Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
ریاضیات میں، تجریدی الجبرا کے میدان میں، پرنسپل آئیڈیل ڈومین پر فائنٹلی جنریٹڈ ماڈیولز کے لیے اسٹرکچر تھیوریم فائنٹلی جنریٹڈ ابیلین گروپوں کے بنیادی تھیوریم کی عمومی شکل ہے اور تقریبا یہ بیان کرتا ہے کہ پرنسپل آئیڈیل ڈومین (پی آئی ڈی) پر فائنٹلی جنریٹڈ ماڈیولز کو اسی طرح سے الگ کیا جا سکتا ہے جس طرح انٹیجرز میں پرائم فیکٹرائزیشن ہوتی ہے۔ نتیجہ شعبوں پر مربع میٹرکس کے لیے مختلف کینونکل فارم کے نتائج کو سمجھنے کے لیے ایک آسان فریم ورک فراہم کرتا ہے۔ بیان جب کسی فیلڈ F پر ویکٹر کی جگہ کا ایک محدود جنریٹنگ سیٹ ہوتا ہے، تو کوئی اس سے ایک ایسی بنیاد نکال سکتا ہے جو ویکٹر کی ایک محدود تعداد n پر مشتمل ہو، اور اس لیے جگہ Fn کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے۔ ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین R کے لیے عام کردہ F کے ساتھ متعلقہ بیان اب درست نہیں ہے، کیونکہ R پر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول کی بنیاد موجود نہیں ہو سکتی ہے۔ تاہم اس طرح کا ماڈیول اب بھی کسی ماڈیول Rn کے حصص کے لیے n محدود کے ساتھ آئسومورفک ہے (یہ دیکھنے کے لیے یہ مورفزم کی تعمیر کے لیے کافی ہے جو Rn کی کینونکل بنیاد کے عناصر کو ماڈیول کے جنریٹرز کو بھیجتا ہے، اور حصص کو اس کے دانے سے لیتا ہے۔) سیٹ تیار کرنے کے انتخاب کو تبدیل کرکے، حقیقت میں کوئی ماڈیول کو خاص طور پر سادہ ذیلی ماڈیول کے ذریعہ کچھ Rn کے حصص کے طور پر بیان کر سکتا ہے، اور یہ ساخت کا نظریہ ہے۔ پرنسپل آئیڈیل ڈومین پر فائنٹلی جنریٹڈ ماڈیولز کے لیے اسٹرکچر تھیوریم عام طور پر درج ذیل دو شکلوں میں ظاہر ہوتا ہے۔ غیر متغیر عنصر سڑنا ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول کے لیے، مناسب آئیڈیلز کی ایک منفرد گھٹتی ہوئی ترتیب ہوتی ہے جیسے کہ چکور ماڈیولز کے مجموعے کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے: آئیڈیلز کے جنریٹر ایک یونٹ کے ضرب تک منفرد ہوتے ہیں، اور انہیں ایم کے غیر متغیر عوامل کہا جاتا ہے۔ چونکہ آئیڈیلز مناسب ہونے چاہئیں، ان عوامل کو خود الٹا نہیں ہونا چاہیے (اس سے رقم میں معمولی عوامل سے بچا جا سکتا ہے)، اور آئیڈیلز کو شامل کرنے کا مطلب ہے کہ کسی میں تقسیم ہے۔ آزاد حصہ عوامل کے مطابق سڑنے کے حصے میں نظر آتا ہے۔ اس طرح کے عوامل، اگر کوئی ہوں تو، ترتیب کے آخر میں پائے جاتے ہیں۔ اگرچہ براہ راست رقم کا تعین منفرد طور پر اس کے ذریعے کیا جاتا ہے، لیکن خود کو سڑنے والا آئسومورفزم عام طور پر منفرد نہیں ہے۔ مثال کے طور پر اگر دراصل ایک فیلڈ ہے، تو تمام پائے جانے والے آئیڈلز صفر ہونے چاہئیں، اور کوئی ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس کی سڑن کو ایک جہتی ذیلی جگہوں کے براہ راست مجموعے میں حاصل کرتا ہے۔ اس طرح کے عوامل کی تعداد طے ہوتی ہے، یعنی خلا کا طول و عرض، لیکن خود ذیلی جگہوں (اگر) کو منتخب کرنے کے لیے بہت زیادہ آزادی ہوتی ہے۔ غیر صفر عناصر، جن کی تعداد صفر ہے، مل کر ماڈیول کے لیے غیر متغیرات کا ایک مکمل مجموعہ بناتے ہیں۔ واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی بھی دو ماڈیول جو غیر متغیرات کے ایک ہی سیٹ کا اشتراک کرتے ہیں وہ لازمی طور پر آئسومورفک ہیں۔ کچھ لوگ M کے آزاد حصے کو الگ سے لکھنے کو ترجیح دیتے ہیں: جہاں نظر آنے والے غیر صفر ہیں، اور f اصل ترتیب میں s کی تعداد ہے جو 0 ہے۔ پرائمری سڑنا ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین R پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول M اس شکل میں سے ایک کے لیے آئسومورفک ہے جہاں اور وہ پرائمری آئیڈیل ہیں۔ یہ منفرد ہیں (اکائیوں کے ضرب تک)۔ عناصر کو ایم کا ابتدائی تقسیم کار کہا جاتا ہے۔ پی آئی ڈی میں، غیر صفر پرائمری آئیڈیلز پرائمز کی طاقتیں ہیں، اور اسی طرح۔ جب، نتیجے میں ناقابل تلافی ماڈیول خود ہوتا ہے، اور یہ ایم کے حصے کے اندر ہوتا ہے جو کہ ایک مفت ماڈیول ہے۔ خلاصہ ناقابل تلافی ہوتے ہیں، اس لیے بنیادی سڑنا ناقابل تلافی ماڈیولز میں سڑنا ہے، اور اس طرح پی آئی ڈی پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول مکمل طور پر سڑنے والا ماڈیول ہے۔ چونکہ پی آئی ڈی نویتھیرین رنگ ہیں، اس لیے اسے لاسکر-نویتھر تھیوریم کے مظہر کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ پہلے کی طرح، آزاد حصے (جہاں) کو الگ سے لکھنا اور M کو اس طرح ظاہر کرنا ممکن ہے: جہاں نظر آنے والے غیر صفر ہوں۔ ثبوت ایک ثبوت مندرجہ ذیل ہے: پی آئی ڈی پر ہر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول کو بھی حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے کیونکہ پی آئی ڈی نویتھیرین ہے، جو ہم آہنگی سے بھی زیادہ مضبوط حالت ہے۔ ایک پریزنٹیشن لیں، جو ایک نقشہ ہے (جنریٹرز سے تعلق)، اور اسے اسمتھ نارمل شکل میں رکھیں۔ اس سے غیر متغیر عنصر کا سڑنا پیدا ہوتا ہے، اور اسمتھ نارمل فارم کی اخترن اندراجات غیر متغیر عوامل ہیں۔ ثبوت کا ایک اور خاکہ: ایم کے ٹورسن ذیلی ماڈیول کو ٹی ایم سے ظاہر کریں۔ پھر ایم/ٹی ایم ایک حتمی طور پر تیار شدہ ٹورسن فری ماڈیول ہے، اور ایک مواصلاتی پی آئی ڈی پر ایسا ماڈیول محدود درجہ کا ایک آزاد ماڈیول ہے، لہذا یہ ایک مثبت عدد این کے لیے آئسومورفک ہے۔ اس مفت ماڈیول کو ایم کے ذیلی ماڈیول ایف کے طور پر سرایت کیا جا سکتا ہے، جیسے کہ سرایت کرنے والا پروجیکشن نقشہ تقسیم (اس کا دائیں الٹا ہے) ؛ یہ ایف کے ہر جنریٹر کو ایم میں اٹھانے کے لیے کافی ہے۔ نتیجے کے طور پر۔ R میں ایک بنیادی عنصر p کے لیے ہم پھر بات کر سکتے ہیں۔ یہ ٹی ایم کا ذیلی ماڈیول ہے، اور یہ پتہ چلتا ہے کہ ہر این پی چکور ماڈیولز کا براہ راست مجموعہ ہے، اور یہ کہ ٹی ایم مختلف پرائمز پی کی محدود تعداد کے لیے این پی کا براہ راست مجموعہ ہے۔ پچھلے دو مراحل کو ایک ساتھ رکھتے ہوئے، ایم کو اشارہ کردہ اقسام کے چکور ماڈیولز میں تحلیل کیا جاتا ہے۔ Corollaries اس میں ایک خاص صورت کے طور پر محدود جہتی ویکٹر خالی جگہوں کی درجہ بندی شامل ہے، جہاں۔ چونکہ فیلڈز میں کوئی غیر معمولی آئیڈیل نہیں ہوتے ہیں، اس لیے ہر حتمی طور پر تیار کردہ ویکٹر کی جگہ آزاد ہوتی ہے۔ حتمی طور پر پیدا شدہ ابیلین گروپوں کا بنیادی نظریہ حاصل کرنا۔ T کو K پر ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس V پر ایک لکیری آپریٹر ہونے دیں۔ T پر تشخیص شدہ K میں کوفیشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی کے الجبرا کو لیتے ہوئے، T کے بارے میں ساخت کی معلومات حاصل ہوتی ہے۔ V کو ایک حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیول کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ آخری غیر متغیر عنصر کم از کم کثیر الجہتی ہے، اور غیر متغیر عوامل کا پروڈکٹ خصوصیت کثیر الجہتی ہے۔ اس کے لیے ایک معیاری میٹرکس فارم کے ساتھ مل کر، یہ مختلف کینونکل شکلیں پیدا کرتا ہے: غیر متغیر عوامل + ساتھی میٹرکس فروبینئس نارمل فارم (عرف، عقلی کینونکل فارم) بنیادی سڑنا + ساتھی میٹرکس بنیادی عقلی کینونکل فارم بنیادی سڑنا + اردن بلاکس اردن کینونکل فارم پیدا کرتا ہے (یہ مؤخر الذکر صرف الجبرائی طور پر بند فیلڈ پر رکھتا ہے) انفرادیت اگرچہ غیر متغیر (درجہ، غیر متغیر عوامل، اور ابتدائی تقسیم) منفرد ہیں، M اور اس کی کینونکل شکل کے درمیان آئسومورفزم منفرد نہیں ہے، اور براہ راست رقم سڑنا بھی محفوظ نہیں کرتا ہے۔ اس کے بعد ان ماڈیولز کے غیر معمولی آٹومورفزم ہوتے ہیں جو خلاصہ کو محفوظ نہیں رکھتے ہیں۔ تاہم، کسی کے پاس ایک کینونکل ٹورسن سب ماڈیول T ہے، اور اسی طرح کے کینونکل سب ماڈیول ہیں جو ہر (الگ الگ) غیر متغیر عنصر سے مطابقت رکھتے ہیں، جو ایک کینونکل ترتیب دیتے ہیں: اردن-ہولڈر تھیوریم میں کمپوزیشن سیریز کا موازنہ کریں۔ مثال کے طور پر، اگر، اور ایک بنیاد ہے، تو دوسری بنیاد ہے، اور بیس میٹرکس کی تبدیلی خلاصہ کو محفوظ نہیں رکھتی ہے۔ تاہم، یہ خلاصہ کو محفوظ رکھتا ہے، کیونکہ یہ ٹورسن سب ماڈیول ہے (مساوی طور پر یہاں، 2-ٹورسن عناصر)۔ جارڈن-ہولڈر تھیوریم محدود گروپوں (یا صوابدیدی رنگ پر ماڈیولز) کے لیے ایک زیادہ عمومی نتیجہ ہے۔ اس عام طور پر، کوئی براہ راست رقم کے بجائے کمپوزیشن سیریز حاصل کرتا ہے۔ کرول-شمٹ تھیوریم اور متعلقہ نتائج ایسے حالات پیش کرتے ہیں جن کے تحت ایک ماڈیول میں بنیادی سڑنے کی طرح کچھ ہوتا ہے، جو کہ ناقابل تلافی ماڈیولز کے براہ راست مجموعہ کے طور پر ایک سڑنا ہے جس میں خلاصہ ترتیب کے مطابق منفرد ہوتے ہیں۔ پرائمری سڑنا بنیادی سڑنا عام طور پر مواصلاتی نویتھیرین رنگوں پر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیولز میں تبدیل ہوتا ہے، اور اس نتیجے کو لاسکر-نویتھر تھیوریم کہا جاتا ہے۔ غیر کمپوز ایبل ماڈیولز اس کے برعکس، غیر کمپوز ایبل ذیلی ماڈیولز میں منفرد سڑنا اب تک عام نہیں ہوتا ہے، اور ناکامی کو مثالی کلاس گروپ کے ذریعے ماپا جاتا ہے، جو پی آئی ڈی کے لیے غائب ہو جاتا ہے۔ ان رنگوں کے لیے جو پرنسپل آئیڈیل ڈومینز نہیں ہیں، انوکھی سڑن کو دو عناصر سے پیدا ہونے والی رنگ پر ماڈیولز کے لیے بھی برقرار رکھنے کی ضرورت نہیں ہے۔ رنگ R = Z [σ−5] کے لیے، ماڈیول R اور اس کا ذیلی ماڈیول M جو 2 اور 1 + σ−5 سے پیدا ہوتا ہے، دونوں ناقابل تلافی ہیں۔ اگرچہ R، M کے لیے آئسومورفک نہیں ہے، R ≤ R، M ≤ M کے لیے آئسومورفک ہے۔ اس طرح M سمینڈز کی تصاویر ناقابل تلافی ذیلی ماڈیولز L1، L2 <R ≤ R دیتی ہیں جو R ≤ R کا ایک مختلف سڑنا دیتی ہیں۔ R ≤ R کو ناقابل تلافی ماڈیولز کے براہ راست مجموعے میں منفرد طور پر فیکٹرائز کرنے کی ناکامی کا براہ راست تعلق (مثالی کلاس گروپ کے ذریعے) R کے عناصر کی R کے ناقابل تلافی عناصر میں منفرد فیکٹرائزیشن کی ناکامی سے ہے۔ تاہم، ڈیڈیکائنڈ ڈومین پر مثالی کلاس گروپ واحد رکاوٹ ہے، اور ڈھانچہ تھیوریم معمولی تبدیلیوں کے ساتھ ڈیڈیکائنڈ ڈومین پر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیولز کو عام کرتا ہے۔ اب بھی ایک منفرد ٹورسن حصہ ہے، جس میں ٹورسن فری تکمیل (آئسومورفزم تک منفرد) ہے، لیکن ڈیڈیکائنڈ ڈومین پر ٹورسن فری ماڈیول اب لازمی طور پر آزاد نہیں ہے۔ ڈیڈیکائنڈ ڈومین پر ٹورسن فری ماڈیولز کا تعین (آئسومورفزم تک) رینک اور اسٹینٹز کلاس (جو آئیڈیل کلاس گروپ میں قدر لیتا ہے) کے ذریعہ کیا جاتا ہے، اور R (رینک ون فری ماڈیولز) کی کاپیوں کے براہ راست مجموعے میں سڑنے کی جگہ براہ راست رقم کو رینک ون پروجیکٹو ماڈیولز میں تبدیل کیا جاتا ہے: انفرادی خلاصہ منفرد طور پر طے نہیں کیا جاتا ہے، لیکن اسٹینٹز کلاس (رقم کا) ہے۔ اسی طرح ان ماڈیولز کے لیے جو حتمی طور پر تیار نہیں کیے گئے ہیں، کوئی بھی اس طرح کے اچھے سڑنے کی توقع نہیں کر سکتا: یہاں تک کہ عوامل کی تعداد بھی مختلف ہو سکتی ہے۔ کیو 4 کے زیڈ-سب ماڈیول ہوتے ہیں جو بیک وقت دو انڈی کمپوز ایبل ماڈیولز کے براہ راست مجموعے اور تین انڈی کمپوز ایبل ماڈیولز کے براہ راست مجموعے ہوتے ہیں، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ بنیادی سڑنے کا ینالاگ لامحدود طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے لیے نہیں ہو سکتا، یہاں تک کہ انٹیجرز پر بھی، زیڈ۔ ایک اور مسئلہ جو غیر حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے ساتھ پیدا ہوتا ہے وہ یہ ہے کہ ٹورسن فری ماڈیولز ہوتے ہیں جو مفت نہیں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، انٹیجرز کی رنگ Z پر غور کریں۔ پھر ق ایک ٹورسن فری زیڈ ماڈیول ہے جو مفت نہیں ہے۔ اس طرح کے ماڈیول کی ایک اور کلاسیکی مثال بیئر سپیکر گروپ ہے، جو اصطلاح وار اضافے کے تحت انٹیجرز کے تمام ترتیبات کا گروپ ہے۔ عام طور پر، یہ سوال کہ کون سے لامحدود طور پر پیدا ہونے والے ٹورسن فری ابیلین گروپ آزاد ہیں، اس پر منحصر ہے کہ کون سے بڑے کارڈینلز موجود ہیں۔ ایک نتیجہ یہ ہے کہ لامحدود طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے لیے کوئی بھی ساخت تھیوریم سیٹ تھیوری محوروں کے انتخاب پر منحصر ہے اور مختلف انتخاب کے تحت غلط ہو سکتا ہے۔ تجریدی الجبرا ماڈیول تھیوری ڈی میں حوالہ جات تھیوریمز: Hauptidealring#Moduln über Hauptidealringen