Montel's theorem
پیچیدہ تجزیے میں، ریاضی کے ایک شعبے میں، مونٹل کا نظریہ ہولومورفک افعال کے خاندانوں کے بارے میں دو نظریات میں سے ایک سے مراد ہے۔ ان کا نام فرانسیسی ریاضی دان پال مونٹل کے نام پر رکھا گیا ہے، اور ایسے حالات پیش کرتے ہیں جن کے تحت ہولومورفک افعال کا ایک خاندان نارمل ہوتا ہے۔ تھیوریم کے پہلے اور آسان ورژن میں کہا گیا ہے کہ پیچیدہ اعداد کے کھلے ذیلی سیٹ پر بیان کردہ ہولومورفک افعال کا ایک خاندان نارمل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ مقامی طور پر یکساں طور پر پابند ہو۔ اس تھیوریم میں مندرجہ ذیل رسمی طور پر مضبوط نتیجہ ہے۔ فرض کریں کہ یہ ایک کھلے سیٹ پر مورومورفک افعال کا ایک خاندان ہے۔ اگر ایسا ہے جو عام نہیں ہے، اور اس کا پڑوس ہے، تو پیچیدہ سطح میں گھنے ہے۔ فنکشن دو اقدار کو چھوڑ رہے ہیں مونٹیل کے نظریہ کا مضبوط ورژن (جسے کبھی کبھار بنیادی نارملٹی ٹیسٹ کہا جاتا ہے) کہتا ہے کہ ہولومورفک افعال کا ایک خاندان، جن میں سے سبھی ایک ہی دو اقدار کو چھوڑ دیتے ہیں، نارمل ہے۔ ضرورت مذکورہ بالا نظریات کے حالات کافی ہیں، لیکن معمول کے لیے ضروری نہیں ہیں۔ درحقیقت، خاندان عام ہے، لیکن کسی پیچیدہ قدر کو نہیں چھوڑتا ہے۔ ثبوت مونٹل کے نظریہ کا پہلا ورژن مارٹی کے نظریہ کا براہ راست نتیجہ ہے (جس میں کہا گیا ہے کہ ایک خاندان نارمل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کروی مشتقات مقامی طور پر پابند ہوں) اور کاچی کا لازمی فارمولا۔ تھامس جونس اسٹیلٹجز اور ولیم فوگ اوسگوڈ کے بعد اس تھیوریم کو اسٹیلٹجز-اوسگڈ تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ اوپر بیان کردہ نتیجہ مندرجہ ذیل طور پر اخذ کیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ تمام افعال نقطہ کے ایک ہی پڑوس کو چھوڑ دیتے ہیں۔ نقشے کے ساتھ پوسٹ کمپوز کرنے سے ہم ایک یکساں طور پر پابند خاندان حاصل کرتے ہیں، جو تھیوریم کے پہلے ورژن کے مطابق عام ہے۔ مونٹیل تھیوریم کے دوسرے ورژن کا اندازہ پہلے سے اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے کہ یونٹ ڈسک سے لے کر دو بار پنکچر شدہ طیارہ تک ایک ہولومورفک یونیورسل کور موجود ہے۔ (اس طرح کا احاطہ ایلیپٹک ماڈیولر فنکشن کے ذریعے دیا جاتا ہے)۔ مونٹل تھیوریم کے اس ورژن کو زالکمین کے لیما کا استعمال کرتے ہوئے پکارڈ کے تھیوریم سے بھی اخذ کیا جا سکتا ہے۔ پورے افعال کے لیے تھیوریمز سے تعلق بلاچ کے اصول کے نام سے جانا جانے والا ایک ہیورسٹک اصول (زالکمین کے لیما کے ذریعے درست کیا گیا) بیان کرتا ہے کہ وہ خصوصیات جو یہ ظاہر کرتی ہیں کہ ایک پورا فنکشن مستقل ہے ان خصوصیات سے مطابقت رکھتی ہیں جو اس بات کو یقینی بناتی ہیں کہ ہولومورفک افعال کا ایک خاندان نارمل ہے۔ مثال کے طور پر، اوپر بیان کردہ مونٹل تھیوریم کا پہلا ورژن لیوویل کے تھیوریم کا ینالاگ ہے، جبکہ دوسرا ورژن پکارڈ کے تھیوریم سے مطابقت رکھتا ہے۔ مونٹل اسپیس فنڈامینٹل نارملٹی ٹیسٹ ریمن میپنگ تھیوریم نوٹس حوالہ جات کمپیکٹنیس تھیوریمز تھیوریمز ان کمپلیکس تجزیہ بھی دیکھیں۔