Vibrations of a circular membrane
تناؤ کے تحت دو جہتی لچکدار جھلی ٹرانسورس کمپن کو سپورٹ کر سکتی ہے۔ ایک مثالی ڈرم ہیڈ کی خصوصیات کو یکساں موٹائی کی سرکلر جھلی کے کمپن سے ماڈل کیا جا سکتا ہے، جو ایک سخت فریم سے منسلک ہوتا ہے۔ گونج کے رجحان کی وجہ سے، بعض کمپن تعدد پر، اس کی گونج تعدد، جھلی کمپن توانائی کو ذخیرہ کر سکتی ہے، سطح کھڑی لہروں کے ایک خاص نمونے میں حرکت کرتی ہے۔ اسے نارمل موڈ کہا جاتا ہے۔ ایک جھلی میں ان عام طریقوں کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، جو سب سے کم تعدد سے شروع ہوتی ہے جسے بنیادی موڈ کہا جاتا ہے۔ ایسے لامحدود طریقے موجود ہیں جن میں جھلی کمپن کر سکتی ہے، ہر ایک کا انحصار کسی ابتدائی وقت پر جھلی کی شکل اور اس وقت جھلی پر ہر نقطہ کی الٹی رفتار پر ہوتا ہے۔ جھلی کے کمپن ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ دو جہتی لہر مساوات کے حل کے ذریعے دیے جاتے ہیں جو فریم کی رکاوٹ کی نمائندگی کرتے ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ جھلی کی کسی بھی من مانی پیچیدہ کمپن کو جھلی کے عام طریقوں کی ممکنہ طور پر لامحدود سیریز میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ یہ وقت کے اشارے کو فورئیر سیریز میں سڑنے کے مترادف ہے۔ ڈھولوں پر کمپن کے مطالعہ نے ریاضی دانوں کو ایک مشہور ریاضیاتی مسئلہ پیش کرنے پر مجبور کیا کہ آیا ڈھول کی شکل سنی جا سکتی ہے، جس کا جواب (یہ نہیں) 1992 میں دو جہتی ترتیب میں دیا گیا تھا۔ محرک ہلتے ہوئے ڈھول کے سر کے مسئلے کا تجزیہ کرنے سے ڈھول اور تیمپانی جیسے ٹکرانے والے آلات کی وضاحت ہوتی ہے۔ تاہم، کان کے ڈرم کے کام کرنے میں ایک حیاتیاتی اطلاق بھی ہے۔ تعلیمی نقطہ نظر سے دو جہتی شے کے طریقے طریقوں، نوڈس، اینٹی نوڈس اور یہاں تک کہ کوانٹم نمبروں کے معنی کو بصری طور پر ظاہر کرنے کا ایک آسان طریقہ ہیں۔ یہ تصورات ایٹم کی ساخت کو سمجھنے کے لیے اہم ہیں۔ مسئلہ اصل پر مرکوز رداس کی ایک کھلی ڈسک پر غور کریں، جو "مستحکم" ڈھول کے سر کی شکل کی نمائندگی کرے گی۔ کسی بھی وقت "مستحکم" ڈھول کے سر کی شکل سے ماپا جانے والے نقطہ پر ڈھول کے سر کی شکل کی اونچائی کو ظاہر کیا جائے گا جس کے ذریعے مثبت اور منفی دونوں اقدار لی جا سکتی ہیں۔ آئیے اس کی حد کو ظاہر کرتے ہیں، اصل پر مرکوز رداس کا دائرہ، جو اس سخت فریم کی نمائندگی کرتا ہے جس سے ڈھول کا سر منسلک ہوتا ہے۔ ریاضیاتی مساوات جو ڈرم ہیڈ کے کمپن کو کنٹرول کرتی ہے وہ صفر باؤنڈری کنڈیشنز والی لہر کی مساوات ہے، کی سرکلر جیومیٹری کی وجہ سے، سلنڈریکل کوآرڈینیٹس کا استعمال کرنا آسان ہوگا، پھر، مندرجہ بالا مساوات کو اس طرح لکھا جاتا ہے کہ یہاں، ایک مثبت مستقل ہے، جو اس رفتار کو دیتا ہے جس پر جھلی میں ٹرانسورس کمپن لہریں پھیلتی ہیں۔ جسمانی پیرامیٹرز کے لحاظ سے، لہر کی رفتار، c، جہاں سے دی جاتی ہے، جھلی کی حد () پر ریڈیل جھلی کا نتیجہ ہے، جھلی کی موٹائی ہے، اور جھلی کی کثافت ہے۔ اگر جھلی میں یکساں تناؤ ہے، تو کسی دیئے گئے رداس پر یکساں تناؤ قوت، لکھی جا سکتی ہے جہاں جھلی ازموتھل سمت میں نتیجہ خیز ہے۔ ہم سب سے پہلے ایک سرکلر ڈرم ہیڈ کے کمپن کے ممکنہ طریقوں کا مطالعہ کریں گے جو محوری متناسب ہیں۔ پھر، فنکشن زاویہ پر منحصر نہیں ہوتا ہے اور لہر کی مساوات آسان ہو جاتی ہے۔ ہم الگ الگ متغیرات میں حل تلاش کریں گے، اسے اوپر کی مساوات میں تبدیل کریں گے اور دونوں اطراف کو پیداوار سے تقسیم کریں گے۔ اس مساوات کا بائیں طرف کا انحصار اس پر نہیں ہے اور دائیں طرف کا انحصار اس پر نہیں ہے کہ دونوں اطراف کو کسی مستقل کے برابر ہونا چاہیے۔ جسمانی طور پر یہ توقع کی جاتی ہے کہ ہلتے ہوئے ڈھول کے سر کے مسئلے کا حل وقت کے ساتھ ارتعاش ہوگا، اور اس سے صرف تیسرا معاملہ باقی رہ جاتا ہے، لہذا ہم سہولت کے لیے انتخاب کرتے ہیں۔ پھر، سائن اور کوسین افعال کا ایک لکیری امتزاج ہے، اس مشاہدے کے ساتھ مساوات کی طرف رخ کرتے ہوئے کہ اس دوسرے درجے کی تفریقی مساوات کے تمام حل آرڈر 0 کے بیسیل افعال کا لکیری امتزاج ہیں، کیونکہ یہ بیسیل کی تفریقی مساوات کا ایک خاص معاملہ ہے: بیسیل فنکشن لامحدود ہے جس کے نتیجے میں کمپن کرنے والے ڈرم ہیڈ کے مسئلے کا غیر جسمانی حل نکلتا ہے، لہذا مستقل صفر ہونا چاہیے۔ ہم یہ بھی فرض کریں گے کہ بصورت دیگر اس مستقل کو بعد میں مستقلات میں جذب کیا جا سکتا ہے اور اس سے آ رہا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ ڈرم ہیڈ کی حد پر اونچائی صفر ہونے کی ضرورت کے نتیجے میں یہ حالت پیدا ہوتی ہے۔ بیسیل فنکشن میں مثبت جڑوں کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، ہمیں اس کے لیے یہ ملتا ہے۔ لہذا، کمپن کرنے والے ڈرم ہیڈ کے مسئلے کے محوری حل جن کی نمائندگی علیحدہ متغیرات میں کی جا سکتی ہے وہ ہیں۔ عام صورت میں، جب زاویہ پر بھی انحصار کیا جا سکتا ہے تو اسی طرح سلوک کیا جاتا ہے۔ ہم الگ الگ متغیرات میں ایک حل فرض کرتے ہیں، اسے لہر کی مساوات میں تبدیل کرتے ہیں اور متغیرات کو الگ کرتے ہیں، یہ بتاتا ہے کہ مستقل کہاں ہے۔ پہلے کی طرح، اس کے لیے مساوات سے یہ ہوتا ہے کہ اور اس مساوات سے جو ہم حاصل کرتے ہیں، دونوں اطراف کو متغیرات سے ضرب دے کر اور الگ کر کے، کہ اور کچھ مستقل کے لیے۔ چونکہ پیریڈک ہے، پیریڈ ایک کونیی متغیر ہونے کے ساتھ، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کچھ مستقلات کہاں اور کہاں ہیں۔ اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ اس کے حل کے لیے مساوات پر واپس جانا بیسیل افعال کا ایک لکیری امتزاج ہے اور پچھلے حصے کی طرح اسی طرح کی دلیل کے ساتھ، ہم اس مقام پر پہنچتے ہیں جہاں کے-th مثبت جڑ کے ساتھ ہم نے دکھایا کہ کمپن کرنے والے ڈرم ہیڈ کے مسئلے کے الگ الگ متغیرات میں تمام حل کئی کمپن طریقوں کی حرکت پذیری کی شکل کے ہیں۔ متعدد طریقوں کو ان کے کوانٹم نمبروں کے ساتھ نیچے دکھایا گیا ہے۔ ہائیڈروجن ایٹم کے مماثل لہر افعال کے ساتھ ساتھ متعلقہ کونیی تعدد کا بھی اشارہ کیا جاتا ہے۔ کی اقدار بیسیل فنکشن کی جڑیں ہیں۔ اس کا اندازہ باؤنڈری کنڈیشن سے لگایا جاتا ہے جو پیداوار دیتی ہے۔ اسکائیپی لائبریری کے ساتھ درج ذیل ازگر کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے اس کی مزید اقدار کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے: اسکائیپی امپورٹ اسپیشل سے بطور ایس سی ایم = 0 #بیسیل فنکشن کا آرڈر (یعنی۔ سرکلر جھلی کے لیے اینگولر موڈ) nz = 3 #جڑوں کی مطلوبہ تعداد الفا _ mn = sc.jn_zeros (m, nz) #Jm کے آؤٹ پٹس nz صفر بھی دیکھیں کمپن تار، ایک جہتی کیس چلڈنی پیٹرن، ایک متعلقہ رجحان کی ابتدائی وضاحت، خاص طور پر موسیقی کے آلات کے ساتھ۔ یہ بھی دیکھیں سیمیٹکس ڈھول کی شکل سننا، جھلی جوہری مدار کی شکل کے حوالے سے طریقوں کی خصوصیت، ایک متعلقہ کوانٹم میکانی اور تین جہتی مسئلہ حوالہ جات جزوی تفریقی مساوات مکینیکل کمپن ڈرمنگ