Stable normal bundle
جراحی کے نظریہ میں، ریاضی کی ایک شاخ، تفریق کے قابل کئی گنا کا مستحکم نارمل بنڈل ایک غیر متغیر ہے جو مستحکم نارمل (دوہری، ٹینجینشیل) ڈیٹا کو انکوڈ کرتا ہے۔ کئی گنا، خاص طور پر پی ایل-مینیفولڈز اور ٹوپولوجیکل مینیفولڈز کی عمومی کاری کے لیے اینالاگس موجود ہیں۔ پوئن کیری خالی جگہوں کے لیے ہوموٹوپی تھیوری میں ایک اینالاگ بھی ہے، اسپیوک کروی فائبرشن، جس کا نام مائیکل اسپیوک کے نام پر رکھا گیا ہے۔ سرایت کے ذریعے تعمیر یوکلڈین جگہ میں کئی گنا کی سرایت کو دیکھتے ہوئے (ہاسلر وٹنی کے نظریہ کے ذریعہ فراہم کردہ)، اس میں ایک عام بنڈل ہوتا ہے۔ ایمبیڈنگ منفرد نہیں ہے، لیکن یوکلڈین اسپیس کے اعلی طول و عرض کے لیے یہ آئسوٹوپی تک منفرد ہے، اس طرح (کلاس کا) بنڈل منفرد ہے، اور اسے مستحکم نارمل بنڈل کہا جاتا ہے۔ یہ تعمیر کسی بھی پوئن کیئر اسپیس ایکس کے لیے کام کرتی ہے: ایک محدود سی ڈبلیو کمپلیکس عام پوزیشن کے ذریعے یوکلڈین اسپیس میں ایک مستحکم منفرد (ہوموٹوپی تک) سرایت کو تسلیم کرتا ہے، اور یہ سرایت ایکس پر ایک کروی ریشے پیدا کرتی ہے۔ زیادہ محدود جگہوں کے لیے (خاص طور پر پی ایل-مینیفولڈز اور ٹوپولوجیکل مینیفولڈز)، کسی کو مضبوط ڈیٹا ملتا ہے۔ تفصیلات دو سرایت آئسوٹوپک ہیں اگر وہ سرایت کے ذریعے ہوموٹوپک ہیں۔ کئی گنا یا دیگر مناسب جگہ X کو دیکھتے ہوئے، یوکلڈین جگہ میں دو سرایتوں کے ساتھ یہ عام طور پر آاسوٹوپک نہیں ہوں گے، یا یہاں تک کہ ایک ہی جگہ میں نقشے بھی نہیں ہوں گے (برابر کی ضرورت نہیں ہے)۔ تاہم، کوئی بھی آخری نقاط کو 0: دے کر انہیں ایک بڑی جگہ میں سرایت کر سکتا ہے۔ یوکلڈین خلا کی ملحقہ معمولی نقلوں کے اس عمل کو استحکام کہا جاتا ہے۔ اس طرح کوئی بھی ایک ہی یوکلڈین اسپیس (لینے) میں نقشہ بنانے کے لیے یوکلڈین اسپیس میں کسی بھی دو سرایت کا بندوبست کر سکتا ہے، اور، مزید، اگر کافی بڑا ہے، تو یہ سرایت آئسوٹوپک ہیں، جو کہ ایک نظریہ ہے۔ اس طرح سرایت کی ایک منفرد مستحکم آئسوٹوپی کلاس ہے: یہ کوئی خاص سرایت نہیں ہے (کیونکہ بہت سے سرایت ہیں)، اور نہ ہی ایک آئسوٹوپی کلاس ہے (کیونکہ ہدف کی جگہ طے نہیں ہے: یہ صرف "کافی بڑی یوکلڈین جگہ" ہے)، بلکہ نقشوں کی ایک مستحکم آئسوٹوپی کلاس ہے۔ اس (مستحکم کلاس) سرایت سے وابستہ عام بنڈل پھر مستحکم عام بنڈل ہوتا ہے۔ کوئی بھی اس مستحکم آاسوٹوپی کلاس کو ایک حقیقی آاسوٹوپی کلاس سے ٹارگٹ اسپیس کو فکس کرکے تبدیل کر سکتا ہے، یا تو ہلبرٹ اسپیس کو ٹارگٹ اسپیس کے طور پر استعمال کر کے، یا (کئی گنا کے فکسڈ طول و عرض کے لیے) کافی بڑے فکسڈ کا استعمال کر کے، کیونکہ N کا انحصار صرف n پر ہوتا ہے، نہ کہ زیر بحث کئی گنا پر۔ زیادہ تجریدی طور پر، سرایت کو مستحکم کرنے کے بجائے، کوئی بھی سرایت لے سکتا ہے، اور پھر کافی تعداد میں معمولی لائن بنڈلوں کے ساتھ ایک ویکٹر بنڈل براہ راست رقم لے سکتا ہے۔ یہ بالکل مستحکم سرایت کے عام بنڈل سے مطابقت رکھتا ہے۔ جگہوں کی درجہ بندی کے ذریعے تعمیر ایک این-مینی فولڈ ایم میں ایک ٹینجینٹ بنڈل ہوتا ہے، جس میں ایک درجہ بندی کا نقشہ (ہوموٹوپی تک) ہوتا ہے جو مستحکم ٹینجینٹ بنڈل کی شمولیت کی پیداوار (درجہ بندی کے نقشے کی ہوموٹوپی کلاس) کے ساتھ تشکیل پاتا ہے۔ ایمبیڈنگ (بڑے) کا عام بنڈل اس کے لیے الٹا ہوتا ہے، اس طرح کہ وٹنی کا مجموعہ معمولی ہوتا ہے۔ مرکب کی ہوموٹوپی کلاس ایمبیڈنگ کے انتخاب سے آزاد ہے، جو مستحکم عام بنڈل کی درجہ بندی کرتی ہے۔ محرک کئی گنا تک نارمل ویکٹر کا کوئی اندرونی تصور نہیں ہے، ٹینجینٹ یا کوٹینجینٹ ویکٹروں کے برعکس-مثال کے طور پر، نارمل اسپیس کا انحصار اس بات پر ہوتا ہے کہ کوئی کس طول و عرض میں سرایت کر رہا ہے-لہذا مستحکم نارمل بنڈل اس کے بجائے ایک مستحکم نارمل اسپیس کا تصور فراہم کرتا ہے: ایک نارمل اسپیس (اور نارمل ویکٹر) معمولی خلا تک۔ مستحکم ٹینجینٹ کے بجائے مستحکم نارمل کیوں؟ غیر مستحکم ٹینجینشیل ڈیٹا کے بجائے مستحکم نارمل ڈیٹا کا استعمال کیا جاتا ہے کیونکہ کئی گنا کی عام کاریوں میں قدرتی مستحکم نارمل قسم کے ڈھانچے ہوتے ہیں، جو نلکے والے محلوں اور عمومی کاریوں سے آتے ہیں، لیکن غیر مستحکم ٹینجینشیل نہیں ہوتے ہیں، کیونکہ مقامی ڈھانچہ ہموار نہیں ہوتا ہے۔ خلا X پر کروی ریشوں کو نقشوں کی ہوموٹوپی کلاسوں کے ذریعہ درجہ بندی کی جگہ میں درجہ بند کیا جاتا ہے، ہوموٹوپی گروپوں کے ساتھ شعبوں کے مستحکم ہوموٹوپی گروپ۔ بھولنے والا نقشہ فائبرشن کی ترتیب تک پھیلا ہوا ہے۔ ایک پوئن کیئر اسپیس X میں ٹینجینٹ بنڈل نہیں ہوتا ہے، لیکن اس میں ایک اچھی طرح سے طے شدہ مستحکم کروی ریشے ہوتے ہیں، جو ایک تفریق کے قابل کئی گنا کے لیے مستحکم نارمل بنڈل سے وابستہ کروی ریشے ہوتے ہیں۔ اس طرح X کے لیے ایک بنیادی رکاوٹ یہ ہے کہ کروی ریشے ایک ویکٹر بنڈل کی طرف اٹھتے ہیں، یعنی، اسپیوک کروی ریشے کو اٹھانا ضروری ہے، جو نقشے کے صفر کروی ہونے کے برابر ہے۔ اس طرح (ہموار) کروی ڈھانچے کے وجود میں رکاوٹ بنڈل کلاس ہے۔ ثانوی رکاوٹ وال سرجری رکاوٹ ہے۔ ایپلی کیشنز ایک بنیادی رکاوٹ کے طور پر سرجری تھیوری میں مستحکم نارمل بنڈل بنیادی ہے: ایک پوئن کیئر اسپیس X کے لیے ہموار کئی گنا کی ہوموٹوپی قسم کے لیے، نقشہ صفر ہوموٹوپک ہونا چاہیے۔ دو کئی گنا کے درمیان ہوموٹوپی کے مساوات کے لیے ہوموٹوپک کو ڈفیومورفزم کے لیے ہوموٹوپک ہونا چاہیے، اسے N پر مستحکم نارمل بنڈل کو M پر مستحکم نارمل بنڈل پر واپس کھینچنا چاہیے۔ زیادہ عام طور پر، اس کی عمومییاں (غیر مستحکم) ٹینجینٹ بنڈل کے متبادل کے طور پر کام کرتی ہیں۔ حوالہ جات تفریقی جیومیٹری سرجری تھیوری