Topological property
ٹوپولوجی اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، ٹوپولوجیکل پراپرٹی یا ٹوپولوجیکل غیر متغیر ایک ٹوپولوجیکل اسپیس کی خاصیت ہے جو ہومومورفزم کے تحت غیر متغیر ہے۔ متبادل طور پر، ٹپوولوجیکل پراپرٹی ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی ایک مناسب کلاس ہے جو ہومومورفزم کے تحت بند ہوتی ہے۔ یعنی خالی جگہوں کی خاصیت ایک ٹپوولوجیکل پراپرٹی ہے اگر جب بھی کوئی خالی جگہ X اس پراپرٹی کا مالک ہو تو X کے لیے ہر ہومیومورفک جگہ اس پراپرٹی کا مالک ہو۔ غیر رسمی طور پر، ٹپوولوجیکل پراپرٹی اس جگہ کی ایک خاصیت ہے جس کا اظہار کھلے سیٹوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ ٹوپولوجی میں ایک عام مسئلہ یہ فیصلہ کرنا ہے کہ آیا دو ٹوپولوجیکل خالی جگہیں ہومومورفک ہیں یا نہیں۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ دو خالی جگہیں ہومیومورفک نہیں ہیں، یہ ایک ٹپوولوجیکل پراپرٹی تلاش کرنے کے لیے کافی ہے جو ان میں مشترک نہیں ہے۔ ٹپوولوجیکل خصوصیات کی خصوصیات ایک خاصیت یہ ہے کہ: موروثی، اگر ہر ٹپوولوجیکل اسپیس اور سبسیٹ کے لیے سب اسپیس کی پراپرٹی کمزور موروثی ہو، اگر ہر ٹپوولوجیکل اسپیس اور بند سبسیٹ کے لیے سب اسپیس کی پراپرٹی ہو۔ خلا کی ٹوپولوجی (کھلے ذیلی سیٹوں کا مجموعہ) کی بنیادی حیثیت۔ وزن، خلا کی ٹوپولوجی کی بنیاد کی سب سے کم بنیادی حیثیت۔ کثافت، کسی ذیلی سیٹ کی سب سے کم کارڈینالیٹی جس کی بندش ہے۔ علیحدگی نوٹ کریں کہ ان میں سے کچھ اصطلاحات کو پرانے ریاضیاتی ادب میں مختلف طریقے سے بیان کیا گیا ہے۔ علیحدگی کے محوریات کی تاریخ دیکھیں۔ T0 یا کولموگوروف۔ ایک جگہ کولموگوروف ہے اگر خلا میں مختلف پوائنٹس x اور y کے ہر جوڑے کے لیے، کم از کم یا تو ایک کھلا سیٹ ہوتا ہے جس میں x ہوتا ہے لیکن y نہیں، یا ایک کھلا سیٹ ہوتا ہے جس میں y ہوتا ہے لیکن x نہیں۔ T1 یا فریشیٹ۔ ایک جگہ فریشیٹ ہے اگر جگہ میں مختلف پوائنٹس x اور y کے ہر جوڑے کے لیے، ایک کھلا سیٹ ہوتا ہے جس میں x ہوتا ہے لیکن y نہیں۔ (T0 کے ساتھ موازنہ کریں ؛ یہاں، ہمیں یہ بتانے کی اجازت ہے کہ کھلے سیٹ میں کون سا نقطہ موجود ہوگا۔) مساوی طور پر، ایک جگہ T1 ہے اگر اس کے تمام سنگلٹن بند ہوں۔ T1 خالی جگہیں ہمیشہ T0 ہوتی ہیں۔ سوبر۔ اگر ہر ناقابل کٹوتی بند سیٹ C کا ایک منفرد عام نقطہ p ہو تو ایک جگہ پرسکون ہوتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اگر C دو چھوٹے بند غیر خالی ذیلی سیٹوں کا (ممکنہ طور پر غیر مشترکہ) اتحاد نہیں ہے، تو ایک p ایسا ہوتا ہے کہ {p} کی بندش C کے برابر ہوتی ہے، اور p اس خاصیت کا واحد نقطہ ہے۔ T2 یا ہاؤز ڈورف۔ ایک جگہ ہاؤز ڈورف ہے اگر ہر دو الگ الگ نکات کے الگ الگ پڑوس ہوں۔ T2 خالی جگہیں ہمیشہ T1 ہوتی ہیں۔ T2 1⁄2 یا یوریسوہن۔ ایک جگہ یوریسوہن ہے اگر ہر دو الگ الگ نکات پر الگ الگ بند محلے ہوں۔ T2 1⁄2 خالی جگہیں ہمیشہ T2 ہوتی ہیں۔ مکمل طور پر T2 یا مکمل طور پر ہاؤز ڈورف۔ ایک جگہ مکمل طور پر T2 ہے اگر ہر دو الگ الگ پوائنٹس کو کسی فنکشن سے الگ کیا جائے۔ ہر مکمل طور پر ہاؤز ڈورف کی جگہ یوریسوہن ہے۔ باقاعدہ۔ ایک جگہ باقاعدہ ہے اگر جب بھی C ایک بند سیٹ ہے اور p ایک نقطہ ہے جو C میں نہیں ہے، تو C اور p کے الگ الگ پڑوس ہیں۔ T3 یا باقاعدہ ہاؤز ڈورف۔ ایک جگہ باقاعدہ ہاؤس ڈورف ہے اگر یہ ایک باقاعدہ T0 جگہ ہے۔ (ایک باقاعدہ جگہ ہاؤز ڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ T0 ہو، تو اصطلاحات مطابقت رکھتی ہیں۔) مکمل طور پر باقاعدہ۔ ایک جگہ مکمل طور پر باقاعدہ ہوتی ہے اگر جب بھی C ایک بند سیٹ ہو اور p ایک نقطہ ہو جو C میں نہ ہو، تو C اور {p} کو ایک فنکشن کے ذریعے الگ کیا جاتا ہے۔ T3 1⁄2، ٹائکونوف، مکمل طور پر باقاعدہ ہاؤز ڈورف یا مکمل طور پر T3۔ ٹائکونوف جگہ ایک مکمل طور پر باقاعدہ T0 جگہ ہے۔ (ایک مکمل طور پر باقاعدہ جگہ ہاؤز ڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ T0 ہو، تو اصطلاحات مطابقت رکھتی ہیں۔) ٹائکونوف خالی جگہیں ہمیشہ باقاعدہ ہاؤز ڈورف ہوتی ہیں۔ نارمل۔ ایک جگہ عام ہے اگر کسی بھی دو جداگانہ بند سیٹوں میں جداگانہ محلے ہوں۔ عام خالی جگہیں اتحاد کی تقسیم کو تسلیم کرتی ہیں۔ T4 یا نارمل ہاؤس ڈورف۔ ایک عام جگہ ہاؤز ڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ T1 ہو۔ عام ہاؤس ڈورف خالی جگہیں ہمیشہ ٹائکونوف ہوتی ہیں۔ بالکل نارمل۔ ایک جگہ مکمل طور پر عام ہے اگر کسی بھی دو الگ الگ سیٹوں میں الگ الگ محلے ہوں۔ T5 یا مکمل طور پر عام ہاؤز ڈورف۔ ایک مکمل طور پر عام جگہ ہاؤز ڈورف ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ T1 ہو۔ مکمل طور پر عام ہاؤز ڈورف خالی جگہیں ہمیشہ عام ہاؤز ڈورف ہوتی ہیں۔ بالکل نارمل۔ ایک جگہ بالکل نارمل ہوتی ہے اگر کسی بھی دو جداگانہ بند سیٹوں کو کسی فنکشن کے ذریعے قطعی طور پر الگ کیا جائے۔ ایک بالکل نارمل جگہ بھی مکمل طور پر نارمل ہونی چاہیے۔ T6 یا بالکل عام ہاؤز ڈورف، یا بالکل T4۔ ایک جگہ بالکل نارمل ہاؤس ڈورف ہے، اگر یہ بالکل نارمل اور T1 دونوں ہے۔ ایک بالکل عام ہاؤس ڈورف کی جگہ بھی مکمل طور پر عام ہاؤس ڈورف ہونی چاہیے۔ علیحدہ جگہ۔ ایک جگہ مجرد ہوتی ہے اگر اس کے تمام نکات مکمل طور پر الگ تھلگ ہوں، یعنی۔ اگر کوئی سب سیٹ کھلا ہے۔ الگ تھلگ پوائنٹس کی تعداد۔ ٹوپولوجیکل اسپیس کے الگ تھلگ پوائنٹس کی تعداد۔ گنتی کے حالات علیحدہ ہیں۔ کسی جگہ کو الگ کیا جا سکتا ہے اگر اس میں قابل گنتی گھنے ذیلی سیٹ ہوں۔ سب سے پہلے قابل شمار۔ ایک جگہ پہلے قابل گنتی ہے اگر ہر پوائنٹ میں قابل گنتی مقامی بنیاد ہو۔ دوسرا قابل شمار۔ ایک جگہ دوسری گنتی کے قابل ہے اگر اس کی ٹوپولوجی کے لیے قابل گنتی بنیاد ہو۔ دوسری گنتی کے قابل خالی جگہیں ہمیشہ علیحدہ، پہلی گنتی کے قابل اور لنڈیلوف ہوتی ہیں۔ جڑا ہوا ربط۔ ایک جگہ جڑی ہوئی ہے اگر یہ جداگانہ غیر خالی کھلے سیٹوں کے جوڑے کا اتحاد نہیں ہے۔ مساوی طور پر، ایک جگہ منسلک ہوتی ہے اگر صرف کلوپین سیٹ خالی سیٹ اور خود ہی ہوں۔ مقامی طور پر جڑے ہوئے۔ ایک جگہ مقامی طور پر جڑی ہوئی ہے اگر ہر نقطہ پر جڑے ہوئے سیٹوں پر مشتمل مقامی بنیاد ہو۔ مکمل طور پر منقطع۔ ایک جگہ مکمل طور پر منقطع ہو جاتی ہے اگر اس میں ایک سے زیادہ پوائنٹس کے ساتھ کوئی منسلک ذیلی سیٹ نہ ہو۔ راستے سے جڑا ہوا۔ ایک خالی جگہ X راستے سے جڑی ہوتی ہے اگر X میں ہر دو نکات x، y کے لیے x سے y تک ایک راستہ p ہو، یعنی ایک مسلسل نقشہ p: [0,1] → X جس میں p (0) = x اور p (1) = y ہو۔ راستے سے جڑی خالی جگہیں ہمیشہ جڑی ہوتی ہیں۔ مقامی طور پر منسلک راستہ۔ ایک جگہ مقامی طور پر راستے سے منسلک ہوتی ہے اگر ہر نقطہ میں ایک مقامی بنیاد ہو جو راستے سے منسلک سیٹوں پر مشتمل ہو۔ مقامی طور پر راستے سے منسلک جگہ صرف اس صورت میں جڑی ہوتی ہے جب وہ راستے سے جڑی ہو۔ آرک سے منسلک۔ ایک اسپیس X آرک سے جڑا ہوا ہے اگر X میں ہر دو پوائنٹس x، y کے لیے، x سے y تک ایک آرک f ہے، یعنی، اور کے ساتھ ایک انجیکشن مسلسل نقشہ۔ آرک سے جڑی خالی جگہیں راستے سے جڑی ہوئی ہیں۔ بس جڑا ہوا ہے۔ ایک اسپیس X صرف اس صورت میں جڑا ہوا ہے اگر یہ راستے سے جڑا ہوا ہے اور ہر مسلسل نقشہ مستقل نقشے کے لیے ہوموٹوپک ہے۔ مقامی طور پر صرف جڑا ہوا ہے۔ ایک اسپیس X مقامی طور پر آسانی سے جڑا ہوا ہے اگر X میں ہر نقطہ x کے پڑوس U کی مقامی بنیاد ہو جو آسانی سے جڑا ہوا ہو۔ نیم مقامی طور پر آسانی سے جڑا ہوا ہے۔ ایک اسپیس X نیم مقامی طور پر آسانی سے جڑا ہوا ہے اگر ہر نقطہ میں محلوں U کی مقامی بنیاد ایسی ہو کہ U میں ہر لوپ X میں سکڑ جائے۔ نیم مقامی سادہ کنیکٹوٹی، مقامی سادہ کنیکٹوٹی سے سختی سے کمزور حالت، ایک عالمگیر کور کے وجود کے لیے ایک ضروری شرط ہے۔ معاہدے کے قابل۔ اگر X پر شناخت کا نقشہ مستقل نقشے کے لیے ہوموٹوپک ہو تو اسپیس X معاہدہ پذیر ہوتا ہے۔ کنٹریکٹبل خالی جگہیں ہمیشہ آسانی سے جڑی ہوتی ہیں۔ ہائپر کنیکٹڈ۔ ایک جگہ ہائپر کنیکٹڈ ہوتی ہے اگر کوئی دو غیر خالی کھلے سیٹ جداگانہ نہ ہوں۔ ہر ہائپر کنیکٹڈ جگہ جڑی ہوئی ہے۔ الٹرا منسلک۔ ایک جگہ الٹرا کنیکٹڈ ہوتی ہے اگر کوئی دو غیر خالی بند سیٹ جداگانہ نہ ہوں۔ ہر الٹرا کنیکٹڈ جگہ راستے سے جڑی ہوئی ہے۔ غیر متزلزل یا معمولی۔ ایک جگہ اندھا دھند ہوتی ہے اگر صرف کھلے سیٹ خالی سیٹ اور خود ہوتے ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ اس طرح کی جگہ میں معمولی ٹوپولوجی ہوتی ہے۔ کمپیکٹ۔ ایک جگہ کمپیکٹ ہوتی ہے اگر ہر کھلے کور میں ایک محدود ذیلی کور ہوتا ہے۔ کچھ مصنفین ان جگہوں کو کواسی کمپیکٹ کہتے ہیں اور ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے ریزرو کمپیکٹ کہتے ہیں جہاں ہر کھلے کور میں محدود ذیلی احاطہ ہوتا ہے۔ کمپیکٹ خالی جگہیں ہمیشہ لنڈیلوف اور پیرا کامپیکٹ ہوتی ہیں۔ اس لیے کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہیں عام ہیں۔ ترتیب وار کمپیکٹ۔ ایک جگہ ترتیب وار کمپیکٹ ہوتی ہے اگر ہر ترتیب میں ایک متغیر تسلسل ہوتا ہے۔ بے شمار کمپیکٹ۔ ایک جگہ قابل شمار کمپیکٹ ہوتی ہے اگر ہر قابل شمار کھلے کور میں ایک محدود ذیلی احاطہ ہوتا ہے۔ سیوڈو کمپیکٹ۔ ایک جگہ چھدم کمپیکٹ ہوتی ہے اگر جگہ پر ہر مسلسل حقیقی قدر والا فنکشن پابند ہو۔ σ-کمپیکٹ۔ ایک جگہ σ-کمپیکٹ ہوتی ہے اگر یہ شمار کے لحاظ سے بہت سے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں کا اتحاد ہو۔ لنڈیلوف۔ ایک جگہ Lindelöf ہے اگر ہر کھلے کور میں قابل گنتی ذیلی کور ہو۔ پیرا کامپیکٹ۔ ایک جگہ پیرا کامپیکٹ ہوتی ہے اگر ہر کھلے کور میں ایک کھلی مقامی طور پر محدود ریفائنمنٹ ہو۔ پیرا کامپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہیں عام ہیں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ۔ ایک جگہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہوتی ہے اگر ہر نقطہ پر کمپیکٹ محلوں پر مشتمل مقامی بنیاد ہو۔ قدرے مختلف تعریفیں بھی استعمال کی جاتی ہیں۔ مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہیں ہمیشہ ٹائکونوف ہوتی ہیں۔ الٹرا منسلک کمپیکٹ۔ الٹرا منسلک کمپیکٹ اسپیس X میں ہر کھلے کور میں خود X ہونا چاہیے۔ غیر خالی الٹرا منسلک کمپیکٹ خالی جگہوں میں سب سے بڑا مناسب کھلا ذیلی سیٹ ہوتا ہے جسے مونولیتھ کہا جاتا ہے۔ پیمائش قابل پیمائش۔ ایک جگہ قابل پیمائش ہوتی ہے اگر وہ میٹرک جگہ کے لیے ہومومورفک ہو۔ پیمائش کے قابل خالی جگہیں ہمیشہ ہاؤزڈورف اور پیرا کامپیکٹ (اور اس وجہ سے نارمل اور ٹائکونوف) ہوتی ہیں، اور پہلی گنتی کے قابل ہوتی ہیں۔ مزید برآں، ایک ٹوپولوجیکل اسپیس کو پیمائش کے قابل کہا جاتا ہے اگر اس کے لیے کوئی میٹرک موجود ہو کہ میٹرک ٹوپولوجی پولینڈ کی ٹوپولوجی سے ملتی جلتی ہو۔ کسی جگہ کو پولینڈ کہا جاتا ہے اگر وہ علیحدہ اور مکمل میٹرک کے ساتھ پیمائش کے قابل ہو۔ مقامی طور پر قابل پیمائش۔ ایک جگہ مقامی طور پر پیمائش کے قابل ہوتی ہے اگر ہر نقطہ میں پیمائش کے قابل پڑوس ہو۔ متفرق بائر کی جگہ۔ ایک سپیس X ایک بائر سپیس ہے اگر یہ اپنے آپ میں معمولی نہیں ہے۔ مساوی طور پر، X ایک بائر اسپیس ہے اگر گنتی کے لحاظ سے بہت سے گھنے کھلے سیٹوں کا چوراہا گھنے ہو۔ دروازے کی جگہ۔ ٹپوولوجیکل اسپیس ایک دروازے کی جگہ ہے اگر ہر ذیلی سیٹ کھلا یا بند (یا دونوں) ہو۔ ٹوپولوجیکل یکسانیت۔ ایک جگہ X (ٹوپوولوجیکل طور پر) یکساں ہے اگر X میں ہر x اور y کے لیے اس طرح کی ہومومورفزم ہو کہ بدیہی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ جگہ ہر نقطہ پر یکساں نظر آتی ہے۔ تمام ٹپوولوجیکل گروپ یکساں ہیں۔ حتمی طور پر تیار کردہ یا الیگزینڈرروف۔ ایک خالی جگہ X الیگزینڈرروف ہے اگر X میں کھلے سیٹوں کے من مانی چوراہے کھلے ہوں، یا مساوی طور پر اگر بند سیٹوں کے من مانی اتحاد بند ہوں۔ یہ قطعی طور پر ٹپوولوجیکل خالی جگہوں اور مسلسل نقشوں کے زمرے کے حتمی طور پر تیار کردہ اراکین ہیں۔ صفر جہتی۔ ایک جگہ صفر جہتی ہوتی ہے اگر اس میں کلوپین سیٹوں کی بنیاد ہو۔ یہ قطعی طور پر وہ خالی جگہیں ہیں جن کا ایک چھوٹا سا انڈکٹو طول و عرض 0 ہے۔ تقریبا مجرد۔ ایک جگہ تقریبا مجرد ہوتی ہے اگر ہر کھلا سیٹ بند ہو (اس لیے کلوپین)۔ تقریبا مجرد خالی جگہیں قطعی طور پر حتمی طور پر پیدا شدہ صفر جہتی خالی جگہیں ہیں۔ بولین۔ ایک جگہ بولین ہوتی ہے اگر یہ صفر جہتی، کمپیکٹ اور ہاؤز ڈورف (مساوی طور پر، مکمل طور پر منقطع، کمپیکٹ اور ہاؤز ڈورف) ہو۔ یہ قطعی طور پر وہ خالی جگہیں ہیں جو بولین الجیبراس کے اسٹون خالی جگہوں کے لیے ہومومورفک ہیں۔ ریڈمیسٹر ٹورسن-قابل حل۔ کسی جگہ کو κ-حل کرنے کے قابل کہا جاتا ہے (بالترتیب: تقریبا κ-حل کرنے کے قابل) اگر اس میں κ گھنے سیٹ ہوں جو جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ہوں (بالترتیب: کہیں بھی گھنے ذیلی سیٹوں کے آئیڈیل پر تقریبا جداگانہ)۔ اگر جگہ حل کرنے کے قابل نہیں ہے تو اسے حل کرنے کے قابل نہیں کہا جاتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ قابل حل۔ خلا زیادہ سے زیادہ قابل حل ہے اگر یہ-قابل حل ہو، جہاں نمبر کو مضبوط طور پر مجرد کا منتشر کردار کہا جاتا ہے۔ سیٹ جگہ کا مضبوطی سے مجرد ذیلی سیٹ ہے اگر پوائنٹس کو جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ محلوں سے الگ کیا جا سکتا ہے۔ خلا کو مضبوطی سے مجرد کہا جاتا ہے اگر ہر غیر الگ تھلگ نقطہ کسی مضبوطی سے مجرد سیٹ کا جمع نقطہ ہو۔ غیر ٹپوولوجیکل خصوصیات میٹرک خالی جگہوں وغیرہ کی خصوصیات کی بہت سی مثالیں ہیں، جو ٹپوولوجیکل خصوصیات نہیں ہیں۔ کسی خاصیت کو ظاہر کرنے کے لیے ٹپوولوجیکل نہیں ہے، دو ہومومورفک ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کو تلاش کرنا کافی ہے جیسے کہ ہے، لیکن نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، حدود اور تکمیل کی میٹرک خلائی خصوصیات ٹپوولوجیکل خصوصیات نہیں ہیں۔ معیاری میٹرک کے ساتھ میٹرک خالی جگہیں ہونے دیں۔ پھر، ہومیومورفزم کے ذریعے۔ تاہم، مکمل ہے لیکن پابند نہیں ہے، جبکہ پابند ہے لیکن مکمل نہیں ہے۔ ہومیولوجی اینڈ کوہمولوجی ہوموٹوپی گروپ اور کوہوموٹوپی گروپ سائٹیشنز حوالہ جات [2] سائمن مولئیراس، میسیج لیونسٹین اور گریسیانا پونٹیس، انٹیگلمنٹ انجینئرنگ اینڈ ٹوپولوجیکل پروٹیکشن بائی ڈسکرٹ ٹائم کوانٹم واک، جرنل آف فزکس بی: اٹامک، مالیکیولر اینڈ آپٹیکل فزکس 46 (10)، 104005 (2013) بھی دیکھیں۔ https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf ہومیومورفزمز ru: τοπολογιχεσκιy ινVARIANT