Hurwitz surface
ریمن سرفیس تھیوری اور ہائپربولک جیومیٹری میں، ایک ہروٹز سطح، جس کا نام ایڈولف ہروٹز کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے جس میں قطعی طور پر 84 (جی-1) آٹومورفزم ہیں، جہاں جی سطح کی جینس ہے۔ یہ تعداد آٹومورفزم پر ہروٹز کے نظریہ کی وجہ سے زیادہ سے زیادہ ہے۔ انہیں ہرٹز منحنی خطوط بھی کہا جاتا ہے، ان کی تشریح پیچیدہ الجبرائی منحنی خطوط (پیچیدہ طول و عرض 1 = حقیقی طول و عرض 2) کے طور پر کی جاتی ہے۔ ہرٹز سطح کا فوچیان گروپ (عام) (2,3,7) مثلث گروپ کا ایک محدود انڈیکس ٹورسن فری نارمل ذیلی گروپ ہے۔ محدود حصص کا گروپ قطعی طور پر آٹومورفزم گروپ ہے۔ پیچیدہ الجبرائی منحنی خطوط کے آٹومورفزم بنیادی حقیقی سطح کی واقفیت کو محفوظ رکھنے والے آٹومورفزم ہیں۔ اگر کوئی واقفیت-الٹ آئسومیٹریز کی اجازت دیتا ہے، تو اس سے 168 (g−1) کی ترتیب سے دوگنا بڑا گروپ حاصل ہوتا ہے، جو بعض اوقات دلچسپی کا باعث ہوتا ہے۔ اصطلاحات پر ایک نوٹ-اس اور دیگر سیاق و سباق میں، "(2,3,7) مثلث گروپ" سے اکثر مراد مکمل مثلث گروپ (2,3,7) (شوارز مثلث (2,3,7) کے ساتھ کاکسٹر گروپ یا ہائپربولک عکاسی گروپ کے طور پر احساس) نہیں ہوتا ہے، بلکہ واقفیت کو محفوظ رکھنے والے نقشوں (گردش گروپ) کے عام مثلث گروپ (وان ڈک گروپ) D (2,3,7) سے ہوتا ہے، جو انڈیکس 2 ہے۔ پیچیدہ آٹومورفزم کا گروپ عام (واقفیت-تحفظ) مثلث گروپ کا ایک حصّہ ہے، جبکہ (ممکنہ طور پر واقفیت-الٹ) آاسومیٹریز کا گروپ مکمل مثلث گروپ کا ایک حصّہ ہے۔ جینس کے لحاظ سے درجہ بندی ہر جینس کے ساتھ صرف محدود طور پر بہت سی ہروٹز سطحیں پائی جاتی ہیں۔ اس جینس کے ساتھ ہرٹز سطحوں کی تعداد کے مطابق جینس کی نقشہ سازی کا فنکشن لامحدود ہے، حالانکہ اس کی زیادہ تر اقدار صفر ہیں۔ رقم یکجا ہوتی ہے، جس کا مطلب ایک اندازے کے مطابق یہ ہے کہ ہرٹز کی سطح کی جینس کم از کم ایک کیوبک فنکشن کے طور پر بڑھتی ہے۔ کم سے کم جینس کی ہروٹز سطح جینس 3 کی کلین کوارٹک ہے، آٹومورفزم گروپ کے ساتھ پروجیکٹو اسپیشل لینیر گروپ پی ایس ایل (2,7)، آرڈر 84 (3−1) = 168 = 23·3·7، جو کہ ایک سادہ گروپ ہے۔ (یا آرڈر 336 اگر کوئی واقفیت-الٹ آئسومیٹریز کی اجازت دیتا ہے)۔ اگلی ممکنہ جینس 7 ہے، جو میک بیت کی سطح پر موجود ہے، جس میں آٹومورفزم گروپ پی ایس ایل (2,8) ہے، جو آرڈر 84 (7−1) = 504 = 23·32·7 کا سادہ گروپ ہے۔ اگر کسی میں واقفیت-الٹ آئسومیٹریز شامل ہیں، تو گروپ آرڈر 1008 کا ہے۔ ایک دلچسپ رجحان اگلی ممکنہ نسل یعنی 14 میں پایا جاتا ہے۔ یہاں یکساں آٹومورفزم گروپ کے ساتھ الگ الگ ریمن سطحوں کا تین گنا ہے (ترتیب 84 (14−1) = 1092 = 22·3·7·13)۔ اس رجحان کی وضاحت ریاضی ہے۔ یعنی، مناسب نمبر فیلڈ کے انٹیجرز کی رنگ میں، عقلی پرائم 13 تین الگ الگ پرائم آئیڈیلز کے پروڈکٹ کے طور پر تقسیم ہوتا ہے۔ پرائمز کے ٹرپلٹ کے ذریعہ بیان کردہ پرنسپل ہم آہنگی کے ذیلی گروپ پہلے ہروٹز ٹرپلٹ کے مطابق فوچیان گروپ تیار کرتے ہیں۔ ہرٹز کی سطح کی نسل کے لیے قابل اجازت اقدار کی ترتیب 3، 7، 14، 17، 118، 129، 146، 385، 411، 474، 687، 769، 1009، 1025، 1459، 1537، 2091 سے شروع ہوتی ہے۔ یہ بھی دیکھیں ہرٹز کواٹرنیئن آرڈر حوالہ جات ایلکیز، این۔: شمورا وکر کے حسابات۔ الگورتھمک نمبر تھیوری (پورٹلینڈ، OR، 1998)، 1-47، لیکچر نوٹس ان کمپیوٹر سائنس، 1423، سپرنگر، برلن، 1998۔ کاٹز، ایم۔ شیپس، ایم۔ وشنے، یو۔ دیکھیں: ہم آہنگی کے ذیلی گروپوں کے ساتھ ریاضی کے ریمن کی سطحوں کے سسٹول کی لوگرتھمک نمو۔ جے۔ متفرق جیوم۔ 76 (2007)، نمبر۔ 3، 399-422۔ ریمن کی سطحوں پر سسٹولک جیومیٹری دستیاب ہے