Berezin integral
ریاضیاتی طبیعیات میں، بیریزین انٹیگرل، جس کا نام فیلکس بیریزین کے نام پر رکھا گیا ہے، (جسے گراس مین انٹیگرل بھی کہا جاتا ہے، ہرمن گراس مین کے نام پر)، گراس مین متغیرات (بیرونی الجبرا کے عناصر) کے افعال کے لیے انضمام کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ لیبسیگ کے معنی میں لازمی نہیں ہے ؛ لفظ "لازمی" استعمال کیا جاتا ہے کیونکہ بیریزین لازمی میں لیبسیگ انٹیگرل سے مشابہت رکھنے والی خصوصیات ہیں اور کیونکہ یہ طبیعیات میں پاتھ انٹیگرل کو بڑھاتا ہے، جہاں اسے فرمینز کے لیے تاریخوں کے مجموعے کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ تعریف پیچیدہ اعداد کے میدان میں اینٹی کمیونیٹنگ عناصر میں کثیر الجہتی کا بیرونی الجبرا ہونے دیں۔ (جنریٹرز کی ترتیب طے شدہ ہے اور بیرونی الجبرا کی واقفیت کی وضاحت کرتی ہے۔) ایک متغیر واحد گراس مین متغیر پر بیریزین انٹیگرل کو ایک لکیری فنکشنل کے طور پر بیان کیا گیا ہے جہاں ہم اس طرح بیان کرتے ہیں کہ: یہ خصوصیات انٹیگرل کو منفرد طور پر بیان کرتی ہیں اور اس کا مطلب ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ سب سے عام فنکشن ہے کیونکہ گراس مین متغیر مربع سے صفر تک، اس لیے لکیری ترتیب سے باہر غیر صفر اصطلاحات نہیں ہو سکتی ہیں۔ متعدد متغیر بیریزین انٹیگرل آن کو درج ذیل خصوصیات کے ساتھ منفرد لکیری فنکشنل کے طور پر بیان کیا گیا ہے: کسی بھی جگہ کے لیے بائیں یا دائیں جزوی مشتق کا مطلب ہے۔ یہ خصوصیات انٹیگرل کی منفرد طور پر وضاحت کرتی ہیں۔ نوٹ کریں کہ ادب میں مختلف کنونشن موجود ہیں: کچھ مصنفین اس کے بجائے وضاحت کرتے ہیں فارمولہ فوبانی قانون کا اظہار کرتا ہے۔ دائیں ہاتھ کی طرف، مونومیل کا اندرونی انٹیگرل جہاں مقرر کیا جاتا ہے ؛ انٹیگرل کا غائب ہو جاتا ہے۔ کے حوالے سے انٹیگرل کا حساب اسی طرح اور اسی طرح کیا جاتا ہے۔ گراس مین متغیرات کی تبدیلی آئیے کچھ اینٹی سمیٹرک متغیرات میں عجیب کثیر الجہتی ہوں۔ جیکوبین وہ میٹرکس ہے جہاں دائیں مشتق () سے مراد ہے۔ کوآرڈینیٹ تبدیلی کا فارمولا یہ پڑھتا ہے کہ یکساں اور عجیب متغیرات کو مربوط کرنا تعریف اب حقیقی آمد و رفت متغیرات اور اینٹی کمیونیٹنگ متغیرات کے افعال کے الجبرا پر غور کریں (جسے طول و عرض کا فری سپر الجبرا کہا جاتا ہے)۔ بدیہی طور پر، ایک فنکشن m ایون (بوسونک، کمیوٹنگ) متغیرات اور n عجیب (فرمیوونک، اینٹی کمیونٹنگ) متغیرات کا ایک فنکشن ہے۔ مزید رسمی طور پر، عنصر دلیل کا ایک فنکشن ہے جو الجبرا میں اقدار کے ساتھ ایک کھلے سیٹ میں مختلف ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ یہ فنکشن مسلسل ہے اور ایک کمپیکٹ سیٹ کی تکمیل میں غائب ہو جاتا ہے۔ بیریزین انٹیگرل نمبر ہے۔ یکساں اور عجیب متغیرات کی تبدیلی۔ ایک مربوط تبدیلی اس طرح دی جائے گی کہ کہاں یکساں ہیں اور یکساں متغیرات کے لحاظ سے عجیب کثیر الجہتی ہیں۔ اس تبدیلی کے جیکوبین میٹرکس میں بلاک فارم ہے: جہاں ہر یکساں مشتق الجبرا کے تمام عناصر کے ساتھ کام کرتا ہے۔ عجیب مشتقات یکساں عناصر کے ساتھ کام کرتے ہیں اور عجیب عناصر کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ ڈائیگنل بلاکس کی اندراجات اور برابر ہیں اور آف ڈائیگنل بلاکس کی اندراجات عجیب افعال ہیں، جہاں دوبارہ صحیح مشتقات کا مطلب ہے۔ اب ہمیں میٹرکس کے بیریزینیئن (یا سپر ڈیٹرمیننٹ) کی ضرورت ہے، جو کہ ایون فنکشن ہے جس کی وضاحت اس وقت کی جاتی ہے جب فنکشن الٹا ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ حقیقی فنکشن کھلے سیٹوں کے ہموار الٹا نقشے کی وضاحت کرتے ہیں اور نقشے کا لکیری حصہ ہر ایک کے لیے الٹا ہوتا ہے۔ بیریزین انٹیگرل کے لیے عمومی تبدیلی کا قانون پڑھتا ہے کہ کہاں) نقشے کی سمت کی علامت ہے۔ سپرپوزیشن کی وضاحت واضح انداز میں کی جاتی ہے، اگر افعال پر انحصار نہیں ہوتا ہے۔ عام صورت میں، ہم لکھتے ہیں کہ کہاں بھی نیلپوٹینٹ عناصر ہیں اور سیٹ کرتے ہیں جہاں ٹیلر سیریز محدود ہے۔ مفید فارمولے گوسی انٹیگرلز کے لیے درج ذیل فارمولے اکثر کوانٹم فیلڈ تھیوری کے پاتھ انٹیگرل فارمولیشن میں استعمال ہوتے ہیں: ایک پیچیدہ میٹرکس ہونے کے ساتھ۔ ایک پیچیدہ سکیو سمیٹرک میٹرکس ہونے کے ساتھ، اور کا فافین ہونے کے ساتھ، جو پورا ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا فارمولوں میں اشارے کا استعمال کیا جاتا ہے۔ ان فارمولوں سے، دیگر مفید فارمولے پیروی کرتے ہیں (ضمیمہ اے میں دیکھیں): ایک الٹا میٹرکس ہونے کے ساتھ۔ نوٹ کریں کہ یہ تمام انٹیگرلز پارٹیشن فنکشن کی شکل میں ہیں۔ نقل و حمل اور اینٹی کمیونیکیشن متغیرات کے ساتھ انٹیگرل کا ریاضیاتی نظریہ فیلکس بیریزین نے ایجاد اور تیار کیا تھا۔ اس سے پہلے کی کچھ اہم بصیرت 1956 میں ڈیوڈ جان کینڈلین نے بنائی تھیں۔ دیگر مصنفین نے ان پیشرفتوں میں حصہ لیا، بشمول طبیعیات دان خلاتنکوف (اگرچہ ان کے مقالے میں غلطیاں ہیں)، میتھیوز اور سلام، اور مارٹن۔ مزید پڑھیں تھیوڈور ورونوف: جیومیٹرک انٹیگریشن تھیوری آن سپرمین فولڈز، ہار ووڈ اکیڈمک پبلشر، بیریزین، فیلکس الیگزینڈرروچ: انٹروڈکشن ٹو سپرانالیسس، سپرنگر نیدرلینڈز، ملٹی لینیر الجبرا ڈفریینشل فارمز انٹیگرل کیلکولس میتھمیٹیکل فزکس کوانٹم فیلڈ تھیوری سپرسیمیٹری