Semi-implicit Euler method
ریاضی میں، نیم واضح اویلر طریقہ، جسے سمپلیکٹک اویلر، نیم واضح اویلر، اویلر-کرومر، اور نیوٹن-اسٹورمر-ورلیٹ (این ایس وی) بھی کہا جاتا ہے، ہیملٹن کی مساوات کو حل کرنے کے لیے اویلر طریقہ کار کی ایک ترمیم ہے، جو کلاسیکی میکانکس میں پیدا ہونے والی عام تفریقی مساوات کا ایک نظام ہے۔ یہ ایک سمپلیکٹک انٹیگریٹر ہے اور اس لیے یہ معیاری اویلر طریقہ سے بہتر نتائج دیتا ہے۔ سیمی امپلیٹ اویلر طریقہ کا اطلاق اس شکل کی تفریقی مساوات کے جوڑے پر کیا جا سکتا ہے جہاں f اور g کو فنکشن دیے جاتے ہیں۔ یہاں، x اور v یا تو اسکیلر یا ویکٹر ہو سکتے ہیں۔ ہیملٹنین میکانکس میں حرکت کی مساوات یہ شکل اختیار کرتی ہیں اگر ہیملٹنین اس شکل کی ہو۔ تفریق مساوات کو ابتدائی حالت کے ساتھ حل کرنا ہے۔ طریقہ نیم مضمر اویلر طریقہ تکرار کرکے ایک لگ بھگ مجرد حل پیدا کرتا ہے جہاں Δt وقت کا مرحلہ ہے اور tn = t0 + nΔt n مراحل کے بعد کا وقت ہے۔ معیاری اویلر طریقہ کے ساتھ فرق یہ ہے کہ نیم جامع اویلر طریقہ xn + 1 کے لیے مساوات میں vn + 1 کا استعمال کرتا ہے، جبکہ اویلر طریقہ vn کا استعمال کرتا ہے۔ سے کی گنتی اور دوبارہ ترتیب دینے کے لیے منفی وقت کے مرحلے کے ساتھ طریقہ کار کو لاگو کرنا نیم مضمر اویلر طریقہ کار کی دوسری قسم کی طرف لے جاتا ہے جس میں اسی طرح کی خصوصیات ہیں۔ سیمی امپلیٹ اویلر ایک فرسٹ آرڈر انٹیگریٹر ہے، بالکل معیاری اویلر طریقہ کار کی طرح۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ Δt کی ترتیب کی عالمی غلطی کا ارتکاب کرتا ہے۔ تاہم، نیم مضمر اویلر طریقہ ایک سمپلیکٹک انٹیگریٹر ہے، جو معیاری طریقہ کے برعکس ہے۔ نتیجے کے طور پر، نیم مضمر اویلر طریقہ تقریبا توانائی کو محفوظ رکھتا ہے (جب ہیملٹنین وقت سے آزاد ہوتا ہے)۔ اکثر، جب معیاری اویلر طریقہ استعمال کیا جاتا ہے تو توانائی میں مسلسل اضافہ ہوتا ہے، جس سے یہ بہت کم درست ہو جاتا ہے۔ سیمی امپلیسیٹ اویلر طریقہ کار کے دو متغیرات کے درمیان متبادل ہونے سے اسٹورمر-ورلیٹ انضمام میں ایک آسانیاں آتی ہیں اور لیپفروگ انضمام میں قدرے مختلف آسانیاں ہوتی ہیں، جس سے غلطی کی ترتیب اور توانائی کے تحفظ کی ترتیب دونوں میں اضافہ ہوتا ہے۔ نیم مضمر طریقہ کار کے استحکام کے علاقے کو نیرانن نے پیش کیا تھا حالانکہ نیم مضمر اویلر کو اس کے مقالے میں گمراہ کن طور پر سمیٹرک اویلر کہا گیا تھا۔ نیم مبہم طریقہ مصنوعی نظام کو صحیح طریقے سے ماڈل کرتا ہے اگر خصوصیت کی مساوات کی پیچیدہ جڑیں ذیل میں دکھائے گئے دائرے میں ہوں۔ حقیقی جڑوں کے لیے استحکام کا خطہ دائرے سے باہر پھیلا ہوا ہے جس کے لیے معیار ہے۔ جیسا کہ دیکھا جا سکتا ہے، نیم مضمر طریقہ دونوں مستحکم نظاموں کو درست طریقے سے نقل کر سکتا ہے جن کی جڑیں بائیں نصف سطح پر ہوتی ہیں اور غیر مستحکم نظام جن کی جڑیں دائیں نصف سطح پر ہوتی ہیں۔ یہ فارورڈ (معیاری) اویلر اور بیکورڈ اویلر پر واضح فائدہ ہے۔ فارورڈ اویلر میں حقیقی نظام کے مقابلے میں کم ڈمپنگ ہوتی ہے جب جڑوں کے منفی حقیقی حصے خیالی محور کے قریب پہنچ جاتے ہیں اور بیکورڈ اویلر نظام کو مستحکم دکھا سکتا ہے یہاں تک کہ جب جڑیں دائیں نصف سطح میں ہوں۔ مثال ہک کے قانون کو مطمئن کرنے والے اسپرنگ کی حرکت اس مساوات کے لیے نیم مضمر اویلر دوسری مساوات میں پہلی مساوات کے ذریعے دیے گئے اظہار کے ساتھ تبدیل کر رہا ہے، تکرار کو مندرجہ ذیل میٹرکس کی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے اور چونکہ میٹرکس کا تعین کنندہ 1 ہے اس لیے تبدیلی رقبے کو محفوظ کرتی ہے۔ تکرار ترمیم شدہ توانائی کو بالکل فعال طور پر محفوظ رکھتی ہے، جس کی وجہ سے مستحکم دورانیے کے مدار (کافی چھوٹے قدم کے سائز کے لیے) ہوتے ہیں جو عین مدار سے ہٹ جاتے ہیں۔ کے ایک عنصر کے ذریعہ عددی تخمینہ میں عین مطابق سرکلر تعدد میں اضافہ ہوتا ہے۔ حوالہ جات عددی تفریق مساوات