Gromov product
ریاضی میں، گروموف پروڈکٹ میٹرک خالی جگہوں کے نظریہ میں ایک تصور ہے جس کا نام ریاضی دان میخائل گروموف کے نام پر رکھا گیا ہے۔ گروموف پروڈکٹ کو گروموف کے معنی میں δ-ہائپربولک میٹرک خالی جگہوں کی وضاحت کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تعریف فرض کریں کہ (X، d) ایک میٹرک اسپیس ہے اور فرض کریں کہ x، y، z bul X ہے۔ پھر x پر y اور z کا گروموف پروڈکٹ، جسے (y، z) x سے ظاہر کیا جاتا ہے، کی تعریف محرک سے کی جاتی ہے۔ میٹرک اسپیس X میں تین پوائنٹس x، y، z دیئے گئے ہیں، مثلث کی عدم مساوات کے ذریعہ غیر منفی نمبر a، b، c موجود ہیں۔ پھر گروموف مصنوعات ہیں۔ اس صورت میں جب پوائنٹس x، y، z ٹرائپوڈ کے بیرونی نوڈس ہیں تو یہ گروموو پروڈکٹ کناروں کی لمبائی ہیں۔ ہائپربولک، کروی یا یوکلڈین سطح میں، گروموف پروڈکٹ (A، B) C C اور اس نقطہ کے درمیان فاصلے p کے برابر ہے جہاں جیوڈیسیک مثلث ABC کا اندرونی دائرہ کنارے CB یا CA کو چھوتا ہے۔ درحقیقت خاکہ سے، تاکہ۔ اس طرح کسی بھی میٹرک جگہ کے لیے، (A، B) C کی ہندسی تشریح آئسومیٹرک طور پر (A، B، C) کو یوکلڈین سطح میں جوڑ کر حاصل کی جاتی ہے۔ خصوصیات گروموف پروڈکٹ ہم آہنگ ہے: (y، z) x = (z، y) x۔ گروموف پروڈکٹ اختتامی نکات پر انحطاط پذیر ہوتا ہے: (y، z) y = (y، z) z = 0۔ کسی بھی پوائنٹس p، q، x، y اور z کے لیے، پوائنٹس ایٹ انفینیٹی ہائپربولک اسپیس Hn پر غور کریں۔ ایک بنیادی نقطہ p طے کریں اور انفنٹی پر دو الگ الگ پوائنٹس ہونے دیں۔ پھر حد موجود ہے اور محدود ہے، اور اس لیے اسے ایک عمومی گروموف پروڈکٹ سمجھا جا سکتا ہے۔ یہ دراصل اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں جیوڈیسیک شعاعوں اور کے درمیان زاویہ ہے۔ δ-ہائپربولک خالی جگہیں اور جیوڈیسکس کا انحراف گروموف پروڈکٹ کو گروموف کے معنی میں δ-ہائپربولک خالی جگہوں کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ : (X، d) کو δ-ہائپربولک کہا جاتا ہے اگر، X میں تمام p، x، y اور z کے لیے، اس صورت میں۔ گروموو پروڈکٹ اس بات کی پیمائش کرتا ہے کہ جیوڈیکسکس کتنی دیر تک ایک دوسرے کے قریب رہتے ہیں۔ یعنی، اگر x، y اور z ایک δ-ہائپربولک میٹرک اسپیس کے تین نکات ہیں تو جیوڈیکسکس کے لمبائی (y، z) x کے ابتدائی حصے x سے y اور x سے z تک 2δ سے زیادہ نہیں ہیں (بند سیٹوں کے درمیان ہاؤزڈورف فاصلے کے معنی میں)۔ نوٹ حوالہ جات میٹرک جیومیٹری ہائپربولک میٹرک اسپیس