Wythoff's game
ویتھوف کا کھیل دو کھلاڑیوں کا ریاضیاتی گھٹاؤ کا کھیل ہے، جو کاؤنٹرز کے دو ڈھیر کے ساتھ کھیلا جاتا ہے۔ کھلاڑی باری باری ایک یا دونوں ڈھیر سے کاؤنٹر ہٹاتے ہیں۔ دونوں ڈھیر سے کاؤنٹر ہٹاتے وقت، ہر ڈھیر سے ہٹائے گئے کاؤنٹر کی تعداد برابر ہونی چاہیے۔ کھیل اس وقت ختم ہوتا ہے جب ایک کھلاڑی آخری کاؤنٹر یا کاؤنٹر کو ہٹا دیتا ہے، اس طرح جیت جاتا ہے۔ کھیل کی ایک مساوی وضاحت یہ ہے کہ شطرنج کی ایک واحد ملکہ کو چوکوں کے ایک بڑے گرڈ پر کہیں رکھا جاتا ہے، اور ہر کھلاڑی ملکہ کو گرڈ کے نچلے بائیں کونے کی طرف منتقل کر سکتا ہے: جنوب، مغرب، یا جنوب مغرب، کسی بھی تعداد میں قدم۔ فاتح وہ کھلاڑی ہوتا ہے جو ملکہ کو کونے میں لے جاتا ہے۔ ملکہ کے دو کارٹیشین نقاط کھیل کی تشکیل میں دو ڈھیروں کے سائز سے مطابقت رکھتے ہیں جس میں ڈھیروں سے کاؤنٹرز کو ہٹانا شامل ہے۔ مارٹن گارڈنر نے سائنٹیفک امریکن میں اپنے مارچ 1977 کے "میتھمیٹیکل گیمز کالم" میں دعوی کیا ہے کہ یہ کھیل چین میں "چن چن" کے نام سے کھیلا گیا تھا۔ ڈچ ریاضی دان ڈبلیو اے وائتھوف نے 1907 میں اس کھیل کا ریاضیاتی تجزیہ شائع کیا۔ بہترین حکمت عملی کھیل میں کسی بھی پوزیشن کو n ≤ m کے ساتھ انٹیجرز (n، m) کی ایک جوڑی کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، جو پوزیشن میں دونوں ڈھیروں کے سائز یا ملکہ کے نقاط کو بیان کرتا ہے۔ کھیل کی حکمت عملی ٹھنڈی پوزیشنوں اور گرم پوزیشنوں کے گرد گھومتی ہے: ٹھنڈی پوزیشن میں، جس کھلاڑی کی حرکت کرنے کی باری ہے وہ بہترین کھیل کے ساتھ ہار جائے گا، جبکہ گرم پوزیشن میں، جس کھلاڑی کی حرکت کرنے کی باری ہے وہ بہترین کھیل کے ساتھ جیت جائے گا۔ گرم پوزیشن سے بہترین حکمت عملی کسی بھی قابل رسائی سرد پوزیشن میں منتقل ہونا ہے۔ پوزیشنوں کی درجہ بندی گرم اور سرد میں درج ذیل تین اصولوں کے ساتھ بار بار کی جا سکتی ہے: (0,0) ایک سرد پوزیشن ہے۔ کوئی بھی پوزیشن جہاں سے ایک ہی حرکت میں ٹھنڈی پوزیشن تک پہنچا جا سکتا ہے وہ گرم پوزیشن ہے۔ اگر ہر حرکت گرم پوزیشن کی طرف لے جاتی ہے، تو پوزیشن ٹھنڈی ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، قاعدہ 2 کے مطابق، m> 0 کے ساتھ فارم (0، m) اور (m، m) کی تمام پوزیشنیں گرم ہیں۔ تاہم، پوزیشن (1,2) ٹھنڈی ہے، کیونکہ اس سے صرف جن پوزیشنوں تک پہنچا جا سکتا ہے، (0,1)، (0,2)، (1,0) اور (1,1)، وہ سب گرم ہیں۔ n اور m کی سب سے چھوٹی اقدار کے ساتھ سرد پوزیشنیں (n، m) (0، 0)، (1، 2)، (3، 5)، (4، 7)، (6، 10) اور (8، 13) ہیں۔ (ترتیب اور او ای آئی ایس میں) (یہ بھی دیکھیں) اس کھیل کے مسیر کھیل کے لیے، (0، 1) اور (2، 2) ٹھنڈی پوزیشنیں ہیں، اور ایم، این> 2 کے ساتھ ایک پوزیشن (این، ایم) ٹھنڈی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب عام کھیل میں (این، ایم) ٹھنڈا ہو۔ کولڈ پوزیشنز کے لیے فارمولا وائتھوف نے دریافت کیا کہ کولڈ پوزیشنز سنہری تناسب سے طے شدہ باقاعدہ نمونے پر عمل کرتی ہیں۔ خاص طور پر، اگر k کوئی قدرتی عدد ہے اور جہاں φ سنہری تناسب ہے اور ہم فلور فنکشن استعمال کر رہے ہیں، تو (nk، mk) kth کولڈ پوزیشن ہے۔ اعداد کے یہ دو سلسلے آن لائن انسائیکلوپیڈیا آف انٹیجر سیکوینسز میں بالترتیب اور درج ہیں۔ جیسا کہ عام طور پر بیٹی ترتیب کے جوڑوں کے لیے درست ہے، یہ دونوں ترتیبات تکمیلی ہیں: ہر مثبت عدد دونوں ترتیب میں بالکل ایک بار ظاہر ہوتا ہے۔ نیم گرونڈی کا گیم سبٹریکٹ اے اسکوائر وائتھوف ایرے حوالہ جات بھی دیکھیں بیرونی روابط ریاضیاتی کھیل