Balance of angular momentum
کلاسیکی میکانکس میں کونیی مومنٹم کا توازن یا اویلر کا دوسرا قانون طبیعیات کا ایک قانون ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کسی جسم کی کونیی مومنٹم کو تبدیل کرنے کے لیے اس پر ٹارک لگانا ضروری ہے۔ استعمال کی ایک مثال تصویر میں کھیل کا میدان میری-گو راؤنڈ ہے۔ اسے گردش میں رکھنے کے لیے اسے دھکا دینا ضروری ہے۔ تکنیکی طور پر کوئی ایک ٹارک کو طلب کرتا ہے جو میری-گو-راؤنڈ کو کونیی رفتار فراہم کرتا ہے۔ بیرنگ اور ڈریگ میں رگڑ قوتوں کا ٹارک، تاہم، ایک مزاحم ٹارک بناتا ہے جو آہستہ آہستہ کونیی رفتار کو کم کرے گا اور بالآخر گردش کو روک دے گا۔ ریاضیاتی تشکیل میں کہا گیا ہے کہ کسی نقطہ کے بارے میں کونیی رفتار کی تبدیلی کی شرح، اس نقطہ کے بارے میں اس جسم پر کام کرنے والے بیرونی ٹارک کے مجموعے کے برابر ہے: نقطہ کسی جمود نظام میں ایک مقررہ نقطہ یا جسم کے کمیت کا مرکز ہوتا ہے۔ خاص صورت میں، جب بیرونی ٹارک غائب ہو جاتے ہیں، تو یہ ظاہر کرتا ہے کہ کونیی مومنٹم محفوظ ہے۔ کونیی مومنٹم کی تبدیلی کا مقابلہ کرنے والی ڈی ایلمبرٹ قوت گائروسکوپک اثر کے طور پر ظاہر ہوتی ہے۔ کونیی مومنٹم کے توازن سے متعلقہ شیر تناؤ کی مساوات یا کاچی تناؤ ٹینسر کی ہم آہنگی کی پیروی ہوتی ہے۔ بولٹزمین محور سے بھی ایسا ہی ہوتا ہے، جس کے مطابق تسلسل میں اندرونی قوتیں ٹارک سے پاک ہوتی ہیں۔ اس طرح کونییولر مومنٹم کا توازن، کاچی اسٹریس ٹینسر کی ہم آہنگی، اور تسلسل میکانکس میں بولٹزمین محور متعلقہ اصطلاحات ہیں۔ خاص طور پر اوپری نظریہ میں کونیی رفتار کا توازن ایک اہم کردار ادا کرتا ہے۔ تسلسل میکانکس میں یہ تناؤ ٹینسر کے سکیو-سمیٹرک حصے کا بالکل تعین کرنے کا کام کرتا ہے۔ کونیی مومنٹم کا توازن، نیوٹن کے قوانین کے علاوہ، ایک بنیادی اور آزاد اصول ہے اور اسے سب سے پہلے 1775 میں سوئس ریاضی دان اور طبیعیات دان لیون ہارڈ اویلر نے متعارف کرایا تھا۔ تاریخ سوئس ریاضی دان جیکب اول برنولی نے 1703 میں کونیی مومنٹم کے توازن کا اطلاق کیا-اسے واضح طور پر وضع کیے بغیر-کسی پنڈلم کے ارتعاش کا مرکز تلاش کرنے کے لیے، جو اس نے پہلے ہی 1686 میں کسی حد تک غلط انداز میں کیا تھا۔ اس طرح کونیی مومنٹم کا توازن نیوٹن کے قوانین سے پہلے تھا، جو پہلی بار 1687 میں شائع ہوئے تھے۔ 1744 میں، اویلر وہ پہلا شخص تھا جس نے کسی نظام کی حرکت کی مساوات بیان کرنے کے لیے مومنٹم اور اینگولر مومنٹم کے اصولوں کا استعمال کیا۔ 1750 میں، اپنے مقالے "میکانکس کے ایک نئے اصول کی دریافت" میں انہوں نے یولر کی سخت جسم کی حرکیات کی مساوات شائع کیں، جو آج کونیی رفتار کے توازن سے اخذ کی گئی ہیں، تاہم، یولر نیوٹن کے دوسرے قانون سے سخت جسم کے لیے اندازہ لگا سکتے ہیں۔ طیارہ لچکدار تسلسل پر مطالعے کے بعد، جو ٹارک کے توازن کے لیے ناگزیر ہیں، اویلر نے 1775 میں اجسام کی حرکت کے حساب کے لیے کونیی رفتار کے توازن کو ایک آزاد اصول تک بڑھا دیا۔ 1822 میں، فرانسیسی ریاضی دان آگسٹن لوئس کاچی نے اسٹریس ٹینسر متعارف کرایا جس کی ہم آہنگی نے لکیری مومنٹم کے توازن کے ساتھ مل کر اس بات کو یقینی بنایا کہ خراب جسم کے عمومی معاملے میں کونیی مومنٹم کے توازن کی تکمیل ہو۔ کونیی مومنٹم کے توازن کی تشریح سب سے پہلے 1851 میں ایم پی سینٹ گیلہیم نے نوٹ کی تھی۔ گردش کی حرکیات حرکیات ان حالتوں سے متعلق ہے جو مکینیکل توازن میں نہیں ہیں۔ نیوٹن کے دوسرے قانون کے مطابق، ایک بیرونی قوت کسی شے کی رفتار (ایکسلریشن) میں تبدیلی کا باعث بنتی ہے۔ اسی طرح بیرونی ٹارک کا مطلب کونیی رفتار میں تبدیلی ہے جس کے نتیجے میں کونیی ایکسلریشن ہوتا ہے۔ گردش سے متعلق جمود کا انحصار نہ صرف جسم کی کمیت پر ہوتا ہے بلکہ اس کی مقامی تقسیم پر بھی ہوتا ہے۔ ایک سخت جسم کے ساتھ اس کا اظہار مومنٹ آف انیرشیا سے ہوتا ہے۔ ایک مقررہ محور کے ارد گرد گردش کے ساتھ، ٹارک کونیی ایکسلریشن کے متناسب ہوتا ہے جس میں مومنٹ آف انیرشیا متناسب عنصر ہوتا ہے۔ یہاں یہ بات قابل ذکر ہے کہ مومنٹ آف انیرشیا کا انحصار نہ صرف گردش کے محور کی پوزیشن پر ہوتا ہے (دیکھیں اسٹینر تھیوریم) بلکہ اس کی سمت پر بھی ہوتا ہے۔ اگر مذکورہ بالا قانون کو گردش کے کسی بھی محور کے لیے زیادہ عام طور پر وضع کیا جائے تو انیرشیا ٹینسر کا استعمال کرنا ضروری ہے۔ دو جہتی خصوصی کیس کے ساتھ، ٹارک کے نتیجے میں صرف ایکسلریشن یا گردش کی رفتار کم ہوتی ہے۔ عام تین جہتی کیس کے ساتھ، تاہم، یہ محور (پیش قدمی) کی سمت کو بھی تبدیل کر سکتا ہے۔ فارمولیشن سخت باڈی ڈائنامکس میں کونیی مومنٹم کا توازن اویلر کی مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ تسلسل میکانکس میں کونییولر مومنٹم کا توازن کاچی کے حرکت کے دوسرے قانون کی طرف لے جاتا ہے، جو کاچی اسٹریس ٹینسر کی ہم آہنگی بیان کرتا ہے۔ بولٹزمین محور کا بھی یہی نتیجہ ہے۔ 1905 میں، آسٹریا کے طبیعیات دان لڈوگ بولٹزمین نے نشاندہی کی کہ کسی شے کے لامحدود طور پر چھوٹے حجم والے عناصر میں کمی کے ساتھ، اندرونی رد عمل کو مکینیکل توازن کے لیے تمام جامد حالات کو پورا کرنا پڑتا ہے۔ کاچی کا تناؤ تھیوریم طاقت کے لحاظ سے توازن کو سنبھالتا ہے۔ ٹارک کے لحاظ سے مماثل بیان کے لیے، جرمن ریاضی دان جارج ہیمل نے بولٹزمین محور کا نام وضع کیا۔ یہ محوریہ کاچی اسٹریس ٹینسر کی ہم آہنگی کے برابر ہے۔ تناؤ کے نتیجے میں حجم عنصر پر ٹارک نہیں لگاتا ہے، اس کے نتیجے میں آنے والی قوت کو حجم عنصر کے مرکز سے گزرنا چاہیے۔ جمود قوتوں کی عمل کی لکیر اور عام تناؤ کے نتیجے میں σxx·dy اور σyy·dx حجم عنصر کے مرکز سے گزرتے ہیں۔ تاکہ شیر تناؤ کے نتیجے میں τxy·dy اور τyx·dx حجم عنصر کے مرکز سے گزرتے ہوئے پکڑے رہیں۔ یہ دراصل xy طیارہ میں متعلقہ شیر کشیدگی کی مساوات کا بیان ہے۔ کاسیریٹ کنٹینم ایک سمیٹرک اسٹریس ٹینسر کے ساتھ ٹارک فری کلاسیکی کنٹینم کے علاوہ، کاسیریٹ کنٹینوا (پولر کنٹینوا) جو ٹارک فری نہیں ہیں ان کی بھی وضاحت کی گئی ہے۔ اس طرح کے تسلسل کا ایک اطلاق خولوں کا نظریہ ہے۔ کاسیریٹ کنٹینوا نہ صرف مومنٹم فلکس بلکہ اینگولر مومنٹم فلکس کو بھی منتقل کرنے کی صلاحیت رکھتے ہیں۔ لہذا، جسم کے اندر رفتار اور کونیی رفتار کے ذرائع بھی ہو سکتے ہیں۔ یہاں بولٹزمین محور لاگو نہیں ہوتا ہے اور تناؤ کا ٹینسر سکیو سمیٹرک ہو سکتا ہے۔ اگر ان بہاؤوں کو تسلسل میکانکس میں معمول کے مطابق سمجھا جاتا ہے، تو فیلڈ مساوات پیدا ہوتی ہیں جس میں تناؤ ٹینسر کے سکیو سمیٹرک حصے کی کوئی توانائی بخش اہمیت نہیں ہوتی ہے۔ کونیی مومنٹم کا توازن توانائی کے توازن سے آزاد ہو جاتا ہے اور اسٹریس ٹینسر کے سکیو-سمیٹرک حصے کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ امریکی ریاضی دان کلفورڈ ٹریسڈیل نے اس میں "اویلر کے دوسرے قانون کا حقیقی بنیادی احساس" دیکھا۔ ایریا رول اس شکل میں کونیی مومنٹم قانون کا ایک نتیجہ ہے: نتیجے میں آنے والا لمحہ دوگنا کمیت اور ایرل ویلیوٹی کے وقت مشتق کے پروڈکٹ کے برابر ہوتا ہے۔ یہ کرن کو کمیت m کے ساتھ ایک نقطہ کمیت کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ اس کی رفتار اور رفتار کے ساتھ کونیی رفتار ہوتی ہے۔ لامحدود وقت dt میں رفتار ایک مثلث کے اوپر سے گزرتی ہے جس کا مواد ہے، تصویر، علاقائی رفتار اور کراس پروڈکٹ "×" دیکھیں۔ اس طرح یہ پتہ چلتا ہے: اویلر کے دوسرے قانون کے ساتھ یہ بن جاتا ہے: طیارہ کی خصوصی صورت، مومنٹ فری سنٹرل فورس موشن کا علاج کیپلر کے دوسرے قانون کے ذریعہ کیا جاتا ہے، جسے ایریا رول بھی کہا جاتا ہے۔ حوالہ جات کنٹینم میکانکس طبیعیات کی مساوات سائنسی مشاہدہ