Iterated function
ریاضی میں، تکراری فنکشن ایک فنکشن ہے (یعنی کسی سیٹ سے اپنے آپ میں ایک فنکشن) جو کسی دوسرے فنکشن کو اپنے ساتھ ایک مخصوص تعداد میں بار ترتیب دے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ ایک ہی فنکشن کو بار بار لاگو کرنے کے عمل کو تکرار کہا جاتا ہے۔ اس عمل میں، کسی ابتدائی آبجیکٹ سے شروع کرتے ہوئے، دی گئی فنکشن کو لاگو کرنے کا نتیجہ فنکشن میں ان پٹ کے طور پر دوبارہ کھلایا جاتا ہے، اور اس عمل کو دہرایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر دائیں طرف کی تصویر پر: فنکشن کمپوزیشن کی دائرے کی شکل کی علامت کے ساتھ۔ تکرار شدہ افعال کمپیوٹر سائنس، فریکٹلز، متحرک نظام، ریاضی اور ری نارملائزیشن گروپ فزکس میں مطالعہ کی اشیاء ہیں۔ تعریف ایک سیٹ X پر تکرار شدہ فنکشن کی رسمی تعریف درج ذیل ہے۔ ایک سیٹ بنیں اور ایک فنکشن بنیں۔ (ہنس ہینرچ برمن اور جان فریڈرک ولیم ہرشل کی طرف سے متعارف کردہ ایک نوٹیشن) کے n-th تکرار کے طور پر تعریف کرنا، جہاں n ایک غیر منفی عدد ہے، by: اور شناخت فنکشن کہاں ہے اور فنکشن کی ساخت کو ظاہر کرتا ہے۔ یعنی ہمیشہ ہم آہنگ رہنا۔ چونکہ نوٹیشن فنکشن کی تکرار (ساخت) یا فنکشن کے ایکسپونٹیشن دونوں کا حوالہ دے سکتا ہے (مؤخر الذکر عام طور پر مثلثی میں استعمال ہوتا ہے)، کچھ ریاضی دان ساخت کے معنی کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کرنے کا انتخاب کرتے ہیں، فنکشن کے-th تکرار کے لیے لکھتے ہیں، مثال کے طور پر، معنی۔ اسی مقصد کے لیے، بینجمن پیئرس نے استعمال کیا تھا جبکہ اس کے بجائے الفریڈ پرنگہیم اور جولس مولک نے تجویز کیا تھا۔ ابیلین پراپرٹی اور تکرار کے سلسلے عام طور پر، مندرجہ ذیل شناخت تمام غیر منفی انٹیجرز کے لیے ہوتی ہے اور، یہ ساختی طور پر ایکسپونٹیشن کی خاصیت سے ملتی جلتی ہے، یعنی۔ خصوصی کیس۔ عام طور پر، صوابدیدی عمومی (منفی، غیر عدد، وغیرہ) کے لیے۔ اشاریہ جات اور، اس تعلق کو ترجمہ فنکشنل مساوات، cf کہا جاتا ہے۔ شروڈر کی مساوات اور ایبل کی مساوات۔ لوگرتھمک پیمانے پر، یہ چیبیشیف کثیر الجہتی کی گھونسلی خاصیت تک کم ہو جاتا ہے، چونکہ۔ رشتہ یہ بھی رکھتا ہے، جو کہ ایکسپوینٹیشن کی خاصیت سے ملتا جلتا ہے۔ افعال کی ترتیب کو پکارڈ ترتیب کہا جاتا ہے، جس کا نام چارلس ایمیل پکارڈ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ میں دیئے گئے کے لیے، اقدار کی ترتیب کو کا مدار کہا جاتا ہے۔ اگر کسی عدد کے لیے، مدار کو دورانیے کا مدار کہا جاتا ہے۔ کسی دیئے گئے کے لیے اس طرح کی سب سے چھوٹی قدر کو مدار کی مدت کہا جاتا ہے۔ اس نقطہ کو ہی پیریڈک پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ کمپیوٹر سائنس میں سائیکل کا پتہ لگانے کا مسئلہ مدار میں پہلا پیریڈک پوائنٹ اور مدار کی مدت تلاش کرنے کا الگورتھمک مسئلہ ہے۔ فکسڈ پوائنٹس اگر کچھ کے لیے (یعنی مدار کی مدت ہے)، تو اسے تکراری ترتیب کا فکسڈ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ فکسڈ پوائنٹس کے سیٹ کو اکثر اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔ متعدد فکسڈ پوائنٹ تھیوریم موجود ہیں جو مختلف حالات میں فکسڈ پوائنٹس کے وجود کی ضمانت دیتے ہیں، بشمول بناچ فکسڈ پوائنٹ تھیوریم اور بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم۔ فکسڈ پوائنٹ تکرار کے ذریعے پیدا ہونے والی ترتیبات کے کنورجنس ایکسلریشن کے لیے کئی تکنیکیں ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک تکرار شدہ فکسڈ پوائنٹ پر لاگو ہونے والے ایٹکن طریقہ کو اسٹیفنسن کا طریقہ کہا جاتا ہے، اور یہ کواڈریٹک کنورجنس پیدا کرتا ہے۔ رویے کو محدود کرنا تکرار کے بعد، یہ پایا جا سکتا ہے کہ ایسے سیٹ ہیں جو سکڑتے ہیں اور ایک ہی نقطہ کی طرف یکجا ہوتے ہیں۔ ایسی صورت میں، جو نقطہ یکجا ہوتا ہے اسے پرکشش فکسڈ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، تکرار ایک ہی نقطہ سے ہٹتے ہوئے نکات کی ظاہری شکل دے سکتی ہے ؛ غیر مستحکم فکسڈ پوائنٹ کے لیے ایسا ہی ہوگا۔ جب مدار کے نکات ایک یا زیادہ حدود میں یکجا ہوتے ہیں، تو مدار کے جمع ہونے والے نکات کا مجموعہ لمٹ سیٹ یا ω-حد سیٹ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کشش اور پسپائی کے خیالات اسی طرح عام ہوتے ہیں۔ تکرار کے تحت چھوٹے محلوں کے رویے کے مطابق، کوئی بھی تکرار کو مستحکم سیٹوں اور غیر مستحکم سیٹوں میں درجہ بندی کر سکتا ہے۔ (تجزیاتی افعال کی لامحدود ترکیبیں بھی دیکھیں۔) دیگر محدود طرز عمل ممکن ہیں ؛ مثال کے طور پر، گھومنے والے نکات وہ نکات ہیں جو دور ہو جاتے ہیں، اور کبھی بھی اس کے قریب بھی واپس نہیں آتے جہاں سے انہوں نے شروعات کی تھی۔ غیر متغیر پیمائش اگر کوئی انفرادی نقطہ حرکیات کے بجائے کثافت کی تقسیم کے ارتقاء پر غور کرتا ہے، تو محدود طرز عمل غیر متغیر پیمائش کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اسے بار بار دہرائے جانے کے تحت پوائنٹ کلاؤڈ یا ڈسٹ کلاؤڈ کے رویے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ غیر متغیر پیمائش روئل-فروبینیوس-پیرون آپریٹر یا ٹرانسفر آپریٹر کی ایک آئجین اسٹیٹ ہے، جو 1 کی آئجین ویلیو سے مطابقت رکھتی ہے۔ چھوٹی آئجین ویلیوز غیر مستحکم، سڑتی ہوئی حالتوں سے مطابقت رکھتی ہیں۔ عام طور پر، کیونکہ بار بار تکرار ایک شفٹ، ٹرانسفر آپریٹر، اور اس کے ملحقہ سے مطابقت رکھتی ہے، کوپمین آپریٹر دونوں کو شفٹ اسپیس پر شفٹ آپریٹرز ایکشن کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ محدود قسم کی ذیلی شفٹوں کا نظریہ بہت سے تکرار شدہ افعال کے بارے میں عمومی بصیرت فراہم کرتا ہے، خاص طور پر وہ جو افراتفری کا باعث بنتے ہیں۔ فریکشنل تکرار کرتا ہے اور بہتا ہے، اور منفی تکرار کرتا ہے اس تصور کو احتیاط کے ساتھ استعمال کیا جانا چاہیے جب مساوات کے متعدد حل ہوں، جو عام طور پر ہوتا ہے، جیسا کہ آئیڈینٹی میپ کے فنکشنل روٹس کی بیبیج کی مساوات میں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کے لیے اور، دونوں حل ہیں ؛ اس لیے اظہار ایک منفرد فعل کی نشاندہی نہیں کرتا، جس طرح اعداد میں متعدد الجبرائی جڑیں ہوتی ہیں۔ مسئلہ ریاضی میں اظہار "0/0" سے کافی ملتا جلتا ہے۔ f کا ایک معمولی جڑ ہمیشہ حاصل کیا جا سکتا ہے اگر fs ڈومین کو کافی حد تک بڑھایا جا سکتا ہے، cf۔ تصویر۔ منتخب کردہ جڑیں عام طور پر زیر مطالعہ مدار سے تعلق رکھتی ہیں۔ کسی فنکشن کی فریکشنل تکرار کی وضاحت کی جا سکتی ہے: مثال کے طور پر، کسی فنکشن کا نصف تکرار ایک ایسا فنکشن ہوتا ہے۔ اس فنکشن کو انڈیکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ، جبکہ اس کی تعریف برابر کے طور پر کی جا سکتی ہے، اور اسی طرح، سب کچھ اس اصول پر مبنی ہے، جس کا ذکر پہلے کیا گیا ہے۔ اس خیال کو عام کیا جا سکتا ہے تاکہ تکرار کی گنتی ایک مسلسل پیرامیٹر بن جائے، جو ایک مسلسل مدار کا ایک قسم کا مسلسل "وقت" ہے۔ ایسے معاملات میں، ایک نظام کو بہاؤ کے طور پر حوالہ دیتا ہے۔ (cf. ذیل میں کنجوگی پر سیکشن۔) اگر کوئی فنکشن بائیجیکٹو ہے (اور اس طرح ایک الٹا فنکشن رکھتا ہے)، تو منفی تکرار فنکشن الٹ اور ان کی ترکیبوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کا نارمل الٹا ہے، جبکہ الٹا خود کے ساتھ تشکیل شدہ ہے، یعنی۔ ۔ فریکشنل منفی تکرار کی تعریف فریکشنل مثبت کے مترادف ہے۔ مثال کے طور پر، اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے، یا، مساوی طور پر، اس طرح کی ہوتی ہے۔ فریکشنل تکرار کے لیے کچھ فارمولے فریکشنل تکرار کے لیے سیریز فارمولا تلاش کرنے کے کئی طریقوں میں سے ایک، ایک مقررہ نقطہ کا استعمال کرتے ہوئے، مندرجہ ذیل ہے۔ پہلے فنکشن کے لیے ایک فکسڈ پوائنٹ کا تعین کریں۔ حقیقی سے تعلق رکھنے والے تمام n کی وضاحت کریں۔ یہ، کچھ طریقوں سے، فریکشنل تکرار پر رکھنے کے لیے سب سے زیادہ قدرتی اضافی حالت ہے۔ مقررہ نقطہ a کے ارد گرد ٹیلر سیریز کے طور پر توسیع کریں، کسی بھی k کے لیے متبادل میں توسیع کریں، اصطلاحات کو آسان بنانے کے لیے ہندسی ترقی کا استعمال کریں، ایک خاص معاملہ ہے جب، یہ غیر معینہ مدت تک جاری رکھا جا سکتا ہے، اگرچہ غیر موثر طور پر، جیسا کہ مؤخر الذکر اصطلاحات تیزی سے پیچیدہ ہو جاتی ہیں۔ ایک زیادہ منظم طریقہ کار کا خاکہ کنجوگی پر درج ذیل حصے میں پیش کیا گیا ہے۔ مثال 1 مثال کے طور پر، ترتیب مقررہ نقطہ دیتی ہے، لہذا مندرجہ بالا فارمولا صرف اس پر ختم ہوتا ہے جس کی جانچ کرنا معمولی بات ہے۔ مثال 2 اس کی قیمت تلاش کریں جہاں یہ n بار کیا جاتا ہے (اور ممکنہ طور پر انٹرپولیٹڈ اقدار جب n ایک عدد نہیں ہے)۔ ہمارے پاس ہے۔ ایک فکسڈ پوائنٹ ہے۔ لہذا 2 کی فکسڈ پوائنٹ ویلیو کے ارد گرد سیٹ اور توسیع ایک لامحدود سیریز ہے، جو صرف پہلی تین اصطلاحات لے کر، پہلی اعشاریہ جگہ کے لیے درست ہے جب n مثبت-cf ہو۔ ٹیٹریشن:۔ (دوسرے فکسڈ پوائنٹ کا استعمال سیریز کے مختلف ہونے کا سبب بنتا ہے۔) کیونکہ، سلسلہ الٹا فنکشن کا حساب لگاتا ہے۔ مثال 3 فنکشن کے ساتھ، مقررہ نقطہ 1 کے ارد گرد توسیع کریں تاکہ سیریز حاصل کی جا سکے جو کہ صرف x (bn) کی ٹیلر سیریز ہے جو 1 کے ارد گرد توسیع کی گئی ہے۔ کنجوگیسی اگر اور دو تکرار شدہ افعال ہیں، اور ایک ہومومورفزم موجود ہے جیسے کہ، پھر اور کہا جاتا ہے کہ وہ ٹپوولوجیکل طور پر کنجوگیٹ ہیں۔ واضح طور پر، ٹوپوولوجیکل کنجگسی کو تکرار کے تحت محفوظ کیا جاتا ہے، جیسا کہ۔ اس طرح، اگر کوئی ایک تکراری فنکشن سسٹم کے لیے حل کر سکتا ہے، تو اس کے پاس تمام ٹوپولوجیکل کنجوگیٹ سسٹمز کے لیے بھی حل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، خیمے کا نقشہ ٹپوولوجیکل طور پر لاجسٹک نقشے سے منسلک ہے۔ ایک خاص معاملے کے طور پر، کسی کو لے کر، کسی بھی فنکشن کے لیے اس کی تکرار ہوتی ہے۔ متبادل پیداوار بنانا، ایک شکل جسے ایبل مساوات کہا جاتا ہے۔ یہاں تک کہ ایک سخت ہومیومورفزم کی عدم موجودگی میں، ایک مقررہ نقطہ کے قریب، یہاں = 0، (0) = 0 پر لیا جاتا ہے، کوئی بھی اکثر کسی فنکشن کے لیے شروڈر کی مساوات کو حل کر سکتا ہے، جو مقامی طور پر محض پھیلاؤ سے جوڑتا ہے، یعنی۔ اس طرح، اس کا تکرار مدار، یا بہاؤ، مناسب دفعات کے تحت (مثال کے طور پر،)، مونومیل کے مدار کے کنجوگیٹ کے مترادف ہے، جہاں اس اظہار میں سادہ ایکسپونینٹ کے طور پر کام کرتا ہے: فنکشنل تکرار کو ضرب میں کم کر دیا گیا ہے! تاہم، یہاں، ایکسپونینٹ کو اب عدد یا مثبت ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اور یہ مکمل مدار کے لیے ارتقاء کا ایک مسلسل "وقت" ہے: پکارڈ ترتیب کا مونوئڈ (cf. ٹرانسفارمیشن سیمی گروپ) ایک مکمل مسلسل گروپ میں عام ہو گیا ہے۔ یہ طریقہ (پرنسپل آئجن فنکشن کا پرٹربیٹو تعین، cf. کارلمین میٹرکس) پچھلے حصے کے الگورتھم کے مساوی ہے، حالانکہ عملی طور پر یہ زیادہ طاقتور اور منظم ہے۔ اگر فنکشن لکیری ہے اور اسے ایک سٹوچسٹک میٹرکس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، یعنی ایک میٹرکس جس کی قطاریں یا کالم ایک سے جمع ہوتے ہیں، تو تکرار شدہ نظام مارکوف چین کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مثالیں بہت سے افراتفری والے نقشے ہیں۔ معروف تکراری افعال میں مینڈلبروٹ سیٹ اور تکراری فنکشن سسٹم شامل ہیں۔ ارنسٹ شروڈر نے 1870 میں لاجسٹک نقشے کے خصوصی معاملات پر کام کیا، جیسے کہ افراتفری کا معاملہ، تاکہ، اس لیے۔ ایک غیر متزلزل کیس شروڈر نے بھی اپنے طریقہ کار کے ساتھ وضاحت کی، نتیجہ اخذ کیا، اور اسی وجہ سے۔ اگر کسی سیٹ پر گروپ عنصر کا عمل ہے، تو تکرار شدہ فنکشن ایک آزاد گروپ سے مطابقت رکھتا ہے۔ زیادہ تر افعال میں n-th تکرار کے لیے واضح عام بند شکل کے تاثرات نہیں ہوتے ہیں۔ نیچے دیے گئے جدول میں کچھ ایسے لوگوں کی فہرست دی گئی ہے جو ایسا کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ تمام تاثرات غیر عدد اور منفی n کے ساتھ ساتھ غیر منفی عدد n کے لیے بھی درست ہیں۔ نوٹ: کے یہ دو خاص معاملات صرف ایسے معاملات ہیں جن کا بند شکل کا حل ہے۔ بالترتیب b = 2 =-a اور b = 4 =-a کا انتخاب، انہیں میز سے پہلے زیر بحث غیر متزلزل اور افراتفری والے لاجسٹک معاملات تک کم کر دیتا ہے۔ ان میں سے کچھ مثالیں سادہ ازدواج کے ذریعے آپس میں جڑی ہوئی ہیں۔ مطالعہ کے ذرائع تکرار شدہ افعال کا مطالعہ آرٹن-مزور زیٹا فنکشن اور ٹرانسفر آپریٹرز کے ساتھ کیا جا سکتا ہے۔ کمپیوٹر سائنس میں، کمپیوٹر سائنس میں، تکراری افعال تکراری افعال کے ایک خاص معاملے کے طور پر پائے جاتے ہیں، جو بدلے میں لیمبڈا کیلکولس، یا تنگ موضوعات جیسے کمپیوٹر پروگراموں کے ڈینوٹیشنل سیمنٹکس جیسے وسیع موضوعات کے مطالعہ کو اینکر کرتے ہیں۔ تکرار شدہ افعال کے لحاظ سے تعریفیں دو اہم افعال کو تکرار شدہ افعال کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہ خلاصہ ہیں: اور مساوی پروڈکٹ: فنکشنل مشتق ایک تکرار شدہ فنکشن کا فنکشنل مشتق تکرار فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے: جھوٹ کی ڈیٹا ٹرانسپورٹ مساوات تکرار شدہ افعال مشترکہ افعال کی سیریز کی توسیع میں پیدا ہوتے ہیں، جیسے کہ۔ فنکشن کے th تکرار کے لیے تکرار کی رفتار، یا بیٹا فنکشن (طبیعیات) کو دیکھتے ہوئے، ہمارے پاس ہے۔ مثال کے طور پر، سخت ایڈویکشن کے لیے، اگر، تو۔ نتیجتا، سادہ شفٹ آپریٹر کی طرف سے کارروائی۔ اس کے برعکس، اوپر زیر بحث عام ایبل مساوات کے ذریعے کوئی بھی من مانی وضاحت کر سکتا ہے، جہاں یہ اس بات سے واضح ہوتا ہے کہ مسلسل تکرار اشاریہ کے لیے، پھر، اب ایک سبسکرپٹ کے طور پر لکھا گیا ہے، یہ ایک مسلسل گروپ کے لائ کے مشہور ایکسپونینشل احساس کے مترادف ہے، ابتدائی بہاؤ کی رفتار پورے بہاؤ کا تعین کرنے کے لیے کافی ہے، اس ایکسپونینشل احساس کو دیکھتے ہوئے جو خود بخود ترجمہ فنکشنل مساوات کا عمومی حل فراہم کرتا ہے، یہ بھی دیکھیں کہ غیر معقول گردش تکرار فنکشن سسٹم تکرار طریقہ گردش نمبر سرکوسکی کا نظریہ فریکشنل کیلکولس تکرار تعلق شروڈر کی مساوات فنکشنل اسکوائر روٹ ایبل فنکشن شروڈر کی مساوات بوٹچر کی مساوات تجزیاتی افعال کی لامحدود کمپوزیشن