Geometric analysis
جیومیٹرک تجزیہ ایک ریاضیاتی شعبہ ہے جہاں تفریق مساوات کے اوزار، خاص طور پر الپٹک جزوی تفریق مساوات (پی ڈی ای)، تفریق جیومیٹری اور تفریق ٹوپولوجی میں نئے نتائج قائم کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں۔ لکیری ایلیپٹک پی ڈی ایز کا استعمال کم از کم ہج تھیوری تک کا ہے۔ حال ہی میں، یہ بڑی حد تک خالی جگہوں کی ہندسی اور ٹپوولوجیکل خصوصیات کا مطالعہ کرنے کے لیے غیر لکیری جزوی تفریق مساوات کے استعمال کی طرف اشارہ کرتا ہے، جیسے کہ یوکلڈین اسپیس کے سب مینفولڈز، ریمینیئن مینیفولڈز، اور سمپلیکٹک مینیفولڈز۔ یہ نقطہ نظر کم سے کم سطحوں پر ٹیبور راڈو اور جیسی ڈگلس کے کام سے ملتا ہے، یوکلڈین اسپیس میں ریمینیئن کئی گنا کی آئسومیٹرک سرایت پر جان فوربس نیش جونیئر، منکوسکی مسئلہ اور ویل مسئلہ پر لوئس نیرن برگ کا کام، اور کنویکس ہائپر سرفیس پر الیگزینڈر ڈینیلوویچ الیگزینڈرروف اور الیکسی پوگوریلوف کا کام۔ 1980 کی دہائی میں کیرن اولن بیک، کلفورڈ ٹاوبس، شنگ تنگ یاؤ، رچرڈ شین، اور رچرڈ ہیملٹن کی بنیادی شراکتوں نے ہندسی تجزیہ کا ایک خاص طور پر دلچسپ اور نتیجہ خیز دور شروع کیا جو آج تک جاری ہے۔ ایک مشہور کامیابی گریگوری پیلمین کے پوئن کیئر قیاس آرائی کا حل تھا، جس نے رچرڈ ہیملٹن کے شروع کردہ اور بڑے پیمانے پر انجام دیئے گئے پروگرام کو مکمل کیا۔ ہندسی تجزیہ کے دائرہ کار میں جزوی تفریق مساوات کے مطالعہ میں ہندسی طریقوں کا استعمال (جب اسے "ہندسی پی ڈی ای" بھی کہا جاتا ہے)، اور جیومیٹری پر جزوی تفریق مساوات کے نظریہ کا اطلاق دونوں شامل ہیں۔ اس میں منحنی خطوط اور سطحوں، یا مڑے ہوئے حدود والے ڈومینز سے متعلق مسائل شامل ہیں، بلکہ صوابدیدی جہت میں ریمینیئن کئی گنا کا مطالعہ بھی شامل ہے۔ تغیرات کے حساب کو بعض اوقات ہندسی تجزیہ کا حصہ سمجھا جاتا ہے، کیونکہ تغیراتی اصولوں سے پیدا ہونے والی تفریق مساوات میں مضبوط ہندسی مواد ہوتا ہے۔ ہندسی تجزیے میں عالمی تجزیہ بھی شامل ہے، جس کا تعلق کئی گنا پر تفریق مساوات کے مطالعہ، اور تفریق مساوات اور ٹوپولوجی کے درمیان تعلقات سے ہے۔ مندرجہ ذیل ہندسی تجزیے کے اندر اہم موضوعات کی جزوی فہرست ہے: گیج تھیوری ہارمونک نقشے کیلر آئن سٹائن میٹرکس کا مطلب منحنی بہاؤ کم سے کم سب مینفولڈ مثبت توانائی تھیوریمز سیوڈو ہولومورفک منحنی خطوط رچی بہاؤ یامابی مسئلہ یانگ ملز مساوات حوالہ جات مزید پڑھنا تغیرات کا حساب متغیر مساوات