکشن فارم کو پھر E پر 1-فارم ω کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جس کی اقدار g میں ω (X) = ι (X) کے ذریعہ بیان کی گئی ہیں۔ اس طرح دوبارہ تشریح کی گئی، کنکشن فارم ω مندرجہ ذیل دو خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے: یہ G ایکشن کے تحت مساوی طور پر تبدیل ہوتا ہے: تمام h bul G کے لیے، جہاں Rh * صحیح ایکشن کے تحت پل بیک ہے اور AD اس کے لائ الجبرا پر G کی ملحقہ نمائندگی ہے۔ یہ عمودی ویکٹر فیلڈز کو لائ الجبرا کے ان سے وابستہ عناصر کے ساتھ نقشہ بناتا ہے: تمام X ω V کے لیے ω (X) = ι (X)۔ اس کے برعکس، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ پرنسپل بنڈل پر اس طرح کا جی ویلیوڈ 1 فارم ایک افقی تقسیم پیدا کرتا ہے جو مذکورہ بالا خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ مقامی ٹریویلائزیشن کو دیکھتے ہوئے کوئی بھی ω کو افقی ویکٹر فیلڈز میں کم کر سکتا ہے (اس ٹریویلائزیشن میں)۔ یہ پل بیک کے ذریعے M پر 1-فارم ω 'کی وضاحت کرتا ہے۔ فارم ω مکمل طور پر ω کا تعین کرتا ہے، لیکن یہ ٹریویلائزیشن کے انتخاب پر منحصر ہے۔ (اس فارم کو اکثر کنکشن فارم بھی کہا جاتا ہے اور اسے صرف ω سے ظاہر کیا جاتا ہے۔) ویکٹر بنڈل اور کوویرینٹ مشتقات فرض کریں کہ E، M پر ایک ہموار ویکٹر بنڈل ہے۔ پھر E پر ایہرسمان کنکشن H کو ایک لکیری (ایہرسمان) کنکشن کہا جاتا ہے اگر وہ ہر x ωM کے لیے e ωX پر لکیری طور پر انحصار کرتا ہے۔ اسے درست بنانے کے لیے، Sλ کو E پر ω کے ذریعے اسکیلر ضرب کی نشاندہی کرنے دیں۔ پھر H لکیری ہے اگر اور صرف اگر کسی e ωE اور اسکیلر ω کے لیے ہو۔ چونکہ E ایک ویکٹر بنڈل ہے، اس کا عمودی بنڈل V، π * E کے لیے آئسومورفک ہے۔ لہذا اگر s، E کا حصہ ہے، تو (ds): TM → s * V = s * π * E = E۔ یہ ایک ویکٹر بنڈل مورفزم ہے، اور اس لیے اسے ویکٹر بنڈل ہوم (ٹی ایم، ای) کے ایک حصے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ ایہرسمان کنکشن لکیری ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کے علاوہ یہ لیبنز اصول پر ہر فنکشن کی تصدیق کرتا ہے، یعنی۔ اس کے برعکس ایک ویکٹر بنڈل پر ایک کوویرینٹ مشتق ایک لکیری ایہرسمان کنکشن کی وضاحت کرتا ہے کہ وہ، x = π (e) کے ساتھ e ωE کے لیے، تصویر dsx (TxM) ہے جہاں s، E کا ایک حصہ ہے جس میں s (x) = e ہے اور تمام X ω TxM کے لیے ωXs = 0 ہے۔ نوٹ کریں کہ (تاریخی وجوہات کی بناء پر) لینیر کی اصطلاح جب کنکشن پر لاگو ہوتی ہے، تو بعض اوقات ٹینجینٹ بنڈل یا فریم بنڈل پر بیان کردہ کنکشن کا حوالہ دینے کے لیے استعمال ہوتی ہے (جیسے لفظ افائن-افائن کنکشن دیکھیں)۔ فائبر بنڈل پر ایہرسمان کنکشن (ایک ڈھانچہ گروپ سے مالا مال) بعض اوقات ایک متعلقہ بنڈل پر ایہرسمان کنکشن کو جنم دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، ویکٹر بنڈل E میں ایک (لکیری) کنکشن، جو اوپر کے طور پر E کی متوازییت دینے کے بارے میں سوچا جاتا ہے، E کے فریموں PE کے متعلقہ بنڈل پر کنکشن کو جنم دیتا ہے۔ اس کے برعکس، PE میں ایک کنکشن E میں (لکیری) کنکشن کو جنم دیتا ہے بشرطیکہ PE میں کنکشن فریموں پر عام لکیری گروپ کے عمل کے حوالے سے مساوی ہو (اور اس طرح ایک پرنسپل کنکشن)۔ ایہرسمان کنکشن کے لیے یہ ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا کہ وہ قدرتی طریقے سے کسی منسلک بنڈل پر کنکشن کو متاثر کرے۔ مثال کے طور پر، ویکٹر بنڈل کے فریموں کے بنڈل پر ایک غیر مساوی ایہرسمان کنکشن ویکٹر بنڈل پر کنکشن کو متاثر نہیں کر سکتا ہے۔ فرض کریں کہ E، P کا ایک منسلک بنڈل ہے، تاکہ E = P × GF. E پر ایک G-کنکشن ایک ایہرسمان کنکشن ہے کہ متوازی نقل و حمل کا نقشہ τ: Fx → Fx′ ریشوں کی G-تبدیلی کے ذریعے دیا جاتا ہے (کافی حد تک قریبی پوائنٹس x اور x′ پر M میں ایک منحنی خطوط سے جڑا ہوا ہے)۔ پی پر ایک اصل کنکشن کو دیکھتے ہوئے، پل بیک کے ذریعے متعلقہ فائبر بنڈل ای = پی × جی ایف پر جی کنکشن حاصل کیا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، E پر G-کنکشن دیئے جانے پر متعلقہ پرنسپل بنڈل P پر پرنسپل کنکشن کو بازیافت کرنا ممکن ہے۔ اس پرنسپل کنکشن کو بازیافت کرنے کے لیے، عام فائبر F پر ایک فریم کا تصور متعارف کرایا جاتا ہے۔ چونکہ G ایک محدود جہتی لائ گروپ ہے جو F پر مؤثر طریقے سے کام کرتا ہے، اس لیے F کے اندر پوائنٹس (y1,., ym) کی ایک محدود ترتیب موجود ہونی چاہیے جیسے کہ G-آربٹ R = {(gy1,., gym) | g ω G} G کی ایک بنیادی یکساں جگہ ہو۔ کوئی بھی R کو F پر G-ایکشن کے لیے فریم کے تصور کی عمومی شکل دینے کے طور پر سوچ سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ، چونکہ R G کے لیے ایک بنیادی یکساں جگہ ہے، فائبر بنڈل E (R) E پر افقی خالی جگہوں کی تقسیم اس پروڈکٹ بنڈل پر خالی جگہوں کی تقسیم کو جنم دیتی ہے۔ چونکہ کنکشن سے وابستہ متوازی نقل و حمل کے نقشے G-نقشے ہیں، اس لیے وہ ذیلی جگہ E (R) کو محفوظ رکھتے ہیں، اور اس لیے G-کنکشن E (R) پر ایک پرنسپل G-کنکشن پر اترتا ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ متعلقہ فائبر بنڈلوں سے اصل کنکشن کے نزول اور متعلقہ فائبر بنڈلوں پر جی-کنکشن کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت (مساوات تک) ہوتا ہے۔ اس وجہ سے، ڈھانچہ گروپ جی کے ساتھ فائبر بنڈلوں کے زمرے میں، اصل کنکشن میں متعلقہ بنڈلوں پر جی-کنکشن کے لیے تمام متعلقہ معلومات ہوتی ہیں۔ لہذا، جب تک کہ منسلک بنڈلوں پر کنکشن پر غور کرنے کی کوئی غالب وجہ نہ ہو (جیسا کہ، مثال کے طور پر، کارٹن کنکشن کے معاملے میں ہے) کوئی عام طور پر براہ راست اصل کنکشن کے ساتھ کام کرتا ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے راؤل بوٹ (1970) "ٹوپولوجیکل رکاوٹ سے انضمام"، پروک۔ سمپ۔ خالص ریاضی۔، 16 'آمیر۔ ریاضی۔ ، پروویڈنس، آر آئی۔ تعلق (ریاضی)