P-value
کالعدم مفروضے کی اہمیت کی جانچ میں، پی-ویلیو ٹیسٹ کے نتائج حاصل کرنے کا امکان ہے جو کم از کم اتنا ہی انتہائی ہے جتنا کہ نتیجہ اصل میں مشاہدہ کیا گیا ہے، اس مفروضے کے تحت کہ کالعدم مفروضہ درست ہے۔ ایک بہت ہی کم پی-ویلیو کا مطلب ہے کہ اس طرح کے انتہائی مشاہدہ شدہ نتیجہ کا غیر معمولی مفروضے کے تحت بہت امکان نہیں ہوگا۔ اگرچہ شماریاتی ٹیسٹوں کی پی ویلیوز کی رپورٹنگ بہت سے مقداری شعبوں کی تعلیمی اشاعتوں میں عام عمل ہے، پی ویلیوز کی غلط تشریح اور غلط استعمال وسیع پیمانے پر ہے اور ریاضی اور میٹا سائنس میں ایک اہم موضوع رہا ہے۔ 2016 میں، امریکن شماریاتی ایسوسی ایشن (اے ایس اے) نے ایک باضابطہ بیان دیا کہ "پی-ویلیوز اس امکان کی پیمائش نہیں کرتی ہیں کہ مطالعہ شدہ مفروضہ درست ہے، یا اس امکان کی کہ ڈیٹا صرف بے ترتیب اتفاق سے تیار کیا گیا تھا" اور یہ کہ "پی-ویلیو، یا شماریاتی اہمیت، کسی اثر کے سائز یا نتیجہ کی اہمیت" یا "کسی ماڈل یا مفروضے سے متعلق ثبوت" کی پیمائش نہیں کرتی ہے۔ اس نے کہا، اے ایس اے کی طرف سے 2019 کی ٹاسک فورس نے شماریاتی اہمیت اور نقل پذیری پر ایک بیان جاری کیا ہے، جس کا اختتام اس طرح ہے: "پی-ویلیوز اور اہمیت کے ٹیسٹ، جب مناسب طریقے سے لاگو اور تشریح کی جاتی ہے، تو اعداد و شمار سے اخذ کردہ نتائج کی سختی میں اضافہ ہوتا ہے"۔ بنیادی تصورات اعداد و شمار میں، کسی مطالعے میں مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی نمائندگی کرنے والے بے ترتیب متغیرات کے مجموعے کی نامعلوم امکان کی تقسیم سے متعلق ہر قیاس کو شماریاتی مفروضہ کہا جاتا ہے۔ اگر ہم صرف ایک مفروضہ بیان کرتے ہیں اور شماریاتی ٹیسٹ کا مقصد یہ دیکھنا ہے کہ آیا یہ مفروضہ قابل قبول ہے، لیکن دوسرے مخصوص مفروضوں کی تحقیقات کرنا نہیں ہے، تو اس طرح کے ٹیسٹ کو کالعدم مفروضہ ٹیسٹ کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ ہمارا شماریاتی مفروضہ، تعریف کے مطابق، تقسیم کی کچھ خاصیت بیان کرے گا، کالعدم مفروضہ ڈیفالٹ مفروضہ ہے جس کے تحت وہ خاصیت موجود نہیں ہے۔ کالعدم مفروضہ عام طور پر یہ ہے کہ دلچسپی کی آبادی میں کچھ پیرامیٹر (جیسے ارتباط یا ذرائع کے درمیان فرق) صفر ہے۔ ہمارا مفروضہ ممکنہ تقسیم کی قطعی طور پر وضاحت کر سکتا ہے، یا یہ صرف اس بات کی وضاحت کر سکتا ہے کہ اس کا تعلق تقسیم کی کسی کلاس سے ہے۔ اکثر، ہم اعداد و شمار کو ایک واحد عددی اعداد و شمار تک کم کر دیتے ہیں، مثال کے طور پر، جس کی معمولی امکانات کی تقسیم مطالعہ میں دلچسپی کے ایک اہم سوال سے قریب سے جڑی ہوتی ہے۔ پی-ویلیو کو کالعدم مفروضے کی جانچ کے تناظر میں استعمال کیا جاتا ہے تاکہ کسی نتیجے کی شماریاتی اہمیت کی مقدار طے کی جا سکے، جس کا نتیجہ منتخب کردہ اعداد و شمار کی مشاہدہ شدہ قیمت ہوتی ہے۔ پی-ویلیو جتنی کم ہوگی، اس نتیجے کو حاصل کرنے کا امکان اتنا ہی کم ہوگا اگر کالعدم مفروضہ درست تھا۔ نتیجہ کو شماریاتی طور پر اہم کہا جاتا ہے اگر یہ ہمیں کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ دیگر تمام چیزیں برابر ہونے کی وجہ سے، چھوٹے پی-ویلیوز کو کالعدم مفروضے کے خلاف مضبوط ثبوت کے طور پر لیا جاتا ہے۔ ہلکے سے بات کرتے ہوئے، کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے کا مطلب یہ ہے کہ اس کے خلاف کافی ثبوت موجود ہیں۔ ایک خاص مثال کے طور پر، اگر کوئی کالعدم مفروضہ یہ بتاتا ہے کہ ایک مخصوص خلاصہ اعداد و شمار معیاری عام تقسیم N (0,1) کی پیروی کرتے ہیں، تو اس کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے کا مطلب یہ ہو سکتا ہے کہ (i) کا اوسط 0 نہیں ہے، یا (ii) کا تغیر 1 نہیں ہے، یا (iii) عام طور پر تقسیم نہیں کیا گیا ہے۔ ایک ہی کالعدم مفروضے کے مختلف ٹیسٹ مختلف متبادلات کے لیے کم و بیش حساس ہوں گے۔ تاہم، یہاں تک کہ اگر ہم تمام 3 متبادلات کے لیے کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے کا انتظام کرتے ہیں، اور یہاں تک کہ اگر ہم جانتے ہیں کہ تقسیم نارمل ہے اور تغیر 1 ہے، کالعدم مفروضہ ٹیسٹ ہمیں یہ نہیں بتاتا کہ اوسط کی کون سی غیر صفر اقدار اب سب سے زیادہ قابل فہم ہیں۔ ایک ہی امکان کی تقسیم سے جتنے زیادہ آزاد مشاہدات ہوں گے، ٹیسٹ اتنا ہی زیادہ درست ہوگا، اور اتنی ہی زیادہ درستگی ہوگی جس کے ساتھ کوئی اوسط قدر کا تعین کر سکے گا اور یہ ظاہر کرے گا کہ یہ صفر کے برابر نہیں ہے۔ لیکن اس سے اس انحراف کی حقیقی دنیا یا سائنسی مطابقت کا اندازہ کرنے کی اہمیت میں بھی اضافہ ہوگا۔ تعریف اور تشریح p-ویلیو ایک حقیقی قدر والے ٹیسٹ کے اعدادوشمار کو حاصل کرنے کے صفر مفروضے کے تحت امکان ہے جو کم از کم اتنا ہی انتہائی ہے جتنا کہ حاصل کیا گیا ہے۔ نامعلوم تقسیم سے مشاہدہ شدہ ٹیسٹ کے اعدادوشمار پر غور کریں۔ پھر پی-ویلیو وہ ہے جو کسی ٹیسٹ-شماریاتی قدر کو کم از کم "انتہائی" کے طور پر مشاہدہ کرنے کا پیشگی امکان ہوگا گویا کہ کالعدم مفروضہ درست تھا۔ یعنی: یک طرفہ دائیں دم کے ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی تقسیم کے لیے، یک طرفہ بائیں دم کے ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی تقسیم کے لیے، دو طرفہ ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی تقسیم کے لیے۔ اگر کی تقسیم صفر کے بارے میں ہم آہنگ ہے، تو تشریحات ایک اہمیت کے ٹیسٹ میں، صفر مفروضے کو مسترد کر دیا جاتا ہے اگر پی-ویلیو پہلے سے طے شدہ حد قیمت سے کم یا اس کے برابر ہو، جسے الفا سطح یا اہمیت کی سطح کہا جاتا ہے۔ اعداد و شمار سے اخذ نہیں کیا جاتا ہے، بلکہ اعداد و شمار کی جانچ پڑتال سے پہلے محقق کے ذریعہ مقرر کیا جاتا ہے۔ عام طور پر 0.05 پر سیٹ کیا جاتا ہے، حالانکہ بعض اوقات الفا کی کم سطح استعمال کی جاتی ہے۔ 2018 میں، ڈینیل بینجمن کی سربراہی میں شماریات دانوں کے ایک گروپ نے دنیا بھر میں شماریاتی اہمیت کے لیے 0.005 قدر کو معیاری قدر کے طور پر اپنانے کی تجویز پیش کی۔ پی-ویلیو منتخب کردہ ٹیسٹ کے اعداد و شمار کا ایک فنکشن ہے اور اس لیے یہ ایک بے ترتیب متغیر ہے۔ اگر کالعدم مفروضہ امکانات کی تقسیم کو درست طریقے سے طے کرتا ہے، اور اگر یہ تقسیم مسلسل ہے، تو جب کالعدم مفروضہ درست ہے، تو پی-ویلیو یکساں طور پر 0 اور 1 کے درمیان تقسیم ہوتی ہے۔ اس طرح، پی-ویلیو مقررہ نہیں ہے۔ اگر ایک ہی ٹیسٹ کو تازہ ڈیٹا کے ساتھ آزادانہ طور پر دہرایا جاتا ہے، تو عام طور پر ہر تکرار میں ایک مختلف پی-ویلیو حاصل ہوگی۔ اگر کالعدم مفروضہ جامع ہے، یا اعداد و شمار کی تقسیم مجرد ہے، تو 0 اور 1 کے درمیان کسی بھی نمبر سے کم یا اس کے برابر p-ویلیو حاصل کرنے کا امکان اس نمبر سے کم یا اس کے برابر ہے، اگر کالعدم مفروضہ درست ہے۔ یہ معاملہ باقی رہتا ہے کہ اگر کالعدم مفروضہ درست ہے تو بہت چھوٹی اقدار کا نسبتا امکان نہیں ہے، اور یہ کہ سطح پر اہمیت کا امتحان کالعدم مفروضے کو مسترد کرکے حاصل کیا جاتا ہے اگر اہمیت کی سطح اس سے کم یا اس کے برابر ہے۔ اعداد و شمار کے آزاد سیٹوں پر مبنی مختلف پی-ویلیوز کو جوڑا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر فشر کے مشترکہ امکان ٹیسٹ کا استعمال کرتے ہوئے۔ تقسیم جب شکل کا ایک کالعدم مفروضہ درست ہوتا ہے، اور بنیادی بے ترتیب متغیر مسلسل ہوتا ہے، تو پی-ویلیو کی امکان کی تقسیم وقفے پر یکساں ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، پی-ویلیوز کی تقسیم اس طرف متعصبانہ ہو سکتی ہے یا اس پر منحصر ہو سکتی ہے کہ حقیقی پیرامیٹر کا تنقیدی قدر (اقدار) سے کیا تعلق ہے جو اس کی وضاحت کرتا ہے۔ ڈیزائن کے ذریعے تقسیم اس طرف متعصبانہ ہوگی جب متبادل مفروضہ درست ہو۔ عام طور پر کسی مفروضے سے متعلق صرف ایک پی-ویلیو کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، لہذا پی-ویلیو کی تشریح ایک اہمیت کے ٹیسٹ کے ذریعے کی جاتی ہے اور اس کی تقسیم کا اندازہ لگانے کی کوئی کوشش نہیں کی جاتی ہے۔ جب پی ویلیوز کا مجموعہ دستیاب ہو (مثال کے طور پر۔ جب ایک ہی موضوع پر مطالعات کے ایک گروپ پر غور کیا جاتا ہے)، پی-ویلیوز کی تقسیم کو بعض اوقات پی-وکر کہا جاتا ہے۔ پی-وکر کو سائنسی ادب کی وشوسنییتا کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ اشاعت کے تعصب یا پی-ہیکنگ کا پتہ لگانا۔ جامع مفروضے کے لیے پیرامیٹرک مفروضے کی جانچ کے مسائل میں، ایک سادہ یا نقطہ مفروضہ ایک مفروضے سے مراد ہے جہاں پیرامیٹر کی قیمت کو ایک واحد نمبر سمجھا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک جامع مفروضے میں پیرامیٹر کی قدر نمبروں کے ایک سیٹ کے ذریعے دی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، جب کالعدم مفروضے کی جانچ کی جاتی ہے کہ تقسیم نارمل ہے جس کا اوسط صفر سے کم یا اس کے برابر ہے اس متبادل کے مقابلے میں کہ اوسط صفر سے زیادہ ہے (تغیر معلوم ہے)، کالعدم مفروضہ مناسب ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی امکان کی تقسیم کی وضاحت نہیں کرتا ہے۔ صرف مذکور مثال میں یہ ز-اعدادوشمار ہوں گے جو یک طرفہ یک طرفہ نمونے زیڈ ٹیسٹ سے تعلق رکھتے ہیں۔ نظریاتی اوسط کی ہر ممکنہ قدر کے لیے، زیڈ ٹیسٹ کے اعداد و شمار میں امکان کی تقسیم مختلف ہوتی ہے۔ ان حالات میں (نام نہاد جامع کالعدم مفروضے کے معاملے میں) پی-ویلیو کی تعریف کم سے کم سازگار کالعدم مفروضے کے معاملے کو لے کر کی جاتی ہے، جو عام طور پر کالعدم اور متبادل کے درمیان کی سرحد پر ہوتا ہے۔ یہ تعریف پی-ویلیوز اور الفا-لیولز کی تکمیل کو یقینی بناتی ہے۔ اگر اہمیت کی سطح، الفا (α)، 0.05 ہے، اور صرف اس صورت میں کالعدم مفروضے کو مسترد کرتا ہے جب پی-ویلیو 0.05 سے کم یا اس کے برابر ہو، تو مفروضے کی جانچ میں درحقیقت 0.05 کی اہمیت کی سطح (زیادہ سے زیادہ قسم 1 کی غلطی کی شرح) ہوگی۔ جیسا کہ نیمین نے لکھا: "اس غلطی کو جس سے بچنے کے لیے ایک ماہر شماریات زیادہ اہم سمجھے گا (جو کہ ایک ساپیکش فیصلہ ہے) اسے پہلی قسم کی غلطی کہا جاتا ہے۔ ریاضیاتی نظریہ کا پہلا مطالبہ اس طرح کے ٹیسٹ کے معیار کا اندازہ لگانا ہے جو اس بات کو یقینی بنائے کہ پہلی قسم کی غلطی کا ارتکاب کرنے کا امکان پہلے سے تفویض کردہ نمبر α کے برابر (یا تقریبا برابر، یا اس سے زیادہ نہیں) ہوگا، جیسے کہ α = 0.05 یا 0.1، وغیرہ۔ اس نمبر کو اہمیت کی سطح کہا جاتا ہے۔ نیمین 1976، صفحہ 161 میں "ریاضیاتی شماریات کا ظہور: ریاستہائے متحدہ کو خصوصی حوالہ کے ساتھ ایک تاریخی خاکہ"، "شماریات اور امکان کی تاریخ پر"، ایڈیشن۔ ڈی۔ بی۔ اوون، نیویارک: مارسل ڈیکر، پی پی۔ 149-193۔ یہ بھی دیکھیں "کلاسیکی شماریاتی جانچ میں ثبوت کے اقدامات (پی) بمقابلہ غلطیوں (اے) پر الجھن"، ریمنڈ ہبارڈ اور ایم جے بائری، امریکی شماریات دان، اگست 2003، جلد۔ 57، نمبر 3، 171-182 (بحث کے ساتھ)۔ ایک جامع جدید بیان کے لیے "تمام شماریات: شماریاتی تخمینہ میں ایک جامع کورس" کا باب 10 دیکھیں، سپرنگر ؛ پہلا درست ایڈیشن۔ 20 ایڈیشن (17 ستمبر 2004)۔ لیری واسرمین۔ استعمال پی-ویلیو شماریاتی مفروضے کی جانچ میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہے، خاص طور پر کالعدم مفروضے کی اہمیت کی جانچ میں۔ اس طریقہ کار میں، مطالعہ کرنے سے پہلے، پہلے ایک ماڈل (کالعدم مفروضہ) اور الفا لیول α (عام طور پر 0.05) کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ اعداد و شمار کا تجزیہ کرنے کے بعد، اگر پی-ویلیو α سے کم ہے، تو اس کا مطلب یہ لیا جاتا ہے کہ مشاہدہ شدہ ڈیٹا کالعدم مفروضے کے ساتھ کافی حد تک متضاد ہے تاکہ کالعدم مفروضے کو مسترد کیا جا سکے۔ تاہم، اس سے یہ ثابت نہیں ہوتا کہ کالعدم مفروضہ غلط ہے۔ پی-ویلیو، اپنے آپ میں، مفروضوں کے امکانات قائم نہیں کرتا ہے۔ بلکہ، یہ فیصلہ کرنے کا ایک ذریعہ ہے کہ کالعدم مفروضے کو مسترد کرنا ہے یا نہیں۔ اے ایس اے کے مطابق، اس بات پر وسیع پیمانے پر اتفاق ہے کہ پی-ویلیوز کا اکثر غلط استعمال اور غلط تشریح کی جاتی ہے۔ ایک عمل جس پر خاص طور پر تنقید کی گئی ہے وہ کسی بھی پی-ویلیو کے لیے متبادل مفروضے کو قبول کرنا ہے جو برائے نام. 05 سے کم ہے بغیر کسی دوسرے معاون ثبوت کے۔ اگرچہ پی-ویلیوز اس بات کا اندازہ لگانے میں مددگار ہیں کہ اعداد و شمار ایک مخصوص شماریاتی ماڈل کے ساتھ کتنے مطابقت نہیں رکھتے ہیں، سیاق و سباق کے عوامل پر بھی غور کیا جانا چاہیے، جیسے کہ "مطالعے کا ڈیزائن، پیمائش کا معیار، زیر مطالعہ رجحان کے لیے بیرونی ثبوت، اور اعداد و شمار کے تجزیے کی بنیاد رکھنے والے مفروضوں کی صداقت"۔ ایک اور تشویش یہ ہے کہ پی-ویلیو کو اکثر اس امکان کے طور پر غلط سمجھا جاتا ہے کہ کالعدم مفروضہ درست ہے۔ کچھ شماریات دانوں نے پی-ویلیوز کو ترک کرنے اور دیگر تشخیصی اعداد و شمار، جیسے اعتماد کے وقفے، امکانات کے تناسب، یا بیئس عوامل پر زیادہ توجہ دینے کی تجویز پیش کی ہے، لیکن ان متبادلات کی فزیبلٹی پر گرما گرم بحث جاری ہے۔ دوسروں نے مقررہ اہمیت کی حد کو ہٹانے اور پی-ویلیوز کی تشریح کالعدم مفروضے کے خلاف ثبوت کی طاقت کے مسلسل اشارے کے طور پر کرنے کا مشورہ دیا ہے۔ پھر بھی دوسروں نے پی-ویلیوز کے ساتھ ساتھ کسی حقیقی اثر کے پہلے امکان کی اطلاع دینے کا مشورہ دیا جو کہ غلط مثبت خطرہ حاصل کرنے کے لیے ضروری ہوگا (یعنی۔ اس بات کا امکان کہ کوئی حقیقی اثر نہیں ہے) پہلے سے طے شدہ حد سے نیچے (جیسے۔ 5 ٪)۔ اس نے کہا، 2019 میں اے ایس اے کی طرف سے ایک ٹاسک فورس نے سائنسی مطالعات میں شماریاتی طریقوں کے استعمال، خاص طور پر مفروضہ ٹیسٹ اور پی-ویلیوز، اور نقل کے ساتھ ان کے تعلق پر غور کرنے کے لیے طلب کیا تھا۔ اس میں کہا گیا ہے کہ "غیر یقینی کے مختلف اقدامات ایک دوسرے کی تکمیل کر سکتے ہیں ؛ کوئی بھی واحد اقدام تمام مقاصد کو پورا نہیں کرتا ہے۔ "، ان اقدامات میں سے ایک کے طور پر پی-ویلیو کا حوالہ دیتے ہوئے۔ وہ اس بات پر بھی زور دیتے ہیں کہ پی-ویلیوز مخصوص ویلیو پر غور کرتے وقت اور ساتھ ہی کچھ حد کے مقابلے میں قیمتی معلومات فراہم کر سکتی ہیں۔ عام طور پر، یہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ "پی-ویلیوز اور اہمیت کے ٹیسٹ، جب مناسب طریقے سے لاگو اور تشریح کی جاتی ہے، تو اعداد و شمار سے اخذ کردہ نتائج کی سختی میں اضافہ ہوتا ہے"۔ حساب عام طور پر ایک جانچ کے اعداد و شمار ہوتے ہیں۔ ٹیسٹ کے اعدادوشمار تمام مشاہدات کے اسکیلر فنکشن کا آؤٹ پٹ ہے۔ یہ اعداد و شمار ایک واحد نمبر فراہم کرتے ہیں، جیسے کہ ٹی-اعدادوشمار یا ایف-اعدادوشمار۔ اس طرح، ٹیسٹ کے اعدادوشمار اس تقسیم کی پیروی کرتے ہیں جس کا تعین اس فنکشن کے ذریعہ کیا جاتا ہے جو اس ٹیسٹ کے اعدادوشمار اور ان پٹ مشاہداتی ڈیٹا کی تقسیم کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس اہم معاملے کے لیے جس میں اعداد و شمار کو عام تقسیم سے بے ترتیب نمونہ سمجھا جاتا ہے، ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی نوعیت اور اس کی تقسیم کے بارے میں دلچسپی کے مفروضوں پر منحصر ہے، مختلف کالعدم مفروضے کے ٹیسٹ تیار کیے گئے ہیں۔ اس طرح کے کچھ ٹیسٹ معلوم تغیر کے ساتھ معمول کی تقسیم کے اوسط سے متعلق مفروضوں کے لیے زیڈ ٹیسٹ ہیں، ٹی ٹیسٹ جو عام تقسیم کے اوسط سے متعلق مفروضوں کے لیے مناسب اعداد و شمار کی طالب علم کی ٹی تقسیم پر مبنی ہے جب تغیر نامعلوم ہے، ایف ٹیسٹ جو تغیر سے متعلق مفروضوں کے لیے ایک اور اعدادوشمار کی ایف تقسیم پر مبنی ہے۔ دوسری نوعیت کے اعداد و شمار کے لیے، مثال کے طور پر درجہ بند (مجرد) اعداد و شمار، ٹیسٹ کے اعداد و شمار کی تعمیر کی جا سکتی ہے جس کی کالعدم مفروضے کی تقسیم بڑے نمونوں کے لیے مرکزی حد تھیوریم کو مدعو کرکے حاصل کردہ مناسب اعداد و شمار کے عام تخمینوں پر مبنی ہوتی ہے، جیسا کہ پیئرسن کے چی مربع ٹیسٹ کے معاملے میں ہوتا ہے۔ اس طرح پی-ویلیو کی گنتی کے لیے ایک کالعدم مفروضہ، ایک ٹیسٹ کے اعداد و شمار (یہ فیصلہ کرنے کے ساتھ کہ محقق ایک دم والا ٹیسٹ کر رہا ہے یا دو دم والا ٹیسٹ)، اور ڈیٹا کی ضرورت ہوتی ہے۔ اگرچہ دیئے گئے اعداد و شمار پر ٹیسٹ کے اعدادوشمار کا حساب لگانا آسان ہو سکتا ہے، لیکن نیل مفروضے کے تحت نمونے کی تقسیم کا حساب لگانا، اور پھر اس کے مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) کا حساب لگانا اکثر ایک مشکل مسئلہ ہوتا ہے۔ آج، یہ حساب شماریاتی سافٹ ویئر کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے، اکثر عددی طریقوں کے ذریعے (قطعی فارمولوں کے بجائے)، لیکن، 20 ویں صدی کے اوائل اور وسط میں، یہ اس کے بجائے اقدار کی میزیں، اور ان مجرد اقدار سے ایک انٹرپولیٹڈ یا ایکسٹراپولیٹڈ پی-ویلیوز کے ذریعے کیا جاتا تھا۔ پی-ویلیوز کی ٹیبل استعمال کرنے کے بجائے، فشر نے سی ڈی ایف کو الٹا کر دیا، دی گئی فکسڈ پی-ویلیوز کے لیے ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی ویلیوز کی فہرست شائع کی۔ یہ کوانٹائل فنکشن (الٹا سی ڈی ایف) کی کمپیوٹنگ سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثال سکے کی صداقت کی جانچ شماریاتی ٹیسٹ کی ایک مثال کے طور پر، اس بات کا تعین کرنے کے لیے ایک تجربہ کیا جاتا ہے کہ آیا سکے کا پلٹنا منصفانہ ہے (لینڈنگ ہیڈز یا دم کا مساوی امکان) یا غیر منصفانہ طور پر متعصبانہ (ایک نتیجہ دوسرے سے زیادہ امکان کا حامل ہے)۔ فرض کریں کہ تجرباتی نتائج سے ظاہر ہوتا ہے کہ سکہ کل 20 پلٹوں میں سے 14 بار سر اٹھاتا ہے۔ مکمل ڈیٹا علامت "H" یا "T" کے بیس گنا کا تسلسل ہوگا۔ وہ اعداد و شمار جس پر کوئی توجہ مرکوز کر سکتا ہے وہ سروں کی کل تعداد ہو سکتی ہے۔ کالعدم مفروضہ یہ ہے کہ سکہ منصفانہ ہے، اور سکہ ٹاس ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اگر دائیں دم والے ٹیسٹ پر غور کیا جائے، جو کہ اس صورت میں ہوگا اگر کوئی حقیقت میں اس امکان میں دلچسپی رکھتا ہے کہ سکہ گرتے ہوئے سروں کی طرف متعصبانہ ہے، تو اس نتیجے کی پی-ویلیو اس بات کا امکان ہے کہ ایک منصفانہ سکہ 20 میں سے کم از کم 14 بار سروں پر اترے۔ اس امکان کو بائنومیل کوفیشنٹس سے شمار کیا جا سکتا ہے کیونکہ یہ امکان پی-ویلیو ہے، صرف انتہائی نتائج پر غور کرتے ہوئے جو سروں کو پسند کرتے ہیں۔ اسے ون ٹیلڈ ٹیسٹ کہا جاتا ہے۔ تاہم، کسی کو سر یا دم کے حق میں، کسی بھی سمت میں انحراف میں دلچسپی ہو سکتی ہے۔ دو دم والی پی-ویلیو، جو سروں یا دم کے حق میں انحراف پر غور کرتی ہے، اس کے بجائے شمار کی جا سکتی ہے۔ چونکہ بائنومیل ڈسٹری بیوشن ایک منصفانہ سکے کے لیے ہم آہنگ ہوتی ہے، اس لیے دو طرفہ p-ویلیو مذکورہ بالا حساب شدہ یک طرفہ p-ویلیو سے محض دوگنا ہوتی ہے: دو طرفہ p-ویلیو 0.115 ہے۔ مندرجہ بالا مثال میں: نول مفروضہ (H0): سکے منصفانہ ہے، جس میں Pr (سروں) = 0.5 ٹیسٹ کے اعداد و شمار ہیں: سروں کی تعداد الفا سطح (اہمیت کی نامزد حد): 0.05 مشاہدہ O: 20 پلٹائیوں میں سے 14 سروں ؛ اور مشاہدے O کی دو دم والی p-ویلیو H0 = 2 × منٹ (Pr (نہیں) دی گئی ہے۔ سروں کے 14 سر)، پی آر (نمبر۔ سر ≤ 14 سر)) = 2 × منٹ (0.058، 0.978) = 2 * 0.058 = 0.115۔ پی آر (نہیں۔ سروں کی تعداد ≤14 سروں) = 1-پی آر (نہیں۔ سروں کی تعداد 14 سروں) + پی آر (نمبر۔ سر کا = 14) = 1-0.058 + 0.036 = 0.978 ؛ تاہم، اس بائنومیل ڈسٹری بیوشن کی سمیٹری دو امکانات میں سے چھوٹے کو تلاش کرنا ایک غیر ضروری حساب بناتی ہے۔ یہاں، حساب شدہ پی-ویلیو. 05 سے تجاوز کر جاتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اعداد و شمار اس حد میں آتے ہیں کہ اگر سکہ منصفانہ ہوتا تو 95 ٪ وقت کیا ہوتا۔ لہذا، صفر مفروضے کو. 05 کی سطح پر مسترد نہیں کیا جاتا ہے۔ تاہم، اگر ایک اور سر حاصل کیا جاتا، تو اس کے نتیجے میں پی-ویلیو (دو دم والی) 0.0414 (4.14%) ہوتی، اس صورت میں صفر مفروضے کو 0.05 کی سطح پر مسترد کر دیا جاتا۔ کثیر الجہتی تجربے کا ڈیزائن "انتہائی" کے دو معانی کے درمیان فرق اس وقت ظاہر ہوتا ہے جب ہم سکے کی صداقت کی جانچ کے لیے کثیر الجہتی تجربے پر غور کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ ہم تجربے کو اس طرح ڈیزائن کرتے ہیں: سکے کو دو بار پلٹائیں۔ اگر دونوں سر یا دم اوپر آتے ہیں، تو تجربہ ختم کریں۔ ورنہ سکے کو مزید 4 بار پلٹائیں۔ اس تجربے کے 7 قسم کے نتائج ہیں: 2 سر، 2 دم، 5 سر، 1 دم، 1 سر، 5 دم۔ اب ہم "3 ہیڈز 3 ٹیلز" کے نتائج کی پی-ویلیو کا حساب لگاتے ہیں۔ اگر ہم ٹیسٹ کے اعدادوشمار کا استعمال کرتے ہیں، تو کالعدم مفروضے کے تحت دو طرفہ p-ویلیو کے لیے بالکل 1 ہے، اور بالکل یک طرفہ بائیں دم p-ویلیو کے لیے، اور یک طرفہ دائیں دم p-ویلیو کے لیے یکساں ہے۔ اگر ہم "3 ہیڈز 3 ٹیلز" کے برابر یا کم امکان والے ہر نتیجے کو "کم از کم اتنا ہی انتہائی" سمجھتے ہیں، تو پی-ویلیو بالکل درست ہے۔ تاہم، فرض کریں کہ ہم نے سکے کو 6 بار پلٹانے کا منصوبہ بنایا ہے چاہے کچھ بھی ہو جائے، تو پی-ویلیو کی دوسری تعریف کا مطلب یہ ہوگا کہ "3 ہیڈز 3 ٹیلز" کی پی-ویلیو بالکل 1 ہے۔ اس طرح، پی-ویلیو کی "کم از کم انتہائی" تعریف گہری سیاق و سباق پر مبنی ہے، اور اس بات پر منحصر ہے کہ تجربہ کار ان حالات میں بھی کیا کرنے کا ارادہ رکھتا ہے جو نہیں ہوئے تھے۔ پی-ویلیو کے حسابات 1700 کی دہائی کے ہیں، جہاں ان کا حساب پیدائش کے وقت انسانی جنسی تناسب کے لیے کیا گیا تھا، اور مرد اور عورت کی پیدائش کے مساوی امکان کے صفر مفروضے کے مقابلے میں شماریاتی اہمیت کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا تھا۔ جان اربتھنوٹ نے 1710 میں اس سوال کا مطالعہ کیا، اور 1629 سے 1710 تک کے 82 سالوں میں سے ہر ایک کے لندن میں پیدائشی ریکارڈ کا جائزہ لیا۔ ہر سال لندن میں پیدا ہونے والے مردوں کی تعداد خواتین کی تعداد سے زیادہ تھی۔ زیادہ مرد یا زیادہ خواتین کی پیدائشوں کو یکساں امکان کے طور پر دیکھتے ہوئے، مشاہدہ شدہ نتائج کا امکان 1/282، یا 4,836 میں تقریبا 1، 000,000,000، 000,000,000، 000 ؛ جدید اصطلاحات میں، p-ویلیو ہے۔ یہ غائب ہوتے ہوئے چھوٹا ہے، جس کی وجہ سے آربتھنوٹ کا کہنا ہے کہ یہ اتفاق کی وجہ سے نہیں تھا، بلکہ الہی پروویڈنس کی وجہ سے تھا: "جہاں سے یہ آتا ہے، کہ یہ آرٹ ہے، موقع نہیں، جو حکومت کرتا ہے۔" جدید اصطلاحات میں، انہوں نے p = 1/282 اہمیت کی سطح پر یکساں طور پر ممکنہ مرد اور عورت کی پیدائش کے کالعدم مفروضے کو مسترد کر دیا۔ اربتھنوٹ کے اس اور دیگر کام کو "اہمیت کے ٹیسٹوں کا پہلا استعمال" کا سہرا دیا جاتا ہے۔ شماریاتی اہمیت کے بارے میں استدلال کی پہلی مثال، اور "شاید غیر پیرامیٹرک ٹیسٹ کی پہلی شائع شدہ رپورٹ"، خاص طور پر سائن ٹیسٹ ؛ تفصیلات دیکھیں۔ اسی سوال کو بعد میں پیئر سائمن لیپلیس نے خطاب کیا، جس نے اس کے بجائے ایک پیرامیٹرک ٹیسٹ کا استعمال کیا، جس میں مردانہ پیدائشوں کی تعداد کو بائنومیل ڈسٹری بیوشن کے ساتھ ماڈلنگ کیا گیا: پی ویلیو کو پہلی بار کارل پیئرسن نے اپنے پیئرسن کے چی اسکوائرڈ ٹیسٹ میں متعارف کرایا تھا، جس میں چی اسکوائرڈ ڈسٹری بیوشن کا استعمال کیا گیا تھا اور اسے کیپٹل پی کے طور پر نشان زد کیا گیا تھا۔ چی اسکوائرڈ ڈسٹری بیوشن کے لیے پی ویلیوز (χ2 کی مختلف اقدار اور ڈگری آف فریڈم کے لیے)، جسے اب پی کے طور پر نشان زد کیا گیا ہے، کا حساب پی میں جمع کیا گیا تھا۔ اعدادوشمار میں پی-ویلیو کے استعمال کو رونالڈ فشر نے مقبول بنایا تھا، اور یہ اس موضوع کے بارے میں ان کے نقطہ نظر میں مرکزی کردار ادا کرتا ہے۔ اپنی بااثر کتاب شماریاتی طریقوں برائے تحقیقی کارکنوں (1925) میں، فشر نے شماریاتی اہمیت کی حد کے طور پر، سطح p = 0.05، یا اتفاق سے تجاوز کرنے کے 20 امکانات میں سے 1 کی تجویز پیش کی، اور اسے عام تقسیم (دو دم والے ٹیسٹ کے طور پر) پر لاگو کیا، اس طرح شماریاتی اہمیت کے لیے دو معیاری انحراف (عام تقسیم پر) کی حکمرانی حاصل ہوئی (دیکھیں 68-95-99.7 قاعدہ)۔ اس کے بعد اس نے ایلڈرٹن کی طرح اقدار کی ایک جدول کا حساب لگایا، لیکن اہم بات یہ ہے کہ اس نے χ2 اور p کے کرداروں کو الٹ دیا۔ یعنی، χ2 (اور ڈگری آف فریڈم n) کی مختلف اقدار کے لیے p کا حساب لگانے کے بجائے، اس نے χ2 کی اقدار کا حساب لگایا جس سے مخصوص p-اقدار حاصل ہوتی ہیں، خاص طور پر 0.99,0.98,0.95,0.90,0.70,0.50,0.30,0.20,0.10,0.05,0.02, اور 0.1۔ اس نے χ2 کی کمپیوٹیڈ ویلیوز کو کٹ آفز کے مقابلے میں موازنہ کرنے کی اجازت دی اور پی-ویلیوز کو خود کمپیوٹنگ اور رپورٹ کرنے کے بجائے کٹ آفز کے طور پر پی-ویلیوز (خاص طور پر 0.05، 0.02، اور 0.01) کے استعمال کی حوصلہ افزائی کی۔ اس کے بعد اسی قسم کی میزیں مرتب کی گئیں، جس نے نقطہ نظر کو مستحکم کیا۔ تجربات کے ڈیزائن اور تشریح پر پی-ویلیوز کے اطلاق کی مثال کے طور پر، فشر نے اپنی اگلی کتاب دی ڈیزائن آف ایکسپیریمنٹس (1935) میں لیڈی ٹیسٹنگ چائے کا تجربہ پیش کیا، جو پی-ویلیو کی اصل مثال ہے۔ ایک خاتون کے اس دعوے کا جائزہ لینے کے لیے کہ وہ (میوریل برسٹل) ذائقہ سے فرق کر سکتی ہے کہ چائے کیسے تیار کی جاتی ہے (پہلے کپ میں دودھ ڈالنا، پھر چائے، یا پہلے چائے، پھر دودھ)، اسے ترتیب وار 8 کپ پیش کیے گئے: 4 ایک طرح سے تیار کیے گئے، 4 نے دوسرے کو تیار کیا، اور ہر کپ کی تیاری کا تعین کرنے کو کہا (یہ جانتے ہوئے کہ ہر کپ میں 4 تھے)۔ اس صورت میں، کالعدم مفروضہ یہ تھا کہ اس کے پاس کوئی خاص صلاحیت نہیں تھی، امتحان فشر کا عین مطابق امتحان تھا، اور پی-ویلیو اس لیے تھی کہ فشر کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے کے لیے تیار تھا (نتیجہ کو اتفاق کی وجہ سے ہونے کا انتہائی امکان نہیں سمجھتے) اگر سب کی صحیح درجہ بندی کی گئی تھی۔ (اصل تجربے میں، برسٹل نے تمام 8 کپوں کی درست درجہ بندی کی۔) فشر نے پی = 0.05 کی حد کا اعادہ کیا اور اس کے استدلال کی وضاحت کرتے ہوئے کہا: وہ اس حد کو تجربات کے ڈیزائن پر بھی لاگو کرتا ہے، اس بات کو نوٹ کرتے ہوئے کہ اگر صرف 6 کپ (ہر ایک میں سے 3) پیش کیے جاتے، تو ایک کامل درجہ بندی سے صرف پی-ویلیو حاصل ہوتی جس کی اہمیت اس سطح پر نہیں ہوتی۔ فشر نے پی کی تشریح پر بھی زور دیا، کیونکہ اقدار کا طویل مدتی تناسب کم از کم اعداد و شمار کی طرح انتہائی ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ صفر مفروضہ درست ہے۔ بعد کے ایڈیشنوں میں، فشر نے سائنس میں شماریاتی تخمینہ کے لیے پی-ویلیو کے استعمال کو نیمین-پیئرسن طریقہ کار سے واضح طور پر متصادم کیا، جسے وہ "قبولیت کے طریقہ کار" کہتے ہیں۔ فشر اس بات پر زور دیتے ہیں کہ جب کہ مقررہ سطحیں جیسے 5 ٪، 2 ٪، اور 1 ٪ آسان ہیں، عین مطابق پی-ویلیو استعمال کی جا سکتی ہے، اور ثبوت کی طاقت کو مزید تجربے کے ساتھ نظر ثانی کی جا سکتی ہے اور کیا جائے گا۔ اس کے برعکس، فیصلہ کے طریقہ کار کے لیے ایک واضح فیصلے کی ضرورت ہوتی ہے، جس سے ایک ناقابل واپسی کارروائی ہوتی ہے، اور یہ طریقہ کار غلطی کے اخراجات پر مبنی ہوتا ہے، جو ان کا استدلال ہے کہ سائنسی تحقیق پر لاگو نہیں ہوتا ہے۔ متعلقہ اشاریہ جات ای-ویلیو ایک سے زیادہ ٹیسٹنگ میں متوقع تعداد سے مطابقت رکھتی ہے کہ کوئی ٹیسٹ کے اعدادوشمار کو کم از کم اتنا ہی انتہائی حاصل کرنے کی توقع کرتا ہے جتنا کہ اصل میں مشاہدہ کیا گیا تھا اگر کوئی یہ فرض کرے کہ کالعدم مفروضہ درست ہے۔ ای-ویلیو ٹیسٹ کی تعداد اور پی-ویلیو کا پروڈکٹ ہے۔ ق-ویلیو مثبت غلط دریافت کی شرح کے حوالے سے پی-ویلیو کا ینالاگ ہے۔ غلط مثبت شرح کو کم کرتے ہوئے شماریاتی طاقت کو برقرار رکھنے کے لیے متعدد مفروضوں کی جانچ میں اس کا استعمال کیا جاتا ہے۔ سمت کا امکان (پی ڈی) پی-ویلیو کا بایسیئن عددی مساوی ہے۔ یہ پچھلی تقسیم کے تناسب سے مطابقت رکھتا ہے جو میڈین کی علامت کا ہے، عام طور پر 50 ٪ اور 100% کے درمیان مختلف ہوتا ہے، اور اس یقین کی نمائندگی کرتا ہے جس کے ساتھ اثر مثبت یا منفی ہوتا ہے۔ مزید پڑھیں بیرونی لنکس مختلف مخصوص ٹیسٹوں (چی مربع، فشر کا ایف ٹیسٹ، وغیرہ) کے لیے مفت آن لائن پی-ویلیو کیلکولیٹر۔ پی-ویلیوز کو سمجھنا، بشمول جاوا ایپلیٹ جو اس بات کی وضاحت کرتا ہے کہ پی-ویلیوز کی عددی ویلیوز جانچ کے تحت مفروضے کی سچائی یا جھوٹ کے بارے میں کافی گمراہ کن تاثرات دے سکتی ہیں۔ سائنس ٹوٹی ہوئی نہیں ہے-پی-ویلیوز کو کس طرح ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے اس پر مضمون اور اسے تصور کرنے کے لیے ایک انٹرایکٹو ٹول۔ شماریاتی مفروضے کی جانچ جا: #p値