Relaxation (iterative method)
عددی ریاضی میں، نرمی کے طریقے غیر لکیری نظاموں سمیت مساوات کے نظاموں کو حل کرنے کے لیے تکراری طریقے ہیں۔ بڑے غیر معمولی لکیری نظاموں کو حل کرنے کے لیے آرام کے طریقے تیار کیے گئے تھے، جو تفریقی مساوات کے محدود فرق کی تفریق کے طور پر پیدا ہوئے۔ وہ لکیری کم سے کم مربع مسائل کے لیے لکیری مساوات کے حل کے لیے بھی استعمال ہوتے ہیں اور لکیری عدم مساوات کے نظام کے لیے بھی، جیسے کہ لکیری پروگرامنگ میں پیدا ہونے والے۔ انہیں مساوات کے غیر لکیری نظاموں کو حل کرنے کے لیے بھی تیار کیا گیا ہے۔ آرام کے طریقے خاص طور پر ان لکیری نظاموں کے حل میں اہم ہیں جو الپٹک جزوی تفریقی مساوات کے ماڈل کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جیسے کہ لیپلیس کی مساوات اور اس کی عمومی کاری، پوئسون کی مساوات۔ یہ مساوات باؤنڈری ویلیو کے مسائل کو بیان کرتی ہیں، جس میں سولیوشن فنکشن کی اقدار کو ڈومین کی باؤنڈری پر متعین کیا جاتا ہے۔ مسئلہ یہ ہے کہ کسی حل کا حساب اس کے اندرونی حصے پر بھی لگایا جائے۔ تفریق مساوات کی تفریق کے نتیجے میں لکیری مساوات کو حل کرنے کے لیے آرام کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں، مثال کے طور پر محدود اختلافات کے ذریعے۔ حلوں کی تکراری نرمی کو عام طور پر ہموار قرار دیا جاتا ہے کیونکہ بعض مساوات کے ساتھ، جیسے کہ لیپلیس کی مساوات، یہ حل ویکٹر پر مقامی ہموار فلٹر کے بار بار استعمال سے مشابہت رکھتی ہے۔ ان کو ریاضیاتی اصلاح میں نرمی کے طریقوں کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جو ایک مشکل مسئلے کا تخمینہ ایک آسان مسئلے سے لگاتے ہیں جس کا "آرام دہ" حل اصل مسئلے کے حل کے بارے میں معلومات فراہم کرتا ہے۔ پوٹینشیل تھیوری کا ماڈل مسئلہ جب حقیقی اعداد پر φ ایک ہموار حقیقی قدر والی فنکشن ہوتی ہے، تو اس کے دوسرے مشتق کا تخمینہ اس طرح لگایا جا سکتا ہے: نقطہ (x, y) پر دو دلائل کی فنکشن φ کے لیے دونوں جہتوں میں اس کا استعمال کرتے ہوئے، اور φ (x, y) کے لیے حل کرنے سے نتیجہ نکلتا ہے: پوئسون مساوات کے حل کا تخمینہ لگانے کے لیے: عددی طور پر گرڈ کے فاصلے h کے ساتھ دو جہتی گرڈ پر، نرمی کا طریقہ فنکشن φ کی دی گئی اقدار کو حد کے قریب گرڈ پوائنٹس اور اندرونی گرڈ پوائنٹس پر من مانی اقدار کو تفویض کرتا ہے، اور پھر اندرونی پوائنٹس پر بار بار تفویض φ: = φ * انجام دیتا ہے، جہاں φ * کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: کنورجنس تک۔ طریقہ کار کو آسانی سے دیگر جہتوں میں عام کیا جاتا ہے۔ کنورجنس اور ایکسلریشن جب کہ طریقہ عام حالات میں یکجا ہوتا ہے، یہ عام طور پر مسابقتی طریقوں کے مقابلے میں سست پیش رفت کرتا ہے۔ بہر حال، نرمی کے طریقوں کا مطالعہ لکیری الجبرا کا ایک بنیادی حصہ ہے، کیونکہ نرمی کے نظریہ کی تبدیلیاں نئے طریقوں کے لیے بہترین پیشگی شرائط فراہم کرتی ہیں۔ درحقیقت، پری کنڈیشنر کا انتخاب اکثر تکرار کے طریقہ کار کے انتخاب سے زیادہ اہم ہوتا ہے۔ طریقوں کو تیز کرنے کے لیے ملٹی گرڈ طریقے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ کوئی بھی پہلے ایک موٹے گرڈ پر ایک تخمینہ کا حساب لگا سکتا ہے-عام طور پر دوگنا فاصلہ 2h-اور اس حل کو دوسرے گرڈ پوائنٹس کے لیے انٹرپولیٹڈ اقدار کے ساتھ ابتدائی تفویض کے طور پر استعمال کر سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ موٹے حساب کے لیے بھی بار بار کیا جا سکتا ہے۔ لکیری نظاموں میں، آرام کے طریقوں کی دو اہم کلاسیں اسٹیشنری تکراری طریقے ہیں، اور زیادہ عام کریلوف سب اسپیس طریقے ہیں۔ جیکوبی طریقہ آرام کا ایک آسان طریقہ ہے۔ گاؤس-سیڈل طریقہ جیکوبی طریقہ کار میں بہتری ہے۔ ارتکاز کو تیز کرنے کے لیے جیکوبی اور گاؤس سیڈل طریقوں میں سے کسی ایک پر یکے بعد دیگرے زیادہ نرمی کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ ملٹی گرڈ میتھڈز نوٹس حوالہ جات ابراہم برمن، رابرٹ جے پلیمنس، نان نیگیٹیو میٹرکس ان دی میتھمیٹیکل سائنسز، 1994، ایس آئی اے ایم۔ ۔ یوسف سعد، آئیٹریٹو میتھڈز فار اسپارس لینیر سسٹمز، پہلا ایڈیشن، پی ڈبلیو ایس، 1996۔ رچرڈ ایس ورگا 2002 میٹرکس تکراری تجزیہ، سیکنڈ ایڈیشن۔ (1962 کے پرینٹس ہال ایڈیشن کا)، سپرنگر-ورلاگ۔ ڈیوڈ ایم ینگ، جونیئر۔ آئیٹریٹو سولیوشن آف لارج لینیر سسٹمز، اکیڈمک پریس، 1971۔ (ڈوور، 2003 کے ذریعہ دوبارہ شائع کیا گیا) مزید پڑھنا ساؤتھ ویل، آر وی۔ (1940) انجینئرنگ سائنس میں آرام کے طریقے۔ آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، آکسفورڈ۔ ساؤتھ ویل، آر۔ وی۔ (1946) تھیوریٹیکل فزکس میں آرام کے طریقے۔ آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، آکسفورڈ۔ پی گریویٹ، پی۔ ڈبلیو۔ ہاکس، A.Septier (1972)۔ الیکٹران آپٹکس، دوسرا ایڈیشن۔ پرگمن پریس۔ ۔ ڈی۔ ڈبلیو۔ او۔ ہیڈل (2000)۔ الیکٹروسٹیٹک لینس سسٹمز، دوسرا ایڈیشن۔ سی آر سی پریس۔ ۔ ایرون کاسپر (2001)۔ ایڈوانسز ان امیجنگ اینڈ الیکٹران فزکس، جلد۔ 116، چارج شدہ پارٹیکل آپٹکس کے لیے عددی فیلڈ کا حساب۔ اکیڈمک پریس۔ ۔ تکراری طریقے عددی لکیری الجبرا