Essential extension
ریاضی میں، خاص طور پر ماڈیول تھیوری، جس میں ایک رنگ R اور ایک ذیلی ماڈیول N کے ساتھ ایک R-ماڈیول M دیا گیا ہے، ماڈیول M کو N کی ایک لازمی توسیع کہا جاتا ہے (یا N کو ایک لازمی ذیلی ماڈیول یا M کا بڑا ذیلی ماڈیول کہا جاتا ہے) اگر M کے ہر ذیلی ماڈیول H کے لیے، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک خاص صورت کے طور پر، R کا ایک لازمی لیفٹ آئیڈیل ایک لیفٹ آئیڈیل ہے جو بائیں ماڈیول آر آر کے ذیلی ماڈیول کے طور پر ضروری ہے۔ بائیں آئیڈیل میں آر کے کسی بھی غیر صفر بائیں آئیڈیل کے ساتھ غیر صفر انٹرسیکشن ہوتا ہے۔ اسی طرح، ایک لازمی دائیں آئیڈیل بالکل دائیں آر ماڈیول آر آر کا ایک لازمی ذیلی ماڈیول ہے۔ ضروری توسیعات کے لیے معمول کے اشارے میں درج ذیل دو تاثرات شامل ہیں:، اور ایک ضروری ذیلی ماڈیول کا دوہری تصور غیر ضروری ذیلی ماڈیول (یا چھوٹے ذیلی ماڈیول) کا ہے۔ ایک ذیلی ماڈیول N غیر ضروری ہے اگر کسی دوسرے ذیلی ماڈیول H کے لیے، اس کا مطلب ہے۔ غیر ضروری ذیلی ماڈیولز کے لیے معمول کے اشارے میں شامل ہیں:، اور خصوصیات یہاں ضروری ایکسٹینشنز کی کچھ ابتدائی خصوصیات ہیں، جو اوپر پیش کردہ اشارے میں دی گئی ہیں۔ فرض کریں کہ M ایک ماڈیول ہے، اور K، N اور H K N کے ساتھ M کے ذیلی ماڈیول ہیں۔ واضح طور پر M M کا ایک لازمی ذیلی ماڈیول ہے، اور غیر صفر ماڈیول کا صفر ذیلی ماڈیول کبھی بھی ضروری نہیں ہوتا ہے۔ اگر اور صرف اگر اور اگر اور صرف اس صورت میں جب اور زورن کے لیما کا استعمال کرتے ہوئے ایک اور مفید حقیقت ثابت کرنا ممکن ہے: M کے کسی بھی ذیلی ماڈیول N کے لیے، ایک ذیلی ماڈیول C موجود ہے۔ مزید برآں، ایک ماڈیول جس میں کوئی مناسب ضروری توسیع نہیں ہے (یعنی، اگر ماڈیول کسی دوسرے ماڈیول میں ضروری ہے، تو یہ اس ماڈیول کے برابر ہے) ایک انجیکشن ماڈیول ہے۔ اس کے بعد یہ ثابت کرنا ممکن ہے کہ ہر ماڈیول ایم میں زیادہ سے زیادہ ضروری توسیع ای (ایم) ہوتی ہے، جسے ایم کا انجیکشن ہول کہا جاتا ہے۔ انجیکشن ہول لازمی طور پر ایک انجیکشن ماڈیول ہے، اور آئسومورفزم تک منفرد ہے۔ انجیکشن ہول بھی اس لحاظ سے کم سے کم ہے کہ M پر مشتمل کسی بھی دوسرے انجیکشن ماڈیول میں E (M) کی کاپی ہوتی ہے۔ بہت سی خصوصیات غیر ضروری ذیلی ماڈیولز میں دوگنا ہو جاتی ہیں، لیکن سب کچھ نہیں۔ پھر M کو ایک ماڈیول ہونے دیں، اور K، N اور H کو K N کے ساتھ M کے ذیلی ماڈیول ہونے دیں۔ صفر ذیلی ماڈیول ہمیشہ غیر ضروری ہوتا ہے، اور غیر صفر ماڈیول M اپنے آپ میں کبھی بھی غیر ضروری نہیں ہوتا ہے۔ اگر اور صرف اگر اور اگر اور صرف اگر اور۔ چونکہ ہر ماڈیول کو ایک مونومورفزم کے ذریعے نقشہ بنایا جا سکتا ہے جس کی تصویر ایک انجیکشن ماڈیول (اس کے انجیکشن ہول) میں ضروری ہے، اس لیے کوئی پوچھ سکتا ہے کہ آیا دوہری بیان درست ہے، یعنی۔ ہر ماڈیول M کے لیے، کیا ایک پروجیکٹو ماڈیول P ہے اور P سے M پر ایک ایپیمورفزم ہے جس کا دانا غیر ضروری ہے؟ (اس طرح کے پی کو پروجیکٹو کور کہا جاتا ہے)۔ جواب عام طور پر "نہیں" ہے، اور رنگوں کی خصوصی کلاس جن کے دائیں ماڈیولز میں تمام پروجیکٹو کور ہوتے ہیں وہ صحیح کامل رنگوں کی کلاس ہے۔ ناکیاما کے لیما کی ایک شکل یہ ہے کہ جے (آر) ایم ایم کا ایک غیر ضروری ذیلی ماڈیول ہے جب ایم آر کے مقابلے میں ایک حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول ہے۔ عمومی کاری اس تعریف کو صوابدیدی ابیلین زمرہ سی میں عام کیا جا سکتا ہے۔ ایک لازمی توسیع ایک مونومورفزم ہے جس طرح سے ہر غیر صفر ذیلی آبجیکٹ s: N → E کے لیے، فائبر پروڈکٹ N × E M  ऒत्त 0۔ عام زمرے میں، ایک مورفزم f: X → Y ضروری ہے اگر کوئی مورفزم g: Y → Z ایک مونومورفزم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب g°f ایک مونومورفزم ہو۔ جی کو Y کی شناخت کی مورفزم کے طور پر لینا ظاہر کرتا ہے کہ ایک ضروری مورفزم f ایک مونومورفزم ہونا چاہیے۔ اگر X میں انجیکشن ہول Y ہے، تو Y X کی سب سے بڑی ضروری توسیع ہے۔ لیکن سب سے بڑی ضروری توسیع انجیکشن ہول نہیں ہو سکتی ہے۔ درحقیقت، ٹی 1 خالی جگہوں اور مسلسل نقشوں کے زمرے میں، ہر شے کی ایک منفرد سب سے بڑی ضروری توسیع ہوتی ہے، لیکن ایک سے زیادہ عنصر والی کسی بھی جگہ میں انجیکشن ہول نہیں ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ گھنے ذیلی ماڈیول ایک خاص قسم کے ضروری ذیلی ماڈیول ہیں حوالہ جات ڈیوڈ آئزن بڈ، الجبرائی جیومیٹری سیکشن III.2 مواصلاتی الجبرا ماڈیول تھیوری کی طرف ایک نقطہ نظر کے ساتھ مواصلاتی الجبرا۔