Affine geometry of curves
تفریق جیومیٹری کے ریاضیاتی میدان میں، منحنی خطوط کی افائن جیومیٹری ایک افائن اسپیس میں منحنی خطوط کا مطالعہ ہے، اور خاص طور پر ایسے منحنی خطوط کی خصوصیات جو خصوصی افائن گروپ کے تحت غیر متغیر ہیں۔ منحنی خطوط کی کلاسیکی یوکلڈین جیومیٹری میں، بنیادی ٹول فرینیٹ-سیرٹ فریم ہے۔ افائن جیومیٹری میں، فرینیٹ-سیرٹ فریم اب اچھی طرح سے متعین نہیں ہے، لیکن ایک منحنی خطوط کے ساتھ ایک اور کینونکل حرکت پذیر فریم کی وضاحت کرنا ممکن ہے جو اسی طرح کا فیصلہ کن کردار ادا کرتا ہے۔ یہ نظریہ 20 ویں صدی کے اوائل میں تیار کیا گیا تھا، زیادہ تر ولہیلم بلاشکے اور جین فیورڈ کی کوششوں سے۔ افائن فریم x (t) کو ایک وکر ہونے دیں۔ فرض کریں، جیسا کہ یوکلڈین معاملے میں ہوتا ہے، کہ x (t) کے پہلے n مشتقات لکیری طور پر آزاد ہیں تاکہ، خاص طور پر، x (t) کسی بھی کم جہتی افائن سب اسپیس میں نہ ہو۔ پھر وکر پیرامیٹر t کو ڈیٹرمیننٹ ترتیب دے کر نارمل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے وکر کو اس کی افائن آرکلینتھ کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ اس طرح کے پیرامیٹرائزیشن کے لیے، خصوصی افائن گروپ میں نقشہ سازی کا تعین کرتا ہے، جسے منحنی خطوط کے لیے خصوصی افائن فریم کہا جاتا ہے۔ یعنی مقداروں کے ہر نقطہ پر افائن جگہ کے لیے ایک خاص افائن فریم کی وضاحت کی جاتی ہے، جس میں جگہ کا ایک نقطہ x اور x پر نقطہ سے منسلک ایک خاص لکیری بنیاد شامل ہوتی ہے۔ اس نقشے کے ساتھ موریر-کارٹن شکل کا پل بیک وکر کے افائن ساختی غیر متغیرات کا ایک مکمل مجموعہ فراہم کرتا ہے۔ طیارہ میں، یہ ایک واحد اسکیلر غیر متغیر، منحنی خطوط کی افائن منحنیت دیتا ہے۔ متفرق غیر متغیر منحنی پیرامیٹر s کی معمول بندی کو اوپر اس طرح منتخب کیا گیا تھا کہ اگر n ष्ण 0 (موڈ 4) یا n ष्ण 3 (موڈ 4) تو اس تعین کنندہ کی علامت منحنی خطوط کا ایک غیر متغیر ہے۔ ایک منحنی خطوط کو ڈیکسٹروس (دائیں موڑ، جرمن میں اکثر وین وینڈیگ) کہا جاتا ہے اگر یہ + 1 ہے، اور سنسٹروس (بائیں موڑ، جرمن میں اکثر ہاپفین وینڈیگ) اگر یہ −1 ہے۔ تین جہتوں میں، دائیں ہاتھ کا ہیلکس ڈیکسٹروس ہوتا ہے، اور بائیں ہاتھ کا ہیلکس سنسٹروس ہوتا ہے۔ منحنی خطوط فرض کریں کہ x میں منحنی خطوط کو افائن آرکلینتھ کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے۔ پھر افائن منحنی خطوط، k1،.، kn−1 کے x کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ اس طرح کا اظہار ممکن ہے جس کے بعد تعین کنندہ کے مشتق کا حساب لگایا جاتا ہے تاکہ x (n + 1) x′، x (n−1) کا لکیری مجموعہ ہو۔ اس میٹرکس پر غور کریں جس کے کالم x کے پہلے n مشتق ہیں (اب بھی خصوصی افائن آرکلینتھ کے ذریعہ پیرامیٹرائزڈ ہیں)۔ پھر، ٹھوس اصطلاحات میں، میٹرکس C x کے پہلے n مشتقات کے ذریعہ دیئے گئے فریم کے ساتھ خصوصی لکیری گروپ کی موریر-کارٹن شکل کا پل بیک ہے۔ موونگ فریم افائن سپیئر حوالہ جات منحنی خطوط تفریقی جیومیٹری افائن جیومیٹری بھی دیکھیں۔