Spinors in three dimensions
ریاضی میں، تین جہتوں کے لیے مخصوص اسپنر تصور کو ڈاٹ پروڈکٹ اور کراس پروڈکٹ کے روایتی تصورات کے ذریعے سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ گردش گروپ ایس او (3) کی تفصیلی الجبرائی بحث کا حصہ ہے۔ تشکیل 2 × 2 پیچیدہ ہرمیٹین میٹرکس کے ساتھ اسپنر کی ایسوسی ایشن ایلی کارٹن نے وضع کی تھی۔ تفصیل سے، حقیقی (یا پیچیدہ) نمبروں کے ویکٹر x = (x1، x2، x3) کو دیکھتے ہوئے، پیچیدہ میٹرکس کو جوڑا جا سکتا ہے۔ طبیعیات میں، اسے اکثر ڈاٹ پروڈکٹ کے طور پر لکھا جاتا ہے، جہاں پالی میٹرکس کی ویکٹر شکل ہے۔ اس شکل کی میٹرکس میں درج ذیل خصوصیات ہیں، جو انہیں اندرونی طور پر 3-اسپیس کی جیومیٹری سے جوڑتی ہیں:، جہاں ڈیٹرمیننٹ کی نشاندہی ہوتی ہے۔ جہاں I شناخت میٹرکس ہے۔ جہاں Z کراس پروڈکٹ سے وابستہ میٹرکس ہے۔ اگر ایک یونٹ ویکٹر ہے، تو ویکٹر سے وابستہ میٹرکس ہے جو طیارہ آرتھوگنل میں عکاسی کرنے کا نتیجہ ہے۔ آخری خاصیت کو گردش کی کارروائیوں کو آسان بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ لکیری الجبرا سے ایک ابتدائی حقیقت ہے کہ 3-خلائی عوامل میں کوئی بھی گردش دو عکاسی کی ساخت کے طور پر ہوتی ہے۔ (زیادہ عام طور پر، کوئی بھی سمت بدلنے والی آرتھوگنل تبدیلی یا تو عکاسی ہوتی ہے یا تین عکاسی کی پیداوار ہوتی ہے۔) اس طرح اگر R ایک گردش ہے جو کسی یونٹ ویکٹر کے لیے طیارہ پرپینڈکولر میں عکاسی کے طور پر تحلیل ہوتی ہے جس کے بعد طیارہ پرپینڈکولر میں عکاسی ہوتی ہے، تو میٹرکس R کے ذریعے ویکٹر کی گردش کی نمائندگی کرتا ہے۔ 3-اسپیس کی تمام گردشی لکیری جیومیٹری کو پیچیدہ 2 × 2 میٹرکس کے سیٹ میں مؤثر طریقے سے انکوڈ کرنے کے بعد، یہ پوچھنا فطری ہے کہ 2 × 1 میٹرکس (یعنی کالم ویکٹر) کیا کردار ادا کرتے ہیں۔ عارضی طور پر، اسپنر ایک کالم ویکٹر ہوتا ہے جس میں پیچیدہ اندراجات ω1 اور ω2 ہوتے ہیں۔ اسپنرز کی جگہ واضح طور پر پیچیدہ 2 × 2 میٹرکس کے ذریعہ عمل میں آتی ہے۔ جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے، یونٹ ویکٹروں کے جوڑے میں دو عکاسی کا پروڈکٹ 2 × 2 میٹرکس کی وضاحت کرتا ہے جس کا یوکلڈین ویکٹروں پر عمل ایک گردش ہے۔ لہذا اسپنرز پر گردش کا عمل ہوتا ہے۔ تاہم، ایک اہم انتباہ ہے: گردش کی فیکٹرائزیشن منفرد نہیں ہے۔ واضح طور پر، اگر گردش کی نمائندگی ہے، تو R کو −R سے تبدیل کرنے سے وہی گردش حاصل ہوگی۔ درحقیقت، کوئی بھی آسانی سے یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ واحد ابہام ہے جو پیدا ہوتا ہے۔ اس طرح اسپنر پر گردش کا عمل ہمیشہ دوگنا ہوتا ہے۔ 2 × 2 پیچیدہ میٹرکس کے ساتھ کارٹن کے کام کے کچھ پیش رو تھے: وولف گینگ پالی نے ان میٹرکس کو اتنی شدت سے استعمال کیا تھا کہ چار جہتی ذیلی جگہ کی ایک خاص بنیاد کے عناصر کو پالی میٹرکس σi کہا جاتا ہے، تاکہ ہرمیٹین میٹرکس کو پالی ویکٹر کے طور پر لکھا جائے۔ 19 ویں صدی کے وسط میں چار پیچیدہ جہتوں کے اس الجبرا کی الجبرائی کارروائیوں کا مطالعہ بائیکاٹرنین کے طور پر کیا گیا۔ مائیکل اسٹون اور پال گولڈبار، ریاضی برائے طبیعیات میں، اس کا مقابلہ کرتے ہوئے کہتے ہیں، "سپن کی نمائندگی 1913 میں ایلی کارٹن نے طبیعیات میں ان کی ضرورت سے کچھ سال پہلے دریافت کی تھی۔" آئسوٹروپک ویکٹرز کا استعمال کرتے ہوئے تشکیل اسپنرز کو کواٹرنیئنک تعمیر کا استعمال کیے بغیر 3-اسپیس میں براہ راست آئسوٹروپک ویکٹرز سے بنایا جا سکتا ہے۔ اسپنرز کے اس تعارف کو تحریک دینے کے لیے، فرض کریں کہ X ایک میٹرکس ہے جو پیچیدہ 3-اسپیس میں ویکٹر x کی نمائندگی کرتا ہے۔ مزید فرض کریں کہ x آئسوٹروپک ہے: یعنی، پھر چونکہ X کا تعین کنندہ صفر ہے اس لیے اس کی قطاریں یا کالموں کے درمیان متناسبیت ہے۔ اس طرح میٹرکس کو دو پیچیدہ 2-ویکٹروں کے بیرونی پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: یہ فیکٹرائزیشن ویکٹر x کے نقاط میں مساوات کا ایک حد سے زیادہ طے شدہ نظام پیدا کرتی ہے: یہ نظام حلوں کو تسلیم کرتا ہے۔ اس طرح ایک اسپنر کو اشارے کے انتخاب کے ساتھ ایک آئسوٹروپک ویکٹر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ لوگرتھمک برانچنگ کی وجہ سے، مستقل طور پر کسی نشانی کا انتخاب کرنا ناممکن ہے تاکہ () نقاط x کے درمیان مکمل گردش کے ساتھ مسلسل تبدیل ہوتا رہے۔ اسپنر پر گردش کی نمائندگی کے اس مبہم ہونے کے باوجود، گردشوں کا عمل غیر متزلزل طور پر ایک فریکشنل لکیری تبدیلی کے ذریعے ہوتا ہے جس کا تناسب ω1: ω2 ہے کیونکہ حل () میں علامت کا ایک انتخاب دوسری علامت کے انتخاب پر مجبور کرتا ہے۔ خاص طور پر، اسپنرز کی جگہ آرتھوگنل گروپ کی ایک پروجیکٹو نمائندگی ہے۔ اس نقطہ نظر کے نتیجے میں، اسپنرز کو آئسوٹروپک ویکٹرز کی ایک قسم کی "مربع جڑ" سمجھا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، میٹرکس کو متعارف کرانا سسٹم () غیر متعین اسپنر کے لیے X = 2 ω t ω C کو حل کرنے کے مترادف ہے۔ ایک فورٹیوری، اگر ω اور x کے کردار اب الٹ جاتے ہیں، تو فارم Q (ω) = x، ہر اسپنر ω کے لیے، ω کے اجزاء میں چوتھائی طور پر ایک ویکٹر x کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر یہ کواڈریٹک شکل پولرائزڈ ہے، تو یہ اسپنرز Q (μ، x) پر دو لکیری ویکٹر ویلیوڈ فارم کا تعین کرتی ہے۔ یہ دو لکیری شکل پھر عکاسی یا گردش کے تحت تناؤ میں تبدیل ہو جاتی ہے۔ حقیقت مندرجہ بالا غور و فکر یکساں طور پر لاگو ہوتے ہیں چاہے زیر غور اصل یوکلڈین جگہ حقیقی ہو یا پیچیدہ۔ جب جگہ حقیقی ہوتی ہے، تاہم، اسپنرز میں کچھ اضافی ڈھانچہ ہوتا ہے جو بدلے میں گردش گروپ کی نمائندگی کی مکمل وضاحت کو آسان بناتا ہے۔ فرض کریں، سادگی کے لیے، کہ 3-اسپیس پر اندرونی پروڈکٹ مثبت-یقینی دستخط رکھتا ہے: اس روایت کے ساتھ، حقیقی ویکٹر ہرمیٹین میٹرکس سے مطابقت رکھتے ہیں۔ مزید برآں، فارم () کو محفوظ رکھنے والی حقیقی گردش (ڈبل ویلیوڈ معنوں میں) ڈیٹرمیننٹ کے یونٹری میٹرکس سے مطابقت رکھتی ہیں۔ جدید اصطلاحات میں، یہ خصوصی یکطرفہ گروپ ایس یو (2) کو ایس او (3) کے ڈبل کور کے طور پر پیش کرتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، اسپنر ہرمیٹین پروڈکٹ تمام گردشوں کے ذریعے محفوظ رہتا ہے، اور اس لیے کینونکل ہے۔ اگر، تاہم، 3-اسپیس پر اندرونی پروڈکٹ کا دستخط غیر معینہ مدت ہے (یعنی، غیر انحطاط، لیکن مثبت قطعی بھی نہیں)، تو اس کی عکاسی کرنے کے لیے مذکورہ تجزیہ کو ایڈجسٹ کیا جانا چاہیے۔ پھر فرض کریں کہ 3-اسپیس پر لمبائی کی شکل اس طرح دی گئی ہے: پھر پچھلے حصوں کے اسپنرز کی تعمیر آگے بڑھتی ہے، لیکن تمام فارمولوں میں تبدیل کرنے کے ساتھ۔ اس نئے کنونشن کے ساتھ، ایک حقیقی ویکٹر سے وابستہ میٹرکس خود حقیقی ہے: فارم () اب حقیقی گردش (یا الٹ) کے تحت غیر متغیر نہیں ہے، کیونکہ گروپ کو مستحکم کرنا () اب ایک لورینٹز گروپ O (2,1) ہے۔ اس کے بجائے، اینٹی ہرمیٹین فارم اس میٹرک دستخطی میں اسپنرز کے لیے اندرونی پروڈکٹ کے مناسب تصور کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ شکل O (2,1) کی شناخت کے منسلک جزو میں تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہے۔ دونوں صورتوں میں، چوتھائی شکل O (3) (یا O (2,1) کے تحت بالترتیب مکمل طور پر غیر متغیر ہے، جہاں Q پچھلے حصے میں بیان کردہ ویکٹر ویلیوڈ دو لکیری شکل ہے۔ یہ حقیقت کہ یہ کواڈریٹک کے بجائے ایک کوارٹک غیر متغیر ہے، اس کا ایک اہم نتیجہ ہے۔ اگر کوئی خصوصی آرتھوگنل تبدیلیوں کے گروپ پر توجہ مرکوز کرتا ہے، تو اس فارم کا مربع جڑ لینا اور ان کے ڈوئلز کے ساتھ اسپنرز کی شناخت حاصل کرنا غیر واضح طور پر ممکن ہے۔ نمائندگی کے نظریہ کی زبان میں، اس کا مطلب یہ ہے کہ آئسومورفزم تک ایس او (3) (یا ایس او (2,1)) کی صرف ایک ناقابل تلافی اسپن نمائندگی ہے۔ اگر، تاہم، الٹ پلٹ (مثال کے طور پر، ہوائی جہاز میں عکاسی) کی بھی اجازت ہے، تو اب عکاسی کے اطلاق پر نشان کی تبدیلی کی وجہ سے اسپنرز کو ان کے ڈوئلز کے ساتھ شناخت کرنا ممکن نہیں ہے۔ اس طرح O (3) (یا O (2,1)) کی دو ناقابل تلافی اسپن نمائندگی ہیں، جنہیں بعض اوقات پن کی نمائندگی کہا جاتا ہے۔ حقیقت کے ڈھانچے ان دونوں دستخطوں کے درمیان فرق کو اسپنرز کی جگہ پر حقیقت کے ڈھانچے کے تصور سے مرتب کیا جا سکتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، یہ اسپنر کا ایک پیچیدہ کنجوگیٹ لینے کے لیے ایک نسخہ ہے، لیکن اس طرح سے کہ یہ اسپنر کے اجزاء کے مطابق معمول کے کنجوگیٹ سے مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ خاص طور پر، ایک حقیقت کی ساخت کی وضاحت ہرمیٹین 2 × 2 میٹرکس K کے ذریعے کی جاتی ہے جس کا پروڈکٹ خود شناخت میٹرکس ہے: K2 = ID۔ ویکٹروں پر اندرونی پروڈکٹ کی مخصوص شکل (مثال کے طور پر، () یا ()) ایک حقیقت کی ساخت کا تعین کرتی ہے (-1 کے عنصر تک) ضرورت کے مطابق، جب بھی X ایک حقیقی ویکٹر سے وابستہ میٹرکس ہو۔ اس طرح K = iC یوکلیڈین دستخطی () میں حقیقت کا ڈھانچہ ہے، اور K = ID دستخط () کے لیے ہے۔ ہاتھ میں ایک حقیقت کی ساخت کے ساتھ، کسی کے درج ذیل نتائج ہوتے ہیں: X ایک حقیقی ویکٹر سے وابستہ میٹرکس ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، اگر μ اور φ ایک اسپنر ہے، تو اندرونی پروڈکٹ ایک ہرمیٹین شکل کا تعین کرتا ہے جو مناسب آرتھوگنل تبدیلیوں کے تحت غیر متغیر ہے۔ طبیعیات میں پالی اسپن میٹرکس کے اسپنرز کی مثالیں اکثر، اسپنرز کی پہلی مثال جس کا سامنا طبیعیات کا طالب علم کرتا ہے وہ پالی کے نظریہ الیکٹران اسپن میں استعمال ہونے والے 2 × 1 اسپنرز ہوتے ہیں۔ پالی میٹرکس تین 2 × 2 میٹرکس کا ایک ویکٹر ہے جو اسپن آپریٹرز کے طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ 3 جہتوں میں ایک یونٹ ویکٹر کو دیکھتے ہوئے، مثال کے طور پر (a، b، c)، یونٹ ویکٹر کی سمت میں گھومنے کے لیے ایک اسپن میٹرکس حاصل کرنے کے لیے پالی اسپن میٹرکس کے ساتھ ایک ڈاٹ پروڈکٹ لیا جاتا ہے۔ اس سپن میٹرکس کے آئجین ویکٹر سپن-1/2 کے لیے سپنر ہیں جو ویکٹر کی طرف سے دی گئی سمت پر مبنی ہیں۔ مثال: u = (0.8،-0.6، 0) ایک یونٹ ویکٹر ہے۔ اسے پالی اسپن میٹرکس کے ساتھ ڈاٹ کرنے سے میٹرکس ملتا ہے: آئجین ویکٹر لکیری الجبرا کے معمول کے طریقوں سے مل سکتے ہیں، لیکن ایک آسان چال یہ نوٹ کرنا ہے کہ پالی اسپن میٹرکس ایک غیر ارادی میٹرکس ہے، یعنی مذکورہ بالا میٹرکس کا مربع شناختی میٹرکس ہے۔ اس طرح ±1 کی آئجین ویلیوز کے ساتھ آئجین ویکٹر کے مسئلے کا (میٹرکس) حل محض 1 ±Su ہے۔ یعنی، اس کے بعد کوئی بھی آئجین ویکٹر میٹرکس کے کالموں میں سے کسی ایک کو ویکٹر حل کے طور پر منتخب کر سکتا ہے، بشرطیکہ منتخب کردہ کالم صفر نہ ہو۔ مذکورہ بالا کے پہلے کالم کو لیتے ہوئے، دو آئجین ویلیوز کے لیے آئجین ویکٹر حل یہ ہیں: آئجین ویکٹرز کو تلاش کرنے کے لیے استعمال ہونے والی چال آئیڈیلز کے تصور سے متعلق ہے، یعنی میٹرکس آئجین ویکٹرز (1 ±Su)/2 پروجیکشن آپریٹرز یا آئیڈیم پوٹینٹس ہیں اور اس لیے ہر ایک پالی الجبرا میں ایک آئیڈیل پیدا کرتا ہے۔ یہی چال کسی بھی کلفورڈ الجبرا میں کام کرتی ہے، خاص طور پر ڈیراک الجبرا جس پر ذیل میں بحث کی گئی ہے۔ یہ پروجیکشن آپریٹرز ڈینسٹی میٹرکس تھیوری میں بھی دیکھے جاتے ہیں جہاں وہ خالص ڈینسٹی میٹرکس کی مثالیں ہیں۔ زیادہ عام طور پر، (a، b، c) سمت میں گھومنے کے لیے پروجیکشن آپریٹر کے ذریعے دیا جاتا ہے اور کسی بھی غیر صفر کالم کو پروجیکشن آپریٹر کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ دونوں کالم مختلف نظر آتے ہیں، لیکن کوئی بھی a2 + b2 + c2 = 1 کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کر سکتا ہے کہ وہ ایک ہی اسپنر کے ضرب (ممکنہ طور پر صفر) ہیں۔ عمومی تبصرے جوہری طبیعیات اور کوانٹم میکانکس میں، گھماؤ کی خاصیت ایک اہم کردار ادا کرتی ہے۔ ان کی دیگر خصوصیات کے علاوہ تمام ذرات ایک غیر کلاسیکی خاصیت رکھتے ہیں، یعنی، جس کا روایتی طبیعیات میں کوئی مطابقت نہیں ہے، یعنی گھماؤ، جو ایک قسم کی اندرونی کونیی رفتار ہے۔ پوزیشن کی نمائندگی میں، اسپن کے بغیر لہر فنکشن کے بجائے، si = si (r)، اسپن کے ساتھ ہوتا ہے: si = si (r، σ)، جہاں σ درج ذیل مجرد اقدار کا مجموعہ لیتا ہے: کسی ذرہ کا کل کونیی مومنٹم آپریٹر، مداری کونیی مومنٹم (یعنی، وہاں صرف انٹیجرز کی اجازت ہے) اور اندرونی حصہ، اسپن کے مجموعے سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک بوسون (S = 0، ± 1، ± 2،) اور فرمین (S = ± 1/2، ± 3/2، ± 5/2،) میں فرق کرتا ہے۔ بلاچ سپیئر پالی مساوات بھی دیکھیں حوالہ جات لکیری الجبرا اسپنرز ru: σπινορ τρίχμερνογο προστρανστβ