Mean-field theory
طبیعیات اور امکانی نظریہ میں، مین فیلڈ تھیوری (ایم ایف ٹی) یا سیلف کنسسٹینٹ فیلڈ تھیوری ایک آسان ماڈل کا مطالعہ کرکے اعلی جہتی بے ترتیب (سٹوچسٹک) ماڈلز کے رویے کا مطالعہ کرتی ہے جو آزادی کی ڈگریوں سے زیادہ اوسط کے ذریعے اصل کا تخمینہ لگاتا ہے (اعداد و شمار کے حتمی حساب میں اقدار کی تعداد جو تبدیل ہونے کے لیے آزاد ہیں)۔ اس طرح کے ماڈل بہت سے انفرادی اجزاء پر غور کرتے ہیں جو ایک دوسرے کے ساتھ تعامل کرتے ہیں۔ ایم ایف ٹی کا بنیادی خیال یہ ہے کہ کسی ایک جسم کے ساتھ تمام تعاملات کو اوسط یا موثر تعامل سے تبدیل کیا جائے، جسے بعض اوقات سالماتی میدان کہا جاتا ہے۔ یہ کسی بھی بہت سے جسم کے مسئلے کو ایک مؤثر ایک جسم کے مسئلے میں کم کر دیتا ہے۔ ایم ایف ٹی کے مسائل کو حل کرنے میں آسانی کا مطلب یہ ہے کہ نظام کے رویے کے بارے میں کچھ بصیرت کم کمپیوٹیشنل لاگت پر حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس کے بعد سے ایم ایف ٹی کا اطلاق طبیعیات سے باہر کے شعبوں کی ایک وسیع رینج پر کیا گیا ہے، جس میں شماریاتی تخمینہ، گرافیکل ماڈل، نیورو سائنس، مصنوعی ذہانت، وبائی ماڈل، قطار کا نظریہ، کمپیوٹر نیٹ ورک کی کارکردگی اور گیم تھیوری شامل ہیں، جیسا کہ مقداری ردعمل کے توازن میں ہے۔ یہ خیال سب سے پہلے فزکس (شماریاتی میکانکس) میں پیئر کیوری اور پیئر ویس کے کام میں مرحلے کی منتقلی کو بیان کرنے کے لیے ظاہر ہوا۔ ایم ایف ٹی کا استعمال بریگ ولیمز کے تخمینے، بیتھ لیٹیس کے نمونوں، لینڈو تھیوری، پیئر ویس کے تخمینے، فلوری ہگنس حل تھیوری، اور شوٹجنز-فلیئر تھیوری میں کیا گیا ہے۔ آزادی کی بہت سی (بعض اوقات لامحدود) ڈگریوں والے نظاموں کو عام طور پر درست طریقے سے حل کرنا یا بند، تجزیاتی شکل میں شمار کرنا مشکل ہوتا ہے، سوائے کچھ سادہ معاملات کے (جیسے۔ کچھ گاؤسی بے ترتیب میدان کے نظریات، 1 ڈی آئزنگ ماڈل)۔ اکثر مشترکہ مسائل پیدا ہوتے ہیں جو کسی نظام کے پارٹیشن فنکشن کی کمپیوٹنگ جیسی چیزوں کو مشکل بناتے ہیں۔ ایم ایف ٹی ایک تخمینہ کا طریقہ ہے جو اکثر اصل حل کرنے کے قابل بناتا ہے اور حساب کے لیے کھلا رہتا ہے، اور بعض صورتوں میں ایم ایف ٹی بہت درست تخمینہ دے سکتا ہے۔ فیلڈ تھیوری میں، ہیملٹنین کو فیلڈ کے اوسط کے ارد گرد اتار چڑھاؤ کی شدت کے لحاظ سے بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس تناظر میں، ایم ایف ٹی کو اتار چڑھاؤ میں ہیملٹنین کی "زیروتھ آرڈر" توسیع کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ جسمانی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایم ایف ٹی سسٹم میں کوئی اتار چڑھاؤ نہیں ہوتا ہے، لیکن یہ اس خیال کے ساتھ موافق ہے کہ کوئی بھی تمام تعاملات کو "مین فیلڈ" سے تبدیل کر رہا ہے۔ اکثر، ایم ایف ٹی اعلی آرڈر کے اتار چڑھاؤ کا مطالعہ کرنے کے لیے ایک آسان لانچ پوائنٹ فراہم کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، پارٹیشن فنکشن کا حساب لگاتے وقت، ہیملٹنین میں تعامل کی اصطلاحات کے امتزاج کا مطالعہ بعض اوقات بہترین طور پر خلل کے نتائج یا فین مین خاکے پیدا کر سکتا ہے جو اوسط فیلڈ کے تخمینے کو درست کرتے ہیں۔ جواز عام طور پر، طول و عرض اس بات کا تعین کرنے میں ایک فعال کردار ادا کرتا ہے کہ آیا اوسط فیلڈ کا نقطہ نظر کسی خاص مسئلے کے لیے کام کرے گا یا نہیں۔ بعض اوقات ایک اہم جہت ہوتی ہے جس کے اوپر ایم ایف ٹی درست ہوتا ہے اور اس کے نیچے نہیں ہوتا ہے۔ تحقیقی طور پر، بہت سے تعاملات کو ایم ایف ٹی میں ایک موثر تعاملات سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ لہذا اگر فیلڈ یا ذرہ اصل نظام میں بہت سے بے ترتیب تعاملات کی نمائش کرتا ہے، تو وہ ایک دوسرے کو منسوخ کرنے کا رجحان رکھتے ہیں، لہذا اوسط موثر تعاملات اور ایم ایف ٹی زیادہ درست ہوں گے۔ یہ اعلی جہتی کے معاملات میں درست ہے، جب ہیملٹنین میں طویل فاصلے کی قوتیں شامل ہوتی ہیں، یا جب ذرات کو بڑھایا جاتا ہے (جیسے۔ پولیمر)۔ گینزبرگ معیار اس بات کا رسمی اظہار ہے کہ کس طرح اتار چڑھاؤ ایم ایف ٹی کو ناقص تخمینہ بناتا ہے، جو اکثر دلچسپی کے نظام میں مقامی جہتوں کی تعداد پر منحصر ہوتا ہے۔ رسمی نقطہ نظر (ہیملٹنین) اوسط فیلڈ تھیوری کی رسمی بنیاد بوگولیوبوو عدم مساوات ہے۔ یہ عدم مساوات بتاتی ہے کہ ہیملٹنین کے ساتھ کسی نظام کی آزاد توانائی کی مندرجہ ذیل اوپری حد ہوتی ہے: جہاں اینٹروپی ہے، اور ہیلمہولٹز آزاد توانائیاں ہیں۔ اوسط کو ہیملٹنین کے ساتھ حوالہ نظام کے توازن کے مجموعے پر لیا جاتا ہے۔ اس خاص صورت میں کہ حوالہ ہیملٹنین ایک غیر تعامل نظام کا ہے اور اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ ہمارے شماریاتی نظام (ایٹم، گھماؤ وغیرہ) کے انفرادی اجزاء کی آزادی کی ڈگریاں کہاں ہیں، کوئی بھی عدم مساوات کے دائیں طرف کو کم سے کم کرکے اوپری حد کو تیز کرنے پر غور کر سکتا ہے۔ کم سے کم حوالہ کا نظام پھر غیر مربوط ڈگری آف فریڈم کا استعمال کرتے ہوئے حقیقی نظام کا "بہترین" تخمینہ ہے اور اسے اوسط فیلڈ تخمینہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ سب سے عام صورت کے لیے کہ ہدف ہیملٹنین میں صرف جوڑی کے لحاظ سے تعاملات ہوتے ہیں، یعنی، جوڑوں کا مجموعہ جو تعامل کرتا ہے، کم سے کم کرنے کا طریقہ کار باضابطہ طور پر انجام دیا جا سکتا ہے۔ واحد جزو کی ڈگری آف فریڈم پر قابل مشاہدہ کے عمومی مجموعہ کے طور پر بیان کریں (مجرد متغیرات کے لیے مجموعہ، مسلسل متغیرات کے لیے انٹیگرلز)۔ لگ بھگ آزاد توانائی متغیرات کے ذریعہ مخصوص حالت میں حوالہ نظام کو تلاش کرنے کا امکان کہاں ہے اس سے دی جاتی ہے۔ یہ امکان نارملائزڈ بولٹزمین فیکٹر کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں پارٹیشن فنکشن ہے۔ اس طرح کم سے کم کرنے کے لیے، ہم مناسب معمول کو یقینی بنانے کے لیے لگرینج ملٹی پلیئر کا استعمال کرتے ہوئے سنگل ڈگری آف فریڈم امکانات کے حوالے سے مشتق لیتے ہیں۔ حتمی نتیجہ خود مستقل مساوات کا مجموعہ ہے جہاں اوسط فیلڈ ایپلی کیشنز کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اوسط فیلڈ تھیوری کا اطلاق متعدد جسمانی نظاموں پر کیا جا سکتا ہے تاکہ فیز ٹرانزیشن جیسے مظاہر کا مطالعہ کیا جا سکے۔ آئیزنگ ماڈل رسمی مشتق بوگولیوبوف عدم مساوات، جو اوپر دکھائی گئی ہے، کو دو جہتی آئیزنگ جالی کے اوسط فیلڈ ماڈل کی حرکیات کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مقناطیسی فنکشن کا حساب نتیجے میں آنے والی تقریبا آزاد توانائی سے لگایا جا سکتا ہے۔ پہلا قدم حقیقی ہیملٹنین کے زیادہ قابل رسائی تخمینے کا انتخاب کرنا ہے۔ غیر تعامل یا موثر فیلڈ ہیملٹنین کا استعمال کرتے ہوئے، تغیراتی آزاد توانائی بوگولیوبوو عدم مساوات کے ذریعہ ہے، جو اس مقدار کو آسان بناتی ہے اور مقناطیسی فنکشن کا حساب لگاتی ہے جو تغیراتی آزاد توانائی کو کم سے کم کرتی ہے جس سے اصل مقناطیسیت کا بہترین تخمینہ ملتا ہے۔ منیمائزر وہ ہے جو اسپن کی مجموعی اوسط ہے۔ یہ آسان بناتا ہے کہ تمام اسپنوں کے ذریعے محسوس کیے جانے والے موثر فیلڈ کو اوسط اسپن ویلیو کے برابر کرنا اتار چڑھاؤ کو دبانے کے تغیراتی نقطہ نظر سے متعلق ہے۔ مقناطیسی فنکشن کی جسمانی تشریح پھر انفرادی گھماؤ کے لیے اوسط اقدار کا ایک میدان ہے۔ غیر تعامل کرنے والے گھماؤ کا تخمینہ-جہتی جالی پر آئزنگ ماڈل پر غور کریں۔ ہیملٹنین اس جگہ سے دیا جاتا ہے جہاں قریب ترین پڑوسیوں کی جوڑی پر اشارے کا مجموعہ ہوتا ہے، اور پڑوسی آئزنگ اسپن ہوتے ہیں۔ آئیے اپنے اسپن متغیر کو اس کی اوسط قیمت سے اتار چڑھاؤ متعارف کروا کر تبدیل کریں۔ ہم ہیملٹنین کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں جہاں ہم وضاحت کرتے ہیں ؛ یہ اسپن کا اتار چڑھاؤ ہے۔ اگر ہم دائیں طرف توسیع کرتے ہیں، تو ہم ایک اصطلاح حاصل کرتے ہیں جو مکمل طور پر گھماؤ کی اوسط اقدار پر منحصر ہوتی ہے اور گھماؤ کی ترتیبات سے آزاد ہوتی ہے۔ یہ معمولی اصطلاح ہے، جو نظام کی شماریاتی خصوصیات کو متاثر نہیں کرتی ہے۔ اگلی اصطلاح وہ ہے جس میں گھماؤ کی اوسط قیمت اور اتار چڑھاؤ کی قیمت کا پروڈکٹ شامل ہے۔ آخر میں، آخری اصطلاح میں دو اتار چڑھاؤ والی اقدار کا پروڈکٹ شامل ہوتا ہے۔ اوسط فیلڈ کا تخمینہ اس دوسرے درجے کے اتار چڑھاؤ کی اصطلاح کو نظر انداز کرنے پر مشتمل ہے: ان اتار چڑھاؤ کو کم طول و عرض پر بڑھایا جاتا ہے، جس سے ایم ایف ٹی اعلی طول و عرض کے لیے بہتر تخمینہ بن جاتا ہے۔ ایک بار پھر، خلاصہ دوبارہ بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس کے علاوہ، ہم توقع کرتے ہیں کہ ہر اسپن کی اوسط قیمت سائٹ سے آزاد ہے، کیونکہ آئزنگ چین ٹرانسلیشنل طور پر غیر متغیر ہے۔ پڑوسی گھماؤ پر مجموعہ کو دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، جہاں اس کا مطلب ہے "قریب ترین پڑوسی"، اور پری فیکٹر ڈبل گنتی سے گریز کرتا ہے، کیونکہ ہر بانڈ دو گھماؤ میں حصہ لیتا ہے۔ آسان بنانا حتمی اظہار کی طرف لے جاتا ہے جہاں کوآرڈینیشن نمبر ہے۔ اس مقام پر، آئزنگ ہیملٹنین کو ایک موثر اوسط فیلڈ کے ساتھ ایک باڈی ہیملٹنین کے مجموعے میں الگ کر دیا گیا ہے، جو کہ بیرونی فیلڈ اور پڑوسی گھماؤ سے متاثر ہونے والے اوسط فیلڈ کا مجموعہ ہے۔ یہ بات قابل غور ہے کہ یہ اوسط فیلڈ براہ راست قریب ترین پڑوسیوں کی تعداد پر منحصر ہے اور اس طرح نظام کے طول و عرض پر (مثال کے طور پر، طول و عرض کے ہائپر کیوبک جالی کے لیے)۔ اس ہیملٹنین کو پارٹیشن فنکشن میں تبدیل کرتے ہوئے اور موثر 1D مسئلے کو حل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں کہ جالی والی جگہوں کی تعداد کہاں ہے۔ یہ سسٹم کے پارٹیشن فنکشن کے لیے ایک بند اور درست اظہار ہے۔ ہم نظام کی آزاد توانائی حاصل کر سکتے ہیں اور اہم متغیرات کا حساب لگا سکتے ہیں۔ خاص طور پر، ہم کے فنکشن کے طور پر مقناطیسیت حاصل کر سکتے ہیں۔ اس طرح ہمارے پاس اور کے درمیان دو مساوات ہیں، جو ہمیں درجہ حرارت کی تقریب کے طور پر تعین کرنے کی اجازت دیتی ہیں۔ یہ مندرجہ ذیل مشاہدے کی طرف لے جاتا ہے: کسی خاص قدر سے زیادہ درجہ حرارت کے لیے، واحد حل ہے۔ نظام پیرامیگنیٹک ہے۔ کیونکہ، دو غیر صفر حل ہیں: نظام فیرومیگنیٹک ہے۔ مندرجہ ذیل تعلق سے دیا جاتا ہے: اس سے پتہ چلتا ہے کہ ایم ایف ٹی فیرومیگنیٹک مرحلے کی منتقلی کا سبب بن سکتا ہے۔ اسی طرح، ایم ایف ٹی کا اطلاق دیگر اقسام کے ہیملٹنین پر کیا جا سکتا ہے جیسا کہ مندرجہ ذیل صورتوں میں ہوتا ہے: دھاتی سپر کنڈکٹر کی منتقلی کا مطالعہ کرنے کے لیے۔ اس صورت میں، مقناطیسیت کا ینالاگ سپر کنڈکٹنگ گیپ ہے۔ مائع کرسٹل کا سالماتی میدان جو اس وقت ابھرتا ہے جب ڈائریکٹر فیلڈ کا لیپلاسیئن غیر صفر ہوتا ہے۔ پروٹین کی ساخت کی پیش گوئی میں ایک مقررہ پروٹین کی ریڑھ کی ہڈی دی گئی بہترین امینو ایسڈ سائیڈ چین پیکنگ کا تعین کرنے کے لیے (خود مستقل اوسط فیلڈ (حیاتیات) دیکھیں)۔ مرکب مواد کی لچکدار خصوصیات کا تعین کرنا۔ متغیر طور پر کم سے کم جیسے اوسط فیلڈ تھیوری کو شماریاتی تخمینے میں بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ وقت پر منحصر اوسط فیلڈز تک توسیع اوسط فیلڈ تھیوری میں، واحد سائٹ کے مسئلے میں ظاہر ہونے والا اوسط فیلڈ وقت سے آزاد اسکیلر یا ویکٹر کی مقدار ہے۔ تاہم، ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا: ڈائنامکل مین فیلڈ تھیوری (ڈی ایم ایف ٹی) کہلانے والے مین فیلڈ تھیوری کی ایک قسم میں، مین فیلڈ وقت پر منحصر مقدار بن جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، دھات-موٹ-انسولیٹر کی منتقلی کا مطالعہ کرنے کے لیے ڈی ایم ایف ٹی کو ہبارڈ ماڈل پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ متحرک اوسط فیلڈ تھیوری اوسط فیلڈ گیم تھیوری عمومی وبائی اوسط فیلڈ ماڈل حوالہ جات طبیعیات میں شماریاتی میکانکس کے تصورات الیکٹرانک ساخت کے طریقے