Von Neumann paradox
ریاضی میں، وان نیومن پیراڈوکس، جس کا نام جان وان نیومن کے نام پر رکھا گیا ہے، یہ خیال ہے کہ کوئی بھی ایک طیارہ نما شکل جیسے یونٹ مربع کو پوائنٹس کے سیٹوں میں توڑ سکتا ہے اور ہر سیٹ کو رقبے کو محفوظ رکھنے والی افائن تبدیلی کے تابع کر سکتا ہے جس کا نتیجہ اصل کے برابر سائز کے دو طیارہ نما اعداد و شمار ہوں۔ یہ 1929 میں جان وان نیومن نے ثابت کیا تھا، جس نے انتخاب کا محور فرض کیا تھا۔ یہ پہلے کے بناچ-ترسکی پیراڈوکس پر مبنی ہے، جو بدلے میں ہاؤزڈورف پیراڈوکس پر مبنی ہے۔ بناچ اور تارسکی نے ثابت کیا تھا کہ آئسومیٹرک تبدیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے، دو جہتی شکل کو الگ کرنے اور دوبارہ جوڑنے کے نتیجے میں لازمی طور پر وہی رقبہ ہوگا جو اصل کا ہے۔ اس سے ایک میں سے دو یونٹ مربع بنانا ناممکن ہو جائے گا۔ لیکن وان نیومن نے محسوس کیا کہ اس طرح کے نام نہاد متضاد سڑنے کی چال تبدیلیوں کے ایک گروپ کا استعمال تھا جس میں ذیلی گروپ کے طور پر دو جنریٹرز کے ساتھ ایک آزاد گروپ شامل ہے۔ رقبے کو محفوظ رکھنے والی تبدیلیوں کا گروپ (چاہے خصوصی لکیری گروپ ہو یا خصوصی افائن گروپ) اس طرح کے ذیلی گروپوں پر مشتمل ہوتا ہے، اور اس سے ان کا استعمال کرتے ہوئے متضاد سڑنے کا امکان کھل جاتا ہے۔ طریقہ کار کا خاکہ ذیل میں وان نیومن کے ذریعہ پائے جانے والے طریقہ کار کی غیر رسمی وضاحت ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس دو تبدیلیوں، σ اور τ سے پیدا ہونے والی رقبے کو محفوظ رکھنے والی لکیری تبدیلیوں کا ایک آزاد گروپ H ہے، جو شناختی عنصر سے زیادہ دور نہیں ہیں۔ آزاد گروپ ہونے کا مطلب یہ ہے کہ اس کے تمام عناصر کو کچھ n کی شکل میں منفرد طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں s اور s تمام غیر صفر عدد ہیں، سوائے ممکنہ طور پر پہلے اور آخری کے۔ ہم اس گروپ کو دو حصوں میں تقسیم کر سکتے ہیں: وہ جو بائیں طرف σ سے شروع ہو کر کسی غیر صفر پاور تک پہنچتے ہیں (جسے ہم یہ سیٹ A کہتے ہیں) اور وہ جو τ سے شروع ہو کر کسی پاور تک پہنچتے ہیں (یعنی صفر ہے-ہم اس سیٹ کو B کہتے ہیں، اور اس میں شناخت بھی شامل ہے)۔ اگر ہم H کے مختلف عناصر کے ذریعہ یوکلڈین 2-اسپیس میں کسی بھی نقطہ پر کام کرتے ہیں تو ہمیں وہ ملتا ہے جسے اس نقطہ کا مدار کہا جاتا ہے۔ اس طرح طیارہ کے تمام نکات کو مداروں میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے، جن میں سے تسلسل کی بنیادی حیثیت کے ساتھ ایک لامحدود تعداد موجود ہے۔ انتخاب کے محور کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ہر مدار سے ایک نقطہ کا انتخاب کر سکتے ہیں اور ان نکات کے سیٹ کو M کہہ سکتے ہیں۔ ہم اصل کو خارج کرتے ہیں، جو کہ H میں ایک مقررہ نقطہ ہے۔ اگر ہم پھر H کے تمام عناصر کے ذریعہ M پر کام کرتے ہیں، تو ہم طیارہ کا ہر نقطہ (اصل کے علاوہ) بالکل ایک بار پیدا کرتے ہیں۔ اگر ہم A یا B کے تمام عناصر کے ذریعہ M پر کام کرتے ہیں، تو ہمیں دو جداگانہ سیٹ ملتے ہیں جن کا اتحاد تمام پوائنٹس لیکن اصل ہوتا ہے۔ اب ہم کچھ اعداد و شمار لیتے ہیں جیسے یونٹ مربع یا یونٹ ڈسک۔ اس کے بعد ہم اس کے اندر مکمل طور پر ایک اور شکل کا انتخاب کرتے ہیں، جیسے کہ ایک چھوٹا مربع، جو اصل پر مرکوز ہے۔ ہم بڑے اعداد و شمار کا احاطہ چھوٹے اعداد و شمار کی کئی نقلوں کے ساتھ کر سکتے ہیں، حالانکہ کچھ نکات دو یا زیادہ نقلوں سے ڈھکے ہوتے ہیں۔ اس کے بعد ہم بڑے اعداد و شمار کا ہر نقطہ چھوٹے اعداد و شمار کی نقلوں میں سے ایک کو تفویض کر سکتے ہیں۔ آئیے ہر کاپی سے مطابقت رکھنے والے سیٹوں کو کال کریں۔ اب ہم صرف علاقے کو محفوظ رکھنے والی تبدیلیوں کا استعمال کرتے ہوئے، بڑے اعداد و شمار میں ہر نقطہ کی اس کے اندرونی حصے میں ایک نقطہ کی نقشہ سازی کریں گے۔ ہم متعلقہ پوائنٹس لیتے ہیں اور ان کا ترجمہ کرتے ہیں تاکہ مربع کا مرکز اصل پر ہو۔ اس کے بعد ہم اس میں وہ پوائنٹس لیتے ہیں جو اوپر بیان کردہ سیٹ A میں ہیں اور ان پر ایریا پریزرویشن آپریشن στ کے ذریعے کام کرتے ہیں۔ یہ انہیں سیٹ بی میں ڈالتا ہے۔ اس کے بعد ہم B سے تعلق رکھنے والے پوائنٹس لیتے ہیں اور ان پر σ2 کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ وہ اب بھی بی میں ہوں گے، لیکن ان پوائنٹس کا سیٹ پچھلے سیٹ سے الگ ہوگا۔ ہم اس طریقے سے آگے بڑھتے ہیں، C2 سے A پوائنٹس پر σ3τ کا استعمال کرتے ہوئے (اسے مرکوز کرنے کے بعد) اور اس کے B پوائنٹس پر σ4، اور اسی طرح۔ اس طرح، ہم نے بڑے اعداد و شمار (کچھ فکسڈ پوائنٹس کے علاوہ) سے تمام پوائنٹس کو ون ٹو ون طریقے سے بی ٹائپ پوائنٹس تک نقشہ بنایا ہے جو مرکز سے بہت دور نہیں ہیں، اور بڑے اعداد و شمار کے اندر ہیں۔ اس کے بعد ہم اے ٹائپ پوائنٹس کی دوسری نقشہ سازی کر سکتے ہیں۔ اس مقام پر ہم کینٹر-برنسٹین-شروڈر تھیوریم کے طریقہ کار کو لاگو کر سکتے ہیں۔ یہ نظریہ ہمیں بتاتا ہے کہ اگر ہمارے پاس سیٹ D سے E سیٹ کرنے کے لیے انجکشن ہے (جیسے کہ بڑی شخصیت سے لے کر اس میں A ٹائپ پوائنٹس تک)، اور E سے D تک انجکشن ہے (جیسے کہ شکل میں A ٹائپ پوائنٹس سے شناخت کی نقشہ سازی خود کے لیے)، تو D اور E کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، بڑی شخصیت سے لے کر اس میں A پوائنٹس کے ذیلی سیٹ تک کی نقشہ سازی ہونے پر، ہم بڑی شخصیت سے لے کر اس میں موجود تمام A پوائنٹس تک کی نقشہ سازی (بیجیکشن) کر سکتے ہیں۔ (کچھ علاقوں میں پوائنٹس کو خود سے نقشہ بنایا جاتا ہے، دوسروں میں انہیں پچھلے پیراگراف میں بیان کردہ نقشہ سازی کا استعمال کرتے ہوئے نقشہ بنایا جاتا ہے۔) اسی طرح ہم بڑی شخصیت سے لے کر اس کے تمام بی پوائنٹس تک کی نقشہ سازی کر سکتے ہیں۔ لہذا اس کو دوسری طرف دیکھتے ہوئے، ہم اعداد و شمار کو اس کے اے اور بی پوائنٹس میں الگ کر سکتے ہیں، اور پھر ان میں سے ہر ایک کو پورے اعداد و شمار میں واپس نقشہ بنا سکتے ہیں (یعنی، دونوں قسم کے پوائنٹس پر مشتمل)! یہ خاکہ کچھ چیزوں پر روشنی ڈالتا ہے، جیسے کہ فکسڈ پوائنٹس کو سنبھالنے کا طریقہ۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اس کے ارد گرد کام کرنے کے لیے مزید نقشہ سازی اور مزید سیٹ ضروری ہیں۔ نتائج مربع کے لیے تضاد کو مندرجہ ذیل طور پر مضبوط کیا جا سکتا ہے: خالی اندرونی حصوں کے ساتھ یوکلڈین سطح کے کوئی بھی دو پابند ذیلی سیٹ علاقے کو محفوظ رکھنے والے افائن نقشوں کے حوالے سے مساوی ہیں۔ پیمائش کے مسئلے سے متعلق اس کے نتائج ہوتے ہیں۔ جیسا کہ وان نیومن نوٹ کرتے ہیں، "انفولجڈیسین گبٹ ایس ڈیر ایبنی کین نکٹ نیگیٹیوز ایڈیٹیوز ماس (وو داس آئن ہیٹسکواڈراٹ داس ماس 1 ہیٹ)، داس [sic] جیجینبر ایلن ایبلڈنگن وان اے 2 غیر متغیر وار" سے محروم ہے۔ "اس کے مطابق، پہلے سے ہی سطح میں کوئی غیر منفی اضافی پیمائش نہیں ہے (جس کے لیے یونٹ مربع کی پیمائش 1 ہے)، جو A2 [رقبے کو محفوظ رکھنے والی افائن تبدیلیوں کے گروپ] سے تعلق رکھنے والی تمام تبدیلیوں کے حوالے سے غیر متغیر ہے۔ اس کی تھوڑی اور وضاحت کرنے کے لیے، یہ سوال کہ آیا کوئی حتمی اضافی پیمائش موجود ہے، جو کچھ تبدیلیوں کے تحت محفوظ ہے، اس بات پر منحصر ہے کہ کن تبدیلیوں کی اجازت ہے۔ طیارہ میں سیٹوں کی بناچ پیمائش، جو ترجمے اور گردشوں کے ذریعے محفوظ ہے، غیر آئسومیٹرک تبدیلیوں کے ذریعے محفوظ نہیں ہے یہاں تک کہ جب وہ کثیر الاضحی کے رقبے کو محفوظ رکھتے ہیں۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، سطح کے نکات (اصل کے علاوہ) کو دو گھنے سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جنہیں ہم A اور B کہہ سکتے ہیں۔ اگر کسی دیئے گئے کثیر الاضحی کے A پوائنٹس کو کسی مخصوص رقبے کو محفوظ رکھنے والی تبدیلی اور B پوائنٹس کو دوسرے کے ذریعے تبدیل کیا جاتا ہے، تو دونوں سیٹ دو نئے کثیر الاضحی میں B پوائنٹس کے ذیلی سیٹ بن سکتے ہیں۔ نئے کثیر الاضلاعات کا رقبہ پرانے کثیر الاضلاعات جیسا ہی ہوتا ہے، لیکن تبدیل شدہ دو سیٹوں کی پیمائش پہلے کی طرح نہیں ہو سکتی (کیونکہ ان میں بی پوائنٹس کا صرف ایک حصہ ہوتا ہے)، اور اس لیے ایسی کوئی پیمائش نہیں ہے جو "کام کرے"۔ بناچ-ٹارسکی رجحان کے مطالعہ کے دوران وان نیومن کے ذریعہ الگ تھلگ کردہ گروپوں کی کلاس ریاضی کے بہت سے شعبوں کے لیے بہت اہم ثابت ہوئی: یہ قابل قبول گروپ ہیں، یا ایک غیر متغیر اوسط والے گروپ ہیں، اور ان میں تمام محدود اور تمام قابل حل گروپ شامل ہیں۔ عام طور پر، متضاد سڑنا اس وقت پیدا ہوتا ہے جب مساوات کی تعریف میں مساوات کے لیے استعمال ہونے والا گروپ قابل قبول نہیں ہوتا ہے۔ حالیہ پیش رفت وان نیومن کے مقالے نے لکیری گروپ ایس ایل (2، آر) (ویگن، سوال 7.4) کے حوالے سے یونٹ مربع کے اندرونی حصے کے متضاد سڑنے کے امکان کو کھلا چھوڑ دیا۔ 2000 میں، میکلس لاکزکووچ نے ثابت کیا کہ اس طرح کی سڑن موجود ہے۔ مزید واضح طور پر، فرض کریں کہ A طیارہ کے تمام پابند ذیلی مجموعوں کا خاندان ہے جس کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہے اور اصل سے مثبت فاصلے پر ہے، اور B تمام طیاروں کا خاندان اس خاصیت کے ساتھ سیٹ کرتا ہے جس کا ترجمہ SL (2، R) کے کچھ عناصر کے تحت ہوتا ہے جس میں اصل کا ایک پنکچر پڑوس ہوتا ہے۔ پھر خاندان اے کے تمام سیٹ ایس ایل (2، آر)-مساوی ہیں، اور اسی طرح بی کے سیٹوں کے لیے بھی۔ اس کے بعد دونوں خاندان متضاد سیٹوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات گروپ تھیوری پیمائش تھیوری ریاضیاتی تضادات ریاضی کی بنیادوں میں نظریات