Dirac algebra
ریاضیاتی طبیعیات میں ڈیراک الجبرا کلفورڈ الجبرا ہے۔ یہ 1928 میں ریاضیاتی طبیعیات دان پی اے ایم ڈیراک نے گاما میٹرکس کی میٹرکس نمائندگی کے ساتھ گھومنے والے ذرات کے لیے ڈیراک مساوات تیار کرنے میں متعارف کرایا تھا، جو الجبرا کے جنریٹرز کی نمائندگی کرتے ہیں۔ گاما میٹرکس چار میٹرکس کا ایک مجموعہ ہے جس میں اندراجات ہوتے ہیں، یعنی اس کے عناصر مطمئن ہوتے ہیں جہاں روایت کے مطابق، ایک شناختی میٹرکس کو دائیں ہاتھ کی طرف دبا دیا گیا ہے۔ اعداد منکوسکی میٹرک کے اجزاء ہیں۔ اس مضمون کے لیے ہم دستخط کو زیادہ تر مائنس یعنی مائنس طے کرتے ہیں۔ ڈیراک الجبرا پھر شناخت کا لکیری دورانیہ، گاما میٹرکس کے ساتھ ساتھ گاما میٹرکس کا کوئی لکیری آزاد پروڈکٹ ہے۔ یہ میدان پر یا طول و عرض کے ساتھ ایک محدود جہتی الجبرا بناتا ہے۔ الجبرا کی بنیاد الجبرا کی ایک بنیاد ہوتی ہے جہاں ہر اظہار میں، ہر یونانی اشاریہ بڑھ رہا ہوتا ہے جیسے جیسے ہم دائیں طرف بڑھتے ہیں۔ خاص طور پر، تاثرات میں کوئی بار بار اشاریہ نہیں ہوتا ہے۔ طول و عرض کی گنتی کے لحاظ سے الجبرا کا طول و عرض 16 ہے۔ الجبرا اکیلے کے پروڈکٹ لے کر پیدا کیا جا سکتا ہے: شناخت اس طرح پیدا ہوتی ہے جب کہ دوسرے واضح طور پر اس کے پروڈکٹ ہوتے ہیں۔ یہ عناصر اس سے پیدا ہونے والی جگہ کو پھیلاتے ہیں۔ ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ ہمارے پاس واقعی کواڈریٹک پاورز اور لورینٹز الجبرا سے پیدا ہونے والے کلفورڈ الجبرا کی بنیاد ہے۔ اس حصے میں نظریہ کے لیے، ادب میں پائے جانے والے کنونشن کے بہت سے انتخاب ہیں، جو اکثر ان کے عوامل سے مطابقت رکھتے ہیں۔ وضاحت کے لیے، یہاں ہم مطلوبہ عددی عوامل کی تعداد کو کم سے کم کرنے کے لیے کنونشنوں کا انتخاب کریں گے، لیکن جنریٹر ہرمیٹین کے بجائے اینٹی ہرمیٹین ہونے کا باعث بن سکتے ہیں۔ کلفورڈ الجبرا کی کواڈریٹک سب اسپیس لکھنے کا ایک اور عام طریقہ ہے: کے ساتھ۔ نوٹ کریں۔ اس کو لکھنے کا ایک اور طریقہ ہے جو اس وقت بھی برقرار رہتا ہے جب: اس فارم کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ شکل لورینٹز الجبرا (حقیقی کنونشنوں کے ساتھ) فزکس کنونشن کی نمائندگی کرتی ہے۔ طبیعیات میں ایک عنصر کو شامل کرنا عام روایت ہے، تاکہ ہرمیٹین کنجگیشن (جہاں ٹرانسپوزنگ اسپیس ٹائم یونانی انڈیکس کے حوالے سے کی جاتی ہے) سگما جنریٹرز کا 'ہرمیٹین میٹرکس' دیتا ہے جن میں سے صرف بریکٹ کی اینٹیسیمیٹری کی وجہ سے غیر صفر ہوتے ہیں، اندر لورینٹز الجبرا کی ٹینسر-نمائندگی کی چھ جہتی جگہ کو پھیلاتے ہیں۔ مزید برآں، ان کے پاس لائ الجبرا کے تبادلوں کے تعلقات ہیں، اور اس وجہ سے وہ لورینٹز الجبرا (نمائندگی کی جگہ کو پھیلانے کے علاوہ) کی نمائندگی کرتے ہیں جو اسپن کی نمائندگی کے اندر بیٹھے ہیں۔ اسپن (1، 3) میٹرکس کے لیے ایکسپونینشیل نقشہ اچھی طرح سے بیان کیا گیا ہے۔ یہ لورینٹز الجبرا کو مطمئن کرتا ہے، اور لورینٹز گروپ کے اسپن گروپ کی نمائندگی کی طرف مائل ہوتا ہے (سختی سے، شناخت سے منسلک مستقبل کی سمت والا حصہ)۔ اس کے بعد اس نمائندگی کے اسپن جنریٹر ہیں۔ ہم اس بات پر زور دیتے ہیں کہ یہ خود ایک میٹرکس ہے، میٹرکس کے اجزاء نہیں۔ ایک پیچیدہ میٹرکس کے طور پر اس کے اجزاء کو حروف تہجی کے آغاز سے یونانی حروف کا استعمال کرتے ہوئے روایت کے مطابق لیبل کیا جاتا ہے۔ ایک اسپنر پر عمل، جو اس ترتیب میں ویکٹر اسپیس کا ایک عنصر ہے، ہے، یا اجزاء میں، یہ ایک اسپنر پر ایک لامحدود لورینٹز تبدیلی سے مطابقت رکھتا ہے۔ پھر ایک محدود لورینٹز تبدیلی، اجزاء کے ذریعہ پیرامیٹرائزڈ (انٹیسیمیٹرک ان) کو اس پراپرٹی سے ظاہر کیا جاسکتا ہے جس کے بعد یہ اس کی پیروی کرتا ہے اور جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے یہ اسپنرز کے لیے ڈیراک ملحقہ کی تعریف کو متحرک کرتا ہے۔ کے لیے متعلقہ تبدیلی ہے۔ اس کے ساتھ، ڈیراک لاگرانجین جیسے لاگرانجین کی تعمیر کے لیے لورینٹز غیر متغیر مقداروں کی تعمیر کرنا آسان ہو جاتا ہے۔ کوارٹک پاور کوارٹک سب اسپیس ایک واحد بنیادی عنصر پر مشتمل ہے، جہاں مکمل طور پر اینٹیسیمیٹرک ٹینسر اس طرح ہے کہ روایت کے مطابق۔ یہ کسی بھی دو ملحقہ گاما میٹرکس کے تبادلے کے تحت اینٹی سمیٹرک ہے۔ γ5 پیچیدہ مدت پر غور کرتے وقت، اس بنیادی عنصر کو متبادل طور پر لیا جا سکتا ہے مزید تفصیلات یہاں مل سکتی ہیں۔ حجم کی شکل کے طور پر کوارٹک عنصر کی کل اینٹی سمیٹری کے ذریعہ، اسے حجم کی شکل سمجھا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، یہ مشاہدہ بیرونی الجبرا کی عمومی شکل کے طور پر کلفورڈ الجبرا کی بحث تک پھیلا ہوا ہے: دونوں ٹینسر الجبرا کے کوٹینٹس کے طور پر پیدا ہوتے ہیں، لیکن بیرونی الجبرا زیادہ پابند کوٹینٹ دیتا ہے، جہاں تمام اینٹی کمیونیٹر غائب ہو جاتے ہیں۔ ڈیراک اور کلین گورڈن مساوات سے شروع ہونے والی مشتق گاما عناصر کی وضاحتی شکل اس صورت میں اخذ کی جا سکتی ہے جب کوئی ڈیراک مساوات: اور کلین گورڈن مساوات: کی متغیر شکل کو فرض کرے، اور اس کے لیے ضروری ہے کہ یہ مساوات مستقل نتائج کی طرف لے جائیں۔ مستقل مزاجی کی ضرورت (ثبوت) سے ماخوذ۔ ڈیراک مساوات کو اس کی کنجوگیٹ مساوات سے ضرب دینے سے نتیجہ نکلتا ہے: کلین گورڈن مساوات کے ساتھ مستقل مزاجی کی مانگ فوری طور پر اس طرف لے جاتی ہے: جہاں اینٹی کمیونیٹیٹر ہے، کون سا منکووسکی میٹرک ہے جس کے دستخط (+ −−−) ہیں اور یہ 4x4 یونٹ میٹرکس ہے۔ سی ایل 1,3 (سی) اور سی ایل 1,3 (آر) ڈیراک الجبرا کو حقیقی اسپیس ٹائم الجبرا سی ایل 1,3 () کی پیچیدگی سمجھا جا سکتا ہے: سی ایل 1,3 () سی ایل 1,3 () سے مختلف ہے: سی ایل 1,3 () میں گاما میٹرکس اور ان کے پروڈکٹ کے صرف حقیقی لکیری امتزاج کی اجازت ہے۔ ہندسی الجبرا کے حامی جہاں بھی ممکن ہو حقیقی الجبرا کے ساتھ کام کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ ان کا استدلال ہے کہ جسمانی مساوات میں کسی خیالی اکائی کی موجودگی کی شناخت کرنا عام طور پر ممکن (اور عام طور پر روشن خیال) ہے۔ ایسی اکائیاں حقیقی کلفورڈ الجبرا میں بہت سی مقداروں میں سے ایک سے پیدا ہوتی ہیں جو مربع سے −1 تک ہوتی ہیں، اور الجبرا کی خصوصیات اور اس کی مختلف ذیلی جگہوں کے تعامل کی وجہ سے ان کی ہندسی اہمیت ہوتی ہے۔ ان میں سے کچھ حامی یہ بھی سوال کرتے ہیں کہ کیا ڈیراک مساوات کے تناظر میں ایک اضافی خیالی اکائی متعارف کرانا ضروری ہے یا مفید بھی۔ ریمینین جیومیٹری کی ریاضی میں، کلفورڈ الجبرا سی ایل پی کی وضاحت کرنا روایتی ہے، صوابدیدی جہتوں کے لیے q () ؛ ویل اسپنرز کا اینٹی کمیونیکیشن قدرتی طور پر کلفورڈ الجبرا سے ابھرتا ہے۔ ویل اسپنرز اسپن گروپ کے عمل کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ اسپن گروپ کی پیچیدگی، جسے اسپنک گروپ کہا جاتا ہے، اسپن گروپ کا ایک پروڈکٹ ہے جس کے دائرے کے ساتھ پروڈکٹ کے ساتھ شناخت کرنے کے لیے صرف ایک علامتی آلہ ہے۔ اس کا ہندسی نقطہ یہ ہے کہ یہ حقیقی اسپنر کو جدا کرتا ہے، جو لورینٹز تبدیلیوں کے تحت متغیر ہے، جزو سے، جس کی شناخت برقی مقناطیسی تعامل کے فائبر سے کی جا سکتی ہے۔ دیراک ذرہ/مخالف ذرہ حالتوں (مساوی طور پر، ویل کی بنیاد پر چیرل ریاستیں) سے متعلق ہونے کے لیے موزوں انداز میں الجھانے والی برابری اور چارج کنجگیشن ہے۔ بسپینور، جہاں تک اس کے لکیری طور پر آزاد بائیں اور دائیں اجزاء ہیں، برقی مقناطیسی میدان کے ساتھ تعامل کر سکتا ہے۔ یہ میجرانا اسپنر اور ایلکو اسپنر کے برعکس ہے، جو نہیں کر سکتا (یعنی۔ وہ برقی طور پر غیر جانبدار ہیں)، کیونکہ وہ واضح طور پر اسپنر کو محدود کرتے ہیں تاکہ پیچیدگی سے آنے والے حصے کے ساتھ تعامل نہ ہو۔ جہاں تک روایتی کوانٹم فیلڈ تھیوری کی نصابی کتابوں میں چارج اور برابری کی پیش کش ایک الجھن کا موضوع ہو سکتا ہے، عمومی ہندسی ترتیب میں ان موضوعات کا زیادہ محتاط تجزیہ واضح ہو سکتا ہے۔ کلفورڈ الجبرا کی معیاری وضاحتیں ویل اسپنرز کو پہلے اصولوں سے تشکیل دیتی ہیں ؛ کہ وہ "خود بخود" اینٹی کمیونٹ تعمیر کا ایک خوبصورت ہندسی ضمنی مصنوع ہے، جو کسی بھی ایسے دلائل کو مکمل طور پر پیچھے چھوڑ دیتا ہے جو پالی اخراج کے اصول (یا بعض اوقات عام احساس کہ گراس مین متغیرات کو ایڈہاک دلیل کے ذریعے متعارف کرایا گیا ہے) سے اپیل کرتے ہیں۔ عصری طبیعیات کے عمل میں، ڈیراک الجبرا سپیس ٹائم الجبرا کے بجائے ڈیراک مساوات "لائیو" کے اسپنرز کا معیاری ماحول بنا ہوا ہے۔ مزید دیکھیں اعلی جہتی گاما میٹرکس فیرز شناخت حوالہ جات کلفورڈ الجبرا الجبرا