Nilpotent orbit
ریاضی میں، نیل پوٹینٹ آربٹس نیل پوٹینٹ میٹرکس کی عمومی شکلیں ہیں جو حقیقی اور پیچیدہ نیم سادہ لائ گروپوں اور نیم سادہ لائ الجبرا کی نمائندگی کے نظریہ میں اہم کردار ادا کرتی ہیں۔ تعریف ایک نیم سادہ جھوٹ الجبرا g کا عنصر X نیلپوٹینٹ کہلاتا ہے اگر اس کا ملحقہ اینڈومورفزم ad X: g → g، ad X (Y) = [X, Y] نیلپوٹینٹ ہے، یعنی کافی بڑے n کے لیے (ad X) n = 0۔ مساوی طور پر، X نیلپوٹینٹ ہے اگر اس کی خصوصیت کثیر الجہتی پیڈ X (t) tdim g کے برابر ہے۔ ایک نیم سادہ جھوٹ گروپ یا الجبرائی گروپ G ملحقہ نمائندگی کے ذریعے اپنے جھوٹ الجبرا پر کام کرتا ہے، اور اس عمل کے تحت نیلپوٹینٹ ہونے کی خاصیت غیر متغیر ہے۔ نیل پوٹینٹ آربیٹ ملحقہ عمل کا ایک ایسا مدار ہے جس میں اس کے عناصر میں سے کوئی بھی (مساوی طور پر، تمام) نیل پوٹینٹ ہوتے ہیں۔ پیچیدہ اندراجات کے ساتھ نیل پوٹینٹ میٹرکس کی مثالیں پیچیدہ عمومی لکیری گروپ کے مطابق عمومی نظریہ کے لیے اہم محرک صورت بناتی ہیں۔ میٹرکس کی جارڈن نارمل شکل سے ہم جانتے ہیں کہ ہر نیل پوٹینٹ میٹرکس سائز کے جارڈن بلاکس کے ساتھ ایک منفرد میٹرکس سے منسلک ہوتا ہے جہاں n کی تقسیم ہوتی ہے۔ اس طرح n = 2 کی صورت میں دو نیل پوٹینٹ مدار ہوتے ہیں، صفر مدار صفر میٹرکس پر مشتمل ہوتا ہے اور تقسیم (1,1) سے مطابقت رکھتا ہے اور پرنسپل مدار تمام غیر صفر میٹرکس A پر مشتمل ہوتا ہے جس میں صفر ٹریس اور ڈیٹرمیننٹ ہوتا ہے، تقسیم (2) سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہندسی طور پر، یہ مدار میٹرکس کے چار جہتی ویکٹر اسپیس میں ایک دو جہتی پیچیدہ کواڈریٹک شنک ہے جو اس کی چوٹی کو مائنس کرتا ہے۔ پیچیدہ خصوصی لکیری گروپ عام لکیری گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے جس کے مدار ایک جیسے ہوتے ہیں۔ تاہم، اگر ہم پیچیدہ خصوصی لکیری گروپ کو حقیقی خصوصی لکیری گروپ سے تبدیل کرتے ہیں، تو نئے نیلپوٹینٹ مدار پیدا ہو سکتے ہیں۔ خاص طور پر، n = 2 کے لیے اب 3 نیل پوٹینٹ مدار ہیں: صفر مدار اور دو حقیقی نصف کون (چوٹی کے بغیر)، جو اوپر کے پیرامیٹریزیشن کی مثبت اور منفی اقدار سے مطابقت رکھتے ہیں۔ خصوصیات نیل پوٹینٹ مداروں کو ملحقہ عمل کے ان مداروں کے طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے جن کی زرسکی بندش 0 پر مشتمل ہے۔ نیل پوٹینٹ مدار تعداد میں محدود ہیں۔ زرسکی کی نیل پوٹینٹ مدار کی بندش نیل پوٹینٹ مداروں کا اتحاد ہے۔ جیکبسن-موروزوف تھیوریم: خصوصیت صفر کے میدان پر، کسی بھی نیلپوٹینٹ عنصر ای کو ایس ایل 2-ٹرپل {ای، ایچ، ایف} میں شامل کیا جا سکتا ہے اور اس طرح کے تمام ٹرپل زیڈ جی (ای) کے ذریعے کنجوگیٹ ہوتے ہیں، جو جی میں ای کا سنٹرلائزر ہے۔ ایس ایل 2 کی نمائندگی کے نظریہ کے ساتھ مل کر، یہ کسی کو محدود مشترکہ ڈیٹا کے ذریعے نیلپوٹینٹ مداروں کو لیبل کرنے کی اجازت دیتا ہے، جس سے نیلپوٹینٹ مداروں کی ڈائنکن-کوسٹینٹ درجہ بندی کو جنم ملتا ہے۔ پوزیٹ ڈھانچہ نیل پوٹینٹ مدار جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹ بناتے ہیں: دو نیل پوٹینٹ مداروں کو دیکھتے ہوئے، O1 O2 سے کم یا اس کے برابر ہے اگر O1 O2 کی زرسکی بندش میں موجود ہے۔ اس پوزیشن میں ایک منفرد کم از کم عنصر، صفر مدار، اور منفرد زیادہ سے زیادہ عنصر، باقاعدہ نیل پوٹینٹ مدار ہے، لیکن عام طور پر، یہ ایک درجہ بند پوزیشن نہیں ہے۔ اگر زمینی میدان الجبرائی طور پر بند ہو تو صفر کا مدار ایک منفرد مدار سے ڈھکا ہوتا ہے، جسے کم سے کم مدار کہا جاتا ہے، اور باقاعدہ مدار ایک منفرد مدار کا احاطہ کرتا ہے، جسے ذیلی باقاعدہ مدار کہا جاتا ہے۔ خصوصی لکیری گروپ SLn کے معاملے میں، نیل پوٹینٹ مداروں کو n کی تقسیم کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے۔ گیرسٹن ہیبر کے ایک نظریہ کے مطابق، مداروں کی ترتیب n کی تقسیم پر غلبہ کی ترتیب سے مطابقت رکھتی ہے۔ مزید برآں، اگر G دو لکیری شکل کا ایک آئسومیٹری گروپ ہے، یعنی۔ ایس ایل این کا ایک آرتھوگنل یا سمپلیکٹک ذیلی گروپ، پھر اس کے نیل پوٹینٹ مداروں کو ایک خاص برابری کی حالت کو پورا کرنے والے این کے پارٹیشنوں کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے اور متعلقہ پوزیٹ ڈھانچہ تمام پارٹیشنوں پر غلبہ کے حکم سے متاثر ہوتا ہے (یہ ایک غیر معمولی نظریہ ہے، جس کی وجہ گیرسٹن ہیبر اور ہیسلنک ہے)۔ مشترکہ نمائندگی کے حوالہ جات ڈیوڈ کولنگ ووڈ اور ولیم میک گوورن بھی دیکھیں۔ نیم سادہ لائ الجبرا میں نیل پوٹینٹ مدار۔ وان نوسٹرینڈ رین ہولڈ ریاضی سیریز۔ وان نوسٹرینڈ رین ہولڈ کمپنی، نیویارک، 1993۔ ۔ ۔ الجیبرا جھوٹ بولیں