Shapiro polynomials
ریاضی میں، شاپیرو کثیر الجہتی کثیر الجہتی کا ایک سلسلہ ہے جس کا سب سے پہلے 1951 میں ہیرالڈ ایس شاپیرو نے مطالعہ کیا تھا جب مخصوص مثلثی جملوں کی شدت پر غور کیا گیا تھا۔ سگنل پروسیسنگ میں، شاپیرو کثیر الجہتی میں آٹوکوریلیشن کی اچھی خصوصیات ہوتی ہیں اور یونٹ سرکل پر ان کی اقدار چھوٹی ہوتی ہیں۔ ترتیب کے پہلے چند ممبران یہ ہیں: جہاں دوسری ترتیب، جو ق کے ذریعہ اشارہ کی گئی ہے، کو پہلی ترتیب کی تکمیل کہا جاتا ہے، جس کی نشاندہی پی کنسٹرکشن کے ذریعہ کی گئی ہے۔ شاپیرو کثیر الجہتی پی این (زیڈ) کو گولی-روڈن-شاپیرو ترتیب این سے بنایا جا سکتا ہے، جو 1 کے برابر ہے اگر n کی بائنری توسیع میں مسلسل جوڑوں کی تعداد یکساں ہے، اور بصورت دیگر-1۔ اس طرح a0 = 1، a1 = 1، a2 = 1، a3 = −1، وغیرہ۔ پہلا شاپیرو Pn (z) پاور سیریز f (z): = a0 + a1z + a2z2 + کی ترتیب 2n−1 (جہاں n = 0,1,2,.) کا جزوی مجموعہ ہے۔ گولے-رودین-شاپیرو ترتیب {an} میں فریکٹل جیسی ساخت ہے-مثال کے طور پر، an = a2n-جس کا مطلب ہے کہ تسلسل (a0، a2، a4،) اصل ترتیب {an} کی نقل کرتا ہے۔ یہ بدلے میں f (z) سے مطمئن قابل ذکر فعال مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ دوسرے یا تکمیلی شاپیرو کثیر الجہتی Qn (z) کی تعریف اس ترتیب کے لحاظ سے، یا تعلق Qn (z) = (1-) nz2n-1Pn (-1/z)، یا تکرار خصوصیات کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ Pn سے مطابقت رکھنے والے تکمیلی کثیر الجہتی Qn کی ترتیب کو درج ذیل خصوصیات کے ذریعے منفرد طور پر نمایاں کیا جاتا ہے: (i) Qn ڈگری 2n−1 کا ہے ؛ (ii) Qn کے کوفیشنٹس تمام 1 یا-1 ہیں، اور اس کی مستقل اصطلاح 1 کے برابر ہے ؛ اور (iii) شناخت |Pn (z) |2 + |Qn (z) |2 = 2 ( {Pn} کی سب سے دلچسپ خاصیت یہ ہے کہ Pn (z) کی مطلق قیمت اکائی کے دائرے پر 2 (n + 1) کے مربع جڑ سے جڑی ہوتی ہے، جو کہ Pn کے L2 معیار کی ترتیب پر ہوتی ہے۔ سیٹ {−1,1} کے کوفشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی جن کا اکائی کے دائرے پر زیادہ سے زیادہ ماڈیولس ان کے اوسط ماڈیولس کے قریب ہے مواصلاتی نظریہ میں مختلف ایپلی کیشنز کے لیے مفید ہیں (مثال کے طور پر، اینٹینا ڈیزائن اور ڈیٹا کمپریشن)۔ پراپرٹی (iii) سے پتہ چلتا ہے کہ (P، Q) ایک گولی جوڑی بناتا ہے۔ ان کثیر الجہتی کی مزید خصوصیات ہیں: لٹل ووڈ کثیر الجہتی نوٹ حوالہ جات باب 4 بھی دیکھیں۔ فورئیر تجزیہ ڈیجیٹل سگنل پروسیسنگ کثیر الجہتی