Resolution of singularities
الجبرائی جیومیٹری میں، انفرادیت کے حل کا مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ کیا ہر الجبرائی قسم V کا ایک حل ہوتا ہے، ایک غیر واحد قسم W جس میں مناسب برائشنل نقشہ W → V ہوتا ہے۔ خصوصیت 0 کے شعبوں پر اقسام کے لیے یہ ہیروناکا (1964) میں ثابت ہوا، جبکہ خصوصیت p کے شعبوں پر اقسام کے لیے یہ کم از کم 4 طول و عرض میں ایک کھلا مسئلہ ہے۔ تعریفیں اصل میں انفرادیت کے حل کا مسئلہ مختلف قسم کے X کے فنکشن فیلڈ کے لیے ایک غیر سنگل ماڈل تلاش کرنا تھا، دوسرے الفاظ میں ایک ہی فنکشن فیلڈ کے ساتھ ایک مکمل غیر سنگل قسم X′۔ عملی طور پر مندرجہ ذیل کے طور پر ایک مختلف شرط مانگنا زیادہ آسان ہے: ایک قسم X میں انفرادیت کا حل ہوتا ہے اگر ہمیں ایک غیر یک جہتی قسم X′ اور X′ سے X تک ایک مناسب بائریشنل نقشہ مل سکے۔ یہ شرط کہ نقشہ مناسب ہے معمولی حلوں کو خارج کرنے کے لیے ضروری ہے، جیسے کہ X′ کو X کے غیر سنگل پوائنٹس کی ذیلی قسم کے طور پر لینا۔ زیادہ عام طور پر، یہ اکثر مفید ہوتا ہے کہ ایک بڑی قسم ڈبلیو میں سرایت شدہ ایکس کی انفرادیت کو حل کیا جائے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ایکس کی ایک باقاعدہ قسم ڈبلیو میں بند سرایت ہے۔ ایکس کی ایک مضبوط ڈیسنگولرائزیشن ایک باقاعدہ قسم ڈبلیو سے ڈبلیو تک مناسب بائریشنل مورفزم کے ذریعے دی جاتی ہے جو مندرجہ ذیل شرائط میں سے کچھ کے تابع ہے (شرائط کا صحیح انتخاب مصنف پر منحصر ہے): ایکس کی سخت تبدیلی ایکس باقاعدہ ہے، اور ریزولوشن مورفزم کے غیر معمولی لوکس سے متصل ہے (لہذا خاص طور پر یہ ایکس کی انفرادیت کو حل کرتی ہے)۔ X′ سے X کی سخت تبدیلی کا نقشہ XW′ کے واحد نکات سے دور ایک آئسومورفزم ہے۔ W کی باقاعدہ بند ذیلی اقسام یا X کی زیادہ مضبوطی سے باقاعدہ ذیلی اقسام کو بار بار اڑا کر تعمیر کیا جاتا ہے، جو پچھلے دھماکوں کے غیر معمولی لوکس سے متصل ہوتا ہے۔ W′ کی تعمیر W کے لیے ہموار مورفزم اور W کو ایک بڑی قسم میں شامل کرنے کے لیے فنکٹوریل ہے۔ (اسے کسی بھی معقول طریقے سے تمام (ضروری نہیں کہ ہموار) مورفزم کے لیے فنکٹوریئل نہیں بنایا جا سکتا۔) X′ سے X تک مورفزم کا انحصار W میں X کی سرایت پر نہیں ہوتا ہے۔ یا عام طور پر، ہموار مورفزم کے حوالے سے پھٹنے کا تسلسل فنکٹوریئل ہوتا ہے۔ ہیروناکا نے دکھایا کہ جب بھی ایکس کی خصوصیت 0 کے میدان پر تعریف کی جاتی ہے تو اوپر کی پہلی تین شرائط کو پورا کرنے والی ایک مضبوط ڈیسنگولرائزیشن ہوتی ہے، اور اس کی تعمیر کو کئی مصنفین (نیچے دیکھیں) نے بہتر بنایا تھا تاکہ یہ اوپر کی تمام شرائط کو پورا کرے۔ منحنی خطوط کی انفرادیت کی ریزولوشن ہر الجبرائی منحنی خطوط کا ایک منفرد نان سنگولر پروجیکٹو ماڈل ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ ریزولوشن کے تمام طریقے بنیادی طور پر ایک جیسے ہوتے ہیں کیونکہ وہ سب اس ماڈل کی تعمیر کرتے ہیں۔ اعلی جہتوں میں یہ اب درست نہیں ہے: اقسام میں بہت سے مختلف نان سنگولر پروجیکٹو ماڈل ہو سکتے ہیں۔ منحنی خطوط کی انفرادیت کے حل کو ثابت کرنے کے تقریبا 20 طریقوں کی فہرست دیتا ہے۔ منحنی خطوط کی انفرادیت کا نیوٹن کا طریقہ حل بنیادی طور پر سب سے پہلے اس کے ذریعہ ثابت کیا گیا تھا، جس نے ایک منحنی خطوط کے لیے پیوسیکس سیریز کا وجود ظاہر کیا جس سے ریزولوشن آسانی سے پیروی کرتا ہے۔ ریمن کے طریقہ کار ریمن نے ایک پیچیدہ الجبرائی منحنی خطوط کے فنکشن فیلڈ سے ایک ہموار ریمن سطح کی تعمیر کی، جو اس کی انفرادیت کا حل دیتا ہے۔ یہ ریمن سطح کے متبادل کے طور پر فیلڈ کے مجرد ویلیوایشن رنگز کے سیٹ کا استعمال کرکے زیادہ عام فیلڈز پر کیا جا سکتا ہے۔ البانیز کا طریقہ البانیز کا طریقہ ایک ایسے منحنی خطوط پر مشتمل ہے جو کافی بڑے طول و عرض (منحنی خطوط کی ڈگری سے دوگنا سے زیادہ) کی پروجیکٹو جگہ پر پھیلا ہوا ہے اور بار بار واحد نکات سے چھوٹے طول و عرض کی پروجیکٹو خالی جگہوں پر پیش کرتا ہے۔ یہ طریقہ اعلی جہتی اقسام تک پھیلا ہوا ہے، اور یہ ظاہر کرتا ہے کہ کسی بھی n جہتی قسم میں ایک پروجیکٹو ماڈل ہوتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ n! پر کثرت کی انفرادیت ہوتی ہے۔ کسی منحنی خطوط کے لیے، n = 1، اور اس طرح کوئی واحد نکات نہیں ہیں۔ نارملائزیشن نے وکر کی نارملائزیشن لے کر وکر کی انفرادیت کو حل کرنے کا ایک مرحلہ طریقہ دیا۔ نارملائزیشن کوڈیمینشن 1 میں تمام انفرادیت کو دور کرتی ہے، لہذا یہ منحنی خطوط کے لیے کام کرتی ہے لیکن اعلی جہتوں میں نہیں۔ ویلیوایشن رنگز منحنی خطوط کی انفرادیت کو حل کرنے کا ایک اور ایک قدم طریقہ یہ ہے کہ منحنی خطوط کے فنکشن فیلڈ کے ویلیوایشن رنگز کی جگہ لی جائے۔ اس جگہ کو اصل منحنی خطوط کے بائریشنل نان سنگولر پروجیکٹو وکر میں بنایا جا سکتا ہے۔ ایک منحنی خطوط کے واحد نکات کو بار بار اڑانا بالآخر انفرادیت کو حل کر دے گا۔ اس طریقہ کار کا بنیادی کام یکسانیت کی پیچیدگی کی پیمائش کرنے کا طریقہ تلاش کرنا اور یہ ظاہر کرنا ہے کہ اڑانے سے اس اقدام میں بہتری آتی ہے۔ ایسا کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی وکر کی ریاضی کی نسل کا استعمال کر سکتا ہے۔ نویتر کا طریقہ نویتر کا طریقہ ایک طیارہ وکر لیتا ہے اور بار بار کواڈریٹک تبدیلیوں کا اطلاق کرتا ہے (جس کا تعین ایک واحد نقطہ اور عام پوزیشن میں دو نکات سے ہوتا ہے)۔ آخر کار یہ ایک طیارہ وکر پیدا کرتا ہے جس کی واحدتیں عام متعدد نکات ہیں (تمام ٹینجینٹ لائنوں میں ضرب دو ہوتی ہے)۔ برٹینی کا طریقہ برٹینی کا طریقہ نویتھر کے طریقہ سے ملتا جلتا ہے۔ یہ ایک طیارہ منحنی خطوط سے شروع ہوتا ہے، اور منحنی خطوط کو بہتر بنانے کے لیے بار بار طیارہ میں پیدائشی تبدیلیوں کا اطلاق کرتا ہے۔ بائریشنل ٹرانسفارمیشنز نویتھر کے طریقہ کار میں استعمال ہونے والی کواڈریٹک ٹرانسفارمیشنز سے زیادہ پیچیدہ ہیں، لیکن بہتر نتیجہ پیدا کرتے ہیں کہ واحد واحدیاں عام ڈبل پوائنٹس ہیں۔ سطحوں کی انفرادیت کے حل میں بہت سے مختلف نان سنگولر پروجیکٹو ماڈل ہوتے ہیں (منحنی خطوط کے معاملے کے برعکس جہاں نان سنگولر پروجیکٹو ماڈل منفرد ہوتا ہے)۔ تاہم کسی سطح کی اب بھی ایک منفرد کم از کم ریزولوشن ہوتی ہے، جس میں دیگر تمام عوامل ہوتے ہیں (باقی سب اس کے ریزولوشن ہوتے ہیں)۔ اعلی طول و عرض میں کم از کم ریزولوشن کی ضرورت نہیں ہے۔ پیچیدہ اعداد پر سطحوں کے لیے حل کو،،، اور کے ذریعے ثابت کرنے کی کئی کوششیں کی گئیں، لیکن اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ ان ابتدائی کوششوں میں سے کوئی بھی مکمل نہیں ہے، اور دلیل کے کسی نازک موڑ پر یہ سب مبہم (یا یہاں تک کہ غلط) ہیں۔ پہلا سخت ثبوت کے ذریعے دیا گیا تھا، اور خصوصیت 0 کے تمام شعبوں کے لیے الجبرائی ثبوت کے ذریعے دیا گیا تھا۔ غیر صفر خصوصیت کی سطحوں کا ثبوت دیا۔ تمام بہترین 2 جہتی اسکیموں (بشمول تمام ریاضی کی سطحوں) کے لیے بھی انفرادیت کا حل دکھایا گیا ہے۔ زرسکی کا طریقہ زرسکی کا سطحوں کے لیے انفرادیت کے حل کا طریقہ یہ ہے کہ سطح کو بار بار معمول پر لانا (جو کوڈیمینشن 1 انفرادیت کو مار دیتا ہے) بلوئنگ اپ پوائنٹس کے ساتھ (جو کوڈیمینشن 2 انفرادیت کو بہتر بناتا ہے، لیکن نئی کوڈیمینشن 1 انفرادیت کو متعارف کرا سکتا ہے)۔ اگرچہ یہ سطحوں کی انفرادیت کو خود ہی حل کر دے گا، لیکن زرسکی نے ایک زیادہ گول چکر کا طریقہ استعمال کیا: اس نے پہلے مقامی یکسانیت کے نظریہ کو ثابت کیا جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کسی سطح کی ہر تشخیص کو حل کیا جا سکتا ہے، پھر زرسکی-ریمن سطح کی کمپیکٹنس کا استعمال کرتے ہوئے یہ ظاہر کیا کہ سطحوں کا ایک محدود مجموعہ تلاش کرنا ممکن ہے کہ ہر تشخیص کا مرکز ان میں سے کم از کم ایک سطح پر آسان ہو، اور آخر میں سطحوں کے درمیان برائشنل نقشوں کا مطالعہ کرنے سے یہ ظاہر ہوا کہ سطحوں کے اس محدود سیٹ کو ایک غیر سنگل سطح سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جنگ کا طریقہ منحنی خطوط کے لیے مضبوط سرایت شدہ ریزولوشن کا اطلاق کرتے ہوئے، صرف خاص انفرادیت (ابیلین حصص کی انفرادیت) والی سطح تک کم ہو جاتا ہے جس کے بعد واضح طور پر نمٹا جاتا ہے۔ اس طریقہ کار کا اعلی جہتی ورژن ڈی جونگ کا طریقہ ہے۔ البانی طریقہ عام طور پر منحنی خطوط کے لیے البانی کے طریقہ کار کے ینالاگ سے پتہ چلتا ہے کہ کسی بھی قسم کے لیے زیادہ سے زیادہ n! پر ترتیب کی انفرادیت کو کم کیا جا سکتا ہے، جہاں n طول و عرض ہے۔ سطحوں کے لیے یہ آرڈر 2 کی انفرادیت کے معاملے میں کم ہو جاتا ہے، جو واضح طور پر کرنے کے لیے کافی آسان ہیں۔ ابھینکر کے طریقہ کار نے ویلیوایشن رنگز کے لیے مقامی یکسانیت تھیوریم کو ثابت کر کے کسی بھی خصوصیت کے میدان پر سطحوں کے لیے انفرادیت کا حل ثابت کیا۔ سب سے مشکل معاملہ رینک 1 کے ویلیوایشن رنگز ہیں جن کا ویلیوایشن گروپ عقلی نمبروں کا ایک غیر متزلزل ذیلی گروپ ہے۔ باقی ثبوت زرسکی کے طریقہ کار کی پیروی کرتے ہیں۔ صوابدیدی خصوصیت کی اقسام کے لیے ہیروناکا کا طریقہ ہیروناکا کا طریقہ سطحوں کے لیے ایک ریزولوشن طریقہ فراہم کرتا ہے، جس میں واحد سیٹ میں بار بار پوائنٹس یا ہموار منحنی خطوط کو اڑانا شامل ہوتا ہے۔ لپ مین کے طریقہ کار سے پتہ چلتا ہے کہ ایک سطح Y (ایک 2 جہتی کم شدہ نویتھیرین اسکیم) کا ڈیسنگولرائزیشن تب ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب اس کی نارملائزیشن Y پر محدود ہو اور تجزیاتی طور پر نارمل ہو (اس کے واحد نکات کی تکمیل نارمل ہو) اور اس میں صرف محدود طور پر بہت سے واحد نکات ہوں۔ خاص طور پر اگر Y بہترین ہے تو اس میں ڈیسنگولرائزیشن ہوتی ہے۔ اس کا طریقہ یہ تھا کہ عام سطحوں Z پر Y کے لیے بائریشنل مناسب نقشے کے ساتھ غور کیا جائے اور یہ ظاہر کیا جائے کہ کم سے کم ممکنہ ریاضی کی نسل کے ساتھ کم سے کم ایک ہے۔ اس کے بعد وہ ظاہر کرتا ہے کہ اس کم از کم Z کی تمام انفرادیت فرضی عقلی ہیں، اور ظاہر کرتا ہے کہ فرضی عقلی انفرادیت کو بار بار پوائنٹس کو اڑا کر حل کیا جا سکتا ہے۔ اعلی جہتوں میں انفرادیت کا حل اعلی جہتوں میں انفرادیت کے حل کا مسئلہ بہت سے غلط شائع شدہ ثبوتوں اور ثبوتوں کے اعلانات کے لیے بدنام ہے جو کبھی ظاہر نہیں ہوئے۔ زرسکی کا طریقہ 3 فولڈوں کے لیے انفرادیت کے حل کو خصوصیت 0 میں ثابت کیا گیا۔ انہوں نے سب سے پہلے ویلیوایشن رنگز کی مقامی یکسانیت کے بارے میں ایک نظریہ ثابت کیا، جو خصوصیت 0 کے کسی بھی میدان پر کسی بھی جہت کی اقسام کے لیے درست ہے۔ اس کے بعد انہوں نے دکھایا کہ زرسکی-ریمن کی قدر کی جگہ نیم کمپیکٹ ہے (کسی بھی فیلڈ پر کسی بھی جہت کی کسی بھی قسم کے لیے)، جس کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی پروجیکٹو قسم کے ماڈلز کا ایک محدود خاندان اس طرح ہے کہ کسی بھی قیمت کا کم از کم ان ماڈلز میں سے کسی ایک پر ہموار مرکز ہوتا ہے۔ ثبوت کا آخری اور مشکل ترین حصہ، جو اس حقیقت کو استعمال کرتا ہے کہ تنوع طول و عرض 3 کا ہے لیکن جو تمام خصوصیات کے لیے کام کرتا ہے، یہ ظاہر کرنا ہے کہ 2 ماڈلز دیے جانے پر کوئی تیسرا تلاش کر سکتا ہے جو ان انفرادیت کو حل کرتا ہے جو دونوں ماڈلز میں سے ہر ایک حل کرتا ہے۔ ابھینکر کے طریقہ کار نے 6 سے بڑی خصوصیت میں 3 گنا کے لیے انفرادیت کا حل ثابت کیا۔ خصوصیت پر پابندی اس لیے پیدا ہوتی ہے کیونکہ ابھینکر ظاہر کرتا ہے کہ خصوصیت سے کم ضرب کی 3 گنا کی کسی بھی انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے، اور پھر البانیز کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے یہ ظاہر کرتا ہے کہ انفرادیت کو زیادہ سے زیادہ کثرت (طول و عرض) تک کم کیا جا سکتا ہے! = 3! = 6۔ ابھینکر کے ثبوت کا ایک آسان ورژن دیا۔ تمام خصوصیات میں 3 فولڈوں کی انفرادیت کا حل ثابت ہوا، زیادہ سے زیادہ 3 طول و عرض میں مقامی یکسانیت کو ثابت کرکے، اور پھر اس بات کی جانچ کر کے کہ زرسکی کا ثبوت کہ اس سے 3 فولڈوں کے لیے ریزولوشن کا مطلب ہے اب بھی مثبت خصوصیت کے معاملے میں کام کرتا ہے۔ ہیروناکا کا طریقہ تمام جہتوں میں خصوصیت 0 میں انفرادیت کا حل سب سے پہلے ثابت ہوا۔ انہوں نے ثابت کیا کہ جہت پر انڈکشن کے ذریعے ایک بہت ہی پیچیدہ دلیل کا استعمال کرتے ہوئے، بار بار غیر سنگل ذیلی اقسام کے ساتھ اڑاتے ہوئے خصوصیت 0 کے شعبوں پر اقسام کی انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے۔ ان کے زبردست ثبوت کے آسان ورژن کئی لوگوں نے دیے، جن میں،،،،، شامل ہیں۔ کچھ حالیہ ثبوت ہیروناکا کے اصل ثبوت کی لمبائی کا تقریبا دسواں حصہ ہیں، اور تعارفی گریجویٹ کورس میں دینے کے لیے کافی آسان ہیں۔ نظریہ کے نمائشی بیان کے لیے، دیکھیں اور تاریخی بحث کے لیے دیکھیں۔ ڈی جونگ کے طریقہ کار نے یکسانیت کے حل کے لیے ایک مختلف نقطہ نظر پایا، جس نے سطحوں کے لیے جنگ کے طریقہ کار کو عام کیا، جسے خصوصیت 0 میں یکسانیت کے حل کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ ڈی جونگ کے طریقہ کار نے خصوصیت پی میں تمام جہتوں کی اقسام کے لیے کمزور نتیجہ دیا، جو بہت سے مقاصد کے لیے ریزولوشن کے متبادل کے طور پر کام کرنے کے لیے کافی مضبوط تھا۔ ڈی جونگ نے ثابت کیا کہ کسی فیلڈ پر کسی بھی قسم X کے لیے ایک غالب مناسب مورفزم ہوتا ہے جو طول و عرض کو باقاعدہ قسم سے X پر محفوظ رکھتا ہے۔ یہ بائریشنل نقشہ ہونے کی ضرورت نہیں ہے، اس لیے یہ انفرادیت کا حل نہیں ہے، کیونکہ یہ عام طور پر ایک تک محدود ہو سکتا ہے اور اس میں X کے فنکشن فیلڈ کی ایک محدود توسیع شامل ہوتی ہے۔ ڈی جونگ کا خیال یہ تھا کہ X کو ایک چھوٹی سی جگہ Y پر ریشوں کے ساتھ ریشے کے طور پر پیش کرنے کی کوشش کی جائے جو منحنی خطوط ہیں (اس میں X کو تبدیل کرنا شامل ہو سکتا ہے)، پھر طول و عرض پر انڈکشن کے ذریعے Y کی انفرادیت کو ختم کریں، پھر ریشوں میں انفرادیت کو ختم کریں۔ اسکیموں کا حل اور مسئلے کی حیثیت حل کی تعریف کو تمام اسکیموں تک بڑھانا آسان ہے۔ تمام اسکیموں میں ان کی انفرادیت کی قراردادیں نہیں ہوتیں: اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ اگر مقامی طور پر نویتھیرین اسکیم X میں یہ خاصیت ہے کہ کوئی X پر کسی بھی محدود انٹیگرل اسکیم کی انفرادیت کو حل کر سکتا ہے، تو X کو نیم بہترین ہونا چاہیے۔ گروتھینڈیک نے یہ بھی تجویز کیا کہ اس کے برعکس ہو سکتا ہے: دوسرے لفظوں میں، اگر مقامی طور پر نویتھیرین اسکیم X کو کم کیا جائے اور نیم بہترین ہو، تو اس کی انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے۔ جب ایکس کو خصوصیت 0 کے میدان پر بیان کیا جاتا ہے اور وہ نویتھیرین ہوتا ہے، تو یہ ہیروناکا کے نظریہ سے ملتا ہے، اور جب ایکس کا طول و عرض زیادہ سے زیادہ 2 ہوتا ہے تو اسے لپ مین نے ثابت کیا۔ غیر حل شدہ خصوصیت پی ریزولوشن کے مسئلے پر کام کا ایک سروے دیا۔ خصوصیت صفر میں ثبوت کا طریقہ مضبوط ڈیسنگولرائزیشن کی بہت سی تعمیرات ہیں لیکن یہ سب بنیادی طور پر ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں۔ ہر صورت میں عالمی آبجیکٹ (جس قسم کو الگ کرنا ہے) کی جگہ مقامی ڈیٹا لے لیتا ہے (مختلف قسم اور غیر معمولی تقسیم کاروں کا مثالی ذخیرہ اور کچھ آرڈر جو اس بات کی نمائندگی کرتے ہیں کہ اس مرحلے میں مثالی کو کتنا حل کیا جانا چاہیے)۔ اس مقامی اعداد و شمار کے ساتھ دھماکے کے مراکز کی وضاحت کی جاتی ہے۔ مراکز کی وضاحت مقامی طور پر کی جائے گی اور اس لیے اس بات کی ضمانت دینا ایک مسئلہ ہے کہ وہ ایک عالمی مرکز سے میل کھائیں گے۔ یہ اس بات کی وضاحت کر کے کیا جا سکتا ہے کہ ہر آئیڈیل کو حل کرنے کے لیے کون سے بلوئنگ اپ کی اجازت ہے۔ مناسب طریقے سے کیا جائے تو یہ مراکز کو خود بخود مماثل بنا دے گا۔ دوسرا طریقہ یہ ہے کہ مختلف قسم اور ریزولوشن کی تاریخ (پچھلے مقامی مراکز) کے لحاظ سے مقامی غیر متغیر کی وضاحت کی جائے تاکہ مراکز غیر متغیر کے زیادہ سے زیادہ لوکس پر مشتمل ہوں۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ یہ انتخاب کرنا بامعنی ہے، جس سے غیر معمولی تقسیم کاروں کو ہموار مراکز منتقل ہوتے ہیں۔ دونوں صورتوں میں آئیڈیل شیف اور اضافی ڈیٹا (غیر معمولی تقسیم کنندگان اور آرڈر، ڈی، جس پر ریزولوشن کو اس آئیڈیل کے لیے جانا چاہیے) کی طرف سے تشکیل شدہ ٹپل کی انفرادیت کو حل کرنے کے لیے مسئلہ کو کم کیا جاتا ہے۔ اس ٹپل کو ایک نشان زدہ آئیڈیل کہا جاتا ہے اور پوائنٹس کا وہ مجموعہ جس میں آئیڈیل کی ترتیب d سے بڑی ہوتی ہے اسے اس کا کو سپورٹ کہا جاتا ہے۔ اس بات کا ثبوت کہ نشان زدہ آئیڈیلز کے لیے ایک ریزولوشن ہے، طول و عرض پر انڈکشن کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ انڈکشن دو مراحل میں ٹوٹتا ہے: جہت n−1 کے نشان زدہ آئیڈیل کی فنکٹوریل ڈیسنگولرائزیشن کا مطلب طول و عرض n کی زیادہ سے زیادہ ترتیب کے نشان زدہ آئیڈیلز کی فنکٹوریل ڈیسنگولرائزیشن ہے۔ طول و عرض n کی زیادہ سے زیادہ ترتیب کے نشان زدہ آئیڈیلز کی فنکٹوریل ڈیسنگولرائزیشن کا مطلب طول و عرض n کے (ایک عام) نشان زدہ آئیڈیل کی فنکٹوریل ڈیسنگولرائزیشن ہے۔ یہاں ہم کہتے ہیں کہ ایک نشان زدہ آئیڈیل زیادہ سے زیادہ ترتیب کا ہوتا ہے اگر اس کے شریک سپورٹ کے کسی مقام پر آئیڈیل کی ترتیب d کے برابر ہو۔ مضبوط ریزولوشن میں ایک کلیدی جزو مختلف قسم کے پوائنٹس کے مقامی رنگوں کی ہلبرٹ سیموئل فنکشن کا استعمال ہے۔ یہ ریزولوشن غیر متغیر کے اجزاء میں سے ایک ہے۔ مثالیں بلاؤ اپ کے تحت ضرب میں کمی کی ضرورت نہیں ہے۔ یکسانیت کا سب سے واضح غیر متغیر اس کی کثرت ہے۔ تاہم بلو اپ کے تحت اس میں کمی کی ضرورت نہیں ہے، اس لیے بہتری کی پیمائش کے لیے زیادہ باریک غیر متغیرات کا استعمال کرنا ضروری ہے۔ مثال کے طور پر، رمفائیڈ کاسپ y2 = x5 کی ابتدا میں ترتیب 2 کی انفرادیت ہے۔ اپنے واحد نقطہ پر اڑنے کے بعد یہ عام کاسپ y2 = x3 بن جاتا ہے، جس میں اب بھی ضرب 2 ہوتی ہے۔ یہ واضح ہے کہ یکسانیت میں بہتری آئی ہے، کیونکہ کثیر الجہتی کی وضاحت کی ڈگری میں کمی آئی ہے۔ عام طور پر ایسا نہیں ہوتا۔ ایک مثال جہاں یہ نہیں ہے وہ اصل میں x2 + y3z + z3 = 0 کی الگ تھلگ انفرادیت سے دی گئی ہے۔ اسے اڑانے سے یکسانیت x2 + y2z + yz3 = 0 حاصل ہوتی ہے۔ یہ فوری طور پر واضح نہیں ہے کہ یہ نئی انفرادیت بہتر ہے، کیونکہ دونوں انفرادیت میں ضرب 2 ہوتی ہے اور یہ ڈگری 2، 3، اور 4 کے مونومیلز کے مجموعے سے دی جاتی ہیں۔ سب سے زیادہ واحد پوائنٹس کو اڑانا کام نہیں کرتا ہے۔ انفرادیت کو بہتر بنانے کا ایک فطری خیال "بدترین" واحد پوائنٹس کے لوکس کو اڑانا ہے۔ وٹنی چھتری x2 = y2z میں واحد سیٹ z محور ہے، جس کا زیادہ تر نقطہ عام ڈبل پوائنٹس ہیں، لیکن اصل میں ایک زیادہ پیچیدہ پنچ پوائنٹ انفرادیت ہے، لہذا بدترین واحد پوائنٹس کو اڑانے سے پتہ چلتا ہے کہ کسی کو اصل کو اڑانے سے شروع کرنا چاہئے۔ تاہم اصل کو اڑانے سے کوآرڈینیٹ چارٹ میں سے کسی ایک پر وہی انفرادیت دوبارہ پیدا ہوتی ہے۔ لہذا (بظاہر) "بدترین" واحد نکات کو اڑانے سے انفرادیت میں بہتری نہیں آتی ہے۔ اس کے بجائے یکسانیت کو زیڈ محور کے ساتھ اڑانے سے حل کیا جا سکتا ہے۔ ایسے الگورتھم ہیں جو کسی نہ کسی لحاظ سے "بدترین" واحد نکات کو اڑا کر کام کرتے ہیں، جیسے کہ، لیکن یہ مثال ظاہر کرتی ہے کہ "بدترین" نکات کی تعریف کافی باریک ہونی چاہیے۔ زیادہ پیچیدہ انفرادیت کے لیے، جیسے کہ x2 = ymzn جو کہ x = yz = 0 کے ساتھ واحد ہے، ابتدا میں بدترین انفرادیت کو اڑانے سے انفرادیت پیدا ہوتی ہے x2 = ym + n − 2zn اور x2 = ymzm + n − 2 جو اصل انفرادیت سے بدتر ہیں اگر m اور n دونوں کم از کم 3 ہوں۔ ریزولوشن کے بعد، کل تبدیلی (سخت تبدیلی اور غیر معمولی تقسیم کاروں کا اتحاد) سادہ نارمل کراسنگ کی قسم کی انفرادیت کے ساتھ ایک قسم ہے۔ اس قسم کی انفرادیت کو حل کیے بغیر انفرادیت کو حل کرنے کے امکان پر غور کرنا فطری ہے، یہ ایک ایسی قرارداد تلاش کرنا ہے جو ہموار اور سادہ نارمل کراسنگ پوائنٹس کے سیٹ پر ایک آئسومورفزم ہے۔ جب سخت تبدیلی ایک تقسیم کنندہ ہوتا ہے (یعنی، ایک ہموار قسم میں ایک ذیلی قسم کے کوڈیمینشن کے طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے) تو یہ معلوم ہوتا ہے کہ سادہ نارمل کراسنگ پوائنٹس سے گریز کرتے ہوئے ایک مضبوط ریزولوشن موجود ہے۔ وٹنی کی چھتری سے پتہ چلتا ہے کہ عام کراسنگ کی انفرادیت کو اڑانے سے گریز کرتے ہوئے انفرادیت کو حل کرنا ممکن نہیں ہے۔ انکریمنٹل ریزولوشن کے طریقہ کار کو میموری کی ضرورت ہوتی ہے۔ انفرادیت کو حل کرنے کا ایک فطری طریقہ یہ ہے کہ بار بار کینونکل طور پر منتخب کردہ ہموار ذیلی اقسام کو اڑا دیا جائے۔ اس سے درج ذیل مسئلہ پیدا ہوتا ہے۔ x2 = y2z2 کا واحد سیٹ y اور z محوروں کے ذریعہ دی گئی لکیروں کا جوڑا ہے۔ اڑانے کے لیے صرف معقول اقسام اصل، ان دو محوروں میں سے ایک، یا پورا واحد سیٹ (دونوں محور) ہیں۔ تاہم پورے واحد سیٹ کو استعمال نہیں کیا جا سکتا کیونکہ یہ ہموار نہیں ہے، اور دو محوروں میں سے ایک کا انتخاب ان کے درمیان توازن کو توڑ دیتا ہے لہذا کینونکل نہیں ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ہمیں اصل کو اڑا کر شروع کرنا ہے، لیکن یہ اصل انفرادیت کو دوبارہ پیش کرتا ہے، لہذا ایسا لگتا ہے کہ ہم حلقوں میں گھوم رہے ہیں۔ اس مسئلے کا حل یہ ہے کہ اگرچہ اصل کو اڑانے سے انفرادیت کی قسم میں کوئی تبدیلی نہیں آتی ہے، لیکن یہ ایک باریک بہتری دیتا ہے: یہ دو واحد محوروں کے درمیان توازن کو توڑ دیتا ہے کیونکہ ان میں سے ایک پچھلے دھماکے کے لیے ایک غیر معمولی تقسیم کنندہ ہے، لہذا اب ان میں سے صرف ایک کو اڑانا جائز ہے۔ تاہم، اس سے فائدہ اٹھانے کے لیے حل کے طریقہ کار کو ان 2 انفرادیتوں کے ساتھ مختلف سلوک کرنے کی ضرورت ہے، حالانکہ وہ مقامی طور پر ایک جیسے ہیں۔ یہ بعض اوقات ریزولوشن کے طریقہ کار کو کچھ میموری دے کر کیا جاتا ہے، لہذا ہر مرحلے پر بلو اپ کا مرکز نہ صرف انفرادیت پر منحصر ہوتا ہے، بلکہ اسے پیدا کرنے کے لیے استعمال ہونے والے پچھلے بلو اپس پر بھی منحصر ہوتا ہے۔ ریزولوشن فنکٹوریئل نہیں ہوتے ہیں۔ ریزولوشن کے کچھ طریقے (خصوصیت 0 میں) تمام ہموار مورفزم کے لیے فنکٹوریئل ہوتے ہیں۔ تاہم تمام (ممکنہ طور پر غیر ہموار) مورفزم کے لیے ایک مضبوط ریزولوشن فنکٹوریل تلاش کرنا ممکن نہیں ہے۔ نقشہ کے ذریعہ ایک مثال افائن طیارہ A2 سے مخروطی یکسانیت x2 + y2 = z2 تک (X, Y) سے (2XY, X2 − Y2, X2 + Y2) تک لے کر دی گئی ہے۔ XY-طیارہ پہلے سے ہی غیر سنگل ہے لہذا اسے ریزولوشن کے ذریعے تبدیل نہیں کیا جانا چاہیے، اور مخروطی انفرادیت کا کوئی بھی ریزولوشن سنگل پوائنٹ کو اڑا کر دی گئی کم از کم ریزولوشن کے ذریعے فیکٹرائز ہوتا ہے۔ تاہم XY-طیارہ سے لے کر اس دھماکے تک کا عقلی نقشہ باقاعدہ نقشے تک نہیں پھیلا ہے۔ کم از کم قراردادوں کو کم از کم قراردادوں (قراردادوں جیسے کہ ان کے ذریعے حل کرنے والے ہر عوامل) کے طول و عرض 1 اور 2 میں موجود ہونے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن ہمیشہ اعلی جہتوں میں نہیں۔ عطیہ فلاپ یکسانیت کی 3 جہتوں میں ایک مثال دیتا ہے جس میں کوئی کم از کم ریزولوشن نہیں ہے۔ A4 میں Y کو xy = zw کے صفر ہونے دیں، اور V کو ابتدا میں Y کا بلو اپ ہونے دیں۔ اس بلو اپ کا غیر معمولی لوکس P1 × P1 کے لیے آئسومورفک ہے، اور اسے 2 مختلف طریقوں سے P1 تک اڑایا جا سکتا ہے، جس سے Y کی دو چھوٹی ریزولوشنز X1 اور X2 ملتی ہیں، جن میں سے کسی کو بھی مزید اڑایا نہیں جا سکتا۔ قراردادوں کو مصنوعات کے ساتھ نقل و حمل نہیں کرنا چاہیے۔ مندرجہ ذیل مثال سے پتہ چلتا ہے کہ کوئی بھی مصنوعات کے ساتھ نقل و حمل کے لیے کافی اچھے حل کے طریقہ کار کی توقع نہیں کر سکتا۔ اگر f: A → B افائن 3-اسپیس میں کواڈریک شنک B کی ابتدا کا بلو اپ ہے، تو f × f: A × A → B × B کو ایٹیل لوکل ریزولوشن طریقہ کار کے ذریعے تیار نہیں کیا جا سکتا، بنیادی طور پر اس وجہ سے کہ غیر معمولی لوکس میں 2 اجزاء ہوتے ہیں جو ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ ٹورک اقسام کی یکسانیت اعلی جہتی یکسانیت کی مثالیں دیتی ہیں جنہیں واضح طور پر حل کرنا آسان ہے۔ ٹورک قسم کی وضاحت پنکھے کے ذریعے کی جاتی ہے، جو جالی میں شنک کا مجموعہ ہے۔ انفرادیت کو ہر شنک کو شنک کے اتحاد میں تقسیم کرکے حل کیا جا سکتا ہے جس میں سے ہر ایک جالی کی بنیاد سے پیدا ہوتا ہے، اور اسی طرح کے ٹورک قسم کو لے کر۔ ایسے مراکز کا انتخاب کرنا جو ایکس کی باقاعدہ ذیلی قسمیں ہیں۔ مختلف قسم کے ایکس کی ڈیسنگولرائزیشن کی تعمیر سے بلوئنگ کے مراکز پیدا نہیں ہو سکتے جو ایکس کی ہموار ذیلی اقسام ہیں۔ ایک تجریدی قسم X کی ڈیسنگولرائزیشن کی بہت سی تعمیرات مقامی طور پر X کو ہموار قسم W میں سرایت کرکے، W میں اس کے آئیڈیل کو مدنظر رکھتے ہوئے اور اس آئیڈیل کی کینونکل ڈیسنگولرائزیشن کا حساب لگا کر آگے بڑھتی ہیں۔ آئیڈیلز کی ڈیسنگولرائزیشن آئیڈیل کی ترتیب کو اس پیمائش کے طور پر استعمال کرتی ہے کہ آئیڈیل کتنا واحد ہے۔ آئیڈیل کی ڈیسنگولرائزیشن اس طرح کی جا سکتی ہے کہ کوئی اس بات کا جواز پیش کر سکے کہ مقامی مراکز عالمی مراکز دینے کے لیے ایک ساتھ مل جائیں۔ یہ طریقہ ایک ایسے ثبوت کی طرف لے جاتا ہے جو ہیروناکا کے اصل ثبوت کے مقابلے میں پیش کرنا نسبتا آسان ہے، جو ہلبرٹ سیموئل فنکشن کو اس پیمائش کے طور پر استعمال کرتا ہے کہ کتنی خراب انفرادیت ہے۔ مثال کے طور پر، میں ثبوت،، اور اس خیال کو استعمال کریں۔ تاہم، یہ طریقہ صرف ایسے مراکز کو یقینی بناتا ہے جو ڈبلیو میں باقاعدگی سے ہوتے ہیں۔ مندرجہ ذیل مثال سے پتہ چلتا ہے کہ یہ طریقہ ایسے مراکز پیدا کر سکتا ہے جن میں ایکس کی (سخت تبدیلی) کے ساتھ غیر ہموار چوراہے ہوں۔ لہذا، نتیجے میں ڈیسنگولرائزیشن، جب تجریدی قسم X تک محدود ہوتی ہے، تو X کی باقاعدہ ذیلی اقسام کو اڑانے سے حاصل نہیں ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ X چار جہتی افائن طیارہ کی ذیلی قسم ہے، جس کے نقاط x، y، z، w ہیں، جو y2-x3 اور x4 + xz2-w3 سے پیدا ہوتے ہیں۔ ان جنریٹرز کے ساتھ آئیڈیل کی کینونکل ڈیسنگولرائزیشن x = y = z = w = 0 کے ذریعہ دیئے گئے مرکز C0 کو اڑا دے گی۔ اگر x-y2 اور y2 (y2 + z2-w3) سے پیدا ہوتا ہے تو x-چارٹ میں آئیڈیل کی تبدیلی۔ C1 کو اڑانے کا اگلا مرکز x = y = 0 سے دیا جاتا ہے۔ تاہم، X کی سخت تبدیلی X1 ہے، جو x-y2 اور y2 + z2-w3 سے پیدا ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ C1 اور X1 کا چوراہا x = y = 0 اور z2-w3 = 0 سے دیا گیا ہے، جو باقاعدہ نہیں ہے۔ بلوئنگ کے مراکز پیدا کرنے کے لیے جو کہ ایکس کی باقاعدہ ذیلی اقسام ہیں، مضبوط ثبوت ڈبلیو میں مقامی سرایت میں اس کے آئیڈیل کی ترتیب کے بجائے ایکس کے مقامی رنگوں کے ہلبرٹ سیموئل فنکشن کا استعمال کرتے ہیں۔ یکسانیت کی قراردادوں کی دیگر شکلیں قرارداد کے بعد کل تبدیلی، سخت تبدیلی، ایکس، اور غیر معمولی تقسیم کار کا اتحاد، ایک ایسی قسم ہے جسے، بہترین طور پر، سادہ نارمل کراسنگ یکسانیت رکھنے کے لیے بنایا جا سکتا ہے۔ پھر اس قسم کی انفرادیت کو حل کیے بغیر انفرادیت کو حل کرنے کے امکان پر غور کرنا فطری ہے۔ مسئلہ ایک ایسا حل تلاش کرنا ہے جو ہموار اور سادہ نارمل کراسنگ پوائنٹس کے سیٹ پر ایک آئسومورفزم ہو۔ جب X ایک تقسیم کنندہ ہے، یعنی۔ اسے ایک کوڈیمینشن کے طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے-ایک ہموار قسم میں ایک ذیلی قسم یہ سادہ عام کراسنگ پوائنٹس سے گریز کرتے ہوئے مضبوط ریزولوشن کے وجود کو درست مانا جاتا ہے۔ مختلف قسم کی انفرادیت سے بچنے کے لیے عمومی صورت یا عامیاں ابھی تک معلوم نہیں ہیں۔ بعض انفرادیت سے بچنا ناممکن ہے۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی عام کراسنگ کی انفرادیت کو اڑانے سے گریز کرتے ہوئے انفرادیت کو حل نہیں کر سکتا۔ در حقیقت، پنچ پوائنٹ کی انفرادیت کو حل کرنے کے لیے پورے واحد لوکس کو اڑانے کی ضرورت ہے، بشمول وہ پوائنٹس جہاں عام کراسنگ کی انفرادیت موجود ہیں۔ حوالہ جات کتابچہ (1998 دوسرا ایڈیشن) اور (ان کے ریزولوشن آف سنگلریٹیز کی طرح-سیئٹل لیکچر۔ ، بیرونی لنکس ریزولوشن آف سنگلٹیز I میں دوبارہ شائع ہوا، جو ہیروناکا کی گفتگو کا ایک ویڈیو ہے۔ الجبرائی جیومیٹری میں انفرادیت کا حل، ہیروناکا کی گفتگو کا ایک ویڈیو۔ انفرادیت کی کچھ تصاویر اور ان کی قراردادیں واحد: انفرادیت کو حل کرنے کے لیے پیکجوں کے ساتھ ایک کمپیوٹر الجبرا سسٹم۔ سنگلریٹیز کے حل پر ورکنگ ویک کے لیے نوٹ اور لیکچرز ٹائرول 1997، ستمبر 7-14، 1997، اوبرگورگل، ٹائرول، آسٹریا لیکچر نوٹز سمر اسکول آن ریزولوشن آف سنگلریٹیز، جون 2006، ٹریسٹے، اٹلی۔ ڈیزنگ-سنگلٹیز کے حل کے لیے ایک کمپیوٹر پروگرام ہاؤزر کا ہوم پیج جس میں سنگلٹیز کے حل پر کئی نمائشی مقالے ہیں الجبرائی جیومیٹری سنگلٹی تھیوری جیومیٹری میں حل نہ ہونے والے مسائل