Span (category theory)
زمرہ نظریہ میں، وقفہ، چھت یا خط و کتابت کسی زمرے کی دو اشیاء کے درمیان تعلق کے تصور کی عمومی شکل ہے۔ جب زمرے میں تمام پل بیک ہوتے ہیں (اور دیگر شرائط کی ایک چھوٹی سی تعداد کو پورا کرتے ہیں)، تو حصوں کو حصوں کے زمرے میں مورفزم سمجھا جا سکتا ہے۔ اسپان کا تصور نوبو یونڈا (1954) اور جین بینابو (1967) کی وجہ سے ہے۔ رسمی تعریف ایک اسپان قسم کا ایک خاکہ ہے یعنی شکل کا ایک خاکہ۔ یعنی، λ کو زمرہ (-1-0-1 + 1) ہونے دیں۔ پھر زمرہ C میں ایک اسپان ایک فنکٹر S: λ → C ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک اسپان تین اشیاء X، Y اور C کے Z پر مشتمل ہوتا ہے اور مورفزم f: X → Y اور g: X → Z: یہ مشترکہ ڈومین والے دو نقشے ہیں۔ اسپان کا کولیمیٹ ایک پش آؤٹ ہے۔ مثال اگر R سیٹ X اور Y کے درمیان تعلق ہے (یعنی۔ X × Y) کا ایک ذیلی سیٹ، پھر X → R → Y ایک دورانیہ ہے، جہاں نقشے پروجیکشن نقشے ہیں اور۔ کوئی بھی شے معمولی دورانیہ اے۔ اے۔ اے۔ اے حاصل کرتی ہے، جہاں نقشے شناخت ہوتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، کچھ زمرے میں مورفزم ہونے دیں۔ ایک معمولی دورانیہ A → A → B ہے، جہاں بائیں نقشہ A پر شناخت ہے، اور دائیں نقشہ دیا ہوا نقشہ φ ہے۔ اگر M ایک ماڈل زمرہ ہے، W کمزور مساوات کا مجموعہ ہے، تو اس شکل کے پھیلاؤ جہاں بائیں مورفزم W میں ہے، کو عمومی مورفزم سمجھا جا سکتا ہے (یعنی، جہاں کوئی "کمزور مساوات کو الٹ دیتا ہے")۔ نوٹ کریں کہ ماڈل کے زمروں سے نمٹنے کے دوران یہ معمول کا نقطہ نظر نہیں ہے۔ کاسپانس A کاسپانس K زمرہ C میں ایک فنکٹر K ہے: λop → C ؛ مساوی طور پر، λ سے C تک ایک متضاد فنکٹر۔ یعنی، قسم کا ایک خاکہ یعنی شکل کا ایک خاکہ۔ اس طرح یہ تین اشیاء X، Y اور Z پر مشتمل ہے اور مورفزم f: Y → X اور g: Z → X: یہ مشترکہ کوڈومین کے ساتھ دو نقشے ہیں۔ کوسپین کی حد پل بیک ہے۔ کوسپین کی ایک مثال دو کئی گنا M اور N کے درمیان ایک کوبورڈزم W ہے، جہاں دو نقشے W میں شامل ہیں۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ کوبورڈزم کوسپین ہیں، لیکن کوبورڈزم کا زمرہ "کوسپین زمرہ" نہیں ہے: یہ "حدود پر شمولیت کے ساتھ کئی گنا کے زمرے" میں تمام کوسپین کا زمرہ نہیں ہے، بلکہ اس کی ایک ذیلی زمرہ ہے، کیونکہ M اور N کو W کی حد کی تقسیم بنانے کی ضرورت ایک عالمی رکاوٹ ہے۔ محدود جہتی کوبورڈزم کا زمرہ nCob ایک ڈیگر کمپیکٹ زمرہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، محدود حدود کے ساتھ کسی بھی زمرہ سی پر اسپان کا زمرہ اسپان (سی) بھی ڈگر کمپیکٹ ہے۔ بائنری ریلیشن پل بیک (زمرہ تھیوری) پش آؤٹ (زمرہ تھیوری) کوبورڈزم حوالہ جات یونڈا، نوبو، آن دی ہومیولوجی تھیوری آف ماڈیولز بھی دیکھیں۔ جے۔ فیس۔ سائنس. یونیورسٹی۔ ٹوکیو طبقہ۔ I، 7 (1954)، 193-227۔ بینابو، جین، انٹروڈکشن ٹو بائی کیٹیگریز، لیکچر نوٹس ان میتھمیٹکس 47، سپرنگر (1967)، pp.1-77 فنکٹرز