Ordinal utility
معاشیات میں، آرڈینل یوٹیلیٹی فنکشن ایک فنکشن ہے جو آرڈینل پیمانے پر ایجنٹ کی ترجیحات کی نمائندگی کرتا ہے۔ عام افادیت کا نظریہ دعوی کرتا ہے کہ یہ پوچھنا صرف معنی خیز ہے کہ کون سا آپشن دوسرے سے بہتر ہے، لیکن یہ پوچھنا بے معنی ہے کہ یہ کتنا بہتر ہے یا کتنا اچھا ہے۔ یقین کی شرائط کے تحت صارفین کے فیصلہ سازی کا تمام نظریہ عام افادیت کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور عام طور پر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ جارج ہمیں بتاتا ہے کہ "میں اے سے بی اور بی سے سی کو ترجیح دیتا ہوں"۔ جارج کی ترجیحات کو ایک فنکشن یو کے ذریعے اس طرح پیش کیا جا سکتا ہے کہ: لیکن بنیادی افادیت کے ناقدین کا دعوی ہے کہ اس فنکشن کا واحد بامعنی پیغام آرڈر ہے ؛ اصل اعداد بے معنی ہیں۔ لہذا، جارج کی ترجیحات کو مندرجہ ذیل فنکشن v سے بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے: فنکشن u اور v عام طور پر مساوی ہیں-وہ جارج کی ترجیحات کو یکساں طور پر اچھی طرح سے پیش کرتے ہیں۔ عام افادیت بنیادی افادیت کے نظریہ سے متصادم ہے: مؤخر الذکر یہ فرض کرتا ہے کہ ترجیحات کے درمیان فرق بھی اہم ہیں۔ یو میں اے اور بی کے درمیان فرق بی اور سی کے درمیان کے مقابلے میں بہت کم ہے، جبکہ وی میں اس کے برعکس درست ہے۔ لہذا، u اور v بنیادی طور پر مساوی نہیں ہیں۔ آرڈینل یوٹیلیٹی کا تصور پہلی بار 1906 میں پیریٹو نے متعارف کرایا تھا۔ نوٹیشن فرض کریں کہ دنیا کی تمام ریاستوں کا مجموعہ ہے اور ایک ایجنٹ کا ترجیحی تعلق ہے۔ کمزور ترجیحی تعلق کو اس طرح نشان زد کرنا عام بات ہے، جس میں لکھا ہو کہ "ایجنٹ کم از کم بی کو اتنا ہی چاہتا ہے جتنا کہ اے"۔ علامت کو بے حسی کے تعلق کے مختصر نام کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے:، جس میں لکھا ہے کہ "ایجنٹ B اور A کے درمیان لاتعلق ہے"۔ علامت کو مضبوط ترجیحی تعلق کے مختصر نام کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے:، جس میں لکھا ہے کہ "ایجنٹ سختی سے بی سے اے کو ترجیح دیتا ہے"۔ ایک فنکشن کو تعلقات کی نمائندگی کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر: متعلقہ تصورات بے حسی وکر میپنگ ایک عددی فنکشن کی وضاحت کرنے کے بجائے، ایک ایجنٹ کے ترجیحی تعلق کو بے حسی منحنی خطوط کے ذریعے گرافک طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ یہ خاص طور پر مفید ہوتا ہے جب دو قسم کے سامان ہوتے ہیں، x اور y۔ پھر، ہر بے حسی وکر پوائنٹس کا ایک مجموعہ اس طرح دکھاتا ہے کہ، اگر اور ایک ہی وکر پر ہیں، تو۔ ایک مثال بے حسی وکر ذیل میں دکھائی گئی ہے: ہر بے حسی وکر پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے، ہر ایک دو اشیا یا خدمات کی مقدار کے امتزاج کی نمائندگی کرتا ہے، ان سب کے امتزاج سے صارف یکساں طور پر مطمئن ہوتا ہے۔ اصل سے جتنا آگے ایک منحنی خطوط ہوتا ہے، افادیت کی سطح اتنی ہی زیادہ ہوتی ہے۔ کسی بھی مقام پر منحنی خطوط کی ڈھلوان (Y کے لیے X کے متبادل کی معمولی شرح کا منفی) اس شرح کو ظاہر کرتی ہے جس پر فرد اچھے X کو اچھے Y کے مقابلے میں تجارت کرنے کے لیے تیار ہے اور اسی سطح کی افادیت کو برقرار رکھتا ہے۔ منحنی خطوط اصل سے متصل ہوتے ہیں جیسا کہ یہ فرض کرتے ہوئے دکھایا گیا ہے کہ صارف کے پاس متبادل کی کم ہوتی ہوئی معمولی شرح ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ بے حسی کے منحنی خطوط (ایک عام نقطہ نظر) کے ساتھ صارفین کا تجزیہ وہی نتائج دیتا ہے جو بنیادی افادیت کے نظریہ پر مبنی ہے-یعنی، صارفین اس مقام پر استعمال کریں گے جہاں کسی بھی دو اشیا کے درمیان متبادل کی معمولی شرح ان اشیا کی قیمتوں کے تناسب کے برابر ہو (مساوی مارجن اصول)۔ انکشاف شدہ ترجیح کا نظریہ اس مسئلے کو حل کرتا ہے کہ حقیقی دنیا میں عام ترجیحی تعلقات کا مشاہدہ کیسے کیا جائے۔ ظاہر کردہ ترجیحی نظریہ کا چیلنج جزوی طور پر اس بات کا تعین کرنے میں مضمر ہے کہ سامان کے کون سے بنڈل پہلے سے استعمال کیے گئے تھے، اس بنیاد پر کہ انہیں کم پسند کیا جاتا ہے، جب افراد کو سامان کے مخصوص بنڈل کا انتخاب کرتے ہوئے دیکھا جاتا ہے۔ آرڈینل یوٹیلیٹی فنکشن کے وجود کے لیے ضروری شرائط ایک نمائندگی کرنے والے فنکشن کے وجود کی ضمانت کے لیے کچھ شرائط ضروری ہیں: منتقلی: اگر اور پھر۔ مکمل: تمام بنڈلوں کے لیے: یا تو یا یا دونوں۔ مکمل ہونے کا مطلب اضطراری پن بھی ہے: ہر ایک کے لیے: جب ان شرائط کو پورا کیا جاتا ہے اور سیٹ محدود ہوتا ہے، تو ایک فنکشن بنانا آسان ہوتا ہے جو صرف ہر عنصر کو ایک مناسب نمبر تفویض کرکے نمائندگی کرتا ہے، جیسا کہ ابتدائی پیراگراف میں مثال دی گئی ہے۔ یہی بات اس وقت بھی درست ہے جب X شمار کے لحاظ سے لامحدود ہو۔ مزید برآں، انڈکٹو طور پر ایک نمائندگی کرنے والے یوٹیلیٹی فنکشن کی تعمیر کرنا ممکن ہے جس کی اقدار رینج میں ہوں۔ جب یہ لامحدود ہوتے ہیں تو یہ حالات ناکافی ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، لغت کی ترجیحات عارضی اور مکمل ہوتی ہیں، لیکن ان کی نمائندگی کسی یوٹیلیٹی فنکشن سے نہیں کی جا سکتی۔ ضرورت کی اضافی شرط تسلسل ہے۔ تسلسل ایک ترجیحی تعلق کو مسلسل کہا جاتا ہے اگر، جب بھی B کو A سے ترجیح دی جاتی ہے، B یا A سے چھوٹے انحراف ان کے درمیان ترتیب کو الٹا نہیں کریں گے۔ رسمی طور پر، کسی سیٹ X پر ترجیحی تعلق کو مسلسل کہا جاتا ہے اگر یہ مندرجہ ذیل مساوی شرائط میں سے کسی ایک کو مطمئن کرتا ہے: ہر ایک کے لیے، سیٹ ٹوپولوجیکل طور پر پروڈکٹ ٹوپولوجی کے ساتھ بند ہوتا ہے (اس تعریف کے لیے ٹوپولوجیکل اسپیس ہونا ضروری ہے)۔ ہر ترتیب کے لیے، اگر سب کے لیے i اور اور، پھر۔ اس طرح کی ہر چیز کے لیے، ارد گرد ایک گیند اور اس کے ارد گرد ایک گیند موجود ہوتی ہے، ہر گیند کے ارد گرد اور ہر گیند کے ارد گرد، (اس تعریف کے لیے ایک میٹرک اسپیس ہونا ضروری ہے)۔ اگر ترجیحی تعلق کی نمائندگی مسلسل یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے کی جاتی ہے، تو یہ واضح طور پر مسلسل ہے۔ ڈیبریو (1954) کے نظریات کے مطابق، اس کے برعکس بھی درست ہے: ہر مسلسل مکمل ترجیحی تعلق کی نمائندگی مسلسل آرڈینل یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ نوٹ کریں کہ لغت کی ترجیحات مسلسل نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، لیکن ارد گرد کی ہر گیند میں (5,1) کے ساتھ پوائنٹس ہوتے ہیں اور یہ پوائنٹس اس سے کمتر ہوتے ہیں۔ یہ اس حقیقت کے مطابق ہے، جو اوپر بیان کیا گیا ہے، کہ ان ترجیحات کی نمائندگی یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے نہیں کی جا سکتی۔ انفرادیت ہر یوٹیلیٹی فنکشن v کے لیے، ایک منفرد ترجیحی رشتہ ہوتا ہے جس کی نمائندگی v کرتا ہے۔ تاہم، اس کے برعکس درست نہیں ہے: ترجیحی تعلق کی نمائندگی بہت سے مختلف یوٹیلیٹی افعال کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ انہی ترجیحات کا اظہار کسی بھی یوٹیلیٹی فنکشن کے طور پر کیا جا سکتا ہے جو v کی یکسوئی سے بڑھتی ہوئی تبدیلی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی یکسوئی سے بڑھتا ہوا فنکشن ہے، تو فنکشن v اور v یکساں بے حسی وکر میپنگ کو جنم دیتے ہیں۔ اس مساوات کو مختصر طور پر مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا گیا ہے: ایک آرڈینل یوٹیلیٹی فنکشن مونوٹون کی تبدیلی کو بڑھانے کے لیے منفرد ہے۔ اس کے برعکس، ایک کارڈینل یوٹیلیٹی فنکشن افائن کی تبدیلی کو بڑھانے کے لیے منفرد ہے۔ ہر افائن کی تبدیلی مونوٹون ہے ؛ لہذا، اگر دو افعال کارڈینلی مساوی ہیں تو وہ بھی عام طور پر مساوی ہیں، لیکن اس کے برعکس نہیں۔ یکسانیت فرض کریں، اب سے، کہ سیٹ تمام غیر منفی حقیقی دو جہتی ویکٹروں کا مجموعہ ہے۔ لہذا کا ایک عنصر ایک جوڑا ہے جو دو مصنوعات، مثال کے طور پر سیب اور کیلوں سے استعمال ہونے والی مقدار کی نمائندگی کرتا ہے۔ پھر بعض حالات میں ترجیحی تعلق کی نمائندگی یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے کی جاتی ہے۔ فرض کریں کہ ترجیحی تعلق یکسوئی سے بڑھ رہا ہے، جس کا مطلب ہے کہ "زیادہ ہمیشہ بہتر ہوتا ہے": پھر، v کے دونوں جزوی مشتقات، اگر موجود ہیں، مثبت ہیں۔ مختصرا: اگر یوٹیلیٹی فنکشن یکسوئی سے بڑھتے ہوئے ترجیحی تعلق کی نمائندگی کرتا ہے، تو یوٹیلیٹی فنکشن یکسوئی سے بڑھ رہا ہے۔ متبادل کی معمولی شرح فرض کریں کہ کسی شخص کے پاس ایک بنڈل ہے اور وہ دعوی کرتا ہے کہ وہ اس بنڈل اور بنڈل کے درمیان لاتعلق ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ وہ y کی اکائیاں حاصل کرنے کے لیے x کی اکائیاں دینے کو تیار ہے۔ اگر اس تناسب کو اس طرح رکھا جائے تو ہم کہتے ہیں کہ یہ نقطہ پر x اور y کے درمیان متبادل کی معمولی شرح (ایم آر ایس) ہے۔ ایم آر ایس کی یہ تعریف صرف عام ترجیحی تعلق پر مبنی ہے-یہ عددی افادیت فنکشن پر منحصر نہیں ہے۔ اگر ترجیحی تعلق کی نمائندگی یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے کی جاتی ہے اور فنکشن تفریق پذیر ہے، تو ایم آر ایس کا حساب اس فنکشن کے مشتقات سے لگایا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، اگر ترجیحی تعلق کی نمائندگی اس وقت تک کی جاتی ہے۔ فنکشن کے لیے ایم آر ایس ایک ہی ہے۔ یہ کوئی اتفاق نہیں ہے کیونکہ یہ دونوں افعال ایک ہی ترجیحی تعلق کی نمائندگی کرتے ہیں-ہر ایک دوسرے کی بڑھتی ہوئی مونوٹون تبدیلی ہے۔ عام طور پر، ایم آر ایس مختلف مقامات پر مختلف ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ممکن ہے کہ ایم آر ایس پر کم ہو کیونکہ اس شخص کے پاس بہت زیادہ ایکس اور صرف ایک وائی ہو، لیکن اے ٹی یا ایم آر ایس زیادہ ہو۔ کچھ خاص معاملات ذیل میں بیان کیے گئے ہیں۔ لکیریٹی جب کسی مخصوص ترجیحی رشتے کا ایم آر ایس بنڈل پر منحصر نہیں ہوتا ہے، یعنی، ایم آر ایس سب کے لیے یکساں ہوتا ہے، تو بے حسی کے منحنی خطوط لکیری اور شکل کے ہوتے ہیں: اور ترجیحی رشتے کی نمائندگی لکیری فنکشن کے ذریعے کی جا سکتی ہے: (یقینا، اسی رشتے کی نمائندگی بہت سے دوسرے غیر لکیری افعال کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جیسے یا، لیکن لکیری فنکشن سب سے آسان ہے۔) کواسی لینیرٹی جب ایم آر ایس انحصار کرتا ہے لیکن اس پر نہیں، تو ترجیحی تعلق کی نمائندگی کواسی لینیر یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جس میں ایک مخصوص یکسوئی سے بڑھتا ہوا فنکشن ہوتا ہے۔ چونکہ ایم آر ایس ایک فنکشن ہے، اس لیے ایک ممکنہ فنکشن کو انٹیگرل کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے: اس صورت میں، تمام بے حسی کے منحنی خطوط متوازی ہیں-وہ ایک دوسرے کی افقی منتقلی ہیں۔ دو اشیا کے ساتھ اضافیت ایک زیادہ عام قسم کی یوٹیلیٹی فنکشن ایک اضافی فنکشن ہے: یہ جانچنے کے کئی طریقے ہیں کہ آیا دی گئی ترجیحات اضافی افادیت فنکشن کے ذریعے قابل نمائندگی ہیں یا نہیں۔ ڈبل منسوخی کی خاصیت اگر ترجیحات اضافی ہیں تو ایک سادہ ریاضی کا حساب اس سے ظاہر ہوتا ہے اور اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ "ڈبل منسوخی" کی خاصیت اضافی کے لیے ایک ضروری شرط ہے۔ ڈیبریو (1960) نے دکھایا کہ یہ خاصیت بھی کافی ہے: یعنی، اگر ترجیحی رشتہ ڈبل منسوخی کی خاصیت کو مطمئن کرتا ہے تو اس کی نمائندگی ایک اضافی افادیت فنکشن کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اگر ترجیحات کو ایک اضافی فنکشن کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، تو ایک سادہ ریاضی حساب سے پتہ چلتا ہے کہ اس طرح یہ "متعلقہ ٹریڈ آفس" خاصیت اضطراب کے لیے ایک ضروری شرط ہے۔ یہ شرط بھی کافی ہے۔ تین یا اس سے زیادہ اشیا کے ساتھ اضافہ جب تین یا اس سے زیادہ اشیا ہوتی ہیں، تو یوٹیلیٹی فنکشن کی اضافہ کی شرط دو اشیا کے مقابلے میں حیرت انگیز طور پر آسان ہوتی ہے۔ یہ ڈیبریو (1960) کے نظریہ 3 کا نتیجہ ہے۔ اضطراب کے لیے درکار شرط ترجیحی آزادی ہے۔ اجناس کے ذیلی سیٹ A کو اجناس کے ذیلی سیٹ B سے ترجیحی طور پر آزاد کہا جاتا ہے، اگر ذیلی سیٹ A میں ترجیحی تعلق، ذیلی سیٹ B کے لیے مستقل اقدار دی گئی ہیں، ان مستقل اقدار سے آزاد ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ تین اشیاء ہیں: x y اور z۔ ذیلی سیٹ {x, y} ترجیحی طور پر ذیلی سیٹ {z} سے آزاد ہے، اگر سب کے لیے:۔ اس صورت میں، ہم صرف یہ کہہ سکتے ہیں کہ: مستقل z کے لیے۔ ترجیحی آزادی آزاد اشیا کے معاملے میں معنی رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، سیب اور کیلوں کے بنڈلوں کے درمیان ترجیحات شاید کسی ایجنٹ کے جوتوں اور جرابوں کی تعداد سے آزاد ہیں، اور اس کے برعکس۔ ڈیبریو کے نظریہ کے مطابق، اگر اجناس کے تمام ذیلی مجموعے ترجیحی طور پر ان کی تکمیل سے آزاد ہیں، تو ترجیحی تعلق کو ایک اضافی قدر فنکشن کے ذریعے پیش کیا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم اس نتیجے کی ایک بدیہی وضاحت فراہم کرتے ہیں کہ اس طرح کے اضافی ویلیو فنکشن کی تعمیر کیسے کی جا سکتی ہے۔ ثبوت تین اشیاء کو فرض کرتا ہے: x، y، z۔ ہم دکھاتے ہیں کہ تین ویلیو فنکشنز میں سے ہر ایک کے لیے تین پوائنٹس کی وضاحت کیسے کی جائے: 0 پوائنٹ، 1 پوائنٹ اور 2 پوائنٹ۔ دیگر پوائنٹس کا حساب اسی طرح کیا جا سکتا ہے، اور پھر تسلسل کو یہ نتیجہ اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ افعال ان کی پوری رینج میں اچھی طرح سے متعین ہیں۔ 0 پوائنٹ: من مانی انتخاب کریں اور انہیں ویلیو فنکشن کے صفر کے طور پر تفویض کریں، یعنی۔ : 1 نقطہ: من مانی طور پر اس کا انتخاب کریں۔ اسے قدر کی اکائی کے طور پر سیٹ کریں، یعنی۔ : اس طرح کا انتخاب کریں کہ مندرجہ ذیل بے حسی کے تعلقات برقرار رہیں: یہ بے حسی y اور z کی اکائیوں کو x کی اکائیوں سے ملنے کے لیے پیمانے کا کام کرتی ہے۔ ان تین نکات کی قدر 1 ہونی چاہیے، اس لیے ہم 2 نکات تفویض کرتے ہیں: اب ہم ترجیحی-آزادی کا مفروضہ استعمال کرتے ہیں۔ اور کے درمیان تعلق z سے آزاد ہے، اور اسی طرح اور کے درمیان تعلق x سے آزاد ہے اور اور کے درمیان تعلق y سے آزاد ہے۔ لہذا یہ مفید ہے کیونکہ اس کا مطلب ہے کہ فنکشن v کی ان تین نکات میں ایک ہی قدر-2 ہو سکتی ہے۔ اس طرح کا انتخاب کریں اور 3 پوائنٹ تفویض کریں: یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ ہماری اب تک کی اسائنمنٹس مستقل ہیں، ہمیں یہ ظاہر کرنا ہوگا کہ 3 کی کل قیمت حاصل کرنے والے تمام پوائنٹس بے حسی پوائنٹس ہیں۔ یہاں، ایک بار پھر، ترجیحی آزادی کا مفروضہ استعمال کیا جاتا ہے، کیونکہ اور کے درمیان تعلق z سے آزاد ہے (اور اسی طرح دوسرے جوڑوں کے لیے) ؛ لہذا اور اسی طرح دوسرے جوڑوں کے لیے۔ لہذا، 3 پوائنٹ کی وضاحت مستقل طور پر کی جاتی ہے۔ ہم انڈکشن کے ذریعے اس طرح جاری رکھ سکتے ہیں اور تمام انٹیجر پوائنٹس میں فی کموڈٹی فنکشنز کی وضاحت کر سکتے ہیں، پھر تمام حقیقی پوائنٹس میں اس کی وضاحت کے لیے تسلسل کا استعمال کر سکتے ہیں۔ مندرجہ بالا ثبوت کے پوائنٹ 1 میں ایک مضمر مفروضہ یہ ہے کہ تینوں اشیاء ضروری یا ترجیحی طور پر متعلقہ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک بنڈل اس طرح موجود ہے کہ اگر کسی خاص شے کی مقدار میں اضافہ کیا جائے تو نیا بنڈل سختی سے بہتر ہے۔ 3 سے زیادہ اشیا کا ثبوت ایک جیسا ہے۔ درحقیقت، ہمیں یہ چیک کرنے کی ضرورت نہیں ہے کہ پوائنٹس کے تمام ذیلی سیٹ ترجیحی طور پر آزاد ہیں ؛ یہ اشیاء کے جوڑوں کی لکیری تعداد کو چیک کرنے کے لیے کافی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مختلف اشیا ہیں، تو یہ چیک کرنا کافی ہے کہ سب کے لیے، دونوں اشیا ترجیحی طور پر دوسری اشیا سے آزاد ہیں۔ اضافی نمائندگی کی انفرادیت ایک اضافی ترجیحی تعلق کی نمائندگی بہت سے مختلف اضافی افادیت کے افعال کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ تاہم، یہ تمام افعال ایک جیسے ہیں: وہ نہ صرف ایک دوسرے کی مونوٹون تبدیلیوں میں اضافہ کر رہے ہیں (جیسا کہ تمام یوٹیلیٹی افعال ایک ہی تعلق کی نمائندگی کر رہے ہیں) ؛ وہ ایک دوسرے کی لکیری تبدیلیوں میں اضافہ کر رہے ہیں۔ مختصرا، ایک اضافی آرڈینل یوٹیلیٹی فنکشن لکیری تبدیلی کو بڑھانے تک منفرد ہے۔ آرڈینل ڈیٹا سے ایڈیٹیو اور کواڈریٹک یوٹیلیٹی فنکشنز کی تعمیر زیادہ تر عام قسم کے یوٹیلیٹی فنکشنز کی ریاضیاتی بنیادیں-کواڈریٹک اور ایڈیٹیو-جو جیرارڈ ڈیبریو نے رکھی ہیں، نے آندرانک ٹینگیان کو خالص طور پر آرڈینل ڈیٹا سے ان کی تعمیر کے طریقے تیار کرنے کے قابل بنایا۔ خاص طور پر، متغیرات میں اضافی اور کواڈریٹک یوٹیلیٹی افعال فیصلہ سازوں کے انٹرویوز سے بنائے جا سکتے ہیں، جہاں سوالات کا مقصد بنیادی افادیت کے تخمینوں کا حوالہ دیے بغیر مربوط طیاروں میں مکمل طور پر 2D-فرق منحنی خطوط کا سراغ لگانا ہے۔ آرڈینل اور کارڈینل یوٹیلیٹی فنکشنز کے درمیان موازنہ درج ذیل ٹیبل معاشیات میں عام دو قسم کے یوٹیلیٹی فنکشنز کا موازنہ کرتا ہے: یہ بھی دیکھیں ترجیح (معاشیات) ملٹی ایٹریبیوٹ یوٹیلیٹی کنزیومر تھیوری مارجنل یوٹیلیٹی لیٹیس تھیوری کنویکس ترجیحات حوالہ جات بیرونی روابط لیکسیکگرافک ترجیحی تعلق کو یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے پیش نہیں کیا جا سکتا۔ Economics.SE میں R2 میں سرایت شدہ لکیری آرڈرز کو لغت کے لحاظ سے تسلیم کرنا۔ Math.SE میں۔ مرے این روتھبارڈ، "یوٹیلیٹی اینڈ ویلفیئر اکنامکس کی تعمیر نو کی طرف" یوٹیلیٹی