Overdetermined system
ریاضی میں، مساوات کے نظام کو حد سے زیادہ متعین سمجھا جاتا ہے اگر نامعلوم سے زیادہ مساوات ہوں۔ ایک حد سے زیادہ طے شدہ نظام تقریبا ہمیشہ متضاد ہوتا ہے (اس کا کوئی حل نہیں ہوتا) جب بے ترتیب گتانک کے ساتھ بنایا جاتا ہے۔ تاہم، ایک حد سے زیادہ طے شدہ نظام کے کچھ معاملات میں حل ہوں گے، مثال کے طور پر اگر کچھ مساوات نظام میں کئی بار واقع ہوتی ہیں، یا اگر کچھ مساوات دوسروں کے لکیری امتزاج ہیں۔ اصطلاحات کو رکاوٹ کی گنتی کے تصور کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہر نامعلوم کو آزادی کی دستیاب ڈگری کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ نظام میں متعارف کرائی گئی ہر مساوات کو ایک رکاوٹ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو ایک درجے کی آزادی کو محدود کرتی ہے۔ لہذا، تنقیدی معاملہ اس وقت ہوتا ہے جب مساوات کی تعداد اور آزاد متغیرات کی تعداد برابر ہوتی ہے۔ آزادی کی ڈگری دینے والے ہر متغیر کے لیے، ایک متعلقہ رکاوٹ موجود ہے۔ حد سے زیادہ تعین شدہ معاملہ اس وقت ہوتا ہے جب نظام کو حد سے زیادہ پابند کیا جاتا ہے-یعنی جب مساوات نامعلوم سے زیادہ ہوتی ہیں۔ اس کے برعکس، غیر متعین معاملہ اس وقت ہوتا ہے جب نظام کو کم پابند کیا گیا ہو-یعنی جب مساوات کی تعداد نامعلوم کی تعداد سے کم ہو۔ اس طرح کے نظاموں میں عام طور پر حل کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ مساوات کے حد سے زیادہ طے شدہ لکیری نظام دو جہتوں میں ایک مثال 3 مساوات اور 2 نامعلوم (اور) کے نظام پر غور کریں، جو 3> 2 کی وجہ سے حد سے زیادہ طے شدہ ہے، اور جو خاکہ #1 سے مطابقت رکھتا ہے: لکیری مساوات کے ہر جوڑے کے لیے ایک حل ہے: پہلی اور دوسری مساوات (0.2، −1.4)، پہلی اور تیسری (−2/3,1/3)، اور دوسری اور تیسری (1.5,2.5) کے لیے۔ تاہم ایسا کوئی حل نہیں ہے جو تینوں کو بیک وقت مطمئن کرے۔ خاکے #2 اور 3 دیگر ترتیبات کو دکھاتے ہیں جو متضاد ہیں کیونکہ تمام لائنوں پر کوئی نقطہ نہیں ہے۔ اس قسم کے نظام کو متضاد سمجھا جاتا ہے۔ صرف ایسے معاملات جہاں حد سے زیادہ طے شدہ نظام حقیقت میں حل رکھتا ہے، خاکے #4، 5، اور 6 میں دکھائے گئے ہیں۔ یہ مستثنیات صرف اس صورت میں ہو سکتی ہیں جب حد سے زیادہ طے شدہ نظام کافی لکیری طور پر منحصر مساوات پر مشتمل ہو کہ آزاد مساوات کی تعداد نامعلوم کی تعداد سے زیادہ نہ ہو۔ لکیری انحصار کا مطلب ہے کہ کچھ مساوات دیگر مساوات کو لکیری طور پر جوڑ کر حاصل کی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، Y = X + 1 اور 2Y = 2X + 2 لکیری طور پر منحصر مساوات ہیں کیونکہ دوسرا پہلا دو بار لے کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ میٹرکس فارم لکیری مساوات کے کسی بھی نظام کو میٹرکس مساوات کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مساوات کے پچھلے نظام کو (خاکہ #1 میں) مندرجہ ذیل لکھا جا سکتا ہے: نوٹ کریں کہ گتانک میٹرکس (مساوات سے مطابقت رکھنے والے) کی قطاریں کالموں (نامعلوم کے مطابق) سے زیادہ ہیں، جس کا مطلب ہے کہ نظام حد سے زیادہ طے شدہ ہے۔ اس میٹرکس کا درجہ 2 ہے، جو نظام میں منحصر متغیرات کی تعداد سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک لکیری نظام تب ہی مستقل ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب گتانک میٹرکس کا درجہ اس کے بڑھے ہوئے میٹرکس کے برابر ہو (گتانک میٹرکس جس میں ایک اضافی کالم شامل کیا گیا ہو، وہ کالم مستقلات کا کالم ویکٹر ہو)۔ آگمینٹڈ میٹرکس کا درجہ 3 ہے، اس لیے نظام متضاد ہے۔ صفر 0 ہے، جس کا مطلب ہے کہ صفر جگہ صرف صفر ویکٹر پر مشتمل ہے اور اس طرح اس کی کوئی بنیاد نہیں ہے۔ لکیری الجبرا میں میٹرکس کی خصوصیات کا تعین کرنے کے لیے قطار کی جگہ، کالم کی جگہ اور صفر کی جگہ کے تصورات اہم ہیں۔ مذکورہ بالا رکاوٹوں اور ڈگری آف فریڈم کی غیر رسمی بحث کا براہ راست تعلق ان زیادہ رسمی تصورات سے ہے۔ یکساں صورت (جس میں تمام مستقل اصطلاحات صفر ہوتی ہیں) ہمیشہ مستقل ہوتی ہے (کیونکہ ایک معمولی، تمام صفر حل ہوتا ہے)۔ دو صورتیں ہیں، جو لکیری طور پر منحصر مساوات کی تعداد پر منحصر ہیں: یا تو صرف معمولی حل ہے، یا معمولی حل کے علاوہ دوسرے حل کا ایک لامحدود مجموعہ ہے۔ لکیری مساوات کے نظام پر غور کریں: 1 ≤ i ≤ M کے لیے Li = 0، اور متغیر X1، X2،.، XN، جہاں ہر Li Xis کا وزنی مجموعہ ہے۔ تب X1 = X2 = ꯘꯥ = XN = 0 ہمیشہ ایک حل ہوتا ہے۔ جب M <N نظام کم متعین ہوتا ہے اور ہمیشہ مزید حل کی لامحدود ہوتی ہے۔ در حقیقت حلوں کی جگہ کا طول و عرض ہمیشہ کم از کم N − M ہوتا ہے۔ M ≤ N کے لیے، تمام اقدار کے 0 ہونے کے علاوہ کوئی حل نہیں ہو سکتا۔ دوسرے حلوں کا لامحدود تب ہی ہوگا جب مساوات کے نظام میں کافی انحصار (لکیری طور پر منحصر مساوات) ہوں کہ آزاد مساوات کی تعداد زیادہ سے زیادہ N−1 ہو۔ لیکن M ≤ N کے ساتھ آزاد مساوات کی تعداد N جتنی زیادہ ہو سکتی ہے، اس صورت میں معمولی حل صرف ایک ہی ہے۔ غیر یکساں صورت لکیری مساوات کے نظاموں میں، 1 ≤ i ≤ M کے لیے Li = ci، متغیر X1، X2، XN میں مساوات بعض اوقات لکیری طور پر منحصر ہوتی ہیں ؛ درحقیقت لکیری طور پر آزاد مساوات کی تعداد N + 1 سے زیادہ نہیں ہو سکتی۔ ہمارے پاس N نامعلوم اور M مساوات (M> N) کے ساتھ ایک حد سے زیادہ طے شدہ نظام کے لیے درج ذیل ممکنہ معاملات ہیں۔ M = N + 1 اور تمام M مساوات لکیری طور پر آزاد ہیں۔ اس معاملے سے کوئی حل نہیں نکلتا۔ مثال: x = 1، x = 2۔ M> N لیکن صرف K مساوات (K <M اور K ≤ N + 1) لکیری طور پر آزاد ہیں۔ اس کے تین ممکنہ ذیلی معاملات موجود ہیں: K = N + 1۔ اس معاملے سے کوئی حل نہیں نکلتا۔ مثال: 2x = 2، x = 1، x = 2۔ K = N۔ اس صورت میں یا تو ایک ہی حل ملتا ہے یا کوئی حل نہیں، مؤخر الذکر اس وقت ہوتا ہے جب ایک مساوات کے گتانک ویکٹر کو دوسری مساوات کے گتانک ویکٹروں کے وزن کے مجموعے سے نقل کیا جا سکتا ہے لیکن دوسری مساوات کی مستقل اصطلاحات پر لاگو ہونے والا وزن کا مجموعہ ایک مساوات کی مستقل اصطلاح کی نقل نہیں کرتا ہے۔ ایک حل کے ساتھ مثال: 2x = 2، x = 1۔ بغیر حل کے مثال: 2x + 2y = 2، x + y = 1، x + y = 3۔ K <N۔ یہ معاملہ یا تو لامحدود طور پر بہت سے حل دیتا ہے یا کوئی حل نہیں، مؤخر الذکر پچھلے ذیلی معاملے کی طرح ہوتا ہے۔ لامحدود کئی حلوں کے ساتھ مثال: 3x + 3y = 3، 2x + 2y = 2، x + y = 1۔ بغیر حل کے مثال: 3x + 3y + 3z = 3، 2x + 2y + 2z = 2، x + y + z = 1، x + y + z = 4۔ ان نتائج کو گوسیئن ایلیمینیشن کا استعمال کرتے ہوئے نظام کے کوفیشنٹس کے آگمینٹڈ میٹرکس کو قطار ایکلون کی شکل میں ڈال کر سمجھنا آسان ہو سکتا ہے۔ یہ صف ایکلون فارم مساوات کے نظام کا بڑھا ہوا میٹرکس ہے جو دیئے گئے نظام کے مساوی ہے (اس کے بالکل وہی حل ہیں)۔ اصل نظام میں آزاد مساوات کی تعداد ایکلون کی شکل میں غیر صفر قطاروں کی تعداد ہے۔ نظام متضاد ہے (کوئی حل نہیں) اگر اور صرف اس صورت میں جب ایکلون کی شکل میں آخری غیر صفر قطار میں صرف ایک غیر صفر اندراج ہو جو آخری کالم میں ہو (ایک مساوات 0 = c دیتا ہے جہاں c ایک غیر صفر مستقل ہے)۔ بصورت دیگر، بالکل ایک حل ہوتا ہے جب ایکلون کی شکل میں غیر صفر قطاروں کی تعداد نامعلوموں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے، اور جب غیر صفر قطاروں کی تعداد متغیرات کی تعداد سے کم ہوتی ہے تو لامحدود حل ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، راؤچے-کیپلی تھیوریم کے مطابق، مساوات کا کوئی بھی نظام (حد سے زیادہ یا دوسری صورت میں) متضاد ہے اگر آگمینٹڈ میٹرکس کا درجہ گتانک میٹرکس کے درجہ سے زیادہ ہو۔ اگر، دوسری طرف، ان دونوں میٹرکس کی رینک برابر ہیں، تو نظام میں کم از کم ایک حل ہونا چاہیے۔ حل منفرد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب درجہ متغیرات کی تعداد کے برابر ہو۔ بصورت دیگر عمومی حل میں k فری پیرامیٹرز ہوتے ہیں جہاں k متغیرات کی تعداد اور رینک کے درمیان فرق ہے۔ اس لیے ایسی صورت میں حل کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ درست حل میٹرکس الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے تمام درست حل حاصل کیے جا سکتے ہیں، یا یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کوئی موجود نہیں ہے۔ سسٹم آف لینیر equations#Matrix حل دیکھیں۔ لگ بھگ حل عام کم سے کم مربعوں کا طریقہ حد سے زیادہ طے شدہ نظاموں کا تخمینہ حل تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نظام کے لیے سب سے کم مربع فارمولا اس مسئلے سے حاصل کیا جاتا ہے جس کا حل عام مساوات کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے، جہاں ایک میٹرکس ٹرانسپوز کی نشاندہی ہوتی ہے، بشرطیکہ موجود ہو (یعنی، بشرطیکہ A کا کالم کا مکمل درجہ ہو)۔ اس فارمولے کے ساتھ ایک تخمینہ حل اس وقت ملتا ہے جب کوئی صحیح حل موجود نہ ہو، اور جب کوئی موجود ہو تو یہ ایک درست حل فراہم کرتا ہے۔ تاہم، اچھی عددی درستگی حاصل کرنے کے لیے، کم سے کم مربعوں کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے اے کے کیو آر فیکٹرائزیشن کا استعمال کرنا ترجیح دی جاتی ہے۔ مساوات کے حد سے زیادہ غیر لکیری نظام محدود جہتی خالی جگہوں میں، مساوات کے نظام کو اس شکل میں یا اس کے ساتھ لکھا یا پیش کیا جا سکتا ہے جہاں ایک نقطہ ہے یا وہ حقیقی یا پیچیدہ افعال ہیں۔ نظام حد سے زیادہ طے شدہ ہے اگر۔ اس کے برعکس، نظام ایک غیر متعین نظام ہے اگر۔ حد سے زیادہ طے شدہ نظاموں کو حل کرنے کے ایک موثر طریقہ کے طور پر، گاؤس-نیوٹن تکرار مقامی طور پر چوتھائی طور پر حل میں بدل جاتی ہے جس پر جیکوبین میٹرکس انجیکشن ہوتے ہیں۔ عام استعمال میں اس تصور کا اطلاق مساوات کے زیادہ عمومی نظاموں پر بھی کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ کثیر الجہتی مساوات کے نظام یا جزوی تفریقی مساوات۔ کثیر الجہتی مساوات کے نظاموں کے معاملے میں، ایسا ہو سکتا ہے کہ ایک حد سے زیادہ طے شدہ نظام کا حل ہو، لیکن یہ کہ کوئی ایک مساوات دوسروں کا نتیجہ نہیں ہے اور یہ کہ، کسی بھی مساوات کو ہٹاتے وقت، نئے نظام میں زیادہ حل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، واحد حل ہے لیکن ہر مساوات کے اپنے آپ میں دو حل ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ زیر تعین نظام راؤچے-کیپلی (یا، راؤچے-فروبینیوس) تھیوریم انٹیگریبلٹی کنڈیشن کم سے کم مربع مستقل مزاجی کا ثبوت کمپریسڈ سینسنگ مور-پینروز سیوڈو الورس حوالہ جات منحنی فٹنگ لکیری الجبرا جزوی تفریق مساوات