Content (measure theory)
ریاضی میں، خاص طور پر پیمائش کے نظریہ میں، مواد ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے جس کی تعریف ذیلی مجموعوں کے مجموعے پر کی گئی ہے جیسے کہ مواد کسی پیمائش کی عمومی شکل ہے: جبکہ مؤخر الذکر کو قابل شمار اضافی ہونا چاہیے، سابقہ کو صرف حتمی طور پر اضافی ہونا چاہیے۔ بہت سے اہم ایپلی کیشنز میں سیٹوں کی انگوٹی کے طور پر یا کم از کم سیٹوں کی سیمیئرنگ کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے جس صورت میں کچھ اضافی خصوصیات کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے جو ذیل میں بیان کی گئی ہیں۔ اس وجہ سے کچھ مصنفین صرف سیمیرنگ یا یہاں تک کہ رنگز کے معاملے میں مواد کی وضاحت کرنے کو ترجیح دیتے ہیں۔ اگر کوئی مواد اضافی طور پر σ-اضافی ہے تو اسے پری پیمائش کہا جاتا ہے اور اگر اس کے علاوہ σ-الجبرا بھی ہے تو اس مواد کو پیمائش کہا جاتا ہے۔ لہذا ہر (حقیقی قدر) پیمائش ایک مواد ہے، لیکن اس کے برعکس نہیں۔ مواد کسی جگہ پر باؤنڈ فنکشنز کو مربوط کرنے کا ایک اچھا تصور دیتا ہے لیکن غیر باؤنڈ فنکشنز کو مربوط کرتے وقت برا برتاؤ کر سکتا ہے، جبکہ اقدامات غیر باؤنڈ فنکشنز کو مربوط کرنے کا ایک اچھا تصور دیتے ہیں۔ مثالیں ایک کلاسیکی مثال یہ ہے کہ تمام آدھے کھلے وقفوں پر مواد کی وضاحت ان کے مواد کو وقفوں کی لمبائی میں ترتیب دے کر کی جائے، یعنی، کوئی مزید یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ مواد دراصل σ-اضافی ہے اور اس طرح تمام آدھے کھلے وقفوں کے سیمیئرنگ پر پہلے سے پیمائش کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ کیریتھیوڈوری کی توسیعی تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے حقیقی نمبر لائن کے لیے لیبسگ پیمائش کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ عمومی تعمیر کے بارے میں مزید تفصیلات کے لیے لیبسیگ پیمائش پر مضمون دیکھیں۔ کسی ایسے مواد کی مثال جو σ-الجبرا پر پیمائش نہیں ہے وہ مثبت عددوں کے تمام ذیلی سیٹوں پر موجود مواد ہے جس کی قدر کسی بھی عدد پر ہوتی ہے اور کسی بھی لامحدود ذیلی سیٹ پر لامحدود ہوتی ہے۔ مثبت عددوں پر موجود مواد کی ایک مثال جو ہمیشہ محدود ہوتی ہے لیکن پیمائش نہیں ہوتی ہے، مندرجہ ذیل طور پر دی جا سکتی ہے۔ باؤنڈڈ سیکوینس پر ایک مثبت لکیری فنکشنل لیں جو کہ 0 ہے اگر سیکوینس میں غیر صفر عناصر کی صرف ایک محدود تعداد ہے اور سیکوینس پر ویلیو 1 لیتا ہے تو فنکشنل کسی لحاظ سے کسی باؤنڈڈ سیکوینس کی "اوسط ویلیو" دیتا ہے۔ (اس طرح کے فنکشنل کو واضح طور پر تعمیر نہیں کیا جا سکتا، لیکن ہان-بناچ تھیوریم کے ذریعہ موجود ہے۔) پھر مثبت انٹیجرز کے سیٹ کا مواد اس ترتیب کی اوسط قیمت ہے جو اس سیٹ پر 1 اور دوسری جگہوں پر 0 ہے۔ غیر رسمی طور پر، کوئی انٹیجرز کے ذیلی سیٹ کے مواد کو "موقع" کے طور پر سوچ سکتا ہے کہ بے ترتیب طور پر منتخب کردہ انٹیجر اس ذیلی سیٹ میں موجود ہے (حالانکہ یہ امکانی نظریہ میں موقع کی معمول کی تعریفوں کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتا ہے، جو قابل شمار اضافہ کو فرض کرتا ہے)۔ خصوصیات اکثر مواد کی وضاحت سیٹوں کے مجموعے پر کی جاتی ہے جو مزید رکاوٹوں کو پورا کرتے ہیں۔ اس صورت میں اضافی خصوصیات کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے جو عام طور پر سیٹوں کے کسی بھی مجموعے پر بیان کردہ مواد کے لیے برقرار رکھنے میں ناکام رہتی ہیں۔ سیمیرنگ پر اگر سیٹوں کی سمیرنگ بنتی ہے تو درج ذیل بیانات کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے: ہر مواد مونوٹون ہے یعنی ہر مواد ذیلی اضافی ہے، اس طرح کے لیے کہ آن رنگز۔ اگر اس کے علاوہ سیٹوں کی رنگ ہے تو اضافی طور پر ملتا ہے: سبٹریکٹیویٹی: اسے مطمئن کرنے کے لیے سب ایڈیٹیویٹی کی پیروی کرتا ہے:-سپر ایڈیٹیویٹی: کسی بھی جوڑی کے لحاظ سے عدم اطمینان کے لیے ہمارے پاس ہے۔ اگر ایک محدود مواد ہے، یعنی، تو شمولیت-اخراج کا اصول لاگو ہوتا ہے: جہاں پابند افعال کے تمام انضمام کے لیے کسی مواد کے حوالے سے افعال کا عمومی انضمام اچھا سلوک نہیں کرتا ہے۔ تاہم انضمام کا ایک اچھا سلوک تصور موجود ہے بشرطیکہ فنکشن پابند ہو اور خلا کا کل مواد محدود ہو، مندرجہ ذیل کے طور پر دیا گیا ہے۔ فرض کریں کہ کسی جگہ کا کل مواد محدود ہے۔ اگر جگہ پر ایک باؤنڈ فنکشن ہے جیسے کہ حقیقی کے کسی بھی کھلے ذیلی سیٹ کی الٹا شبیہہ میں مواد ہوتا ہے، تو ہم مواد کے حوالے سے انٹیگرل کی وضاحت کر سکتے ہیں جہاں اختلاط نصف کھلے سیٹوں کا ایک محدود مجموعہ تشکیل دیتا ہے جس کا اتحاد کسی بھی عنصر کی حد کا احاطہ کرتا ہے اور جہاں حد لی جاتی ہے کیونکہ سیٹوں کے قطر 0 ہوتے ہیں۔ باؤنڈ فنکشنز کی خالی جگہوں کے ڈوئلز فرض کریں کہ یہ کسی جگہ پر ایک پیمائش ہے۔ باؤنڈ پیمائش کے قابل افعال بالادستی کے معیار کے حوالے سے بناچ کی جگہ بناتے ہیں۔ اس جگہ کے ڈوئل کے مثبت عناصر انٹیگرل کے ذریعہ دیئے گئے آن کی قیمت کے ساتھ باؤنڈ مواد سے مطابقت رکھتے ہیں۔ اسی طرح کوئی بھی بنیادی طور پر باؤنڈ افعال کی جگہ تشکیل دے سکتا ہے، جس میں لازمی بالادستی کے ذریعہ دیئے گئے معیار کے ساتھ، اور اس جگہ کے ڈوئل کے مثبت عناصر باؤنڈ مواد کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں جو پیمائش 0 کے سیٹوں پر غائب ہو جاتے ہیں۔ کسی مواد سے پیمائش کی تعمیر ٹپوولوجیکل جگہ پر موجود مواد سے پیمائش کی تعمیر کے کئی طریقے ہیں۔ یہ سیکشن مقامی طور پر کمپیکٹ ہاؤس ڈورف خالی جگہوں کے لیے ایسا ہی ایک طریقہ پیش کرتا ہے کہ مواد کو تمام کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر بیان کیا جائے۔ عام طور پر پیمائش مواد کی توسیع نہیں ہے، کیونکہ مواد شمار کے لحاظ سے اضافی ہونے میں ناکام ہو سکتا ہے، اور پیمائش یکساں طور پر صفر بھی ہو سکتی ہے چاہے مواد نہ ہو۔ سب سے پہلے مواد کو کمپیکٹ سیٹوں تک محدود رکھیں۔ یہ مندرجہ ذیل خصوصیات کے ساتھ کمپیکٹ سیٹوں کا ایک فنکشن فراہم کرتا ہے: تمام کمپیکٹ سیٹوں کے لیے کمپیکٹ سیٹوں کے تمام جوڑوں کے لیے تمام کمپیکٹ سیٹوں کے لیے۔ مذکورہ بالا افعال کی مثالیں بھی موجود ہیں جو مواد سے تعمیر نہیں کی گئی ہیں۔ ایک مثال مقامی طور پر کمپیکٹ گروپ پر ہار پیمائش کی تعمیر سے دی گئی ہے۔ اس طرح کے ہار پیمائش کی تعمیر کا ایک طریقہ یہ ہے کہ گروپ کے کمپیکٹ ذیلی سیٹوں پر اوپر کی طرح لیفٹ-انویرینٹ فنکشن تیار کیا جائے، جسے پھر لیفٹ-انویرینٹ پیمائش تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ کھلے سیٹوں پر تعریف جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے، ہم تمام کھلے سیٹوں پر ایک فنکشن کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: کھلے سیٹوں کے کسی بھی مجموعہ کے لیے جداگانہ کھلے سیٹوں کے کسی بھی مجموعہ کے لیے۔ تمام سیٹوں پر تعریف جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے، ہم فنکشن μ کو ٹوپولوجیکل اسپیس کے تمام ذیلی سیٹوں تک توسیع دیتے ہیں۔ یہ ایک بیرونی پیمائش ہے، دوسرے الفاظ میں اس میں درج ذیل خصوصیات ہیں: سیٹوں کے کسی بھی قابل شمار مجموعہ کے لیے۔ پیمائش کی تعمیر مذکورہ فنکشن μ تمام ذیلی سیٹوں کے خاندان پر ایک بیرونی پیمائش ہے۔ لہذا یہ ایک پیمائش بن جاتی ہے جب بیرونی پیمائش کے لیے قابل پیمائش ذیلی سیٹوں تک محدود ہو، جو اس طرح کے ذیلی سیٹیں ہیں کہ تمام ذیلی سیٹوں کے لیے اگر جگہ مقامی طور پر کمپیکٹ ہے تو اس پیمائش کے لیے ہر کھلا سیٹ قابل پیمائش ہے۔ یہ پیمائش لازمی طور پر کمپیکٹ سیٹوں پر موجود مواد کے ساتھ مطابقت نہیں رکھتی ہے، تاہم اگر یہ اس لحاظ سے باقاعدہ ہے کہ کسی بھی کمپیکٹ کے لیے ان کے اندرونی حصوں میں موجود کمپیکٹ سیٹوں کی معلومات ہوتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں حوالہ جات پیمائش کا نظریہ سیٹوں کے خاندان