Mapping cone (homological algebra)
ہومیولوجیکل الجبرا میں، نقشہ سازی شنک سلسلہ کمپلیکس کے نقشے پر ایک تعمیر ہے جو ٹوپولوجی میں مماثل تعمیر سے متاثر ہے۔ مثلث والے زمروں کے نظریہ میں یہ ایک قسم کی مشترکہ دانا اور کوکرنل ہے: اگر سلسلہ کمپلیکس اپنی اصطلاحات کو ابیلین زمرے میں لیتے ہیں، تاکہ ہم کوہومولوجی کے بارے میں بات کر سکیں، تو نقشہ f کے مخروط کے ایسائکلک ہونے کا مطلب ہے کہ نقشہ ایک نیم آئسومورفزم ہے۔ اگر ہم کمپلیکس کے اخذ کردہ زمرے سے گزرتے ہیں، تو اس کا مطلب ہے کہ f وہاں ایک آئسومورفزم ہے، جو گروپوں کے نقشوں، رنگ پر ماڈیولز، یا صوابدیدی ابیلین زمرے کے عناصر کی واقف خاصیت کو یاد کرتا ہے کہ اگر دانا اور کوکرنل دونوں غائب ہو جائیں تو نقشہ ایک آئسومورفزم ہے۔ اگر ہم ٹی کیٹیگری میں کام کر رہے ہیں، تو درحقیقت شنک اپنے کور کی اشیاء کے درمیان نقشوں کے دانے اور کوکنل دونوں کو پیش کرتا ہے۔ تعریف شنک کی تعریف کسی بھی اضافی زمرے پر کوچین کمپلیکس کے زمرے میں کی جا سکتی ہے (یعنی ایک زمرہ جس کے مورفزم ابیلین گروپ بناتے ہیں اور جس میں ہم کسی بھی دو اشیاء کا براہ راست مجموعہ بنا سکتے ہیں)۔ دو کمپلیکس ہونے دیں، تفریق کے ساتھ یعنی، اور اسی طرح کمپلیکس کے نقشے کے لیے ہم شنک کی وضاحت کرتے ہیں، جسے اکثر مندرجہ ذیل کمپلیکس سے ظاہر کیا جاتا ہے: اصطلاحات پر، تفریق کے ساتھ (کالم ویکٹر پر کام کرتے ہوئے)۔ یہاں اور کے ساتھ کمپلیکس ہے۔ نوٹ کریں کہ ڈفریٚنشل آن قدرتی ڈفریٚنشل آن سے مختلف ہے، اور یہ کہ کچھ مصنفین ایک مختلف سائن کنونشن استعمال کرتے ہیں۔ اس طرح، اگر مثال کے طور پر ہمارے کمپلیکس ابیلین گروپوں کے ہیں، تو تفریق پراپرٹیز کے طور پر کام کرے گا فرض کریں کہ اب جب ہم ایک ابیلین زمرے پر کام کر رہے ہیں، تاکہ کسی کمپلیکس کی ہم آہنگی کی وضاحت کی جا سکے۔ شنک کا بنیادی استعمال نیم آئسومورفزم کی شناخت کرنا ہے: اگر شنک ایکائکلک ہے، تو نقشہ ایک نیم آئسومورفزم ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، ہم ایک مثلث کے وجود کا استعمال کرتے ہیں جہاں نقشے براہ راست خلاصہ کے ذریعے دیے جاتے ہیں (سلسلہ کمپلیکس کی ہوموٹوپی زمرہ دیکھیں)۔ چونکہ یہ ایک مثلث ہے، اس لیے یہ ہومیولوجی گروپوں پر ایک طویل عین مطابق ترتیب کو جنم دیتا ہے: اور اگر ایسائکلک ہے تو تعریف کے مطابق، اوپر کی بیرونی اصطلاحات صفر ہیں۔ چونکہ ترتیب درست ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ تمام ہومیولوجی گروپوں پر ایک آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے، اور اس لیے (تعریف کے لحاظ سے) ایک نیم آئسومورفزم ہے۔ یہ حقیقت ابیلین زمرے میں آئسومورفزم کی معمول کی متبادل خصوصیت کو یاد کرتی ہے کیونکہ وہ نقشے جن کے دانے اور کوکنل دونوں غائب ہو جاتے ہیں۔ مشترکہ دانا اور کوکنل کے طور پر شنک کی یہ ظاہری شکل حادثاتی نہیں ہے ؛ در حقیقت، بعض حالات میں شنک لفظی طور پر دونوں کی علامت ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ ہم ایک ابیلین زمرے پر کام کر رہے ہیں اور ڈگری 0 میں صرف ایک غیر صفر اصطلاح ہے: اور اس لیے صرف (بنیادی ابیلین زمرے کی اشیاء کے نقشے کے طور پر) ہے۔ پھر شنک صرف ہے (انڈر سیٹ متن ہر اصطلاح کی ڈگری کی نشاندہی کرتا ہے۔) اس کمپلیکس کی ہم آہنگی یہ ہے کہ یہ کوئی حادثہ نہیں ہے اور درحقیقت ہر ٹی زمرے میں ہوتا ہے۔ نقشہ سازی سلنڈر ایک متعلقہ تصور نقشہ سازی سلنڈر ہے: سلسلہ کمپلیکس کی مورفزم ہونے دیں، آگے قدرتی نقشہ ہونے دیں۔ ایف کا نقشہ سازی سلنڈر تعریف کے مطابق جی کا نقشہ سازی شنک ہے۔ ٹوپولوجیکل الہام اس کمپلیکس کو ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کے مسلسل نقشے کے نقشہ سازی شنک (ٹوپولوجی) سے مشابہت میں شنک کہا جاتا ہے: ٹوپولوجیکل شنک کی واحد زنجیروں کا کمپلیکس ایکس سے وائی کی واحد زنجیروں کے محرک نقشے کے شنک (چین-کمپلیکس-سینس میں) کے مساوی ہوموٹوپی ہے۔ کمپلیکس کے نقشے کا نقشہ سازی سلنڈر اسی طرح مسلسل نقشوں کے نقشہ سازی سلنڈر سے متعلق ہے۔ حوالہ جات جوزف جے روٹمین، الجبرائی ٹوپولوجی کا تعارف (1988) سپرنگر-ورلاگ (باب 9 دیکھیں) ہومیولوجیکل الجبرا