Bolza surface
ریاضی میں، بولزا کی سطح، متبادل طور پر، پیچیدہ الجبرائی بولزا وکر (کے ذریعہ متعارف کرایا گیا)، جینس کی ایک کمپیکٹ ریمن سطح ہے جس میں اس جینس میں کنفارمل آٹومورفزم گروپ کی سب سے زیادہ ممکنہ ترتیب ہے، یعنی آرڈر 48 (محدود فیلڈ پر میٹرکس کا عمومی لکیری گروپ)۔ مکمل آٹومورفزم گروپ (بشمول عکاسی) آرڈر 96 کا نیم براہ راست پروڈکٹ ہے۔ بولزا کی سطح کے لیے ایک افائن ماڈل مساوات کے لوکس کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ بولزا کی سطح افائن وکر کی ہموار تکمیل ہے۔ تمام جینس ہائپربولک سطحوں میں سے، بولزا کی سطح سسٹول کی لمبائی کو زیادہ سے زیادہ کرتی ہے۔ ایک ہائپرلیپٹک ریمن سطح کے طور پر، یہ ریمن دائرے کے ریمفائیڈ ڈبل کور کے طور پر پیدا ہوتا ہے، جس میں دائرے میں کندہ شدہ باقاعدہ آکٹاہیڈرون کے چھ عمودی حصوں پر ریمفیکیشن لوکس ہوتا ہے، جیسا کہ اوپر کی مساوات سے آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے۔ بولزا کی سطح نے طبیعیات دانوں کی توجہ مبذول کروائی ہے، کیونکہ یہ کوانٹم افراتفری کے لیے نسبتا سادہ نمونہ فراہم کرتا ہے۔ اس تناظر میں، اسے عام طور پر ہڈمارڈ-گٹزویلر ماڈل کہا جاتا ہے۔ بولزا کی سطح پر افعال پر کام کرنے والے لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کا سپیکٹرم تھیوری ریاضی دانوں اور طبیعیات دانوں دونوں کے لیے دلچسپی کا باعث ہے، کیونکہ سطح کو تمام کمپیکٹ، بند ریمن سطحوں کے درمیان لیپلاسیئن کی پہلی مثبت آئجن ویلیو کو زیادہ سے زیادہ کرنے کا قیاس کیا جاتا ہے۔ مثلث کی سطح بولزا کی سطح ایک مثلث کی سطح ہے-دیکھیں شوارز مثلث۔ مزید خاص طور پر، بولزا کی سطح کی وضاحت کرنے والا فوچیان گروپ گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے جو زاویوں کے ساتھ ہائپربولک مثلث کے اطراف میں عکاسی سے پیدا ہوتا ہے۔ واقفیت کے تحفظ کے آئسومیٹریز کا گروپ عکاسی کے گروپ کے انڈیکس-دو ذیلی گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے، جو عکاسی کی یکساں تعداد کے پروڈکٹ پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں جنریٹرز اور تعلقات کے لحاظ سے ایک تجریدی پیشکش ہوتی ہے۔ بولزا کی سطح کی وضاحت کرنے والا فوچیان گروپ بھی (3,3,4) مثلث گروپ کا ایک ذیلی گروپ ہے، جو مثلث گروپ میں انڈیکس 2 کا ایک ذیلی گروپ ہے۔ گروپ کو کواٹرنیئن الجبرا کے لحاظ سے احساس نہیں ہے، لیکن گروپ کرتا ہے۔ پوائن کیئر ڈسک پر کی کارروائی کے تحت، بولزا کی سطح کا بنیادی ڈومین ایک باقاعدہ آکٹگن ہوتا ہے جس کے زاویہ اور کونے کہاں ہوتے ہیں۔ آکٹگن کے مخالف اطراف کی شناخت فوچیان گروپ کی کارروائی کے تحت کی جاتی ہے۔ اس کے جنریٹر میٹرکس ہیں جہاں اور، ان کے الٹ کے ساتھ۔ جنریٹر اس تعلق کو پورا کرتے ہیں۔ یہ جنریٹر لمبائی کے سپیکٹرم سے جڑے ہوتے ہیں، جو جیوڈیسیک لوپس کی تمام ممکنہ لمبائی دیتا ہے۔ اس طرح کی سب سے چھوٹی لمبائی کو سطح کا سسٹول کہا جاتا ہے۔ بولزا کی سطح کا سسٹول لمبائی کے سپیکٹرم کا عنصر بولزا کی سطح کے لیے اس طرح دیا جاتا ہے کہ مثبت عدد کہاں سے گزرتے ہیں (لیکن 4، 24، 48، 72، 140، اور مختلف اعلی اقدار کو چھوڑ کر) اور منفرد عجیب عدد کہاں ہے جو کم سے کم کرتا ہے۔ مثلث گروپ سے براہ راست سسٹول کی مساوی بند شکل حاصل کرنا ممکن ہے۔ (2,3,8) مثلثوں کی طرف کی لمبائی کا واضح طور پر حساب لگانے کے لیے فارمولے موجود ہیں۔ سسٹول (2,3,8) مثلث میں درمیانی لمبائی کی طرف کی لمبائی کے چار گنا کے برابر ہے، یعنی جیوڈیسی لمبائی سطح کے فینچل-نیلسن نقاط میں بھی ظاہر ہوتی ہے۔ جینس 2 کی سطح کے لیے فینچل-نیلسن کوآرڈینیٹس کا ایک مجموعہ تین جوڑوں پر مشتمل ہوتا ہے، ہر جوڑے کی لمبائی اور موڑ ہوتا ہے۔ شاید بولزا کی سطح کے لیے نقاط کا اس طرح کا سب سے آسان مجموعہ ہے، کہاں۔ نقاط کا ایک "سمیٹرک" سیٹ بھی ہوتا ہے، جہاں تینوں لمبائی سسٹول ہوتی ہیں اور تینوں موڑ سطح کی سمیٹریز کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ بولزا کی سطح کا بنیادی ڈومین پوئن کیئر ڈسک میں ایک باقاعدہ آکٹگن ہوتا ہے۔ (مکمل) سمیٹری گروپ پیدا کرنے والے چار سمیٹرک ایکشن یہ ہیں: R-آکٹگن کے مرکز کے ارد گرد ترتیب 8 کی گردش ؛ S-حقیقی لائن میں عکاسی ؛ T-16 (4,4,4) مثلثوں میں سے ایک کی طرف عکاسی جو آکٹگن کو ٹیسیلیٹ کرتی ہے ؛ U-ایک (4,4,4) مثلث کے مرکز کے ارد گرد ترتیب 3 کی گردش۔ یہ ملحقہ شکل میں بولڈ لائنوں کے ذریعے دکھائے گئے ہیں۔ وہ تعلقات کے درج ذیل مجموعے کو مطمئن کرتے ہیں: معمولی (شناخت) عمل کہاں ہے۔ گروپ کے نمائندگی کے نظریہ کے بارے میں معلومات حاصل کرنے کے لیے جی اے پی میں تعلقات کے اس سیٹ کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، چار 1 جہتی، دو 2 جہتی، چار 3 جہتی، اور تین 4 جہتی ناقابل تلافی نمائشیں ہیں، اور جیسا کہ توقع کی جاتی ہے۔ سپیکٹرم تھیوری یہاں، سپیکٹرم تھیوری سے مراد لیپلاسیئن کے سپیکٹرم سے ہے۔ بولزا کی سطح کی پہلی آئجین اسپیس (یعنی پہلی مثبت آئجین ویلیو سے مطابقت رکھنے والی آئجین اسپیس) تین جہتی ہے، اور دوسری، چار جہتی،۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ ٹیچ مولر اسپیس میں پہلی آئجین اسپیس میں افعال کی نوڈل لائنوں کے خلل کی تحقیقات سے تعارف میں قیاس شدہ نتیجہ ملے گا۔ یہ قیاس سطح کی آئجین ویلیوز اور جینس 2 کی دیگر سطحوں کے وسیع عددی حسابات پر مبنی ہے۔ خاص طور پر، بولزا کی سطح کا سپیکٹرم بہت زیادہ درستگی کے لیے جانا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل جدول بولزا کی سطح کی پہلی دس مثبت آئجین ویلیوز دیتا ہے۔ بولزا کی سطح کا سپیکٹرم ڈیٹرمیننٹ اور کاسیمیر توانائی بالترتیب ہیں، جہاں تمام اعشاریہ مقامات کو درست سمجھا جاتا ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ سپیکٹرم کا تعین کرنے والا بولزا کی سطح کے لیے جینس 2 میں زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے۔ کواٹرنیئن الجبرا میکلاچلن اور ریڈ کے بعد، کواٹرنیئن الجبرا کو ایک ترتیب کے مناسب انتخاب کے ساتھ جنریٹر i، j اور تعلقات کے ذریعہ ایک ایسوسی ایٹیو الجبرا کے طور پر پیدا کردہ الجبرا کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ ہائپرلیپٹک وکر کلین کوارٹک برائنز وکر میک بیت سرفیس فرسٹ ہروٹز ٹرپلٹ حوالہ جات مخصوص ریمن سرفیس سسٹولک جیومیٹری بھی دیکھیں۔