Categorical distribution
امکانی نظریہ اور شماریات میں، درجہ بندی کی تقسیم (جسے عمومی برنولی تقسیم، ملٹینولی تقسیم بھی کہا جاتا ہے) ایک مجرد امکان کی تقسیم ہے جو بے ترتیب متغیر کے ممکنہ نتائج کو بیان کرتی ہے جو K ممکنہ زمروں میں سے کسی ایک کو لے سکتا ہے، جس میں ہر زمرے کا امکان الگ سے متعین ہوتا ہے۔ ان نتائج کی کوئی فطری بنیادی ترتیب نہیں ہے، لیکن تقسیم کو بیان کرنے میں سہولت کے لیے عددی لیبل اکثر منسلک ہوتے ہیں، (مثال کے طور پر۔ 1 سے K)۔ کے-جہتی درجہ بندی کی تقسیم کے-وے ایونٹ پر سب سے زیادہ عام تقسیم ہے۔ سائز-کے نمونے کی جگہ پر کوئی دوسری مجرد تقسیم ایک خاص معاملہ ہے۔ ہر ممکنہ نتیجہ کے امکانات کی وضاحت کرنے والے پیرامیٹرز صرف اس حقیقت سے محدود ہیں کہ ہر ایک کو 0 سے 1 کی حد میں ہونا چاہیے، اور سب کا مجموعہ 1 ہونا چاہیے۔ درجہ بندی کی تقسیم ایک درجہ بندی بے ترتیب متغیر کے لیے برنولی تقسیم کی عمومی شکل ہے، یعنی۔ دو سے زیادہ ممکنہ نتائج کے ساتھ ایک مجرد متغیر کے لیے، جیسے کہ پاسے کا رول۔ دوسری طرف، درجہ بندی کی تقسیم کثیر الجہتی تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے، اس میں یہ متعدد ڈرائنگ کے بجائے ایک ہی ڈرائنگ کے ممکنہ نتائج کے امکانات فراہم کرتا ہے۔ اصطلاحات کبھی کبھار، درجہ بندی کی تقسیم کو "مجرد تقسیم" کہا جاتا ہے۔ تاہم، یہ مناسب طریقے سے تقسیم کے ایک مخصوص خاندان سے نہیں بلکہ تقسیم کے ایک عام طبقے سے مراد ہے۔ کچھ شعبوں میں، جیسے مشین لرننگ اور نیچرل لینگویج پروسیسنگ، درجہ بندی اور کثیر الجہتی تقسیم کو ملایا جاتا ہے، اور "کثیر الجہتی تقسیم" کی بات کرنا عام بات ہے جب کہ "درجہ بندی کی تقسیم" زیادہ درست ہوگی۔ یہ غیر واضح استعمال اس حقیقت سے پیدا ہوتا ہے کہ بعض اوقات درجہ بندی کی تقسیم کے نتائج کو "1-کے-کے" ویکٹر (ایک ویکٹر جس میں ایک عنصر 1 پر مشتمل ہوتا ہے اور دیگر تمام عناصر 0 پر مشتمل ہوتے ہیں) کے طور پر ظاہر کرنا آسان ہوتا ہے بجائے اس کے کہ 1 سے کے کی حد میں ایک عدد کے طور پر ؛ اس شکل میں، ایک درجہ بندی کی تقسیم ایک واحد مشاہدے کے لیے کثیر الجہتی تقسیم کے برابر ہوتی ہے (نیچے دیکھیں)۔ تاہم، درجہ بندی اور کثیر الجہتی تقسیم کو یکجا کرنا مسائل کا باعث بن سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیئل ڈسٹری بیوشن میں، جو عام طور پر قدرتی زبان کے پروسیسنگ ماڈلز میں پیدا ہوتا ہے (اگرچہ عام طور پر اس نام کے ساتھ نہیں ہوتا ہے) گبز کے نمونے لینے کے نتیجے میں جہاں ڈیرچلیٹ کی تقسیم ایک درجہ بندی والے بایسیئن ماڈل سے ختم ہو جاتی ہے، یہ بہت ضروری ہے کہ درجہ بندی کو ملٹی نومیئل سے الگ کیا جائے۔ ایک ہی ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیئل ڈسٹری بیوشن کے ساتھ ایک ہی متغیرات کی مشترکہ تقسیم کی دو مختلف شکلیں ہوتی ہیں جو اس بات پر منحصر ہوتی ہیں کہ آیا یہ ایک ایسی تقسیم کے طور پر نمایاں ہے جس کا ڈومین انفرادی زمرہ نوڈس پر ہے یا ہر مخصوص زمرے میں نوڈس کی ملٹی نومیئل طرز کی گنتی پر ہے (برنولی تقسیم شدہ نوڈس کے سیٹ اور ایک واحد بائنومیل تقسیم شدہ نوڈ کے درمیان فرق کی طرح)۔ دونوں شکلوں میں بہت ملتے جلتے نظر آنے والے امکانی بڑے پیمانے پر افعال (پی ایم ایف) ہوتے ہیں، جو دونوں ایک زمرے میں نوڈس کی کثیر الجہتی طرز کی گنتی کا حوالہ دیتے ہیں۔ تاہم، کثیر الجہتی طرز کے پی ایم ایف میں ایک اضافی عنصر ہوتا ہے، ایک کثیر الجہتی گتانک، جو کہ درجہ بندی طرز کے پی ایم ایف میں 1 کے برابر مستقل ہوتا ہے۔ دونوں کو الجھن میں ڈالنا آسانی سے ایسی ترتیبات میں غلط نتائج کا باعث بن سکتا ہے جہاں سود کی تقسیم کے حوالے سے یہ اضافی عنصر مستقل نہیں ہوتا ہے۔ گبز کے نمونے لینے میں استعمال ہونے والی مکمل شرائط اور متغیر طریقوں میں زیادہ سے زیادہ تقسیم میں عنصر اکثر مستقل ہوتا ہے۔ تقسیم کی تشکیل ایک درجہ بندی کی تقسیم ایک مجرد امکان کی تقسیم ہے جس کے نمونے کی جگہ انفرادی طور پر شناخت شدہ اشیاء کا مجموعہ ہے۔ یہ ایک درجہ بند بے ترتیب متغیر کے لیے برنولی تقسیم کی عمومی شکل ہے۔ تقسیم کی ایک تشکیل میں، نمونے کی جگہ کو انٹیجرز کی ایک محدود ترتیب کے طور پر لیا جاتا ہے۔ لیبل کے طور پر استعمال ہونے والے عین مطابق عدد غیر اہم ہیں۔ وہ {0,1,., k−1} یا {1,2,., k} یا اقدار کا کوئی دوسرا صوابدیدی مجموعہ ہو سکتے ہیں۔ مندرجہ ذیل وضاحتوں میں، ہم سہولت کے لیے {1,2,., k} کا استعمال کرتے ہیں، حالانکہ یہ برنولی تقسیم کے کنونشن سے متفق نہیں ہے، جو {0,1} کا استعمال کرتا ہے۔ اس صورت میں، امکان ماس فنکشن f ہے: جہاں، عنصر i اور کو دیکھنے کے امکان کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک اور تشکیل جو زیادہ پیچیدہ دکھائی دیتی ہے لیکن ریاضیاتی ہیرا پھیری کو آسان بناتی ہے وہ مندرجہ ذیل ہے، جس میں ایورسن بریکٹ کا استعمال کیا گیا ہے: جہاں 1 کا اندازہ ہوتا ہے اگر، 0 بصورت دیگر۔ اس تشکیل کے مختلف فوائد ہیں، مثال کے طور پر۔ : آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ زمرہ جاتی متغیرات کے سیٹ کے امکان فنکشن کو لکھنا آسان ہے۔ یہ زمرہ جاتی تقسیم کو متعلقہ کثیر الجہتی تقسیم سے جوڑتا ہے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ ڈیرچلیٹ کی تقسیم زمرہ جاتی تقسیم سے پہلے کنجوگیٹ کیوں ہے، اور پیرامیٹرز کی پچھلی تقسیم کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے۔ پھر بھی ایک اور فارمولیشن زمرہ جاتی تقسیم کو کثیر الجہتی تقسیم کے ایک خاص معاملے کے طور پر مانتے ہوئے زمرہ جاتی اور کثیر الجہتی تقسیم کے درمیان تعلق کو واضح کرتی ہے جس میں کثیر الجہتی تقسیم (نمونے والی اشیاء کی تعداد) کا پیرامیٹر n 1 پر طے ہوتا ہے۔ اس فارمولیشن میں، نمونے کی جگہ کو طول و عرض k کے 1-آف-K انکوڈڈ بے ترتیب ویکٹر x کا مجموعہ سمجھا جا سکتا ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ بالکل ایک عنصر کی قیمت 1 ہے اور دوسروں کی قیمت 0 ہے۔ ویلیو 1 والا مخصوص عنصر اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ کس زمرے کا انتخاب کیا گیا ہے۔ اس تشکیل میں امکانی ماس فنکشن f یہ ہے: جہاں عنصر i اور کو دیکھنے کے امکان کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ وہ فارمولا ہے جسے بشپ نے اپنایا ہے۔ خصوصیات تقسیم مکمل طور پر ہر نمبر i:، i = 1،.، k، جہاں سے وابستہ امکانات کے ذریعے دی جاتی ہے۔ امکانات کے ممکنہ سیٹ بالکل وہی ہیں جو معیاری جہتی سمپلیکس میں ہیں۔ k = 2 کے لیے یہ برنولی ڈسٹری بیوشن کے 1-سمپلیکس ہونے کے ممکنہ امکانات کو کم کر دیتا ہے، ڈسٹری بیوشن "ملٹی ویریٹ برنولی ڈسٹری بیوشن" کا ایک خاص معاملہ ہے جس میں k 0-1 متغیرات میں سے بالکل ایک قیمت لیتا ہے۔ آئیے ایک درجہ بندی کی تقسیم سے احساس ہو۔ بے ترتیب ویکٹر Y کو عناصر پر مشتمل قرار دیں: جہاں I اشارے کا فنکشن ہے۔ پھر Y کی ایک تقسیم ہوتی ہے جو پیرامیٹر کے ساتھ کثیر الجہتی تقسیم کا ایک خاص معاملہ ہے۔ آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ اس طرح کے بے ترتیب متغیرات Y کا مجموعہ جو پیرامیٹر کے ساتھ زمرہ جاتی تقسیم سے بنایا گیا ہے، پیرامیٹرز کے ساتھ کثیر الجہتی طور پر تقسیم کیا جاتا ہے اور زمرہ جاتی تقسیم کی کنجوگیٹ پیشگی تقسیم ایک ڈیرچلیٹ تقسیم ہے۔ مزید بحث کے لیے نیچے کا حصہ دیکھیں۔ n آزاد مشاہدات سے کافی اعداد و شمار ہر زمرے میں مشاہدات کی گنتی (یا، مساوی طور پر، تناسب) کا مجموعہ ہے، جہاں آزمائشوں کی کل تعداد (= n) طے ہوتی ہے۔ آئورسن بریکٹ فنکشن یا کرونکر ڈیلٹا فنکشن کے مساوی قدر i والے مشاہدے کا اشارے فنکشن برنولی کو پیرامیٹر بایسیئن انفریشن کے ساتھ کنجوگیٹ پری کا استعمال کرتے ہوئے تقسیم کیا جاتا ہے۔ بایسیئن اعدادوشمار میں، ڈیرچلیٹ کی تقسیم زمرہ بندی کی تقسیم (اور ملٹی نومیئل تقسیم بھی) کی کنجوگیٹ پری ڈسٹری بیوشن ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ نامعلوم پیرامیٹر ویکٹر پی کے ساتھ زمرہ جاتی تقسیم والے ڈیٹا پوائنٹ پر مشتمل ماڈل میں، اور (معیاری بایسیائی انداز میں) ہم اس پیرامیٹر کو بے ترتیب متغیر کے طور پر استعمال کرنے کا انتخاب کرتے ہیں اور اسے ڈیرچلیٹ کی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے پہلے سے بیان کردہ تقسیم دیتے ہیں، پھر مشاہدہ شدہ ڈیٹا سے حاصل کردہ علم کو شامل کرنے کے بعد پیرامیٹر کی پچھلی تقسیم بھی ڈیرچلیٹ ہے۔ بدیہی طور پر، ایسی صورت میں، ڈیٹا پوائنٹ کا مشاہدہ کرنے سے پہلے پیرامیٹر کے بارے میں جو معلوم ہے اس سے شروع کرتے ہوئے، ڈیٹا پوائنٹ کی بنیاد پر علم کو اپ ڈیٹ کیا جا سکتا ہے، جس سے پرانی شکل کی طرح ہی نئی تقسیم حاصل ہوتی ہے۔ اس طرح، ریاضیاتی مشکلات کا سامنا کیے بغیر، ایک وقت میں ایک نئے مشاہدات کو شامل کرکے کسی پیرامیٹر کے علم کو مسلسل اپ ڈیٹ کیا جا سکتا ہے۔ رسمی طور پر اس کا اظہار مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جا سکتا ہے۔ ایک ماڈل کو دیکھتے ہوئے پھر مندرجہ ذیل ہے: یہ تعلق N نمونوں کے مجموعے کو دیکھتے ہوئے درجہ بندی کی تقسیم کے بنیادی پیرامیٹر p کا اندازہ لگانے کے لیے بایسیائی اعداد و شمار میں استعمال ہوتا ہے۔ بدیہی طور پر، ہم ہائپر پریور ویکٹر α کو فرضی اکاؤنٹس کے طور پر دیکھ سکتے ہیں، یعنی۔ ہر زمرے میں مشاہدات کی تعداد کی نمائندگی کرنے کے طور پر جو ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں۔ پھر ہم صرف تمام نئے مشاہدات (ویکٹر سی) کی گنتی میں اضافہ کرتے ہیں تاکہ پوسٹر ڈسٹری بیوشن حاصل کی جا سکے۔ مزید انترجشتھان پوسٹر ڈسٹری بیوشن کی متوقع قیمت سے آتا ہے (ڈیرچلیٹ ڈسٹری بیوشن پر مضمون دیکھیں): اس میں کہا گیا ہے کہ پوسٹر ڈسٹری بیوشن سے پیدا ہونے والی مختلف مجرد ڈسٹری بیوشن کے درمیان زمرہ i کو دیکھنے کا متوقع امکان محض اس تناسب کے برابر ہے جو ڈیٹا میں اصل میں دیکھا گیا ہے، بشمول سابقہ ڈسٹری بیوشن میں سیوڈوکاؤنٹس۔ یہ بہت زیادہ بدیہی معنی رکھتا ہے: اگر، مثال کے طور پر، تین ممکنہ زمرے ہیں، اور زمرہ 1 مشاہدہ شدہ ڈیٹا میں 40 ٪ وقت میں دیکھا جاتا ہے، تو کوئی اوسطا وقت کا زمرہ 1 40% پوسٹر ڈسٹری بیوشن میں بھی دیکھنے کی توقع کرے گا۔ (یہ وجدان پیشگی تقسیم کے اثر کو نظر انداز کر رہا ہے۔ مزید برآں، پوسٹرئر تقسیم پر ایک تقسیم ہے۔ پچھلی تقسیم عام طور پر زیر بحث پیرامیٹر کو بیان کرتی ہے، اور اس معاملے میں پیرامیٹر خود ایک مجرد امکان کی تقسیم ہے، یعنی۔ اصل درجہ بندی کی تقسیم جس نے ڈیٹا تیار کیا۔ مثال کے طور پر، اگر تناسب 40:5:55 میں 3 زمرے مشاہدہ شدہ ڈیٹا میں ہیں، تو پہلے کی تقسیم کے اثر کو نظر انداز کرتے ہوئے، حقیقی پیرامیٹر-یعنی۔ صحیح، بنیادی تقسیم جس نے ہمارے مشاہدہ شدہ ڈیٹا کو تیار کیا-اس کی اوسط قیمت (0.40,0.05، 0.05) ہونے کی توقع کی جائے گی، جو درحقیقت پوسٹرئیر سے ظاہر ہوتا ہے۔ تاہم، حقیقی تقسیم اصل میں (0.35,0.07، 0.58) یا (0.42,0.04، 0.54) یا مختلف دیگر قریبی امکانات ہو سکتے ہیں۔ یہاں شامل غیر یقینی صورتحال کی مقدار پوسٹرئیر کے تغیر سے متعین ہوتی ہے، جو مشاہدات کی کل تعداد سے کنٹرول ہوتی ہے-جتنا زیادہ ڈیٹا مشاہدہ کیا جائے گا، حقیقی پیرامیٹر کے بارے میں اتنی ہی کم غیر یقینی صورتحال ہوگی۔) (تکنیکی طور پر، پہلے والے پیرامیٹر کو دراصل زمرہ کے پہلے مشاہدات کی نمائندگی کے طور پر دیکھا جانا چاہیے۔ پھر، تازہ ترین پوسٹرئر پیرامیٹر پوسٹرئر مشاہدات کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی عکاسی کرتا ہے کہ ڈیرچلیٹ کی تقسیم کی شکل مکمل طور پر ہموار ہوتی ہے-بنیادی طور پر، پی کی ممکنہ اقدار کے سمپلیکس پر یکساں تقسیم۔ منطقی طور پر، اس قسم کی ہموار تقسیم مکمل لاعلمی کی نمائندگی کرتی ہے، جو کسی بھی قسم کے مشاہدات سے مطابقت نہیں رکھتی ہے۔ تاہم، پوسٹرئیر کی ریاضیاتی اپ ڈیٹنگ ٹھیک کام کرتی ہے اگر ہم اصطلاح کو نظر انداز کرتے ہیں اور صرف α ویکٹر کے بارے میں سوچتے ہیں جو براہ راست سیڈوکاؤنٹس کے سیٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ مزید برآں، ایسا کرنے سے 1 سے کم اقدار کی تشریح کے مسئلے سے بچا جا سکتا ہے۔) ایم اے پی تخمینہ مندرجہ بالا ماڈل میں پیرامیٹر پی کا زیادہ سے زیادہ-ایک-پچھلا تخمینہ صرف پوسٹر ڈیرچلیٹ ڈسٹری بیوشن کا طریقہ ہے، یعنی بہت سے عملی ایپلی کیشنز میں، اس شرط کی ضمانت دینے کا واحد طریقہ ہے جو تمام آئی کے لیے سیٹ کرنا ہے۔ مارجنل امکان مندرجہ بالا ماڈل میں، مشاہدات کا مارجنل امکان (یعنی۔ مشاہدات کی مشترکہ تقسیم، جس میں پہلے والے پیرامیٹر کو حاشیے پر رکھا گیا ہے) ایک ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیئل تقسیم ہے: یہ تقسیم درجہ بندی والے بیسیئن ماڈلز میں اہم کردار ادا کرتی ہے، کیونکہ جب گبز سیمپلنگ یا ویریشنل بیز جیسے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح کے ماڈلز کا اندازہ لگاتے ہیں، تو ڈیرچلیٹ کی پہلے کی تقسیم اکثر حاشیے پر ہوتی ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے اس تقسیم پر مضمون دیکھیں۔ پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم مندرجہ بالا ماڈل میں ایک نئے مشاہدے کی پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم وہ تقسیم ہے جو ایک نیا مشاہدہ N درجہ بندی کے مشاہدات کے سیٹ کو دیکھتے ہوئے لے گا۔ جیسا کہ ڈیرچلیٹ-ملٹینومیل ڈسٹری بیوشن آرٹیکل میں دکھایا گیا ہے، اس کی ایک بہت ہی آسان شکل ہے: اس فارمولے اور پچھلے فارمولوں کے درمیان مختلف تعلقات ہیں: کسی خاص زمرے کو دیکھنے کا پوسٹر پیشن گوئی کا امکان اس زمرے میں پچھلے مشاہدات کے نسبتا تناسب کے برابر ہے (بشمول سابقہ کے فرضی مشاہدات)۔ یہ منطقی معنی رکھتا ہے-بدیہی طور پر، ہم اس زمرے کی پہلے سے مشاہدہ کردہ تعدد کے مطابق کسی خاص زمرے کو دیکھنے کی توقع کریں گے۔ پچھلی پیشن گوئی کا امکان پچھلی تقسیم کی متوقع قیمت کے برابر ہے۔ اس کی مزید وضاحت ذیل میں کی گئی ہے۔ نتیجے کے طور پر، اس فارمولے کو محض اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ "کسی زمرے کو دیکھنے کا پچھلا پیش گوئی کا امکان اس زمرے کی کل مشاہدہ شدہ گنتی کے متناسب ہے"، یا "کسی زمرے کی متوقع گنتی زمرے کی کل مشاہدہ شدہ گنتی کے برابر ہے"، جہاں "مشاہدہ شدہ گنتی" کو سابقہ کے فرضی مشاہدات کو شامل کرنے کے لیے لیا جاتا ہے۔ پوسٹرئیر پیشن گوئی کے امکان اور پی کی پوسٹرئیر ڈسٹری بیوشن کی متوقع قیمت کے درمیان مساوات کی وجہ مندرجہ بالا فارمولے کی دوبارہ جانچ سے واضح ہوتی ہے۔ جیسا کہ پوسٹر پریڈیکٹو ڈسٹری بیوشن آرٹیکل میں بیان کیا گیا ہے، پوسٹر پیشن گوئی کے امکان کا فارمولا پوسٹر ڈسٹری بیوشن کے حوالے سے متوقع قدر کی شکل رکھتا ہے: اوپر دی گئی اہم لائن تیسری ہے۔ دوسرا متوقع قیمت کی تعریف سے براہ راست پیروی کرتا ہے۔ تیسری لائن خاص طور پر درجہ بندی کی تقسیم کے لیے ہے، اور اس حقیقت سے پیروی کرتی ہے کہ، خاص طور پر درجہ بندی کی تقسیم میں، کسی خاص قدر i کو دیکھنے کی متوقع قیمت براہ راست متعلقہ پیرامیٹر پائی کے ذریعے متعین کی جاتی ہے۔ چوتھی سطر محض ایک مختلف اشارے میں تیسرے کی دوبارہ تحریر ہے، جس میں پیرامیٹرز کی پچھلی تقسیم کے حوالے سے لی گئی توقع کے لیے اشارے کو مزید اوپر استعمال کیا جاتا ہے۔ ڈیٹا پوائنٹس کا ایک ایک کر کے مشاہدہ کریں اور ہر بار ڈیٹا پوائنٹ کا مشاہدہ کرنے اور پوسٹرئیر کو اپ ڈیٹ کرنے سے پہلے ان کے پیش گوئی کے امکان پر غور کریں۔ کسی بھی ڈیٹا پوائنٹ کے لیے، کسی دیئے گئے زمرے کو فرض کرتے ہوئے اس نقطہ کا امکان اس زمرے میں پہلے سے موجود ڈیٹا پوائنٹس کی تعداد پر منحصر ہوتا ہے۔ اس منظر نامے میں، اگر کسی زمرے میں واقع ہونے کی تعدد زیادہ ہے، تو نئے ڈیٹا پوائنٹس اس زمرے میں شامل ہونے کا زیادہ امکان رکھتے ہیں-اسی زمرے کو مزید تقویت بخشتے ہیں۔ اس قسم کے منظر نامے کو اکثر ترجیحی لگاؤ (یا "امیر زیادہ امیر ہوتا ہے") ماڈل کہا جاتا ہے۔ یہ بہت سے حقیقی دنیا کے عمل کا نمونہ ہے، اور ایسے معاملات میں پہلے چند ڈیٹا پوائنٹس کے ذریعے کیے گئے انتخاب کا باقی ڈیٹا پوائنٹس پر بہت زیادہ اثر پڑتا ہے۔ پوسٹریئر کنڈیشنل ڈسٹری بیوشن گبز سیمپلنگ میں، کسی کو عام طور پر ملٹی ویری ایبل بائز نیٹ ورکس میں کنڈیشنل ڈسٹری بیوشن سے ڈرا کرنے کی ضرورت ہوتی ہے جہاں ہر متغیر دوسرے تمام پر مشروط ہوتا ہے۔ نیٹ ورکس میں جن میں ڈیرچلیٹ پریورس کے ساتھ زمرہ جاتی متغیرات شامل ہیں (مثال کے طور پر۔ مرکب کے ماڈلز اور ماڈلز بشمول مرکب کے اجزاء)، ڈیرچلیٹ کی تقسیم اکثر نیٹ ورک سے "ختم" (پسماندہ) ہو جاتی ہے، جو ایک دی گئی پیشگی پر منحصر مختلف درجہ بند نوڈس کے درمیان انحصار کو متعارف کراتی ہے (خاص طور پر، ان کی مشترکہ تقسیم ڈیرچلیٹ-ملٹینومیل تقسیم ہے)۔ ایسا کرنے کی ایک وجہ یہ ہے کہ ایسی صورت میں، دوسروں کو دیئے گئے ایک درجہ بند نوڈ کی تقسیم بالکل باقی نوڈس کی پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم ہے۔ یعنی نوڈس کے ایک سیٹ کے لیے، اگر زیر بحث نوڈ کو اس کے طور پر اور بقیہ کو اس کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، تو نوڈس n کے علاوہ نوڈس میں زمرہ i رکھنے والے نوڈس کی تعداد کہاں ہے۔ نمونے لینے کے کئی طریقے ہیں، لیکن درجہ بندی کی تقسیم سے نمونے لینے کا سب سے عام طریقہ ایک قسم کے الٹا ٹرانسفارم نمونے لینے کا استعمال کرتا ہے: فرض کریں کہ تقسیم کا اظہار کسی اظہار کے "متناسب" کے طور پر کیا جاتا ہے، جس میں نامعلوم معمول کا مستقل ہوتا ہے۔ کوئی بھی نمونہ لینے سے پہلے، کچھ اقدار کو مندرجہ ذیل طریقے سے تیار کیا جاتا ہے: ہر زمرے کے لیے تقسیم کی غیر معمولی قیمت کا حساب لگائیں۔ ان کا خلاصہ کریں اور ہر قدر کو اس رقم سے تقسیم کریں، تاکہ انہیں معمول پر لایا جا سکے۔ زمروں پر کسی قسم کا آرڈر لگائیں (مثال کے طور پر۔ ایک انڈیکس کے ذریعہ جو 1 سے k تک چلتا ہے، جہاں k زمرہ جات کی تعداد ہے)۔ ہر قدر کو پچھلی تمام اقدار کے مجموعے سے بدل کر اقدار کو مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) میں تبدیل کریں۔ یہ وقت O (k) میں کیا جا سکتا ہے۔ پہلے زمرے کے لیے نتیجہ خیز قدر 0 ہوگی۔ پھر، ہر بار کسی قدر کا نمونہ لینا ضروری ہے: 0 اور 1 کے درمیان یکساں طور پر تقسیم شدہ نمبر کا انتخاب کریں۔ سی ڈی ایف میں سب سے بڑی تعداد کا پتہ لگائیں جس کی قیمت ابھی منتخب کردہ تعداد سے کم یا اس کے برابر ہو۔ یہ بائنری سرچ کے ذریعے وقت O (لاگ (k)) میں کیا جا سکتا ہے۔ اس سی ڈی ایف ویلیو سے مطابقت رکھنے والا زمرہ واپس کریں۔ اگر ایک ہی درجہ بندی کی تقسیم سے بہت سی اقدار کو کھینچنا ضروری ہے، تو درج ذیل نقطہ نظر زیادہ موثر ہے۔ یہ O (n) وقت میں n نمونے کھینچتا ہے (یہ فرض کرتے ہوئے کہ O (1) کا تخمینہ بائنومیل تقسیم سے اقدار کھینچنے کے لیے استعمال ہوتا ہے)۔ فنکشن ڈرا _ کیٹیگریکل (n)// جہاں n زمرہ جاتی تقسیم سے نمونوں کی تعداد ہے r = 1 s = 0 i کے لیے 1 سے k// جہاں k زمرہ جات کی تعداد ہے v = ایک بائنومیل (n، p [i]/r) تقسیم سے ڈرا// جہاں p [i] 1 سے v z [s + +] = i// کے لیے زمرہ i کا امکان ہے جہاں z ایک صف ہے جس میں نتائج کو ذخیرہ کیا جاتا ہے n = n-v r = r-p [i] شفل (تصادفی طور پر دوبارہ ترتیب) مشین لرننگ میں نمونوں کو جمبل تقسیم کے ذریعے زیڈ ریٹرن سیمپلنگ میں پیرامیٹرائز کرنا عام ہے۔ اس نمائندگی کو دیکھتے ہوئے، سافٹ میکس فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے بازیافت کیا جا سکتا ہے، جس کے بعد اوپر بیان کردہ تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے نمونہ لیا جا سکتا ہے۔ تاہم نمونے لینے کا ایک زیادہ براہ راست طریقہ ہے جو گمبل کی تقسیم سے نمونوں کا استعمال کرتا ہے۔ معیاری گمبل کی تقسیم سے k کو آزاد ڈرا ہونے دیں، پھر مطلوبہ درجہ بندی کی تقسیم سے ایک نمونہ ہوگا۔ (اگر معیاری یکساں تقسیم کا نمونہ ہے، تو یہ معیاری گمبل تقسیم کا نمونہ ہے۔) زمرہ جاتی متغیر متعلقہ تقسیم ڈیرچلیٹ تقسیم ملٹی نومیئل تقسیم ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیئل تقسیم نوٹ حوالہ جات زمرہ جاتی ڈیٹا مجرد تقسیم ایکسپونینشیل فیملی تقسیم بھی دیکھیں۔