Transfer operator
ریاضی میں، ٹرانسفر آپریٹر ایک تکرار شدہ نقشے کے بارے میں معلومات کو انکوڈ کرتا ہے اور اکثر متحرک نظام، شماریاتی میکانکس، کوانٹم افراتفری اور فریکٹلز کے رویے کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ تمام عام صورتوں میں، سب سے بڑی آئجین ویلیو 1 ہے، اور متعلقہ آئجین ویکٹر نظام کی غیر متغیر پیمائش ہے۔ ٹرانسفر آپریٹر کو بعض اوقات روئل آپریٹر کہا جاتا ہے، ڈیوڈ روئل کے بعد، یا پیرون-فروبینیوس آپریٹر یا روئل-پیرون-فروبینیوس آپریٹر، آپریٹر کی آئجین ویلیوز کے تعین پر پیرون-فروبینیوس تھیوریم کے اطلاق کے حوالے سے۔ تعریف مطالعہ کی جانے والی تکراری فنکشن ایک صوابدیدی سیٹ کا نقشہ ہے۔ ٹرانسفر آپریٹر کی تعریف ایک آپریٹر کے طور پر کی گئی ہے جو افعال کی جگہ پر کام کرتا ہے جہاں ایک معاون ویلیوایشن فنکشن ہے۔ جب کوئی جیکوبین ڈیٹرمیننٹ ہوتا ہے، تو عام طور پر لیا جاتا ہے۔ ٹرانسفر آپریٹر کی مندرجہ بالا تعریف کو g کے پیمائش-نظریاتی پش فارورڈ کی پوائنٹ سیٹ حد کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے: جوہر میں، ٹرانسفر آپریٹر پیمائش کے قابل خالی جگہوں کے زمرے میں براہ راست امیج فنکٹر ہے۔ فروبینیوس-پیرون آپریٹر کا بائیں طرف کا جوڑ کوپمین آپریٹر یا کمپوزیشن آپریٹر ہے۔ عمومی ترتیب بوریل فنکشنل کیلکولس کے ذریعہ فراہم کی جاتی ہے۔ عام اصول کے طور پر، ٹرانسفر آپریٹر کی تشریح عام طور پر شفٹ کی جگہ پر کام کرنے والے (بائیں) شفٹ آپریٹر کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ سب سے زیادہ عام طور پر مطالعہ شدہ شفٹ محدود قسم کی ذیلی شفٹ ہیں۔ ٹرانسفر آپریٹر کے ملحقہ حصے کو بھی عام طور پر دائیں شفٹ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر اچھی طرح سے مطالعہ شدہ دائیں شفٹوں میں جیکوبی آپریٹر اور ہیسنبرگ میٹرکس شامل ہیں، یہ دونوں دائیں شفٹ کے ذریعے آرتھوگنل کثیر الجہتی کے نظام پیدا کرتے ہیں۔ ایپلی کیشنز جبکہ کسی فنکشن کی تکرار قدرتی طور پر تکرار (پوائنٹ ڈائنامکس کا مطالعہ) کے تحت X کے پوائنٹس کے مداروں کے مطالعہ کی طرف لے جاتی ہے، ٹرانسفر آپریٹر اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ تکرار کے تحت (ہموار) نقشے کیسے تیار ہوتے ہیں۔ اس طرح، ٹرانسفر آپریٹرز عام طور پر طبیعیات کے مسائل میں ظاہر ہوتے ہیں، جیسے کہ کوانٹم افراتفری اور شماریاتی میکانکس، جہاں توجہ ہموار افعال کے وقت کے ارتقاء پر مرکوز ہوتی ہے۔ بدلے میں، اس میں مالیکیولر ڈائنامکس کے میدان کے ذریعے عقلی منشیات کے ڈیزائن کے لیے طبی استعمال ہوتے ہیں۔ اکثر ایسا ہوتا ہے کہ ٹرانسفر آپریٹر مثبت ہوتا ہے، اس میں مجرد مثبت حقیقی قدر والی آئجن ویلیوز ہوتی ہیں، جس میں سب سے بڑی آئجن ویلیو ایک کے برابر ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، ٹرانسفر آپریٹر کو بعض اوقات فروبینیوس-پیرون آپریٹر کہا جاتا ہے۔ ٹرانسفر آپریٹر کے آئجن فنکشن عام طور پر فریکٹل ہوتے ہیں۔ جب ٹرانسفر آپریٹر کا لوگارتھم کوانٹم ہیملٹنین سے مطابقت رکھتا ہے، تو آئجین ویلیوز عام طور پر بہت قریب سے ہوں گی، اور اس طرح کوانٹم ریاستوں کا ایک بہت ہی تنگ اور احتیاط سے منتخب کردہ مجموعہ بھی پوری حجم پر غیر صفر سپورٹ کے ساتھ بہت مختلف فریکٹل آئجین اسٹیٹس کی ایک بڑی تعداد کا احاطہ کرے گا۔ اس کا استعمال کلاسیکی شماریاتی میکانکس کے بہت سے نتائج کی وضاحت کے لیے کیا جا سکتا ہے، بشمول وقت کی ناقابل واپسی اور اینٹروپی میں اضافہ۔ برنولی نقشے کا ٹرانسفر آپریٹر بالکل قابل حل ہے اور تعیناتی افراتفری کی ایک بہترین مثال ہے۔ مجرد آئجین ویلیوز برنولی کثیر الجہتی سے مطابقت رکھتی ہیں۔ اس آپریٹر کے پاس ایک مسلسل سپیکٹرم بھی ہے جو ہروٹز زیٹا فنکشن پر مشتمل ہے۔ گاؤس نقشے کے ٹرانسفر آپریٹر کو گاؤس-کزمین-ویرسنگ (جی کے ڈبلیو) آپریٹر کہا جاتا ہے۔ جی کے ڈبلیو کا نظریہ مسلسل حصوں پر گاؤس کے ایک مفروضے سے ملتا جلتا ہے اور اس کا ریمن زیٹا فنکشن سے گہرا تعلق ہے۔ برنولی اسکیم شفٹ آف فائینیٹ ٹائپ کرین-رٹمین تھیوریم حوالہ جات بھی دیکھیں (ایک تعارفی سروے فراہم کرتا ہے)۔ افراتفری کا نظریہ متحرک نظام آپریٹر تھیوری سپیکٹرل تھیوری