Tutte–Coxeter graph
گراف تھیوری کے ریاضیاتی میدان میں، ٹوٹے-کوکسٹر گراف یا ٹوٹے ایٹ-کیج یا کریمونا-رچمنڈ گراف 30 عمودی اور 45 کناروں کے ساتھ ایک 3-باقاعدہ گراف ہے۔ گرتھ 8 کے منفرد سب سے چھوٹے کیوبک گراف کے طور پر، یہ ایک پنجرا اور مور گراف ہے۔ یہ دو طرفہ ہے، اور اسے عمومی کواڈرینگل ڈبلیو 2 (جسے کریمونا-رچمنڈ ترتیب کے نام سے جانا جاتا ہے) کے لیوی گراف کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ گراف کا نام ولیم تھامس ٹوٹے اور ایچ ایس ایم کاکسٹر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اسے ٹوٹے (1947) نے دریافت کیا تھا لیکن ہندسی ترتیبات سے اس کے تعلق کی تحقیقات دونوں مصنفین نے مشترکہ طور پر شائع شدہ کاغذات کی ایک جوڑی میں کی تھی (ٹوٹے 1958 ؛ کاکسٹر 1958 اے)۔ تمام کیوبک فاصلہ-باقاعدہ گراف معلوم ہیں۔ ٹوٹے کوکسیٹر ایسے 13 گرافوں میں سے ایک ہے۔ اس میں کراسنگ نمبر 13، بک موٹائی 3 اور قطار نمبر 2 ہے۔ تعمیرات اور آٹومورفزم ٹوٹے-کوکسٹر گراف دو طرفہ لیوی گراف ہے جو 6-ورٹیکس مکمل گراف K6 کے 15 کامل ملاپ کو اس کے 15 کناروں سے جوڑتا ہے، جیسا کہ کاکسٹر (1958b) نے بیان کیا ہے، جو سلویسٹر (1844) کے کام پر مبنی ہے۔ ہر ورٹیکس ایک کنارے یا کامل مماثلت سے مطابقت رکھتا ہے، اور منسلک عمودی کناروں اور ملاپ کے درمیان واقع ڈھانچے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس تعمیر کی بنیاد پر، کاکسٹر نے دکھایا کہ ٹوٹے-کوکسٹر گراف ایک سمیٹرک گراف ہے۔ اس میں 1440 آٹومورفزمز کا ایک گروپ ہے، جس کی شناخت چھ عناصر (کاکسٹر 1958b) پر تعدد کے گروپ کے آٹومورفزمز سے کی جا سکتی ہے۔ اس گروپ کے اندرونی آٹومورفزم K6 گراف کے چھ عمودی حصوں کو ترتیب دینے سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ ترتیبات ٹوٹے-کوکسٹر گراف پر اس کے دو طرفہ حصوں کے ہر طرف عمودی حصوں کو ترتیب دے کر کام کرتی ہیں جبکہ دونوں اطراف میں سے ہر ایک کو ایک سیٹ کے طور پر مستحکم رکھتی ہیں۔ اس کے علاوہ، تغیرات کے گروپ کے بیرونی آٹومورفزم دو طرفہ کے ایک رخ کو دوسرے کے لیے تبدیل کر دیتے ہیں۔ جیسا کہ کاکسٹر نے دکھایا، ٹوٹے-کاکسٹر گراف میں پانچ کناروں تک کا کوئی بھی راستہ اس طرح کے آٹومورفزم کے ذریعہ اس طرح کے کسی دوسرے راستے کے برابر ہے۔ ٹوٹے-کوکسٹر گراف بطور عمارت یہ گراف سمپلیکٹک گروپ سے وابستہ کروی عمارت ہے (اس گروپ اور سمیٹرک گروپ کے درمیان ایک غیر معمولی آئسومورفزم ہے)۔ مزید خاص طور پر، یہ ایک عمومی کواڈرینگل کا انسیڈنس گراف ہے۔ خاص طور پر، ٹوٹے-کوکسٹر گراف کو 4 جہتی سمپلیکٹک ویکٹر کی جگہ سے مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: عمودی یا تو غیر صفر ویکٹر ہوتے ہیں، یا آئسوٹروپک 2 جہتی ذیلی جگہیں، غیر صفر ویکٹر v اور ایک آئسوٹروپک 2 جہتی ذیلی جگہ کے درمیان ایک کنارے ہوتا ہے اگر اور صرف اگر۔ گیلری حوالہ جات بیرونی روابط Exoo، G. "مشہور گرافوں کی مستطیل ڈرائنگ"۔ 1958 تعارف انفرادی گراف کی تشکیل (جیومیٹری) باقاعدہ گراف