Schwarzian derivative
ریاضی میں، شوارزی مشتق مشتق کی طرح ایک آپریٹر ہے جو موبیئس تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہے۔ اس طرح، یہ پیچیدہ پروجیکٹو لائن کے نظریہ میں، اور خاص طور پر، ماڈیولر شکلوں اور ہائپر جیومیٹرک افعال کے نظریہ میں ہوتا ہے۔ یہ غیر مساوی افعال، کنفارمل میپنگ اور ٹیچ مولر خالی جگہوں کے نظریہ میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔ اس کا نام جرمن ریاضی دان ہرمن شوارز کے نام پر رکھا گیا ہے۔ تعریف ایک پیچیدہ متغیر کے ہولومورفک فنکشن کے شوارزیئن مشتق کی تعریف اسی فارمولے سے کی جاتی ہے جو ایک حقیقی متغیر کے فنکشن کے شوارزیئن مشتق کی بھی وضاحت کرتا ہے۔ متبادل اشارے اکثر استعمال ہوتے ہیں۔ خصوصیات کسی بھی موبیئس تبدیلی کا شوارزی مشتق صفر ہے۔ اس کے برعکس، موبیئس تبدیلیاں اس خاصیت کے ساتھ واحد افعال ہیں۔ اس طرح، شوارزی مشتق قطعی طور پر اس حد کی پیمائش کرتا ہے جس تک کوئی فنکشن موبیئس تبدیلی ہونے میں ناکام رہتا ہے۔ اگر موبیئس کی تبدیلی ہے، تو ترکیب میں وہی شوارزیئن مشتق ہے جیسا کہ ؛ اور دوسری طرف، کا شوارزیئن مشتق سلسلہ اصول کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی کافی حد تک تفریق پذیر افعال کے لیے اور کب اور کب ہموار حقیقی قدر والے افعال ہیں، اس کا مطلب یہ ہے کہ منفی (یا مثبت) شوارزیئن کے ساتھ کسی فنکشن کے تمام تکرار منفی (ریسپ) رہیں گے۔ مثبت)، یک جہتی حرکیات کے مطالعہ میں استعمال کی حقیقت۔ دو پیچیدہ متغیرات کی تقریب کو متعارف کراتے ہوئے اس کا دوسرا مخلوط جزوی مشتق اس کے ذریعے دیا جاتا ہے اور شوارزی مشتق اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے: شوارزی مشتق کا ایک سادہ الٹا فارمولا ہوتا ہے، جو منحصر اور آزاد متغیرات کا تبادلہ کرتا ہے۔ کسی کے پاس یا زیادہ واضح طور پر، ہے۔ یہ اوپر کے سلسلہ کے اصول کی پیروی کرتا ہے۔ ہندسی تشریح ولیم تھرسٹن شوارزی مشتق کی تشریح اس پیمائش کے طور پر کرتے ہیں کہ ایک مطابقت پذیر نقشہ موبیئس تبدیلی سے کتنا ہٹ جاتا ہے۔ اس کے بعد ایک منفرد موبیئس تبدیلی موجود ہے جس میں وہی 0، 1، 2-th آرڈر مشتقات ہیں۔ اب اس کے لیے واضح طور پر حل کرنے کے لیے اس معاملے کو حل کرنے کے لیے کافی ہے۔ ترجمہ، گردش، اور پیچیدہ سطح کی پیمائش کے بعد، صفر کے پڑوس میں۔ تیسری ترتیب تک یہ فنکشن دائرے کے دائرے کو پیرامیٹرک منحنی خطوط پر نقشہ بناتا ہے جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے کہ یہ منحنی خطوط، چوتھے ترتیب تک، سیمیکسس کے ساتھ ایک ایلیپس ہے اور چونکہ موبیئس تبدیلیاں ہمیشہ حلقوں کو حلقوں یا لکیروں میں نقشہ بناتی ہیں، اس لیے سنکیتا موبیئس تبدیلی سے انحراف کی پیمائش کرتی ہے۔ تفریقی مساوات لکیری دوسرے درجے کی عام تفریقی مساوات پر غور کریں جہاں ایک حقیقی پیرامیٹر کا حقیقی قدر والا فنکشن ہے۔ آئیے حل کی دو جہتی جگہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ کیونکہ، تشخیص کو فعال ہونے دیں۔ نقشہ ڈومین کے ہر نقطہ کے لیے ایک جہتی لکیری ذیلی جگہ دیتا ہے۔ یعنی، دانا حقیقی لکیر سے حقیقی پروجیکٹو لائن تک نقشہ سازی کی وضاحت کرتا ہے۔ اس نقشہ سازی کا شوارزیان اچھی طرح سے متعین ہے، اور حقیقت میں اس کے برابر ہے۔ شوارزیائی کی اس تشریح کی وجہ سے، اگر ایک مشترکہ کھلے وقفے کے دو ڈفیومورفزم ایک ہی شوارزیائی ہوتے ہیں، تو وہ (مقامی طور پر) عام لکیری گروپ کے ایک عنصر سے متعلق ہوتے ہیں جو ایک ہی تفریقی مساوات کے حل کے دو جہتی ویکٹر اسپیس پر کام کرتے ہیں، یعنی، کی ایک فریکشنل لکیری تبدیلی۔ متبادل طور پر، پیچیدہ سطح میں دوسرے درجے کی لکیری عام تفریق مساوات پر غور کریں اور دو لکیری طور پر آزاد ہولومورفک حل ہوں۔ پھر تناسب اس ڈومین پر مطمئن ہوتا ہے جس پر اس کی وضاحت کی گئی ہے، اور اس کے برعکس بھی سچ ہے: اگر ایسا a موجود ہے، اور یہ محض منسلک ڈومین پر ہولومورفک ہے، تو دو حل اور مل سکتے ہیں، اور اس کے علاوہ، یہ ایک مشترکہ پیمانے کے عنصر تک منفرد ہیں۔ جب ایک لکیری دوسرے درجے کی عام تفریق مساوات کو مندرجہ بالا شکل میں لایا جا سکتا ہے، تو اس کے نتیجے کو بعض اوقات مساوات کی ق-ویلیو کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ گاؤسی ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کو مندرجہ بالا شکل میں لایا جا سکتا ہے، اور اس طرح ہائپر جیومیٹرک مساوات کے حل کے جوڑے اس طرح سے متعلق ہیں۔ یکسانیت کے لیے شرائط اگر یونٹ ڈسک پر ہولومورفک فنکشن ہے، تو ڈبلیو کراس (1932) اور نہاری (1949) نے ثابت کیا کہ یکسانیت کے لیے ایک ضروری شرط ہے اس کے برعکس اگر مطمئن کرنے پر ہولومورفک فنکشن ہے تو نہاری نے ثابت کیا کہ یکسانیت ہے۔ خاص طور پر یکسانیت کے لیے کافی شرط سرکلر آرک پولیگنز کی رسمی نقشہ سازی ہے۔ شوارزیئن مشتق اور اس سے وابستہ دوسرے درجے کی عام تفریق مساوات کو اوپری نصف سطح یا یونٹ دائرے اور پیچیدہ سطح میں کسی بھی پابند کثیر الاضحی کے درمیان ریمن نقشہ سازی کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس کے کنارے سرکلر آرکس یا سیدھی لکیریں ہیں۔ سیدھے کناروں والے کثیر الاضلاعات کے لیے، یہ شوارز-کرسٹوفیل نقشہ سازی تک کم ہو جاتا ہے، جسے شوارزیئن مشتق کا استعمال کیے بغیر براہ راست اخذ کیا جا سکتا ہے۔ انضمام کے مستقلات کے طور پر پیدا ہونے والے آلات کے پیرامیٹرز کا تعلق دوسرے درجے کی تفریقی مساوات کی آئجین ویلیوز سے ہے۔ پہلے ہی 1890 میں فیلکس کلین نے لام تفریقی مساوات کے لحاظ سے چوطرفہ معاملات کا مطالعہ کیا تھا۔ ایک سرکلر آرک پولیگن ہونے دیں جس کے زاویے گھڑی کی سمت میں ہوں۔ ایک ہولومورفک نقشہ ہونے دیں جو حدود کے درمیان نقشے تک مسلسل پھیلا ہوا ہے۔ عمودی حصوں کو حقیقی محور پر موجود نکات کے مطابق ہونے دیں۔ پھر حقیقی کے لیے حقیقی قدر کی جاتی ہے نہ کہ ایک پوائنٹ کے لیے۔ شوارز کے ذریعے عکاسی کا اصول پیچیدہ سطح پر ایک عقلی فعل تک پھیلا ہوا ہے جس میں ایک ڈبل پول ہے: حقیقی اعداد کو آلات پیرامیٹرز کہا جاتا ہے۔ وہ تین لکیری رکاوٹوں کے تابع ہیں: جو کوفیشنٹس کے غائب ہونے اور آس پاس کی توسیع سے مطابقت رکھتے ہیں۔ نقشہ سازی کو پھر اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ لکیری سیکنڈ آرڈر عام تفریق مساوات کے لکیری طور پر آزاد ہولومورفک حل کہاں اور کہاں ہیں۔ لکیری طور پر آزاد آلات کے پیرامیٹرز ہیں، جن کا عملی طور پر تعین کرنا مشکل ہو سکتا ہے۔ مثلث کے لیے، جب، کوئی معاون پیرامیٹرز نہیں ہوتے ہیں۔ عام تفریق مساوات ہائپر جیومیٹرک تفریق مساوات کے مساوی ہے اور یہ شوارز مثلث فنکشن ہے، جسے ہائپر جیومیٹرک افعال کے لحاظ سے لکھا جا سکتا ہے۔ چوطرفہ کے لیے آلات کے پیرامیٹرز کا انحصار ایک آزاد متغیر پر ہوتا ہے۔ کے مناسب انتخاب کے لیے لکھتے ہوئے، عام تفریق مساوات شکل اختیار کرتی ہے۔ اس طرح وقفے پر اسٹرم-لیوویل مساوات کے آئجن فنکشن ہیں۔ اسٹرم علیحدگی تھیوریم کے مطابق، قوتوں کا غیر معدوم ہونا سب سے کم آئجن ویلیو ہے۔ ٹیچملر اسپیس پر پیچیدہ ڈھانچہ یونیورسل ٹیچملر اسپیس کی تعریف یونٹ ڈسک کے حقیقی تجزیاتی قوسیکونفارمل میپنگز کی جگہ کے طور پر کی گئی ہے، یا اس کے مساوی طور پر اوپری نصف طیارہ، جس میں دو میپنگز کو مساوی سمجھا جاتا ہے اگر باؤنڈری پر ایک کو موبیئس ٹرانسفارمیشن کے ساتھ ساخت کے ذریعے دوسرے سے حاصل کیا جائے۔ ریمن دائرے کے نچلے نصف کرہ کے ساتھ شناخت کرتے ہوئے، نچلے نصف کرہ کا کوئی بھی نیم رسمی خود نقشہ قدرتی طور پر اپنے اوپر اوپری نصف کرہ کی مطابقت پذیر نقشہ سازی سے مطابقت رکھتا ہے۔ در حقیقت اس کا تعین بیلٹرامی تفریق مساوات کے حل کے اوپری نصف کرہ پر پابندی کے طور پر کیا جاتا ہے جہاں μ باؤنڈ پیمائش فنکشن ہے جس کی تعریف نچلے نصف کرہ پر کی جاتی ہے، جو اوپری نصف کرہ پر 0 تک بڑھا ہوا ہے۔ اوپری نصف کرہ کی شناخت کرتے ہوئے، لپ مین بیرس نے ایک نقشہ سازی کی وضاحت کرنے کے لیے شوارزیئن مشتق کا استعمال کیا جو یونیورسل ٹیک مولر اسپیس کو یکساں معیار کے ساتھ پابند ہولومورفک افعال کی جگہ کے کھلے ذیلی سیٹ میں سرایت کرتا ہے۔ فریڈرک گیرنگ نے 1977 میں دکھایا کہ یہ غیر مساوی افعال کے شوارزی مشتقات کے بند ذیلی سیٹ کا اندرونی حصہ ہے۔ 1 سے زیادہ جینس کی کمپیکٹ ریمن سطح کے لیے، اس کی عالمگیر کورنگ اسپیس یونٹ ڈسک ہے جس پر اس کا بنیادی گروپ موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے کام کرتا ہے۔ ٹیچ مولر اسپیس کی شناخت یونیورسل ٹیچ مولر اسپیس انویرینٹ کی ذیلی جگہ سے کی جا سکتی ہے۔ ہولومورفک افعال میں وہ خاصیت ہوتی ہے جو نیچے غیر متغیر ہوتی ہے، لہذا اس پر کواڈریٹک تفریق کا تعین کریں۔ اس طرح، ٹیچ مولر کی جگہ کو چوتھائی تفریق کے محدود جہتی پیچیدہ ویکٹر کی جگہ کے ایک کھلی ذیلی جگہ کے طور پر محسوس کیا جاتا ہے۔ کراسڈ ہومومورفزم دائرے کا ڈفیومورفزم گروپ تبدیلی کی خاصیت شوارزیئن مشتق کو دائرے پر ڈگری 2 کی کثافت کے ماڈیول میں کوفشنٹس کے ساتھ دائرے کے ڈفیومورفزم گروپ کے مسلسل 1-سائیکل یا کراسڈ ہومومورفزم کے طور پر تشریح کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ ڈگری کے ٹینسر ڈینسٹیز کی جگہ ہونے دیں۔ واقفیت کو محفوظ رکھنے والے ڈفیومورفزم کا گروپ پش فارورڈز کے ذریعے کام کرتا ہے۔ اگر اس کا ایک عنصر ہے تو نقشہ سازی پر غور کریں گروپ کوہمولوجی کی زبان میں اوپر کا سلسلہ نما قاعدہ کہتا ہے کہ یہ نقشہ سازی ایک 1-سائیکل ہے جس میں کوفیشنٹس ہیں۔ در حقیقت اور کوہمولوجی پیدا کرنے والا 1-سائیکل ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر ایک گروپ اور ایک-ماڈیول ہے، تو انٹو کے کراسڈ ہومومورفزم کی وضاحت کرنے والی شناخت کا اظہار گروپوں کے معیاری ہومومورفزم کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے: یہ سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے ہومومورفزم میں اس طرح سے انکوڈ کیا جاتا ہے کہ پروجیکشن کے ساتھ شناخت کا نقشہ ہو ؛ خط و کتابت نقشے کے ذریعے ہوتا ہے۔ کراس شدہ ہومومورفزم ایک ویکٹر اسپیس بناتے ہیں اور اس میں سب اسپیس کے طور پر کوباؤنڈری کراس شدہ ہومومورفزم ہوتے ہیں۔ ایک سادہ اوسط دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ، اگر ایک کمپیکٹ گروپ اور ایک ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس ہے جس پر K مسلسل کام کرتا ہے، تو اعلی کوہمولوجی گروپ غائب ہو جاتے ہیں۔ خاص طور پر 1-سائیکلز χ کے لیے اوسط سے زیادہ کے ساتھ، ہار پیمائش کے بائیں غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے اس کے ساتھ دیتا ہے۔ اس طرح اوسط سے یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ یہ اندر کے لیے معمول کی حالت کو پورا کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر کوئی عنصر مطمئن ہے۔ لیکن پھر، چونکہ ایک ہومومورفزم ہے، تاکہ مساوات کی حالت کو مطمئن کرے۔ اس طرح یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ کوکیکل ان معمول کے حالات کو پورا کرتا ہے۔ شوارزی مشتق درحقیقت تب غائب ہو جاتا ہے جب بھی موبیئس کی تبدیلی اس کے مطابق ہوتی ہے۔ ذیل میں زیر بحث دیگر دو 1-سائیکل صرف غائب ہو جاتے ہیں۔ اس نتیجے کا ایک لامحدود ورژن ہے جو ہموار ویکٹر فیلڈز کے لائ الجبرا کے لیے 1-سائیکل دیتا ہے، اور اسی وجہ سے وٹ الجبرا کے لیے، مثلثی کثیر الجہتی ویکٹر فیلڈز کا ذیلی الجبرا۔ درحقیقت، جب کوئی لائ گروپ ہوتا ہے اور آن کا عمل ہموار ہوتا ہے، تو کراسڈ ہومومورفزم کا ایک لائ الجبرائی ورژن ہوتا ہے جو لائ الجبرا (شناخت پر ہومومورفزم کے مشتقات) کے متعلقہ ہومومورفزم کو لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ بھی سمجھ میں آتا ہے اور 1-سائیکل کی طرف لے جاتا ہے جو شناخت کو مطمئن کرتا ہے۔ لائ الجبرا کے معاملے میں، کوباؤنڈری نقشوں میں ان کی شکل ہوتی ہے۔ دونوں صورتوں میں 1-الکحل کی تعریف کراسڈ ہومومورفزم ماڈیولو کوباؤنڈرز کی جگہ کے طور پر کی گئی ہے۔ گروپ ہومومورفزم اور لائ الجبرا ہومومورفزم کے درمیان قدرتی خط و کتابت "وین ایسٹ انکلوژن میپ" کی طرف لے جاتا ہے۔ اس طرح حساب کو لائ الجبرا کوہمولوجی تک کم کیا جا سکتا ہے۔ تسلسل سے یہ وٹ الجبرا کے کراسڈ ہومومورفزم کی گنتی میں کم ہو جاتا ہے۔ گروپ کراس ہومومورفزم پر نارملائزیشن کے حالات مندرجہ ذیل اضافی شرائط کا اشارہ کرتے ہیں: کے لیے۔ کے کنونشنوں کے بعد، وٹ الجبرا کی بنیاد اس طرح دی گئی ہے۔ کی پیچیدگی کے لیے ایک بنیاد اس طرح دی گئی ہے کہ اندر کے لیے۔ یہ مناسب کوفیشنٹس کے لیے قوت دیتا ہے۔ کراس ہومومورفزم کی حالت اس کے لیے تکرار کا تعلق دیتی ہے: حالت، اس کا مطلب ہے۔ اس حالت اور تکرار کے تعلق سے، اس کے بعد اسکیلر ملٹیپلز تک، اس کا ایک منفرد غیر صفر حل ہوتا ہے جب 0، 1 یا 2 کے برابر ہوتا ہے اور بصورت دیگر صرف صفر حل ہوتا ہے۔ اس کا حل گروپ 1-سائیکل سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کا حل گروپ 1-سائیکل سے مطابقت رکھتا ہے۔ متعلقہ لائ الجبرا 1-کوسائکلز کو مرکزی توسیعات کے ذریعہ ایک اسکیلر ملٹیپل تک دیا جاتا ہے۔ کراس شدہ ہومومورفزم بدلے میں اس کے لائ الجبرا، نام نہاد ویراسورو الجبرا کی مرکزی توسیع کو جنم دیتے ہیں۔ کوڈ جوائنٹ ایکشن گروپ اور اس کی مرکزی توسیع قدرتی طور پر ٹیک مولر تھیوری اور سٹرنگ تھیوری کے تناظر میں بھی ظاہر ہوتی ہے۔ در حقیقت کواسیکونفارمل سیلف میپس کے ذریعہ متاثر ہونے والے ہومیومورفزم بالکل کواسیسیمیٹرک ہومیومورفزم ہیں۔ یہ بالکل ہومیومورفزم ہیں جو کراس تناسب 1/2 کے ساتھ چار پوائنٹس کو 1 یا 0 کے قریب کراس تناسب والے پوائنٹس پر نہیں بھیجتے ہیں۔ باؤنڈری ویلیوز کو لیتے ہوئے، یونیورسل ٹیک مولر کی شناخت موبیئس ٹرانسفارمیشنز کے ذیلی گروپ کے ذریعے کواسیسیمیٹرک ہومومورفزمز کے گروپ کے حصص سے کی جا سکتی ہے۔ (اس کا احساس قدرتی طور پر قواسی سرکلز کی جگہ کے طور پر بھی کیا جا سکتا ہے۔) چونکہ یکساں جگہ قدرتی طور پر عالمگیر ٹیچ مولر جگہ کی ذیلی جگہ ہے۔ یہ قدرتی طور پر ایک پیچیدہ کئی گنا بھی ہے اور یہ اور دیگر قدرتی ہندسی ڈھانچے ٹیک مولر کی جگہ پر موجود ڈھانچوں کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ کے لائ الجبرا کے دوہرے کی شناخت ہل کے آپریٹرز کی جگہ کے ساتھ کی جا سکتی ہے اور اس کا مشترکہ عمل شوارزیئن مشتق کو مدعو کرتا ہے۔ ڈفیومورفزم کا الٹا ہل کے آپریٹر کو سیوڈو گروپس اور کنکشنز کو بھیجتا ہے۔ شوارزیئن مشتق اور اس پر بیان کردہ دوسرے 1-سائیکل کو پیچیدہ سطح میں کھلے سیٹوں کے درمیان بائیولومورفک تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس معاملے میں مقامی وضاحت تجزیاتی چھدم گروپوں کے نظریہ کی طرف لے جاتی ہے، جس سے لامحدود جہتی گروپوں اور لائ الجبرا کے نظریہ کو باقاعدہ بنایا جاتا ہے جس کا پہلی بار 1910 کی دہائی میں ایلی کارٹن نے مطالعہ کیا تھا۔ اس کا تعلق ریمن کی سطحوں پر افائن اور پروجیکٹو ڈھانچوں کے ساتھ ساتھ شوارزیئن یا پروجیکٹو کنکشن کے نظریہ سے ہے، جس پر گننگ، شیفر اور ہولی نے تبادلہ خیال کیا ہے۔ ایک ہولومورفک سڈوگروپ آن کھلے سیٹوں کے درمیان بائیو ہولومورفزم کے مجموعے پر مشتمل ہوتا ہے اور جس میں ہر اوپن کے لیے شناختی نقشے ہوتے ہیں، جو اوپن تک محدود ہونے کے تحت بند ہوتے ہیں، جو کمپوزیشن کے تحت بند ہوتے ہیں (جب ممکن ہو)، جو الٹا لینے کے تحت بند ہوتے ہیں اور اس طرح کہ اگر کوئی بائیو ہولومورفزم مقامی طور پر ہے، تو وہ بھی اندر ہے۔ سڈوگروپ کو عارضی کہا جاتا ہے اگر، دیا گیا اور اس میں، اس طرح میں ایک بائیوہولومورفزم ہے۔ ٹرانزیٹیو سیڈو گروپس کا ایک خاص معاملہ وہ ہیں جو چپٹے ہوتے ہیں، یعنی۔ تمام پیچیدہ ترجمے شامل ہیں۔ تشکیل کے تحت، رسمی پاور سیریز کی تبدیلیوں کا گروپ بننے دیں۔ ہولومورفک سڈوگروپ ایک ذیلی گروپ کی وضاحت کرتا ہے، یعنی ذیلی گروپ جس کی وضاحت ٹیلر سیریز کی توسیع کے ذریعے تقریبا 0 (یا "جیٹ") کے عناصر کے ساتھ کی جاتی ہے۔ اس کے برعکس اگر چپٹا ہے تو اس کا تعین منفرد طور پر اس طرح کیا جاتا ہے: اگر اور صرف اس صورت میں ایک بائیولومورفزم موجود ہوتا ہے جب ہر ایک کے لیے پاور سیریز موجود ہو: دوسرے لفظوں میں اے ٹی کے لیے رسمی پاور سیریز ایک عنصر کے ذریعے دی جاتی ہے جس کی جگہ لے لی جاتی ہے ؛ یا مزید مختصر طور پر تمام جیٹ میں موجود ہوتے ہیں۔ گروپ میں-جیٹس کے گروپ پر ایک قدرتی ہومومورفزم ہوتے ہیں جو کٹے ہوئے پاور سیریز کو لے کر حاصل ہوتے ہیں جو اصطلاح zk تک لے جاتے ہیں۔ یہ گروپ ڈگری کے کثیر الجہتی (k سے زیادہ ترتیب کی شرائط کو کاٹنا) کی جگہ پر وفاداری سے کام کرتا ہے۔ ٹرنکیشن اسی طرح آنٹو کے ہومومورفزم کی وضاحت کرتے ہیں۔ دانا f کے ساتھ نقشوں پر مشتمل ہوتا ہے، اسی طرح ابیلین بھی ہے۔ اس طرح گروپ Gk قابل حل ہے، یہ حقیقت اس حقیقت سے بھی واضح ہے کہ یہ مونومیلز کی بنیاد کے لیے سہ رخی شکل میں ہے۔ ایک فلیٹ سڈوگروپ کو "تفریقی مساوات کے ذریعے بیان کردہ" کہا جاتا ہے اگر کوئی محدود عدد ایسا ہو کہ ہومومورفزم انٹو وفادار ہو اور شبیہہ ایک بند ذیلی گروہ ہو۔ اس طرح کا سب سے چھوٹا آرڈر کہا جاتا ہے۔ تمام ذیلی گروپوں کی ایک مکمل درجہ بندی ہے جو اس طرح پیدا ہوتی ہے جو اضافی مفروضوں کو پورا کرتی ہے کہ ان کی شبیہہ ایک پیچیدہ ذیلی گروپ ہے اور جو اس کے برابر ہے: اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ چھدم گروپ میں اسکیلنگ تبدیلیاں بھی شامل ہیں، یعنی۔ کے ساتھ ہر کثیر الجہتی پر مشتمل ہے۔ اس معاملے میں واحد امکانات یہ ہیں کہ اور} ؛ یا وہ اور۔ سابقہ سڈوگروپ ہے جس کی تعریف پیچیدہ موبیئس گروپ کے افائن ذیلی گروپ (ٹرانسفارمیشن فکسنگ) کے ذریعہ کی گئی ہے۔ مؤخر الذکر سڈوگروپ ہے جس کی تعریف پورے پیچیدہ موبیئس گروپ کے ذریعہ کی گئی ہے۔ اس درجہ بندی کو آسانی سے ایک لائ الجبرائی مسئلہ تک کم کیا جا سکتا ہے کیونکہ اس کا رسمی لائ الجبرا رسمی ویکٹر فیلڈز پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ایف ایک رسمی پاور سیریز ہوتی ہے۔ اس میں بنیاد کے ساتھ کثیر الجہتی ویکٹر فیلڈز ہوتے ہیں، جو کہ وٹ الجبرا کا ذیلی الجبرا ہے۔ لائی بریکٹ اس کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ ایک بار پھر یہ ڈگری کے کثیر الجہتی کی جگہ پر تفریق کے ذریعے عمل کرتے ہیں-اس کی شناخت-کے ساتھ کی جا سکتی ہے اور اس کی تصاویر کے لائ الجبرا کی بنیاد دیتی ہیں۔ اس بات کو نوٹ کریں۔ آئیے لائ الجبرا کی نشاندہی کریں: یہ لائ الجبرا کے ذیلی الجبرا کے لیے آئسومورفک ہے۔ اس میں شامل ہے اور اس کے تحت غیر متغیر ہے۔ چونکہ یہ وٹ الجبرا کا ایک لائ سب الجبرہ ہے، اس کا واحد امکان یہ ہے کہ اس میں کچھ کے لیے بنیاد یا بنیاد ہو۔ فارم کے متعلقہ گروپ عناصر ہیں۔ اسے ترجمے کے ساتھ مرتب کرنے سے فائدہ ہوتا ہے۔ جب تک کہ یہ ذیلی گروپ کی شکل سے متصادم نہ ہو۔ شوارزی مشتق کا تعلق پیچیدہ موبیئس گروپ کے فرضی گروپ سے ہے۔ در حقیقت اگر بائیو ہولومورفزم کی وضاحت کی گئی ہے تو اس پر ایک کواڈریٹک تفریق ہے۔ اگر ایک بائیو ہومولورفزم کی وضاحت کی گئی ہے اور اس پر کواڈریٹک تفریق ہیں ؛ اس کے علاوہ ایک کواڈریٹک تفریق ہے، تو یہ بھی ایک کواڈریٹک تفریق ہے۔ اس طرح شناخت ہولومورفک کواڈریٹک تفریق میں کوفیشنٹس کے ساتھ بائیولومورفزم کے چھدم گروپ کے لیے 1-سائیکل کا ینالاگ ہے۔ اسی طرح اور ہولومورفک افعال اور ہولومورفک تفریق میں اقدار کے ساتھ ایک ہی سڈو گروپ کے لیے 1-سائیکل ہیں۔ عام طور پر 1-سائیکل کو کسی بھی ترتیب کے ہولومورفک تفریق کے لیے بیان کیا جا سکتا ہے تاکہ مندرجہ بالا شناخت کو نقشوں کو شامل کرنے پر لاگو کرنا، اس کے بعد ہو ؛ اور اس لیے کہ اگر کی پابندی ہے، تو پھر۔ دوسری طرف، ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کے ذریعہ بیان کردہ مقامی ہولومورفک بہاؤ کو لیتے ہوئے-ویکٹر فیلڈز کا ایکسپونینشل-مقامی بائیو ہولومورفزم کا ہولومورفک سڈوگروپ ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ اگر 1-سائیکل مناسب تسلسل یا تجزیاتی حالات کو پورا کرتا ہے، تو یہ ہولومورفک ویکٹر فیلڈز کے 1-سائیکل کو جنم دیتا ہے، جو پابندی کے ساتھ بھی مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے مطابق، یہ ہولومورفک ویکٹر فیلڈز پر ایک 1-سائیکل کی وضاحت کرتا ہے: بنیاد کے ساتھ کثیر الجہتی ویکٹر فیلڈز کے لائ الجبرا تک محدود، ان کا تعین لائ الجبرا کوہومولوجی کے انہی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے (جیسا کہ کراسڈ ہومومورفزم پر پچھلے حصے میں تھا)۔ وہاں حساب پورے وٹ الجبرا کے لیے تھا جو ترتیب کی کثافت پر کام کرتا ہے، جبکہ یہاں یہ صرف ایک ذیلی الجبرا کے لیے ہے جو ترتیب کے ہولومورفک (یا کثیر الجہتی) تفریق پر کام کرتا ہے۔ ایک بار پھر، یہ فرض کرتے ہوئے کہ گردشوں پر غائب ہو جاتا ہے، غیر صفر 1-سائیکل ہوتے ہیں، جو اسکیلر ملٹیپلز تک منفرد ہوتے ہیں۔ صرف ڈگری 0، 1 اور 2 کے تفریق کے لیے جو ایک ہی مشتق فارمولے کے ذریعے دیا گیا ہے جہاں ایک کثیر الجہتی ہے۔ 1-سائیکل تین چھدم گروپوں کی وضاحت اس طرح کرتے ہیں: اس سے اسکیلنگ گروپ () ؛ افائن گروپ () ؛ اور پورا کمپلیکس موبیئس گروپ () ملتا ہے۔ تو یہ 1-سائیکل خاص عام تفریق مساوات ہیں جو سڈو گروپ کی وضاحت کرتی ہیں۔ زیادہ نمایاں طور پر ان کا استعمال ریمن کی سطحوں پر متعلقہ افائن یا پروجیکٹو ڈھانچے اور رابطوں کی وضاحت کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہموار نقشہ سازی کا ایک فرضی گروہ ہے، تو کہا جاتا ہے کہ ایک ٹپوولوجیکل اسپیس میں ایک-ڈھانچہ ہوتا ہے اگر اس میں ایسے چارٹس کا مجموعہ ہوتا ہے جو کھلے سیٹوں سے لے کر کھلے سیٹوں تک ہومومورفزم ہوتے ہیں، تاکہ ہر غیر خالی چوراہے کے لیے، قدرتی نقشہ سے لے کر اندر تک ہو۔ یہ ایک ہموار منی فولڈ کی ساخت کی وضاحت کرتا ہے اگر مقامی ڈفیومورفمز اور ریمن کی سطح پر مشتمل ہو اگر-تاکہ-اور بائیو ہولومورفزم پر مشتمل ہو۔ اگر افائن سڈوگروپ ہے، تو کہا جاتا ہے کہ اس میں ایک افائن ڈھانچہ ہے ؛ اور اگر موبیئس سڈوگروپ ہے، تو کہا جاتا ہے کہ اس میں ایک پروجیکٹو ڈھانچہ ہے۔ اس طرح کسی جینس کی ایک سطح جو کسی جالی کے لیے دی جاتی ہے اس میں ایک افائن ڈھانچہ ہوتا ہے ؛ اور فوچیائی گروپ کے ذریعہ اوپری نصف سطح یا یونٹ ڈسک کے حصص کے طور پر دی گئی جینس کی سطح میں ایک پروجیکٹو ڈھانچہ ہوتا ہے۔ 1966 میں گننگ نے بیان کیا کہ اس عمل کو کس طرح الٹا کیا جا سکتا ہے: جینس کے لیے، ایک پروجیکٹو کنکشن کا وجود، جس کی وضاحت شوارزیئن مشتق 2 کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے اور کوہومولوجی پر معیاری نتائج کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا گیا ہے، اوپری نصف طیارہ یا یونٹ ڈسک کے ساتھ عالمگیر ڈھکنے والی سطح کی شناخت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے (اسی طرح کا نتیجہ جینس 1 کے لیے، افائن کنکشنز اور کا استعمال کرتے ہوئے ہوتا ہے)۔ عامیاں ایک ایسی عمومی کاری کو بیان کرتی ہیں جو کنفارمل مینیفولڈز کی نقشہ سازی کے لیے لاگو ہوتی ہے، جس میں شوارزیئن مشتق کئی گنا پر ایک سمیٹرک ٹینسر بن جاتا ہے۔ ایک ہموار میٹرک ٹینسر کے ساتھ طول و عرض کا ہموار کئی گنا ہونے دیں۔ اگر کسی ہموار فنکشن کے لیے ہموار ڈفیومورفزم کنفارمل ہے۔ شوارزیان کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ لیوی-سیویٹا کنکشن کہاں ہے، کنکشن کے حوالے سے ہیسیئن کی نشاندہی کرتا ہے، لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر ہے (اس کے حوالے سے ہیسیئن کا سراغ کے طور پر بیان کیا گیا ہے)۔ شوارزیئن کوکیکل کے قانون کو مطمئن کرتا ہے۔ ایک موبیئس تبدیلی ایک کنفارمل ڈفیومورفزم ہے، جس کا کنفارمل عنصر شوارزیئن کو ختم کر رہا ہے۔ موبیئس تبدیلیوں کا مجموعہ کے کنفارمل گروپ کا ایک بند لائ ذیلی گروپ ہے۔ یوکلڈین میٹرک کے ساتھ یوکلڈین اسپیس پر حل، عین مطابق ہوتے ہیں جب مستقل ہوتا ہے، وہ کنفارمل فیکٹر جو کروی میٹرک دیتا ہے، یا پھر گیند یا نصف اسپیس یا (بالترتیب) پر ہائپربولک پوائنکیری میٹرک کے لیے ایک کنفارمل فیکٹر ہوتا ہے۔ ایک اور عام کاری کا اطلاق لاگرانجین گراس مینین میں مثبت منحنی خطوط پر ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ ایک سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس ہے، جس کا طول و عرض زیادہ ہے۔ تکمیلی لگرینجین ذیلی جگہوں کی ایک جوڑی کو ٹھیک کریں۔ لاگرانجین ذیلی جگہوں کا مجموعہ جو تکمیل پذیر ہے، نقشہ سازی کی جگہ کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے جو (سب کے لیے) کے حوالے سے ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ کوئی بھی لاگرانجین سب اسپیس تکمیلی اس طرح کے کچھ ٹینسر کے لیے دی جاتی ہے۔ اس طرح ایک منحنی خطوط کی وضاحت مقامی طور پر سمیٹرک ٹینسرز کے ایک پیرامیٹر خاندان کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ایک منحنی خطوط مثبت ہوتا ہے اگر مثبت قطعی ہو۔ اس کی خاصیت یہ ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب منحنی خطوط سے متعلق کوئی سمپلیکٹک تبدیلی ہو اور۔ لگرینجین شوارزیئن کا تعلق دوسرے آرڈر کی تفریقی مساوات سے ہے جہاں ایک سمیٹرک ٹینسر ہے، جو ایک حقیقی متغیر پر منحصر ہے اور اس میں ایک منحنی خطوط ہے۔ فرض کریں کہ تفریقی مساوات کے حلوں کی-جہتی جگہ ہے۔ چونکہ سمیٹرک ہے، اس کے ذریعہ دی گئی شکل اس سے آزاد ہے، اور اس طرح ایک سمپلیکٹک ڈھانچہ دیتا ہے۔ تشخیص کو فعال ہونے دیں۔ پھر کے ڈومین میں کسی کے لیے، کا دانا ایک لاگرانجین سب اسپیس ہے، اور اس لیے دانا کے لاگرانجین گراس مینین میں ایک منحنی خطوط کی وضاحت کرتا ہے۔ اس منحنی خطوط کا لگرینجین شوارزیان تب ہے۔ ریکاٹی مساوات نوٹ حوالہ جات، باب 6، "ٹیچ مولر اسپیس"]، باب 10، "دی شوارزیان" بھی دیکھیں۔ ، سیکشن 12، "سرکلر آرکس کے ساتھ کثیر الاضلاعات کی نقشہ سازی"۔ "، عمومی لیم افعال کے نظریہ پر"۔ ۔ پروجیکٹو جیومیٹری ماڈیولر فارمز عام تفریق مساوات پیچیدہ تجزیہ رسمی نقشہ سازی