Kulkarni–Nomizu product
تفریق جیومیٹری کے ریاضیاتی میدان میں، کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ (جس کا نام رویندر شریپد کلکرنی اور کٹسومی نومیزو کے نام پر رکھا گیا ہے) کی تعریف دو-ٹینسرز کے لیے کی گئی ہے اور اس کے نتیجے میں ایک-ٹینسر ملتا ہے۔ تعریف اگر h اور k سمیٹرک-ٹینسرز ہیں، تو پروڈکٹ کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: جہاں Xj ٹینجینٹ ویکٹر ہیں اور میٹرکس کا تعین کرنے والا ہے۔ نوٹ کریں کہ، جیسا کہ دوسرے اظہار سے واضح ہے۔ ٹینجینٹ اسپیس کی بنیاد کے حوالے سے، یہ کمپیکٹ شکل اختیار کرتا ہے جہاں کل اینٹیسیمیٹریشن علامت کو ظاہر کرتا ہے۔ کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ درجہ بند الجبرا میں پروڈکٹ کا ایک خاص معاملہ ہے جہاں، سادہ عناصر پر، (سمیٹرک پروڈکٹ کی نشاندہی کرتا ہے)۔ متوازی ٹینسرز کے جوڑے کے کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ میں ریمن ٹینسر کی الجبرائی ہم آہنگی ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، خلائی شکلوں پر (یعنی۔ مستقل سیکشنل کرویچر کی خالی جگہیں) اور دو جہتی ہموار ریمینیئن کئی گنا، ریمن کرویچر ٹینسر خود میٹرک کے کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ کے لحاظ سے ایک سادہ اظہار رکھتا ہے۔ یعنی، اگر ہم-کرویچر ٹینسر اور ریمن کرویچر ٹینسر سے ظاہر کرتے ہیں، تو اسکیلر کرویچر کہاں ہے اور ریکی ٹینسر ہے، جو اجزاء میں پڑھتا ہے۔ اوپر سے تعریف کا استعمال کرتے ہوئے کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ کو وسعت دیتے ہوئے، کوئی حاصل کرتا ہے یہ وہی اظہار ہے جو ریمن کرویچر ٹینسر پر مضمون میں بیان کیا گیا ہے۔ اسی وجہ سے، یہ عام طور پر اس شراکت کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے جو رچی منحنی پن (یا اس کے بجائے، شوٹن ٹینسر) اور ویل ٹینسر ہر ایک ریمینیئن کئی گنا کے منحنی پن میں کرتا ہے۔ یہ نام نہاد رچی سڑنا تفریق جیومیٹری میں مفید ہے۔ جب کوئی میٹرک ٹینسر g ہوتا ہے، تو خود کے ساتھ g کا کلکرنی-نومیزو پروڈکٹ 2 شکلوں کی جگہ کی شناخت اینڈومورفزم ہوتا ہے، ω2 (M)، شناخت کے تحت (میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے) اینڈومورفزم رنگ اینڈ (ω2 (M)) کے ساتھ ٹینسر پروڈکٹ ω2 (M) ω2 (M)۔ ایک ریمینیئن کئی گنا میں مستقل سیکشنل منحنی k ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ریمین ٹینسر کی شکل ہو جہاں g میٹرک ٹینسر ہو۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ تفریقی جیومیٹری ٹینسرز