Curve fitting
وکر فٹنگ ایک وکر، یا ریاضیاتی فنکشن کی تعمیر کا عمل ہے، جو ڈیٹا پوائنٹس کی ایک سیریز کے لیے بہترین فٹ ہے، ممکنہ طور پر رکاوٹوں کے تابع ہے۔ منحنی فٹنگ میں یا تو انٹرپولیشن شامل ہو سکتا ہے، جہاں ڈیٹا کے عین مطابق فٹ کی ضرورت ہوتی ہے، یا ہموار کرنا، جس میں ایک "ہموار" فنکشن بنایا جاتا ہے جو تقریبا ڈیٹا کے مطابق ہوتا ہے۔ ایک متعلقہ موضوع رجعت تجزیہ ہے، جو شماریاتی تخمینے کے سوالات پر زیادہ توجہ مرکوز کرتا ہے جیسے کہ بے ترتیب غلطیوں کے ساتھ مشاہدہ کردہ ڈیٹا کے مطابق منحنی خطوط میں کتنی غیر یقینی صورتحال موجود ہے۔ فٹ شدہ منحنی خطوط کو ڈیٹا ویژوئلائزیشن کے لیے، کسی فنکشن کی اقدار کا اندازہ لگانے کے لیے جہاں کوئی ڈیٹا دستیاب نہیں ہے، اور دو یا دو سے زیادہ متغیرات کے درمیان تعلقات کا خلاصہ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایکسٹریپولیشن سے مراد مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی حد سے باہر فٹ شدہ وکر کا استعمال ہے، اور یہ ایک حد تک غیر یقینی صورتحال سے مشروط ہے کیونکہ یہ وکر کی تعمیر کے لیے استعمال ہونے والے طریقہ کار کی عکاسی کر سکتا ہے جتنا کہ مشاہدہ شدہ ڈیٹا کی عکاسی کرتا ہے۔ اعداد و شمار کے لکیری-الجبرائی تجزیے کے لیے، "فٹنگ" کا مطلب عام طور پر اس منحنی خطوط کو تلاش کرنے کی کوشش کرنا ہے جو منحنی خطوط سے کسی نقطہ کی عمودی (y-محور) نقل مکانی کو کم سے کم کرے (مثال کے طور پر، عام کم سے کم مربع)۔ تاہم، گرافیکل اور امیج ایپلی کیشنز کے لیے، جیومیٹرک فٹنگ بہترین بصری فٹ فراہم کرنے کی کوشش کرتی ہے۔ جس کا عام طور پر مطلب ہے کہ منحنی خطوط سے آرتھوگنل فاصلے کو کم کرنے کی کوشش کرنا (مثال کے طور پر، کل کم سے کم مربع)، یا بصورت دیگر منحنی خطوط سے کسی نقطہ کی نقل مکانی کے دونوں محوروں کو شامل کرنا۔ ہندسی فٹس مقبول نہیں ہیں کیونکہ انہیں عام طور پر غیر لکیری اور/یا تکراری حسابات کی ضرورت ہوتی ہے، حالانکہ ان میں زیادہ جمالیاتی اور ہندسی طور پر درست نتیجہ کا فائدہ ہوتا ہے۔ ڈیٹا پوائنٹس پر افعال کی الجبرائی فٹنگ زیادہ تر عام طور پر، ایک فارم کے فنکشن میں فٹ بیٹھتا ہے۔ ڈیٹا پوائنٹس کے لیے فٹنگ لائنیں اور کثیر الجہتی افعال پہلی ڈگری کثیر الجہتی مساوات ایک لکیر ہے جس کی ڈھلوان a ہے۔ ایک لکیر کسی بھی دو نکات کو جوڑے گی، اس لیے فرسٹ ڈگری کثیر الجہتی مساوات مختلف x نقاط والے کسی بھی دو نکات کے ذریعے ایک عین مطابق فٹ ہے۔ اگر مساوات کی ترتیب کو سیکنڈ ڈگری کثیر الجہتی تک بڑھایا جائے تو درج ذیل نتائج سامنے آتے ہیں: یہ ایک سادہ منحنی خطوط کو تین نکات پر بالکل فٹ کرے گا۔ اگر مساوات کی ترتیب کو تیسرے درجے کے کثیر الجہتی تک بڑھایا جائے تو درج ذیل حاصل ہوتا ہے: یہ بالکل چار پوائنٹس پر فٹ ہوگا۔ ایک زیادہ عام بیان یہ کہنا ہوگا کہ یہ بالکل چار رکاوٹوں پر فٹ ہوگا۔ ہر رکاوٹ ایک نقطہ، زاویہ، یا منحنی ہو سکتی ہے (جو کہ ارتعاشی دائرے کے رداس کا باہمی ہے)۔ زاویہ اور منحنی حدوں کو اکثر منحنی خطوط کے سروں میں شامل کیا جاتا ہے، اور ایسی صورتوں میں انہیں اختتامی حالات کہا جاتا ہے۔ یکساں اختتامی حالات اکثر ایک واحد اسپلائن کے اندر موجود کثیر الجہتی منحنی خطوط کے درمیان ہموار منتقلی کو یقینی بنانے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں۔ اعلی درجے کی رکاوٹیں، جیسے کہ "منحنی پن کی شرح میں تبدیلی" بھی شامل کی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ ہائی وے کلوورلیف ڈیزائن میں کار پر لاگو ہونے والی قوتوں کی تبدیلی کی شرح کو سمجھنے کے لیے مفید ثابت ہوگا (دیکھیں جرک)، کیونکہ یہ کلوورلیف کی پیروی کرتا ہے، اور اسی کے مطابق رفتار کی معقول حدود طے کرنے کے لیے۔ پہلی ڈگری کی کثیر الجہتی مساوات بھی ایک نقطہ اور ایک زاویے کے لیے بالکل موزوں ہو سکتی ہے جبکہ تیسری ڈگری کی کثیر الجہتی مساوات بھی دو نکات، ایک زاویے کی رکاوٹ، اور ایک منحنی رکاوٹ کے لیے بالکل موزوں ہو سکتی ہے۔ ان کے لیے اور اعلی ترتیب کی کثیر الجہتی مساوات کے لیے رکاوٹوں کے بہت سے دوسرے امتزاج ممکن ہیں۔ اگر n + 1 سے زیادہ رکاوٹیں ہیں (n کثیر الجہتی کی ڈگری ہے)، تو کثیر الجہتی منحنی خطوط کو اب بھی ان رکاوٹوں سے گزارا جا سکتا ہے۔ تمام رکاوٹوں کے لیے ایک قطعی فٹ یقینی نہیں ہے (لیکن ایسا ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، فرسٹ ڈگری کثیر الجہتی کے معاملے میں جو بالکل تین کالینیئر پوائنٹس کو فٹ کرتا ہے)۔ تاہم، عام طور پر، پھر ہر تخمینہ کا اندازہ کرنے کے لیے کچھ طریقہ کار کی ضرورت ہوتی ہے۔ سب سے کم مربع کا طریقہ انحراف کا موازنہ کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ ایک لگ بھگ فٹ حاصل کرنے کے لیے کئی وجوہات دی گئی ہیں جب کہ کثیر الجہتی مساوات کی ڈگری کو بڑھانا اور ایک عین مطابق میچ حاصل کرنا ممکن ہے۔ : یہاں تک کہ اگر کوئی عین مطابق مماثلت موجود ہے، تو یہ ضروری نہیں ہے کہ اسے آسانی سے دریافت کیا جا سکے۔ استعمال شدہ الگورتھم پر منحصر ہے کہ ایک مختلف کیس ہو سکتا ہے، جہاں عین مطابق فٹ کا حساب نہیں لگایا جا سکتا، یا حل تلاش کرنے میں کمپیوٹر کا بہت زیادہ وقت لگ سکتا ہے۔ اس صورت حال کے لیے ایک اندازا حل درکار ہو سکتا ہے۔ کسی نمونے میں قابل اعتراض ڈیٹا پوائنٹس کی اوسط کا اثر، منحنی خطوط کو بالکل فٹ ہونے کے لیے مسخ کرنے کے بجائے، مطلوب ہو سکتا ہے۔ رانج کا رجحان: ہائی آرڈر کثیر الجہتی انتہائی ارتعاش پذیر ہو سکتے ہیں۔ اگر کوئی منحنی خطوط دو نکات A اور B سے گزرتے ہیں، تو یہ توقع کی جائے گی کہ منحنی خطوط A اور B کے وسط نقطہ کے قریب بھی ہوں گے۔ یہ ہائی آرڈر کثیر الجہتی منحنی خطوط کے ساتھ نہیں ہو سکتا ہے۔ ان میں ایسی اقدار بھی ہو سکتی ہیں جو مثبت یا منفی شدت میں بہت بڑی ہوں۔ کم درجے کے کثیر الجہتی کے ساتھ، منحنی خطوط کے وسط نقطہ کے قریب گرنے کا امکان زیادہ ہوتا ہے (یہاں تک کہ اس بات کی ضمانت بھی دی جاتی ہے کہ وہ پہلی ڈگری کے کثیر الجہتی پر بالکل وسط نقطہ سے گزرے گا)۔ کم ترتیب والے کثیر الجہتی ہموار ہوتے ہیں اور اعلی ترتیب والے کثیر الجہتی منحنی خطوط "لمپی" ہوتے ہیں۔ اس کی مزید واضح طور پر وضاحت کرنے کے لیے، کثیر الجہتی منحنی خطوط میں ممکنہ انحراف پوائنٹس کی زیادہ سے زیادہ تعداد n-2 ہے، جہاں n کثیر الجہتی مساوات کی ترتیب ہے۔ انفلیکشن پوائنٹ منحنی خطوط پر وہ مقام ہے جہاں یہ مثبت رداس سے منفی کی طرف جاتا ہے۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ یہ "ہولڈنگ واٹر" سے "شیڈنگ واٹر" میں تبدیل ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ صرف "ممکن" ہے کہ ہائی آرڈر کے کثیر الجہتی گٹھری دار ہوں ؛ وہ ہموار بھی ہو سکتے ہیں، لیکن اس کی کوئی ضمانت نہیں ہے، جیسا کہ کم آرڈر کے کثیر الجہتی منحنی خطوط کے ساتھ ہوتا ہے۔ پندرہویں ڈگری کے کثیر الجہتی میں زیادہ سے زیادہ تیرہ انفلیکشن پوائنٹس ہو سکتے ہیں، لیکن اس میں گیارہ، یا نو یا کوئی عجیب نمبر بھی ہو سکتا ہے۔ (یکساں نمبر والی ڈگری والے کثیر الجہتی میں n-2 سے نیچے صفر تک کسی بھی یکساں تعداد میں انفلیکشن پوائنٹس ہو سکتے ہیں۔) کثیر الجہتی وکر کی ڈگری ایک عین مطابق فٹ کے لیے ضرورت سے زیادہ ہونا ہائی آرڈر کثیر الجہتی کے لیے پہلے درج کردہ تمام وجوہات کی وجہ سے ناپسندیدہ ہے، لیکن یہ ایسے معاملے کی طرف بھی لے جاتا ہے جہاں حل کی لامحدود تعداد موجود ہو۔ مثال کے طور پر، ایک فرسٹ ڈگری کثیر الجہتی (ایک لکیر) جو معمول کے دو کے بجائے صرف ایک نقطہ سے محدود ہو، لامحدود تعداد میں حل دے گی۔ اس سے یہ مسئلہ سامنے آتا ہے کہ کس طرح موازنہ کیا جائے اور صرف ایک حل کا انتخاب کیا جائے، جو سافٹ ویئر اور انسانوں کے لیے بھی مسئلہ بن سکتا ہے۔ اس وجہ سے، عام طور پر یہ بہتر ہوتا ہے کہ تمام رکاوٹوں پر عین مطابق مماثلت کے لیے کم سے کم ڈگری کا انتخاب کیا جائے، اور شاید اس سے بھی کم ڈگری، اگر کوئی لگ بھگ فٹ قابل قبول ہو۔ ڈیٹا پوائنٹس پر دیگر افعال کو فٹ کرنا بعض صورتوں میں دیگر قسم کے منحنی خطوط، جیسے مثلثی افعال (جیسے سائن اور کوسین) بھی استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ سپیکٹروسکوپی میں، ڈیٹا کو گوسیئن، لورینٹزیئن، وائگٹ اور متعلقہ افعال کے ساتھ نصب کیا جا سکتا ہے۔ حیاتیات، ماحولیات، آبادی، وبائی امراض، اور بہت سے دوسرے شعبوں میں، آبادی میں اضافہ، متعدی بیماری کا پھیلاؤ وغیرہ۔ لاجسٹک فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے فٹ کیا جا سکتا ہے۔ زراعت میں الٹا لاجسٹک سگمائڈ فنکشن (ایس-وکر) فصل کی پیداوار اور نمو کے عوامل کے درمیان تعلق کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ نیلی شکل کھیتی کی زمینوں میں ماپا گیا ڈیٹا کے سگمائڈ ریگریشن کے ذریعے بنائی گئی تھی۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ ابتدائی طور پر، یعنی کم مٹی کے نمکیات پر، فصل کی پیداوار مٹی کے نمکیات میں اضافے پر آہستہ آہستہ کم ہوتی ہے، جبکہ اس کے بعد کمی تیزی سے بڑھتی ہے۔ ڈیٹا پوائنٹس پر طیارہ منحنی خطوط کی ہندسی فٹنگ اگر فارم کے کسی فنکشن کو پیش نہیں کیا جا سکتا ہے، تب بھی کوئی طیارہ منحنی خطوط کو فٹ کرنے کی کوشش کر سکتا ہے۔ منحنی خطوط کی دیگر اقسام، جیسے مخروطی حصے (سرکلر، ایلیپٹیکل، پیرابولک، اور ہائپربولک آرکس) یا ٹرگونومیٹرک افعال (جیسے سائن اور کوسین) بھی بعض صورتوں میں استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کشش ثقل کے زیر اثر اشیاء کے راستے پیرابولک راستے پر چلتے ہیں، جب ہوا کی مزاحمت کو نظر انداز کیا جاتا ہے۔ لہذا، ٹریجیکٹوری ڈیٹا پوائنٹس کو پیرابولک وکر سے ملانا سمجھ میں آئے گا۔ لہریں سینوسائڈل نمونوں کی پیروی کرتی ہیں، لہذا سمندری ڈیٹا پوائنٹس کو سائن لہر، یا مختلف ادوار کی دو سائن لہروں کے مجموعے سے ملایا جانا چاہیے، اگر چاند اور سورج دونوں کے اثرات پر غور کیا جائے۔ پیرامیٹرک وکر کے لیے، اس کے ہر ایک نقاط کو آرک لمبائی کے علیحدہ فنکشن کے طور پر فٹ کرنا مؤثر ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ ڈیٹا پوائنٹس کو آرڈر کیا جا سکتا ہے، کورڈ کا فاصلہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ہندسی فٹ کے ذریعہ دائرے کو فٹ کرنا کوپ 2 ڈی ڈیٹا پوائنٹس کے سیٹ پر دائرے کے بہترین بصری فٹ کو تلاش کرنے کی کوشش کرنے کے مسئلے تک پہنچتا ہے۔ یہ طریقہ عام طور پر غیر لکیری مسئلے کو خوبصورت طریقے سے ایک لکیری مسئلے میں تبدیل کرتا ہے جسے تکراری عددی طریقوں کا استعمال کیے بغیر حل کیا جا سکتا ہے، اور اس لیے یہ پچھلی تکنیکوں کے مقابلے میں بہت تیز ہے۔ جیومیٹرک فٹ کے ذریعے ایک ایلیپس کو فٹ کرنا مندرجہ بالا تکنیک کو ایک غیر لکیری مرحلہ شامل کرکے عام ایلیپس تک بڑھایا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک ایسا طریقہ ہوتا ہے جو تیز ہوتا ہے، پھر بھی صوابدیدی واقفیت اور نقل مکانی کے بصری طور پر خوشگوار ایلیپس کو تلاش کرتا ہے۔ مناسب سطحیں نوٹ کریں کہ اگرچہ یہ بحث 2 ڈی منحنی خطوط کے لحاظ سے تھی، لیکن اس منطق کا زیادہ تر حصہ 3 ڈی سطحوں تک بھی پھیلا ہوا ہے، جن میں سے ہر پیچ کی وضاحت دو پیرامیٹرک سمتوں میں منحنی خطوط کے جال سے کی جاتی ہے، جسے عام طور پر یو اور وی کہا جاتا ہے۔ ایک سطح ہر سمت میں ایک یا زیادہ سطح کے پیچوں پر مشتمل ہو سکتی ہے۔ سافٹ ویئر بہت سے شماریاتی پیکجز جیسے R اور عددی سافٹ ویئر جیسے گنوپلوٹ، گنو سائنٹیفک لائبریری، ایم ایل اے بی، میپل، میٹ لیب، ٹی کے سولور 6، اسکیلاب، میتھمیٹکا، گنو آکٹیو، اور اسکائی پائی میں مختلف منظرناموں میں وکر فٹنگ کرنے کے لیے کمانڈز شامل ہیں۔ خاص طور پر وکر فٹنگ کرنے کے لیے لکھے گئے پروگرام بھی ہیں۔ وہ شماریاتی اور عددی تجزیہ کے پروگراموں کی فہرستوں کے ساتھ ساتھ زمرہ: رجعت اور وکر فٹنگ سافٹ ویئر میں بھی پائے جا سکتے ہیں۔ مزید دیکھیں کیلیبریشن وکر فٹنگ کمپکشن تخمینہ تھیوری فنکشن تخمینہ فٹ جینیاتی پروگرامنگ کی اچھائی کم سے کم مربع ایڈجسٹمنٹ لیونبرگ-مارکوارڈ الگورتھم لائن فٹنگ لکیری انٹرپولیشن ریاضیاتی ماڈل ملٹی ایکسپریشن پروگرامنگ غیر لکیری رجعت اوورفٹنگ طیارہ منحنی خطوط کی تقسیم امکان فٹنگ سینوسائڈل ماڈل اسموتنگ اسپلائنز (انٹرپولیٹنگ، اسموتنگ) ٹائم سیریز کل کم سے کم مربع لکیری رجحان کا تخمینہ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے این چرنوف (2010)، سرکلر اور لکیری رجعت: کم سے کم مربعوں کے لحاظ سے دائرے اور لائنیں، چیپمین اور ہال/سی آر سی، اعداد و شمار پر مونوگراف اور قابل اطلاق امکان، حجم 117 (256 پی پی)۔ )۔