Carl Johan Malmsten
کارل جوہان مالمسٹن (9 اپریل 1814، ادیٹورپ، سکارا کاؤنٹی، سویڈن-11 فروری 1886، اپسالا، سویڈن میں) ایک سویڈش ریاضی دان اور سیاست دان تھے۔ وہ ایک پیچیدہ متغیر کے افعال کے نظریہ پر ابتدائی تحقیق کے لیے، کئی اہم لوگرتھمک انٹیگرلز اور سیریز کی تشخیص کے لیے، زیٹا فنکشن سے متعلق سیریز اور انٹیگرلز کے نظریہ میں اپنے مطالعے کے ساتھ ساتھ میٹاگ-لیفلر کو جریدہ ایکٹا میتھمیٹکا شروع کرنے میں مدد کرنے کے لیے قابل ذکر ہیں۔ مالمسٹن 1840 میں ڈاکٹر بنے، اور پھر 1842 میں اپسالا یونیورسٹی میں ریاضی کے پروفیسر بنے۔ وہ 1844 میں رائل سویڈش اکیڈمی آف سائنسز کے رکن منتخب ہوئے۔ وہ 1859-1866 میں پورٹ فولیو کے بغیر وزیر اور 1866-1879 میں سکاربورگ کاؤنٹی کے گورنر بھی تھے۔ عام طور پر، مالمسٹن پیچیدہ تجزیہ میں اپنے ابتدائی کاموں کے لیے جانا جاتا ہے۔ تاہم، اس نے ریاضی کی دیگر شاخوں میں بھی بہت تعاون کیا، لیکن اس کے نتائج کو بلاجواز طور پر فراموش کر دیا گیا اور ان میں سے بہت سے کو غلطی سے دوسرے افراد سے منسوب کر دیا گیا۔ اس طرح، یہ نسبتا حال ہی میں تھا کہ یہ ایروسلاو بلاگوچین نے دریافت کیا تھا کہ مالمسٹن سب سے پہلے تھا جس نے کئی اہم لوگرتھمک انٹیگرلز اور سیریز کا جائزہ لیا، جن کا گاما اور زیٹا افعال سے گہرا تعلق ہے، اور جن میں ہم نام نہاد وارڈی کا انٹیگرل اور گاما فنکشن کے لوگرتھم کے لیے کممر کی سیریز تلاش کر سکتے ہیں۔ خاص طور پر، 1842 میں اس نے درج ذیل ایل این ایل این-لوگرتھمک انٹیگرلز کا جائزہ لیا۔ تفصیلات اور ایک دلچسپ تاریخی تجزیہ بلاگچائن کے مقالے میں دیا گیا ہے۔ ان میں سے بہت سے انٹیگرلز کو بعد میں مختلف محققین نے دوبارہ دریافت کیا، جن میں وردی، آدمچک، مدینہ اور مول شامل ہیں۔ مزید برآں، کچھ مصنفین نے ان انٹیگرلز میں سے پہلے کا نام بھی وارڈی کے نام پر رکھا، جنہوں نے 1988 میں اس کا دوبارہ جائزہ لیا (وہ اسے وارڈی کا انٹیگرل کہتے ہیں)، اور اسی طرح بہت سے معروف انٹرنیٹ وسائل جیسے کہ وولفرم میتھ ورلڈ سائٹ یا او ای آئی ایس فاؤنڈیشن سائٹ (اس طرح کے لوگرتھمک انٹیگرلز کی تشخیص میں بلا شبہ مالمسٹن کی ترجیح کو مدنظر رکھتے ہوئے، ایسا لگتا ہے کہ مالمسٹن کے انٹیگرلز کا نام ان کے لیے زیادہ موزوں ہوگا)۔ مالمسٹن نے مختلف سیریز کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ بالا فارمولے اخذ کیے۔ ایک ہی وقت میں، یہ دکھایا گیا ہے کہ ان کا اندازہ کونٹور انضمام کے طریقوں سے، ہروٹز زیٹا فنکشن کا استعمال کرکے، پولی لوگرتھمز کا استعمال کرکے اور ایل فنکشنز کا استعمال کرکے بھی کیا جا سکتا ہے۔ مالمسٹن کے انٹیگرلز کی زیادہ پیچیدہ شکلیں ایڈمچک اور بلاگچائن (70 سے زیادہ انٹیگرلز) کے کاموں میں ظاہر ہوتی ہیں۔ ذیل میں اس طرح کے انٹیگرلز کی کئی مثالیں دی گئی ہیں جہاں m اور n مثبت انٹیجر ہیں جیسے کہ m <n، G کاتالان کا مستقل ہے، ζ کا مطلب ریمن زیٹا فنکشن ہے، ेडگاما فنکشن ہے، اور म्बा 1 ٹریگاما فنکشن ہے۔ بالترتیب eq دیکھیں۔ (43)، (47) اور (48) آدمچک میں پہلے تین انٹیگرلز کے لیے، اور نمبر کی مشق کرتا ہے۔ 36-a، 36-b، 11-b اور 13-b بلاگوچائن میں بالترتیب آخری چار انٹیگرلز کے لیے (تیسرا انٹیگرل دونوں کاموں میں شمار کیا جا رہا ہے)۔ یہ تجسس کی بات ہے کہ مالمسٹن کے کچھ انٹیگرلز ایک پیچیدہ دلیل کے گاما-اور پولی گاما افعال کی طرف لے جاتے ہیں، جن کا اکثر تجزیہ میں سامنا نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، جیسا کہ Iaroslav Blagouchine نے دکھایا ہے، یا، مشقیں بالترتیب 7-a اور 37 دیکھیں۔ ویسے، مالمسٹن کے انٹیگرلز بھی اسٹیلٹجز مستقل سے قریب سے جڑے ہوئے پائے جاتے ہیں۔ 1842 میں، مالمسٹن نے کئی اہم لوگرتھمک سیریز کا بھی جائزہ لیا، جن میں سے ہم ان دونوں سیریز کو تلاش کر سکتے ہیں اور مؤخر الذکر سیریز کو بعد میں ارنسٹ کمر نے قدرے مختلف شکل میں دوبارہ دریافت کیا، جس نے 1847 میں اسی طرح کا اظہار اخذ کیا (سختی سے بات کرتے ہوئے، کمر کا نتیجہ مالمسٹن کے ایک سے a = π (2x-1) ڈال کر حاصل کیا جاتا ہے)۔ مزید برآں، اس سیریز کو تجزیہ میں گاما فنکشن کے لوگرتھم کے لیے کمر کی سیریز کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، حالانکہ مالمسٹن نے اسے کمر سے 5 سال پہلے اخذ کیا تھا۔ مالسمٹن نے زیٹا فنکشن سے متعلق سیریز اور انٹیگرلز کے نظریہ میں بھی نمایاں طور پر تعاون کیا۔ 1842 میں انہوں نے L-فنکشن کے ساتھ ساتھ M-فنکشن کے لیے اہم فعال تعلق کی پیروی کرنا ثابت کیا جہاں دونوں فارمولوں میں 0 <s <1۔ ان فارمولوں میں سے پہلا فارمولا لیون ہارڈ اویلر نے پہلے ہی 1749 میں تجویز کیا تھا، لیکن یہ مالمسٹن ہی تھا جس نے اسے ثابت کیا (اویلر نے صرف اس فارمولے کی تجویز پیش کی اور اس کی تصدیق کئی عدد اور s کی نیم عدد اقدار کے لیے کی)۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ ایل (ایس) کے لیے وہی فارمولا 1849 میں آسکر شلومیلچ نے نادانستہ طور پر دوبارہ دریافت کیا تھا (ثبوت صرف 1858 میں فراہم کیا گیا تھا)۔ چار سال بعد، مالمسٹن نے اسی طرح کے کئی دوسرے عکاسی فارمولے اخذ کیے، جو کہ ہروٹز کی فنکشنل مساوات کے مخصوص معاملات ثابت ہوتے ہیں۔ زیٹا فنکشنز کے نظریہ میں مالمسٹن کی شراکت کے بارے میں بات کرتے ہوئے، ہم عقلی دلیل پر پہلے عمومی اسٹیلٹجز مستقل کے لیے عکاسی کے فارمولے کی ان کی تصنیف کی حالیہ دریافت کا ذکر کرنے میں ناکام نہیں ہو سکتے جہاں m اور n مثبت عدد ہیں جیسے m <n۔ یہ شناخت، اگرچہ تھوڑی مختلف شکل میں، مالمسٹن نے پہلے ہی 1846 میں حاصل کی تھی اور مختلف مصنفین نے اسے کئی بار آزادانہ طور پر بھی دریافت کیا ہے۔ خاص طور پر، اسٹیلٹجز کے مستقلات سے وابستہ ادب میں، اسے اکثر المکویسٹ اور مورمین سے منسوب کیا جاتا ہے جنہوں نے اسے 1990 کی دہائی میں اخذ کیا تھا۔ حوالہ جات 19 ویں صدی کے سویڈش ریاضی دان فورسٹا کامارین کے اراکین رائل سویڈش اکیڈمی آف سائنسز کے اراکین 1814 پیدائش 1886 موت گوٹنگن اکیڈمی آف سائنسز کے اراکین اور اپسالا میں رائل سوسائٹی آف سائنسز کے ہیومینٹیز ممبران