1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
ریاضی میں، لامحدود سلسلہ ایک ہندسی سلسلہ کی ایک ابتدائی مثال ہے جو بالکل یکجا ہوتا ہے۔ سیریز کا مجموعہ 1 ہے۔ خلاصہ اشارے میں، اس کا اظہار اس لیے کیا جا سکتا ہے کہ یہ سلسلہ قدیم زمانے میں سمجھے جانے والے فلسفیانہ سوالات سے متعلق ہے، خاص طور پر زینو کے تضادات سے۔ ثبوت کسی بھی لامحدود سیریز کی طرح، رقم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ اس کا مطلب پہلی اصطلاحات کے جزوی مجموعہ کی حد ہوتی ہے جیسے جیسے وہ لامحدود کے قریب پہنچتا ہے۔ مختلف دلائل سے، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ محدود رقم برابر ہے جیسا کہ لامحدود کے قریب پہنچتا ہے، اصطلاح 0 کے قریب پہنچتی ہے اور اسی طرح 1 کی طرف مائل ہوتی ہے۔ زینو کا پیراڈوکس یہ سلسلہ زینو کے بہت سے پیراڈوکس کی نمائندگی کے طور پر استعمال کیا گیا تھا۔ مثال کے طور پر، اچیلس اور کچھوے کے تضاد میں، جنگجو اچیلس کو کچھوے کے خلاف دوڑنا تھا۔ ٹریک 100 میٹر لمبا ہے۔ اچیلز 10 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے دوڑ سکتا تھا، جبکہ کچھوے صرف 5 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار سے دوڑ سکتے تھے۔ زینو نے استدلال کیا کہ 10 میٹر کے فائدے کے ساتھ کچھوے جیت جائے گا۔ اچیلس کو کچھوے کو پکڑنے کے لیے 10 میٹر آگے بڑھنا پڑتا، لیکن تب تک کچھوے پہلے ہی مزید پانچ میٹر آگے بڑھ چکے ہوتے۔ اس کے بعد اچیلس کو 5 میٹر حرکت کرنی ہوگی، جہاں کچھوے کو 2.5 میٹر حرکت کرنی ہوگی، وغیرہ۔ زینو نے استدلال کیا کہ کچھوے ہمیشہ اچیلس سے آگے رہیں گے۔ ڈائکوٹومی پیراڈوکس یہ بھی کہتا ہے کہ ایک مخصوص فاصلہ طے کرنے کے لیے آپ کو اس کا آدھا حصہ، پھر باقی فاصلے کا آدھا حصہ، اور اسی طرح آگے بڑھنا پڑتا ہے، اس لیے اس میں لامحدود وقت کے وقفے ہوتے ہیں۔ اسے آسانی سے یہ نوٹ کر کے حل کیا جا سکتا ہے کہ ہر وقت کا وقفہ لامحدود ہندسی سلسلے کی ایک اصطلاح ہے، اور اس کا مجموعہ ایک محدود تعداد میں ہوگا۔ ہارس کی آنکھ ہارس کی آنکھ کے حصوں کے بارے میں ایک بار سوچا گیا تھا کہ وہ سیریز کے پہلے چھ مجموعوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ بے شمار ادوار میں یہ ختم نہیں ہوگا اس سلسلے کا ایک ورژن قدیم تاؤسٹ کتاب ژونگزی میں ظاہر ہوتا ہے۔ متفرق ابواب "آل انڈر ہیون" میں مندرجہ ذیل جملہ شامل ہے: "ایک چی لمبی چھڑی لیں اور ہر روز آدھا ہٹا دیں، بے شمار ادوار میں یہ ختم نہیں ہوگی"۔ یہ بھی دیکھیں 0.999.1/2 −1/4 + 1/8 − 1/16 + ꯘꯥ حقیقی انفینٹی نوٹ حوالہ جات جیومیٹرک سیریز 1 (نمبر)