Leibniz harmonic triangle
لیبنز ہارمونک مثلث اکائی حصوں کا ایک سہ رخی انتظام ہے جس میں سب سے بیرونی ترازو قطار کے نمبروں کے باہمی پر مشتمل ہوتا ہے اور ہر اندرونی خلیہ اوپر ترازو ہوتا ہے اور بائیں طرف مائنس بائیں طرف کا خلیہ ہوتا ہے۔ الجبرائی طور پر، (جہاں 1 سے شروع ہونے والی قطار کا نمبر ہے، اور کالم نمبر ہے، جو کبھی بھی r سے زیادہ نہیں ہے) اور اقدار پہلی آٹھ قطاریں یہ ہیں: ڈینومینیٹرز درج ہیں، جبکہ نمبر تمام 1s ہیں۔ اصطلاحات اصطلاحات کو تکرار کے ذریعے اور واضح طور پر بائنومیل گتانک کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ پاسکل کے مثلث سے تعلق جب کہ پاسکل کے مثلث میں ہر اندراج مندرجہ بالا صف میں دو اندراجات کا مجموعہ ہے، لیبنز مثلث میں ہر اندراج اس کے نیچے کی صف میں دو اندراجات کا مجموعہ ہے۔ مثال کے طور پر، پانچویں صف میں، اندراج (1/30) چھٹی صف میں دو (1/60) s کا مجموعہ ہے۔ جس طرح پاسکل کے مثلث کا حساب بائنومیل کوفیشنٹس کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، اسی طرح لیبنز کا: مزید برآں، اس مثلث کی اندراجات کا حساب پاسکل سے کیا جا سکتا ہے: "ہر صف میں اصطلاحات ابتدائی اصطلاح ہیں جو متعلقہ پاسکل مثلث اندراجات سے تقسیم ہوتی ہیں"۔ در حقیقت، ہر اخترن کا تعلق متعلقہ پاسکل مثلث اخترنوں سے ہے: پہلا لیبنز اخترن 1/(1x قدرتی اعداد)، دوسرا 1/(2x مثلث اعداد)، تیسرا 1/(3x ٹیٹراہیڈرل نمبر) اور اسی طرح پر مشتمل ہوتا ہے۔ مزید برآں، ہارمونک مثلث میں ہر اندراج پاسکل کے مثلث میں متعلقہ اندراج کے باہمی کے برابر ہے جسے متعلقہ صف کے باہمی سے ضرب دی جاتی ہے، جہاں ہارمونک مثلث میں داخلہ ہے اور پاسکل کے مثلث میں متعلقہ اندراج ہے۔ لامحدود سیریز کسی بھی اخترن میں تمام اصطلاحات کا لامحدود مجموعہ پچھلے اخترن میں پہلی اصطلاح کے برابر ہوتا ہے، اس کی وجہ یہ ہے کہ تکرار کو سیریز کو ٹیلی اسکوپ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، کوفشنٹس کے فارمولے کو تبدیل کرنے سے ہمیں لامحدود سیریز ملتی ہے، یہاں دی گئی پہلی مثال اصل میں 1694 پراپرٹیز کے ارد گرد لیبنز کے کام پر ظاہر ہوئی۔ اگر کوئی n ویں قطار کے ڈینومینیٹرز کو لے کر ان کا اضافہ کرتا ہے، تو نتیجہ برابر ہوگا۔ مثال کے طور پر، تیسری صف کے لیے، ہمارے پاس 3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22 ہے۔ ہمارے پاس پاسکل کا قاعدہ ہاکی اسٹک شناخت کے حوالہ جات بھی ہیں اعداد کے مثلث گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز