Zero dagger
سیٹ تھیوری میں، 0 (صفر ڈگر) قدرتی اعداد کا ایک خاص ذیلی مجموعہ ہے، جس کی تعریف سب سے پہلے رابرٹ ایم سولووے نے 1960 کی دہائی میں غیر شائع شدہ کام میں کی تھی۔ (سپر اسکرپٹ ایک کھجلی ہونا چاہیے، لیکن یہ کچھ براؤزرز پر پلس کے نشان کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔) تعریف تھوڑی عجیب ہے، کیونکہ حالات کو پورا کرنے والے قدرتی اعداد کا کوئی مجموعہ نہیں ہو سکتا ہے۔ خاص طور پر، اگر ZFC مستقل ہے، تو ZFC + "0 † موجود نہیں ہے" مستقل ہے۔ ZFC + "0 Å موجود ہے" متضاد ہونے کے لیے نہیں جانا جاتا ہے (اور زیادہ تر سیٹ تھیوریسٹوں کا خیال ہے کہ یہ مستقل ہے)۔ دوسرے لفظوں میں، خیال کیا جاتا ہے کہ یہ آزاد ہے (بحث کے لیے بڑا کارڈینل دیکھیں)۔ اسے عام طور پر اس طرح وضع کیا جاتا ہے: 0 Å موجود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب رشتہ دار گوڈل تعمیری کائنات L [U] کے لیے کوئی غیر معمولی ابتدائی سرایت ج: L [U] → L [U] موجود ہو، جہاں U ایک الٹرا فلٹر ہے جو گواہ ہے کہ کچھ کارڈینل κ قابل پیمائش ہے۔ اگر 0 * موجود ہے، تو خود میں L [U] کے سرایتوں کے محتاط تجزیے سے پتہ چلتا ہے کہ κ کا ایک بند غیر محدود ذیلی سیٹ ہے، اور κ سے بڑے آرڈینلز کی ایک بند غیر محدود مناسب کلاس ہے، جو مل کر ڈھانچے کے لیے ناقابل فہم ہیں، اور 0 * کو L [U] میں ناقابل فہم کے بارے میں حقیقی فارمولوں کے گوڈل نمبروں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ سولووے نے دکھایا کہ 0 کا وجود دو قابل پیمائش کارڈینلز کے وجود سے ملتا ہے۔ اسے روایتی طور پر ایک بڑا کارڈینل محور سمجھا جاتا ہے، حالانکہ یہ بڑا کارڈینل نہیں ہے، اور نہ ہی درحقیقت کارڈینل ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ 0 #: فارمولوں کا ایک مجموعہ (یا انٹیجرز کا سب سیٹ) اسی طرح بیان کیا گیا ہے، لیکن آسان ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط تعریف از "Zentralblatt ریاضی ڈیٹا بیس" (PDF) بڑے کارڈینلز