PDIFF
ہندسی ٹوپولوجی میں، پی ڈی آئی ایف ایف، پیس وائز تفریق کے لیے، ان کے درمیان پیس وائز-ہموار کئی گنا اور پیس وائز-ہموار نقشوں کا زمرہ ہے۔ اس میں مناسب طریقے سے ڈی آئی ایف ایف (ان کے درمیان ہموار کئی گنا اور ہموار افعال کا زمرہ) اور پی ایل (ان کے درمیان ٹکڑے ٹکڑے لکیری کئی گنا اور ٹکڑے ٹکڑے لکیری نقشوں کا زمرہ) شامل ہے، اور اس کی وضاحت کی وجہ یہ ہے کہ کسی کو ان دو زمروں کو جوڑنے کی اجازت دی جائے۔ مزید برآں، پیس وائز فنکشنز جیسے کہ اسپلینز اور پولیگنل چینز ریاضی میں عام ہیں، اور پی ڈی آئی ایف ایف ان پر بحث کرنے کے لیے ایک زمرہ فراہم کرتا ہے۔ تحریک پی ڈی آئی ایف ایف زیادہ تر ایک تکنیکی نقطہ ہے: ہموار نقشے ٹکڑے ٹکڑے لکیری نہیں ہوتے ہیں (جب تک کہ لکیری نہ ہوں)، اور ٹکڑے ٹکڑے لکیری نقشے ہموار نہیں ہوتے ہیں (جب تک کہ عالمی سطح پر لکیری نہ ہوں)-چوراہا لکیری نقشے ہوتے ہیں، یا زیادہ واضح طور پر نقشوں سے منسلک ہوتے ہیں (کیونکہ مبنی نہیں ہوتے ہیں)-لہذا ان کا براہ راست تعلق نہیں ہو سکتا: وہ ایک افائن نقشے کے تصور کی الگ عمومی شکلیں ہیں۔ تاہم، جب کہ ایک ہموار کئی گنا پی ایل کئی گنا نہیں ہوتا ہے، یہ ایک کینونکل پی ایل ڈھانچہ رکھتا ہے-یہ منفرد طور پر سہ رخی ہے ؛ اس کے برعکس، ہر پی ایل کئی گنا ہموار نہیں ہوتا ہے۔ ہموار کئی گنا کے درمیان کسی خاص ہموار کئی گنا یا ہموار نقشے کے لیے، اسے کئی گنا کو چھوٹے چھوٹے ٹکڑوں میں توڑ کر دکھایا جا سکتا ہے، اور پھر ہر ٹکڑے پر کئی گنا یا نقشے کو لکیریائز کیا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر، سطح میں ایک دائرے کا تخمینہ مثلث سے لگایا جا سکتا ہے، لیکن 2-گون سے نہیں، کیونکہ اس مؤخر الذکر کو لکیری طور پر سرایت نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم، ڈف اور پی ایل کے درمیان اس تعلق کے لیے انتخاب کی ضرورت ہوتی ہے، اور دونوں زمروں کو ایک بڑے زمرے میں شامل کرکے، اور پھر یہ ظاہر کر کے کہ پی ایل کی شمولیت ایک مساوات ہے، زیادہ فطری طور پر دکھایا اور سمجھا جاتا ہے: ہر ہموار کئی گنا اور ہر پی ایل کئی گنا ایک پی ڈیف کئی گنا ہے۔ اس طرح، ڈف سے پی ڈیف اور پی ایل سے پی ڈیف جانا فطری ہے-وہ صرف شمولیت ہیں۔ نقشہ پی ایل سے پی ڈیف، اگرچہ مساوات نہیں ہے-ہر پیس وائز ہموار فنکشن پیس وائز لکیری نہیں ہے-ایک مساوات ہے: کوئی بھی لکیریائزڈ ٹکڑوں سے پیچھے کی طرف جا سکتا ہے۔ اس طرح اسے کچھ مقاصد کے لیے الٹا کیا جا سکتا ہے، یا ایک آئسومورفزم سمجھا جا سکتا ہے، جو ایک نقشہ دیتا ہے۔ یہ تمام زمرے ٹاپ کے اندر بیٹھے ہیں، جو ان کے درمیان ٹپوولوجیکل کئی گنا اور مسلسل نقشوں کا زمرہ ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ پی ڈیف ڈف سے زیادہ عام ہے کیونکہ یہ ٹکڑوں (کونوں) کی اجازت دیتا ہے، اور کوئی بھی عام طور پر ہموار کونوں میں نہیں ہوسکتا ہے، جبکہ پی ایل پی ڈیف سے کم عام نہیں ہے کیونکہ کوئی ٹکڑوں کو لکیریائز کر سکتا ہے (زیادہ واضح طور پر، کسی کو انہیں چھوٹے ٹکڑوں میں توڑنے کی ضرورت پڑ سکتی ہے اور پھر لکیریائز کریں، جس کی پی ڈیف میں اجازت ہے)۔ تاریخ یہ ہے کہ ہر ہموار (درحقیقت، سی 1) کئی گنا ایک منفرد پی ایل ڈھانچہ ہے جو اصل میں میں ثابت ہوا تھا۔ ایک تفصیلی نمائشی ثبوت دیا گیا ہے۔ نتیجہ تفصیل سے ثابت کرنے کے لیے ابتدائی اور تکنیکی ہے، اس لیے اسے عام طور پر صرف جدید متون میں خاکہ بنایا جاتا ہے، جیسا کہ مختصر ثبوت کے خاکے میں دیا گیا ہے۔ ایک بہت ہی مختصر خاکہ دیا گیا ہے، جبکہ ایک مختصر لیکن تفصیلی ثبوت دیا گیا ہے۔ حوالہ جات جیومیٹرک ٹوپولوجی