Liénard–Wiechert potential
لینارڈ-ویچرٹ پوٹینشلز موونگ الیکٹرک پوائنٹ چارج کے کلاسیکی برقی مقناطیسی اثر کو ویکٹر پوٹینشل اور لورینز گیج میں اسکیلر پوٹینشل کے لحاظ سے بیان کرتے ہیں۔ میکس ویل کی مساوات سے براہ راست نکلتے ہوئے، یہ صوابدیدی حرکت میں ایک پوائنٹ چارج کے لیے مکمل، رشتہ دار طور پر درست، وقت کے لحاظ سے مختلف برقی مقناطیسی میدان کی وضاحت کرتے ہیں، لیکن کوانٹم مکینیکل اثرات کے لیے درست نہیں ہوتے ہیں۔ لہروں کی شکل میں برقی مقناطیسی تابکاری ان صلاحیتوں سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ یہ تاثرات جزوی طور پر الفریڈ میری لینارڈ نے 1898 میں اور آزادانہ طور پر ایمل ویچرٹ نے 1900 میں تیار کیے تھے۔ مساوات لینارڈ-ویچرٹ پوٹینشلز کی تعریف ریٹرڈڈ ٹائم کی تعریف، چارجز اور کرنٹس کی تقسیم کے تناظر میں کی گئی ہے، کہ مشاہداتی نقطہ کہاں ہے، اور مشاہداتی نقطہ ماخذ چارجز اور کرنٹس کی تغیرات کے تابع ہے۔ ایک حرکت پذیر نقطہ چارج کے لیے جس کی دی گئی رفتار ہے، اب فکسڈ نہیں ہے، بلکہ خود ہی سست وقت کا فنکشن بن جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، پیداوار کی رفتار کی پیروی کرتے ہوئے مضمر مساوات جو موجودہ وقت (اور دی گئی رفتار کے) فنکشن کے طور پر رکے ہوئے وقت کو فراہم کرتی ہے: لینارڈ-ویچرٹ پوٹینشل (اسکیلر پوٹینشل فیلڈ) اور (ویکٹر پوٹینشل فیلڈ)، رفتار کے ساتھ سفر کرنے والی پوزیشن پر سورس پوائنٹ چارج کے لیے ہیں: اور جہاں: ماخذ کی رفتار روشنی کی رفتار کے ایک حصے کے طور پر ظاہر کی گئی ہے ؛ ماخذ سے فاصلہ ہے ؛ ماخذ سے سمت کی طرف اشارہ کرنے والا یونٹ ویکٹر ہے اور، علامت کا مطلب ہے کہ قوسین کے اندر کی مقدار کا موازنہ سست وقت پر کیا جانا چاہیے۔ یہ ایک متغیر انداز میں بھی لکھا جا سکتا ہے، جہاں برقی مقناطیسی چار پوٹینشل ہے: جہاں اور ماخذ کی پوزیشن ہے اور اس کی چار رفتار ہے۔ فیلڈ کمپیوٹیشن ہم تعریفیں استعمال کرتے ہوئے براہ راست پوٹینشل سے برقی اور مقناطیسی شعبوں کا حساب لگا سکتے ہیں: اور حساب غیر معمولی ہے اور اس کے لیے کئی مراحل درکار ہوتے ہیں۔ برقی اور مقناطیسی میدان ہیں (غیر متغیر شکل میں): اور کہاں، اور (لورینٹز عنصر)۔ نوٹ کریں کہ پہلی مدت کا حصہ فیلڈ کی سمت کو چارج کی فوری پوزیشن کی طرف اپ ڈیٹ کرتا ہے، اگر یہ مستقل رفتار کے ساتھ حرکت کرتا رہے۔ یہ اصطلاح چارج کے برقی مقناطیسی میدان کے "جامد" حصے سے منسلک ہے۔ دوسری اصطلاح، جو حرکت پذیر چارج کے ذریعے برقی مقناطیسی تابکاری سے جڑی ہوتی ہے، چارج ایکسلریشن کی ضرورت ہوتی ہے اور اگر یہ صفر ہے تو اس اصطلاح کی قیمت صفر ہے، اور چارج تابکاری نہیں کرتا (برقی مقناطیسی تابکاری کا اخراج کرتا ہے)۔ اس اصطلاح کے لیے اضافی طور پر یہ ضروری ہے کہ چارج ایکسلریشن کا ایک جزو اس سمت میں ہو جو چارج اور فیلڈ کے مبصر کو جوڑتی ہے۔ اس تابکاری اصطلاح سے وابستہ فیلڈ کی سمت چارج کی مکمل طور پر وقت کی رکاوٹ والی پوزیشن کی طرف ہوتی ہے (یعنی۔ جہاں چارج تھا جب اسے تیز کیا گیا تھا)۔ مشتق اسکیلر اور ویکٹر پوٹینشیل غیر یکساں برقی مقناطیسی لہر مساوات کو مطمئن کرتے ہیں جہاں ذرائع کا اظہار چارج اور موجودہ کثافت کے ساتھ کیا جاتا ہے اور ایمپیئر-میکس ویل کا قانون یہ ہے: چونکہ پوٹینشیل منفرد نہیں ہیں، لیکن گیج کی آزادی رکھتے ہیں، ان مساوات کو گیج فکسنگ کے ذریعے آسان بنایا جا سکتا ہے۔ ایک عام انتخاب لورینز گیج کی حالت ہے: پھر غیر یکساں لہر کی مساوات پوٹینشلز میں غیر جڑی ہوئی اور ہم آہنگ ہو جاتی ہیں: عام طور پر، اسکیلر اور ویکٹر پوٹینشلز (ایس آئی یونٹس) کے لیے رکے ہوئے حل ہوتے ہیں اور رکے ہوئے وقت کہاں ہوتے ہیں اور بغیر کسی ماخذ اور باؤنڈری کنڈیشنز کے یکساں لہر کی مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ اس صورت میں کہ ذرائع کے ارد گرد کوئی حدود نہ ہوں تب اور۔ ایک حرکت پذیر پوائنٹ چارج کے لیے جس کی رفتار وقت کی تقریب کے طور پر دی گئی ہے، چارج اور کرنٹ کی کثافت مندرجہ ذیل ہے: جہاں تین جہتی ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہے اور پوائنٹ چارج کی رفتار ہے۔ ان انٹیگرلز کا ان کی موجودہ شکل میں اندازہ لگانا مشکل ہے، لہذا ہم ڈیلٹا ڈسٹری بیوشن کے ساتھ ان کی جگہ لے کر اور ان کو مربوط کرکے انہیں دوبارہ لکھیں گے: ہم انضمام کی ترتیب کا تبادلہ کرتے ہیں: ڈیلٹا فنکشن چنتا ہے جو ہمیں اندرونی انضمام کو آسانی سے انجام دینے کی اجازت دیتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ ایک فنکشن ہے، لہذا یہ انضمام بھی ٹھیک ہو جاتا ہے۔ ریٹرڈڈ ٹائم فیلڈ پوائنٹ اور سورس ٹریجیکٹوری کا ایک فنکشن ہے، اور اس لیے اس پر منحصر ہے۔ اس انٹیگرل کا اندازہ لگانے کے لیے، اس لیے ہمیں اس شناخت کی ضرورت ہے جہاں ہر ایک کا صفر ہو۔ چونکہ کسی بھی دیئے گئے خلائی وقت کے نقاط اور ماخذ کی رفتار کے لیے صرف ایک ہی سست وقت ہوتا ہے، اس لیے یہ کم ہو جاتا ہے: جہاں اور سست وقت پر ان کا جائزہ لیا جاتا ہے، اور ہم نے شناخت کو اس کے ساتھ استعمال کیا ہے۔ نوٹ کریں کہ ریٹرڈڈ ٹائم مساوات کا حل ہے۔ آخر میں، ڈیلٹا فنکشن چنتا ہے، اور کون سے لینارڈ-ویچرٹ پوٹینشل ہیں۔ لورینز گیج، برقی اور مقناطیسی فیلڈز کے مشتقات کا حساب لگانے کے لیے اور پہلے سست وقت کے مشتقات کا حساب لگانا آسان ہے۔ اس کی وضاحتی مساوات کے دونوں اطراف کے مشتقات کو لیتے ہوئے (یہ یاد رکھتے ہوئے کہ): t کے حوالے سے تفریق کرنا، اسی طرح، میلان کو ملٹی ویری ایبل چین رول کے حوالے سے لینا اور اس کا استعمال کرنا اس طرح دیتا ہے کہ یہ ویکٹر پوٹینشل کے مشتقات کا حساب لگانے میں استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں تاثرات ہیں۔ یہ ظاہر کرتے ہیں کہ لورینز گیج مطمئن ہے، یعنی کہ۔ اسی طرح ایک حساب لگاتا ہے: یہ نوٹ کرنے سے کہ کسی بھی ویکٹر کے لیے،،: اوپر بیان کردہ برقی میدان کا اظہار وہ بن جاتا ہے جو آسانی سے اس کے برابر نظر آتا ہے۔ اسی طرح اوپر بیان کردہ مقناطیسی میدان کا اظہار ہوتا ہے: ماخذ اصطلاحات، اور ان کا موازنہ سست وقت پر کیا جانا ہے۔ اثرات کلاسیکی برقی حرکیات کا مطالعہ البرٹ آئن سٹائن کے نظریہ اضافیت کی ترقی میں اہم کردار ادا کرتا تھا۔ برقی مقناطیسی لہروں کی حرکت اور پھیلاؤ کا تجزیہ خلا اور وقت کی خصوصی اضافیت کی وضاحت کا باعث بنا۔ لینارڈ-ویچرٹ فارمولیشن رشتہ دار حرکت پذیر ذرات کے گہرے تجزیے میں ایک اہم لانچ پیڈ ہے۔ لینارڈ-ویچرٹ کی تفصیل ایک بڑے، آزادانہ طور پر حرکت پذیر ذرہ کے لیے درست ہے (یعنی۔ علاج "کلاسیکی" ہے اور چارج کی ایکسلریشن برقی مقناطیسی میدان سے آزاد قوت کی وجہ سے ہے)۔ لینارڈ-ویچرٹ فارمولیشن ہمیشہ حل کے دو سیٹ فراہم کرتی ہے: اعلی درجے کے فیلڈز چارجز کے ذریعے جذب ہوتے ہیں اور ریٹرڈ فیلڈز خارج ہوتے ہیں۔ شوارزچلڈ اور فوکر نے حرکت پذیر چارجز کے نظام کے جدید فیلڈ، اور ایک ہی جیومیٹری اور مخالف چارجز والے چارجز کے نظام کے ریٹرڈ فیلڈ پر غور کیا۔ خلا میں میکسویل کی مساوات کی لکیریٹی دونوں نظاموں کو شامل کرنے کی اجازت دیتی ہے، تاکہ چارجز غائب ہو جائیں: یہ چال میکسویل کی مساوات کو مادے میں لکیری بننے کی اجازت دیتی ہے۔ دونوں مسائل کے برقی پیرامیٹرز کو صوابدیدی حقیقی مستقلات سے ضرب دینے سے مادے کے ساتھ روشنی کا ایک مربوط تعامل پیدا ہوتا ہے جو آئن سٹائن کے نظریہ کو عام کرتا ہے جسے اب لیزرز کا بنیادی نظریہ سمجھا جاتا ہے: جدید اور کمزور شعبوں کے صوابدیدی ضرب کے ذریعے حاصل کردہ موڈ میں مربوط وسعت حاصل کرنے کے لیے یکساں مالیکیولز کے ایک بڑے سیٹ کا مطالعہ کرنا ضروری نہیں ہے۔ توانائی کا حساب لگانے کے لیے، مطلق فیلڈز کا استعمال کرنا ضروری ہے جس میں صفر پوائنٹ فیلڈ شامل ہو ؛ بصورت دیگر، ایک غلطی ظاہر ہوتی ہے، مثال کے طور پر فوٹون گنتی میں۔ پلانک کے دریافت کردہ صفر پوائنٹ فیلڈ کو مدنظر رکھنا ضروری ہے۔ یہ آئن سٹائن کے "اے" گتانک کی جگہ لے لیتا ہے اور وضاحت کرتا ہے کہ کلاسیکی الیکٹران ریڈبرگ کے کلاسیکی مداروں پر مستحکم ہے۔ مزید برآں، صفر پوائنٹ فیلڈ کے اتار چڑھاؤ کو متعارف کرانے سے ولیس ای لیمب کی طرف سے ایچ ایٹم کی سطح کی اصلاح پیدا ہوتی ہے۔ کوانٹم الیکٹرو ڈائنامکس نے تابکاری کے رویے کو کوانٹم کی رکاوٹوں کے ساتھ اکٹھا کرنے میں مدد کی۔ یہ فرض شدہ کامل آپٹیکل ریزونیٹرز میں برقی مقناطیسی میدان کے عام طریقوں کی مقدار کو متعارف کراتا ہے۔ عالمگیر رفتار کی حد کسی مخصوص مقام اور وقت پر کسی ذرہ پر قوت کا انحصار پیچیدہ انداز میں ابتدائی وقت میں ماخذ کے ذرات کی پوزیشن پر محدود رفتار c کی وجہ سے ہوتا ہے، جس پر برقی مقناطیسی معلومات سفر کرتی ہیں۔ زمین پر ایک ذرہ 'دیکھتا ہے' کہ ایک چارج شدہ ذرہ چاند پر تیز ہوتا ہے کیونکہ یہ ایکسلریشن 1.5 سیکنڈ پہلے ہوا تھا، اور سورج پر ایک چارج شدہ ذرہ کی ایکسلریشن جیسا کہ 500 سیکنڈ پہلے ہوا تھا۔ یہ ابتدائی وقت جس میں کوئی واقعہ اس طرح ہوتا ہے کہ مقام پر موجود ایک ذرہ بعد میں اس واقعہ کو 'دیکھتا ہے' اسے ریٹرڈڈ ٹائم کہا جاتا ہے۔ رکا ہوا وقت پوزیشن کے مطابق مختلف ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر چاند پر رکا ہوا وقت موجودہ وقت سے 1.5 سیکنڈ پہلے ہوتا ہے اور سورج پر رکا ہوا وقت زمین پر موجودہ وقت سے 500 سیکنڈ پہلے ہوتا ہے۔ ریٹرڈڈ ٹائم ٹر = ٹر (آر، ٹی) کی تعریف واضح طور پر اس طرح کی جاتی ہے کہ ریٹرڈڈ وقت پر ماخذ سے ذرہ کا فاصلہ کہاں ہے۔ صرف برقی مقناطیسی لہر کے اثرات مکمل طور پر رکے ہوئے وقت پر منحصر ہوتے ہیں۔ لینارڈ-ویچرٹ صلاحیت میں ایک نئی خصوصیت اس کی اصطلاحات کو دو قسم کی فیلڈ اصطلاحات (نیچے دیکھیں) میں تقسیم کرنے میں نظر آتی ہے، جن میں سے صرف ایک ہی مکمل طور پر سست وقت پر منحصر ہے۔ ان میں سے پہلا جامد برقی (یا مقناطیسی) فیلڈ کی اصطلاح ہے جو صرف حرکت پذیر چارج کے فاصلے پر منحصر ہے، اور اگر ماخذ کی رفتار مستقل ہو تو اس کا انحصار رکے ہوئے وقت پر بالکل نہیں ہوتا ہے۔ دوسری اصطلاح متحرک ہے، اس میں اس بات کی ضرورت ہوتی ہے کہ حرکت پذیر چارج چارج اور مبصر کو جوڑنے والی لکیر کے عمودی جزو کے ساتھ تیز ہو اور اس وقت تک ظاہر نہیں ہوتا جب تک کہ ماخذ رفتار میں تبدیلی نہ کرے۔ یہ دوسری اصطلاح برقی مقناطیسی تابکاری سے منسلک ہے۔ پہلی اصطلاح چارج سے قریب فیلڈ کے اثرات کو بیان کرتی ہے، اور خلا میں اس کی سمت کو ایک ایسی اصطلاح کے ساتھ اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے جو اس کے دور کے جامد میدان پر چارج کی کسی بھی مستقل رفتار کی حرکت کو درست کرتی ہے، تاکہ دور کا جامد میدان چارج سے فاصلے پر ظاہر ہو، جس میں روشنی یا روشنی کے وقت کی اصلاح کا کوئی انحراف نہ ہو۔ یہ اصطلاح، جو جامد میدان کی سمت میں وقت کی واپسی میں تاخیر کو درست کرتی ہے، لورینٹز انواریینس کے لیے ضروری ہے۔ مستقل رفتار کے ساتھ حرکت کرنے والے چارج کو دور کے مبصر کو بالکل اسی طرح ظاہر ہونا چاہیے جس طرح متحرک مبصر کو جامد چارج ظاہر ہوتا ہے، اور مؤخر الذکر صورت میں، جامد میدان کی سمت کو بغیر کسی تاخیر کے فوری طور پر تبدیل ہونا چاہیے۔ اس طرح، جامد فیلڈز (پہلی اصطلاح) چارج شدہ شے کی حقیقی فوری (غیر ریٹرڈ) پوزیشن کی طرف بالکل اشارہ کرتے ہیں اگر اس کی رفتار ریٹرڈ ٹائم تاخیر کے دوران تبدیل نہیں ہوئی ہے۔ یہ کسی بھی فاصلے کو الگ کرنے والی اشیاء پر درست ہے۔ دوسری اصطلاح، تاہم، جس میں چارج کے ایکسلریشن اور دیگر منفرد رویے کے بارے میں معلومات ہوتی ہیں جنہیں لورینٹز فریم (مبصر کا انٹریئل ریفرنس فریم) کو تبدیل کر کے ہٹایا نہیں جا سکتا، ماخذ کی وقت کی رکاوٹ والی پوزیشن پر سمت کے لیے مکمل طور پر منحصر ہے۔ اس طرح برقی مقناطیسی تابکاری (دوسری اصطلاح کے ذریعہ بیان کردہ) ہمیشہ سست وقت پر خارج ہونے والے چارج کی پوزیشن کی سمت سے آتی دکھائی دیتی ہے۔ صرف یہ دوسری اصطلاح چارج کے رویے کے بارے میں معلومات کی منتقلی کو بیان کرتی ہے، جو منتقلی روشنی کی رفتار سے ہوتی ہے (چارج سے خارج ہوتی ہے)۔ "دور" فاصلے پر (تابکاری کی کئی طول موج سے طویل)، اس اصطلاح کا 1/R انحصار برقی مقناطیسی فیلڈ کے اثرات (اس فیلڈ کی اصطلاح کی قدر) کو "جامد" فیلڈ کے اثرات سے زیادہ طاقتور بناتا ہے، جو پہلی (جامد) اصطلاح کے 1/R2 فیلڈ کے ذریعے بیان کیے جاتے ہیں اور اس طرح چارج سے فاصلے کے ساتھ زیادہ تیزی سے ختم ہوتے ہیں۔ رکے ہوئے وقت کا وجود اور انفرادیت رکے ہوئے وقت کے عام طور پر موجود ہونے کی ضمانت نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، اگر، حوالہ کے کسی دیئے گئے فریم میں، ایک الیکٹران ابھی ابھی پیدا ہوا ہے، تو اسی لمحے ایک اور الیکٹران ابھی تک اپنی برقی مقناطیسی قوت کو بالکل محسوس نہیں کرتا ہے۔ تاہم، بعض حالات میں، ہمیشہ ایک سست وقت موجود رہتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ماخذ چارج لامحدود وقت کے لیے موجود ہے، جس کے دوران اس نے ہمیشہ اس رفتار سے سفر کیا ہے جو زیادہ نہیں ہے، تو ایک درست سست وقت موجود ہے۔ فنکشن پر غور کرکے اسے دیکھا جا سکتا ہے۔ موجودہ وقت میں ؛ مشتق اوسط قدر تھیوریم کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ کافی بڑا بنانے سے، یہ منفی ہو سکتا ہے، یعنی ماضی میں کسی وقت۔ انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیوریم کے مطابق، ایک انٹرمیڈیٹ موجود ہے، جو کہ رکے ہوئے وقت کی وضاحت کرنے والی مساوات ہے۔ بدیہی طور پر، جیسے جیسے ماخذ چارج وقت میں پیچھے ہٹتا ہے، موجودہ وقت میں اس کے ہلکے شنک کا کراس سیکشن اس سے زیادہ تیزی سے پھیلتا ہے کہ وہ پیچھے ہٹ سکتا ہے، لہذا آخر کار اسے نقطہ تک پہنچنا ہوگا۔ یہ لازمی طور پر درست نہیں ہے اگر ماخذ چارج کی رفتار کو من مانی طور پر قریب ہونے کی اجازت دی جائے، یعنی، اگر کسی دی گئی رفتار کے لیے ماضی میں کچھ وقت تھا جب چارج اس رفتار سے چل رہا تھا۔ اس صورت میں موجودہ وقت میں روشنی شنک کا کراس سیکشن نقطہ کے قریب پہنچتا ہے کیونکہ مبصر وقت میں پیچھے سفر کرتا ہے لیکن ضروری نہیں کہ وہ کبھی اس تک پہنچے۔ انفرادیت نقطہ ماخذ کے دیئے گئے نقطہ اور رفتار کے لیے، رکے ہوئے وقت کی زیادہ سے زیادہ ایک قدر ہوتی ہے، یعنی اس طرح کی ایک قدر۔ اس کا احساس یہ فرض کر کے کیا جا سکتا ہے کہ دو رکے ہوئے اوقات ہیں اور ساتھ۔ پھر، اور۔ گھٹاؤ مثلث کی عدم مساوات سے ملتا ہے۔ جب تک کہ اس کا مطلب یہ نہ ہو کہ اور کے درمیان چارج کی اوسط رفتار ہے، جو ناممکن ہے۔ بدیہی تشریح یہ ہے کہ کوئی شخص صرف ایک ہی وقت میں ایک مقام/وقت پر نقطہ ماخذ کو "دیکھ" سکتا ہے جب تک کہ وہ کم از کم روشنی کی رفتار سے دوسرے مقام پر سفر نہ کرے۔ جیسے جیسے ماخذ وقت کے ساتھ آگے بڑھتا ہے، اس کے ہلکے شنک کا کراس سیکشن موجودہ وقت میں ماخذ کے قریب پہنچنے سے زیادہ تیزی سے سکڑتا ہے، اس لیے یہ دوبارہ نقطہ کو کبھی نہیں کاٹ سکتا۔ نتیجہ یہ ہے کہ، بعض شرائط کے تحت، سست وقت موجود ہے اور منفرد ہے۔ میکسویل کی مساوات بھی دیکھیں جو کلاسیکی برقی مقناطیسیت کو کنٹرول کرتی ہیں اس تجزیے کے ارد گرد کے بڑے نظریہ کے لیے کلاسیکی برقی مقناطیسیت خصوصی اضافیت، جو جوہری مداری الیکٹرانوں کی وجہ سے ای ایم تابکاری کی کوانٹم تفصیل کے لیے ریڈبرگ فارمولے کے ان تجزیوں کا براہ راست نتیجہ تھا۔ جیفمینکو کی مساوات لارمر فارمولا ابراہم-لورینٹز فورس غیر یکساں برقی مقناطیسی لہر مساوات وہیلر-فینمین جذب نظریہ جسے کشش ثقل کے میدان میں چارج کا وہیلر-فینمین ٹائم-سمیٹرک تھیوری پیراڈوکس بھی کہا جاتا ہے۔ II Ch. 21: برقی مقناطیسی تابکاری کے امکانات کے ساتھ میکسویل کے مساوات کے حل