Smoothness
ریاضیاتی تجزیے میں، کسی فنکشن کی ہمواریت ایک خاصیت ہے جس کی پیمائش کسی ڈومین پر موجود مسلسل مشتقات کی تعداد سے کی جاتی ہے، جسے تفریق کی کلاس کہا جاتا ہے۔ کم از کم، کسی فنکشن کو ہموار سمجھا جا سکتا ہے اگر وہ ہر جگہ تفریق پذیر ہو (اس لیے مسلسل)۔ دوسرے سرے پر، اس کے پاس اپنے ڈومین کے تمام آرڈرز کے مشتقات بھی ہو سکتے ہیں، اس صورت میں اسے لامحدود تفریق کے قابل کہا جاتا ہے اور اسے سی-انفینٹی فنکشن (یا فنکشن) کہا جاتا ہے۔ تفریق کی کلاسیں تفریق کی کلاس ان کے مشتقات کی خصوصیات کے مطابق افعال کی درجہ بندی ہے۔ یہ مشتق کی اعلی ترین ترتیب کی پیمائش ہے جو موجود ہے اور کسی فنکشن کے لیے مسلسل ہے۔ حقیقی لائن پر ایک کھلے سیٹ اور حقیقی اقدار کے ساتھ بیان کردہ فنکشن پر غور کریں۔ فرض کریں کہ k ایک غیر منفی عدد ہے۔ فنکشن کو تفریق کی کلاس کا کہا جاتا ہے اگر مشتق موجود ہوں اور مسلسل آن ہوں۔ اگر-تفریق قابل آن ہے، تو یہ کم از کم کلاس میں ہے کیونکہ یہ مسلسل آن ہے۔ فنکشن کو لامحدود تفریق پذیر، ہموار، یا کلاس کا کہا جاتا ہے، اگر اس پر تمام آرڈرز کے مشتق ہوں۔ (تو یہ تمام مشتق مسلسل افعال ہیں۔) فنکشن کو کلاس، یا تجزیاتی کہا جاتا ہے، اگر ہموار ہو (یعنی کلاس میں ہو) اور اس کے ڈومین میں کسی بھی نقطہ کے ارد گرد اس کی ٹیلر سیریز کی توسیع نقطہ کے کسی پڑوس میں فنکشن میں ضم ہو جاتی ہے۔ اس طرح سختی سے شامل ہے۔ بمپ فنکشن ان فنکشنز کی مثالیں ہیں لیکن ان میں نہیں۔ مختلف الفاظ میں، کلاس تمام مسلسل افعال پر مشتمل ہے۔ کلاس تمام تفریق پذیر افعال پر مشتمل ہوتی ہے جن کا مشتق مسلسل ہوتا ہے ؛ ایسے افعال کو مسلسل تفریق پذیر کہا جاتا ہے۔ اس طرح، فنکشن بالکل ایک فنکشن ہے جس کا مشتق موجود ہے اور کلاس کا ہے۔ عام طور پر، کلاسوں کو تمام مسلسل افعال کا مجموعہ قرار دے کر، اور کسی بھی مثبت عدد کو تمام تفریق پذیر افعال کا مجموعہ قرار دے کر بار بار بیان کیا جا سکتا ہے جس میں مشتق ہے۔ خاص طور پر، ہر ایک کے لیے موجود ہے، اور یہ ظاہر کرنے کے لیے مثالیں موجود ہیں کہ یہ روک تھام سخت ہے ()۔ لامحدود تفریق پذیر افعال کی کلاس، کلاسوں کا انٹرسیکشن ہے جیسا کہ غیر منفی انٹیجرز پر مختلف ہوتا ہے۔ مثال: مسلسل (C0) لیکن تفریق کے قابل نہیں فنکشن مسلسل ہے، لیکن تفریق کے قابل نہیں ہے، اس لیے یہ کلاس C0 کا ہے، لیکن کلاس C1 کا نہیں ہے۔ مثال: فینیٹلی-ٹائمز ڈفریٚنٹایبل (C) ہر یکساں عدد کے لیے فنکشن مسلسل اور ٹائمز ڈفریٚنٹایبل بالکل ہوتا ہے۔ اے ٹی، تاہم، اوقات میں تفریق کے قابل نہیں ہے، اسی طرح کلاس سی کا ہے، لیکن کلاس سی کا نہیں ہے۔ مثال: تفریق کے قابل لیکن مسلسل تفریق کے قابل نہیں (C1 نہیں) فعل تفریق کے قابل ہے، مشتق کے ساتھ کیونکہ oscillates کے طور پر 0، صفر پر مسلسل نہیں ہے۔ لہذا، تفریق پذیر ہے لیکن کلاس C1 کا نہیں ہے۔ مثال: تفریق کے قابل لیکن لپشٹز مسلسل نہیں فنکشن تفریق کے قابل ہے لیکن اس کا مشتق ایک کمپیکٹ سیٹ پر غیر محدود ہے۔ لہذا، ایک ایسی فنکشن کی مثال ہے جو تفریق پذیر ہے لیکن مقامی طور پر لپشٹز مسلسل نہیں ہے۔ مثال: تجزیاتی (C) ایکسپونینشیل فنکشن تجزیاتی ہے، اور اس لیے کلاس Cω میں آتا ہے۔ مثلثی افعال بھی تجزیاتی ہوتے ہیں جہاں بھی ان کی وضاحت کی جاتی ہے کیونکہ وہ پیچیدہ ایکسپونینشل افعال کے لکیری امتزاج ہوتے ہیں۔ مثال: ہموار (C) لیکن تجزیاتی نہیں (C) بمپ فنکشن ہموار ہے، اس لیے کلاس C φ کا، لیکن یہ تجزیہ پر نہیں ہے، اور اس لیے کلاس Cω کا نہیں ہے۔ فنکشن کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ ہموار فنکشن کی ایک مثال ہے۔ کثیر متغیر تفریق کی کلاسیں ایک مثبت عدد کے کھلے سیٹ پر بیان کردہ فنکشن کو کلاس آن کہا جاتا ہے، ایک مثبت عدد کے لیے، اگر تمام جزوی مشتقات موجود ہیں اور مسلسل ہیں، تو ہر غیر منفی عدد کے لیے، جیسے کہ، اور ہر۔ مساوی طور پر، کلاس کا ہے اگر-th آرڈر فریچیٹ مشتق موجود ہے اور اس کے ہر نقطہ پر مسلسل ہے۔ فنکشن کو کلاس کا کہا جاتا ہے یا اگر یہ مسلسل آن ہے۔ کلاس کے افعال کو بھی مسلسل تفریق کے قابل کہا جاتا ہے۔ ایک فنکشن، جس کی تعریف ایک اوپن سیٹ پر کی گئی ہے، کو کلاس آن کہا جاتا ہے، ایک مثبت عدد کے لیے، اگر اس کے تمام اجزاء کلاس کے ہیں، تو قدرتی تخمینے کہاں ہیں جن کی وضاحت کی گئی ہے۔ اسے کلاس کا کہا جاتا ہے یا اگر یہ مسلسل ہے، یا مساوی طور پر، اگر تمام اجزاء مسلسل ہیں، آن۔ سی کے افعال کی جگہ حقیقی لکیر کا ایک کھلا ذیلی سیٹ ہونے دیں۔ تمام حقیقی قدر والے افعال کا سیٹ جس پر بیان کیا گیا ہے وہ ایک فریشیٹ ویکٹر اسپیس ہے، جس میں سیمی نارمز کا قابل شمار خاندان ہے جہاں کمپیکٹ سیٹوں کی بڑھتی ہوئی ترتیب پر مختلف ہوتا ہے جن کا اتحاد ہے، اور۔ افعال کا مجموعہ بھی ایک فریشیٹ کی جگہ بناتا ہے۔ ایک اوپر کی طرح ہی سیمی نارمز کا استعمال کرتا ہے، سوائے اس کے کہ تمام غیر منفی انٹیجر ویلیوز پر رینج کرنے کی اجازت ہے۔ مذکورہ بالا خالی جگہیں قدرتی طور پر ان ایپلی کیشنز میں واقع ہوتی ہیں جہاں مخصوص ترتیبات کے مشتقات والے افعال ضروری ہوتے ہیں۔ تاہم، خاص طور پر جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں، بعض اوقات سوبولیو خالی جگہوں کے ساتھ کام کرنا زیادہ نتیجہ خیز ہو سکتا ہے۔ تسلسل پیرامیٹرک تسلسل (سی کے) اور ہندسی تسلسل (جی این) کی اصطلاحات برائن بارسکی نے متعارف کروائیں، تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ منحنی خطوط کی ہموار کو رفتار پر پابندیوں کو ہٹا کر ماپا جا سکتا ہے، جس کے ساتھ پیرامیٹر منحنی خطوط کا سراغ لگاتا ہے۔ پیرامیٹرک تسلسل (سی کے) ایک تصور ہے جس کا اطلاق پیرامیٹرک منحنی خطوط پر ہوتا ہے، جو منحنی خطوط کے ساتھ فاصلے کے ساتھ پیرامیٹر کی قدر کی نرمی کو بیان کرتا ہے۔ A (پیرامیٹرک) وکر کو کلاس Ck کا کہا جاتا ہے، اگر موجود ہے اور مسلسل ہے، جہاں اختتامی نکات پر مشتقات اور یک طرفہ مشتقات (دائیں طرف سے اور بائیں طرف سے) لیے جاتے ہیں۔ اس تصور کے عملی اطلاق کے طور پر، وقت کے پیرامیٹر کے ساتھ کسی شے کی حرکت کو بیان کرنے والے منحنی خطوط میں C1 تسلسل ہونا ضروری ہے اور اس کا پہلا مشتق تفریق پذیر ہے-تاکہ شے کو محدود ایکسلریشن حاصل ہو۔ ہموار حرکت کے لیے، جیسے کہ فلم بناتے وقت کیمرے کا راستہ، پیرامیٹرک تسلسل کے اعلی آرڈرز کی ضرورت ہوتی ہے۔ پیرامیٹرک تسلسل کی ترتیب پیرامیٹرک تسلسل کی مختلف ترتیب کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے:: صفر مشتق مسلسل ہے (منحنی خطوط مسلسل ہیں): صفر اور پہلے مشتق مسلسل ہیں: صفر، پہلے اور دوسرے مشتق مسلسل ہیں: 0-th سے-th مشتق مسلسل ہندسی تسلسل ہیں ہندسی تسلسل یا ہندسی تسلسل (Gn) کا تصور بنیادی طور پر لیبنز، کیپلر اور پونسلیٹ جیسے ریاضی دانوں کے ذریعہ مخروطی حصوں (اور متعلقہ شکلوں) پر لاگو کیا گیا تھا۔ یہ تصور الجبرہ کے بجائے جیومیٹری کے ذریعے، تسلسل کے تصور کو بیان کرنے کی ایک ابتدائی کوشش تھی جیسا کہ پیرامیٹرک فنکشن کے ذریعے ظاہر کیا گیا تھا۔ ہندسی تسلسل کے پیچھے بنیادی خیال یہ تھا کہ پانچ مخروطی حصے واقعی ایک ہی شکل کے پانچ مختلف ورژن تھے۔ ایک الپس ایک دائرے کی طرف مائل ہوتا ہے جیسے ہی سنکیتا صفر کے قریب پہنچتی ہے، یا جیسے ہی یہ کسی کے قریب پہنچتا ہے ایک پیرابولہ کی طرف ؛ اور ایک ہائپربولا ایک پیرابولہ کی طرف مائل ہوتا ہے جیسے ہی سنکیتا ایک کی طرف گرتی ہے ؛ یہ ایک دوسرے کو عبور کرنے والی لکیروں کی طرف بھی مائل ہو سکتا ہے۔ اس طرح مخروطی حصوں کے درمیان تسلسل تھا۔ یہ خیالات تسلسل کے دوسرے تصورات کی طرف لے گئے۔ مثال کے طور پر، اگر ایک دائرہ اور ایک سیدھی لکیر ایک ہی شکل کے دو تاثرات ہوں، تو شاید ایک لکیر کو لامحدود رداس کے دائرے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایسا ہونے کے لیے، نقطہ کو دائرے پر ایک نقطہ ہونے کی اجازت دے کر لائن کو بند کرنا ہوگا، اور اس کے لیے اور یکساں ہونا چاہیے۔ اس طرح کے خیالات جدید، الجبرائی طور پر بیان کردہ، فنکشن کے تسلسل کے خیال کو تیار کرنے میں مفید تھے اور (مزید کے لیے پروجیکٹو طور پر توسیعی حقیقی لکیر دیکھیں)۔ ہندسی تسلسل کی ترتیب ایک منحنی خطوط یا سطح کو تسلسل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جس میں نرمی کی بڑھتی ہوئی پیمائش ہوتی ہے۔ منحنی خطوط پر کسی نقطہ کے دونوں طرف کے حصوں پر غور کریں:: منحنی خطوط جوڑ پوائنٹ پر چھوتے ہیں۔ : منحنی خطوط بھی جوائن پوائنٹ پر ایک مشترکہ ٹینجینٹ سمت کا اشتراک کرتے ہیں۔ : منحنی خطوط بھی جوڑ کے مقام پر منحنی خطوط کا ایک مشترکہ مرکز رکھتے ہیں۔ عام طور پر، تسلسل موجود ہوتا ہے اگر منحنی خطوط کو (پیرامیٹرک) تسلسل کے لیے دوبارہ ترتیب دیا جا سکے۔ منحنی خطوط کی دوبارہ پیمائش ہندسی طور پر اصل سے ملتی جلتی ہے ؛ صرف پیرامیٹر متاثر ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، دو ویکٹر افعال اور تسلسل رکھتے ہیں اگر اور، ایک اسکیلر کے لیے (یعنی، اگر سمت، لیکن ضروری نہیں کہ شدت، دونوں ویکٹروں کی برابر ہو)۔ اگرچہ یہ واضح ہو سکتا ہے کہ کسی منحنی خطوط کو ہموار نظر آنے کے لیے تسلسل کی ضرورت ہوگی، اچھی جمالیات کے لیے، جیسے کہ فن تعمیر اور اسپورٹس کار کے ڈیزائن میں خواہش مند افراد کے لیے، ہندسی تسلسل کی اعلی سطحوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، کار کے جسم میں عکاسی ہموار نظر نہیں آئے گی جب تک کہ جسم میں تسلسل نہ ہو۔ A (چاروں کونوں پر نوے ڈگری کے سرکلر آرکس کے ساتھ) کا تسلسل ہے، لیکن اس کا تسلسل نہیں ہے۔ ایک دائرے کے کونوں پر آکٹینٹ اور اس کے کناروں کے ساتھ چوتھائی سلنڈر کے ساتھ، a کے لیے بھی یہی بات درست ہے۔ اگر تسلسل کے ساتھ ایک قابل ترمیم منحنی خطوط کی ضرورت ہو تو کیوبک اسپلینز کو عام طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ یہ منحنی خطوط اکثر صنعتی ڈیزائن میں استعمال ہوتے ہیں۔ دیگر تصورات تجزیہ سے تعلق جبکہ تمام تجزیاتی افعال "ہموار" ہوتے ہیں (یعنی۔ تمام مشتقات مسلسل ہوتے ہیں) اس سیٹ پر جس پر وہ تجزیاتی ہوتے ہیں، مثالوں جیسے کہ ٹکرانے والے افعال (اوپر بیان کردہ) سے پتہ چلتا ہے کہ حقیقی افعال کے لیے الٹا درست نہیں ہے: ہموار حقیقی افعال موجود ہیں جو تجزیاتی نہیں ہیں۔ افعال کی سادہ مثالیں جو ہموار ہیں لیکن کسی بھی مقام پر تجزیاتی نہیں ہیں، فورئیر سیریز کے ذریعے بنائی جا سکتی ہیں ؛ ایک اور مثال فابیوس فنکشن ہے۔ اگرچہ ایسا لگتا ہے کہ اس طرح کے افعال اصول کے بجائے مستثنی ہیں، لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ تجزیاتی افعال ہموار افعال کے درمیان بہت کم بکھرے ہوئے ہیں۔ زیادہ سختی سے، تجزیاتی افعال ہموار افعال کا ایک معمولی ذیلی مجموعہ بناتے ہیں۔ مزید برآں، حقیقی لائن کے ہر کھلے ذیلی سیٹ A کے لیے، ہموار افعال موجود ہیں جو A پر تجزیاتی ہیں اور کہیں اور نہیں۔ صورتحال کا موازنہ حقیقی لکیر پر ماورائی اعداد کی ہر جگہ ہونے والی صورتحال سے کرنا مفید ہے۔ حقیقی لائن اور ہموار افعال کے سیٹ دونوں پر، جن مثالوں کے ساتھ ہم پہلی سوچ میں آتے ہیں (الجبرائی/عقلی اعداد اور تجزیاتی افعال) زیادہ تر معاملات کے مقابلے میں کہیں بہتر برتاؤ کرتے ہیں: ماورائی اعداد اور کہیں بھی تجزیاتی افعال کی مکمل پیمائش نہیں ہوتی ہے (ان کی تکمیل بہت کم ہوتی ہے)۔ اس طرح بیان کردہ صورتحال پیچیدہ تفریق پذیر افعال کے بالکل برعکس ہے۔ اگر ایک پیچیدہ فنکشن ایک کھلے سیٹ پر صرف ایک بار تفریق پذیر ہے، تو یہ اس سیٹ پر لامحدود تفریق پذیر اور تجزیاتی دونوں ہے۔ اتحاد کی ہموار تقسیم بند حمایت کے ساتھ ہموار افعال اتحاد کی ہموار تقسیم کی تعمیر میں استعمال ہوتے ہیں (اتحاد کی تقسیم اور ٹوپولوجی لغت دیکھیں) ؛ یہ ہموار کئی گنا کے مطالعہ میں ضروری ہیں، مثال کے طور پر یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ ریمینیائی میٹرکس کی تعریف عالمی سطح پر ان کے مقامی وجود سے شروع کی جا سکتی ہے۔ ایک سادہ سی صورت حقیقی لکیر پر ٹکرانے والے فنکشن کی ہوتی ہے، یعنی ایک ہموار فنکشن f جو 0 کی قدر کو وقفہ [a، b] سے باہر لے جاتا ہے اور اس طرح کہ لائن پر متعدد اوور لیپنگ وقفوں کو دیکھتے ہوئے، ٹکرانے والے افعال کو ان میں سے ہر ایک پر، اور نیم لامحدود وقفوں پر اور پوری لائن کا احاطہ کرنے کے لیے بنایا جا سکتا ہے، جیسے کہ افعال کا مجموعہ ہمیشہ 1 ہو۔ جو ابھی کہا گیا ہے اس سے، اتحاد کی تقسیم ہولومورفک افعال پر لاگو نہیں ہوتی ہے۔ وجود اور تجزیاتی تسلسل سے متعلق ان کا مختلف طرز عمل شیف تھیوری کی جڑوں میں سے ایک ہے۔ اس کے برعکس، ہموار افعال کی چھتیں زیادہ ٹپوولوجیکل معلومات نہیں رکھتی ہیں۔ کئی گنا پر اور اس کے درمیان ہموار افعال طول و عرض اور اٹلس کے ہموار کئی گنا کو دیکھتے ہوئے ایک نقشہ ہموار ہوتا ہے اگر سب کے لیے کوئی چارٹ موجود ہو اور اس کے پڑوس سے ایک ہموار فنکشن ہو (تمام جزوی مشتقات ایک دی گئی ترتیب تک مسلسل ہیں)۔ اٹلس کے کسی بھی چارٹ کے حوالے سے ہموار ہونے کی جانچ کی جا سکتی ہے جس میں شامل ہے کیونکہ چارٹ کے درمیان منتقلی کے افعال پر ہموار ہونے کی ضروریات اس بات کو یقینی بناتی ہیں کہ اگر ایک چارٹ کے قریب ہموار ہے تو یہ کسی دوسرے چارٹ کے قریب ہموار ہوگا۔ اگر نقشہ ایک جہتی کئی گنا تک ہے، تو پھر ہموار ہے اگر ہر ایک کے لیے ایک چارٹ موجود ہو اور اس پر مشتمل ایک چارٹ ہو اور کئی گنا کے درمیان ہموار نقشوں سے ایک ہموار فنکشن ٹینجینٹ خالی جگہوں کے درمیان لکیری نقشوں کو متاثر کرتا ہے: کیونکہ، ہر نقطہ پر پش فارورڈ (یا تفریق) ٹینجینٹ ویکٹروں کو ٹینجینٹ ویکٹروں پر نقشہ بناتا ہے: اور ٹینجینٹ بنڈل کی سطح پر، پش فارورڈ ایک ویکٹر بنڈل ہومومورفزم ہے: ڈوئل سے پش فارورڈ پل بیک ہے، جو کوویکٹرز کو پیچھے سے کوویکٹرز پر "کھینچتا" ہے اور-شکلوں سے شکلوں میں: اس طرح کئی گنا کے درمیان ہموار افعال مقامی ڈیٹا کو منتقل کر سکتے ہیں، جیسے ویکٹر فیلڈز اور تفریق شکلیں، ایک سے دوسرے میں، یا نیچے۔ ہموار افعال کے ساتھ پری امیجز اور پش فارورڈز، عام طور پر، اضافی مفروضوں کے بغیر کئی گنا نہیں ہوتے ہیں۔ باقاعدہ پوائنٹس کی پری امیجز (یعنی، اگر تفریق پری امیج پر ختم نہیں ہوتی ہے) کئی گنا ہیں ؛ یہ پری امیج تھیوریم ہے۔ اسی طرح، سرایت کے ساتھ پش فارورڈز کئی گنا ہوتے ہیں۔ کئی گنا کے ذیلی سیٹوں کے درمیان ہموار افعال کئی گنا کے صوابدیدی ذیلی سیٹوں کے لیے ہموار نقشے کا ایک متعلقہ تصور ہے۔ اگر ایک فنکشن ہے جس کا ڈومین اور رینج بالترتیب کئی گنا کے ذیلی سیٹ ہیں۔ اسے ہموار کہا جاتا ہے اگر سب کے لیے ایک کھلا سیٹ اور ایک ہموار فنکشن ہو تاکہ سب کے لیے دیکھیں (نمبر تھیوری) سوبولیو میپنگ حوالہ جات ہموار افعال