CAT(k) space
ریاضی میں، ایک جگہ، جہاں ایک حقیقی عدد ہے، ایک مخصوص قسم کی میٹرک جگہ ہے۔ بدیہی طور پر، کسی خلا میں مثلث مستقل منحنی خطوط کی معیاری جگہ میں متعلقہ "ماڈل مثلث" سے "پتلے" ہوتے ہیں۔ ایک جگہ میں، منحنی خطوط اوپر سے پابند ہوتے ہیں۔ ایک قابل ذکر خاص معاملہ ہے ؛ فرانسیسی ریاضی دان جیکس ہڈمارڈ کے نام پر مکمل خالی جگہوں کو "ہڈمارڈ خالی جگہوں" کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اصل میں، الیگزینڈرف نے ان جگہوں کو "ڈومین" کہا۔ اصطلاح میخائل گروموف نے 1987 میں وضع کی تھی اور یہ ایلی کارٹن، الیگزینڈر ڈینیلوویچ الیکساندروف اور وکٹر اینڈریوچ ٹوپونوگوف کا مخفف ہے (حالانکہ ٹوپونوگوف نے کبھی بھی اشاعتوں میں اوپر سے منسلک منحنی خطوط کی کھوج نہیں کی)۔ تعریفیں ایک حقیقی تعداد کے لیے، آئیے مستقل منحنیت کے ساتھ منفرد مکمل سیدھے جڑے ہوئے سطح (حقیقی 2 جہتی ریمینیئن کئی گنا) کی نشاندہی کریں۔ کے قطر سے ظاہر کریں، جو کہ اگر ہے اور اگر ہے۔ ایک جیوڈیسیک میٹرک اسپیس ہونے دیں، یعنی۔ ایک میٹرک اسپیس جس کے لیے ہر دو پوائنٹس کو جیوڈیسیک سیگمنٹ سے جوڑا جا سکتا ہے، ایک آرک لمبائی پیرامیٹرائزڈ مسلسل وکر، جس کی لمبائی قطعی طور پر ہے۔ آئیے ایک مثلث بنیں جس کے اطراف جیوڈیسی حصے ہوں۔ کہا جاتا ہے کہ عدم مساوات کو پورا کرنے کے لیے کہا جاتا ہے اگر ماڈل کی جگہ میں موازنہ مثلث موجود ہو، جس کے اطراف کی لمبائی برابر ہو، جیسے کہ پوائنٹس کے درمیان فاصلے متعلقہ پوائنٹس کے درمیان فاصلے سے کم یا برابر ہوں۔ جیوڈیسیک میٹرک اسپیس کو ایک خلا کہا جاتا ہے اگر ہر جیوڈیسیک مثلث دائرے سے کم کے ساتھ عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔ ایک (غیر ضروری طور پر جیوڈیسیک) میٹرک اسپیس کو منحنی جگہ کے ساتھ ایک ایسی جگہ کہا جاتا ہے اگر ہر نقطہ کا جیوڈیسیکل طور پر کنویکس پڑوس ہو۔ گھماؤ والی جگہ کو غیر مثبت گھماؤ کہا جا سکتا ہے۔ مثالیں کوئی بھی جگہ بھی سب کے لیے ایک جگہ ہے۔ درحقیقت، اس کے برعکس ہے: اگر سب کے لیے جگہ ہے، تو یہ ایک جگہ ہے۔ اپنی معمول کی میٹرک کے ساتھ-جہتی یوکلڈین جگہ ایک جگہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی حقیقی اندرونی پروڈکٹ کی جگہ (ضروری نہیں کہ مکمل ہو) ایک جگہ ہے ؛ اس کے برعکس، اگر ایک حقیقی معیاری ویکٹر کی جگہ کسی حقیقی کے لیے جگہ ہے، تو یہ ایک اندرونی پروڈکٹ کی جگہ ہے۔ اپنے معمول کے میٹرک کے ساتھ-جہتی ہائپربولک اسپیس ایک اسپیس ہے، اور اسی وجہ سے ایک اسپیس بھی ہے۔ جہتی اکائی کا دائرہ ایک خلا ہے۔ زیادہ عام طور پر، معیاری جگہ ایک جگہ ہے۔ لہذا، مثال کے طور پر، جہت سے قطع نظر، رداس کا دائرہ (اور مستقل گھماؤ) ایک خلا ہے۔ نوٹ کریں کہ دائرے کا قطر (جیسا کہ دائرے کی سطح پر ماپا جاتا ہے) نہیں ہے (جیسا کہ دائرے کے مرکز سے گزر کر ماپا جاتا ہے)۔ پنکچرڈ طیارہ کوئی خلا نہیں ہے کیونکہ یہ جیوڈیسی طور پر کنویکس نہیں ہے (مثال کے طور پر، پوائنٹس اور آرک لمبائی 2 کے ساتھ جیوڈیسیک کے ساتھ شامل نہیں کیا جا سکتا)، لیکن کے ہر نقطہ میں جیوڈیسی طور پر کنویکس پڑوس ہوتا ہے، اسی طرح یہ منحنی جگہ ہے۔ محرک لمبائی میٹرک سے لیس کی طرف سے دی گئی بند ذیلی جگہ کسی کے لیے جگہ نہیں ہے۔ خالی جگہوں کا کوئی بھی پروڈکٹ ہے۔ (یہ منفی دلائل کے لیے نہیں ہے۔) ہڈمارڈ خالی جگہیں ایک خاص معاملے کے طور پر، ایک مکمل سی اے ٹی (0) خالی جگہ کو ہڈمارڈ خالی جگہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ یہ ہڈمارڈ کئی گنا کی صورتحال سے مشابہت رکھتا ہے۔ ایک ہڈمارڈ کی جگہ سکڑنے کے قابل ہوتی ہے (اس میں ایک ہی نقطہ کی ہوموٹوپی قسم ہوتی ہے) اور، ہڈمارڈ کی جگہ کے کسی بھی دو نکات کے درمیان، انہیں جوڑنے والا ایک منفرد جیوڈیسیک طبقہ ہوتا ہے (درحقیقت، دونوں خصوصیات عام، ممکنہ طور پر نامکمل، کیٹ (0) خالی جگہوں کے لیے بھی ہوتی ہیں)۔ سب سے اہم بات یہ ہے کہ ہڈمارڈ خالی جگہوں میں فاصلاتی افعال کنویکس ہوتے ہیں: اگر X میں دو جیوڈیکس کی وضاحت وقت I کے ایک ہی وقفے پر کی گئی ہے، تو اس کے ذریعہ دیا گیا فنکشن t میں کنویکس ہے۔ پھر درج ذیل خصوصیات برقرار رہتی ہیں: کسی بھی دو پوائنٹس (آئی ایف کے ساتھ) کو دیکھتے ہوئے، ایک منفرد جیوڈیسیک طبقہ ہے جو اس میں شامل ہوتا ہے ؛ اس کے علاوہ، یہ طبقہ اپنے اختتامی نکات کے فنکشن کے طور پر مسلسل تبدیل ہوتا رہتا ہے۔ زیادہ سے زیادہ لمبائی کے ساتھ ہر مقامی جیوڈیسیک جیوڈیسیک ہے۔ (جیوڈیسی طور پر) کنویکس سے کم رداس کی-گیندیں۔ اس سے کم رداس کی-بالز سکڑنے کے قابل ہوتی ہیں۔ لگ بھگ مڈپوائنٹس مندرجہ ذیل معنوں میں مڈپوائنٹس کے قریب ہوتے ہیں: ہر ایک کے لیے ایسا موجود ہوتا ہے کہ، اگر جیوڈیسی حصے کا مڈپوائنٹ ہے تو اس کے ساتھ اور پھر۔ ان خصوصیات سے یہ پتہ چلتا ہے کہ، ہر جگہ کا عالمگیر احاطہ سکڑنے کے قابل ہے ؛ خاص طور پر، اس طرح کی جگہ کے اعلی ہوموٹوپی گروپ معمولی ہیں۔ جیسا کہ-دائرے کی مثال سے پتہ چلتا ہے، عام طور پر، کسی جگہ کے سکڑنے کی کوئی امید نہیں ہے۔ غیر مثبت منحنی خطوط کی سطحیں ایک ایسے خطے میں جہاں سطح کی منحنی خطوط مطمئن ہوتی ہیں، جیوڈیسیک مثلث موازنہ جیومیٹری کی سی اے ٹی (0) عدم مساوات کو مطمئن کرتے ہیں، جس کا مطالعہ کارٹن، الیگزینڈرروف اور ٹوپونوگوف نے کیا، اور بعد میں بروہاٹ اور ٹٹس نے ایک مختلف نقطہ نظر سے غور کیا۔ گروموف کے وژن کی بدولت، بنیادی میٹرک اسپیس کے لحاظ سے غیر مثبت منحنی خطوط کی اس خصوصیت کا جدید جیومیٹری اور خاص طور پر جیومیٹرک گروپ تھیوری پر گہرا اثر پڑا ہے۔ ہموار سطحوں اور ان کے جیوڈیسکس کے لیے جانے جانے والے بہت سے نتائج، جیسے کہ اپنے منحنی مختصر کرنے کے عمل کے ذریعے جیوڈیسکس کی تعمیر کا برخوف کا طریقہ یا وین مینگولٹ اور ہڈمارڈ کا نظریہ کہ غیر مثبت منحنی خطوط کی محض منسلک سطح طیارہ کے لیے ہومومورفک ہے، اس زیادہ عمومی ترتیب میں یکساں طور پر درست ہیں۔ الیگزینڈرروف کی تقابلی عدم مساوات تقابلی عدم مساوات کی سب سے آسان شکل، جو سب سے پہلے 1940 کے آس پاس سطحوں کے لیے الیگزینڈرروف نے ثابت کی تھی، بتاتی ہے کہ عدم مساوات اس حقیقت سے ملتی ہے کہ اگر آرکلینتھ کے لحاظ سے جیوڈیسیک پیرامیٹرائزڈ کو بیان کیا جائے اور یہ ایک فکسڈ پوائنٹ ہے، تو یہ ایک کنویکس فنکشن ہے، یعنی۔ جیوڈیسیک پولر کوآرڈینیٹس کو اصل کے ساتھ اس طرح لینا کہ، کنویکسٹی نارمل کوآرڈینیٹس میں تبدیل ہونے کے برابر ہے، پر، یہ عدم مساوات بن جاتی ہے، جہاں یونٹ ویکٹر سے مطابقت رکھتی ہے۔ یہ عدم مساوات کی پیروی کرتا ہے، جو کہ اسٹورم-لیوویل تھیوری کے اور اس سے تعلق رکھنے والے برونسکیئن کے مشتق کی غیر منفی کا نتیجہ ہے۔ کارٹن-ہڈمارڈ تھیوریم حوالہ جات میٹرک جیومیٹری بھی دیکھیں۔