Obstacle problem
رکاوٹ کا مسئلہ متغیر عدم مساوات اور آزاد حدود کے مسائل کے ریاضیاتی مطالعہ میں ایک کلاسک محرک مثال ہے۔ مسئلہ یہ ہے کہ ایک لچکدار جھلی کی توازن کی پوزیشن تلاش کی جائے جس کی حد طے ہو، اور جو کسی دی گئی رکاوٹ کے اوپر رہنے پر مجبور ہو۔ اس کا گہرا تعلق کم سے کم سطحوں کے مطالعہ اور ممکنہ نظریہ میں ایک سیٹ کی صلاحیت سے بھی ہے۔ ایپلی کیشنز میں سوراخ دار میڈیا میں سیال کی فلٹریشن کا مطالعہ، محدود ہیٹنگ، ایلسٹو پلاسٹکٹی، زیادہ سے زیادہ کنٹرول، اور مالیاتی ریاضی شامل ہیں۔ مسئلہ کی ریاضیاتی تشکیل ڈیرچلیٹ انرجی فنکشنل کے کم سے کم کرنے والوں کی تلاش کرنا ہے، کچھ ڈومینز میں جہاں افعال جھلی کی عمودی نقل مکانی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ جھلی کی فکسڈ باؤنڈری سے مطابقت رکھنے والے ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز کو مطمئن کرنے کے علاوہ، افعال بھی کچھ دی گئی رکاوٹ فنکشن سے زیادہ ہونے پر مجبور ہیں۔ حل ایک ایسے خطے میں ٹوٹ جاتا ہے جہاں حل رکاوٹ فنکشن کے برابر ہوتا ہے، جسے رابطہ سیٹ کہا جاتا ہے، اور ایک ایسا خطہ جہاں حل رکاوٹ سے اوپر ہوتا ہے۔ دونوں خطوں کے درمیان انٹرفیس فری باؤنڈری ہے۔ عام طور پر، حل مسلسل ہوتا ہے اور اس میں Lipschitz مسلسل پہلے مشتقات ہوتے ہیں، لیکن یہ کہ حل عام طور پر آزاد حد کے پار دوسرے مشتقات میں متضاد ہوتا ہے۔ آزاد حد کو ہولڈر مسلسل سطح کے طور پر نمایاں کیا جاتا ہے سوائے کچھ واحد نکات کے، جو ہموار کئی گنا پر رہتے ہیں۔ تاریخی نوٹ محرک مسائل رکاوٹ کے اوپر جھلی کی شکل رکاوٹ کا مسئلہ اس وقت پیدا ہوتا ہے جب کوئی صابن کی فلم کے ذریعے کسی ڈومین میں لی گئی شکل پر غور کرتا ہے جس کی باؤنڈری پوزیشن طے ہوتی ہے (پلیٹو کا مسئلہ دیکھیں)، اس اضافی رکاوٹ کے ساتھ کہ جھلی ڈومین کے اندرونی حصے میں بھی کسی رکاوٹ سے اوپر رہنے پر مجبور ہوتی ہے۔ اس صورت میں، توانائی کے فنکشنل کو کم سے کم کرنا سطح کے رقبے کا انٹیگرل ہے، یا اس مسئلے کو چھوٹی پریشانیوں کی صورت میں اس کی ٹیلر سیریز کے لحاظ سے توانائی کے فنکشنل کو بڑھا کر اور صرف پہلی اصطلاح لے کر لکیری بنایا جا سکتا ہے، اس صورت میں کم سے کم کی جانے والی توانائی معیاری ڈیرچلیٹ توانائی ہے جو زیادہ سے زیادہ رکتی ہے۔ رکاوٹ کا مسئلہ کنٹرول تھیوری میں بھی پیدا ہوتا ہے، خاص طور پر ادائیگی کے فنکشن کے ساتھ اسٹاکسٹک عمل کے لیے زیادہ سے زیادہ رکنے کا وقت تلاش کرنے کا سوال۔ اس سادہ صورت میں جہاں عمل براؤنین حرکت ہے، اور ڈومین سے باہر نکلنے پر عمل کو روکنے پر مجبور کیا جاتا ہے، رکاوٹ کے مسئلے کے حل کو ادائیگی کی متوقع قیمت کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، اس عمل کو شروع کرتے ہوئے، اگر زیادہ سے زیادہ روکنے کی حکمت عملی پر عمل کیا جائے۔ رکنے کا معیار صرف یہ ہے کہ رابطہ سیٹ تک پہنچنے پر رکنا چاہیے۔ رسمی بیان فرض کریں کہ مندرجہ ذیل ڈیٹا دیا گیا ہے: ہموار باؤنڈری کے ساتھ ایک کھلا باؤنڈڈ ڈومین Rn، ایک ہموار فنکشن جس کی وضاحت ایک ہموار فنکشن پر کی گئی ہے۔ (اس کے نشان) کی حد تک کی پابندی اس سے کم ہے۔ پھر اس سیٹ پر غور کریں جو مربع انٹیگریبل کمزور فرسٹ مشتقات کے ساتھ مربع انٹیگریبل افعال کے سوبولیو اسپیس کا ایک بند کنویکس سب سیٹ ہے، جس میں مطلوبہ باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ بالکل وہی افعال ہوتے ہیں جو رکاوٹ سے بھی اوپر ہوتے ہیں۔ رکاوٹ کے مسئلے کا حل وہ فنکشن ہے جو اس سے تعلق رکھنے والے تمام افعال پر انرجی انٹیگرل کو کم سے کم کرتا ہے۔ ہلبرٹ اسپیس تھیوری کے تحفظات سے اس طرح کے منی مائیزر کا وجود یقینی ہوتا ہے۔ متغیر عدم مساوات ہلبرٹ خالی جگہوں پر متغیر عدم مساوات کے نظریہ میں رکاوٹ کے مسئلے کو ایک معیاری مسئلے کے طور پر دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ مناسب افعال کے سیٹ میں انرجی منی مائیزر کی تلاش کرنا اس طرح کی تلاش کے مترادف ہے کہ جہاں ̃ ہے۔ ،. ω: Rn × Rn → R محدود جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس Rn میں عام اسکیلر پروڈکٹ ہے۔ یہ ہلبرٹ خالی جگہوں پر متغیر عدم مساوات کے لیے زیادہ عمومی شکل کا ایک خاص معاملہ ہے، جس کے حل مجموعی جگہ کے کچھ بند کنویکس سب سیٹ میں افعال ہیں، جیسے کہ زبردستی، حقیقی قدر، پابند دو لکیری شکلوں اور پابند لکیری افعال کے لیے۔ کم از کم سپر ہارمونک فنکشن ایک متغیر دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ، رابطہ سیٹ سے دور، رکاوٹ کے مسئلے کا حل ہارمونک ہے۔ اسی طرح کی دلیل جو خود کو مثبت تغیرات تک محدود رکھتی ہے اس سے پتہ چلتا ہے کہ رابطہ سیٹ پر حل سپر ہارمونک ہے۔ دونوں دلائل مل کر یہ ظاہر کرتے ہیں کہ حل ایک سپر ہارمونک فنکشن ہے۔ در حقیقت، زیادہ سے زیادہ اصول کا اطلاق اس کے بعد ظاہر کرتا ہے کہ رکاوٹ کے مسئلے کا حل قابل قبول افعال کے سیٹ میں سب سے کم سپر ہارمونک فنکشن ہے۔ باقاعدگی کی خصوصیات زیادہ سے زیادہ باقاعدگی رکاوٹ کے مسئلے کے حل میں باقاعدگی، یا باؤنڈڈ سیکنڈ مشتقات ہوتے ہیں، جب رکاوٹ میں ہی یہ خصوصیات ہوتی ہیں۔ مزید واضح طور پر، حل کے تسلسل کے ماڈیولس اور اس کے مشتق کے لیے تسلسل کے ماڈیولس کا تعلق رکاوٹ سے ہے۔ اگر رکاوٹ میں تسلسل کا ماڈیولس ہے، یعنی یہ کہ، تب حل میں تسلسل کا ماڈیولس دیا جاتا ہے، جہاں مستقل صرف ڈومین پر منحصر ہوتا ہے نہ کہ رکاوٹ پر۔ اگر رکاوٹ کے پہلے مشتق میں تسلسل کا ماڈیولس ہوتا ہے، تو حل کے پہلے مشتق میں تسلسل کا ماڈیولس ہوتا ہے، جہاں مستقل دوبارہ صرف ڈومین پر منحصر ہوتا ہے۔ سطح کی سطحیں اور آزاد حد انحطاط کی حالت کے تابع، حل اور رکاوٹ کے درمیان فرق کے سطح کے سیٹ، سطحیں ہیں۔ آزاد حد، جو اس سیٹ کی حد ہے جہاں حل رکاوٹ سے ملتا ہے، واحد نکات کے ایک سیٹ کے علاوہ بھی ہے، جو خود یا تو الگ تھلگ ہوتے ہیں یا مقامی طور پر کئی گنا پر موجود ہوتے ہیں۔ عامیاں رکاوٹ کے مسئلے کا نظریہ دیگر انحراف کی شکل میں یکساں طور پر الپٹک آپریٹرز، اور ان سے وابستہ توانائی کے افعال تک پھیلا ہوا ہے۔ اسے ایلیپٹک آپریٹرز کو انحطاط کرنے کے لیے بھی عام کیا جا سکتا ہے۔ ڈبل رکاوٹ کا مسئلہ، جہاں فنکشن ایک رکاوٹ فنکشن کے اوپر اور دوسرے کے نیچے رہنے پر مجبور ہے، بھی دلچسپی کا باعث ہے۔ سگنورینی مسئلہ رکاوٹ کے مسئلے کی ایک قسم ہے، جہاں توانائی کی فعالیت کو ایک رکاوٹ کے تابع کم سے کم کیا جاتا ہے جو صرف ایک کم جہت کی سطح پر رہتی ہے، جس میں حد کی رکاوٹ کا مسئلہ بھی شامل ہے، جہاں رکاوٹ ڈومین کی حد پر کام کرتی ہے۔ رکاوٹ کے مسئلے کے پیرابولک، وقت پر منحصر معاملات اور اس کی مختلف حالتیں بھی مطالعہ کے مقاصد ہیں۔ کم سے کم سطح کی تغیراتی عدم مساوات سائنورینی مسئلہ نوٹس تاریخی حوالہ جات بھی دیکھیں۔ "لیونیڈا ٹونلی اینڈ دی پیسا میتھمیٹیکل اسکول" پیسہ میں ٹونلی کے کام اور اسکول کی ترقی پر ان کے اثرات کا ایک سروے ہے، جسے مورو پکون اور لیونیڈا ٹونلی کی پیدائش کی صد سالہ تقریب کے موقع پر بین الاقوامی کانگریس میں پیش کیا گیا (مئی 6-9، 1985 کو روم میں منعقد ہوا)۔ مصنف ان کے شاگردوں میں سے ایک تھے اور، ان کی موت کے بعد، انہوں نے یونیورسٹی آف پیسا میں ریاضیاتی تجزیہ کی کرسی سنبھالی، وہ فیکلٹی آف سائنسز کے ڈین اور پھر ریکٹر بنے: انہوں نے یونیورسٹی کی ترقی پر مضبوط مثبت اثر ڈالا۔ حوالہ جات۔ لیکچر کا ایک مجموعہ "بہت زیادہ درست تفصیلات کے بغیر، امکان کا بنیادی نظریہ، بے ترتیب تفریق مساوات اور کچھ ایپلی کیشنز" کا سروے کرتا ہے، جیسا کہ مصنف خود بیان کرتا ہے۔ ۔ ۔ بیرونی لنکس، جو مصنف نے 1998 میں سکولا نارمل سپیریئر میں فراہم کیے تھے۔ جزوی تفریق مساوات متغیرات کا حساب