Eilenberg–Zilber theorem
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرائی ٹوپولوجی میں، ایلن برگ-زیلبر تھیوریم کسی پروڈکٹ اسپیس کے ہومیولوجی گروپوں اور خالی جگہوں کے گروپوں کے درمیان تعلق قائم کرنے کا ایک اہم نتیجہ ہے۔ یہ نظریہ سب سے پہلے 1953 میں امریکن جرنل آف میتھمیٹکس میں سیموئل ایلن برگ اور جوزف اے زیلبر کے مقالے میں شائع ہوا۔ ثبوت کا ایک ممکنہ راستہ ایسائکلک ماڈل تھیوریم ہے۔ نظریہ کا بیان نظریہ کو مندرجہ ذیل طریقے سے وضع کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں اور ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ہیں، پھر ہمارے پاس تین سلسلہ کمپلیکس ہیں، اور۔ (یہ دلیل سادہ یا واحد سلسلہ کمپلیکس پر یکساں طور پر لاگو ہوتی ہے۔) ہمارے پاس ٹینسر پروڈکٹ کمپلیکس بھی ہے، جس کا تفریق، تعریف کے مطابق، فار اور، پر تفریق ہے۔ پھر نظریہ کہتا ہے کہ ہمارے پاس زنجیر کے نقشے ایسے ہیں جو شناخت ہے اور شناخت کے لیے زنجیر نما ہے۔ مزید برآں، نقشے اور میں قدرتی ہیں۔ نتیجتا دونوں کمپلیکس میں ایک ہی ہم آہنگی ہونی چاہیے: جامع نقشوں کے لحاظ سے بیان اصل تھیوریم کو ایسائکلک ماڈلز کے لحاظ سے ثابت کیا گیا تھا لیکن ایلین برگ اور میک لین نے واضح نقشوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک فقرے میں زیادہ میل حاصل کیا تھا۔ وہ جو معیاری نقشہ تیار کرتے ہیں اسے روایتی طور پر الیگزینڈر وٹنی نقشہ اور ایلن برگ-زیلبر نقشہ کہا جاتا ہے۔ نقشے دونوں میں قدرتی اور ہوموٹوپی تک الٹا ہوتے ہیں: دونوں میں ایک ہوموٹوپی قدرتی ہوتی ہے اور اس طرح کہ آگے، ہر ایک، اور صفر ہوتا ہے۔ یہ وہ چیز ہے جسے سنکچن یا ہوموٹوپی ریٹریکٹ ڈیٹم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اخترن نقشہ کوچین کمپلیکس کا نقشہ پیش کرتا ہے جس کے بعد الیگزینڈر وٹنی ایک مشترکہ پروڈکٹ پیش کرتا ہے جس پر معیاری مشترکہ پروڈکٹ شامل ہوتا ہے۔ اور پر موجود ان مشترکہ مصنوعات کے حوالے سے، نقشہ، جسے ایلین برگ-زیلبر نقشہ بھی کہا جاتا ہے، تفریق درجہ بند کولجیبرا کا نقشہ بن جاتا ہے۔ مرکب خود کولجیبراس کا نقشہ نہیں ہے۔ کوہمولوجی میں بیان الیگزینڈر وٹنی اور ایلن برگ-زیلبر نقشے (اتحاد کے ساتھ مواصلاتی گتانک رنگ کے کسی بھی انتخاب پر) نقشوں کے ایک جوڑے کو دوہرا کرتے ہیں جو ہوموٹوپی کے مساوی بھی ہوتے ہیں، جیسا کہ سابقہ مساوات کے ڈوئلز میں دیکھا گیا ہے، دوہری ہوموٹوپی کا استعمال کرتے ہوئے۔ شریک پروڈکٹ سیدھے سیدھے دوہرا نہیں ہوتا ہے، کیونکہ دوہرا ہونا لامحدود طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے ٹینسر پروڈکٹس میں تقسیم نہیں ہوتا ہے، لیکن تفریق درجہ بند الجبرا کا ایک قدرتی انجکشن ہوتا ہے، جو پروڈکٹ کوفیشنٹ رنگ میں لیا جاتا ہے۔ یہ کوہمولوجی میں ایک آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے، لہذا کسی کے پاس تفریق درجہ بند الجبرا نقشوں کا زگ زگ ہوتا ہے جو کوہمولوجی میں ایک پروڈکٹ کو جنم دیتا ہے، جسے کپ پروڈکٹ کہا جاتا ہے، کیونکہ اور یہ آئسومورفزم ہیں۔ نقشہ جات کو ایک ہی طرح سے تبدیل کرنے سے، کوچین پر معیاری کپ پروڈکٹ ملتا ہے، جو واضح طور پر دیا جاتا ہے، جو، چونکہ کوچین کی تشخیص غائب ہو جاتی ہے جب تک کہ، زیادہ واقف اظہار تک کم نہ ہو جائے۔ نوٹ کریں کہ اگر کوچین کمپلیکس کا یہ براہ راست نقشہ درحقیقت تفریق درجہ بند الجبرا کا نقشہ ہوتا، تو کپ پروڈکٹ ایک تبادلہ درجہ بند الجبرا بناتا، جو ایسا نہیں ہے۔ الیگزینڈر وٹنی نقشے کی کوئلے الجبرا کا نقشہ بننے میں ناکامی غیر صفر خصوصیت کے شعبوں پر کوہمولوجی کے لیے مواصلاتی کوچین سطح کے ماڈلز کی عدم دستیابی کی ایک مثال ہے، اور اس طرح یہ ایک طرح سے مستحکم ہوموٹوپی تھیوری میں زیادہ تر باریکی اور پیچیدگی کا ذمہ دار ہے۔ کراسڈ کمپلیکس کا استعمال کرتے ہوئے غیر ایبلین کیس کی ایک اہم عمومی شکل ذیل میں اینڈریو ٹونک کے کاغذ میں دی گئی ہے۔ یہ ایک کراس کمپلیکس کی (آسان) درجہ بندی کی جگہ پر نتیجہ کی مکمل تفصیلات دیتا ہے جس کا بیان کیا گیا ہے لیکن رونالڈ براؤن اور فلپ جے ہیگنس کے ذریعہ خالی جگہوں کی درجہ بندی پر کاغذ میں ثابت نہیں کیا گیا ہے۔ نتائج ایلنبرگ-زیلبر تھیوریم کونیتھ تھیوریم کو قائم کرنے میں ایک کلیدی جزو ہے، جو ہومیولوجی گروپوں کو اور کے لحاظ سے ظاہر کرتا ہے۔ ایلنبرگ-زیلبر تھیوریم کی روشنی میں، کونیتھ تھیوریم کا مواد اس بات کا تجزیہ کرنے پر مشتمل ہے کہ ٹینسر پروڈکٹ کمپلیکس کی ہومیولوجی کا عوامل کی ہومیولوجیز سے کیا تعلق ہے۔ ایسیکلک ماڈل حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ الجبرائی ٹوپولوجی میں ہومیولوجیکل الجبرا تھیوریمز