Numerical model of the Solar System
نظام شمسی کا عددی نمونہ ریاضیاتی مساوات کا ایک مجموعہ ہے، جو حل ہونے پر وقت کی تقریب کے طور پر سیاروں کی لگ بھگ پوزیشنیں دیتا ہے۔ اس طرح کا نمونہ بنانے کی کوششوں نے آسمانی میکانکس کے زیادہ عمومی میدان کو قائم کیا۔ اس تخروپن کے نتائج کا موازنہ ماضی کی پیمائشوں سے کیا جا سکتا ہے تاکہ درستگی کی جانچ کی جا سکے اور پھر مستقبل کی پوزیشنوں کی پیش گوئی کے لیے استعمال کیا جا سکے۔ اس لیے اس کا بنیادی استعمال المناک کی تیاری میں ہوتا ہے۔ پرانی کوششیں تخروپن کارٹیشین یا کروی نقاط میں کیا جا سکتا ہے۔ سابقہ آسان ہیں، لیکن انتہائی گنتی پر مبنی ہیں، اور صرف الیکٹرانک کمپیوٹر پر عملی ہیں۔ اس طرح صرف مؤخر الذکر ہی سابقہ زمانے میں استعمال ہوتا تھا۔ سختی سے بات کرتے ہوئے، مؤخر الذکر بہت کم حساب کتاب پر مبنی نہیں تھا، لیکن کچھ سادہ اندازوں سے شروع کرنا اور پھر مطلوبہ درستگی تک پہنچنے کے لیے جتنی ضرورت ہو اس میں خلل ڈالنا ممکن تھا۔ جوہر میں نظام شمسی کا یہ ریاضیاتی تخروپن این-باڈی مسئلہ کی ایک شکل ہے۔ علامت N اجسام کی تعداد کی نمائندگی کرتا ہے، جو کافی بڑے ہو سکتے ہیں اگر کسی میں سورج، 8 سیارے، درجنوں چاند، اور بے شمار سیارے، دمدار ستارے وغیرہ شامل ہوں۔ تاہم کسی بھی دوسرے جسم پر سورج کا اثر اتنا بڑا ہوتا ہے، اور ایک دوسرے پر دیگر تمام اجسام کا اثر اتنا چھوٹا ہوتا ہے کہ اس مسئلے کو تجزیاتی طور پر حل کرنے کے قابل 2 جسم کے مسئلے تک کم کیا جا سکتا ہے۔ ہر سیارے کا نتیجہ ایک مدار ہے، جو وقت کی تقریب کے طور پر اس کی پوزیشن کی ایک سادہ وضاحت ہے۔ ایک بار جب یہ حل ہو جاتا ہے تو چاند اور سیاروں کے ایک دوسرے پر پڑنے والے اثرات کو چھوٹی چھوٹی اصلاحات کے طور پر شامل کیا جاتا ہے۔ یہ مکمل سیاروں کے مدار کے مقابلے میں چھوٹے ہوتے ہیں۔ کچھ اصلاحات اب بھی کئی ڈگری بڑی ہو سکتی ہیں، جبکہ پیمائش 1 ′′ سے بہتر کی درستگی کے لیے کی جا سکتی ہے۔ اگرچہ یہ طریقہ اب تخروپن کے لیے استعمال نہیں ہوتا ہے، پھر بھی ایک لگ بھگ ایفیمیرس تلاش کرنا مفید ہے کیونکہ کوئی نسبتا آسان بنیادی حل لے سکتا ہے، شاید کچھ سب سے بڑی پریشانیوں کو شامل کر سکتا ہے، اور مطلوبہ سیاروں کی پوزیشن پر بہت زیادہ کوشش کے بغیر پہنچ سکتا ہے۔ نقصان یہ ہے کہ پرٹربیشن تھیوری بہت اعلی درجے کی ریاضی ہے۔ جدید طریقہ جدید طریقہ 3 جہتی جگہ میں عددی انضمام پر مشتمل ہے۔ ایک پوزیشن (x، y، z) اور رفتار (vx، vy، vz) کے لیے اعلی درستگی کی قیمت کے ساتھ شروع ہوتا ہے۔ جب ہر شے کی کمیت بھی معلوم ہوتی ہے، تو ایکسلریشن (محور، اے وائی، اے زیڈ) کا حساب نیوٹن کے کشش ثقل کے قانون سے لگایا جا سکتا ہے۔ ہر جسم ایک دوسرے کے جسم کو اپنی طرف متوجہ کرتا ہے، کل ایکسلریشن ان تمام پرکشش مقامات کا مجموعہ ہے۔ اگلا ایک چھوٹا سا وقت کے مرحلے کا انتخاب کرتا ہے اور نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون کو لاگو کرتا ہے۔ Δt کے ساتھ ضرب کی جانے والی رفتار رفتار کو درست کرتی ہے۔ رفتار کو Δt سے ضرب دینے سے پوزیشن میں اصلاح ہوتی ہے۔ یہ طریقہ کار دیگر تمام جسموں کے لیے دہرایا جاتا ہے۔ نتیجہ تمام اجسام کے لیے پوزیشن اور رفتار کے لیے ایک نئی قدر ہے۔ پھر، ان نئی اقدار کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی اگلے وقت کے مرحلے کے لیے پورے حساب سے شروع کرتا ہے۔ اس طریقہ کار کو اکثر دہرانا کافی ہے، اور وقت کے ساتھ ساتھ تمام جسموں کی پوزیشنوں کی تفصیل کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔ اس طریقہ کار کا فائدہ یہ ہے کہ کمپیوٹر کے لیے یہ ایک بہت آسان کام ہے، اور یہ ایک ہی وقت میں تمام اجسام کے لیے انتہائی درست نتائج دیتا ہے، جس سے پریشانیوں کا تعین کرنے کے لیے پیچیدہ اور مشکل طریقہ کار ختم ہو جاتے ہیں۔ نقصان یہ ہے کہ کسی کو سب سے پہلے انتہائی درست اعداد و شمار سے شروع کرنا چاہیے، ورنہ نتائج وقت کے ساتھ حقیقت سے دور ہو جائیں گے۔ کہ کسی کو x، y، z پوزیشنیں ملتی ہیں جو اکثر استعمال ہونے سے پہلے زیادہ عملی ایکلیپٹیکل یا استوائی نقاط میں تبدیل ہو جاتی ہیں۔ اور یہ کہ یہ ایک تمام یا کچھ بھی نہیں نقطہ نظر ہے۔ اگر کوئی ایک مخصوص وقت پر ایک سیارے کی پوزیشن جاننا چاہتا ہے تو دوسرے تمام سیاروں اور تمام درمیانی وقت کے مراحل کا بھی حساب لگانا ہوگا۔ انضمام پچھلے حصے میں یہ فرض کیا گیا تھا کہ ایکسلریشن ایک چھوٹے سے ٹائم اسٹیپ δt پر مستقل رہتا ہے تاکہ حساب صرف V × δt سے R وغیرہ کے اضافے تک کم ہو جائے۔ حقیقت میں ایسا نہیں ہے، سوائے اس کے کہ جب کوئی اتنا چھوٹا ہوتا ہے کہ اٹھائے جانے والے اقدامات کی تعداد ممنوع طور پر زیادہ ہوتی ہے۔ کیونکہ جب کہ کسی بھی وقت پوزیشن کو ایکسلریشن سے تبدیل کیا جاتا ہے، ایکسلریشن کی قیمت کا تعین فوری پوزیشن سے ہوتا ہے۔ ظاہر ہے کہ ایک مکمل انضمام کی ضرورت ہے۔ کئی طریقے دستیاب ہیں۔ پہلے مطلوبہ مساوات پر توجہ دیں: یہ مساوات کسی خاص باڈی جے پر 1 سے این تک چلنے والی تمام باڈیز کے ایکسلریشن کو بیان کرتی ہے۔ یہ ایک ویکٹر مساوات ہے، لہذا اسے ایکس، وائی، زیڈ اجزاء میں سے ہر ایک کے لیے 3 مساوات میں تقسیم کیا جانا ہے، جس سے نتیجہ نکلتا ہے: اضافی تعلقات کے ساتھ، اسی طرح وائی اور زیڈ کے لیے۔ سابقہ مساوات (کشش ثقل) پیشگی لگ سکتی ہے، لیکن اس کا حساب لگانا کوئی مسئلہ نہیں ہے۔ مؤخر الذکر مساوات (حرکت کے قوانین) آسان معلوم ہوتے ہیں، لیکن پھر بھی ان کا حساب نہیں لگایا جا سکتا۔ کمپیوٹر مربوط نہیں ہو سکتے، وہ لامحدود اقدار کے ساتھ کام نہیں کر سکتے، اس لیے ڈی ٹی کے بجائے ہم Δt کا استعمال کرتے ہیں اور نتیجے میں آنے والے متغیر کو بائیں طرف لاتے ہیں:، اور: یاد رکھیں کہ a اب بھی وقت کا ایک فعل ہے۔ ان کو حل کرنے کا سب سے آسان طریقہ صرف اویلر الگورتھم ہے، جو جوہر میں اوپر بیان کردہ لکیری اضافہ ہے۔ اپنے آپ کو صرف کسی عام کمپیوٹر زبان میں 1 جہت تک محدود رکھنا: a.old = کشش ثقل (x.old) x.new = x.old + v.old * dt v.new = v.old + a.old * dt جیسا کہ جوہر میں ٹائم اسٹیپ کی پوری مدت کے لیے استعمال ہونے والی ایکسلریشن وہی ہے جو ٹائم اسٹیپ کے آغاز میں تھی، اس سادہ طریقے کی کوئی اعلی درستگی نہیں ہے۔ اوسط ایکسلریشن لے کر بہت بہتر نتائج حاصل کیے جاتے ہیں، ابتدائی ویلیو اور متوقع (غیر متزلزل) اختتامی ویلیو کے درمیان اوسط: a.old = کشش ثقل فنکشن (x.old) x.expect = x.old + v.old * dt v.new = v.old + (a.old + a.expect) * 0.5 * dt x.new = x.old + (v.new + v.old) * 0.5 * dt یقینا اب بھی انٹرمیڈیٹ ویلیو لے کر بہتر نتائج کی توقع کی جا سکتی ہے۔ رنگے کٹہ طریقہ استعمال کرتے وقت ایسا ہی ہوتا ہے، خاص طور پر گریڈ 4 یا 5 میں سے ایک سب سے زیادہ مفید ہے۔ اس کے اچھے طویل مدتی توانائی کے تحفظ کی وجہ سے استعمال ہونے والا سب سے عام طریقہ چھلانگ کا طریقہ ہے۔ ایک بالکل مختلف طریقہ ٹیلر سیریز کا استعمال ہے۔ اس صورت میں ہم لکھتے ہیں: لیکن صرف r میں کچھ اعلی مشتق تک بڑھنے کے بجائے، کوئی r اور v (یعنی r ') میں لکھ کر ترقی کر سکتا ہے اور پھر ایک سیریز میں f اور g عوامل کو لکھ سکتا ہے۔ تخمینے ایکسلریشن کا حساب لگانے کے لیے ایک دوسرے کے جسم پر ہر جسم کی کشش ثقل کو مدنظر رکھنا چاہیے۔ نتیجے کے طور پر تخروپن میں حساب کی مقدار اجسام کی تعداد کے مربع کے ساتھ بڑھ جاتی ہے: اجسام کی تعداد کو دوگنا کرنے سے عنصر چار کے ساتھ کام میں اضافہ ہوتا ہے۔ تخروپن کی درستگی کو بڑھانے کے لیے نہ صرف مزید اعشاریہ بلکہ چھوٹے ٹائم اسٹیپس بھی لینے ہوتے ہیں، ایک بار پھر تیزی سے کام کی مقدار میں اضافہ ہوتا ہے۔ ظاہر ہے کہ کام کی مقدار کو کم کرنے کے لیے چالوں کا استعمال کیا جانا چاہیے۔ ان میں سے کچھ حربے یہاں دیے گئے ہیں۔ اب تک سب سے اہم چال ایک مناسب انضمام کے طریقہ کار کا استعمال ہے، جیسا کہ پہلے ہی اوپر بیان کیا گیا ہے۔ اکائیوں کا انتخاب اہم ہے۔ ایس آئی اکائیوں میں کام کرنے کے بجائے، جو کچھ اقدار کو انتہائی چھوٹا اور کچھ کو انتہائی بڑا بناتی ہیں، تمام اکائیوں کو اس طرح پیمانہ بنایا جانا چاہیے کہ وہ 1 کے پڑوس میں ہوں۔ مثال کے طور پر، نظام شمسی میں فاصلے کے لیے فلکیاتی اکائی سب سے زیادہ سیدھی ہے۔ اگر ایسا نہیں کیا جاتا ہے تو کسی فلوٹنگ پوائنٹ اوور فلو یا انڈر فلو پر حساب کے بیچ میں ترک شدہ تخروپن دیکھنا تقریبا یقینی ہے، اور اگر اتنا برا نہیں ہے تو پھر بھی کٹوتی کی غلطیوں کی وجہ سے درستگی ختم ہونے کا امکان ہے۔ اگر N بڑا ہے (نظام شمسی کے تخروپن میں اتنا زیادہ نہیں، لیکن کہکشاں کے تخروپن میں زیادہ) تو اجسام کے متحرک گروپ بنانے کا رواج ہے۔ ایک خاص سمت میں اور حوالہ جسم سے بڑے فاصلے پر تمام اجسام، جن کا اس وقت حساب لگایا جا رہا ہے، کو ایک ساتھ لیا جاتا ہے اور ان کی کشش ثقل پورے گروپ پر اوسط ہوتی ہے۔ بند نظام کی توانائی اور کونیی مومنٹم کی کل مقدار محفوظ مقدار ہوتی ہے۔ ہر وقت کے مرحلے کے بعد ان مقداروں کا حساب لگا کر تخروپن کو اسٹیپس سائز کو بڑھانے کے لیے پروگرام کیا جا سکتا ہے اگر وہ نمایاں طور پر تبدیل نہیں ہوتے ہیں، اور اگر وہ ایسا کرنا شروع کرتے ہیں تو اسے کم کرنے کے لیے۔ جسموں کو پہلے کی طرح گروپوں میں جوڑنا اور قریبی جسموں کے مقابلے میں دور کے جسموں پر بڑے اور اس طرح کم ٹائم اسٹیپس لگانا بھی ممکن ہے۔ جب کوئی خاص باڈی ریفرنس باڈی کے قریب ہو تو ایکسلریشن کی حد سے زیادہ تیزی سے تبدیلی کی اجازت دینے کے لیے، ایک چھوٹا پیرامیٹر ای متعارف کرانے کا رواج ہے تاکہ پیچیدگیاں اگر زیادہ سے زیادہ ممکنہ درستگی کی ضرورت ہو تو حسابات بہت زیادہ پیچیدہ ہو جاتے ہیں۔ دمدار ستاروں کے معاملے میں، تابکاری کے دباؤ اور گیس ڈریگ جیسی غیر کشش ثقل قوتوں کو مدنظر رکھنا ضروری ہے۔ مرکری اور دیگر سیاروں کے معاملے میں طویل مدتی حساب کے لیے، رشتہ دار اثرات کو نظر انداز نہیں کیا جا سکتا۔ پھر بھی کل توانایٔی اب مستقل نہیں رہتی (کیونکہ لکیری مومنٹم والی چار ویکٹر توانایٔی ہے)۔ روشنی کی محدود رفتار کلاسیکی اور رشتہ دار دونوں طرح کے روشنی کے وقت کے اثرات کی اجازت دینا بھی اہم بناتی ہے۔ سیاروں کو اب ذرات نہیں سمجھا جا سکتا، لیکن ان کی شکل اور کثافت پر بھی غور کیا جانا چاہیے۔ مثال کے طور پر، زمین کا چپٹا ہونا پیش قدمی کا سبب بنتا ہے، جس کی وجہ سے محوری جھکاؤ بدل جاتا ہے، جو تمام سیاروں کی طویل مدتی نقل و حرکت کو متاثر کرتا ہے۔ طویل مدتی ماڈل، چند دسیوں لاکھوں سالوں سے آگے جا کر، نظام شمسی کے استحکام کی کمی کی وجہ سے ممکن نہیں ہیں۔ ایفیمیرس وی ایس او پی (سیارے) حوالہ جات عددی تجزیہ کمپیوٹیشنل فزکس متحرک نظام نظام شمسی نظام کے ماڈل کی حرکیات بھی دیکھیں۔