Geometrical frustration
گاڑھا مادے کی طبیعیات میں، اصطلاح ہندسی مایوسی (یا مختصر طور پر: مایوسی) سے مراد ایک ایسا رجحان ہے جہاں ایٹم غیر معمولی پوزیشنوں پر قائم رہتے ہیں یا جہاں، ایک باقاعدہ کرسٹل جالی پر، متضاد بین جوہری قوتیں (ہر ایک سادہ، لیکن مختلف ڈھانچے کی حمایت کرتا ہے) کافی پیچیدہ ڈھانچے کا باعث بنتی ہیں۔ جیومیٹری یا قوتوں میں مایوسی کے نتیجے میں، مختلف زمینی حالتوں کی کثرت کے نتیجے میں صفر درجہ حرارت ہو سکتا ہے، اور معمول کی تھرمل ترتیب کو زیادہ درجہ حرارت پر دبایا جا سکتا ہے۔ بہت زیادہ مطالعہ شدہ مثالیں بے ساختہ مواد، شیشے، یا پتلے مقناطیس ہیں۔ مقناطیسی نظام کے تناظر میں مایوسی کی اصطلاح 1977 میں جیرارڈ ٹولوز نے متعارف کرائی تھی۔ مایوس مقناطیسی نظاموں کا مطالعہ پہلے بھی کیا جا چکا تھا۔ ابتدائی کام میں 1950 میں شائع ہونے والے جی ایچ وینیئر کے ذریعہ قریب ترین پڑوسی گھماؤ کے ساتھ مثلث جالی پر آئزنگ ماڈل کا مطالعہ شامل ہے جو اینٹیفیرومیگنیٹک طور پر جڑا ہوا ہے۔ متعلقہ خصوصیات مسابقتی تعاملات والے میگنےٹس میں پائی جاتی ہیں، جہاں گھماؤ کے جوڑوں یا مقناطیسی لمحات کے درمیان فیرومیگنیٹک اور اینٹیفیرومیگنیٹک جوڑے دونوں موجود ہوتے ہیں، جس میں تعامل کی قسم گھماؤ کے علیحدگی کے فاصلے پر منحصر ہوتی ہے۔ اس صورت میں مطابقت، جیسے ہیلیکل اسپن انتظامات کا نتیجہ ہو سکتا ہے، جیسا کہ اصل میں، خاص طور پر، اے یوشیموری، ٹی اے کپلان، آر جے ایلیٹ، اور دیگر کے ذریعہ، 1959 میں شروع ہونے والے، نایاب زمین کی دھاتوں پر تجرباتی نتائج کو بیان کرنے کے لیے بحث کی گئی تھی۔ مایوس یا مسابقتی تعاملات کے ساتھ اس طرح کے اسپن سسٹم میں ایک نئی دلچسپی تقریبا دو دہائیوں بعد پیدا ہوئی، جس کا آغاز 1970 کی دہائی میں اسپن شیشوں اور مقامی طور پر ماڈیول شدہ مقناطیسی سپر اسٹرکچر کے تناظر میں ہوا۔ اسپن شیشوں میں، تعاملات میں اسٹوچسٹک ڈس آرڈر کی وجہ سے مایوسی میں اضافہ ہوتا ہے، جیسا کہ غیر اسٹوچیومیٹرک مقناطیسی مرکب میں تجرباتی طور پر ہو سکتا ہے۔ مایوسی کے ساتھ احتیاط سے تجزیہ کردہ اسپن ماڈلز میں شیرنگٹن-کرک پیٹرک ماڈل شامل ہے، جو اسپن شیشوں کو بیان کرتا ہے، اور اے این این این آئی ماڈل، جو مطابقت پذیر مقناطیسی سپر اسٹرکچرز کو بیان کرتا ہے۔ حال ہی میں، دماغی نیٹ ورک کے تجزیے میں عصبی رابطوں کے غیر معمولی مجموعے کی شناخت کرنے اور دماغ کے سایڈست عناصر کو اجاگر کرنے کے لیے مایوسی کا تصور استعمال کیا گیا ہے۔ مقناطیسی ترتیب جیومیٹریکل مایوسی مقناطیسیت میں ایک اہم خصوصیت ہے، جہاں یہ گھماؤ کے متعلقہ ترتیب سے پیدا ہوتا ہے۔ ایک سادہ 2D مثال شکل 1 میں دکھائی گئی ہے۔ تین مقناطیسی آئن مثلث کے کونوں پر رہتے ہیں جن کے درمیان اینٹیفیرومیگنیٹک تعاملات ہوتے ہیں۔ توانائی کو کم سے کم کیا جاتا ہے جب ہر گھماؤ پڑوسیوں کے مخالف سمت میں ہوتا ہے۔ ایک بار جب پہلے دو گھماؤ مخالف متوازی صف بندی کرتے ہیں، تو تیسرا مایوس ہو جاتا ہے کیونکہ اس کے دو ممکنہ رخ، اوپر اور نیچے، ایک ہی توانائی دیتے ہیں۔ تیسرا گھماؤ بیک وقت دوسرے دونوں کے ساتھ اپنے تعاملات کو کم نہیں کر سکتا۔ چونکہ یہ اثر ہر گھماؤ کے لیے ہوتا ہے، اس لیے زمینی حالت چھ گنا خراب ہوتی ہے۔ صرف دو ریاستیں جہاں تمام گھماؤ اوپر یا نیچے ہوتے ہیں ان میں زیادہ توانائی ہوتی ہے۔ اسی طرح تین جہتوں میں، ٹیٹرا ہیڈرون میں ترتیب دیے گئے چار گھماؤ (شکل 2) ہندسی مایوسی کا تجربہ کر سکتے ہیں۔ اگر گھماؤ کے درمیان اینٹیفیرومیگنیٹک تعامل ہوتا ہے، تو پھر گھماؤ کو ترتیب دینا ممکن نہیں ہے تاکہ گھماؤ کے درمیان تمام تعاملات مخالف متوازی ہوں۔ چھ قریب ترین پڑوسی تعاملات ہیں، جن میں سے چار مخالف متوازی ہیں اور اس طرح سازگار ہیں، لیکن جن میں سے دو (1 اور 2 کے درمیان، اور 3 اور 4 کے درمیان) ناموافق ہیں۔ تمام تعاملات کا سازگار ہونا ناممکن ہے، اور نظام مایوس ہے۔ جیومیٹریکل مایوسی بھی ممکن ہے اگر گھماؤ غیر کالینیئر طریقے سے ترتیب دیے جائیں۔ اگر ہم ایک ٹیٹرا ہیڈرون پر غور کریں جس میں ہر سرے پر ایک گھماؤ آسان محور کی طرف اشارہ کرتا ہے (یعنی، براہ راست ٹیٹرا ہیڈرون کے مرکز کی طرف یا اس سے دور)، تو چار گھماؤوں کو ترتیب دینا ممکن ہے تاکہ کوئی خالص گھماؤ نہ ہو (شکل 3)۔ یہ بالکل گھماؤ کے ہر جوڑے کے درمیان اینٹیفیرومیگنیٹک تعامل کے برابر ہے، لہذا اس معاملے میں کوئی ہندسی مایوسی نہیں ہے۔ ان محوروں کے ساتھ، ہندسی مایوسی پیدا ہوتی ہے اگر پڑوسیوں کے درمیان فیرومیگنیٹک تعامل ہوتا ہے، جہاں متوازی گھماؤ کے ذریعے توانائی کو کم سے کم کیا جاتا ہے۔ بہترین ممکنہ انتظام شکل 4 میں دکھایا گیا ہے، جس میں دو گھماؤ مرکز کی طرف اور دو دور کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ خالص مقناطیسی مومنٹ اوپر کی طرف اشارہ کرتا ہے، اس سمت میں فیرومیگنیٹک تعاملات کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے، لیکن بائیں اور دائیں ویکٹر منسوخ ہو جاتے ہیں (یعنی۔ اینٹیفیرومیگنیٹک طور پر سیدھے ہوتے ہیں)، جیسا کہ آگے اور پیچھے کی طرف ہوتا ہے۔ تین مختلف مساوی انتظامات ہیں جن میں دو گھماؤ باہر اور دو اندر ہوتے ہیں، لہذا زمینی حالت تین گنا خراب ہوتی ہے۔ ریاضیاتی تعریف سادہ ہے (اور کوانٹم کروموڈینامکس میں نام نہاد ولسن لوپ سے مشابہت رکھتی ہے): مثال کے طور پر اس شکل کے تاثرات ("کل توانائیاں" یا "ہیملٹنین") پر غور کیا جاتا ہے جہاں G کو گراف سمجھا جاتا ہے، جبکہ مقداریں قریبی پڑوسیوں کے درمیان نام نہاد "تبادلے کی توانائیاں" ہیں، جو (توانائی کی اکائیوں میں سمجھی جاتی ہیں) اقدار ±1 کو فرض کرتی ہیں (ریاضیاتی طور پر، یہ ایک دستخط شدہ گراف ہے)، جبکہ اسکیلر یا ویکٹوریل اسپن یا سڈو اسپن کی اندرونی مصنوعات ہیں۔ اگر گراف G کے چوتھائی یا سہ رخی چہرے P ہیں، تو مندرجہ ذیل قسم کے نام نہاد "پلاکیٹ متغیرات" PW، "لوپ پروڈکٹ" ظاہر ہوتے ہیں: اور بالترتیب، جنہیں "مایوسی کی مصنوعات" بھی کہا جاتا ہے۔ کسی کو ان مصنوعات پر ایک مجموعہ انجام دینا ہوتا ہے، جس کا خلاصہ تمام تختیوں پر کیا جاتا ہے۔ ایک واحد پلاکیٹ کا نتیجہ یا تو + 1 یا-1 ہوتا ہے۔ آخری ذکر شدہ معاملے میں تختہ "ہندسی طور پر مایوس" ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ نتیجہ میں ایک سادہ گیج غیر متغیر ہے: یہ تبدیل نہیں ہوتا ہے-اور نہ ہی دیگر قابل پیمائش مقدار، مثال کے طور پر۔ "کل توانائی"-یہاں تک کہ اگر مقامی طور پر تبادلے کے انٹیگرلز اور گھماؤ بیک وقت مندرجہ ذیل طور پر تبدیل کیے جاتے ہیں: یہاں نمبر εi اور εk صوابدیدی نشانیاں ہیں، یعنی۔ + 1 یا-1، تاکہ ترمیم شدہ ڈھانچہ مکمل طور پر بے ترتیب نظر آئے۔ اگرچہ مایوسی پر زیادہ تر پچھلی اور موجودہ تحقیق اسپن سسٹم پر مرکوز ہے، اس رجحان کا مطالعہ سب سے پہلے عام برف میں کیا گیا تھا۔ 1936 میں گیاؤک اور اسٹاؤٹ نے پانی کی اینٹروپی اور تھرموڈینامکس کا تیسرا قانون شائع کیا۔ برف کی حرارت کی صلاحیت 15 K سے 273 K تک، اعلی درجہ حرارت والی گیس کے مرحلے تک منجمد اور بخارات کی منتقلی کے ذریعے پانی پر کیلوری میٹر کی پیمائش کی اطلاع دینا۔ اینٹروپی کا حساب حرارت کی صلاحیت کو مربوط کرکے اور پوشیدہ حرارت کی شراکت کو شامل کرکے کیا گیا تھا۔ کم درجہ حرارت کی پیمائش کو ڈیبی کے اس وقت کے حال ہی میں اخذ کردہ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے صفر تک بڑھایا گیا تھا۔ نتیجے میں آنے والی اینٹروپی، S1 = 44.28 کیلوری/(K·mol) = 185.3 J/(mol·K) کا موازنہ ایک مثالی گیس، S2 = 45.10 کیلوری/(K·mol) = 188.7 J/(mol·K) کے شماریاتی میکانکس کے نظریاتی نتائج سے کیا گیا۔ دونوں اقدار S0 = 0.82 ± 0.05 کیلوری/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) سے مختلف ہیں۔ اس کے بعد اس نتیجے کو لینس پالنگ نے ایک بہترین اندازے کے مطابق سمجھایا، جس نے ظاہر کیا کہ برف میں پروٹونوں کے لیے اندرونی ترتیب کی خرابی کی وجہ سے صفر درجہ حرارت پر برف میں ایک محدود اینٹروپی (جس کا تخمینہ 0.81 کیلوری/(کے مول) یا 3.4 جے/(مول کے) ہے۔ ہیکساگونل یا کیوبک آئس مرحلے میں آکسیجن آئن O-O بانڈ کی لمبائی 2.76 Å (276 پی ایم) کے ساتھ ایک ٹیٹراہیڈرل ڈھانچہ بناتے ہیں، جبکہ O-H بانڈ کی لمبائی صرف 0.96 Å (96 پی ایم) ہوتی ہے۔ ہر آکسیجن (سفید) آئن چار ہائیڈروجن آئنوں (سیاہ) سے گھرا ہوا ہے اور ہر ہائیڈروجن آئن 2 آکسیجن آئنوں سے گھرا ہوا ہے، جیسا کہ شکل 5 میں دکھایا گیا ہے۔ اندرونی H2O مالیکیول کی ساخت کو برقرار رکھتے ہوئے، پروٹون کی کم از کم توانائی کی پوزیشن دو ملحقہ آکسیجن آئنوں کے درمیان آدھی نہیں ہوتی ہے۔ دو مساوی پوزیشنیں ہیں جو ایک ہائیڈروجن O-O بانڈ کی لکیر پر قبضہ کر سکتا ہے، ایک دور اور قریب کی پوزیشن۔ اس طرح ایک قاعدہ زمینی حالت کی ترتیب کے لیے پروٹون کی پوزیشنوں کی مایوسی کا باعث بنتا ہے: ہر آکسیجن کے لیے دو پڑوسی پروٹون کو دور کی پوزیشن میں رہنا چاہیے اور ان میں سے دو کو قریب کی پوزیشن میں رہنا چاہیے، نام نہاد 'آئس رولز'۔ پالنگ نے تجویز پیش کی کہ برف کا کھلا ٹیٹراہیڈرل ڈھانچہ برف کے اصولوں کو مطمئن کرنے والی بہت سی مساوی حالتوں کو فراہم کرتا ہے۔ پالنگ نے ترتیب جاتی اینٹروپی کا حساب مندرجہ ذیل طریقے سے کیا: برف کے ایک مول پر غور کریں، جو NO2− اور 2N پروٹانوں پر مشتمل ہے۔ ہر O-O بانڈ میں پروٹون کے لیے دو پوزیشنیں ہوتی ہیں، جو 22N ممکنہ ترتیبات کی طرف لے جاتی ہیں۔ تاہم، ہر آکسیجن سے وابستہ 16 ممکنہ ترتیبات میں سے، صرف 6 توانائی کے لحاظ سے سازگار ہیں، جو H2O مالیکیول کی رکاوٹ کو برقرار رکھتے ہیں۔ پھر ان نمبروں کی اوپری حد کا تخمینہ لگایا جاتا ہے جو زمینی حالت لے سکتی ہے اس کا تخمینہ ω <22N () N لگایا جاتا ہے۔ اسی کے مطابق تشکیل شدہ اینٹروپی S0 = kBln (ω) = NkBln () = 0.81 کیلوری/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K) گیاؤک اور اسٹاؤٹ کے ذریعہ ناپی گئی گمشدہ اینٹروپی کے ساتھ حیرت انگیز معاہدے میں ہے۔ اگرچہ پالنگ کے حساب نے پروٹانوں کی تعداد پر عالمی رکاوٹ اور ورٹزائٹ جالی پر بند لوپس سے پیدا ہونے والی مقامی رکاوٹ دونوں کو نظر انداز کیا، لیکن بعد میں اس تخمینے کو بہترین درستگی کا دکھایا گیا۔ اسپن آئس ایک ریاضیاتی طور پر پانی کی برف میں انحطاط سے مماثل صورتحال اسپن آئس میں پائی جاتی ہے۔ ایک عام گھماؤ برف کا ڈھانچہ شکل 6 میں کیوبک پائروکلور ڈھانچے میں دکھایا گیا ہے جس میں چار کونوں میں سے ہر ایک پر ایک مقناطیسی ایٹم یا آئن موجود ہے۔ مواد میں مضبوط کرسٹل فیلڈ کی وجہ سے، ہر مقناطیسی آئن کی نمائندگی ایک بڑے لمحے کے ساتھ آئزنگ گراؤنڈ اسٹیٹ ڈبلٹ کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس سے کونے کے اشتراک والے ٹیٹراہیڈرل جالی پر رہنے والے آئزنگ گھماؤ کی تصویر ظاہر ہوتی ہے جس میں مقامی کوانٹائزیشن محور، <111> کیوبک محور کے ساتھ طے شدہ گھماؤ ہوتے ہیں، جو ہر ٹیٹراہیڈرل ورٹیکس کو مرکز سے جوڑنے والی لکیروں کے ساتھ موافق ہوتے ہیں۔ توانائی کو کم کرنے کے لیے ہر ٹیٹراہیڈرل سیل میں دو گھماؤ ہونے چاہئیں جو اندر کی طرف اشارہ کرتے ہیں اور دو باہر کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ فی الحال اسپن آئس ماڈل کو تقریبا حقیقی مواد کے ذریعے محسوس کیا گیا ہے، خاص طور پر نایاب ارتھ پائروکلورس ہو 2 ٹی 2 او 7، ڈائی 2 ٹی 2 او 7، اور ہو 2 ایس این 2 او 7۔ یہ تمام مواد کم درجہ حرارت پر غیر صفر بقایا اینٹروپی ظاہر کرتے ہیں۔ پالنگ کے ماڈل کی توسیع: عمومی مایوسی اسپن آئس ماڈل مایوس نظاموں کی صرف ایک ذیلی تقسیم ہے۔ لفظ مایوسی ابتدائی طور پر کسی نظام کی اس کے اجزاء کے درمیان مسابقتی تعامل توانائی کو بیک وقت کم کرنے میں ناکامی کو بیان کرنے کے لیے متعارف کرایا گیا تھا۔ عام طور پر مایوسی یا تو سائٹ ڈس آرڈر کی وجہ سے مسابقتی تعاملات کی وجہ سے ہوتی ہے (ولن ماڈل بھی دیکھیں) یا جالی کے ڈھانچے کی وجہ سے جیسے کہ مثلث، چہرے پر مرکوز کیوبک (ایف سی سی)، ہیکساگونل-قریبی پیکڈ، ٹیٹراہیڈرون، پائروکلور اور کاگوم لیٹیسیس اینٹیفیرومیگنیٹک تعامل کے ساتھ۔ لہذا مایوسی کو دو زمروں میں تقسیم کیا گیا ہے: پہلا اسپن گلاس سے مطابقت رکھتا ہے، جس کی ساخت میں خرابی اور اسپن میں مایوسی دونوں ہیں۔ دوسرا ترتیب شدہ جالی کی ساخت اور اسپن کی مایوسی کے ساتھ ہندسی مایوسی ہے۔ اسپن گلاس کی مایوسی کو آر کے کے وائی ماڈل کے فریم ورک کے اندر سمجھا جاتا ہے، جس میں تعامل کی خاصیت، یا تو فیرومیگنیٹک یا اینٹی فیرومیگنیٹک، دو مقناطیسی آئنوں کے فاصلے پر منحصر ہوتی ہے۔ اسپن گلاس میں جالی کی خرابی کی وجہ سے، دلچسپی کا ایک چکر اور اس کے قریب ترین پڑوسی مختلف فاصلے پر ہو سکتے ہیں اور ایک مختلف تعامل کی خاصیت رکھتے ہیں، جو اس طرح اسپن کی مختلف ترجیحی صف بندی کی طرف لے جاتا ہے۔ لیتھوگرافی کی تکنیکوں کی مدد سے ذیلی مائکرو میٹر سائز کے مقناطیسی جزائر بنانا ممکن ہے جن کی ہندسی ترتیب قدرتی طور پر پائے جانے والے گھماؤ دار برف کے مواد میں پائی جانے والی مایوسی کو دوبارہ پیش کرتی ہے۔ حال ہی میں آر ایف وانگ اور دیگر۔ لیتھوگرافک طور پر من گھڑت سنگل ڈومین فیرومیگنیٹک جزائر کی صفوں پر مشتمل ایک مصنوعی ہندسی طور پر مایوس مقناطیسی کی دریافت کی اطلاع دی۔ ان جزائر کو دستی طور پر ترتیب دیا گیا ہے تاکہ برف کو گھمانے کے لیے دو جہتی اینالاگ بنایا جا سکے۔ ترتیب شدہ 'اسپن' جزائر کے مقناطیسی لمحات کو مقناطیسی قوت خوردبین (ایم ایف ایم) کے ساتھ تصویر کشی کی گئی اور پھر مایوسی کی مقامی ہم آہنگی کا اچھی طرح سے مطالعہ کیا گیا۔ مایوس شگاف کے مربع جالی پر اپنے پچھلے کام میں، انہوں نے برف کی طرح مختصر فاصلے کے ارتباط اور طویل فاصلے کے ارتباط کی عدم موجودگی دونوں کا مشاہدہ کیا، بالکل اسی طرح جیسے کم درجہ حرارت پر گھماؤ والی برف میں ہوتا ہے۔ یہ نتائج اس نامعلوم زمین کو مستحکم کرتے ہیں جس پر مایوسی کی حقیقی طبیعیات کو ان مصنوعی ہندسی طور پر مایوس مقناطیسوں کے ذریعے دیکھا اور نمونہ بنایا جا سکتا ہے، اور مزید تحقیقی سرگرمیوں کو تحریک دیتا ہے۔ یہ مصنوعی طور پر مایوس فیرومیگنیٹ میگنیٹو آپٹیکل کیر ایفیکٹ کا استعمال کرتے ہوئے بیرونی فیلڈ پر اپنے عالمی ردعمل کا مطالعہ کرتے وقت منفرد مقناطیسی خصوصیات کی نمائش کر سکتے ہیں۔ خاص طور پر، مربع جالی جبر کا غیر یک جہتی کونیی انحصار مصنوعی گھماؤ برف کے نظام میں خرابی سے متعلق پایا جاتا ہے۔ جالی کے بغیر ہندسی مایوسی ایک اور قسم کی ہندسی مایوسی مقامی ترتیب کے پھیلاؤ سے پیدا ہوتی ہے۔ ایک اہم سوال جس کا سامنا ایک گھنے مادے کے طبیعیات دان کو کرنا پڑتا ہے وہ ٹھوس کے استحکام کی وضاحت کرنا ہے۔ بعض اوقات کیمیائی نوعیت کے کچھ مقامی قوانین قائم کرنا ممکن ہے، جو کم توانائی کی تشکیل کا باعث بنتے ہیں اور اس وجہ سے ساختی اور کیمیائی ترتیب کو کنٹرول کرتے ہیں۔ عام طور پر ایسا نہیں ہوتا ہے اور اکثر مقامی تعاملات کے ذریعہ بیان کردہ مقامی ترتیب آزادانہ طور پر پھیل نہیں سکتا، جس کی وجہ سے ہندسی مایوسی ہوتی ہے۔ ان تمام نظاموں کی ایک عام خصوصیت یہ ہے کہ، سادہ مقامی اصولوں کے باوجود، وہ اکثر پیچیدہ، ساختی احساسات کا ایک بڑا مجموعہ پیش کرتے ہیں۔ جیومیٹرک مایوسی گھنے مادے کے شعبوں میں ایک کردار ادا کرتی ہے، جس میں کلسٹرز اور بے ساختہ ٹھوسوں سے لے کر پیچیدہ سیالوں تک شامل ہیں۔ ان پیچیدگیوں کو حل کرنے کے لیے نقطہ نظر کا عمومی طریقہ دو مراحل پر مشتمل ہے۔ سب سے پہلے، جگہ کے منحنی پن کی اجازت دے کر جگہ کو مکمل طور پر بھرنے کی رکاوٹ کو کم کیا جاتا ہے۔ اس مڑے ہوئے مقام میں ایک مثالی، غیر مستحکم، ساخت کی وضاحت کی گئی ہے۔ پھر، اس مثالی ٹیمپلیٹ کو تین جہتی یوکلڈین جگہ میں شامل کرنے کے لیے اس پر مخصوص مسخیاں لگائی جاتی ہیں۔ حتمی ڈھانچہ ترتیب شدہ علاقوں کا مرکب ہے، جہاں مقامی ترتیب ٹیمپلیٹ سے ملتی جلتی ہے، اور سرایت سے پیدا ہونے والے نقائص۔ ممکنہ نقائص میں، جھکاؤ ایک اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ سادہ دو جہتی مثالیں دو جہتی مثالیں مددگار ثابت ہوتی ہیں تاکہ بڑے پیمانے پر مقامی اصولوں اور جیومیٹری کے درمیان مقابلے کی ابتدا کے بارے میں کچھ سمجھ حاصل کی جا سکے۔ سب سے پہلے ہوائی جہاز پر ایک جیسی ڈسکس (ایک فرضی دو جہتی دھات کے لیے ایک ماڈل) کے انتظام پر غور کریں۔ ہم سمجھتے ہیں کہ ڈسکس کے درمیان تعامل آئسوٹروپک ہے اور مقامی طور پر ڈسکوں کو زیادہ سے زیادہ گھنے طریقے سے ترتیب دینے کا رجحان رکھتا ہے۔ تین ڈسکوں کے لیے بہترین ترتیب معمولی طور پر ایک مساوی مثلث ہے جس میں ڈسک کے مراکز مثلث کے عمودی حصوں پر واقع ہوتے ہیں۔ لہذا لمبی رینج کی ساخت کے مطالعہ کو مساوی مثلث کے ساتھ طیارہ ٹائلنگ تک کم کیا جا سکتا ہے۔ مقامی اور عالمی قوانین کے درمیان مکمل مطابقت کے ساتھ مثلث ٹائلنگ کے ذریعے ایک معروف حل فراہم کیا جاتا ہے: اس نظام کو "بے اعتبار" کہا جاتا ہے۔ لیکن اب، تعامل توانائی کو کم سے کم سمجھا جاتا ہے جب ایٹم باقاعدہ پنٹاگون کے عمودی حصوں پر بیٹھتے ہیں۔ لمبی رینج میں پھیلانے کی کوشش کرنا ان پینٹاگون کے مشترکہ کناروں (جوہری بندھن) اور عمودی حصوں (ایٹموں) کی پیکنگ ناممکن ہے۔ یہ باقاعدہ پینٹاگون کے ساتھ ہوائی جہاز کو ٹائل کرنے کی ناممکنیت کی وجہ سے ہے، صرف اس وجہ سے کہ پینٹاگون ورٹیکس زاویہ 2 کو تقسیم نہیں کرتا ہے۔ اس طرح کے تین پینٹاگون ایک مشترکہ سرے پر آسانی سے فٹ ہو سکتے ہیں، لیکن دو کناروں کے درمیان ایک خلا باقی رہتا ہے۔ یہ اس قسم کی تضاد ہے جسے "ہندسی مایوسی" کہا جاتا ہے۔ اس مشکل پر قابو پانے کا ایک طریقہ ہے۔ ٹائل کی جانے والی سطح کو کسی بھی متوقع ٹوپولوجی سے پاک ہونے دیں، اور آئیے مقامی تعامل کے اصول کے سخت اطلاق کے ساتھ ٹائل کی تعمیر کریں۔ اس سادہ سی مثال میں، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ سطح ایک دائرے کی ٹوپولوجی کو وراثت میں حاصل کرتی ہے اور اس طرح ایک منحنی پن حاصل کرتی ہے۔ حتمی ڈھانچہ، یہاں ایک پینٹاگونل ڈوڈیکاہڈرون، پینٹاگونل آرڈر کے کامل پھیلاؤ کی اجازت دیتا ہے۔ اسے سمجھی جانے والی ساخت کے لیے "مثالی" (عیب سے پاک) ماڈل کہا جاتا ہے۔ گھنے ڈھانچے اور ٹیٹراہیڈرل پیکنگ دھاتوں کا استحکام ٹھوس حالت طبیعیات کا ایک دیرینہ سوال ہے، جسے صرف مثبت طور پر چارج شدہ آئنوں اور ویلینس اور کنڈکشن الیکٹرانوں کے درمیان تعامل کو مناسب طریقے سے مدنظر رکھتے ہوئے کوانٹم مکینیکل فریم ورک میں سمجھا جا سکتا ہے۔ اس کے باوجود دھاتی بندھن کی ایک بہت ہی آسان تصویر کا استعمال کرنا ممکن ہے اور صرف ایک آئسوٹروپک قسم کے تعاملات کو برقرار رکھتا ہے، جس کی وجہ سے ایسے ڈھانچے بنتے ہیں جن کی نمائندگی گھنے پیکڈ شعبوں کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اور درحقیقت کرسٹل لائن سادہ دھات کے ڈھانچے اکثر یا تو قریبی پیکڈ چہرے پر مرکوز کیوبک (ایف سی سی) یا ہیکساگونل قریبی پیکنگ (ایچ سی پی) جالی ہوتے ہیں۔ کچھ حد تک بے ساختہ دھاتوں اور کواسی کرسٹل کو گولوں کی قریبی پیکنگ کے ذریعے بھی ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ مقامی جوہری ترتیب کو ٹیٹراہیڈرا کی قریبی پیکنگ کے ذریعے اچھی طرح سے ماڈل کیا جاتا ہے، جس کی وجہ سے ایک نامکمل آئکوساہیڈرل آرڈر ہوتا ہے۔ ایک باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون چار مساوی شعبوں کی پیکنگ کے لیے سب سے گھنے ترتیب ہے۔ اس طرح سخت دائرے کے مسئلے کی گھنے بے ترتیب پیکنگ کو ٹیٹراہیڈرل پیکنگ کے مسئلے پر نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ ٹیبل ٹینس کی گیندوں کو پیک کرنے کی کوشش کرنا ایک عملی مشق ہے تاکہ صرف ٹیٹراہیڈرل ترتیبات بن سکیں۔ ایک کامل ٹیٹراہیڈرون کے طور پر ترتیب دی گئی چار گیندوں سے شروع ہوتا ہے، اور نئے ٹیٹراہیڈر کی تشکیل کرتے ہوئے نئے دائرے شامل کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ اگلا حل، پانچ گیندوں کے ساتھ، معمولی طور پر دو ٹیٹراہیڈرا مشترکہ چہرے کا اشتراک کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ پہلے سے ہی اس حل کے ساتھ، ایف سی سی ڈھانچہ، جس میں انفرادی ٹیٹراہیڈرل سوراخ ہوتے ہیں، ایسی ترتیب نہیں دکھاتا ہے (ٹیٹراہیڈرا مشترکہ کنارے، چہرے نہیں)۔ چھ گیندوں کے ساتھ، تین باقاعدہ ٹیٹراہیڈرا بنائے جاتے ہیں، اور کلسٹر تمام کمپیکٹ کرسٹل ڈھانچے (ایف سی سی اور ایچ سی پی) کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ ساتویں دائرے کو شامل کرنے سے ایک نیا کلسٹر ملتا ہے جس میں دو "محوری" گیندیں ایک دوسرے کو چھوتی ہیں اور پانچ دیگر بعد کی دو گیندوں کو چھوتی ہیں، بیرونی شکل تقریبا باقاعدہ پینٹاگونل دو اہرام ہوتی ہے۔ تاہم، اب ہمیں پیکنگ کا ایک حقیقی مسئلہ درپیش ہے، جو دو جہتوں میں پینٹاگونل ٹائلنگ کے ساتھ اوپر پیش آنے والے مسئلے سے ملتا جلتا ہے۔ ٹیٹرا ہیڈرون کا ڈائی ہیڈرل زاویہ 2 کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتا ہے ؛ اس کے نتیجے میں، پڑوسی ٹیٹرا ہیڈر کے دو چہروں کے درمیان ایک سوراخ باقی رہتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، یوکلڈین اسپیس R3 کی ایک کامل ٹائلنگ باقاعدہ ٹیٹراہیڈرا کے ساتھ ناممکن ہے۔ مایوسی کی ایک ٹپوولوجیکل خصوصیت ہے: یوکلڈین کی جگہ کو ٹیٹراہیڈرا سے بھرنا ناممکن ہے، یہاں تک کہ شدید طور پر مسخ شدہ، اگر ہم یہ مسلط کرتے ہیں کہ ٹیٹراہیڈرا کی مستقل تعداد (یہاں پانچ) ایک مشترکہ کنارے کا اشتراک کرتی ہے۔ اگلا مرحلہ اہم ہے: جگہ میں منحنی پن کی اجازت دے کر ایک غیر محفوظ ڈھانچے کی تلاش، تاکہ مقامی ترتیبات پوری جگہ میں یکساں طور پر اور نقائص کے بغیر پھیل سکیں۔ ٹیٹراہیڈرا کی باقاعدہ پیکنگ: پولیٹوپ {3,3,5} بیس بے قاعدہ ٹیٹراہیڈرا پیک ایک مشترکہ سرے کے ساتھ اس طرح سے کہ بارہ بیرونی سرے ایک باقاعدہ آئکوساہیڈرون بناتے ہیں۔ درحقیقت، آئکوساہڈرون کنارے کی لمبائی l دائرہ دائرے کے رداس r (l ≈ 1.05r) سے قدرے لمبی ہے۔ باقاعدہ ٹیٹراہیڈرا کے ساتھ ایک حل موجود ہے اگر جگہ یوکلڈین نہیں، بلکہ کروی ہے۔ یہ پولیٹوپ {3,3,5} ہے، جو شلافلی نوٹیشن کا استعمال کرتا ہے، جسے 600 سیل بھی کہا جاتا ہے۔ ایک سو بیس عمودی ہیں جو سب ہائپر سپیئر S3 سے تعلق رکھتے ہیں جس کا رداس سنہری تناسب (φ =) کے برابر ہے اگر کناروں کی لمبائی اکائی کی ہو۔ چھ سو خلیے باقاعدہ ٹیٹراہیڈرا ہوتے ہیں جو ایک مشترکہ کنارے کے ارد گرد پانچ اور ایک مشترکہ سرے کے ارد گرد بیس سے گروہ بند ہوتے ہیں۔ اس ڈھانچے کو پولیٹوپ کہا جاتا ہے (دیکھیں کاکسٹر) جو کثیر الاضحی اور پولی ہیڈرا پر مشتمل سیریز میں اعلی طول و عرض میں عام نام ہے۔ یہاں تک کہ اگر یہ ڈھانچہ چار جہتوں میں جڑا ہوا ہے، تو اسے تین جہتی (مڑے ہوئے) کئی گنا سمجھا جاتا ہے۔ یہ نقطہ مندرجہ ذیل وجوہات کی بناء پر تصوراتی طور پر اہم ہے۔ مڑے ہوئے خلا میں جو مثالی ماڈل متعارف کرائے گئے ہیں وہ تین جہتی مڑے ہوئے ٹیمپلیٹس ہیں۔ وہ مقامی طور پر تین جہتی یوکلڈین ماڈل کے طور پر نظر آتے ہیں۔ لہذا، {3,3,5} پولیٹوپ، جو کہ ٹیٹراہیڈرا کی طرف سے ٹائلنگ ہے، ایک بہت گھنے جوہری ڈھانچے کو فراہم کرتا ہے اگر ایٹم اس کے عمودی حصوں پر واقع ہوں۔ لہذا یہ قدرتی طور پر بے ساختہ دھاتوں کے ٹیمپلیٹ کے طور پر استعمال ہوتا ہے، لیکن کسی کو یہ نہیں بھولنا چاہیے کہ یہ مسلسل آئیڈیلائزیشن کی قیمت پر ہے۔ ادب حوالہ جات گھنے مادے کی طبیعیات تھرموڈینامک اینٹروپی مقناطیسی ترتیب