Arc (projective geometry)
محدود پروجیکٹو جیومیٹری میں ایک (سادہ) آرک پوائنٹس کا ایک مجموعہ ہے جو بدیہی انداز میں، مسلسل جیومیٹریز میں مڑے ہوئے اعداد و شمار کی ایک خصوصیت کو مطمئن کرتا ہے۔ ہلکے سے بات کرتے ہوئے، وہ ایسے نکات کے مجموعے ہیں جو ہوائی جہاز میں "لکیر کی طرح" سے دور ہیں یا تین جہتی جگہ میں "ہوائی جہاز کی طرح" سے دور ہیں۔ اس محدود ترتیب میں سیٹ میں پوائنٹس کی تعداد کو نام میں شامل کرنا عام ہے، لہذا ان سادہ آرکس کو-آرکس کہا جاتا ہے۔ - آرک تصور کی ایک اہم عمومی شکل، جسے ادب میں آرکس بھی کہا جاتا ہے، ()-آرکس ہیں۔ ایک محدود پروجیکٹو طیارہ میں (ضروری نہیں کہ ڈیسرگویسیئن) پوائنٹس کا ایک مجموعہ جس کے تین پوائنٹس کالینیئر (ایک لائن پر) نہ ہوں اسے {{math|k-arc}} کہا جاتا ہے۔ اگر ہوائی جہاز کا آرڈر ہے تو، تاہم کی زیادہ سے زیادہ قیمت صرف اس صورت میں حاصل کی جا سکتی ہے جب مساوی ہو۔ ترتیب کے طیارہ میں، a-آرک کو اوول کہا جاتا ہے اور، اگر مساوی ہے، تو a-آرک کو ہائپر اوول کہا جاتا ہے۔ ڈیسرگویسیئن پروجیکٹو طیارہ پی جی (2،) میں ہر کونک، یعنی، ایک ناقابل تلافی یکساں کواڈریٹک مساوات کے صفر کا مجموعہ، ایک انڈاکار ہے۔ بینیامینو سیگری کا ایک مشہور نتیجہ بیان کرتا ہے کہ جب عجیب ہوتا ہے، تو پی جی (2،) میں ہر-آرک ایک کونک (سیگری کا نظریہ) ہوتا ہے۔ یہ محدود جیومیٹری میں اہم نتائج میں سے ایک ہے۔ اگر ایون ہے اور-آرک ان ہے، تو اسے مشترکہ دلائل کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے کہ (جسے نیوکلئس آف کہا جاتا ہے) میں ایک منفرد نقطہ موجود ہونا چاہیے جیسے کہ کا اتحاد اور یہ نقطہ a (+ 2)-آرک ہے۔ اس طرح، ہر انڈاکار کو یکساں ترتیب کے محدود پروجیکٹو طیارہ میں ہائپرولول تک منفرد طور پر بڑھایا جا سکتا ہے۔ A-آرک جسے کسی بڑے آرک تک بڑھایا نہیں جا سکتا اسے مکمل آرک کہا جاتا ہے۔ ڈیسرگویشین پروجیکٹو طیاروں میں، پی جی (2،)، کوئی-آرک مکمل نہیں ہے، لہذا ان سب کو اوول تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ ایک پروجیکٹو اسپیس میں-آرکس محدود پروجیکٹو اسپیس میں پی جی () کے ساتھ، پوائنٹس کا ایک مجموعہ جیسے کہ مشترکہ ہائپرپلین میں کوئی پوائنٹ نہیں ہوتا ہے اسے a (اسپاٹیل)-آرک کہا جاتا ہے۔ یہ تعریف ایک طیارہ (جہاں) میں a-آرک کی تعریف کو عام کرتی ہے۔ ()-آرکس ایک پروجیکٹو طیارہ A ()-آرک () میں ایک محدود پروجیکٹو طیارہ (ضروری نہیں کہ ڈیسرگویسیئن) میں ایک سیٹ ہے، اس طرح کے پوائنٹس کا کہ ہر لائن زیادہ سے زیادہ پوائنٹس پر ایک دوسرے کو کاٹتی ہے، اور کم از کم ایک لائن ہوتی ہے جو پوائنٹس میں ایک دوسرے کو کاٹتی ہے۔ A ()-آرک ایک-آرک ہے اور اگر سائز کا کوئی تعلق نہیں ہے تو اسے محض ایک آرک کہا جا سکتا ہے۔ ترتیب کے پروجیکٹو طیارہ میں a ()-آرک کے پوائنٹس کی تعداد زیادہ سے زیادہ ہوتی ہے۔ جب مساوات واقع ہوتی ہے تو اسے زیادہ سے زیادہ آرک کہا جاتا ہے۔ ہائپرول زیادہ سے زیادہ آرکس ہوتے ہیں۔ مکمل آرکس کو زیادہ سے زیادہ آرکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ عام عقلی منحنی خطوط حوالہ جات بیرونی روابط پروجیکٹو جیومیٹری انسیڈنس جیومیٹری بھی دیکھیں۔