Riemann–Siegel theta function
ریاضی میں، ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن کی تعریف گاما فنکشن کے لحاظ سے کی جاتی ہے جیسا کہ t کی حقیقی اقدار کے لیے۔ یہاں دلیل کو اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ ایک مسلسل فنکشن حاصل کیا جاتا ہے اور برقرار رہتا ہے، یعنی، اسی طرح جیسے لاگ گاما فنکشن کی پرنسپل برانچ کی وضاحت کی جاتی ہے۔ اس میں ایک غیر علامتی توسیع ہے جو متغیر نہیں ہے، لیکن جس کی پہلی چند اصطلاحات اس کے لیے ایک اچھا تخمینہ دیتی ہیں۔ اس کی ٹیلر سیریز 0 پر جو اس کے لیے یکجا ہوتی ہے جہاں ترتیب کے پولی گاما فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن ریمن زیٹا فنکشن کا مطالعہ کرنے میں دلچسپی رکھتا ہے، کیونکہ یہ ریمن زیٹا فنکشن کو اس طرح گھوم سکتا ہے کہ یہ کریٹیکل لائن پر مکمل طور پر حقیقی قدر والا Z فنکشن بن جاتا ہے۔ ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن حقیقی اقدار کے لیے ایک عجیب حقیقی تجزیاتی فنکشن ہے جس میں تین جڑیں ہیں۔ یہ ایک بڑھتی ہوئی فنکشن ہے، اور اس کی قدر کے ساتھ مقامی انتہا ہے۔ اس کے ساتھ ایک واحد انفلیکشن پوائنٹ ہے، جو اس کے مشتق کا کم از کم ہے۔ تھیٹا ایک پیچیدہ متغیر کے فعل کے طور پر ہمارے پاس لاگ گاما فعل کے لیے ایک لامحدود سلسلہ اظہار ہے جہاں γ یولر کا مستقل ہے۔ زیڈ کے لیے تبدیل کرنا اور خیالی حصے کو مدتی طور پر لینا θ (t) کے لیے درج ذیل سیریز دیتا ہے۔ −1 اور 1 کے درمیان خیالی حصے والی اقدار کے لیے، آرکٹینجینٹ فنکشن ہولومورفک ہے، اور یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ یہ سیریز خطے میں کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر یکجا ہوتی ہے جس میں خیالی حصہ −1/2 اور 1/2 کے درمیان ہوتا ہے، جس سے اس ڈومین پر ہولومورفک فنکشن ہوتا ہے۔ اس کے بعد اس خطے میں Z فنکشن بھی ہولومورفک ہے، جو کہ اہم پٹی ہے۔ ہم شناختوں کو بند شکل کے اظہار کو حاصل کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں جو ہماری اصل تعریف کو t کے ہولومورفک فنکشن تک پھیلاتا ہے۔ چونکہ لاگ γ کی اصل شاخ میں منفی حقیقی محور کے ساتھ ایک ہی شاخ کاٹا ہوا ہے، اس تعریف میں θ (t) کو i/2 کے اوپر اور −i/2 سے نیچے کے خیالی محور کے ساتھ شاخ کاٹا ہوا وراثت ملتا ہے۔ گرام پوائنٹس کریٹیکل لائن پر ریمن زیٹا فنکشن لکھا جا سکتا ہے اگر ایک حقیقی نمبر ہے، تو Z فنکشن حقیقی اقدار واپس کرتا ہے۔ لہذا کریٹیکل لائن پر زیٹا فنکشن یا تو صفر پر، اس کے مطابق، یا کب حقیقی ہوگا۔ جہاں مؤخر الذکر کیس واقع ہوتا ہے اس کی مثبت حقیقی اقدار کو جے پی گرام کے بعد گرام پوائنٹس کہا جاتا ہے، اور یقینا ان پوائنٹس کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے جہاں ایک عدد ہوتا ہے۔ ایک گرام پوائنٹ اس کا حل ہے۔ ان حلوں کا تخمینہ اس ترتیب سے لگایا جاتا ہے: لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن کہاں ہے۔ یہاں سب سے چھوٹے غیر منفی گرام پوائنٹس ہیں انڈیکس n کا انتخاب تھوڑا خام ہے۔ یہ تاریخی طور پر اس طرح سے منتخب کیا گیا ہے کہ انڈیکس پہلی قیمت پر 0 ہے جو کریٹیکل لائن پر ریمن زیٹا فنکشن کے سب سے چھوٹے مثبت صفر (خیالی حصے 14.13472515 پر) سے بڑا ہے۔ نوٹ کریں، یہ-فنکشن مطلق چھوٹے حقیقی دلائل کے لیے ارتعاش کرتا ہے اور اس لیے وقفہ [−24,24] میں منفرد طور پر الٹا نہیں ہے! اس طرح عجیب تھیٹا فنکشن کا سمیٹرک گرام پوائنٹ ہوتا ہے جس کی قیمت 0 انڈیکس −3 پر ہوتی ہے۔ کے صفر کا حساب لگاتے وقت گرام پوائنٹس مفید ہوتے ہیں۔ ایک گرام پوائنٹ پر اور اگر یہ لگاتار دو گرام پوائنٹس پر مثبت ہے، تو وقفے میں صفر ہونا چاہیے۔ گرام کے قانون کے مطابق، حقیقی حصہ عام طور پر مثبت ہوتا ہے جبکہ خیالی حصہ گرام پوائنٹس کے ساتھ بدلتا ہے، مثبت اور منفی اقدار کے درمیان کسی حد تک باقاعدہ وقفوں پر۔ جڑوں کی تعداد، 0 سے T تک کی پٹی میں، اس سے معلوم کی جا سکتی ہے کہ غلطی کی اصطلاح کہاں ہے جو غیر علامتی طور پر بڑھتی ہے۔ صرف اس صورت میں جب گرام کے قانون کی پابندی کی جائے، تب پٹی میں جڑوں کی تعداد تلاش کرنا آسان ہو جاتا ہے۔ آج ہم جانتے ہیں، کہ طویل عرصے میں، گرام کا قانون تمام گرام وقفوں میں سے تقریبا 1 چوتھائی کے لیے ریمن زیٹا فنکشن کا بالکل 1 صفر رکھنے میں ناکام ہو جاتا ہے۔ گرام کو ڈر تھا کہ یہ بڑے انڈیکس کے لیے ناکام ہو سکتا ہے (پہلی کمی 127 ویں صفر سے پہلے انڈیکس 126 پر ہے) اور اس طرح اس کا دعوی صرف بہت زیادہ انڈیکس کے لیے نہیں کیا گیا۔ بعد میں ہچنسن نے اس (غلط) بیان کے لیے گرام کا قانون کا جملہ وضع کیا کہ تنقیدی لکیر پر موجود تمام صفر گرام پوائنٹس سے الگ ہوں گے۔ زیڈ فنکشن حوالہ جات گیبکے، ڈبلیو۔ (1979)، نیو ہرلیٹنگ اینڈ ایکسپلیزیئرٹ ریسٹابشٹجنگ ڈیر ریمن-سیگل-فارمل بھی دیکھیں۔ تھیسس، یونیورسٹی آف گوٹنگن۔ نظر ثانی شدہ ورژن (ای ڈس گوٹنگن 2015) بیرونی روابط وولفرم ریسرچ-ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن (فنکشن پلاٹنگ اور تشخیص شامل ہے) زیٹا اور ایل فنکشن برنہارڈ ریمن