Gauge anomaly
نظریاتی طبیعیات میں، گیج بے ضابطگی بے ضابطگی کی ایک مثال ہے: یہ کوانٹم میکانکس کی ایک خصوصیت ہے-عام طور پر ایک لوپ خاکہ-جو کوانٹم فیلڈ تھیوری کی گیج سمیٹری کو کالعدم قرار دیتا ہے۔ گیج تھیوری۔ گیج کی تمام بے ضابطگیوں کو منسوخ کرنا چاہیے۔ گیج سمیٹریز میں بے ضابطگیاں عدم مطابقت کا باعث بنتی ہیں، کیونکہ منفی معیار کے ساتھ ڈگری آف فریڈم کو منسوخ کرنے کے لیے گیج سمیٹری کی ضرورت ہوتی ہے جو غیر جسمانی ہوتے ہیں (جیسے کہ وقت کی سمت میں پولرائزڈ فوٹون)۔ درحقیقت، منسوخی معیاری ماڈل میں ہوتی ہے۔ گیج بے ضابطگی کی اصطلاح عام طور پر ویکٹر گیج بے ضابطگیوں کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ گیج بے ضابطگی کی ایک اور قسم کشش ثقل کی بے ضابطگی ہے، کیونکہ کوآرڈینیٹ ریپارامیٹریزیشن (جسے ڈفیومورفزم کہا جاتا ہے) کشش ثقل کی گیج سمیٹری ہے۔ بے ضابطگیوں کا حساب صرف مساوی خلائی طول و عرض میں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، عام 4 خلائی طول و عرض میں بے ضابطگیاں مثلث فین مین خاکے سے پیدا ہوتی ہیں۔ ویکٹر گیج بے ضابطگیاں ویکٹر گیج بے ضابطگیوں میں (گیج سمیٹریز میں جس کا گیج بوسون ایک ویکٹر ہے)، بے ضابطگی ایک چیرل بے ضابطگی ہے، اور اس کا حساب بالکل ایک لوپ کی سطح پر کیا جا سکتا ہے، فین مین خاکہ کے ذریعے جس میں چیرل فرمیئن لوپ میں چل رہا ہوتا ہے جس میں n بیرونی گیج بوسون لوپ سے منسلک ہوتے ہیں جہاں اسپیس ٹائم طول و عرض کہاں ہوتا ہے۔ آئیے اس (نیم) مؤثر عمل کو دیکھیں جو ہمیں چیرل فرمینز پر ضم کرنے کے بعد ملتا ہے۔ اگر کوئی گیج بے ضابطگی ہے، تو اس کے نتیجے میں ہونے والی کارروائی گیج غیر متغیر نہیں ہوگی۔ اگر ہم آپریٹر کے ذریعہ ε کے ذریعہ ایک لامحدود گیج کی تبدیلی سے مطابقت رکھتے ہیں، تو فروبینئس مستقل مزاجی کی شرط یہ ہے کہ کسی بھی فنکشنل کے لیے، بشمول (نیم) موثر ایکشن S جہاں [،] لائ بریکٹ ہے۔ جیسا کہ ε میں لکیری ہے، ہم لکھ سکتے ہیں کہ جہاں ω (d) غیر مربوط فیلڈز کے فنکشنل کے طور پر d-فارم ہے اور ε میں لکیری ہے۔ آئیے ہم مزید مفروضہ بناتے ہیں (جو دلچسپی کے تمام معاملات میں درست ثابت ہوتا ہے) کہ یہ فنکشنل مقامی ہے (یعنی۔ ω (d) (x) صرف فیلڈز کی اقدار اور x پر ان کے مشتقات پر منحصر ہے اور یہ کہ اسے p-شکلوں کے بیرونی پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اگر اسپیس ٹائم ایم ڈی بند ہے (یعنی۔ باؤنڈری کے بغیر) اور پر مبنی، پھر یہ کسی ڈی + 1 جہتی پر مبنی کئی گنا ایم ڈی + 1 کی باؤنڈری ہے۔ اگر پھر ہم من مانی طور پر ایم ڈی سے ایم ڈی + 1 پر بیان کردہ فیلڈز (بشمول ε) کو صرف اس شرط کے ساتھ بڑھاتے ہیں کہ وہ حدود سے میل کھاتے ہیں اور اظہار ω (d)، پی-فارموں کا بیرونی پروڈکٹ ہونے کی وجہ سے، توسیع کی جا سکتی ہے اور اندرونی حصے میں اس کی وضاحت کی جا سکتی ہے، تو اب فروبینئس مستقل مزاجی کی حالت بن جاتی ہے۔ جیسا کہ پچھلی مساوات اندرونی حصوں میں فیلڈز کی کسی بھی من مانی توسیع کے لیے درست ہے، فروبینئس مستقل مزاجی کی حالت کی وجہ سے، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایم ڈی + 1 پر بیان کردہ ڈی + 1 فارم ω (ڈی + 1) (ε پر منحصر نہیں) موجود ہے جو ω (ڈی + 1) کو مطمئن کرتا ہے جسے اکثر چرن سائمن فارم کہا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، اگر ہم فرض کریں کہ ω (d + 1) کو ایک بیرونی پروڈکٹ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے اور اسے d + 2 جہتی پر مبنی کئی گنا میں d + 1 شکل میں بڑھایا جا سکتا ہے، تو ہم d + 2 جہتوں میں وضاحت کر سکتے ہیں۔ ω (d + 2) گیج غیر متغیر ہے: جیسا کہ d اور δε کمیوٹ۔ چیرل گیج تھیوری بے ضابطگی ملاپ کی حالت گرین-شوارز میکانزم مخلوط بے ضابطگی حوالہ جات بے ضابطگیاں (طبیعیات) بھی دیکھیں۔