Mean absolute difference
اوسط مطلق فرق (غیر متغیر) شماریاتی بازی کی ایک پیمائش ہے جو امکان کی تقسیم سے نکالی گئی دو آزاد اقدار کے اوسط مطلق فرق کے برابر ہے۔ متعلقہ اعداد و شمار رشتہ دار اوسط مطلق فرق ہے، جو کہ اوسط مطلق فرق ہے جسے ریاضی کے اوسط سے تقسیم کیا جاتا ہے، اور گنی گتانک کے دوگنا کے برابر ہوتا ہے۔ اوسط مطلق فرق کو مطلق اوسط فرق (اوسط دستخط شدہ فرق کی مطلق قیمت کے ساتھ الجھن میں نہ پڑنا) اور گنی اوسط فرق (جی ایم ڈی) کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ اوسط مطلق فرق کو بعض اوقات δ یا ایم ڈی کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ تعریف اوسط مطلق فرق کو "اوسط" یا "اوسط" کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو کہ دو بے ترتیب متغیرات X اور Y کے مطلق فرق کی باضابطہ طور پر متوقع قیمت ہے، آزادانہ طور پر اور یکساں طور پر اسی (نامعلوم) تقسیم کے ساتھ تقسیم کیا گیا ہے جسے اب سے Q کہا جاتا ہے۔ حساب خاص طور پر، مجرد صورت میں، ق کے مطابق یکساں طور پر تقسیم شدہ آبادی کے سائز n کے بے ترتیب نمونے کے لیے، کل توقع کے قانون کے مطابق (تجرباتی) کا مطلب نمونے کی اقدار کی ترتیب کا مطلق فرق yi ہے، i = 1 سے n کو تمام ممکنہ اختلافات کی مطلق قدر کے ریاضی کے معنی کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے: اگر ق میں ایک مجرد امکان فنکشن f (y) ہے، جہاں yi، i = 1 سے n، غیر صفر امکانات والی اقدار ہیں: مسلسل صورت میں، اگر ق میں امکان کثافت فنکشن f (x) ہے: مساوات کی ایک متبادل شکل اس طرح دی گئی ہے: اگر ق میں مقداری فنکشن Q (F) کے ساتھ مجموعی تقسیم فنکشن F (x) ہے، تو پھر رشتہ دار اوسط مطلق فرق گنی گتانک کے دوگنا کے برابر ہے جس کی تعریف لورینز وکر کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ یہ رشتہ رشتہ دار اوسط مطلق فرق اور گنی گتانک دونوں کو تکمیلی نقطہ نظر فراہم کرتا ہے، بشمول ان کی اقدار کا حساب لگانے کے متبادل طریقے۔ خصوصیات اوسط مطلق فرق ترجمے اور نفی کے لیے غیر متغیر ہے، اور مثبت اسکیلنگ کے متناسب طور پر مختلف ہوتا ہے۔ یعنی، اگر X ایک بے ترتیب متغیر ہے اور c ایک مستقل ہے: ایم ڈی (X + c) = ایم ڈی (X)، ایم ڈی (−X) = ایم ڈی (X)، اور ایم ڈی (cX) = |c | ایم ڈی (X)۔ رشتہ دار اوسط مطلق فرق مثبت اسکیلنگ کے لیے غیر متغیر ہے، منفی کے ساتھ سفر کرتا ہے، اور ترجمہ کے تحت اصل اور ترجمہ شدہ ریاضی کے ذرائع کے تناسب کے تناسب میں مختلف ہوتا ہے۔ یعنی، اگر X ایک بے ترتیب متغیر ہے اور c ایک مستقل ہے: RMD (X + c) = RMD (X) · کا مطلب (X)/(کا مطلب (X) + c) = RMD (X)/(1 + c/کا مطلب (X)) c ष्ण − کا مطلب (X)، RMD (−X) = − RMD (X)، اور c> 0 کے لیے RMD (cX) = RMD (X)۔ اگر کسی بے ترتیب متغیر کا مثبت اوسط ہے، تو اس کا رشتہ دار اوسط مطلق فرق ہمیشہ صفر سے زیادہ یا اس کے برابر ہوگا۔ اگر، اضافی طور پر، بے ترتیب متغیر صرف ان اقدار کو لے سکتا ہے جو صفر سے زیادہ یا اس کے برابر ہیں، تو اس کا رشتہ دار اوسط مطلق فرق 2 سے کم ہوگا۔ معیاری انحراف کے مقابلے میں اوسط مطلق فرق ایل-پیمانے (دوسرا ایل-مومنٹ) سے دوگنا ہے، جبکہ معیاری انحراف اوسط (دوسرا روایتی مرکزی مومنٹ) کے بارے میں تغیر کا مربع جڑ ہے۔ ایل-لمحات اور روایتی لمحات کے درمیان فرق سب سے پہلے اوسط مطلق فرق اور معیاری انحراف (پہلا ایل-لمحہ اور پہلا روایتی لمحہ دونوں اوسط ہیں) کا موازنہ کرنے میں دیکھا جاتا ہے۔ معیاری انحراف اور اوسط مطلق فرق دونوں پھیلاؤ کی پیمائش کرتے ہیں-آبادی کی اقدار یا تقسیم کے امکانات کیسے پھیلتے ہیں۔ اوسط مطلق فرق کو مرکزی رجحان کی ایک مخصوص پیمائش کے لحاظ سے بیان نہیں کیا گیا ہے، جبکہ معیاری انحراف کو ریاضی کے اوسط سے انحراف کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے۔ چونکہ معیاری انحراف اپنے اختلافات کو مربع کرتا ہے، اس لیے یہ اوسط مطلق فرق کے مقابلے میں بڑے فرق کو زیادہ وزن اور چھوٹے فرق کو کم وزن دیتا ہے۔ جب ریاضی کا مطلب محدود ہوتا ہے، تو اوسط مطلق فرق بھی محدود ہوگا، یہاں تک کہ جب معیاری انحراف لامحدود ہو۔ کچھ مخصوص موازنہ کے لیے مثالیں دیکھیں۔ حال ہی میں متعارف کرایا گیا فاصلہ معیاری انحراف اوسط مطلق فرق سے ملتا جلتا کردار ادا کرتا ہے لیکن فاصلہ معیاری انحراف مرکوز فاصلے کے ساتھ کام کرتا ہے۔ ای-اعدادوشمار بھی دیکھیں۔ نمونے کا تخمینہ ایک بے ترتیب متغیر X سے بے ترتیب نمونے S کے لیے، جو n اقدار yi پر مشتمل ہے، اعداد و شمار ایم ڈی (X) کا ایک مستقل اور غیر جانبدار تخمینہ ہے۔ اعدادوشمار: آر ایم ڈی (ایکس) کا ایک مستقل تخمینہ ہے، لیکن عام طور پر غیر جانبدار نہیں ہے۔ آر ایم ڈی (ایکس) کے لیے اعتماد کے وقفوں کا حساب بوٹسٹریپ سیمپلنگ تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، آر ایم ڈی (ایکس) کے لیے کوئی غیر جانبدار تخمینہ موجود نہیں ہے، جزوی طور پر اوسط کے الٹا سے ضرب کے لیے غیر جانبدار تخمینہ تلاش کرنے میں دشواری کی وجہ سے۔ مثال کے طور پر، یہاں تک کہ جہاں نمونے کو کسی نامعلوم p کے لیے بے ترتیب متغیر X (p) سے لیا جاتا ہے، اور اس میں برنولی کی تقسیم ہوتی ہے، تاکہ اور پھر۔ لیکن RMD (X (p)) کے کسی بھی تخمینہ کار R (S) کی متوقع قیمت اس شکل کی ہوگی: جہاں r i مستقل ہیں۔ لہذا E (R (S)) کبھی بھی 0 اور 1 کے درمیان تمام p کے لیے RMD (X (p)) کے برابر نہیں ہو سکتا۔ مثالیں † بیٹا فنکشن ہے یہ بھی دیکھیں کہ مطلق غلطی کا مطلب انحراف تخمینہ گتانک تغیر کا ایل-مومنٹ حوالہ جات ذرائع شماریاتی انحراف اور پھیلاؤ خلاصہ شماریات امکان کی تقسیم کا نظریہ پیمانے کے اعداد و شمار کا فاصلہ