Sylvester equation
ریاضی میں، کنٹرول تھیوری کے میدان میں، سلویسٹر مساوات اس شکل کی ایک میٹرکس مساوات ہے: اس کا نام انگریزی ریاضی دان جیمز جوزف سلویسٹر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ پھر میٹرکس A، B، اور C دیئے جانے پر، مسئلہ ممکنہ میٹرکس X کو تلاش کرنا ہے جو اس مساوات کی پابندی کرتے ہیں۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ تمام میٹرکس میں پیچیدہ اعداد میں کوفیشنٹس ہوتے ہیں۔ مساوات کو معنی دینے کے لیے، میٹرکس کے مناسب سائز ہونے چاہئیں، مثال کے طور پر وہ سب ایک ہی سائز کے مربع میٹرکس ہو سکتے ہیں۔ لیکن زیادہ عام طور پر، A اور B بالترتیب n اور m سائز کے مربع میٹرکس ہونے چاہئیں، اور پھر X اور C دونوں میں n قطاریں اور m کالم ہوتے ہیں۔ سلویسٹر مساوات کا X کے لیے ایک منفرد حل ہوتا ہے بالکل اسی وقت جب A اور −B کی کوئی مشترکہ آئجن ویلیوز نہ ہوں۔ زیادہ عام طور پر، مساوات AX + XB = C کو (ممکنہ طور پر لامحدود جہتی) بناچ اسپیس پر باؤنڈڈ آپریٹرز کی مساوات کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ اس صورت میں، حل X کی انفرادیت کی شرط تقریبا ایک جیسی ہوتی ہے: ایک منفرد حل X موجود ہوتا ہے بالکل اسی وقت جب A اور −B کا سپیکٹرم جداگانہ ہوتا ہے۔ حلوں کا وجود اور انفرادیت کرونکر پروڈکٹ نوٹیشن اور ویکٹرائزیشن آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے، ہم سلویسٹر کی مساوات کو اس شکل میں دوبارہ لکھ سکتے ہیں جہاں طول و عرض، طول و عرض، طول و عرض اور شناخت میٹرکس ہے۔ اس شکل میں، مساوات کو طول و عرض کے لکیری نظام کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ نظریہ۔ میٹرکس کو دیکھتے ہوئے اور، سلویسٹر مساوات میں کسی کے لیے ایک منفرد حل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی آئجن ویلیو مشترک نہ ہو۔ ثبوت۔ مساوات ایک لکیری نظام ہے جس میں نامعلوم اور مساوات کی ایک ہی تعداد ہے۔ لہذا یہ کسی بھی دی گئی چیز کے لیے منفرد طور پر حل کرنے کے قابل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یکساں مساوات صرف معمولی حل کو قبول کرے۔ (i) یہ فرض کریں اور کسی آئجن ویلیو کا اشتراک نہ کریں۔ آئیے مذکورہ بالا یکساں مساوات کا حل بنیں۔ پھر، جسے ریاضیاتی انڈکشن کے ذریعے ہر ایک کے لیے اٹھایا جا سکتا ہے۔ نتیجتا، کسی بھی کثیر الجہتی کے لیے۔ خاص طور پر، کی خصوصیت کثیر الجہتی ہونے دیں۔ پھر کیلی-ہیملٹن تھیوریم کی وجہ سے ؛ اس دوران، سپیکٹرم میپنگ تھیوریم ہمیں بتاتا ہے کہ میٹرکس کے سپیکٹرم کو کہاں ظاہر کرتا ہے۔ چونکہ اور کسی آئجن ویلیو کا اشتراک نہیں کرتے ہیں، اس میں صفر نہیں ہوتا ہے، اور اس لیے یہ نان سنگولر ہے۔ اس طرح جیسا کہ آپ چاہتے ہیں۔ یہ نظریہ کے "اگر" حصے کو ثابت کرتا ہے۔ (ii) اب یہ فرض کریں اور آئجن ویلیو کا اشتراک کریں۔ آئیے اس کے لیے ایک متعلقہ دائیں آئجین ویکٹر ہوں، اور کے لیے ایک متعلقہ بائیں آئجین ویکٹر ہوں۔ پھر، اور اس لیے مذکورہ بالا یکساں مساوات کا ایک غیر معمولی حل ہے، جو تھیوریم کے "صرف اگر" حصے کا جواز پیش کرتا ہے۔ ق۔ ای۔ ڈی۔ سپیکٹرم میپنگ تھیوریم کے متبادل کے طور پر، ثبوت کے حصہ (i) کی غیر یکسانیت کا مظاہرہ کوپرائم کثیر الجہتی کے لیے بیزوٹ کی شناخت سے بھی کیا جا سکتا ہے۔ آئیے اس کی خصوصیت والی کثیر الجہتی ہوں۔ چونکہ اور کسی بھی آئجن ویلیو کا اشتراک نہیں کرتے ہیں، اور کوپرائم ہیں۔ اس لیے اس طرح کے کثیر الجہتی موجود ہیں۔ کیلی-ہیملٹن تھیوریم کے مطابق۔ اس طرح، اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ غیر متناسب ہے۔ یہ نظریہ حقیقی میٹرکس کے لیے اس انتباہ کے ساتھ درست رہتا ہے کہ کوئی ان کی پیچیدہ آئجین ویلیوز پر غور کرتا ہے۔ "اگر" حصے کا ثبوت اب بھی لاگو ہوتا ہے ؛ "صرف اگر" حصے کے لیے، نوٹ کریں کہ دونوں اور یکساں مساوات کو پورا کرتے ہیں، اور وہ بیک وقت صفر نہیں ہو سکتے۔ روتھ کا ہٹانے کا اصول دو مربع پیچیدہ میٹرکس A اور B، سائز n اور m کے، اور ایک میٹرکس C سائز n بائی m کے پیش نظر، تب کوئی پوچھ سکتا ہے کہ سائز n + m کے درج ذیل دو مربع میٹرکس کب ایک دوسرے سے ملتے جلتے ہیں: اور۔ جواب یہ ہے کہ یہ دونوں میٹرکس بالکل اسی طرح کے ہوتے ہیں جب ایک میٹرکس X موجود ہوتا ہے جیسے کہ AX − XB = C۔ دوسرے لفظوں میں، X سلویسٹر مساوات کا حل ہے۔ اسے روتھ کے ہٹانے کے اصول کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کوئی بھی آسانی سے ایک سمت کی جانچ کرتا ہے: اگر AX − XB = C تو روتھ کا ہٹانے کا اصول بناچ کی جگہ پر لامحدود جہتی باؤنڈڈ آپریٹرز کو عام نہیں کرتا ہے۔ اس کے باوجود، روتھ کا ہٹانے کا اصول سلویسٹر مساوات کے نظام کو عام کرتا ہے۔ عددی حل سلویسٹر مساوات کے عددی حل کے لیے ایک کلاسیکی الگورتھم بارٹلز-اسٹیورٹ الگورتھم ہے، جو کیو آر الگورتھم کے ذریعے شور کی شکل میں تبدیل کرنے اور پھر بیک متبادل کے ذریعے نتیجے میں مثلث نظام کو حل کرنے پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ الگورتھم، جس کی کمپیوٹیشنل لاگت ریاضی کی کارروائیاں ہیں، دوسروں کے درمیان، لیپک اور جی این یو آکٹیو میں لائیپ فنکشن کے ذریعے استعمال کیا جاتا ہے۔ اس زبان میں سلویسٹر فنکشن بھی دیکھیں۔ کچھ مخصوص امیج پروسیسنگ ایپلی کیشن میں، ماخوذ سلویسٹر مساوات کا ایک بند فارم حل ہوتا ہے۔ لیاپونوف مساوات بھی دیکھیں، جو سلویسٹر مساوات الجبرائی ریکاٹی مساوات کا ایک خاص معاملہ ہے۔ نوٹ حوالہ جات صوابدیدی سائز کے میٹرکس کے لیے آن لائن حل کنندہ۔ سلویسٹر مساوات کو حل کرنے کے لیے ریاضی فنکشن سلویسٹر مساوات میٹرکس کنٹرول تھیوری کو حل کرنے کے لیے میٹ لیب فنکشن