Versine
ورسین یا ورسیڈ سائن ایک مثلثی فعل ہے جو کچھ ابتدائی (سنسکرت آریہ بھٹیہ، سیکشن I) مثلثی میزیں میں پایا جاتا ہے۔ کسی زاویے کا ورسائن 1 مائنس اس کی کوسائن ہے۔ کئی متعلقہ افعال ہیں، خاص طور پر کورسائن اور ہیورسائن۔ مؤخر الذکر، آدھا ورسین، نیویگیشن کے ہیورسائن فارمولے میں خاص اہمیت کا حامل ہے۔ جائزہ ورسین یا ورسیڈ سائن ایک مثلثی فعل ہے جو پہلے سے ہی کچھ ابتدائی مثلثی جدولوں میں ظاہر ہوتا ہے۔ اسے فارمولوں میں مخففات،،، یا کا استعمال کرتے ہوئے نشان زد کیا گیا ہے۔ لاطینی میں، اسے سینوس بمقابلہ (پلٹا ہوا سائن)، ورسینس، بمقابلہ، یا ساگیٹا (تیر) کے نام سے جانا جاتا ہے۔ عام مثلثی افعال سائن، کوسین اور ٹینجینٹ کے لحاظ سے اظہار کیا گیا، ورسین برابر ہے۔ ورسین سے متعلق کئی متعلقہ افعال ہیں: ورسیڈ کوسین، یا ورکوسین، مختصر، یا۔ کورڈ سائن یا کوورسین (لاطینی میں، کوسینس بمقابلہ یا کوورسینس)، مختصر،، یا کورڈ کوسین یا کوورکوسین، مختصر، یا مکمل مشابہت میں مذکورہ بالا چار افعال کا ایک اور مجموعہ بھی موجود ہے: ہورسڈ سائن یا ہیورسائن (لاطینی سیمیورسس)، مختصر،،،،،، یا، نیویگیشن میں تاریخی طور پر استعمال ہونے والے ہیورسائن فارمولے سے سب سے مشہور ہے۔ ان اصطلاحات کے معنی واضح ہیں اگر کوئی فنکشنز کو ان کی تعریف کے لیے اصل سیاق و سباق میں دیکھے، ایک یونٹ سرکل: یونٹ سرکل کے عمودی کورڈ AB کے لیے، زاویہ θ کا سائن (جو ذیلی زاویہ Δ کے نصف کی نمائندگی کرتا ہے) فاصلہ AC (کورڈ کا نصف) ہے۔ دوسری طرف، θ کا ورسڈ سائن کورڈ کے مرکز سے آرک کے مرکز تک کا فاصلہ CD ہے۔ اس طرح، کاس (θ) (لائن او سی کی لمبائی کے برابر) اور ورسن (θ) (لائن سی ڈی کی لمبائی کے برابر) کا مجموعہ رداس او ڈی (لمبائی 1 کے ساتھ) ہے۔ اس طرح واضح کیا گیا ہے کہ سائن عمودی ہے (ریکٹس، لفظی طور پر "سیدھا") جبکہ ورسین افقی ہے (بمقابلہ، لفظی طور پر "مخالف، جگہ سے باہر") ؛ دونوں C سے دائرے تک کے فاصلے ہیں۔ یہ اعداد و شمار اس وجہ کی بھی وضاحت کرتے ہیں کہ ورسین کو بعض اوقات ساگیٹا کیوں کہا جاتا تھا، لاطینی زبان میں تیر کے لیے، اسی معنی کے عربی استعمال سہیم سے۔ یہ خود ہندوستانی لفظ 'سارا' (تیر) سے آیا ہے جو عام طور پر "اتکرم جیا" کے لیے استعمال ہوتا تھا۔ اگر ڈبل اینگل δ = 2θ کے آرک ADB کو "کمان" اور کورڈ AB کو اس کی "سٹرنگ" کے طور پر دیکھا جائے، تو ورسین CD واضح طور پر "تیر شافٹ" ہے۔ سائن کی تشریح کو "عمودی" اور ترجمہ شدہ سائن کو "افقی" کے طور پر مزید مدنظر رکھتے ہوئے، ساگیٹا بھی ابسیسا (گراف کا افقی محور) کا متروک مترادف ہے۔ 1821 میں، کاچی نے ورسین کے لیے سینس بمقابلہ (سیو) اور کورسین کے لیے کوسینس بمقابلہ (کوسیو) اصطلاحات استعمال کیں۔ تاریخی طور پر، متقی سائن کو سب سے اہم مثلثی افعال میں سے ایک سمجھا جاتا تھا۔ جیسا کہ θ صفر پر جاتا ہے، ورسن (θ) دو تقریبا مساوی مقداروں کے درمیان فرق ہے، لہذا صرف کوسائن کے لیے ٹرگونومیٹرک ٹیبل کے صارف کو تباہ کن منسوخی سے بچنے کے لیے ورسن حاصل کرنے کے لیے بہت زیادہ درستگی کی ضرورت ہوگی، جس سے مؤخر الذکر کے لیے علیحدہ ٹیبلز آسان ہو جائیں گی۔ یہاں تک کہ کیلکولیٹر یا کمپیوٹر کے ساتھ، راؤنڈ آف کی غلطیاں چھوٹے θ کے لیے sin2 فارمولا استعمال کرنے کا مشورہ دیتی ہیں۔ ورسین کا ایک اور تاریخی فائدہ یہ ہے کہ یہ ہمیشہ غیر منفی ہوتا ہے، اس لیے اس کے لوگرتھم کی تعریف ہر جگہ کی جاتی ہے سوائے ایک زاویے (θ = 0، 2،) کے جہاں یہ صفر ہے-اس طرح، کوئی بھی ورسین پر مشتمل فارمولوں میں ضرب کے لیے لوگرتھمک ٹیبل استعمال کر سکتا ہے۔ در حقیقت، 3 ویں صدی قبل مسیح کے ہندوستان کے سوریہ سدھانتھا سے شمار کردہ سائن (ہاف کورڈ) اقدار کی قدیم ترین زندہ میز (ٹولیمی اور دیگر یونانی مصنفین کے ذریعہ ٹیبل کردہ کورڈز کے برخلاف)، سائن اور ورسڈ سائن کے لیے اقدار کی ایک میز تھی (0 سے 90 ڈگری تک 3.75 ڈگری اضافے میں)۔ ورسین نصف زاویے کے فارمولے sin2 = versin (θ) کے اطلاق میں ایک درمیانی مرحلے کے طور پر ظاہر ہوتا ہے، جو کہ ٹولیمی کے ذریعہ اخذ کیا گیا تھا، جو اس طرح کی میزیں بنانے کے لیے استعمال ہوتا تھا۔ ہیورسائن، خاص طور پر، نیویگیشن میں اہم تھا کیونکہ یہ ہیورسائن فارمولے میں ظاہر ہوتا ہے، جو کونیی پوزیشنوں (مثال کے طور پر طول بلد اور عرض البلد) کو دیکھتے ہوئے فلکیاتی کروی پر فاصلے کو معقول حد تک درست طریقے سے شمار کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے (زمین کے رداس بمقابلہ دائرے کے مسائل دیکھیں)۔ کوئی بھی براہ راست sin2 کا استعمال بھی کر سکتا ہے، لیکن ہوورسائن کی میز ہونے سے مربع اور مربع جڑوں کا حساب لگانے کی ضرورت ختم ہو گئی۔ جوس ڈی مینڈوزا وائی ریوس کی طرف سے اس کا ابتدائی استعمال جسے بعد میں ہیورسائن کہا جائے گا 1801 میں دستاویز کیا گیا ہے۔ میز کے مساوی پہلی معروف انگریزی جیمز اینڈریو نے 1805 میں "اسکوائرز آف نیچرل سیمی کورڈز" کے نام سے شائع کی تھی۔ 1835 میں، اصطلاح ہاورسین (قدرتی طور پر ہاؤ کے طور پر نوٹ کی گئی۔ یا بیس-10 لوگرتھمک طور پر لاگ کے طور پر۔ ہاورسین یا لاگ۔ ہاورز۔) جیمز ان مین نے اپنے کام نیویگیشن اینڈ ناٹیکل ایسٹرونومی: فار دی یوز آف برٹش سیمن کے تیسرے ایڈیشن میں نیویگیشن میں ایپلی کیشنز کے لیے کروی مثلث کا استعمال کرتے ہوئے زمین کی سطح پر دو نکات کے درمیان فاصلے کے حساب کو آسان بنانے کے لیے وضع کیا تھا۔ انمان نے نات کی اصطلاحات بھی استعمال کیں۔ ورسین اور ناٹ۔ ورس۔ ورسیوں کے لیے۔ ہاورائنز کی دیگر اعلی درجے کی میزیں 1856 میں رچرڈ فارلی اور 1876 میں جان کال فیلڈ ہینینگٹن کی تھیں۔ ہیورسائن کا نیویگیشن میں استعمال جاری ہے اور حالیہ دہائیوں میں اس کی نئی ایپلی کیشنز ملی ہیں، جیسا کہ 1995 سے گوسیئن لوگرتھمز کا استعمال کرتے ہوئے قمری فاصلے کو صاف کرنے کے لیے بروس ڈی اسٹارک کے طریقہ کار میں یا 2014 سے بینائی کو کم کرنے کے لیے زیادہ کمپیکٹ طریقہ کار میں۔ اگرچہ ورسین، کورسین اور ہیورسائن کے استعمال کے ساتھ ساتھ ان کے الٹا افعال کا سراغ صدیوں پہلے لگایا جا سکتا ہے، لیکن دیگر پانچ کوفکشنز کے نام بہت کم عمر کے دکھائی دیتے ہیں۔ ورسین کا ایک پیریڈ (0 <θ <2π) یا، زیادہ عام طور پر، ایک ہیورسین (یا ہیورکوسین) ویوفارم بھی عام طور پر سگنل پروسیسنگ اور کنٹرول تھیوری میں پلس یا ونڈو فنکشن (بشمول ہان، ہان-پوسن اور ٹوکی ونڈوز) کی شکل کے طور پر استعمال ہوتا ہے، کیونکہ یہ آسانی سے (قدر اور ڈھلوان میں مسلسل) صفر سے ایک (ہیورسین کے لیے) اور صفر پر واپس "آن" ہو جاتا ہے۔ ان ایپلی کیشنز میں، اسے ہان فنکشن یا ریزڈ-کوسین فلٹر کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، ہیورکوسین کا استعمال امکانات کے نظریہ اور اعداد و شمار میں بلند کوسین کی تقسیم میں کیا جاتا ہے۔ sin2 (θ) کی شکل میں ڈبل اینگل کی ہورسائن عقلی مثلثی میں پھیلاؤ اور زاویوں کے درمیان تعلق کو بیان کرتی ہے، جو کہ 2005 سے نارمن جان وائلڈبرجر کے ذریعہ میٹرکل پلانر اور ٹھوس جیومیٹریز کی مجوزہ اصلاح ہے۔ ریاضیاتی شناخت تعریف سرکلر گردش فنکشن ایک دوسرے کی سرکلر گردش ہیں۔ مشتق اور انٹیگرل الٹا افعال الٹا افعال جیسے آرکورسین (آرکورسن، آرکورز، ایورز، ایور)، آرکورکوسین (آرکورکوسن، آرکورکوس، ایورکوس، اے وی سی ایس)، آرکوورسین (آرکوورسن، آرکوورز، ایکوورز، اے سی وی ایس)، آرکوورکوسین (آرکوورکوسن، آرکوورکوس، ایکوورکوس، اے سی وی سی)، آرکیورسین (آرکیورسن، آرکاوورسن، ہاورسن −1، انوی، آہو، اے ایچ وی ایس، اے ایچ وی، ایچ وی −1)، آرکیورکوسین (آرکیورکوسن، آرکیورکوس، اے ایچ وی سی)۔ میکلورین سلسلہ: تخمینے جب ورسین v رداس r کے مقابلے میں چھوٹا ہوتا ہے، تو اس کا تخمینہ نصف تار کی لمبائی L (اوپر دکھایا گیا فاصلہ AC) سے فارمولے کے ذریعے لگایا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، اگر ورسین چھوٹا ہے اور ورسین، رداس، اور نصف تار کی لمبائی معلوم ہے، تو انہیں فارمولے کے ذریعے آرک کی لمبائی s (AD اوپر کے اعداد و شمار میں) کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ فارمولا چینی ریاضی دان شین کوو کو معلوم تھا، اور ساگیٹا پر مشتمل ایک زیادہ درست فارمولا بھی دو صدیوں بعد گو شوجنگ نے تیار کیا تھا۔ انجینئرنگ میں استعمال ہونے والا ایک زیادہ درست تخمینہ صوابدیدی منحنی خطوط اور کورڈز ہیں۔ ورسین کی اصطلاح بعض اوقات صوابدیدی طیارہ منحنی خطوط میں سیدھے پن سے انحراف کو بیان کرنے کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے، جس میں مندرجہ بالا دائرہ ایک خاص معاملہ ہے۔ ایک منحنی خطوط میں دو نکات کے درمیان ایک قرعہ کو دیکھتے ہوئے، قرعہ سے منحنی خطوط تک (عام طور پر قرعہ وسطی پر) عمودی فاصلہ v کو ورسین پیمائش کہا جاتا ہے۔ سیدھی لکیر کے لیے، کسی بھی کورڈ کا ورسین صفر ہوتا ہے، اس لیے یہ پیمائش منحنی خطوط کی سیدھی پن کی خصوصیت رکھتی ہے۔ اس حد میں جیسے جیسے تانے بانے کی لمبائی L صفر پر جاتی ہے، تناسب فوری منحنی خطوط پر جاتا ہے۔ یہ استعمال خاص طور پر ریل نقل و حمل میں عام ہے، جہاں یہ ریل پٹریوں کی سیدھی پیمائش کی وضاحت کرتا ہے اور یہ ریل سروے کے لیے ہالےڈ طریقہ کار کی بنیاد ہے۔ لفظ ساگیٹا (اکثر مختصر ساگ) عینک اور آئینے کی سطحوں کو بیان کرنے کے لیے آپٹکس میں اسی طرح استعمال ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ٹریگونومیٹرک شناخت ایکسینٹ اور ایکسکوسینٹ ورسیرا (اگنیسی کی ڈائن) ایکسپونینشل مائنس 1 نیچرل لوگرتھم پلس 1 نوٹ حوالہ جات مزید پڑھنا بیرونی لنکس ٹریگونومیٹرک افعال GeoGebra.org ٹریگونومیٹرک افعال پر