Leibniz integral rule
کیلکولس میں، انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کے لیے لیبنز انٹیگرل رول میں کہا گیا ہے کہ اس فارم کے انٹیگرل کے لیے جہاں اور انٹیگرانڈز اس انٹیگرل کے مشتق پر منحصر افعال ہیں، قابل اظہار ہے کیونکہ جہاں جزوی مشتق اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ انٹیگرل کے اندر، مشتق لینے میں صرف ساتھ کی تغیر پر غور کیا جاتا ہے۔ اس کا نام گوٹ فرائیڈ لیبنز کے نام پر رکھا گیا ہے۔ خاص صورت میں جہاں افعال اور مستقل ہوتے ہیں اور ان اقدار کے ساتھ جو اس پر منحصر نہیں ہوتے ہیں، آسان بن جاتے ہیں: اگر مستقل ہے اور، جو ایک اور عام صورتحال ہے (مثال کے طور پر، کاچی کے بار بار انضمام فارمولے کے ثبوت میں)، لیبنز انٹیگرل قاعدہ بن جاتا ہے: یہ اہم نتیجہ، بعض شرائط کے تحت، انٹیگرل اور جزوی تفریق آپریٹرز کو تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور خاص طور پر انٹیگرل ٹرانسفارمز کی تفریق میں مفید ہے۔ اس کی ایک مثال امکانی نظریہ میں مومنٹ جنریٹنگ فنکشن ہے، جو لیپلیس ٹرانسفارم کی ایک تغیر ہے، جسے بے ترتیب متغیر کے لمحات پیدا کرنے کے لیے مختلف کیا جا سکتا ہے۔ کیا لیبنز کا لازمی اصول لاگو ہوتا ہے یہ بنیادی طور پر حدود کے تبادلے کے بارے میں ایک سوال ہے۔ عمومی شکل: لازمی علامت کے تحت تفریق دائیں ہاتھ کی طرف کو لگرینج کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے بھی لکھا جا سکتا ہے: نظریہ کے مضبوط ورژن میں صرف اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ جزوی مشتق تقریبا ہر جگہ موجود ہو، نہ کہ یہ مسلسل ہو۔ یہ فارمولا لیبنز انٹیگرل رول کی عمومی شکل ہے اور اسے کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ کیلکولس کا (پہلا) بنیادی نظریہ صرف مذکورہ فارمولے کا خاص معاملہ ہے جہاں مستقل ہے، اور اس پر منحصر نہیں ہے۔ اگر اوپری اور نچلی دونوں حدود کو مستقل کے طور پر لیا جائے تو فارمولہ آپریٹر مساوات کی شکل اختیار کرتا ہے: جہاں جزوی مشتق ہے اور ایک مقررہ وقفے سے زیادہ کے حوالے سے لازمی آپریٹر ہے۔ یعنی، اس کا تعلق دوسرے مشتقات کی ہم آہنگی سے ہے، لیکن اس میں انٹیگرلز کے ساتھ ساتھ مشتقات بھی شامل ہیں۔ اس معاملے کو لیبنز انٹیگرل رول کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ حدود کے تبادلے پر درج ذیل تین بنیادی نظریات بنیادی طور پر مساوی ہیں: مشتق اور انٹیگرل کا تبادلہ (انٹیگرل سائن کے تحت تفریق ؛ یعنی لیبنز انٹیگرل رول) ؛ جزوی مشتقات کی ترتیب میں تبدیلی ؛ انضمام کی ترتیب میں تبدیلی (انٹیگرل سائن کے تحت انضمام ؛ یعنی فوبانی کا نظریہ)۔ تین جہتی، وقت پر منحصر معاملہ تین جہتی خلا میں حرکت کرنے والی دو جہتی سطح کے لیے لیبنز انٹیگرل قاعدہ ہے جہاں: وقت پر مقامی پوزیشن پر ایک ویکٹر فیلڈ ہے، بند منحنی خطوط سے جڑی ہوئی سطح ہے، سطح کا ایک ویکٹر عنصر ہے، منحنی خطوط کا ایک ویکٹر عنصر ہے، خطے کی حرکت کی رفتار ہے، ویکٹر انحراف ہے، ویکٹر کراس پروڈکٹ ہے، ڈبل انٹیگرل سطح پر سطح کے انٹیگرل ہیں، اور لائن انٹیگرل باؤنڈنگ وکر پر ہے۔ اعلی جہتیں لیبنز انٹیگرل اصول کو کثیر جہتی انٹیگرلز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ دو اور تین جہتوں میں، یہ قاعدہ سیال حرکیات کے میدان سے رینالڈز ٹرانسپورٹ تھیوریم کے طور پر بہتر طور پر جانا جاتا ہے: جہاں ایک اسکیلر فنکشن ہے، اور R3 اور اس کی حد کے وقت سے متغیر منسلک علاقے کی نشاندہی کرتا ہے، بالترتیب، حد کی یولیرین رفتار ہے (دیکھیں لگرینجین اور یولیرین کوآرڈینیٹس) اور سطح عنصر کا یونٹ نارمل جزو ہے۔ لیبنز انٹیگرل رول کے عمومی بیان میں تفریقی جیومیٹری کے تصورات کی ضرورت ہوتی ہے، خاص طور پر تفریقی شکلیں، بیرونی مشتقات، پچر کی مصنوعات اور اندرونی مصنوعات۔ ان ٹولز کے ساتھ، n طول و عرض میں لیبنز انٹیگرل قاعدہ یہ ہے کہ جہاں انضمام کا وقت مختلف ڈومین ہے، ω ایک p-فارم ہے، رفتار کا ویکٹر فیلڈ ہے، اندرونی پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے، dxω صرف خلائی متغیرات کے حوالے سے ω کا بیرونی مشتق ہے اور ω کا وقت مشتق ہے۔ تاہم، ان تمام شناختوں کو لائ مشتقات کے بارے میں ایک انتہائی عمومی بیان سے اخذ کیا جا سکتا ہے: یہاں، ماحول کا کئی گنا جس پر تفریق کی شکل رہتی ہے اس میں جگہ اور وقت دونوں شامل ہیں۔ کسی دیئے گئے لمحے میں انضمام کا خطہ (ایک ذیلی منی فولڈ) ہے (اس کا انحصار اس پر نہیں ہے، کیونکہ اس کی پیرامیٹریزیشن ایک ذیلی منی فولڈ کے طور پر وقت میں اس کی پوزیشن کی وضاحت کرتی ہے)، لائ مشتق ہے، سپیس ٹائم ویکٹر فیلڈ ہے جو پچھلے فارمولوں (یعنی سپیس ٹائم کی رفتار ہے) سے خالص مقامی ویکٹر فیلڈ میں وقت کی سمت میں یکطرفہ ویکٹر فیلڈ کو شامل کرنے سے حاصل ہوتی ہے، کے بہاؤ سے پیدا ہونے والے ایک پیرامیٹر گروپ سے ایک ڈفیومورفزم ہے، اور اس طرح کے ڈفیومورفزم کے تحت کی شبیہہ ہے۔ اس شکل کے بارے میں ایک قابل ذکر بات یہ ہے کہ وقت کے ساتھ جب اس کی شکل اور سائز میں تبدیلی آتی ہے تو یہ اس معاملے کا محاسبہ کر سکتا ہے، کیونکہ اس طرح کی خرابیوں کا تعین مکمل طور پر اس سے ہوتا ہے۔ پیمائش کا نظریہ بیان آئیے ایک کھلا ذیلی مجموعہ بنیں، اور ایک پیمائش کی جگہ بنیں۔ فرض کریں کہ مندرجہ ذیل شرائط کو پورا کرتا ہے: ہر ایک کے لیے لیبسگیو انٹیگریبل فنکشن ہے۔ تقریبا سب کے لیے، جزوی مشتق سب کے لیے موجود ہے۔ ایک مربوط فنکشن ایسا ہے کہ سب کے لیے اور تقریبا ہر ایک کے لیے۔ پھر، سب کے لیے، ثبوت غالب کنورجنس تھیوریم اور اوسط قدر تھیوریم (نیچے دی گئی تفصیلات) پر انحصار کرتا ہے۔ ثبوت بنیادی شکل کا ثبوت ہم سب سے پہلے انضمام a اور b کی مستقل حدود کے معاملے کو ثابت کرتے ہیں۔ ہم انضمام کی ترتیب کو تبدیل کرنے کے لیے فوبینی تھیوریم کا استعمال کرتے ہیں۔ ہر اور، اس طرح کے اور دونوں کے اندر، ہمارے پاس: نوٹ کریں کہ ہاتھ میں موجود انٹیگرلز اچھی طرح سے بیان کیے گئے ہیں کیونکہ بند آئتاکار پر مسلسل ہے اور اس طرح وہاں بھی یکساں طور پر مسلسل ہے۔ اس طرح اس کے انٹیگرلز یا تو dt یا dx دوسرے متغیر میں مسلسل ہیں اور اس کے ذریعے بھی انٹیگریبل ہیں (بنیادی طور پر اس کی وجہ یہ ہے کہ یکساں طور پر مسلسل افعال کے لیے، کوئی حد کو انضمام کے نشان سے گزر سکتا ہے، جیسا کہ ذیل میں تفصیل سے بتایا گیا ہے)۔ لہذا: جہاں ہم نے وضاحت کی ہے: (ہم یہاں x0 کو x0 اور x کے درمیان کسی دوسرے نقطہ سے تبدیل کر سکتے ہیں) F مشتق کے ساتھ تفریق پذیر ہے، لہذا ہم اس حد کو لے سکتے ہیں جہاں صفر تک پہنچتا ہے۔ بائیں ہاتھ کی طرف کے لیے یہ حد یہ ہے: دائیں ہاتھ کی طرف کے لیے، ہمیں ملتا ہے: اور اس طرح ہم مطلوبہ نتیجہ ثابت کرتے ہیں: باؤنڈ کنورجنس تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ایک اور ثبوت: اگر ہاتھ میں موجود انٹیگرلز لیبسیگ انٹیگرلز ہیں، تو ہم باؤنڈ کنورجنس تھیوریم کا استعمال کر سکتے ہیں (ان انٹیگرلز کے لیے درست، لیکن ریمن انٹیگرلز کے لیے نہیں) تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ حد کو انٹیگرل سائن سے گزارا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ثبوت اس لحاظ سے کمزور ہے کہ یہ صرف یہ ظاہر کرتا ہے کہ fx (x, t) لیبسیگ انٹیگریبل ہے، لیکن یہ نہیں کہ یہ ریمن انٹیگریبل ہے۔ سابقہ (مضبوط) ثبوت میں، اگر f (x, t) ریمن انٹیگریبل ہے، تو fx (x, t) بھی ہے (اور اس طرح ظاہر ہے کہ لیبسیگ انٹیگریبل بھی ہے)۔ مشتق کی تعریف کے مطابق، مساوات () کو مساوات () میں تبدیل کریں۔ دو انٹیگرلز کا فرق فرق کے انٹیگرل کے برابر ہے، اور 1/ایچ ایک مستقل ہے، لہذا اب ہم دکھاتے ہیں کہ حد کو انٹیگرل سائن سے گزارا جا سکتا ہے۔ ہم دعوی کرتے ہیں کہ انٹیگرل سائن کے تحت حد کی منظوری باؤنڈ کنورجنس تھیوریم (ڈومینیٹڈ کنورجنس تھیوریم کا ایک نتیجہ) کے ذریعہ درست ہے۔ ہر δ> 0 کے لیے، فرق کے حصص پر غور کریں۔ فکسڈ t کے لیے، اوسط قدر تھیوریم کا مطلب ہے کہ وقفہ [x, x + δ] میں z موجود ہے جس سے fx (x, t) کا تسلسل اور ڈومین کی کمپیکٹنس مل کر یہ ظاہر کرتی ہے کہ fx (x, t) باؤنڈ ہے۔ اس لیے اوسط قدر تھیوریم کا مذکورہ بالا اطلاق ایک یکساں (آزاد) پابند بناتا ہے۔ فرق کوٹینٹ جزوی مشتق fx میں اس مفروضے کے ذریعے یکجا ہوتے ہیں کہ جزوی مشتق موجود ہے۔ مندرجہ بالا دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ ہر ترتیب {δn} → 0 کے لیے، ترتیب یکساں طور پر پابند ہے اور نقطہ کے لحاظ سے fx میں بدل جاتی ہے۔ باؤنڈڈ کنورجنس تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر محدود پیمائش کے سیٹ پر افعال کا ایک سلسلہ یکساں طور پر باؤنڈڈ ہے اور پوائنٹ وائز کنورج ہوتا ہے، تو انٹیگرل کے تحت حد کا گزرنا درست ہے۔ خاص طور پر، ہر ترتیب {δn} → 0 کے لیے حد اور انٹیگرل کا تبادلہ کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، δ → 0 کی حد کو انٹیگرل سائن سے گزارا جا سکتا ہے۔ متغیر حدود تشکیل پاتے ہیں ایک حقیقی متغیر کے مسلسل حقیقی قدر والے فنکشن g کے لیے، اور حقیقی قدر والے تفریق پذیر فنکشن اور ایک حقیقی متغیر کے لیے، یہ سلسلہ اصول اور کیلکولس کے پہلے بنیادی نظریہ کی پیروی کرتا ہے۔ وضاحت کریں اور (نچلی حد کو صرف ڈومین میں کچھ نمبر ہونا چاہیے) پھر، ایک ترکیب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: چین رول کا مطلب یہ ہے کہ کیلکولس کے پہلے بنیادی نظریہ کے مطابق،۔ لہذا، اوپر اس نتیجے کو تبدیل کرتے ہوئے، ہمیں مطلوبہ مساوات ملتی ہے: نوٹ: یہ شکل خاص طور پر مفید ہو سکتی ہے اگر تفریق کا اظہار اس شکل کا ہو: کیونکہ انضمام کی حدود پر انحصار نہیں کرتا ہے، اسے انٹیگرل سائن کے نیچے سے منتقل کیا جا سکتا ہے، اور مذکورہ فارم کو پروڈکٹ رول کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے، یعنی، متغیر حدود کے ساتھ جنرل فارم سیٹ کریں جہاں a اور b α کے افعال ہیں جو بالترتیب α اور αb میں اضافے کو ظاہر کرتے ہیں، جب α کو α سے بڑھایا جاتا ہے۔ پھر، اوسط ویلیو تھیوریم کی ایک شکل، جہاں a <ω <b، کا اطلاق اوپر کے فارمولے کے پہلے اور آخری انٹیگرلز پر کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ω کو ω سے تقسیم کریں اور ω کو 0 ہونے دیں۔ غور کریں کہ ω1 = a اور ω2 = b۔ ہم حد کو انٹیگرل سائن کے ذریعے منتقل کر سکتے ہیں: ایک بار پھر باؤنڈ کنورجنس تھیوریم کے ذریعے۔ یہ لیبنز انٹیگرل رول کی عمومی شکل، متغیر حدود کے ساتھ عمومی شکل کا متبادل ثبوت، چین رول کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کرتا ہے۔ متغیر حدود کے ساتھ لیبنز کے انٹیگرل رول کی عمومی شکل لیبنز کے انٹیگرل رول، ملٹی ویری ایبل چین رول، اور کیلکولس کے پہلے بنیادی نظریہ کی بنیادی شکل کے نتیجے میں حاصل کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں کہ طیارہ میں ایک مستطیل میں بیان کیا گیا ہے، اور کے لیے۔ نیز، فرض کریں اور جزوی مشتق دونوں اس مستطیل پر مسلسل افعال ہیں۔ فرض کریں کہ وہ تفریق پذیر حقیقی قدر والے افعال ہیں جن کی وضاحت (یعنی) میں اقدار کے ساتھ کی گئی ہے۔ ہر ایک کے لیے)۔ اب، سیٹ کریں اور پھر، ڈیفائنٹ انٹیگرلز کی خصوصیات کے لحاظ سے، ہم لکھ سکتے ہیں کہ چونکہ تمام فنکشنز تفریق کے قابل ہیں (ثبوت کے آخر میں تبصرہ دیکھیں)، ملٹی ویریبل چین رول کے مطابق، یہ اس کے بعد آتا ہے جو تفریق کے قابل ہے، اور اس کا مشتق فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے: اب، نوٹ کریں کہ ہر ایک کے لیے، اور ہر ایک کے لیے، ہمارے پاس یہ ہے، کیونکہ جب جزوی مشتق کو کے حوالے سے لیتے ہیں، تو ہم اظہار میں فکس کر رہے ہوتے ہیں۔ اس طرح انضمام کی مستقل حدود کے ساتھ لیبنز کے انٹیگرل رول کی بنیادی شکل لاگو ہوتی ہے۔ اگلا، کیلکولس کے پہلے بنیادی نظریہ کے مطابق، ہمارے پاس یہ ہے ؛ کیونکہ جب اس کے حوالے سے جزوی مشتق لیتے ہیں، تو پہلا متغیر طے ہوتا ہے، اس لیے بنیادی نظریہ واقعی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ ان نتائج کو مندرجہ بالا کے لیے مساوات میں تبدیل کرنے سے ملتا ہے: جیسا کہ مطلوبہ ہے۔ مندرجہ بالا ثبوت میں ایک تکنیکی نقطہ ہے جو قابل توجہ ہے: سلسلہ کے اصول کو ان ضروریات پر لاگو کرنا جو پہلے سے ہی تفریق پذیر ہوں۔ یہ وہ جگہ ہے جہاں ہم اپنے مفروضوں کا استعمال کرتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، کے جزوی مشتقات فارمولوں اور کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ چونکہ مسلسل ہے، اس کا انٹیگرل بھی ایک مسلسل فنکشن ہے، اور چونکہ یہ بھی مسلسل ہے، ان دونوں نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ دونوں کے جزوی مشتقات مسلسل ہیں۔ چونکہ جزوی مشتقات کا تسلسل فنکشن کی تفریق کو ظاہر کرتا ہے، درحقیقت تفریق کے قابل ہے۔ تین جہتی، وقت پر منحصر شکل وقت t پر شکل 1 میں موجود سطح، ایک مرکز کے ارد گرد ترتیب شدہ نکات کا ایک مجموعہ رکھتی ہے۔ فنکشن کو وقت سے آزاد کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ متغیرات کو حرکت پذیر سطح سے منسلک حوالہ کے ایک نئے فریم میں منتقل کیا جاتا ہے، جس کی اصل ہے۔ سختی سے ترجمہ کرنے والی سطح کے لیے، انضمام کی حدود اس کے بعد وقت سے آزاد ہوتی ہیں، لہذا: جہاں انضمام کی حدود جو خطے کے لازمی حصے کو محدود کرتی ہیں اب وقت پر منحصر نہیں ہیں اس لیے تفریق انضمام سے گزر کر صرف انضمام پر عمل کرتی ہے: سطح کی حرکت کی رفتار کے ساتھ اس مساوات سے میدان کے مادی مشتق کا اظہار ہوتا ہے، یعنی حرکت پذیر سطح سے منسلک مربوط نظام کے حوالے سے مشتق۔ مشتق کو تلاش کرنے کے بعد، متغیرات کو حوالہ کے اصل فریم پر واپس منتقل کیا جا سکتا ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ (کرل پر مضمون دیکھیں) اور یہ کہ اسٹوکس تھیوریم کرل کے سرفیس انٹیگرل کو ایک لائن انٹیگرل اوور کے ساتھ برابر کرتا ہے: لائن انٹیگرل کی علامت لائن عنصر ds کی سمت کے انتخاب کے لیے دائیں ہاتھ کے اصول پر مبنی ہے۔ اس علامت کو قائم کرنے کے لیے، مثال کے طور پر، فرض کریں کہ فیلڈ F مثبت z-سمت میں اشارہ کرتا ہے، اور سطح ‡، xy-طیارہ کا ایک حصہ ہے جس کا دائرے ष्णول ہے۔ ہم مثبت z-سمت میں ہونے کے لیے نارمل سے σ کو اپناتے ہیں۔ اس کے بعد su کا مثبت ٹریورسل گھڑی کی مخالف سمت میں ہوتا ہے (Z-محور کے ساتھ انگوٹھے کے ساتھ دائیں ہاتھ کا اصول)۔ پھر بائیں ہاتھ کی طرف کا انٹیگرل F کے مثبت بہاؤ کا تعین کرتا ہے۔ فرض کریں کہ رفتار v پر مثبت x-سمت میں ترجمہ ہوتا ہے۔ y-محور کے متوازی σ کی حد کا ایک عنصر، جیسے کہ ds، وقت t میں ایک رقبے vt × ds کو باہر نکال دیتا ہے۔ اگر ہم حدود کے ارد گرد الٹا گھڑی کی سمت میں ضم کرتے ہیں، تو vt × ds منفی z-سمت میں σ کے بائیں طرف (جہاں ds نیچے کی طرف اشارہ کرتا ہے)، اور σ کے دائیں طرف مثبت z-سمت میں (جہاں ds اوپر کی طرف اشارہ کرتا ہے)، جو سمجھ میں آتا ہے کیونکہ σ دائیں طرف بڑھ رہا ہے، دائیں طرف رقبے کا اضافہ کر رہا ہے اور اسے بائیں طرف کھو رہا ہے۔ اس بنیاد پر، F کا بہاؤ ष्णول کے دائیں طرف بڑھ رہا ہے اور بائیں طرف کم ہو رہا ہے۔ تاہم، ڈاٹ پروڈکٹ۔ نتیجتا، لائن انٹیگرل کی علامت کو منفی کے طور پر لیا جاتا ہے۔ اگر v ایک مستقل ہے، جو حوالہ شدہ نتیجہ ہے۔ یہ ثبوت حرکت کرتے ہوئے سطح کے خراب ہونے کے امکان پر غور نہیں کرتا ہے۔ متبادل مشتق لیما۔ ایک کے پاس ہے: ثبوت۔ کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے ثبوت سے، اور فرض کریں کہ a اور b مستقل ہیں، اور یہ کہ f (x) میں ایک پیرامیٹر α شامل ہے جو انضمام میں مستقل ہے لیکن مختلف انٹیگرلز بنانے کے لیے مختلف ہو سکتا ہے۔ فرض کریں کہ f (x, α) کمپیکٹ سیٹ {(x, α): α0 ≤ α ≤ α1 اور a ≤ x ≤ b} میں x اور α کا ایک مسلسل فعل ہے، اور یہ کہ جزوی مشتق fα (x, α) موجود ہے اور مسلسل ہے۔ اگر کوئی وضاحت کرتا ہے: تو انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کرکے α کے حوالے سے تفریق کی جا سکتی ہے، یعنی ہائن-کینٹر تھیوریم کے مطابق یہ اس سیٹ میں یکساں طور پر مسلسل ہے۔ دوسرے لفظوں میں، کسی بھی ε> 0 کے لیے اس طرح موجود ہے کہ [a، b] میں x کی تمام اقدار کے لیے، دوسری طرف، اس لیے φ (α) ایک مسلسل فعل ہے۔ اسی طرح اگر موجود ہے اور مسلسل ہے، تو تمام ε> 0 کے لیے δα اس طرح موجود ہے کہ: لہذا، جہاں ε → 0 بطور δα → 0، تو یہ وہ فارمولا ہے جسے ہم ثابت کرنے کے لیے متعین کرتے ہیں۔ اب، فرض کریں کہ جہاں a اور b، α کے فنکشن ہیں جو بالترتیب α اور αb میں اضافہ کرتے ہیں، جب α کو α سے بڑھایا جاتا ہے۔ پھر، اوسط ویلیو تھیوریم کی ایک شکل، جہاں a <ω <b، کا اطلاق اوپر ω کے فارمولے کے پہلے اور آخری انٹیگرلز پر کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ω کو ω سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، ω کو ω سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، ω کو ω1 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، ω1 کو ω1 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے اور ω2 کو ω2 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ مثال 1: فکسڈ حدود فنکشن پر غور کریں انٹیگرل سائن کے تحت فنکشن نقطہ (x, α) = (0,0) پر مسلسل نہیں ہے، اور فنکشن φ (α) کا α = 0 پر منقطع ہے کیونکہ φ (α) ±π/2 کے قریب پہنچتا ہے جیسا کہ α → 0 ±۔ اگر ہم φ (α) کو انٹیگرل سائن کے تحت α کے حوالے سے تفریق کرتے ہیں، تو ہمیں ملتا ہے جو، یقینا، α = 0 کے علاوہ α کی تمام اقدار کے لیے درست ہے۔ اسے مربوط کیا جا سکتا ہے (α کے حوالے سے) مثال 2: متغیر حدود متغیر حدود کے ساتھ ایک مثال: ایپلی کیشنز ڈیفینیٹ انٹیگرلز کی تشخیص کچھ ڈیفینیٹ انٹیگرلز کی تشخیص کرتے وقت فارمولہ مفید ہو سکتا ہے۔ جب اس تناظر میں استعمال کیا جاتا ہے تو، لازمی علامت کے تحت تفریق کے لیے لیبنز انٹیگرل اصول کو انضمام کے لیے فین مین کی چال کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ مثال 3 غور کریں اب، جیسا کہ سے مختلف ہوتا ہے، ہمارے پاس ہے لہذا، دونوں فریقوں کو مربوط کرنے کے سلسلے میں، ہم حاصل کرتے ہیں: تشخیص سے درج ذیل: اسی انداز میں تعین کرنے کے لیے، ہمیں 1 انچ سے زیادہ کی قدر میں متبادل کرنے کی ضرورت ہے۔ یہ کچھ حد تک تکلیف دہ ہے۔ اس کے بجائے، ہم بدلتے ہیں، کہاں۔ پھر، لہذا، کی تعریف اب مکمل ہو گئی ہے: مندرجہ بالا بحث، یقینا، اس وقت لاگو نہیں ہوتی جب، چونکہ تفریق کے لیے شرائط پوری نہیں ہوتی ہیں۔ مثال 4 پہلے ہم حساب لگاتے ہیں: انضمام کی حدود آزاد ہونے کی وجہ سے، ہمارے پاس: دوسری طرف: ان دونوں رلیشنز کو مساوی کرنے کے بعد اسی طرح پیداوار ملتی ہے، پیداوار کا تعاقب کرتے ہوئے دونوں نتائج کو جوڑنے کے بعد مطلوبہ حساب کتاب پیدا ہوتا ہے۔ اس مشتق کو عام کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر ہم اس کی وضاحت کرتے ہیں تو آسانی سے دکھایا جا سکتا ہے کہ دیا گیا ہے، یہ انٹیگرل ریڈکشن فارمولا فار کی تمام اقدار کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ انٹیگرلز جیسے اور ویئراسٹراس متبادل کا استعمال کرتے ہوئے بھی سنبھالے جا سکتے ہیں۔ مثال 5 یہاں، ہم انٹیگرل کے تحت انٹیگرل تفریق پر غور کرتے ہیں، ہمارے پاس ہے۔ لہذا: لیکن تعریف کے مطابق اور مثال 6 یہاں، ہم انٹیگرل پر غور کرتے ہیں۔ ہم ایک نیا متغیر φ متعارف کراتے ہیں اور انٹیگرل کو دوبارہ لکھتے ہیں جب φ = 1 یہ اصل انٹیگرل کے برابر ہوتا ہے۔ تاہم، اس زیادہ عمومی انٹیگرل کو اس کے حوالے سے تفریق کی جا سکتی ہے: اب، φ کو ٹھیک کریں، اور ویکٹر فیلڈ کو اس کے ذریعے متعین کریں۔ مزید، کے ذریعہ دیئے گئے یونٹ سرکل کے مثبت پر مبنی پیرامیٹریزیشن کا انتخاب کریں، تاکہ۔ پھر اوپر کا حتمی انٹیگرل بالکل اوور کا لائن انٹیگرل ہے۔ گرین کے نظریہ کے مطابق، یہ ڈبل انٹیگرل کے برابر ہے جہاں بند یونٹ ڈسک ہے۔ اس کا انٹیگرینڈ یکساں طور پر 0 ہے، اسی طرح یکساں طور پر صفر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ f (φ) مستقل ہے۔ مستقل کا تعین اس پر اندازہ لگا کر کیا جا سکتا ہے: لہذا، اصل انٹیگرل بھی برابر ہے۔ حل کرنے کے لیے دیگر مسائل بے شمار دیگر انٹیگرلز ہیں جنہیں انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل معاملات میں سے ہر ایک میں، اصل انٹیگرل کو اسی طرح کے انٹیگرل سے تبدیل کیا جا سکتا ہے جس میں ایک نیا پیرامیٹر ہوتا ہے: پہلا انٹیگرل، ڈیرچلیٹ انٹیگرل، مثبت α کے لیے بالکل کنورجنٹ ہوتا ہے لیکن صرف مشروط طور پر کنورجنٹ ہوتا ہے جب۔ لہذا، لازمی علامت کے تحت تفریق کا جواز پیش کرنا آسان ہے، لیکن یہ ثابت کرنا کہ جب کچھ محتاط کام کی ضرورت ہو تو نتیجہ خیز فارمولا درست رہتا ہے۔ انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کا پیمائش-نظریاتی ورژن سمشن (محدود یا لامحدود) پر بھی لاگو ہوتا ہے جس میں سمشن کو گنتی کی پیمائش کے طور پر تعبیر کیا جاتا ہے۔ ایپلی کیشن کی ایک مثال یہ حقیقت ہے کہ پاور سیریز ان کے کنورجنس کے رداس میں تفریق پذیر ہیں۔ مقبول ثقافت میں انٹیگرل سائن کے تحت تفریق کا ذکر مرحوم طبیعیات دان رچرڈ فین مین کی سب سے زیادہ فروخت ہونے والی یادداشت میں کیا گیا ہے۔ یقینی طور پر آپ مذاق کر رہے ہیں، مسٹر فین مین! باب "ٹولز کا ایک مختلف ڈبہ" میں۔ انہوں نے ہائی اسکول میں، فریڈرک ایس ووڈس (جو میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ریاضی کے پروفیسر تھے) کے ایک پرانے متن، ایڈوانسڈ کیلکولس (1926) سے اسے سیکھنے کے بارے میں بیان کیا۔ یہ تکنیک اکثر نہیں سکھائی جاتی تھی جب فین مین نے بعد میں کیلکولس میں اپنی رسمی تعلیم حاصل کی، لیکن اس تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے، فین مین پرنسٹن یونیورسٹی کے گریجویٹ اسکول میں پہنچنے پر بصورت دیگر مشکل انضمام کے مسائل کو حل کرنے میں کامیاب رہا: ایک چیز جو میں نے کبھی نہیں سیکھی وہ کنٹور انضمام تھی۔ میں نے ایک کتاب میں دکھائے گئے مختلف طریقوں سے انٹیگرلز کرنا سیکھا تھا جو میرے ہائی اسکول کے طبیعیات کے استاد مسٹر بدر نے مجھے دیا تھا۔ ایک دن اس نے مجھے کلاس کے بعد رہنے کو کہا۔ "فین مین،" اس نے کہا، "تم بہت زیادہ بات کرتے ہو اور بہت زیادہ شور مچاتے ہو۔" میں جانتا ہوں کیوں۔ آپ بور ہو رہے ہیں۔ تو میں آپ کو ایک کتاب دینے جا رہا ہوں۔ آپ وہاں پیچھے، کونے میں جاتے ہیں، اور اس کتاب کا مطالعہ کرتے ہیں، اور جب آپ اس کتاب میں موجود ہر چیز کو جان لیں گے، تو آپ دوبارہ بات کر سکتے ہیں۔ " لہذا طبیعیات کی ہر کلاس میں، میں نے اس بات پر کوئی توجہ نہیں دی کہ پاسکل کے قانون کے ساتھ کیا ہو رہا تھا، یا وہ جو کچھ بھی کر رہے تھے۔ میں اس کتاب کے ساتھ پیچھے تھا: ووڈس کی "ایڈوانسڈ کیلکولس"۔ بدر جانتا تھا کہ میں نے "کیلکولس فار دی پریکٹیکل مین" کا تھوڑا سا مطالعہ کیا ہے، اس لیے اس نے مجھے اصل کام دیے-یہ کالج میں جونیئر یا سینئر کورس کے لیے تھا۔ اس میں فورئیر سیریز، بیسیل فنکشنز، ڈیٹرمینینٹس، ایلیپٹک فنکشنز تھے-ہر طرح کی حیرت انگیز چیزیں جن کے بارے میں مجھے کچھ معلوم نہیں تھا۔ اس کتاب میں یہ بھی دکھایا گیا ہے کہ انٹیگرل سائن کے تحت پیرامیٹرز کو کیسے الگ کیا جائے-یہ ایک مخصوص عمل ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ یونیورسٹیوں میں بہت زیادہ نہیں پڑھایا جاتا ہے۔ وہ اس پر زور نہیں دیتے۔ لیکن میں نے اس طریقہ کو استعمال کرنے کا طریقہ پکڑا، اور میں نے اس ایک ٹول کو بار بار استعمال کیا۔ لہذا چونکہ مجھے اس کتاب کا استعمال کرتے ہوئے خود سکھایا گیا تھا، اس لیے میرے پاس انٹیگرلز کرنے کے مخصوص طریقے تھے۔ نتیجہ یہ ہوا کہ جب ایم آئی ٹی یا پرنسٹن کے لڑکوں کو ایک مخصوص انٹیگرل کرنے میں دشواری کا سامنا کرنا پڑا، اس کی وجہ یہ تھی کہ وہ اسے اسکول میں سیکھے گئے معیاری طریقوں سے نہیں کر سکتے تھے۔ اگر یہ کنٹور انضمام ہوتا، تو وہ اسے ڈھونڈ لیتے۔ اگر یہ ایک سادہ سیریز کی توسیع ہوتی، تو وہ اسے ڈھونڈ لیتے۔ پھر میں ساتھ آتا ہوں اور لازمی علامت کے تحت فرق کرنے کی کوشش کرتا ہوں، اور اکثر یہ کام کرتا ہے۔ لہذا مجھے انٹیگرلز کرنے کے لیے بہت شہرت ملی، صرف اس وجہ سے کہ میرے ٹولز کا ڈبہ ہر کسی سے مختلف تھا، اور انہوں نے مجھے مسئلہ دینے سے پہلے اس پر اپنے تمام ٹولز آزمائے تھے۔ مزید دیکھیں چین رول ڈفریٚنسیشن آف انٹیگرلز لیبنز رول (جنرلائزڈ پروڈکٹ رول) رینالڈز ٹرانسپورٹ تھیوریم، لیبنز رول حوالہ جات کی عمومی شکل مزید پڑھنا بیرونی روابط گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز ملٹی ویری ایبل کیلکولس انٹیگرل کیلکولس ڈفریٚنشل کیلکولس ثبوت پر مشتمل مضامین