Local property
ریاضی میں، ایک ریاضیاتی شے کو مقامی طور پر کسی خاصیت کو مطمئن کرنے کے لیے کہا جاتا ہے، اگر خاصیت شے کے کچھ محدود، فوری حصوں پر مطمئن ہو (مثال کے طور پر، پوائنٹس کے کچھ کافی چھوٹے یا من مانی طور پر چھوٹے محلوں پر)۔ کسی فنکشن پر کسی نقطہ کی خصوصیات شاید لوکیٹی کے خیال کی سب سے مشہور مثال مقامی کم از کم (یا مقامی زیادہ سے زیادہ) کے تصور میں مضمر ہے، جو کسی فنکشن میں ایک نقطہ ہے جس کی فنکشنل ویلیو پوائنٹس کے فوری پڑوس میں سب سے چھوٹی (ریسپ، سب سے بڑی) ہوتی ہے۔ اس کا موازنہ عالمی کم از کم (یا عالمی زیادہ سے زیادہ) کے خیال سے کیا جانا چاہیے، جو اس کے پورے ڈومین میں فنکشن کے کم از کم (ریسپ، زیادہ سے زیادہ) سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک ہی جگہ کی خصوصیات بعض اوقات کہا جاتا ہے کہ ایک ٹپوولوجیکل جگہ مقامی طور پر کسی پراپرٹی کی نمائش کرتی ہے، اگر پراپرٹی کو درج ذیل طریقوں میں سے کسی ایک میں ہر پوائنٹ کے قریب دکھایا جاتا ہے: ہر پوائنٹ کا ایک پڑوس ہوتا ہے جو پراپرٹی کی نمائش کرتا ہے۔ ہر پوائنٹ میں پراپرٹی کی نمائش کرنے والے سیٹوں کا ایک پڑوس بیس ہوتا ہے۔ یہاں، نوٹ کریں کہ حالت (2) زیادہ تر حصے کے لیے حالت (1) سے زیادہ مضبوط ہے، اور دونوں کے درمیان فرق کرنے کے لیے اضافی احتیاط برتی جانی چاہیے۔ مثال کے طور پر، مقامی طور پر کمپیکٹ کی تعریف میں کچھ تغیرات ان حالات کے مختلف انتخاب کے نتیجے میں پیدا ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر مقامی طور پر کمپیکٹ ٹپوولوجیکل خالی جگہیں مقامی طور پر جڑی ہوئی اور مقامی طور پر راستے سے جڑی ہوئی ٹپوولوجیکل خالی جگہیں مقامی طور پر ہاؤزڈورف، مقامی طور پر باقاعدہ، مقامی طور پر معمول وغیرہ۔ ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے درمیان مساوات (مثال کے طور پر ہومومورفزم، ڈفیومورفزم، آئسومیٹری) کے کچھ تصور کو دیکھتے ہوئے، دو خالی جگہوں کو مقامی طور پر مساوی کہا جاتا ہے اگر پہلی جگہ کے ہر نقطہ کا پڑوس ہو جو دوسری جگہ کے پڑوس کے برابر ہو۔ مثال کے طور پر، دائرہ اور لکیر بہت مختلف اشیاء ہیں۔ کوئی دائرے کو لکیر کی طرح نظر آنے کے لیے نہیں پھیلا سکتا، اور نہ ہی خلا یا اوورلیپ کے بغیر دائرے پر فٹ ہونے کے لیے لکیر کو دبا سکتا ہے۔ تاہم، دائرے کے ایک چھوٹے سے ٹکڑے کو کھینچا اور چپٹا کیا جا سکتا ہے تاکہ لکیر کے ایک چھوٹے سے ٹکڑے کی طرح نظر آئے۔ اس وجہ سے، کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ دائرہ اور لکیر مقامی طور پر مساوی ہیں۔ اسی طرح، دائرہ اور طیارہ مقامی طور پر مساوی ہیں۔ کسی دائرے کی سطح پر کھڑا ایک چھوٹا سا کافی مبصر (مثال کے طور پر، ایک شخص اور زمین) اسے ہوائی جہاز سے ناقابل شناخت پائے گا۔ لامحدود گروپوں کی خصوصیات ایک لامحدود گروپ کے لیے، ایک "چھوٹے پڑوس" کو حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ سمجھا جاتا ہے۔ ایک لامحدود گروپ کو مقامی طور پر P کہا جاتا ہے اگر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ P ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گروپ مقامی طور پر محدود ہے اگر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ محدود ہے، اور ایک گروپ مقامی طور پر گھلنشیل ہے اگر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی گروپ گھلنشیل ہے۔ محدود گروپوں کی خصوصیات محدود گروپوں کے لیے، ایک "چھوٹے پڑوس" کو ایک ذیلی گروپ کے طور پر لیا جاتا ہے جس کی وضاحت پرائم نمبر p کے لحاظ سے کی جاتی ہے، عام طور پر مقامی ذیلی گروپ، غیر معمولی p-ذیلی گروپوں کے نارملائزر۔ ایسی صورت میں، کسی پراپرٹی کو مقامی کہا جاتا ہے اگر اس کا پتہ مقامی ذیلی گروپوں سے لگایا جا سکے۔ عالمی اور مقامی خصوصیات نے محدود سادہ گروہوں کی درجہ بندی پر ابتدائی کام کا ایک اہم حصہ تشکیل دیا، جو 1960 کی دہائی کے دوران کیا گیا تھا۔ مواصلاتی بجتوں کی خصوصیات مواصلاتی بجتوں کے لیے، الجبرائی جیومیٹری کے خیالات کسی رنگ کے "چھوٹے پڑوس" کو پرائم آئیڈیل پر لوکلائزیشن کے طور پر لینا فطری بناتے ہیں۔ اس صورت میں، کسی پراپرٹی کو مقامی کہا جاتا ہے اگر اس کا مقامی رنگوں سے پتہ لگایا جا سکے۔ مثال کے طور پر، کمیوٹیٹو رنگ پر فلیٹ ماڈیول ہونا ایک مقامی خاصیت ہے، لیکن فری ماڈیول ہونا نہیں ہے۔ مزید معلومات کے لیے ماڈیول کی لوکلائزیشن دیکھیں۔ لوکل پاتھ کنیکٹنس حوالہ جات جنرل ٹوپولوجی ہومومورفزم بھی دیکھیں۔