Crystalline cohomology
ریاضی میں، کرسٹل لائن کوہمولوجی ایک بیس فیلڈ k پر اسکیمیں X کے لیے ویل کوہمولوجی تھیوری ہے۔ اس کی اقدار Hn (X/W) k پر وٹ ویکٹرز کے رنگ W پر ماڈیول ہیں۔ اسے W کے ذریعے متعارف کرایا اور تیار کیا گیا تھا۔ کرسٹلائن کوہمولوجی جزوی طور پر ویل قیاس آرائیوں کے حصے کے پی-ایڈک ثبوت سے متاثر ہے اور اس کا ڈی رام کوہمولوجی کے الجبرائی ورژن سے گہرا تعلق ہے جسے گروتھینڈیک (1963) نے متعارف کرایا تھا۔ موٹے طور پر، خصوصیت پی میں مختلف قسم کے ایکس کی کرسٹل لائن کوہمولوجی ایکس کی ہموار لفٹ کی خصوصیت 0 کی ڈی رام کوہمولوجی ہے، جبکہ ایکس کی ڈی رام کوہمولوجی کرسٹل لائن کوہمولوجی کم شدہ موڈ پی ہے (اعلی ٹورس کو مدنظر رکھنے کے بعد)۔ کرسٹل لائن کوہومولوجی کا خیال، تقریبا، ایک اسکیم کے زرسکی اوپن سیٹوں کو زرسکی اوپن سیٹوں کی لامحدود موٹائی سے تقسیم شدہ طاقت کے ڈھانچے کے ساتھ تبدیل کرنا ہے۔ اس کا محرک یہ ہے کہ اس کے بعد اس کا حساب خصوصیت p سے خصوصیت 0 تک کسی اسکیم کو مقامی طور پر اٹھا کر اور الجبرائی ڈی رام کوہمولوجی کے مناسب ورژن کو استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے۔ کرسٹلائن کوہمولوجی صرف ہموار مناسب اسکیموں کے لیے اچھی طرح سے کام کرتی ہے۔ سخت ہم آہنگی اسے مزید عام اسکیموں تک پھیلاتی ہے۔ خصوصیت پی میں اسکیموں کے لیے ایپلی کیشنز، کرسٹل لائن کوہمولوجی تھیوری پی-ایڈک ایٹیل کوہمولوجی سے بہتر کوہمولوجی گروپوں میں پی-ٹورسن کے بارے میں سوالات کو سنبھال سکتی ہے۔ یہ اسے پی-ایڈک ایل-فنکشنز پر زیادہ تر کام کے لیے ایک فطری پس منظر بناتا ہے۔ کرسٹلائن کوہمولوجی، نمبر تھیوری کے نقطہ نظر سے، ایل-ایڈک کوہمولوجی کی معلومات میں ایک خلا کو پر کرتی ہے، جو بالکل اسی جگہ پر ہوتی ہے جہاں 'مساوی خصوصیت والے پرائمز' ہوتے ہیں۔ روایتی طور پر ریمیفیکیشن تھیوری کا تحفظ، کرسٹل لائن کوہمولوجی اس صورتحال کو ڈیوڈون ماڈیول تھیوری میں تبدیل کرتی ہے، جو ریاضی کے مسائل پر ایک اہم ہینڈل دیتی ہے۔ اس کو رسمی بیانات میں تبدیل کرنے کی وسیع گنجائش والے قیاس آرائیوں کو جین مارک فونٹین نے بیان کیا، جس کے حل کو پی-ایڈک ہج تھیوری کہا جاتا ہے۔ کوفشنٹس خصوصیت p> 0 کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر مختلف قسم کے X کے لیے، p کے علاوہ کسی بھی پرائم نمبر کے لیے-adic کوہمولوجی گروپ X کے تسلی بخش کوہمولوجی گروپ دیتے ہیں، جن میں-adic انٹیجرز کے رنگ میں کوفشنٹس ہوتے ہیں۔ عام طور پر یہ ممکن نہیں ہے کہ کیو (یا زیڈ، یا کیو، یا زیڈ) میں کوفیشنٹس کے ساتھ اسی طرح کے کوہمولوجی گروپوں کو معقول خصوصیات کے ساتھ تلاش کیا جائے۔ کلاسیکی وجہ (سیری کی وجہ سے) یہ ہے کہ اگر X ایک سپر سنگولر ایلیپٹک وکر ہے، تو اس کی اینڈومورفزم رنگ ایک کواٹرنیئن الجبرا B میں ایک زیادہ سے زیادہ ترتیب ہے جو p اور φ پر ریمفائیڈ ہے۔ اگر ایکس کا کوہمولوجی گروپ متوقع طول و عرض 2 کے کیو پر ہوتا، تو (کا مخالف الجبرا) بی اس 2 جہتی خلا پر کیو پر عمل کرے گا، جو ناممکن ہے کیونکہ بی کو پی پر ریمفائی کیا جاتا ہے۔ گروتھینڈیک کا کرسٹل لائن کوہمولوجی تھیوری اس رکاوٹ کے گرد گھومتی ہے کیونکہ یہ زمینی میدان کے وٹ ویکٹرز کے دائرے پر ماڈیول تیار کرتی ہے۔ لہذا اگر گراؤنڈ فیلڈ F کی الجبرائی بندش ہے، تو اس کی اقدار Z کی زیادہ سے زیادہ غیر منظم توسیع کی p-adic تکمیل پر ماڈیول ہیں، ایک بہت بڑی انگوٹی جس میں تمام n کے لیے اتحاد کے nth جڑ ہوتے ہیں جو p سے تقسیم نہیں ہوتے ہیں، بجائے Z کے۔ محرک خصوصیت p کے فیلڈ k پر مختلف قسم کے X کے ویل کوہومولوجی تھیوری کی وضاحت کرنے کا ایک خیال یہ ہے کہ اسے k کے وٹ ویکٹرز کی انگوٹی پر مختلف قسم کے X * تک 'لفٹ' کیا جائے (جو کہ ریڈکشن موڈ p پر X کو واپس دیتا ہے)، پھر اس لفٹ کی ڈی رام کوہومولوجی لیں۔ مسئلہ یہ ہے کہ یہ بالکل واضح نہیں ہے کہ یہ ہم آہنگی لفٹنگ کے انتخاب سے آزاد ہے۔ کرسٹل لائن کوہمولوجی کا خیال خصوصیت 0 میں کوہمولوجی تھیوری کی براہ راست تعریف تلاش کرنا ہے جیسا کہ ایکس پر ایک مناسب سائٹ انف (ایکس) پر مستقل شیوز کی کوہمولوجی، جسے انفینیٹیسیمل سائٹ کہا جاتا ہے اور پھر یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ کسی بھی لفٹ کی ڈی رام کوہمولوجی کی طرح ہے۔ سائٹ انف (ایکس) ایک زمرہ ہے جس کی اشیاء کو ایکس کے روایتی کھلے سیٹوں کی عمومی شکل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ خصوصیت 0 میں اس کی اشیاء لامحدود موٹی ہوتی ہیں U → T آف Zariski اوپن سبسیٹس U آف X۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ U ایک اسکیم T کا بند ذیلی حصہ ہے جس کی تعریف T پر آئیڈیلز کے نیلپوٹینٹ شیف سے ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، سپیک (k) → سپیک (k [x]/(x2)۔ گروتھینڈیک نے دکھایا کہ ہموار اسکیموں X اوور C کے لیے، انف (X) پر شیف OX کی کوہمولوجی معمول (ہموار یا الجبرائی) ڈی رام کوہمولوجی جیسی ہی ہے۔ کرسٹل لائن کوہمولوجی خصوصیت p میں کرسٹل لائن سائٹ کا سب سے واضح ینالاگ جو خصوصیت 0 میں اوپر بیان کیا گیا ہے کام نہیں کرتا ہے۔ اس کی وجہ تقریبا یہ ہے کہ ڈی رام کمپلیکس کی درستگی کو ثابت کرنے کے لیے کسی کو کسی قسم کے پوئن کیئر لیما کی ضرورت ہوتی ہے، جس کا ثبوت بدلے میں انضمام کا استعمال کرتا ہے، اور انضمام کے لیے مختلف تقسیم شدہ طاقتوں کی ضرورت ہوتی ہے، جو خصوصیت 0 میں موجود ہوتی ہیں لیکن ہمیشہ خصوصیت p میں نہیں ہوتی ہیں۔ گروتھینڈیک نے اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے X کی کرسٹل لائن سائٹ کی اشیاء کو X کے زریسکی کھلے ذیلی سیٹوں کی تقریبا لامحدود موٹائی قرار دیا، جس میں ایک منقسم طاقت کا ڈھانچہ مل کر مطلوبہ تقسیم شدہ طاقت دیتا ہے۔ ہم خصوصیت p> 0 کے کامل فیلڈ k پر لمبائی n کے وٹ ویکٹروں کے رنگ Wn = W/pnW پر کام کریں گے۔ مثال کے طور پر، k آرڈر p کا محدود فیلڈ ہو سکتا ہے، اور Wn پھر رنگ Z/pnZ ہے۔ (زیادہ عام طور پر کوئی بیس اسکیم S پر کام کر سکتا ہے جس میں تقسیم شدہ طاقت کے ڈھانچے کے ساتھ آئیڈیل I کا ایک مقررہ ذخیرہ ہوتا ہے۔) اگر X k پر ایک اسکیم ہے، تو Wn سے متعلق X کی کرسٹل لائن سائٹ، جسے کرس (X/Wn) سے ظاہر کیا جاتا ہے، اس کے آبجیکٹ کے جوڑوں کے طور پر U → T ہے جو X کے زرسکی اوپن سبسیٹ U کے بند وسرجن پر مشتمل ہوتا ہے جس کی تعریف کچھ Wn-اسکیم T میں ہوتی ہے جس کی تعریف آئیڈیل J کے ڈھیر سے ہوتی ہے، جس کے ساتھ J پر تقسیم شدہ پاور ڈھانچہ Wn پر موجود ڈھانچے کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ ایکس اوور کے اسکیم کی کرسٹل لائن کوہمولوجی کو الٹی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں X/Wn کی کرسٹل لائن سائٹ کی کوہمولوجی رنگوں O: = OWn کے خول میں اقدار کے ساتھ ہے۔ نظریہ کا ایک اہم نقطہ یہ ہے کہ K پر ایک ہموار اسکیم X کی کرسٹل لائن کوہومولوجی کا حساب اکثر الجبرائی ڈی رام کوہومولوجی کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے جس میں X کو W پر ایک اسکیم Z پر مناسب اور ہموار لفٹنگ کی جاتی ہے۔ W کی رسمی اسکیم پر Z کی ڈی رام کوہومولوجی کے ساتھ X کی کرسٹل لائن کوہومولوجی کا ایک کینونکل آئسومورفزم ہے (تفریقی شکلوں کے کمپلیکس کی ہائپر الکحلولوجی کی ایک الٹا حد)۔ اس کے برعکس ایکس کی ڈی رام کوہمولوجی کو اس کی کرسٹل لائن کوہمولوجی کے ریڈکشن موڈ پی کے طور پر بازیافت کیا جا سکتا ہے (اعلی ٹورس کو مدنظر رکھنے کے بعد)۔ کرسٹل اگر X S پر ایک سکیم ہے تو شیف OX/S کی تعریف OX/S (T) = کوآرڈینیٹ رنگ آف T سے کی جاتی ہے، جہاں ہم T کو ایک آبجیکٹ U → T آف کرس (X/S) کے مخفف کے طور پر لکھتے ہیں۔ سائٹ کرس (X/S) پر ایک کرسٹل OX/S ماڈیولز کا ایک شیف F ہے جو مندرجہ ذیل معنوں میں سخت ہے: کرس (X/S) کی اشیاء T، T′ کے درمیان کسی بھی نقشے f کے لیے، f * F (T) سے F (T′) تک کا قدرتی نقشہ ایک آئسومورفزم ہے۔ یہ زرسکی ٹوپولوجی میں ماڈیولز کے ایک غیر متزلزل ڈھیر کی تعریف سے ملتا جلتا ہے۔ کرسٹل کی ایک مثال شیف OX/S ہے۔ نظریہ سے منسلک کرسٹل کی اصطلاح، جس کی وضاحت گروتھینڈیک کے ٹیٹ کو لکھے گئے خط (1966) میں کی گئی ہے، ایک استعارہ تھا جو الجبرائی تفریق مساوات کی کچھ خصوصیات سے متاثر تھا۔ انہوں نے پی ایڈک کوہمولوجی کے نظریات (کرسٹل لائن تھیوری کے پیش رو، جو ڈورک، مونسکی، واشنیٹزر، لبکن اور کاٹز کے ذریعہ مختلف شکلوں میں متعارف کروائے گئے تھے) میں خاص طور پر ڈورک کے کام میں ایک کردار ادا کیا تھا۔ اس طرح کی تفریقی مساوات کو الجبرائی کوزول رابطوں کے ذریعے آسانی سے وضع کیا جا سکتا ہے، لیکن پی-ایڈک تھیوری میں تجزیاتی تسلسل کا ینالاگ زیادہ پراسرار ہے (کیونکہ پی-ایڈک ڈسکس اوورلیپ ہونے کے بجائے جداگانہ ہوتی ہیں)۔ حکم نامے کے ذریعے، ایک کرسٹل میں پیچیدہ تجزیاتی افعال کے تجزیاتی تسلسل کے معاملے میں قابل ذکر 'سختی' اور 'پھیلاؤ' ہوگا۔ (سی ایف۔ 1960 کی دہائی میں جان ٹیٹ کی طرف سے متعارف کرائی گئی سخت تجزیاتی جگہیں بھی، جب ان معاملات پر فعال طور پر بحث ہو رہی تھی۔) موٹوک کوہمولوجی ڈی رام کوہمولوجی حوالہ جات (عطیہ کو خط، 14 اکتوبر 1963) بھی دیکھیں۔ الجبرائی جیومیٹری کوہمولوجی تھیوری ہومیولوجیکل الجبرا