Classical group
ریاضی میں، کلاسیکی گروہوں کو حقیقی، پیچیدہ اعداد اور کواٹرنیئنز پر خصوصی لکیری گروپوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جس میں سمیٹرک یا اسکیو-سمیٹرک دو قطبی شکلوں کے خصوصی آٹومورفزم گروپس اور حقیقی، پیچیدہ اور کواٹرنیئنک محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں پر بیان کردہ ہرمیٹین یا سکیو-ہرمیٹین سیسکولیینیئر فارمز شامل ہیں۔ ان میں سے پیچیدہ کلاسیکی جھوٹ گروپ جھوٹ گروپوں کے چار لامحدود خاندان ہیں جو غیر معمولی گروپوں کے ساتھ مل کر سادہ جھوٹ گروپوں کی درجہ بندی کو ختم کر دیتے ہیں۔ کمپیکٹ کلاسیکی گروپ پیچیدہ کلاسیکی گروپوں کی کمپیکٹ حقیقی شکلیں ہیں۔ کلاسیکی گروپوں کے محدود ینالاگ لائ قسم کے کلاسیکی گروپ ہیں۔ "کلاسیکی گروپ" کی اصطلاح ہرمن ویل نے تیار کی تھی، یہ ان کے 1939 کے مونوگراف دی کلاسیکل گروپس کا عنوان تھا۔ کلاسیکی گروہ لکیری لائ گروپوں کے موضوع کا سب سے گہرا اور سب سے مفید حصہ بناتے ہیں۔ کلاسیکی گروہوں کی زیادہ تر اقسام کلاسیکی اور جدید طبیعیات میں استعمال ہوتی ہیں۔ اس کی چند مثالیں اس طرح ہیں: گردش گروپ یوکلڈین اسپیس اور طبیعیات کے تمام بنیادی قوانین کی ہم آہنگی ہے، لورینٹز گروپ خصوصی اضافیت کے خلائی وقت کا ہم آہنگی گروپ ہے۔ خصوصی یک جہتی گروپ کوانٹم کروموڈینامکس کا سمیٹری گروپ ہے اور سمپلیکٹک گروپ ہیملٹنین میکانکس اور اس کے کوانٹم مکینیکل ورژن میں اطلاق تلاش کرتا ہے۔ کلاسیکی گروپ کلاسیکی گروپ بالکل عام لکیری گروپ ہیں جو ذیل میں زیر بحث غیر انحطاط شدہ شکلوں کے آٹومورفزم گروپوں کے ساتھ مل کر ہیں۔ یہ گروہ عام طور پر اضافی طور پر ان ذیلی گروہوں تک محدود ہوتے ہیں جن کے عناصر میں تعین کنندہ 1 ہوتا ہے، تاکہ ان کے مراکز مجرد ہوں۔ کلاسیکی گروپ، تعین کنندہ 1 شرط کے ساتھ، نیچے دیے گئے جدول میں درج ہیں۔ سیکوئل میں، تعین کنندہ 1 شرط کو زیادہ سے زیادہ عامیت کے مفاد میں مستقل طور پر استعمال نہیں کیا جاتا ہے۔ پیچیدہ کلاسیکی گروہ ہیں، اور۔ ایک گروپ اس کے مطابق پیچیدہ ہے کہ آیا اس کا لائ الجبرا پیچیدہ ہے یا نہیں۔ حقیقی کلاسیکی گروپس سے مراد تمام کلاسیکی گروپس ہیں کیونکہ کوئی بھی لائ الجبرا ایک حقیقی الجبرا ہے۔ کمپیکٹ کلاسیکی گروپ پیچیدہ کلاسیکی گروپوں کی کمپیکٹ حقیقی شکلیں ہیں۔ یہ، بدلے میں، اور ہیں۔ کمپیکٹ حقیقی شکل کی ایک خصوصیت لائ الجبرا کے لحاظ سے ہے۔ اگر، کی پیچیدگی، اور اگر} کے ذریعہ تیار کردہ منسلک گروپ کمپیکٹ ہے، تو یہ ایک کمپیکٹ حقیقی شکل ہے۔ کلاسیکی گروہوں کو یکساں طور پر حقیقی شکلوں کا استعمال کرتے ہوئے مختلف انداز میں نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ کلاسیکی گروہ (یہاں تعین کنندہ 1 شرط کے ساتھ، لیکن یہ ضروری نہیں ہے) درج ذیل ہیں: پیچیدہ لکیری الجبرائی گروہ، اور ان کی حقیقی شکلوں کے ساتھ مل کر۔ مثال کے طور پر، کی ایک حقیقی شکل ہے، کی ایک حقیقی شکل ہے، اور کی ایک حقیقی شکل ہے۔ تعین کنندہ 1 شرط کے بغیر، خصوصیت میں متعلقہ عام لکیری گروپوں کے ساتھ خصوصی لکیری گروپوں کو تبدیل کریں۔ زیر بحث الجبرائی گروہ لائ گروپ ہیں، لیکن "حقیقی شکل" کا صحیح تصور حاصل کرنے کے لیے "الجبرائی" کوالیفائر کی ضرورت ہوتی ہے۔ بیلنیر اور سیسکویلینیر شکلیں کلاسیکی گروہوں کی تعریف ان شکلوں کے لحاظ سے کی جاتی ہے جن کی وضاحت، اور، جہاں اور وہ حقیقی اور پیچیدہ اعداد کے فیلڈز ہیں۔ کواٹرنیئنز، ایک فیلڈ کی تشکیل نہیں کرتے ہیں کیونکہ ضرب کمیوٹ نہیں ہوتی ہے۔ وہ ایک ڈویژن رنگ یا سکیو فیلڈ یا غیر کمیوٹیٹو فیلڈ بناتے ہیں۔ تاہم، میٹرکس کواٹرنیئنک گروپوں کی وضاحت کرنا اب بھی ممکن ہے۔ اس وجہ سے، ایک ویکٹر اسپیس کو اوپر، نیز نیچے بیان کرنے کی اجازت ہے۔ کی صورت میں، بائیں سے میٹرکس ضرب کے طور پر گروپ ایکشن کی نمائندگی کو ممکن بنانے کے لیے ایک دائیں ویکٹر کی جگہ ہے، جیسا کہ اور کے لیے ہے۔ کسی محدود جہتی دائیں ویکٹر کی جگہ پر ایک شکل، یا دو لکیری ہے اگر اور اگر اسے سیسکویلینر کہا جاتا ہے اگر اور اگر یہ کنونشن منتخب کیے جاتے ہیں کیونکہ وہ تمام صورتوں میں کام کرتے ہیں۔ آٹومورفزم لکیری آپریٹرز کے سیٹ میں ایک نقشہ ہے جس پر ایک گروپ بنانے والے تمام آٹومورفزموں کا سیٹ، اسے آٹومورفزم گروپ کہا جاتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ یہ کلاسیکی گروپ کی ابتدائی تعریف کی طرف لے جاتا ہے: کلاسیکی گروپ ایک ایسا گروپ ہے جو محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں پر دو لکیری یا سیسکویلینر شکل کو محفوظ رکھتا ہے، یا۔ اس تعریف میں کچھ بے کار پن ہے۔ کے معاملے میں، دو لکیری سیسکویلینیر کے مساوی ہے۔ کی صورت میں، کوئی غیر صفر دو لکیری شکلیں نہیں ہیں۔ سمیٹرک، سکیو-سمیٹرک، ہرمیٹین، اور سکیو-ہرمیٹین شکلیں ایک شکل سمیٹرک ہے اگر یہ سکیو-سمیٹرک ہے اگر یہ ہرمیٹین ہے آخر میں، یہ سکیو-ہرمیٹین ہے اگر ایک دو لکیری شکل منفرد طور پر ایک سمیٹرک شکل اور سکیو-سمیٹرک شکل کا مجموعہ ہے۔ ایک تبدیلی کا تحفظ دونوں حصوں کو الگ الگ محفوظ رکھتا ہے۔ اس طرح سمیٹرک اور سکیو سمیٹرک شکلوں کو محفوظ رکھنے والے گروپوں کا الگ سے مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔ یہی بات ہرمیٹین اور سکیو-ہرمیٹین شکلوں پر، میوٹیٹس میوٹینڈس پر لاگو ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، درجہ بندی کے مقاصد کے لیے، صرف خالص طور پر سمیٹرک، سکیو سمیٹرک، ہرمیٹین، یا سکیو ہرمیٹین شکلوں پر غور کیا جاتا ہے۔ فارموں کی عام شکلیں اڈوں کے مخصوص مناسب انتخاب سے مطابقت رکھتی ہیں۔ یہ نقاط میں درج ذیل عام شکلیں دینے والے بیس ہیں: سکیو-ہرمیٹین شکل میں اس کی بنیاد میں تیسرا بنیادی عنصر ہے۔ ان اڈوں کے وجود کا ثبوت اور سلویسٹر کا جمود کا قانون، جمع اور مائنس کے نشانات کی تعداد کی آزادی، اور، ہم آہنگی اور ہرمیٹین شکلوں میں، نیز ہر اظہار میں فیلڈز کی موجودگی یا غیر موجودگی، یا میں مل سکتی ہے۔ جوڑی، اور بعض اوقات، فارم کا دستخط کہا جاتا ہے۔ فیلڈز کی موجودگی کی وضاحت: کوئی غیر معمولی دو لکیری شکلیں نہیں ہیں۔ سمیٹرک بائیلینیر کیس میں، صرف اوپر کی شکلوں کے دستخط ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، "دستخط" کے ساتھ ایک پیچیدہ دو لکیری شکل کو، بنیاد کی تبدیلی سے، اس شکل میں کم کیا جا سکتا ہے جہاں مذکورہ بالا اظہار میں تمام علامتیں "" ہوں، جبکہ حقیقی صورت میں یہ ناممکن ہے، جس میں اس شکل میں ڈالنے پر بنیاد سے آزاد ہے۔ تاہم، ہرمیٹین شکلوں میں کمپلیکس اور کواٹرنیئنک دونوں صورتوں میں بنیادی آزاد دستخط ہوتے ہیں۔ (حقیقی صورت سمیٹرک صورت میں گھٹ جاتی ہے۔) ایک پیچیدہ ویکٹر کی جگہ پر ایک سکیو-ہرمیٹین شکل کو ہرمیٹین سے ضرب کے ذریعے پیش کیا جاتا ہے، لہذا اس صورت میں، صرف دلچسپ ہے۔ آٹومورفزم گروپس پہلا حصہ عمومی ڈھانچہ پیش کرتا ہے۔ دوسرے حصے کوالٹی کے لحاظ سے مختلف معاملات کو ختم کر دیتے ہیں جو کہ محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں پر دو لکیری اور سیسکولینیئر فارموں کے آٹومورفزم گروپوں کے طور پر پیدا ہوتے ہیں، اور۔ آٹو (φ)-آٹومورفزم گروپ فرض کریں کہ یا کے اوپر ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس پر ایک غیر انحطاط پذیر شکل ہے۔ آٹومورفزم گروپ کی تعریف، کنڈیشن () کی بنیاد پر کی گئی ہے، جیسا کہ ہر ایک کی تعریف کے حوالے سے ایک ملحقہ ہوتا ہے۔ اس تعریف کو کنڈیشن () میں استعمال کرتے ہوئے، آٹومورفزم گروپ کو فکس کے ذریعہ ایک بنیاد دی گئی نظر آتی ہے۔ اس بنیاد کے لحاظ سے، اجزاء کہاں ہیں۔ یہ دو لکیری شکلوں کے لیے موزوں ہے۔ Sesquilinear شکلوں میں اسی طرح کے تاثرات ہوتے ہیں اور بعد میں الگ سے علاج کیا جاتا ہے۔ میٹرکس نوٹیشن میں کوئی تلاش کرتا ہے اور () سے میٹرکس کہاں ہے۔ غیر انحطاط کی حالت کا قطعی مطلب یہ ہے کہ یہ الٹا ہے، لہذا ملحقہ ہمیشہ موجود رہتا ہے۔ اس کے ساتھ اظہار کیا جاتا ہے آٹومورفزم گروپوں کا جھوٹ الجبرا فوری طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ خلاصہ طور پر، اگر اور صرف اگر سب کے لیے، لائ الجبرا کی ایکسپونینشیل میپنگ کے تحت () میں حالت کے مطابق، تاکہ یا کسی بنیاد پر جیسا کہ ایکسپونینشیل میپنگ کی پاور سیریز کی توسیع اور شامل کارروائیوں کی لکیری کا استعمال کرتے ہوئے دیکھا جائے۔ اس کے برعکس، فرض کریں کہ۔ پھر، مندرجہ بالا نتیجہ کا استعمال کرتے ہوئے۔ اس طرح جھوٹ الجبرا کو کسی بنیاد، یا ملحقہ کے حوالے کے بغیر نمایاں کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ نیچے دیے گئے ہر کلاسیکی گروپ کے لیے عام شکل دی جائے گی۔ اس عام شکل سے، میٹرکس کو براہ راست پڑھا جا سکتا ہے۔ نتیجتا، ملحقہ اور لائ الجبرا کے لیے تاثرات فارمولوں () اور () کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ یہ زیادہ تر غیر معمولی معاملات میں ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ بلینیئر کیس جب شکل ہم آہنگ ہوتی ہے، تو اسے کہا جاتا ہے۔ جب یہ سکیو سمیٹرک ہوتا ہے تو اسے کہا جاتا ہے۔ یہ حقیقی اور پیچیدہ معاملات پر لاگو ہوتا ہے۔ کواٹرنیئنک کیس خالی ہے کیونکہ کواٹرنیئنک ویکٹر خالی جگہوں پر کوئی غیر صفر دو لکیری شکلیں موجود نہیں ہیں۔ حقیقی کیس دو صورتوں میں تقسیم ہوتا ہے، سمیٹرک اور اینٹیسیمیٹرک شکلیں جن کا الگ سے علاج کیا جانا چاہیے۔ O (p, q) اور O (n)-آرتھوگنل گروپ اگر ہم آہنگ ہے اور ویکٹر کی جگہ حقیقی ہے، تو ایک بنیاد کا انتخاب کیا جا سکتا ہے تاکہ جمع اور مائنس کے نشانات کی تعداد مخصوص بنیاد سے آزاد ہو۔ اگر کوئی لکھتا ہے کہ جمع کے نشانات کی تعداد کہاں ہے اور مائنس کے نشانات کی تعداد کہاں ہے۔ اگر اشارہ ہے۔ اگر ضروری ہو تو بنیاد کو دوبارہ ترتیب دینے کے بعد میٹرکس اس معاملے میں ہے۔ ملحقہ آپریشن () پھر بن جاتا ہے جو معمول کے ٹرانسپوز میں گھٹ جاتا ہے جب یا 0 ہوتا ہے۔ لائ الجبرا مساوات () اور ایک مناسب این سیٹز کا استعمال کرتے ہوئے پایا جاتا ہے (یہ نیچے دیے گئے معاملے کے لیے تفصیلی ہے)، اور گروپ کے مطابق () گروپوں کے ذریعے دیا جاتا ہے اور نقشے کے ذریعے آئسومورفک ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، لورینٹز گروپ کے لائ الجبرا کو قدرتی طور پر لکھا جا سکتا ہے، اس طرح دوبارہ ترتیب دینا ممکن ہے کہ-بلاک اوپری بائیں (یا کوئی دوسرا بلاک) ہو۔ یہاں "وقت کا جزو" جسمانی تشریح میں چوتھے ہم آہنگی کے طور پر ختم ہوتا ہے، نہ کہ پہلا جو زیادہ عام ہو سکتا ہے۔ ایس پی (ایم، آر)-حقیقی سمپلیکٹک گروپ اگر اسکیو-سمیٹرک ہے اور ویکٹر کی جگہ حقیقی ہے، تو اس کی ایک بنیاد ہے کہ کہاں ہے۔ ایک کے لیے لکھتا ہے اگر کوئی لکھتا ہے یا۔ عام شکل سے کوئی پڑھتا ہے جہاں-جہتی میٹرکس ہیں اور () پر غور کرتے ہوئے، کسی کو لائ الجبرا مل جاتا ہے، اور گروپ کمپلیکس کیس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ جیسا کہ حقیقی صورت میں، دو معاملات ہوتے ہیں، سمیٹرک اور اینٹیسیمیٹرک کیس جو ہر ایک کلاسیکی گروپوں کا ایک خاندان پیدا کرتا ہے۔ O (n، C)-پیچیدہ آرتھوگنل گروپ اگر کیس ہم آہنگ ہے اور ویکٹر کی جگہ پیچیدہ ہے، تو صرف پلس سائن والی بنیاد استعمال کی جا سکتی ہے۔ آٹومورفزم گروپ کال کی صورت میں ہے۔ جھوٹ الجبرا محض اس کا ایک خاص معاملہ ہے، اور گروپ اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ سادہ جھوٹ الجبرا کی درجہ بندی کے لحاظ سے، ان کو دو کلاسوں میں تقسیم کیا گیا ہے، جن میں جڑ کے نظام کے ساتھ عجیب اور جڑ کے نظام کے ساتھ بھی۔ ایس پی (ایم، سی)-پیچیدہ سمپلیکٹک گروپ سکیو سمٹرک اور ویکٹر اسپیس کمپلیکس کے لیے، وہی فارمولا لاگو ہوتا ہے جیسا کہ حقیقی صورت میں ہوتا ہے۔ ایک کے لیے لکھتا ہے۔ اس صورت میں کوئی لکھتا ہے یا۔ جھوٹ الجبرا اس کے متوازی ہے، اور گروپ سیسکویلینئر کیس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ سیسکویلینئر کیس میں، کوئی بنیاد کے لحاظ سے فارم کے لیے قدرے مختلف نقطہ نظر اختیار کرتا ہے، دوسرے تاثرات جن میں ترمیم کی جاتی ہے وہ ہیں۔ کمپلیکس اور کواٹرنیئنک کیس پر ذیل میں غور کیا جائے گا۔ کوالٹی کے نقطہ نظر سے، اسکیو-ہرمیٹین شکلوں پر غور (آئسومورفزم تک) کوئی نیا گروپ فراہم نہیں کرتا ہے۔ ایک سکیو-ہرمیٹین فارم ہرمیٹین کو پیش کرکے ضرب، اور اس کے برعکس۔ اس طرح صرف ہرمیٹین کیس پر غور کرنے کی ضرورت ہے۔ U (p, q) اور U (n)-یکطرفہ گروہ A غیر انحطاطی ہرمیٹین شکل کی عام شکل ہوتی ہے جیسا کہ دو لکیری صورت میں، دستخط (p, q) بنیاد سے آزاد ہوتا ہے۔ آٹومورفزم گروپ کی نشاندہی کی جاتی ہے، یا، کی صورت میں۔ اگر اشارہ ہے۔ اس صورت میں، شکل اختیار کرتا ہے اور جھوٹ الجبرا اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ گروپ اس طرح دیا جاتا ہے جہاں g ایک عام n x n پیچیدہ میٹرکس ہے اور اس کی تعریف g کے کنجوگیٹ ٹرانسپوز کے طور پر کی جاتی ہے، جسے طبیعیات دان کہتے ہیں۔ موازنہ کے طور پر، ایک یونیٹری میٹرکس U (n) کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ یہ کواٹرنیئنک کیس کی طرح ہے۔ اس طرح، ایک کواٹرنیئن کے لیے، ایک کواٹرنیئن کالم ویکٹر اور کواٹرنیئن میٹرکس۔ اگر بائیں ویکٹر کی جگہ ختم ہو جاتی ہے، تو لکیری کو برقرار رکھنے کے لیے قطار کے ویکٹروں پر دائیں طرف سے میٹرکس ضرب کی ضرورت ہوگی۔ یہ ویکٹر اسپیس پر کسی گروپ کے معمول کے لکیری آپریشن سے مطابقت نہیں رکھتا ہے جب ایک بنیاد دی جاتی ہے، جو کہ کالم ویکٹر پر بائیں طرف سے میٹرکس کا ضرب ہے۔ اس طرح اب سے ایک دائیں ویکٹر کی جگہ ہے۔ اس کے باوجود، اس کی غیر متغیر نوعیت کی وجہ سے خیال رکھنا ضروری ہے۔ (زیادہ تر واضح) تفصیلات کو چھوڑ دیا جاتا ہے کیونکہ پیچیدہ نمائشیں استعمال کی جائیں گی۔ کواٹرنیئنک گروپوں سے نمٹتے وقت پیچیدہ کا استعمال کرتے ہوئے کواٹرنیئنز کی نمائندگی کرنا آسان ہے، اس نمائندگی کے ساتھ، کواٹرنیئنک ضرب میٹرکس ضرب بن جاتی ہے اور کواٹرنیئنک کنجگیشن ہرمیٹین ملحقہ بن جاتا ہے۔ مزید برآں، اگر پیچیدہ انکوڈنگ کے مطابق کواٹرنیئن کو کالم ویکٹر کے طور پر دیا جاتا ہے، تو بائیں طرف سے کواٹرنیئن کی میٹرکس نمائندگی سے ضرب ایک نیا کالم ویکٹر پیدا کرتا ہے جو صحیح کواٹرنیئن کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ نمائندگی کواٹرنیئن آرٹیکل میں پائی جانے والی زیادہ عام نمائندگی سے قدرے مختلف ہے۔ زیادہ عام روایت ایک ہی چیز کو حاصل کرنے کے لیے قطار میٹرکس پر دائیں طرف سے ضرب کو مجبور کرے گی۔ اتفاقی طور پر، اوپر کی نمائندگی یہ واضح کرتی ہے کہ یونٹ کواٹرنیئنز () کا گروپ اس کے لیے آئسومورفک ہے۔ کواٹرنیئنک میٹرکس کی نمائندگی، واضح توسیع کے ذریعے، پیچیدہ نمبروں کے بلاک میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اگر کوئی اوپر کی انکوڈنگ کے مطابق پیچیدہ اعداد کے ساتھ کالم ویکٹر کے ذریعے ایک کواٹرنیئنک کالم ویکٹر کی نمائندگی کرنے پر راضی ہوتا ہے، جس میں اوپری نمبر اور نچلے نمبر ہوتے ہیں، تو ایک کواٹرنیئنک-میٹرکس بالکل اوپر دی گئی شکل کا ایک پیچیدہ-میٹرکس بن جاتا ہے، لیکن اب α اور β-میٹرکس کے ساتھ۔ مزید رسمی طور پر A میٹرکس میں فارم () میں ظاہر ہوتا ہے اگر اور صرف اگر۔ ان شناختوں کے ساتھ، خلا ایک حقیقی الجبرا ہے، لیکن یہ ایک پیچیدہ ذیلی جگہ نہیں ہے۔ اندراج کے لحاظ سے کواٹرنیئنک ضرب کا استعمال کرتے ہوئے ضرب (بائیں سے) اور پھر تصویر کی نقشہ سازی سے براہ راست اندراج کے لحاظ سے ضرب دینے سے مختلف نتیجہ حاصل ہوتا ہے۔ کواٹرنیئنک ضرب کے قوانین بتاتے ہیں کہ نئے کہاں ہیں اور قوسین کے اندر ہیں۔ کواٹرنیئنک ویکٹروں پر کواٹرنیئنک میٹرکس کے عمل کی نمائندگی اب پیچیدہ مقداروں سے کی جاتی ہے، لیکن بصورت دیگر یہ "عام" میٹرکس اور ویکٹروں کے لیے یکساں ہے۔ کواٹرنیئنک گروپ اس طرح جڑے ہوئے ہیں جہاں کواٹرنیئنک میٹرکس کی جہت ہے۔ کواٹرنیئنک میٹرکس کے تعین کنندہ کو اس نمائندگی میں اس کے نمائندہ میٹرکس کے عام پیچیدہ تعین کنندہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ کواٹرنیئنک ضرب کی غیر تبادلہ نوعیت، میٹرکس کی کواٹرنیئنک نمائندگی میں، مبہم ہوگی۔ جس طریقے میں سرایت کی گئی ہے وہ منفرد نہیں ہے، لیکن اس طرح کے تمام سرایتوں کا تعلق فار کے ذریعے ہے، جس سے تعین کنندہ متاثر نہیں ہوتا ہے۔ اس پیچیدہ آڑ میں اس کا نام ہے۔ اس کے برعکس، ہرمیٹین اور اسکیو-ہرمیٹین کیس دونوں کچھ نیا لاتے ہیں جب غور کیا جاتا ہے، لہذا ان معاملات کو الگ سے سمجھا جاتا ہے۔ GL (n, H) اور SL (n, H) اوپر کی شناخت کے تحت، اس کا لائ الجبرا اوپر کی نقشہ سازی کی تصویر میں موجود تمام میٹرکس کا مجموعہ ہے، کواٹرنیئنک خصوصی لکیری گروپ اس طرح دیا جاتا ہے جہاں میٹرکس پر ڈیٹرمیننٹ لیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، کوئی بھی اسے ڈیوڈون ڈیٹرمیننٹ کے دانے کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ لائ الجبرا ایس پی (پی، کیو) ہے-کواٹرنیئنک یونٹیری گروپ جیسا کہ اوپر پیچیدہ صورت میں، عام شکل ہے اور جمع نشانات کی تعداد بنیاد سے آزاد ہے۔ جب اس فارم کے ساتھ،۔ اشارے کی وجہ یہ ہے کہ گروپ کی نمائندگی، مندرجہ بالا نسخے کا استعمال کرتے ہوئے، دستخط کی ایک پیچیدہ ہرمیٹین شکل کو محفوظ رکھنے کے ذیلی گروپ کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اسے بعض اوقات ہائپر یونٹری گروپ کہا جاتا ہے۔ کواٹرنیئنک نوٹیشن میں، جس کا مطلب ہے کہ فارم کے کواٹرنیئنک میٹرکس مطمئن کریں گے، کے بارے میں سیکشن دیکھیں۔ کواٹرنیئنک میٹرکس ضرب سے نمٹنے کے دوران احتیاط برتنے کی ضرورت ہے، لیکن یہاں صرف اور شامل ہیں اور یہ ہر کواٹرنیئن میٹرکس کے ساتھ کامیوٹ کرتے ہیں۔ اب ہر بلاک پر نسخے () کا اطلاق کریں، اور اگر جھوٹ الجبرا بن جاتا ہے تو () میں تعلقات مطمئن ہو جائیں گے۔ پھر ایک-ویلیوڈ فارم کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ اس طرح کے عناصر، جن کو لکیری تبدیلیوں کے طور پر دیکھا جاتا ہے، دستخط کی ہرمیٹین شکل اور غیر انحطاط شدہ سکیو سمیٹرک شکل دونوں کو محفوظ رکھتے ہیں۔ دونوں شکلیں خالصتا پیچیدہ اقدار اختیار کرتی ہیں اور دوسری شکل کے پری فیکٹر کی وجہ سے، وہ الگ سے محفوظ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ گروپ کے نام اور اشارے دونوں کی وضاحت کرتا ہے۔ O ≤ (2n) = O (n، H)-کواٹرنیئنک آرتھوگنل گروپ ایک اسکیو-ہرمیٹین فارم کے لیے نارمل فارم اس طرح دی جاتی ہے کہ ترتیب شدہ لسٹنگ میں تیسرا بیس کواٹرنیئن کہاں ہے۔ اس صورت میں، اوپر کی پیچیدہ میٹرکس انکوڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے محسوس کیا جا سکتا ہے، جس کے ذیلی گروپ کے طور پر دستخط کی ایک غیر انحطاط پذیر پیچیدہ سکیو-ہرمیٹین شکل کو محفوظ رکھتا ہے۔ عام شکل سے کوئی یہ دیکھتا ہے کہ کواٹرنیئنک نوٹیشن میں اور سے () اس کے لیے اس کی پیروی کرتا ہے۔ اب نسخے () کے مطابق ڈالیں۔ اسی نسخے کی پیداوار، اب پیچیدہ اشارے میں () میں آخری شرط پڑھتی ہے کہ جھوٹ الجبرا بن جاتا ہے اور گروپ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ گروپ کو اس طرح سے نمایاں کیا جا سکتا ہے جہاں نقشے کی وضاحت کی گئی ہے۔ نیز، گروپ کا تعین کرنے والے فارم کو ایک قابل قدر فارم کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ فارم کے لیے متبادل اور اظہار میں بنائیں۔ پھر دستخط کی شکل ہرمیٹین ہے (جبکہ بائیں ہاتھ کی طرف پہلی شکل سکیو-ہرمیٹین ہے)۔ دستخط کو بنیاد کی تبدیلی سے واضح کیا جاتا ہے جہاں بالترتیب پہلے اور آخری بیس ویکٹر ہیں۔ دوسری شکل، سمیٹرک مثبت ڈیفینیٹ ہے۔ اس طرح، عنصر کی وجہ سے، دونوں کو الگ الگ محفوظ کرتا ہے اور یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ اور اشارے "O" کی وضاحت کی گئی ہے۔ عام شعبوں یا الجبرا کلاسیکی گروپوں پر کلاسیکی گروپ، جنہیں الجبرہ میں زیادہ وسیع پیمانے پر سمجھا جاتا ہے، خاص طور پر دلچسپ میٹرکس گروپ فراہم کرتے ہیں۔ جب میٹرکس گروپ کے کوفشنٹس کا فیلڈ F یا تو حقیقی نمبر یا پیچیدہ نمبر ہوتا ہے، تو یہ گروپ صرف کلاسیکی لائ گروپ ہوتے ہیں۔ جب گراؤنڈ فیلڈ ایک محدود فیلڈ ہوتا ہے، تو کلاسیکی گروپ لائ قسم کے گروپ ہوتے ہیں۔ یہ گروہ محدود سادہ گروہوں کی درجہ بندی میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ، کوئی بھی کلاسیکی گروہوں پر غور کر سکتا ہے کہ یکجا ملحقہ الجبرا R اوور F ؛ جہاں R = H (حقیقی الجبرہ پر الجبرہ) ایک اہم کیس کی نمائندگی کرتا ہے۔ عام ہونے کی خاطر مضمون R پر گروپوں کا حوالہ دے گا، جہاں R خود گراؤنڈ فیلڈ F ہو سکتا ہے۔ ان کے تجریدی گروپ تھیوری پر غور کرتے ہوئے، بہت سے لکیری گروپوں کا ایک "خاص" ذیلی گروپ ہوتا ہے، جو عام طور پر زمینی میدان پر تعین کنندہ 1 کے عناصر پر مشتمل ہوتا ہے، اور ان میں سے بیشتر میں "پروجیکٹو" کوٹینٹس وابستہ ہوتے ہیں، جو گروپ کے مرکز کے لحاظ سے کوٹینٹس ہوتے ہیں۔ آرتھوگنل گروپوں کے لیے خصوصیت 2 "S" کا ایک مختلف معنی ہے۔ گروپ کے نام کے سامنے لفظ "جنرل" کا عام طور پر مطلب یہ ہے کہ گروپ کو کسی قسم کی شکل کو مستقل سے ضرب دینے کی اجازت ہے، بجائے اس کے کہ اسے فکسڈ چھوڑ دیا جائے۔ سبسکرپٹ n عام طور پر اس ماڈیول کے طول و عرض کی نشاندہی کرتا ہے جس پر گروپ کام کر رہا ہے۔ یہ ایک ویکٹر اسپیس ہے اگر R = F۔ انتباہ: یہ اشارہ کسی حد تک ڈینکن خاکے کے n سے ٹکرا جاتا ہے، جو کہ درجہ ہے۔ عمومی اور خصوصی لکیری گروپ عمومی لکیری گروپ GLn (R) Rn کے تمام R-لکیری آٹومورفزم کا گروپ ہے۔ ایک ذیلی گروہ ہے: خصوصی لکیری گروپ ایس ایل این (آر)، اور ان کے حصص: پروجیکٹو جنرل لکیری گروپ پی جی ایل این (آر) = جی ایل این (آر)/زیڈ (جی ایل این (آر)) اور پروجیکٹو اسپیشل لکیری گروپ پی ایس ایل این (آر) = ایس ایل این (آر)/زیڈ (ایس ایل این (آر))۔ فیلڈ F پر پروجیکٹو اسپیشل لینیر گروپ پی ایس ایل این (ایف) n ≤ 2 کے لیے آسان ہے، سوائے ان دو صورتوں کے جب n = 2 اور فیلڈ کی ترتیب 2 یا 3 ہو۔ یونٹری گروپ یون (آر) ایک ایسا گروپ ہے جو ماڈیول پر سیسکویلینئر شکل کو محفوظ رکھتا ہے۔ ایک ذیلی گروہ ہے، خصوصی یک جہتی گروپ ایس یو این (آر) اور ان کے حصے پروجیکٹو یک جہتی گروپ پی یو این (آر) = یو این (آر)/زیڈ (یو این (آر)) اور پروجیکٹو خصوصی یک جہتی گروپ پی ایس یو این (آر) = ایس یو این (آر)/زیڈ (ایس یو این (آر)) علامتی گروپ سمپلیکٹک گروپ ایس پی 2 این (آر) ایک ماڈیول پر ایک سکیو سمیٹرک شکل کو محفوظ رکھتا ہے۔ اس کا ایک حصہ ہے، پروجیکٹو سمپلیکٹک گروپ پی ایس پی 2 این (آر)۔ عام سمپلیکٹک گروپ جی ایس پی 2 این (آر) ایک ماڈیول کے آٹومورفزم پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک سکیو سمیٹرک فارم کو کسی الٹا اسکیلر سے ضرب دیتا ہے۔ ایک محدود فیلڈ پر پروجیکٹو سمپلیکٹک گروپ پی ایس پی 2 این (ایف کیو)، دو اور تین عناصر کے فیلڈز پر پی ایس پی 2 کے معاملات کے علاوہ، این ≤ 1 کے لیے آسان ہے۔ آرتھوگنل گروپ آن (R) ایک ماڈیول پر غیر انحطاط شدہ کواڈریٹک شکل کو محفوظ رکھتا ہے۔ ایک ذیلی گروہ ہے، خصوصی آرتھوگنل گروپ ایس او این (آر) اور کوٹینٹس، پروجیکٹو آرتھوگنل گروپ پی او این (آر)، اور پروجیکٹو اسپیشل آرتھوگنل گروپ پی ایس او این (آر)۔ خصوصیت 2 میں تعین کنندہ ہمیشہ 1 ہوتا ہے، لہذا خصوصی آرتھوگنل گروپ کو اکثر ڈکسن غیر متغیر 1 کے عناصر کے ذیلی گروپ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ ایک بے نام گروپ ہے جسے اکثر ωn (R) سے ظاہر کیا جاتا ہے جو اسپنر نارم 1 کے عناصر کے آرتھوگنل گروپ کے عناصر پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں متعلقہ ذیلی گروپ اور حصص گروپ Sωn (R)، Pωn (R)، Pωn (R)، Pωn (R) ہوتے ہیں۔ (حقیقی پر مثبت قطعی کواڈریٹک شکلوں کے لیے، گروپ ω آرتھوگنل گروپ کی طرح ہوتا ہے، لیکن عام طور پر یہ چھوٹا ہوتا ہے۔) ωn (R) کا ایک ڈبل کور بھی ہوتا ہے، جسے پن گروپ پن (R) کہا جاتا ہے، اور اس کا ایک ذیلی گروپ ہوتا ہے جسے اسپن گروپ (R) کہا جاتا ہے۔ عام آرتھوگنل گروپ جی او این (آر) ایک ماڈیول کے آٹومورفزم پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک کواڈریٹک شکل کو کسی الٹا اسکیلر سے ضرب دیتا ہے۔ غیر معمولی جھوٹ گروپوں کے ساتھ موازنہ کلاسیکی جھوٹ گروپوں کے ساتھ موازنہ غیر معمولی جھوٹ گروپ، G2، F4، E6، E7، E8 ہیں، جو اپنی تجریدی خصوصیات کا اشتراک کرتے ہیں، لیکن ان کی واقفیت نہیں۔ یہ صرف 1890 کے آس پاس ولہیلم کلنگ اور ایلی کارٹن کے ذریعہ پیچیدہ اعداد پر سادہ لائ الجبرا کی درجہ بندی میں دریافت ہوئے تھے۔ نوٹ حوالہ جات ای آرٹن (1957) جیومیٹرک الجبرا، ابواب III، IV، اور V بذریعہ انٹرنیٹ آرکائیو لائ گروپس