Riemannian submersion
تفریق جیومیٹری میں، جو ریاضی کی ایک شاخ ہے، ریمینیئن سبمرشن ایک ریمینیئن کئی گنا سے دوسرے میں ڈوبنا ہے جو میٹرکس کا احترام کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ٹینجینٹ خالی جگہوں پر ایک آرتھوگنل پروجیکشن ہے۔ رسمی تعریف فرض کریں کہ (M، g) اور (N، h) دو ریمینیئن کئی گنا اور ایک (سرجیکٹو) زیر آب، یعنی ایک فائبر شدہ کئی گنا ہے۔ افقی تقسیم ٹینجینٹ بنڈل کا ایک ذیلی بنڈل ہے جس کا انحصار پروجیکشن اور میٹرک دونوں پر ہوتا ہے۔ پھر، f کو ریمینیئن سبمرشن کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، سب کے لیے، ویکٹر اسپیس آئسومورفزم آئسومیٹرک ہو، یعنی لمبائی کا تحفظ۔ مثالیں ریمینیئن ڈوبنے کی ایک مثال اس وقت پیدا ہوتی ہے جب ایک لائ گروپ ریمینیئن کئی گنا پر آئسومیٹرک طور پر، آزادانہ طور پر اور مناسب طریقے سے کام کرتا ہے۔ کوشیئنٹ میٹرک سے لیس کوشیئنٹ اسپیس کا پروجیکشن ریمینیئن سبمرشن ہے۔ مثال کے طور پر، یونٹ کمپلیکس نمبروں کے گروپ کے ذریعے اجزاء کے لحاظ سے ضرب سے ہوپف فائبرشن حاصل ہوتا ہے۔ خصوصیات ریمینیئن ڈوبنے کی ہدف کی جگہ کی سیکشنل منحنیت کا حساب او نیل کے فارمولے کے ذریعے کل جگہ کی منحنیت سے کیا جا سکتا ہے، جسے بیریٹ او نیل کا نام دیا گیا ہے: جہاں آرتھونورمل ویکٹر فیلڈز ہیں، ان کی افقی لفٹ، ویکٹر فیلڈز کا لائ بریکٹ ہے اور عمودی تقسیم کے لیے ویکٹر فیلڈ کا پروجیکشن ہے۔ خاص طور پر کے سیکشنل منحنی خطوط کے لیے نچلی حد کم از کم اتنی ہی بڑی ہوتی ہے جتنی کہ کے سیکشنل منحنی خطوط کے لیے نچلی حد ہوتی ہے۔ عمومی اور تغیرات فائبر بنڈل سب میٹری شریک لپشٹز نقشہ بھی دیکھیں فائبر شدہ کئی گنا جیومیٹرک ٹوپولوجی مینی فولڈ نوٹس حوالہ جات۔ بیریٹ او نیل۔ زیر آب کی بنیادی مساوات۔ مشی گن ریاضی۔ جے۔ 13 (1966)، 459-469۔ ریمانین جیومیٹری کئی گنا کے نقشے