Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
سیٹ تھیوری سے شروڈر-برنسٹین تھیوریم میں سیاق و سباق آپریٹر الجبرا میں اینالاگس ہیں۔ اس مضمون میں اس طرح کے آپریٹر الجبرائی نتائج پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ وان نیومن الجبرا کے لیے فرض کریں کہ ایم ایک وان نیومن الجبرا ہے اور ای، ایف ایم میں پروجیکشن ہیں۔ آئیے ایم پر مرے-وان نیومن مساوات کے تعلق کو ظاہر کرتے ہیں۔ پروجیکشنز کے خاندان پر جزوی ترتیب کی وضاحت کریں "ای" ایف کے ذریعے اگر ای ~ ایف ≤ ایف۔ دوسرے الفاظ میں، ای "ایف اگر جزوی آئسومیٹری موجود ہے تو اس طرح کہ یو * یو = ای اور یو * ≤ ایف۔ بند ذیلی جگہوں کے لیے ایم اور این جہاں پروجیکشن پی ایم اور پی این، بالترتیب ایم اور این پر، ایم، ایم" این اگر پی ایم "پی این کے عناصر ہیں۔ شروڈر-برنسٹین تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر M "N اور N" M، تو M ~ N. A ثبوت، جو ایک سیٹ تھیوریٹک دلیل سے ملتا جلتا ہے، کو مندرجہ ذیل انداز میں خاکہ بنایا جا سکتا ہے۔ بول چال میں، N "M کا مطلب ہے کہ N کو M میں آئسومیٹرک طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے۔ لہذا جہاں N0، M میں N کی ایک آئسومیٹرک کاپی ہے۔ مفروضے کے مطابق، یہ بھی سچ ہے کہ، N، اس لیے N0، M کی ایک آئسومیٹرک کاپی M1 پر مشتمل ہے۔ لہذا، کوئی بھی انڈکشن کے ذریعے لکھ سکتا ہے، یہ واضح ہے کہ تو اور نوٹ کریں تھیوریم اب ~ کی قابل گنتی اضافیت سے پیروی کرتا ہے۔ سی *-الجیبراس کی نمائندگی سی *-الجیبراس کی نمائندگی کے لیے شروڈر-برنسٹین کا ایک ینالاگ بھی ہے۔ اگر A ایک C *-الجبرا ہے، تو A کی نمائندگی A سے L (H) میں ایک *-ہومومورفزم ہے، جو کسی ہلبرٹ اسپیس H پر باؤنڈڈ آپریٹرز ہیں۔ اگر L (H) میں ایک پروجیکشن P موجود ہے جہاں P φ (a) = φ (a) P A میں ہر a کے لیے، تو φ کی ذیلی نمائندگی σ کو قدرتی طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے: σ (a) φ (a) P کی حد تک محدود ہے۔ تو φ کو دو ذیلی نمائندگی φ = φ 'σ کے براہ راست مجموعہ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ بالترتیب H1 اور H2 پر دو نمائندگی φ1 اور φ2 کو یکطرفہ طور پر مساوی کہا جاتا ہے اگر کوئی یکطرفہ آپریٹر U: H2 → H1 موجود ہو تاکہ ہر a کے لیے φ1 (a) U = Uφ2 (a) ہو۔ اس ترتیب میں، شروڈر-برنسٹین تھیوریم پڑھتا ہے: اگر ہلبرٹ خالی جگہوں H اور G پر بالترتیب دو نمائندگی ρ اور σ، ہر ایک یک جہتی طور پر دوسرے کی ذیلی نمائندگی کے مساوی ہیں، تو وہ یک جہتی طور پر مساوی ہیں۔ ایک ایسا ثبوت جو پچھلی دلیل سے ملتا جلتا ہو اس کا خاکہ پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس مفروضے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ H سے G اور G سے H تک سرجیکٹو جزوی آاسومیٹریز موجود ہیں۔ دلیل کے لیے ایسی دو جزوی آاسومیٹریز طے کریں۔ ایک کے پاس بدلے میں، انڈکشن کے ذریعے، اور اب براہ راست رقم کے اظہار میں ہر اضافی خلاصہ دو فکسڈ جزوی آئسومیٹریز میں سے ایک کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے، لہذا یہ تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ پیمائش کے قابل خالی جگہوں کے لیے شروڈر-برنسٹین تھیوریم بھی دیکھیں شروڈر-برنسٹین پراپرٹی حوالہ جات بی۔ بلیکادر، آپریٹر الجیبراس، سپرنگر، 2006۔ سی *-الجبراس فنکشنل تجزیہ آپریٹر تھیوری وان نیومن الجبراس