Projective cover
تجریدی ریاضی کی شاخ میں جسے زمرہ نظریہ کہا جاتا ہے، کسی شے X کا پروجیکٹو کور ایک لحاظ سے پروجیکٹو آبجیکٹ P کے ذریعہ X کا بہترین تخمینہ ہے۔ پروجیکٹو کور انجیکٹو لفافوں کے دوہرے ہوتے ہیں۔ تعریف ایک زمرہ اور ایکس میں ایک آبجیکٹ ہونے دیں۔ ایک پروجیکٹو کور ایک جوڑا (P، p) ہے، جس میں P ایک پروجیکٹو آبجیکٹ ہے اور p ہوم (P، X) میں ایک غیر ضروری ایپیمورفزم ہے۔ اگر R ایک رنگ ہے، تو R-ماڈیولز کے زمرے میں، ایک غیر ضروری ایپیمورفزم اس طرح کی ایک ایپیمورفزم ہے کہ p کا دانا P کا ایک غیر ضروری ذیلی ماڈیول ہے۔ پراپرٹیز پروجیکٹو کور اور ان کے غیر ضروری ایپیمورفزم، جب وہ موجود ہوتے ہیں، آئسومورفزم تک منفرد ہوتے ہیں۔ تاہم، آئسومورفزم کو منفرد ہونے کی ضرورت نہیں ہے، کیونکہ پروجیکٹو پراپرٹی ایک مکمل عالمگیر پراپرٹی نہیں ہے۔ پی کے غیر ضروری دانا ہونے کا بنیادی اثر درج ذیل ہے: اگر این پی کا کوئی مناسب ذیلی ماڈیول ہے، تو۔ غیر رسمی طور پر، یہ ظاہر کرتا ہے کہ غیر ضروری دانا P کو M کا زیادہ سے زیادہ احاطہ کرنے کا سبب بنتا ہے، یعنی P کا کوئی ذیلی ماڈیول کافی نہیں ہوگا۔ یہ پی کی پروجیکٹوٹی پر منحصر نہیں ہے: یہ تمام غیر ضروری ایپیمورفزم کے بارے میں سچ ہے۔ اگر (P، p) M کا پروجیکٹو کور ہے، اور P 'ایک اور پروجیکٹو ماڈیول ہے جس میں ایپیمورفزم ہے، تو P' سے P تک ایک تقسیم ایپیمورفزم α اس طرح ہے کہ انجیکٹو لفافوں اور فلیٹ کور کے برعکس، جو رنگ R سے قطع نظر ہر بائیں (دائیں) R-ماڈیول کے لیے موجود ہیں، بائیں (دائیں) R-ماڈیولز میں عام طور پر پروجیکٹو کور نہیں ہوتے ہیں۔ ایک رنگ R کو لیفٹ (رائٹ) پرفیکٹ کہا جاتا ہے اگر ہر لیفٹ (رائٹ) R-ماڈیول میں R-موڈ (موڈ-R) میں پروجیکٹو کور ہو۔ ایک رنگ کو سیمی پرفیکٹ کہا جاتا ہے اگر ہر حتمی طور پر پیدا شدہ بائیں (دائیں) آر-ماڈیول میں آر-موڈ (موڈ-آر) میں پروجیکٹو کور ہو۔ "سیمیپرفیکٹ" ایک بائیں دائیں سمیٹرک پراپرٹی ہے۔ ایک رنگ کو لفٹ/ریڈ کہا جاتا ہے اگر آئیڈیمپوٹینٹس R/J سے R پر اٹھتے ہیں، جہاں J R کا جیکبسن ریڈیکل ہے۔ لفٹ/ریڈ ہونے کی خاصیت کو پروجیکٹو کور کے لحاظ سے نمایاں کیا جا سکتا ہے: R لفٹ/ریڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R ماڈیول R/J (دائیں یا بائیں ماڈیول کے طور پر) کے براہ راست مجموعے میں پروجیکٹو کور ہوں۔ R ماڈیولز کے زمرے میں مثالیں: اگر M پہلے سے ہی ایک پروجیکٹو ماڈیول ہے، تو M سے M تک کا شناختی نقشہ ایک غیر ضروری ایپیمورفزم ہے (اس کا دانا صفر ہے)۔ لہذا، پروجیکٹو ماڈیولز میں ہمیشہ پروجیکٹو کور ہوتے ہیں۔ اگر J (R) = 0 ہے، تو ایک ماڈیول M میں ایک پروجیکٹو کور ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب M پہلے سے ہی پروجیکٹو ہو۔ اگر کوئی ماڈیول ایم سادہ ہے، تو یہ ضروری ہے کہ اس کے پروجیکٹو کور کا سب سے اوپر ہو، اگر یہ موجود ہے۔ ماڈیول کے لیے انجیکشن لفافہ ہمیشہ موجود رہتا ہے، تاہم بعض رنگ ماڈیولز پر پروجیکٹو کور نہیں ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، Z سے Z/2Z پر قدرتی نقشہ Z-ماڈیول Z/2Z کا پروجیکٹو کور نہیں ہے (جس میں حقیقت میں کوئی پروجیکٹو کور نہیں ہے)۔ رنگوں کی وہ کلاس جو اپنے تمام صحیح ماڈیولز کو پروجیکٹو کور کے ساتھ فراہم کرتی ہے وہ صحیح کامل رنگوں کی کلاس ہے۔ کسی بھی R-ماڈیول M میں ایک فلیٹ کور ہوتا ہے، جو کہ پروجیکٹو کور کے برابر ہوتا ہے اگر R میں پروجیکٹو کور ہو۔ پروجیکٹو ریزولوشن حوالہ جات زمرہ تھیوری ہومولوجیکل الجبرا ماڈیول تھیوری بھی دیکھیں۔