Elliptic cohomology
ریاضی میں، ایلیپٹک کوہمولوجی الجبرائی ٹوپولوجی کے معنی میں ایک کوہمولوجی تھیوری ہے۔ اس کا تعلق الپٹک منحنی خطوط اور ماڈیولر شکلوں سے ہے۔ تاریخ اور محرک تاریخی طور پر، ایلیپٹک کوہمولوجی ایلیپٹک نسل کے مطالعہ سے پیدا ہوئی۔ یہ عطیہ اور ہرزبروچ کے ذریعہ جانا جاتا تھا کہ اگر ایک گھماؤ کئی گنا پر آسانی سے اور غیر معمولی طور پر کام کرتا ہے، تو ڈیراک آپریٹر کا انڈیکس غائب ہو جاتا ہے۔ 1983 میں، وٹن نے قیاس کیا کہ اس صورت حال میں ایک مخصوص مڑے ہوئے ڈیراک آپریٹر کا مساوی انڈیکس کم از کم مستقل ہے۔ اس کی وجہ سے کئی گنا پر-اعمال سے متعلق کچھ دیگر مسائل پیدا ہوئے، جنہیں اوکانی کے ذریعے الپٹک نسل کے تعارف کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ بدلے میں، وٹن نے ان کا تعلق فری لوپ اسپیس پر (قیاس آرائی) انڈیکس تھیوری سے کیا۔ ایلیپٹک کوہمولوجی، جسے 1980 کی دہائی کے آخر میں لینڈویبر، اسٹونگ اور ریونیل نے اپنی اصل شکل میں ایجاد کیا تھا، کو ایلیپٹک نسل کے ساتھ کچھ مسائل کو واضح کرنے اور فری لوپ خالی جگہوں پر تفریق آپریٹرز کے خاندانوں کے (قیاس آرائی) انڈیکس تھیوری کے لیے ایک سیاق و سباق فراہم کرنے کے لیے متعارف کرایا گیا تھا۔ کچھ معنوں میں اسے فری لوپ اسپیس کے کے تھیوری کے تخمینے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ تعریفیں اور تعمیرات کوہمولوجی تھیوری کو یہاں تک کہ پیریڈک کہتے ہیں اگر i کے لیے عجیب ہے اور ایک الٹا عنصر موجود ہے۔ یہ نظریات ایک پیچیدہ واقفیت رکھتے ہیں، جو ایک رسمی گروپ قانون دیتا ہے۔ رسمی گروپ قوانین کے لیے ایک خاص طور پر بھرپور ذریعہ الپٹک منحنی خطوط ہیں۔ ایک کوہمولوجی تھیوری کو ایلیپٹک کہا جاتا ہے اگر یہ اڈو پیریڈک ہو اور اس کا رسمی گروپ قانون ایلیپٹک وکر کے رسمی گروپ قانون کے لیے آئسومورفک ہو۔ اس طرح کے ایلیپٹک کوہمولوجی نظریات کی معمول کی تعمیر لینڈویبر عین مطابق فنکٹر تھیوریم کا استعمال کرتی ہے۔ اگر لینڈوبر کا رسمی گروپ قانون عین مطابق ہے، تو کوئی بھی ایلپٹک کوہومولوجی تھیوری (محدود کمپلیکس پر) کی وضاحت کر سکتا ہے جس میں فرینک نے لینڈویبر کی درستگی کو پورا کرنے کے لیے درکار شرط کی نشاندہی کی ہے: اس پر چپٹا ہونے کی ضرورت ہے۔ اس کا کوئی ناقابل تلافی جزو نہیں ہے، جہاں فائبر ہر چیز کے لیے سپر سنگولر ہے۔ ان حالات کو ایلپٹک نسل سے متعلق بہت سے معاملات میں چیک کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، عالمگیر معاملے میں شرائط اس معنی میں پوری ہوتی ہیں کہ ایلیپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک سے لے کر رسمی گروپوں کے ماڈیولی اسٹیک تک کا نقشہ چپٹا ہوتا ہے۔ اس کے بعد یہ الپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر فلیٹ افائن اسکیموں کی جگہ پر کوہمولوجی نظریات کا ایک پیش خیمہ دیتا ہے۔ عالمی حصوں کو لے کر ایک عالمگیر ایلیپٹک کوہمولوجی تھیوری حاصل کرنے کی خواہش نے ٹوپولوجیکل ماڈیولر فارموں کی تعمیر کا باعث بنی ہے جو کہ پچھلی سائٹ کے مقابلے میں اس پری شیف کی ہوموٹوپی حد ہے۔ سپیکٹرل الجبرائی جیومیٹری انٹرمیڈیٹ جیکوبین کرومیٹک ہوموٹوپی تھیوری حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بانی مضامین ایلیپٹک کوہمولوجی-گریم سیگل ایکسٹینشنز ٹو کالابی-یو کئی گنا K3 سپیکٹرم کی تعمیر واضح K3 سپیکٹرم گیج تھیوری، سٹرنگ تھیوری، اور کوہمولوجی میں ایلیپٹک منحنی خطوط کوہمولوجی تھیوری ایلیپٹک منحنی خطوط ماڈیولر شکلیں