Grandi's series
ریاضی میں، انفنائٹ سیریز، جسے لکھا بھی جاتا ہے، کو بعض اوقات اطالوی ریاضی دان، فلسفی، اور پادری گائیڈو گرانڈی کے نام پر گرانڈی کی سیریز کہا جاتا ہے، جنہوں نے 1703 میں اس سیریز کا یادگار علاج کیا تھا۔ یہ ایک متفرق سلسلہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کا مجموعہ نہیں ہے۔ تاہم، ریاضی کے لحاظ سے کئی دلچسپ نتائج حاصل کرنے کے لیے اس میں ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، ریاضی میں خلاصہ کے بہت سے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں تاکہ عددی اقدار کو یہاں تک کہ ایک متفرق سیریز کو بھی تفویض کیا جا سکے۔ مثال کے طور پر، اس سلسلے کا سیسارو خلاصہ اور رامانوجن خلاصہ 1/2 ہے۔ غیر متزلزل طریقے سیریز 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + + کا مجموعہ تلاش کرنے کا ایک واضح طریقہ یہ ہے کہ اسے ایک دوربین سیریز کی طرح سمجھا جائے اور اس جگہ پر گھٹاؤ انجام دیا جائے: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +. = 0 + 0 + 0 +. = 0۔ دوسری طرف، اسی طرح کا بریکٹنگ کا طریقہ کار بظاہر متضاد نتیجہ 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. = 1 + 0 + 0 +. = 1 کی طرف لے جاتا ہے۔ اس طرح، گرانڈی کی سیریز میں قوسین کو مختلف طریقوں سے لاگو کرکے، کوئی بھی "ویلیو" کے طور پر 0 یا 1 حاصل کر سکتا ہے۔ (اس خیال کی تغیرات، جسے ایلین برگ-مزور چوری کہا جاتا ہے، بعض اوقات گرہ تھیوری اور الجبرا میں استعمال ہوتے ہیں۔) ان دو "اقدار" کی اوسط لے کر، کوئی اس بات کا جواز پیش کر سکتا ہے کہ سلسلہ یکجا ہو جاتا ہے۔ گرانڈی کی سیریز کو ایک متفرق ہندسی سیریز کے طور پر سمجھنا اور وہی الجبرائی طریقے استعمال کرنا جو تیسری قدر حاصل کرنے کے لیے متغیر ہندسی سیریز کا جائزہ لیتے ہیں: S = 1 − 1 + 1 − 1 +.، تو 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +.) = 1 − 1 + 1 − 1 +. = S '1 − S = S1 = 2S، جس کے نتیجے میں S = ہے۔ اسی نتیجے کا نتیجہ −S کا حساب لگانے، S سے نتیجہ گھٹانے، اور 2S = 1 کو حل کرنے سے نکلتا ہے۔ مندرجہ بالا ہیرا پھیری اس بات پر غور نہیں کرتی کہ سیریز کے مجموعے کا اصل معنی کیا ہے اور الجبرائی طریقوں کو متفرق ہندسی سیریز پر کیسے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ پھر بھی، اس حد تک کہ اپنی مرضی سے سیریز کو بریکٹ کرنے کے قابل ہونا ضروری ہے، اور یہ کہ ان کے ساتھ ریاضی انجام دینے کے قابل ہونا زیادہ ضروری ہے، کوئی بھی دو نتائج پر پہنچ سکتا ہے: سیریز 1−1 + 1−1 +. کا کوئی sum.Davis p.152 نہیں ہے۔ لیکن اس کا مجموعہ ہونا چاہیے۔ درحقیقت، ان دونوں بیانات کو درست اور باضابطہ طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے، لیکن صرف 19 ویں صدی میں پیدا ہونے والے اچھی طرح سے طے شدہ ریاضیاتی تصورات کا استعمال کرتے ہوئے۔ یورپ میں 17 ویں صدی کے اواخر میں کیلکولس کے تعارف کے بعد، لیکن جدید سختی کی آمد سے پہلے، ان جوابات کے درمیان تناؤ نے جیومیٹرک سیریز سے تعلق کے درمیان "لامتناہی" اور "پرتشدد" تنازعہ کو ہوا دی۔ وقفے میں کسی بھی تعداد کے لیے، جیومیٹرک سیریز کے انفنٹی کے مجموعے کا اندازہ اس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ تجزیہ کے لحاظ سے، اس طرح سیریز کے تجزیاتی تسلسل کی قدر کے طور پر دیکھا جاتا ہے، جس کی وضاحت صرف پیچیدہ یونٹ ڈسک پر کی جاتی ہے۔ جدید ریاضی میں، ایک لامحدود سیریز کے مجموعے کو اس کے جزوی مجموعوں کی ترتیب کی حد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، اگر یہ موجود ہو۔ گرانڈی کی سیریز کے جزوی جملوں کی ترتیب وہ ہے جو واضح طور پر کسی بھی نمبر تک نہیں پہنچتی ہے (حالانکہ اس میں 0 اور 1 پر دو جمع پوائنٹس ہوتے ہیں)۔ لہذا، گرانڈی کی سیریز مختلف ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ سیریز پر بہت سے بظاہر بے ضرر آپریشن انجام دینا درست نہیں ہے، جیسے کہ انفرادی اصطلاحات کو دوبارہ ترتیب دینا، جب تک کہ سیریز بالکل متصل نہ ہو۔ بصورت دیگر یہ کارروائیاں خلاصہ کے نتیجے کو تبدیل کر سکتی ہیں۔ مزید برآں، گرانڈی کی سیریز کی شرائط کو دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے تاکہ اس کے جمع ہونے والے پوائنٹس دو یا زیادہ مسلسل عدد نمبروں کے کسی بھی وقفے پر ہوں، نہ کہ صرف 0 یا 1۔ مثال کے طور پر، سلسلہ (جس میں، پانچ ابتدائی + 1 اصطلاحات کے بعد، + 1 اور-1 اصطلاحات کے جوڑوں میں متبادلات اصطلاحات-+ 1 اور-1 دونوں کا انفینٹیوڈ 1 یا-1 کی کسی بھی محدود تعداد کو گرینڈ ہوٹل کے ہلبرٹ کے پیراڈوکس کے ذریعہ پیش کرنے کی اجازت دیتا ہے) گرینڈی کی سیریز کی ایک ترتیب ہے جس میں دوبارہ ترتیب شدہ سیریز میں ہر قیمت ایک ایسی قیمت سے مطابقت رکھتی ہے جو اصل سیریز میں اس سے زیادہ سے زیادہ چار پوزیشنوں پر ہے۔ اس کے جمع ہونے کے پوائنٹس 3، 4 اور 5 ہیں۔ 1987 کے آس پاس، انا سیرپینسکا نے گرینڈی کی سیریز کو وارسا لائسیم میں 17 سالہ پری کیلکولس طلباء کے ایک گروپ سے متعارف کرایا۔ انہوں نے ہیومینٹیز کے طلباء پر اس امید کے ساتھ توجہ مرکوز کی کہ ان کا ریاضیاتی تجربہ ریاضی اور طبیعیات کا مطالعہ کرنے والے ان کے ساتھیوں کے مقابلے میں کم اہم ہوگا، لہذا وہ جو علمی رکاوٹیں ظاہر کرتے ہیں وہ ان رکاوٹوں کی زیادہ نمائندگی کریں گے جو اب بھی لائسیم کے طلباء میں موجود ہو سکتی ہیں۔ سیرپینسکا نے ابتدائی طور پر توقع کی تھی کہ طلباء گرانڈی کی سیریز کو قدر تفویض کرنے سے گریز کریں گے، اس موقع پر وہ یہ دعوی کر کے انہیں حیران کر سکتی ہیں کہ یہ ہندسی سیریز کے فارمولے کے نتیجے میں ہے۔ مثالی طور پر، استدلال میں غلطی کی تلاش کرکے اور مختلف مشترکہ تناسب کے فارمولے کی تحقیقات کرکے، طلباء "محسوس کریں گے کہ دو قسم کے سلسلے ہیں اور کنورجنس کا ایک مضمر تصور پیدا ہوگا"۔ تاہم، طلباء نے یہ یا وہ بھی بتائے جانے پر کوئی صدمے کا اظہار نہیں کیا۔ سیرپینسکا کا تبصرہ ہے کہ ایک ترجیحی طور پر، طلباء کا رد عمل زیادہ حیران کن نہیں ہونا چاہیے کیونکہ لیبنز اور گرانڈی نے سوچا کہ 1⁄2 ایک قابل فہم نتیجہ ہے ؛ "تاہم، طلباء کی طرف سے صدمے کی اس کمی کی وضاحت کچھ مختلف ہو سکتی ہے۔ انہوں نے پرسکون طور پر اس مضحکہ خیز بات کو قبول کر لیا کیونکہ، آخر کار، 'ریاضی مکمل طور پر تجریدی اور حقیقت سے دور ہے'، اور 'ان ریاضیاتی تبدیلیوں سے آپ ہر طرح کی بکواس ثابت کر سکتے ہیں'، جیسا کہ ایک لڑکے نے بعد میں کہا۔ طلباء بالآخر ہم آہنگی کے سوال سے محفوظ نہیں تھے۔ سیرپینسکا اگلے دن اعشاریہ توسیع سے جوڑ کر انہیں اس مسئلے میں شامل کرنے میں کامیاب ہو گئے۔ جیسے ہی 0.999. = 1 نے طلباء کو حیرت میں ڈال دیا، اس کا باقی مواد "ان کے کانوں سے گزر گیا"۔ قبل از تصورات سال 2000 کے آس پاس اٹلی کے ٹریوسو میں کی گئی ایک اور تحقیق میں، تیسرے سال اور چوتھے سال کے لیسو سائنٹفک کے شاگردوں (16 سے 18 سال کی عمر کے درمیان) کو کارڈ دیے گئے جن میں یہ پوچھا گیا: "1703 میں، ریاضی دان گائیڈو گرانڈی نے اس اضافے کا مطالعہ کیا: 1-1 + 1-1 +۔ (ضمیمہ، لامحدود تعداد میں، ہمیشہ + 1 اور-1 ہوتے ہیں)۔ اس بارے میں آپ کا کیا خیال ہے؟ " طلباء کو ایک لامحدود سیٹ کے خیال سے متعارف کرایا گیا تھا، لیکن انہیں لامحدود سیریز کا کوئی سابقہ تجربہ نہیں تھا۔ انہیں بغیر کتابوں یا کیلکولیٹرز کے دس منٹ دیے گئے تھے۔ 88 جوابات کی درجہ بندی اس طرح کی گئی: (26) نتیجہ 0 ہے (18) نتیجہ یا تو 0 یا 1 ہو سکتا ہے (5) نتیجہ موجود نہیں ہے (4) نتیجہ 1⁄2 ہے (3) نتیجہ 1 ہے (2) نتیجہ لامحدود ہے (30) کوئی جواب نہیں محقق جارجیو بیگنی نے متعدد طلباء کا انٹرویو کیا تاکہ ان کی استدلال کا تعین کیا جا سکے۔ ان میں سے کچھ 16 نے گرانڈی اور ریکاٹی کی طرح منطق کا استعمال کرتے ہوئے 0 کے جواب کو جائز قرار دیا۔ دوسروں نے 1⁄2 کو 0 اور 1 کی اوسط ہونے کا جواز پیش کیا۔ بیگنی نوٹ کرتے ہیں کہ ان کی استدلال، اگرچہ لیبنز کی طرح ہے، لیکن اس میں ممکنہ بنیاد کا فقدان ہے جو 18 ویں صدی کی ریاضی کے لیے بہت اہم تھی۔ انہوں نے یہ نتیجہ اخذ کیا کہ ردعمل تاریخی ترقی اور انفرادی ترقی کے درمیان تعلق کے مطابق ہیں، حالانکہ ثقافتی سیاق و سباق مختلف ہے۔ امکانات جوئل لیمن نے مختلف رقم کے تصورات کے درمیان فرق کرنے کے عمل کو ایک تصوراتی دراڑ پر ایک پل کی تعمیر کے طور پر بیان کیا ہے: انحراف پر الجھن جس نے 18 ویں صدی کی ریاضی کو کچل دیا۔ چونکہ سیریز عام طور پر تاریخ کے بغیر پیش کی جاتی ہیں اور ایپلی کیشنز سے الگ ہوتی ہیں، اس لیے طالب علم کو نہ صرف یہ سوچنا چاہیے کہ "یہ چیزیں کیا ہیں؟" لیکن یہ بھی "ہم ایسا کیوں کر رہے ہیں؟" کنورجنس کا تعین کرنے میں مشغولیت لیکن رقم نہیں، بہت سے طلباء اور انسٹرکٹرز کو بھی پورے عمل کو مصنوعی اور بے معنی لگتا ہے۔ " نتیجے کے طور پر، بہت سے طلباء اویلر کی طرح ایک رویہ پیدا کرتے ہیں: "قدرتی طور پر پیدا ہونے والے مسائل (یعنی فطرت سے) کے حل ہوتے ہیں، لہذا یہ مفروضہ کہ چیزیں آخر کار کام کریں گی تجرباتی طور پر جائز ہے بغیر کسی وجود کے ثبوت کی ضرورت کے۔ فرض کریں کہ سب کچھ ٹھیک ہے، اور اگر پہنچنے والا حل کام کرتا ہے، تو آپ شاید صحیح تھے، یا کم از کم کافی درست۔ تو پھر ان تفصیلات سے کیوں پریشان ہوں جو صرف ہوم ورک کے مسائل میں ظاہر ہوتی ہیں؟ " لیمن اس اعتراض کو اسی مثال کے ساتھ پورا کرنے کی سفارش کرتے ہیں جو کیلٹ کے ذریعہ گرینڈی کی سیریز کے ساتھ اویلر کے سلوک کے خلاف پیش کی گئی تھی۔ خلاصہ سے متعلق مسائل سیریز 1−2 + 3−4 + 5−6 + 7−8 +. (انفینیٹی تک) بھی متفرق ہے، لیکن اس کا خلاصہ کرنے کے لیے کچھ طریقے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ یہ گرانڈی کی سیریز کو تفویض کردہ قدر کے سب سے زیادہ مجموعہ کے طریقوں کا مربع ہے، جو کہ معقول ہے کیونکہ اسے گرانڈی کی سیریز کی دو کاپیوں کے کاچی پروڈکٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · 1 − 2 + 3 − 4 + · 1 + 2 + 3 + 4 + · 1 + 2 + 4 + 8 + · 1 − 2 + 4 − 8 + ꯘꯥ رامانوجن خلاصہ سیسارو خلاصہ تھامسن کے نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط ایک مائنس ایک پلس ایک مائنس ایک-نمبر فائل، گرانڈی کی سیریز متفرق سیریز جیومیٹرک سیریز 1 (نمبر) ریاضیاتی پیراڈوکس کی برابری (ریاضی)