Tangent lines to circles
یوکلیڈین طیارہ جیومیٹری میں، دائرے کے لیے ٹینجینٹ لائن ایک ایسی لکیر ہے جو دائرے کو بالکل ایک نقطہ پر چھوتی ہے، کبھی بھی دائرے کے اندرونی حصے میں داخل نہیں ہوتی ہے۔ حلقوں کے لیے ٹینجینٹ لائنیں کئی نظریات کا موضوع بناتی ہیں، اور بہت سی ہندسی تعمیرات اور ثبوتوں میں اہم کردار ادا کرتی ہیں۔ چونکہ کسی نقطہ پر دائرے کے لیے ٹینجینٹ لائن اس نقطہ کے رداس کے لیے عمودی ہوتی ہے، اس لیے ٹینجینٹ لائنوں پر مشتمل تھیوریمز میں اکثر ریڈیل لائنیں اور آرتھوگنل حلقے شامل ہوتے ہیں۔ ایک دائرے کے لیے ٹینجینٹ لائنیں ایک دائرے کے لیے ٹینجینٹ لائن دائرے کو ایک ہی نقطہ پر کاٹتی ہے۔ موازنہ کے لیے، سیکینٹ لائنیں ایک دائرے کو دو نکات پر کاٹتی ہیں، جبکہ دوسری لکیر کسی دائرے کو بالکل نہیں کاٹ سکتی۔ ٹینجینٹ لائنوں کی یہ خاصیت بہت سی ہندسی تبدیلیوں کے تحت محفوظ ہے، جیسے اسکیلنگ، گردش، ترجمے، الٹ، اور نقشے کے تخمینے۔ تکنیکی زبان میں، یہ تبدیلیاں ٹینجینٹ لائن اور دائرے کے واقعات کے ڈھانچے کو تبدیل نہیں کرتی ہیں، حالانکہ لائن اور دائرہ خراب ہو سکتے ہیں۔ دائرے کا رداس دائرے کے دائرے پر اس کے اختتامی نقطہ کے ذریعے ٹینجینٹ لائن کے لیے عمودی ہوتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک ہی اختتامی نقطہ کے ذریعے کسی رداس کے لیے عمودی ایک ٹینجینٹ لائن ہے۔ دائرے اور ٹینجینٹ لائن کے نتیجے میں بننے والی ہندسی شکل میں رداس کے محور کے بارے میں عکاسی کی ہم آہنگی ہوتی ہے۔ دائرے کے اندر کسی نقطہ کے ذریعے کوئی ٹینجینٹ لائن نہیں کھینچی جا سکتی، کیونکہ ایسی کوئی بھی لائن سیکینٹ لائن ہونی چاہیے۔ تاہم، دائرے کے باہر ایک نقطہ سے دائرے کی طرف دو ٹینجینٹ لائنیں کھینچی جا سکتی ہیں۔ دائرے کی ہندسی شکل اور دونوں ٹینجینٹ لائنوں میں اسی طرح دائرے کے مرکز نقطہ سے منسلک ریڈیل محور کے بارے میں عکاسی کی ہم آہنگی ہوتی ہے۔ اس طرح حصوں کی لمبائی دو ٹینجینٹ پوائنٹس تک برابر ہوتی ہے۔ سیکینٹ ٹینجینٹ تھیوریم کے مطابق، اس ٹینجینٹ لمبائی کا مربع دائرے میں نقطہ P کی طاقت کے برابر ہے۔ یہ طاقت دائرے کے کسی بھی دو انٹرسیکشن پوائنٹس سے فاصلے کے پروڈکٹ کے برابر ہوتی ہے جس سے ایک سیکنڈ لائن گزرتی ہے۔ ٹینجینٹ لائن اور ٹینجینٹ پوائنٹ کا ایک دوسرے کے ساتھ مشترکہ تعلق ہوتا ہے، جسے پول پوائنٹس اور پولر لائنوں کے خیال میں عام کیا گیا ہے۔ دائرے سے باہر ایک نقطہ اور اس کے دو نقطوں کو جوڑنے والی سیکینٹ لائن کے درمیان ایک ہی باہمی تعلق موجود ہے۔ اگر کوئی نقطہ مرکز کے ساتھ دائرے سے باہر ہے، اور اگر ٹینجینٹ لائنیں نکات پر دائرے کو چھوتی ہیں اور، تو اور اضافی ہیں (180° کا مجموعہ)۔ اگر ایک تار بیرونی نقطہ کے ٹینجینسی پوائنٹ سے کھینچا جاتا ہے اور پھر۔ کارٹیزین مساوات فرض کریں کہ کارٹیزین نقاط میں دائرے کی مساوات مرکز کے ساتھ ہے۔ پھر دائرے کی ٹینجینٹ لائن میں کارٹیشین مساوات ہوتی ہے۔ یہ دائرے کے مضمر مشتق کو لے کر ثابت کیا جا سکتا ہے۔ کہتے ہیں کہ دائرے کی مساوات ہے اور ہم ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان تلاش کر رہے ہیں جہاں ہم اس کے حوالے سے مضمر مشتق لے کر شروع کرتے ہیں: اب جب کہ ہمارے پاس ٹینجینٹ لائن کی ڈھلوان ہے، ہم ڈھلوان اور ٹینجینسی پوائنٹ کے ہم آہنگی کو لائن مساوات میں تبدیل کر سکتے ہیں۔ کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیرات دائرے کے دائرے پر ایک نقطہ پر دائرے کے لیے لائن ٹینجینٹ بنانا نسبتا سیدھا ہے: دائرے کے مرکز سے ریڈیل پوائنٹ کے ذریعے ایک لکیر کھینچی جاتی ہے۔ تھیلز تھیوریم کو دائرے کے بیرونی نقطہ پر ٹینجینٹ لائنوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: ایک دائرہ لکیر کے حصے کے وسط نقطہ پر مرکوز کیا جاتا ہے، جس کا قطر ہوتا ہے، جہاں دوبارہ دائرے کا مرکز ہوتا ہے۔ انٹرسیکشن پوائنٹس اور دائرے اور نئے دائرے کے ٹینجینٹ پوائنٹس درج ذیل دلیل کے ذریعے گزرنے والی لائنوں کے لیے ہیں۔ لکیر کے حصے اور دائرے کے ریڈی ہیں ؛ چونکہ دونوں ایک سیمی سرکل میں کندہ ہیں، اس لیے وہ بالترتیب لکیر کے حصوں کے لیے عمودی ہیں۔ لیکن صرف ایک ٹینجینٹ لائن ریڈیل لائن کے لیے عمودی ہوتی ہے۔ لہذا، سے گزرنے اور گزرنے والی دو لکیریں دائرے سے متصل ہیں۔ صرف سیدھے کنارے کا استعمال کرتے ہوئے دائرے کے بیرونی نقطہ پر ٹینجینٹ لائنوں کی تعمیر کا ایک اور طریقہ: دیے گئے نقطہ کے ذریعے کوئی بھی تین مختلف لائنیں کھینچیں جو دائرے کو دو بار کاٹتی ہیں۔ چھ انٹرسیکشن پوائنٹس ہونے دیں، ایک ہی خط کے ساتھ ایک ہی لکیر سے مطابقت رکھتا ہے اور انڈیکس 1 قریب نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ آئیے وہ نقطہ ہو جہاں لکیریں اور ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، اسی طرح لکیروں کے لیے اور۔ اور کے ذریعے ایک لکیر کھینچیں۔ یہ لکیر دو نکات پر دائرے سے ملتی ہے، اور۔ ٹینجینٹ لائنیں اور ہیں۔ تجزیاتی جیومیٹری کے ساتھ آئیے مساوات کے ساتھ دائرے کا ایک نقطہ ہو۔ ٹینجینٹ میں مساوات ہوتی ہے کیونکہ یہ دونوں منحنی خطوط پر واقع ہوتا ہے اور لائن کا ایک نارمل ویکٹر ہوتا ہے۔ ٹینجینٹ نقطہ پر-محور کو اس کے برعکس کاٹتا ہے، اگر کوئی نقطہ سے شروع ہوتا ہے تو دو ٹینجینٹس کے ذریعے دائرے کو دو نکات پر ملتا ہے جس میں ویکٹر کی شکل میں لکھا ہوا ہے: اگر نقطہ-محور پر نہیں ہے: ویکٹر کی شکل میں ایک فاصلے سے اور یونٹ بیس ویکٹرز کو آرتھوگنل یونٹ ویکٹرز سے تبدیل کرتا ہے تو نقطہ کے ذریعے ٹینجینٹ پوائنٹس پر دائرے کو چھوتے ہیں کیونکہ کوئی ٹینجینٹ موجود نہیں ہے۔ نقطہ کے لیے دائرے پر واقع ہے اور مساوات کے ساتھ صرف ایک ٹینجینٹ ہوتا ہے۔ اس صورت میں مساوات کے ساتھ 2 ٹینجینٹ ہوتے ہیں۔ دائرے کے الٹ پلٹ سے تعلق: مساوات نقطہ کے دائرے کے الٹ پلٹ کو بیان کرتی ہے۔ قطب اور قطبی سے تعلق: نقطہ کے قطبی میں مساوات ٹینجینشل کثیر الاضحی ہوتی ہے۔ ایک ٹینجینشل کثیر الاضحی ایک کثیر الاضحی ہوتا ہے جس کے ہر طرف ایک مخصوص دائرے کے لیے ٹینجینٹ ہوتا ہے، جسے اس کا انسرکل کہا جاتا ہے۔ ہر مثلث ایک ٹینجینشیل کثیر الاضحی ہے، جیسا کہ کسی بھی تعداد میں اطراف کا ہر باقاعدہ کثیر الاضحی ہے۔ اس کے علاوہ، ہر تعداد میں کثیر الاضحی اطراف کے لیے غیر ہم آہنگ ٹینجینشیل کثیر الاضحی کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ ٹینجینٹ کواڈریلیٹرل تھیوریم اور کندہ شدہ حلقے ایک ٹینجینٹل کواڈریلیٹرل چار سیدھے اطراف کی ایک بند شکل ہے جو کسی دیئے گئے دائرے میں ٹینجینٹ ہوتی ہے۔ مساوی طور پر، دائرہ کواڈریلیٹرل میں کندہ کیا گیا ہے۔ پٹو تھیوریم کے مطابق، اس طرح کے کسی بھی چوطرفہ کے مخالف اطراف کے مجموعے برابر ہوتے ہیں، یعنی یہ نتیجہ چوطرفہ کے چار عمودی حصوں سے ٹینجینٹ حصوں کی مساوات سے نکلتا ہے۔ ٹینجینٹ پوائنٹس کو (حصے پر)، (حصے پر)، (حصے پر) اور (حصے پر) کے طور پر ظاہر کیا جائے۔ کے ہر نقطہ کے بارے میں سمیٹرک ٹینجینٹ سیگمنٹ برابر ہیں: لیکن کواڈریلیٹرل کا ہر رخ نظریہ کو ثابت کرنے والے ایسے دو ٹینجینٹ سیگمنٹ پر مشتمل ہے۔ اس کے برعکس بھی درست ہے: ایک دائرے کو ہر چوطرفہ میں کندہ کیا جا سکتا ہے جس میں مخالف اطراف کی لمبائی کا مجموعہ ایک ہی قدر پر ہوتا ہے۔ اس نظریہ اور اس کے برعکس کے مختلف استعمال ہیں۔ مثال کے طور پر، وہ فوری طور پر ظاہر کرتے ہیں کہ کسی بھی آئتاکار میں کندہ شدہ دائرہ نہیں ہو سکتا جب تک کہ وہ مربع نہ ہو، اور یہ کہ ہر رومبس میں کندہ شدہ دائرہ ہوتا ہے، جبکہ عمومی متوازی ہندسہ نہیں ہوتا ہے۔ دو حلقوں کے لیے، عام طور پر چار الگ الگ لکیریں ہوتی ہیں جو دونوں (بٹینجینٹ) کے لیے ٹینجینٹ ہوتی ہیں-اگر دونوں حلقے ایک دوسرے سے باہر ہوں-لیکن انحطاط پذیر صورتوں میں صفر اور چار بٹینجینٹ لائنوں کے درمیان کوئی بھی تعداد ہو سکتی ہے۔ ان کو ذیل میں خطاب کیا گیا ہے۔ ان میں سے دو کے لیے، بیرونی ٹینجینٹ لائنیں، حلقے لکیر کے ایک ہی طرف گرتے ہیں ؛ دیگر دو کے لیے، اندرونی ٹینجینٹ لائنیں، حلقے لکیر کے مخالف سمتوں پر گرتے ہیں۔ بیرونی ٹینجینٹ لائنیں بیرونی ہوموتھیٹک مرکز میں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، جبکہ اندرونی ٹینجینٹ لائنیں اندرونی ہوموتھیٹک مرکز میں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ بیرونی اور اندرونی ہوموتھیٹک مراکز دونوں مراکز کی لکیر پر واقع ہیں (دو حلقوں کے مراکز کو جوڑنے والی لکیر)، چھوٹے دائرے کے مرکز کے قریب: اندرونی مرکز دو حلقوں کے درمیان کے حصے میں ہوتا ہے، جبکہ بیرونی مرکز پوائنٹس کے درمیان نہیں ہوتا، بلکہ چھوٹے دائرے کے مرکز کی طرف باہر ہوتا ہے۔ اگر دونوں حلقوں کا رداس برابر ہے، تو پھر بھی چار بٹینجینٹ ہیں، لیکن بیرونی ٹینجینٹ لائنیں متوازی ہیں اور افائن پلین میں کوئی بیرونی مرکز نہیں ہے۔ پروجیکٹو پلین میں، بیرونی ہوموتھیٹک سینٹر ان لائنوں کی ڈھلوان کے مطابق انفینیٹی کے مقام پر واقع ہے۔ بیرونی ٹینجینٹ سرخ لکیر پوائنٹس میں شامل ہوتی ہے اور دونوں حلقوں کے درمیان بیرونی ٹینجینٹ ہوتی ہے۔ دیئے گئے پوائنٹس، پوائنٹس کا حساب آسانی سے زاویے کی مدد سے کیا جا سکتا ہے: یہاں اور دونوں حلقوں کی ریڈیائی کو نوٹ کریں اور زاویے کا حساب بنیادی مثلث کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ آپ کے پاس جہاں atan2 کے ساتھ 2-دلیل آرکٹینجینٹ ہے۔ قریب اور دور کے حلقوں کے مراکز کے درمیان فاصلے، اور وہ نقطہ جہاں دونوں حلقوں کے دو بیرونی ٹینجینٹ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں (ہوموتھیٹک سینٹر)، بالترتیب مماثلت کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے: یہاں، قریب یا دور کے دائرے کے مراکز سے فاصلے تلاش کرنے کی ضرورت پر منحصر ہو سکتا ہے، اور۔ دو حلقوں کے مراکز کے درمیان فاصلہ ہے۔ اندرونی ٹینجینٹ ایک ٹینجینٹ ہے جو دو حلقوں کے مراکز میں شامل ہونے والے حصے کو کاٹتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اندرونی ٹینجینٹ کی وضاحت ان صورتوں کے لیے نہیں کی جائے گی جب دونوں حلقے اوورلیپ ہوتے ہیں۔ تعمیر بٹینجینٹ لائنیں یا تو ہوموتھیٹک مراکز کی تعمیر کے ذریعے تعمیر کی جا سکتی ہیں، جیسا کہ اس مضمون میں بیان کیا گیا ہے، اور پھر ہوموتھیٹک مرکز کے ذریعے ٹینجینٹ لائنیں تعمیر کی جا سکتی ہیں جو اوپر بیان کردہ طریقوں میں سے ایک کے ذریعے ایک دائرے سے ٹینجینٹ ہیں۔ اس کے نتیجے میں آنے والی لکیر دوسرے دائرے میں بھی ٹینجینٹ ہوگی۔ متبادل طور پر، ٹینجینٹ لائنیں اور ٹینجینٹ پوائنٹس زیادہ براہ راست تعمیر کیے جا سکتے ہیں، جیسا کہ ذیل میں تفصیل سے بتایا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ انحطاطی صورتوں میں یہ تعمیرات ٹوٹ جاتی ہیں ؛ نمائش کو آسان بنانے کے لیے اس پر اس حصے میں بحث نہیں کی گئی ہے، لیکن تعمیر کی ایک شکل محدود صورتوں میں کام کر سکتی ہے (مثال کے طور پر، ایک مقام پر دو حلقے ٹینجینٹ)۔ مصنوعی جیومیٹری دو حلقوں کے مراکز ہونے دیں، اور ان کے ریڈیائی ہونے دیں ؛ دوسرے لفظوں میں، دائرے کو دو حلقوں میں سے بڑے کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ بیرونی اور اندرونی ٹینجینٹ لائنوں کی تعمیر کے لیے دو مختلف طریقے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ بیرونی ٹینجینٹ کے مرکز میں رداس کا ایک نیا دائرہ کھینچا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، دو لکیریں کھینچی جاتی ہیں جو اس نئے دائرے سے متصل ہوتی ہیں۔ یہ لکیریں مطلوبہ ٹینجینٹ لائنوں کے متوازی ہوتی ہیں، کیونکہ صورتحال دونوں حلقوں کے سکڑنے اور مستقل مقدار سے مطابقت رکھتی ہے، جو ایک نقطہ تک سکڑ جاتی ہے۔ دو ریڈیل لائنیں مرکز سے ٹینجینٹ پوائنٹس کے ذریعے کھینچی جا سکتی ہیں۔ یہ مطلوبہ ٹینجینٹ پوائنٹس پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ مطلوبہ بیرونی ٹینجینٹ لائنیں ان ٹینجینٹ پوائنٹس پر ان ریڈیل لائنوں کے لیے عمودی لائنیں ہیں، جو اوپر بیان کردہ طور پر تعمیر کی جا سکتی ہیں۔ اندرونی ٹینجینٹ رداس کا ایک نیا دائرہ اس پر مرکوز کیا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، دو لکیریں کھینچی جاتی ہیں جو اس نئے دائرے سے متصل ہوتی ہیں۔ یہ لکیریں مطلوبہ ٹینجینٹ لائنوں کے متوازی ہوتی ہیں، کیونکہ صورتحال ایک مستقل مقدار سے پھیلتے ہوئے ایک نقطہ تک سکڑنے سے مطابقت رکھتی ہے۔ دو ریڈیل لائنیں مرکز سے ٹینجینٹ پوائنٹس کے ذریعے کھینچی جا سکتی ہیں۔ یہ مطلوبہ ٹینجینٹ پوائنٹس پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ مطلوبہ اندرونی ٹینجینٹ لائنیں ان ٹینجینٹ پوائنٹس پر ان ریڈیل لائنوں کے لیے عمودی لائنیں ہیں، جو اوپر بیان کردہ طور پر تعمیر کی جا سکتی ہیں۔ تجزیاتی جیومیٹری کے مطابق حلقوں میں مراکز ہوتے ہیں اور ان کا رداس بالترتیب ہوتا ہے۔ مساوات کے ذریعہ ایک لکیر کو نارملائزیشن کے ساتھ ظاہر کرنے کے بعد ایک بٹینجینٹ لائن مطمئن ہوتی ہے: پہلی کو دوسری پیداوار سے گھٹا کر حل کرنا جہاں اور بیرونی ٹینجینٹ کے لیے یا اندرونی ٹینجینٹ کے لیے۔ اگر اس سے فاصلہ ہے تو ہم مساوات (1) کو آسان بنانے کے لیے اس کے ذریعے معمول بنا سکتے ہیں، جس کے نتیجے میں مساوات کا مندرجہ ذیل نظام بنتا ہے: دو بیرونی ٹینجینٹ لائنوں کے لیے دو حل () حاصل کرنے کے لیے ان کو حل کریں: ہندسی طور پر یہ ٹینجینٹ لائنوں اور مراکز کی لائن سے بنے زاویہ کی گنتی سے مطابقت رکھتا ہے، اور پھر اس کا استعمال مرکزوں کی لائن کے لیے مساوات کو گھمانے کے لیے کرتا ہے تاکہ ٹینجینٹ لائن کے لیے مساوات حاصل ہو۔ زاویہ کا حساب دائیں مثلث کے مثلثی افعال کا حساب لگا کر کیا جاتا ہے جس کے عمودی حصے (بیرونی) ہوموتھیٹک مرکز، دائرے کا مرکز، اور ایک ٹینجینٹ پوائنٹ ہوتے ہیں۔ ہائپوٹینوس ٹینجینٹ لائن پر واقع ہوتا ہے، رداس زاویہ کے مخالف ہوتا ہے، اور ملحقہ طرف مراکز کی لائن پر واقع ہوتا ہے۔ یونٹ ویکٹر ہے جس کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، جبکہ یہ ہے جہاں مراکز کی لکیر اور ٹینجینٹ لائن کے درمیان کا زاویہ ہے۔ اس کے بعد ہے (کی علامت پر منحصر ہے، مساوی طور پر گردش کی سمت)، اور مندرجہ بالا مساوات گردش میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے کی گردش ہیں: یہ حلقوں کی دائیں طرف کی ٹینجینٹ لائن ہے جو سے دیکھ رہی ہے۔ دائرے کے دائیں طرف کی ٹینجینٹ لائن ہے جو سے دیکھ رہی ہے۔ مندرجہ بالا فرض کرتا ہے کہ ہر دائرے میں مثبت رداس ہوتا ہے۔ اگر مثبت اور منفی ہے تو ہر لائن کے بائیں اور دائیں طرف پڑے گا، اور دو ٹینجینٹ لائنیں عبور کریں گی۔ اس طرح چاروں حل حاصل ہوتے ہیں۔ دونوں ریڈیائی سوئچز اور کے اشاروں کو تبدیل کرنا۔ ویکٹر عام طور پر ٹینجینسی کے پوائنٹس اور مراکز اور ریڈیائی کے ساتھ دو حلقوں کے لیے ٹینجینٹ چار لائنوں کے لیے اور بیک وقت مساوات کو حل کرکے دیئے جاتے ہیں: یہ مساوات اس بات کا اظہار کرتی ہیں کہ ٹینجینٹ لائن، جو ریڈیائی کے متوازی ہے، ریڈیائی کے لیے عمودی ہے، اور یہ کہ ٹینجینٹ پوائنٹس اپنے اپنے حلقوں پر واقع ہیں۔ یہ دو دو جہتی ویکٹر متغیرات میں چار کواڈریٹک مساوات ہیں، اور عام پوزیشن میں حل کے چار جوڑے ہوں گے۔ انحطاط کے معاملات ترتیب کے لحاظ سے دو الگ الگ حلقوں میں صفر اور چار بٹینجینٹ لائنیں ہو سکتی ہیں۔ ان کی درجہ بندی مراکز اور ریڈی کے درمیان فاصلے کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ اگر ضرب کے ساتھ شمار کیا جائے (ایک مشترکہ ٹینجینٹ کو دو بار شمار کیا جائے) تو صفر، دو، یا چار بٹینجینٹ لائنیں ہوتی ہیں۔ بٹینجینٹ لائنوں کو منفی یا صفر رداس والے حلقوں میں بھی عام کیا جا سکتا ہے۔ انحطاط کے معاملات اور ضرب کو دیگر ترتیبات کی حدود کے لحاظ سے بھی سمجھا جا سکتا ہے-مثال کے طور پر، دو حلقوں کی ایک حد جو تقریبا چھوتی ہے، اور ایک کو حرکت دیتی ہے تاکہ وہ چھو سکے، یا ایک دائرہ جس کا چھوٹا رداس صفر رداس کے دائرے میں سکڑ جاتا ہے۔ اگر حلقے ایک دوسرے سے باہر ہیں ()، جو کہ عمومی پوزیشن ہے، تو چار بٹینجینٹ ہوتے ہیں۔ اگر وہ ایک نقطہ () پر بیرونی طور پر چھوتے ہیں-جس میں بیرونی ٹینجینسی کا ایک نقطہ ہوتا ہے-تو ان کے پاس دو بیرونی بٹینجینٹ اور ایک اندرونی بٹینجینٹ ہوتا ہے، یعنی مشترکہ ٹینجینٹ لائن۔ اس مشترکہ ٹینجینٹ لائن میں ضرب دو ہوتی ہے، کیونکہ یہ دونوں سمتوں (سمت) کے لیے حلقوں (ایک بائیں طرف، ایک دائیں طرف) کو الگ کرتی ہے۔ اگر حلقے دو نکات () میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، تو ان میں کوئی اندرونی بٹینجینٹ اور دو بیرونی بٹینجینٹ نہیں ہوتے ہیں (انہیں الگ نہیں کیا جا سکتا، کیونکہ وہ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، اس لیے کوئی اندرونی بٹینجینٹ نہیں ہوتے)۔ اگر حلقے ایک نقطہ () پر اندرونی طور پر چھوتے ہیں-اندرونی ٹینجینسی کا ایک نقطہ ہے-تو ان میں کوئی اندرونی بٹینجینٹ اور ایک بیرونی بٹینجینٹ نہیں ہوتا ہے، یعنی مشترکہ ٹینجینٹ لائن، جس میں اوپر کی طرح ضرب دو ہوتی ہے۔ اگر ایک دائرہ مکمل طور پر دوسرے () کے اندر ہے تو ان میں کوئی بٹینجینٹ نہیں ہیں، کیونکہ بیرونی دائرے کی ایک ٹینجینٹ لائن اندرونی دائرے کو نہیں کاٹتی ہے، یا اس کے برعکس اندرونی دائرے کی ٹینجینٹ لائن بیرونی دائرے کی ایک سیکینٹ لائن ہے۔ آخر میں، اگر دونوں حلقے ایک جیسے ہیں، تو دائرے کا کوئی بھی ٹینجینٹ ایک مشترکہ ٹینجینٹ ہے اور اسی وجہ سے (بیرونی) بٹینجینٹ ہے، لہذا ایک دائرے میں بٹینجینٹ کی قدر ہوتی ہے۔ مزید برآں، بٹینجینٹ لائنوں کے تصور کو منفی رداس والے حلقوں تک بڑھایا جا سکتا ہے (پوائنٹس کا ایک ہی لوکس، لیکن "اندر سے باہر" سمجھا جاتا ہے)، ایسی صورت میں اگر ریڈی میں مخالف نشان ہو (ایک دائرے میں منفی رداس ہوتا ہے اور دوسرے میں مثبت رداس ہوتا ہے) تو بیرونی اور اندرونی ہوموتھیٹک مراکز اور بیرونی اور اندرونی بٹینجینٹ کو تبدیل کیا جاتا ہے، جبکہ اگر ریڈی میں ایک ہی نشان ہوتا ہے (مثبت ریڈی یا دونوں منفی ریڈی) "بیرونی" اور "اندرونی" کا معمول کا احساس ایک ہی ہوتا ہے (ایک نشان کو تبدیل کرنا انہیں تبدیل کرتا ہے، لہذا دونوں کو تبدیل کرنا انہیں واپس کر دیتا ہے)۔ بٹینجینٹ لائنوں کی وضاحت اس وقت بھی کی جا سکتی ہے جب ایک یا دونوں حلقوں کا رداس صفر ہو۔ اس صورت میں رداس صفر والا دائرہ ایک ڈبل پوائنٹ ہے، اور اس طرح اس سے گزرنے والی کوئی بھی لکیر پوائنٹ کو ضرب دو کے ساتھ کاٹتی ہے، اس لیے "ٹینجینٹ" ہے۔ اگر ایک دائرے کا رداس صفر ہے، تو بٹینجینٹ لائن محض دائرے کے لیے ایک لائن ٹینجینٹ ہے اور نقطہ سے گزرتی ہے، اور اسے ضرب دو کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے۔ اگر دونوں حلقوں کا رداس صفر ہے، تو بٹینجینٹ لائن وہ لائن ہے جس کی وہ وضاحت کرتے ہیں، اور اسے ضرب چار کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ان انحطاطی صورتوں میں بیرونی اور اندرونی ہوموتھیٹک مرکز عام طور پر اب بھی موجود ہوتا ہے (بیرونی مرکز انفینیٹی پر ہوتا ہے اگر ریڈی برابر ہو)، سوائے اس کے کہ دائرے موافق ہوں، ایسی صورت میں بیرونی مرکز کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے، یا اگر دونوں حلقوں کا رداس صفر ہو، ایسی صورت میں اندرونی مرکز کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے۔ ایپلی کیشنز بیلٹ کا مسئلہ اندرونی اور بیرونی ٹینجینٹ لائنیں بیلٹ کے مسئلے کو حل کرنے میں مفید ہیں، جو کہ دو پلیوں پر آسانی سے فٹ ہونے کے لیے درکار بیلٹ یا رسی کی لمبائی کا حساب لگانا ہے۔ اگر بیلٹ کو نہ ہونے کے برابر موٹائی کی ریاضیاتی لکیر سمجھا جاتا ہے، اور اگر دونوں پلیوں کو بالکل ایک ہی سطح میں رکھا جاتا ہے، تو مسئلہ متعلقہ ٹینجینٹ لائن کے حصوں کی لمبائی کو بیلٹ کے ذریعے کم کیے گئے سرکلر آرکس کی لمبائی کے ساتھ جمع کرنے میں بدل جاتا ہے۔ اگر بیلٹ پہیوں کے گرد لپیٹا جاتا ہے تاکہ اسے عبور کیا جا سکے، تو اندرونی ٹینجینٹ لائن کے حصے متعلقہ ہیں۔ اس کے برعکس، اگر بیلٹ کو پلیوں کے ارد گرد بیرونی طور پر لپیٹا جاتا ہے، تو بیرونی ٹینجینٹ لائن کے حصے متعلقہ ہوتے ہیں۔ اس معاملے کو بعض اوقات پللی کا مسئلہ کہا جاتا ہے۔ تین حلقوں پر ٹینجینٹ لائنیں: مونگے کا نظریہ تین حلقوں کے لیے جن کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، اور، حلقوں کے تین جوڑے ہیں (،، اور)۔ چونکہ حلقوں کے ہر جوڑے میں دو ہوموتھیٹک مراکز ہوتے ہیں، اس لیے مجموعی طور پر چھ ہوموتھیٹک مراکز ہوتے ہیں۔ گیسپرڈ مونگے نے 19 ویں صدی کے اوائل میں دکھایا کہ یہ چھ پوائنٹس چار لائنوں پر پڑے ہیں، ہر لائن میں تین کالینیئر پوائنٹس ہیں۔ اپولونیئس کا مسئلہ اپولونیئس کے مسئلے کے بہت سے خاص معاملات میں ایک ایسا دائرہ تلاش کرنا شامل ہے جو ایک یا زیادہ لکیروں سے متصل ہو۔ ان میں سب سے آسان یہ ہے کہ ایسے حلقوں کی تعمیر کی جائے جو تین دی گئی لکیروں (ایل ایل ایل مسئلہ) سے متصل ہوں۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، اس طرح کے کسی بھی دائرے کا مرکز لائنوں کے کسی بھی جوڑے کے زاویہ بائیسیکٹر پر ہونا چاہیے۔ دو لائنوں کے ہر چوراہے کے لیے دو زاویہ بائیسیکٹنگ لائنیں ہوتی ہیں۔ ان زاویے کے دو حصوں کے چوراہے حل کے حلقوں کے مراکز دیتے ہیں۔ عام طور پر ایسے چار حلقے ہوتے ہیں، مثلث کا کندہ شدہ دائرہ جو تین لکیروں کے چوراہے سے بنتا ہے، اور تین خارج دائرے۔ ایک عام اپولونیئس مسئلہ کو ایک دائرے اور دو متوازی لکیروں (خود ایل ایل سی خصوصی کیس کا ایک خاص معاملہ) کے دائرے کے ٹینجینٹ کے آسان مسئلے میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس کو پورا کرنے کے لیے، دیے گئے تین حلقوں میں سے دو کو اس وقت تک پیمانہ بنانا کافی ہے جب تک کہ وہ صرف چھو نہ لیں، یعنی ٹینجینٹ نہ ہوں۔ مناسب رداس کے دائرے کے حوالے سے ان کے ٹینجینٹ پوائنٹ میں ایک الٹ دو چھونے والے حلقوں کو دو متوازی لکیروں میں تبدیل کر دیتا ہے، اور تیسرا دیا ہوا دائرہ دوسرے دائرے میں بدل جاتا ہے۔ اس طرح، دو متوازی لکیروں کے درمیان مستقل رداس کے دائرے کو اس وقت تک سلائڈ کرکے حل تلاش کیا جا سکتا ہے جب تک کہ یہ تبدیل شدہ تیسرے دائرے سے رابطہ نہ کر لے۔ دوبارہ الٹ اصل مسئلے کے متعلقہ حل پیدا کرتا ہے۔ عامیاں ایک یا زیادہ حلقوں کے لیے ٹینجینٹ لائن کے تصور کو کئی طریقوں سے عام کیا جا سکتا ہے۔ سب سے پہلے، ٹینجینٹ پوائنٹس اور ٹینجینٹ لائنوں کے درمیان کنجوگیٹ تعلقات کو پول پوائنٹس اور پولر لائنوں میں عام کیا جا سکتا ہے، جس میں پول پوائنٹس کہیں بھی ہو سکتے ہیں، نہ کہ صرف دائرے کے دائرے پر۔ دوسرا، دو حلقوں کا اتحاد کوارٹک طیارہ منحنی خطوط کا ایک خاص (قابل تخفیف) معاملہ ہے، اور بیرونی اور اندرونی ٹینجینٹ لائنیں اس کوارٹک منحنی خطوط کے بٹینجینٹ ہیں۔ ایک عام چوتھائی منحنی خطوط میں 28 بٹینجینٹ ہوتے ہیں۔ تیسری عام کاری ٹینجینٹ لائنوں کے بجائے ٹینجینٹ حلقوں پر غور کرتی ہے۔ ایک ٹینجینٹ لائن کو لامحدود رداس کا ٹینجینٹ سرکل سمجھا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، دو حلقوں کے لیے بیرونی ٹینجینٹ لائنیں حلقوں کے ایک خاندان کے معاملات کو محدود کر رہی ہیں جو اندرونی یا بیرونی طور پر دونوں حلقوں کے لیے ٹینجینٹ ہیں، جبکہ اندرونی ٹینجینٹ لائنیں حلقوں کے ایک خاندان کے معاملات کو محدود کر رہی ہیں جو اندرونی طور پر ایک سے ٹینجینٹ ہیں اور بیرونی طور پر دو حلقوں میں سے دوسرے سے ٹینجینٹ ہیں۔ موبیئس یا الٹا جیومیٹری میں، لکیروں کو "انفنٹی" پر ایک نقطہ کے ذریعے حلقوں کے طور پر دیکھا جاتا ہے اور کسی بھی لکیر اور کسی بھی دائرے کے لیے، ایک موبیئس تبدیلی ہوتی ہے جو ایک دوسرے کا نقشہ بناتی ہے۔ موبیئس جیومیٹری میں، ایک لکیر اور دائرے کے درمیان ٹینجینسی دو حلقوں کے درمیان ٹینجینسی کا ایک خاص معاملہ بن جاتا ہے۔ اس مساوات کو لائ سپیئر جیومیٹری میں مزید بڑھایا گیا ہے۔ رداس اور ٹینجینٹ لائن دائرے کے ایک مقام پر عمودی ہوتی ہیں، اور یونٹ ہائپربولا کے ایک مقام پر ہائپربولک-آرتھوگنل ہوتی ہیں۔ رداس ویکٹر کے ذریعے یونٹ ہائپربولا کی پیرامیٹرک نمائندگی ہے۔ رداس اور ٹینجینٹ ہائپربولک آرتھوگنل ہیں اور یونٹ ہائپربولا کے ایسمپٹوٹ میں ایک دوسرے کی عکاسی کرتے ہیں۔ جب اسپلٹ کمپلیکس نمبروں (جہاں) کے طور پر تشریح کی جاتی ہے، تو یہ دونوں نمبر حوالہ جات کو مطمئن کرتے ہیں۔