Cotorsion group
ابیلین گروپ تھیوری میں، ایک ابیلین گروپ کو کوٹورسن کہا جاتا ہے اگر ٹورسن سے پاک گروپ کے ذریعہ اس کی ہر توسیع تقسیم ہو جائے۔ اگر گروپ ہے، تو یہ کہتا ہے کہ تمام ٹورسن فری گروپوں کے لیے۔ عقلی اعداد کے گروپ کے لیے شرط کی جانچ کرنا کافی ہے۔ زیادہ عام طور پر، رنگ R پر ایک ماڈیول M کو کوٹورسن ماڈیول کہا جاتا ہے اگر تمام فلیٹ ماڈیولز F کے لیے ایکسٹ 1 (F، M) = 0۔ یہ ابیلین گروپوں کی تعریف کے مساوی ہے (انٹیجرز کے رنگ Z پر ماڈیولز کے طور پر سمجھا جاتا ہے) کیونکہ اوور Z فلیٹ ماڈیول ٹورسن فری ماڈیولز کی طرح ہوتے ہیں۔ کوٹورسن گروپوں کی کچھ خصوصیات: کوٹورسن گروپ کا کوئی بھی حصّہ کوٹورسن ہوتا ہے۔ گروپوں کا ایک براہ راست پروڈکٹ کوٹورسن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر عنصر ہو۔ ہر قابل تقسیم گروپ یا انجیکشن گروپ کوٹرشن ہے۔ بایر فومین تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک ٹورسن گروپ کوٹورسن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک قابل تقسیم گروپ اور ایک باؤنڈڈ گروپ کا براہ راست مجموعہ ہو، یعنی باؤنڈڈ ایکسپونینٹ کا گروپ۔ ٹورسن سے پاک ابیلین گروپ کوٹرسن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ الجبرائی طور پر کمپیکٹ ہو۔ کوٹورسن گروپوں کے الم ذیلی گروپ کوٹورسن ہوتے ہیں اور کوٹورسن گروپوں کے الم عوامل الجبرائی طور پر کمپیکٹ ہوتے ہیں۔ بیرونی روابط ابیلین گروپ تھیوری گروپوں کی خصوصیات