Harnack's principle
جزوی تفریقی مساوات کے ریاضیاتی میدان میں، ہارنیک کا اصول یا ہارنیک کا نظریہ ہارنیک کی عدم مساوات کا ایک نتیجہ ہے جو ہارمونک افعال کی ترتیبات کے ارتکاز سے متعلق ہے۔ یوکلڈین اسپیس کے کھلے منسلک ذیلی سیٹ پر ہارمونک افعال کی ایک ترتیب کو دیکھتے ہوئے، جو نقطہ نظر سے یکسوئی سے اس معنی میں غیر کم ہوتے ہیں کہ ہر نقطہ کے لیے، پھر حد خود بخود ہر ایک کے لیے توسیعی حقیقی نمبر لائن میں موجود ہوتی ہے۔ ہارنیک کا نظریہ کہتا ہے کہ حد یا تو ہر نقطہ پر لامحدود ہے یا ہر نقطہ پر محدود ہے۔ مؤخر الذکر صورت میں، کنورجنس کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں ہے اور حد ایک ہارمونک فنکشن ہے۔ یہ نظریہ ہارنیک کی عدم مساوات کا نتیجہ ہے۔ اگر کسی خاص قدر کے لیے کاچی ترتیب ہے، تو ہارمونک فنکشن پر لاگو ہارنیک عدم مساوات کا مطلب ہے، ایک صوابدیدی کمپیکٹ سیٹ پر مشتمل، جو کافی بڑے اور کافی بڑے کے لیے من مانی طور پر چھوٹا ہے۔ یہ بالکل کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس کی تعریف ہے۔ الفاظ میں، ہارنیک عدم مساوات ایک ایسا آلہ ہے جو ایک ہی مقام پر ہارمونک افعال کی ترتیب کی کاچی پراپرٹی کو تمام مقامات پر کاچی پراپرٹی تک براہ راست پھیلاتا ہے۔ کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس قائم کرنے کے بعد، حد کی ہم آہنگی اس حقیقت کا فوری نتیجہ ہے کہ اوسط ویلیو پراپرٹی (یکساں کنورجنس کے ذریعے خود بخود محفوظ) مسلسل افعال کے درمیان ہم آہنگ افعال کو مکمل طور پر نمایاں کرتی ہے۔ کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس کا ثبوت کسی بھی لکیری سیکنڈ آرڈر ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے لیے یکساں طور پر درست ہے، بشرطیکہ یہ لکیری ہو تاکہ وہی مساوات حل ہو۔ فرق صرف اتنا ہے کہ سیکنڈ آرڈر ایلیپٹک پی ڈی ای کے حل کے لیے زیادہ عام ہارنیک عدم مساوات کا استعمال کیا جانا چاہیے، بجائے اس کے کہ صرف ہارمونک افعال کے لیے۔ کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس قائم کرنے کے بعد، اوسط قیمت کی خاصیت اس زیادہ عام ترتیب میں دستیاب نہیں ہے، اور اس لیے کسی نئے حل میں کنورجنس کا ثبوت اس کے بجائے دوسرے ٹولز کا استعمال کرنا چاہیے، جیسے کہ شوڈر کا تخمینہ۔ حوالہ جات ذرائع بیرونی روابط ہارمونک افعال پیچیدہ تجزیے میں نظریہ ریاضیاتی اصول