Bethe ansatz
طبیعیات میں، بیتھ انساتز بعض کوانٹم ملٹی باڈی ماڈلز کے عین مطابق ویو فنکشنز کو تلاش کرنے کے لیے ایک انساتز ہے، جو عام طور پر ایک جہتی جالی ماڈلز کے لیے ہوتا ہے۔ یہ سب سے پہلے 1931 میں ہنس بیتھی نے ایک جہتی اینٹیفیرومیگنیٹک آئسوٹروپک (XXX) ہائزن برگ ماڈل کے عین مطابق آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا تھا۔ اس کے بعد سے اس طریقہ کو دیگر اسپن چینز اور شماریاتی جالی کے ماڈلز تک بڑھا دیا گیا ہے۔ "بیتھ انساتز کے مسائل" ان موضوعات میں سے ایک تھے جو ان کی موت کے وقت رچرڈ فین مین کے بلیک بورڈ کے "سیکھنے کے لیے" حصے میں نمایاں تھے۔ بحث بہت سے جسم والے کوانٹم میکانکس کے فریم ورک میں، بیتھ انساتز کے ذریعے حل کیے جانے والے ماڈلز کا موازنہ فری فرمیئن ماڈلز سے کیا جا سکتا ہے۔ کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ آزاد ماڈل کی حرکیات ایک باڈی کم کرنے کے قابل ہے: فرمینز (بوسونز) کے لیے کئی باڈی لہر فنکشن ایک باڈی لہر افعال کا مخالف ہم آہنگی (ہم آہنگی) پروڈکٹ ہے۔ بیتھ انساتز کے ذریعے حل کیے جانے والے ماڈل آزاد نہیں ہیں: دو جسم والے شعبے میں ایک غیر معمولی بکھرنے والا میٹرکس ہوتا ہے، جو عام طور پر مومینٹا پر منحصر ہوتا ہے۔ دوسری طرف، بیتھ انساتز کے ذریعے حل کیے جانے والے ماڈلز کی حرکیات دو باڈی کم کرنے کے قابل ہیں: کئی باڈی بکھرنے والا میٹرکس دو باڈی بکھرنے والے میٹرکس کی پیداوار ہے۔ بہت سے جسموں کے تصادم دو جسموں کے تصادم کے سلسلے کے طور پر ہوتے ہیں اور بہت سے جسموں کی لہر کی تقریب کو ایک ایسی شکل میں پیش کیا جا سکتا ہے جس میں صرف دو جسموں کی لہر کے افعال کے عناصر ہوتے ہیں۔ کئی باڈی بکھرنے والا میٹرکس جوڑی کے لحاظ سے بکھرنے والے میٹرکس کے پروڈکٹ کے برابر ہے۔ کئی باڈی ویو فنکشن کے لیے (کوآرڈینیٹ) بیتھ انساتز کی عام شکل یہ ہے جس میں ذرات کی تعداد، ان کی پوزیشن، انٹیجرز کے تمام تغیرات کا مجموعہ ہے، مثبت یا منفی اقدار لینے والے تغیر کی برابری ہے،-th ذرہ کی (نیم) رفتار ہے، بکھرے ہوئے مرحلے کی شفٹ فنکشن ہے اور سائن فنکشن ہے۔ یہ شکل عالمگیر ہے (کم از کم غیر گھونسلے والے نظاموں کے لیے)، جس میں رفتار اور بکھرنے کے افعال ماڈل پر منحصر ہیں۔ یانگ-بیکسٹر مساوات تعمیر کی مستقل مزاجی کی ضمانت دیتی ہے۔ پالی اخراج کا اصول ان ماڈلز کے لیے درست ہے جو بیتھ انساتز کے ذریعے حل کیے جا سکتے ہیں، یہاں تک کہ تعامل کرنے والے بوسون کے ماڈلز کے لیے بھی۔ زمینی حالت ایک فرمی کرہ ہے۔ وقتا فوقتا حدود کے حالات بیتھ انساتز مساوات یا محض بیتھ مساوات کی طرف لے جاتے ہیں۔ لوگرتھمک شکل میں بیتھ انساتز مساوات یانگ عمل کے ذریعے پیدا کی جا سکتی ہیں۔ بیتھ ویو فنکشن کے معیار کا مربع یانگ ایکشن کے ہیسیئن کے تعین کنندہ کے برابر ہے۔ کافی حد تک عام کرنا کوانٹم الٹا بکھرنے کا طریقہ، یا الجبرائی بیتھ انساتز ہے، جو بنیادی آپریٹر الجبرا کے لیے ایک انسیٹز دیتا ہے جس نے "غیر لکیری ارتقاء کی مساوات کی ایک وسیع کلاس کو حل کرنے کی اجازت دی ہے"۔ نام نہاد ایس-ڈی ماڈل کے درست حل (بذریعہ پی۔ بی۔ ویگ مین نے 1980 میں اور آزادانہ طور پر این آندرے نے 1980 میں بھی) اور اینڈرسن ماڈل (پی بی کے ذریعے)۔ 1981 میں ویگ مین، اور 1981 میں این کاواکامی اور اے اوکیجی) دونوں بھی بیتھ انساتز پر مبنی ہیں۔ ان دونوں ماڈلز کی کثیر چینل عامیاں موجود ہیں جو درست حل کے لیے بھی قابل قبول ہیں (این آندرے اور سی ڈیسٹری اور سی جے کے ذریعے)۔ بولچ اور این آندرے)۔ حال ہی میں بیتھ انساتز کے حل کرنے کے قابل کئی ماڈلز کو ٹھوس حالتوں اور نظری جالی میں تجرباتی طور پر محسوس کیا گیا۔ ان تجربات کی نظریاتی وضاحت میں ایک اہم کردار جین سیبسٹین کاکس اور الیکسی سویلک نے ادا کیا۔ اصطلاحات اسی طرح کے بہت سے طریقے ہیں جو بیتھ انساتز الجبرائی بیتھ انساتز کے نام سے آتے ہیں۔ کوانٹم الٹا بکھرنے کا طریقہ الجبرائی بیتھ انساتز کے ذریعے حل کا طریقہ ہے، اور یہ دونوں عملی طور پر مترادف ہیں۔ تجزیاتی بیتھ انساتز کوآرڈینیٹ بیتھ انساتز فنکشنل بیتھ انساتز نیسٹڈ بیتھ انساتز تھرموڈینامک بیتھ انساتز مثالیں ہائزن برگ اینٹیفیرومیگنیٹک سلسلہ ہائزن برگ اینٹیفیرومیگنیٹک سلسلہ کی تعریف ہیملٹنین (وقتا فوقتا حد کے حالات کو فرض کرتے ہوئے) کے ذریعہ کی گئی ہے۔ یہ ماڈل (کوآرڈینیٹ) بیتھ انساتز کا استعمال کرتے ہوئے قابل حل ہے۔ بکھرے ہوئے مرحلے کی شفٹ فنکشن ہے، جس کے ساتھ رفتار کو تیزی کے لحاظ سے آسانی سے دوبارہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے۔ (یہاں، پیریڈک) باؤنڈری کنڈیشنز بیتھ مساوات کو یا زیادہ آسانی سے لوگرتھمک شکل میں عائد کرتے ہیں جہاں کوانٹم نمبرز ایون کے لیے الگ ہاف-اوڈ انٹیجر ہوتے ہیں، طاق کے لیے انٹیجر (متعین موڈ کے ساتھ)۔ قابل اطلاق مندرجہ ذیل نظاموں کو بیتھ انساتز اینڈرسن امپییوریٹی ماڈل گاؤڈن ماڈل XXX اور XXZ ہائزن برگ اسپن چین کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے جو کہ من مانی اسپن ہبارڈ ماڈل کونڈو ماڈل لیب-لینیگر ماڈل سکس-ورٹیکس ماڈل اور ایٹ-ورٹیکس ماڈل (ہائزن برگ اسپن چین کے ذریعے) کرونولوجی 1928: ورنر ہائزن برگ نے اپنا ماڈل شائع کیا۔ 1930: فیلکس بلوچ نے ایک حد سے زیادہ آسان کردہ انساتز کی تجویز پیش کی جو ہائزن برگ سلسلہ کے لیے شروڈنگر مساوات کے حل کی تعداد کو غلط قرار دیتا ہے۔ 1931: ہنس بیتھے نے درست این سیٹز کی تجویز پیش کی اور احتیاط سے ظاہر کیا کہ اس سے آئجن فنکشنز کی صحیح تعداد حاصل ہوتی ہے۔ 1938: ہائزن برگ ماڈل کی عین مطابق زمینی ریاستی توانائی حاصل کرتا ہے۔ 1958: ریمنڈ لی اورباخ نے ہائزن برگ ماڈل کو انیسوٹروپک تعاملات کے ساتھ حل کرنے کے لیے بیتھ انساتز کا استعمال کیا۔ 1962: جے ڈیس کلوئیزاکس اور جے جے پیئرسن نے ہائزن برگ اینٹیفیرو میگنیٹ (اسپنن منتشر تعلق) کا صحیح سپیکٹرم حاصل کیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ اینڈرسن کے اسپن ویو تھیوری کی پیش گوئیوں سے مختلف ہے (مستقل پری فیکٹر مختلف ہے)۔ 1963: ایلیٹ ایچ لیب اور ورنر لینیگر نے 1 ڈی δ-فنکشن انٹرایکٹنگ بوس گیس (جسے اب لیب-لینیگر ماڈل کے نام سے جانا جاتا ہے) کا صحیح حل فراہم کیا۔ لیب سپیکٹرم کا مطالعہ کرتا ہے اور دو بنیادی قسم کے محرکات کی وضاحت کرتا ہے۔ 1964: رابرٹ بی گریفتھس نے صفر درجہ حرارت پر ہائزن برگ ماڈل کا مقناطیسی وکر حاصل کیا۔ 1966: سی۔ این۔ یانگ اور سی۔ پی۔ یانگ سختی سے ثابت کرتا ہے کہ ہائزن برگ سلسلہ کی زمینی حالت بیتھ انساتز کے ذریعہ دی گئی ہے۔ وہ اور میں خصوصیات اور استعمال کا مطالعہ کرتے ہیں۔ 1967: سی۔ این۔ یانگ لیب اور لینیگر کے δ-فنکشن کے حل کو عام کرتا ہے جو بوس گیس کو ویو فنکشن کی صوابدیدی پرموٹیشن سمیٹری سے تعامل کرتا ہے، جس سے نیسٹڈ بیتھ انساتز کو جنم ملتا ہے۔ 1968: ایلیٹ ایچ لیب اور ایف وائی وو نے 1 ڈی ہبارڈ ماڈل کو حل کیا۔ 1969: سی۔ این۔ یانگ اور سی۔ پی۔ یانگ لیب-لینیگر ماڈل کی تھرموڈینامکس حاصل کرتا ہے، جو تھرموڈینامک بیتھ انساتز (ٹی بی اے) کی بنیاد فراہم کرتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط بیتھ انساتز مقناطیسیت کا تعارف کنڈینسڈ میٹر فزکس بالکل قابل حل ماڈل