Helly's theorem
ہیلی کا نظریہ کنویکس سیٹوں کے چوراہے پر مجرد جیومیٹری کا ایک بنیادی نتیجہ ہے۔ اسے ایڈورڈ ہیلی نے 1913 میں دریافت کیا تھا، لیکن 1923 تک اس نے اسے شائع نہیں کیا تھا، اس وقت تک متبادل ثبوت پہلے ہی سامنے آ چکے تھے۔ ہیلی کے نظریہ نے ہیلی خاندان کے تصور کو جنم دیا۔ بیان کے ساتھ، کے کنویکس سبسیٹس کا ایک محدود مجموعہ ہونے دیں۔ اگر ان سیٹوں میں سے ہر ایک کا چوراہا خالی نہیں ہے، تو پورے مجموعے میں ایک خالی نہیں چوراہا ہے ؛ یعنی، لامحدود مجموعوں کے لیے کسی کو کمپیکٹنس فرض کرنا پڑتا ہے: آئیے کمپیکٹ کنویکس ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ہو، جیسے کہ کارڈینالیٹی کے ہر ذیلی مجموعہ میں زیادہ سے زیادہ غیر خالی چوراہا ہو۔ پھر پورے مجموعہ میں غیر خالی چوراہا ہوتا ہے۔ ثبوت ہم ریڈون کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے محدود ورژن کو ثابت کرتے ہیں جیسا کہ ثبوت میں ہے۔ اس کے بعد لامحدود ورژن کمپیکٹنس کی محدود انٹرسیکشن پراپرٹی کی خصوصیت کے بعد آتا ہے: کمپیکٹ اسپیس کے بند سبسیٹوں کے مجموعے میں ایک خالی انٹرسیکشن ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر محدود ذیلی مجموعہ میں غیر خالی انٹرسیکشن ہو (ایک بار جب آپ ایک سیٹ کو ٹھیک کرتے ہیں، تو اس کے ساتھ دیگر تمام کا انٹرسیکشن ایک مقررہ کمپیکٹ اسپیس کے بند سبسیٹ ہوتے ہیں)۔ ثبوت انڈکشن کے ذریعے ہے: بیس کیس: چلو۔ ہمارے مفروضوں کے مطابق، ہر ایک کے لیے ایک نقطہ ہے جو ممکنہ استثناء کے ساتھ سب کے مشترکہ چوراہے میں ہے۔ اب ہم ریڈون کے نظریہ کو اس سیٹ پر لاگو کرتے ہیں جو ہمیں اس طرح کے جداگانہ ذیلی سیٹ فراہم کرتا ہے کہ کنویکس ہل کا کنویکس ہل کو کاٹتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ ان دو کنویکس ہلز کے چوراہے میں ایک نقطہ ہے۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ درحقیقت، کسی بھی چیز پر غور کریں ہم اس بات کو ثابت کریں گے کہ نوٹ کریں کہ اس کا واحد عنصر اس میں نہیں ہو سکتا ہے۔ اگر، تب، اور اس لیے۔ چونکہ یہ کنویکس ہے، اس کے بعد اس میں کنویکس ہل بھی ہوتا ہے اور اس لیے بھی۔ اسی طرح، اگر، تب، اور اسی استدلال سے۔ چونکہ یہ ہر ایک میں ہے، اس لیے اسے چوراہے میں بھی ہونا چاہیے۔ اوپر، ہم نے فرض کیا ہے کہ تمام نکات الگ الگ ہیں۔ اگر ایسا نہیں ہے، تو کچھ لوگوں کے لیے کہیں، پھر ہر ایک سیٹ میں ہے، اور پھر ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ چوراہا خالی نہیں ہے۔ یہ کیس میں ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ انڈکٹو مرحلہ: فرض کریں اور یہ کہ بیان اس کے لیے درست ہے۔ مندرجہ بالا دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ سیٹوں کے کسی بھی ذیلی مجموعہ میں غیر خالی چوراہا ہوگا۔ اس کے بعد ہم اس مجموعہ پر غور کر سکتے ہیں جہاں ہم دو سیٹوں کو اور واحد سیٹ کے ساتھ تبدیل کرتے ہیں۔ اس نئے مجموعے میں، سیٹوں کے ہر ذیلی مجموعہ میں غیر خالی چوراہا ہوگا۔ اس لیے انڈکٹو مفروضہ لاگو ہوتا ہے، اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ اس نئے مجموعے میں غیر خالی چوراہا ہے۔ اس کا مطلب اصل مجموعہ کے لیے بھی یہی ہے، اور ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ رنگین ہیلی تھیوریم رنگین ہیلی تھیوریم ہیلی کے تھیوریم کی ایک توسیع ہے جس میں، ایک مجموعہ کے بجائے، کنویکس سبسیٹس کے d + 1 مجموعے موجود ہیں۔ اگر، ٹرانسورسل کے ہر انتخاب کے لیے-ہر مجموعہ سے ایک سیٹ-تمام منتخب کردہ سیٹوں کے لیے ایک نقطہ مشترک ہے، تو کم از کم ایک مجموعہ کے لیے، مجموعہ میں موجود تمام سیٹوں کے لیے ایک نقطہ مشترک ہے۔ علامتی طور پر، ڈی + 1 مجموعوں کو ڈی + 1 مختلف رنگوں کا سمجھا جا سکتا ہے۔ پھر تھیوریم کا کہنا ہے کہ، اگر ایک سیٹ فی رنگ کے ہر انتخاب میں ایک غیر خالی چوراہا ہے، تو ایک ایسا رنگ موجود ہے کہ اس رنگ کے تمام سیٹوں میں ایک غیر خالی چوراہا ہے۔ فریکشنل ہیلی تھیوریم ہر a> 0 کے لیے کچھ b> 0 ایسا ہوتا ہے کہ، اگر n کنویکس سبسیٹ ہیں، اور کم از کم سیٹوں کے (d + 1)-ٹپل کے a-فریکشن میں ایک نقطہ مشترک ہوتا ہے، تو کم از کم b سیٹوں کے ایک حصے میں ایک نقطہ مشترک ہوتا ہے۔ کیریتھیوڈوری کا تھیوریم ڈوگنن کا تھیوریم کرچبرگر کا تھیوریم شیپلی-فولک مین لیما کریین-ملمین تھیوریم چوکیٹ تھیوریم ریڈون کا تھیوریم، اور اس کی عمومی کاری، ٹوربرگ کا تھیوریم نوٹ حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ہینرچ گگن ہیمر (1977) قابل اطلاق جیومیٹری، صفحہ 137، کریگر، ہنٹنگٹن۔ ۔ ۔ ۔ کنویکس جیومیٹری میں تھیوریمز مجرد جیومیٹری میں تھیوریمز ثبوت پر مشتمل مضامین جیومیٹرک ٹرانسورسل تھیوری