Radon's theorem
جیومیٹری میں، کنویکس سیٹوں پر ریڈون کا نظریہ، جو 1921 میں جوہان ریڈون نے شائع کیا تھا، کہتا ہے کہ: Rd میں d + 2 پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ کو دو سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جن کے کنویکس ہلز ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ ان کنویکس ہلز کے چوراہے میں ایک نقطہ کو set.For مثال کا ریڈان پوائنٹ کہا جاتا ہے، مثال کے طور پر d = 2 کی صورت میں، یوکلڈین سطح میں چار پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ کو دو میں سے کسی ایک طریقے سے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ ایک ٹرپل اور ایک سنگلٹن تشکیل دے سکتا ہے، جہاں ٹرپل (ایک مثلث) کا کنویکس ہل سنگلٹن پر مشتمل ہوتا ہے ؛ متبادل طور پر، یہ دو جوڑے پوائنٹس تشکیل دے سکتا ہے جو دو ایک دوسرے کو عبور کرنے والی لائن کے حصوں کے اختتامی نکات بناتے ہیں۔ ثبوت اور تعمیر ڈی جہتی جگہ میں ڈی + 2 پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ پر غور کریں۔ پھر ضرب a1،.، ad + 2 کا ایک مجموعہ موجود ہے، جن میں سے سبھی صفر نہیں ہیں، لکیری مساوات کے نظام کو حل کرتے ہیں کیونکہ وہاں d + 2 نامعلوم (ضرب) ہیں لیکن صرف d + 1 مساوات ہیں جنہیں انہیں پورا کرنا چاہیے (پوائنٹس کے ہر کوآرڈینیٹ کے لیے ایک، ایک حتمی مساوات کے ساتھ مل کر ضرب کا مجموعہ صفر ہونا ضروری ہے)۔ کچھ خاص غیر صفر حل a1،.، ad + 2 کو ٹھیک کریں۔ مثبت ضرب کے ساتھ پوائنٹس کا مجموعہ ہونے دیں، اور ضرب کے ساتھ پوائنٹس کا مجموعہ ہونے دیں جو منفی یا صفر ہوں۔ پھر پوائنٹس کی مطلوبہ تقسیم کو دو ذیلی سیٹوں میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہوئے کنویکس ہلز کے ساتھ بنائیں۔ کنویکس ہلز کے اور لازمی طور پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، کیونکہ ان دونوں میں وہ نقطہ ہوتا ہے جہاں فارمولا کا بائیں ہاتھ کی طرف اس نقطہ کو اندر کے نکات کے کنویکس امتزاج کے طور پر ظاہر کرتا ہے، اور دائیں ہاتھ کی طرف اسے اندر کے نکات کے کنویکس امتزاج کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ لہذا، ثبوت کو مکمل کرتے ہوئے، دونوں کنویکس ہلز سے تعلق رکھتے ہیں۔ یہ ثبوت کا طریقہ ضرب کے لیے مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لیے گوسیائی خاتمے یا دیگر موثر الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے، طول و عرض میں کثیر الجہتی وقت کی مقدار میں ریڈان پوائنٹ کی موثر تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ ٹپوولوجیکل ریڈون تھیوریم ریڈون کے تھیوریم کی ایک مساوی تشکیل یہ ہے کہ: اگر f (d + 1) جہتی سمپلیکس δd + 1 سے Rd تک کوئی افائن فنکشن ہے، تو δd + 1 کے دو جداگانہ چہرے ہیں جن کی تصاویر f intersect.They کے تحت مساوی ہیں کیونکہ سمپلیکس پر کوئی بھی افائن فنکشن منفرد طور پر اس کے عمودی تصاویر سے طے ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، فرض کریں کہ f ایک افائن فنکشن ہے جو δd + 1 سے Rd تک ہے۔ آتے ہیں کہ یہ δd + 1 کے عمودی حصے ہوں، اور ان کی تصاویر کو f کے نیچے ہونے دیں۔ اصل تشکیل کے ذریعے، کو دو جداگانہ ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ (xi) i I میں اور (xj) j J میں، اوور لیپنگ کنویکس ہل کے ساتھ۔ کیونکہ f افائن ہے، I میں (xi) i کا کنویکس ہل I میں عمودی (vi) i کے ذریعے پھیلے ہوئے چہرے کی شبیہہ ہے، اور اسی طرح J میں (xj) j کا کنویکس ہل جے میں عمودی (vj) j کے ذریعے پھیلے ہوئے چہرے کی شبیہہ ہے۔ یہ دونوں چہرے جداگانہ ہیں، اور ان کی تصاویر f کے نیچے ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں-جیسا کہ نئی تشکیل میں دعوی کیا گیا ہے۔ ٹوپولوجیکل ریڈون تھیوریم اس فارمولیشن کو عمومی بناتا ہے۔ یہ f کو کوئی بھی مسلسل فنکشن بننے کی اجازت دیتا ہے-ضروری نہیں کہ افائن ہو: اگر f (d + 1) جہتی سمپلیکس αd + 1 سے Rd تک کوئی مسلسل فنکشن ہے، تو αd + 1 کے دو جداگانہ چہرے ہوتے ہیں جن کی تصاویر عام طور پر f intersect.More کے تحت ہوتی ہیں، اگر K کوئی (d + 1) جہتی کمپیکٹ کنویکس سیٹ ہے، اور f، K سے d جہتی جگہ تک کوئی مسلسل فنکشن ہے، تو ایک لکیری فنکشن g موجود ہوتا ہے کہ کچھ نقطہ جہاں g اپنی زیادہ سے زیادہ قیمت حاصل کرتا ہے اور کوئی دوسرا نقطہ جہاں g اپنی کم سے کم قیمت حاصل کرتا ہے، اسی نقطہ پر f کے ذریعے نقشہ بنایا جاتا ہے۔ اس صورت میں جہاں K ایک سمپلیکس ہے، g کے زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پوائنٹس سے بنے دو سمپلیکس چہرے پھر دو جداگانہ چہرے ہونے چاہئیں جن کی تصاویر میں غیر خالی چوراہا ہو۔ یہی عمومی بیان، جب سمپلیکس کے بجائے ہائپر سپیئر پر لاگو ہوتا ہے، تو بورسک-اولم تھیوریم دیتا ہے، کہ f کو دائرے کے دو مخالف نکات کو ایک ہی نقطہ پر نقشہ بنانا ہوگا۔ ثبوت ٹپوولوجیکل ریڈان تھیوریم کو اصل میں بجموکزی اور بارانی نے مندرجہ ذیل طریقے سے ثابت کیا تھا: Sd (d-جہتی دائرہ) سے δd + 1 تک ایک مسلسل نقشہ g بنائیں، تاکہ دائرے پر موجود ہر نقطہ x کے لیے، g (x) اور g (-x) δd + 1 کے دو جداگانہ چہروں پر ہوں۔ بورسک-اولم تھیوریم کو فنکشن پر لاگو کریں، جو کہ Sd سے Rd تک ایک مسلسل فنکشن ہے۔ نظریہ کہتا ہے کہ، اس طرح کے کسی بھی فنکشن کے لیے، Sd پر کچھ نقطہ y موجود ہوتا ہے، جیسے کہ f (g (y)) = f (g (-y))۔ پوائنٹس g (y) اور g (-y) δd + 1 کے دو جداگانہ چہروں پر ہیں، اور انہیں f کے ذریعے Rd کے ایک ہی نقطہ پر نقشہ بنایا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ان دو جداگانہ چہروں کی تصاویر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ ایک اور ثبوت لوواز اور شریجور نے دیا۔ تیسرا ثبوت ماتوسک نے دیا ہے: K کو سمپلیکس Δd + 1 ہونے دیں، اور خود کے ساتھ K کا حذف شدہ جوڑ ہونے دیں۔ کا ہندسی احساس دائرے Sd + 1 کے لیے ہومومورفک ہے۔ لہذا، کا Z2-انڈیکس d + 1 کے برابر ہے۔ ٹپوولوجیکل ریڈون تھیوریم مندرجہ ذیل مزید عمومی تھیوریم کی پیروی کرتا ہے۔ کسی بھی سادہ کمپلیکس K کے لیے، اگر کا Z2-انڈیکس d سے بڑا ہے، تو | |K | | سے Rd تک ہر مسلسل نقشہ سازی کے لیے، K کے دو جداگانہ چہروں کی تصاویر ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں۔ ایپلی کیشنز طیارہ میں کسی بھی چار نکات کا ریڈان پوائنٹ ان کا ہندسی میڈین ہوتا ہے، وہ نقطہ جو دوسرے نکات کے فاصلے کو کم سے کم کرتا ہے۔ ریڈان کا نظریہ کنویکس سیٹوں کے چوراہوں پر ہیلی کے نظریہ کے معیاری ثبوت کا ایک کلیدی قدم ہے۔ یہ ثبوت ریڈان کی ریڈان کے نظریہ کی اصل دریافت کا محرک تھا۔ ریڈان تھیوریم کو لکیری علیحدگی کے حوالے سے ڈی جہتی پوائنٹس کے وی سی طول و عرض کا حساب لگانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ڈی + 1 پوائنٹس کے سیٹ موجود ہیں (مثال کے طور پر، ایک باقاعدہ سمپلیکس کے پوائنٹس) جیسے کہ ہر دو غیر خالی ذیلی سیٹوں کو ہائپرپلین کے ذریعے ایک دوسرے سے الگ کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، اس بات سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ d + 2 پوائنٹس کا کون سا سیٹ دیا گیا ہے، ریڈون پارٹیشن کے دو ذیلی سیٹوں کو لکیری طور پر الگ نہیں کیا جا سکتا۔ لہذا، اس نظام کا وی سی طول و عرض بالکل d + 1 ہے۔ ایک بے ترتیب الگورتھم جو بار بار ڈی + 2 پوائنٹس کے سیٹوں کو ان کے ریڈان پوائنٹ سے تبدیل کرتا ہے، کسی بھی پوائنٹ سیٹ کے مرکز کے نقطہ پر ایک تخمینہ کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اس وقت میں جو پوائنٹس کی تعداد اور طول و عرض دونوں میں کثیر الجہتی ہو۔ متعلقہ تصورات جیومیٹرک میڈین۔ یک جہتی خلا میں تین نکات کا ریڈان نقطہ صرف ان کا میڈین ہوتا ہے۔ پوائنٹس کے سیٹ کا ہندسی میڈین وہ نقطہ ہے جو سیٹ میں موجود پوائنٹس کے فاصلے کے مجموعے کو کم کرتا ہے۔ یہ یک جہتی میڈین کو عام کرتا ہے اور اس کا مطالعہ سہولت کے مقام اور مضبوط اعداد و شمار دونوں کے نقطہ نظر سے کیا گیا ہے۔ طیارہ میں چار پوائنٹس کے سیٹوں کے لیے، ہندسی میڈین ریڈان پوائنٹ کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ ٹوربرگ کا نظریہ۔ آر سیٹوں میں تقسیم کے لیے ایک عمومی شکل دی گئی تھی اور اب اسے ٹوربرگ تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ یوکلڈین ڈی-اسپیس میں پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ کے لیے، r سبسیٹس میں ایک تقسیم ہوتی ہے جس کے کنویکس ہلز کم از کم ایک مشترکہ پوائنٹ میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ کیریتھیوڈوری کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ نکات کے کچھ سیٹ کے کنویکس ہل میں کوئی بھی نقطہ زیادہ سے زیادہ d + 1 پوائنٹس کے ذیلی سیٹ کے کنویکس ہل کے اندر بھی ہوتا ہے۔ یعنی، دیا گیا نقطہ ریڈون پارٹیشن کا حصہ ہے جس میں یہ ایک سنگلٹن ہے۔ کیریتھیوڈوری کے نظریہ کا ایک ثبوت لکیری مساوات کے نظاموں کے حل کی جانچ کرنے کی ایک تکنیک کا استعمال کرتا ہے، جو ریڈون کے نظریہ کے ثبوت سے ملتا جلتا ہے، تاکہ ایک وقت میں ایک نقطہ کو ختم کیا جا سکے جب تک کہ زیادہ سے زیادہ d + 1 باقی نہ رہے۔ کنویکس جیومیٹریز۔ ریڈون کے نظریہ سے متعلق تصورات کو کنویکس جیومیٹریز کے لیے بھی سمجھا گیا ہے، محدود سیٹوں کے خاندان ان خصوصیات کے ساتھ کہ خاندان میں کسی بھی دو سیٹوں کا چوراہا خاندان میں رہتا ہے، اور یہ کہ خالی سیٹ اور تمام سیٹوں کا اتحاد خاندان سے تعلق رکھتا ہے۔ اس زیادہ عام سیاق و سباق میں، کسی سیٹ S کا کنویکس ہل خاندان کے ممبروں کا چوراہا ہے جس میں S ہوتا ہے، اور کسی جگہ کا ریڈان نمبر سب سے چھوٹا r ہوتا ہے کہ کسی بھی r پوائنٹس کے دو ذیلی سیٹ ہوتے ہیں جن کے کنویکس ہل ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ اسی طرح، کوئی بھی ہیلی نمبر ایچ اور کیریتھیوڈری نمبر سی کی تعریف یوکلڈین خالی جگہوں میں کنویکس سیٹوں کی ان کی تعریفوں سے مشابہت کے ذریعے کر سکتا ہے، اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ اعداد عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ گراف کے لیے ریڈان تھیوریم۔ صوابدیدی غیر ہدایت شدہ گراف میں، کوئی کنویکس سیٹ کو عمودی سیٹوں کے ایک سیٹ کے طور پر بیان کر سکتا ہے جس میں سیٹ میں عمودی سیٹوں کے جوڑے کو جوڑنے والا ہر محرک راستہ شامل ہوتا ہے۔ اس تعریف کے ساتھ، گراف میں ω + 1 عمودی کے ہر سیٹ کو دو ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جن کے کنویکس ہلز ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، اور ω + 1 کم از کم نمبر ہے جس کے لیے یہ ممکن ہے، جہاں ω دیئے گئے گراف کا کلک نمبر ہے۔ مربوط راستوں کے بجائے مختصر ترین راستوں پر مشتمل متعلقہ نتائج کے لیے دیکھیں اور۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ متفرق جیومیٹری میں تھیوریمز کنویکس جیومیٹری میں تھیوریمز کنویکس ہلز جیومیٹرک ٹرانسورسل تھیوری