Gaussian binomial coefficient
ریاضی میں، گاؤسی بائنومیل گتانک (جسے گاؤسی گتانک، گاؤسی کثیر الجہتی، یا ق-بائنومیل گتانک بھی کہا جاتا ہے) بائنومیل گتانک کے q-ینالاگس ہیں۔ گاؤسی بائنومیئل گتانک، جسے یا کے طور پر لکھا جاتا ہے، q میں ایک کثیر الجہتی ہے جس میں انٹیجر گتانک ہوتے ہیں، جس کی قیمت جب q کو پرائم پاور پر سیٹ کیا جاتا ہے تو طول و عرض n کے ویکٹر اسپیس میں طول و عرض k کی ذیلی جگہوں کی تعداد شمار ہوتی ہے، q عناصر کے ساتھ ایک محدود فیلڈ ؛ یعنی۔ یہ محدود گراس مینین میں پوائنٹس کی تعداد ہے۔ تعریف گاؤسی بائنومیئل کوفشنٹس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: جہاں m اور r غیر منفی عدد ہیں۔ اگر، اس کا اندازہ 0 پر ہوتا ہے۔ کیونکہ، قیمت 1 ہے کیونکہ عددی اور ڈینومینیٹر دونوں خالی مصنوعات ہیں۔ اگرچہ ابتدائی طور پر فارمولا ایک عقلی فعل معلوم ہوتا ہے، لیکن یہ دراصل ایک کثیر الجہتی ہے، کیونکہ تقسیم Z [q] میں درست ہے۔ عددی اور ڈینومینیٹر کے تمام عوامل اس سے تقسیم ہوتے ہیں، اور حصص q-نمبر ہے: ان عوامل کو تقسیم کرنے سے مساوی فارمولا ملتا ہے۔ گاؤسی بائنومیئل گتانک کی محدود اقدار اس طرح ہیں: مثالیں مشترکہ وضاحتیں الٹ۔ گاؤسی بائنومیئل گتانک کی ایک مشترکہ وضاحت میں الٹ شامل ہیں۔ عام بائنومیل گتانک-عنصر سیٹ سے منتخب کردہ-امتزاج کو شمار کرتا ہے۔ اگر کوئی ان عناصر کو لمبائی کے لفظ میں مختلف حروف کی پوزیشنوں کے طور پر لیتا ہے، تو ہر-امتزاج دو حروف کی حروف تہجی کا استعمال کرتے ہوئے لمبائی کے لفظ سے مطابقت رکھتا ہے، جیسے کہ حرف 1 کی کاپیاں (منتخب کردہ امتزاج میں پوزیشنوں کی نشاندہی کرتے ہوئے) اور حروف 0 (باقی پوزیشنوں کے لیے)۔ تو، مثال کے طور پر، 0s اور 1s استعمال کرنے والے الفاظ ہیں۔ گاؤسی بائنومیئل گتانک حاصل کرنے کے لیے، ہر لفظ ایک عنصر سے وابستہ ہوتا ہے، جہاں لفظ کے الٹ کی تعداد ہوتی ہے، جہاں، اس صورت میں، الٹ پوزیشن کا ایک جوڑا ہوتا ہے جہاں جوڑے کے بائیں طرف حرف 1 ہوتا ہے اور دائیں پوزیشن میں حرف 0 ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا مثال کے ساتھ، 0 الٹ کے ساتھ ایک لفظ، 1 الٹ کے ساتھ ایک لفظ، 2 الٹ کے ساتھ دو الفاظ،،، 3 الٹ کے ساتھ ایک لفظ، اور 4 الٹ کے ساتھ ایک لفظ ہے۔ یہ ابتدائی پوزیشن سے 1s کی بائیں شفٹوں کی تعداد بھی ہے۔ یہ کوفیشنٹس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اسے دیکھنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ہر لفظ کو آئتاکار گرڈ کے پار اونچائی اور چوڑائی کے ساتھ، نیچے بائیں کونے سے اوپر دائیں کونے تک جانے والے راستے سے جوڑا جائے۔ راستہ ہر 0 کے لیے ایک قدم دائیں اور ہر 1 کے لیے ایک قدم اوپر لیتا ہے۔ الٹ ایک قدم کی سمتوں کو تبدیل کرتا ہے (دائیں + اوپر اوپر + دائیں اور اس کے برعکس)، اس لیے الٹ کی تعداد راستے کے نیچے کے رقبے کے برابر ہوتی ہے۔ ڈبوں میں گیندیں آئیے ناقابل شناخت گیندوں کو ناقابل شناخت ڈبوں میں پھینکنے کے طریقوں کی تعداد ہو، جہاں ہر ڈبے میں گیندیں ہو سکتی ہیں۔ گاؤسی بائنومیل گتانک کو خصوصیت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، جہاں کثیر الجہتی کے گتانک کو ظاہر کرتا ہے (ذیل میں ایپلی کیشنز سیکشن بھی دیکھیں)۔ خصوصیات عکاسی عام بائنومیئل کوفشنٹس کی طرح، گوسیئن بائنومیئل کوفشنٹس سینٹر سمٹرک ہوتے ہیں، یعنی عکاسی کے تحت غیر متغیر: خاص طور پر، q = 1 پر حد گوسیئن بائنومیئل کوفشنٹ کی تشخیص یعنی ہے۔ کوفشنٹس کا مجموعہ متعلقہ بائنومیل ویلیو دیتا ہے۔ کثیر الجہتی کی ڈگری ہے۔ ق شناخت پاسکل کی شناخت کے ینالاگ گوسیائی بائنومیل کوفیشنٹس کے لیے پاسکل کی شناخت کے ینالاگ یہ ہیں: اور کب، یہ دونوں معمول کی بائنومیل شناخت دیتے ہیں۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ دونوں مساوات درست ہیں۔ پہلا پاسکل اینالاگ ابتدائی اقدار کا استعمال کرتے ہوئے گاؤسی بائنومیل کوفشنٹس کو بار بار (m کے حوالے سے) حساب کرنے کی اجازت دیتا ہے اور یہ بھی ظاہر کرتا ہے کہ گاؤسی بائنومیل کوفشنٹس درحقیقت کثیر الجہتی (q میں) ہیں۔ دوسرا پاسکل ینالاگ عکاسی کے تحت گوسی بائنومیل کوفشنٹس کے متبادل اور غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے پہلے سے پیروی کرتا ہے۔ ان شناختوں کی لکیری الجبرا کے لحاظ سے قدرتی تشریحات ہیں۔ یاد رکھیں کہ r-جہتی ذیلی جگہوں کو شمار کرتا ہے، اور ایک جہتی صفر کے ساتھ ایک پروجیکشن ہونے دیں۔ پہلی شناخت بیجیکشن سے آتی ہے جو ذیلی جگہ پر لے جاتی ہے۔ اگر جگہ r-جہتی ہے، اور ہمیں اس لکیری فنکشن پر بھی نظر رکھنی چاہیے جس کا گراف ہے۔ لیکن اگر جگہ (r−1)-جہتی ہے، اور ہم بغیر کسی اضافی معلومات کے دوبارہ تعمیر کر سکتے ہیں۔ دوسری شناخت کی اسی طرح کی تشریح ہے، جو ایک (m−1) جہتی جگہ کو لے کر، دوبارہ دو صورتوں میں تقسیم ہوتی ہے۔ اینالاگس کے ثبوت دونوں اینالاگس کو پہلے یہ نوٹ کر کے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ کی تعریف سے، ہمارے پاس: جیسا کہ مساوات () بن جاتی ہے: اور مساوات () کو تبدیل کرنے سے پہلا اینالاگ ملتا ہے۔ اسی طرح کا عمل، اس کے بجائے استعمال کرتے ہوئے، دوسرا ینالاگ دیتا ہے۔ ق-بائنومیئل تھیوریم ق-بائنومیئل کوفشنٹس کے لیے بائنومیئل تھیوریم کا ایک ینالاگ ہے، جسے کاچی بائنومیئل تھیوریم کہا جاتا ہے: معمول کے بائنومیئل تھیوریم کی طرح، اس فارمولے میں متعدد عمومی اور توسیعات ہیں۔ ایسا ہی ایک، جو منفی طاقتوں کے لیے نیوٹن کے عمومی بائنومیئل تھیوریم سے مطابقت رکھتا ہے، حد میں، یہ فارمولے حاصل کرتے ہیں اور۔ سیٹنگ بالترتیب مختلف اور کسی بھی حصے کے لیے جنریٹنگ افعال فراہم کرتی ہے۔ (بنیادی ہائپر جیومیٹرک سیریز بھی دیکھیں۔) مرکزی ق-بائنومیل شناخت عام بائنومیل گتانک کے ساتھ، ہمارے پاس: ق-بائنومیل گتانک کے ساتھ، ینالاگ یہ ہے: ایپلی کیشنز گاؤس نے اصل میں کواڈریٹک گاؤس کے مجموعے کی علامت کے تعین میں گاؤسی بائنومیل گتانک کا استعمال کیا۔ گاؤسی بائنومیئل کوفشنٹس سمیٹرک پولینومیئلز کی گنتی اور پارٹیشن کے نظریہ میں پائے جاتے ہیں۔ qr in کا گتانک m یا اس سے کم حصوں والے r کی تقسیموں کی تعداد ہے جن میں سے ہر ایک n سے کم یا اس کے برابر ہے۔ مساوی طور پر، یہ r کی تقسیموں کی تعداد بھی ہے جس میں n یا اس سے کم حصے ہیں جن میں سے ہر ایک m سے کم یا اس کے برابر ہے۔ ایک محدود فیلڈ پر بیان کردہ پروجیکٹو خالی جگہوں کے عددی نظریہ میں گوسی بائنومیل گتانک بھی اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ خاص طور پر، q عناصر کے ساتھ ہر محدود فیلڈ Fq کے لیے، گاؤسی بائنومیئل گتانک Fq (ایک گراس مینین) پر ایک n-جہتی ویکٹر اسپیس کے k-جہتی ویکٹر سب اسپیس کی تعداد شمار کرتا ہے۔ جب q میں کثیر الجہتی کے طور پر توسیع کی جاتی ہے، تو یہ گراس مینین کی شوبرٹ خلیوں میں معروف سڑنا پیدا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، گاؤسی بائنومیل گتانک (Fq) n میں ایک جہتی ذیلی جگہوں کی تعداد ہے (مساوی طور پر، متعلقہ پروجیکٹو اسپیس میں پوائنٹس کی تعداد)۔ مزید برآں، جب q 1 (بالترتیب −1) ہوتا ہے، تو گاؤسی بائنومیل گتانک متعلقہ کمپلیکس (بالترتیب حقیقی) گراس مینین کی یولر خصوصیت پیدا کرتا ہے۔ Fqn کی k-جہتی افائن ذیلی جگہوں کی تعداد کے برابر ہے۔ یہ شناخت کی ایک اور تشریح کی اجازت دیتا ہے جیسے کہ (m−1)-جہتی پروجیکٹو اسپیس کی (r−1)-جہتی ذیلی جگہوں کی گنتی ایک ہائپرپلین کو فکس کرکے، اس ہائپرپلین میں موجود ایسی ذیلی جگہوں کی گنتی کرکے، اور پھر ہائپرپلین میں موجود ذیلی جگہوں کی گنتی کرتے ہوئے۔ یہ مؤخر الذکر ذیلی جگہیں اس فکسڈ ہائپرپلین کو انفینیٹی پر ہائپرپلین کے طور پر استعمال کرکے حاصل کردہ اسپیس کی (r−1)-جہتی افائن ذیلی جگہوں کے ساتھ باہمی خط و کتابت میں ہیں۔ کوانٹم گروپوں کی ایپلی کیشنز میں عام کنونشنوں میں، قدرے مختلف تعریف استعمال کی جاتی ہے ؛ کوانٹم بائنومیل گتانک موجود ہے۔ کوانٹم بائنومیل گتانک کا یہ ورژن اور کے تبادلے کے تحت ہم آہنگ ہے۔ حوالہ جات ایکسٹن، ایچ۔ (1983)، کیو-ہائپرجیومیٹرک فنکشنز اینڈ ایپلی کیشنز، نیویارک: ہالسٹڈ پریس، چیچسٹر: ایلس ہور ووڈ، 1983،، (غیر تاریخ شدہ، 2004 یا اس سے پہلے)۔ رتنادھا کولہاٹکر، زیٹا فنکشن آف گراس مین ویریٹیز (تاریخ 26 جنوری 2004) (2009)۔ ق-ینالاگس فیکٹوریل اور بائنومیئل موضوعات