Courant algebroid
ریاضیات کے ایک شعبے میں جسے تفریقی جیومیٹری کے نام سے جانا جاتا ہے، ایک کورانٹ جیومیٹری کو اصل میں 1997 میں ژانگ جو لیو، ایلن وائن سٹائن اور پنگ شو نے لائی بائلجبروئڈز کے ڈبلز کی تحقیقات میں متعارف کرایا تھا۔ لیو، وائن سٹائن اور شو نے اس کا نام کورانٹ کے نام پر رکھا، جس نے 1990 کے اوائل میں کورانٹ الجیبرائڈ کا معیاری پروٹو ٹائپ ایک سکیو سمیٹرک بریکٹ کی دریافت کے ذریعے وضع کیا تھا، جسے آج کورانٹ بریکٹ کہا جاتا ہے، جو جیکوبی شناخت کو مطمئن کرنے میں ناکام ہے۔ یہ معیاری مثال اور لائ بائل الجبرا کا دوگنا دونوں کورانٹ البروئڈز کی خاص مثالیں ہیں۔ تعریف ایک کورانٹ الجیبرائڈ ڈیٹا پر مشتمل ہوتا ہے جس میں ایک بریکٹ کے ساتھ ایک ویکٹر بنڈل، ایک غیر انحطاط پذیر فائبر کے لحاظ سے اندرونی پروڈکٹ، اور ایک بنڈل کا نقشہ مندرجہ ذیل محوروں کے تابع ہوتا ہے، جہاں E اور f کے حصے بیس کئی گنا پر ایک ہموار فنکشن ہیں۔ D ڈی ڈی رام تفریق، کا دوہری نقشہ، اور κ کے ساتھ مجموعہ ہے۔ E سے نقشہ اندرونی پروڈکٹ کے ذریعہ متاثر ہوتا ہے۔ سکیو-سمیٹرک تعریف بریکٹ کو سکیو-سمیٹرک بنانے کے لیے ایک متبادل تعریف دی جا سکتی ہے کیونکہ یہ اب اوپر کے جیکوبی شناخت کے محور کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔ اس کے بجائے یہ ایک ہوموٹوپک جیکوبی شناخت کو پورا کرتا ہے۔ جہاں T لیبنز قاعدہ ہے اور اسکیلر پروڈکٹ کی غیر متغیر تعلقات کے ذریعے تبدیل ہو جاتی ہے اور اسکیو سمیٹری کی خلاف ورزی محور سے بدل جاتی ہے سکیو سمیٹرک بریکٹ مشتق D اور جیکوبیٹر T کے ساتھ مل کر ایک مضبوط ہوموٹوپک لائ الجبرا بناتا ہے۔ خصوصیات بریکٹ سکیو سمٹرک نہیں ہے جیسا کہ کوئی تیسرے محوری سے دیکھ سکتا ہے۔ اس کے بجائے یہ ایک مخصوص جیکوبی شناخت (پہلا محور) اور لیبنز اصول (دوسرا محور) کو پورا کرتا ہے۔ ان دو محوریوں سے یہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ اینکر نقشہ ρ بریکٹ کی مورفزم ہے: چوتھا قاعدہ بریکٹ کے نیچے اندرونی پروڈکٹ کا غیر متغیر ہے۔ پولرائزیشن مثالوں کی طرف لے جاتی ہے کورانٹ الجیبرائڈ کی ایک مثال ڈورفمین بریکٹ ہے جو براہ راست رقم پر ایک موڑ کے ساتھ ہے جسے سیرا نے متعارف کرایا ہے، (1998) اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں X، Y ویکٹر فیلڈز ہیں، φ، η 1-شکلیں ہیں اور H ایک بند 3-شکل ہے جو بریکٹ کو موڑ رہی ہے۔ یہ بریکٹ عام پیچیدہ ڈھانچوں کی انضمام کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ایک زیادہ عام مثال ایک لائ الجیبرائڈ اے سے پیدا ہوتی ہے جس پر انڈیوسڈ تفریق کو دوبارہ ڈی کے طور پر لکھا جائے گا۔ پھر وہی فارمولا استعمال کریں جو ڈورفمین بریکٹ کے لیے H اور A-3 کے ساتھ d کے نیچے بند کیا گیا ہے۔ کورانٹ الجبریڈ کی ایک اور مثال کواڈریٹک لائ الجبرا ہے، یعنی۔ ایک غیر متغیر اسکیلر پروڈکٹ کے ساتھ ایک جھوٹ الجبرا۔ یہاں بیس مینیفولڈ صرف ایک نقطہ ہے اور اس طرح اینکر نقشہ (اور D) معمولی ہیں۔ وینسٹین اور دیگر کے ذریعہ مقالے میں بیان کردہ مثال۔ یہ ایک جھوٹ بائلجبرائڈ سے آتا ہے، یعنی۔ اے اے لائی الجیبرائڈ (اینکر اور بریکٹ کے ساتھ)، اس کا ڈوئل اے لائی الجیبرائڈ بھی ہے (ڈیفرینشل آن کرتا ہے) اور (جہاں آر ایچ ایس پر آپ اے بریکٹ کو گریڈیڈ لیبنز رول استعمال کرنے تک بڑھاتے ہیں)۔ یہ تصور A اور (روٹین برگ دیکھیں) میں ہم آہنگ ہے۔ یہاں اینکر اور بریکٹ کے ساتھ X اور α میں (Y اور β میں مساوی طور پر) اوپر کی اسکیو سمٹریزیشن ہے: ڈیراک ڈھانچے کو تقسیم شدہ دستخط کے اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ کورانٹ الجیبرائڈ دیا گیا ہے (جیسے۔ معیاری ایک)، پھر ایک ڈیراک ڈھانچہ زیادہ سے زیادہ آئسوٹروپک انٹیگریبل ویکٹر سب بنڈل L → M، یعنی ہے۔ ،،. مثالیں جیسا کہ کورانٹ نے دریافت کیا اور ڈورفمین نے متوازی طور پر، 2-شکل ω ω ω2 (M) کا گراف زیادہ سے زیادہ آئسوٹروپک ہے اور اس کے علاوہ انٹیگریبل آئی ایف ایف ڈی او = 0، یعنی۔ 2-فارم ڈی رام تفریق کے تحت بند ہے، یعنی۔ ایک پری سمپلیکٹک ساخت۔ مثالوں کی ایک دوسری کلاس بائیوکٹرز سے پیدا ہوتی ہے جن کا گراف زیادہ سے زیادہ آئسوٹروپک اور انٹیگریبل آئی ایف ایف [Π، Π] = 0، یعنی ہے۔ Π ایم۔ جنرلائزڈ کمپلیکس ڈھانچوں پر ایک پوسن بائی ویکٹر ہے (مرکزی مضمون جنرلائزڈ کمپلیکس جیومیٹری بھی دیکھیں) تقسیم شدہ دستخط کے اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ کورانٹ الجیبرائڈ دیا گیا ہے۔ ایک عمومی پیچیدہ ڈھانچہ L → M پیچیدہ کورانٹ الجیبرائڈ میں ایک ڈیراک ڈھانچہ ہے جس میں اضافی خاصیت ہوتی ہے جہاں پیچیدگی پر معیاری پیچیدہ ڈھانچے کے حوالے سے پیچیدہ کنجگیشن کا مطلب ہوتا ہے۔ جیسا کہ گوالٹیری نے تفصیل سے مطالعہ کیا ہے کہ عمومی پیچیدہ ڈھانچے پیچیدہ جیومیٹری سے مشابہت رکھنے والی جیومیٹری کے مطالعہ کی اجازت دیتے ہیں۔ مثالوں میں پری سمپلیکٹک اور پوئسون ڈھانچوں کے علاوہ ایک پیچیدہ ڈھانچہ J: TM → TM کا گراف بھی ہے۔ مزید پڑھنے کے لیے حوالہ جات دمتری روٹین برگ: کورانٹ الجبروئڈز، مشتق بریکٹ، اور یہاں تک کہ سمپلیکٹک سپر مینفولڈز، پی ایچ ڈی تھیسس یونیورسٹی۔ کیلیفورنیا برکلے (1999) تفریقی جیومیٹری