Hodge structure
ریاضی میں، ایک ہج ڈھانچہ، جس کا نام ڈبلیو وی ڈی ہج کے نام پر رکھا گیا ہے، لکیری الجبرا کی سطح پر ایک الجبرائی ڈھانچہ ہے، جو اس سے ملتا جلتا ہے جو ہج تھیوری ہموار اور کمپیکٹ کیلر کئی گنا کے کوہمولوجی گروپوں کو دیتی ہے۔ ہج ڈھانچے کو تمام پیچیدہ اقسام کے لیے عام کیا گیا ہے (چاہے وہ واحد اور غیر مکمل ہوں) مخلوط ہج ڈھانچے کی شکل میں، جس کی تعریف پیئر ڈیلیگن (1970) نے کی ہے۔ ہج ڈھانچے کی ایک تغیر ہج ڈھانچوں کا ایک خاندان ہے جس کی پیمائش کئی گنا کی گئی ہے، جس کا سب سے پہلے فلپ گریفتھس (1968) نے مطالعہ کیا تھا۔ ان تمام تصورات کو موریہیکو سائیٹو (1989) کے ذریعہ پیچیدہ اقسام پر مخلوط ہج ماڈیولز میں مزید عام کیا گیا۔ ہج ڈھانچے ہج ڈھانچوں کی تعریف انٹیجر وزن n کا خالص ہج ڈھانچہ ایک ابیلین گروپ پر مشتمل ہوتا ہے اور اس کی پیچیدگی H کو پیچیدہ ذیلی جگہوں کے براہ راست مجموعے میں تحلیل کرتا ہے، جہاں، اس خاصیت کے ساتھ کہ پیچیدہ کنجوگیٹ ہے: ایک مساوی تعریف ہج فلٹریشن کے ذریعہ H کے براہ راست مجموعہ سڑنے کو تبدیل کرکے حاصل کی جاتی ہے، پیچیدہ ذیلی جگہوں کے ذریعہ H کی ایک محدود گھٹتی ہوئی فلٹریشن اس شرط کے تابع ہے کہ ان دونوں وضاحتوں کے درمیان تعلق مندرجہ ذیل ہے: مثال کے طور پر، اگر X ایک کمپیکٹ کیلر مینیفولڈ ہے، تو انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ X کا n-th کوہومولوجی گروپ ہے، پھر اس کی n-th کوہومولوجی ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں ایپلی کیشنز کے لیے، یعنی پیچیدہ پروجیکٹو اقسام کی ان کے ادوار کے لحاظ سے درجہ بندی، وزن n کے تمام ہج ڈھانچوں کا مجموعہ بہت بڑا ہے۔ ریمن دو لکیری تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے، اس معاملے میں جسے ہج ریمن دو لکیری تعلقات کہا جاتا ہے، اسے کافی حد تک آسان بنایا جا سکتا ہے۔ وزن n کا پولرائزڈ ہج ڈھانچہ ایک ہج ڈھانچہ اور ایک غیر انحطاط شدہ عدد دو قطبی شکل Q پر (پولرائزیشن) پر مشتمل ہوتا ہے، جو لکیریٹی کے ذریعے H تک بڑھایا جاتا ہے، اور شرائط کو پورا کرتا ہے: ہج فلٹریشن کے لحاظ سے، ان شرائط کا مطلب یہ ہے کہ جہاں C H پر ویل آپریٹر ہے، جو آن کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ پھر بھی ہج ڈھانچے کی ایک اور تعریف ایک پیچیدہ ویکٹر اسپیس پر-گریڈنگ اور سرکل گروپ U (1) کے عمل کے درمیان مساوات پر مبنی ہے۔ اس تعریف میں، پیچیدہ اعداد کے ضرب گروپ کا ایک عمل جسے دو جہتی حقیقی الجبرائی ٹورس کے طور پر دیکھا جاتا ہے، H پر دیا گیا ہے۔ اس عمل کی خاصیت ہونی چاہیے کہ ایک حقیقی عدد ایک کے ذریعے عمل کرتا ہے۔ سب اسپیس وہ سب اسپیس ہے جس پر اے-ہج ڈھانچے کے ذریعہ ضرب کے طور پر کام کرتا ہے۔ محرکات کے نظریہ میں، کوہمولوجی کے لیے مزید عمومی کوفیشنٹس کی اجازت دینا ضروری ہو جاتا ہے۔ ہج ڈھانچے کی تعریف میں حقیقی اعداد کی فیلڈ کے نویتھیرین سبرنگ اے کو فکس کرکے ترمیم کی گئی ہے، جس کے لیے ایک فیلڈ ہے۔ پھر وزن n کی خالص ہج A-ساخت کو پہلے کی طرح بیان کیا جاتا ہے، جس کی جگہ A لیا جاتا ہے۔ بی کی ذیلی رنگ اے کے لیے ہج اے-اسٹرکچرز اور بی-اسٹرکچرز سے متعلق بنیادی تبدیلی اور پابندی کے قدرتی عوامل ہیں۔ مخلوط ہج ڈھانچے یہ 1960 کی دہائی میں جین پیئر سیر نے ویل قیاس آرائیوں کی بنیاد پر دیکھا تھا کہ واحد (ممکنہ طور پر کم کرنے کے قابل) اور غیر مکمل الجبرائی اقسام کو بھی 'ورچوئل بیٹی نمبروں' کو داخل کرنا چاہیے۔ مزید واضح طور پر، کسی کو کسی بھی الجبرائی قسم X کو ایک کثیر الجہتی PX (t) تفویض کرنے کے قابل ہونا چاہیے، جسے اس کا ورچوئل پوئنکیری کثیر الجہتی کہا جاتا ہے، ان خصوصیات کے ساتھ اگر X غیر یک جہتی اور پروجیکٹو (یا مکمل) ہے اگر Y X کا بند الجبرائی ذیلی سیٹ ہے اور U = X\ Y اس طرح کے کثیر الجہتی کا وجود عام (واحد اور غیر مکمل) الجبرائی قسم کی ہم آہنگی میں ہج ڈھانچے کے ینالاگ کے وجود سے ہوگا۔ نئی خصوصیت یہ ہے کہ کسی عام قسم کی نویں ہم آہنگی اس طرح نظر آتی ہے جیسے اس میں مختلف وزن کے ٹکڑے موجود ہوں۔ اس نے الیگزینڈر گروتینڈیک کو محرکات کے اپنے قیاس آرائی پر مبنی نظریہ کی طرف راغب کیا اور ہج تھیوری کی توسیع کی تلاش کو متحرک کیا، جس کا اختتام پیئر ڈیلیگن کے کام میں ہوا۔ انہوں نے ایک مخلوط ہج ڈھانچے کا تصور متعارف کرایا، ان کے ساتھ کام کرنے کے لیے تکنیکیں تیار کیں، ان کی تعمیر (ہیسوکے ہیروناکا کے انفرادیت کے حل پر مبنی) دی اور انہیں ایل-ایڈک کوہمولوجی پر وزن سے منسلک کیا، جو ویل قیاس آرائیوں کے آخری حصے کو ثابت کرتا ہے۔ منحنی خطوط کی مثال تعریف کو متحرک کرنے کے لیے، ایک قابل تخفیف پیچیدہ الجبرائی منحنی خطوط X کے معاملے پر غور کریں جو دو غیر یک جہتی اجزاء پر مشتمل ہے، اور، جو نقاط اور نقاط پر ایک دوسرے کو عبور کرتے ہیں۔ مزید یہ فرض کریں کہ اجزاء کمپیکٹ نہیں ہیں، لیکن پوائنٹس کو شامل کرکے کمپیکٹ کیا جا سکتا ہے۔ وکر X کا پہلا کوہمولوجی گروپ (کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ) پہلے ہومولوجی گروپ سے دوگنا ہے، جس کا تصور کرنا آسان ہے۔ اس گروپ میں تین قسم کے ایک سائیکل ہوتے ہیں۔ سب سے پہلے، ایسے عناصر ہوتے ہیں جو پنکچر کے ارد گرد چھوٹے لوپس کی نمائندگی کرتے ہیں۔ پھر ایسے عناصر ہیں جو ہر ایک اجزاء کی کمپیکٹفیکیشن کی پہلی ہومیولوجی سے آ رہے ہیں۔ () میں ایک سائیکل اس جزو کی کمپیکٹفیکیشن میں ایک سائیکل سے مطابقت رکھتا ہے، کینونکل نہیں ہے: ان عناصر کا تعین ماڈیولو کی مدت کے مطابق کیا جاتا ہے۔ آخر میں، ماڈیولو پہلی دو اقسام، گروپ ایک مشترکہ سائیکل کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے جو ایک جزو میں ایک راستے سے گزرتا ہے اور دوسرے جزو میں ایک راستے کے ساتھ واپس آتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک بڑھتی ہوئی فلٹریشن کو تسلیم کرتا ہے جس کے یکے بعد دیگرے اقتباسات Wn/Wn−1 ہموار مکمل اقسام کی ہم آہنگی سے نکلتے ہیں، اس لیے مختلف وزن کے باوجود (خالص) ہج ڈھانچے کو قبول کرتے ہیں۔ مزید مثالیں "اے نائییو گائیڈ ٹو مکسڈ ہج تھیوری" میں مل سکتی ہیں۔ مکسڈ ہج ڈھانچے کی تعریف ایک ابیلین گروپ پر مکسڈ ہج ڈھانچہ پیچیدہ ویکٹر اسپیس H (کی پیچیدگی) پر ایک محدود گھٹتی ہوئی فلٹریشن Fp پر مشتمل ہوتا ہے، جسے ہج فلٹریشن کہا جاتا ہے اور عقلی ویکٹر اسپیس پر ایک محدود بڑھتی ہوئی فلٹریشن وائی (اسکیلرز کو عقلی نمبروں تک بڑھا کر حاصل کیا جاتا ہے)، جسے وزن فلٹریشن کہا جاتا ہے، اس ضرورت کے تابع ہے کہ وزن کی فلٹریشن کے حوالے سے n-th سے وابستہ درجہ بند حصص، اس کی پیچیدگی پر F کی طرف سے متاثر فلٹریشن کے ساتھ، وزن n کا خالص ہج ڈھانچہ ہے، تمام انٹیجر n کے لیے۔ مخلوط ہج ڈھانچے ایک ابیلین زمرہ بناتے ہیں۔ اس زمرے میں دانے اور کوکنلز ویکٹر خالی جگہوں کے زمرے میں معمول کے دانے اور کوکنلز کے ساتھ موافق ہوتے ہیں، انڈیوس فلٹریشن کے ساتھ۔ ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا کی کل ہم آہنگی میں ایک مخلوط ہج ڈھانچہ ہوتا ہے، جہاں وزن کی فلٹریشن Wn کی n ویں جگہ ہم آہنگی گروپوں (عقلی گتانک کے ساتھ) کا براہ راست مجموعہ ہے جس کی ڈگری n سے کم یا اس کے برابر ہے۔ لہذا، کوئی کمپیکٹ، پیچیدہ معاملے میں کلاسیکی ہج تھیوری کے بارے میں سوچ سکتا ہے کہ وہ پیچیدہ ہم آہنگی گروپ پر ڈبل گریڈنگ فراہم کرتا ہے، جو بڑھتی ہوئی فلٹریشن Fp اور گھٹتی ہوئی فلٹریشن Wn کی وضاحت کرتا ہے جو کسی خاص طریقے سے مطابقت رکھتا ہے۔ عام طور پر، کل ہم آہنگی کی جگہ میں اب بھی یہ دو فلٹریشن ہوتے ہیں، لیکن وہ اب براہ راست رقم کے سڑنے سے نہیں آتے ہیں۔ خالص ہج ڈھانچے کی تیسری تعریف کے سلسلے میں، کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ مخلوط ہج ڈھانچے کو گروپ کے عمل کا استعمال کرتے ہوئے بیان نہیں کیا جا سکتا۔ ڈیلیگن کی ایک اہم بصیرت یہ ہے کہ مخلوط صورت میں ایک زیادہ پیچیدہ غیر تبادلہ پروالجیبرک گروپ ہوتا ہے جسے تناکین رسمی نظام کا استعمال کرتے ہوئے اسی اثر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، (مخلوط) ہج ڈھانچوں کا زمرہ ٹینسر پروڈکٹ کے ایک اچھے تصور کو تسلیم کرتا ہے، جو اقسام کی پیداوار کے ساتھ ساتھ اندرونی ہوم اور دوہری شے کے متعلقہ تصورات سے مطابقت رکھتا ہے، جو اسے تناکیائی زمرے میں بناتا ہے۔ تنکا-کرین فلسفے کے مطابق، یہ زمرہ ایک مخصوص گروہ کی محدود جہتی نمائندگی کے زمرے کے مساوی ہے، جسے ڈیلیگنی، ملن اور ایٹ ایل کہتے ہیں۔ واضح طور پر بیان کیا ہے، دیکھیں اور۔ اس گروپ کی تفصیل کو مزید ہندسی اصطلاحات میں دوبارہ ترتیب دیا گیا۔ عقلی خالص پولرائزبل ہج ڈھانچوں کے لیے متعلقہ (بہت زیادہ شامل) تجزیہ اس کے ذریعے کیا گیا تھا۔ کوہمولوجی (ڈیلیگنز تھیوریم) میں مکسڈ ہج ڈھانچہ ڈیلیگن نے ثابت کیا ہے کہ صوابدیدی الجبرائی قسم کے nth کوہمولوجی گروپ میں کینونکل مکسڈ ہج ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ ڈھانچہ فنکٹوریئل ہے، اور اقسام کی مصنوعات (کونیتھ آئسومورفزم) اور کوہمولوجی میں پروڈکٹ کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ ایک مکمل نان سنگولر قسم X کے لیے یہ ڈھانچہ وزن n کا خالص ہے، اور ہج فلٹریشن کی تعریف کٹے ہوئے ڈی رام کمپلیکس کی ہائپر الکحلولوجی کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ ثبوت تقریبا دو حصوں پر مشتمل ہوتا ہے، غیر کمپیکٹنس اور انفرادیت کا خیال رکھنا۔ دونوں حصے یکسانیت کے حل (ہیروناکا کی وجہ سے) کو لازمی انداز میں استعمال کرتے ہیں۔ واحد صورت میں، اقسام کو آسان اسکیموں سے تبدیل کیا جاتا ہے، جس کی وجہ سے زیادہ پیچیدہ ہومیولوجیکل الجبرا ہوتا ہے، اور کمپلیکس پر ہج ڈھانچے کا تکنیکی تصور (کوہمولوجی کے برخلاف) استعمال کیا جاتا ہے۔ محرکات کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے، مربوط کوفشنٹس کے ساتھ عقلی کوفشنٹس کے ساتھ کوہمولوجی پر وزن کی فلٹریشن کو بہتر بنانا ممکن ہے۔ مثالیں ٹیٹ-ہج ڈھانچہ ہج ڈھانچہ ہے جس میں بنیادی ماڈیول (ایک ذیلی گروپ) کے ذریعہ دیا گیا ہے، اس کے ساتھ۔ تو یہ تعریف کے لحاظ سے وزن −2 کا خالص ہے اور یہ آئسومورفزم تک وزن −2 کا منفرد 1 جہتی خالص ہج ڈھانچہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، اس کی n ویں ٹینسر پاور کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے کہ یہ 1 جہتی اور خالص وزن −2n ہے۔ ایک کمپیکٹ کیلر مینیفولڈ کی کوہمولوجی میں ایک ہج ڈھانچہ ہوتا ہے، اور nth کوہمولوجی گروپ وزن n کا خالص ہوتا ہے۔ ایک پیچیدہ قسم (ممکنہ طور پر واحد یا غیر درست) کی کوہمولوجی میں مخلوط ہج ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ ہموار اقسام کے لیے، اور عام طور پر کے ذریعے دکھایا گیا تھا۔ عام کراسنگ انفرادیت کے ساتھ ایک پروجیکٹو قسم کے لیے ایک ڈیجینریٹ E2-پیج کے ساتھ ایک سپیکٹرم تسلسل ہوتا ہے جو اس کے تمام مخلوط ہج ڈھانچوں کا حساب لگاتا ہے۔ ای 1-پیج میں واضح اصطلاحات ہیں جن میں فرق ایک سادہ سیٹ سے آتا ہے۔ کوئی بھی ہموار قسم X ایک عام کراسنگ ڈیوائزر کی تکمیل کے ساتھ ہموار کمپیکٹفیکیشن کو قبول کرتا ہے۔ متعلقہ لوگرتھمک شکلوں کو ایکس کی کوہمولوجی پر مخلوط ہج ڈھانچے کو واضح طور پر بیان کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ڈگری کے ہموار پروجیکٹو ہائپر سرفیس کے لیے ہج ڈھانچے پر گریفتھس نے اپنے "پیریڈ انٹیگرلز آف الجیبرک مینیفولڈز" کے مقالے میں واضح طور پر کام کیا تھا۔ اگر کثیر الجہتی ہائپر سرفیس کی وضاحت کرتا ہے تو درجہ بند جیکوبین کوشیئنٹ رنگ میں ہائپر سرفیس کی درمیانی ہم آہنگی کی تمام معلومات شامل ہیں۔ وہ دکھاتا ہے کہ مثال کے طور پر، کے 3 کی سطح پر غور کریں جو اس لیے اور کے ذریعے دی گئی ہے۔ پھر، درجہ بند جیکوبین رنگ ہے ابتدائی کوہمولوجی گروپوں کے لیے آئسومورفزم پھر اس لیے پڑھیں نوٹ کریں کہ یہ ویکٹر اسپیس ہے جس کے ذریعے 19 جہتی ہے۔ لیفشیٹز کلاس کے ذریعہ ایک اضافی ویکٹر دیا گیا ہے۔ لیفشیٹز ہائپرپلین تھیوریم اور ہج ڈوئلٹی سے، باقی کوہمولوجی جیسا کہ-جہتی ہے۔ لہذا ہج ڈائمنڈ پڑھتا ہے کہ ہم ڈگری پلین وکر کی جینس کی تصدیق کے لیے پچھلے آئسومورفزم کو بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ چونکہ یہ ایک ہموار منحنی خطوط ہے اور ایہرسمان فبریشن تھیوریم اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ جینس کا ہر دوسرا ہموار منحنی خطوط ڈفیومورفک ہے، اس لیے ہمارے پاس جینس وہی ہے۔ لہذا، جیکوبین رنگ کے درجہ بند حصے کے ساتھ قدیم ہم آہنگی کے آئسومورفزم کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ طول و عرض مطلوبہ ہے۔ مکمل چوراہے کے لیے ہج نمبر بھی آسانی سے قابل حساب ہیں: فریڈرک ہرزبروچ نے ایک مشترکہ فارمولا پایا ہے۔ ایپلی کیشنز ہج ڈھانچے اور مخلوط ہج ڈھانچے کے تصورات پر مبنی مشینری الیگزینڈر گروتھینڈیک کے تصور کردہ محرکات کے اب بھی بڑے پیمانے پر قیاس آرائی کے نظریہ کا ایک حصہ ہے۔ نان سنگولر الجبرائی قسم X کے لیے ریاضی کی معلومات، جو اس کی l-adic کوہمولوجی پر کام کرنے والے فروبینیوس عناصر کی آئجین ویلیو کے ذریعے انکوڈ کی گئی ہے، X سے پیدا ہونے والے ہج ڈھانچے کے ساتھ کچھ مشترک ہے جسے ایک پیچیدہ الجبرائی قسم سمجھا جاتا ہے۔ سرگئی گیلفنڈ اور یوری منین نے 1988 کے آس پاس اپنے ہومولوجیکل الجبرا کے طریقوں میں تبصرہ کیا کہ دیگر کوہمولوجی گروپوں پر کام کرنے والی گالوئس سمیٹریز کے برعکس، "ہج سمیٹریز" کی ابتدا بہت پراسرار ہے، حالانکہ رسمی طور پر، ان کا اظہار ڈی رام کوہمولوجی پر کافی حد تک غیر پیچیدہ گروپ کے عمل کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ تب سے، آئینے کی ہم آہنگی کی دریافت اور ریاضیاتی تشکیل کے ساتھ اسرار گہرا ہو گیا ہے۔ ہج ڈھانچے کی تغیر (،،) ہج ڈھانچے کا ایک خاندان ہے جو ایک پیچیدہ کئی گنا ایکس کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے۔ زیادہ واضح طور پر ایک پیچیدہ کئی گنا X پر وزن n کے ہج ڈھانچے کی تغیر X پر حتمی طور پر پیدا ہونے والے ابیلین گروپوں کے مقامی طور پر مستقل شیف S پر مشتمل ہوتی ہے، جس کے ساتھ ساتھ S ′ OX پر کم ہوتے ہوئے ہج فلٹریشن F کے ساتھ، مندرجہ ذیل دو شرائط کے تابع ہے: فلٹریشن شیف S کے ہر ڈنڈے پر وزن n کے ہج ڈھانچے کو جنم دیتا ہے (گریفتھس ٹرانسورسیلیٹی) S ′ OX پر قدرتی تعلق یہاں S ′ OX پر قدرتی (فلیٹ) کنکشن S پر فلیٹ کنکشن اور OX پر فلیٹ کنکشن d سے متاثر ہوتا ہے، اور OX X پر ہولومورفک افعال کا شیف ہے، اور یہ X پر 1 شکلوں کا شیف ہے۔ یہ قدرتی فلیٹ کنکشن ایک گاؤس-منین کنکشن ہے اور اسے پکارڈ-فوکس مساوات کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ مخلوط ہج ڈھانچے کی تغیر کو اسی طرح سے بیان کیا جا سکتا ہے، درجہ بندی یا فلٹریشن ڈبلیو کو ایس میں شامل کرکے۔ عام مثالیں الجبرائی مورفزم سے مل سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ریشے ہوتے ہیں جو جینس 10 کے ہموار طیارہ منحنی خطوط ہوتے ہیں اور ایک واحد منحنی خطوط میں تبدیل ہو جاتے ہیں۔ ہاج ماڈیول ہاج ماڈیول ایک پیچیدہ کئی گنا پر ہاج ڈھانچے کی تغیرات کی عمومی شکل ہیں۔ ان کے بارے میں غیر رسمی طور پر کئی گنا پر ہج ڈھانچے کی چھلیوں کی طرح سوچا جا سکتا ہے ؛ عین مطابق تعریف بلکہ تکنیکی اور پیچیدہ ہے۔ مخلوط ہج ماڈیولز، اور انفرادیت کے ساتھ کئی گنا عامیاں ہیں۔ ہر ہموار پیچیدہ قسم کے لیے، اس سے وابستہ مخلوط ہج ماڈیولز کا ایک ابیلین زمرہ ہے۔ یہ رسمی طور پر کئی گنا پر شییوز کے زمروں کی طرح برتاؤ کرتے ہیں ؛ مثال کے طور پر، کئی گنا کے درمیان مورفزم f فنکٹروں f *، f *، f!، f! کو جنم دیتے ہیں۔ شیوز کے مماثل مخلوط ہج ماڈیولز کے درمیان (سے ماخوذ زمرہ جات)۔ مخلوط ہاج ڈھانچہ ہاج قیاس آرائی جیکوبین مثالی ہاج-ٹیٹ ڈھانچہ بھی دیکھیں، جو ہاج ڈھانچے کا پی-ایڈک ینالاگ ہے۔ نوٹ تعارفی حوالہ جات (شیف کوہومولوجی کا استعمال کرتے ہوئے ہج نمبروں کی کمپیوٹنگ کے لیے ٹولز دیتا ہے) مکسڈ ہج تھیوری کے لیے ایک بے وقوف گائیڈ (وزن والے یکساں کثیر الجہتی کے افائن ملنور فائبر کے مخلوط ہج نمبروں کے لیے ایک فارمولا اور جنریٹر دیتا ہے، اور وزن والے پروجیکٹو اسپیس میں وزن والے یکساں کثیر الجہتی کی تکمیل کے لیے ایک فارمولا بھی دیتا ہے۔) سروے کے مضامین حوالہ جات یہ ایک پیچیدہ قسم کی ہم آہنگی پر ایک مخلوط ہج ڈھانچہ تشکیل دیتا ہے۔ یہ ایک پیچیدہ قسم کی ہم آہنگی پر ایک مخلوط ہج ڈھانچہ بناتا ہے۔ یہ ایک پیچیدہ قسم کی ہم آہنگی پر ایک مخلوط ہج ڈھانچہ بناتا ہے۔ ۔ اس مضمون کا ایک تشریح شدہ ورژن جے ملن کے ہوم پیج پر پایا جا سکتا ہے۔ ہومیولوجیکل الجبرا ہج تھیوری کئی گنا پر ڈھانچے