Infinite-dimensional holomorphy
ریاضی میں، لامحدود جہتی ہولومورفی فنکشنل تجزیہ کی ایک شاخ ہے۔ اس کا تعلق ہولومورفک فنکشن کے تصور کو عام کرنے سے متعلق افعال کی وضاحت اور پیچیدہ بناچ خالی جگہوں (یا زیادہ عام طور پر فریچیٹ خالی جگہوں) میں اقدار لینے سے ہے، جو عام طور پر لامحدود جہت کے ہوتے ہیں۔ یہ غیر لکیری فنکشنل تجزیہ کا ایک پہلو ہے۔ پیچیدہ طیارہ میں بیان کردہ ویکٹر ویلیوڈ ہولومورفک افعال ہولومورفک افعال کے نظریہ کو ایک پیچیدہ جہت سے آگے بڑھانے کا پہلا قدم نام نہاد ویکٹر ویلیوڈ ہولومورفک افعال پر غور کرنا ہے، جو اب بھی پیچیدہ طیارہ C میں بیان کیے گئے ہیں، لیکن بنچ اسپیس میں اقدار لیتے ہیں۔ اس طرح کے افعال اہم ہیں، مثال کے طور پر، باؤنڈ لینیر آپریٹرز کے لیے ہولومورفک فنکشنل کیلکولس کی تعمیر میں۔ تعریف۔ ایک فنکشن f: U → X، جہاں U ′C ایک کھلا سب سیٹ ہے اور X ایک پیچیدہ بناچ اسپیس ہے، اگر یہ پیچیدہ تفریق پذیر ہے تو اسے ہولومورفک کہا جاتا ہے۔ یعنی، ہر نقطہ z ωU کے لیے درج ذیل حد موجود ہے: کوئی ویکٹر ویلیوڈ ہولومورفک فنکشن f: U → X کے لائن انٹیگرل کی وضاحت کر سکتا ہے جس طرح ایک قابل اصلاح وکر γ: [a, b] → U پیچیدہ ویلیوڈ ہولومورفک فنکشن کے لیے، اس شکل کے جملوں کی حد کے طور پر جہاں a = t0 <t1 <. <tn = b وقفہ [a, b] کی ذیلی تقسیم ہے، جیسا کہ ذیلی تقسیم کے وقفوں کی لمبائی صفر تک پہنچتی ہے۔ یہ ایک فوری جانچ ہے کہ کاچی انٹیگرل تھیوریم ویکٹر ویلیوڈ ہولومورفک افعال کے لیے بھی ہے۔ درحقیقت، اگر f: U → X ایسی فنکشن ہے اور T: X → C ایک باؤنڈڈ لینیر فنکشنل ہے، تو کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ مزید برآں، ترکیب T o f: U → C ایک پیچیدہ قدر والی ہولومورفک فنکشن ہے۔ لہذا، γ کے لیے ایک سادہ بند منحنی خطوط جس کا اندرونی حصہ U میں موجود ہے، کلاسیکی کاچی انٹیگرل تھیوریم کے مطابق دائیں طرف کا انٹیگرل صفر ہے۔ پھر، چونکہ T من مانی ہے، اس لیے یہ ہان-بناچ تھیوریم کی پیروی کرتا ہے جو ویکٹر ویلیوڈ کیس میں کاچی انٹیگرل تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ اس طاقتور ٹول کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی کاچی کے انٹیگرل فارمولے کو ثابت کر سکتا ہے، اور، بالکل کلاسیکی معاملے کی طرح، کہ کوئی بھی ویکٹر ویلیوڈ ہولومورفک فنکشن تجزیاتی ہے۔ کسی فنکشن f: U → X کے ہولومورفک ہونے کے لیے ایک مفید معیار یہ ہے کہ T o f: U → C ہر مسلسل لکیری فنکشنل T: X → C کے لیے ایک ہولومورفک کمپلیکس ویلیوڈ فنکشن ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ پیچیدہ سطح کے کھلے ذیلی سیٹ پر فریشیٹ کی جگہ میں اقدار کے ساتھ بیان کردہ فنکشن ہولومورفک ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، یہ کمزور ہولومورفک ہو۔ بنچ خالی جگہوں کے درمیان ہولومورفک افعال زیادہ عام طور پر، دو پیچیدہ بنچ خالی جگہوں X اور Y اور ایک کھلے سیٹ U ऱ् X کو دیکھتے ہوئے، f: U → Y کو ہولومورفک کہا جاتا ہے اگر f کا فریچیٹ مشتق U میں ہر نقطہ پر موجود ہو۔ کوئی یہ دکھا سکتا ہے کہ، اس زیادہ عام تناظر میں، یہ اب بھی سچ ہے کہ ہولومورفک فنکشن تجزیاتی ہے، یعنی اسے پاور سیریز میں مقامی طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ تاہم یہ اب درست نہیں ہے کہ اگر کسی گیند میں کسی فنکشن کی وضاحت کی جاتی ہے اور ہولومورفک ہوتا ہے، تو گیند کے مرکز کے ارد گرد اس کی پاور سیریز پوری گیند میں کنورجنٹ ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، پوری جگہ پر ہولومورفک افعال موجود ہوتے ہیں جن کا کنورجنس کا ایک محدود رداس ہوتا ہے۔ ٹوپولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان ہولومورفک افعال عام طور پر، دو پیچیدہ ٹوپولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں X اور Y اور ایک کھلے سیٹ U X کو دیکھتے ہوئے، کسی فنکشن f: U → Y کے ہولومورفی کی وضاحت کرنے کے مختلف طریقے ہیں۔ محدود جہتی ترتیب کے برعکس، جب X اور Y لامحدود جہتی ہوتے ہیں، تو ہولومورفک افعال کی خصوصیات کا انحصار اس بات پر ہو سکتا ہے کہ کون سی تعریف منتخب کی گئی ہے۔ امکانات کی تعداد کو محدود کرنے کے لیے ہمیں غور کرنا چاہیے، ہم صرف اس صورت میں ہولومورفی پر بحث کریں گے جب X اور Y مقامی طور پر کنویکس ہوں۔ یہ حصہ تعریفوں کی ایک فہرست پیش کرتا ہے، جو کمزور ترین تصور سے مضبوط ترین تصور کی طرف بڑھتا ہے۔ یہ ان تعریفوں سے متعلق کچھ نظریات کی بحث کے ساتھ اختتام پذیر ہوتا ہے جب خالی جگہیں X اور Y کچھ اضافی رکاوٹوں کو پورا کرتی ہیں۔ گیٹاکس ہولومورفی کمزور ہولومورفی کو مکمل طور پر لامحدود جہتی ترتیب میں براہ راست عام کرنا ہے۔ فرض کریں کہ X اور Y مقامی طور پر کنویکس ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہیں ہیں، اور UX ایک کھلا سیٹ ہے۔ ایک فنکشن f: U → Y کو Gâteaux ہولومورفک کہا جاتا ہے اگر، ہر a ω U اور b ω X کے لیے، اور ہر مسلسل لکیری فنکشنل φ: Y → C کے لیے، فنکشن اصل کے پڑوس میں z کا ہولومورفک فنکشن ہے۔ گیٹیو ہولومورفک افعال کے مجموعے کو ایچ جی (یو، وائی) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ گیٹاکس ہولومورفک افعال کے تجزیے میں، محدود جہتی ہولومورفک افعال کی کوئی بھی خصوصیات X کی محدود جہتی ذیلی جگہوں پر ہوتی ہیں۔ تاہم، فنکشنل تجزیہ میں ہمیشہ کی طرح، یہ خصوصیات مکمل کھلے سیٹوں پر ان افعال کی کوئی متعلقہ خصوصیات حاصل کرنے کے لیے یکساں طور پر اکٹھا نہیں ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر اگر f ω U، تو f میں تمام آرڈرز کے گیٹاو مشتق ہوتے ہیں، کیونکہ x ω U اور h1،.، hk ω X کے لیے، k-th آرڈر گیٹاوکس مشتق Dkf (x) {h1,., hk} میں صرف ہائی کے دورانیے میں تکرار شدہ دشاتمک مشتقات شامل ہوتے ہیں، جو کہ ایک محدود جہتی جگہ ہے۔ اس صورت میں، تکرار شدہ گیٹاوکس مشتق ہائی میں کثیر لکیری ہوتے ہیں، لیکن جب پوری جگہ X پر غور کیا جائے تو عام طور پر مسلسل ہونے میں ناکام ہو جائیں گے۔ مزید برآں، ٹیلر تھیوریم کا ایک ورژن ہے: یہاں، کثیر لکیری آپریٹر Dnf (x) سے وابستہ y میں ڈگری n کا یکساں کثیر الجہتی ہے۔ اس سیریز کا کنورجنس یکساں نہیں ہے۔ مزید واضح طور پر، اگر V ′X ایک مقررہ محدود جہتی ذیلی جگہ ہے، تو سلسلہ 0 ω Y کے کافی چھوٹے کمپیکٹ محلوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتا ہے۔ تاہم، اگر سب اسپیس V کو تبدیل کرنے کی اجازت ہے، تو کنورجنس ناکام ہوجاتا ہے: یہ عام طور پر اس تغیر کے حوالے سے یکساں ہونے میں ناکام رہے گا۔ نوٹ کریں کہ یہ محدود جہتی کیس کے بالکل برعکس ہے۔ ہارٹوگ کا نظریہ گیٹاکس ہولومورفک افعال کے لیے درج ذیل معنوں میں ہے: اگر f: (U. X1) × (V. X2) → Y ایک فنکشن ہے جو اس کے ہر دلیل میں علیحدہ سے گیٹاکس ہولومورفک ہے، تو f پروڈکٹ اسپیس پر گیٹاکس ہولومورفک ہے۔ ہائپوانالیٹائٹی ایک فنکشن f: (U ± X) → Y ہائپوانالیٹک ہے اگر f ± HG (U, Y) اور اس کے علاوہ f U کے نسبتا کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر مسلسل ہے۔ ہولومورفی A فنکشن f ω HG (U, Y) ہولومورفک ہے اگر، ہر x ω U کے لیے، ٹیلر سیریز کی توسیع (جس کی پہلے ہی گیٹکس ہولومورفی کے ذریعے موجودگی کی ضمانت دی گئی ہے) یکجا ہو جاتی ہے اور 0 ω X کے پڑوس میں y کے لیے مسلسل ہوتی ہے۔ اس طرح ہولومورفی کمزور ہولومورفی کے تصور کو پاور سیریز کی توسیع کے ارتکاز کے ساتھ جوڑتا ہے۔ ہولومورفک افعال کے مجموعے کو H (U، Y) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مقامی طور پر باؤنڈ ہولومورفی ایک فنکشن f: (UX) → Y کو مقامی طور پر باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر U کے ہر نقطہ کا کوئی پڑوس ہو جس کی شبیہہ f کے نیچے Y میں باؤنڈ ہو۔ اگر، اس کے علاوہ، f U پر گیٹاوکس ہولومورفک ہے، تو f مقامی طور پر باؤنڈ ہولومورفک ہے۔ اس صورت میں، ہم f bul HLB (U، Y) لکھتے ہیں۔ حوالہ جات رچرڈ وی کیڈیسن، جان آر رنگروز، فاؤنڈیشنٹلز آف دی تھیوری آف آپریٹر الجیبراس، جلد۔ 1: ابتدائی نظریہ۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، 1997۔ (سیکٹ دیکھیں۔ 3. 3.) سو بونگ چی، ہولومورفی اینڈ کیلکولس ان نارمڈ سپیسز، مارسل ڈیکر، 1985۔ لارنس اے ہیرس، فکسڈ پوائنٹ تھیوریمز فار انفینٹ ڈائیمینشنل ہولومورفک فنکشنز (غیر تاریخ شدہ)۔ بنچ خالی جگہیں