Linear relation
لکیری الجبرا میں، ویکٹر اسپیس یا ماڈیول کے عناصر کے درمیان لکیری رشتہ، یا محض رشتہ، ایک لکیری مساوات ہے جس میں یہ عناصر حل کے طور پر ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، اگر کسی رنگ پر (بائیں) ماڈیول کے عناصر ہیں (کسی فیلڈ پر ویکٹر اسپیس کا معاملہ ایک خاص معاملہ ہے)، تو ان کے درمیان تعلق اس طرح کے عناصر کی ترتیب ہے کہ ماڈیول بنانے کے درمیان تعلقات۔ ایک عام طور پر اس معاملے میں دلچسپی رکھتا ہے جہاں ایک حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول کا جنریٹنگ سیٹ ہے، اس صورت میں تعلقات کے ماڈیول کو اکثر کا سیزیجی ماڈیول کہا جاتا ہے۔ سیزیجی ماڈیول کا انحصار جنریٹنگ سیٹ کے انتخاب پر ہوتا ہے، لیکن یہ ایک مفت ماڈیول کے ساتھ براہ راست رقم تک منفرد ہے۔ یعنی، اگر اور ایک ہی ماڈیول کے دو جنریٹنگ سیٹوں سے مطابقت رکھنے والے سیزیجی ماڈیول ہیں، تو وہ مستحکم طور پر آئسومورفک ہیں، جس کا مطلب ہے کہ دو آزاد ماڈیول موجود ہیں اور ایسے ہیں جو آئسومورفک ہیں۔ ہائیر آرڈر سیزیجی ماڈیولز کو بار بار بیان کیا جاتا ہے: ماڈیول کا پہلا سیزیجی ماڈیول محض اس کا سیزیجی ماڈیول ہوتا ہے۔ کیونکہ، کا ایک واں سیزیگی ماڈیول ایک-واں سیزیگی ماڈیول کا ایک سیزیگی ماڈیول ہے۔ ہلبرٹ کا سیزیجی تھیوریم بیان کرتا ہے کہ، اگر کسی فیلڈ پر غیر متعین کثیر الجہتی رنگ ہے، تو ہر th سیزیجی ماڈیول آزاد ہے۔ معاملہ یہ ہے کہ ہر محدود جہتی ویکٹر اسپیس کی ایک بنیاد ہوتی ہے، اور معاملہ یہ ہے کہ یہ ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہے اور یہ کہ حتمی طور پر تیار کردہ فری ماڈیول کا ہر ذیلی ماڈیول بھی مفت ہے۔ اعلی درجے کے سیزیجی ماڈیولز کی تعمیر کو آزاد قراردادوں کی تعریف کے طور پر عام کیا گیا ہے، جو ہلبرٹ کے سیزیجی تھیوریم کو کسی فیلڈ پر غیر متعین کثیر الجہتی رنگ کے طور پر دوبارہ پیش کرنے کی اجازت دیتا ہے جس کی عالمی ہم جنسیاتی جہت ہوتی ہے۔ اگر اور تبادلے والی انگوٹی کے دو عناصر ہیں، تو یہ ایک ایسا رشتہ ہے جسے معمولی کہا جاتا ہے۔ کسی آئیڈیل کے معمولی تعلقات کا ماڈیول آئیڈیل کے پہلے سیزیجی ماڈیول کا ذیلی ماڈیول ہے جو کسی آئیڈیل کے پیدا کرنے والے سیٹ کے عناصر کے درمیان معمولی تعلقات سے پیدا ہوتا ہے۔ معمولی تعلقات کے تصور کو اعلی درجے کے سیزیجی ماڈیولز میں عام کیا جا سکتا ہے، اور یہ ایک آئیڈیل کے کوزول کمپلیکس کے تصور کی طرف لے جاتا ہے، جو کسی آئیڈیل کے جنریٹرز کے درمیان غیر معمولی تعلقات کے بارے میں معلومات فراہم کرتا ہے۔ بنیادی تعریفیں ایک رنگ ہونے دیں، اور ایک لیفٹ-ماڈیول ہونے دیں۔ ایک لکیری رشتہ، یا صرف عناصر کے درمیان تعلق اس طرح کے عناصر کی ایک ترتیب ہے کہ اگر ایک پیدا کرنے والا مجموعہ ہے، تو اس تعلق کو اکثر کا سیزیجی کہا جاتا ہے۔ اس کی پرواہ کیے بغیر اسے سیزیجی کہنا سمجھ میں آتا ہے کیونکہ، اگرچہ سیزیجی ماڈیول منتخب شدہ جنریٹنگ سیٹ پر منحصر ہے، اس کی زیادہ تر خصوصیات آزاد ہیں۔ ذیل میں دیکھیں۔ اگر انگوٹھی نویتھیرین ہے، یا، کم از کم مربوط ہے، اور اگر حتمی طور پر تیار کیا گیا ہے، تو سیزیجی ماڈیول بھی حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ اس سیزیجی ماڈیول کا سیزیجی ماڈیول اس کا دوسرا سیزیجی ماڈیول ہے۔ اس طرح جاری رکھتے ہوئے ہر مثبت عدد کے لیے ایک تھ سیزیجی ماڈیول کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ ہلبرٹ کا سیزیجی تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ، اگر کسی فیلڈ پر کثیر الجہتی رنگ پر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول ہے، تو کوئی بھی th سیزیجی ماڈیول ایک فری ماڈیول ہے۔ مستحکم خصوصیات عام طور پر، کے تھیوری کی زبان میں، ایک خاصیت مستحکم ہوتی ہے اگر یہ کافی بڑے مفت ماڈیول کے ساتھ براہ راست رقم بنا کر درست ہو جائے۔ سیزیجیز ماڈیولز کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ شامل ماڈیولز کے لیے سیٹ تیار کرنے کے انتخاب پر "مستحکم طور پر آزاد" ہیں۔ مندرجہ ذیل نتیجہ ان مستحکم properties.Proof کی بنیاد ہے۔ جیسا کہ ایک جنریٹنگ سیٹ ہے، ہر ایک کو لکھا جا سکتا ہے۔ یہ ان کے درمیان تعلق فراہم کرتا ہے۔ اب، اگر کوئی تعلق ہے، تو یہ صرف کے درمیان تعلق ہے۔ دوسرے لفظوں میں، درمیان کا ہر تعلق s اور s کے لکیری امتزاج کے درمیان تعلق کا مجموعہ ہے۔ یہ ثابت کرنا سیدھا ہے کہ یہ سڑنا منفرد ہے، اور اس سے نتیجہ ثابت ہوتا ہے۔ اس سے ثابت ہوتا ہے کہ پہلا سیزیجی ماڈیول "مستحکم طور پر منفرد" ہے۔ مزید واضح طور پر، دو جنریٹنگ سیٹس اور ایک ماڈیول کو دیکھتے ہوئے، اگر اور تعلقات کے متعلقہ ماڈیول ہیں، تو دو آزاد ماڈیول موجود ہیں اور ایسے ہیں جو آئسومورفک ہیں۔ اس کو ثابت کرنے کے لیے، دو جنریٹنگ سیٹوں کے اتحاد کے درمیان تعلقات کے ماڈیول کے دو سڑنے کے لیے سابقہ تجویز کو دو بار لاگو کرنا کافی ہے۔ اعلی سیزیجی ماڈیولز کے لیے اسی طرح کا نتیجہ حاصل کرنے کے لیے، یہ ثابت کرنا باقی ہے کہ، اگر کوئی ماڈیول ہے، اور ایک مفت ماڈیول ہے، تو اس میں آئسومورفک سیزیجی ماڈیول ہیں۔ اس کے پیدا کرنے والے سیٹ پر غور کرنا کافی ہے جو پیدا کرنے والے سیٹ اور اس کی بنیاد پر مشتمل ہے۔ اس جنریٹنگ سیٹ کے عناصر کے درمیان ہر تعلق کے لیے، کے بنیادی عناصر کے کوفیشنٹس تمام صفر ہوتے ہیں، اور کے سیزیجیز بالکل صفر کوفیشنٹس کے ساتھ توسیعی کے سیزیجیز ہوتے ہیں۔ یہ مندرجہ ذیل نظریہ کے ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ آزاد قراردادوں کے ساتھ تعلق-ماڈیول کے ایک جنریٹنگ سیٹ کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی بنیاد کے ایک آزاد ماڈیول پر غور کر سکتا ہے جہاں نئے غیر متعین ہیں۔ یہ ایک عین مطابق ترتیب کی وضاحت کرتا ہے جہاں بائیں تیر لکیری نقشہ ہے جو ہر ایک کو متعلقہ نقشہ بناتا ہے۔ اس بائیں تیر کا دانا اس کا پہلا سیزیجی ماڈیول ہے۔ اس کی جگہ اس دانے کے ساتھ اس تعمیر کو دہرایا جا سکتا ہے۔ اس تعمیر کو بار بار دہرانے سے، ایک طویل عین مطابق ترتیب ملتی ہے جہاں تمام مفت ماڈیول ہوتے ہیں۔ تعریف کے مطابق، اس طرح کی ایک لمبی عین ترتیب کا ایک آزاد حل ہے۔ ہر ایک کے لیے، تیر کا دانا جس سے شروع ہوتا ہے اس کا ایک سیزیجی ماڈیول ہوتا ہے۔ اس کے بعد آزاد قراردادوں کا مطالعہ سیزیجی ماڈیولز کے مطالعہ کے برابر ہے۔ اگر آزاد ہو تو فری ریزولوشن لمبائی کی حد تک محدود ہوتی ہے۔ اس صورت میں، کوئی بھی ہر ایک کے لیے اور (صفر ماڈیول) لے سکتا ہے۔ یہ ہلبرٹ کے سیزیجی تھیوریم کو دوبارہ پیش کرنے کی اجازت دیتا ہے: اگر کسی فیلڈ پر غیر متعین کثیر الجہتی رنگ ہے، تو ہر آزاد ریزولوشن زیادہ سے زیادہ لمبائی تک محدود ہے۔ مواصلاتی نویتھیرین رنگ کی عالمی جہت یا تو لامحدود ہوتی ہے، یا کم سے کم ایسی ہوتی ہے کہ ہر آزاد ریزولوشن زیادہ سے زیادہ لمبائی تک محدود ہو۔ ایک مواصلاتی نویتھیرین رنگ باقاعدہ ہوتا ہے اگر اس کی عالمی جہت محدود ہو۔ اس صورت میں، عالمی طول و عرض اس کے کرول طول و عرض کے برابر ہوتا ہے۔ لہذا، ہلبرٹ کے سیزیجی تھیوریم کو ایک بہت ہی مختصر جملے میں دہرایا جا سکتا ہے جو بہت زیادہ ریاضی کو چھپاتا ہے: کسی فیلڈ پر ایک کثیر الجہتی رنگ ایک باقاعدہ ring.Trivial تعلقات ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب معمولی طور پر یہ ہے کہ اور کے درمیان ایک لکیری تعلق ہے۔ لہذا، ایک آئیڈیل کے جنریٹنگ سیٹ کو دیکھتے ہوئے، کوئی ذیلی ماڈیول کے ہر عنصر کو ٹریوئل ریلیشن یا ٹریوئل سیزیجی ماڈیول کہتا ہے جو دو جنریٹنگ عناصر کے درمیان ان ٹریوئل ریلیشنز سے پیدا ہوتا ہے۔ مزید واضح طور پر، معمولی سیزیجیز کا ماڈیول اس طرح اور دوسری صورت میں تعلقات سے پیدا ہوتا ہے۔ لفظ سیزیجی ریاضی میں آرتھر کیلی کے کام سے آیا۔ اس مقالے میں، کیلی نے اسے نتیجہ خیز اور امتیازی نظریہ میں استعمال کیا۔ جیسا کہ لفظ سیزیجی کو فلکیات میں سیاروں کے درمیان لکیری تعلق کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا تھا، کیلی نے اسے میٹرکس کے نابالغوں کے درمیان لکیری تعلقات کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کیا، جیسے کہ 2×3 میٹرکس کے معاملے میں: پھر، لفظ سیزیجی کو ڈیوڈ ہلبرٹ نے اپنے 1890 کے مضمون میں (ریاضی دانوں میں) مقبول کیا، جس میں کثیر الجہتی پر تین بنیادی نظریات، ہلبرٹ کا سیزیجی تھیوریم، ہلبرٹ کا بیس تھیوریم اور ہلبرٹ کا نلسٹیلن سیٹز شامل ہیں۔ اپنے مضمون میں، کیلی نے ایک خاص معاملے میں، جسے بعد میں کوزول کمپلیکس کہا گیا، ریاضی دان جین لوئس کوزول کے تفریقی جیومیٹری میں اسی طرح کی تعمیر کے بعد استعمال کیا ہے۔ نوٹ حوالہ جات ڈیوڈ آئزن بڈ، دی جیومیٹری آف سیزیجز، گریجویٹ ٹیکسٹس ان میتھمیٹکس، جلد۔ 229، سپرنگر، 2005۔ مواصلاتی الجبرا ہومیولوجیکل الجبرا لکیری الجبرا کثیر الجہتی