Engel's theorem
ریاضیات کی ایک شاخ، نمائندگی کے نظریہ میں، اینگل کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ایک محدود جہتی لائ الجبرا ایک نیلپوٹینٹ لائ الجبرا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ایک کے لیے، اس کے ذریعہ دیا گیا ملحقہ نقشہ، ایک نیلپوٹینٹ اینڈومورفزم ہے۔ یعنی، کچھ k کے لیے۔ یہ نظریہ کا نتیجہ ہے، جسے اینگل کا نظریہ بھی کہا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ اگر میٹرکس کا لائ الجبرا نیلپوٹینٹ میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے، تو تمام میٹرکس کو بیک وقت سختی سے اوپری مثلث شکل میں لایا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر ہمارے پاس محض میٹرکس کا ایک لائ الجبرا ہے جو کہ لائ الجبرا کے طور پر نیل پوٹینٹ ہے، تو یہ نتیجہ اس کی پیروی نہیں کرتا (یعنی۔ لائ کے نظریہ "قابل حل" میں "نیل پوٹینٹ"، اور "اوپری مثلث" میں "سختی سے اوپری مثلث" کے ساتھ سادہ متبادل غلط ہے ؛ یہ اسکیلر میٹرکس کے یک جہتی لائ ذیلی الجبرا کے لیے پہلے ہی ناکام ہے)۔ اس نظریہ کا نام ریاضی دان فریڈرک اینگل کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 20 جولائی 1890 کو ولہیم کلنگ کو لکھے گئے خط میں اس کا ثبوت تیار کیا تھا۔ اینگل کے طالب علم کے۔ اے۔ املاؤف نے اپنے 1891 کے مقالے میں ایک مکمل ثبوت دیا، جو اس کے نام سے دوبارہ شائع ہوا۔ بیانات ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس V اور ذیلی الجبرا کے اینڈومورفزم کا لائ الجبرا ہونے دیں۔ پھر اینگل کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ مندرجہ ذیل مساوی ہیں: ہر ایک V پر ایک نیلپوٹینٹ اینڈومورفزم ہے۔ ایک جھنڈا اس طرح موجود ہے کہ ؛ یعنی، کے عناصر بیک وقت سختی سے اوپری مثلث کے قابل ہیں۔ نوٹ کریں کہ بنیادی بیس فیلڈ پر کسی مفروضے کی ضرورت نہیں ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ بیان 2. مختلف اور V کے لیے بیان کے مساوی ہے۔ ہر غیر صفر محدود جہتی ویکٹر اسپیس V اور ذیلی الجبرا کے لیے، V میں ایک غیر صفر ویکٹر v اس طرح موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے یہ #Proof میں ثابت تھیوریم کی شکل ہے۔ (یہ بیان معمولی طور پر بیان 2 کے مساوی ہے کیونکہ یہ کسی کو مطلوبہ پراپرٹی کے ساتھ انڈکٹو طور پر پرچم بنانے کی اجازت دیتا ہے۔) عام طور پر، ایک لائ الجبرا کو نیلپوٹینٹ کہا جاتا ہے اگر اس کی نچلی مرکزی سیریز ایک محدود مرحلے میں غائب ہو جائے۔ یعنی، = (i + 1)-th پاور کے لیے، کچھ k ایسا ہے۔ پھر اینگل کے تھیوریم سے درج ذیل تھیوریم کا مطلب نکلتا ہے (جسے اینگل کا تھیوریم بھی کہا جاتا ہے): جب محدود طول و عرض ہوتا ہے، تب نیلپوٹینٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر ایک کے لیے نیلپوٹینٹ ہو۔ درحقیقت، اگر نیل پوٹینٹ آپریٹرز پر مشتمل ہے، تو 1 سے۔ 2۔ الجبرا پر لاگو ہوتا ہے، اس طرح کا جھنڈا موجود ہوتا ہے۔ چونکہ، اس کا مطلب نیل پوٹینٹ ہے۔ (اس کے برعکس تعریف سے براہ راست پیروی کرتا ہے۔) ثبوت ہم تھیوریم کی درج ذیل شکل کو ثابت کرتے ہیں: اگر ایک لائ سب الجبرہ ایسا ہے کہ ہر ایک نیلپوٹینٹ اینڈومورفزم ہے اور اگر V کا مثبت طول و عرض ہے، تو V میں ایک غیر صفر ویکٹر v موجود ہے جیسے کہ ہر X کے لیے۔ ثبوت طول و عرض پر انڈکشن کے ذریعے ہوتا ہے اور چند مراحل پر مشتمل ہوتا ہے۔ (نوٹ کریں کہ ثبوت کی ساخت لائ کے نظریہ سے بہت ملتی جلتی ہے، جس کا تعلق قابل حل الجبرا سے ہے۔) بنیادی معاملہ معمولی ہے اور ہم فرض کرتے ہیں کہ کا طول و عرض مثبت ہے۔ مرحلہ 1: کوڈیمینشن کا ایک آئیڈیل تلاش کریں۔ یہ سب سے مشکل قدم ہے۔ ایک زیادہ سے زیادہ (مناسب) ذیلی الجبرا ہونے دیں، جو محدود جہتی کے لحاظ سے موجود ہے۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ یہ کوڈیمینشن ون کا مثالی ہے۔ ہر ایک کے لیے، یہ چیک کرنا آسان ہے کہ (1) لکیری اینڈومورفزم کو جنم دیتا ہے اور (2) یہ محرک نقشہ نیلپوٹینٹ ہے (درحقیقت، نیلپوٹینٹ ہے جیسا کہ نیلپوٹینٹ ہے ؛ اردن-چیولی decomposition#Lie الجبرا دیکھیں)۔ اس طرح، کے ذریعے پیدا ہونے والے لائ سب الجبرہ پر لاگو ہونے والے انڈکٹو مفروضے کے ذریعے، ہر ایک کے لیے ایک غیر صفر ویکٹر v موجود ہے۔ اس کا مطلب ہے، اگر کچھ Y کے لیے لیکن میں نہیں، تو ہر ایک کے لیے۔ لیکن پھر Y کے ذریعے پھیلی ہوئی سب اسپیس ایک لائ سب الجبرہ ہے جس میں کوڈیمینشن ون کا آئیڈیل ہے۔ لہذا، زیادہ سے زیادہ،۔ اس سے دعوی ثابت ہوتا ہے۔ مرحلہ 2: جانے دیں۔ پھر W کو مستحکم کرتا ہے یعنی ہر ایک کے لیے۔ درحقیقت، اندر اور اندر کے لیے، ہمارے پاس ہے: چونکہ ایک مثالی ہے اور اسی طرح۔ اس طرح، ڈبلیو میں ہے۔ مرحلہ 3: ایک غیر صفر ویکٹر کو ڈھونڈ کر ثبوت کو ختم کریں جو اس کے ذریعے مارا جاتا ہے۔ لکھیں جہاں L ایک جہتی ویکٹر سب اسپیس ہے۔ فرض کریں کہ Y L میں ایک غیر صفر ویکٹر ہے اور v W میں ایک غیر صفر ویکٹر ہے۔ اب، ایک نیلپوٹینٹ اینڈومورفزم ہے (مفروضے کے مطابق) اور اسی طرح کچھ k کے لیے۔ پھر ایک مطلوبہ ویکٹر ہے کیونکہ ویکٹر مرحلہ 2 کے ذریعے W میں واقع ہے۔ لائ کا تھیوریم ہائزن برگ گروپ نوٹس سائٹیشنز ورکس بھی دیکھیں جس میں نمائندگی کے نظریہ میں لائ الجبرا تھیوریمز کی نمائندگی کا حوالہ دیا گیا ہے۔