Intercept theorem
انٹرسیپٹ تھیوریم، جسے تھیلز تھیوریم، بنیادی متناسب تھیوریم یا سائیڈ اسپلٹر تھیوریم بھی کہا جاتا ہے، ابتدائی جیومیٹری میں مختلف لائن سیگمنٹس کے تناسب کے بارے میں ایک اہم تھیوریم ہے جو اس صورت میں پیدا ہوتا ہے جب ایک مشترکہ نقطہ آغاز والی دو کرنوں کو متوازی کے جوڑے سے روکا جائے۔ یہ اسی طرح کے مثلثوں میں تناسب کے بارے میں نظریہ کے مساوی ہے۔ اسے روایتی طور پر یونانی ریاضی دان تھیلز سے منسوب کیا جاتا ہے۔ یہ قدیم بابلیوں اور مصریوں کو معلوم تھا، حالانکہ اس کا پہلا معلوم ثبوت یوکلڈ کے عناصر میں ظاہر ہوتا ہے۔ نظریہ کی تشکیل فرض کریں کہ S دو شعاعوں کا مشترکہ نقطہ آغاز ہے اور A، B دو متوازی کرنوں کے ساتھ پہلی کرن کے چوراہے ہیں، جیسے کہ B، S سے A سے زیادہ دور ہے، اور اسی طرح C، D دوسری کرن کے چوراہے ہیں جن میں دو متوازی ہیں جیسے کہ D، C سے S سے زیادہ دور ہے۔ اس ترتیب میں درج ذیل بیانات ہیں: پہلی کرن پر کسی بھی دو حصوں کا تناسب دوسری کرن پر موجود حصوں کے تناسب کے برابر ہے:،، S سے شروع ہونے والی ایک ہی کرن پر دو حصوں کا تناسب متوازی حصوں کے تناسب کے برابر ہے: پہلے بیان کا الٹا بھی درست ہے، یعنی۔ اگر دونوں شعاعوں کو دو من مانی لکیروں سے روکا جاتا ہے اور پکڑا جاتا ہے تو دونوں روکتی ہوئی لکیریں متوازی ہوتی ہیں۔ تاہم، دوسرے بیان کا الٹا درست نہیں ہے (جوابی مثال کے لیے گرافک دیکھیں)۔ توسیعات اور نتائج پہلے دو بیانات درست رہتے ہیں اگر دونوں شعاعیں ایک دوسرے کو عبور کرنے والی دو لکیروں سے بدل جائیں۔ اس معاملے میں دو منظرنامے ہیں، یا تو یہ 2 متوازی (X اعداد و شمار) کے درمیان واقع ہے یا یہ (V اعداد و شمار) نہیں ہے۔ اگر دونوں متوازی کے درمیان واقع نہیں ہے، تو اصل نظریہ براہ راست لاگو ہوتا ہے۔ اگر دونوں متوازی کے درمیان واقع ہے، تو اس کی عکاسی اور اس کے نتیجے میں V کی شکل ایک جیسی پیمائش کے ساتھ ہوتی ہے جس کے لیے اصل نظریہ اب لاگو ہوتا ہے۔ تیسرا بیان (متصادم) تاہم لائنوں کے لیے درست نہیں رہتا ہے۔ اگر دو سے زیادہ کرنیں شروع ہوتی ہیں یا دو سے زیادہ لکیریں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، تو ہر متوازی ایک سے زیادہ لائن سیگمنٹ پر مشتمل ہوتا ہے اور ایک متوازی پر دو لائن سیگمنٹ کا تناسب دوسرے متوازی پر لائن سیگمنٹ کے مطابق تناسب کے برابر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر اگر کوئی تیسری کرن متوازی اور متوازی کو شروع کرتی اور کاٹتی ہے، ایسی جو اس سے زیادہ دور ہو، تو درج ذیل مساوات برقرار رہتی ہیں: دوسری مساوات کے لیے الٹا بھی درست ہے، یعنی اگر 3 شعاعوں کو دو لکیروں سے روکا جائے اور ہر لکیر پر لائن کے حصوں کے مطابق کا تناسب برابر ہو، تو وہ 2 لائنیں متوازی ہونی چاہئیں۔ متعلقہ تصورات مماثلت اور اسی طرح کے مثلث انٹرسیپٹ تھیوریم کا مماثلت سے گہرا تعلق ہے۔ یہ اسی طرح کے مثلث کے تصور کے مساوی ہے، یعنی۔ اسے اسی طرح کے مثلث کی خصوصیات کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اسی طرح کے مثلث کو انٹرسیپٹ تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایک جیسے زاویوں کو ملا کر آپ ہمیشہ ایک دوسرے میں دو ایک جیسے مثلث رکھ سکتے ہیں تاکہ آپ کو وہ ترتیب ملے جس میں انٹرسیپٹ تھیوریم لاگو ہوتا ہے ؛ اور اس کے برعکس انٹرسیپٹ تھیوریم کی ترتیب ہمیشہ دو ایک جیسے مثلث پر مشتمل ہوتی ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں میں اسکیلر ضرب ایک معیاری ویکٹر جگہ میں، اسکیلر ضرب (خاص طور پر اور) سے متعلق محوریات اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ انٹرسیپٹ تھیوریم برقرار ہے۔ ابتدائی جیومیٹری میں تین مشہور مسائل ہیں جو یونانیوں نے کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیرات کے لحاظ سے پیش کیے تھے: زاویے کو سہ رخی کرنا مکعب کو دوگنا کرنا دائرے کو مربع کرنا 2000 سال سے زیادہ وقت لگا جب تک کہ ان تینوں کو آخر کار ناممکن ثابت نہیں کیا گیا۔ یہ 19 ویں صدی میں الجبرائی طریقوں کی مدد سے حاصل کیا گیا تھا، جو اس وقت تک دستیاب ہو چکے تھے۔ فیلڈ ایکسٹینشنز کا استعمال کرتے ہوئے الجبرائی اصطلاحات میں تینوں مسائل کو بہتر بنانے کے لیے، فیلڈ آپریشنز کو کمپاس اور سیدھے کنارے کی تعمیرات کے ساتھ ملانے کی ضرورت ہے (تعمیراتی نمبر دیکھیں)۔ خاص طور پر یہ یقین دلانا ضروری ہے کہ دو دیئے گئے لائن سیگمنٹس کے لیے، ایک نیا لائن سیگمنٹ بنایا جا سکتا ہے، اس طرح کہ اس کی لمبائی دوسرے دو کی لمبائی کے پروڈکٹ کے برابر ہو۔ اسی طرح لمبائی کے لائن سیگمنٹ کے لیے لمبائی کا ایک نیا لائن سیگمنٹ بنانے کے قابل ہونا ضروری ہے۔ انٹرسیپٹ تھیوریم کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ دونوں صورتوں کے لیے، کہ ایسی تعمیر ممکن ہے۔ لائن کے حصے کو دیئے گئے تناسب میں تقسیم کرنا چیپس اہرام کی پیمائش اور سروے اونچائی کچھ تاریخی ذرائع کے مطابق یونانی ریاضی دان تھیلز نے چیپس کے اہرام کی اونچائی کا تعین کرنے کے لیے انٹرسیپٹ تھیوریم کا اطلاق کیا۔ مندرجہ ذیل تفصیل اہرام کی اونچائی کا حساب لگانے کے لیے انٹرسیپٹ تھیوریم کے استعمال کی وضاحت کرتی ہے۔ تاہم، اس میں تھیلز کے اصل کام کا ذکر نہیں کیا گیا ہے، جو کھو گیا تھا۔ تھیلز نے اہرام کی بنیاد کی لمبائی اور اس کے کھمبے کی اونچائی کی پیمائش کی۔ پھر دن کے اسی وقت اس نے اہرام کے سائے کی لمبائی اور کھمبے کے سائے کی لمبائی ناپی۔ اس سے درج ذیل اعداد و شمار حاصل ہوئے: قطب کی اونچائی (A): قطب کا سایہ (B): اہرام کی بنیاد کی لمبائی 2 میٹر: اہرام کا سایہ 230 میٹر: 65 میٹر اس سے اس نے A، B اور C کو جان کر حساب لگایا کہ وہ اب انٹرسیپٹ تھیوریم کو لاگو کرنے کے قابل ہو گیا ہے تاکہ مثلث اور ٹریپیزوئڈز میں دریا کی متوازی لکیروں کی چوڑائی کی پیمائش کی جا سکے۔ انٹرسیپٹ تھیوریم کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ایک خاص تعمیر متوازی لکیر (سیگمنٹ) s پیدا کرتی ہے۔ تاریخی پہلو تھیوریم کو روایتی طور پر یونانی ریاضی دان تھیلز آف میلیٹس سے منسوب کیا جاتا ہے، جس نے مصر میں اہرام کی اونچائی کا تعین کرنے اور ساحل سے جہاز کے فاصلے کا حساب لگانے کے لیے تھیوریم کی کسی شکل کا استعمال کیا ہو۔ ثبوت نظریہ کا ایک ابتدائی ثبوت تناسب کے بارے میں بنیادی بیانات حاصل کرنے کے لیے مساوی رقبے کے مثلث کا استعمال کرتا ہے (دعوی 1)۔ دوسرے دعوے پھر پہلے دعوے اور تضاد کو لاگو کرتے ہیں۔ دعوی 1 دعوی 2 دعوی 3 نوٹ حوالہ جات () () () () لورینز ہالبیسن، نوربرٹ ہنگربولر، جوآن لوچلی: میٹ ہارمونشین ویرہالٹنیسن زو کیگلشنیٹن: پرلن ڈیر کلاسیشین جیومیٹری۔ سپرنگر 2016، پی پی۔ 191-208 (جرمن) بیرونی روابط پلینیٹ میتھ میں انٹرسیپٹ تھیوریم الیگزینڈر بوگومولنی: تھیلز کے تھیوریم اور خاص طور پر تھیلز کے تھیوریم کٹ-دی-نوٹ انٹرسیپٹ تھیوریم پر طیارہ جیومیٹری میں انٹرایکٹو یوکلیڈین جیومیٹری تھیوریم