Undefined (mathematics)
ریاضی میں، غیر متعین اصطلاح اکثر اس اظہار کے لیے استعمال ہوتی ہے جس کی تشریح یا قدر تفویض نہیں کی جاتی ہے (جیسے کہ ایک غیر متعین شکل، جس میں مختلف اقدار کو فرض کرنے کا امکان ہوتا ہے)۔ اصطلاح سیاق و سباق کے لحاظ سے کئی مختلف معنی لے سکتی ہے۔ مثال کے طور پر: ریاضی کی مختلف شاخوں میں، بعض تصورات کو ابتدائی تصورات کے طور پر متعارف کرایا جاتا ہے (مثال کے طور پر، جیومیٹری میں اصطلاحات "پوائنٹ"، "لائن" اور "پلین")۔ چونکہ ان اصطلاحات کی تعریف دوسرے تصورات کے لحاظ سے نہیں کی گئی ہے، اس لیے انہیں "غیر متعین اصطلاحات" کہا جا سکتا ہے۔ کسی فنکشن کو اس کے ڈومین سے باہر کے نکات پر "غیر متعین" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، حقیقی قدر والا فنکشن منفی کے لیے غیر متعین ہے (یعنی، یہ منفی دلائل کو کوئی قدر تفویض نہیں کرتا ہے)۔ الجبرا میں، کچھ ریاضی کی کارروائیاں اس کے آپریڈز کی کچھ اقدار کو معنی تفویض نہیں کرسکتی ہیں (مثال کے طور پر، صفر سے تقسیم)۔ اس صورت میں، اس طرح کے آپریڈز پر مشتمل تاثرات کو "غیر متعین" قرار دیا جاتا ہے۔ مربع جڑوں میں، کسی بھی منفی نمبر کے مربع جڑوں کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے کیونکہ آپ منفی نمبر حاصل کرنے کے لیے ایک ہی مثبت اور نہ ہی منفی نمبر کے 2 کو ضرب نہیں دے سکتے، جیسے-4،-9،-16 وغیرہ۔ (مثلا: 6x6 = 36 اور-6x-6 = 36)۔ غیر متعین اصطلاحات قدیم زمانے میں، جیومیٹرز نے ہر اصطلاح کی وضاحت کرنے کی کوشش کی۔ مثال کے طور پر، یوکلڈ نے ایک نقطہ کی تعریف "وہ جس کا کوئی حصہ نہ ہو" کے طور پر کی ہے۔ جدید دور میں، ریاضی دان تسلیم کرتے ہیں کہ ہر لفظ کی وضاحت کرنے کی کوشش لامحالہ سرکلر تعریفوں کی طرف لے جاتی ہے، اور اس وجہ سے کچھ اصطلاحات (جیسے "پوائنٹ") کو غیر متعین چھوڑ دیتے ہیں (مزید کے لیے قدیم تصور دیکھیں)۔ یہ زیادہ تجریدی نقطہ نظر نتیجہ خیز عامیوں کی اجازت دیتا ہے۔ ٹوپولوجی میں، ٹوپولوجیکل اسپیس کی تعریف بعض خصوصیات سے مالا مال پوائنٹس کے ایک سیٹ کے طور پر کی جا سکتی ہے، لیکن عمومی ترتیب میں، ان "پوائنٹس" کی نوعیت کو مکمل طور پر غیر واضح چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اسی طرح، زمرہ نظریہ میں، ایک زمرہ "اشیاء" اور "تیروں" پر مشتمل ہوتا ہے، جو ایک بار پھر قدیم، غیر متعین اصطلاحات ہیں۔ یہ اس طرح کے تجریدی ریاضیاتی نظریات کو بہت متنوع ٹھوس حالات پر لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ریاضی میں اظہار ریاضی میں غیر متعین ہے، جیسا کہ صفر سے تقسیم میں بیان کیا گیا ہے (اظہار کیلکولس میں ایک غیر متعین شکل کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتا ہے)۔ ریاضی دانوں کی رائے مختلف ہے کہ آیا اس کی تعریف 1 کے برابر کی جانی چاہیے، یا اسے غیر متعین چھوڑ دیا جانا چاہیے۔ وہ اقدار جن کے لیے افعال غیر متعین ہیں اعداد کا مجموعہ جس کے لیے فنکشن کی وضاحت کی جاتی ہے اسے فنکشن کا ڈومین کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی نمبر کسی فنکشن کے ڈومین میں نہیں ہے، تو اس فنکشن کو اس نمبر کے لیے "غیر متعین" کہا جاتا ہے۔ دو عام مثالیں ہیں، جن کی وضاحت نہیں کی گئی ہے، اور، جن کی وضاحت نہیں کی گئی ہے (حقیقی تعداد کے نظام میں) منفی کے لیے۔ مثلثیات میں، سب کے لیے، افعال اور سب کے لیے غیر متعین ہیں، جبکہ افعال اور سب کے لیے غیر متعین ہیں۔ پیچیدہ تجزیے میں، پیچیدہ تجزیے میں، ایک نقطہ جہاں ہولومورفک فنکشن غیر متعین ہو، یکسانیت کہلاتا ہے۔ ایک ہٹنے کے قابل سنگلٹیز (یعنی فنکشن کو ہولومورفک طور پر بڑھایا جا سکتا ہے)، پولز (یعنی فنکشن کو مورومورفک طور پر بڑھایا جا سکتا ہے)، اور ضروری سنگلٹیز (یعنی کوئی مورومورفک ایکسٹینشن موجود نہیں ہے) کے درمیان فرق کرتا ہے۔ کمپیوٹیبلٹی تھیوری میں، اگر ایک جزوی فنکشن ہے اور اس کا ایک عنصر ہے، تو اسے اس طرح لکھا جاتا ہے، اور اس طرح پڑھا جاتا ہے کہ "f (a)" کی تعریف کی گئی ہے۔ اگر کے ڈومین میں نہیں ہے، تو اسے اس طرح لکھا جاتا ہے، اور "غیر متعین ہے" کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ انفنٹی کی علامتیں تجزیہ، پیمائش کے نظریہ اور دیگر ریاضیاتی مضامین میں، علامت کو اکثر اس کے منفی کے ساتھ ایک لامحدود فرضی نمبر کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ علامت کا اپنے آپ میں کوئی واضح معنی نہیں ہے، لیکن اس طرح کا ایک اظہار ایک متفرق ترتیب کے لیے شارٹ ہینڈ ہے، جو کسی وقت کسی دیئے گئے حقیقی نمبر سے بڑا ہوتا ہے۔ علامتوں کے ساتھ معیاری ریاضی کی کارروائیوں کو انجام دینا غیر متعین ہے۔ کچھ توسیعات، تاہم، اضافہ اور ضرب کے درج ذیل کنونشن کی وضاحت کرتی ہیں: سب کے لیے۔ سب کے لیے۔ سب کے لیے۔ مندرجہ ذیل صورتوں میں اضافہ اور ضرب کی کوئی سمجھدار توسیع موجود نہیں ہے: (اگرچہ پیمائش کے نظریہ میں، اس کی تعریف اکثر اس طرح کی جاتی ہے) مزید تفصیل کے لیے، توسیعی حقیقی نمبر لائن دیکھیں۔ حوالہ جات مزید پڑھنے ریاضیاتی اصطلاحات کیلکولس