Modes of convergence
ریاضی میں، بہت سے حواس ہیں جن میں ایک ترتیب یا سیریز کو متغیر کہا جاتا ہے۔ یہ مضمون ان ترتیبات میں ہم آہنگی کے مختلف طریقوں (حواس یا انواع) کی وضاحت کرتا ہے جہاں ان کی وضاحت کی گئی ہے۔ کنورجنس کے طریقوں کی فہرست کے لیے، دیکھیں کنورجنس کے طریقے (اینوٹیٹڈ انڈیکس) نوٹ کریں کہ درج ذیل اشیاء میں سے ہر ایک اس سے پہلے کی اقسام کا ایک خاص معاملہ ہے: سیٹ، ٹپوولوجیکل خالی جگہیں، یکساں خالی جگہیں، ٹی اے جی (ٹپوولوجیکل ابیلین گروپ)، معیاری خالی جگہیں، یوکلڈین خالی جگہیں، اور حقیقی/پیچیدہ نمبر۔ اس کے علاوہ، نوٹ کریں کہ کوئی بھی میٹرک جگہ ایک یکساں جگہ ہے۔ ٹوپولوجیکل اسپیس کنورجنس کے عناصر کو پہلے قابل گنتی خالی جگہوں میں ترتیب کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ نیٹ ان ترتیبات کی عمومی شکل ہے جو ان جگہوں میں مفید ہیں جو پہلے قابل گنتی نہیں ہیں۔ فلٹر کنورجنس کے تصور کو مزید عام کرتے ہیں۔ میٹرک خالی جگہوں میں، کوئی بھی کاچی ترتیب کی وضاحت کر سکتا ہے۔ کاچی نیٹ اور فلٹر یکساں خالی جگہوں کے لیے عمومی ہیں۔ اس سے بھی زیادہ عام طور پر، کاچی خالی جگہیں ایسی جگہیں ہیں جن میں کاچی فلٹرز کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ کنورجنس کا مطلب ہے "کاچی-کنورجنس"، اور کاچی-کنورجنس، ایک کنورجنٹ سیکسونس کے وجود کے ساتھ مل کر کنورجنس کا مطلب ہے۔ میٹرک خالی جگہوں کی مکمل ہونے کا تصور، اور اس کی عمومی شکل کو کاچی ترتیب کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے۔ ٹوپولوجیکل ابیلین گروپ میں عناصر کی سیریز ایک ٹوپولوجیکل ابیلین گروپ میں، کسی سیریز کے کنورجنس کو جزوی جملوں کی ترتیب کے کنورجنس کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ سیریز پر غور کرتے وقت ایک اہم تصور غیر مشروط کنورجنس ہے، جو اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ سیریز کی حد خلاصہ کی ترتیب کے تحت غیر متغیر ہے۔ ایک معیاری ویکٹر اسپیس میں، کوئی بھی مطلق کنورجنس کو اصولوں () کی سیریز کے کنورجنس کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ مطلق کنورجنس کا مطلب جزوی جملوں کی ترتیب کا کاچی کنورجنس ہے (مثلث عدم مساوات کے ذریعہ)، جس کے نتیجے میں کچھ گروپنگ کا مطلق کنورجنس ہوتا ہے (دوبارہ ترتیب نہیں)۔ گروپ بندی کے ذریعے حاصل کردہ جزوی رقوم کی ترتیب اصل سیریز کے جزوی رقوم کا تسلسل ہے۔ بالکل کنورجنٹ سیریز کا نارم کنورجنس ایک معیاری لکیری اسپیس کے لیے ایک مساوی شرط ہے جو بناچ (یعنی۔ : مکمل)۔ مطلق کنورجنس اور کنورجنس ایک ساتھ غیر مشروط کنورجنس کا مطلب ہے، لیکن غیر مشروط کنورجنس عام طور پر مطلق کنورجنس کا مطلب نہیں ہے، چاہے وہ جگہ بناچ ہی کیوں نہ ہو، حالانکہ اس کا مطلب برقرار ہے۔ کسی ٹوپولوجیکل اسپیس پر افعال کی ترتیب کا کنورجنس افعال کی ترتیب کے لیے سب سے بنیادی قسم کا کنورجنس (خاص طور پر، یہ افعال کے ڈومین پر کوئی ٹوپولوجیکل ڈھانچہ نہیں مانتا ہے) پوائنٹ وائز کنورجنس ہے۔ اس کی تعریف ہر نقطہ پر افعال کی اقدار کی ترتیب کے ارتکاز کے طور پر کی گئی ہے۔ اگر افعال اپنی اقدار کو یکساں جگہ پر لے جاتے ہیں، تو کوئی نقطہ وار کاچی کنورجنس، یکساں کنورجنس، اور ترتیب کے یکساں کاچی کنورجنس کی وضاحت کر سکتا ہے۔ پوائنٹ وائز کنورجنس کا مطلب پوائنٹ وائز کاچی-کنورجنس ہے، اور اس کے برعکس اس صورت میں ہوتا ہے جب وہ جگہ جس میں افعال اپنی اقدار لیتے ہیں مکمل ہو۔ یکساں کنورجنس کا مطلب پوائنٹ وائز کنورجنس اور یکساں کاچی کنورجنس ہے۔ یکساں کاچی کنورجنس اور پس منظر کے پوائنٹ وائز کنورجنس کا مطلب ترتیب کی یکساں کنورجنس ہے، اور اگر کوڈومین مکمل ہے، تو یکساں کاچی کنورجنس کا مطلب یکساں کنورجنس ہے۔ اگر افعال کا ڈومین ایک ٹپوولوجیکل اسپیس ہے، تو مقامی یکساں کنورجنس (یعنی۔ ہر نقطہ کے پڑوس پر یکساں کنورجنس) اور کمپیکٹ (یکساں) کنورجنس (یعنی۔ تمام کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر یکساں کنورجنس) کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ نوٹ کریں کہ "کمپیکٹ کنورجنس" ہمیشہ "کمپیکٹ یکساں کنورجنس" کے لیے مختصر ہوتا ہے، کیونکہ "کمپیکٹ پوائنٹ وائز کنورجنس" کا مطلب وہی ہوگا جو "پوائنٹ وائز کنورجنس" (پوائنٹس ہمیشہ کمپیکٹ ہوتے ہیں)۔ یکساں کنورجنس سے مراد مقامی یکساں کنورجنس اور کمپیکٹ کنورجنس دونوں ہیں، کیونکہ دونوں مقامی تصورات ہیں جبکہ یکساں کنورجنس عالمی ہے۔ اگر X مقامی طور پر کمپیکٹ ہے (یہاں تک کہ کمزور ترین معنوں میں: ہر نقطہ میں کمپیکٹ پڑوس ہے)، تو مقامی یکساں کنورجنس کمپیکٹ (یکساں) کنورجنس کے برابر ہے۔ موٹے طور پر، اس کی وجہ یہ ہے کہ "مقامی" اور "کمپیکٹ" ایک ہی چیز کو ظاہر کرتے ہیں۔ ٹپوولوجیکل ابیلین گروپ پر افعال کی سیریز پوائنٹ وائز اور افعال کی سیریز کے یکساں کنورجنس کی تعریف جزوی جملوں کی ترتیب کے کنورجنس کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ ایک معیاری لکیری جگہ میں اقدار لینے والے افعال کے لیے، مطلق کنورجنس سے مراد مثبت، حقیقی قدر والے افعال کی سیریز کا کنورجنس ہے۔ "پوائنٹ وائز مطلق کنورجنس" اس کے بعد صرف پوائنٹ وائز کنورجنس ہے۔ نارمل کنورجنس غیر منفی حقیقی اعداد کی سیریز کا کنورجنس ہے جو وردی لینے سے حاصل ہوتا ہے (یعنی۔ سیریز میں ہر فنکشن کا "سپ") معیار (کا یکساں کنورجنس)۔ بناچ خالی جگہوں میں، پوائنٹ وائز مطلق کنورجنس کا مطلب پوائنٹ وائز کنورجنس ہے، اور نارمل کنورجنس کا مطلب یکساں کنورجنس ہے۔ ٹپوولوجیکل اسپیس پر بیان کردہ افعال کے لیے، سیریز کے جزوی مجموعوں کے لحاظ سے مقامی یکساں کنورجنس اور کمپیکٹ (یکساں) کنورجنس کی وضاحت (جیسا کہ اوپر کی گئی ہے) کی جا سکتی ہے۔ اگر، اس کے علاوہ، افعال ایک معیاری لکیری جگہ میں اقدار لیتے ہیں، تو مقامی نارمل کنورجنس (مقامی، یکساں، مطلق کنورجنس) اور کمپیکٹ نارمل کنورجنس (کمپیکٹ سیٹوں پر مطلق کنورجنس) کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ نارمل کنورجنس کا مطلب مقامی نارمل کنورجنس اور کمپیکٹ نارمل کنورجنس دونوں ہے۔ اور اگر ڈومین مقامی طور پر کمپیکٹ ہے (یہاں تک کہ کمزور ترین معنوں میں بھی)، تو مقامی نارمل کنورجنس کا مطلب کمپیکٹ نارمل کنورجنس ہے۔ پیمائش کی جگہ پر بیان کردہ افعال اگر کوئی قابل پیمائش افعال کے سلسلے پر غور کرتا ہے، تو کنورجنس کے کئی طریقے پیدا ہوتے ہیں جو صرف ٹپوولوجیکل خصوصیات کے بجائے پیمائش-نظریاتی پر منحصر ہوتے ہیں۔ اس میں تقریبا ہر جگہ پوائنٹ وائز کنورجنس، پی-مین میں کنورجنس اور پیمائش میں کنورجنس شامل ہیں۔ یہ امکانی نظریہ میں خاص دلچسپی رکھتے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں ٹوپولوجی کنورجنس (ریاضی)