Crystal base
ایک-ویکٹر جگہ پر کوانٹم گروپ کی نمائندگی کے لیے ایک کرسٹل بیس اس ویکٹر جگہ کی بنیاد نہیں ہے بلکہ اس ویکٹر جگہ میں ایک-جالی کہاں ہے اس کی بنیاد ہے۔ کرسٹل بیسز کے کام میں اور اس کے کام میں بھی نمودار ہوئے۔ ان کی وضاحت کردہ کینونکل بنیاد کے طور پر انہیں تخصص کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تعریف اس کے تعریفی تعلقات کے نتیجے کے طور پر، کوانٹم گروپ کو غیر متعین q اوور کے تمام عقلی افعال کے میدان پر ہوپف الجبرا کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ سادہ جڑ اور غیر منفی عدد کے لیے، انٹیگریبل ماڈیول میں، اور وزن کے لیے، ایک ویکٹر (یعنی۔ وزن کے ساتھ ایک ویکٹر) کو منفرد طور پر ان جملوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جہاں، صرف اگر، اور صرف اگر۔ لکیری نقشہ سازی کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ آئیے ان تمام عقلی افعال کا لازمی ڈومین بنیں جن میں (یعنی۔ ایک ریشنل فنکشن ایک عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کثیر الجہتی موجود ہوں اور کثیر الجہتی رنگ میں اس طرح، اور)۔ کے لیے ایک کرسٹل بیس ایک ترتیب شدہ جوڑا ہوتا ہے، جیسا کہ اس طرح کا ایک فری-سب ماڈیول ہے جو کہ ویکٹر اسپیس کا ایک-بیس ہے اور، جہاں اور اور اور اسے مزید غیر رسمی ترتیب میں رکھنے کے لیے، کے اعمال اور عام طور پر ایک مربوط ماڈیول پر واحد ہوتے ہیں۔ لکیری نقشہ سازی اور ماڈیول پر متعارف کرایا جاتا ہے تاکہ ماڈیول پر اور کے اعمال باقاعدہ ہوں۔ وزن کے ویکٹروں کی ایک-بنیاد موجود ہے، جس کے حوالے سے تمام کے اعمال باقاعدہ ہیں۔ اس کے بعد ماڈیول بیس کے ذریعہ تیار کردہ فری-ماڈیول تک محدود ہوتا ہے، اور بیس ویکٹر،-سب ماڈیول اور اس کے اعمال کا جائزہ لیا جاتا ہے۔ مزید برآں، بنیاد کو اس طرح منتخب کیا جا سکتا ہے کہ، سب کے لیے، اور باہمی منتقلی کے ذریعے نمائندگی کی جائے، اور بیس ویکٹر کو بیس ویکٹر یا 0 پر نقشہ بنایا جائے۔ ایک کرسٹل بیس کی نمائندگی لیبل والے کناروں کے ساتھ ڈائریکٹڈ گراف کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ گراف کا ہر ورٹیکس-بیس کے ایک عنصر کی نمائندگی کرتا ہے، اور ایک ڈائریکٹڈ ایج، جس پر i کا لیبل لگا ہوا ہے، اور ورٹیکس سے ورٹیکس تک ہدایت کی گئی ہے، اس کی نمائندگی کرتا ہے (اور، مساوی طور پر، وہ)، جہاں بیس عنصر کی نمائندگی کی جاتی ہے، اور وہ بیس عنصر ہے جس کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ گراف مکمل طور پر اور کے اعمال کا تعین کرتا ہے۔ اگر کسی انٹیگریبل ماڈیول میں کرسٹل بیس ہے، تو ماڈیول تب ہی ناقابل تلافی ہوگا جب کرسٹل بیس کی نمائندگی کرنے والا گراف منسلک ہو (گراف کو "منسلک" کہا جاتا ہے اگر عمودی حصوں کے سیٹ کو غیر معمولی جداگانہ ذیلی سیٹوں کے اتحاد میں تقسیم نہیں کیا جا سکتا اور اس طرح کہ کسی بھی سرے میں کسی بھی سرے کو جوڑنے والے کنارے نہ ہوں)۔ کرسٹل بیس والے کسی بھی انٹیگریبل ماڈیول کے لیے، کرسٹل بیس کے لیے وزن کا سپیکٹرم ماڈیول کے وزن کے سپیکٹرم جیسا ہی ہوتا ہے، اور اس لیے کرسٹل بیس کے لیے وزن کا سپیکٹرم مناسب کے اے سی-موڈی الجبرا کے متعلقہ ماڈیول کے لیے وزن کے سپیکٹرم جیسا ہی ہوتا ہے۔ کرسٹل بیس میں وزن کی ضرب بھی مناسب کاک-موڈی الجبرا کے متعلقہ ماڈیول میں ان کی ضرب کے برابر ہوتی ہے۔ یہ کاشی واڑہ کا ایک نظریہ ہے کہ ہر مربوط سب سے زیادہ وزن والے ماڈیول میں ایک کرسٹل بیس ہوتا ہے۔ اسی طرح، ہر مربوط سب سے کم وزن والے ماڈیول میں ایک کرسٹل بیس ہوتا ہے۔ کرسٹل بیس کے ٹینسر پروڈکٹ آئیے کرسٹل بیس کے ساتھ ایک مربوط ماڈیول بنیں اور کرسٹل بیس کے ساتھ ایک مربوط ماڈیول بنیں۔ کرسٹل بیسز کے لیے، کی طرف سے دی گئی شریک پیداوار کو اپنایا جاتا ہے۔ مربوط ماڈیول میں کرسٹل بیس ہے، جہاں۔ بیس ویکٹر کے لیے، وضاحت کریں۔ کے اور پر کے اعمال اس کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ پروڈکٹ کے دو مربوط سب سے زیادہ وزن والے ماڈیولز کو ناقابل تلافی ذیلی ماڈیولز میں سڑنے کا تعین کرسٹل بیس کے گراف کو اس کے منسلک اجزاء میں سڑنے سے ہوتا ہے (یعنی۔ ذیلی ماڈیولز کے سب سے زیادہ وزن کا تعین کیا جاتا ہے، اور ہر سب سے زیادہ وزن کی کثرت کا تعین کیا جاتا ہے)۔ حوالہ جات بیرونی روابط جھوٹ الجبراس نمائندگی نظریہ کوانٹم گروپس