Affine Lie algebra
ریاضی میں، ایک افائن لائ الجبرا ایک لامحدود جہتی لائ الجبرا ہے جو ایک محدود جہتی سادہ لائ الجبرا سے کینونکل انداز میں بنایا گیا ہے۔ ایک افائن لائ الجبرا کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی متعلقہ افائن کاک-موڈی الجبرا بھی تشکیل دے سکتا ہے، جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ خالصتا ریاضیاتی نقطہ نظر سے، افائن لائ الجبرا دلچسپ ہیں کیونکہ ان کی نمائندگی کا نظریہ، محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا کی نمائندگی کے نظریہ کی طرح، عام کاک-موڈی الجبرا کے مقابلے میں بہت بہتر سمجھا جاتا ہے۔ جیسا کہ وکٹر کاک نے مشاہدہ کیا ہے، افائن لائ الجبرا کی نمائندگی کے لیے کردار کا فارمولا بعض مشترکہ شناختوں، میکڈونلڈ شناختوں کو ظاہر کرتا ہے۔ افائن لائ الجبرا سٹرنگ تھیوری اور دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری میں ان کی تعمیر کے طریقے کی وجہ سے اہم کردار ادا کرتے ہیں: ایک سادہ لائ الجبرا سے شروع کرتے ہوئے، کوئی لوپ الجبرا پر غور کرتا ہے، جو ایک دائرے پر-ویلیوڈ فنکشنز کے ذریعہ تشکیل پاتا ہے (بند سٹرنگ کے طور پر تشریح کی جاتی ہے) پوائنٹ وائز کمیونیٹر کے ساتھ۔ افائن لائ الجبرا لوپ الجبرا میں ایک اضافی جہت شامل کرکے اور غیر معمولی انداز میں کمیونیٹر میں ترمیم کرکے حاصل کیا جاتا ہے، جسے طبیعیات دان کوانٹم بے ضابطگی (اس معاملے میں، ڈبلیو زیڈ ڈبلیو ماڈل کی بے ضابطگی) اور ریاضی دان مرکزی توسیع کہتے ہیں۔ مزید عام طور پر، اگر σ اس کے ڈائنکن خاکہ کی آٹومورفزم سے وابستہ سادہ لائ الجبرا کی آٹومورفزم ہے، تو مڑے ہوئے لوپ الجبرا حقیقی لائن پر-ویلیوڈ فنکشن f پر مشتمل ہوتا ہے جو مڑے ہوئے دورانیے کی حالت کو پورا کرتا ہے۔ ان کی مرکزی توسیعات بالکل مڑے ہوئے افائن لائ الجیبرا ہیں۔ سٹرنگ تھیوری کا نقطہ نظر افائن لائ الجبرا کی بہت سی گہری خصوصیات کو سمجھنے میں مدد کرتا ہے، جیسے کہ یہ حقیقت کہ ان کی نمائندگی کے کردار ماڈیولر گروپ کے تحت آپس میں بدل جاتے ہیں۔ اگر ایک محدود جہتی سادہ جھوٹ الجبرا ہے، تو متعلقہ افائن جھوٹ الجبرا کو لوپ الجبرا کی مرکزی توسیع کے طور پر بنایا گیا ہے، جس میں ایک جہتی مرکز ایک ویکٹر اسپیس کے طور پر ہے، جہاں غیر متعین t میں لورنٹ کثیر الجہتی کی پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہے۔ جھوٹ بریکٹ کی تعریف سب کے فارمولے سے کی جاتی ہے اور، جہاں جھوٹ الجبرا میں جھوٹ بریکٹ ہے اور کارٹن کو مارنے والی شکل ہے۔ ایک محدود جہتی نیم سادہ جھوٹ الجبرا سے مطابقت رکھنے والا افائن جھوٹ الجبرا اس کے سادہ خلاصہ سے مطابقت رکھنے والے افائن جھوٹ الجبرا کا براہ راست مجموعہ ہے۔ اسی طرح کے افائن کاک-موڈی الجبرا کو ایک اضافی جنریٹر ڈی شامل کرکے سیمی ڈائریکٹ پروڈکٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو [d, A] = δ (A) کو مطمئن کرتا ہے۔ ڈائنکن خاکے کی تعمیر ہر افائن لائ الجبرا کا ڈائنکن خاکہ متعلقہ سادہ لائ الجبرا کے علاوہ ایک اضافی نوڈ پر مشتمل ہوتا ہے، جو ایک خیالی جڑ کے اضافے سے مطابقت رکھتا ہے۔ یقینا، اس طرح کے نوڈ کو صرف کسی بھی مقام پر ڈائنکن خاکہ سے منسلک نہیں کیا جا سکتا، لیکن ہر سادہ لائ الجبرا کے لیے لائ الجبرا کے بیرونی آٹومورفزم کے گروپ کی بنیادی حیثیت کے برابر متعدد ممکنہ منسلک موجود ہیں۔ خاص طور پر، یہ گروپ ہمیشہ شناختی عنصر پر مشتمل ہوتا ہے، اور متعلقہ افائن لائ الجبرا کو ان ٹوسٹڈ افائن لائ الجبرا کہا جاتا ہے۔ جب سادہ الجبرا آٹومورفزم کو تسلیم کرتا ہے جو اندرونی آٹومورفزم نہیں ہیں، تو کوئی دوسرے ڈائنکن خاکے حاصل کر سکتا ہے اور یہ مڑے ہوئے افائن لائ الجبرا سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مرکزی توسیعات کی درجہ بندی متعلقہ سادہ لائ الجبرا کے ڈائنکن خاکہ میں ایک اضافی نوڈ کا لگاؤ مندرجہ ذیل تعمیر سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک افائن لائ الجبرا کو ہمیشہ متعلقہ سادہ لائ الجبرا کے لوپ الجبرا کی مرکزی توسیع کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ اگر کوئی اس کے بجائے سیمی سمپل لائی الجبرا سے شروع کرنا چاہتا ہے، تو کسی کو سیمی سمپل الجبرا کے سادہ اجزاء کی تعداد کے برابر متعدد عناصر کے ذریعے مرکزی طور پر توسیع کرنے کی ضرورت ہے۔ طبیعیات میں، اس کے بجائے اکثر ایک نیم سادہ الجبرا اور ایک ابیلین الجبرا کے براہ راست مجموعہ پر غور کیا جاتا ہے۔ اس صورت میں کسی کو این ابیلین جنریٹرز کے لیے مزید مرکزی عناصر کو شامل کرنے کی بھی ضرورت ہے۔ متعلقہ سادہ کمپیکٹ لائ گروپ کے لوپ گروپ کی دوسری انٹیگرل کوہمولوجی انٹیجرز کے لیے آئسومورفک ہے۔ ایک واحد جنریٹر کے ذریعہ افائن لائ گروپ کی مرکزی توسیعات اس فری لوپ گروپ پر ٹپوولوجیکل طور پر سرکل بنڈل ہیں، جن کی درجہ بندی دو کلاس کے ذریعہ کی جاتی ہے جسے فائبرشن کی پہلی چرن کلاس کہا جاتا ہے۔ لہذا، ایک افائن لائ گروپ کی مرکزی توسیعات کو ایک واحد پیرامیٹر k کے ذریعہ درجہ بند کیا جاتا ہے جسے طبیعیات کے ادب میں سطح کہا جاتا ہے، جہاں یہ پہلی بار نمودار ہوا تھا۔ افائن کمپیکٹ گروپوں کی یک جہتی سب سے زیادہ وزن کی نمائندگی صرف اس وقت موجود ہوتی ہے جب k ایک قدرتی نمبر ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر کوئی نیم سادہ الجبرا پر غور کرتا ہے، تو ہر سادہ جزو کے لیے ایک مرکزی چارج ہوتا ہے۔ ڈھانچہ کارٹن-ویل کی بنیاد جیسا کہ محدود معاملے میں، کارٹن-ویل کی بنیاد کا تعین افائن لائ الجبرا کی ساخت کا تعین کرنے میں ایک اہم قدم ہے۔ کارٹن ذیلی الجبرا اور ایک مخصوص جڑ کے نظام کے ساتھ ایک محدود جہتی، سادہ، پیچیدہ لائ الجبرا کو ٹھیک کریں۔ اشارے کو متعارف کراتے ہوئے، کوئی بھی کارٹن ویل کی بنیاد کو افائن لائ الجبرا کے لیے ایک تک بڑھانے کی کوشش کر سکتا ہے، جو ابیلین ذیلی الجبرا کی تشکیل کے ساتھ دیا گیا ہے۔ کی اور آن کی آئجین ویلیوز بالترتیب اور آزادانہ طور پر ہیں۔ لہذا جڑ اس ابیلین ذیلی الجبرا کے حوالے سے لامحدود طور پر انحطاط پذیر ہے۔ اوپر بیان کردہ مشتق کو ابیلین ذیلی الجبرا میں شامل کرنا ابیلین ذیلی الجبرا کو افائن لائ الجبرا کے لیے کارٹن ذیلی الجبرا میں بدل دیتا ہے، جس میں کلنگ فارم کے لیے آئجن ویلیوز ہوتی ہیں۔ کلنگ فارم کا تعین اس کی انواریینس پراپرٹی کا استعمال کرتے ہوئے تقریبا مکمل طور پر کیا جا سکتا ہے۔ افائن کاک-موڈی الجبرا پر کلنگ فارم پر اور اس کے لیے نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، جہاں صرف آخری مساوات انواریینس کے ذریعے طے نہیں کی جاتی ہے اور اس کے بجائے کنونشن کے ذریعے منتخب کی جاتی ہے۔ خاص طور پر، سب اسپیس پر پابندی دستخط کے ساتھ ایک دو لکیری شکل دیتی ہے۔ اس کے ساتھ منسلک افائن روٹ لکھیں۔ وضاحت کرتے ہوئے، اسے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جڑوں کا مکمل مجموعہ ہے پھر یہ غیر معمولی ہے کیونکہ اس کی لمبائی صفر ہے: قتل کی شکل سے جڑوں پر دو لکیری شکل کہاں ہے۔ افائن الجبری کے لیے سادہ جڑوں کی بنیاد حاصل کرنے کے لیے، ایک اضافی سادہ جڑ کو جوڑنا ضروری ہے، اور جڑ کی اونچائی کے معمول کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے، جہاں سب سے زیادہ جڑ ہے اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ توسیعی کارٹن میٹرکس اور توسیعی ڈائنکن خاکے کی تعریف کی اجازت دیتا ہے۔ نمائندگی کا نظریہ افائن لائ الجبرا کے لیے نمائندگی کا نظریہ عام طور پر ورما ماڈیولز کا استعمال کرتے ہوئے تیار کیا جاتا ہے۔ جس طرح نیم سادہ لائ الجبرا کے معاملے میں، یہ سب سے زیادہ وزن والے ماڈیول ہیں۔ کوئی محدود جہتی نمائشیں نہیں ہیں۔ اس کا نتیجہ اس حقیقت سے نکلتا ہے کہ ایک محدود جہتی ورما ماڈیول کے صفر ویکٹر لازمی طور پر صفر ہیں ؛ جبکہ افائن لائ الجبرا کے لیے وہ نہیں ہیں۔ موٹے طور پر، اس کی پیروی اس لیے کی جاتی ہے کیونکہ قتل کی شکل سمتوں میں لورینٹزیئن ہوتی ہے، اس طرح بعض اوقات تار پر "لائٹ کون کوآرڈینیٹس" کہا جاتا ہے۔ "ریڈیل آرڈرڈ" موجودہ آپریٹر مصنوعات کو سٹرنگ ورلڈ شیٹ اور مقامی سمت کے ساتھ وقت جیسی سمت کے ساتھ لے کر وقت کی طرح عام ترتیب کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ رینک k کی ویکیوم نمائندگی نمائندگی مندرجہ ذیل مزید تفصیل سے بنائی گئی ہے۔ ایک جھوٹ الجبرا اور بنیاد کو درست کریں۔ پھر متعلقہ لوپ الجبرا کی بنیاد ہے، اور افائن لائ الجبرا کی بنیاد ہے۔ رینک کی ویکیوم نمائندگی، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے کہ بنیاد کے ساتھ پیچیدہ نمائندگی کہاں ہے اور (کے ساتھ) افائن ورٹیکس الجبرا کے عمل کی وضاحت کرتا ہے۔ ویکیوم نمائندگی حقیقت میں ورٹیکس الجبرا ڈھانچے سے لیس ہو سکتی ہے، اس صورت میں اسے رینک کا افائن ورٹیکس الجبرا کہا جاتا ہے۔ افائن لائ الجبرا قدرتی طور پر کاک-موڈی الجبرا تک پھیلا ہوا ہے، جس میں تفریق کی نمائندگی ورٹیکس الجبرا میں ٹرانسلیشن آپریٹر کرتا ہے۔ ویل گروپ اور حروف ایک افائن لائ الجبرا کے ویل گروپ کو صفر موڈ الجبرا (لوپ الجبرا کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے والا لائ الجبرا) اور کروٹ لیٹس کے ویل گروپ کے نیم براہ راست پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ افائن لائ الجبرا کے الجبرائی حروف کا ویل کردار فارمولا ویل-کاک کردار کے فارمولے کو عام کرتا ہے۔ ان میں سے کئی دلچسپ تعمیرات سامنے آتی ہیں۔ کوئی بھی جیکوبی تھیٹا فنکشن کی عمومی تشکیل کر سکتا ہے۔ یہ تھیٹا افعال ماڈیولر گروپ کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ نیم سادہ لائ الجبرا کی معمول کی ڈینومینیٹر شناخت بھی عام ہوتی ہیں ؛ کیونکہ حروف کو "ڈیفارمیشنز" یا سب سے زیادہ وزن کے ق-اینالاگس کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اس کی وجہ سے بہت سی نئی مشترکہ شناخت ہوتی ہیں، جن میں ڈیڈیکنڈ ایٹا فنکشن کے لیے بہت سی پہلے سے نامعلوم شناخت شامل ہیں۔ ان عامیوں کو لینگ لینڈز پروگرام کی ایک عملی مثال کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایپلی کیشنز سوگورا کی تعمیر کی وجہ سے، کسی بھی افائن لائ الجبرا کے عالمگیر لفافے والے الجبرا میں ویراسورو الجبرا ذیلی الجبرا کے طور پر ہوتا ہے۔ یہ افائن لائ الجبرا کو کنفارمل فیلڈ تھیوریز جیسے ڈبلیو زیڈ ڈبلیو ماڈلز یا کوسیٹ ماڈلز کے سمیٹری الجبرا کے طور پر کام کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، افائن لائ الجبرا سٹرنگ تھیوری کی ورلڈ شیٹ کی تفصیل میں بھی ظاہر ہوتے ہیں۔ مثال ہائزن برگ الجبرا جس کی تعریف جنریٹرز کے ذریعہ کی گئی ہے جو تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں اسے افائن لائ الجبرا کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات جھوٹے الجبراس نمائندگی کا نظریہ