Oseen equations
سیال حرکیات میں، اوسین مساوات (یا اوسین بہاؤ) چھوٹے رینالڈز نمبروں پر چپچپا اور غیر کمپریسبل سیال کے بہاؤ کو بیان کرتی ہیں، جیسا کہ کارل ولہیم اوسین نے 1910 میں وضع کیا تھا۔ مشاہدہ بہاؤ ان بہاؤ کی ایک بہتر وضاحت ہے، اسٹوکس کے بہاؤ کے مقابلے میں، کنویکٹو ایکسلریشن کی (جزوی) شمولیت کے ساتھ۔ اوسین کا کام جی جی کے تجربات پر مبنی ہے۔ اسٹوکس، جس نے چپچپا سیال کے ذریعے ایک دائرے کے گرنے کا مطالعہ کیا تھا۔ اس نے ایک اصلاح کی اصطلاح تیار کی، جس میں اسٹوکس کے حساب میں استعمال ہونے والے بہاؤ کی رفتار کے لیے انٹریئل عوامل شامل تھے، تاکہ اس مسئلے کو حل کیا جا سکے جسے اسٹوکس پیراڈوکس کہا جاتا ہے۔ اس کا تخمینہ اسٹوکس کے حساب میں بہتری کا باعث بنتا ہے۔ مساوات اوشین مساوات، کسی شے کے سیال کے ذریعے مستحکم بہاؤ کی رفتار U کے ساتھ حرکت کرنے کی صورت میں ہیں-جو شے سے بہت دور ہے-اور شے سے منسلک حوالہ کے فریم میں: جہاں u حرکت پذیر شے کی طرف سے بہاؤ کی رفتار میں خلل ہے، یعنی۔ آبجیکٹ کے ساتھ حرکت کرنے والے حوالہ کے فریم میں کل بہاؤ کی رفتار −U + u ہے، p دباؤ ہے، ρ سیال کی کثافت ہے، μ متحرک چپچپا ہے، ρ میلان آپریٹر ہے، اور ρ2 لیپلیس آپریٹر ہے۔ کسی سخت شے کے ارد گرد اوسین کے بہاؤ کے لیے باؤنڈری کنڈیشنز یہ ہیں: r کے ساتھ شے کے مرکز سے فاصلہ، اور p ≤ غیر متزلزل دباؤ جو شے سے دور ہے۔ لانگٹیوڈینل اور ٹرانسورسل لہریں اوسین کی مساوات کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ عمومی حل کو لانگٹیوڈینل اور ٹرانسورسل لہروں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ حل ایک طول البلد لہر ہے اگر رفتار غیر گردش پذیر ہے اور اس لیے چپچپا اصطلاح ختم ہو جاتی ہے۔ اس کے نتیجے میں رفتار ممکنہ نظریہ سے اخذ کی گئی ہے اور دباؤ لکیریائزڈ برنولی کی مساوات سے حاصل کیا گیا ہے۔ حل ایک ٹرانسورسل لہر ہے اگر دباؤ یکساں طور پر صفر ہو اور رفتار کا میدان سولینائڈل ہو۔ مساوات یہ ہیں کہ پھر مکمل اوسین حل ہوریس لیمب کی وجہ سے تقسیم کرنے والے نظریہ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ تقسیم منفرد ہے اگر انفینیٹی (جیسے) کے حالات متعین کیے جائیں۔ کچھ نظر آنے والے بہاؤ کے لیے، ٹرانسورسل لہر کو ایروٹیشنل اور گردشی جزو میں مزید تقسیم کرنا ممکن ہے۔ نہ تو یا خود سے ٹرانسورسل ہیں، لیکن ٹرانسورسل ہے۔ لہذا، واحد گردشی جزو ہو رہا ہے۔ بنیادی حل اوسین کے بہاؤ میں سرایت شدہ واحد نقطہ قوت کی وجہ سے بنیادی حل اوسینلیٹ ہے۔ نیوٹنین اور مائکرو پولر سیالوں کے لیے صوابدیدی وقت پر منحصر ٹرانسلیشنل اور گردش حرکتوں سے وابستہ عمومی غیر مستحکم اسٹوکس اور اوسین بہاؤ کے لیے بند شکل کے بنیادی حل اخذ کیے گئے ہیں۔ اوسین مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، ہوریس لیمب 1911 میں ایک دائرے کے ارد گرد چپچپا بہاؤ کے لیے بہتر تاثرات حاصل کرنے میں کامیاب رہا، جس سے اسٹوکس کے قانون میں کچھ زیادہ رینالڈز نمبروں کی طرف بہتری آئی۔ نیز، لیمب نے-پہلی بار-ایک سرکلر سلنڈر کے ارد گرد چپچپا بہاؤ کے لیے ایک حل اخذ کیا۔ جب کوئی بیرونی حدود موجود نہ ہوں تو واحد قوت کے ردعمل کا حل اس طرح لکھا جائے اگر، نقطہ پر مرکوز واحد قوت کہاں ہے اور یہ ایک صوابدیدی نقطہ ہے اور دیا ہوا ویکٹر ہے، جو واحد قوت کی سمت دیتا ہے، تو حدود کی عدم موجودگی میں، رفتار اور دباؤ بنیادی ٹینسر اور بنیادی ویکٹر سے اخذ کیا جاتا ہے۔ ابتدا میں لی گئی عامیت کے نقصان کے بغیر دو جہتی اور۔ پھر بنیادی ٹینسر اور ویکٹر وہ ہیں جہاں دوسری قسم کے آرڈر صفر کا ترمیم شدہ بیسیل فنکشن کہاں ہے۔ ابتدا میں لی گئی عامیت کے نقصان کے بغیر سہ جہتی اور۔ پھر بنیادی ٹینسر اور ویکٹر وہ ہیں جہاں حسابات اوسین نے دائرے کو مستحکم سمجھا اور سیال کو دائرے سے لامحدود فاصلے پر بہاؤ کی رفتار () کے ساتھ بہتا ہوا سمجھا۔ اسٹوکس کے حساب میں جمود کی اصطلاحات کو نظر انداز کیا گیا۔ یہ ایک محدود حل ہے جب رینالڈز نمبر صفر کی طرف جاتا ہے۔ جب رینالڈز نمبر چھوٹا اور محدود ہوتا ہے، جیسے کہ 0.1، تو انٹریئل ٹرم کے لیے اصلاح کی ضرورت ہوتی ہے۔ اوسین نے مندرجہ ذیل بہاؤ کی رفتار کی اقدار کو نیویئر-اسٹوکس مساوات میں تبدیل کیا۔ ان کو نیویئر-اسٹوکس مساوات میں داخل کرنے اور بنیادی مقدار میں کواڈریٹک اصطلاحات کو نظر انداز کرنے سے اوسین کے تخمینے کی مشتق کا باعث بنتا ہے: چونکہ حرکت محور کے حوالے سے ہم آہنگ ہوتی ہے اور ورٹیٹی ویکٹر کا انحراف ہمیشہ صفر ہوتا ہے، اس لیے ہمیں ملتا ہے: فنکشن کو کسی مناسب فنکشن میں شامل کرکے ختم کیا جا سکتا ہے، یہ ورٹیٹی فنکشن ہے، اور پچھلی فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: اور کچھ انضمام کے ذریعے حل یہ ہے: اس طرح "مراعات یافتہ سمت" ہونے سے یہ پیدا ہوتا ہے: پھر تین باؤنڈری کنڈیشنز کو لاگو کرنے سے ہم اب نیا بہتر ڈریگ گتانک حاصل کرتے ہیں: اور آخر کار، جب اسٹوکس کا حل اوسین کے تخمینے کی بنیاد پر حل کیا گیا، تو اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ یعنی: جمود کی اصطلاح پر اس اصطلاح کا غلبہ ہے: اس کے بعد غلطی کو تناسب سے دیا جاتا ہے: یہ 1 کے لیے غیر محدود ہو جاتا ہے، اس لیے دور کے میدان میں جمود کو نظر انداز نہیں کیا جا سکتا۔ کرل لینے سے، اسٹوکس کی مساوات ملتی ہے کہ چونکہ جسم ورٹیٹی کا ایک ذریعہ ہے، اس لیے بڑے کے لیے لاگرتھمک طور پر غیر محدود ہو جائے گا۔ یہ یقینی طور پر غیر جسمانی ہے اور اسے اسٹوکس کی پیراڈوکس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ غیر کمپریسبل سیال میں حرکت پذیر دائرے کا حل ایک مستحکم مائع میں مستقل رفتار کے ساتھ حرکت کرنے والے ٹھوس دائرے کے معاملے پر غور کریں۔ مائع کو ایک غیر کمپریسبل سیال کے طور پر بنایا گیا ہے (یعنی۔ مستقل کثافت کے ساتھ)، اور مستحکم ہونے کا مطلب یہ ہے کہ اس کی رفتار صفر کی طرف بڑھتی ہے جیسے جیسے دائرے سے فاصلہ لامحدود تک پہنچتا ہے۔ ایک حقیقی جسم کے لیے اس کی رفتار کی وجہ سے ایک عارضی اثر ہوگا جب وہ اپنی حرکت شروع کرے گا ؛ تاہم کافی وقت کے بعد یہ صفر کی طرف مائل ہو جائے گا، تاکہ ہر جگہ سیال کی رفتار اس فرضی صورت میں حاصل کردہ رفتار کے قریب پہنچ جائے جس میں جسم پہلے ہی لامحدود وقت کے لیے حرکت کر رہا ہے۔ اس طرح ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ رداس کا ایک دائرہ مستقل رفتار سے حرکت کر رہا ہے، ایک غیر کمپریسبل سیال میں جو انفینیٹی پر آرام کر رہا ہے۔ ہم کوآرڈینیٹس میں کام کریں گے جو دائرے کے مرکز میں واقع کوآرڈینیٹ سینٹر کے ساتھ دائرے کے ساتھ چلتے ہیں۔ ہمارے پاس: چونکہ یہ باؤنڈری کنڈیشنز، نیز حرکتوں کی مساوات، وقت غیر متغیر ہیں (یعنی۔ وہ وقت کو منتقل کرنے سے تبدیل نہیں ہوتے ہیں) جب نقاط میں ظاہر کیا جاتا ہے، تو حل صرف ان نقاط کے ذریعے وقت پر منحصر ہوتا ہے۔ حرکت کی مساوات نیویئر-اسٹاک مساوات ہیں جن کی وضاحت آرام دہ فریم کوآرڈینیٹس میں کی گئی ہے۔ اگرچہ مقامی مشتق دونوں ہم آہنگی نظاموں میں برابر ہوتے ہیں، لیکن مساوات میں ظاہر ہونے والا وقت مشتق مطمئن ہوتا ہے: جہاں مشتق حرکت پذیر ہم آہنگی کے حوالے سے ہوتا ہے۔ اس کے بعد ہم ایم سبسکرپٹ کو چھوڑ دیتے ہیں۔ اوسین کا تخمینہ غیر لکیری اصطلاح کو نظر انداز کرنے کے مترادف ہے۔ اس طرح غیر کمپریسبل نیویئر-اسٹوکس مساوات بن جاتی ہیں: ایک ایسے سیال کے لیے جس کی کثافت ρ ہے اور کینیمیٹک وسکوسیٹی ν = μ/ρ (متحرک وسکوسیٹی ہونے کے ناطے)۔ p دباؤ ہے۔ انکمپریسیبل فلوئڈ کے لیے تسلسل کی مساوات کی وجہ سے، حل کو ویکٹر پوٹینشل کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یہ سمت کی طرف جاتا ہے اور اس کی شدت دو جہتی مسائل میں استعمال ہونے والے اسٹریم فنکشن کے برابر ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے: دائرے کے قریب بہاؤ کے لیے رینالڈز نمبر کہاں ہے۔ نوٹ کریں کہ کچھ اشارے میں اس کی جگہ لے لی جاتی ہے تاکہ سے کی مشتق دو جہتی صورت میں (قطبی نقاط میں) اسٹریم فنکشن سے اس کی مشتق سے زیادہ ملتی جلتی ہو۔ وضاحت کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں:، تاکہ۔ اس قسم کے ویکٹر کا ویکٹر لیپلاسیئن پڑھتا ہے: اس طرح اس کا حساب لگایا جا سکتا ہے کہ: لہذا: اس طرح ورٹیٹی یہ ہے: جہاں ہم نے ویکٹر لیپلاسیئن اور ڈبل کرل کو جوڑنے کے لیے کے انحراف کے غائب ہونے کا استعمال کیا ہے۔ حرکت کے بائیں ہاتھ کی طرف کی مساوات درج ذیل کا کرل ہے: ہم ہر اصطلاح کے لیے مشتق کا الگ سے حساب لگاتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ: اور یہ بھی: ہمارے پاس اس طرح ہے: ہمارے پاس موجود تمام اصطلاحات کو یکجا کرتے ہوئے: کرل لیتے ہوئے، ہمیں ایک ایسا اظہار ملتا ہے جو مندرجہ ذیل فنکشن کے میلان کے گنا کے برابر ہے، جو کہ دباؤ ہے: جہاں انفینیٹی پر دباؤ ہے، کیا قطبی زاویہ سامنے کے جمود کے نقطہ کے مخالف سمت سے پیدا ہوا ہے (جہاں سامنے کا جمود کا نقطہ ہے)۔ نیز، رفتار اس کا کرل لے کر حاصل کی جاتی ہے: یہ p اور u حرکت کی مساوات کو پورا کرتے ہیں اور اس طرح اوسین کے تخمینے کا حل تشکیل دیتے ہیں۔ تاہم، اوسین کے تخمینے میں تبدیلیاں کوئی یہ سوال کر سکتا ہے کہ آیا اصلاح کی اصطلاح اتفاق سے منتخب کی گئی تھی، کیونکہ دائرے کے ساتھ حرکت کرنے والے حوالہ کے فریم میں، دائرے کے قریب سیال تقریبا آرام میں ہوتا ہے، اور اس خطے میں جمود قوت نہ ہونے کے برابر ہوتی ہے اور اسٹوکس کی مساوات اچھی طرح سے جائز ہے۔ دائرے سے بہت دور، بہاؤ کی رفتار u تک پہنچتی ہے اور اوسین کا تخمینہ زیادہ درست ہوتا ہے۔ لیکن اوسین کی مساوات پورے بہاؤ کے میدان کے لیے مساوات کا اطلاق کرتے ہوئے حاصل کی گئی تھی۔ اس سوال کا جواب پراؤڈمین اور پیئرسن نے 1957 میں دیا تھا، جنہوں نے نیویئر-اسٹوکس مساوات کو حل کیا اور دائرے کے پڑوس میں اسٹوکس کا بہتر حل اور انفینیٹی پر اوسین کا بہتر حل دیا، اور ان دونوں حلوں کو ان کی صداقت کے ایک مشترکہ خطے میں ملایا۔ انہوں نے حاصل کیا: ایپلی کیشنز بہت کم رینالڈز نمبر پر بہاؤ کے تجزیے کے لیے طریقہ کار اور تشکیل اہم ہے۔ بائیو انجینئرنگ میں سیال میں چھوٹے ذرات کی سست حرکت عام ہے۔ اوسین کی ڈریگ فارمولیشن کو مختلف خاص حالات میں سیالوں کے بہاؤ کے سلسلے میں استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے: ذرات پر مشتمل، ذرات کی تلچھٹ، سنٹری فیوگیشن یا معطلی، کولائڈز اور خون کی الٹرا سینٹرفیوگیشن ٹیومر اور اینٹی جینز کی علیحدگی کے ذریعے۔ سیال کا مائع ہونا بھی ضروری نہیں ہے، اور ذرات کو ٹھوس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اسے متعدد ایپلی کیشنز میں استعمال کیا جا سکتا ہے، جیسے اسموگ کی تشکیل اور مائعوں کی ایٹمائزیشن۔ چھوٹی شریانوں میں خون کا بہاؤ، جیسے کیپلیریز، چھوٹے رینالڈز اور وومرسلی نمبروں کی خصوصیت ہے۔ خون کے بہاؤ، خون کی چپچپا پن، خون کی کثافت اور دل کی دھڑکن کے ساتھ قطر کے برتن کا رینالڈز نمبر 0.005 اور وومرسلی نمبر 0.0126 ہوگا۔ ان چھوٹے رینالڈز اور وومرسلی نمبروں پر، سیال کے چپچپا اثرات غالب ہو جاتے ہیں۔ ان ذرات کی حرکت کو سمجھنا منشیات کی ترسیل اور کینسر کی میٹاسٹیسس نقل و حرکت کا مطالعہ کرنے کے لیے ضروری ہے۔ حوالہ جات سیال حرکیات سیال حرکیات کی مساوات