Large deviations of Gaussian random functions
ایک بے ترتیب فنکشن-یا تو ایک متغیر (ایک بے ترتیب عمل)، یا دو یا زیادہ متغیرات (ایک بے ترتیب فیلڈ)-کو گوسیئن کہا جاتا ہے اگر ہر محدود جہتی تقسیم ایک کثیر متغیر عام تقسیم ہو۔ کرہ ارض مائیکروویو پس منظر کی تابکاری میں بے ضابطگیوں کا تجزیہ کرتے وقت دائرے پر گاؤسی بے ترتیب فیلڈز مفید ہوتے ہیں (مثال کے طور پر) (دیکھیں، پی پی۔ 8-9) ؛ پوزیٹرون ایمیشن ٹومگرافی کے ذریعے حاصل کردہ دماغی تصاویر (دیکھیں، پی پی۔ 9-10)۔ بعض اوقات، ایک گوسیئن بے ترتیب فنکشن کی قدر کئی معیاری انحراف کے ذریعے اپنی متوقع قدر سے ہٹ جاتی ہے۔ یہ ایک بڑا انحراف ہے۔ اگرچہ چھوٹے ڈومین (جگہ یا/اور وقت کے) میں نایاب، بڑے ڈومین میں بڑے انحراف کافی عام ہو سکتے ہیں۔ بنیادی بیان (دو جہتی) دائرے پر گوسیئن بے ترتیب فنکشن کی زیادہ سے زیادہ قدر ہونے دیں۔ فرض کریں کہ کی متوقع قیمت (دائرے کے ہر نقطہ پر) ہے، اور کی معیاری انحراف (دائرے کے ہر نقطہ پر) ہے۔ پھر، بڑے کے لیے، قریب ہے، کہاں تقسیم کیا گیا ہے (معیاری عام تقسیم)، اور ایک مستقل ہے ؛ یہ اس پر منحصر نہیں ہے، بلکہ اس کے ارتباط فنکشن پر منحصر ہے (نیچے دیکھیں)۔ تخمینہ کی رشتہ دار غلطی بڑے کے لیے تیزی سے کم ہوتی ہے۔ کسی دیئے گئے نقطہ (دائرے کے) پر دی گئی سمت (دائرے کو ٹینجینشل) کے دشاتمک مشتق کے لحاظ سے بیان کردہ اہم خصوصی معاملے میں مستقل کا تعین کرنا آسان ہے۔ مشتق بے ترتیب ہے، جس میں صفر توقع اور کچھ معیاری انحراف ہے۔ مؤخر الذکر نقطہ اور سمت پر منحصر ہو سکتا ہے۔ تاہم، اگر یہ منحصر نہیں ہے، تو یہ (دائرے کے دائرے کے لیے) کے برابر ہے۔ پہلے کا گتانک درحقیقت دائرے کی اویلر خصوصیت ہے (ٹورس کے لیے یہ غائب ہو جاتا ہے)۔ یہ فرض کیا جاتا ہے کہ یہ دو بار مسلسل تفریق پذیر ہے (تقریبا یقینی طور پر)، اور ایک ہی نقطہ پر اپنی زیادہ سے زیادہ حد تک پہنچ جاتا ہے (تقریبا یقینی طور پر)۔ اشارہ: اوسط اویلر کی خصوصیت اوپر بتائے گئے نظریہ کا اشارہ، تمام نکات (دائرے کے) کے سیٹ کی اویلر کی خصوصیت ہے۔ اس کی متوقع قیمت (دوسرے لفظوں میں، اوسط قیمت) کا واضح طور پر حساب لگایا جا سکتا ہے: (جو معمولی ہونے سے بہت دور ہے، اور اس میں پوئنکیئر-ہاپف تھیوریم، گاؤس-بونٹ تھیوریم، رائس کا فارمولا وغیرہ شامل ہیں)۔ جب بھی سیٹ خالی سیٹ ہوتا ہے ؛ اس صورت میں۔ دوسری صورت میں، جب سیٹ خالی نہ ہو ؛ اس کی اویلر خصوصیت سیٹ کی ٹوپولوجی (منسلک اجزاء کی تعداد، اور ان اجزاء میں ممکنہ سوراخ) کے لحاظ سے مختلف اقدار لے سکتی ہے۔ تاہم، اگر بڑا ہے اور پھر سیٹ عام طور پر ایک چھوٹی، قدرے خراب ڈسک یا ایلیپس ہوتی ہے (جس کا اندازہ لگانا آسان ہے، لیکن ثابت کرنا کافی مشکل ہے)۔ اس طرح، اس کی اویلر خصوصیت عام طور پر (اس کو دیکھتے ہوئے) کے برابر ہوتی ہے۔ یہی وجہ ہے کہ یہ قریب ہے۔ مزید پڑھنا اوپر دیا گیا بنیادی بیان ایڈلر کے بیان کردہ بہت زیادہ عام (اور مشکل) نظریہ کا ایک سادہ خاص معاملہ ہے۔ اس خصوصی کیس کی تفصیلی پیشکش کے لیے سیرلسن کے لیکچرز دیکھیں۔ سٹوکاسٹک عمل