Cross section (geometry)
جیومیٹری اور سائنس میں، کراس سیکشن تین جہتی خلا میں کسی ٹھوس شے کا ہوائی جہاز کے ساتھ، یا اعلی جہتی خالی جگہوں میں اینالاگ کا غیر خالی چوراہا ہے۔ کسی چیز کو ٹکڑوں میں کاٹنے سے بہت سے متوازی کراس سیکشن بنتے ہیں۔ تین جہتی خلا میں کراس سیکشن کی حد جو دو محوروں کے متوازی ہے، یعنی ان محوروں کے ذریعے طے شدہ سطح کے متوازی ہے، کو بعض اوقات کنٹور لائن کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی طیارہ زمین کے متوازی بلند ریلیف نقشے کے پہاڑوں سے گزرتا ہے، تو نتیجہ دو جہتی خلا میں ایک کنٹور لائن ہے جو برابر بلندی والے پہاڑوں کی سطح پر پوائنٹس دکھاتی ہے۔ تکنیکی ڈرائنگ میں ایک کراس سیکشن، کسی شے کا کسی ہوائی جہاز پر پروجیکشن ہونا جو اسے کاٹتا ہے، ایک عام ٹول ہے جو تین جہتی شے کے اندرونی ترتیب کو دو جہتوں میں ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ روایتی طور پر کراس ہیچنگ کے انداز کے ساتھ کراس ہیچ کیا جاتا ہے جو اکثر استعمال ہونے والے مواد کی اقسام کی نشاندہی کرتا ہے۔ کمپیوٹیڈ ایکسل ٹومگرافی کے ساتھ، کمپیوٹر ایکس رے ڈیٹا سے کراس سیکشن بنا سکتے ہیں۔ تعریف اگر کوئی طیارہ کسی ٹھوس (ایک سہ جہتی شے) کو کاٹتا ہے، تو طیارہ اور ٹھوس کے لیے مشترکہ خطہ ٹھوس کا کراس سیکشن کہلاتا ہے۔ ٹھوس کے کراس سیکشن پر مشتمل طیارہ کو کاٹنے والا طیارہ کہا جا سکتا ہے۔ ٹھوس کے کراس سیکشن کی شکل کا انحصار کٹنگ پلین کی ٹھوس کی طرف سمت پر ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب کہ گیند کے تمام کراس سیکشن ڈسک ہوتے ہیں، مکعب کے کراس سیکشن کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ کٹنگ پلین کا مکعب سے کیا تعلق ہے۔ اگر کاٹنے والا طیارہ مکعب کے دو مخالف چہروں کے مراکز کو جوڑنے والی لکیر کے لیے عمودی ہے، تو کراس سیکشن ایک مربع ہوگا، تاہم، اگر کاٹنے والا طیارہ مخالف عمودی حصوں کو جوڑنے والے مکعب کے اخترن کے لیے عمودی ہے، تو کراس سیکشن یا تو ایک نقطہ، مثلث یا مسدس ہو سکتا ہے۔ ہوائی جہاز کے حصے ایک متعلقہ تصور ہوائی جہاز کے حصے کا ہے، جو کسی سطح کے ساتھ ہوائی جہاز کے چوراہے کا منحنی خطوط ہے۔ اس طرح، ایک طیارہ کا حصہ ایک کٹنگ طیارہ میں ٹھوس کے کراس سیکشن کی حد ہے۔ اگر تین جہتی خلا میں کسی سطح کی تعریف دو متغیرات کے فنکشن سے کی جاتی ہے، یعنی، ہوائی جہاز کے حصوں کو طیاروں کو کاٹ کر جو ایک مربوط سطح کے متوازی ہوتے ہیں (ایک طیارہ جس کا تعین دو مربوط محوروں سے ہوتا ہے) سطح کے منحنی خطوط یا آئسولینز کہلاتے ہیں۔ مزید خاص طور پر، فارم کی مساوات کے ساتھ طیاروں کو کاٹنے سے (طیاروں کو-طیاروں کے متوازی) طیارہ کے حصے پیدا ہوتے ہیں جنہیں اکثر اطلاق کے علاقوں میں کنٹور لائنیں کہا جاتا ہے۔ کراس سیکشنز اور پلین سیکشنز کی ریاضیاتی مثالیں پولی ہیڈرون کا کراس سیکشن ایک کثیر الاضحی ہوتا ہے۔ مخروطی حصے-حلقے، ایلیپس، پیرابولس، اور ہائپربولس-شنک کے سطحی حصے ہیں جن میں مختلف زاویوں پر کاٹنے والے طیارے ہوتے ہیں، جیسا کہ بائیں طرف کے خاکہ میں دیکھا گیا ہے۔ ایلیپسائڈ کے مرکز سے گزرنے والا کوئی بھی کراس سیکشن ایک ایلیپٹک ریجن بناتا ہے، جبکہ متعلقہ طیارہ کے حصے اس کی سطح پر ایلیپس ہوتے ہیں۔ یہ ڈسک اور حلقوں میں تبدیل ہو جاتے ہیں، بالترتیب، جب کاٹنے والے طیارے ہم آہنگی کے محور پر عمودی ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، کواڈریک کے طیارہ حصے مخروطی حصے ہوتے ہیں۔ دو اڈوں کے درمیان پھیلے ہوئے ٹھوس دائیں سرکلر سلنڈر کا کراس سیکشن ایک ڈسک ہے اگر کراس سیکشن سلنڈر کی بنیاد کے متوازی ہے، یا ایک انڈاکار خطہ (دائیں طرف کا خاکہ دیکھیں) اگر یہ نہ تو متوازی ہے اور نہ ہی بیس سے عمودی ہے۔ اگر کاٹنے والا طیارہ بیس پر عمودی ہے تو یہ ایک آئتاکار پر مشتمل ہوتا ہے (دکھایا نہیں گیا ہے) جب تک کہ یہ سلنڈر سے صرف ٹینجینٹ نہ ہو، اس صورت میں یہ ایک واحد لائن کا حصہ ہے۔ سلنڈر کی اصطلاح کا مطلب ٹھوس سلنڈر کی پس منظر کی سطح بھی ہو سکتا ہے (سلنڈر (جیومیٹری) دیکھیں)۔ اگر سلنڈر کو اس لحاظ سے استعمال کیا جاتا ہے، تو مندرجہ بالا پیراگراف مندرجہ ذیل ہوگا: محدود لمبائی کے دائیں سرکلر سلنڈر کا ایک طیارہ حصہ ایک دائرہ ہے اگر کاٹنے والا طیارہ سلنڈر کے محور کی ہم آہنگی کے لیے عمودی ہے، یا ایک ایلیپس اگر یہ نہ تو متوازی ہے اور نہ ہی اس محور کے لیے عمودی ہے۔ اگر کاٹنے والا طیارہ محور کے متوازی ہے تو طیارہ کا حصہ متوازی لکیر کے حصوں کی ایک جوڑی پر مشتمل ہوتا ہے جب تک کہ کاٹنے والا طیارہ سلنڈر سے متصل نہ ہو، اس صورت میں، طیارہ کا حصہ ایک واحد لکیر کا حصہ ہوتا ہے۔ ایک طیارہ سیکشن کو کسی فنکشن کے جزوی مشتق کو اس کے کسی ایک دلائل کے حوالے سے تصور کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ فرض کریں۔ کے حوالے سے جزوی مشتق لینے میں، کوئی بھی فنکشن کا ایک طیارہ حصہ ایک مقررہ قیمت پر لے سکتا ہے تاکہ سطح کے منحنی خطوط کو صرف اس کے خلاف پلاٹ کیا جا سکے۔ پھر اس کے حوالے سے جزوی مشتق نتیجہ خیز دو جہتی گراف کی ڈھلوان ہے۔ متعلقہ مضامین میں دو بے ترتیب متغیرات کی امکانی کثافت فنکشن کا ایک طیارہ حصہ جس میں کاٹنے والا طیارہ متغیرات میں سے ایک کی مقررہ قیمت پر ہوتا ہے، دوسرے متغیر کی مشروط کثافت فنکشن ہے (طیارہ حصے کی وضاحت کرنے والی مقررہ قیمت پر مشروط)۔ اگر اس کے بجائے طیارہ کے حصے کو کثافت کی ایک مقررہ قیمت کے لیے لیا جاتا ہے، تو نتیجہ ایک آئسو ڈینسٹی کنٹور ہوتا ہے۔ عام تقسیم کے لیے، یہ شکلیں ایلیپسز ہیں۔ معاشیات میں، پروڈکشن فنکشن اس پیداوار کی وضاحت کرتا ہے جو مختلف مقداروں اور ان پٹ، عام طور پر محنت اور جسمانی سرمائے سے پیدا کی جا سکتی ہے۔ کسی فرم یا سوسائٹی کی پیداواری تقریب کو سہ جہتی جگہ میں ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ اگر ایک طیارہ کے حصے کو-طیارہ کے متوازی لیا جاتا ہے، تو نتیجہ ایک غیر متزلزل ہوتا ہے جو محنت اور سرمائے کے استعمال کے مختلف امتزاج کو ظاہر کرتا ہے جس کے نتیجے میں طیارہ کے حصے کی اونچائی کے ذریعہ دی گئی پیداوار کی سطح ہوگی۔ متبادل طور پر، اگر پروڈکشن فنکشن کا ایک طیارہ حصہ ایک مقررہ سطح پر لیا جاتا ہے-یعنی، طیارہ کے متوازی-تو نتیجہ ایک دو جہتی گراف ہوتا ہے جس میں دکھایا جاتا ہے کہ استعمال کی مختلف اقدار میں سے ہر ایک پر کتنی پیداوار پیدا کی جا سکتی ہے۔ ایک ان پٹ دوسرے ان پٹ کی مقررہ قیمت کے ساتھ مل کر۔ معاشیات میں بھی، ایک بنیادی یا عام یوٹیلیٹی فنکشن صارف کے اطمینان کی ڈگری دیتا ہے جو مقدار اور دو اشیا کے استعمال سے حاصل ہوتا ہے۔ اگر یوٹیلیٹی فنکشن کا ایک طیارہ حصہ کسی دی گئی اونچائی (یوٹیلیٹی کی سطح) پر لیا جاتا ہے، تو دو جہتی نتیجہ ایک بے حسی وکر ہے جو استعمال شدہ مقدار اور دونوں اشیا کے مختلف متبادل امتزاج کو ظاہر کرتا ہے جو سبھی مخصوص سطح کی افادیت دیتے ہیں۔ رقبہ اور حجم کیولیری کے اصول میں کہا گیا ہے کہ مساوی رقبے کے متعلقہ کراس سیکشن والے ٹھوسوں کی مقدار مساوی ہوتی ہے۔ کسی شے کا کراس سیکشنل ایریا () جب کسی خاص زاویے سے دیکھا جاتا ہے تو اس زاویے سے شے کے آرتھوگرافک پروجیکشن کا کل رقبہ ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اونچائی h اور رداس r والے سلنڈر کو جب اس کے مرکزی محور کے ساتھ دیکھا جاتا ہے، اور جب اسے آرتھوگنل سمت سے دیکھا جاتا ہے۔ جب کسی بھی زاویے سے دیکھا جائے تو رداس r کا ایک دائرہ ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، مندرجہ ذیل سطح کے انٹیگرل کا اندازہ لگا کر حساب لگایا جا سکتا ہے: جہاں دیکھنے والے کی طرف دیکھنے کی سمت کے ساتھ اشارہ کرنے والا یونٹ ویکٹر ہے، یہ ایک سطحی عنصر ہے جس میں بیرونی طرف اشارہ کرنے والا نارمل ہے، اور انٹیگرل کو صرف سب سے اوپر کی سطح پر لیا جاتا ہے، سطح کا وہ حصہ جو دیکھنے والے کے نقطہ نظر سے "مرئی" ہے۔ کنویکس باڈی کے لیے، ناظرین کے نقطہ نظر سے شے کے ذریعے ہر کرن صرف دو سطحوں کو عبور کرتی ہے۔ ایسی اشیاء کے لیے، انٹیگرل کو انٹیگرینڈ کی مطلق قیمت لے کر پوری سطح () پر لے جایا جا سکتا ہے (تاکہ شے کا "اوپر" اور "نیچے" گھٹا نہ جائے، جیسا کہ ڈائیورجنس تھیوریم کے ذریعے مستقل ویکٹر فیلڈ پر لاگو کیا جاتا ہے) اور دو سے تقسیم کیا جا سکتا ہے: اعلی جہتوں میں ٹھوس کے کراس سیکشن کے ساتھ مشابہت میں، ایک جہتی جگہ میں ایک جہتی جسم کا کراس سیکشن ایک ہائپرپلین (ایک جہتی ذیلی جگہ) کے ساتھ جسم کا غیر خالی چوراہا ہے۔ اس تصور کو بعض اوقات اعلی جہتی خالی جگہوں کے پہلوؤں کو دیکھنے میں مدد کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی چار جہتی شے ہماری تین جہتی جگہ سے گزرتی ہے، تو ہمیں چار جہتی شے کا تین جہتی کراس سیکشن نظر آئے گا۔ خاص طور پر، 3 جگہ سے گزرنے والی 4 گیند (ہائپر سپیئر) 3 گیند کے طور پر ظاہر ہوتی ہے جو منتقلی کے دوران زیادہ سے زیادہ بڑھ کر سائز میں کم ہو جاتی ہے۔ یہ متحرک آبجیکٹ (3-اسپیس کے نقطہ نظر سے) 4 گیند کے کراس سیکشنز کا ایک سلسلہ ہے۔ سائنس میں مثالیں ارضیات میں، کسی سیارے کے اندرونی حصے کی ساخت کو اکثر سیارے کے کراس سیکشن کے خاکے کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا جاتا ہے جو سیارے کے مرکز سے گزرتا ہے، جیسا کہ دائیں طرف زمین کے کراس سیکشن میں ہوتا ہے۔ کراس سیکشن اکثر اناٹومی میں کسی اعضاء کی اندرونی ساخت کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جیسا کہ بائیں طرف دکھایا گیا ہے۔ درخت کے تنے کا ایک کراس سیکشن، جیسا کہ بائیں طرف دکھایا گیا ہے، نشوونما کے دائرے کو ظاہر کرتا ہے جو درخت کی عمر اور اس کے ماحول کی عارضی خصوصیات کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ وضاحتی جیومیٹری ایکسپلوڈڈ ویو ڈرائنگ گرافیکل پروجیکشن پلان (ڈرائنگ) پروفائل گیج سیکشن لائننگ ؛ مواد کی نمائندگی سیکینٹ پلین نوٹ حوالہ جات انفوگرافکس ابتدائی جیومیٹری نمائندگی کے طیاروں کے تکنیکی ڈرائنگ کے طریقے (جیومیٹری)