Closed monoidal category
ریاضی میں، خاص طور پر زمرہ نظریہ میں، ایک بند مونوئڈل زمرہ (یا ایک مونوئڈل بند زمرہ) ایک زمرہ ہے جو ایک مونوئڈل زمرہ اور ایک بند زمرہ دونوں اس طرح سے ہے کہ ڈھانچے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک کلاسک مثال سیٹوں کا زمرہ ہے، سیٹ، جہاں سیٹوں کا مونوئڈل پروڈکٹ اور معمول کا کارٹیشین پروڈکٹ ہے، اور اندرونی ہوم ایک سے دوسرے تک افعال کا مجموعہ ہے۔ ایک غیر کارٹیشین مثال ویکٹر خالی جگہوں کا زمرہ ہے، K-Vect، کسی فیلڈ پر۔ یہاں مونوئڈل پروڈکٹ ویکٹر خالی جگہوں کا معمول کا ٹینسر پروڈکٹ ہے، اور اندرونی ہوم ایک ویکٹر اسپیس سے دوسرے ویکٹر اسپیس تک لکیری نقشوں کی ویکٹر اسپیس ہے۔ بند سمیٹرک مونوئڈل زمروں کی اندرونی زبان لکیری منطق ہے اور ٹائپ سسٹم لکیری ٹائپ سسٹم ہے۔ بند مونوئڈل زمروں کی بہت سی مثالیں ہم آہنگ ہیں۔ تاہم، یہ ہمیشہ ایسا ہونے کی ضرورت نہیں ہے، کیونکہ غیر ہم آہنگ یک جہتی زمروں کا سامنا لسانیات کے زمرہ نظریاتی فارمولیشن میں کیا جا سکتا ہے۔ تقریبا بولتے ہوئے، اس کی وجہ قدرتی زبان کے معاملات میں لفظ ترتیب ہے۔ تعریف ایک بند مونوئڈل زمرہ ایک مونوئڈل زمرہ ہے جس میں ہر شے کے لیے دائیں ٹینسرنگ کے ذریعے دیئے گئے فنکٹر کا ایک دائیں ملحقہ ہوتا ہے، لکھا ہوا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہوم سیٹوں کے درمیان ایک بائیجیکشن موجود ہے، جسے 'کریئنگ' کہا جاتا ہے، جو A اور C دونوں میں قدرتی ہے۔ ایک مختلف، لیکن عام اشارے میں، کوئی یہ کہے گا کہ فنکٹر کا ایک دائیں ملحقہ مساوی طور پر ہے، ایک بند مونوئڈل زمرہ ایک زمرہ ہے جو ہر دو اشیاء A اور B کے لیے لیس ہے، ایک شے کے ساتھ، ایک مورفزم، جو مندرجہ ذیل عالمگیر خاصیت کو مطمئن کرتا ہے: ہر مورفزم کے لیے ایک منفرد مورفزم موجود ہے جیسے کہ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ تعمیر ایک فنکٹر کی وضاحت کرتی ہے۔ اس فنکٹر کو اندرونی ہوم فنکٹر کہا جاتا ہے، اور اس شے کو اندرونی ہوم آف اینڈ کہا جاتا ہے۔ اندرونی ہوم کے لیے بہت سے دوسرے اشارے عام استعمال میں ہیں۔ جب ٹینسر پروڈکٹ کارٹیشین پروڈکٹ ہوتا ہے، تو معمول کا اشارہ ہوتا ہے اور اس شے کو ایکسپونینشل آبجیکٹ کہا جاتا ہے۔ بائیکلوزڈ اور سمیٹرک زمرے سختی سے بات کرتے ہوئے، ہم نے ایک دائیں بند مونوئڈل زمرے کی وضاحت کی ہے، کیونکہ ہمیں اس بات کی ضرورت تھی کہ کسی بھی شے کے ساتھ دائیں ٹینسرنگ کا صحیح ملحقہ ہو۔ بائیں بند مونوئڈل زمرے میں، ہم اس کے بجائے مطالبہ کرتے ہیں کہ کسی بھی شے کے ساتھ بائیں ٹینسرنگ کے فنکٹر کا دائیں طرف ملحقہ ہو۔ ایک بائیکلوزڈ مونوئڈل زمرہ ایک مونوئڈل زمرہ ہے جو بائیں اور دائیں دونوں طرف بند ہے۔ ایک سمیٹرک مونوئڈل زمرہ کو بند چھوڑ دیا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ دائیں طرف بند ہو۔ اس طرح ہم محفوظ طریقے سے 'سمیٹرک مونوئڈل کلوزڈ کیٹیگری' کے بارے میں بات کر سکتے ہیں بغیر یہ بتائے کہ یہ بائیں یا دائیں بند ہے۔ در حقیقت، عام طور پر بریڈڈ مونوئڈل زمروں کے لیے بھی یہی بات درست ہے: چونکہ بریڈنگ قدرتی طور پر آئسومورفک بناتی ہے، اس لیے بائیں طرف ٹینسرنگ اور دائیں طرف ٹینسرنگ کے درمیان فرق بے معنی ہو جاتا ہے، اس لیے ہر دائیں بند بریڈڈ مونوئڈل زمرہ کینونکل طریقے سے بند رہ جاتا ہے، اور اس کے برعکس۔ ہم نے بند مونوئڈل زمرہ جات کو ایک اضافی خاصیت کے ساتھ مونوئڈل زمرہ جات کے طور پر بیان کیا ہے۔ کوئی بھی مساوی طور پر ایک بند مونوئڈل زمرے کو ایک اضافی پراپرٹی کے ساتھ بند زمرے کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ یعنی، ہم ایک ٹینسر پروڈکٹ کے وجود کا مطالبہ کر سکتے ہیں جو اندرونی ہوم فنکٹر سے متصل رہ جائے۔ اس نقطہ نظر میں، بند مونوئڈل زمروں کو مونوئڈل بند زمرے بھی کہا جاتا ہے۔ مثالیں ہر کارٹیسی بند زمرہ ایک ہم آہنگ، مونوئڈل بند زمرہ ہوتا ہے، جب مونوئڈل ڈھانچہ کارٹیسی پروڈکٹ ڈھانچہ ہوتا ہے۔ اندرونی ہوم فنکٹر ایکسپونینشل آبجیکٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، سیٹوں کا زمرہ، سیٹ، ایک ہم آہنگ، بند یک جہتی زمرہ ہے۔ یہاں اندرونی ہوم صرف افعال کا مجموعہ ہے۔ ماڈیولز کا زمرہ، آر-موڈ ایک مواصلاتی رنگ آر پر ایک غیر کارٹیشین، سمیٹرک، مونوئڈل بند زمرہ ہے۔ مونوئڈل پروڈکٹ ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹ کے ذریعے دیا جاتا ہے اور اندرونی ہوم آر-لکیری نقشوں کی جگہ کے ذریعے اس کی قدرتی آر-ماڈیول ساخت کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، کسی فیلڈ پر ویکٹر خالی جگہوں کا زمرہ ایک ہم آہنگ، بند یک جہتی زمرہ ہے۔ ایبلین گروپوں کو زیڈ ماڈیول سمجھا جا سکتا ہے، اس لیے ایبلین گروپوں کا زمرہ بھی ایک ہم آہنگ، بند مونوئڈل زمرہ ہے۔ ایک سمیٹرک کمپیکٹ بند زمرہ ایک سمیٹرک مونوئڈل بند زمرہ ہے جس میں اندرونی ہوم فنکٹر کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ کینونکل مثال محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کا زمرہ ہے، FdVect۔ مخالف مثالیں رنگوں کا زمرہ رنگوں کے ٹینسر پروڈکٹ کے تحت ایک ہم آہنگ، یک جہتی زمرہ ہے، جس میں یونٹ آبجیکٹ کے طور پر کام کیا جاتا ہے۔ یہ زمرہ بند نہیں ہے۔ اگر ایسا ہوتا تو کسی بھی جوڑی کے درمیان بالکل ایک ہی ہم آہنگی ہوتی: ایک مواصلاتی رنگ آر پر آر-الجبراس کے زمرے کے لیے بھی یہی ہے۔ اسبل کنجوگیسی حوالہ جات مونوئڈل زمرہ بند زمرے بھی دیکھیں۔