Random measure
امکان کے نظریہ میں، بے ترتیب پیمائش ایک پیمائش کی قدر والا بے ترتیب عنصر ہے۔ بے ترتیب اقدامات مثال کے طور پر بے ترتیب عمل کے نظریہ میں استعمال ہوتے ہیں، جہاں وہ بہت سے اہم نقطہ عمل تشکیل دیتے ہیں جیسے پوسن پوائنٹ کے عمل اور کاکس کے عمل۔ تعریف بے ترتیب اقدامات کو منتقلی کے دانے یا بے ترتیب عناصر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ دونوں تعریفیں مساوی ہیں۔ تعریفوں کے لیے، ایک علیحدہ مکمل میٹرک اسپیس ہونے دیں اور اس کا بوریل-الجبرا ہونے دیں۔ (علیحدہ مکمل میٹرک اسپیس کی سب سے عام مثال ہے) ایک منتقلی دانا کے طور پر ایک بے ترتیب پیمائش ایک (خلاصہ) ممکنہ جگہ سے مقامی طور پر محدود منتقلی دانا ہے۔ ٹرانزیشن کرنل ہونے کا مطلب یہ ہے کہ کسی بھی فکسڈ کے لیے، نقشہ سازی ایک سے دوسرے تک ناپی جا سکتی ہے۔ ہر فکسڈ کے لیے، نقشہ سازی مقامی طور پر محدود ہونے کی ایک پیمائش ہے جس کا مطلب ہے کہ اقدامات تمام باؤنڈڈ پیمائش کے قابل سیٹوں کے لیے مطمئن ہوتے ہیں اور کچھ-نل سیٹ کے علاوہ سب کے لیے۔ اسٹوکاسٹک عمل کے تناظر میں اسٹوکاسٹک کرنل، پروبیبلٹی کرنل، مارکوف کرنل کا متعلقہ تصور موجود ہے۔ ایک بے ترتیب عنصر کے طور پر وضاحت کریں اور مقامی طور پر محدود اقدامات کے ذیلی سیٹ کی طرف سے تمام پابند پیمائش کے لیے، نقشہ سازی کی وضاحت کریں۔ چلو-الجبرہ پر نقشوں سے متاثر ہوتا ہے اور-الجبرہ پر نقشوں سے متاثر ہوتا ہے۔ اس بات کو نوٹ کریں۔ بے ترتیب پیمائش ایک بے ترتیب عنصر ہے جو تقریبا یقینی طور پر بنیادی متعلقہ تصورات میں اقدار لیتا ہے شدت کی پیمائش بے ترتیب پیمائش کے لیے، ہر مثبت پیمائش کے قابل فنکشن کے لیے تسلی بخش پیمائش کو شدت کی پیمائش کہا جاتا ہے۔ شدت کی پیمائش ہر بے ترتیب پیمائش کے لیے موجود ہے اور یہ ایک s-لامحدود پیمائش ہے۔ معاون پیمائش بے ترتیب پیمائش کے لیے، تمام مثبت پیمائش کے قابل افعال کے لیے تسلی بخش پیمائش کو معاون پیمائش کہا جاتا ہے۔ معاون پیمائش تمام بے ترتیب اقدامات کے لیے موجود ہے اور اسے محدود ہونے کے لیے منتخب کیا جا سکتا ہے۔ لیپلیس ٹرانسفارم بے ترتیب پیمائش کے لیے، لیپلیس ٹرانسفارم کی تعریف ہر مثبت پیمائش کے قابل فنکشن کے طور پر کی جاتی ہے۔ بنیادی خصوصیات انٹیگرلز کی پیمائش بے ترتیب پیمائش کے لیے، انٹیگرلز اور مثبت-پیمائش کے قابل پیمائش کے قابل ہیں، لہذا وہ بے ترتیب متغیر ہیں۔ انفرادیت بے ترتیب پیمائش کی تقسیم کا تعین منفرد طور پر تمام مسلسل افعال کے لیے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ کی تقسیم سے ہوتا ہے۔ ایک فکسڈ سیمیئرنگ کے لیے جو اس معنی میں پیدا ہوتا ہے کہ، بے ترتیب پیمائش کی تقسیم بھی منفرد طور پر تمام مثبت سادہ پیمائش کے قابل افعال پر انٹیگرل کے ذریعے طے کی جاتی ہے۔ سڑنا ایک پیمائش عام طور پر اس طرح سڑ سکتی ہے: یہاں ایٹموں کے بغیر پھیلی ہوئی پیمائش ہے، جبکہ یہ خالص طور پر جوہری پیمائش ہے۔ بے ترتیب گنتی کی پیمائش فارم کی بے ترتیب پیمائش: ڈیراک پیمائش کہاں ہے، اور بے ترتیب متغیر ہیں، اسے پوائنٹ پروسیس یا بے ترتیب گنتی کی پیمائش کہا جاتا ہے۔ یہ بے ترتیب پیمائش N ذرات کے سیٹ کو بیان کرتی ہے، جن کے مقامات (عام طور پر ویکٹر ویلیوڈ) بے ترتیب متغیرات کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ گنتی کی پیمائش کے لیے پھیلا ہوا جزو کالعدم ہے۔ اوپر کے رسمی اشارے میں بے ترتیب گنتی کی پیمائش امکان کی جگہ سے قابل پیمائش جگہ تک ایک نقشہ ہے۔ یہاں تمام محدود انٹیجر ویلیوڈ پیمائشوں کی جگہ ہے (جسے گنتی کے اقدامات کہا جاتا ہے)۔ توقع کی پیمائش، لیپلیس فنکشنل، مومنٹ کے اقدامات اور بے ترتیب اقدامات کے لیے اسٹیشنریٹی کی تعریفیں پوائنٹ کے عمل کی پیروی کرتی ہیں۔ مونٹی کارلو طریقوں کی وضاحت اور تجزیہ میں بے ترتیب اقدامات مفید ہیں، جیسے مونٹی کارلو عددی کواڈریچر اور پارٹیکل فلٹر۔ یہ بھی دیکھیں کہ پوئسون بے ترتیب پیمائش ویکٹر پیمائش اینسمبل حوالہ جات اقدامات (پیمائش نظریہ) اسٹوکاسٹک عمل