Poincaré metric
ریاضی میں، پوائن کیری میٹرک، جسے ہنری پوائن کیری کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، وہ میٹرک ٹینسر ہے جو مستقل منفی منحنی خطوط کی دو جہتی سطح کو بیان کرتا ہے۔ یہ قدرتی میٹرک ہے جو عام طور پر ہائپربولک جیومیٹری یا ریمن سطحوں میں مختلف حسابات میں استعمال ہوتا ہے۔ تین مساوی نمائشیں ہیں جو عام طور پر دو جہتی ہائپربولک جیومیٹری میں استعمال ہوتی ہیں۔ ایک پوئن کیئر ہاف پلین ماڈل ہے، جو اوپری ہاف پلین پر ہائپربولک اسپیس کے ماڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ پوائن کیری ڈسک ماڈل یونٹ ڈسک پر ہائپربولک اسپیس کے لیے ایک ماڈل کی وضاحت کرتا ہے۔ ڈسک اور اوپری نصف طیارہ ایک مطابقت پذیر نقشے سے متعلق ہیں، اور آاسومیٹریز موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے دی گئی ہیں۔ تیسری نمائندگی پنکچرڈ ڈسک پر ہوتی ہے، جہاں بعض اوقات ق-اینالاگس کے لیے تعلقات کا اظہار کیا جاتا ہے۔ ان مختلف فارموں کا ذیل میں جائزہ لیا گیا ہے۔ ریمن کی سطحوں پر میٹرکس کا جائزہ پیچیدہ سطح پر ایک میٹرک کو عام طور پر اس شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں λ اور کا ایک حقیقی، مثبت فعل ہے۔ پیچیدہ سطح میں منحنی خطوط کی لمبائی γ اس طرح سے دی جاتی ہے پیچیدہ سطح کے ذیلی سیٹ کا رقبہ اس طرح دیا جاتا ہے کہ حجم کی شکل کی تعمیر کے لیے استعمال ہونے والا بیرونی پروڈکٹ کہاں ہے۔ میٹرک کا تعین کرنے والا برابر ہے، اس لیے تعین کرنے والے کا مربع جڑ ہے۔ طیارہ پر یوکلیڈین حجم کی شکل ہے اور اس لیے کسی کے پاس A فنکشن ہے جسے میٹرک کا پوٹینشل کہا جاتا ہے اگر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کو میٹرک کا گوسیائی منحنی خطوط کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ منحنی خطوط رچی اسکیلر منحنی خطوط کا نصف ہیں۔ آئسومیٹریز زاویہ اور آرک لمبائی کو محفوظ رکھتی ہیں۔ ریمن کی سطحوں پر، آئسومیٹریز کوآرڈینیٹ کی تبدیلیوں سے ملتی جلتی ہیں: یعنی، لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر اور منحنی خطوط دونوں آئسومیٹریز کے تحت غیر متغیر ہیں۔ اس طرح، مثال کے طور پر، S کو میٹرک کے ساتھ ریمن کی سطح اور T کو میٹرک کے ساتھ ریمن کی سطح ہونے دیں۔ پھر اس کے ساتھ نقشہ ایک آئسومیٹری ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مطابقت رکھتا ہو اور اگر۔ یہاں، نقشہ کے مطابقت پذیر ہونے کی ضرورت اس بیان سے زیادہ کچھ نہیں ہے، یعنی پوئن کیئر طیارہ پر میٹرک اور حجم عنصر پوئن کیئر نصف طیارہ ماڈل میں پوئن کیئر میٹرک ٹینسر اوپری نصف طیارہ H پر دیا گیا ہے جہاں ہم لکھتے ہیں اور۔ یہ میٹرک ٹینسر SL (2، R) کے عمل کے تحت غیر متغیر ہے۔ یعنی، اگر ہم اس کے لیے لکھتے ہیں تو ہم اس پر کام کر سکتے ہیں اور اس طرح یہ واضح ہوتا ہے کہ ایس ایل (2، آر) کے تحت میٹرک ٹینسر غیر متغیر ہے۔ درحقیقت، غیر متغیر حجم عنصر کی طرف سے دیا جاتا ہے۔ میٹرک کی ایک اور دلچسپ شکل کراس تناسب کے لحاظ سے دی جا سکتی ہے۔ کسی بھی چار نکات کو دیکھتے ہوئے اور کمپیکٹفائیڈ کمپلیکس پلین میں کراس تناسب کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ پھر میٹرک یہاں کے ذریعہ دی جاتی ہے، اور حقیقی نمبر لائن پر، جیوڈیسیک جوائننگ اور کے اختتامی نکات ہیں۔ ان کو اس طرح شمار کیا جاتا ہے کہ یہ اور کے درمیان ہو۔ اس میٹرک ٹینسر کے لیے جیوڈیکس حقیقی محور پر عمودی سرکلر آرکس (آدھے دائرے جن کا اصل حقیقی محور پر ہے) اور سیدھی عمودی لکیریں ہیں جو حقیقی محور پر ختم ہوتی ہیں۔ ہوائی جہاز سے ڈسک کا رسمی نقشہ اوپری نصف ہوائی جہاز کو موبیئس تبدیلی کے ساتھ یونٹ ڈسک کے مطابق نقشہ بنایا جا سکتا ہے جہاں ڈبلیو یونٹ ڈسک پر وہ نقطہ ہے جو اوپری نصف ہوائی جہاز میں نقطہ Z سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس نقشہ سازی میں، مستقل z0 اوپری نصف سطح میں کوئی بھی نقطہ ہو سکتا ہے ؛ اسے ڈسک کے مرکز میں نقشہ بنایا جائے گا۔ حقیقی محور یونٹ ڈسک کے کنارے پر نقشہ بناتا ہے مستقل حقیقی نمبر کو ڈسک کو من مانی مقررہ رقم سے گھمانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کینونکل میپنگ وہ ہے جو i کو ڈسک کے مرکز تک اور 0 کو ڈسک کے نچلے حصے تک لے جاتی ہے۔ پوئن کیئر ڈسک پر میٹرک اور حجم عنصر پوئن کیئر ڈسک ماڈل میں پوئن کیئر میٹرک ٹینسر اوپن یونٹ ڈسک پر دیا جاتا ہے۔ حجم عنصر کے ذریعہ دیا جاتا ہے پوئن کیئر میٹرک کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اس میٹرک ٹینسر کے لیے جیوڈیکس سرکلر آرکس ہیں جن کے اختتامی نکات ڈسک کی حدود کے لیے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ پوئن کیری ڈسک پر جیوڈیسیک بہاؤ انوسوف کے بہاؤ ہیں ؛ یہ مضمون اس طرح کے بہاؤ کے لیے اشارے تیار کرتا ہے۔ پنکچرڈ ڈسک ماڈل ڈسک پر اوپری نصف سطح کی دوسری عام نقشہ سازی q-نقشہ سازی ہے جہاں q نام ہے اور τ نصف مدت کا تناسب ہے: پچھلے حصوں کے اشارے میں، τ اوپری نصف سطح میں کوآرڈینیٹ ہے۔ نقشہ بندی پنکچرڈ ڈسک پر ہے، کیونکہ قدر q = 0 نقشے کی تصویر میں نہیں ہے۔ اوپری نصف سطح پر پوئن کیری میٹرک q ڈسک پر ایک میٹرک کو شامل کرتا ہے۔ میٹرک کی صلاحیت شوارز لیما ہے۔ پوئن کیری میٹرک ہارمونک افعال پر فاصلہ کم کر رہا ہے۔ یہ شوارز لیما کی توسیع ہے، جسے شوارز-ایلفورس-پک تھیوریم کہا جاتا ہے۔ فوچیائی گروپ فوچیائی ماڈل کلینیائی گروپ پوئنکیری ڈسک ماڈل پوئنکیری نصف طیارہ ماڈل پرائم جیوڈیسیک حوالہ جات ہرشل ایم فرکاس اور ارون کرا، ریمن سطحیں (1980)، سپرنگر-ورلاگ، نیویارک بھی دیکھیں۔ ۔ جورجن جوسٹ، کمپیکٹ ریمن سرفیسز (2002)، سپرنگر-ورلاگ، نیویارک۔ (سیکشن 2.3 دیکھیں)۔ سویٹلانا کٹوک، فوچیان گروپس (1992)، یونیورسٹی آف شکاگو پریس، شکاگو (ایک سادہ، آسانی سے پڑھنے کے قابل تعارف فراہم کرتا ہے۔) رسمی جیومیٹری ہائپربولک جیومیٹری ریمنین جیومیٹری ریمن سطح میٹرک