Klein transformation
کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، کلین ٹرانسفارمیشن اسپن-شماریات تھیوریم میں ترمیم کرنے کے لیے فیلڈز کی ایک نئی تعریف ہے۔ بوس آئن سٹائن فرض کریں کہ φ اور χ ایسے فیلڈز ہیں کہ، اگر x اور y خلائی طور پر الگ الگ پوائنٹس ہیں اور i اور j اسپنر/ٹینسر انڈیکس کی نمائندگی کرتے ہیں، تو یہ بھی فرض کریں کہ χ Z2 برابری کے تحت غیر متغیر ہے (مقامی عکاسی سے کوئی تعلق نہیں!) χ سے −χ کی نقشہ سازی کرنا لیکن φ کو غیر متغیر چھوڑنا۔ ظاہر ہے، آزاد میدان کے نظریات ہمیشہ اس خاصیت کو مطمئن کرتے ہیں۔ پھر، χ ذرات کی تعداد کی Z2 برابری کو اچھی طرح سے بیان کیا جاتا ہے اور وقت کے ساتھ محفوظ کیا جاتا ہے۔ آئیے اس برابری کو آپریٹر کے ایچ کے ذریعے ظاہر کرتے ہیں جو χ-ایون ریاستوں کو خود سے اور χ-طاق ریاستوں کو ان کے منفی میں نقشہ بناتا ہے۔ پھر، Kχ غیر متزلزل، ہرمیٹین اور یک جہتی ہے۔ یہ کہنے کی ضرورت نہیں کہ اوپر دیے گئے فیلڈز φ اور χ میں بوسون یا فرمیئن کے لیے اعداد و شمار کے مناسب تعلقات نہیں ہیں۔ یعنی۔ وہ اپنے حوالے سے بوسونک ہوتے ہیں لیکن ایک دوسرے کے حوالے سے فرمیوونک ہوتے ہیں۔ لیکن اگر آپ صرف شماریاتی خصوصیات کو دیکھیں تو ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ اس کے اعداد و شمار بالکل وہی ہیں جو بوس آئن سٹائن کے اعداد و شمار کے ہیں۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ: دو نئے فیلڈز φ 'اور χ' کی وضاحت اس طرح کریں: اور یہ نئی تعریف الٹا ہے (کیونکہ Kχ ہے)۔ اب، جگہ کی طرح تبادلے کے تعلقات فرمی-ڈیراک بن جاتے ہیں اب، آئیے اس مثال کے ساتھ کام کریں جہاں (ہمیشہ کی طرح جگہ کی طرح الگ)۔ ایک بار پھر فرض کریں کہ ہمارے پاس Z2 محفوظ شدہ پیریٹی آپریٹر Kχ ہے جو صرف χ پر کام کر رہا ہے۔ دو سے زیادہ فیلڈز اگر دو سے زیادہ فیلڈز ہیں، تو کوئی بھی مطلوبہ نتیجہ حاصل ہونے تک "غلط" کمیونیکیشن/اینٹی کمیونیکیشن تعلقات کے ساتھ فیلڈز کے ہر جوڑے پر کلین ٹرانسفارمیشن کا اطلاق کرتا رہ سکتا ہے۔ یہ پیراسٹیٹسٹکس اور زیادہ واقف بوس آئن سٹائن/فرمی ڈیراک کے اعداد و شمار کے درمیان مساوات کی وضاحت کرتا ہے۔ حوالہ جات اردن-شونگر کی تبدیلی اردن-وگنر کی تبدیلی بوگولیوبوف-والٹن کی تبدیلی ہولسٹین-پریماکوف کی تبدیلی کوانٹم فیلڈ تھیوری بھی دیکھیں۔