Data transformation (statistics)
اعداد و شمار میں، اعداد و شمار کی تبدیلی ڈیٹا سیٹ میں ہر نقطہ پر ایک تعیناتی ریاضیاتی فنکشن کا اطلاق ہے-یعنی، ہر ڈیٹا پوائنٹ زی کو تبدیل شدہ قدر وائی = ایف (زی) سے تبدیل کیا جاتا ہے، جہاں ایف ایک فنکشن ہے۔ تبدیلیوں کا اطلاق عام طور پر اس طرح کیا جاتا ہے کہ اعداد و شمار شماریاتی تخمینہ کے طریقہ کار کے مفروضوں کو زیادہ قریب سے پورا کرتے دکھائی دیں جس کا اطلاق کیا جانا ہے، یا گراف کی تشریح یا ظاہری شکل کو بہتر بنانے کے لیے۔ تقریبا ہمیشہ، وہ فنکشن جو ڈیٹا کو تبدیل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے وہ الٹا ہوتا ہے، اور عام طور پر مسلسل ہوتا ہے۔ یہ تبدیلی عام طور پر موازنہ پیمائش کے مجموعے پر لاگو ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم کسی کرنسی یونٹ میں لوگوں کی آمدنی کے اعداد و شمار کے ساتھ کام کر رہے ہیں، تو ہر شخص کی آمدنی کی قیمت کو لوگرتھم فنکشن کے ذریعے تبدیل کرنا عام بات ہوگی۔ ڈیٹا کو کس طرح تبدیل کیا جانا چاہیے، یا آیا کسی تبدیلی کو بالکل بھی لاگو کیا جانا چاہیے، اس کے لیے محرک رہنمائی انجام دیے جانے والے مخصوص شماریاتی تجزیے سے ہونی چاہیے۔ مثال کے طور پر، آبادی کے اوسط کے لیے تقریبا 95 فیصد اعتماد کا وقفہ بنانے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ نمونے کا اوسط پلس یا مائنس دو معیاری غلطی یونٹس لیں۔ تاہم، یہاں استعمال ہونے والا مستقل عنصر 2 عام تقسیم کے لیے خاص ہے، اور صرف اس صورت میں لاگو ہوتا ہے جب نمونے کا مطلب تقریبا عام طور پر مختلف ہو۔ مرکزی حد تھیوریم بیان کرتا ہے کہ بہت سے حالات میں، نمونے کا مطلب عام طور پر مختلف ہوتا ہے اگر نمونے کا سائز معقول حد تک بڑا ہو۔ تاہم، اگر آبادی کافی حد تک منحنی ہے اور نمونے کا سائز زیادہ سے زیادہ معتدل ہے، تو مرکزی حد تھیوریم کے ذریعہ فراہم کردہ تخمینہ ناقص ہو سکتا ہے، اور اس کے نتیجے میں اعتماد کے وقفے میں ممکنہ طور پر غلط کوریج کا امکان ہوگا۔ اس طرح، جب اعداد و شمار میں کافی منحنی پن کا ثبوت ملتا ہے، تو اعتماد کا وقفہ بنانے سے پہلے اعداد و شمار کو ہم آہنگی کی تقسیم میں تبدیل کرنا عام بات ہے۔ اگر مطلوب ہو تو، اعتماد کے وقفے کو ڈیٹا پر لاگو ہونے والی تبدیلی کے الٹا استعمال کرتے ہوئے اصل پیمانے پر واپس تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اعداد و شمار کو تصور کرنے میں آسان بنانے کے لیے بھی تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک بکھرے ہوئے پلاٹ ہے جس میں پوائنٹس دنیا کے ممالک ہیں، اور جس ڈیٹا ویلیو کو پلاٹ کیا جا رہا ہے وہ ہر ملک کا زمینی رقبہ اور آبادی ہے۔ اگر پلاٹ غیر تبدیل شدہ ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے بنایا گیا ہے (مثال کے طور پر. رقبے کے لیے مربع کلومیٹر اور آبادی کے لیے لوگوں کی تعداد)، زیادہ تر ممالک کو گراف کے نچلے بائیں کونے میں پوائنٹس کے تنگ کلسٹر میں پلاٹ کیا جائے گا۔ بہت بڑے رقبے اور/یا آبادی والے چند ممالک گراف کے بیشتر رقبے کے ارد گرد بہت کم پھیلے ہوں گے۔ صرف اکائیوں کو بازیافت کرنا (مثال کے طور پر، ہزار مربع کلومیٹر، یا لاکھوں لوگوں کے لیے) اس کو تبدیل نہیں کرے گا۔ تاہم، رقبے اور آبادی دونوں کی لوگرتھمک تبدیلیوں کے بعد، نقاط گراف میں زیادہ یکساں طور پر پھیل جائیں گے۔ اعداد و شمار کی تبدیلی کو لاگو کرنے کی ایک اور وجہ تشریح کو بہتر بنانا ہے، چاہے کوئی رسمی شماریاتی تجزیہ یا تصور انجام نہ دیا جائے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہم کاروں کا موازنہ ان کی ایندھن کی بچت کے لحاظ سے کر رہے ہیں۔ یہ اعداد و شمار عام طور پر "کلومیٹر فی لیٹر" یا "میل فی گیلن" کے طور پر پیش کیے جاتے ہیں۔ تاہم، اگر مقصد یہ اندازہ لگانا ہے کہ ایک کار چلاتے وقت ایک شخص دوسرے کے مقابلے میں ایک سال میں کتنا اضافی ایندھن استعمال کرے گا، تو باہمی فنکشن، فی کلومیٹر لیٹر، یا گیلن فی میل کا اطلاق کرکے تبدیل شدہ ڈیٹا کے ساتھ کام کرنا زیادہ فطری ہے۔ اگر اصل ڈیٹا لکیری رجعت کے ایک یا زیادہ مفروضوں کی خلاف ورزی کرتا ہے تو ریگریشن میں ڈیٹا کی تبدیلی کو ڈیٹا کو لکیری رجعت کے ساتھ ماڈلنگ کے لیے موزوں بنانے کے لیے ایک اصلاحی اقدام کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، سب سے آسان لکیری رجعت ماڈل Y کی متوقع قیمت (پیش گوئی کی جانے والی رسپانس متغیر) اور ہر آزاد متغیر (جب دوسرے آزاد متغیرات کو طے کیا جاتا ہے) کے درمیان لکیری تعلق کو فرض کرتے ہیں۔ اگر لکیریٹی برقرار رکھنے میں ناکام رہتی ہے، یہاں تک کہ تقریبا، تو بعض اوقات لکیریٹی کو بہتر بنانے کے لیے ریگریشن ماڈل میں آزاد یا منحصر متغیرات کو تبدیل کرنا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، اصل آزاد متغیرات کے کواڈریٹک افعال کا اضافہ Y کی متوقع قیمت کے ساتھ لکیری تعلق کا باعث بن سکتا ہے، جس کے نتیجے میں کثیر الجہتی رجعت ماڈل بن سکتا ہے، جو لکیری رجعت کا ایک خاص معاملہ ہے۔ لکیری رجعت کا ایک اور مفروضہ ہوموسیڈاسٹیٹیٹی ہے، یعنی غلطیوں کا تغیر پیشن گوئی کرنے والوں کی اقدار سے قطع نظر یکساں ہونا چاہیے۔ اگر اس مفروضے کی خلاف ورزی کی گئی ہے (یعنی۔ اگر ڈیٹا ہیٹروسکیڈاسٹک ہے)، تو صرف Y کی تبدیلی، یا X (پیشن گوئی کرنے والے متغیرات) اور Y دونوں کی تبدیلیاں تلاش کرنا ممکن ہو سکتا ہے، اس طرح کہ ہم جنس پرستی کا مفروضہ (لکیریٹی مفروضے کے علاوہ) تبدیل شدہ متغیرات پر درست ہو اور اس لیے ان پر لکیری رجعت کا اطلاق کیا جا سکتا ہے۔ ڈیٹا کی تبدیلی کا ایک اور اطلاق غلطی کے لحاظ سے معمول کی کمی کے مسئلے کو حل کرنا ہے۔ ریگریشن پیرامیٹرز کے کم از کم مربع تخمینوں کے معنی خیز ہونے کے لیے غیر متغیر معمول کی ضرورت نہیں ہے (گاؤس-مارکوف تھیوریم دیکھیں)۔ تاہم اگر متغیرات کثیر متغیر معمول کی نمائش کرتے ہیں تو اعتماد کے وقفے اور مفروضے کے ٹیسٹ میں بہتر شماریاتی خصوصیات ہوں گی۔ ایسی تبدیلیاں جو غلطی کی شرائط کے تغیر کو مستحکم کرتی ہیں (یعنی۔ وہ جو ہیٹروسسیڈیٹیٹی کو حل کرتے ہیں) اکثر غلطی کی اصطلاحات کو تقریبا معمول بنانے میں بھی مدد کرتے ہیں۔ مساوات کی مثالیں: معنی: X میں ایک اکائی کا اضافہ Y میں اوسط b اکائیوں کے اضافے سے وابستہ ہے۔ مساوات: (مساوات کے دونوں اطراف کو ایکسپونینٹیٹ کرنے سے:) مطلب: X میں ایک یونٹ کا اضافہ b یونٹس کے اوسط اضافے سے وابستہ ہے، یا اس کے مساوی طور پر، Y اوسطا کے ضرب عنصر سے بڑھتا ہے۔ مثال کے مقاصد کے لیے، اگر مندرجہ بالا تبدیلی میں قدرتی لوگرتھم کے بجائے بیس-10 لوگرتھم کا استعمال کیا جائے اور وہی علامتیں (a اور b) رجعت گتانک کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کی جائیں، تو X میں اکائی میں اضافہ Y میں اوسطا گنا اضافے کا باعث بنے گا۔ اگر b 1 تھا، تو اس کا مطلب X مساوات میں اکائی میں اضافے کے لیے Y میں 10 گنا اضافہ ہے: مطلب: X میں k گنا اضافہ Y میں اکائیوں میں اضافے کی اوسط سے وابستہ ہے۔ مثال کے مقاصد کے لیے، اگر مندرجہ بالا تبدیلی میں قدرتی لوگرتھم کے بجائے بیس-10 لوگرتھم کا استعمال کیا جائے اور وہی علامتیں (a اور b) رجعت گتانک کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کی جائیں، تو X میں دس گنا اضافے کے نتیجے میں Y مساوات میں اکائیوں میں اوسط اضافہ ہوگا: (مساوات کے دونوں اطراف کو ظاہر کرنے سے:) مطلب: X میں k گنا اضافہ اوسطا Y میں ضرب کے اضافے سے وابستہ ہے۔ اس طرح اگر X دوگنا ہو جائے تو اس کے نتیجے میں Y کا ضرب عنصر تبدیل ہو جائے گا۔ متبادل عمومی لکیری ماڈل (جی ایل ایم) عام لکیری رجعت کی لچکدار عمومی کاری فراہم کرتے ہیں جو ردعمل کے متغیرات کی اجازت دیتا ہے جن میں عام تقسیم کے علاوہ غلطی کی تقسیم کے ماڈل ہوتے ہیں۔ جی ایل ایم لکیری ماڈل کو لنک فنکشن کے ذریعے رسپانس متغیر سے متعلق ہونے کی اجازت دیتے ہیں اور ہر پیمائش کے تغیر کی شدت کو اس کی پیش گوئی شدہ قیمت کا فنکشن بننے کی اجازت دیتے ہیں۔ عام معاملات لوگرتھم کی تبدیلی اور مربع جڑ کی تبدیلی عام طور پر مثبت اعداد و شمار کے لیے استعمال ہوتی ہے، اور ضرب الٹا تبدیلی (باہمی تبدیلی) غیر صفر اعداد و شمار کے لیے استعمال کی جا سکتی ہے۔ پاور ٹرانسفارمیشن تبدیلیوں کا ایک خاندان ہے جو غیر منفی قدر λ کے ذریعہ پیرامیٹرائز کیا گیا ہے جس میں خاص صورتوں کے طور پر لوگرتھم، مربع جڑ، اور ضرب الٹا تبدیلیاں شامل ہیں۔ ڈیٹا کی تبدیلی کو منظم طریقے سے دیکھنے کے لیے، پاور ٹرانسفارمیشن میں پیرامیٹر λ کا اندازہ لگانے کے لیے شماریاتی تخمینہ کی تکنیکوں کا استعمال کرنا ممکن ہے، اس طرح اس تبدیلی کی نشاندہی کی جا سکتی ہے جو کسی دی گئی ترتیب میں تقریبا سب سے زیادہ مناسب ہے۔ چونکہ پاور ٹرانسفارمیشن فیملی میں شناخت کی تبدیلی بھی شامل ہے، اس لیے یہ نقطہ نظر اس بات کی بھی نشاندہی کر سکتا ہے کہ آیا بغیر کسی تبدیلی کے ڈیٹا کا تجزیہ کرنا بہتر ہوگا یا نہیں۔ رجعت تجزیہ میں، اس نقطہ نظر کو باکس کاکس ٹرانسفارمیشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ باہمی تبدیلی، کچھ طاقت کی تبدیلیاں جیسے ییو-جانسن تبدیلی، اور کچھ دیگر تبدیلیاں جیسے الٹا ہائپربولک سائن کا اطلاق، اعداد و شمار پر بامعنی طور پر لاگو کیا جا سکتا ہے جس میں مثبت اور منفی دونوں اقدار شامل ہیں (اگر λ ایک عجیب عدد ہے تو طاقت کی تبدیلی تمام حقیقی اعداد پر الٹ ہے)۔ تاہم، جب منفی اور مثبت دونوں اقدار کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، تو بعض اوقات یہ عام بات ہے کہ تمام اقدار میں مستقل کو شامل کرکے، غیر منفی ڈیٹا کا ایک مجموعہ تیار کیا جائے جس پر کسی بھی طاقت کی تبدیلی کا اطلاق کیا جا سکے۔ ایک عام صورتحال جہاں ڈیٹا کی تبدیلی کا اطلاق ہوتا ہے وہ ہے جب سود کی قیمت شدت کے کئی آرڈرز پر ہوتی ہے۔ بہت سے جسمانی اور سماجی مظاہر اس طرح کے رویے کی نمائش کرتے ہیں-آمدنی، انواع کی آبادی، کہکشاں کے سائز، اور بارش کی مقدار، چند نام۔ پاور ٹرانسفارمز، اور خاص طور پر لوگرتھم، اکثر اس طرح کے اعداد و شمار میں ہم آہنگی پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ لوگرتھم کو اکثر پسند کیا جاتا ہے کیونکہ اس کے نتیجے کی تشریح "فولڈ تبدیلیوں" کے لحاظ سے کرنا آسان ہے۔ لوگرتھم کا تناسب پر بھی مفید اثر پڑتا ہے۔ اگر ہم مثبت مقداروں X اور Y کا موازنہ X/Y تناسب کا استعمال کرتے ہوئے کر رہے ہیں، تو اگر X <Y، تو تناسب وقفہ (0,1) میں ہے، جبکہ اگر X> Y، تو تناسب نصف لکیر (1، φ) میں ہے، جہاں 1 کا تناسب مساوات سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک تجزیے میں جہاں X اور Y کو متناسب طور پر سمجھا جاتا ہے، لاگ تناسب لاگ (X/Y) مساوات کی صورت میں صفر ہے، اور اس کی خاصیت یہ ہے کہ اگر X Y سے K گنا زیادہ ہے، تو لاگ تناسب صفر سے مساوی فاصلہ ہے جیسا کہ اس صورت حال میں جہاں Y X سے K گنا زیادہ ہے (لاگ تناسب ان دو حالات میں لاگ (K) اور-لاگ (K) ہیں)۔ اگر اقدار قدرتی طور پر 0 سے 1 کی حد تک محدود ہیں، جس میں اختتامی نکات شامل نہیں ہیں، تو لاگٹ کی تبدیلی مناسب ہو سکتی ہے: اس سے حدود میں اقدار حاصل ہوتی ہیں۔ معمول میں تبدیلی 1. عام تقسیم سے مشابہت رکھنے کے لیے ڈیٹا سیٹ کو تبدیل کرنا ہمیشہ ضروری یا مطلوب نہیں ہوتا ہے۔ تاہم، اگر ہم آہنگی یا معمول مطلوب ہیں، تو انہیں اکثر طاقت کی تبدیلیوں میں سے کسی ایک کے ذریعے متاثر کیا جا سکتا ہے۔ 2. لسانی پاور فنکشن زپف-منڈلبروٹ قانون کے مطابق تقسیم کیا جاتا ہے۔ تقسیم انتہائی تیز اور لیپٹوکورٹک ہے، یہی وجہ ہے کہ محققین کو مثال کے طور پر حل کرنے کے لیے اعداد و شمار کی طرف منہ موڑنا پڑا۔ تصنیف انتساب کے مسائل۔ اس کے باوجود، ڈیٹا کی تبدیلی کو لاگو کرکے گوسیائی اعداد و شمار کا استعمال بالکل ممکن ہے۔ 3. اس بات کا اندازہ لگانے کے لیے کہ آیا تبدیلی کے بعد معمول حاصل کیا گیا ہے، کسی بھی معیاری معمول کے ٹیسٹ کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک گرافیکل نقطہ نظر عام طور پر ایک رسمی شماریاتی ٹیسٹ سے زیادہ معلوماتی ہوتا ہے اور اس لیے ایک عام مقداری پلاٹ عام طور پر ایک عام آبادی کے لیے مقرر کردہ ڈیٹا کے فٹ کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، نمونے کی سکونیس اور کرٹوسس پر مبنی انگوٹھے کے قوانین بھی تجویز کیے گئے ہیں۔ یکساں تقسیم یا من مانی تقسیم میں تبدیلی اگر ہم n اقدار X1،.، Xn کے ایک سیٹ کا مشاہدہ کرتے ہیں جس میں کوئی تعلق نہیں ہے (یعنی، n الگ الگ اقدار ہیں)، تو ہم xi کو تبدیل شدہ قدر Yi = k سے تبدیل کر سکتے ہیں، جہاں k کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ xi تمام X اقدار میں k واں سب سے بڑا ہے۔ اسے رینک ٹرانسفارم کہا جاتا ہے، اور یکساں تقسیم کے لیے کامل فٹ کے ساتھ ڈیٹا بناتا ہے۔ اس نقطہ نظر میں آبادی کا ینالاگ ہے۔ امکانی انٹیگرل ٹرانسفارم کا استعمال کرتے ہوئے، اگر X کوئی بے ترتیب متغیر ہے، اور F X کا مجموعی تقسیم فنکشن ہے، تو جب تک F الٹا ہے، بے ترتیب متغیر U = F (X) یونٹ وقفہ [0,1] پر یکساں تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ یکساں تقسیم سے، ہم ایک الٹا مجموعی تقسیم فنکشن کے ساتھ کسی بھی تقسیم میں تبدیل ہو سکتے ہیں۔ اگر G ایک الٹا ہونے والا مجموعی تقسیم فنکشن ہے، اور U یکساں طور پر تقسیم شدہ بے ترتیب متغیر ہے، تو بے ترتیب متغیر G−1 (U) میں اس کی مجموعی تقسیم فنکشن کے طور پر G ہے۔ دونوں کو ایک ساتھ رکھتے ہوئے، اگر X کوئی بے ترتیب متغیر ہے، F X کا الٹا مجموعی تقسیم فنکشن ہے، اور G ایک الٹا مجموعی تقسیم فنکشن ہے تو بے ترتیب متغیر G−1 (F (X)) میں اس کی مجموعی تقسیم فنکشن کے طور پر G ہے۔ تغیرات کو مستحکم کرنے والی تبدیلیاں شماریاتی اعداد و شمار کی بہت سی اقسام "معنی پر تغیر" کا مظاہرہ کرتی ہیں، جس کا مطلب ہے کہ مختلف متوقع اقدار کے ساتھ اعداد و شمار کی اقدار کے لیے تغیرات مختلف ہیں۔ مثال کے طور پر، دنیا کی مختلف آبادیوں کا موازنہ کرتے ہوئے، آمدنی کا فرق اوسط آمدنی کے ساتھ بڑھتا ہے۔ اگر ہم متعدد چھوٹے علاقے کی اکائیوں (مثال کے طور پر، ریاستہائے متحدہ میں کاؤنٹیوں) پر غور کریں اور ہر کاؤنٹی کے اندر آمدنی کا اوسط اور تغیر حاصل کریں، تو یہ عام بات ہے کہ زیادہ اوسط آمدنی والی کاؤنٹیوں میں بھی زیادہ تغیرات ہوتے ہیں۔ تغیر کو مستحکم کرنے والی تبدیلی کا مقصد متغیر پر معنی کے رشتے کو ختم کرنا ہے، تاکہ تغیر اوسط کے مقابلے میں مستقل ہو جائے۔ تغیر کو مستحکم کرنے والی تبدیلیوں کی مثالیں نمونے کے ارتباط گتانک کے لیے فشر کی تبدیلی، پوسن ڈیٹا کے لیے مربع جڑ کی تبدیلی یا انسکومب ٹرانسفارمیشن (گنتی ڈیٹا)، رجعت تجزیہ کے لیے باکس کاکس کی تبدیلی، اور تناسب کے لیے آرکسین مربع جڑ کی تبدیلی یا کونیی تبدیلی (بائنومیل ڈیٹا) ہیں۔ اگرچہ عام طور پر متناسب ڈیٹا کے شماریاتی تجزیے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، آرکسین مربع جڑ کی تبدیلی کی سفارش نہیں کی جاتی ہے کیونکہ لاجسٹک ریگریشن یا لاجٹ ٹرانسفارمیشن بالترتیب بائنومیل یا غیر بائنومیل تناسب کے لیے زیادہ موزوں ہے، خاص طور پر ٹائپ-II کی غلطی میں کمی کی وجہ سے۔ ملٹی ویریٹ ڈیٹا کے لیے تبدیلیاں یونی ویریٹ افعال کو ان کی معمولی تقسیم میں ترمیم کرنے کے لیے ملٹی ویریٹ ڈیٹا پر پوائنٹ کے لحاظ سے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ مناسب طریقے سے تعمیر شدہ تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے ملٹی ویریٹ ڈسٹری بیوشن کی کچھ صفات میں ترمیم کرنا بھی ممکن ہے۔ مثال کے طور پر، ٹائم سیریز اور دیگر قسم کے ترتیب وار ڈیٹا کے ساتھ کام کرتے وقت، اسٹیشنریٹی کو بہتر بنانے کے لیے ڈیٹا میں فرق کرنا عام بات ہے۔ اگر بے ترتیب ویکٹر X کے ذریعہ تیار کردہ ڈیٹا کو کوویرینس میٹرکس کے ساتھ مشاہدات کے ویکٹر X کے طور پر مشاہدہ کیا جاتا ہے، تو ڈیٹا کو ڈیکریلٹ کرنے کے لیے ایک لکیری تبدیلی استعمال کی جا سکتی ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، چولسکی سڑنا استعمال کیا جاتا ہے، جس کا اظہار σ = A "" کیا جاتا ہے۔ پھر تبدیل شدہ ویکٹر Yi = A − 1X "i کا شناخت میٹرکس اس کے کوویرینس میٹرکس کے طور پر ہے۔ آرکسن فیچر انجینئرنگ لاجٹ پیئرسن ارتباط گتانک پاور ٹرانسفارم (باکس-کاکس) ولسن-ہلفرٹی ٹرانسفارمیشن وائٹننگ ٹرانسفارمیشن حوالہ جات بیرونی لنکس لاگ ٹرانسفارمیشنز برائے اسکیوڈ اور وائڈ ڈسٹری بیوشنز-لاگ اور "سائنڈ لوگرتھم" تبدیلیوں پر تبادلہ خیال ("پریکٹیکل ڈیٹا سائنس ود آر" کا ایک باب) بھی دیکھیں۔ شماریاتی تخمینہ