Chiral knot
گانٹھ کے نظریہ کے ریاضیاتی میدان میں، چیرل گانٹھ ایک ایسی گانٹھ ہے جو اس کی آئینے کی شبیہہ کے مساوی نہیں ہے (جب ایک جیسی ہو جبکہ الٹ ہو)۔ ایک مبنی گرہ جو اس کی آئینے کی شبیہہ کے مساوی ہے ایک ایمفیچیرل گرہ ہے، جسے اچیرل گرہ بھی کہا جاتا ہے۔ گانٹھ کی چیرالیٹی ایک گانٹھ غیر متغیر ہے۔ گانٹھ کی چیرالیٹی کی مزید درجہ بندی اس بات پر منحصر ہے کہ یہ الٹا ہے یا نہیں۔ گانٹھ کی ہم آہنگی کی صرف پانچ قسمیں ہیں، جو چیرالیٹی اور الٹ پلٹ کی طرف اشارہ کرتی ہیں: مکمل طور پر چیرل، الٹ پلٹ، مثبت طور پر ایمفیچیرل غیر الٹ پلٹ، منفی طور پر ایمفیچیرل غیر الٹ پلٹ، اور مکمل طور پر ایمفیچیرل الٹ پلٹ۔ پس منظر بعض گانٹھوں کی ممکنہ چیرالیٹی کا شبہ 1847 سے تھا جب جوہان لسٹنگ نے زور دے کر کہا کہ ٹریفوئل چیرل تھا، اور یہ 1914 میں میکس ڈہن نے ثابت کیا تھا۔ پی جی ٹائٹ نے 10 کراسنگ تک کے تمام ایمفیچیرل گانٹھوں کو پایا اور اندازہ لگایا کہ تمام ایمفیچیرل گانٹھوں کا کراسنگ نمبر یکساں ہوتا ہے۔ میری گیرٹروڈ ہاسمین نے 1910 کی دہائی کے آخر میں تمام 12 کراسنگ اور بہت سے 14 کراسنگ ایمفیچیرل گانٹھوں کو پایا۔ لیکن ٹائٹ کے قیاس آرائی کی ایک جوابی مثال، ایک 15 کراسنگ ایمفیچیرل گرہ، 1998 میں جم ہوسٹ، مورون تھیسلتھویٹ، اور جیف ویکس نے پائی تھی۔ تاہم، ٹائٹ کا قیاس پرائم، متبادل گانٹھوں کے لیے درست ثابت ہوا۔ سب سے آسان چیرل گرہ ٹریفوئل گرہ ہے، جسے میکس ڈہن نے چیرل دکھایا تھا۔ تمام غیر معمولی ٹورس گانٹھ چیرل ہیں۔ الیگزینڈر کثیر الجہتی گانٹھ کو اس کے آئینے کی شبیہہ سے الگ نہیں کر سکتا، لیکن جونز کثیر الجہتی کچھ معاملات میں کر سکتا ہے۔ اگر Vk (q)  ऒत्त Vk (q−1) ہے، تو گانٹھ چیرل ہے، تاہم اس کے برعکس درست نہیں ہے۔ HOMFLY کثیر الجہتی چیرالیٹی کا پتہ لگانے میں اور بھی بہتر ہے، لیکن کوئی معروف کثیر الجہتی گرہ غیر متغیر نہیں ہے جو چیرالیٹی کا مکمل پتہ لگا سکے۔ الٹا گانٹھ ایک چیرل گانٹھ جسے مخالف سمت کے ساتھ آسانی سے خود سے مسخ کیا جا سکتا ہے اسے الٹا گانٹھ کے طور پر درجہ بند کیا جاتا ہے۔ مثالوں میں ٹریفوئل گرہ شامل ہے۔ مکمل طور پر چیرل گرہ اگر کوئی گرہ اس کے الٹا یا آئینے کی شبیہہ کے برابر نہیں ہے، تو یہ مکمل طور پر چیرل گرہ ہے، مثال کے طور پر 9 32 گرہ۔ ایمفیچیرل گانٹھ ایک ایمفیچیرل گانٹھ ہے جس میں 3-دائرے، α کی واقفیت کو تبدیل کرنے والی سیلف ہومومورفزم ہوتی ہے، جو گانٹھ کو سیٹ کے لحاظ سے طے کرتی ہے۔ تمام ایمفیچیرل متبادل گانٹھوں میں یکساں کراسنگ نمبر ہوتا ہے۔ عجیب کراسنگ نمبر والی پہلی ایمفیچیرل گرہ ایک 15 کراسنگ گرہ ہے جسے ہوسٹ ایٹ ال نے دریافت کیا ہے۔ مکمل طور پر ایمفیچیرل اگر کوئی گرہ اس کے الٹے اور آئینے کی شبیہہ دونوں کے لیے آئسوٹوپک ہے، تو یہ مکمل طور پر ایمفیچیرل ہے۔ اس خاصیت کے ساتھ سب سے آسان گرہ آٹھ نمبر کی گرہ ہے۔ مثبت ایمفیچیرل اگر سیلف ہومومورفزم، α، گانٹھ کی سمت کو محفوظ رکھتا ہے، تو اسے مثبت ایمفیچیرل کہا جاتا ہے۔ یہ گانٹھ کے آئینے کے آئسوٹوپک ہونے کے برابر ہے۔ بارہ سے کم کراسنگ نمبر والی کوئی بھی گانٹھ مثبت ایمفیچیرل اور غیر بدلنے والی نہیں ہوتی ہے۔ منفی ایمفیچیرل اگر سیلف ہومومورفزم، α، گانٹھ کی سمت کو الٹ دیتا ہے، تو اسے منفی ایمفیچیرل کہا جاتا ہے۔ یہ گانٹھ کے آئینے کی شبیہہ کے الٹا آئسوٹوپک ہونے کے برابر ہے۔ اس پراپرٹی کے ساتھ غیر بدلنے والا گرہ جس میں سب سے کم کراسنگ ہے گرہ 817 ہے۔ حوالہ جات