Eilenberg–Moore spectral sequence
ریاضی میں، الجبرائی ٹوپولوجی کے میدان میں، ایلن برگ-مور سپیکٹرم سیکوینس ایک فائبرشن پر پل بیک کے ہومیولوجی گروپوں کے حساب سے خطاب کرتا ہے۔ سپیکٹرم کی ترتیب بقیہ خالی جگہوں کی ہومیولوجی کے علم سے حساب تیار کرتی ہے۔ سیموئل ایلن برگ اور جان سی مور کے اصل مقالے میں واحد ہم آہنگی کے لیے اس کا ذکر کیا گیا ہے۔ محرک ایک فیلڈ ہونے دیں اور بالترتیب k میں کوفیشنٹس کے ساتھ سنگل ہومیولوجی اور سنگل کوہمولوجی کو ظاہر کریں۔ مسلسل نقشہ p کے درج ذیل پل بیک پر غور کریں: ایک بار بار سوال یہ ہے کہ فائبر پروڈکٹ کی ہم آہنگی، B، X اور E کی ہم آہنگی سے کس طرح متعلق ہے۔ مثال کے طور پر، اگر B ایک نقطہ ہے، تو پل بیک صرف معمول کی پیداوار ہے۔ اس معاملے میں کونیتھ فارمولا کہتا ہے کہ تاہم یہ تعلق زیادہ عام حالات میں درست نہیں ہے۔ ایلنبرگ-مور سپیکٹرم سیکوینس ایک ایسا آلہ ہے جو بعض حالات میں فائبر پروڈکٹ کی (شریک) ہومیولوجی کے حساب کی اجازت دیتا ہے۔ بیان ایلنبرگ-مور سپیکٹرم کی ترتیب مندرجہ بالا آئسومورفزم کو اس صورت حال میں عام کرتی ہے جہاں p ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا فبریشن ہے اور بیس B آسانی سے جڑا ہوا ہے۔ پھر اس کے ساتھ ایک متغیر سپیکٹرم ترتیب ہے۔ یہ ایک عمومی شکل ہے کیونکہ صفر ٹور فنکٹر صرف ٹینسر پروڈکٹ ہے اور مندرجہ بالا خاص معاملے میں نقطہ B کی کوہمولوجی صرف کوفشنٹ فیلڈ k (ڈگری 0 میں) ہے۔ دو طرفہ طور پر، ہمارے پاس مندرجہ ذیل ہومیولوجی سپیکٹرم کی ترتیب ہے: ثبوت پر اشارے سپیکٹرم کی ترتیب تفریق درجہ بند اشیاء (چین کمپلیکس) کے مطالعہ سے پیدا ہوتی ہے، خالی جگہوں سے نہیں۔ درج ذیل میں ایلن برگ اور مور کی اصل ہم جنسیاتی تعمیر پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ کوہمولوجی کیس اسی طرح حاصل کیا جاتا ہے۔ کوفشنٹس کے ساتھ واحد چین فنکٹر بنیں۔ ایلنبرگ-زیلبر تھیوریم کے مطابق، ڈھانچے کے نقشوں کے ساتھ ایک تفریق درجہ بند کوئلہ الجبرا ڈھانچہ ہے۔ نیچے سے زمین کی اصطلاحات میں، نقشہ ایک واحد سلسلہ s: Δn → B کو s کی ساخت اور اخترن شمولیت B × B تفویض کرتا ہے۔ اسی طرح، نقشہ جات اور تفریق درجہ بند کولجیبراس کے نقشوں کو متاثر کرتے ہیں۔ کوموڈیولز کی زبان میں، وہ ساخت کے نقشوں کے ساتھ اور اسی طرح X کے بجائے E کے لیے تفریق درجہ بند کوموڈیول ڈھانچوں کے ساتھ فراہم کرتے ہیں۔ اب یہ ممکن ہے کہ ایک تفریقی درجہ بند کوموڈیول کے طور پر نام نہاد کوبر ریزولوشن کی تعمیر کی جائے۔ کوبر ریزولوشن تفریق ہومیولوجیکل الجبرا میں ایک معیاری تکنیک ہے: جہاں n-th اصطلاح بائیں کوموڈیول کے طور پر ڈھانچے کا نقشہ کہاں ہے اس کے ذریعہ نقشے دیئے جاتے ہیں۔ کوبر ریزولوشن ایک بائیکمپلیکس ہے، ایک ڈگری سلسلہ کمپلیکس S * (−) کی درجہ بندی سے آتی ہے، دوسری سادہ ڈگری n ہے۔ بائیکمپلیکس کے کل کمپلیکس کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ ٹاپولوجیکل صورتحال کے ساتھ مذکورہ بالا الجبرائی تعمیر کا تعلق مندرجہ ذیل ہے۔ مندرجہ بالا مفروضوں کے تحت، ایک نقشہ ہے جو ایک نیم آئسومورفزم (یعنی۔ ہومیولوجی گروپوں پر ایک آئسومورفزم کو متاثر کرنا) جہاں کوٹینسر پروڈکٹ ہے اور کوٹر (کوٹرشن) کوٹینسر پروڈکٹ کے لیے اخذ کردہ فنکٹر ہے۔ حساب لگانے کے لیے، ڈبل کمپلیکس کے طور پر دیکھیں۔ کسی بھی بائیکمپلیکس کے لیے دو فلٹریشن ہوتے ہیں (دیکھیں یا فلٹر شدہ کمپلیکس کی سپیکٹرم ترتیب) ؛ اس صورت میں ایلن برگ-مور سپیکٹرم ترتیب ہومولوجیکل ڈگری میں اضافہ کرکے فلٹر کرنے کا نتیجہ ہے (سپیکٹرم ترتیب کی معیاری تصویر میں کالموں کے ذریعے)۔ یہ فلٹریشن ان نتائج کو مختلف طریقوں سے بہتر بناتی ہے۔ مثال کے طور پر، کنورجنس کے نتائج کو بہتر بنایا تاکہ خالی جگہوں کو شامل کیا جا سکے جن کے لیے سب کے لیے غیر فعال طور پر کام کرتا ہے اور من مانی پل بیکس کو شامل کرنے کے لیے اسے مزید عام کیا۔ اصل تعمیر دوسرے ہومیولوجی نظریات کے ساتھ حساب کتاب کے لیے خود کو قرض نہیں دیتی ہے کیونکہ یہ توقع کرنے کی کوئی وجہ نہیں ہے کہ اس طرح کا عمل ہومیولوجی تھیوری کے لیے کام کرے گا جو چین کمپلیکس سے اخذ نہیں کیا گیا ہے۔ تاہم، مندرجہ بالا طریقہ کار کو خود ساختہ بنانا اور ایسے حالات دینا ممکن ہے جن کے تحت مذکورہ بالا سپیکٹرم کی ترتیب عمومی (شریک) ہومیولوجی تھیوری کے لیے موزوں ہو، لیری اسمتھ کا اصل کام یا تعارف دیکھیں۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے ایلن ہیچر، الجبرائی ٹوپولوجی میں سپیکٹرل سیکوینسز، باب 3۔ ایلین برگ-میک لین اسپیس سپیکٹرم سیکوینسز ہومولوجی تھیوری