G-ring
تبادلہ الجبرہ میں، جی رنگ یا گروتھینڈیک رنگ ایک نویتھیرین رنگ ہے جس کی تکمیل تک اس کے کسی بھی مقامی رنگ کا نقشہ باقاعدہ ہوتا ہے (ذیل میں بیان کیا گیا ہے)۔ الجبرائی جیومیٹری یا نمبر تھیوری میں قدرتی طور پر پائے جانے والے تقریبا تمام نویتھیرین رنگ جی-رنگ ہیں، اور نویتھیرین رنگوں کی ایسی مثالیں بنانا کافی مشکل ہے جو جی-رنگ نہیں ہیں۔ اس تصور کا نام الیگزینڈر گروتھینڈیک کے نام پر رکھا گیا ہے۔ ایک انگوٹھی جو جی رنگ اور جے-2 رنگ دونوں ہوتی ہے اسے نیم بہترین انگوٹھی کہا جاتا ہے، اور اگر اس کے علاوہ یہ عالمگیر طور پر کیٹینری ہے تو اسے بہترین انگوٹھی کہا جاتا ہے۔ تعریفیں A (نویتھیرین) رنگ R جس میں فیلڈ k ہوتا ہے اسے جیومیٹریکل طور پر k پر ریگولر کہا جاتا ہے اگر k کی کسی محدود توسیع K کے لیے رنگ R k K ایک ریگولر رنگ ہے۔ R سے S تک کے رنگوں کی ہومومورفزم کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر یہ چپٹا ہو اور ہر p ω Spec (R) کے لیے فائبر S ωRk (p) p کے بقیہ فیلڈ k (p) پر ہندسی طور پر باقاعدہ ہو۔ (پوپیسکو کا نظریہ بھی دیکھیں۔) ایک رنگ کو مقامی جی رنگ کہا جاتا ہے اگر یہ ایک نویتھیرین مقامی رنگ ہے اور اس کی تکمیل کا نقشہ (اس کے زیادہ سے زیادہ آئیڈیل کے حوالے سے) باقاعدہ ہے۔ ایک انگوٹھی کو جی-رنگ کہا جاتا ہے اگر یہ نویتھیرین ہے اور پرائم آئیڈیلز پر اس کی تمام لوکلائزیشنز مقامی جی-رنگز ہیں۔ (یہ صرف زیادہ سے زیادہ آئیڈیلز کے لیے چیک کرنے کے لیے کافی ہے، لہذا خاص طور پر مقامی جی-رنگز جی-رنگز ہیں۔) مثال ہر فیلڈ ایک جی-رنگ ہے ہر مکمل نویتھیرین مقامی رنگ ایک جی-رنگ ہے۔ R یا C پر متغیرات کی ایک محدود تعداد میں متغیر پاور سیریز کی ہر رنگ ایک جی-رنگ ہے۔ خصوصیت 0 میں ہر ڈیڈیکائنڈ ڈومین، اور خاص طور پر انٹیجرز کی رنگ، ایک جی-رنگ ہے، لیکن مثبت خصوصیت میں ڈیڈیکائنڈ ڈومینز (اور یہاں تک کہ مجرد ویلیوایشن رنگز) ہیں جو جی-رنگز نہیں ہیں۔ جی-رنگ کی ہر لوکلائزیشن ایک جی-رنگ ہے۔ جی-رنگ پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ الجبرا ایک جی-رنگ ہے۔ یہ گروتھینڈیک کی وجہ سے ایک نظریہ ہے۔ یہاں ایک مجرد ویلیوایشن رنگ اے کی ایک مثال ہے جس کی خصوصیت پی> 0 ہے جو جی رنگ نہیں ہے۔ اگر k خصوصیت p کا کوئی فیلڈ ہے جس میں [k: kp] = ini اور R = k [[[x]] ہے اور A پاور سیریز کا ذیلی رنگ ہے جس میں [kp (a0, a1,.): kp] محدود ہے تو عام نقطہ پر A کا رسمی فائبر ہندسی طور پر باقاعدہ نہیں ہے لہذا A G-رنگ نہیں ہے۔ یہاں kp فروبینیوس مورفزم a → ap کے تحت k کی شبیہہ کی نشاندہی کرتا ہے۔ حوالہ جات A. Grothendieck, J. Dieudonne, Elémentes de géométrie algébrique IV اشاعت. ریاضی۔ آئی ایچ ای ایس 24 (1965)، سیکشن 7 ایچ۔ متسمورا، مواصلاتی الجبرا، باب 13۔ تبادلہ الجبرہ