Quantile function
امکان اور اعداد و شمار میں، کوانٹائل فنکشن بے ترتیب متغیر کی قیمت کو اس طرح آؤٹ پٹ کرتا ہے کہ اس کا امکان ان پٹ امکان کی قیمت سے کم یا اس کے برابر ہو۔ بدیہی طور پر، کوانٹائل فنکشن امکانی ان پٹ پر اور اس سے نیچے کی حد کے ساتھ اس امکان کو جوڑتا ہے کہ کچھ امکانی تقسیم کے لیے اس حد میں بے ترتیب متغیر کا احساس ہو۔ اسے فیصد فنکشن (فیصد کے بعد)، فیصد پوائنٹ فنکشن یا الٹا مجموعی تقسیم فنکشن (مجموعی تقسیم فنکشن کے بعد) بھی کہا جاتا ہے۔ تعریف سختی سے یک جہتی تقسیم فعل بے ترتیب متغیر X کے مسلسل اور سختی سے یک جہتی مجموعی تقسیم فعل کے حوالے سے، مقداری فعل اپنے ان پٹ p کو ایک حد قدر x پر نقش کرتا ہے تاکہ X کے x سے کم یا برابر ہونے کا امکان p ہو۔ تقسیم فعل F کے لحاظ سے، مقداری فعل Q، x کی قدر اس طرح واپس کرتا ہے جسے c. d. f. کے الٹا لکھا جا سکتا ہے۔ عام تقسیم فنکشن تقسیم کے افعال کے عمومی معاملے میں جو سختی سے یکسوئی نہیں ہوتے ہیں اور اس وجہ سے الٹا سی ڈی ایف کی اجازت نہیں دیتے ہیں، کوانٹائل ایک (ممکنہ طور پر) سیٹ ہے جو تقسیم فنکشن ایف کا قابل قدر فنکشنل ہے، جو وقفہ کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ اکثر سب سے کم قیمت کا انتخاب کرنے کے لیے معیاری ہوتا ہے، جسے مساوی طور پر (ایف کے دائیں تسلسل کا استعمال کرتے ہوئے) لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم اس حقیقت کو پکڑتے ہیں کہ کوانٹائل فنکشن ان تمام اقدار میں سے ایکس کی کم از کم قیمت واپس کرتا ہے جن کی سی ڈی ایف قیمت پی سے زیادہ ہے، جو خاص صورت میں پچھلے امکان بیان کے مساوی ہے کہ تقسیم مسلسل ہے۔ نوٹ کریں کہ انفیمم فنکشن کو کم از کم فنکشن سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، کیونکہ ڈسٹری بیوشن فنکشن صحیح مسلسل اور کمزور یکسوئی سے بڑھ رہا ہے۔ کوانٹائل وہ منفرد فنکشن ہے جو گالوئس عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب فنکشن F مسلسل اور سختی سے یکسوئی سے بڑھ رہا ہو، تو عدم مساوات کو مساوات سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور ہمارے پاس: عام طور پر، اگرچہ ڈسٹری بیوشن فنکشن F بائیں یا دائیں الٹا رکھنے میں ناکام ہو سکتا ہے، کوانٹائل فنکشن Q ڈسٹری بیوشن فنکشن کے لیے "تقریبا یقینی طور پر بائیں الٹا" کے طور پر برتاؤ کرتا ہے، اس معنی میں کہ تقریبا یقینی طور پر۔ سادہ مثال مثال کے طور پر، ایکسپونینشیل (λ) (یعنی۔ شدت λ اور متوقع قدر (اوسط) 1/λ) ہے ایکسپونینشیل (λ) کے لیے کوانٹائل فنکشن Q کی قدر تلاش کر کے اخذ کیا جاتا ہے جس کے لیے: 0 ≤ p <1 کے لیے۔ لہذا کوارٹائلز یہ ہیں: پہلا کوارٹائل (پی = 1/4) میڈین (پی = 2/4) تیسرا کوارٹائل (پی = 3/4) ایپلی کیشنز کوانٹائل افعال شماریاتی ایپلی کیشنز اور مونٹی کارلو دونوں طریقوں میں استعمال ہوتے ہیں۔ کوانٹائل فنکشن امکان کی تقسیم کو تجویز کرنے کا ایک طریقہ ہے، اور یہ امکان کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) یا امکان بڑے پیمانے پر فنکشن، مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) اور خصوصیت فنکشن کا متبادل ہے۔ امکان کی تقسیم کا مقداری فعل، ق، اس کی مجموعی تقسیم فعل F کا الٹا ہے۔ مقداری فعل کا مشتق، یعنی مقداری کثافت فعل، امکان کی تقسیم کو تجویز کرنے کا ایک اور طریقہ ہے۔ یہ کوانٹائل فنکشن کے ساتھ تشکیل شدہ پی ڈی ایف کا باہمی ہے۔ شماریاتی ایپلی کیشنز کے لیے، صارفین کو دی گئی تقسیم کے کلیدی فیصد پوائنٹس کو جاننے کی ضرورت ہے۔ مثال کے طور پر، انہیں میڈین اور 25 ٪ اور 75 ٪ کوارٹائل کی ضرورت ہوتی ہے جیسا کہ اوپر کی مثال میں ہے یا دیگر ایپلی کیشنز کے لیے 5 ٪، 95 ٪، 2.5 ٪، 97.5% کی سطح جیسے کہ کسی مشاہدے کی شماریاتی اہمیت کا اندازہ لگانا جس کی تقسیم معلوم ہے۔ کوانٹائل انٹری دیکھیں۔ کمپیوٹرز کی مقبولیت سے پہلے، کتابوں میں مقداری فعل کے نمونے لینے والے شماریاتی جدولوں کے ساتھ ضمیمہ ہونا کوئی غیر معمولی بات نہیں تھی۔ مقداری افعال کی شماریاتی ایپلی کیشنز پر گلکرسٹ نے بڑے پیمانے پر تبادلہ خیال کیا ہے۔ مونٹی کارلو تخروپن متنوع قسم کے تخروپن حسابات میں استعمال کے لیے غیر یکساں بے ترتیب یا سڈورینڈم نمبر تیار کرنے کے لیے مقداری افعال کو استعمال کرتے ہیں۔ دی گئی تقسیم سے ایک نمونہ اصولی طور پر ایک یکساں تقسیم سے نمونے پر اس کے مقداری فعل کو لاگو کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ تخروپن طریقوں کے مطالبات، مثال کے طور پر جدید کمپیوٹیشنل فنانس میں، مقداری افعال پر مبنی طریقوں پر بڑھتی ہوئی توجہ مرکوز کر رہے ہیں، کیونکہ وہ مالیات میں کاپولا یا نیم مونٹے کارلو طریقوں اور مونٹی کارلو طریقوں پر مبنی کثیر متغیر تکنیکوں کے ساتھ اچھی طرح سے کام کرتے ہیں۔ حساب مقداری افعال کی تشخیص میں اکثر عددی طریقے شامل ہوتے ہیں، جیسے کہ اوپر کی ایکسپونینشل تقسیم، جو ان چند تقسیموں میں سے ایک ہے جہاں ایک بند شکل کا اظہار پایا جا سکتا ہے (دوسروں میں وردی، ویبل، ٹوکی لیمبڈا (جس میں لاجسٹک شامل ہے) اور لاگ لاجسٹک شامل ہیں)۔ جب خود سی ڈی ایف میں ایک بند شکل کا اظہار ہوتا ہے، تو کوئی بھی ہمیشہ عددی جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم کا استعمال کر سکتا ہے جیسے کہ سی ڈی ایف کو الٹنے کے لیے بائیسیکشن طریقہ۔ مقداری افعال کا اندازہ کرنے کے لیے دیگر الگورتھم کتابوں کی عددی ترکیبوں کی سیریز میں دیے گئے ہیں۔ عام تقسیم کے لیے الگورتھم بہت سے شماریاتی سافٹ ویئر پیکجوں میں بنائے جاتے ہیں۔ کوانٹائل افعال کو غیر لکیری عام اور جزوی تفریقی مساوات کے حل کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ نارمل، اسٹوڈنٹ، بیٹا اور گاما تقسیم کے معاملات کے لیے عام تفریق مساوات دی گئی ہیں اور حل کی گئی ہیں۔ نارمل ڈسٹری بیوشن نارمل ڈسٹری بیوشن شاید سب سے اہم معاملہ ہے۔ چونکہ نارمل ڈسٹری بیوشن ایک لوکیشن اسکیل فیملی ہے، اس لیے صوابدیدی پیرامیٹرز کے لیے اس کا کوانٹائل فنکشن معیاری نارمل ڈسٹری بیوشن کے کوانٹائل فنکشن کی سادہ تبدیلی سے حاصل کیا جا سکتا ہے، جسے پروبیٹ فنکشن کہا جاتا ہے۔ بدقسمتی سے، اس فنکشن میں بنیادی الجبرائی افعال کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بند شکل کی نمائندگی نہیں ہے ؛ اس کے نتیجے میں، تقریبا نمائشیں عام طور پر استعمال ہوتی ہیں۔ مکمل جامع عقلی اور کثیر الجہتی تخمینے وچورا اور اکلام نے دیے ہیں۔ شا کی طرف سے غیر جامع عقلی تخمینے تیار کیے گئے ہیں۔ عام مقداری کے لیے عام تفریق مساوات عام مقداری کے لیے غیر لکیری عام تفریق مساوات، ڈبلیو (پی)، دی جا سکتی ہے۔ یہ مرکز (ابتدائی) حالات کے ساتھ ہے۔ اس مساوات کو کلاسیکی پاور سیریز کے نقطہ نظر سمیت کئی طریقوں سے حل کیا جا سکتا ہے۔ اس سے من مانی طور پر اعلی درستگی کے حل تیار کیے جا سکتے ہیں (دیکھیں اسٹین بریچر اور شا، 2008)۔ طالب علم کی ٹی تقسیم یہ تاریخی طور پر زیادہ پیچیدہ معاملات میں سے ایک رہا ہے، کیونکہ ایک پیرامیٹر، ν، ڈگری آف فریڈم کی موجودگی، عقلی اور دیگر تخمینوں کے استعمال کو عجیب بنا دیتی ہے۔ سادہ فارمولے اس وقت موجود ہوتے ہیں جب ν = 1، 2، 4 ہوتا ہے اور جب ν یکساں ہوتا ہے تو مسئلہ کو کثیر الجہتی کے حل تک کم کیا جا سکتا ہے۔ دیگر صورتوں میں مقداری افعال کو پاور سیریز کے طور پر تیار کیا جا سکتا ہے۔ سادہ معاملات مندرجہ ذیل ہیں: ν = 1 (کاچی تقسیم) ν = 2 ν = 4 جہاں اور مندرجہ بالا میں "سائن" فنکشن مثبت دلائل کے لیے + 1، منفی دلائل کے لیے-1 اور صفر پر صفر ہے۔ اسے مثلثی سائن فنکشن کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ کوانٹائل مرکب کثافت کے مرکب کے مطابق، تقسیم کو کوانٹائل مرکب کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جہاں، کوانٹائل افعال ہیں اور، ماڈل پیرامیٹرز ہیں۔ پیرامیٹرز کو منتخب کیا جانا چاہیے تاکہ یہ ایک کوانٹائل فنکشن ہو۔ دو چار پیرامیٹرک کوانٹائل مرکب، نارمل-پولینومیل کوانٹائل مرکب اور کاچی-پولینومیل کوانٹائل مرکب، کاروانن کے ذریعہ پیش کیے جاتے ہیں۔ کوانٹائل افعال کے لیے غیر لکیری تفریق مساوات عام تقسیم کے لیے دی گئی غیر لکیری عام تفریق مساوات اس کا ایک خاص معاملہ ہے جو کسی بھی کوانٹائل فنکشن کے لیے دستیاب ہے جس کا دوسرا مشتق موجود ہے۔ عام طور پر کوانٹائل کے لیے مساوات، Q (p)، دی جا سکتی ہے۔ اسے مناسب باؤنڈری کنڈیشنز کے ذریعے بڑھایا جاتا ہے، جہاں اور f (x) امکانی کثافت فنکشن ہے۔ اس مساوات کی شکلیں، اور سیریز اور ایسمپٹوٹک حلوں کے ذریعہ اس کا کلاسیکی تجزیہ، نارمل، اسٹوڈنٹ، گاما اور بیٹا کی تقسیم کے معاملات کے لیے اسٹین بریچر اور شا (2008) نے واضح کیا ہے۔ اس طرح کے حل درست معیارات فراہم کرتے ہیں، اور طالب علم کے معاملے میں، لائیو مونٹی کارلو کے استعمال کے لیے موزوں سیریز۔ مزید پڑھنے کے لیے ابرنیتی، راجر ڈبلیو۔ اور اسمتھ، رابرٹ پی۔ (1993) * "ایف-ڈسٹری بیوشن کے فیصد تلاش کرنے کے لیے الٹا بیٹا ڈسٹری بیوشن پر سیریز کی توسیع کا اطلاق"، ACM ٹرانس۔ ریاضی۔ سافٹ ڈبلیو۔، 9 (4)، 478-480 "اسٹوڈنٹس" ٹی ڈسٹری بیوشن اے سی ایم الگورتھم 396 کے انتظام کے لیے نارمل کوانٹائل کے نئے طریقوں کی اصلاح: اسٹوڈنٹس ٹی-کوانٹائلز افعال امکانات کی تقسیم سے متعلق pt: کوانٹل