Appell series
ریاضی میں، ایپل سیریز دو متغیرات کی چار ہائپر جیومیٹرک سیریز F1، F2، F3، F4 کا ایک مجموعہ ہے جو ایک متغیر کی گاؤس کی ہائپر جیومیٹرک سیریز 2F1 کو عام کرتا ہے۔ ایپل نے جزوی تفریقی مساوات کا مجموعہ قائم کیا جن میں سے یہ افعال حل ہیں، اور ایک متغیر کی ہائپر جیومیٹرک سیریز کے لحاظ سے ان سیریز کے مختلف تخفیف فارمولے اور تاثرات پائے۔ تعریفیں اپیل سیریز F1 کی تعریف |x | <1، |y | <1 کے لیے ڈبل سیریز کے ذریعے کی گئی ہے جہاں پوچھیمر کی علامت ہے۔ x اور y کی دیگر اقدار کے لیے فنکشن F1 کی تعریف تجزیاتی تسلسل کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اسی طرح، فنکشن F2 کی تعریف سیریز کے ذریعے |x | + |y | <1 کے لیے کی گئی ہے اور یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس کے علاوہ |x | <1 کے لیے فنکشن F3 کی تعریف سیریز کے ذریعے کی جا سکتی ہے اور فنکشن F4 کی وضاحت |x | 1⁄2 + |y | 1⁄2 <1 کے لیے سیریز ریکرنس ریلیشنز کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ جیسے کہ گاؤس ہائپر جیومیٹرک سیریز 2F1، ایپل ڈبل سیریز ملحقہ فنکشنز کے درمیان ریکرنس ریلیشنز کا باعث بنتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایپل کے F1 کے لیے اس طرح کے تعلقات کا ایک بنیادی مجموعہ اس طرح دیا گیا ہے: F1 کے لیے درست کوئی بھی دوسرا تعلق ان چاروں سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، ایپل کے F3 کے لیے تمام تکرار کے تعلقات پانچ کے اس سیٹ کی پیروی کرتے ہیں: مشتق اور تفریق مساوات ایپل کے F1 کے لیے، مندرجہ ذیل مشتقات ایک ڈبل سیریز کے ذریعے تعریف سے نتیجہ اخذ کرتے ہیں: اس کی تعریف سے، ایپل کا F1 دوسرے درجے کی تفریق مساوات کے درج ذیل نظام کو مطمئن کرتا ہے: F2 کے لیے ایک نظام جزوی تفریق مساوات ہے۔ اسی طرح، F3 کے لیے درج ذیل مشتقات تعریف سے نتیجہ اخذ کرتے ہیں: اور F3 کے لیے تفریق مساوات کا درج ذیل نظام حاصل کیا جاتا ہے: F4 کے لیے ایک نظام جزوی تفریق مساوات ہے۔ سسٹم میں حل مربوط نمائشیں ہوتی ہیں۔ ایپل کے ڈبل سیریز کے ذریعے بیان کردہ چار افعال کو صرف ابتدائی افعال پر مشتمل ڈبل انٹیگرلز کے لحاظ سے پیش کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، دریافت کیا گیا کہ ایپل کے ایف 1 کو یک جہتی یولر قسم کے انٹیگرل کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے: اس نمائندگی کی تصدیق انٹیگرینڈ کی ٹیلر توسیع کے ذریعے کی جا سکتی ہے، جس کے بعد اصطلاح وار انضمام ہوتا ہے۔ خاص صورتوں میں پکارڈ کی لازمی نمائندگی سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ نامکمل ایلیپٹک انٹیگرلز F اور E کے ساتھ ساتھ مکمل ایلیپٹک انٹیگرل Π ایپل کے F1 کے خصوصی معاملات ہیں: متعلقہ سیریز دو متغیرات کی سات متعلقہ سیریز ہیں، φ1، φ2، φ3، χ1، χ2، χ1، اور χ2، جو ایک متغیر کے کممر کے کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک فنکشن 1F1 اور اسی طرح سے ایک متغیر کے کنفلوئنٹ ہائپر جیومیٹرک لمٹ فنکشن 0F1 کو عام کرتی ہیں۔ ان میں سے پہلا 1920 میں پیئر ہمبرٹ نے متعارف کرایا تھا۔ اس میں ایپل سیریز سے ملتے جلتے چار افعال کی وضاحت کی گئی تھی، لیکن یہ صرف دو متغیر x اور y کے بجائے بہت سے متغیرات پر منحصر ہے۔ ان سیریز کا مطالعہ بھی ایپل نے کیا تھا۔ وہ بعض جزوی تفریقی مساوات کو مطمئن کرتے ہیں، اور انہیں یولر قسم کے انٹیگرلز اور کنٹور انٹیگرلز کے لحاظ سے بھی دیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات (یہ بھی دیکھیں کہ "سور لا سیری F3 (α، α '، β، β'، γ ؛ x، y)" C. R. Acad میں۔ سائنس. 90، پی پی۔ 977-980) (صفحہ 14 دیکھیں) (صفحہ 224 دیکھیں) (C. R. Acad بھی دیکھیں۔ سائنس. 90 (1880)، پی۔ 1119-1121 اور 1267-1269) (اس کے ساتھ 2008 کا ایک پیپر بیک ہے) بیرونی روابط ہائپر جیومیٹرک افعال ریاضیاتی سیریز