Ultraparallel theorem
ہائپربولک جیومیٹری میں، دو لکیروں کو انتہائی متوازی کہا جاتا ہے اگر وہ ایک دوسرے کو نہیں کاٹتی ہیں اور متوازی کو محدود نہیں کرتی ہیں۔ الٹرا متوازی نظریہ بیان کرتا ہے کہ (الگ الگ) الٹرا متوازی لائنوں کے ہر جوڑے میں ایک منفرد مشترکہ عمودی (ایک ہائپربولک لائن جو دونوں لائنوں کے لیے عمودی ہوتی ہے) ہوتی ہے۔ ہلبرٹ کی تعمیر r اور s کو دو انتہائی متوازی لکیریں ہونے دیں۔ کسی بھی دو الگ الگ نکات A اور C سے s پر AB اور CB 'r پر b کے ساتھ عمودی اور b' r پر کھینچیں۔ اگر ایسا ہوتا ہے کہ AB = CB '، تو مطلوبہ مشترکہ عمودی AC اور BB' کے درمیانی نکات میں شامل ہو جاتا ہے (ساچری کواڈری لیٹرل ACB 'B کی ہم آہنگی سے)۔ اگر نہیں، تو ہم عامیت کو کھونے کے بغیر اے بی <سی بی 'کا تصور کر سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ E، C سے A کے مخالف سمت میں لکیر s پر ایک نقطہ ہے۔ CB پر A 'لیں تاکہ A' B '= AB ہو۔ A کے ذریعے E کے قریب کی طرف ایک لکیر s (A 'E') کھینچیں، تاکہ زاویہ B 'A' E زاویہ BAE کے برابر ہو۔ پھر s ایک عام نقطہ D میں s سے ملتا ہے۔ رے اے ای پر ایک نقطہ ڈی بنائیں تاکہ AD = A 'D' ہو۔ پھر D 'ष्णد D۔ وہ r سے ایک ہی فاصلہ رکھتے ہیں اور دونوں s پر پڑے ہوتے ہیں۔ لہذا D' D (s کا ایک حصہ) کا عمودی بائیسیکٹر بھی r کے لیے عمودی ہوتا ہے۔ (اگر r اور s الٹرا متوازی کے بجائے غیر علامتی طور پر متوازی تھے، تو یہ تعمیر ناکام ہو جائے گی کیونکہ s 's سے نہیں ملے گا۔ بلکہ s' s اور r دونوں کے لیے غیر علامتی طور پر متوازی ہوگا۔) پوئن کیری ہاف پلین ماڈل میں ثبوت کارٹیسی طیارہ کے ابسیسا پر چار الگ الگ نکات ہونے دیں۔ چلو اور قطر کے ساتھ اور بالترتیب ابسیسا کے اوپر سیمی سرکلز ہوں۔ پھر پوئن کیئر ہاف پلین ماڈل HP میں، اور الٹرا متوازی لائنوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ مندرجہ ذیل دو ہائپربولک حرکات مرتب کریں: پھر اب ان دو ہائپربولک حرکات کے ساتھ جاری رکھیں: پھر،،، (کہو) پر رہیں۔ منفرد سیمی سرکل، جس کا مرکز اصل پر ہے، ایک پر عمودی طور پر دوسرے کے رداس کے لیے ایک رداس ٹینجینٹ ہونا چاہیے۔ ابسیسا اور عمودی ریڈیائی کے ذریعہ تشکیل شدہ دائیں مثلث کی لمبائی ہائپوٹینوس ہوتی ہے۔ چونکہ سیمی سرکل کا رداس آن ہے، اس لیے جو عام پرپینڈکولر مطلوب ہوتا ہے اس کا رداس مربع ہوتا ہے۔ اوپر پیدا ہونے والی چار ہائپربولک حرکتوں میں سے ہر ایک کو الٹا کیا جا سکتا ہے اور اصل اور رداس پر مرکوز سیمی سرکل پر الٹا ترتیب میں لاگو کیا جا سکتا ہے تاکہ دونوں الٹرا متوازی اور پرپینڈکولر منفرد ہائپربولک لائن حاصل ہو۔ بیلٹرامی-کلین ماڈل میں ثبوت ہائپربولک جیومیٹری کے بیلٹرامی-کلین ماڈل میں: دو الٹرا متوازی لائنیں دو غیر انٹرسیکٹنگ کورڈز سے مطابقت رکھتی ہیں۔ ان دونوں لائنوں کے قطبین کورڈز کے اختتامی نکات پر باؤنڈری سرکل پر ٹینجینٹ لائنوں کے متعلقہ چوراہے ہیں۔ لائن l کے لیے عمودی لائنیں کورڈز کے ذریعے تیار کی جاتی ہیں جن کی توسیع ایل کے قطب سے گزرتی ہے۔ اس لیے ہم دو دی گئی لائنوں کے قطبوں کے درمیان منفرد لکیر کھینچتے ہیں، اور اسے باؤنڈری سرکل کے ساتھ کاٹتے ہیں۔ چوراہے کا کورڈ الٹرا متوازی لائنوں کا مطلوبہ مشترکہ عمودی ہوگا۔ اگر کورڈز میں سے ایک قطر کا ہوتا ہے، تو ہمارے پاس قطب نہیں ہوتا ہے، لیکن اس صورت میں قطر سے عمودی کوئی بھی کورڈ بیلٹرامی-کلین ماڈل میں بھی عمودی ہوتا ہے، اور اس لیے ہم قطب کے ذریعے ایک لکیر کھینچتے ہیں۔ دوسری لکیر قطر کو سیدھے زاویوں پر کاٹتی ہے تاکہ مشترکہ عمودی حاصل ہو۔ ثبوت یہ ظاہر کرتے ہوئے مکمل کیا جاتا ہے کہ یہ تعمیر ہمیشہ ممکن ہے: اگر دونوں کورڈز قطر ہیں، تو وہ ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ (باؤنڈری سرکل کے مرکز میں) اگر کورڈز میں سے صرف ایک قطر ہے، تو دوسرا کورڈ اس کے اندرونی حصے میں موجود پہلی کورڈ کے ایک حصے تک آرتھوگنل طور پر پیش کرتا ہے، اور پول آرتھوگنل سے قطر تک کی ایک لکیر قطر اور کورڈ دونوں کو کاٹتی ہے۔ اگر دونوں لکیریں قطر نہیں ہیں، تو ہم ہر قطب سے کھینچے گئے ٹینجینٹ کو بڑھا سکتے ہیں تاکہ اس کے اندر کندہ شدہ اکائی دائرے کے ساتھ ایک چوطرفہ پیدا ہو۔ قطبین اس چوطرفہ کے مخالف عمودی ہیں، اور کورڈز مخالف کونوں میں عمودی کے ملحقہ اطراف کے درمیان کھینچی گئی لکیریں ہیں۔ چونکہ کواڈریلیٹرل کنویکس ہے، اس لیے قطبوں کے درمیان کی لکیر کونوں کے پار کھینچی گئی دونوں کورڈز کو کاٹتی ہے، اور کورڈز کے درمیان کی لکیر کا حصہ دو دیگر کورڈز کے لیے مطلوبہ کورڈ پرپینڈکولر کی وضاحت کرتا ہے۔ متبادل طور پر، ہم الٹرا متوازی لائنوں کے مشترکہ عمودی کو مندرجہ ذیل طریقے سے تشکیل دے سکتے ہیں: بیلٹرامی-کلین ماڈل میں الٹرا متوازی لائنیں دو غیر باہم مربوط کورڈز ہیں۔ لیکن وہ اصل میں دائرے کے باہر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ انٹرسیکٹنگ پوائنٹ کا پولر مطلوبہ مشترکہ عمودی ہے۔ حوالہ جات کرول بورسک اور وانڈا زیمیلیو (1960) فاؤنڈیشنز آف جیومیٹری، صفحہ 291۔ جیومیٹری میں ہائپربولک جیومیٹری تھیوریمز کے ثبوت پر مشتمل مضامین