Order of integration (calculus)
حساب کتاب میں، انضمام کی ترتیب کا تبادلہ ایک ایسا طریقہ کار ہے جو افعال کے تکرار شدہ انٹیگرلز (یا فوبینی کے نظریہ کے استعمال کے ذریعے متعدد انٹیگرلز) کو دوسرے، امید ہے کہ آسان، انٹیگرلز میں اس ترتیب کو تبدیل کرکے تبدیل کرتا ہے جس میں انضمام انجام دیئے جاتے ہیں۔ کچھ معاملات میں، انضمام کی ترتیب کو درست طریقے سے تبدیل کیا جا سکتا ہے ؛ دوسروں میں ایسا نہیں ہو سکتا۔ دشواری کا بیان جانچ کے لیے مسئلہ اس فارم کے ایک انٹیگرل کی تشخیص ہے جہاں D xy-پلین میں کچھ دو جہتی علاقہ ہے۔ کچھ افعال کے لیے f سیدھا انضمام ممکن ہے، لیکن جہاں یہ سچ نہیں ہے، انٹیگرل کو بعض اوقات انضمام کی ترتیب کو تبدیل کر کے آسان شکل میں کم کیا جا سکتا ہے۔ اس تبادلے میں دشواری ڈومین ڈی کی تفصیل میں تبدیلی کا تعین کرنا ہے۔ یہ طریقہ دیگر متعدد انٹیگرلز پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ بعض اوقات، اگرچہ مکمل تشخیص مشکل ہوتی ہے، یا شاید عددی انضمام کی ضرورت ہوتی ہے، ایک ڈبل انٹیگرل کو ایک واحد انضمام تک کم کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ آگے دکھایا گیا ہے۔ واحد انضمام میں کمی عددی تشخیص کو بہت آسان اور زیادہ موثر بناتی ہے۔ حصوں کے ذریعے انضمام سے تعلق تکرار شدہ انٹیگرل پر غور کریں جسے ہم طبیعیات میں عام طور پر دیکھے جانے والے سابقہ اشارے کا استعمال کرتے ہوئے لکھیں گے: اس اظہار میں، دوسرا انٹیگرل پہلے y کے حوالے سے شمار کیا جاتا ہے اور x کو مستقل رکھا جاتا ہے-چوڑائی کی ایک پٹی dx کو پہلے y-سمت میں مربوط کیا جاتا ہے (x سمت میں چوڑائی dx کی ایک پٹی y سمت میں y متغیر کے حوالے سے مربوط ہوتی ہے)، جس سے y-محور کے ساتھ چوڑائی dy کے مستطیلوں کی لامحدود مقدار کا اضافہ ہوتا ہے۔ یہ ایکس محور کے ساتھ ایک سہ جہتی ٹکڑا ڈی ایکس چوڑا بناتا ہے، وائی محور کے ساتھ وائی = اے سے وائی = ایکس تک، اور زیڈ سمت میں زیڈ = ایچ (وائی)۔ نوٹ کریں کہ اگر موٹائی dx لامحدود ہے، تو x ٹکڑے پر صرف لامحدود طور پر مختلف ہوتا ہے۔ ہم فرض کر سکتے ہیں کہ x مستقل ہے۔ یہ انضمام جیسا کہ شکل 1 کے بائیں پینل میں دکھایا گیا ہے، لیکن خاص طور پر جب فنکشن h (y) آسانی سے مربوط نہیں ہوتا ہے تو یہ تکلیف دہ ہوتا ہے۔ انضمام کی ترتیب کو الٹ کر انٹیگرل کو ایک واحد انضمام تک کم کیا جا سکتا ہے جیسا کہ شکل کے دائیں پینل میں دکھایا گیا ہے۔ متغیرات کے اس تبادلے کو پورا کرنے کے لیے، چوڑائی dy کی پٹی کو پہلے لائن x = y سے حد x = z میں ضم کیا جاتا ہے، اور پھر نتیجہ y = a سے y = z میں ضم کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں: یہ نتیجہ حصوں کے لحاظ سے انضمام کے فارمولے کی ایک مثال کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے: متبادل: جو نتیجہ دیتا ہے۔ پرنسپل ویلیو انٹیگرلز پرنسپل ویلیو انٹیگرلز پر اطلاق کے لیے، وٹیکر اور واٹسن، گخوف، لو، یا زولینگر دیکھیں۔ اوبولاشویلی میں پوئن کیری-برٹرینڈ تبدیلی کی بحث بھی دیکھیں۔ ایک مثال جہاں انضمام کی ترتیب کا تبادلہ نہیں کیا جا سکتا وہ کنول کی طرف سے دی گئی ہے: جبکہ: دوسری شکل کا اندازہ جزوی فریکشن توسیع اور سوکھوٹسکی-پلیمیلج فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے تشخیص کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے: نوٹیشن کاچی پرنسپل ویلیو کی نشاندہی کرتا ہے۔ کنول دیکھیں۔ بنیادی نظریات انضمام کی ترتیب کو تبدیل کرنے کی بنیاد پر بحث ٹی ڈبلیو کی کتاب فورئیر اینالیسس میں پائی جاتی ہے۔ کرنر۔ وہ اپنی بحث کو ایک مثال کے ساتھ متعارف کراتے ہیں جہاں انضمام کا تبادلہ دو مختلف جوابات کی طرف لے جاتا ہے کیونکہ نیچے دیے گئے نظریہ دوم کی شرائط مطمئن نہیں ہیں۔ یہاں مثال ہے: تبادلے کی قبولیت کو کنٹرول کرنے والے دو بنیادی نظریات کا حوالہ چودھری اور زبیر سے ذیل میں دیا گیا ہے: ایپلی کیشنز کے لیے سب سے اہم نظریہ پروٹر اور موری سے حوالہ دیا گیا ہے: فوبینی کے نظریہ کے حوالہ جات بھی دیکھیں اور نوٹ کریں بیرونی لنکس پال کے آن لائن ریاضی کے نوٹ: کیلکولس III اچھی 3D تصاویر جو اوریگون اسٹیٹ یونیورسٹی کے شعبہ ریاضی، تکراری انٹیگرلز کا استعمال کرتے ہوئے "ڈبل انٹیگرلز" کی گنتی کو ظاہر کرتی ہیں۔ رون میچ کی یو سی ایل اے کیلکولس مسائل انضمام کی ترتیب کو تبدیل کرنے کی مزید پیچیدہ مثالیں (مسائل 33، 35، 37، 39، 41 اور 43 دیکھیں) ڈوین نائکیمپ کی یونیورسٹی آف مینیسوٹا کی ویب سائٹ انٹیگرل کیلکولس