Acyclic space
ریاضی میں، ایک سایکلک اسپیس ایک غیر خالی ٹپوولوجیکل اسپیس X ہے جس میں ہومیولوجی تھیوری کے معنی میں سائیکل ہمیشہ حدود ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایکس کے تمام جہتوں میں انٹیگرل ہومیولوجی گروپس کسی نقطہ کے متعلقہ ہومیولوجی گروپس کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، کم ہومیولوجی کے خیال کو استعمال کرتے ہوئے، اس طرح کی جگہ کو "سوراخوں" کے بغیر غیر خالی جگہ کے طور پر سمجھنا عام بات ہے ؛ مثال کے طور پر، ایک دائرہ یا دائرہ ایسیکلک نہیں ہوتا بلکہ ڈسک یا گیند ایسیکلک ہوتی ہے۔ تاہم یہ حالت یہ پوچھنے سے کمزور ہے کہ خلا میں ہر بند لوپ خلا میں ایک ڈسک کو باندھ دے گا، ہم صرف اتنا پوچھتے ہیں کہ کوئی بھی بند لوپ-اور اس کا اعلی جہتی ینالاگ-"دو جہتی سطح" کی طرح کچھ باندھ دے گا۔ مثال کے طور پر، اچھی جگہوں کے لیے-جیسے کہ سادہ کمپلیکس-کہ دائرے یا اعلی دائرے میں X کا کوئی بھی مسلسل نقشہ نیل-ہوموٹوپک ہے۔ اگر کوئی خلا X سکڑنے کے قابل ہے، تو یہ ہومیولوجی کے ہوموٹوپی انواریینس کے ذریعہ بھی ایسائکلک ہے۔ اس کے برعکس، عام طور پر سچ نہیں ہے۔ بہر حال، اگر X ایک سایکلک سی ڈبلیو کمپلیکس ہے، اور اگر X کا بنیادی گروپ معمولی ہے، تو X ایک سکڑنے والی جگہ ہے، جیسا کہ وائٹ ہیڈ تھیوریم اور ہوریوز تھیوریم سے درج ذیل ہے۔ ایسیکلک خالی جگہوں کی مثالیں ٹوپولوجی میں پائی جاتی ہیں، جہاں انہیں دیگر، زیادہ دلچسپ ٹوپولوجیکل خالی جگہوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی کئی گنا M سے ایک نقطہ کو ہٹا دیتا ہے جو کہ ہومیولوجی کا دائرہ ہے، تو اس طرح کی جگہ مل جاتی ہے۔ ایسائکلک اسپیس X کے ہوموٹوپی گروپ عام طور پر غائب نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ بنیادی گروپ کو معمولی ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، پنکچرڈ پوئنکر ہومیولوجی کا دائرہ ایک ایسیکلک، 3 جہتی کئی گنا ہے جو سکڑنے کے قابل نہیں ہے۔ اس سے مثالوں کا ذخیرہ ملتا ہے، کیونکہ پہلا ہومیولوجی گروپ بنیادی گروپ کی ابیلینائزیشن ہے۔ ہر کامل گروپ G کے ساتھ کوئی بھی ایک (کینونکل، ٹرمینل) ایسائکلک اسپیس کو منسلک کر سکتا ہے، جس کا بنیادی گروپ دیئے گئے گروپ G کی مرکزی توسیع ہے۔ ان سے وابستہ ایسائکلک اسپیس کے ہوموٹوپی گروپ درجہ بندی کی جگہ BG پر کویلن پلس کی تعمیر سے قریب سے متعلق ہیں۔ ایک سائیکلک گروپ ایک گروپ G ہے جس کی درجہ بندی کرنے والی جگہ BG سائیکلک ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، اس کے تمام (کم شدہ) ہومیولوجی گروپ غائب ہو جاتے ہیں، یعنی، سب کے لیے۔ اس طرح ہر سایکلک گروپ ایک کامل گروپ ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کا پہلا ہومیولوجی گروپ غائب ہو جاتا ہے:، اور درحقیقت، ایک انتہائی کامل گروپ، جس کا مطلب ہے کہ پہلے دو ہومیولوجی گروپ غائب ہو جاتے ہیں: اس کے برعکس درست نہیں ہے: بائنری آئکوساہیڈرل گروپ سپر پرفیکٹ ہے (اس لیے کامل) لیکن ایسائکلک نہیں ہے۔ ایسفیریکل اسپیس حوالہ جات بیرونی روابط الجبرائی ٹوپولوجی ہومیولوجی تھیوری ہوموٹوپی تھیوری بھی دیکھیں۔