Epigraph (mathematics)
ریاضی میں، توسیعی حقیقی اعداد میں قابل قدر فنکشن کا ایپیگراف یا سپر گراف وہ سیٹ ہے، جسے اس کے گراف پر یا اس کے اوپر پڑے کارٹیشین پروڈکٹ کے تمام نکات سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ سخت نوشتہ اس کے گراف کے بالکل اوپر پڑے ہوئے نکات کا مجموعہ ہے۔ اہم بات یہ ہے کہ اگرچہ گراف اور ایپیگراف دونوں ایپیگراف میں پوائنٹس پر مشتمل ہوتے ہیں جو ذیلی سیٹ میں پوائنٹس پر مشتمل ہوتے ہیں جو کہ گراف کے بارے میں لازمی طور پر درست نہیں ہے۔ اگر فنکشن ایک قدر کے طور پر لیتا ہے تو یہ اس کے ایپیگراف کا ذیلی سیٹ ہوگا۔ مثال کے طور پر، اگر تب پوائنٹ کا تعلق ہوگا لیکن اس سے نہیں۔ یہ دونوں سیٹ اس کے باوجود قریب سے متعلق ہیں کیونکہ گراف کو ہمیشہ ایپیگراف سے دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے، اور اس کے برعکس۔ حقیقی تجزیہ میں مسلسل حقیقی قدر والے افعال کا مطالعہ روایتی طور پر ان کے گراف کے مطالعہ سے قریب سے وابستہ رہا ہے، جو ایسے سیٹ ہیں جو ان افعال کے بارے میں ہندسی معلومات (اور وجدان) فراہم کرتے ہیں۔ نوشتہ جات کنویکس تجزیہ اور تغیراتی تجزیہ کے شعبوں میں اسی مقصد کو پورا کرتے ہیں، جس میں بنیادی توجہ ایک ویکٹر اسپیس (جیسے یا) میں قابل قدر مسلسل افعال کے بجائے قابل قدر کنویکس افعال پر ہوتی ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ عام طور پر، اس طرح کے افعال کے لیے، ہندسی وجدان کسی فنکشن کے نقش و نگار سے اس کے گراف سے زیادہ آسانی سے حاصل کیا جاتا ہے۔ اسی طرح حقیقی تجزیے میں گراف کو کس طرح استعمال کیا جاتا ہے، کتبے کو اکثر کنویکس فنکشن کی خصوصیات کی ہندسی تشریحات دینے، مفروضوں کو وضع کرنے یا ثابت کرنے میں مدد کرنے، یا جوابی مثالوں کی تعمیر میں مدد کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تعریف ایپیگراف کی تعریف کسی فنکشن کے گراف سے متاثر تھی، جہاں کی تعریف سیٹ کے طور پر کی گئی ہے۔ یا توسیعی حقیقی اعداد میں قابل قدر فنکشن کا سیٹ ہے۔ یونین اوور میں جو آخری لائن کے دائیں ہاتھ کی طرف اوپر ظاہر ہوتا ہے، سیٹ کی تشریح "عمودی کرن" کے طور پر کی جا سکتی ہے جس میں "سیدھے اوپر" میں موجود تمام نکات شامل ہوتے ہیں۔ اسی طرح، کسی فنکشن کے گراف پر یا اس کے نیچے پوائنٹس کا مجموعہ اس کا ہے۔ گراف کے ساتھ ایپیگراف کو ہٹا دیا گیا ہے: دوسرے سیٹوں کے ساتھ تعلقات اس حقیقت کے باوجود کہ ایک (یا دونوں) کو ایک قدر کے طور پر لے سکتا ہے (اس صورت میں اس کا گراف ایک ذیلی سیٹ ہوگا)، کے ایپیگراف کو اس کے باوجود اس کے بجائے ایک ذیلی سیٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ جان بوجھ کر ہے کیونکہ جب ویکٹر اسپیس ہوتی ہے تو ویکٹر اسپیس ہوتی ہے (چونکہ توسیعی حقیقی نمبر لائن ویکٹر اسپیس نہیں ہوتی ہے)۔ زیادہ عام طور پر، اگر کسی ویکٹر اسپیس کا صرف ایک غیر خالی سب سیٹ ہے تو کبھی بھی ویکٹر اسپیس کا بھی نہیں ہوتا ہے۔ ایپیگراف ویکٹر اسپیس کا ذیلی سیٹ ہونے کی وجہ سے حقیقی تجزیہ اور فنکشنل تجزیہ (اور دیگر شعبوں) سے متعلق ٹولز کو زیادہ آسانی سے لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ فنکشن کا ڈومین (کوڈومین کے بجائے) اس تعریف کے لیے خاص طور پر اہم نہیں ہے۔ یہ اس کے بجائے کوئی لکیری اسپیس یا یہاں تک کہ ایک صوابدیدی سیٹ بھی ہو سکتا ہے۔ سخت نوشتہ اور گراف ہمیشہ متضاد ہوتے ہیں۔ کسی فنکشن کے کتبے کا تعلق اس کے گراف اور سخت کتبے سے ہوتا ہے جہاں مقرر کردہ مساوات صرف اس صورت میں ہوتی ہے جب اس کی حقیقی قدر ہو۔ تاہم، ہمیشہ برقرار رہتا ہے۔ نوشتہ جات سے افعال کی تعمیر نو نو نو صرف اس صورت میں خالی ہے جب فنکشن یکساں طور پر انفینٹی کے برابر ہو۔ جس طرح کسی بھی فنکشن کو اس کے گراف سے دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے، اسی طرح کسی بھی توسیعی حقیقی قدر والے فنکشن کو بھی اس کے کتبے سے دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے (یہاں تک کہ جب اسے قدر کے طور پر لیا جائے)۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ قدر کو "عمودی لکیر" کے چوراہے سے مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے: صورت 1: اگر اور صرف اس صورت میں جب صورت 2: اگر اور صرف صورت 3: بصورت دیگر، لازمی طور پر اس شکل کی ہوتی ہے جس سے وقفے کی لامحدود قیمت لے کر قدر حاصل کی جا سکتی ہے۔ مندرجہ بالا مشاہدات کو ایک واحد فارمولا دینے کے لیے جوڑا جا سکتا ہے خاص طور پر، تعریف کے لحاظ سے کسی بھی جگہ کے لیے، اسی فارمولے کو اس کے سخت کتبے سے تشکیل نو کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ افعال کی خصوصیات اور ان کے کتبوں کے درمیان تعلقات ایک فنکشن تب اور صرف اس صورت میں کنویکس ہوتا ہے جب اس کا نوشتہ ایک کنویکس سیٹ ہو۔ ایک حقیقی افائن فنکشن کا ایپیگراف اے فنکشن میں ایک ہاف اسپیس ہے جو کم سیمی کنٹینیوئس ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ایپیگراف بند ہو۔ حوالہ جات راکفیلر، رالف ٹائرل (1996)، کنویکس تجزیہ، پرنسٹن یونیورسٹی پریس، پرنسٹن، این جے بھی دیکھیں۔ ۔ کنویکس تجزیہ ریاضیاتی تجزیہ تغیراتی تجزیہ