Ihara zeta function
ریاضی میں، ایہار زیٹا فنکشن ایک زیٹا فنکشن ہے جو ایک محدود گراف سے وابستہ ہے۔ یہ سیلبرگ زیٹا فنکشن سے قریب سے ملتا جلتا ہے، اور بند واک کو ملحقہ میٹرکس کے سپیکٹرم سے جوڑنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ایہرا زیٹا فنکشن کی تعریف سب سے پہلے 1960 کی دہائی میں یاسوتاکا ایہرا نے دو بائی دو پی ایڈک خصوصی لکیری گروپ کے مجرد ذیلی گروپوں کے تناظر میں کی تھی۔ جین پیئر سیرے نے اپنی کتاب ٹریز میں تجویز کیا کہ ایہارہ کی اصل تعریف کو گراف-نظریاتی طور پر دوبارہ تعبیر کیا جا سکتا ہے۔ یہ توشیکازو سنادا ہی تھے جنہوں نے 1985 میں اس تجویز کو عملی جامہ پہنایا۔ جیسا کہ سنادا نے مشاہدہ کیا ہے، ایک باقاعدہ گراف رامانوجن گراف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ایہار زیٹا فنکشن ریمن مفروضے کے ینالاگ کو مطمئن کرے۔ تعریف ایہار زیٹا فنکشن کو لامحدود پروڈکٹ کے تجزیاتی تسلسل کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں L (p) کی لمبائی ہے۔ تعریف میں پروڈکٹ کو گراف کے تمام پرائم کلوزڈ جیوڈیکس پر لیا جاتا ہے، جہاں جیوڈیکس جو چکور گردش سے مختلف ہوتے ہیں انہیں برابر سمجھا جاتا ہے۔ ایک بند جیوڈیسیک آن (جسے گراف تھیوری میں "کم شدہ بند واک" کے طور پر جانا جاتا ہے ؛ یہ گراف جیوڈیسیک نہیں ہے) عمودی حصوں کی ایک محدود ترتیب ہے جیسے کہ عدد لمبائی ہے۔ بند جیوڈیسیک پرائم ہوتا ہے اگر اسے کسی انٹیجر کے لیے بند جیوڈیسیک اوقات کو دہرا کر حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ یہ گراف تھیوریٹک تشکیل سنادا کی وجہ سے ہے۔ ایہرا کا فارمولا ایہرا (اور گراف تھیوریٹک ترتیب میں سنادا) سے پتہ چلتا ہے کہ باقاعدہ گرافوں کے لیے زیٹا فنکشن ایک عقلی فنکشن ہے۔ اگر ملحقہ میٹرکس کے ساتھ-ریگولر گراف ہے تو سرکٹ کا درجہ کہاں ہے۔ اگر جڑا ہوا ہے اور اس کے عمودی حصے ہیں۔ ایہارہ زیٹا فنکشن درحقیقت ہمیشہ گراف کثیر الجہتی کا باہمی ہوتا ہے: جہاں کی-آئیچرو ہاشیموٹو کا ایج اڈیجینسی آپریٹر ہے۔ ہیمن باس نے ایک تعین کن فارمولا دیا جس میں ملحقہ آپریٹر شامل ہے۔ ایہار زیٹا فنکشن آزاد گروپوں، سپیکٹرم گراف تھیوری، اور متحرک نظاموں، خاص طور پر علامتی حرکیات کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتا ہے، جہاں ایہار زیٹا فنکشن روئل زیٹا فنکشن کی ایک مثال ہے۔ حوالہ جات زیٹا اور ایل فنکشنز الجبرائی گراف تھیوری