Rigidity (mathematics)
ریاضی میں، ریاضیاتی اشیاء کا ایک سخت مجموعہ C (مثال کے طور پر سیٹ یا فنکشن) وہ ہے جس میں ہر c ωC کا تعین منفرد طور پر c کے بارے میں کم معلومات سے کیا جاتا ہے جس کی توقع کی جا سکتی ہے۔ مذکورہ بالا بیان ریاضیاتی خاصیت کی وضاحت نہیں کرتا ؛ اس کے بجائے، یہ بیان کرتا ہے کہ ریاضی دانوں کے ذریعہ صفت "سخت" عام طور پر ریاضی میں کس معنی میں استعمال ہوتی ہے۔ مثالیں کچھ مثالوں میں شامل ہیں: یونٹ ڈسک پر ہارمونک افعال اس لحاظ سے سخت ہوتے ہیں کہ ان کا تعین منفرد طور پر ان کی باؤنڈری ویلیوز سے ہوتا ہے۔ ہولومورفک افعال کا تعین ایک ہی نقطہ پر تمام مشتقات کے سیٹ سے ہوتا ہے۔ حقیقی لکیر سے پیچیدہ سطح تک ایک ہموار فنکشن کا تعین، عام طور پر، ایک ہی نقطہ پر اس کے تمام مشتقات کے ذریعہ نہیں کیا جاتا ہے، لیکن اگر ہمیں اضافی ضرورت ہو تو یہ ممکن ہے کہ فنکشن کو پیچیدہ سطح میں حقیقی لکیر کے پڑوس میں ایک تک بڑھایا جائے۔ شوارز لیما اس طرح کے سختی کے نظریہ کی ایک مثال ہے۔ الجبرا کے بنیادی نظریہ کے مطابق، C میں کثیر الجہتی اس لحاظ سے سخت ہیں کہ کسی بھی کثیر الجہتی کا تعین مکمل طور پر کسی بھی لامحدود سیٹ، جیسے N، یا یونٹ ڈسک پر اس کی اقدار سے ہوتا ہے۔ پچھلی مثال سے، کسی کثیر الجہتی کا تعین ہولومورفک افعال کے سیٹ کے اندر کسی بھی ایک نقطہ پر اس کے غیر صفر مشتقات کے محدود سیٹ کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں X، Y کے درمیان لکیری نقشے L (X، Y) اس لحاظ سے سخت ہیں کہ کوئی بھی L bul L (X، Y) مکمل طور پر X کے بیس ویکٹر کے کسی بھی سیٹ پر اس کی اقدار سے طے ہوتا ہے۔ موسٹو کی سختی تھیوریم، جس میں کہا گیا ہے کہ منفی مڑے ہوئے کئی گنا کی ہندسی ساخت کا تعین ان کے ٹپوولوجیکل ڈھانچے سے ہوتا ہے۔ ایک اچھی طرح سے ترتیب دیا ہوا سیٹ اس لحاظ سے سخت ہوتا ہے کہ اس پر واحد (ترتیب کو محفوظ رکھنے والا) آٹومورفزم شناختی فنکشن ہے۔ نتیجتا، دو دیئے گئے اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹوں کے درمیان ایک آئسومورفزم منفرد ہوگا۔ کنویکس پولی ٹاپس کی جیومیٹری پر کاچی کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ایک کنویکس پولیٹوپ کا تعین منفرد طور پر اس کے چہروں کی جیومیٹری اور مشترکہ ملحقہ اصولوں سے ہوتا ہے۔ الیگزینڈرروف کی انفرادیت تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ تین جہتوں میں ایک کنویکس پولی ہیڈرون کا تعین اس کی سطح پر جیوڈیسکس کی میٹرک اسپیس سے ہوتا ہے۔ سختی کے نتیجے میں K-تھیوری مختلف الجبرائی K-تھیوری گروپوں کے درمیان آئسومورفزم دکھاتی ہے۔ الٹا گالوئس مسئلہ میں سخت گروہ۔ کمبینٹوریل استعمال کمبینٹوریکس میں، سخت اصطلاح ایک سخت سرجیکشن کے تصور کی وضاحت کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے، جو کہ ایک سرجیکشن ہے جس کے لیے درج ذیل مساوی شرائط ہوتی ہیں: ہر ایک کے لیے، ؛ ایک-ٹپل کے طور پر غور کرتے ہوئے، عناصر کے پہلے واقعات بڑھتی ہوئی ترتیب میں ہوتے ہیں ؛ کے ابتدائی حصوں کا نقشہ ان کے ابتدائی حصوں میں ہوتا ہے۔ اس کا تعلق سخت کی مذکورہ بالا تعریف سے ہے، جس میں ہر سخت سرجیکشن منفرد طور پر وضاحت کرتا ہے، اور اس کی منفرد تعریف ٹکڑوں میں تقسیم کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ایک سخت سرجیکشن کو دیکھتے ہوئے، پارٹیشن کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ اس کے برعکس، کی تقسیم دی گئی ہے، کرایہ دے کر آرڈر کریں۔ اگر اب-آرڈر شدہ پارٹیشن ہے، تو اس کی طرف سے بیان کردہ فنکشن ایک سخت سرجیکشن ہے۔ منفرد نظریہ ساختی سختی بھی دیکھیں، ایک ریاضیاتی نظریہ جو لچکدار قبضے کے ذریعے ایک دوسرے سے جڑے ہوئے سخت جسمانی اشیاء کے مجموعوں کی آزادی کی ڈگریوں کو بیان کرتا ہے۔ سطح کی ساخت (الجبرائی جیومیٹری) حوالہ جات ریاضیاتی اصطلاحات