Kuratowski's closure-complement problem
پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی میں، کوراٹووسکی کا کلوزر کمپلیمنٹ مسئلہ، کلوزر کے سیٹ آپریشنز کو بار بار لاگو کرکے اور ٹوپولوجیکل اسپیس کے دیئے گئے ابتدائی ذیلی سیٹ کی تکمیل کرکے حاصل ہونے والے الگ الگ سیٹوں کی سب سے بڑی تعداد کا مطالبہ کرتا ہے۔ جواب 14 ہے۔ یہ نتیجہ پہلی بار کازیمیرز کوراتووسکی نے 1922 میں شائع کیا تھا۔ جان ایل کیلی کی 1955 کی کلاسک، جنرل ٹوپولوجی میں نصابی کتاب کی مشق کے طور پر شہرت حاصل کرنے سے پہلے اس نے کوراتووسکی کے بنیادی مونوگراف ٹوپولوجی (پہلی بار 1933 میں فرانسیسی میں شائع ہوا ؛ پہلا انگریزی ترجمہ 1966 میں شائع ہوا) میں اضافی نمائش حاصل کی۔ پروف لیٹنگ ٹپوولوجیکل اسپیس کے صوابدیدی ذیلی سیٹ کی نشاندہی کرتا ہے، کی بندش کے لیے، اور کی تکمیل کے لیے لکھیں۔ مندرجہ ذیل تین شناختوں کا مطلب یہ ہے کہ 14 سے زیادہ الگ الگ سیٹ دستیاب نہیں ہیں: (بندش کا عمل غیر فعال ہے۔) ۔ (تکمیل کا عمل ایک ارتقاء ہے۔) ۔ (یا مساوی طور پر، شناخت کا استعمال کرتے ہوئے (2))۔ پہلے دو معمولی ہیں۔ تیسرا اس شناخت کے بعد آتا ہے جہاں اس کا اندرونی حصہ تکمیل کی تکمیل کے برابر ہوتا ہے۔ (آپریشن غیر فعال ہے۔) ایک ذیلی سیٹ جس میں زیادہ سے زیادہ 14 کا احساس ہوتا ہے اسے 14 سیٹ کہا جاتا ہے۔ عام ٹوپولوجی کے تحت حقیقی اعداد کی جگہ 14 سیٹوں پر مشتمل ہوتی ہے۔ یہاں ایک مثال ہے: جہاں کھلے وقفے کی نشاندہی کرتا ہے اور بند وقفے کی نشاندہی کرتا ہے۔ آئیے اس سیٹ کو ظاہر کرتے ہیں۔ پھر مندرجہ ذیل 14 سیٹ قابل رسائی ہیں:، اوپر دکھایا گیا سیٹ۔ مزید نتائج ٹپوولوجیکل اسپیس کے تناظر میں اس کی ابتدا کے باوجود، کوراتووسکی کا کلوزر کمپلیمنٹ کا مسئلہ دراصل ٹپوولوجیکل سے زیادہ الجبرائی ہے۔ 1960 کے بعد سے قریب سے متعلق مسائل اور نتائج کی حیرت انگیز کثرت سامنے آئی ہے، جن میں سے بہت سے کا پوائنٹ سیٹ ٹوپولوجی سے بہت کم یا کوئی تعلق نہیں ہے۔ بندش-تکمیل کی کارروائیوں سے ایک مونوئڈ حاصل ہوتا ہے جسے ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی درجہ بندی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط کوراتووسکی بندش-تکمیل نظریہ بذریعہ بی جے گارڈنر اور مارسل جیکسن کوراتووسکی بندش-تکمیل مسئلہ بذریعہ مارک بورون ٹوپولوجی ریاضیاتی مسائل