Linear time-invariant system
نظام کے تجزیے میں، مطالعہ کے دیگر شعبوں کے درمیان، لکیری ٹائم انویرینٹ (ایل ٹی آئی) نظام ایک ایسا نظام ہے جو لکیریٹی اور ٹائم انویرینس کی رکاوٹوں کے تابع کسی بھی ان پٹ سگنل سے آؤٹ پٹ سگنل تیار کرتا ہے۔ ان اصطلاحات کی مختصر وضاحت ذیل میں کی گئی ہے۔ یہ خصوصیات بہت سے اہم فزیکل سسٹمز پر (بالکل یا تقریبا) لاگو ہوتی ہیں، اس صورت میں صوابدیدی ان پٹ پر سسٹم کا ردعمل براہ راست کنولیوشن کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے: جہاں اسے سسٹم کا امپلس رسپانس کہا جاتا ہے اور جو کنولیوشن کی نمائندگی کرتا ہے (ضرب کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا)۔ مزید کیا ہے، اس طرح کے کسی بھی نظام (تعین) کو حل کرنے کے لیے منظم طریقے موجود ہیں، جبکہ دونوں خصوصیات کو پورا نہ کرنے والے نظام کو تجزیاتی طور پر حل کرنا عام طور پر زیادہ مشکل (یا ناممکن) ہوتا ہے۔ ایل ٹی آئی نظام کی ایک اچھی مثال کوئی بھی برقی سرکٹ ہے جس میں مزاحم، کیپسیٹرز، انڈکٹرز اور لکیری یمپلیفائرز ہوتے ہیں۔ لکیری ٹائم-انویرینٹ سسٹم تھیوری امیج پروسیسنگ میں بھی استعمال ہوتی ہے، جہاں نظاموں میں عارضی جہت کے بجائے یا اس کے علاوہ مقامی جہتیں ہوتی ہیں۔ اصطلاحات کو سب سے زیادہ عام رسائی دینے کے لیے ان نظاموں کو لکیری ترجمہ-متغیر کہا جا سکتا ہے۔ عام ڈسکریٹ ٹائم (یعنی نمونے لینے والے) نظاموں کے معاملے میں، لکیری شفٹ-انویرنٹ متعلقہ اصطلاح ہے۔ ایل ٹی آئی سسٹم تھیوری اطلاقی ریاضی کا ایک شعبہ ہے جس کا براہ راست اطلاق الیکٹریکل سرکٹ تجزیہ اور ڈیزائن، سگنل پروسیسنگ اور فلٹر ڈیزائن، کنٹرول تھیوری، مکینیکل انجینئرنگ، امیج پروسیسنگ، کئی قسم کے آلات کی پیمائش کا ڈیزائن، این ایم آر سپیکٹروسکوپی، اور بہت سے دوسرے تکنیکی شعبوں میں ہوتا ہے جہاں عام تفریقی مساوات کے نظام خود کو پیش کرتے ہیں۔ جائزہ کسی بھی ایل ٹی آئی نظام کی وضاحتی خصوصیات لکیریٹی اور ٹائم انویرینس ہیں۔ لکیریٹی کا مطلب یہ ہے کہ ان پٹ اور آؤٹ پٹ کے درمیان تعلق، دونوں کو فنکشن سمجھا جا رہا ہے، ایک لکیری میپنگ ہے: اگر مستقل ہے تو سسٹم آؤٹ پٹ ہے۔ اگر سسٹم آؤٹ پٹ کے ساتھ مزید ان پٹ ہے تو سسٹم کا آؤٹ پٹ ہے، یہ، کے تمام انتخاب کے لیے لاگو ہوتا ہے۔ مؤخر الذکر حالت کو اکثر سپرپوزیشن اصول کہا جاتا ہے۔ ٹائم انویرینس کا مطلب یہ ہے کہ چاہے ہم سسٹم پر ابھی ان پٹ لگائیں یا اب سے ٹی سیکنڈ، آؤٹ پٹ یکساں ہوگا سوائے ٹی سیکنڈ کے وقت کی تاخیر کے۔ یعنی، اگر ان پٹ کی وجہ سے آؤٹ پٹ ہے، تو ان پٹ کی وجہ سے آؤٹ پٹ ہے۔ لہذا، نظام وقت غیر متغیر ہے کیونکہ آؤٹ پٹ کا انحصار اس مخصوص وقت پر نہیں ہوتا ہے جب ان پٹ کا اطلاق ہوتا ہے۔ ایل ٹی آئی سسٹم تھیوری میں بنیادی نتیجہ یہ ہے کہ کسی بھی ایل ٹی آئی سسٹم کو مکمل طور پر ایک واحد فنکشن کے ذریعے نمایاں کیا جا سکتا ہے جسے سسٹم کا امپلس رسپانس کہا جاتا ہے۔ سسٹم کی آؤٹ پٹ محض سسٹم کے امپلس رسپانس کے ساتھ سسٹم میں ان پٹ کا ارتقاء ہے۔ اسے مسلسل وقت کا نظام کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، ایک مجرد وقت کے لکیری وقت کے متغیر (یا، زیادہ عام طور پر، "شفٹ-متغیر") نظام کو مجرد وقت میں کام کرنے والے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے: جہاں y، x، اور h ترتیبات ہیں اور مجرد وقت میں ارتقاء، ایک لازمی کے بجائے ایک مجرد خلاصہ استعمال کرتا ہے۔ ایل ٹی آئی سسٹمز کو فریکوئنسی ڈومین میں سسٹم کی ٹرانسفر فنکشن کے ذریعے بھی نمایاں کیا جا سکتا ہے، جو سسٹم کے امپلس رسپانس کا لیپلیس ٹرانسفارم ہے (یا ڈسکرٹ ٹائم سسٹمز کے معاملے میں زیڈ ٹرانسفارم)۔ ان تبدیلیوں کی خصوصیات کے نتیجے میں، فریکوئنسی ڈومین میں سسٹم کی آؤٹ پٹ ٹرانسفر فنکشن اور ان پٹ کی تبدیلی کا نتیجہ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ٹائم ڈومین میں ارتقاء فریکوئنسی ڈومین میں ضرب کے برابر ہے۔ تمام ایل ٹی آئی سسٹمز کے لیے، آئجن فنکشنز، اور ٹرانسفارمز کے بنیادی افعال، پیچیدہ ایکسپونینشیلز ہیں۔ یہ ہے، اگر کسی نظام کا ان پٹ کسی پیچیدہ طول و عرض اور پیچیدہ تعدد کے لیے پیچیدہ لہر کی شکل ہے، تو آؤٹ پٹ کچھ پیچیدہ مستقل گنا ان پٹ ہوگا، جیسے کہ کسی نئے پیچیدہ طول و عرض کے لیے۔ تناسب تعدد پر منتقلی فنکشن ہے۔ چونکہ سینوسائڈز پیچیدہ کنجوگیٹ تعدد کے ساتھ پیچیدہ ایکسپونینشیلز کا مجموعہ ہیں، اگر نظام میں ان پٹ ایک سینوسائڈ ہے، تو نظام کا آؤٹ پٹ بھی ایک سینوسائڈ ہوگا، شاید مختلف طول و عرض اور مختلف مرحلے کے ساتھ، لیکن ہمیشہ مستحکم حالت تک پہنچنے پر ایک ہی تعدد کے ساتھ۔ ایل ٹی آئی سسٹم فریکوئنسی اجزاء تیار نہیں کر سکتے جو ان پٹ میں نہیں ہیں۔ ایل ٹی آئی سسٹم تھیوری بہت سے اہم نظاموں کو بیان کرنے میں اچھی ہے۔ زیادہ تر ایل ٹی آئی سسٹمز کو تجزیہ کرنے کے لیے "آسان" سمجھا جاتا ہے، کم از کم وقت کے لحاظ سے مختلف اور/یا غیر لکیری کیس کے مقابلے میں۔ کوئی بھی نظام جسے مستقل کوفشنٹس کے ساتھ لکیری تفریق مساوات کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے وہ ایل ٹی آئی نظام ہے۔ اس طرح کے نظاموں کی مثالیں برقی سرکٹس ہیں جو مزاحموں، انڈکٹرز اور کیپسیٹرز (آر ایل سی سرکٹس) سے بنے ہوتے ہیں۔ مثالی اسپرنگ ماس ڈیمپر سسٹم بھی ایل ٹی آئی سسٹم ہیں، اور ریاضیاتی طور پر آر ایل سی سرکٹس کے مساوی ہیں۔ زیادہ تر ایل ٹی آئی نظام کے تصورات مسلسل وقت اور مجرد وقت (لکیری شفٹ-غیر متغیر) کے معاملات کے درمیان ملتے جلتے ہیں۔ امیج پروسیسنگ میں، ٹائم متغیر کو دو خلائی متغیرات سے تبدیل کیا جاتا ہے، اور ٹائم انویرینس کے تصور کو دو جہتی شفٹ انویرینس سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ فلٹر بینکوں اور ایم آئی ایم او سسٹمز کا تجزیہ کرتے وقت، سگنلز کے ویکٹروں پر غور کرنا اکثر مفید ہوتا ہے۔ ایک لکیری نظام جو وقت کے لحاظ سے غیر متغیر نہیں ہے اسے گرین فنکشن طریقہ جیسے دیگر طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ مسلسل وقت کے نظام امپلس رسپانس اور کنولیوشن ان پٹ سگنل x (t) اور آؤٹ پٹ سگنل y (t) کے ساتھ لکیری، مسلسل وقت، وقت کے متغیر نظام کے رویے کو کنولیوشن انٹیگرل کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے: {| | | | |-| | (کمیونیٹی ویٹی کا استعمال کرتے ہوئے) |} جہاں ایک امپلس کے لیے نظام کا ردعمل ہے: اس لیے یہ ان پٹ فنکشن کی اوسط اوسط کے متناسب ہے۔ ویٹنگ فنکشن، محض رقم کے لحاظ سے منتقل کیا جاتا ہے۔ جیسے جیسے تبدیلی آتی ہے، ویٹنگ فنکشن ان پٹ فنکشن کے مختلف حصوں پر زور دیتا ہے۔ تمام منفی کے لیے کب صفر ہوتا ہے، یہ صرف وقت سے پہلے کی اقدار پر منحصر ہوتا ہے، اور نظام کو وجہ کہا جاتا ہے۔ یہ سمجھنے کے لیے کہ ارتقاء ایل ٹی آئی سسٹم کی آؤٹ پٹ کیوں پیدا کرتا ہے، اشارے کو متغیر اور مستقل کے ساتھ فنکشن کی نمائندگی کرنے دیں۔ اور مختصر اشارے کو نمائندگی کرنے دیں۔ پھر ایک مسلسل وقت کا نظام ایک ان پٹ فنکشن کو آؤٹ پٹ فنکشن میں تبدیل کرتا ہے۔ اور عام طور پر، آؤٹ پٹ کی ہر قیمت ان پٹ کی ہر قیمت پر منحصر ہو سکتی ہے۔ اس تصور کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے: وقت کے لیے ٹرانسفارمیشن آپریٹر کہاں ہے۔ ایک عام نظام میں، قریب وقت میں ہونے والی اقدار پر سب سے زیادہ انحصار کرتا ہے۔ جب تک کہ تبدیلی خود اس کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی، آؤٹ پٹ فنکشن صرف مستقل ہوتا ہے، اور نظام غیر دلچسپ ہوتا ہے۔ لکیری نظام کے لیے، پورا کرنا ضروری ہے: اور وقت میں تغیر کی ضرورت یہ ہے کہ: اس اشارے میں، ہم امپلس رسپانس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں: اسی طرح: {| | | |-| | (استعمال کرتے ہوئے) |} اس نتیجہ کو کنولیوشن انٹیگرل میں تبدیل کرنا: جس میں کیس کے دائیں طرف کی شکل ہوتی ہے اور پھر اس تسلسل کی اجازت دیتا ہے: خلاصہ یہ ہے کہ ان پٹ فنکشن کی نمائندگی ٹائم شفٹڈ امپلس فنکشنز کے تسلسل کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جو کہ "لکیری" طور پر مشترکہ ہے، جیسا کہ یہاں دکھایا گیا ہے۔ نظام کی لکیریٹی پراپرٹی نظام کے ردعمل کو اسی طرح مل کر امپلس ردعمل کے متعلقہ تسلسل کے ذریعے ظاہر کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ اور وقت میں تغیر کی خاصیت اس امتزاج کو کنولیوشن انٹیگرل کے ذریعے ظاہر کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ مندرجہ بالا ریاضیاتی کارروائیوں میں ایک سادہ گرافیکل تخروپن ہے۔ ایک آئجن فنکشن ایک فنکشن ہے جس کے لیے آپریٹر کا آؤٹ پٹ اسی فنکشن کا اسکیلڈ ورژن ہوتا ہے۔ یعنی، جہاں f آئجن فنکشن ہے اور آئجن ویلیو، ایک مستقل ہے۔ ایکسپونینشل فنکشن، جہاں، ایک لکیری، وقت کے متغیر آپریٹر کے آئجن فنکشن ہیں۔ ایک سادہ سا ثبوت اس تصور کی وضاحت کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ان پٹ ہے۔ امپلس رسپانس کے ساتھ سسٹم کی آؤٹ پٹ تب ہوتی ہے جو، کنولوشن کی مواصلاتی خاصیت کے لحاظ سے، اس کے مساوی ہوتی ہے جہاں اسکیلر صرف پیرامیٹر s پر منحصر ہوتا ہے۔ لہذا سسٹم کا رسپانس ان پٹ کا ایک اسکیلڈ ورژن ہوتا ہے۔ خاص طور پر، کسی کے لیے، سسٹم آؤٹ پٹ ان پٹ اور مستقل کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ لہذا، ایل ٹی آئی نظام کا ایک آئجن فنکشن ہے، اور متعلقہ آئجن ویلیو ہے۔ براہ راست ثبوت ایل ٹی آئی سسٹمز کے آئجن فنکشن کے طور پر پیچیدہ ایکسپونینشیلز کو براہ راست حاصل کرنا بھی ممکن ہے۔ آئیے اس کا کچھ پیچیدہ ایکسپونینشیل اور ٹائم شفٹڈ ورژن سیٹ کریں۔ مستقل کے حوالے سے لکیری سے۔ وقت کے لحاظ سے غیر متغیر۔ تو۔ ترتیب اور نام تبدیل کرنے سے ہمیں ملتا ہے: یعنی۔ کہ ان پٹ کے طور پر ایک پیچیدہ ایکسپونینشل آؤٹ پٹ کے برابر فریکوئنسی کا ایک پیچیدہ ایکسپونینشل دے گا۔ فورئیر اور لیپلیس ٹرانسفارمز ایکسپونینشیلز کی آئجن فنکشن پراپرٹی ایل ٹی آئی سسٹمز میں تجزیہ اور بصیرت دونوں کے لیے بہت مفید ہے۔ یک طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم بالکل امپلس رسپانس سے آئجین ویلیوز حاصل کرنے کا طریقہ ہے۔ خالص سینوسائڈز خاص دلچسپی کے حامل ہیں (یعنی اس شکل کے ایکسپونینشل افعال جہاں اور)۔ فورئیر ٹرانسفارم خالص پیچیدہ سینوسائڈز کے لیے آئجین ویلیوز دیتا ہے۔ دونوں کو سسٹم فنکشن، سسٹم رسپانس، یا ٹرانسفر فنکشن کہا جاتا ہے۔ لیپلیس ٹرانسفارم عام طور پر یک طرفہ اشاروں کے تناظر میں استعمال ہوتا ہے، یعنی۔ ایسے اشارے جو کسی قدر سے کم t کی تمام اقدار کے لیے صفر ہوں۔ عام طور پر، یہ "اسٹارٹ ٹائم" سہولت کے لیے اور عامیت کے نقصان کے بغیر صفر پر سیٹ کیا جاتا ہے، جس میں ٹرانسفارم انٹیگرل کو صفر سے انفینیٹی میں لے جایا جاتا ہے (منفی انفینیٹی کے انضمام کی نچلی حد کے ساتھ اوپر دکھایا گیا ٹرانسفارم باضابطہ طور پر دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کے نام سے جانا جاتا ہے)۔ فورئیر ٹرانسفارم کا استعمال ان نظاموں کا تجزیہ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جو ان سگنلز پر عمل کرتے ہیں جو حد تک لامحدود ہیں، جیسے کہ ماڈیولیٹڈ سینوسائڈز، حالانکہ اس کا براہ راست ان پٹ اور آؤٹ پٹ سگنلز پر اطلاق نہیں کیا جا سکتا جو مربع مربوط نہیں ہیں۔ لیپلیس ٹرانسفارم دراصل ان سگنلز کے لیے براہ راست کام کرتا ہے اگر وہ اسٹارٹ ٹائم سے پہلے صفر ہوں، چاہے وہ مستحکم سسٹمز کے لیے مربع مربوط نہ ہوں۔ فورئیر ٹرانسفارم کو اکثر وینر-کھنچن تھیوریم کے ذریعے لامحدود سگنلز کے سپیکٹرے پر لاگو کیا جاتا ہے یہاں تک کہ جب سگنلز کے فورئیر ٹرانسفارمز موجود نہ ہوں۔ ان دونوں ٹرانسفارمز کی کنولیوشن پراپرٹی کی وجہ سے، کنولیوشن جو سسٹم کی آؤٹ پٹ دیتا ہے اسے ٹرانسفارم ڈومین میں ضرب میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، ایسے سگنلز دیے گئے ہیں جن کے لیے ٹرانسفارمز موجود ہیں۔ کوئی بھی نظام کے ردعمل کو براہ راست اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کر سکتا ہے کہ کسی خاص فریکوئنسی جزو کو اس لیپلیس ٹرانسفارم والے سسٹم کے ذریعے کیسے سنبھالا جاتا ہے۔ اگر ہم پیچیدہ فریکوئنسی پر سسٹم رسپانس (امپلس رسپانس کا لیپلیس ٹرانسفارم) کا جائزہ لیتے ہیں، جہاں، ہم |H (s) | حاصل کرتے ہیں جو فریکوئنسی f کے لیے سسٹم گین ہے۔ اس فریکوئنسی جزو کے لیے آؤٹ پٹ اور ان پٹ کے درمیان رشتہ دار فیز شفٹ اسی طرح آرگ (H (s)) کے ذریعے دی جاتی ہے۔ مثال اہم نظام کی خصوصیات کسی نظام کی کچھ سب سے اہم خصوصیات وجہ اور استحکام ہیں۔ وجہ ایک ایسے جسمانی نظام کے لیے ایک ضرورت ہے جس کا آزاد متغیر وقت ہے، تاہم یہ پابندی دوسرے معاملات جیسے امیج پروسیسنگ میں موجود نہیں ہے۔ کازالیٹی ایک نظام کازال ہوتا ہے اگر آؤٹ پٹ کا انحصار صرف حال اور ماضی پر ہوتا ہے، لیکن مستقبل کے ان پٹ پر نہیں۔ وجہ کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ محرک ردعمل کہاں ہے۔ دو طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم سے وجہ کا تعین کرنا عام طور پر ممکن نہیں ہے۔ تاہم ٹائم ڈومین میں کام کرتے وقت عام طور پر یک طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کا استعمال کیا جاتا ہے جس کے لیے وجہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ استحکام ایک نظام باؤنڈ-ان پٹ، باؤنڈ-آؤٹ پٹ اسٹیبل (بی آئی بی او اسٹیبل) ہوتا ہے اگر، ہر باؤنڈ ان پٹ کے لیے، آؤٹ پٹ محدود ہو۔ ریاضیاتی طور پر، اگر ہر ان پٹ کو مطمئن کرنا ایک آؤٹ پٹ کو تسلی بخش بناتا ہے (یعنی، کی ایک محدود زیادہ سے زیادہ مطلق قدر کا مطلب ایک محدود زیادہ سے زیادہ مطلق قدر ہے)، تو نظام مستحکم ہے۔ ایک ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ، امپلس رسپانس، L1 میں ہے (اس کا ایک محدود L1 معیار ہے): فریکوئنسی ڈومین میں، کنورجنس کے علاقے میں خیالی محور ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، سنک فنکشن کے برابر امپلس رسپانس والا مثالی لو پاس فلٹر بی آئی بی او مستحکم نہیں ہے، کیونکہ سنک فنکشن میں محدود ایل 1 معیار نہیں ہوتا ہے۔ اس طرح، کچھ باؤنڈ ان پٹ کے لیے، آئیڈیل لو پاس فلٹر کی آؤٹ پٹ غیر باؤنڈ ہوتی ہے۔ خاص طور پر، اگر کٹ آف فریکوئنسی پر ان پٹ صفر کے لیے اور سائنوسائڈ کے برابر ہے، تو آؤٹ پٹ صفر کراسنگ کے علاوہ ہر وقت غیر محدود رہے گا۔ لکیری وقت-غیر متغیر تفریقی مساوات کا حل اخذ کرنا اس شکل میں تفریقی مساوات کا ایک واضح لکیری نظام ہے: اسٹیٹ ویکٹر، سسٹم میٹرکس، ان پٹ، ان پٹ ویکٹر اور ابتدائی حالت کے ساتھ۔ حل ایک یکساں اور ذرات والے حصے پر مشتمل ہوتا ہے۔ یکساں حل یکساں تفریق مساوات ان پٹ کو صفر کے برابر ترتیب دے کر حاصل کی جاتی ہے۔ اس حل کو اب ٹیلر سیریز کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا جا سکتا ہے: یونٹ میٹرکس کہاں ہے۔ اس حل کو مندرجہ بالا مساوات میں تبدیل کرتے ہوئے، کوئی حاصل کرتا ہے: اب نامعلوم میٹرکس کا تعین گتانک کا موازنہ کرکے کیا جا سکتا ہے: مندرجہ ذیل اشارے عام طور پر بنیادی میٹرکس کے لیے استعمال ہوتے ہیں: مخصوص حل فرض کرتے ہوئے اور، مندرجہ ذیل: ذرات کا حل اس شکل میں حاصل کیا جاتا ہے: جہاں ایک نامعلوم فنکشن ویکٹر ہے۔ مندرجہ بالا دو مساوات سے درج ذیل طے کیا جا سکتا ہے: بنیادی میٹرکس کی خصوصیات کو استعمال کرتے ہوئے انضمام کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے: اس طرح، ہم آخر کار ایک لکیری وقت-غیر متغیر تفریق مساوات کا حل حاصل کرتے ہیں: متفرق وقت کے نظام مسلسل وقت کے نظام میں تقریبا ہر چیز کا متفرق وقت کے نظام میں ہم منصب ہوتا ہے۔ مسلسل وقت کے نظام سے علیحدہ وقت کے نظام بہت سے سیاق و سباق میں، ایک مجرد وقت (ڈی ٹی) نظام واقعی ایک بڑے مسلسل وقت (سی ٹی) نظام کا حصہ ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ڈیجیٹل ریکارڈنگ سسٹم ایک ینالاگ آواز لیتا ہے، اسے ڈیجیٹائز کرتا ہے، ممکنہ طور پر ڈیجیٹل سگنلز پر کارروائی کرتا ہے، اور لوگوں کو سننے کے لیے ینالاگ آواز کو چلاتا ہے۔ عملی نظاموں میں، حاصل کردہ ڈی ٹی سگنلز عام طور پر سی ٹی سگنلز کے یکساں نمونے والے ورژن ہوتے ہیں۔ اگر سی ٹی سگنل ہے، تو اینالاگ سے ڈیجیٹل کنورٹر سے پہلے استعمال ہونے والا سیمپلنگ سرکٹ اسے ڈی ٹی سگنل میں تبدیل کر دے گا: جہاں ٹی سیمپلنگ پیریڈ ہے۔ نمونے لینے سے پہلے، ان پٹ سگنل عام طور پر ایک نام نہاد نائکوسٹ فلٹر کے ذریعے چلایا جاتا ہے جو "فولڈنگ فریکوئنسی" 1/(2T) سے اوپر کی تعدد کو ہٹا دیتا ہے ؛ یہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ فلٹر شدہ سگنل میں کوئی معلومات ضائع نہیں ہوگی۔ فلٹرنگ کے بغیر، فولڈنگ فریکوئنسی (یا نائکوسٹ فریکوئنسی) سے اوپر کا کوئی بھی فریکوئنسی جزو ایک مختلف فریکوئنسی کے لیے الگ کیا جاتا ہے (اس طرح اصل سگنل کو مسخ کیا جاتا ہے)، کیونکہ ڈی ٹی سگنل صرف فولڈنگ فریکوئنسی سے کم فریکوئنسی اجزاء کی حمایت کر سکتا ہے۔ امپلس رسپانس اور کنولیوشن آئیے ترتیب کی نمائندگی کریں اور مختصر اشارے کو نمائندگی کرنے دیں ایک مجرد نظام ایک ان پٹ ترتیب کو آؤٹ پٹ ترتیب میں تبدیل کرتا ہے، عام طور پر، آؤٹ پٹ کا ہر عنصر ان پٹ کے ہر عنصر پر انحصار کر سکتا ہے۔ ٹرانسفارمیشن آپریٹر کی نمائندگی کرتے ہوئے، ہم لکھ سکتے ہیں: نوٹ کریں کہ جب تک کہ ٹرانسفارم خود n کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتا، آؤٹ پٹ کی ترتیب صرف مستقل ہوتی ہے، اور نظام غیر دلچسپ ہوتا ہے۔ (اس طرح سبسکرپٹ، n.) ایک عام نظام میں، y [n] کا انحصار x کے عناصر پر سب سے زیادہ ہوتا ہے جن کے اشارے n کے قریب ہوتے ہیں۔ کرونکر ڈیلٹا فنکشن کے خاص معاملے کے لیے، آؤٹ پٹ سیکوینس امپلس رسپانس ہے: لکیری سسٹم کے لیے، پورا کرنا ضروری ہے: اور وقت کے تغیر کی ضرورت یہ ہے: ایسے نظام میں، امپلس رسپانس، سسٹم کو مکمل طور پر نمایاں کرتا ہے۔ یعنی، کسی بھی ان پٹ ترتیب کے لیے، آؤٹ پٹ ترتیب کا حساب ان پٹ اور امپلس رسپانس کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ کیسے کیا جاتا ہے، شناخت پر غور کریں: جو وزن والے ڈیلٹا افعال کے مجموعے کے لحاظ سے ظاہر ہوتا ہے۔ لہذا: جہاں ہم نے کیس کے لیے درخواست کی ہے اور۔ اور اس کی وجہ سے، ہم لکھ سکتے ہیں: لہذا: {| | |-| | (تبادلہیت) |} جو کہ واقف مجرد ارتقاء فارمولا ہے۔ اس لیے آپریٹر کی تشریح فنکشن x [k] کے وزنی اوسط کے متناسب کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ ویٹنگ فنکشن h [−k] ہے، جسے صرف رقم n سے منتقل کیا جاتا ہے۔ جیسے جیسے n تبدیل ہوتا ہے، ویٹنگ فنکشن ان پٹ فنکشن کے مختلف حصوں پر زور دیتا ہے۔ اسی طرح، n = 0 پر ایک امپلس کے لیے نظام کا ردعمل غیر منتقل شدہ ویٹنگ فنکشن کی "ٹائم" الٹی کاپی ہے۔ جب تمام منفی k کے لیے h [k] صفر ہوتا ہے، تو نظام کو وجہ کہا جاتا ہے۔ ایک آئجن فنکشن ایک فنکشن ہے جس کے لیے آپریٹر کا آؤٹ پٹ ایک ہی فنکشن ہوتا ہے، جسے کچھ مستقل کے ذریعے اسکیل کیا جاتا ہے۔ علامتوں میں، جہاں f آئجن فنکشن ہے اور آئجن ویلیو ہے، ایک مستقل۔ ایکسپونینشل فنکشن، جہاں، ایک لکیری، وقت کے متغیر آپریٹر کے آئجن فنکشن ہیں۔ نمونے لینے کا وقفہ ہے، اور۔ ایک سادہ سا ثبوت اس تصور کی وضاحت کرتا ہے۔ فرض کریں کہ ان پٹ ہے۔ امپلس رسپانس کے ساتھ سسٹم کی آؤٹ پٹ تب ہوتی ہے جو کنولیوشن کی کمیونیٹیٹیو پراپرٹی کے ذریعہ درج ذیل کے مساوی ہوتی ہے جہاں صرف پیرامیٹر z پر منحصر ہوتی ہے۔ تو یہ ایل ٹی آئی سسٹم کا ایک آئجن فنکشن ہے کیونکہ سسٹم کا رسپانس ان پٹ ٹائمز کانسٹینٹ کے برابر ہوتا ہے۔ زیڈ اور ڈسکریٹ ٹائم فورئیر ٹرانسفارمز ایکسپونینشیلز کی آئجن فنکشن پراپرٹی ایل ٹی آئی سسٹمز میں تجزیہ اور بصیرت دونوں کے لیے بہت مفید ہے۔ Z ٹرانسفارم بالکل امپلس رسپانس سے آئجین ویلیوز حاصل کرنے کا طریقہ ہے۔ خالص سینوسائڈز خاص دلچسپی کے حامل ہیں ؛ یعنی۔ شکل کے متغیرات، جہاں۔ ان کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔ ڈسکریٹ ٹائم فورئیر ٹرانسفارم (ڈی ٹی ایف ٹی) خالص سینوسائڈز کی آئجین ویلیوز دیتا ہے۔ دونوں کو سسٹم فنکشن، سسٹم رسپانس، یا ٹرانسفر فنکشن کہا جاتا ہے۔ یک طرفہ لیپلیس ٹرانسفارم کی طرح، زیڈ ٹرانسفارم عام طور پر یک طرفہ اشاروں کے تناظر میں استعمال ہوتا ہے، یعنی۔ ایسے اشارے جو t <0 کے لیے صفر ہوں۔ وقتا فوقتا اشاروں کا تجزیہ کرنے کے لیے مجرد وقت کے فورئیر ٹرانسفارم فورئیر سیریز کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان دونوں تبدیلیوں کی ارتقاء کی خاصیت کی وجہ سے، ارتقاء جو نظام کی پیداوار دیتا ہے اسے ٹرانسفارم ڈومین میں ضرب میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، جس طرح مسلسل وقت کے نظام کے تجزیے میں لیپلیس ٹرانسفارم ٹرانسفر فنکشن کے ساتھ، زیڈ ٹرانسفارم نظاموں کا تجزیہ کرنا اور ان کے رویے کے بارے میں بصیرت حاصل کرنا آسان بناتا ہے۔ مثالیں اہم نظام کی خصوصیات ڈسکرٹ ٹائم ایل ٹی آئی سسٹم کی ان پٹ آؤٹ پٹ خصوصیات کو اس کے امپلس رسپانس سے مکمل طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ کسی نظام کی دو سب سے اہم خصوصیات وجہ اور استحکام ہیں۔ غیر وجہ (وقت میں) نظاموں کی وضاحت اور تجزیہ اوپر کی طرح کیا جا سکتا ہے، لیکن حقیقی وقت میں اس کا ادراک نہیں کیا جا سکتا۔ غیر مستحکم نظاموں کا تجزیہ اور تعمیر بھی کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ صرف ایک بڑے نظام کے حصے کے طور پر مفید ہیں جس کی مجموعی منتقلی کی تقریب مستحکم ہے۔ کازالیٹی ایک ڈسکرٹ ٹائم ایل ٹی آئی سسٹم کازل ہے اگر آؤٹ پٹ کی موجودہ قیمت صرف موجودہ قیمت اور ان پٹ کی ماضی کی اقدار پر منحصر ہو۔ وجہ کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ محرک ردعمل کہاں ہے۔ زیڈ تبدیلی سے وجہ کا تعین کرنا عام طور پر ممکن نہیں ہے، کیونکہ الٹا تبدیلی منفرد نہیں ہے۔ جب کنورجنس کے علاقے کی وضاحت کی جاتی ہے، تو وجہ کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ استحکام ایک نظام باؤنڈ ان پٹ، باؤنڈ آؤٹ پٹ اسٹیبل (بی آئی بی او اسٹیبل) ہوتا ہے اگر، ہر باؤنڈ ان پٹ کے لیے، آؤٹ پٹ محدود ہو۔ ریاضیاتی طور پر، اگر اس کا مطلب یہ ہے کہ (یعنی، اگر باؤنڈ ان پٹ کا مطلب باؤنڈ آؤٹ پٹ ہے، اس معنی میں کہ زیادہ سے زیادہ مطلق اقدار اور محدود ہیں)، تو نظام مستحکم ہے۔ ایک ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ، امپلس رسپانس، مطمئن کرتا ہے فریکوئنسی ڈومین میں، کنورجنس کے علاقے میں یونٹ سرکل ہونا چاہیے (یعنی، پیچیدہ z کے لیے مطمئن لوکس)۔ نوٹ بھی دیکھیں سرکلینٹ میٹرکس فریکوئنسی رسپانس سسٹم تجزیہ گرین فنکشن سگنل فلو گراف حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی روابط ای سی ای 209: ایل ٹی آئی سسٹمز کے طور پر سرکٹس کا جائزہ-(برقی) ایل ٹی آئی سسٹمز کے ریاضیاتی تجزیے پر مختصر پرائمر۔ ای سی ای 209: فیز شفٹ کے ذرائع-دو عام برقی ایل ٹی آئی نظاموں میں فیز شفٹ کے ماخذ کی ایک بدیہی وضاحت دیتا ہے۔ جے ایچ یو 520.214 سگنلز اینڈ سسٹمز کورس نوٹ۔ ایل ٹی آئی سسٹم تھیوری پر ایک منسلک کورس۔ خود تعلیم کے لیے کافی۔ ایل ٹی آئی سسٹم کی مثال: آر سی لو پاس فلٹر۔ طول و عرض اور مرحلے کا ردعمل۔ ڈیجیٹل سگنل پروسیسنگ الیکٹریکل انجینئرنگ کلاسیکی کنٹرول تھیوری سگنل پروسیسنگ فریکوئنسی ڈومین تجزیہ ٹائم ڈومین تجزیہ