Buffon's noodle
ہندسی امکان میں، بفون کے نوڈل کا مسئلہ بفون کی سوئی کے معروف مسئلے پر ایک تغیر ہے، جس کا نام جارج لوئس لیکلرک، کامٹے ڈی بفون کے نام پر رکھا گیا ہے جو 18 ویں صدی میں رہتے تھے۔ اس مسئلے کا یہ نقطہ نظر 1860 میں جوزف ایمیل باربیئر نے شائع کیا تھا۔ فرض کریں کہ لامحدود طور پر بہت سی مساوی فاصلے والی متوازی لکیریں موجود ہیں، اور ہمیں تصادفی طور پر ایک ایسی سوئی پھینکنی تھی جس کی لمبائی ملحقہ لائنوں کے درمیان فاصلے سے کم یا اس کے برابر ہو۔ اس بات کا کیا امکان ہے کہ لینڈنگ کے بعد سوئی ایک لکیر کے پار پڑے گی؟ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، سوئی کی لمبائی اور دو ملحقہ لائنوں کے درمیان کا فاصلہ ہونے دیں۔ پھر، سوئی افقی کے ساتھ جو تیز زاویہ بناتی ہے، اور سوئی کے مرکز سے قریب ترین لکیر تک کا فاصلہ ہونے دیں۔ سوئی قریب ترین لکیر کے پار ہوتی ہے اگر اور صرف اگر۔ ہم اس حالت کو سوئی سے بنے دائیں مثلث، قریب ترین لکیر، اور لمبائی کی لکیر سے دیکھتے ہیں جب سوئی قریب ترین لکیر کے پار ہوتی ہے۔ اب، ہم فرض کرتے ہیں کہ کی اقدار کا تصادفی طور پر تعین کیا جاتا ہے جب وہ اترتے ہیں، کہاں، چونکہ، اور۔ نمونے کی جگہ اس طرح طرف کی لمبائی کا ایک مستطیل ہے اور۔ اس واقعہ کا امکان کہ سوئی قریب ترین لکیر کے پار واقع ہے نمونے کی جگہ کا وہ حصہ ہے جو اس کے ساتھ ٹکرا جاتا ہے۔ چونکہ، اس چوراہے کا رقبہ اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ اب، نمونے کی جگہ کا رقبہ ہے۔ لہذا، واقعہ کا امکان سوئی کو موڑنا ہے۔ فارمولا وہی رہتا ہے یہاں تک کہ جب سوئی کسی بھی طرح سے جھکی ہو (اس رکاوٹ کے تابع کہ اسے ہوائی جہاز میں ہونا چاہیے)، جس سے یہ "نوڈل" بن جاتا ہے-ایک سخت ہوائی منحنی خطہ۔ ہم اس مفروضے کو ترک کرتے ہیں کہ نوڈل کی لمبائی متوازی لکیروں کے درمیان فاصلے سے زیادہ نہیں ہے۔ کراسنگ کی تعداد کی امکانات کی تقسیم نوڈل کی شکل پر منحصر ہے، لیکن کراسنگ کی متوقع تعداد نہیں ہے۔ یہ صرف نوڈل کی لمبائی ایل اور متوازی لائنوں کے درمیان فاصلے ڈی پر منحصر ہے (مشاہدہ کریں کہ ایک مڑے ہوئے نوڈل ایک ہی لائن کو کئی بار عبور کر سکتے ہیں)۔ اس حقیقت کو مندرجہ ذیل طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے (دیکھیں کلین اور روٹا)۔ پہلے فرض کریں کہ نوڈل ٹکڑے ٹکڑے لکیری ہے، یعنی۔ یہ سیدھے n ٹکڑوں پر مشتمل ہے۔ فرض کریں کہ ژی اس وقت کی تعداد ہے جب ith ٹکڑا متوازی لکیروں میں سے کسی ایک کو عبور کرتا ہے۔ یہ بے ترتیب متغیرات آزاد نہیں ہیں، لیکن توقعات کی لکیریٹی کی وجہ سے توقعات اب بھی اضافی ہیں: ایک مڑے ہوئے نوڈل کے بارے میں ٹکڑے ٹکڑے لکیری نوڈلز کی ترتیب کی حد کے طور پر، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ فی ٹاس کراسنگ کی متوقع تعداد لمبائی کے متناسب ہے۔ یہ لمبائی L کا کچھ مستقل گنا ہے۔ پھر مسئلہ مستقل تلاش کرنا ہے۔ اگر نوڈل قطر کا ایک دائرہ ہے جو متوازی لکیروں کے درمیان فاصلے D کے برابر ہے، تو L = D اور کراسنگ کی تعداد بالکل 2 ہے، جس کا امکان 1 ہے۔ لہذا جب L = D ہوتا ہے تو کراسنگ کی متوقع تعداد 2 ہوتی ہے۔ لہذا کراسنگ کی متوقع تعداد 2 ایل/(ڈی) ہونی چاہیے۔ باربیئر تھیوریم اس دلیل کو قدرے بڑھاتے ہوئے، اگر ایک کنویکس کمپیکٹ سب سیٹ ہے، تو پھر ایک دوسرے کو کاٹنے والی لائنوں کی متوقع تعداد اس کے دائرے کو کاٹنے والی لائنوں کی متوقع تعداد کے نصف کے برابر ہے، جو ہے۔ خاص طور پر، اگر نوڈل مستقل چوڑائی D کا کوئی بند منحنی خطہ ہے، تو کراسنگ کی تعداد بھی بالکل 2 ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ دائرے کی لمبائی ایک دائرے کی لمبائی کے برابر ہے، جو باربیئر کے نظریہ کو ثابت کرتی ہے۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط انٹرایکٹو ریاضی کا صفحہ کٹ-دی-نوٹ ویب سائٹ پر انٹرایکٹو وولفرم سی ڈی ایف مظاہرے انٹیگرل جیومیٹری