Unbiased estimation of standard deviation
شماریات میں اور خاص طور پر شماریاتی نظریہ میں، معیاری انحراف کا غیر جانبدار تخمینہ اقدار کی آبادی کے معیاری انحراف (شماریاتی بازی کی پیمائش) کی تخمینہ شدہ قیمت کے شماریاتی نمونے سے اس طرح کا حساب ہے کہ حساب کی متوقع قیمت حقیقی قیمت کے برابر ہو۔ کچھ اہم حالات کے علاوہ، جو بعد میں بیان کیے گئے ہیں، اس کام کی اعداد و شمار کے استعمال سے بہت کم مطابقت ہے کیونکہ اس کی ضرورت سے معیاری طریقہ کار، جیسے اہمیت کے ٹیسٹ اور اعتماد کے وقفوں کا استعمال، یا بایسیئن تجزیہ کا استعمال کرکے گریز کیا جاتا ہے۔ تاہم، شماریاتی نظریہ کے لیے، یہ تخمینہ نظریہ کے تناظر میں ایک مثالی مسئلہ فراہم کرتا ہے جو بیان کرنا آسان ہے اور جس کے نتائج بند شکل میں حاصل نہیں کیے جا سکتے۔ یہ ایک ایسی مثال بھی فراہم کرتا ہے جہاں غیر جانبدارانہ تخمینے کی ضرورت کو مسلط کرنے کو صرف تکلیف میں اضافے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جس سے کوئی حقیقی فائدہ نہیں ہوتا ہے۔ اعداد و شمار میں، اعداد کی آبادی کے معیاری انحراف کا تخمینہ اکثر آبادی سے لیے گئے بے ترتیب نمونے سے لگایا جاتا ہے۔ یہ نمونہ معیاری انحراف ہے، جس کی وضاحت اس بات سے کی جاتی ہے کہ نمونہ کہاں ہے (رسمی طور پر، بے ترتیب متغیر X سے احساسات) اور نمونہ کا مطلب ہے۔ یہ دیکھنے کا ایک طریقہ کہ یہ آبادی کے معیاری انحراف کا ایک متعصبانہ تخمینہ ہے، اس نتیجے سے شروع کرنا ہے کہ s2 بنیادی آبادی کے تغیر σ2 کے لیے ایک غیر جانبدار تخمینہ ہے اگر وہ تغیر موجود ہے اور نمونے کی اقدار کو متبادل کے ساتھ آزادانہ طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ مربع جڑ ایک غیر لکیری فنکشن ہے، اور صرف لکیری فنکشن توقع لینے کے ساتھ کامیوٹ کرتے ہیں۔ چونکہ مربع جڑ ایک سختی سے کنکیو فنکشن ہے، اس لیے یہ جینسن کی عدم مساوات کی پیروی کرتا ہے کہ نمونے کے تغیر کا مربع جڑ کم تخمینہ ہے۔ نمونے کے تغیر کے فارمولے میں n کے بجائے n−1 کا استعمال بیسیل کی اصلاح کے نام سے جانا جاتا ہے، جو آبادی کے تغیر کے تخمینے میں تعصب کو درست کرتا ہے، اور کچھ، لیکن آبادی کے معیاری انحراف کے تخمینے میں تمام تعصب کو نہیں۔ معیاری انحراف کا تخمینہ لگانا ممکن نہیں ہے جو تمام آبادی کی تقسیم کے لیے غیر جانبدار ہو، کیونکہ تعصب کا انحصار مخصوص تقسیم پر ہوتا ہے۔ مندرجہ ذیل میں سے زیادہ تر کا تعلق عام تقسیم کے تخمینے سے ہے۔ جب بے ترتیب متغیر عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، تو تعصب کو ختم کرنے کے لیے ایک معمولی اصلاح موجود ہوتی ہے۔ اصلاح حاصل کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ عام طور پر تقسیم شدہ X کے لیے، کوچران تھیوریم کا مطلب ہے کہ ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ایک چی مربع تقسیم ہے اور اس طرح اس کا مربع جڑ، ڈگری آف فریڈم کے ساتھ ایک چی تقسیم ہے۔ نتیجتا، اس آخری اظہار کی توقع کا حساب لگانا اور مستقلات کو دوبارہ ترتیب دینا، جہاں اصلاح کا عنصر ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی کی تقسیم کا پیمانہ اوسط ہے۔ یہ نمونے کے سائز n پر منحصر ہے، اور مندرجہ ذیل کے طور پر دیا گیا ہے: جہاں κ (·) گاما فنکشن ہے۔ σ کا غیر جانبدار تخمینہ اس سے تقسیم کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ جیسے جیسے بڑا ہوتا جاتا ہے یہ 1 کے قریب پہنچتا ہے، اور چھوٹی اقدار کے لیے بھی اصلاح معمولی ہوتی ہے۔ شکل بمقابلہ نمونے کے سائز کا پلاٹ دکھاتی ہے۔ نیچے دیا گیا جدول کی کچھ اقدار کے لیے عددی اقدار اور الجبرائی تاثرات دیتا ہے۔ مزید مکمل جدول شماریاتی کوالٹی کنٹرول پر زیادہ تر نصابی کتابوں میں مل سکتے ہیں۔ یہ ذہن میں رکھنا ضروری ہے کہ یہ اصلاح صرف عام طور پر اور آزادانہ طور پر تقسیم شدہ X کے لیے ایک غیر جانبدار تخمینہ پیدا کرتی ہے۔ جب اس شرط کو پورا کیا جاتا ہے، تو اس میں شامل s کے بارے میں ایک اور نتیجہ یہ ہوتا ہے کہ s کی معیاری غلطی ہے، جبکہ غیر جانبدار تخمینہ کار کی معیاری غلطی عام تقسیم کے لیے انگوٹھے کا قاعدہ ہے۔ اگر فنکشن c4 (n) کا حساب لگانا بہت مشکل معلوم ہوتا ہے، تو تخمینہ کار کو لینے کے لیے انگوٹھے کا ایک آسان قاعدہ ہوتا ہے۔ فارمولہ s2 کے لیے واقف اظہار سے صرف ڈینومینیٹر کے بجائے ہونے سے مختلف ہوتا ہے۔ یہ اظہار صرف تخمینہ ہے ؛ حقیقت میں، تعصب نسبتا چھوٹا ہے: کہو، کیونکہ یہ 2.3 ٪ کے برابر ہے، اور تعصب کے لیے پہلے ہی 0.1 ٪ ہے۔ دیگر تقسیم ایسے معاملات میں جہاں اعداد و شمار کے لحاظ سے آزاد ڈیٹا کو عام تقسیم کے علاوہ تقسیم کے پیرامیٹرک خاندان کے ذریعہ ماڈل کیا جاتا ہے، آبادی کا معیاری انحراف، اگر موجود ہے تو، ماڈل کے پیرامیٹرز کا ایک فنکشن ہوگا۔ تخمینہ لگانے کا ایک عمومی نقطہ نظر زیادہ سے زیادہ امکان ہوگا۔ متبادل طور پر، راؤ-بلیک ویل تھیوریم کو معیاری انحراف کا ایک اچھا تخمینہ تلاش کرنے کے راستے کے طور پر استعمال کرنا ممکن ہو سکتا ہے۔ کسی بھی صورت میں حاصل کردہ تخمینے عام طور پر غیر جانبدارانہ نہیں ہوتے۔ نظریاتی طور پر، نظریاتی ایڈجسٹمنٹ غیر جانبدارانہ تخمینوں کی طرف لے جانے کے لیے قابل حصول ہو سکتی ہیں لیکن، عام تقسیم کے برعکس، یہ عام طور پر تخمینہ شدہ پیرامیٹرز پر منحصر ہوں گے۔ اگر ضرورت محض ایک تخمینہ شدہ معیاری انحراف کے تعصب کو کم کرنے کے لیے ہے، بجائے اس کے کہ اسے مکمل طور پر ختم کیا جائے، تو دو عملی نقطہ نظر دستیاب ہیں، دونوں دوبارہ نمونے لینے کے تناظر میں۔ یہ جیک نیفنگ اور بوٹ اسٹریپنگ ہیں۔ دونوں کا اطلاق یا تو معیاری انحراف کے پیرامیٹرک طور پر مبنی تخمینوں یا نمونے کے معیاری انحراف پر کیا جا سکتا ہے۔ غیر معمول کی تقسیم کے لیے معیاری انحراف کے غیر جانبدار تخمینہ کار کے لیے ایک تخمینہ (O (n−1) اصطلاحات تک) فارمولا ہے جہاں γ2 آبادی کے اضافی کرٹوسس کی نشاندہی کرتا ہے۔ اضافی کرٹوسس یا تو کچھ تقسیم کے لیے پہلے سے معلوم ہو سکتا ہے، یا اعداد و شمار سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ آٹوکوریلیشن کا اثر (سیریل ارتباط) اوپر کا مواد، نقطہ پر دوبارہ زور دینے کے لیے، صرف آزاد ڈیٹا پر لاگو ہوتا ہے۔ تاہم، حقیقی دنیا کا ڈیٹا اکثر اس ضرورت کو پورا نہیں کرتا ہے۔ یہ خود ساختہ ہے (جسے سیریل ارتباط بھی کہا جاتا ہے)۔ ایک مثال کے طور پر، پیمائش کے آلے کی مسلسل ریڈنگ جس میں "ہموار" (زیادہ درست طریقے سے، لو پاس فلٹرنگ) کے عمل کی کسی نہ کسی شکل کو شامل کیا جاتا ہے، خود ساختہ ہوگا، کیونکہ کسی خاص قدر کا حساب پہلے اور بعد کے ریڈنگ کے کچھ امتزاج سے لگایا جاتا ہے۔ آٹوکوریلیٹڈ ڈیٹا کے تغیر اور معیاری انحراف کے تخمینے متعصبانہ ہوں گے۔ نمونے کے تغیر کی متوقع قیمت وہ ہے جہاں n نمونے کا سائز (پیمائش کی تعداد) ہے اور اعداد و شمار کا آٹوکوریلیشن فنکشن (ACF) ہے۔ (نوٹ کریں کہ بریکٹ میں اظہار محض ایک مائنس ریڈنگ کے لیے اوسط متوقع آٹوکوریلیشن ہے۔) اگر اے سی ایف مثبت اقدار پر مشتمل ہے تو تغیر کا تخمینہ (اور اس کا مربع جڑ، معیاری انحراف) متعصبانہ کم ہوگا۔ یعنی اعداد و شمار کی اصل تغیر پذیری اس سے زیادہ ہوگی جو غیر درست تغیر یا معیاری انحراف کے حساب سے ظاہر ہوتی ہے۔ یہ تسلیم کرنا ضروری ہے کہ، اگر اس اظہار کو تعصب کو درست کرنے کے لیے استعمال کرنا ہے، تو تخمینے کو اوپر کے بریکٹ میں موجود مقدار سے تقسیم کرکے، پھر اے سی ایف کو تجزیاتی طور پر جانا جانا چاہیے، نہ کہ اعداد و شمار سے تخمینے کے ذریعے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ تخمینہ شدہ اے سی ایف خود متعصبانہ ہوگا۔ معیاری انحراف میں تعصب کی مثال معیاری انحراف میں تعصب کی شدت کو واضح کرنے کے لیے، ایک ڈیٹا سیٹ پر غور کریں جو کسی ایسے آلے سے ترتیب وار ریڈنگ پر مشتمل ہو جو ایک مخصوص ڈیجیٹل فلٹر کا استعمال کرتا ہے جس کے ACF کو اس طرح دیا جاتا ہے جہاں α فلٹر کا پیرامیٹر ہے، اور یہ اقدار کو صفر سے اتحاد تک لے جاتا ہے۔ اس طرح اے سی ایف مثبت ہے اور ہندسی طور پر کم ہو رہا ہے۔ یہ اعداد و شمار نمونے کے سائز n کے فنکشن کے طور پر α کی کئی ترتیبات کے لیے تخمینہ شدہ معیاری انحراف اور اس کی معلوم قیمت (جس کا حساب اس ڈیجیٹل فلٹر کے لیے تجزیاتی طور پر کیا جا سکتا ہے) کے تناسب کو ظاہر کرتا ہے۔ α کو تبدیل کرنے سے فلٹر کے تغیر میں کمی کے تناسب میں تبدیلی آتی ہے، جو اس طرح جانا جاتا ہے کہ α کی چھوٹی اقدار کے نتیجے میں زیادہ تغیر میں کمی واقع ہوتی ہے، یا "ہموار" ہوتا ہے۔ تعصب کو یکسانیت سے مختلف عمودی محور پر اقدار سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ یعنی، اگر کوئی تعصب نہ ہو تو، تخمینہ شدہ معیاری انحراف کا تناسب اتحاد ہوگا۔ واضح طور پر، معمولی نمونے کے سائز کے لیے اہم تعصب (دو یا اس سے زیادہ کا عنصر) ہو سکتا ہے۔ اوسط کا تغیر آبادی کے تغیر کے بجائے تخمینہ شدہ اوسط کے تغیر یا معیاری انحراف کا اندازہ لگانا اکثر دلچسپی کا باعث ہوتا ہے۔ جب اعداد و شمار آٹوکوریلیٹڈ ہوتے ہیں، تو اس کا براہ راست اثر نمونے کے اوسط کے نظریاتی تغیر پر پڑتا ہے، جو کہ نمونے کے اوسط کے تغیر کا اندازہ σ2 کے تخمینے کو تبدیل کر کے لگایا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا ایک تخمینہ اوپر دی گئی E [s2] کی مساوات سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ پہلے مندرجہ ذیل مستقلات کی وضاحت کریں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک بار پھر، ایک معروف ACF: تاکہ یہ کہتا ہے کہ مشاہدہ شدہ نمونے کے تغیر کو اصلاحی عنصر سے تقسیم کرنے سے حاصل ہونے والی مقدار کی متوقع قیمت تغیر کا غیر جانبدار تخمینہ دیتی ہے۔ اسی طرح، اوسط کے تغیر کے لیے اوپر کے اظہار کو دوبارہ لکھیں، اور اس تخمینے کو تبدیل کریں جو مشاہدہ شدہ نمونے کے تغیر اور معلوم مقدار کے لحاظ سے اوسط کے تغیر کا غیر جانبدار تخمینہ ہے۔ اگر آٹوکوریلیشنز یکساں طور پر صفر ہیں، تو یہ اظہار آزاد ڈیٹا کے لیے اوسط کے تغیر کے لیے معروف نتیجہ تک کم ہو جاتا ہے۔ ان تاثرات میں توقع آپریٹر کا اثر یہ ہے کہ مساوات اوسط (یعنی اوسط) میں ہوتی ہے۔ آبادی کے معیاری انحراف کا اندازہ لگانا مذکورہ بالا تاثرات میں آبادی کے تغیر اور اس آبادی کے اوسط کا تخمینہ شامل ہونے کی وجہ سے، متعلقہ معیاری انحراف کے غیر جانبدارانہ تخمینے حاصل کرنے کے لیے ان تاثرات کا مربع جڑ لینا منطقی معلوم ہوگا۔ تاہم یہ معاملہ ہے کہ، چونکہ توقعات انٹیگرل ہیں، اس کے بجائے، فرض کریں کہ ایک فنکشن θ موجود ہے تاکہ معیاری انحراف کا غیر جانبدار تخمینہ لکھا جا سکے اور θ نمونے کے سائز n اور ACF پر منحصر ہے۔ این آئی ڈی (عام طور پر اور آزادانہ طور پر تقسیم شدہ) ڈیٹا کے معاملے میں، ریڈیکینڈ اتحاد ہے اور θ صرف c4 فنکشن ہے جو اوپر کے پہلے حصے میں دیا گیا ہے۔ جیسا کہ c4 کے ساتھ ہوتا ہے، θ جیسے جیسے نمونے کا سائز بڑھتا ہے اتحاد کے قریب پہنچتا ہے (جیسا کہ γ1 کرتا ہے)۔ یہ تخروپن ماڈلنگ کے ذریعے دکھایا جا سکتا ہے کہ θ کو نظر انداز کرنا (یعنی، اسے اتحاد کے طور پر لینا) اور اس کا استعمال خود ارتباط کی وجہ سے ہونے والے تعصب کے چند فیصد کے علاوہ سب کو ہٹا دیتا ہے، جس سے یہ غیر جانبدار تخمینہ کار کے بجائے ایک کم تعصب تخمینہ کار بن جاتا ہے۔ عملی پیمائش کے حالات میں، تعصب میں یہ کمی اہم اور مفید ہو سکتی ہے، چاہے کچھ نسبتا چھوٹا تعصب باقی رہے۔ مندرجہ بالا اعداد و شمار، جو معیاری انحراف بمقابلہ نمونے کے سائز میں تعصب کی ایک مثال دکھاتے ہیں، اس تخمینے پر مبنی ہے۔ اصل تعصب ان گرافوں میں بتائے گئے تعصب سے کچھ بڑا ہوگا کیونکہ تبدیلی کا تعصب θ وہاں شامل نہیں ہے۔ نمونے کے معیاری انحراف کا تخمینہ لگانے کا مطلب ہے کہ آبادی کے تغیر اور ACF کے لحاظ سے اوسط کا غیر جانبدار تغیر دیا گیا ہے اور چونکہ یہاں کوئی متوقع اقدار نہیں ہیں، اس صورت میں مربع روٹ لیا جا سکتا ہے، تاکہ σ کے لیے اوپر غیر جانبدار تخمینہ اظہار کا استعمال کرتے ہوئے، اوسط کے معیاری انحراف کا تخمینہ تب ہوگا۔ اگر ڈیٹا NID ہے، تاکہ ACF غائب ہو جائے، تو یہ کم ہو جائے گا۔ بیسیل کا کوویرینس میٹرکس کا اصلاح تخمینہ نمونہ اوسط اور نمونہ کوویرینس حوالہ جات ڈگلس سی مونٹگمری اور جارج سی رنگر، اطلاقی شماریات اور انجینئرز کے لیے امکان، تیسرا ایڈیشن، ولی اور بیٹے، 2003 بھی دیکھیں۔ (سیکشنز 7-2.2 اور 16-5 دیکھیں) بیرونی لنکس ایک جاوا انٹرایکٹو گرافک ہے جس میں ہیلمرٹ پی ڈی ایف دکھایا گیا ہے جس سے تعصب کی اصلاح کے عوامل اخذ کیے گئے ہیں۔ معیاری انحراف کے غیر جانبدارانہ تخمینے کے لیے مونٹی کارلو تخروپن ڈیمو۔ http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc32.htm متغیر کنٹرول چارٹ کیا ہیں؟ تخمینہ کے طریقے خلاصہ اعداد و شمار کوویرینس اور ارتباط