CCR and CAR algebras
ریاضی اور طبیعیات میں سی سی آر الجبرا (کینونکل کمیونیکیشن تعلقات کے بعد) اور سی اے آر الجبرا (کینونکل اینٹی کمیونیکیشن تعلقات کے بعد) بالترتیب بوسون اور فرمین کے کوانٹم مکینیکل مطالعہ سے پیدا ہوتے ہیں۔ وہ کوانٹم شماریاتی میکانکس اور کوانٹم فیلڈ تھیوری میں نمایاں کردار ادا کرتے ہیں۔ سی سی آر اور سی اے آر بطور *-الجیبراس آئیے ایک حقیقی ویکٹر کی جگہ ہو جو ایک غیر سنگلر حقیقی اینٹیسیمیٹرک دو لکیری شکل (یعنی۔ ایک سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس)۔ کسی بھی ان کے لیے تعلقات کے تابع عناصر کے ذریعے پیدا ہونے والے یونٹل *-الجبرا کو کینونکل کمیونیٹیشن ریلیشنز (سی سی آر) الجبرا کہا جاتا ہے۔ اس الجبرہ کی نمائندگی کی انفرادیت جب محدود جہتی ہوتی ہے تو اسٹون وان نیومن تھیوریم میں زیر بحث آتی ہے۔ اگر اس کے بجائے ایک غیر سنگلر حقیقی سمیٹرک دو لکیری شکل سے لیس ہے، تو کسی بھی میں تعلقات کے تابع عناصر کے ذریعہ پیدا ہونے والا یونٹل *-الجبرا کینونکل اینٹی کمیونیکیشن ریلیشنز (سی اے آر) الجبرا کہلاتا ہے۔ سی سی آر کا سی *-الجبرا سی سی آر الجبرا کا ایک الگ، لیکن قریب سے متعلق معنی ہے، جسے سی سی آر سی *-الجبرا کہا جاتا ہے۔ آئیے ایک حقیقی سمپلیکٹک ویکٹر اسپیس بنیں جس میں نان سنگولر سمپلیکٹک شکل ہو۔ آپریٹر الجبرا کے نظریہ میں، سی سی آر الجبرا اوور ایک واحد سی *-الجبرا ہے جو اس کے تابع عناصر سے پیدا ہوتا ہے۔ انہیں کینونکل کمیونیکیشن ریلیشنز کی ویل فارم کہا جاتا ہے اور، خاص طور پر، ان کا مطلب یہ ہے کہ ہر ایک یکطرفہ ہے اور۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ سی سی آر الجبرا ایک سادہ غیر الگ الگ الجبرا ہے اور آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ ہلبرٹ اسپیس کب ہوتی ہے اور اندرونی پروڈکٹ کے خیالی حصے کے ذریعہ دی جاتی ہے، سی سی آر الجبرا کو کسی کے لیے ترتیب دے کر سمیٹرک فاک اسپیس پر وفاداری سے پیش کیا جاتا ہے۔ فیلڈ آپریٹرز کو ہر ایک کے لیے سمیٹرک فوک اسپیس پر ایک پیرامیٹر یونٹیری گروپ کے جنریٹر کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہ سیلف ایڈجائنٹ ان باؤنڈ آپریٹرز ہیں، تاہم وہ باضابطہ طور پر مطمئن ہوتے ہیں کیونکہ اسائنمنٹ حقیقی لکیری ہے، لہذا آپریٹرز سیکشن 1 کے معنی میں سی سی آر الجبرا کی وضاحت کرتے ہیں۔ CAR کا C *-الجبرا ہلبرٹ اسپیس ہے۔ آپریٹر الجبرا کے نظریہ میں سی اے آر الجبرا پیچیدہ یونٹل *-الجبرا کا منفرد سی *-تکمیل ہے جو کسی بھی، کے لیے تعلقات کے تابع عناصر کے ذریعے پیدا ہوتا ہے۔ جب علیحدہ کیا جا سکتا ہے تو سی اے آر الجبرا ایک اے ایف الجبرا ہوتا ہے اور خاص صورت میں لامحدود جہتی ہوتا ہے جسے اکثر اس طرح لکھا جاتا ہے۔ آئیے اینٹیسیمیٹرک فوک کی جگہ ختم ہو جائے اور اینٹیسیمیٹرک ویکٹروں پر آرتھوگنل پروجیکشن ہو: CAR الجبرا کو تمام اور کے لیے ترتیب دے کر وفاداری سے پیش کیا جاتا ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ یہ سی *-الجبرا بناتے ہیں اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ اینٹیسیمیٹرک فوک اسپیس پر تخلیق اور اناہیلیشن آپریٹرز باون فائیڈ باؤنڈڈ آپریٹرز ہیں۔ مزید برآں، فیلڈ آپریٹرز سیکشن 1 کے ساتھ تعلق دینے پر مطمئن ہوتے ہیں۔ سپر الجبرہ جنرلائزیشن آئیے ایک حقیقی درجہ بند ویکٹر اسپیس ہو جو ایک نان سنگولر اینٹیسیمیٹرک بائیلینئر سپرفارم (یعنی) سے لیس ہو۔ ایسی چیز جو حقیقی ہو یا یکساں عنصر ہو اور خیالی ہو اگر دونوں عجیب ہوں۔ کسی بھی دو خالص عناصر کے تعلق کے تابع عناصر کے ذریعہ پیدا ہونے والا یونٹل *-الجبرا واضح سپر الجبرہ جنرلائزیشن ہے جو سی سی آر کو سی اے آر کے ساتھ متحد کرتی ہے: اگر تمام خالص عناصر یکساں ہیں، تو ایک سی سی آر حاصل کرتا ہے، جبکہ اگر تمام خالص عناصر عجیب ہیں، تو ایک سی اے آر حاصل کرتا ہے۔ ریاضی میں، سی سی آر اور سی اے آر الجبرا کی تجریدی ساخت، کسی بھی فیلڈ پر، نہ کہ صرف پیچیدہ اعداد، کا مطالعہ ویل اور کلفورڈ الجبرا کے نام سے کیا جاتا ہے، جہاں بہت سے اہم نتائج حاصل ہوئے ہیں۔ ان میں سے ایک یہ ہے کہ ویل اور کلفورڈ الجیبراس کی درجہ بند عامیاں سمپلیکٹک اور سمیٹرک نان ڈیجینریٹ بائیلینیر فارم کے لحاظ سے کینونکل کمیونیکیشن اور اینٹی کمیونیکیشن تعلقات کی بنیاد سے پاک تشکیل کی اجازت دیتی ہیں۔ اس کے علاوہ، اس درجہ بند ویل الجبرا میں بائنری عناصر سمپلیکٹک اور غیر معینہ مدت کے آرتھوگنل لائ الجبرا کے تبادلوں کے تعلقات کا ایک بیس فری ورژن دیتے ہیں۔ بوس آئن سٹائن کے اعداد و شمار فرمی ڈیراک کے اعداد و شمار بھی دیکھیں سٹرنگ تھیوری کی لغت ہائزن برگ گروپ بوگولیوبوف ٹرانسفارمیشن (−1) F حوالہ جات کوانٹم فیلڈ تھیوری محوری کوانٹم فیلڈ تھیوری فنکشنل تجزیہ الجبراس C *-الجبراس