Pregeometry (model theory)
پریجیومیٹری، اور مکمل مشترکہ پریجیومیٹری میں، بنیادی طور پر "میٹرائڈ" کے مترادف ہیں۔ انہیں گیان کارلو روٹا نے ایک کم "ناقابل بیان کیکوفونوس" متبادل اصطلاح فراہم کرنے کے ارادے سے متعارف کرایا تھا۔ نیز، مشترکہ جیومیٹری کی اصطلاح، جسے بعض اوقات جیومیٹری کے لیے مختصر کیا جاتا ہے، کا مقصد "سادہ میٹرائڈ" کی جگہ لینا تھا۔ یہ اصطلاحات اب میٹروئڈز کے مطالعہ میں کبھی کبھار استعمال ہوتی ہیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ لکیری الجبرا کے بہت سے بنیادی تصورات-بندش، آزادی، ذیلی جگہ، بنیاد، طول و عرض-پری جیومیٹریز کے عمومی فریم ورک میں دستیاب ہیں۔ ریاضیاتی منطق کی شاخ میں جسے ماڈل تھیوری کہا جاتا ہے، لامحدود فائنٹری میٹروئڈز، جنہیں وہاں "پریجیومیٹریز" کہا جاتا ہے (اور "جیومیٹریز" اگر وہ سادہ میٹروئڈز ہیں)، آزادی کے مظاہر کی بحث میں استعمال ہوتے ہیں۔ پری جیومیٹریز، جیومیٹریز، اور تجریدی بندش آپریٹرز فرسٹ آرڈر ماڈلز کی ساخت کو کس طرح متاثر کرتے ہیں اس کا مطالعہ جیومیٹرک استحکام تھیوری کہلاتا ہے۔ محرک اگر کسی فیلڈ پر ایک ویکٹر اسپیس ہے اور، ہم ویکٹر کے تمام لکیری امتزاج کے سیٹ کے طور پر بیان کرتے ہیں، جسے اسپین آف بھی کہا جاتا ہے۔ پھر ہمارے پاس اور اور ہے۔ اسٹینٹز ایکسچینج لیما اس بیان کے مساوی ہے: اگر، تو پھر آزاد سیٹ، جنریٹنگ سیٹ، بیس اور طول و عرض کے لکیری الجبرا تصورات کو صرف-آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ پری جیومیٹری اس صورتحال کا خلاصہ ہے: ہم ایک صوابدیدی سیٹ اور ایک صوابدیدی آپریٹر سے شروع کرتے ہیں جو ذیلی سیٹ کے ہر ذیلی سیٹ کو تفویض کرتا ہے، جو اوپر کی خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے۔ پھر ہم اس زیادہ عمومی ترتیب میں "لکیری الجبرا" تصورات کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں۔ طول و عرض کا یہ عمومی تصور ماڈل تھیوری میں بہت مفید ہے، جہاں بعض صورتوں میں کوئی مندرجہ ذیل بحث کر سکتا ہے: ایک ہی کارڈینالیٹی والے دو ماڈلز کا طول و عرض ایک ہی ہونا چاہیے اور ایک ہی طول و عرض والے دو ماڈلز کا آئسومورفک ہونا چاہیے۔ تعریفیں پریجومیٹریز اور جیومیٹریز ایک مشترکہ پریجومیٹری (جسے فائنٹری میٹرائڈ بھی کہا جاتا ہے) ایک جوڑا ہے، جہاں ایک سیٹ ہے اور (جسے کلوزر میپ کہا جاتا ہے) مندرجہ ذیل محوریات کو مطمئن کرتا ہے۔ سب کے لیے اور: کیا مونوٹون بڑھ رہا ہے اور غالب ہے (یعنی۔ اس کا مطلب ہے) اور مثالی ہے (یعنی) محدود حرف: ہر ایک کے لیے کچھ محدود ہوتا ہے۔ تبادلے کا اصول: اگر، تب (اور اس وجہ سے حقیقت میں یکسانیت اور شناخت سے)۔ کچھ کے لیے فارم کے سیٹ کو بند کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد یہ واضح ہوتا ہے کہ بند سیٹوں کے محدود چوراہے بند ہوتے ہیں اور یہ سب سے چھوٹا بند سیٹ ہوتا ہے۔ جیومیٹری ایک پری جیومیٹری ہے جس میں سنگلٹن کی بندش سنگلٹن ہوتی ہے اور خالی سیٹ کی بندش خالی سیٹ ہوتی ہے۔ دی گئی سیٹوں کی آزادی، بنیاد اور طول و عرض، اگر کسی کے لیے ہو تو اس پر آزاد ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ آزاد ہے اگر یہ خالی سیٹ پر آزاد ہے۔ ایک سیٹ اوور کے لیے ایک بنیاد ہے اگر یہ اور پر آزاد ہے۔ ایک بنیاد زیادہ سے زیادہ آزاد ذیلی سیٹ کی طرح ہوتی ہے، اور زورن کے لیما کا استعمال کرتے ہوئے یہ ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ ہر سیٹ کی ایک بنیاد ہوتی ہے۔ چونکہ پریجیومیٹری اسٹینٹز ایکسچینج پراپرٹی کو مطمئن کرتی ہے اس لیے تمام بیس ایک ہی کارڈینالیٹی کے ہوتے ہیں، اس لیے ہم اوور کے طول و عرض کی وضاحت کر سکتے ہیں، جسے اوور کی کسی بھی بنیاد کی کارڈینالیٹی کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، کے طول و عرض کو خالی سیٹ پر طول و عرض کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ سیٹ آزاد ہوتے ہیں اگر جب بھی کا ایک محدود ذیلی سیٹ ہو۔ نوٹ کریں کہ یہ تعلق ہم آہنگ ہے۔ آٹومورفزم اور یکساں پریجیومیٹریز پریجیومیٹری کا آٹومورفزم ایک بائیجیکشن ہے جو کسی بھی چیز کے لیے ہوتا ہے۔ ایک پری جیومیٹری کو یکساں کہا جاتا ہے اگر کسی بھی بند اور کسی بھی دو عناصر کے لیے ایک آٹومورفزم ہو جس کا نقشہ بنا کر نقطہ نظر سے طے کیا جائے۔ متعلقہ جیومیٹری اور لوکلائزیشن ایک پری جیومیٹری کو دیکھتے ہوئے اس سے وابستہ جیومیٹری (جسے بعض اوقات ادب میں کینونکل جیومیٹری کہا جاتا ہے) جیومیٹری ہے جہاں، اور کسی کے لیے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ یکساں پری جیومیٹری کی متعلقہ جیومیٹری یکساں ہے۔ کی لوکلائزیشن کو دیکھتے ہوئے پری جیومیٹری کہاں ہے۔ پری جیومیٹریز کی اقسام پری جیومیٹری کو کہا جاتا ہے: معمولی (یا انحطاط) اگر تمام خالی نہ ہوں۔ ماڈیولر اگر کوئی دو بند محدود جہتی سیٹ مساوات کو مطمئن کرتے ہیں (یا مساوی طور پر جو اوور سے آزاد ہے)۔ مقامی طور پر ماڈیولر اگر اس میں سنگلٹن پر لوکلائزیشن ہے جو ماڈیولر ہے۔ (مقامی طور پر) پروجیکٹو اگر یہ غیر معمولی اور (مقامی طور پر) ماڈیولر ہے۔ اگر محدود سیٹوں کی بندش محدود ہو تو مقامی طور پر محدود ہے۔ تثلیث، ماڈیولرٹی اور مقامی ماڈیولرٹی متعلقہ جیومیٹری میں منتقل ہوتے ہیں اور لوکلائزیشن کے تحت محفوظ ہوتے ہیں۔ اگر مقامی طور پر ماڈیولر یکساں پریجیومیٹری ہے اور پھر ان کی لوکلائزیشن ماڈیولر ہے۔ جیومیٹری ماڈیولر ہوتی ہے اگر اور صرف جب بھی، اور پھر۔ مثالیں معمولی مثال اگر کوئی سیٹ ہے تو ہم سب کے لیے اس کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ یہ پری جیومیٹری ایک معمولی، یکساں، مقامی طور پر محدود جیومیٹری ہے۔ ویکٹر خالی جگہیں اور پروجیکٹو خالی جگہیں ایک فیلڈ ہونے دیں (ایک ڈویژن رنگ دراصل کافی ہے) اور اس پر ایک ویکٹر کی جگہ ہونے دیں۔ پھر ایک پریجیومیٹری ہے جہاں سیٹوں کی بندش کو ان کے دورانیے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ بند سیٹ لکیری ذیلی جگہیں ہیں اور لکیری الجبرا سے طول و عرض کا تصور پری جیومیٹری طول و عرض کے ساتھ موافق ہے۔ یہ پری جیومیٹری یکساں اور ماڈیولر ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں کو ماڈیولرٹی کی مثالی مثال سمجھا جاتا ہے۔ مقامی طور پر محدود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب محدود ہو۔ جیومیٹری نہیں ہے، کیونکہ کسی بھی غیر معمولی ویکٹر کی بندش کم از کم سائز کی ذیلی جگہ ہوتی ہے۔ ایک-جہتی ویکٹر اسپیس اوور کی متعلقہ جیومیٹری-جہتی پروجیکٹو اسپیس اوور ہے۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ پری جیومیٹری ایک پروجیکٹو جیومیٹری ہے۔ افائن خالی جگہیں کسی فیلڈ پر ایک جہتی افائن خالی جگہ ہونے دیں۔ ایک سیٹ کو دیکھتے ہوئے اس کی بندش کو اس کے افائن ہل کے طور پر بیان کریں (یعنی۔ اس پر مشتمل سب سے چھوٹی افائن سب اسپیس)۔ یہ ایک یکساں جہتی جیومیٹری بناتا ہے۔ ایک افائن اسپیس ماڈیولر نہیں ہے (مثال کے طور پر، اگر اور متوازی لائنیں ہیں تو ماڈیولرٹی کی تعریف میں فارمولا ناکام ہوجاتا ہے)۔ تاہم، یہ چیک کرنا آسان ہے کہ تمام لوکلائزیشن ماڈیولر ہیں۔ فیلڈ ایکسٹینشن اور ٹرانسڈیننس ڈگری کو فیلڈ ایکسٹینشن ہونے دیں۔ اگر ہم اس کی وضاحت کریں تو سیٹ ایک پریجیومیٹری بن جاتا ہے۔ سیٹ اس پری جیومیٹری میں آزاد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ الجبرائی طور پر آزاد ہو۔ کا طول و عرض ماورائی ڈگری کے ساتھ موافق ہے۔ ماڈل تھیوری میں، الجبرائی طور پر بند ہونے اور اس کے پرائم فیلڈ کا معاملہ خاص طور پر اہم ہے۔ جبکہ ویکٹر خالی جگہیں ماڈیولر ہیں اور افائن خالی جگہیں "تقریبا" ماڈیولر ہیں (یعنی۔ ہر جگہ مقامی طور پر ماڈیولر)، الجبرائی طور پر بند فیلڈز دوسری انتہا کی مثالیں ہیں، یہاں تک کہ مقامی طور پر ماڈیولر نہیں ہیں (یعنی۔ لوکلائزیشنز میں سے کوئی بھی ماڈیولر نہیں ہے)۔ ماڈل تھیوری میں بہت کم سیٹ ایک قابل شمار فرسٹ آرڈر زبان L اور ایک L-ساخت M کو دیکھتے ہوئے، M کا کوئی بھی قابل تعریف ذیلی سیٹ D جو بہت کم ہے سیٹ D پر پری جیومیٹری کو جنم دیتا ہے۔ یہاں کلوزر آپریٹر ماڈل تھیوریٹک معنوں میں الجبرائی بندش کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ سختی سے کم سے کم نظریہ کے ماڈل کا تعین آئسومورفزم تک اس کے طول و عرض کے ذریعہ پری جیومیٹری کے طور پر کیا جاتا ہے۔ یہ حقیقت مورلے کے زمرہ بندی تھیوریم کے ثبوت میں استعمال ہوتی ہے۔ مستحکم نظریات پر کم سے کم سیٹوں میں آزادی کا تعلق آزادی کے تصور کے ساتھ موافق ہے۔ حوالہ جات ایچ۔ ایچ۔ کریپو اور جی۔ سی۔ روٹا (1970)، آن دی فاؤنڈیشنز آف کمبینٹوریئل تھیوری: کمبینٹوریئل جیومیٹریز۔ ایم۔ آئی۔ ٹی۔ پریس، کیمبرج، ماس۔ پیلے، آنند (1996)، جیومیٹرک اسٹیبلٹی تھیوری۔ آکسفورڈ لاجک گائیڈز۔ آکسفورڈ یونیورسٹی پریس۔ میٹرائڈ تھیوری ماڈل تھیوری