Dirac comb
ریاضی میں، ڈیراک کنگھی (جسے شا فنکشن، امپلس ٹرین یا سیمپلنگ فنکشن بھی کہا جاتا ہے) ایک پیریڈک فنکشن ہے جس کا فارمولا کسی مخصوص مدت کے لیے ہوتا ہے۔ یہاں t ایک حقیقی متغیر ہے اور مجموعہ تمام انٹیجرز k پر پھیلا ہوا ہے۔ ڈیراک ڈیلٹا فنکشن اور ڈیراک کنگھی معتدل تقسیم ہیں۔ فنکشن کا گراف کنگھی سے ملتا جلتا ہے (کنگھی کے دانتوں کے طور پر s کے ساتھ)، اس لیے اس کا نام اور فنکشن کو ظاہر کرنے کے لیے کنگھی جیسے سیریلک حرف شا (ष्) کا استعمال۔ علامت، جہاں مدت کو خارج کر دیا گیا ہے، اکائی مدت کے ڈیراک کنگھی کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ چونکہ ڈیراک کنگھی فنکشن وقتا فوقتا ہوتا ہے، اس لیے اسے ڈیرچلیٹ دانا پر مبنی فورئیر سیریز کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: ڈیراک کنگھی فنکشن کسی کو فورئیر سیریز کے حوالے کے بغیر، معتدل تقسیم پر مسلسل فورئیر تجزیہ کے ایک ہی فریم ورک میں، نمونے لینے اور عرفیت جیسے مسلسل اور مجرد مظاہر دونوں کی نمائندگی کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ڈیراک کنگھی کا فورئیر ٹرانسفارم ایک اور ڈیراک کنگھی ہے۔ ٹمپرڈ ڈسٹری بیوشن پر کنولیوشن تھیوریم کی وجہ سے جو کہ پوئسون سمشن فارمولا ثابت ہوتا ہے، سگنل پروسیسنگ میں، ڈیراک کنگھی اس کے ساتھ ضرب کے ذریعے ماڈلنگ سیمپلنگ کی اجازت دیتا ہے، لیکن یہ اس کے ساتھ کنولیوشن کے ذریعے ماڈلنگ پیریڈائزیشن کی بھی اجازت دیتا ہے۔ ڈیراک کنگھی کی شناخت ڈیراک کنگھی کو دو طریقوں سے بنایا جا سکتا ہے، یا تو کنگھی آپریٹر (نمونے لینے کی کارکردگی) کا استعمال کرتے ہوئے جو مستقل طور پر فنکشن پر لاگو ہوتا ہے، یا، متبادل طور پر، ڈیراک ڈیلٹا پر لاگو ریپ آپریٹر (پیریڈائزیشن انجام دینے) کا استعمال کرتے ہوئے۔ رسمی طور پر، یہ پیداوار (؛) کہاں اور سگنل پروسیسنگ میں، یہ خاصیت ایک طرف ضرب کے ذریعے فنکشن کے نمونے لینے کی اجازت دیتی ہے، اور دوسری طرف یہ () کے ساتھ ارتقاء کے ذریعے مدت بندی کی بھی اجازت دیتی ہے۔ ڈیراک کنگھی کی شناخت معتدل تقسیم کے لیے ارتقاء کے نظریہ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اسکیلنگ ڈیراک کنگھی کی اسکیلنگ پراپرٹی ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کی خصوصیات سے ملتی ہے۔ چونکہ مثبت حقیقی اعداد کے لیے، یہ مندرجہ ذیل ہے: نوٹ کریں کہ منفی کے بجائے مثبت اسکیلنگ نمبروں کی ضرورت کوئی پابندی نہیں ہے کیونکہ منفی علامت صرف اندر کے خلاصہ کی ترتیب کو الٹ دے گی، جس سے نتیجہ متاثر نہیں ہوتا ہے۔ فورئیر سیریز یہ واضح ہے کہ یہ پیریڈ کے ساتھ پیریڈک ہے۔ یعنی، تمام ٹی کے لیے۔ اس طرح کے پیریڈک فنکشن کے لیے پیچیدہ فورئیر سیریز وہ ہے جہاں فورئیر کوفیشنٹس (علامتی طور پر) تمام فورئیر کوفیشنٹس 1/ٹی ہوتے ہیں جس کے نتیجے میں جب پیریڈ ایک یونٹ ہوتا ہے، تو یہ ریمارک کرنے میں آسان ہوجاتا ہے: سب سے زیادہ سختی سے، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن سمیت کسی بھی پروڈکٹ پر ریمن یا لیبسگ انضمام سے صفر حاصل ہوتا ہے۔ اس وجہ سے، مندرجہ بالا انضمام (فورئیر سیریز کوفیشنٹس کا تعین) کو "عمومی افعال کے معنی میں" سمجھنا ضروری ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، ڈیراک کنگھی پر لاگو وقفے کی خصوصیت فنکشن کو استعمال کرنے کے بجائے، کوئی نام نہاد لائٹ ہل یونٹری فنکشن کو کٹ آؤٹ فنکشن کے طور پر استعمال کرتا ہے، تفصیلات کے لیے پی 62، تھیوریم 22 دیکھیں۔ فورئیر ٹرانسفارم ڈیراک کنگھی کا فورئیر ٹرانسفارم بھی ایک ڈیراک کنگھی ہے۔ فریکوئنسی ڈومین (Hz) میں ظاہر ہونے والے فورئیر ٹرانسفارم کے لیے پیریڈ کی ڈیراک کنگھی پیریڈ یعنی ایک ریسکیلڈ ڈیراک کنگھی میں تبدیل ہو جاتی ہے۔ کے لیے ایک اور ڈیراک کنگھی کے متناسب ہے، لیکن فریکوئنسی ڈومین (ریڈین/ایس) میں مدت کے ساتھ۔ چونکہ یہ گاؤسی فنکشنز کی ایک متغیر سیریز ہے، اور گاؤسیئن گاؤسیئنز میں تبدیل ہو جاتے ہیں، ان کے ہر ایک متعلقہ فورئیر ٹرانسفارمز کے نتیجے میں گاؤسیئنز کا ایک سلسلہ بھی ہوتا ہے، اور واضح حساب سے یہ ثابت ہوتا ہے کہ افعال اور اس طرح ہر ایک ایک پیریڈک فنکشن سے مشابہت رکھتا ہے جو مساوی فاصلے والے گاؤسیئن اسپائکس کی سیریز پر مشتمل ہوتا ہے اور جس کی متعلقہ "اونچائی" (پری فیکٹرز) کا تعین گاؤسیئن لفافے کے افعال کو آہستہ آہستہ کم کرکے کیا جاتا ہے جو لامحدود پر صفر تک گر جاتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ حد میں ہر ایک گوسیائی سپائیک ایک لامحدود تیز ڈیراک امپلس بن جاتا ہے جو بالترتیب ہر ایک کے لیے اور اس کے لیے مرکوز ہوتا ہے، اور اسی وجہ سے تمام پری فیکٹر بھی آخر کار ان سے الگ نہیں ہوتے ہیں۔ لہذا افعال اور ان کے متعلقہ فورئیر ٹرانسفارمز ایک ہی فنکشن میں یکجا ہوتے ہیں اور یہ لمٹ فنکشن لامحدود مساوی فاصلے والے گوسیائی اسپائکس کا ایک سلسلہ ہے، جس میں ہر اسپائک کو ایک ہی پری فیکٹر سے ضرب دی جاتی ہے، یعنی۔ یونٹ پیریڈ کے لیے ڈیراک کنگھی: اور چونکہ، ہم اس حد میں ظاہر ہونے والا نتیجہ حاصل کرتے ہیں: مدت کے لیے متعلقہ نتیجہ فورئیر ٹرانسفارم کی اسکیلنگ پراپرٹی کا استحصال کرکے پایا جا سکتا ہے، یہ قائم کرنے کا ایک اور طریقہ کہ ڈیراک کنگھی ایک اور ڈیراک کنگھی میں تبدیل ہو جاتی ہے، عام طور پر پیریڈک افعال کے مسلسل فورئیر ٹرانسفارمز کی جانچ پڑتال سے شروع ہوتا ہے، اور پھر ڈیراک کنگھی کے معاملے میں مہارت حاصل کرتا ہے۔ یہ بھی ظاہر کرنے کے لیے کہ مخصوص قاعدہ فورئیر ٹرانسفارم کے کنونشن پر منحصر ہے، اسے کونیی فریکوئنسی کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جائے گا جس میں کسی بھی پیریڈک فنکشن کے لیے اس کا فورئیر ٹرانسفارم اطاعت کرتا ہے: کیونکہ فورئیر تبدیل ہوتا ہے اور اس کی طرف جاتا ہے اور اس مساوات کا مطلب یہ ہے کہ تقریبا ہر جگہ صرف ممکنہ مستثنیات کے ساتھ اور جب متعلقہ فورئیر سیریز کے اظہار اوقات میں فورئیر ٹرانسفارم کا جائزہ لیتے ہیں تو متعلقہ ڈیلٹا فنکشن کے نتائج ہوتے ہیں۔ ڈیراک کنگھی کے فورئیر ٹرانسفارم کے خاص معاملے کے لیے، ایک ہی مدت میں فورئیر سیریز انٹیگرل اصل میں صرف ڈیراک فنکشن کا احاطہ کرتا ہے اور اس طرح ہر ایک کے لیے دیتا ہے۔ اس کا خلاصہ ڈیراک کنگھی کو ڈیرچلیٹ دانا کی حد کے طور پر اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ پوزیشنوں پر سم پوائنٹ میں موجود تمام ایکسپونینشیلز ایک ہی سمت میں ہوں اور تعمیری طور پر شامل ہوں۔ دوسرے لفظوں میں، پیریڈک فنکشنز کی مسلسل فورئیر تبدیلی سب کے لیے کے ساتھ اور دی فورئیر سیریز کوفیشنٹس کی طرف لے جاتی ہے جب، یعنی۔ ایک اور ڈیراک کنگھی ہے، لیکن کونیی تعدد ڈومین (ریڈین/ایس) میں مدت کے ساتھ۔ جیسا کہ ذکر کیا گیا ہے، مخصوص اصول استعمال شدہ فورئیر ٹرانسفارم کے کنونشن پر منحصر ہے۔ درحقیقت، ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کی اسکیلنگ پراپرٹی کا استعمال کرتے وقت، مذکورہ بالا کو عام فریکوئنسی ڈومین (Hz) میں دوبارہ ظاہر کیا جا سکتا ہے اور کوئی دوبارہ حاصل کر سکتا ہے: اس طرح کہ یونٹ پیریڈ ڈیراک کنگھی خود میں تبدیل ہو جاتی ہے: آخر میں، ڈیراک کنگھی کونیی فریکوئنسی اسپیس میں یونٹری مسلسل فورئیر کے آئجن ویلیو 1 میں تبدیل ہونے کا ایک آئجن فنکشن بھی ہے جب کہ یونٹری فورئیر کے لیے مندرجہ بالا کو سیمپلنگ کے طور پر دوبارہ ظاہر کیا جا سکتا ہے اور کسی بھی فنکشن کو ڈیراک کنگھی سے ضرب دینا اسے کنگھی کے نوڈس پر فنکشن کی قدر کے برابر انٹیگرلز کے ساتھ امپلس کی ٹرین میں تبدیل کر دیتا ہے۔ یہ عمل اکثر نمونے لینے کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ڈیراک کنگھی کی سیلف ٹرانسفارمنگ پراپرٹی اور کنولیوشن تھیوریم کی وجہ سے، یہ فریکوئنسی ڈومین میں ڈیراک کنگھی کے ساتھ کنولیوشن سے مطابقت رکھتا ہے۔ چونکہ ڈیلٹا فنکشن کے ساتھ ارتقاء فنکشن کو منتقل کرنے کے مترادف ہے، ڈیراک کنگھی کے ساتھ ارتقاء نقل یا دورانیے کے مجموعے سے مطابقت رکھتا ہے: یہ نائکوسٹ-شینن سیمپلنگ تھیوریم کی قدرتی تشکیل کی طرف لے جاتا ہے۔ اگر فنکشن کے سپیکٹرم میں B سے زیادہ تعدد نہیں ہے (یعنی اس کا سپیکٹرم صرف وقفے میں غیر صفر ہے) تو وقفوں پر اصل فنکشن کے نمونے اصل سگنل کی تشکیل نو کے لیے کافی ہیں۔ یہ نمونے کے فنکشن کے سپیکٹرم کو ایک مناسب آئتاکار فنکشن سے ضرب دینے کے لیے کافی ہے، جو اینٹوں کی دیوار والے لو پاس فلٹر کو لگانے کے برابر ہے۔ ٹائم ڈومین میں، یہ "ریکٹ فنکشن کے ساتھ ضرب" "سنک فنکشن کے ساتھ ارتقاء" (، p.33-34) کے برابر ہے۔ لہذا، یہ اپنے نمونوں سے اصل فنکشن کو بحال کرتا ہے۔ اسے وٹیکر-شینن انٹرپولیشن فارمولا کہا جاتا ہے۔ تبصرہ: زیادہ تر سختی سے، عام فنکشن کے ساتھ ریکٹ فنکشن کا ضرب، جیسے ڈیراک کنگھی، ناکام ہو جاتا ہے۔ یہ وقفہ حدود پر ضرب پروڈکٹ کے غیر متعین نتائج کی وجہ سے ہے۔ حل کے طور پر، ریکٹ فنکشن کے بجائے لائٹ ہل یونٹری فنکشن کا استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ وقفے کی حدود پر ہموار ہوتا ہے، اس لیے یہ ہر جگہ مقررہ ضرب کی پیداوار دیتا ہے، تفصیلات کے لیے صفحہ 62، نظریہ 22 دیکھیں۔ دشاتمک اعداد و شمار میں استعمال، دشاتمک اعداد و شمار میں، پیریڈ کا ڈیراک کنگھی ایک لپٹے ہوئے ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کے برابر ہے اور لکیری اعداد و شمار میں ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کا ینالاگ ہے۔ لکیری اعداد و شمار میں، بے ترتیب متغیر عام طور پر حقیقی نمبر لائن، یا اس کے کسی ذیلی سیٹ پر تقسیم کیا جاتا ہے، اور کی امکانات کی کثافت ایک فنکشن ہے جس کا ڈومین حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے، اور جس کا انٹیگرل سے یونٹی ہے۔ دشاتمک اعداد و شمار میں، بے ترتیب متغیر کو اکائی کے دائرے میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور کی امکانات کی کثافت ایک ایسی فنکشن ہے جس کا ڈومین لمبائی کی حقیقی تعداد کا کچھ وقفہ ہے اور اس وقفے پر جس کا انٹیگرل اتحاد ہے۔ جس طرح حقیقی نمبر لائن پر صوابدیدی فنکشن کے ساتھ ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کے پروڈکٹ کا انٹیگرل صفر پر اس فنکشن کی قیمت حاصل کرتا ہے، اسی طرح یونٹ سرکل پر مدت کے صوابدیدی فنکشن کے ساتھ پیریڈ کے ڈیراک کنگھی کے پروڈکٹ کا انٹیگرل صفر پر اس فنکشن کی قیمت حاصل کرتا ہے۔ کمب فلٹر فریکوئنسی کمب پوسن سمشن فارمولا حوالہ جات مزید پڑھنا بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ خصوصی افعال عمومی افعال سگنل پروسیسنگ دشاتمک اعداد و شمار