Quadrature of the Parabola
کواڈریچر آف دی پیرابولہ (Quadrature of the Parabola) جیومیٹری پر ایک مقالہ ہے، جسے آرکیمیڈیز نے تیسری صدی قبل مسیح میں لکھا تھا اور اپنے اسکندریہ کے جاننے والے ڈوسیتھیس سے خطاب کیا تھا۔ اس میں پیرابولس کے حوالے سے 24 تجاویز ہیں، جن کا اختتام دو ثبوتوں پر ہوتا ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایک پیرابولک حصے (ایک پیرابولہ اور ایک لکیر سے گھرا ہوا خطہ) کا رقبہ ایک مخصوص کندہ شدہ مثلث کا ہے۔ یہ آرکیمیڈیز کے سب سے مشہور کاموں میں سے ایک ہے، خاص طور پر تھکاوٹ کے طریقہ کار کے شاندار استعمال اور ہندسی سیریز کے دوسرے حصے میں۔ آرکیمیڈیز اس علاقے کو لامحدود طور پر بہت سے مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے جن کے علاقے ہندسی ترقی کی تشکیل کرتے ہیں۔ اس کے بعد وہ نتیجے میں آنے والی ہندسی سیریز کا مجموعہ شمار کرتا ہے، اور ثابت کرتا ہے کہ یہ پیرابولک حصے کا رقبہ ہے۔ یہ قدیم یونانی ریاضی میں ریڈکٹو ایڈ ابسرڈم دلیل کے انتہائی نفیس استعمال کی نمائندگی کرتا ہے، اور آرکیمیڈیز کا حل 17 ویں صدی میں انٹیگرل کیلکولس کی ترقی تک بے مثال رہا، جس کے بعد کیولیری کا کواڈریچر فارمولا آیا۔ مرکزی نظریہ ایک پیرابولک طبقہ وہ خطہ ہے جو ایک پیرابولہ اور لکیر سے گھرا ہوا ہے۔ پیرابولک حصے کے رقبے کو تلاش کرنے کے لیے، آرکیمیڈیز ایک مخصوص کندہ شدہ مثلث پر غور کرتا ہے۔ اس مثلث کی بنیاد پیرابولہ کا دیا ہوا کورڈ ہے، اور تیسرا ورٹیکس پیرابولہ پر اس طرح کا نقطہ ہے کہ اس مقام پر پیرابولہ کا ٹینجینٹ کورڈ کے متوازی ہو۔ کام کی تجویز 1 میں کہا گیا ہے کہ محور کے متوازی کھینچی گئی تیسری سرے سے ایک لکیر تانے بانے کو مساوی حصوں میں تقسیم کرتی ہے۔ مرکزی نظریہ کا دعوی ہے کہ پیرابولک حصے کا رقبہ کندہ شدہ مثلث کا ہے۔ متن کے کونک حصوں کی ساخت جیسے کہ پیرابولہ ایک صدی قبل مینیکمس کی بدولت آرکیمیڈیز کے زمانے میں پہلے ہی سے مشہور تھے۔ تاہم، تفریق اور مربوط حساب کی آمد سے پہلے، مخروطی حصے کے رقبے کو تلاش کرنے کا کوئی آسان ذریعہ نہیں تھا۔ آرکیمیڈیز اس مسئلے کا پہلا تصدیق شدہ حل فراہم کرتا ہے جس میں خاص طور پر ایک پیرابولہ اور ایک کورڈ سے منسلک علاقے پر توجہ مرکوز کی جاتی ہے۔ آرکیمیڈیز مرکزی نظریہ کے دو ثبوت دیتے ہیں: ایک تجریدی میکانکس کا استعمال کرتے ہوئے اور دوسرا خالص جیومیٹری کے ذریعے۔ پہلے ثبوت میں، آرکیمیڈیز کشش ثقل کی کارروائی کے تحت توازن میں ایک لیور پر غور کرتا ہے، جس میں پیرابولہ کے وزن والے حصے اور ایک مثلث لیور کے بازوؤں کے ساتھ فلکرم سے مخصوص فاصلے پر معطل ہوتا ہے۔ جب مثلث کی کشش ثقل کا مرکز معلوم ہوتا ہے، تو لیور کا توازن مثلث کے رقبے کے لحاظ سے پیرابولہ کا رقبہ حاصل کرتا ہے جس کی بنیاد اور اونچائی یکساں ہوتی ہے۔ آرکیمیڈیز یہاں طیاروں کے توازن پر پائے جانے والے طریقہ کار سے اس لحاظ سے ہٹ جاتا ہے کہ اس کے پاس کشش ثقل کے مراکز توازن سے نیچے کی سطح پر ہیں۔ دوسرا اور زیادہ مشہور ثبوت خالص جیومیٹری کا استعمال کرتا ہے، خاص طور پر جیومیٹرک سیریز کا مجموعہ۔ چوبیس تجاویز میں سے، پہلے تین کا حوالہ یوکلڈ کے ایلیمنٹس آف کونکس (کونک حصوں پر یوکلڈ کا گمشدہ کام) سے ثبوت کے بغیر دیا گیا ہے۔ تجاویز 4 اور 5 پیرابولہ کی ابتدائی خصوصیات کو قائم کرتی ہیں۔ تجاویز 6-17 مرکزی نظریہ کا مکینیکل ثبوت دیتی ہیں ؛ تجاویز 18-24 ہندسی ثبوت پیش کرتی ہیں۔ پیرابولک سیگمنٹ کا جیومیٹرک پروف ڈسیکشن ثبوت کا بنیادی خیال پیرابولک سیگمنٹ کو لامحدود طور پر بہت سے مثلثوں میں تقسیم کرنا ہے، جیسا کہ دائیں طرف کی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ ان مثلثوں میں سے ہر ایک اپنے پیرابولک حصے میں اسی طرح کندہ ہے جس طرح نیلے مثلث بڑے حصے میں کندہ ہے۔ اٹھارہ سے اکیس تک کی تجاویز میں، آرکیمیڈیز ثابت کرتا ہے کہ ہر سبز مثلث کا رقبہ نیلے مثلث کا رقبہ ہے، تاکہ دونوں سبز مثلث مل کر نیلے مثلث کے رقبے کا مجموعہ کریں۔ جدید نقطہ نظر سے، اس کی وجہ یہ ہے کہ سبز مثلث میں نیلے مثلث کی چوڑائی اور اونچائی ہوتی ہے: اسی دلیل کی پیروی کرتے ہوئے، ہر پیلے رنگ کے مثلث کا رقبہ سبز مثلث یا نیلے مثلث کا رقبہ ہوتا ہے، جس کا خلاصہ نیلے مثلث کے رقبے سے ہوتا ہے۔ ہر سرخ مثلث کا رقبہ پیلے رنگ کے مثلث کا ہوتا ہے، جس کا خلاصہ نیلے مثلث کے رقبے سے ہوتا ہے۔ وغیرہ۔ تھکاوٹ کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے، یہ اس طرح ہے کہ پیرابولک حصے کا کل رقبہ اس طرح دیا گیا ہے۔ یہاں T بڑے نیلے مثلث کے رقبے کی نمائندگی کرتا ہے، دوسری اصطلاح دو سبز مثلثوں کے کل رقبے کی نمائندگی کرتی ہے، تیسری اصطلاح چار پیلے رنگ کے مثلثوں کے کل رقبے کی نمائندگی کرتی ہے، اور اسی طرح۔ ثبوت کو مکمل کرنے کے لیے، آرکیمیڈیز سے پتہ چلتا ہے کہ اوپر کا فارمولا ایک ہندسی سلسلہ ہے-ہر مسلسل اصطلاح پچھلی اصطلاح کا ایک چوتھائی ہے۔ جدید ریاضی میں، یہ فارمولا ہندسی سیریز کے لیے رقم کے فارمولے کا ایک خاص معاملہ ہے۔ آرکیمیڈیز مکمل طور پر ہندسی طریقہ استعمال کرتے ہوئے رقم کا اندازہ کرتا ہے، جو ملحقہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ یہ تصویر ایک اکائی مربع کو دکھاتی ہے جسے چھوٹے مربعوں کے لامحدود میں تقسیم کیا گیا ہے۔ ہر یکے بعد دیگرے جامنی مربع میں پچھلے مربع کے رقبے کا ایک چوتھائی حصہ ہوتا ہے، جس میں کل جامنی رقبے کا مجموعہ ہوتا ہے۔ تاہم، جامنی مربع پیلے رنگ کے مربعوں کے کسی بھی سیٹ سے ہم آہنگ ہوتے ہیں، اور اس طرح یونٹ مربع کے رقبے کا احاطہ کرتے ہیں۔ اس کے بعد مندرجہ بالا سلسلہ کا خلاصہ (چونکہ کواڈریچر (جیومیٹری بھی دیکھیں) کیلکولس کی تاریخ مزید پڑھنا۔ ڈیجکسٹرہوئس، ای جے۔ (1987) "آرکیمیڈیز"، پرنسٹن یو۔ پریس کریں۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی لنکس مکمل متن، جیسا کہ ٹی ایل نے ترجمہ کیا ہے۔ ہیتھ۔ ۔ تجاویز کا متن 1-3 اور 20-24، تفسیر کے ساتھ۔ http://planetmath.org/ArchimedesCalculus آرکیمیڈیز قدیم یونانی ریاضیاتی کام آرکیمیڈیز کے کام ریاضی کی تاریخ