Spin structure
تفریق جیومیٹری میں، ایک متصل ریمنیئن کئی گنا پر ایک گھماؤ ڈھانچہ کسی کو متعلقہ اسپنر بنڈلوں کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے، جس سے تفریق جیومیٹری میں اسپنر کے تصور کو جنم ملتا ہے۔ اسپن ڈھانچے ریاضیاتی طبیعیات کے لیے وسیع پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں، خاص طور پر کوانٹم فیلڈ تھیوری کے لیے جہاں وہ غیر چارج شدہ فرمین کے ساتھ کسی بھی نظریہ کی تعریف میں ایک لازمی جزو ہیں۔ وہ تفریقی جیومیٹری، الجبرائی ٹوپولوجی، اور کے تھیوری میں بھی خالصتا ریاضیاتی دلچسپی رکھتے ہیں۔ وہ اسپن جیومیٹری کی بنیاد بناتے ہیں۔ جیومیٹری اور فیلڈ تھیوری میں، ریاضی دان پوچھتے ہیں کہ آیا دیا ہوا ریمینیئن کئی گنا (ایم، جی) اسپنرز کو قبول کرتا ہے یا نہیں۔ اس مسئلے سے نمٹنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ M کے پاس اسپن ڈھانچہ ہو۔ یہ ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا ہے کیونکہ اسپن ڈھانچوں کے وجود میں ممکنہ طور پر ٹپوولوجیکل رکاوٹ ہوتی ہے۔ اسپن ڈھانچے اس صورت میں موجود ہوں گے جب ایم کا دوسرا سٹیفل وٹنی کلاس ڈبلیو 2 (ایم) bul ایچ 2 (ایم، زیڈ 2) غائب ہو جائے۔ مزید برآں، اگر ڈبلیو 2 (ایم) = 0 ہے، تو ایم پر اسپن ڈھانچوں کی آئسومورفزم کلاسوں کے سیٹ پر ایچ 1 (ایم، زیڈ 2) کے ذریعہ آزادانہ اور عارضی طور پر عمل کیا جاتا ہے۔ جیسا کہ کئی گنا M پر مبنی سمجھا جاتا ہے، M کا پہلا سٹیفل وٹنی کلاس W1 (M) bul H1 (M، Z2) بھی غائب ہو جاتا ہے۔ (کئی گنا M کی سٹیفل وٹنی کلاسیں وائی (M) bul ہائی (M، Z2) کو اس کے ٹینجینٹ بنڈل TM کی سٹیفل وٹنی کلاسیں قرار دیا گیا ہے۔) اسپنرز کا بنڈل πS: S → M اوور M پھر ایک پیچیدہ ویکٹر بنڈل ہے جو M پر اسپن فریموں کے متعلقہ پرنسپل بنڈل πP: P → M سے وابستہ ہے اور اسپنرز کی جگہ پر اس کے اسٹرکچر گروپ اسپن (n) کی اسپن نمائندگی ہے۔ بنڈل ایس کو ایم پر دیئے گئے اسپن ڈھانچے کے لیے اسپنر بنڈل کہا جاتا ہے۔ کئی گنا پر اسپن ڈھانچے کی ایک درست تعریف فائبر بنڈل کے تصور کے متعارف ہونے کے بعد ہی ممکن تھی۔ آندرے ہیفلیگر (1956) نے ایک اورینٹیبل ریمینیئن کئی گنا پر اسپن ڈھانچے کے وجود میں ٹپوولوجیکل رکاوٹ پائی اور میکس کروبی (1968) نے اس نتیجے کو غیر اورینٹیبل سڈو-ریمینیئن کیس تک بڑھا دیا۔ ریمینیئن مینیفولڈز پر اسپن ڈھانچے تعریف ایک اورینٹیبل ریمینیئن مینیفولڈ پر ایک اورینٹیڈ ویکٹر بنڈل کے ساتھ ایک اسپن ڈھانچہ ڈبل کورنگ کے حوالے سے آرتھونورمل فریم بنڈل کی ایک مساوی لفٹ ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک جوڑا ایس او (این)-پرنسپل بنڈل پر ایک اسپن ڈھانچہ ہوتا ہے جب اے) ایک پرنسپل اسپن (این)-بنڈل ہوتا ہے، اور بی) ایک مساوی 2 گنا ڈھکنے والا نقشہ ہوتا ہے جیسے کہ اور سب کے لیے اور۔ دو اسپن ڈھانچے اور ایک ہی سمت والے ریمینیئن کئی گنا کو "مساوی" کہا جاتا ہے اگر کوئی اسپن (این) مساوی نقشہ موجود ہو جیسے کہ اور سب کے لیے اور۔ اس صورت میں اور دو مساوی ڈبل کورنگ ہیں۔ مرکزی بنڈل پر اسپن ڈھانچے کے طور پر اسپن ڈھانچے کی تعریف آندرے ہیفلیگر (1956) کی وجہ سے ہے۔ رکاوٹ ہیفلیگر نے ایک مبنی ریمینیئن کئی گنا (ایم، جی) پر ایک گھماؤ ڈھانچے کے وجود کے لیے ضروری اور کافی شرائط پائی۔ گھماؤ کی ساخت میں رکاوٹ H2 (M، Z2) کا ایک مخصوص عنصر [k] ہے۔ اسپن ڈھانچے کے لیے کلاس [k] ایم کی دوسری سٹیفل وٹنی کلاس ڈبلیو 2 (ایم) bul ایچ 2 (ایم، زیڈ 2) ہے۔ لہذا، ایک اسپن ڈھانچہ اس صورت میں موجود ہے جب ایم کی دوسری سٹیفل وٹنی کلاس ڈبلیو 2 (ایم) bul ایچ 2 (ایم، زیڈ 2) غائب ہو جائے۔ ویکٹر بنڈلوں پر اسپن ڈھانچے M کو ایک پیراکمپیکٹ ٹپوولوجیکل کئی گنا اور E کو فائبر میٹرک سے لیس طول و عرض n کے M پر مبنی ویکٹر بنڈل ہونے دیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ M کے ہر نقطہ پر، E کا فائبر ایک اندرونی پروڈکٹ اسپیس ہے۔ ای کا اسپنر بنڈل ایم کے ہر نقطہ سے اسپن کی نمائندگی کو مستقل طور پر جوڑنے کے لیے ایک نسخہ ہے۔ ایسا کرنے کے قابل ہونے میں ٹپوولوجیکل رکاوٹیں ہیں، اور اس کے نتیجے میں، دیا ہوا بنڈل ای کسی بھی اسپنر بنڈل کو داخل نہیں کر سکتا ہے۔ اگر ایسا ہوتا ہے تو، کوئی کہتا ہے کہ بنڈل E گھماؤ ہے۔ اسے بنیادی بنڈلوں کی زبان کے ذریعے سخت بنایا جا سکتا ہے۔ ویکٹر بنڈل کے مبنی آرتھونورمل فریموں کا مجموعہ ایک فریم بنڈل پی ایس او (ای) بناتا ہے، جو خصوصی آرتھوگنل گروپ ایس او (این) کی کارروائی کے تحت ایک بنیادی بنڈل ہے۔ پی ایس او (ای) کے لیے ایک اسپن ڈھانچہ اسپن گروپ اسپن (این) کی کارروائی کے تحت ایک پرنسپل بنڈل پی ایس پن (ای) پر پی ایس او (ای) کی لفٹ ہے، جس سے ہمارا مطلب ہے کہ ایک بنڈل نقشہ موجود ہے: پی ایس پن (ای) → پی ایس او (ای) اس طرح کہ، سب کے لیے اور، جہاں اسپن گروپ کو ایس او (این) کے ڈبل کور کے طور پر پیش کرنے والے گروپوں کی نقشہ سازی ہے۔ اس خاص صورت میں جس میں E بیس مینیفولڈ M پر ٹینجینٹ بنڈل TM ہے، اگر کوئی اسپن ڈھانچہ موجود ہے تو کوئی کہتا ہے کہ M ایک اسپن مینیفولڈ ہے۔ مساوی طور پر ایم گھماؤ ہے اگر ایم کے ٹینجینٹ ریشوں کے آرتھونورمل اڈوں کا ایس او (این) پرنسپل بنڈل ایک پرنسپل اسپن بنڈل کا زیڈ 2 حصص ہے۔ اگر کئی گنا سیل سڑنا یا مثلث ہے، تو ایک گھماؤ ڈھانچے کو مساوی طور پر 1-کنکال پر ٹینجینٹ بنڈل کی ٹریویلائزیشن کی ہوموٹوپی کلاس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو 2-کنکال پر پھیلا ہوا ہے۔ اگر طول و عرض 3 سے کم ہے، تو پہلے ایک معمولی لائن بنڈل کے ساتھ وٹنی سم لیا جاتا ہے۔ رکاوٹ اور درجہ بندی ایک مبنی ویکٹر بنڈل کے لیے ایک اسپن ڈھانچہ موجود ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دوسرا سٹیفل-وہٹنی کلاس غائب ہو جائے۔ یہ آرمنڈ بوریل اور فریڈرک ہرزبروچ کا نتیجہ ہے۔ مزید برآں، اسپن کے معاملے میں، اسپن ڈھانچوں کی تعداد بیجیکشن میں ہوتی ہے۔ متعلقہ پرنسپل-بنڈل کے لیے سپیکٹرم سیکوینس آرگمینٹ کا استعمال کرتے ہوئے ان نتائج کو آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ایک فبریشن دیتا ہے۔ سیری سپیکٹرم کی ترتیب کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ سپیکٹرم ترتیبات کے عمومی نظریہ سے، ایک عین مطابق ترتیب موجود ہے۔ اس کے علاوہ، اور کچھ فلٹریشن کے لیے، اس لیے ہمیں ایک نقشہ ملتا ہے جس میں ایک عین ترتیب دی جاتی ہے۔ اب، ایک گھماؤ ڈھانچہ ایک مواصلاتی خاکہ میں فٹ ہونے کا بالکل دوہرا احاطہ ہے جہاں دو بائیں عمودی نقشے دوہرے ڈھکنے والے نقشے ہیں۔ اب، کے ڈبل کورنگ انڈیکس کے ذیلی گروپوں کے ساتھ بائیجیکشن میں ہیں، جو گروپ مورفزم کے سیٹ کے ساتھ بائیجیکشن میں ہیں۔ لیکن، ہوریوکس تھیوریم اور کوفیشنٹس کی تبدیلی سے، یہ بالکل کوہمولوجی گروپ ہے۔ اسی دلیل کو لاگو کرتے ہوئے، غیر معمولی احاطہ سے مطابقت رکھتا ہے، اور نقشہ بالکل دوسرے سٹیفل وٹنی طبقے کا ہے، لہذا۔ اگر یہ غائب ہو جاتا ہے، تو نقشے کے نیچے کی الٹا تصویر دوہرے ڈھانچوں کا مجموعہ ہے جو گھماؤ ڈھانچے دیتا ہے۔ اب، کے اس ذیلی سیٹ کی شناخت اس کے ساتھ کی جا سکتی ہے، جس سے یہ مؤخر الذکر کوہمولوجی گروپ ویکٹر بنڈل پر مختلف اسپن ڈھانچوں کی درجہ بندی کرتا ہے۔ یہ فائبرشن کے ہوموٹوپی گروپوں کی لمبی عین ترتیب کو دیکھ کر اور کوہمولوجی گروپوں کی ترتیب دیتے ہوئے لاگو کرکے کیا جا سکتا ہے کیونکہ دانا ہے، اور کی الٹا شبیہہ دانے کے ساتھ بائیجیکشن میں ہے، ہمیں مطلوبہ نتیجہ ملتا ہے۔ درجہ بندی پر تبصرے جب اسپن ڈھانچے موجود ہوتے ہیں، تو کئی گنا پر غیر مساوی اسپن ڈھانچے H1 (M، Z2) کے عناصر کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت (کینونکل نہیں) رکھتے ہیں، جو عالمگیر گتانک تھیوریم کے مطابق H1 (M، Z2) کے لیے آئسومورفک ہے۔ مزید واضح طور پر، اسپن ڈھانچوں کی آئسومورفزم کلاسوں کی جگہ H1 (M، Z2) پر ایک افائن اسپیس ہے۔ بدیہی طور پر، ایم پر ہر غیر معمولی سائیکل کے لیے ایک اسپن ڈھانچہ بائنری انتخاب سے مطابقت رکھتا ہے کہ آیا ایس او (این) بنڈل کا ایک حصہ شیٹس کو تبدیل کرتا ہے جب کوئی لوپ کو گھیرے میں لیتا ہے۔ اگر ڈبلیو 2 غائب ہو جاتا ہے تو ان انتخاب کو دو کنکال پر بڑھایا جا سکتا ہے، پھر (رکاوٹ نظریہ کے ذریعے) انہیں خود بخود تمام ایم پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ ذرہ طبیعیات میں یہ ہر لوپ کے گرد گھومنے والے فرمین کے لیے وقتا فوقتا یا اینٹی پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز کے انتخاب سے مطابقت رکھتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ایک پیچیدہ کئی گنا پر دوسری سٹیفل وٹنی کلاس کو پہلی چرن کلاس کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ مثال ایک جینس جی ریمن کی سطح 22 گرام غیر مساوی اسپن ڈھانچے کو تسلیم کرتی ہے۔ تھیٹا کی خصوصیت دیکھیں۔ اگر H2 (M، Z2) غائب ہو جائے تو M گھماؤ ہے۔ مثال کے طور پر، ایس این سب کے لیے اسپن ہے۔ (نوٹ کریں کہ S2 بھی گھوم رہا ہے، لیکن مختلف وجوہات کی بناء پر ؛ نیچے دیکھیں۔) پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ CP2 گھماؤ نہیں ہے۔ زیادہ عام طور پر، تمام یکساں جہتی پیچیدہ پروجیکٹو خالی جگہیں CP2n گھماؤ نہیں ہیں۔ تمام عجیب جہتی پیچیدہ پروجیکٹو خالی جگہیں CP2n + 1 گھماؤ ہیں۔ طول و عرض 3 یا اس سے کم کے تمام کمپیکٹ، قابل سمت کئی گنا گھماؤ ہیں۔ تمام کالابی-یو کئی گنا گھماؤ ہیں۔ خصوصیات ایک گھماؤ کئی گنا کی جینس ایک عدد ہے، اور اگر اس کے علاوہ طول و عرض 4 موڈ 8 ہے تو یہ ایک یکساں عدد ہے۔ عام طور پر جینس ایک عقلی غیر متغیر ہے، جس کی تعریف کسی بھی کئی گنا کے لیے کی گئی ہے، لیکن یہ عام طور پر ایک عدد نہیں ہے۔ یہ اصل میں ہرزبروچ اور بوریل نے ثابت کیا تھا، اور اسے عطیہ-سنگر انڈیکس تھیوریم کے ذریعے ثابت کیا جا سکتا ہے، ڈیراک آپریٹر کے انڈیکس کے طور پر جینس کو محسوس کرکے-ایک ڈیراک آپریٹر سیکنڈ آرڈر آپریٹر کا مربع جڑ ہے، اور اسپن ڈھانچہ "مربع جڑ" ہونے کی وجہ سے موجود ہے۔ یہ انڈیکس تھیوریم کے لیے ایک محرک مثال تھی۔ اسپن سی ڈھانچے ایک اسپن سی ڈھانچہ ایک مبنی ریمینیئن کئی گنا پر اسپن ڈھانچے سے مشابہت رکھتا ہے، لیکن اسپن سی گروپ کا استعمال کرتا ہے، جس کی وضاحت عین ترتیب سے کی جاتی ہے۔ U (N) کا مرکز شمولیت سے آنے والے اخترن عناصر پر مشتمل ہوتا ہے، یعنی شناخت کے اسکیلر ضرب۔ اس طرح ایک ہومومورفزم ہے۔ اس میں ہمیشہ دانا میں عنصر (−1، −1) ہوگا۔ حصص ماڈیولو لینے سے یہ عنصر گروپ اسپن سی (این) دیتا ہے۔ یہ مڑا ہوا پروڈکٹ ہے جہاں U (1) = SO (2) = S1 ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اسپن سی (این) گروپ ایس 1 کے ذریعہ ایس او (این) کی مرکزی توسیع ہے۔ دوسرے طریقے سے دیکھا جائے تو، اسپن سی (این) عام زیڈ 2 کے حوالے سے حاصل کردہ حصص کا گروپ ہے جو بالترتیب بنڈلوں کے لیے کورنگ ٹرانسفارمیشن کے جوڑے سے پیدا ہوتا ہے۔ یہ اسپن سی گروپ کو دائرے کے اوپر فائبر اسپن (این) کے ساتھ ایک بنڈل اور فائبر کے ساتھ ایس او (این) کے اوپر ایک بنڈل بنڈل بناتا ہے۔ بنیادی گروپ π1 (اسپن سی (این)) Z کے لیے آئسومورفک ہے اگر n ष्ण 2 ہو، اور Z ष्ण Z کے لیے اگر n = 2 ہو۔ اگر کئی گنا سیل سڑنا یا مثلث ہے، تو ایک اسپن سی ڈھانچے کو مساوی طور پر 2-کنکال پر پیچیدہ ڈھانچے کی ہوموٹوپی کلاس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو 3-کنکال پر پھیلا ہوا ہے۔ اسی طرح اسپن ڈھانچوں کے معاملے میں، اگر کئی گنا عجیب جہتی ہے تو کوئی معمولی لائن بنڈل کے ساتھ وٹنی سم لیتا ہے۔ پھر بھی ایک اور تعریف یہ ہے کہ کئی گنا N پر ایک اسپن سی ڈھانچہ ایک پیچیدہ لائن بنڈل L اوور N ہے جس پر ایک اسپن ڈھانچہ ہے۔ رکاوٹ ایک اسپن سی ڈھانچہ اس وقت موجود ہوتا ہے جب بنڈل قابل سمت ہوتا ہے اور بنڈل ای کی دوسری سٹیفل وٹنی کلاس نقشے کی تصویر میں ہوتی ہے (دوسرے الفاظ میں، تیسری لازمی سٹیفل وٹنی کلاس غائب ہو جاتی ہے)۔ اس صورت میں کوئی کہتا ہے کہ ای اسپن سی ہے۔ بدیہی طور پر، لفٹ کسی بھی حاصل کردہ اسپن سی بنڈل کے U (1) حصے کے مربع کی چرن کلاس دیتی ہے۔ ہوپف اور ہرزبروچ کے نظریہ کے مطابق، بند سمت والے 4-مینیفولڈ ہمیشہ ایک اسپن سی ڈھانچے کو تسلیم کرتے ہیں۔ درجہ بندی جب کئی گنا ایک اسپن سی ڈھانچہ بالکل بھی رکھتا ہے، تو اسپن سی ڈھانچے کا مجموعہ ایک افائن اسپیس بناتا ہے۔ مزید برآں، اسپن سی ڈھانچوں کے سیٹ میں ایک آزاد عارضی عمل ہوتا ہے۔ اس طرح، اسپن سی-ڈھانچے عناصر سے مطابقت رکھتے ہیں حالانکہ قدرتی انداز میں نہیں۔ ہندسی تصویر اس کی مندرجہ ذیل ہندسی تشریح ہے، جو ایڈورڈ وٹن کی وجہ سے ہے۔ جب اسپن سی ڈھانچہ غیر صفر ہوتا ہے تو اس مربع جڑ کے بنڈل میں غیر مربوط چرن کلاس ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ٹرپل اوورلیپ حالت میں ناکام ہوجاتا ہے۔ خاص طور پر، تین طرفہ چوراہے پر ٹرانزیشن فنکشنز کا پروڈکٹ ہمیشہ ایک کے برابر نہیں ہوتا، جیسا کہ پرنسپل بنڈل کے لیے ضروری ہوتا ہے۔ اس کے بجائے یہ کبھی کبھی −1 ہوتا ہے۔ یہ ناکامی بالکل اسی چوراہوں پر ہوتی ہے جیسا کہ رکاوٹ والے اسپن بنڈل کے ٹرانزیشن افعال کے ٹرپل پروڈکٹ میں ایک جیسی ناکامی ہوتی ہے۔ لہذا، مکمل اسپنک بنڈل کے ٹرانزیشن افعال کے ٹرپل پروڈکٹ، جو اسپن اور یو (1) جزو بنڈلوں کے ٹرپل پروڈکٹ کے پروڈکٹ ہیں، یا تو ہیں اور اس لیے اسپن سی بنڈل ٹرپل اوورلیپ حالت کو مطمئن کرتا ہے اور اس لیے ایک جائز بنڈل ہے۔ تفصیلات مندرجہ بالا بدیہی ہندسی تصویر کو مندرجہ ذیل طور پر ٹھوس بنایا جا سکتا ہے۔ مختصر عین مطابق ترتیب پر غور کریں، جہاں دوسرا تیر 2 سے ضرب ہے اور تیسرا کمی ماڈیولو 2 ہے۔ یہ کوہومولوجی پر ایک طویل عین مطابق ترتیب کو جنم دیتا ہے، جس میں یہ شامل ہوتا ہے کہ جہاں دوسرا تیر 2 کے ضرب سے متاثر ہوتا ہے، تیسرا پابندی ماڈیولو 2 کے ذریعے متاثر ہوتا ہے اور چوتھا متعلقہ بوکسٹین ہومومورفزم β ہے۔ اسپن بنڈل کے وجود میں رکاوٹ ایک عنصر ڈبلیو 2 ہے۔ یہ اس حقیقت کی عکاسی کرتا ہے کہ کوئی بھی ہمیشہ مقامی طور پر ایک ایس او (این) بنڈل کو اسپن بنڈل پر اٹھا سکتا ہے، لیکن کسی کو ہر ٹرانزیشن فنکشن کی زیڈ 2 لفٹ کا انتخاب کرنے کی ضرورت ہے، جو کہ نشان کا انتخاب ہے۔ لفٹ اس وقت موجود نہیں ہوتی جب ٹرپل اوورلیپ پر ان تینوں علامتوں کا پروڈکٹ −1 ہوتا ہے، جس سے ڈبلیو 2 کی چیچ کوہمولوجی تصویر ملتی ہے۔ اس رکاوٹ کو منسوخ کرنے کے لیے، ایک اس اسپن بنڈل کو اسی رکاوٹ ڈبلیو 2 کے ساتھ یو (1) بنڈل کے ساتھ ٹینسر کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ لفظ بنڈل کا غلط استعمال ہے، کیونکہ نہ تو اسپن بنڈل اور نہ ہی U (1) بنڈل ٹرپل اوورلیپ کی حالت کو پورا کرتا ہے اور اس لیے نہ ہی اصل میں بنڈل ہے۔ ایک جائز U (1) بنڈل کی درجہ بندی اس کی چرن کلاس کے مطابق کی جاتی ہے، جو کہ H2 (M, Z) کا ایک عنصر ہے۔ اس کلاس کی شناخت مندرجہ بالا عین ترتیب میں پہلے عنصر سے کریں۔ اگلا تیر اس چرن کلاس کو دوگنا کر دیتا ہے، اور اس لیے جائز بنڈل دوسرے میں یکساں عناصر کے مطابق ہوں گے، جبکہ عجیب عناصر ان بنڈلوں کے مطابق ہوں گے جو ٹرپل اوورلیپ حالت میں ناکام ہو جاتے ہیں۔ اس کے بعد رکاوٹ کی درجہ بندی دوسرے H2 (M، Z) میں کسی عنصر کی تیر کی شبیہہ میں ہونے کی ناکامی سے کی جاتی ہے، جسے درستگی کے لحاظ سے، اگلے تیر کے نیچے H2 (M، Z2) میں اس کی شبیہہ کے ذریعہ درجہ بندی کیا جاتا ہے۔ اسپن بنڈل میں متعلقہ رکاوٹ کو منسوخ کرنے کے لیے، اس تصویر کو ڈبلیو 2 ہونا ضروری ہے۔ خاص طور پر، اگر ڈبلیو 2 تیر کی تصویر میں نہیں ہے، تو وہاں کوئی یو (1) بنڈل موجود نہیں ہے جس میں ڈبلیو 2 کے برابر رکاوٹ ہو اور اس لیے رکاوٹ کو منسوخ نہیں کیا جا سکتا۔ درستگی کے لحاظ سے، ڈبلیو 2 پچھلے تیر کی شبیہہ میں صرف اس صورت میں ہے جب یہ اگلے تیر کے دانے میں ہو، جو ہمیں یاد ہے کہ بوکسٹین ہومومورفزم β ہے۔ یعنی رکاوٹ کی منسوخی کی شرط یہ ہے کہ ہم نے اس حقیقت کو استعمال کیا ہے کہ تیسرا لازمی سٹیفل وٹنی کلاس W3 دوسرے سٹیفل وٹنی کلاس W2 کا بوکسٹین ہے (اسے W3 کی تعریف کے طور پر لیا جا سکتا ہے)۔ سٹیفل وٹنی کلاسوں کی انٹیگرل لفٹس یہ دلیل یہ بھی ظاہر کرتی ہے کہ سیکنڈ سٹیفل وٹنی کلاس نہ صرف زیڈ 2 کوہمولوجی بلکہ ایک اعلی درجے میں انٹیگرل کوہمولوجی کے عناصر کی بھی وضاحت کرتی ہے۔ درحقیقت یہ تمام اسٹیفل وٹنی کلاسوں کا بھی معاملہ ہے۔ عجیب ڈگری میں نتیجے میں آنے والی کلاسوں کے لیے بڑے حرف W کا استعمال کرنا روایتی ہے، جسے انٹیگرل سٹیفل وٹنی کلاسز کہا جاتا ہے، اور ان کی ڈگری سے لیبل کیا جاتا ہے (جو ہمیشہ عجیب ہوتا ہے)۔ مثالیں طول و عرض 4 یا اس سے کم کے تمام مبنی ہموار کئی گنا اسپن سی ہیں۔ تمام تقریبا پیچیدہ کئی گنا اسپن سی ہیں۔ تمام اسپن مینیفولڈ اسپن سی ہیں۔ ذرہ طبیعیات پر اطلاق ذرہ طبیعیات میں اسپن اعدادوشمار کے نظریہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ غیر چارج شدہ فرمیئن کا ویو فنکشن ایس او (این) بنڈل ای کے اسپن لفٹ سے وابستہ ویکٹر بنڈل کا ایک حصہ ہے۔ لہذا، اسپن ڈھانچے کا انتخاب ویو فنکشن کی وضاحت کے لیے درکار ڈیٹا کا حصہ ہے، اور اکثر پارٹیشن فنکشن میں ان انتخاب کا خلاصہ کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ بہت سے فزیکل نظریات میں E ٹینجینٹ بنڈل ہے، لیکن سٹرنگ تھیوری میں D-برینز کے ورلڈ والیوم پر موجود فرمینز کے لیے یہ ایک نارمل بنڈل ہے۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں چارجڈ اسپنرز متعلقہ اسپنک بنڈلز کے حصے ہوتے ہیں، اور خاص طور پر کوئی چارجڈ اسپنرز ایسی جگہ پر موجود نہیں ہو سکتے جو اسپنک نہ ہو۔ کشش ثقل کے کچھ نظریات میں ایک رعایت پیدا ہوتی ہے جہاں اضافی تعاملات کا مطلب یہ ہے کہ دیگر فیلڈز تیسری سٹیفل وٹنی کلاس کو منسوخ کر سکتے ہیں۔ سپر گریویٹی اور سٹرنگ تھیوری میں اسپنرز کی ریاضیاتی وضاحت ایک خاص طور پر ٹھیک ٹھیک کھلا مسئلہ ہے، جسے حال ہی میں حوالوں میں خطاب کیا گیا تھا۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ سپر گریویٹی اور سٹرنگ تھیوری کی ایپلی کیشنز کے لیے اسپن ڈھانچے کا معیاری تصور بہت زیادہ پابند ہے، اور یہ کہ ان نظریات کی ریاضیاتی تشکیل کے لیے اسپنوریئل ڈھانچے کا صحیح تصور "لپشٹز ڈھانچہ" ہے۔ میٹاپلیکٹک ڈھانچہ اورتھونورمل فریم بنڈل اسپنر حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی لنکس Sven-S کی طرف سے اسپن ڈھانچے پر کچھ۔ پورسٹ ریاضی کے طلباء کے لیے واقفیت اور اسپن ڈھانچے کا ایک مختصر تعارف ہے۔ ریمینیئن کئی گنا پر ڈھانچے کئی گنا پر ڈھانچے الجبرائی ٹوپولوجی K-تھیوری ریاضیاتی طبیعیات