Gas in a harmonic trap
کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کے نتائج کو ہارمونک ٹریپ میں کوانٹم آئیڈیل گیس کے لیے توازن کی صورتحال کو دیکھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو کہ ایک ہارمونک پوٹینشل ہے جس میں بڑی تعداد میں ذرات ہوتے ہیں جو فوری تھرملائزنگ تصادم کے علاوہ ایک دوسرے کے ساتھ تعامل نہیں کرتے۔ یہ صورتحال بہت عملی اہمیت کی حامل ہے کیونکہ بوس گیسوں کے بہت سے تجرباتی مطالعے اس طرح کے ہم آہنگ جالوں میں کیے جاتے ہیں۔ میکسویل-بولٹزمین کے اعداد و شمار، بوس-آئن سٹائن کے اعداد و شمار یا فرمی-ڈیراک کے اعداد و شمار کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے ہم تھامس-فرمی کا تخمینہ (ایک ڈبے میں گیس) استعمال کرتے ہیں اور ایک بہت بڑے جال کی حد تک جاتے ہیں، اور توانائی کی حالتوں () کی انحطاط کو ایک تفریق کے طور پر ظاہر کرتے ہیں، اور ریاستوں پر خلاصہ کو انٹیگرلز کے طور پر ظاہر کرتے ہیں۔ اس کے بعد ہم پارٹیشن فنکشن یا گرینڈ پارٹیشن فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے گیس کی تھرموڈینامک خصوصیات کا حساب لگانے کی پوزیشن میں ہوں گے۔ صرف بڑے ذرات کے معاملے پر غور کیا جائے گا، حالانکہ نتائج کو بڑے ذرات کے بغیر ذرات تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جیسا کہ ایک ڈبے میں مثالی گیس کے معاملے میں کیا گیا تھا۔ مزید مکمل حسابات کو الگ الگ مضامین پر چھوڑ دیا جائے گا، لیکن کچھ آسان مثالیں اس مضمون میں دی جائیں گی۔ حالتوں کے انحطاط کے لیے تھامس-فرمی کا تخمینہ ہارمونک کنویں میں بڑے ذرات کے لیے، ذرہ کی حالتوں کو کوانٹم نمبروں کے ایک سیٹ کے ذریعے شمار کیا جاتا ہے۔ کسی خاص حالت کی توانایٔی اس طرح دی جاتی ہے: فرض کریں کہ کوانٹم نمبروں کا ہر مجموعہ ان حالتوں کی وضاحت کرتا ہے جہاں اس ذرہ کی داخلی ڈگری آف فریڈم کی تعداد ہے جسے تصادم کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گھماؤ-1/2 ذرہ ہوگا، ہر گھماؤ کی حالت کے لیے ایک۔ ہم کسی ذرہ کی ہر ممکنہ حالت کو مثبت انٹیجرز کے 3 جہتی گرڈ پر ایک نقطہ کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔ تھامس-فرمی تخمینہ یہ فرض کرتا ہے کہ کوانٹم نمبر اتنے بڑے ہیں کہ انہیں تسلسل سمجھا جا سکتا ہے۔ کی بڑی اقدار کے لیے، ہم مندرجہ بالا مساوات سے کم یا مساوی توانایٔی والی حالتوں کی تعداد کا اندازہ اس طرح لگا سکتے ہیں: جو کہ توانایٔی مساوات اور مثبت آکٹینٹ کے باؤنڈنگ طیاروں کے ذریعے بیان کردہ سطح کے ذریعے تشکیل پانے والے ٹیٹرا ہیڈرون کے حجم کا صرف گنا ہے۔ اس لیے اور کے درمیان توانائی والی حالتوں کی تعداد یہ ہے: نوٹ کریں کہ اس تسلسل کے تخمینے کو استعمال کرتے ہوئے، ہم کم توانائی والی حالتوں کی خصوصیت کرنے کی صلاحیت کھو چکے ہیں، بشمول زمینی حالت جہاں۔ زیادہ تر معاملات میں یہ کوئی مسئلہ نہیں ہوگا، لیکن جب بوس-آئن سٹائن کے ارتکاز پر غور کیا جائے، جس میں گیس کا ایک بڑا حصہ زمینی حالت میں یا اس کے قریب ہے، تو ہمیں کم توانائی کی حالتوں سے نمٹنے کی صلاحیت کو بازیافت کرنے کی ضرورت ہوگی۔ تسلسل کا تخمینہ استعمال کیے بغیر، توانائی والے ذرات کی تعداد اس طرح دی جاتی ہے: جہاں میکسویل-بولٹزمین کے اعداد و شمار کی اطاعت کرنے والے ذرات کے لیے۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ تسلسل کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے، اور کے درمیان توانائی والے ذرات کی تعداد اب لکھی گئی ہے: توانائی کی تقسیم کی تقریب اب ہم "ہارمونک ٹریپ میں گیس" کے لیے کچھ تقسیم کے افعال کا تعین کرنے کی پوزیشن میں ہیں۔ کسی بھی متغیر کے لیے ڈسٹری بیوشن فنکشن ذرات کے اس حصے کے برابر ہوتا ہے جس کی اقدار اور کے درمیان ہوتی ہیں: اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ: ان رلیشنشپس کا استعمال کرتے ہوئے ہم توانائی کی تقسیم کا فنکشن حاصل کرتے ہیں: مخصوص مثالیں درج ذیل حصے کچھ مخصوص معاملات کے نتائج کی مثال دیتے ہیں۔ بڑے پیمانے پر میکسویل-بولٹزمین ذرات اس معاملے کے لیے: توانائی کی تقسیم کے فنکشن کو مربوط کرنا اور اس کے لیے حل کرنا: اصل توانائی کی تقسیم کے فنکشن میں تبدیل کرنا دیتا ہے: بڑے بوس-آئن سٹائن ذرات اس معاملے کے لیے: جہاں اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: توانائی کی تقسیم کے فنکشن کو مربوط کرنا اور اس کے لیے حل کرنا: پولی لوگرتھم فنکشن کہاں ہے۔ پولی لوگرتھم کی اصطلاح ہمیشہ مثبت اور حقیقی ہونی چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ اس کی قیمت 0 سے 1 تک جائے گی۔ جیسے جیسے درجہ حرارت صفر پر جاتا جائے گا، بڑا اور بڑا ہوتا جائے گا، یہاں تک کہ آخر کار ایک نازک قدر تک پہنچ جائے گا، جہاں اور وہ درجہ حرارت جس پر نازک درجہ حرارت ہے جس پر بوس آئن سٹائن کنڈینسیٹ بننا شروع ہوتا ہے۔ مسئلہ یہ ہے کہ، جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، تسلسل کے تخمینے میں زمینی حالت کو نظر انداز کر دیا گیا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ مذکورہ بالا اظہار پرجوش حالتوں میں بوسون کی تعداد کو اچھی طرح سے ظاہر کرتا ہے، اور اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں: جہاں اضافی اصطلاح زمینی حالت میں ذرات کی تعداد ہے۔ (زمینی ریاستی توانائی کو نظر انداز کر دیا گیا ہے۔) یہ مساوات صفر درجہ حرارت تک برقرار رہے گی۔ مزید نتائج مثالی بوس گیس پر مضمون میں مل سکتے ہیں۔ بڑے پیمانے پر فرمی ڈیراک ذرات (مثال کے طور پر۔ دھات میں الیکٹران) اس معاملے کے لیے: توانائی کی تقسیم کے فنکشن کو مربوط کرنے سے ملتا ہے: جہاں دوبارہ، پولی لوگرتھم فنکشن ہے۔ مزید نتائج مثالی فرمی گیس پر مضمون میں مل سکتے ہیں۔ حوالہ جات ہوانگ، کیرسن، "شماریاتی میکینکس"، جان ولی اینڈ سنز، نیویارک، 1967 اے ایشیارا، "شماریاتی طبیعیات"، اکیڈمک پریس، نیویارک، 1971 ایل ڈی لینڈو اور ای ایم لفشٹز، "شماریاتی طبیعیات، تیسرا ایڈیشن حصہ 1،" بٹر ورتھ ہینمین، آکسفورڈ، 1996 سی جے پیتھک اور ایچ اسمتھ، "بوس آئن سٹائن کنڈینسیشن ان ڈائلٹ گیسز،" کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج، 2004 شماریاتی میکینکس