(2,3,7) triangle group
ریمن سطحوں اور ہائپربولک جیومیٹری کے نظریہ میں، مثلث گروپ (2,3,7) خاص طور پر ہرٹز سطحوں سے اس کے تعلق کے لیے اہم ہے، یعنی جینس جی کی ریمن سطحیں جو اس کے آٹومورفزم گروپ کی سب سے بڑی ممکنہ ترتیب، 84 (g−1) کے ساتھ ہیں۔ "(2,3,7) مثلث گروپ" کی اصطلاح اکثر مکمل مثلث گروپ (2,3,7) (شوارز مثلث (2,3,7) کے ساتھ کاکسٹر گروپ یا ہائپربولک عکاسی گروپ کے طور پر احساس) سے مراد نہیں ہے، بلکہ واقفیت کو محفوظ رکھنے والے نقشوں (گردش گروپ) کے عام مثلث گروپ (وان ڈک گروپ) D (2,3,7) سے مراد ہے، جو انڈیکس 2 ہے۔ (2,3,7) مثلث گروپ کے ٹورسن فری نارمل ذیلی گروہ ہرٹز سطحوں سے وابستہ فوچیائی گروپ ہیں، جیسے کلین کوارٹک، میک بیت سطح اور فرسٹ ہرٹز ٹرپلٹ۔ تعمیرات ہائپربولک تعمیرات مثلث گروپ کی تعمیر کے لیے، زاویہ π/2، π/3، اور π/7 کے ساتھ ہائپربولک مثلث سے شروع کریں۔ یہ مثلث، سب سے چھوٹا ہائپربولک شوارز مثلث، سطح کو اس کے اطراف میں عکاسی کے ذریعے ٹائل کرتا ہے۔ اس کے بعد مثلث کے اطراف میں عکاسی سے پیدا ہونے والے گروپ پر غور کریں، جو (مثلث ٹائلوں کے بعد سے) ایک غیر یوکلڈین کرسٹلگرافک گروپ (ہائپربولک آئسومیٹریز کا ایک مجرد ذیلی گروپ) ہے جس میں بنیادی ڈومین کے لیے یہ مثلث ہے۔ متعلقہ ٹائلنگ آرڈر-3 بٹیکٹڈ ہیپٹگنل ٹائلنگ ہے۔ (2,3,7) مثلث گروپ کی تعریف انڈیکس 2 ذیلی گروپوں کے طور پر کی گئی ہے جو واقفیت کو محفوظ رکھنے والے آئسومیٹریز پر مشتمل ہے، جو کہ ایک فوچیان گروپ (واقفیت کو محفوظ رکھنے والا NEC گروپ) ہے۔ گروپ پریزنٹیشن اس میں جنریٹرز کے ایک جوڑے، جی 2، جی 3، ماڈیولو کے لحاظ سے مندرجہ ذیل تعلقات کی پیشکش کی گئی ہے: ہندسی طور پر، یہ شوارز مثلث کے عمودی حصوں کے ذریعے اور اس کے بارے میں گردشوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کواٹرنیئن الجبرا (2,3,7) مثلث گروپ کواٹرنیئن الجبرا میں مناسب ترتیب میں معیاری 1 کے کواٹرنیئنز کے گروپ کے لحاظ سے ایک پیشکش کو قبول کرتا ہے۔ مزید خاص طور پر، مثلث گروپ اس کے مرکز ± 1 کے لحاظ سے کواٹرنیئنز کے گروپ کا حصص ہے۔ فرض کریں کہ η = 2cos (2π/7)۔ پھر شناخت سے ہم دیکھتے ہیں کہ ق (η) ق کی مکمل طور پر حقیقی کیوبک توسیع ہے۔ (2,3,7) ہائپربولک مثلث گروپ کواٹرنیئن الجبرا میں معیاری 1 عناصر کے گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے جو جنریٹرز i، j اور تعلقات i2 = j2 = η، ij = −i کے جوڑے کے ذریعہ ایسوسی ایٹیو الجبرا کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ کواٹرنیئن الجبرا میں ایک مناسب ہروٹز کواٹرنیئن آرڈر کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ یہاں ترتیب عناصر کے ذریعہ تیار کی جاتی ہے در حقیقت، ترتیب بنیاد پر ایک آزاد Z [η]-ماڈیول ہے۔ یہاں جنریٹر ان رلیشنز کو مطمئن کرتے ہیں جو مرکز کے حصص کے بعد مثلث گروپ میں مناسب رلیشنز پر اترتے ہیں۔ ایس ایل (2، آر) سے تعلق اسکیلرز کو کیو (η) سے آر (معیاری ایمبیڈنگ کے ذریعے) تک بڑھاتے ہوئے، کوئی حقیقی 2 بائی 2 میٹرکس کے کواٹرنیئن الجبرا اور الجبرا ایم (2، آر) کے درمیان ایک آئسومورفزم حاصل کرتا ہے۔ کنکریٹ آئسومورفزم کا انتخاب کسی کو (2,3,7) مثلث گروپ کو SL (2، R) میں ایک مخصوص فوچیان گروپ کے طور پر ظاہر کرنے کی اجازت دیتا ہے، خاص طور پر ماڈیولر گروپ کے حصص کے طور پر۔ اسے متعلقہ ٹائلنگ کے ذریعے دیکھا جا سکتا ہے، جیسا کہ دائیں طرف دکھایا گیا ہے: پوئن کیئر ڈسک پر (2,3,7) ٹائلنگ اوپری نصف سطح پر ماڈیولر ٹائلنگ کا ایک حصہ ہے۔ بہت سے مقاصد کے لیے، واضح آئسومورفزم غیر ضروری ہیں۔ اس طرح، گروپ عناصر کے نشانات (اور اس وجہ سے اوپری نصف سطح میں کام کرنے والے ہائپربولک عناصر کی ترجمہ کی لمبائی کے ساتھ ساتھ فوچیئن ذیلی گروپوں کے سسٹولز) کا حساب کواٹرنیئن الجبرا میں کم ٹریس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، اور فارمولا حوالہ جات مزید پڑھنے جیومیٹرک گروپ تھیوری ریمن سطحوں ہائپربولک ٹائلنگ سسٹولک جیومیٹری کلینین گروپس