Isothermal coordinates
ریاضی میں، خاص طور پر تفریقی جیومیٹری میں، ریمینیئن کئی گنا پر آئسوتھرمل کوآرڈینیٹ مقامی کوآرڈینیٹ ہوتے ہیں جہاں میٹرک یوکلڈین میٹرک کے مطابق ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ آئسوتھرمل کوآرڈینیٹس میں، مقامی طور پر ریمینیئن میٹرک کی شکل ہوتی ہے جہاں ایک مثبت ہموار فعل ہوتا ہے۔ (اگر ریمینیئن کئی گنا مبنی ہے، تو کچھ مصنفین اس بات پر اصرار کرتے ہیں کہ ایک مربوط نظام کو آئسوتھرمل ہونے کے لیے اس واقفیت سے متفق ہونا چاہیے۔) سطحوں پر آئسوتھرمل نقاط سب سے پہلے گاؤس نے متعارف کروائے تھے۔ کارن اور لکٹنسٹین نے ثابت کیا کہ دو جہتی ریمینیئن کئی گنا پر کسی بھی نقطہ کے ارد گرد آئسوتھرمل نقاط موجود ہیں۔ اس کے برعکس، زیادہ تر اعلی جہتی کئی گنا کہیں بھی آئسوتھرمل نقاط کو داخل نہیں کرتے ہیں ؛ یعنی، وہ عام طور پر مقامی طور پر مطابقت پذیر چپٹے نہیں ہوتے ہیں۔ طول و عرض 3 میں، ایک ریمینیائی میٹرک مقامی طور پر مطابقت سے چپٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا کاٹن ٹینسر غائب ہو جائے۔ طول و عرض> 3 میں، ایک میٹرک مقامی طور پر مطابقت سے چپٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ویل ٹینسر غائب ہو جائے۔ سطحوں پر آئسوتھرمل نقاط 1822 میں، کارل فریڈرک گاؤس نے انقلاب کی سطحوں کے خصوصی معاملے میں جوزف لاگرانج کے ابتدائی نتائج کے بعد، ایک حقیقی تجزیاتی ریمینیئن میٹرک کے ساتھ صوابدیدی سطح پر آئسوتھرمل نقاط کے وجود کو ثابت کیا۔ گاؤس کی طرف سے استعمال کردہ تعمیر نے کاچی-کووالیوسکی تھیوریم کا استعمال کیا، تاکہ اس کا طریقہ بنیادی طور پر حقیقی تجزیاتی سیاق و سباق تک محدود ہو۔ آرتھر کارن کے دو جہتی جزوی تفریقی مساوات کے نظریہ میں اختراعات کے بعد، لیون لکٹنسٹین نے 1916 میں کم باقاعدگی کے ریمینی میٹرکس کے لیے آئسوتھرمل کوآرڈینیٹس کا عمومی وجود پایا، جس میں ہموار میٹرکس اور یہاں تک کہ ہولڈر مسلسل میٹرکس بھی شامل ہیں۔ دو جہتی کئی گنا پر ریمینیائی میٹرک کو دیکھتے ہوئے، آئسوتھرمل کوآرڈینیٹ چارٹس کے درمیان ٹرانزیشن فنکشن، جو کہ کے کھلے ذیلی سیٹوں کے درمیان نقشہ ہے، لازمی طور پر زاویے کو محفوظ رکھتا ہے۔ واقفیت کے تحفظ کے ساتھ زاویہ کے تحفظ کی خاصیت ہولومورفک افعال کی ایک خصوصیت (بہت سے لوگوں کے درمیان) ہے، اور اس لیے آئسوتھرمل کوآرڈینیٹ چارٹس پر مشتمل ایک مبنی کوآرڈینیٹ اٹلس کو ہولومورفک کوآرڈینیٹ اٹلس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایک ریمینیائی میٹرک اور دو جہتی کئی گنا پر ایک واقفیت مل کر ریمین کی سطح کی ساخت کو متاثر کرتی ہے (یعنی۔ ایک جہتی پیچیدہ کئی گنا)۔ مزید برآں، ایک مبنی سطح کو دیکھتے ہوئے، دو ریمینیائی میٹرکس ایک ہی ہولومورفک اٹلس کو صرف اس صورت میں متحرک کرتے ہیں جب وہ ایک دوسرے کے مطابق ہوں۔ اس وجہ سے، ریمن کی سطحوں کا مطالعہ مبنی سطحوں پر ریمینین میٹرکس کی مطابقت پذیر کلاسوں کے مطالعہ سے ملتا جلتا ہے۔ 1950 کی دہائی تک، کارن اور لکٹنسٹین کے نظریات کی وضاحتوں کو پیچیدہ مشتقات کی زبان اور بیلٹرامی مساوات میں لپ مین بیرس اور شینگ شین چرن نے دوسروں کے درمیان ڈال دیا۔ اس تناظر میں، عمومی حلوں کے وجود کی تحقیقات کرنا فطری ہے، جو متعلقہ جزوی تفریقی مساوات کو مطمئن کرتے ہیں لیکن اب معمول کے مطابق مربوط چارٹ کے طور پر قابل تشریح نہیں ہیں۔ اس کا آغاز چارلس موری نے 1938 کے اپنے بنیادی مضمون میں دو جہتی ڈومینز پر ایلیپٹک جزوی تفریقی مساوات کے نظریہ پر کیا تھا، جو بعد میں لارس ایلفورس اور بیرس کے قابل پیمائش ریمن میپنگ تھیوریم کی طرف لے گیا۔ بیلٹرامی مساوات آئسوتھرمل نقاط کے وجود کو بیلٹرامی مساوات کے لیے معروف وجود کے نظریات کا اطلاق کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے، جو کالڈرون اور زیگمنڈ کے واحد انٹیگرل آپریٹرز کے لیے ایل پی تخمینوں پر انحصار کرتے ہیں۔ بیلٹرامی مساوات کے لیے ایک آسان نقطہ نظر حال ہی میں ایڈرین ڈوڈی نے دیا ہے۔ اگر ریمینیئن میٹرک کو پیچیدہ کوآرڈینیٹ میں مقامی طور پر دیا جاتا ہے، تو یہ وہ شکل اختیار کرتا ہے جہاں اور اور کے ساتھ ہموار ہوتا ہے۔ درحقیقت آئسوتھرمل کوآرڈینیٹس میں میٹرک کو ρ ہموار کے ساتھ شکل اختیار کرنی چاہیے۔ پیچیدہ کوآرڈینیٹ مطمئن ہوتا ہے تاکہ کوآرڈینیٹ (u، v) آئسوتھرمل ہوں اگر بیلٹرامی مساوات کا ڈفیومورفک حل ہو۔ اس طرح کا حل کہیں بھی پڑوس میں موجود ثابت ہوا ہے۔ ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے لیے مقامی حل پذیری کے ذریعے وجود ہموار دو جہتی ریمینیئن کئی گنا پر آئسوتھرمل نقاط کا وجود ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کے تجزیے میں معیاری مقامی حل پذیری کے نتیجے کا ایک نتیجہ ہے۔ موجودہ تناظر میں، متعلقہ الپٹک مساوات کسی فنکشن کے لیے ریمینیئن میٹرک سے متعلق ہارمونک ہونے کی شرط ہے۔ اس کے بعد مقامی حل پذیری بیان کرتی ہے کہ کسی بھی نقطہ کا ایک پڑوس ہوتا ہے جس پر ایک ہم آہنگ فعل ہوتا ہے جس میں کہیں بھی غائب نہ ہونے والا مشتق ہوتا ہے۔ آئسوتھرمل کوآرڈینیٹس مندرجہ ذیل طریقے سے اس طرح کے فنکشن سے بنائے جاتے ہیں۔ کی ہم آہنگی ریمینیائی میٹرک سے وابستہ ہج اسٹار آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے بیان کردہ تفریق 1 شکل کی بندش سے ملتی جلتی ہے۔ ہوج اسٹار کی تعریف کے مطابق، پوئن کیری لیما اس طرح ایک فنکشن کے وجود کو ظاہر کرتا ہے، اور ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل ہے اور اس لیے لکیری طور پر آزاد ہے، اور اس کے بعد یہ الٹا فنکشن تھیوریم سے پیروی کرتا ہے اور اس کے کچھ پڑوس پر ایک کوآرڈینیٹ سسٹم تشکیل دیتا ہے۔ یہ کوآرڈینیٹ سسٹم خود بخود آئسوتھرمل ہوتا ہے، کیونکہ اس کی آرتھوگونالیٹی میٹرک کی ڈائیگنالیٹی کو ظاہر کرتی ہے، اور ہج اسٹار کی معمول کے تحفظ کی خاصیت دو ڈائیگنل اجزاء کی مساوات کو ظاہر کرتی ہے۔ گاؤسی منحنی خطوط آئسوتھرمل نقاط میں، گاؤسی منحنی خطوط آسان شکل اختیار کرتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں۔ میں دوبارہ چھاپا گیا: بیرونی روابط تفریقی جیومیٹری تفریقی جیومیٹری میں نظام کو مربوط کریں جزوی تفریقی مساوات