Nonlinear Schrödinger equation
نظریاتی طبیعیات میں، (ایک جہتی) غیر لکیری شروڈنگر مساوات (این ایل ایس ای) شروڈنگر مساوات کا ایک غیر لکیری تغیر ہے۔ یہ ایک کلاسیکی فیلڈ مساوات ہے جس کی بنیادی ایپلی کیشنز غیر لکیری آپٹیکل فائبر اور پلانر ویو گائیڈز میں روشنی کے پھیلاؤ اور بوس آئن سٹائن کنڈینسیٹس کے لیے ہیں جو اوسط فیلڈ کے نظام میں انتہائی انیسوٹروپک، سگار کی شکل کے جالوں تک محدود ہیں۔ مزید برآں، یہ مساوات گہرے غیر مرئی (صفر چپچپا) پانی کی سطح پر چھوٹے طول و عرض کی کشش ثقل کی لہروں کے مطالعے میں ظاہر ہوتی ہے۔ گرم پلازما میں لینگموئر لہریں۔ آئناسفیئر کے فوکسنگ علاقوں میں ہوائی جہاز سے ہٹنے والی لہر کی بیموں کا پھیلاؤ۔ ڈیویڈوف کے الفا ہیلکس سولٹونس کا پھیلاؤ، جو سالماتی زنجیروں کے ساتھ توانائی کی نقل و حمل کے لیے ذمہ دار ہیں۔ اور بہت سے دوسرے۔ زیادہ عام طور پر، این ایل ایس ای عالمگیر مساوات میں سے ایک کے طور پر ظاہر ہوتا ہے جو کمزور غیر لکیری میڈیا میں نیم یک رنگ لہروں کے آہستہ آہستہ مختلف پیکٹوں کے ارتقاء کو بیان کرتا ہے جن میں بازی ہوتی ہے۔ لکیری شروڈنگر مساوات کے برعکس، این ایل ایس ای کبھی بھی کوانٹم حالت کے وقت کے ارتقاء کو بیان نہیں کرتا ہے۔ 1 ڈی این ایل ایس ای ایک مربوط ماڈل کی ایک مثال ہے۔ کوانٹم میکانکس میں، 1 ڈی این ایل ایس ای کلاسیکی غیر لکیری شروڈنگر فیلڈ کا ایک خاص معاملہ ہے، جو بدلے میں کوانٹم شروڈنگر فیلڈ کی کلاسیکی حد ہے۔ اس کے برعکس، جب کلاسیکی شروڈنگر فیلڈ کو کینونکل طور پر مقداری بنایا جاتا ہے، تو یہ ایک کوانٹم فیلڈ تھیوری بن جاتا ہے (جو کہ لکیری ہے، اس حقیقت کے باوجود کہ اسے "کوانٹم غیر لکیری شروڈنگر مساوات" کہا جاتا ہے) جو ڈیلٹا فنکشن تعاملات کے ساتھ بوسونک پوائنٹ کے ذرات کو بیان کرتا ہے-ذرات یا تو پیچھے ہٹ جاتے ہیں یا جب وہ ایک ہی نقطہ پر ہوتے ہیں تو اپنی طرف متوجہ ہوتے ہیں۔ درحقیقت، جب ذرات کی تعداد محدود ہوتی ہے، تو یہ کوانٹم فیلڈ تھیوری لیب-لینیگر ماڈل کے مساوی ہوتی ہے۔ کوانٹم اور کلاسیکی 1 ڈی غیر لکیری شروڈنگر مساوات دونوں مربوط ہیں۔ خاص دلچسپی لامحدود طاقت کے پسپائی کی حد ہے، اس صورت میں لیب-لینیگر ماڈل ٹونک-گیرارڈیو گیس بن جاتا ہے (جسے ہارڈ کور بوس گیس، یا ناقابل تسخیر بوس گیس بھی کہا جاتا ہے)۔ اس حد میں، بوسون، متغیرات کی تبدیلی سے جو کہ اردن-وگنر تبدیلی کی تسلسل عام کاری ہے، ایک جہتی غیر تعامل والے غیر تعامل والے نظام میں تبدیل ہو سکتے ہیں۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات گینزبرگ-لنڈاؤ مساوات کی ایک آسان 1 + 1 جہتی شکل ہے جسے 1950 میں سپر کنڈکٹیویٹی پر ان کے کام میں متعارف کرایا گیا تھا، اور آپٹیکل بیم کے مطالعہ میں واضح طور پر لکھا گیا تھا۔ کثیر جہتی ورژن لیپلاشین کے ذریعہ دوسرے مقامی مشتق کی جگہ لے لیتا ہے۔ ایک سے زیادہ جہتوں میں، مساوات مربوط نہیں ہے، یہ گرنے اور لہر کی ہنگامہ آرائی کی اجازت دیتا ہے۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات ایک غیر لکیری جزوی تفریق مساوات ہے، جو کلاسیکی اور کوانٹم میکانکس پر لاگو ہوتی ہے۔ کلاسیکی مساوات کلاسیکی فیلڈ مساوات (بے طول و عرض کی شکل میں) یہ ہے: پیچیدہ فیلڈ si (x, t) کے لیے۔ یہ مساوات ہیملٹنین سے پوسن بریکٹ کے ساتھ پیدا ہوتی ہے اس کے لکیری ہم منصب کے برعکس، یہ کبھی بھی کوانٹم حالت کے وقت کے ارتقاء کو بیان نہیں کرتی ہے۔ منفی κ کے معاملے کو فوکسنگ کہا جاتا ہے اور یہ روشن سولٹون حل (خلا میں مقامی، اور انفینیٹی کی طرف مقامی تخفیف ہونے) کے ساتھ ساتھ سانس لینے والے حل کی اجازت دیتا ہے۔ اسے بالکل الٹا بکھرنے والی تبدیلی کے استعمال سے حل کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ (نیچے دیکھیں) دکھایا گیا ہے۔ دوسرا معاملہ، κ مثبت کے ساتھ، ڈی فوکسنگ این ایل ایس ہے جس میں سیاہ سولٹون حل ہوتے ہیں (جس میں انفینیٹی پر مستقل طول و عرض ہوتا ہے، اور طول و عرض میں مقامی مقامی ڈپ ہوتا ہے)۔ کوانٹم میکانکس کوانٹائزڈ ورژن حاصل کرنے کے لیے، صرف پوسن بریکٹ کو کمیوٹیٹرز اور نارمل آرڈر ہیملٹنین سے تبدیل کریں۔ کوانٹم ورژن کو بیتھ انساتز نے لیب اور لینیگر کے ذریعے حل کیا تھا۔ تھرموڈینامکس کو چن-ننگ یانگ نے بیان کیا تھا۔ کورین نے 1993 میں کوانٹم ارتباط کے افعال کا بھی جائزہ لیا۔ اس ماڈل میں تحفظ کے اعلی قوانین ہیں-1989 میں ڈیوس اور کوریپین نے مقامی شعبوں کے لحاظ سے ان کا اظہار کیا۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات 1d میں مربوط ہے: اسے الٹا بکھرنے والی تبدیلی کے ساتھ حل کریں۔ مساوات کے متعلقہ لکیری نظام کو زاخاروف-شابات نظام کے نام سے جانا جاتا ہے: جہاں غیر لکیری شروڈنگر مساوات زاخاروف-شابات نظام کی مطابقت کی شرط کے طور پر پیدا ہوتی ہے: q = r * یا q = −r * ترتیب دینے سے غیر لکیری شروڈنگر مساوات پرکشش یا پسپا تعامل کے ساتھ حاصل کی جاتی ہے۔ ایک متبادل نقطہ نظر زاخاروف-شابات نظام کو براہ راست استعمال کرتا ہے اور مندرجہ ذیل ڈاربوکس تبدیلی کو استعمال کرتا ہے: جو نظام کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے۔ یہاں، φ ایک اور الٹا میٹرکس حل ہے (φ سے مختلف) زاخاروف-شابات نظام کا سپیکٹرم پیرامیٹر ω کے ساتھ: معمولی حل U = 0 سے شروع کرتے ہوئے اور تکرار کرتے ہوئے، کوئی n سولٹنوں کے ساتھ حل حاصل کرتا ہے۔ این ایل ایس مساوات ایک جزوی تفریقی مساوات ہے جیسے کہ مجموعی-پیٹایوسکی مساوات۔ عام طور پر اس کا تجزیاتی حل نہیں ہوتا ہے اور اس کے حل کے لیے وہی عددی طریقے استعمال کیے جاتے ہیں جو گروس-پیٹایوسکی مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جیسے کہ اسپلٹ-اسٹیپ کرینک-نکولسن اور فورئیر سپیکٹرم کے طریقے۔ اس کے حل کے لیے مختلف فورٹرن اور سی پروگرام ہیں۔ گیلیلین غیر متغیر غیر لکیری شروڈنگر مساوات مندرجہ ذیل معنوں میں گیلیلین غیر متغیر ہے: ایک حل si (x, t) کو دیکھتے ہوئے x کو x (x, t) میں ہر جگہ x + vt سے تبدیل کر کے اور اس کے فیز فیکٹر کو جوڑ کر ایک نیا حل حاصل کیا جا سکتا ہے: فائبر آپٹکس میں غیر لکیری شروڈنگر مساوات آپٹکس میں، غیر لکیری شروڈنگر مساوات ماناکوو سسٹم میں ہوتی ہے، جو فائبر آپٹکس میں لہر کے پھیلاؤ کا ایک ماڈل ہے۔ فنکشن si ایک لہر کی نمائندگی کرتا ہے اور غیر لکیری شروڈنگر مساوات غیر لکیری میڈیم کے ذریعے لہر کے پھیلاؤ کو بیان کرتی ہے۔ دوسرے درجے کا مشتق منتشر کی نمائندگی کرتا ہے، جبکہ κ اصطلاح غیر لکیری کی نمائندگی کرتی ہے۔ مساوات فائبر میں بہت سے غیر لکیری اثرات کا نمونہ بناتی ہے، جن میں سیلف فیز ماڈیولیشن، فور ویو مکسنگ، سیکنڈ ہارمونک جنریشن، محرک رمن بکھرنا، آپٹیکل سولٹون، الٹرا شارٹ دال وغیرہ شامل ہیں لیکن ان تک محدود نہیں ہیں۔ پانی کی لہروں میں غیر لکیری شروڈنگر مساوات پانی کی لہروں کے لیے، غیر لکیری شروڈنگر مساوات ماڈیولڈ لہر گروپوں کے لفافے کے ارتقاء کو بیان کرتی ہے۔ 1968 میں ایک مقالے میں، ولادیمیر ای زاخاروف نے پانی کی لہروں کی ہیملٹنین ساخت کو بیان کیا۔ اسی مقالے میں زاخاروف سے پتہ چلتا ہے کہ آہستہ آہستہ ماڈیول شدہ لہر گروپوں کے لیے، لہر کا طول و عرض تقریبا غیر لکیری شروڈنگر مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ غیر لکیری پیرامیٹر k کی قیمت پانی کی نسبتا گہرائی پر منحصر ہے۔ گہرے پانی کے لیے، پانی کی لہروں کی لہر کی لمبائی کے مقابلے میں پانی کی گہرائی بڑی ہونے کی وجہ سے، κ منفی ہے اور لفافے کے سولٹون ہو سکتے ہیں۔ مزید برآں، ان لفافے والی سولٹنوں کی گروپ کی رفتار کو وقت پر منحصر بیرونی پانی کے بہاؤ کی وجہ سے ایکسلریشن کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے۔ اتلی پانی کے لیے، جس کی طول موج پانی کی گہرائی سے 4.6 گنا زیادہ ہے، غیر لکیری پیرامیٹر k مثبت ہے اور لفافے والے سولٹون والے لہر گروپ موجود نہیں ہیں۔ اتلی پانی کی سطح کی بلندی میں سولٹن یا ترجمہ کی لہریں موجود ہیں، لیکن وہ غیر لکیری شروڈنگر مساوات کے زیر انتظام نہیں ہیں۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات کو بدمعاش لہروں کی تشکیل کی وضاحت کے لیے اہم سمجھا جاتا ہے۔ پیچیدہ میدان، جیسا کہ غیر لکیری شروڈنگر مساوات میں ظاہر ہوتا ہے، پانی کی لہروں کے طول و عرض اور مرحلے سے متعلق ہے۔ پانی کی سطح کی بلندی η کے ساتھ آہستہ آہستہ ماڈیول شدہ کیریئر لہر پر غور کریں: جہاں a (x0، t0) اور θ (x0، t0) آہستہ آہستہ ماڈیول شدہ طول و عرض اور مرحلہ ہیں۔ مزید ω0 اور k0 کیریئر لہروں کی (مستقل) کونیی تعدد اور لہر نمبر ہیں، جنہیں منتشر تعلق ω0 = ω (k0) کو پورا کرنا ہوتا ہے۔ پھر اس کا ماڈیولس |ψ | لہر کا طول و عرض a ہے، اور اس کی دلیل آرگ (si) فیز θ ہے۔ فزیکل کوآرڈینیٹس (x0، t0) اور (x, t) کوآرڈینیٹس کے درمیان تعلق، جیسا کہ اوپر دی گئی غیر لکیری شروڈنگر مساوات میں استعمال ہوتا ہے، اس طرح دیا گیا ہے: اس طرح (x, t) ایک تبدیل شدہ کوآرڈینیٹ سسٹم ہے جو کیریئر لہروں کے گروپ کی رفتار ω '(k0) کے ساتھ حرکت کرتا ہے، منتشر تعلق-منحنی خطوط ω "(k0)-جو گروپ کی رفتار کے منتشر ہونے کی نمائندگی کرتا ہے-کشش ثقل کی کارروائی کے تحت پانی کی لہروں کے لیے، پانی کی کسی بھی گہرائی کے لیے ہمیشہ منفی ہوتا ہے۔ گہرے پانی کی پانی کی سطح پر لہروں کے لیے، غیر لکیری شروڈنگر مساوات کے لیے اہمیت کے گتانک یہ ہیں: تو جہاں g زمین کی سطح پر کشش ثقل کی وجہ سے ایکسلریشن ہے۔ اصل میں (x0، t0) پانی کی لہروں کے لیے غیر لکیری شروڈنگر مساوات کو مربوط کرتا ہے: (یعنی۔ پیچیدہ کنجوگیٹ) اور تو گہرے پانی کی لہروں کے لیے۔ گیج کے مساوی ہم منصب این ایل ایس ای (1) مندرجہ ذیل آئسوٹروپک لینڈو-لفشٹز مساوات (ایل ایل ای) یا ہائزن برگ فیرومیگنیٹ مساوات کے مساوی گیج ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ مساوات 2 + 1 جہتوں میں متعدد مربوط اور غیر مربوط عامیوں کو تسلیم کرتی ہے جیسے اشیموری مساوات وغیرہ۔ صفر منحنی تشکیل این ایل ایس ای صفر کے برابر ہونے پر کسی خاص کنکشن کے منحنی پن کے برابر ہے۔ واضح طور پر، نقاط کے ساتھ، کنکشن کے اجزاء اس طرح دیے جاتے ہیں کہ پالی میٹرکس کہاں ہیں۔ پھر صفر منحنی مساوات این ایل ایس ای کے مساوی ہے۔ صفر منحنی مساوات کا نام اس لیے رکھا گیا ہے کہ اگر اس کی وضاحت کی جائے تو یہ منحنیت کے صفر کے برابر ہونے سے مطابقت رکھتی ہے۔ میٹرکس اور میٹرکس کی جوڑی کو این ایل ایس ای کے لیے لکس جوڑی کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، اس معنی میں کہ صفر منحنی مساوات لکس کی مساوات کو مطمئن کرنے کے بجائے پی ڈی ای کو بحال کرتی ہے۔ ورٹیس سے تعلق سے پتہ چلتا ہے کہ آن ورٹیکس تنوں کے کام کا غیر لکیری شروڈنگر مساوات سے گہرا تعلق ہے۔ اس کے بعد، اس خط و کتابت کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا کہ بھنور تنت کے لیے سانس لینے والے حل بھی پیدا ہو سکتے ہیں۔ کوانٹم فیلڈ تھیوری سولٹن (آپٹکس) لوگرتھمک شروڈنگر مساوات نوٹ حوالہ جات نوٹ دیگر بیرونی لنکس غیر لکیری شروڈنگر مساوات (ویڈیو) پر ٹیوٹوریل لیکچر میں متعلقہ ماڈل کے لیے اے کے این ایس سسٹم ایکہاؤس مساوات کوارٹک تعامل بھی دیکھیں۔ ایکیو ورلڈ میں کیوبک غیر لکیری کے ساتھ غیر لکیری شروڈنگر مساوات: ریاضیاتی مساوات کی دنیا۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات ایک پاور لا غیر لکیری کے ساتھ EqWurld میں: ریاضیاتی مساوات کی دنیا۔ غیر لکیری شروڈنگر مساوات کی عمومی شکل EqW World: ریاضیاتی مساوات کی دنیا۔ ڈسپرسیو ویکی میں غیر لکیری شروڈنگر مساوات کے ریاضیاتی پہلو جزوی تفریق مساوات بالکل قابل حل ماڈل شروڈنگر مساوات انٹیگریبل سسٹم