Busemann function
ہندسی ٹوپولوجی میں، بوسیمن افعال کو ہڈمارڈ خالی جگہوں میں جیوڈیکس کی بڑے پیمانے پر جیومیٹری کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے اور خاص طور پر ہڈمارڈ کئی گنا (محض غیر مثبت منحنی خطوط کے مکمل ریمینیئن کئی گنا سے جڑے ہوئے)۔ ان کا نام ہربرٹ بوسیمن کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے انہیں متعارف کرایا ؛ انہوں نے اپنی 1955 کی کتاب "جیوڈیسکس کی جیومیٹری" میں اس موضوع کا وسیع علاج کیا۔ تعریف اور ابتدائی خصوصیات ایک میٹرک اسپیس ہونے دیں۔ جیوڈیسیک رے ایک ایسا راستہ ہے جو اپنی لمبائی کے ساتھ ہر جگہ فاصلے کو کم سے کم کرتا ہے۔ یعنی، سب کے لیے، مساوی طور پر، ایک کرن "کینونکل رے" (یوکلڈین میٹرک سے لیس سیٹ) سے میٹرک اسپیس X میں ایک آئسومیٹری ہے۔ رے γ کو دیکھتے ہوئے، بسمین فنکشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے، جب t بہت بڑا ہوتا ہے، تو فاصلہ تقریبا برابر ہوتا ہے۔ ایک رے γ کو دیکھتے ہوئے، اس کا بوسیمن فنکشن ہمیشہ اچھی طرح سے متعین ہوتا ہے: درحقیقت اوپر دائیں ہاتھ کی طرف، کمپیکٹا پر بائیں ہاتھ کی طرف نقطہ نظر کی طرف مائل ہوتا ہے، کیونکہ اوپر سے پابند ہوتا ہے اور غیر بڑھتا ہے کیونکہ، اگر، یہ مثلث کی عدم مساوات سے فوری ہے تاکہ یکساں طور پر مسلسل ہو۔ مزید خاص طور پر، مندرجہ بالا تخمینہ سے پتہ چلتا ہے کہ بسمین فنکشن مستقل 1 کے ساتھ لپشیٹز فنکشن ہیں۔ ڈینی کے نظریہ کے مطابق، افعال کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر ہوتے ہیں کیونکہ t انفینٹی کی طرف جاتا ہے۔ مثال: پوئن کیئر ڈسک کو پیچیدہ سطح میں پوئن کیئر میٹرک کے ساتھ یونٹ ڈسک ہونے دیں پھر، اور کے لیے، بسمین فنکشن اس طرح دیا جاتا ہے جہاں دائیں ہاتھ کی طرف بریکٹ میں موجود اصطلاح یونٹ ڈسک کے لیے پوئسون دانا ہے اور اصل سے، کی طرف ریڈیل جیوڈیسیک سے مطابقت رکھتی ہے۔ کی گنتی کو اس تک کم کیا جا سکتا ہے، کیونکہ موبیئس تبدیلیوں کے تحت میٹرک غیر متغیر ہے۔ جیوڈیکس کے ذریعے وہ شکل ہوتی ہے جہاں 1-پیرامیٹر ذیلی گروپ ہوتا ہے، اوپر کا فارمولا بھی موبیئس انواریینس کے ذریعہ بوسیمن فنکشن کا مکمل طور پر تعین کرتا ہے۔ بوسیمن ہڈمارڈ کی جگہ پر کام کرتا ہے۔ ہڈمارڈ کی جگہ میں، جہاں کوئی بھی دو نکات ایک منفرد جیوڈیسیک حصے سے جڑے ہوتے ہیں، فنکشن کنویکس ہوتا ہے، یعنی۔ جیوڈیسی حصوں پر کنویکس۔ واضح طور پر اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر وہ نقطہ ہے جو تناسب میں تقسیم ہوتا ہے، تو۔ فکسڈ کے لیے فنکشن کنویکس ہے اور اسی لیے اس کے ترجمے بھی ہیں ؛ خاص طور پر، اگر جیوڈیسیک کرن ہے، تو کنویکس ہے۔ چونکہ بسمین فنکشن کی پوائنٹ وائز حد ہے، اس لیے بسمین فنکشن ہڈمارڈ خالی جگہوں پر کنویکس ہوتے ہیں۔ ہڈمارڈ اسپیس پر، افعال کسی بھی باؤنڈڈ سب سیٹ پر یکساں طور پر یکجا ہوتے ہیں۔ جانے دیں۔ چونکہ آرکلینتھ کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، لہذا ہڈمارڈ خالی جگہوں کے لیے الیگزینڈرروف کا پہلا تقابلی نظریہ اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ فنکشن کنویکس ہے۔ اس لیے اس طرح کہ لیٹنگ t کا رجحان φ ہو، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ باؤنڈڈ سیٹس پر کنورجنس یکساں ہوتی ہے۔ نوٹ کریں کہ (اس کے ثبوت کے ساتھ) کے لیے اوپر کی عدم مساوات جیوڈیسک حصوں کے لیے بھی ہے: اگر ایک جیوڈیسک طبقہ ہے جو آرکلینتھ سے شروع ہوتا ہے اور پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے تو اگلا فرض کریں کہ وہ ایک ہڈمارڈ اسپیس میں پوائنٹس ہیں، اور جیوڈیسک کو اور جہاں کے ساتھ ہونے دیں۔ یہ جیوڈیسیک پوائنٹ پر بند گیند کی حد کو کاٹتا ہے۔ اس طرح اگر، اس طرح کے ساتھ ایک نقطہ ہے. یہ حالت بسمین افعال کے لیے برقرار رہتی ہے۔ بوسیمن افعال کے لیے خاصیت کا بیان اور ثبوت ہڈمارڈ اسپیس کے بند کنویکس سبسیٹس پر ایک بنیادی تھیوریم پر منحصر ہے، جو ہلبرٹ اسپیس میں آرتھوگنل پروجیکشن کو عام کرتا ہے: اگر ہڈمارڈ اسپیس میں ایک بند کنویکس سیٹ ہے، تو ہر پوائنٹ میں ایک منفرد قریب ترین نقطہ ہوتا ہے اور ؛ اس کے علاوہ اس پراپرٹی کے ذریعے منفرد طور پر طے کیا جاتا ہے، جس کے لیے، تاکہ یوکلڈین موازنہ مثلث میں زاویہ اس سے بڑا یا برابر ہو۔ اگر کسی ہڈمارڈ جگہ پر بسمین فنکشن ہے، تو، اور میں دیا گیا ہے، اس کے ساتھ ایک منفرد نقطہ ہے۔ فکسڈ کے لیے، نقطہ بند کنویکس پوائنٹس کے سیٹ کا قریب ترین نقطہ ہے اور اس لیے اس پر مسلسل انحصار کرتا ہے۔ آئیے اندر کا قریب ترین نقطہ بنیں۔ پھر اور اس طرح کم سے کم کیا جاتا ہے جہاں منفرد نقطہ ہے جہاں کم سے کم کیا جاتا ہے۔ Lipschitz حالت کے مطابق۔ اس دعوے کو ثابت کرنے کے لیے، یہ ظاہر کرنا کافی ہے، یعنی۔ ۔ دوسری طرف، افعال کی کسی بھی بند گیند پر یکساں حد ہے۔ پر، ان کو پوائنٹس کے ساتھ کم سے کم کیا جاتا ہے۔ اس لیے انفیمیم آف آن ہے اور ہوتا ہے۔ اس طرح اس کے ساتھ اور اس کی طرف جھکاؤ۔ آئیے ساتھ کا قریب ترین نقطہ بنیں۔ جانے دیں۔ پھر، اور، Lipschitz شرط کے مطابق،۔ خاص طور پر ہوتا ہے۔ اگر ضروری ہو تو یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ اور دونوں بڑھ رہے ہیں (سے)۔ کنویکس آپٹیمائزیشن کے لیے عدم مساوات کا مطلب اس کے لیے ہے۔ تو یہ ایک کاچی ترتیب ہے۔ اگر اس کی حد ہے، تو اور۔ انفرادیت سے یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور اس لیے، ضرورت کے مطابق۔ یکساں حدود۔ مندرجہ بالا دلیل زیادہ عام طور پر یہ ثابت کرتی ہے کہ اگر باؤنڈڈ سیٹوں پر فنکشنز یکساں طور پر باؤنڈڈ سیٹوں کی طرف مائل ہوتے ہیں، تو وہ کنویکس ہے، لپشٹز مستقل 1 کے ساتھ لپشٹز ہے اور، اور میں دیا گیا ہے، اس کے ساتھ ایک منفرد نقطہ ہے۔ اگر دوسری طرف ترتیب پابند ہے، تو تمام اصطلاحات کسی بند گیند میں ہوتی ہیں اور وہاں یکساں کنورجنس کا مطلب ہے کہ یہ ایک کاچی ترتیب ہے لہذا کچھ میں یکجا ہوتا ہے۔ تو یکساں طور پر اسی شکل کے فنکشن کی طرف مائل ہوتا ہے۔ اسی دلیل سے یہ بھی پتہ چلتا ہے کہ افعال کی وہ کلاس جو انہی تین شرائط کو پورا کرتی ہے (کنویکس، لپشٹز اور بند گیندوں پر منیما ہونا) باؤنڈڈ سیٹوں پر یکساں حدود لینے کے تحت بند ہوتی ہے۔ تبصرہ کریں۔ نوٹ کریں کہ، چونکہ ہڈمارڈ اسپیس کے ہڈمارڈ سب سیٹ کا کوئی بھی بند کنویکس سب سیٹ بھی ہڈمارڈ اسپیس ہے، ہڈمارڈ اسپیس میں کوئی بھی بند گیند ہڈمارڈ اسپیس ہے۔ خاص طور پر ایسا ہونے کی ضرورت نہیں ہے کہ ہر جیوڈیسک طبقہ جیوڈیسک میں موجود ہو جس کی وضاحت پورے یا یہاں تک کہ نیم لامحدود وقفے پر کی گئی ہو۔ ہلبرٹ اسپیس کی بند یونٹ بال ایک واضح مثال دیتی ہے جو مناسب میٹرک اسپیس نہیں ہے۔ اگر ایک کنویکس فنکشن ہے، تو مستقل 1 کے ساتھ لپشٹز اور باؤنڈری پر ایک منفرد نقطہ پر رداس کے ساتھ مرکوز کسی بھی بند گیند پر اپنا کم از کم فرض کرتا ہے، پھر ہر ایک کے لیے ایک منفرد جیوڈیسیک کرن ہوتی ہے جو ہر بند کنویکس سیٹ کو کاٹتی ہے، تاکہ۔ خاص طور پر یہ ہر بسمین فنکشن کے لیے ہوتا ہے۔ تیسری شرط کا مطلب یہ ہے کہ بند کنویکس پوائنٹس کے سیٹ میں قریب ترین نقطہ ہے۔ جیوڈیسیک کو شامل ہونے دیں۔ پھر ایک کنویکس لپشٹز فنکشن آن ہے جس میں لپشٹز مستقل 1 تسلی بخش اور اور ہے۔ تو ہر جگہ غائب ہو جاتا ہے، کیونکہ اگر اور۔ اس لیے۔ انفرادیت کے لحاظ سے یہ اس کے بعد آتا ہے جو کہ اندر آنے کا قریب ترین نقطہ ہے اور یہ کہ یہ کم سے کم ہونے والا منفرد نقطہ ہے۔ انفرادیت کا مطلب یہ ہے کہ یہ جیوڈیکس کے حصے من مانی طور پر موافق ہیں اور اس وجہ سے یہ بیان کردہ پراپرٹی کے ساتھ جیوڈیسیک کرن تک پھیلا ہوا ہے۔ اگر، تو شروع ہونے والی جیوڈیسیک کرن مطمئن ہوتی ہے۔ اگر ایک اور کرن ہے جو اس سے شروع ہوتی ہے۔ پہلے دعوے کو ثابت کرنے کے لیے، کافی بڑے ہونے کے لیے اس کی جانچ کرنا کافی ہے۔ اس صورت میں اور بند کنویکس سیٹ کے اور اس پر پروجیکشن ہیں۔ اس لیے۔ اس لیے۔ دوسرا دعوی اس کے بعد آتا ہے کیونکہ یہ کنویکس اور باؤنڈ آن ہے، لہذا، اگر یہ غائب ہو جاتا ہے، تو اسے ہر جگہ غائب ہونا چاہیے۔ فرض کریں کہ یہ ایک مسلسل کنویکس فنکشن ہے اور اس میں سے ہر ایک کے لیے ایک منفرد جیوڈیسیک کرن ہے جو ہر بند کنویکس سیٹ کو کاٹتی ہے، تاکہ ؛ پھر ایک بسمین فنکشن ہے۔ ایک مستقل فنکشن ہے۔ کے ساتھ پوائنٹس کا بند کنویکس سیٹ ہونے دیں۔ چونکہ ہر نقطہ کے لیے ایک ہڈمارڈ جگہ ہے اس میں ایک منفرد قریب ترین نقطہ ہے۔ یہ مسلسل انحصار کرتا ہے اور اگر باہر واقع ہے، تو ہائپر سرفیس-کی حد-پر واقع ہے اور کنویکس آپٹیمائزیشن کی عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ جیوڈیسیک کرن کو شروع ہونے دیں۔ ٹھیک کریں۔ جیوڈیسیک کرن کو شروع ہونے دیں۔ چلو، بیس مین بیس پوائنٹ کے ساتھ کام کرتا ہے۔ خاص طور پر۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے۔ اب ساتھ لے لو اور جیوڈیسیک کرن کو اسی سے شروع ہونے دو۔ پھر دوسری طرف، کسی بھی چار نکات کے لیے،، ایک ہڈمارڈ جگہ میں، ریشتنیک کی درج ذیل چوطرفہ عدم مساوات برقرار رکھتی ہے: ترتیب،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،۔ اسی طرح۔ لہذا سطح کی سطح پر۔ اب کے لیے اور اندر، جیوڈیسیک رے کو شروع ہونے دیں۔ پھر اور۔ اس کے علاوہ، حد بندی سے۔ بہاؤ کو اس نتیجے کو تمام سطح کی سطحوں تک پہنچانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، اگر، ایسا لیں اور سیٹ کریں۔ پھر کہاں۔ لیکن پھر، اس طرح۔ اس لیے، ضرورت کے مطابق۔ اسی طرح اگر، ایسا ہی لیں۔ جانے دیں۔ پھر، اس طرح۔ اس لیے، ضرورت کے مطابق۔ آخر میں ایک ہی بوسیمن فنکشن کو مستقل تک بیان کرنے کے لیے دو جیوڈیکس کے لیے ضروری اور کافی شرائط ہیں: ایک ہڈمارڈ اسپیس پر، دو جیوڈیسیک شعاعوں کے بوسیمن افعال اور ایک مستقل اگر اور صرف اگر سے مختلف ہوتے ہیں۔ فرض کریں کہ سب سے پہلے یہ اور بسمین افعال کے ساتھ دو جیوڈیسیک شعاعیں ہیں جو ایک مستقل سے مختلف ہیں۔ جیوڈیکس میں سے کسی ایک کی دلیل کو مستقل سے تبدیل کرتے ہوئے، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ، جیسے۔ بند کنویکس سیٹ ہونے دیں جس پر۔ پھر اور اسی طرح۔ پھر، پوائنٹس کے لیے اور قریب ترین پوائنٹس ہیں اور ان میں، تاکہ۔ اس لیے۔ اب فرض کریں کہ۔ جیوڈیسیک شعاع کو اس کے ساتھ منسلک ہونے سے شروع ہونے دیں۔ پھر۔ اس لیے۔ چونکہ اور دونوں شروع ہوتے ہیں، اس کے بعد ہوتا ہے۔ پچھلے نتیجہ سے اور ایک مستقل سے مختلف ہے ؛ تو اور ایک مستقل سے مختلف ہے۔ خلاصہ کرنے کے لیے، مندرجہ بالا نتائج ہڈمارڈ کی جگہ پر بسمین افعال کی درج ذیل خصوصیت دیتے ہیں: تھیوریم۔ ہڈمارڈ اسپیس پر، کسی فنکشن پر درج ذیل شرائط مساوی ہیں: یہ ایک بسمین فنکشن ہے۔ ایک کنویکس فنکشن ہے، مستقل کے ساتھ لپ شٹز اور اس کے ساتھ باؤنڈری پر ایک منفرد نقطہ پر رداس کے ساتھ مرکوز کسی بھی بند گیند پر اپنا کم از کم فرض کرتا ہے۔ ایک مسلسل کنویکس فنکشن ہے اور ہر ایک کے لیے ایک منفرد جیوڈیسیک کرن ہوتی ہے اور، کسی کے لیے، کرن ہر بند کنویکس سیٹ کو کاٹ دیتی ہے۔ ہڈمارڈ جگہ کی حد بندی پچھلے حصے میں یہ دکھایا گیا تھا کہ اگر ہڈمارڈ جگہ ہے اور اس میں ایک مقررہ نقطہ ہے تو بسمین افعال کی جگہ کا اتحاد غائب ہو جاتا ہے اور افعال کی جگہ پابند سیٹوں پر یکساں حدود لیتے ہوئے بند ہو جاتی ہے۔ اس نتیجے کو بارڈیفیکیشن کے تصور میں باقاعدہ بنایا جا سکتا ہے۔ اس ٹوپولوجی میں، پوائنٹس ایک جیوڈیسیک کرن کی طرف مائل ہوتے ہیں جو اگر اور صرف اس صورت میں شروع ہوتا ہے جب ہر حصے پر نقطہ کو لے کر حاصل کردہ ترتیب کو من مانی طور پر بڑا ہوتا ہے۔ اگر میٹرک اسپیس ہے، تو گروموف کی بارڈیفیکیشن کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ ایک پوائنٹ ٹھیک کریں اور جانے دیں۔ Lipschitz مسلسل افعال کی جگہ کو آن کریں، یعنی۔ جن کے لیے کچھ مستقل۔ خلا کو سیمی نارمز کے ذریعے ٹوپولوجائز کیا جا سکتا ہے، جو کہ باؤنڈڈ سیٹس پر یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی ہے۔ سیمی نارمز لپشٹز کے حالات کے مطابق محدود ہوتے ہیں۔ یہ وہ ٹوپولوجی ہے جو قدرتی نقشے کی طرف سے بناچ خالی جگہوں کے براہ راست پروڈکٹ پر مسلسل پابند افعال کی طرف راغب ہوتی ہے۔ یہ میٹرک کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ فنکشن پر بھیج کر جگہ کو سرایت کیا جاتا ہے۔ اندر کی بندش ہونے دیں۔ پھر قابل پیمائش ہے، چونکہ ہے، اور ایک کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر موجود ہے ؛ اس کے علاوہ بیس پوائنٹ کے مختلف انتخاب سے پیدا ہونے والی سرحدیں قدرتی طور پر ہومومورفک ہیں۔ جانے دیں۔ پھر لیٹ جاتا ہے۔ یہ غیر صفر آن ہے اور صرف اس پر غائب ہو جاتا ہے۔ لہذا یہ صفر سیٹ کے ساتھ ایک مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے۔ اس کے بعد ضرورت کے مطابق بند کیا جاتا ہے۔ یہ چیک کرنے کے لیے کہ یہ بیس پوائنٹ سے آزاد ہے، یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ یہ ایک مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے۔ لیکن، تو، اندر کے لیے۔ لہذا اور کے لیے کمپیکٹفیکیشن کے درمیان خط و کتابت بھیج کر دیا جاتا ہے۔ ہڈمارڈ اسپیس کب ہے، گروموف کی مثالی حد کو بوسیمن افعال کا استعمال کرتے ہوئے جیوڈیسیک شعاعوں کی "غیر علامتی حدود" کے طور پر واضح طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ اگر اندر کی طرف جھکاؤ کے ساتھ ایک غیر محدود ترتیب ہے، تو غائب ہو جاتا ہے، کنویکس ہوتا ہے، لپشٹز مستقل ہوتا ہے اور کسی بھی بند گیند پر کم سے کم ہوتا ہے۔ لہذا ایک بسمین فنکشن ہے جو ایک منفرد جیوڈیسیک کرن سے شروع ہوتا ہے۔ دوسری طرف، باؤنڈڈ سیٹوں پر یکساں طور پر رجحان ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب رجحانات سے فاصلے پر ہر حصے پر پوائنٹ لے کر حاصل کردہ ترتیب من مانی طور پر بڑی ہو۔ کیونکہ، اس کے ساتھ نقطہ نظر رہنے دیں۔ فرض کریں کہ پہلے جو یکساں طور پر آن ہوتا ہے۔ پھر کے لیے۔ یہ ایک کنویکس فنکشن ہے۔ یہ جیسے جیسے غائب ہوتا جاتا ہے اور اسی طرح بڑھتا جاتا ہے۔ لہذا اسے زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے۔ تو ہر ایک کے لیے، 0 کی طرف مائل ہوتا ہے۔ جانے دیں، اور۔ پھر بڑے کے ساتھ قریب ہے۔ لہذا یوکلڈین میں موازنہ مثلث بڑے کے قریب ہے۔ تو زاویہ چھوٹا ہے۔ تو اسی فاصلے پر موجود نقطہ جس کے قریب ہے۔ لہذا، جیوڈیسیک مثلث کے لیے پہلے موازنہ تھیوریم کے مطابق، چھوٹا ہے۔ اس کے برعکس فرض کریں کہ فکسڈ اور کافی بڑے کے لیے 0 ہوتا ہے۔ پھر اوپر سے مطمئن ہوتا ہے لہذا یہ کافی ظاہر کرتا ہے کہ کسی بھی باؤنڈڈ سیٹ پر یکساں طور پر کافی بڑے کے قریب ہے۔ فکسڈ گیند کے لیے، اس طرح ٹھیک کریں۔ اس کے بعد یہ دعوی ہڈمارڈ کی جگہ میں جیوڈیسی حصوں کے لیے عدم مساوات کا فوری نتیجہ ہے، کیونکہ اس لیے، اگر اس میں اور کافی بڑا ہے، تو بوسیمن ہڈمارڈ کئی گنا پر کام کرتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ ہڈمارڈ کئی گنا میں پوائنٹس ہیں اور اس کے ذریعے جیوڈیسیک ہونے دیں۔ یہ جیوڈیسیک بند گیند کی حد کو دو پوائنٹس پر کاٹتا ہے۔ اس طرح اگر، اس طرح کے ساتھ پوائنٹس ہیں. تسلسل کے لحاظ سے یہ شرط بسمین افعال کے لیے برقرار رہتی ہے: اگر ہڈمارڈ کئی گنا پر بسمین فنکشن ہے، تو، اور میں دیا جاتا ہے، اس طرح کے اور کے ساتھ منفرد پوائنٹس ہوتے ہیں۔ فکسڈ کے لیے، پوائنٹس اور ان پر مسلسل انحصار کرتے ہیں۔ اور کی طرف جھکاؤ رکھنے والی ترتیب کو لیتے ہوئے، پوائنٹس ہوتے ہیں اور جو کافی بڑے کے لیے ان شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ اگر ضروری ہو تو اس کے بعد آنے والے حصے میں منتقل ہونا، یہ فرض کیا جا سکتا ہے اور اس کی طرف مائل ہوتا ہے۔ تسلسل سے یہ نکات کے لیے شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ انفرادیت کو ثابت کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ کمپیکٹنس اس کی زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پر فرض کرتا ہے۔ Lipschitz حالت سے پتہ چلتا ہے کہ وہاں کی اقدار زیادہ سے زیادہ مختلف ہوتی ہیں۔ اس لیے اسے کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے۔ دوسری طرف، اور کے لیے اور پوائنٹس اور اس فاصلے کو زیادہ سے زیادہ کرنے میں منفرد نکات ہیں۔ اس کے بعد Lipschitz حالت فوری طور پر ظاہر ہوتی ہے اور زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم کرنے میں منفرد نکات ہونے چاہئیں۔ اب فرض کریں کہ ایسا ہوتا ہے۔ پھر متعلقہ پوائنٹس اور ایک بند گیند میں پڑے ہیں لہذا متغیر تسلسل کو تسلیم کریں۔ لیکن اس کی انفرادیت اور اس طرح کے کسی بھی تسلسل کا رجحان ہونا چاہیے اور، تاکہ تسلسل قائم کرنے کا رجحان ہو اور ہونا چاہیے۔ مندرجہ بالا نتیجہ عام طور پر ہڈمارڈ کی جگہ میں ہوتا ہے۔ اگر ہڈمارڈ کئی گنا پر بسمین فنکشن ہے، تو یہ سب کے ساتھ مسلسل تفریق پذیر ہے۔ کی پچھلی خصوصیات سے، ہر ایک کے لیے ایک منفرد جیوڈیسیک γ (t) ہوتا ہے جس کے ساتھ آرکلینتھ کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ اس میں وہ خاصیت ہے جس پر یہ کاٹتا ہے: پچھلے اشارے میں اور۔ یونٹ ویکٹر کے ذریعہ بیان کردہ ویکٹر فیلڈ مسلسل ہے، کیونکہ یہ ایک مسلسل فنکشن ہے اور کارٹن-ہڈمارڈ تھیوریم کے ذریعہ نقشہ بھیجنا ایک ڈفیومورفزم ہے۔ آئیے ایک اور جیوڈیسیک پیرامیٹرائزڈ بذریعہ آرکلینتھ کے ساتھ۔ پھر۔ واقعی، ایسا ہی ہونے دیں۔ پھر اسے اور کے ساتھ لاگو کرنا، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ بیرونی اصطلاحات 0 کی طرف مائل ہوتی ہیں، لہذا درمیانی مدت کی وہی حد ہوتی ہے، جیسا کہ دعوی کیا گیا ہے۔ اسی طرح کی دلیل اس کے لیے بھی لاگو ہوتی ہے۔ بیرونی اصطلاحات پر دعوی آرکلینتھ کے پہلے تغیر فارمولے سے ملتا ہے، لیکن براہ راست مندرجہ ذیل طریقے سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ چلو اور، دونوں یونٹ ویکٹر۔ پھر ٹینجینٹ ویکٹرز کے لیے اور یونٹ بال میں یکساں طور پر باؤنڈ کے ساتھ۔ لیٹ اینڈ۔ پھر یہاں دائیں ہاتھ کا رخ 0 کی طرف ہوتا ہے کیونکہ یہی طریقہ دوسری اصطلاحات کے لیے بھی کام کرتا ہے۔ لہذا اس کے بعد یہ ایک فنکشن ہے جس میں ڈوئل ٹو ویکٹر فیلڈ ہے، تاکہ۔ ویکٹر فیلڈ اس طرح کے لیے گریڈینٹ ویکٹر فیلڈ ہے۔ کسی بھی نقطہ کے ذریعے جیوڈیکس بہاؤ کے لیے بہاؤ کی لکیریں ہیں، لہذا یہ اس کے لیے میلان کا بہاؤ ہے۔ تھیوریم۔ ایک ہڈمارڈ کئی گنا پر ایک مسلسل فعل پر درج ذیل شرائط مساوی ہیں: ایک بسمین فعل ہے۔ ایک کنویکس ہے، مستقل 1 کے ساتھ لپشٹز فنکشن، اور ہر ایک کے لیے اس سے فاصلے پر پوائنٹس ہوتے ہیں۔ کے ساتھ ایک کنویکس فنکشن ہے۔ یہ پہلے ہی ثابت ہو چکا ہے کہ (1) کا مطلب (2) ہے۔ مندرجہ بالا دلائل اتپریورتس متغیر کو ظاہر کرتے ہیں کہ (2) کا مطلب (3) ہے۔ لہذا یہ ظاہر کرنا باقی ہے کہ (3) کا مطلب (1) ہے۔ ٹھیک کریں۔ کے لیے میلان کا بہاؤ ہونے دیں۔ یہ اس کے بعد آتا ہے اور یہ ایک جیوڈیسیک ہے جس کے ساتھ آرکلینتھ کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے۔ درحقیقت، اگر، تو ایسا ہی ہے۔ چلو، بیس مین بیس پوائنٹ کے ساتھ کام کرتا ہے۔ خاص طور پر۔ ثابت کرنے کے لیے (1)، یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے۔ کے ساتھ پوائنٹس کا بند کنویکس سیٹ ہونے دیں۔ چونکہ ہر نقطہ کے لیے ایک ہڈمارڈ جگہ ہے اس میں ایک منفرد قریب ترین نقطہ ہے۔ یہ مسلسل انحصار کرتا ہے اور اگر باہر واقع ہے، تو ہائپر سرفیس پر واقع ہے-کی حد-اور جیوڈیسیک سے آرتھوگنل ہے۔ اس صورت میں جیوڈیسیک درست ہے۔ درحقیقت، حقیقت یہ ہے کہ میلان کا بہاؤ اور حالات کا مطلب یہ ہے کہ بہاؤ کی لکیریں جیوڈیکس ہیں جو آرکلینتھ کے لحاظ سے پیرامیٹرائزڈ ہیں اور سطح کے منحنی خطوط کو آرتھوگونلی طور پر کاٹتی ہیں۔ دوسری طرف، کسی بھی چار نکات کے لیے، اور کے ساتھ لے کر، ہڈمارڈ کی جگہ میں، ریشتنیک کی درج ذیل چوطرفہ عدم مساوات برقرار رہتی ہے: ترتیب،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، بہاؤ کو اس نتیجے کو تمام سطح کی سطحوں تک پہنچانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر ایسا لیں اور سیٹ کریں۔ پھر کہاں۔ لیکن پھر، اس طرح۔ اس لیے، ضرورت کے مطابق۔ نوٹ کریں کہ اس دلیل کو اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے مختصر کیا جا سکتا ہے کہ دو بسمین افعال اور ایک مستقل سے فرق صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب متعلقہ جیوڈیسیک شعاعیں مطمئن ہوں۔ درحقیقت، بہاؤ کے ذریعے بیان کردہ تمام جیوڈیسکس مؤخر الذکر کی شرط کو پورا کرتے ہیں، اس لیے مستقل کے لحاظ سے مختلف ہوتے ہیں۔ چونکہ ان میں سے کوئی بھی جیوڈیکس مشتق 1 کے ساتھ لکیری ہے، اس لیے مستقل طور پر ان بسمین افعال سے مختلف ہونا چاہیے۔ ایک مناسب ہڈمارڈ جگہ کی کمپیکٹفیکیشن نے ہڈمارڈ کئی گنا کی کمپیکٹفیکیشن کی وضاحت کی جو بوسیمن افعال کا استعمال کرتی ہے۔ ان کی تعمیر، جسے زیادہ عام طور پر مناسب تک بڑھایا جا سکتا ہے (یعنی۔ مقامی طور پر کمپیکٹ) ہڈمارڈ خالی جگہیں، مناسب میٹرک خالی جگہوں کے زیادہ عام طبقے کے لیے، جن کے لیے ہر بند گیند کمپیکٹ ہوتی ہے، گروموف کی طرف سے بیان کردہ کمپیکٹفیکیشن کا ایک واضح ہندسی احساس دیتی ہے-ایک "مثالی حد" شامل کرکے۔ نوٹ کریں کہ چونکہ کوئی بھی کاچی ترتیب بند گیند میں موجود ہوتی ہے، اس لیے کوئی بھی مناسب میٹرک جگہ خود بخود مکمل ہو جاتی ہے۔ مثالی حد ایک میٹرک جگہ کے لیے مثالی حد کا ایک خاص معاملہ ہے۔ ہڈمارڈ خالی جگہوں کے معاملے میں، یہ خلا کی حد بندی میں بسمین افعال کا استعمال کرتے ہوئے بیان کردہ کسی بھی مقررہ نقطہ سے نکلنے والی جیوڈیسیک شعاعوں کی جگہ سے اتفاق کرتا ہے۔ اگر ایک مناسب میٹرک اسپیس ہے، تو گروموف کی کمپیکٹفیکیشن کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ ایک پوائنٹ ٹھیک کریں اور جانے دیں۔ چلو Lipschitz مسلسل افعال کی جگہ،. e پر ہے۔ جن کے لیے کچھ مستقل۔ خلا کو سیمی نارمز کے ذریعے ٹوپولوجائز کیا جا سکتا ہے، جو کمپیکٹا پر یکساں کنورجنس کی ٹوپولوجی ہے۔ یہ ٹوپولوجی ہے جو C (X) کے قدرتی نقشے سے بناچ خالی جگہوں کے براہ راست پروڈکٹ میں متاثر ہوتی ہے۔ یہ میٹرک کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ فنکشن پر بھیج کر جگہ کو سرایت کیا جاتا ہے۔ اندر کی بندش ہونے دیں۔ پھر کمپیکٹ (پیمائش کے قابل) ہوتا ہے اور ایک کھلے ذیلی سیٹ کے طور پر ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ بیس پوائنٹ کے مختلف انتخاب سے پیدا ہونے والی کمپیکٹفیکیشن قدرتی طور پر ہومومورفک ہوتی ہیں۔ کمپیکٹنیس آرزیل-اسکولی تھیوریم سے پیروی کرتا ہے کیونکہ اس میں تصویر مساوی طور پر اور یکساں طور پر معیاری طور پر پابند ہے۔ آئیے اندر کی طرف مائل ہونے میں ایک ترتیب بنیں۔ پھر تمام لیکن محدود طور پر بہت سی اصطلاحات باہر ہونی چاہئیں کیونکہ یہ کمپیکٹ ہے، تاکہ کوئی بھی تسلسل ایک نقطہ میں ضم ہو جائے۔ لہذا ترتیب کو غیر محدود ہونا چاہیے۔ جانے دیں۔ پھر لیٹ جاتا ہے۔ یہ غیر صفر آن ہے اور صرف اس پر غائب ہو جاتا ہے۔ لہذا یہ صفر سیٹ کے ساتھ ایک مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے۔ اس کے بعد ضرورت کے مطابق بند کیا جاتا ہے۔ یہ چیک کرنے کے لیے کہ کمپیکٹفیکیشن بیس پوائنٹ سے آزاد ہے، یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ اس پر مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے۔ لیکن، تو، اندر کے لیے۔ لہذا اور کے لیے کمپیکٹفیکیشن کے درمیان خط و کتابت بھیج کر دیا جاتا ہے۔ ہڈمارڈ کئی گنا کب ہوتا ہے (یا زیادہ عام طور پر ایک مناسب ہڈمارڈ جگہ)، گروموف کی مثالی حد کو بوسیمن افعال کا استعمال کرتے ہوئے جیوڈیسکس کی "غیر علامتی حدود" کے طور پر واضح طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ بیس پوائنٹ کو فکس کرنے کے لیے، آرکلینتھ کے لحاظ سے ایک منفرد جیوڈیسی پیرامیٹر ہوتا ہے اور یہ ایک دیا ہوا یونٹ ویکٹر ہوتا ہے۔ اگر متعلقہ بسمین فنکشن ہے، تو اس میں واقع ہے اور یونٹ کے دائرے کی ہومومورفزم کو اس پر بھیجتا ہے۔ پوائنکیری ڈسک، کیٹ (-1) اور ہائپربولک خالی جگہوں میں قوسیگیوڈیسکس مورس-ماسٹو لیما منفی منحنی خطوط، جیسے کہ پوائنکیری ڈسک، کیٹ (-1) اور ہائپربولک خالی جگہوں کی صورت میں، ان کی گروموف حد پر ایک میٹرک ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ ڈھانچہ نیم آاسومیٹریز کے گروپ کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے جو جیوڈیسیک شعاعوں کو نیم آشودی شعاعوں تک لے جاتے ہیں۔ قوسیگیوڈیسکس کا سب سے پہلے منفی مڑے ہوئے سطحوں کے لیے مطالعہ کیا گیا تھا-خاص طور پر ہائپربولک اپر ہافپلین اور یونٹ ڈسک-مورس کے ذریعے اور مجرد گروپوں کی سختی پر ان کے کام کے لیے موسٹو کے ذریعے منفی مڑے ہوئے سمیٹرک خالی جگہوں کو عام کیا گیا۔ بنیادی نتیجہ جیوڈیسکس کے استحکام پر مورس-ماسٹو لیما ہے۔ تعریف کے مطابق ایک قوسیگیوڈیسیک जात کے ساتھ وقفے پر بیان کیا گیا نقشہ ایک میٹرک اسپیس میں ہے، ضروری نہیں کہ مسلسل ہو، جس کے لیے مستقل اور ایسے ہیں جو سب کے لیے ہیں اور: مندرجہ ذیل نتیجہ بنیادی طور پر مارسٹن مورس (1924) کی وجہ سے ہے۔ جیوڈیسکس کے استحکام پر مورس کا لیما۔ ہائپربولک ڈسک میں ایک مستقل ہوتا ہے جو اس پر منحصر ہوتا ہے اور اس طرح کہ کسی محدود وقفے پر بیان کردہ کوئی بھی قوسیگوڈیسک طبقہ جیوڈیسک حصے کے ہاؤزڈورف فاصلے کے اندر ہو۔ پوئن کیئر ڈسک کے لیے کلاسیکی ثبوت پوئن کیئر یونٹ ڈسک یا اوپری ہافپلین کے لیے مورس کے لیما کا کلاسیکی ثبوت جیوڈیسیک حصے پر آرتھوگنل پروجیکشن کا استعمال کرکے زیادہ براہ راست آگے بڑھتا ہے۔ یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ जात مضبوط "سڈو جیوڈیسیک" حالت کو مطمئن کرتا ہے: ایک مسلسل ٹکڑے ٹکڑے جیوڈیسیک وکر سے تبدیل کیا جا سکتا ہے جس میں وہی اختتامی نکات ہوتے ہیں جو ایک محدود ہاؤز ڈورف فاصلے سے کم ہوتے ہیں: اس وقفے کو توڑ دیں جس پر لمبائی کے مساوی ذیلی وقفوں میں بیان کیا گیا ہے اور ذیلی وقفوں کے اختتامی نکات کے نیچے تصاویر کے درمیان جیوڈیکس لیں۔ چونکہ ٹکڑے ٹکڑے جیوڈیسیک ہے، کیا Lipschitz مستقل، جہاں کے ساتھ مسلسل ہے۔ نچلی حد وقفوں کے اختتامی نکات پر خودکار ہوتی ہے۔ تعمیر کے لحاظ سے دیگر اقدار ان سے یکساں طور پر پابند سے مختلف ہوتی ہیں جو صرف اور پر منحصر ہوتی ہیں۔ نچلی پابند عدم مساوات اس یکساں پابند سے دوگنا جوڑ کر ε کو بڑھا کر برقرار رکھتی ہے۔ اگر ایک ٹکڑے ٹکڑے کی طرح ہموار منحنی حصہ جیوڈیسک لائن کے پڑوس سے باہر پڑا ہے اور جیوڈیسک لائن پر آرتھوگنل پروجیکشن ہے تو: اوپری نصف سطح میں آئسومیٹری کا اطلاق کرتے ہوئے، یہ فرض کیا جاسکتا ہے کہ جیوڈیسک لائن مثبت خیالی محور ہے جس صورت میں اس پر آرتھوگنل پروجیکشن اور کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ لہذا اس مفروضے کا مطلب یہ ہے کہ صرف اور اس پر منحصر ایک مستقل ہے جو جیوڈیسی حصے کے پڑوسی کے اندر واقع ہے۔ جیوڈیسک سیکشن پر مشتمل جیوڈیسک لائن ہونے دیں۔ پھر ایک مستقل ہوتا ہے جس کا انحصار صرف اور اس طرح کے پڑوسی کے پڑوسی کے اندر ہوتا ہے۔ درحقیقت کسی بھی چیز کے لیے، جس کا ذیلی سیٹ پڑوسی کی بندش سے باہر ہے، کھلا ہے، اس لیے کھلے وقفوں کا قابل شمار اتحاد ہے۔ پھر چونکہ بائیں ہاتھ کی طرف سے کم یا برابر ہے اور اس لیے ہر نقطہ سے کم یا برابر فاصلے پر واقع ہے۔ اس دعوے کا اندازہ لگانے کے لیے، نوٹ کریں کہ جس کا ذیلی سیٹ پڑوسی کی بندش سے باہر ہے وہ کھلا ہے، اس لیے یا دونوں میں سے کسی ایک کے فاصلے پر وقفوں کا اتحاد۔ پھر چونکہ اس لیے دعوی اس سے کہیں زیادہ لینے کے بعد ہوتا ہے۔ ایک مستقل صرف اور اس پر منحصر ہے کہ جیوڈیسیک طبقہ کے پڑوسی کے اندر واقع ہے۔ کا ہر نقطہ ایک فاصلے کے اندر ہے۔ اس طرح آرتھوگنل پروجیکشن ہر نقطہ کو بند کنویکس سیٹ میں ایک نقطہ پر اس سے کم فاصلے پر لے جاتا ہے۔ چونکہ نقشہ مسلسل اور جڑا ہوا ہے، اس لیے نقشہ پر ہونا چاہیے کیونکہ تصویر کے اختتامی نکات پر مشتمل ہے۔ لیکن پھر کا ہر نقطہ ایک نقطہ کے فاصلے کے اندر ہے۔ پوائنٹ (-1) خالی جگہوں پر مورس کے لیما کی عمومی کاری کو اکثر مورس-ماسٹو لیما کہا جاتا ہے اور اسے کلاسیکی ثبوت کی سیدھی سی عمومی کاری سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ گروموف کی وجہ سے ہائپربولک میٹرک خالی جگہوں کی زیادہ عام کلاس کے لیے بھی ایک عمومی شکل ہے۔ پوئن کیری یونٹ ڈسک کے لیے گروموف کا ثبوت ذیل میں دیا گیا ہے ؛ ہائپربولک میٹرک خالی جگہوں کی خصوصیات ثبوت کے دوران تیار کی جاتی ہیں، تاکہ یہ کیٹ (-1) یا ہائپربولک میٹرک خالی جگہوں پر میوٹیٹس میوٹینڈی کا اطلاق کرے۔ چونکہ یہ ایک بڑے پیمانے کا رجحان ہے، اس لیے یہ چیک کرنا کافی ہے کہ عدم مساوات کو مطمئن کرنے والے کسی بھی ڈسک کے نقشے جیوڈیسیک حصے کے ہاؤزڈورف فاصلے کے اندر ہیں۔ اس کے لیے اس کا ترجمہ عامیت کے نقصان کے بغیر فرض کیا جا سکتا ہے اور اس کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے اور پھر، (کا عدد حصہ) لیتے ہوئے، نتیجہ کو اس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ اور کی تصاویر کے درمیان ہاؤز ڈورف کا فاصلہ واضح طور پر صرف اور پر منحصر ایک مستقل سے محدود ہے۔ اب جیوڈیسیک مثلث کے اندرونی دائرے کا قطر اس سے کم ہے جہاں ؛ درحقیقت اسے ایک مثالی مثلث کے ذریعے سختی سے زیادہ سے زیادہ کیا جاتا ہے جہاں یہ برابر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، چونکہ اندرونی دائرہ مثلث کو توڑتا ہے اس لیے مثلث کو تین آئسوسلز مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے جس کی تیسری طرف اصل مثلث کے سرے کے مقابل لمبائی اس سے کم ہوتی ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ جیوڈیسیک مثلث کا ہر رخ دوسرے دونوں اطراف کے پڑوس میں موجود ہوتا ہے۔ ایک سادہ انڈکشن دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ ایک جیوڈیسیک کثیر الاضحی جس کے عمودی حصے کے ساتھ ہر طرف دوسرے اطراف کے پڑوس میں ہوتا ہے (اس طرح کا کثیر الاضحی دو جیوڈیسیک کثیر الاضحی کو ایک مشترکہ طرف کے اطراف کے ساتھ ملا کر بنایا جاتا ہے)۔ لہذا اگر، وہی تخمینہ اطراف والے کثیر الاضحی کے لیے ہے۔ لیٹ کے لیے، ایک بند گیند کے لیے سب سے بڑا رداس جس پر اس کے اندرونی حصے میں کوئی نہیں ہوتا ہے۔ یہ ایک مسلسل فنکشن ہے جو غیر صفر پر ہے لہذا اس حصے میں کسی وقت اپنی زیادہ سے زیادہ حد تک پہنچ جاتا ہے۔ پھر کسی کے لیے تصویر کے پڑوسی کے اندر ہوتا ہے۔ اس لیے آزاد کے لیے اوپری حد تلاش کرنا کافی ہے۔ منتخب کریں اور اس سے پہلے اور بعد کے حصے میں اور (یا ایک اختتامی نقطہ اگر اس سے کم فاصلے کے اندر ہو)۔ پھر ساتھ ہیں۔ اس لیے کہ۔ مثلث کی عدم مساوات کے ذریعہ حصوں پر تمام نکات اور ان سے فاصلے پر ہیں۔ اس طرح پوائنٹس کا ایک محدود سلسلہ ہوتا ہے جو شروع ہوتا ہے اور ختم ہوتا ہے، پہلے حصے پر پڑا ہوتا ہے، پھر حصے کو لینے سے پہلے پوائنٹس کے ذریعے آگے بڑھتا ہے۔ یکے بعد دیگرے پوائنٹس کو اس فاصلے سے الگ کیا جاتا ہے جو اس سے زیادہ نہیں ہوتا ہے اور اس شرط کو پورا کرنے کے لیے جیوڈیسی حصوں پر یکے بعد دیگرے پوائنٹس کا بھی انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کی ترتیب میں پوائنٹس کی کم از کم تعداد مطمئن ہوتی ہے۔ یہ نکات ایک جیوڈیسیک کثیر الاضحی بناتے ہیں، جس کی ایک طرف ہوتی ہے۔ لے لو، تاکہ کے پڑوسی میں کثیر الاضحی کے دیگر تمام پہلو شامل نہ ہوں۔ لہذا، مندرجہ بالا نتیجہ سے، یہ اس کے بعد آتا ہے۔ لہذا اس عدم مساوات کا مطلب یہ ہے کہ یکساں طور پر پابند ہے، آزادانہ طور پر، جیسا کہ دعوی کیا گیا ہے۔ اگر تمام پوائنٹس کے اندر ہیں، تو نتیجہ اس کے بعد آتا ہے۔ بصورت دیگر وہ پوائنٹس جو زیادہ سے زیادہ ذیلی سیٹ میں نہیں آتے ہیں۔ اس طرح پوائنٹس کا ایک نقطہ ہوتا ہے جس کی تکمیل فاصلے کے اندر ہوتی ہے۔ لیکن کی تکمیل، اور کے ساتھ ایک جداگانہ اتحاد۔ کنیکٹیویٹی کا مطلب ہے کہ اس حصے میں ایک نقطہ ہے جو پوائنٹس کے فاصلے کے اندر اور اور کے ساتھ ہے۔ لیکن پھر، اس طرح۔ لہذا کم سے کم فاصلے کے اندر جھوٹ کے لیے پوائنٹس۔ کواسیگوڈیسک شعاعوں اور لکیروں تک توسیع یاد رکھیں کہ ایک ہڈمارڈ جگہ میں اگر اور دو جیوڈیسک حصے اور انٹرمیڈیٹ پوائنٹس ہیں اور انہیں تناسب میں تقسیم کرتے ہیں، تو یہ کا ایک کنویکس فنکشن ہے۔ خاص طور پر اگر اور یونٹ کی رفتار کے جیوڈیسک حصے ہیں جو ایک ہی نقطہ سے شروع ہونے پر بیان کیے گئے ہیں تو خاص طور پر اس کا مطلب مندرجہ ذیل ہے: ایک سی اے ٹی (-1) جگہ میں، ایک مستقل صرف اس پر منحصر ہوتا ہے اور اس طرح کہ کوئی بھی نیم جیوڈیسک کرن جیوڈیسک کرن کے باؤنڈڈ ہاؤز ڈورف فاصلے کے اندر ہو۔ اسی طرح کا نتیجہ قوسیگوڈیسک اور جیوڈیسک لائنوں کے لیے بھی ہے۔ اگر جیوڈیسیک ہے تو مستقل کے ساتھ کہیں اور، اس حصے کے لیے یونٹ سپیڈ جیوڈیسیک ہونے دیں۔ مندرجہ بالا تخمینہ سے پتہ چلتا ہے کہ مقررہ اور کافی بڑے کے لیے، یکساں میٹرک کے ساتھ ایک کاچی ترتیب ہے۔ اس طرح کمپیکٹا پر یکساں طور پر جیوڈیسیک کرن کی طرف مائل ہوتا ہے جس کے درمیان ہاؤسڈورف کے فاصلے پر باؤنڈ ہوتا ہے اور یہ حصے محدود جیوڈیسیک پر بھی لاگو ہوتے ہیں۔ کواسیگوڈیسک لائنوں کا دعوی جیوڈیسک سیگمنٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایفریموویچ-تیخومیرووا تھیوریم کیٹ (-1) خالی جگہوں پر بحث کرنے سے پہلے، یہ سیکشن پوئنکیری میٹرک کے ساتھ یونٹ ڈسک کے لیے ایفریموویچ-تیخومیرووا تھیوریم کو بیان کرے گا۔ یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ یوکلڈین میٹرک کے ساتھ یونٹ ڈسک کے نیم موبیئس ہومومورفزم تک کی نیم آاسومیٹریز کی توسیع ہوتی ہے۔ تھیوریم سی اے ٹی (-1) خالی جگہوں کے زیادہ عمومی نظریہ کے لیے پروٹو ٹائپ بناتا ہے۔ ان کی اصل تھیوریم کو قدرے کم عمومی اور کم عین مطابق شکل میں ثابت کیا گیا تھا اور اس کا اطلاق پوائن کیری میٹرک کے لیے یونٹ ڈسک کے بائی-لپشٹز ہومومورفزم پر کیا گیا تھا۔ اس سے پہلے، بعد از مرگ کے مقالے میں، جاپانی ریاضی دان اکیرا موری نے ٹیچملر تھیوری کے اندر ایک متعلقہ نتیجہ ثابت کیا تھا جس میں یقین دلایا گیا تھا کہ ڈسک کا ہر کواسکونفارم ہومومورفزم ہولڈر مسلسل ہے اور اس وجہ سے یونٹ سرکل کے ہومومورفزم تک مسلسل پھیلا ہوا ہے (یہ معلوم ہے کہ یہ توسیع نیم موبیئس ہے)۔ اگر پوئن کیئر یونٹ ڈسک، یا زیادہ عام طور پر ایک سی اے ٹی (-1) جگہ ہے، تو کواسیگوڈیسکس کے استحکام پر مورس لیما کا مطلب یہ ہے کہ ہر کواسی آئسومیٹری کی حد تک منفرد طور پر توسیع ہوتی ہے۔ تعریف کے مطابق دو سیلف میپنگز نیم مساوی ہیں اگر، تاکہ متعلقہ پوائنٹس ایک دوسرے کے یکساں طور پر پابند فاصلے پر ہوں۔ کا نیم آئسومیٹری ایک خود نقشہ سازی ہے، ضروری نہیں کہ مسلسل ہو، جس کا نیم الٹا اس طرح کا ہوتا ہے اور وہ مناسب شناختی نقشوں کے نیم مساوی ہوتے ہیں اور اس طرح کے مستقل اور ایسے ہوتے ہیں کہ سب کے لیے اور دونوں نقشہ سازی نوٹ کریں کہ نیم الٹا نیم مساوی تک منفرد ہوتے ہیں۔ اس مساوی تعریف کو ممکنہ طور پر مختلف دائیں اور بائیں مساوی کا استعمال کرتے ہوئے دیا جا سکتا ہے، لیکن وہ لازمی طور پر نیم مساوی ہوں گے۔ کہ نیم آئسومیٹریز ساخت کے تحت بند ہوتی ہیں جو نیم مساوی تک صرف نیم مساوی کلاسوں پر منحصر ہوتی ہیں۔ اور یہ کہ، ماڈیولو نیم مساوی، نیم مساوی، کسی نقطہ کو درست کرنے کے لیے، جیوڈیسیک کرن کو دیکھتے ہوئے، ایک نیم آئسومیٹری کے تحت تصویر ایک نیم جیوڈیسیک کرن ہے۔ مورس-ماسٹو لیما کے مطابق یہ ایک منفرد جیوڈیسیک کرن سے شروع ہونے والے محدود فاصلے کے اندر ہے۔ یہ حد پر نقشہ سازی کی وضاحت کرتا ہے، جو کہ نیم مساوی طبقے سے آزاد ہے، جیسے کہ۔ اس طرح کے سیلف میپنگ کے گروپ میں نیم آئسومیٹریز کے گروپ کی ہومومورفزم ہے۔ یہ چیک کرنے کے لیے کہ یہ مسلسل ہے، نوٹ کریں کہ اگر اور جیوڈیسیک شعاعیں ہیں جو یکساں طور پر قریب ہیں، فاصلے کے اندر، پھر اور فاصلے کے اندر واقع ہیں، تاکہ وہ اور فاصلے کے اندر واقع ہوں ؛ اس لیے ایک چھوٹے وقفے پر، اور کنویکسٹی کے لحاظ سے فاصلے کے اندر واقع ہیں۔ کیٹ (-1) خالی جگہوں پر، تسلسل کا ایک عمدہ ورژن اس بات پر زور دیتا ہے کہ میٹرک کی قدرتی کلاس کے حوالے سے ایک نیم-موبیئس نقشہ سازی ہے، "بصری میٹرکس" یونٹ دائرے پر یوکلڈین میٹرک کو عام کرتا ہے اور موبیئس گروپ کے تحت اس کی تبدیلی کرتا ہے۔ ان بصری میٹرکس کی تعریف بسمین افعال کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ یونٹ ڈسک کے معاملے میں، ٹیچملر تھیوری کا مطلب یہ ہے کہ ہومومورفزم دائرے کے کواسی-موبیئس ہومومورفزم کے گروپ پر ڈسک کے کواسیکونوفارمل ہومومورفزم کو لے جاتا ہے (مثال کے طور پر ایہلفورز-بیرلنگ یا ڈوڈی-ایرل ایکسٹینشن کا استعمال کرتے ہوئے): اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کواسی-اسومیٹری گروپ سے کواسی-موبیئس گروپ میں ہومومورفزم سرجیکٹو ہے۔ دوسری سمت میں، یہ ثابت کرنا سیدھا ہے کہ ہومومورفزم انجیکشن ہے۔ فرض کریں کہ یہ یونٹ ڈسک کی ایک نیم آئسومیٹری ہے جیسے کہ شناخت ہے۔ مفروضہ اور مورس لیما کا مطلب یہ ہے کہ اگر جیوڈیسیک لائن ہے، تو اس کے پڑوسی میں واقع ہے۔ اب ایک دوسری جیوڈیسیک لکیر اس طرح لیں کہ اور کسی دیئے گئے نقطہ پر آرتھوگونلی طور پر کاٹ لیں۔ پھر اور کے پڑوسیوں کے چوراہے پر واقع ہے۔ موبیئس تبدیلی کو لاگو کرتے ہوئے، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ یونٹ ڈسک کی ابتدا میں ہے اور جیوڈیسکس حقیقی اور خیالی محور ہیں۔ کنویکسٹی کے ذریعے، ان محوروں کے-پڑوسی اصل کے-پڑوسی میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں: اگر دونوں محلوں میں واقع ہے، تو-اور-محوروں کے آرتھوگنل پروجیکشن ہونے دیں ؛ پھر-محور پر پروجیکشن لینا ؛ اس لیے۔ لہذا، یہ شناخت کے برابر ہے، جیسا کہ دعوی کیا گیا ہے۔ کراس تناسب اور غیر بکھرے ہوئے جیوڈیسیک لائنوں کے درمیان فاصلہ یونٹ دائرے یا حقیقی محور پر دو الگ الگ پوائنٹس کو دیکھتے ہوئے ان میں شامل ہونے والا ایک منفرد ہائپربولک جیوڈیسیک ہوتا ہے۔ یہ دائرے (یا سیدھی لکیر) کے ذریعے دیا جاتا ہے جو یونٹ سرکل یونٹ سرکل یا حقیقی محور کو ان دو نکات پر آرتھوگنل طور پر کاٹتا ہے۔ توسیعی پیچیدہ سطح میں چار الگ الگ نکات کو دیکھتے ہوئے ان کے کراس تناسب کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے اگر ایک پیچیدہ موبیئس تبدیلی ہے تو یہ کراس تناسب کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے: چونکہ موبیئس گروپ صرف تین پوائنٹس پر عارضی طور پر کام کرتا ہے، اس لیے کراس تناسب کو متبادل طور پر پیچیدہ نمبر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جیسے کہ موبیئس کی تبدیلی کے لیے۔ چونکہ، اور تمام کراس تناسب کی وضاحت کرنے والے عدد میں ظاہر ہوتے ہیں، کراس تناسب کے رویے کو سمجھنے کے لیے، اور، یہ ان ترتیبات پر غور کرنے کے لیے کافی ہے جو طے کرتے ہیں، لہذا صرف ترتیب دیں، اور۔ کراس تناسب آرڈر 6 کے انہارمونک گروپ کے مطابق تبدیل ہوتا ہے جو اور کو بھیجنے والی موبیئس تبدیلیوں سے پیدا ہوتا ہے۔ دیگر تین تبدیلیاں بھیجتی ہیں، بھیجتی ہیں اور بھیجتی ہیں۔ اب اس ترتیب میں اکائی دائرے یا حقیقی محور پر پوائنٹس ہونے دیں۔ پھر جیوڈیسکس اور ایک دوسرے کو نہیں کاٹتے اور ان جیوڈیسکس کے درمیان فاصلہ اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے: ان دونوں جیوڈیسکس کو آرتھوگونلی طور پر کاٹنے والی ایک منفرد جیوڈیسک لائن ہے اور فاصلہ ان کے درمیان جیوڈیسک حصے کی لمبائی سے دیا جاتا ہے۔ یہ واضح طور پر حقیقی موبیئس تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہے۔ کراس تناسب اور جیوڈیسکس کے درمیان فاصلے کا موازنہ کرنے کے لیے، موبیئس انواریینس حساب کو سمیٹرک ترتیب تک کم کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ کے لیے، لے لو۔ پھر کہاں۔ دوسری طرف، جیوڈیکس اور رداس اور کے اوپری نصف سطح میں سیمی سرکلز ہیں۔ جیوڈیسیک جو انہیں آرتھوگونلی طور پر کاٹتا ہے وہ مثبت خیالی محور ہے، لہذا ان کے درمیان فاصلہ اور، کے درمیان ہائپربولک فاصلہ ہے۔ تو پھر، اس طرح کہ ایک مستقل ہو کہ، اگر، تب سے اوپر اور نیچے سے پابند ہو۔ نوٹ کریں کہ یونٹ کے دائرے کے ارد گرد ترتیب میں ہیں اگر اور صرف اگر۔ کراس تناسب کی ایک زیادہ عمومی اور عین مطابق ہندسی تشریح جیوڈیسک لائن پر آئیڈیل پوائنٹس کے پروجیکشنز کا استعمال کرتے ہوئے دی جا سکتی ہے۔ یہ دائرے پر موجود پوائنٹس کی ترتیب پر منحصر نہیں ہے اور اس وجہ سے جیوڈیسک لائنیں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں یا نہیں۔ اگر اور جیوڈیسیک لائن سے اور پرپینڈکیولر کے پاؤں ہیں، تو۔ چونکہ موبیئس تبدیلیوں کے تحت دونوں اطراف غیر متغیر ہیں، اس صورت میں اس کی جانچ کرنا کافی ہے کہ، اور۔ اس صورت میں جیوڈیسیک لائن مثبت خیالی محور ہے، دائیں ہاتھ کی طرف برابر ہے، اور۔ تو بائیں ہاتھ کی طرف برابر ہے۔ نوٹ کریں کہ اور وہ نکات بھی ہیں جہاں مثالی مثلث کے اندرونی دائرے ہوتے ہیں اور چھوتے ہیں۔ نظریہ کا ثبوت دائرے کی ہومیومورفزم کواسیسیمیٹرک ہوتی ہے اگر اس طرح کے مستقل ہوتے ہیں کہ یہ کواسی-موبیئس ہے کہ ایسے مستقل ہوتے ہیں جہاں کراس تناسب کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہ فوری طور پر ہے کہ الٹا اور ساخت کی کارروائیوں کے تحت کواسیسیمیٹرک اور کواسی-موبیئس ہومومورفزم بند ہو جاتے ہیں۔ اگر کواسیسیمیٹرک ہے تو یہ بھی کواسی-موبیئس ہے، اور کے ساتھ: اس کے بعد پہلی عدم مساوات کو اور کے لیے ضرب دی جاتی ہے۔ اس کے برعکس کوئی بھی کواسی-موبیئس ہومیومورفزم کواسیسیمیٹرک ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے، پہلے یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ (اور اس لیے) ہولڈر مسلسل ہے۔ آئیے اتحاد کی مکعب جڑوں کا مجموعہ بنیں، تاکہ اگر اس میں، تو۔ ہولڈر کے تخمینے کو ثابت کرنے کے لیے، یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ یہ یکساں طور پر چھوٹا ہے۔ پھر دونوں اور ساتھ میں ایک مقررہ فاصلے سے زیادہ ہیں، لہذا تخمینہ نیم-موبیئس عدم مساوات کو لاگو کرکے ہوتا ہے۔ اس بات کی تصدیق کرنے کے لیے کہ یہ کواسیسیمیٹرک ہے، یکساں طور پر چھوٹے ٹرپل کے معاملے میں یکساں اوپری باؤنڈ تلاش کرنا کافی ہے۔ اس صورت میں، اور سے 1 سے زیادہ فاصلے پر ایک نقطہ ہے۔ نیم-موبیئس عدم مساوات کو لاگو کرنا، اور مطلوبہ اوپری حد حاصل کرتا ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ دائرے کی ہومیومورفزم کواسی-موبیئس ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ کواسیسیمیٹرک ہو۔ اس صورت میں یہ اور اس کا الٹا ہولڈر مسلسل ہیں۔ کواسی-موبیئس ہومومورفزم ساخت کے تحت ایک گروپ بناتے ہیں۔ نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے یہ ثابت کرنا کافی ہے کہ اگر اس کے بعد ایسے مستقلات موجود ہیں کہ اکائی دائرے پر مختلف نکات کے لیے یہ پہلے ہی چیک کیا جا چکا ہے کہ (اور الٹا ہے) مسلسل ہیں۔ کمپوز کرنا، اور اس لیے، اگر ضروری ہو تو پیچیدہ کنجگیشن کے ساتھ، یہ مزید فرض کیا جا سکتا ہے کہ دائرے کی سمت کو محفوظ رکھتا ہے۔ اس صورت میں، اگر دائرے پر ترتیب میں ہیں، تو نیچے بھی تصاویر ہیں ؛ لہذا دونوں حقیقی اور ایک سے بڑے ہیں۔ اس معاملے میں یہ ثابت کرنے کے لیے، یہ ظاہر کرنا کافی ہے۔ پچھلے حصے سے یہ کافی دکھاتا ہے۔ اس کے بعد اس حقیقت سے پتہ چلتا ہے کہ نیچے کی تصاویر اور کے پڑوسیوں کے اندر واقع ہیں اور ؛ کم سے کم فاصلے کا اندازہ کواسی آئسومیٹری مستقل کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے تاکہ پوائنٹس پر لاگو کیا جا سکے اور احساس کیا جا سکے۔ ایڈجسٹ کرنا اور اگر ضروری ہو تو، مذکورہ بالا عدم مساوات کا اطلاق ان پر بھی ہوتا ہے۔ تبدیل کرنا، اور نیچے ان کی تصاویر کے ذریعہ، یہ اس کے بعد ہے کہ اگر،، اور یونٹ دائرے پر ترتیب میں ہیں۔ لہذا چوتھائی کے تین چکروں کے لیے ایک جیسی عدم مساوات درست ہیں۔ اگر اور تبدیل کیے جاتے ہیں تو کراس تناسب ان کے الٹ پر بھیجے جاتے ہیں، لہذا 0 اور 1 کے درمیان ہوتے ہیں ؛ اسی طرح اگر اور تبدیل کیے جاتے ہیں۔ اگر دونوں جوڑوں کو تبدیل کر دیا جائے تو کراس تناسب غیر متغیر رہتا ہے۔ اس لیے اس معاملے میں عدم مساوات بھی درست ہیں۔ آخر میں اگر اور ایک دوسرے کے ساتھ تبدیل کیے جاتے ہیں، تو کراس تناسب سے بدل جاتا ہے، جو 0 اور 1 کے درمیان ہوتا ہے۔ اس لیے پھر وہی عدم مساوات درست ہیں۔ یہ چیک کرنا آسان ہے کہ ان تبدیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے عدم مساوات،، اور کی تمام ممکنہ تغیرات کے لیے درست ہیں، تاکہ اور اس کا الٹا نیم موبیئس ہومومورفزم ہوں۔ بسمین فنکشنز اور سی اے ٹی (-1) خالی جگہوں کے لیے بصری میٹرکس بسمین افعال کو سی اے ٹی (-1) خالی جگہوں کی کلاس پر خصوصی بصری میٹرکس کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ مکمل جیوڈیسیک میٹرک خالی جگہیں ہیں جن میں جیوڈیسیک مثلث کی حدود پر پوائنٹس کے درمیان فاصلے ہائپربولک اوپری نصف سطح میں تقابلی مثلث سے کم یا برابر ہوتے ہیں یا پوائنٹکیری میٹرک کے ساتھ یونٹ ڈسک کے مساوی ہوتے ہیں۔ یونٹ ڈسک کے معاملے میں کورڈل میٹرک کو براہ راست بسمین افعال کا استعمال کرتے ہوئے بازیافت کیا جا سکتا ہے اور ڈسک کے لیے خصوصی نظریہ کسی بھی مناسب سی اے ٹی (-1) جگہ پر مکمل طور پر عام ہوتا ہے۔ ہائپربولک اوپری نصف طیارہ ایک سی اے ٹی (0) اسپیس ہے، کیونکہ ہائپربولک جیوڈیسیک مثلث میں لمبائی یوکلڈین موازنہ مثلث میں لمبائی سے کم ہوتی ہے: خاص طور پر سی اے ٹی (-1) اسپیس ایک سی اے ٹی (0) اسپیس ہے، لہذا بوسیمن افعال اور گروموف باؤنڈری کا نظریہ لاگو ہوتا ہے۔ ہائپربولک ڈسک کے نظریہ سے، یہ خاص طور پر اس طرح ہے کہ سی اے ٹی (-1) کی جگہ میں ہر جیوڈیسیک کرن جیوڈیسیک لائن تک پھیلی ہوئی ہے اور حدود کے دو نکات کو دیکھتے ہوئے ایک منفرد جیوڈیسیک ہوتا ہے جس میں یہ نکات حدود کے طور پر ہوتے ہیں۔ یہ نظریہ کسی بھی سی اے ٹی () جگہ پر یکساں طور پر لاگو ہوتا ہے کیونکہ یہ سی اے ٹی (-1) جگہ پر میٹرک کو اسکیل کرنے سے پیدا ہوتے ہیں۔ ہائپربولک یونٹ ڈسک کواسی-آئسومیٹریز پر فنکٹوریئل طریقے سے باؤنڈری کے انڈیوس کواسی-موبیئس ہومومورفزم ہوتے ہیں۔ گروموف ہائپربولک خالی جگہوں کا ایک زیادہ عمومی نظریہ ہے، اسی طرح کا ایک بیان ہے، لیکن حد کے ہومومورفزم پر کم درست کنٹرول کے ساتھ۔ مثال: پوئن کیئر ڈسک پرکولیشن تھیوری میں ایپلی کیشنز مزید حال ہی میں بوسیمن فنکشنز کو ممکنہ ماہرین نے فرسٹ-پیسیج پرکولیشن اور ڈائریکٹڈ لاسٹ-پیسیج پرکولیشن کے ماڈلز میں ایسمپٹوٹک خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا ہے۔ حوالہ جات، ضمیمہ نوٹ کریں۔ جیومیٹری