Position (geometry)
جیومیٹری میں، پوزیشن یا پوزیشن ویکٹر، جسے لوکیشن ویکٹر یا ریڈیئس ویکٹر بھی کہا جاتا ہے، ایک یوکلڈین ویکٹر ہے جو خلا میں ایک نقطہ P کی پوزیشن کی نمائندگی کرتا ہے جو صوابدیدی حوالہ اصل O کے سلسلے میں ہے۔ عام طور پر x، r، یا s کو ظاہر کیا جاتا ہے، یہ O سے P تک سیدھی لکیر کے حصے سے مطابقت رکھتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ نقل مکانی یا ترجمہ ہے جو اصل کو P پر نقش کرتا ہے: پوزیشن ویکٹر کی اصطلاح زیادہ تر تفریقی جیومیٹری، میکانکس اور کبھی کبھار ویکٹر کیلکولس کے شعبوں میں استعمال ہوتی ہے۔ اکثر یہ دو جہتی یا تین جہتی خلا میں استعمال ہوتا ہے، لیکن اسے آسانی سے یوکلڈین خالی جگہوں اور کسی بھی جہت کی خالی جگہوں پر عام کیا جا سکتا ہے۔ متعلقہ پوزیشن نقطہ P کے حوالے سے کسی نقطہ Q کی رشتہ دار پوزیشن یوکلڈین ویکٹر ہے جس کا نتیجہ دو مطلق پوزیشن ویکٹرز (ہر ایک اصل کے حوالے سے) کے گھٹاؤ سے نکلتا ہے: جہاں۔ دو پوائنٹس کے درمیان رشتہ دار سمت ان کی رشتہ دار پوزیشن ہے جسے یونٹ ویکٹر کے طور پر معمول بنایا گیا ہے: جہاں ڈینومینیٹر دو پوائنٹس کے درمیان کا فاصلہ ہے،۔ ایک رشتہ دار سمت ایک باؤنڈ ویکٹر ہے، ایک عام سمت کے برعکس، جو ایک آزاد ویکٹر ہے۔ تعریف تین جہتیں تین جہتوں میں، تین جہتی نقاط کے کسی بھی سیٹ اور ان کے متعلقہ بیس ویکٹر کو خلا میں کسی نقطہ کے مقام کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے-جو بھی ہاتھ میں موجود کام کے لیے آسان ترین ہو اسے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر، کوئی واقف کارٹیسیئن کوآرڈینیٹ سسٹم، یا بعض اوقات کروی قطبی کوآرڈینیٹ، یا سلنڈریکل کوآرڈینیٹ استعمال کرتا ہے: جہاں t ایک پیرامیٹر ہے، ان کی آئتاکار یا سرکلر سمیٹری کی وجہ سے۔ یہ مختلف نقاط اور متعلقہ بیس ویکٹر ایک ہی پوزیشن ویکٹر کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس کے بجائے مزید عمومی منحنی خطوط استعمال کیے جا سکتے ہیں اور یہ تسلسل میکانکس اور عمومی اضافیت جیسے سیاق و سباق میں ہیں (مؤخر الذکر کے معاملے میں کسی کو اضافی وقت کے ہم آہنگی کی ضرورت ہوتی ہے)۔ n طول و عرض لکیری الجبرا ایک n جہتی پوزیشن ویکٹر کی تجریدی کی اجازت دیتا ہے۔ پوزیشن ویکٹر کو بیس ویکٹرز کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: تمام پوزیشن ویکٹرز کا سیٹ پوزیشن اسپیس بناتا ہے (ایک ویکٹر اسپیس جس کے عناصر پوزیشن ویکٹر ہوتے ہیں)، کیونکہ پوزیشنز کو شامل کیا جا سکتا ہے (ویکٹر کا اضافہ) اور لمبائی میں اسکیل کیا جا سکتا ہے (اسکیلر ضرب) خلا میں ایک اور پوزیشن ویکٹر حاصل کرنے کے لیے۔ "خلا" کا تصور بدیہی ہے، کیونکہ ہر xi (i = 1,2,., n) کی کوئی بھی قدر ہو سکتی ہے، اقدار کا مجموعہ خلا میں ایک نقطہ کی وضاحت کرتا ہے۔ پوزیشن کی جگہ کا طول و عرض n ہے (جسے مدھم (R) = n بھی کہا جاتا ہے)۔ بیس ویکٹر ای آئی کے حوالے سے ویکٹر آر کے نقاط xi ہیں۔ کوآرڈینیٹس کا ویکٹر کوآرڈینیٹ ویکٹر یا این-ٹپل (x1، x2،.، xn) بناتا ہے۔ ایک پیرامیٹر xi (t) ایک مڑے ہوئے 1D راستے کی وضاحت کرے گا، دو پیرامیٹرز xi (t1, t2) ایک مڑے ہوئے 2D سطح کی وضاحت کرتا ہے، تین xi (t1, t2, t3) خلا کے مڑے ہوئے 3D حجم کی وضاحت کرتا ہے، اور اسی طرح۔ بیس سیٹ B = {e1, e2,., en} کا لکیری اسپان پوزیشن اسپیس R کے برابر ہے، جس کی نشاندہی اسپان (B) = R ہے۔ ایپلی کیشنز تفریقی جیومیٹری پوزیشن ویکٹر فیلڈز کو مسلسل اور تفریق پذیر خلائی منحنی خطوط کو بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، ایسی صورت میں آزاد پیرامیٹر کو وقت ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن ہو سکتا ہے (مثال کے طور پر) منحنی خطوط کی لمبائی۔ حرکیات حرکت کی کسی بھی مساوات میں، پوزیشن ویکٹر r (t) عام طور پر سب سے زیادہ مطلوب مقدار ہوتی ہے کیونکہ یہ فعل کسی ذرہ کی حرکت کی وضاحت کرتا ہے (یعنی۔ ایک پوائنٹ ماس)-کسی وقت t پر دیئے گئے کوآرڈینیٹ سسٹم سے متعلق اس کا مقام۔ پوزیشن کے لحاظ سے حرکت کی وضاحت کرنے کے لیے، ہر کوآرڈینیٹ کو وقت کے لحاظ سے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ وقت کی ہر یکے بعد دیگرے قیمت کوآرڈینیٹس کے ذریعہ دیئے گئے یکے بعد دیگرے مقامی مقامات کی ترتیب سے مطابقت رکھتی ہے، اس لیے بہت سے یکے بعد دیگرے مقامات کی تسلسل کی حد ایک راستہ ہے جس میں ذرہ نشانات ہوتے ہیں۔ ایک جہت کے معاملے میں، پوزیشن میں صرف ایک جزو ہوتا ہے، لہذا یہ مؤثر طریقے سے اسکیلر کوآرڈینیٹ میں تبدیل ہو جاتا ہے۔ یہ، فرض کریں، x سمت میں ایک ویکٹر، یا شعاعی r سمت ہو سکتا ہے۔ مساوی اشارے میں مشتقات شامل ہیں کسی پوزیشن ویکٹر r کے لیے جو کہ وقت t کی فنکشن ہے، وقت مشتقات کو t کے حوالے سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ ان مشتقات کی حرکیات، کنٹرول تھیوری، انجینئرنگ اور دیگر علوم کے مطالعہ میں مشترکہ افادیت ہے۔ رفتار جہاں ڈی آر ایک لامحدود طور پر چھوٹی نقل مکانی (ویکٹر) ہے۔ ایکسلریشن جرک پوزیشن کے پہلے، دوسرے اور تیسرے مشتق کے یہ نام عام طور پر بنیادی حرکیات میں استعمال ہوتے ہیں۔ توسیع کے ذریعے، اعلی درجے کے مشتقات کو اسی انداز میں شمار کیا جا سکتا ہے۔ ان اعلی درجے کے مشتقات کا مطالعہ اصل نقل مکانی فنکشن کے تخمینوں کو بہتر بنا سکتا ہے۔ انجینئرنگ اور طبیعیات میں کئی تجزیاتی تکنیکوں کو فعال کرتے ہوئے، ایک لامحدود ترتیب کے مجموعے کے طور پر نقل مکانی کی تقریب کو درست طریقے سے پیش کرنے کے لیے اس طرح کی اعلی ترتیب کی اصطلاحات درکار ہیں۔ افائن اسپیس کوآرڈینیٹ سسٹم افقی پوزیشن لائن عنصر پیرامیٹرک سطح پوزیشن فکسنگ چھ ڈگری آف فریڈم عمودی پوزیشن نوٹ حوالہ جات کیلر، ایف جے، گیٹس، ڈبلیو ای اور دیگر دیکھیں۔ (1993)۔ "طبیعیات: کلاسیکی اور جدید" دوسرا ایڈیشن۔ میک گرا ہل پبلشنگ۔ بیرونی روابط حرکی خصوصیات