Category of manifolds
ریاضی میں، کئی گنا کا زمرہ، جسے اکثر مینپ کہا جاتا ہے، وہ زمرہ ہے جس کی اشیاء ہموار کلاس سی پی کے کئی گنا ہیں اور جن کے مورفزم پی-ٹائمز مسلسل تفریق پذیر نقشے ہیں۔ یہ ایک زمرہ ہے کیونکہ دو سی پی نقشوں کی ساخت دوبارہ مسلسل اور کلاس سی پی کی ہے۔ کسی کو اکثر صرف سی پی-مینیفولڈز میں دلچسپی ہوتی ہے جو ایک مقررہ زمرہ اے میں خالی جگہوں پر بنائے جاتے ہیں، اور اس طرح کے کئی گنا کے زمرے کو مینپ (اے) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، ایک مقررہ جگہ E پر ماڈل کیے گئے Cp-مینی فولڈز کے زمرے کو Manp (E) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کوئی بھی ہموار کئی گنا کے زمرے کے بارے میں بھی بات کر سکتا ہے، انسان، یا تجزیاتی کئی گنا کے زمرے، انسان۔ مینپ ایک ٹھوس زمرہ ہے۔ بہت سے زمروں کی طرح، زمرہ مینپ ایک ٹھوس زمرہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کی اشیاء اضافی ساخت کے ساتھ سیٹ ہیں (یعنی۔ ایک ٹوپولوجی اور چارٹ کے اٹلس کی ایک مساوات کلاس جو سی پی-تفریق کے قابل ڈھانچے کی وضاحت کرتی ہے) اور اس کے مورفزم اس ڈھانچے کو محفوظ رکھنے والے افعال ہیں۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے میں ایک قدرتی بھولنے والا فنکٹر U: Manp → Top ہے جو ہر ایک کو بنیادی ٹپوولوجیکل اسپیس کو کئی گنا تفویض کرتا ہے اور ہر p-اوقات میں مسلسل تفریق پذیر فنکشن کو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا بنیادی مسلسل فنکشن تفویض کرتا ہے۔ اسی طرح، ایک قدرتی بھولنے والا فنکٹر U′ ہے: Manp → سیٹوں کے زمرے میں سیٹ کریں جو ہر ایک کو بنیادی سیٹ کو کئی گنا تفویض کرتا ہے اور ہر p-ٹائمز کو مستقل طور پر تفریق پذیر فنکشن بنیادی فنکشن تفویض کرتا ہے۔ پوائنٹڈ مینیفولڈز اور ٹینجینٹ اسپیس فنکٹر ایک ممتاز نقطہ کے ساتھ کئی گنا کے زمرے کے ساتھ کام کرنا اکثر آسان یا ضروری ہوتا ہے: مین۔ پی۔ ٹاپ سے مشابہت رکھتا ہے۔-پوائنٹڈ اسپیس کا زمرہ۔ Man·p کے آبجیکٹ جوڑے ہوتے ہیں جہاں بیس پوائنٹ کے ساتھ کئی گنا ہوتا ہے اور اس کے مورفزم بیس پوائنٹ کو محفوظ رکھنے والے پی-ٹائمز مسلسل تفریق کے قابل نقشے ہوتے ہیں: جیسے۔ اس طرح کہ نکیلی کئی گنا کا زمرہ کوما زمرے کی ایک مثال ہے-مین پی بالکل وہی جگہ ہے جہاں ایک من مانی سنگلٹن سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے، اور اس سنگلٹن سے مینپ کے عنصر تک کے نقشے کی نمائندگی کرتا ہے، جس سے بیس پوائنٹ کا انتخاب ہوتا ہے۔ ٹینجینٹ اسپیس کی تعمیر کو مین پی سے ویکٹ آر تک ایک فنکٹر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: نکیلی کئی گنا دیئے جانے پر اور ان کے درمیان نقشے کے ساتھ، ہم ویکٹر خالی جگہوں کو تفویض کر سکتے ہیں اور ان کے درمیان پش فارورڈ (تفریق) کے ذریعہ دیئے گئے لکیری نقشے کے ساتھ: یہ تعمیر ایک حقیقی فنکٹر ہے کیونکہ شناختی نقشے کا پش فارورڈ ویکٹر اسپیس آئسومورفزم ہے اور زنجیر کا اصول اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ حوالہ جات مینیفولڈز مینیفولڈز ہیں۔