Excellent ring
کمیونیٹیٹو الجبرا میں، ایک نیم بہترین رنگ ایک نویتھیرین کمیونیٹیٹو رنگ ہے جو تکمیل کے عمل کے حوالے سے اچھی طرح سے برتاؤ کرتا ہے، اور اگر یہ عالمگیر طور پر بھی کیٹینیری ہے تو اسے بہترین رنگ کہا جاتا ہے۔ بہترین رنگ نمبر تھیوری اور الجبرائی جیومیٹری میں پائے جانے والے زیادہ تر رنگوں پر مشتمل "اچھی طرح سے برتاؤ کرنے والے" رنگوں کی قدرتی کلاس تلاش کرنے کے مسئلے کا ایک جواب ہے۔ ایک زمانے میں ایسا لگتا تھا کہ نویتھیرین بجتوں کی کلاس اس مسئلے کا جواب ہو سکتی ہے، لیکن ماسایوشی ناگاتا اور دیگر نے کئی عجیب و غریب مثالوں کو پایا جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ عام طور پر نویتھیرین بجتوں کو اچھی طرح سے برتاؤ کرنے کی ضرورت نہیں ہے: مثال کے طور پر، ایک عام نویتھیرین مقامی انگوٹی کو تجزیاتی طور پر نارمل ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ بہترین رنگوں کی کلاس کی تعریف الیگزینڈر گروتھینڈیک (1965) نے اس طرح کے اچھے رویے والے رنگوں کے امیدوار کے طور پر کی تھی۔ نیم بہترین رنگوں کو بنیادی رنگ سمجھا جاتا ہے جس کے لیے انفرادیت کے حل کا مسئلہ حل کیا جا سکتا ہے۔ اس کو خصوصیت 0 میں دکھایا گیا ہے، لیکن مثبت خصوصیت کا معاملہ (2016 تک) اب بھی ایک بڑا کھلا مسئلہ ہے۔ بنیادی طور پر تمام نویتھیرین حلقے جو قدرتی طور پر الجبرائی جیومیٹری یا نمبر تھیوری میں پائے جاتے ہیں بہترین ہیں ؛ درحقیقت نویتھیرین حلقوں کی ایسی مثالیں بنانا کافی مشکل ہے جو بہترین نہیں ہیں۔ تعریفیں بہترین رنگوں کی تعریف کافی حد تک شامل ہے، لہذا ہم ان تکنیکی حالات کی تعریفیں یاد کرتے ہیں جو اس سے مطمئن ہوتے ہیں۔ اگرچہ یہ حالات کی ایک لمبی فہرست کی طرح لگتا ہے، لیکن عملی طور پر زیادہ تر حلقے بہترین ہوتے ہیں، جیسے فیلڈز، کثیر الجہتی حلقے، مکمل نویتھیرین حلقے، خصوصیت 0 (جیسے) پر ڈیڈیکائنڈ ڈومینز، اور ان حلقوں کے حصص اور لوکلائزیشن حلقے۔ یاد کی گئی تعریفیں کسی فیلڈ پر مشتمل رنگ کو ہندسی طور پر ریگولر اوور کہا جاتا ہے اگر رنگ کی کسی بھی محدود توسیع کے لیے ریگولر ہو۔ بجتوں کی ہومومورفزم کو باقاعدہ کہا جاتا ہے اگر یہ چپٹا ہو اور ہر ایک کے لیے ریشہ کے بقیہ میدان پر ہندسی طور پر باقاعدہ ہو۔ ایک انگوٹھی کو جی رنگ (یا گروتھینڈیک رنگ) کہا جاتا ہے اگر یہ نویتھیرین ہے اور اس کے رسمی ریشے ہندسی طور پر باقاعدہ ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کسی کے لیے بھی، مقامی انگوٹھی سے اس کی تکمیل تک کا نقشہ اوپر کے معنی میں باقاعدہ ہے۔ آخر میں، ایک رنگ J-2 ہے اگر کوئی محدود قسم-الجبرا J-1 ہے، جس کا مطلب ہے کہ باقاعدہ سبسکیم کھلا ہے۔ (نیم-) اتکرجتا کی تعریف اگر یہ جی-رنگ اور جے-2 رنگ ہے تو ایک رنگ کو نیم اتکرجتا کہا جاتا ہے۔ اسے بہترین پی جی 214 کہا جاتا ہے اگر یہ نیم بہترین اور عالمگیر طور پر کیٹینری ہو۔ عملی طور پر تقریبا تمام نویتھیرین حلقے عالمگیر طور پر کیٹینری ہوتے ہیں، اس لیے بہترین اور نیم بہترین حلقوں میں بہت کم فرق ہوتا ہے۔ کسی اسکیم کو بہترین یا نیم بہترین کہا جاتا ہے اگر اس میں اسی پراپرٹی کے ساتھ اوپن افائن سبسکیمز کا احاطہ ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر اوپن افائن سبسکیم میں یہ پراپرٹی ہوتی ہے۔ خصوصیات کیونکہ ایک بہترین انگوٹھی جی-انگوٹھی ہے، اس کی تعریف نویتھیرین ہے۔ چونکہ یہ عالمگیر طور پر کیٹینری ہے، اس لیے پرائم آئیڈیلز کی ہر زیادہ سے زیادہ زنجیر کی لمبائی ایک جیسی ہوتی ہے۔ یہ اس طرح کے رنگوں کے طول و عرض کے نظریہ کا مطالعہ کرنے کے لیے مفید ہے کیونکہ ان کے طول و عرض کو ایک مقررہ زیادہ سے زیادہ سلسلہ سے محدود کیا جا سکتا ہے۔ عملی طور پر، اس کا مطلب ہے کہ لامحدود جہتی نویتھیرین حلقے جن میں پرائم آئیڈیلز کی زیادہ سے زیادہ زنجیروں کی تعمیری تعریف ہوتی ہے، جو لامحدود جہتی انگوٹی دیتی ہیں، تعمیر نہیں کی جا سکتی۔ اسکیمیں ایک بہترین اسکیم اور مقامی طور پر محدود قسم کی مورفزم کو دیکھتے ہوئے، پھر بہترین پی جی 217 ہے۔ نیم بہترین کوئی بھی نیم بہترین انگوٹھی ناگاٹا انگوٹھی ہے۔ کسی بھی نیم بہترین کم شدہ مقامی رنگ کو تجزیاتی طور پر کم کیا جاتا ہے۔ کوئی بھی نیم بہترین نارمل لوکل رنگ تجزیاتی طور پر نارمل ہے۔ مثالیں بہترین حلقے نمبر تھیوری یا الجبرائی جیومیٹری میں زیادہ تر قدرتی طور پر پائے جانے والے مواصلاتی حلقے بہترین ہوتے ہیں۔ خاص طور پر: تمام مکمل نویتھیرین مقامی حلقے، مثال کے طور پر تمام فیلڈز اور-adic انٹیجرز کی انگوٹی، بہترین ہیں۔ خصوصیت کے تمام ڈیڈیکائنڈ ڈومین بہترین ہیں۔ خاص طور پر انٹیجرز کی رنگ بہترین ہوتی ہے۔ ضرورت سے زیادہ خصوصیت کے شعبوں پر ڈیڈیکائنڈ ڈومین بہترین نہیں ہیں۔ متغیرات کی ایک محدود تعداد میں متغیر پاور سیریز کے حلقے بہترین ہیں۔ ایک بہترین رنگ کی کوئی بھی لوکلائزیشن بہترین ہے۔ ایک بہترین رنگ پر کوئی بھی حتمی طور پر تیار کردہ الجبرا بہترین ہوتا ہے۔ اس میں بہترین کے ساتھ تمام کثیر الجہتی الجبرا شامل ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ الجبرائی جیومیٹری میں سمجھے جانے والے زیادہ تر حلقے بہترین ہوتے ہیں۔ ایک جے-2 رنگ جو جی-رنگ نہیں ہے یہاں طول و عرض اور خصوصیت کی ایک مجرد ویلیوایشن رنگ کی مثال ہے جو کہ لیکن ایک-رنگ نہیں ہے اور اس لیے نیم بہترین نہیں ہے۔ اگر خصوصیت کا کوئی فیلڈ ہے اور پاور سیریز کی رنگ ایسی ہے جو محدود ہے تو اس کے رسمی ریشے تمام ہندسی طور پر باقاعدہ نہیں ہیں لہذا یہ-رنگ نہیں ہے۔ یہ ایک انگوٹھی ہے کیونکہ طول و عرض کے تمام نویتھیرین مقامی حلقے زیادہ سے زیادہ حلقے ہوتے ہیں۔ یہ عالمی سطح پر کیٹینری بھی ہے کیونکہ یہ ایک ڈیڈیکائنڈ ڈومین ہے۔ یہاں فروبینیوس مورفزم کے تحت کی تصویر کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک جی-رنگ جو جے-2 رنگ نہیں ہے یہاں ایک ایسی رنگ کی مثال ہے جو جی-رنگ ہے لیکن جے-2 رنگ نہیں ہے اور اس لیے نیم بہترین نہیں ہے۔ اگر تمام جنریٹرز کے مربعوں اور کیوبوں کے ذریعہ پیدا ہونے والے لامحدود بہت سے جنریٹرز میں کثیر الجہتی رنگ کی ذیلی رنگ ہے، اور یہ تمام عناصر کے ملحقہ الٹ سے حاصل کی جاتی ہے نہ کہ کسی کے ذریعہ تیار کردہ آئیڈیل میں، تو ایک 1 جہتی نویتھیرین ڈومین ہے جو ایک رنگ نہیں ہے کیونکہ ہر بند نقطہ پر کاسپ سنگلٹی ہے، لہذا واحد پوائنٹس کا سیٹ بند نہیں ہوتا ہے، حالانکہ یہ جی رنگ ہے۔ یہ رنگ بھی عالمگیر طور پر کیٹینیری ہے، کیونکہ ہر پرائم آئیڈیل پر اس کی لوکلائزیشن ایک باقاعدہ رنگ کا حصہ ہے۔ ایک نیم شاندار انگوٹھی جو ناگاٹا کی دو جہتی نویتھیرین مقامی انگوٹھی کی بہترین مثال نہیں ہے جو کیٹینری ہے لیکن عالمی طور پر کیٹینری نہیں ہے، وہ جی-رنگ ہے، اور یہ جے-2 رنگ بھی ہے کیونکہ کوئی بھی مقامی جی-رنگ جے-2 رنگ ہے۔ لہذا یہ ایک نیم بہترین کیٹینری مقامی رنگ ہے جو بہترین نہیں ہے۔ یکسانیت کی ریزولوشن نیم بہترین رنگوں کا یکسانیت کے ریزولوشن کے مسئلے سے گہرا تعلق ہے، اور ایسا لگتا ہے کہ ان کی وضاحت کے لیے گروتھینڈیک کی ترغیب پی جی 218 رہی ہے۔ گروتھینڈیک (1965) نے مشاہدہ کیا کہ اگر تمام مکمل انٹیگرل مقامی نویتھیرین رنگوں کی انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے، تو تمام کم شدہ نیم بہترین رنگوں کی انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے۔ ہیروناکا (1964) نے اسے خصوصیت 0 کے میدان پر تمام مکمل انٹیگرل نویتھیرین مقامی رنگوں کے لیے ثابت کیا، جس سے ان کا نظریہ ظاہر ہوتا ہے کہ خصوصیت 0 کے میدان پر بہترین اسکیموں کی تمام انفرادیت کو حل کیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس اگر نویتھیرین رنگ R پر تمام مربوط محدود الجبرا کی سپیکٹرم کی تمام انفرادیت کو حل کرنا ممکن ہے تو رنگ R نیم بہترین ہے۔ ریزولوشن آف سنگلٹیز حوالہ جات الیگزینڈر گروتھینڈیک، جین ڈیوڈونی، ایلیمنٹس ڈی گیومیٹری الجیبریک IV پبلکیشنز میتھیمیٹیکس ڈی ایل آئی ایچ ای ایس 24 (1965)، سیکشن 7 الجبرائی جیومیٹری کمیونیٹیٹو الجبرا بھی دیکھیں۔