Abstract algebra
ریاضی میں، خاص طور پر الجبرا، تجریدی الجبرا یا جدید الجبرا الجبرائی ڈھانچوں کا مطالعہ ہے۔ الجبرائی ڈھانچے میں کسی فیلڈ پر گروپس، رنگز، فیلڈز، ماڈیولز، ویکٹر اسپیس، لیٹیسز اور الجبرا شامل ہیں۔ تجریدی الجبرا کی اصطلاح 20 ویں صدی کے اوائل میں الجبرا کے پرانے حصوں سے ممتاز کرنے کے لیے بنائی گئی تھی، اور خاص طور پر ابتدائی الجبرا سے، حساب اور استدلال میں اعداد کی نمائندگی کے لیے متغیرات کا استعمال۔ الجبرا پر تجریدی نقطہ نظر جدید ریاضی کے لیے اتنا بنیادی ہو گیا ہے کہ اسے صرف "الجبرا" کہا جاتا ہے، جبکہ "تجریدی الجبرا" کی اصطلاح شاذ و نادر ہی استعمال ہوتی ہے سوائے تدریس کے۔ الجبرائی ڈھانچے، ان سے وابستہ ہومومورفزم کے ساتھ، ریاضیاتی زمرے بناتے ہیں۔ زمرہ نظریہ ان خصوصیات اور تعمیرات کا مطالعہ کرنے کے لیے ایک متحد فریم ورک فراہم کرتا ہے جو مختلف ڈھانچوں کے لیے یکساں ہیں۔ عالمگیر الجبرا ایک متعلقہ موضوع ہے جو الجبرائی ڈھانچوں کی اقسام کا واحد اشیاء کے طور پر مطالعہ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، گروپوں کی ساخت عالمگیر الجبرا میں ایک واحد شے ہے، جسے گروپوں کی قسم کہا جاتا ہے۔ تاریخ انیسویں صدی سے پہلے، الجبرا کی تعریف کثیر الجہتی کے مطالعہ کے طور پر کی جاتی تھی۔ خلاصہ الجبرا انیسویں صدی کے دوران وجود میں آیا جب زیادہ پیچیدہ مسائل اور حل کے طریقے تیار ہوئے۔ ٹھوس مسائل اور مثالیں نمبر تھیوری، جیومیٹری، تجزیہ، اور الجبرائی مساوات کے حل سے آتی ہیں۔ زیادہ تر نظریات جنہیں اب تجریدی الجبرا کے حصوں کے طور پر تسلیم کیا جاتا ہے، ریاضی کی مختلف شاخوں سے مختلف حقائق کے مجموعے کے طور پر شروع ہوئے، ایک مشترکہ تھیم حاصل کیا جس نے ایک بنیادی طور پر کام کیا جس کے ارد گرد مختلف نتائج کو گروپ کیا گیا، اور آخر کار ایک مشترکہ سیٹ کی بنیاد پر متحد ہو گئے۔ تصورات یہ اتحاد 20 ویں صدی کی ابتدائی دہائیوں میں ہوا اور اس کے نتیجے میں مختلف الجبرائی ڈھانچوں جیسے گروپس، رنگز اور فیلڈز کی باضابطہ محوری تعریفیں سامنے آئیں۔ یہ تاریخی پیش رفت مقبول نصابی کتابوں میں پائے جانے والے علاج کے تقریبا برعکس ہے، جیسے کہ وین ڈیر ویرڈن کا ماڈرن الجبرا، جو ہر باب کو کسی ڈھانچے کی رسمی تعریف کے ساتھ شروع کرتا ہے اور پھر ٹھوس مثالوں کے ساتھ اس کی پیروی کرتا ہے۔ ابتدائی الجبرا کثیر الجہتی مساوات یا الجبرائی مساوات کے مطالعہ کی ایک طویل تاریخ ہے۔ بابل کے لوگ لفظ کے مسائل کے طور پر مخصوص کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے میں کامیاب تھے۔ اس لفظ کے مسئلہ کے مرحلے کو بیان بازی کے الجبرا کے طور پر درجہ بند کیا گیا ہے اور یہ 16 ویں صدی تک غالب نقطہ نظر تھا۔ محمد بن موسی الخوارزمی نے لفظ "الجبرا" کی ابتدا 830 عیسوی میں کی تھی، لیکن ان کا کام مکمل طور پر بیان بازی کا الجبرا تھا۔ مکمل علامتی الجبرا فرانکوئس ویت کے 1591 کے نئے الجبرا تک ظاہر نہیں ہوا تھا، اور یہاں تک کہ اس میں کچھ ایسے الفاظ تھے جن کی ہجے ڈیکارٹس کے 1637 کے لا گیومیٹری میں کی گئی تھی۔ علامتی مساوات کو حل کرنے کے رسمی مطالعہ نے لیون ہارڈ اویلر کو 18 ویں صدی کے آخر میں منفی اعداد اور خیالی اعداد جیسے "بکواس" کے جڑوں کو قبول کرنے پر مجبور کیا۔ تاہم، یورپی ریاضی دانوں نے، زیادہ تر حصے کے لیے، 19 ویں صدی کے وسط تک ان تصورات کی مزاحمت کی۔ جارج پیکاک کا 1830 کا ٹریٹائز آف الجبرا الجبرا کو سختی سے علامتی بنیاد پر رکھنے کی پہلی کوشش تھی۔ انہوں نے ایک نئے علامتی الجبرا کو ممتاز کیا، جو پرانے ریاضیاتی الجبرا سے الگ ہے۔ جبکہ ریاضیاتی الجبرا میں محدود ہے، علامتی الجبرا میں کارروائیوں کے تمام اصول بغیر کسی پابندی کے ہوتے ہیں۔ اس مور کا استعمال کرنے سے اندر جانے جیسے قوانین ظاہر ہو سکتے ہیں۔ مور نے اپنی دلیل کا جواز پیش کرنے کے لیے مساوی شکلوں کے استحکام کے اصول کو استعمال کیا، لیکن اس کی استدلال کو شامل کرنے کے مسئلے کا سامنا کرنا پڑا۔ مثال کے طور پر، غیر منفی حقیقی اعداد کے لیے ہوتا ہے، لیکن عام پیچیدہ اعداد کے لیے نہیں۔ ابتدائی گروپ تھیوری ریاضی کے کئی شعبے گروپوں کے مطالعہ کا باعث بنے۔ کوئنٹک مساوات کے حلوں کے بارے میں لگرینج کے 1770 کے مطالعے سے کثیر الجہتی کے گالوئس گروپ کا جنم ہوا۔ فرمیٹ کے چھوٹے نظریہ کے بارے میں گاؤس کے 1801 کے مطالعے سے انٹیجرز ماڈیولو این کی انگوٹی، انٹیجرز ماڈیولو این کا ضرب گروپ، اور چکور گروپوں اور ابیلین گروپوں کے زیادہ عمومی تصورات سامنے آئے۔ کلین کے 1872 کے ایرلینجن پروگرام نے جیومیٹری کا مطالعہ کیا اور یوکلڈین گروپ اور پروجیکٹو تبدیلیوں کے گروپ جیسے سمیٹری گروپوں کا باعث بنا۔ 1874 میں لائی نے لائ گروپوں کا نظریہ متعارف کرایا، جس کا مقصد "تفریقی مساوات کا گالوئس نظریہ" تھا۔ 1876 میں پوائن کیری اور کلین نے تجزیہ میں آٹومورفک افعال پر کام کی بنیاد پر موبیئس ٹرانسفارمیشنز کے گروپ، اور اس کے ذیلی گروپوں جیسے ماڈیولر گروپ اور فوچیان گروپ کو متعارف کرایا۔ گروپ کا تجریدی تصور انیسویں صدی کے وسط میں آہستہ آہستہ ابھرا۔ 1832 میں گالوئس نے سب سے پہلے "گروپ" کی اصطلاح استعمال کی، جو ساخت کے تحت بند کردہ ترتیبات کے مجموعے کی نشاندہی کرتی ہے۔ آرتھر کیلی کے 1854 کے مقالے آن دی تھیوری آف گروپس میں گروپ کی تعریف ایک ایسے سیٹ کے طور پر کی گئی ہے جس میں ایسوسی ایٹیو کمپوزیشن آپریشن اور آئیڈینٹیٹی 1 ہے، جسے آج مونوئڈ کہا جاتا ہے۔ 1870 میں کرونکر نے ایک تجریدی بائنری آپریشن کی وضاحت کی جو بند، تبادلہ، ملحقہ تھا، اور اس میں بائیں منسوخی کی خاصیت تھی، جو ایک محدود ابیلین گروپ کے جدید قوانین کی طرح تھی۔ ویبر کی 1882 میں گروپ کی تعریف ایک بند بائنری آپریشن تھی جو ایسوسی ایٹیو تھی اور اس کی بائیں اور دائیں منسوخی تھی۔ 1882 میں والتھر وان ڈک وہ پہلا شخص تھا جسے گروپ کی تعریف کے حصے کے طور پر الٹا عناصر کی ضرورت تھی۔ ایک بار جب یہ تجریدی گروپ کا تصور ابھرا تو اس تجریدی ترتیب میں نتائج کی اصلاح کی گئی۔ مثال کے طور پر، سیلو کے نظریہ کو فروبینئس نے 1887 میں براہ راست ایک محدود گروپ کے قوانین سے دوبارہ ثابت کیا تھا، حالانکہ فروبینئس نے تبصرہ کیا کہ یہ نظریہ کاچی کے نظریہ پرموٹیشن گروپوں اور اس حقیقت کی پیروی کرتا ہے کہ ہر محدود گروپ ایک پرموٹیشن گروپ کا ذیلی گروپ ہے۔ اوٹو ہولڈر اس شعبے میں خاص طور پر شاندار تھے، انہوں نے 1889 میں حصص کے گروپوں، 1893 میں گروپ آٹومورفزم کے ساتھ ساتھ سادہ گروپوں کی وضاحت کی۔ اس نے اردن-ہولڈر تھیوریم بھی مکمل کیا۔ ڈیڈیکنڈ اور ملر نے آزادانہ طور پر ہیملٹنین گروہوں کی خصوصیت کی اور دو عناصر کے کمیونیٹر کا تصور متعارف کرایا۔ برن سائیڈ، فروبینیوس اور مولین نے انیسویں صدی کے آخر میں محدود گروہوں کی نمائندگی کا نظریہ تخلیق کیا۔ جے۔ اے ڈی سیگیئر کے 1905 کے مونوگراف ایلیمنٹس آف دی تھیوری آف ایبسٹرکٹ گروپس نے ان میں سے بہت سے نتائج کو ایک تجریدی، عمومی شکل میں پیش کیا، جس میں "ٹھوس" گروپس کو اپینڈکس میں ڈال دیا گیا، حالانکہ یہ محدود گروپس تک محدود تھا۔ محدود اور لامحدود تجریدی گروہوں دونوں پر پہلا مونوگراف او کے شمٹ کا 1916 کا تجریدی نظریہ تھا۔ ابتدائی رنگ تھیوری نان کمیونیٹیٹو رنگ تھیوری کا آغاز پیچیدہ نمبروں کی ہائپر کمپلیکس نمبروں تک توسیع کے ساتھ ہوا، خاص طور پر 1843 میں ولیم روون ہیملٹن کے کواٹرنیئنز۔ بہت سے دوسرے نمبر سسٹم جلد ہی عمل میں آئے۔ 1844 میں، ہیملٹن نے بائیکاٹرنین پیش کیے، کیلی نے آکٹونین متعارف کروائے، اور گراس مین نے بیرونی الجیبرا متعارف کروائے۔ جیمز کاکل نے 1848 میں ٹیسرینز اور 1849 میں کوکواٹرنیئنز پیش کیے۔ ولیم کنگڈن کلفورڈ نے 1873 میں تقسیم شدہ ہر جگہ کے علاقوں کو متعارف کرایا۔ اس کے علاوہ کیلی نے 1854 میں حقیقی اور پیچیدہ نمبروں پر گروپ الجبرا اور 1855 اور 1858 کے دو پیپرز میں مربع میٹرکس متعارف کروائے۔ ایک بار جب کافی مثالیں موجود تھیں، تو ان کی درجہ بندی کرنا باقی رہ گئی۔ 1870 کے ایک مونوگراف میں، بینجمن پیئرس نے 6 سے نیچے طول و عرض کے 150 سے زیادہ ہائپر کمپلیکس نمبر سسٹمز کی درجہ بندی کی، اور ایسوسی ایٹیو الجبرا کی واضح تعریف دی۔ انہوں نے نیل پوٹینٹ اور آئیڈیم پوٹینٹ عناصر کی وضاحت کی اور ثابت کیا کہ کسی بھی الجبرا میں ایک یا دوسرے پر مشتمل ہوتا ہے۔ انہوں نے پیئرس سڑنے کی بھی وضاحت کی۔ 1878 میں فروبینیوس اور 1881 میں چارلس سینڈرز پیئرس نے آزادانہ طور پر ثابت کیا کہ واحد محدود جہتی تقسیم الجبرا حقیقی اعداد، پیچیدہ اعداد اور کواٹرنیئنز تھے۔ 1880 کی دہائی میں کلنگ اینڈ کارٹن نے دکھایا کہ نیم سادہ لائ الجبرا کو سادہ میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اور تمام سادہ لائ الجبرا کی درجہ بندی کی گئی۔ اس سے متاثر ہو کر، 1890 کی دہائی میں کارٹن، فروبینیوس اور مولین نے (آزادانہ طور پر) ثابت کیا کہ ایک محدود جہتی ملحقہ الجبرا نیلپوٹینٹ الجبرا اور ایک نیم سادہ الجبرا کے براہ راست جملوں میں یا منفرد طور پر تحلیل ہو جاتا ہے جو کہ کچھ تعداد میں سادہ الجبرا کی پیداوار ہے، ڈویژن الجبرا پر مربع میٹرکس۔ کارٹن سب سے پہلے تھا جس نے براہ راست مجموعہ اور سادہ الجبرا جیسے تصورات کی وضاحت کی، اور یہ تصورات کافی بااثر ثابت ہوئے۔ 1907 میں ویڈربرن نے کارٹن کے نتائج کو ایک صوابدیدی میدان تک بڑھا دیا، جسے اب ویڈربرن پرنسپل تھیوریم اور آرٹن ویڈربرن تھیوریم کہا جاتا ہے۔ کمیونیٹیٹو رنگوں کے لیے، کئی علاقے مل کر کمیونیٹیٹو رنگ تھیوری کا باعث بنے۔ 1828 اور 1832 میں دو مقالے میں، گاؤس نے گاؤسی انٹیجرز وضع کیے اور دکھایا کہ وہ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین (یو ایف ڈی) بناتے ہیں اور بائیکاڈریٹک ریسیکروٹی قانون کو ثابت کرتے ہیں۔ جیکوبی اور آئزنسٹین نے تقریبا ایک ہی وقت میں آئزنسٹین انٹیجرز کے لیے مکعب باہمی قانون ثابت کیا۔ فرمیٹ کے آخری نظریہ کا مطالعہ الجبرائی انٹیجرز کا باعث بنا۔ 1847 میں، گیبریل لیم نے سوچا کہ اس نے ایف ایل ٹی ثابت کر دیا ہے، لیکن اس کا ثبوت ناقص تھا کیونکہ اس نے فرض کیا کہ تمام سائکلوٹومک فیلڈز یو ایف ڈی تھے، پھر بھی جیسا کہ کمر نے نشاندہی کی، یو ایف ڈی نہیں تھا۔ 1846 اور 1847 میں کمر نے آئیڈیل نمبرز متعارف کروائے اور سائکلوٹومک فیلڈز کے لیے آئیڈیل پرائمز میں منفرد فیکٹرائزیشن ثابت کی۔ ڈیڈیکنڈ نے 1871 میں اس میں توسیع کی تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ الجبرائی نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کے ڈومین میں ہر نان زیرو آئیڈیل پرائم آئیڈیلز کا ایک منفرد پروڈکٹ ہے، جو ڈیڈیکنڈ ڈومینز کے نظریہ کا پیش خیمہ ہے۔ مجموعی طور پر، ڈیڈیکنڈ کے کام نے الجبرائی نمبر تھیوری کا موضوع تخلیق کیا۔ 1850 کی دہائی میں، ریمن نے ریمن کی سطح کا بنیادی تصور متعارف کرایا۔ ریمن کے طریقوں کا انحصار اس مفروضے پر تھا جسے وہ ڈیرچلیٹ کا اصول کہتے ہیں، جس پر 1870 میں ویئراسٹراس نے سوال اٹھایا تھا۔ بہت بعد میں، 1900 میں، ہلبرٹ نے تغیرات کے حساب میں براہ راست طریقہ تیار کرکے ریمن کے نقطہ نظر کو جائز قرار دیا۔ 1860 اور 1870 کی دہائیوں میں، کلیبش، گورڈن، برل، اور خاص طور پر ایم۔ نویتھر نے الجبرائی افعال اور منحنی خطوط کا مطالعہ کیا۔ خاص طور پر، نویتھر نے مطالعہ کیا کہ کثیر الجہتی کے لیے کثیر الجہتی رنگ میں دو الجبرائی منحنی خطوط سے پیدا ہونے والے آئیڈیل کا عنصر بننے کے لیے کن شرائط کی ضرورت ہوتی ہے، حالانکہ نویتھر نے اس جدید زبان کا استعمال نہیں کیا۔ 1882 میں ڈیڈیکنڈ اور ویبر نے الجبرائی نمبر تھیوری پر ڈیڈیکنڈ کے پہلے کام کے ساتھ مشابہت کرتے ہوئے الجبرائی فنکشن فیلڈز کا ایک نظریہ تخلیق کیا جس نے ریمن کی سطح کی پہلی سخت تعریف اور ریمن-راک تھیوریم کا سخت ثبوت فراہم کیا۔ 1880 کی دہائی میں کرونکر، 1890 میں ہلبرٹ، 1905 میں لاسکر، اور 1913 میں مکاؤلی نے ای۔ نویتر کے کام میں مضمر کثیر الجہتی بجتوں کے نظریات کی مزید تحقیقات کیں۔ لاسکر نے لاسکر-نویتر تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ثابت کیا، یعنی کہ کثیر الجہتی رنگ میں ہر آئیڈیل پرائمری آئیڈیلز کا ایک محدود انٹرسیکشن ہے۔ مکاؤلی نے اس سڑنے کی انفرادیت کو ثابت کیا۔ مجموعی طور پر، یہ کام الجبرائی جیومیٹری کی ترقی کا باعث بنا۔ 1801 میں گاؤس نے انٹیجرز پر بائنری کواڈریٹک شکلیں متعارف کروائیں اور ان کے مساوات کی وضاحت کی۔ انہوں نے ان شکلوں کے امتیازی سلوک کی مزید وضاحت کی، جو کہ بائنری شکل کا غیر متغیر ہے۔ 1860 اور 1890 کی دہائیوں کے درمیان غیر متغیر نظریہ تیار ہوا اور الجبرا کا ایک بڑا شعبہ بن گیا۔ کیلی، سلویسٹر، گورڈن اور دیگر نے بائنری کوارٹک شکلوں اور کیوبک شکلوں کے لیے جیکوبین اور ہیسیئن کو پایا۔ 1868 میں گورڈن نے ثابت کیا کہ پیچیدہ اعداد پر بائنری شکل کے غیر متغیرات کا درجہ بند الجبرا حتمی طور پر تیار کیا گیا تھا، یعنی اس کی ایک بنیاد ہے۔ ہلبرٹ نے 1885 میں غیر متغیرات پر ایک مقالہ لکھا اور 1890 میں دکھایا کہ کسی بھی ڈگری یا متغیرات کی تعداد کی کسی بھی شکل کی بنیاد ہوتی ہے۔ انہوں نے اسے 1890 میں ہلبرٹ کے بیس تھیوریم تک بڑھایا۔ ایک بار جب یہ نظریات تیار ہو چکے تھے، تب بھی کئی دہائیاں باقی تھیں جب تک کہ ایک تجریدی رنگ کا تصور سامنے نہیں آیا۔ پہلی محوری تعریف ابراہم فرینکل نے 1914 میں دی تھی۔ اس کی تعریف بنیادی طور پر معیاری محوریات تھی: دو کارروائیوں کے اضافے کے ساتھ ایک سیٹ، جو ایک گروپ بناتا ہے (ضروری نہیں کہ تبادلہ)، اور ضرب، جو ملحقہ ہے، اضافے پر تقسیم کرتا ہے، اور اس میں ایک شناختی عنصر ہوتا ہے۔ اس کے علاوہ، اس کے پاس "باقاعدہ عناصر" پر دو محوریات تھے جو پی-اڈک نمبروں پر کام سے متاثر تھے، جن میں اب عام رنگوں جیسے کہ انٹیجرز کی رنگ کو خارج کر دیا گیا تھا۔ ان سے فرینکل کو یہ ثابت کرنے کا موقع ملا کہ اضافہ تبادلہ تھا۔ فرینکل کے کام کا مقصد سٹینٹز کی 1910 کی فیلڈز کی تعریف کو رنگوں میں منتقل کرنا تھا، لیکن یہ کنکریٹ سسٹم پر موجودہ کام سے منسلک نہیں تھا۔ ماسازو سونو کی 1917 کی تعریف موجودہ کے مساوی پہلی تھی۔ 1920 میں، ایمی نویتھر نے ڈبلیو شمائڈلر کے تعاون سے نظریات کے بارے میں ایک مقالہ شائع کیا جس میں انہوں نے رنگ میں بائیں اور دائیں نظریات کی وضاحت کی۔ اگلے سال اس نے آئیڈیل تھیوری ان رنگ بیریچن (آئیڈیل تھیوری ان رنگز) کے نام سے ایک تاریخی مقالہ شائع کیا، جس میں (ریاضیاتی) آئیڈیلز کے حوالے سے چڑھتے ہوئے سلسلہ کے حالات کا تجزیہ کیا گیا۔ اس اشاعت نے "نویتھیرین رنگ" کی اصطلاح کو جنم دیا، اور کئی دیگر ریاضیاتی اشیاء کو نویتھیرین کہا جاتا ہے۔ مشہور الجبرائی ماہر ارونگ کپلانسکی نے اس کام کو "انقلابی" قرار دیا ؛ وہ نتائج جو کثیر الجہتی بجتوں کی خصوصیات سے غیر متزلزل طور پر جڑے ہوئے نظر آتے تھے، ایک واحد محوری سے پیروی کرتے ہوئے دکھائے گئے۔ آرٹن، نویتھر کے کام سے متاثر ہو کر، نزولی زنجیر کی حالت کے ساتھ آیا۔ ان تعریفوں نے تجریدی رنگ تھیوری کی پیدائش کو نشان زد کیا۔ ابتدائی فیلڈ تھیوری 1801 میں گاؤس نے انٹیجرز موڈ پی متعارف کرایا، جہاں پی ایک پرائم نمبر ہے۔ گالوئس نے اسے 1830 میں عناصر کے ساتھ محدود شعبوں تک بڑھایا۔ 1871 میں رچرڈ ڈیڈیکنڈ نے حقیقی یا پیچیدہ اعداد کے ایک سیٹ کے لیے متعارف کرایا جو چار ریاضیاتی کارروائیوں کے تحت بند ہوتا ہے، جرمن لفظ کورپر، جس کا مطلب ہے "جسم" یا "کارپس" (نامیاتی طور پر بند وجود کی تجویز کرنے کے لیے)۔ انگریزی اصطلاح "فیلڈ" مور نے 1893 میں متعارف کرائی تھی۔ 1881 میں لیوپولڈ کرونکر نے اس کی وضاحت کی جسے وہ عقلیت کا ڈومین کہتے ہیں، جو جدید اصطلاحات میں عقلی حصوں کا ایک میدان ہے۔ تجریدی میدان کی پہلی واضح تعریف 1893 میں ہینرک مارٹن ویبر کی وجہ سے تھی۔ یہ ضرب کے لیے ملحقہ قانون سے محروم تھا، لیکن اس میں محدود فیلڈز اور الجبرائی نمبر تھیوری اور الجبرائی جیومیٹری کے شعبوں کا احاطہ کیا گیا تھا۔ 1910 میں سٹینٹز نے اب تک جمع کیے گئے تجریدی فیلڈ تھیوری کے علم کی ترکیب کی۔ انہوں نے جدید تعریف کے ساتھ خود ساختہ طور پر شعبوں کی وضاحت کی، ان کی خصوصیت کے مطابق ان کی درجہ بندی کی، اور آج کل عام طور پر دیکھے جانے والے بہت سے نظریات کو ثابت کیا۔ دیگر بڑے شعبے لکیری مساوات کے نظاموں کو حل کرنا، جس کی وجہ سے لکیری الجبرا ہوا۔ جدید الجبرا 19 ویں صدی کے آخر اور 20 ویں صدی کے آغاز میں ریاضی کے طریقہ کار میں تبدیلی دیکھی گئی۔ تجریدی الجبرا 20 ویں صدی کے آغاز کے آس پاس جدید الجبرا کے نام سے ابھرا۔ اس کا مطالعہ ریاضی میں زیادہ فکری سختی کے لیے مہم کا حصہ تھا۔ ابتدائی طور پر، کلاسیکی الجبرا میں مفروضے، جن پر پورا ریاضی (اور قدرتی علوم کے بڑے حصے) انحصار کرتے ہیں، نے محوری نظام کی شکل اختیار کر لی۔ ٹھوس اشیاء کی خصوصیات کو قائم کرنے سے مطمئن نہ ہو کر ریاضی دانوں نے اپنی توجہ عمومی نظریہ کی طرف موڑنا شروع کر دی۔ بعض الجبرائی ڈھانچوں کی رسمی تعریفیں 19 ویں صدی میں ابھرنا شروع ہوئیں۔ مثال کے طور پر، تغیرات کے مختلف گروپوں کے بارے میں نتائج کو عمومی نظریات کی مثالوں کے طور پر دیکھا جانے لگا جو ایک تجریدی گروپ کے عمومی تصور سے متعلق ہیں۔ مختلف ریاضیاتی اشیاء کی ساخت اور درجہ بندی کے سوالات سامنے آئے۔ یہ عمل تمام ریاضی میں رونما ہو رہے تھے، لیکن الجبرہ میں خاص طور پر واضح ہو گئے۔ بہت سے بنیادی الجبرائی ڈھانچوں، جیسے گروپس، رنگز اور فیلڈز کے لیے ابتدائی کارروائیوں اور محوریوں کے ذریعے رسمی تعریف تجویز کی گئی تھی۔ لہذا گروپ تھیوری اور رنگ تھیوری جیسی چیزوں نے خالص ریاضی میں اپنی جگہ لے لی۔ ارنسٹ اسٹینٹز کے ذریعہ عمومی شعبوں کی الجبرائی تحقیقات اور پھر ڈیوڈ ہلبرٹ، ایمل آرٹن اور ایمی نویتر کے ذریعہ تبادلہ اور پھر عمومی رنگوں کی تحقیقات، ارنسٹ کمر، لیوپولڈ کرونکر اور رچرڈ ڈیڈیکنڈ کے کام پر مبنی ہیں، جنہوں نے تبادلہ کے رنگوں میں آئیڈلز پر غور کیا تھا، اور جارج فروبینیوس اور اسائی شور، گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ سے متعلق، تجریدی الجبرا کی وضاحت کرنے آئے۔ 19 ویں صدی کی آخری سہ ماہی اور 20 ویں صدی کی پہلی سہ ماہی کی ان پیشرفتوں کو بارٹل وین ڈیر ویرڈن کے ماڈرن الجبرا میں منظم طریقے سے بے نقاب کیا گیا، جو کہ 1930-1931 میں شائع ہونے والا دو جلدوں والا مونوگراف ہے جس نے الجبرا کے خیال کو نظریہ مساوات سے نظریہ الجبرائی ڈھانچے کی طرف موڑ دیا۔ بنیادی تصورات تفصیل کی مختلف مقداروں کو خلاصہ کرتے ہوئے، ریاضی دانوں نے مختلف الجبرائی ڈھانچوں کی وضاحت کی ہے جو ریاضی کے بہت سے شعبوں میں استعمال ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، زیر مطالعہ تقریبا تمام نظام سیٹ ہوتے ہیں، جن پر سیٹ تھیوری کے نظریات لاگو ہوتے ہیں۔ وہ سیٹ جن پر ایک مخصوص بائنری آپریشن کی وضاحت ہوتی ہے وہ میگما بناتے ہیں، جن پر میگما سے متعلق تصورات کے ساتھ ساتھ سیٹوں سے متعلق تصورات بھی لاگو ہوتے ہیں۔ ہم الجبرائی ڈھانچے پر اضافی رکاوٹیں شامل کر سکتے ہیں، جیسے ایسوسی ایٹیویٹی (سیمی گروپ بنانے کے لیے) ؛ شناخت، اور الٹا (گروپ بنانے کے لیے) ؛ اور دیگر پیچیدہ ڈھانچے۔ اضافی ڈھانچے کے ساتھ، مزید نظریات کو ثابت کیا جا سکتا ہے، لیکن عامیت کم ہو جاتی ہے۔ الجبرائی اشیاء کا "درجہ بندی" (عام طور پر) متعلقہ نظریات کا درجہ بندی پیدا کرتا ہے: مثال کے طور پر، گروپ تھیوری کے نظریات کو بجتوں کا مطالعہ کرتے وقت استعمال کیا جا سکتا ہے (الجبرائی اشیاء جن میں کچھ محوریوں کے ساتھ دو بائنری آپریشن ہوتے ہیں) کیونکہ ایک رنگ اس کی کارروائیوں میں سے ایک پر ایک گروپ ہوتا ہے۔ عام طور پر عامیت کی مقدار اور نظریہ کی دولت کے درمیان توازن ہوتا ہے: زیادہ عام ڈھانچوں میں عام طور پر کم غیر معمولی نظریات اور کم ایپلی کیشنز ہوتے ہیں۔ واحد بائنری آپریشن کے ساتھ الجبرائی ڈھانچوں کی مثالیں یہ ہیں: میگما کواسی گروپ مونوئڈ سیمی گروپ گروپ کئی کارروائیوں پر مشتمل مثالوں میں شامل ہیں: رنگ فیلڈ ماڈیول ویکٹر اسپیس الجبرا اوور اے فیلڈ ایسوسی ایٹیو الجبرا لائ الجبرا جالی بولین الجبرا تجریدی الجبرا گروپ تھیوری کی شاخیں ایک گروپ "گروپ پروڈکٹ" کے ساتھ مل کر ایک سیٹ ہے، جو ایک بائنری آپریشن ہے۔ گروپ مندرجہ ذیل وضاحتی محوریات کو مطمئن کرتا ہے: شناخت: ایک عنصر موجود ہے جس میں، ہر عنصر کے لیے، یہ موجود ہے۔ الٹا: کے ہر عنصر کے لیے، ایک عنصر موجود ہے تاکہ۔ ایسوسی ایٹیویٹی ": عناصر کے ہر تین گنا کے لیے، یہ موجود ہے۔ رنگ تھیوری ایک رنگ ایک سیٹ ہے جس میں دو بائنری آپریشنز ہوتے ہیں، اضافہ: اور ضرب: مندرجہ ذیل محوریات کو مطمئن کرنا۔ اضافہ کے تحت ایک تبادلہ گروپ ہے۔ ضرب کے تحت ایک مونوئڈ ہے۔ ضرب اضافے کے حوالے سے تقسیم ہے۔ اس کی عامیت کی وجہ سے تجریدی الجبرا ریاضی اور سائنس کے بہت سے شعبوں میں استعمال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، الجبرائی ٹوپولوجی ٹوپولوجیز کا مطالعہ کرنے کے لیے الجبرائی اشیاء کا استعمال کرتی ہے۔ پوئن کیری قیاس، جو 2003 میں ثابت ہوا، اس بات پر زور دیتا ہے کہ کئی گنا کا بنیادی گروپ، جو ربط کے بارے میں معلومات کو انکوڈ کرتا ہے، اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ کئی گنا ایک دائرہ ہے یا نہیں۔ الجبرائی نمبر تھیوری مختلف نمبر رنگوں کا مطالعہ کرتی ہے جو انٹیجرز کے سیٹ کو عام کرتی ہیں۔ الجبرائی نمبر تھیوری کے ٹولز کا استعمال کرتے ہوئے، اینڈریو وائلز نے فرمیٹ کے آخری نظریہ کو ثابت کیا۔ طبیعیات میں، گروہوں کو ہم آہنگی کی کارروائیوں کی نمائندگی کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، اور گروپ تھیوری کا استعمال تفریق مساوات کو آسان بنا سکتا ہے۔ گیج تھیوری میں، مقامی ہم آہنگی کی ضرورت کو کسی نظام کو بیان کرنے والی مساوات کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ وہ گروپ جو ان ہم آہنگی کو بیان کرتے ہیں وہ لائ گروپ ہیں، اور لائ گروپوں اور لائ الجبرا کا مطالعہ جسمانی نظام کے بارے میں بہت کچھ ظاہر کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی نظریہ میں قوت کیریئرز کی تعداد لائ الجبرا کے طول و عرض کے برابر ہوتی ہے، اور یہ بوسون اس قوت کے ساتھ تعامل کرتے ہیں جو وہ ثالثی کرتے ہیں اگر لائ الجبرا غیر البیلین ہے۔ کوڈنگ تھیوری گروپ تھیوری تجریدی الجبرا میں اشاعتوں کی فہرست حوالہ جات کتابچہ مزید پڑھنا ڈبلیو کیتھ نکلسن (2012) تجریدی الجبرا کا تعارف، چوتھا ایڈیشن، جان ولی اینڈ سنز۔ جان آر ڈربن (1992) ماڈرن الجبرا: این انٹروڈکشن، جان ولی اینڈ سنز بیرونی لنکس چارلس سی پنٹر (1990) [1982] اے بک آف ایبسٹریکٹ الجبرا، دوسرا ایڈیشن، میری لینڈ یونیورسٹی سے