Knot complement
ریاضی میں، گرہ K کی گرہ تکمیل وہ جگہ ہے جہاں گرہ نہیں ہے۔ اگر ایک گرہ 3 دائرے میں سرایت شدہ ہے، تو تکمیل 3 دائرے مائنس گرہ کے قریب کی جگہ ہے۔ اسے درست کرنے کے لیے، فرض کریں کہ K تین گنا M میں ایک گرہ ہے (اکثر، M 3-دائرہ ہوتا ہے)۔ فرض کریں کہ N، K کا نلی دار پڑوس ہے، اس لیے N ایک ٹھوس ٹورس ہے۔ گانٹھ کی تکمیل پھر N کی تکمیل ہے، گانٹھ کی تکمیل XK ایک کمپیکٹ 3-مینیفولڈ ہے۔ XK کی حد اور پڑوس N کی حد دو ٹورس کے لیے ہومومورفک ہیں۔ بعض اوقات ایمبیئنٹ مینیفولڈ M کو 3-کرہ سمجھا جاتا ہے۔ استعمال کا تعین کرنے کے لیے سیاق و سباق کی ضرورت ہے۔ لنک تکمیل کے لیے مماثل تعریفیں ہیں۔ بہت سے گانٹھ غیر متغیر، جیسے کہ گانٹھ گروپ، واقعی گانٹھ کی تکمیل کے غیر متغیر ہیں۔ جب ماحول کی جگہ تین دائرے میں ہوتی ہے تو کوئی معلومات ضائع نہیں ہوتی: گورڈن-لیوک تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ گرہ کا تعین اس کی تکمیل سے ہوتا ہے۔ یعنی، اگر K اور K′ ہومیومورفک تکمیل کے ساتھ دو گانٹھ ہیں تو تین دائرے کی ہومیومورفزم ہوتی ہے جو ایک گانٹھ کو دوسرے سے جوڑتی ہے۔ ناٹ تکمیل ہیکن کئی گنا ہیں۔ زیادہ عام طور پر لنکس کی تکمیل ہیکن کئی گنا ہیں۔ نوٹ جینس سیفرٹ سرفیس بھی دیکھیں مزید پڑھنے والے سی گورڈن اور جے لیوک، "ناٹس کا تعین ان کی تکمیل سے ہوتا ہے"، جے آمیر۔ ریاضی۔ Soc.، 2 (1989)، 371-415۔ حوالہ جات ناٹ تھیوری