Functional-theoretic algebra
کسی بھی ویکٹر اسپیس کو یونٹل ایسوسی ایٹیو الجبرا میں بنایا جا سکتا ہے، جسے فنکشنل تھیوریٹک الجبرا کہا جاتا ہے، دو لکیری فنکشنلز کے لحاظ سے پروڈکٹ کی وضاحت کرکے۔ عام طور پر، یہ ایک غیر تبادلہ الجبرہ ہے۔ جب دونوں فنکشنل ایک جیسے ہوں تو یہ تبادلہ پذیر ہو جاتا ہے۔ تعریف اے ایف کو فیلڈ ایف پر ایک ویکٹر اسپیس ہونے دیں، اور اے ایف میں کچھ ای کے لیے پراپرٹی ایل 1 (ای) = ایل 2 (ای) = 1 ایف کے ساتھ اے ایف پر ایل 1 اور ایل 2 کو دو لکیری فنکشنل ہونے دیں۔ ہم اے ایف میں دو عناصر x، y کے ضرب کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس کی تصدیق کی جا سکتی ہے کہ مذکورہ بالا ضرب ملحقہ ہے اور یہ کہ e اس ضرب کی شناخت ہے۔ لہذا، اے ایف اکائی ای کے ساتھ ایک ملحقہ الجبرا بناتا ہے اور اسے فنکشنل تھیوریٹک الجبرا (ایف ٹی اے) کہا جاتا ہے۔ فرض کریں کہ دو لکیری فنکشنل ایل 1 اور ایل 2 ایک جیسے ہیں، جیسے ایل۔ پھر اے ایف ایک تبادلہ الجبرہ بن جاتا ہے جس میں ضرب کی وضاحت مثال کے طور پر کی جاتی ہے۔ ایکس ایک غیر خالی سیٹ ہے اور ایف اے فیلڈ ہے۔ FX، X سے F تک فنکشنز کا مجموعہ ہے۔ اگر f، g، FX میں، x، X میں اور α، F میں ہیں، تو اس کی وضاحت کریں اور اس کے اضافے اور اسکیلر ضرب کے ساتھ، FX، F پر ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ اب، X میں دو عناصر a، b کو طے کریں اور X میں تمام x کے لیے ایک فنکشن e سے F تک e (x) = 1F کی وضاحت کریں۔ L1 اور L2 کو FX سے F تک L1 (f) = f (a) اور L2 (f) = f (b) سے تعبیر کریں۔ پھر L1 اور L2 FX پر دو لکیری فنکشنل ہیں جیسے کہ L1 (e) = L2 (e) = 1F f کے لیے، FX میں g کی وضاحت کریں پھر FX ایک غیر تبادلہ فنکشن الجبرا بن جاتا ہے جس میں فنکشن e ضرب کی شناخت کے طور پر ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ کمپلیکس طیارہ میں منحنی خطوط کا ایف ٹی اے سی کمپلیکس نمبروں کے میدان کو ظاہر کرتا ہے۔ حقیقی اعداد کے بند وقفہ [0,1] سے میدان C تک ایک مسلسل فعل γ کو وکر کہا جاتا ہے۔ پیچیدہ اعداد γ (0) اور γ (1) بالترتیب منحنی خطوط کے ابتدائی اور آخری نکات ہیں۔ اگر وہ موافق ہوتے ہیں، تو منحنی خطوط کو لوپ کہا جاتا ہے۔ تمام منحنی خطوط کا سیٹ V [0,1] C پر ایک ویکٹر اسپیس ہے۔ ہم منحنی خطوط کی اس ویکٹر اسپیس کو الجبرا میں بنا سکتے ہیں جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ انتخاب کرتے ہوئے ہمارے پاس α، β کے لیے C [0، 1] میں ہے، پھر، V [0، 1] ایک غیر تبادلہ الجبرہ ہے جس میں e اتحاد کے طور پر ہے۔ ہم اسے ایک مثال کے ساتھ واضح کرتے ہیں۔ منحنی خطوط کے f-پروڈکٹ کی مثال آئیے (1) پوائنٹس (1، 0) اور (0، 1) میں شامل ہونے والے لائن سیگمنٹ اور (2) اصل میں مرکز کے ساتھ یونٹ سرکل کو لیتے ہیں۔ V [0,1] میں منحنی خطوط کے طور پر، ان کی مساوات اس طرح حاصل کی جا سکتی ہیں چونکہ دائرہ g ایک لوپ ہے۔ لائن سیگمنٹ f شروع ہوتا ہے: اور ختم ہوتا ہے: اب، ہمیں دو f-پروڈکٹ ملتے ہیں اور شکل دیکھیں۔ مشاہدہ کریں کہ یہ ظاہر کرنا کہ ضرب غیر متغیر ہے۔ نیز دونوں مصنوعات سی این-وکر حوالہ جات سیبسٹین وٹامٹم اور آر شیوارام کرشنن، اے نوٹ آن کنوولوشن الجیبراس، ان حالیہ رجحانات ان میتھمیٹیکل اینالیسس، الائیڈ پبلشرز، 2003 سے شروع ہوتی ہیں۔ سیبسٹین وٹامٹم اور آر شیوارام کرشنن، ایسوسی ایٹیو الجیبراس بذریعہ لکیری فنکشنلز، پروسیڈنگز آف دی اینیول کانفرنس آف کے ایم اے، 17-19 جنوری 2000، پی پی۔ 81-89 سیبسٹین وٹامٹم، نان کمیونیٹیٹو فنکشن الجیبراس، بلیٹن آف کیرالہ میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن، جلد۔ 4، نہیں۔ 2 دسمبر 2007 سیبسٹین وٹامٹم، ٹرانسفارمنگ وکرز بائی این-کرونگ، ان بلیٹن آف کیرالہ میتھمیٹکس ایسوسی ایشن، جلد۔ 5، نہیں۔ 1 دسمبر 2008 سیبسٹین وٹامٹم، بک آف بیوٹیبل وکرز، جنوری 2015 بک آف بیوٹیبل وکرز آر شیوارام کرشنن، سیرینٹ نمبر تھیوریٹک ایپیسوڈز ان الجیبرا، چیپ مین اینڈ ہال/سی آر سی سیرینٹ نمبر تھیوریٹک ایپیسوڈز ان الجیبرا الجیبرا