Spin representation
ریاضی میں، گھماؤ کی نمائندگی صوابدیدی طول و عرض اور دستخط (یعنی غیر معینہ مدت کے آرتھوگنل گروپوں سمیت) میں آرتھوگنل یا خصوصی آرتھوگنل گروپوں کی مخصوص پروجیکٹو نمائندگی ہیں۔ مزید واضح طور پر، وہ اسپن گروپوں کی دو مساوی نمائندگی ہیں، جو خصوصی آرتھوگنل گروپوں کے ڈبل کور ہیں۔ ان کا مطالعہ عام طور پر حقیقی یا پیچیدہ اعداد پر کیا جاتا ہے، لیکن ان کی تعریف دوسرے شعبوں میں کی جا سکتی ہے۔ اسپن کی نمائندگی کے عناصر کو اسپنر کہا جاتا ہے۔ وہ الیکٹران جیسے فرمین کی جسمانی وضاحت میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ گھماؤ کی نمائندگی کئی طریقوں سے کی جا سکتی ہے، لیکن عام طور پر تعمیر میں (شاید صرف مضمر طور پر) گروپ کی ویکٹر نمائندگی میں زیادہ سے زیادہ آئسوٹروپک ذیلی جگہ کا انتخاب شامل ہوتا ہے۔ حقیقی اعداد پر، اس کے لیے عام طور پر ویکٹر کی نمائندگی کی پیچیدگی کا استعمال کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، پہلے پیچیدہ اعداد پر گھماؤ کی نمائندگی کی وضاحت کرنا آسان ہے، اور حقیقی ڈھانچے کو متعارف کروا کر حقیقی نمائندگی حاصل کرنا آسان ہے۔ اسپن کی نمائندگی کی خصوصیات کا انحصار، ٹھیک ٹھیک طریقے سے، آرتھوگنل گروپ کے طول و عرض اور دستخط پر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اسپن کی نمائشیں اکثر غیر متغیر دو لکیری شکلوں کو قبول کرتی ہیں، جنہیں کلاسیکی لائ گروپوں میں اسپن گروپوں کو شامل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کم جہتوں میں، یہ سرجیکٹیو ہوتے ہیں اور اسپن گروپوں اور زیادہ واقف لائ گروپوں کے درمیان خصوصی آئسومورفزم کا تعین کرتے ہیں۔ یہ ان جہتوں میں اسپنرز کی خصوصیات کو واضح کرتا ہے۔ سیٹ اپ ایک غیر پیدا شدہ کواڈریٹک شکل کے ساتھ ایک محدود جہتی حقیقی یا پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہونے دیں۔ محفوظ (حقیقی یا پیچیدہ) لکیری نقشے آرتھوگنل گروپ بناتے ہیں۔ گروپ کے شناختی جزو کو خصوصی آرتھوگنل گروپ کہا جاتا ہے۔ (غیر معینہ مدتی کواڈریٹک شکل کے ساتھ حقیقی کے لیے، یہ اصطلاح معیاری نہیں ہے: خصوصی آرتھوگنل گروپ کو عام طور پر اس معاملے میں دو اجزاء کے ساتھ ایک ذیلی گروپ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔) گروپ آئسومورفزم تک، ایک منفرد منسلک ڈبل کور، اسپن گروپ ہوتا ہے۔ اس طرح ایک گروپ ہومومورفزم ہوتا ہے جس کے دانے میں دو عناصر ہوتے ہیں، جہاں شناختی عنصر ہوتا ہے۔ اس طرح، گروپ کے عناصر اور کے ہومومورفزم کے بعد مساوی ہیں ؛ یعنی کسی بھی ان کے لیے۔ گروپس اور تمام لائ گروپس ہیں، اور فکسڈ کے لیے ان کے پاس ایک ہی لائ الجبرا ہے۔ اگر حقیقی ہے، تو اس کی پیچیدگی کا ایک حقیقی ویکٹر سب اسپیس ہے، اور کواڈریٹک فارم قدرتی طور پر ایک کواڈریٹک شکل تک پھیلا ہوا ہے۔ یہ ایک ذیلی گروپ کے طور پر سرایت کرتا ہے، اور اس لیے ہم اس کے ذیلی گروپ کے طور پر محسوس کر سکتے ہیں۔ مزید برآں، کی پیچیدگی ہے۔ پیچیدہ صورت میں، کواڈریٹک شکلوں کا تعین آئسومورفزم تک کے طول و عرض کے ذریعہ منفرد طور پر کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، ہم فرض کر سکتے ہیں اور متعلقہ لائ گروپوں کو ظاہر کیا جاتا ہے اور ان کا لائ الجبرا اس طرح ہوتا ہے۔ حقیقی صورت میں، کواڈریٹک شکلوں کا تعین آئسومورفزم تک غیر منفی انٹیجرز کی ایک جوڑی کے ذریعے کیا جاتا ہے جہاں کا طول و عرض ہے، اور دستخط ہے۔ خاص طور پر، ہم فرض کر سکتے ہیں اور متعلقہ لائ گروپس اور لائ الجبرا کو ظاہر کیا جاتا ہے اور۔ ہم دستخط کو واضح کرنے کے لیے اس کی جگہ لکھتے ہیں۔ اسپن کی نمائندگی، ایک لحاظ سے، سب سے آسان نمائندگی ہے اور جو اور کی نمائندگی سے نہیں آتی ہے۔ اس لیے اسپن کی نمائندگی ایک حقیقی یا پیچیدہ ویکٹر اسپیس ہے جس میں عام لکیری گروپ سے یا اس میں گروپ ہومومورفزم اس طرح ہوتا ہے کہ عنصر کے دانے میں نہ ہو۔ اگر ایسی نمائندگی ہے، تو لائ گروپس اور لائ الجبرا کے درمیان تعلق کے مطابق، یہ ایک لائ الجبرا کی نمائندگی کو جنم دیتا ہے، یعنی، کمیونیٹر بریکٹ کے ساتھ اینڈومورفزم کے لائ الجبرا سے یا اس میں ایک لائ الجبرا ہومومورفزم۔ اسپن کی نمائندگی کا تجزیہ مندرجہ ذیل حکمت عملی کے مطابق کیا جا سکتا ہے: اگر ایک حقیقی اسپن کی نمائندگی ہے، تو اس کی پیچیدگی ایک پیچیدہ اسپن کی نمائندگی ہے۔ الٹا آگے بڑھتے ہوئے، اس لیے ہم پہلے پیچیدہ اسپن نمائندگی بناتے ہیں اور پھر انہیں پیچیدہ اسپن نمائندگی تک محدود کرتے ہیں اور پھر آخر میں حقیقی اسپن نمائندگی میں ممکنہ کمی کا تجزیہ کرتے ہیں۔ پیچیدہ گھماؤ کی نمائندگی معیاری کواڈریٹک شکل کے ساتھ ہونے دیں تاکہ پولرائزیشن سے وابستہ سمیٹرک دو لکیری شکل کو ظاہر کیا جائے۔ آئسوٹروپک ذیلی جگہیں اور جڑ کے نظام گھماؤ کی نمائندگی کی ایک معیاری تعمیر زیادہ سے زیادہ مکمل طور پر آئسوٹروپک ذیلی جگہوں (کے حوالے سے) کے ایک جوڑے کے انتخاب کے ساتھ شروع ہوتی ہے۔ آئیے اس طرح کا انتخاب کریں۔ اگر یا، تب اور دونوں کا طول و عرض ہے۔ اگر، تب، جبکہ اگر، تب، جہاں 1 جہتی آرتھوگنل تکمیل ہے۔ اس سے وابستہ دو لکیری شکل اور کے درمیان جوڑی کو متاثر کرتی ہے، جو غیر پیدا شدہ ہونی چاہیے، کیونکہ اور مکمل طور پر آئسوٹروپک ذیلی جگہیں ہیں اور غیر پیدا شدہ ہیں۔ لہذا اور دوہری ویکٹر خالی جگہیں ہیں۔ مزید ٹھوس طور پر، آئیے اس کی بنیاد بنیں۔ پھر اس کی ایک منفرد بنیاد ہے کہ اگر ایک میٹرکس ہے، تو اس بنیاد کے حوالے سے ایک اینڈومورفزم کو جنم دیتا ہے اور ٹرانسپوز اندر اور اندر سب کے ساتھ تبدیلی کو جنم دیتا ہے۔ اس کے بعد اینڈومورفزم، برابر آن، آن اور صفر آن (اگر عجیب ہے)، تمام کے لیے منحنی ہے، اور اس لیے (کلاسیکی گروپ دیکھیں) کا ایک عنصر ہے۔ اس تعمیر میں اخترن میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے کارٹن ذیلی الجبرا کی وضاحت کی گئی ہے: کا درجہ ہے، اور اخترن میٹرکس ایک جہتی ابیلین ذیلی الجبرا کا تعین کرتے ہیں۔ آئیے اس کی بنیاد اس طرح بنیں کہ، ایک ڈائیگنل میٹرکس کے لیے اس کا واں ڈائیگنل اندراج ہو۔ واضح طور پر یہ اس کی بنیاد ہے۔ چونکہ دو لکیری شکل واضح طور پر اس کے ساتھ شناخت کرتی ہے، اب اس سے وابستہ جڑ کے نظام کی تعمیر کرنا آسان ہے۔ جڑ کی جگہیں (کے عمل کے لیے بیک وقت آئجین اسپیس) مندرجہ ذیل عناصر کے ذریعے پھیلی ہوئی ہیں: جڑ کے ساتھ (بیک وقت آئجین ویلیو) (جو جڑ کے ساتھ جڑ کے ساتھ ہے اور، اگر عجیب ہے، اور ایک غیر صفر عنصر ہے، جڑ کے ساتھ جڑ کے ساتھ۔ مثبت جڑوں کا ایک نظام اور (عجیب کے لیے) کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ مثبت جڑیں سادہ جڑوں کے غیر منفی عدد لکیری امتزاج ہیں۔ اسپن کی نمائندگی اور ان کے وزن بیرونی الجبرا (زبانیں) اور/یا کے استعمال کی اسپن کی نمائندگی کی ایک تعمیر اس طرح کا ایک عمل ہے کہ عمل میں کسی بھی عنصر کے لیے اور کسی بھی عمل میں اس کے ذریعے دیا جاتا ہے: جہاں دوسری اصطلاح ایک سنکچن (اندرونی ضرب) ہے جس کی وضاحت دو لکیری شکل کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے، جو جوڑے اور ہیں۔ یہ عمل کلفورڈ تعلقات کا احترام کرتا ہے، اور اس طرح کلفورڈ الجبرا سے ہومومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ اسی طرح کے عمل کی وضاحت کی جا سکتی ہے، تاکہ دونوں اور کلفورڈ ماڈیول ہوں۔ لائ الجبرا پیچیدہ لائ الجبرا کے لیے آئسومورفک ہے جس میں احاطہ کے ذریعے حوصلہ افزائی کی گئی نقشہ سازی کے ذریعے۔ اس کے بعد دونوں کی نمائندگی ہوتی ہے۔ وہ دراصل مساوی نمائندگی ہیں، لہذا ہم S پر توجہ مرکوز کرتے ہیں۔ واضح وضاحت سے پتہ چلتا ہے کہ کارٹن ذیلی الجبرا کے عناصر A کی بنیاد پر عمل کرتے ہیں اور کے لیے فارم کے عناصر کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ یہ واضح طور پر عمل کے لیے وزن کی جگہوں کو پھیلاتے ہیں: اگر کچھ کے لیے دی گئی بنیاد پر ویکٹر پر آئجن ویلیو −1/2 ہے، اور بصورت دیگر آئجن ویلیو ہے۔ اس کے بعد وزن کے تمام ممکنہ امتزاج ہیں اور ہر وزن کی جگہ ایک جہتی ہے۔ کے عناصر کو ڈیراک اسپنرز کہا جاتا ہے۔ جب یکساں ہے، ایک ناقابل تلافی نمائندگی نہیں ہے: اور غیر متغیر ذیلی جگہیں ہیں۔ وزن ان میں تقسیم ہوتے ہیں جن میں مائنس نشانات کی یکساں تعداد ہوتی ہے، اور جن میں مائنس نشانات کی عجیب تعداد ہوتی ہے۔ S + اور S− دونوں طول و عرض 2m−1 کی ناقابل تلافی نمائندگی ہیں جن کے عناصر کو ویل اسپنر کہا جاتا ہے۔ انہیں چیرل اسپن کی نمائندگی یا نصف اسپن کی نمائندگی کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ اوپر کے مثبت جڑ کے نظام کے حوالے سے، S + اور S− کے سب سے زیادہ وزن بالترتیب اور ہیں۔ کلفورڈ ایکشن سی ایل این سی کی شناخت اینڈ (ایس) کے ساتھ کرتا ہے اور ایون سب الجبرہ کی شناخت ایس + اور ایس − کو محفوظ رکھنے والے اینڈومورفزم کے ساتھ کی جاتی ہے۔ دوسرا کلفورڈ ماڈیول S′ اس معاملے میں S کے لیے آئسومورفک ہے۔ جب n عجیب ہوتا ہے، تو S طول و عرض 2m کی اس طرح (n، C) کی ناقابل تلافی نمائندگی ہے: ایک یونٹ ویکٹر u ω U کا کلفورڈ ایکشن اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور اس طرح کے عناصر (n، C) کی شکل u ω W یا u ω W ω W کے بیرونی الجبرا کے یکساں اور عجیب حصوں کو محفوظ نہیں رکھتے ہیں۔ S کا سب سے زیادہ وزن یہ ہے کہ کلفورڈ ایکشن S پر وفادار نہیں ہے: ClnC کی شناخت اینڈ (S) ω اینڈ (S′) سے کی جا سکتی ہے، جہاں آپ S′ پر مخالف نشان کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، دونوں نمائندگی کا تعلق سی ایل این سی کے پیریٹی انوولیوشن α سے ہے (جسے پرنسپل آٹومورفزم بھی کہا جاتا ہے)، جو کہ ایون سب الجبرہ پر شناخت ہے، اور سی ایل این سی کے عجیب حصے پر شناخت کو مائنس کرتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، S سے S′ تک ایک لکیری آئسومورفزم ہے، جو S′ پر α (A) کے عمل کے ساتھ سی ایل این سی میں A کے عمل کی شناخت کرتا ہے۔ اگر λ S کا وزن ہے تو بلینیئر بنتا ہے، اسی طرح −λ ہے۔ اس کے بعد S دوہری نمائندگی S ≤ کے لیے آئسومورفک ہے۔ جب n = 2m + 1 عجیب ہوتا ہے، تو آئسومورفزم B: S → S ऱ्ऱं شور کے لیما کے لحاظ سے پیمانے تک منفرد ہوتا ہے، کیونکہ S ناقابل کٹوتی ہے، اور یہ S پر ایک غیر انحطاطی غیر متغیر دو لکیری شکل β کی وضاحت کرتا ہے۔ در حقیقت، مزید سچ ہے: S ≤ مخالف کلفورڈ الجبرا کی نمائندگی ہے، اور اس لیے، چونکہ سی ایل این سی میں صرف دو غیر معمولی سادہ ماڈیول S اور S′ ہیں، جو پیریٹی انوولیوشن α سے متعلق ہیں، اس لیے سی ایل این سی کا ایک اینٹی آٹومورفزم τ ہے جیسے کہ سی ایل این سی میں کسی بھی A کے لیے۔ در حقیقت τ، m ایون کے لیے ریورژن (V پر آئیڈینٹی سے متاثر ہونے والا اینٹی آٹومورفزم) ہے، اور m طاق کے لیے کنجگیشن (V پر آئیڈینٹی کو مائنس سے متاثر ہونے والا اینٹی آٹومورفزم) ہے۔ یہ دونوں اینٹی آٹومورفزم پیریٹی انوولیوشن α سے متعلق ہیں، جو کہ V پر شناخت کو مائنس کرنے سے پیدا ہونے والی آٹومورفزم ہے۔ دونوں اس طرح (n، C) میں β کے لیے β (β) = − β کو مطمئن کرتے ہیں۔ جب n = 2m ہوتا ہے، تو صورتحال زیادہ حساس طور پر m کی برابری پر منحصر ہوتی ہے۔ m کے لیے یکساں، ایک وزن λ میں منفی علامتوں کی ایک یکساں تعداد ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب −λ ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اس کے دوہرے کے ساتھ ہر نصف اسپن کی نمائندگی کے الگ الگ آئسومورفزم B ±: S ± → S ± ≤ ہوتے ہیں، ہر ایک کا پیمانہ تک منفرد طور پر تعین کیا جاتا ہے۔ ان کو ایک آئسومورفزم میں جوڑا جا سکتا ہے۔ m طاق کے لیے، λ، S + کا وزن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب −λ، S− کا وزن ہو۔ اس طرح S + سے S − ≤ تک ایک آئسومورفزم ہے، جو دوبارہ پیمانے تک منفرد ہے، اور اس کا ٹرانسپوز S − سے S + ≤ تک ایک آئسومورفزم فراہم کرتا ہے۔ ان کو دوبارہ ایک آئسومورفزم میں جوڑا جا سکتا ہے۔ m ایون اور m طاق دونوں کے لیے، B کے انتخاب میں آزادی کو اس بات پر اصرار کرتے ہوئے مجموعی پیمانے تک محدود کیا جا سکتا ہے کہ B سے مطابقت رکھنے والی دو لکیری شکل β (1) کو مطمئن کرتی ہے، جہاں τ ایک فکسڈ اینٹی آٹومورفزم ہے (یا تو ریورژن یا کنجگیشن)۔ ہم آہنگی اور ٹینسر مربع کی ہم آہنگی کی خصوصیات کا تعین کلفورڈ الجبرا یا نمائندگی کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ در حقیقت اور بھی بہت کچھ کہا جا سکتا ہے: ٹینسر مربع S′S کو مختلف k کے لیے V پر k-شکلوں کے براہ راست مجموعے میں تحلیل ہونا چاہیے، کیونکہ اس کے وزن تمام عناصر ہیں جن کے اجزاء {− 1,0,1} سے تعلق رکھتے ہیں۔ اب مساوی لکیری نقشے S χ S χ S χ S χ S χ C غیر متغیر نقشوں سے دو طرفہ طور پر مطابقت رکھتے ہیں اور غیر صفر ایسے نقشے کلفورڈ الجبرا میں χ k V کو شامل کرکے بنائے جا سکتے ہیں۔ مزید برآں، اگر β (φ، si) = εβ (si، φ) اور τ کا نشان kV پر εk ہے تو kV میں A کے لیے۔ اگر n = 2m + 1 عجیب ہے تو یہ شور کے لیما سے ملتا ہے کہ (دونوں اطراف کا طول و عرض 22 میٹر ہے اور دائیں طرف کی نمائندگی غیر مساوی ہے)۔ چونکہ ہم آہنگی ایک ارتقاء τ کے زیر انتظام ہوتی ہے جو یا تو کنجگیشن یا ریورژن ہوتا ہے، اس لیے 2jV کے جزو کی ہم آہنگی j کے ساتھ باری باری ہوتی ہے۔ ابتدائی امتزاج دیتا ہے اور نشان اس بات کا تعین کرتا ہے کہ S2S میں کون سی نمائندگی ہوتی ہے اور کون سی 2S میں ہوتی ہے۔ خاص طور پر اور v ωV کے لیے (جو کہ ω2mV کے لیے آئسومورفک ہے)، اس بات کی تصدیق کرتا ہے کہ τ، m ایون کے لیے ریورژن ہے، اور m طاق کے لیے کنجگیشن ہے۔ اگر n = 2m یکساں ہے، تو تجزیہ زیادہ شامل ہوتا ہے، لیکن نتیجہ ایک زیادہ بہتر سڑنا ہے: S2S ±، 2S ± اور S + S− ہر ایک کو k-شکلوں کے براہ راست مجموعہ کے طور پر سڑ دیا جا سکتا ہے (جہاں k = m کے لیے سیلف ڈوئل اور اینٹی سیلف ڈوئل m-شکلوں میں مزید سڑنا ہوتا ہے)۔ اہم نتیجہ ایس پر کلاسیکی لائ الجبرا کے ذیلی الجبرا کے طور پر ایس (این، سی) کا احساس ہے، جو کہ این ماڈیولو 8 پر منحصر ہے، مندرجہ ذیل ٹیبل کے مطابق: این ≤ 6 کے لیے، یہ سرایت آئسومورفزم ہیں (این = 6 کے لیے جی ایل کے بجائے ایس ایل پر): حقیقی نمائندگی اس طرح (این، سی) کی پیچیدہ اسپن نمائندگی عمل کو حقیقی ذیلی الجبروں تک محدود کرکے ایس (پی، کیو) کی حقیقی نمائندگی فراہم کرتی ہے۔ تاہم، ایسے اضافی "حقیقت" ڈھانچے ہیں جو حقیقی لائ الجبرا کے عمل کے تحت غیر متغیر ہیں۔ یہ تین اقسام میں آتے ہیں۔ ایک غیر متغیر پیچیدہ اینٹی لینیر نقشہ r: S → S r2 = آئی ڈی ایس کے ساتھ ہے۔ اس کے بعد آر کا فکسڈ پوائنٹ سیٹ ایس کا ایک حقیقی ویکٹر سب اسپیس ایس آر ہے جس میں ایس آر سی = ایس ہے۔ اسے حقیقی ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ جے 2 = − آئی ڈی ایس کے ساتھ ایک غیر متغیر پیچیدہ اینٹی لینیر نقشہ جے: ایس → ایس ہے۔ اس کے بعد ٹرپل i، j اور k: = ij S کو کواٹرنیئنک ویکٹر اسپیس SH میں بدل دیتے ہیں۔ اسے کواٹرنیئنک ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ ایک غیر متغیر پیچیدہ اینٹی لینیر نقشہ b: S → S ≤ ہے جو الٹا ہے۔ یہ S پر ایک سڈو ہرمیٹین دو قطبی شکل کی وضاحت کرتا ہے اور اسے ہرمیٹین ڈھانچہ کہا جاتا ہے۔ تو (p، q) کے تحت غیر متغیر ساخت کی قسم کا انحصار صرف دستخطی p − q ماڈیولو 8 پر ہوتا ہے، اور یہ مندرجہ ذیل جدول کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ یہاں R، C اور H بالترتیب حقیقی، ہرمیٹین اور کواٹرنیئنک ڈھانچوں کی نشاندہی کرتے ہیں، اور R + R اور H + H اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ نصف اسپن کی نمائندگی بالترتیب حقیقی یا کواٹرنیئنک ڈھانچے کو تسلیم کرتی ہے۔ تفصیل اور جدول حقیقی نمائندگی کی تفصیل کو مکمل کرنے کے لیے، ہمیں یہ بیان کرنا چاہیے کہ یہ ڈھانچے غیر متغیر دو لکیری شکلوں کے ساتھ کس طرح تعامل کرتے ہیں۔ چونکہ n = p + q + p − q موڈ 2، دو صورتیں ہیں: طول و عرض اور دستخط دونوں یکساں ہیں، اور طول و عرض اور دستخط دونوں عجیب ہیں۔ عجیب معاملہ آسان ہے، صرف ایک پیچیدہ اسپن نمائندگی S ہے، اور ہرمیٹین ڈھانچے نہیں ہوتے ہیں۔ معمولی صورت n = 1 کے علاوہ، S ہمیشہ یکساں جہتی ہوتا ہے، جیسے کہ مدھم S = 2N۔ اس طرح (2N, C) کی حقیقی شکلیں اس طرح (K, L) کے ساتھ K + L = 2N اور اس طرح (N, H) ہیں، جبکہ sp (2N, C) کی حقیقی شکلیں sp (2N, R) اور sp (K, L) کے ساتھ K + L = N ہیں۔ S پر V کے کلفورڈ ایکشن کی موجودگی دونوں صورتوں میں K = L کو مجبور کرتی ہے جب تک کہ pq = 0 نہ ہو، اس صورت میں KL = 0، جسے صرف (2N) یا sp (N) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہذا عجیب اسپن کی نمائندگی کا خلاصہ درج ذیل ٹیبل میں کیا جا سکتا ہے۔ (†) کے لیے یکساں ہے اور کے لیے، یہ ہے۔ یکساں جہتی معاملہ اسی طرح کا ہے۔ کیونکہ پیچیدہ نصف گھماؤ کی نمائندگی یکساں جہتی ہوتی ہے۔ ہمیں اضافی طور پر ہرمیٹین ڈھانچے اور ان کی حقیقی شکلوں سے نمٹنا ہے، جو ہیں، کے ساتھ، اور ہیں۔ نتیجے میں یہاں تک کہ گھماؤ کی نمائندگی کا خلاصہ مندرجہ ذیل ہے۔ (*) کیونکہ، ہمارے پاس اس کے بجائے ( *) کے لیے یکساں ہے اور اس کے لیے (جس میں شامل ہے)، ہمارے پاس اس کے بجائے پیچیدہ صورت میں کم جہتی آئسومورفزم کی درج ذیل حقیقی شکلیں ہیں۔ اس ٹیبل سے غائب حقیقی لائ الجبرا کے واحد خاص آئسومورفزم اور نوٹس حوالہ جات ہیں۔ ۔ ۔ ۔ ابتدائی ورژن کے لیے پروگرام کی ویب سائٹ بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ اسپنرز ریپریزنٹیشن تھیوری آف لائی گروپس