Hyperhomology
ہومیولوجیکل الجبرا میں، ہائپر ہومولوجی یا ہائپر الکحلولوجی () (شریک) ہومولوجی فنکٹروں کی عمومی شکل ہے جو ابیلین زمرے میں اشیاء کو نہیں بلکہ اشیاء کے زنجیر کمپلیکس کو ان پٹ کے طور پر لیتے ہیں، لہذا اشیاء کو اندر لے جاتے ہیں۔ یہ کسی شے کی ماخوذ فنکٹر کوہومولوجی اور چین کمپلیکس کی ہومیولوجی کے درمیان ایک قسم کا کراس ہے کیونکہ ہائپر الکحلولوجی ماخوذ عالمی حصوں کے فنکٹر سے مطابقت رکھتی ہے۔ ہائپر ہومولوجی اب زیادہ استعمال نہیں کی جاتی ہے: تقریبا 1970 کے بعد سے اس کی جگہ بڑی حد تک مشتق زمروں کے درمیان مشتق فنکٹر کے تقریبا مساوی تصور نے لے لی ہے۔ محرک ہائپر الکحلولوجی کے محرکات میں سے ایک اس حقیقت سے آتا ہے کہ مختصر عین مطابق sequencesi.e سے وابستہ کوہمولوجیکل طویل عین مطابق ترتیبات کی واضح عمومی شکل نہیں ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ ہائپر الکحلولوجی ایک من مانی لمبی عین ترتیب سے اسی طرح کی ہم آہنگی سے وابستہ لمبی عین ترتیب کی تعمیر کے لیے تکنیک فراہم کرتی ہے کیونکہ اس کے ان پٹ ابیلین زمرے سے صرف اشیاء کے بجائے چین کمپلیکس کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ ہم اس سلسلہ کمپلیکس کو ایک ممتاز مثلث میں تبدیل کر سکتے ہیں (ایک مشتق زمرے پر مثلث والے زمروں کی زبان کا استعمال کرتے ہوئے) جسے ہم اشارہ کرتے ہیں۔ پھر، مشتق عالمی حصوں کو لینے سے ایک طویل عین ترتیب ملتی ہے، جو کہ ہائپر الکحلولوجی گروپوں کا ایک طویل عین مطابق سلسلہ ہے۔ تعریف ہم ہائپر الکحلولوجی کی تعریف دیتے ہیں کیونکہ یہ زیادہ عام ہے۔ ہمیشہ کی طرح، ہائپر الکحلولوجی اور ہائپر ہومولوجی بنیادی طور پر ایک جیسے ہیں: ایک دوہرا کرکے ایک سے دوسرے میں تبدیل ہوتا ہے، یعنی۔ تمام تیروں کی سمت تبدیل کر کے، انجیکشن والی اشیاء کو پروجیکٹو اشیاء سے تبدیل کر کے، وغیرہ۔ فرض کریں کہ A ایک ابیلین زمرہ ہے جس میں کافی انجیکشن ہیں اور F ایک دوسرے ابیلین زمرہ B کے لیے عین مطابق فنکٹر ہے۔ اگر C بائیں طرف بندھے ہوئے A کی اشیاء کا ایک کمپلیکس ہے، تو C کی ہائپر الکحلولوجی (C) (ایک عدد i کے لیے) کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے: ایک نیم آئسومورفزم لیں: C → I، یہاں I A کے انجیکشن عناصر کا ایک کمپلیکس ہے۔ اس کے بعد سی کی ہائپر الکحلولوجی ہائی (سی) کمپلیکس ایف (آئی) کی کوہمولوجی ہائی (ایف (آئی)) ہے۔ C کی ہائپر الکحلولوجی منفرد آئسومورفزم تک نیم آئسومورفزم کے انتخاب سے آزاد ہے۔ ہائپر الکحلولوجی کو ماخوذ زمروں کا استعمال کرتے ہوئے بھی بیان کیا جا سکتا ہے: سی کی ہائپر الکحلولوجی صرف آر ایف (سی) کی کوہمولوجی ہے جسے بی کے ماخوذ زمرے کا عنصر سمجھا جاتا ہے۔ ان کمپلیکسوں کے لیے جو منفی اشاریہ جات کے لیے غائب ہو جاتے ہیں، ہائپر الکحلولوجی کو H0 = FH0 = H0F کے ماخوذ فنکٹر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ہائپر الکحلولوجی سپیکٹرم کے سلسلے دو ہائپر الکحلولوجی سپیکٹرم کے سلسلے ہیں۔ ایک E2 اصطلاح کے ساتھ اور دوسرا E1 اصطلاح اور E2 اصطلاح کے ساتھ دونوں ہائپر الکحلولوجی میں تبدیل ہوتے ہیں، جہاں RjF F کا صحیح اخذ کردہ فنکٹر ہے۔ ایپلی کیشنز ہائپر الکحلولوجی سپیکٹرم کے سلسلے کا ایک اطلاق جربس کے مطالعہ میں ہے۔ یاد رکھیں کہ کسی جگہ پر رینک این ویکٹر بنڈلوں کو سیچ الکحلولوجی گروپ کے طور پر درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ جربس کے پیچھے بنیادی خیال اس خیال کو ہم آہنگی کے لحاظ سے بڑھانا ہے، لہذا کچھ فنکٹر لینے کے بجائے، ہم اس کے بجائے ہم آہنگی کے گروپ پر غور کرتے ہیں، لہذا یہ ان اشیاء کی درجہ بندی کرتا ہے جو اصل درجہ بندی والے گروپ میں اشیاء سے چپکی ہوئی ہیں۔ ایک قریب سے متعلق موضوع جو جربس اور ہائپر الکحلولوجی کا مطالعہ کرتا ہے ڈیلیگن-الکحلولوجی ہے۔ مثال کے طور پر کارٹن-ایلن برگ ریزولوشن جربی حوالہ جات ایچ کارٹن، ایس ایلن برگ، ہومیولوجیکل الجبرا اے گروتھینڈیک، سور کویلکس پوائنٹس ڈی ایلجیبری ہومیولوجک توہوکو ماتھ بھی دیکھیں۔ جے۔ 9 (1957) پی پی۔ 119-221 ہومیولوجیکل الجبرا