Orthogonal transformation
لکیری الجبرا میں، ایک آرتھوگنل تبدیلی ایک حقیقی اندرونی پروڈکٹ اسپیس V پر ایک لکیری تبدیلی T: V → V ہے، جو اندرونی پروڈکٹ کو محفوظ رکھتی ہے۔ یعنی، V کے عناصر کے ہر جوڑے کے لیے، ہمارے پاس ہے۔ چونکہ ویکٹروں کی لمبائی اور ان کے درمیان کے زاویوں کی وضاحت اندرونی پروڈکٹ کے ذریعے کی جاتی ہے، اس لیے آرتھوگنل تبدیلیاں ان کے درمیان ویکٹروں اور زاویوں کی لمبائی کو محفوظ رکھتی ہیں۔ خاص طور پر، آرتھوگنل تبدیلیاں آرتھونورمل اڈوں کو آرتھونورمل اڈوں میں نقشہ بناتی ہیں۔ آرتھوگنل تبدیلیاں انجکشن ہیں: اگر پھر، اس لیے، تو اس کا دانا معمولی ہے۔ دو یا تین جہتی یوکلڈین خلا میں آرتھوگنل تبدیلیاں سخت گردش، عکاسی، یا گردش اور عکاسی کے امتزاج ہیں (جسے نامناسب گردش بھی کہا جاتا ہے)۔ عکاسی وہ تبدیلیاں ہیں جو سامنے سے پیچھے کی سمت کو الٹ دیتی ہیں، آئینے کے سطح پر آرتھوگنل، جیسے (حقیقی دنیا) آئینے کرتے ہیں۔ مناسب گردشوں (عکاسی کے بغیر) سے مطابقت رکھنے والے میٹرکس کا تعین + 1 ہوتا ہے۔ عکاسی کے ساتھ تبدیلیوں کی نمائندگی میٹرکس کے ذریعے −1 کے تعین کے ساتھ کی جاتی ہے۔ یہ گردش اور عکاسی کے تصور کو اعلی جہتوں تک عام کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ محدود جہتی خالی جگہوں میں، آرتھوگنل تبدیلی کی میٹرکس کی نمائندگی (آرتھونورمل بنیاد کے حوالے سے) ایک آرتھوگنل میٹرکس ہے۔ اس کی قطاریں اکائی معیار کے ساتھ باہمی طور پر آرتھوگنل ویکٹر ہوتی ہیں، تاکہ قطاریں V کی آرتھونورمل بنیاد بناتی ہیں۔ میٹرکس کے کالم V کی ایک اور آرتھونورمل بنیاد بناتے ہیں۔ اگر ایک آرتھوگنل تبدیلی الٹ ہے (جو ہمیشہ اس صورت میں ہوتی ہے جب V محدود جہتی ہو) تو اس کا الٹا ایک اور آرتھوگنل تبدیلی ہے۔ اس کی میٹرکس کی نمائندگی اصل تبدیلی کی میٹرکس کی نمائندگی کا ٹرانسپوز ہے۔ مثالیں معیاری یوکلڈین اندرونی پروڈکٹ اور معیاری بنیاد کے ساتھ اندرونی پروڈکٹ کی جگہ پر غور کریں۔ پھر، میٹرکس کی تبدیلی آرتھوگنل ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، غور کریں پھر، پچھلی مثال کو تمام آرتھوگنل تبدیلیوں کی تعمیر کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل میٹرکس آرتھوگنل تبدیلیوں کی وضاحت کرتے ہیں: یہ بھی دیکھیں کہ غلط گردش لکیری تبدیلی آرتھوگنل میٹرکس یک جہتی تبدیلی حوالہ جات لکیری الجبرا