Aronszajn tree
سیٹ تھیوری میں، آرونزاجن درخت ایک بے شمار اونچائی کا درخت ہے جس کی کوئی بے شمار شاخیں نہیں ہیں اور کوئی بے شمار سطح نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ہر سوسلن درخت ایک آرونزاجن درخت ہے۔ زیادہ عام طور پر، ایک کارڈینل κ کے لیے، ایک κ-ایرونزاجن درخت اونچائی κ کا درخت ہے جس میں تمام سطحوں کا سائز κ سے کم ہوتا ہے اور تمام شاخوں کی اونچائی κ سے کم ہوتی ہے (اس لیے ایرونزاجن کے درخت-ایرونزاجن کے درختوں کی طرح ہوتے ہیں)۔ ان کا نام نچمان آرونزاجن کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1934 میں ایک آرونزاجن درخت تعمیر کیا تھا۔ اس کی تعمیر کو اس نے بیان کیا تھا۔ ایک کارڈینل κ جس کے لیے کوئی κ-Aronzajn درخت موجود نہیں ہے کہا جاتا ہے کہ اس میں درخت کی خاصیت ہوتی ہے (بعض اوقات یہ شرط بھی شامل ہوتی ہے کہ κ باقاعدہ اور بے شمار ہے)۔ κ-Aronzajn درختوں کا وجود کینیگ کے لیما میں کہا گیا ہے کہ-Aronzajn درخت موجود نہیں ہیں۔ ارنزاجن کے درختوں (-ارنزاجن کے درختوں) کا وجود نچمان ارنزاجن نے ثابت کیا تھا، اور اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کینیگ کے لیما کا ینالاگ بے شمار درختوں کے لیے نہیں ہے۔ زیڈ ایف سی میں-ایرونزاجن درختوں کا وجود ناقابل فیصلہ ہے: زیادہ واضح طور پر، تسلسل مفروضہ ایک-ایرونزاجن درخت کے وجود کو ظاہر کرتا ہے، اور مچل اور سلور نے ظاہر کیا کہ یہ مستقل ہے (کمزور کمپیکٹ کارڈینل کے وجود سے متعلق) کہ کوئی-ایرونزاجن درخت موجود نہیں ہیں۔ جینسن نے ثابت کیا کہ V = L کا مطلب یہ ہے کہ ہر لامحدود جانشین کارڈینل κ کے لیے ایک κ-Aronzajn درخت (درحقیقت ایک κ-Suslin درخت) موجود ہے۔ (ایک بڑے کارڈینل محور کا استعمال کرتے ہوئے) ظاہر کیا کہ یہ مستقل ہے کہ 1 کے علاوہ کسی بھی محدود n کے لیے کوئی-Aronzajn درخت موجود نہیں ہے۔ اگر κ کمزور طور پر کمپیکٹ ہے تو کوئی κ-Aronzajn درخت موجود نہیں ہے۔ اس کے برعکس، اگر κ ناقابل رسائی ہے اور کوئی κ-Aronzajn درخت موجود نہیں ہے، تو κ کمزور طور پر کمپیکٹ ہے۔ خاص آرونزاجن درخت ایک آرونزاجن درخت کو خاص کہا جاتا ہے اگر درخت سے عقلی تک کوئی فنکشن f ہو تاکہ جب بھی x <y ہو f (x) <f (y)۔ مارٹن کا محور ایم اے () اس بات کا اشارہ کرتا ہے کہ تمام آرونزاجن درخت خاص ہیں، ایک تجویز جسے بعض اوقات ای اے ٹی ایس کے ذریعے مختصر کیا جاتا ہے۔ مضبوط مناسب مجبور کرنے والے محوریہ سے یہ مضبوط بیان ظاہر ہوتا ہے کہ کسی بھی دو آرونزاجن درختوں کے لیے سطحوں کا ایک کلب سیٹ ہوتا ہے جیسے کہ سطحوں کے اس سیٹ پر درختوں کی پابندیاں آئسومورفک ہوتی ہیں، جس کا کہنا ہے کہ کسی نہ کسی لحاظ سے کوئی بھی دو آرونزاجن درخت بنیادی طور پر آئسومورفک ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، یہ مستقل ہے کہ غیر خصوصی آرونزاجن کے درخت موجود ہیں، اور یہ عمومی تسلسل مفروضے کے علاوہ سوسلن کے مفروضے سے بھی مطابقت رکھتا ہے۔ ایک خاص ارنزاجن درخت کی تعمیر ایک خاص ارنزاجن درخت مندرجہ ذیل طریقے سے بنایا جا سکتا ہے۔ ٹری کے عناصر ریشنل نمبروں کے کچھ اچھی طرح سے ترتیب شدہ سیٹ ہوتے ہیں جن میں سپریمم ہوتا ہے جو ریشنل یا − φ ہوتا ہے۔ اگر x اور y ان میں سے دو سیٹ ہیں تو ہم x ≤ y (ٹری آرڈر میں) کی وضاحت کرتے ہیں اس کا مطلب یہ ہے کہ x ترتیب شدہ سیٹ y کا ابتدائی حصہ ہے۔ ہر قابل گنتی آرڈینل α کے لیے ہم سطح α کے درخت کے عناصر کے لیے Uα لکھتے ہیں، تاکہ Uα کے عناصر ترتیب کی قسم α کے ساتھ عقلی کے کچھ سیٹ ہوں۔ خصوصی آرونزاجن ٹری T تمام قابل شمار α کے لیے سیٹ Uα کا اتحاد ہے۔ ہم α پر ٹرانسفائنٹ انڈکشن کے ذریعے قابل گنتی سطحوں Uα کی تعمیر کرتے ہیں جیسا کہ U0 کے طور پر خالی سیٹ سے شروع ہوتا ہے: اگر α + 1 جانشین ہے تو Uα + 1 Uα میں ایک ترتیب x کی تمام توسیعات پر مشتمل ہوتا ہے جو کہ سپ x سے زیادہ عقلی ہوتا ہے۔ Uα + 1 قابل گنتی ہے کیونکہ یہ Uα میں شمار بہت سے عناصر میں سے ہر ایک کی قابل گنتی کئی توسیعات پر مشتمل ہوتا ہے۔ اگر α ایک حد ہے تو Tα کو α سے کم سطح کے تمام نکات کا درخت ہونے دیں۔ Tα میں ہر x کے لیے اور سپ x سے بڑے ہر عقلی عدد q کے لیے، Tα کی ایک سطح α شاخ کا انتخاب کریں جس میں x ہو جس میں سپیریمم q ہو۔ پھر Uα ان شاخوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ Uα قابل شمار ہے کیونکہ یہ Tα میں شمار ہونے والے بہت سے عناصر میں سے ہر ایک کے لیے شمار ہونے والی بہت سی شاخوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ فنکشن f (x) = سپ x عقلی یا − ini ہے، اور اس کی خاصیت یہ ہے کہ اگر x <y تو f (x) <f (y) ہے۔ T میں کوئی بھی شاخ قابل گنتی ہے کیونکہ f شاخوں کو − ν اور ریشنلز پر انجیکشن کے طور پر نقشہ بناتا ہے۔ T ناقابل شمار ہے کیونکہ اس میں ہر قابل گنتی آرڈینل α کے لیے ایک غیر خالی سطح Uα ہے جو پہلا ناقابل شمار آرڈینل بناتا ہے۔ اس سے ثابت ہوتا ہے کہ ٹی ایک خاص آرونزاجن درخت ہے۔ اس تعمیر کو κ-Aronzajn درختوں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جب بھی κ ایک باقاعدہ کارڈینل کا جانشین ہو اور عمومی تسلسل مفروضہ برقرار ہو، عقلی اعداد کو زیادہ عام η سیٹ سے تبدیل کر کے۔ مزید دیکھیں کوریپا درخت آرونزاجن لائن حوالہ جات بیرونی روابط پلینیٹ میتھ کے درخت (سیٹ تھیوری) آزادی کے نتائج