Complete homogeneous symmetric polynomial
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی امتزاج اور مواصلاتی الجبرا میں، مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی ایک مخصوص قسم کے ہم آہنگی کثیر الجہتی ہوتے ہیں۔ ہر سمیٹرک کثیر الجہتی کو مکمل یکساں سمیٹرک کثیر الجہتی میں کثیر الجہتی اظہار کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ تعریف متغیرات میں ڈگری کا مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی، جس کے لیے لکھا جاتا ہے، متغیرات میں کل ڈگری کے تمام مونومیلز کا مجموعہ ہے۔ رسمی طور پر، فارمولے کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے: درحقیقت، یہ صرف ترتیب کی کثرت ہے۔ اس طرح، ہر غیر منفی عدد کے لیے، متغیرات میں ڈگری کا بالکل ایک مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر موجود ہے۔ تعریف کو دوبارہ لکھنے کا ایک اور طریقہ یہ ہے کہ ترتیب کی شرط کے بغیر تمام ترتیبات پر خلاصہ لیا جائے: یہاں ترتیب میں تعداد کی ضرب ہے۔ مثال کے طور پر مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کے پروڈکٹ کے تمام لازمی لکیری امتزاج کو لے کر بننے والی کثیر الجہتی انگوٹی ایک مواصلاتی انگوٹی ہے۔ مثالیں درج ذیل میں پہلی تین مثبت اقدار کے لیے بنیادی (جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے) مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی فہرست دی گئی ہے۔ for: for: for: پراپرٹیز جنریٹنگ فنکشن مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی خصوصیت رسمی پاور سیریز کی درج ذیل شناخت ہے: (اسے مکمل ہم آہنگی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے جنریٹنگ فنکشن، یا جنریٹنگ سیریز کہا جاتا ہے)۔ یہاں حتمی اظہار میں ہر حصہ رسمی ہندسی سیریز کی نمائندگی کرنے کا معمول کا طریقہ ہے جو درمیانی اظہار میں ایک عنصر ہے۔ شناخت کو اس بات پر غور کرکے جائز قرار دیا جا سکتا ہے کہ ان ہندسی سیریز کے پروڈکٹ کی تشکیل کیسے ہوتی ہے: پروڈکٹ میں ہر عنصر کو ہر ہندسی سیریز سے منتخب کردہ ایک اصطلاح کو ایک ساتھ ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے، اور متغیرات میں ہر مونومیل بالکل اسی طرح کے ایک انتخاب کے لیے حاصل کیا جاتا ہے۔ اصطلاحات، اور مونومیل کی ڈگری کے برابر کی طاقت سے ضرب دی جاتی ہے۔ مندرجہ بالا فارمولے کو میک موہن ماسٹر تھیوریم کے ایک خاص کیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ دائیں ہاتھ کی طرف کی تشریح کہاں اور کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ بائیں ہاتھ کی طرف، میک موہن کے اظہار میں ظاہر ہونے والے کثیر الجہتی گتانک کے خصوصی معاملات کے طور پر مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی شناخت کی جا سکتی ہے۔ کچھ معیاری حسابات انجام دیتے ہوئے، ہم جنریٹنگ فنکشن کو بھی لکھ سکتے ہیں جو کہ پلیتھسٹک ایکسپونینشل کی پاور سیریز کی توسیع ہے (اور نوٹ کریں کہ یہ قطعی طور پر جے-تھ پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی ہے)۔ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے ساتھ تعلق ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی اور مکمل ہم آہنگ کے درمیان ایک بنیادی تعلق ہے: جو سب کے لیے درست ہے، اور متغیرات کی کسی بھی تعداد کے لیے۔ یہ دیکھنے کا سب سے آسان طریقہ یہ ہے کہ یہ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے رسمی پاور سیریز کی شناخت سے ہے، جو مکمل یکساں کثیر الجہتی کے لیے اوپر دی گئی طاقت سے مشابہت رکھتا ہے، جسے پلیتھسٹک ایکسپونینشیل کے لحاظ سے بھی لکھا جا سکتا ہے: (یہ دراصل کثیر الجہتی کی شناخت ہے، کیونکہ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے صفر ہونے کے بعد)۔ مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے اسے جنریٹنگ فنکشن سے ضرب دے کر، کوئی مستقل سیریز 1 حاصل کرتا ہے (مساوی طور پر، پلیتھسٹک ایکسپونینشیلز ایک ایکسپونینشیل کی معمول کی خصوصیات کو پورا کرتے ہیں)، اور ابتدائی اور مکمل یکساں کثیر الجہتی کے درمیان تعلق کے کوفیشنٹس کا موازنہ کرنے سے ہوتا ہے۔ اس تعلق کو سمجھنے کا کچھ زیادہ براہ راست طریقہ یہ ہے کہ خلاصہ میں شراکت پر غور کیا جائے جس میں ڈگری کا ایک مقررہ مونومیل شامل ہو۔ مونومیل میں غیر صفر ایکسپونینٹ کے ساتھ ظاہر ہونے والے متغیرات کے کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے، ان متغیرات کے پروڈکٹ کو اصطلاح سے، کہاں سے، اور مونومیل سے شامل کرتے ہوئے ایک شراکت ہوتی ہے۔ اس شراکت میں گتانک ہوتا ہے۔ اس کے بعد رشتہ اس حقیقت سے چلتا ہے کہ بائنومیل فارمولے کے ذریعہ، جہاں میں پائے جانے والے مختلف متغیرات کی تعداد (غیر صفر ایکسپونینٹ کے ساتھ) کی نشاندہی کرتا ہے۔ چونکہ اور دونوں 1 کے برابر ہیں، اس لیے کوئی بھی خلاصہ کی پہلی یا آخری شرائط سے تعلق کو الگ کر سکتا ہے۔ سابقہ مساوات کی ایک ترتیب دیتا ہے: اور اسی طرح، جو ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لحاظ سے مسلسل مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کو بار بار ظاہر کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مؤخر الذکر مساوات کا ایک مجموعہ دیتا ہے اور اسی طرح، جو الٹا کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ پہلے ابتدائی اور مکمل یکساں ہم آہنگی والے کثیر الجہتی ان تعلقات میں بالکل یکساں کردار ادا کرتے ہیں، حالانکہ سابقہ کثیر الجہتی پھر صفر ہو جاتے ہیں، جبکہ مؤخر الذکر نہیں ہوتے ہیں۔ اس رجحان کو سمیٹرک افعال کی رنگ کی ترتیب میں سمجھا جا سکتا ہے۔ اس میں ایک رنگ آٹومورفزم ہے جو ابتدائی اور پہلے مکمل یکساں ہم آہنگی افعال کے سلسلے کو بدلتا ہے۔ متغیرات میں ڈگری 1 کے مکمل یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کا مجموعہ متغیرات میں ہم آہنگی کثیر الجہتی کی انگوٹی پیدا کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر، انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ سمیٹرک پولینومیئلز کی انگوٹی انٹیگرل پولینومیئل رنگ کے برابر ہوتی ہے۔ یہ یہ کہہ کر وضع کیا جا سکتا ہے کہ انٹیگرل کوفشنٹس کے ساتھ سمیٹرک پولینومیئلز کی انگوٹی کی ایک ماورا بنیاد بناتی ہے (جیسا کہ ایلیمنٹری سمیٹرک پولینومیئلز کے لیے بھی درست ہے)۔ یہی بات انٹیجرز کی انگوٹی کے ساتھ بھی درست ہے جس کی جگہ کسی اور مواصلاتی انگوٹی نے لے لی ہے۔ یہ بیانات ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے ہم آہنگ بیانات کی پیروی کرتے ہیں، جس کی وجہ یہ ہے کہ کسی بھی قسم کے ہم آہنگی کثیر الجہتی کو دوسری قسم کے لحاظ سے ظاہر کرنے کا اشارہ کیا گیا امکان ہے۔ سٹرلنگ نمبروں کے ساتھ تعلق مکمل یکساں کثیر الجہتی اور ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے انٹیجرز پر تشخیص کا تعلق سٹرلنگ نمبروں سے ہے: یک جہتی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے ساتھ تعلق کثیر الجہتی بھی ڈگری کے تمام الگ الگ یک جہتی ہم آہنگی کثیر الجہتی کا مجموعہ ہے، مثال کے طور پر طاقت کے ساتھ تعلق نیوٹن کی شناختوں کو یکساں ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے سادہ تکراری فارمولا دیتا ہے جہاں اور pk k-th طاقت کا مجموعہ ہم آہنگی کثیر الجہتی ہے:، جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے۔ چھوٹے کے لیے ہم سمیٹرک ٹینسرز کے ساتھ تعلق رکھتے ہیں۔ ایک جہتی ویکٹر اسپیس اور آئجین ویلیوز کے ساتھ ایک لکیری آپریٹر پر غور کریں۔ اس کی th سمیٹرک ٹینسر پاور اور انڈیوسڈ آپریٹر سے ظاہر کریں۔ تجویز: ثبوت آسان ہے: کے لیے ایک آئجین بیس پر غور کریں۔ کی بنیاد کو ترتیب کے ذریعے انڈیکس کیا جا سکتا ہے، درحقیقت، کی ہم آہنگی پر غور کریں۔ اس طرح کے تمام ویکٹر آئجین ویلیوز کے لیے آئجین ویکٹر ہیں اس لیے یہ تجویز درست ہے۔ اسی طرح کوئی بھی اینٹی سمیٹرک ٹینسر پاورز پر ٹریسز کے ذریعے ابتدائی سمیٹرک کثیر الجہتی کا اظہار کر سکتا ہے۔ دونوں تاثرات شور کثیر الجہتی کے تاثرات میں شور فنکٹروں پر نشانات کے طور پر شامل کیے گئے ہیں، جنہیں ویل کردار کے فارمولے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر ہم متغیرات کو 1 سے تبدیل کرتے ہیں، تو ہم آہنگی کثیر کو اس کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، کیونکہ ثبوت، جیسا کہ لیما 3.5 میں پایا جاتا ہے، بڑھتی ہوئی-ٹپلوں کی مشترکہ خصوصیات پر انحصار کرتا ہے۔ سمیٹرک پولینومیل ایلیمنٹری سمیٹرک پولینومیل شور پولینومیل نیوٹن کی شناخت میک موہن ماسٹر تھیوریم سمیٹرک فنکشن ریپریزنٹیشن تھیوری حوالہ جات میکڈونلڈ، آئی جی بھی دیکھیں۔ (1979)، سمیٹرک فنکشنز اینڈ ہال پولینومیئلز۔ آکسفورڈ ریاضیاتی مونوگراف۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ میکڈونلڈ، آئی۔ جی۔ (1995)، سمیٹرک فنکشنز اینڈ ہال پولینومیلز، سیکنڈ ایڈیشن۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ (پیپر بیک، 1998)۔ رچرڈ پی۔ اسٹینلے (1999)، انیومریٹو کمبینٹوریکس، جلد۔ 2. کیمبرج: کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ یکساں کثیر الجہتی سمیٹرک افعال