Rational number
ریاضیات میں، عقلی عدد وہ عدد ہے جسے دو عدد، ایک عدد اور ایک غیر صفر ڈینومینیٹر کے حصص یا فریکشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک عقلی عدد ہے، جیسا کہ ہر عدد (مثال کے طور پر، تمام عقلی اعداد کا مجموعہ، جسے "ریشنلز" بھی کہا جاتا ہے، ریشنلز کا میدان یا عقلی اعداد کا میدان عام طور پر بولڈ فیس، یا بلیک بورڈ بولڈ سے ظاہر ہوتا ہے۔ ایک عقلی عدد ایک حقیقی عدد ہے۔ حقیقی اعداد جو عقلی ہوتے ہیں وہ ہوتے ہیں جن کی اعشاریہ توسیع یا تو ہندسوں کی ایک محدود تعداد کے بعد ختم ہو جاتی ہے (مثال:)، یا آخر کار ہندسوں کی ایک ہی محدود ترتیب کو بار بار دہرانا شروع کر دیتی ہے (مثال:)۔ یہ بیان نہ صرف بیس 10 میں درست ہے، بلکہ ہر دوسرے عدد بیس میں بھی درست ہے، جیسے کہ بائنری اور ہیکساڈیسیمل والے (دیکھیں)۔ ایک حقیقی عدد جو عقلی نہیں ہے، غیر معقول کہلاتا ہے۔ غیر معقول اعداد میں 2 کا مربع جڑ، اور سنہری تناسب () شامل ہیں۔ چونکہ عقلی اعداد کا مجموعہ قابل شمار ہے، اور حقیقی اعداد کا مجموعہ ناقابل شمار ہے، اس لیے تقریبا تمام حقیقی اعداد غیر معقول ہیں۔ متناسب اعداد کو رسمی طور پر انٹیجرز کے جوڑوں کی مساوات کی کلاسوں کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جس میں مساوات کے تعلق کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل بیان کیا گیا ہے: اس کے بعد فریکشن کی مساوات کی کلاس کو ظاہر کرتا ہے۔ متناسب اعداد جمع اور ضرب کے ساتھ مل کر ایک فیلڈ تشکیل دیتے ہیں جس میں انٹیجرز ہوتے ہیں، اور انٹیجرز پر مشتمل کسی بھی فیلڈ میں موجود ہوتے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، عقلی اعداد کا فیلڈ ایک پرائم فیلڈ ہے، اور کسی فیلڈ کی خصوصیت صفر ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں عقلی اعداد ذیلی فیلڈ کے طور پر ہوں۔ کی محدود توسیعات کو الجبرائی نمبر فیلڈز کہا جاتا ہے، اور کی الجبرائی بندش الجبرائی نمبروں کا میدان ہے۔ ریاضیاتی تجزیے میں، عقلی اعداد حقیقی اعداد کا ایک گھنے ذیلی مجموعہ بناتے ہیں۔ حقیقی اعداد کو عقلی اعداد سے تکمیل کے ذریعے تعمیر کیا جا سکتا ہے، کاچی ترتیبات، ڈیڈیکائنڈ کٹ، یا لامحدود اعشاریہ جات کا استعمال کرتے ہوئے (حقیقی اعداد کی تعمیر دیکھیں)۔ سیٹ کے حوالے سے عقلی اصطلاح اس حقیقت سے مراد ہے کہ ایک عقلی نمبر دو عددوں کے تناسب کی نمائندگی کرتا ہے۔ ریاضی میں، "عقلی" کو اکثر اسم کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے جس کا مخفف "عقلی عدد" ہوتا ہے۔ صفت عقلی کا بعض اوقات مطلب یہ ہوتا ہے کہ کوفیشنٹس عقلی اعداد ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک عقلی نقطہ عقلی نقاط والا ایک نقطہ ہے (یعنی، ایک نقطہ جس کے نقاط عقلی اعداد ہیں) ؛ ایک عقلی میٹرکس عقلی اعداد کا ایک میٹرکس ہے۔ ایک عقلی کثیر الجہتی عقلی گتانک کے ساتھ ایک کثیر الجہتی ہو سکتا ہے، حالانکہ "عقلی اظہار" اور "عقلی فعل" کے درمیان الجھن سے بچنے کے لیے "عقلی پر کثیر الجہتی" کی اصطلاح کو عام طور پر ترجیح دی جاتی ہے (ایک کثیر الجہتی ایک عقلی اظہار ہے اور ایک عقلی فعل کی وضاحت کرتا ہے، چاہے اس کے گتانک عقلی اعداد نہ ہوں)۔ تاہم، ایک عقلی منحنی خطوط ایک ایسا منحنی خطوط نہیں ہے جس کی وضاحت عقلیتوں پر کی گئی ہو، بلکہ ایک ایسا منحنی خطوط ہے جسے عقلی افعال کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ آج کل عقلی اعداد کی تعریف تناسب کے لحاظ سے کی جاتی ہے، لیکن عقلی اصطلاح تناسب سے ماخوذ نہیں ہے۔ اس کے برعکس، یہ وہ تناسب ہے جو عقلی سے ماخوذ ہے: اس کے جدید معنی کے ساتھ تناسب کے پہلے استعمال کی تصدیق انگریزی میں تقریبا 1660 میں ہوئی تھی، جبکہ کوالیفائنگ نمبروں کے لیے عقلی کا استعمال تقریبا ایک صدی قبل 1570 میں ظاہر ہوا تھا۔ عقلی کا یہ معنی غیر منطقی کے ریاضیاتی معنی سے آیا ہے، جو پہلی بار 1551 میں استعمال ہوا تھا، اور یہ "یوکلڈ کے ترجمے (اس کے مخصوص استعمال کے بعد)" میں استعمال ہوا تھا۔ یہ غیر معمولی تاریخ اس حقیقت سے شروع ہوئی کہ قدیم یونانیوں نے "خود کو ان [غیر معقول] لمبائی کو اعداد کے طور پر سوچنے سے منع کر کے بدعت سے گریز کیا۔" لہذا اس طرح کی لمبائی غیر منطقی تھی، غیر منطقی کے معنی میں، یعنی "اس کے بارے میں بات نہیں کی جانی چاہیے" (یونانی میں)۔ یہ صفت خیالی اعداد اور حقیقی اعداد سے ملتی جلتی ہے۔ ریاضی کا ناقابل کٹوتی فریکشن ہر عقلی نمبر کو ایک منفرد انداز میں ایک ناقابل کٹوتی فریکشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں اور کوپرائم انٹیجر ہیں اور۔ اسے اکثر عقلی عدد کی کینونکل شکل کہا جاتا ہے۔ عقلی عدد سے شروع کرتے ہوئے اس کی کینونکل شکل کو تقسیم کرکے اور ان کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے، اور، اگر، نتیجے میں آنے والے عدد اور ڈینومینیٹر کی علامت کو تبدیل کیا جائے۔ انٹیجرز کی سرایت کسی بھی عدد کو عقلی عدد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو کہ ایک عقلی عدد کے طور پر اس کی مستند شکل ہے۔ مساوات اگر اور صرف اس صورت میں اگر دونوں کفنشن کینونکل شکل میں ہوں، تو: اگر اور صرف اگر اور آرڈر کرنا اگر دونوں ڈینومینیٹر مثبت ہوں (خاص طور پر اگر دونوں کفنشن کینونکل شکل میں ہوں): اگر اور صرف اس صورت میں جب دوسری طرف، اگر کوئی بھی ڈینومینیٹر منفی ہو، تو منفی ڈینومینیٹر والے ہر کفن کو پہلے مثبت ڈینومینیٹر کے ساتھ مساوی شکل میں تبدیل کیا جانا چاہیے-اس کے عددی اور ڈینومینیٹر دونوں کی علامتوں کو تبدیل کرکے۔ اضافہ دو فریکشنز کو مندرجہ ذیل طور پر شامل کیا جاتا ہے: اگر دونوں فریکشنز کینونکل شکل میں ہیں، تو نتیجہ کینونکل شکل میں ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوپرائم انٹیجر ہوں۔ گھٹاؤ اگر دونوں فریکشن کینونکل شکل میں ہیں، تو نتیجہ کینونکل شکل میں ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوپرائم انٹیجر ہوں۔ ضرب ضرب کا قاعدہ یہ ہے: جہاں نتیجہ ایک قابل تخفیف حصہ ہو سکتا ہے-چاہے دونوں اصل حصے کینونکل شکل میں ہوں۔ الٹا ہر عقلی عدد کا ایک اضافی الٹا ہوتا ہے، جسے اکثر اس کا مخالف کہا جاتا ہے، اگر کینونکل شکل میں ہے، تو یہ اس کے مخالف کے لیے بھی درست ہے۔ ایک غیر صفر عقلی عدد کا ضرب الٹا ہوتا ہے، جسے اس کا باہمی بھی کہا جاتا ہے، اگر کینونکل شکل میں ہے، تو اس کے باہمی کی کینونکل شکل یا تو ہوتی ہے یا اس کی علامت پر منحصر ہوتی ہے۔ تقسیم اگر غیر صفر ہیں، تو تقسیم کا قاعدہ ہے۔ اس طرح، تقسیم کرنا ایکسپونینٹیشن کے ریسیکروکل سے انٹیجر پاور سے ضرب دینے کے مساوی ہے۔ اگر یہ ایک غیر منفی عدد ہے، تو نتیجہ کینونکل شکل میں ہوتا ہے اگر یہ اس کے لیے درست ہے۔ خاص طور پر، اگر، پھر اگر کینونکل شکل میں ہے، تو نتیجہ کی کینونکل شکل ہے اگر یا ہے۔ بصورت دیگر، نتیجہ کی کینونکل شکل مسلسل فریکشن کی نمائندگی ہے ایک محدود مسلسل فریکشن ایک اظہار ہے جیسے کہ انٹیجر کہاں ہیں۔ ہر عقلی عدد کو ایک محدود مسلسل فریکشن کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، جس کے کوفیشنٹس کا تعین یوکلڈین الگورتھم کو لاگو کرکے کیا جا سکتا ہے۔ دیگر نمائشیں عام فریکشن: مخلوط عدد: ونکولم کا استعمال کرتے ہوئے اعشاریہ کو دہرانا: قوسین کا استعمال کرتے ہوئے اعشاریہ کو دہرانا: روایتی ٹائپگرافی کا استعمال کرتے ہوئے مسلسل فریکشن: مختصر اشارے میں مسلسل فریکشن: مصری فریکشن: پرائم پاور سڑنا: اقتباس اشارے: ایک ہی عقلی قدر کی نمائندگی کرنے کے مختلف طریقے ہیں۔ رسمی تعمیر عقلی اعداد کو انٹیجرز کے ترتیب شدہ جوڑوں کی مساوات کی کلاسوں کے طور پر بنایا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، اس طرح کے انٹیجرز کے جوڑوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ اس سیٹ پر مساوات کے تعلق کو اضافہ کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے اور ضرب کو درج ذیل اصولوں کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے: یہ مساوات کا تعلق ایک ہم آہنگی کا تعلق ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ اوپر بیان کردہ اضافہ اور ضرب کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے۔ عقلی اعداد کا سیٹ اس مساوات کے تعلق کے ذریعہ مقرر کردہ حصص کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جو اوپر کی کارروائیوں سے پیدا ہونے والے اضافے اور ضرب سے لیس ہے۔ (یہ تعمیر کسی بھی انٹیگرل ڈومین کے ساتھ کی جا سکتی ہے اور اس کے فریکشن کا میدان پیدا کرتی ہے۔) ایک جوڑے کی مساوات کی کلاس کو دو جوڑوں سے ظاہر کیا جاتا ہے اور ایک ہی مساوات کی کلاس سے تعلق رکھتا ہے (جو کہ مساوی ہے) اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر مساوات کی کلاس کی نمائندگی لامحدود طور پر کئی جوڑوں سے کی جا سکتی ہے، کیونکہ ہر مساوات کی کلاس میں ایک منفرد کینونکل نمائندہ عنصر ہوتا ہے۔ کینونکل نمائندہ مساوات کی کلاس میں منفرد جوڑا ہے جیسے کہ اور کوپرائم ہیں، اور۔ اسے عقلی عدد کی سب سے کم اصطلاحات میں نمائندگی کہا جاتا ہے۔ انٹیجرز کو عقلی نمبر سمجھا جا سکتا ہے جو عقلی نمبر کے ساتھ انٹیجر کی شناخت کرتے ہیں۔ ایک کل ترتیب کو عقلی نمبروں پر بیان کیا جا سکتا ہے، جو انٹیجرز کی قدرتی ترتیب کو بڑھاتا ہے۔ ایک کے پاس ہے اگر خصوصیات تمام عقلی اعداد کا مجموعہ، اوپر دکھائے گئے اضافے اور ضرب کی کارروائیوں کے ساتھ مل کر ایک فیلڈ بناتا ہے۔ شناخت کے علاوہ کوئی فیلڈ آٹومورفزم نہیں ہے۔ (ایک فیلڈ آٹومورفزم کو 0 اور 1 کو فکس کرنا چاہیے ؛ جیسا کہ اسے دو فکسڈ عناصر کے مجموعے اور فرق کو فکس کرنا چاہیے، اسے ہر عدد کو فکس کرنا چاہیے ؛ جیسا کہ اسے دو فکسڈ عناصر کے حصص کو فکس کرنا چاہیے، اسے ہر عقلی نمبر کو فکس کرنا چاہیے، اور اس طرح یہ شناخت ہے۔) ایک پرائم فیلڈ ہے، جو ایک ایسا فیلڈ ہے جس کا اپنے علاوہ کوئی ذیلی فیلڈ نہیں ہے۔ ریشنلز سب سے چھوٹی فیلڈ ہیں جن کی خصوصیت صفر ہے۔ اوپر بیان کردہ ترتیب کے ساتھ، ایک ترتیب شدہ فیلڈ ہے جس کا اپنے علاوہ کوئی ذیلی فیلڈ نہیں ہے، اور یہ سب سے چھوٹا ترتیب شدہ فیلڈ ہے، اس معنی میں کہ ہر ترتیب شدہ فیلڈ میں ایک منفرد ذیلی فیلڈ آئسومورفک ہوتا ہے جو انٹیجرز کے فریکشنز کا فیلڈ ہوتا ہے۔ عقلی کثیر الجہتی کے جڑوں کا میدان، الجبرائی اعداد کا میدان ہے۔ عقلی ایک گھنے ترتیب والا مجموعہ ہے: کسی بھی دو عقلی کے درمیان، ایک اور ہوتا ہے، اور اس لیے، لامحدود طور پر بہت سے دوسرے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کسی بھی دو حصوں کے لیے جیسے کہ (جہاں مثبت ہیں)، ہمارے پاس کوئی بھی مکمل طور پر ترتیب شدہ سیٹ ہے جو قابل گنتی، گھنے (مندرجہ بالا معنوں میں) ہے، اور جس میں عقلی اعداد کے لیے کوئی کم سے کم یا سب سے بڑا عنصر آرڈر آئسومورفک نہیں ہے۔ گنتی تمام عقلی اعداد کا مجموعہ قابل گنتی ہے، جیسا کہ دائیں طرف کی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ چونکہ ایک عقلی عدد کو دو عددوں کے تناسب کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اس لیے کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کی طرح مربع جالی پر کسی بھی نقطہ کے لیے دو عدد اس طرح تفویض کرنا ممکن ہے کہ کوئی بھی گرڈ پوائنٹ عقلی عدد سے مطابقت رکھتا ہو۔ تاہم، یہ طریقہ بے کار پن کی ایک شکل کو ظاہر کرتا ہے، کیونکہ کئی مختلف گرڈ پوائنٹس ایک ہی عقلی نمبر سے مطابقت رکھتے ہیں۔ انہیں فراہم کردہ گرافک پر سرخ رنگ میں نمایاں کیا گیا ہے۔ نیچے دائیں طرف ترچھے جانے والی لکیر میں ایک واضح مثال دیکھی جا سکتی ہے۔ اس طرح کے تناسب ہمیشہ 1 کے برابر ہوں گے، کیونکہ کوئی بھی غیر صفر نمبر جسے خود سے تقسیم کیا جائے تو ہمیشہ ایک کے برابر ہوگا۔ اس طرح کی بے کاریوں کے بغیر تمام عقلی اعداد پیدا کرنا ممکن ہے: مثالوں میں کالکن-ولف ٹری اور سٹرن-بروکوٹ ٹری شامل ہیں۔ چونکہ تمام عقلی اعداد کا مجموعہ قابل شمار ہے، اور تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ (نیز غیر معقول اعداد کا مجموعہ) ناقابل شمار ہے، اس لیے عقلی اعداد کا مجموعہ ایک کالعدم مجموعہ ہے، یعنی تقریبا تمام حقیقی اعداد غیر معقول ہیں، لیبسیگ پیمائش کے معنی میں۔ حقیقی اعداد اور ٹپوولوجیکل خصوصیات ریشنلز حقیقی اعداد کا ایک گھنے ذیلی مجموعہ ہیں۔ ہر حقیقی نمبر میں ریشنل نمبر من مانی طور پر اس کے قریب ہوتے ہیں۔ ایک متعلقہ خاصیت یہ ہے کہ عقلی اعداد واحد اعداد ہیں جن میں باقاعدہ مسلسل حصوں کے طور پر محدود توسیع ہوتی ہے۔ حقیقی اعداد کی معمول کی ٹوپولوجی میں، ریشنل نہ تو ایک کھلا سیٹ ہوتے ہیں اور نہ ہی ایک بند سیٹ۔ ان کے آرڈر کی وجہ سے، عقلی ایک آرڈر ٹوپولوجی رکھتے ہیں۔ عقلی اعداد، حقیقی اعداد کی ذیلی جگہ کے طور پر، ایک ذیلی جگہ کی ٹوپولوجی بھی رکھتے ہیں۔ عقلی اعداد مطلق فرق میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے ایک میٹرک اسپیس بناتے ہیں اور اس سے تینوں ٹوپولوجیز پر ایک تیسری ٹوپولوجی حاصل ہوتی ہے اور عقلی کو ٹوپولوجیکل فیلڈ میں بدل دیتی ہے۔ عقلی اعداد ایک ایسی جگہ کی ایک اہم مثال ہیں جو مقامی طور پر کمپیکٹ نہیں ہے۔ ریشنلز کو ٹپوولوجیکل طور پر الگ تھلگ پوائنٹس کے بغیر منفرد قابل پیمائش جگہ کے طور پر نمایاں کیا جاتا ہے۔ جگہ بھی مکمل طور پر منقطع ہے۔ عقلی اعداد ایک مکمل میٹرک اسپیس نہیں بناتے ہیں، اور حقیقی اعداد مندرجہ بالا میٹرک کے تحت کی تکمیل ہیں۔ پی-اڈک نمبر اوپر بیان کردہ مطلق ویلیو میٹرک کے علاوہ، دیگر میٹرکس بھی ہیں جو ٹپوولوجیکل فیلڈ میں بدل جاتے ہیں: فرض کریں کہ ایک پرائم نمبر ہے اور کسی بھی غیر صفر عدد کے لیے، فرض کریں کہ تقسیم کرنے کی سب سے زیادہ طاقت کہاں ہے۔ اس کے علاوہ سیٹ کسی بھی عقلی نمبر کے لیے جو ہم سیٹ کرتے ہیں پھر اس پر میٹرک کی وضاحت کرتا ہے۔ میٹرک اسپیس مکمل نہیں ہے، اور اس کی تکمیل-اڈک نمبر فیلڈ ہے۔ آسٹرووسکی کا نظریہ بتاتا ہے کہ عقلی نمبروں پر کوئی بھی غیر معمولی مطلق قدر معمول کی حقیقی مطلق قدر یا-اڈک مطلق قدر کے مساوی ہے۔ ڈائڈک ریشنل فلوٹنگ پوائنٹ فورڈ سرکلز گاؤسیئن ریشنل نائیو اونچائی-سب سے کم اصطلاح میں ایک ریشنل نمبر کی اونچائی نیوین کے تھیوریم ریشنل ڈیٹا ٹائپ ڈیوائن تناسب: ریشنل ٹریگونومیٹری سے یونیورسل جیومیٹری حوالہ جات بیرونی لنکس "ریشنل نمبر" ریاضی کی دنیا سے-ایک وولفرم ویب ریسورس ایلیمنٹری ریاضی فیلڈ (ریاضی) فریکشنز (ریاضی) حقیقی اعداد کے سیٹ