Bruhat order
ریاضی میں، بروہاٹ آرڈر (جسے مضبوط آرڈر یا مضبوط بروہاٹ آرڈر یا چیولی آرڈر یا بروہاٹ-چیولی آرڈر یا چیولی-بروہاٹ آرڈر بھی کہا جاتا ہے) کاکسٹر گروپ کے عناصر پر ایک جزوی آرڈر ہے، جو شوبرٹ اقسام پر شمولیت کے آرڈر سے مطابقت رکھتا ہے۔ تاریخ پرچم کئی گنا یا گراس مینین کی شوبرٹ اقسام پر بروہاٹ آرڈر کا سب سے پہلے مطالعہ کیا گیا تھا، اور زیادہ عام نیم سادہ الجبرائی گروہوں کے لیے ینالاگ کا مطالعہ کیا گیا تھا۔ ویل گروپ پر بروہاٹ آرڈر کا مشترکہ مطالعہ شروع کیا، اور فرانکوئس بروہاٹ کے متعارف کردہ بروہاٹ سڑنے سے تعلق کی وجہ سے "بروہاٹ آرڈر" کا نام متعارف کرایا۔ بائیں اور دائیں کمزور بروہاٹ ترتیبات کا مطالعہ کیا گیا۔ تعریف اگر (ڈبلیو، ایس) جنریٹر ایس کے ساتھ ایک کاکسٹر سسٹم ہے، تو بروہاٹ آرڈر گروپ ڈبلیو پر ایک جزوی آرڈر ہے۔ یاد رکھیں کہ ڈبلیو کے عنصر ڈبلیو کے لیے ایک کم لفظ ایس کے عناصر کے پروڈکٹ کے طور پر ڈبلیو کا کم سے کم لمبائی کا اظہار ہے، اور ڈبلیو کی لمبائی ایل (ڈبلیو) ایک کم لفظ کی لمبائی ہے۔ (مضبوط) بروہاٹ ترتیب کی تعریف u ≤ v سے کی جاتی ہے اگر v کے لیے کچھ (یا ہر) کم شدہ لفظ کی کچھ سبسٹرنگ u کے لیے کم شدہ لفظ ہو۔ (نوٹ کریں کہ یہاں سبسٹرنگ لازمی طور پر لگاتار سبسٹرنگ نہیں ہے۔) کمزور بائیں (بروہاٹ) ترتیب کی تعریف u ≤ L v سے کی جاتی ہے اگر v کے لیے کسی کم شدہ لفظ کی کوئی حتمی سبسٹرنگ u کے لیے کم شدہ لفظ ہو۔ کمزور دائیں (بروہاٹ) ترتیب کی تعریف u ≤ R v سے کی جاتی ہے اگر v کے لیے کسی کم شدہ لفظ کی کچھ ابتدائی سبسٹرنگ u کے لیے کم شدہ لفظ ہو۔ کمزور ترتیبات کے بارے میں مزید معلومات کے لیے مضمون کمزور ترتیبات دیکھیں۔ بروہاٹ گراف بروہاٹ گراف (مضبوط) بروہاٹ ترتیب سے متعلق ایک ہدایت شدہ گراف ہے۔ ورٹیکس سیٹ کاکسٹر گروپ کے عناصر کا مجموعہ ہے اور کنارہ سیٹ ہدایت شدہ کناروں (u، v) پر مشتمل ہوتا ہے جب بھی کسی عکاسی t کے لیے u = tv اور l (u) <l (v)۔ گراف کو عکاسی کے سیٹ سے آنے والے ایج لیبلز کے ساتھ ایج لیبلڈ ڈائریکٹڈ گراف کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ (دائیں طرف ضرب کا استعمال کرتے ہوئے بروہاٹ گراف کی وضاحت بھی کی جا سکتی ہے ؛ گراف کے طور پر، نتیجے میں آنے والی اشیاء آئسومورفک ہیں، لیکن کنارے کی لیبلنگ مختلف ہیں۔) سمیٹرک گروپ (ترتیبات) پر مضبوط بروہاٹ آرڈر میں موبیئس فنکشن دیا گیا ہے، اور اس طرح یہ پوزیٹ یولیرین ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کا موبیئس فنکشن پوزیٹ پر رینک فنکشن کے ذریعہ تیار ہوتا ہے۔ کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی حوالہ جات کاکسٹر گروپس آرڈر تھیوری بھی دیکھیں۔