Vitali covering lemma
ریاضی میں، لیما کا احاطہ کرنے والا ویتالی ایک مشترکہ اور ہندسی نتیجہ ہے جو عام طور پر یوکلڈین خالی جگہوں کے پیمائش کے نظریہ میں استعمال ہوتا ہے۔ یہ لیما وٹالی کورنگ تھیوریم کے ثبوت میں، آزاد دلچسپی کا ایک درمیانی قدم ہے۔ کورنگ تھیوریم کا سہرا اطالوی ریاضی دان جیوسیپی ویتالی کو جاتا ہے۔ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ لیبسگ-ننگی سیٹ تک کا احاطہ کرنا ممکن ہے، Rd کے ایک دیئے گئے ذیلی سیٹ E کا احاطہ کرنا ممکن ہے جو ایک جداگانہ خاندان کے ذریعہ کیا گیا ہے جو E کے وٹالی کورنگ سے نکالا گیا ہے۔ وٹالی لیما کا احاطہ کرتا ہے۔ لیما کے دو بنیادی ورژن ہیں، ایک محدود ورژن اور ایک لامحدود ورژن۔ دونوں لیما کو میٹرک اسپیس کی عمومی ترتیب میں ثابت کیا جا سکتا ہے، عام طور پر ان نتائج کا اطلاق یوکلڈین اسپیس کے خصوصی معاملے پر ہوتا ہے۔ دونوں نظریات میں ہم مندرجہ ذیل اشارے استعمال کریں گے: اگر گیند ہے اور، ہم گیند کے لیے لکھیں گے۔ محدود ورژن تھیوریم (محدود کورنگ لیما)۔ ایک صوابدیدی میٹرک جگہ میں موجود گیندوں کا کوئی بھی محدود مجموعہ ہونے دیں۔ پھر ان گیندوں کا ایک ذیلی مجموعہ موجود ہے جو متضاد ہیں اور ثبوت کو مطمئن کرتے ہیں: عامیت کے نقصان کے بغیر، ہم فرض کرتے ہیں کہ گیندوں کا مجموعہ خالی نہیں ہے۔ یعنی، n> 0۔ آئیے سب سے بڑے رداس کی گیند بنیں۔ محرک طور پر، فرض کریں کہ منتخب کیا گیا ہے۔ اگر اس میں کوئی ایسی گیند ہے جس سے اختلاط ہوتا ہے، تو ایسی گیند کو زیادہ سے زیادہ رداس (من مانی طور پر تعلقات کو توڑنا) کے ساتھ ہونے دیں، بصورت دیگر، ہم m: = k سیٹ کرتے ہیں اور انڈکٹو تعریف کو ختم کرتے ہیں۔ اب سیٹ کریں۔ یہ ہر ایک کے لیے دکھانا باقی ہے۔ یہ واضح ہے اگر۔ بصورت دیگر، لازمی طور پر کچھ ایسے ہوتے ہیں جو ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں اور کا رداس کم از کم اتنا ہی بڑا ہوتا ہے جتنا کہ کا۔ مثلث کی عدم مساوات کا مطلب یہ ہے کہ، ضرورت کے مطابق۔ یہ محدود ورژن کے ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ لامحدود ورژن تھیوریم (لامحدود کورنگ لیما)۔ ایک علیحدہ میٹرک جگہ میں گیندوں کا صوابدیدی مجموعہ اس طرح ہونا چاہیے جہاں گیند B کے رداس کی نشاندہی ہوتی ہے۔ پھر ایک قابل شمار ذیلی مجموعہ موجود ہے جس کی گیندیں جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ہوتی ہیں، اور مطمئن ہوتی ہیں اور اس کے علاوہ، ہر ایک کچھ کے ساتھ کاٹتا ہے۔ ثبوت: ذیلی مجموعوں میں F کی تقسیم پر غور کریں، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، یعنی گیند B پر مشتمل ہے جس کا رداس (2−n−1R، 2−nR] میں ہے۔ Gn کے ساتھ ایک ترتیب Gn کی تعیین حسب ذیل ہے۔ سب سے پہلے، H0 = F0 سیٹ کریں اور G0 کو H0 کا زیادہ سے زیادہ جداگانہ ذیلی مجموعہ ہونے دیں (ایسا ذیلی مجموعہ زورن کے لیما کے ذریعہ موجود ہے)۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ G0،.، Gn کو منتخب کیا گیا ہے، Gn + 1 کو Hn + 1 کا زیادہ سے زیادہ جداگانہ ذیلی مجموعہ ہونے دیں۔ F کا ذیلی مجموعہ نظریہ کی ضروریات کو پورا کرتا ہے: G ایک جداگانہ مجموعہ ہے، اور اس طرح قابل شمار ہے کیونکہ دی گئی میٹرک جگہ علیحدہ ہے۔ مزید برآں، ہر گیند B ωF ایک گیند C ωG کو اس طرح کاٹتی ہے کہ B ω5C۔ درحقیقت، اگر ہمیں کچھ دیا جائے تو، کچھ n ایسا ہونا چاہیے کہ B کا تعلق Fn سے ہو۔ یا تو B کا تعلق Hn سے نہیں ہے، جس کا مطلب ہے n> 0 اور اس کا مطلب ہے کہ B کسی گیند کو G0، Gn−1، یا B−Hn کے اتحاد سے کاٹتا ہے اور Gn کی زیادہ سے زیادہ حد تک، B Gn میں ایک گیند کو کاٹتا ہے۔ کسی بھی صورت میں، B ایک گیند C کو کاٹتا ہے جس کا تعلق G0،.، Gn کے اتحاد سے ہے۔ ایسی گیند C کا رداس 2−n−1R سے بڑا ہونا چاہیے۔ چونکہ B کا رداس 2 − nR سے کم یا اس کے برابر ہے، اس لیے ہم مثلث کی عدم مساوات سے یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ جیسا کہ دعوی کیا گیا ہے کہ B 5C ہے۔ اس سے فورا ثبوت کو مکمل کیا جاتا ہے۔ تبصرے لامحدود ورژن میں، گیندوں کا ابتدائی مجموعہ قابل گنتی یا ناقابل شمار ہو سکتا ہے۔ علیحدہ میٹرک جگہ میں، گیندوں کا کوئی بھی جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ مجموعہ قابل گنتی ہونا چاہیے۔ غیر علیحدہ جگہ میں، وہی دلیل ظاہر کرتی ہے کہ ایک جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ذیلی خاندان موجود ہے، لیکن اس خاندان کو قابل شمار ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر ریڈیائی پابند نہ ہو تو نتیجہ ناکام ہو سکتا ہے: Rd میں 0 پر مرکوز تمام گیندوں کے خاندان پر غور کریں ؛ کوئی بھی جداگانہ ذیلی خاندان صرف ایک گیند B پر مشتمل ہوتا ہے، اور 5 B اس خاندان کی تمام گیندوں پر مشتمل نہیں ہوتا ہے۔ مستقل 5 زیادہ سے زیادہ نہیں ہے۔ اگر پیمانہ c − n، c> 1، Fn کی وضاحت کے لیے 2 − n کے بجائے استعمال کیا جاتا ہے، تو حتمی قدر 5 کے بجائے 1 + 2c ہے۔ 3 سے بڑا کوئی بھی مستقل لیما کا درست بیان دیتا ہے، لیکن 3 نہیں۔ ایک باریک تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے، جب اصل مجموعہ F Rd کے ذیلی سیٹ E کا وٹالی احاطہ کرتا ہے، تو یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ذیلی مجموعہ G، جس کی وضاحت مندرجہ بالا ثبوت میں کی گئی ہے، E سے لے کر لیبسیگ-ننگی سیٹ تک کا احاطہ کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز اور استعمال کا طریقہ وٹالی لیما کا اطلاق ہارڈی-لٹل ووڈ کی زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کو ثابت کرنے میں ہے۔ جیسا کہ اس ثبوت میں، وٹالی لیما اکثر اس وقت استعمال کیا جاتا ہے جب ہم، مثال کے طور پر، ایک سیٹ ای آر ڈی کے ڈی جہتی لیبسگیو پیمائش پر غور کرتے ہیں، جسے ہم جانتے ہیں کہ گیندوں کے ایک مخصوص مجموعہ کے اتحاد میں موجود ہے، جن میں سے ہر ایک کی پیمائش ہے جس کا ہم زیادہ آسانی سے حساب لگا سکتے ہیں، یا اس کی ایک خاص خاصیت ہے جس کا کوئی استحصال کرنا چاہے گا۔ لہذا، اگر ہم اس اتحاد کی پیمائش کا حساب لگاتے ہیں، تو ہمارے پاس E کی پیمائش پر ایک اوپری حد ہوگی۔ تاہم، ان تمام گیندوں کے اتحاد کی پیمائش کا حساب لگانا مشکل ہے اگر وہ اوورلیپ ہوں۔ ویتالی لیما کے مطابق، ہم ایک ذیلی مجموعہ کا انتخاب کر سکتے ہیں جو جداگانہ اور ایسا ہو۔ لہذا، اب، چونکہ ایک ڈی جہتی گیند کے رداس کو پانچ کے عنصر سے بڑھانا اس کے حجم کو 5 ڈی کے عنصر سے بڑھاتا ہے، اس لیے ہم جانتے ہیں کہ اور اس طرح ویتالی کا احاطہ کرنے والی تھیوریم کا احاطہ کرنا، کورنگ تھیوریم میں، مقصد ایک "نہ ہونے کے برابر سیٹ" تک کا احاطہ کرنا ہے، ایک سیٹ E rd جو کہ ویتالی سے نکالے گئے ایک جداگانہ ذیلی مجموعہ کے ذریعے E کے لیے احاطہ کرتا ہے: ایک ویتالی کلاس یا ویتالی جو E کے لیے احاطہ کرتا ہے اس طرح کے سیٹوں کا مجموعہ ہے کہ، ہر x bul E اور δ> 0 کے لیے، مجموعہ میں ایک سیٹ U ہے جیسے کہ x bul U اور U کا قطر غیر صفر اور δ سے کم ہے۔ ویتالی کی کلاسیکی ترتیب میں، نہ ہونے والا سیٹ ایک لیبسیگ نہ ہونے والا سیٹ ہے، لیکن لیبسیگ پیمائش کے علاوہ دیگر اقدامات، اور آر ڈی کے علاوہ دیگر خالی جگہوں پر بھی غور کیا گیا ہے، جیسا کہ نیچے متعلقہ حصے میں دکھایا گیا ہے۔ مندرجہ ذیل مشاہدہ مفید ہے: اگر ایک ویتالی E کے لیے احاطہ کرتا ہے اور اگر E ایک کھلے سیٹ ω Rd میں موجود ہے، تو سیٹ U کا ذیلی مجموعہ جو ω میں موجود ہے وہ بھی ایک ویتالی ہے جو E کے لیے احاطہ کرتا ہے۔ لیبسیگ پیمائش کے لیے ویتالی کا کورنگ تھیوریم لیبسیگ پیمائش λd کے لیے اگلا کورنگ تھیوریم ہے۔ Rd کے قابل پیمائش ذیلی مجموعوں کا مجموعہ ایک باقاعدہ خاندان ہے (لیبسیگ کے معنی میں) اگر کوئی مستقل C موجود ہو جو مجموعہ میں ہر سیٹ V کے لیے ہو۔ کیوب کا خاندان باقاعدہ خاندان کی ایک مثال ہے، جیسا کہ R2 میں مستطیلوں کا خاندان اس طرح ہے کہ اطراف کا تناسب m−1 اور m کے درمیان رہتا ہے، کچھ مقررہ m ≤1 کے لیے۔ اگر آر ڈی پر من مانی معیار دیا جاتا ہے، تو معیار سے وابستہ میٹرک کے لیے گیندوں کا مجموعہ ایک اور مثال ہے۔ اس کے برعکس، R2 میں تمام مستطیلوں کا مجموعہ باقاعدہ نہیں ہے۔ کا اصل نتیجہ اس تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے، جس میں d = 1 اور وقفوں کا مجموعہ ہے جو کہ ایک ویتالی ہے جو حقیقی لکیر کے قابل پیمائش ذیلی سیٹ E کے لیے احاطہ کرتا ہے جس کی پیمائش محدود ہے۔ مندرجہ بالا نظریہ یہ فرض کیے بغیر درست رہتا ہے کہ E کی پیمائش محدود ہے۔ یہ محدود پیمائش کے معاملے میں، ہر عدد n ± 0 کے لیے، پوائنٹس x کے کھلے اینولس ωn میں موجود E کے حصے پر احاطہ کے نتیجے کو اس طرح لاگو کرکے حاصل کیا جاتا ہے کہ n <|x | <n + 1۔ کسی حد تک متعلقہ کورنگ تھیوریم بیسیکووچ کورنگ تھیوریم ہے۔ ذیلی سیٹ A rd کے ہر پوائنٹ a کے لیے، ایک یوکلڈین بال B (a، r) مرکز a اور مثبت رداس r کے ساتھ تفویض کی جاتی ہے۔ پھر، جیسا کہ ویتالی تھیوریم میں ہے، ان گیندوں کا ایک ذیلی مجموعہ منتخب کیا جاتا ہے تاکہ ایک مخصوص انداز میں اے کا احاطہ کیا جا سکے۔ وٹالی کورنگ تھیوریم کے ساتھ اہم اختلافات یہ ہیں کہ ایک طرف، وٹالی کی اختلاط کی ضرورت کو اس حقیقت سے نرم کیا جاتا ہے کہ منتخب گیندوں کا نمبر Nx جس میں ایک صوابدیدی نقطہ x bul Rd ہوتا ہے وہ صرف طول و عرض d پر منحصر ہوتا ہے۔ دوسری طرف، منتخب گیندیں تمام دیئے گئے مراکز کے سیٹ A کا احاطہ کرتی ہیں۔ ہاؤس ڈورف پیمائش کے لیے ویتالی کا کورنگ تھیوریم جب لیبزگ پیمائش کے بجائے ہاؤس ڈورف پیمائش پر غور کیا جائے تو اس کا ایک ہی مقصد ہو سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل نظریہ اس صورت میں لاگو ہوتا ہے۔ مزید برآں، اگر E کے پاس محدود s-جہتی ہاؤز ڈورف پیمائش ہے، تو کسی بھی ε> 0 کے لیے، ہم اس ذیلی مجموعہ کو اس طرح منتخب کر سکتے ہیں کہ یہ تھیوریم اوپر دیے گئے لیبسگیو کے نتیجہ کو ظاہر کرتا ہے۔ درحقیقت، جب s = d ہوتا ہے، تو Rd پر ہاؤز ڈورف کی پیمائش Hs ڈی جہتی لیبسگ پیمائش کے ایک سے زیادہ کے ساتھ موافق ہوتی ہے۔ اگر ایک جداگانہ مجموعہ باقاعدہ ہے اور محدود لیبسیگ پیمائش کے ساتھ قابل پیمائش خطے B میں موجود ہے، تو جو پچھلے نظریہ کے پہلے دعوے میں دوسرے امکان کو خارج کرتا ہے۔ اس کے بعد ای کا احاطہ کیا جاتا ہے، لیبسگیو-ننگی سیٹ تک، منتخب کردہ جداگانہ ذیلی مجموعہ کے ذریعہ۔ کورنگ لیما سے لے کر کورنگ تھیوریم تک کورنگ لیما کو ویتالی کورنگ تھیوریم کی درج ذیل بنیادی شکل کے ثبوت میں انٹرمیڈیٹ مرحلے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ثبوت: عامیت کے نقصان کے بغیر، کوئی یہ فرض کر سکتا ہے کہ F میں موجود تمام گیندیں غیر پیدا شدہ ہیں اور ان کا رداس 1 سے کم یا اس کے برابر ہے۔ کورنگ لیما کی لامحدود شکل کے مطابق، F کا ایک قابل شمار جداگانہ ذیلی مجموعہ موجود ہے کہ ہر گیند B ωF ایک گیند C ωG کو کاٹتا ہے جس کے لیے B ω5C دیا جاتا ہے، اور Z پوائنٹس z ωE کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے جو G سے کسی بھی گیند میں موجود نہیں ہیں اور 0 پر مرکوز ریڈیئس r کی کھلی گیند B (r) سے تعلق رکھتے ہیں۔ یہ ظاہر کرنے کے لیے کافی ہے کہ Z لیبسیگ-ننگی ہے، ہر دیئے گئے r کے لیے۔ آئیے G میں ان گیندوں کے ذیلی مجموعہ کو ظاہر کریں جو B (r) سے ملتی ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ محدود یا شمار کے لحاظ سے لامحدود ہو سکتا ہے۔ فرض کریں کہ z bul Z کو فکس کیا جائے۔ ہر N کے لیے، Z کا تعلق Z کی تعریف کے مطابق بند سیٹ سے نہیں ہے۔ لیکن ویتالی کور پراپرٹی کے ذریعہ، کوئی بھی گیند B bul F پر مشتمل z تلاش کر سکتا ہے، جو B (r) میں موجود ہے، اور K سے جدا ہو جاتا ہے۔ G کی پراپرٹی کے ذریعہ، گیند B کچھ گیند کو کاٹتی ہے اور اس میں موجود ہوتی ہے۔ لیکن چونکہ K اور B جداگانہ ہیں، اس لیے ہمارے پاس i> N ہونا چاہیے۔ تو کچھ i> N کے لیے، اور اس لیے یہ ہر N کے لیے عدم مساوات دیتا ہے۔ لیکن چونکہ کی گیندیں B (r + 2) میں موجود ہیں، اور یہ گیندیں جداگانہ ہیں اس لیے ہم دیکھتے ہیں۔ لامحدود جہتی خالی جگہیں وٹالی کورنگ تھیوریم لامحدود جہتی ترتیبات میں درست نہیں ہے۔ اس سمت میں پہلا نتیجہ ڈیوڈ پریس نے 1979 میں دیا تھا: ایک (لامحدود جہتی) علیحدہ ہلبرٹ اسپیس H پر ایک گوسیائی پیمائش γ موجود ہے تاکہ ویتالی کورنگ تھیوریم (H، بوریل (H)، γ) کے لیے ناکام ہو جائے۔ اس نتیجے کو 2003 میں جاروسلاو ٹیسر نے مضبوط کیا: وٹالی کورنگ تھیوریم درحقیقت کسی بھی (لامحدود جہتی) علیحدہ ہلبرٹ اسپیس پر ہر لامحدود جہتی گوسیائی پیمائش کے لیے ناکام ہو جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ بیسیکوویچ کورنگ تھیوریم نوٹس حوالہ جات (عنوان ترجمہ) "حقیقی متغیرات کے نکات اور افعال کے گروپوں پر" وہ کاغذ ہے جس میں ویتالی کورنگ تھیوریم کا پہلا ثبوت موجود ہے۔ لیما کا احاطہ پیمائش کا نظریہ حقیقی تجزیہ