Holomorph (mathematics)
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرا کے شعبے میں جسے گروپ تھیوری کہا جاتا ہے، کسی گروپ کا ہولومورف ایک ایسا گروپ ہوتا ہے جو بیک وقت گروپ اور اس کے آٹومورفزم گروپ پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہولومورف گروہوں کی دلچسپ مثالیں فراہم کرتا ہے، اور کسی کو یکساں سیاق و سباق میں گروپ عناصر اور گروپ آٹومورفزم کا علاج کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ گروپ تھیوری میں، کسی گروپ کے لیے، ہولومورف آف ڈینوٹڈ کو سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ یا پرموٹیشن گروپ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہول (G) بطور سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ اگر اس وقت کا آٹومورفزم گروپ ہے جہاں ضرب [Eq] سے دی جاتی ہے۔ 1] عام طور پر، ایک سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ اس شکل میں دیا جاتا ہے جہاں اور گروپ ہیں اور یہ ایک ہومومورفزم ہے اور جہاں سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ میں عناصر کا ضرب دیا جاتا ہے جس کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے، چونکہ اور اس وجہ سے۔ ہولومورف کے لیے، اور شناخت کا نقشہ ہے، اس طرح ہم [Eq میں دیئے گئے ضرب میں واضح طور پر لکھنے کو دبا دیتے ہیں۔ 1] اوپر۔ مثال کے طور پر، ترتیب 3 کا چکور گروپ جہاں ضرب کے ساتھ دیا گیا ہے: جہاں کے متغیرات کو موڈ 3 اور موڈ 2 کے طور پر لیا جاتا ہے۔ مشاہدہ کریں، مثال کے طور پر اور یہ گروپ ابیلین نہیں ہے، جیسا کہ، یہ آرڈر 6 کا ایک غیر ابیلین گروپ ہے، جو، بنیادی گروپ تھیوری کے مطابق، سمیٹرک گروپ کے لیے آئسومورفک ہونا چاہیے۔ ہول (G) ایک تعدد گروپ کے طور پر A گروپ G قدرتی طور پر بائیں اور دائیں ضرب کے ذریعے اپنے آپ پر عمل کرتا ہے، ہر ایک G کے بنیادی سیٹ پر G سے سمیٹرک گروپ میں ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ ایک ہومومورفزم کی تعریف λ: G → Sym (G)، (h) = g·h کے طور پر کی گئی ہے۔ یعنی، g کو G کے ہر عنصر کو g سے بائیں ضرب دے کر حاصل کردہ تعدد سے نقشہ بند کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، ایک دوسرے ہومومورفزم ρ: G → SIM (G) کی تعریف (h) = h·g−1 سے کی جاتی ہے، جہاں الٹا اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ (k) = ((k))۔ ان ہومومورفزموں کو G کی بائیں اور دائیں باقاعدہ نمائندگی کہا جاتا ہے۔ ہر ہومومورفزم انجیکٹو ہے، ایک حقیقت جسے کیلی تھیوریم کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر G = C3 = {1, x, x2} ترتیب تین کا ایک چکور گروہ ہے، تو (1) = x·1 = x، (x) = x·x = x2، اور (x2) = x·x2 = 1، تو λ (x) (1, x, x2) کو (x, x2,1) پر لے جاتا ہے۔ λ کی شبیہہ G کے لیے سم (G) آئسومورفک کا ایک ذیلی گروپ ہے، اور سم (G) میں اس کے نارملائزر کی تعریف G کے ہولومورف N کے طور پر کی گئی ہے۔ N میں ہر n اور G میں g کے لیے، G میں ایک h ایسا ہے کہ n· =·n۔ اگر ہولومورف کا کوئی عنصر n G کی شناخت طے کرتا ہے، تو G میں 1 کے لیے، (n·) (1) = (n·) (1)، لیکن بائیں ہاتھ کی طرف n (g) ہے، اور دائیں طرف h ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر N میں n G کی شناخت طے کرتا ہے، تو G میں ہر g کے لیے، n· =·n۔ اگر g، h G کے عناصر ہیں، اور n G کی شناخت کو طے کرنے والا N کا عنصر ہے، تو اس مساوات کو دو بار n·· پر لاگو کرنا اور ایک بار (مساوی) اظہار n· پر لاگو کرنا یہ دیتا ہے کہ n (g)·n (h) = n (g·h)۔ یعنی، N کا ہر عنصر جو G کی شناخت کو درست کرتا ہے درحقیقت G کا آٹومورفزم ہے۔ اس طرح کا n معمول بناتا ہے، اور شناخت کو درست کرنے والا واحد عنصر λ (1) ہے۔ شناخت کے استحکام کے طور پر اے کو ترتیب دینا، اے کے ذریعہ تیار کردہ ذیلی گروپ اور عام ذیلی گروپ کے ساتھ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے اور اے کی تکمیل کرتا ہے۔ چونکہ ٹرانزیکٹو ہے، اس لیے پوائنٹ اسٹیبلائزر A کے ذریعے تیار کردہ ذیلی گروپ تمام N کا ہے، جو ہولومورف کو ایک پرموٹیشن گروپ کے طور پر ظاہر کرتا ہے کہ ہولومورف سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر ہولومورف کے لیے آئسومورفک ہے۔ یہ مفید ہے، لیکن براہ راست متعلقہ نہیں ہے، کہ سم (جی) میں کا سنٹرلائزر ہے، ان کا چوراہا ہے، جہاں زیڈ (جی) جی کا مرکز ہے، اور یہ کہ اے این کے ان دونوں عام ذیلی گروپوں کے لیے ایک مشترکہ تکمیل ہے۔ خصوصیات ρ (جی) θ آٹو (جی) = 1 آٹو (جی) ρ (جی) کو معمول بناتا ہے تاکہ کینونکل طور پر ρ (جی) آٹو (جی) θ جی آٹو (جی) چونکہ λ (جی) ρ (جی) (ایچ) = جی ایچ جی − 1 (جی کے اندرونی آٹومورفزم کا گروپ ہے۔) کے ≤ جی ایک خاص ذیلی گروپ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب λ (کے) ′ ہول (جی) ہو۔