1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
ریاضی میں، انفنائٹ سیریز ریاضی کی تاریخ میں خلاصہ کیے جانے والے پہلے انفنائٹ سیریز میں سے ایک کی مثال ہے۔ اسے آرکیمیڈیز سرکا 250-200 BC نے استعمال کیا تھا۔ چونکہ یہ پہلی اصطلاح اور مشترکہ تناسب کے ساتھ ایک ہندسی سلسلہ ہے، اس کا مجموعہ بصری مظاہر ہے۔ یہ سلسلہ خود کو کچھ خاص طور پر سادہ بصری مظاہروں کے لیے پیش کرتا ہے کیونکہ ایک مربع اور مثلث دونوں چار ایک جیسے ٹکڑوں میں تقسیم ہوتے ہیں، جن میں سے ہر ایک میں اصل کا رقبہ ہوتا ہے۔ بائیں طرف کی شکل میں، اگر بڑے مربع کا رقبہ 1 لیا جائے، تو سب سے بڑے سیاہ مربع کا رقبہ × = ہے۔ اسی طرح، دوسرے سب سے بڑے سیاہ مربع کا رقبہ ہے، اور تیسرے سب سے بڑے سیاہ مربع کا رقبہ ہے۔ اس لیے تمام سیاہ چوکوں کے ذریعے ایک ساتھ لیا گیا علاقہ ہے، اور یہ وہ علاقہ بھی ہے جو سرمئی چوکوں اور سفید چوکوں کے ذریعے لیا گیا ہے۔ چونکہ یہ تینوں علاقے اکائی مربع کا احاطہ کرتے ہیں، اس لیے یہ اعداد و شمار ظاہر کرتے ہیں کہ آرکیمیڈیز کی اپنی مثال، جو سب سے اوپر ڈھالی گئی تھی، قدرے مختلف تھی، مساوات کے قریب ہونے کی وجہ سے آرکیمیڈیز کی تشریح کی تفصیلات کے لیے نیچے دیکھیں۔ وہی ہندسی حکمت عملی مثلثوں کے لیے بھی کام کرتی ہے، جیسا کہ دائیں طرف کی شکل میں ہے: اگر بڑے مثلث کا رقبہ 1 ہے، تو سب سے بڑے سیاہ مثلث کا رقبہ ہے، اور اسی طرح۔ مجموعی طور پر شکل بڑے مثلث اور اس کے اوپری ذیلی مثلث کے درمیان خود مماثلت رکھتی ہے۔ ایک متعلقہ تعمیر جو شکل کو اس کے تینوں کونے کے ٹکڑوں سے ملتی جلتی بناتی ہے، سیرپینسکی مثلث پیدا کرتی ہے۔ آرکیمیڈیز کے ثبوت آرکیمیڈیز نے اپنے کام کواڈریچر آف دی پیرابولہ میں اس سیریز کا سامنا کیا ہے۔ وہ تھکاوٹ کے طریقہ کار سے ایک پیرابولہ کے اندر کا علاقہ ڈھونڈتا ہے، اور اسے مثلثوں کا ایک سلسلہ ملتا ہے۔ تعمیر کا ہر مرحلہ پچھلے مرحلے کے رقبے کے ایک رقبے کا اضافہ کرتا ہے۔ اس کا مطلوبہ نتیجہ یہ ہے کہ کل رقبہ پہلے مرحلے کے رقبے سے گنا زیادہ ہے۔ وہاں پہنچنے کے لیے، وہ الجبرائی لیما: پروپوزیشن 23 متعارف کرانے کے لیے پیرابولس سے وقفہ لیتا ہے۔ علاقوں کی ایک سیریز کو دیکھتے ہوئے، جن میں سے A سب سے بڑا ہے، اور ہر ایک ترتیب میں اگلے کے چار گنا کے برابر ہے، پھر آرکیمیڈیز پہلے حساب لگا کر اس تجویز کو ثابت کرتا ہے۔ دوسری طرف، اس مساوات کو پچھلی مساوات سے گھٹا کر اور A کو دونوں طرف جوڑ کر مطلوبہ نتیجہ ملتا ہے۔ آج، آرکیمیڈیز کی تجویز کا ایک زیادہ معیاری فقرہ یہ ہے کہ سیریز کے جزوی مجموعے یہ ہیں: اس شکل کو دونوں اطراف کو 1-سے ضرب دے کر ثابت کیا جا سکتا ہے اور یہ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ مساوات کے بائیں ہاتھ کی پہلی اور آخری اصطلاحات کے علاوہ جوڑوں میں منسوخ ہو جاتی ہیں۔ یہی حکمت عملی کسی بھی محدود ہندسی سیریز کے لیے کام کرتی ہے۔ حد آرکیمیڈیز پروپوزیشن 24 پروپوزیشن 23 میں محدود (لیکن غیر متعین) رقم کو ڈبل ریڈکٹو ایڈ ابسرڈم کے ذریعے پیرابولہ کے اندر کے علاقے پر لاگو کرتا ہے۔ وہ مذکورہ بالا جزوی جملوں کی حد کو بالکل نہیں لیتے، لیکن جدید حساب کتاب میں یہ مرحلہ کافی آسان ہے: چونکہ ایک لامحدود سیریز کے مجموعے کو اس کے جزوی جملوں کی حد کے طور پر بیان کیا گیا ہے، نوٹ حوالہ جات پیج امیجز ایچ ٹی ایم ایل پر اعداد و شمار اور تفسیر کے ساتھ جیومیٹرک سیریز پر بغیر الفاظ کے ثبوت