Householder's method
ریاضی میں، اور خاص طور پر عددی تجزیہ میں، ہاؤس ہولڈر کے طریقے جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم کی ایک کلاس ہیں جو کسی ترتیب تک مسلسل مشتقات کے ساتھ ایک حقیقی متغیر کے افعال کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ ان طریقوں میں سے ہر ایک کی خصوصیت نمبر ہے، جسے طریقہ کار کی ترتیب کہا جاتا ہے۔ الگورتھم تکرار ہے اور اس کے ارتکاز کی شرح ہے۔ ان طریقوں کا نام امریکی ریاضی دان ایلسٹن سکاٹ ہاؤس ہولڈر کے نام پر رکھا گیا ہے۔ طریقہ ہاؤس ہولڈر کا طریقہ مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک عددی الگورتھم ہے۔ اس صورت میں فنکشن کو ایک حقیقی متغیر کا فنکشن ہونا چاہیے۔ یہ طریقہ ابتدائی اندازے سے شروع ہونے والے تکرار کے سلسلے پر مشتمل ہوتا ہے۔ اگر ایک بار مسلسل تفریق پذیر فعل ہے اور اس کا صفر ہے لیکن اس کے مشتق کا نہیں ہے، تو، کے پڑوس میں، تکرار مطمئن کرتے ہیں:، کچھ لوگوں کے لیے اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر ابتدائی اندازہ کافی قریب ہے تو تکرار صفر میں ضم ہو جاتے ہیں، اور یہ کہ کنورجنس کا آرڈر یا بہتر ہے۔ مزید برآں، جب کافی قریب ہوتا ہے، تو عام طور پر کچھ لوگوں کے لیے ایسا ہوتا ہے۔ خاص طور پر، اگر یکساں ہے اور پھر کنورجنس دائیں طرف سے ہوگی۔ اگر یکساں ہے اور پھر کنورجنس بائیں طرف سے ہوگی۔ اگر عجیب ہے اور پھر کنورجنس اس طرف سے ہوگی جہاں سے یہ شروع ہوتا ہے۔ اور اگر عجیب ہے اور پھر کنورجنس سے متبادل اطراف ہوں گے۔ ان کی ہم آہنگی کی ترتیب کے باوجود، یہ طریقے وسیع پیمانے پر استعمال نہیں کیے جاتے ہیں کیونکہ درستگی میں فائدہ بڑے کے لیے کوشش میں اضافے کے مطابق نہیں ہوتا ہے۔ اوسٹروسکی انڈیکس تکرار کی گنتی کے بجائے فنکشن کی تشخیص کی تعداد میں غلطی میں کمی کا اظہار کرتا ہے۔ کثیر الجہتی کے لیے، ہورنر طریقہ استعمال کرنے کے پہلے مشتقات کی تشخیص میں کثیر الجہتی تشخیص کی کوشش ہوتی ہے۔ چونکہ تکرار پر تشخیص ایک ایرر ایکسپونینٹ دیتی ہے، اس لیے ایک فنکشن کی تشخیص کے لیے ایکسپونینٹ، عددی طور پر،، کے لیے، اور اس کے بعد گرتا ہے۔ اس معیار کے مطابق، کیس (ہیلی کا طریقہ) کی زیادہ سے زیادہ قیمت ہے۔ عام افعال کے لیے خودکار تفریق کے ٹیلر ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے مشتق تشخیص کے لیے فنکشن تشخیص کے مساوی کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح ایک فنکشن کی تشخیص غلطی کو ایک ایکسپوینٹ کے ذریعے کم کرتی ہے، جو کہ نیوٹن کے طریقہ کار کے لیے ہے، ہیلی کے طریقہ کار کے لیے اور اعلی ترتیب کے طریقوں کے لیے 1 یا لکیری کنورجنس کی طرف گرتا ہے۔ محرک پہلا نقطہ نظر فرض کریں کہ اور کے پڑوس میں تجزیاتی ہے۔ اس کے بعد ٹیلر سیریز ہے اور اس کی مستقل اصطلاح صفر ہے۔ چونکہ یہ مستقل اصطلاح صفر ہے، اس لیے فنکشن میں ٹیلر سیریز ہوگی اور، جب، اس کی مستقل اصطلاح صفر نہیں ہوگی۔ کیونکہ وہ مستقل اصطلاح صفر نہیں ہے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ باہمی میں ٹیلر سیریز ہے، جسے ہم اس طرح لکھیں گے اور اس کی مستقل اصطلاح صفر نہیں ہوگی۔ اس ٹیلر سیریز کا استعمال کرتے ہوئے ہم لکھ سکتے ہیں جب ہم اس کے-th مشتق کا حساب لگاتے ہیں، تو ہم نوٹ کرتے ہیں کہ آسانی سے ختم ہونے والی اصطلاحات: بگ O نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے۔ اس طرح ہمیں یہ تناسب ملتا ہے کہ اگر اس کا صفر قریب ترین ہے تو دوسرا عنصر 1 پر جاتا ہے جیسا کہ انفینیٹی پر جاتا ہے اور جاتا ہے۔ دوسرا نقطہ نظر فرض کریں کہ یہ ایک سادہ جڑ ہے۔ پھر قریب، ایک مورومورفک فنکشن ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ٹیلر کی توسیع ہے: ایک ایسے نقطہ کے ارد گرد جو اس کے کسی دوسرے صفر کے قریب ہے۔ کونگ کے نظریہ کے مطابق، ہمارے پاس: یہ تجویز کرتے ہیں کہ ہاؤس ہولڈر کی تکرار ایک اچھی متغیر تکرار ہو سکتی ہے۔ ہم آہنگی کا اصل ثبوت بھی ان خیالات پر مبنی ہے۔ لوور آرڈر ہاؤس ہولڈر کا آرڈر 1 کا طریقہ صرف نیوٹن کا طریقہ ہے، کیونکہ: ہاؤس ہولڈر کے آرڈر 2 کے طریقہ کار کے لیے ہیلی کا طریقہ ملتا ہے، کیونکہ شناخت اور نتیجہ آخری سطر میں، نقطہ پر نیوٹن تکرار کی تازہ کاری ہے۔ یہ لکیر یہ ظاہر کرنے کے لیے شامل کی گئی تھی کہ نیوٹن کے سادہ طریقہ کار میں فرق کہاں ہے۔ تھرڈ آرڈر کا طریقہ تھرڈ آرڈر مشتق کی شناخت سے حاصل کیا جاتا ہے اور اس کا فارمولا وغیرہ ہوتا ہے۔ مثال نیوٹن کے ذریعے نیوٹن-رافسن-سمپسن طریقہ کار کے ساتھ حل کیا گیا پہلا مسئلہ کثیر الجہتی مساوات تھا۔ انہوں نے مشاہدہ کیا کہ 2 کے قریب حل ہونا چاہیے۔ تبدیلی مساوات کو تبدیل کر دیتی ہے۔ باہمی فنکشن کی ٹیلر سیریز مختلف آرڈرز کے ہاؤس ہولڈر کے طریقوں کو لاگو کرنے کا نتیجہ بھی مؤخر الذکر پاور سیریز کے پڑوسی کوفیشنٹس کو تقسیم کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ پہلے آرڈر کے لیے صرف ایک تکرار مرحلے کے بعد درج ذیل اقدار حاصل ہوتی ہیں: مثال کے طور پر، تیسرے آرڈر کے معاملے میں، جیسا کہ کوئی دیکھ سکتا ہے، ہر ترتیب d کے لیے درست اعشاریہ مقامات سے کچھ زیادہ ہیں۔ صحیح حل کے پہلے سو ہندسوں ہیں۔ آئیے کچھ سب سے کم ترتیب کے لیے اقدار کا حساب لگائیں، اور مندرجہ ذیل تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے، 1st آرڈر ؛ 2nd آرڈر ؛ 3rd آرڈر ؛ مشتق ہاؤس ہولڈر کے طریقوں کا ایک عین مطابق مشتق فنکشن کی ترتیب کے پیڈ تخمینہ سے شروع ہوتا ہے، جہاں لکیری عدد کے ساتھ تخمینہ منتخب کیا جاتا ہے۔ ایک بار یہ حاصل ہو جانے کے بعد، اگلے تخمینے کے لیے اپ ڈیٹ عددی کے منفرد صفر کی گنتی سے ہوتا ہے۔ پیڈ تخمینہ کی شکل ہے عقلی فعل میں صفر ہے۔ جس طرح ڈگری کے ٹیلر کثیر الجہتی میں کوفیشنٹس ہوتے ہیں جو فنکشن پر منحصر ہوتے ہیں، اسی طرح پیڈ کے تخمینے میں بھی کوفیشنٹس ہوتے ہیں جو اس کے مشتقات پر منحصر ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، کسی بھی پیڈ تخمینہ میں، عددی اور ڈینومینیٹر کثیر الجہتی کی ڈگریوں کو تخمینہ کی ترتیب میں شامل کرنا پڑتا ہے۔ اس لیے، پکڑنا پڑتا ہے۔ یوکلڈ کے الگورتھم کو استعمال کرنے کے ٹیلر کثیر الجہتی سے شروع ہونے والے پیڈ کے تخمینے کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، کے ٹیلر کثیر الجہتی سے شروع ہونا چھوٹا ہوتا ہے اور براہ راست دیئے گئے فارمولے کی طرف جاتا ہے۔ چونکہ مطلوبہ عقلی فعل کے الٹا کے برابر ہونا پڑتا ہے، اس لیے ہم مساوات کو پاور میں ضرب دینے کے بعد حاصل کرتے ہیں۔ اب، عدد کے صفر کے لیے آخری مساوات کو حل کرنے سے نتیجہ نکلتا ہے۔ اس سے مراد تکرار کا فارمولا ہے۔ نیوٹن کے طریقہ کار سے تعلق ہاؤس ہولڈر کا طریقہ جو حقیقی قدر والے فنکشن پر لاگو ہوتا ہے وہی ہے جو نیوٹن کا طریقہ فنکشن پر لاگو ہوتا ہے: خاص طور پر، نیوٹن کے طریقہ کار کو غیر تبدیل شدہ دیتا ہے اور ہیلی کا طریقہ دیتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی لنکس نوٹ: اس لنک کا پوسٹ اسکرپٹ ورژن استعمال کریں ؛ ویب سائٹ ورژن صحیح طریقے سے مرتب نہیں کیا گیا ہے۔ جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم