Lee–Yang theorem
شماریاتی میکانکس میں، لی-یانگ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اگر فیرومیگنیٹک تعاملات کے ساتھ شماریاتی فیلڈ تھیوری میں کچھ ماڈلز کے پارٹیشن افعال کو بیرونی فیلڈ کے افعال کے طور پر سمجھا جاتا ہے، تو تمام صفر خالصتا خیالی ہوتے ہیں (یا متغیر کی تبدیلی کے بعد یونٹ دائرے پر)۔ اس کا پہلا ورژن آئزنگ ماڈل کے لیے ثابت ہوا۔ ان کے نتائج کو بعد میں کئی لوگوں نے مزید عام ماڈلز تک بڑھا دیا۔ اسانو نے 1970 میں لی-یانگ تھیوریم کو ہائزن برگ ماڈل تک بڑھایا اور اسانو سنکچن کا استعمال کرتے ہوئے ایک آسان ثبوت فراہم کیا۔ لی-یانگ تھیوریم کو آئزنگ ماڈلز کی سپرپوزیشن کے ذریعے ان کا تخمینہ لگا کر کچھ مسلسل امکانات کی تقسیم تک بڑھایا۔ ایک عمومی نظریہ دیا جس میں کہا گیا ہے کہ لی-یانگ نظریہ فیرومیگنیٹک تعامل کے لیے ہے بشرطیکہ یہ صفر تعامل کے لیے ہو۔ آر پر اقدامات سے لے کر اعلی جہتی یوکلڈین اسپیس پر اقدامات تک نیومین کے نتائج کو عام کیا۔ لی-یانگ تھیوریم اور ریمن زیٹا فنکشن کے بارے میں ریمن مفروضے کے درمیان تعلق کے بارے میں کچھ قیاس آرائیاں کی گئی ہیں۔ دیکھیں۔ ہیملٹنین میں رسمی شکل کے ساتھ بیان اس طرح دیا جاتا ہے جہاں Sj کے اسپن متغیر ہیں، zj بیرونی فیلڈ۔ اس نظام کو فیرومیگنیٹک کہا جاتا ہے اگر تعامل کی اصطلاح جے جے کے کے تمام گتانک غیر منفی حقیقی ہوں۔ پارٹیشن فنکشن اس طرح دیا جاتا ہے جہاں ہر dμj حقیقی R پر ایک یکساں پیمائش ہے جو انفینیٹی پر اتنی تیزی سے کم ہو رہی ہے کہ تمام گاؤسی فنکشن انٹیگریبل ہیں، یعنی۔ حقیقی پر تیزی سے کم ہونے والی پیمائش کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں لی-یانگ پراپرٹی ہے اگر اس کے فورئیر ٹرانسفارم کے تمام صفر درج ذیل کے طور پر حقیقی ہیں۔ نظریہ لی-یانگ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر ہیملٹنین فیرومیگنیٹک ہے اور تمام پیمائشوں dμj میں لی-یانگ پراپرٹی ہے، اور تمام اعداد zj میں مثبت حقیقی حصہ ہے، تو پارٹیشن فنکشن غیر صفر ہے۔ خاص طور پر اگر تمام اعداد zj کسی نمبر z کے برابر ہیں، تو پارٹیشن فنکشن کے تمام صفر (z کی فنکشن کے طور پر سمجھے جاتے ہیں) خیالی ہیں۔ لی اور یانگ کے زیر غور اصل آئزنگ ماڈل کیس میں، تمام اقدامات کو 2 پوائنٹ سیٹ −1,1 پر سپورٹ حاصل ہے، لہذا پارٹیشن فنکشن کو متغیر ρ = eπz کا فنکشن سمجھا جا سکتا ہے۔ متغیر کی اس تبدیلی کے ساتھ لی-یانگ تھیوریم کا کہنا ہے کہ تمام صفر ρ اکائی دائرے پر ہوتے ہیں۔ لی-یانگ خاصیت کے ساتھ پیمائش کی کچھ مثالیں یہ ہیں: آئزنگ ماڈل کی پیمائش، جس میں دو پوائنٹس (عام طور پر 1 اور-1) پر مشتمل سپورٹ ہوتی ہے جس میں ہر ایک کا وزن 1/2 ہوتا ہے۔ یہ اصل کیس ہے جس پر لی اور یانگ نے غور کیا۔ اسپن n/2 کی تقسیم، جس کی حمایت میں n + 1 مساوی فاصلے والے پوائنٹس ہوتے ہیں، ہر ایک کا وزن 1/(n + 1) ہوتا ہے۔ یہ آئزنگ ماڈل کیس کی عمومی شکل ہے۔ پیمائش کی کثافت یکساں طور پر −1 اور 1 کے درمیان تقسیم ہوتی ہے۔ کثافت مثبت λ اور حقیقی b کے لیے کثافت۔ یہ (φ4) 2 یوکلڈین کوانٹم فیلڈ تھیوری سے مطابقت رکھتا ہے۔ مثبت λ کی کثافت میں ہمیشہ لی-یانگ خاصیت نہیں ہوتی ہے۔ اگر ڈی ایم یو میں لی-یانگ پراپرٹی ہے، تو اسی طرح کسی بھی مثبت بی کے لیے ایکسپ (بی ایس 2) ڈی ایم یو ہوتا ہے۔ اگر ڈی ایم یو میں لی-یانگ پراپرٹی ہے، تو اسی طرح کسی بھی یکساں کثیر الجہتی کیو کے لیے کیو (ایس) ڈی ایم یو کرتا ہے جس کے تمام صفر خیالی ہیں۔ لی-یانگ پراپرٹی کے ساتھ دو اقدامات کے ارتقاء میں بھی لی-یانگ پراپرٹی ہے۔ لی-یانگ تھیوری حوالہ جات یانگ چن-ننگ سونگ-ڈاؤ لی شماریاتی میکانکس تھیوریم بھی دیکھیں۔