Quartic interaction
کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، کوارٹک تعامل اسکیلر فیلڈ میں خود تعامل کی ایک قسم ہے۔ کوارٹک تعاملات کی دیگر اقسام چار فرمیئن تعاملات کے موضوع کے تحت پائی جا سکتی ہیں۔ کلاسیکی فری اسکیلر فیلڈ کلین گورڈن مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ اگر ایک اسکیلر فیلڈ کی نشاندہی کی جاتی ہے، تو ایک چوتھائی تعامل کی نمائندگی لگرینجین کثافت میں ممکنہ توانائی کی اصطلاح شامل کرکے کی جاتی ہے۔ جوڑی مستقل 4 جہتی خلائی وقت میں طول و عرض کے بغیر ہے۔ یہ مضمون منکووسکی کی جگہ کے لیے میٹرک کے دستخط کا استعمال کرتا ہے۔ حقیقی اسکیلر فیلڈ کے لیے لاگرانجین کوارٹک تعامل کے ساتھ حقیقی اسکیلر فیلڈ کے لیے لاگرانجین کثافت ہے۔ اس لاگرانجین میں عالمی Z2 سمیٹری میپنگ ہے۔ ایک پیچیدہ اسکیلر فیلڈ کے لیے لاگرانجین ایک پیچیدہ اسکیلر فیلڈ کے لیے لاگرانجین کو مندرجہ ذیل طور پر متحرک کیا جا سکتا ہے۔ دو اسکیلر فیلڈز کے لیے اور لاگرانجین کی وہ شکل ہے جسے ایک پیچیدہ اسکیلر فیلڈ کو متعارف کراتے ہوئے زیادہ مختصر طور پر لکھا جا سکتا ہے جسے اس پیچیدہ اسکیلر فیلڈ کے لحاظ سے ایکسپریس کیا گیا ہے، مندرجہ بالا لاگرانجین بن جاتا ہے جو اس طرح حقیقی اسکیلر فیلڈز کے ایس او (2) ماڈل کے مساوی ہے، جیسا کہ پیچیدہ فیلڈ کو حقیقی اور خیالی حصوں میں بڑھا کر دیکھا جا سکتا ہے۔ حقیقی اسکیلر فیلڈز کے ساتھ، ہمارے پاس ایک ماڈل ہو سکتا ہے جس میں گلوبل ایس او (این) سمیٹری دی گئی ہو جو کہ لاگرانجین کے ذریعے دی گئی ہو۔ پیچیدہ فیلڈ کو حقیقی اور خیالی حصوں میں وسعت دینے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ حقیقی اسکیلر فیلڈز کے ایس او (2) ماڈل کے مساوی ہے۔ مندرجہ بالا تمام ماڈلز میں، جوڑی کا مستقل مثبت ہونا چاہیے، کیونکہ بصورت دیگر صلاحیت نیچے غیر محدود ہوگی، اور کوئی مستحکم خلا نہیں ہوگا۔ نیز، ذیل میں زیر بحث فائن مین پاتھ انٹیگرل کی وضاحت غلط ہوگی۔ 4 جہتوں میں، نظریات میں لینڈو پول ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اعلی توانائی کے پیمانے پر کٹ آف کے بغیر، ری نارملائزیشن نظریہ کو معمولی بنا دے گی۔ ماڈل کا تعلق گریفتھس سائمن کلاس سے ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے ایک مخصوص قسم کے گراف پر آئزنگ ماڈل کی کمزور حد کے طور پر بھی پیش کیا جا سکتا ہے۔ ماڈل اور آئزنگ ماڈل دونوں کی معمولی پن کو ایک گرافیکل نمائندگی کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے جسے بے ترتیب موجودہ توسیع کہا جاتا ہے۔ فین مین انٹیگرل کوانٹائزیشن فین مین ڈایگرام کی توسیع فین مین پاتھ انٹیگرل فارمولیشن سے بھی حاصل کی جا سکتی ہے۔ φ میں کثیر الجہتی کی وقت کی ترتیب شدہ ویکیوم متوقع اقدار، جسے n-پارٹیکل گرین کے افعال کے نام سے جانا جاتا ہے، تمام ممکنہ شعبوں کو مربوط کرکے تعمیر کیا جاتا ہے، بغیر کسی بیرونی شعبوں کے ویکیوم متوقع قدر کے ذریعہ معمول بنایا جاتا ہے، ان تمام گرین کے افعال کو J (x) φ (x) میں پیدا کرنے والے فنکشن میں ایکسپونینشل کو بڑھا کر حاصل کیا جاسکتا ہے۔ وقت کو خیالی بنانے کے لیے ایک وک گردش کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ دستخط کو (+ + +) میں تبدیل کرنے سے 4 جہتی یوکلڈین اسپیس پر ایک φ4 شماریاتی میکانکس انٹیگرل ملتا ہے، عام طور پر، اس کا اطلاق فکسڈ مومینٹا والے ذرات کے بکھرنے پر ہوتا ہے، ایسی صورت میں، ایک فورئیر ٹرانسفارم مفید ہوتا ہے، اس کے بجائے ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کہاں ہے۔ اس فنکشنل انٹیگرل کا اندازہ کرنے کی معیاری چال یہ ہے کہ اسے ایکسپونینشیل عوامل کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جائے، اسکیمیٹک طور پر، دوسرے دو ایکسپونینشیل عوامل کو پاور سیریز کے طور پر بڑھایا جا سکتا ہے، اور اس توسیع کے امتزاج کو گرافک طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ λ = 0 کے ساتھ انٹیگرل کو لامحدود طور پر بہت سے ابتدائی گاؤسی انٹیگرلز کے پروڈکٹ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور نتیجہ کو فین مین ڈایگرامز کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جس کا حساب مندرجہ ذیل فین مین قوانین کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے: این-پوائنٹ یوکلڈین گرین کے فنکشن میں ہر فیلڈ کو گراف میں ایک بیرونی لکیر (نصف کنارے) سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور مومنٹم p سے وابستہ ہوتا ہے۔ ہر ورٹیکس کو ایک عنصر-λ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک دی گئی ترتیب λk پر، n بیرونی لکیروں اور k عمودی کے ساتھ تمام خاکے اس طرح بنائے جاتے ہیں کہ ہر سرے میں بہنے والا مومینٹا صفر ہو۔ ہر اندرونی لکیر کی نمائندگی ایک عنصر 1/(q2 + m2) کرتا ہے، جہاں q اس لکیر سے گزرنے والی رفتار ہے۔ کوئی بھی غیر محدود مومینٹا تمام اقدار پر مربوط ہوتا ہے۔ نتیجہ کو سمیٹری فیکٹر سے تقسیم کیا جاتا ہے، جو کہ ان طریقوں کی تعداد ہے جن سے گراف کی لکیروں اور عمودی حصوں کو اس کے رابطے کو تبدیل کیے بغیر دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ "ویکیوم بلبلوں" پر مشتمل گراف، منسلک ذیلی گراف شامل نہ کریں جن میں کوئی بیرونی لکیریں نہ ہوں۔ آخری قاعدہ تقسیم کرنے کے اثر کو مدنظر رکھتا ہے۔ منکوسکی-اسپیس فین مین کے اصول ایک جیسے ہیں، سوائے اس کے کہ ہر ایک سرے کی نمائندگی اس کے ذریعے کی جاتی ہے، جبکہ ہر اندرونی لکیر کی نمائندگی ایک عنصر i/(q2-m2 + i ε) کے ذریعے کی جاتی ہے، جہاں ε اصطلاح منکوسکی-اسپیس گوسیئن انٹیگرل کنورج بنانے کے لیے درکار چھوٹے وک گردش کی نمائندگی کرتی ہے۔ ری نارملائزیشن غیر محدود مومینٹا پر انٹیگرلز، جنہیں "لوپ انٹیگرلز" کہا جاتا ہے، عام طور پر فین مین گراف میں مختلف ہوتے ہیں۔ یہ عام طور پر ری نارملائزیشن کے ذریعے سنبھالا جاتا ہے، جو کہ لاگرانجین میں مختلف جوابی اصطلاحات کو اس طرح شامل کرنے کا ایک طریقہ کار ہے کہ اصل لاگرانجین اور جوابی اصطلاحات سے بنائے گئے خاکے محدود ہوں۔ اس عمل میں ایک ری نارملائزیشن پیمانہ متعارف کرایا جانا چاہیے، اور جوڑی مستقل اور کمیت اس پر منحصر ہو جاتی ہے۔ یہ انحصار ہی ہے جو لینڈاؤ قطب کی طرف لے جاتا ہے جس کا ذکر پہلے کیا گیا ہے، اور اس کے لیے ضروری ہے کہ کٹ آف کو محدود رکھا جائے۔ متبادل طور پر، اگر کٹ آف کو انفینیٹی تک جانے کی اجازت دی جائے، تو لینڈو پول سے صرف اس صورت میں بچا جا سکتا ہے جب ری نارملائزڈ جوڑا صفر پر چلے، جس سے نظریہ معمولی ہو جائے۔ بے ساختہ ہم آہنگی توڑنا ایک دلچسپ خصوصیت اس صورت میں ہو سکتی ہے جب m2 منفی ہو جائے، لیکن λ پھر بھی مثبت ہو۔ اس صورت میں، خلا دو سب سے کم توانائی کی حالتوں پر مشتمل ہوتا ہے، جن میں سے ہر ایک اصل نظریہ کی Z2 عالمی توازن کو بے ساختہ توڑ دیتا ہے۔ اس سے ڈومین والز جیسی دلچسپ اجتماعی ریاستیں ظاہر ہوتی ہیں۔ O (2) تھیوری میں، ویکوا ایک دائرے پر پڑے گا، اور ایک کا انتخاب بے ساختہ O (2) سمیٹری کو توڑ دے گا۔ ایک مسلسل ٹوٹی ہوئی ہم آہنگی گولڈ اسٹون بوسون کی طرف لے جاتی ہے۔ اس قسم کی بے ساختہ ہم آہنگی توڑنا ہگس میکانزم کا لازمی جزو ہے۔ غیر متزلزل ہم آہنگی کی بے ساختہ توڑ سب سے آسان رشتہ دار نظام جس میں ہم بے ساختہ ہم آہنگی کو توڑتے ہوئے دیکھ سکتے ہیں وہ ایک واحد اسکیلر فیلڈ کے ساتھ ہے جس میں لاگرانجین ہے جہاں اور اس کی طرف لے جانے کے حوالے سے صلاحیت کو کم کرنا ہے۔ اب ہم اس کم از کم تحریر کے ارد گرد فیلڈ کو وسعت دیتے ہیں اور لاگرانجین میں تبدیل کرتے ہیں جہاں ہم دیکھتے ہیں کہ اسکیلر کی اب ایک مثبت ماس اصطلاح ہے۔ خلا کی توقع کی اقدار کے لحاظ سے سوچنے سے ہمیں یہ سمجھنے میں مدد ملتی ہے کہ جب ہم آہنگی اچانک ٹوٹ جاتی ہے تو اس کا کیا ہوتا ہے۔ اصل لاگرانجین ہم آہنگی کے تحت غیر متغیر تھا۔ چونکہ دونوں منیما ہیں، اس لیے دو مختلف ویکوا ہونے چاہئیں: چونکہ سمیٹری لیتا ہے، اس لیے اسے بھی لینا چاہیے۔ نظریہ کے لیے دو ممکنہ خلا مساوی ہیں، لیکن ایک کا انتخاب کرنا پڑتا ہے۔ اگرچہ ایسا لگتا ہے کہ نئے لاگرانجین میں ہم آہنگی غائب ہو گئی ہے، یہ اب بھی موجود ہے، لیکن اب یہ اس طرح کام کرتا ہے جیسے یہ بے ساختہ ٹوٹی ہوئی ہم آہنگی کی ایک عام خصوصیت ہے: خلا انہیں توڑ دیتا ہے، لیکن وہ دراصل لاگرانجین میں نہیں ٹوٹے ہیں، صرف چھپے ہوئے ہیں، اور اکثر صرف غیر لکیری انداز میں محسوس ہوتے ہیں۔ درست حل نظریہ کی حرکت کی مساوات کے لیے درست کلاسیکی حلوں کا ایک مجموعہ موجود ہے جو اس شکل میں لکھا گیا ہے جسے ماس لیس کے لیے لکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ جیکوبی ایلیپٹک فنکشن اور دو انضمام مستقل کے ساتھ ہوتا ہے، بشرطیکہ مندرجہ ذیل بازی کا تعلق برقرار رہے۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ ہم نے ماس لیس مساوات کے ساتھ آغاز کیا لیکن عین مطابق حل ایک لہر کو بیان کرتا ہے جس کا بازی کا تعلق ایک بڑے حل کے لیے مناسب ہو۔ جب کمیت کی اصطلاح صفر نہیں ہوتی ہے تو اب منتشر کا تعلق بن جاتا ہے آخر کار، سمیٹری توڑنے کی صورت میں ایک کا وجود ہے اور مندرجہ ذیل منتشر کا تعلق رکھتا ہے۔ یہ لہر کے حل دلچسپ ہیں، اس کے باوجود کہ ہم نے غلط کمیت کے نشان کے ساتھ مساوات کے ساتھ شروعات کی تھی، منتشر کا تعلق درست ہے۔ اس کے علاوہ، جیکوبی فنکشن کا کوئی حقیقی صفر نہیں ہوتا ہے اور اس لیے فیلڈ کبھی صفر نہیں ہوتا بلکہ ایک دی گئی مستقل قدر کے گرد گھومتا ہے جسے ابتدائی طور پر سمیٹری کے بے ساختہ ٹوٹنے کو بیان کرنے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ انفرادیت کا ثبوت فراہم کیا جا سکتا ہے اگر ہم نوٹ کریں کہ حل وجود کی شکل میں تلاش کیا جا سکتا ہے۔ پھر، جزوی تفریق مساوات ایک عام تفریق مساوات بن جاتی ہے جو مناسب بازی کے تعلق کو مطمئن کرنے کے ساتھ جیکوبی ایلیپٹک فنکشن کی وضاحت کرتی ہے۔ اسکیلر فیلڈ تھیوری کوانٹم ٹریویلٹی لینڈو پول ری نارملائزیشن ہگس میکانزم گولڈ اسٹون بوسن کولمین-وینبرگ ممکنہ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے "ٹی ہوفٹ، جی"، کوانٹم فیلڈ تھیوری کی تصوراتی بنیاد (آن لائن ورژن) دیکھیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری اسپن 0 کے ساتھ ذیلی جوہری ذرات