Solid angle
جیومیٹری میں، ٹھوس زاویہ (علامت:) کسی خاص نقطہ سے دیکھنے کے میدان کی مقدار کی پیمائش ہے جس کا احاطہ ایک دی گئی چیز کرتی ہے۔ یعنی یہ اس بات کی پیمائش ہے کہ اس نقطہ سے دیکھنے والے مبصر کو شے کتنی بڑی دکھائی دیتی ہے۔ جس مقام سے شے کو دیکھا جاتا ہے اسے ٹھوس زاویے کی چوٹی کہا جاتا ہے، اور کہا جاتا ہے کہ شے اس مقام پر اپنے ٹھوس زاویے کو کم کرتی ہے۔ اکائیوں کے بین الاقوامی نظام (ایس آئی) میں، ایک ٹھوس زاویے کا اظہار ایک بے جہتی اکائی میں کیا جاتا ہے جسے سٹیریڈین (علامت: ایس آر) کہا جاتا ہے۔ ایک سٹیریڈین چوٹی کے ارد گرد یونٹ کے دائرے پر رقبے کی ایک اکائی سے مطابقت رکھتا ہے، لہذا ایک شے جو چوٹی سے تمام شعاعوں کو روکتی ہے وہ یونٹ کے دائرے کے کل سطح کے رقبے کے برابر متعدد سٹیریڈینز کا احاطہ کرے گی۔ ٹھوس زاویوں کو کونیی اقدامات جیسے ڈگری، منٹ اور سیکنڈ کے مربعوں میں بھی ماپا جا سکتا ہے۔ قریب کی ایک چھوٹی سی چیز اسی ٹھوس زاویے کو آگے بڑھا سکتی ہے جو کسی بڑی چیز کے طور پر ہے۔ مثال کے طور پر، اگرچہ چاند سورج سے بہت چھوٹا ہے، لیکن یہ زمین کے بھی بہت قریب ہے۔ درحقیقت، جیسا کہ زمین کے کسی بھی مقام سے دیکھا جاتا ہے، دونوں اشیاء کا تقریبا ایک ہی ٹھوس زاویہ (اور اس وجہ سے ظاہری سائز) ہوتا ہے۔ یہ سورج گرہن کے دوران واضح ہوتا ہے۔ تعریف اور خصوصیات سٹیریڈینس میں کسی شے کا ٹھوس زاویہ کسی اکائی دائرے کے حصے کے رقبے کے برابر ہوتا ہے، جو چوٹی پر مرکوز ہوتا ہے، جس کا آبجیکٹ احاطہ کرتا ہے۔ اکائی دائرے کے ایک حصے کا رقبہ سٹیریڈینز میں دینا ریڈیئنز میں اکائی دائرے کے آرک کی لمبائی دینے کے مترادف ہے۔ جس طرح ریڈینس میں طیارہ زاویہ کسی آرک کی لمبائی اور اس کے رداس کا تناسب ہوتا ہے، اسی طرح سٹیراڈینس میں ٹھوس زاویہ کسی دائرے پر کسی شے کے ذریعے ڈھکے ہوئے رقبے اور مذکورہ دائرے کے رداس کے مربع کے ذریعے دیے گئے رقبے کا تناسب ہوتا ہے۔ فارمولا یہ ہے کہ کروی سطح کا رقبہ کہاں ہے اور سمجھے جانے والے دائرے کا رداس ہے۔ ٹھوس زاویے اکثر فلکیات، طبیعیات اور خاص طور پر فلکی طبیعیات میں استعمال ہوتے ہیں۔ کسی شے کا ٹھوس زاویہ جو بہت دور ہے تقریبا رقبے اور مربع فاصلے کے تناسب کے متناسب ہوتا ہے۔ یہاں "ایریا" کا مطلب ہے جب دیکھنے کی سمت کے ساتھ پیش کیا جاتا ہے تو شے کا رقبہ۔ اس کے اندرونی حصے میں کسی بھی نقطہ سے ماپا جانے والا دائرے کا ٹھوس زاویہ 4 ایس آر ہوتا ہے، اور مکعب کے مرکز میں اس کے کسی ایک چہرے سے گھٹا ہوا ٹھوس زاویہ اس کا چھٹا حصہ، یا 2/3 ایس آر ہوتا ہے۔ ٹھوس زاویوں کو مربع ڈگری (1 ایس آر = 2 مربع ڈگری)، مربع آرک منٹ اور مربع آرک سیکنڈ میں، یا دائرے کے حصوں (1 ایس آر = فریکشنل ایریا) میں بھی ماپا جا سکتا ہے، جسے اسپاٹ (1 ایس پی = 4 ایس آر) بھی کہا جاتا ہے۔ کروی نقاط میں تفریق کے لیے ایک فارمولا ہوتا ہے، جہاں کولیٹیٹیوڈ (قطب شمالی سے زاویہ) ہوتا ہے اور طول البلد ہوتا ہے۔ کسی نقطہ پر من مانی سمت والی سطح کے لیے ٹھوس زاویہ مرکز کے ساتھ اکائی کے دائرے میں سطح کے پروجیکشن کے ٹھوس زاویے کے برابر ہوتا ہے، جس کا حساب سطح کے انٹیگرل کے طور پر کیا جا سکتا ہے: جہاں یونٹ ویکٹر متعلقہ ہے، نقطہ کے حوالے سے سطح کے لامحدود رقبے کا پوزیشن ویکٹر، اور جہاں یونٹ نارمل ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہاں تک کہ اگر سطح پر اکائی دائرے پر پروجیکشن آئسومورفک نہیں ہے، تو متعدد فولڈز کو اسکیلر پروڈکٹ کی علامت سے بیان کردہ سطح کی واقفیت کے مطابق صحیح طریقے سے سمجھا جاتا ہے۔ اس طرح کوئی شخص چپٹی سطح کے رقبے، واقفیت، اور ناظرین سے فاصلے والے چھوٹے پہلو کے ذریعے کم کیے گئے ٹھوس زاویے کا تخمینہ اس طرح لگا سکتا ہے: جہاں کسی دائرے کا سطح کا رقبہ ہے۔ عملی ایپلی کیشنز برائٹ شدت اور روشنی کی وضاحت، اور نامہ نگار ریڈیو میٹرک مقدار تابکار شدت اور تابکاری ایک کروی مثلث کے کروی اضافی کا حساب لگانا باؤنڈری عنصر طریقہ (بی ای ایم) کا استعمال کرتے ہوئے پوٹینشیلز کا حساب لگانا دھات کے کمپلیکس میں لگینڈز کے سائز کا اندازہ لگانا، لگینڈ کون اینگل دیکھیں چارج کی تقسیم کے ارد گرد برقی میدان اور مقناطیسی میدان کی طاقت کا حساب لگانا گاوس کا قانون حرارت کی منتقلی میں اخراج کی طاقت اور تابکاری کا حساب لگانا ردرفورڈ بکھرنے میں کراس سیکشنز کا حساب لگانا رمن بکھرنے میں کراس سیکشنز کا حساب لگانا عام اشیاء کون، کروی ٹوپی، نصف کرہ کے لیے آپٹیکل فائبر ٹھوس زاویوں کی قبولیت کا ٹھوس زاویہ مذکورہ بالا کو کروی نقاط میں اکائی کی سطح کے عنصر کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل ڈبل انٹیگرل کا حساب لگانے سے پایا جاتا ہے: یہ فارمولا کیلکولس کے استعمال کے بغیر بھی اخذ کیا جا سکتا ہے۔ 2200 سال پہلے آرکیمیڈیز نے ثابت کیا کہ ایک کروی ٹوپی کا سطحی رقبہ ہمیشہ ایک دائرے کے رقبے کے برابر ہوتا ہے جس کا رداس کروی ٹوپی کے کنارے سے اس مقام تک کے فاصلے کے برابر ہوتا ہے جہاں کروی ٹوپی کا ہم آہنگی کا محور کروی ٹوپی کو کاٹتا ہے۔ خاکہ میں یہ رداس اس طرح دیا گیا ہے لہذا ایک اکائی دائرے کے لیے کروی ٹوپی کا ٹھوس زاویہ اس طرح دیا جاتا ہے جب =، کروی ٹوپی ٹھوس زاویہ 2 والا نصف کرہ بن جاتا ہے۔ شنک کی تکمیل کا ٹھوس زاویہ ہے۔ یہ آسمانی دائرے کے حصے کا ٹھوس زاویہ بھی ہے جسے عرض البلد پر تعینات ایک فلکیاتی مبصر دیکھ سکتا ہے جب زمین گھومتی ہے۔ خط استوا پر تمام آسمانی دائرے نظر آتے ہیں ؛ دونوں قطبوں پر، صرف ایک نصف۔ کون کے محور سے زاویہ پر ایک طیارہ کے ذریعے کاٹی گئی کروی ٹوپی کے ایک حصے کے ذریعے گھٹا ہوا ٹھوس زاویے کا حساب فارمولے کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر، تو فارمولہ اوپر کے کروی ٹوپی فارمولے میں گھٹ جاتا ہے: پہلی اصطلاح بن جاتی ہے، اور دوسرا۔ ٹیٹرا ہیڈرون OABC کو ایک ٹیٹرا ہیڈرون کے عمودی حصے ہونے دیں جس کی ابتدا O پر مثلثی چہرے ABC کے ذریعے ہوتی ہے جہاں عمودی A، B اور C کی ویکٹر پوزیشنیں ہوتی ہیں۔ عمودی زاویے کو زاویہ BOC کے طور پر متعین کریں اور اسی کے مطابق اس کی وضاحت کریں۔ ان طیاروں کے درمیان ڈائی ہیڈرل زاویہ ہونے دیں جو ٹیٹرا ہیڈرل چہروں او اے سی اور او بی سی پر مشتمل ہیں اور اسی کے مطابق وضاحت کرتے ہیں۔ مثلث سطح اے بی سی کے ذریعہ گھٹا ہوا ٹھوس زاویہ اس کے ذریعہ دیا گیا ہے یہ کروی اضافے کے نظریہ سے ملتا ہے اور یہ اس حقیقت کی طرف لے جاتا ہے کہ اس نظریہ کے لیے ایک مماثل نظریہ موجود ہے کہ "ایک طیارہ مثلث کے اندرونی زاویوں کا مجموعہ برابر ہے"، ایک ٹیٹرا ہیڈرون کے چار اندرونی ٹھوس زاویوں کے مجموعے کے لیے مندرجہ ذیل ہے: جہاں کسی بھی دو طیاروں کے درمیان تمام چھ ڈائیڈرل زاویوں پر رینج ہوتی ہے جس میں ٹیٹرا ہیڈرل چہرے او اے بی، او اے سی، او بی سی اور اے بی سی ہوتے ہیں۔ اصل O پر ٹیٹرا ہیڈرون کے ٹھوس زاویے کا حساب لگانے کے لیے ایک مفید فارمولا جو کہ خالص طور پر عمودی زاویے کا ایک فعل ہے، L 'Huilier کے نظریہ کے ذریعے دیا گیا ہے جہاں ایک اور دلچسپ فارمولا 3 جہتی خلا میں عمودی کو ویکٹر کے طور پر ظاہر کرنا شامل ہے۔ A، B اور C چوٹیوں کی ویکٹر پوزیشنیں ہونے دیں، اور ہر ویکٹر کی شدت (اصل نقطہ کا فاصلہ) ہونے دیں۔ مثلث سطح اے بی سی کے ذریعہ گھٹا ہوا ٹھوس زاویہ یہ ہے: جہاں تین ویکٹروں کے اسکیلر ٹرپل پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے اور اسکیلر پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ منفی یا غلط ٹھوس زاویوں سے بچنے کے لیے یہاں احتیاط برتی جانی چاہیے۔ ممکنہ غلطیوں کا ایک ذریعہ یہ ہے کہ اسکیلر ٹرپل پروڈکٹ منفی ہو سکتا ہے اگر، غلط موڑ ہو۔ مطلق قدر کا حساب لگانا ایک کافی حل ہے کیونکہ مساوات کا کوئی دوسرا حصہ سمیٹنے پر منحصر نہیں ہے۔ دوسرا نقصان اس وقت پیدا ہوتا ہے جب اسکیلر ٹرپل پروڈکٹ مثبت ہوتا ہے لیکن تقسیم کنندہ منفی ہوتا ہے۔ اس صورت میں ایک منفی قدر واپس آتی ہے جس میں اضافہ کرنا ضروری ہے۔ پرامڈ چوٹی کے زاویہ کے ساتھ چار رخا دائیں آئتاکار پرامڈ کا ٹھوس زاویہ اور (پرامڈ کے مخالف رخ پر ماپا جانے والا ڈائیڈرل زاویہ) یہ ہے کہ اگر پرامڈ کی بنیاد کی دونوں طرف کی لمبائی (اور) اور بیس آئتاکار کے مرکز سے پرامڈ کے اوپری حصے (دائرے کا مرکز) تک کا فاصلہ () معلوم ہو، تو مندرجہ بالا مساوات کو دہنا-گونل پرامڈ کا ٹھوس زاویہ دینے کے لیے ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے، جہاں پرامڈ کی بنیاد سرکمریڈیئس کا باقاعدہ رخا کثیر الاضحی ہے، جس میں پرامڈ کی اونچائی ہوتی ہے۔ کناروں کی نمائندگی کرنے والے یونٹ ویکٹر کی ترتیب سے متعین یک طرفہ بنیاد کے ساتھ من مانی پرامڈ کا ٹھوس زاویہ مؤثر طریقے سے اس طرح شمار کیا جا سکتا ہے: جہاں قوسین کا حساب ہوتا ہے۔ اشارے سائیکل کیے جاتے ہیں: اور۔ پیچیدہ مصنوعات کثیر الاضحی کے ہر عمودی زاویے سے وابستہ مرحلے کو شامل کرتی ہیں۔ تاہم، برانچ کٹ میں کا ایک ملٹیپل کھو جاتا ہے اور اسے الگ سے ٹریک کرنا ضروری ہے۔ نیز، پیچیدہ مراحل کے چلنے والے پروڈکٹ کو تقریبا متوازی حصوں کی حد میں زیر بہاؤ سے بچنے کے لیے کبھی کبھار پیمانہ ہونا چاہیے۔ عرض البلد-طول البلد مستطیل کسی گلوب پر عرض البلد-طول البلد مستطیل کا ٹھوس زاویہ وہ ہوتا ہے جہاں عرض البلد کی شمالی اور جنوبی لکیریں ہوتی ہیں (خط استوا سے ریڈین میں ماپا جاتا ہے جس کا زاویہ شمال کی طرف بڑھتا ہے)، اور طول البلد کی مشرقی اور مغربی لکیریں ہوتی ہیں (جہاں ریڈین میں زاویہ مشرق کی طرف بڑھتا ہے)۔ ریاضیاتی طور پر، یہ ریڈینس کے ذریعے دائرے کے گرد پھیلے ہوئے زاویہ کے ایک آرک کی نمائندگی کرتا ہے۔ جب طول البلد 2 ریڈینس پر محیط ہوتا ہے اور عرض البلد ریڈینس پر محیط ہوتا ہے، تو ٹھوس زاویہ ایک دائرے کا ہوتا ہے۔ عرض البلد طول البلد کو آئتاکار اہرام کے ٹھوس زاویے کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ ایک آئتاکار اہرام کے چاروں اطراف دائرے کی سطح کو بڑے دائرے کے آرکس میں کاٹتے ہیں۔ عرض البلد-طول البلد مستطیل کے ساتھ، صرف طول البلد کی لکیریں عظیم دائرے کے آرکس ہیں ؛ عرض البلد کی لکیریں نہیں ہیں۔ آسمانی اشیاء کونیی قطر کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، آسمانی شے کے ٹھوس زاویے کے فارمولے کو شے کے رداس، اور مبصر سے شے تک کے فاصلے کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے،: سورج اور چاند (زمین کے سلسلے میں) کے لیے مناسب اوسط اقدار داخل کرنے سے، سورج کا اوسط ٹھوس زاویہ سٹیریڈین ہے اور چاند کا اوسط ٹھوس زاویہ سٹیریڈین ہے۔ کل آسمانی دائرے کے لحاظ سے، سورج اور چاند بالترتیب% () اور% () کے اوسط جزوی رقبے کو کم کرتے ہیں۔ چونکہ یہ ٹھوس زاویے تقریبا ایک ہی سائز کے ہوتے ہیں، اس لیے چاند گرہن کے دوران زمین اور چاند کے درمیان فاصلے کے لحاظ سے کل اور بالائی دونوں طرح کے سورج گرہن کا سبب بن سکتا ہے۔ صوابدیدی جہتوں میں ٹھوس زاویہ-جہتی یوکلڈین خلا میں اکائی دائرے کی مکمل ()-جہتی کروی سطح کے ذریعے گھٹا ہوا ٹھوس زاویہ کسی بھی تعداد میں جہتوں میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ گول ہم آہنگی کے حساب سے اکثر اس ٹھوس زاویے کے عنصر کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں گاما فنکشن ہے۔ انٹیجر کب ہوتا ہے، گاما فنکشن کو واضح طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ رقبے کی سطح سے محصور تھری ڈی دائرے کے لیے 4 سٹیریڈینس اور لمبائی کے دائرے سے محصور 2 ڈی دائرے کے لیے 2 ریڈینس کے متوقع نتائج دیتا ہے۔ یہ 1 ڈی کیس کے لیے قدرے کم واضح 2 بھی دیتا ہے، جس میں اصل پر مرکوز 1 ڈی "دائرہ" وقفہ ہے اور یہ دو محدود پوائنٹس سے جڑا ہوا ہے۔ صوابدیدی طول و عرض میں ویکٹر فارمولے کا ہم منصب آموٹو اور آزادانہ طور پر ربانڈو نے اخذ کیا تھا۔ یہ انہیں ایک لامحدود کثیر متغیر ٹیلر سیریز کے طور پر ظاہر کرتا ہے: زاویہ کی وضاحت کرنے والے یونٹ ویکٹروں کو دیکھتے ہوئے، آئیے ان کو ملا کر بنائے گئے میٹرکس کی نشاندہی کریں تاکہ واں کالم ہے، اور۔ متغیرات ایک کثیر متغیر بناتے ہیں۔ "ہم آہنگ" عدد کے لیے ملٹی ایکسپونینٹ کی وضاحت کریں۔ نوٹ کریں کہ یہاں = غیر منفی عدد، یا قدرتی اعداد جو 0 سے شروع ہوتے ہیں۔ اشارے کا مطلب متغیر ہے، اسی طرح متغیرات کے لیے۔ لہذا، اصطلاح کا مطلب ہے تمام اصطلاحات کا مجموعہ جس میں l پہلے یا دوسرے اشاریہ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ جہاں یہ سلسلہ یکجا ہوتا ہے، یہ ویکٹروں کے ذریعہ بیان کردہ ٹھوس زاویے میں بدل جاتا ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا ایراٹم آئیبیڈ۔ جلد 50 (2011) صفحہ 059801۔ بیرونی روابط آرتھر پی نارٹن، اے اسٹار اٹلس، گال اینڈ انگلیس، ایڈنبرا، 1969۔ ایم جی کینڈل، اے کورس ان دی جیومیٹری آف این ڈائیمنشنز، نمبر۔ گریفن کے شماریاتی مونوگراف اور کورسز کے 8، ایڈ۔ ایم جی کینڈل، چارلس گریفن اینڈ کمپنی لمیٹڈ، لندن، 1961 اینگل یوکلڈین ٹھوس جیومیٹری