Development (differential geometry)
کلاسیکی تفریق جیومیٹری میں، ترقی سے مراد یوکلڈین خلا میں ایک ہموار سطح کو دوسرے کے اوپر گھومنے کا سادہ خیال ہے۔ مثال کے طور پر، کسی نقطہ پر کسی سطح پر ٹینجینٹ طیارہ (جیسے دائرہ یا سلنڈر) کو دوسرے مقامات پر ٹینجینٹ طیارہ حاصل کرنے کے لیے سطح کے گرد لپیٹا جا سکتا ہے۔ خصوصیات ایک دوسرے پر لپیٹی جانے والی سطحوں کے درمیان ٹینجینشیل رابطہ دونوں سطحوں پر پوائنٹس کے درمیان تعلق فراہم کرتا ہے۔ اگر یہ تعلق (شاید صرف مقامی معنوں میں) سطحوں کے درمیان ایک بائیجیکشن ہے، تو دونوں سطحوں کو ایک دوسرے پر قابل نشوونما یا ایک دوسرے کی نشوونما کہا جاتا ہے۔ مختلف الفاظ میں، خط و کتابت دونوں سطحوں کے درمیان مقامی طور پر ایک آئسومیٹری فراہم کرتا ہے۔ خاص طور پر، اگر سطحوں میں سے ایک سطح ہے، تو دوسری کو قابل ترقی سطح کہا جاتا ہے: اس طرح قابل ترقی سطح وہ ہوتی ہے جو کسی سطح کے لیے مقامی طور پر آئسومیٹرک ہوتی ہے۔ سلنڈر قابل ترقی ہے، لیکن دائرہ نہیں ہے۔ فلیٹ کنکشنز کی ترقی کو فلیٹ کنکشنز کا استعمال کرتے ہوئے مزید عام کیا جا سکتا ہے۔ اس نقطہ نظر سے، ٹینجینٹ پلین کو کسی سطح پر رول کرنا سطح پر ایک افائن کنکشن کی وضاحت کرتا ہے (یہ ایک منحنی خطوط کے ساتھ متوازی نقل و حمل کی مثال فراہم کرتا ہے)، اور ایک قابل ترقی سطح وہ ہے جس کے لیے یہ کنکشن چپٹا ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر کئی گنا پر کوئی بھی فلیٹ کارٹن کنکشن ماڈل کی جگہ پر اس کئی گنا کی ترقی کی وضاحت کرتا ہے۔ شاید سب سے مشہور مثال مطابقت پذیر فلیٹ این-مینیفولڈز کی نشوونما ہے، جس میں ماڈل-اسپیس این-کرہ ہے۔ ایک مطابقت پذیری فلیٹ کئی گنا کی ترقی کئی گنا کے عالمگیر احاطہ سے لے کر n-دائرے تک ایک مطابقت پذیری مقامی ڈفیومورفزم ہے۔ غیر ترقی پذیر سطحیں دوہری منحنی سطحوں (غیر ترقی پذیر سطحوں) کی کلاس میں ایسی اشیاء ہوتی ہیں جنہیں آسانی سے بے نقاب (تیار) نہیں کیا جا سکتا۔ اس طرح کی سطحوں کو صرف لکیری سطح کے عناصر کی کچھ مسخیوں کے ساتھ تقریبا تیار کیا جا سکتا ہے (پھیلا ہوا گرڈ طریقہ دیکھیں) یہ بھی دیکھیں کہ قابل ترقی سطح حکمرانی سطح حوالہ جات تفریقی جیومیٹری کنکشن (ریاضی)