Jeep problem
جیپ کا مسئلہ، ڈیزرٹ کراسنگ کا مسئلہ یا ایکسپلوریشن کا مسئلہ ریاضی کا ایک مسئلہ ہے جس میں جیپ کو ایندھن کی دی گئی مقدار کے ساتھ صحرا میں زیادہ سے زیادہ فاصلہ طے کرنا ہوتا ہے۔ جیپ صرف ایک مقررہ اور محدود مقدار میں ایندھن لے جا سکتی ہے، لیکن یہ ایندھن چھوڑ سکتی ہے اور صحرا میں کہیں بھی ایندھن کے ڈمپ پر ایندھن جمع کر سکتی ہے۔ یہ مسئلہ سب سے پہلے 9 ویں صدی کے مجموعے پروپوزیشنز ایڈ ایکونڈوس جووینز (نوجوانوں کو تیز کرنے کے مسائل) میں ظاہر ہوا، جس کی وجہ الکوئن سے منسوب ہے، جس میں پہیلی ایک سفر کرنے والے اونٹ کے اناج کھانے کے بارے میں ہے۔ لوکا پیسیولی کے ڈی وائریبس کوانٹیٹیٹیٹس (تقریبا 1500) میں بھی اس مسئلے پر بحث کی گئی ہے۔ ایک جدید علاج این جے کے ذریعے دیا گیا۔ 1947 میں ٹھیک ہے۔ مسئلہ کی تغیرات اونٹ اور کیلوں کا مسئلہ ہے جہاں ایک تاجر کو کیلوں کو کھلانے والے اونٹ کا استعمال کرتے ہوئے بازار میں لے جانے والے کیلوں کی تعداد کو زیادہ سے زیادہ کرنا پڑتا ہے، صحرا کے مسئلے کے پار مسافروں کو جہاں مسافروں کی ایک بڑی تعداد کو منزل تک پہنچنا پڑتا ہے اور انہیں چھوڑنے کے بجائے صرف سامان کا تبادلہ کر سکتے ہیں، اور صحرا کے مسئلے کے پار کاریں جو دوبارہ صرف اپنے ایندھن کا تبادلہ کر سکتی ہیں، لیکن جہاں خالی کاروں کو چھوڑ دیا جا سکتا ہے۔ یہ حتمی مسئلہ ملٹی اسٹیج راکٹ کے آپریشن سے مماثلت رکھتا ہے۔ مسئلہ ایندھن کی n اکائیاں ایک مقررہ بنیاد پر محفوظ ہوتی ہیں۔ جیپ کسی بھی وقت زیادہ سے زیادہ 1 یونٹ ایندھن لے جا سکتی ہے، اور 1 یونٹ ایندھن پر 1 یونٹ کا فاصلہ طے کر سکتی ہے (جیپ کے ایندھن کی کھپت مستقل سمجھی جاتی ہے)۔ سفر کے کسی بھی موقع پر جیپ ایندھن کے ڈمپ پر کسی بھی مقدار میں ایندھن چھوڑ سکتی ہے، یا ایندھن کی کوئی بھی مقدار جمع کر سکتی ہے جو پچھلے سفر میں ایندھن کے ڈمپ پر رہ گئی تھی، جب تک کہ اس کا ایندھن کا بوجھ کبھی بھی 1 یونٹ سے زیادہ نہ ہو۔ اس مسئلے کی دو قسمیں ہیں: صحرا کی تلاش میں جیپ کو ہر سفر کے اختتام پر بیس پر واپس آنا چاہیے۔ صحرا کو عبور کرتے ہوئے جیپ کو ہر سفر کے اختتام پر بیس پر واپس آنا چاہیے سوائے آخری سفر کے، جب جیپ ایندھن ختم ہونے سے پہلے جتنا ہو سکے سفر کرتی ہے۔ دونوں صورتوں میں مقصد جیپ کے ذریعے اپنے آخری سفر پر طے کیے گئے فاصلے کو زیادہ سے زیادہ کرنا ہے۔ متبادل طور پر، مقصد یہ ہو سکتا ہے کہ کسی مقررہ فاصلے کے آخری سفر کے لیے درکار ایندھن کی کم سے کم مقدار تلاش کی جائے۔ تغیرات کلاسیکی مسئلہ میں جیپ میں اور ایندھن کے ڈمپ پر ایندھن کو مسلسل مقدار کے طور پر مانا جاتا ہے۔ اس مسئلے پر مزید پیچیدہ تغیرات تجویز کیے گئے ہیں جن میں ایندھن کو صرف علیحدہ مقدار میں چھوڑا یا جمع کیا جا سکتا ہے۔ اونٹ اور کیلوں کے مسئلے میں، تاجر کے پاس کیلوں کی n اکائیاں ہوتی ہیں۔ اونٹ کسی بھی وقت زیادہ سے زیادہ 1 یونٹ کیلے لے جا سکتا ہے، اور 1 یونٹ کیلے پر 1 یونٹ کا فاصلہ طے کر سکتا ہے۔ بازار فاصلے کے میٹر یونٹس پر ہے۔ سفر کے کسی بھی موقع پر اونٹ کیمپ پوسٹ پر لے جانے والے کیلوں کی کوئی بھی مقدار چھوڑ سکتا ہے، یا پچھلے سفر پر کیمپ پوسٹ پر چھوڑے گئے کیلوں کی کوئی بھی مقدار جمع کر سکتا ہے، جب تک کہ اس کے کیلے کا بوجھ کبھی بھی 1 یونٹ سے زیادہ نہ ہو۔ مسئلہ کیلوں کی زیادہ سے زیادہ اکائیوں کا مطالبہ کرتا ہے جنہیں بازار منتقل کیا جا سکتا ہے۔ صحرا کے مسئلے کے پار مسافروں میں، ابتدائی اڈے میں سامان کی لامحدود اکائیاں ہوتی ہیں۔ ہر مسافر کسی بھی وقت زیادہ سے زیادہ 1 یونٹ سامان لے جا سکتا ہے، اور 1 یونٹ سامان پر 1 یونٹ فاصلہ طے کر سکتا ہے۔ دوسرا بیس فاصلے کی m اکائیوں پر ہے۔ پچھلے دو مسائل کے برعکس، مسافر صحرا میں سامان نہیں چھوڑ سکتے ؛ تاہم، سفر کے کسی بھی موقع پر، ساتھ آنے والے مسافر آپس میں سامان منتقل کر سکتے ہیں، جب تک کہ ہر مسافر کبھی بھی 1 یونٹ سے زیادہ سامان نہ لے جائے۔ واپس آنے والے ہر مسافر کے پاس واپسی کے راستے میں کافی سامان ہونا ضروری ہے۔ مسئلہ دوسرے اڈے تک پہنچنے کے لیے درکار مسافروں کی کم از کم تعداد کا مطالبہ کرتا ہے۔ اس مسئلے کی ایک قسم دستیاب مسافروں کی کل تعداد بتاتی ہے، اور زیادہ سے زیادہ فاصلے کے لیے پوچھتی ہے جس تک پہنچا جا سکتا ہے۔ صحرا کے مسئلے کے پار کاروں میں، ابتدائی بیس میں ایندھن کی لامحدود اکائیاں ہوتی ہیں۔ ہر کار کسی بھی وقت زیادہ سے زیادہ 1 یونٹ سامان لے جا سکتی ہے، اور 1 یونٹ ایندھن پر 1 یونٹ کا فاصلہ طے کر سکتی ہے۔ دوسرا بیس فاصلے کی m اکائیوں پر ہے۔ کاریں صحرا میں ایندھن نہیں چھوڑ سکتی ہیں۔ تاہم، سفر کے کسی بھی موقع پر، ساتھ والی کاریں آپس میں ایندھن منتقل کر سکتی ہیں، جب تک کہ ہر کار میں کبھی بھی 1 یونٹ سے زیادہ ایندھن نہ ہو۔ خالی کاریں جن میں ایندھن نہیں ہے صحرا میں چھوڑ دی جاتی ہیں۔ مسئلہ دوسرے اڈے تک پہنچنے کے لیے درکار گاڑیوں کی کم از کم تعداد کا مطالبہ کرتا ہے۔ اس مسئلے کی ایک قسم دستیاب کاروں کی کل تعداد بتاتی ہے، اور زیادہ سے زیادہ فاصلے کے لیے پوچھتی ہے جس تک پہنچا جا سکتا ہے۔ حل ایک حکمت عملی جو "صحرا کی تلاش" کے لیے آخری سفر پر طے کیے گئے فاصلے کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے وہ مندرجہ ذیل ہے: جیپ سفر کرتی ہے۔ ہر ٹرپ پر یہ 1 یونٹ ایندھن کے ساتھ بیس سے شروع ہوتا ہے۔ پہلی ٹرپ پر جیپ 1/(2n) یونٹ کا فاصلہ طے کرتی ہے اور ایندھن کے ڈمپ پر ایندھن (n−1)/n یونٹ چھوڑ دیتی ہے۔ جیپ میں اب بھی 1/(2n) یونٹ ایندھن موجود ہے-جو بیس پر واپس آنے کے لیے کافی ہے۔ اس کے بعد کے n−1 ٹرپس میں سے ہر ایک پر جیپ راستے میں اس پہلے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n) یونٹ ایندھن جمع کرتی ہے، تاکہ یہ 1 یونٹ ایندھن لے جانے والے ایندھن کے ڈمپ کو چھوڑ دے۔ یہ واپسی کے راستے میں اس پہلے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n) یونٹ ایندھن بھی جمع کرتا ہے، جو بیس پر واپس آنے کے لیے کافی ایندھن ہے۔ دوسرے سفر پر جیپ پہلے ایندھن کے ڈمپ اور ایندھن بھرنے والی جگہوں تک جاتی ہے۔ اس کے بعد یہ 1/(2n−2) اکائیوں کا فاصلہ طے کرتا ہے اور ایندھن کے دوسرے ڈمپ پر (n−2)/(n−1) اکائیوں کا ایندھن چھوڑ دیتا ہے۔ جیپ میں اب بھی 1/(2n−2) یونٹ ایندھن موجود ہے، جو ایندھن کے پہلے ڈمپ پر واپس آنے کے لیے کافی ہے۔ یہاں یہ 1/(2n) یونٹ ایندھن جمع کرتا ہے، جو بیس پر واپس آنے کے لیے کافی ایندھن ہے۔ اس کے بعد کے n−2 دوروں میں سے ہر ایک پر جیپ راستے میں اس دوسرے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n−2) یونٹ ایندھن جمع کرتی ہے، تاکہ یہ 1 یونٹ ایندھن لے جانے والے ایندھن کے ڈمپ کو چھوڑ دے۔ یہ واپسی کے راستے میں دوسرے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n−2) یونٹ ایندھن بھی جمع کرتا ہے، جو ایندھن کے پہلے ڈمپ پر واپس آنے کے لیے کافی ایندھن ہے۔ جیپ اس طرح جاری رہتی ہے، تاکہ ٹرپ k پر یہ پچھلے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n−2k + 2) یونٹ کے فاصلے پر ایک نیا kth ایندھن کا ڈمپ قائم کرے اور وہاں ایندھن کے یونٹ (n−k)/(n−k + 1) چھوڑ دے۔ اس کے بعد کے ہر n-k ٹرپ پر یہ اپنے راستے میں kth ڈمپ سے 1/(2n−2k + 2) یونٹ ایندھن اور واپسی پر 1/(2n−2k + 2) یونٹ ایندھن جمع کرتا ہے۔ جب جیپ اپنا آخری سفر شروع کرتی ہے، تو وہاں n−1 ایندھن کے ڈمپ ہوتے ہیں۔ سب سے زیادہ فاصلے پر ایندھن کے ایک یونٹ کا 1/2 حصہ ہوتا ہے، اگلے سب سے زیادہ فاصلے پر ایندھن کے ایک یونٹ کا 1/3 حصہ ہوتا ہے، اور اسی طرح، اور قریب ترین ایندھن کے ڈمپ میں صرف 1/n یونٹ ایندھن باقی رہتا ہے۔ ایندھن کے 1 یونٹ کے ساتھ جس سے یہ بیس سے شروع ہوتا ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ جیپ اپنے آخری سفر پر کل راؤنڈ ٹرپ کا فاصلہ طے کر سکتی ہے (صحرا میں طے شدہ زیادہ سے زیادہ فاصلہ اس کا نصف ہے)۔ یہ راستے میں ہر ڈمپ پر بقیہ ایندھن کا آدھا حصہ جمع کرتا ہے، جو اس کے ٹینک کو بھر دیتا ہے۔ سب سے دور ایندھن کے ڈمپ کو چھوڑنے کے بعد یہ 1/2 یونٹ آگے صحرا میں سفر کرتا ہے اور پھر سب سے دور ایندھن کے ڈمپ پر واپس آتا ہے۔ یہ واپسی کے راستے میں ہر ایندھن کے ڈمپ سے بقیہ ایندھن جمع کرتا ہے، جو اگلے ایندھن کے ڈمپ تک پہنچنے یا آخری مرحلے میں بیس پر واپس آنے کے لیے کافی ہے۔ آخری سفر پر طے شدہ فاصلہ n واں ہارمونک نمبر، Hn ہے۔ چونکہ ہارمونک نمبر لامحدود ہیں، اس لیے آخری سفر پر کسی بھی فاصلے سے تجاوز کرنا ممکن ہے، جیسا کہ بیس پر کافی ایندھن دستیاب ہے۔ تاہم، مطلوبہ ایندھن کی مقدار اور ایندھن کے ڈمپ کی تعداد دونوں سفر کیے جانے والے فاصلے کے ساتھ تیزی سے بڑھتے ہیں۔ "کراسنگ دی ڈیزرٹ" قسم کو اسی طرح کی حکمت عملی سے حل کیا جا سکتا ہے، سوائے اس کے کہ اب آخری سفر پر واپسی کے راستے میں ایندھن جمع کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ لہذا ٹرپ k پر جیپ پچھلے ایندھن کے ڈمپ سے 1/(2n−2k + 1) یونٹ کے فاصلے پر ایک نیا kth فیول ڈمپ قائم کرتی ہے اور وہاں ایندھن کے یونٹ (2n−2k−1)/(2n−2k + 1) چھوڑ دیتی ہے۔ اگلے n − k − 1 ٹرپس میں سے ہر ایک پر یہ اپنے راستے میں kth ڈمپ سے 1/(2n − 2k + 1) یونٹ ایندھن اور واپسی پر 1/(2n − 2k + 1) یونٹ ایندھن جمع کرتا ہے۔ اب جب جیپ اپنا آخری سفر شروع کرتی ہے، تو وہاں n−1 ایندھن کے ڈمپ ہوتے ہیں۔ سب سے دور ایندھن کے یونٹ کا 1/3 حصہ ہوتا ہے، اگلے سب سے دور ایندھن کے یونٹ کا 1/5 حصہ ہوتا ہے، اور اسی طرح، اور قریب ترین ایندھن کے ڈمپ میں صرف 1/(2n−1) یونٹ ایندھن باقی رہتا ہے۔ ایندھن کے 1 یونٹ کے ساتھ جس سے یہ بیس سے شروع ہوتا ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ جیپ اپنے آخری سفر پر کل یونٹوں کا فاصلہ طے کر سکتی ہے۔ یہ راستے میں ہر ڈمپ پر باقی تمام ایندھن جمع کرتا ہے، جو اس کے ٹینک کو بھر دیتا ہے۔ سب سے دور ایندھن کے ڈمپ کو چھوڑنے کے بعد یہ 1 یونٹ کا مزید فاصلہ طے کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس لیے نظریہ طور پر کسی بھی سائز کے صحرا کو عبور کرنا ممکن ہے جس کی بنیاد پر کافی ایندھن دیا گیا ہو۔ پہلے کی طرح، مطلوبہ ایندھن کی مقدار اور ایندھن کے ڈمپ کی تعداد دونوں سفر کیے جانے والے فاصلے کے ساتھ تیزی سے بڑھتے ہیں۔ خلاصہ یہ ہے کہ جیپ کے ذریعے (کسی بھی وقت 1 یونٹ کے فاصلے کے لیے ایندھن کی گنجائش کے ساتھ) این ٹرپس میں قابل رسائی زیادہ سے زیادہ فاصلہ (این-1 بیچ میں ایندھن کے ڈمپ کے ساتھ اور ایندھن کے کل این یونٹس کا استعمال کرتے ہوئے) صحرا کی تلاش کے لیے ہے جہاں جیپ کو ہر ٹرپ کے اختتام پر بیس پر واپس آنا چاہیے ؛ صحرا کو عبور کرنے کے لیے جہاں جیپ کو ہر ٹرپ کے اختتام پر بیس پر واپس آنا چاہیے سوائے آخری ٹرپ کے، جب جیپ ایندھن ختم ہونے سے پہلے جہاں تک ممکن ہو سفر کرتی ہے۔ یہاں n واں ہارمونک نمبر ہے۔ ایندھن کی مسلسل مقدار بیس پر دستیاب ایندھن یونٹوں کی تعداد کو انٹیجر ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ عام صورت میں، ایندھن کی اکائیوں کے ساتھ "صحرا کو تلاش کریں" کے مسئلے کے لیے قابل حصول زیادہ سے زیادہ فاصلہ ایندھن کے پہلے ڈمپ کے ساتھ ہوتا ہے جو ابتدائی بیس سے فاصلے کی اکائیوں پر واقع ہوتا ہے، دوسرا پہلے ایندھن کے ڈمپ سے فاصلے کی اکائیوں پر، تیسرا دوسرے ایندھن کے ڈمپ سے فاصلے کی اکائیوں پر، اور اسی طرح۔ یہاں کا فریکشنل حصہ ہے۔ ایندھن کی اکائیوں کے ساتھ "کراس دی ڈیزرٹ" مسئلے کے لیے قابل حصول زیادہ سے زیادہ فاصلہ ایندھن کے پہلے ڈمپ کے ساتھ ہے جو ابتدائی بیس سے فاصلے کی اکائیوں پر واقع ہے، دوسرا پہلے ایندھن کے ڈمپ سے فاصلے کی اکائیوں پر، تیسرا دوسرے ایندھن کے ڈمپ سے فاصلے کی اکائیوں پر، اور اسی طرح۔ یہاں کا فریکشنل حصہ ہے۔ اونٹ اور کیلوں کے مسئلے میں، یہ فرض کرتے ہوئے کہ تاجر کے پاس ابتدائی بنیاد پر کل n = 7/3 یونٹ کیلے ہیں اور بازار m یونٹ کے فاصلے پر ہے: اگر، اس مسئلے کا کوئی حل موجود نہیں ہے۔ اگر، نقل و حمل کے لیے کوئی درمیانی کیمپ پوسٹ ضروری نہیں ہے، اور اونٹ کے ذریعے فاصلے m کو بار بار دہرایا جائے گا، تو مارکیٹ میں کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار منتقل کی جاتی ہے۔ اگر، کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار کو منتقل کرنے کے لیے کچھ درمیانی کیمپ پوسٹوں کی ضرورت ہوتی ہے: m = 1/4 <(1/3+1 15) کے لیے، ابتدائی بنیاد سے دور 1/15 یونٹوں کے فاصلے پر صرف ایک درمیانی کیمپ پوسٹ ضروری ہے، جہاں کل 2 یونٹ کیلے ہوتے ہیں۔ کیمپ پوسٹ سے مارکیٹ تک کا فاصلہ (1/4-1 15) ہے، جسے اونٹ 3 بار دہرائے گا، اور مارکیٹ میں منتقل کیے جانے والے کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار 2-(1/4-1 15) * 3 = 1.45 یونٹ ہے۔ m = 1/2> (1/3+1 15) کے لیے، پہلی کیمپ پوسٹ سے 1/3 یونٹ کے فاصلے پر ایک اور مڈ وے کیمپ پوسٹ ضروری ہے، جہاں کل 1 یونٹ کیلے جمع ہوں گے۔ دوسری کیمپ پوسٹ سے مارکیٹ تک کا فاصلہ [1/2 (1/3+1 15)] ہے، جس کا سفر اونٹ کے ذریعے صرف ایک بار کیا جائے گا، اور مارکیٹ میں منتقل کیے جانے والے کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار 1-[1/2 (1/3+1 15)] * 1 = 0.9 یونٹ ہے۔ اگر اونٹ کو بالآخر ابتدائی بیس پر واپس جانا پڑتا ہے، تو فنکشن لاگو ہوتا ہے (اب بھی n = 7/3 فرض کرتے ہوئے): اگر، اس مسئلے کا کوئی حل موجود نہیں ہے۔ اگر، نقل و حمل کے لیے کوئی مڈ وے کیمپ پوسٹ ضروری نہیں ہے، اور فاصلہ m اونٹ کے ذریعے بار بار دہرایا جائے گا، تو بازار میں منتقل کیے جانے والے کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار ہے۔ اگر، کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار کو منتقل کرنے کے لیے کچھ مڈ وے کیمپ پوسٹوں کی ضرورت ہوتی ہے: m = 1/4 <(1/4+1 18) کے لیے، ابتدائی بیس سے دور 1/18 یونٹوں کے فاصلے پر صرف ایک مڈ وے کیمپ پوسٹ ضروری ہے، جہاں اونٹ کی حتمی واپسی کے لیے کیلوں کے کل 2 یونٹ (پلس 1/18 یونٹ) ہوتے ہیں۔ کیمپ پوسٹ سے مارکیٹ تک کا فاصلہ (1/4-1 18) ہے، جسے اونٹ 4 بار دہرائے گا، اور مارکیٹ میں منتقل کیے جانے والے کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار 2-(1/4-1 18) * 4 = 1.22 یونٹ ہے۔ m = 1/2> (1/4+1 18) کے لیے، پہلی کیمپ پوسٹ سے 1/4 یونٹ کے فاصلے پر ایک اور مڈ وے کیمپ پوسٹ ضروری ہے، جہاں کل 1 یونٹ کیلے (اونٹ کی حتمی واپسی کے لیے 1/4 یونٹ کے علاوہ) جمع ہوں گے۔ دوسرے کیمپ پوسٹ سے بازار کا فاصلہ [1/2 (1/4+1 18)] ہے، جسے اونٹ دو بار دہرائے گا، اور بازار میں منتقل کیے جانے والے کیلوں کی زیادہ سے زیادہ مقدار 1-[1/2 (1/4+1 18)] * 2 = 0.61 یونٹ ہے۔ صحرا کے مسئلے کے پار مسافروں میں، فرض کریں کہ n مسافر سامان کی n اکائیوں کے ساتھ ابتدائی اڈے سے نکلتے ہیں۔ 1/(n + 1) یونٹ کے فاصلے کے بعد، وہ پہلے ہی n/(n + 1) یونٹ کا سامان استعمال کر چکے ہوں گے۔ اس مقام پر، مسافروں میں سے ایک کو 1/(n + 1) یونٹ کا سامان لے کر واپس آنا چاہیے، اور اس گروپ کو بالکل (n-1) یونٹ کا سامان چھوڑ دینا چاہیے تاکہ ہر باقی مسافر کے پاس سامان کا بالکل ایک یونٹ ہو۔ اس کے بعد گروپ فاصلے کی ایک اور 1/(n + 1) اکائیوں کا سفر کرتا ہے، جو سامان کی (n-1)/(n + 1) اکائیوں کا استعمال کرتا ہے۔ اس مقام پر، باقی مسافروں میں سے ایک کو سامان کی 2/(n + 1) اکائیوں کے ساتھ واپس آنا چاہیے تاکہ وہ محفوظ طریقے سے ابتدائی اڈے پر واپس جا سکے، جس سے گروپ کو سامان کی بالکل (n-2) اکائیوں کو چھوڑ دیا جائے۔ گروپ 1/(n + 1) یونٹ کا فاصلہ طے کرتا رہتا ہے اور ایک مسافر کو کم کرتا رہتا ہے، یہاں تک کہ صرف ایک مسافر کے پاس سامان کا بالکل ایک یونٹ باقی رہ جاتا ہے۔ آخر میں، یہ مسافر سب سے دور کے مقام تک پہنچنے کے لیے ایک یونٹ کا فاصلہ طے کر سکتا ہے۔ مجموعی طور پر، سب سے طویل فاصلہ n مسافر پہنچ سکتے ہیں اس کے مساوی m ہے، کوئی بھی فاصلے کے m یونٹس کا سفر کرنے کے لیے درکار مسافروں کی کم از کم تعداد کے لیے حل کر سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ حل صرف m <2 کے لیے موجود ہیں۔ اگر آخری اور آخری مسافر کو بھی ابتدائی اڈے پر واپس جانے کی ضرورت ہے، تو وہ صرف 1/(n + 1) یونٹ اکیلے سفر کرے گا تاکہ اس کے پاس واپس آنے کے لیے فراہمی کے n/(n + 1) یونٹ ہوں، لہذا سب سے طویل فاصلہ n مسافر پہنچ سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ حل صرف m <1 کے لیے موجود ہیں۔ صحرا کے مسئلے کے پار کاروں میں، فرض کریں کہ n کاریں ایندھن کے n یونٹوں کے ساتھ ابتدائی بیس سے نکلتی ہیں۔ 1/n یونٹ کے فاصلے کے بعد، گروپ پہلے ہی ایندھن کا بالکل ایک یونٹ استعمال کر چکا ہوگا۔ اس وقت، انہیں اپنے درمیان ایندھن منتقل کرنا چاہیے، ایک خالی کار پیچھے چھوڑنی چاہیے، اور (n-1) کاروں کے درمیان (n-1) یونٹ ایندھن لے جانا چاہیے۔ ایک اور 1/(n-1) یونٹ کے فاصلے کے بعد، گروپ نے ایندھن کا ایک اور یونٹ استعمال کیا ہوگا۔ پھر، انہیں ایندھن منتقل کرنا چاہیے، ایک خالی کار پیچھے چھوڑنی چاہیے، اور (n-2) کاروں کے درمیان (n-2) یونٹ ایندھن لے جانا چاہیے۔ گروپ ایک کار کو آگے بڑھاتا اور کم کرتا رہتا ہے، یہاں تک کہ صرف ایک کار باقی رہ جاتی ہے جس میں بالکل ایک یونٹ ایندھن ہوتا ہے۔ آخر میں، یہ کار سب سے دور کے مقام تک پہنچنے کے لیے ایک یونٹ کا فاصلہ طے کر سکتی ہے۔ مجموعی طور پر، n کاریں جو سب سے طویل فاصلہ طے کر سکتی ہیں وہ n واں ہارمونک نمبر ہے: اس کو m کے مساوی کرتے ہوئے، کوئی بھی فاصلے کے m یونٹس کا سفر کرنے کے لیے درکار کاروں کی کم از کم تعداد کے لیے حل کر سکتا ہے۔ آرڈر کی آزادی نوٹ کریں کہ جیپ ٹرپس کا آرڈر مقررہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر مسئلے کے "صحرا کی تلاش" ورژن میں، جیپ بیس اور پہلے ایندھن کے ڈمپ کے درمیان راؤنڈ ٹرپس کر سکتی ہے، ہر بار ایندھن کے ڈمپ پر ایندھن کے یونٹ چھوڑ سکتی ہے اور پھر پہلے ایندھن کے ڈمپ تک یک طرفہ سفر کر سکتی ہے، اس طرح ایندھن کے کل یونٹوں کے ساتھ وہاں پہنچ سکتی ہے۔ یونٹس کو بالکل آخر میں بیس پر واپسی کے سفر کے لیے محفوظ کیا جاتا ہے اور ایندھن کے دیگر یونٹس کو پہلے اور دوسرے ایندھن کے ڈمپ کے درمیان ایندھن منتقل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، راؤنڈ ٹرپس کا استعمال کرتے ہوئے اور پھر ایندھن کے دوسرے ڈمپ تک ایک طرفہ ٹرپ کا استعمال کرتے ہوئے۔ اور اسی طرح۔ عملی ایپلی کیشنز اس مسئلے کا جنگی حالات میں عملی اطلاق ہو سکتا ہے، خاص طور پر ایندھن کی کارکردگی کے حوالے سے۔ دوسری جنگ عظیم میں بی-29 کے ذریعے جاپان پر بمباری کے تناظر میں، رابرٹ میک نامارا فلم دی فوگ آف وار میں کہتے ہیں کہ ایندھن کو آگے کے اڈوں تک پہنچانے کی وجہ سے ایندھن کی کارکردگی کے مسئلے کو سمجھنا بنیادی وجہ تھی کہ مین لینڈ چین سے بمباری کے چھاپے مارنے کی حکمت عملی کو جزیرے کو چھلانگ لگانے کی حکمت عملی کے حق میں ترک کر دیا گیا تھا: (دوسری جنگ عظیم کے اختتام پر جوہری بمباری کے مشن کو شمالی ماریاناس جزائر میں بحر الکاہل کے جزیرے تینین سے بی-29 سپر فورٹریس کا استعمال کرتے ہوئے اڑایا گیا تھا۔) ان خیالات کے اطلاق کے لیے آپریشن بلیک بک بھی دیکھیں۔ فاکلینڈز جنگ کے دوران کیے گئے ان مشنوں میں، رائل ایئر فورس نے ٹینکرز کو اسٹیج کرکے ہوا سے ہوا میں ایندھن بھرنے کا استعمال کیا تاکہ ایسینشن جزیرے پر مقیم ولکن بمباروں کو فاکلینڈ جزائر میں اہداف پر بمباری کرنے کے قابل بنایا جا سکے۔ ہارمونک سیریز (ریاضی) آپٹیمائزیشن (ریاضی) حوالہ جات ریاضیاتی اصلاح تفریحی ریاضی بھی دیکھیں۔