Schwarzschild geodesics
عمومی اضافیت میں، شوارزشائلڈ جیوڈیکس ایک مرکزی فکسڈ ماس کے کشش ثقل کے میدان میں ٹیسٹ ذرات کی حرکت کو بیان کرتا ہے، یعنی شوارزشائلڈ میٹرک میں حرکت۔ شوارزچلڈ جیوڈیکس آئن سٹائن کے نظریہ اضافیت کی توثیق میں اہم رہے ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ نظام شمسی میں سیاروں کی بے ضابطہ پیش قدمی اور کشش ثقل کے ذریعے روشنی کے انحراف کی درست پیش گوئیاں فراہم کرتے ہیں۔ شوارزچلڈ جیوڈیکس کا تعلق صرف کمیت کے ذرات کی حرکت سے ہے جو اتنے چھوٹے ہوتے ہیں کہ کشش ثقل کے میدان میں ان کا بہت کم حصہ ہوتا ہے۔ تاہم، وہ بہت سے فلکی طبیعیات کے منظرناموں میں انتہائی درست ہیں بشرطیکہ مرکزی کمیت سے کئی گنا چھوٹا ہو، مثال کے طور پر، اپنے ستارے کے گرد چکر لگانے والے سیاروں کے لیے۔ شوارزشائلڈ جیوڈیکس صوابدیدی کمیت کے دو اجسام کی نسبتا حرکت کا بھی ایک اچھا تخمینہ ہے، بشرطیکہ شوارزشائلڈ کمیت دو انفرادی کمیتوں کے مجموعے کے برابر مقرر ہو اور۔ یہ عمومی اضافیت میں بائنری ستاروں کی حرکت کی پیش گوئی کرنے میں اہم ہے۔ شوارز چائلڈ میٹرک کا نام اس کے موجد کارل شوارز چائلڈ کے اعزاز میں رکھا گیا ہے، جس نے 1915 میں آئن سٹائن کے نظریہ اضافیت کی اشاعت کے تقریبا ایک ماہ بعد ہی حل تلاش کیا تھا۔ یہ ٹریوئل فلیٹ اسپیس حل کے علاوہ آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا پہلا درست حل تھا۔ 1931 میں، یوسوکے ہاگیہار نے ایک مقالہ شائع کیا جس میں دکھایا گیا کہ شوارزشائلڈ میٹرک میں ٹیسٹ پارٹیکل کی رفتار کو ایلیپٹک افعال کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ 1949 میں سموئیل کپلان نے دکھایا ہے کہ شوارزچلڈ میٹرک میں سرکلر مدار کے مستحکم ہونے کے لیے کم از کم رداس موجود ہے۔ شوارز چائلڈ میٹرک آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا ایک درست حل شوارز چائلڈ میٹرک ہے، جو ایک غیر چارج شدہ، غیر گھومنے والی، کروی طور پر ہم آہنگ کمیت کے بیرونی کشش ثقل کے میدان سے مطابقت رکھتا ہے۔ Schwarzschild حل اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں، چھوٹے مثبت کمیت کے ٹیسٹ پارٹیکل کی صورت میں، سیکنڈوں میں مناسب وقت (ذرہ کے ساتھ حرکت کرنے والی گھڑی کے ذریعے ماپا جانے والا وقت) ہے، میٹر فی سیکنڈ میں روشنی کی رفتار ہے، کیونکہ، وقت کا کوآرڈینیٹ (وقت کو لامحدود پر ایک اسٹیشنری گھڑی کے ذریعے ماپا جاتا ہے) سیکنڈوں میں ہے، کیونکہ، ریڈیل کوآرڈینیٹ (ستارے پر مرکوز دائرے کا دائرہ جس سے تقسیم کیا جاتا ہے) میٹر میں ہے، ریڈینس میں کولیٹیٹیوڈ (شمال سے زاویہ) ہے، ریڈینس میں طول البلد ہے، اور بڑے جسم (میٹر میں) کا Schwarzschild رداس ہے، جس کا تعلق اس کی کمیت سے ہے جہاں کشش ثقل مستقل ہے۔ کشش ثقل کا کلاسیکی نیوٹنین نظریہ حد میں بازیافت کیا جاتا ہے کیونکہ تناسب صفر پر جاتا ہے۔ اس حد میں، میٹرک خصوصی اضافیت کی طرف سے بیان کردہ حد پر واپس آتا ہے۔ عملی طور پر، یہ تناسب تقریبا ہمیشہ انتہائی چھوٹا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، زمین کا شوارزچلڈ رداس تقریبا 9 ملی میٹر (انچ) ہے ؛ زمین کی سطح پر، نیوٹنین کشش ثقل میں اصلاحات ایک ارب میں صرف ایک حصہ ہیں۔ سورج کا شوارز چائلڈ رداس بہت بڑا ہے، تقریبا 2953 میٹر، لیکن اس کی سطح پر، تناسب تقریبا 4 حصوں میں ایک ملین ہے۔ ایک سفید بونے ستارہ بہت گھنے ہوتے ہیں، لیکن یہاں بھی اس کی سطح پر تناسب تقریبا 250 حصوں میں ایک ملین ہے۔ یہ تناسب صرف انتہائی گھنے اشیا جیسے نیوٹران ستاروں (جہاں تناسب تقریبا 50 فیصد ہے) اور بلیک ہولز کے قریب بڑا ہو جاتا ہے۔ ٹیسٹ ذرات کے مدار ہم ایک متغیر کو غور سے ختم کرنے کے لیے ہم آہنگی کا استعمال کر کے مسئلے کو آسان بنا سکتے ہیں۔ چونکہ شوارزچلڈ میٹرک تقریبا ہم آہنگ ہے، اس لیے کوئی بھی جیوڈیسیک جو اس سطح پر حرکت کرنا شروع کرتا ہے وہ اس سطح میں غیر معینہ مدت تک رہے گا (طیارہ مکمل طور پر جیوڈیسیک ہے)۔ لہذا، ہم کوآرڈینیٹ سسٹم کو سمت دیتے ہیں تاکہ ذرہ کا مدار اس سطح میں ہو، اور کوآرڈینیٹ کو اس طرح طے کریں کہ میٹرک (اس سطح کا) حرکت کے دو مستقلات (وہ اقدار جو مناسب وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتیں) میں آسان ہو جائے۔ شناخت کی جا سکتی ہے (cf. مشتق ذیل میں دیا گیا ہے)۔ ایک کل توانائی ہے: اور دوسرا مخصوص کونیی مومنٹم ہے: جہاں دونوں اجسام کی کل کونیی مومنٹم ہے، اور کم شدہ کمیت ہے۔ جب، کم شدہ کمیت تقریبا برابر ہوتی ہے۔ بعض اوقات ایسا فرض کیا جاتا ہے۔ سیارے مرکری کے معاملے میں یہ سادگی رشتہ دار اثر سے دوگنا سے زیادہ بڑی غلطی کا تعارف کراتی ہے۔ جیوڈیسکس پر بحث کرتے وقت، اسے فرضی سمجھا جا سکتا ہے، اور مستقل اور اہم کیا ہیں۔ تمام ممکنہ جیوڈیسکس کا احاطہ کرنے کے لیے، ہمیں ان معاملات پر غور کرنے کی ضرورت ہے جن میں لامحدود (فوٹونوں کے راستے دینے والے) یا خیالی (ٹیچیونک جیوڈیسکس کے لیے) ہیں۔ فوٹونک کیس کے لیے، ہمیں دو مستقلات کے تناسب کے مطابق ایک نمبر کی وضاحت کرنے کی بھی ضرورت ہے، یعنی، جو صفر یا غیر صفر حقیقی نمبر ہو سکتا ہے۔ ان مستقلات کو شوارزچلڈ میٹرک کی تعریف میں تبدیل کرنے سے صحیح وقت کی تقریب کے طور پر رداس کے لیے حرکت کی مساوات حاصل ہوتی ہے: اس کا رسمی حل یہ ہے کہ نوٹ کریں کہ مربع جڑ ٹیچیونک جیوڈیسکس کے لیے خیالی ہوگی۔ اور کے درمیان اعلی تعلق کا استعمال کرتے ہوئے، ہم یہ بھی لکھ سکتے ہیں کہ چونکہ غیر علامتی طور پر انٹیگرینڈ الٹا متناسب ہے، اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر حوالہ کے فریم میں پہنچتا ہے تو یہ کبھی بھی اس تک پہنچے بغیر تیزی سے کرتا ہے۔ تاہم، ایک فنکشن کے طور پر، پہنچتا ہے۔ مندرجہ بالا حل درست ہیں جبکہ انٹیگرینڈ محدود ہے، لیکن کل حل میں دو یا ایک لامحدود ٹکڑے شامل ہو سکتے ہیں، جن میں سے ہر ایک کو انٹیگرل کے ذریعے بیان کیا گیا ہے لیکن مربع جڑ کے لیے متبادل علامات کے ساتھ۔ کب اور، ہم اس کے لیے اور واضح طور پر حل کر سکتے ہیں: اور فوٹونک جیوڈیکس کے لیے () صفر کونیی رفتار کے ساتھ (اگرچہ فوٹونک معاملے میں مناسب وقت معمولی ہے، کوئی ایک افائن پیرامیٹر کی وضاحت کر سکتا ہے، اور پھر جیوڈیسیک مساوات کا حل ہے۔) ایک اور قابل حل معاملہ وہ ہے جس میں اور اور مستقل ہیں۔ اس حجم میں جہاں یہ مناسب وقت دیتا ہے یہ چھوٹے اور مثبت حلوں کے قریب ہے۔ حل کے باہر ٹیچیونک ہوتا ہے اور "مناسب وقت" جگہ کی طرح ہوتا ہے: یہ چھوٹے اور منفی کے ساتھ دوسرے ٹیچیونک حل کے قریب ہوتا ہے۔ باہر کا مستقل ٹیچیونک جیوڈیسیک اندر کے مستقل جیوڈیسیک کے ذریعہ جاری نہیں رہتا ہے، بلکہ "متوازی بیرونی خطے" میں جاری رہتا ہے (کروسکال-زیکیرس کوآرڈینیٹس دیکھیں)۔ دیگر ٹیچیونک حل بلیک ہول میں داخل ہو سکتے ہیں اور متوازی بیرونی علاقے میں دوبارہ باہر نکل سکتے ہیں۔ واقعہ کے افق () کے اندر مستقل حل کو سفید سوراخ میں مستقل حل کے ذریعے جاری رکھا جاتا ہے۔ جب کونیی مومنٹم صفر نہیں ہوتا ہے تو ہم مناسب وقت پر انحصار کو زاویہ پر انحصار کے ذریعے تبدیل کر سکتے ہیں جس کی تعریف مدار کے لیے مساوات فراہم کرتی ہے جہاں، مختصر ہونے کے لیے، دو لمبائی کے پیمانے، اور، نوٹ کے ذریعے بیان کیے گئے ہیں کہ ٹیچیونک صورت میں، خیالی اور حقیقی یا لامحدود ہوں گے۔ اسی مساوات کو لاگرانجین نقطہ نظر یا ہیملٹن-جیکوبی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے بھی اخذ کیا جا سکتا ہے (نیچے دیکھیں)۔ مدار کی مساوات کا حل یہ ہے کہ اس کا اظہار ویئراسٹراس ایلیپٹک فنکشن کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے۔ مقامی اور تاخیر شدہ رفتار کلاسیکی میکانکس کے برعکس، شوارزچلڈ کوآرڈینیٹس میں اور مقامی رفتار کے ریڈیل اور ٹرانسورس اجزاء نہیں ہیں (ایک مستحکم مبصر سے متعلق)، اس کے بجائے وہ رفتار کے لیے اجزاء دیتے ہیں جن کا تعلق ریڈیل اور حرکت کے ٹرانسورس جزو سے ہوتا ہے۔ کوآرڈینیٹ بک کیپر منظر سے بہت دور شیپیرو میں تاخیر کی رفتار کا مشاہدہ کرتا ہے، جو رشتہ اور کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ بک کیپر اور حرکت پذیر ٹیسٹ پارٹیکل کے درمیان ٹائم ڈائلشن فیکٹر کو بھی اس شکل میں رکھا جا سکتا ہے جہاں نیومریٹر کشش ثقل ہے، اور ڈینومینیٹر ٹائم ڈائلشن کا کینیمیٹک جزو ہے۔ لامحدود سے گرنے والے ذرہ کے لیے بائیں عنصر صحیح عنصر کے برابر ہوتا ہے، کیونکہ اس صورت میں گرنے والی رفتار فرار کی رفتار سے میل کھاتی ہے۔ دو مستقل کونیی مومنٹم اور کمیت کے ساتھ ٹیسٹ پارٹیکل کی کل توانائی کے لحاظ سے اور کہاں اور بڑے پیمانے پر ٹیسٹ پارٹیکلز کے لیے لورینٹز فیکٹر ہے اور مناسب وقت ہے، جبکہ فوٹون جیسے کمیت کے بغیر ذرات کے لیے سیٹ کیا جاتا ہے اور ایک افائن پیرامیٹر کا کردار ادا کرتا ہے۔ اگر ذرہ ماس لیس ہے تو اسے اور کے ساتھ تبدیل کیا جاتا ہے، جہاں پلانک مستقل اور مقامی طور پر مشاہدہ شدہ تعدد ہے۔ الپٹک افعال کا استعمال کرتے ہوئے درست حل مدار کی بنیادی مساوات کو حل کرنا آسان ہے اگر اس کا اظہار الٹا رداس کے لحاظ سے کیا جائے۔ اس مساوات کا دائیں طرف ایک کیوبک کثیر الجہتی ہے، جس کی تین جڑیں ہیں، جنہیں یہاں اس طرح ظاہر کیا گیا ہے، اور تین جڑوں کا مجموعہ اصطلاح کے گتانک کے برابر ہے۔ حقیقی گتانک کے ساتھ ایک کیوبک کثیرالجہتی میں یا تو تین حقیقی جڑیں ہو سکتی ہیں، یا ایک حقیقی جڑ اور دو پیچیدہ کنجوگیٹ جڑیں ہو سکتی ہیں۔ اگر تینوں جڑیں حقیقی اعداد ہیں، تو جڑوں کو اس طرح نشان زد کیا جاتا ہے۔ اگر اس کے بجائے صرف ایک حقیقی جڑ ہے، تو اسے اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے ؛ پیچیدہ کنجوگیٹ جڑوں کو لیبل کیا جاتا ہے اور۔ ڈیکارٹس کے علامات کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے، زیادہ سے زیادہ ایک منفی جڑ ہو سکتی ہے ؛ منفی ہے اگر اور صرف اگر۔ جیسا کہ ذیل میں بحث کی گئی ہے، جڑیں ممکنہ مداروں کی اقسام کا تعین کرنے میں مفید ہیں۔ جڑوں کی اس لیبلنگ کو دیکھتے ہوئے، بنیادی مداری مساوات کا حل وہ ہے جہاں فنکشن کی نمائندگی کرتا ہے (جیکوبی ایلیپٹک افعال میں سے ایک) اور انضمام کا ایک مستقل ہے جو ابتدائی پوزیشن کی عکاسی کرتا ہے۔ اس ایلیپٹک فنکشن کا ایلیپٹک ماڈیولس فارمولا نیوٹنین لمٹ کے ذریعے دیا گیا ہے۔ سیاروں کے مداروں کے لیے نیوٹنین حل کو بازیافت کرنے کے لیے، جب شوارزچلڈ کا رداس صفر پر جاتا ہے تو کوئی حد لیتا ہے۔ اس صورت میں، تیسری جڑ تقریبا، اور یا سے بہت بڑی ہو جاتی ہے۔ لہذا، ماڈیولس صفر کی طرف جاتا ہے ؛ اس حد میں، مثلثی سائن فنکشن بن جاتا ہے جو سیاروں کی حرکتوں کے لیے نیوٹن کے حلوں سے مطابقت رکھتا ہے، یہ فارمولا سنکیتا کے فوکل کونک کو بیان کرتا ہے۔ اگر ایک مثبت حقیقی نمبر ہے، تو مدار ایک ایلیپس ہے جہاں اور بالترتیب سب سے دور اور قریب ترین نقطہ نظر کے فاصلے کی نمائندگی کرتا ہے۔ اگر صفر یا منفی حقیقی عدد ہے، تو مدار بالترتیب ایک پیرابولہ یا ہائپربولا ہے۔ ان مؤخر الذکر دو صورتوں میں، قریب ترین نقطہ نظر کے فاصلے کی نمائندگی کرتا ہے ؛ چونکہ مدار انفینیٹی () پر جاتا ہے، اس لیے دور ترین نقطہ نظر کا کوئی فاصلہ نہیں ہے۔ جڑیں اور ممکنہ مداروں کا جائزہ ایک جڑ مدار کے ایک نقطہ کی نمائندگی کرتی ہے جہاں مشتق غائب ہو جاتا ہے، یعنی، جہاں۔ اس طرح کے موڑ پر، دوسرے مشتق کی قدر کے لحاظ سے زیادہ سے زیادہ، کم سے کم، یا ایک انفلیکشن پوائنٹ تک پہنچ جاتا ہے، جو فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اگر تینوں جڑیں الگ الگ حقیقی اعداد ہیں، تو دوسرا مشتق بالترتیب مثبت، منفی، اور مثبت ہے۔ اس کے بعد یہ آتا ہے کہ یو بمقابلہ φ کا گراف یا تو یو 1 اور یو 2 کے درمیان ارتعاش کر سکتا ہے، یا یہ یو 3 سے انفینیٹی کی طرف بڑھ سکتا ہے (جو کہ r کے صفر پر جانے سے مطابقت رکھتا ہے)۔ اگر u1 منفی ہے، تو دراصل "ارتعاش" کا صرف ایک حصہ واقع ہوگا۔ یہ اس ذرہ سے مطابقت رکھتا ہے جو انفینیٹی سے آتا ہے، مرکزی کمیت کے قریب پہنچتا ہے، اور پھر دوبارہ انفینیٹی کی طرف بڑھتا ہے، جیسے کلاسیکی حل میں ہائپربولک ٹریجیکٹوری۔ اگر ذرہ اپنی کونیی رفتار کے لیے صرف صحیح مقدار میں توانائی رکھتا ہے، تو u2 اور u3 ضم ہو جائیں گے۔ اس معاملے میں تین حل ہیں۔ مدار سرپل ہو سکتا ہے، اس رداس کے قریب پہنچ کر (غیر علامتی طور پر) φ میں گھٹتے ہوئے ایکسپونینشل کے طور پر، یا۔ یا اس رداس پر ایک سرکلر مدار ہو سکتا ہے۔ یا کسی کے پاس ایک ایسا مدار ہو سکتا ہے جو اس رداس سے مرکزی نقطہ تک سرپل ہو۔ زیر بحث رداس کو اندرونی رداس کہا جاتا ہے اور یہ 3 گنا rs کے درمیان ہوتا ہے۔ ایک سرکلر مدار کا نتیجہ بھی اس وقت نکلتا ہے جب برابر ہوتا ہے، اور اسے بیرونی رداس کہا جاتا ہے۔ مداروں کی ان مختلف اقسام پر ذیل میں تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ اگر ذرہ کافی توانائی اور کافی کم کونیی رفتار کے ساتھ مرکزی کمیت پر آتا ہے تو ہی حقیقی ہوگا۔ یہ بلیک ہول میں گرنے والے ذرہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ مدار کا سرپل φ میں ایک محدود تبدیلی کے ساتھ آتا ہے۔ مداروں کی پیش قدمی فنکشن sn اور اس کے مربع sn2 میں بالترتیب 4K اور 2K کے ادوار ہوتے ہیں، جہاں K کی تعریف مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے۔ لہذا، φ میں ایک ارتعاش (یا، مساوی طور پر، ایک ارتعاش) پر تبدیلی برابر ہوتی ہے۔ کلاسیکی حد میں، u3 قریب آتا ہے اور یا سے بہت بڑا ہوتا ہے۔ چونکہ ماڈیولس صفر کے قریب ہے، اس لیے مدت K کو طاقتوں میں بڑھایا جا سکتا ہے۔ سب سے کم ترتیب میں، یہ توسیع ان تخمینوں کو δφ کے فارمولے میں تبدیل کرنے سے فی ریڈیل ارتعاش کے لیے کونیی پیش قدمی کا فارمولا حاصل ہوتا ہے۔ ایک انڈاکار مدار کے لیے، اور بالترتیب طویل ترین اور مختصر ترین فاصلے کے الٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ ان کا اظہار ایلیپس کے نیم بڑے محور اور اس کی مداری سنکیتا کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے، جس سے روشنی کو کشش ثقل کے ذریعے موڑنے کی حتمی مساوات کی تعریف کو تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس حد میں جیسے جیسے ذرہ کمیت m صفر کی طرف جاتا ہے (یا، مساوی طور پر اگر روشنی براہ راست مرکزی کمیت کی طرف بڑھ رہی ہے، جیسا کہ لمبائی کا پیمانہ a انفینیٹی کی طرف جاتا ہے)، مدار کے لیے مساوات کی طاقتوں میں توسیع ہوتی ہے، اس فارمولے میں لیڈنگ آرڈر کی اصطلاح انفینیٹی سے آنے والے ماس لیس پارٹیکل کے لیے تقریبا کونیی انحراف δφ دیتی ہے اور انفینیٹی کی طرف واپس جا رہی ہے: یہاں، اثر پیرامیٹر ہے، جو قریب ترین نقطہ نظر کے فاصلے سے کچھ زیادہ ہے،: اگرچہ یہ فارمولا لگ بھگ ہے، یہ ہے سورج کی سطح کو چرانے والی روشنی کے لیے، تقریبا کونیی انحراف تقریبا 1.75 آرک سیکنڈ ہے، جو ایک دائرے کا تقریبا دس لاکھ واں حصہ ہے۔ نیوٹونی طبیعیات سے تعلق مؤثر شعاعی ممکنہ توانائی اوپر اخذ کردہ ذرہ کے لیے حرکت کی مساوات کو شوارزچلڈ رداس rs کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جو کہ ایک جہتی موثر صلاحیت میں حرکت کرنے والے ذرہ کے مساوی ہے۔ پہلی دو اصطلاحات معروف کلاسیکی توانائیاں ہیں، جن میں سے پہلی کشش ثقل نیوٹونیائی ممکنہ توانائی ہے اور دوسری پسپا "سنٹری فیوگل" ممکنہ توانائی سے مطابقت رکھتی ہے۔ تاہم، تیسری اصطلاح عمومی اضافیت کے لیے منفرد ایک پرکشش توانائی ہے۔ جیسا کہ نیچے اور دوسری جگہوں پر دکھایا گیا ہے، یہ الٹا کیوبک توانائی الپٹیکل مداروں کو ایک زاویہ δφ فی انقلاب کے ذریعے بتدریج آگے بڑھنے کا سبب بنتی ہے جہاں نیم بڑا محور ہے اور سنکیتا ہے۔ تیسری اصطلاح پرکشش ہے اور چھوٹی اقدار پر غالب ہے، جس سے ایک اہم اندرونی رئیڈس رنر ملتا ہے جس پر ایک ذرہ بے ترتیب طور پر اندر کی طرف کھینچا جاتا ہے۔ یہ اندرونی رئیڈس ذرہ کے کونیی مومنٹم فی یونٹ ماس یا، مساوی طور پر، اوپر بیان کردہ لمبائی کے پیمانے کا ایک فعل ہے۔ سرکلر مدار اور ان کا استحکام موثر صلاحیت کو لمبائی کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ سرکلر مدار اس وقت ممکن ہوتے ہیں جب موثر قوت صفر ہو یعنی جب دو پرکشش قوتیں-نیوٹنین کشش ثقل (پہلی اصطلاح) اور عمومی اضافیت کے لیے منفرد کشش (تیسری اصطلاح)-پسپا سنٹری فیوگل قوت (دوسری اصطلاح) کے ذریعے بالکل متوازن ہوں۔ دو ریڈیائی ہیں جن پر یہ توازن واقع ہو سکتا ہے، جسے یہاں رنر اور روٹر کے طور پر ظاہر کیا گیا ہے جو کواڈریٹک فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیے جاتے ہیں۔ اندرونی رداس رنر غیر مستحکم ہوتا ہے، کیونکہ جب r چھوٹا ہو جاتا ہے تو پرکشش تیسری قوت دیگر دو قوتوں کے مقابلے میں بہت تیزی سے مضبوط ہوتی ہے۔ اگر ذرہ رنر سے قدرے اندر کی طرف پھسل جاتا ہے (جہاں تینوں قوتیں توازن میں ہوتی ہیں)، تو تیسری قوت دوسرے دو پر حاوی ہو جاتی ہے اور ذرہ کو بے حد اندر کی طرف r = 0 کی طرف کھینچتی ہے۔ بیرونی رداس پر، تاہم، سرکلر مدار مستحکم ہیں ؛ تیسری اصطلاح کم اہم ہے اور نظام غیر رشتہ دار کیپلر مسئلے کی طرح زیادہ برتاؤ کرتا ہے۔ جب (کلاسیکی صورت) سے بہت زیادہ ہوتا ہے، تو یہ فارمولے تقریبا بن جاتے ہیں اور rs کی تعریفوں کو روٹر میں تبدیل کرنے سے کمیت کے جسم کے گرد چکر لگانے والے کمیت کے ذرہ کے لیے کلاسیکی فارمولا حاصل ہوتا ہے۔ جہاں ωφ ذرہ کی مداری کونیی رفتار ہے۔ یہ فارمولا غیر رشتہ دار میکانکس میں نیوٹنین کشش ثقل کے برابر سینٹرفیوگل فورس کو ترتیب دے کر حاصل کیا جاتا ہے: کم شدہ کمیت کہاں ہے۔ ہمارے اشارے میں، کلاسیکی مداری کونیی رفتار برابر ہوتی ہے دوسری انتہا پر، جب a2 اوپر سے 3rs2 کے قریب پہنچتا ہے، تو دونوں ریڈی ایک ہی قدر میں یکجا ہو جاتے ہیں۔ اوپر دیے گئے کواڈریٹک حل اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ راؤٹر ہمیشہ 3rs سے بڑا ہے، جبکہ رنر rs اور 3rs کے درمیان ہوتا ہے۔ rs سے چھوٹے سرکلر مدار ممکن نہیں ہیں۔ کمیت کے بغیر ذرات کے لیے، a انفینٹی کی طرف جاتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ رنر = rs پر فوٹونوں کے لیے ایک سرکلر مدار موجود ہے۔ اس رداس کے دائرے کو بعض اوقات فوٹون دائرے کے نام سے جانا جاتا ہے۔ انڈاکار مداروں کی پیش قدمی اس شعاعی موثر صلاحیت V کا استعمال کرتے ہوئے مداری پیش قدمی کی شرح حاصل کی جا سکتی ہے۔ رداس راؤٹر کے سرکلر مدار سے ایک چھوٹا شعاعی انحراف ایک کونیی تعدد کے ساتھ مستحکم طور پر ارتعاش کرے گا جو دونوں اطراف کے مربع جڑ کو لے کر اور ٹیلر سیریز کی توسیع انجام دینے کے برابر ہے۔ ایک انقلاب کی مدت T سے ضرب دینے سے مدار فی انقلاب کی پیش قدمی ملتی ہے جہاں ہم نے ωφT = 2p اور لمبائی پیمانے a کی تعریف استعمال کی ہے۔ شوارز چائلڈ رداس rs کی تعریف کو تبدیل کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ اس کو ایلیپٹیکل آربیٹ کے سیمی ایکسس A کا استعمال کرتے ہوئے آسان بنایا جا سکتا ہے اور اس فارمولے سے متعلق سنکیتا e کو مداری مساوات کرسٹوفیل کی ریاضیاتی مشتقات دینے کے لیے آسان بنایا جا سکتا ہے۔ شوارز چائلڈ میٹرک کے لیے غیر غائب ہونے والی کرسٹوفیل کی علامتیں یہ ہیں: جیوڈیسیک مساوات آئن سٹائن کے عمومی اضافیت کے نظریہ کے مطابق، خلائی وقت میں جیوڈیکس کے ساتھ نہ ہونے کے برابر بڑے پیمانے پر سفر کرنے والے ذرات۔ فلیٹ اسپیس ٹائم میں، کشش ثقل کے ماخذ سے دور، یہ جیوڈیکس سیدھی لکیروں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ تاہم، جب اسپیس ٹائم مڑے ہوئے ہوتے ہیں تو وہ سیدھی لکیروں سے ہٹ سکتے ہیں۔ جیوڈیسیک لائنوں کے لیے مساوات وہ ہے جہاں γ کرسٹوفیل علامت کی نمائندگی کرتا ہے اور متغیر خلائی وقت، اس کی نام نہاد عالمی لائن کے ذریعے ذرہ کے راستے کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ کرسٹوفیل علامت کا انحصار صرف میٹرک ٹینسر پر ہوتا ہے، یا اس پر کہ یہ پوزیشن کے ساتھ کیسے تبدیل ہوتا ہے۔ متغیر وقت نما مداروں کے لیے مناسب وقت کا ایک مستقل ضرب ہے (جو بڑے ذرات کے ذریعے سفر کرتے ہیں)، اور عام طور پر اس کے برابر سمجھا جاتا ہے۔ ہلکے (یا کالعدم) مداروں کے لیے (جو کمیت کے بغیر ذرات جیسے کہ فوٹون کے ذریعے سفر کرتے ہیں)، مناسب وقت صفر ہوتا ہے اور سختی سے کہا جائے تو اسے متغیر کے طور پر استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ اس کے باوجود، ہلکے مداروں کو وقتی مداروں کی الٹرا ریلیٹیوسٹک حد کے طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے، یعنی وہ حد جب ذرہ ماس m اپنی کل توانائی کو مستحکم رکھتے ہوئے صفر پر جاتا ہے۔ لہذا، کسی ذرہ کی حرکت کو حل کرنے کا سب سے سیدھا طریقہ جیوڈیسیک مساوات کو حل کرنا ہے، یہ نقطہ نظر آئن سٹائن اور دیگر نے اپنایا ہے۔ شوارزچلڈ میٹرک کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں دو افعال اور اس کے باہمی کو مختصر طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس میٹرک سے، کرسٹوفیل کی علامتوں کا حساب لگایا جا سکتا ہے، اور نتائج کو جیوڈیسیک مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس بات کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ یہ ان چار مساوات میں سے پہلی میں متبادل کے ذریعے ایک درست حل ہے۔ سمیٹری کے لحاظ سے، مدار کو طیارہ ہونا چاہیے، اور ہم کوآرڈینیٹ فریم کو ترتیب دینے کے لیے آزاد ہیں تاکہ استوائی طیارہ مدار کا طیارہ ہو۔ یہ حل دوسری اور چوتھی مساوات کو آسان بناتا ہے۔ دوسری اور تیسری مساوات کو حل کرنے کے لیے، انہیں بالترتیب اور سے تقسیم کرنا کافی ہے۔ جو حرکت کے دو مستقلات پیدا کرتا ہے۔ چونکہ ٹیسٹ کے ذرات ایک مقررہ میٹرک میں جیوڈیکس کی پیروی کرتے ہیں، اس لیے ان ذرات کے مدار کا تعین تغیرات کے کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، جسے لگرینجین اپروچ بھی کہا جاتا ہے۔ خلائی وقت میں جیوڈیسکس کو منحنی خطوط کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جس کے لیے ان کے نقاط میں چھوٹے مقامی تغیرات (ان کے اختتامی نکات کے واقعات کو طے کرتے ہوئے) ان کی مجموعی لمبائی s میں کوئی اہم تبدیلی نہیں کرتے ہیں۔ اس کا اظہار ریاضیاتی طور پر تغیرات کے کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے جہاں τ مناسب وقت ہے، s = cτ خلائی وقت میں آرک لمبائی ہے اور T کی تعریف حرکی توانائی کے ساتھ مشابہت میں کی گئی ہے۔ اگر مناسب وقت کے حوالے سے مشتق کی نمائندگی ایک نقطے سے کی جاتی ہے تو مختصر T کو مستقل عوامل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (جیسے کہ c یا دو کا مربع جڑ) جو تغیراتی مسئلے کے جواب کو متاثر نہیں کرتے ہیں۔ اس لیے، تغیر کو انٹیگرل کے اندر لے کر ہیملٹن کا اصول حاصل ہوتا ہے۔ تغیراتی مسئلے کا حل لگرینج کی مساوات کے ذریعے دیا جاتا ہے جب t اور φ پر لاگو ہوتا ہے، تو یہ مساوات حرکت کے دو مستقلات کو ظاہر کرتی ہیں جن کا اظہار دو مستقل لمبائی کے پیمانے کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے، اور جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے، شوارزچلڈ میٹرک کی تعریف میں ان مساوات کو تبدیل کرنے سے مدار کے لیے مساوات حاصل ہوتی ہے۔ ہیملٹنین نقطہ نظر ایک لگرینجین حل کو مساوی ہیملٹنین شکل میں دوبارہ تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، ہیملٹنین ایک بار پھر، مدار کو ہم آہنگی کے ذریعے محدود کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ اور ہیملٹنین میں ظاہر نہیں ہوتے ہیں، اس لیے ان کا کنجوگیٹ مومینٹا مستقل ہوتا ہے۔ ان کا اظہار روشنی کی رفتار اور دو مستقل لمبائی کے پیمانے کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے اور مناسب وقت کے حوالے سے مشتقات پہلی مساوات کو دوسرے سے تقسیم کرنے سے مداری مساوات حاصل ہوتی ہے۔ ریڈیل مومنٹم پی آر کو ہیملٹنین کی مستقل مزاجی کا استعمال کرتے ہوئے آر کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس سے بنیادی مداری مساوات ہیملٹن-جیکوبی نقطہ نظر حاصل ہوتا ہے۔ مداری مساوات ہیملٹن-جیکوبی مساوات سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس نقطہ نظر کا فائدہ یہ ہے کہ یہ ذرہ کی حرکت کو لہر کے پھیلاؤ کے برابر کرتا ہے، اور فرمیٹ کے اصول کے ذریعے عمومی اضافیت میں کشش ثقل کے ذریعے روشنی کے انحراف کی مشتق میں صاف طور پر لے جاتا ہے۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ، وقت کی کشش ثقل کی سست روی کی وجہ سے، کشش ثقل کے قریب لہر کے محاذ کے کچھ حصے مزید دور کے مقابلے میں زیادہ آہستہ حرکت کرتے ہیں، اس طرح لہر کے محاذ کے پھیلاؤ کی سمت کو موڑ دیتے ہیں۔ عام کوویرینس کا استعمال کرتے ہوئے، یونٹ ماس کے ایک واحد ذرہ کے لیے ہیملٹن-جیکوبی مساوات کو صوابدیدی نقاط میں ظاہر کیا جا سکتا ہے کیونکہ یہ اوپر دی گئی ہیملٹنین تشکیل کے مساوی ہے، جس میں عمل کے جزوی مشتقات عمومی مومینٹا کی جگہ لیتے ہیں۔ شوارز چائلڈ میٹرک جی ایم یو این کا استعمال کرتے ہوئے، یہ مساوات بن جاتی ہے جہاں ہم پھر سے کروی کوآرڈینیٹ سسٹم کو مدار کے جہاز کے ساتھ سمت دیتے ہیں۔ وقت t اور ایزموتھل زاویہ φ چکور نقاط ہیں، تاکہ ہیملٹن کے پرنسپل فنکشن S کا حل لکھا جا سکے جہاں اور مستقل عمومی مومینٹا ہیں۔ ہیملٹن-جیکوبی مساوات شعاعی حصے کے لیے ایک لازمی حل دیتی ہے۔ محفوظ رفتار pφ پیداوار کے حوالے سے ہیملٹن کے پرنسپل فنکشن S کا مشتق لینا جو کہ برابر ہے۔ φ اور r میں لامحدود تغیر لینے سے بنیادی مداری مساوات حاصل ہوتی ہے جہاں محفوظ لمبائی کے پیمانے a اور b کی تعریف محفوظ مومینٹا کے ذریعے مساوات ہیملٹن کے اصول کے ذریعے کی جاتی ہے۔ صرف کشش ثقل سے متاثر ہونے والے ذرہ کے لیے ایکشن انٹیگرل وہ جگہ ہے جہاں مناسب وقت ہوتا ہے اور ذرہ کی عالمی لکیر کی کوئی ہموار پیرامیٹرائزیشن ہوتی ہے۔ اگر کوئی اس پر تغیرات کا حساب لگاتا ہے، تو اسے دوبارہ جیوڈیسیک کے لیے مساوات مل جاتی ہیں۔ حساب کو آسان بنانے کے لیے، سب سے پہلے انٹیگرینڈ کے مربع کی تغیر کو لیا جاتا ہے۔ اس معاملے کے میٹرک اور نقاط کے لیے اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ ذرہ استوائی سطح میں حرکت کر رہا ہے، وہ مربع اس کی تغیر کو لے کر طول بلد میں حرکت دیتا ہے طول بلد کے حوالے سے حرکت صرف انضمام کی تغیر کو حاصل کرنے کے لیے تقسیم کرنے کے لیے مختلف ہوتی ہے۔ اس طرح حصوں سے انضمام سے طول بلد کی تغیر کو اختتامی نکات پر صفر سمجھا جاتا ہے، لہذا پہلی اصطلاح غائب ہو جاتی ہے۔ انٹیگرل کو غیر صفر اس کے منحرف انتخاب سے بنایا جا سکتا ہے جب تک کہ اندر کا دوسرا عنصر ہر جگہ صفر نہ ہو۔ تو حرکت کی مساوات وقت کے حوالے سے حرکت ہے صرف انٹیگرانڈ کی تغیر حاصل کرنے کے لیے تقسیم حاصل کرنے کے لیے وقت کے لحاظ سے مختلف ہوتی ہے۔ اس طرح حصوں کے ذریعے انٹیگرٹ کرنے سے مومینٹا ملتا ہے۔ تو حرکت کی مساوات محفوظ ہوتی ہے۔ ان حرکت کی مساوات کو انٹیگرٹ کریں تاکہ انضمام کے مستقلات کا تعین کیا جا سکے۔ حرکت کے مستقلات (کونیی رفتار) اور (توانائی) کے لیے ان دونوں مساوات کو ملا کر ایک ایسی مساوات بنائی جا سکتی ہے جو فوٹون اور دیگر کمیت کے بغیر ذرات کے لیے بھی درست ہے جس کے لیے جیوڈیسیک کے ساتھ مناسب وقت صفر ہے۔ ریڈیل موشن کو میٹرک مساوات میں تبدیل کرنا (اور استعمال کرنا) دیتا ہے جس سے کوئی اخذ کر سکتا ہے جس کے لیے حرکت کی مساوات ہے۔ اس پر انحصار کو حاصل کرنے کے لیے اس سے تقسیم کر کے پایا جا سکتا ہے جو کہ بغیر کمیت والے ذرات کے لیے بھی درست ہے۔ اگر لمبائی کے پیمانوں کی وضاحت کی جاتی ہے اور پھر اس پر انحصار آسان ہوجاتا ہے۔ مزید دیکھیں کلاسیکی مرکزی قوت کا مسئلہ عمومی اضافیت میں فریم فیلڈز کیپلر کا مسئلہ عمومی اضافیت میں دو جسم کا مسئلہ نوٹ حوالہ جات ببلیوگرافی شوارزچلڈ، کے۔ (1916)۔ گریویٹیشن فیلڈ نے آئن سٹائن کی تھیوری پر توجہ نہیں دی۔ پریوسچن اکادمی ڈیر وسینسچافٹن 1، 189-196۔ اصل کاغذ کے اصل کاغذ کے متن کا اسکین، وکی سورس ترجمہ میں اینٹوسی اور لونگر کے ذریعہ کاغذ پر ایک تبصرہ، جس سے ایک آسان مشتق شوارزچلڈ، کے۔ (1916) ملتا ہے۔ کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش ثقل کے میدان میں کشش 1، 424 -؟ (کشش ثقل (کتاب) دیکھیں۔) بیرونی روابط کیون براؤن کی طرف سے اضافیت پر عکاسی سے اقتباس۔ عمومی اضافیت میں درست حل