Sample mean and covariance
نمونے کا مطلب (نمونہ اوسط) یا تجرباتی اوسط (تجرباتی اوسط)، اور نمونہ کوویرینس یا تجرباتی کوویرینس اعداد و شمار ہیں جو ایک یا زیادہ بے ترتیب متغیرات پر ڈیٹا کے نمونے سے مرتب کیے جاتے ہیں۔ نمونے کا مطلب اعداد کی ایک بڑی آبادی سے لی گئی تعداد کے نمونے کی اوسط قیمت (یا اوسط قیمت) ہے، جہاں "آبادی" لوگوں کی تعداد نہیں بلکہ متعلقہ اعداد و شمار کی مکمل نشاندہی کرتی ہے، چاہے وہ جمع کیا گیا ہو یا نہیں۔ فارچیون 500 سے 40 کمپنیوں کی فروخت کا نمونہ آبادی، تمام 500 کمپنیوں کی فروخت کو دیکھنے کے بجائے سہولت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نمونے کا مطلب آبادی کے اوسط کے تخمینہ کے طور پر استعمال ہوتا ہے، پوری آبادی میں اوسط قیمت، جہاں تخمینہ آبادی کے قریب ہونے کا زیادہ امکان ہے مطلب اگر نمونہ بڑا اور نمائندہ ہے۔ نمونے کے اوسط کی وشوسنییتا کا تخمینہ معیاری غلطی کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جاتا ہے، جس کا حساب نمونے کے تغیر کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے۔ اگر نمونہ بے ترتیب ہے، تو معیاری غلطی نمونے کے سائز کے ساتھ آتی ہے اور نمونے کے سائز میں اضافے کے ساتھ نمونے کے اوسط کی تقسیم معمول کی تقسیم تک پہنچ جاتی ہے۔ "سیمپل مین" کی اصطلاح اوسط اقدار کے ویکٹر کی طرف اشارہ کرنے کے لیے بھی استعمال کی جا سکتی ہے جب شماریات دان نمونے میں موجود کئی متغیرات کی اقدار کو دیکھ رہا ہو، مثال کے طور پر۔ فارچیون 500 کمپنیوں کے نمونے کی فروخت، منافع اور ملازمین۔ اس صورت میں، ہر متغیر کے لیے صرف ایک نمونہ تغیر نہیں ہے بلکہ ایک نمونہ تغیر-تغیر میٹرکس (یا صرف تغیر میٹرکس) ہے جو متغیرات کے ہر جوڑے کے درمیان تعلق کو بھی ظاہر کرتا ہے۔ جب 3 متغیرات پر غور کیا جا رہا ہو تو یہ 3 × 3 میٹرکس ہوگا۔ نمونہ کوویرینس تخمینہ کاروں کے طور پر نمونے کے ذرائع کی وشوسنییتا کا اندازہ لگانے میں مفید ہے اور آبادی کوویرینس میٹرکس کے تخمینے کے طور پر بھی مفید ہے۔ ان کے حساب کتاب میں آسانی اور دیگر مطلوبہ خصوصیات کی وجہ سے، نمونے میں اقدار کی تقسیم کے مقام اور پھیلاؤ کی نمائندگی کرنے اور آبادی کے لیے اقدار کا اندازہ لگانے کے لیے نمونے کا مطلب اور نمونہ کوویرینس بڑے پیمانے پر اعداد و شمار میں استعمال ہوتے ہیں۔ نمونے کا مطلب نمونے میں متغیر کی اقدار کی اوسط ہے، جو ان اقدار کا مجموعہ ہے جسے اقدار کی تعداد سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی اشارے کا استعمال کرتے ہوئے، اگر متغیر X پر N مشاہدات کا نمونہ آبادی سے لیا جاتا ہے، تو نمونے کا مطلب یہ ہے: اس تعریف کے تحت، اگر نمونہ (1، 4، 1) آبادی سے لیا گیا ہے (1,1,3، 4,0,2، 1,0)، تو نمونے کا مطلب ہے، آبادی کے اوسط کے مقابلے میں۔ یہاں تک کہ اگر کوئی نمونہ بے ترتیب ہے، تو یہ شاذ و نادر ہی مکمل طور پر نمائندہ ہوتا ہے، اور دوسرے نمونوں میں دوسرے نمونے ہوتے ہیں چاہے تمام نمونے ایک ہی آبادی کے ہوں۔ نمونے (2، 1، 0)، مثال کے طور پر، نمونے کا اوسط 1 ہوگا۔ اگر شماریات دان ایک کے بجائے K متغیرات میں دلچسپی رکھتا ہے، تو ہر مشاہدے کی ان K متغیرات میں سے ہر ایک کے لیے قدر ہوتی ہے، مجموعی نمونے کا اوسط انفرادی متغیرات کے لیے K نمونے کے ذرائع پر مشتمل ہوتا ہے۔ جتھ بے ترتیب متغیر (جے = 1،.، کے) پر آزادانہ طور پر تیار کردہ مشاہدہ (آئی = 1،.، این) ہونے دیں۔ ان مشاہدات کو N کالم ویکٹروں میں ترتیب دیا جا سکتا ہے، ہر ایک کو K اندراجات کے ساتھ، K × 1 کالم ویکٹر کے ساتھ تمام متغیرات کے i-th مشاہدات کو ظاہر کیا جا رہا ہے (i = 1،.، N)۔ نمونے کا اوسط ویکٹر ایک کالم ویکٹر ہے جس کا جے-واں عنصر جے-واں متغیر کے این مشاہدات کی اوسط قیمت ہے: اس طرح، نمونے کا اوسط ویکٹر ہر متغیر کے مشاہدات کی اوسط پر مشتمل ہوتا ہے، اور اسے نمونہ کوویرینس کی تعریف لکھا جاتا ہے۔ نمونہ کوویرینس میٹرکس ایک کے-بائی-کے میٹرکس ہے جس میں اندراجات ہوتے ہیں جہاں اعداد و شمار کے تحت آبادی کے ویں متغیر اور ویں متغیر کے درمیان کوویرینس کا تخمینہ ہوتا ہے۔ مشاہداتی ویکٹروں کے لحاظ سے، نمونہ کوویرینس متبادل طور پر، مشاہداتی ویکٹروں کو میٹرکس کے کالموں کے طور پر ترتیب دیتا ہے، تاکہ، جو کہ K صفوں اور N کالموں کا میٹرکس ہو۔ یہاں، نمونے کے کوویرینس میٹرکس کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے، جہاں ایک N بائی ویکٹر ہے۔ اگر مشاہدات کو کالموں کے بجائے قطاروں کے طور پر ترتیب دیا جاتا ہے، تو اب یہ ایک 1 × K قطار ویکٹر ہے اور ایک N × K میٹرکس ہے جس کا کالم j متغیر j پر N مشاہدات کا ویکٹر ہے، پھر مناسب جگہوں پر ٹرانسپوسز کو لاگو کرنے سے نتیجہ برآمد ہوتا ہے۔ بے ترتیب ویکٹر کے لیے کوویرینس میٹرکس کی طرح، نمونے کوویرینس میٹرکس مثبت نیم یقینی ہوتے ہیں۔ اسے ثابت کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ کسی بھی میٹرکس کے لیے میٹرکس مثبت نیم یقینی ہے۔ مزید برآں، ایک کوویرینس میٹرکس مثبت قطعی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ویکٹروں کا درجہ K ہے۔ غیر جانبدار نمونہ کا مطلب اور نمونہ کوویرینس میٹرکس بے ترتیب ویکٹر کے اوسط اور کوویرینس میٹرکس کے غیر جانبدار تخمینے ہیں، ایک قطار ویکٹر جس کا jth عنصر (j = 1,., K) بے ترتیب متغیرات میں سے ایک ہے۔ نمونہ کوویرینس میٹرکس بیسیل کی اصلاح کی ایک قسم کی وجہ سے نہیں بلکہ ڈینومینیٹر میں ہے: مختصر طور پر، نمونہ کوویرینس ہر مشاہدے اور نمونے کے اوسط کے درمیان فرق پر منحصر ہے، لیکن نمونہ کا اوسط ہر مشاہدے کے ساتھ قدرے مربوط ہے کیونکہ اس کی وضاحت تمام مشاہدات کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ اگر آبادی کا مطلب معلوم ہے، تو آبادی کا مطلب استعمال کرتے ہوئے یکساں غیر جانبدار تخمینہ، ڈینومینیٹر میں ہے۔ یہ اس بات کی ایک مثال ہے کہ امکان اور اعداد و شمار میں بے ترتیب متغیرات (اوپری صورت کے حروف) اور بے ترتیب متغیرات (چھوٹے صورت کے حروف) کے احساسات کے درمیان فرق کرنا کیوں ضروری ہے۔ گوسی تقسیم کے معاملے کے لیے کوویرینس کے زیادہ سے زیادہ امکان کا تخمینہ ڈینومینیٹر میں بھی N ہے۔ 1/N سے 1/(N−1) کا تناسب بڑے N کے لیے 1 تک پہنچ جاتا ہے، لہذا جب نمونہ بڑا ہوتا ہے تو زیادہ سے زیادہ امکان کا تخمینہ تقریبا غیر جانبدار تخمینے کے برابر ہوتا ہے۔ نمونے کے اوسط کی تقسیم ہر بے ترتیب متغیر کے لیے، نمونے کا اوسط آبادی کے اوسط کا ایک اچھا تخمینہ ہے، جہاں ایک "اچھا" تخمینہ کار کو موثر اور غیر جانبدار ہونے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ یقینا تخمینہ لگانے والا ممکنہ طور پر آبادی کے اوسط کی صحیح قیمت نہیں ہوگا کیونکہ ایک ہی تقسیم سے لیے گئے مختلف نمونے مختلف نمونے کے ذرائع دیں گے اور اس لیے حقیقی اوسط کے مختلف تخمینے۔ اس طرح نمونے کا مطلب ایک بے ترتیب متغیر ہے، مستقل نہیں، اور اس کے نتیجے میں اس کی اپنی تقسیم ہوتی ہے۔ جے تھ رینڈم متغیر پر این مشاہدات کے بے ترتیب نمونے کے لیے، نمونے کے اوسط کی تقسیم کا مطلب خود آبادی کے اوسط کے برابر ہے اور تغیر کے برابر ہے، جہاں آبادی کا تغیر ہے۔ آبادی کا ریاضیاتی اوسط، یا آبادی کا اوسط، اکثر μ سے ظاہر ہوتا ہے۔ نمونے کا مطلب (آبادی سے نکالی گئی اقدار کے نمونے کا ریاضی کا مطلب) آبادی کا ایک اچھا تخمینہ لگاتا ہے، کیونکہ اس کی متوقع قیمت آبادی کے اوسط کے برابر ہے (یعنی یہ ایک غیر جانبدار تخمینہ ہے)۔ نمونے کا مطلب ایک بے ترتیب متغیر ہے، مستقل نہیں، کیونکہ اس کی حساب شدہ قیمت تصادفی طور پر اس بات پر منحصر ہوگی کہ آبادی کے کن ممبروں کے نمونے لیے گئے ہیں، اور اس کے نتیجے میں اس کی اپنی تقسیم ہوگی۔ n آزاد مشاہدات کے بے ترتیب نمونے کے لیے، نمونے کے اوسط کی متوقع قیمت ہے اور نمونے کے اوسط کا تغیر ہے۔ اگر نمونے آزاد نہیں ہیں، لیکن باہمی تعلق رکھتے ہیں، تو پھر فرضی نقل کے مسئلے سے بچنے کے لیے خصوصی خیال رکھنا پڑتا ہے۔ اگر آبادی عام طور پر تقسیم کی جاتی ہے، تو نمونے کا مطلب عام طور پر مندرجہ ذیل تقسیم کیا جاتا ہے: اگر آبادی عام طور پر تقسیم نہیں کی جاتی ہے، تو نمونے کا مطلب اس کے باوجود تقریبا عام طور پر تقسیم کیا جاتا ہے اگر n بڑا ہے اور σ2/n <+ φ ہے۔ یہ مرکزی حد تھیوریم کا نتیجہ ہے۔ وزن والے نمونے وزن والے نمونے میں، ہر ویکٹر (K بے ترتیب متغیرات میں سے ہر ایک پر واحد مشاہدات کا ہر سیٹ) کو وزن تفویض کیا جاتا ہے۔ عامیت کے نقصان کے بغیر، فرض کریں کہ وزن معمول پر ہیں: (اگر وہ نہیں ہیں تو، وزن کو ان کے مجموعے سے تقسیم کریں)۔ پھر وزن والے اوسط ویکٹر کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور وزن والے کوویرینس میٹرکس کے عناصر یہ ہیں کہ اگر تمام وزن ایک جیسے ہیں، تو وزن والے اوسط اور کوویرینس اوپر بیان کردہ (متعصبانہ) نمونے کے اوسط اور کوویرینس تک کم ہو جاتے ہیں۔ تنقید نمونے کا مطلب اور نمونہ کوویرینس مضبوط اعداد و شمار نہیں ہیں، مطلب یہ ہے کہ وہ آؤٹ لیئرز کے لیے حساس ہیں۔ چونکہ مضبوطی اکثر ایک مطلوبہ خاصیت ہوتی ہے، خاص طور پر حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز میں، مضبوط متبادل مطلوبہ ثابت ہو سکتے ہیں، خاص طور پر مقداری پر مبنی اعداد و شمار جیسے لوکیشن کے لیے سیمپل میڈین، اور ڈسپریشن کے لیے انٹرکوارٹائل رینج (IQR)۔ دوسرے متبادلات میں ٹرمنگ اور ونسرائزنگ شامل ہیں، جیسا کہ ٹرمڈ مین اور ونسرائزڈ مین میں ہوتا ہے۔ کوویرینس میٹرکس کا تخمینہ بھی دیکھیں بکھرے ہوئے میٹرکس معیاری انحراف کا غیر جانبدار تخمینہ حوالہ جات کوویرینس اور ارتباط تخمینہ کے طریقے خلاصہ شماریات میٹرکس U-شماریات