Nagata ring
تبادلہ الجبرہ میں، ایک N-1 رنگ ایک انٹیگرل ڈومین ہے جس کی انٹیگرل بندش اس کے حصص کے میدان میں ایک حتمی طور پر تیار کردہ-ماڈیول ہے۔ اسے جاپانی رنگ (یا N-2 رنگ) کہا جاتا ہے اگر اس کے حصص کے میدان کی ہر محدود توسیع کے لیے، ان کا انٹیگرل کلوزر ایک فائنٹلی جنریٹڈ-ماڈیول (یا مساوی طور پر ایک فائنٹ-الجبرا) ہو۔ ایک انگوٹھی کو عالمی طور پر جاپانی کہا جاتا ہے اگر اس پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ انٹیگرل ڈومین جاپانی ہو، اور اسے ناگاتا انگوٹھی کہا جاتا ہے، جس کا نام ماسایوشی ناگاتا کے نام پر رکھا گیا ہے، یا فرضی ہندسی انگوٹھی اگر یہ نویتھیرین ہے اور عالمی طور پر جاپانی (یا، جو ایک ہی ثابت ہوتا ہے، اگر یہ نویتھیرین ہے اور پرائم آئیڈیل کے لحاظ سے اس کے تمام حصے N-2 حلقے ہیں)۔ ایک انگوٹی کو ہندسی کہا جاتا ہے اگر یہ الجبرائی قسم کی مقامی انگوٹی ہو یا اس طرح کی مقامی انگوٹی کی تکمیل ہو، لیکن یہ تصور زیادہ استعمال نہیں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر کثیر الجہتی کے فیلڈز اور رنگز یا فیلڈز پر محدود طور پر بہت سے غیر متعین پاور سیریز جاپانی رنگز کی مثالیں ہیں۔ ایک اور اہم مثال نویتھیرین مربوط طور پر بند ڈومین ہے (مثال کے طور پر۔ ایک ڈیڈیکائنڈ ڈومین) جس میں فریکشن کا ایک بہترین فیلڈ ہوتا ہے۔ دوسری طرف، ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین یا یہاں تک کہ ایک مجرد ویلیوایشن رنگ لازمی طور پر جاپانی نہیں ہے۔ کوئی بھی نیم شاندار رنگ ناگاٹا رنگ ہوتا ہے، اس لیے خاص طور پر تقریبا تمام نویتھیرین رنگ جو الجبرائی جیومیٹری میں پائے جاتے ہیں ناگاٹا رنگ ہوتے ہیں۔ نویتھیرین ڈومین کی پہلی مثال جو ناگاتا رنگ نہیں ہے اس کی طرف سے دی گئی تھی۔ یہاں ایک مجرد ویلیوایشن رنگ کی مثال ہے جو جاپانی رنگ نہیں ہے۔ کسی خاص فیلڈ کی پرائم اور لامحدود ڈگری فیلڈ ایکسٹینشن کا انتخاب کریں، جیسے کہ۔ مجرد ویلیوایشن رنگ کو رسمی پاور سیریز کا رنگ ہونے دیں جس پر کوفیشنٹس کی ایک محدود توسیع پیدا ہوتی ہے۔ اگر کوئی رسمی پاور سیریز اس میں نہیں ہے تو رنگ N-1 رنگ نہیں ہے (اس کی لازمی بندش ایک حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول نہیں ہے) لہذا یہ جاپانی رنگ نہیں ہے۔ اگر تمام جنریٹرز کے مربعوں اور کیوبوں کے ذریعہ پیدا ہونے والے لامحدود بہت سے جنریٹرز میں کثیر الجہتی رنگ کی ذیلی رنگ ہے، اور یہ تمام عناصر کے ملحقہ الٹ سے حاصل کی جاتی ہے نہ کہ کچھ کے ذریعہ تیار کردہ آئیڈیلز میں، تو ایک نویتھیرین ڈومین ہے جو N-1 رنگ نہیں ہے، دوسرے الفاظ میں اس کے حصص کے میدان میں اس کی لازمی بندش ایک حتمی طور پر تیار شدہ-ماڈیول نہیں ہے۔ اس کے علاوہ ہر بند پوائنٹ پر ایک کاسپ سنگلٹی ہوتی ہے، اس لیے سنگل پوائنٹس کا سیٹ بند نہیں ہوتا ہے۔ حوالہ جات بوش، گونٹزر، ریمرٹ، نان آرکیمیڈین اینالیسس، سپرنگر 1984، اے گروتھینڈیک، جے ڈیوڈونی، ایلیمنٹس ڈی گیومیٹری الجیبریک، چو۔ 0 آئی وی § 23، اشاعت۔ ریاضی۔ آئی ایچ ای ایس 20، (1964)۔ ایچ۔ متسمورا، تبادلہ الجبرہ، باب 12۔ ناگاتا، ماسایوشی مقامی حلقے۔ خالص اور اطلاقی ریاضی میں انٹرسائنس ٹریکٹس، نمبر۔ 13 انٹرسائنس پبلشرز جان ولی اینڈ سنز، نیویارک-لندن 1962 کا ایک ڈویژن، جسے آر۔ ای۔ کریگر پب نے دوبارہ شائع کیا۔ Co (1975) بیرونی روابط http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E الجبرائی جیومیٹری مواصلاتی الجبرا