Eventually (mathematics)
نمبر تھیوری اور تجزیہ کے ریاضیاتی شعبوں میں، ایک لامحدود ترتیب یا فنکشن کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ آخر کار اس کی ایک خاص خاصیت ہوتی ہے، اگر اس کی تمام ترتیب شدہ مثالوں میں مذکورہ خاصیت نہ ہو، لیکن کچھ مثالوں کے بعد گزر جائے گی۔ "آخر کار" اصطلاح کے استعمال کو اکثر "کافی بڑی تعداد کے لیے" کے طور پر دوبارہ بیان کیا جا سکتا ہے، اور اسے خصوصیات کی اس کلاس تک بھی بڑھایا جا سکتا ہے جو کسی بھی ترتیب شدہ سیٹ کے عناصر پر لاگو ہوتی ہے (جیسے کہ ترتیب اور کے ذیلی سیٹ)۔ نوٹیشن عمومی شکل جہاں فقرہ بالآخر (یا کافی حد تک بڑا) پایا جاتا ہے اس طرح ظاہر ہوتا ہے: آخر کار اس کے لیے درست ہے (کافی بڑے کے لیے درست ہے)، جہاں اور عالمگیر اور وجودی مقداریں ہیں، جو دراصل اس کے لیے ایک شارٹ ہینڈ ہے: جیسے کہ سچ ہے یا کسی حد تک زیادہ رسمی طور پر: اس کا لازمی طور پر یہ مطلب نہیں ہے کہ اس کے لیے کوئی خاص قدر معلوم ہے، لیکن صرف یہ کہ اس طرح کا ایک موجود ہے۔ "کافی بڑا" کے جملے کو "من مانی طور پر بڑا" یا "لامحدود طور پر بڑا" کے جملے کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ مزید معلومات کے لیے دیکھیں کہ من مانی طور پر large#Arbitrarily بڑا بمقابلہ کافی بڑا بمقابلہ لامحدود بڑا۔ تحریک اور تعریف ایک لامحدود ترتیب کے لیے، کوئی بھی اکثر ترتیب کے طویل مدتی طرز عمل میں ان طرز عمل سے زیادہ دلچسپی رکھتا ہے جو وہ ابتدائی طور پر ظاہر کرتا ہے۔ ایسی صورت میں، اس تصور کو باضابطہ طور پر حاصل کرنے کا ایک طریقہ یہ کہنا ہے کہ ترتیب بالآخر ایک خاص خاصیت رکھتی ہے، یا اس کے مساوی طور پر، کہ جائیداد کچھ لوگوں کے لیے اس کے بعد کے واقعات میں سے ایک سے مطمئن ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، کسی حد میں ضم ہونے والے حقیقی اعداد کی ترتیب کی تعریف یہ ہے: ہر مثبت عدد کے لیے ایک قدرتی عدد موجود ہوتا ہے کہ سب کے لیے،۔ جب "آخر کار" کی اصطلاح کو "ایک قدرتی عدد موجود ہے جیسے کہ سب کے لیے" کے لیے مختصر شکل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، تو کنورجنس کی تعریف کو مزید آسانی سے اس طرح دہرایا جا سکتا ہے: ہر مثبت عدد کے لیے، بالآخر۔ یہاں، نوٹ کریں کہ قدرتی اعداد کا مجموعہ جو اس خاصیت کو پورا نہیں کرتا وہ ایک محدود مجموعہ ہے ؛ یعنی سیٹ خالی ہے یا اس میں زیادہ سے زیادہ عنصر ہے۔ نتیجے کے طور پر، اس معاملے میں "بالآخر" کا استعمال "سب کے لیے لیکن اصطلاحات کی ایک محدود تعداد" کے اظہار کا مترادف ہے-"تقریبا تمام اصطلاحات کے لیے" اظہار کا ایک خاص معاملہ (حالانکہ "تقریبا تمام" کو لامحدود طور پر بہت سی مستثنیات کی اجازت دینے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے)۔ بنیادی سطح پر، ایک ترتیب کو قدرتی اعداد کے ساتھ اس کے ڈومین کے طور پر ایک فنکشن کے طور پر سوچا جا سکتا ہے، اور "بالآخر" کا تصور زیادہ عام سیٹوں پر افعال پر بھی لاگو ہوتا ہے-خاص طور پر ان لوگوں پر جن کی ترتیب میں کوئی بڑا عنصر نہیں ہوتا ہے۔ مزید خاص طور پر، اگر ایسا سیٹ ہے اور اس میں کوئی عنصر ہے جس میں فنکشن کی وضاحت اس سے بڑے تمام عناصر کے لیے کی گئی ہے، تو کہا جاتا ہے کہ آخر کار کچھ خاصیت ہوتی ہے اگر کوئی عنصر ایسا ہو کہ جب بھی، مذکورہ خاصیت ہو۔ یہ تصور استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، ہارڈی فیلڈز کے مطالعہ میں، جو کہ حقیقی افعال سے بنے فیلڈز ہیں، جن میں سے ہر ایک کی بالآخر کچھ خصوصیات ہیں۔ مثال کے طور پر "2 سے بڑے تمام پرائمز عجیب ہوتے ہیں" کو "بالآخر، تمام پرائمز عجیب ہوتے ہیں" کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ آخر کار، تمام پرائمز ±1 ماڈیولو 6 سے ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ کسی پرائم کا مربع بالآخر 1 موڈ 24 سے ہم آہنگ ہوتا ہے (خاص طور پر، یہ 3 سے بڑے تمام پرائمز کے لیے درست ہے)۔ قدرتی عدد کا فیکٹوریئل بالآخر ہندسوں 0 پر ختم ہوتا ہے (خاص طور پر، یہ 4 سے بڑے تمام قدرتی اعداد کے لیے درست ہے)۔ اثرات جب کسی ترتیب یا فنکشن میں بالآخر کوئی خاصیت ہوتی ہے، تو اس ترتیب کے سلسلے میں کسی چیز کو ثابت کرنے کے تناظر میں اس کے مفید مضمرات ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، بعض افعال کے غیر علامتی رویے کے تناظر میں، یہ جاننا مفید ہو سکتا ہے کہ آیا یہ بالآخر اس سے مختلف انداز میں برتاؤ کرتا ہے یا کمپیوٹیشنل طور پر مشاہدہ کیا جا سکتا ہے، کیونکہ بصورت دیگر اس پر توجہ نہیں دی جا سکتی تھی۔ اصطلاح "بالآخر" کو بہت سی ریاضیاتی تعریفوں میں بھی شامل کیا جا سکتا ہے تاکہ انہیں مزید مختصر بنایا جا سکے۔ ان میں کچھ قسم کی حدود کی تعریفیں (جیسا کہ اوپر دیکھا گیا ہے)، اور غیر علامتی رویے کو بیان کرنے کے لیے بگ او نوٹیشن شامل ہیں۔ ریاضی میں دیگر استعمال A 3-مینی فولڈ کو کافی بڑا کہا جاتا ہے اگر اس میں مناسب طریقے سے سرایت شدہ 2 رخا انکمپریسیبل سطح ہو۔ یہ خاصیت 3 گنا کے لیے بنیادی ضرورت ہے جسے ہیکن مینیفولڈ کہا جائے۔ عارضی منطق ایک آپریٹر کو متعارف کراتی ہے جسے قابل تشریح بیانات کے اظہار کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: کچھ خاصیت بالآخر مستقبل کے لمحے میں برقرار رہے گی۔ تقریبا تمام بگ او نوٹیشن ریاضیاتی جارگن نمبر تھیوری حوالہ جات نمبر تھیوری ریاضیاتی اصطلاحات 3-مینیفولڈ بھی دیکھیں۔