Mohr's circle
موہر کا دائرہ کاچی تناؤ ٹینسر کے لیے تبدیلی کے قانون کی دو جہتی گرافیکل نمائندگی ہے۔ موہر کا دائرہ اکثر مکینیکل انجینئرنگ سے متعلق حسابات میں مواد کی طاقت کے لیے، مٹی کی طاقت کے لیے جیو ٹیکنیکل انجینئرنگ، اور تعمیر شدہ ڈھانچوں کی طاقت کے لیے ساختی انجینئرنگ میں استعمال ہوتا ہے۔ یہ بہت سے طیاروں میں تناؤ کو عمودی اور افقی اجزاء تک کم کرکے ان کا حساب لگانے کے لیے بھی استعمال ہوتا ہے۔ ان کو پرنسپل پلین کہا جاتا ہے جس میں پرنسپل اسٹریسز کا حساب لگایا جاتا ہے۔ موہر کے دائرے کو گرافیکل نمائندگی میں پرنسپل طیاروں اور پرنسپل اسٹریسز کو تلاش کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، اور ایسا کرنے کے آسان ترین طریقوں میں سے ایک ہے۔ تسلسل کے طور پر فرض کردہ مادی جسم پر تناؤ کا تجزیہ کرنے کے بعد، کسی خاص مادی نقطہ پر کاچی تناؤ ٹینسر کے اجزاء کو مربوط نظام کے حوالے سے جانا جاتا ہے۔ اس کے بعد موہر دائرے کو ایک گھومنے والے کوآرڈینیٹ سسٹم پر کام کرنے والے تناؤ کے اجزاء کو گرافک طور پر طے کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، یعنی اس نقطہ سے گزرنے والے مختلف سمت والے ہوائی جہاز پر کام کرنا۔ دائرے پر ہر نقطہ کے ابسیسا اور آرڈینٹ (،) بالترتیب عام تناؤ اور شیر تناؤ کے اجزاء کے طول و عرض ہیں، جو گھومنے والے کوآرڈینیٹ سسٹم پر کام کرتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، دائرہ ان نکات کا لوکس ہے جو انفرادی طیاروں پر ان کی تمام سمتوں پر تناؤ کی حالت کی نمائندگی کرتے ہیں، جہاں محور تناؤ عنصر کے بنیادی محوروں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ 19 ویں صدی کے جرمن انجینئر کارل کلمین وہ پہلے شخص تھے جنہوں نے موڑنے کے دوران افقی بیموں میں طول البلد اور عمودی دباؤ پر غور کرتے ہوئے تناؤ کے لیے گرافیکل نمائندگی کا تصور کیا۔ ان کے کام نے ساتھی جرمن انجینئر کرسچن اوٹو موہر (دائرے کا نام) کو متاثر کیا، جس نے اسے دو اور تین جہتی تناؤ دونوں تک بڑھایا اور تناؤ کے دائرے کی بنیاد پر ناکامی کا معیار تیار کیا۔ ایک نقطہ پر تناؤ کی حالت کی نمائندگی کے لیے متبادل گرافیکل طریقوں میں لامے کا تناؤ ایلیپسائڈ اور کاچی کا تناؤ کواڈریک شامل ہیں۔ موہر دائرے کو کسی بھی سمیٹرک 2x2 ٹینسر میٹرکس پر لاگو کیا جا سکتا ہے، بشمول جمود ٹینسرز کا تناؤ اور مومنٹ۔ محرک اندرونی قوتیں کسی مسخ شدہ شے کے ذرات کے درمیان پیدا ہوتی ہیں، جسے تسلسل سمجھا جاتا ہے، اطلاق شدہ بیرونی قوتوں کے رد عمل کے طور پر، یعنی سطح کی قوتیں یا جسمانی قوتیں۔ یہ تعامل تسلسل کے لیے اویلر کے حرکت کے قوانین کی پیروی کرتا ہے، جو کسی ذرہ کے لیے نیوٹن کے حرکت کے قوانین کے مساوی ہیں۔ ان اندرونی قوتوں کی شدت کی پیمائش کو تناؤ کہا جاتا ہے۔ چونکہ شے کو تسلسل کے طور پر فرض کیا جاتا ہے، اس لیے یہ اندرونی قوتیں شے کے حجم کے اندر مسلسل تقسیم ہوتی ہیں۔ انجینئرنگ میں، مثال کے طور پر، ساختی، مکینیکل، یا جیو ٹیکنیکل، کسی شے کے اندر تناؤ کی تقسیم، مثال کے طور پر کسی سرنگ، ہوائی جہاز کے پروں، یا عمارت کے کالموں کے ارد گرد چٹان کے بڑے پیمانے پر دباؤ کا تعین تناؤ کے تجزیے کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ تناؤ کی تقسیم کا حساب لگانے سے مراد شے کے ہر نقطہ (مادی ذرہ) پر تناؤ کا تعین ہوتا ہے۔ کاچی کے مطابق، کسی شے (شکل 2) میں کسی بھی مقام پر تناؤ، جسے تسلسل کے طور پر فرض کیا جاتا ہے، کوچی اسٹریس ٹینسر کے نام سے جانے جانے والے دوسرے درجے کے ٹینسر (2,0) کے نو تناؤ اجزاء سے مکمل طور پر بیان کیا جاتا ہے،: کسی مربوط نظام کے حوالے سے شے کے اندر تناؤ کی تقسیم کا تعین کرنے کے بعد، گھومنے والے مربوط نظام کے حوالے سے کسی خاص مادی نقطہ پر تناؤ ٹینسر کے اجزاء کا حساب لگانا ضروری ہو سکتا ہے، یعنی، دلچسپی کے اس مقام سے گزرنے والے مختلف سمت کے ساتھ ہوائی جہاز پر کام کرنے والے تناؤ-مربوط نظام کے ساتھ ایک زاویہ بناتے ہیں (شکل 3)۔ مثال کے طور پر، زیادہ سے زیادہ عام تناؤ اور زیادہ سے زیادہ شیر کشیدگی کے ساتھ ساتھ طیاروں کی سمت کا پتہ لگانا دلچسپی کا باعث ہے جہاں وہ عمل کرتے ہیں۔ اس کو حاصل کرنے کے لیے، کوآرڈینیٹ سسٹم کی گردش کے تحت ٹینسر کی تبدیلی انجام دینا ضروری ہے۔ ٹینسر کی تعریف سے، کاچی اسٹریس ٹینسر ٹینسر ٹرانسفارمیشن قانون کی پابندی کرتا ہے۔ کاچی اسٹریس ٹینسر کے لیے اس تبدیلی کے قانون کی گرافیکل نمائندگی تناؤ کے لیے موہر سرکل ہے۔ تناؤ کی دو جہتی حالت کے لیے موہر کا دائرہ دو جہتوں میں، کسی بھی دو عمودی سمتوں کے حوالے سے کسی دیئے گئے مادی نقطہ پر تناؤ ٹینسر کو مکمل طور پر صرف تین تناؤ کے اجزاء سے بیان کیا جاتا ہے۔ مخصوص کوآرڈینیٹ سسٹم کے لیے یہ تناؤ کے اجزاء ہیں: عام تناؤ اور، اور شیر تناؤ۔ کونیی مومنٹم کے توازن سے، کاچی اسٹریس ٹینسر کی ہم آہنگی کا مظاہرہ کیا جا سکتا ہے۔ اس سمیٹری سے یہ ظاہر ہوتا ہے۔ اس طرح، کاچی اسٹریس ٹینسر کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: اس کا مقصد تناؤ کے اجزاء کو تلاش کرنے کے لیے موہر دائرے کا استعمال کرنا ہے اور ایک گھمایا ہوا کوآرڈینیٹ سسٹم پر، یعنی ایک مختلف سمت والے جہاز پر جو-طیارہ سے گزرتا ہے اور عمودی ہوتا ہے (شکل 4)۔ گھمایا ہوا کوآرڈینیٹ سسٹم اصل کوآرڈینیٹ سسٹم کے ساتھ ایک زاویہ بناتا ہے۔ موہر دائرے کی مساوات طیارہ کشیدگی اور طیارہ کشیدگی کے دو جہتی معاملات کے لیے موہر دائرے کی مساوات حاصل کرنے کے لیے، پہلے ایک مادی نقطہ (شکل 4) کے ارد گرد ایک دو جہتی لامحدود مادی عنصر پر غور کریں، جس کی سمت میں ایک یونٹ ایریا کے ساتھ متوازی ہو۔-طیارہ، یعنی صفحہ یا اسکرین پر عمودی۔ لامحدود عنصر پر قوتوں کے توازن سے، نارمل تناؤ اور شیر تناؤ کے طول و عرض کو اس طرح دیا جاتا ہے: {| کلاس = "ٹوکلرز کولاپسبل کولپسبل" چوڑائی = "60 ٪" سٹائل = "ٹیکسٹ-الائن: لیفٹ"! موہر کے دائرے کی پیرامیٹرک مساوات سے ماخوذ-قوتوں کا توازن |-|From (-محور) کی سمت میں قوتوں کا توازن (شکل 4)، اور یہ جانتے ہوئے کہ طیارہ کا وہ رقبہ جہاں عمل ہوتا ہے، ہمارے پاس ہے: تاہم، یہ جانتے ہوئے کہ ہم اب حاصل کرتے ہیں، (-محور) (شکل 4) کی سمت میں قوتوں کے توازن سے، اور یہ جانتے ہوئے کہ موہر کے دائرے کی پیرامیٹرک مساوات سے ماخوذ-ٹینسر ٹرانسفارمیشن |-|The اسٹریس ٹینسر ٹرانسفارمیشن قانون کو دائیں ہاتھ کی طرف توسیع کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، اور یہ جانتے ہوئے کہ ہمارے پاس ہے: تاہم، یہ جانتے ہوئے کہ ہم حاصل کرتے ہیں۔ تاہم، یہ جانتے ہوئے کہ ہم حاصل کرتے ہیں اس وقت عمل کے طیارہ سے عمودی سطح پر کام کرنے والے تناؤ کے جزو کا حساب لگانا ضروری نہیں ہے کیونکہ موہر دائرے کے لیے مساوات حاصل کرنے کے لیے اس کی ضرورت نہیں ہے۔ |} یہ دونوں مساوات موہر دائرے کی پیرامیٹرک مساوات ہیں۔ ان مساوات میں، پیرامیٹر ہے، اور اور نقاط ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ابسیسا اور آرڈینٹ کے ساتھ کوآرڈینیٹ سسٹم کا انتخاب کرنے سے، پیرامیٹر کو ویلیو دینے سے حاصل کردہ پوائنٹس کو دائرے پر رکھا جائے گا۔ ان پیرامیٹرک مساوات سے پیرامیٹر کو ختم کرنے سے موہر دائرے کی غیر پیرامیٹرک مساوات حاصل ہوگی۔ یہ مساوات کو اور کے لیے دوبارہ ترتیب دے کر حاصل کیا جا سکتا ہے، پہلے پہلی مساوات میں پہلی اصطلاح کو منتقل کر کے اور ہر مساوات کے دونوں اطراف کو مربع کر کے پھر ان کا اضافہ کر کے۔ اس طرح ہمارے پاس ہے جہاں یہ شکل کے ایک دائرے (موہر دائرے) کی مساوات ہے جس کا رداس کوآرڈینیٹ سسٹم میں نقاط کے ساتھ ایک نقطہ پر مرکوز ہے۔ مہر سرکل کا استعمال کرتے وقت سائن کنونشن کے دو الگ الگ سیٹ ہوتے ہیں جن پر غور کرنے کی ضرورت ہوتی ہے: ایک سائن کنونشن "فزیکل اسپیس" میں تناؤ کے اجزاء کے لیے، اور دوسرا "مہر-سرکل-اسپیس" میں تناؤ کے اجزاء کے لیے۔ اس کے علاوہ، سائن کنونشن کے دو سیٹوں میں سے ہر ایک کے اندر، انجینئرنگ میکانکس (ساختی انجینئرنگ اور مکینیکل انجینئرنگ) ادب جیو میکانکس ادب سے مختلف سائن کنونشن کی پیروی کرتا ہے۔ کوئی معیاری سائن کنونشن نہیں ہے، اور کسی خاص سائن کنونشن کا انتخاب ہاتھ میں موجود مخصوص مسئلے کے حساب اور تشریح کی سہولت سے متاثر ہوتا ہے۔ ان سائن کنونشنوں کی مزید تفصیلی وضاحت ذیل میں پیش کی گئی ہے۔ شکل 4 کا استعمال کرتے ہوئے مہر سرکل کی مساوات کے لیے پچھلی مشتق انجینئرنگ میکینکس سائن کنونشن کی پیروی کرتی ہے۔ اس مضمون کے لیے انجینئرنگ میکینکس سائن کنونشن استعمال کیا جائے گا۔ فزیکل اسپیس سائن کنونشن کاچی اسٹریس ٹینسر (شکل 3 اور شکل 4) کے کنونشن سے، اسٹریس اجزاء میں پہلا سبسکرپٹ اس چہرے کی نشاندہی کرتا ہے جس پر اسٹریس جزو کام کرتا ہے، اور دوسرا سبسکرپٹ اسٹریس جزو کی سمت کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس طرح شیر کا دباؤ عام ویکٹر کے ساتھ چہرے پر-محور کی مثبت سمت میں، اور-محور کی مثبت سمت میں کام کرتا ہے۔ فزیکل-اسپیس سائن کنونشن میں، مثبت نارمل تناؤ عمل کی سطح (تناؤ) کی طرف باہر کی طرف ہوتے ہیں، اور منفی نارمل تناؤ عمل کی سطح (کمپریشن) کی طرف اندر کی طرف ہوتے ہیں (شکل 5)۔ فزیکل-اسپیس سائن کنونشن میں، مثبت شیر کا دباؤ کسی محور کی مثبت سمت میں مادی عنصر کے مثبت چہروں پر عمل کرتا ہے۔ نیز، مثبت شیر کشیدگی ایک محور کی منفی سمت میں مادی عنصر کے منفی چہروں پر عمل کرتی ہے۔ ایک مثبت چہرے کا اپنا نارمل ویکٹر محور کی مثبت سمت میں ہوتا ہے، اور ایک منفی چہرے کا اپنا نارمل ویکٹر محور کی منفی سمت میں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، شیر زور دیتا ہے اور مثبت ہوتا ہے کیونکہ وہ مثبت چہروں پر عمل کرتے ہیں، اور وہ بالترتیب-محور اور-محور کی مثبت سمت میں بھی کام کرتے ہیں (شکل 3)۔ اسی طرح، متعلقہ مخالف شیر کشیدگی اور منفی چہروں میں کام کرنے کی ایک منفی علامت ہوتی ہے کیونکہ وہ بالترتیب-محور اور-محور کی منفی سمت میں کام کرتے ہیں۔ موہر-سرکل-اسپیس سائن کنونشن موہر-سرکل-اسپیس سائن کنونشن میں، عام تناؤ کی علامت وہی ہوتی ہے جو فزیکل-اسپیس سائن کنونشن میں عام تناؤ کی ہوتی ہے: مثبت نارمل تناؤ عمل کی سطح پر باہر کی طرف کام کرتے ہیں، اور منفی نارمل تناؤ عمل کی سطح پر اندر کی طرف کام کرتے ہیں۔ تاہم شیر اسٹریسز کا موہر سرکل اسپیس میں فزیکل اسپیس میں کنونشن کے مقابلے میں ایک مختلف کنونشن ہے۔ موہر-سرکل-اسپیس سائن کنونشن میں، مثبت شیر کا دباؤ مادی عنصر کو گھڑی کی مخالف سمت میں گھومتا ہے، اور منفی شیر کا دباؤ مواد کو گھڑی کی سمت میں گھومتا ہے۔ اس طرح، مہر دائرے کی جگہ میں شیر کشیدگی کا جزو مثبت ہوتا ہے، اور مہر دائرے کی جگہ میں شیر کشیدگی کا جزو منفی ہوتا ہے۔ موہر دائرے کی جگہ کھینچنے کے لیے دو اختیارات موجود ہیں، جو ریاضیاتی طور پر درست موہر دائرہ پیدا کرتے ہیں: مثبت شیر کشیدگی کو اوپر کی طرف پلاٹ کیا جاتا ہے (شکل 5، سائن کنونشن #1) مثبت شیر کشیدگی کو نیچے کی طرف پلاٹ کیا جاتا ہے، یعنی-محور الٹا ہوتا ہے (شکل 5، سائن کنونشن #2)۔ مثبت شیر کشیدگی کو اوپر کی طرف پلاٹ کرنے سے موہر دائرے پر زاویہ گھڑی کی سمت مثبت گردش کرتا ہے، جو فزیکل اسپیس کنونشن کے برعکس ہے۔ یہی وجہ ہے کہ کچھ مصنفین مثبت شیر کشیدگی کو نیچے کی طرف پلاٹ کرنے کو ترجیح دیتے ہیں، جس کی وجہ سے مہر دائرے پر زاویہ گھڑی کی مخالف سمت میں مثبت گردش کرتا ہے، جو شیر کشیدگی کے لیے فزیکل اسپیس کنونشن کی طرح ہے۔ مہر دائرے کی جگہ میں شیر کشیدگی محور کو نیچے کی طرف رکھنے کے "مسئلے" پر قابو پانے کے لیے، ایک متبادل سائن کنونشن ہے جہاں مثبت شیر کشیدگی کو مادی عنصر کو گھڑی کی سمت میں گھمانے کے لیے فرض کیا جاتا ہے اور منفی شیر کشیدگی کو مادی عنصر کو گھڑی کی مخالف سمت میں گھمانے کے لیے فرض کیا جاتا ہے (شکل 5، آپشن 3)۔ اس طرح، مثبت شیر کشیدگی کو موہر دائرے کی جگہ میں اوپر کی طرف پلاٹ کیا جاتا ہے اور موہر دائرے کی جگہ میں زاویہ گھڑی کی مخالف سمت میں مثبت گردش کرتا ہے۔ یہ متبادل سائن کنونشن ایک ایسا دائرہ پیدا کرتا ہے جو شکل 5 میں سائن کنونشن #2 سے ملتا جلتا ہے کیونکہ مثبت شیر کا دباؤ بھی گھڑی کی مخالف سمت میں شیر کا دباؤ ہوتا ہے، اور دونوں کو نیچے کی طرف پلاٹ کیا جاتا ہے۔ نیز، ایک منفی شیر کشیدگی گھڑی کی سمت شیر کشیدگی ہے، اور دونوں کو اوپر کی طرف پلاٹ کیا گیا ہے۔ یہ مضمون فزیکل اسپیس کے لیے انجینئرنگ میکینکس سائن کنونشن اور موہر سرکل اسپیس کے لیے متبادل سائن کنونشن کی پیروی کرتا ہے (شکل 5 میں سائن کنونشن #3) موہر کا دائرہ کھینچنا فرض کرتے ہوئے کہ ہم تناؤ کے اجزاء کو جانتے ہیں، اور زیر مطالعہ شے کے ایک مقام پر، جیسا کہ شکل 4 میں دکھایا گیا ہے، تناؤ کی حالت کے لیے موہر سرکل کی تعمیر کے لیے درج ذیل اقدامات ہیں: افقی-محور اور عمودی-محور کے ساتھ کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کھینچیں۔ منتخب کردہ سائن کنونشن کے بعد، دونوں عمودی طیاروں اور بالترتیب (شکل 4 اور 6) پر معروف تناؤ کے اجزاء سے مطابقت رکھنے والے دو نکات اور جگہ کو پلاٹ کریں۔ نکات کو جوڑ کر اور سیدھی لکیر کے ساتھ دائرے کا قطر کھینچیں۔ مہر سرکل کھینچیں۔ دائرے کا مرکز قطر کی لکیر کا درمیانی نقطہ ہے، جو محور کے ساتھ اس لکیر کے چوراہے سے مطابقت رکھتا ہے۔ پرنسپل نارمل تناؤ کی تلاش پرنسپل تناؤ کی شدت پوائنٹس کے ابسیسا ہیں اور (شکل 6) جہاں دائرہ-محور کو کاٹتا ہے۔ بڑے بنیادی تناؤ کی شدت ہمیشہ ان دو نکات میں سے کسی ایک کے ابسیسا کی سب سے بڑی مطلق قدر ہوتی ہے۔ اسی طرح، معمولی بنیادی تناؤ کی شدت ہمیشہ ان دو نکات کے ابسیسا کی سب سے کم مطلق قدر ہوتی ہے۔ جیسا کہ توقع کی جاتی ہے، ان دونوں نکات کے آرڈینٹس صفر ہیں، جو پرنسپل طیاروں پر شیر اسٹریس اجزاء کی شدت کے مطابق ہیں۔ متبادل طور پر، بنیادی تناؤ کی اقدار کو اس جگہ سے پایا جا سکتا ہے جہاں اوسط نارمل تناؤ کی شدت مرکز کا ابسیسا ہے، جو دائرے کے رداس کی لمبائی اور لمبائی کے ذریعہ دی گئی ہے (دو نکات سے گزرنے والے دائرے کی مساوات پر مبنی ہے)، زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قینچ کشیدگی تلاش کرکے دی گئی ہے۔ زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قینچ کشیدگی بالترتیب دائرے کے سب سے زیادہ اور سب سے کم نکات کے آرڈینٹس سے مطابقت رکھتی ہے۔ یہ نکات دائرے کے مرکز سے گزرنے والی عمودی لکیر کے ساتھ دائرے کے چوراہے پر واقع ہیں۔ اس طرح، زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم شیر کشیدگی کی شدت دائرے کے رداس کی قیمت کے برابر ہوتی ہے۔ صوابدیدی سطح پر تناؤ کے اجزاء تلاش کرنا جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، دو جہتی تناؤ کا تجزیہ کرنے کے بعد ہم تناؤ کے اجزاء کو جانتے ہیں، اور ایک مادی نقطہ پر۔ تناؤ کے یہ اجزاء دو عمودی طیاروں میں کام کرتے ہیں اور اس سے گزرتے ہیں جیسا کہ شکل 5 اور 6 میں دکھایا گیا ہے۔ موہر دائرے کا استعمال تناؤ کے اجزاء کو تلاش کرنے کے لیے کیا جاتا ہے اور، یعنی دائرے پر کسی بھی نقطہ کے نقاط، جو ہوائی جہاز کے ساتھ زاویہ بناتے ہوئے گزرتے ہوئے کسی دوسرے ہوائی جہاز پر کام کرتے ہیں۔ اس کے لیے، دو نقطہ نظر استعمال کیے جا سکتے ہیں: ڈبل اینگل، اور پول یا طیاروں کی اصل۔ ڈبل اینگل جیسا کہ شکل 6 میں دکھایا گیا ہے، ہوائی جہاز پر گھڑی کی مخالف سمت میں کام کرنے والے تناؤ کے اجزاء کا تعین کرنے کے لیے جس ہوائی جہاز پر ہم کام کرتے ہیں، ہم معروف تناؤ کے نقطہ سے نقطہ تک دائرے کے ارد گرد اسی گھڑی کی مخالف سمت میں ایک زاویہ کا سفر کرتے ہیں، یعنی لائنوں کے درمیان اور موہر دائرے میں ایک زاویہ۔ ڈبل اینگل اپروچ اس حقیقت پر منحصر ہے کہ نارمل ویکٹروں اور ان سے گزرنے والے کسی بھی دو فزیکل طیاروں کے درمیان کا زاویہ (شکل 4) موہر دائرے اور دائرے کے مرکز پر ان کے متعلقہ تناؤ کے نکات میں شامل ہونے والی دو لکیروں کے درمیان کا نصف زاویہ ہے۔ یہ دوہرا زاویہ تعلق اس حقیقت سے آتا ہے کہ موہر دائرے کے لیے پیرامیٹرک مساوات کا ایک فعل ہے۔ یہ بھی دیکھا جا سکتا ہے کہ طیاروں اور شکل 5 کے آس پاس کے مادی عنصر میں ایک زاویے سے الگ کیا گیا ہے، جس کی نمائندگی موہر دائرے میں ایک زاویے (زاویے سے دوگنا) سے کی جاتی ہے۔ قطب یا طیاروں کی ابتدا دوسرے نقطہ نظر میں مہر دائرے پر ایک نقطہ کا تعین شامل ہے جسے قطب یا طیاروں کی ابتدا کہا جاتا ہے۔ قطب سے کھینچی گئی کوئی بھی سیدھی لکیر مہر دائرے کو ایک ایسے مقام پر کاٹ دے گی جو خلا میں اسی سمت (متوازی) پر جھکے ہوئے ہوائی جہاز پر تناؤ کی حالت کی نمائندگی کرتی ہے۔ لہذا، تناؤ کے اجزاء کو جان کر اور کسی خاص سطح پر، کوئی بھی مخصوص نقاط اور موہر دائرے کے ذریعے اس سطح کے متوازی ایک لکیر کھینچ سکتا ہے اور قطب کو موہر دائرے کے ساتھ اس طرح کی لکیر کے چوراہے کے طور پر تلاش کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہمارے پاس تناؤ کے اجزاء کے ساتھ تناؤ کی حالت ہے، اور، جیسا کہ شکل 7 میں دکھایا گیا ہے۔ سب سے پہلے، ہم عمل کے سطح کے متوازی نقطہ سے ایک لکیر کھینچ سکتے ہیں، یا، اگر ہم دوسری صورت میں انتخاب کرتے ہیں، تو عمل کے سطح کے متوازی نقطہ سے ایک لکیر کھینچ سکتے ہیں۔ ان دونوں لکیروں میں سے کسی ایک کا مہر دائرے کے ساتھ چوراہا قطب ہے۔ ایک بار قطب کا تعین ہو جانے کے بعد، عمودی کے ساتھ زاویہ بنانے والے ہوائی جہاز پر دباؤ کی حالت تلاش کرنے کے لیے، یا دوسرے لفظوں میں ایک ایسا طیارہ جس کا نارمل ویکٹر افقی ہوائی جہاز کے ساتھ زاویہ بناتا ہے، پھر ہم قطب سے اس ہوائی جہاز کے متوازی ایک لکیر کھینچ سکتے ہیں (شکل 7 دیکھیں)۔ اس سطح پر نارمل اور شیر کا دباؤ پھر لائن اور موہر دائرے کے درمیان چوراہے کے نقطہ کے نقاط ہوتے ہیں۔ پرنسپل طیاروں کی سمت کا پتہ لگانا طیاروں کی سمت کا تعین جہاں زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پرنسپل تناؤ کام کرتے ہیں، جسے پرنسپل طیاروں کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، موہر دائرے میں بالترتیب اینگل اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اینگلوں اس طرح، اور کے درمیان کا زاویہ اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل اینگل۔ زاویہ اور درج ذیل مساوات سے بھی پایا جا سکتا ہے یہ مساوات دو اقدار کی وضاحت کرتی ہے جن کے لیے الگ ہیں (شکل)۔ یہ مساوات براہ راست دائرے کی جیومیٹری سے حاصل کی جا سکتی ہے، یا دائرے کی پیرامیٹرک مساوات کو صفر کے برابر بنا کر (پرنسپل طیاروں میں شیر کا دباؤ ہمیشہ صفر ہوتا ہے)۔ مثال کے طور پر کسی مادی عنصر کو تناؤ کی حالت میں فرض کریں جیسا کہ شکل 8 اور شکل 9 میں دکھایا گیا ہے، جس کے ایک طرف کا طیارہ افقی سطح کے حوالے سے 10° پر مبنی ہے۔ موہر دائرے کا استعمال کرتے ہوئے، تلاش کریں: ان کے عمل کے طیاروں کی سمت۔ زیادہ سے زیادہ شیر ان کے عمل کے طیاروں پر زور دیتا ہے اور سمت بندی کرتا ہے۔ افقی سطح پر تناؤ کے اجزاء۔ تناؤ کی تبدیلی کے فارمولوں یا تناؤ کی تبدیلی کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے جوابات کی جانچ کریں۔ حل: فزیکل اسپیس (شکل 5) کے لیے انجینئرنگ میکینکس سائن کنونشن کے بعد، اس مثال میں مادی عنصر کے لیے تناؤ کے اجزاء یہ ہیں: تناؤ کی اس خاص حالت کے لیے موہر دائرے کو کھینچنے کے مراحل پر عمل کرتے ہوئے، ہم سب سے پہلے اوپر کی طرف-محور کے ساتھ ایک کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کھینچتے ہیں۔ اس کے بعد ہم دو نکات A (50,40) اور B (-10,-40) کو پلاٹ کرتے ہیں، جو طیارہ A اور B پر تناؤ کی حالت کی نمائندگی کرتے ہیں جیسا کہ شکل 8 اور شکل 9 دونوں میں دکھایا گیا ہے۔ یہ نکات موہر سرکل اسپیس (شکل 5) کے لیے انجینئرنگ میکینکس سائن کنونشن کی پیروی کرتے ہیں، جو یہ فرض کرتا ہے کہ مثبت نارمل مادی عنصر سے باہر کی طرف دباؤ ڈالتے ہیں، اور مثبت شیر ہر سطح پر مادی عنصر کو گھڑی کی سمت گھومتے ہوئے دباؤ ڈالتا ہے۔ اس طرح، طیارہ B پر کام کرنے والا شیر تناؤ منفی ہوتا ہے اور طیارہ A پر کام کرنے والا شیر تناؤ مثبت ہوتا ہے۔ دائرے کا قطر نقطہ A اور B کو جوڑنے والی لکیر ہے۔ دائرے کا مرکز-محور کے ساتھ اس لکیر کا چوراہا ہے۔ مرکز کے مقام اور قطر کی لمبائی دونوں کو جان کر، ہم تناؤ کی اس خاص حالت کے لیے مہر دائرے کو پلاٹ کرنے کے قابل ہیں۔ دونوں پوائنٹس E اور C (شکل 8 اور شکل 9) کے ابسیسا جو-محور کو کاٹتے ہیں بالترتیب کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ نارمل تناؤ کے طول و عرض ہیں۔ دونوں پوائنٹس E اور C کے آرڈینٹس بالترتیب معمولی اور بڑے دونوں پرنسپل طیاروں پر کام کرنے والے شیر تناؤ کے طول و عرض ہیں، جو کہ پرنسپل طیاروں کے لیے صفر ہے۔ اگرچہ موہر دائرے کو استعمال کرنے کا خیال دائرے پر مختلف نکات کے لیے نقاط کی پیمائش کرکے گرافک طور پر مختلف تناؤ کے اجزاء کو تلاش کرنا ہے، لیکن تجزیاتی طور پر نتائج کی تصدیق کرنا زیادہ آسان ہے۔ اس طرح، دائرے کے مرکز کا رداس اور ابسیسا ہیں اور بنیادی دباؤ ہیں۔ دونوں پوائنٹس H اور G (شکل 8 اور شکل 9) کے لیے نقاط بالترتیب کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ شیر کشیدگی کے طول و عرض ہیں۔ دونوں پوائنٹس H اور G کے لیے ابسیسا ایک ہی طیاروں پر کام کرنے والے عام دباؤ کے طول و عرض ہیں جہاں بالترتیب کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ شیر کشیدگی کام کرتی ہے۔ کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ شیر کشیدگی کے طول و عرض کو تجزیاتی طور پر پایا جا سکتا ہے اور ان ہی طیاروں پر کام کرنے والے عام کشیدگی جہاں کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ شیر کشیدگی کا عمل برابر ہے۔ ہم یا تو ڈبل اینگل اپروچ (شکل 8) یا پول اپروچ (شکل 9) کا استعمال کرنے کا انتخاب کر سکتے ہیں تاکہ پرنسپل نارمل کشیدگی اور پرنسپل شیر کشیدگی کی واقفیت تلاش کی جا سکے۔ دوہرے زاویے کے نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے ہم موہر سرکل (شکل 8) میں زاویے این اے ٹی بی او سی اور این اے ٹی بی او ای کی پیمائش کرتے ہیں تاکہ فزیکل اسپیس میں طیارہ بی کے ساتھ بڑے پرنسپل اسٹریس اور معمولی پرنسپل اسٹریس کا دوگنا زاویہ تلاش کیا جا سکے۔ ان زاویوں کے لیے زیادہ درست قدر حاصل کرنے کے لیے، دستی طور پر زاویوں کی پیمائش کرنے کے بجائے، ہم تجزیاتی اظہار استعمال کر سکتے ہیں۔ شکل 8 کے معائنے سے، یہ قدر زاویہ ά BOE سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس طرح، معمولی بنیادی زاویہ ہے۔ پھر، اہم بنیادی زاویہ یہ ہے کہ یاد رکھیں کہ اس خاص مثال میں اور وہ (-محور میں مبنی) کے عمل کے طیارہ کے حوالے سے زاویہ ہیں نہ کہ (-محور میں مبنی) کے عمل کے طیارہ کے حوالے سے زاویہ۔ پول اپروچ کا استعمال کرتے ہوئے، ہم پہلے پول یا طیاروں کی اصل کو مقامی بناتے ہیں۔ اس کے لیے، ہم موہر دائرے پر نقطہ A کے ذریعے افقی کے ساتھ 10° جھکی ہوئی لکیر کھینچتے ہیں، یا، دوسرے الفاظ میں، طیارہ A کے متوازی ایک لکیر جہاں عمل ہوتا ہے۔ قطب وہ جگہ ہے جہاں یہ لکیر مہر دائرے کو کاٹتی ہے (شکل 9)۔ قطب کے مقام کی تصدیق کے لیے، ہم طیارہ B کے متوازی موہر دائرے پر نقطہ B کے ذریعے ایک لکیر کھینچ سکتے ہیں جہاں عمل ہوتا ہے۔ یہ لکیر قطب پر مہر دائرے کو بھی کاٹتی ہے (شکل 9)۔ قطب سے ہم مہر دائرے پر مختلف نکات پر لکیریں کھینچتے ہیں۔ ان نکات کے نقاط جہاں یہ لکیریں موہر کے دائرے کو کاٹتی ہیں جسمانی جگہ میں ہوائی جہاز پر کام کرنے والے تناؤ کے اجزاء کی نشاندہی کرتے ہیں جو لائن کی طرح جھکاؤ رکھتے ہیں۔ مثال کے طور پر، دائرے میں قطب سے نقطہ C تک کی لکیر کا جھکاؤ وہی ہے جو فزیکل اسپیس میں طیارہ کا ہے جہاں عمل ہوتا ہے۔ یہ طیارہ طیارہ B کے ساتھ 63.435 ° کا زاویہ بناتا ہے، موہر دائرے کی جگہ اور جسمانی جگہ دونوں میں۔ اسی طرح، قطبین پر تناؤ کے اجزاء کو اسی سمت کے ساتھ تلاش کرنے کے لیے قطبین سے نکات E، D، F، G اور H تک لکیروں کا سراغ لگایا جاتا ہے۔ تناؤ کی عمومی تین جہتی حالت کے لیے موہر کا دائرہ کسی نقطہ پر تناؤ کی عمومی تین جہتی صورت کے لیے موہر دائرے کی تعمیر کے لیے، بنیادی تناؤ کی اقدار اور ان کی بنیادی سمتوں کا پہلے جائزہ لیا جانا چاہیے۔ پرنسپل محوروں کو کوآرڈینیٹ سسٹم کے طور پر مدنظر رکھتے ہوئے، عمومی کے بجائے، کوآرڈینیٹ سسٹم، اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ، پھر اسٹریس ویکٹر کے نارمل اور شیر اجزاء، یونٹ ویکٹر کے ساتھ دیئے گئے طیارے کے لیے، درج ذیل مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ یہ جانتے ہوئے، ہم گاؤس کے خاتمے کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، کے لیے حل کر سکتے ہیں، جو نتیجہ دیتا ہے۔ چونکہ، اور غیر منفی ہے، ان مساوات کے نمبر ڈینومینیٹر اور ڈینومینیٹر کے طور پر اور ڈینومینیٹر کے طور پر مطمئن ہوتے ہیں۔ ان تاثرات کو دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جو بالترتیب تناؤ کے لیے تین موہر کے حلقوں کی مساوات ہیں، اور، ریڈی کے ساتھ، اور، اور ان کے مراکز کو کوآرڈینیٹس کے ساتھ۔ موہر حلقوں کے لیے یہ مساوات ظاہر کرتی ہیں کہ تمام قابل قبول دباؤ کے نکات ان حلقوں پر یا ان سے منسلک سایہ دار علاقے کے اندر ہوتے ہیں (شکل 10 دیکھیں)۔ دائرے کے لیے مساوات کو مطمئن کرنے والے تناؤ کے نکات دائرے پر یا باہر ہوتے ہیں۔ دائرے کے لیے مساوات کو مطمئن کرنے والے تناؤ کے نکات دائرے پر یا دائرے کے اندر ہوتے ہیں۔ اور آخر میں، دائرے کے لیے مساوات کو مطمئن کرنے والے تناؤ کے نکات دائرے پر یا باہر ہوتے ہیں۔ تنقیدی طیارہ تجزیہ حوالہ جات ببلیوگرافی بیرونی روابط موہر کا دائرہ اور مزید حلقے بذریعہ ربیکا برینن ڈو آئی ٹی پی او ایم ایس ٹیچنگ اینڈ لرننگ پیکیج-"تناؤ کا تجزیہ اور موہر کا دائرہ" کلاسیکی میکانکس لچک (طبیعیات) ٹھوس میکانکس میکانکس حلقے