Notation for differentiation
تفریق کیلکولس میں تفریق کے لیے کوئی واحد یکساں اشارے نہیں ہیں۔ اس کے بجائے، مختلف ریاضی دانوں نے کسی فنکشن یا متغیر کے مشتق کے لیے مختلف اشارے تجویز کیے ہیں۔ ہر اشارے کی افادیت سیاق و سباق کے مطابق مختلف ہوتی ہے، اور بعض اوقات کسی دیئے گئے سیاق و سباق میں ایک سے زیادہ اشارے استعمال کرنا فائدہ مند ہوتا ہے۔ تفریق کے لیے سب سے عام اشارے (اور اس کا مخالف عمل، تفریق مخالف یا غیر معینہ مدت تک انضمام) ذیل میں درج ہیں۔ لیبنز کا نوٹیشن گوٹ فرائیڈ لیبنز کے ذریعہ استعمال کردہ اصل نوٹیشن پورے ریاضی میں استعمال ہوتا ہے۔ یہ خاص طور پر اس وقت عام ہوتا ہے جب مساوات کو منحصر اور آزاد متغیرات کے درمیان ایک فعال تعلق سمجھا جاتا ہے۔ لیبنز کا اشارہ مشتق کو اس طرح لکھ کر اس رشتے کو واضح کرتا ہے۔ مزید برآں، ایٹ کا مشتق اس لیے لکھا جاتا ہے۔ اعلی مشتقات کو اس طرح لکھا جاتا ہے کہ یہ ایک مشاورتی اطلاعاتی آلہ ہے جو علامتوں کی رسمی ہیرا پھیری سے آتا ہے، جیسا کہ، ایک نقطہ پر مشتق کی قیمت کو لیبنز کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے دو طریقوں سے ظاہر کیا جا سکتا ہے: لیبنز کا اشارہ کسی کو تفریق کے لیے متغیر کی وضاحت کرنے کی اجازت دیتا ہے (ڈینومینیٹر میں)۔ جزوی مشتقات پر غور کرتے وقت یہ خاص طور پر مددگار ہوتا ہے۔ اس سے زنجیر کے اصول کو یاد رکھنا اور پہچاننا بھی آسان ہو جاتا ہے: تفریق کے لیے لیبنز کے اشارے میں یا (جسے تفریق کے نام سے جانا جاتا ہے) جیسی علامتوں کو خود معنی تفویض کرنے کی ضرورت نہیں ہے، اور کچھ مصنفین ان علامتوں کو معنی تفویض کرنے کی کوشش نہیں کرتے ہیں۔ لیبنز نے ان علامتوں کو لامحدود سمجھا۔ بعد کے مصنفین نے انہیں دوسرے معنی تفویض کیے ہیں، جیسے کہ غیر معیاری تجزیہ میں لامحدود، یا بیرونی مشتقات۔ عام طور پر، غیر متعین یا مساوی چھوڑ دیا جاتا ہے، جبکہ مساوات کے ذریعے ایک معنی تفویض کیا جاتا ہے، جسے لکھا بھی جا سکتا ہے، مثال کے طور پر۔ (نیچے دیکھیں)۔ اس طرح کی مساوات کچھ متون میں پائی جانے والی اصطلاحات کو جنم دیتی ہیں جس میں مشتق کو "تفریق گتانک" (یعنی گتانک) کہا جاتا ہے۔ کچھ مصنفین اور جریدوں نے تفریق علامت کو اٹالک کے بجائے رومن قسم میں مقرر کیا ہے: آئی ایس او/آئی ای سی 80000 سائنسی طرز گائیڈ اس انداز کی سفارش کرتا ہے۔ لیبنز کے اینٹی ڈفریٚنسیشن کے اشارے لیبنز نے اینالیسیس ٹیٹراگونسٹائی پارس سیکنڈا اور میتھوڈی ٹینجینٹیم انورسے مثال (دونوں 1675 سے) میں لازمی علامت متعارف کروائی۔ یہ اب انضمام کی معیاری علامت ہے۔ تفریق کے لیے سب سے عام جدید اشاروں میں سے ایک کا نام جوزف لوئس لاگرانج کے نام پر رکھا گیا ہے، حالانکہ یہ دراصل اویلر نے ایجاد کیا تھا اور صرف سابقہ نے اسے مقبول کیا تھا۔ لگرینج کے اشارے میں، ایک پرائم مارک مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگر f ایک فنکشن ہے، تو اس کا مشتق x پر لکھا جاتا ہے۔ یہ پہلی بار 1749 میں پرنٹ میں شائع ہوا۔ اعلی مشتقات کو اضافی پرائم مارکس کا استعمال کرتے ہوئے اشارہ کیا جاتا ہے، جیسا کہ دوسرے مشتق اور تیسرے مشتق کے لیے ہوتا ہے۔ بار بار پرائم مارکس کا استعمال بالآخر بھاری پڑ جاتا ہے۔ کچھ مصنفین رومن ہندسوں کو استعمال کرتے ہوئے جاری رکھتے ہیں، عام طور پر چھوٹے معاملے میں، جیسا کہ چوتھے، پانچویں، چھٹے اور اعلی ترتیب کے مشتقات کو ظاہر کرنے کے لیے۔ دوسرے مصنفین قوسین میں عربی ہندسوں کا استعمال کرتے ہیں، جیسا کہ اس اشارے میں nth مشتق کو بیان کرنا بھی ممکن ہوتا ہے، جہاں n ایک متغیر ہے۔ جب کسی فنکشن f (x, y) کے لیے دو آزاد متغیرات ہوتے ہیں، تو مندرجہ ذیل روایت کی پیروی کی جا سکتی ہے: اینٹی ڈفریٚنسیشن کے لیے لگرینج کا اشارہ۔ اینٹی ڈریفرنسیشن لیتے وقت، لگرینج نے لیبنز کے اشارے کی پیروی کی: تاہم، چونکہ انضمام تفریق کا الٹا عمل ہے، اعلی ترتیب کے مشتقات کے لیے لگرینج کا اشارے انٹیگرلز تک بھی پھیلا ہوا ہے۔ f کے بار بار ہونے والے انٹیگرلز کو پہلے انٹیگرل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (یہ آسانی سے الٹا فنکشن کے ساتھ الجھ جاتا ہے)، دوسرے انٹیگرل کے لیے، تیسرے انٹیگرل کے لیے، اور n ویں انٹیگرل کے لیے۔ ڈی-نوٹیشن اس نوٹیشن کو بعض اوقات کہا جاتا ہے حالانکہ اسے لوئس فرانکوئس انٹون اربوگاسٹ نے متعارف کرایا تھا، اور ایسا لگتا ہے کہ لیونہارڈ اویلر نے اسے استعمال نہیں کیا تھا۔ یہ اشارہ ایک تفریقی آپریٹر کا استعمال کرتا ہے جسے (D آپریٹر) یا (نیوٹن-لیبنز آپریٹر) کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ جب کسی فنکشن پر لاگو کیا جاتا ہے، تو اس کی تعریف اعلی مشتقات کے ذریعہ کی جاتی ہے جسے D کے "پاورز" کے طور پر نشان زد کیا جاتا ہے (جہاں سپر اسکرپٹ D کی تکراری ساخت کو ظاہر کرتے ہیں)، جیسا کہ دوسرے مشتق کے لیے، تیسرے مشتق کے لیے، اور n ویں مشتق کے لیے۔ ڈی-نوٹیشن اس متغیر کو مضمر بناتا ہے جس کے حوالے سے تفریق کی جا رہی ہے۔ تاہم، اس متغیر کو اس کا نام سبسکرپٹ کے طور پر رکھ کر بھی واضح کیا جا سکتا ہے: اگر f ایک متغیر x کا فنکشن ہے، تو یہ پہلے مشتق کے لیے، دوسرے مشتق کے لیے، تیسرے مشتق کے لیے، اور nth مشتق کے لیے لکھ کر کیا جاتا ہے۔ جب f کئی متغیرات کا فنکشن ہوتا ہے، تو "" کے بجائے ""، ایک اسٹائلائزڈ کرسو لوور کیس ڈی، کا استعمال کرنا عام بات ہے۔ جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے، سبسکرپٹ ان مشتقات کی نشاندہی کرتے ہیں جو لیے جا رہے ہیں۔ مثال کے طور پر، کسی فنکشن کے دوسرے جزوی مشتق یہ ہیں: دیکھیں۔ ڈی-نوٹیشن تفریق مساوات کے مطالعہ اور تفریق الجبرا میں مفید ہے۔ اینٹی ڈراویٹوز ڈی-نوٹیشن کے لیے ڈی-نوٹیشن کو اینٹی ڈراویٹوز کے لیے اسی طرح استعمال کیا جا سکتا ہے جس طرح لیگرانج کا نوٹیشن پہلے اینٹی ڈراویٹو کے لیے، دوسرے اینٹی ڈراویٹو کے لیے، اور نویں اینٹی ڈراویٹو کے لیے درج ذیل ہے۔ نیوٹن کا اشارہ آئزک نیوٹن کا تفریق کے لیے اشارہ (جسے ڈاٹ نوٹیشن، فلوکشنز، یا بعض اوقات، کچلے انداز میں، تفریق کے لیے فلائی سپیک نوٹیشن بھی کہا جاتا ہے) منحصر متغیر پر ایک ڈاٹ رکھتا ہے۔ یعنی، اگر y، t کی فنکشن ہے، تو t کے حوالے سے y کا مشتق اعلی مشتقات کو متعدد نقطوں کا استعمال کرتے ہوئے پیش کیا جاتا ہے، جیسا کہ نیوٹن نے اس خیال کو کافی دور تک بڑھایا ہے: نیوٹن کے اشارے سے متعلق یونیکوڈ حروف میں شامل ہیں: اس کی جگہ دو بار "کمبائننگ ڈایریسیس" نے لے لی۔ نیوٹن کا اشارہ عام طور پر اس وقت استعمال ہوتا ہے جب آزاد متغیر وقت کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگر لوکیشن t کی فنکشن ہے، تو رفتار کو ظاہر کرتا ہے اور ایکسلریشن کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ اشارہ طبیعیات اور ریاضیاتی طبیعیات میں مقبول ہے۔ یہ طبیعیات سے منسلک ریاضی کے شعبوں جیسے تفریقی مساوات میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ ایک منحصر متغیر y = f (x) کا مشتق لیتے وقت، ایک متبادل اشارہ موجود ہوتا ہے: نیوٹن نے مڑے ہوئے X (x) پر سائیڈ ڈاٹس کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل جزوی تفریقی آپریٹرز تیار کیے۔ وائٹ سائیڈ کی طرف سے دی گئی تعریفیں ذیل میں ہیں: انضمام کے لیے نیوٹن کے اشارے نے اپنے کواڈراٹورا کرورم (1704) اور بعد کے کاموں میں انضمام کے لیے بہت سے مختلف اشارے تیار کیے: اس نے منحصر متغیر () کے اوپر ایک چھوٹا عمودی بار یا پرائم لکھا، ایک سابقہ مستطیل ()، یا کسی مستطیل () میں اصطلاح کا جھکاؤ روانی یا ٹائم انٹیگرل (خلاصہ) کو ظاہر کرنے کے لیے۔ متعدد انٹیگرلز کو ظاہر کرنے کے لیے، نیوٹن نے دو چھوٹے عمودی سلاخوں یا پرائمز ()، یا پچھلی علامتوں کے امتزاج کا استعمال کیا، تاکہ دوسرے وقت کے انٹیگرل (غیر حاضری) کو ظاہر کیا جا سکے۔ ہائیر آرڈر ٹائم انٹیگرلز مندرجہ ذیل تھے: یہ ریاضیاتی اشارے پرنٹنگ کی مشکلات اور لیبنز-نیوٹن کیلکولس تنازعہ کی وجہ سے وسیع نہیں ہوئے۔ جزوی مشتقات جب مزید مخصوص اقسام کی تفریق ضروری ہوتی ہے، جیسے کہ ملٹی ویریٹ کیلکولس یا ٹینسر تجزیہ میں، تو دیگر اشارے عام ہوتے ہیں۔ ایک واحد آزاد متغیر x کے فنکشن f کے لیے، ہم آزاد متغیر کے سبسکرپٹس کا استعمال کرتے ہوئے مشتق کا اظہار کر سکتے ہیں: اس قسم کی علامت خاص طور پر کئی متغیرات کے فنکشن کے جزوی مشتقات لینے کے لیے مفید ہے۔ جزوی مشتقات کو عام طور پر عام مشتقات سے تفریق آپریٹر d کو "ष्ण" علامت سے تبدیل کر کے ممتاز کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم x کے حوالے سے جزوی مشتق کی نشاندہی کر سکتے ہیں، لیکن y یا z کے لیے نہیں کئی طریقوں سے: جو چیز اس فرق کو اہم بناتی ہے وہ یہ ہے کہ غیر جزوی مشتق جیسے کہ سیاق و سباق پر منحصر ہے، اس کی تشریح اس نسبت میں تبدیلی کی شرح کے طور پر کی جائے جب تمام متغیرات کو بیک وقت مختلف ہونے کی اجازت دی جاتی ہے، جبکہ جزوی مشتق کے ساتھ جیسے کہ یہ واضح ہے کہ صرف ایک متغیر کو مختلف ہونا چاہیے۔ دیگر اشارے ریاضی، طبیعیات اور انجینئرنگ کے مختلف ذیلی شعبوں میں پائے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر تھرموڈینامکس کے میکسویل تعلقات دیکھیں۔ علامت حجم V کے حوالے سے درجہ حرارت T کا مشتق ہے جبکہ اینٹروپی (سبسکرپٹ) S کو مستقل رکھتا ہے، جبکہ دباؤ P کو مستقل رکھتے ہوئے حجم کے حوالے سے درجہ حرارت کا مشتق ہے۔ یہ ان حالات میں ضروری ہو جاتا ہے جہاں متغیرات کی تعداد ڈگری آف فریڈم سے تجاوز کر جاتی ہے، تاکہ کسی کو یہ انتخاب کرنا پڑے کہ کون سے دوسرے متغیرات کو طے رکھنا ہے۔ ایک متغیر کے حوالے سے اعلی درجے کے جزوی مشتقات کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے۔ مخلوط جزوی مشتقات کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ اس آخری صورت میں متغیرات کو دونوں اشاروں کے درمیان الٹا ترتیب میں لکھا جاتا ہے، جس کی وضاحت اس طرح کی جاتی ہے: نام نہاد ملٹی انڈیکس اشارے کا استعمال ایسے حالات میں کیا جاتا ہے جب مذکورہ بالا اشارے پیچیدہ یا ناکافی اظہار ہوتے ہیں۔ فنکشنز پر غور کرتے وقت، ہم ایک ملٹی انڈیکس کو غیر منفی انٹیجرز کی ترتیب شدہ فہرست کے طور پر بیان کرتے ہیں: اس کے بعد ہم اشارے کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس طرح کچھ نتائج (جیسے لیبنز اصول) جو دوسرے طریقوں سے لکھنا مشکل ہے، ان کا مختصر اظہار کیا جا سکتا ہے-کچھ مثالیں ملٹی انڈیکس پر مضمون میں مل سکتی ہیں۔ ویکٹر کیلکولس ویکٹر کیلکولس میں نوٹیشن کا تعلق ویکٹر یا اسکیلر فیلڈز کی تفریق اور انضمام سے ہے۔ تین جہتی یوکلڈین خلا کے معاملے کے لیے مخصوص کئی اشارے عام ہیں۔ فرض کریں کہ یہ ایک دیا ہوا کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم ہے، کہ A اجزاء کے ساتھ ایک ویکٹر فیلڈ ہے، اور یہ ایک اسکیلر فیلڈ ہے۔ ولیم روون ہیملٹن کے ذریعہ متعارف کرایا گیا تفریق آپریٹر، جسے لکھا گیا ہے اور جسے ڈیل یا نابلا کہا جاتا ہے، علامتی طور پر ایک ویکٹر کی شکل میں بیان کیا گیا ہے، جہاں اصطلاحات علامتی طور پر اس بات کی عکاسی کرتی ہیں کہ آپریٹر کو بھی ایک عام ویکٹر کے طور پر سمجھا جائے گا۔ گریڈینٹ: اسکیلر فیلڈ کا میلان ایک ویکٹر ہے، جس کا اظہار علامتی طور پر ρ اور اسکیلر فیلڈ کے ضرب سے ہوتا ہے، ڈائیورجنس: ویکٹر فیلڈ A کا انحراف ایک اسکیلر ہے، جس کا اظہار علامتی طور پر ρ اور ویکٹر A کے ڈاٹ پروڈکٹ سے ہوتا ہے، لیپلاسیئن: اسکیلر فیلڈ کا لیپلاسیئن ایک اسکیلر ہے، جس کا اظہار علامتی طور پر ρ2 کے اسکیلر ضرب سے ہوتا ہے اور اسکیلر فیلڈ φ، گردش: ویکٹر فیلڈ A کی گردش، یا، ایک ویکٹر ہے، جس کا علامتی طور پر اظہار ρ اور ویکٹر A کے کراس پروڈکٹ سے کیا جاتا ہے، مشتقات کی بہت سی علامتی کارروائیوں کو سیدھے آگے میں عام کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، سنگل متغیر پروڈکٹ کے اصول میں گریڈینٹ آپریٹر کو لاگو کرکے اسکیلر فیلڈز کے ضرب میں براہ راست ینالاگ ہوتا ہے، جیسا کہ سنگل متغیر کیلکولس کے بہت سے دوسرے اصولوں میں گریڈینٹ، ڈائیورجنس، کرل اور لیپلاسیئن کے لیے ویکٹر کیلکولس ینالاگ ہوتے ہیں۔ مزید غیر ملکی قسم کی جگہوں کے لیے مزید اشارے تیار کیے گئے ہیں۔ منکووسکی جگہ میں حساب کے لیے، ڈی المبرٹ آپریٹر، جسے ڈی المبرٹین، ویو آپریٹر، یا باکس آپریٹر بھی کہا جاتا ہے، کی نمائندگی اس طرح کی جاتی ہے، یا جب لیپلاسیئن کی علامت سے متصادم نہ ہو۔ یہ بھی دیکھیں آپریشنل کیلکولس حوالہ جات بیرونی لنکس کیلکولس کی علامتوں کے ابتدائی استعمال، جو جیف ملر () کے زیر انتظام ہیں۔ متفرق کیلکولس ریاضیاتی اشارے