Macdonald polynomials
ریاضی میں، میکڈونلڈ کثیر الجہتی Pλ (x ؛ t، q) کئی متغیرات میں آرتھوگنل سمیٹرک کثیر الجہتی کا ایک خاندان ہے، جسے میکڈونلڈ نے 1987 میں متعارف کرایا تھا۔ بعد میں انہوں نے 1995 میں غیر ہم آہنگ عمومی کاری متعارف کرائی۔ میکڈونلڈ نے اصل میں اپنے کثیر الجہتی کو محدود جڑ کے نظام کے وزن λ سے منسلک کیا اور صرف ایک متغیر t کا استعمال کیا، لیکن بعد میں محسوس کیا کہ انہیں محدود جڑ کے نظام کے بجائے افائن جڑ کے نظام کے ساتھ جوڑنا زیادہ فطری ہے، ایسی صورت میں متغیر t کو کئی مختلف متغیر t = (t1,., tk) سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، جو افائن جڑ کے نظام میں جڑوں کے k مداروں میں سے ہر ایک کے لیے ایک ہے۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی n متغیر x = (x1,., xn) میں کثیر الجہتی ہیں، جہاں n افائن جڑ نظام کا درجہ ہے۔ وہ آرتھوگنل کثیر الجہتی کے بہت سے دوسرے خاندانوں کو عام کرتے ہیں، جیسے کہ جیک کثیر الجہتی اور ہال لٹل ووڈ کثیر الجہتی اور اسکی-ولسن کثیر الجہتی، جن میں بدلے میں زیادہ تر 1 متغیر آرتھوگنل کثیر الجہتی کو خصوصی معاملات کے طور پر شامل کیا جاتا ہے۔ کورن ونڈر کثیر الجہتی بعض غیر کم شدہ جڑ کے نظام کے میکڈونلڈ کثیر الجہتی ہیں۔ ان کے افائن ہیک الجیبراس اور ہلبرٹ اسکیموں کے ساتھ گہرے تعلقات ہیں، جو میکڈونلڈ کی طرف سے ان کے بارے میں کیے گئے کئی قیاس آرائیوں کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیے گئے تھے۔ تعریف پہلے کچھ اشارے طے کریں: R ایک حقیقی ویکٹر کی جگہ میں ایک محدود جڑ کا نظام ہے۔ V. R + مثبت جڑوں کا انتخاب ہے، جس سے مثبت ویل چیمبر مطابقت رکھتا ہے۔ ڈبلیو آر کیو کا ویل گروپ ہے۔ آر کی جڑ جالی ہے (جالی جو جڑوں سے پھیلی ہوئی ہے)۔ P R کا وزن جالی ہے (جس میں Q ہے)۔ وزن پر ایک ترتیب: اگر اور صرف اس صورت میں جب سادہ جڑوں کا غیر منفی لکیری مجموعہ ہو۔ P + غالب وزن کا مجموعہ ہے: مثبت ویل چیمبر میں P کے عناصر۔ ρ ویل ویکٹر ہے: مثبت جڑوں کا نصف مجموعہ ؛ یہ مثبت ویل چیمبر کے اندرونی حصے میں P + کا ایک خاص عنصر ہے۔ F خصوصیت 0 کا ایک میدان ہے، عام طور پر عقلی اعداد۔ A = F (P) P کا گروپ الجبرا ہے، جس میں عناصر کی بنیاد لکھی گئی ہے eλ کے لیے λ Π۔ اگر f = eλ، تو f کا مطلب e − λ ہے، اور یہ لکیری کے ذریعے پورے گروپ الجبرا تک بڑھایا جاتا ہے۔ ایم۔ ایم۔ یو = ایس۔ ایل۔ ڈبلیو۔ ایم۔ ای۔ ایل ایک مدار کا مجموعہ ہے۔ یہ عناصر ڈبلیو کے ذریعہ طے شدہ عناصر کے ذیلی الجبرا اے۔ ڈبلیو کے لیے ایک بنیاد بناتے ہیں، جو کہ لامحدود کیو-پوچھیمر علامت ہے۔ A کے دو عناصر کا اندرونی پروڈکٹ ہے، کم از کم جب t q کی مثبت انٹیجر پاور ہو۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی Pλ کی تعریف درج ذیل دو شرائط سے منفرد طور پر کی جاتی ہے: جہاں uλμ q اور t کا ایک عقلی فعل ہے جس میں uλλ = 1 ہے۔ اگر λ <μ ہے تو Pλ اور Pμ آرتھوگنل ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، میکڈونلڈ کثیر الجہتی AW کے لیے واضح بنیاد کو آرتھوگنلائز کرکے حاصل کیے جاتے ہیں۔ ان خصوصیات کے ساتھ کثیر الجہتی کا وجود ظاہر کرنا آسان ہے (کسی بھی اندرونی پروڈکٹ کے لیے)۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کی ایک کلیدی خاصیت یہ ہے کہ وہ آرتھوگنل ہوتے ہیں: جب بھی λ ष्णق = 0 ہوتا ہے۔ یہ تعریف کا کوئی معمولی نتیجہ نہیں ہے کیونکہ P + مکمل طور پر ترتیب شدہ نہیں ہے، اور اسی طرح اس میں بہت سارے عناصر ہیں جو بے مثال ہیں۔ اس طرح کسی کو یہ چیک کرنا چاہیے کہ متعلقہ کثیر الجہتی اب بھی آرتھوگنل ہیں۔ آرتھوگونالیٹی کو یہ ظاہر کر کے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی 1 جہتی آئجین اسپیس کے ساتھ خود سے منسلک آپریٹرز کو آنے جانے کے الجبرا کے لیے آئجین ویکٹر ہیں، اور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ مختلف آئجین ویلیوز کے لیے آئجین اسپیس آرتھوگنل ہونی چاہیے۔ غیر سادہ جڑوں کے نظام (بی، سی، ایف، جی) کے معاملے میں، پیرامیٹر ٹی کو جڑ کی لمبائی کے ساتھ مختلف ہونے کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے، جس سے میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا تین پیرامیٹر خاندان ملتا ہے۔ کوئی بھی تعریف کو غیر کم شدہ جڑ کے نظام BC تک بڑھا سکتا ہے، اس صورت میں کوئی چھ پیرامیٹر کا خاندان (جڑوں کے ہر مدار کے لیے ایک t، پلس q) حاصل کرتا ہے جسے کورن ونڈر کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ بعض اوقات میکڈونلڈ کثیر الجہتی کو ممکنہ طور پر غیر کم شدہ افائن جڑ کے نظام پر منحصر سمجھنا بہتر ہوتا ہے۔ اس صورت میں، افائن جڑ کے نظام میں جڑوں کے ہر مدار سے وابستہ ایک پیرامیٹر t ہے، اس کے علاوہ ایک پیرامیٹر q ہے۔ جڑوں کے مداروں کی تعداد 1 سے 5 تک مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر اگر q = t میکڈونلڈ کثیر الجہتی جڑ کے نظام کے کمپیکٹ گروپ کی نمائندگی کے ویل حروف بن جاتے ہیں، یا قسم A کے جڑ کے نظام کے معاملے میں شور افعال۔ اگر q = 0 ہے تو میکڈونلڈ کثیر الجہتی ایک نیم سادہ p-adic گروپ کے لیے (بازیافت شدہ) زونل کروی افعال بن جاتے ہیں، یا ہال-لٹل ووڈ کثیر الجہتی جب جڑ کے نظام میں قسم A ہوتی ہے۔ اگر t = 1 ہے تو میکڈونلڈ کثیر الجہتی W مداروں پر رقم بن جاتے ہیں، جو یک مدتی ہم آہنگی کے افعال ہوتے ہیں جب جڑ کے نظام میں قسم A ہوتی ہے۔ اگر ہم t = qα ڈالتے ہیں اور q کو 1 کی طرف مائل ہونے دیتے ہیں تو میکڈونلڈ کثیر الجہتی جیک کثیر الجہتی بن جاتے ہیں جب جڑ کا نظام قسم A کا ہوتا ہے، اور زیادہ عام جڑ کے نظاموں کے لیے ہیک مین-اوپڈم کثیر الجہتی۔ افائن جڑ کے نظام A1 کے لیے، میکڈونلڈ کثیر الجہتی راجرز کثیر الجہتی ہیں۔ قسم (C، C1) کے غیر کم رینک 1 افائن روٹ سسٹم کے لیے، میکڈونلڈ کثیر الجہتی ایسکی-ولسن کثیر الجہتی ہیں، جو بدلے میں 1 متغیر میں آرتھوگنل کثیر الجہتی کے زیادہ تر نامزد خاندانوں کو خصوصی صورتوں میں شامل کرتے ہیں۔ قسم (C، Cn) کے غیر کم شدہ افائن جڑ نظام کے لیے، میکڈونلڈ کثیر الجہتی کورن ونڈر کثیر الجہتی ہیں۔ میکڈونلڈ مستقل اصطلاح قیاس اگر کچھ مثبت عدد k کے لیے t = qk ہے، تو میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا معیار اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ میکڈونلڈ (1982) کے ذریعے ڈائیسن قیاس کی عمومی شکل کے طور پر قیاس کیا گیا تھا، اور ڈبل افائن ہیک الجبرا کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے چیرڈنک (1995) کے ذریعے تمام (کم شدہ) جڑ کے نظاموں کے لیے ثابت کیا گیا۔ یہ قیاس اس سے قبل کئی مصنفین کے ذریعہ این ٹائپ کے علاوہ تمام جڑوں کے نظاموں کے لیے کیس بہ کیس ثابت ہوا تھا۔ دو دیگر قیاس آرائیاں ہیں جنہیں معمول کے قیاس آرائی کے ساتھ مل کر اس تناظر میں اجتماعی طور پر میکڈونلڈ قیاس آرائیاں کہا جاتا ہے: معمول کے فارمولے کے علاوہ، میکڈونلڈ نے نقطہ tρ پر Pλ کی قدر کے لیے ایک فارمولہ اور ایک ہم آہنگی کا قیاس کیا۔ پھر، یہ عام طور پر کم شدہ جڑ کے نظام کے لیے ڈبل افائن ہیک الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیے گئے، جس کے فورا بعد وین ڈیجن، نومی اور سہی کے کام کے ذریعے بی سی کیس کی توسیع کی گئی۔ میکڈونلڈ پوزیٹیویٹی قیاس این-1 قسم کے جڑوں کے نظام کے معاملے میں میکڈونلڈ کثیر الجہتی صرف n متغیرات میں ہم آہنگ کثیر الجہتی ہوتے ہیں جن میں کوفیشنٹس ہوتے ہیں جو q اور t کے عقلی افعال ہوتے ہیں۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا ایک مخصوص تبدیل شدہ ورژن (نیچے مشترکہ فارمولا دیکھیں) ہم آہنگی افعال کی جگہ کی ایک آرتھوگنل بنیاد بناتا ہے، اور اس وجہ سے اسے شور افعال کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ان رلیشنز کے کوفشنٹس Kλμ (q، t) کو کوسٹکا-میکڈونلڈ کوفشنٹس یا qt-کوسٹکا کوفشنٹس کہا جاتا ہے۔ میکڈونلڈ نے قیاس کیا کہ کوسٹکا-میکڈونلڈ گتانک q اور t میں غیر منفی عدد گتانک کے ساتھ کثیر الجہتی تھے۔ یہ قیاس آرائیاں اب ثابت ہو چکی ہیں ؛ سب سے مشکل اور آخری قدم مثبتیت کو ثابت کرنا تھا، جو مارک ہیمن (2001) نے قیاس آرائی کو ثابت کرکے کیا تھا۔ الجبرائی امتزاج میں یہ اب بھی ایک مرکزی کھلا مسئلہ ہے کہ qt-کوسٹکا کوفشنٹس کے لیے ایک مشترکہ فارمولا تلاش کیا جائے۔ ن! قیاس آرائی کریں این! ایڈریانو گارشیا اور مارک ہیمن کے قیاس میں کہا گیا ہے کہ n کے ہر پارٹیشن کے لیے تمام اعلی جزوی مشتقات کے ذریعے پھیلی ہوئی جگہ کا طول و عرض n! ہے، جہاں (pj، qj) پارٹیشن کے خاکہ کے n عناصر سے گزرتا ہے، جسے غیر منفی عددوں کے جوڑوں کا ذیلی مجموعہ سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر n = 3 کی تقسیم 3 = 2 + 1 ہے تو جوڑے (pj, qj) (0,0)، (0,1)، (1,0) ہیں، اور خلا Dμ جس کے طول و عرض 6 = 3! ہے۔ ہیمن کا میکڈونلڈ پوزیٹیویٹی قیاس آرائی کا ثبوت اور این! قیاس آرائی میں یہ ظاہر کرنا شامل ہے کہ ہوائی جہاز میں n پوائنٹس کی آئسو سپیکٹرل ہلبرٹ اسکیم کوہن-میکالے (اور یہاں تک کہ گورینسٹین) تھی۔ ہیمن اور گارسیا کے ابتدائی نتائج سے پہلے ہی پتہ چل چکا تھا کہ اس کا مطلب n ہے! قیاس آرائی، اور یہ کہ این! قیاس آرائی سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوسٹکا-میکڈونلڈ کوفشنٹس کو ماڈیولز ڈی ایم یو کے لیے حروف کی ضرب کی درجہ بندی کی گئی تھی۔ یہ فوری طور پر میکڈونلڈ مثبتیت کے قیاس کو ظاہر کرتا ہے کیونکہ حروف کی ضرب کو غیر منفی عدد ہونا پڑتا ہے۔ ایان گروجنوسکی اور مارک ہیمن نے ایل ایل ٹی کثیر الجہتی کے لیے مثبت قیاس کو ثابت کر کے میکڈونلڈ مثبت قیاس کا ایک اور ثبوت پایا۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے لیے مشترکہ فارمولا 2005 میں، جے ہیگلینڈ، ایم ہیمن اور این لوہر نے میکڈونلڈ کثیر الجہتی کی مشترکہ تشریح کا پہلا ثبوت دیا۔ 1988 میں، آئی جی۔ میکڈونلڈ نے میکڈونلڈ کثیر الجہتی (مساوات (4.11) اور (5.13)) کی مشترکہ تشریح کا دوسرا ثبوت دیا۔ میکڈونلڈ کا فارمولا ہاگلونڈ، ہیمن اور لوہر کے کام سے مختلف ہے، جس میں بہت کم اصطلاحات ہیں (یہ فارمولا میکڈونلڈ کے بنیادی کام، Ch میں بھی ثابت ہوتا ہے۔ VI (7.13)۔ اگرچہ حساب کے لیے بہت مفید اور اپنے آپ میں دلچسپ ہے، لیکن ان کے مشترکہ فارمولے فوری طور پر کوسٹکا-میکڈونلڈ گتانک کی مثبتیت کا اشارہ نہیں دیتے ہیں کیونکہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کو شور افعال کے بجائے یک جہتی ہم آہنگی افعال میں تحلیل کرتے ہیں۔ معمول کے بجائے تبدیل شدہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی میں لکھے گئے، وہ ایسے ہیں جہاں σ شکل کے نوجوان خاکہ کا بھرنا ہے، انو اور مج کچھ مشترکہ اعداد و شمار (افعال) ہیں جو بھرنے پر بیان کیے گئے ہیں۔ یہ فارمولا میکڈونلڈ کثیر الجہتی کو لامحدود متغیرات میں ظاہر کرتا ہے۔ n متغیرات میں کثیر الجہتی حاصل کرنے کے لیے، فارمولے کو صرف ان بھرنے تک محدود رکھیں جو صرف انٹیجرز 1، 2،.، n استعمال کرتے ہیں۔ xσ اصطلاح کی تشریح اس طرح کی جانی چاہیے جہاں σi مواد i کے ساتھ μ کو بھرنے میں خانوں کی تعداد ہے۔ مندرجہ بالا فارمولے میں تبدیل شدہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا تعلق تبدیلیوں کے سلسلے کے ذریعے کلاسیکی میکڈونلڈ کثیر الجہتی سے ہے۔ سب سے پہلے، میکڈونلڈ کثیر الجہتی کی لازمی شکل، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، اس کی دوبارہ اسکیلنگ ہے جو کوفیشنٹس کے ڈینومینیٹرز کو صاف کرتی ہے: ینگ ڈائیگرام میں مربعوں کا مجموعہ کہاں ہے، اور مربع کے بازو اور ٹانگ کو ظاہر کرتی ہے، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ نوٹ: دائیں طرف کی شکل جھانکی کے لیے فرانسیسی نوٹیشن کا استعمال کرتی ہے، جو ینگ ڈایگرامز کے لیے ویکیپیڈیا پیج پر استعمال ہونے والے انگریزی نوٹیشن سے عمودی طور پر پلٹ جاتی ہے۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے مطالعہ میں فرانسیسی اشارے زیادہ عام طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ اس کے بعد تبدیل شدہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کی تعریف s کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے۔ ہمارے پاس ہے جہاں اوپر کا بریکٹ نوٹیشن پلیتھسٹک متبادل کی نشاندہی کرتا ہے۔ یہ فارمولا جیک کثیر الجہتی کے لیے نوپ اور سہی کے فارمولے کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ 1995 میں، میکڈونلڈ نے سمیٹرک میکڈونلڈ کثیر الجہتی کا ایک غیر سمیٹرک ینالاگ متعارف کرایا، اور سمیٹرک میکڈونلڈ کثیر الجہتی کو غیر سمیٹرک ہم منصب سے آسانی سے بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ اپنی اصل تعریف میں، وہ ظاہر کرتا ہے کہ غیر ہم آہنگی میکڈونلڈ کثیر الجہتی کثیر الجہتی کا ایک منفرد خاندان ہے جو کسی خاص اندرونی پروڈکٹ کے لیے آرتھوگنل ہے، اور ساتھ ہی یک جہتی بنیاد میں توسیع ہونے پر مثلثیت کی خاصیت کو مطمئن کرتا ہے۔ 2007 میں، ہاگلونڈ، ہیمن اور لوہر نے غیر ہم آہنگی میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے لیے ایک مشترکہ فارمولا دیا۔ غیر ہم آہنگی میکڈونلڈ کثیر الجہتی q = t = 0 لے کر ڈیمازور حروف میں مہارت رکھتے ہیں، اور کلیدی کثیر الجہتی جب q = t = φ ہوتے ہیں۔ خارج کرنے کے عمل پر مبنی مشترکہ فارمولے 2018 میں، ایس کورٹییل، او مینڈیل شٹم، اور ایل ولیمز نے خارج کرنے کے عمل کا استعمال ہم آہنگی اور غیر ہم آہنگی میکڈونلڈ کثیر الجہتی دونوں کی براہ راست مشترکہ خصوصیت دینے کے لیے کیا۔ ان کے نتائج جزوی طور پر ہیگلینڈ کے پہلے کام سے مختلف ہیں کیونکہ وہ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے لیے اس کی تبدیلی کے بجائے براہ راست ایک فارمولا دیتے ہیں۔ وہ ایک ملٹی لائن قطار کا تصور تیار کرتے ہیں، جو کہ گیندوں یا خالی خلیوں پر مشتمل ایک میٹرکس ہے جس میں گیندوں اور ان کے پڑوسیوں کے درمیان نقشہ سازی اور ایک مشترکہ لیبلنگ میکانزم ہوتا ہے۔ غیر متناسب میکڈونلڈ کثیر الجہتی پھر مطمئن ہوتا ہے: جہاں مجموعہ قسم کی تمام ملٹی لائن قطاروں پر ہوتا ہے اور یہ ایک ویٹنگ فنکشن ہوتا ہے جو ان قطاروں کو مخصوص کثیر الجہتی پر نقش کرتا ہے۔ سمیٹرک میکڈونلڈ کثیر الجہتی مطمئن ہوتا ہے: جہاں بیرونی مجموعہ ان تمام الگ الگ کمپوزیشنز پر ہوتا ہے جن کی ترتیبات ہوتی ہیں، اور اندرونی مجموعہ پہلے کی طرح ہوتا ہے۔ حوالہ جات کتابیات مارک ہیمن کمبینٹوریکس، سمیٹرک افعال، اور ہلبرٹ اسکیمیں ریاضی میں موجودہ پیش رفت 2002، نمبر۔ 1 (2002)، 39-111۔ ہیمن، مارک نوٹس میکڈونلڈ کثیر الجہتی اور ہلبرٹ اسکیموں کی جیومیٹری پر۔ سمیٹرک افعال 2001: پیش رفت اور نقطہ نظر کے سروے، 1-64، نیٹو سائنس۔ سر۔ II ریاضی۔ فزیکل۔ کیم۔، 74، کلور اکاڈ۔ اشاعت۔، ڈورڈرچٹ، 2002۔ میکڈونلڈ، آئی۔ جی۔ سمیٹرک افعال اور ہال کثیر الجہتی۔ دوسرا ایڈیشن۔ آکسفورڈ ریاضیاتی مونوگراف۔ آکسفورڈ سائنس اشاعت۔ دی کلیرینڈن پریس، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، نیویارک، 1995۔ x + 475 پی پی۔ میکڈونلڈ، آئی۔ جی۔ سمیٹرک افعال اور آرتھوگنل کثیر الجہتی۔ ڈین جیکولین بی لیوس میموریل لیکچرز رٹگرز یونیورسٹی، نیو برنزوک، این جے میں پیش کیے گئے۔ یونیورسٹی لیکچر سیریز، 12۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، پروویڈنس، آر آئی، 1998۔ xvi + 53 پی پی۔ میکڈونلڈ، آئی۔ جی۔ افائن ہیک الجبرا اور آرتھوگنل کثیر الجہتی۔ سیمینیئر بورباکی 797 (1995)۔ بیرونی روابط میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے بارے میں مائیک زیبروکی کا صفحہ۔ میکڈونلڈ کثیر الجہتی کے بارے میں ہیمن کے کچھ مقالے۔ الجبرائی امتزاج الجبرائی جیومیٹری آرتھوگنل کثیر الجہتی