Kantorovich theorem
کینٹوروویچ تھیوریم، یا نیوٹن-کینٹوروویچ تھیوریم، نیوٹن کے طریقہ کار کے نیم مقامی ارتکاز پر ایک ریاضیاتی بیان ہے۔ یہ سب سے پہلے 1948 میں لیونڈ کینٹورووچ نے بیان کیا تھا۔ یہ بناچ فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کی شکل سے ملتا جلتا ہے، حالانکہ یہ ایک فکسڈ پوائنٹ کے بجائے صفر کے وجود اور انفرادیت کو بیان کرتا ہے۔ نیوٹن کا طریقہ پوائنٹس کی ایک ترتیب کی تعمیر کرتا ہے جو بعض حالات میں مساوات کے حل یا مساوات کے نظام کے ویکٹر حل میں یکجا ہو جائے گا۔ کانٹوروویچ تھیوریم اس ترتیب کے ابتدائی نقطہ پر شرائط فراہم کرتا ہے۔ اگر ان شرائط کو پورا کر لیا جائے تو ایک حل ابتدائی نقطہ کے قریب موجود ہوتا ہے اور ترتیب اس نقطہ پر یکجا ہو جاتی ہے۔ فرض کریں کہ ایک کھلا ذیلی سیٹ اور جیکوبین کے ساتھ ایک تفریق پذیر فنکشن ہے جو مقامی طور پر لپشٹز مسلسل ہے (مثال کے طور پر اگر دو بار تفریق پذیر ہے)۔ یعنی، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ کسی کے لیے بھی ایک کھلا سب سیٹ ہوتا ہے اور ایک مستقل موجود ہوتا ہے جو کسی بھی ہولڈز کے لیے ہوتا ہے۔ بائیں طرف کا معیار کچھ آپریٹر کا معیار ہے جو دائیں طرف کے ویکٹر کے معیار کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ اس عدم مساوات کو صرف ویکٹر کے معیار کو استعمال کرنے کے لیے دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ پھر کسی بھی ویکٹر کے لیے عدم مساوات برقرار رہنی چاہیے۔ اب کوئی بھی ابتدائی نقطہ منتخب کریں۔ فرض کریں کہ یہ الٹا ہے اور نیوٹن مرحلے کی تعمیر کریں۔ اگلا مفروضہ یہ ہے کہ نہ صرف اگلا پوائنٹ بلکہ پوری گیند سیٹ کے اندر موجود ہے۔ اس گیند پر جیکوبین کے لیے لپشٹز مستقل ہونے دیں (فرض کریں کہ یہ موجود ہے)۔ آخری تیاری کے طور پر، تکراری طور پر تعمیر کریں، جب تک ممکن ہو، ترتیبات، بیان کے مطابق اب اگر پھر بند گیند کے اندر کوئی حل موجود ہے اور نیوٹن تکرار کم از کم لکیری ترتیب کے ساتھ یکجا ہوتا ہے۔ ایک بیان جو زیادہ عین مطابق ہے لیکن ثابت کرنا قدرے زیادہ مشکل ہے کواڈریٹک کثیر الجہتی کی جڑوں کا استعمال کرتا ہے، اور ان کا تناسب پھر بند گیند کے اندر ایک حل موجود ہوتا ہے جو بڑی گیند کے اندر منفرد ہوتا ہے اور اس کے حل میں کنورجنس پر نیوٹن کے ارتکاز کا غلبہ ہوتا ہے۔ کواڈریٹک کثیرالجہتی کی اس کی سب سے چھوٹی جڑ کی طرف تکرار، اگر، تو پھر کواڈریٹک کنورجنس غلطی کے تخمینے سے حاصل کیا جاتا ہے۔ 1986 میں، یاماموٹو نے ثابت کیا کہ نیوٹن طریقہ کار کی غلطی کی تشخیص جیسے ڈورنگ (1969)، آسٹروسکی (1971، 1973)، گریگ-ٹیپیا (1974)، پوٹرا-ٹک (1980)، میل (1981)، پوٹرا (1984)، ہو سکتا ہے۔ عامیاں کانٹوروویچ تھیوریم کے لیے ایک q-ینالاگ ہے۔ دیگر عامیوں/تغیرات کے لیے، دیکھیں اورٹیگا اینڈ رائنبولٹ (1970)۔ اوشی اور تنابے نے دعوی کیا کہ کینٹوروویچ تھیوریم کا اطلاق لکیری پروگرامنگ کے قابل اعتماد حل حاصل کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے جان ایچ ہبارڈ اور باربرا برک ہبارڈ: ویکٹر کیلکولس، لکیری الجبرا، اور تفریقی شکلیں: ایک متحد نقطہ نظر، میٹرکس ایڈیشنز، (3 ایڈیشن کا پیش نظارہ اور Kant.-thm سمیت نمونہ مواد۔) فنکشنل تجزیہ عددی تجزیہ تجزیہ میں نظریات ویکٹر خالی جگہوں میں اصلاح اصلاح الگورتھم اور طریقے