Ice-type model
شماریاتی میکانکس میں، آئس ٹائپ ماڈل یا سکس ورٹیکس ماڈل ہائیڈروجن بانڈ کے ساتھ کرسٹل لیٹیسیس کے لیے ورٹیکس ماڈل کا ایک خاندان ہے۔ اس طرح کا پہلا ماڈل 1935 میں لینس پالنگ نے متعارف کرایا تھا تاکہ پانی کی برف کی بقیہ اینٹروپی کا حساب لگایا جا سکے۔ متغیرات کو بعض فیرو الیکٹرک اور اینٹیفیرو الیکٹرک کرسٹل کے نمونوں کے طور پر تجویز کیا گیا ہے۔ 1967 میں، ایلیٹ ایچ لیب نے "مربع برف" کے نام سے مشہور دو جہتی برف کے ماڈل کا صحیح حل تلاش کیا۔ تین جہتوں میں صحیح حل صرف ایک خاص "منجمد" حالت کے لیے جانا جاتا ہے۔ برف کی قسم کا ماڈل ایک جالی کا ماڈل ہے جس کی وضاحت کوآرڈینیشن نمبر 4 کے جالی پر کی گئی ہے۔ یعنی جالی کے ہر سرے کو ایک کنارے سے چار "قریب ترین پڑوسیوں" سے جوڑا جاتا ہے۔ ماڈل کی حالت جالی کے ہر کنارے پر ایک تیر پر مشتمل ہوتی ہے، اس طرح کہ ہر سرے پر اندر کی طرف اشارہ کرنے والے تیروں کی تعداد 2 ہوتی ہے۔ تیر کی ترتیب پر یہ پابندی آئس رول کے نام سے جانی جاتی ہے۔ گراف نظریاتی اصطلاحات میں، ریاستیں ایک بنیادی 4-ریگولر غیر ہدایت شدہ گراف کی یولیرین سمت بندی ہیں۔ پارٹیشن فنکشن کہیں صفر 3 بہاؤ کی تعداد کو بھی شمار کرتا ہے۔ دو جہتی ماڈلز کے لیے، جالی کو مربع جالی سمجھا جاتا ہے۔ زیادہ حقیقت پسندانہ ماڈلز کے لیے، کوئی بھی تین جہتی جالی کا استعمال کر سکتا ہے جو اس مواد کے لیے موزوں ہے جس پر غور کیا جا رہا ہے۔ مثال کے طور پر، ہیکساگونل آئس جالی کا استعمال برف کا تجزیہ کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ کسی بھی سرے پر، تیروں کی چھ تشکیلات ہوتی ہیں جو برف کے اصول کو پورا کرتی ہیں ("سکس ورٹیکس ماڈل" کے نام کا جواز پیش کرتے ہوئے)۔ (دو جہتی) مربع جالی کے لیے درست ترتیبات درج ذیل ہیں: کسی حالت کی توانائی کو ہر سرے پر ترتیبات کا ایک فعل سمجھا جاتا ہے۔ مربع جالی کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ کل توانائی کچھ مستقلات کے لیے دی گئی ہے، جہاں یہاں اوپر کی شکل سے th ترتیب کے ساتھ عمودی کی تعداد کی نشاندہی ہوتی ہے۔ قدر وہ توانائی ہے جو ورٹیکس کنفیگریشن نمبر سے وابستہ ہے۔ ایک کا مقصد آئس ٹائپ ماڈل کے پارٹیشن فنکشن کا حساب لگانا ہے، جو اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں مجموعہ ماڈل کی تمام حالتوں پر لیا جاتا ہے، حالت کی توانائی ہے، بولٹزمین مستقل ہے، اور نظام کا درجہ حرارت ہے۔ عام طور پر، کسی کو تھرموڈینامک حد میں دلچسپی ہوتی ہے جس میں عمودی کی تعداد لامحدود تک پہنچ جاتی ہے۔ اس صورت میں، اس کے بجائے کوئی حد میں فی ورٹیکس مفت توانائی کا اندازہ لگاتا ہے، جہاں مساوی طور پر دیا جاتا ہے، کوئی تھرموڈینامک حد میں فی ورٹیکس پارٹیشن فنکشن کا اندازہ لگاتا ہے، جہاں اقدار اور جسمانی جواز سے متعلق ہیں۔ ہائیڈروجن بانڈ والے کئی حقیقی کرسٹل آئس ماڈل کو مطمئن کرتے ہیں، بشمول آئس اور پوٹاشیم ڈائی ہائیڈروجن فاسفیٹ (کے ڈی پی)۔ درحقیقت، اس طرح کے کرسٹل نے برف کی قسم کے ماڈلز کے مطالعہ کو تحریک دی۔ برف میں، ہر آکسیجن ایٹم ایک بانڈ کے ذریعے چار دیگر آکسیجنوں سے جڑا ہوتا ہے، اور ہر بانڈ ٹرمینل آکسیجنوں کے درمیان ایک ہائیڈروجن ایٹم پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہائیڈروجن متوازی طور پر واقع دو پوزیشنوں میں سے ایک پر قابض ہے، جن میں سے کوئی بھی بانڈ کے وسط میں نہیں ہے۔ پالنگ نے استدلال کیا کہ ہائیڈروجن ایٹموں کی اجازت شدہ ترتیب ایسی ہے کہ ہر آکسیجن کے بالکل قریب ہمیشہ دو ہائیڈروجن ہوتے ہیں، اس طرح مقامی ماحول پانی کے مالیکیول کی نقل کرتا ہے۔ اس طرح، اگر ہم آکسیجن ایٹموں کو جالی کے عمودی اور ہائیڈروجن بانڈوں کو جالی کے کناروں کے طور پر لیتے ہیں، اور اگر ہم کسی بانڈ پر تیر کھینچتے ہیں جو اس بانڈ کی طرف اشارہ کرتا ہے جس پر ہائیڈروجن ایٹم بیٹھا ہے، تو برف برف کے ماڈل کو مطمئن کرتی ہے۔ اسی طرح کی استدلال کا اطلاق یہ ظاہر کرنے پر ہوتا ہے کہ کے ڈی پی بھی آئس ماڈل کو مطمئن کرتا ہے۔ حالیہ برسوں میں، برف کی قسم کے ماڈلز کو پائروکلور اسپن آئس اور مصنوعی اسپن آئس سسٹم کی وضاحت کے طور پر دریافت کیا گیا ہے، جس میں بسٹ ایبل مقناطیسی لمحات ("اسپن") کے درمیان تعاملات میں ہندسی مایوسی "آئس رول" اسپن ترتیبات کو پسند کرنے کا باعث بنتی ہے۔ حال ہی میں اس طرح کی مشابہت کو ان حالات کو تلاش کرنے کے لیے بڑھایا گیا ہے جن کے تحت اسپن آئس سسٹم کو رائس ایف ماڈل کے ذریعے درست طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ ورٹیکس توانائیوں کے مخصوص انتخاب مربع جالی پر، ورٹیکس ترتیب 1-6 سے وابستہ توانائیاں حالتوں کے متعلقہ امکانات کا تعین کرتی ہیں، اور اس طرح نظام کے میکروسکوپک رویے کو متاثر کر سکتی ہیں۔ ان ورٹیکس توانائیوں کے لیے درج ذیل عام انتخاب ہیں۔ آئس ماڈل جب آئس ماڈلنگ کی جاتی ہے، تو کوئی بھی لیتا ہے، کیونکہ تمام جائز ورٹیکس ترتیبات کو یکساں طور پر امکان سمجھا جاتا ہے۔ اس صورت میں، پارٹیشن فنکشن درست حالتوں کی کل تعداد کے برابر ہے۔ اس ماڈل کو آئس ماڈل کے نام سے جانا جاتا ہے (آئس ٹائپ ماڈل کے برخلاف)۔ فیرو الیکٹرک سلیٹر کے کے ڈی پی ماڈل نے استدلال کیا کہ کے ڈی پی کی نمائندگی توانائیوں کے ساتھ آئس ٹائپ ماڈل کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اس ماڈل کے لیے (جسے کے ڈی پی ماڈل کہا جاتا ہے)، سب سے زیادہ ممکنہ حالت (کم سے کم توانائی کی حالت) میں تمام افقی تیر ایک ہی سمت کی طرف اشارہ کرتے ہیں، اور اسی طرح تمام عمودی تیروں کے لیے۔ ایسی حالت ایک فیرو الیکٹرک حالت ہے، جس میں تمام ہائیڈروجن ایٹموں کو ان کے بندھن کے ایک فکسڈ سائیڈ کے لیے ترجیح ہوتی ہے۔ ایک اینٹیفیرو الیکٹرک کا رائس ایف ماڈل اس ماڈل کے لیے کم سے کم توانائی کی حالت ترتیب دے کر حاصل کیا جاتا ہے جس میں ورٹیکس کنفیگریشن 5 اور 6 کا غلبہ ہے۔ ایسی حالت کے لیے، ملحقہ افقی بندھنوں میں لازمی طور پر مخالف سمتوں میں تیر ہوتے ہیں اور اسی طرح عمودی بندھنوں کے لیے، اس لیے یہ حالت ایک اینٹیفیرو الیکٹرک حالت ہے۔ صفر فیلڈ کا مفروضہ اگر کوئی وسیع برقی میدان نہیں ہے، تو چارج ریورسل کے تحت کسی ریاست کی کل توانائی میں کوئی تبدیلی نہیں ہونی چاہیے، یعنی۔ تمام تیروں کو پلٹاتے ہوئے۔ اس طرح کوئی عام طور پر یہ فرض کر سکتا ہے کہ یہ مفروضہ صفر فیلڈ مفروضہ کے نام سے جانا جاتا ہے، اور آئس ماڈل، کے ڈی پی ماڈل، اور رائس ایف ماڈل کے لیے موزوں ہے۔ برف کا قاعدہ 1935 میں لینس پالنگ نے متعارف کرایا تھا تاکہ برف کی بقیہ اینٹروپی کا حساب لگایا جا سکے جس کی پیمائش ولیم ایف گیاؤک اور جے ڈبلیو اسٹاؤٹ نے کی تھی۔ برف کی بقیہ اینٹروپی، اس فارمولے کے ذریعے دی جاتی ہے جہاں بولٹزمین مستقل ہے، برف کے ٹکڑے میں آکسیجن ایٹموں کی تعداد ہے، جسے ہمیشہ بڑا (تھرموڈینامک حد) سمجھا جاتا ہے اور پالنگ کے آئس رول کے مطابق ہائیڈروجن ایٹموں کی ترتیبات کی تعداد ہے۔ برف کے اصول کے بغیر ہمارے پاس ہوتا کیونکہ ہائیڈروجن ایٹموں کی تعداد ہے اور ہر ہائیڈروجن کے دو ممکنہ مقامات ہوتے ہیں۔ پالنگ نے اندازہ لگایا کہ برف کا قاعدہ اسے کم کر دیتا ہے، ایک ایسی تعداد جو اس کی گیاؤک-اسٹاؤٹ پیمائش سے بہت اچھی طرح متفق ہوگی۔ یہ کہا جا سکتا ہے کہ پالنگ کا برف کا حساب اب تک بنائے گئے حقیقی مادوں کے لیے شماریاتی میکانکس کے سب سے آسان، لیکن سب سے درست استعمال میں سے ایک ہے۔ جو سوال باقی رہا وہ یہ تھا کہ کیا، ماڈل کو دیکھتے ہوئے، پالنگ کا حساب، جو کہ بہت قریب تھا، ایک سخت حساب سے برقرار رہے گا۔ یہ امتزاج میں ایک اہم مسئلہ بن گیا۔ تین جہتی اور دو جہتی دونوں ماڈلز کا حساب 1966 میں جان ایف ناگلے نے عددی طور پر لگایا تھا جنہوں نے پایا کہ یہ تین جہتوں اور دو جہتوں میں ہے۔ دونوں حیرت انگیز طور پر پالنگ کے 1.5 کے کھردری حساب کے قریب ہیں۔ 1967 میں، لیب نے تین دو جہتی برف کی قسم کے ماڈلز کا صحیح حل پایا: آئس ماڈل، رائس ماڈل، اور کے ڈی پی ماڈل۔ آئس ماڈل کے حل نے دو جہتوں میں کی صحیح قیمت دی جسے لیب کا مربع آئس مستقل کہا جاتا ہے۔ بعد میں 1967 میں، بل سدھرلینڈ نے لیب کے تین مخصوص آئس ٹائپ ماڈلز کے حل کو مربع جالی آئس ٹائپ ماڈلز کے لیے ایک عمومی درست حل کے لیے عام کیا جو صفر فیلڈ کے مفروضے کو پورا کرتا ہے۔ پھر بھی بعد میں 1967 میں، سی پی یانگ نے افقی برقی میدان میں مربع جالی والی برف کی قسم کے ماڈلز کے درست حل کے لیے سدھرلینڈ کے حل کو عام کیا۔ 1969 میں، جان ناگلے نے درجہ حرارت کی ایک مخصوص حد کے لیے، کے ڈی پی ماڈل کے تین جہتی ورژن کا صحیح حل اخذ کیا۔ اس طرح کے درجہ حرارت کے لیے، ماڈل کو اس معنی میں "منجمد" کیا جاتا ہے کہ (تھرموڈینامک حد میں) فی ورٹیکس توانائی اور فی ورٹیکس اینٹروپی دونوں صفر ہیں۔ تین جہتی برف کی قسم کے ماڈل کے لیے یہ واحد معلوم درست حل ہے۔ آٹھ ورٹیکس ماڈل سے تعلق آٹھ ورٹیکس ماڈل، جسے بالکل حل بھی کیا گیا ہے، (مربع جالی) چھ ورٹیکس ماڈل کی عمومی شکل ہے: چھ ورٹیکس ماڈل کو آٹھ ورٹیکس ماڈل سے بازیافت کرنے کے لیے، 7 اور 8 ورٹیکس کی ترتیبات کے لیے توانائیاں لامحدود مقرر کریں۔ چھ ورٹیکس ماڈل کو کچھ معاملات میں حل کیا گیا ہے جس کے لیے آٹھ ورٹیکس ماڈل کے پاس نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، تین جہتی کے ڈی پی ماڈل کے لیے ناگلے کا حل اور افقی میدان میں چھ ورٹیکس ماڈل کا یانگ کا حل۔ باؤنڈری کنڈیشنز یہ آئس ماڈل شماریاتی میکانکس میں ایک اہم 'جوابی مثال' فراہم کرتا ہے: تھرموڈینامک حد میں بلک فری انرجی باؤنڈری کنڈیشنز پر منحصر ہوتی ہے۔ ماڈل کو وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز، اینٹی پیریڈک، فیرومیگنیٹک اور ڈومین وال باؤنڈری کنڈیشنز کے لیے تجزیاتی طور پر حل کیا گیا تھا۔ مربع جالی پر ڈومین وال باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ چھ ورٹیکس ماڈل کی امتزاج میں مخصوص اہمیت ہے، یہ متبادل سائن میٹرکس کی گنتی کرنے میں مدد کرتا ہے۔ اس صورت میں پارٹیشن فنکشن کو میٹرکس کے تعین کنندہ کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے (جس کا طول و عرض جالی کے سائز کے برابر ہے)، لیکن دیگر صورتوں میں اس کی گنتی اتنی سادہ بند شکل میں سامنے نہیں آتی ہے۔ واضح طور پر، سب سے بڑا فری باؤنڈری کنڈیشنز کے ذریعہ دیا جاتا ہے (باؤنڈری پر ترتیبات پر کوئی رکاوٹ نہیں)، لیکن تھرموڈینامک حد میں، وقتا فوقتا باؤنڈری کنڈیشنز کے لیے ایسا ہی ہوتا ہے، جیسا کہ اصل میں اخذ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ جالی کے 3 رنگ برف کی قسم کے ماڈل کے اندرونی کناروں پر جالی کے مربعوں کے محض جڑے ہوئے اتحاد کی حالتوں کی تعداد مربعوں کو 3 رنگ دینے کے طریقوں کی تعداد کے ایک تہائی کے برابر ہوتی ہے، جس میں کوئی بھی دو ملحقہ مربع ایک ہی رنگ کے نہیں ہوتے ہیں۔ ریاستوں کے درمیان یہ خط و کتابت اینڈریو لینارڈ کی وجہ سے ہے اور مندرجہ ذیل ہے۔ اگر کسی مربع کا رنگ i = 0، 1، یا 2 ہے، تو ملحقہ مربع کے کنارے پر تیر بائیں یا دائیں جاتا ہے (مربع میں ایک مبصر کے مطابق) اس بات پر منحصر ہے کہ ملحقہ مربع کا رنگ i + 1 ہے یا i−1 موڈ 3۔ ایک مقررہ ابتدائی مربع کو رنگنے کے 3 ممکنہ طریقے ہیں، اور ایک بار جب یہ ابتدائی رنگ منتخب ہو جاتا ہے تو یہ برف کی قسم کی حالت کو مطمئن کرنے والے رنگوں اور تیروں کے انتظامات کے درمیان 1:1 خط و کتابت دیتا ہے۔ آٹھ ورٹیکس ماڈل نوٹ مزید پڑھنا بالکل قابل حل ماڈل شماریاتی میکانکس لیٹیس ماڈل آئس