Topological modular forms
ریاضی میں، ٹپوولوجیکل ماڈیولر فارمز (ٹی ایم ایف) ایک سپیکٹرم کا نام ہے جو عمومی کوہمولوجی تھیوری کو بیان کرتا ہے۔ ٹھوس اصطلاحات میں، کسی بھی عدد n کے لیے ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہوتی ہے، اور یہ خالی جگہیں ان کے درمیان کچھ نقشوں سے لیس ہوتی ہیں، تاکہ کسی بھی ٹپوولوجیکل اسپیس X کے لیے، کوئی بھی مسلسل نقشوں کی ہوموٹوپی کلاسوں کے سیٹ پر ایک ابیلین گروپ ڈھانچہ حاصل کرے۔ ایک خصوصیت جو ٹی ایم ایف کو ممتاز کرتی ہے وہ یہ حقیقت ہے کہ اس کی گتانک انگوٹی، (نقطہ)، تقریبا مربوط کاسپ توسیع کے ساتھ ہولومورفک ماڈیولر شکلوں کی درجہ بند انگوٹی کے برابر ہے۔ درحقیقت، یہ دونوں حلقے پرائمز 2 اور 3 کو الٹنے کے بعد آئسومورفک ہو جاتے ہیں، لیکن یہ الٹ کوفشنٹ رنگ میں بہت زیادہ ٹورسن کی معلومات کو مٹا دیتا ہے۔ ٹپوولوجیکل ماڈیولر شکلوں کا سپیکٹرم (عمومی) ایلیپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر ای-انفینٹی رنگ سپیکٹر کے ایک شیف کے عالمی حصوں کے طور پر بنایا گیا ہے۔ اس نظریہ کا تعلق نمبر تھیوری میں ماڈیولر شکلوں کے نظریہ، شعبوں کے ہوموٹوپی گروپوں، اور کئی گنا کے لوپ خالی جگہوں پر قیاس آرائی کے اشاریہ کے نظریات سے ہے۔ ٹی ایم ایف سب سے پہلے مائیکل ہاپکنز اور ہینس ملر نے بنایا تھا۔ بہت سے حسابات پال گورز، ہاپکنز، مارک مہوالڈ، ملر، چارلس ریزک، اور تلمین باؤر کے پری پرنٹس اور مضامین میں مل سکتے ہیں۔ تعمیر ٹی ایم ایف کی اصل تعمیر ہاپکنز، ملر اور پال گورز کے رکاوٹ نظریہ کا استعمال کرتی ہے، اور یہ ڈوائر، کان اور اسٹور کے خیالات پر مبنی ہے۔ اس نقطہ نظر میں، ایلیپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک کی ایٹیل سائٹ پر ملٹی پلیکیٹو کوہومولوجی تھیوریز کے ایک پری شیف اوٹوپ ("ٹاپ" کا مطلب ٹوپولوجیکل ہے) کی وضاحت کی جاتی ہے اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ اسے بنیادی طور پر منفرد انداز میں ای-انفینیٹی رنگ سپیکٹر کے ڈھیر تک اٹھایا جا سکتا ہے۔ اس شیف میں درج ذیل خاصیت ہوتی ہے: رنگ R پر کسی بھی ایٹیل ایلیپٹک وکر کے لیے، یہ ایک E-انفینیٹی رنگ سپیکٹرم (ایک کلاسیکی ایلیپٹک کوہمولوجی تھیوری) تفویض کرتا ہے جس کا وابستہ رسمی گروپ اس ایلیپٹک وکر کا رسمی گروپ ہے۔ ایک دوسری تعمیر، جیکب لوری کی وجہ سے، اس ماڈیولی مسئلے کو بیان کرنے کے بجائے ٹی ایم ایف کی تعمیر کرتی ہے جو اس کی نمائندگی کرتا ہے اور اس کے بعد وجود کو ظاہر کرنے کے لیے عمومی نمائندگی کے نظریہ کو لاگو کرتا ہے: جس طرح الپٹک منحنی خطوط کا ماڈیولی اسٹیک فنکٹر کی نمائندگی کرتا ہے جو کسی رنگ کو اس پر الپٹک منحنی خطوط کے زمرے کو تفویض کرتا ہے، اسی طرح اسٹیک ای-انفینیٹی رنگ سپیکٹر کے شیف کے ساتھ مل کر فنکٹر کی نمائندگی کرتا ہے جو ای-انفینیٹی رنگ کو اس کے زمرے سے ماخوذ الپٹک منحنی خطوط کو تفویض کرتا ہے، جس کی مناسب تشریح کی جاتی ہے۔ یہ تعمیرات ہموار ایلیپٹک منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر کام کرتی ہیں، اور وہ اس ماڈیولی اسٹیک کی ڈیلیگن-ممفورڈ کمپیکٹفیکیشن کے لیے بھی کام کرتی ہیں، جس میں نوڈل سنگلٹیز کے ساتھ ایلیپٹک منحنی خطوط شامل ہیں۔ ٹی ایم ایف وہ سپیکٹرم ہے جو ہموار منحنی خطوط کے ماڈیولی اسٹیک پر عالمی حصوں کا نتیجہ ہے، اور ٹی ایم ایف ڈیلیگن-ممفورڈ کمپیکٹفیکیشن کے عالمی حصوں کے طور پر پیدا ہونے والا سپیکٹرم ہے۔ ٹی ایم ایف کنیکٹو ٹی ایم ایف کا ایک وقتا فوقتا ورژن ہے۔ جبکہ ٹی ایم ایف کی تعمیر کے لیے استعمال ہونے والا رنگ سپیکٹرا پیریڈ 2 کے ساتھ پیریڈک ہوتا ہے، ٹی ایم ایف میں خود پیریڈ 576 ہوتا ہے۔ وقتا فوقتا ماڈیولر ڈسکریمیننٹ سے متعلق ہے۔ ریاضی کے دیگر حصوں سے تعلقات ٹی ایم ایف میں کچھ دلچسپی سٹرنگ تھیوری اور کنفارمل فیلڈ تھیوری سے آتی ہے۔ گریم سیگل نے پہلی بار 1980 کی دہائی میں کنفارمل فیلڈ تھیوریز کے کسی قسم کے ماڈیولی اسپیس کے طور پر ایلیپٹک کوہمولوجی (ٹی ایم ایف کا پیش خیمہ) کی ہندسی تعمیر فراہم کرنے کی تجویز پیش کی، اور ان خیالات کو اسٹیفن اسٹولز اور پیٹر ٹیچنر نے جاری رکھا اور وسعت دی۔ ان کا پروگرام ٹی ایم ایف کو سپرسیمیٹرک یوکلڈین فیلڈ تھیوریز کے ماڈیولی اسپیس کے طور پر بنانے کی کوشش کرنا ہے۔ سٹرنگ تھیوری سے زیادہ براہ راست متاثر کام میں، ایڈورڈ وٹن نے وٹن جینس کو متعارف کرایا، جو سٹرنگ بورڈیزم رنگ سے ماڈیولر شکلوں کی رنگ تک ایک ہومومورفزم ہے، جس میں کئی گنا کے لوپ اسپیس میں ٹریوئل لوکس کے رسمی پڑوس پر مساوی انڈیکس تھیوری کا استعمال کیا گیا ہے۔ یہ کسی بھی گھماؤ کئی گنا سے وابستہ ہوتا ہے اور آدھا پہلا پونٹریگین کلاس ایک ماڈیولر شکل میں غائب ہو جاتا ہے۔ ہاپکنز، میتھیو اینڈو، چارلس ریزک اور نیل اسٹرک لینڈ کے کام سے، وٹن جینس کو ٹوپولوجی میں اٹھایا جا سکتا ہے۔ یعنی، سٹرنگ بورڈیزم سپیکٹرم سے ٹی ایم ایف (ایک نام نہاد واقفیت) تک ایک نقشہ ہے جس میں وٹن جینس کو ان سپیکٹرم کے ہوموٹوپی گروپوں پر محرک نقشے کی ساخت کے طور پر اور ٹی ایم ایف کے ہوموٹوپی گروپوں کے نقشے کو ماڈیولر شکلوں میں بازیافت کیا جاتا ہے۔ اس نے وٹن جینس کے بارے میں کچھ تقسیم کے بیانات کو ثابت کرنے کی اجازت دی۔ ٹی ایم ایف کی واقفیت سپن بورڈزم سپیکٹرم سے کلاسیکی کے تھیوری تک عطیہ-بوٹ-شاپیرو نقشے کے ساتھ مشابہت میں ہے، جو ڈیراک مساوات کو ٹوپولوجی کی طرف لے جاتا ہے۔ حوالہ جات بہرنز، ایم۔، نوٹس آن دی کنسٹرکشن آف ٹی ایم ایف (2007)، http://www-math.mit.edu ~ ایم بیہرنس/پیپرز/بلڈ ٹی ایم ایف۔ پی ڈی ایف گورز، پی۔ اور ہاپکنز، ایم۔، ماڈیولی اسپیس آف کمیونیٹیٹو رنگ سپیکٹرا، http://www.math.northwestern.edu ~ پیگرس/پیپرز/سم۔ پی ڈی ایف ہاپکنز، ایم اور مہوالڈ، ایم۔، ایلیپٹک منحنی خطوط سے ہوموٹوپی تھیوری (1998)، http://www.math.purdue.edu/research/atopology/Hopkins-Mahowald/eo2homotopy.pdf لوری، جے، ایلیپٹک کوہمولوجی کا ایک سروے (2007)، http://www.math.harvard.edu-لوری/پیپرز/سروے۔ پی ڈی ایف ریزک، سی۔، http://www.math.uiuc.edu