Catenary ring
ریاضی میں، ایک مواصلاتی رنگ R کیٹینری ہے اگر پرائم آئیڈیلز p، q کے کسی بھی جوڑے کے لیے، کسی بھی دو سختی سے بڑھتی ہوئی زنجیروں p = p0. p1. pn = q پرائم آئیڈیلز کی زیادہ سے زیادہ سختی سے بڑھتی ہوئی زنجیروں میں اسی (محدود) لمبائی کے p سے q تک موجود ہوں۔ ہندسی صورت حال میں، جس میں کسی پرائم آئیڈیل سے منسلک الجبرائی قسم کا طول و عرض کم ہوتا جائے گا جیسے جیسے پرائم آئیڈیل بڑا ہوتا جائے گا، اس طرح کی زنجیر n کی لمبائی عام طور پر طول و عرض میں فرق ہوتی ہے۔ ایک انگوٹھی کو عالمگیر طور پر کیٹینیری کہا جاتا ہے اگر اس کے اوپر تمام حتمی طور پر تیار کردہ الجیبرا کیٹینیری حلقے ہوں۔ لفظ 'کیٹینری' لاطینی لفظ کیٹینا سے ماخوذ ہے، جس کا مطلب ہے "زنجیر"۔ شمولیت کا درج ذیل سلسلہ ہے۔ طول و عرض کا فارمولا فرض کریں کہ A ایک نویتھیرین ڈومین ہے اور B ایک ڈومین ہے جس میں A ہے جو A پر حتمی طور پر تیار ہوتا ہے۔ اگر P، B کا ایک پرائم آئیڈیل ہے اور p، A کے ساتھ اس کا انٹرسیکشن ہے، تو عالمگیر طور پر کیٹینیری رنگوں کے لیے طول و عرض کا فارمولا کہتا ہے کہ مساوات برقرار رہتی ہے اگر A عالمگیر طور پر کیٹینیری ہے۔ یہاں κ (P) P اور tr.deg کا بقیہ فیلڈ ہے۔ اس کا مطلب ہے ماورائی ڈگری (حصص کے شعبوں کی)۔ درحقیقت، جب اے عالمگیر طور پر کیٹینری نہیں ہے، لیکن، تب مساوات بھی برقرار رہتی ہے۔ مثالیں الجبرائی جیومیٹری میں ظاہر ہونے والے تقریبا تمام نویتھیرین حلقے عالمگیر طور پر کیٹینری ہوتے ہیں۔ خاص طور پر درج ذیل حلقے عالمگیر طور پر کیٹینیری ہیں: مکمل نویتھیرین مقامی حلقے ڈیڈیکائنڈ ڈومینز (اور فیلڈز) کوہن-میکالے حلقے (اور باقاعدہ مقامی حلقے) عالمی طور پر کیٹینیری حلقے کی کوئی بھی لوکلائزیشن کوئی بھی حتمی طور پر پیدا شدہ الجبرا عالمی طور پر کیٹینیری حلقے پر۔ ایک انگوٹھی جو کیٹینری ہے لیکن عالمی طور پر کیٹینری نہیں ہے۔ نویتھیرین بجتوں کی ایسی مثالیں بنانا نازک ہے جو عالمی طور پر کیٹینری نہیں ہیں۔ پہلی مثال اس کے ذریعہ پائی گئی، جس نے ایک 2 جہتی نویتھیرین مقامی ڈومین پایا جو کیٹینری ہے لیکن عالمی طور پر کیٹینری نہیں ہے۔ ناگاتا کی مثال اس طرح ہے۔ ایک فیلڈ k کا انتخاب کریں اور ایک رسمی پاور سیریز z = ssi> 0aixi کو رسمی پاور سیریز کی رنگ S میں x اوور k میں اس طرح منتخب کریں کہ z اور x الجبرائی طور پر آزاد ہوں۔ زیڈ 1 = زیڈ اور زی + 1 = زی/ایکس-آئی کی وضاحت کریں۔ فرض کریں کہ R (غیر نویتھیرین) رنگ ہے جو x اور تمام عناصر zi سے پیدا ہوتا ہے۔ m کو آئیڈیل (x) ہونے دیں، اور n کو x-1 اور تمام عناصر zi سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہونے دیں۔ یہ دونوں R کے زیادہ سے زیادہ آئیڈیل ہیں، جس میں بقیہ فیلڈز k کے لیے آئسومورفک ہیں۔ مقامی رنگ Rm طول و عرض 1 کی ایک باقاعدہ مقامی رنگ ہے (اس کا ثبوت اس حقیقت کو استعمال کرتا ہے کہ z اور x الجبرائی طور پر آزاد ہیں) اور مقامی رنگ Rn طول و عرض 2 کی ایک باقاعدہ نویتھیرین مقامی رنگ ہے۔ فرض کریں کہ B ان تمام عناصر کے حوالے سے R کی لوکلائزیشن ہے جو m یا n میں نہیں ہیں۔ پھر B ایک 2 جہتی نویتھیرین نیم لوکل رنگ ہے جس میں 2 زیادہ سے زیادہ آئیڈیلز، mB (اونچائی 1 کا) اور nB (اونچائی 2 کا) ہیں۔ مجھے B کا جیکبسن ریڈیکل بننے دیں، اور A = k + I ہونے دیں۔ رنگ اے طول و عرض 2 کا ایک مقامی ڈومین ہے جس میں زیادہ سے زیادہ آئیڈیل I ہے، اسی طرح کیٹینری بھی ہے کیونکہ تمام 2 جہتی مقامی ڈومینز کیٹینری ہیں۔ رنگ A نویتھیرین ہے کیونکہ B نویتھیرین ہے اور ایک محدود A-ماڈیول ہے۔ تاہم A عالمگیر طور پر کیٹینیری نہیں ہے، کیونکہ اگر یہ ہوتا تو B کے مثالی mB کی اونچائی mB θA کے برابر ہوتی جو کہ عالمی طور پر کیٹینیری رنگوں کے جہتی فارمولے کے مطابق ہوتی، لیکن مؤخر الذکر آئیڈیل کی اونچائی مدھم (A) = 2 کے برابر ہوتی ہے۔ ناگاتا کی مثال بھی ایک نیم بہترین انگوٹھی ہے، اس لیے ایک نیم بہترین انگوٹھی کی مثال دیتی ہے جو ایک بہترین انگوٹھی نہیں ہے۔ رسمی طور پر کیٹینری رنگ بھی دیکھیں (جو کہ عالمگیر طور پر کیٹینری رنگ کی طرح ہے)۔ حوالہ جات ایچ۔ متسمورا، مواصلاتی الجبرا 1980۔ ناگاتا، ماسایوشی مقامی حلقے۔ خالص اور اطلاقی ریاضی میں انٹرسائنس ٹریکٹس، نمبر۔ 13 انٹرسائنس پبلشرز جان ولی اینڈ سنز، نیویارک-لندن 1962 کا ایک ڈویژن، جسے آر۔ ای۔ کریگر پب نے دوبارہ شائع کیا۔ کو (1975) رنگ تھیوری لوکل رنگز کمیونیٹیٹو رنگز کوہن میکالے رنگز گورینسٹین لوکل رنگز الجبرائی جیومیٹری کمیونیٹیٹو الجبرا بھی دیکھیں۔