Additive polynomial
ریاضی میں، اضافی کثیر الجہتی کلاسیکی الجبرائی نمبر تھیوری میں ایک اہم موضوع ہیں۔ تعریف فرض کریں کہ k بنیادی خصوصیت p کا فیلڈ ہے۔ k میں کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی P (x) کو اضافی کثیر الجہتی، یا فروبینیوس کثیر الجہتی کہا جاتا ہے، اگر a اور b میں کثیر الجہتی کے طور پر۔ یہ فرض کرنے کے مساوی ہے کہ یہ مساوات k پر مشتمل کسی لامحدود فیلڈ میں تمام a اور b کے لیے ہے، جیسے کہ اس کی الجبرائی بندش۔ کبھی کبھار اوپر کی حالت کے لیے بالکل اضافی استعمال کیا جاتا ہے، اور اضافی کمزور حالت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے کہ P (a + b) = P (a) + P (b) میدان میں تمام a اور b کے لیے۔ لامحدود فیلڈز کے لیے شرائط مساوی ہیں، لیکن محدود فیلڈز کے لیے وہ نہیں ہیں، اور کمزور حالت "غلط" ہے کیونکہ یہ اچھی طرح سے برتاؤ نہیں کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، ترتیب q کی فیلڈ پر xq−x کا کوئی بھی ایک سے زیادہ P فیلڈ میں موجود تمام a اور b کے لیے P (a + b) = P (a) + P (b) کو مطمئن کرے گا، لیکن عام طور پر (بالکل) اضافی نہیں ہوگا۔ مثال کثیر الجہتی ایکس پی اضافی ہے۔ درحقیقت، k کی الجبرائی بندش میں کسی بھی a اور b کے لیے بائنومیل تھیوریم کے مطابق ہوتا ہے۔ چونکہ p پرائم ہے، تمام n = 1 کے لیے، p−1 بائنومیل گتانک p سے تقسیم ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ a اور b میں کثیر الجہتی کے طور پر۔ اسی طرح فارم کے تمام کثیر الجہتی اضافی ہیں، جہاں n ایک غیر منفی عدد ہے۔ تعریف سمجھ میں آتی ہے یہاں تک کہ اگر k خصوصیت صفر کی فیلڈ ہے، لیکن اس معاملے میں صرف اضافی کثیر الجہتی وہ ہیں جو k میں کچھ a کے لیے فارم محور کے ہیں۔ اضافی کثیر الجہتی کی انگوٹی یہ ثابت کرنا کافی آسان ہے کہ k میں کوفشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی کا کوئی بھی لکیری مجموعہ بھی ایک اضافی کثیر الجہتی ہے۔ ایک دلچسپ سوال یہ ہے کہ کیا ان لکیری امتزاج کے علاوہ دیگر اضافی کثیر الجہتی موجود ہیں۔ جواب یہ ہے کہ صرف یہی ہیں۔ یہ چیک کیا جا سکتا ہے کہ اگر P (x) اور M (x) اضافی کثیر الجہتی ہیں، تو اسی طرح P (x) + M (x) اور P (M (x)) بھی ہیں۔ ان کا مطلب یہ ہے کہ اضافی کثیر الجہتی کثیر الجہتی اضافے اور ساخت کے تحت ایک رنگ بناتے ہیں۔ اس رنگ کو ظاہر کیا جاتا ہے یہ رنگ تب تک تبادلہ نہیں ہوتا جب تک کہ k فیلڈ نہ ہو (ماڈیولر ریاضی دیکھیں)۔ درحقیقت، k میں ایک گتانک a کے لیے اضافی کثیر الجہتی محور اور xp پر غور کریں۔ ان کی ساخت کے تحت کمیوٹ کرنے کے لیے، ہمارے پاس ہونا چاہیے اور اس لیے ap−a = 0 ہونا چاہیے۔ یہ اس مساوات کے جڑ کے لیے غلط ہے، یعنی، باہر کے لیے۔ اضافی کثیر الجہتی کا بنیادی نظریہ P (x) کو k میں کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی ہونے دیں، اور اس کے جڑوں کا مجموعہ بنیں۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ P (x) کی جڑیں الگ ہیں (یعنی P (x) الگ کرنے کے قابل ہے)، تو P (x) صرف اس صورت میں اضافی ہے جب سیٹ فیلڈ کے اضافے کے ساتھ ایک گروپ بنائے۔ ڈرنفیلڈ ماڈیول اضافی نقشہ حوالہ جات ڈیوڈ گوس، بیسک اسٹرکچرز آف فنکشن فیلڈ ارتھمیٹک، 1996، سپرنگر، برلن بھی دیکھیں۔ ۔ بیرونی روابط الجبرائی نمبر تھیوری ماڈیولر ریاضی کثیر الجہتی