Superellipsoid
ریاضی میں، ایک سپرلیپسائڈ (یا سپر ایلیپسائڈ) ایک ایسا ٹھوس ہے جس کے افقی حصے ایک ہی مربعیت کے پیرامیٹر کے ساتھ سپرلیپس (لیم منحنی خطوط) ہوتے ہیں، اور جس کے مرکز کے ذریعے عمودی حصے مربعیت کے پیرامیٹر کے ساتھ سپرلیپس ہوتے ہیں۔ یہ ایک ایلیپسائڈ کی عمومی شکل ہے، جو ایک خاص صورت ہے جب۔ کمپیوٹر گرافکس پرائمیٹوز کے طور پر سپرلیپسائڈز کو ایلن ایچ بار نے مقبول بنایا تھا (جس نے سپرلیپسائڈز اور سپرٹورائڈز دونوں کا حوالہ دینے کے لیے "سپرکواڈریکس" کا نام استعمال کیا تھا)۔ جدید کمپیوٹر وژن اور روبوٹکس ادب میں، سپرکواڈریکس اور سپرلیپسائڈز کو ایک دوسرے کے متبادل کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، کیونکہ سپرلیپسائڈز تمام سپرکواڈریکس میں سب سے زیادہ نمائندہ اور وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والی شکل ہیں۔ سپرلیپسائڈز میں ایک بھرپور شکل کے الفاظ ہوتے ہیں، جن میں کیوبائڈز، سلنڈرز، ایلیپسائڈز، آکٹھیڈرا اور ان کے انٹرمیڈیٹس شامل ہیں۔ یہ ایک اہم ہندسی قدیم بن جاتا ہے جو کمپیوٹر وژن، روبوٹکس اور جسمانی تخروپن میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔ سپرلیپسائڈز کے ساتھ اشیاء اور ماحول کو بیان کرنے کا بنیادی فائدہ اس کی جامعیت اور شکل میں اظہار ہے۔ مزید برآں، دو سپرلیپسائڈز کے درمیان منکوسکی رقم کا ایک بند شکل کا اظہار دستیاب ہے۔ یہ اسے روبوٹ کی گرفت، تصادم کا پتہ لگانے اور حرکت کی منصوبہ بندی کے لیے ایک مطلوبہ ہندسی قدیم بناتا ہے۔ سپرکواڈریک ویژوئلائزیشن، سیمپلنگ، اور ریکوری کے لیے مفید ٹولز اور الگورتھم یہاں اوپن سورس ہیں۔ خصوصی معاملات مٹھی بھر قابل ذکر ریاضیاتی اعداد و شمار سپرلیپسائڈز کے خصوصی معاملات کے طور پر پیدا ہو سکتے ہیں جو کہ اقدار کے درست سیٹ کو دیکھتے ہیں، جنہیں مندرجہ بالا گرافک میں دکھایا گیا ہے: سلنڈر سپیئر اسٹینمیٹز سالڈ بائیکون ریگولر آکٹاہیڈرون کیوب، ایک محدود کیس کے طور پر جہاں ایکسپوینٹس انفینٹی کی طرف مائل ہوتے ہیں۔ پیٹ ہین کے سپرریگس بھی سپرلیپسائڈز کے خصوصی معاملات ہیں۔ فارمولے بنیادی (نارملائزڈ) سپرلیپسائڈ بنیادی سپرلیپسائڈ کی تعریف مضمر فنکشن پیرامیٹرز سے کی جاتی ہے اور مثبت حقیقی اعداد ہوتے ہیں جو شکل کی مربعیت کو کنٹرول کرتے ہیں۔ سپرلیپسائڈ کی سطح کی تعریف اس مساوات سے کی جاتی ہے: کسی بھی دیئے گئے نقطہ کے لیے، نقطہ سپرلیپسائڈ کے اندر ہے اگر، اور باہر اگر۔ سپرلیپسائڈ کا کوئی بھی "عرض البلد کا متوازی" (-1 اور + 1 کے درمیان کسی بھی مستقل z پر ایک افقی سیکشن) ایک لم وکر ہے جس میں ایکسپونینٹ ہوتا ہے، جس کی پیمائش کی جاتی ہے، جو کہ کوئی بھی "طول البلد کا مریڈیئن" (اصل کے ذریعے کسی عمودی سطح کے ذریعے ایک سیکشن) ایک لم وکر ہے جس میں ایکسپونینٹ ہوتا ہے، جسے افقی طور پر ایک عنصر ڈبلیو کے ذریعے پھیلایا جاتا ہے جو سیکشننگ سطح پر منحصر ہوتا ہے۔ یعنی، اگر اور، کسی دیئے گئے حصے کے لیے، تو سیکشن وہ جگہ ہے جہاں خاص طور پر، اگر 1 ہے، تو افقی کراس سیکشن دائرے ہیں، اور عمودی حصوں کا افقی پھیلاؤ تمام طیاروں کے لیے 1 ہے۔ اس صورت میں، سپرلیپسائڈ انقلاب کا ایک ٹھوس ہے، جو عمودی محور کے ارد گرد ایکسپوینٹ کے ساتھ لیم وکر کو گھمانے سے حاصل ہوتا ہے۔ اوپری بنیادی شکل ہر کوآرڈینیٹ محور کے ساتھ −1 سے + 1 تک پھیلی ہوئی ہے۔ عام سپرلیپسائڈ ہر محور کے ساتھ بنیادی شکل کو عوامل، یعنی نتیجے میں بننے والے ٹھوس کے نیم قطر کے ذریعے اسکیل کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ مضمر فنکشن ہے۔ اسی طرح، سپرلیپسائڈ کی سطح کی تعریف مساوات کے ذریعے کی جاتی ہے۔ کسی بھی نقطہ کے لیے، نقطہ سپرلیپسائڈ کے اندر ہے اگر، اور باہر ہے اگر۔ لہذا، مضمر فنکشن کو سپرلیپسائڈ کا اندرونی-بیرونی فنکشن بھی کہا جاتا ہے۔ سطحی پیرامیٹرز کے لحاظ سے سپرلیپسائڈ کی ایک پیرامیٹرک نمائندگی ہوتی ہے۔ کمپیوٹر وژن اور روبوٹک ایپلی کیشنز میں، تھری ڈی یوکلڈین اسپیس میں عام پوز کے ساتھ ایک سپرلیپسائڈ عام طور پر زیادہ دلچسپی کا باعث ہوتا ہے۔ عالمی فریم سے متعلق سپرلیپسائڈ فریم کی دی گئی یوکلڈین تبدیلی کے لیے، عالمی فریم کی وضاحت کردہ عمومی پیش کردہ سپرلیپسائڈ سطح کا مضمر فنکشن وہ تبدیلی آپریشن ہے جو عالمی فریم میں نقطہ کو کینونکل سپرلیپسائڈ فریم میں نقشہ بناتا ہے۔ سپرلیپسائڈ کا حجم سپرلیپسائڈ کی سطح سے گھیرے ہوئے حجم کا اظہار بیٹا افعال کے لحاظ سے، یا گاما فنکشن کے مساوی طور پر کیا جا سکتا ہے، کیونکہ ڈیٹا سے بازیابی خام ڈیٹا سے سپرلیپسائڈ (یا سپرکواڈریکس) کی نمائندگی کو بازیافت کرنا (مثال کے طور پر، پوائنٹ کلاؤڈ، میش، امیجز، اور ووکسلز) کمپیوٹر وژن، روبوٹکس، اور فزیکل تخروپن میں ایک اہم کام ہے۔ روایتی کمپیوٹیشنل طریقے اس مسئلے کو کم سے کم مربع مسئلے کے طور پر پیش کرتے ہیں۔ مقصد سپرلیپسائڈ پیرامیٹرز کے بہترین سیٹ کا پتہ لگانا ہے جو ایک معروضی فنکشن کو چھوٹا بناتا ہے۔ شکل کے پیرامیٹرز کے علاوہ، ورلڈ کوآرڈینیٹ کے حوالے سے سپرلیپسائڈ فریم کی پوزیشن ہے۔ عام طور پر استعمال ہونے والے دو معروضی افعال ہیں۔ پہلا براہ راست امپلیسیٹ فنکشن کی بنیاد پر بنایا گیا ہے۔ آبجیکٹیو فنکشن کو کم سے کم کرنا تمام ان پٹ پوائنٹس کے جتنا ممکن ہو سکے کے قریب ایک بازیافت شدہ سپرلیپسائڈ فراہم کرتا ہے۔ اوسط وقت پر، اسکیلر ویلیو سپرلیپسائڈ کے حجم کے مثبت متناسب ہوتی ہے، اور اس طرح حجم کو کم کرنے کا اثر بھی ہوتا ہے۔ دوسرا معروضی فعل پوائنٹس اور سپرلیپسائڈ کے درمیان شعاعی فاصلے کو کم کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ یعنی، جہاں ای ایم ایس نامی ایک ممکنہ طریقہ شور اور آؤٹ لیئر سے نمٹنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ اس طریقہ کار میں، سپرلیپسائڈ کی بازیابی کو زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے کے مسئلے کے طور پر دوبارہ تشکیل دیا جاتا ہے، اور سپرلیپسائڈز کی ہندسی مماثلتوں کا استعمال کرتے ہوئے مقامی منیما سے بچنے کے لیے ایک اصلاح کا طریقہ تجویز کیا جاتا ہے۔ متعدد سپرلیپسائڈز کو بیک وقت بازیافت کرنے کے لیے غیر پیرامیٹرک بیسیائی تکنیکوں کے ساتھ ماڈلنگ کے ذریعے طریقہ کار کو مزید بڑھایا جاتا ہے۔ حوالہ جات ببلیوگرافی بار، "سپرکواڈریکس اینڈ اینگل پریزرویشن ٹرانسفارمیشنز"، آئی ای ای ای کمپیوٹر گرافکس اینڈ ایپلی کیشنز میں، جلد۔ 1، نہیں۔ 1، پی پی۔ 11-23، جنوری 1981، ڈوئی: 10.1109/MCG.1981.1673799۔ الیش جاکلیچ، الیش لیونارڈس، فرینک سولینا، سیگمنٹشن اینڈ ریکوری آف سپرکواڈریکس۔ کلوور اکیڈمک پبلشرز، ڈورڈرچٹ، 2000۔ الیش جاکلیچ، فرینک سولینا (2003) مومنٹ آف سپرلیپسائڈز اینڈ دیئر ایپلیکیشن ٹو رینج امیج رجسٹریشن۔ سسٹمز، مین، اور سائبرنیٹکس پر IEEE ٹرانسمیشنز، 33 (4)۔ پی پی۔ 648-657 ڈبلیو لیو، وائی وو، ایس روآن اور جی ایس چیرکجیان، "مضبوط اور درست سپرکواڈریک ریکوری: ایک ممکنہ نقطہ نظر"، 2022 آئی ای ای ای/سی وی ایف کانفرنس آن کمپیوٹر ویژن اینڈ پیٹرن ریکگنیشن (سی وی پی آر)، نیو اورلینز، ایل اے، یو ایس اے، 2022، پی پی۔ 2666-2675، ڈوئی: 10.1109/CVPR52688.2022.00270۔ بیرونی روابط کتابیات: سپر کواڈریک نمائشیں سپر کواڈریک ٹینسر گلیفس سپر کواڈریک ایلیپسائڈز اور ٹورائڈز، اوپن جی ایل لائٹنگ، اور ٹائمنگ سپر کواڈریٹکس بذریعہ رابرٹ کریگلر، دی وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ۔ سپرکواڈریکس ریکوری الگورتھم ان ازگر اور میٹ لیب کمپیوٹر گرافکس کمپیوٹر وژن روبوٹکس جیومیٹری ان کمپیوٹر وژن