Revenue equivalence
آمدنی کی مساوات نیلامی کے نظریہ میں ایک تصور ہے جس میں کہا گیا ہے کہ کچھ شرائط کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی طریقہ کار جس کے نتیجے میں ایک جیسے نتائج برآمد ہوتے ہیں (یعنی۔ ایک ہی بولی لگانے والوں کو اشیاء مختص کرتا ہے) کی بھی وہی متوقع آمدنی ہوتی ہے۔ نوٹیشن ممکنہ نتائج کا ایک مجموعہ ہے۔ ایسے ایجنٹ ہوتے ہیں جن کی ہر نتیجے کے لیے مختلف قیمتیں ہوتی ہیں۔ ایجنٹ کی تشخیص (جسے اس کی "قسم" بھی کہا جاتا ہے) کو ایک فنکشن کے طور پر پیش کیا جاتا ہے: جو مالیاتی لحاظ سے ہر متبادل کے لیے اس کی قدر کا اظہار کرتا ہے۔ ایجنٹوں کے پاس کواسیلینر یوٹیلیٹی فنکشنز ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، اگر نتیجہ ہے اور اس کے علاوہ ایجنٹ کو ادائیگی (مثبت یا منفی) موصول ہوتی ہے، تو ایجنٹ کی کل افادیت یہ ہے: تمام ویلیو فنکشنز کا ویکٹر اس سے ظاہر ہوتا ہے۔ ہر ایجنٹ کے لیے، دوسرے ایجنٹوں کے تمام ویلیو فنکشنز کے ویکٹر کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تو۔ میکانزم افعال کا ایک جوڑا ہے: ایک فنکشن، جو ویلیو ویکٹر کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے اور نتیجہ واپس کرتا ہے (اسے سوشل چوائس فنکشن بھی کہا جاتا ہے) ؛ ایک فنکشن، جو ویلیو ویکٹر کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے اور ادائیگیوں کا ایک ویکٹر واپس کرتا ہے، اس بات کا تعین کرتا ہے کہ ہر کھلاڑی کو کتنا وصول کرنا چاہیے (منفی ادائیگی کا مطلب ہے کہ کھلاڑی کو مثبت رقم ادا کرنی چاہیے)۔ ایجنٹوں کی اقسام آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیرات ہیں۔ اس طرح، ایک میکانزم ایک بایسیئن گیم کو شامل کرتا ہے جس میں کھلاڑی کی حکمت عملی اس کی اصل قسم کے فنکشن کے طور پر اس کی رپورٹ شدہ قسم ہوتی ہے۔ ایک طریقہ کار کو بایسیئن-نیش ترغیبی ہم آہنگ کہا جاتا ہے اگر کوئی بایسیئن نیش توازن ہو جس میں تمام کھلاڑی اپنی اصل قسم کی اطلاع دیتے ہیں۔ ان مفروضوں کے تحت محصولات کی مساوات کا نظریہ مندرجہ ذیل کہتا ہے۔ کسی بھی دو بایسیئن-نیش ترغیبی مطابقت پذیر میکانزم کے لیے، اگر: فنکشن دونوں میکانزم میں یکساں ہے، اور: کسی قسم کے لیے، کھلاڑی کی متوقع ادائیگی (دوسرے کھلاڑیوں کی اقسام پر اوسط) دونوں میکانزم میں یکساں ہے۔ ہر کھلاڑی کی تشخیص راستے سے منسلک سیٹ سے کی جاتی ہے، پھر: دونوں میکانزم میں تمام اقسام کی متوقع ادائیگیاں یکساں ہیں، اور اس لیے: دونوں میکانزم میں متوقع آمدنی (-ادائیگیوں کا مجموعہ) یکساں ہے۔ مثال ایک عمدہ مثال نیلامی کے طریقہ کار کی جوڑی ہے: پہلی قیمت کی نیلامی اور دوسری قیمت کی نیلامی۔ پہلی قیمت کی نیلامی میں ایک قسم ہے جو بایسیان-نیش ترغیبات کے مطابق ہے ؛ دوسری قیمت کی نیلامی غالب-حکمت عملی-ترغیبات کے مطابق ہے، جو بایسیان-نیش ترغیبات کے مطابق سے بھی زیادہ مضبوط ہے۔ دونوں میکانزم تھیوریم کی شرائط کو پورا کرتے ہیں کیونکہ: دونوں میکانزم میں فنکشن یکساں ہے-سب سے زیادہ بولی لگانے والا آئٹم جیتتا ہے ؛ اور: ایک کھلاڑی جو آئٹم کو 0 کے طور پر اہمیت دیتا ہے وہ ہمیشہ دونوں میکانزم میں 0 ادا کرتا ہے۔ درحقیقت، دونوں نیلامیوں میں ہر کھلاڑی کے لیے متوقع ادائیگی یکساں ہے، اور نیلام کنندہ کی آمدنی یکساں ہے ؛ تفصیلات کے لیے پہلی قیمت کی مہر بند بولی والی نیلامی کا صفحہ دیکھیں۔ واحد شے کی نیلامی میں نیلامی کے طریقہ کار کا مساوات درحقیقت ہم آمدنی کے مساوات کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں کہ کئی قسم کی نیلامی آمدنی کے مساوی ہیں۔ مثال کے طور پر، پہلی قیمت کی نیلامی، دوسری قیمت کی نیلامی، اور تمام تنخواہوں کی نیلامی تمام آمدنی کے مساوی ہوتی ہیں جب بولی لگانے والے ہم آہنگ ہوتے ہیں (یعنی، ان کی قیمتیں آزاد اور یکساں طور پر تقسیم ہوتی ہیں)۔ دوسری قیمت کی نیلامی دوسری قیمت کی واحد شے کی نیلامی پر غور کریں، جس میں سب سے زیادہ بولی لگانے والا کھلاڑی دوسری سب سے زیادہ بولی ادا کرتا ہے۔ ہر کھلاڑی کے لیے اپنی قیمت کی بولی لگانا بہتر ہے۔ فرض کریں کہ نیلامی جیت جاتا ہے، اور دوسری سب سے زیادہ بولی ادا کرتا ہے، یا۔ اس نیلامی سے حاصل ہونے والی آمدنی سادہ ہے۔ پہلی قیمت کی نیلامی پہلی قیمت کی نیلامی میں، جہاں سب سے زیادہ بولی لگانے والا کھلاڑی صرف اپنی بولی ادا کرتا ہے، اگر تمام کھلاڑی بولی لگانے کی تقریب کا استعمال کرتے ہوئے بولی لگاتے ہیں تو یہ نیش توازن ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر ہر کھلاڑی اس طرح بولی لگاتا ہے کہ وہ دوسری سب سے زیادہ بولی کی متوقع قیمت پر بولی لگاتا ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ان کی بولی سب سے زیادہ ہے، تو کسی بھی کھلاڑی کو انحراف کرنے کی ترغیب نہیں ملتی ہے۔ اگر یہ سچ تھا، تو یہ دیکھنا آسان ہے کہ اگر نیلامی جیت جاتی ہے تو اس نیلامی سے متوقع آمدنی بھی ہوتی ہے۔ ثبوت یہ ثابت کرنے کے لیے، فرض کریں کہ ایک کھلاڑی 1 بولی لگاتا ہے جہاں، مؤثر طریقے سے دھوکہ دیتے ہوئے کہ اس کی قیمت اس کے بجائے ہے۔ ہم اس طرح کی قیمت تلاش کرنا چاہتے ہیں کہ کھلاڑی کی متوقع ادائیگی زیادہ سے زیادہ ہو۔ اس کے بعد جیتنے کا امکان ہے۔ اس بولی کی متوقع لاگت ہے۔ پھر ایک کھلاڑی کی متوقع ادائیگی لیٹ ہے، جو ایک بے ترتیب متغیر ہے۔ پھر ہم مندرجہ بالا کو اس طرح دوبارہ لکھ سکتے ہیں۔ اس عمومی حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ، ہم مندرجہ بالا کو اس طرح دوبارہ لکھ سکتے ہیں۔ کے حوالے سے مشتقات لیتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں۔ اس طرح آپ کی قیمت کے ساتھ بولی لگانے سے کھلاڑی کی متوقع ادائیگی زیادہ سے زیادہ ہو جاتی ہے۔ چونکہ مونوٹون بڑھ رہا ہے، ہم تصدیق کرتے ہیں کہ یہ واقعی ایک زیادہ سے زیادہ نقطہ ہے۔ انگریزی نیلامی کھلی بڑھتی ہوئی قیمت کی نیلامی (عرف انگریزی نیلامی) میں، خریدار کی غالب حکمت عملی نیلامی میں اس وقت تک رہنا ہے جب تک کہ پوچھنے والی قیمت اس کی قیمت کے برابر نہ ہو۔ پھر، اگر وہ میدان میں باقی رہنے والا آخری شخص ہے، تو وہ جیت جاتا ہے اور دوسری سب سے زیادہ بولی ادا کرتا ہے۔ دو خریداروں کے معاملے پر غور کریں، ہر ایک کی ایک ایسی قیمت ہے جو سپورٹ [0,1]، مجموعی تقسیم فنکشن F (v) اور امکان کثافت فنکشن f (v) کے ساتھ تقسیم سے ایک آزاد ڈرا ہے۔ اگر خریدار اپنی غالب حکمت عملی کے مطابق برتاؤ کرتے ہیں، تو قیمت v والا خریدار جیت جاتا ہے اگر اس کے مخالف کی قیمت x کم ہو۔ اس طرح اس کی جیت کا امکان ہے اور اس کی متوقع ادائیگی ہے۔ جیتنے پر مشروط متوقع ادائیگی اس لیے دونوں اطراف کو F (v) سے ضرب دینا ہے اور v سے تفریق کرنے سے e (v) کے لیے درج ذیل تفریق مساوات حاصل ہوتی ہے۔ ۔ اس مساوات کو دوبارہ ترتیب دیتے ہوئے، مہر بند پہلی قیمت کی نیلامی میں B (v) کو توازن بولی فنکشن ہونے دیں۔ ہم یہ ظاہر کر کے محصولات کی مساوات قائم کرتے ہیں کہ B (v) = e (v)، یعنی ایک نیلامی میں فاتح کی طرف سے توازن کی ادائیگی دوسرے میں فاتح کی طرف سے متوقع توازن کی ادائیگی کے برابر ہے۔ فرض کریں کہ خریدار کی قیمت v اور بولیاں b ہیں۔ اس کا مخالف توازن بولی کی حکمت عملی کے مطابق بولی لگاتا ہے۔ مخالف کی بولی کی تقسیم کی حمایت [0، B (1)] ہے۔ اس طرح کم از کم B (1) کی کوئی بھی بولی امکان 1 کے ساتھ جیت جاتی ہے۔ لہذا، بہترین بولی b وقفہ [0، B (1)] میں ہے اور اس لیے ہم اس بولی کو b = B (x) کے طور پر لکھ سکتے ہیں جہاں x [0,1] میں ہے۔ اگر مخالف کی قدر y ہے تو وہ B (y) کی بولی لگاتا ہے۔ لہذا، جیت کا امکان ہے۔ خریدار کی متوقع ادائیگی اس کی جیت کا امکان گنا اس کے خالص فائدہ ہے اگر وہ جیت جاتا ہے، یعنی۔ تفریق کرتے ہوئے، زیادہ سے زیادہ کے لیے ضروری شرط ہے۔ یعنی اگر بی (ایکس) خریدار کا بہترین جواب ہے تو اسے پہلے آرڈر کی اس شرط کو پورا کرنا ہوگا۔ آخر میں ہم نوٹ کرتے ہیں کہ B (v) کے لیے توازن بولی فنکشن ہونے کے لیے، خریدار کا بہترین جواب B (v) ہونا چاہیے۔ اس طرح x = v۔ ضروری حالت میں x کے لیے تبدیل کرنا۔ نوٹ کریں کہ یہ تفریق مساوات e (v) کے لیے یکساں ہے۔ چونکہ e (0) = B (0) = 0 اس کے بعد آتا ہے۔ بولی کے افعال کی پیش گوئی کے لیے آمدنی کے مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ہم کسی کھیل میں کھلاڑی کے بولی کے فنکشن کی پیش گوئی کے لیے آمدنی کے مساوات کا استعمال کر سکتے ہیں۔ دوسری قیمت کی نیلامی اور پہلی قیمت کی نیلامی کے دو کھلاڑیوں کے ورژن پر غور کریں، جہاں سے ہر کھلاڑی کی قیمت یکساں طور پر نکالی جاتی ہے۔ دوسری قیمت کی نیلامی دوسری قیمت کی نیلامی میں پہلے کھلاڑی کی متوقع ادائیگی کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے: چونکہ کھلاڑی دوسری قیمت کی نیلامی میں سچائی سے بولی لگاتے ہیں، اس لیے ہم تمام قیمتوں کو کھلاڑیوں کی اقدار سے تبدیل کر سکتے ہیں۔ اگر کھلاڑی 1 جیت جاتا ہے، تو وہ اس کھلاڑی کو 2 بولیاں ادا کرتا ہے، یا۔ کھلاڑی 1 خود بولی لگاتا ہے۔ چونکہ جب کھلاڑی 1 ہارتا ہے تو ادائیگی صفر ہوتی ہے، اس لیے مندرجہ بالا ہے۔ چونکہ یہ ایک یکساں تقسیم سے آتا ہے، اس لیے ہم اسے پہلی قیمت کی نیلامی میں آسان بنا سکتے ہیں۔ ہم پہلی قیمت کی نیلامی میں صحیح ہم آہنگ بولی فنکشن پیدا کرنے کے لیے آمدنی کے مساوات کا استعمال کر سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ پہلی قیمت کی نیلامی میں، ہر کھلاڑی کا بولی لگانے کا فنکشن ہوتا ہے، جہاں اس وقت یہ فنکشن نامعلوم ہے۔ اس کھیل میں پلیئر 1 کی متوقع ادائیگی تب ہوتی ہے (جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے) اب، ایک کھلاڑی صرف وہی ادا کرتا ہے جو کھلاڑی بولی کرتا ہے، اور فرض کریں کہ زیادہ قیمت والے کھلاڑی پھر بھی جیتتے ہیں، تاکہ جیتنے کا امکان محض ایک کھلاڑی کی قیمت ہو، جیسا کہ دوسری قیمت کی نیلامی میں ہوتا ہے۔ ہم بعد میں دکھائیں گے کہ یہ مفروضہ درست تھا۔ پھر، اگر کوئی کھلاڑی نیلامی ہار جاتا ہے تو وہ کچھ بھی ادا نہیں کرتا ہے۔ اس کے بعد ہم آمدنی کے مساوات کے اصول کے مطابق حاصل کرتے ہیں، ہم اس اظہار کو دوسری قیمت کی نیلامی کی آمدنی کے برابر کر سکتے ہیں جس کا ہم نے اوپر حساب لگایا ہے: اس سے، ہم بولی لگانے کے فنکشن کا اندازہ لگا سکتے ہیں: نوٹ کریں کہ اس بولی لگانے کے فنکشن کے ساتھ، زیادہ قیمت والا کھلاڑی پھر بھی جیتتا ہے۔ یہ سوچ کر کہ کسی کھلاڑی کو اپنی بولی کو کس طرح زیادہ سے زیادہ کرنا چاہیے، ہم یہ اضافی طریقے سے دکھا سکتے ہیں کہ یہ صحیح توازن بولی لگانے کا فنکشن ہے، اس بات کے پیش نظر کہ دوسرے تمام کھلاڑی اس بولی لگانے کے فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے بولی لگا رہے ہیں۔ پہلی قیمت کی مہر بند بولی کی نیلامی کا صفحہ دیکھیں۔ اسی طرح، ہم جانتے ہیں کہ دوسری قیمت کی نیلامی میں کھلاڑی 1 کی متوقع ادائیگی ہے، اور یہ تمام تنخواہ والی نیلامی میں متوقع ادائیگی کے برابر ہونی چاہیے، یعنی۔ اس طرح، تمام تنخواہ والی نیلامی میں ہر کھلاڑی کے لیے بولی لگانے کا فنکشن امپلیکیشنز ہے۔ تھیوریم کا ایک اہم اثر یہ ہے کہ کوئی بھی واحد آئٹم نیلامی جو غیر مشروط طور پر سب سے زیادہ بولی لگانے والے کو آئٹم دیتی ہے، اس کی متوقع آمدنی یکساں ہوگی۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر ہم نیلام کنندہ کی آمدنی میں اضافہ کرنا چاہتے ہیں تو نتائج کے فنکشن کو تبدیل کرنا ہوگا۔ ایسا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ آئٹم پر ریزرویشن قیمت مقرر کی جائے۔ اس سے آؤٹ لک فنکشن بدل جاتا ہے کیونکہ اب یہ آئٹم ہمیشہ سب سے زیادہ بولی لگانے والے کو نہیں دیا جاتا ہے۔ ریزرویشن قیمت کو احتیاط سے منتخب کرنے سے، ایک نیلام کنندہ کافی زیادہ متوقع آمدنی حاصل کر سکتا ہے۔ محدودیت آمدنی مساوات تھیوریم کچھ اہم معاملات میں ٹوٹ جاتا ہے: جب کھلاڑی خطرے سے غیر جانبدار ہونے کے بجائے خطرے سے گریز کرتے ہیں جیسا کہ اوپر فرض کیا گیا ہے۔ اس معاملے میں، یہ معلوم ہے کہ پہلی قیمت کی نیلامی دوسری قیمت کی نیلامی سے زیادہ آمدنی پیدا کرتی ہے۔ جب کھلاڑیوں کی قیمتیں ایک دوسرے پر منحصر ہوتی ہیں، مثال کے طور پر، اگر قیمتوں کا انحصار دنیا کی کسی ایسی حالت پر ہوتا ہے جو بولی لگانے والوں کو صرف جزوی طور پر معلوم ہوتا ہے (اس کا تعلق فاتح کی لعنت سے ہے)۔ اس منظر نامے میں، انگریزی نیلامی دوسری قیمت کی نیلامی سے زیادہ آمدنی پیدا کرتی ہے، کیونکہ اس سے بولی لگانے والوں کو دوسرے کھلاڑیوں کی بولیوں سے معلومات سیکھنے میں مدد ملتی ہے۔ حوالہ جات۔ نیلامی تھیوری میکانزم ڈیزائن