Local flatness
ٹوپولوجی میں، ریاضی کی ایک شاخ، مقامی چپٹا پن ایک ہموار حالت ہے جسے ٹوپولوجیکل ذیلی مینیفولڈز پر عائد کیا جا سکتا ہے۔ ٹپوولوجیکل مینیفولڈز کے زمرے میں، مقامی طور پر فلیٹ سب مینیفولڈز ہموار مینیفولڈز کے زمرے میں سرایت شدہ سب مینیفولڈز کی طرح کردار ادا کرتے ہیں۔ مقامی چپٹے پن کی خلاف ورزیاں ریج نیٹ ورکس اور کٹے ہوئے ڈھانچوں کو بیان کرتی ہیں، جس میں مواد کی پروسیسنگ اور مکینیکل انجینئرنگ کے استعمال ہوتے ہیں۔ تعریف فرض کریں کہ ایک d جہتی کئی گنا N ایک n جہتی کئی گنا M (جہاں d <n) میں سرایت شدہ ہے۔ اگر ہم کہتے ہیں کہ N x پر مقامی طور پر چپٹا ہے اگر x کا کوئی پڑوس ایسا ہے کہ ٹوپولوجیکل جوڑا جوڑی کے لیے ہومومورفک ہے، اس کی معیاری شمولیت کے ساتھ، ایک ہومومورفزم موجود ہے جس کی شبیہہ کے ساتھ موافق ہے۔ خاکہ کے لحاظ سے، مندرجہ ذیل مربع کو کمیوٹ کرنا چاہیے: ہم N کو M میں مقامی طور پر فلیٹ کہتے ہیں اگر N ہر نقطہ پر مقامی طور پر فلیٹ ہے۔ اسی طرح، نقشے کو مقامی طور پر چپٹا کہا جاتا ہے، چاہے وہ سرایت نہ بھی ہو، اگر N میں ہر x کا پڑوس U ہو جس کی شبیہہ M میں مقامی طور پر چپٹی ہو۔ حد کے ساتھ کئی گنا میں مندرجہ بالا تعریف یہ فرض کرتی ہے کہ، اگر M کی حد ہے، تو x M کا حد نقطہ نہیں ہے۔ اگر x M کی حد پر ایک نقطہ ہے تو تعریف میں مندرجہ ذیل ترمیم کی جاتی ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ N M کے باؤنڈری پوائنٹ x پر مقامی طور پر چپٹا ہے اگر x کا کوئی پڑوس ایسا ہو کہ ٹوپولوجیکل جوڑا جوڑی کے لیے ہومومورفک ہو، جہاں ایک معیاری نصف جگہ ہے اور اسے اس کی حد کے معیاری ذیلی جگہ کے طور پر شامل کیا گیا ہے۔ نتائج ایمبیڈنگ کی مقامی چپٹی پن کا مطلب مضبوط خصوصیات ہیں جو تمام ایمبیڈنگز میں مشترک نہیں ہیں۔ براؤن (1962) نے ثابت کیا کہ اگر d = n−1، تو N کالر ہے ؛ یعنی، اس کا ایک پڑوس ہے جو N × [0,1] کے لیے ہومومورفک ہے جس میں N خود N × 1/2 (اگر N M کے اندرونی حصے میں ہے) یا N × 0 (اگر N M کی حدود میں ہے) سے مطابقت رکھتا ہے۔ یوکلڈین اسپیس نیٹ سب مینفولڈ حوالہ جات براؤن، مورٹن (1962)، ٹپوولوجیکل مینیفولڈز کے مقامی طور پر فلیٹ ایمبیڈنگز بھی دیکھیں۔ اینلز آف میتھمیٹکس، سیکنڈ سیریز، جلد۔ 75 (1962)، پی۔ 331-341۔ مزور، بیری۔ شعبوں کے سرایت پر۔ بلیٹن آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی، جلد۔ 65 (1959)، نمبر۔ 2، پی پی۔ 59-65۔ http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034۔ ٹوپولوجی جیومیٹرک ٹوپولوجی