Adjoint bundle
ریاضی میں، ملحقہ بنڈل ایک ویکٹر بنڈل ہے جو قدرتی طور پر کسی بھی پرنسپل بنڈل سے وابستہ ہوتا ہے۔ ملحقہ بنڈل کے ریشے ایک لائ الجبرا ڈھانچہ رکھتے ہیں جو ملحقہ بنڈل کو (غیر وابستہ) الجبرا بنڈل میں بناتا ہے۔ منسلک بنڈلوں کے کنکشن کے نظریہ کے ساتھ ساتھ گیج تھیوری میں بھی اہم استعمال ہوتے ہیں۔ رسمی تعریف G کو جھوٹ الجبرا کے ساتھ ایک جھوٹ گروپ ہونے دیں، اور P کو ہموار کئی گنا M پر ایک پرنسپل G-بنڈل ہونے دیں۔ G کی (بائیں) ملحقہ نمائندگی کریں۔ P کا ملحقہ بنڈل متعلقہ بنڈل ہے۔ ملحقہ بنڈل کو بھی عام طور پر اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ واضح طور پر، ملحقہ بنڈل کے عناصر جوڑوں کی مساوات کی کلاسیں ہیں [p, X] p ωP اور X ω کے لیے اس طرح کہ تمام g ωG کے لیے۔ چونکہ ملحقہ بنڈل کا ڈھانچہ گروپ لائ الجبرا آٹومورفزم پر مشتمل ہوتا ہے، اس لیے ریشے قدرتی طور پر ایک لائ الجبرا ڈھانچہ رکھتے ہیں جو ملحقہ بنڈل کو M پر لائ الجبرا کے بنڈل میں بناتا ہے۔ ایک بند ذیلی گروپ پر پابندی G کو لائ الجبرا کے ساتھ کوئی بھی لائ گروپ ہونا چاہیے، اور H کو G کا ایک بند ذیلی گروپ ہونا چاہیے۔ G کی (بائیں) ملحقہ نمائندگی کے ذریعے، G ایک ٹوپولوجیکل ٹرانسفارمیشن گروپ بن جاتا ہے۔ G کی ملحقہ نمائندگی کو ذیلی گروپ H تک محدود کرکے، H بھی ایک ٹپوولوجیکل ٹرانسفارمیشن گروپ کے طور پر کام کرتا ہے۔ H میں ہر h کے لیے، ایک لائ الجبرا آٹومورفزم ہے۔ چونکہ H لائ گروپ G کا ایک بند ذیلی گروپ ہے، اس لیے یکساں جگہ M = G/H کل جگہ G اور ساخت گروپ H کے ساتھ ایک پرنسپل بنڈل کی بنیادی جگہ ہے۔ لہذا H-ویلیوڈ ٹرانزیشن افعال کا وجود یقینی ہے، جہاں M کے لیے ایک کھلا احاطہ ہے، اور ٹرانزیشن افعال M پر ٹرانزیشن فنکشن کا ایک کوکیکل بناتے ہیں۔ متعلقہ فائبر بنڈل لائ الجبرا کا ایک بنڈل ہے، جس میں عام فائبر ہوتا ہے، اور ایک مسلسل نقشہ سازی ہر فائبر پر لائ بریکٹ کو شامل کرتی ہے۔ خصوصیات M پر اقدار کے ساتھ متفرق شکلیں افقی، G-مساوی کے ساتھ ایک سے ایک خط و کتابت میں ہیں۔ P پر جھوٹ الجبرا کی قدر والی شکلیں۔ ایک اہم مثال P پر کسی بھی کنکشن کی منحنیت ہے جسے M پر 2 شکل کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس میں اقدار ہیں۔ ملحقہ بنڈل کے حصوں کی جگہ قدرتی طور پر ایک (لامحدود جہتی) لائ الجبرا ہے۔ اسے P کی گیج تبدیلیوں کے لامحدود جہتی لائ گروپ کا لائ الجبرا سمجھا جا سکتا ہے جسے بنڈل کے حصوں کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جہاں کنج (بائیں) کنجگیشن کے ذریعے خود پر G کا عمل ہے۔ اگر ویکٹر بنڈل کا فریم بنڈل ہے، تو فائبر عام لکیری گروپ (یا تو حقیقی یا پیچیدہ، اس پر منحصر ہے) کہاں ہے۔ اس ساخت کے گروپ میں تمام میٹرکس پر مشتمل لائ الجبرا ہے، اور ان کو ویکٹر بنڈل کے اینڈومورفزم کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ درحقیقت ایک قدرتی آئسومورفزم ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ پی ڈی ایف لائ الجیبراس ویکٹر بنڈل کے طور پر