1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
ریاضی میں، وہ لامحدود سلسلہ ہے جس کی اصطلاحات باری باری علامتوں کے ساتھ دو کی یکے بعد دیگرے طاقتیں ہیں۔ ایک ہندسی سلسلہ کے طور پر، اس کی خصوصیت اس کی پہلی اصطلاح، 1، اور اس کا مشترکہ تناسب،-2 ہے۔ حقیقی اعداد کے سلسلے کے طور پر یہ جدا ہوتا ہے، اس لیے معمول کے لحاظ سے اس کا کوئی مجموعہ نہیں ہوتا ہے۔ بہت زیادہ وسیع تر معنوں میں، سیریز کا تعلق ایک اور قدر کے ساتھ ہے، یعنی، جو 2-اڈک میٹرک کا استعمال کرتے ہوئے سیریز کی حد ہے۔ تاریخی دلائل گوٹ فرائیڈ لیبنز نے 1673 کے اوائل میں ہی متفرق متبادل سیریز پر غور کیا۔ انہوں نے استدلال کیا کہ بائیں یا دائیں طرف گھٹانے سے کوئی بھی مثبت یا منفی انفینٹی پیدا کر سکتا ہے، اور اس لیے دونوں جوابات غلط ہیں اور پورا محدود ہونا چاہیے: اب عام طور پر فطرت درمیانی کا انتخاب کرتی ہے اگر دونوں میں سے کسی کو بھی اجازت نہیں ہے، یا اس کے بجائے اگر یہ طے نہیں کیا جا سکتا ہے کہ دونوں میں سے کس کی اجازت ہے، اور پورا ایک محدود مقدار کے برابر ہے تو لیبنز نے اس بات پر زور نہیں دیا کہ سیریز کا مجموعہ ہے، لیکن اس نے مرکیٹر کے طریقہ کار پر عمل کرنے کے ساتھ ایک تعلق کا اندازہ لگایا۔ یہ رویہ کہ ایک سلسلہ کسی محدود مقدار کے برابر ہو سکتا ہے اسے اصل میں ایک مجموعہ کے طور پر شامل کیے بغیر 18 ویں صدی میں عام بات ہوگی، حالانکہ جدید ریاضی میں کوئی فرق نہیں کیا گیا ہے۔ کرسچن وولف نے 1712 کے وسط میں لیبنز کے گرینڈی سیریز کے علاج کو پڑھنے کے بعد، وولف اس حل سے اتنا خوش ہوا کہ اس نے ریاضی کے اوسط طریقہ کو مزید متفرق سیریز تک بڑھانے کی کوشش کی۔ مختصر طور پر، اگر کوئی اس سلسلے کے جزوی مجموعے کو آخری اصطلاح کے فعل کے طور پر ظاہر کرتا ہے، تو وہ یا تو حاصل کرتا ہے۔ ان اقدار کا اوسط ہے، اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ انفینٹی پر سیریز کی قیمت کے طور پر پیداوار ہوتی ہے۔ لیبنز کے وجدان نے اسے اپنے حل پر اتنا دباؤ ڈالنے سے روک دیا، اور اس نے جواب میں لکھا کہ وولف کا خیال دلچسپ تھا لیکن کئی وجوہات کی بنا پر غلط تھا۔ پڑوسی جزوی جملوں کے ریاضی کے ذرائع کسی خاص قدر میں یکجا نہیں ہوتے ہیں، اور تمام محدود معاملات کے لیے کسی کے پاس نہیں ہوتا ہے۔ عام طور پر، خلاصہ سیریز کی شرائط کو صفر تک کم ہونا چاہیے ؛ یہاں تک کہ اس طرح کی سیریز کی حد کے طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ لیبنز نے وولف کو مشورہ دیا کہ وہ اس پر دوبارہ غور کریں تاکہ وہ "سائنس اور خود کے لائق کوئی چیز تیار کر سکے"۔ جدید طریقے جیومیٹرک سیریز باقاعدگی، لکیریٹی اور استحکام کی خصوصیات رکھنے والا کوئی بھی مجموعہ طریقہ ایک جیومیٹرک سیریز کا خلاصہ کرے گا۔ اس صورت میں a = 1 اور r = − 2، تو مجموعہ ہے۔ اویلر کا خلاصہ اپنے 1755 کے اداروں میں، لیون ہارڈ اویلر نے مؤثر طریقے سے اس چیز کو لیا جسے اب اویلر ٹرانسفارم آف کہا جاتا ہے، جو کنورجنٹ سیریز پر پہنچا۔ چونکہ مؤخر الذکر کا خلاصہ ہے، اویلر نے یہ نتیجہ اخذ کیا۔ لامحدود سیریز کے بارے میں ان کے خیالات جدید نقطہ نظر کی بالکل پیروی نہیں کرتے ہیں۔ آج کوئی کہتا ہے کہ یہ یولر کا خلاصہ ہے اور اس کا یولر مجموعہ ہے۔ اویلر تبدیلی مثبت اصطلاحات کی ترتیب سے شروع ہوتی ہے: a0 = 1، a1 = 2، a2 = 4، a3 = 8،۔ فارورڈ فرق کی ترتیب تب ہوتی ہے، α0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1، α1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2، α2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4، α3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8، جو کہ صرف ایک ہی ترتیب ہے۔ لہذا تکرار شدہ آگے کے فرق کی ترتیب ہر n کے لیے شروع ہوتی ہے۔ اویلر ٹرانسفارم سیریز ہے۔ یہ ایک متغیر ہندسی سیریز ہے جس کا مجموعہ معمول کے فارمولے کے مطابق ہوتا ہے۔ بوریل کا مجموعہ بھی ہے ؛ جب ایمیل بوریل نے 1896 میں بوریل کے مجموعے کی حد کی تشکیل متعارف کروائی تھی، تو یہ 1−1 + 1−1 + ꯘꯥ-adic نمبروں کے بعد ان کی پہلی مثالوں میں سے ایک تھی۔ 2-adic میٹرک میں منسلک جزوی رقوم کی ترتیب ہے اور جب بیس 2 میں دو کی تکمیل کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اس ترتیب کی حد 2-adic میٹرک میں ہوتی ہے۔ اس طرح۔ یہ بھی دیکھیں کہ 1 + 2 + 4 + 8 + ꯘꯥ نوٹس حوالہ جات متفرق سیریز جیومیٹرک سیریز پی-اڈک نمبر