Square root of 5
5 کا مربع جڑ وہ مثبت حقیقی عدد ہے جو، جب خود سے ضرب دی جاتی ہے، تو بنیادی عدد 5 دیتا ہے۔ اسے زیادہ واضح طور پر 5 کا اصل مربع جڑ کہا جاتا ہے، تاکہ اسے ایک ہی خاصیت والے منفی نمبر سے الگ کیا جا سکے۔ یہ نمبر سنہری تناسب کے فریکشنل اظہار میں ظاہر ہوتا ہے۔ اسے سرڈ کی شکل میں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے: یہ ایک غیر معقول الجبرائی عدد ہے۔ اس کی اعشاریہ توسیع کے پہلے ساٹھ اہم ہندسے یہ ہیں: جسے 2.236 سے لے کر 99.99 ٪ درستگی تک گول کیا جا سکتا ہے۔ پانچ کے مربع جڑ کے لیے تخمینہ (≈ 2.23611) استعمال کیا جا سکتا ہے۔ صرف 72 کا ڈینومینیٹر ہونے کے باوجود، یہ صحیح قیمت سے کم (تقریبا) سے مختلف ہے۔ )۔ جنوری 2022 تک، اعشاریہ میں اس کی عددی قدر کم از کم 2,250,000، 000,000 ہندسوں تک شمار کی گئی ہے۔ عقلی تخمینے 5 کے مربع جڑ کو مسلسل فریکشن کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے مسلسل فریکشن کی مسلسل جزوی تشخیص، جسے اس کے کنورجنٹ کہا جاتا ہے، نقطہ نظر: ان کے نمبر 2، 9، 38، 161، ہیں، اور ان کے ڈینومینیٹر 1، 4، 17، 72، ہیں۔ ان میں سے ہر ایک کا بہترین عقلی تخمینہ ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، یہ چھوٹے ڈینومینیٹر والے کسی بھی عقلی نمبر کے قریب ہے۔ کنورجنٹ، جس کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے، پیل کی مساوات کو متبادل طور پر مطمئن کرتے ہیں جب بابل کے طریقہ کار کے ساتھ تخمینہ لگایا جاتا ہے، جس سے شروع ہوتا ہے اور استعمال کیا جاتا ہے، تو th تخمینہ مسلسل حصے کے th کنورجنٹ کے برابر ہوتا ہے: بابل کا طریقہ نیوٹن کے جڑ تلاش کرنے کے طریقہ کار کے مساوی ہے جو کثیر الجہتی پر لاگو ہوتا ہے۔ نیوٹن کا طریقہ اپ ڈیٹ،، کب کے برابر ہے۔ اس لیے یہ طریقہ چوتھائی طور پر یکجا ہوتا ہے۔ سنہری تناسب اور فبونیکی اعداد سے تعلق سنہری تناسب 1 اور 1 کا ریاضیاتی اوسط ہے۔ سنہری تناسب اور سنہری تناسب () کے امتزاج کے درمیان الجبرائی تعلق کا اظہار درج ذیل فارمولوں میں کیا گیا ہے: (ان کی ہندسی تشریح کے لیے نیچے دیے گئے حصے کو ایک مستطیل کے سڑنے کے طور پر دیکھیں۔) پھر قدرتی طور پر فبونیکی نمبروں کے لیے بند شکل کے اظہار میں اعداد، ایک فارمولا جو عام طور پر سنہری تناسب کے لحاظ سے لکھا جاتا ہے: کا حصص اور (یا اور کا پروڈکٹ)، اور اس کا باہمی، مسلسل حصوں کا ایک دلچسپ نمونہ فراہم کرتا ہے اور فبونیکی نمبروں اور لوکاس نمبروں کے درمیان تناسب سے متعلق ہے: ان اقدار کے کنورجنٹس کی سیریز میں فبونیکی نمبروں کی سیریز اور لوکاس نمبروں کی سیریز کو نمبروں اور ڈینومینیٹرز کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، اور اس کے برعکس: در حقیقت، لوکاس نمبر اور فبونیکی نمبر کے حصص کی حد براہ راست مربع جڑ کے برابر ہے: جیومیٹری جیومیٹریکل طور پر، ڈائی سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس طرح کا مستطیل کسی مربع کو آدھا کر کے، یا دو مساوی مربعوں کو ساتھ ساتھ رکھ کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس کا استعمال مربع گرڈ کو پانچ گنا زیادہ مربعوں کے ساتھ جھکا ہوا مربع گرڈ میں تقسیم کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے، جو ذیلی تقسیم کی سطح کی بنیاد بناتا ہے۔ اور کے درمیان الجبرائی تعلق کے ساتھ، یہ ایک مربع سے سنہری مستطیل کی ہندسی تعمیر کی بنیاد بناتا ہے، اور اس کے پہلو کو دیکھتے ہوئے ایک باقاعدہ پنٹاگون کی تعمیر کے لیے (چونکہ باقاعدہ پنٹاگون میں سائیڈ ٹو ڈائیگنل تناسب ہے)۔ چونکہ مکعب کے دو ملحقہ چہرے 1:2 آئتاکار میں کھلتے ہیں، اس لیے مکعب کی سطح کو عبور کرتے وقت مکعب کے کنارے کی لمبائی اور اس کے ایک سرے سے دوسرے سرے تک کے مختصر ترین فاصلے کے درمیان تناسب ہے۔ اس کے برعکس، مکعب کے اندر سے گزرتے وقت سب سے کم فاصلہ مکعب اخترن کی لمبائی سے مطابقت رکھتا ہے، جو کنارے کے تین گنا کا مربع جڑ ہے۔ پہلو تناسب 1: کے ساتھ ایک مستطیل کو جڑ پانچ مستطیل کہا جاتا ہے اور یہ جڑ مستطیلوں کی سیریز کا حصہ ہے، جو متحرک مستطیلوں کا ایک ذیلی مجموعہ ہے، جو ایک مربع سے شروع ہونے والے پچھلے جڑ مستطیل کے اخترن کا استعمال کرتے ہوئے ترتیب وار تعمیر کیے جاتے ہیں۔ جڑ-5 مستطیل خاص طور پر اس لحاظ سے قابل ذکر ہے کہ اسے مربع اور دو مساوی سنہری مستطیلوں (طول و عرض کے)، یا مختلف سائز (طول و عرض اور) کے دو سنہری مستطیلوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اسے دو مساوی سنہری مستطیلوں (طول و عرض کے) کے اتحاد کے طور پر بھی تحلیل کیا جا سکتا ہے جن کا چوراہا ایک مربع بناتا ہے۔ اس سب کو، اور اوپر مذکور کے درمیان الجبرائی تعلقات کی ہندسی تشریح کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ جڑ-5 آئتاکار کو 1:2 آئتاکار (جڑ-4 آئتاکار) سے بنایا جا سکتا ہے، یا براہ راست مربع سے اس انداز میں بنایا جا سکتا ہے جو تصویر میں دکھائے گئے سنہری آئتاکار کے لیے ہے، لیکن لمبائی کے آرک کو دونوں طرف بڑھایا جا سکتا ہے۔ مثلثیات کی طرح اور، 5 کا مربع جڑ درست مثلثیاتی مستقلات کے فارمولوں میں بڑے پیمانے پر ظاہر ہوتا ہے، بشمول ہر زاویے کے سینوں اور کوسائنوں میں جن کی ڈگریوں میں پیمائش 3 سے تقسیم ہوتی ہے لیکن 15 سے نہیں۔ ان میں سے سب سے آسان یہ ہیں کہ مثلثی جدولوں کو تیار کرنے کے لیے اس کی قدر کا حساب ضروری ہے۔ چونکہ ہندسی طور پر نصف مربع مستطیلوں اور پینٹاگون سے جڑا ہوا ہے، اس لیے یہ ان سے اخذ کردہ اعداد و شمار کی ہندسی خصوصیات کے فارمولوں میں بھی اکثر ظاہر ہوتا ہے، جیسے کہ ڈوڈیکاہڈرون کے حجم کے فارمولے میں۔ ڈیوفنٹائن کے تخمینوں میں ہروٹز کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ ہر غیر معقول نمبر کو لامحدود طور پر بہت سے عقلی نمبروں سے اس طرح سے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے کہ اور یہ سب سے بہتر ممکن ہے، اس معنی میں کہ اس سے بڑے کسی بھی مستقل کے لیے، کچھ غیر معقول نمبر موجود ہیں جن کے لیے صرف حتمی طور پر اس طرح کے بہت سے تخمینے موجود ہیں۔ اس سے قریب سے متعلق نظریہ یہ ہے کہ کسی بھی تین مسلسل کنورجنٹس میں،، ایک نمبر کے، تین عدم مساوات میں سے کم از کم ایک کا خیال ہے: اور ڈینومینیٹر میں سب سے بہترین باؤنڈ ممکن ہے کیونکہ سنہری تناسب کے کنورجنٹس بائیں ہاتھ کی طرف فرق کو من مانی طور پر دائیں ہاتھ کی طرف کی قدر کے قریب بناتے ہیں۔ خاص طور پر، چار یا اس سے زیادہ مسلسل کنورجنٹس کی ترتیب پر غور کرکے کوئی سخت باؤنڈ حاصل نہیں کر سکتا۔ الجبرہ رنگ فارم کے نمبروں پر مشتمل ہے، جہاں اور انٹیجر ہیں اور خیالی نمبر ہے۔ یہ رنگ ایک انٹیگرل ڈومین کی اکثر حوالہ دی گئی مثال ہے جو ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین نہیں ہے۔ نمبر 6 میں اس رنگ کے اندر دو غیر مساوی فیکٹرائزیشنز ہیں: فیلڈ کسی بھی دوسرے کواڈریٹک فیلڈ کی طرح، عقلی نمبروں کی ابیلین توسیع ہے۔ لہذا کرونکر-ویبر تھیوریم اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ پانچ کے مربع جڑ کو اتحاد کی جڑوں کے عقلی لکیری امتزاج کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: رامانوجن کی شناخت 5 کا مربع جڑ سری نواس رامانوجن کے ذریعہ دریافت کردہ مختلف شناختوں میں ظاہر ہوتا ہے جس میں مسلسل حصے شامل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، راجرز-رامانوجن کا یہ معاملہ مسلسل فریکشن ہے: گولڈن ریشو اسکوائر روٹ اسکوائر روٹ کا 2 اسکوائر روٹ کا 3 اسکوائر روٹ کا 6 اسکوائر روٹ کا 7 حوالہ جات ریاضیاتی مستقلات کواڈریٹک غیر معقول اعداد