Unbounded operator
ریاضی میں، زیادہ خاص طور پر فنکشنل تجزیہ اور آپریٹر تھیوری، ان باؤنڈ آپریٹر کا تصور تفریق آپریٹرز، کوانٹم میکانکس میں ان باؤنڈ آبزرویبلز، اور دیگر معاملات سے نمٹنے کے لیے ایک تجریدی فریم ورک فراہم کرتا ہے۔ "ان باؤنڈڈ آپریٹر" کی اصطلاح گمراہ کن ہو سکتی ہے، کیونکہ "ان باؤنڈڈ" کو بعض اوقات "لازمی طور پر باؤنڈڈ نہیں" کے طور پر سمجھا جانا چاہیے ؛ "آپریٹر" کو "لکیری آپریٹر" کے طور پر سمجھا جانا چاہیے (جیسا کہ "باؤنڈڈ آپریٹر" کے معاملے میں) ؛ آپریٹر کا ڈومین ایک لکیری سب اسپیس ہے، ضروری نہیں کہ پوری جگہ ہو ؛ یہ لکیری سب اسپیس لازمی طور پر بند نہیں ہوتی ؛ اکثر (لیکن ہمیشہ نہیں) اسے گھنے سمجھا جاتا ہے ؛ باؤنڈڈ آپریٹر کے خاص معاملے میں، پھر بھی، ڈومین کو عام طور پر پوری جگہ سمجھا جاتا ہے۔ باؤنڈڈ آپریٹرز کے برعکس، کسی دی گئی جگہ پر غیر باؤنڈڈ آپریٹرز الجبرا نہیں بناتے، اور نہ ہی لکیری اسپیس بناتے ہیں، کیونکہ ہر ایک کو اس کے اپنے ڈومین پر بیان کیا جاتا ہے۔ اصطلاح "آپریٹر" کا مطلب اکثر "باؤنڈڈ لینیر آپریٹر" ہوتا ہے، لیکن اس مضمون کے تناظر میں اس کا مطلب "ان باؤنڈڈ آپریٹر" ہے، جس میں اوپر دیے گئے تحفظات ہیں۔ دی گئی جگہ کو ہلبرٹ کی جگہ سمجھا جاتا ہے۔ بناچ خالی جگہوں اور زیادہ عام ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں میں کچھ عمومییاں ممکن ہیں۔ غیر محدود آپریٹرز کا نظریہ 1920 کی دہائی کے آخر اور 1930 کی دہائی کے اوائل میں کوانٹم میکانکس کے لیے ایک سخت ریاضیاتی فریم ورک تیار کرنے کے حصے کے طور پر تیار ہوا۔ نظریہ کی ترقی جان وان نیومن اور مارشل اسٹون کی وجہ سے ہے۔ وان نیومن نے 1932 میں غیر محدود آپریٹرز کا تجزیہ کرنے کے لیے گراف کا استعمال کرتے ہوئے متعارف کرایا۔ تعریف اور بنیادی خصوصیات بناچ خالی جگہیں ہونے دیں۔ ایک غیر محدود آپریٹر (یا صرف آپریٹر) ایک لکیری ذیلی جگہ-ڈومین-سے خلا تک کا لکیری نقشہ ہے۔ معمول کے رواج کے برعکس، پوری جگہ پر اس کی وضاحت نہیں کی جا سکتی ہے۔ ایک آپریٹر کو بند کہا جاتا ہے اگر اس کا گراف بند سیٹ ہو۔ (یہاں، گراف براہ راست رقم کا ایک لکیری سب اسپیس ہے، جس کی تعریف تمام جوڑوں کے سیٹ کے طور پر کی گئی ہے، جہاں کے ڈومین پر چلتا ہے۔) واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ اس طرح کے ڈومین سے پوائنٹس کی ہر ترتیب کے لیے اور، یہ رکھتا ہے جو اور کے ڈومین سے تعلق رکھتا ہے۔ بندش کو گراف کے معیار کے لحاظ سے بھی وضع کیا جا سکتا ہے: ایک آپریٹر کو صرف اس صورت میں بند کیا جاتا ہے جب اس کا ڈومین معمول کے حوالے سے ایک مکمل جگہ ہو: ایک آپریٹر کو گھنے طور پر بیان کیا جاتا ہے اگر اس کا ڈومین گھنے ہو۔ اس میں پوری جگہ پر متعین آپریٹرز بھی شامل ہیں، کیونکہ پوری جگہ اپنے آپ میں گھنے ہیں۔ ڈومین کی کثافت ملحقہ (اگر اور ہلبرٹ خالی جگہیں ہیں) اور ٹرانسپوز کے وجود کے لیے ضروری اور کافی ہے۔ نیچے دیے گئے حصوں کو دیکھیں۔ اگر اس کے ڈومین پر بند، گھنے طور پر متعین اور مسلسل ہے، تو اس کا ڈومین سب کا ہے۔ ہلبرٹ اسپیس پر ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر کو نیچے سے باؤنڈ کہا جاتا ہے اگر وہ کسی حقیقی نمبر کے لیے مثبت آپریٹر ہو۔ یعنی، ڈومین میں موجود سب کے لیے (یا متبادل طور پر چونکہ من مانی ہے)۔ اگر دونوں اور نیچے سے پابند ہیں تو پابند ہیں۔ مثال آئیے اکائی وقفے پر مسلسل افعال کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں، اور مسلسل تفریق پذیر افعال کی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ ہم بالادستی کے معیار سے لیس ہوتے ہیں، جس سے یہ بناچ کی جگہ بن جاتی ہے۔ کلاسیکی تفریق آپریٹر کو معمول کے فارمولے سے بیان کریں: ہر تفریق پذیر فنکشن مسلسل ہے، لہذا۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ یہ ڈومین کے ساتھ ایک اچھی طرح سے متعین غیر محدود آپریٹر ہے۔ اس کے لیے، ہمیں یہ دکھانے کی ضرورت ہے کہ یہ لکیری ہے اور پھر، مثال کے طور پر، کچھ اس طرح کی نمائش کریں اور۔ یہ ایک لکیری آپریٹر ہے، کیونکہ دو مسلسل تفریق پذیر افعال کا لکیری مجموعہ بھی مسلسل تفریق پذیر ہوتا ہے، اور آپریٹر پابند نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، مطمئن کریں لیکن جیسا کہ۔ آپریٹر گھنے طور پر متعین ہے، اور بند ہے۔ ایک ہی آپریٹر کو بناچ اسپیس کے بہت سے انتخاب کے لیے آپریٹر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے اور ان میں سے کسی کے درمیان پابند نہیں کیا جا سکتا۔ ایک ہی وقت میں، اسے بناچ خالی جگہوں کے دوسرے جوڑوں کے لیے آپریٹر کے طور پر، اور کچھ ٹپوولوجیکل ویکٹر خالی جگہوں کے لیے آپریٹر کے طور پر بھی پابند کیا جا سکتا ہے۔ ایک مثال کے طور پر ایک کھلا وقفہ ہونے دیں اور اس پر غور کریں کہ کہاں: منسلک ایک غیر محدود آپریٹر کے ملحقہ کو دو مساوی طریقوں سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہلبرٹ خالی جگہوں کے درمیان ایک غیر محدود آپریٹر ہونے دیں۔ سب سے پہلے، اس کی تعریف اس طرح سے کی جا سکتی ہے کہ کس طرح ایک باؤنڈ آپریٹر کے ملحقہ کی وضاحت کی جاتی ہے۔ یعنی، کے ملحقہ کو پراپرٹی کے ساتھ آپریٹر کے طور پر بیان کیا گیا ہے: زیادہ واضح طور پر، مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا گیا ہے۔ اگر ایسا ہے جو ڈومین پر ایک مسلسل لکیری فنکشنل ہے، تو اسے ہان-بناچ تھیوریم کے ذریعے پوری جگہ تک لکیری فنکشنل کو بڑھانے کے بعد ایک عنصر قرار دیا جاتا ہے، اس میں کچھ اس طرح تلاش کرنا ممکن ہے کہ چونکہ ریز نمائندگی تھیوریم ہلبرٹ اسپیس کے مسلسل ڈوئل کو اندرونی پروڈکٹ کے ذریعہ دیئے گئے لکیری فنکشنل کے سیٹ کے ساتھ شناخت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اس ویکٹر کا تعین منفرد طور پر اس صورت میں کیا جاتا ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب لکیری فنکشنل کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہو ؛ یا مساوی طور پر، اگر گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہو۔ آخر میں، جس کی تعمیر کو مکمل کرنے دینا لازمی طور پر ایک لکیری نقشہ ہے۔ ملحقہ تب موجود ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اس کی گھنے طور پر وضاحت کی جائے۔ تعریف کے مطابق، ڈومین اس طرح کے عناصر پر مشتمل ہوتا ہے جو ڈومین پر مسلسل ہوتا ہے۔ نتیجتا، ڈومین کچھ بھی ہو سکتا ہے ؛ یہ معمولی ہو سکتا ہے (یعنی، صرف صفر پر مشتمل ہے)۔ ایسا ہو سکتا ہے کہ ڈومین ایک بند ہائپرپلین ہو اور ڈومین پر ہر جگہ غائب ہو جائے۔ اس طرح، اس کے ڈومین پر باؤنڈنیس کا مطلب باؤنڈنیس نہیں ہے۔ دوسری طرف، اگر پوری جگہ پر بیان کیا گیا ہے تو اس کے ڈومین پر پابند ہے اور اس وجہ سے پوری جگہ پر ایک پابند آپریٹر تک تسلسل کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے۔ اگر کا ڈومین گھنے ہے، تو اس کا ملحقہ ہے ایک بند گھنے طور پر متعین آپریٹر پابند ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پابند ہو۔ ملحقہ کی دوسری مساوی تعریف ایک عمومی حقیقت کو دیکھ کر حاصل کی جا سکتی ہے۔ لکیری آپریٹر کی وضاحت اس طرح کریں: چونکہ یہ ایک آئسومیٹرک سرجیکشن ہے، اس لیے یہ یک جہتی ہے۔ لہذا: کسی آپریٹر کا گراف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہو۔ ایک سادہ حساب سے پتہ چلتا ہے کہ یہ "کچھ" مطمئن کرتا ہے: کے ڈومین میں ہر ایک کے لیے۔ اس طرح کا ملحقہ ہے۔ یہ مندرجہ بالا تعریف کے فورا بعد آتا ہے کہ ملحقہ بند ہے۔ خاص طور پر، ایک سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر (معنی) بند ہوتا ہے۔ ایک آپریٹر کو بند اور گھنے طور پر بیان کیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب باؤنڈڈ آپریٹرز کے لیے کچھ معروف خصوصیات بند گھنے طور پر متعین آپریٹرز کو عام بناتی ہیں۔ بند آپریٹر کا دانا بند ہوتا ہے۔ مزید برآں، ایک بند گھنے طور پر متعین آپریٹر کا دانا ملحقہ کی حد کے آرتھوگنل تکمیل کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ یعنی، وان نیومن کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ اور خود مشترکہ ہیں، اور یہ کہ اور دونوں نے الٹا پابند کیا ہے۔ اگر معمولی دانا ہے، تو اس کی گھنے رینج ہے (مندرجہ بالا شناخت کے مطابق)۔ مزید برآں: سرجیکٹو ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی ایسا ہو جو سب کے لیے ہو (یہ بنیادی طور پر نام نہاد بند رینج تھیوریم کا ایک متغیر ہے۔) خاص طور پر، بند رینج ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب بند رینج ہو۔ باؤنڈ کیس کے برعکس، یہ ضروری نہیں ہے کہ چونکہ، مثال کے طور پر، یہ ممکن ہے کہ اس کا وجود نہ ہو۔ تاہم، یہ معاملہ ہے اگر، مثال کے طور پر، پابند ہے۔ ایک گھنے طور پر متعین، بند آپریٹر کو نارمل کہا جاتا ہے اگر وہ مندرجہ ذیل مساوی شرائط کو پورا کرتا ہے: کا ڈومین اس ڈومین میں ہر ایک کے ڈومین کے برابر ہے اور اس کے ڈومین میں ہر ایک کے لیے اس طرح کے سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر موجود ہیں۔ ہر سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر نارمل ہے۔ ٹرانسپوز بناچ خالی جگہوں کے درمیان آپریٹر بننے دیں۔ پھر کا ٹرانسپوز (یا ڈوئل) لکیری آپریٹر کو مطمئن کرتا ہے: سب کے لیے اور یہاں، ہم نے اشارے کا استعمال کیا: ٹرانسپوز کے وجود کے لیے ضروری اور کافی شرط یہ ہے کہ اس کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہے (بنیادی طور پر اسی وجہ سے جو ملحقہ ہے، جیسا کہ اوپر بحث کی گئی ہے۔) کسی بھی ہلبرٹ جگہ کے لیے اینٹی لکیری آئسومورفزم ہوتا ہے: جہاں سے دیا جاتا ہے اس آئسومورفزم کے ذریعے، ٹرانسپوز کا تعلق مندرجہ ذیل طریقے سے ملحقہ سے ہوتا ہے: جہاں۔ (محدود جہتی معاملے کے لیے، یہ اس حقیقت سے مطابقت رکھتا ہے کہ میٹرکس کا ملحقہ اس کا کنجوگیٹ ٹرانسپوز ہے۔) نوٹ کریں کہ یہ ایک ٹرانسپوز کے لحاظ سے ملحقہ کی تعریف دیتا ہے۔ بند لکیری آپریٹر بند لکیری آپریٹر بناچ خالی جگہوں پر لکیری آپریٹرز کی ایک کلاس ہیں۔ وہ باؤنڈڈ آپریٹرز سے زیادہ عام ہیں، اور اس لیے ضروری نہیں کہ مسلسل ہوں، لیکن وہ اب بھی اتنی اچھی خصوصیات کو برقرار رکھتے ہیں کہ کوئی بھی اس طرح کے آپریٹرز کے لیے سپیکٹرم اور (کچھ مفروضوں کے ساتھ) فنکشنل کیلکولس کی وضاحت کر سکتا ہے۔ بہت سے اہم لکیری آپریٹرز جو پابند ہونے میں ناکام رہتے ہیں وہ بند ہو جاتے ہیں، جیسے مشتق اور تفریقی آپریٹرز کی ایک بڑی کلاس۔ دو بناچ خالی جگہیں ہونے دیں۔ ایک لکیری آپریٹر بند ہوتا ہے اگر کنورجنگ میں ہر ترتیب کے لیے جیسا کہ کسی کے پاس اور ہے۔ مساوی طور پر، بند کیا جاتا ہے اگر اس کا گراف براہ راست رقم میں بند ہو۔ ایک لکیری آپریٹر کو دیکھتے ہوئے، ضروری نہیں کہ بند ہو، اگر اس کے گراف کی بندش کسی آپریٹر کا گراف ہو، تو اس آپریٹر کو کلوزر آف کہا جاتا ہے، اور ہم کہتے ہیں کہ یہ کلوزیبل ہے۔ کی بندش کی نشاندہی کریں۔ اس کے بعد اس کی پابندی ہے۔ ایک قریبی آپریٹر کا ایک بنیادی (یا ضروری ڈومین) اس طرح کا ایک ذیلی مجموعہ ہے جس کی پابندی کو بند کرنا ہے۔ مثال مشتق آپریٹر پر غور کریں کہ وقفے پر تمام مسلسل افعال کی بناچ جگہ کہاں ہے۔ اگر کوئی اپنا ڈومین لیتا ہے، تو وہ ایک بند آپریٹر ہے جو پابند نہیں ہے۔ دوسری طرف اگر، تو اب بند نہیں کیا جائے گا، لیکن یہ بند ہونے کے قابل ہوگا، جس پر بندش کی توسیع کی وضاحت کی گئی ہے۔ سمیٹرک آپریٹرز اور سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز ہلبرٹ اسپیس پر ایک آپریٹر T سمیٹرک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہمارے ڈومین میں ہر x اور y کے لیے ہو۔ ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر سمیٹرک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ T کے ڈومین تک محدود اپنے ملحقہ T ≤ سے متفق ہو، دوسرے لفظوں میں جب T ≤ کی توسیع ہو۔ عام طور پر، اگر T کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہے اور ہم آہنگ ہے، تو ملحقہ T کے ڈومین کو T کے ڈومین کے برابر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر T ہم آہنگ ہے اور T کا ڈومین اور ملحقہ کا ڈومین موافق ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ T سیلف ایڈجوائنٹ ہے۔ نوٹ کریں کہ، جب T سیلف ایڈجائنٹ ہوتا ہے، تو ملحقہ کے وجود کا مطلب یہ ہے کہ T کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہے اور چونکہ T ≤ لازمی طور پر بند ہے، T بند ہے۔ ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر T ہم آہنگ ہوتا ہے، اگر ذیلی جگہ (پچھلے حصے میں بیان کردہ) J کے تحت اس کی شبیہہ کے لیے آرتھوگنل ہو (جہاں J (x, y): = (y,-x))۔ مساوی طور پر، ایک آپریٹر T سیلف ایڈجائنٹ ہوتا ہے اگر وہ گھنے طور پر متعین، بند، ہم آہنگ ہو، اور چوتھی شرط کو پورا کرے: دونوں آپریٹر، سرجیکٹو ہیں، یعنی، T کے ڈومین کو پوری جگہ H پر نقشہ بنائیں۔ دوسرے لفظوں میں: H میں ہر x کے لیے T کے ڈومین میں y اور z موجود ہیں جیسے کہ اور۔ ایک آپریٹر T سیلف ایڈجائنٹ ہے، اگر دونوں ذیلی جگہیں آرتھوگنل ہیں اور ان کا مجموعہ پوری جگہ ہے۔ یہ نقطہ نظر غیر گھنے طور پر بیان کردہ بند آپریٹرز کا احاطہ نہیں کرتا ہے۔ غیر گھنے طور پر بیان کردہ سمیٹرک آپریٹرز کی تعریف براہ راست یا گراف کے ذریعے کی جا سکتی ہے، لیکن ملحقہ آپریٹرز کے ذریعے نہیں۔ ایک سمیٹرک آپریٹر کا مطالعہ اکثر اس کے کیلی ٹرانسفارم کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ ایک پیچیدہ ہلبرٹ جگہ پر ایک آپریٹر T سمیٹرک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی کواڈریٹک شکل حقیقی ہو، یعنی، T کے ڈومین میں تمام x کے لیے نمبر حقیقی ہو۔ ایک گھنے طور پر بیان کردہ بند سمیٹرک آپریٹر T سیلف ایڈجوائنٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب T ≤ سمیٹرک ہو۔ ایسا ہو سکتا ہے کہ ایسا نہ ہو۔ ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر T کو مثبت (یا غیر منفی) کہا جاتا ہے اگر اس کی کواڈریٹک شکل غیر منفی ہو، یعنی T کے ڈومین میں موجود تمام x کے لیے۔ ایسا آپریٹر لازمی طور پر ہم آہنگ ہوتا ہے۔ سپیکٹرم تھیوریم سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز پر لاگو ہوتا ہے اور اس کے علاوہ، عام آپریٹرز پر، لیکن عام طور پر گھنے طور پر بیان کردہ، بند آپریٹرز پر نہیں، کیونکہ اس صورت میں سپیکٹرم خالی ہو سکتا ہے۔ ہر جگہ بیان کردہ ایک سمیٹرک آپریٹر بند ہوتا ہے، اس لیے پابند ہوتا ہے، جو کہ ہیلنگر-ٹوپلٹز تھیوریم ہے۔ تعریف کے مطابق، ایک آپریٹر T ایک آپریٹر S کی توسیع ہے اگر۔ ایک مساوی براہ راست تعریف: S کے ڈومین میں ہر x کے لیے، x کا تعلق T اور کے ڈومین سے ہے۔ نوٹ کریں کہ ہر آپریٹر کے لیے ہر جگہ ایک متعین توسیع موجود ہے، جو کہ خالصتا الجبرائی حقیقت ہے جس کی وضاحت انتخاب کے محور پر کی گئی ہے۔ اگر دیا ہوا آپریٹر پابند نہیں ہے تو تو توسیع ایک متضاد لکیری نقشہ ہے۔ اس کا بہت کم فائدہ ہے کیونکہ یہ دیئے گئے آپریٹر کی اہم خصوصیات کو محفوظ نہیں رکھ سکتا (نیچے دیکھیں)، اور عام طور پر انتہائی غیر منفرد ہوتا ہے۔ ایک آپریٹر T کو کلوزیبل کہا جاتا ہے اگر وہ مندرجہ ذیل مساوی شرائط کو پورا کرتا ہے: T کی ایک کلوزڈ ایکسٹینشن ہے ؛ T کے گراف کی بندش کسی آپریٹر کا گراف ہے ؛ T کے ڈومین سے پوائنٹس کی ہر ترتیب (xn) کے لیے اس طرح کہ xn → 0 اور Txn → y بھی اسے برقرار رکھتا ہے۔ تمام آپریٹر بند کرنے کے قابل نہیں ہیں۔ ایک قریبی آپریٹر T میں سب سے کم بند توسیع ہوتی ہے جسے T کی بندش کہا جاتا ہے۔ T کے گراف کی بندش گراف کے برابر ہوتی ہے۔ دیگر، غیر کم سے کم بند توسیعات موجود ہو سکتی ہیں۔ ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر T بند کرنے کے قابل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب T ऱ्ऱं گھنے طور پر بیان کیا گیا ہو۔ اس صورت میں اور اگر S کی گھنے طور پر وضاحت کی گئی ہے اور T S کی توسیع ہے تو S ≤ T ≤ کی توسیع ہے۔ ہر سمیٹرک آپریٹر قابل قریب ہوتا ہے۔ ایک سمیٹرک آپریٹر کو زیادہ سے زیادہ سمیٹرک کہا جاتا ہے اگر اس میں کوئی سمیٹرک ایکسٹینشن نہ ہو، سوائے اپنے لیے۔ ہر سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر زیادہ سے زیادہ سمیٹرک ہوتا ہے۔ اس کے برعکس غلط ہے۔ ایک آپریٹر کو بنیادی طور پر سیلف ایڈجائنٹ کہا جاتا ہے اگر اس کی بندش سیلف ایڈجائنٹ ہو۔ ایک آپریٹر بنیادی طور پر سیلف ایڈجائنٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی ایک اور صرف ایک سیلف ایڈجائنٹ ایکسٹینشن ہو۔ ایک سمیٹرک آپریٹر میں ایک سے زیادہ سیلف ایڈجائنٹ ایکسٹینشن ہو سکتی ہے، اور یہاں تک کہ ان کا تسلسل بھی ہو سکتا ہے۔ ایک گھنے طور پر متعین، سمیٹرک آپریٹر T بنیادی طور پر سیلف ایڈجائنٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دونوں آپریٹرز کی گھنے رینج ہو۔ T کو ایک گھنے طور پر متعین آپریٹر ہونے دیں۔ تعلق کی نشاندہی کرتے ہوئے "T S کی توسیع ہے" بذریعہ S. T (ایک روایتی مخفف کے لیے γ (S) γ (T)) میں سے ایک میں درج ذیل ہے۔ اگر T ہم آہنگ ہے تو T θ T θ T θ ہے۔ اگر T بند اور ہم آہنگ ہے تو T = T ≤ ≤ T ≤۔ اگر T سیلف ایڈجائنٹ ہے تو T = T ≤ = T ≤۔ اگر T بنیادی طور پر سیلف ایڈجائنٹ ہے تو T ऱ् T िऱ = T ٗر۔ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کی اہمیت سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کی کلاس ریاضیاتی طبیعیات میں خاص طور پر اہم ہے۔ ہر سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر گھنے طور پر متعین، بند اور ہم آہنگ ہوتا ہے۔ الٹا باؤنڈڈ آپریٹرز کے لیے ہوتا ہے لیکن عام طور پر ناکام ہوتا ہے۔ خود ہم آہنگی ان تینوں خصوصیات کے مقابلے میں کافی حد تک زیادہ محدود ہے۔ مشہور سپیکٹرم تھیوریم سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز کے لیے ہے۔ ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپوں پر اسٹون کے نظریہ کے ساتھ مل کر یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سیلف ایڈجائنٹ آپریٹرز قطعی طور پر مضبوطی سے مسلسل ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپوں کے لامحدود جنریٹر ہیں، دیکھیں۔ کلاسیکی اور کوانٹم میکانکس میں وقت کے ارتقاء کو بیان کرنے کے لیے اس طرح کے یکطرفہ گروہ خاص طور پر اہم ہیں۔ اسٹون ون نیومن تھیوریم باؤنڈڈ آپریٹر نوٹس حوالہ جات کتابچہ بھی دیکھیں (باب 12 "ہلبرٹ خالی جگہوں میں غیر باؤنڈڈ آپریٹرز کا عمومی نظریہ" دیکھیں)۔ (باب 5 "لامحدود آپریٹرز" دیکھیں)۔ (باب 8 "لامحدود آپریٹرز" دیکھیں)۔ لکیری آپریٹرز آپریٹر تھیوری ڈی: لکیری Operator#Unbeschränkte لائنیر آپریٹر