Free lattice
ریاضی میں، آرڈر تھیوری کے شعبے میں، فری لیٹس وہ فری آبجیکٹ ہے جو لیٹس سے مطابقت رکھتا ہے۔ آزاد اشیاء کے طور پر، ان کے پاس عالمگیر ملکیت ہوتی ہے۔ رسمی تعریف چونکہ جالی کے تصور کو دو کارروائیوں کے لحاظ سے محوری شکل دی جا سکتی ہے اور بعض شناختوں کو مطمئن کیا جا سکتا ہے، اس لیے تمام جالی کا زمرہ ایک قسم (عالمگیر الجبرا) تشکیل دیتا ہے، اور اس طرح اس زمرے کے اندر (عالمگیر الجبرا کے عمومی اصولوں کے مطابق) آزاد اشیاء موجود ہیں: جالی جہاں صرف وہ تعلقات ہوتے ہیں جو عمومی محوریات کی پیروی کرتے ہیں۔ ان آزاد جالی کو متعلقہ عالمگیر خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، فری لیٹس سیٹ سے لے کر لیٹس تک ایک فنکٹر ہے، جو ہر سیٹ کو ایک سیٹ میپ سے لیس فری لیٹس تفویض کرتا ہے جو ہر ایک متعلقہ عنصر کو تفویض کرتا ہے۔ ان کی عالمگیر خاصیت یہ ہے کہ کسی بھی نقشے کے لیے کسی صوابدیدی جالی سے ایک منفرد جالی ہومومورفزم موجود ہے جو اطمینان بخش ہے، یا ایک مواصلاتی خاکہ کے طور پر: فنکٹر کو جالی سے لے کر ان کے بنیادی سیٹوں تک بھولنے والے فنکٹر سے متصل چھوڑ دیا جاتا ہے۔ آزاد جالی کے بارے میں چیزوں کو براہ راست عالمگیر خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کرنا اکثر ممکن ہے، لیکن اس طرح کے دلائل کافی تجریدی ہوتے ہیں، لہذا ایک ٹھوس تعمیر ایک قیمتی متبادل پیشکش فراہم کرتی ہے۔ سیمی لیٹس سیمی لیٹس کے معاملے میں، فری سیمی لیٹس کی ایک واضح تعمیر دینا سیدھا ہے ؛ اس سے یونیورسل پراپرٹی کے ذریعے تعریف کی کئی خصوصیات کو واضح کرنے میں مدد ملتی ہے۔ خاص طور پر، فری سیمی لیٹس کو تمام محدود غیر خالی ذیلی سیٹوں کے سیٹ کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے، جس میں عام سیٹ یونین جوائن آپریشن کے طور پر ہوتا ہے۔ نقشہ سنگلٹن سیٹوں کے عناصر کا نقشہ بناتا ہے، یعنی سب کے لیے۔ کسی بھی سیمی لیٹس اور کسی بھی سیٹ نقشے کے لیے، متعلقہ عالمگیر مورفزم اس طرح دیا جاتا ہے جہاں سیمی لیٹس آپریشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ کی یہ شکل عالمگیر پراپرٹی کے ذریعہ مجبور ہے: کسی کو بھی کچھ کے لیے شکل پر عناصر کے محدود اتحاد کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، عالمگیر پراپرٹی میں مساوات کہتی ہے، اور آخر میں ہومومورفزم کی حیثیت سب کے لیے مضمر ہے۔ (اگر ایک بھی ہے) کے لامحدود ذیلی مجموعوں کی کسی بھی توسیع کا تعین ان شرائط سے منفرد طور پر کرنے کی ضرورت نہیں ہے، لہذا ان کے لامحدود ذیلی مجموعوں سے مطابقت رکھنے والے عناصر نہیں ہو سکتے۔ نچلے سیمی لیٹس کے لیے فری فنکٹر کی وضاحت کرنا بھی اسی طرح ممکن ہے، لیکن یہ امتزاج کئی طریقوں سے فری لیٹس تیار کرنے میں ناکام رہتا ہے، کیونکہ یہ صرف ایک سیٹ کے طور پر سمجھا جاتا ہے: جوائن آپریشن کو نئے عناصر تک نہیں بڑھایا جاتا ہے، موجودہ جزوی آرڈر کا احترام نہیں کیا جاتا ہے۔ خیالات اور غیر متعلقہ ہونے کی وجہ سے، اسے نہ سمجھنا چاہیے۔ آزاد جالی کی اصل ساخت آزاد نیم جالی کے مقابلے میں کافی زیادہ پیچیدہ ہے۔ لفظ کا مسئلہ مفت جالی کے لیے لفظ کا مسئلہ کچھ دلچسپ پہلوؤں پر مشتمل ہے۔ باؤنڈڈ لیٹس کے معاملے پر غور کریں، یعنی۔ دو بائنری کارروائیوں کے ساتھ الجبرائی ڈھانچے اور دو مستقلات (صفر کارروائیاں) 0 اور 1۔ تمام اچھی طرح سے تشکیل شدہ تاثرات کا مجموعہ جو جنریٹرز X کے دیئے گئے سیٹ کے عناصر پر ان کارروائیوں کا استعمال کرتے ہوئے وضع کیا جا سکتا ہے اسے W (X) کہا جائے گا۔ الفاظ کے اس سیٹ میں بہت سے تاثرات ہوتے ہیں جو ہر جالی میں مساوی اقدار کی نشاندہی کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر a، X کا کوئی عنصر ہے، تو a. 1 = 1 اور a. 1 = a۔ فری باؤنڈڈ لیٹس کے لیے لفظ مسئلہ اس بات کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے کہ W (X) کے ان عناصر میں سے کون سا فری باؤنڈڈ لیٹس FX میں ایک ہی عنصر کی نشاندہی کرتا ہے، اور اس لیے ہر باؤنڈڈ لیٹس میں۔ لفظ کا مسئلہ مندرجہ ذیل طریقے سے حل کیا جا سکتا ہے۔ W (X) پر ایک رشتہ ≤ ~ کی تعیین تعیلاتی طور پر اس صورت میں کی جا سکتی ہے جب مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک W ≤ ~ v ترتیب دے: W = v (یہ اس صورت تک محدود ہو سکتا ہے جہاں W اور V X کے عناصر ہیں)، W = 0، v = 1، W = W1 ≤ W2 اور دونوں W1 ≤ v ہولڈ، W = W1 ≤ W2 اور یا تو W1 ≤ v یا W2 ≤ v ہولڈز، v = v1 ≤ v2 اور یا تو W ≤ v1 یا W ≤ v2 ہولڈز، v = v1 ≤ v2 اور دونوں W ≤ v1 اور W ≤ v یہ W (X) پر ایک پری آرڈر ≤ ~ کی وضاحت کرتا ہے، لہذا مساوات کے تعلق کی وضاحت w ~ v سے کی جا سکتی ہے جب w ≤ ~ v اور v ≤ ~ w۔ اس کے بعد کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ جزوی طور پر ترتیب شدہ حصص کی جگہ W (X)/~ فری باؤنڈڈ لیٹس FX ہے۔ ڈبلیو (ایکس)/~ کی مساوات کی کلاسیں تمام الفاظ ڈبلیو اور وی کے سیٹ ہیں جن میں ڈبلیو ≤ وی اور وی ≤ ڈبلیو ہیں۔ ڈبلیو (ایکس) میں دو اچھی طرح سے تشکیل شدہ الفاظ وی اور ڈبلیو ہر باؤنڈڈ لیٹس میں ایک ہی قدر کی نشاندہی کرتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ڈبلیو ≤ وی اور وی ≤ ڈبلیو ؛ مؤخر الذکر شرائط کو مؤثر طریقے سے اوپر کی تعمیری تعریف کا استعمال کرتے ہوئے طے کیا جا سکتا ہے۔ جدول میں حساب کی ایک مثال دکھائی گئی ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ الفاظ xwz اور xwzw (xwy) ہر باؤنڈڈ لیٹس میں ایک ہی قدر کی نشاندہی کرتے ہیں۔ جالی کے معاملے میں جو پابند نہیں ہیں اسی طرح سلوک کیا جاتا ہے، مندرجہ بالا تعمیر میں قواعد 2 اور 3 کو چھوڑ کر۔ آزاد جالی پر لفظ مسئلہ کے حل میں کئی دلچسپ تعریفیں ہیں۔ ایک یہ ہے کہ جنریٹرز کے تین عناصر والے سیٹ کی آزاد جالی لامحدود ہے۔ درحقیقت، کوئی یہ بھی دکھا سکتا ہے کہ تین جنریٹرز پر ہر مفت جالی میں ایک ذیلی جالی ہوتی ہے جو چار جنریٹرز کے سیٹ کے لیے مفت ہوتی ہے۔ انڈکشن کے ذریعے، یہ بالآخر بہت سے جنریٹرز پر ایک ذیلی جالی مفت پیدا کرتا ہے۔ یہ خاصیت گروپوں میں ایس کیو یونیورسلٹی کی یاد دلاتی ہے۔ اس بات کا ثبوت کہ تین جنریٹرز میں آزاد جالی لامحدود آمدنی ہے، تعیلاتی طور پر pn + 1 = xw (yw (xw (xw (yw (zw)))) کی وضاحت کرتے ہوئے جہاں x، y، اور z تین جنریٹر ہیں، اور p0 = x۔ اس کے بعد لفظ مسئلہ کے تعمیلی تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ pn + 1 سختی سے pn سے بڑا ہے، اور اس وجہ سے تمام لامحدود الفاظ pn آزاد جالی FX میں مختلف اقدار کا اندازہ کرتے ہیں۔ مکمل آزاد جالی ایک اور نتیجہ یہ ہے کہ مکمل آزاد جالی (تین یا زیادہ جنریٹرز پر) "موجود نہیں ہے"، اس معنی میں کہ یہ ایک مناسب کلاس ہے۔ اس کا ثبوت لفظ مسئلہ سے بھی ملتا ہے۔ تعلقات کے لحاظ سے ایک مکمل جالی کی وضاحت کرنے کے لیے، ملنے اور شامل ہونے کے حتمی تعلقات کو استعمال کرنا کافی نہیں ہے۔ کسی کے پاس لامحدود ذیلی سیٹوں کے ملنے اور جوڑ کی وضاحت کرنے والے لامحدود تعلقات بھی ہونے چاہئیں۔ مثال کے طور پر، "جوائن" سے متعلق لامحدود تعلق کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ یہاں، f ایک کارڈینل N کے عناصر سے لے کر FX تک کا نقشہ ہے ؛ آپریٹر سپریمم کی نشاندہی کرتا ہے، اس میں وہ f کی تصویر کو اپنے جوائن پر لے جاتا ہے۔ یہ، یقینا، "جوائن" سے ملتا جلتا ہے جب N ایک محدود نمبر ہے ؛ اس تعریف کا نقطہ جوائن کو ایک رشتہ کے طور پر بیان کرنا ہے، یہاں تک کہ جب N ایک لامحدود کارڈینل ہو۔ لفظ مسئلہ کے پہلے سے آرڈر کرنے کے محرکات دو لامحدود آپریٹرز کے ساتھ مل سکتے ہیں جو ملنے اور شامل ہونے سے متعلق ہیں۔ ایسا کرنے کے بعد، اس کے بعد اس کی تعریف کو عام طور پر انڈیکس شدہ تک بڑھایا جاتا ہے جس کے ذریعہ دیا جاتا ہے کہ لمٹ آرڈینل کب ہے۔ پھر، پہلے کی طرح، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ سختی سے اس سے بڑا ہے۔ اس طرح، مکمل فری لیٹس میں کم از کم اتنے ہی عناصر ہوتے ہیں جتنے کہ آرڈینلز ہوتے ہیں، اور اس طرح، مکمل فری لیٹس ایک سیٹ کے طور پر موجود نہیں ہو سکتا، اور اس لیے اسے ایک مناسب کلاس ہونا چاہیے۔ حوالہ جات پیٹر ٹی جانسٹون، اسٹون سپیسز، کیمبرج اسٹڈیز ان ایڈوانسڈ میتھمیٹکس 3، کیمبرج یونیورسٹی پریس، کیمبرج، 1982۔ () (باب 1 دیکھیں) لیٹیس تھیوری آزاد الجبرائی ڈھانچے الفاظ پر امتزاج