Dynamic mode decomposition
متحرک موڈ سڑنا (ڈی ایم ڈی) ایک جہتی تخفیف الگورتھم ہے جسے پیٹر جے شمڈ اور جورن سیسٹرہن نے 2008 میں تیار کیا تھا۔ اعداد و شمار کی ٹائم سیریز کو دیکھتے ہوئے، ڈی ایم ڈی طریقوں کے ایک سیٹ کا حساب لگاتا ہے جن میں سے ہر ایک مقررہ ارتعاش تعدد اور انحطاط/نمو کی شرح سے وابستہ ہے۔ خاص طور پر لکیری نظاموں کے لیے، یہ طریقے اور تعدد نظام کے عام طریقوں سے مشابہت رکھتے ہیں، لیکن زیادہ عام طور پر، وہ کمپوزیشن آپریٹر (جسے کوپمین آپریٹر بھی کہا جاتا ہے) کے طریقوں اور آئجن ویلیوز کے تخمینے ہیں۔ ہر موڈ سے وابستہ اندرونی عارضی طرز عمل کی وجہ سے، ڈی ایم ڈی طول و عرض میں کمی کے طریقوں سے مختلف ہے جیسے کہ پرنسپل جزو تجزیہ، جو آرتھوگنل طریقوں کا حساب لگاتا ہے جن میں پہلے سے طے شدہ عارضی طرز عمل کی کمی ہوتی ہے۔ کیونکہ اس کے طریقے آرتھوگنل نہیں ہیں، ڈی ایم ڈی پر مبنی نمائشیں پی سی اے کے ذریعہ تیار کردہ نمونوں کے مقابلے میں کم غیر متزلزل ہو سکتی ہیں۔ تاہم، وہ جسمانی طور پر زیادہ معنی خیز بھی ہو سکتے ہیں کیونکہ ہر موڈ وقت کے ساتھ ڈمپڈ (یا کارفرما) سینوسائڈل رویے سے وابستہ ہوتا ہے۔ جائزہ ڈائنامک موڈ سڑنا سب سے پہلے شمڈ نے بہاؤ کے ڈیٹا سے متحرک خصوصیات کو نکالنے کے لیے عددی طریقہ کار کے طور پر متعارف کرایا تھا۔ ڈیٹا ایک سنیپ شاٹ ترتیب کی شکل اختیار کرتا ہے جہاں فلو فیلڈ کا-th سنیپ شاٹ ہوتا ہے، اور یہ ایک ڈیٹا میٹرکس ہوتا ہے جس کے کالم انفرادی سنیپ شاٹس ہوتے ہیں۔ ان سنیپ شاٹس کو ایک لکیری میپنگ کے ذریعے متعلق سمجھا جاتا ہے جو ایک لکیری متحرک نظام کی وضاحت کرتا ہے جو نمونے لینے کی مدت کے دوران تقریبا یکساں رہتا ہے۔ میٹرکس کی شکل میں لکھا گیا، اس کا مطلب یہ ہے کہ بقیہ کا ویکٹر کہاں ہے جو ایسے طرز عمل کا سبب بنتا ہے جسے،، اور کے ذریعے مکمل طور پر بیان نہیں کیا جا سکتا۔ نقطہ نظر سے قطع نظر، ڈی ایم ڈی کی آؤٹ پٹ آئجن ویلیوز اور آئجن ویکٹرز ہیں، جنہیں بالترتیب ڈی ایم ڈی آئجن ویلیوز اور ڈی ایم ڈی موڈ کہا جاتا ہے۔ الگورتھم ان آئجین ویلیوز اور طریقوں کو حاصل کرنے کے دو طریقے ہیں۔ پہلا آرنلڈی جیسا ہے، جو کریلوف طریقوں سے تعلق کی وجہ سے نظریاتی تجزیہ کے لیے مفید ہے۔ دوسرا ایک واحد قدر سڑنے (ایس وی ڈی) پر مبنی نقطہ نظر ہے جو اعداد و شمار میں شور اور عددی غلطیوں کے لیے زیادہ مضبوط ہے۔ آرنلڈی نقطہ نظر سیال ایپلی کیشنز میں، سنیپ شاٹ کا سائز، سنیپ شاٹس کی تعداد سے بہت بڑا سمجھا جاتا ہے، لہذا اس کے بہت سے یکساں طور پر درست انتخاب ہیں۔ اصل ڈی ایم ڈی الگورتھم چنتا ہے تاکہ ہر سنیپ شاٹ کو سنیپ شاٹس کے لکیری امتزاج کے طور پر ظاہر کیا جا سکے۔ چونکہ زیادہ تر سنیپ شاٹس دونوں ڈیٹا سیٹوں میں ظاہر ہوتے ہیں، اس لیے یہ نمائندگی تمام سنیپ شاٹس کے لیے غلطی سے پاک ہے سوائے اس کے، جسے لکھا گیا ہے کہ کہاں کوفیشنٹس کا ایک سیٹ ہے جس کی شناخت ڈی ایم ڈی کو کرنی چاہیے اور یہ بقایا ہے۔ مجموعی طور پر، ساتھی میٹرکس کہاں ہے ویکٹر کا حساب کم سے کم مربعوں کے مسئلے کو حل کرکے کیا جا سکتا ہے، جو مجموعی بقایا کو کم سے کم کرتا ہے۔ خاص طور پر اگر ہم اس کی کیو آر سڑنا لیتے ہیں۔ اس شکل میں، ڈی ایم ڈی آرنلڈی طریقہ کار کی ایک قسم ہے، اور اس لیے کے آئجین ویلیوز کے آئجین ویلیوز کے تخمینے ہیں۔ مزید برآں، اگر کا ایک آئجین ویکٹر ہے، تو اس کا ایک لگ بھگ آئجین ویکٹر ہے۔ آئجینڈ کمپوزیشن اس کے بجائے اس کی وجہ یہ ہے کہ اس سے بہت چھوٹا ہے، لہذا ڈی ایم ڈی کی کمپیوٹیشنل لاگت کا تعین سنیپ شاٹ کے سائز کے بجائے سنیپ شاٹس کی تعداد سے ہوتا ہے۔ ایس وی ڈی پر مبنی نقطہ نظر ساتھی میٹرکس کا حساب لگانے کے بجائے، ایس وی ڈی پر مبنی نقطہ نظر میٹرکس حاصل کرتا ہے جو مماثلت کی تبدیلی سے متعلق ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، فرض کریں کہ ہمارے پاس ایس وی ڈی ہے۔ پھر آرنلڈی پر مبنی نقطہ نظر کے ذریعہ کیے گئے مفروضے کے مساوی، ہم اس طرح کا انتخاب کرتے ہیں کہ اسنیپ شاٹس کو کالموں کی لکیری سپرپوزیشن کے طور پر لکھا جا سکے، جو اس ضرورت کے مساوی ہے کہ انہیں پی او ڈی طریقوں کی سپرپوزیشن کے طور پر لکھا جا سکے۔ اس پابندی کے ساتھ، بقایا کو کم سے کم کرنے کے لیے ضروری ہے کہ یہ پی او ڈی کی بنیاد (یعنی،) کے لیے آرتھوگنل ہو۔ پھر مندرجہ بالا مساوات کے دونوں اطراف کو پیداوار سے ضرب دینا، جسے حاصل کرنے کے لیے ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے کیونکہ اور مماثلت کی تبدیلی کے ذریعے متعلق ہیں، کی آئجن ویلیوز کی آئجن ویلیوز ہیں، اور اگر ایک آئجن ویکٹر ہے، تو اس کا ایک آئجن ویکٹر ہے۔ خلاصہ یہ ہے کہ ایس وی ڈی پر مبنی نقطہ نظر مندرجہ ذیل ہے: ڈیٹا کی ٹائم سیریز کو دو میٹرکس میں تقسیم کریں اور۔ کے ایس وی ڈی کا حساب لگائیں۔ میٹرکس بنائیں، اور اس کی آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کا حساب لگائیں۔ - th ڈی ایم ڈی آئجن ویلیو ہے اور-th ڈی ایم ڈی موڈ ہے۔ آرنلڈی جیسے نقطہ نظر پر ایس وی ڈی پر مبنی نقطہ نظر کا فائدہ یہ ہے کہ اعداد و شمار میں شور اور عددی کٹوتی کے مسائل کی تلافی ایس وی ڈی کو کاٹ کر کی جا سکتی ہے۔ جیسا کہ پہلے جوڑے کے طریقوں اور آئجن ویلیوز سے زیادہ درست طریقے سے کمپیوٹنگ میں نوٹ کیا گیا ہے کہ اس کٹوتی کے مرحلے کے بغیر تجرباتی ڈیٹا سیٹوں پر مشکل ہو سکتا ہے۔ نظریاتی اور الگورتھمک پیش رفت 2010 میں اپنے آغاز کے بعد سے، کافی مقدار میں کام نے ڈی ایم ڈی کو سمجھنے اور بہتر بنانے پر توجہ مرکوز کی ہے۔ رولی اور دیگر کے ذریعہ ڈی ایم ڈی کے پہلے تجزیوں میں سے ایک۔ ڈی ایم ڈی اور کوپ مین آپریٹر کے درمیان تعلق قائم کیا، اور غیر لکیری نظاموں پر لاگو ہونے پر ڈی ایم ڈی کے آؤٹ پٹ کی وضاحت کرنے میں مدد کی۔ اس کے بعد سے، متعدد ترامیم کی گئی ہیں جو یا تو اس تعلق کو مزید مضبوط کرتی ہیں یا نقطہ نظر کی مضبوطی اور اطلاق کو بڑھاتی ہیں۔ آپٹیمائزڈ ڈی ایم ڈی: آپٹیمائزڈ ڈی ایم ڈی اصل ڈی ایم ڈی الگورتھم کی ایک ترمیم ہے جو اس نقطہ نظر کی دو حدود کی تلافی کے لیے ڈیزائن کی گئی ہے: (i) ڈی ایم ڈی موڈ کے انتخاب میں دشواری، اور (ii) ٹائم سیریز کے آخری سنیپ شاٹ میں شور یا دیگر غلطیوں کے لیے ڈی ایم ڈی کی حساسیت۔ آپٹیمائزڈ ڈی ایم ڈی ڈی ایم ڈی کے طریقہ کار کو ایک اصلاح کے مسئلے کے طور پر دوبارہ ترتیب دیتا ہے جہاں شناخت شدہ لکیری آپریٹر کا ایک مقررہ درجہ ہوتا ہے۔ مزید برآں، ڈی ایم ڈی کے برعکس جو آخری کے علاوہ تمام سنیپ شاٹس کو مکمل طور پر دوبارہ پیش کرتا ہے، آپٹیمائزڈ ڈی ایم ڈی تعمیر نو کی غلطیوں کو پورے ڈیٹا سیٹ میں تقسیم کرنے کی اجازت دیتا ہے، جو عملی طور پر نقطہ نظر کو زیادہ مضبوط بناتا ہے۔ آپٹیمل موڈ ڈی کمپوزیشن: آپٹیمل موڈ ڈی کمپوزیشن (او ایم ڈی) ڈی ایم ڈی کے طریقہ کار کو آپٹیمائزیشن کے مسئلے کے طور پر دوبارہ ترتیب دیتا ہے اور صارف کو براہ راست شناخت شدہ سسٹم کا درجہ مسلط کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ بشرطیکہ یہ درجہ صحیح طریقے سے منتخب کیا گیا ہو، او ایم ڈی مصنوعی اور تجرباتی ڈیٹا سیٹوں دونوں پر چھوٹی بقایا غلطیوں اور زیادہ درست آئجن ویلیوز کے ساتھ لکیری ماڈل تیار کر سکتا ہے۔ عین مطابق ڈی ایم ڈی: عین مطابق ڈی ایم ڈی الگورتھم اصل ڈی ایم ڈی الگورتھم کو دو طریقوں سے عام کرتا ہے۔ سب سے پہلے، اصل ڈی ایم ڈی الگورتھم میں ڈیٹا کو سنیپ شاٹس کی ٹائم سیریز ہونا چاہیے، لیکن ایکزیکٹ ڈی ایم ڈی سنیپ شاٹ جوڑوں کے ڈیٹا سیٹ کو قبول کرتا ہے۔ جوڑی میں سنیپ شاٹس کو ایک فکسڈ سے الگ کیا جانا چاہیے، لیکن اسے سنگل ٹائم سیریز سے کھینچنے کی ضرورت نہیں ہے۔ خاص طور پر، ایکزیکٹ ڈی ایم ڈی متعدد تجربات کے ڈیٹا کو ایک ڈیٹا سیٹ میں جمع کرنے کی اجازت دے سکتا ہے۔ دوسرا، اصل ڈی ایم ڈی الگورتھم مؤثر طریقے سے پی او ڈی طریقوں کے ایک سیٹ پر پیش کرکے ڈیٹا پر پہلے سے کارروائی کرتا ہے۔ ایکزیکٹ ڈی ایم ڈی الگورتھم اس پری پروسیسنگ مرحلے کو ہٹا دیتا ہے، اور ڈی ایم ڈی طریقے تیار کر سکتا ہے جنہیں پی او ڈی طریقوں کی سپر پوزیشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ ڈی ایم ڈی کو فروغ دینا: ڈی ایم ڈی کو فروغ دینا ڈی ایم ڈی موڈ اور آئجن ویلیو کے انتخاب کے لیے پوسٹ پروسیسنگ کا طریقہ کار ہے۔ ڈی ایم ڈی کو فروغ دینے والی سپیرسٹی اہم ڈی ایم ڈی طریقوں کے چھوٹے سیٹ کی شناخت کے لیے جرمانے کا استعمال کرتی ہے، اور ڈی ایم ڈی موڈ کے انتخاب کے مسئلے کا ایک متبادل نقطہ نظر ہے جسے کنویکس آپٹیمائزیشن تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے مؤثر طریقے سے حل کیا جا سکتا ہے۔ ملٹی ریزولوشن ڈی ایم ڈی: ملٹی ریزولوشن ڈی ایم ڈی (ایم آر ڈی ایم ڈی) ایکزیکٹ ڈی ایم ڈی کے ساتھ ملٹی ریزولوشن تجزیہ میں استعمال ہونے والی تکنیکوں کا ایک مجموعہ ہے جو متعدد ٹائم اسکیلز پر مشتمل ڈیٹا سیٹوں سے مضبوط ڈی ایم ڈی طریقوں اور آئجن ویلیوز کو نکالنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ ایم آر ڈی ایم ڈی نقطہ نظر کا اطلاق عالمی سطح کے درجہ حرارت کے اعداد و شمار پر کیا گیا تھا، اور یہ ایک ڈی ایم ڈی موڈ کی نشاندہی کرتا ہے جو ایل نینو سالوں کے دوران ظاہر ہوتا ہے۔ توسیعی ڈی ایم ڈی: توسیعی ڈی ایم ڈی عین ڈی ایم ڈی کی ایک ترمیم ہے جو ڈی ایم ڈی اور کوپمین آپریٹر کے درمیان تعلق کو مضبوط کرتی ہے۔ جیسا کہ نام سے ظاہر ہوتا ہے، توسیعی ڈی ایم ڈی ڈی ایم ڈی کی ایک توسیع ہے جو کوپ مین آپریٹر کے زیادہ درست تخمینے تیار کرنے کے لیے قابل مشاہدہ افعال کا ایک امیر سیٹ استعمال کرتی ہے۔ اس توسیعی سیٹ کو ترجیحی طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے یا ڈیٹا سے سیکھا جا سکتا ہے۔ اس نے ڈی ایم ڈی کا بھی مظاہرہ کیا اور متعلقہ طریقے زیادہ عام طور پر استعمال ہونے والے آئجن ویلیوز اور طریقوں کے علاوہ کوپمین آئجن فنکشنز کے تخمینے پیدا کرتے ہیں۔ بقیہ ڈی ایم ڈی: بقیہ ڈی ایم ڈی ڈی ایم ڈی اور توسیعی ڈی ایم ڈی کی پروجیکشن غلطیوں کو کنٹرول کرنے کا ایک ذریعہ فراہم کرتا ہے جو کوپمین آپریٹر کے محدود جہتی تخمینوں سے پیدا ہوتی ہیں۔ یہ طریقہ ایک ہی سنیپ شاٹ ڈیٹا کا استعمال کرتا ہے لیکن ایک اضافی محدود میٹرکس متعارف کراتا ہے جو اعداد و شمار کی بڑی حد میں بالکل لامحدود جہتی بقایا کو پکڑتا ہے۔ یہ صارفین کو سپیکٹرم آلودگی (جعلی طریقوں) کو نظرانداز کرنے، کوپ مین موڈ کے سڑنے اور سیکھی ہوئی لغتوں کی تصدیق کرنے اور مسلسل سپیکٹرم کا حساب لگانے کے قابل بناتا ہے۔ مزید برآں، یہ طریقہ ڈی ایم ڈی اور کوپ مین آپریٹر کے درمیان تعلق کو مزید تقویت دیتا ہے جس میں یہ دکھایا جاتا ہے کہ تصدیق اور غلطی پر قابو پانے کے ساتھ مؤخر الذکر کے سپیکٹرم مواد کا حساب کیسے لگایا جا سکتا ہے۔ طبیعیات سے باخبر ڈی ایم ڈی: طبیعیات سے باخبر ڈی ایم ڈی ایک پروکرسٹس مسئلہ تشکیل دیتا ہے جو قابل قبول ماڈلز کے خاندان کو ایک میٹرکس کئی گنا تک محدود کرتا ہے جو نظام کی جسمانی ساخت کا احترام کرتا ہے۔ یہ جسمانی ڈھانچوں کو ڈی ایم ڈی میں شامل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ نقطہ نظر زیادہ فٹ ہونے کا کم شکار ہوتا ہے، کم تربیتی ڈیٹا کی ضرورت ہوتی ہے، اور اکثر معیاری ڈی ایم ڈی ماڈلز کے مقابلے میں بنانے کے لیے کمپیوٹیشنل طور پر کم مہنگا ہوتا ہے۔ پیمائش کو محفوظ رکھنے والا ای ڈی ایم ڈی: پیمائش کو محفوظ رکھنے والا توسیعی ڈی ایم ڈی (ایم پی ای ڈی ایم ڈی) ایک گیلرکن طریقہ پیش کرتا ہے جس کی ایجینڈ کمپوزیشن عام پیمائش کو محفوظ رکھنے والے متحرک نظاموں کے لیے کوپمین آپریٹرز کی سپیکٹرم مقدار میں ضم ہو جاتی ہے۔ یہ طریقہ ڈی ایم ڈی اور توسیعی ڈی ایم ڈی کے لیے ایک آرتھوگنل پروکرسٹس مسئلہ (بنیادی طور پر ایک قطبی سڑنا) کا استعمال کرتا ہے۔ ہم آہنگی سے پرے، ایم پی ای ڈی ایم ڈی جسمانی تحفظ کے قوانین کو برقرار رکھتا ہے، اور شور کے لیے بہتر مضبوطی کے ساتھ ساتھ بہتر طویل مدتی رویے کو ظاہر کرتا ہے۔ کنٹرول کے ساتھ ڈی ایم ڈی: کنٹرول کے ساتھ متحرک موڈ سڑنا (ڈی ایم ڈی سی) ڈی ایم ڈی طریقہ کار کی ایک ترمیم ہے جو ان پٹ آؤٹ پٹ سسٹمز سے حاصل کردہ ڈیٹا کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ ڈی ایم ڈی سی کی ایک منفرد خصوصیت اوپن لوپ ڈائنامکس سے سسٹم ایکٹیویشن کے اثرات کو غیر واضح کرنے کی صلاحیت ہے، جو ایکٹیویشن کی موجودگی میں ڈیٹا حاصل کرنے پر مفید ہے۔ ٹوٹل لیسٹ اسکوائرز ڈی ایم ڈی: ٹوٹل لیسٹ اسکوائرز ڈی ایم ڈی عین ڈی ایم ڈی کی ایک حالیہ ترمیم ہے جس کا مقصد اعداد و شمار میں شور کی پیمائش کے لیے مضبوطی کے مسائل کو حل کرنا ہے۔ میں، مصنفین ایکزیکٹ ڈی ایم ڈی کی تشریح ایک رجعت کے مسئلے کے طور پر کرتے ہیں جسے عام کم از کم مربع (او ایل ایس) کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جاتا ہے، جو یہ فرض کرتا ہے کہ رجعت شور سے پاک ہیں۔ یہ مفروضہ ڈی ایم ڈی آئجین ویلیوز میں تعصب پیدا کرتا ہے جب اسے تجرباتی ڈیٹا سیٹوں پر لاگو کیا جاتا ہے جہاں تمام مشاہدات شور مچاتے ہیں۔ کل کم سے کم مربع ڈی ایم ڈی او ایل ایس کے مسئلے کو کل کم سے کم مربع کے مسئلے سے بدل دیتا ہے، جو اس تعصب کو ختم کرتا ہے۔ ڈائنامک ڈسٹری بیوشن ڈی کمپوزیشن: ڈی ڈی ڈی مسلسل وقت میں آگے کے مسئلے پر توجہ مرکوز کرتا ہے، یعنی ٹرانسفر آپریٹر۔ تاہم تیار کردہ طریقہ کار کو مسلسل وقت میں ڈی ایم ڈی کے مسائل کو فٹ کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہاں درج کردہ الگورتھم کے علاوہ، اسی طرح کی ایپلی کیشن سے متعلق مخصوص تکنیکیں تیار کی گئی ہیں۔ مثال کے طور پر، ڈی ایم ڈی کی طرح، پرونی کا طریقہ ڈمپڈ سینوسائڈز کی سپرپوزیشن کے طور پر ایک سگنل کی نمائندگی کرتا ہے۔ آب و ہوا کی سائنس میں، لکیری انورس ماڈلنگ بھی ڈی ایم ڈی کے ساتھ مضبوطی سے جڑی ہوئی ہے۔ مزید جامع فہرست کے لیے، تو اور دیگر دیکھیں۔ پروفائل کے ٹریلنگ ایج کی مثالیں بہاؤ میں کسی رکاوٹ کے پیش نظر کارمین وورٹیکس اسٹریٹ تیار ہو سکتی ہے۔ Fig.1 پروفائل کے پچھلے کنارے کے پیچھے بھنور کے گرنے کو ظاہر کرتا ہے۔ ڈی ایم ڈی تجزیہ کا اطلاق 90 سیکوینشیل اینٹروپی فیلڈز پر کیا گیا تھا اور جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے ایک لگ بھگ آئجن ویلیو سپیکٹرم حاصل ہوتا ہے۔ تجزیہ کا اطلاق عددی نتائج پر گورننگ مساوات کا حوالہ دیے بغیر کیا گیا تھا۔ پروفائل سفید رنگ میں نظر آتا ہے۔ سفید آرکس پروسیسر کی حدود ہیں کیونکہ حساب مختلف کمپیوٹیشنل بلاکس کا استعمال کرتے ہوئے متوازی کمپیوٹر پر کیا گیا تھا۔ سپیکٹرم کا تقریبا ایک تہائی حصہ انتہائی نم (بڑا، منفی) تھا اور دکھایا نہیں گیا ہے۔ غالب شیڈنگ موڈ درج ذیل تصاویر میں دکھایا گیا ہے۔ بائیں طرف کی تصویر حقیقی حصہ ہے، دائیں طرف کی تصویر، آئجین ویکٹر کا خیالی حصہ ہے۔ ایک بار پھر، اس تصویر میں اینٹروپی-آئجین ویکٹر دکھایا گیا ہے۔ اسی موڈ کے صوتی مواد اگلے پلاٹ کے نچلے نصف حصے میں نظر آتے ہیں۔ اوپری نصف اوپر کی طرح اینٹروپی موڈ سے مطابقت رکھتا ہے۔ سفر کے نمونے کی مصنوعی مثال ڈی ایم ڈی تجزیہ اس شکل کا ایک نمونہ فرض کرتا ہے جہاں مسئلہ کا کوئی بھی آزاد متغیر ہوتا ہے، لیکن اسے پہلے سے منتخب کرنا ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر وقت کے ساتھ پیٹرن کو پہلے سے منتخب ایکسپونینشل عنصر کے طور پر لیں۔ ایک نمونہ مندرجہ ذیل شکل میں، اور کے ساتھ دیا گیا ہے۔ بائیں تصویر میں نمونے کے بغیر دکھایا گیا ہے، دائیں طرف شور شامل کیا گیا ہے۔ بے ترتیب شور کا طول و عرض پیٹرن جیسا ہی ہوتا ہے۔ ڈی ایم ڈی تجزیہ وقت کے وقفے کا استعمال کرتے ہوئے مصنوعی طور پر تیار کردہ 21 فیلڈز کے ساتھ کیا جاتا ہے، جس سے تجزیہ تک محدود ہوتا ہے۔ سپیکٹرم ہم آہنگ ہے اور تین تقریبا غیر ڈمپڈ طریقوں (چھوٹے منفی حقیقی حصے) کو ظاہر کرتا ہے، جبکہ دوسرے طریقے بہت زیادہ ڈمپڈ ہوتے ہیں۔ ان کی عددی اقدار بالترتیب ہیں۔ حقیقی ایک فیلڈ کے اوسط سے مطابقت رکھتا ہے، جبکہ اس کے ساتھ عائد پیٹرن سے مطابقت رکھتا ہے۔ − 1/1000 کی متعلقہ غلطی کا نتیجہ۔ شور کو سگنل کی قیمت سے 10 گنا بڑھانا تقریبا ایک ہی غلطی کا باعث بنتا ہے۔ مؤخر الذکر دو آئجین موڈ میں سے ایک کا حقیقی اور خیالی حصہ درج ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ تجرباتی اعداد و شمار کے کئی دیگر سڑنے موجود ہیں۔ اگر گورننگ مساوات دستیاب ہیں، تو ایک آئجن ویلیو سڑنا ممکن ہو سکتا ہے۔ آئجین ویلیو سڑنا تجرباتی موڈ سڑنا گلوبل موڈ نارمل موڈ مناسب آرتھوگنل سڑنا سنگلر ویلیو سڑنا حوالہ جات شمڈ، پی جے اور سیسٹرہن، جے۔ ایل۔ 2008 عددی اور تجرباتی ڈیٹا کا متحرک موڈ سڑنا۔ بیل میں۔ آمیر۔ فزیکل۔ ایس او سی۔، 61 ویں اے پی ایس میٹنگ، صفحہ 208۔ سان انتونیو۔ ہاسیل مین، کے۔، 1988۔ پی او پیز اور پی آئی پیز۔ بنیادی ارتعاش اور تعامل کے نمونوں کا استعمال کرتے ہوئے پیچیدہ متحرک نظاموں میں کمی۔ جے جیوفز۔ ریس۔، 93 (D9): 10975-10988۔ تجرباتی طبیعیات ٹائم سیریز میٹرکس سڑنا