Cohomological dimension
تجریدی الجبرا میں، کوہمولوجیکل طول و عرض کسی گروپ کا ایک غیر متغیر ہے جو اس کی نمائندگی کی ہومولوجیکل پیچیدگی کی پیمائش کرتا ہے۔ اس کے ہندسی گروپ تھیوری، ٹوپولوجی، اور الجبرائی نمبر تھیوری میں اہم استعمال ہیں۔ کسی گروپ کی کوہمولوجیکل جہت زیادہ تر کوہمولوجیکل غیر متغیرات کے طور پر، کوہمولوجیکل جہت میں "رنگ آف کوفیشنٹس" R کا انتخاب شامل ہوتا ہے، جس میں R = Z، انٹیجرز کی انگوٹی کے ذریعہ دیا گیا ایک نمایاں خاص کیس ہوتا ہے۔ فرض کریں کہ G ایک مجرد گروپ ہے، R ایک یونٹ کے ساتھ غیر صفر رنگ ہے، اور RG گروپ رنگ ہے۔ گروپ G کی ہم آہنگی جہت n سے کم یا اس کے برابر ہے، جسے cdR (G) ≤ n سے ظاہر کیا جاتا ہے، اگر معمولی RG-ماڈیول R کی لمبائی n کی پروجیکٹو ریزولوشن ہے، یعنی۔ پروجیکٹو RG-ماڈیول P0،.، Pn اور RG-ماڈیول ہومومورفزم dk: PkPk−1 (k = 1،., n) اور d0: P0R ایسے ہیں، کہ dk کی شبیہہ k = 1،.، n کے لیے dk−1 کے دانا کے ساتھ موافق ہوتی ہے اور dn کا دانا معمولی ہوتا ہے۔ مساوی طور پر، کوہمولوجیکل طول و عرض n سے کم یا اس کے برابر ہوتا ہے اگر کسی صوابدیدی RG-ماڈیول M کے لیے، M میں کوفیشنٹس کے ساتھ G کی کوہمولوجی ڈگری k> n میں غائب ہو جاتی ہے، یعنی جب بھی k> n ہوتا ہے تو Hk (G، M) = 0۔ پرائم p کے لیے p-الکحلولوجیکل طول و عرض کو اسی طرح p-ٹورسن گروپ Hk (G، M) {p} کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے۔ سب سے چھوٹا n ایسا ہے کہ G کا کوہمولوجیکل طول و عرض n سے کم یا اس کے برابر ہے، G کا کوہمولوجیکل طول و عرض ہے (کوفیشنٹس R کے ساتھ)، جسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک فری ریزولوشن گروپ G کے فری ایکشن سے ایک کنٹریکٹ ایبل ٹوپوولوجیکل اسپیس X پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اگر X طول و عرض n کا ایک سکڑنے والا سی ڈبلیو کمپلیکس ہے جس میں ایک مجرد گروپ G کا آزاد عمل ہے جو خلیوں کو متحرک کرتا ہے، تو۔ مثالوں کے پہلے گروپ میں، گتانک کی رنگ R کو ہونے دیں۔ ایک آزاد گروپ کی ہم آہنگی کی جہت ایک ہوتی ہے۔ جیسا کہ جان اسٹالنگز (محدود طور پر تیار کردہ گروپ کے لیے) اور رچرڈ سوان (مکمل عام طور پر) نے دکھایا ہے، یہ خاصیت آزاد گروپوں کی خصوصیت رکھتی ہے۔ اس نتیجے کو اسٹالنگ-سوان تھیوریم کہا جاتا ہے۔ گروپ G کے لیے اسٹالنگ سوان تھیوریم کا کہنا ہے کہ G آزاد ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب G کی طرف سے ہر توسیع ابیلین دانا کے ساتھ تقسیم ہو۔ دائرے کے علاوہ ایک کمپیکٹ، منسلک، قابل سمت ریمن سطح کے بنیادی گروپ کی ہم آہنگی جہت دو ہے۔ زیادہ عام طور پر، طول و عرض n کے بند، جڑے ہوئے، سمت والے ایسفریکل کئی گنا کے بنیادی گروپ میں ہم آہنگی جہت n ہوتی ہے۔ خاص طور پر، ایک بند سمت والے ہائپربولک n-مینی فولڈ کے بنیادی گروپ میں ہم آہنگی جہت n ہوتی ہے۔ غیر معمولی محدود گروپوں میں لامحدود ہم آہنگی جہت ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، غیر معمولی ٹورسن والے گروپوں کے لیے بھی یہی سچ ہے۔ اب ایک عام رنگ R کے معاملے پر غور کریں۔ A گروپ G کی ہم آہنگی طول و عرض 0 ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی گروپ رنگ RG نیم آسان ہو۔ اس طرح ایک محدود گروپ کی ہم جنسیاتی جہت 0 ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کی ترتیب (یا، مساوی طور پر، اس کے عناصر کی ترتیبات) R میں الٹا ہو۔ اسٹالنگ-سوان تھیوریم کو عام کرتے ہوئے، مارٹن ڈن ووڈ نے ثابت کیا کہ ایک گروپ میں ایک صوابدیدی رنگ R پر زیادہ سے زیادہ ایک ہم جنسیاتی جہت ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ محدود گروپوں کے منسلک گراف کا بنیادی گروپ ہو جس کے آرڈر R میں الٹا ہوں۔ کسی فیلڈ کا ہم جنسیاتی طول و عرض فیلڈ K کا p-الکحلیاتی طول و عرض K کے علیحدہ بند ہونے والے گالوئس گروپ کا p-الکحلیاتی طول و عرض ہے۔ K کا ہم جنسیاتی طول و عرض تمام پر p-الکحلیاتی طول و عرض کی بالادستی ہے۔ ہر محدود فیلڈ میں مطلق گالوئس گروپ آئسومورفک ہوتا ہے اور اسی طرح کوہمولوجیکل طول و عرض 1 ہوتا ہے۔ غیر صفر خصوصیت کے الجبرائی طور پر بند فیلڈ k پر رسمی لارنٹ سیریز کے فیلڈ میں بھی مطلق گالوئس گروپ آئسومورفک ہوتا ہے اور اس لیے ہم آہنگی طول و عرض 1 ہوتا ہے۔ ایلنبرگ-گینیا قیاس گروپ کوہمولوجی گلوبل ڈائیمینشن حوالہ جات گروپ تھیوری ہومیولوجیکل الجبرا بھی دیکھیں۔