Stress majorization
اسٹریس میجرائزیشن ایک اصلاح کی حکمت عملی ہے جو کثیر جہتی اسکیلنگ (ایم ڈی ایس) میں استعمال ہوتی ہے جہاں، جہتی ڈیٹا آئٹمز کے ایک سیٹ کے لیے، جہتی جگہ میں پوائنٹس کی تشکیل کی کوشش کی جاتی ہے جو نام نہاد اسٹریس فنکشن کو کم سے کم کرتی ہے۔ عام طور پر ہے یا، یعنی۔ میٹرکس یا جہتی یوکلڈین اسپیس میں پوائنٹس کی فہرست دیتا ہے تاکہ نتیجہ دیکھا جا سکے (یعنی۔ ایک ایم ڈی ایس پلاٹ)۔ فنکشن ایک لاگت یا نقصان فنکشن ہے جو r-جہتی جگہ میں مثالی (-جہتی) فاصلے اور حقیقی فاصلے کے درمیان مربع فرق کی پیمائش کرتا ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں پوائنٹس کے جوڑے کے درمیان پیمائش کے لیے وزن ہے، اور کے درمیان یوکلڈین فاصلہ ہے اور جہتی ڈیٹا اسپیس میں پوائنٹس (ان کی علیحدگی) کے درمیان مثالی فاصلہ ہے۔ نوٹ کریں کہ پوائنٹس کے درمیان مماثلت میں اعتماد کی ڈگری کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ 0 کی وضاحت کی جا سکتی ہے اگر کسی خاص جوڑے کے لیے کوئی معلومات نہ ہو)۔ ایک ترتیب جو کم سے کم ہوتی ہے ایک پلاٹ دیتی ہے جس میں وہ نکات جو ایک دوسرے کے قریب ہوتے ہیں ان نکات سے مطابقت رکھتے ہیں جو اصل جہتی ڈیٹا اسپیس میں بھی ایک دوسرے کے قریب ہوتے ہیں۔ بہت سے طریقے ہیں جن کو کم سے کم کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کرسکال نے ایک تکراری تیز ترین نزول کے نقطہ نظر کی سفارش کی۔ تاہم، جان ڈی لیو نے تناؤ کو کم کرنے کے لیے ایک نمایاں طور پر بہتر (گارنٹیوں اور کنورجنس کی شرح کے لحاظ سے) طریقہ متعارف کرایا تھا۔ ڈی لیو کا ہر مرحلے پر تکراری میجرائزیشن کا طریقہ ایک سادہ کنویکس فنکشن کو کم سے کم کرتا ہے جو دونوں اوپر سے باؤنڈ کرتا ہے اور کسی نقطہ کی سطح کو چھوتا ہے، جسے سپورٹنگ پوائنٹ کہا جاتا ہے۔ کنویکس تجزیہ میں اس طرح کے فنکشن کو میجرائزنگ فنکشن کہا جاتا ہے۔ اس تکراری میجرائزیشن کے عمل کو ایس ایم اے سی او ایف الگورتھم ("پیچیدہ فنکشن کو مجورائز کرکے اسکیلنگ") بھی کہا جاتا ہے۔ ایس ایم اے سی او ایف الگورتھم اسٹریس فنکشن کو مندرجہ ذیل طریقے سے بڑھایا جا سکتا ہے: نوٹ کریں کہ پہلی اصطلاح مستقل ہے اور دوسری اصطلاح (یعنی) میں کواڈریٹک ہے۔ ہیسین میٹرکس کے لیے دوسری اصطلاح ٹر) کے مساوی ہے اور اس لیے نسبتا آسانی سے حل ہو جاتی ہے۔ تیسری اصطلاح اس سے منسلک ہے: جہاں ہے: کے لیے اور کے لیے اور۔ اس عدم مساوات کا ثبوت کاچی-شوارز عدم مساوات سے ہے، دیکھیں بورگ (پی پی۔ 152-153)۔ اس طرح، ہمارے پاس ایک سادہ کواڈریٹک فنکشن ہے جو تناؤ کو بڑا بناتا ہے: تکراری کم سے کم کرنے کا طریقہ کار یہ ہے: اگر دوسری صورت میں دہرایا جائے تو ہم اسٹاپ سیٹ کرتے ہیں۔ اس الگورتھم کو یکسوئی طور پر تناؤ کو کم کرنے کے لیے دکھایا گیا ہے (دیکھیں ڈی لیو)۔ گراف ڈرائنگ میں استعمال اسٹریس میجرائزیشن اور ایس ایم اے سی او ایف سے ملتے جلتے الگورتھم کا بھی گراف ڈرائنگ کے میدان میں اطلاق ہوتا ہے۔ یعنی، گراف میں نوڈس کی پوزیشنوں پر اسٹریس فنکشن کو کم سے کم کرکے نیٹ ورک یا گراف کے لیے معقول طور پر جمالیاتی طور پر پرکشش ترتیب تلاش کی جا سکتی ہے۔ اس صورت میں، عام طور پر نوڈس اور اور وزن کے درمیان گراف تھیوریٹک فاصلے پر سیٹ کیے جاتے ہیں۔ یہاں، طویل یا مختصر فاصلے کے مثالی فاصلے کو محفوظ رکھنے کے درمیان تجارت کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے۔ اچھے نتائج دکھائے گئے ہیں۔ حوالہ جات گراف ڈرائنگ طول و عرض میں کمی ریاضیاتی اصلاح ریاضیاتی تجزیہ