Optical phase space
کوانٹم آپٹکس میں، آپٹیکل فیز اسپیس ایک فیز اسپیس ہے جس میں آپٹیکل سسٹم کی تمام کوانٹم ریاستیں بیان کی جاتی ہیں۔ نظری مرحلے کی جگہ میں ہر نقطہ نظری نظام کی ایک منفرد حالت سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس طرح کے کسی بھی نظام کے لیے، ایک دوسرے کے خلاف کواڈریچروں کا پلاٹ، ممکنہ طور پر وقت کے افعال کے طور پر، فیز ڈائیگرام کہلاتا ہے۔ اگر کواڈریچرز وقت کے افعال ہیں تو آپٹیکل فیز ڈائیگرام وقت کے ساتھ کوانٹم آپٹیکل سسٹم کے ارتقاء کو دکھا سکتا ہے۔ ایک نظری مرحلے کا خاکہ نظام کی خصوصیات اور طرز عمل کے بارے میں بصیرت دے سکتا ہے جو بصورت دیگر واضح نہیں ہو سکتا۔ یہ نظام کی ان خصوصیات کی طرف اشارہ کر سکتا ہے جو کسی نظری نظام کا مطالعہ کرنے والے فرد کے لیے دلچسپی کا باعث ہو سکتی ہیں جس کا اندازہ لگانا دوسری صورت میں بہت مشکل ہوگا۔ آپٹیکل فیز ڈائیگرام کا ایک اور استعمال یہ ہے کہ یہ آپٹیکل سسٹم کی حالت کے ارتقاء کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ کسی بھی وقت آپٹیکل سسٹم کی حالت کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پس منظر کی معلومات روشنی کے کوانٹم تھیوری پر بحث کرتے وقت، برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کو بطور ماڈل استعمال کرنا بہت عام ہے۔ برقی مقناطیسی ارتعاش برقی میدان کے ارتعاش کو بیان کرتا ہے۔ چونکہ مقناطیسی میدان برقی میدان کی تبدیلی کی شرح کے متناسب ہے، اس لیے یہ بھی ارتعاش کرتا ہے۔ اس طرح کے ارتعاش روشنی کو بیان کرتے ہیں۔ اس طرح کے آسکیلیٹرز پر مشتمل نظام کو آپٹیکل فیز اسپیس کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ u (x، t) ایک ویکٹر فنکشن ہے جو برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کے واحد موڈ کو بیان کرتا ہے۔ سادگی کے لیے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ یہ برقی مقناطیسی آسکیلیٹر خلا میں ہے۔ ایک مثال طیارہ لہر ہے جس کے ذریعہ دی گئی ہے جہاں u0 پولرائزیشن ویکٹر ہے، k لہر ویکٹر، فریکوئنسی ہے، اور AB ویکٹر A اور B کے درمیان ڈاٹ پروڈکٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ ایک طیارہ لہر کے لیے مساوات ہے اور اس طرح کے برقی مقناطیسی ارتعاش کی ایک سادہ مثال ہے۔ جن آسکیلیٹرز کی جانچ کی جا رہی ہے وہ یا تو خلا میں آزاد لہریں ہو سکتی ہیں یا کسی گہا میں موجود کچھ نارمل موڈ ہو سکتی ہیں۔ برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کا ایک واحد طریقہ باقی نظام سے الگ کیا جاتا ہے اور اس کی جانچ کی جاتی ہے۔ اس طرح کے آسکیلیٹر کو، جب کوانٹائز کیا جاتا ہے، تو اسے کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کی ریاضی سے بیان کیا جاتا ہے۔ کوانٹم آسکیلیٹرز کو تخلیق اور اناہیلیشن آپریٹرز اور کا استعمال کرتے ہوئے بیان کیا گیا ہے۔ جسمانی مقداریں، جیسے برقی میدان کی طاقت، پھر کوانٹم آپریٹر بن جاتی ہیں۔ کسی جسمانی مقدار کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہونے والے کوانٹم مکینیکل آپریٹر سے ممتاز کرنے کے لیے، آپریٹر کی علامتوں پر "ٹوپی" استعمال کی جاتی ہے۔ اس طرح، مثال کے طور پر، جہاں برقی میدان (ایک جزو) کی نمائندگی کر سکتا ہے، علامت کوانٹم مکینیکل آپریٹر کی نشاندہی کرتی ہے جو بیان کرتا ہے۔ یہ روایت اس پورے مضمون میں استعمال ہوتی ہے، لیکن زیادہ اعلی درجے کی تحریروں میں عام استعمال میں نہیں ہے، جو ٹوپی سے گریز کرتے ہیں، کیونکہ یہ صرف متن کو بے ترتیب کرتا ہے۔ کوانٹم آسکیلیٹر موڈ میں، جسمانی مقدار کی نمائندگی کرنے والے زیادہ تر آپریٹرز کا اظہار عام طور پر تخلیق اور خاتمے کے آپریٹرز کے لحاظ سے کیا جاتا ہے۔ اس مثال میں، برقی میدان کی طاقت اس طرح دی گئی ہے: (جہاں xi x، پوزیشن کا واحد جزو ہے)۔ برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کے لیے ہیملٹنین اس آسکیلیٹر کے لیے برقی مقناطیسی میدان کی مقدار طے کر کے پایا جاتا ہے اور فارمولا اس طرح دیا جاتا ہے: جہاں (اسپیٹیو-ٹیمپورل) موڈ کی تعدد ہے۔ اینہیلیشن آپریٹر بوسونک اینہیلیشن آپریٹر ہے اور اس لیے یہ کینونکل کمیونیکیشن ریلیشن کی پابندی کرتا ہے: اینہیلیشن آپریٹر کی آئجین اسٹیٹس کو مربوط ریاستیں کہا جاتا ہے: یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ اینہیلیشن آپریٹر ہرمیٹین نہیں ہے۔ اس لیے اس کی آئجین ویلیوز پیچیدہ ہو سکتی ہیں۔ اس کے اہم نتائج ہوتے ہیں۔ آخر میں، فوٹون نمبر آپریٹر کے ذریعہ دیا جاتا ہے جو دیئے گئے (مقامی-عارضی) موڈ میں فوٹونوں کی تعداد دیتا ہے۔ کواڈریچر آپریٹرز کے ذریعہ دیئے گئے اور انہیں کواڈریچرز کہا جاتا ہے اور وہ پیچیدہ طول و عرض کے حقیقی اور خیالی حصوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ دو چوتھائیوں کے درمیان تبادلوں کے تعلق کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے: یہ پوزیشن اور مومنٹم آپریٹر کے تبادلوں کے تعلق سے بہت ملتا جلتا لگتا ہے۔ اس طرح، کواڈریچروں کو آسکیلیٹر کی پوزیشن اور مومنٹم کے طور پر سوچنا اور ان کا علاج کرنا مفید ہو سکتا ہے حالانکہ حقیقت میں وہ "اسپیشیئل-ٹیمپورل موڈ کے برقی میدان کے طول و عرض کے ان فیز اور آؤٹ آف فیز اجزاء ہیں"، یا یو، اور ان کا واقعی برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کی پوزیشن یا مومنٹم سے کوئی تعلق نہیں ہے (کیونکہ برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کے لیے پوزیشن اور مومنٹم سے کیا مراد ہے اس کی وضاحت کرنا مشکل ہے)۔ کواڈریچر آپریٹرز کی آئجین اسٹیٹس کواڈریچر اسٹیٹس کہا جاتا ہے۔ وہ تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں: اور اور جیسا کہ یہ مکمل بیس سیٹ بناتے ہیں۔ اہم نتیجہ مندرجہ ذیل ایک اہم رشتہ ہے جو اوپر سے اخذ کیا جا سکتا ہے جو ہماری تشریح کو درست ثابت کرتا ہے کہ کواڈریچرز ایک کمپلیکس کے حقیقی اور خیالی حصے ہیں (یعنی۔ برقی مقناطیسی آسکیلیٹر کے ان فیز اور آؤٹ آف فیز اجزاء) مندرجہ ذیل ایک رشتہ ہے جو مذکورہ بالا کا اندازہ لگانے میں مدد کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس کے ذریعے دیا گیا ہے: اس سے ہمیں یہ ملتا ہے کہ: اوپر کی طرح اسی طریقے سے۔ اس طرح، یہ صرف چوتھائیوں کی ایک ترکیب ہے۔ مربوط ریاستوں کی ایک اور بہت اہم خاصیت اس رسمی نظام میں بہت واضح ہو جاتی ہے۔ ایک مربوط حالت نظری مرحلے کی جگہ میں ایک نقطہ نہیں ہے بلکہ اس پر ایک تقسیم ہے۔ یہ اور کے ذریعے دیکھا جا سکتا ہے۔ یہ صرف ریاست کی اور اس کے لیے متوقع اقدار ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کواڈریچرز ہائزن برگ کے غیر یقینی اصول کی پابندی کرتے ہیں: (جہاں اور بالترتیب q اور p کی تقسیم کے تغیرات ہیں) اس عدم مساوات کو لازمی طور پر سنترپت کرنے کی ضرورت نہیں ہے اور ایسی حالتوں کی ایک عام مثال نچوڑی ہوئی مربوط ریاستیں ہیں۔ مربوط ریاستیں آس پاس کی مقامی مرحلے کی جگہ پر گاؤسی امکان کی تقسیم ہیں۔ فیز اسپیس پر آپریٹرز فیز اسپیس کے ارد گرد مربوط حالتوں کو منتقل کرنے کے لیے آپریٹرز کی وضاحت کرنا ممکن ہے۔ یہ نئی مربوط حالتیں پیدا کر سکتے ہیں اور ہمیں فیز اسپیس کے ارد گرد منتقل کرنے کی اجازت دے سکتے ہیں۔ فیز شفٹنگ آپریٹر فیز شفٹنگ آپریٹر آپٹیکل فیز اسپیس میں ایک زاویے سے مربوط حالت کو گھومتا ہے۔ یہ آپریٹر اس طرح دیا گیا ہے: اہم تعلق مندرجہ ذیل طور پر اخذ کیا گیا ہے: اور اس تفریقی مساوات کو حل کرنے سے مطلوبہ نتیجہ حاصل ہوتا ہے۔ اس طرح، مذکورہ بالا کا استعمال کرتے ہوئے یہ واضح ہو جاتا ہے کہ، یا فیز اسپیس میں مربوط حالت پر ایک زاویہ تھیٹا کی طرف سے گردش۔ مندرجہ ذیل اس کی مزید واضح طور پر وضاحت کرتا ہے: (جو اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے کہ فیز شفٹنگ آپریٹر یکطرفہ ہے۔ اس سے یہ دیکھنا ممکن ہے کہ کون سا آئجن پیئر کو ظاہر کرنے کا ایک اور طریقہ ہے جو مربوط حالتوں پر فیز شفٹنگ آپریٹر کے اثرات کو زیادہ واضح طور پر بیان کرتا ہے۔ نقل مکانی آپریٹر نقل مکانی آپریٹر ایک یکطرفہ آپریٹر ہے جو ایک مربوط حالت لیتا ہے اور اسے ایک اور مربوط حالت میں بدل دیتا ہے۔ نقل مکانی کرنے والا آپریٹر اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور اس کا نام ایک اہم تعلق سے آتا ہے۔ درحقیقت، آئیے عارضی طور پر حقیقی کے ساتھ تعارف کروائیں اور غور کریں کہ جب 0 سے 1 میں تبدیلی آتی ہے تو کس طرح مختلف ہوتی ہے۔ اس کے حوالے سے تفریق کرتے ہوئے، ہم اس طرح پاتے ہیں کہ چونکہ مربوط ریاستیں اینہیلیشن آپریٹر اور ضرب کے آپریٹر دونوں کی آئجن اسٹیٹس ہیں، اس لیے یہ دیکھنا آسان ہے کہ، درحقیقت، نقل مکانی آپریٹر مربوط ریاستوں کو حرکت دیتا ہے، یا، زیادہ واضح طور پر، درحقیقت، اوپر اخذ کردہ تعلق کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، اس طرح، آئجن ویلیو کے ساتھ اینہیلیشن آپریٹر کی ایک آئجن اسٹیٹ ہے، لہذا۔ خاص طور پر، جس کی طرف جاتا ہے۔ یہ اہم ہے کیونکہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ تمام مربوط حالتوں کو زمینی حالت کی نقل مکانی کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے، جو آپٹکس میں خلا کی حالت بھی ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ غیر کلاسیکی لائٹ روٹیشن آپریٹر (کوانٹم میکانکس) کوانٹم ہارمونک آسکیلیٹر کواسیپروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن ہوسیمی کیو نمائندگی سکویزڈ کوہرینٹ اسٹیٹ وگنر کواسیپروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن حوالہ جات کوانٹم آپٹکس