Gauss–Legendre quadrature
عددی تجزیے میں، گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر ایک فنکشن کے قطعی انٹیگرل کا تخمینہ لگانے کے لیے گاؤس کواڈریچر کی ایک شکل ہے۔ وقفے پر انضمام کے لیے، قاعدہ یہ شکل اختیار کرتا ہے: جہاں n استعمال شدہ نمونے پوائنٹس کی تعداد ہے، وائی چوتھائی وزن ہیں، اور xi nth لیجنڈری کثیر کے جڑ ہیں۔ چوتھائی وزن وائی اور چوتھائی نوڈس xi کا یہ انتخاب منفرد انتخاب ہے جو چوتھائی اصول کو ڈگری کثیر الجہتی کو بالکل مربوط کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر قوانین کی کمپیوٹنگ کے لیے بہت سے الگورتھم تیار کیے گئے ہیں۔ 1969 میں پیش کردہ گولب ویلش الگورتھم نوڈس اور وزن کے حساب کو ایک آئجن ویلیو مسئلے تک کم کر دیتا ہے جسے کیو آر الگورتھم کے ذریعے حل کیا جاتا ہے۔ یہ الگورتھم مقبول تھا، لیکن نمایاں طور پر زیادہ موثر الگورتھم موجود ہیں۔ نیوٹن-رافسن طریقہ کار پر مبنی الگورتھم نمایاں طور پر بڑے مسئلے کے سائز کے لیے کواڈریچر قوانین کا حساب لگانے کے قابل ہیں۔ 2014 میں، اگنیس بوگرٹ نے گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر وزن اور نوڈس کے لیے واضح ایسمپٹوٹک فارمولے پیش کیے، جو کہ n ≤ 21 کے کسی بھی انتخاب کے لیے ڈبل پریسیشن مشین ایپسلون کے اندر درست ہیں۔ یہ ایک ارب سے زیادہ n کی اقدار کے لیے نوڈس اور وزن کی گنتی کی اجازت دیتا ہے۔ کارل فریڈرک گاؤس وہ پہلا شخص تھا جس نے 1814 میں مسلسل حصوں کے حساب سے گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر اصول اخذ کیا۔ اس نے نوڈس اور وزن کا حساب 16 ہندسوں تک لگایا تاکہ ہاتھ سے n = 7 ترتیب دے سکے۔ کارل گستاو جیکب جیکوبی نے چوتھائی اصول اور لیجنڈری کثیر الجہتی کے آرتھوگنل خاندان کے درمیان تعلق دریافت کیا۔ چونکہ چوتھائی وزن اور نوڈس کے لیے کوئی بند فارم فارمولا نہیں ہے، کئی دہائیوں تک لوگ صرف چھوٹے n کے لیے ان کا ہاتھ سے حساب لگانے کے قابل تھے، اور چوتھائی کا حساب وزن اور نوڈ اقدار پر مشتمل ٹیبلز کا حوالہ دے کر کرنا پڑتا تھا۔ 1942 تک یہ اقدار صرف n = 16 تک کے لیے معلوم تھیں۔ تعریف f اوور کو گاؤس-لیجنڈر کواڈریچر کے ساتھ مربوط کرنے کے لیے، متعلقہ آرتھوگنل کثیر الجہتی لیجنڈر کثیر الجہتی ہیں، جن کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ - th کثیر الجہتی کو معمول پر لانے کے ساتھ،-th گاؤس نوڈ، کا-th جڑ ہے اور وزن فارمولے کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔ کچھ کم ترتیب والے کواڈریچر قوانین کو مربوط کرنے کے لیے نیچے ٹیبل کیا گیا ہے۔ عام حقیقی وقفے پر انضمام کے لیے، وقفے کی تبدیلی کا اطلاق مسئلہ کو انضمام کے اوور میں تبدیل کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ الگورتھم نیوٹن-رافسن کے طریقے متعدد محققین نے افعال کی جڑیں تلاش کرنے کے لیے نیوٹن-رافسن کے طریقہ کار پر مبنی گاؤس-لیجنڈر کواڈریچر نوڈس اور وزن کے حساب کے لیے الگورتھم تیار کیے ہیں۔ اس مخصوص مسئلے کے لیے مختلف اصلاحات استعمال کی جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، وقفہ کے سروں کے قریب جڑوں کے کلسٹرنگ سے وابستہ مسائل سے بچنے کے لیے کچھ طریقے شمار کیے جاتے ہیں۔ کچھ طریقے وزن کا تخمینہ لگانے کے لیے فارمولوں کا استعمال کرتے ہیں اور پھر تخمینہ کی غلطی کو مشین کی درستگی سے کم کرنے کے لیے نیوٹن-رافسن کے چند تکرار استعمال کرتے ہیں۔ 1969 میں، گولب اور ویلش نے تین اصطلاحات کے تکرار کے تعلق کو دیکھتے ہوئے گوسیئن کواڈریچر قوانین کی گنتی کے لیے اپنا طریقہ شائع کیا جسے بنیادی آرتھوگنل کثیر الجہتی مطمئن کرتے ہیں۔ وہ ایک خاص سمیٹرک ٹریڈیگنل میٹرکس کی آئجین ویلیوز کو تلاش کرنے کے مسئلے کے لیے گوسیئن کواڈریچر رول کے نوڈس کو کمپیوٹ کرنے کے مسئلے کو کم کرتے ہیں۔ کیو آر الگورتھم اس میٹرکس کی آئجن ویلیوز کو تلاش کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ سمیٹرک ٹرائڈیگنل ڈھانچے کا فائدہ اٹھاتے ہوئے، آئجن ویلیوز کا حساب وقت کے ساتھ لگایا جا سکتا ہے، جیسا کہ عام آئجن ویلیو کے مسئلے کے لیے متوقع وقت کے برعکس ہوتا ہے۔ غیر علامتی فارمولے مختلف طریقے تیار کیے گئے ہیں جو نوڈس کا حساب لگانے کے لیے قریب قریب بند شکل کے تاثرات کا استعمال کرتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، کچھ طریقوں میں فارمولوں کو نوڈس کے تخمینے کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، جس کے بعد تخمینے کو بہتر بنانے کے لیے کچھ نیوٹن-رافسن تکرار کیے جاتے ہیں۔ 2014 کے ایک مقالے میں، اگنیس بوگرٹ نے نوڈس کے لیے غیر علامتی فارمولے اخذ کیے ہیں جو مشین کی درستگی کے لیے اور ان وزنوں کے لیے درست ہیں جو مشین کی درستگی کے لیے درست ہیں۔ اس طریقہ کار کے لیے کسی بھی نیوٹن-رافسن تکرار یا بیسیل افعال کی تشخیص کی ضرورت نہیں ہے جیسا کہ دوسرے طریقے کرتے ہیں۔ جیسا کہ کاغذ میں دکھایا گیا ہے، یہ طریقہ 11 سیکنڈ میں ایک ارب کے مسئلے کے سائز پر نوڈس کا حساب لگانے میں کامیاب رہا۔ چونکہ اختتامی نکات کے قریب نوڈس اس مسئلہ کے سائز پر ایک دوسرے کے بہت قریب ہو جاتے ہیں، نوڈس کو کمپیوٹ کرنے کا یہ طریقہ بنیادی طور پر ڈبل صحت سے متعلق فلوٹنگ پوائنٹ میں کسی بھی عملی ایپلی کیشن کے لیے کافی ہے۔ اعلی صحت سے متعلق جوہانسن اور میزاروبہ صوابدیدی صحت سے متعلق ریاضی میں گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر کے اصولوں کا حساب لگانے کی حکمت عملی بیان کرتے ہیں، جس سے چھوٹے اور بڑے دونوں کی اجازت ملتی ہے۔ درستگی کے 1000 ہندسوں کے ساتھ ترتیب کے اصول کا حساب تقریبا ایک سیکنڈ میں لگایا جا سکتا ہے۔ ان کا طریقہ لیجنڈری کثیر الجہتی کا اندازہ کرنے کے لیے کئی مختلف تکنیکوں کے ساتھ مل کر نیوٹن-رافسن تکرار کا استعمال کرتا ہے۔ الگورتھم ایک مصدقہ غلطی کا پابند بھی فراہم کرتا ہے۔ گل، سیگورا اور ٹیمی گوس-جیکوبی کواڈریچرز (اور، خاص طور پر، گوس-لیجینڈر) کی گنتی کے لیے فورتھ آرڈر کنورجنس کے ساتھ تکراری طریقوں کو بیان کرتے ہیں۔ طریقوں کو نوڈس کے چوتھے درجے کے ارتکاز کی ضمانت کے لیے ترجیحی تخمینوں کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک عام لیپ ٹاپ میں لاکھوں نوڈس اور ہزاروں ہندسوں کے ساتھ بھی کواڈریچر قوانین کی گنتی ممکن ہو جاتی ہے۔ دیگر کواڈریچر اصولوں کے ساتھ موازنہ گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر کسی فنکشن f اوور کے انٹیگرلز کی کمپیوٹنگ کے لیے بہت تنگ معنوں میں بہترین ہے، کیونکہ کوئی دوسرا کواڈریچر قاعدہ n نمونے پوائنٹس کا استعمال کرتے وقت تمام ڈگری کثیرالجہتی کو بالکل مربوط نہیں کرتا ہے۔ تاہم، درستگی کی یہ پیمائش عام طور پر بہت مفید نہیں ہے---کثیر الجہتی کو مربوط کرنا بہت آسان ہے اور یہ دلیل خود دوسرے افعال کو مربوط کرنے پر بہتر درستگی کی ضمانت نہیں دیتی ہے۔ کلینشا-کرٹس کواڈریچر چیبیشیف نوڈس پر کثیر الجہتی انٹرپولینٹ کے ذریعے f کے تخمینے پر مبنی ہے اور n نمونے دیے جانے پر بالکل n تک کی ڈگری کے کثیر الجہتی کو مربوط کرتا ہے۔ اگرچہ یہ کثیر الجہتی یا دیگر افعال کو مربوط نہیں کرتا ہے جو ایک بڑے پڑوس کے ساتھ ساتھ گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر میں تجزیاتی ہیں، لیکن کلینشا-کرٹس زیادہ تر (غیر تجزیاتی) انٹیگرانڈز کے لیے گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر کی طرح تقریبا اسی شرح سے یکجا ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، کلینشا-کرٹس ان خصوصیات کا اشتراک کرتا ہے جو گاؤس-لیجینڈر کواڈریچر تمام مسلسل انٹیگرینڈز f کے لیے کنورجنس اور عددی راؤنڈنگ کی غلطیوں کے لیے مضبوطی سے لطف اندوز ہوتا ہے۔ کلینشا-کرٹس کو ایف ایف ٹی پر مبنی طریقوں سے وقت پر لاگو کرنا آسان ہے۔ نیوٹن-کوٹس کواڈریچر ایک کثیر الجہتی انٹرپولینٹ کے ذریعہ برابر فاصلے والے نکات پر f کے تخمینے پر مبنی ہے، اور کلینشا-کرٹس کی طرح n نمونے دیئے جانے پر n تک کی ڈگری کے کثیر الجہتی کو بھی مربوط کرتا ہے۔ تاہم، یہ رنگ کے رجحان سے متاثر ہوتا ہے جیسے جیسے n بڑھتا ہے ؛ نیوٹن-کوٹس کچھ مسلسل انٹیگرینڈز f کے لیے یکجا نہیں ہوتے ہیں، اور جب یہ یکجا ہوتا ہے تو یہ عددی گول کی غلطیوں کا شکار ہو سکتا ہے۔ اس طرح، کلینشا-کرٹس اور گاؤس-لیجینڈر دونوں اعتدال سے لے کر بڑے n کے لیے نیوٹن-کوٹس کے مقابلے میں کافی فوائد حاصل کرتے ہیں۔ حوالہ جات ذرائع عددی انضمام (کواڈریچر)