Orr–Sommerfeld equation
اوڑ-سمرفیلڈ مساوات، سیال حرکیات میں، ایک آئجین ویلیو مساوات ہے جو چپچپا متوازی بہاؤ میں خلل کے لکیری دو جہتی طریقوں کو بیان کرتی ہے۔ متوازی، لیمینار بہاؤ کے لیے نیویئر-اسٹاک مساوات کا حل غیر مستحکم ہو سکتا ہے اگر بہاؤ پر کچھ شرائط مطمئن ہوں، اور اور-سمر فیلڈ مساوات واضح طور پر اس بات کا تعین کرتی ہے کہ ہائیڈروڈائنامک استحکام کے لیے کیا شرائط ہیں۔ اس مساوات کا نام ولیم میک فیڈن اور اور آرنلڈ سومر فیلڈ کے نام پر رکھا گیا ہے، جنہوں نے اسے 20 ویں صدی کے آغاز میں اخذ کیا تھا۔ تشکیل مساوات پرٹربیشن ویلیوٹی فیلڈ کے لیے نیویئر-اسٹاکز مساوات کے لکیری ورژن کو حل کرکے اخذ کی گئی ہے، جہاں غیر متزلزل یا بنیادی بہاؤ ہے۔ خلل کی رفتار میں لہر جیسا حل ہوتا ہے (حقیقی حصہ سمجھا جاتا ہے)۔ اس علم اور بہاؤ کے لیے اسٹریم فنکشن کی نمائندگی کا استعمال کرتے ہوئے، اور-سمرفیلڈ مساوات کی درج ذیل جہتی شکل حاصل کی جاتی ہے:، جہاں سیال کی متحرک چپچپا ہے، اس کی کثافت ہے، اور ممکنہ یا ندی کی تقریب ہے۔ صفر وسکوسیٹی () کی صورت میں، مساوات کم ہو کر ریلیگ کی مساوات تک پہنچ جاتی ہے۔ مساوات کو غیر جہتی شکل میں کسی خاص رفتار کے ذریعہ مقرر کردہ پیمانے کے مطابق رفتار کی پیمائش کرکے اور چینل کی گہرائی کے مطابق لمبائی کی پیمائش کرکے لکھا جا سکتا ہے۔ پھر مساوات شکل اختیار کرتی ہے، جہاں بیس فلو کا رینالڈز نمبر ہے۔ متعلقہ باؤنڈری کنڈیشنز چینل کے اوپر اور نیچے نو سلپ باؤنڈری کنڈیشنز ہیں اور اس صورت میں جہاں پوٹینشل فنکشن ہے۔ یا: اس صورت میں جہاں اسٹریم فنکشن ہے۔ مسئلہ کا آئجین ویلیو پیرامیٹر ہے اور آئجین ویکٹر ہے۔ اگر لہر کی رفتار کا خیالی حصہ مثبت ہے، تو بیس فلو غیر مستحکم ہے، اور نظام میں متعارف کرائی گئی چھوٹی سی رکاوٹ وقت کے ساتھ بڑھ جاتی ہے۔ حل سب کے لیے لیکن رفتار کے پروفائلز میں سب سے آسان، حل کا حساب لگانے کے لیے عددی یا غیر علامتی طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ کچھ عام بہاؤ پروفائلز ذیل میں زیر بحث ہیں۔ عام طور پر، مساوات کا سپیکٹرم ایک باؤنڈڈ فلو کے لیے مجرد اور لامحدود ہوتا ہے، جبکہ غیر باؤنڈڈ فلوز (جیسے باؤنڈری لیئر فلو) کے لیے سپیکٹرم مسلسل اور مجرد دونوں حصوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ طیارہ پوئیسوئل کے بہاؤ کے لیے، یہ دکھایا گیا ہے کہ بہاؤ غیر مستحکم ہے (یعنی۔ ایک یا زیادہ آئجین ویلیوز کا مثبت خیالی حصہ ہوتا ہے) کچھ کے لیے کب اور غیر جانبدار طور پر مستحکم موڈ ہونے پر،۔ نظام کی استحکام کی خصوصیات کو دیکھنے کے لیے، یہ رواج ہے کہ ایک منتشر منحنی خطوط، یعنی ویوین نمبر کے فنکشن کے طور پر شرح نمو کا ایک پلاٹ تیار کیا جائے۔ پہلا اعداد و شمار اوپر درج اہم اقدار پر اور-سمر فیلڈ مساوات کے سپیکٹرم کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ پیچیدہ سطح میں آئجین ویلیوز (شکل میں) کا ایک پلاٹ ہے۔ سب سے دائیں آئجن ویلیو سب سے زیادہ غیر مستحکم ہے۔ رینالڈز نمبر اور ویوین نمبر کی اہم اقدار پر، سب سے دائیں آئجن ویلیو بالکل صفر ہے۔ رینالڈز نمبر کی اعلی (نچلی) اقدار کے لیے، سب سے دائیں آئجن ویلیو پیچیدہ سطح کے مثبت (منفی) نصف میں منتقل ہو جاتی ہے۔ پھر، استحکام کی خصوصیات کی ایک مکمل تصویر ایک پلاٹ کے ذریعے دی جاتی ہے جو اس آئجن ویلیو کے فعال انحصار کو ظاہر کرتی ہے ؛ یہ دوسری شکل میں دکھایا گیا ہے۔ دوسری طرف، کویٹ کے بہاؤ کے لیے آئجین ویلیوز کا سپیکٹرم تمام رینالڈز نمبروں پر استحکام کی نشاندہی کرتا ہے۔ تاہم، تجربات میں، کویٹ کا بہاؤ غیر مستحکم سے لے کر چھوٹے، لیکن محدود، خلل پایا جاتا ہے جس کے لیے لکیری تھیوری، اور اور-سمر فیلڈ مساوات لاگو نہیں ہوتی ہیں۔ یہ استدلال کیا گیا ہے کہ کویٹ (اور درحقیقت، پوئیسوئل) کے بہاؤ سے وابستہ آئجین ویلیو کے مسئلے کی غیر معمول اس مشاہدہ شدہ عدم استحکام کی وضاحت کر سکتی ہے۔ یعنی، اور-سمرفیلڈ آپریٹر کے آئجن فنکشن مکمل لیکن غیر آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ پھر، خلل کی توانایٔی میں اور-سمرفیلڈ مساوات کے تمام آئجن فنکشنز کی شراکت شامل ہوتی ہے۔ یہاں تک کہ اگر علیحدہ طور پر سمجھی جانے والی ہر آئجن ویلیو سے وابستہ توانائی وقت کے ساتھ تیزی سے ختم ہو رہی ہے (جیسا کہ کویٹ کے بہاؤ کے لیے اور-سمر فیلڈ تجزیہ کی پیش گوئی کی گئی ہے)، آئجن ویلیوز کی غیر آرتھوگونالیٹی سے پیدا ہونے والی کراس اصطلاحات عارضی طور پر بڑھ سکتی ہیں۔ اس طرح، کل توانائی عارضی طور پر بڑھ جاتی ہے (غیر علامتی طور پر صفر کی طرف جھکاؤ سے پہلے)۔ دلیل یہ ہے کہ اگر اس عارضی نمو کی شدت کافی زیادہ ہے، تو یہ لیمینار کے بہاؤ کو غیر مستحکم کرتی ہے، تاہم اس دلیل کو عالمی سطح پر قبول نہیں کیا گیا ہے۔ منتقلی کی وضاحت کرنے والا ایک غیر لکیری نظریہ بھی تجویز کیا گیا ہے۔ اگرچہ اس نظریہ میں لکیری عارضی نمو شامل ہے، لیکن توجہ 3D غیر لکیری عمل پر مرکوز ہے جن کے بارے میں سختی سے شبہ ہے کہ وہ شیر کے بہاؤ میں ہنگامہ آرائی کی طرف منتقل ہوتے ہیں۔ اس نظریہ نے نام نہاد مکمل 3D مستحکم حالتوں، سفری لہروں اور نیویئر-اسٹاک مساوات کے وقتا فوقتا حل کی تعمیر کا باعث بنا ہے جو ہنگامہ خیز شیر بہاؤ کے قریب دیوار کے علاقے میں مشاہدہ کردہ منتقلی اور مربوط ڈھانچوں کی بہت سی اہم خصوصیات پر قبضہ کرتے ہیں۔ اگرچہ "حل" عام طور پر ایک تجزیاتی نتیجہ کے وجود کا اشارہ کرتا ہے، لیکن سیال میکانکس میں عددی نتائج کو "حل" کے طور پر حوالہ دینا عام عمل ہے-اس بات سے قطع نظر کہ تخمینہ شدہ حل ریاضیاتی طور پر تسلی بخش طریقے سے نیویئر-اسٹوکس مساوات کو مطمئن کرتے ہیں یا نہیں۔ یہ مانا جاتا ہے کہ ہنگامہ آرائی کی طرف منتقلی میں سیال کی متحرک حالت شامل ہوتی ہے جو ایک حل سے دوسرے حل میں منتقل ہوتی ہے۔ اس طرح نظریہ اس طرح کے حلوں کے حقیقی وجود پر مبنی ہے (جن میں سے بہت سے ابھی تک جسمانی تجرباتی سیٹ اپ میں مشاہدہ نہیں کیے گئے ہیں)۔ درست حل کی ضرورت پر یہ نرمی بہت زیادہ لچک کی اجازت دیتی ہے، کیونکہ سختی اور (ممکنہ طور پر) درستگی کی قیمت پر درست حل حاصل کرنا (عددی حل کے برعکس) انتہائی مشکل ہے۔ اس طرح، اگرچہ منتقلی کے پچھلے طریقوں کی طرح سخت نہیں ہے، اس نے بے پناہ مقبولیت حاصل کی ہے۔ سوراخ دار میڈیا میں بہاؤ کے لیے اور-سمر فیلڈ مساوات کی توسیع حال ہی میں تجویز کی گئی ہے۔ آزاد سطح کے بہاؤ کے لیے ریاضیاتی طریقے کویٹ کے بہاؤ کے لیے، اور-سمرفیلڈ مساوات کے حل میں ریاضیاتی ترقی کرنا ممکن ہے۔ اس حصے میں، اس طریقہ کار کا ایک مظاہرہ آزاد سطح کے بہاؤ کے معاملے کے لیے دیا گیا ہے، یعنی جب چینل کے اوپری ڈھکن کو آزاد سطح سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ سب سے پہلے نوٹ کریں کہ آزاد سطح کو مدنظر رکھنے کے لیے اوپری حد کے حالات میں ترمیم کرنا ضروری ہے۔ غیر جہتی شکل میں، یہ حالات اب،، پر پڑھے جاتے ہیں۔ پہلی آزاد سطح کی حالت ٹینجینشیل تناؤ کے تسلسل کا بیان ہے، جبکہ دوسری حالت عام تناؤ کو سطح کے تناؤ سے متعلق ہے۔ یہاں بالترتیب فروڈ اور ویبر نمبر ہیں۔ کویٹ کے بہاؤ کے لیے، غیر جہتی اورر-سمرفیلڈ مساوات کے چار لکیری طور پر آزاد حل ہیں، جہاں پہلی قسم کا ایئر فنکشن ہے۔ سپرپوزیشن حل کو چار باؤنڈری کنڈیشنز میں تبدیل کرنے سے چار نامعلوم مستقلات میں چار مساوات ملتی ہیں۔ مساوات کے غیر معمولی حل کے لیے، فیصلہ کن شرط کو پورا کرنا ضروری ہے۔ یہ نامعلوم c میں ایک واحد مساوات ہے، جسے عددی طور پر یا غیر علامتی طریقوں سے حل کیا جا سکتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ لہروں کی تعداد کی ایک رینج کے لیے اور کافی بڑی رینالڈز تعداد کے لیے، ترقی کی شرح مثبت ہے۔ کشش ثقل دمدار ستارے-ایسٹرائڈ کو مجبور کرنے والے واقعات بھی دیکھیں کشش ثقل کی لہر لی لہریں روگ لہر حوالہ جات مزید پڑھنا سیال حرکیات سیال حرکیات کی مساوات سیال متحرک عدم استحکام ڈی: لائنیر اسٹیبلیٹا tstheorie#Orr-سمرفیلڈ-گلیچنگ