Kazhdan–Lusztig polynomial
نمائندگی کے نظریہ کے ریاضیاتی میدان میں، کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی انٹیگرل کثیر الجہتی کے خاندان کا ایک رکن ہے جو اس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے۔ انہیں کاکسٹر گروپ W کے عناصر y، w کے جوڑوں کے ذریعے انڈیکس کیا جاتا ہے، جو خاص طور پر لائ گروپ کا ویل گروپ ہو سکتا ہے۔ محرک اور تاریخ 1978 کے موسم بہار میں کزدان اور لوزٹگ ایک الجبرائی گروپ کے ویل گروپ کی سپرنگر نمائندگی کا مطالعہ کر رہے تھے جو یکجا کلاسوں سے متعلق ایڈک کوہمولوجی گروپوں پر تھے جو یک طاقت ہیں۔ انہوں نے پیچیدہ اعداد پر ان نمائندوں کی ایک نئی تعمیر پائی۔ نمائندگی کے دو قدرتی اڈے تھے، اور ان دونوں اڈوں کے درمیان منتقلی میٹرکس بنیادی طور پر کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ ان کے کثیر الجہتی کی اصل کزدان-لوزٹگ تعمیر زیادہ ابتدائی ہے۔ کزدان اور لوزٹگ نے اسے کاکسٹر گروپ کے ہیک الجبرا اور اس کی نمائندگی میں ایک مستند بنیاد کی تعمیر کے لیے استعمال کیا۔ اپنے پہلے مقالے میں کزدان اور لوزٹگ نے ذکر کیا کہ ان کے کثیر الجہتی شوبرٹ اقسام کے لیے مقامی پوئنکیری دوہری کی ناکامی سے متعلق تھے۔ میں انہوں نے مارک گورسکی اور رابرٹ میک فرسن کی انٹرسیکشن کوہمولوجی کے لحاظ سے اس کی دوبارہ تشریح کی، اور بعض انٹرسیکشن کوہمولوجی گروپوں کے طول و عرض کے لحاظ سے اس طرح کی بنیاد کی ایک اور تعریف دی۔ سپرنگر کی نمائندگی کے لیے دو اڈوں نے کزدان اور لزٹگ کو گروتھینڈیک گروپ کے لیے دو اڈوں کی یاد دلائی جو ورما ماڈیولز اور سادہ ماڈیولز کے ذریعے دی گئی نیم سادہ لائ الجبرا کی کچھ لامحدود جہتی نمائندگی ہیں۔ یہ مشابہت، اور جینز کارسٹن جینٹزن اور انتھونی جوزف کے کام نے ویل گروپوں کی نمائندگی کے ساتھ الجبراس کو ڈھکنے کے قدیم نظریات سے متعلق، کزدان-لوزٹگ قیاس آرائیوں کا باعث بنے۔ تعریف ایک کاکسٹر گروپ W کو سیٹ S تیار کرنے کے ساتھ طے کریں، اور کسی عنصر کی لمبائی کے لیے لکھیں (W کے لیے اظہار کی سب سے چھوٹی لمبائی بطور S کے عناصر کی پیداوار)۔ ڈبلیو کے ہیک الجبرا میں اوور رنگ کے لیے عناصر کی بنیاد ہوتی ہے، جس کی تعریف ضرب کے ذریعے کی جاتی ہے۔ کواڈریٹک سیکنڈ ریلیشن کا مطلب ہے کہ ہر جنریٹر ہیک الجبرا میں الٹا ہوتا ہے، الٹا ہوتا ہے۔ یہ الٹا تعلق (−2q−1 کے لیے کواڈریٹک تعلق کو ضرب دے کر حاصل کیا گیا)، اور چوٹی کے تعلقات کو بھی مطمئن کرتے ہیں۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ ہیک الجبرا میں ایک آٹومورفزم D ہے جو q1/2 کو q−1/2 اور ہر ایک کو بھیجتا ہے۔ زیادہ عام طور پر ایک ہے ؛ D کو بھی ایک ارتقاء کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی پیو (ق) کو عناصر کے ایک جوڑے وائی، ڈبلیو کے ڈبلیو کے ذریعہ انڈیکس کیا جاتا ہے، اور مندرجہ ذیل خصوصیات کے ذریعہ منفرد طور پر طے کیا جاتا ہے۔ وہ 0 ہیں جب تک کہ y ≤ w (W کی بروہاٹ ترتیب میں)، 1 اگر y = w، اور y <w کے لیے ان کی ڈگری زیادہ سے زیادہ (l (w) −l (y) −1)/2 ہو۔ عناصر ہیک الجبرا کے ارتقاء D کے تحت غیر متغیر ہیں۔ عناصر ایک-ماڈیول کے طور پر ہیک الجبرا کی بنیاد بناتے ہیں، جسے کزدان-لوزٹگ بنیاد کہا جاتا ہے۔ کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے وجود کو قائم کرنے کے لیے، کزدان اور لوزٹگ نے کثیر الجہتی پیو (ق) کی گنتی کے لیے ایک آسان تکراری طریقہ کار دیا جس میں زیادہ ابتدائی کثیر الجہتی جو ریو (ق) سے ظاہر ہوتے ہیں۔ ان کا حساب تکرار کے تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کو پھر اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے تکرار سے شمار کیا جا سکتا ہے کہ بائیں طرف موجود دو اصطلاحات q1/2 اور q−1/2 میں غیر مستقل اصطلاحات کے کثیر الجہتی ہیں۔ یہ فارمولے تقریبا 3 سے زیادہ رینک کے لیے ہاتھ سے استعمال کرنے میں تھکاوٹ کا باعث ہیں، لیکن کمپیوٹر کے لیے اچھی طرح سے ڈھال لیے گئے ہیں، اور ان کے ساتھ کزدان-لزٹگ کثیر الجہتی کا حساب لگانے کی واحد حد یہ ہے کہ بڑے رینک کے لیے اس طرح کے کثیر الجہتی کی تعداد کمپیوٹر کی اسٹوریج کی صلاحیت سے تجاوز کر جاتی ہے۔ مثال کے طور پر اگر y ≤ w تو پائی، w کی مستقل اصطلاح 1 ہے۔ اگر y ≤ w اور پھر پائی، تو w = 1۔ اگر ڈبلیو = ڈبلیو 0 ایک محدود کاکسٹر گروپ کا سب سے طویل عنصر ہے تو پی، ڈبلیو = 1 تمام وائی کے لیے۔ اگر W کاکسٹر گروپ A1 یا A2 ہے (یا زیادہ تر عام طور پر زیادہ سے زیادہ 2 درجے کا کوئی کاکسٹر گروپ) تو پائی، ڈبلیو 1 ہے اگر y ≤ ڈبلیو اور بصورت دیگر 0 ہے۔ اگر W کاکسٹر گروپ A3 ہے جس میں سیٹ S = {a, b, c} پیدا ہوتا ہے جس میں a اور c سفر کرتے ہیں تو Pb، bacb = 1 + q اور Pac، acbca = 1 + q، غیر مستقل کثیر الجہتی کی مثالیں دیتے ہیں۔ نچلے درجے کے گروپوں کے لیے کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کی سادہ اقدار اعلی درجے کے گروپوں کی خصوصیت نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر، E8 کی تقسیم شدہ شکل کے لیے سب سے پیچیدہ Lusztig-Vogan کثیر الجہتی (کازدان-Lusztig کثیر الجہتی کی ایک تغیر: نیچے دیکھیں) سے پتہ چلتا ہے کہ مستقل اصطلاح 1 اور غیر منفی عدد گتانک کے ساتھ کوئی بھی کثیر الجہتی کچھ ہم آہنگ گروپ کے عناصر کے کچھ جوڑے کے لیے کازدان-Lusztig کثیر الجہتی ہے۔ کازدان-لوزٹگ قیاس کرتا ہے کہ کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی ان کی کینونکل بنیاد اور ہیک الجبرا کی قدرتی بنیاد کے درمیان منتقلی کے گتانک کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ ایجادات کے مقالے میں دو مساوی قیاس آرائیاں بھی پیش کی گئیں، جنہیں اب کزدان-لوزٹگ قیاس آرائیوں کے نام سے جانا جاتا ہے، جن میں 1 پر ان کے کثیر الجہتی کی اقدار کو پیچیدہ نیم سادہ جھوٹ گروپوں اور جھوٹ الجبرا کی نمائندگی کے ساتھ منسلک کیا گیا ہے، جو نمائندگی کے نظریہ میں ایک دیرینہ مسئلے کو حل کرتے ہیں۔ W کو ایک محدود ویل گروپ ہونے دیں۔ ہر ڈبلیو کے لیے ڈبلیو سب سے زیادہ وزن کے ورما ماڈیول کی طرف اشارہ کرتا ہے جہاں ρ مثبت جڑوں (یا ویل ویکٹر) کا نصف مجموعہ ہے، اور اس کا ناقابل تلافی حصہ، سب سے زیادہ وزن کا سادہ سب سے زیادہ وزن والا ماڈیول ہے۔ دونوں اور ویل گروپ W کے ساتھ پیچیدہ نیم سادہ لائ الجبرا g پر مقامی طور پر محدود وزن کے ماڈیول ہیں، اور اس وجہ سے الجبرائی کردار کو تسلیم کرتے ہیں۔ آئیے g-ماڈیول X کے کردار کے لیے ch (X) لکھیں۔ کزدان-لوزٹگ قیاس آرائیاں بیان کرتی ہیں: ویل گروپ کی زیادہ سے زیادہ لمبائی کا عنصر کہاں ہے۔ ان قیاس آرائیوں کو خصوصیت 0 الجبرائی طور پر بند فیلڈز پر آزادانہ طور پر اور اس کے ذریعے ثابت کیا گیا۔ ثبوت کے دوران متعارف کرائے گئے طریقوں نے 1980 اور 1990 کی دہائی میں جیومیٹرک نمائندگی تھیوری کے نام سے نمائندگی کے نظریہ کی ترقی کی رہنمائی کی ہے۔ تبصرے 1. دونوں قیاس آرائیاں مساوی ہونے کے لیے جانی جاتی ہیں۔ مزید برآں، بورہو-جینٹزن کے ترجمے کے اصول کا مطلب ہے کہ اسے کسی بھی غالب لازمی وزن کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، کزدان-لوزٹگ قیاس آرائیاں برنسٹین-گیلفینڈ-گیلفینڈ زمرہ O کے کسی بھی باقاعدہ انٹیگرل بلاک میں ورما ماڈیولز کی اردن-ہولڈر ضرب کو بیان کرتی ہیں۔ 2. کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے تمام کوفیشنٹس کی اسی طرح کی تشریح جینٹزن قیاس سے ملتی ہے، جو تقریبا یہ کہتا ہے کہ کے انفرادی کوفیشنٹس ورما ماڈیول کے کچھ ذیلی حصے میں ضرب ہیں جن کا تعین کینونکل فلٹریشن، جینٹزن فلٹریشن سے ہوتا ہے۔ باقاعدہ انٹیگرل کیس میں جینٹزن قیاس آرائی کے بعد کے مقالے میں ثابت ہوا۔ 3. ڈیوڈ ووگن نے ان قیاس آرائیوں کے نتیجے کے طور پر دکھایا کہ اور اگر عجیب ہے تو وہ غائب ہو جاتا ہے، لہذا زمرہ O میں ایسے تمام ایکسٹ گروپوں کے طول و عرض کا تعین کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کے لحاظ سے کیا جاتا ہے۔ یہ نتیجہ ظاہر کرتا ہے کہ ایک محدود ویل گروپ کے کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے تمام گتانک غیر منفی عدد ہیں۔ تاہم، قیاس آرائیوں سے قطع نظر، ایک محدود ویل گروپ W کے معاملے کے لیے مثبتیت پہلے سے ہی قزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کی تشریح سے انٹرسیکشن کوہمولوجی گروپوں کے طول و عرض کے طور پر جانا جاتا تھا۔ اس کے برعکس، کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی اور ایکسٹ گروپوں کے درمیان تعلق کو نظریاتی طور پر قیاس آرائیوں کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، حالانکہ ان کو ثابت کرنے کا یہ طریقہ عمل میں لانا زیادہ مشکل ثابت ہوا۔ 4. کزدان-لوزٹگ قیاس آرائیوں کے کچھ خاص معاملات کی تصدیق کرنا آسان ہے۔ مثال کے طور پر، ایم 1 اینٹی ڈومیننٹ ورما ماڈیول ہے، جو سادہ ہونے کے لیے جانا جاتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایم 1 = ایل 1، ڈبلیو = 1 کے لیے دوسرا قیاس قائم کرتا ہے، کیونکہ مجموعہ ایک ہی اصطلاح میں گھٹ جاتا ہے۔ دوسری طرف، ڈبلیو = ڈبلیو 0 کے لیے پہلا قیاس ویل کردار کے فارمولے اور ورما ماڈیول کے کردار کے فارمولے سے ملتا ہے، اس حقیقت کے ساتھ کہ تمام کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی 1 کے برابر ہیں۔ 5. کاشی واڑہ (1990) نے کزدان-لزٹگ قیاس آرائیوں کو ہم آہنگ کاک-موڈی الجبرا کی عمومی شکل میں ثابت کیا۔ شوبرٹ اقسام کے انٹرسیکشن کوہومولوجی سے تعلق بروہاٹ سڑنے سے الجبرائی گروپ G کا خلا G/B ویل گروپ W کے ساتھ افائن خالی جگہوں Xw کا ایک جداگانہ اتحاد ہے جو W کے عناصر W کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے۔ ان خالی جگہوں کی بندش کو شوبرٹ اقسام کہا جاتا ہے، اور ڈیلیگن کی تجویز پر عمل کرتے ہوئے، کازدان اور لوزٹگ نے دکھایا کہ شوبرٹ اقسام کے انٹرسیکشن کوہومولوجی گروپوں کے لحاظ سے کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کا اظہار کیسے کیا جائے۔ مزید واضح طور پر، کزدان-لزٹگ کثیر الجہتی پائی، ڈبلیو (کیو) اس کے برابر ہے جہاں ہر اصطلاح دائیں طرف کا مطلب ہے: شییوز کے پیچیدہ آئی سی کو لیں جس کی ہائپر ہومولوجی ڈبلیو (سیل کی بندش) کے شوبرٹ قسم کی انٹرسیکشن ہومولوجی ہے، اس کی ڈگری کی ہم آہنگی لیں، اور پھر سیل کے کسی بھی مقام پر اس شیف کے ڈنڈے کی جہت لیں جس کی بندش وائی کی شوبرٹ قسم ہے۔ عجیب جہتی کوہمولوجی گروپ جمع میں ظاہر نہیں ہوتے ہیں کیونکہ وہ سب صفر ہوتے ہیں۔ اس سے پہلا ثبوت ملا کہ محدود ویل گروپوں کے لیے کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے تمام گتانک غیر منفی عدد ہیں۔ حقیقی گروہوں Lusztig-Vogan کثیرالجہتی (جسے کزدان-Lusztig کثیرالجہتی یا کزدان-Lusztig-Vogan کثیرالجہتی بھی کہا جاتا ہے) میں عام کاری متعارف کرائی گئی تھی۔ وہ کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے مترادف ہیں، لیکن حقیقی نیم سادہ جھوٹ گروپوں کی نمائندگی کے مطابق بنائے گئے ہیں، اور ان کے یکطرفہ ڈوئلز کی قیاس آرائی کی وضاحت میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ ان کی تعریف زیادہ پیچیدہ ہے، جو پیچیدہ گروہوں کے مقابلے میں حقیقی گروہوں کی نمائندگی کی نسبتا پیچیدگی کی عکاسی کرتی ہے۔ فرق، نمائندگی کے نظریہ سے براہ راست تعلق کے معاملات میں، ڈبل کوسیٹس کی سطح پر بیان کیا جاتا ہے۔ یا پیچیدہ پرچم کئی گنا G/B کے ینالاگس پر اعمال کے دیگر لحاظ سے جہاں G ایک پیچیدہ جھوٹ گروپ ہے اور B a بوریل ذیلی گروپ ہے۔ اصل (K-L) کیس اس کے بعد سڑنے کی تفصیلات کے بارے میں ہے، جو بروہاٹ سڑنے کا ایک کلاسیکی تھیم ہے، اور اس سے پہلے گراس مینین میں شوبرٹ خلیوں کی۔ L-V کیس G کی ایک حقیقی شکل اختیار کرتا ہے، جو اس نیم سادہ گروپ میں ایک زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے، اور K کی پیچیدگی بناتا ہے۔ پھر مطالعہ کا متعلقہ مقصد ہے۔ مارچ 2007 میں، یہ اعلان کیا گیا کہ E8 کی تقسیم شدہ شکل کے لیے L-V کثیرالجہتی کا حساب لگایا گیا ہے۔ نمائندگی کے نظریہ میں دیگر اشیاء کو عمومی بنانا کزدان اور لزٹگ کے دوسرے مقالے نے کزدان-لزٹگ کثیر الجہتی کی تعریف کے لیے ایک ہندسی ترتیب قائم کی، یعنی پرچم کی قسم میں شوبرٹ اقسام کی انفرادیت کی جیومیٹری۔ Lusztig کے بعد کے زیادہ تر کاموں نے نمائندگی کے نظریہ میں پیدا ہونے والی دیگر قدرتی واحد الجبرائی اقسام کے تناظر میں کزدان-Lusztig کثیر الجہتی کے ینالاگوں کی کھوج کی، خاص طور پر، نیلپوٹینٹ مداروں اور قوور اقسام کی بندش۔ یہ پتہ چلا کہ کوانٹم گروپوں کی نمائندگی کا نظریہ، ماڈیولر لائ الجبرا اور افائن ہیک الجبرا سبھی کو کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے مناسب ینالاگوں کے ذریعے مضبوطی سے کنٹرول کیا جاتا ہے۔ وہ ایک ابتدائی وضاحت کو تسلیم کرتے ہیں، لیکن نمائندگی کے نظریہ کے لیے ضروری ان کثیر الجہتی کی گہری خصوصیات جدید الجبرائی جیومیٹری اور ہومیولوجیکل الجبرا کی نفیس تکنیکوں کی پیروی کرتی ہیں، جیسے کہ انٹرسیکشن کوہمولوجی، منحرف شیوز اور بیلنسن-برنسٹین-ڈیلیگن سڑنا۔ کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کا قیاس کیا جاتا ہے کہ وہ سورگل کے بموڈیول زمرے میں کچھ ہومومورفزم خالی جگہوں کے طول و عرض ہیں۔ صوابدیدی کاکسٹر گروپوں کے لیے ان کوفیشنٹس کی یہ واحد معروف مثبت تشریح ہے۔ مشترکہ نظریہ کازدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کی مشترکہ خصوصیات اور ان کی عمومی کاریاں فعال موجودہ تحقیق کا موضوع ہیں۔ نمائندگی کے نظریہ اور الجبرائی جیومیٹری میں ان کی اہمیت کو دیکھتے ہوئے، کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی کے نظریہ کو خالصتا مشترکہ انداز میں تیار کرنے کی کوششیں کی گئی ہیں، جو کسی حد تک جیومیٹری پر انحصار کرتی ہیں، لیکن انٹرسیکشن کوہمولوجی اور دیگر جدید تکنیکوں کے حوالے کے بغیر۔ اس کی وجہ سے الجبرائی امتزاج میں دلچسپ پیش رفت ہوئی ہے، جیسے کہ پیٹرن سے بچنے کا رجحان۔ کی نصابی کتاب میں کچھ حوالہ جات دیے گئے ہیں۔ اس موضوع پر ایک تحقیقی مونوگراف ہے۔ یہاں تک کہ سمیٹرک گروپوں کے لیے بھی کزدان-لوزٹگ کثیر الجہتی (کچھ قدرتی سیٹوں کی بنیادی خصوصیات کے طور پر) کے تمام کوفیشنٹس کی کوئی معروف مشترکہ تشریح نہیں ہے، حالانکہ بہت سے خاص معاملات میں واضح فارمولے موجود ہیں۔ عدم مساوات کوبیاشی (2013) نے ثابت کیا کہ کرسٹلگرافک کاکسٹر گروپوں کے لیے کازدان-لوزٹگ کثیرالجہتی کی اقدار کچھ سخت عدم مساوات کو پورا کرتی ہیں: آئیے ایک کرسٹلگرافک کاکسٹر سسٹم اور اس کے کازدان-لوزٹگ کثیرالجہتی ہوں۔ اگر اور، تو اس طرح کی عکاسی موجود ہے۔ حوالہ جات۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی لنکس ریڈنگز فرام اسپرنگ 2005 کورس آن کزدان-لوزٹگ تھیوری ایٹ یو۔ سی ڈیوس بذریعہ مونیکا وزیرانی GAP پروگرامز فار کمپیوٹنگ کزدان-لزٹگ پولینومیئلز۔ کسی بھی کاکسٹر گروپ اٹلس سافٹ ویئر کے لیے کازدان-لزٹگ-ووگن کثیر الجہتی کی کمپیوٹنگ کے لیے کازدان-لزٹگ کثیر الجہتی کی کمپیوٹنگ کے لیے فوکو ڈو کلوکس کا کاکسٹر سافٹ ویئر۔ پولینومیئلز ریپریزنٹیشن تھیوری آف لائ گروپس ریپریزنٹیشن تھیوری آف لائ الجیبراس الجبرائی امتزاج