Analytic function of a matrix
ریاضی میں، ہر تجزیاتی فنکشن کو میٹرکس فنکشن کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو مربع میٹرکس کو پیچیدہ اندراجات کے ساتھ ایک ہی سائز کے مربع میٹرکس میں نقشہ بناتا ہے۔ یہ میٹرکس کے ایکسپونینشل کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے، جو لکیری تفریقی مساوات کے نظاموں کے بند شکل کے حل میں شامل ہوتا ہے۔ اسکیلر فنکشن کو میٹرکس فنکشن تک بڑھانا ایک حقیقی فنکشن کو مربع میٹرکس فنکشن تک اٹھانے کی کئی تکنیکیں ہیں جیسے کہ دلچسپ خصوصیات کو برقرار رکھا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل تمام تکنیکیں ایک ہی میٹرکس فنکشن دیتی ہیں، لیکن جن ڈومینز پر فنکشن کی وضاحت کی گئی ہے وہ مختلف ہو سکتے ہیں۔ پاور سیریز اگر تجزیاتی فنکشن میں ٹیلر کی توسیع ہوتی ہے تو میٹرکس فنکشن کی تعریف مربع میٹرکس کے ذریعے کی جا سکتی ہے: پاور میٹرکس پاور بن جاتے ہیں، اضافے میٹرکس کے مجموعے بن جاتے ہیں اور کوفشنٹس کے ذریعے ضرب اسکیلر ضرب بن جاتے ہیں۔ اگر سیریز کنورج ہوتی ہے، تو متعلقہ میٹرکس سیریز میٹرکس کے لیے اس طرح کنورج ہوتی ہے کہ کچھ میٹرکس کے معیار کے لیے جو مطمئن ہوتا ہے۔ ڈائیگنل ایبل میٹرکس ایک مربع میٹرکس ڈائیگنل ایبل ہوتا ہے، اگر کوئی الٹا میٹرکس ہے جو کہ ڈائیگنل میٹرکس ہے، یعنی اس کی شکل ہوتی ہے جیسا کہ سیٹ کرنا فطری ہے اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ میٹرکس کسی خاص انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ کوئی فارمولے کے اطلاق کے لیے ایک کی تلاش کر رہا ہے تو صرف نتیجہ نکلتا ہے۔ اسی طرح، اردن سڑنا تمام پیچیدہ میٹرکس، چاہے وہ اخترن ہوں یا نہ ہوں، اردن نارمل فارم رکھتے ہیں، جہاں میٹرکس J اردن بلاکس پر مشتمل ہوتا ہے۔ ان بلاکس پر الگ سے غور کریں اور پاور سیریز کو اردن بلاک پر لاگو کریں: اس تعریف کو میٹرکس فنکشن کے ڈومین کو میٹرکس کے سیٹ سے آگے بڑھانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جس میں سپیکٹرم رداس پاور سیریز کے کنورجنس کے رداس سے چھوٹا ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ منقسم اختلافات کا بھی ایک تعلق ہے۔ ایک متعلقہ تصور اردن-چیولی سڑنا ہے جو ایک میٹرکس کو ایک اخترن اور نیلپوٹینٹ حصے کے مجموعے کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ ہرمیٹین میٹرکس ایک ہرمیٹین میٹرکس میں تمام حقیقی آئجین ویلیوز ہوتی ہیں اور سپیکٹرم تھیوریم کے مطابق اسے ہمیشہ یونٹری میٹرکس P کے ذریعے ڈائیگنلائز کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں اردن کی تعریف فطری ہے۔ مزید برآں، یہ تعریف کسی کو حقیقی افعال کے لیے معیاری عدم مساوات کو بڑھانے کی اجازت دیتی ہے: اگر کے تمام آئجن ویلیوز کے لیے، تو۔ (ایک روایت کے طور پر، ایک مثبت-سیمیڈفائنٹ میٹرکس ہے۔) ثبوت تعریف سے براہ راست پیروی کرتا ہے۔ پیچیدہ تجزیہ سے کاچی انٹیگرل کاچی کا انٹیگرل فارمولا میٹرکس افعال میں اسکیلر افعال کو عام کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ کاچی کا انٹیگرل فارمولا بتاتا ہے کہ کسی سیٹ پر بیان کردہ کسی بھی تجزیاتی فنکشن کے لیے، ڈومین کے اندر ایک بند سادہ وکر ہے۔ اب، ایک میٹرکس سے تبدیل کریں اور اس کے اندر ایک ایسے راستے پر غور کریں جو اس کے تمام آئجن ویلیوز کو گھیرے ہوئے ہو۔ اس کو حاصل کرنے کا ایک امکان یہ ہے کہ اصل کے ارد گرد ایک دائرہ ہو جس کا رداس صوابدیدی میٹرکس کے معیار سے بڑا ہو۔ اس کے بعد، اس کی تعریف ٹریپیزیم اصول کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے عددی طور پر کی جا سکتی ہے، جو اس معاملے میں تیزی سے یکجا ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ جب نوڈس کی تعداد دوگنی ہو جاتی ہے تو نتیجہ کی درستگی دوگنی ہو جاتی ہے۔ معمول کے معاملات میں، اسے سلویسٹر کے فارمولے سے نظرانداز کیا جاتا ہے۔ یہ خیال بناچ اسپیس پر باؤنڈ لینیر آپریٹرز پر لاگو ہوتا ہے، جسے لامحدود میٹرکس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، ہولومورفک فنکشنل کیلکولس کی طرف لے جاتا ہے۔ میٹرکس پرٹربیشنز مندرجہ بالا ٹیلر پاور سیریز اسکیلر کو میٹرکس سے تبدیل کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ یہ عام طور پر سچ نہیں ہے جب تک کہ تقریبا کے لحاظ سے توسیع نہ ہو۔ ایک جوابی مثال ہے، جس کی لمبائی محدود ٹیلر سیریز ہے۔ ہم اس کا حساب دو طریقوں سے کرتے ہیں، تقسیم کا قانون: اسکیلر ٹیلر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے اور آخر میں میٹرکس کے ساتھ اسکیلرز کو تبدیل کرنا: اسکیلر کا اظہار تبادلہ خیال کرتا ہے جبکہ میٹرکس کا اظہار نہیں کرتا ہے، اور اس طرح انہیں براہ راست مساوی نہیں کیا جا سکتا جب تک کہ۔ کچھ f (x) کے لیے اس سے اسکیلر ٹیلر سیریز کی طرح ہی طریقہ استعمال کر کے نمٹا جا سکتا ہے۔ مثلا۔ اگر موجود ہے تو۔ پہلی اصطلاح کی توسیع پھر اوپر دی گئی پاور سیریز کی پیروی کرتی ہے، پھر پاور سیریز کے کنورجنس معیار کا اطلاق ہوتا ہے، جس کے لیے مناسب میٹرکس کے معیار کے تحت کافی چھوٹا ہونا ضروری ہوتا ہے۔ زیادہ عام مسائل کے لیے، جنہیں اس طرح سے دوبارہ نہیں لکھا جا سکتا کہ دو میٹرکس کمیوٹ ہوں، لیبنز اصول کے بار بار استعمال کے ذریعے تیار کردہ میٹرکس مصنوعات کی ترتیب کا سراغ لگانا ضروری ہے۔ 2 × 2 میٹرکس کی صوابدیدی فنکشن 2 × 2 میٹرکس A کی صوابدیدی فنکشن f (A) کا سلویسٹر کا فارمولا اس بات کو آسان بناتا ہے کہ اس کی خصوصیت کی مساوات کی آئجن ویلیوز کہاں ہیں، اور مثال کے طور پر میٹرکس کثیر الجہتی میٹرکس جڑ میٹرکس لوگرتھم میٹرکس ایکسپونینشل میٹرکس سائن فنکشن میٹرکس افعال کی کلاسیں سیمیڈفائنٹ آرڈرنگ کا استعمال کرتے ہوئے (مثبت-سیمیڈفائنٹ ہے اور مثبت قطعی ہے)، اسکیلر افعال کی کچھ کلاسوں کو ہرمیٹین میٹرکس کے میٹرکس افعال تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ آپریٹر مونوٹون ایک فنکشن کو آپریٹر مونوٹون کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کے ڈومین میں سپیکٹر کے ساتھ تمام سیلف ایڈجائنٹ میٹرکس کے لیے۔ یہ اسکیلر کیس میں مونوٹون فنکشن کے مترادف ہے۔ آپریٹر کنکیو/کنویکس ایک فنکشن کو آپریٹر کنکیو کہا جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اور کے ڈومین میں سپیکٹر کے ساتھ تمام سیلف ایڈجائنٹ میٹرکس کے لیے۔ یہ تعریف کنکیو اسکیلر فنکشن سے مشابہت رکھتی ہے۔ ایک آپریٹر کنویکس فنکشن کو مندرجہ بالا تعریف میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال میٹرکس لاگ آپریٹر مونوٹون اور آپریٹر کنکیو دونوں ہے۔ میٹرکس مربع آپریٹر کنویکس ہے۔ میٹرکس ایکسپونینشل ان میں سے کوئی نہیں ہے۔ لوونر تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ کھلے وقفے پر ایک فنکشن آپریٹر مونوٹون ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں اوپری اور نچلے پیچیدہ نصف طیاروں تک تجزیاتی توسیع ہو تاکہ اوپری نصف طیارہ خود سے نقشہ بند ہو۔ الجبرائی ریکاٹی مساوات سلویسٹر کا فارمولا لوونر آرڈر میٹرکس کیلکولس ٹریس عدم مساوات میٹرکس کے ٹریگونومیٹرک افعال نوٹ حوالہ جات میٹرکس تھیوری ریاضیاتی طبیعیات بھی دیکھیں۔