Eight-vertex model
شماریاتی میکانکس میں، آٹھ ورٹیکس ماڈل آئس ٹائپ (چھ ورٹیکس) ماڈلز کی عمومی شکل ہے۔ اس پر سدھرلینڈ، اور فین اینڈ وو نے بحث کی تھی، اور صفر فیلڈ کیس میں بیکسٹر نے اسے حل کیا تھا۔ تفصیل برف کی قسم کے ماڈلز کی طرح، آٹھ ورٹیکس ماڈل ایک مربع جالی ماڈل ہے، جہاں ہر حالت ایک سرے پر تیروں کی ترتیب ہوتی ہے۔ اجازت شدہ چوٹیوں میں عمودی کی طرف اشارہ کرنے والے تیروں کی یکساں تعداد ہوتی ہے۔ ان میں برف کی قسم کے ماڈل (1-6) سے وراثت میں ملنے والے چھ، اور سنک اور ذرائع (7، 8) شامل ہیں۔ ہم عمودی اور کناروں والی جالی پر غور کرتے ہیں۔ وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز نافذ کرنے کے لیے ضروری ہے کہ اسٹیٹس 7 اور 8 یکساں طور پر اکثر واقع ہوں، جیسا کہ اسٹیٹس 5 اور 6 ہوتے ہیں، اور اس طرح ایک ہی توانائی حاصل کی جا سکتی ہے۔ صفر فیلڈ کیس کے لیے دو دیگر جوڑوں کی حالتوں کے لیے بھی یہی سچ ہے۔ ہر ورٹیکس میں ایک وابستہ توانائی اور بولٹزمین وزن ہوتا ہے، جو جالی کے اوپر پارٹیشن فنکشن دیتا ہے جہاں جالی میں عمودی کی تمام اجازت شدہ ترتیبات کا مجموعہ ہوتا ہے۔ اس عمومی شکل میں پارٹیشن فنکشن غیر حل شدہ رہتا ہے۔ صفر فیلڈ کیس میں حل ماڈل کا صفر فیلڈ کیس جسمانی طور پر بیرونی برقی شعبوں کی عدم موجودگی سے مطابقت رکھتا ہے۔ لہذا، ماڈل تمام تیروں کے الٹ جانے کے تحت تبدیل نہیں ہوتا ہے ؛ ریاستیں 1 اور 2، اور 3 اور 4، نتیجتا جوڑوں کے طور پر واقع ہونی چاہئیں۔ عمودی کو صوابدیدی وزن تفویض کیا جا سکتا ہے حل اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ ٹرانسفر میٹرکس میں قطاریں ان چار بولٹزمین وزن کے ایک مخصوص پیرامیٹریشن کے لیے سفر کرتی ہیں۔ یہ چھ ورٹیکس ماڈل کے لیے ایک متبادل حل کی ترمیم کے طور پر سامنے آیا ؛ یہ ایلیپٹک تھیٹا افعال کا استعمال کرتا ہے۔ آمد و رفت منتقلی میٹرکس ثبوت اس حقیقت پر منحصر ہے کہ کب اور مقدار کے لیے منتقلی میٹرکس اور (وزن،،، اور،، سے وابستہ) آمد و رفت کرتے ہیں۔ اسٹار-مثلث کے تعلق کا استعمال کرتے ہوئے، بیکسٹر نے اس حالت کو فکسڈ ماڈیولس اور متغیر کے طور پر دیئے گئے وزن کے پیرامیٹریشن کے مساوی کے طور پر اصلاح کی۔ یہاں ایس این ایچ ایس این کا ہائپربولک ینالاگ ہے، جو ماڈیولس کے تھیٹا افعال کے ذریعہ دیا گیا ہے اور ہیں۔ اس طرح منسلک ٹرانسفر میٹرکس اکیلے کا فنکشن ہے۔ سب کے لیے، میٹرکس فنکشن حل کا دوسرا اہم حصہ ایک نان سنگولر میٹرکس ویلیوڈ فنکشن کا وجود ہے، جیسے کہ تمام کمپلیکس کے لیے میٹرکس ایک دوسرے کے ساتھ اور ٹرانسفر میٹرکس کے ساتھ کامیوٹ کرتے ہیں، اور اس بات کو پورا کرتے ہیں کہ اس طرح کے فنکشن کے وجود اور تبادلوں کے تعلقات کا مظاہرہ ایک ورٹیکس کے ذریعے جوڑے کے پھیلاؤ، اور تھیٹا افعال کے دورانیے کے تعلقات پر غور کرکے کیا جاتا ہے، اسی طرح چھ ورٹیکس ماڈل کی طرح۔ واضح حل () میں میٹرکس کی تبدیلی انہیں اخترن کرنے کی اجازت دیتی ہے، اور اس طرح آئجن ویلیوز مل سکتی ہیں۔ پارٹیشن فنکشن کا حساب زیادہ سے زیادہ آئجین ویلیو سے کیا جاتا ہے، جس کے نتیجے میں فی سائٹ مفت توانائی ہوتی ہے جہاں اور ماڈیولی اور کے مکمل ایلیپٹک انٹیگرلز ہیں۔ آٹھ ورٹیکس ماڈل کو بھی کواسی کرسٹل میں حل کیا گیا تھا۔ آئزنگ ماڈل کے ساتھ مساوات آٹھ ورٹیکس ماڈل، اور 2-اسپن اور 4-اسپن قریبی پڑوسی تعاملات کے ساتھ آئزنگ ماڈل کے درمیان ایک قدرتی خط و کتابت ہے۔ اس ماڈل کی ریاستیں مربع جالی کے چہروں پر گھومتی ہیں۔ آٹھ ورٹیکس ماڈل میں 'کناروں' کا ینالاگ ملحقہ چہروں پر گھماؤ کی مصنوعات ہیں: اس ماڈل کے لیے توانائی کی سب سے عام شکل یہ ہے کہ، افقی، عمودی اور دو اخترن 2-اسپن تعاملات کو بیان کریں، اور ایک سرے پر چار چہروں کے درمیان 4-اسپن تعامل کو بیان کریں ؛ مجموعہ پوری جالی پر ہوتا ہے۔ ہم بالترتیب آٹھ ورٹیکس ماڈل میں افقی اور عمودی گھماؤ (کناروں پر تیر) کی نشاندہی کرتے ہیں، اور مثبت سمتوں کے طور پر اوپر اور دائیں کی وضاحت کرتے ہیں۔ ورٹیکس ریاستوں پر پابندی یہ ہے کہ ورٹیکس پر چار کناروں کا پروڈکٹ 1 ہے ؛ یہ خود بخود آئزنگ 'کناروں' کے لیے ہوتا ہے۔ ہر ترتیب پھر ایک منفرد، ترتیب سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ ہر، ترتیب ترتیب کے دو انتخاب فراہم کرتی ہے۔ ہر ورٹیکس کے لیے بولٹزمین وزن کی عمومی شکلوں کو مساوی کرتے ہوئے، اور،، کے درمیان درج ذیل تعلقات، جالی کے ماڈلز کے درمیان خط و کتابت کی وضاحت کرتے ہیں: اس کے بعد آٹھ ورٹیکس ماڈل کے صفر فیلڈ کیس میں، متعلقہ آئزنگ ماڈل میں افقی اور عمودی تعاملات ختم ہو جاتے ہیں۔ یہ تعلقات آٹھ ورٹیکس ماڈل کے پارٹیشن افعال اور 2,4 اسپن آئزنگ ماڈل کے درمیان مساوات فراہم کرتے ہیں۔ نتیجتا کسی بھی ماڈل میں ایک حل فوری طور پر دوسرے میں حل کی طرف لے جائے گا۔ سکس ورٹیکس ماڈل ٹرانسفر میٹرکس طریقہ آئزنگ ماڈل نوٹ حوالہ جات بالکل قابل حل ماڈل شماریاتی میکانکس لیٹیس ماڈل بھی دیکھیں۔