Positive-definite kernel
آپریٹر تھیوری میں، ریاضی کی ایک شاخ، ایک مثبت-یقینی دانا ایک مثبت-یقینی فنکشن یا مثبت-یقینی میٹرکس کی عمومی شکل ہے۔ یہ سب سے پہلے جیمز مرسر نے 20 ویں صدی کے اوائل میں انٹیگرل آپریٹر مساوات کو حل کرنے کے تناظر میں متعارف کرایا تھا۔ تب سے، ریاضی کے متنوع حصوں میں مثبت-یقینی افعال اور ان کے مختلف تشبیہات اور عامیاں پیدا ہوئی ہیں۔ وہ قدرتی طور پر فورئیر تجزیہ، امکانی نظریہ، آپریٹر تھیوری، پیچیدہ فنکشن تھیوری، لمحات کے مسائل، انٹیگرل مساوات، جزوی تفریقی مساوات کے لیے باؤنڈری ویلیو کے مسائل، مشین لرننگ، ایمبیڈنگ مسئلہ، انفارمیشن تھیوری، اور دیگر شعبوں میں پائے جاتے ہیں۔ تعریف ایک غیر خالی سیٹ ہونے دیں، جسے بعض اوقات انڈیکس سیٹ کہا جاتا ہے۔ ایک سمیٹرک فنکشن کو مثبت-یقینی (پی ڈی) کہا جاتا ہے۔ اگر کسی کے لیے ہوتا ہے تو دانا لگا دیا جاتا ہے۔ امکان کے نظریہ میں، بعض اوقات مثبت-قطعی دانے کے درمیان فرق کیا جاتا ہے، جس کے لیے (1.1) میں مساوات کا مطلب ہے، اور مثبت نیم قطعی (پی ایس ڈی)۔ دانے، جو اس شرط کو عائد نہیں کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ اس ضرورت کے مساوی ہے کہ جوڑی کے لحاظ سے تشخیص کے ذریعے بنایا گیا کوئی بھی محدود میٹرکس، یا تو مکمل طور پر مثبت ہو (پی۔ ڈی۔) یا غیر منفی (پی۔ ایس۔ ڈی۔) آئجین ویلیوز۔ ریاضیاتی ادب میں، دانے عام طور پر پیچیدہ قابل قدر افعال ہوتے ہیں، لیکن اس مضمون میں ہم حقیقی قدر والے افعال کو فرض کرتے ہیں، جو پی ڈی کی ایپلی کیشنز میں عام عمل ہے۔ دانے۔ کچھ عمومی خصوصیات پی ڈی کے خاندان کے لیے۔ دانے مخروطی رقم پی ڈی ہے، دی گئی پروڈکٹ پی ڈی ہے، دی گئی حد پی ڈی ہے۔ اگر حد موجود ہے۔ اگر سیٹوں کی ترتیب ہے، اور پی ڈی کی ترتیب ہے۔ دانے، پھر دونوں پی ڈی ہیں۔ دانے آن کریں۔ جانے دیں۔ پھر کرنے کی پابندی بھی پی ڈی ہے۔ دانا۔ پی ڈی کی مثالیں۔ دانے پی ڈی کی عام مثالیں یوکلڈین اسپیس پر بیان کردہ دانے میں شامل ہیں: لکیری دانا:۔ کثیر الجہتی دانا:۔ گوسیائی دانا (آر بی ایف دانا): لیپلاسیئن دانا:۔ ایبل دانا:۔ سوبولیو خالی جگہیں پیدا کرنے والا دانا:، تیسری قسم کا بیسیل فنکشن کہاں ہے۔ پیلے-وینر کی جگہ پیدا کرنے والا دانا: اگر ہلبرٹ اسپیس ہے، تو اس کا متعلقہ اندرونی پروڈکٹ پی ڈی ہے۔ دانا۔ درحقیقت، ہمارے پاس دانے اور ہسٹوگرام کی وضاحت کی گئی ہے: ہسٹوگرام اکثر حقیقی زندگی کے مسائل کی ایپلی کیشنز میں سامنے آتے ہیں۔ زیادہ تر مشاہدات عام طور پر گنتی کے غیر منفی ویکٹر کی شکل میں دستیاب ہوتے ہیں، جو اگر معمول پر آتے ہیں تو تعدد کے ہسٹوگرام حاصل کرتے ہیں۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ مربع میٹرکس کا مندرجہ ذیل خاندان، بالترتیب جینسن انحراف،-مربع، کل تغیر، اور ہیلنگر فاصلے کے دو تغیرات: پی ڈی کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ درج ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے دانے مثبت-یقینی دانے، جیسا کہ (1.1) میں بیان کیا گیا ہے، سب سے پہلے 1909 میں جیمز مرسر کے انٹیگرل مساوات پر ایک مقالے میں شائع ہوئے۔ کئی دوسرے مصنفین نے اگلی دو دہائیوں میں اس تصور کو استعمال کیا، لیکن ان میں سے کسی نے بھی واضح طور پر دانے کا استعمال نہیں کیا، یعنی۔ پی۔ ڈی۔ افعال (درحقیقت ایم میتھیاس اور ایس بوچنر ایسا لگتا ہے کہ پی ڈی کے مطالعہ سے واقف نہیں تھے۔ دانے)۔ مرسر کا کام 1904 کے ہلبرٹ کے مقالے سے دوسری قسم کی فریڈہولم انٹیگرل مساوات پر نکلا: خاص طور پر، ہلبرٹ نے دکھایا تھا کہ جہاں ایک مسلسل حقیقی سمیٹرک دانا ہے، وہ مسلسل ہے، آرتھونورمل آئجن فنکشنز کا ایک مکمل نظام ہے، اور s (1.2) کے متعلقہ آئجن ویلیوز ہیں۔ ہلبرٹ نے ایک "قطعی" دانا کی تعریف اس طرح کی ہے جس کے لیے ڈبل انٹیگرل مطمئن ہوتا ہے سوائے اس کے کہ۔ مرسر کے مقالے کا اصل مقصد ان دانے کو نمایاں کرنا تھا جو ہلبرٹ کے معنی میں قطعی ہیں، لیکن مرسر نے جلد ہی محسوس کیا کہ اس طرح کے افعال کی کلاس فیصلہ کن کے لحاظ سے خصوصیت دینے کے لیے بہت محدود تھی۔ اس لیے انہوں نے ایک مسلسل حقیقی سمیٹرک دانا کو مثبت قسم کا قرار دیا (یعنی۔ مثبت-یقینی) اگر تمام حقیقی مسلسل افعال کے لیے، اور اس نے ثابت کیا کہ (1.1) ایک دانا کے مثبت قسم کا ہونے کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط ہے۔ اس کے بعد مرسر نے ثابت کیا کہ کسی بھی مسلسل پی ڈی کے لیے۔ دانا توسیع بالکل اور یکساں طور پر برقرار رہتا ہے۔ تقریبا اسی وقت ڈبلیو۔ ایچ۔ ینگ نے انٹیگرل مساوات کے نظریہ میں ایک مختلف سوال سے متاثر ہو کر یہ ظاہر کیا کہ مسلسل دانے کی حالت (1.1) سب کے لیے مساوی ہے۔ ای۔ ایچ۔ مور نے ایک بہت ہی عام قسم کے پی۔ ڈی کا مطالعہ شروع کیا۔ دانا۔ اگر ایک تجریدی سیٹ ہے، تو وہ "مثبت ہرمیٹین میٹرکس" پر بیان کردہ افعال کو کہتے ہیں اگر وہ سب کے لیے (1.1) کو مطمئن کرتے ہیں۔ مور انٹیگرل مساوات کو عام کرنے میں دلچسپی رکھتے تھے اور انہوں نے دکھایا کہ اس طرح کے ہر ایک کے لیے افعال کی ایک ہلبرٹ جگہ ہوتی ہے، جیسے کہ ہر ایک کے لیے۔ اس خاصیت کو دانا کی دوبارہ پیش کرنے والی خاصیت کہا جاتا ہے اور یہ الپٹک جزوی تفریق مساوات کے لیے باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے حل میں اہمیت رکھتا ہے۔ ترقی کی ایک اور لائن جس میں پی ڈی دانے نے ایک بڑا کردار ادا کیا ہم آہنگ خالی جگہوں پر ہم آہنگی کا نظریہ جیسا کہ ای کارٹن نے 1929 میں شروع کیا تھا، اور ایچ ویل اور ایس ایٹو نے اسے جاری رکھا۔ پی ڈی کا سب سے جامع نظریہ۔ یکساں جگہوں میں دانے ایم کریین کے ہوتے ہیں جن میں خصوصی معاملات کے طور پر پی ڈی پر کام شامل ہوتا ہے۔ مقامی طور پر کمپیکٹ گروپوں کے افعال اور ناقابل تلافی یکطرفہ نمائشیں۔ امکان کے نظریہ میں، پی۔ ڈی۔ دانے سٹوچسٹک عمل کے کوویرینس دانے کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ دانا ہلبرٹ خالی جگہوں اور فیچر نقشوں کو دوبارہ پیش کرنے کے ساتھ تعلق مثبت-یقینی دانے ایک ایسا فریم ورک فراہم کرتے ہیں جس میں کچھ بنیادی ہلبرٹ خلائی تعمیرات شامل ہیں۔ مندرجہ ذیل میں ہم مثبت-یقینی دانے اور دو ریاضیاتی اشیاء کے درمیان ایک سخت تعلق پیش کرتے ہیں، یعنی ہلبرٹ خالی جگہوں اور فیچر نقشوں کو دوبارہ پیش کرتے ہیں۔ ایک سیٹ، افعال کا ہلبرٹ اسپیس، اور متعلقہ اندرونی پروڈکٹ آن ہونے دیں۔ کسی بھی تشخیص کے لیے فنکشنل کی تعریف اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ ہم سب سے پہلے ایک ری پروڈکشن کرنل ہلبرٹ اسپیس (آر کے ایچ ایس) کی وضاحت کرتے ہیں: تعریف: اگر تشخیصی افعال مسلسل ہوں تو اسپیس کو ری پروڈکشن کرنل ہلبرٹ اسپیس کہا جاتا ہے۔ ہر آر کے ایچ ایس کا اس سے وابستہ ایک خاص کام ہوتا ہے، یعنی دوبارہ پیدا کرنے والا دانا: تعریف: دوبارہ پیدا کرنے والا دانا ایک ایسا کام ہے جو، اور، سب کے لیے اور۔ مؤخر الذکر پراپرٹی کو ری پروڈکشن پراپرٹی کہا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل نتیجہ آر کے ایچ ایس اور دوبارہ پیدا کرنے والے دانے کے درمیان مساوات کو ظاہر کرتا ہے: اب مثبت قطعی دانے اور آر کے ایچ ایس کے درمیان تعلق مندرجہ ذیل نظریہ کے ذریعے دیا گیا ہے۔ جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، مثبت قطعی دانے اندرونی مصنوعات سے بنائے جا سکتے ہیں۔ اس حقیقت کو پی ڈی کو جوڑنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک اور دلچسپ شے کے ساتھ دانے جو مشین لرننگ ایپلی کیشنز میں پیدا ہوتے ہیں، یعنی فیچر میپ۔ ایک ہلبرٹ اسپیس، اور متعلقہ اندرونی پروڈکٹ ہونے دیں۔ کسی بھی نقشے کو فیچر میپ کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں ہم فیچر اسپیس کو کہتے ہیں۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ ہر فیچر میپ ایک منفرد پی ڈی کی وضاحت کرتا ہے۔ کرنل بذریعہ درحقیقت، پی ڈی سے درج ذیل کی مثبت قطعییت۔ اندرونی پروڈکٹ کی خاصیت۔ دوسری طرف، ہر پی ڈی۔ دانا اور اس کے متعلقہ آر کے ایچ ایس میں بہت سے متعلقہ فیچر نقشے ہیں۔ مثال کے طور پر: چلو، اور سب کے لیے۔ پھر، ری پروڈکشن پراپرٹی کے ذریعے۔ یہ پی ڈی پر ایک نئی نظر کی تجویز کرتا ہے۔ مناسب ہلبرٹ خالی جگہوں میں اندرونی مصنوعات کے طور پر دانے، یا دوسرے الفاظ میں پی ڈی۔ دانے کو مماثلت کے نقشوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو مؤثر طریقے سے اس بات کی مقدار طے کرتے ہیں کہ قدر کے ذریعے دو نکات کتنے مماثل ہیں۔ مزید برآں، پی ڈی کے مساوات کے ذریعے۔ دانے اور اس سے متعلق آر کے ایچ ایس، ہر خصوصیت کا نقشہ آر کے ایچ ایس کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ دانے اور فاصلے دانے کے طریقوں کا موازنہ اکثر فاصلے پر مبنی طریقوں جیسے قریبی پڑوسیوں سے کیا جاتا ہے۔ اس حصے میں ہم ان کے دو متعلقہ اجزاء، یعنی دانے اور فاصلے کے درمیان متوازی پر تبادلہ خیال کرتے ہیں۔ یہاں کسی سیٹ کے عناصر کے ہر جوڑے کے درمیان فاصلے کی تقریب سے ہمارا مطلب اس سیٹ پر بیان کردہ میٹرک ہے، یعنی۔ کوئی بھی غیر منفی قدر والا فنکشن جس پر اطمینان ہو، اور صرف اگر، فاصلے اور پی ڈی کے درمیان ایک ربط۔ دانے ایک خاص قسم کے دانے کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں، جسے منفی قطعی دانا کہا جاتا ہے، اور اس کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ تعریف: ایک سمیٹرک فنکشن کو منفی قطعی (این ڈی) دانا کہا جاتا ہے اگر یہ کسی اور اس طرح کے لیے ہو۔ این ڈی دانے اور فاصلے کے درمیان متوازی درج ذیل میں ہے: جب بھی کوئی این ڈی دانا سیٹ پر غائب ہو جاتا ہے، اور صرف اس سیٹ پر صفر ہوتا ہے، تو اس کا مربع جڑ اس کے لیے فاصلہ ہے۔ ایک ہی وقت میں ہر فاصلہ ضروری نہیں کہ کسی این ڈی کرنل سے مطابقت رکھتا ہو۔ یہ صرف ہلبرٹین فاصلے کے لیے درست ہے، جہاں فاصلے کو ہلبرٹین کہا جاتا ہے اگر کوئی میٹرک اسپیس کو کسی ہلبرٹ اسپیس میں آئسومیٹرک طور پر سرایت کر سکتا ہے۔ دوسری طرف، این ڈی دانے کی شناخت پی ڈی کے ذیلی خاندان سے کی جا سکتی ہے۔ دانے جنہیں لامحدود تقسیم شدہ دانے کہا جاتا ہے۔ ایک غیر منفی قدر والے دانا کو لامحدود طور پر قابل تقسیم کہا جاتا ہے اگر ہر ایک کے لیے ایک مثبت-یقینی دانا موجود ہو۔ ایک اور لنک یہ ہے کہ پی۔ ڈی۔ دانا ایک سڈومیٹرک کو شامل کرتا ہے، جہاں فاصلے کی تقریب پر پہلی رکاوٹ کو اجازت دینے کے لیے ڈھیلا کیا جاتا ہے۔ مثبت-قطعی دانا کو دیکھتے ہوئے، ہم فاصلاتی فنکشن کی تعریف اس طرح کر سکتے ہیں: مشین لرننگ میں کچھ ایپلی کیشنز مثبت-قطعی دانے، دانے ہلبرٹ خالی جگہوں کو دوبارہ پیش کرنے کے ساتھ ان کے مساوات کے ذریعے، شماریاتی سیکھنے کے نظریہ کے میدان میں خاص طور پر اہم ہیں کیونکہ مشہور نمائندہ تھیوریم جس میں کہا گیا ہے کہ آر کے ایچ ایس میں ہر منیائزر فنکشن کو ٹریننگ پوائنٹس پر تشخیص شدہ دانے فنکشن کے لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ عملی طور پر ایک مفید نتیجہ ہے کیونکہ یہ تجرباتی رسک کو کم کرنے کے مسئلے کو ایک لامحدود جہتی سے ایک محدود جہتی اصلاح کے مسئلے تک مؤثر طریقے سے آسان بناتا ہے۔ امکانی ماڈلز میں دانے امکانات کے نظریہ میں دانے پیدا ہونے کے کئی مختلف طریقے ہیں۔ غیر متعین بازیابی کے مسائل: فرض کریں کہ ہم کسی سیٹ کے نئے نقطہ پر کسی نامعلوم ماڈل فنکشن کا ردعمل تلاش کرنا چاہتے ہیں، بشرطیکہ ہمارے پاس مشاہدے یا تجربے کے ذریعے دیئے گئے ان پٹ-رسپانس جوڑوں کا نمونہ ہو۔ جواب ایک فکسڈ فنکشن نہیں ہے بلکہ ایک حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کا احساس ہے۔ مقصد اس فنکشن کے بارے میں معلومات حاصل کرنا ہے جو تعیناتی کی ترتیب میں بدل جاتا ہے۔ دو عناصر کے لیے بے ترتیب متغیرات اور غیر مربوط نہیں ہوں گے، کیونکہ اگر اس کے ذریعے بیان کردہ بے ترتیب تجربات کے بہت قریب ہے اور اکثر اسی طرح کا طرز عمل ظاہر کرے گا۔ یہ ایک کوویرینس دانا کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے۔ اس طرح کا دانا موجود ہے اور کمزور اضافی مفروضوں کے تحت مثبت-یقینی ہے۔ اب ممکنہ پس منظر کو مکمل طور پر نظر انداز کرتے ہوئے، کوویرینس دانا کے ساتھ دانا انٹرپولیشن کا استعمال کرکے ایک اچھا تخمینہ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اب فرض کریں کہ ایک شور متغیر، صفر اوسط اور تغیر کے ساتھ، اس طرح شامل کیا گیا ہے، کہ شور مختلف کے لیے آزاد اور وہاں سے آزاد ہے، پھر ایک اچھا تخمینہ تلاش کرنے کا مسئلہ مذکورہ بالا سے ملتا جلتا ہے، لیکن ایک ترمیم شدہ دانا کے ساتھ۔ دانے کے ذریعہ کثافت کا تخمینہ: مسئلہ یہ ہے کہ ڈومین پر کثیر متغیر تقسیم کی کثافت کو ایک بڑے نمونے سے بازیافت کیا جائے جس میں تکرار بھی شامل ہے۔ جہاں نمونے لینے کے نکات گھنے ہوتے ہیں، وہاں حقیقی کثافت فنکشن کو بڑی اقدار لینی چاہئیں۔ کثافت کا ایک سادہ تخمینہ گرڈ کے ہر خلیے میں نمونوں کی تعداد گن کر، اور نتیجے میں ہونے والے ہسٹوگرام کو پلاٹ کرکے ممکن ہے، جس سے مستقل کثافت کا تخمینہ ملتا ہے۔ ایک بہتر تخمینہ ایک غیر منفی ترجمہ غیر متغیر دانا کا استعمال کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے، جس میں کل انٹیگرل ایک کے برابر ہوتا ہے، اور اسے ہموار تخمینہ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ جزوی تفریقی مساوات کا عددی حل نام نہاد میش فری طریقوں کے سب سے بڑے اطلاق علاقوں میں سے ایک پی ڈی ایز کے عددی حل میں ہے۔ کچھ مقبول میش فری طریقوں کا مثبت-یقینی دانے سے گہرا تعلق ہے (جیسے کہ میش لیس لوکل پیٹروف گیلرکن (ایم ایل پی جی)، ری پروڈکشن دانے کا ذرہ طریقہ (آر کے پی ایم) اور ہموار ذرات ہائیڈرو ڈائنامکس (ایس پی ایچ))۔ یہ طریقے کولاکیشن کے لیے ریڈیل بیسڈ دانا استعمال کرتے ہیں۔ اسٹین اسپرنگ ڈائلشن تھیوریم دیگر ایپلی کیشنز کمپیوٹر کے تجربات اور انجینئرنگ کے دیگر تجربات پر ادب میں، پی ڈی پر مبنی ماڈلز کا تیزی سے سامنا ہوتا ہے۔ دانے، آر بی ایف یا کریگنگ۔ ایسا ہی ایک موضوع رسپانس سرفیس میتھوڈولوجی ہے۔ دیگر قسم کی ایپلی کیشنز جو ڈیٹا فٹنگ پر منحصر ہیں وہ تیز رفتار پروٹو ٹائپنگ اور کمپیوٹر گرافکس ہیں۔ یہاں اکثر پوائنٹ کلاؤڈ ڈیٹا کا تخمینہ لگانے یا انٹرپولیٹ کرنے کے لیے مضمر سطح کے ماڈلز کا استعمال کیا جاتا ہے۔ پی ڈی کی درخواستیں ریاضی کی مختلف دیگر شاخوں میں دانے کثیر متغیر انضمام، کثیر متغیر اصلاح، اور عددی تجزیہ اور سائنسی کمپیوٹنگ میں ہیں، جہاں کوئی تیز، درست اور انکولی الگورتھم کا مطالعہ کرتا ہے جو مثالی طور پر اعلی کارکردگی والے کمپیوٹنگ ماحول میں نافذ ہوتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ کوویرینس فنکشن انٹیگرل مساوات انٹیگرل ٹرانسفارم مثبت-ڈیفائنٹ فنکشن ایک گروپ پر ری پروڈکشن کرنل ہلبرٹ اسپیس کرنل طریقہ حوالہ جات آپریٹر تھیوری ہلبرٹ خالی جگہیں