Skew lattice
تجریدی الجبرا میں، ایک سکیو لیٹس ایک الجبرائی ڈھانچہ ہے جو ایک لیٹس کی غیر تبادلہ عام کاری ہے۔ اگرچہ سکیو لیٹس کی اصطلاح کو لیٹس کی کسی بھی غیر تبادلہ عام کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن 1989 سے یہ بنیادی طور پر مندرجہ ذیل طور پر استعمال ہوتا رہا ہے۔ تعریف ایک سکیو لیٹس ایک سیٹ S ہے جو دو ایسوسی ایٹیو، آئیڈیمپوٹینٹ بائنری آپریشنز سے لیس ہے اور جسے میٹ اینڈ جوائن کہا جاتا ہے، جو جذب کے قوانین کے درج ذیل دوہری جوڑے کی توثیق کرتا ہے۔ یہ دیکھتے ہوئے کہ یہ ملحقہ اور مثالی ہیں، یہ شناخت مندرجہ ذیل دوہری جوڑی کے بیانات کی توثیق کرنے کے مترادف ہیں: اگر، اگر۔ تاریخی پس منظر 60 سال سے زیادہ عرصے سے، جالی کے غیر متغیر تغیرات کا مختلف محرکات کے ساتھ مطالعہ کیا گیا ہے۔ کچھ لوگوں کے لیے محرک جالی کے نظریہ کی تصوراتی حدود میں دلچسپی رہا ہے ؛ دوسروں کے لیے یہ منطق اور بولین الجبرا کی غیر متغیر شکلوں کی تلاش تھی ؛ اور دوسروں کے لیے یہ رنگوں میں آئیڈیمپوٹینٹس کا طرز عمل رہا ہے۔ ایک غیر متغیر جالی، عام طور پر بولنا، ایک الجبرا ہے جہاں جذب شناختوں کے ذریعے جڑے ہوئے ملحقہ، مثالی بائنری آپریشن ہوتے ہیں جو اس بات کی ضمانت دیتے ہیں کہ کسی طرح سے دوہرا ہوتا ہے۔ منتخب کردہ عین شناختوں کا انحصار بنیادی محرک پر ہوتا ہے، مختلف انتخاب کے ساتھ الگ الگ قسم کے الجیبرا پیدا ہوتے ہیں۔ پاسکل جورڈن، کوانٹم منطق کے سوالات سے متاثر ہو کر، اپنے 1949 کے مقالے، über Nichtkommutative Verbände میں غیر مواصلاتی جالی کے مطالعے کا آغاز کیا، جس میں جذب شناختوں کا انتخاب کیا گیا۔ انہوں نے ان الجبرازوں کا حوالہ دیا جو انہیں Schrägverbánde کے طور پر مطمئن کرتے ہیں۔ ان شناختوں کو تبدیل یا بڑھا کر، اردن اور دیگر نے غیر متغیر جالی کی متعدد اقسام حاصل کیں۔ جوناتھن لیچ کے 1989 کے مقالے سے شروع کرتے ہوئے، انگوٹھوں میں سکیو لیٹیسیس، سکیو لیٹیسیس جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، مطالعہ کے بنیادی مقاصد رہے ہیں۔ اس میں بینڈ کے بارے میں پچھلے نتائج سے مدد ملی۔ یہ خاص طور پر بہت سی بنیادی خصوصیات کا معاملہ تھا۔ بنیادی خصوصیات قدرتی جزوی ترتیب اور قدرتی نیم ترتیب ایک ترچھا جالی میں، قدرتی جزوی ترتیب کی تعریف اگر، یا دوہری طور پر کی جاتی ہے۔ قدرتی پری آرڈر اگر یا دوہرا دیا جاتا ہے۔ جبکہ اور جالی پر متفق ہیں، غیر تبادلہ کیس میں مناسب طریقے سے بہتر ہوتا ہے۔ محرک قدرتی مساوات کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ اگر، یعنی، اور یا دوہرا، اور۔ پارٹیشن کے بلاکس جالی ہیں جو اس طرح موجود ہیں کہ اس کا حکم دیا گیا ہے۔ اس سے ہمیں سکیو لیٹیسیس کے ہس ڈائیگرام کھینچنے کی اجازت ملتی ہے جیسے کہ مندرجہ ذیل جوڑا: مثال کے طور پر، اوپر بائیں طرف کے ڈائیگرام میں، جو اور متعلقہ ہیں اس کا اظہار ڈیشڈ سیگمنٹ کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ جھکی ہوئی لکیریں الگ الگ طبقات کے عناصر کے درمیان قدرتی جزوی ترتیب کو ظاہر کرتی ہیں۔ عناصر، اور سنگلٹن کلاسز بناتے ہیں۔ آئتاکار سکیو لیٹیسیس سکیو لیٹیسیس جو ایک واحد کلاس پر مشتمل ہوتی ہیں، آئتاکار کہلاتی ہیں۔ ان کی خصوصیت مساوی شناختوں سے ہوتی ہے:، اور۔ آئتاکار سکیو لیٹسس سکیو لیٹسس کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں جن کی تعمیر مندرجہ ذیل ہوتی ہے (اور اس کے برعکس): غیر خالی سیٹوں کو دیا گیا ہے اور، وضاحت اور پر۔ سکیو لیٹس کی-کلاس پارٹیشن، جیسا کہ مندرجہ بالا خاکے میں اشارہ کیا گیا ہے، اس کی زیادہ سے زیادہ آئتاکار ذیلی الجبراس کی منفرد تقسیم ہے، اس کے علاوہ، ایک ہم آہنگی ہے جس میں انڈیوسڈ کوٹینٹ الجبرا زیادہ سے زیادہ جالی کی شبیہہ ہے، اس طرح ہر سکیو لیٹس کو آئتاکار ذیلی الجبراس کی جالی بناتی ہے۔ یہ سکیو لیٹیسیس کے لیے کلفورڈ-میک لین تھیوریم ہے، جو سب سے پہلے کلفورڈ اور میک لین نے الگ الگ بینڈ کے لیے دیا تھا۔ اسے سکیو لیٹیسیس کے لیے پہلے سڑنے کے نظریہ کے طور پر بھی جانا جاتا ہے۔ دائیں (بائیں) ہاتھ والی سکیو لیٹیس اور کمورا فیکٹرائزیشن ایک سکیو لیٹیس دائیں ہاتھ کی ہوتی ہے اگر یہ شناخت کو مطمئن کرتی ہے یا دوہری طور پر۔ یہ شناخت بنیادی طور پر اس بات پر زور دیتی ہیں اور ہر طبقے میں۔ ہر ترچھا جالی میں ایک منفرد زیادہ سے زیادہ دائیں ہاتھ کی تصویر ہوتی ہے جہاں ہم آہنگی کی تعریف اگر دونوں اور (یا دوہری، اور) سے کی جاتی ہے۔ اسی طرح ایک ترچھا جالی بائیں ہاتھ کی ہوتی ہے اگر اور ہر کلاس میں۔ ایک بار پھر سکیو لیٹس کی زیادہ سے زیادہ بائیں ہاتھ کی شبیہہ وہ شبیہہ ہے جہاں ہم آہنگی کو دوہری انداز میں بیان کیا گیا ہے۔ سکیو لیٹس کی بہت سی مثالیں یا تو دائیں یا بائیں ہاتھ کی ہوتی ہیں۔ ہم آہنگی کی جالی میں، اور شناخت کی ہم آہنگی ہے۔ انڈیوسڈ ایپیمورفزم اور دونوں کے ذریعے انڈیوسڈ ایپیمورفزم عوامل۔ ترتیب، جس کی طرف سے ہومومورفزم کی وضاحت کی گئی ہے، ایک آئسومورفزم کو جنم دیتی ہے۔ یہ کمورا فیکٹرائزیشن ہے جو اس کی زیادہ سے زیادہ دائیں اور بائیں ہاتھ کی تصاویر کے ریشے دار پروڈکٹ میں ہے۔ کلفورڈ-میک لین تھیوریم کی طرح، کمورا فیکٹرائزیشن (یا اسکیو لیٹیسیس کے لیے دوسرا سڑن تھیوریم) سب سے پہلے باقاعدہ بینڈ (بینڈ جو درمیانی جذب شناخت کو مطمئن کرتے ہیں،) کے لیے دیا گیا تھا۔ درحقیقت، دونوں اور باقاعدہ بینڈ آپریشن ہیں۔ مندرجہ بالا علامتیں، اور یقینا بنیادی سیمی گروپ تھیوری سے آتی ہیں۔ سکیو لیٹیس سکیو لیٹیس کی ذیلی اقسام مختلف قسم کی تشکیل کرتی ہیں۔ مستطیل سکیو لیٹس، بائیں ہاتھ اور دائیں ہاتھ کے سکیو لیٹس سبھی ذیلی اقسام کی تشکیل کرتے ہیں جو سکیو لیٹس کے بنیادی ساخت کے نظریہ کے لیے مرکزی ہیں۔ یہاں کچھ اور ہیں۔ سمیٹرک سکیو لیٹیسز ایک سکیو لیٹیس S سمیٹرک ہے اگر کسی کے لیے، اگر۔ اس طرح اس طرح کے سکیو لیٹیسیس کے لیے نقل و حمل کے واقعات غیر واضح ہیں، جوڑی کے لحاظ سے نقل و حمل کرنے والے عناصر کے ذیلی سیٹوں کے ساتھ مواصلاتی ذیلی الجیبرا، یعنی ذیلی لیٹیسیس پیدا کرتے ہیں۔ (یہ عام طور پر سکیو لیٹیس کے لیے درست نہیں ہے۔) اس ذیلی قسم کے لیے مساوی بنیادیں، جو سب سے پہلے اسپنکس کے ذریعے دی گئی ہیں: اور۔ سکیو لیٹس کا ایک لیٹس سیکشن ایک عنصر پر ہر کلاس سے ملنے کا ایک ذیلی لیٹس ہے۔ اس طرح یہ جالی کی ایک اندرونی نقل ہے جس کی ساخت ایک آئسومورفزم ہے۔ تمام سمیٹرک سکیو لیٹیسز جن کے لیے لیٹیس سیکشن داخل ہوتا ہے۔ سمیٹرک ہو یا نہ ہو، جالی والے حصے کا ہونا اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ اس کی اندرونی کاپیاں بھی ہوتی ہیں اور بالترتیب اور کے ذریعہ دی جاتی ہیں، کہاں اور کہاں ہیں اور ان کی ہم آہنگی کی کلاسیں ہوتی ہیں۔ اس طرح اور آئسومورفزم ہیں۔ یہ پچھلے کمورا خاکہ کو دوہرا کرنے کے لیے ایک آمد و رفت کے خاکہ کی طرف لے جاتا ہے۔ کینسیلیٹو سکیو لیٹس ایک سکیو لیٹس کینسیلیٹو ہے اگر اور اس کا مطلب ہے اور اسی طرح اور اس کا مطلب ہے۔ کینسیلیٹائس سکیو لیٹیسز ہم آہنگ ہوتی ہیں اور انہیں مختلف قسم کی تشکیل کے لیے دکھایا جا سکتا ہے۔ جالی کے برعکس، انہیں تقسیم کرنے والے اور اس کے برعکس ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ ڈسٹری بیوٹو سکیو لیٹیسز کا تعین شناختوں کے ذریعے کیا جاتا ہے: (D1) (D '1) لیٹیسیس کے برعکس، (D1) اور (D' 1) عام طور پر سکیو لیٹیسیس کے مساوی نہیں ہیں، لیکن وہ سمیٹرک سکیو لیٹیسیس کے لیے ہیں۔ حالت (D1) کو (D2) تک مضبوط کیا جا سکتا ہے جس صورت میں (D '1) ایک نتیجہ ہے۔ ایک سکیو لیٹس (D2) اور اس کے ڈوئل دونوں کو مطمئن کرتا ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ تقسیم شدہ لیٹس اور آئتاکار سکیو لیٹس کے پروڈکٹ کے طور پر شمار ہوتا ہے۔ اس مؤخر الذکر صورت میں (D2) کو اور سے مضبوط کیا جا سکتا ہے۔ (D3) اپنے آپ میں، (D3) (D2) کے مساوی ہوتا ہے جب ہم آہنگی شامل کی جاتی ہے۔ اس طرح ہمارے پاس سکیو لیٹیسز کی چھ ذیلی قسمیں ہیں جن کا تعین بالترتیب (D1)، (D2)، (D3) اور ان کے ڈوئلز کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ عام منحنی جالیں جیسا کہ اوپر دیکھا گیا ہے، اور شناخت کو مطمئن کرتی ہیں۔ مضبوط شناخت کو مطمئن کرنے والے بینڈ کو نارمل کہا جاتا ہے۔ ایک سکیو لیٹس عام سکیو ہے اگر یہ مطمئن کرتا ہے۔ عام سکیو لیٹس میں ہر عنصر a کے لیے، {} یا مساوی طور پر {} کی طرف سے بیان کردہ سیٹ ایک سب لیٹس ہے، اور اس کے برعکس۔ (اس طرح عام سکیو لیٹیس کو مقامی لیٹیس بھی کہا جاتا ہے۔) جب دونوں اور نارمل ہوتے ہیں، تو آئسومورفک طور پر ایک جالی اور ایک آئتاکار سکیو جالی کے پروڈکٹ میں تقسیم ہوتا ہے، اور اس کے برعکس۔ اس طرح عام سکیو لیٹس اور اسپلٹ سکیو لیٹس دونوں ہی اقسام بناتی ہیں۔ تقسیم کی طرف لوٹنا، تاکہ تقسیم، عام سکیو لیٹس کی قسم کی خصوصیت ہو، اور (D3) ہم آہنگی، تقسیم، عام سکیو لیٹس کی قسم کی خصوصیت رکھتا ہے۔ زمرہ جاتی سکیو لیٹیسز ایک سکیو لیٹیس درجہ بند ہوتی ہے اگر کوسیٹ بائیجیکشنز کے غیر خالی مرکب کوسیٹ بائیجیکشنز ہوں۔ کٹیگوریکل سکیو لیٹسس مختلف قسم کی تشکیل کرتے ہیں۔ انگوٹھوں میں ترچھا جالی اور عام ترچھا جالی اس قسم میں الجبراس کی مثالیں ہیں۔ ساتھ دیں، اور، لے جانے سے لے کر لے جانے تک کاسیٹ بیجیکشن بنیں، سے لے کر لے جانے تک کاسیٹ بیجیکشن بنیں اور آخر میں سے لے جانے تک کاسیٹ بیجیکشن بنیں۔ اگر کسی کے پاس ہمیشہ مساوات ہو، یعنی ایک ترچھا جالی واضح ہوتی ہے۔ ، اگر جامع جزوی بائیجیکشن اگر غیر خالی ہے تو a-کوسیٹ سے a-کوسیٹ تک کا ایک کوسیٹ بائیجیکشن ہے۔ یہ ہے۔ تمام ڈسٹری بیوٹو سکیو لیٹیسز درجہ بند ہیں۔ اگرچہ سمیٹرک سکیو لیٹسس نہیں ہو سکتے ہیں۔ ایک لحاظ سے وہ ہم آہنگی اور تقسیم کی خصوصیات کے درمیان آزادی کو ظاہر کرتے ہیں۔ سکیو بولین الجیبراس سکیو لیٹس S میں ایک صفر عنصر S کا ایک عنصر 0 ہے جس میں تمام کے لیے یا دو طرفہ طور پر (0) ایک بولین سکیو لیٹس ایک ہم آہنگ، تقسیم کرنے والا عام سکیو لیٹس ہے جس میں 0 ہوتا ہے، جو کہ ہر ایک کے لیے بولین لیٹس ہے۔ اس طرح کے سکیو لیٹس S کو دیکھتے ہوئے، ایک فرق آپریٹر کی تعریف x\y = سے کی جاتی ہے جہاں بالین لیٹس میں مؤخر الذکر کی تشخیص کی جاتی ہے۔ (D3) اور (0) کی موجودگی میں، شناختوں کی خصوصیت ہوتی ہے: اور (SB) اس طرح ایک میں مختلف قسم کے سکیو بولین الجیبراس ہوتے ہیں جن کی شناخت (D3) ہوتی ہے۔ ایک ابتدائی سکیو بولین الجبرا 0 اور ایک غیر-0 ڈی کلاس پر مشتمل ہوتا ہے۔ اس طرح یہ (0) کے ذریعے (0) کے ساتھ، اگر اور بصورت دیگر ایک آئتاکار سکیو لیٹس D سے 0 کو ملانے کا نتیجہ ہے۔ ہر سکیو بولین الجبرا ابتدائی الجبرا کا ایک ذیلی براہ راست پروڈکٹ ہے۔ سکیو بولین الجبرا بولین رویے کے عالمگیر الجبرا میں امتیازی اقسام اور دیگر عامیوں کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ انگوٹھیوں میں منحنی جالیں ایک انگوٹھی ہونے دیں اور اندر موجود تمام آئیڈیمپوٹینٹس کے سیٹ کو ظاہر کریں۔ تمام سیٹ اور کے لیے۔ واضح طور پر لیکن ملحقہ بھی ہے۔ اگر کوئی ذیلی سیٹ اور کے نیچے بند ہے، تو یہ ایک تقسیم کرنے والا، منسوخ کرنے والا سکیو لیٹس ہے۔ ایک میں اس طرح کے منحنی جالی تلاش کرنے کے لیے بینڈ پر نظر ڈالیں، خاص طور پر وہ جو کسی رکاوٹ کے حوالے سے زیادہ سے زیادہ ہیں۔ در حقیقت، اس میں ہر ضرب بینڈ صحیح باقاعدہ (=) ہونے کے حوالے سے زیادہ سے زیادہ بھی نیچے بند ہوتا ہے اور اس طرح دائیں ہاتھ سے سکیو لیٹس بناتا ہے۔ عام طور پر، ہر دائیں طرف کا باقاعدہ بینڈ دائیں ہاتھ کی سکیو جالی پیدا کرتا ہے۔ بائیں باقاعدہ بینڈ (شناخت کو مطمئن کرنے والے بینڈ) کے لیے بھی دوہرے تبصرے ہوتے ہیں۔ زیادہ سے زیادہ باقاعدہ بینڈوں کو جیسا کہ بیان کیا گیا ہے اس کے تحت بند کرنے کی ضرورت نہیں ہے ؛ جوابی مثالیں آسانی سے ضرب آئتاکار بینڈوں کا استعمال کرتے ہوئے پائی جاتی ہیں۔ یہ معاملات بند ہوتے ہیں، تاہم، کی طرف سے بیان کردہ کیوبک قسم کے تحت کیونکہ ان صورتوں میں دوہری آئتاکار بینڈ دینے کے لیے کم ہو جاتا ہے۔ باقاعدگی کی حالت کو معمول سے بدل کر، ہر زیادہ سے زیادہ عام ضرب والے بینڈ کو بھی اس کے نیچے بند کر دیا جاتا ہے، جہاں، ایک بولین سکیو لیٹس بناتا ہے۔ جب خود کو ضرب کے تحت بند کیا جاتا ہے، تو یہ ایک عام بینڈ ہوتا ہے اور اس طرح بولین سکیو لیٹس بناتا ہے۔ درحقیقت، کسی بھی منحنی بولین الجبرا کو اس طرح کے الجبرا میں سرایت کیا جا سکتا ہے۔ جب A کی ضرب شناخت ہوتی ہے، تو وہ حالت جو ضرب کے لحاظ سے بند ہوتی ہے اس کا مطلب بولین الجبرا بنتا ہے۔ انگوٹھوں میں منحنی جالیں مثالوں اور تحریک کا ایک اچھا ذریعہ بنی ہوئی ہیں۔ بالکل دو ڈی کلاسوں پر مشتمل ابتدائی سکیو لیٹیسز کو ابتدائی سکیو لیٹیسز کہا جاتا ہے۔ - کلاسز کے ساتھ اس طرح کے منحنی جالی کو دیکھتے ہوئے، پھر کسی بھی اور کے لیے، ذیلی سیٹوں {} اور {} کو بالترتیب، B میں A کے کوسیٹ اور A میں B کے کوسیٹ کہا جاتا ہے۔ یہ cosets پارٹیشن B اور A کے ساتھ اور۔ کوسیٹ ہمیشہ اپنی کلاسوں میں آئتاکار ذیلی الجیبرا ہوتے ہیں۔ مزید کیا ہے، جزوی ترتیب ایک کوسیٹ بائیجیکشن کو جنم دیتی ہے جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: آئی ایف ایف، فار اور۔ اجتماعی طور پر، کوسیٹ بیجیکشن ذیلی سیٹوں اور کے درمیان بیان کرتے ہیں۔ وہ الگ الگ طبقات سے عناصر کے جوڑوں کا تعین بھی کرتے ہیں۔ درحقیقت، دیا گیا اور، اندر اور اندر کے کوسیٹوں کے درمیان لاگت کا بائیجیکشن ہونے دیں۔ پھر: اور۔ عام طور پر، دیا ہوا اور اس کے ساتھ اور، پھر ایک عام-کوسیٹ سے تعلق رکھتا ہے اور اگر اور صرف اگر میں ایک عام-کوسیٹ سے تعلق رکھتا ہے۔ اس طرح ہر کوسیٹ بائیجیکشن، کسی نہ کسی لحاظ سے، باہمی متوازی جوڑوں کا زیادہ سے زیادہ مجموعہ ہے۔ ہر قدیم سکیو جالی کے عوامل اس کی زیادہ سے زیادہ بائیں اور دائیں ہاتھ کی قدیم تصاویر کے ریشے دار پروڈکٹ کے طور پر۔ دائیں ہاتھ کے ابتدائی سکیو لیٹس مندرجہ ذیل طریقے سے بنائے گئے ہیں۔ الگ الگ نان ایمپٹی سیٹوں کے پارٹیشن ہونے دیں اور، جہاں سب اور ایک مشترکہ سائز کا اشتراک کرتے ہیں۔ ہر جوڑے کے لیے اوپر سے ایک فکسڈ بائیجیکشن کا انتخاب کریں۔ پر اور الگ سے سیٹ کریں اور ؛ لیکن دیا گیا اور، سیٹ اور کہاں اور کے ساتھ سیل سے تعلق رکھتے ہیں اور سیل سے تعلق رکھتے ہیں۔ مختلف قسم کے کوسیٹ بائیجیکشن ہیں۔ اس کی وضاحت مندرجہ ذیل جزوی ہس خاکہ میں کی گئی ہے جہاں اور تیر-آؤٹ پٹ اور سے اور کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ایک دوہرے انداز میں بائیں ہاتھ کے قدیم ترچھا جالی کی تعمیر کرتا ہے۔ تمام دائیں [بائیں] ہاتھ والے قدیم سکیو لیٹیس اس انداز میں بنائے جا سکتے ہیں۔ سکیو لیٹیسز کا کوسیٹ ڈھانچہ ایک غیر آئتاکار سکیو لیٹیس اس کے زیادہ سے زیادہ ابتدائی سکیو لیٹیسز سے ڈھکا ہوتا ہے: تقابلی-کلاسوں کو دیا جاتا ہے، اس طرح کے ذیلی الجبرا میں زیادہ سے زیادہ ابتدائی ذیلی الجبرا اور ہر کلاس تشکیل دیتا ہے۔ ان ابتدائی ذیلی الجبروں پر موجود کوسیٹ ڈھانچے نتائج کا تعین کرنے کے لیے یکجا ہوتے ہیں اور کم از کم اس کے تحت کب اور کب موازنہ کیا جا سکتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ اور عام طور پر کاسیٹ اور ان کے بائیجیکشن کے ذریعہ طے کیا جاتا ہے، حالانکہ موازنہ کے معاملے کے مقابلے میں قدرے کم براہ راست انداز میں۔ خاص طور پر، دو بے مثال D-کلاسز A اور B کو D-کلاس J میں شامل ہونے اور D-کلاس سے ملنے کے ساتھ، A اور B کے حوالے سے J (یا M) کے دو کوسیٹ سڑنے کے درمیان دلچسپ روابط پیدا ہوتے ہیں۔ اس طرح ایک سکیو لیٹیس کو آئتاکار سکیو لیٹیس کے ایک کوسیٹ اٹلس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو ان کے درمیان ایک لیٹیس اور کوسیٹ بائیجیکشن کے عمودی حصوں پر رکھے جاتے ہیں، مؤخر الذکر کو آئتاکار الجبرا کے درمیان جزوی آئسومورفزم کے طور پر دیکھا جاتا ہے جس میں ہر کوسیٹ بائیجیکشن کا تعین ایک متعلقہ جوڑی کا تعین کرتا ہے۔ یہ نقطہ نظر، جوہر میں، سکیو لیٹس کا ہس خاکہ دیتا ہے، جو نسبتا چھوٹے ترتیب کے معاملات میں آسانی سے تیار کیا جاتا ہے۔ (اوپر سیکشن 3 میں موجود خاکے دیکھیں۔) ڈی کلاسز کے سلسلے کو دیکھتے ہوئے، کسی میں کوسیٹ بائیجیکشنز کے تین سیٹ ہوتے ہیں: اے سے بی، بی سے سی اور اے سے سی۔ عام طور پر، کوسیٹ بائیجیکشنز کو دیکھتے ہوئے اور جزوی بائیجیکشنز کی ساخت خالی ہو سکتی ہے۔ اگر ایسا نہیں ہے تو پھر ایک منفرد کوسیٹ بائیجیکشن موجود ہے۔ (ایک بار پھر، اور میں کوسیٹ کی ایک جوڑی کے درمیان ایک بائیجیکشن ہے۔) یہ شمولیت سخت ہو سکتی ہے۔ یہ ہمیشہ ایک مساوات (دی گئی) ہوتی ہے کسی دی گئی سکیو لیٹس S پر عین اس وقت جب S درجہ بند ہوتا ہے۔ اس صورت میں، ہر آئتاکار ڈی کلاس پر شناختی نقشے اور مناسب طریقے سے موازنہ ڈی کلاسوں کے درمیان ملحقہ خالی بیجکشن کو شامل کرکے، ان کے درمیان آئتاکار الجبرا اور کوسیٹ بیجکشن کا ایک زمرہ ہوتا ہے۔ سیکشن 3 میں سادہ مثالیں واضح ہیں۔ سیمی گروپ تھیوری لیٹیس تھیوری حوالہ جات لیٹیس تھیوری سیمی گروپ تھیوری بھی دیکھیں۔