Peridynamics
پیری ڈائنامکس تسلسل میکانکس کی ایک غیر مقامی تشکیل ہے جو تعطل، خاص طور پر فریکچر کے ساتھ اخترتی کی طرف مبنی ہے۔ اصل میں، بانڈ پر مبنی پیری ڈائنامک متعارف کرایا گیا ہے، جس میں، کسی مادی نقطہ اور دیگر تمام قوتوں کے درمیان اندرونی تعاملات جن کے ساتھ یہ تعامل کر سکتا ہے، کو مرکزی قوتوں کے میدان کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے۔ اس قسم کی قوتوں کے میدان کا تصور بانڈز کے ایک جال کے طور پر کیا جا سکتا ہے جو جسم کے ہر نقطہ کو ایک مخصوص فاصلے کے اندر ہر دوسرے تعامل والے نقطہ سے جوڑتا ہے جو مادی خاصیت پر منحصر ہوتا ہے، جسے پیریڈائنامک افق کہا جاتا ہے۔ بعد میں، مواد پوسن کے تناسب کے لیے بانڈ پر مبنی فریم ورک کی حدود پر قابو پانے کے لیے (طیارہ کشیدگی کے لیے اور دو جہتی ترتیبات میں طیارہ کشیدگی کے لیے ؛ تین جہتی ترتیبات کے لیے)، اسٹیٹ بیس پیری ڈائنامکس وضع کی گئی ہے۔ اس کی خصوصیت یہ ہے کہ ایک نقطہ اور دوسرے کے درمیان تبادلہ ہونے والی قوت اس کے تعامل زون سے متعلق دیگر تمام بانڈز کی اخترتی کی حالت سے متاثر ہوتی ہے۔ پیری ڈائنامکس کی خصوصیت، جو اسے کلاسیکی مقامی میکانکس سے مختلف بناتی ہے، مادی جسم کے کسی بھی دو نکات کے درمیان محدود رینج بانڈ کی موجودگی ہے: یہ ایک ایسی خصوصیت ہے جو مادے کے مجرد میسو اسکیل نظریات کے لیے اس طرح کی فارمولیشن تک پہنچتی ہے۔ اصطلاح پیریڈائنامک، ایک صفت کے طور پر، سال 2000 میں تجویز کی گئی تھی اور یہ سابقہ پیری سے آتی ہے، جس کا مطلب ہے چاروں طرف، قریب، یا آس پاس ؛ اور جڑ ڈینا، جس کا مطلب قوت یا طاقت ہے۔ اصطلاح پیری ڈائنامکس، بطور اسم، ٹھوس میکانکس کے جملے پیری ڈائنامک ماڈل کی ایک مختصر شکل ہے۔ فریکچر ایک ریاضیاتی انفرادیت ہے جس پر تسلسل میکانکس کی کلاسیکی مساوات کا براہ راست اطلاق نہیں کیا جا سکتا۔ پیریڈائنامک تھیوری ریاضیاتی طور پر فریکچر کی تشکیل اور لچکدار مواد میں متحرک ماڈل کے مقصد سے تجویز کی گئی ہے۔ یہ لازمی مساوات پر مبنی ہے، کلاسیکی تسلسل میکانکس کے برعکس، جو جزوی تفریقی مساوات پر مبنی ہے۔ چونکہ جزوی مشتقات درار کی سطحوں اور دیگر ہندسی انفرادیت پر موجود نہیں ہیں، اس لیے تسلسل میکانکس کی کلاسیکی مساوات کا براہ راست اطلاق نہیں کیا جا سکتا جب ایسی خصوصیات کسی اخترتی میں موجود ہوں۔ پیری ڈائنامک تھیوری کی انٹیگرل مساوات انفرادیت پر بھی درست ہیں اور ان کا براہ راست اطلاق کیا جا سکتا ہے، کیونکہ انہیں جزوی مشتقات کی ضرورت نہیں ہوتی ہے۔ ڈیفارمنگ ڈھانچے کے ریاضیاتی ماڈل میں تمام نکات پر ایک ہی مساوات کو براہ راست لاگو کرنے کی صلاحیت ایکس ایف ای ایم جیسی فریکچر میکانکس کی خصوصی تکنیکوں کی ضرورت سے بچنے کے لیے پیریڈائنامک نقطہ نظر میں مدد کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، پیری ڈائنامکس میں، تناؤ کی شدت کے عنصر کی بنیاد پر ایک علیحدہ کریک گروتھ قانون کی ضرورت نہیں ہے۔ تعریف اور بنیادی اصطلاحات پیری ڈائنامک تھیوری کے تناظر میں، جسمانی اجسام کو ایک مسلسل پوائنٹس میش کے ذریعہ تشکیل دیا جاتا ہے جو زیادہ سے زیادہ اور اچھی طرح سے قائم فاصلے کے اندر طویل فاصلے تک باہمی تعامل قوتوں کا تبادلہ کر سکتا ہے: پیری ڈائنامک افق رداس۔ یہ نقطہ نظر میکروسکوپک اجسام کے مقابلے میں سالماتی حرکیات تک بہت زیادہ پہنچتا ہے، اور اس کے نتیجے میں، تناؤ ٹینسر (جو کہ ایک مقامی تصور ہے) کے تصور پر مبنی نہیں ہے اور جوڑی کے لحاظ سے قوت کے تصور کی طرف بڑھتا ہے کہ ایک مادی نقطہ اپنے پیریڈائنامک افق کے اندر تبادلہ کرتا ہے۔ ایک لاگرانجین نقطہ نظر کے ساتھ، جو چھوٹی نقل مکانی کے لیے موزوں ہے، پیریڈائنامک افق کو حوالہ ترتیب میں فکسڈ سمجھا جاتا ہے اور پھر، جسم کے ساتھ خراب ہو جاتا ہے۔ ایک مادی جسم پر غور کریں جس کی نمائندگی 1، 2 یا 3 ہو سکتی ہے۔ جسم میں مثبت کثافت ہوتی ہے۔ ابتدائی وقت میں اس کی حوالہ ترتیب کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ حوالہ کی ترتیب یا تو تناؤ سے پاک ترتیب ہو سکتی ہے یا حوالہ کے طور پر منتخب کردہ جسم کی مخصوص ترتیب ہو سکتی ہے۔ پیری ڈائنامکس کے تناظر میں، میں ہر نقطہ ایک مخصوص محلے کے اندر تمام نکات کے ساتھ تعامل کرتا ہے جس کی وضاحت کی گئی ہے، جہاں اور ایک مناسب فاصلاتی فعل کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس محلے کو اکثر ادب میں کہا جاتا ہے۔ اسے عام طور پر افق یا خاندان کے نام سے جانا جاتا ہے۔ کے حرکیات کو حوالہ کی پوزیشن سے اس کی نقل مکانی کے لحاظ سے بیان کیا گیا ہے، جسے اس طرح ظاہر کیا گیا ہے۔ نتیجتا، ایک مخصوص وقت کی پوزیشن کا تعین اس کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، تعامل کرنے والے نکات کے ہر جوڑے کے لیے، ابتدائی ترتیب سے متعلق بانڈ کی لمبائی میں تبدیلی کو وقت کے ساتھ رشتہ دار تناؤ کے ذریعے ٹریک کیا جاتا ہے، جس کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں یوکلڈین معیار کی نشاندہی ہوتی ہے اور۔ کسی بھی اور کے درمیان تعامل کو بانڈ کہا جاتا ہے۔ ان جوڑی وار بانڈز کی وقت کے ساتھ ساتھ قوت فی یونٹ حجم مربع کے جواب میں مختلف لمبائی ہوتی ہے، جسے اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس قوت کو عام طور پر جوڑی وار قوت فعل یا پیری ڈائنامک دانا کے نام سے جانا جاتا ہے، اور یہ تمام آئینی (مادے پر منحصر) خصوصیات کو گھیرے ہوئے ہے۔ یہ بیان کرتا ہے کہ اندرونی قوتیں کس طرح اخترتی پر منحصر ہوتی ہیں۔ یہ بات قابل غور ہے کہ نوٹیشن میں سادگی کی خاطر یہاں پر انحصار کو خارج کر دیا گیا ہے۔ مزید برآں، ایک بیرونی قوت کی اصطلاح،، متعارف کرائی گئی ہے، جس کے نتیجے میں حرکت کی مندرجہ ذیل مساوات پیدا ہوتی ہے، جو پیری ڈائنامکس کی بنیادی مساوات کی نمائندگی کرتی ہے: جہاں انٹیگرل اصطلاح تمام اندرونی اور بیرونی فی یونٹ حجم قوتوں کا مجموعہ ہے جو اس پر عمل کرتی ہے: ویکٹر ویلیوڈ فنکشن وہ قوت کثافت ہے جو اس پر عمل کرتی ہے۔ یہ قوت کی کثافت اور کے درمیان رشتہ دار نقل مکانی اور رشتہ دار پوزیشن ویکٹر پر منحصر ہے۔ کا طول و عرض ہے۔ بانڈ پر مبنی پیری ڈائنامکس پیری ڈائنامکس کی اس تشکیل میں، دانا کا تعین اندرونی قوتوں اور جسمانی رکاوٹوں کی نوعیت سے ہوتا ہے جو صرف دو مادی نکات کے درمیان تعامل کو کنٹرول کرتی ہیں۔ مختصر ہونے کی خاطر، درج ذیل مقداروں کی وضاحت کی گئی ہے اور اس طرح کہ ایکٹیو اور رد عمل کا اصول پڑوس سے تعلق رکھنے والے کسی بھی شخص کے لیے، درج ذیل تعلق برقرار رہتا ہے: یہ اظہار عمل اور رد عمل کے اصول کی عکاسی کرتا ہے، جسے عام طور پر نیوٹن کا تیسرا قانون کہا جاتا ہے۔ یہ باہمی تعامل کرنے والے ذرات پر مشتمل نظام میں لکیری رفتار کے تحفظ کی ضمانت دیتا ہے۔ کونیی رفتار کا تحفظ پڑوس سے تعلق رکھنے والے کسی بھی شخص کے لیے درج ذیل شرط عائد ہوتی ہے: یہ حالت رشتہ دار خراب رے ویکٹر کو جوڑنے اور اس پر غور کرنے سے پیدا ہوتی ہے۔ حالت تب ہی مطمئن ہوتی ہے جب اور صرف اس صورت میں جب جوڑی کے لحاظ سے قوت کثافت ویکٹر کی سمت رشتہ دار خراب رے ویکٹر کی طرح ہو۔ دوسرے لفظوں میں، سب کے لیے اور، اسکیلر ویلیوڈ فنکشن کہاں ہے۔ ہائپرلاسٹک مواد ایک ایسا مواد ہے جس کا آئینی تعلق اس طرح ہے: یا، مساوی طور پر، اسٹوکس تھیوریم کے مطابق، اور اس طرح، مندرجہ بالا مساوات میں اسکیلر ویلیوڈ پوٹینشل فنکشن ہے۔ کونیی مومنٹم کے تحفظ کو مطمئن کرنے کی ضرورت کی وجہ سے، اسکیلر ویلیوڈ فنکشن پر نیچے دی گئی شرط اس طرح ہے کہ اسکیلر ویلیوڈ فنکشن کہاں ہے۔ مساوات کے دونوں اطراف کو مربوط کرتے ہوئے، اسکیلر ویلیوڈ فنکشن کے لیے درج ذیل شرط حاصل کی جاتی ہے۔ اس کی لچکدار نوعیت واضح ہے: تعامل قوت کا انحصار صرف پوائنٹس اور ان کی متعلقہ پوزیشن کے ماڈیولس کے درمیان ابتدائی رشتہ دار پوزیشن پر ہوتا ہے، وقت پر خراب ترتیب میں۔ آئسوٹروپی مفروضے کو لاگو کرتے ہوئے، ویکٹر پر انحصار کو اس کے ماڈیولس پر انحصار کے ساتھ تبدیل کیا جا سکتا ہے، بانڈ قوتوں کو، اس طرح، ایک اسپرنگ نیٹ ماڈلنگ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو ہر نقطہ کو جوڑی کے لحاظ سے جوڑتا ہے۔ لکیری لچکدار مواد اگر، پیری ڈائنامک دانا کو ارد گرد لکیریائز کیا جا سکتا ہے: تو، دوسرے درجے کے مائیکرو ماڈیولس ٹینسر کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ شناخت کا ٹینسر کہاں اور کہاں ہے۔ لکیری مومنٹم بیلنس، لچک اور آئسوٹروپی کی حالت کے اطلاق کے بعد، مائیکرو ماڈیولس ٹینسر کو اس شکل میں ظاہر کیا جاسکتا ہے لہذا لکیریائزڈ ہائپرلاسٹک میٹریل کے لیے، اس کا پیریڈائنامک دانا مندرجہ ذیل ڈھانچہ رکھتا ہے۔ پیریڈائنامک دانا ایک ورسٹائل فنکشن ہے جو پیریڈائنامک تھیوری کے فریم ورک کے اندر مواد کے آئینی رویے کی خصوصیت رکھتا ہے۔ دانا کی ایک عام طور پر استعمال ہونے والی تشکیل کا استعمال مواد کی ایک کلاس کو بیان کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جسے پروٹو ٹائپ مائیکرو لچکدار ٹوٹنے والا (پی ایم بی) مواد کہا جاتا ہے۔ آئسوٹروپک پی ایم بی مواد کے معاملے میں، جوڑی کے لحاظ سے قوت کو مواد کے ذریعے تجربہ کردہ محدود پھیلاؤ کے لکیری متناسب سمجھا جاتا ہے، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے، تاکہ اسکیلر فنکشن کو کہاں اور کہاں اس کے ساتھ پیروی کے طور پر بیان کیا جائے۔ مستقل کو مائیکرو ماڈیولس مستقل کہا جاتا ہے، اور فنکشن اس بات کی نشاندہی کرنے کا کام کرتا ہے کہ آیا، کسی مقررہ وقت پر، جوڑے سے وابستہ بانڈ کا پھیلاؤ اہم قدر سے تجاوز کر گیا ہے۔ اگر کریٹیکل ویلیو سے تجاوز کر جائے تو بانڈ کو ٹوٹا ہوا سمجھا جاتا ہے، اور سب کے لیے صفر کی جوڑی وار قوت تفویض کی جاتی ہے۔ بالترتیب پیری ڈائنامکس اور کلاسیکی تسلسل تھیوری فریم ورک کو استعمال کرتے ہوئے آئسوٹروپک ایکسٹینشن کے تحت حاصل کردہ تناؤ توانائی کی کثافت کی قیمت کے درمیان موازنہ کے بعد، مائیکرو ماڈیولس کی جسمانی مربوط قیمت مل سکتی ہے جہاں مادی بلک ماڈیولس ہے۔ اسی نقطہ نظر پر عمل کرتے ہوئے مائیکرو ماڈیولس مستقل کو بڑھایا جا سکتا ہے، جہاں اب ایک مائیکرو ماڈیولس فنکشن ہے۔ یہ فنکشن اس بات کی مزید تفصیلی وضاحت فراہم کرتا ہے کہ پیری ڈائنامک افق پر جوڑی کے لحاظ سے قوتوں کی شدت کیسے تقسیم ہوتی ہے۔ بدیہی طور پر، قوتوں کی شدت کم ہوتی جاتی ہے جیسے جیسے اور کے درمیان فاصلہ بڑھتا ہے، لیکن جس مخصوص انداز میں یہ کمی واقع ہوتی ہے وہ مختلف ہو سکتی ہے۔ مائیکرو ماڈیولس فنکشن کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے جہاں مستقل کو کلاسیکی مکینیکل نظریات کے ساتھ پیریڈائنامک تناؤ کی کثافت کا موازنہ کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ ایک فنکشن ہے جس کی وضاحت مندرجہ ذیل خصوصیات کے ساتھ کی گئی ہے (مومنٹم کنزرویشن اور آئسوٹروپی کی پابندیوں کو دیکھتے ہوئے) جہاں ڈیراک ڈیلٹا فنکشن ہے۔ سلنڈریکل مائکرو ماڈیولس مائکرو ماڈیولس فنکشن کے لیے سب سے آسان اظہار ہے، جہاں: ذیلی سیٹ کا اشارے فنکشن ہے، جسے سہ رخی مائکرو ماڈیولس کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ اس کی خصوصیت ایک لکیری فنکشن ہے۔ عام مائکرو ماڈیولس اگر کوئی اس حقیقت کی عکاسی کرنا چاہتا ہے کہ زیادہ تر عام مجرد جسمانی نظام میکسویل-بولٹزمین کی تقسیم کی خصوصیت رکھتے ہیں، تاکہ اس رویے کو پیری ڈائنامکس میں شامل کیا جا سکے، تو مندرجہ ذیل اظہار کو کوارٹک مائکرو ماڈیولس کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ادب میں فنکشن کے لیے مندرجہ ذیل اظہار بھی مل سکتا ہے۔ مجموعی طور پر، مائکرو ماڈیولس کے لیے اظہار کی ایک وسیع رینج موجود ہے اور عام طور پر، پیری ڈائنامک دانا کے لیے، مخصوص مادی خاصیت پر منحصر ہے۔ اس طرح، مندرجہ بالا فہرست مکمل نہیں ہے۔ نقصان کا نقصان جوڑی وار قوت فنکشن میں شامل کیا جاتا ہے جس میں بانڈز کو اس وقت توڑنے کی اجازت دی جاتی ہے جب ان کی لمبائی کچھ مقررہ قیمت سے تجاوز کر جاتی ہے۔ بانڈ ٹوٹنے کے بعد، یہ اب کسی بھی قوت کو برقرار نہیں رکھتا ہے، اور اختتامی نکات مؤثر طریقے سے ایک دوسرے سے منقطع ہو جاتے ہیں۔ جب کوئی بانڈ ٹوٹتا ہے، تو اس کی قوت کو دوسرے بانڈز میں دوبارہ تقسیم کیا جاتا ہے جو ابھی تک نہیں ٹوٹے ہیں۔ یہ بڑھتا ہوا بوجھ اس بات کا زیادہ امکان بناتا ہے کہ یہ دوسرے بانڈ ٹوٹ جائیں گے۔ بانڈ ٹوٹنے اور لوڈ کی دوبارہ تقسیم کا عمل، جو مزید ٹوٹنے کا باعث بنتا ہے، یہ ہے کہ پیریڈائنامک ماڈل میں دراڑیں کیسے بڑھتی ہیں۔ تجزیاتی طور پر، بانڈ بریکنگ کو پیری ڈائنامک دانا کے اظہار کے اندر، فنکشن کے ذریعے متعین کیا جاتا ہے۔ اگر بمقابلہ بانڈ اسٹریچنگ کا گراف پلاٹ کیا گیا ہے، تو فریکچر کی تشکیل میں بانڈ بریکنگ فنکشن کا عمل واضح ہے۔ تاہم نہ صرف اچانک فریکچر کو پیری ڈائنامک فریم ورک میں ماڈل کیا جا سکتا ہے اور اس کے لیے زیادہ عمومی اظہار کو استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ریاست پر مبنی پیری ڈائنامکس اوپر بیان کردہ نظریہ یہ فرض کرتا ہے کہ ہر پیری ڈائنامک بانڈ دوسروں سے آزادانہ طور پر جواب دیتا ہے۔ یہ زیادہ تر مواد کے لیے ایک حد سے زیادہ آسان کاری ہے اور مواد کی ان اقسام پر پابندیوں کا باعث بنتی ہے جن کا نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، اس مفروضے سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی آئسوٹروپک لکیری لچکدار ٹھوس 1/4 کے پوئسون تناسب تک محدود ہے۔ عام پن کی اس کمی کو دور کرنے کے لیے پیری ڈائنامک اسٹیٹس کا خیال متعارف کرایا گیا۔ یہ ہر بانڈ میں قوت کی کثافت کو اس کے اپنے پھیلاؤ کے علاوہ، اس کے اختتامی نکات سے منسلک تمام بانڈز کے پھیلاؤ پر انحصار کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، بانڈ میں قوت کا انحصار اختتامی نکات پر خالص حجم میں ہونے والی تبدیلیوں پر ہو سکتا ہے۔ اس حجم کی تبدیلی کا اثر، بانڈ کے پھیلاؤ کے اثر سے متعلق، پوسن تناسب کا تعین کرتا ہے۔ پیریڈائنامک حالتوں کے ساتھ، کوئی بھی مواد جسے تسلسل میکانکس کے معیاری نظریہ کے اندر ماڈل کیا جا سکتا ہے، اسے پیریڈائنامک مواد کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے، جبکہ فریکچر کے لیے پیریڈائنامک تھیوری کے فوائد کو برقرار رکھا جا سکتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر بانڈ پر مبنی فارمولیشن میں استعمال ہونے والی اندرونی اور بیرونی قوت کی اصطلاح کی مساوات کو اس سے تبدیل کیا جاتا ہے کہ قوت ویکٹر اسٹیٹ فیلڈ کہاں ہے۔ عام ایم-آرڈر کی حالت ایک ریاضیاتی شے ہے جو ٹینسر سے ملتی جلتی ہے، سوائے اس کے کہ یہ عام طور پر غیر لکیری ہے ؛ عام طور پر غیر مسلسل ؛ محدود جہتی نہیں ہے۔ ویکٹر ریاستیں ترتیب کی ریاستیں ہیں جو 2 کے برابر ہیں۔ نام نہاد سادہ مادے کے لیے، اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ ریمن انٹیگریبل فنکشن کہاں ہے، اور اسے ڈیفارمیشن ویکٹر اسٹیٹ فیلڈ کہا جاتا ہے اور اس کی تعریف مندرجہ ذیل تعلق سے کی جاتی ہے اس طرح ڈیفارمیشن کے تحت بانڈ کی شبیہہ اس طرح ہوتی ہے جس کا مطلب ہے کہ دو الگ الگ ذرات کبھی بھی ایک ہی نقطہ پر قبضہ نہیں کرتے جب کہ ڈیفارمیشن آگے بڑھتی ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ لکیری مومنٹم کا توازن کی تعریف کی پیروی کرتا ہے، جبکہ، اگر آئینی تعلق ایسا ہے کہ فورس ویکٹر اسٹیٹ فیلڈ کونیی مومنٹم کے توازن کو پورا کرتا ہے۔ ایپلی کیشنز پیری ڈائنامکس میں بڑھتی ہوئی دلچسپی مادے کے ایٹمسٹک نظریات اور کلاسیکی مقامی تسلسل میکانکس کے درمیان فرق کو پر کرنے کی صلاحیت سے آتی ہے۔ یہ مائیکرو پیمانے کے مظاہر پر مؤثر طریقے سے لاگو ہوتا ہے، جیسے درار کی تشکیل اور پھیلاؤ، لہر کا پھیلاؤ، انٹرا گرینولر فریکچر۔ ان مظاہر کو پیریڈائنامک افق کے رداس کی مناسب ایڈجسٹمنٹ کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، جو براہ راست مواد کے اندر پوائنٹس کے درمیان غیر مقامی تعاملات کی حد سے منسلک ہوتا ہے۔ مذکورہ بالا تحقیقی شعبوں کے علاوہ، تعطل کے لیے پیری ڈائنامکس کے غیر مقامی نقطہ نظر کو مختلف دیگر شعبوں میں استعمال پایا گیا ہے۔ جیو میکانکس میں، اسے پانی سے پیدا ہونے والی مٹی کی دراڑوں، جیو میٹریل کی ناکامی، چٹانوں کے ٹکڑے ٹکڑے کرنے وغیرہ کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ حیاتیات میں، پیری ڈائنامکس کا استعمال زندہ بافتوں میں طویل فاصلے تک تعاملات، سیلولر پھٹنے، بائیو میمبرینز کی کریکنگ، اور بہت کچھ کے ماڈل بنانے کے لیے کیا گیا ہے۔ مزید برآں، پیری ڈائنامکس کو تھرمل ڈفیوژن تھیوری تک بڑھایا گیا ہے، جس سے تعطل، نقائص، عدم ہم آہنگی اور دراڑوں والے مواد میں حرارت کی ترسیل کے ماڈلنگ کو قابل بنایا گیا ہے۔ اس کا اطلاق کثیر مرحلے والے سیالوں میں ایڈویکشن-پھیلاؤ کے مظاہر کا مطالعہ کرنے اور عارضی ایڈویکشن-پھیلاؤ کے مسائل کے لیے ماڈل بنانے کے لیے بھی کیا گیا ہے۔ اس کی استعداد کے ساتھ، پیری ڈائنامکس کو مختلف کثیر طبیعیات کے تجزیے میں استعمال کیا گیا ہے، جس میں مائیکرو اسٹرکچرل تجزیہ، جامع مواد میں تھکاوٹ اور حرارت کی ترسیل، دھاتوں میں جستی کا کٹاؤ، ڈائی الیکٹرک مواد میں بجلی سے پیدا ہونے والی دراڑیں اور بہت کچھ شامل ہیں۔ مزید پڑھیں بیرونی روابط محدود عنصر کا نفاذ اور غیر مقامی ماڈلز کے محدود فرق کا تخمینہ پیریڈائم، پیریڈائنامکس کے لیے ایک اوپن سورس کمپیوٹیشنل پیریڈائنامکس کوڈ پیری ڈی او ایکس اوپن سورس ذخیرہ اور اس کی دستاویزات سینڈیا لیبارٹری-پیریڈائنامکس پیریڈائنامکس پر ویب سائٹ