Tangent developable
سطحوں کی تفریقی جیومیٹری کے ریاضیاتی مطالعے میں، ٹینجینٹ ڈویلپ ایبل ایک خاص قسم کی ترقی پذیر سطح ہے جو یوکلڈین اسپیس میں ایک منحنی خطوط سے حاصل ہوتی ہے جب سطح ٹینجینٹ لائنوں کے ذریعے منحنی خطوط پر بہہ جاتی ہے۔ اس طرح کی سطح بھی منحنی خطوط پر ٹینجینٹ طیاروں کا لفافہ ہے۔ پیرامیٹرائزیشن ایک ہموار خلائی منحنی خطوط کی پیرامیٹرائزیشن ہونے دیں۔ یعنی، ایک دو بار تفریق پذیر فنکشن ہے جس میں کہیں بھی غائب نہ ہونے والا مشتق ہے جو اس کی دلیل (ایک حقیقی نمبر) کو خلا میں ایک نقطہ پر نقش کرتا ہے۔ وکر کی تصویر ہے۔ پھر ایک دو جہتی سطح، جس کی ٹینجینٹ قابل ترقی ہے، کو نقشے کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے۔ اصل منحنی خطوط ٹینجینٹ قابل ترقی کی حد بناتے ہیں، اور اسے اس کا ڈائریکٹریکس یا رجعت کا کنارہ کہا جاتا ہے۔ یہ منحنی خطوط پہلے سطح کو سطح میں ترقی دے کر حاصل کیا جاتا ہے، اور پھر سطح پر حکمران جنریٹرز کے سطح میں موجود تصویر پر غور کیا جاتا ہے۔ لکیروں کے اس خاندان کا لفافہ ایک طیارہ وکر ہے جس کی ترقی کے تحت الٹا تصویر رجعت کا کنارہ ہے۔ بدیہی طور پر، یہ ایک وکر ہے جس کے ساتھ سطح کو ہوائی جہاز میں ترقی کے عمل کے دوران جوڑنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ خصوصیات ٹینجینٹ قابل ترقی ایک قابل ترقی سطح ہے ؛ یعنی یہ ایک ایسی سطح ہے جس میں صفر گوسیائی منحنیت ہے۔ یہ ترقی پذیر سطح کی تین بنیادی اقسام میں سے ایک ہے۔ دیگر دو عمومی شنک ہیں (سطح کا پتہ ایک مقررہ نقطہ کے ذریعے لائنوں کے ایک جہتی خاندان کے ذریعے لگایا جاتا ہے)، اور سلنڈر (سطحوں کا پتہ متوازی لائنوں کے ایک جہتی خاندان کے ذریعے لگایا جاتا ہے)۔ (طیارہ بعض اوقات چوتھی قسم کے طور پر دیا جاتا ہے، یا ان دو اقسام میں سے کسی ایک کے خصوصی کیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔) تین جہتی خلا میں ہر قابل ترقی سطح ان تین اقسام کے ٹکڑوں کو ایک ساتھ جوڑ کر بنائی جا سکتی ہے۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ہر قابل ترقی سطح ایک حکمرانی سطح ہے، جو لکیروں کے ایک جہتی خاندان کا اتحاد ہے۔ تاہم، ہر حکمرانی کی سطح قابل ترقی نہیں ہے ؛ ہیلیکوئڈ ایک جوابی مثال فراہم کرتا ہے۔ صفر ٹورسن کے نقطہ پر مشتمل منحنی خطوط کا قابل ارتقاء ایک سیلف انٹرسیکشن پر مشتمل ہوگا۔ ٹینجینٹ ڈویلپبلز کی تاریخ کا سب سے پہلے مطالعہ لیون ہارڈ اویلر نے 1772 میں کیا تھا۔ اس وقت تک، صرف معروف ترقی پذیر سطحیں عام شنک اور سلنڈر تھیں۔ اویلر نے دکھایا کہ ٹینجینٹ ڈیولپمنٹ ایبلز قابل ترقی ہیں اور یہ کہ ہر ڈیولپمنٹ ایبل سطح ان میں سے ایک قسم کی ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ بیرونی روابط سطحوں کی تفریقی جیومیٹری