Orthogonal trajectory
ریاضی میں، آرتھوگنل ٹریجیکٹوری ایک ایسا وکر ہے جو (پلینر) منحنی خطوط کی دی گئی پنسل کے کسی بھی منحنی خطوط کو آرتھوگنلی طور پر کاٹتا ہے۔ مثال کے طور پر، متمرکز حلقوں کی پنسل کے آرتھوگنل راستے ان کے مشترکہ مرکز سے گزرنے والی لکیریں ہیں (خاکہ دیکھیں)۔ آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کے تعین کے لیے مناسب طریقے تفریقی مساوات کو حل کرکے فراہم کیے جاتے ہیں۔ معیاری طریقہ ایک فرسٹ آرڈر عام تفریق مساوات قائم کرتا ہے اور اسے متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے حل کرتا ہے۔ دونوں اقدامات مشکل یا ناممکن بھی ہو سکتے ہیں۔ ایسے معاملات میں عددی طریقوں کا اطلاق کرنا پڑتا ہے۔ آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کو ریاضی میں استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر مڑے ہوئے کوآرڈینیٹ سسٹم (یعنی۔ الپٹک نقاط) اور طبیعیات میں برقی میدانوں اور ان کے مساوی منحنی خطوط کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ اگر ٹریجیکٹوری دیئے گئے منحنی خطوط کو من مانی (لیکن فکسڈ) زاویے سے کاٹتی ہے، تو ایک آئسوگنل ٹریجیکٹوری مل جاتی ہے۔ آرتھوگنل ٹریجیکٹوری کا تعین کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں عام طور پر، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ منحنی خطوط کی پنسل ایک مساوات (0) 1 کے ذریعہ مضمر طور پر دی گئی ہے۔ مثال 2۔ پنسل کا پیرامیٹر کہاں ہے۔ اگر پنسل کو ایک مساوات کے ذریعے واضح طور پر دیا جاتا ہے، تو کوئی نمائندگی کو ایک مضمر میں تبدیل کر سکتا ہے: مندرجہ ذیل غور و فکر کے لیے، یہ سمجھا جاتا ہے کہ تمام ضروری مشتقات موجود ہیں۔ مرحلہ 1۔ پیداوار کے لیے مضمر طور پر تفریق کرنا (1) 1 میں۔ مثال 2۔ مثال مرحلہ 2۔ اب یہ فرض کیا جاتا ہے کہ مساوات (0) کو پیرامیٹر کے لیے حل کیا جا سکتا ہے، جسے اس طرح مساوات (1) سے ختم کیا جا سکتا ہے۔ 1 میں پہلی ترتیب (2) کی تفریقی مساوات ملتی ہے۔ مثال 2۔ جو منحنی خطوط کی دی گئی پنسل سے پوری ہوتی ہے۔ مرحلہ 3. چونکہ کسی نقطہ پر آرتھوگنل ٹریجیکٹوری کی ڈھلوان اس نقطہ پر دی گئی منحنی خطوط کی ڈھلوان کا منفی ضرب الٹا ہوتا ہے، اس لیے آرتھوگنل ٹریجیکٹوری 1 میں پہلی ترتیب (3) کی تفریقی مساوات کو مطمئن کرتی ہے۔ مثال 2. مثال مرحلہ 4۔ اس تفریقی مساوات کو (امید ہے کہ) ایک مناسب طریقہ سے حل کیا جا سکتا ہے۔ دونوں مثالوں کے لیے متغیرات کی علیحدگی مناسب ہے۔ حل یہ ہیں: مثال کے طور پر 1، لکیریں اور مثال کے طور پر 2، ایلیپس قطبی نقاط میں اگر منحنی خطوط کی پنسل کو قطبی نقاط میں (0p) کے ذریعے مضمر طور پر پیش کیا جاتا ہے، تو کارٹیشین کیس کی طرح، پنسل کی پیرامیٹر فری تفریق مساوات (1p) (2p) کا تعین ہوتا ہے۔ آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کی تفریق مساوات تب ہوتی ہے (دیکھیں ریڈ ہیفر اور پورٹ پی۔ 65، ہیوسر، پی۔ 120) (3 پی) مثال: کارڈیوئڈز: (0 پی) (خاکہ: نیلے میں) (1 پی) دی گئی پنسل کی تفریق مساوات کو ختم کرنا: (2 پی) اس لیے آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کی تفریق مساوات یہ ہے: (3 پی) متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے اس تفریق مساوات کو حل کرنے کے بعد ایک حاصل ہوتا ہے جو کارڈیوئڈز کی پنسل (خاکہ میں سرخ) کو بیان کرتا ہے، جو دی گئی پنسل کے متوازی ہوتا ہے۔ آئسوگنل ٹریجیکٹوری ایک وکر، جو (پلینر) منحنی خطوط کی دی گئی پنسل کے کسی بھی منحنی خطوط کو ایک مقررہ زاویے سے کاٹتا ہے، آئسوگنل ٹریجیکٹوری کہلاتا ہے۔ ایک آئسوگنل ٹریجیکٹوری کی ڈھلوان اور ایک نقطہ پر پنسل کے منحنی خطوط کی ڈھلوان کے درمیان درج ذیل تعلق برقرار رہتا ہے: یہ تعلق فارمولے فار کی وجہ سے ہے۔ کسی کے لیے آرتھوگنل ٹریجیکٹوری کی شرط ملتی ہے۔ آئسوگنل ٹریجیکٹوری کے تعین کے لیے اوپر دی گئی ہدایت کے 3. مرحلے کو ایڈجسٹ کرنا پڑتا ہے: 3. مرحلہ (آئسوگ۔ ٹریج۔) آئسوگنل ٹریجیکٹوری کی تفریق مساوات یہ ہے: (3i) 1. مثال کے لیے (متمرکز حلقے) اور جو زاویہ ایک کو ملتا ہے (3i) یہ ایک خاص قسم کی تفریق مساوات ہے، جسے متبادل کے ذریعے تفریق مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، جسے متغیرات کی علیحدگی سے حل کیا جا سکتا ہے۔ متبادل کو الٹ دینے کے بعد حل کی مساوات حاصل ہوتی ہے: قطبی نقاط کا تعارف سادہ مساوات کی طرف لے جاتا ہے جو لوگرتھمک سرپل کو بیان کرتا ہے (خاکہ دیکھیں)۔ عددی طریقے اگر راستوں کی تفریقی مساوات کو نظریاتی طریقوں سے حل نہیں کیا جا سکتا ہے، تو اسے عددی طور پر حل کرنا ہوگا، مثال کے طور پر رنگے-کٹہ طریقوں سے۔ کیسینی اوول کنفوکل کونک سیکشنز ٹریجیکٹری اپولونین حلقے، حلقوں کے خاندانوں کے جوڑے جو ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل ہیں بھی دیکھیں۔ حوالہ جات اے۔ جیفری: ایڈوانسڈ انجینئرنگ میتھمیٹکس، ہارٹ کورٹ/اکیڈمک پریس، 2002، صفحہ 233۔ ایس بی راؤ: تفریقی مساوات، یونیورسٹی پریس، 1996، صفحہ 95۔ آر ایم ریڈ ہیفر، ڈی۔ پورٹ: تفریقی مساوات: نظریہ اور اطلاق، جونز اینڈ بارٹلیٹ، 1991، صفحہ 63۔ H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen، Vieweg + Teubner، 2009، صفحہ 120. بیرونی لنکس آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کی تلاش-ایپلیٹ جو صارف کو منحنی خطوط کے خاندانوں اور ان کے آرتھوگنل ٹریجیکٹوریز کو کھینچنے کی اجازت دیتا ہے۔ ریاضی کے منحنی خطوط: فیلڈ لائنز، آرتھوگنل لائنز، ڈبل آرتھوگنل سسٹم منحنی خطوط