Stochastic differential equation
سٹوکاسٹک تفریقی مساوات (ایس ڈی ای) ایک تفریقی مساوات ہے جس میں ایک یا زیادہ اصطلاحات سٹوکاسٹک عمل ہوتی ہیں، جس کے نتیجے میں ایک حل ہوتا ہے جو ایک سٹوکاسٹک عمل بھی ہوتا ہے۔ ایس ڈی ایز کے خالص ریاضی میں بہت سے استعمال ہوتے ہیں اور اسٹاک کی قیمتوں، بے ترتیب نمو کے ماڈلز یا جسمانی نظاموں جیسے سٹاکسٹک ماڈلز کے مختلف طرز عمل کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں جو تھرمل اتار چڑھاؤ کا شکار ہوتے ہیں۔ ایس ڈی ایز میں بے ترتیب تفریق ہوتی ہے جو کہ سب سے بنیادی صورت میں بے ترتیب سفید شور ہوتا ہے جس کا حساب براؤنین حرکت یا زیادہ عام طور پر سیمی مارٹنگیل سے ماخوذ ہوتا ہے۔ تاہم، بے ترتیب رویے کی دیگر اقسام ممکن ہیں، جیسے چھلانگ کے عمل جیسے لیوی کے عمل یا چھلانگ کے ساتھ سیمی مارٹنگیل۔ بے ترتیب تفریق مساوات اسٹوکاسٹک تفریق مساوات کے ساتھ مربوط ہوتی ہیں۔ سٹوچسٹک تفریقی مساوات کو تفریقی کئی گنا تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے۔ پس منظر اسٹاکسٹک تفریق مساوات کا آغاز 1905 میں البرٹ آئن سٹائن اور ماریان سمولوچووسکی کے کام میں براؤنین موشن کے نظریہ سے ہوا، حالانکہ لوئس بیچلیئر وہ پہلا شخص تھا جسے 1900 میں براؤنین موشن ماڈلنگ کا سہرا دیا گیا، جس نے اسٹاکسٹک تفریق مساوات کی ایک بہت ہی ابتدائی مثال دی جسے اب بیچلیئر ماڈل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ان میں سے کچھ ابتدائی مثالیں لکیری سٹوچسٹک تفریق مساوات تھیں، جنہیں فرانسیسی طبیعیات دان لینجین کے نام پر 'لینجین' مساوات بھی کہا جاتا ہے، جو بے ترتیب قوت کے تابع ہارمونک آسکیلیٹر کی حرکت کو بیان کرتی ہیں۔ سٹاکسٹک تفریقی مساوات کا ریاضیاتی نظریہ 1940 کی دہائی میں جاپانی ریاضی دان کیوسی ایٹو کے اہم کام کے ذریعے تیار کیا گیا تھا، جس نے اسٹاکسٹک انٹیگرل کا تصور متعارف کرایا اور غیر لکیری اسٹاکسٹک تفریقی مساوات کا مطالعہ شروع کیا۔ ایک اور نقطہ نظر بعد میں روسی طبیعیات دان اسٹراٹونوویچ نے پیش کیا، جس کی وجہ سے عام کیلکولس کی طرح کیلکولس ہوا۔ اصطلاحات ادب میں ایس ڈی ایز کی سب سے عام شکل ایک عام تفریق مساوات ہے جس میں دائیں ہاتھ کی طرف سفید شور متغیر پر منحصر اصطلاح سے پریشان ہے۔ زیادہ تر معاملات میں، ایس ڈی ایز کو متعلقہ اسٹاکسٹک فرق مساوات کی مسلسل وقت کی حد کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ ایس ڈی ایز کی یہ تفہیم مبہم ہے اور اس کی تکمیل متعلقہ انٹیگرل کی مناسب ریاضیاتی تعریف سے ہونی چاہیے۔ اس طرح کی ریاضیاتی تعریف سب سے پہلے 1940 کی دہائی میں کیوسی ایٹو نے پیش کی تھی، جس کی وجہ سے آج اسے ایٹو کیلکولس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایک اور تعمیر کی تجویز بعد میں روسی طبیعیات دان اسٹراٹونوویچ نے پیش کی، جس کی وجہ سے اسے اسٹراٹونوویچ انٹیگرل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ آئیٹو انٹیگرل اور اسٹراٹونوویچ انٹیگرل متعلقہ ہیں، لیکن مختلف، اشیاء اور ان کے درمیان انتخاب زیر غور درخواست پر منحصر ہے۔ آئی ٹی او کیلکولس غیر شدت پسندی یا وجہ کے تصور پر مبنی ہے، جو ان ایپلی کیشنز میں فطری ہے جہاں متغیر وقت ہے۔ دوسری طرف، اسٹراٹونوویچ کیلکولس میں ایسے اصول ہوتے ہیں جو عام کیلکولس سے ملتے جلتے ہوتے ہیں اور اس میں اندرونی ہندسی خصوصیات ہوتی ہیں جو ہندسی مسائل جیسے کہ کئی گنا پر بے ترتیب حرکت سے نمٹنے کے دوران اسے زیادہ فطری بناتی ہیں، حالانکہ یہ ممکن ہے اور بعض صورتوں میں آئی ٹی او ایس ڈی ای کے ذریعے کئی گنا پر بے ترتیب حرکت کا نمونہ بنانا بہتر ہے، مثال کے طور پر جب ذیلی مینیفولڈز پر ایس ڈی ای کا زیادہ سے زیادہ تخمینہ لگانے کی کوشش کی جائے۔ ایس ڈی ای پر ایک متبادل نظریہ ڈفیومورفزم کا سٹوچسٹک بہاؤ ہے۔ یہ تفہیم غیر واضح ہے اور اسٹاکسٹک فرق مساوات کی مسلسل وقت کی حد کے اسٹراٹونوویچ ورژن سے مطابقت رکھتی ہے۔ ایس ڈی ایز سے وابستہ سمولوچووسکی مساوات یا فوکر-پلانک مساوات ہے، جو امکان کی تقسیم کے افعال کے وقت کے ارتقاء کو بیان کرتی ہے۔ متفرق شکلوں کے عارضی ارتقاء کے لیے فوکر-پلانک ارتقاء کی عمومی شکل اسٹوچسٹک ارتقاء آپریٹر کے تصور کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے۔ فزیکل سائنس میں، "لینجین ایس ڈی ایز" کی اصطلاح کے استعمال میں ابہام ہے۔ اگرچہ لینجین ایس ڈی ایز زیادہ عام شکل کے ہو سکتے ہیں، لیکن یہ اصطلاح عام طور پر گریڈینٹ فلو ویکٹر فیلڈز کے ساتھ ایس ڈی ایز کی ایک تنگ کلاس سے مراد ہے۔ ایس ڈی ایز کی یہ کلاس خاص طور پر مقبول ہے کیونکہ یہ پیرسی-سورلاس سٹوچسٹک کوانٹائزیشن کے طریقہ کار کا ایک نقطہ آغاز ہے، جس کی وجہ سے ایک N = 2 سپرسیمیٹرک ماڈل ہوتا ہے جو سپرسیمیٹرک کوانٹم میکانکس سے قریب سے متعلق ہوتا ہے۔ تاہم، جسمانی نقطہ نظر سے، ایس ڈی ایز کا یہ طبقہ زیادہ دلچسپ نہیں ہے کیونکہ یہ کبھی بھی ٹپوولوجیکل سپرسیمیٹری کی بے ساختہ خرابی ظاہر نہیں کرتا ہے، یعنی (اوور ڈیمپڈ) لینجین ایس ڈی ایز کبھی بھی افراتفری کا شکار نہیں ہوتے ہیں۔ اسٹوچسٹک کیلکولس براؤنین موشن یا وینر عمل کو ریاضیاتی طور پر غیر معمولی طور پر پیچیدہ پایا گیا۔ وینر عمل تقریبا یقینی طور پر کہیں بھی تفریق کے قابل نہیں ہے ؛ اس طرح، اسے کیلکولس کے اپنے اصولوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسٹوچسٹک کیلکولس کے دو غالب ورژن ہیں، آئیٹو اسٹوچسٹک کیلکولس اور اسٹراٹونوویچ اسٹوچسٹک کیلکولس۔ دونوں میں سے ہر ایک کے فوائد اور نقصانات ہیں، اور نئے آنے والے اکثر الجھن میں رہتے ہیں کہ آیا کسی دی گئی صورتحال میں ایک دوسرے سے زیادہ موزوں ہے یا نہیں۔ ہدایات موجود ہیں (مثلا۔ Øksendal، 2003) اور آسانی سے، کوئی بھی آسانی سے آئی ٹی او ایس ڈی ای کو مساوی اسٹراٹونوویچ ایس ڈی ای میں تبدیل کر سکتا ہے اور دوبارہ واپس آ سکتا ہے۔ پھر بھی، کسی کو محتاط رہنا چاہیے کہ جب ایس ڈی ای ابتدائی طور پر لکھا جائے تو کون سا کیلکولس استعمال کرنا ہے۔ عددی حل اسٹاکسٹک تفریقی مساوات کو حل کرنے کے عددی طریقوں میں یولر-مارویاما طریقہ، ملسٹین طریقہ، رنگ-کٹا طریقہ (ایس ڈی ای)، روزن بروک طریقہ، اور تکرار شدہ اسٹاکسٹک انٹیگرلز کی مختلف نمائندگی پر مبنی طریقے شامل ہیں۔ طبیعیات میں استعمال، ایس ڈی ایز میں سالماتی حرکیات سے لے کر نیورو ڈائنامکس اور فلکیاتی اشیاء کی حرکیات تک وسیع اطلاق ہوتا ہے۔ مزید خاص طور پر، ایس ڈی ای تمام متحرک نظاموں کی وضاحت کرتے ہیں، جن میں کوانٹم اثرات یا تو غیر اہم ہوتے ہیں یا انہیں خلل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ ایس ڈی ایز کو شور والے ماڈلز کے لیے متحرک نظام کے نظریہ کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ ایک اہم عمومی کاری ہے کیونکہ حقیقی نظاموں کو ان کے ماحول سے مکمل طور پر الگ نہیں کیا جا سکتا اور اسی وجہ سے ہمیشہ بیرونی غیر معمولی اثر کا تجربہ ہوتا ہے۔ نئے نامعلوم افراد کو متعارف کروا کر اعلی درجے کی مساوات کو کئی جوڑے ہوئے پہلے درجے کی مساوات میں تبدیل کرنے کے لیے معیاری تکنیک موجود ہیں۔ لہذا، درج ذیل ایس ڈی ایز کی سب سے عام کلاس ہے: اس کے مرحلے (یا ریاست) کی جگہ میں نظام میں پوزیشن کہاں ہے، جسے ایک تفریق پذیر کئی گنا سمجھا جاتا ہے، یہ ایک فلو ویکٹر فیلڈ ہے جو ارتقاء کے تعیناتی قانون کی نمائندگی کرتا ہے، اور ویکٹر فیلڈز کا ایک مجموعہ ہے جو سسٹم کے جوڑے کو گوسیائی سفید شور سے بیان کرتا ہے۔ اگر لکیری جگہ ہے اور مستقل ہیں، تو نظام کو اضافی شور کے تابع کہا جاتا ہے، بصورت دیگر اسے ضرب شور کے تابع کہا جاتا ہے۔ یہ اصطلاح کسی حد تک گمراہ کن ہے کیونکہ اس کا مطلب عام معاملہ ہو گیا ہے حالانکہ ایسا لگتا ہے کہ اس کا مطلب محدود معاملہ ہے۔ شور کی ایک مقررہ ترتیب کے لیے، ایس ڈی ای کے پاس ایک منفرد حل ہے جو ابتدائی حالت کے حوالے سے تفریق کے قابل ہے۔ جب کوئی شور کی ترتیبات پر دلچسپی کی مختلف اشیاء کو اوسط کرنے کی کوشش کرتا ہے تو اسٹوچسٹک کیس کی عدم استحکام ظاہر ہوتی ہے۔ اس لحاظ سے، ایس ڈی ای ایک منفرد طور پر متعین ہستی نہیں ہے جب شور ضرب پذیر ہوتا ہے اور جب ایس ڈی ای کو اسٹاکسٹک فرق مساوات کی مسلسل وقت کی حد کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اس صورت میں، ایس ڈی ای کو "ایس ڈی ای کی تشریحات" جیسے کہ آئی ٹی او یا ایس ڈی ای کی اسٹراٹونوویچ تشریحات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس کے باوجود، جب ایس ڈی ای کو ڈفیومورفزم کے مسلسل وقت کے سٹوچسٹک بہاؤ کے طور پر دیکھا جاتا ہے، تو یہ ایک منفرد طور پر بیان کردہ ریاضیاتی شے ہے جو سٹوچسٹک فرق مساوات کی مسلسل وقت کی حد تک سٹریٹونوویچ کے نقطہ نظر سے مطابقت رکھتی ہے۔ طبیعیات میں، حل کا بنیادی طریقہ مساوی فوکر-پلانک مساوات (ایف پی ای) کا استعمال کرتے ہوئے وقت کی تقریب کے طور پر امکان کی تقسیم کی تقریب کو تلاش کرنا ہے۔ فوکر-پلانک مساوات ایک تعیناتی جزوی تفریق مساوات ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ امکانات کی تقسیم کا فنکشن وقت کے ساتھ اسی طرح تیار ہوتا ہے جس طرح شروڈنگر مساوات کوانٹم لہر فنکشن کا وقت ارتقاء دیتی ہے یا بازی کا مساوات کیمیائی ارتکاز کا وقت ارتقاء دیتی ہے۔ متبادل طور پر، عددی حل مونٹی کارلو تخروپن کے ذریعے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ دیگر تکنیکوں میں پاتھ انٹیگریشن شامل ہے جو شماریاتی طبیعیات اور کوانٹم میکانکس کے درمیان مشابہت پر مبنی ہے (مثال کے طور پر، فوکر-پلانک مساوات کو چند متغیرات کو دوبارہ ترتیب دے کر شروڈنگر مساوات میں تبدیل کیا جا سکتا ہے) یا امکانات کی تقسیم کے فنکشن کے شماریاتی لمحات کے لیے عام تفریقی مساوات لکھ کر۔ امکان اور ریاضیاتی مالیات میں استعمال امکان کے نظریہ میں استعمال ہونے والی علامت (اور امکان کے نظریہ کی بہت سی ایپلی کیشنز میں، مثال کے طور پر فلٹرنگ کے مسئلے کے ساتھ سگنل پروسیسنگ میں اور ریاضیاتی مالیات میں) قدرے مختلف ہے۔ یہ سٹوچسٹک تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے عددی طریقوں پر اشاعتوں میں استعمال ہونے والا اشارہ بھی ہے۔ یہ اشارہ طبیعیات کی تشکیل میں وقت کے بے ترتیب فعل کی غیر ملکی نوعیت کو مزید واضح بناتا ہے۔ سخت ریاضیاتی اصطلاحات میں، ایک عام فعل کے طور پر نہیں، بلکہ صرف ایک عمومی فعل کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے۔ ریاضیاتی تشکیل اس پیچیدگی کو طبیعیات کی تشکیل سے کم ابہام کے ساتھ پیش کرتی ہے۔ ایک عام مساوات اس شکل کی ہوتی ہے جہاں وینر عمل (معیاری براؤنین حرکت) کی نشاندہی ہوتی ہے۔ اس مساوات کی تشریح متعلقہ انٹیگرل مساوات کو ظاہر کرنے کے ایک غیر رسمی طریقے کے طور پر کی جانی چاہیے۔ اوپر دی گئی مساوات مسلسل وقت کے سٹوچسٹک عمل Xt کے رویے کو ایک عام لیبسیگ انٹیگرل اور آئی ٹی او انٹیگرل کے مجموعے کے طور پر بیان کرتی ہے۔ اسٹوکاسٹک تفریق مساوات کی ایک تحقیقی (لیکن بہت مددگار) تشریح یہ ہے کہ لمبائی δ کے ایک چھوٹے سے وقفے میں اسٹوکاسٹک عمل Xt اپنی قدر کو اس رقم سے تبدیل کرتا ہے جو عام طور پر توقع μ (Xt, t) δ اور تغیر σ (Xt, t) 2 δ کے ساتھ تقسیم ہوتی ہے اور عمل کے ماضی کے رویے سے آزاد ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ وینر کے عمل میں اضافہ آزاد اور عام طور پر تقسیم شدہ ہوتا ہے۔ فنکشن μ کو بہاؤ گتانک کہا جاتا ہے، جبکہ σ کو پھیلاؤ گتانک کہا جاتا ہے۔ اسٹاکسٹک عمل Xt کو پھیلاؤ کا عمل کہا جاتا ہے، اور یہ مارکوف کی خاصیت کو مطمئن کرتا ہے۔ ایس ڈی ای کی رسمی تشریح اس لحاظ سے دی گئی ہے کہ ایس ڈی ای کا حل کیا ہے۔ ایس ڈی ای کے حل کی دو اہم تعریفیں ہیں، ایک مضبوط حل اور ایک کمزور حل دونوں کے لیے ایک عمل Xt کے وجود کی ضرورت ہوتی ہے جو ایس ڈی ای کے لازمی مساوات ورژن کو حل کرتا ہے۔ دونوں کے درمیان فرق بنیادی امکان کی جگہ () میں ہے۔ ایک کمزور حل امکان کی جگہ اور ایک ایسے عمل پر مشتمل ہوتا ہے جو مربوط مساوات کو مطمئن کرتا ہے، جبکہ ایک مضبوط حل ایک ایسا عمل ہے جو مساوات کو مطمئن کرتا ہے اور اس کی وضاحت دی گئی امکان کی جگہ پر کی جاتی ہے۔ ایک اہم مثال ہندسی براؤنین حرکت کی مساوات ہے جو مالیاتی ریاضی کے بلیک-شولز آپشنز پرائسنگ ماڈل میں اسٹاک کی قیمت کی حرکیات کی مساوات ہے۔ ہندسی براؤنین حرکت کو عام کرتے ہوئے، ایس ڈی ایز کی وضاحت کرنا بھی ممکن ہے جو مضبوط حلوں کو تسلیم کرتے ہیں اور جن کی تقسیم مختلف ہندسی براؤنین حرکتوں یا بلیک سکولز ماڈلز سے آنے والی کثافتوں کا ایک کنویکس مجموعہ ہے، جس سے ایک واحد ایس ڈی ای حاصل ہوتا ہے جس کے حلوں کو مختلف بلیک سکولز ماڈلز کی لوگن نارمل تقسیم کے مرکب حرکیات کے طور پر تقسیم کیا جاتا ہے۔ یہ ایسے ماڈلز کی طرف جاتا ہے جو مالیاتی ریاضی میں اتار چڑھاؤ والی مسکراہٹ سے نمٹ سکتے ہیں۔ ریاضی براؤنین موشن نامی آسان ایس ڈی ای کو لوئس بیچلیئر نے 1900 میں اسٹاک کی قیمتوں کے پہلے ماڈل کے طور پر استعمال کیا تھا، جسے آج بیچلیئر ماڈل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مزید عمومی سٹوچسٹک تفریق مساوات بھی ہیں جہاں کوفیشنٹس μ اور σ کا انحصار نہ صرف عمل Xt کی موجودہ قیمت پر ہوتا ہے، بلکہ عمل کی پچھلی اقدار پر بھی اور ممکنہ طور پر دیگر عمل کی موجودہ یا پچھلی اقدار پر بھی ہوتا ہے۔ اس صورت میں حل کا عمل، X، مارکوف عمل نہیں ہے، اور اسے آئی ٹی او عمل کہا جاتا ہے نہ کہ پھیلاؤ کا عمل۔ جب کوفیشنٹس صرف X کی موجودہ اور ماضی کی اقدار پر منحصر ہوتے ہیں، تو اس کی وضاحت کرنے والی مساوات کو اسٹاکاسٹک تاخیر تفریق مساوات کہا جاتا ہے۔ جمپ کے ساتھ سیمی مارٹنگیلز کے لیے لازمی فسک-اسٹراٹونوویچ کے ساتھ اسٹاکسٹک تفریق مساوات کی عمومی شکل مارکس قسم کے ایس ڈی ای ہیں۔ مارکس انٹیگرل میک شین کے اسٹاکسٹک کیلکولس کی توسیع ہے۔ سٹاکسٹک فنانس میں ایک جدید اطلاق اورنسٹین-یولین بیک عمل کے لیے مساوات کے استعمال سے اخذ کیا گیا ہے جو کہ اس مفروضے کے تحت اسٹاک کی قیمت کی واپسی کی حرکیات کے لیے مساوات ہے جو واپسی لاگ نارمل تقسیم کو ظاہر کرتی ہے۔ اس مفروضے کے تحت، مارسیلو منینا کے تیار کردہ طریقہ کار پیشن گوئی کے وقفے کا تعین کرتے ہیں جو غیر معمولی واپسی کی نشاندہی کرنے کے قابل ہوتے ہیں جو مارکیٹ کے غلط استعمال کے مظاہر کو چھپا سکتے ہیں۔ کئی گنا پر ایس ڈی ای زیادہ عام طور پر کوئی بھی اسٹاکسٹک کیلکولس کے نظریہ کو تفریقی کئی گنا پر بڑھا سکتا ہے اور اس مقصد کے لیے کوئی بھی فسک-اسٹراٹونوویچ انٹیگرل کا استعمال کرتا ہے۔ کئی گنا، کچھ محدود جہتی ویکٹر اسپیس پر غور کریں، معمول کے حالات کو پورا کرنے کے ساتھ فلٹر شدہ امکان کی جگہ اور ایک نکاتی کمپیکٹفیکیشن ہونے دیں اور پیمائش کے قابل ہوں۔ تحریری طور پر ایک سٹوچسٹک تفریق مساوات ایک جوڑا ہے، جو کہ ایک مسلسل قدر والا سیمی مارٹنگیل ہے، ویکٹر بنڈلوں کی ہومومورفزم ہے۔ ہر ایک کے لیے نقشہ لکیری اور ہر ایک کے لیے ہے۔ ابتدائی حالت کے ساتھ ایس ڈی ای کا ایک حل زندگی بھر تک ایک مسلسل موافقت پذیر قدر والا عمل ہے، ایس ٹی۔ ہر ٹیسٹ فنکشن کے لیے عمل ایک حقیقی قدر والا سیمی مارٹنگیل ہے اور مساوات کے ساتھ ہر رکنے والے وقت کے لیے-تقریبا یقینی طور پر، جہاں تفریق ہے۔ یہ ایک زیادہ سے زیادہ حل ہے اگر زندگی کا وقت زیادہ سے زیادہ ہے، یعنی-تقریبا یقینی طور پر۔ یہ اس حقیقت سے ملتا ہے کہ ہر ٹیسٹ فنکشن کے لیے ایک سیمی مارٹنگیل ہوتا ہے، یعنی ایک سیمی مارٹنگیل ہوتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ حل کو دیکھتے ہوئے ہم وقت کو مکمل طور پر بڑھا سکتے ہیں اور جاری رکھنے کے بعد ہم ناقابل شناخت عمل تک پہنچ جاتے ہیں۔ اگرچہ اسٹراٹونوویچ ایس ڈی ای کئی گنا پر ایس ڈی ای کے لیے قدرتی انتخاب ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ وہ سلسلہ کے اصول کو مطمئن کرتے ہیں اور یہ کہ ان کے بہاؤ اور پھیلاؤ کے گتانک نقاط کی تبدیلیوں کے تحت ویکٹر فیلڈز کے طور پر برتاؤ کرتے ہیں، ایسے معاملات ہیں جہاں کئی گنا پر آئیٹو کیلکولس بہتر ہے۔ کئی گنا پر آئیٹو کیلکولس کا ایک نظریہ سب سے پہلے لارنٹ شوارٹز نے شوارٹز مورفزم کے تصور کے ذریعے تیار کیا تھا، جیٹ بنڈل پر مبنی کئی گنا پر آئیٹو ایس ڈی ایز کی متعلقہ 2-جیٹ تشریح بھی دیکھیں۔ یہ تشریح اس وقت مددگار ثابت ہوتی ہے جب کسی بڑی جگہ پر دیئے گئے ایس ڈی ای کے حل کو اس جگہ کے ذیلی فولڈ پر دیئے گئے ایس ڈی ای کے حل کے ساتھ زیادہ سے زیادہ تخمینہ لگانے کی کوشش کی جائے، اس میں کہ اسٹراٹونوویچ پر مبنی پروجیکشن زیادہ سے زیادہ نتیجہ خیز نہیں ہوتا ہے۔ اس کا اطلاق فلٹرنگ کے مسئلے پر کیا گیا ہے، جس کی وجہ سے زیادہ سے زیادہ پروجیکشن فلٹر ہوتے ہیں۔ ایس ڈی ای کھردرے راستوں کے طور پر عام طور پر ایس ڈی ای کے حل کے لیے ایک ممکنہ ترتیب کی ضرورت ہوتی ہے، کیونکہ حل میں لازمی طور پر ایک اسٹاکاسٹک انٹیگرل ہوتا ہے۔ اگر راستے کے لحاظ سے تفریقی مساوات سے نمٹنا ممکن ہوتا، تو کسی کو سٹوچسٹک انٹیگرل کی وضاحت کرنے کی ضرورت نہیں ہوتی اور کوئی نظریہ امکانی نظریہ سے آزادانہ طور پر تیار کر سکتا ہے۔ یہ ایس ڈی ای کو ہر ایک کے لیے ایک واحد تعیناتی تفریق مساوات کے طور پر غور کرنے کی طرف اشارہ کرتا ہے، جہاں دی گئی امکانی جگہ () میں نمونہ کی جگہ ہے۔ تاہم، ایس ڈی ای کی براہ راست راستے کے لحاظ سے تشریح ممکن نہیں ہے، کیونکہ براؤنین حرکت کے راستوں میں لامحدود تغیرات ہوتے ہیں اور امکانات کے ساتھ کہیں بھی تفریق کے قابل نہیں ہوتے ہیں، تاکہ اس طرح کی اصطلاحات کو معنی دینے کا کوئی بے وقوف طریقہ نہ ہو، اس کے علاوہ ہر ایک کے خلاف ایک لازمی کے طور پر سٹوچسٹک انٹیگرل کی سادہ راہ کے لحاظ سے تعریف بھی شامل ہے۔ تاہم، باقاعدہ شور کے ساتھ ایس ڈی ایز کے حل کی حدود کے لیے اور کھردری راستوں کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے، براؤنین حرکت کے تکراری انٹیگرلز کی ایک منتخب تعریف کو شامل کرتے ہوئے، وانگ-زکائی کے نتیجے سے متاثر ہو کر، ہر ایک کے لیے ایک تعیناتی کھردری انٹیگرل کی وضاحت کرنا ممکن ہے جو مثال کے طور پر آئٹو انٹیگرل کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے جو تکراری براؤنین انٹیگرل کے کسی خاص انتخاب کے لیے امکان ایک کے ساتھ ہے۔ تکرار شدہ انٹیگرل کی دیگر تعریفیں مختلف سٹوچسٹک انٹیگرلز کے تعیناتی راستے کے مساوی پہلوؤں کی طرف لے جاتی ہیں، جیسے کہ اسٹراٹونوویچ انٹیگرل۔ یہ مثال کے طور پر مالیاتی ریاضی میں امکانات کے بغیر قیمتوں کے اختیارات کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ حلوں کا وجود اور انفرادیت جیسا کہ تعیناتی عام اور جزوی تفریقی مساوات کے ساتھ، یہ جاننا ضروری ہے کہ آیا کسی دیئے گئے ایس ڈی ای کا کوئی حل ہے، اور آیا یہ منفرد ہے یا نہیں۔ آئی ٹی او ایس ڈی ای کے لیے ایک عام وجود اور انفرادیت تھیوریم درج ذیل ہے جو این جہتی یوکلڈین اسپیس آر این میں اقدار لیتا ہے اور ایم جہتی براؤنین موشن بی سے چلتا ہے۔ اس کا ثبوت Øksendal (2003، § 5.2) میں پایا جا سکتا ہے۔ T> 0، اور پیمائش کے قابل افعال ہونے دیں جن کے لیے مستقلات C اور D موجود ہیں جیسے کہ تمام t ω [0, T] اور تمام x اور y ω Rn کے لیے، جہاں Z ایک بے ترتیب متغیر ہے جو Bs، s ω0 کے ذریعے پیدا کردہ σ-الجبرا سے آزاد ہے، اور محدود دوسرے لمحے کے ساتھ: پھر سٹوچسٹک تفریق مساوات/ابتدائی قدر کے مسئلے کا P-تقریبا یقینی طور پر منفرد t-مسلسل حل (t, ω) ω Xt (ω) ایسا ہوتا ہے کہ X کو Z اور Bs، s ≤ t، اور عمومی صورت: مقامی لپشیٹز حالت اور زیادہ سے زیادہ حل کے ذریعے پیدا ہونے والی فلٹریشن FtZ کے مطابق ڈھال لیا جاتا ہے۔ زیادہ عام طور پر کوئی بھی کئی گنا پر سٹوچسٹک تفریق مساوات کو بھی دیکھ سکتا ہے۔ اس مساوات کا حل پھٹتا ہے یا نہیں اس کا انحصار اس کے انتخاب پر ہے۔ فرض کریں کہ کچھ مقامی Lipschitz حالت کو مطمئن کرتا ہے، یعنی، اور کچھ کمپیکٹ سیٹ اور کچھ مستقل حالت جہاں یوکلیڈین معیار ہے۔ یہ شرط نام نہاد زیادہ سے زیادہ حل کے وجود اور انفرادیت کی ضمانت دیتی ہے۔ فرض کریں کہ یہ مسلسل ہے اور مندرجہ بالا مقامی لپشٹز حالت کو مطمئن کرتا ہے اور کچھ ابتدائی شرط ہونے دیں، یعنی یہ ابتدائی σ-الجبرا کے حوالے سے ایک قابل پیمائش فنکشن ہے۔ تقریبا یقینی طور پر رکنے کا ایک متوقع وقت ہونے دیں۔ A-ویلیوڈ سیمی مارٹنگیل کو لائف ٹائم کے ساتھ ایک زیادہ سے زیادہ حل کہا جاتا ہے اگر ایک کے لیے (اور اس لیے سب) رکے ہوئے عمل کا اعلان کرنا اس سیٹ پر رکے ہوئے اسٹاکسٹک تفریق مساوات کا حل ہے جس کے ساتھ ہمارے پاس تقریبا یقینی طور پر ہے۔ یہ ایک نام نہاد دھماکے کا وقت بھی ہے۔ کچھ واضح طور پر قابل حل ایس ڈی ای لکیری ایس ڈی ای: عام معاملہ جہاں قابل تخفیف ایس ڈی ای: کسی دیئے گئے تفریق پذیر فنکشن کے لیے کیس 1 اسٹراٹونوویچ ایس ڈی ای کے مساوی ہے جس کا ایک عمومی حل ہے جہاں قابل تخفیف ایس ڈی ای: کسی دیئے گئے تفریق پذیر فنکشن کے لیے کیس 2 اسٹراٹونوویچ ایس ڈی ای کے مساوی ہے جو اس جگہ تک قابل تخفیف ہے جہاں پہلے کی طرح بیان کیا گیا ہے۔ اس کا عمومی حل ایس ڈی ای اور سپرسیمیٹری ہے۔ ایس ڈی ای کے سپرسیمیٹرک تھیوری میں، اسٹاکسٹک ڈائنامکس کی تعریف اسٹاکسٹک ایوولوشن آپریٹر کے ذریعے کی جاتی ہے جو ماڈل کے فیز اسپیس پر تفریقی شکلوں پر کام کرتا ہے۔ سٹوچسٹک ڈائنامکس کی اس عین مطابق تشکیل میں، تمام ایس ڈی ایز میں ٹپوولوجیکل سپرسیمیٹری ہوتی ہے جو مسلسل وقت کے بہاؤ کے ذریعے فیز اسپیس کے تسلسل کے تحفظ کی نمائندگی کرتی ہے۔ اس سپرسیمیٹری کی بے ساختہ خرابی ہر جگہ موجود متحرک رجحان کا ریاضیاتی جوہر ہے جسے تمام شعبوں میں افراتفری، ہنگامہ آرائی، خود منظم تنقید وغیرہ کے طور پر جانا جاتا ہے۔ اور گولڈ اسٹون تھیوریم متعلقہ طویل فاصلے تک متحرک رویے کی وضاحت کرتا ہے، یعنی تیتلی کا اثر، 1/f اور کریکلنگ شور، اور زلزلوں، نیورووالانچز، شمسی شعلوں وغیرہ کے پیمانے سے پاک اعداد و شمار۔ بیک ورڈ اسٹوچسٹک تفریق مساوات لینجین ڈائنامکس مقامی اتار چڑھاؤ اسٹوچسٹک عمل اسٹوچسٹک جزوی تفریق مساوات پھیلاؤ عمل اسٹوچسٹک فرق مساوات حوالہ جات مزید پڑھنا ڈیسمنڈ ہائیم اور پیٹر کلوڈن: "اسٹوچسٹک تفریق مساوات کے عددی تخروپن کا تعارف"، SIAM، (2021)۔ تفریقی مساوات اسٹوکاسٹک عمل