Hadamard space
جیومیٹری میں، ایک ہڈمارڈ اسپیس، جس کا نام جیکس ہڈمارڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، ہلبرٹ اسپیس کی غیر لکیری عمومی شکل ہے۔ ادب میں انہیں مساوی طور پر مکمل سی اے ٹی (0) خالی جگہوں کے طور پر بھی بیان کیا گیا ہے۔ ایک ہڈمارڈ اسپیس کو ایک غیر خالی مکمل میٹرک اسپیس کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جس میں کسی بھی پوائنٹ کو دیا گیا ہے اور ایک نقطہ موجود ہے کہ ہر پوائنٹ کے لیے نقطہ پھر کا وسط نقطہ ہے اور ہلبرٹ اسپیس میں، مذکورہ بالا عدم مساوات مساوات (کے ساتھ) ہے، اور عام طور پر ایک ہڈمارڈ اسپیس کو کہا جاتا ہے اگر مذکورہ بالا عدم مساوات مساوات ہو۔ ایک فلیٹ ہڈمارڈ اسپیس ہلبرٹ اسپیس کے بند کنویکس سب سیٹ کے لیے آئسومورفک ہے۔ خاص طور پر، ایک معیاری جگہ ایک ہڈمارڈ جگہ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ہلبرٹ جگہ ہو۔ ہڈمارڈ خالی جگہوں کی جیومیٹری ہلبرٹ خالی جگہوں سے ملتی جلتی ہے، جو اسے سختی کے نظریات کے مطالعہ کے لیے ایک قدرتی ترتیب بناتی ہے۔ ہڈمارڈ کی جگہ میں، کسی بھی دو نکات کو ان کے درمیان ایک منفرد جیوڈیسیک سے جوڑا جا سکتا ہے ؛ خاص طور پر، یہ معاہدہ ہے۔ بالکل عام طور پر، اگر کسی میٹرک اسپیس کا باؤنڈڈ سب سیٹ ہے، تو اس پر مشتمل کم از کم رداس کی بند گیند کے مرکز کو سرکم سینٹر کہا جاتا ہے۔ ہڈمارڈ اسپیس کا ہر باؤنڈڈ سب سیٹ سب سے چھوٹی بند گیند میں موجود ہوتا ہے (جو اس کے کنویکس ہل کی بندش کے برابر ہوتا ہے)۔ اگر ہڈمارڈ اسپیس کے آئسومیٹریز کا گروپ غیر متغیر چھوڑ رہا ہے تو (بروہٹ-ٹٹس فکسڈ پوائنٹ تھیوریم) کے گردشی مرکز کو طے کرتا ہے۔ غیر مثبت مڑے ہوئے کئی گنا کا بنیادی نتیجہ کارٹن-ہڈمارڈ تھیوریم ہے۔ اینالاگ ایک ہڈمارڈ اسپیس کے لیے ہے: ایک مکمل، منسلک میٹرک اسپیس جو مقامی طور پر ہڈمارڈ اسپیس کے لیے آئسومیٹرک ہے اس کے عالمگیر احاطہ کے طور پر ہڈمارڈ اسپیس ہے۔ اس کا متغیر غیر مثبت مڑے ہوئے آربی فولڈز پر لاگو ہوتا ہے۔ (cf. لوری۔) ہڈمارڈ خالی جگہوں کی مثالیں ہلبرٹ خالی جگہیں، پوئن کیئر ڈسک، مکمل حقیقی درخت (مثال کے طور پر، مکمل بروہاٹ-ٹٹس بلڈنگ)،-اسپیس کے ساتھ اور ہڈمارڈ کئی گنا، یعنی غیر مثبت سیکشنل منحنی خطوط کے مکمل سیدھے جڑے ہوئے ریمینیئن کئی گنا ہیں۔ ہڈمارڈ کئی گنا کی اہم مثالیں محض غیر مثبت مڑے ہوئے سمیٹرک خالی جگہوں سے جڑی ہوئی ہیں۔ ہڈمارڈ خالی جگہوں کے استعمال جیومیٹری تک محدود نہیں ہیں۔ 1998 میں دمتری براگو اور سرج فرلیگر نے متحرک بلیئرڈز میں ایک مسئلہ کو حل کرنے کے لیے کیٹ (0) جیومیٹری کا استعمال کیا: سخت گیندوں کی گیس میں، کیا تصادم کی تعداد پر کوئی وردی پابند ہے؟ حل متحرک نظام کے لیے ترتیب کی جگہ کی تعمیر سے شروع ہوتا ہے، جو متعلقہ بلیئرڈ ٹیبل کی کاپیوں کو ایک ساتھ جوڑ کر حاصل کیا جاتا ہے، جو کہ ایک ہڈمارڈ جگہ ثابت ہوتی ہے۔ حوالہ جات براگو، دمتری ؛ یوری براگو، اور سرگئی ایوانوف بھی دیکھیں۔ میٹرک جیومیٹری کا ایک کورس۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی۔ (1984) جیکب لوری: نوٹس آن دی تھیوری آف ہڈمارڈ اسپیس الیگزینڈر ایس۔، کاپووچ وی۔، پیٹرونن اے۔ الیگزینڈر جیومیٹری فنکشنل تجزیہ جیومیٹرک ٹوپولوجی ہلبرٹ اسپیس میٹرک اسپیس پر نوٹ