Ducci sequence
ڈوکی ترتیب انٹیجرز کے این-ٹپل کی ایک ترتیب ہے، جسے بعض اوقات "ڈفی گیم" کے نام سے جانا جاتا ہے، کیونکہ یہ ترتیب پر مبنی ہوتا ہے۔ انٹیجرز کے این-ٹپل کو دیکھتے ہوئے، ترتیب میں اگلا این-ٹپل پڑوسی انٹیجرز کے مطلق اختلافات کو لے کر تشکیل پاتا ہے: اسے بیان کرنے کا ایک اور طریقہ مندرجہ ذیل ہے۔ ایک دائرے میں n انٹیجرز کو ترتیب دیں اور پڑوسیوں کے درمیان فرق لے کر ایک نیا دائرہ بنائیں، کسی بھی منفی علامت کو نظر انداز کریں ؛ پھر آپریشن کو دہرائیں۔ ڈوکی ترتیبات کا نام اطالوی ریاضی دان اینریکو ڈوکی (1864-1940) کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے 1930 کی دہائی میں دریافت کیا تھا۔ ڈوکی ترتیبات کو ڈوکی نقشہ یا این نمبر گیم کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ان نقشوں کے مطالعہ میں کھلے مسائل اب بھی باقی ہیں۔ خصوصیات دوسرے این-ٹپل کے بعد سے، یہ واضح ہے کہ ڈوکی ترتیب میں ہر این-ٹپل میں ہر عدد 0 سے بڑا یا برابر ہوتا ہے اور پہلے این-ٹپل کے زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم ممبروں کے درمیان فرق سے کم یا برابر ہوتا ہے۔ چونکہ ان رکاوٹوں کے ساتھ ممکنہ این-ٹپل کی صرف ایک محدود تعداد موجود ہے، اس لیے این-ٹپل کی ترتیب کو جلد یا بعد میں خود کو دہرانا چاہیے۔ اس لیے ہر ڈوکی ترتیب بالآخر وقتا فوقتا بن جاتی ہے۔ اگر n 2 کی طاقت ہے تو ہر ڈوکی ترتیب بالآخر مراحل کی ایک محدود تعداد میں n-ٹپل (0,0,., 0) تک پہنچ جاتی ہے۔ اگر n دو کی طاقت نہیں ہے، تو ایک ڈوکی ترتیب یا تو آخر کار صفر کے n-ٹپل تک پہنچ جائے گی یا 'بائنری' n-ٹپل کے پیریڈک لوپ میں آباد ہو جائے گی۔ یعنی، شکل کے n-ٹپل، ایک مستقل ہے، اور۔ ڈوکی ترتیبات کی ایک واضح عمومی شکل یہ ہے کہ این-ٹپل کے اراکین کو صرف انٹیجرز کے بجائے کوئی حقیقی نمبر بننے کی اجازت دی جائے۔ مثال کے طور پر، یہ 4-ٹپل چار تکرار میں (0، 0، 0، 0) میں یکجا ہوتا ہے: یہاں پیش کردہ خصوصیات ہمیشہ ان عامیوں کے مطابق نہیں ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک ڈوکی ترتیب جو n-ٹپل (1، q، q2، q3) سے شروع ہوتی ہے جہاں q کیوبک کا (غیر معقول) مثبت جڑ ہے، مراحل کی ایک محدود تعداد میں (0,0,0، 0) تک نہیں پہنچتا، حالانکہ حد میں یہ (0,0,0، 0) میں ضم ہو جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ڈوکی کی ترتیبات صفر کے ٹپل یا پیریڈک لوپ تک پہنچنے سے پہلے من مانی طور پر لمبی ہو سکتی ہیں۔ (0، 653، 1854، 4063) سے شروع ہونے والی 4-ٹپل کی ترتیب صفر ٹپل تک پہنچنے کے لیے 24 تکرار لیتی ہے۔ یہ 5-ٹپل کی ترتیب 7 تکرار کے بعد 15 بائنری 'لوپ' کی مدت میں داخل ہوتی ہے۔ مندرجہ ذیل 6-ٹپل ترتیب سے پتہ چلتا ہے کہ ٹپل کے سلسلے جن کی لمبائی دو کی طاقت نہیں ہے وہ اب بھی صفر کے ٹپل تک پہنچ سکتے ہیں: اگر کچھ شرائط کسی بھی "دو کی طاقت"-ٹپل ڈوکی ترتیب پر عائد کی جاتی ہیں، تو یہ صفر ٹپل تک پہنچنے کے لیے دو یا اس سے کم تکرار کی طاقت لے گی۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ یہ ترتیبات ایک اصول کے مطابق ہیں۔ ماڈیولو ٹو فارم جب ڈوکی ترتیب بائنری لوپس میں داخل ہوتی ہے، تو ترتیب کو ماڈیولو ٹو میں ٹریٹ کرنا ممکن ہوتا ہے۔ یعنی: یہ ثابت کرنے کی بنیاد بناتا ہے جب ترتیب تمام صفر پر غائب ہو جاتی ہے۔ سیلولر آٹومیٹا ماڈیولو 2 میں لکیری نقشے کی مزید شناخت سیلولر آٹومیٹا کے طور پر کی جا سکتی ہے جسے وولفرم کوڈ میں قاعدہ 102 کے طور پر ظاہر کیا گیا ہے اور مارٹن-اوڈلیزکو-وولفرم نقشے کے ذریعے قاعدہ 90 سے متعلق ہے۔ قاعدہ 102 سیرپنسکی مثلث کو دوبارہ پیش کرتا ہے۔ دیگر متعلقہ موضوعات ڈوکی نقشہ فرق مساوات کی ایک مثال ہے، ایک زمرہ جس میں غیر لکیری حرکیات، افراتفری کا نظریہ اور عددی تجزیہ بھی شامل ہیں۔ سائکلوٹومک کثیر الجہتی کے ساتھ مماثلتوں کی بھی نشاندہی کی گئی ہے۔ اگرچہ اس وقت ڈوکی نقشے کا کوئی عملی اطلاق نہیں ہے، لیکن فرق مساوات کے انتہائی قابل اطلاق میدان سے اس کا تعلق اس قیاس کو جنم دیتا ہے کہ ڈوکی نقشے کی ایک شکل مستقبل میں بھی قابل اطلاق ہو سکتی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط ڈوکی سیکوئنس انٹیجر تکرار ایک دائرے پر کٹ-دی-نوٹ سیکوئنسز اور سیریز نمبر تھیوری پر