Homotopy category of chain complexes
ریاضی میں ہومیولوجیکل الجبرا میں، ایک اضافی زمرہ اے میں سلسلہ کمپلیکس کا ہوموٹوپی زمرہ K (A) سلسلہ ہوموٹوپیز اور ہوموٹوپی مساوات کے ساتھ کام کرنے کے لیے ایک فریم ورک ہے۔ یہ سلسلہ کمپلیکس کے زمرے اے کے کوم (اے) اور اے کے ماخوذ زمرے ڈی (اے) کے درمیان انٹرمیڈیٹ پر واقع ہے جب اے ابیلین ہے۔ سابقہ کے برعکس یہ ایک مثلث زمرہ ہے، اور مؤخر الذکر کے برعکس اس کی تشکیل کے لیے یہ ضروری نہیں ہے کہ اے ابیلین ہو۔ فلسفیانہ طور پر، جب کہ D (A) کوم (A) میں کمپلیکس کے کسی بھی نقشے کو آئسومورفزم میں بدل دیتا ہے، K (A) صرف ان لوگوں کے لیے ایسا کرتا ہے جو "اچھی وجہ" کے لیے نیم آئسومورفزم ہیں، یعنی اصل میں ہوموٹوپی مساوات تک الٹا ہوتا ہے۔ اس طرح، K (A) D (A) سے زیادہ قابل فہم ہے۔ تعریف A کو ایک اضافی زمرہ ہونے دیں۔ ہوموٹوپی زمرہ K (A) مندرجہ ذیل تعریف پر مبنی ہے: اگر ہمارے پاس کمپلیکس A، B ہیں اور A سے B تک f، g کے نقشے ہیں، تو f سے G تک کی چین ہوموٹوپی نقشوں کا مجموعہ ہے (کمپلیکس کا نقشہ نہیں) جیسے کہ یا صرف اس طرح دکھایا جا سکتا ہے: ہم یہ بھی کہتے ہیں کہ f اور g چین ہوموٹوپک ہیں، یا وہ صفر ہوموٹوپک یا ہوموٹوپک سے 0 ہے۔ تعریف سے یہ واضح ہے کہ کمپلیکس کے نقشے جو نیل-ہوموٹوپک ہوتے ہیں، اضافے کے تحت ایک گروپ بناتے ہیں۔ سلسلہ کمپلیکس K (A) کے ہوموٹوپی زمرے کی تعریف اس کے بعد اس طرح کی جاتی ہے: اس کی اشیاء کوم (A) کی اشیاء جیسی ہیں، یعنی سلسلہ کمپلیکس۔ اس کے مورفزم "کمپلیکس ماڈیولو ہوموٹوپی کے نقشے" ہیں: یعنی، ہم ایک مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتے ہیں اگر f g کے لیے ہوموٹوپک ہے اور اس تعلق سے حصص کی وضاحت کرتے ہیں۔ یہ واضح ہے کہ اس کا نتیجہ ایک اضافی زمرے میں آتا ہے اگر کوئی یہ نوٹ کرتا ہے کہ یہ نیل-ہوموٹوپک نقشوں کے ذیلی گروپ کے ذریعہ حصص لینے کے مترادف ہے۔ تعریف کی درج ذیل قسمیں بھی وسیع پیمانے پر استعمال کی جاتی ہیں: اگر کوئی صرف باؤنڈڈ-نیچے (این = 0 کے لیے این <<0)، باؤنڈڈ-اوپر (این = 0 کے لیے این>> 0)، یا باؤنڈڈ (این = 0 کے لیے |n |>> 0) کمپلیکس کو غیر باؤنڈڈ کمپلیکس کے بجائے لیتا ہے، تو وہ باؤنڈڈ-نیچے ہوموٹوپی زمرہ وغیرہ کی بات کرتا ہے۔ انہیں بالترتیب K + (A)، K − (A) اور Kb (A) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک مورفزم جو کے (اے) میں ایک آئسومورفزم ہے اسے ہوموٹوپی مساوات کہا جاتا ہے۔ تفصیل سے، اس کا مطلب ہے کہ ایک اور نقشہ موجود ہے، اس طرح کہ دونوں ترکیبیں شناختوں کے لیے ہم آہنگ ہیں: اور۔ "ہوموٹوپی" نام اس حقیقت سے آیا ہے کہ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے ہوموٹوپک نقشے واحد زنجیروں کے ہوموٹوپک (مذکورہ بالا معنوں میں) نقشوں کو جنم دیتے ہیں۔ ریمارکس دو سلسلہ ہوموٹوپک نقشے f اور g ہومیولوجی پر ایک ہی نقشے کو متاثر کرتے ہیں کیونکہ (f−g) حدود میں چکروں کو بھیجتا ہے، جو ہومیولوجی میں صفر ہیں۔ خاص طور پر ہوموٹوپی مساوات ایک نیم آئسومورفزم ہے۔ (اس کے برعکس عام طور پر غلط ہے۔) اس سے پتہ چلتا ہے کہ مشتق زمرے میں ایک کینونکل فنکٹر موجود ہے (اگر A ابیلین ہے)۔ مثلث ساخت ایک پیچیدہ A کی شفٹ A [1] مندرجہ ذیل کمپلیکس ہے (نوٹ کریں کہ)، جہاں تفریق ہے۔ مورفزم f کے شنک کے لیے ہم نقشہ سازی شنک لیتے ہیں۔ قدرتی نقشے ہیں۔ اس خاکے کو مثلث کہا جاتا ہے۔ ہوموٹوپی زمرہ K (A) ایک مثلث زمرہ ہے، اگر کوئی ممتاز مثلث کو آئسومورفک (K (A) میں، یعنی۔ ہوموٹوپی مساوی) اوپر کے مثلثوں کے لیے، صوابدیدی A، B اور f کے لیے۔ یہی بات باؤنڈڈ متغیرات K + (A)، K− (A) اور Kb (A) کے لیے بھی درست ہے۔ اگرچہ مثلث کوم (اے) میں بھی معنی رکھتے ہیں، لیکن یہ زمرہ ان ممتاز مثلثوں کے حوالے سے مثلث نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ممتاز نہیں ہے کیونکہ شناختی نقشے کا شنک پیچیدہ 0 کے لیے آئسومورفک نہیں ہے (تاہم، صفر نقشہ ایک ہوموٹوپی مساوات ہے، تاکہ یہ مثلث کے (اے) میں ممتاز ہو)۔ مزید برآں، ایک ممتاز مثلث کی گردش کو واضح طور پر کوم (اے) میں ممتاز نہیں کیا گیا ہے، لیکن (کم واضح طور پر) کے (اے) میں ممتاز کیا گیا ہے۔ تفصیلات کے لیے حوالہ جات دیکھیں۔ عمومی کاری زیادہ عام طور پر، تفریق درجہ بند زمرہ سی کے ہوموٹوپی زمرہ ہو (سی) کی تعریف وہی اشیاء رکھنے کے لیے کی جاتی ہے جو سی کے طور پر ہیں، لیکن مورفزم کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ (یہ سلسلہ کمپلیکس کے ہوموٹوپی تک ابالتا ہے اگر C کمپلیکس کا زمرہ ہے جس کے مورفزم کو تفریق کا احترام کرنے کی ضرورت نہیں ہے)۔ اگر سی میں مناسب معنوں میں شنک اور شفٹ ہیں، تو ہو (سی) بھی ایک مثلث والا زمرہ ہے۔ حوالہ جات ہومیولوجیکل الجبرا اضافی زمرہ جات