Satake isomorphism
ریاضی میں، سیٹیک آئسومورفزم، جس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے، ویل گروپ کے غیر متغیرات کی انگوٹی کے ساتھ مقامی فیلڈ پر ایک تخفیف گروپ کے ہیک الجبرا کی شناخت کرتا ہے۔ ہندسی ساٹیک مساوات ساٹیک آئسومورفزم کا ایک ہندسی ورژن ہے، جو اس کے ذریعہ ثابت ہوتا ہے۔ بیان کلاسیکی ساٹیک آئسومورفزم۔ ایک نیم سادہ الجبرائی گروپ ہونے دیں، ایک غیر آرکیمیڈین مقامی فیلڈ بنیں اور اس کے انٹیجرز کی انگوٹی بنیں۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ ایک گراس مینین ہے۔ سادگی کے لیے، ہم یہ سوچ سکتے ہیں کہ اور، ایک پرائم نمبر کے لیے ؛ اس صورت میں، ایک لامحدود جہتی الجبرائی قسم ہے۔ ایک پیچیدہ اعداد کے میدان کی کارروائی کے تحت دو متغیر پر تمام کمپیکٹلی سپورٹڈ کروی افعال کے زمرے کی نشاندہی کرتا ہے، جو کہ ایک ہیک الجبرا ہے اور اسے ایک گروپ اسکیم کے طور پر بھی مانا جا سکتا ہے۔ اس کا زیادہ سے زیادہ ٹورس بنیں، اس کا ویل گروپ بنیں۔ کوچارکٹر کی قسم کو اس سے جوڑا جا سکتا ہے۔ آئیے تمام کوچارکٹرز کا مجموعہ بنیں، یعنی۔ ۔ کوکریکٹر کی قسم بنیادی طور پر وہ گروپ اسکیم ہے جو عناصر کو متغیر کے طور پر شامل کرکے بنائی گئی ہے، یعنی۔ ۔ کوکریکٹر قسم پر ایک قدرتی عمل ہوتا ہے، جو آن کے قدرتی عمل سے متاثر ہوتا ہے۔ پھر ساٹیک آئسومورفزم ایک الجبرا آئسومورفزم ہے جو کروی افعال کے زمرے سے لے کر مذکورہ بالا کوکریکٹر قسم کے غیر متغیر حصے تک ہے۔ فارمولوں میں: جیومیٹرک ساٹیک آئسومورفزم۔ جیسا کہ گینزبرگ نے کہا، "جیومیٹرک" کا مطلب شیف تھیوریٹک ہے۔ ساٹیک آئسومورفزم کے ہندسی ورژن کو حاصل کرنے کے لیے، کسی کو آئسومورفزم کے بائیں حصے کو تبدیل کرنا پڑتا ہے، جس میں کروی افعال کے زمرے کو تبدیل کرنے کے لیے منحرف شیوز کے زمرے کے گروتھینڈیک گروپ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ متبادل ڈی فیکٹو ایک الجبرا آئسومورفزم ہے۔ کسی کو آئسومورفزم کے دائیں جانب کو لانگ لینڈز ڈوئل کی محدود جہتی پیچیدہ نمائندگی کے گروتھینڈیک گروپ سے بھی تبدیل کرنا پڑتا ہے۔ متبادل بھی ایک الجبرا آئسومورفزم ہے۔ آئیے منحرف شیوز کے زمرے کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پھر، ہندسی ساٹیک آئسومورفزم ہے، جہاں ان کا مطلب گروتھینڈیک گروپ ہے۔ اسے واضح طور پر آسان بنایا جا سکتا ہے، جو کہ تاناکیائی زمروں کے مساوی ہے۔ حوالہ جات کی نمائندگی کا نظریہ