Limit point compact
ریاضی میں، ایک ٹپوولوجیکل اسپیس کو لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ یا کمزور طور پر گنتی کے لحاظ سے کمپیکٹ کہا جاتا ہے اگر ہر لامحدود ذیلی سیٹ میں لمٹ پوائنٹ ہو۔ میٹرک اسپیس میں، لمٹ پوائنٹ کمپیکٹنس، کمپیکٹنس، اور سیکوینشیل کمپیکٹنس سبھی مساوی ہیں۔ عام ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے لیے، تاہم، کمپیکٹنس کے یہ تین تصورات مساوی نہیں ہیں۔ خصوصیات اور مثالیں کسی ٹپوولوجیکل جگہ میں، بغیر حد کے ذیلی سیٹ بالکل وہی ہوتے ہیں جو ذیلی جگہ کی ٹوپولوجی میں بند اور مجرد ہوتے ہیں۔ لہذا ایک جگہ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے تمام بند مجرد ذیلی سیٹ محدود ہوں۔ ایک جگہ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں لامحدود بند مجرد ذیلی جگہ ہو۔ چونکہ کسی بند مجرد ذیلی سیٹ کا کوئی بھی ذیلی سیٹ خود ہی بند اور مجرد ہوتا ہے، اس لیے یہ اس ضرورت کے مساوی ہے جس میں شمار کے لحاظ سے لامحدود بند مجرد ذیلی جگہ ہو۔ خالی جگہوں کی کچھ مثالیں جو لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ نہیں ہیں: (1) تمام حقیقی اعداد کا سیٹ اپنی معمول کی ٹوپولوجی کے ساتھ، چونکہ انٹیجرز ایک لامحدود سیٹ ہیں لیکن ان میں کوئی لمٹ پوائنٹ نہیں ہے۔ (2) مجرد ٹوپولوجی کے ساتھ ایک لامحدود سیٹ ؛ (3) ایک بے شمار سیٹ پر قابل گنتی تکمیل ٹوپولوجی۔ ہر گنتی سے کمپیکٹ جگہ (اور اس وجہ سے ہر کمپیکٹ جگہ) لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہے۔ ٹی 1 خالی جگہوں کے لیے، لمٹ پوائنٹ کمپیکٹنس قابل گنتی کمپیکٹنس کے برابر ہے۔ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ اسپیس کی ایک مثال جو قابل شمار طور پر کمپیکٹ نہیں ہے "انٹیجرز کو دوگنا کرکے" حاصل کی جاتی ہے، یعنی اس پروڈکٹ کو لے کر جہاں مجرد ٹوپولوجی کے ساتھ تمام انٹیجرز کا سیٹ ہے اور اس میں اندھا دھند ٹوپولوجی ہے۔ خلا طاق-یکساں ٹوپولوجی کے لیے ہومومورفک ہے۔ یہ جگہ T0 نہیں ہے۔ یہ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہے کیونکہ ہر نان ایمپٹی سب سیٹ کا ایک لمٹ پوائنٹ ہوتا ہے۔ ٹی 0 اسپیس کی ایک مثال جو لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہے اور گنتی کے لحاظ سے کمپیکٹ نہیں ہے وہ تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے، جس میں صحیح آرڈر ٹوپولوجی ہے، یعنی تمام وقفوں سے پیدا ہونے والی ٹوپولوجی۔ اسپیس لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہے کیونکہ کسی بھی پوائنٹ کو دیا جائے تو ہر ایک لمٹ پوائنٹ ہے۔ پیمائش کے قابل خالی جگہوں کے لیے، کمپیکٹنس، گنتی کے قابل کمپیکٹنس، لمٹ پوائنٹ کمپیکٹنس، اور ترتیب وار کمپیکٹنس سبھی مساوی ہیں۔ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ اسپیس کی بند ذیلی جگہیں لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہوتی ہیں۔ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ اسپیس کی مسلسل تصویر کو لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مجرد اور غیر متزلزل کے ساتھ جیسا کہ اوپر کی مثال میں ہے، تو پہلے کوآرڈینیٹ پر پروجیکشن کے ذریعے دیا گیا نقشہ مسلسل ہے، لیکن لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ نہیں ہے۔ ایک لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ اسپیس کو سیوڈو کمپیکٹ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک مثال اسی کی طرف سے اندھا دھند دو نکاتی جگہ کے ساتھ دی گئی ہے اور وہ نقشہ جس کی شبیہہ سیڈو کمپیکٹ جگہ میں پابند نہیں ہے اسے لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک مثال کوکاونٹیبل ٹوپولوجی کے ساتھ ایک بے شمار سیٹ کے ذریعے دی گئی ہے۔ ہر نارمل سیڈو کمپیکٹ اسپیس لمٹ پوائنٹ compact.Proof ہے: فرض کریں کہ یہ ایک نارمل اسپیس ہے جو لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ نہیں ہے۔ ٹیٹز ایکسٹینشن تھیوریم کے ذریعہ بیان کردہ مسلسل فنکشن کو تمام پر ایک (غیر محدود) حقیقی قدر والے مسلسل فنکشن تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ خالی جگہوں میں قابل شمار حد ہوتی ہے۔ اگر ٹپوولوجیکل خالی جگہیں اس سے زیادہ باریک اور لمٹ پوائنٹ کمپیکٹ ہیں، تو اسی طرح یہ بھی دیکھیں ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کی خصوصیات کمپیکٹنیس (ریاضی)