Generic polynomial
ریاضی میں، ایک عام کثیر الجہتی عام طور پر ایک کثیر الجہتی سے مراد ہے جس کے گتانک غیر متعین ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر، اور غیر متعین ہیں، تو ڈگری دو کا عام کثیر الجہتی ہے۔ تاہم گالوئس تھیوری میں، الجبرا کی ایک شاخ، اور اس مضمون میں، عام کثیر الجہتی کی اصطلاح کا ایک مختلف، اگرچہ متعلقہ، معنی ہے: ایک محدود گروپ G اور فیلڈ F کے لیے ایک عام کثیر الجہتی ایک مونیک کثیر الجہتی P ہے جس میں عقلی افعال L = F (t1,., tn) کے میدان میں کوفیشنٹس F پر غیر متعین ہوتے ہیں، جیسے کہ P کے تقسیم کرنے والے فیلڈ M میں گالوئس گروپ G اوور L ہوتا ہے، اور اس طرح کہ گالوئس گروپ G کے ساتھ ہر توسیع K/F کو کثیر الجہتی کے تقسیم کرنے والے فیلڈ کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے جو کہ تخصص ہے۔ کسی گالوئس گروپ کے لیے ایک عام کثیر الجہتی کا وجود، اور خاص طور پر تعمیر، اس گروپ کے لیے الٹا گالوئس مسئلے کا مکمل حل فراہم کرتا ہے۔ تاہم، تمام گالوئس گروپوں میں عام کثیر الجہتی نہیں ہوتے ہیں، ایک جوابی مثال آٹھ ترتیب کا چکور گروپ ہے۔ عام کثیر الجہتی والے گروپ سمیٹرک گروپ Sn۔ یہ معمولی ہے، جیسا کہ Sn کے لیے ایک عام کثیر الجہتی ہے۔ چکور گروہ Cn، جہاں n آٹھ سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ لینسٹرا نے دکھایا کہ ایک چکور گروپ میں عام کثیر الجہتی نہیں ہوتا ہے اگر n آٹھ سے تقسیم ہوتا ہے، اور جی ڈبلیو اسمتھ واضح طور پر اس طرح کے کثیر الجہتی کی تشکیل کرتا ہے اگر n آٹھ سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ چکور گروہ کی تعمیر عام کثیر الجہتی کی دیگر کلاسوں کی طرف لے جاتی ہے۔ خاص طور پر ڈائیڈرل گروپ Dn میں ایک عام کثیر الجہتی ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب n آٹھ سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ کواٹرنیئن گروپ Q8۔ ہائزن برگ گروپس کسی بھی طاق پرائم پی کے لیے۔ متبادل گروپ اے 4۔ متبادل گروپ A5۔ عکاسی گروپوں کی وضاحت ق پر کی گئی ہے، بشمول E6، E7، اور E8 کے جڑ کے نظام کے مخصوص گروپوں میں۔ کوئی بھی گروپ جو دو گروپوں کا براہ راست پروڈکٹ ہے جن میں سے دونوں میں عام کثیر الجہتی ہیں۔ کوئی بھی گروپ جو دو گروپوں کی پھولوں کی پیداوار ہے جن میں سے دونوں میں عام کثیر الجہتی ہیں۔ عام کثیر الجہتی کی مثالیں عام کثیر الجہتی ڈگری 5 یا اس سے کم کے تمام عارضی گروپوں کے لیے جانی جاتی ہیں۔ عام طول و عرض فیلڈ F پر ایک محدود گروپ G کے لیے عام طول و عرض، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے، کو G اوور F کے لیے عام کثیرالجہتی میں پیرامیٹرز کی کم سے کم تعداد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، یا اگر کوئی عام کثیرالجہتی موجود نہیں ہے۔ مثال: اشاعت جینسن، کرسچن یو، لیڈیٹ، آرن، اور یوئی، نورکو، جنیرک پولینومیئلز، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2002 فیلڈ (ریاضی) گالوئس تھیوری