Construction of t-norms
ریاضی میں، ٹی-نارمز حقیقی اکائی کے وقفے [0، 1] پر ایک خاص قسم کی بائنری کارروائیاں ہیں۔ ٹی-نارمز کی مختلف تعمیرات، یا تو واضح تعریف کے ذریعے یا پہلے سے معلوم افعال سے تبدیلی کے ذریعے، ٹی-نارمز کی مثالوں اور کلاسوں کی کثرت فراہم کرتی ہیں۔ یہ اہم ہے، مثال کے طور پر، مبہم منطق کی انجینئرنگ ایپلی کیشنز میں استعمال کے لیے جوابی مثالیں تلاش کرنے یا مخصوص خصوصیات کے ساتھ ٹی-معیارات کی فراہمی کے لیے۔ ٹی-معیارات کی تعمیر کے اہم طریقوں میں جنریٹرز کا استعمال، ٹی-معیارات کی پیرامیٹرک کلاسوں کی وضاحت، گردش، یا ٹی-معیارات کے عام مجموعے شامل ہیں۔ متعلقہ پس منظر ٹی-نارمز پر مضمون میں پایا جا سکتا ہے۔ جنریٹرز آف ٹی-نارمز جنریٹرز کے ذریعے ٹی-نارمز کی تعمیر کا طریقہ ایک یونری فنکشن (جنریٹر) کے استعمال پر مشتمل ہوتا ہے تاکہ کچھ معروف بائنری فنکشن (اکثر، اضافہ یا ضرب) کو ٹی-نارم میں تبدیل کیا جا سکے۔ غیر متعدی جنریٹرز کے استعمال کی اجازت دینے کے لیے، جن میں الٹا فنکشن نہیں ہے، چھدم الٹا فنکشن کا درج ذیل تصور استعمال کیا جاتا ہے: فرض کریں کہ f: [a, b] → [c, d] توسیعی حقیقی لائن کے دو بند ذیلی وقفوں کے درمیان ایک مونوٹون فنکشن ہو۔ اضافی جنریٹرز کے ذریعہ t-اصولوں کی تعمیر مندرجہ ذیل تھیوریم پر مبنی ہے: فرض کریں کہ f: [0,1] → [0, + ≤] سختی سے کم ہونے والی فنکشن ہو جیسے کہ f (1) = 0 اور f (x) + f (y) f کی حد میں ہو یا تمام x کے لیے f (0 +) یا + ≤ کے برابر ہو، [0,1] میں y۔ پھر فنکشن T: [0,1] 2 → [0,1] جس کی تعریف T (x, y) = f (-1) (f (x) + f (y)) کے طور پر کی گئی ہے، ایک t-نارم ہے۔ متبادل طور پر، کوئی بھی سیڈو انورس فنکشن کے تصور کو استعمال کرنے سے بچ سکتا ہے۔ اس کے بعد متعلقہ بقایا کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اور بیریسیڈیوم جیسا کہ۔ اگر ایک t-نارم T کسی فنکشن f کی طرف سے مؤخر الذکر کی تعمیر کا نتیجہ ہے جو 0 میں دائیں مسلسل ہے، تو f کو T کا ایک اضافی جنریٹر کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر: فنکشن f (x) = 1-x x کے لیے [0,1] میں ایک اضافی جنریٹر ہے۔ فنکشن f کی تعریف f (x) =-log (x) کے طور پر کی گئی ہے اگر 0 <x ≤ 1 اور f (0) = + ≤ پروڈکٹ t-نارم کا ایک اضافی جنریٹر ہے۔ فنکشن f کی تعریف f (x) = 2-x کے طور پر کی گئی ہے اگر 0 ≤ x <1 اور f (1) = 0 سخت t-معمول کا ایک اضافی جنریٹر ہے۔ اضافی جنریٹرز کی بنیادی خصوصیات کا خلاصہ مندرجہ ذیل تھیوریم کے ذریعے کیا جاتا ہے: فرض کریں کہ f: [0,1] → [0, + φ] ایک t-نارم T کا اضافی جنریٹر ہے۔ پھر: T ایک آرکیمیڈین t-نارم ہے۔ T مسلسل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f مسلسل ہو۔ T سختی سے مونوٹون ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f (0) = + φ ہو۔ (0، 1) کا ہر عنصر T کا ایک نیل پوٹینٹ عنصر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f (0) <+ φ ہو۔ مثبت مستقل کی طرف سے f کا ضرب بھی ٹی ٹی کا ایک اضافی جنریٹر ہے۔ اس میں کوئی غیر معمولی آئیڈیمپوٹینٹ نہیں ہے۔ (نتیجتا، مثال کے طور پر، کم از کم ٹی-نارم میں کوئی اضافی جنریٹر نہیں ہوتا ہے۔) ضرب والے جنریٹر [0، + ini] پر اضافے اور [0، 1] پر لوگرتھم اور ایکسپونینشل فنکشن کے ذریعے ضرب کے درمیان آئسومورفزم ٹی-نارم کے اضافی اور ضرب والے جنریٹرز کے درمیان دو طرفہ تبدیلیوں کی اجازت دیتا ہے۔ اگر f کسی t-نارم T کا ایک اضافی جنریٹر ہے، تو فنکشن h: [0,1] → [0,1] جسے h (x) = e − f (x) کے طور پر بیان کیا گیا ہے، T کا ایک ضرب جنریٹر ہے، یعنی، ایک فنکشن h ایسا ہے کہ h سختی سے بڑھ رہا ہے h (1) = 1h (x)·h (y) h کی حد میں ہے یا تمام x کے لیے 0 یا h (0 +) کے برابر ہے، [0,1] h میں y 0 T (x, y) = h (−1) (h (x)·h (y) میں صحیح مسلسل ہے۔ اس کے برعکس، اگر h، T کا ضرب دینے والا جنریٹر ہے، تو f: [0,1] → [0, + ini] جس کی تعریف f (x) = −log (h (x)) سے ہوتی ہے، T کا ایک اضافی جنریٹر ہے۔ t-معیارات کی پیرامیٹرک کلاسیں متعلقہ t-معیارات کے بہت سے خاندانوں کی تعریف ایک واضح فارمولے کے ذریعے کی جا سکتی ہے جو ایک پیرامیٹر p پر منحصر ہے۔ یہ سیکشن t-معیارات کے سب سے مشہور پیرامیٹرائزڈ خاندانوں کی فہرست دیتا ہے۔ فہرست میں درج ذیل تعریفیں استعمال کی جائیں گی: p کے پیرامیٹرائزڈ t-نارمز Tp کا ایک خاندان بڑھ رہا ہے اگر Tp (x, y) ≤ Tq (x, y) تمام x کے لیے، y [0,1] میں جب بھی p ≤ q (اسی طرح کم ہونے اور سختی سے بڑھنے یا کم ہونے کے لیے)۔ پیرامیٹر p کے حوالے سے t-نارمز Tp کا ایک خاندان مسلسل ہے اگر پیرامیٹر کی تمام اقدار p0 کے لیے۔ شوئیزر-سکلر ٹی-نارمز شوئیزر-سکلر ٹی-نارمز کا خاندان، جسے برتھولڈ شوئیزر اور آبے سکلر نے 1960 کی دہائی کے اوائل میں متعارف کرایا تھا، پیرامیٹرک تعریف کے ذریعے دیا گیا ہے کہ A شوئیزر-سکلر ٹی-نارم آرکیمیڈین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب p> − ν مسلسل ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب p <+ ν سخت ہو اگر اور صرف اس صورت میں جب − ν <p ≤ 0 (p = −1 کے لیے یہ ہماچر پروڈکٹ ہے) نیلپوٹینٹ اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 <p <+ ≤ (p = 1 کے لیے یہ لکاسیویکس ٹی-نارم ہے)۔ خاندان p ≤ 0 کے لیے سختی سے کم ہو رہا ہے اور p کے حوالے سے [− ≤، + ≤] میں مسلسل ہے۔ 1970 کی دہائی کے آخر میں ہورسٹ ہماچر کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہماچر ٹی-نارمز کا خاندان، 0 ≤ p ≤ + ≤ کے لیے درج ذیل پیرامیٹرک تعریف کے ذریعے دیا گیا ہے: ٹی-نارم کو ہماچر پروڈکٹ کہا جاتا ہے۔ ہماچر ٹی-نارمز واحد ٹی-نارمز ہیں جو عقلی افعال ہیں۔ ہماچر ٹی-نارم سخت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب پی <+ φ (پی = 1 کے لیے یہ پروڈکٹ ٹی-نارم ہے)۔ خاندان پی کے حوالے سے سختی سے کم ہو رہا ہے اور مسلسل ہے۔ پی کے لیے ایک اضافی جنریٹر فرینک ٹی-نارمز ہے۔ فرینک ٹی-نارمز کا خاندان، جسے ایم جے فرینک نے 1970 کی دہائی کے آخر میں متعارف کرایا تھا، پیرامیٹرک تعریف کے ذریعے 0 ≤ پی ≤ + ≤ کے لیے درج ذیل دیا گیا ہے: فرینک ٹی-نارم سخت ہے اگر پی <+ ≤ ہے۔ خاندان پی کے حوالے سے سختی سے کم ہو رہا ہے اور مسلسل ہے۔ ایک اضافی جنریٹر یاگر ٹی-نارمز ہے۔ یاگر ٹی-نارمز کا خاندان، جسے 1980 کی دہائی کے اوائل میں رونالڈ آر۔ یاگر نے متعارف کرایا تھا، اسے 0 ≤ پی ≤ + ≤ کے لیے دیا گیا ہے۔ یاگر ٹی-نارم نیلپوٹینٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 <پی <+ ≤ (پی = 1 کے لیے یہ لیوکاسیویکس ٹی-نارم ہے)۔ خاندان پی کے حوالے سے سختی سے بڑھ رہا ہے اور مسلسل ہے۔ 0 <p <+ ν کے لیے یگر ٹی-نارم اپنے اضافی جنریٹر کو پی کی طاقت تک بڑھا کر لیوکاسیویکس ٹی-نارم سے پیدا ہوتا ہے۔ 0 <p <+ ν کے لیے ایک اضافی جنریٹر ایکزل-السینا ٹی-نارمز ہے۔ ایکزل-السینا ٹی-نارمز کا خاندان، جو 1980 کی دہائی کے اوائل میں جانوس ایکزل اور کلاؤڈی السینا کے ذریعے متعارف کرایا گیا تھا، اسے 0 ≤ p ≤ + ν کے لیے دیا جاتا ہے۔ ایکزل-السینا ٹی-نارم سخت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 <p <+ ν کے لیے (پی = 1 کے لیے) خاندان پی کے حوالے سے سختی سے بڑھ رہا ہے اور مسلسل ہے۔ 0 <پی <+ ν کے لیے ایکزل-السینا ٹی-نارم پروڈکٹ ٹی-نارم سے اس کے اضافی جنریٹر کو پی کی طاقت تک بڑھا کر پیدا ہوتا ہے۔ 0 <پی <+ ν کے لیے ایک اضافی جنریٹر ڈومبی ٹی-نارمز ہے۔ ڈومبی ٹی-نارمز کا خاندان، جو جوزف ڈومبی (1982) کے ذریعے متعارف کرایا گیا ہے، 0 ≤ پی ≤ + ν کے لیے دیا گیا ہے۔ ڈومبی ٹی-نارم سخت ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب 0 <پی <+ ν کے لیے (پی = 1 کے لیے یہ ہماچر پروڈکٹ ہے)۔ خاندان پی کے حوالے سے سختی سے بڑھ رہا ہے اور مسلسل ہے۔ 0 <پی <+ ν کے لیے ڈومبی ٹی-نارم ہماچر پروڈکٹ ٹی-نارم سے پیدا ہوتا ہے جس میں اس کے اضافی جنریٹر کو پی کی طاقت تک بڑھایا جاتا ہے۔ 0 <پی <+ ν کے لیے ایک اضافی جنریٹر سوجینو-ویبر ٹی-نارمز ہے سوجینو-ویبر ٹی-نارمز کا خاندان 1980 کی دہائی کے اوائل میں سیگ فرائیڈ ویبر نے متعارف کرایا تھا۔ دوہری ٹی-کنورمز کی وضاحت پہلے ہی 1970 کی دہائی کے اوائل میں مشیو سوجینو نے کی تھی۔ سوجینو-ویبر ٹی-نارم نیلپوٹینٹ ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب −1 <p <+ φ (p = 0 کے لیے یہ Îukaseevicz t-نارم ہے)۔ خاندان پی کے حوالے سے سختی سے بڑھ رہا ہے اور مسلسل ہے۔ 0 <p <+ φ [sic] کے لیے ایک اضافی جنریٹر عام رقم ہے۔ عام رقم ٹی-نارمز کے خاندان سے ایک ٹی-نارم کی تعمیر کرتی ہے، انہیں وقفہ [0,1] کے جداگانہ ذیلی وقفوں میں سکڑ کر اور باقی یونٹ مربع پر کم از کم استعمال کرکے ٹی-نارم کو مکمل کرتی ہے۔ یہ مندرجہ ذیل تھیوریم پر مبنی ہے: ایک انڈیکس سیٹ میں آئی کے لیے ٹی آئی کو ٹی-نارمز کا ایک خاندان اور (اے آئی، بی آئی) [0، 1] کے جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ (غیر خالی) کھلے ذیلی وقفوں کا ایک خاندان مان لیں۔ پھر فنکشن T: [0,1] 2 → [0,1] کی تعریف ایک t-نارم کے طور پر کی گئی ہے۔] نتیجے میں آنے والے ٹی-نارم کو I میں i کے لیے سمینڈز (Ti، एआइ، بی) کا آرڈینل مجموعہ کہا جاتا ہے، جسے I سے ظاہر کیا جاتا ہے یا اگر I محدود ہے۔ ٹی-نارمز کے عام مجموعے مندرجہ ذیل خصوصیات سے لطف اندوز ہوتے ہیں: ہر ٹی-نارم پورے وقفے [0، 1] پر خود کا ایک معمولی عام مجموعہ ہے۔ خالی آرڈینل رقم (خالی انڈیکس سیٹ کے لیے) کم از کم t-نارم Tmin حاصل کرتی ہے۔ کم از کم ٹی-نارم والے جملوں کو من مانی طور پر شامل یا خارج کیا جا سکتا ہے بغیر نتیجے میں ٹی-نارم کو تبدیل کیے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر یہ فرض کیا جا سکتا ہے کہ انڈیکس سیٹ قابل گنتی ہے، کیونکہ حقیقی لائن میں صرف زیادہ سے زیادہ گنتی کے لحاظ سے بہت سے جداگانہ ذیلی وقفے ہو سکتے ہیں۔ ٹی-نارم کا ایک عام مجموعہ مسلسل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر خلاصہ ایک مسلسل ٹی-نارم ہو۔ (بائیں تسلسل کے لیے یکساں طور پر۔) ایک آرڈینل مجموعہ آرکیمیڈین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ پورے یونٹ کے وقفے پر ایک آرکیمیڈین ٹی-نارم کا معمولی مجموعہ ہو۔ اگر اور صرف اس صورت میں جب کچھ اشاریہ i کے لیے، ai = 0 اور Ti میں صفر تقسیم ہوتے ہیں، تو ایک آرڈینل سم میں صفر تقسیم ہوتے ہیں۔ (نیل پوٹینٹ عناصر کے لیے یکساں طور پر۔) اگر ایک بائیں مسلسل t-نارم ہے، تو اس کا بقایا R مندرجہ ذیل طور پر دیا جاتا ہے: جہاں Ri Ti کا بقایا ہے، I میں ہر i کے لیے۔ مسلسل t-نارم کے عام مجموعے مسلسل t-نارم کے خاندان کا باقاعدہ مجموعہ ایک مسلسل t-نارم ہے۔ موسٹرٹ شیلڈز تھیوریم کے مطابق، ہر مسلسل t-نارم آرکیمیڈین مسلسل t-نارمز کے آرڈینل مجموعہ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ چونکہ مؤخر الذکر یا تو نیلپوٹینٹ ہوتے ہیں (اور پھر لکاسیویکس ٹی-نارم کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں) یا سخت (پھر پروڈکٹ ٹی-نارم کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں)، ہر مسلسل ٹی-نارم لکاسیویکس اور پروڈکٹ ٹی-نارمز کے آرڈینل مجموعہ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ مسلسل ٹی-معیارات کے ترتیب وار جملوں کی اہم مثالیں درج ذیل ہیں: ڈوبوئس-پریڈ ٹی-معیارات، جو 1980 کی دہائی کے اوائل میں ڈیڈیئر ڈوبوئس اور ہنری پریڈ نے متعارف کروائے تھے، [0، p] پر پروڈکٹ ٹی-معیار کے ترتیب وار مجموعے ہیں جو [0، 1] میں پی پیرامیٹر کے لیے اور باقی یونٹ وقفے پر (ڈیفالٹ) کم از کم ٹی-معیار ہیں۔ ڈوبوئس-پریڈ ٹی-نارمز کا خاندان پی کے حوالے سے کم اور مسلسل ہو رہا ہے۔ میئر-ٹورنز ٹی-نارمز، جو گیسپر میئر اور جان ٹورنز نے 1990 کی دہائی کے اوائل میں متعارف کروائے تھے، [0، p] پر [0، 1] میں ایک پیرامیٹر پی کے لیے اور باقی یونٹ وقفے پر (ڈیفالٹ) کم از کم ٹی-نارم کے لیے [0، p] پر لیوکاسیویکس ٹی-نارم کے عام مجموعے ہیں۔ پی کے حوالے سے میئر-ٹورنز ٹی-نارمز کا خاندان کم ہو رہا ہے اور مسلسل ہے۔ گردش کے ذریعے ٹی-نارمز کی تعمیر سنڈور جینی (2000) نے متعارف کرائی تھی۔ یہ مندرجہ ذیل نظریہ پر مبنی ہے: فرض کریں کہ T صفر تقسیم کاروں کے بغیر ایک بائیں مسلسل t-معمول ہے، N: [0,1] → [0,1] وہ فنکشن جو 1 − x کو x اور t = 0.0 تفویض کرتا ہے۔ T1 کو T کی [t، 1] میں لکیری تبدیلی مان لیں اور پھر فنکشن ایک لیفٹ کانٹینیوس t-نارم ہے، جسے t-نارم T کی گردش کہا جاتا ہے۔ جیومیٹریکل طور پر، اس تعمیر کو پہلے t-نارم T کو وقفہ [0.5,1] تک سکڑنے اور پھر پوائنٹس (0,0,1) اور (1,1,0) کو جوڑنے والی لکیر کے ارد گرد دونوں سمتوں میں 2π/3 کے زاویے سے گھومنے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ تھیوریم کو N کے لیے کسی بھی مضبوط نفی کو لے کر عام کیا جا سکتا ہے، یعنی [0، 1] پر ایک غیر متزلزل سختی سے کم ہونے والی مسلسل فنکشن، اور n کا منفرد فکسڈ پوائنٹ لینے والے t کے لیے۔ نتیجے میں t-نارم N کے حوالے سے مندرجہ ذیل گردش غیر متغیر پراپرٹی حاصل کرتا ہے: T (x, y) ≤ z اگر اور صرف اس صورت میں جب T (y, N (z) ≤ N (x) تمام x، y، z کے لیے [0,1]۔ ٹراٹ سے متاثر ہونے والی نفی فنکشن N ہے، یعنی تمام x کے لیے N (x) = Rrot (x, 0)، جہاں Rrot ٹراٹ کا بقیہ ہے۔ ٹی-نارم ٹی-نارم فجی لاجکس حوالہ جات کلیمنٹ، ایرک پیٹر ؛ میسیار، ریڈکو ؛ اور پیپ، اینڈری (2000)، سہ رخی اصول بھی دیکھیں۔ ڈورڈرچٹ: کلور۔ ۔ فوڈور، جانوس (2004)، "فجی منطق میں لیفٹ-کنٹینیوئس ٹی-نارمز: ایک جائزہ"۔ ایکٹا پولیٹیکنیکا ہنگریکا 1 (2)، آئی ایس ایس این 1785-8860 ڈومبی، جوزف (1982)، "فجی آپریٹرز کی ایک عام کلاس، فجی آپریٹرز کی ڈی مورگن کلاس اور فجی آپریٹرز کے ذریعہ حوصلہ افزائی کردہ فجینیس اقدامات"۔ فجی سیٹس اینڈ سسٹمز 8، 149-163۔ جینی، سینڈور (2000)، "مضبوط حوصلہ افزائی کے ساتھ بائیں مسلسل ٹی-معیارات کی ساخت۔ (I) گردش کی تعمیر۔ جرنل آف اپلائیڈ نان کلاسیکل لاجکس 10، 83-92۔ Navara, Merko (2007)، "Triangular Norms and Conorms"، Scholarpedia۔ مبہم منطق