Heawood graph
گراف تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، ہیووڈ گراف 14 عمودی اور 21 کناروں والا ایک غیر ہدایت شدہ گراف ہے، جس کا نام پرسی جان ہیووڈ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ مشترکہ خصوصیات گراف کیوبک ہے، اور گراف میں موجود تمام چکروں کے چھ یا زیادہ کنارے ہوتے ہیں۔ ہر چھوٹے کیوبک گراف میں چھوٹے چکر ہوتے ہیں، لہذا یہ گراف 6-پنجرا ہے، جو گرتھ 6 کا سب سے چھوٹا کیوبک گراف ہے۔ یہ ایک فاصلہ-عارضی گراف ہے (فوسٹر مردم شماری دیکھیں) اور اس لیے فاصلہ باقاعدہ ہے۔ ہی ووڈ گراف میں 24 کامل مماثلت ہیں۔ ہر مماثلت کے لیے، مماثلت میں نہ ہونے والے کناروں کا مجموعہ ہیملٹنین سائیکل بناتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ شکل ایک سائیکل پر رکھے گئے گراف کے عمودی حصوں کو دکھاتی ہے، جس میں سائیکل کے اندرونی اخترن ایک مماثلت بناتے ہیں۔ سائیکل کے کناروں کو دو مماثلتوں میں تقسیم کرکے، ہم ہیووڈ گراف کو آٹھ مختلف طریقوں سے تین کامل مماثلتوں (یعنی اس کے کناروں کو 3 رنگ) میں تقسیم کر سکتے ہیں۔ ہر دو کامل ملاپ، اور ہر دو ہیملٹنین چکروں کو، گراف کی ہم آہنگی کے ذریعے ایک دوسرے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ہیووڈ گراف میں 28 چھ ورٹیکس سائیکل ہیں۔ ہر 6 سائیکل بالکل تین دیگر 6 سائیکلوں سے الگ ہے۔ ان تین 6 سائیکلوں میں سے ہر ایک دوسرے دو کا ہم آہنگی فرق ہے۔ ایک نوڈ فی 6 سائیکل والا گراف، اور 6 سائیکلوں کے ہر جداگانہ جوڑے کے لیے ایک کنارے والا گراف، کاکسٹر گراف ہے۔ ہندسی اور ٹپوولوجیکل خصوصیات ہیووڈ گراف ایک ٹورائڈل گراف ہے ؛ یعنی اسے ٹورس پر عبور کیے بغیر سرایت کیا جا سکتا ہے۔ اس قسم کی ایک سرایت اس کے عمودی اور کناروں کو تین جہتی یوکلڈین جگہ میں ایک غیر مخروطی پولی ہیڈرون کے عمودی اور کناروں کے سیٹ کے طور پر ٹورس، زیلسی پولی ہیڈرون کی ٹوپولوجی کے ساتھ رکھتی ہے۔ ایک اور سرایت مندرجہ ذیل ہے: باقاعدہ ہیکساگون کا استعمال کرتے ہوئے ہوائی جہاز کو ٹائل کریں، اور انہیں وقتا فوقتا 7 رنگوں سے رنگ دیں۔ کسی بھی رنگ کے لیے، اس رنگ کے ہیکساگون ایک سہ رخی گرڈ بناتے ہیں۔ اس گرڈ میں، کوئی بھی منتخب کردہ رنگ کے ہیکساگون کے وسط میں مراکز کے ساتھ ایک متوازی ہندسہ لے سکتا ہے۔ اس متوازی ہندسے کو جوڑنے سے ہیووڈ گراف کا استعمال کرتے ہوئے 7 ہیکساگون کے ساتھ ٹائل والا ٹورس ملے گا (جیسا کہ نیچے گیلری میں دکھایا گیا ہے، لیکن مربع کے ساتھ) گراف کا نام پرسی جان ہیووڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1890 میں ثابت کیا کہ ٹورس کے ہر ذیلی حصے میں کثیر الاضحی میں، کثیر الاضحی علاقوں کو زیادہ سے زیادہ سات رنگوں سے رنگا جا سکتا ہے۔ ہی ووڈ گراف ٹورس کی ایک ذیلی تقسیم بناتا ہے جس میں سات باہمی ملحقہ علاقے ہوتے ہیں، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ حد تنگ ہے۔ ہی ووڈ گراف فینو طیارہ کا لیوی گراف ہے، وہ گراف جو اس جیومیٹری میں پوائنٹس اور لائنوں کے درمیان واقعات کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس تشریح کے ساتھ، ہیووڈ گراف میں 6 سائیکلز فینو طیارہ میں مثلث سے مطابقت رکھتے ہیں۔ نیز، ہیووڈ گراف گروپ ایس ایل 3 (ایف 2) کی ٹیٹس بلڈنگ ہے۔ ہی ووڈ گراف میں کراسنگ نمبر 3 ہے، اور یہ اس کراسنگ نمبر کے ساتھ سب سے چھوٹا کیوبک گراف ہے۔ ہیووڈ گراف سمیت، کراسنگ نمبر 3 کے ساتھ آرڈر 14 کے 8 الگ الگ گراف ہیں۔ ہیووڈ گراف سب سے چھوٹا کیوبک گراف ہے جس میں کولن ڈی ورڈیئر گراف غیر متغیر ہے۔ ہی ووڈ گراف ایک یونٹ ڈسٹنس گراف ہے: اسے سطح میں اس طرح سرایت کیا جا سکتا ہے کہ ملحقہ عمودی بالکل ایک فاصلے پر ہوں، جس میں کوئی دو عمودی ایک ہی نقطہ پر سرایت نہ کریں اور کنارے کے اندر کسی نقطہ میں سرایت نہ کریں۔ الجبرائی خصوصیات ہیووڈ گراف کا آٹومورفزم گروپ پروجیکٹو لکیری گروپ پی جی ایل 2 (7) کے لیے آئسومورفک ہے، جو آرڈر 336 کا ایک گروپ ہے۔ یہ عمودی، کناروں اور گراف کے آرکس پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ لہذا، ہیووڈ گراف ایک ہم آہنگ گراف ہے۔ اس میں آٹومورفزم ہوتے ہیں جو کسی بھی سرے کو کسی دوسرے سرے اور کسی بھی کنارے کو کسی دوسرے کنارے تک لے جاتے ہیں۔ زیادہ مضبوطی سے، ہیووڈ گراف 4-آرک-ٹرانزیکٹو ہے۔ فوسٹر مردم شماری کے مطابق، ہی ووڈ گراف، جسے F014A کہا جاتا ہے، 14 عمودی حصوں پر واحد کیوبک سمیٹرک گراف ہے۔ اس میں کتاب کی موٹائی 3 اور قطار نمبر 2 ہے۔ ہی ووڈ گراف کی خصوصیت کثیر الجہتی ہے۔ یہ واحد گراف ہے جس میں یہ خصوصیت کثیر الجہتی ہے، جو اسے اس کے سپیکٹرم سے طے شدہ گراف بناتا ہے۔ گیلری حوالہ جات انفرادی گراف باقاعدہ گراف