Affine manifold
تفریق جیومیٹری میں، ایک افائن کئی گنا ایک تفریق پذیر کئی گنا ہے جو ایک فلیٹ، ٹورسن فری کنکشن سے لیس ہے۔ مساوی طور پر، یہ ایک کئی گنا ہے جو (اگر جڑا ہوا ہے) ایک کھلے ذیلی سیٹ سے ڈھکا ہوا ہے، جس میں مونوڈرومی افائن تبدیلیوں کے ذریعے کام کرتی ہے۔ یہ مساوات کارٹن-ایمبروس-ہکس تھیوریم کا ایک آسان نتیجہ ہے۔ مساوی طور پر، یہ ایک کئی گنا اٹلس سے لیس ہے-جسے افائن ڈھانچہ کہا جاتا ہے-اس طرح کہ چارٹس کے درمیان تمام منتقلی کے افعال افائن تبدیلیاں ہیں (یعنی، مستقل جیکوبین میٹرکس رکھتے ہیں) ؛ دو اٹلس مساوی ہوتے ہیں اگر کئی گنا دونوں کے ماتحت اٹلس کو تسلیم کرتا ہے، جس میں دونوں اٹلس سے چھوٹے اٹلس میں منتقلی ہوتی ہے۔ ایک ممتاز افائن ڈھانچہ رکھنے والے کئی گنا کو افائن کئی گنا کہا جاتا ہے اور وہ چارٹ جو افائن ڈھانچے سے متعلق ہوتے ہیں انہیں افائن چارٹ کہا جاتا ہے۔ ہر افائن کوآرڈینیٹ ڈومین میں کوآرڈینیٹ ویکٹر فیلڈز اس ڈومین کی متوازی تشکیل کرتے ہیں، لہذا ہر ڈومین پر ایک منسلک کنکشن ہوتا ہے۔ یہ مقامی طور پر متعین کنکشن اوور لیپنگ حصوں پر یکساں ہوتے ہیں، اس لیے ایک افائن ڈھانچے سے وابستہ ایک منفرد کنکشن ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ لکیری کنکشن (جسے افائن کنکشن بھی کہا جاتا ہے) اور ویب کے درمیان ایک لنک ہے۔ رسمی تعریف ایک افائن کئی گنا چارٹ کے ساتھ ایک حقیقی کئی گنا ہے جو کہ تمام جگہوں کے لیے افائن تبدیلیوں کے لائ گروپ کی نشاندہی کرتا ہے۔ فینسیئر الفاظ میں یہ a (G، X)-مینی فولڈ ہے جہاں اور افائن تبدیلیوں کا گروپ ہے۔ ایک افائن کئی گنا کو مکمل کہا جاتا ہے اگر اس کا عالمگیر احاطہ ہومومورفک ہو۔ ایک کمپیکٹ افائن کئی گنا کی صورت میں، اس کا بنیادی گروپ اور اس کا عالمگیر احاطہ ہونے دیں۔ کوئی یہ دکھا سکتا ہے کہ ہر جہتی افائن کئی گنا ایک ترقی پذیر نقشے کے ساتھ آتا ہے، اور ایک ہومومورفزم، جیسے کہ اس کے حوالے سے ایک وسرجن اور مساوی ہے۔ ایک کمپیکٹ مکمل فلیٹ افائن کئی گنا کے بنیادی گروپ کو افائن کرسٹلگرافک گروپ کہا جاتا ہے۔ افائن کرسٹلگرافک گروپوں کی درجہ بندی ایک مشکل مسئلہ ہے، حل ہونے سے دور۔ ریمینیائی کرسٹلگرافک گروپس (جنہیں بیبرباخ گروپس بھی کہا جاتا ہے) کی درجہ بندی لڈوگ بیبرباخ نے ڈیوڈ ہلبرٹ کے ایک سوال کا جواب دیتے ہوئے کی تھی۔ ہلبرٹ کے 18 ویں مسئلے پر اپنے کام میں، بیبرباخ نے ثابت کیا کہ کسی بھی ریمینیائی کرسٹلگرافک گروپ میں محدود انڈیکس کا ابیلین ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ اہم دیرینہ قیاس آرائیاں افائن مینیفولڈز کی جیومیٹری بنیادی طور پر دیرینہ قیاس آرائیوں کا ایک نیٹ ورک ہے۔ ان میں سے زیادہ تر کم جہت اور کچھ دیگر خصوصی معاملات میں ثابت ہوتے ہیں۔ ان میں سے سب سے اہم ہیں: مارکس قیاس (1962) جس میں کہا گیا ہے کہ ایک کمپیکٹ افائن کئی گنا مکمل ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا متوازی حجم ہو۔ جہت 2 میں جانا جاتا ہے۔ آسلینڈر قیاس (1964) میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی افائن کرسٹلگرافک گروپ میں محدود انڈیکس کا ایک پولی سائیکلک ذیلی گروپ ہوتا ہے۔ 6 تک کے طول و عرض میں جانا جاتا ہے، اور جب فلیٹ کنکشن کی ہولونومی ایک لورینٹز میٹرک کو محفوظ رکھتی ہے۔ چونکہ ہر عملی طور پر پولی سائیکلک کرسٹلگرافک گروپ حجم کی شکل کو محفوظ رکھتا ہے، اس لیے آسلینڈر قیاس آرائی سے مراد مارکس قیاس آرائی کا "صرف اگر" حصہ ہے۔ چرن قیاس (1955) ایک افائن کئی گنا کا اویلر طبقہ غائب ہو جاتا ہے۔ نوٹ حوالہ جات گروپ تھیوری افائن جیومیٹری کئی گنا پر ڈھانچے تفریقی جیومیٹری کا نقشہ