Resolution (algebra)
ریاضی میں، اور خاص طور پر ہومیولوجیکل الجبرا میں، ریزولوشن (یا لیفٹ ریزولوشن ؛ دوہری طور پر ایک کوریسولوشن یا رائٹ ریزولوشن) ماڈیولز (یا، زیادہ عام طور پر، ابیلین زمرے کی اشیاء) کی ایک عین ترتیب ہے، جو اس زمرے کے کسی مخصوص ماڈیول یا آبجیکٹ کی ساخت کو نمایاں کرنے والے غیر متغیرات کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ جب، عام طور پر، تیر دائیں طرف ہوتے ہیں، تو ترتیب (بائیں) قراردادوں کے لیے بائیں طرف لامحدود اور دائیں قراردادوں کے لیے دائیں طرف ہونی چاہیے۔ تاہم، ایک محدود ریزولوشن وہ ہے جہاں ترتیب میں صرف محدود طور پر بہت سے آبجیکٹ غیر صفر ہوتے ہیں۔ اس کی نمائندگی عام طور پر ایک محدود عین ترتیب سے کی جاتی ہے جس میں سب سے بائیں طرف کا آبجیکٹ (ریزولوشن کے لیے) یا سب سے دائیں طرف کا آبجیکٹ (کوریسولوشن کے لیے) صفر آبجیکٹ ہوتا ہے۔ عام طور پر، ترتیب میں موجود اشیاء کو کچھ خاصیت P (مثال کے طور پر آزاد ہونا) تک محدود کیا جاتا ہے۔ اس طرح ایک پی قرارداد کی بات کرتا ہے۔ خاص طور پر، ہر ماڈیول میں مفت ریزولوشنز، پروجیکٹو ریزولوشنز اور فلیٹ ریزولوشنز ہوتے ہیں، جو بالترتیب مفت ماڈیولز، پروجیکٹو ماڈیولز یا فلیٹ ماڈیولز پر مشتمل ہوتے ہیں۔ اسی طرح ہر ماڈیول میں انجیکشن ریزولوشن ہوتے ہیں، جو انجیکشن ماڈیولز پر مشتمل صحیح ریزولوشن ہوتے ہیں۔ ماڈیولز کی ریزولوشنز تعریف ایک رنگ R پر ماڈیول M کو دیکھتے ہوئے، M کا لیفٹ ریزولوشن (یا صرف ریزولوشن) R-ماڈیولز کی ایک عین ترتیب (ممکنہ طور پر لامحدود) ہے۔ ہومومورفزم کو باؤنڈری میپس کہا جاتا ہے۔ نقشہ ε کو اضافہ نقشہ کہا جاتا ہے۔ خلاصہ کے لیے، اوپر کی قرارداد کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ دوہری تصور صحیح قرارداد (یا ارتقاء، یا محض قرارداد) کا ہے۔ خاص طور پر، ایک رنگ R پر ایک ماڈیول M کو دیکھتے ہوئے، ایک صحیح ریزولوشن ممکنہ طور پر R-ماڈیولز کی ایک لامحدود درست ترتیب ہے جہاں ہر Ci ایک R-ماڈیول ہے (ریزولوشن میں موجود اشیاء پر سپر اسکرپٹ اور ان کے درمیان نقشوں کا استعمال کرنا عام بات ہے تاکہ اس طرح کے ریزولوشن کی دوہری نوعیت کی نشاندہی کی جا سکے)۔ خلاصہ کے لیے، مندرجہ بالا ریزولوشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ اے (کو) ریزولوشن کو محدود کہا جاتا ہے اگر صرف محدود طور پر شامل بہت سے ماڈیول غیر صفر ہوں۔ ایک محدود ریزولوشن کی لمبائی زیادہ سے زیادہ انڈیکس n ہے جو محدود ریزولوشن میں غیر صفر ماڈیول کو لیبل کرتی ہے۔ مفت، پروجیکٹو، انجیکشن اور فلیٹ ریزولوشنز بہت سے حالات میں ماڈیولز پر شرائط عائد کی جاتی ہیں یعنی دیئے گئے ماڈیول M کو حل کرنا۔ مثال کے طور پر، ماڈیول M کا فری ریزولوشن ایک لیفٹ ریزولوشن ہے جس میں تمام ماڈیول Ei فری R-ماڈیول ہوتے ہیں۔ اسی طرح، پروجیکٹو اور فلیٹ ریزولوشن بائیں ریزولوشن ہوتے ہیں جیسے کہ تمام ای آئی بالترتیب پروجیکٹو اور فلیٹ آر-ماڈیول ہوتے ہیں۔ انجیکشن ریزولوشنز صحیح ریزولوشنز ہیں جن کے تمام سی آئی انجیکشن ماڈیولز ہیں۔ ہر R-ماڈیول میں فری لیفٹ ریزولوشن ہوتا ہے۔ ایک فورٹیری، ہر ماڈیول پروجیکٹو اور فلیٹ ریزولوشنز کو بھی تسلیم کرتا ہے۔ ثبوت کا خیال یہ ہے کہ E0 کو M کے عناصر سے پیدا ہونے والے آزاد R-ماڈیول کے طور پر بیان کیا جائے، اور پھر E1 کو قدرتی نقشے E0 → M وغیرہ کے دانے کے عناصر سے پیدا ہونے والا آزاد R-ماڈیول قرار دیا جائے۔ دو بار، ہر آر-ماڈیول میں ایک انجیکشن ریزولوشن ہوتا ہے۔ پروجیکٹو ریزولوشنز (اور، زیادہ عام طور پر، فلیٹ ریزولوشنز) کو ٹور فنکٹرز کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ماڈیول M کا پروجیکٹو ریزولوشن چین ہوموٹوپی تک منفرد ہے، یعنی، دو پروجیکٹو ریزولوشنز P0 → M اور P1 → M کو دیکھتے ہوئے ان کے درمیان ایک چین ہوموٹوپی موجود ہے۔ قراردادوں کا استعمال ہم جنسیاتی جہتوں کی وضاحت کے لیے کیا جاتا ہے۔ ماڈیول ایم کے محدود پروجیکٹو ریزولوشن کی کم سے کم لمبائی کو اس کا پروجیکٹو طول و عرض کہا جاتا ہے اور اسے پی ڈی (ایم) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ماڈیول میں پروجیکٹو طول و عرض صفر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک پروجیکٹو ماڈیول ہو۔ اگر M ایک محدود پروجیکٹو ریزولوشن کو تسلیم نہیں کرتا ہے تو پروجیکٹو طول و عرض لامحدود ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مواصلاتی مقامی رنگ R کے لیے، پروجیکٹو طول و عرض محدود ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب R باقاعدہ ہو اور اس صورت میں یہ R کے کرول طول و عرض کے ساتھ موافق ہو۔ اسی طرح، انجیکشن طول و عرض ID (M) اور فلیٹ طول و عرض fd (M) کو ماڈیولز کے لیے بھی بیان کیا جاتا ہے۔ انجیکشن اور پروجیکٹو طول و عرض کو دائیں R ماڈیولز کے زمرے میں استعمال کیا جاتا ہے تاکہ R کے لیے ایک یکساں طول و عرض کی وضاحت کی جا سکے جسے R کا صحیح عالمی طول و عرض کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، فلیٹ طول و عرض کو کمزور عالمی طول و عرض کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ان جہتوں کا طرز عمل انگوٹھی کی خصوصیات کی عکاسی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک رنگ کا صحیح عالمی طول و عرض 0 ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک نیم سادہ رنگ ہو، اور ایک رنگ کا کمزور عالمی طول و عرض 0 ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک وان نیومن باقاعدہ رنگ ہو۔ درجہ بند ماڈیولز اور الجبرا M کو درجہ بند الجبرا پر ایک درجہ بند ماڈیول ہونے دیں، جو کسی فیلڈ پر اس کے مثبت ڈگری کے عناصر سے پیدا ہوتا ہے۔ پھر M کے پاس ایک مفت ریزولوشن ہے جس میں مفت ماڈیولز Ei کو اس طرح سے درجہ بند کیا جا سکتا ہے کہ ڈائی اور ε کو لکیری نقشوں کی درجہ بندی کی جائے۔ ان درجہ بند آزاد قراردادوں میں، کم سے کم آزاد قراردادیں وہ ہیں جن کے لیے ہر ای آئی کے بنیادی عناصر کی تعداد کم سے کم ہے۔ درجہ بند ماڈیول کے تمام کم از کم مفت ریزولوشن کے لیے ہر ایک ای آئی اور ان کی ڈگریوں کے بنیادی عناصر کی تعداد یکساں ہوتی ہے۔ اگر I کسی فیلڈ پر کثیر الجہتی رنگ میں ایک یکساں آئیڈیل ہے، تو I کے ذریعہ بیان کردہ پروجیکٹو الجبرائی سیٹ کی کاسٹیلنووو-ممفورڈ باقاعدگی کم سے کم انٹیجر r ہے کہ I کے کم سے کم فری ریزولوشن میں Ei کے بنیادی عناصر کی ڈگریاں r-i سے کم ہیں۔ مثالیں آزاد ریزولوشن کی ایک کلاسیکی مثال مقامی رنگ میں باقاعدہ ترتیب کے کوزول کمپلیکس یا کسی فیلڈ پر حتمی طور پر پیدا ہونے والے درجہ بند الجبرا میں یکساں باقاعدہ ترتیب کے ذریعے دی جاتی ہے۔ X کو ایک اسفریکل اسپیس مان لیں، یعنی اس کا عالمگیر احاطہ E سکڑنے کے قابل ہے۔ پھر E کا ہر واحد (یا آسان) سلسلہ کمپلیکس ماڈیول Z کا ایک آزاد ریزولوشن ہے جو نہ صرف رنگ Z پر بلکہ گروپ رنگ Z [π1 (X)] پر بھی ہوتا ہے۔ ابیلین زمرے A میں کسی شے M کی قراردادوں کی تعریف اوپر کی طرح ہی ہے، لیکن Ei اور Ci A میں اشیاء ہیں، اور اس میں شامل تمام نقشے A میں مورفزم ہیں۔ پروجیکٹو اور انجیکشن ماڈیولز کا یکساں تصور پروجیکٹو اور انجیکشن آبجیکٹ ہیں، اور اسی کے مطابق، پروجیکٹو اور انجیکشن ریزولوشنز ہیں۔ تاہم، اس طرح کی قراردادیں عام ابیلین زمرہ اے میں موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر اے کے ہر آبجیکٹ میں ایک پروجیکٹو (ریسپ) ہو۔ انجیکشن) ریزولوشن، پھر کہا جاتا ہے کہ اے میں کافی پروجیکٹو (ریسپ) ہوتے ہیں۔ کافی انجکشن)۔ یہاں تک کہ اگر وہ موجود ہیں، اس طرح کی قراردادوں کے ساتھ کام کرنا اکثر مشکل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے، ہر R-ماڈیول میں ایک انجیکشن ریزولوشن ہوتا ہے، لیکن یہ ریزولوشن فنکٹوریل نہیں ہے، یعنی، ہومومورفزم M → M 'کو دیکھتے ہوئے، انجیکشن ریزولوشن کے ساتھ مل کر عام طور پر اور کے درمیان نقشہ حاصل کرنے کا کوئی فنکٹوریل طریقہ نہیں ہے۔ عام طور پر پروجیکٹو ریزولوشن کے بغیر ایبلین زمرے پروجیکٹو ریزولوشن کے بغیر ایبلین زمروں کی مثالوں کی ایک کلاس کسی اسکیم پر مربوط شیوز کے زمرے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر پروجیکٹو اسپیس ہے، تو کسی بھی مربوط شیف میں ایک عین ترتیب کے ذریعہ ایک پریزنٹیشن دی جاتی ہے۔ پہلی دو اصطلاحات عام طور پر پروجیکٹو نہیں ہیں۔ لیکن، دونوں اصطلاحات مقامی طور پر آزاد اور مقامی طور پر ہموار ہیں۔ شیوز کی دونوں کلاسوں کو بعض حسابات کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جو کچھ اخذ شدہ فنکٹرز کی گنتی کے لیے پروجیکٹو ریزولوشنز کی جگہ لے سکتے ہیں۔ آکیکلک ریزولوشن بہت سے معاملات میں کسی کو ریزولوشن میں ظاہر ہونے والی اشیاء میں واقعی دلچسپی نہیں ہوتی ہے، بلکہ کسی دیئے گئے فنکٹر کے حوالے سے ریزولوشن کے رویے میں دلچسپی ہوتی ہے۔ لہذا، بہت سے حالات میں، ایسیکلک ریزولوشن کا تصور استعمال کیا جاتا ہے: دو ابیلین زمروں کے درمیان بائیں طرف کے عین مطابق فنکٹر F: A → B کو دیکھتے ہوئے، A کے کسی آبجیکٹ M کی ریزولوشن کو F-ایسیکلک کہا جاتا ہے، اگر اخذ شدہ فنکٹر RiF (En) تمام i> 0 اور n ≤ 0 کے لیے غائب ہو جائیں۔ دوہری طور پر، ایک بائیں ریزولوشن دائیں عین مطابق فنکٹر کے حوالے سے سایکلک ہوتا ہے اگر اس کے اخذ کردہ فنکٹر ریزولوشن کی اشیاء پر غائب ہو جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، R ماڈیول M کو دیکھتے ہوئے، ٹینسر پروڈکٹ ایک صحیح عین مطابق فنکٹر موڈ (R) → موڈ (R) ہے۔ اس فنکٹر کے حوالے سے ہر فلیٹ ریزولوشن ایسائکلک ہے۔ ایک فلیٹ ریزولوشن ہر ایم کے ذریعہ ٹینسر پروڈکٹ کے لیے ایسائکلک ہوتا ہے۔ اسی طرح، تمام فنکٹرز کے لیے ایسائکلک ریزولوشنز ہوم (⋅، M) پروجیکٹو ریزولوشنز ہیں اور وہ جو فنکٹرز ہوم (M, ⋅) کے لیے ایسائکلک ہیں وہ انجیکشن ریزولوشنز ہیں۔ کوئی بھی انجیکشن (پروجیکٹو) ریزولوشن کسی بھی بائیں عین مطابق (دائیں عین مطابق، بالترتیب) فنکٹر کے لیے ایف-آکسیکلک ہوتا ہے۔ ایسائکلک ریزولوشن کی اہمیت اس حقیقت میں مضمر ہے کہ ماخوذ فنکٹرز آر آئی ایف (بائیں عین مطابق فنکٹر کے، اور اسی طرح دائیں عین مطابق فنکٹر کے ایل آئی ایف) کو ایف-ایسائکلک ریزولوشن کی ہومیولوجی کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے: کسی آبجیکٹ ایم کے ایسائکلک ریزولوشن کو دیکھتے ہوئے، ہمارے پاس ہے جہاں دائیں ہاتھ کی طرف کمپلیکس کا آئی-تھ ہومیولوجی آبجیکٹ ہے۔ یہ صورتحال بہت سے حالات میں لاگو ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایک متفرق کئی گنا M پر مستقل شیف R کے لیے ہموار تفریقی شکلوں کے شیوز کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے: شیوز باریک شیوز ہوتے ہیں، جو گلوبل سیکشن فنکٹر کے حوالے سے ایسائکلک ہونے کے لیے جانے جاتے ہیں۔ لہذا، شیف کوہمولوجی، جو کہ گلوبل سیکشن فنکٹر کا ماخوذ فنکٹر ہے، کا حساب اس طرح کیا جاتا ہے کہ اسی طرح گوڈمنٹ ریزولوشنز گلوبل سیکشنز فنکٹر کے حوالے سے سایکلک ہیں۔ مزید دیکھیں اسٹینڈرڈ ریزولوشن ہلبرٹ-برچ تھیوریم ہلبرٹ کا سیزیجی تھیوریم فری پریزنٹیشن میٹرکس فیکٹرائزیشنز (الجبرا) نوٹ حوالہ جات ہومولوجیکل الجبرا ماڈیول تھیوری