Lie bracket of vector fields
تفریقی ٹوپولوجی کے ریاضیاتی میدان میں، ویکٹر فیلڈز کا لائ بریکٹ، جسے جیکوبی-لی بریکٹ یا ویکٹر فیلڈز کا کمیونیٹر بھی کہا جاتا ہے، ایک آپریٹر ہے جو کسی بھی دو ویکٹر فیلڈز X اور Y کو ہموار کئی گنا M پر تفویض کرتا ہے۔ تصوراتی طور پر، لائ بریکٹ X کے ذریعے پیدا ہونے والے بہاؤ کے ساتھ Y کا مشتق ہے، اور بعض اوقات اس کی نشاندہی کی جاتی ہے ("X کے ساتھ Y کا مشتق جھوٹ")۔ یہ ایکس کے ذریعہ پیدا ہونے والے بہاؤ کے ساتھ کسی بھی ٹینسر فیلڈ کے لائ مشتق کو عام کرتا ہے۔ لائ بریکٹ ایک آر-بلینیئر آپریشن ہے اور کئی گنا ایم پر تمام ہموار ویکٹر فیلڈز کے سیٹ کو (لامحدود جہتی) لائ الجبرا میں بدل دیتا ہے۔ لائ بریکٹ تفریقی جیومیٹری اور تفریقی ٹوپولوجی میں اہم کردار ادا کرتا ہے، مثال کے طور پر فروبینیوس انٹیگریبلٹی تھیوریم میں، اور غیر لکیری کنٹرول سسٹمز کے ہندسی نظریہ میں بھی بنیادی ہے۔ تعریفیں لائ بریکٹ کی تعریف کرنے کے لیے تین تصوراتی طور پر مختلف لیکن مساوی نقطہ نظر ہیں: ویکٹر فیلڈز بطور مشتقات کئی گنا M پر ہر ہموار ویکٹر فیلڈ کو ایک تفریقی آپریٹر کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو ہموار افعال (جہاں اور کلاس کے) پر کام کرتا ہے جب ہم ایک اور فنکشن کے طور پر بیان کرتے ہیں جس کی قیمت ایک نقطہ پر X (p) کی سمت میں p پر f کا دشاتمک مشتق ہے۔ اس طرح، ہر ہموار ویکٹر فیلڈ X C ≤ (M) پر مشتق بن جاتا ہے۔ مزید برآں، C ≤ (M) پر کوئی بھی مشتق ایک منفرد ہموار ویکٹر فیلڈ X سے پیدا ہوتا ہے۔ عام طور پر، کسی بھی دو مشتقات کا کمیوٹیٹر اور پھر ایک مشتق ہے، جہاں آپریٹرز کی ساخت کو ظاہر کرتا ہے۔ اس کا استعمال لائ بریکٹ کو ویکٹر فیلڈ کے طور پر بیان کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے جو کمیونیٹیٹر مشتق سے مطابقت رکھتا ہے: بہاؤ اور حدود۔ پھر نقطہ پر X اور Y کے لائ بریکٹ کو لائ مشتق کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: یہ نقطہ x پر واپس آنے کے لیے یکے بعد دیگرے سمتوں میں بہاؤ کی ناکامی کی بھی پیمائش کرتا ہے: نقاط میں اگرچہ لائ بریکٹ کی مذکورہ بالا تعریفیں اندرونی ہیں (کئی گنا M پر نقاط کے انتخاب سے آزاد)، عملی طور پر اکثر ایک مخصوص مربوط نظام کے لحاظ سے بریکٹ کا حساب لگانا چاہتا ہے۔ ہم ٹینجینٹ بنڈل کی متعلقہ مقامی بنیاد کے لیے لکھتے ہیں، تاکہ عام ویکٹر فیلڈز کو لکھا جا سکے اور ہموار افعال کے لیے۔ پھر لائ بریکٹ کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے: اگر M (Rn کا ایک کھلا ذیلی مجموعہ) ہے، تو ویکٹر فیلڈز X اور Y کو فارم اور کے ہموار نقشوں کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، اور لائ بریکٹ اس طرح دیا جاتا ہے: جہاں اور جیکوبین میٹرکس ہیں (اور بالترتیب انڈیکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے) کالم ویکٹر X اور Y کو ضرب دیتے ہوئے۔ خصوصیات ویکٹر فیلڈز کا لائ بریکٹ M (یعنی ٹینجینٹ بنڈل کے ہموار حصوں) پر تمام ویکٹر فیلڈز کی حقیقی ویکٹر اسپیس کو لائ الجبرا کی ساخت سے لیس کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ [1] ایک نقشہ ہے جس کے ساتھ: R-بلینیریٹی اینٹی سمیٹری، جیکوبی شناخت، دوسری پراپرٹی کا فوری نتیجہ کسی بھی چیز کے لیے ہے۔ مزید برآں، لائ بریکٹ کے لیے ایک "پروڈکٹ رول" ہے۔ M پر ایک ہموار (اسکیلر ویلیوڈ) فنکشن f اور M پر ایک ویکٹر فیلڈ Y کو دیکھتے ہوئے، ہم ہر نقطہ پر ویکٹر Yx کو اسکیلر f (x) سے ضرب دے کر ایک نیا ویکٹر فیلڈ fY حاصل کرتے ہیں۔ پھر: جہاں ہم اسکیلر فنکشن X (f) کو ویکٹر فیلڈ Y سے اور اسکیلر فنکشن f کو ویکٹر فیلڈ سے ضرب دیتے ہیں۔ یہ لائ بریکٹ والے ویکٹر فیلڈز کو لائ الجیبرائڈ میں بدل دیتا ہے۔ X اور Y کے لائ بریکٹ کے غائب ہونے کا مطلب یہ ہے کہ ان سمتوں میں بہاؤ کی پیروی کرنے سے M میں سرایت شدہ سطح کی وضاحت ہوتی ہے، جس میں X اور Y کوآرڈینیٹ ویکٹر فیلڈز کے طور پر ہوتے ہیں: نظریہ: اگر X اور Y کے بہاؤ مقامی طور پر منتقل ہوتے ہیں، جس کا مطلب ہے سب کے لیے اور کافی حد تک چھوٹے s، t۔ یہ فروبینئس انٹیگریبلٹی تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ مثال کے طور پر ایک لائ گروپ G کے لیے، متعلقہ لائ الجبرا شناخت پر ٹینجینٹ اسپیس ہے، جس کی شناخت G پر بائیں غیر متغیر ویکٹر فیلڈز کی ویکٹر اسپیس سے کی جا سکتی ہے۔ دو بائیں غیر متغیر ویکٹر فیلڈز کے لائ بریکٹ کو بھی غیر متغیر چھوڑ دیا جاتا ہے، جو جیکوبی-لی بریکٹ آپریشن کی وضاحت کرتا ہے۔ ایک میٹرکس لائ گروپ کے لیے، جس کے عناصر میٹرکس ہیں، ہر ٹینجینٹ اسپیس کو میٹرکس کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے:، جہاں میٹرکس ضرب کا مطلب ہے اور I شناختی میٹرکس ہے۔ اس سے مطابقت رکھنے والا غیر متغیر ویکٹر فیلڈ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے، اور ایک حساب سے ظاہر ہوتا ہے کہ لائ بریکٹ میٹرکس کے معمول کے کمیونیٹیٹر سے مطابقت رکھتا ہے: جنرلایزیشن جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، لائ مشتق کو لائ بریکٹ کی عمومی کاری کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ لائ بریکٹ (ویکٹر ویلیوڈ تفریقی شکلوں کے لیے) کی ایک اور عمومی شکل فریلیچر-نجینہوئس بریکٹ ہے۔ حوالہ جات جھوٹ بریکٹ کی وسیع بحث، اور جھوٹ مشتقات کا عمومی نظریہ۔ لامحدود جہتوں تک عام کرنے کے لیے۔ بلینیئر نقشے تفریقی جیومیٹری تفریقی ٹوپولوجی ریمینیائی جیومیٹری