Nonholonomic system
طبیعیات اور ریاضی میں غیر الحولونومک نظام ایک ایسا جسمانی نظام ہے جس کی حالت اس کے حصول کے لیے اپنائے گئے راستے پر منحصر ہوتی ہے۔ اس طرح کے نظام کو متفرق رکاوٹوں اور غیر لکیری رکاوٹوں کے تابع پیرامیٹرز کے ایک سیٹ کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جیسے کہ جب نظام اپنے پیرامیٹر کی جگہ میں کسی راستے کے ساتھ تیار ہوتا ہے (پیرامیٹرز اقدار میں مسلسل مختلف ہوتے ہیں) لیکن آخر کار راستے کے آغاز میں پیرامیٹر اقدار کے اصل سیٹ پر واپس آجاتا ہے، تو نظام خود اپنی اصل حالت میں واپس نہیں آیا ہوگا۔ نان ہولونومک میکانکس نیوٹنین میکانکس کی خود مختار تقسیم ہے۔ مزید واضح طور پر، ایک غیر ہولونومک نظام، جسے اینہولونومک نظام بھی کہا جاتا ہے، وہ ہے جس میں گورننگ پیرامیٹرز کا ایک مسلسل بند سرکٹ ہوتا ہے، جس کے ذریعے نظام کو کسی بھی دی گئی حالت سے کسی دوسری حالت میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ نظام کی حتمی حالت پیرامیٹر اسپیس کے ذریعے اس کی رفتار کی درمیانی اقدار پر منحصر ہوتی ہے، اس لیے نظام کی نمائندگی کسی قدامت پسند ممکنہ فعل کے ذریعے نہیں کی جا سکتی جیسا کہ ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، کشش ثقل کا الٹا مربع قانون۔ یہ مؤخر الذکر ایک ہولونومک سسٹم کی ایک مثال ہے: سسٹم میں پاتھ انٹیگرلز کا انحصار صرف سسٹم کی ابتدائی اور آخری حالتوں (پوٹینشل میں پوزیشنیں) پر ہوتا ہے، جو ان ریاستوں کے درمیان منتقلی کی رفتار سے مکمل طور پر آزاد ہوتا ہے۔ اس لیے اس نظام کو انٹیگریبل کہا جاتا ہے، جبکہ نان ہولونومک نظام کو غیر انٹیگریبل کہا جاتا ہے۔ جب کسی غیر ہولونومک نظام میں کسی پاتھ انٹیگرل کا حساب لگایا جاتا ہے، تو قیمت قابل قبول اقدار کی کچھ حد کے اندر انحراف کی نمائندگی کرتی ہے اور اس انحراف کو زیر غور مخصوص راستے سے پیدا ہونے والی انولونامی کہا جاتا ہے۔ یہ اصطلاح ہینرک ہرٹز نے 1894 میں متعارف کرائی تھی۔ اینہولونومک نظاموں کی عمومی خصوصیت مضمر طور پر منحصر پیرامیٹرز کی ہوتی ہے۔ اگر مضمر انحصار کو ہٹا دیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر خلا کے طول و عرض کو بڑھا کر، اس طرح کم از کم ایک اضافی پیرامیٹر کو شامل کرکے، نظام واقعی غیر ہولونومک نہیں ہے، بلکہ صرف نچلے جہتی خلا کے ذریعہ نامکمل طور پر ماڈل کیا گیا ہے۔ اس کے برعکس، اگر نظام کو اندرونی طور پر آزاد نقاط (پیرامیٹرز) کے ذریعے پیش نہیں کیا جا سکتا ہے، تو یہ واقعی ایک انہولونومک نظام ہے۔ کچھ مصنفین نظام کی نام نہاد اندرونی اور بیرونی حالتوں کے درمیان فرق پیدا کر کے اس کا زیادہ تر حصہ بناتے ہیں، لیکن حقیقت میں، نظام کی خصوصیت کے لیے تمام پیرامیٹرز ضروری ہیں، چاہے وہ "اندرونی" یا "بیرونی" عمل کے نمائندے ہوں، اس لیے فرق درحقیقت مصنوعی ہے۔ تاہم، تحفظ کے اصولوں کی پابندی کرنے والے جسمانی نظاموں اور نہ کرنے والے نظاموں کے درمیان ایک بہت ہی حقیقی اور ناقابل تلافی فرق ہے۔ کسی دائرے پر متوازی نقل و حمل کے معاملے میں، فرق واضح ہے: ایک ریمینیئن کئی گنا بنیادی طور پر یوکلڈین اسپیس سے میٹرک الگ ہوتا ہے۔ کسی دائرے پر متوازی نقل و حمل کے لیے، مضمر انحصار غیر یوکلڈین میٹرک کے لیے اندرونی ہے۔ دائرے کی سطح ایک دو جہتی خلا ہے۔ طول و عرض کو بڑھا کر، ہم میٹرک کی نوعیت کو زیادہ واضح طور پر دیکھ سکتے ہیں، لیکن یہ اب بھی بنیادی طور پر ایک دو جہتی جگہ ہے جس کے پیرامیٹرز ناقابل واپسی طور پر ریمینیئن میٹرک کے ذریعے انحصار میں جڑے ہوئے ہیں۔ اس کے برعکس، کوئی بھی ایکس-وائی پلاٹر کو ہولونومک سسٹم کی ایک مثال کے طور پر دیکھ سکتا ہے جہاں سسٹم کے مکینیکل اجزاء کی حالت میں پلاٹر قلم کی کسی بھی دی گئی پوزیشن کے لیے واحد فکسڈ کنفیگریشن ہوگی۔ اگر قلم 0,0 اور 3,3 پوزیشنوں کے درمیان منتقل ہوتا ہے، تو میکانزم کے گیئرز میں وہی حتمی پوزیشنیں ہوں گی اس بات سے قطع نظر کہ آیا منتقلی میکانزم کے ذریعے ہوتی ہے جس میں پہلے x-محور پر 3 یونٹس اور پھر y-محور پر 3 یونٹس میں اضافہ ہوتا ہے، پہلے Y-محور پوزیشن میں اضافہ ہوتا ہے، یا پوزیشن تبدیلیوں کے کسی دوسرے سلسلے کو چلاتا ہے جس کے نتیجے میں 3,3 کی حتمی پوزیشن ہوتی ہے۔ چونکہ مشین کی حتمی حالت ایک جیسی ہوتی ہے اس بات سے قطع نظر کہ پلاٹر-پین نے اپنی نئی پوزیشن تک پہنچنے کے لیے جو راستہ اختیار کیا ہے، حتمی نتیجہ کو راستے پر منحصر نہیں کہا جا سکتا۔ اگر ہم کچھوے کے پلاٹر کو متبادل بناتے ہیں، تو قلم کو 0,0 سے 3,3 پر منتقل کرنے کے عمل کے نتیجے میں روبوٹ کے میکانزم کے گیئرز مختلف پوزیشنوں میں ختم ہو سکتے ہیں جو دونوں پوزیشنوں کے درمیان منتقل ہونے کے راستے پر منحصر ہے۔ ریاضیاتی وضاحت کے لیے یہ بہت ہی مماثل گینٹری کرین کی مثال دیکھیں کہ ایسا نظام ہولونومک کیوں ہے۔ تاریخ این ایم فیررس نے سب سے پہلے 1871 میں غیر ہولونومک رکاوٹوں کے ساتھ حرکت کی مساوات کو بڑھانے کی تجویز پیش کی۔ انہوں نے عام رفتار کے لحاظ سے کارٹیشین رفتاروں کے لیے تاثرات متعارف کروائے۔ 1877 میں، ای راؤتھ نے لیگرینج ملٹی پلیئرز کے ساتھ مساوات لکھیں۔ سخت اجسام کی لکیری غیر ہولونومک رکاوٹوں کے لیے اپنی کتاب کے تیسرے ایڈیشن میں، انہوں نے ضرب کے ساتھ شکل کو متعارف کرایا، جسے اب ضرب کے ساتھ دوسری قسم کی لگرینج مساوات کہا جاتا ہے۔ اصطلاحات ہولوونومک اور غیر ہولوونومک نظام کو ہینرک ہرٹز نے 1894 میں متعارف کرایا تھا۔ 1897 میں، ایس اے چیپلیگن نے پہلی بار تجویز پیش کی کہ وہ لاگرانج ملٹی پلیئرز کے بغیر حرکت کی مساوات تشکیل دے۔ بعض لکیری رکاوٹوں کے تحت، اس نے حرکت کی مساوات کے بائیں طرف لگرینج آپریٹر قسم کی اضافی اصطلاحات کا ایک گروپ متعارف کرایا۔ بقیہ اضافی اصطلاحات نظام کی غیر ہولونومکیت کی خصوصیت رکھتی ہیں اور جب دی گئی رکاوٹیں مربوط ہوتی ہیں تو وہ صفر ہو جاتی ہیں۔ 1901 میں پی۔ V.Voronets نے چیپلیگن کے کام کو غیر سائیکلک ہولونومک کوآرڈینیٹس اور غیر مستحکم رکاوٹوں کے معاملات میں عام کیا۔ رکاوٹیں ذرات کے ایک ایسے نظام پر غور کریں جس میں دیئے گئے حوالہ فریم کے حوالے سے پوزیشنیں ہوں۔ کلاسیکی میکانکس میں، کوئی بھی رکاوٹ جو غیر ہولونومک رکاوٹ کے طور پر قابل اظہار نہیں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک غیر ہولونومک رکاوٹ غیر مربوط ہے اور فافین شکل میں: نقاط کی تعداد ہے۔ رکاوٹ مساوات کی تعداد ہے۔ نقاط ہیں۔ کوفیشنٹس ہیں۔ مندرجہ بالا شکل کے غیر ہولونومک ہونے کے لیے، یہ بھی ضروری ہے کہ بائیں ہاتھ کی طرف نہ تو مکمل تفریق ہو اور نہ ہی اسے ایک میں تبدیل کیا جا سکے، شاید کسی مربوط عنصر کے ذریعے۔ صرف ورچوئل نقل مکانی کے لیے، رکاوٹ کی تفریق شکل یہ ہے کہ تمام غیر ہولونومک رکاوٹوں کے لیے یہ شکل اختیار کرنا ضروری نہیں ہے، درحقیقت اس میں اعلی مشتقات یا عدم مساوات شامل ہو سکتی ہیں۔ عدم مساوات کی رکاوٹ کی ایک کلاسیکی مثال کسی دائرے کی سطح پر رکھے گئے ذرہ کی ہے، پھر بھی اس سے گرنے کی اجازت ہے: دائرے کے مرکز سے ذرہ کا فاصلہ ہے۔ دائرے کا رداس ہے۔ رولنگ وہیل کی مثالیں ایک پہیہ (جسے بعض اوقات یونی سائیکل یا رولنگ سکے کے طور پر دیکھا جاتا ہے) ایک غیر ہولونومک نظام ہے۔ عام آدمی کی وضاحت سائیکل کے پہیے پر غور کریں جو کسی خاص جگہ (زمین پر) کھڑا ہو۔ ابتدائی طور پر افراط زر کا والو پہیے پر ایک مخصوص پوزیشن پر ہوتا ہے۔ اگر سائیکل کو ادھر ادھر چلایا جاتا ہے، اور پھر بالکل اسی جگہ پر کھڑا کیا جاتا ہے، تو والو تقریبا یقینی طور پر پہلے کی طرح پوزیشن میں نہیں ہوگا۔ اس کی نئی پوزیشن طے شدہ راستے پر منحصر ہے۔ اگر پہیہ ہولونومک ہوتا، تو والو اسٹیم ہمیشہ اسی پوزیشن میں ختم ہوتا جب تک کہ پہیہ ہمیشہ زمین پر اسی مقام پر واپس پلٹ جائے۔ واضح طور پر، تاہم، ایسا نہیں ہے، اس لیے نظام غیر ہولوونومک ہے۔ ریاضیاتی وضاحت پہیے کو ریاضیاتی طور پر رکاوٹ مساوات کے نظام کے ساتھ ماڈل بنانا ممکن ہے، اور پھر یہ ثابت کریں کہ یہ نظام غیر ہولونومک ہے۔ سب سے پہلے ہم کنفیگریشن اسپیس کی وضاحت کرتے ہیں۔ پہیہ اپنی حالت کو تین طریقوں سے تبدیل کر سکتا ہے: اپنے محور کے ارد گرد مختلف گردش کرنا، مختلف اسٹیئرنگ اینگل ہونا، اور مختلف مقام پر ہونا۔ ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ محور کے ارد گرد گردش ہے،-محور سے متعلق اسٹیئرنگ اینگل ہے، اور مقامی پوزیشن کی وضاحت کرتا ہے۔ اس طرح، ترتیب کی جگہ یہ ہے: اب ہمیں ان متغیرات کو ایک دوسرے سے جوڑنا چاہیے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ جیسے جیسے پہیہ اپنی گردش بدلتا ہے، وہ اپنی پوزیشن بدلتا ہے۔ گردش اور پوزیشن میں رفتار کا اشارہ کرنے والی تبدیلی موجود ہونی چاہیے، ہم مناسب اصطلاحات کے سادہ وقت کے مشتقات لے کر کونیی رفتار اور اسٹیئرنگ زاویے کو لکیری رفتاروں سے جوڑنے کی کوشش کرتے ہیں: سمت میں رفتار کونیی رفتار کے گنا ریڈیئس کے برابر ہوتی ہے۔ اسٹیئرنگ زاویے کی کوسین، اور رفتار ایک جیسی ہوتی ہے۔ اب ہم مساوات کو فافین شکل میں تبدیل کرنے کے لیے کچھ الجبرائی ہیرا پھیری کرتے ہیں تاکہ یہ جانچنا ممکن ہو کہ آیا یہ ہولونومک ہے، اس سے شروع کرتے ہوئے: پھر، متغیرات کو ان کے کوفیشنٹس سے الگ کریں (مساوات کے بائیں طرف، اوپر سے اخذ کردہ)۔ ہم یہ بھی محسوس کرتے ہیں کہ ہم تمام اصطلاحات کو اس سے ضرب دے سکتے ہیں لہذا ہم صرف تفریق کے ساتھ ختم ہوتے ہیں (مساوات کا دایاں رخ): مساوات کا دایاں رخ اب فافین کی شکل میں ہے: اب ہم ہولونومک رکاوٹوں کے لیے عالمگیر ٹیسٹ استعمال کرتے ہیں۔ اگر یہ نظام ہولونومک ہوتا تو ہمیں آٹھ ٹیسٹ کرنے پڑ سکتے ہیں۔ تاہم، ہم ریاضیاتی وجدان کا استعمال کرتے ہوئے یہ ثابت کرنے کی پوری کوشش کر سکتے ہیں کہ نظام پہلے ٹیسٹ پر غیر ہولونومک ہے۔ ٹیسٹ مساوات پر غور کرنا یہ ہے کہ: ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اگر کوئی بھی اصطلاحات، یا صفر ہوں، تو ٹیسٹ مساوات کا وہ حصہ حل کرنا معمولی ہوگا اور صفر کے برابر ہوگا۔ لہذا، یہ اکثر بہترین عمل ہے کہ پہلی ٹیسٹ مساوات میں زیادہ سے زیادہ غیر صفر اصطلاحات ہوں تاکہ ان کے مجموعہ کے صفر کے برابر نہ ہونے کے امکان کو زیادہ سے زیادہ کیا جا سکے۔ لہذا، ہم انتخاب کرتے ہیں: ہم اپنے ٹیسٹ مساوات میں متبادل بناتے ہیں: اور آسان بناتے ہیں: ہم آسانی سے دیکھ سکتے ہیں کہ یہ نظام، جیسا کہ بیان کیا گیا ہے، غیر ہولوونومک ہے، کیونکہ ہمیشہ صفر کے برابر نہیں ہوتا ہے۔ اضافی نتائج ہم نے اپنا ثبوت مکمل کر لیا ہے کہ نظام غیر ہولونومک ہے، لیکن ہماری ٹیسٹ مساوات نے ہمیں اس بارے میں کچھ بصیرت دی کہ آیا نظام، اگر مزید محدود ہو تو، ہولونومک ہو سکتا ہے۔ کئی بار ٹیسٹ مساوات ایک نتیجہ واپس کرتی ہیں جیسے کہ نظام کو یکسر تبدیل کیے بغیر نظام کو کبھی بھی ہولونومک ہونے کے لیے مجبور نہیں کیا جا سکتا، لیکن ہمارے نتیجے میں ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ دو مختلف طریقوں سے صفر کے برابر ہو سکتا ہے: پہیے کا رداس، صفر ہو سکتا ہے۔ یہ مددگار نہیں ہے کیونکہ عملی طور پر نظام اپنی تمام آزادیاں کھو دے گا۔ صفر کے برابر ترتیب دے کر صفر ہو سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر پہیے کو موڑنے کی اجازت نہیں تھی اور اسے ہر وقت صرف سیدھی لکیر میں حرکت کرنی پڑتی تھی، تو یہ ایک ہولونومک نظام ہوگا۔ تاہم ایک چیز ہے جس پر ہم نے ابھی تک غور نہیں کیا ہے، کہ کسی نظام کے لیے اس طرح کی تمام ترامیم تلاش کرنے کے لیے، کسی کو تمام آٹھ ٹیسٹ مساوات (ہر رکاوٹ مساوات سے چار) انجام دینی چاہئیں اور اگر ممکن ہو تو نظام کو ہولونومک بنانے کے لیے تمام ضروریات کو جمع کرنے کے لیے تمام ناکامیوں کو جمع کرنا چاہیے۔ اس نظام میں، سات اضافی ٹیسٹ مساوات میں سے، ایک اضافی کیس خود کو پیش کرتا ہے: یہ زیادہ مشکل پیش نہیں کرتا ہے، تاہم، مساوات کو شامل کرنے اور نتائج سے تقسیم کرنے کے طور پر: جو کچھ سادہ الجبرائی ہیرا پھیری کے ساتھ بن جاتا ہے: جس کا حل (سے) ہے۔ اوپر عام آدمی کی وضاحت کا حوالہ دیں جہاں یہ کہا گیا ہے، "[والو اسٹیم کی] نئی پوزیشن کا انحصار راستے پر ہوتا ہے۔ اگر پہیہ ہولونومک ہوتا، تو والو اسٹیم ہمیشہ اسی پوزیشن میں ختم ہوتا جب تک کہ پہیہ ہمیشہ زمین پر اسی مقام پر واپس پلٹ جائے۔ واضح طور پر، تاہم، ایسا نہیں ہے، اس لیے نظام غیر ہولونومک ہے۔ " تاہم یہ تصور کرنا آسان ہے کہ اگر پہیے کو صرف بالکل سیدھی لکیر اور پیچھے کی طرف گھومنے دیا جائے تو والو اسٹیم اسی پوزیشن میں ختم ہو جائے گا! در حقیقت، دیئے گئے زاویے کے متوازی حرکت کرنا حقیقی دنیا میں اصل میں ضروری نہیں ہے کیونکہ کوآرڈینیٹ سسٹم کی واقفیت خود ہی من مانی ہے۔ نظام ہولونومک بن سکتا ہے اگر پہیہ کسی دیئے گئے حوالہ سے متعلق کسی مقررہ زاویے پر صرف سیدھی لکیر میں حرکت کرتا ہے۔ اس طرح، ہم نے نہ صرف یہ ثابت کیا ہے کہ اصل نظام غیر ہولونومک ہے، بلکہ ہم ایک ایسی پابندی بھی تلاش کرنے میں کامیاب ہوئے ہیں جسے نظام میں شامل کیا جا سکتا ہے تاکہ اسے ہولونومک بنایا جا سکے۔ تاہم، ریاضیاتی طور پر کچھ خاص بات ہے کہ نظام کو ہولوونومک بنانے کے لیے اس کی پابندی کے بارے میں، جیسا کہ کارٹیشین گرڈ میں ہے۔ دونوں مساوات کو یکجا کرتے ہوئے اور ختم کرتے ہوئے، ہم واقعی دیکھتے ہیں کہ اور اس وجہ سے ان دو نقاط میں سے ایک مکمل طور پر بے کار ہے۔ ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ اسٹیئرنگ اینگل ایک مستقل ہے، لہذا اس کا مطلب ہے کہ یہاں ہولونومک سسٹم کو صرف ترتیب کی جگہ کی ضرورت ہے۔ جیسا کہ یہاں بحث کی گئی ہے، ایک ایسا نظام جو فافین رکاوٹ کے ذریعہ ماڈل کے قابل ہو، اگر ترتیب کی جگہ دو یا اس سے کم متغیرات پر مشتمل ہو تو اسے ہولونومک ہونا چاہیے۔ اپنے اصل نظام کو صرف دو درجے کی آزادی تک محدود کرنے کے لیے ترمیم کرکے اور اس طرح صرف دو متغیرات کو بیان کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ اسے فافین کی شکل میں بیان کیا جا سکتا ہے (جو اس مثال میں ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ سچ ہے)، ہمیں یقین دلایا جاتا ہے کہ یہ ہولونومک ہے۔ رولنگ سپیئر یہ مثال اوپر زیر غور 'رولنگ وہیل' کے مسئلے کی توسیع ہے۔ تین جہتی آرتھوگنل کارٹیسیئن کوآرڈینیٹ فریم پر غور کریں، مثال کے طور پر، ایک لیول ٹیبل ٹاپ جس پر اصل کے لیے ایک پوائنٹ نشان زد ہوتا ہے، اور x اور y محور پنسل لائنوں کے ساتھ رکھے جاتے ہیں۔ اکائی رداس کا ایک دائرہ لیں، مثال کے طور پر، ایک پنگ پونگ گیند، اور نیلے رنگ میں ایک نقطہ B کو نشان زد کریں۔ اس نقطہ کے مطابق دائرے کا قطر ہوتا ہے، اور دائرے کے مرکز C پر واقع اس قطر کا طیارہ آرتھوگنل ایک عظیم دائرے کی وضاحت کرتا ہے جسے خط استوا کہا جاتا ہے جو نقطہ B سے وابستہ ہے۔ اس خط استوا پر، ایک اور نقطہ R منتخب کریں اور اسے سرخ رنگ میں نشان زد کریں۔ دائرے کو z = 0 سطح پر اس طرح رکھیں کہ نقطہ B اصل کے ساتھ موافق ہو، C x = 0، y = 0، z = 1 پر واقع ہے، اور R x = 1، y = 0، اور z = 1، یعنی۔ R مثبت x محور کی سمت میں پھیلا ہوا ہے۔ یہ دائرے کی ابتدائی یا حوالہ واقفیت ہے۔ دائرے کو اب z = 0 سطح میں کسی بھی مسلسل بند راستے کے ساتھ لپیٹا جا سکتا ہے، ضروری نہیں کہ یہ ایک سیدھا جڑا ہوا راستہ ہو، اس طرح کہ یہ نہ تو پھسلتا ہے اور نہ ہی موڑتا ہے، تاکہ C x = 0، y = 0، z = 1 پر واپس آجائے۔ عام طور پر، نقطہ B اب اصل کے ساتھ موافق نہیں ہے، اور نقطہ R اب مثبت x محور کے ساتھ نہیں پھیلا ہوا ہے۔ در حقیقت، ایک مناسب راستے کے انتخاب سے، دائرے کو ابتدائی سمت سے دائرے کی کسی بھی ممکنہ سمت کی طرف سی کے ساتھ x = 0، y = 0، z = 1 پر واقع کیا جا سکتا ہے۔ اس لیے یہ نظام غیر ہولونومک ہے۔ انہولونومی کی نمائندگی دوگنا منفرد کواٹرنیئن (q اور −q) کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جو جب دائرے کی نمائندگی کرنے والے پوائنٹس پر لاگو ہوتا ہے، تو پوائنٹس B اور R کو ان کی نئی پوزیشنوں پر لے جاتا ہے۔ فوکو پنڈلم غیر ہولونومک نظام کی ایک اضافی مثال فوکو پنڈلم ہے۔ مقامی کوآرڈینیٹ فریم میں پنڈلم راستے کے آغاز میں جغرافیائی شمال کے حوالے سے ایک خاص سمت کے ساتھ عمودی سطح پر جھول رہا ہے۔ نظام کی مضمر رفتار زمین پر عرض البلد کی لکیر ہے جہاں لاکٹولم واقع ہے۔ اگرچہ لاکٹ زمین کے فریم میں مستحکم ہے، لیکن یہ سورج کے حوالے سے ایک فریم میں حرکت کر رہا ہے اور زمین کے انقلاب کی شرح کے ساتھ ہم آہنگی میں گھوم رہا ہے، تاکہ لاکٹ کے جہاز کی واحد ظاہری حرکت زمین کی گردش کی وجہ سے ہو۔ اس مؤخر الذکر فریم کو ایک انٹریئل ریفرنس فریم سمجھا جاتا ہے، حالانکہ یہ بھی زیادہ لطیف طریقوں سے غیر انٹریئل ہے۔ ارتھ فریم کو غیر جمود کے طور پر جانا جاتا ہے، یہ ایک ایسی حقیقت ہے جو سینٹرفیوگل قوتوں اور کوریولیس قوتوں کی ظاہری موجودگی سے قابل فہم ہے۔ عرض البلد کی لکیر کے ساتھ حرکت کو وقت گزرنے کے ساتھ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، اور فوکو پنڈلم کا ارتعاش کا طیارہ وقت گزرنے کے ساتھ ساتھ مقامی عمودی محور کے گرد گھومتا دکھائی دیتا ہے۔ ابتدائی واقفیت کے حوالے سے وقت t پر اس سطح کی گردش کا زاویہ نظام کا انہولونومی ہے۔ عرض البلد کے مکمل سرکٹ سے متاثر ہونے والی انہولونومی عرض البلد کے اس دائرے کے زیر اثر ٹھوس زاویے کے متناسب ہوتی ہے۔ راستے کو عرض البلد کے حلقوں تک محدود رکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، پنڈلم کو ہوائی جہاز میں نصب کیا جا سکتا ہے۔ انہولونومی اب بھی راستے کے ذریعے کم کیے گئے ٹھوس زاویے کے متناسب ہے، جو اب کافی بے قاعدہ ہو سکتا ہے۔ فوکو لاکٹ متوازی نقل و حمل کی ایک جسمانی مثال ہے۔ آپٹیکل فائبر میں لکیری پولرائزڈ لائٹ آپٹیکل فائبر کی لمبائی لیں، تین میٹر کہیں، اور اسے بالکل سیدھی لکیر میں رکھیں۔ جب عمودی طور پر پولرائزڈ بیم کو ایک سرے پر متعارف کرایا جاتا ہے، تو یہ دوسرے سرے سے ابھرتا ہے، پھر بھی عمودی سمت میں پولرائز ہوتا ہے۔ فائبر کے اوپری حصے کو ایک پٹی سے نشان زد کریں، جو عمودی پولرائزیشن کی سمت کے مطابق ہے۔ اب فائبر کو دس سینٹی میٹر قطر کے سلنڈر کے ارد گرد مضبوطی سے کنڈلی کریں۔ فائبر کا راستہ اب ایک ہیلکس کی وضاحت کرتا ہے جس میں دائرے کی طرح مستقل منحنی پن ہوتا ہے۔ ہیلکس میں مسلسل ٹورشن ہونے کی دلچسپ خاصیت بھی ہے۔ اس طرح نتیجہ فائبر کے محور کے ارد گرد فائبر کی بتدریج گردش ہے کیونکہ فائبر کی سینٹر لائن ہیلکس کے ساتھ آگے بڑھتی ہے۔ اسی کے مطابق، پٹی بھی ہیلکس کے محور کے گرد مڑ جاتی ہے۔ جب لکیری پولرائزڈ روشنی کو دوبارہ ایک سرے پر متعارف کرایا جاتا ہے، جس میں پٹی کے ساتھ منسلک پولرائزیشن کی واقفیت ہوتی ہے، تو یہ عام طور پر لکیری پولرائزڈ روشنی کے طور پر ابھرے گی جو پٹی کے ساتھ نہیں، بلکہ پٹی کے کسی مقررہ زاویے پر، فائبر کی لمبائی، اور ہیلکس کی پچ اور رداس پر منحصر ہوتی ہے۔ یہ نظام بھی غیر ہولونومک ہے، کیونکہ ہم آسانی سے فائبر کو دوسرے ہیلکس میں نیچے کنڈلی کر سکتے ہیں اور سروں کو سیدھا کر سکتے ہیں، روشنی کو اس کے اصل مقام پر واپس کر سکتے ہیں۔ اس لیے اینہولونومی کی نمائندگی فائبر کے ہر سرکٹ کے ساتھ پولرائزیشن کے زاویے کے انحراف سے ہوتی ہے۔ پیرامیٹرز کی مناسب ایڈجسٹمنٹ سے یہ واضح ہوتا ہے کہ کوئی بھی ممکنہ کونیی حالت پیدا کی جا سکتی ہے۔ روبوٹکس روبوٹکس میں، نان ہولونومک کا خاص طور پر موبائل روبوٹس کے لیے موشن پلاننگ اور فیڈ بیک لینیرائزیشن کے دائرہ کار میں مطالعہ کیا گیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ہولونومک رکاوٹ سائیکل اور موٹر سائیکل کی حرکیات گرتی ہوئی بلی کا مسئلہ گوریچیو-چیپلگین ٹاپ متوازی پارکنگ کا مسئلہ فافین رکاوٹ ادواڈیا-کالابا مساوات لائ گروپ انٹیگریٹر حوالہ جات الجبرائی ٹوپولوجی تفریقی جیومیٹری متفرق ٹوپولوجی متحرک نظام