Epsilon-equilibrium
گیم تھیوری میں، ایک ایپسیلون توازن، یا نیئر نیش توازن، ایک حکمت عملی کا خاکہ ہے جو نیش توازن کی حالت کو تقریبا مطمئن کرتا ہے۔ نیش توازن میں، کسی بھی کھلاڑی کو اپنے رویے کو تبدیل کرنے کی ترغیب نہیں ملتی ہے۔ ایک لگ بھگ نیش توازن میں، اس ضرورت کو اس امکان کی اجازت دینے کے لیے کمزور کر دیا جاتا ہے کہ کسی کھلاڑی کو کچھ مختلف کرنے کے لیے ایک چھوٹی سی ترغیب مل سکتی ہے۔ یہ اب بھی ایک مناسب حل کا تصور سمجھا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر اسٹیٹس کو تعصب فرض کرتے ہوئے۔ اس حل کے تصور کو نیش توازن کے مقابلے میں ترجیح دی جا سکتی ہے کیونکہ اس کا حساب لگانا آسان ہے، یا متبادل طور پر اس امکان کی وجہ سے کہ 2 سے زیادہ کھلاڑیوں کے کھیلوں میں، عین مطابق نیش توازن میں شامل امکانات کو عقلی اعداد ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ تعریف ایک سے زیادہ متبادل تعریفیں ہیں۔ معیاری تعریف ایک کھیل اور ایک حقیقی غیر منفی پیرامیٹر کو دیکھتے ہوئے، ایک حکمت عملی پروفائل کو ایک توازن کہا جاتا ہے اگر کسی بھی کھلاڑی کے لیے اپنی حکمت عملی سے یکطرفہ طور پر ہٹ کر متوقع ادائیگی سے زیادہ حاصل کرنا ممکن نہیں ہے۔ ہر نیش توازن ایک-توازن کے برابر ہے جہاں۔ رسمی طور پر، ہر کھلاڑی اور یوٹیلیٹی فنکشن کے لیے ایکشن سیٹ کے ساتھ ایک-پلیئر گیم ہونے دیں۔ جب حکمت عملی پروفائل کھیلا جاتا ہے تو کھلاڑی کو ادائیگی کی نشاندہی کریں۔ امکانات کی تقسیم کی جگہ کو ختم ہونے دیں۔ حکمت عملیوں کا ایک ویکٹر ایک-نیش توازن ہے اگر تمام اچھی طرح سے تعاون یافتہ تخمینہ توازن کے لیے مندرجہ ذیل تعریف اس مضبوط ضرورت کو عائد کرتی ہے کہ ایک کھلاڑی صرف خالص حکمت عملی کو مثبت امکان تفویض کر سکتا ہے اگر اس کی ادائیگی میں بہترین ردعمل کی ادائیگی سے زیادہ سے زیادہ کم ادائیگی کی توقع کی گئی ہو۔ اس بات کا امکان ہو کہ حکمت عملی کا خاکہ کھیلا جائے۔ کھلاڑی کے لیے اس کے علاوہ کھلاڑیوں کی حکمت عملی پروفائلز ہونے دیں ؛ کے لیے اور ایک خالص حکمت عملی حکمت عملی پروفائل ہونے دیں جہاں کھیل اور دوسرے کھلاڑی کھیلتے ہیں۔ جب حکمت عملی پروفائل استعمال کیا جاتا ہے تو اس کی ادائیگی ہونے دیں۔ ضرورت کا اظہار فارمولہ نتائج کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ ε-نیش ایکویلیبریا کے لیے کثیر الجہتی وقت کی تخمینہ اسکیم (پی ٹی اے ایس) کا وجود اس سوال کے مساوی ہے کہ آیا ε-اچھی طرح سے تعاون یافتہ تخمینہ نیش ایکویلیبریا کے لیے کوئی موجود ہے، لیکن پی ٹی اے ایس کا وجود ایک کھلا مسئلہ ہے۔ ε کی مستقل اقدار کے لیے، لگ بھگ توازن کے لیے کثیر الجہتی وقت کے الگورتھم ε کی کم اقدار کے لیے جانے جاتے ہیں جو کہ اچھی طرح سے تعاون یافتہ لگ بھگ توازن کے لیے جانے جاتے ہیں۔ رینج [0,1] اور ε = 0.3393 میں ادائیگی والے کھیلوں کے لیے، ε-نیش توازن کا حساب کثیر الجہتی وقت میں کیا جا سکتا ہے۔ رینج [0,1] اور ε = 2/3 میں ادائیگی والے کھیلوں کے لیے، ε-اچھی طرح سے تعاون یافتہ توازن کا حساب کثیر الجہتی وقت میں کیا جا سکتا ہے۔ مثال ممکنہ طور پر لامحدود مدت کے سٹوچسٹک گیمز کے نظریہ میں ε-توازن کا تصور اہم ہے۔ سٹاکاسٹک گیمز کی سادہ مثالیں موجود ہیں جن میں کوئی نیش توازن نہیں ہے لیکن 0 سے سختی سے بڑے کسی بھی ε کے لیے ε-توازن کے ساتھ۔ شاید اس طرح کی سب سے آسان مثال میچنگ پینیز کا درج ذیل ورژن ہے، جسے ایوریٹ نے تجویز کیا ہے۔ پلیئر 1 ایک پیسہ چھپاتا ہے اور پلیئر 2 کو اندازہ لگانا چاہیے کہ یہ سر اوپر ہے یا دم اوپر۔ اگر کھلاڑی 2 صحیح اندازہ لگاتا ہے، تو وہ کھلاڑی 1 سے پیسہ جیتتا ہے اور کھیل ختم ہو جاتا ہے۔ اگر کھلاڑی 2 غلط انداز میں اندازہ لگاتا ہے کہ پیسہ بڑھ گیا ہے، تو کھیل دونوں کھلاڑیوں کو صفر ادائیگی کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔ اگر وہ غلط انداز میں اندازہ لگاتا ہے کہ اس کی دم اوپر ہے، تو کھیل دہرایا جاتا ہے۔ اگر کھیل ہمیشہ کے لیے جاری رہتا ہے تو دونوں کھلاڑیوں کو ادائیگی صفر ہوتی ہے۔ ایک پیرامیٹر ε> 0 کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی حکمت عملی پروفائل جہاں پلیئر 2 کا اندازہ امکان ε کے ساتھ ہوتا ہے اور امکان 1 − ε (کھیل کے ہر مرحلے پر، اور پچھلے مراحل سے آزادانہ طور پر) کے ساتھ دم کرتا ہے، کھیل کے لیے ایک ε-توازن ہے۔ اس طرح کی حکمت عملی کے پروفائل میں پلیئر 2 کی متوقع ادائیگی کم از کم 1 − ε ہے۔ تاہم، یہ دیکھنا آسان ہے کہ پلیئر 2 کے لیے ایسی کوئی حکمت عملی نہیں ہے جو بالکل 1 کی متوقع ادائیگی کی ضمانت دے سکے۔ لہذا، کھیل میں کوئی نیش توازن نہیں ہے۔ ایک اور سادہ سی مثال ٹی پیریڈز کے لیے محدود طور پر بار بار دہرایا جانے والا قیدی کا مخمصے ہے، جہاں ٹی پیریڈز کے دوران ادائیگی کا اوسط ہوتا ہے۔ اس کھیل کا واحد نیش توازن ہر پیریڈ میں ڈیفیکٹ کا انتخاب کرنا ہے۔ اب دو حکمت عملیوں ٹائٹ فار ٹیٹ اور سنگین محرک پر غور کریں۔ اگرچہ نہ تو ٹائٹ فار ٹیٹ اور نہ ہی سنگین محرک کھیل کے لیے نیش توازن ہیں، لیکن یہ دونوں کچھ مثبت کے لیے توازن ہیں۔ کی قابل قبول اقدار کا انحصار جزو کھیل کی ادائیگیوں اور ادوار کی تعداد T پر ہوتا ہے۔ معاشیات میں، خالص حکمت عملی ایپسیلون-توازن کا تصور اس وقت استعمال ہوتا ہے جب مخلوط حکمت عملی کے نقطہ نظر کو غیر حقیقی سمجھا جاتا ہے۔ خالص حکمت عملی ایپسیلون توازن میں، ہر کھلاڑی ایک خالص حکمت عملی کا انتخاب کرتا ہے جو اس کی بہترین خالص حکمت عملی کے اندر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، برٹرینڈ-ایڈج ورتھ ماڈل میں، جہاں کوئی خالص حکمت عملی کا توازن موجود نہیں ہے، ایک خالص حکمت عملی کا ایپسلون توازن موجود ہو سکتا ہے۔ حوالہ جات ان لائن حوالہ جات ذرائع ایچ ڈکسن ایک نقل شدہ صنعت میں تقریبا برٹرینڈ توازن، اقتصادی مطالعات کا جائزہ، 54 (1987)، صفحات 47-62۔ ایچ۔ ایوریٹ۔ "ریکرسو گیمز"۔ ایچ۔ ڈبلیو میں۔ کوہن اور اے۔ ڈبلیو۔ ٹکر، ایڈیٹرز۔ گیمز کے نظریہ میں شراکت، جلد۔ III، اینلز آف میتھمیٹیکل اسٹڈیز کا جلد 39۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، 1957۔ 88 صفحات پر مشتمل ریاضیاتی تعارف ؛ سیکشن 3.7 دیکھیں۔ بہت سی یونیورسٹیوں میں مفت آن لائن۔ آر۔ ریڈنر۔ طویل لیکن محدود زندگیوں کے ساتھ اولیگوپولیز کے غیر تعاون پر مبنی ایپسیلون توازن میں گٹھ جوڑ والا طرز عمل، جرنل آف اکنامک تھیوری، 22، 121-157، 1980۔ کمپیوٹیشنل نقطہ نظر سے ایک جامع حوالہ ؛ سیکشن 3.4.7 دیکھیں۔ مفت آن لائن ڈاؤن لوڈ کریں۔ ایس۔ ایچ۔ اس کے علاوہ. نارمل فارم میں نان کوآپریٹو این پرسن گیمز کے لیے نیش ایکولبریا، SIAM ریویو، 23، 225-237، 1981۔ گیم تھیوری توازن کے تصورات