Peano existence theorem
ریاضی میں، خاص طور پر عام تفریقی مساوات کے مطالعہ میں، پیانو وجود تھیوریم، پیانو تھیوریم یا کاچی-پیانو تھیوریم، جس کا نام جیوسیپی پیانو اور آگسٹن-لوئس کاچی کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک بنیادی تھیوریم ہے جو کچھ ابتدائی قدر کے مسائل کے حل کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ ہسٹری پیانو نے پہلی بار 1886 میں ایک غلط ثبوت کے ساتھ تھیوریم شائع کیا۔ 1890 میں انہوں نے مسلسل تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے ایک نیا درست ثبوت شائع کیا۔ نظریہ کو ایک مسلسل فنکشن اور D پر بیان کردہ ایک مسلسل، واضح فرسٹ آرڈر تفریق مساوات کے ساتھ ایک کھلا ذیلی سیٹ ہونے دیں، پھر f کے ساتھ ہر ابتدائی قدر کے مسئلے کا ایک مقامی حل ہوتا ہے جہاں in کا پڑوس ہوتا ہے، جیسے کہ سب کے لیے۔ حل منفرد ہونے کی ضرورت نہیں ہے: ایک ہی ابتدائی قدر بہت سے مختلف حلوں کو جنم دے سکتی ہے۔ ثبوت کے ساتھ بدل کر، ہم فرض کر سکتے ہیں۔ جیسا کہ کھلا ہے وہاں ایک مستطیل ہے۔ کیونکہ کمپیکٹ ہے اور مسلسل ہے، ہمارے پاس ہے اور اسٹون ویئراسٹراس تھیوریم کے مطابق لپشٹز افعال کا ایک سلسلہ موجود ہے جو یکساں طور پر ان میں تبدیل ہوتا ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، ہم سب کے لیے فرض کرتے ہیں۔ ہم پکارڈ تکرار کی وضاحت اس طرح کرتے ہیں، کہاں۔ ، اور۔ وہ انڈکشن کے ذریعے اچھی طرح سے متعین ہیں: جیسا کہ ڈومین کے اندر ہے۔ ہمارے پاس Lipschitz مستقل کہاں ہے۔ اس طرح زیادہ سے زیادہ فرق کے لیے، ہمارے پاس ایک باؤنڈ ہے، اور انڈکشن کے ذریعے، اس کا مطلب وہ باؤنڈ ہے جو سب کے لیے صفر کی طرف جاتا ہے۔ فنکشن مساوی ہیں کیونکہ ہمارے پاس ارزیل-اسکولی تھیوریم کے مطابق وہ نسبتا کمپیکٹ ہیں۔ خاص طور پر، ہر ایک کے لیے ایک تسلسل ہوتا ہے جو یکساں طور پر ایک مسلسل فعل میں تبدیل ہوتا ہے۔ حد لیتے ہوئے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں۔ افعال نسبتا کمپیکٹ سیٹ کے بند ہونے میں ہیں، لہذا وہ خود نسبتا کمپیکٹ ہیں۔ اس طرح ایک تسلسل ہوتا ہے جو یکساں طور پر ایک مسلسل فعل میں تبدیل ہوتا ہے۔ اس میں حد لیتے ہوئے ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ، اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے جو ارزلا-اسکولی تھیوریم کے مطابق مساوی ہے۔ کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے مطابق، in. متعلقہ تھیوریمز پیانو تھیوریم کا موازنہ اسی تناظر میں وجود کے ایک اور نتیجے، پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم سے کیا جا سکتا ہے۔ پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم دونوں زیادہ فرض کرتے ہیں اور مزید نتیجہ اخذ کرتے ہیں۔ اس کے لیے لپشٹز تسلسل کی ضرورت ہوتی ہے، جبکہ پیانو تھیوریم میں صرف تسلسل کی ضرورت ہوتی ہے ؛ لیکن یہ وجود اور انفرادیت دونوں کو ثابت کرتا ہے جہاں پیانو تھیوریم صرف حل کے وجود کو ثابت کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ڈومین پر عام تفریقی مساوات پر غور کریں۔ پیانو تھیوریم کے مطابق، اس مساوات کے حل ہیں، لیکن پکارڈ-لنڈیلوف تھیوریم لاگو نہیں ہوتا ہے کیونکہ دائیں ہاتھ کی طرف 0 پر مشتمل کسی بھی پڑوس میں لپشٹز مسلسل نہیں ہے۔ اس طرح ہم وجود کا نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں لیکن انفرادیت کا نہیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اس عام تفریقی مساوات کے دو قسم کے حل ہوتے ہیں جب شروع کرتے ہیں، یا تو یا۔ اور کے درمیان منتقلی کسی بھی وقت ہو سکتی ہے۔ کیریتھیوڈری وجود تھیوریم پیانو وجود تھیوریم کی عمومی شکل ہے جس میں تسلسل سے کمزور حالات ہیں۔ نوٹس حوالہ جات تجزیہ میں آگسٹن-لوئس کاچی تھیوریمز عام تفریقی مساوات