Field equation
نظریاتی طبیعیات اور اطلاقی ریاضی میں، فیلڈ مساوات ایک جزوی تفریقی مساوات ہے جو کسی فزیکل فیلڈ کی حرکیات، خاص طور پر وقت کے ارتقاء اور فیلڈ کی مقامی تقسیم کا تعین کرتی ہے۔ مساوات کے حل ریاضیاتی افعال ہیں جو وقت اور خلا کے افعال کے طور پر براہ راست میدان سے مطابقت رکھتے ہیں۔ چونکہ فیلڈ مساوات ایک جزوی تفریقی مساوات ہے، اس لیے حل کے خاندان ہوتے ہیں جو مختلف قسم کے جسمانی امکانات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ عام طور پر، صرف ایک مساوات نہیں ہوتی، بلکہ جوڑی ہوئی مساوات کا ایک مجموعہ ہوتا ہے جسے بیک وقت حل کرنا ہوتا ہے۔ فیلڈ مساوات عام تفریقی مساوات نہیں ہیں کیونکہ ایک فیلڈ کا انحصار جگہ اور وقت پر ہوتا ہے، جس کے لیے کم از کم دو متغیرات درکار ہوتے ہیں۔ جبکہ "لہر مساوات"، "پھیلاؤ مساوات"، اور "تسلسل مساوات" سب کی معیاری شکلیں ہیں (اور مختلف خصوصی معاملات یا عمومییاں)، کوئی واحد، خصوصی مساوات نہیں ہے جسے "فیلڈ مساوات" کہا جاتا ہے۔ یہ موضوع وسیع پیمانے پر کلاسیکی فیلڈ تھیوری اور کوانٹم فیلڈ تھیوری کی مساوات میں تقسیم ہوتا ہے۔ کلاسیکی فیلڈ مساوات بہت سی جسمانی خصوصیات کو بیان کرتی ہیں جیسے کسی مادے کا درجہ حرارت، سیال کی رفتار، لچکدار مادے میں دباؤ، کرنٹ سے برقی اور مقناطیسی میدان وغیرہ۔ وہ فطرت کی بنیادی قوتوں کو بھی بیان کرتے ہیں، جیسے برقی مقناطیسیت اور کشش ثقل۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، الیکٹرانوں اور فوٹون جیسے "ذرات" کے ذرات یا نظام فیلڈز سے وابستہ ہوتے ہیں، جو لامحدود ڈگری آف فریڈم (پارٹیکل میکانکس میں محدود ڈگری آف فریڈم کے برعکس) اور متغیر ذرہ نمبروں کی اجازت دیتے ہیں جنہیں بنایا یا ختم کیا جا سکتا ہے۔ عمومی ابتداء عام طور پر، فیلڈ مساوات کو پیش کیا جاتا ہے (جیسے آئن سٹائن فیلڈ مساوات اور شروڈنگر مساوات، جو تمام کوانٹم فیلڈ مساوات کو زیر کرتی ہیں) یا تجربات کے نتائج سے حاصل کی جاتی ہیں (جیسے میکسویل کی مساوات)۔ ان کی صداقت کی حد تجرباتی نتائج کی درست پیش گوئی کرنے اور ان سے اتفاق کرنے کی ان کی صلاحیت ہے۔ نظریاتی نقطہ نظر سے، فیلڈ مساوات کو لاگرانجین فیلڈ تھیوری، ہیملٹنین فیلڈ تھیوری، اور اسٹیشنری ایکشن کے اصول کی فیلڈ تھیوریٹک فارمولیشن کے فریم ورک میں وضع کیا جا سکتا ہے۔ ایک مناسب لگرینجین یا ہیملٹنین کثافت کو دیکھتے ہوئے، کسی دیئے گئے نظام میں فیلڈز کے فنکشن کے ساتھ ساتھ ان کے مشتقات، اسٹیشنری ایکشن کا اصول فیلڈ مساوات حاصل کرے گا۔ ہم آہنگی کلاسیکی اور کوانٹم دونوں نظریات میں، فیلڈ مساوات پس منظر فزیکل تھیوری کی ہم آہنگی کو مطمئن کریں گی۔ زیادہ تر وقت گیلیلین سمیٹری کافی ہوتی ہے، رفتار کے لیے (پھیلنے والے شعبوں کی) روشنی سے بہت کم۔ جب ذرات اور فیلڈز روشنی کے قریب رفتار سے پھیلتے ہیں، تو لورینٹز سمیٹری سب سے عام ترتیبات میں سے ایک ہے کیونکہ اس کے بعد مساوات اور اس کے حل خصوصی اضافیت کے مطابق ہوتے ہیں۔ گیج فریڈم سے ایک اور ہم آہنگی پیدا ہوتی ہے، جو فیلڈ مساوات کے لیے اندرونی ہے۔ وہ فیلڈز جو تعاملات سے مطابقت رکھتے ہیں گیج فیلڈز ہو سکتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ وہ کسی پوٹینشل سے اخذ کیے جا سکتے ہیں، اور پوٹینشل کی کچھ اقدار فیلڈ کی ایک ہی قدر سے مطابقت رکھتی ہیں۔ درجہ بندی فیلڈ مساوات کو کئی طریقوں سے درجہ بندی کیا جا سکتا ہے: کلاسیکی یا کوانٹم، غیر رشتہ دار یا رشتہ دار، فیلڈ کے گھماؤ یا کمیت کے مطابق، اور فیلڈ کے اجزاء کی تعداد اور مربوط تبدیلیوں کے تحت وہ کیسے تبدیل ہوتے ہیں (مثال کے طور پر۔ اسکیلر فیلڈز، ویکٹر فیلڈز، ٹینسر فیلڈز، اسپنر فیلڈز، ٹوسٹر فیلڈز وغیرہ)۔ وہ تفریقی مساوات کی درجہ بندی، لکیری یا غیر لکیری، اعلی ترین مشتق کی ترتیب، یا یہاں تک کہ فریکشنل تفریقی مساوات کے طور پر بھی وراثت میں حاصل کر سکتے ہیں۔ گیج فیلڈز کو گروپ تھیوری میں ابیلین یا نان ابیلین کے طور پر درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ لہروں کے میدان کی مساوات لہر کی مساوات کو زیر کرتی ہیں، کیونکہ وقتا فوقتا بدلتے ہوئے میدان لہریں پیدا کرتے ہیں۔ لہر مساوات کو فیلڈ مساوات کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اس لحاظ سے کہ وہ اکثر فیلڈ مساوات سے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ متبادل طور پر، مناسب لگرینجین یا ہیملٹنین کثافت کو دیکھتے ہوئے اور ساکن عمل کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے، لہر کی مساوات بھی حاصل کی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، میکسویل کی مساوات کو غیر یکساں برقی مقناطیسی لہر کی مساوات حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور آئن سٹائن فیلڈ مساوات سے کشش ثقل کی لہروں کے لیے مساوات حاصل کی جا سکتی ہیں۔ فیلڈ مساوات کے لیے اضافی مساوات طبیعیات میں ہر جزوی تفریق مساوات (پی ڈی ای) کو خود بخود "فیلڈ مساوات" نہیں کہا جاتا، چاہے فیلڈز شامل ہوں۔ وہ کسی دیئے گئے جسمانی نظام کے لیے اضافی رکاوٹیں فراہم کرنے کے لیے اضافی مساوات ہیں۔ "تسلسل مساوات" اور "پھیلاؤ مساوات" نقل و حمل کے مظاہر کو بیان کرتے ہیں، حالانکہ ان میں وہ شعبے شامل ہو سکتے ہیں جو نقل و حمل کے عمل کو متاثر کرتے ہیں۔ اگر کوئی "آئینی مساوات" پی ڈی ای کی شکل اختیار کرتی ہے اور اس میں فیلڈز شامل ہوتے ہیں، تو اسے عام طور پر فیلڈ مساوات نہیں کہا جاتا ہے کیونکہ یہ فیلڈز کے متحرک رویے کو کنٹرول نہیں کرتا ہے۔ وہ کسی دیئے گئے مواد میں ایک میدان کو دوسرے سے جوڑتے ہیں۔ جب مادے کے اثرات کو مدنظر رکھنے کی ضرورت ہوتی ہے تو آئینی مساوات کو فیلڈ مساوات کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے۔ کلاسیکی فیلڈ مساوات کلاسیکی فیلڈ مساوات تسلسل میکانکس (بشمول ایلسٹوڈینامکس اور سیال میکانکس)، حرارت کی منتقلی، برقی مقناطیسیت، اور کشش ثقل میں پیدا ہوتی ہیں۔ بنیادی کلاسیکی فیلڈ مساوات میں نیوٹن کا غیر رشتہ دار کشش ثقل کے لیے عالمگیر کشش ثقل کا قانون شامل ہے۔ برقی مقناطیسیت کے لیے میکس ویل کی مساوات رشتہ دار کشش ثقل کے لیے آئن سٹائن فیلڈ مساوات۔ بنیادی قوانین سے اخذ کردہ اہم مساوات میں شامل ہیں: سیال کے بہاؤ کے لیے نیویئر-اسٹوکس مساوات۔ حقیقی زندگی کے ریاضیاتی ماڈلنگ کے عمل کے حصے کے طور پر، کلاسیکی فیلڈ مساوات حرکت کی دیگر مساوات، حالت کی مساوات، آئینی مساوات، اور تسلسل کی مساوات کے ساتھ ہوتی ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، ذرات کو کوانٹم فیلڈز کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے جو شروڈنگر مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ وہ تخلیق اور تباہی کے آپریٹر بھی ہیں جو تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں اور اسپن اعدادوشمار کے نظریہ کے تابع ہیں۔ رشتہ دار کوانٹم فیلڈ مساوات کے مخصوص معاملات میں اسپن-0 ذرات کے لیے کلین-گورڈن مساوات، اسپن-1/2 ذرات کے لیے ڈیراک مساوات، کسی بھی اسپن کے ذرات کے لیے برگمین-وگنر مساوات شامل ہیں۔ کوانٹم فیلڈ مساوات میں، ذرہ کے مقام کے پوزیشن کوآرڈینیٹس کے بجائے ذرہ کے مومنٹم اجزاء کا استعمال کرنا عام ہے، فیلڈز مومنٹم اسپیس میں ہوتے ہیں اور فورئیر ٹرانسفارمز ان کا تعلق پوزیشن کی نمائندگی سے کرتے ہیں۔ فیلڈ طاقت لہر فنکشن بنیادی تعامل فیلڈ جوڑی فیلڈ ڈیکپلنگ جوڑی پیرامیٹر ویکیوم حل حوالہ جات جنرل کلاسیکی فیلڈ تھیوری کوانٹم فیلڈ تھیوری کلاسیکی اور کوانٹم فیلڈ تھیوری بیرونی روابط نظریاتی طبیعیات ریاضیاتی طبیعیات اطلاقی ریاضی جزوی تفریق مساوات کلاسیکی فیلڈ تھیوری کوانٹم فیلڈ تھیوری