Z function
ریاضی میں، زیڈ فنکشن ایک فنکشن ہے جو کریٹیکل لائن کے ساتھ ریمن زیٹا فنکشن کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے جہاں دلیل آدھی ہوتی ہے۔ اسے ریمن-سیگل زیڈ فنکشن، ریمن-سیگل زیٹا فنکشن، ہارڈی فنکشن، ہارڈی زیڈ فنکشن اور ہارڈی زیٹا فنکشن بھی کہا جاتا ہے۔ اس کی تعریف ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن اور ریمن زیٹا فنکشن کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ یہ ریمن زیٹا فنکشن کی فنکشنل مساوات سے ملتی ہے کہ Z فنکشن t کی حقیقی اقدار کے لیے حقیقی ہے۔ یہ ایک یکساں فنکشن ہے، اور حقیقی اقدار کے لیے حقیقی تجزیاتی ہے۔ یہ اس حقیقت سے ملتا ہے کہ ریمن-سیگل تھیٹا فنکشن اور ریمن زیٹا فنکشن دونوں تنقیدی پٹی میں ہولومورفک ہیں، جہاں t کا خیالی حصہ −1/2 اور 1/2 کے درمیان ہے، کہ Z فنکشن تنقیدی پٹی میں بھی ہولومورفک ہے۔ مزید برآں، Z (t) کے حقیقی صفر قطعی طور پر کریٹیکل لائن کے ساتھ زیٹا فنکشن کے صفر ہیں، اور Z فنکشن کریٹیکل پٹی میں پیچیدہ صفر اس کی کریٹیکل پٹی میں ریمن زیٹا فنکشن کی کریٹیکل لائن سے دور صفر سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ریمن-سیگل فارمولا حقیقی t کے لیے Z (t) کی قدر کا حساب، اور اس وجہ سے اہم لکیر کے ساتھ زیٹا فنکشن کا حساب، ریمن-سیگل فارمولے کے ذریعے بہت تیز کیا جاتا ہے۔ یہ فارمولا ہمیں بتاتا ہے کہ غلطی کی اصطلاح R (t) فنکشن اور اس کے مشتقات کے لحاظ سے ایک پیچیدہ غیر علامتی اظہار کہاں ہے۔ اگر، اور پھر جہاں ایلیپسس اشارہ کرتا ہے ہم اعلی اور تیزی سے پیچیدہ اصطلاحات پر جاری رہ سکتے ہیں۔ Z (t) کے لیے دیگر موثر سیریز معلوم ہیں، خاص طور پر نامکمل گاما فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے کئی۔ اگر پھر ایک خاص طور پر اچھی مثال Z فنکشن کا طرز عمل ہے۔ کریٹیکل لائن تھیوریم سے، یہ اس طرح ہے کہ Z فنکشن کے حقیقی صفر کی کثافت کچھ مستقل c> 2/5 کے لیے ہے۔ لہذا، کسی مخصوص سائز کے وقفے میں صفر کی تعداد آہستہ آہستہ بڑھتی ہے۔ اگر ریمن مفروضہ درست ہے، تو نازک پٹی میں موجود تمام صفر حقیقی صفر ہیں، اور مستقل c ایک ہے۔ یہ بھی مانا جاتا ہے کہ یہ تمام صفر سادہ صفر ہیں۔ ایک اومیگا تھیوریم Z فنکشن کے صفر کی وجہ سے، یہ ارتعاشی رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ آہستہ آہستہ اوسط اور چوٹی قیمت دونوں میں بڑھتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہمارے پاس، یہاں تک کہ ریمن مفروضے کے بغیر بھی، اومیگا تھیوریم ہے کہ جہاں اشارے کا مطلب ہے کہ ω کے اندر فنکشن سے تقسیم کرنا بڑھتے ہوئے t کے ساتھ صفر نہیں ہوتا ہے۔ اوسط نمو Z فنکشن کی اوسط نمو کا بھی زیادہ مطالعہ کیا گیا ہے۔ ہم جڑ کا اوسط مربع (مختصر RMS) اوسط سے تلاش کر سکتے ہیں یا جو ہمیں بتاتا ہے کہ Z (t) کا RMS سائز بڑھتا ہے۔ اس تخمینے کو بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ اگر ہم ایکسپونینٹ میں اضافہ کرتے ہیں، تو ہمیں ایک اوسط قیمت ملتی ہے جو Z کی چوٹی اقدار پر زیادہ منحصر ہوتی ہے۔ چوتھی طاقتوں کے لیے، ہمارے پاس ایسی طاقتیں ہیں جن سے ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ اوسط چوتھی طاقت کی چوتھی جڑ بڑھتی ہے جیسا کہ لنڈیلوف مفروضہ اعلی یکساں طاقتوں کا بہت زیادہ مطالعہ کیا گیا ہے، لیکن اسی اوسط قدر کے بارے میں کم معلوم ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے، اور ریمن مفروضے کی پیروی کرتا ہے، کہ ہر مثبت ε کے لیے۔ یہاں چھوٹے "او" اشارے کا مطلب یہ ہے کہ دائیں ہاتھ کی طرف سے تقسیم شدہ بائیں ہاتھ کی طرف صفر پر یکجا ہوتا ہے ؛ دوسرے الفاظ میں چھوٹا او ω کی نفی ہے۔ اس قیاس کو لنڈیلف مفروضہ کہا جاتا ہے، اور یہ ریمن مفروضے سے کمزور ہے۔ یہ عام طور پر ایک اہم مساوی شکل میں بیان کیا جاتا ہے، جو کہ کسی بھی شکل میں ہے، یہ ہمیں بتاتا ہے کہ چوٹی کی اقدار کی ترقی کی شرح بہت زیادہ نہیں ہو سکتی۔ ترقی کی اس شرح پر سب سے مشہور پابند مضبوط نہیں ہے، جو ہمیں بتاتی ہے کہ کوئی بھی مناسب ہے۔ یہ جان کر حیرت ہوگی کہ Z فنکشن اتنی تیزی سے کہیں بھی بڑھ گیا ہے۔ لٹل ووڈ نے ثابت کیا کہ ریمن مفروضے پر، اور اس کا امکان کہیں زیادہ معلوم ہوتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط وولفرم ریسرچ-ریمن-سیگل فنکشن Z (فنکشن پلاٹنگ اور تشخیص شامل ہے) زیٹا اور L-افعال