Rindler coordinates
رینڈلر کوآرڈینیٹس ایک مربوط نظام ہے جو خصوصی اضافیت کے تناظر میں فلیٹ اسپیس ٹائم میں یکساں طور پر تیز رفتار حوالہ فریم کے ہائپربولک ایکسلریشن کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ رشتہ دار طبیعیات میں ہائپربولک طور پر تیز تر حوالہ فریم کے نقاط ایک اہم اور مفید کوآرڈینیٹ چارٹ تشکیل دیتے ہیں جو فلیٹ منکووسکی اسپیس ٹائم کے حصے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ خصوصی اضافیت میں، یکساں طور پر تیز ہونے والا ذرہ ہائپربولک حرکت سے گزرتا ہے، جس کے لیے یکساں طور پر تیز ہونے والے حوالہ کے فریم کو اس کے مناسب حوالہ فریم کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے۔ اس ہائپربولک طور پر تیز شدہ فریم میں مظاہر کا موازنہ یکساں کشش ثقل کے میدان میں پیدا ہونے والے اثرات سے کیا جا سکتا ہے۔ فلیٹ اسپیس ٹائم میں ایکسلریشن کے عمومی جائزہ کے لیے، ایکسلریشن (اسپیشل ریلیٹیویٹی) اور پروپر ریفرنس فریم (فلیٹ اسپیس ٹائم) دیکھیں۔ اس مضمون میں، روشنی کی رفتار کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے، جمود نقاط ہیں، اور ہائپربولک نقاط ہیں۔ ان ہائپربولک کوآرڈینیٹس کو تیز رفتار مبصر کی پوزیشن کے لحاظ سے دو اہم اقسام میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: اگر مبصر پوزیشن پر وقت پر واقع ہے (جس میں مستقل مناسب ایکسلریشن کو کوموونگ ایکسلرومیٹر کے ذریعے ماپا جاتا ہے)، تو ہائپربولک کوآرڈینیٹس کو اکثر رینڈلر کوآرڈینیٹس کہا جاتا ہے۔ اگر مبصر وقت پر پوزیشن پر واقع ہے، تو ہائپربولک کوآرڈینیٹس کو بعض اوقات مولر کوآرڈینیٹس یا کوٹلر-مولر کو متعلقہ کوٹلر-مولر میٹرک کے ساتھ کوآرڈینیٹس کہا جاتا ہے۔ ایک متبادل چارٹ جو اکثر ہائپربولک حرکت میں مبصرین سے متعلق ہوتا ہے ریڈار کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے جسے بعض اوقات لاس کوآرڈینیٹس کہا جاتا ہے۔ کوٹلر-مولر کوآرڈینیٹس کے ساتھ ساتھ لاس کوآرڈینیٹس دونوں کو رینڈلر کوآرڈینیٹس کے طور پر بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ تاریخ کے حوالے سے، اس طرح کے نقاط کو خصوصی اضافیت کی آمد کے فورا بعد متعارف کرایا گیا، جب ان کا مطالعہ (مکمل یا جزوی طور پر) ہائپربولک موشن کے تصور کے ساتھ کیا گیا: البرٹ آئن سٹائن (1907، 1912)، میکس بورن (1909)، آرنلڈ سومر فیلڈ (1910)، میکس وان لاؤ (1911)، ہینڈرک لورینٹز (1913)، فریڈرک کوٹلر (1914)، وولف گینگ پالی (1921)، کارل بولرٹ (1922)، اسٹجیپن موہوروویسیک (1922)، جارج لیماٹری (1924)، آئن سٹائن اور ناتھن روزن (1935)، کرسچن مولر (1943، 1952)، فرٹز روہرلیچ (1913) کے ذریعے فلیٹ منکوسکی اسپیس ٹائم کے سلسلے میں۔ تفصیلات اور ذرائع کے لیے، دیکھیں۔ رینڈلر فریم کی خصوصیات ہائپربولک حرکت میں کسی باڈی کی عالمی لکیر جس میں مناسب وقت اور رفتار کی تقریب کے طور پر-سمت میں مستقل مناسب ایکسلریشن ہوتی ہے، اس کے ذریعے دی جا سکتی ہے کہ کہاں مستقل ہے اور متغیر ہے، جس میں عالمی لکیر ہائپربولا سے مشابہت رکھتی ہے۔ سومر فیلڈ نے دکھایا کہ مساوات کو متغیر اور مستقل کے طور پر بیان کرکے دوبارہ تشریح کی جا سکتی ہے، تاکہ یہ ایک متحرک مبصر کے ذریعہ ماپا جانے والی ہائپربولک حرکت میں کسی شے کی بیک وقت "آرام کی شکل" کی نمائندگی کرے۔ مبصر کے مناسب وقت کو ترتیب کے ذریعے پورے ہائپربولک طور پر تیز شدہ فریم کے وقت کے طور پر استعمال کرنے سے، انٹریئل کوآرڈینیٹس اور ہائپربولک کوآرڈینیٹس کے درمیان تبدیلی کے فارمولے نتیجتا ہوتے ہیں: الٹا تفریق کے ساتھ اور منکوسکی میٹرک میں داخل کیا جاتا ہے، ہائپربولک طور پر تیز شدہ فریم میں میٹرک اس کے بعد ہوتا ہے۔ یہ تبدیلیاں رینڈلر آبزرور کو ایک مبصر کے طور پر بیان کرتی ہیں جو رینڈلر کوآرڈینیٹس میں "آرام میں" ہوتا ہے، یعنی مستقل x، y، z کو برقرار رکھنا اور وقت گزرنے کے ساتھ ساتھ صرف مختلف t ہوتا ہے۔ نقاط اس خطے میں درست ہوتے ہیں، جسے اکثر رینڈلر پچر کہا جاتا ہے، اگر رینڈلر مبصر کی مناسب ایکسلریشن (ہائپربولا کے ساتھ) کی نمائندگی کرتا ہے جس کا مناسب وقت رینڈلر کوآرڈینیٹ ٹائم کے برابر ہے۔ اس عالمی لکیر کو برقرار رکھنے کے لیے، مبصر کو مستقل مناسب ایکسلریشن کے ساتھ تیز ہونا چاہیے، رینڈلر مبصرین (رینڈلر افق) کے قریب زیادہ مناسب ایکسلریشن رکھتے ہیں۔ تمام رینڈلر مبصرین جمود فریم میں وقت پر فوری طور پر آرام کرتے ہیں، اور اس وقت مناسب ایکسلریشن کے ساتھ ایک رینڈلر مبصر پوزیشن پر ہوگا (واقعی، لیکن ہم یونٹس کہاں فرض کرتے ہیں)، جو کہ رینڈلر کوآرڈینیٹس میں رینڈلر افق سے مبصر کا مستقل فاصلہ بھی ہے۔ اگر تمام رینڈلر مبصرین اپنی گھڑیاں صفر پر سیٹ کرتے ہیں، تو رینڈلر کوآرڈینیٹ سسٹم کی وضاحت کرتے وقت ہمارے پاس ایک انتخاب ہوتا ہے جس میں رینڈلر مبصر کا مناسب وقت رینڈلر کوآرڈینیٹ میں کوآرڈینیٹ ٹائم کے برابر ہوگا، اور اس مبصر کا مناسب ایکسلریشن اوپر کی قدر کی وضاحت کرتا ہے (رینڈلر افق سے مختلف فاصلے پر دوسرے رینڈلر مبصرین کے لیے، کوآرڈینیٹ ٹائم ان کے اپنے مناسب وقت کے کچھ مستقل ضرب کے برابر ہوگا)۔ رینڈلر کوآرڈینیٹ سسٹم کی وضاحت کرنا ایک عام روایت ہے تاکہ رینڈلر مبصر جس کا مناسب وقت کوآرڈینیٹ ٹائم سے میل کھاتا ہے وہ وہی ہو جس کے پاس مناسب ایکسلریشن ہو، تاکہ اسے مساوات سے ختم کیا جا سکے۔ مندرجہ بالا مساوات کے لیے آسان بنایا گیا ہے۔ ایکسلریشن کو دیکھتے ہوئے، رینڈلر ہورائزن کے فاصلے کو تلاش کرنے کے لیے غیر آسان مساوات زیادہ آسان ہے۔ مضمون کا بقیہ حصہ اور دونوں کو ترتیب دینے کے روایت کی پیروی کرے گا، لہذا یونٹس کے لیے اور 1 یونٹ ہوگا۔ ذہن میں رکھیں کہ روشنی سیکنڈ/سیکنڈ 2 ترتیب دینا روشنی سال/سال 2 ترتیب دینے سے بہت مختلف ہے۔ اگر ہم ایسی اکائیوں کا انتخاب بھی کریں جہاں مناسب ایکسلریشن کی شدت کا انحصار ہماری اکائیوں کے انتخاب پر ہوگا: مثال کے طور پر، اگر ہم فاصلے کے لیے ہلکے سال کی اکائیاں، (یا) اور وقت کے لیے سال، (یا) استعمال کرتے ہیں، تو اس کا مطلب ہوگا ہلکے سال/سال 2، جو تقریبا 9.5 میٹر/سیکنڈ 2 کے برابر ہے، جبکہ اگر ہم فاصلے کے لیے ہلکے سیکنڈ کی اکائیاں، (یا)، اور وقت کے لیے سیکنڈ، (یا) استعمال کرتے ہیں، تو اس کا مطلب ہوگا ہلکے سیکنڈ/سیکنڈ 2، یا 299 792 458 میٹر/سیکنڈ 2)۔ تبدیلی کے فارمولوں کے متغیرات تبدیلی کے فارمولوں کا ایک زیادہ عمومی مشتق دیا جاتا ہے، جب متعلقہ فرمی واکر ٹیٹراڈ تیار کیا جاتا ہے جس سے فرمی کوآرڈینیٹس یا مناسب کوآرڈینیٹس اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ ان نقاط کی اصل کے انتخاب پر منحصر ہے، کوئی بھی میٹرک، اصل اور نقطہ پر وقت کے درمیان وقت کا پھیلاؤ، اور مربوط روشنی کی رفتار حاصل کر سکتا ہے (روشنی کی یہ متغیر رفتار خصوصی اضافیت سے متصادم نہیں ہے، کیونکہ یہ صرف استعمال شدہ تیز رفتار نقاط کا ایک نمونے ہے، جبکہ جمود نقاط میں یہ مستقل رہتا ہے)۔ فرمی نقاط کے بجائے، ریڈار نقاط بھی استعمال کیے جا سکتے ہیں، جو روشنی کے اشاروں کا استعمال کرتے ہوئے فاصلے کا تعین کر کے حاصل کیے جاتے ہیں (سیکشن فاصلے کے تصورات دیکھیں)، جس کے ذریعے میٹرک، وقت کا پھیلاؤ اور روشنی کی رفتار اب نقاط پر منحصر نہیں ہوتی ہے-خاص طور پر، روشنی کی مربوط رفتار انٹریئل فریموں میں روشنی کی رفتار کے ساتھ یکساں رہتی ہے: رینڈلر مبصرین نئے چارٹ میں () کے ساتھ اور، کو فریم فیلڈ لینا فطری ہے جس میں دوہری فریم فیلڈ ہے۔ یہ ہر واقعہ پر ٹینجینٹ اسپیس میں مقامی لورینٹز فریم کی وضاحت کرتا ہے (ہمارے رینڈلر چارٹ کے زیر احاطہ خطے میں، یعنی رینڈلر ویج)۔ ٹائم لائک یونٹ ویکٹر فیلڈ کے لازمی منحنی خطوط ایک ٹائم لائک ہم آہنگی دیتے ہیں، جو مبصرین کے ایک خاندان کی عالمی لکیروں پر مشتمل ہوتا ہے جسے رینڈلر مبصرین کہا جاتا ہے۔ رینڈلر چارٹ میں، یہ عالمی لکیریں عمودی کوآرڈینیٹ لائنوں کے طور پر ظاہر ہوتی ہیں۔ اوپر کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ اصل کارٹیزین چارٹ میں ہائپربولک آرکس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ جیسا کہ کسی بھی لورینٹزیئن کئی گنا میں کسی بھی وقتی ہم آہنگی کے ساتھ ہوتا ہے، اس ہم آہنگی میں متحرک سڑنا ہوتا ہے (رائےچودھری مساوات دیکھیں)۔ اس صورت میں، رینڈلر مبصرین کی ہم آہنگی کی توسیع اور قوت ختم ہو جاتی ہے۔ توسیعی ٹینسر کے غائب ہونے کا مطلب یہ ہے کہ ہمارا ہر مبصر اپنے پڑوسیوں سے مستقل فاصلہ برقرار رکھتا ہے۔ ورٹیٹی ٹینسر کے غائب ہونے کا مطلب یہ ہے کہ ہمارے مبصرین کی عالمی لکیریں ایک دوسرے کے گرد مڑ نہیں رہی ہیں ؛ یہ "گھومنے" کی ایک قسم کی مقامی غیر موجودگی ہے۔ ہر مبصر کا ایکسلریشن ویکٹر کوویرینٹ مشتق کے ذریعہ دیا جاتا ہے یعنی ہر رینڈلر مبصر سمت میں تیز ہو رہا ہے۔ انفرادی طور پر، ہر مبصر حقیقت میں اس سمت میں مستقل شدت کے ساتھ تیز ہوتا ہے، لہذا ان کی عالمی لکیریں حلقوں کے لورینٹزیئن اینالاگس ہیں، جو یوکلڈین جیومیٹری میں مستقل راستے کے منحنی خطوط ہیں۔ چونکہ رینڈلر مبصرین ورٹیٹی سے پاک ہوتے ہیں، اس لیے وہ ہائپر سرفیس آرتھوگنل بھی ہوتے ہیں۔ آرتھوگنل مقامی ہائپرسلکس ہیں ؛ یہ رینڈلر چارٹ میں افقی نصف طیاروں کے طور پر اور کارٹیسیئن چارٹ میں نصف طیاروں کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں (اوپر کی شکل دیکھیں)۔ لائن عنصر میں ترتیب دیتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ ان میں عام یوکلڈین جیومیٹری ہے۔ اس طرح، رینڈلر چارٹ میں مقامی نقاط کی ایک بہت ہی آسان تشریح ہے جو اس دعوے کے مطابق ہے کہ رینڈلر مبصرین باہمی طور پر مستحکم ہیں۔ ہم اس مضمون میں تھوڑی دیر بعد رینڈلر مبصرین کی اس سختی کی خاصیت پر واپس آئیں گے۔ ایک "متضاد" خاصیت نوٹ کریں کہ چھوٹے مستقل x کوآرڈینیٹ والے رینڈلر مبصرین کو برقرار رکھنا مشکل ہو رہا ہے۔ یہ حیرت انگیز لگ سکتا ہے کیونکہ نیوٹنین طبیعیات میں، مستقل رشتہ دار فاصلہ برقرار رکھنے والے مبصرین کو یکساں ایکسلریشن کا اشتراک کرنا چاہیے۔ لیکن رشتہ دار طبیعیات میں، ہم دیکھتے ہیں کہ چھڑی کا پچھلا اختتامی نقطہ جو کسی بیرونی قوت (اس کے ہم آہنگی محور کے متوازی) سے تیز ہوتا ہے، اسے سرکردہ اختتامی نقطہ سے تھوڑا مشکل ہونا چاہیے، ورنہ اسے بالآخر ٹوٹنا چاہیے۔ یہ لورینٹز سنکچن کا مظہر ہے۔ جیسے جیسے چھڑی تیز ہوتی جاتی ہے، اس کی رفتار بڑھتی ہے اور اس کی لمبائی کم ہوتی جاتی ہے۔ چونکہ یہ چھوٹا ہوتا جا رہا ہے، اس لیے پچھلے سرے کو سامنے والے سرے سے زیادہ تیز ہونا چاہیے۔ اسے دیکھنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ: پچھلے سرے کو کم وقت میں رفتار میں وہی تبدیلی حاصل کرنی چاہیے۔ یہ ایک تفریقی مساوات کی طرف لے جاتا ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ، کچھ فاصلے پر، ٹریلنگ اینڈ کی ایکسلریشن مختلف ہوتی ہے، جس کے نتیجے میں رینڈلر افق بنتا ہے۔ یہ رجحان ایک معروف "پیراڈوکس"، بیل کے خلائی جہاز پیراڈوکس کی بنیاد ہے۔ تاہم، یہ رشتہ دار حرکیات کا ایک سادہ نتیجہ ہے۔ اسے دیکھنے کا ایک طریقہ یہ مشاہدہ کرنا ہے کہ ایکسلریشن ویکٹر کی شدت صرف متعلقہ عالمی لکیر کا راستہ منحنی ہے۔ لیکن ہمارے رینڈلر مبصرین کی عالمی لکیریں یوکلڈین سطح میں متمرکز حلقوں کے خاندان کے ینالاگ ہیں، لہذا ہم صرف تیز رفتار اسکیٹرز سے واقف حقیقت کے لورینٹزیئن ینالاگ سے نمٹ رہے ہیں: متمرکز حلقوں کے خاندان میں، اندرونی حلقوں کو بیرونی حلقوں کے مقابلے میں تیزی سے (فی یونٹ آرک لمبائی) جھکنا چاہیے۔ منکووسکی کے مبصرین ایک متبادل فریم کو بھی متعارف کرانا قابل قدر ہے، جو قدرتی انتخاب کے ذریعہ منکووسکی چارٹ میں دیا گیا ہے۔ ان ویکٹر فیلڈز کو اوپر دیئے گئے کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کا استعمال کرتے ہوئے تبدیل کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ رینڈلر چارٹ میں (رینڈر ویج میں) یہ فریم کمپیوٹنگ بن جاتا ہے۔ ٹائم لائک یونٹ ویکٹر فیلڈ کے ذریعہ بیان کردہ ٹائم لائک ہم آہنگی کی کینیمیٹک سڑنا، ہم پاتے ہیں کہ توسیع اور ورٹیٹی دوبارہ غائب ہو جاتی ہے، اور اس کے علاوہ ایکسلریشن ویکٹر غائب ہو جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ ایک جیوڈیسیک ہم آہنگی ہے ؛ متعلقہ مبصرین جمود حرکت کی حالت میں ہوتے ہیں۔ اصل کارٹیشین چارٹ میں، یہ مبصرین، جنہیں ہم منکوسکی مبصرین کہیں گے، آرام میں ہیں۔ رینڈلر چارٹ میں، منکوسکی مبصرین کی عالمی لکیریں کوآرڈینیٹ پلین کے لیے ہائپربولک سیکینٹ منحنی خطوط کے طور پر ظاہر ہوتی ہیں۔ خاص طور پر، رینڈلر کوآرڈینیٹس میں، ایونٹ سے گزرنے والے منکوسکی مبصر کی عالمی لکیر یہ ہے کہ اس منکوسکی مبصر کا مناسب وقت کہاں ہے۔ نوٹ کریں کہ ان کی تاریخ کا صرف ایک چھوٹا سا حصہ رینڈلر چارٹ میں شامل ہے۔ اس سے واضح طور پر پتہ چلتا ہے کہ رینڈلر چارٹ جیوڈیسیکل طور پر مکمل کیوں نہیں ہے ؛ ٹائم لائک جیوڈیکس محدود مناسب وقت میں چارٹ کے احاطہ کردہ خطے سے باہر چلتے ہیں۔ یقینا، ہم پہلے سے ہی جانتے تھے کہ رینڈلر چارٹ جغرافیائی طور پر مکمل نہیں ہو سکتا، کیونکہ یہ اصل کارٹیشین چارٹ کے صرف ایک حصے کا احاطہ کرتا ہے، جو کہ جغرافیائی طور پر مکمل چارٹ ہے۔ شکل میں دکھائے گئے معاملے میں، اور ہم نے روشنی کے شنک کو کھینچا ہے (صحیح طریقے سے اسکیل اور بڑھایا ہے)۔ رینڈلر کوآرڈینیٹ چارٹ میں x = 0 پر کوآرڈینیٹ سنگلٹی ہے، جہاں میٹرک ٹینسر (رینڈلر کوآرڈینیٹس میں ظاہر کیا گیا ہے) میں ڈیٹرمیننٹ غائب ہوتا ہے۔ ایسا اس لیے ہوتا ہے کیونکہ x → 0 کے طور پر رینڈلر مبصرین کی ایکسلریشن مختلف ہوتی ہے۔ جیسا کہ ہم رینڈلر پچر کی عکاسی کرنے والے اعداد و شمار سے دیکھ سکتے ہیں، رینڈلر چارٹ میں لوکس x = 0 کارٹیشین چارٹ میں لوکس T2 = X2، X> 0 سے مطابقت رکھتا ہے، جو دو صفر نصف طیاروں پر مشتمل ہوتا ہے، ہر ایک صفر جیوڈیسیک ہم آہنگی سے چلتا ہے۔ اس لمحے کے لیے، ہم صرف رینڈلر افق کو رینڈلر نقاط کی حد سمجھتے ہیں۔ اگر ہم تیز رفتار مبصرین کے سیٹ پر غور کریں جو رینڈلر کوآرڈینیٹس میں مستقل پوزیشن رکھتے ہیں، تو ان میں سے کوئی بھی کبھی بھی T ≤ X والے واقعات سے روشنی کے اشارے حاصل نہیں کر سکتا (خاکہ پر، یہ واقعات T = X لائن کے اوپر یا بائیں طرف ہوں گے جس کے ساتھ اوپری سرخ افق واقع ہے۔ تاہم یہ مبصرین T ≤ X والے واقعات سے اشارے حاصل کر سکتے ہیں اگر وہ اپنی ایکسلریشن کو روک دیں اور خود اس لائن کو عبور کر لیں) اور نہ ہی وہ کبھی T ≤ − X والے واقعات کو اشارے بھیج سکتے ہیں (T = − X لائن کے بائیں یا بائیں طرف کے واقعات جو نچلے سرخ افق کے ساتھ واقع ہیں ؛ وہ واقعات ان کی ماضی کی عالمی لائن کے مستقبل کے تمام روشنی شنک سے باہر ہیں)۔ نیز، اگر ہم تیز رفتار مبصرین کے اس سیٹ کے ممبروں کو افق کے قریب اور قریب سمجھتے ہیں، اس حد میں جیسے جیسے افق کا فاصلہ صفر کے قریب پہنچتا ہے، اس فاصلے پر ایک مبصر کے ذریعہ تجربہ کیا جانے والا مستقل مناسب ایکسلریشن (جو اس طرح کے مبصر کے ذریعہ تجربہ کردہ G-فورس بھی ہوگی) انفینیٹی کے قریب پہنچ جائے گا۔ یہ دونوں حقائق بھی درست ہوں گے اگر ہم بلیک ہول کے واقعہ کے افق کے باہر منڈلاتے ہوئے مبصرین کے ایک سیٹ پر غور کر رہے ہوں، ہر مبصر شوارزچلڈ کوآرڈینیٹس میں مستقل رداس پر منڈلا رہا ہو۔ درحقیقت، بلیک ہول کے قریب پڑوس میں، واقعہ کے افق کے قریب جیومیٹری کو رینڈلر کوآرڈینیٹس میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ ایکسلریٹنگ فریم کی صورت میں ہاکنگ تابکاری کو انروہ تابکاری کہا جاتا ہے۔ کنکشن کشش ثقل کے ساتھ ایکسلریشن کا مساوات ہے۔ جیوڈیسکس رینڈلر چارٹ میں جیوڈیسک مساوات جیوڈیسک لگرینجین سے آسانی سے حاصل کی جاتی ہیں۔ وہ ہیں۔ یقینا، اصل کارٹیزین چارٹ میں، جیوڈیسکس سیدھی لکیروں کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں، لہذا ہم اپنی مربوط تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے انہیں رینڈلر چارٹ میں آسانی سے حاصل کر سکتے ہیں۔ تاہم، اصل چارٹ سے آزادانہ طور پر انہیں حاصل کرنا اور ان کا مطالعہ کرنا سبق آموز ہے، اور ہم اس حصے میں ایسا کریں گے۔ پہلے، تیسرے اور چوتھے سے ہم فوری طور پر پہلے انٹیگرلز حاصل کرتے ہیں لیکن لائن عنصر سے ہمارے پاس بالترتیب ٹائم لائک، نیل اور اسپیس لائک جیوڈیکس کے لیے جگہ ہے۔ یہ چوتھا پہلا انٹیگرل دیتا ہے، یعنی۔ یہ جیوڈیسیک مساوات کا مکمل حل دینے کے لیے کافی ہے۔ صفر جیوڈیکس کے معاملے میں، غیر صفر کے ساتھ، ہم دیکھتے ہیں کہ x کوآرڈینیٹ وقفے پر ہوتا ہے۔ رینڈلر پچر میں کسی بھی واقعہ کے ذریعے کوئی بھی کالعدم جیوڈیسیک دینے والا مکمل سات پیرامیٹر خاندان، کسی دیئے گئے واقعہ کے ذریعے کچھ نمائندہ کالعدم جیوڈیسیکس کے پٹریوں کو پلاٹ کر رہا ہے (یعنی، ہائپرسلائس کی طرف پیش کرتے ہوئے)، ہم ایک ایسی تصویر حاصل کرتے ہیں جو مشکوک طور پر ایک نقطہ کے ذریعے تمام سیمی سرکلز کے خاندان کی طرح اور رینڈلر افق کے لیے آرتھوگنل نظر آتی ہے (شکل دیکھیں)۔ حقیقت یہ ہے کہ رینڈلر چارٹ میں، رینڈلر مبصرین کے لیے کسی بھی مقامی ہائپرسلیس میں نیل جیوڈیکس کے تخمینے محض سیمی سرکلر آرکس ہیں جن کی تصدیق ابھی دیے گئے عمومی حل سے براہ راست کی جا سکتی ہے، لیکن اسے دیکھنے کا ایک بہت ہی آسان طریقہ ہے۔ ایک جامد خلائی وقت وہ ہوتا ہے جس میں وارٹیٹی فری ٹائم لائک کلنگ ویکٹر فیلڈ پایا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، ہمارے پاس متعلقہ جامد مبصرین (جنہیں جمود مبصرین ہونے کی ضرورت نہیں ہے) کے لیے آرتھوگنل (یکساں) مقامی ہائپرسلکس کا ایک منفرد طور پر متعین خاندان ہے۔ یہ ہمیں ان میں سے کسی بھی ہائپرسلکس پر ایک نئے میٹرک کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے جو خلائی وقت سے وراثت میں ملنے والے اصل میٹرک سے مطابقت رکھتا ہے، لیکن اس خاصیت کے ساتھ کہ نئے میٹرک میں جیوڈیکس (نوٹ کریں کہ یہ ریمینیائی تین گنا پر ریمینیائی میٹرک ہے) قطعی طور پر خلائی وقت کے صفر جیوڈیکس کے تخمینے ہیں۔ اس نئے میٹرک کو فرمیٹ میٹرک کہا جاتا ہے، اور ایک جامد اسپیس ٹائم میں جو ایک مربوط چارٹ سے مالا مال ہوتا ہے جس میں لائن عنصر کی شکل فرمیٹ میٹرک ہوتی ہے (جہاں میٹرک کوفینسٹس کا اندازہ کیا جاتا ہے)۔ رینڈلر چارٹ میں، ٹائم لائک ترجمہ ایک ایسا کلنگ ویکٹر فیلڈ ہے، لہذا یہ ایک جامد اسپیس ٹائم ہے (حیرت کی بات نہیں، کیونکہ منکوسکی اسپیس ٹائم یقینا آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا ایک جامد ویکیوم حل ہے)۔ لہذا، ہم رینڈلر مبصرین کے لیے فوری طور پر فرمیٹ میٹرک لکھ سکتے ہیں: لیکن یہ اوپری نصف خلائی چارٹ میں ہائپربولک تھری اسپیس H3 کا معروف لائن عنصر ہے۔ یہ ہائپربولک طیارہ H2 کے لیے معروف اوپری نصف طیارہ چارٹ سے قریب سے مشابہت رکھتا ہے، جو مطابقت پذیر نقشہ سازی کے مسائل (اور بہت کچھ) کے سلسلے میں پیچیدہ تجزیہ کے طلباء کی نسلوں سے واقف ہے، اور بہت سے ریاضیاتی ذہن رکھنے والے قارئین پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ اوپری نصف طیارہ ماڈل میں H2 کی جیوڈیسکس محض سیمی سرکلز ہیں (حقیقی محور کی نمائندگی کرنے والے دائرے میں آرتھوگنل)۔ چونکہ رینڈلر چارٹ منکووسکی اسپیس ٹائم کے لیے ایک مربوط چارٹ ہے، اس لیے ہم دس لکیری طور پر آزاد کلنگ ویکٹر فیلڈز تلاش کرنے کی توقع کرتے ہیں۔ درحقیقت، کارٹیشین چارٹ میں ہم آسانی سے دس لکیری طور پر آزاد کلنگ ویکٹر فیلڈز تلاش کر سکتے ہیں، جو بالترتیب وقت کے ترجمہ کے ایک پیرامیٹر ذیلی گروپ، تین اسپاٹیل، تین گردش اور تین بوسٹ پیدا کرتے ہیں۔ یہ ایک ساتھ مل کر (مناسب آئسوکرونس) پوئنکیری گروپ، منکوسکی اسپیس ٹائم کا سمیٹری گروپ پیدا کرتے ہیں۔ تاہم، کلنگ ویکٹر مساوات کو براہ راست لکھنا اور حل کرنا سبق آموز ہے۔ ہم چار واقف نظر آنے والے کلنگ ویکٹر فیلڈز (وقت کا ترجمہ، ایکسلریشن کی سمت کے لیے مقامی ترجمہ آرتھوگنل، اور ایکسلریشن کی سمت کے لیے مقامی گردش آرتھوگنل) کے علاوہ مزید چھ حاصل کرتے ہیں: (جہاں علامات کو مستقل طور پر + یا-منتخب کیا جاتا ہے)۔ ہم اسے یہ جاننے کے لیے ایک مشق کے طور پر چھوڑتے ہیں کہ ان کا معیاری جنریٹرز سے کیا تعلق ہے۔ یہاں ہم یہ بتانا چاہتے ہیں کہ ہمیں کارٹیشین چارٹ کے مساوی جنریٹر حاصل کرنے کے قابل ہونا چاہیے، پھر بھی اس ترجمہ کے تحت رینڈلر پچر واضح طور پر غیر متغیر نہیں ہے۔ یہ کیسے ہو سکتا ہے؟ جواب یہ ہے کہ کسی ہموار کئی گنا پر جزوی تفریقی مساوات کے نظام کی طرف سے بیان کردہ کسی بھی چیز کی طرح، قتل کی مساوات میں عام طور پر مقامی طور پر متعین حل ہوں گے، لیکن یہ عالمی سطح پر موجود نہیں ہو سکتے ہیں۔ یعنی گروپ پیرامیٹر پر مناسب پابندیوں کے ساتھ، ایک قتل کے بہاؤ کی تعریف ہمیشہ ایک مناسب مقامی محلے میں کی جا سکتی ہے، لیکن ہو سکتا ہے کہ عالمی سطح پر بہاؤ کی اچھی طرح سے وضاحت نہ ہو۔ اس کا لورینٹزیئن کئی گنا سے کوئی تعلق نہیں ہے، کیونکہ عام ہموار کئی گنا کے مطالعہ میں بھی یہی مسئلہ پیدا ہوتا ہے۔ فاصلے کے تصورات رینڈلر چارٹ کے مطالعے سے سیکھنے والے بہت سے قیمتی اسباق میں سے ایک یہ ہے کہ حقیقت میں فاصلے کے کئی الگ (لیکن معقول) تصورات ہیں جو رینڈلر مبصرین استعمال کر سکتے ہیں۔ پہلا وہ ہے جسے ہم نے اوپر خاموش طور پر استعمال کیا ہے: اسپاٹیل ہائپرسلسیس پر انڈیوسڈ ریمینیئن میٹرک۔ ہم اسے حکمران کا فاصلہ کہیں گے کیونکہ یہ اس محرک ریمینیائی میٹرک سے مطابقت رکھتا ہے، لیکن اس کے عملی معنی فوری طور پر واضح نہیں ہوسکتے ہیں۔ جسمانی پیمائش کے نقطہ نظر سے، دو عالمی لکیروں کے درمیان فاصلے کا ایک زیادہ فطری تصور ریڈار کا فاصلہ ہے۔ اس کا حساب ہمارے مبصر (واقعہ A) کی عالمی لکیر سے کسی چھوٹی سی شے کی عالمی لکیر پر ایک صفر جیوڈیسیک بھیج کر کیا جاتا ہے، جس کے بعد یہ جھلکتا ہے (واقعہ B) اور مبصر (واقعہ C) کی طرف لوٹتا ہے۔ راڈار کا فاصلہ پھر راؤنڈ ٹرپ کے سفر کے وقت کو تقسیم کرکے حاصل کیا جاتا ہے، جیسا کہ ہمارے مبصر کے ذریعہ لے جانے والی مثالی گھڑی سے ماپا جاتا ہے۔ (منکوسکی اسپیس ٹائم میں، خوش قسمتی سے، ہم دو عالمی لکیروں کے درمیان متعدد صفر جیوڈیسیک راستوں کے امکان کو نظر انداز کر سکتے ہیں، لیکن کاسمولوجیکل ماڈلز اور دیگر ایپلی کیشنز میں چیزیں اتنی آسان نہیں ہیں۔ ہمیں یہ فرض کرنے کے خلاف بھی احتیاط برتنی چاہیے کہ دو مبصرین کے درمیان فاصلے کا یہ تصور ایک ایسا تصور دیتا ہے جو مبصرین کے باہمی تبادلے کے تحت ہم آہنگ ہے۔) خاص طور پر، رینڈلر مبصرین کے ایک جوڑے پر غور کریں جو بالترتیب نقاط کے ساتھ ہیں۔ (نوٹ کریں کہ ان میں سے پہلا، ٹریلنگ آبزرور، سرکردہ آبزرور کے ساتھ برقرار رکھنے کے لیے تھوڑا مشکل تر ہو رہا ہے)۔ رینڈلر لائن عنصر میں ترتیب دیتے ہوئے، ہم ایکسلریشن کی سمت میں حرکت کرنے والے نیل جیوڈیکس کی مساوات کو آسانی سے حاصل کرتے ہیں: لہذا، ان دونوں مبصرین کے درمیان ریڈار کا فاصلہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ حکمران کے فاصلے سے تھوڑا چھوٹا ہے، لیکن قریبی مبصرین کے لیے تضاد نہ ہونے کے برابر ہے۔ فاصلے کا تیسرا ممکنہ تصور یہ ہے: ہمارا مبصر کسی شے (نقطہ شے نہیں) پر رکھی گئی یونٹ ڈسک کے ذریعے کم کیے گئے زاویے کی پیمائش کرتا ہے، جیسا کہ اس کے مقام سے ظاہر ہوتا ہے۔ ہم اسے نظری قطر کا فاصلہ کہتے ہیں۔ منکوسکی اسپیس ٹائم میں نیل جیوڈیکس کے سادہ کردار کی وجہ سے، ہم آسانی سے اپنے رینڈلر مبصرین کی جوڑی (ایکسلریشن کی سمت کے ساتھ منسلک) کے درمیان نظری فاصلے کا تعین کر سکتے ہیں۔ خاکہ سے یہ قابل فہم ہونا چاہیے کہ نظری قطر کا فاصلہ پیمانہ جیسا ہو۔ لہذا، ایک ٹریلنگ مبصر کے معاملے میں جو ایک سرکردہ مبصر (کیس) سے فاصلے کا تخمینہ لگاتا ہے، نظری فاصلہ حکمران کے فاصلے سے تھوڑا بڑا ہوتا ہے، جو ریڈار کے فاصلے سے تھوڑا بڑا ہوتا ہے۔ قارئین کو اب ایک لمحے کا وقت نکال کر ایک سرکردہ مبصر کے معاملے پر غور کرنا چاہیے جو پیچھے والے مبصر سے فاصلے کا اندازہ لگا رہا ہو۔ فاصلے کے دیگر تصورات ہیں، لیکن اہم نقطہ واضح ہے: اگرچہ ان مختلف تصورات کی اقدار عام طور پر رینڈلر مبصرین کی دی گئی جوڑی سے متفق نہیں ہوں گی، لیکن وہ سب اس بات پر متفق ہیں کہ رینڈلر مبصرین کا ہر جوڑا مستقل فاصلہ برقرار رکھتا ہے۔ یہ حقیقت کہ بہت قریب رینڈلر مبصرین باہمی طور پر مستحکم ہیں، اس حقیقت سے ملتی ہے، جو اوپر بیان کی گئی ہے، کہ رینڈلر ہم آہنگی کا توسیعی ٹینسر یکساں طور پر غائب ہو جاتا ہے۔ تاہم، ہم نے یہاں دکھایا ہے کہ مختلف معنوں میں، یہ سختی کی خاصیت بڑے پیمانے پر ہوتی ہے۔ یہ واقعی ایک قابل ذکر سختی کی خاصیت ہے، اس معروف حقیقت کو دیکھتے ہوئے کہ رشتہ دار طبیعیات میں، کسی بھی چھڑی کو سختی سے تیز نہیں کیا جا سکتا (اور کسی بھی ڈسک کو سختی سے نہیں تراشا جا سکتا)-کم از کم، غیر یکساں تناؤ کو برقرار رکھے بغیر نہیں۔ اسے دیکھنے کا سب سے آسان طریقہ یہ مشاہدہ کرنا ہے کہ نیوٹنین طبیعیات میں، اگر ہم کسی سخت جسم کو "لات" مارتے ہیں، تو جسم میں موجود مادے کے تمام عناصر فوری طور پر اپنی حرکت کی حالت کو تبدیل کر دیں گے۔ یہ یقینا اس رشتہ دار اصول سے مطابقت نہیں رکھتا کہ کوئی بھی جسمانی اثر رکھنے والی معلومات روشنی کی رفتار سے زیادہ تیزی سے منتقل نہیں کی جا سکتی۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اگر کسی چھڑی کو اس کی لمبائی کے ساتھ کہیں بھی لگائی گئی کسی بیرونی قوت سے تیز کیا جاتا ہے، تو چھڑی میں مختلف جگہوں پر مادے کے عناصر سب ایک جیسی شدت کا احساس نہیں کر سکتے اگر چھڑی کو پابند کیے بغیر نہیں بڑھانا ہے اور بالآخر ٹوٹنا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک تیز رفتار چھڑی جو نہیں ٹوٹتی ہے اسے تناؤ کو برقرار رکھنا چاہیے جو اس کی لمبائی کے ساتھ مختلف ہوتا ہے۔ مزید برآں، وقت کی مختلف قوتوں کے ساتھ کسی بھی سوچ کے تجربے میں، چاہے ہم کسی شے کو "لات" ماریں یا اسے بتدریج تیز کرنے کی کوشش کریں، ہم مکینیکل ماڈلز سے گریز کرنے کے مسئلے سے نہیں بچ سکتے جو رشتہ دار حرکیات سے مطابقت نہیں رکھتے ہیں (کیونکہ جسم کے دور کے حصے ایک لاگو قوت پر بہت تیزی سے جواب دیتے ہیں)۔ حکمران کے فاصلے کی عملی اہمیت کے سوال پر واپس آتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ وہ فاصلہ ہونا چاہیے جو ہمارے مبصرین حاصل کریں گے اگر وہ بہت آہستہ آہستہ ہاتھ سے گزر کر ایک چھوٹے حکمران کے ہاتھ لگائیں جو بار بار اختتام سے ختم ہوتا ہے۔ لیکن اس تشریح کو تفصیل سے جواز پیش کرنے کے لیے کسی قسم کے مادی ماڈل کی ضرورت ہوگی۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے مڑے ہوئے اسپیس ٹائمز رینڈلر کوآرڈینیٹس کو جنرلائزیشن کو مڑے ہوئے اسپیس ٹائم میں عام کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ فرمی نارمل کوآرڈینیٹس۔ عام کرنے میں بنیادی طور پر ایک مناسب آرتھونورمل ٹیٹراڈ کی تعمیر اور پھر اسے فرمی واکر ٹرانسپورٹ رول کا استعمال کرتے ہوئے دی گئی رفتار کے ساتھ منتقل کرنا شامل ہے۔ تفصیلات کے لیے نیچے دیے گئے حوالوں میں نی اور زیمرمین کا مقالہ دیکھیں۔ اس طرح کی عمومی کاری دراصل کسی کو زمین پر مبنی لیبارٹری میں جمود اور کشش ثقل کے اثرات کے ساتھ ساتھ زیادہ دلچسپ جڑے جمود کشش ثقل کے اثرات کا مطالعہ کرنے کے قابل بناتی ہے۔ کوٹلر مولر اور رینڈلر کوآرڈینیٹس البرٹ آئن سٹائن (1907) نے یکساں طور پر تیز رفتار فریم کے اندر اثرات کا مطالعہ کیا، کوآرڈینیٹ انحصار وقت کے پھیلاؤ اور روشنی کی رفتار کے مساوی () کے لیے مساوات حاصل کیں، اور فارمولوں کو مبصر کی اصل سے آزاد بنانے کے لیے، انہوں نے ریڈار کوآرڈینیٹس کے ساتھ باضابطہ معاہدے میں وقت کا پھیلاؤ () حاصل کیا۔ بورن رگڈیٹی کے تصور کو متعارف کراتے ہوئے، میکس بورن (1909) نے نوٹ کیا کہ ہائپربولک حرکت کے فارمولوں کو "ہائپربولک طور پر ایکسلریٹڈ ریفرنس سسٹم" () کے مساوی () میں تبدیلی کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بورن کے کام کی مزید وضاحت آرنلڈ سومر فیلڈ (1910) اور میکس وان لاؤ (1911) نے کی جنہوں نے دونوں نے خیالی اعداد کا استعمال کرتے ہوئے () حاصل کیا، جس کا خلاصہ وولف گینگ پالی (1921) نے کیا جس نے نقاط () کے علاوہ خیالی اعداد کا استعمال کرتے ہوئے میٹرک () بھی حاصل کیا۔ آئن سٹائن (1912) نے ایک جامد کشش ثقل کے میدان کا مطالعہ کیا اور روشنی کی مربوط منحصر رفتار کا استعمال کرتے ہوئے کوٹلر-مولر میٹرک () کے ساتھ ساتھ فارمولوں () کا تخمینہ حاصل کیا۔ ہینڈرک لورینٹز (1913) نے آئن سٹائن کے مساوات کے اصول اور یکساں کشش ثقل کے میدان کا مطالعہ کرتے ہوئے (،،) سے ملتے جلتے نقاط حاصل کیے۔ فریڈرک کوٹلر (1914) نے ایک تفصیلی وضاحت دی، جس نے متعلقہ آرتھونورمل ٹیٹراڈ، ٹرانسفارمیشن فارمولے اور میٹرک (،) وضع کیے۔ نیز کارل بولرٹ (1922) نے یکساں ایکسلریشن اور یکساں کشش ثقل کے شعبوں کے اپنے مطالعہ میں میٹرک () حاصل کیا۔ بورن رگڈیٹی سے متعلق ایک مقالے میں، جارجز لیماٹری (1924) نے نقاط اور میٹرک (،) حاصل کیے۔ البرٹ آئن سٹائن اور ناتھن روزن (1935) نے (،) کو یکساں کشش ثقل کے میدان کے لیے "معروف" تاثرات کے طور پر بیان کیا۔ کرسچن مولر (1943) نے یکساں کشش ثقل کے شعبوں سے متعلق مطالعہ کے طور پر (،) حاصل کرنے کے بعد، انہوں نے (1952) کے ساتھ ساتھ میسنر اینڈ تھورن اینڈ وہیلر (1973) نے وہی مساوات حاصل کرنے کے لیے فرمی واکر ٹرانسپورٹ کا استعمال کیا۔ اگرچہ ان تحقیقات کا تعلق فلیٹ اسپیس ٹائم سے تھا، لیکن وولف گینگ رینڈلر (1960) نے مڑے ہوئے اسپیس ٹائم میں ہائپربولک حرکت کا تجزیہ کیا، اور (1966) شوارزشائلڈ اسپیس میں کرسکال کوآرڈینیٹس کے ساتھ فلیٹ اسپیس ٹائم میں ہائپربولک کوآرڈینیٹس (،) کے درمیان مشابہت ظاہر کی۔ اس نے بعد کے مصنفین کو ہائپربولک حرکت میں ایک مبصر کے ذریعہ ناپی گئی انرو تابکاری کی تشکیل میں متاثر کیا، جو کہ بلیک ہولز کے ہاکنگ تابکاری کی وضاحت سے ملتا جلتا ہے۔ ہورائزن بورن (1909) سے پتہ چلتا ہے کہ ہائپربولک حرکت میں بورن رگڈ باڈی کے اندرونی نکات صرف اس خطے میں ہو سکتے ہیں۔ سومرفیلڈ (1910) نے وضاحت کی کہ جمود اور ہائپربولک نقاط کے درمیان تبدیلی کے لیے اجازت شدہ نقاط کو پورا کرنا چاہیے۔ کوٹلر (1914) نے اس خطے کی تعریف اس طرح کی، اور ایک "بارڈر پلین" () کے وجود کی طرف اشارہ کیا، جس کے آگے ہائپربولک حرکت میں کوئی سگنل مبصر تک نہیں پہنچ سکتا۔ اسے بولرٹ (1922) نے "مبصر کا افق" کہا تھا۔ رینڈلر (1966) نے کرسکال نقاط میں اس طرح کے افق اور افق کے درمیان تعلق کا مظاہرہ کیا۔ ریڈار کوآرڈینیٹس بولرٹ کی رسم الخط کا استعمال کرتے ہوئے، اسٹجیپن موہوروویچ (1922) نے کچھ پیرامیٹر کے لیے ایک مختلف انتخاب کیا اور پرنٹنگ کی غلطی کے ساتھ میٹرک () حاصل کیا، جسے بولرٹ (1922b) نے ایک اور پرنٹنگ کی غلطی کے ساتھ درست کیا، یہاں تک کہ پرنٹنگ کی غلطی کے بغیر ایک ورژن موہوروویچ (1923) نے دیا۔ اس کے علاوہ، موہوروویچ نے غلطی سے استدلال کیا کہ میٹرک (جسے اب کوٹلر-مولر میٹرک کہا جاتا ہے) غلط ہے، جس کی تردید بولرٹ (1922) نے کی تھی۔ میٹرک () کو ہیری لاس (1963) نے دوبارہ دریافت کیا، جس نے متعلقہ نقاط () بھی دیے جنہیں بعض اوقات "لاس نقاط" کہا جاتا ہے۔ میٹرک ()، نیز (،)، بھی فرٹز روہرلچ (1963) کے ذریعہ اخذ کیا گیا تھا۔ آخر کار، لاس کوآرڈینیٹس (،) کی شناخت ڈیسلوج اینڈ فلپوٹ (1987) کے ذریعہ ریڈار کوآرڈینیٹس کے ساتھ کی گئی۔ تاریخی فارمولوں کے ساتھ میز بیل کا خلائی جہاز پیراڈوکس بھی دیکھیں، بعض اوقات متنازعہ موضوع کے لیے اکثر رینڈلر کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتے ہوئے مطالعہ کیا جاتا ہے۔ بورن کوآرڈینیٹس، ایک اور اہم کوآرڈینیٹ سسٹم کے لیے جو منکوسکی اسپیس ٹائم میں کچھ تیز رفتار مبصرین کی حرکت کے مطابق ڈھال لیا گیا ہے۔ ہم آہنگی (عمومی اضافیت) ایہرن فیسٹ پیراڈوکس، بعض اوقات متنازعہ موضوع کے لیے اکثر بورن کوآرڈینیٹس کا استعمال کرتے ہوئے مطالعہ کیا جاتا ہے۔ عمومی اضافیت میں فریم فیلڈز عمومی اضافیت کے وسائل ملن ماڈل رائےچودھری مساوات انرو اثر حوالہ جات تاریخی ذرائع مزید پڑھنا مفید پس منظر: ہموار کئی گنا پر ویکٹر فیلڈز سے متعلق پس منظر کے لیے باب 4 دیکھیں۔ فرمیٹ میٹرک سے ماخوذ ہونے کے لیے باب 8 دیکھیں۔ رینڈلر کوآرڈینیٹس: سیکشن 6.6 دیکھیں۔ رینڈلر ہورائزن: ای پرنٹ ورژن تھیوری آف ریلیٹیویٹی کوآرڈینیٹ چارٹس ان جنرل ریلیٹیویٹی ایکسلریشن