Möbius configuration
جیومیٹری میں، موبیئس کنفیگریشن یا موبیئس ٹیٹراڈز یوکلڈین اسپیس یا پروجیکٹو اسپیس میں ایک مخصوص کنفیگریشن ہے، جو دو ٹیٹراہیڈرا پر مشتمل ہے جو باہمی طور پر کندہ ہیں: ایک ٹیٹراہیڈرون کا ہر ایک ورٹیکس دوسرے ٹیٹراہیڈرون کے فیس پلین پر واقع ہے اور اس کے برعکس۔ اس طرح، آٹھ نکات اور آٹھ طیاروں کے نتیجے میں بننے والے نظام کے لیے، ہر نقطہ چار طیاروں پر ہوتا ہے (تین طیارے جو اسے ٹیٹرا ہیڈرون کے سرے کے طور پر بیان کرتے ہیں اور چوتھا طیارہ دوسرے ٹیٹرا ہیڈرون سے جس پر یہ واقع ہے)، اور ہر طیارہ چار پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے (اس کے چہرے کے تین ٹیٹرا ہیڈرون سرے، اور دوسرے ٹیٹرا ہیڈرون سے سرے جو اس پر واقع ہے)۔ موبیئس تھیوریم ترتیب کا نام اگست فرڈینینڈ موبیئس کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1828 میں یہ ثابت کیا کہ اگر دو ٹیٹراہیڈرا کی خاصیت یہ ہے کہ ان کے سات عمودی حصے دوسرے ٹیٹراہیڈرون کے متعلقہ چہرے کے طیاروں پر پڑے ہیں، تو آٹھواں عمودی حصہ بھی اس کے متعلقہ چہرے کے سطح پر واقع ہے، جس سے اس قسم کی تشکیل ہوتی ہے۔ یہ انسیڈینس تھیوریم عام طور پر تین جہتی پروجیکٹو اسپیس میں زیادہ درست ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پیپس کا تھیوریم اس اسپیس (ریڈمیسٹر، شون ہارٹ) کے لیے درست ہو، اور یہ ڈویژن رنگ پر بنائے گئے تین جہتی اسپیس ماڈل کے لیے درست ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب رنگ مطمئن ہو۔ تبادلہ قانون اور اس وجہ سے ایک فیلڈ (الدھہیر) ہے۔ پروجیکٹو ڈوئلٹی کے لحاظ سے، موبیئس کا نتیجہ اس بیان کے مساوی ہے کہ، اگر دو ٹیٹراہیڈرا کے آٹھ میں سے سات چہرے والے طیاروں میں دوسرے ٹیٹراہیڈرون کے متعلقہ عمودی حصے ہوتے ہیں، تو آٹھویں چہرے والے طیارے میں بھی وہی عمودی حصہ ہوتا ہے۔ تعمیر ترتیب کے لیے ایک سادہ تعمیر کی وضاحت کرتی ہے۔ یوکلیڈین خلا میں ایک صوابدیدی نقطہ p سے شروع کرتے ہوئے، A، B، C، اور D کو p کے ذریعے چار طیاروں پر مشتمل ہونے دیں، جن میں سے کوئی تین ایک مشترکہ چوراہے کی لکیر کا اشتراک نہیں کرتے ہیں، اور چھ پوائنٹس q، r، s، t، u، اور v کو ان طیاروں کے جوڑی کے لحاظ سے چوراہے سے بننے والی چھ لائنوں پر اس طرح رکھیں کہ ان میں سے کوئی بھی چار پوائنٹس کوپلانار نہ ہوں۔ طیاروں A، B، C، اور D میں سے ہر ایک کے لیے، سات میں سے چار نکات p، q، r، s، t، u، اور v اس سطح پر پڑے ہیں اور تین اس سے جدا ہو جاتے ہیں۔ طیاروں A '، B'، C '، اور D' کو بالترتیب A، B، C، اور D سے جدا ہونے والے نکات کے تین حصوں سے بناتے ہیں۔ پھر، موبیئس تھیوریم کی دوہری شکل کے مطابق، یہ چار نئے طیارے ایک ہی نقطہ ڈبلیو میں ملتے ہیں۔ آٹھ پوائنٹس پی، کیو، آر، ایس، ٹی، یو، وی، اور ڈبلیو اور آٹھ طیارے اے، بی، سی، ڈی، اے '، بی'، سی '، اور ڈی' موبیئس کی ترتیب کی ایک مثال بناتے ہیں۔ متعلقہ تعمیرات (حوالہ جات کے بغیر) بیان کرتی ہیں کہ پانچ ترتیبات ہیں جن میں آٹھ پوائنٹس اور آٹھ طیارے ہیں جن میں ہر سطح پر چار پوائنٹس ہیں اور ہر نقطہ کے ذریعے چار طیارے ہیں جو تین جہتی یوکلڈین اسپیس میں قابل حصول ہیں: اس طرح کی ترتیبات میں شارٹ ہینڈ نوٹیشن ہوتی ہے۔ انہوں نے مضمون سے اپنی معلومات حاصل کی ہوں گی۔ یہ دراصل بتاتا ہے، نتائج کے لحاظ سے، اور، کہ اس خاصیت کے ساتھ پانچ ترتیبات ہیں کہ زیادہ سے زیادہ دو طیاروں میں دو نکات مشترک ہیں، اور دو طرف زیادہ سے زیادہ دو نکات دو طیاروں کے لیے مشترک ہیں۔ (اس حالت کا مطلب یہ ہے کہ ہر تین نکات غیر سہ رخی ہو سکتے ہیں اور دو طرفہ طور پر تین طیاروں میں کوئی لکیر مشترک نہیں ہو سکتی ہے۔) تاہم، دس دیگر ترتیبات ہیں جن میں یہ شرط نہیں ہے، اور تمام پندرہ ترتیبات حقیقی تین جہتی جگہ میں قابل حصول ہیں۔ دلچسپی کی ترتیب وہ ہیں جن میں دو ٹیٹراہیڈرا ہیں، ہر ایک دوسرے کو لکھتا اور گھیرتا ہے، اور یہ بالکل وہی ہیں جو مذکورہ بالا خاصیت کو مطمئن کرتے ہیں۔ اس طرح، ٹیٹراہیڈرا کے ساتھ پانچ ترتیبات ہیں، اور وہ سمیٹرک گروپ کی پانچ کنجوگیسی کلاسوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ایک ٹیٹرا ہیڈرون S = ABCD کے چار نکات سے اپنے آپ میں ایک تعدد حاصل کرتا ہے: S کا ہر نقطہ P دوسرے ٹیٹرا ہیڈرون T کے تین نکات پر مشتمل ایک سطح پر ہوتا ہے۔ یہ T کے دوسرے نقطہ کو چھوڑ دیتا ہے، جو S کے سطح کے تین نکات پر ہوتا ہے، اور S کا دوسرا نقطہ Q چھوڑ دیتا ہے، اور اس طرح تعدد نقشہ P → Q کا نقشہ بناتا ہے۔ پانچ کنجوگیسی کلاسوں کے نمائندے ای، (12) (34)، (12)، (123)، (1234) ہیں اور ان میں سے موبیئس ترتیب کنجوگیسی کلاس ای سے مطابقت رکھتی ہے۔ اسے کے سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ یہ سٹینٹز کی طرف سے بیان کیا گیا ہے کہ اگر کے کے تکمیلی ٹیٹراہیڈرا میں سے دو ہیں، اور پھر آٹھ طیاروں کو عجیب کے ساتھ دیا جاتا ہے، جبکہ یکساں رقم اور ان کی تکمیل تکمیلی ٹیٹراہیڈرا کے تمام جوڑوں سے مطابقت رکھتی ہے جو کے کے ماڈل میں-اور گھیرے ہوئے ہیں۔ یہ بھی کہا گیا ہے کہ سٹینٹز کی طرف سے صرف وہی جو ہندسی نظریہ ہے وہ موبیئس ترتیب ہے۔ تاہم یہ متنازعہ ہے: کمپیوٹر سرچ اور ثبوتوں کا استعمال کرتے ہوئے دکھاتا ہے کہ بالکل دو ایسے ہیں جو دراصل "تھیوریمز" ہیں: موبیئس کنفیگریشن اور ایک اور۔ مؤخر الذکر (جو اوپر کی کنجوگیسی کلاس (12) (34) سے مطابقت رکھتا ہے) بھی کسی فیلڈ پر تمام تین جہتی پروجیکٹو خالی جگہوں کے لیے ایک تھیوریم ہے، لیکن کسی عمومی تقسیم کے دائرے پر نہیں۔ دونوں ترتیبات کے درمیان دیگر قریبی مماثلتیں ہیں، بشمول یہ حقیقت کہ دونوں میٹرائڈ دوہری کے تحت خود دوہری ہیں۔ تجریدی اصطلاحات میں، مؤخر الذکر ترتیب میں "پوائنٹس" 0،.، 7 اور "طیاروں" 0125 + i، (i = 0،.، 7) ہیں، جہاں یہ عدد ماڈیولو آٹھ ہیں۔ اس ترتیب کو، موبیئس کی طرح، دو ٹیٹراہیڈرا کے طور پر بھی پیش کیا جا سکتا ہے، جو باہمی طور پر کندہ اور گھیرے ہوئے ہیں: انٹیجر کی نمائندگی میں ٹیٹراہیڈرا 0347 اور 1256 ہو سکتا ہے۔ تاہم، یہ دونوں ترتیبات غیر آئسومورفک ہیں، کیونکہ موبیئس میں جداگانہ طیاروں کے چار جوڑے ہوتے ہیں، جبکہ مؤخر الذکر میں کوئی جداگانہ طیارہ نہیں ہوتا ہے۔ اسی طرح کی وجہ سے (اور چونکہ طیاروں کے جوڑے انحطاط شدہ کواڈریٹک سطحیں ہیں)، موبیئس ترتیب بعد کی ترتیب کے مقابلے میں تین جہتی جگہ کی زیادہ کواڈریٹک سطحوں پر ہے۔ موبیئس ترتیب کے لیوی گراف میں 16 عمودی ہیں، جو ترتیب کے ہر نقطہ یا سطح کے لیے ایک ہے، جس میں ہر واقع پوائنٹ طیارہ جوڑی کے لیے ایک کنارے ہے۔ یہ 16-ورٹیکس ہائپر کیوب گراف Q4 کے لیے آئسومورفک ہے۔ ایک قریب سے متعلق ترتیب، موبیئس-کینٹور ترتیب جو دو باہمی طور پر کندہ شدہ کواڈریلیٹرلز کے ذریعہ تشکیل دی گئی ہے، میں موبیئس-کینٹور گراف ہے، جو کیو 4 کا ذیلی گراف ہے، جو اس کے لیوی گراف کے طور پر ہے۔ حوالہ جات۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ گیسممیلٹ ورکے (1886)، جلد۔ 1، پی پی۔ 439-446۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ترتیبات (جیومیٹری)