Rotor (mathematics)
روٹر ویکٹر اسپیس کے ہندسی الجبرا (جسے کلفورڈ الجبرا بھی کہا جاتا ہے) میں ایک ایسی چیز ہے جو اصل کے بارے میں گردش کی نمائندگی کرتی ہے۔ یہ اصطلاح ولیم کنگڈن کلفورڈ سے شروع ہوئی، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کواٹرنیئن الجبرا صرف ہرمن گراس مین کے "تھیوری آف ایکسٹینشن" (اوسڈہننگسلہرے) کا ایک خاص معاملہ ہے۔ ہیسٹینس نے روٹر کی تعریف جیومیٹرک الجبرا کے کسی بھی عنصر کے طور پر کی ہے جسے یونٹ ویکٹرز کی یکساں تعداد کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے اور مطمئن کرتا ہے، جہاں "الٹا" ہے-یعنی ایک ہی ویکٹرز کا پروڈکٹ، لیکن الٹا ترتیب میں۔ تعریف ریاضی میں، ویکٹر اسپیس V کے ہندسی الجبرا میں ایک روٹر وہی چیز ہے جو اسپن گروپ اسپن (V) کے عنصر کے برابر ہے۔ ہم ذیل میں اس گروپ کی وضاحت کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ V ایک ویکٹر اسپیس ہے جو ایک مثبت قطعی کواڈریٹک فارم q سے لیس ہے، اور Cl (V) کو V سے وابستہ ہندسی الجبرا ہونے دیں۔ الجبرہ Cl (V) V کے ٹینسر الجبرا کا حصص ہے جو سب کے تعلقات کے لحاظ سے ہے۔ (سی ایل (وی) میں ٹینسر پروڈکٹ وہ ہے جسے ہندسی الجبرا میں ہندسی پروڈکٹ کہا جاتا ہے اور اس مضمون میں اس کی نشاندہی کی گئی ہے۔) V کے ٹینسر الجبرا پر Z-درجہ بندی Cl (V) پر Z/2Z-درجہ بندی پر اترتی ہے، جسے ہم یہاں اشارہ کرتے ہیں، کلیون (V) یکساں ڈگری بلیڈ سے پیدا ہوتا ہے اور کلڈ (V) عجیب ڈگری بلیڈ سے پیدا ہوتا ہے۔ سی ایل (وی) کی ایک منفرد اینٹی آٹومورفزم ہے جو وی پر شناخت تک محدود ہے: اسے ٹرانسپوز کہا جاتا ہے، اور کسی بھی ملٹی ویکٹر اے کی ٹرانسپوز کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ بلیڈ پر (یعنی ایک سادہ ٹینسر)، یہ محض عوامل کی ترتیب کو الٹ دیتا ہے۔ اسپن گروپ اسپن (V) کی تعریف کلیون (V) کے ذیلی گروپ کے طور پر کی گئی ہے جو ملٹی ویکٹرز R پر مشتمل ہے یعنی یہ ملٹی ویکٹرز پر مشتمل ہے جسے یکساں تعداد میں یونٹ ویکٹرز کے پروڈکٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ویکٹر اسپیس پر گردش کے طور پر عمل جیومیٹرک الجبرا میں ویکٹر کے ساتھ عکاسی کو (مائنس) کے طور پر دکھایا جا سکتا ہے جو ایک ملٹی ویکٹر M کو غیر نال ویکٹر v کے درمیان عکاسی کے ہائپرپلین کے عمودی اور اس ویکٹر کے الٹا v−1: کے درمیان سینڈوچ کر رہا ہے اور یکساں گریڈ کے ہیں۔ روٹر R کے ذریعے پیدا ہونے والی گردش کے تحت، ایک عام ملٹی ویکٹر M دو طرفہ طور پر تبدیل ہو جائے گا کیونکہ یہ عمل اسپن (V) کو SO (V) کے دوہرے احاطے کے طور پر پیش کرتے ہوئے ایک سرجیکٹو ہومومورفزم دیتا ہے۔ (مزید تفصیلات کے لیے اسپن گروپ دیکھیں۔) محدود متبادل فارمولیشن یوکلڈین اسپیس کے لیے، متبادل فارمولیشن پر غور کرنا آسان ہو سکتا ہے، اور کچھ مصنفین عکاسی کے عمل کو (مائنس) کسی یونٹ کی سینڈوچنگ (یعنی۔ نارملائزڈ) ملٹی ویکٹر: ایسے روٹرز بنانا جو خود بخود نارمل ہو جاتے ہیں: اس کے بعد اخذ شدہ روٹر ایکشن کو سینڈوچ پروڈکٹ کے طور پر ریورس کے ساتھ ظاہر کیا جاتا ہے: ایک عکاسی کے لیے جس کے لیے متعلقہ ویکٹر ایک منفی اسکیلر سے مربع ہوتا ہے، جیسا کہ ایک چھدم-یوکلڈین اسپیس کے معاملے میں ہو سکتا ہے، اس طرح کے ویکٹر کو صرف اس کے مربع کی علامت تک نارمل کیا جا سکتا ہے، اور درخواست کے نشان کی اضافی بک کیپنگ روٹر ضروری ہو جاتا ہے۔ سینڈوچ پروڈکٹ کے لحاظ سے تشکیل میں جیسا کہ اوپر الٹا ہے ایسی کوئی کمی نہیں ہے۔ ملٹی ویکٹرز اور اسپنرز کی گردش تاہم، اگرچہ ملٹی ویکٹرز بھی دو طرفہ طور پر تبدیل ہوتے ہیں، لیکن روٹرز کو ملا کر ایک گروپ بنایا جا سکتا ہے، اور اس لیے متعدد روٹرز یک طرفہ طور پر تشکیل پاتے ہیں۔ مندرجہ بالا متبادل تشکیل خود کو معمول پر لانے والی نہیں ہے اور ہندسی الجبرا میں اسپنر کی تعریف کو ایک ایسی شے کے طور پر متحرک کرتی ہے جو یک طرفہ طور پر تبدیل ہوتی ہے-یعنی، اسپنرز کو غیر معمول کے روٹرز کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں سینڈوچ پروڈکٹ میں الٹا کے بجائے الٹا استعمال ہوتا ہے۔ یکساں نمائندگی والے الجبرا یکساں نمائندگی والے الجبرا جیسے کہ کنفارمل جیومیٹرک الجبرا میں، نمائندگی کی جگہ میں ایک روٹر کسی صوابدیدی نقطہ کے گرد گردش، ترجمہ یا ممکنہ طور پر بیس اسپیس میں کسی اور تبدیلی سے مطابقت رکھتا ہے۔ ڈبل گردش لائ گروپ اویلر کا فارمولا جنریٹر (ریاضی) ورسر حوالہ جات ہندسی الجبرا بھی دیکھیں۔