Superperfect group
ریاضی میں، گروپ تھیوری کے دائرے میں، ایک گروپ کو سپر پرفیکٹ کہا جاتا ہے جب اس کے پہلے دو ہومیولوجی گروپ معمولی ہوتے ہیں: H1 (G, Z) = H2 (G, Z) = 0۔ یہ ایک کامل گروہ سے زیادہ مضبوط ہے، جو وہ ہے جس کا پہلا ہومیولوجی گروپ غائب ہو جاتا ہے۔ زیادہ کلاسیکی اصطلاحات میں، ایک سپر پرفیکٹ گروپ وہ ہے جس کی ابیلینائزیشن اور شور ملٹی پلیئر دونوں غائب ہو جائیں۔ ابیلینائزیشن پہلی ہومیولوجی کے برابر ہے، جبکہ شور ملٹی پلیئر دوسری ہومیولوجی کے برابر ہے۔ تعریف کسی گروپ کا پہلا ہومیولوجی گروپ خود گروپ کی ابیلینائزیشن ہے، کیونکہ کسی گروپ G کی ہومیولوجی K (G، 1) قسم کے کسی بھی ایلن برگ-میک لین اسپیس کی ہومیولوجی ہے۔ K (G، 1) کا بنیادی گروپ G ہے، اور K (G، 1) کی پہلی ہومیولوجی پھر اس کے بنیادی گروپ کی ابیلینائزیشن ہے۔ اس طرح، اگر کوئی گروپ سپر پرفیکٹ ہے، تو وہ کامل ہے۔ ایک محدود کامل گروپ سپر پرفیکٹ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ اس کی اپنی یونیورسل سنٹرل ایکسٹینشن (یو سی ای) ہو، کیونکہ ایک کامل گروپ کا دوسرا ہومیولوجی گروپ مرکزی ایکسٹینشنز کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر G ہومیولوجی دائرے کا بنیادی گروپ ہے، تو G سپر پرفیکٹ ہے۔ سب سے چھوٹا محدود، غیر معمولی سپر پرفیکٹ گروپ بائنری آئکوساہیڈرل گروپ (پوئنکیری ہومیولوجی دائرے کا بنیادی گروپ) ہے۔ متبادل گروپ A5 کامل ہے لیکن کامل نہیں ہے: اس کی ایک غیر معمولی مرکزی توسیع ہے، بائنری آئکوساہیڈرل گروپ (جو حقیقت میں اس کا UCE ہے) کامل ہے۔ زیادہ عام طور پر، پروجیکٹو خصوصی لکیری گروپ پی ایس ایل (این، کیو) پی ایس ایل (2، 2) اور پی ایس ایل (2، 3) کے علاوہ سادہ (اس لیے کامل) ہیں، لیکن سپر پرفیکٹ نہیں ہیں، خصوصی لکیری گروپ ایس ایل (این، کیو) کے ساتھ مرکزی توسیعات کے طور پر۔ اس خاندان میں بائنری آئکوساہیڈرل گروپ (ایس ایل (2، 5) کے طور پر سوچا جاتا ہے) اے 5 کے یو سی ای (پی ایس ایل (2، 5) کے طور پر سوچا جاتا ہے) شامل ہے۔ ہر ایسائکلک گروپ سپر پرفیکٹ ہے، لیکن اس کے برعکس سچ نہیں ہے: بائنری آئکوساہیڈرل گروپ سپر پرفیکٹ ہے، لیکن ایسائکلک نہیں ہے۔ حوالہ جات اے جون بیرک اور جوناتھن اے ہل مین، "حتمی طور پر پیش کرنے کے قابل گروپوں کے کامل اور سایکلک ذیلی گروپس"، جرنل آف دی لندن میتھمیٹیکل سوسائٹی (2) 68 (2003)، نمبر۔ 3، 683-698۔ گروہوں کی خصوصیات