Poincaré–Lindstedt method
پرٹربیشن تھیوری میں، پوئنکیئر-لنڈسٹیڈ طریقہ یا لنڈسٹیڈ-پوئنکیئر طریقہ عام تفریقی مساوات کے دورانیے کے حل کو یکساں طور پر تخمینہ لگانے کی ایک تکنیک ہے، جب باقاعدہ پرٹربیشن کے نقطہ نظر ناکام ہوجاتے ہیں۔ یہ طریقہ سیکولر اصطلاحات کو ہٹا دیتا ہے-پابند کے بغیر بڑھتی ہوئی اصطلاحات-جو محدود ارتعاش کے حل کے ساتھ کمزور غیر لکیری مسائل پر پرٹربیشن تھیوری کے سیدھے اطلاق میں پیدا ہوتی ہیں۔ اس طریقہ کار کا نام ہنری پوئن کیری اور اینڈرز لنڈسٹیڈ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ مضمون میں کئی مثالیں دی گئی ہیں۔ یہ نظریہ باب 10 میں پایا جا سکتا ہے۔ مثال: ڈفنگ مساوات غیر ڈمپڈ، غیر نافذ شدہ ڈفنگ مساوات t> 0 کے لیے 0 <ε1 کے ساتھ دی گئی ہے۔ ابتدائی حالات پر غور کریں x (t) = x0 (t) + ε x1 (t) +. کی شکل کا ایک پرٹربیشن سیریز حل تلاش کیا جاتا ہے۔ سیریز کی پہلی دو اصطلاحات یہ ہیں کہ یہ تخمینہ وقت کے پابند ہونے کے بغیر بڑھتا ہے، جو مساوات کے نمونوں کے جسمانی نظام سے مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ اس لامحدود ترقی کے لیے ذمہ دار اصطلاح، جسے سیکولر اصطلاح کہا جاتا ہے، ہے۔ پوائن کیری-لنڈسٹیڈ طریقہ ایک ایسا تخمینہ بنانے کی اجازت دیتا ہے جو ہر وقت کے لیے درست ہو، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ حل کو ایک غیر متصل سیریز کے طور پر ظاہر کرنے کے علاوہ، ایک اور سیریز بنائیں جس کے ساتھ وقت t کو اسکیل کریں: جہاں ہمارے پاس لیڈنگ آرڈر ω0 = 1 ہے، کیونکہ جب، مساوات کا حل ہوتا ہے۔ پھر اصل مسئلہ بن جاتا ہے اب x (τ) = x0 (τ) + εx1 (τ) + کی شکل کا حل تلاش کریں۔ ε میں صفر اور فرسٹ آرڈر کے مسئلے کے لیے درج ذیل حل حاصل کیے جاتے ہیں: لہذا سیکولر اصطلاح کو انتخاب کے ذریعے ہٹایا جا سکتا ہے: ω1 =۔ اس طرح پرٹربیشن تجزیہ کو جاری رکھ کر درستگی کے اعلی آرڈر حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ابھی تک، تخمینہ-ε میں پہلے آرڈر تک درست-مثال ہے: وین ڈیر پول آسکیلیٹر ہم وین ڈیر پول آسکیلیٹر کو صرف آرڈر 2 تک حل کرتے ہیں۔ اس طریقہ کو اسی طرح غیر معینہ مدت تک جاری رکھا جا سکتا ہے، جہاں آرڈر-این اصطلاح ایک ہارمونک اصطلاح کے علاوہ کچھ سپر ہارمونک اصطلاحات پر مشتمل ہوتی ہے۔ سپر ہارمونک اصطلاحات کے کوفیشنٹس کو براہ راست حل کیا جاتا ہے، اور ہارمونک اصطلاح کے کوفیشنٹس کا تعین آرڈر-(n + 1) تک توسیع کرکے، اور اس کی سیکولر اصطلاح کو ختم کرکے کیا جاتا ہے۔ آرڈر 3 تک مشتق کے لیے باب 10 دیکھیں، اور آرڈر 164 تک کمپیوٹر مشتق کے لیے دیکھیں۔ مساوات کے ساتھ وین ڈیر پول آسکیلیٹر پر غور کریں جہاں ایک چھوٹا مثبت نمبر ہے۔ دوسری ترتیب کا متبادل انجام دیں: جہاں مساوات حاصل ہوتی ہے۔ اب پلگ ان کریں، اور ہمارے پاس ترتیبات کے لیے بالترتیب تین مساوات ہیں: پہلی مساوات کا عمومی حل ہے۔ وقت کی اصل کو اس طرح منتخب کریں۔ پھر اسے حاصل کرنے کے لیے دوسری مساوات میں پلگ کریں (کچھ مثلثی شناختوں کے بعد) سیکولر اصطلاح کو ختم کرنے کے لیے، ہمیں دونوں کوفیشنٹس کو صفر پر سیٹ کرنا چاہیے، اس طرح ہمیں فائدہ ہو رہا ہے۔ خاص طور پر، ہم نے پایا کہ جب صفر سے چھوٹے مثبت مستقل میں اضافہ ہوتا ہے، تو فیز اسپیس میں تمام سرکلر مدار تباہ ہو جاتے ہیں، سوائے رداس 2 کے۔ اب پیداوار کو حل کرنا۔ ہم ہمیشہ اصطلاح کو جذب کر سکتے ہیں، لہذا ہم ڈبلیو ایل او جی کو درست کر سکتے ہیں۔ اب حاصل کرنے کے لیے دوسری مساوات میں جڑیں سیکولر اصطلاح کو ختم کرنے کے لیے، ہم سیٹ کرتے ہیں۔ اس طرح ہم اسے پاتے ہیں۔ مثال: میتھیو مساوات یہ پیرامیٹرک گونج کی ایک مثال ہے۔ میتھیو مساوات پر غور کریں، جہاں ایک مستقل ہے، اور چھوٹا ہے۔ مساوات کے حل میں دو وقت کے پیمانے ہوں گے، ایک کی ترتیب پر تیزی سے مختلف ہوتا ہے، اور دوسرا کی ترتیب پر آہستہ مختلف ہوتا ہے۔ اب میتھیو مساوات میں پلگ ان کریں اور حاصل کرنے کے لیے توسیع کریں۔ پہلے کی طرح، ہمارے پاس حل ہیں۔ تیسری مساوات میں سیکولر اصطلاح کے گتانک انہیں صفر پر ترتیب دے رہے ہیں، ہمیں حرکت کی مساوات ملتی ہیں: اس کا تعین کنندہ ہے، اور اس طرح جب، اصل ایک سیڈل پوائنٹ ہے، تو ارتعاش کا طول و عرض بے حد بڑھتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، جب پیرامیٹر میں کونیی تعدد (اس معاملے میں،) اصل آسکیلیٹر کی کونیی تعدد (اس معاملے میں) کے کافی قریب ہوتی ہے، تو ارتعاش بے حد بڑھتا ہے، جیسے کوئی بچہ جھولے پر جھوم رہا ہو اور چاند تک پمپ کر رہا ہو۔ شوہاٹ توسیع وین ڈیر پول آسکیلیٹر کے لیے، ہمارے پاس بڑے کے لیے ہے، تاکہ جیسے جیسے بڑا ہوتا جائے، انحراف کے لحاظ سے سلسلہ وار توسیع اور ہمیں پابند رہنے کے لیے اس کی زیادہ سے زیادہ شرائط رکھنے کی ضرورت ہوگی۔ یہ ہمیں ایک پیرامیٹریزیشن کا مشورہ دیتا ہے جو پابند ہے: پھر، سیریل توسیع کا استعمال کرتے ہوئے اور، اور سیکولر اصطلاحات کو ختم کرنے کا ایک ہی طریقہ استعمال کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں۔ کیونکہ، توسیع ہمیں دائیں طرف کی سیریز کے لیے ایک محدود تعداد میں اصطلاحات لینے کی اجازت دیتی ہے، اور یہ حد پر ایک محدود قدر میں ضم ہو جائے گی۔ پھر ہمارے پاس ہوگا، جو بالکل مطلوبہ غیر علامتی طرز عمل ہے۔ یہ شوہت کی توسیع کے پیچھے کا خیال ہے۔ عین مطابق ایسمپٹوٹک مستقل ہے، جیسا کہ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اس سے رابطہ کیا جاتا ہے۔ حوالہ جات اور نوٹ پرٹربیشن تھیوری