Stationary phase approximation
ریاضی میں، ساکن مرحلے کا تخمینہ غیر علامتی تجزیہ کا ایک بنیادی اصول ہے، جو تیزی سے بدلتے ہوئے پیچیدہ ایکسپونینشیل کے خلاف انضمام کے ذریعے دیے گئے افعال پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ طریقہ 19 ویں صدی سے شروع ہوتا ہے، اور جارج گیبریل اسٹوکس اور لارڈ کیلون کی وجہ سے ہے۔ اس کا تعلق لیپلیس کے طریقہ کار اور تیز ترین نزول کے طریقہ کار سے ہے، لیکن لیپلیس کی شراکت دوسروں سے پہلے ہے۔ بنیادی باتیں اسٹیشنری مرحلے کے طریقوں کا بنیادی خیال تیزی سے مختلف مرحلے والے سینوسائڈز کی منسوخی پر منحصر ہے۔ اگر بہت سے سینوسائڈز کا ایک ہی مرحلہ ہے اور انہیں ایک ساتھ شامل کیا جاتا ہے، تو وہ تعمیری طور پر اضافہ کریں گے۔ اگر، تاہم، ان ہی سینوسائڈز کے مراحل ہوتے ہیں جو تعدد میں تبدیلی کے ساتھ تیزی سے بدلتے ہیں، تو وہ متضاد طور پر اضافہ کریں گے، مختلف اوقات میں تعمیری اور تباہ کن اضافے کے درمیان مختلف ہوں گے۔ فارمولا لیٹنگ فنکشن کے اہم نکات کے سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے (یعنی۔ پوائنٹس جہاں)، اس مفروضے کے تحت جو یا تو کمپیکٹ طور پر سپورٹ کیا گیا ہے یا اس میں ایکسپونینشل ڈیک ہے، اور یہ کہ تمام اہم نکات غیر پیدا شدہ ہیں (یعنی۔ کے لیے) ہمارے پاس مندرجہ ذیل غیر علامتی فارمولا ہے، جیسا کہ: یہاں ہیسیئن کی نشاندہی کرتا ہے، اور ہیسیئن کے دستخط کی نشاندہی کرتا ہے، یعنی۔ مثبت آئجین ویلیو کی تعداد منفی آئجین ویلیو کی تعداد کو مائنس کرتی ہے۔ کیونکہ، یہ کم ہو جاتا ہے: اس صورت میں تمام اہم نکات پر تخفیف کے مفروضے غیر انحطاط پذیر ہوتے ہیں۔ یہ صرف تیز ترین نزول کے طریقہ کار کے فارمولے کا وک گھمایا ہوا ورژن ہے۔ ایک مثال کسی فنکشن پر غور کریں۔ اس فنکشن میں مرحلے کی اصطلاح،، جب یا اس کے مساوی طور پر، ساکن ہوتی ہے۔ اس مساوات کے حل کچھ اور کے لیے غالب تعدد پیدا کرتے ہیں۔ اگر ہم ٹیلر سیریز کے طور پر توسیع کرتے ہیں اور اس سے زیادہ آرڈر کی شرائط کو نظر انداز کرتے ہیں، تو ہمارے پاس دوسرے مشتق کی نشاندہی ہوتی ہے۔ جب نسبتا بڑا ہوتا ہے، یہاں تک کہ ایک چھوٹا سا فرق بھی انٹیگرل کے اندر تیزی سے ارتعاش پیدا کرے گا، جس کی وجہ سے منسوخی ہوگی۔ لہذا ہم ٹیلر کی توسیع کے لیے انضمام کی حدود کو حد سے آگے بڑھا سکتے ہیں۔ اگر ہم فارمولا استعمال کریں،۔ ۔ اس میں ضم ہوتا ہے۔ تخفیف کے مراحل شامل اصول کا پہلا بڑا عمومی بیان یہ ہے کہ I (k) کا غیر علامتی طرز عمل صرف f کے اہم نکات پر منحصر ہوتا ہے۔ اگر g کے انتخاب سے انٹیگرل کو خلا کے اس خطے میں مقامی بنایا جاتا ہے جہاں f کا کوئی اہم نقطہ نہیں ہوتا ہے، تو نتیجے میں انٹیگرل 0 کی طرف جاتا ہے کیونکہ ارتعاش کی تعدد کو لامحدود تک لے جایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ریمن-لیبسگ لیما دیکھیں۔ دوسرا بیان یہ ہے کہ جب f ایک مورس فنکشن ہے، تاکہ f کے واحد نکات غیر انحطاط پذیر اور الگ تھلگ ہوں، تو سوال کو n = 1 کے معاملے میں کم کیا جا سکتا ہے۔ در حقیقت، پھر، g کا انتخاب انٹیگرل کو ہر ایک میں صرف ایک اہم نقطہ P والے معاملات میں تقسیم کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ اس مقام پر، کیونکہ P پر ہیسیئن ڈیٹرمیننٹ مفروضے کے مطابق 0 نہیں ہے، مورس لیما لاگو ہوتا ہے۔ کوآرڈینیٹس کی تبدیلی سے f کو تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جے کی قدر پی پر ایف کے ہیسیئن میٹرکس کے دستخط سے دی جاتی ہے۔ جہاں تک جی کا تعلق ہے، ضروری معاملہ یہ ہے کہ جی xi کے ٹکرانے والے افعال کا پروڈکٹ ہے۔ اب یہ فرض کرتے ہوئے کہ عام طور پر پی اصل ہے، وقفے پر ویلیو 1 کے ساتھ ایک ہموار ٹکرانے والا فنکشن ایچ لیں اور اس کے باہر تیزی سے 0 کی طرف مائل ہوں۔ لے لو، پھر فوبینی کا نظریہ I (k) کو حقیقی لکیر پر انٹیگرلز کے پروڈکٹ میں کم کر دیتا ہے جیسے f (x) = ±x2 کے ساتھ۔ مائنس سائن کے ساتھ معاملہ پلس سائن کے ساتھ کیس کا پیچیدہ کنجوگیٹ ہے، لہذا بنیادی طور پر ایک مطلوبہ ایسمپٹوٹک تخمینہ ہے۔ اس طرح مورس فنکشنز کے لیے آسکیلیٹری انٹیگرلز کے لیے ایسمپٹوٹکس پائے جا سکتے ہیں۔ انحطاط کے معاملے میں مزید تکنیکوں کی ضرورت ہوتی ہے (مثال کے طور پر ایرائی فنکشن دیکھیں)۔ یک جہتی صورت ضروری بیان یہ ہے: در حقیقت کنٹور انضمام سے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ مساوات کے دائیں ہاتھ کی طرف مرکزی اصطلاح بائیں ہاتھ کی طرف انٹیگرل کی قیمت ہے، جو رینج پر پھیلی ہوئی ہے (ثبوت کے لیے فریسنل انٹیگرل دیکھیں)۔ لہذا یہ انٹیگرل اوور کا تخمینہ لگانے کا سوال ہے۔ یہ تمام یک جہتی انٹیگرلز کے لیے ماڈل ہے جس میں ایک واحد غیر انحطاط پذیر اہم نقطہ ہوتا ہے جس پر دوسرا مشتق ہوتا ہے۔ درحقیقت ماڈل کیس میں 0 پر دوسرا مشتق 2 ہوتا ہے۔ استعمال کرتے ہوئے پیمانے کے لیے، مشاہدہ کریں کہ جہاں مستقل ہے اس کی جگہ لینا اسکیلنگ بائی کے مترادف ہے۔ اس کے بعد عام اقدار کے لیے، عنصر بن جاتا ہے۔ جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، ایک پیچیدہ کنجوگیٹ فارمولا استعمال کرتا ہے۔ جیسا کہ فارمولے سے دیکھا جا سکتا ہے، اسٹیشنری فیز کا تخمینہ انٹیگرل کے ایسمپٹوٹک رویے کا فرسٹ آرڈر کا تخمینہ ہے۔ نچلے درجے کی اصطلاحات کو اچھے رویے کے لیے مختلف وزن کے عوامل کے ساتھ اوور فین مین خاکے کے مجموعے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری میں کامن انٹیگرلز بھی دیکھیں۔ لیپلیس کا اسٹپیسٹ نزول کا طریقہ نوٹ حوالہ جات بلیسٹین، این۔ اور ہینڈلز مین، آر۔ (1975)، انٹیگرلز کی غیر علامتی توسیع، ڈوور، نیویارک۔ وکٹر گیلمین اور شلومو سٹرنبرگ (1990)، جیومیٹرک اسیمپٹوٹکس، (باب 1 دیکھیں)۔ ۔ اکی، کیئٹی ؛ اور رچرڈز، پال جی۔ (2002)۔ "مقداری سیسمولوجی" (دوسرا ایڈیشن۔ )، پی پی 255-256۔ یونیورسٹی سائنس بکس، وانگ، آر۔ (2001)، انٹیگرلز کے غیر علامتی تخمینے، اطلاقی ریاضی میں کلاسیکی، جلد۔ 34. 1989 کے اصل کا درست ری پرنٹ۔ سوسائٹی فار انڈسٹریل اینڈ اپلائیڈ میتھمیٹکس (SIAM)، فلاڈیلفیا، PA. xviii + 543 صفحات، ڈیوڈونی، جے۔ (1980)، کیلکول انفینیٹیسیمل، ہرمن، پیرس بیرونی لنکس ریاضیاتی تجزیہ پرٹربیشن تھیوری