Lie product formula
ریاضی میں، لائی پروڈکٹ فارمولا، جسے سوفس لائی (1875) کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، لیکن جسے بڑے پیمانے پر ٹراٹر پروڈکٹ فارمولا بھی کہا جاتا ہے، جسے ہیل ٹراٹر کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، بیان کرتا ہے کہ من مانی m × m حقیقی یا پیچیدہ میٹرکس A اور B کے لیے، جہاں eA A کے میٹرکس ایکسپونینشل کو ظاہر کرتا ہے۔ لائی-ٹراٹر پروڈکٹ فارمولا اور ٹراٹر-کاٹو تھیوریم اسے کچھ غیر محدود لکیری آپریٹرز A اور B تک پھیلاتے ہیں۔ یہ فارمولا کلاسیکی ایکسپونینشل قانون کا ایک ینالاگ ہے جو تمام حقیقی یا پیچیدہ اعداد x اور y کے لیے ہے۔ اگر x اور y کو میٹرکس A اور B سے تبدیل کیا جاتا ہے، اور ایکسپونینشیل کو میٹرکس ایکسپونینشیل سے تبدیل کیا جاتا ہے، تو عام طور پر A اور B کے لیے قانون کو برقرار رکھنے کے لیے کمیوٹ کرنا ضروری ہے۔ تاہم، لائ پروڈکٹ فارمولا تمام میٹرکس اے اور بی کے لیے ہے، یہاں تک کہ وہ بھی جو کمیوٹ نہیں کرتے ہیں۔ لائ پروڈکٹ فارمولا تصوراتی طور پر بیکر-کیمپبل-ہاؤسڈورف فارمولے سے متعلق ہے، اس میں دونوں کلاسیکی ایکسپونینشل قانون کے لیے، نان کمیونٹنگ آپریٹرز کے تناظر میں، متبادل ہیں۔ فارمولے کی ایپلی کیشنز ہیں، مثال کے طور پر، کوانٹم میکانکس کی پاتھ انٹیگرل فارمولیشن میں۔ یہ کسی کو شروڈنگر ارتقاء آپریٹر (پروپیگیٹر) کو حرکی اور ممکنہ آپریٹرز (ٹراٹر اور ماسو سوزوکی کے بعد سوزوکی-ٹراٹر سڑنا) کے متبادل اضافے میں الگ کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ تفریقی مساوات کے عددی حل کے لیے تقسیم کے طریقوں کی تعمیر میں بھی یہی خیال استعمال ہوتا ہے۔ مزید برآں، لائ پروڈکٹ تھیوریم فین مین-کاک فارمولے کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے۔ ٹراٹر-کاٹو تھیوریم کو لکیری C0-سیمی گروپس کے تخمینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ٹائم ارتقاء بلاک ڈیسیمیشن حوالہ جات سوفس لی اور فریڈرک اینگل (1888، 1890، 1893) بھی دیکھیں۔ تھیوری ڈیر ٹرانسفارمیشنزگروپن (پہلا ایڈیشن، لیپزگ ؛ دوسرا ایڈیشن، اے ایم ایس چیلسی پبلشنگ، 1970)۔ ، پی پی۔ 99۔ میٹرکس تھیوری لائ گروپس