Power sum symmetric polynomial
ریاضی میں، خاص طور پر تبادلہ الجبری میں، پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی سمیٹرک کثیر الجہتی کے لیے بنیادی بلڈنگ بلاک کی ایک قسم ہیں، اس معنی میں کہ عقلی کوفشنٹس کے ساتھ ہر سمیٹرک کثیر الجہتی کو عقلی کوفشنٹس کے ساتھ پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی کے پروڈکٹ کے مجموعے اور فرق کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، انٹیگرل کوفشنٹس کے ساتھ ہر سمیٹرک پولینومیل پاور-سم پولینومیلز کے پروڈکٹ کے انٹیگرل امتزاج سے پیدا نہیں ہوتا ہے: وہ ریشنلز پر ایک جنریٹنگ سیٹ ہیں، لیکن انٹیجرز پر نہیں۔ تعریف متغیر x1،.، xn، k = 0، 1، 2، کے لیے لکھا ہوا pk میں ڈگری k کا پاور سم سمیٹرک پولینومیل متغیرات کی تمام kth پاورز کا مجموعہ ہے۔ رسمی طور پر، ان کثیر الجہتی میں سے پہلے چند ہیں۔ اس طرح، ہر غیر منفی عدد کے لیے، متغیرات میں ڈگری کا بالکل ایک پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی موجود ہے۔ پاور سم سمیٹرک پولی نومیئلز کے پروڈکٹ کے تمام انٹیگرل لکیری امتزاج کو لے کر بننے والی پولی نومیئل رنگ ایک کمیونیٹیٹو رنگ ہے۔ مثال کے طور پر درج ذیل میں پہلی تین مثبت اقدار کے لیے n تک کی مثبت ڈگریوں کے پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی کی فہرست دی گئی ہے۔ ہر صورت میں، کثیر الجہتی میں سے ایک ہے۔ فہرست ڈگری n تک جاتی ہے کیونکہ 1 سے n ڈگری کے پاور سم سمیٹرک کثیر الجہتی ذیل میں بیان کردہ تھیوریم کے معنی میں بنیادی ہیں۔ n = 1 کے لیے: n = 2 کے لیے: n = 3 کے لیے: خصوصیات n متغیرات میں 1,2,., n ڈگریوں کے پاور سم سمیٹرک پولینومیئلز کا مجموعہ n متغیرات میں سمیٹرک پولینومیئلز کی رنگ پیدا کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر: نظریہ۔ عقلی کوفشنٹس کے ساتھ سمیٹرک کثیرالجہتی کی انگوٹی عقلی کثیرالجہتی انگوٹی کے برابر ہوتی ہے۔ اگر کوفشنٹس کو خصوصیت 0 کے کسی بھی میدان میں لیا جائے تو یہ درست ہے۔ تاہم، یہ درست نہیں ہے اگر کوفیشنٹس کو انٹیجر ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، n = 2 کے لیے، سمیٹرک پولینومیل کا اظہار ہوتا ہے جس میں فریکشن شامل ہوتے ہیں۔ نظریہ کے مطابق پی 1 اور پی 2 کے لحاظ سے نمائندگی کرنے کا یہ واحد طریقہ ہے۔ لہذا، P کا تعلق انٹیگرل کثیر الجہتی رنگ سے نہیں ہے۔ ایک اور مثال کے طور پر، ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ek، جو پاور سم کثیر الجہتی میں کثیر الجہتی کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں، ان سب میں انٹیگرل کوفیشنٹس نہیں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، نظریہ بھی غلط ہے اگر فیلڈ کی خصوصیت 0 سے مختلف ہے۔ مثال کے طور پر، اگر فیلڈ F کی خصوصیت 2 ہے، تو، p1 اور p2 e2 = x1x2 پیدا نہیں کر سکتے۔ نظریہ کے جزوی ثبوت کا خاکہ: نیوٹن کی شناختوں کے مطابق طاقت کے مجموعے ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کے افعال ہیں۔ یہ مندرجہ ذیل تکرار کے تعلق سے ظاہر ہوتا ہے، حالانکہ واضح فعل جو طاقت کے مجموعے کو ایج کے لحاظ سے دیتا ہے وہ پیچیدہ ہے: ایک ہی تکرار کو دوبارہ لکھنے سے، کسی کے پاس طاقت کے مجموعے کے لحاظ سے ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی ہوتے ہیں (یہ بھی واضح طور پر، واضح فارمولا پیچیدہ ہوتا ہے): اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ابتدائی کثیر الجہتی عقلی ہوتے ہیں، اگرچہ انٹیگرل نہیں ہوتے ہیں، لیکن 1،، n ڈگری کے طاقت کے مجموعہ کثیر الجہتی کے لکیری امتزاج۔ چونکہ ابتدائی ہم آہنگی کثیر الجہتی کوفیشنٹس کے ساتھ تمام ہم آہنگی کثیر الجہتی کے لیے الجبرائی بنیاد ہیں۔ یعنی، ہم آہنگی کثیر الجہتی کی انگوٹی طاقت کے مجموعے سے پیدا ہونے والی انگوٹی میں موجود ہوتی ہے، کیونکہ ہر طاقت کا مجموعہ کثیر الجہتی ہم آہنگی ہے، دونوں حلقے برابر ہیں۔ (اس سے یہ ظاہر نہیں ہوتا کہ کثیر الجہتی f کو منفرد کیسے ثابت کیا جائے۔) اسی طرح کی خصوصیات کے ساتھ سمیٹرک کثیر الجہتی کے ایک اور نظام کے لیے مکمل یکساں سمیٹرک کثیر الجہتی دیکھیں۔ نمائندگی کا نظریہ نیوٹن کی شناخت حوالہ جات ایان جی میکڈونلڈ (1979)، سمیٹرک فنکشنز اور ہال پولینومیلز بھی دیکھیں۔ آکسفورڈ ریاضیاتی مونوگراف۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ ایان جی میکڈونلڈ (1995)، سمیٹرک فنکشنز اینڈ ہال پولینومیئلز، سیکنڈ ایڈیشن۔ آکسفورڈ: کلیرینڈن پریس۔ (پیپر بیک، 1998)۔ رچرڈ پی۔ اسٹینلے (1999)، انیومریٹو کمبینٹوریکس، جلد۔ 2. کیمبرج: کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ یکساں کثیر الجہتی سمیٹرک افعال