Wallis product
ریاضی میں، والس پروڈکٹ برائے، جو 1656 میں جان والس نے شائع کیا تھا، کہتا ہے کہ انضمام کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت والس نے انٹرپولیشن کا استعمال کرتے ہوئے یہ لامحدود پروڈکٹ اخذ کیا، حالانکہ اس کے طریقہ کار کو سخت نہیں سمجھا جاتا ہے۔ ایک جدید مشتق کو یکساں اور عجیب اقدار کی جانچ کر کے پایا جا سکتا ہے، اور یہ نوٹ کر کے کہ بڑے کے لیے، 1 سے بڑھنے کے نتیجے میں ایسی تبدیلی ہوتی ہے جو بڑھتے ہوئے ہمیشہ چھوٹی ہوتی جاتی ہے۔ چلو (یہ والس کے انٹیگرلز کی ایک شکل ہے۔) حصوں کے لحاظ سے مربوط کریں: اب، ہم حاصل کرنے کی سہولت کے لیے دو متغیر متبادل بناتے ہیں: ہم بعد میں استعمال کے لیے اور اس کے لیے اقدار حاصل کرتے ہیں۔ اب، ہم حصوں کے انضمام سے بار بار تکرار کے تعلق کے نتیجے کو لاگو کرکے یکساں اقدار کا حساب لگاتے ہیں۔ آخر کار، ہم نیچے اترتے ہیں، جس کا ہم نے حساب لگایا ہے۔ عجیب اقدار کے عمل کو دہراتے ہوئے، ہم مندرجہ ذیل مشاہدہ کرتے ہیں، اس حقیقت کی بنیاد پر کہ تقسیم کرنا:، جہاں مساوات ہمارے تکرار کے رشتے سے آتی ہے۔ سکویز تھیوریم کے مطابق، لیپلیس کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت گوسیئن انٹیگرل پر مرکزی صفحہ دیکھیں۔ سائن فنکشن کے لیے اویلر کے لامحدود پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت اگرچہ اوپر کا ثبوت عام طور پر جدید کیلکولس نصابی کتابوں میں نمایاں ہوتا ہے، لیکن والس پروڈکٹ، ماضی کے تناظر میں، سائن فنکشن کے لیے بعد کے اویلر لامحدود پروڈکٹ کا ایک آسان نتیجہ ہے۔ آئیے: سٹرلنگ کے تخمینے سے تعلق فیکٹوریئل فنکشن کے لیے سٹرلنگ کا تخمینہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ اب والس پروڈکٹ کے محدود تخمینوں پر غور کریں، جو پروڈکٹ میں پہلی اصطلاحات لے کر حاصل کیے گئے ہیں جہاں اس اظہار میں سٹرلنگ کے تخمینے کو تبدیل کرنے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (دونوں کے لیے اور) کوئی بھی (ایک مختصر حساب کے بعد) اندازہ لگا سکتا ہے جو اس میں ضم ہو جاتا ہے۔ صفر پر ریمن زیٹا فنکشن کا مشتق ریمن زیٹا فنکشن اور ڈیرچلیٹ ایٹا فنکشن کی تعریف کی جا سکتی ہے: مؤخر الذکر سیریز میں اویلر ٹرانسفارم کا اطلاق کرتے ہوئے، درج ذیل حاصل کیا جاتا ہے: انگریزی ریاضی دان جان والس کو بھی دیکھیں جنہیں لامحدود کیلکولس اور پائی کی نشوونما کا جزوی سہرا دیا جاتا ہے۔ ویاٹ کا فارمولا، کے لیے ایک مختلف لامحدود پروڈکٹ فارمولا۔ لیبنز فارمولا، ایک لامحدود مجموعہ جس کے لیے ایک لامحدود اویلر پروڈکٹ میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ والیس چھلنی پیپینجر پروڈکٹ فارمولا والیس پروڈکٹ میں اصطلاحات کی جڑیں لے کر ای حاصل کرتا ہے۔ نوٹ بیرونی روابط ثبوت پر مشتمل مضامین پائی الگورتھم لامحدود مصنوعات