Shear and moment diagram
شیر فورس اور موڑنے والے لمحات کے خاکے تجزیاتی اوزار ہیں جو ساختی تجزیہ کے ساتھ مل کر استعمال ہوتے ہیں تاکہ شیئر فورسز اور موڑنے والے لمحات کی قدر کا تعین کرکے ساختی ڈیزائن انجام دینے میں مدد مل سکے۔ ان خاکے کو کسی ڈھانچے میں کسی ممبر کی قسم، سائز اور مواد کا آسانی سے تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے تاکہ بوجھ کے دیے گئے سیٹ کو ساختی ناکامی کے بغیر سپورٹ کیا جا سکے۔ شیر اور مومنٹ ڈایگرام کا ایک اور اطلاق یہ ہے کہ بیم کے انحراف کا تعین آسانی سے مومنٹ ایریا طریقہ یا کنجوگیٹ بیم طریقہ استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے۔ کنونشن اگرچہ یہ کنونشن متعلقہ ہیں اور اگر واضح طور پر بیان کیا جائے تو کسی بھی کنونشن کو استعمال کیا جا سکتا ہے، پریکٹس کرنے والے انجینئروں نے ڈیزائن کے طریقوں میں استعمال ہونے والے ایک معیاری کنونشن کو اپنایا ہے۔ نارمل کنونشن زیادہ تر انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں استعمال ہونے والا نارمل کنونشن ایک مثبت شیر فورس کو لیبل کرنا ہے-جو کسی عنصر کو گھڑی کی سمت (بائیں طرف اوپر اور دائیں طرف نیچے) گھومتا ہے۔ اسی طرح مثبت موڑنے والے لمحے کے لیے عام روایت عنصر کو "یو" شکل کے انداز میں (بائیں طرف گھڑی کی سمت، اور دائیں طرف گھڑی کی مخالف سمت) موڑنا ہے۔ اسے یاد رکھنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ اگر لمحہ بیم کو "مسکراہٹ" میں موڑ رہا ہے تو لمحہ مثبت ہے، بیم کے اوپری حصے میں کمپریشن اور نیچے تناؤ کے ساتھ۔ یہ کنونشن بیم کے تجزیے کو آسان بنانے کے لیے منتخب کیا گیا تھا۔ چونکہ ایک افقی ممبر کا تجزیہ عام طور پر بائیں سے دائیں کیا جاتا ہے اور عمودی سمت میں مثبت کو عام طور پر اوپر لیا جاتا ہے، اس لیے مثبت شیر کنونشن کو بائیں سے اوپر کرنے اور تمام ڈرائنگ کو دائیں سے نیچے مستقل بنانے کے لیے منتخب کیا گیا تھا۔ مثبت موڑنے والے کنونشن کا انتخاب اس طرح کیا گیا تھا کہ ایک مثبت شیر فورس ایک مثبت لمحہ پیدا کرے گی۔ متبادل ڈرائنگ کنونشن ساختی انجینئرنگ اور خاص طور پر کنکریٹ ڈیزائن میں مثبت لمحہ ممبر کے تناؤ کی طرف کھینچا جاتا ہے۔ یہ روایت مثبت لمحے کو اوپر بیان کردہ بیم کے نیچے رکھتی ہے۔ تناؤ کی طرف لمحات کا خاکہ رکھنے کا رواج فریموں کو زیادہ آسانی اور واضح طور پر نمٹانے کی اجازت دیتا ہے۔ مزید برآں، لمحے کو ممبر کے تناؤ والے حصے پر رکھنا اخترتی کی عمومی شکل کو ظاہر کرتا ہے اور اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ کنکریٹ ممبر ریبار کے کس طرف رکھا جانا چاہئے، کیونکہ کنکریٹ تناؤ میں کمزور ہے۔ شیر قوت اور موڑنے کے لمحے کا حساب لگانا لوڈنگ خاکہ تیار کرنے کے ساتھ اگلا مرحلہ عنصر کے ساتھ کسی بھی نقطہ پر شیر قوت اور لمحے کی قدر تلاش کرنا ہے۔ افقی بیم کے لیے اسے انجام دینے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ کسی بھی مقام پر بیم کے دائیں سرے کو "کاٹنا" ہے۔ نیچے دی گئی مثال میں پوائنٹ لوڈ، ڈسٹری بیوٹڈ لوڈ، اور اپلائیڈ مومنٹ شامل ہیں۔ سپورٹ میں ہینجڈ سپورٹ اور فکسڈ اینڈ سپورٹ دونوں شامل ہیں۔ پہلی ڈرائنگ بیم کو لاگو قوتوں اور نقل مکانی کی رکاوٹوں کے ساتھ دکھاتی ہے۔ دوسری ڈرائنگ لوڈنگ ڈائیگرام ہے جس میں رد عمل کی اقدار کے ساتھ دکھایا گیا حساب کے بغیر دیا گیا ہے یا جسے زیادہ تر لوگ فری باڈی ڈائیگرام کہتے ہیں۔ تیسری ڈرائنگ شیر فورس ڈائیگرام ہے اور چوتھی ڈرائنگ موڑنے والے لمحے کا ڈائیگرام ہے۔ موڑنے والے لمحے کے خاکہ کے لیے نارمل سائن کنونشن استعمال کیا گیا تھا۔ مومنٹ ڈائیگرام کے نیچے شیر فورس اور موڑنے والے لمحے کے لیے مرحلہ وار افعال ہیں جن میں افعال کو توسیع دی گئی ہے تاکہ شیر اور موڑنے والے افعال پر ہر بوجھ کے اثرات کو ظاہر کیا جا سکے۔ اس مثال کو ریاستہائے متحدہ کی روایتی اکائیوں کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا گیا ہے۔ پوائنٹ بوجھ کا اظہار کپس (1 کیپ = 1000 ایل بی ایف = 4.45 کے این) میں کیا جاتا ہے، تقسیم شدہ بوجھ کا اظہار کے/فٹ (1 کے/فٹ = 1 کیپ/فٹ = 14.6 کے این/میٹر) میں کیا جاتا ہے، لمحات کا اظہار ایف ٹی-کے (1 فٹ-کے = 1 فٹ-کیپ = 1.356 کے این ایم) میں کیا جاتا ہے، اور لمبائی ایف ٹی (1 فٹ = 0.3048 ایم) میں ہوتی ہے۔ مرحلہ 1: رد عمل کی قوتوں اور لمحات کا حساب لگائیں موڑنے والے لمحے اور شیر قوت کی مساوات کو حاصل کرنے کا پہلا قدم رد عمل کی قوتوں کا تعین کرنا ہے۔ یہ پورے بیم کے فری باڈی ڈائیگرام کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ بیم میں تین رد عمل قوتیں ہوتی ہیں، دونوں سپورٹ پر Ra، Rb اور کلیمپڈ اینڈ پر Rc۔ کلیمپڈ اینڈ میں ایک ری ایکشن جوڑا میک بھی ہوتا ہے۔ ان چار مقداروں کا تعین دو مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کرنا پڑتا ہے، بیم میں قوتوں کا توازن اور بیم میں لمحات کا توازن۔ ان نامعلوم متغیرات میں دو آزاد مساوات کو دیکھتے ہوئے چار نامعلوم نہیں مل سکتے اور اس لیے بیم مستحکم طور پر غیر متعین ہے۔ اس مسئلے کو حل کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ لکیری سپرپوزیشن کے اصول کو استعمال کیا جائے اور مسئلے کو متعدد مستحکم طور پر طے شدہ مسائل کی سپرپوزیشن میں تقسیم کیا جائے۔ سپورٹ پر اضافی باؤنڈری کنڈیشنز کو سپرپوزڈ سولیوشن میں شامل کرنا پڑتا ہے تاکہ پورے بیم کی اخترتی مطابقت رکھتی ہو۔ پوری بیم کے فری باڈی خاکہ سے ہمارے پاس دو توازن مساوات ہیں قوتوں کا خلاصہ کرتے ہوئے، ہمارے پاس آزاد سرے (A) کے آس پاس کے لمحات کا خلاصہ کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے۔ ہم Rb اور Rc کے لیے ان مساوات کو Ra اور Mc کے لحاظ سے حل کر سکتے ہیں: اور اگر ہم بیم کے بائیں طرف سے پہلے سپورٹ کے بارے میں لمحات کا مجموعہ کرتے ہیں تو ہمارے پاس ہے۔ اسی طرح، اگر ہم دوسرے سپورٹ کے ارد گرد لمحات لیتے ہیں، تو ہمارے پاس ہے ایک بار پھر ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ یہ مساوات پہلی دو مساوات سے آزاد نہیں ہے۔ ہم بیم کے بند سرے کے ارد گرد لمحات کا حساب لگانے کی بھی کوشش کر سکتے ہیں تاکہ یہ مساوات دیگر دو مساوات سے لکیری طور پر آزاد نہ ہو۔ لہذا، بیم مستحکم طور پر غیر متعین ہے اور ہمیں بیم کے حصوں میں موڑنے والے لمحات کو را اور میک کے افعال کے طور پر تلاش کرنا ہوگا۔ مرحلہ 2: بیم کو حصوں میں توڑ دیں رد عمل کی قوتیں ملنے کے بعد، آپ بیم کو ٹکڑوں میں توڑ دیتے ہیں۔ رکن پر بیرونی قوتوں کا مقام اور تعداد ان ٹکڑوں کی تعداد اور مقام کا تعین کرتی ہے۔ پہلا ٹکڑا ہمیشہ ایک سرے سے شروع ہوتا ہے اور پہلی بیرونی قوت سے پہلے کہیں بھی ختم ہوتا ہے۔ مرحلہ 3: شیر قوتوں اور لمحات کا حساب لگائیں-پہلا ٹکڑا V1 اور M1 کو پہلے بیم کے حصے کے کراس سیکشن میں بالترتیب شیر قوت اور موڑنے والا لمحہ ہونے دیں۔ جیسے جیسے بیم کا حصہ بیرونی قوت کے اطلاق کے نقطہ کی طرف بڑھتا ہے، شیر فورس اور مومنٹ کی شدت بدل سکتی ہے۔ یہ شیر فورس اور موڑنے والے لمحے کو کراس سیکشن کی پوزیشن کا فنکشن بناتا ہے (اس مثال x میں)۔ اس حصے کے ساتھ قوتوں کا خلاصہ کرنے اور لمحات کا خلاصہ کرنے سے شیر قوت اور موڑنے والے لمحے کی مساوات حاصل ہوتی ہیں۔ یہ مساوات یہ ہیں: اور اس لیے، مرحلہ 4: شیر قوتوں اور لمحات کا حساب لگائیں-دوسرا حصہ دوسرے حصے کو لیتے ہوئے، دوسری اندرونی قوت سے پہلے کہیں بھی ختم ہوتا ہے، ہمارے پاس ہے اور اس لیے، نوٹ کریں کہ چونکہ شیر قوت x کے لحاظ سے ہے، اس لیے مومنٹ مساوات کا مربع ہے۔ یہ اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ مومنٹ شیر فورس کا لازمی حصہ ہے۔ اس لمحے کا مشکل حصہ تقسیم شدہ قوت ہے۔ چونکہ قوت حصے کی لمبائی کے ساتھ بدلتی ہے، اس لیے قوت کو 10 فٹ کے بعد فاصلے سے ضرب دی جائے گی۔ (x-10) مومنٹ لوکیشن کی وضاحت تقسیم شدہ قوت کے وسط میں کی جاتی ہے، جو بھی تبدیل ہو رہی ہے۔ یہ وہ جگہ ہے جہاں سے (x + 10)/2 اخذ کیا گیا ہے۔ متبادل طور پر، ہم حاصل کرنے کے لیے کراس سیکشن کے بارے میں لمحات لے سکتے ہیں۔ پھر، اس معاملے میں، مرحلہ 5: شیر قوتوں اور لمحات کا حساب لگائیں-تیسرا ٹکڑا تیسرا حصہ لیتے ہوئے، اور قوتوں کا خلاصہ کرتے ہوئے، ہمارے پاس کراس سیکشن کے بارے میں لمحات کا خلاصہ کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے۔ لہذا، اور نوٹ کریں کہ تقسیم شدہ قوت کو اب 15 کپس کی ایک قوت سمجھا جا سکتا ہے جو اس کے بیچ میں کام کر رہی ہے جہاں وہ پوزیشن میں ہے۔ مرحلہ 6: شیر قوتوں اور لمحات کا حساب لگائیں-چوتھا ٹکڑا چوتھا اور آخری حصہ لیتے ہوئے، قوتوں کا توازن دیتا ہے اور کراس سیکشن کے ارد گرد لمحات کا توازن V4 اور M4 کے حل کی طرف جاتا ہے، ہمارے پاس ہے اور ان میں سے ہر ایک مساوات کو ان کے مطلوبہ وقفوں پر پلاٹ کرنے سے، آپ کو اس بیم کے لیے موڑنے کا لمحہ اور شیر قوت کے خاکے ملتے ہیں۔ خاص طور پر، بیم کے بند سرے پر، x = 50 اور ہمارے پاس مرحلہ 7 ہے: چار حصوں کے انحراف کا حساب لگائیں اب ہم چار حصوں کے انحراف کا حساب لگانے کے لیے یولر-برنولی بیم تھیوری کا استعمال کرتے ہیں۔ تفریق مساوات جو بیم کے انحراف (ڈبلیو) کو موڑنے والے لمحے (ایم) سے متعلق کرتی ہے وہ ہے جہاں ای ینگ کا ماڈیولس ہے اور I بیم کراس سیکشن کا ایریا مومنٹ آف انیرشیا ہے۔ ایم 1، ایم 2، ایم 3، ایم 4 کے تاثرات کو بیم مساوات میں تبدیل کرنے اور انحراف کے لیے حل کرنے سے ہمیں مرحلہ 8 ملتا ہے: باؤنڈری کنڈیشنز کا اطلاق کریں اب ہم انضمام کے مستقل کا تعین کرنے کے لیے چار حصوں کے لیے نقل مکانی کی باؤنڈری کنڈیشنز کا اطلاق کریں گے۔ بیم کے چوتھے حصے کے لیے، ہم کلیمپڈ سرے پر باؤنڈری کنڈیشنز پر غور کرتے ہیں جہاں x = 50 پر w4 = dw/dx = 0 ہے۔ C7 اور C8 کے لیے حل کرنے سے ملتا ہے۔ لہذا، ہم W4 کو اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں کہ اب، W4 = W3 x = 37.5 پر (بیرونی جوڑے کے اطلاق کا نقطہ)۔ نیز، اس مقام پر انحراف منحنی خطوط کی ڈھلوانیں ایک جیسی ہیں، یعنی dw4/dx = dw3/dx۔ ان باؤنڈری کنڈیشنز کا استعمال کرتے ہوئے اور C5 اور C6 کے لیے حل کرتے ہوئے، ہمیں ان مستقلات کا متبادل W3 کے لیے اظہار میں ملتا ہے۔ اسی طرح، حصوں 2 اور 3 کے درمیان سپورٹ پر جہاں x = 25، W3 = W2 اور dw3/dx = dw2/dx۔ ان کا استعمال کرتے ہوئے اور C3 اور C4 کے لیے حل کرنے سے ملتا ہے، لہذا، حصوں 1 اور 2 کے درمیان سپورٹ پر، x = 10 اور w1 = w2 اور dw1/dx = dw2/dx۔ یہ باؤنڈری کنڈیشن ہمیں دیتے ہیں لہذا، مرحلہ 9: میک اور را کے لیے حل کریں کیونکہ x = 25 پر ڈبلیو 2 = 0، ہم میک کے لیے را کے لحاظ سے حل کر سکتے ہیں۔ نیز، چونکہ x = 10 پر ڈبلیو 1 = 0، را کے لحاظ سے انحراف کا اظہار کرتے ہوئے (میک کو ختم کرنے کے بعد) اور را کے لیے حل کرتے ہوئے، مرحلہ 10 دیتا ہے: پلاٹ موڑنے والے لمحے اور شیر فورس کے خاکے اب ہم رد عمل آر بی اور آر سی، موڑنے والے لمحات ایم 1، ایم 2، ایم 3، ایم 4، اور شیر فورسز وی 1، وی 2، وی 3، وی 4 کا حساب لگا سکتے ہیں۔ ان تاثرات کو پھر ہر حصے کے لیے لمبائی کے فنکشن کے طور پر پلاٹ کیا جا سکتا ہے۔ شیر فورس اور موڑنے والے لمحے کے درمیان تعلق دونوں خاکے کے درمیان تعلق کو نوٹ کرنا ضروری ہے۔ مومنٹ ڈائیگرام شیر فورس ڈائیگرام کے تحت علاقے کی بصری نمائندگی ہے۔ یعنی مومنٹ شیر فورس کا لازمی حصہ ہے۔ اگر شیر فورس ایک وقفے پر مستقل ہے، تو لمحے کی مساوات x (لکیری) کے لحاظ سے ہوگی۔ اگر شیر فورس ایک وقفے پر لکیری ہے، تو مومنٹ کی مساوات کواڈریٹک (پیرابولک) ہوگی۔ شیر فورس کے خاکے پر ایک اور نوٹ یہ ہے کہ وہ ظاہر کرتے ہیں کہ بیرونی قوت اور لمحات کا اطلاق کہاں ہوتا ہے۔ بیرونی قوتوں کے بغیر، ٹکڑے ٹکڑے کے افعال کو منسلک ہونا چاہیے اور کوئی تعطل نہیں دکھانا چاہیے۔ گراف پر منقطعیاں بیرونی قوت یا بیرونی لمحات کی صحیح شدت ہوتی ہیں جو لاگو ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، شیر فورس ڈایگرام پر x = 10 پر، دونوں مساوات کے درمیان ایک فرق ہے۔ یہ فرق-10 سے 15.3 تک جاتا ہے۔ اس خلا کی لمبائی 25.3 ہے، جو اس مقام پر بیرونی قوت کی صحیح شدت ہے۔ اس وقت کے خاکہ کے سیکشن 3 پر، 50 کا تعطل ہے۔ یہ ساخت پر 50 کے لاگو لمحے سے ہے۔ گراف پر زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم اقدار ان حالات میں اس بیم کی زیادہ سے زیادہ قوتوں اور لمحات کی نمائندگی کرتی ہیں۔ چونکہ یہ طریقہ نسبتا سادہ مسائل کے ساتھ آسانی سے غیر ضروری طور پر پیچیدہ ہو سکتا ہے، اس لیے لوڈنگ، شیر اور مومنٹ ڈایگرام کے درمیان مختلف تعلقات کو سمجھنا کافی مددگار ثابت ہو سکتا ہے۔ ان میں سے پہلا لوڈنگ ڈائیگرام اور شیر ڈائیگرام پر تقسیم شدہ بوجھ کے درمیان تعلق ہے۔ چونکہ تقسیم شدہ بوجھ شیر بوجھ کو اس کی شدت کے مطابق بدلتا ہے اس لیے یہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ شیر خاکہ کی ڈھلوان تقسیم شدہ بوجھ کی شدت کے برابر ہے۔ تقسیم شدہ بوجھ اور شیر قوت کی شدت کے درمیان تعلق، جسے شوڈلر کے نظریہ کے ذریعے بیان کیا گیا ہے، یہ ہے: اس کے کچھ براہ راست نتائج یہ ہیں کہ اگر کسی ممبر پر پوائنٹ لوڈ لگایا جاتا ہے تو شیر خاکہ کی شدت میں پوائنٹ کی تبدیلی ہوگی، اور مستقل تقسیم شدہ بوجھ کے نتیجے میں لکیری طور پر مختلف شیر شدت ہوگی۔ اسی طرح یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کسی دیئے گئے مقام پر مومنٹ ڈائیگرام کی ڈھلوان اس فاصلے پر شیر ڈائیگرام کی شدت کے برابر ہے۔ تقسیم شدہ شیر قوت اور موڑنے والے لمحے کے درمیان تعلق یہ ہے: اس کا ایک براہ راست نتیجہ یہ ہے کہ ہر نقطہ پر شیر خاکہ صفر کو عبور کرتا ہے جس لمحے خاکہ میں مقامی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم ہوگا۔ اس کے علاوہ اگر شیر ڈایگرام ممبر کی لمبائی پر صفر ہے، تو مومنٹ ڈایگرام کی اس لمبائی پر مستقل قیمت ہوگی۔ کیلکولس کے ذریعے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ ایک پوائنٹ لوڈ لکیری طور پر مختلف لمحات کے خاکہ کی طرف لے جائے گا، اور ایک مستقل تقسیم شدہ بوجھ ایک کواڈریٹک لمحات کے خاکہ کی طرف لے جائے گا۔ عملی ایپلی کیشنز میں پورے مرحلہ وار فنکشن کو شاذ و نادر ہی لکھا جاتا ہے۔ مرحلہ وار فنکشن کے صرف وہ حصے جو لکھے جائیں گے وہ مومنٹ ڈائیگرام کے غیر لکیری حصے میں مومنٹ مساوات ہیں۔ یہ اس وقت ہوتا ہے جب ممبر پر تقسیم شدہ بوجھ لگایا جاتا ہے۔ مستقل حصوں کے لیے شیر اور/یا لمحے کے خاکہ کی قیمت خاکہ پر صحیح لکھی جاتی ہے، اور کسی ممبر کے لکیری طور پر مختلف حصوں کے لیے ابتدائی قیمت، اختتامی قیمت، اور ڈھلوان یا ممبر کا حصہ درکار ہوتا ہے۔ بینڈنگ یولر-برنولی بیم تھیوری بینڈنگ مومنٹ سنگلریٹی function#Example بیم کا حساب حوالہ جات مزید پڑھنا چینگ، فا-ہوا بھی دیکھیں۔ "شیئر فورسز اینڈ بینڈنگ مومنٹ ان بیمز" اسٹیٹکس اینڈ اسٹرینتھ آف میٹریلز۔ نیو یارک: گلینکو، میک گرا ہل، 1997۔ پرنٹ کریں۔ اسپاٹس، مرہیلی فرینکلن، ٹیری ای شوپ، اور لی ایمری۔ ہارنبرگر۔ "شیر اور موڑنے والے لمحات کے خاکے"۔ مشین عناصر کا ڈیزائن۔ اپر سیڈل ریور، این جے: پیئرسن/پرینٹس ہال، 2004۔ پرنٹ کریں۔ بیرونی روابط کنٹینم میکانکس خاکے مومنٹ (طبیعیات) ساختی تجزیہ