Dehn function
جیومیٹرک گروپ تھیوری کے ریاضیاتی موضوع میں، ڈیہن فنکشن، جس کا نام میکس ڈیہن کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک محدود گروپ پریزنٹیشن سے وابستہ ایک بہترین فنکشن ہے جو اس گروپ میں کسی رشتے کے رقبے کو محدود کرتا ہے (جو کہ جنریٹرز میں آزادانہ طور پر کم شدہ لفظ ہے جو گروپ کے شناختی عنصر کی نمائندگی کرتا ہے) اس رشتے کی لمبائی کے لحاظ سے (پی پی دیکھیں۔ 79-80 in)۔ ڈیہن فنکشن کی نشوونما کی قسم ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کا ایک نیم آئسومیٹری غیر متغیر ہے۔ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کا دین فنکشن گروپوں میں لفظ کے مسئلے کی غیر متعین الگورتھمک پیچیدگی سے بھی قریب سے جڑا ہوا ہے۔ خاص طور پر، ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ میں قابل حل لفظ کا مسئلہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس گروپ کی محدود پیشکش کے لیے ڈیہن فنکشن تکراری ہو (نظریہ 2.1 انچ دیکھیں)۔ ڈیہن فنکشن کا تصور جیومیٹری میں آئسوپیریمیٹرک مسائل سے متاثر ہوتا ہے، جیسے کہ یوکلڈین پلین کے لیے کلاسک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات اور، زیادہ عام طور پر، فلنگ ایریا فنکشن کا تصور جو اس سطح کے باؤنڈری وکر کی لمبائی کے لحاظ سے ریمینیئن کئی گنا میں کم سے کم سطح کے رقبے کا تخمینہ لگاتا ہے۔ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے لیے آئسوپیریمیٹرک فنکشن کا خیال 1910 کی دہائی میں میکس ڈہن کے کام سے ملتا ہے۔ ڈیہن نے ثابت کیا کہ کم از کم دو جینس کی بند سمت والی سطح کے بنیادی گروپ کی معیاری پیشکش کے لیے لفظ مسئلہ حل کرنے کے قابل ہے جسے اب ڈیہن کا الگورتھم کہا جاتا ہے۔ اس حقیقت کا ایک براہ راست نتیجہ یہ ہے کہ اس پریزنٹیشن کے لیے ڈیہن فنکشن ڈیہن (این) ≤ این کو مطمئن کرتا ہے۔ اس نتیجے کو مارٹن گرینڈلنگر نے 1960 کی دہائی میں C '(1/6) چھوٹی منسوخی کی شرط کو پورا کرنے والے محدود طور پر پیش کردہ گروپوں تک بڑھایا تھا۔ آئسوپیریمیٹرک فنکشن اور ڈیہن فنکشن کا رسمی تصور جیسا کہ آج استعمال ہوتا ہے 1980 کی دہائی کے آخر میں-1990 کی دہائی کے اوائل میں لفظ ہائپربولک گروپوں کے نظریہ کے تعارف اور ترقی کے ساتھ نمودار ہوا۔ اپنے 1987 کے مونوگراف "ہائپربولک گروپس" میں گروموف نے ثابت کیا کہ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ لفظ ہائپربولک ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ لکیری آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرے، یعنی اگر اور صرف اس صورت میں جب اس گروپ کا ڈھین فنکشن فنکشن f (n) = n کے مساوی ہو۔ گروموف کا ثبوت بڑے حصے میں کمپیکٹ ریمینیئن مینیفولڈز کے لیے فلنگ ایریا فنکشنز کے ساتھ مشابہت کے ذریعے بتایا گیا تھا جہاں نیل-ہوموٹوپک بند منحنی خطوط کو پابند کرنے والی کم سے کم سطح کا رقبہ اس منحنی خطوط کی لمبائی کے لحاظ سے محدود ہے۔ آئسوپیریمیٹرک اور ڈیہن افعال کا مطالعہ تیزی سے جیومیٹرک گروپ تھیوری میں ایک علیحدہ بڑے موضوع کے طور پر تیار ہوا، خاص طور پر چونکہ ان افعال کی نشوونما کی اقسام محدود طور پر پیش کردہ گروپوں کے قدرتی نیم آئسومیٹری غیر متغیر ہیں۔ اس موضوع کے بڑے نتائج میں سے ایک سپیر، برجیٹ اور رپس نے حاصل کیا جس نے یہ ظاہر کیا کہ ٹورنگ مشینوں کے زیادہ تر "معقول" وقت کی پیچیدگی کے افعال کو قدرتی مساوات تک، حتمی طور پر پیش کردہ گروپوں کے ڈیہن افعال کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ رسمی تعریف ایک محدود گروپ پریزنٹیشن ہونے دیں جہاں X ایک محدود حروف تہجی ہے اور جہاں R′F (X) چکور طور پر کم شدہ الفاظ کا ایک محدود مجموعہ ہے۔ کسی تعلق کے رقبے کو G میں ایک رشتہ مان لیں، یعنی آزادانہ طور پر کم کیا ہوا لفظ جو کہ G میں w = 1 ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ یہ کہنے کے مساوی ہے کہ W کا تعلق F (X) میں R کی نارمل بندش سے ہے، یعنی، W کی نمائندگی موجود ہے جہاں m ≤ 0 اور جہاں i = 1،، m کے لیے r ≤ R ± 1 ہے۔ W ≤ F (X) کے لیے G میں w = 1 کو مطمئن کرنے کے لیے، W کا رقبہ (≤) کے حوالے سے، ظاہر کردہ رقبہ (w)، سب سے چھوٹا m ≤ 0 ہے کہ m کنجگ کے F (X) میں پروڈکٹ کے طور پر W کی نمائندگی موجود ہے۔ آزادانہ طور پر کم کیا ہوا لفظ ڈبلیو۔ ایف۔ (ایکس) جی میں ڈبلیو = 1 کو مطمئن کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب جی کے لیے پریزنٹیشن کمپلیکس میں ڈبلیو کے ذریعے لیبل کیا گیا لوپ (ऱ्ऱं) کے مطابق نیل-ہوموٹوپک ہو۔ اس حقیقت کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ایریا (ڈبلیو) وین کمپین ڈایگرام میں 2 خلیوں کی سب سے چھوٹی تعداد ہے جس میں باؤنڈری سائیکل ہے جس کا لیبل ڈبلیو کے ذریعے لگایا گیا ہے۔ آئسوپیریمیٹرک فنکشن ایک محدود پریزنٹیشن کے لیے ایک آئسوپیریمیٹرک فنکشن ایک مونوٹون نان ڈکریزنگ فنکشن ہے جیسے کہ جب بھی ڈبلیو ایف (ایکس) آزادانہ طور پر کم شدہ لفظ ہے جو جی میں ڈبلیو = 1 کو مطمئن کرتا ہے، تو ایریا (ڈبلیو) ≤ ایف (|w |)، جہاں |w | لفظ ڈبلیو کی لمبائی ہے۔ ڈیہن فنکشن پھر ایک محدود پریزنٹیشن کے ڈیہن فنکشن کو مساوی طور پر بیان کیا جاتا ہے، ڈیہن (این) سب سے چھوٹا آئسوپیریم ہے۔ افعال کی نشوونما کی اقسام کیونکہ عین مطابق ڈیہن فنکشن عام طور پر پریزنٹیشن پر منحصر ہوتا ہے، کوئی عام طور پر اس کی غیر علامتی نشوونما کی قسم کا مطالعہ کرتا ہے کیونکہ n انفینیٹی کی طرف جاتا ہے، جو صرف گروپ پر منحصر ہوتا ہے۔ دو مونوٹون-غیر کم ہونے والے افعال کے لیے ایک کہتا ہے کہ f پر g کا غلبہ ہے اگر C ≤ 1 موجود ہے جیسے کہ ہر عدد n ≤ 0 کے لیے۔ فرض کریں کہ f ≈ g اگر f پر g کا غلبہ ہے اور g پر f کا غلبہ ہے۔ تب ≈ ایک مساوات کا تعلق ہے اور ڈیہن افعال اور آئسوپیریمیٹرک افعال کا عام طور پر اس مساوات کے تعلق تک مطالعہ کیا جاتا ہے۔ اس طرح کسی بھی a، b> 1 کے لیے ہمارے پاس ≈ bn ہے۔ اسی طرح، اگر f (n) غیر منفی گتانک کے ساتھ ڈگری d (جہاں d ≤ 1 ایک حقیقی عدد ہے) کا کثیر الجہتی ہے، تو f (n) ≈ nd۔ نیز، 1 ≈ n۔ اگر ایک محدود گروپ پریزنٹیشن ایک آئسوپیریمیٹرک فنکشن f (n) کو قبول کرتی ہے جو ایک لکیری (بالترتیب، کواڈریٹک، کیوبک، کثیر الجہتی، ایکسپونینشل، وغیرہ) کے مساوی ہے۔ فنکشن n میں، پریزنٹیشن کو لکیری (بالترتیب، کواڈریٹک، کیوبک، پولینومیل، ایکسپونینشل، وغیرہ) کو مطمئن کرنے کے لیے کہا جاتا ہے۔ آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات۔ اگر G اور H نیم آئسومیٹرک محدود طور پر پیش کردہ گروپ ہیں اور G کی کچھ محدود پیشکش میں ایک آئسوپیریمیٹرک فنکشن f (n) ہے تو H کی کسی بھی محدود پیشکش کے لیے f (n) کے مساوی ایک آئسوپیریمیٹرک فنکشن ہے۔ خاص طور پر، یہ حقیقت G = H کے لیے ہے، جہاں ایک ہی گروپ کو دو مختلف محدود پیشکشوں کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ نتیجتا، ایک محدود طور پر پیش کردہ گروپ کے لیے اس کے ڈیہن فنکشن کی نشوونما کی قسم، مندرجہ بالا تعریف کے معنی میں، اس گروپ کے لیے ایک محدود پیشکش کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر دو حتمی طور پر پیش کردہ گروپ نیم آئسومیٹرک ہیں تو ان کے ڈیہن افعال مساوی ہیں۔ ایک محدود طور پر پیش کردہ گروپ G کے لیے جو ایک محدود پریزنٹیشن کے ذریعے دیا جاتا ہے، مندرجہ ذیل شرائط مساوی ہیں: G کا ریکرسو ڈیہن فنکشن ہے جو کہ (ऱ्ऱं) کے حوالے سے ہے۔ ایک تکراری آئسوپیریمیٹرک فنکشن موجود ہے f (n) کے لیے (ऱ्ऱं)۔ گروپ G میں قابل حل لفظ کا مسئلہ ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ لفظ مسئلہ کی حل پذیری محدود طور پر پیش کردہ گروپوں کے لیے ایک نیم آئسومیٹری غیر متغیر ہے۔ کسی رشتے کے رقبے (ڈبلیو) کو جاننا پابند ہونے کی اجازت دیتا ہے، |w | کے لحاظ سے، نہ صرف (′) میں متعین تعلقات کے کنجوگیٹس کی تعداد بلکہ کنجوگیٹنگ عناصر کی لمبائی بھی۔ نتیجے کے طور پر، یہ معلوم ہوتا ہے کہ اگر ایک محدود پریزنٹیشن کے ذریعہ دیا گیا ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ G میں کمپیوٹیبل ڈیہن فنکشن ڈیہن (n) ہے، تو G کے لیے لفظ مسئلہ غیر متعین وقت کی پیچیدگی ڈیہن (n) اور تعیناتی وقت کی پیچیدگی ایکسپس (ڈیہن (n)) کے ساتھ حل کرنے کے قابل ہے۔ تاہم، عام طور پر لفظ مسئلہ کی مقررہ وقت کی پیچیدگی کے لحاظ سے کسی حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے دین فنکشن پر کوئی معقول حد نہیں ہے اور دونوں افعال کے درمیان فرق کافی بڑا ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر کسی محدود گروپ G کی کسی بھی محدود پیشکش کے لیے ہمارے پاس ڈیہن (n) ≈ n ہے۔ جینس 2 کی بند سمت والی سطح کے لیے، اس کے بنیادی گروپ کی معیاری پیشکش ڈیہن (n) ≤ n اور ڈیہن (n) ≈ n کو مطمئن کرتی ہے۔ ہر عدد k ≤ 2 کے لیے آزاد ابیلین گروپ میں ڈیہن (n) ≈ n2 ہوتا ہے۔ بومسلاگ-سولٹر گروپ میں ڈیہن (n) ≈ 2n ہے (دیکھیں)۔ 3 جہتی مجرد ہائزن برگ گروپ ایک کیوبک کو مطمئن کرتا ہے لیکن کوئی کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات نہیں۔ اعلی جہتی ہائزن برگ گروپ، جہاں k ≤ 2، کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ اگر G ایک "نووکوف-بون گروپ" ہے، یعنی ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ جس میں ناقابل حل لفظ کا مسئلہ ہے، تو G کا ڈیہن فنکشن کسی بھی تکراری فنکشن سے زیادہ تیزی سے بڑھتا ہے۔ تھامسن گروپ F کے لیے ڈیہن فنکشن کواڈریٹک ہے، یعنی n2 کے مساوی ہے (دیکھیں)۔ نام نہاد بومسلاگ-گیرسٹن گروپ میں ایک ڈیہن فنکشن ہے جو کسی بھی مقررہ تکرار والے ٹاور سے زیادہ تیزی سے بڑھ رہا ہے۔ خاص طور پر، اس گروپ کے لیے ڈیہن (n) ≈ ایکسپ (ایکسپ (. (ایکسپ (1)).)) جہاں ایکسپونینشیلز کی تعداد لاگ 2 (این) کے لازمی حصے کے برابر ہے (دیکھیں)۔ معلوم نتائج ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ لفظ ہائپربولک گروپ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی ڈیہن فنکشن n کے مساوی ہو، یعنی صرف اس صورت میں جب اس گروپ کی ہر محدود پیشکش لکیری آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرے۔ آئسوپیریمیٹرک گیپ: اگر ایک محدود طور پر پیش کردہ گروپ ذیلی کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے تو یہ لفظ ہائپربولک ہے۔ اس طرح کوئی حتمی طور پر پیش کردہ گروپس نہیں ہیں جن میں ڈیہن فنکشنز کے برابر nd کے ساتھ d ω (1,2) ہیں۔ خودکار گروہ اور، زیادہ عام طور پر، لڑاکا گروہ کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ ایک حتمی طور پر تیار کردہ نیل پوٹینٹ گروپ میں این ڈی کے مساوی ڈیہن فنکشن ہوتا ہے جہاں ڈی ≤ 1 اور تمام مثبت انٹیجرز ڈی کو اس طرح سے محسوس کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، ہر حتمی طور پر تیار کردہ نیل پوٹینٹ گروپ G ڈگری c + 1 کی کثیر الجہتی آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو تسلیم کرتا ہے، جہاں c G کی نیل پوٹینسی کلاس ہے۔ حقیقی اعداد d ≤ 1 کا مجموعہ، اس طرح کہ ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ موجود ہے جس میں ڈیہن فنکشن nd کے مساوی ہے، وقفے میں گھنے ہوتے ہیں۔ اگر کسی حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے تمام غیر علامتی شنک محض جڑے ہوئے ہیں، تو گروپ ایک کثیر الجہتی آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ اگر ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ ایک کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے، تو اس گروپ کے تمام ایسمپٹوٹک شنک آسانی سے جڑے ہوئے ہیں۔ اگر (M، g) ایک بند ریمنیئن کئی گنا ہے اور G = π1 (M) تو G کا ڈیہن فنکشن کئی گنا کے فلنگ ایریا فنکشن کے برابر ہے۔ اگر G ایک گروپ ہے جو کسی سی اے ٹی (0) جگہ پر آئسومیٹریز کے ذریعے مناسب طریقے سے منقطع اور ہم آہنگ طور پر کام کر رہا ہے، تو G ایک کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ خاص طور پر، یہ اس معاملے پر لاگو ہوتا ہے جہاں G غیر مثبت سیکشنل منحنی خطوط (لازمی طور پر مستقل نہیں) کے بند ریمینیئن کئی گنا کا بنیادی گروپ ہے۔ ایس ایل (ایم، زیڈ) کا ڈیہن فنکشن کسی بھی ایم 3 کے لیے سب سے زیادہ ایکسپونینشل ہوتا ہے۔ ایس ایل (3، زیڈ) کے لیے یہ باؤنڈ تیز ہے اور اس صورت میں یہ معلوم ہوتا ہے کہ ڈیہن فنکشن سب ایکسپونینشیل اپر باؤنڈ کو قبول نہیں کرتا ہے۔ ڈیہن فنکشن SL (m، Z) کے لیے ہیں، جہاں m> 4 کواڈریٹک ہیں۔ تھرسٹن کے ذریعہ ایس ایل (4، زیڈ) کی ڈیہن فنکشن کو کواڈریٹک ہونے کا قیاس کیا گیا ہے۔ یہ اور، زیادہ عام طور پر، گروموف کا قیاس کہ اعلی درجے کے لائ گروپوں میں جالی کا کواڈریٹک ڈیہن فنکشن ہوتا ہے، لیوزنگر اور ینگ نے ثابت کیا ہے۔ محدود قسم کی سطحوں کے کلاس گروپوں کی نقشہ سازی خودکار ہوتی ہے اور کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو پورا کرتی ہے۔ آٹو (ایف کے) اور آؤٹ (ایف کے) گروپوں کے لیے ڈیہن فنکشن ہر کے ≤ 3 کے لیے ایکسپونینشل ہوتے ہیں۔ آٹو (ایف کے) اور آؤٹ (ایف کے) کے لیے ایکسپونینشیل آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات جب کے ≤ 3 کو ہیچر اور ووگٹ مین نے پایا تھا۔ یہ حدود تیز ہیں، اور گروپس آٹو (ایف کے) اور آؤٹ (ایف کے) سب ایکسپونینشیل آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو پورا نہیں کرتے ہیں، جیسا کہ بریڈسن اور ووگٹ مین کے ذریعے کے = 3 کے لیے دکھایا گیا ہے، اور ہینڈل اور موشر کے ذریعے کے ≤ 4 کے لیے دکھایا گیا ہے۔ ایک حتمی طور پر پیدا شدہ فری گروپ Fk کے ہر آٹومورفزم φ کے لیے φ کا میپنگ ٹورس گروپ ایک کواڈریٹک آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ زیادہ تر "معقول" کمپیوٹیبل افعال جو n4 ہیں، مساوات تک، حتمی طور پر پیش کردہ گروپوں کے ڈیہن افعال کے طور پر محسوس کیے جا سکتے ہیں۔ خاص طور پر، اگر f (n) ≤n4 ایک سپر ایڈیٹیو فنکشن ہے جس کی بائنری نمائندگی ٹورنگ مشین کے ذریعہ وقت میں قابل حساب ہے تو f (n) ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ کے ڈیہن فنکشن کے مساوی ہے۔ اگرچہ کوئی کسی گروپ کے دین فنکشن کو اس کے لفظ کے مسئلے کی پیچیدگی کے لحاظ سے معقول طور پر پابند نہیں کر سکتا، لیکن برجیٹ، اولشانسکی، رپس اور سپیر نے مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کیا، جس سے ہیگ مین کے سرایت کرنے والے نظریہ کی ایک دور رس عمومی کاری فراہم ہوئی: ایک حتمی طور پر تیار کردہ گروپ کا لفظ مسئلہ غیر متعین کثیر الجہتی وقت میں فیصلہ کن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس گروپ کو کثیر الجہتی آئسوپیریمیٹرک فنکشن کے ساتھ حتمی طور پر پیش کردہ گروپ میں سرایت کیا جا سکے۔ مزید برآں، وقت T (n) میں حل ہونے والے لفظ کے مسئلے والے ہر گروپ کو n2T (n2) 4 کے مساوی آئسوپیریمیٹرک فنکشن والے گروپ میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ عامیاں ایک آئسوپیریمیٹرک فنکشن کے تصور سے قریب سے متعلق کئی ساتھی تصورات ہیں۔ اس طرح ایک آئسوڈیمیٹرک فنکشن کسی خاص رشتے کے لیے وین کمپین خاکہ کے سب سے چھوٹے قطر (سادہ میٹرک کے حوالے سے جہاں ہر کنارے کی لمبائی ایک ہوتی ہے) کو ڈبلیو کی لمبائی کے لحاظ سے پابند کرتا ہے۔ ایک فلنگ لمبائی فنکشن کسی خاص رشتے کے لیے وین کمپین خاکہ کی سب سے چھوٹی فلنگ لمبائی ڈبلیو کی لمبائی کے لحاظ سے ہوتی ہے۔ یہاں ایک خاکہ کی فلنگ لمبائی کم سے کم ہوتی ہے، خاکہ کی تمام مشترکہ نیل-ہوموٹوپیز پر، انٹرمیڈیٹ لوپس کی زیادہ سے زیادہ لمبائی جو اس طرح کے نیل ہوموٹوپیز کے ساتھ انٹرمیڈیٹ خاکے کو پابند کرتی ہے۔ فلنگ لینتھ فنکشن کا محدود طور پر پیش کردہ گروپوں کے لیے لفظ مسئلہ کی غیر متعین جگہ کی پیچیدگی سے گہرا تعلق ہے۔ ڈیہن فنکشن، بہترین آئسوڈیامیٹرک فنکشن اور بہترین فلنگ لینتھ فنکشن کو جوڑنے والی کئی عمومی عدم مساوات ہیں، لیکن ان کے درمیان قطعی تعلق ابھی تک سمجھ میں نہیں آیا ہے۔ آئسوپیریمیٹرک اور ڈیہن افعال کی اعلی جہتی عامیاں بھی ہیں۔ k ≤ 1 کے لیے کسی گروپ کا k-جہتی آئسوپیریمیٹرک فنکشن (k + 1) کے-جہتی بال بھرنے کے کم سے کم مشترکہ حجم کو ایک k-منسلک جگہ میں نقشہ بند کرتا ہے جس پر گروپ مناسب طریقے سے اور ہم آہنگ طریقے سے کام کرتا ہے۔ باؤنڈ کو k-دائرے کے مشترکہ حجم کے فنکشن کے طور پر دیا جاتا ہے۔ آئسوپیریمیٹرک فنکشن کا معیاری تصور کیس k = 1 سے مطابقت رکھتا ہے۔ کلاسیکی کیس کے مقابلے میں ان اعلی جہتی بھرنے کے افعال کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں۔ ایک اہم نتیجہ یہ ہے کہ اعلی درجے کے نیم سادہ لائ گروپوں میں جالی درجہ سے نیچے کے طول و عرض میں غیر درج شدہ ہیں، یعنی۔ وہ اپنے متعلقہ سمیٹرک اسپیس کی طرح ہی فلنگ افعال کو پورا کرتے ہیں۔ اپنے مونوگراف میں لامحدود گروپوں کے غیر علامتی غیر متغیرات میں گروموف نے ڈیہن فنکشن کے ایک ممکنہ یا اوسط ورژن کی تجویز پیش کی اور تجویز پیش کی کہ بہت سے گروپوں کے لیے اوسط ڈیہن افعال میں معیاری ڈیہن افعال کے مقابلے میں سختی سے سست ایسمپٹوٹکس ہونے چاہئیں۔ اوسط ڈیہن فنکشن یا اوسط ڈیہن فنکشن کے تصور کے مزید عین مطابق علاج بعد میں دوسرے محققین نے دیے جنہوں نے یہ بھی ثابت کیا کہ درحقیقت اوسط ڈیہن فنکشن کئی معاملات میں معیاری ڈیہن فنکشن کے لیے ذیلی علامات ہیں (جیسے نیلپوٹینٹ اور ابیلین گروپ)۔ آئسوپیریمیٹرک فنکشن کے تصور کا ایک رشتہ دار ورژن نسبتا ہائپربولک گروپوں کے لیے اوسن کے نقطہ نظر میں مرکزی کردار ادا کرتا ہے۔ گریگورچک اور ایوانوف نے محدود طور پر بہت سے جنریٹرز پر گروپ پریزنٹیشنز کے لیے ڈیہن فنکشن کی کئی قدرتی عامیوں کی کھوج کی لیکن لامحدود طور پر بہت سے وضاحتی تعلقات کے ساتھ۔ مزید پڑھنے کے لیے وین کمپین خاکہ ورڈ ہائپربولک گروپ آٹومیٹک گروپ سمال کینسیلیشن تھیوری جیومیٹرک گروپ تھیوری نوٹ مزید پڑھنے کے لیے نوئل بریڈی، ٹم ریلی اور ہمش شارٹ دیکھیں۔ محدود طور پر پیدا شدہ گروپوں کے لیے لفظ کے مسئلے کی جیومیٹری۔ ریاضی میں اعلی درجے کے کورسز سی آر ایم بارسلونا، برکھوسر، باسل، 2007۔ مارٹن آر بریڈسن۔ لفظ مسئلہ کی جیومیٹری۔ جیومیٹری اور ٹوپولوجی کے لیے دعوت نامے، پی پی۔ 29-91، ریاضی میں آکسفورڈ گریجویٹ ٹیکسٹس، 7، آکسفورڈ یونیورسٹی پریس، آکسفورڈ، 2002۔ بیرونی روابط ایس ایل (این، زیڈ) کے لیے آئسوپیریمیٹرک عدم مساوات۔ امریکن انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس میں ستمبر 2008 کی ورکشاپ۔ برجسن کے مضمون کی پی ڈی ایف لفظ دشواری کی جیومیٹری۔ جیومیٹرک گروپ تھیوری جیومیٹرک ٹوپولوجی الفاظ پر امتزاج