Hardy–Littlewood maximal function
ریاضی میں، ہارڈی-لٹل ووڈ میکسمل آپریٹر ایم ایک اہم غیر لکیری آپریٹر ہے جو حقیقی تجزیہ اور ہارمونک تجزیہ میں استعمال ہوتا ہے۔ تعریف آپریٹر مقامی طور پر مربوط فنکشن f: Rd → C لیتا ہے اور ایک اور فنکشن Mf واپس کرتا ہے۔ کسی بھی نقطہ x bul Rd کے لیے، فنکشن Mf حقیقی سیٹوں کے زیادہ سے زیادہ سیٹ کو واپس کرتا ہے، یعنی x پر کسی بھی رداس r کی تمام گیندوں B (x، r) کے لیے f کی اوسط اقدار کا سیٹ۔ رسمی طور پر، جہاں |E | ذیلی سیٹ E ऱ् آر ڈی کی ڈی جہتی لیبسگیو پیمائش کی نشاندہی کرتا ہے۔ اوسط x اور r میں مشترکہ طور پر مسلسل ہیں، اس لیے زیادہ سے زیادہ فنکشن Mf، r> 0 پر بالادستی ہونے کی وجہ سے قابل پیمائش ہے۔ یہ واضح نہیں ہے کہ ایم ایف تقریبا ہر جگہ محدود ہے۔ یہ ہارڈی-لٹل ووڈ کی زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کا نتیجہ ہے۔ ہارڈی-لٹل ووڈ زیادہ سے زیادہ عدم مساوات جی ایچ ہارڈی اور جے ای لٹل ووڈ کے اس نظریہ میں کہا گیا ہے کہ ایم پی> 1 کے لیے ایل پی (آر ڈی) سے خود تک ایک ذیلی لکیری آپریٹر کے طور پر پابند ہے۔ یعنی، اگر f ω Lp (Rd) ہے تو زیادہ سے زیادہ فنکشن Mf کمزور L1-باؤنڈ اور Mf ω Lp (Rd) ہے۔ تھیوریم کو مزید واضح طور پر بیان کرنے سے پہلے، سادگی کے لیے، {f> t} سیٹ {x | f (x)> t} کو ظاہر کرتے ہیں۔ اب ہمارے پاس: نظریہ (کمزور قسم کا تخمینہ) ہے۔ d ≤ 1 کے لیے، ایک مستقل Cd> 0 اس طرح ہے کہ تمام λ> 0 اور f ≤ L1 (Rd) کے لیے، ہمارے پاس: ہارڈی-لٹل ووڈ کی زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کے ساتھ، مندرجہ ذیل مضبوط قسم کا تخمینہ مارسنکیوز انٹرپولیشن تھیوریم کا فوری نتیجہ ہے: نظریہ (مضبوط قسم کا تخمینہ)۔ d ≤ 1، 1 <p ≤ ≤، اور f ≤ Lp (Rd) کے لیے، ایک مستقل Cp، d> 0 اس طرح ہے کہ مضبوط قسم کے تخمینے میں Cp کے لیے بہترین حدود، d نامعلوم ہیں۔ تاہم بعد میں الیاس ایم اسٹین نے مندرجہ ذیل کو ثابت کرنے کے لیے گردش کا کالڈرون-زیگمنڈ طریقہ استعمال کیا: نظریہ (طول و عرض کی آزادی)۔ اگرچہ اس تھیوریم کے کئی ثبوت ہیں، ایک مشترکہ ثبوت ذیل میں دیا گیا ہے: p = ν کے لیے، عدم مساوات معمولی ہے (چونکہ کسی فنکشن کی اوسط اس کے لازمی بالادستی سے بڑی نہیں ہے)۔ 1 <p <ini کے لیے، پہلے ہم کمزور قسم کے تخمینے کو ثابت کرنے کے لیے لیما کا احاطہ کرنے والے ویتالی کے درج ذیل ورژن کا استعمال کریں گے۔ (لیما کے ثبوت کے لیے مضمون دیکھیں۔) لیما۔ فرض کریں کہ X ایک علیحدہ میٹرک جگہ اور کھلی گیندوں کا ایک خاندان ہے جس کا قطر محدود ہے۔ اس کے بعد ایک قابل شمار ذیلی خاندان ہوتا ہے جو جداگانہ گیندوں پر مشتمل ہوتا ہے جہاں 5B 5 گنا رداس کے ساتھ B ہوتا ہے۔ اگر Mf (x)> t، تو، تعریف کے مطابق، ہم x پر مرکوز ایک گیند Bx کو اس طرح تلاش کر سکتے ہیں کہ لیما کے مطابق، ہم ایسی گیندوں میں، جداگانہ گیندوں Bj کا ایک سلسلہ اس طرح تلاش کر سکتے ہیں کہ 5Bj کا اتحاد {Mf> t} کا احاطہ کرتا ہے۔ یہ مندرجہ ذیل ہے: یہ کمزور قسم کے تخمینے کے ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔ اس کے بعد ہم اس سے ایل پی کی حدود کا اندازہ لگاتے ہیں۔ b کی تعریف b (x) = f (x) سے کریں اگر |f (x) |> t/2 اور 0 بصورت دیگر۔ b پر لاگو کمزور قسم کے تخمینے کے مطابق، ہمارے پاس: C = 5d کے ساتھ ہے۔ پھر اوپر کے تخمینے کے مطابق ہمارے پاس: جہاں مستقل Cp صرف p اور d پر منحصر ہوتا ہے۔ اس سے نظریہ کا ثبوت مکمل ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ثبوت میں مستقل کو لیبسگ پیمائش کی اندرونی باقاعدگی، اور لیما کا احاطہ کرنے والے ویتالی کے محدود ورژن کا استعمال کرکے بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ مستقل کو بہتر بنانے کے بارے میں مزید جاننے کے لیے نیچے ڈسکشن سیکشن دیکھیں۔ ایپلی کیشنز ہارڈی-لٹل ووڈ زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کی کچھ ایپلی کیشنز میں درج ذیل نتائج کو ثابت کرنا شامل ہے: لیبسیگ تفریق تھیوریم ریڈماچر تفریق تھیوریم غیر ٹینجینشیل کنورجنس پر فاتو کا تھیوریم۔ فریکشنل انٹیگریشن تھیوریم یہاں ہم لیبسیگ تفریق تھیوریم کا فوری ثبوت دینے کے لیے زیادہ سے زیادہ فنکشن پر مشتمل ایک معیاری چال استعمال کرتے ہیں۔ (لیکن یاد رکھیں کہ زیادہ سے زیادہ نظریہ کے ثبوت میں، ہم نے لیما کا احاطہ کرتے ہوئے ویتالی کا استعمال کیا۔) فرض کریں کہ f ω L1 (Rn) اور جہاں ہم f = h + g لکھتے ہیں جہاں h مسلسل ہے اور اس میں کمپیکٹ سپورٹ ہے اور g ω L1 (Rn) معیار کے ساتھ جسے من مانی طور پر چھوٹا بنایا جا سکتا ہے۔ پھر تسلسل کے ذریعے۔ اب، ωg ≤ 2Mg اور اس طرح، تھیوریم کے مطابق، ہمارے پاس: اب، ہم ωf = 0 کو تقریبا ہر جگہ لے جا سکتے ہیں اور نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں ؛ یعنی، تقریبا تمام x کے لیے موجود ہے۔ یہ ظاہر کرنا باقی ہے کہ حد اصل میں f (x) کے برابر ہے۔ لیکن یہ آسان ہے: یہ معلوم ہے کہ (شناخت کا تخمینہ) اور اس طرح تقریبا ہر جگہ ایک تسلسل ہوتا ہے۔ حد کی انفرادیت سے، اس کے بعد تقریبا ہر جگہ fr → f۔ بحث یہ ابھی تک معلوم نہیں ہے کہ مندرجہ بالا عدم مساوات میں سب سے چھوٹے مستقلات سی پی، ڈی اور سی ڈی کیا ہیں۔ تاہم، کروی زیادہ سے زیادہ افعال کے بارے میں الیاس اسٹین کا نتیجہ یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ، 1 <p <ν کے لیے، ہم طول و عرض پر Cp، d کا انحصار ختم کر سکتے ہیں، یعنی، Cp، d = Cp کسی مستقل Cp> 0 کے لیے صرف p پر منحصر ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ کوئی کمزور باؤنڈ ہے جو طول و عرض سے آزاد ہے۔ ہارڈی-لٹل ووڈ میکسمل آپریٹر کی کئی عام قسمیں ہیں جو مرکوز گیندوں پر اوسط کو سیٹوں کے مختلف خاندانوں پر اوسط سے بدل دیتی ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی غیر مرکوز ایچ ایل زیادہ سے زیادہ آپریٹر (اسٹین-شاکرچی کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے) کی وضاحت کر سکتا ہے جہاں گیندوں Bx کو x پر مرکوز ہونے کے بجائے محض x پر مشتمل ہونا ضروری ہے۔ ڈائڈک ایچ ایل میکسمل آپریٹر بھی ہے جہاں کیو ایکس نقطہ x پر مشتمل تمام ڈائڈک کیوب پر ہوتا ہے۔ یہ دونوں آپریٹر HL زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ رائزنگ سن لیما حوالہ جات جان بی گارنیٹ، باؤنڈڈ اینالیٹک فنکشنز بھی دیکھیں۔ سپرنگر-ورلاگ، 2006 انتونیوس ڈی میلاس، مرکوز ہارڈی-لٹل ووڈ زیادہ سے زیادہ عدم مساوات کے لیے بہترین مستقل، اینلز آف میتھمیٹکس، 157 (2003)، 647-688 رامی شاکرچی اور الیاس ایم اسٹین، تجزیہ III میں پرنسٹن لیکچرز: حقیقی تجزیہ۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، 2005 الیاس ایم۔ اسٹین، زیادہ سے زیادہ افعال: کروی ذرائع، پروک۔ ناٹل۔ اکاڈ۔ سائنس. یو۔ ایس۔ اے۔ 73 (1976)، ایلیاس ایم۔ اسٹین، سنگلر انٹیگرلز اینڈ ڈفریٚنٹایبلٹی پراپرٹیز آف فنکشنز۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، 1971 جیرالڈ ٹیشل، حقیقی اور فعال تجزیہ میں موضوعات (لیکچر نوٹ) حقیقی تجزیہ ہارمونک تجزیہ افعال کی اقسام