Spacetime algebra
ریاضیاتی طبیعیات میں، سپیس ٹائم الجبرا (ایس ٹی اے) کلفورڈ الجبرا سی ایل 1,3 (آر)، یا اس کے مساوی ہندسی الجبرا کا نام ہے۔ ڈیوڈ ہیسٹینس کے مطابق، اسپیس ٹائم الجبرا کا خاص طور پر خصوصی اضافیت اور رشتہ دار اسپیس ٹائم کی جیومیٹری سے گہرا تعلق ہو سکتا ہے۔ یہ ایک ویکٹر اسپیس ہے جو نہ صرف ویکٹرز بلکہ بائی ویکٹرز (مخصوص طیاروں سے وابستہ ہدایت شدہ مقدار، جیسے علاقے، یا گردش) یا بلیڈ (مخصوص ہائپر والیوم سے وابستہ مقدار) کو یکجا کرنے کے ساتھ ساتھ گھمانے، عکاسی کرنے، یا لورینٹز کو بڑھانے کی بھی اجازت دیتی ہے۔ یہ خصوصی اضافیت میں اسپنرز کا قدرتی بنیادی الجبرا بھی ہے۔ یہ خصوصیات طبیعیات کی بہت سی اہم ترین مساوات کو خاص طور پر سادہ شکلوں میں ظاہر کرنے کی اجازت دیتی ہیں، اور ان کے معانی کی زیادہ ہندسی تفہیم کے لیے بہت مددگار ثابت ہو سکتی ہیں۔ ساخت خلائی وقت کے الجبرا کو ایک وقت جیسے ویکٹر اور تین جگہ جیسے ویکٹر کی آرتھوگنل بنیاد سے بنایا جا سکتا ہے، ضرب کے اصول کے ساتھ جہاں دستخط کے ساتھ منکوسکی میٹرک ہے۔ اس طرح،، بصورت دیگر۔ بیس ویکٹر ان خصوصیات کو ڈیراک میٹرکس کے ساتھ بانٹتے ہیں، لیکن ایس ٹی اے میں کسی واضح میٹرکس کی نمائندگی کو استعمال کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ یہ ایک اسکیلر، چار ویکٹر، چھ بائی ویکٹر، چار سیوڈوویکٹر اور ایک سیوڈو اسکیلر کی بنیاد پیدا کرتا ہے، جہاں۔ اسپیس ٹائم الجبرا میں ایک غیر معمولی ذیلی الجبرا بھی ہوتا ہے جس میں صرف یکساں گریڈ کے عناصر ہوتے ہیں، یعنی۔ اسکیلرز، بائیویکٹرز، اور سڈوسکلرز۔ یکساں ذیلی الجبرا میں، اسکیلر اور سڈو اسکیلر دونوں تمام عناصر کے ساتھ کامیوٹ کرتے ہیں، اور پیچیدہ اعداد کی طرح کام کرتے ہیں۔ تاہم، سپیس ٹائم الجبرا کے تمام عجیب درجے کے عناصر کے ساتھ سیڈوسکلر اینٹی کمیونٹس، اس حقیقت سے مطابقت رکھتے ہیں کہ برابری کی تبدیلیوں کے تحت، ویکٹر اور سیڈوویکٹر مسترد ہو جاتے ہیں۔ آرتھوگنل بنیاد سے وابستہ باہمی فریم باہمی بنیاد ہے، جو تعلقات کو مطمئن کرتی ہے۔ یہ باہمی فریم ویکٹر صرف ایک نشان، ساتھ، اور کے لحاظ سے مختلف ہوتے ہیں۔ آئن سٹائن نوٹیشن کے مطابق، ویکٹر کی نمائندگی اوپری یا نچلے انڈیکس کوآرڈینیٹس میں خلاصہ کے ساتھ کی جا سکتی ہے، جہاں کوآرڈینیٹس کو بیس ویکٹر یا ان کے باہمی کے ساتھ ڈاٹ پروڈکٹ لے کر نکالا جا سکتا ہے۔ ٹینسر کیلکولس کی طرح، انڈیکس پوزیشن میں تبدیلی میٹرک اور انڈیکس جمناسٹکس کے استعمال سے حاصل کی جا سکتی ہے: ملٹی ویکٹر ڈویژن اسپیس ٹائم الجبرا ڈویژن الجبرا نہیں ہے، کیونکہ اس میں آئیڈیم پوٹینٹ عناصر اور نان زیرو زیرو ڈیوائزرز ہوتے ہیں: ان کی تشریح بالترتیب ایسے پروجیکٹرز کے لیے لائٹ کون اور آرتھوگونالیٹی تعلقات پر پروجیکٹر کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ لیکن بعض صورتوں میں یہ ممکن ہے کہ ایک ملٹی ویکٹر کی مقدار کو دوسرے سے تقسیم کیا جائے، اور نتیجہ کو سمجھا جائے: لہذا، مثال کے طور پر، ایک ہی سطح میں ویکٹر کے ذریعہ تقسیم کردہ ایک ہدایت شدہ رقبہ دوسرا ویکٹر دیتا ہے، جو پہلے کو آرتھوگنل ہوتا ہے۔ سپیس ٹائم میلان سپیس ٹائم میلان سپیس ٹائم میلان سپیس ٹائم میلان سپیس ٹائم میلان سپیس ٹائم میلان سپیس میلان سپیس یوکلڈین اسپیس میں میلان کی طرح اس طرح بیان کیا جاتا ہے کہ دشاتمک مشتق تعلق مطمئن ہو: اس کے لیے میلان کی تعریف کو واضح طور پر اس کے ساتھ لکھنے کی ضرورت ہوتی ہے، یہ جزوی سپیس ٹائم تقسیم ہوتے ہیں۔ سپیس ٹائم الجبرا میں، سپیس ٹائم تقسیم چار جہتی خلا سے (3 + 1) جہتی جگہ میں مندرجہ ذیل دو کارروائیوں کے ذریعے منتخب کردہ حوالہ فریم میں ایک پروجیکشن ہے: منتخب کردہ وقت کے محور کا خاتمہ، جس سے بائیوکٹرز کے ذریعے پھیلی ہوئی 3D جگہ حاصل ہوتی ہے، جو فزیکل اسپیس کے الجبرا میں معیاری 3D بیس ویکٹرز کے مساوی ہوتی ہے اور منتخب کردہ وقت کے محور پر 4D اسپیس کا پروجیکشن ہوتا ہے، جس سے 1D جگہ حاصل ہوتی ہے۔ یہ ایک ٹائم لائک بیس ویکٹر کے ذریعے ضرب سے پہلے یا بعد میں حاصل کیا جاتا ہے، جو ایک چار ویکٹر کو ایک اسکیلر ٹائم لائک اور ایک بائی ویکٹر اسپیس لائک جزو میں تقسیم کرنے کا کام کرتا ہے، حوالہ فریم کے ساتھ ساتھ منتقل ہوتا ہے۔ جیسا کہ یہ بائیویکٹرز اتحاد کے لیے مربع ہیں، وہ ایک مقامی بنیاد کے طور پر کام کرتے ہیں۔ پالی میٹرکس نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، یہ لکھے جاتے ہیں۔ ایس ٹی اے میں مقامی ویکٹرز کو بولڈ فیس میں ظاہر کیا جاتا ہے ؛ پھر اور کے ساتھ،-اسپیس ٹائم تقسیم، اور اس کے برعکس ہیں: تاہم، مندرجہ بالا فارمولے صرف منکوسکی میٹرک میں دستخط (+--) کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ خلائی وقت کی تقسیم کی شکلوں کے لیے جو کسی بھی دستخط میں کام کرتی ہیں، متبادل تعریفیں جن میں اور استعمال کیا جانا چاہیے۔ لورینٹز تبدیلیاں ہندسی الجبرا میں ویکٹر کو گھمانے کے لیے، درج ذیل فارمولا استعمال کیا جاتا ہے:، گھومنے کا زاویہ کہاں ہے، اور گردش کے سطح کی نمائندگی کرنے والا معمول کا بائی ویکٹر ہے تاکہ۔ کسی دیئے گئے خلائی نما بائی ویکٹر کے لیے، لہذا یولر کا فارمولا لاگو ہوتا ہے، جس سے گردش ہوتی ہے۔ کسی دیئے گئے ٹائم لائک بائی ویکٹر کے لیے، اس لیے "وقت کے ذریعے گردش" تقسیم پیچیدہ نمبروں کے لیے مماثل مساوات کا استعمال کرتا ہے: اس مساوات کی تشریح کرتے ہوئے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ وقت کی سمت میں یہ گردش محض ہائپربولک گردش ہیں۔ یہ خصوصی اضافیت میں لورینٹز بوسٹ کے برابر ہیں۔ ان دونوں تبدیلیوں کو لورینٹز تبدیلیوں کے نام سے جانا جاتا ہے، اور ان سب کا مشترکہ مجموعہ لورینٹز گروپ ہے۔ ایس ٹی اے میں کسی شے کو کسی بھی بنیاد (حوالہ فریم کے مطابق) سے دوسرے میں تبدیل کرنے کے لیے، ان میں سے ایک یا زیادہ تبدیلیاں استعمال کی جانی چاہئیں۔ کلاسیکی برقی مقناطیسیت فیراڈے بائیوکٹر ایس ٹی اے میں برقی میدان اور مقناطیسی میدان کو ایک واحد بائیوکٹر فیلڈ میں متحد کیا جا سکتا ہے، جسے فیراڈے بائیوکٹر کہا جاتا ہے، جو فیراڈے ٹینسر کے مساوی ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ معمول کے برقی اور مقناطیسی میدان کہاں اور کہاں ہیں، اور یہ ایس ٹی اے سڈوسکلر ہے۔ متبادل طور پر، اجزاء کے لحاظ سے توسیع کی وضاحت کی گئی ہے کہ علیحدہ اور فیلڈز کو استعمال کرنے سے بازیافت کیا جاتا ہے۔ اصطلاح ایک دیئے گئے حوالہ فریم کی نمائندگی کرتی ہے، اور اس طرح، مختلف حوالہ فریموں کا استعمال کرنے کے نتیجے میں بظاہر مختلف رشتہ دار فیلڈز ہوں گے، بالکل اسی طرح جیسے معیاری خصوصی اضافیت میں ہوتے ہیں۔ چونکہ فیراڈے بائیوکٹر رشتہ دار طور پر غیر متغیر ہے، اس لیے اس کے مربع میں مزید معلومات مل سکتی ہیں، جس سے دو نئی لورینٹز-غیر متغیر مقداریں، ایک اسکیلر، اور ایک سیڈوسکیلر ملتا ہے: اسکیلر حصہ برقی مقناطیسی میدان کے لیے لگرینجین کثافت سے مطابقت رکھتا ہے، اور سیڈوسکیلر حصہ کم کثرت سے دیکھا جانے والا لورینٹز غیر متغیر ہے۔ میکس ویل کی مساوات میکس ویل کی مساوات کو سپیس ٹائم الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے اس سے زیادہ آسان شکل میں وضع کیا جا سکتا ہے جو معیاری ویکٹر کیلکولس کے ساتھ کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح مذکورہ بالا فیلڈ بائی ویکٹر کے لیے، برقی چارج کی کثافت اور کرنٹ کی کثافت کو ایک واحد اسپیس ٹائم ویکٹر میں متحد کیا جا سکتا ہے، جو چار ویکٹر کے برابر ہے۔ اس طرح، اسپیس ٹائم کرنٹ اس طرح دیا جاتا ہے جہاں اجزاء کلاسیکی 3 جہتی کرنٹ کثافت کے اجزاء ہیں۔ ان مقداروں کو اس طرح جوڑتے وقت، یہ خاص طور پر واضح ہوتا ہے کہ کلاسیکی چارج کی کثافت وقت کی طرح سمت میں سفر کرنے والے کرنٹ سے زیادہ کچھ نہیں ہے۔ برقی مقناطیسی میدان اور موجودہ کثافت کو خلائی وقت کے میلان کے ساتھ ملا کر، جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، ہم میکسویل کی چاروں مساوات کو خلائی وقت الجبرا میں ایک ہی مساوات میں جوڑ سکتے ہیں۔ یہ حقیقت کہ یہ مقداریں سپیس ٹائم الجبرا میں تمام متغیر اشیاء ہیں خود بخود مساوات کے لورینٹز کوویرینس کی ضمانت دیتی ہیں، جسے چار الگ الگ مساوات میں تقسیم کرنے کے مقابلے میں ظاہر کرنا بہت آسان ہے۔ اس شکل میں، میکسویل کی مساوات کی کچھ خصوصیات کو ثابت کرنا بھی بہت آسان ہے، جیسے کہ چارج کا تحفظ۔ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ کسی بھی بائی ویکٹر فیلڈ کے لیے، اس کے اسپیس ٹائم گریڈینٹ کا انحراف ہے، کوئی بھی مندرجہ ذیل ہیرا پھیری کر سکتا ہے: اس مساوات کا واضح مطلب ہے کہ موجودہ کثافت کا انحراف صفر ہے، یعنی۔ وقت کے ساتھ کل چارج اور موجودہ کثافت محفوظ رہتی ہے۔ نیز، دائیں ہاتھ کی طرف، ویکٹر اور بائی ویکٹر کی پیداوار ہونے کی وجہ سے، ایک سڈوویکٹر حصہ ہو سکتا ہے، جو مقناطیسی مونو پولز کو بیان کرے گا۔ تجربے سے پتہ چلتا ہے کہ یہ موجود نہیں ہیں، جو مساوات کو کسی حد تک غیر متناسب بناتا ہے۔ لورینٹز قوت ایک چارج شدہ ذرہ پر لورینٹز قوت کی شکل کو بھی سپیس ٹائم الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے کافی حد تک آسان بنایا جا سکتا ہے۔ ممکنہ تشکیل معیاری ویکٹر کیلکولس تشکیل میں، دو ممکنہ افعال استعمال کیے جاتے ہیں: برقی اسکیلر صلاحیت، اور مقناطیسی ویکٹر صلاحیت۔ ایس ٹی اے کے ٹولز کا استعمال کرتے ہوئے، ان دونوں اشیاء کو ایک واحد ویکٹر فیلڈ میں ملایا جاتا ہے، جو ٹینسر کیلکولس میں برقی مقناطیسی چار پوٹینشل کے مترادف ہے۔ ایس ٹی اے میں، اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ اسکیلر پوٹینشل کہاں ہے، اور یہ مقناطیسی پوٹینشل کے اجزاء ہیں۔ جیسا کہ بیان کیا گیا ہے، اس فیلڈ میں ویبرز فی میٹر کی ایس آئی اکائیاں ہیں۔ برقی مقناطیسی میدان کا اظہار اس ممکنہ میدان کے لحاظ سے بھی کیا جا سکتا ہے، تاہم، یہ تعریف منفرد نہیں ہے۔ کسی بھی دوگنا تفریق اسکیلر فنکشن کے لیے، اس کے ذریعے دیا گیا پوٹینشل بھی اصل کے جیسا ہی دے گا، اس حقیقت کی وجہ سے کہ اس رجحان کو گیج فریڈم کہا جاتا ہے۔ کسی دیئے گئے مسئلے کو آسان بنانے کے لیے مناسب فنکشن کے انتخاب کے عمل کو گیج فکسنگ کہا جاتا ہے۔ تاہم، رشتہ دار برقی حرکیات میں، لورینز کی حالت اکثر عائد کی جاتی ہے، جہاں۔ صلاحیت کے لحاظ سے ایس ٹی اے میکسویل مساوات کو بہتر بنانے کے لیے، پہلے مندرجہ بالا تعریف کے ساتھ تبدیل کیا جاتا ہے۔ اس نتیجے کو تبدیل کرتے ہوئے، ایس ٹی اے میں برقی مقناطیسیت کی ممکنہ تشکیل پر پہنچا جاتا ہے: لگرینجین تشکیل ٹینسر کیلکولس فارملزم کے مطابق، ایس ٹی اے میں ممکنہ تشکیل قدرتی طور پر ایک مناسب لگرینجین کثافت کی طرف لے جاتی ہے۔ فیلڈ کے لیے ملٹی ویکٹر ویلیو والی یولر-لگرینج مساوات اخذ کی جا سکتی ہیں، اور جزوی مشتق کو کسی ایسی چیز کے حوالے سے لینے کی ریاضیاتی سختی کے ساتھ ڈھیلی ہونے کی وجہ سے جو اسکیلر نہیں ہے، متعلقہ مساوات بن جاتی ہیں۔ اس شکل سے پوٹینشل مساوات کو دوبارہ اخذ کرنا شروع کرنے کے لیے، لورینز گیج میں کام کرنا آسان ترین ہے، ترتیب یہ عمل منتخب گیج سے قطع نظر کیا جا سکتا ہے، لیکن اس سے نتیجہ خیز عمل کافی واضح ہو جاتا ہے۔ ہندسی پروڈکٹ کی ساخت کی وجہ سے، اس حالت کا استعمال کرنے سے نتیجہ نکلتا ہے۔ میں تبدیل کرنے کے بعد، ممکنہ میدان کے لیے حرکت کی وہی مساوات جو اوپر دی گئی ہے آسانی سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ پالی مساوات سپیس ٹائم الجبرا میٹرکس تھیوری کی جگہ ایک حقیقی نظریہ کے لحاظ سے پالی ذرہ کی وضاحت کی اجازت دیتا ہے۔ پالی ذرہ کی میٹرکس تھیوری کی تفصیل یہ ہے: جہاں ایک اسپنر ہے، وہ خیالی اکائی ہے جس کی کوئی ہندسی تشریح نہیں ہے، پالی میٹرکس ہیں ('ٹوپی' کے اشارے کے ساتھ جو کہ میٹرکس آپریٹر ہے اور ہندسی الجبرا میں عنصر نہیں ہے)، اور شروڈنگر ہیملٹنین ہے۔ خلائی الجبری میں پالی ذرہ کو حقیقی پالی-شروڈنگر مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے: جہاں اب اکائی سڈوسکلر ہے، اور جیومیٹرک الجبرا کے عناصر ہیں، ایک یکساں ملٹی ویکٹر کے ساتھ ؛ ایک بار پھر شروڈنگر ہیملٹنین ہے۔ ہیسٹینس اس کو حقیقی پالی-شروڈنگر تھیوری کے طور پر حوالہ دیتے ہیں تاکہ اس بات پر زور دیا جا سکے کہ اگر مقناطیسی میدان پر مشتمل اصطلاح کو چھوڑ دیا جائے تو یہ نظریہ شروڈنگر تھیوری تک کم ہو جاتا ہے۔ یہ مساوات فزیکل اسپیس کے الجبرا کے لیے زیادہ موزوں ہے، کیونکہ اس مساوات میں اسپیس ٹائم الجبرا کے لیے کچھ بھی ضروری نہیں ہے۔ ڈیراک مساوات سپیس ٹائم الجبرا میٹرکس تھیوری کی جگہ ایک حقیقی نظریہ کے لحاظ سے ڈیراک ذرہ کی وضاحت کو قابل بناتا ہے۔ ڈیراک ذرہ کی میٹرکس تھیوری کی تفصیل یہ ہے: ڈیراک میٹرکس کہاں ہیں۔ اسپیس ٹائم الجبرا میں، ہیسٹینس کے مشتق کے بعد، ڈیراک ذرہ کو مساوات کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے: یہاں، اسپنر فیلڈ ہے، اور ہندسی الجبرا کے عناصر ہیں، برقی مقناطیسی چار پوٹینشل ہے، اور اسپیس ٹائم ویکٹر مشتق ہے۔ یہ ایک ہی ریاضیاتی آپریٹر کو برقی مقناطیسیت اور کوانٹم میکانکس دونوں کے لیے حرکت کی مساوات کو بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے، جس سے دونوں کا اتحاد بہت آسان ہو جاتا ہے۔ ڈیراک اسپنرز رشتہ دار کوانٹم ویو فنکشن کو بعض اوقات اسپنر فیلڈ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، یعنی۔ جہاں ایک بائی ویکٹر ہے، اور جہاں، ڈیوڈ ہیسٹینس کی طرف سے اس کی مشتق کے مطابق، اسپیس ٹائم پر ایک یکساں ملٹی ویکٹر ویلیوڈ فنکشن ہے، ایک یونیموڈولر اسپنر (یا "روٹر") ہے، اور اسکیلر ویلیوڈ فنکشن ہیں۔ اس تعمیر میں، کے اجزاء کو براہ راست ڈیراک اسپنر کے اجزاء کے ساتھ مطابقت پذیر کیا جا سکتا ہے، جس کی آسانی سے اس حقیقت سے جانچ کی جا سکتی ہے کہ دونوں میں 8 اسکیلر ڈگری آف فریڈم ہیں۔ اس مساوات کی تشریح اس طرح کی جاتی ہے کہ یہ گھماؤ کو خیالی سڈوسکلر سے جوڑتا ہے۔ اسے لورینٹز گردش کے طور پر دیکھا جاتا ہے جو کہ آپریشن کے ذریعے ویکٹرز کے دوسرے فریم میں ویکٹرز کا ایک فریم ہوتا ہے، جہاں ٹلڈے کی علامت الٹ کی نشاندہی کرتی ہے (الٹ کو اکثر کھجلی کی علامت سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے، جیومیٹرک الجبرا میں گردش بھی دیکھیں)۔ اسے مقامی طور پر مختلف ویکٹر اور اسکیلر ویلیو والے مشاہدوں کے لیے ایک فریم ورک فراہم کرنے کے لیے بڑھایا گیا ہے اور اصل میں شروڈنگر کے ذریعہ تجویز کردہ کوانٹم میکانکس کی زیٹربیگنگ تشریح کے لیے مدد فراہم کی گئی ہے۔ ہیسٹینس نے اپنے اظہار کا موازنہ فین مین کے اظہار سے کیا ہے جو اس کے لیے پاتھ انٹیگرل فارمولیشن میں ہے: جہاں-پاتھ کے ساتھ کلاسیکی عمل ہے۔ فزیکل آبزرویبل فیلڈ سے کرنٹ ڈینسٹی کا اظہار U (1) گیج سمیٹری کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ ڈیراک مساوات کچھ مستقل فیز شفٹ کے ذریعے دی گئی کچھ گلوبل فیز شفٹ کے تحت سمیٹرک ہوتی ہے۔ تبدیلی انجام دیتے ہوئے، جہاں فیلڈ کا چارج ہے اور یونٹ سڈوسکلر ہے، جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے ڈیراک مساوات میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ تاہم، مساوات سے تمام فزیکل آبزرویبلز ایک مضبوط لوکلائزڈ فیز سمیٹری کے تحت غیر متغیر ہیں، جہاں فیز شفٹ جگہ کے لحاظ سے من مانی مقدار سے مختلف ہو سکتی ہے۔ لوکلائزڈ فیز شفٹ اسکیلر فنکشن کے ذریعہ دی جاتی ہے، اور تبدیلی اس کے ذریعہ دی جاتی ہے جہاں حقیقت یہ ہے کہ تبدیلی اس حقیقت سے آتی ہے جو اسکیلر اور سیوڈو اسکیلر حصے میں تحلیل ہو جاتی ہے، جو دونوں یکساں ذیلی الجبرا کے عناصر کے ساتھ منتقل ہوتے ہیں۔ تاہم، ڈیراک مساوات میں اس مضبوط ہم آہنگی کا استعمال کرتے وقت، اسپیس ٹائم مشتق پروڈکٹ رول اور چین رول کے استعمال میں تبدیل ہو جاتا ہے۔ چونکہ تبدیل شدہ مشتق کی اصل جیسی شکل نہیں ہوتی (یعنی۔ اس کی ایک اضافی اصطلاح ہے جو واضح طور پر مرحلے پر منحصر ہے)، مشتق مساوات کو مقامی طور پر مرحلے کے غیر متغیر ہونے سے روکتا ہے۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، کوئی بھی گیج فیلڈ متعارف کرا سکتا ہے، جس کی تعریف مساوات میں مقامی مرحلے کے انحصار کو دور کرنے کے لیے ایک طرح سے تبدیل کرنے کے لیے کی جائے گی۔ اگر کوئی گیج فیلڈ کو اسی صوابدیدی فیز شفٹ کے تحت تبدیل کرنے کے لیے بیان کرتا ہے، اور یہی وہ جگہ ہے جہاں سے تعامل کی اصطلاح آتی ہے۔ سب سے پہلے، یہ واضح نہیں ہو سکتا کہ یہ تجریدی گیج فیلڈ اصل میں کس چیز کی نمائندگی کرتا ہے، کیونکہ ایسا لگتا ہے کہ لہر فنکشن کے مرحلے کو تبدیل کرنے کے علاوہ اس کا کوئی قابل مشاہدہ اثر نہیں ہے۔ لیکن اس کے تعارف کے نتائج کا جائزہ لیتے وقت، یہ واضح ہو جاتا ہے کہ یہ محض برقی مقناطیسی چار پوٹینشل ہے، اور یہ کہ مستقل محض میدان میں دیئے گئے ذرہ کا چارج ہے۔ اس طرح، ڈیراک مساوات کو فیز غیر متغیر ہونے پر مجبور کرنا برقی مقناطیسی تعامل کو بونس کے طور پر بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ایس ٹی اے میں گیج کی تبدیلیوں کے لیے اسی طرح کے گیج فیلڈز موجود ہیں جو برقی کمزور تعامل کو کنٹرول کرتے ہیں، اور مضبوط تعامل، جس کی وجہ سے کچھ لوگ اس فریم ورک میں معیاری ماڈل کی اصلاح شروع کر چکے ہیں۔ عمومی اضافیت کیمبرج یونیورسٹی کے عمومی اضافیت کی ایک نئی تشکیل لیسنبی، ڈوران اور گل نے کشش ثقل کی ایک نئی تشکیل کی تجویز پیش کی ہے، جسے گیج تھیوری گریویٹی (جی ٹی جی) کہا جاتا ہے، جس میں اسپیس ٹائم الجبرا کا استعمال منکوسکی اسپیس پر منحنی پن کو متاثر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جبکہ "خلائی وقت پر واقعات کی من مانی ہموار ری میپنگ" (لیسنبی، وغیرہ) کے تحت گیج سمیٹری کو تسلیم کیا جاتا ہے۔ ) ؛ ایک غیر معمولی مشتق پھر جیوڈیسیک مساوات کی طرف جاتا ہے، اور کوویرینٹ مشتق جہاں کشش ثقل کی صلاحیت سے وابستہ تعلق ہے، اور یہ ایک بیرونی تعامل ہے جیسے برقی مقناطیسی میدان۔ یہ نظریہ بلیک ہولز کے علاج کے لیے کچھ وعدے ظاہر کرتا ہے، کیونکہ اس کی شوارزچلڈ حل کی شکل انفرادیت پر نہیں ٹوٹتی ہے۔ عمومی اضافیت کے زیادہ تر نتائج ریاضیاتی طور پر دوبارہ پیش کیے گئے ہیں، اور کلاسیکی برقی حرکیات کی رشتہ دار تشکیل کو کوانٹم میکانکس اور ڈیراک مساوات تک بڑھا دیا گیا ہے۔ جیومیٹرک الجبرا ڈیراک الجبرا میکسویل کی مساوات ڈیراک مساوات عمومی اضافیت حوالہ جات بیرونی روابط خیالی اعداد حقیقی نہیں ہیں-سپیس ٹائم کا جیومیٹرک الجبرا، جیومیٹرک الجبرا کے نظریات کا ایک سبق آموز تعارف، ایس گل، اے لیسنبی، سی ڈوران جیومیٹرک الجبرا کے فزیکل ایپلی کیشنز کورس نوٹ، خاص طور پر حصہ 2 دیکھیں۔ کیمبرج یونیورسٹی جیومیٹرک الجبرا گروپ جیومیٹرک کیلکیولس ریسرچ اینڈ ڈویلپمنٹ جیومیٹرک الجبرا کلفورڈ الجبرا منکووسکی اسپیس ٹائم ریاضیاتی طبیعیات