Differentiation rules
یہ تفریق کے اصولوں کا خلاصہ ہے، یعنی کیلکولس میں کسی فنکشن کے مشتق کی گنتی کے لیے اصول۔ تفریق کے ابتدائی اصول جب تک کہ دوسری صورت میں بیان نہ کیا جائے، تمام افعال حقیقی اعداد (R) کے افعال ہیں جو حقیقی اقدار واپس کرتے ہیں۔ اگرچہ زیادہ عام طور پر، نیچے دیے گئے فارمولے جہاں کہیں بھی اچھی طرح سے بیان کیے جاتے ہیں وہاں لاگو ہوتے ہیں-بشمول پیچیدہ اعداد (C) کا معاملہ۔ مستقل اصطلاح کا قاعدہ کسی بھی قدر کے لیے، جہاں، اگر مستقل فنکشن ہے، تو۔ ثبوت لیٹ اینڈ۔ مشتق کی تعریف کے مطابق، یہ ظاہر کرتا ہے کہ کسی بھی مستقل فعل کا مشتق 0 ہے۔ بدیہی (ہندسی) وضاحت ایک نقطہ پر فنکشن کا مشتق نقطہ پر منحنی خطوط پر لائن ٹینجینٹ کی ڈھلوان ہے۔ مستقل فنکشن کا ڈھلوان صفر ہے، کیونکہ مستقل فنکشن کی ٹینجینٹ لائن افقی ہے اور اس کا زاویہ صفر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، مستقل فعل، y کی قدر تبدیل نہیں ہوگی کیونکہ x کی قدر بڑھتی یا کم ہوتی ہے۔ تفریق لکیری ہے کسی بھی فنکشن اور کسی بھی حقیقی اعداد کے لیے اور اس کے حوالے سے فنکشن کا مشتق یہ ہے: لیبنز کے اشارے میں یہ اس طرح لکھا جاتا ہے: خصوصی معاملات میں شامل ہیں: مستقل عنصر کا قاعدہ مجموعہ کا قاعدہ فرق کا قاعدہ پروڈکٹ کا قاعدہ فنکشن f اور g کے لیے، فنکشن h (x) = f (x) g (x) کا مشتق x کے حوالے سے ہے۔ لیبنز کے اشارے میں یہ لکھا جاتا ہے۔ سلسلہ کا قاعدہ فنکشن کا مشتق لیبنز کے اشارے میں لکھا جاتا ہے: اکثر نقشوں کے تصور پر توجہ مرکوز کرنے کے لیے مختصر کیا جاتا ہے، اور تفریق نقشہ ہونے کی وجہ سے، یہ زیادہ جامع انداز میں لکھا جاتا ہے: الٹا فعل: باہمی قاعدہ کسی بھی (غیر معدوم) فنکشن کے لیے مشتق ہے: جہاں کہیں بھی غیر صفر ہو۔ لیبنز کے اشارے میں، یہ لکھا گیا ہے کہ باہمی اصول یا تو حصص کے اصول سے، یا طاقت کے اصول اور زنجیر کے اصول کے امتزاج سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ حصص کا قاعدہ اگر اور افعال ہیں، تو: جہاں کہیں بھی غیر صفر ہے۔ یہ پروڈکٹ رول اور باہمی رول سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ جنرلائزڈ پاور رول ابتدائی پاور رول کافی حد تک عام کرتا ہے۔ طاقت کا سب سے عام اصول فنکشنل پاور رول ہے: کسی بھی فنکشن کے لیے اور جہاں بھی دونوں اطراف کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہو۔ خصوصی معاملات اگر، تب کوئی غیر صفر حقیقی عدد کب ہے اور مثبت ہے۔ باہمی اصول کو خصوصی کیس کے طور پر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ ایکسپونینشل اور لوگرتھمک افعال کے مشتق مندرجہ بالا مساوات سب کے لیے درست ہے، لیکن مشتق کے لیے ایک پیچیدہ نمبر حاصل ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا مساوات بھی سب کے لیے درست ہے، لیکن اگر ایک پیچیدہ نمبر حاصل کرتا ہے۔ لیمبرٹ ڈبلیو فنکشن لوگرتھمک مشتق کہاں ہے لوگرتھمک مشتق کسی فنکشن کے لوگرتھم کو الگ کرنے کے اصول کو بیان کرنے کا ایک اور طریقہ ہے (چین رول کا استعمال کرتے ہوئے): جہاں بھی مثبت ہو۔ لوگرتھمک تفریق ایک ایسی تکنیک ہے جو مشتق کو اصل میں لاگو کرنے سے پہلے کچھ تاثرات کو آسان بنانے کے لیے لوگرتھم اور اس کے تفریق کے اصولوں کا استعمال کرتی ہے۔ لوگرتھمز کو متغیرات کو ہٹانے، مصنوعات کو رقم میں تبدیل کرنے، اور تقسیم کو گھٹاؤ میں تبدیل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے-جن میں سے ہر ایک مشتقات لینے کے لیے ایک آسان اظہار کا باعث بن سکتا ہے۔ مثلثی افعال کے مشتق مندرجہ بالا جدول میں مشتق اس وقت کے لیے ہیں جب الٹا سیکنڈ کی حد ہے اور جب الٹا کوسیکینٹ کی حد ہے۔ دو دلائل کے ساتھ ایک الٹا ٹینجینٹ فنکشن کی اضافی وضاحت کرنا عام بات ہے۔ اس کی قیمت رینج میں ہوتی ہے اور پوائنٹ کے کواڈرینٹ کی عکاسی کرتی ہے۔ پہلے اور چوتھے چوتھائی کے لیے (یعنی) ایک ہے۔ اس کے جزوی مشتق ہائپربولک افعال کے مشتق ہیں ان مشتقات پر پابندیوں کے لیے ہائپربولک افعال دیکھیں۔ خاص افعال کے مشتق گاما فنکشن دگما فنکشن ہونے کے ساتھ، جس کا اظہار اوپر کی لائن میں دائیں طرف قوسین کے اظہار سے ہوتا ہے۔ ریمن زیٹا فنکشن انٹیگرلز کے مشتق فرض کریں کہ x فنکشن کے حوالے سے تفریق کرنا ضروری ہے جہاں افعال اور دونوں طیارہ کے دونوں اور کچھ خطے میں مسلسل ہیں، بشمول، اور افعال اور دونوں مسلسل ہیں اور دونوں کے لیے مسلسل مشتق ہیں۔ پھر اس کے لیے: یہ فارمولا لیبنز انٹیگرل رول کی عمومی شکل ہے اور کیلکولس کے بنیادی نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ فنکشن کے-th مشتق کی گنتی کے لیے کچھ اصول موجود ہیں، جہاں ایک مثبت عدد ہے۔ ان میں شامل ہیں: فاؤ دی برونو کا فارمولا اگر اور-اوقات تفریق پذیر ہیں، تو کہاں اور سیٹ ڈیوفنٹائن مساوات کے تمام غیر منفی عدد حلوں پر مشتمل ہے۔ جنرل لیبنز کا قاعدہ اگر اور کئی بار تفریق کے قابل ہیں، تو حوالہ جات کے ذرائع بھی دیکھیں اور مزید پڑھیں یہ اصول بہت سی کتابوں میں، ابتدائی اور اعلی درجے کے حساب کتاب دونوں پر، خالص اور اطلاقی ریاضی میں دیے گئے ہیں۔ اس مضمون میں (مذکورہ بالا حوالوں کے علاوہ) وہ اس میں مل سکتے ہیں: میتھمیٹیکل ہینڈ بک آف فارمولز اینڈ ٹیبلز (تیسرا ایڈیشن)، ایس لپشٹز، ایم آر۔ سپیگل، جے لیو، شوم کی آؤٹ لائن سیریز، 2009۔ کیمبرج ہینڈ بک آف فزکس فارمولز، جی۔ وان، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2010۔ طبیعیات اور انجینئرنگ کے لیے ریاضیاتی طریقے، کے۔ ایف۔ ریلی، ایم۔ پی۔ ہوبن، ایس۔ جے۔ بینس، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2010، این آئی ایس ٹی ہینڈ بک آف میتھمیٹیکل فنکشنز، ایف ڈبلیو جے اولور، ڈی ڈبلیو لوزیئر، آر ایف بوئسورٹ، سی ڈبلیو کلارک، کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2010۔ فارمولے کو آسان بنانے کے ساتھ مشتق کیلکولیٹر کے بیرونی روابط ثبوتوں پر مشتمل مضامین مشتق مشتق ریاضیاتی شناخت کے نظریات تجزیہ میں حساب میں نظریات