Multipole expansion
کثیر قطبی توسیع ایک ریاضیاتی سلسلہ ہے جو ایک فنکشن کی نمائندگی کرتا ہے جو زاویوں پر منحصر ہوتا ہے-عام طور پر تین جہتی یوکلڈین اسپیس کے لیے کروی کوآرڈینیٹ سسٹم (قطبی اور ایزموتھل زاویہ) میں استعمال ہونے والے دو زاویہ۔ اسی طرح ٹیلر سیریز کے لیے، کثیر قطبی توسیعات مفید ہیں کیونکہ اکثر اصل فنکشن کا ایک اچھا تخمینہ فراہم کرنے کے لیے صرف پہلی چند اصطلاحات کی ضرورت ہوتی ہے۔ توسیع شدہ فنکشن حقیقی یا پیچیدہ قدر والا ہو سکتا ہے اور اس کی تعریف یا تو، یا کچھ دیگر کثیر قطبی توسیعات کے لیے کم کثرت سے برقی مقناطیسی اور کشش ثقل کے شعبوں کے مطالعہ میں کثرت سے استعمال کی جاتی ہے، جہاں دور دراز کے مقامات پر میدانوں کو ذرائع کے لحاظ سے دیا جاتا ہے۔ ایک چھوٹے سے علاقے میں زاویوں کے ساتھ کثیر قطبی توسیع اکثر رداس میں توسیع کے ساتھ مل جاتی ہے۔ اس طرح کا امتزاج تین جہتی خلا میں کسی فنکشن کو بیان کرنے والی توسیع دیتا ہے۔ کثیر قطبی توسیع کو بتدریج باریک کونیی خصوصیات (لمحات) کے ساتھ اصطلاحات کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ پہلی (صفر ترتیب) اصطلاح کو مونوپول مومنٹ کہا جاتا ہے، دوسری (پہلی ترتیب) اصطلاح کو ڈائپول مومنٹ کہا جاتا ہے، تیسری (دوسری ترتیب) کواڈروپول مومنٹ، چوتھی (تیسری ترتیب) اصطلاح کو آکٹپول مومنٹ کہا جاتا ہے، اور اسی طرح۔ یونانی عددی سابقہ کی حد کو دیکھتے ہوئے، اعلی ترتیب کی اصطلاحات کو روایتی طور پر قطبوں کی تعداد میں "-پول" شامل کرکے نامزد کیا جاتا ہے-مثال کے طور پر، 32-پول (شاذ و نادر ہی ڈاٹریکونٹا پول یا ٹرائیکونٹاڈی پول) اور 64-پول (شاذ و نادر ہی ٹیٹراہیکساکونٹا پول یا ہیکساکونٹا ٹیٹرا پول)۔ ایک ملٹی پول مومنٹ میں عام طور پر اصل کے فاصلے کی طاقتیں (یا الٹی طاقتیں) کے ساتھ ساتھ کچھ کونیی انحصار بھی شامل ہوتا ہے۔ اصولی طور پر، ایک کثیر قطبی توسیع صلاحیت کی درست وضاحت فراہم کرتی ہے، اور عام طور پر دو شرائط کے تحت یکجا ہوتی ہے: (1) اگر ذرائع (جیسے۔ چارجز) اصل کے قریب مقامی ہوتے ہیں اور جس مقام پر پوٹینشل کا مشاہدہ کیا جاتا ہے وہ اصل سے بہت دور ہوتا ہے۔ یا (2) الٹا، یعنی، اگر ذرائع اصل سے بہت دور واقع ہیں اور پوٹینشل کا مشاہدہ اصل کے قریب کیا جاتا ہے۔ پہلے (زیادہ عام) معاملے میں، سیریز کی توسیع کے کوفیشنٹس کو بیرونی ملٹی پول لمحات یا صرف ملٹی پول لمحات کہا جاتا ہے جبکہ، دوسرے معاملے میں، انہیں اندرونی ملٹی پول لمحات کہا جاتا ہے۔ کروی ہم آہنگی میں توسیع زیادہ تر عام طور پر، اس سلسلے کو کروی ہم آہنگی کے مجموعے کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ اس طرح، ہم کسی فنکشن کو اس مجموعہ کے طور پر لکھ سکتے ہیں جہاں معیاری کروی ہم آہنگی ہوتی ہے، اور مستقل گتانک ہوتے ہیں جو فنکشن پر منحصر ہوتے ہیں۔ اصطلاح مونوپول کی نمائندگی کرتی ہے ؛ ڈائپول کی نمائندگی کرتی ہے ؛ اور اسی طرح۔ مساوی طور پر، سیریز کو اکثر اس طرح بھی لکھا جاتا ہے جہاں زاویے اور اشاریہ جات کی طرف سے دی گئی سمت میں یونٹ ویکٹر کے اجزاء کی نمائندگی کرتے ہیں، اور اشاریہ جات کا واضح خلاصہ کیا جاتا ہے۔ یہاں، اصطلاح مونوپول ہے ؛ تین اعداد کا ایک مجموعہ ہے جو ڈائپول کی نمائندگی کرتا ہے ؛ اور اسی طرح۔ مندرجہ بالا توسیعات میں، گتانک حقیقی یا پیچیدہ ہو سکتے ہیں۔ اگر فنکشن کو ملٹی پول توسیع کے طور پر ظاہر کیا جا رہا ہے تو وہ حقیقی ہے، تاہم، کوفیشنٹس کو کچھ خصوصیات کو پورا کرنا ہوگا۔ کثیر ویکٹر توسیع میں، ہر گتانک حقیقی ہونا چاہیے: اگرچہ اسکیلر افعال کی توسیع کثیر قطبی توسیع کا اب تک کا سب سے عام اطلاق ہے، لیکن انہیں صوابدیدی درجہ بندی کے ٹینسرز کو بیان کرنے کے لیے بھی عام کیا جا سکتا ہے۔ یہ برقی مقناطیسیت میں ویکٹر صلاحیت کے کثیر قطبی پھیلاؤ، یا کشش ثقل کی لہروں کی وضاحت میں میٹرک پرٹربیشن میں استعمال ہوتا ہے۔ تین جہتوں کے افعال کو بیان کرنے کے لیے، کوآرڈینیٹ اوریجن سے دور، ملٹی پول توسیع کے کوفیشنٹس کو اصل تک کے فاصلے کے افعال کے طور پر لکھا جا سکتا ہے،-اکثر، کی طاقتوں میں لارنٹ سیریز کے طور پر۔ مثال کے طور پر، برقی مقناطیسی صلاحیت کو بیان کرنے کے لیے، اصل کے قریب ایک چھوٹے سے علاقے میں ایک ماخذ سے، کوفیشنٹس کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: ایپلی کیشنز ملٹی پول توسیع بڑے پیمانے پر ماس کے نظاموں کے کشش ثقل کے شعبوں، چارج اور موجودہ تقسیم کے برقی اور مقناطیسی شعبوں، اور برقی مقناطیسی لہروں کے پھیلاؤ سے متعلق مسائل میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ ایک بہترین مثال جوہری مرکزوں کے بیرونی کثیر قطبی لمحات کا حساب الیکٹرانک مداروں کے اندرونی کثیر قطبوں کے ساتھ ان کی تعامل توانائیوں سے ہے۔ نیوکلئی کے ملٹی پول لمحات نیوکلئس کے اندر چارجز کی تقسیم اور اس طرح نیوکلئس کی شکل پر رپورٹ کرتے ہیں۔ کثیر قطبی توسیع کو اس کی پہلی غیر صفر اصطلاح میں کاٹنا اکثر نظریاتی حسابات کے لیے مفید ہوتا ہے۔ کثیر قطبی توسیعات عددی تخروپن میں بھی مفید ہیں، اور گرینگارڈ اور روکھلن کے تیز کثیر قطبی طریقہ کار کی بنیاد بناتی ہیں، جو تعامل کرنے والے ذرات کے نظام میں توانائیوں اور قوتوں کی موثر گنتی کے لیے ایک عام تکنیک ہے۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ ذرات کو گروپوں میں تحلیل کیا جائے۔ کسی گروپ کے اندر موجود ذرات عام طور پر تعامل کرتے ہیں (یعنی مکمل صلاحیت سے)، جبکہ ذرات کے گروپوں کے درمیان توانائیاں اور قوتیں ان کے کثیر قطبی لمحات سے شمار کی جاتی ہیں۔ فاسٹ ملٹی پول طریقہ کار کی کارکردگی عام طور پر ایوالڈ سمشن سے ملتی جلتی ہے، لیکن اگر ذرات کلسٹرڈ ہوں تو یہ بہتر ہے، یعنی۔ نظام میں کثافت کے بڑے اتار چڑھاؤ ہوتے ہیں۔ الیکٹروسٹیٹک چارج ڈسٹری بیوشن سے باہر پوٹینشل کی ملٹی پول توسیع پوزیشن ویکٹر کے ساتھ پوائنٹ چارجز پر مشتمل ایک مجرد چارج ڈسٹری بیوشن پر غور کریں۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ چارجز اصل کے ارد گرد کلسٹر کیے گئے ہیں، تاکہ تمام i: کے لیے، جہاں کچھ محدود قدر ہو۔ صلاحیت، چارج کی تقسیم کی وجہ سے، چارج کی تقسیم سے باہر ایک نقطہ پر، یعنی، کے اختیارات میں بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس توسیع کو کرنے کے دو طریقے ادب میں مل سکتے ہیں: پہلا کارٹیشین نقاط میں ٹیلر سیریز ہے، اور، جبکہ دوسرا کروی ہم آہنگی کے لحاظ سے ہے جو کروی قطبی نقاط پر منحصر ہے۔ کارٹیشین نقطہ نظر کا یہ فائدہ ہے کہ لیجنڈری افعال، کروی ہم آہنگی وغیرہ کے بارے میں پہلے سے علم کی ضرورت نہیں ہے۔ اس کا نقصان یہ ہے کہ مشتقات کافی پیچیدہ ہیں (درحقیقت اس کا ایک بڑا حصہ 1780 کی دہائی میں لیجنڈری کی توسیع کی مضمر بازیافت ہے، جو لیجنڈری نے ہمیشہ کے لیے کی تھی)۔ اس کے علاوہ کثیر قطبی توسیع کی عمومی اصطلاح کے لیے ایک بند اظہار دینا مشکل ہے-عام طور پر صرف پہلی چند اصطلاحات دی جاتی ہیں جس کے بعد ایلیپسس ہوتا ہے۔ کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں توسیع سہولت کے لیے فرض کریں۔ اگر لیپلیس مساوات کو مطمئن کرتا ہے، تو مندرجہ بالا توسیع سے ہمارے پاس ہے اور توسیع کو ٹریس لیس کارٹیسیئن سیکنڈ رینک ٹینسر کے اجزاء کے لحاظ سے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے اور۔ ٹریس کو ہٹانا عام ہے، کیونکہ یہ گردش کے لحاظ سے غیر متغیر کو دوسرے درجے کے ٹینسر سے باہر لے جاتا ہے۔ اب اس کی درج ذیل شکل پر غور کریں: پھر براہ راست تفریق کے ذریعے یہ اس طرح ہے کہ بالترتیب ایک مونوپول، ڈائپول، اور (ٹریس لیس) کواڈروپول کی وضاحت کریں، اور ہم آخر میں کل پوٹینشل کے ملٹی پول توسیع کی پہلی چند اصطلاحات حاصل کرتے ہیں، جو کہ علیحدہ چارجز کے کولمب پوٹینشلز کا مجموعہ ہے: مجرد چارج کی تقسیم کے پوٹینشل کی یہ توسیع ذیل میں دی گئی حقیقی ٹھوس ہارمونکس سے بہت ملتی جلتی ہے۔ اہم فرق یہ ہے کہ موجودہ ایک لکیری طور پر منحصر مقداروں کے لحاظ سے ہے، نوٹ کے لیے: اگر چارج کی تقسیم مخالف علامت کے دو چارجز پر مشتمل ہے جو ایک لامحدود فاصلے پر ہیں، تاکہ، یہ آسانی سے دکھایا جا سکے کہ توسیع میں غالب اصطلاح برقی دو قطبی ممکنہ میدان ہے۔ گول شکل چارج کی تقسیم سے باہر ایک نقطہ پر صلاحیت، یعنی۔ ، کو لیپلیس کی توسیع کے ذریعے بڑھایا جا سکتا ہے: جہاں ایک بے قاعدہ ٹھوس ہارمونک ہے (جسے ذیل میں ایک کروی ہارمونک فنکشن کے طور پر تقسیم کیا گیا ہے) اور یہ ایک باقاعدہ ٹھوس ہارمونک ہے (ایک کروی ہارمونک اوقات)۔ ہم چارج کی تقسیم کے کروی ملٹی پول لمحے کی وضاحت اس طرح کرتے ہیں کہ ایک ملٹی پول لمحے کا تعین صرف چارج کی تقسیم (N چارجز کی پوزیشن اور طول و عرض) سے ہوتا ہے۔ ایک کروی ہارمونک یونٹ ویکٹر پر منحصر ہوتا ہے۔ (ایک یونٹ ویکٹر کا تعین دو کروی قطبی زاویوں سے ہوتا ہے۔) اس طرح، تعریف کے مطابق، بے قاعدہ ٹھوس ہم آہنگی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ چارج کی تقسیم سے باہر کے مقام پر فیلڈ کی کثیر قطبی توسیع اس طرح دی جاتی ہے کہ یہ توسیع مکمل طور پر عام ہے کہ یہ تمام اصطلاحات کے لیے ایک بند شکل دیتی ہے، نہ کہ صرف پہلے چند کے لیے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ کروی کثیر قطبی لمحات صلاحیت کی توسیع میں گتانک کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ پہلی چند اصطلاحات پر حقیقی شکل میں غور کرنا دلچسپی کا باعث ہے، جو عام طور پر انڈرگریجویٹ نصابی کتابوں میں پائی جانے والی واحد اصطلاحات ہیں۔ چونکہ m خلاصہ کا خلاصہ بیک وقت دونوں عوامل کی یکطرفہ تبدیلی کے تحت غیر متغیر ہے اور چونکہ پیچیدہ کروی ہم آہنگی کی حقیقی شکل میں تبدیلی یکطرفہ تبدیلی کے ذریعے ہوتی ہے، اس لیے ہم صرف حقیقی بے قاعدہ ٹھوس ہم آہنگی اور حقیقی کثیر قطبی لمحات کو تبدیل کر سکتے ہیں۔ اصطلاح بن جاتی ہے یہ حقیقت میں کولمب کا قانون ہے۔ اس اصطلاح کے لیے جسے ہم متعارف کراتے ہیں پھر یہ اصطلاح کارٹیشین شکل میں پائی جانے والی اصطلاح سے ملتی جلتی ہے۔ اصطلاح لکھنے کے لیے، ہمیں کواڈروپول مومنٹ کے پانچ حقیقی اجزاء اور حقیقی کروی ہم آہنگی کے لیے شارٹ ہینڈ نوٹیشن متعارف کرانا ہوگا۔ اس قسم کے نوٹ ادب میں مل سکتے ہیں۔ واضح طور پر حقیقی اشارے بہت جلد عجیب ہو جاتے ہیں، جو پیچیدہ اشارے کی افادیت کو ظاہر کرتے ہیں۔ دو غیر اوور لیپنگ چارج کی تقسیم کا تعامل پوائنٹ چارجز کے دو سیٹوں پر غور کریں، ایک سیٹ ایک پوائنٹ کے ارد گرد کلسٹرڈ اور ایک سیٹ ایک پوائنٹ کے ارد گرد کلسٹرڈ۔ مثال کے طور پر دو مالیکیولز کے بارے میں سوچیں، اور یاد رکھیں کہ ایک مالیکیول تعریف کے لحاظ سے الیکٹرانوں (منفی پوائنٹ چارجز) اور نیوکلئی (مثبت پوائنٹ چارجز) پر مشتمل ہوتا ہے۔ دونوں تقسیموں کے درمیان کل الیکٹروسٹیٹک تعامل توانائی یہ ہے کہ اس توانائی کو اور کے الٹا فاصلے میں پاور سیریز میں بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس توسیع کو یو اے بی کی ملٹی پول توسیع کہا جاتا ہے۔ اس کثیر قطبی توسیع کو حاصل کرنے کے لیے، ہم لکھتے ہیں، جو کہ ایک ویکٹر ہے جو اس کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ہم فرض کرتے ہیں کہ دونوں تقسیم ایک دوسرے سے متصادم نہیں ہیں: اس شرط کے تحت ہم لیپلیس کی توسیع کو درج ذیل شکل میں لاگو کر سکتے ہیں جہاں اور بالترتیب بے قاعدہ اور باقاعدہ ٹھوس ہم آہنگی ہیں۔ باقاعدہ ٹھوس ہارمونک کا ترجمہ ایک محدود توسیع دیتا ہے، جہاں نکیلی بریکٹوں کے درمیان مقدار کلیبش-گورڈن گتانک ہوتی ہے۔ مزید ہم نے گول ضرب کی تعریف کا استعمال کیا اور کسی حد تک مختلف ترتیب میں خلاصہ کی حدود کا احاطہ (جس کی صرف ایک لامحدود رینج کے لیے اجازت ہے) آخر میں دیتا ہے۔ یہ دو غیر اوور لیپنگ چارج کی تقسیم کی تعامل توانائی کی کثیر قطبی توسیع ہے جو ایک فاصلہ آر اے بی ہے۔ چونکہ یہ توسیع واضح طور پر کی طاقتوں میں ہے۔ فنکشن ایک نارملائزڈ کروی ہارمونک ہے۔ سالماتی لمحات تمام ایٹموں اور مالیکیولز (ایس-اسٹیٹ ایٹموں کے علاوہ) میں ایک یا زیادہ غیر معدوم ہونے والے مستقل کثیر قطبی لمحات ہوتے ہیں۔ ادب میں مختلف تعریفیں مل سکتی ہیں، لیکن کروی شکل میں درج ذیل تعریف کا فائدہ یہ ہے کہ یہ ایک عمومی مساوات میں موجود ہے۔ چونکہ یہ پیچیدہ شکل میں ہے اس کا مزید فائدہ یہ ہے کہ حساب کتاب میں ہیرا پھیری کرنا اس کے حقیقی ہم منصب کے مقابلے میں آسان ہے۔ ہم ایک مالیکیول پر غور کرتے ہیں جو N ذرات (الیکٹرانوں اور مرکزوں) پر مشتمل ہوتا ہے جس کے چارجز eZi ہوتے ہیں۔ (الیکٹرانوں کی زیڈ ویلیو −1 ہوتی ہے، جبکہ مرکزوں کے لیے یہ جوہری نمبر ہوتا ہے)۔ ذرہ i میں کروی قطبی نقاط ری، θi، اور φi ہوتے ہیں اور کارٹیشین نقاط xi، yi، اور zi ہوتے ہیں۔ (پیچیدہ) الیکٹروسٹیٹک ملٹی پول آپریٹر وہ جگہ ہے جہاں راکہ کی نارملائزیشن میں ایک باقاعدہ ٹھوس ہارمونک فنکشن ہوتا ہے (جسے شمٹ کی نیم نارملائزیشن بھی کہا جاتا ہے)۔ اگر مالیکیول میں کل نارملائزڈ ویو فنکشن (الیکٹرانوں اور نیوکلئی کے نقاط پر منحصر ہے) ہے، تو مالیکیول کی ترتیب کا ملٹی پول مومنٹ توقع (متوقع) قدر کے ذریعہ دیا جاتا ہے: اگر مالیکیول میں کچھ پوائنٹ گروپ سمیٹری ہے، تو یہ ویو فنکشن میں ظاہر ہوتا ہے: گروپ کی ایک مخصوص ناقابل کٹوتی نمائندگی λ کے مطابق تبدیل ہوتا ہے۔ اس کا نتیجہ یہ ہے کہ انتخاب کے قواعد ملٹی پول آپریٹر کی متوقع قیمت کے لیے ہوتے ہیں، یا دوسرے الفاظ میں، کہ ہم آہنگی کی وجہ سے متوقع قیمت ختم ہو سکتی ہے۔ اس کی ایک معروف مثال یہ حقیقت ہے کہ الٹ مرکز والے مالیکیولز میں ڈائی پول نہیں ہوتا ہے (کے لیے متوقع اقدار ختم ہو جاتی ہیں۔ سمیٹری کے بغیر کسی مالیکیول کے لیے، کوئی سلیکشن رولز آپریٹو نہیں ہوتے ہیں اور اس طرح کے مالیکیول میں کسی بھی ترتیب کے غیر غائب ہونے والے ملٹی پولز ہوں گے (یہ ایک ڈائپول اور بیک وقت ایک کواڈروپول، آکٹپول، ہیکساڈی کیپول وغیرہ لے جائے گا)۔ باقاعدہ ٹھوس ہم آہنگی کی سب سے کم واضح شکلیں (کونڈون-شارٹلی مرحلے کے ساتھ) دیتی ہیں: (سالمے کا کل چارج)۔ (پیچیدہ) دو قطبی اجزاء یہ ہیں: نوٹ کریں کہ ایک سادہ لکیری امتزاج سے پیچیدہ کثیر قطبی آپریٹرز کو حقیقی میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ حقیقی ملٹی پول آپریٹر کوسائن قسم یا سائن قسم کے ہوتے ہیں۔ سب سے کم میں سے کچھ یہ ہیں: کنونشنوں پر نوٹ اوپر دی گئی پیچیدہ مالیکیولر ملٹی پول مومنٹ کی تعریف اس مضمون میں دی گئی تعریف کی پیچیدہ کنجوگیٹ ہے، جو جیکسن کی کلاسیکی الیکٹرو ڈائنامکس پر معیاری نصابی کتاب کی تعریف کی پیروی کرتی ہے، سوائے معمول کے۔ مزید برآں، جیکسن کی کلاسیکی تعریف میں این-پارٹیکل کوانٹم مکینیکل متوقع قیمت کے مساوی ایک پارٹیکل چارج کی تقسیم پر ایک لازمی ہے۔ یاد رکھیں کہ ایک ذرہ کوانٹم مکینیکل سسٹم کے معاملے میں توقع کی قیمت چارج کی تقسیم (ویو فنکشن اسکوائرڈ کا ماڈیولس) پر ایک انٹیگرل کے سوا کچھ نہیں ہے، تاکہ اس مضمون کی تعریف جیکسن کی تعریف کی کوانٹم مکینیکل این-پارٹیکل جنرلائزیشن ہو۔ اس مضمون کی تعریف، دوسروں کے درمیان، فانو اور راکہ اور برنک اور سیچلر میں سے ایک سے متفق ہے۔ مثالیں کثیر قطبی لمحات کی بہت سی قسمیں ہیں، کیونکہ متعدد اقسام کی پوٹینشلز اور سیریز کی توسیع کے ذریعے پوٹینشل کا تخمینہ لگانے کے بہت سے طریقے ہیں، جو کہ کوآرڈینیٹس اور چارج کی تقسیم کی ہم آہنگی پر منحصر ہے۔ سب سے عام توسیعات میں شامل ہیں: پوٹینشیل کے محوری ملٹی پول لمحات ؛ پوٹینشیل کے کروی ملٹی پول لمحات ؛ اور پوٹینشیل کے سلنڈریکل ملٹی پول لمحات پوٹینشیل کی مثالوں میں برقی پوٹینشیل، مقناطیسی پوٹینشیل اور پوائنٹ ذرائع کی کشش ثقل شامل ہیں۔ پوٹینشیل کی ایک مثال لامحدود لائن چارج کی برقی پوٹینشیل ہے۔ عمومی ریاضیاتی خصوصیات ریاضی اور ریاضیاتی طبیعیات میں ملٹی پول لمحات کسی فنکشن کے سڑنے کے لیے ایک آرتھوگنل بنیاد بناتے ہیں، جو ایک فیلڈ کے ان ذرائع کے ردعمل پر مبنی ہوتے ہیں جو ایک دوسرے کے لامحدود قریب لائے جاتے ہیں۔ ان کے بارے میں مختلف ہندسی شکلوں میں ترتیب کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، یا تقسیم کے نظریہ کے معنی میں، دشاتمک مشتقات کے طور پر۔ کثیر قطبی توسیعات کا تعلق جسمانی قوانین کی بنیادی گردشی ہم آہنگی اور ان سے وابستہ تفریقی مساوات سے ہے۔ اگرچہ ماخذ کی اصطلاحات (جیسے کمیت، چارج، یا کرنٹ) متناسب نہیں ہو سکتی ہیں، لیکن کوئی بھی ان کو گردشی ہم آہنگی گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی کے لحاظ سے بڑھا سکتا ہے، جو کروی ہم آہنگی اور آرتھوگنل افعال کے متعلقہ سیٹوں کی طرف لے جاتا ہے۔ ریڈیل انحصار کے لیے متعلقہ حل نکالنے کے لیے متغیرات کو الگ کرنے کی تکنیک کا استعمال کیا جاتا ہے۔ عملی طور پر، کثیر قطبی لمحات کی ایک محدود تعداد کے ساتھ بہت سے فیلڈز کا اچھی طرح سے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے (حالانکہ کسی فیلڈ کو بالکل دوبارہ تعمیر کرنے کے لیے ایک لامحدود نمبر کی ضرورت پڑ سکتی ہے)۔ ایک عام اطلاق مقامی چارج کی تقسیم کے میدان کو اس کے مونوپول اور ڈائپول اصطلاحات کے ذریعہ لگ بھگ کرنا ہے۔ ملٹی پول مومنٹ کی دی گئی ترتیب کے لیے ایک بار حل ہونے والے مسائل کو لکیری طور پر ملا کر کسی دیئے گئے ماخذ کے لیے حتمی تخمینہ حل بنایا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں بارنس ہٹ تخروپن فاسٹ ملٹی پول طریقہ لیپلیس توسیع لیجنڈری کثیر الجہتی کواڈروپول مقناطیس ذرہ ایکسلریٹرز میں استعمال ہوتے ہیں ٹھوس ہارمونکس ٹورائڈل مومنٹ حوالہ جات ممکنہ نظریہ ویکٹر کیلکولس مومنٹ (طبیعیات)