Pure subgroup
ریاضی میں، خاص طور پر ابیلین گروپوں کے نظریہ کا مطالعہ کرنے والے الجبرا کے شعبے میں، ایک خالص ذیلی گروپ براہ راست خلاصہ کی عمومی شکل ہے۔ اس نے ابیلین گروپ تھیوری اور متعلقہ شعبوں میں بہت سے استعمال پائے ہیں۔ تعریف (عام طور پر ابیلین) گروپ کے ذیلی گروپ کو خالص کہا جاتا ہے اگر جب بھی کسی عنصر کی جڑ ہوتی ہے، تو اس میں لازمی طور پر جڑ ہوتی ہے۔ رسمی طور پر:، G میں an کا وجود اس طرح ہے کہ S میں a کا وجود اس طرح ہے کہ۔ خالص ذیلی گروپوں کو الگ تھلگ ذیلی گروپ یا خدمت کرنے والے ذیلی گروپ بھی کہا جاتا ہے اور ان کی پہلی تحقیقات پرفر کے 1923 کے مقالے میں کی گئی تھی جس میں بنیادی ابیلین گروپوں کے سڑنے کے حالات کو خالص ذیلی گروپوں کا استعمال کرتے ہوئے چکور گروپوں کے براہ راست مجموعے کے طور پر بیان کیا گیا تھا۔ پروفر کے کام کی تکمیل کولیکوف نے کی جہاں خالص ذیلی گروپوں کو منظم طریقے سے استعمال کرتے ہوئے بہت سے نتائج دوبارہ ثابت ہوئے۔ خاص طور پر، ایک ثبوت دیا گیا تھا کہ محدود ایکسپونینٹ کے خالص ذیلی گروہ براہ راست خلاصہ ہیں۔ خالص ذیلی گروہوں، ان کے لامحدود ابیلین گروپ تھیوری سے تعلق، اور ان کے ادب کا ایک سروے ارونگ کپلانسکی کی چھوٹی سی سرخ کتاب میں دیا گیا ہے۔ مثالیں کسی گروپ کا ہر براہ راست مجموعہ خالص ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ خالص ذیلی گروہ کا ہر خالص ذیلی گروہ خالص ہوتا ہے۔ ابیلین گروپ کا ایک قابل تقسیم ذیلی گروپ خالص ہے۔ اگر حصص کا گروپ ٹورسن سے پاک ہے، تو ذیلی گروپ خالص ہے۔ ابیلین گروپ کا ٹورسن ذیلی گروپ خالص ہے۔ خالص ذیلی گروپوں کا ہدایت شدہ اتحاد ایک خالص ذیلی گروپ ہے۔ چونکہ ایک حتمی طور پر تیار کردہ ابیلین گروپ میں ٹورسن ذیلی گروپ ایک براہ راست خلاصہ ہے، کوئی یہ پوچھ سکتا ہے کہ کیا ٹورسن ذیلی گروپ ہمیشہ کسی ابیلین گروپ کا براہ راست خلاصہ ہوتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ ہمیشہ ایک خلاصہ نہیں ہوتا ہے، لیکن یہ ایک خالص ذیلی گروہ ہے۔ بعض ہلکے حالات میں، خالص ذیلی گروہ براہ راست خلاصہ ہوتے ہیں۔ لہذا، کوئی بھی اب بھی ان حالات میں مطلوبہ نتیجہ حاصل کر سکتا ہے، جیسا کہ کولیکوف کے مقالے میں ہے۔ خالص ذیلی گروپوں کو محدود حالات کے ساتھ براہ راست مجموعوں کے نتیجے اور کم پابند محدود حالات کے ساتھ براہ راست مجموعوں پر مکمل نتیجہ کے درمیان ایک درمیانی پراپرٹی کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس استعمال کی ایک اور مثال پرفر کا مقالہ ہے، جہاں یہ حقیقت کہ "محدود ٹورسن ابیلین گروپس چکور گروپس کے براہ راست مجموعے ہیں" اس نتیجے تک بڑھا دی گئی ہے کہ خالص ذیلی گروپس کے درمیانی غور کے ذریعے "محدود ایکسپونینٹ کے تمام ٹورسن ابیلین گروپس چکور گروپس کے براہ راست مجموعے ہیں"۔ عمومییاں خالص ذیلی گروپوں کو ابیلین گروپوں اور ماڈیولز کے نظریہ میں کئی طریقوں سے عام کیا گیا تھا۔ خالص ذیلی ماڈیولز کو مختلف طریقوں سے بیان کیا گیا تھا، لیکن آخر کار ٹینسر پروڈکٹس یا مساوات کے نظام کے لحاظ سے جدید تعریف پر آباد ہوا۔ پہلے کی تعریفیں عام طور پر زیادہ براہ راست عمومی ہوتی تھیں جیسے کہ n 'th جڑ کے لیے اوپر استعمال ہونے والی واحد مساوات۔ خالص انجیکشن اور خالص پروجیکٹو ماڈیول پرفر کے 1923 کے مقالے کے خیالات سے قریب سے پیروی کرتے ہیں۔ اگرچہ خالص پروجیکٹو ماڈیولز کو خالص انجیکشن کے طور پر زیادہ ایپلی کیشنز نہیں ملی ہیں، لیکن ان کا اصل کام سے زیادہ گہرا تعلق ہے: ایک ماڈیول خالص پروجیکٹو ہے اگر یہ حتمی طور پر پیش کردہ ماڈیولز کے براہ راست مجموعہ کا براہ راست مجموعہ ہے۔ انٹیجرز اور ابیلین گروپوں کے معاملے میں ایک خالص پروجیکٹو ماڈیول چکور گروپوں کے براہ راست مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ حوالہ جات باب III۔ ذیلی گروپ کی خصوصیات ابیلین گروپ تھیوری