Toda field theory
ریاضی اور طبیعیات میں، خاص طور پر فیلڈ تھیوری اور جزوی تفریقی مساوات کا مطالعہ، ایک ٹوڈا فیلڈ تھیوری، جس کا نام موریکازو ٹوڈا کے نام پر رکھا گیا ہے، لائ الجبرا اور ایک مخصوص لاگرانجین کے انتخاب کے ذریعے متعین کیا جاتا ہے۔ فارمولیشن لائ الجبرا کو رینک رکھنے کے لیے فکس کرنا، یعنی الجبرا کے کارٹن ذیلی الجبرا میں طول و عرض ہے، لاگرانجین لکھا جا سکتا ہے۔ پس منظر کا اسپیس ٹائم 2 جہتی منکووسکی اسپیس ہے، جس میں اسپیس کی طرح کوآرڈینیٹ اور ٹائم لائک کوآرڈینیٹ ہے۔ یونانی اشاریہ جات خلائی وقت کے نقاط کی نشاندہی کرتے ہیں۔ جڑ کی بنیاد کے کچھ انتخاب کے لیے، واں سادہ جڑ ہے۔ یہ کارٹن ذیلی الجبرا کے لیے ایک بنیاد فراہم کرتا ہے، جس سے اس کی شناخت کی جا سکتی ہے۔ پھر فیلڈ کا مواد اسکیلر فیلڈز کا مجموعہ ہے، جو اس لحاظ سے اسکیلر ہیں کہ وہ بنیادی اسپیس ٹائم کی لورینٹز تبدیلیوں کے تحت معمولی طور پر تبدیل ہوتے ہیں۔ اندرونی پیداوار کارٹن ذیلی الجبرا میں قتل کی شکل کی پابندی ہے۔ یہ انٹیجر مستقل ہیں، جنہیں کے اے سی لیبلز یا ڈائنکن لیبلز کے نام سے جانا جاتا ہے۔ جسمانی مستقلات کمیت اور جوڑی مستقل ہیں۔ ٹوڈا فیلڈ تھیوریز کی درجہ بندی ٹوڈا فیلڈ تھیوریز کو ان سے وابستہ لائ الجبرا کے مطابق درجہ بند کیا جاتا ہے۔ ٹوڈا فیلڈ تھیوری عام طور پر ایک محدود جھوٹ الجبرا کے ساتھ نظریات کا حوالہ دیتے ہیں۔ اگر لائ الجبرا ایک افائن لائ الجبرا ہے، تو اسے افائن ٹوڈا فیلڈ تھیوری کہا جاتا ہے (φ کے جزو کے بعد جو ڈیکپل کو ہٹا دیا جاتا ہے)۔ اگر یہ ہائپربولک ہے، تو اسے ہائپربولک ٹوڈا فیلڈ تھیوری کہا جاتا ہے۔ ٹوڈا فیلڈ تھیوریز انٹیگریبل ماڈل ہیں اور ان کے حل سولٹونس کی وضاحت کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر لیوویل فیلڈ تھیوری A1 کارٹن میٹرکس سے وابستہ ہے، جو کارٹن میٹرکس کے ذریعہ لائ الجبرا کی درجہ بندی میں لائ الجبرا سے مطابقت رکھتا ہے۔ الجبرا کا صرف ایک سادہ جڑ ہے۔ سن گورڈن ماڈل عام کارٹن میٹرکس کے ساتھ افائن ٹوڈا فیلڈ تھیوری ہے اور φ کے ایک جزو کو پیش کرنے کے بعد β کے لیے ایک مثبت قدر ہے جو ڈیکپل ہوتا ہے۔ سائن گورڈن ماڈل ایک ہی کارٹن میٹرکس والا ماڈل ہے لیکن ایک خیالی β ہے۔ یہ کارٹن میٹرکس لائ الجبرا سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کا ایک سادہ جڑ اور کاکسٹر لیبل ہے، لیکن لاگرانجین کو افائن تھیوری کے لیے تبدیل کیا گیا ہے: ایک افائن روٹ اور کاکسٹر لیبل بھی ہے۔ کوئی اس طرح پھیل سکتا ہے، لیکن افائن جڑ کے لیے، اس طرح جزو منقطع ہو جاتا ہے۔ پھر اگر خالصتا خیالی ہے، حقیقی کے ساتھ اور، عامیت کے نقصان کے بغیر، مثبت ہے، تو یہ ہے۔ اس کے بعد لاگرانجین ہے جو سائن گورڈن لاگرانجین ہے۔ حوالہ جات کوانٹم فیلڈ تھیوری لیٹیس ماڈل بالکل قابل حل ماڈل مربوط نظام