Stochastic volatility
اعداد و شمار میں، اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے ماڈل وہ ہوتے ہیں جن میں اسٹاکسٹک عمل کا تغیر خود بے ترتیب طور پر تقسیم ہوتا ہے۔ ان کا استعمال ریاضیاتی مالیات کے میدان میں مشتق سیکیورٹیز، جیسے آپشنز کا اندازہ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ یہ نام ایک بے ترتیب عمل کے طور پر بنیادی سیکیورٹی کے اتار چڑھاؤ کے ماڈلز کے علاج سے ماخوذ ہے، جو ریاستی متغیرات جیسے کہ بنیادی سیکیورٹی کی قیمت کی سطح، کچھ طویل مدتی اوسط قیمت پر واپس آنے کا اتار چڑھاؤ کا رجحان، اور خود اتار چڑھاؤ کے عمل کی تغیرات کے زیر انتظام ہے۔ بلیک-شولز ماڈل کی کمی کو حل کرنے کے لیے سٹوچسٹک اتار چڑھاؤ والے ماڈل ایک نقطہ نظر ہیں۔ خاص طور پر، بلیک-شولز پر مبنی ماڈل یہ فرض کرتے ہیں کہ بنیادی اتار چڑھاؤ مشتق کی زندگی بھر مستقل رہتا ہے، اور بنیادی سیکیورٹی کی قیمت کی سطح میں ہونے والی تبدیلیوں سے متاثر نہیں ہوتا ہے۔ تاہم، یہ ماڈل مضمر اتار چڑھاؤ والی سطح کی طویل مشاہدہ کردہ خصوصیات جیسے اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ اور منحنی خطوط کی وضاحت نہیں کر سکتے، جو اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ مضمر اتار چڑھاؤ ہڑتال کی قیمت اور میعاد ختم ہونے کے حوالے سے مختلف ہوتا ہے۔ یہ فرض کرنے سے کہ بنیادی قیمت کا اتار چڑھاؤ مستقل کے بجائے ایک غیر معمولی عمل ہے، مشتقات کو زیادہ درست طریقے سے ماڈل بنانا ممکن ہو جاتا ہے۔ ننگے بلیک-شولز ماڈل اور سٹوچسٹک اتار چڑھاؤ والے ماڈلز کے درمیان ایک درمیانی میدان مقامی اتار چڑھاؤ والے ماڈلز سے ڈھکا ہوا ہے۔ ان ماڈلز میں بنیادی اتار چڑھاؤ میں کوئی نئی بے ترتیب خصوصیت نہیں ہے لیکن یہ مستقل بھی نہیں ہے۔ مقامی اتار چڑھاؤ والے ماڈلز میں اتار چڑھاؤ بنیادی اثاثہ کا ایک غیر معمولی فعل ہے، بغیر کسی اضافی بے ترتیب کے۔ اس تعریف کے مطابق، متغیر کی مستقل لچک جیسے ماڈل مقامی اتار چڑھاؤ والے ماڈل ہوں گے، حالانکہ انہیں بعض اوقات اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ والے ماڈل کے طور پر درجہ بند کیا جاتا ہے۔ درجہ بندی کچھ معاملات میں تھوڑی مبہم ہو سکتی ہے۔ سٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کی ابتدائی تاریخ کی متعدد جڑیں ہیں (یعنی۔ اسٹاکسٹک عمل، آپشن پرائسنگ اور اکانومیٹرکس)، اس کا جائزہ نیل شیفرڈ (2005) "اسٹاکسٹک وولٹیلیٹی"، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس کے باب 1 میں لیا گیا ہے۔ بنیادی ماڈل مستقل اتار چڑھاؤ کے نقطہ نظر سے شروع کرتے ہوئے، فرض کریں کہ مشتق کی بنیادی اثاثہ قیمت ہندسی براؤنین حرکت کے لیے ایک معیاری ماڈل کی پیروی کرتی ہے: جہاں مستقل بہاؤ ہے (یعنی۔ سیکیورٹی قیمت کی متوقع واپسی)، مستقل اتار چڑھاؤ ہے، اور یہ صفر اوسط اور یونٹ ریٹ کے تغیر کے ساتھ ایک معیاری وینر عمل ہے۔ اس سٹوچسٹک تفریق مساوات کا واضح حل یہ ہے کہ مختلف اوقات میں دی گئی اسٹاک کی قیمتوں کے لیے مستقل اتار چڑھاؤ کا اندازہ لگانے کے لیے زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ لگانے والا اس کی متوقع قیمت ہے۔ مستقل اتار چڑھاؤ والا یہ بنیادی ماڈل غیر سٹوچسٹک اتار چڑھاؤ والے ماڈلز جیسے بلیک-شولز ماڈل اور کاکس-راس-روبنسٹائن ماڈل کا نقطہ آغاز ہے۔ سٹاکسٹک اتار چڑھاؤ والے ماڈل کے لیے، مستقل اتار چڑھاؤ کو ایک فنکشن سے تبدیل کریں جو اس کے تغیر کو ماڈل کرتا ہے۔ اس تغیر فنکشن کو براؤنین موشن کے طور پر بھی ماڈل کیا گیا ہے، اور اس کی شکل زیر مطالعہ مخصوص ایس وی ماڈل پر منحصر ہے۔ جہاں اور کچھ افعال ہیں، اور ایک اور معیاری گوسیئن ہے جو مستقل ارتباط عنصر کے ساتھ مربوط ہے۔ مشہور ہیسٹن ماڈل ایک عام طور پر استعمال ہونے والا ایس وی ماڈل ہے، جس میں تغیر کے عمل کی بے ترتیبیت تغیر کے مربع جڑ کے طور پر مختلف ہوتی ہے۔ اس صورت میں، تغیر کے لیے تفریق مساوات یہ شکل اختیار کرتی ہے: اوسط طویل مدتی تغیر کہاں ہے، وہ شرح ہے جس پر تغیر اپنے طویل مدتی اوسط کی طرف لوٹتا ہے، تغیر کے عمل کی اتار چڑھاؤ ہے، اور، جیسے، صفر اوسط اور تغیر کے ساتھ ایک گوسیئن ہے۔ تاہم، اور مستقل ارتباط قدر کے ساتھ مربوط ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، ہیسٹن ایس وی ماڈل یہ فرض کرتا ہے کہ تغیر ایک بے ترتیب عمل ہے جو ایک شرح پر طویل مدتی اوسط کی طرف لوٹنے کے رجحان کو ظاہر کرتا ہے، اس کی سطح کے مربع جڑ کے متناسب اتار چڑھاؤ کو ظاہر کرتا ہے اور جس کی بے ترتیبیت کا منبع بنیادی قیمت کے عمل کی بے ترتیبیت کے ساتھ (ارتباط کے ساتھ) مربوط ہے۔ اتار چڑھاؤ کی سطح کے کچھ پیرامیٹریشن، جیسے 'ایس وی آئی'، ہیسٹن ماڈل پر مبنی ہیں۔ سی ای وی ماڈل سی ای وی ماڈل اتار چڑھاؤ اور قیمت کے درمیان تعلق کو بیان کرتا ہے، اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کو متعارف کراتا ہے: تصوراتی طور پر، کچھ بازاروں میں اتار چڑھاؤ اس وقت بڑھتا ہے جب قیمتیں بڑھتی ہیں (جیسے۔ اشیاء)، تو۔ دیگر بازاروں میں، اتار چڑھاؤ میں اضافہ ہوتا ہے جیسے جیسے قیمتیں گرتی ہیں۔ کچھ لوگوں کا کہنا ہے کہ چونکہ سی ای وی ماڈل اتار چڑھاؤ کے لیے اپنے اسٹاکسٹک عمل کو شامل نہیں کرتا ہے، اس لیے یہ واقعی اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کا ماڈل نہیں ہے۔ اس کے بجائے، وہ اسے مقامی اتار چڑھاؤ کا نمونہ کہتے ہیں۔ ایس اے بی آر اتار چڑھاؤ ماڈل ایس اے بی آر ماڈل (سٹوچسٹک الفا، بیٹا، رو)، جسے ہیگن اور دیگر نے متعارف کرایا۔ ایک واحد فارورڈ کی وضاحت کرتا ہے (کسی بھی اثاثے سے متعلق جیسے۔ اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے تحت ایک انڈیکس، سود کی شرح، بانڈ، کرنسی یا ایکویٹی): ابتدائی اقدار اور موجودہ فارورڈ قیمت اور اتار چڑھاؤ ہیں، جبکہ اور دو مربوط وینر عمل ہیں (یعنی۔ براؤنین حرکتیں) ارتباط گتانک کے ساتھ۔ مستقل پیرامیٹرز ایسے ہوتے ہیں۔ ایس اے بی آر ماڈل کی اہم خصوصیت اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ کے مسکراہٹ کے اثر کو دوبارہ پیش کرنے کے قابل ہونا ہے۔ گارچ ماڈل اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کا اندازہ لگانے کے لیے جنرلائزڈ آٹوریگریسو کنڈیشنل ہیٹروسکیڈاسٹیٹی (گارچ) ماڈل ایک اور مقبول ماڈل ہے۔ یہ فرض کرتا ہے کہ تغیر کے عمل کی بے ترتیبیت تغیر کے ساتھ مختلف ہوتی ہے، جیسا کہ ہیسٹن ماڈل میں تغیر کے مربع جڑ کے برخلاف ہے۔ معیاری گارچ (1,1) ماڈل میں مسلسل تغیر کے فرق کے لیے درج ذیل شکل ہے: گارچ ماڈل کو متعدد اقسام کے ذریعے بڑھایا گیا ہے، جن میں این جی اے آرچ، ٹی جی اے آرچ، آئی جی اے آرچ، ایل جی اے آرچ، ای جی اے آرچ، جی جے آر-گارچ وغیرہ شامل ہیں۔ تاہم، سختی سے، GARCH ماڈلز کی مشروط اتار چڑھاؤ غیر معمولی نہیں ہیں کیونکہ وقت t پر پچھلی اقدار کو دیکھتے ہوئے اتار چڑھاؤ مکمل طور پر پہلے سے طے شدہ (متعین) ہوتا ہے۔ 3/2 ماڈل 3/2 ماڈل ہیسٹن ماڈل سے ملتا جلتا ہے، لیکن یہ فرض کرتا ہے کہ تغیر کے عمل کی بے ترتیبیت مختلف ہوتی ہے۔ تغیر تفریق کی شکل یہ ہے: تاہم پیرامیٹرز کے معنی ہیسٹن ماڈل سے مختلف ہیں۔ اس ماڈل میں، متغیر پیرامیٹرز کا مطلب واپسی اور اتار چڑھاؤ دونوں اسٹاکسٹک مقداریں ہیں جو بالترتیب دی گئی ہیں۔ سخت اتار چڑھاؤ والے ماڈل اعلی تعدد کے اعداد و شمار سے اتار چڑھاؤ کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے، اتار چڑھاؤ کے عمل کی آسانی پر سوال اٹھایا گیا ہے۔ یہ پایا گیا ہے کہ لاگ-اتار چڑھاؤ کسی بھی معقول ٹائم اسکیل پر آرڈر کے ہرسٹ ایکسپونینٹ کے ساتھ فریکشنل براؤنین حرکت کے طور پر برتاؤ کرتا ہے۔ اس کی وجہ سے فریکشنل اسٹوچسٹک وولٹیلیٹی (ایف ایس وی) ماڈل اپنایا گیا، جس کی وجہ سے مجموعی طور پر رف ایف ایس وی (آر ایف ایس وی) بن گیا جہاں "کھردرا" اس کو اجاگر کرنا ہے۔ آر ایف ایس وی ماڈل ٹائم سیریز کے اعداد و شمار کے مطابق ہے، جس سے احساس شدہ اتار چڑھاؤ کی بہتر پیش گوئیاں کی جا سکتی ہیں۔ پیمائش اور تخمینہ ایک بار جب ایک مخصوص ایس وی ماڈل کا انتخاب کیا جاتا ہے، تو اسے موجودہ مارکیٹ کے اعداد و شمار کے مطابق کیلیبریٹ کیا جانا چاہیے۔ پیمائش ماڈل پیرامیٹرز کے سیٹ کی شناخت کرنے کا عمل ہے جو ممکنہ طور پر مشاہدہ شدہ ڈیٹا دیا جاتا ہے۔ ایک مقبول تکنیک زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ (ایم ایل ای) استعمال کرنا ہے۔ مثال کے طور پر، ہیسٹن ماڈل میں، ماڈل پیرامیٹرز کے سیٹ کا تخمینہ ایک ایم ایل ای الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے جیسے کہ پاول ڈائریکٹڈ سیٹ طریقہ تاریخی بنیادی حفاظتی قیمتوں کے مشاہدات کے لیے۔ اس صورت میں، آپ ایک تخمینے کے ساتھ شروع کرتے ہیں، نتیجے میں آنے والے ماڈل پر تاریخی قیمت کے اعداد و شمار کا اطلاق کرتے وقت بقایا غلطیوں کا حساب لگائیں، اور پھر ان غلطیوں کو کم کرنے کی کوشش میں ایڈجسٹ کریں۔ ایک بار انشانکن انجام دیے جانے کے بعد، وقتا فوقتا ماڈل کو دوبارہ انشانکن کرنا معیاری عمل ہے۔ انشانکن کا ایک متبادل شماریاتی تخمینہ ہے، جس سے پیرامیٹر کی غیر یقینی صورتحال کا حساب ہوتا ہے۔ عام طور پر مذکورہ بالا ماڈلز کے ذیلی سیٹ کے لیے بہت سے فریکوینسٹ اور بایسیائی طریقے تجویز اور نافذ کیے گئے ہیں۔ مندرجہ ذیل فہرست میں اوپن سورس شماریاتی سافٹ ویئر آر کے لیے توسیعی پیکیجز شامل ہیں جو خاص طور پر ہیٹروسکیڈاسٹیٹی تخمینہ کے لیے بنائے گئے ہیں۔ پہلے تین GARCH قسم کے ماڈلز کو متعین اتار چڑھاؤ کے ساتھ پورا کرتے ہیں ؛ چوتھا اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے تخمینے سے متعلق ہے۔ رگارچ: اے آر ایف آئی ایم اے، ان مین، بیرونی ریگریسرز اور مختلف گارچ ذائقے، فٹ، پیشن گوئی، تخروپن، تخمینہ اور پلاٹنگ کے طریقوں کے ساتھ۔ fGarch: فنانشل انجینئرنگ اور کمپیوٹیشنل فنانس کی تعلیم کے لیے Rmetric ماحول کا حصہ۔ باییس گارچ: طالب علم کی ٹی اختراعات کے ساتھ گارچ (1,1) ماڈل کا بایسیائی تخمینہ۔ اسٹاک وول: مارکوف چین مونٹی کارلو (ایم سی ایم سی) طریقوں کے ذریعے اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ (ایس وی) ماڈلز کے مکمل طور پر بیسیائی تخمینے کے لیے موثر الگورتھم۔ وقت کے ساتھ بہت سے عددی طریقے تیار کیے گئے ہیں اور قیمتوں کے مالیاتی اثاثوں کو حل کیا ہے جیسے کہ غیر معمولی اتار چڑھاؤ والے ماڈلز کے ساتھ اختیارات۔ ایک حالیہ تیار کردہ ایپلی کیشن مقامی اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کا ماڈل ہے۔ یہ مقامی اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ ماڈل نئے مالیاتی اثاثوں جیسے فاریکس آپشنز کی قیمتوں میں بہتر نتائج دیتا ہے۔ دیگر زبانوں میں متبادل شماریاتی تخمینہ لائبریریاں بھی ہیں جیسے کہ ازگر: پیفلوکس میں بیسیئن اور GARCH اور بیٹا-ٹی-EGARCH ماڈلز کے لیے کلاسیکی تخمینہ سپورٹ شامل ہے۔ بلیک-شولز ماڈل ہیسٹن ماڈل مقامی اتار چڑھاؤ مارکوف کثیر الجہتی رسک غیر جانبدار پیمائش ایس اے بی آر اتار چڑھاؤ ماڈل اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ جمپ ماتحت اتار چڑھاؤ کلسٹرنگ اتار چڑھاؤ، غیر یقینی صورتحال، پیچیدگی اور ابہام حوالہ جات ذرائع اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ اور اوسط تغیر تجزیہ، ہیونگ سوک آہن، پال ولموٹ، (2006)۔ اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے ساتھ اختیارات کے لیے ایک بند شکل کا حل، ایس ایل ہیسٹن، (1993)۔ اندرونی اتار چڑھاؤ ثالثی، الیریزا جاواہیری، (2005)۔ اسٹاکسٹک اتار چڑھاؤ کے ماڈلز کی پیمائش کو تیز کرنا، کلین، فیوڈر (2006)۔ ریاضیاتی مالیاتی اختیارات (مالیات) مشتق (مالیات)