Heston model
مالیات میں، ہیسٹن ماڈل، جس کا نام اسٹیون ایل ہیسٹن کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک ریاضیاتی ماڈل ہے جو کسی بنیادی اثاثے کے اتار چڑھاؤ کے ارتقاء کو بیان کرتا ہے۔ یہ ایک غیر معمولی اتار چڑھاؤ والا ماڈل ہے: اس طرح کا ماڈل یہ فرض کرتا ہے کہ اثاثہ کی اتار چڑھاؤ مستقل نہیں ہے، نہ ہی فیصلہ کن ہے، بلکہ ایک بے ترتیب عمل کی پیروی کرتا ہے۔ بنیادی ہیسٹن ماڈل بنیادی ہیسٹن ماڈل یہ فرض کرتا ہے کہ سینٹ، اثاثہ کی قیمت کا تعین ایک غیر معمولی عمل سے ہوتا ہے، جہاں فوری تغیر، فیلر اسکوائر روٹ یا سی آئی آر عمل کے ذریعے دیا جاتا ہے، اور واینر عمل (یعنی مسلسل بے ترتیب چہل قدمی) ارتباط ρ کے ساتھ ہوتے ہیں۔ ماڈل میں پانچ پیرامیٹرز ہیں: ابتدائی تغیر۔ ، قیمت کا طویل تغیر، یا طویل مدتی اوسط تغیر ؛ جیسا کہ t انفینیٹی کی طرف جاتا ہے، νt کی متوقع قیمت θ کی طرف جاتی ہے، جو دونوں وینر عمل کا ارتباط ہے۔ ، وہ شرح جس پر νt واپس θ پر آتا ہے، اتار چڑھاؤ کی اتار چڑھاؤ، یا 'وال کا حجم'، جو νt کے تغیر کا تعین کرتا ہے۔ اگر پیرامیٹرز مندرجہ ذیل شرط کی پابندی کرتے ہیں (جسے فیلر کنڈیشن کہا جاتا ہے) تو یہ عمل سختی سے مثبت رسک-نیوٹرل پیمائش ہے۔ مکمل مضمون کے لیے رسک-نیوٹرل پیمائش دیکھیں۔ مشتق قیمتوں میں ایک بنیادی تصور رسک-نیوٹرل پیمائش ہے ؛ اس کی وضاحت مندرجہ بالا مضمون میں مزید گہرائی میں کی گئی ہے۔ ہمارے مقاصد کے لیے، درج ذیل کو نوٹ کرنا کافی ہے: ایک مشتق کی قیمت طے کرنے کے لیے جس کی ادائیگی ایک یا زیادہ بنیادی اثاثوں کا کام ہے، ہم خطرے سے غیر جانبدار اقدام کے تحت اس کی رعایتی ادائیگی کی متوقع قیمت کا جائزہ لیتے ہیں۔ رسک غیر جانبدار پیمائش، جسے مساوی مارٹنگیل پیمائش بھی کہا جاتا ہے، وہ ہے جو حقیقی دنیا کی پیمائش کے مساوی ہے، اور جو ثالثی سے پاک ہے: اس طرح کی پیمائش کے تحت، ہر ایک بنیادی اثاثے کی رعایتی قیمت مارٹنگیل ہے۔ گرسانوف کا نظریہ دیکھیں۔ بلیک شولز اور ہیسٹن فریم ورک میں (جہاں فلٹریشن صرف وینر کے عمل کے لکیری طور پر آزاد سیٹ سے پیدا ہوتے ہیں)، کسی بھی مساوی پیمائش کو وینر کے عمل میں سے ہر ایک میں ڈرفٹ شامل کرکے بہت ڈھیلے معنوں میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ اوپر بیان کردہ بہاؤ کے لیے کچھ اقدار کا انتخاب کرکے، ہم ایک مساوی پیمائش حاصل کر سکتے ہیں جو ثالثی سے پاک شرط کو پورا کرتی ہے۔ ایک عام صورتحال پر غور کریں جہاں ہمارے پاس بنیادی اثاثے اور وینر کے عمل کا ایک لکیری طور پر آزاد سیٹ ہے۔ مساوی پیمائشوں کا مجموعہ Rm کے لیے آئسومورفک ہے، جو ممکنہ بہاؤ کی جگہ ہے۔ مساوی مارٹنگیل اقدامات کے سیٹ کو Rm میں سرایت شدہ کئی گنا کے لیے آئسومورفک سمجھیں ؛ ابتدائی طور پر، اس صورت حال پر غور کریں جہاں ہمارے پاس کوئی اثاثہ نہیں ہے اور Rm کے لیے آئسومورفک ہے۔ اب ہر ایک بنیادی اثاثے کو مساوی اقدامات کے سیٹ پر رکاوٹ فراہم کرنے کے طور پر سمجھیں، کیونکہ اس کی متوقع رعایت کا عمل ایک مستقل (یعنی اس کی ابتدائی قیمت) کے برابر ہونا چاہیے۔ ایک وقت میں ایک اثاثہ شامل کرکے، ہم ہر اضافی رکاوٹ کو ایک جہت سے طول و عرض کو کم کرنے کے طور پر سمجھ سکتے ہیں۔ لہذا ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اوپر بیان کردہ عام صورتحال میں، مساوی مارٹنگیل اقدامات کے سیٹ کی جہت ہے۔ بلیک-شولز ماڈل میں، ہمارے پاس ایک اثاثہ اور ایک وینر عمل ہے۔ مساوی مارٹنگیل اقدامات کے سیٹ کا طول و عرض صفر ہے۔ اس لیے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ بہاؤ کے لیے ایک ہی قدر ہے، اور اس طرح ایک واحد رسک غیر جانبدار پیمائش ہے، جس کے تحت رعایتی اثاثہ مارٹنگیل ہوگا۔ ہیسٹن ماڈل میں، ہمارے پاس اب بھی ایک اثاثہ ہے (اتار چڑھاؤ کو بازار میں براہ راست قابل مشاہدہ یا قابل تجارت نہیں سمجھا جاتا ہے) لیکن اب ہمارے پاس دو وینر عمل ہیں-پہلا اسٹاک کی قیمت کے لیے اسٹوکاسٹک ڈفریینشل ایکویشن (ایس ڈی ای) میں اور دوسرا اسٹاک کی قیمت کے تغیر کے لیے ایس ڈی ای میں۔ یہاں، مساوی مارٹنگیل اقدامات کے سیٹ کی جہت ایک ہے ؛ کوئی منفرد خطرے سے پاک پیمائش نہیں ہے۔ یہ یقینا پریشانی کا باعث ہے ؛ اگرچہ خطرے سے پاک اقدامات میں سے کوئی بھی نظریاتی طور پر مشتق کی قیمت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن امکان ہے کہ ان میں سے ہر ایک مختلف قیمت دے گا۔ نظریہ طور پر، تاہم، ان خطرے سے پاک اقدامات میں سے صرف ایک ہی اتار چڑھاؤ پر منحصر آپشنز کی مارکیٹ قیمتوں کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے (مثال کے طور پر، یورپی کالز، یا زیادہ واضح طور پر، تغیرات کے تبادلے)۔ لہذا ہم اتار چڑھاؤ پر منحصر اثاثہ شامل کر سکتے ہیں۔ ایسا کرنے سے، ہم ایک اضافی رکاوٹ کا اضافہ کرتے ہیں، اور اس طرح ایک واحد خطرے سے پاک اقدام کا انتخاب کرتے ہیں جو بازار کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ یہ پیمائش قیمتوں کے تعین کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے۔ عمل درآمد فورئیر ٹرانسفارم کا ویلیو آپشنز میں استعمال کار اور مڈن نے دکھایا تھا۔ ہیسٹن ماڈل کے نفاذ پر بحث کہل اور جیکل نے کی۔ وقت پر منحصر ہیسٹن ماڈل کے لیے بند فارم آپشن قیمتوں کا مشتق بینہامو اور دیگر نے پیش کیا تھا۔ ڈبل ہیسٹن ماڈل کے لیے کلوزڈ فارم آپشن قیمتوں کا مشتق کرسٹوفرسن اور دیگر نے دیا تھا۔ اور گوتھیر اور پوسمائی کی طرف سے۔ اسٹاکسٹک سود کی شرحوں کے ساتھ ہیسٹن ماڈل کی توسیع گرزیلک اور اوسٹرلی نے دی تھی۔ ہیسٹن ماڈل کی خصوصیت فنکشن کا ایک اظہار جو پیرامیٹرز کے حوالے سے عددی طور پر مسلسل اور آسانی سے تفریق پذیر دونوں ہے، کوئی اور دیگر نے متعارف کرایا تھا۔ مقامی سٹوچسٹک اتار چڑھاؤ کے تناظر میں ماڈل کا استعمال وان ڈیر ویجسٹ نے دیا تھا۔ اتار چڑھاؤ کے لحاظ سے ہیسٹن قیمت کے مساوات کا ایک واضح حل کوریٹزن نے تیار کیا تھا۔ ہیسٹن ماڈل کے واضح کمزور حل پیدا کرنے کے لیے اسے اتار چڑھاؤ کی مساوات اور گرسانوف کے نظریہ کے معروف کمزور حل کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے حل موثر تخروپن کے لیے مفید ہیں۔ ایلن لیوس کے بلاگ پوسٹ میں اعلی صحت سے متعلق حوالہ جات کی قیمتیں دستیاب ہیں۔ ہیسٹن ماڈل (شونبشر، ایس وی آئی اور جی ایس وی آئی) پر مبنی اتار چڑھاؤ کی سطح کے چند معروف پیرامیٹرائزیشنز ہیں۔ پیمائش ہیسٹن ماڈل کی انشانکن کو اکثر کم سے کم مربع مسئلے کے طور پر وضع کیا جاتا ہے، جس میں معروضی فنکشن مارکیٹ میں مشاہدہ کی جانے والی قیمتوں اور ماڈل سے شمار کی جانے والی قیمتوں کے درمیان مربع فرق کو کم کرتا ہے۔ قیمتیں عام طور پر ونیلا آپشنز کی ہوتی ہیں۔ بعض اوقات ماڈل کو گیلوم اور شوٹنز کی طرح متغیر تبادلہ اصطلاح کی ساخت کے مطابق بھی کیلیبریٹ کیا جاتا ہے۔ ایک اور طریقہ یہ ہے کہ آگے کی مسکراہٹ کو پکڑنے کے لیے آگے کی طرف شروع کرنے کے اختیارات، یا رکاوٹ کے اختیارات کو بھی شامل کیا جائے۔ ہیسٹن ماڈل کے تحت، ونیلا آپشنز کی قیمت تجزیاتی طور پر دی جاتی ہے، لیکن انٹیگرل کا حساب لگانے کے لیے عددی طریقہ درکار ہوتا ہے۔ لی فلوچ نے مختلف کواڈریچروں کا خلاصہ کیا اور ایک موثر انکولی فلون کواڈریچر کی تجویز پیش کی۔ پیمائش کے لیے عام طور پر ماڈل پیرامیٹرز کے حوالے سے معروضی فنکشن کے میلان کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ عام طور پر ایک محدود فرق کے تخمینے کے ساتھ شمار کیا جاتا تھا حالانکہ یہ ایک تجزیاتی میلان سے کم درست، کم موثر اور کم خوبصورت ہے کیونکہ مؤخر الذکر کا ایک بصیرت انگیز اظہار صرف اس وقت دستیاب ہوا جب خصوصیت فنکشن کی نئی نمائندگی Cui et al کے ذریعہ متعارف کرائی گئی تھی۔ 2017 میں۔ ایک اور امکان خودکار تفریق کا سہارا لینا ہے۔ مثال کے طور پر، الگورتھمک تفریق کے ٹینجینٹ موڈ کو دوہری نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے سیدھے طریقے سے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ اسٹوچسٹک اتار چڑھاؤ رسک غیر جانبدار پیمائش (مساوی مارٹنگیل پیمائش کا دوسرا نام) گرسانوف کا تھیوریم مارٹنگیل (امکانی نظریہ) SABR اتار چڑھاؤ ماڈل MATLAB کوڈ تاکہ کہل، جیکل اور لارڈ حوالہ جات مشتق (فنانس) مالیاتی ماڈل آپشنز (فنانس) ریاضیاتی فنانس