Diffraction from slits
لہروں کو متاثر کرنے والے تفریق کے عمل مقداری وضاحت اور تجزیہ کے لیے قابل قبول ہیں۔ اس طرح کے علاج کا اطلاق ایک یا زیادہ پھسلیوں سے گزرنے والی لہر پر کیا جاتا ہے جس کی چوڑائی طول موج کے تناسب کے طور پر متعین ہوتی ہے۔ عددی تخمینے استعمال کیے جا سکتے ہیں، بشمول فریسنل اور فرونہوفر کے تخمینے۔ چونکہ تفریق تمام بلا روک ٹوک راستوں کے ساتھ تمام لہروں (دی گئی طول موج کی) کے اضافے کا نتیجہ ہے، اس لیے معمول کا طریقہ کار یہ ہے کہ کسی خاص راستے کے ارد گرد ایک لامحدود طور پر چھوٹے پڑوس کی شراکت پر غور کیا جائے (اس شراکت کو عام طور پر ویولیٹ کہا جاتا ہے) اور پھر ماخذ سے ڈٹیکٹر (یا اسکرین پر دیئے گئے نقطہ) تک تمام راستوں (= تمام ویولیٹس کو شامل کریں) پر ضم کیا جائے۔ اس طرح تفریق سے پیدا ہونے والے نمونے کا تعین کرنے کے لیے، ہر لہر کے مرحلے اور طول و عرض کا حساب لگایا جاتا ہے۔ یعنی خلا کے ہر نقطہ پر ہمیں آنے والے لہر کے محاذ پر ہر ایک سادہ ماخذ کے فاصلے کا تعین کرنا چاہیے۔ اگر ہر سادہ ماخذ کا فاصلہ طول موج کی ایک عدد تعداد سے مختلف ہوتا ہے، تو تمام ویولیٹس فیز میں ہوں گے، جس کے نتیجے میں تعمیری مداخلت ہوگی۔ اگر ہر ماخذ کا فاصلہ ایک عدد اور طول موج کا نصف ہے، تو مکمل تباہ کن مداخلت ہوگی۔ عام طور پر، مشاہدہ شدہ انحراف کے اثرات کی وضاحت کے لیے ان منیما اور میکسیما کا تعین کرنا کافی ہوتا ہے۔ تفریق کی سب سے آسان وضاحتیں وہ ہیں جن میں صورت حال کو دو جہتی مسئلے تک کم کیا جا سکتا ہے۔ پانی کی لہروں کے لیے، یہ پہلے سے ہی معاملہ ہے، کیونکہ پانی کی لہریں صرف پانی کی سطح پر پھیلتی ہیں۔ روشنی کے لیے، ہم اکثر ایک جہت کو نظر انداز کر سکتے ہیں اگر انحراف کرنے والی شے اس سمت میں طول موج سے کہیں زیادہ فاصلے پر پھیلی ہو۔ چھوٹے سرکلر سوراخوں سے چمکنے والی روشنی کی صورت میں ہمیں مسئلے کی مکمل تین جہتی نوعیت کو مدنظر رکھنا ہوگا۔ عام طور پر ڈفریکشن کے کئی معیاری مشاہدات کیے جا سکتے ہیں: ڈفریکشن پیٹرن میں خصوصیات کا کونیی فاصلہ ڈفریکشن کا سبب بننے والی شے کے طول و عرض کے الٹا متناسب ہوتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں: ڈفریکٹنگ آبجیکٹ جتنا چھوٹا ہوگا، اس کے نتیجے میں ڈفریکشن پیٹرن اتنا ہی وسیع ہوگا، اور اس کے برعکس۔ (زیادہ واضح طور پر، یہ زاویوں کے سینوں کے بارے میں درست ہے۔) ڈفریکشن اینگل اسکیلنگ کے تحت غیر متغیر ہوتے ہیں ؛ یعنی، وہ صرف طول موج اور ڈفریکٹنگ آبجیکٹ کے سائز کے تناسب پر منحصر ہوتے ہیں۔ جب ڈفریکٹنگ آبجیکٹ میں وقتا فوقتا ڈھانچہ ہوتا ہے، مثال کے طور پر ڈفریکشن گریٹنگ میں، خصوصیات عام طور پر تیز ہو جاتی ہیں۔ چوتھی شکل، مثال کے طور پر، ڈبل سلٹ پیٹرن کا موازنہ پانچ سلٹس سے بنے پیٹرن کے ساتھ دکھاتی ہے، دونوں سلٹس کے سیٹ ایک سلٹ کے مرکز اور دوسرے کے درمیان ایک ہی فاصلہ رکھتے ہیں۔ ایک الگ الگ لہر کی شکل کا حساب لگانے کا مسئلہ، آنے والے لہر کے محاذ پر ہر ایک سادہ ماخذ کے مرحلے کا تعین کرنے کا مسئلہ ہے۔ فار فیلڈ یا فرونہوفر ڈفریکشن کے معاملے پر غور کرنا ریاضیاتی طور پر آسان ہے، جہاں مشاہدے کا نقطہ ڈفریکٹنگ رکاوٹ سے بہت دور ہے، اور اس کے نتیجے میں، قریب فیلڈ یا فریسنل ڈفریکشن کے زیادہ عام معاملے کے مقابلے میں کم پیچیدہ ریاضی شامل ہوتی ہے۔ اس بیان کو مزید مقداری بنانے کے لیے، اصل میں ایک جداگانہ شے پر غور کریں جس کا سائز ہو۔ قطعی طور پر ہم کہتے ہیں کہ ہم روشنی کو جدا کر رہے ہیں اور ہمیں اس میں دلچسپی ہے کہ شے سے کچھ فاصلے پر اسکرین پر شدت کیسی نظر آتی ہے۔ اسکرین پر کسی مقام پر شے کے ایک طرف جانے والے راستے کی لمبائی پائیتھاگورین تھیوریم کے ذریعے دی جاتی ہے۔ اگر اب ہم اس صورت حال پر غور کریں جہاں راستے کی لمبائی ہو جاتی ہے تو یہ فریسنل کا تخمینہ ہے۔ چیزوں کو مزید آسان بنانے کے لیے: اگر ڈفریکٹنگ آبجیکٹ فاصلے سے بہت چھوٹا ہے، تو آخری اصطلاح راستے کی لمبائی میں طول موج سے بہت کم حصہ ڈالے گی، اور پھر مرحلے کو قابل تعریف طریقے سے تبدیل نہیں کرے گی۔ یہ ہے۔ نتیجہ فرونہوفر کا تخمینہ ہے، جو صرف شے سے بہت دور درست ہے۔ تفریق شے کے سائز، شے سے فاصلے اور لہر کی طول موج، فریسنل کا تخمینہ، فرونہوفر کا تخمینہ یا نہ ہی تخمینہ درست ہو سکتا ہے۔ جیسے جیسے ڈفریکشن کے ماپا نقطہ اور رکاوٹ نقطہ کے درمیان فاصلہ بڑھتا ہے، ڈفریکشن پیٹرن یا پیش گوئی شدہ نتائج فرونہوفر ڈفریکشن کی طرف یکجا ہوتے ہیں، جو اکثر نظر آنے والی روشنی کی انتہائی چھوٹی طول موج کی وجہ سے فطرت میں مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ ایک سادہ مقداری تفصیل ایک سے زیادہ پھسلن کے انتظامات کو ریاضیاتی طور پر متعدد سادہ لہر کے ذرائع کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اگر پھسلن کافی تنگ ہوں۔ روشنی کے لیے، سلٹ ایک افتتاحی ہے جو ایک جہت میں لامحدود طور پر بڑھا ہوا ہے، اور اس کا اثر 3D-اسپیس میں لہر کے مسئلے کو 2D-اسپیس میں ایک آسان مسئلے تک کم کرنے کا ہے۔ سب سے آسان صورت دو تنگ پھسلنوں کی ہوتی ہے، جو ایک فاصلے کے فاصلے پر ہوتی ہیں۔ طول و عرض میں زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم کا تعین کرنے کے لیے ہمیں پہلی پھسلن اور دوسری پھسلن کے راستے کے فرق کا تعین کرنا چاہیے۔ فرونہوفر تخمینہ میں، مبصر کے پھسلن سے بہت دور ہونے کی وجہ سے، دونوں پھسلن کے راستے کی لمبائی میں فرق تصویر سے دیکھا جا سکتا ہے کہ شدت میں زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے اگر یہ راستے کی لمبائی کا فرق طول موج کی ایک عدد تعداد ہو۔ جہاں ایک عدد ہے جو ہر زیادہ سے زیادہ کی ترتیب کو لیبل کرتا ہے، طول موج ہے، پھسلن کے درمیان فاصلہ ہے، اور وہ زاویہ ہے جس پر تعمیری مداخلت ہوتی ہے۔ متعلقہ منیما ایک عدد عدد اور طول موج کے آدھے حصے کے راستے کے فرق پر ہوتے ہیں: پھسلن کی ایک صف کے لیے، منیما اور میکسیما کی پوزیشنیں تبدیل نہیں ہوتی ہیں، تاہم اسکرین پر نظر آنے والے کنارے تیز ہو جاتے ہیں، جیسا کہ تصویر میں دیکھا جا سکتا ہے۔ ریاضیاتی تفصیل اس شدت کے نمونے کا حساب لگانے کے لیے، کچھ اور نفیس طریقے متعارف کرانے کی ضرورت ہے۔ شعاعی لہر کی ریاضیاتی نمائندگی اس طرح دی جاتی ہے کہ طول موج کہاں ہے، لہر کی تعدد ہے اور وقت t = 0 پر پھسلن پر لہر کا مرحلہ ہے۔ پھسلن کے سطح سے کچھ فاصلے پر اسکرین پر لہر ہر پھسلن سے نکلنے والی لہروں کے مجموعے سے دی جاتی ہے۔ اس مسئلے کو تھوڑا آسان بنانے کے لیے، ہم پیچیدہ لہر کو متعارف کراتے ہیں، جس کا حقیقی حصہ برابر ہے۔ اس فنکشن کی مطلق قیمت لہر کا طول و عرض دیتی ہے، اور فنکشن کا پیچیدہ مرحلہ لہر کے مرحلے سے مطابقت رکھتا ہے۔ پیچیدہ طول و عرض کہا جاتا ہے۔ سلٹس کے ساتھ، اسکرین پر پوائنٹ پر کل لہر یہ ہے کہ چونکہ ہم فی الحال صرف طول و عرض اور متعلقہ مرحلے میں دلچسپی رکھتے ہیں، اس لیے ہم کسی بھی مجموعی مرحلے کے عوامل کو نظر انداز کر سکتے ہیں جو یا پر منحصر نہیں ہیں۔ ہم تخمینہ لگاتے ہیں۔ فرونہوفر کی حد میں ہم ایکسپونینشل میں ترتیب کی شرائط کو نظر انداز کر سکتے ہیں، اور ڈینومینیٹر میں یا اس میں شامل کسی بھی اصطلاح کو نظر انداز کر سکتے ہیں۔ مجموعہ بن جاتا ہے مجموعہ ایک ہندسی مجموعہ کی شکل رکھتا ہے اور اس کا اندازہ پیچیدہ طول و عرض مربع کی مطلق قیمت سے لگایا جا سکتا ہے جہاں کے پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی ہوتی ہے۔ سنگل سلٹ ایک مثال کے طور پر، اب سنگل سلٹ ڈفریکشن کی صورت میں زاویہ کے فنکشن کے طور پر ڈفریکشن پیٹرن کی شدت کے لیے ایک درست مساوات حاصل کی جا سکتی ہے۔ مساوات شروع کرنے کے لیے ہیوجینز کے اصول کی ریاضیاتی نمائندگی کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ a چوڑائی کے ٹکڑے پر طول موج λ واقعے کی یک رنگ پیچیدہ طیارہ لہر پر غور کریں۔ اگر پھسلن x′-y′ سطح میں واقع ہے، جس کا مرکز اصل میں ہے، تو یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ تفریق ایک پیچیدہ لہر پیدا کرتی ہے، جو پھسلن سے دور r سمت میں شعاعی طور پر سفر کرتی ہے، اور یہ اس طرح دیا جاتا ہے: اس پھسلن کے اندر ایک نقطہ ہو جس پر اسے مربوط کیا جا رہا ہے۔ اگر وہ مقام ہے جہاں ڈفریکشن پیٹرن کی شدت کا حساب لگایا جا رہا ہے، تو پھسلن سے، اور سے تک پھیلا ہوا ہے۔ سلاٹ سے فاصلہ r ہے: فرض کریں کہ فرونہوفر ڈفریکشن کے نتیجے میں نتیجہ نکلے گا۔ دوسرے لفظوں میں، ہدف تک کا فاصلہ ہدف پر تفریق کی چوڑائی سے بہت بڑا ہوتا ہے۔ بائنومیل توسیعی اصول کے مطابق، کواڈریٹک اور اس سے زیادہ اصطلاحات کو نظر انداز کرتے ہوئے، دائیں طرف کی مقدار کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے: یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ مساوات کے سامنے 1/r غیر آکسیلیٹری ہے، یعنی۔ شدت کی شدت میں اس کی شراکت ہمارے متغیر عوامل کے مقابلے میں کم ہے۔ لہذا، ہم اسے 1/z کے قریب کرنے سے بہت کم درستگی کھو دیں گے۔ چیزوں کو صاف کرنے کے لیے، ایک پلیس ہولڈر C کا استعمال مساوات میں مستقلات کو ظاہر کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ یہ ذہن میں رکھنا ضروری ہے کہ C خیالی اعداد پر مشتمل ہو سکتا ہے، اس طرح لہر فنکشن پیچیدہ ہوگا۔ تاہم، آخر میں، si کو بریکٹ کیا جائے گا، جو کسی بھی خیالی اجزاء کو ختم کر دے گا۔ اب، فرونہوفر ڈفریکشن میں، چھوٹا ہے، لہذا (نوٹ کریں کہ اس ایکسپونینشل میں حصہ لیتا ہے اور اسے مربوط کیا جا رہا ہے)۔ اس کے برعکس اصطلاح کو مساوات سے ہٹا دیا جا سکتا ہے، کیونکہ جب بریکٹ کیا جاتا ہے تو یہ 1 دیتا ہے۔ (اسی وجہ سے ہم نے اس اصطلاح کو بھی ختم کر دیا ہے) میں نتائج لینا: یہ اویلر کے فارمولے اور اس کے مشتقات کے ذریعے نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ اور۔ جہاں (غیر معمولی) سنک فنکشن کی تعریف کی جاتی ہے۔ اب، ایک زاویے θ پر منحرف لہروں کی شدت (مربع طول و عرض) کو تبدیل کرتے ہوئے اس طرح دیا گیا ہے: ایک سے زیادہ پھسلن آئیے ہم دوبارہ ہیوجینز کے اصول کی ریاضیاتی نمائندگی سے شروع کرتے ہیں۔ محور کے ساتھ پھیلے ہوئے مساوی سائز اور فاصلے کے پرائم پلین میں پھسلن پر غور کریں۔ جیسا کہ اوپر، سلٹ 1 سے فاصلہ یہ ہے: اس کو سلٹس تک عام کرنے کے لیے، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ جبکہ اور مستقل رہتا ہے، اس کے ذریعے شفٹ ہوتا ہے۔ اس طرح اور ویو فنکشن میں تمام شراکتوں کا مجموعہ یہ ہے: ایک بار پھر یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ یہ چھوٹا ہے، تو، ہمارے پاس ہے: اب، ہم درج ذیل شناخت کو اپنی مساوات میں تبدیل کرتے ہوئے استعمال کر سکتے ہیں، ہمیں معلوم ہوتا ہے: اب ہم پہلے کی طرح اپنا متبادل بناتے ہیں اور 1-سلٹ ڈفریکشن کی طرح متغیر کے ذریعے تمام غیر متغیر مستقلات کی نمائندگی کرتے ہیں اور نتیجہ کو بریکٹ کرتے ہیں۔ یاد رکھیں کہ یہ ہمیں ٹیلنگ ایکسپونینٹ کو خارج کرنے کی اجازت دیتا ہے اور ہمارے پاس ہمارا جواب ہے: فار فیلڈ کے لیے جنرل کیس۔ فار فیلڈ میں، جہاں بنیادی طور پر مستقل ہے، تو مساوات: رکاوٹ میں موجود خلا پر فورئیر ٹرانسفارم کرنے کے مترادف ہے۔ مزید دیکھیں ڈفریکشن گریٹنگ لفافہ (لہریں) فورئیر تجزیہ این-سلٹ انٹرفیرومیٹر ریڈیو دوربین حوالہ جات مساوات طبیعیات لہر میکانکس