Semisimple Lie algebra
ریاضی میں، ایک جھوٹ الجبرا نیم سادہ ہوتا ہے اگر یہ سادہ جھوٹ الجبرا کا براہ راست مجموعہ ہو۔ (ایک سادہ جھوٹ الجبرا ایک غیر ایبلین جھوٹ الجبرا ہے جس میں کوئی غیر صفر مناسب آئیڈیل نہیں ہے)۔ پورے مضمون میں، جب تک کہ دوسری صورت میں بیان نہ کیا جائے، ایک جھوٹ الجبرا خصوصیت 0 کے میدان پر ایک محدود جہتی جھوٹ الجبرا ہے۔ اس طرح کے جھوٹ الجبرا کے لیے، اگر غیر صفر ہے، تو درج ذیل شرائط مساوی ہیں: نیم سادہ ہے ؛ قتل کی شکل، κ (x, y) = tr (ad (x) ad (y))، غیر انحطاط پذیر ہے ؛ اس میں کوئی غیر صفر ابیلین آئیڈیل نہیں ہے ؛ اس میں کوئی غیر صفر حل پزیر آئیڈیل نہیں ہے ؛ کا ریڈیکل (زیادہ سے زیادہ حل پزیر آئیڈیل) صفر ہے۔ اہمیت سیمی سمپلیسیٹی کی اہمیت سب سے پہلے لیوی سڑنے سے آتی ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ ہر محدود جہتی لائ الجبرا قابل حل آئیڈیل (اس کے ریڈیکل) اور سیمی سمپل الجبرا کا سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ ہے۔ خاص طور پر، کوئی غیر صفر لائ الجبرا نہیں ہے جو حل کرنے کے قابل اور نیم سادہ دونوں ہو۔ نیم سادہ لائ الجبرا کی ایک بہت ہی خوبصورت درجہ بندی ہے، جو قابل حل لائ الجبرا کے بالکل برعکس ہے۔ خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر نیم سادہ لائ الجبرا کو مکمل طور پر ان کے جڑ کے نظام کے ذریعہ درجہ بند کیا جاتا ہے، جن کی درجہ بندی ڈائنکن خاکے کے ذریعہ کی جاتی ہے۔ غیر الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر نیم سادہ الجبرا کو الجبرائی بندش کے لحاظ سے سمجھا جا سکتا ہے، حالانکہ درجہ بندی کچھ زیادہ پیچیدہ ہے۔ حقیقی نیم سادہ لائ الجبرا کے معاملے کے لیے حقیقی شکل دیکھیں، جن کی درجہ بندی ایلی کارٹن نے کی تھی۔ مزید برآں، نیم سادہ لائ الجبرا کی نمائندگی کا نظریہ عام لائ الجبرا کے مقابلے میں بہت زیادہ صاف ہے۔ مثال کے طور پر، نیم سادہ لائ الجبرا میں اردن کا سڑنا اس کی نمائندگی میں اردن کے سڑنے کے ساتھ موافق ہے۔ عام طور پر لائ الجبرا کے معاملے میں ایسا نہیں ہوتا ہے۔ اگر نیم سادہ ہے، تو۔ خاص طور پر، ہر لکیری نیم سادہ لائ الجبرا، خاص لکیری لائ الجبرا کا ذیلی الجبرا ہے۔ کے ڈھانچے کا مطالعہ نیم سادہ لائ الجبرا کے لیے نمائندگی کے نظریہ کا ایک اہم حصہ ہے۔ پیچیدہ اعداد پر نیم سادہ لی الجبرا کی درجہ بندی سب سے پہلے ولہیلم کلنگ (1888-90) نے کی تھی، حالانکہ اس کے ثبوت میں سختی کا فقدان تھا۔ ان کے ثبوت کو ایلی کارٹن (1894) نے اپنے پی ایچ ڈی مقالے میں سخت بنایا تھا، جس نے نیم سادہ حقیقی جھوٹ الجبرا کی بھی درجہ بندی کی تھی۔ اس کو بعد میں بہتر بنایا گیا، اور ڈائنکن خاکے کے ذریعہ موجودہ درجہ بندی 1947 میں اس وقت کے 22 سالہ یوجین ڈائنکن نے دی تھی۔ کچھ معمولی تبدیلیاں کی گئی ہیں (خاص طور پر جے پی سیرے کی طرف سے)، لیکن ثبوت اس کی ضروریات میں کوئی تبدیلی نہیں ہے اور کسی بھی معیاری حوالہ میں پایا جا سکتا ہے، جیسے کہ۔ بنیادی خصوصیات سیمی سمپل لائ الجبرا کا ہر آئیڈیل، کوشیئنٹ اور پروڈکٹ پھر سے سیمی سمپل ہے۔ نیم سادہ لائ الجبرا کا مرکز معمولی ہے (چونکہ مرکز ایک ابیلین آئیڈیل ہے)۔ دوسرے لفظوں میں، ملحقہ نمائندگی انجکشن ہے۔ مزید برآں، تصویر مشتقات سے نکلی ہے۔ لہذا، ایک آئسومورفزم ہے۔ (یہ وائٹ ہیڈ کے لیما کا ایک خاص معاملہ ہے۔) چونکہ ملحقہ نمائندگی انجکشن ہے، ایک نیم سادہ لائ الجبرا ملحقہ نمائندگی کے تحت ایک لکیری لائ الجبرا ہے۔ یہ کچھ ابہام کا باعث بن سکتا ہے، کیونکہ ہر لائ الجبرا پہلے سے ہی کسی دوسرے ویکٹر اسپیس (ایڈو کے نظریہ) کے حوالے سے لکیری ہے، حالانکہ ضروری نہیں کہ ملحقہ نمائندگی کے ذریعے ہو۔ لیکن عملی طور پر اس طرح کی ابہام شاذ و نادر ہی ہوتی ہے۔ اگر ایک نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہے، تو (کیونکہ نیم سادہ اور ابیلین ہے)۔ خصوصیت صفر کے فیلڈ k پر ایک محدود جہتی لائ الجبرا نیم آسان ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر فیلڈ کی توسیع کے لیے بیس ایکسٹینشن نیم آسان ہو۔ اس طرح، مثال کے طور پر، ایک محدود جہتی حقیقی جھوٹ الجبرا نیم آسان ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی پیچیدگی نیم آسان ہو۔ جورڈن سڑنا خصوصیت صفر کے میدان پر ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس کے ہر اینڈومورفزم x کو منفرد طور پر ایک نیم سادہ (یعنی الجبرائی بندش پر اخترن قابل) اور نیل پوٹینٹ حصے میں اس طرح سڑ دیا جا سکتا ہے کہ s اور n ایک دوسرے کے ساتھ سفر کریں۔ مزید برآں، s اور n میں سے ہر ایک x میں ایک کثیر الجہتی ہے۔ یہ x کی اردن سڑنا ہے۔ مذکورہ بالا کا اطلاق نیم سادہ لائ الجبرا کی ملحقہ نمائندگی پر ہوتا ہے۔ ایک عنصر x کو نیم سادہ کہا جاتا ہے۔ نیلپوٹینٹ) اگر ایک نیم آسان ہے (ریسپ۔ نیلپوٹینٹ) آپریٹر۔ اگر، تب تجریدی اردن سڑنا بیان کرتا ہے کہ x کو منفرد طور پر اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں نیم آسان ہے، نیلپوٹینٹ ہے اور۔ مزید برآں، اگر x کے ساتھ سفر کرتا ہے، تو یہ دونوں کے ساتھ بھی سفر کرتا ہے۔ کسی بھی نمائندگی کے ذریعے تجریدی اردن سڑنے والے عوامل اس معنی میں کہ کسی بھی نمائندگی کو ρ دیا گیا ہے، نمائندگی کی جگہ کے اینڈومورفزم الجبرا میں ρ (x) کا اردن سڑنا ہے۔ (یہ ویل کے مکمل تخفیف نظریہ کے نتیجے کے طور پر ثابت ہوتا ہے۔ مکمل reducibility#Application پر ویل کا نظریہ دیکھیں: اردن کے سڑنے کا تحفظ۔) ساخت آئیے خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر ایک (محدود جہتی) نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہے۔ کی ساخت کو اس پر ایک مخصوص ممتاز ذیلی الجبرا، ایک کارٹن ذیلی الجبرا کے ملحقہ عمل سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ تعریف کے مطابق، کارٹن ذیلی الجبرا (جسے زیادہ سے زیادہ ٹورل ذیلی الجبرا بھی کہا جاتا ہے) ایک زیادہ سے زیادہ ذیلی الجبرا ہے جس میں، ہر ایک کے لیے، اخترن قابل ہے۔ جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، ابیلین ہے اور اس لیے اس میں موجود تمام آپریٹرز بیک وقت اخترن پذیر ہیں۔ کے ہر لکیری فنکشنل کے لیے، چلو۔ (نوٹ کریں کہ یہ سنٹرلائزر ہے۔) پھر (دکھانا سب سے مشکل آئٹم ہے۔ تمام معیاری ثبوت نمائندگی کے نظریہ میں کچھ حقائق کا استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سیر اس حقیقت کا استعمال کرتا ہے کہ منفی وزن کے ابتدائی عنصر والا-ماڈیول لامحدود جہتی، متضاد ہے۔) نقل مکانی کے تعلقات کے ساتھ آتے ہیں ؛ یعنی، کی معیاری بنیاد سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ان میں موجود لکیری فنکشنلز کو روٹس آف ریلیٹیو کہا جاتا ہے۔ جڑوں کا دورانیہ (چونکہ اگر، تو صفر آپریٹر ہے ؛ یعنی، مرکز میں ہے، جو صفر ہے۔) مزید برآں، کی نمائندگی کے نظریہ سے، مندرجہ ذیل ہم آہنگی اور انٹیگرل خصوصیات کا اندازہ لگایا جاتا ہے: ہر ایک کے لیے، نوٹ کریں کہ خصوصیات (1) اور (2) فکسڈ پوائنٹ سیٹ ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ہائپرپلین کے حوالے سے عکاسی ہے۔ مندرجہ بالا کا کہنا ہے کہ یہ ایک جڑ کا نظام ہے۔ یہ جڑ کے نظام کے عمومی نظریہ کی پیروی کرتا ہے جس میں اس طرح کی بنیاد ہوتی ہے کہ ہر جڑ ایک ہی علامت کے انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ لکیری امتزاج ہے۔ جڑوں کو سادہ جڑیں کہا جاتا ہے۔ جانے دیں وغیرہ۔ پھر عناصر (جسے چیولی جنریٹر کہتے ہیں) لائ الجبرا کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ مزید برآں، وہ تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں (جسے سیری ریلیشنز کہا جاتا ہے): کے ساتھ۔ اس کا الٹا بھی درست ہے: یعنی جنریٹرز کے ذریعہ تیار کردہ لائ الجبرا اور مذکورہ بالا جیسے تعلقات ایک (محدود جہتی) نیم سادہ لائ الجبرا ہے جس میں اوپر کی طرح جڑ کی جگہ کا سڑنا ہے (بشرطیکہ کارٹن میٹرکس ہو)۔ یہ سیر کا نظریہ ہے۔ خاص طور پر، دو نیم سادہ لائ الجیبرا آئسومورفک ہوتے ہیں اگر ان کا جڑ کا نظام ایک جیسا ہو۔ جڑ کے نظام اور سیر کے نظریہ کی محوری نوعیت کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی تمام ممکنہ جڑ کے نظاموں کی گنتی کر سکتا ہے۔ اس لیے، "تمام ممکنہ" نیم سادہ لائ الجبرا (خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر محدود جہتی)۔ ویل گروپ s کے ذریعہ پیدا ہونے والی لکیری تبدیلیوں کا گروپ ہے۔ ویل گروپ مسئلہ کی ایک اہم ہم آہنگی ہے ؛ مثال کے طور پر، ویل گروپ کے تحت کسی بھی محدود جہتی نمائندگی کے وزن غیر متغیر ہیں۔ مثال کے طور پر ایس ایل این (سی) میں جڑ کی جگہ کے سڑنے کے لیے اور ڈائیگنل میٹرکس کے کارٹن ذیلی الجبرا کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے، جہاں ڈائیگنل میٹرکس کو ڈائیگنل کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے۔ پھر سڑنا اس طرح دیا جاتا ہے کہ ویکٹر کے لیے معیاری (میٹرکس) بنیاد کے ساتھ کہاں ہے، معنی-th صف اور-th کالم میں بیس ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کی سڑنے کا ایک وابستہ جڑ کا نظام ہے: مثال کے طور پر، سڑنے میں ایس ایل 2 (سی) ہے اور اس سے وابستہ جڑ کا نظام ایس ایل 3 (سی) ہے۔ سڑنے میں ایس ایل 3 ہے اور اس سے وابستہ جڑ کا نظام مثالوں کے ذریعے دیا گیا ہے۔ جیسا کہ #Structure میں بتایا گیا ہے، نیم سادہ لائ الجبرا (یا زیادہ عام طور پر خصوصیت صفر کی الجبرائی طور پر بند فیلڈ) کو ان کے کارٹن سبلجبرا سے وابستہ جڑ کے نظام کے ذریعے درجہ بند کیا جاتا ہے، اور جڑ کے نظام کو، بدلے میں، ان کے ڈائنکن خاکے کے ذریعے درجہ بند کیا جاتا ہے۔ نیم سادہ لائ الجبرا کی مثالیں، کلاسیکی لائ الجبرا، جن کے ڈائنکن خاکے سے آنے والے اشارے کے ساتھ، یہ ہیں:، خصوصی لکیری لائ الجبرا۔ ، عجیب جہتی خصوصی آرتھوگنل لائ الجبرا۔ سمپلیکٹک لائ الجبرا۔ ، یکساں جہتی خصوصی آرتھوگنل لائ الجبرا ()۔ خاندان میں پابندی کی ضرورت ہے کیونکہ یہ یک جہتی اور متغیر ہے اور اس لیے نیم آسان نہیں ہے۔ ان لائ الجبرا کو نمبر دیا جاتا ہے تاکہ n درجہ ہو۔ یہ تقریبا تمام نیم سادہ لائ الجیبرا دراصل سادہ ہیں اور ان خاندانوں کے ارکان تقریبا تمام الگ الگ ہیں، سوائے چھوٹے درجے کے کچھ تصادم کے۔ مثال کے طور پر۔ یہ چار خاندان، پانچ مستثنیات (E6، E7، E8، F4، اور G2) کے ساتھ مل کر، حقیقت میں پیچیدہ اعداد پر واحد سادہ لائ الجبرا ہیں۔ درجہ بندی خصوصیت 0 کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر ہر نیم سادہ جھوٹ الجبرا سادہ جھوٹ الجبرا کا براہ راست مجموعہ ہے (تعریف کے مطابق)، اور محدود جہتی سادہ جھوٹ الجبرا چار خاندانوں-این، بی این، سی این، اور ڈی این میں آتے ہیں-پانچ مستثنیات ای 6، ای 7، ای 8، ایف 4، اور جی 2 کے ساتھ۔ سادہ جھوٹ الجبرا کی درجہ بندی منسلک ڈائنکن خاکے کے ذریعہ کی جاتی ہے، جو دائیں طرف دکھائی گئی ہے، جبکہ نیم سادہ جھوٹ الجبرا لازمی طور پر منسلک ڈائنکن خاکے سے مطابقت نہیں رکھتے ہیں، جہاں خاکہ کا ہر جزو نیم سادہ جھوٹ الجبرا کے سادہ جھوٹ الجبرا میں سڑنے کے مجموعے سے مطابقت رکھتا ہے۔ درجہ بندی کارٹن ذیلی الجبرا (نیچے دیکھیں) اور لائ الجبرا پر اس کے ملحقہ عمل پر غور کرکے آگے بڑھتی ہے۔ عمل کا جڑ نظام پھر دونوں اصل لائ الجبرا کا تعین کرتا ہے اور اس کی ایک بہت ہی محدود شکل ہونی چاہیے، جس کی درجہ بندی ڈائنکن خاکے کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے کارٹن سبالجبراس اور جڑ کے نظام کو بیان کرنے والے نیچے دیے گئے حصے کو دیکھیں۔ درجہ بندی کو وسیع پیمانے پر ریاضی کے سب سے خوبصورت نتائج میں سے ایک سمجھا جاتا ہے-محوریات کی ایک مختصر فہرست، نسبتا مختصر ثبوت کے ذریعے، حیرت انگیز ساخت کے ساتھ ایک مکمل لیکن غیر معمولی درجہ بندی حاصل کرتی ہے۔ اس کا موازنہ محدود سادہ گروہوں کی درجہ بندی سے کیا جانا چاہیے، جو نمایاں طور پر زیادہ پیچیدہ ہے۔ چار خاندانوں کی گنتی غیر معمولی ہے اور صرف سادہ الجبرا پر مشتمل ہے اگر این کے لیے، بی این کے لیے، سی این کے لیے، اور ڈی این کے لیے۔ اگر کوئی کم نمبر دینا شروع کرتا ہے، تو گنتی بے کار ہوتی ہے، اور کسی میں سادہ لائ الجبرا کے درمیان غیر معمولی آئسومورفزم ہوتے ہیں، جو ڈائنکن ڈائیگرام کے آئسومورفزم میں جھلکتے ہیں۔ این کو نیچے بھی بڑھایا جا سکتا ہے، لیکن E6 کے نیچے دوسرے، غیر مستثنی الجبرا کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں۔ غیر الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر، درجہ بندی زیادہ پیچیدہ ہوتی ہے-ایک الجبرائی بندش پر سادہ لائ الجبرا کی درجہ بندی کرتا ہے، پھر ان میں سے ہر ایک کے لیے، اصل فیلڈ پر سادہ لائ الجبرا کی درجہ بندی کرتا ہے جس کی یہ شکل (بندش پر) ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، سادہ حقیقی لائ الجبرا کی درجہ بندی کرنے کے لیے، ایک دی گئی پیچیدگی کے ساتھ حقیقی لائ الجبرا کی درجہ بندی کی جاتی ہے، جسے پیچیدہ لائ الجبرا کی حقیقی شکلوں کے طور پر جانا جاتا ہے۔ یہ ساٹیک خاکے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، جو اضافی ڈیٹا ("سجاوٹ") کے ساتھ ڈائنکن خاکے ہیں۔ نیم سادہ جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کا نظریہ ایک (محدود جہتی) نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہونا چاہیے جو خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر ہے۔ پھر، جیسا کہ #Structure میں ہے، جڑ کا نظام کہاں ہے۔ اس میں سادہ جڑوں کا انتخاب کریں۔ ایک جڑ کو پھر مثبت کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی اس طرح کی جاتی ہے اگر یہ غیر منفی عدد گتانک کے ساتھ سادہ جڑوں کا لکیری مجموعہ ہو۔ فرض کریں، جو کہ بوریل ذیلی الجبرا کا زیادہ سے زیادہ قابل حل ذیلی الجبرا ہے۔ فرض کریں کہ V ایک (ممکنہ طور پر لامحدود جہتی) سادہ ماڈیول ہے۔ اگر V کسی-وزن والے ویکٹر کو داخل کرتا ہے، تو یہ اسکیلنگ تک منفرد ہے اور اسے V کا سب سے زیادہ وزن والا ویکٹر کہا جاتا ہے۔ یہ ایک-وزن والا ویکٹر بھی ہے اور-وزن، ایک لکیری فنکشنل، کو V کا سب سے زیادہ وزن کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد بنیادی لیکن غیر معمولی حقائق (1) ہر لکیری فنکشنل کے لیے ہوتے ہیں، ایک سادہ-ماڈیول موجود ہوتا ہے جس کا سب سے زیادہ وزن ہوتا ہے اور (2) ایک ہی سب سے زیادہ وزن والے دو سادہ ماڈیول مساوی ہوتے ہیں۔ مختصرا، ایک بوریل وزن ویکٹر کو تسلیم کرنے والے سادہ-ماڈیولز کی مساوات کلاسوں کے سیٹ اور ان کے درمیان ایک بائیجیکشن موجود ہے۔ ایپلی کیشنز کے لیے، اکثر ایک محدود جہتی سادہ-ماڈیول (ایک محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی) میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ یہ خاص طور پر اس صورت میں ہوتا ہے جب کسی لائ گروپ کا لائ الجبرا (یا اس طرح کی پیچیدگی) ہوتا ہے، کیونکہ، لائ خط و کتابت کے ذریعے، جب رکاوٹوں پر قابو پایا جاتا ہے تو لائ الجبرا کی نمائندگی کو لائ گروپ کی نمائندگی میں ضم کیا جا سکتا ہے۔ اگلا معیار پھر اس ضرورت کو پورا کرتا ہے: مثبت ویل چیمبر سے، ہمارا مطلب کنویکس شنک ہے جہاں ایک منفرد ویکٹر ہے۔ اس کے بعد معیار پڑھتا ہے: اگر اور صرف اس صورت میں جب، ہر مثبت جڑ کے لیے، (1) ایک عدد ہو اور (2) اس میں ہو۔ ایک لکیری فنکشنل جو مذکورہ بالا مساوی حالت کو مطمئن کرتا ہے اسے غالب انٹیگرل وزن کہا جاتا ہے۔ لہذا، خلاصہ یہ ہے کہ غالب انٹیگرل وزن اور محدود جہتی سادہ ماڈیولز کی مساوات کی کلاسوں کے درمیان ایک بائیجیکشن موجود ہے، جس کا نتیجہ سب سے زیادہ وزن کی تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ باری باری ایک محدود جہتی سادہ ماڈیول کے کردار کا حساب ویل کردار کے فارمولے سے لگایا جاتا ہے۔ ویل کی وجہ سے تھیوریم کا کہنا ہے کہ، خصوصیت صفر کے میدان پر، نیم سادہ لائ الجبرا کا ہر محدود جہتی ماڈیول مکمل طور پر قابل تخفیف ہے ؛ یعنی، یہ سادہ-ماڈیولز کا براہ راست مجموعہ ہے۔ لہذا، مندرجہ بالا نتائج پھر نیم سادہ لائ الجبرا کی محدود جہتی نمائندگی پر لاگو ہوتے ہیں۔ حقیقی نیم سادہ جھوٹ الجبرا ایک ایسے میدان پر نیم سادہ جھوٹ الجبرا کے لیے جس کی خصوصیت صفر ہے لیکن الجبرائی طور پر بند نہیں ہے، اس طرح کا کوئی عمومی ساخت نظریہ نہیں ہے جیسا کہ خصوصیت صفر کے الجبرائی طور پر بند میدان پر ہے۔ لیکن حقیقی اعداد کے میدان میں، اب بھی ساخت کے نتائج موجود ہیں۔ آئیے ایک محدود جہتی حقیقی نیم سادہ جھوٹ الجبرا اور اس کی پیچیدگی (جو ایک بار پھر نیم آسان ہے)۔ حقیقی جھوٹ الجبرا کو ایک حقیقی شکل کہا جاتا ہے۔ ایک حقیقی شکل کو کمپیکٹ فارم کہا جاتا ہے اگر اس پر کلنگ فارم منفی-یقینی ہو۔ یہ لازمی طور پر ایک کمپیکٹ لائ گروپ کا لائ الجبرا ہے (لہذا، نام)۔ کمپیکٹ کیس فرض کریں کہ یہ ایک کمپیکٹ شکل اور زیادہ سے زیادہ ابیلین سب اسپیس ہے۔ کوئی بھی دکھا سکتا ہے (مثال کے طور پر، حقیقت یہ ہے کہ ایک کمپیکٹ لائ گروپ کا لائ الجبرا ہے) جو سکیو-ہرمیٹین میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے، جو خیالی آئجین ویلیوز کے ساتھ اخترن ہوتا ہے۔ لہذا، ایک کارٹن ذیلی الجبرا ہے اور اس کے نتیجے میں جڑ کی جگہ سڑ جاتی ہے (cf. #Structure) جہاں ہر ایک کی حقیقی قدر ہوتی ہے ؛ اس طرح، حقیقی ویکٹر کی جگہ پر حقیقی لکیری فنکشنل کے ساتھ شناخت کی جا سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، تمام اخترن میٹرکس کی ذیلی جگہ لیں اور لیں۔ نوٹ کریں۔ کے ذریعے دیا گیا لکیری فنکشنل ہونے دیں۔ پھر ہر ایک کے لیے، وہ میٹرکس کہاں ہے جس میں-th جگہ پر 1 اور کہیں اور صفر ہو۔ لہذا، ہر جڑ کی شکل ہوتی ہے اور جڑ کی جگہ کا سڑنا میٹرکس کی سڑنا ہے: نان کمپیکٹ کیس فرض کریں کہ ضروری نہیں کہ یہ ایک کمپیکٹ شکل ہو (یعنی، کلنگ فارم کا دستخط تمام منفی نہیں ہے)۔ فرض کریں، اس کے علاوہ، اس میں کارٹن انولوشن ہے اور آئیگن اسپیس کی سڑنا ہونے دیں، جہاں بالترتیب 1 اور-1 کے لیے آئیگن اسپیس ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر اور منفی ٹرانسپوز، تب۔ ایک زیادہ سے زیادہ ابیلین سب اسپیس ہونے دیں۔ اب، سمیٹرک میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے (ایک مناسب اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے) اور اس طرح آپریٹرز حقیقی آئجین ویلیوز کے ساتھ بیک وقت ڈائیگنلائز ہوتے ہیں۔ الجبرائی طور پر بند بیس فیلڈ کے لیے دلائل کو دہرانے سے، کوئی سڑنا حاصل کرتا ہے (جسے محدود جڑ کی جگہ سڑنا کہا جاتا ہے): جہاں عناصر کو کسی بھی لکیری فنکشنل کے لیے محدود جڑ کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر، مزید برآں، یہ ایک جڑ کا نظام ہے لیکن ضروری نہیں کہ اسے کم کیا جائے (یعنی یہ دونوں جڑوں میں ہو سکتا ہے)۔ ایس ایل (این، سی) کا معاملہ اگر، تو اس کے اخترن ذیلی الجبرا کے طور پر لیا جا سکتا ہے، جو اخترن میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے جس کے اخترن اندراجات کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔ چونکہ طول و عرض ہے، ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا درجہ ہے۔ اس معاملے میں جڑ ویکٹروں کو میٹرکس کے ساتھ لیا جا سکتا ہے، جہاں اسپاٹ میں 1 اور دوسری جگہوں پر صفر کے ساتھ میٹرکس ہے۔ اگر اخترن اندراجات کے ساتھ ایک اخترن میٹرکس ہے، تو ہمارے پاس ہے۔ اس طرح، کے لیے جڑیں لکیری فنکشنلز ہیں جو اس کے ذریعے دی گئی ہیں۔ اس کے دوہرے کے ساتھ شناخت کرنے کے بعد، جڑیں-ٹپل کی جگہ میں ویکٹر بن جاتی ہیں جن کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔ یہ جڑ کا نظام ہے جسے روایتی لیبلنگ میں جانا جاتا ہے۔ جڑ سے وابستہ عکاسی اور اخترن اندراجات کو منتقل کرکے کام کرتی ہے۔ ویل گروپ اس کے بعد عناصر پر صرف تعدد گروپ ہے، جو میٹرکس کے اخترن اندراجات کو ترتیب دے کر کام کرتا ہے۔ جنرلایزیشن سیمی سمپل لائی الجیبرا بعض جنرلایزیشن کو تسلیم کرتے ہیں۔ سب سے پہلے، بہت سے بیانات جو نیم سادہ لائ الجبرا کے لیے درست ہیں عام طور پر تخفیف لائ الجبرا کے لیے زیادہ درست ہیں۔ مختصرا، ایک تخفیف لائ الجبرا وہ ہے جس کی ملحقہ نمائندگی مکمل طور پر تخفیف پذیر ہے، جبکہ ٹھوس طور پر، تخفیف لائ الجبرا ایک نیم سادہ لائ الجبرا اور ایک ابیلین لائ الجبرا کا براہ راست مجموعہ ہے ؛ مثال کے طور پر، نیم آسان ہے، اور تخفیف پذیر ہے۔ نیم سادہ لائ الجبرا کی بہت سی خصوصیات کا انحصار صرف تخفیف پر ہوتا ہے۔ پیچیدہ سیمی سمپل/ریڈکٹو لائ الجبرا کی بہت سی خصوصیات نہ صرف الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر سیمی سمپل/ریڈکٹو لائ الجبرا کے لیے درست ہیں، بلکہ زیادہ عام طور پر دوسرے فیلڈز پر اسپلٹ سیمی سمپل/ریڈکٹو لائ الجبرا کے لیے درست ہیں: سیمی سمپل/ریڈکٹو لائ الجبرا الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر ہمیشہ تقسیم ہوتے ہیں، لیکن دوسرے فیلڈز پر ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا ہے۔ اسپلٹ لائ الجبرا کا بنیادی طور پر وہی نمائندگی نظریہ ہے جو الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر نیم سادہ لائ الجبرا کا ہے، مثال کے طور پر، تقسیم کارٹن ذیلی الجبرا وہی کردار ادا کرتا ہے جو کارٹن ذیلی الجبرا الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر ادا کرتا ہے۔ یہ وہ نقطہ نظر ہے جس کی پیروی کی جاتی ہے، مثال کے طور پر، جو تقسیم شدہ نیم سادہ/تخفیف لائ الجبرا کی نمائندگی کی درجہ بندی کرتا ہے۔ نیم سادہ اور تخفیف گروپ ایک جڑے ہوئے جھوٹ گروپ کو نیم سادہ کہا جاتا ہے اگر اس کا جھوٹ الجبرا ایک نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہے، یعنی۔ سادہ جھوٹ الجبرا کا براہ راست مجموعہ۔ اسے کم کرنے والا کہا جاتا ہے اگر اس کا لائ الجبرا سادہ اور معمولی (ایک جہتی) لائ الجبرا کا براہ راست مجموعہ ہو۔ تخفیف گروپ قدرتی طور پر الجبرا، جیومیٹری اور طبیعیات میں متعدد ریاضیاتی اشیاء کی ہم آہنگی کے طور پر پائے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک n-جہتی حقیقی ویکٹر اسپیس (مساوی طور پر، الٹا میٹرکس کا گروپ) کی ہم آہنگی کا گروپ تخفیف ہے۔ لائ الجبرا روٹ سسٹم لائ الجبرا کی نمائندگی کمپیکٹ گروپ سادہ لائ گروپ بوریل ذیلی الجبرا جیکبسن-موروزوف تھیوریم حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ لائ الجبرا کی خصوصیات