Dual bundle
ریاضی میں، دوہری بنڈل ویکٹر بنڈلوں پر ایک عمل ہے جو ویکٹر خالی جگہوں کے لیے دوہری عمل کو بڑھاتا ہے۔ تعریف ویکٹر بنڈل کا دوہری بنڈل وہ ویکٹر بنڈل ہے جس کے ریشے ریشوں کے لیے دوہری خالی جگہیں ہیں۔ مساوی طور پر، ہوم بنڈل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے یعنی، مورفزم کا ویکٹر بنڈل سے لے کر ٹریوئل لائن بنڈل تک تعمیرات اور مثالیں ٹرانزیشن فنکشنز کے ساتھ مقامی ٹریویلائزیشن کو اسی اوپن کور کے ذریعے ٹرانزیشن فنکشنز (ٹرانسپوز کا الٹا) کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد فائبر بنڈل کنسٹرکشن تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ڈوئل بنڈل بنایا جاتا ہے۔ خاص صورتوں میں: متعلقہ بنڈل کا دوہری بنڈل ساخت گروپ کی دوہری نمائندگی سے وابستہ بنڈل ہوتا ہے۔ تفریق کے قابل کئی گنا کے ٹینجینٹ بنڈل کا دوہری بنڈل اس کا کوٹینجینٹ بنڈل ہے۔ خصوصیات اگر بیس اسپیس پیرا کامپیکٹ اور ہاؤس ڈورف ہے تو ایک حقیقی، محدود رینک کا ویکٹر بنڈل اور اس کا دوہری ویکٹر بنڈل کے طور پر آئسومورفک ہیں۔ تاہم، ویکٹر خالی جگہوں کی طرح، آئسومورفزم کا کوئی قدرتی انتخاب نہیں ہے جب تک کہ وہ کسی اندرونی پروڈکٹ سے لیس نہ ہو۔ پیچیدہ ویکٹر بنڈلوں کے معاملے میں یہ درست نہیں ہے: مثال کے طور پر، ریمن دائرے پر ٹاٹولوجیکل لائن بنڈل اس کے دوہری کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل کا ڈوئل درحقیقت کنجوگیٹ بنڈل کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے لیکن آئسومورفزم کا انتخاب غیر کینونکل ہوتا ہے جب تک کہ وہ ہرمیٹین پروڈکٹ سے لیس نہ ہو۔ دو ویکٹر بنڈلوں کا ہوم بنڈل کینونکل طور پر ٹینسر پروڈکٹ بنڈل کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ ایک ہی جگہ پر ویکٹر بنڈلوں کی مورفزم کو دیکھتے ہوئے، ان کے دوہری بنڈلوں کے درمیان (الٹا ترتیب میں) ایک مورفزم ہوتا ہے، جس کی تعریف ہر لکیری نقشے کے ٹرانسپوز کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس کے مطابق، دوہری بنڈل آپریشن ویکٹر بنڈلوں کے زمرے اور ان کے مورفزم سے ایک متضاد فنکٹر کی وضاحت کرتا ہے۔ حوالہ جات ویکٹر بنڈل جیومیٹری