Datar–Mathews method for real option valuation
داتار میتھیوز طریقہ (ڈی ایم طریقہ) حقیقی اختیارات کی تشخیص کا ایک طریقہ ہے۔ یہ طریقہ صرف پروجیکٹ کے لیے مثبت نتائج کی اوسط کا استعمال کرتے ہوئے کسی پروجیکٹ کی حقیقی آپشن ویلیو کا تعین کرنے کا ایک آسان طریقہ فراہم کرتا ہے۔ اس طریقہ کار کو نیٹ پریزنٹ ویلیو (این پی وی) ملٹی سیناریو مونٹی کارلو ماڈل کی توسیع کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں خطرے سے بچنے اور معاشی فیصلہ سازی کے لیے ایڈجسٹمنٹ کی جاتی ہے۔ یہ طریقہ ایسی معلومات کا استعمال کرتا ہے جو قدرتی طور پر معیاری رعایتی نقد بہاؤ (ڈی سی ایف)، یا این پی وی، پروجیکٹ کی مالی تشخیص میں پیدا ہوتی ہے۔ اسے 2000 میں سیئٹل یونیورسٹی کے پروفیسر ونے داتار اور دی بوئنگ کمپنی کے ٹیکنیکل فیلو اسکاٹ ایچ میتھیوز نے بنایا تھا۔ طریقہ ڈی ایم طریقہ کے لیے ریاضیاتی مساوات ذیل میں دکھائی گئی ہے۔ یہ طریقہ کار آپریٹنگ منافع کی تقسیم کو R، مارکیٹ رسک ریٹ پر رعایت دے کر، اور متوقع ادائیگی کا حساب لگانے سے پہلے صوابدیدی سرمایہ کاری کی تقسیم کو R، رسک فری ریٹ پر رعایت دے کر حقیقی آپشن ویلیو پر قبضہ کرتا ہے۔ آپشن ویلیو پھر دو رعایتی تقسیم یا صفر کے درمیان زیادہ سے زیادہ فرق کی متوقع قیمت ہوتی ہے۔ شکل۔ 1. ایک بے ترتیب متغیر ہے جو مستقبل کے فوائد، یا وقت T پر آپریٹنگ منافع کی نمائندگی کرتا ہے۔ استعمال R کی موجودہ قیمت، R کے خطرے کی سطح کے مطابق رعایت کی شرح ہدف مارکیٹ میں شرکت کے لیے واپسی کی مطلوبہ شرح ہے، جسے بعض اوقات رکاوٹ کی شرح بھی کہا جاتا ہے۔ ایک بے ترتیب متغیر ہے جو ہڑتال کی قیمت کی نمائندگی کرتا ہے۔ استعمال کی موجودہ قیمت r، سرمایہ کاری کے خطرے سے مطابقت رکھنے والی شرح بہت سے عمومی آپشن ایپلی کیشنز میں، رسک فری ڈسکاؤنٹ کی شرح استعمال کی جاتی ہے۔ تاہم دیگر رعایتی شرحوں پر غور کیا جا سکتا ہے، جیسے کارپوریٹ بانڈ کی شرح، خاص طور پر جب درخواست ایک اندرونی کارپوریٹ پروڈکٹ ڈویلپمنٹ پروجیکٹ ہو۔ سنگل اسٹیج پروجیکٹ کے لیے حقیقی آپشن ویلیو ہے۔ آپشن ویلیو کو دو موجودہ ویلیو کی تقسیم کے فرق کی متوقع قیمت کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں معاشی طور پر عقلی حد ہوتی ہے جو رسک ایڈجسٹ کی بنیاد پر نقصانات کو محدود کرتی ہے۔ اس قدر کو اسٹاکسٹک ڈسٹری بیوشن کے طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ آر اور آر کے لیے تفریق رعایت کی شرح ڈی ایم طریقہ کار کو بنیادی خطرے کا محاسبہ کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ اگر R> r ہے، تو آپشن رسک مخالف ہوگا، جو مالیاتی اور حقیقی دونوں آپشنز کے لیے عام ہے۔ اگر R <r ہے، تو آپشن رسک سیکنگ ہوگا۔ اگر R = r ہے، تو اسے رسک غیر جانبدار آپشن کہا جاتا ہے، اور فیصلہ سازی کے ساتھ این پی وی قسم کے تجزیے کے ساتھ متوازی ہے، جیسے فیصلہ سازی کے درخت۔ ڈی ایم طریقہ وہی نتائج دیتا ہے جو بلیک-شولز اور بائنومیل لیٹس آپشن ماڈلز دیتے ہیں، بشرطیکہ وہی ان پٹ اور رعایتی طریقے استعمال کیے جائیں۔ اس لیے یہ غیر تجارت شدہ حقیقی آپشن ویلیو نجی طور پر رکھے ہوئے سرمایہ کاری کے اثاثے سے متعلق مارکیٹ اثاثے کے بارے میں تشخیص کنندہ کے خطرے کے تاثر پر منحصر ہے۔ ڈی ایم طریقہ حقیقی آپشن ایپلی کیشنز میں استعمال کے لیے فائدہ مند ہے کیونکہ کچھ دوسرے آپشن ماڈلز کے برعکس اسے سگما (غیر یقینی کی پیمائش) یا S0 (آج کے پروجیکٹ کی قیمت) کے لیے قدر کی ضرورت نہیں ہے، ان دونوں کو نئے پروڈکٹ ڈویلپمنٹ پروجیکٹس کے لیے حاصل کرنا مشکل ہے۔ حقیقی آپشنز ویلیوایشن کے تحت مزید دیکھیں۔ آخر میں، ڈی ایم طریقہ کسی بھی تقسیم کی قسم کی حقیقی دنیا کی اقدار کا استعمال کرتا ہے، خطرے سے غیر جانبدار اقدار میں تبدیلی کی ضرورت اور لوگن نارمل تقسیم کی پابندی سے گریز کرتا ہے۔ آپشن کی قیمتوں کے لیے مونٹی کارلو طریقوں کے تحت مزید دیکھیں۔ دیگر حقیقی آپشن کی قیمتوں کے لیے طریقہ کار کی توسیع تیار کی گئی ہے جیسے کنٹریکٹ گارنٹی (پٹ آپشن)، ملٹی اسٹیج (کمپاؤنڈ آپشن)، ارلی لانچ (امریکن آپشن)، اور دیگر۔ عمل درآمد ڈی ایم طریقہ کار کو مونٹی کارلو تخروپن کا استعمال کرتے ہوئے، یا آسان الجبرائی یا دوسری شکل میں نافذ کیا جا سکتا ہے (نیچے رینج آپشن دیکھیں)۔ تخروپن کا استعمال کرتے ہوئے، ہر نمونے کے لیے، انجن دونوں سے ایک بے ترتیب متغیر کھینچتا ہے، ان کی موجودہ اقدار کا حساب لگاتا ہے، اور فرق لیتا ہے۔ شکل۔ 2 اے۔ فرق کی قیمت کا موازنہ صفر سے کیا جاتا ہے، دونوں میں سے زیادہ سے زیادہ کا تعین کیا جاتا ہے، اور اس کے نتیجے میں قیمت تخروپن انجن کے ذریعہ ریکارڈ کی جاتی ہے۔ یہاں، پروجیکٹ میں موروثی اختیاری کی عکاسی کرتے ہوئے، خالص منفی قیمت کے نتائج کی پیش گوئی ایک ترک شدہ پروجیکٹ سے مطابقت رکھتی ہے، اور اس کی قیمت صفر ہوتی ہے۔ شکل۔ 2 بی۔ نتیجے میں آنے والی اقدار ایک ادائیگی کی تقسیم پیدا کرتی ہیں جو وقت T0 پر پروجیکٹ کی معقول، رعایتی قیمت کی پیش گوئیوں کے معاشی طور پر عقلی سیٹ کی نمائندگی کرتی ہیں۔ جب کافی ادائیگی کی اقدار ریکارڈ کی جاتی ہیں، عام طور پر چند سو، تو ادائیگی کی تقسیم کی اوسط، یا متوقع قیمت کا حساب لگایا جاتا ہے۔ شکل۔ 2C. آپشن ویلیو متوقع قیمت ہے، جو ادائیگی کی تقسیم کے تمام مثبت این پی وی اور صفر کا پہلا لمحہ ہے۔ ایک سادہ سی تشریح یہ ہے کہ: جہاں آپریٹنگ منافع اور لانچ کے اخراجات وقت T0 تک نقد بہاؤ کی مناسب رعایتی حد ہیں۔ آپشن ویلیو کو تقسیم () کے طور پر بھی سمجھا جا سکتا ہے جو بنیادی متغیرات کی غیر یقینی صورتحال کی عکاسی کرتا ہے۔ ڈی ایم آپشن کے تغیرات الجبرائی لوگن نارمل فارم ڈی ایم ریئل آپشن کو آپشن ویلیوایشن کے لیے عمومی شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ اس کا تخروپن ایک کٹی ہوئی موجودہ قیمت کی تقسیم پیدا کرتا ہے جس کی اوسط قیمت کو آپشن ویلیو سمجھا جاتا ہے۔ بعض باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ، ڈی ایم آپشن کو الجبرائی طور پر ایک عام مالیاتی آپشن کی شکل اور خصوصیات سے ملتی جلتی لوگن نارمل ڈسٹری بیوشن کی مشروط توقع کے طور پر ریفارملیٹ کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ یورپی، سنگل اسٹیج بلیک-شولز فنانشل آپشن۔ یہ سیکشن ڈی ایم ریئل آپشن کو اس کی الجبرائی لوگن نارمل شکل میں تبدیل کرنے اور بلیک-شولز فنانشل آپشن فارمولے سے اس کے تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ عمل آپشن کی تشکیل کے کچھ زیادہ تکنیکی عناصر کو روشن کرتا ہے جس سے بنیادی تصورات کو مزید بصیرت فراہم ہوتی ہے۔ ڈی ایم طریقہ کار کی لوگن نارمل شکل ایک سادہ تصور بنی ہوئی ہے جو اسی کمپیوٹیشن کے طریقہ کار پر مبنی ہے جیسا کہ تخروپن فارم۔ یہ رعایتی متوقع مستقبل کی قیمت کے نتائج کی تقسیم کی مشروط توقع ہے، جو پہلے سے طے شدہ خریداری کی لاگت (اسٹرائیک پرائس یا لانچ لاگت) سے کم ہے، (اس مثال میں اسکیلر ویلیو کے طور پر ماڈل کیا گیا ہے) اس کٹی ہوئی تقسیم کے امکان سے ضرب دی گئی ہے جو ایک حد سے زیادہ ہے-برائے نام 0۔ ایک مشروط توقع کٹی ہوئی تقسیم (دم کا اوسط)، ایم ٹی کی متوقع قیمت ہے، جس کا حساب اس کی مشروط امکان کی تقسیم کے حوالے سے کیا جاتا ہے (شکل۔ 3)۔ آپشن حساب کا طریقہ کار پروجیکٹ کی سرمایہ کاری (آپشن خریداری)، C0، کو T0 پر اہمیت دیتا ہے۔ ڈی ایم آپشن کے لیے وقت کی تفریق رعایت (آر اور آر) کے نتیجے میں متوقع قیمت کے نتائج کی تقسیم میں واضح تبدیلی آتی ہے، جو کہ شکل میں دکھائی گئی مثال میں اسکیلر اوسط سے متعلق ہے۔ 4. یہ رشتہ دار تبدیلی T0 پر کٹی ہوئی تقسیم کی مشروط توقع قائم کرتی ہے۔ کسی پروجیکٹ کے مستقبل کی قیمت کے نتائج کے لیے لوگن نارمل ڈسٹری بیوشن میں، اوسط اور معیاری انحراف دونوں کی وضاحت کی جانی چاہیے۔ تقسیم کے معیاری انحراف کو تقسیم کے ساتھ متناسب طور پر چھوٹ دی جاتی ہے، T0 پر لوگن نارمل تقسیم کے پیرامیٹرز کو بالترتیب اقدار سے اخذ کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ: رعایتی قیمت کے نتائج کی مشروط توقع دم ایم ٹی کا اوسط ہے: معیاری عام تقسیم (N (0,1)) کا مجموعی تقسیم فنکشن ہے۔ پروجیکٹ کے پیسے میں ہونے اور شروع ہونے ("استعمال شدہ") کا امکان ہے۔ پروجیکٹ کی سرمایہ کاری (آپشن) کی قیمت یہ ہے کہ: شامل لوگن نارمل ریاضی کارپوریشن کے اندر کچھ کاروباری طریقوں کے لیے بوجھل اور غیر واضح ہو سکتی ہے۔ تاہم، کئی آسانیاں اس بوجھ کو کم کر سکتی ہیں اور آپشن کے حساب کی مضبوطی کو ترک کیے بغیر وضاحت فراہم کر سکتی ہیں۔ ایک آسان کاری معیاری عام تقسیم کا استعمال ہے، جسے زیڈ تقسیم بھی کہا جاتا ہے، جس کا اوسط 0 اور معیاری انحراف 1 ہے۔ معمول کی تقسیم کو معیاری معمول میں تبدیل کرنا اور پھر امکانات کی قدر تلاش کرنے کے لیے معیاری معمول کی میز کا استعمال کرنا عام عمل ہے۔ معیاری عام متغیر کے طور پر وضاحت کریں: رعایتی قیمت کے نتائج کی مشروط توقع یہ ہے: پھر پروجیکٹ کے پیسے میں ہونے اور شروع ہونے ("استعمال شدہ") کا امکان یہ ہے: ڈیٹر-میتھیوز لوگن نارمل آپشن ویلیو آسان بناتا ہے: بلیک-شولز آپشن میں تبدیلی بلیک-شولز آپشن فارمولا (نیز بائنومیل لیٹس) مصنوعی ڈی ایم ریئل آپشن کا ایک خاص معاملہ ہے۔ ٹھیک ٹھیک، لیکن قابل ذکر اختلافات کے ساتھ، ڈی ایم آپشن کی لوگرتھمک شکل کو الجبرائی طور پر بلیک-شولز آپشن فارمولے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ حقیقی آپشن ویلیوایشن مستقبل کی قیمت کے نتائج کی تقسیم کے تخمینے پر مبنی ہے، جو کہ غیر معمولی ہو سکتا ہے، اس وقت ٹی ٹی کو ٹی 0 پر پیش کیا جاتا ہے (رعایت دی جاتی ہے)۔ اس کے برعکس، بلیک-شولز تاریخی اثاثوں کی واپسی سے لے کر موجودہ وقت T0 تک متوقع لوگن نارمل تقسیم پر مبنی ہے۔ ان تاریخی رجحانات کے تجزیے کے نتیجے میں ایک حساب ہوتا ہے جسے اتار چڑھاؤ (مالیات) عنصر کہا جاتا ہے۔ بلیک-شولز (بی ایس) کے لیے اتار چڑھاؤ کا عنصر ہے۔ معیاری انحراف کے ساتھ درج ذیل لوگن نارمل تقسیم کی جگہ اتار چڑھاؤ کا عنصر لے لیتا ہے۔ بلیک-شولز آپشن ویلیو اپنی واقف شکل کو آسان بناتی ہے: اصطلاحات N (d1) اور N (d2) کا اطلاق بلیک-شولز فارمولے کے حساب میں کیا جاتا ہے، اور یہ لوگن نارمل تقسیم پر کارروائیوں سے متعلق تاثرات ہیں۔ بلیک-شولز کے تحت سیکشن "تشریح" دیکھیں۔ شکل کا حوالہ دیتے ہوئے۔ 5 اور ڈی ایم آپشن کی لوگن نارمل شکل کا استعمال کرتے ہوئے، کسی آپشن کے اندرونی عمل کے بارے میں کچھ بصیرت حاصل کرنا ممکن ہے: این (-زیڈ) یا این (ڈی 2) تقسیم کی دم کے رقبے کی پیمائش ہے، ایم ٹی (ایکس 0 کے ذریعہ بیان کردہ)، پوری تقسیم کے مقابلے میں، مثال کے طور پر۔ تقسیم کی دم کا امکان، وقت T0 پر۔ شکل۔ 5، ٹھیک ہے۔ حقیقی ("جسمانی") دنیا میں پیسے کی میعاد ختم ہونے کا حقیقی امکان وقت T0، لانچ یا ہڑتال کی تاریخ پر شمار کیا جاتا ہے، جسے تقسیم کی دم کے رقبے سے ماپا جاتا ہے۔ N (σ-Z) یا N (d1) اثاثہ کے مقابلے میں آپشن ادائیگی کی قیمت ہے۔ جہاں ایم ٹی وقت T0 پر دم کا اوسط ہے۔ ڈیٹا پیٹرن ایک آسان ڈی ایم طریقہ حساب اسی ضروری خصوصیات کے مطابق ہوتا ہے-یہ رعایتی متوقع مستقبل کی قیمت کے نتائج کی تقسیم کی مشروط توقع ہے، یا، رعایتی لاگت سے کم، مشق کے امکان سے ضرب دی جاتی ہے، ڈی ایم طریقہ اختیار کی قیمت کو سمجھا جا سکتا ہے کیونکہ یہ آسان تشکیل متوقع قیمت کے حساب سے مضبوط متوازی ہے۔ وہ کاروبار جو تاریخی ڈیٹا اکٹھا کرتے ہیں وہ متعلقہ منصوبوں میں مفروضوں کی مماثلت سے فائدہ اٹھا سکتے ہیں جو آپشن ویلیوز کے حساب کو آسان بناتے ہیں۔ اس کے نتیجے میں ہونے والی ایک آسان کاری غیر یقینی تناسب ہے، جسے اکثر اسی طرح کے منصوبوں کے لیے مستقل نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ یو آر یقین کی ڈگری ہے جس کے ذریعے مستقبل کے متوقع نقد بہاؤ کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ بہت سے کثیر سالہ کاروباری منصوبوں کے لیے عام طور پر 0.35 اور 1.1 کے درمیان اقدار کے ساتھ یو آر وقت کا غیر متغیر ہے۔ اس مشاہدے کو مندرجہ بالا فارمولوں پر مستقل، K کے طور پر لاگو کرنے کے نتیجے میں ایک آسان تشکیل ہوتی ہے: عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے اور اقدار کو معیاری عام متغیرات کی میز میں حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایک بار K کا تعین ہونے کے بعد نتیجے میں حقیقی آپشن ویلیو صرف ہینڈ ہیلڈ کیلکولیٹر پر حاصل کی جا سکتی ہے: فرض کریں کہ UR مستقل ہے، تو آپشن کی متعلقہ قیمت کا تعین صرف کے تناسب سے کیا جا سکتا ہے، جو پروجیکٹ کے پیسے میں ہونے اور لانچ (استعمال) ہونے کے امکان کے متناسب ہے۔ پھر (شکل۔ 6) ایک حقیقی آپشن ویلیوایشن عام طور پر اس وقت لاگو ہوتی ہے جب ورزش کا امکان تقریبا 50 فیصد سے کم ہوتا ہے۔ کاروباری اداروں کو متعلقہ پیرامیٹر ویلیوز قائم کرنے کے لیے اسی طرح کے منصوبوں میں اپنا ڈیٹا لاگو کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ سہ رخی شکل (رینج آپشن) لوگن نارمل ڈسٹری بیوشن کا اندازہ لگانے میں دشواری اور مستقبل کے ریٹرن کے معیاری انحراف کو دیکھتے ہوئے، اس کے بجائے دیگر ڈسٹری بیوشن کا اطلاق اکثر کاروباری فیصلہ سازی میں استعمال ہونے والے حقیقی آپشنز کے لیے کیا جاتا ہے۔ نمونے کی تقسیم کسی بھی شکل میں ہو سکتی ہے، حالانکہ سہ رخی تقسیم اکثر استعمال ہوتی ہے، جیسا کہ کم ڈیٹا کے حالات کے لیے عام ہے، اس کے بعد یکساں تقسیم (مسلسل) یا بیٹا تقسیم ہوتی ہے۔ یہ نقطہ نظر پروجیکٹ آپشن ویلیو کے ابتدائی مرحلے کے تخمینوں کے لیے مفید ہے جب مکمل نقد بہاؤ کے تخروپن کے لیے درکار ضروری مقداری معلومات اکٹھا کرنے کے لیے کافی وقت یا وسائل موجود نہ ہوں، یا منصوبوں کے پورٹ فولیو میں جب تمام منصوبوں کا تخروپن بہت زیادہ کمپیوٹیشنل مطالبہ ہو۔ منتخب کردہ تقسیم سے قطع نظر، حقیقی آپشن ویلیوایشن کے لیے طریقہ کار یکساں رہتا ہے۔ مثلث تقسیم کے لیے، جسے بعض اوقات تین نکاتی تخمینہ کہا جاتا ہے، موڈ ویلیو "سب سے زیادہ ممکنہ" منظر نامے سے مطابقت رکھتی ہے، اور دیگر دو منظرنامے، "مایوس کن" اور "پر امید"، سب سے زیادہ ممکنہ منظر نامے سے قابل فہم انحراف کی نمائندگی کرتے ہیں (اکثر دو طرفہ 1-آؤٹ-10 امکان یا 90 فیصد اعتماد کے اندازے کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے)۔ تخمینوں کی اس حد کے نتیجے میں آپشن کا نامزد نام، ڈی ایم رینج آپشن ہوتا ہے۔ ڈی ایم رینج آپشن طریقہ حقیقی اختیارات کے لیے فجی طریقہ سے ملتا جلتا ہے۔ مندرجہ ذیل مثال (شکل۔ 7) a (مایوس کن)، b (پر امید) اور m (موڈ یا سب سے زیادہ امکان) کے مستقبل کے تخمینہ شدہ آپریٹنگ منافع کی ایک رینج کا استعمال کرتا ہے۔ کلاسیکی ڈی ایم طریقہ یہ فرض کرتا ہے کہ اسٹرائیک پرائس کی نمائندگی بے ترتیب متغیر (تقسیم) کے ذریعے کی جاتی ہے جس میں تخروپن کے ذریعے حاصل کردہ آپشن حل ہوتا ہے۔ متبادل طور پر، تخروپن انجام دینے کے بوجھ کے بغیر، لانچ لاگت کی تقسیم (اسٹرائیک پرائس) کی اوسط یا اوسط اسکیلر ویلیو کو لاگو کرنے کے نتیجے میں ڈی ایم رینج آپشن ویلیو کا قدامت پسند تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ اگر لانچ کی لاگت اسکیلر ویلیو کے طور پر پہلے سے طے کی گئی ہے، تو ڈی ایم رینج آپشن ویلیو کا حساب درست ہے۔ کٹے ہوئے سہ رخی تقسیم (دائیں دم کا مطلب) کی متوقع قیمت، پروجیکٹ کے پیسے میں ہونے اور شروع ہونے کا امکان مکمل سہ رخی تقسیم کے مقابلے میں کٹے ہوئے تقسیم کا متناسب رقبہ ہے۔ اس جزوی توقع کا حساب مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) کے ذریعے کیا جاتا ہے کیونکہ امکان کی تقسیم دائیں دم کے لیے ایکس سے زیادہ یا اس کے برابر قیمت پر پائی جائے گی: ڈی ایم رینج آپشن ویلیو، یا پروجیکٹ انویسٹمنٹ، یہ ہے: ڈی ایم رینج آپشن کا استعمال مستقبل کے پروجیکٹ کی سرمایہ کاری کے لیے حقیقی آپشن ویلیوایشن کے اطلاق کو آسان بناتا ہے۔ ڈی ایم رینج آپشن تشخیص کا ایک تخمینہ فراہم کرتا ہے جو ڈی ایم آپشن الجبرائی لوگن نارمل ڈسٹری بیوشن فارم کے ساتھ معمولی طور پر مختلف ہوتا ہے۔ تاہم، کسی پروجیکٹ کا متوقع مستقبل کی قیمت کا نتیجہ، ایس، شاذ و نادر ہی تاریخی اثاثوں کی واپسی سے حاصل کردہ لوگن نارمل تقسیم پر مبنی ہوتا ہے، جیسا کہ ایک مالیاتی آپشن ہے۔ بلکہ، مستقبل کی قیمت کا نتیجہ، ایس، (نیز اسٹرائیک پرائس، ایکس، اور معیاری انحراف، ایس ڈی)، انجینئرنگ اور مارکیٹنگ کے پیرامیٹرز کی بنیاد پر ممکنہ طور پر تین نکاتی تخمینہ ہے۔ لہذا، ڈی ایم رینج آپشن کے اطلاق میں آسانی اکثر اس کی افادیت کی وجہ سے جائز ہے اور مستقبل کے منصوبے کی مشروط قیمت کا اندازہ لگانے کے لیے کافی ہے۔ ڈیمانڈ وکر انٹیگریشن بہت سے ابتدائی مرحلے کے منصوبوں سے پتہ چلتا ہے کہ غالب نامعلوم اقدار آپریٹنگ منافع کے بڑے اجزاء کے پہلے آرڈر کی حد کے تخمینے ہیں: فروخت شدہ سامان کی آمدنی اور مینوفیکچرنگ لاگت (COGS)۔ بدلے میں آمدنی کے بارے میں غیر یقینی صورتحال مارکیٹ کی طلب کی قیمت یا سائز کے اندازوں سے کارفرما ہوتی ہے۔ بازار کی قیمت اور سائز کا اندازہ آزادانہ طور پر لگایا جا سکتا ہے، حالانکہ بازار کی طلب کے رشتے میں ان کو ایک ساتھ جوڑنا ایک بہتر طریقہ ہے۔ سی او جی ایس، فروخت کی جانے والی مصنوعات کی مقدار کی کل لاگت، مارکیٹ کے سائز سے منسلک تجربے یا سیکھنے کے منحنی خطوط کی لاگت کے تعلق کے مطابق حتمی جزو اور رجحانات ہیں۔ ڈی ایم ریئل آپشنز تخروپن کے اندر ان تین مارکیٹ عناصر کا باہمی عمل، یہاں تک کہ ابتدائی مرحلے کی حدود کے ساتھ، مصنوعات کی قیمتوں اور پیداوار کے سائز کے لیے معقول حد تک تنگ ہدف کے تخمینے دے کر پروجیکٹ کی منصوبہ بندی کے لیے غیر یقینی صورتحال کو کم کر سکتا ہے جو ممکنہ آپریٹنگ منافع کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے اور آپشن ویلیو کو بہتر بناتا ہے۔ مارکیٹ پرائس ڈیمانڈ وکر قیمت کے سائز، یا طلب کردہ مقدار کے تعلق کو گراف کرتا ہے۔ مانگ کا قانون کہتا ہے کہ طلب کی گئی قیمت اور مقدار کے درمیان ایک الٹا تعلق ہے، یا صرف اسی طرح جیسے قیمت میں کمی آتی ہے مصنوعات کی طلب کی مقدار میں اضافہ ہوگا۔ دوسرا وکر، مینوفیکچرنگ لاگت کا گراف، سیکھنے کے وکر اثر کا نمونہ بناتا ہے جو پیدا شدہ سامان کی مقدار اور اس پیداوار کی کارکردگی کے فوائد کے درمیان تعلق کی عکاسی کرتا ہے۔ شکل۔ 9. ریاضیاتی طور پر، سیکھنے کا وکر ایک پاور فنکشن کی شکل اختیار کرتا ہے۔ ڈیمانڈ وکر کو ایک الٹا لوگن نارمل ڈسٹری بیوشن کا استعمال کرتے ہوئے حقیقت پسندانہ طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے جو مارکیٹ کی قیمت کی تقسیم کے تخمینے کو مارکیٹ کے سائز کی حد کے ساتھ جوڑتا ہے۔ ڈیمانڈ وکر چالاکی سے انتہائی مختلف مارکیٹوں کا نمونہ بناتا ہے جو قیمتوں کے ذریعے منتخب پروڈکٹ یا سروس کی خصوصیات جیسے معیار یا گریڈ، فعال خصوصیات، اور دستیابی کے ساتھ ساتھ فروخت شدہ مقدار میں فرق کرتا ہے۔ آٹوموبائل، جوتے، اسمارٹ فون اور کمپیوٹر اس کی مثالیں ہیں۔ ہوائی کرایہ بازار انتہائی مختلف ہوتے ہیں جہاں مانگ کی قیمتوں کا تعین اور فروخت کی مقدار کا انحصار موسمی، ہفتے کے دن، دن کے وقت، روٹنگ، سیل پروموشنز، اور بیٹھنے یا کرایہ کی کلاس پر ہوتا ہے۔ ہوائی کرایہ کی طلب کی تقسیم کے نمونے کو ایک الٹا لوگن نارمل تقسیم کے ساتھ اچھی طرح سے پیش کیا گیا ہے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ 10. مذکورہ بالا تمام اجزاء، بازار کی قیمت، سائز، اور سی او جی ایس کے لیے منحنی خطوط کو متغیر کے ساتھ نقل کیا جا سکتا ہے تاکہ حقیقی آپشن کے حساب کے لیے زیادہ سے زیادہ آپریٹنگ منافع حاصل کیا جا سکے (شکل۔ 11)۔ مثال کے طور پر، تخروپن کے نتائج کو شکل میں دکھایا گیا ہے۔ 12. قیمت اور اکائی کی مقدار کے لیے حدود کی نشاندہی کریں جو ممکنہ طور پر منافع کو زیادہ سے زیادہ بنائے گی۔ ان فرسٹ آرڈر رینج تخمینوں سے نکال کر، چوٹی (تعدد) اقدار کا انتخاب امید افزا تخمینوں کے نمایاں طور پر تنگ پھیلاؤ کی نشاندہی کرتا ہے۔ ان بہترین قدر کے پھیلاؤ کو جاننا غیر یقینی صورتحال کو کافی حد تک کم کرتا ہے اور پیرامیٹرز کا ایک بہتر، زیادہ ٹارگٹڈ سیٹ فراہم کرتا ہے جس سے اعتماد کے ساتھ اختراعی ترقیاتی منصوبوں اور آپشن ویلیو کی بنیاد رکھی جا سکتی ہے۔ دیگر طریقوں سے موازنہ 2009 میں بنایا گیا حقیقی آپشن کی تشخیص کے لیے مبہم ادائیگی کا طریقہ، حقیقی آپشن کی تشخیص کے لیے ایک اور قابل رسائی نقطہ نظر فراہم کرتا ہے۔ اگرچہ ہر ایک مختلف ریاضیاتی طریقوں کا استعمال کرتا ہے (مبہم: مبہم منطق ؛ ڈی ایم: عددی تخروپن اور جیومیٹری) بنیادی اصول حیرت انگیز طور پر ایک جیسا ہے: مثبت ادائیگی کا امکان۔ دونوں عوامل (امکان/امکان، اور مثبت ادائیگی) کی الگ الگ جانچ اس مماثلت کو ظاہر کرتی ہے۔ مبہم ادائیگی کا امکان فنکشن ہے۔ ایک سادہ سی تشریح مبہم این پی وی کے کل رقبے پر مبہم این پی وی کے مثبت رقبے کا متناسب تناسب ہے۔ ڈی ایم رینج آپشن کے لیے پروجیکٹ کی ادائیگی کا امکان مکمل تقسیم سے متعلق مثبت تقسیم کے رقبے (سی ڈی ایف) کے متناسب ہوتا ہے۔ اس کا حساب اس طرح لگایا جاتا ہے کہ ہر ایک میں علاقوں کا تناسب ایک ہی امکان/امکان کی قیمت پر شمار ہوتا ہے۔ مبہم ادائیگی کی مثبت ادائیگی محض مبہم این پی وی کے مثبت علاقے کا اوسط ہے، یا۔ اسی طرح، ڈی ایم رینج آپشن کے لیے مثبت ادائیگی دائیں دم (ایم ٹی) کا اوسط ہے، یا اسٹرائیک پرائس سے کم۔ دونوں طریقوں کے میکانکس کے لیے یہ بصیرت نہ صرف ان کی مماثلت بلکہ ان کی مساوات کی بھی وضاحت کرتی ہے۔ ایڈوانسز ان ڈیسیژن سائنسز جریدے میں 2016 کے ایک مضمون میں، لیپینرنٹا یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی اسکول آف بزنس اینڈ مینجمنٹ کے محققین نے ڈی ایم طریقہ کار کا موازنہ حقیقی آپشن کی تشخیص کے لیے مبہم ادائیگی کے طریقہ سے کیا اور نوٹ کیا کہ اگرچہ تشخیص کے نتائج ایک جیسے تھے، لیکن مبہم ادائیگی کچھ حالات میں زیادہ مضبوط تھی۔ کچھ تقابلی معاملات میں، داتار-میتھیوز طریقہ کار کا ایک اہم فائدہ یہ ہے کہ اسے چلانا آسان ہے اور این پی وی کی تشخیص اور منظرنامے کے تجزیے کو مونٹی کارلو تخروپن (یا جیومیٹری) تکنیک سے جوڑتا ہے اس طرح انتظامی فیصلے میں حقیقی اختیارات کے طریقوں کے استعمال میں وجدان کو بہت بہتر بناتا ہے اور تیسرے فریق کو وضاحت کرتا ہے۔ اس کے تخروپن انٹرفیس کے ذریعے، ڈیٹر میتھیوز طریقہ آسانی سے متعدد اور بعض اوقات باہمی منسلک نقد بہاؤ کے منظرناموں کو ایڈجسٹ کرتا ہے، بشمول متحرک پروگرامنگ، جو کہ ایرو اسپیس جیسے پیچیدہ منصوبوں کی خصوصیت ہے، جن کا مبہم سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل بنانا مشکل ہے۔ ڈی ایم میتھڈ اور پراسپیکٹ تھیوری ریئل آپشنز اختراعی مواقع کی معروضی طور پر قدر کرنے کے بارے میں ہیں۔ افسوسناک طور پر، یہ مواقع، غیر معمولی اور بظاہر خطرناک، اکثر ساپیکش طور پر سمجھے جاتے ہیں۔ تاہم، معروضی تشخیص کے طریقہ کار اور نتائج کی ساپیکش تشریح دونوں کو اکثر غلط سمجھا جاتا ہے جس کی وجہ سے سرمایہ کاری میں ہچکچاہٹ اور ممکنہ طور پر مواقع کو کم سمجھا جاتا ہے۔ ڈی ایم ریئل آپشن آبجیکٹیو ویلیوایشن فارمولے کو استعمال کرتا ہے جہاں ڈیفالٹ تھریشولڈ ہوتا ہے جب کسی موقع کی تقریب کو ختم کرنا (ترک کرنا) معاشی طور پر معقول ہوتا ہے۔ اگر کوئی تخروپن واقعہ ('ڈرا') منفی نتیجہ کا حساب لگاتا ہے (یعنی، لانچ کے اخراجات سے کم آپریٹنگ منافع)، تو اس واقعہ کے نتائج کو عقلی طور پر کم کیا جانا چاہیے، یا ختم کیا جانا چاہیے، بقایا ریکارڈ کیا جانا چاہیے۔ صرف خالص مثبت اقتصادی نتائج کی گنتی کی جاتی ہے۔ یہ آپریشن اس غلط فہمی کو چھوڑ دیتا ہے کہ 'مشکلات کو جمع کیا جا رہا ہے' صرف مثبت نتائج کے حق میں ہے جس کے نتیجے میں بظاہر غیر معمولی طور پر زیادہ قیمت ہوتی ہے۔ تاہم، فارمولے کا فارمولہ ریاضیاتی طور پر ان مثبت نتائج کو ان کے امکانات یعنی کامیابی کے امکان (پی او ایس) کے مطابق ایڈجسٹ کرکے درست آپشن ویلیو کا حساب لگاتا ہے۔ اصل ڈی ایم فارمولا وہ ہے جہاں حد ('فرش') ڈیفالٹ سمیت کسی بھی قدر (یا متبادل فارمولا) کو فرض کر سکتی ہے۔ اس کے علاوہ کسی حد کا استعمال فارمولے کو رکاوٹ پر مبنی آپشن کے تغیر میں تبدیل کر دیتا ہے۔ نتیجہ اب مالیاتی آپشن کی قیمت کے برابر نہیں ہے۔ حقیقی آپشن ویلیوایشن کی زیادہ تر سمجھی جانے والی اعلی قیمت غیر متناسب طور پر تخروپن تقسیم کی دم کے انتہائی دائیں سرے پر واقع ہوتی ہے، جو کم امکان لیکن اعلی قیمت کے نتائج کا علاقہ ہے۔ اگر مختلف نتائج کے مفروضوں کی توثیق کی جاتی ہے تو آپشن ویلیوایشن ممکنہ مواقع کی قیمت کی عکاسی کرتی ہے۔ ہدف شدہ، اضافی سرمایہ کاری ان کم امکانات کے مفروضوں کی توثیق کر سکتی ہے۔ اگر نہیں، تو مفروضوں کو ثابت شدہ 'قابل فہم' عناصر سے تبدیل کریں، پھر نئے سیکھنے کی بنیاد پر قدر کا دوبارہ حساب لگائیں۔ حقیقی اختیارات کی ساپیکش کم تشخیص کو جزوی طور پر رویے کے علوم کے ذریعے سمجھایا جا سکتا ہے۔ اختراعی سرمایہ کار ابتدائی سرمایہ کاری کو ممکنہ طور پر نقصان دہ سمجھ سکتا ہے، خاص طور پر اگر پی او ایس کم ہو۔ کاہنمین اور ٹورسکی کا پراسپیکٹ تھیوری اعلان کرتا ہے کہ نقصانات کو ایک ہی قدر کے فوائد سے دوگنا سے زیادہ اثر پڑتا ہے۔ نتیجہ یہ ہے کہ نقصان سے بچنے والا سرمایہ کار موقع کو ساپیکش طور پر کم قیمت دے گا، اور اس وجہ سے سرمایہ کاری، معروضی اور مالی طور پر درست حقیقی آپشن ویلیوایشن کے باوجود۔ افسوس سے نفرت، ایک اور طرز عمل سائنس کا مشاہدہ، اس وقت ہوتا ہے جب مستقبل کے نتائج پر پچھتاوا کرنے سے بچنے کے لیے کوئی بے بنیاد فیصلہ کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک افسوس ناک سرمایہ کار نسبتا 'یقینی شرط' میں سرمایہ کاری کرنے کا فیصلہ کرتا ہے لیکن نمایاں طور پر زیادہ لیکن ممکنہ طور پر غیر یقینی ادائیگی والے متبادل کے مقابلے میں ادائیگی کا چھوٹا موقع۔ افسوس سے نفرت کا رجحان غیر یقینی صورتحال سے نفرت (یقین کا تعصب) کے ساتھ قریب سے جڑا ہوا ہے، جہاں اختراعی مواقع کے نامعلوم پہلوؤں (یعنی نیاپن، کنٹرول کی کمی) کو مزید سرمایہ کاری میں رکاوٹ کے طور پر معقول بنایا جاتا ہے۔ نقصان اور افسوس ناک فیصلہ سازی کے نتائج غیر معمولی سرمایہ کاری اور ابتدائی مرحلے کے اختراعی مواقع کی کم فنڈنگ ('کم قیمت') ہیں۔ ایک سمجھدار سرمایہ کار آپشن پرائس کی غلط تشخیص پر قابو پا سکتا ہے۔ جب پوری آپشن ویلیو کو سرمایہ کاری کے خطرے کے طور پر سمجھا جاتا ہے تو نقصان سے نفرت نمایاں طور پر زیادہ درج ہوتی ہے۔ یہ جذباتی ردعمل اس بات پر غور کرنے میں ناکام رہتا ہے کہ ابتدائی ابتدائی مرحلے کی سرمایہ کاری پوری آپشن ویلیو کا صرف ایک حصہ ہے، جو لازمی طور پر سب سے نمایاں مفروضے کی توثیق کرنے کے لیے ہے۔ اسی طرح افسوس سے نفرت کو خطرے سے نفرت کے طور پر غلط نہیں سمجھنا چاہیے کیونکہ ابتدائی مرحلے کی چھوٹی سرمایہ کاریوں کی نمائش عام طور پر مادی نہیں ہوتی ہے۔ اس کے بجائے، یہ ابتدائی سرمایہ کاری احتیاط سے موقع کی بنیادی قدر کی جانچ کرتی ہے جبکہ دوسری صورت میں غیر یقینی نتائج پر قابو کا احساس فراہم کرتی ہے۔ افسوس کو اس احساس سے کم کیا جاتا ہے کہ اگر مفروضے کے نتائج امید افزا نہ ہوں تو مواقع کی ترقی کو ختم کیا جا سکتا ہے۔ خرچ کیے گئے سرمایہ کاری کے فنڈز کو دانشمندی سے صرف ایک امید افزا موقع کی تحقیقات کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور بدلے میں، حاصل کردہ علم اور بہتر فیصلہ کرنے کی صلاحیت سے ان میں اضافہ ہوتا ہے۔ چونکہ افراد علمی تعصبات کا شکار ہوتے ہیں، اس لیے مداخلت کی مختلف حکمت عملیوں کو ان کو کم کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے جن میں تعصب اور بے وقوف حقیقت پسندی سے آگاہی کے ساتھ ماہر جائزہ بھی شامل ہے۔ ایک رجحان جسے "بائیس بلائنڈ اسپاٹ" کہا جاتا ہے، کسی فرد کی تعصب کے لیے بے ہوش حساسیت کو مختصر طور پر بیان کرتا ہے۔ یہ بنیادی انتساب کی غلطی لاشعوری طور پر خود جائزہ لینے کے وہم سے چھپی رہتی ہے، یعنی، کہ ہم یقین رکھتے ہیں، جھوٹے طور پر، ہمیں اپنے اندرونی ارادوں یا محرکات تک رسائی حاصل ہے۔ تعصبات کو پوسٹ ہاک معقول بنایا جا سکتا ہے، لیکن اس کے باوجود فیصلہ سازی پر اثر پڑتا ہے۔ تعصبات کا مقابلہ کرنے کے لیے، صرف ان کی خصوصیات سے آگاہ ہونا ناکافی ہے، لیکن اپنے خود ساختہ وہم سے تعلیم یافتہ ہونا بھی ضروری ہے۔ حوالہ جات مالیاتی ماڈلز میں حقیقی اختیارات مونٹی کارلو کے طریقے