Gas in a box
کوانٹم میکانکس میں، باکس میں موجود کوانٹم ذرہ کے نتائج کو ایک باکس میں موجود کوانٹم آئیڈیل گیس کے لیے توازن کی صورتحال کو دیکھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کہ ایک ایسا باکس ہے جس میں بڑی تعداد میں مالیکیولز ہوتے ہیں جو فوری تھرملائزنگ تصادم کے علاوہ ایک دوسرے کے ساتھ تعامل نہیں کرتے۔ اس سادہ ماڈل کو کلاسیکی آئیڈیل گیس کے ساتھ ساتھ مختلف کوانٹم آئیڈیل گیسوں کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جیسے کہ مثالی بڑے پیمانے پر فرمی گیس، مثالی بڑے پیمانے پر بوس گیس کے ساتھ ساتھ بلیک باڈی ریڈی ایشن (فوٹون گیس) جسے ماس لیس بوس گیس کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جس میں تھرملائزیشن کو عام طور پر ایک مساوی کمیت کے ساتھ فوٹونوں کے تعامل سے آسان سمجھا جاتا ہے۔ میکسویل-بولٹزمین کے اعداد و شمار، بوس-آئن سٹائن کے اعداد و شمار یا فرمی-ڈیراک کے اعداد و شمار کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، اور ایک بہت بڑے خانے کی حد پر غور کرتے ہوئے، تھامس-فرمی کا تخمینہ (جس کا نام اینریکو فرمی اور لیولین تھامس کے نام پر رکھا گیا ہے) توانائی کی حالتوں کی انحطاط کو تفریق کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور ریاستوں پر خلاصہ انٹیگرلز کے طور پر۔ یہ گیس کی تھرموڈینامک خصوصیات کو پارٹیشن فنکشن یا گرینڈ پارٹیشن فنکشن کے استعمال سے شمار کرنے کے قابل بناتا ہے۔ ان نتائج کا اطلاق بڑے اور بے کمیت دونوں ذرات پر کیا جائے گا۔ مزید مکمل حسابات کو الگ الگ مضامین پر چھوڑ دیا جائے گا، لیکن کچھ آسان مثالیں اس مضمون میں دی جائیں گی۔ حالتوں کے انحطاط کے لیے تھامس-فرمی کا تخمینہ ایک ڈبے میں بڑے اور بڑے دونوں ذرات کے لیے، کسی ذرہ کی حالتوں کو کوانٹم نمبروں کے ایک سیٹ سے شمار کیا جاتا ہے۔ مومنٹم کی شدت اس طرح دی جاتی ہے جہاں h پلانک کا مستقل ہے اور L باکس کے ایک طرف کی لمبائی ہے۔ کسی ذرہ کی ہر ممکنہ حالت کو مثبت انٹیجرز کے 3 جہتی گرڈ پر ایک نقطہ کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ کوانٹم نمبروں کا ہر سیٹ f حالتوں کی وضاحت کرتا ہے جہاں f ذرہ کی داخلی ڈگری آف فریڈم کی تعداد ہے جسے تصادم کے ذریعے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گھومنے والے ذرہ میں f = 2 ہوگا، ہر گھومنے والی حالت کے لیے ایک۔ n کی بڑی اقدار کے لیے، مندرجہ بالا مساوات سے p سے کم یا اس کے برابر رفتار کی شدت والی حالتوں کی تعداد تقریبا ہے جو کہ رداس n کے دائرے کے حجم کا صرف f گنا ہے جسے آٹھ سے تقسیم کیا جاتا ہے کیونکہ صرف مثبت ni والا آکٹینٹ سمجھا جاتا ہے۔ تسلسل کے تخمینے کا استعمال کرتے ہوئے، p اور p + dp کے درمیان رفتار کی شدت والی حالتوں کی تعداد اس لیے ہے جہاں V = L3 باکس کا حجم ہے۔ نوٹ کریں کہ اس تسلسل کے تخمینے کو استعمال کرنے میں، جسے تھامس-فرمی تخمینہ بھی کہا جاتا ہے، کم توانائی کی حالتوں کو نمایاں کرنے کی صلاحیت ختم ہو جاتی ہے، بشمول زمینی حالت جہاں ni = 1 ہے۔ زیادہ تر معاملات میں یہ کوئی مسئلہ نہیں ہوگا، لیکن جب بوس-آئن سٹائن کے ارتکاز پر غور کیا جائے، جس میں گیس کا ایک بڑا حصہ زمینی حالت میں یا اس کے قریب ہوتا ہے، تو کم توانائی کی حالتوں سے نمٹنے کی صلاحیت اہم ہو جاتی ہے۔ کسی اندازے کا استعمال کیے بغیر، توانائی εi والے ذرات کی تعداد اس طرح دی جاتی ہے کہ حالت i کی انحطاط کہاں ہے اور β = 1/kBT، بولٹزمین کا مستقل kB، درجہ حرارت T، اور کیمیائی صلاحیت μ کے ساتھ۔ (میکسویل-بولٹزمین کے اعداد و شمار، بوس-آئن سٹائن کے اعداد و شمار، اور فرمی-ڈیراک کے اعداد و شمار دیکھیں۔) تھامس-فرمی تخمینہ کا استعمال کرتے ہوئے، ای اور ای + ڈی ای کے درمیان توانائی کے ساتھ ڈی این ای ذرات کی تعداد یہ ہے: ای اور ای + ڈی ای کے درمیان توانائی والی حالتوں کی تعداد کہاں ہے۔ توانائی کی تقسیم اس مضمون کے پچھلے حصوں سے حاصل کردہ نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، اب ایک ڈبے میں موجود گیس کے لیے کچھ تقسیم کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ ذرات کے نظام کے لیے، متغیر کے لیے تقسیم کی تعریف اس اظہار کے ذریعے کی جاتی ہے جو ذرات کا وہ حصہ ہے جس کی اقدار درمیان اور کہاں کے لیے ہوتی ہیں، ذرات کی تعداد جن کی اقدار درمیان اور کے لیے ہوتی ہیں، حالتوں کی تعداد جن کی اقدار درمیان اور کے لیے ہوتی ہیں، امکان ہے کہ ایسی حالت جس کی قدر ہو، کسی ذرہ کے قبضے میں ہو، ذرات کی کل تعداد۔ اس کے بعد یہ ہے کہ: رفتار کی تقسیم کے لیے، اور کے درمیان رفتار کی شدت والے ذرات کا حصہ ہے: اور توانائی کی تقسیم کے لیے، اور کے درمیان توانائی والے ذرات کا حصہ ہے: ایک ڈبے میں موجود ذرہ کے لیے (اور ایک آزاد ذرہ کے لیے بھی)، بڑے اور کمیت کے بغیر ذرات کے لیے توانائی اور رفتار کے درمیان تعلق مختلف ہے۔ بڑے ذرات کے لیے، جبکہ بڑے ذرات کے بغیر ذرات کے لیے، ذرہ کی کمیت کہاں ہے اور روشنی کی رفتار کہاں ہے۔ ان رشتوں کا استعمال کرتے ہوئے، بڑے ذرات کے لیے گیس کی تھرمل طول موج کہاں ہے۔ یہ ایک اہم مقدار ہے، کیونکہ جب بین ذرہ فاصلے کی ترتیب پر ہوتا ہے، تو کوانٹم اثرات غالب ہونے لگتے ہیں اور گیس کو اب میکسویل-بولٹزمین گیس نہیں سمجھا جا سکتا۔ کمیت کے بغیر ذرات کے لیے اب کمیت کے بغیر ذرات کے لیے تھرمل طول موج کہاں ہے۔ مخصوص مثالیں درج ذیل حصے کچھ مخصوص معاملات کے نتائج کی مثال دیتے ہیں۔ بڑے پیمانے پر میکسویل-بولٹزمین ذرات اس معاملے کے لیے: توانائی کی تقسیم کی تقریب کو مربوط کرنے اور N کے لیے حل کرنے سے اصل توانائی کی تقسیم کی تقریب میں تبدیل کرنے سے وہی نتائج ملتے ہیں جو میکسویل-بولٹزمین کی تقسیم کے لیے کلاسیکی طور پر حاصل کیے گئے ہیں۔ مزید نتائج مثالی گیس پر مضمون کے کلاسیکی حصے میں مل سکتے ہیں۔ بڑے بوس-آئن سٹائن کے ذرات اس معاملے کے لیے: جہاں توانائی کی تقسیم کے فنکشن کو مربوط کرنے اور N کے لیے حل کرنے سے ذرہ نمبر ملتا ہے جہاں Lis (z) پولی لوگرتھم فنکشن ہے۔ پولی لوگرتھم کی اصطلاح ہمیشہ مثبت اور حقیقی ہونی چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ اس کی قیمت 0 سے ζ (3/2) تک جائے گی کیونکہ z 0 سے 1 تک جاتا ہے۔ جیسے جیسے درجہ حرارت صفر کی طرف گرتا جائے گا، بڑا اور بڑا ہوتا جائے گا، یہاں تک کہ آخر میں ایک اہم قدر تک پہنچ جائے گا جہاں z = 1 اور جہاں ریمن زیٹا فنکشن کی نشاندہی کرتا ہے۔ وہ درجہ حرارت جس پر اہم درجہ حرارت ہوتا ہے۔ اس نازک درجہ حرارت سے نیچے کے درجہ حرارت کے لیے، ذرہ نمبر کے لیے مندرجہ بالا مساوات کا کوئی حل نہیں ہے۔ نازک درجہ حرارت وہ درجہ حرارت ہے جس پر بوس آئن سٹائن کنڈینسیٹ بننا شروع ہوتا ہے۔ مسئلہ یہ ہے، جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، کہ زمینی حالت کو تسلسل کے تخمینے میں نظر انداز کر دیا گیا ہے۔ تاہم، یہ پتہ چلتا ہے کہ ذرہ نمبر کے لیے مذکورہ مساوات پرجوش حالتوں میں بوسون کی تعداد کو اچھی طرح سے ظاہر کرتی ہے، اور اس طرح: جہاں اضافی اصطلاح زمینی حالت میں ذرات کی تعداد ہے۔ زمینی ریاستی توانائی کو نظر انداز کر دیا گیا ہے۔ یہ مساوات صفر درجہ حرارت تک برقرار رہے گی۔ مزید نتائج مثالی بوس گیس پر مضمون میں مل سکتے ہیں۔ ماس لیس بوس-آئن سٹائن ذرات (مثال کے طور پر۔ بلیک باڈی ریڈی ایشن) ماس لیس ذرات کے معاملے میں، ماس لیس انرجی ڈسٹری بیوشن فنکشن کا استعمال کیا جانا چاہیے۔ اس فنکشن کو فریکوئنسی ڈسٹری بیوشن فنکشن میں تبدیل کرنا آسان ہے: ماس لیس پارٹیکلز کے لیے تھرمل ویو لینتھ کہاں ہے۔ اس کے بعد سپیکٹرم توانائی کی کثافت (توانائی فی یونٹ حجم فی یونٹ فریکوئنسی) ہوتی ہے۔ دیگر تھرموڈینامک پیرامیٹرز کو بڑے ذرات کے معاملے کے مطابق حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، فریکوئنسی ڈسٹری بیوشن فنکشن کو مربوط کرنے اور N کے لیے حل کرنے سے ذرات کی تعداد ملتی ہے: سب سے عام ماس لیس بوس گیس بلیک باڈی میں ایک فوٹون گیس ہے۔ "باکس" کو بلیک باڈی کیوٹی سمجھتے ہوئے، فوٹون مسلسل جذب ہوتے رہتے ہیں اور دیواروں کے ذریعے دوبارہ خارج ہوتے رہتے ہیں۔ جب ایسا ہوتا ہے تو، فوٹونوں کی تعداد محفوظ نہیں ہوتی ہے۔ بوس-آئن سٹائن کے اعداد و شمار کے مشتق میں، جب ذرات کی تعداد پر پابندی کو ہٹا دیا جاتا ہے، تو یہ مؤثر طریقے سے کیمیائی صلاحیت (μ) کو صفر پر ترتیب دینے کے مترادف ہے۔ مزید برآں، چونکہ فوٹونوں کی دو گردش ریاستیں ہوتی ہیں، اس لیے f کی قیمت 2 ہے۔ اس کے بعد سپیکٹرم توانائی کی کثافت ہے جو کہ بلیک باڈی تابکاری کے پلانک کے قانون کے لیے صرف سپیکٹرم توانائی کی کثافت ہے۔ نوٹ کریں کہ وین کی تقسیم کو بازیافت کیا جاتا ہے اگر یہ طریقہ کار ماس لیس میکسویل-بولٹزمین ذرات کے لیے کیا جاتا ہے، جو اعلی درجہ حرارت یا کم کثافت کے لیے پلانک کی تقسیم کا تخمینہ لگاتا ہے۔ بعض حالات میں، فوٹونوں پر مشتمل رد عمل کے نتیجے میں فوٹونوں کی تعداد کا تحفظ ہوگا (مثال کے طور پر۔ روشنی خارج کرنے والے ڈایڈس، "سفید" گہا)۔ ان صورتوں میں، فوٹون ڈسٹری بیوشن فنکشن میں غیر صفر کیمیائی صلاحیت شامل ہوگی۔ (ہرمن 2005) ایک اور ماس لیس بوس گیس گرمی کی صلاحیت کے لیے ڈیبی ماڈل کے ذریعے دی گئی ہے۔ یہ ماڈل باکس میں فونون کی گیس پر غور کرتا ہے اور فوٹونوں کی نشوونما سے اس لحاظ سے مختلف ہے کہ فونون کی رفتار روشنی کی رفتار سے کم ہوتی ہے، اور باکس کے ہر محور کے لیے زیادہ سے زیادہ اجازت شدہ طول موج ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ فیز اسپیس پر انضمام کو انفینیٹی تک نہیں کیا جا سکتا، اور نتائج کو پولی لوگرتھمز میں ظاہر کرنے کے بجائے، ان کا اظہار متعلقہ ڈیبی افعال میں کیا جاتا ہے۔ بڑے پیمانے پر فرمی ڈیراک ذرات (مثال کے طور پر۔ دھات میں الیکٹران) اس معاملے کے لیے: توانائی کی تقسیم کی تقریب کو مربوط کرنے سے پتہ چلتا ہے کہ جہاں دوبارہ، Lis (z) پولی لوگرتھم فنکشن ہے اور تھرمل ڈی بروگلی طول موج ہے۔ مزید نتائج مثالی فرمی گیس پر مضمون میں مل سکتے ہیں۔ فرمی گیس کے استعمال آزاد الیکٹران ماڈل، سفید بونوں کے نظریہ اور عام طور پر انحطاط پذیر مادے میں پائے جاتے ہیں۔ گیس ان اے ہارمونک ٹریپ حوالہ جات Vu-Quoc، L.، کنفیگریشن انٹیگرل (شماریاتی میکانکس)، 2008 بھی دیکھیں۔ یہ ویکی سائٹ ڈاؤن ہے۔ 28 اپریل 2012 کو ویب آرکائیو میں یہ مضمون دیکھیں۔ شماریاتی میکینکس