CM-field
ریاضی میں، سی ایم فیلڈ ایک خاص قسم کا نمبر فیلڈ ہے، جس کا نام پیچیدہ ضرب کے نظریہ سے قریبی تعلق کے لیے رکھا گیا ہے۔ استعمال کیا جانے والا دوسرا نام جے-فیلڈ ہے۔ مخفف "سی ایم" متعارف کرایا گیا تھا۔ رسمی تعریف ایک نمبر فیلڈ K ایک CM فیلڈ ہے اگر یہ ایک کواڈریٹک ایکسٹینشن K/F ہے جہاں بیس فیلڈ F مکمل طور پر حقیقی ہے لیکن K مکمل طور پر خیالی ہے۔ یعنی، F کی ہر سرایت مکمل طور پر اس کے اندر ہوتی ہے، لیکن اس میں K کی سرایت نہیں ہوتی۔ دوسرے لفظوں میں، K کا ایک ذیلی فیلڈ F ایسا ہے کہ K کسی عنصر کے واحد مربع جڑ سے F پر پیدا ہوتا ہے، جیسے کہ β =، اس طرح سے کہ عقلی نمبر فیلڈ پر β کے کم از کم کثیر الجہتی کے تمام جڑیں غیر حقیقی پیچیدہ نمبر ہوں۔ اس کے لیے α کو مکمل طور پر منفی منتخب کیا جانا چاہیے، تاکہ حقیقی نمبر فیلڈ میں σ کے ہر سرایت کے لیے، σ (α) <0۔ خصوصیات سی ایم فیلڈ کی ایک خصوصیت یہ ہے کہ اس پر پیچیدہ کنجگیشن فیلڈ پر ایک آٹومورفزم کو جنم دیتا ہے جو اس میں سرایت کرنے سے آزاد ہے۔ دیئے گئے اشارے میں، اسے β کی علامت کو تبدیل کرنا ہوگا۔ ایک نمبر فیلڈ K ایک CM-فیلڈ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں "یونٹس ڈیفیکٹ" ہو، یعنی۔ اگر اس میں ایک مناسب ذیلی فیلڈ F ہے جس کے یونٹ گروپ کا درجہ K کے برابر ہے۔ درحقیقت، F اوپر مذکور K کا مکمل طور پر حقیقی ذیلی میدان ہے۔ یہ ڈیرچلیٹ کے یونٹ تھیوریم کی پیروی کرتا ہے۔ سی ایم فیلڈ کی سب سے آسان، اور حوصلہ افزا مثال ایک خیالی کواڈریٹک فیلڈ ہے، جس کے لیے مکمل طور پر حقیقی ذیلی فیلڈ صرف عقلیت کا میدان ہے۔ سی ایم فیلڈ کی سب سے اہم مثالوں میں سے ایک سائکلوٹومک فیلڈ ہے، جو اتحاد کے ابتدائی نویں جڑ سے پیدا ہوتا ہے۔ یہ مکمل طور پر حقیقی فیلڈ کی مکمل طور پر خیالی کواڈریٹک ایکسٹینشن ہے۔ مؤخر الذکر پیچیدہ کنجگیشن کا فکسڈ فیلڈ ہے، اور یونین کے مربع جڑ سے مل کر اس سے حاصل کیا جاتا ہے۔ تمام سی ایم فیلڈز کا کیو سی ایم سی ایم فیلڈ سے ملتا جلتا ہے سوائے اس کے کہ اس کی ڈگری لامحدود ہے۔ یہ تمام مکمل طور پر حقیقی فیلڈز کیو آر کے اتحاد کی ایک چوتھائی توسیع ہے۔ مطلق گالوئس گروپ گال (/کیو آر) گال (/کیو) میں آرڈر 2 کے تمام عناصر کے ذریعہ (ایک بند ذیلی گروپ کے طور پر) تیار کیا جاتا ہے، اور گال (/کیو سی ایم) انڈیکس 2 کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ گالوئس گروپ گال (کیو سی ایم/کیو) میں ایک مرکز ہوتا ہے جو ترتیب 2 (پیچیدہ کنجگیشن) کے عنصر سے پیدا ہوتا ہے اور اس کے مرکز کی طرف سے حصص گروپ گال (کیو آر/کیو) ہوتا ہے۔ اگر V طول و عرض n کی ایک پیچیدہ ابیلین قسم ہے، تو V کے اینڈومورفزم کے کسی بھی ابیلین الجبرا F کا درجہ Z پر زیادہ سے زیادہ 2n ہوتا ہے۔ اگر اس کا درجہ 2n ہے اور V سادہ ہے تو F سی ایم فیلڈ میں ایک آرڈر ہے۔ اس کے برعکس کوئی بھی سی ایم فیلڈ اس طرح کسی سادہ پیچیدہ ابیلین قسم سے پیدا ہوتا ہے، جو آئزوجینی تک منفرد ہے۔ مکمل طور پر خیالی فیلڈ کی ایک مثال جو CM نہیں ہے وہ کثیر الجہتی کے ذریعہ بیان کردہ نمبر فیلڈ ہے۔ حوالہ جات میدان (ریاضی) الجبرائی عدد نظریہ پیچیدہ اعداد