Relative change
کسی بھی مقداری سائنس میں، موازنہ کی جانے والی چیزوں کے "سائز" کو مدنظر رکھتے ہوئے دو مقداروں کا موازنہ کرنے کے لیے متعلقہ تبدیلی اور متعلقہ فرق کی اصطلاحات استعمال کی جاتی ہیں، یعنی۔ کسی معیاری یا حوالہ یا ابتدائی قدر سے تقسیم کرنا۔ موازنہ کو تناسب کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور یہ ایک یونٹ لیس نمبر ہے۔ ان تناسب کو 100 سے ضرب دے کر ان کا اظہار فیصد کے طور پر کیا جا سکتا ہے لہذا اصطلاحات فیصد میں تبدیلی، فیصد (عمر) فرق، یا متعلقہ فیصد فرق بھی عام طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ اصطلاحات "تبدیلی" اور "فرق" ایک دوسرے کے بدلے استعمال کی جاتی ہیں۔ متعلقہ تبدیلی کو اکثر بار بار پیمائش کے لیے کوالٹی اشورینس اور کوالٹی کنٹرول کے مقداری اشارے کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے جہاں نتائج ایک جیسے ہونے کی توقع کی جاتی ہے۔ فیصد کی تبدیلی کا ایک خاص معاملہ (فیصد کے طور پر ظاہر ہونے والی رشتہ دار تبدیلی) جسے فیصد کی غلطی کہا جاتا ہے پیمائش کے حالات میں ہوتا ہے جہاں حوالہ قیمت قبول شدہ یا اصل قیمت (شاید نظریاتی طور پر طے شدہ) ہوتی ہے اور اس سے موازنہ کی جانے والی قیمت کا تجرباتی طور پر تعین کیا جاتا ہے (پیمائش کے ذریعے)۔ رشتہ دار تبدیلی کا فارمولا بہت سے حالات میں اچھا سلوک نہیں کرتا ہے۔ ادب میں مختلف متبادل فارمولے، جنہیں نسبتا تبدیلی کے اشارے کہا جاتا ہے، تجویز کیے گئے ہیں۔ کئی مصنفین نے لاگ تبدیلی اور لاگ پوائنٹس کو تسلی بخش اشارے پایا ہے، لیکن ان کا وسیع پیمانے پر استعمال نہیں دیکھا گیا ہے۔ تعریف دو عددی مقداروں کو دیکھتے ہوئے، vref اور v کچھ حوالہ قدر کے ساتھ، ان کی اصل تبدیلی، اصل فرق، یا مطلق تبدیلی ہے۔ مطلق فرق کی اصطلاح بعض اوقات اس کے باوجود بھی استعمال کی جاتی ہے حالانکہ مطلق قدر نہیں لی جاتی ہے۔ δ کی علامت عام طور پر یکساں ہوتی ہے، جیسے۔ بڑھتی ہوئی ڈیٹا سیریز کے پار۔ اگر حوالہ قدر (یعنی، بڑا یا چھوٹا) کے حوالے سے قدر کا تعلق کسی خاص ایپلی کیشن میں کوئی فرق نہیں پڑتا ہے، تو مطلق قدر کو متعلقہ تبدیلی کے لیے قدر پیدا کرنے کے لیے مذکورہ فارمولے میں اصل تبدیلی کی جگہ استعمال کیا جا سکتا ہے جو ہمیشہ غیر منفی ہوتی ہے۔ اصل فرق عام طور پر اعداد کا موازنہ کرنے کا ایک اچھا طریقہ نہیں ہے، خاص طور پر کیونکہ یہ پیمائش کی اکائی پر منحصر ہے۔ مثال کے طور پر، جیسا ہے، لیکن ان کے درمیان مطلق فرق 1 ہے جبکہ ان کے درمیان مطلق فرق 100 ہے، جو ایک بڑے فرق کا تاثر دیتا ہے۔ لیکن مستقل اکائیوں کے ساتھ بھی، متعلقہ تبدیلی متعلقہ تبدیلی کی اہمیت کا اندازہ لگانے میں مدد کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، کسی قیمتی چیز کی قیمت میں اضافہ بڑا سمجھا جاتا ہے اگر اسے تبدیل کیا جائے لیکن جب اسے تبدیل کیا جائے تو اسے چھوٹا سمجھا جاتا ہے۔ ہم وی آر ای ایف کی مثبت اقدار کی وضاحت کرتے ہوئے، شامل مقداروں کے "سائز" کو مدنظر رکھتے ہوئے موازنہ کو ایڈجسٹ کر سکتے ہیں: رشتہ دار تبدیلی استعمال شدہ پیمائش کی اکائی سے آزاد ہے ؛ مثال کے طور پر، سے رشتہ دار تبدیلی ہے، جیسا کہ ہے۔ رشتہ دار تبدیلی کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے اگر حوالہ قدر (vref) صفر ہے، اور مثبت اضافے کے لیے منفی اقدار دیتا ہے اگر vref منفی ہے، اس لیے عام طور پر منفی حوالہ اقدار کے لیے بھی اس کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، ہم −10 سے −6 کی متعلقہ تبدیلی کا حساب لگانا چاہیں گے۔ مندرجہ بالا فارمولا دیتا ہے، جو کمی کی نشاندہی کرتا ہے، پھر بھی حقیقت میں پڑھنے میں اضافہ ہوا۔ رشتہ دار تبدیلی کی پیمائش اکائی کے بغیر اعداد ہیں جن کا اظہار فریکشن کے طور پر کیا جاتا ہے۔ فیصد کی تبدیلی کی متعلقہ اقدار کو ان اقدار کو 100 سے ضرب دے کر حاصل کیا جائے گا (اور اس بات کی نشاندہی کرنے کے لیے کہ قیمت فیصد ہے، ٪ کا نشان شامل کیا جائے گا)۔ ڈومین مثبت نمبروں میں متعلقہ تبدیلی کی ڈومین پابندی اکثر ایک رکاوٹ بناتی ہے۔ اس مسئلے سے بچنے کے لیے مطلق قدر لینا عام بات ہے، تاکہ رشتہ دار تبدیلی کا فارمولا vref کی تمام غیر صفر اقدار کے لیے صحیح طریقے سے کام کرے: حوالہ صفر ہونے پر بھی یہ مسئلہ حل نہیں کرتا ہے۔ اس کے بجائے رشتہ دار تبدیلی کے اشارے کا استعمال کرنا، اور دونوں کی مطلق اقدار کو لینا عام بات ہے۔ پھر واحد پریشانی کا معاملہ ہے، جسے عام طور پر اشارے کو مناسب طریقے سے بڑھا کر حل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ریاضی کے معنی کے لیے یہ فارمولا استعمال کیا جا سکتا ہے: فیصد کی غلطی فیصد کی غلطی رشتہ دار تبدیلی کی فیصد شکل کا ایک خاص معاملہ ہے جس کا حساب تجرباتی (ماپا ہوا) اور نظریاتی (قبول شدہ) اقدار کے درمیان مطلق تبدیلی سے لگایا جاتا ہے، اور نظریاتی (قبول شدہ) قدر سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا مساوات میں استعمال ہونے والی اصطلاحات "تجرباتی" اور "نظریاتی" کو عام طور پر اسی طرح کی اصطلاحات سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ تجرباتی کے لیے استعمال ہونے والی دیگر اصطلاحات "ماپا"، "حساب شدہ"، یا "حقیقی" ہو سکتی ہیں اور نظریاتی کے لیے استعمال ہونے والی ایک اور اصطلاح "قبول" کی جا سکتی ہے۔ تجرباتی قدر وہ ہے جو حساب اور/یا پیمائش کے استعمال سے حاصل کی گئی ہے اور اس کی درستگی کو نظریاتی قدر کے خلاف آزمایا جا رہا ہے، ایک ایسی قدر جسے سائنسی برادری قبول کرتی ہے یا ایک ایسی قدر جسے کامیاب نتائج کے مقصد کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اگرچہ فیصد کی غلطی پر بحث کرتے وقت رشتہ دار تبدیلی کے مطلق قدر ورژن کا استعمال کرنا عام عمل ہے، کچھ حالات میں، نتیجہ کے بارے میں مزید معلومات فراہم کرنے کے لیے مطلق اقدار کو ہٹانا فائدہ مند ہو سکتا ہے۔ اس طرح، اگر کوئی تجرباتی قدر نظریاتی قدر سے کم ہے، تو فیصد کی غلطی منفی ہوگی۔ یہ منفی نتیجہ تجرباتی نتیجہ کے بارے میں اضافی معلومات فراہم کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، تجرباتی طور پر روشنی کی رفتار کا حساب لگانے اور منفی فیصد کی غلطی کے ساتھ آنے سے پتہ چلتا ہے کہ تجرباتی قدر ایک ایسی رفتار ہے جو روشنی کی رفتار سے کم ہے۔ یہ مثبت فیصد کی غلطی حاصل کرنے سے ایک بڑا فرق ہے، جس کا مطلب ہے کہ تجرباتی قدر ایک ایسی رفتار ہے جو روشنی کی رفتار سے زیادہ ہے (نظریہ اضافیت کی خلاف ورزی) اور ایک قابل خبر نتیجہ ہے۔ فیصد غلطی کی مساوات، جب مطلق اقدار کو ہٹا کر دوبارہ لکھی جاتی ہے، تو یہ بن جاتی ہے: یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ عددی میں دو اقدار تبدیل نہیں ہوتی ہیں۔ لہذا، ترتیب کو اوپر کی طرح برقرار رکھنا ضروری ہے: نظریاتی قدر کو تجرباتی قدر سے گھٹا دیں نہ کہ اس کے برعکس۔ فیصد کی تبدیلی متغیر میں تبدیلی کا اظہار کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ پرانی قیمت اور نئی قیمت کے درمیان نسبتا تبدیلی کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر آج کسی گھر کی قیمت 100,000 ڈالر ہے اور اس کے بعد کے سال اس کی قیمت 110,000 ڈالر تک جاتی ہے، تو اس کی قیمت میں فیصد تبدیلی کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ اس کے بعد کہا جا سکتا ہے کہ گھر کی قیمت میں 10 فیصد اضافہ ہوا ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر V1 پرانی قدر اور V2 نئی قدر کی نمائندگی کرتا ہے، تو کچھ کیلکولیٹر براہ راست a یا فنکشن کے ذریعے اس کی حمایت کرتے ہیں۔ جب زیر بحث متغیر خود ایک فیصد ہے، تو بہتر ہے کہ اس کی تبدیلی کے بارے میں فیصد پوائنٹس کا استعمال کرتے ہوئے بات کی جائے، تاکہ رشتہ دار فرق اور مطلق فرق کے درمیان الجھن سے بچا جا سکے۔ فیصد کی مثال اگر کوئی بینک بچت کھاتے پر سود کی شرح 3 فیصد سے بڑھا کر 4 فیصد کرتا ہے، تو یہ بیان کہ "شرح سود میں 1 فیصد کا اضافہ کیا گیا تھا" مبہم ہوگا۔ اس صورت حال میں مطلق تبدیلی 1 فیصد پوائنٹ (4 ٪ − 3 ٪) ہے، لیکن شرح سود میں رشتہ دار تبدیلی یہ ہے: عام طور پر، "فیصد پوائنٹ (ز)" کی اصطلاح فیصد کی مطلق تبدیلی یا فرق کی نشاندہی کرتی ہے، جبکہ فیصد کی علامت یا لفظ "فیصد" سے مراد رشتہ دار تبدیلی یا فرق ہے۔ مثال موازنہ کار ایم کی قیمت 50,000 ڈالر اور کار ایل کی قیمت 40,000 ڈالر ہے۔ ہم ان اخراجات کا موازنہ کرنا چاہتے ہیں۔ کار ایل کے حوالے سے، مطلق فرق ہے۔ یعنی کار ایم کی قیمت کار ایل سے 10,000 ڈالر زیادہ ہے۔ رشتہ دار فرق یہ ہے، اور ہم کہتے ہیں کہ کار ایم کی قیمت کار ایل سے 25 فیصد زیادہ ہے۔ موازنہ کو تناسب کے طور پر ظاہر کرنا بھی عام ہے، جو اس مثال میں ہے، اور ہم کہتے ہیں کہ کار ایم کی قیمت کار ایل کی قیمت کا 125% ہے۔ اس مثال میں کار ایل کی قیمت کو حوالہ قیمت سمجھا جاتا تھا، لیکن ہم انتخاب کو دوسرے طریقے سے کر سکتے تھے اور کار ایم کی قیمت کو حوالہ قیمت کے طور پر سمجھ سکتے تھے۔ مطلق فرق اب یہ ہے کہ کار ایل کی قیمت کار ایم سے 10,000 ڈالر کم ہے۔ رشتہ دار فرق بھی منفی ہے کیونکہ کار ایل کی قیمت کار ایم سے 20 فیصد کم ہے۔ موازنہ کا تناسب فارم کہتا ہے کہ کار ایل کی قیمت کار ایم کی قیمت کا 80 فیصد ہے۔ یہ "کے" اور "کم/زیادہ" الفاظ کا استعمال ہے جو تناسب اور رشتہ دار اختلافات کے درمیان فرق کرتا ہے۔ متعلقہ تبدیلی کے اشارے اوپر (کلاسیکی) متعلقہ تبدیلی ممکنہ اقدامات/متعلقہ تبدیلی کے اشارے میں سے ایک ہے۔ x (ابتدائی یا حوالہ قدر) سے y (نئی قدر) میں رشتہ دار تبدیلی کا اشارے ایک بائنری حقیقی قدر والی فنکشن ہے جس کی وضاحت دلچسپی کے ڈومین کے لیے کی گئی ہے جو درج ذیل خصوصیات کو مطمئن کرتی ہے: مناسب نشان: کب طے کیا جاتا ہے اس کی بڑھتی ہوئی فنکشن ہے۔ مسلسل ہے۔ پیمائش کی اکائی سے آزاد: سب کے لیے۔ آزادی کی حالت کی وجہ سے، اس طرح کے ہر فنکشن کو تناسب کے واحد دلیل فنکشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ بھی واضح ہے کہ اگر دیگر شرائط کو پورا کرتا ہے تو ہر ایک کے لیے بھی ایسا ہی ہوگا۔ اس طرح ہم اشارے کو معمول پر لانے پر مزید پابندی لگاتے ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس طرح کے تمام اشارے قریب ہونے پر کلاسیکی اشارے کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ عام طور پر رشتہ دار تبدیلی کے اشارے کو حقیقی تبدیلی کے طور پر پیش کیا جاتا ہے جو کہ x اور y اقدار کے کچھ فنکشن کے ذریعہ پیمائش کی جاتی ہے۔ کلاسیکی رشتہ دار تبدیلی کی طرح، اگر صفر ہو تو عمومی رشتہ دار تبدیلی غیر متعین ہے۔ فنکشن کے لیے مختلف انتخاب تجویز کیے گئے ہیں: جیسا کہ ٹیبل میں دیکھا جا سکتا ہے، پہلے دو اشارے کے علاوہ سب کے پاس، ڈینومینیٹر کے طور پر ایک اوسط ہے۔ اوسط فنکشن کی خصوصیات میں سے ایک یہ ہے:، جس کا مطلب ہے کہ اس طرح کے تمام اشارے میں "ہم آہنگی" کی خاصیت ہوتی ہے جس کی کلاسیکی رشتہ دار تبدیلی میں کمی ہوتی ہے: یہ وجدان سے اتفاق کرتا ہے کہ x سے y میں ہونے والی رشتہ دار تبدیلی کی شدت اتنی ہی ہونی چاہیے جتنی مخالف سمت میں ہونے والی رشتہ دار تبدیلی، y سے x میں ہونی چاہیے، بالکل اسی طرح جیسے تعلق سے پتہ چلتا ہے۔ ایک خاص رواداری کے ساتھ مساوات کے لیے پروگرامنگ زبانوں میں فلوٹنگ پوائنٹ ویلیوز کا موازنہ کرتے وقت زیادہ سے زیادہ اوسط تبدیلی کی سفارش کی گئی ہے۔ ایک اور اطلاق تخمینہ کی غلطیوں کے حساب میں ہوتا ہے جب پیمائش کی متعلقہ غلطی کی ضرورت ہوتی ہے۔ اکانومیٹرکس میں استعمال کے لیے کم از کم اوسط تبدیلی کی سفارش کی گئی ہے۔ لوگرتھمک تبدیلی کو نسبتا تبدیلی کے لیے عام مقصد کے متبادل کے طور پر تجویز کیا گیا ہے اور ذیل میں اس پر مزید بحث کی گئی ہے۔ ٹین ہنین L (حوالہ قدر) سے K تک ایک عمومی رشتہ دار فرق فنکشن کی وضاحت کرتا ہے: جو خاص طور پر خاص صورتوں کے لیے، لوگرتھمک تبدیلی کی طرف لے جاتا ہے۔ رشتہ دار تبدیلی کے ان اشارے میں سے، سب سے زیادہ فطری بات یہ ہے کہ دو اعداد (حتمی اور ابتدائی) کے تناسب کا قدرتی لوگرتھم (ln) ہے، جسے لاگ تبدیلی کہا جاتا ہے۔ درحقیقت، جب، مندرجہ ذیل تخمینہ برقرار رہتا ہے: اسی طرح جس طرح فیصد حاصل کرنے کے لیے رشتہ دار تبدیلی کو 100 سے ماپا جاتا ہے، اسے حاصل کرنے کے لیے 100 سے ماپا جا سکتا ہے جسے عام طور پر لاگ پوائنٹس کہا جاتا ہے۔ جب جڑ-طاقت کی مقدار کے لیے ماپا جاتا ہے تو لاگ پوائنٹس یونٹ سینٹینپرز (سی این پی) کے برابر ہوتے ہیں۔ اس مقدار کو لاگ فیصد بھی کہا جاتا ہے اور ایل ٪ کو ظاہر کیا جاتا ہے۔ چونکہ 1 پر قدرتی لاگ کا مشتق 1 ہے، لاگ پوائنٹس چھوٹے فرقوں کے لیے تقریبا فیصد تبدیلی کے برابر ہوتے ہیں-مثال کے طور پر 1 فیصد کا اضافہ 0.995 cNp کے اضافے کے برابر ہوتا ہے، اور 5 فیصد کا اضافہ 4.88 cNp کا اضافہ دیتا ہے۔ یہ تخمینہ پراپرٹی لوگرتھم بیس کے دیگر انتخاب کے لیے نہیں ہے، جو مشتق 1 نہ ہونے کی وجہ سے اسکیلنگ فیکٹر متعارف کراتا ہے۔ اس طرح لاگ پوائنٹس کو فیصد کی تبدیلی کے متبادل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ضمیمہ لاگ تبدیلی کا استعمال نسبتا تبدیلی کے مقابلے میں ضمیمہ کے فوائد رکھتا ہے۔ خاص طور پر، لاگ چینج کا استعمال کرتے وقت، تبدیلیوں کے سلسلے کے بعد کل تبدیلی تبدیلیوں کے مجموعے کے برابر ہوتی ہے۔ فیصد کے ساتھ، تبدیلیوں کا خلاصہ کرنا صرف ایک تخمینہ ہے، بڑی تبدیلیوں کے لیے بڑی غلطی کے ساتھ۔ مثال کے طور پر: نوٹ کریں کہ مندرجہ بالا ٹیبل میں، چونکہ رشتہ دار تبدیلی 0 (بالترتیب رشتہ دار تبدیلی 1) کی عددی قیمت وہی ہے جو لاگ تبدیلی 0 (بالترتیب لاگ تبدیلی 1) ہے، یہ اسی تغیر سے مطابقت نہیں رکھتا ہے۔ رشتہ دار اور لاگ تبدیلیوں کے درمیان تبدیلی کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے۔ اضطراب سے، اور اس لیے اضطراب سے مراد ایک قسم کی ہم آہنگی کی خاصیت ہوتی ہے، یعنی اور اس طرح لاگ تبدیلی میں ظاہر ہونے والی تبدیلی کی شدت یکساں ہوتی ہے چاہے V0 یا V1 کو حوالہ کے طور پر منتخب کیا جائے۔ اس کے برعکس، رشتہ دار تبدیلی کے لیے، فرق بڑا ہونے کے ساتھ جیسے جیسے V1 یا V0 0 کے قریب پہنچتا ہے جبکہ دوسرا فکسڈ رہتا ہے۔ مثال کے طور پر: یہاں 0 + کا مطلب ہے حد کو اوپر سے 0 کی طرف لے جانا۔ انفرادیت اور توسیعات لاگ تبدیلی ایک منفرد دو متغیر فنکشن ہے جو اضافی ہے، اور جس کی لکیریائزیشن متعلقہ تبدیلی سے میل کھاتی ہے۔ کسی بھی کے لیے اضافی فرق افعال کا ایک خاندان ہے، جیسے کہ مطلق تبدیلی ہے اور لاگ تبدیلی ہے۔ اعداد و شمار میں لگ بھگ غلطی کی غلطیاں اور بقایا متعلقہ معیاری انحراف لوگرتھمک پیمانے نوٹ حوالہ جات پیمائش عددی تجزیہ تناسب گھٹاؤ طول و عرض کے بغیر مقدار