Bicubic interpolation
ریاضی میں، بائیکیوبک انٹرپولیشن دو جہتی باقاعدہ گرڈ پر ڈیٹا پوائنٹس کو انٹرپولیٹ کرنے کے لیے کیوبک اسپلین انٹرپولیشن (ڈیٹا سیٹ پر کیوبک انٹرپولیشن کو لاگو کرنے کا ایک طریقہ) کی توسیع ہے۔ انٹرپولیٹڈ سطح (جس کا مطلب دانا کی شکل ہے، تصویر نہیں) دو لکیری انٹرپولیشن یا قریب ترین پڑوسی انٹرپولیشن کے ذریعے حاصل کردہ متعلقہ سطحوں سے زیادہ ہموار ہوتی ہے۔ بیکیوبک انٹرپولیشن کو یا تو لگرینج کثیر الجہتی، کیوبک اسپلینز، یا کیوبک کنوولوشن الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے پورا کیا جا سکتا ہے۔ امیج پروسیسنگ میں، بائی کیوبک انٹرپولیشن کو اکثر امیج ری سیمپلنگ میں دو لکیری یا قریب ترین پڑوسی انٹرپولیشن پر منتخب کیا جاتا ہے، جب رفتار کوئی مسئلہ نہیں ہوتی ہے۔ دو لکیری انٹرپولیشن کے برعکس، جو صرف 4 پکسلز (2 × 2) کو مدنظر رکھتا ہے، بائیکیوبک انٹرپولیشن 16 پکسلز (4 × 4) پر غور کرتا ہے۔ بائی کیوبک انٹرپولیشن کے ساتھ دوبارہ نمونے لی گئی تصاویر میں منتخب کردہ بی اور سی اقدار کے لحاظ سے مختلف انٹرپولیشن نمونے ہو سکتے ہیں۔ کمپیوٹیشن فرض کریں کہ فنکشن ویلیوز اور مشتقات، اور چار کونوں،،، اور یونٹ مربع کے بارے میں معلوم ہیں۔ انٹرپولیٹڈ سطح کو پھر اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ انٹرپولیشن کا مسئلہ 16 کوفیشنٹس کا تعین کرنے پر مشتمل ہوتا ہے۔ فنکشن کی اقدار کے ساتھ ملاپ کرنے سے چار مساوات حاصل ہوتی ہیں: اسی طرح، میں اور سمتوں میں مشتقات کے لیے آٹھ مساوات: اور مخلوط جزوی مشتقات کے لیے چار مساوات: مندرجہ بالا تاثرات نے درج ذیل شناختوں کا استعمال کیا ہے: یہ طریقہ کار یونٹ مربع پر ایک ایسی سطح حاصل کرتا ہے جو مسلسل ہے اور اس میں مسلسل مشتقات ہیں۔ اس کے بعد من مانی سائز کے باقاعدہ گرڈ پر بائی کیوبک انٹرپولیشن کو اس طرح کی بائی کیوبک سطحوں کو ایک ساتھ جوڑ کر پورا کیا جا سکتا ہے، اس بات کو یقینی بناتے ہوئے کہ مشتق حدود سے میل کھاتے ہیں۔ ویکٹر میں نامعلوم پیرامیٹرز کو گروپ کرنا اور مساوات کے مذکورہ بالا نظام کو لکیری مساوات کے لیے میٹرکس میں دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ میٹرکس کو الٹا کرنے سے زیادہ مفید لکیری مساوات ملتی ہے، جہاں اس کا حساب جلدی اور آسانی سے لگایا جا سکتا ہے۔ 16 کوفیشنٹس کے لیے ایک اور جامع میٹرکس فارم ہو سکتا ہے: یا جہاں ریکٹلینئر گرڈ تک توسیع اکثر، ایپلی کیشنز یونٹ مربع کے بجائے ریکٹلینئر گرڈ پر ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے بائیکیوبک انٹرپولیشن کا مطالبہ کرتی ہیں۔ اس صورت میں، شناخت کے لیے اور بن جاتا ہے جہاں سیل کا فاصلہ ہوتا ہے جس میں نقطہ ہوتا ہے اور اس کے لیے یکساں ہوتا ہے۔ اس صورت میں، کوفشنٹس کو کمپیوٹ کرنے کا سب سے زیادہ عملی طریقہ یہ ہے کہ اسے پہلے کی طرح حل کرنے دیں۔ اگلا، نارملائزڈ انٹرپولیٹنگ متغیرات کا حساب اس طرح لگایا جاتا ہے کہ نقطہ کے ارد گرد گرڈ پوائنٹس کے نقاط کہاں اور کہاں ہیں۔ پھر، انٹرپولیٹنگ سطح فنکشن ویلیوز سے مشتقات تلاش کرنا بن جاتی ہے۔ اگر مشتقات نامعلوم ہیں، تو وہ عام طور پر یونٹ مربع کے کونوں کے پڑوسی مقامات پر فنکشن ویلیوز سے لگ بھگ ہوتے ہیں، جیسے۔ محدود اختلافات کا استعمال کرتے ہوئے۔ واحد مشتقات میں سے کسی ایک کو تلاش کرنے کے لیے، یا، اس طریقہ کو استعمال کرتے ہوئے، مناسب محور میں آس پاس کے دو نکات کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں۔ مثال کے طور پر، پوائنٹس میں سے کسی ایک کا حساب لگانے کے لیے، ٹارگٹ پوائنٹ کے بائیں اور دائیں طرف کے پوائنٹس تلاش کریں اور ان کی ڈھلوان کا حساب لگائیں، اور اسی طرح کے لیے۔ کراس مشتق کو تلاش کرنے کے لیے، مشتق کو دونوں محوروں میں لیں، ایک وقت میں ایک۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی پہلے ہدف نقطہ کے اوپر اور نیچے کے نکات کے مشتقات کو تلاش کرنے کے لیے طریقہ کار کا استعمال کر سکتا ہے، پھر ہدف نقطہ کی قدر حاصل کرنے کے لیے ان اقدار (معمول کے مطابق، ان نکات کی اقدار کے بجائے) پر طریقہ کار کا استعمال کر سکتا ہے۔ (یا کوئی اسے مخالف سمت میں کر سکتا ہے، پہلے حساب لگانا اور پھر ان سے۔ دونوں مساوی نتائج دیتے ہیں۔) ڈیٹا سیٹ کے کناروں پر، جب کوئی آس پاس کے کچھ نکات سے محروم ہوتا ہے، تو گمشدہ نکات کا تخمینہ کئی طریقوں سے لگایا جا سکتا ہے۔ ایک آسان اور عام طریقہ یہ فرض کرنا ہے کہ موجودہ نقطہ سے ہدف نقطہ تک ڈھلوان مزید تبدیلی کے بغیر جاری رہتا ہے، اور اس کا استعمال گمشدہ نقطہ کے لیے ایک فرضی قدر کا حساب لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔ بیکیوبک کنولوشن الگورتھم بیکیوبک اسپلین انٹرپولیشن کے لیے ہر گرڈ سیل کے لیے اوپر بیان کردہ لکیری نظام کے حل کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسی طرح کی خصوصیات کے ساتھ ایک انٹرپولیٹر دونوں جہتوں میں درج ذیل دانا کے ساتھ کنولیوشن لگا کر حاصل کیا جا سکتا ہے: جہاں عام طور پر-0.0 یا-0.75 پر سیٹ کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اور تمام غیر صفر انٹیجرز کے لیے۔ یہ نقطہ نظر کیز کی طرف سے تجویز کیا گیا تھا، جس نے ظاہر کیا کہ اصل فنکشن کے نمونے لینے کے وقفے کے حوالے سے تھرڈ آرڈر کنورجنس پیدا ہوتا ہے۔ اگر ہم کامن کیس کے لیے میٹرکس نوٹیشن استعمال کرتے ہیں، تو ہم مساوات کو زیادہ دوستانہ انداز میں ظاہر کر سکتے ہیں: ایک جہت کے لیے 0 اور 1 کے درمیان۔ نوٹ کریں کہ 1 جہتی کیوبک کنولیوشن انٹرپولیشن کے لیے 4 نمونے پوائنٹس درکار ہیں۔ ہر انکوائری کے لیے دو نمونے اس کے بائیں طرف اور دو نمونے دائیں طرف واقع ہوتے ہیں۔ ان نکات کو اس متن میں −1 سے 2 تک انڈیکس کیا گیا ہے۔ 0 کے ساتھ انڈیکس شدہ پوائنٹ سے انکوائری پوائنٹ تک کا فاصلہ یہاں سے ظاہر ہوتا ہے۔ دو جہتوں کے لیے پہلے ایک بار اور بار بار لاگو کیا جاتا ہے: کمپیوٹر گرافکس میں استعمال بائیکیوبک الگورتھم اکثر اسکیلنگ امیجز اور ڈسپلے کے لیے ویڈیو کے لیے استعمال ہوتا ہے (بٹ میپ ری سیمپلنگ دیکھیں)۔ یہ عام دو لکیری الگورتھم سے بہتر باریک تفصیل کو محفوظ رکھتا ہے۔ تاہم، دانے پر منفی لوبوں کی وجہ سے، یہ اوورشوٹ (ہالوئنگ) کا سبب بنتا ہے۔ یہ کلپنگ کا سبب بن سکتا ہے، اور یہ ایک فن پارہ ہے (بجتے ہوئے نمونے بھی دیکھیں)، لیکن اس سے شدت (ظاہری تیزیت) میں اضافہ ہوتا ہے، اور یہ مطلوب ہو سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ مقامی اینٹی الیازنگ بیزیئر سطح بلینیئر انٹرپولیشن کیوبک ہرمائیٹ اسپلائن، بائیکیوبک اسپلائن لینکزوس کے دوبارہ نمونے لینے کا ایک جہتی ینالاگ قدرتی پڑوسی انٹرپولیشن سنک فلٹر اسپلائن انٹرپولیشن ٹرائیکیوبک انٹرپولیشن ڈائرکشنل کیوبک کنولیوشن انٹرپولیشن حوالہ جات بیرونی لنکس بلندی کے نمونوں پر انٹرپولیشن کا اطلاق انٹرپولیشن تھیوری کی وضاحت اور جاوا/سی + + کا نفاذ (بائی) کیوبک انٹرپولیشن ایکسل ورکشیٹ فنکشن برائے بائیکیوبک لگرینج انٹرپولیشن امیج پروسیسنگ ملٹی ویریٹ انٹرپولیشن