Biarc
بیارک ایک ہموار وکر ہے جو دو سرکلر آرکس سے بنتی ہے۔ بیارک کو ہموار (G1 مسلسل) بنانے کے لیے، دونوں آرکس کو منسلک کرنے والے مقام پر ایک ہی ٹینجینٹ ہونا چاہیے جہاں وہ ملتے ہیں۔ بیارکس عام طور پر ہندسی ماڈلنگ اور کمپیوٹر گرافکس میں استعمال ہوتے ہیں۔ ان کا استعمال بئیرک کے دو بیرونی اختتامی نکات کو منحنی خطوط کے ساتھ لگ بھگ رکھ کر، منحنی خطوط سے مماثل ٹینجینٹ کے ساتھ، اور پھر درمیانی نقطہ کا انتخاب کرکے، جو منحنی خطوط کے لیے بہترین ہو، اسپلینز اور دیگر طیارہ منحنی خطوط کا تخمینہ لگانے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ تین پوائنٹس اور دو ٹینجینٹس کا یہ انتخاب سرکلر آرکس کی ایک منفرد جوڑی کا تعین کرتا ہے، اور درمیانی پوائنٹس کا لوکس جس کے لیے یہ دو آرکس ایک بیارک بناتے ہیں وہ خود ایک سرکلر آرک ہے۔ خاص طور پر، اس طرح سے بیزیئر منحنی خطوط کا تخمینہ لگانے کے لیے، بیزیئر منحنی خطوط کے دو اختتامی نکات اور اس نقطہ سے تشکیل پانے والے مثلث کے محرک کے طور پر بیارک کے درمیانی نقطہ کا انتخاب کیا جانا چاہیے جہاں ان کے دو ٹینجینٹ ملتے ہیں۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی بیارکس کی ہموار ترتیب سے منحنی خطوط کا تخمینہ لگا سکتا ہے۔ ترتیب میں مزید بیارکس کا استعمال عام طور پر اصل منحنی خطوط سے تخفیف کی قربت کو بہتر بنائے گا۔ بیارک منحنی خطوط کی مثالیں نیچے دی گئی مثالوں میں بیارک کو کورڈ کے ذریعے کم کیا جاتا ہے اور یہ جوڑنے کا نقطہ ہے۔ ابتدائی نقطہ پر ٹینجینٹ ویکٹر ہے، اور اختتامی نقطہ پر ٹینجینٹ ہے۔ 2 سے ظاہر ہوتا ہے کہ بیارکس کی چھ مثالیں بیارکس 1 کو بیارکس 2-6 کے ساتھ تیار کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر 1، 2، 6 منحنی خطوط کا نشان تبدیل ہوتا ہے، اور جوڑنے کا نقطہ بھی انحراف کا نقطہ ہے۔ بیارک 3 میں سیدھی لکیر کا حصہ شامل ہے۔ بیارکس 1-4 اس لحاظ سے مختصر ہیں کہ وہ اختتامی نکات کے قریب نہیں مڑتے ہیں۔ متبادل طور پر، بیارکس 5,6 لمبے ہوتے ہیں: اختتامی نکات میں سے کسی ایک کے قریب مڑنے کا مطلب یہ ہے کہ وہ کورڈ کے بائیں یا دائیں تکمیل کو لامحدود سیدھی لکیر سے کاٹتے ہیں۔ بیارکس 2-6 اختتامی ٹینجینٹ کا اشتراک کرتے ہیں۔ وہ شکل کے نچلے حصے میں پائے جا سکتے ہیں۔ 3، مشترکہ ٹینجینٹ والے بیارکس کے خاندان میں۔ شکل۔ 3 بیارک خاندانوں کی دو مثالیں دکھاتا ہے، اختتامی نکات اور اختتامی ٹینجینٹ کا اشتراک۔ شکل۔ 4 بیارک خاندانوں کی دو مثالیں دکھاتا ہے، اختتامی نکات اور اختتامی ٹینجینٹ کا اشتراک، اختتامی ٹینجینٹ متوازی ہوتے ہیں: شکل۔ 5 مخصوص خاندانوں کو دکھاتا ہے یا تو اعداد و شمار 3، 4، 5 میں مختلف رنگوں کو ذیلی خاندانوں کے طور پر ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ خاص طور پر، بیارکس کے لیے، جو سایہ دار پس منظر (لینس کی طرح یا لون کی طرح) پر بھوری رنگ میں دکھایا گیا ہے، مندرجہ ذیل ہے: منحنی خطوط کی کل گردش (موڑ کا زاویہ) بالکل (نہیں، جو کہ دیگر بیارکس کے لیے گردش ہے) ؛: مجموعہ لینس/لون کی کونیی چوڑائی ہے، جو بیارک کو ڈھانپتی ہے، جس کی علامت عام ووگٹ کے نظریہ () کے مطابق بیارک کے بڑھتے ہوئے (+ 1) یا گھٹتے ہوئے منحنی خطوط (−1) سے مطابقت رکھتی ہے۔ مشترکہ اختتامی ٹینجینٹس کے ساتھ بیارکس کا خاندان مشترکہ اختتامی نکات کے ساتھ بیارکس کا ایک خاندان، اور مشترکہ اختتامی ٹینجینٹس (1) کو مختصر طور پر، خاندانی پیرامیٹر کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ بیارک کی خصوصیات کو مضمون کے لحاظ سے ذیل میں بیان کیا گیا ہے۔ بائرک کی تعمیر ممکن ہے اگر اشارہ کریں، اور منحنی پن، موڑ کا زاویہ اور آرک کی لمبائی: ؛، اور آرک کے لیے یکساں:۔ پھر (کی وجہ سے،)۔ موڑنے والے زاویہ: جوائن پوائنٹس کا لوکس دائرہ ہے (Fig.3، Fig.5 میں دکھایا گیا ہے)۔ یہ دائرہ (سیدھی لکیر اگر، Fig.4) ان نکات سے گزرتا ہے جو ٹینجینٹ بیارکس ہونے پر اس دائرے کو مستقل زاویے ٹینجینٹ ویکٹر کے تحت جوڑتے ہیں اور جڑنے کے مقام پر بیارکس سے جوڑتے ہیں، جہاں بیارکس کا Y-محور پر جوڑ نقطہ ہوتا ہے اور کم سے کم منحنی چھلانگ دیتا ہے، ڈیجینریٹ بیارکس پر یہ ہیں: بیارکس: جیسا، آرک غائب ہوتا ہے۔ بیارک: جیسا کہ، آرک غائب ہو جاتا ہے۔ منقطع بیاارک میں سیدھی لکیر شامل ہوتی ہے یا وہ لامحدود نقطہ سے گزرتا ہے: Figs.3 میں تاریک لینس جیسا خطہ، 4 بیاارک سے گھرا ہوا ہے۔ یہ بے ترتیبی بیاارک کے ساتھ بیاارک کا احاطہ کرتا ہے جسے سرخ ڈیش ڈاٹ لائن سے دکھایا جاتا ہے۔ پورے خاندان کو غیر انحطاط شدہ بیارکس کے تین ذیلی خاندانوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: ذیلی خاندان غائب ہو جاتا ہے اگر ذیلی خاندان غائب ہو جائے اگر اعداد و شمار میں 3، 4، 5 بیارکس کو بھوری، بیارکس کو نیلے اور بیارکس کو سبز رنگ میں دکھایا جائے۔ حوالہ جات بیرونی روابط بیارک انٹرپولیشن پیس وائز سرکلر منحنی خطوط تقسیم (ریاضی) حلقے