Angle of parallelism
ہائپربولک جیومیٹری میں، متوازی کا زاویہ دائیں ہائپربولک مثلث کے غیر دائیں زاویہ کے سرے پر وہ زاویہ ہے جس کے دو غیر علامتی متوازی اطراف ہوتے ہیں۔ زاویہ کا انحصار متوازی زاویہ کے دائیں زاویہ اور سرے کے درمیان کے حصے کی لمبائی a پر ہوتا ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ کوئی نقطہ لکیر پر نہیں ہے، نقطہ سے لکیر پر عمودی چھوڑیں۔ فرض کریں کہ a اس عمودی حصے کی لمبائی ہے، اور سب سے کم زاویہ ایسا ہو کہ نقطہ سے کھینچی گئی لکیر دی گئی لکیر کو نہیں کاٹتی ہے۔ چونکہ دونوں اطراف غیر علامتی طور پر متوازی ہیں، اس لیے پانچ مساوی تاثرات ہیں جو متعلق ہیں اور a: جہاں sinh، cosh، tanh، sech اور csch ہائپربولک افعال ہیں اور gd گڈرمینین فنکشن ہے۔ تعمیر جانوس بولائی نے ایک ایسی تعمیر دریافت کی جو r پر نہیں بلکہ ایک نقطہ A سے گزرنے والی لکیر r کو غیر علامتی متوازی s دیتی ہے۔ r پر A سے B پر عمودی ڈراپ کریں۔ B سے مختلف r پر کسی بھی نقطہ C کا انتخاب کریں۔ سی پر ایک پرپینڈکولر ٹی کو آر پر سیدھا کریں۔ ٹی پر اے سے ڈی پر پرپینڈکولر ڈراپ کریں۔ پھر ڈی اے کی لمبائی سی بی سے لمبی ہے، لیکن سی اے سے چھوٹی ہے۔ سی کے ارد گرد ایک دائرہ کھینچیں جس کا رداس ڈی اے کے برابر ہو۔ یہ حصے AB کو ایک نقطہ E پر کاٹ دے گا۔ پھر زاویہ BEC لمبائی BC سے آزاد ہے، جو صرف AB پر منحصر ہے۔ یہ متوازی کا زاویہ ہے۔ اے بی سے زاویہ بی ای سی پر اے کے ذریعے ایس بنائیں۔ یہاں استعمال شدہ فارمولوں کے لیے دائیں مثلث کی مثلثیات دیکھیں۔ متوازی کا زاویہ 1840 میں نیکولائی لوباچوسکی کی جرمن اشاعت "جیومیٹریش انٹرسچنجین زر تھیوری ڈیر پیراللینین" میں تیار کیا گیا تھا۔ ٹیکساس کے پروفیسر جی بی ہالسٹڈ کے 1891 میں ترجمہ تیار کرنے کے بعد یہ اشاعت انگریزی میں بڑے پیمانے پر مشہور ہوئی۔ (متوازی نظریہ پر جیومیٹریکل تحقیق) ہائپربولک جیومیٹری میں درج ذیل حصے اس اہم تصور کی وضاحت کرتے ہیں: متوازی ایچ اے اور عمودی AD کے درمیان زاویہ ایچ اے ڈی کو متوازی زاویہ (متوازی کا زاویہ) کہا جاتا ہے جسے ہم یہاں AD = p کے لیے Π (p) کے ذریعے نامزد کریں گے۔ مظاہر ہائپربولک طیارہ کے پوائنکیئر نصف طیارہ ماڈل میں (ہائپربولک حرکتیں دیکھیں)، کوئی بھی یوکلڈین جیومیٹری کے ساتھ φ کا تعلق قائم کر سکتا ہے۔ فرض کریں کہ ق x محور پر قطر کے ساتھ سیمی سرکل ہے جو پوائنٹس (1,0) اور (0, y) سے گزرتا ہے، جہاں y> 1 ہے۔ چونکہ ق اصل پر مرکوز یونٹ سیمی سرکل کے لیے ٹینجینٹ ہے، اس لیے دونوں سیمی سرکلز متوازی ہائپربولک لائنوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ Y-محور دونوں سیمی سرکلز کو عبور کرتا ہے، جس سے یونٹ سیمی سرکل کے ساتھ ایک صحیح زاویہ اور Q کے ساتھ ایک متغیر زاویہ φ بنتا ہے۔ (0، y) کے رداس کے ذریعے کم کیا گیا ق کے مرکز کا زاویہ بھی φ ہے کیونکہ دونوں زاویوں کے اطراف عمودی ہوتے ہیں، بائیں طرف سے بائیں طرف، اور دائیں طرف سے دائیں طرف۔ سیمی سرکل Q کا مرکز (x, 0)، x <0 پر ہے، اس لیے اس کا رداس 1 − x ہے۔ اس طرح، ق کا رداس مربع اس لیے ہے ہائپربولک جیومیٹری کے پوئن کیئر ہاف پلین ماڈل کا میٹرک لوگرتھمک پیمائش کے ساتھ شعاع {(0, y): y> 0} پر فاصلے کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ فرض کریں کہ لاگ y = a، تو y = ea جہاں e قدرتی لوگارتھم کی بنیاد ہے۔ پھر φ اور a کے درمیان تعلق کو مثلث {(x, 0)، (0,0)، (0, y)} سے اخذ کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر: حوالہ جات مارون جے گرینبرگ (1974) یوکلڈین اور غیر یوکلڈین جیومیٹریز، پی پی۔ 211-3، W. H. فری مین اینڈ کمپنی۔ رابن ہارٹشورن (1997) کمپینین ٹو یوکلڈ پی پی۔ 319، 325، امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، جیریمی گرے (1989) آئیڈیاز آف اسپیس: یوکلڈین، نان یوکلڈین، اینڈ ریلیٹیوسٹک، دوسرا ایڈیشن، کلیرینڈن پریس، آکسفورڈ (صفحات 113 سے 118 دیکھیں)۔ بیلا کیرکجارتو (1966) لیس فاؤنڈیشنز ڈی لا گیومیٹری، ٹوم ڈیوکس، § 97.6 اینگل ڈی پیرالیلزم ڈی لا گیومیٹری ہائپربولک، پی پی۔ 411, 2، اکیڈمی کیاڈو، بڈاپسٹ۔ ہائپربولک جیومیٹری افعال اور نقشہ سازی زاویہ