Dual cone and polar cone
دوہری شنک اور قطبی شنک کنویکس تجزیہ میں قریب سے متعلق تصورات ہیں، جو ریاضی کی ایک شاخ ہے۔ ڈوئل شنک ایک ویکٹر اسپیس میں ایک ذیلی سیٹ C کا ڈوئل شنک C ایک لکیری اسپیس X میں حقیقی جگہوں پر، مثال کے طور پر۔ یوکلڈین اسپیس Rn، ڈوئل اسپیس X کے ساتھ وہ سیٹ ہے جہاں X اور X کے درمیان ڈوئلٹی جوڑی ہے، یعنی۔ ۔ C ہمیشہ ایک کنویکس شنک ہوتا ہے، چاہے C نہ تو کنویکس ہو اور نہ ہی کون۔ ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس میں اگر X حقیقی یا پیچیدہ نمبروں پر ایک ٹپوولوجیکل ویکٹر اسپیس ہے، تو ذیلی سیٹ C′X کا دوہری شنک X پر مسلسل لکیری افعال کا درج ذیل سیٹ ہے:، جو سیٹ-C کا قطبی ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ C کیا ہے، ایک کنویکس شنک ہوگا۔ اگر C ष् {0} تو۔ ہلبرٹ اسپیس (اندرونی دوہری شنک) میں متبادل طور پر، بہت سے مصنفین ایک حقیقی ہلبرٹ اسپیس (جیسے کہ یوکلڈین اندرونی پروڈکٹ سے لیس Rn) کے تناظر میں دوہری شنک کی وضاحت کرتے ہیں جسے بعض اوقات اندرونی دوہری شنک کہا جاتا ہے۔ C کے لیے اس مؤخر الذکر تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس یہ ہے کہ جب C ایک شنک ہے، تو درج ذیل خصوصیات برقرار رہتی ہیں: ایک غیر صفر ویکٹر y C میں ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مندرجہ ذیل دونوں شرائط برقرار رہیں: y ایک ہائپرپلین کی ابتدا میں ایک نارمل ہے جو C. y کو سپورٹ کرتا ہے اور C اس سپورٹنگ ہائپرپلین کے ایک ہی طرف واقع ہے۔ C بند اور کنویکس ہے۔ مطلب ہے۔ اگر C کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہے، تو C کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے، یعنی سی * میں پوری طرح سے کوئی لکیر نہیں ہے۔ اگر C ایک شنک ہے اور C کی بندش کی طرف اشارہ کیا گیا ہے، تو C کا اندرونی حصہ خالی نہیں ہے۔ C سب سے چھوٹے کنویکس شنک کی بندش ہے جس میں C ہوتا ہے (ہائپرپلین علیحدگی تھیوریم کا نتیجہ) سیلف ڈوئل شنک ایک ویکٹر اسپیس X میں ایک شنک C کو سیلف ڈوئل کہا جاتا ہے اگر X کو کسی اندرونی پروڈکٹ سے لیس کیا جا سکتا ہے تو اس طرح کہ اس اندرونی پروڈکٹ سے متعلق اندرونی ڈوئل شنک C کے برابر ہو۔ وہ مصنفین جو ڈوئل شنک کو حقیقی ہلبرٹ اسپیس میں اندرونی ڈوئل شنک کے طور پر بیان کرتے ہیں عام طور پر کہتے ہیں کہ ایک شنک سیلف ڈوئل ہے اگر یہ اس کے اندرونی ڈوئل کے برابر ہے۔ یہ مندرجہ بالا تعریف سے قدرے مختلف ہے، جو اندرونی مصنوعات کی تبدیلی کی اجازت دیتی ہے۔ مثال کے طور پر، مندرجہ بالا تعریف آر این میں ایک شنک کو ایلیپسائڈل بیس سیلف ڈوئل کے ساتھ بناتی ہے، کیونکہ اندرونی پروڈکٹ کو بیس کو کروی بنانے کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور آر این میں کروی بیس والا شنک اس کے اندرونی ڈوئل کے برابر ہوتا ہے۔ Rn کا غیر منفی آرتھانٹ اور تمام مثبت سیمیڈفائنٹ میٹرکس کی جگہ خود دوہری ہوتی ہے، جیسا کہ ایلیپسائڈل بیس والے شنک ہوتے ہیں (جنہیں اکثر "کروی شنک"، "لورینٹز شنک"، یا بعض اوقات "آئس کریم شنک" کہا جاتا ہے)۔ اسی طرح R3 میں موجود تمام شنک ہیں جن کی بنیاد ایک باقاعدہ کثیر الاضحی کا کنویکس ہل ہے جس میں عمودی کی ایک عجیب تعداد ہوتی ہے۔ ایک کم باقاعدہ مثال R3 میں شنک ہے جس کی بنیاد "ہاؤس" ہے: ایک مربع کا کنویکس ہل اور مربع کے باہر ایک نقطہ مربع کے اطراف میں سے ایک کے ساتھ ایک مساوی مثلث (مناسب اونچائی کا) بناتا ہے۔ قطبی شنک X میں ایک سیٹ C کے لیے، C کا قطبی شنک سیٹ ہے۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ قطبی شنک دوہری شنک کے منفی کے برابر ہے، یعنی۔ کو = − سی۔ ایکس میں بند کنویکس شنک سی کے لیے قطبی شنک سی کے قطبی سیٹ کے مساوی ہے۔ یہ بھی دیکھیں بائی پولر تھیوریم پولر سیٹ حوالہ جات کتابیات کنویکس تجزیہ کنویکس جیومیٹری لکیری پروگرامنگ