Cut point
ٹوپولوجی میں، کٹ پوائنٹ منسلک جگہ کا ایک نقطہ ہے جس کی وجہ سے اس کے ہٹانے سے اس کے نتیجے میں جگہ منقطع ہو جاتی ہے۔ اگر کسی پوائنٹ کو ہٹانے کے نتیجے میں منقطع خالی جگہیں نہیں بنتی ہیں، تو اس پوائنٹ کو نان کٹ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، لکیر کا ہر نقطہ ایک کٹ پوائنٹ ہے، جبکہ دائرے کا کوئی نقطہ کٹ پوائنٹ نہیں ہے۔ کٹ پوائنٹس اس بات کا تعین کرنے کے لیے مفید ہیں کہ آیا ہر جگہ میں کٹ پوائنٹس کی تعداد گن کر دو منسلک خالی جگہیں ہومومورفک ہیں یا نہیں۔ اگر دو خالی جگہوں میں کٹ پوائنٹس کی تعداد مختلف ہے، تو وہ ہومومورفک نہیں ہیں۔ ایک کلاسک مثال یہ ظاہر کرنے کے لیے کٹ پوائنٹس کا استعمال کرنا ہے کہ لکیریں اور حلقے ہومومورفک نہیں ہیں۔ کٹ پوائنٹ ٹپوولوجیکل کنٹینوا کی خصوصیت میں بھی مفید ہیں، خالی جگہوں کی ایک کلاس جو کمپیکٹنس اور کنیکٹنس کی خصوصیات کو یکجا کرتی ہے اور اس میں بہت سی واقف خالی جگہیں جیسے یونٹ کا وقفہ، دائرہ اور ٹورس شامل ہیں۔ تعریف رسمی تعریفیں منسلک T1 ٹپوولوجیکل اسپیس X کا ایک کٹ پوائنٹ، X میں ایک نقطہ p ہے جس میں X-{p} منسلک نہیں ہے۔ ایک نقطہ جو کٹ پوائنٹ نہیں ہے اسے نان کٹ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ ایک غیر خالی منسلک ٹوپوولوجیکل اسپیس X ایک کٹ پوائنٹ اسپیس ہے اگر X میں ہر پوائنٹ X کا کٹ پوائنٹ ہو۔ بنیادی مثالیں ایک بند وقفہ [a، b] میں لامحدود طور پر بہت سے کٹ پوائنٹ ہوتے ہیں۔ اس کے اختتامی پوائنٹس کے علاوہ تمام پوائنٹس کٹ پوائنٹس ہیں اور اختتامی پوائنٹس {a, b} نان کٹ پوائنٹس ہیں۔ ایک کھلے وقفے (a، b) میں بھی بند وقفوں کی طرح لامحدود طور پر بہت سے کٹ پوائنٹ ہوتے ہیں۔ چونکہ کھلے وقفوں میں اختتامی پوائنٹس نہیں ہوتے ہیں، اس لیے اس میں کوئی نان کٹ پوائنٹس نہیں ہوتے ہیں۔ دائرے میں کوئی کٹ پوائنٹ نہیں ہوتا اور اس کے بعد دائرے کا ہر پوائنٹ نان کٹ پوائنٹ ہوتا ہے۔ نوٹیشن X کا کاٹنا ایک سیٹ {p, U, V} ہے جہاں p X، U اور V کا کٹ پوائنٹ ہے جو X-{p} کی علیحدگی بناتا ہے۔ اسے X\ {p} = U|V کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ نظریہ کٹ پوائنٹس اور ہومومورفزم کٹ پوائنٹس لازمی طور پر مسلسل افعال کے تحت محفوظ نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر: f: [0,2] → R2، f (x) = (cos x, sin x) کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ وقفہ کا ہر نقطہ (دو اختتامی نکات کے علاوہ) ایک کٹ پوائنٹ ہے، لیکن f (x) ایک دائرہ بناتا ہے جس میں کوئی کٹ پوائنٹ نہیں ہوتا ہے۔ کٹ پوائنٹس ہومومورفزم کے تحت محفوظ ہیں۔ لہذا، کٹ پوائنٹ ایک ٹپوولوجیکل غیر متغیر ہے۔ کٹ پوائنٹس اور کنٹینوا ایک سے زیادہ پوائنٹس کے ساتھ ہر تسلسل (کمپیکٹ منسلک ہاؤزڈورف اسپیس) میں کم از کم دو نان کٹ پوائنٹس ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، ہر کھلا سیٹ جو نتیجے میں جگہ کی علیحدگی بناتا ہے اس میں کم از کم ایک نان کٹ پوائنٹ ہوتا ہے۔ بالکل دو نان کٹ پوائنٹس والا ہر تسلسل یونٹ کے وقفے کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ اگر K ایک تسلسل ہے جس میں پوائنٹس a، b اور K-{a، b} جڑے ہوئے نہیں ہیں، تو K یونٹ دائرے کے لیے ہومومورفک ہے۔ کٹ پوائنٹ خالی جگہوں کی ٹپوولوجیکل خصوصیات X کو ایک منسلک جگہ اور x کو X میں ایک کٹ پوائنٹ اس طرح ہونے دیں کہ X\ {x} = A|B۔ پھر {x} یا تو کھلا ہے یا بند ہے۔ اگر {x} کھلا ہے، تو A اور B بند ہیں۔ اگر {x} بند ہے، تو A اور B کھلے ہیں۔ X کو ایک کٹ پوائنٹ اسپیس ہونے دیں۔ ایکس کے بند نکات کا مجموعہ لامحدود ہے۔ ناقابل کٹوتی کٹ پوائنٹ خالی جگہیں تعریف ایک کٹ پوائنٹ خالی جگہ ناقابل کٹوتی ہے اگر اس کا کوئی مناسب ذیلی سیٹ کٹ پوائنٹ خالی جگہ نہ ہو۔ کھلمسکی لائن: آئیے انٹیجرز کا مجموعہ بنیں اور اس پر ٹوپولوجی کی بنیاد کہاں ہے۔ کھلمسکی لائن وہ سیٹ ہے جو اس ٹوپولوجی سے مالا مال ہے۔ یہ ایک کٹ پوائنٹ کی جگہ ہے۔ اس کے علاوہ، یہ ناقابل تلافی ہے۔ نظریہ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ایک ناقابل کٹوتی کٹ پوائنٹ اسپیس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب X کھلمسکی لائن کے لیے ہومومورفک ہو۔ کٹ پوائنٹ (گراف تھیوری) حوالہ جات بھی دیکھیں (اصل میں ایڈسن-ویسلی پبلشنگ کمپنی، انکارپوریٹڈ نے 1970 میں شائع کیا تھا۔) جنرل ٹوپولوجی