Modular multiplicative inverse
ریاضی میں، خاص طور پر ریاضی کے شعبے میں، ایک عدد کا ماڈیولر ضرب الٹا ایک عدد اس طرح ہوتا ہے کہ ماڈیولس کے حوالے سے پروڈکٹ 1 سے ہم آہنگ ہوتا ہے۔ ماڈیولر ریاضی کے معیاری اشارے میں یہ ہم آہنگی اس طرح لکھی جاتی ہے جو اس بیان کو لکھنے کا مختصر طریقہ ہے جو مقدار کو (یکساں طور پر) تقسیم کرتا ہے، یا، دوسرے طریقے سے، عدد سے تقسیم کرنے کے بعد بقیہ 1 ہے۔ اگر کوئی الٹا ماڈیولو ہے، تو اس ہم آہنگی کے حل کی ایک لامحدود تعداد موجود ہے، جو اس ماڈیولس کے حوالے سے ہم آہنگی کی کلاس بناتی ہے۔ مزید برآں، کوئی بھی عدد جو (یعنی اس کی ہم آہنگی کلاس میں) سے ہم آہنگ ہے، اس میں ہم آہنگی کلاس کا کوئی بھی عنصر ماڈیولر ضرب الٹا ہوتا ہے۔ ہم آہنگی کلاس کی نشاندہی کرنے کے لیے کے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے، اس کا اظہار یہ کہہ کر کیا جا سکتا ہے کہ ہم آہنگی کلاس کا ماڈیولو ضرب الٹا ہم آہنگی کلاس ہے: جہاں علامت مساوات کلاس ماڈیولو کے ضرب کی نشاندہی کرتی ہے۔ اس طرح لکھا گیا ہے، عقلی یا حقیقی اعداد کے سیٹ میں ضرب الٹا کے معمول کے تصور کے ساتھ مشابہت کو واضح طور پر پیش کیا گیا ہے، جو اعداد کو ہم آہنگی کلاسوں سے تبدیل کرتا ہے اور بائنری آپریشن کو مناسب طریقے سے تبدیل کرتا ہے۔ جیسا کہ حقیقی اعداد پر مماثل عمل کے ساتھ، اس عمل کا ایک بنیادی استعمال حل کرنے میں ہے، جب ممکن ہو تو، فارم کی لکیری ہم آہنگی ماڈیولر ضرب الٹا تلاش کرنے کے بھی کرپٹوگرافی کے میدان میں عملی استعمال ہوتے ہیں، جیسے۔ عوامی کلیدی کرپٹوگرافی اور آر ایس اے الگورتھم۔ ان ایپلی کیشنز کے کمپیوٹر نفاذ کا ایک فائدہ یہ ہے کہ ایک بہت تیز الگورتھم (توسیعی یوکلڈین الگورتھم) موجود ہے جسے ماڈیولر ملٹی پلیکیٹو انورسز کے حساب کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ماڈیولر ریاضی کسی دیئے گئے مثبت عدد کے لیے، دو عدد، اور، اگر ان کے فرق کو تقسیم کرتے ہیں تو انہیں ہم آہنگ ماڈیولو کہا جاتا ہے۔ اس بائنری تعلق کو اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے، یہ انٹیجرز کے سیٹ پر ایک مساوات کا تعلق ہے، اور مساوات کی کلاسوں کو ہم آہنگی کلاسز ماڈیولو یا بقایا کلاسز ماڈیولو کہا جاتا ہے۔ آئیے عدد پر مشتمل ہم آہنگی طبقے کی نشاندہی کرتے ہیں، پھر ایک لکیری ہم آہنگی شکل کی ایک ماڈیولر ہم آہنگی ہے۔ حقیقی پر لکیری مساوات کے برعکس، لکیری ہم آہنگی میں صفر، ایک یا کئی حل ہو سکتے ہیں۔ اگر لکیری ہم آہنگی کا حل ہے تو ہر عنصر بھی ایک حل ہے، لہذا، جب لکیری ہم آہنگی کے حل کی تعداد کی بات کرتے ہیں تو ہم مختلف ہم آہنگی کلاسوں کی تعداد کا حوالہ دے رہے ہیں جن میں حل ہوتے ہیں۔ اگر سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ ہے اور پھر لکیری ہم آہنگی کا حل صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب تقسیم ہو۔ اگر تقسیم ہوتا ہے، تو بالکل حل موجود ہیں۔ ماڈیولس کے حوالے سے کسی عدد کا ماڈیولر ضرب الٹا لکیری ہم آہنگی کا حل ہے۔ پچھلا نتیجہ کہتا ہے کہ حل صرف اس صورت میں موجود ہے جب، یعنی، اور نسبتا پرائم ہونا چاہیے (یعنی۔ کاپرائم)۔ مزید برآں، جب یہ شرط برقرار رہتی ہے، تو بالکل ایک حل ہوتا ہے، یعنی، جب یہ موجود ہوتا ہے، تو ایک ماڈیولر ضرب الٹا منفرد ہوتا ہے: اگر اور دونوں ماڈیولر ضرب الٹا ماڈیولس کے حوالے سے ہیں، تو اس لیے اگر، تب، اور یہاں تک کہ ایک ماڈیولر ضرب الٹا بھی نہیں ہوگا۔ لہذا، {{math|b ष्णب (موڈ m)}}۔ جب کوئی حل ہوتا ہے تو اسے اکثر اس طرح سے ظاہر کیا جاتا ہے-لیکن اسے اشارے کا غلط استعمال سمجھا جا سکتا ہے کیونکہ اس کی غلط تشریح باہمی کے طور پر کی جا سکتی ہے (جو، ماڈیولر ضرب الٹا کے برعکس، ایک عدد نہیں ہے سوائے اس کے کہ جب 1 یا-1 ہو)۔ اگر ہم آہنگی کلاس کے لیے ایک ٹوکن اسٹینڈنگ کے طور پر تشریح کی جائے تو اشارے مناسب ہوں گے، کیونکہ ہم آہنگی کلاس کا ضرب الٹا ایک ہم آہنگی کلاس ہے جس کے اگلے حصے میں ضرب کی وضاحت کی گئی ہے۔ انٹیجرز ماڈیولو ہم آہنگی کا تعلق، ماڈیولو، انٹیجرز کے سیٹ کو ہم آہنگی کلاسوں میں تقسیم کرتا ہے۔ اضافہ اور ضرب کی کارروائیوں کو ان اشیاء پر مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کیا جا سکتا ہے: دو ہم آہنگی کلاسوں کو شامل کرنے یا ضرب دینے کے لیے، پہلے ہر کلاس سے ایک نمائندہ (کسی بھی طرح سے) کا انتخاب کریں، پھر دونوں نمائندوں پر انٹیجرز کے لیے معمول کا عمل انجام دیں اور آخر میں ہم آہنگی کلاس لیں جو کہ ہم آہنگی کلاسوں پر آپریشن کے نتیجے میں انٹیجر آپریشن کا نتیجہ ہے۔ علامتوں میں، ہم آہنگی کی کلاسوں پر کارروائیوں کے ساتھ اور ان کی نمائندگی کرتے ہوئے، یہ تعریفیں ہیں اور یہ کارروائیاں اچھی طرح سے متعین ہیں، مطلب یہ ہے کہ حتمی نتیجہ ان نمائندوں کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے جو نتیجہ حاصل کرنے کے لیے بنائے گئے تھے۔ ان دو متعین کارروائیوں کے ساتھ ہم آہنگی کی کلاسیں ایک رنگ بناتی ہیں، جسے انٹیجرز ماڈیولو کی رنگ کہا جاتا ہے۔ ان الجبرائی اشیاء کے لیے کئی اشارے استعمال کیے جاتے ہیں، اکثر یا، لیکن کئی ابتدائی نصوص اور اطلاق کے علاقے ایک آسان اشارے کا استعمال کرتے ہیں جب دیگر الجبرائی اشیاء کے ساتھ الجھن کا امکان نہیں ہوتا ہے۔ انٹیجرز ماڈیولو کی ہم آہنگی کلاسوں کو روایتی طور پر بقیہ کلاس ماڈیولو ایم کے نام سے جانا جاتا تھا، جو اس حقیقت کی عکاسی کرتا ہے کہ ہم آہنگی کلاس کے تمام عناصر کو تقسیم کرنے پر ایک ہی بقیہ (یعنی "بقیہ") ہوتا ہے۔ انٹیجرز کا کوئی بھی سیٹ اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ ہر ایک مختلف ہم آہنگی کلاس ماڈیولو m سے آتا ہے جسے بقیہ ماڈیولو کا مکمل نظام کہا جاتا ہے۔ ڈویژن الگورتھم سے پتہ چلتا ہے کہ انٹیجرز کا سیٹ، ریسیڈیوز ماڈیولو کا ایک مکمل نظام بناتا ہے، جسے لیسٹ ریسیڈیو سسٹم ماڈیولو کہا جاتا ہے۔ ریاضی کے مسائل کے ساتھ کام کرنے میں بعض اوقات باقیات کے مکمل نظام کے ساتھ کام کرنا اور ہم آہنگی کی زبان استعمال کرنا زیادہ آسان ہوتا ہے جبکہ دوسرے اوقات میں رنگ کی ہم آہنگی کی کلاسوں کا نقطہ نظر زیادہ مفید ہوتا ہے۔ انٹیجرز ماڈیولو کا ضرب گروپ مکمل بقایا نظام ماڈیولو کے ہر عنصر میں ماڈیولر ضرب الٹا نہیں ہوتا ہے، مثال کے طور پر، صفر کبھی نہیں ہوتا ہے۔ ایک مکمل بقایا نظام کے عناصر کو ہٹانے کے بعد جو نسبتا پرائم نہیں ہیں، جو بچا ہے اسے کم شدہ بقایا نظام کہا جاتا ہے، جن کے تمام عناصر میں ماڈیولر ضرب الٹا ہوتا ہے۔ کم شدہ بقیہ نظام میں عناصر کی تعداد ہے، جہاں اویلر ٹوٹینٹ فنکشن ہے، یعنی اس سے کم مثبت عددوں کی تعداد نسبتا پرائم ہے۔ اتحاد کے ساتھ ایک عام دائرے میں ہر عنصر کا ضرب الٹا نہیں ہوتا ہے اور جو ایسا کرتے ہیں انہیں اکائیاں کہا جاتا ہے۔ چونکہ دو اکائیوں کا پروڈکٹ ایک اکائی ہے، اس لیے رنگ کی اکائیاں ایک گروپ بناتی ہیں، جو رنگ کی اکائیوں کا گروپ ہوتا ہے اور اکثر اسے رنگ کا نام آئی ایف سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ انٹیجرز ماڈیولو کے رنگ کی اکائیوں کے گروپ کو انٹیجرز ماڈیولو کا ضرب گروپ کہا جاتا ہے، اور یہ کم شدہ باقیات کے نظام کے لیے آئسومورفک ہے۔ خاص طور پر، اس کا آرڈر (سائز) ہے۔ اس صورت میں جو ایک پرائم ہے، فرض کریں، اور اس کے تمام غیر صفر عناصر کے ضرب الٹا ہوتے ہیں، اس طرح یہ ایک محدود فیلڈ ہے۔ اس صورت میں، انٹیجرز ماڈیولو کا ضرب گروپ ترتیب کا ایک چکور گروپ بناتا ہے۔ مثال کسی بھی عدد کے لیے، یہ ہمیشہ ایسا معاملہ ہوتا ہے جو ماڈیولس کے حوالے سے ماڈیولر ضرب الٹا ہوتا ہے، چونکہ۔ مثالیں ہیں، وغیرہ۔ مندرجہ ذیل مثال ماڈیولس 10 کا استعمال کرتی ہے: دو عدد ہم آہنگ ماڈیول 10 ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کا فرق 10 سے تقسیم ہو، مثال کے طور پر چونکہ 10 32−2 = 30 کو تقسیم کرتا ہے، اور چونکہ 10 111−1 = 110 کو تقسیم کرتا ہے۔ اس ماڈیولس کے حوالے سے دس ہم آہنگی کلاسوں میں سے کچھ یہ ہیں: اور لکیری ہم آہنگی کا کوئی حل نہیں ہے کیونکہ جو عدد 5 (یعنی ان میں) کے ہم آہنگ ہوتے ہیں وہ سب عجیب ہوتے ہیں جبکہ ہمیشہ یکساں ہوتے ہیں۔ تاہم، لکیری ہم آہنگی کے دو حل ہیں، یعنی، اور۔ دی اور 2 5 کو تقسیم نہیں کرتے بلکہ 6 کو تقسیم کرتے ہیں۔ چونکہ لکیری ہم آہنگی کے حل ہوں گے، یعنی 3 ماڈیولو 10 کے ماڈیولر ضرب الٹا موجود ہوں گے۔ درحقیقت 7 اس ہم آہنگی کو مطمئن کرتا ہے (یعنی 21−1 = 20)۔ تاہم، دوسرے عدد بھی ہم آہنگی کو پورا کرتے ہیں، مثال کے طور پر 17 اور −3 (یعنی 3 (17) −1 = 50 اور 3 (−3) −1 = −10)۔ خاص طور پر، ہر عدد میں ہم آہنگی کو پورا کرے گا کیونکہ ان عددوں میں کسی عدد کی شکل ہوتی ہے اور وہ 10 سے تقسیم ہوتے ہیں۔ اس ہم آہنگی میں حل کی صرف یہ ایک ہم آہنگی کلاس ہے۔ اس معاملے میں حل تمام ممکنہ معاملات کی جانچ کر کے حاصل کیا جا سکتا تھا، لیکن بڑے ماڈیولی کے لیے منظم الگورتھم کی ضرورت ہوگی اور یہ اگلے حصے میں دیے جائیں گے۔ ہم آہنگی کلاسوں کا پروڈکٹ اور ایک عنصر کو منتخب کرکے حاصل کیا جاسکتا ہے، جیسے کہ 25، اور ایک عنصر، جیسے کہ −2، اور یہ مشاہدہ کرتے ہوئے کہ ان کا پروڈکٹ (25) (−2) = −50 ہم آہنگی کلاس میں ہے۔ اس طرح۔ اضافے کی تعریف اسی طرح کی جاتی ہے۔ دس ہم آہنگی کلاسیں ہم آہنگی کلاسوں کے اضافے اور ضرب کی ان کارروائیوں کے ساتھ مل کر انٹیجرز ماڈیولو 10، یعنی رنگ آف انٹیجرز بناتی ہیں۔ ایک مکمل بقایا نظام ماڈیولو 10 سیٹ {10, −9,2,13,24, −15,26,37,8,9} ہو سکتا ہے جہاں ہر عدد ایک مختلف ہم آہنگی کلاس ماڈیولو 10 میں ہو۔ منفرد کم سے کم بقایا نظام ماڈیولو 10 {0,1,2,., 9} ہے۔ ایک کم شدہ بقایا نظام ماڈیولو 10 {1,3,7,9} ہو سکتا ہے۔ ان اعداد کی نمائندگی کرنے والی کسی بھی دو ہم آہنگی کلاسوں کا پروڈکٹ دوبارہ ان چار ہم آہنگی کلاسوں میں سے ایک ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ چار ہم آہنگی کلاسیں ایک گروپ بناتی ہیں، اس صورت میں ترتیب چار کا چکور گروپ، جس میں 3 یا 7 بطور (ضرب) جنریٹر ہوتے ہیں۔ نمائندگی شدہ ہم آہنگی کی کلاسیں رنگ کی اکائیوں کا گروپ بناتی ہیں۔ یہ ہم آہنگی کی کلاسیں بالکل وہی ہیں جن میں ماڈیولر ضرب الٹا ہوتے ہیں۔ کمپیوٹیشن توسیعی یوکلڈین الگورتھم ماڈیولو کا ایک ماڈیولر ضرب الٹا توسیعی یوکلڈین الگورتھم کا استعمال کرکے پایا جا سکتا ہے۔ یوکلڈین الگورتھم دو عددوں کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار (جی سی ڈی) کا تعین کرتا ہے، جیسے کہ اور۔ اگر ضرب الٹا ماڈیولو ہے، تو یہ جی سی ڈی 1 ہونا چاہیے۔ الگورتھم کے ذریعہ تیار کردہ متعدد مساوات میں سے آخری کو اس جی سی ڈی کے لیے حل کیا جا سکتا ہے۔ پھر، "بیک سبسٹیوشن" نامی طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، اصل پیرامیٹرز اور اس جی سی ڈی کو جوڑنے والا ایک اظہار حاصل کیا جا سکتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، انٹیجرز اور بیزاوٹ کی شناخت کو مطمئن کرنے کے لیے پایا جا سکتا ہے، دوبارہ لکھا گیا، یہ ہے، لہذا، ایک ماڈیولر ضرب الٹا کا حساب لگایا گیا ہے۔ الگورتھم کا ایک زیادہ موثر ورژن توسیعی یوکلڈین الگورتھم ہے، جو معاون مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، الگورتھم کے ذریعے دو پاس کو کم کر دیتا ہے (بیک متبادل کو الٹا الگورتھم سے گزرنے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے) صرف ایک۔ بگ او نوٹیشن میں، یہ الگورتھم وقت کے ساتھ چلتا ہے، فرض کرتے ہوئے، اور اسے اپنے متبادل، ایکسپوینٹیشن سے بہت تیز اور عام طور پر زیادہ موثر سمجھا جاتا ہے۔ یولر تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے توسیعی یوکلڈین الگورتھم کے متبادل کے طور پر، یولر تھیوریم کو ماڈیولر الٹا شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اویلر کے نظریہ کے مطابق، اگر کاپرائم ہے، یعنی، تو اویلر کا ٹوٹینٹ فنکشن کہاں ہے۔ یہ اس حقیقت کی پیروی کرتا ہے جو ضرب گروپ × سے تعلق رکھتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوپرائم ہو۔ لہذا، ایک ماڈیولر ضرب الٹا براہ راست پایا جا سکتا ہے: خاص صورت میں جہاں ایک پرائم ہے، اور ایک ماڈیولر الٹا اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ یہ طریقہ عام طور پر توسیعی یوکلڈین الگورتھم سے سست ہوتا ہے، لیکن بعض اوقات اس وقت استعمال ہوتا ہے جب ماڈیولر ایکسپونینٹیشن کا نفاذ پہلے ہی دستیاب ہو۔ اس طریقہ کار کے کچھ نقصانات میں شامل ہیں: قیمت معلوم ہونی چاہیے اور سب سے زیادہ موثر معلوم کمپیوٹیشن کے لیے فیکٹرائزیشن کی ضرورت ہوتی ہے۔ فیکٹرائزیشن کو بڑے پیمانے پر کمپیوٹیشنل طور پر ایک مشکل مسئلہ سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، حساب لگانا سیدھا سیدھا ہوتا ہے جب کی پرائم فیکٹرائزیشن معلوم ہوتی ہے۔ ایکسپوینٹیشن کی متعلقہ لاگت۔ اگرچہ اسے ماڈیولر ایکسپونینٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ مؤثر طریقے سے لاگو کیا جا سکتا ہے، جب اس کی بڑی اقدار شامل ہوتی ہیں تو یہ سب سے زیادہ مؤثر طریقے سے مونٹگمری کمی کے طریقہ کار کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے، اس طریقہ کار میں، خود، ایک ماڈیولر الٹا موڈ کی ضرورت ہوتی ہے، جس کا حساب پہلی جگہ پر لگایا جانا تھا۔ مونٹگمری طریقہ کار کے بغیر، معیاری بائنری ایکسپوینٹیشن، جس میں ہر قدم پر ڈویژن موڈ کی ضرورت ہوتی ہے، جب بڑا ہوتا ہے تو یہ ایک سست عمل ہوتا ہے۔ اس تکنیک کا ایک قابل ذکر فائدہ یہ ہے کہ ایسی کوئی مشروط شاخیں نہیں ہیں جو قیمت پر منحصر ہوں، اور اس طرح کی قیمت، جو عوامی کلیدی خفیہ نگاری میں ایک اہم راز ہو سکتی ہے، کو سائیڈ چینل کے حملوں سے محفوظ رکھا جا سکتا ہے۔ اس وجہ سے، منحنی 25519 کا معیاری نفاذ الٹا حساب لگانے کے لیے اس تکنیک کا استعمال کرتا ہے۔ ایک سے زیادہ الٹ یوکلڈین الگورتھم کی ایک واحد دعوت اور فی اضافی ان پٹ تین ضرب کے ساتھ متعدد نمبروں کے الٹ کا حساب لگانا ممکن ہے، ماڈیولو اے کامن۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ تمام کا پروڈکٹ بنائیں، اسے الٹ دیں، پھر سب سے ضرب دیں تاکہ صرف مطلوبہ رہ جائے۔ مزید خاص طور پر، الگورتھم ہے (تمام ریاضی سے انجام شدہ ماڈیولو): سب کے لیے پریفیکس پروڈکٹ کا حساب لگائیں۔ کسی بھی دستیاب الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے حساب لگائیں۔ نیچے سے 2 تک، اور کا حساب لگائیں۔ آخر میں۔ متوازی کمپیوٹنگ کا استحصال کرنے کے لیے لکیری طور پر ٹری ڈھانچے میں ضرب انجام دینا ممکن ہے۔ ماڈیولر ضرب الٹا تلاش کرنے کے الگورتھم میں بہت سے استعمال ہوتے ہیں جو ماڈیولر ریاضی کے نظریہ پر انحصار کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کرپٹوگرافی میں ماڈیولر ریاضی کا استعمال کچھ کارروائیوں کو زیادہ تیزی سے اور کم اسٹوریج کی ضروریات کے ساتھ انجام دینے کی اجازت دیتا ہے، جبکہ دیگر کارروائیاں زیادہ مشکل ہو جاتی ہیں۔ ان دونوں خصوصیات کو فائدہ اٹھانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، آر ایس اے الگورتھم میں، پیغام کو خفیہ کاری اور ڈکرپٹ کرنا نمبروں کے ایک جوڑے کا استعمال کرتے ہوئے کیا جاتا ہے جو احتیاط سے منتخب کردہ ماڈیولس کے حوالے سے ضرب الٹا ہوتے ہیں۔ ان میں سے ایک نمبر کو عام کیا جاتا ہے اور اسے ریپڈ انکرپشن کے طریقہ کار میں استعمال کیا جا سکتا ہے، جبکہ دوسرا، جو ڈکرپشن کے طریقہ کار میں استعمال ہوتا ہے، چھپایا جاتا ہے۔ عوامی نمبر سے پوشیدہ نمبر کا تعین کرنا کمپیوٹیشنل طور پر ناقابل عمل سمجھا جاتا ہے اور یہی وہ چیز ہے جو سسٹم کو رازداری کو یقینی بنانے کے لیے کام کرتی ہے۔ ایک مختلف سیاق و سباق میں ایک اور مثال کے طور پر، کمپیوٹر سائنس میں صحیح تقسیم کے مسئلے پر غور کریں جہاں آپ کے پاس عجیب لفظ کے سائز کے نمبروں کی ایک فہرست ہے جو ہر ایک سے قابل تقسیم ہے اور آپ ان سب کو اس سے تقسیم کرنا چاہتے ہیں۔ ایک حل مندرجہ ذیل ہے: کمپیوٹ کرنے کے لیے توسیعی یوکلڈین الگورتھم کا استعمال کریں، جس کا ماڈیولر ضرب الٹا ہے، جہاں کسی لفظ میں بٹس کی تعداد ہے۔ یہ الٹا موجود ہوگا کیونکہ اعداد عجیب ہیں اور ماڈیولس میں کوئی عجیب عوامل نہیں ہیں۔ فہرست میں موجود ہر نمبر کے لیے، اسے ضرب دیں اور نتیجہ کا سب سے کم اہم لفظ لیں۔ بہت سی مشینوں پر، خاص طور پر تقسیم کے لیے ہارڈ ویئر سپورٹ کے بغیر، تقسیم ضرب کے مقابلے میں ایک سست عمل ہے، لہذا یہ نقطہ نظر کافی رفتار حاصل کر سکتا ہے۔ پہلا قدم نسبتا سست ہے لیکن اسے صرف ایک بار کرنے کی ضرورت ہے۔ ماڈیولر ملٹی پلیکیٹو انورسز کا استعمال لکیری ہم آہنگی کے نظام کا حل حاصل کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جس کی ضمانت چینی ریمینڈر تھیوریم دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، نظام ष्ण 4 (ماڈ 5) ष्ण 4 (ماڈ 7) ष्ण 6 (ماڈ 11) کے مشترکہ حل ہیں کیونکہ 5,7 اور 11 جوڑی کے لحاظ سے کاپرائم ہیں۔ ایک حل = (7 × 11) × 4 + (5 × 11) × 4 + (5 × 7) × 6 کے ذریعہ دیا جاتا ہے جہاں = 3 7 × 11 (موڈ 5) کا ماڈیولر ضرب الٹا ہے، = 6 5 × 11 (موڈ 7) کا ماڈیولر ضرب الٹا ہے اور = 6 5 × 7 (موڈ 11) کا ماڈیولر ضرب الٹا ہے۔ اس طرح، = 3 × (7 × 11) × 4 + 6 × (5 × 11) × 4 + 6 × (5 × 7) × 6 = 3504 اور اس کی منفرد کم شدہ شکل میں ष्ण 3504 ष्ण 39 (ماڈ 385) چونکہ 385 5,7 اور 11 کا ایل سی ایم ہے۔ نیز، ماڈیولر ضرب الٹا اعداد کلسٹرمین رقم کی تعریف میں نمایاں طور پر ہیں۔ یہ بھی دیکھیں الٹا ہم آہنگ جنریٹر-ایک فرضی بے ترتیب نمبر جنریٹر جو ماڈیولر ضرب الٹا استعمال کرتا ہے عقلی تعمیر نو (ریاضی) نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط گیوارا واسکیز، فرنانڈو یوکلڈ کے الگورتھم ماڈیولر ریاضی بائنری آپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے ماڈیولو ضرب الٹا حل کرنے کی ایک حل شدہ مثال فراہم کرتا ہے۔