Octonion algebra
ریاضی میں، F فیلڈ پر آکٹونین الجبرا یا کیلی الجبرا F پر ایک کمپوزیشن الجبرا ہے جس کا طول و عرض F پر 8 ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ ایک 8 جہتی یونیٹل نان ایسوسی ایٹیو الجبرا A اوور F ہے جس کی غیر انحطاط شدہ کواڈریٹک شکل N ہے (جسے نارم فارم کہا جاتا ہے) جیسے کہ A میں موجود تمام x اور y کے لیے۔ آکٹونین الجبرا کی سب سے مشہور مثال کلاسیکی آکٹونین ہیں، جو R پر ایک آکٹونین الجبرا ہیں، جو حقیقی اعداد کا میدان ہے۔ تقسیم شدہ آکٹونین بھی آر پر آکٹونین الجبرا بناتے ہیں۔ آر-الجبرا آئسومورفزم تک، یہ حقیقی پر واحد آکٹونین الجبرا ہیں۔ بائیوکٹونیوں کا الجبرا پیچیدہ اعداد C پر آکٹونین الجبرا ہے۔ N کے لیے آکٹونین الجبرا ایک تقسیم الجبرا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب شکل N انیسوٹروپک ہو۔ ایک تقسیم شدہ آکٹونین الجبرا وہ ہے جس کے لیے کواڈریٹک شکل N آئسوٹروپک ہے (یعنی، N (x) = 0 کے ساتھ ایک غیر صفر ویکٹر x موجود ہے)۔ ایف-الجبرا آئسومورفزم تک، کسی بھی فیلڈ ایف پر ایک منفرد تقسیم آکٹونین الجبرا ہوتا ہے۔ جب ایف الجبرائی طور پر بند ہوتا ہے یا ایک محدود فیلڈ ہوتا ہے، تو یہ ایف پر واحد آکٹونین الجبرا ہوتے ہیں۔ آکٹونین الجبرا ہمیشہ غیر وابستہ ہوتے ہیں۔ تاہم، وہ متبادل الجیبرا ہیں، متبادلیت ایسوسی ایٹیویٹی کی ایک کمزور شکل ہے۔ مزید برآں، موفانگ شناخت کسی بھی آکٹونین الجبرا میں ہوتی ہیں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ کسی بھی آکٹونین الجبرا میں الٹا عناصر موفانگ لوپ بناتے ہیں، جیسا کہ یونٹ نارم کے عناصر کرتے ہیں۔ ایک صوابدیدی فیلڈ کے پر عام آکٹونین الجیبراس کی تعمیر کو لیونارڈ ڈکسن نے اپنی کتاب الجیبرن اینڈ ایہرے زہلنتھیوری (1927) (سائٹ 264) میں بیان کیا تھا اور میکس زورن نے اسے دہرایا تھا۔ پروڈکٹ کا انحصار k سے γ کے انتخاب پر ہوتا ہے۔ k پر کواٹرنیئن الجبرا سے q اور Q کو دیکھتے ہوئے، آکٹونین کو q + Qe لکھا جاتا ہے۔ ایک اور آکٹونیون کو r + Re لکھا جا سکتا ہے۔ پھر کواٹرنیئن الجبرا میں کنجگیشن کی نشاندہی کرنے کے ساتھ، ان کا پروڈکٹ زورن کی جرمن زبان کی تفصیل ہے جس میں کیلی ڈکسن کی تعمیر نے اس نام کے مستقل استعمال میں اہم کردار ادا کیا جو کمپوزیشن الجبرا کی تعمیر کو بیان کرتا ہے۔ کوہل فیوری نے تجویز پیش کی ہے کہ آکٹونین الجیبرا کو معیاری ماڈل کے اجزاء کو ہم آہنگ کرنے کی کوشش میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ درجہ بندی یہ ایڈولف ہروٹز کا ایک نظریہ ہے کہ معمول کی شکل کی ایف-آئسومورفزم کلاسیں آکٹونین ایف-الجبراس کی آئسومورفزم کلاسوں کے ساتھ ون ٹو ون خط و کتابت میں ہیں۔ مزید برآں، ممکنہ معمول کی شکلیں بالکل ایف پر فسٹر 3 شکلیں ہیں۔ چونکہ کوئی بھی دو آکٹونین ایف-الجیبرا ایف کے الجبرائی بندش پر آئسومورفک بن جاتے ہیں، اس لیے کوئی بھی غیر ایبلین گالوئس کوہمولوجی کے خیالات کا اطلاق کر سکتا ہے۔ خاص طور پر، اس حقیقت کو استعمال کرتے ہوئے کہ تقسیم شدہ آکٹونیوں کا آٹومورفزم گروپ تقسیم شدہ الجبرائی گروپ G2 ہے، کوئی بھی آکٹونین F-الجبراس کی آئسومورفزم کلاسوں کے ساتھ F پر G2-ٹورسرز کی آئسومورفزم کلاسوں کے خط و کتابت کو دیکھتا ہے۔ یہ آئسومورفزم کلاسز غیر ایبلین گالوئس کوہمولوجی سیٹ تشکیل دیتی ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط ترکیب الجبرا الجبرہ غیر وابستہ الجبرا