Finite sphere packing
ریاضی میں، محدود دائرے کی پیکنگ کا نظریہ اس سوال سے متعلق ہے کہ مساوی سائز کے شعبوں کی ایک محدود تعداد کو کس طرح سب سے زیادہ مؤثر طریقے سے پیک کیا جا سکتا ہے۔ بہت سے شعبوں کو محدود طور پر پیک کرنے کے سوال کی حالیہ دہائیوں میں صرف تفصیل سے تفتیش کی گئی ہے، جس کی زیادہ تر بنیاد لاسزلو فیجز ٹاتھ نے رکھی ہے۔ لامحدود بہت سے شعبوں کے لیے اسی طرح کے مسئلے کی تحقیقات کی ایک طویل تاریخ ہے، جس سے کیپلر کا قیاس سب سے زیادہ معروف ہے۔ کرسٹل ڈھانچوں میں ایٹموں کو آسانی سے قریب سے بھرے ہوئے شعبوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے اور ان کی بڑی تعداد کی بدولت ان کو لامحدود دائرے کے پیکنگ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ دائرے کی پیکنگ کے مسائل کو دیئے گئے کنٹینرز میں پیکنگ اور مفت پیکنگ کے درمیان ممتاز کیا جاتا ہے۔ یہ مضمون بنیادی طور پر مفت پیکنگ پر بحث کرتا ہے۔ پیکنگ اور کنویکس ہلز عام طور پر، پیکنگ سے مراد خلا میں مقامی طور پر منسلک، ممکنہ طور پر مختلف سائز کی یا مختلف شکل کی اشیاء کے کسی بھی سیٹ کا ایسا انتظام ہوتا ہے کہ ان میں سے کوئی بھی اوورلیپ نہ ہو۔ محدود دائرے کی پیکنگ کے مسئلے کے معاملے میں، یہ اشیاء مساوی سائز کے شعبوں تک محدود ہیں۔ گولوں کی اس طرح کی پیکنگ ایک مخصوص حجم کا تعین کرتی ہے جسے پیکنگ کا کنویکس ہل کہا جاتا ہے، جس کی تعریف سب سے چھوٹے کنویکس سیٹ کے طور پر کی جاتی ہے جس میں تمام دائرے شامل ہوتے ہیں۔ پیکنگ کی شکلیں دائرے کو ترتیب دینے کے بہت سے ممکنہ طریقے ہیں، جن کی درجہ بندی تین بنیادی گروپوں میں کی جا سکتی ہے: ساسیج، پیزا اور کلسٹر پیکنگ۔ ساسیج پیکنگ ایک ایسا انتظام جس میں تمام شعبوں کا درمیانی نقطہ ایک سیدھی لکیر پر ہوتا ہے اسے ساسیج پیکنگ کہا جاتا ہے، کیونکہ کنویکس ہل کی شکل ساسیج جیسی ہوتی ہے۔ حقیقی زندگی میں ایک لگ بھگ مثال ٹیوب میں ٹینس کی گیندوں کی پیکنگ ہے، حالانکہ ٹیوب کے اصل کنویکس ہل کے ساتھ موافق ہونے کے لیے سروں کو گول ہونا ضروری ہے۔ پیزا پیکنگ اگر تمام مڈ پوائنٹ ہوائی جہاز پر پڑے ہیں، تو پیکنگ پیزا پیکنگ ہے۔ اس قسم کی پیکنگ کی تقریبا حقیقی زندگی کی مثالوں میں بلیئرڈ کی گیندوں کو مثلث میں پیک کیا جاتا ہے جب وہ سیٹ کیے جاتے ہیں۔ یہ تین جہتی یوکلڈین جگہ میں پیکنگ کے لیے ہے۔ کلسٹر پیکنگ اگر دائرے کے درمیانی نکات کو تھری ڈی جگہ میں ترتیب دیا جاتا ہے، تو پیکنگ کو کلسٹر پیکنگ کہا جاتا ہے۔ حقیقی زندگی کے تخمینوں میں پھل کو ایک ڈبے میں متعدد تہوں میں پیک کرنا شامل ہے۔ پیکنگ کی اقسام کے درمیان تعلقات دی گئی تعریفوں کے مطابق، کوئی بھی ساسیج پیکنگ تکنیکی طور پر بھی پیزا پیکنگ ہے، اور کوئی بھی پیزا پیکنگ تکنیکی طور پر بھی کلسٹر پیکنگ ہے۔ طول و عرض کے زیادہ عام معاملے میں، "ساسیجز" سے مراد یک جہتی انتظامات، "کلسٹرز" سے جہتی انتظامات، اور "پیزا" ان لوگوں کے لیے جن کے درمیان طول و عرض کی تعداد ہوتی ہے۔ ایک یا دو دائرے ہمیشہ ساسیج بناتے ہیں۔ تین کے ساتھ، پیزا پیکنگ (جو کہ ساسیج بھی نہیں ہے) ممکن ہو جاتی ہے، اور چار یا اس سے زیادہ کے ساتھ، کلسٹر (جو پیزا بھی نہیں ہیں) ممکن ہو جاتے ہیں۔ بہترین پیکنگ شعبوں کے درمیان خالی جگہ پیکنگ کی قسم کے لحاظ سے مختلف ہوتی ہے۔ خالی جگہ کی مقدار کو پیکنگ کی کثافت میں ماپا جاتا ہے، جس کی تعریف شعبوں کے حجم اور کل کنویکس ہل کے حجم کے تناسب کے طور پر کی جاتی ہے۔ پیکنگ کی کثافت جتنی زیادہ ہوگی، پیکنگ میں اتنی ہی کم خالی جگہ ہوگی اور اس طرح ہل کا حجم اتنا ہی کم ہوگا (اسی تعداد اور دائرے کے سائز والے دیگر پیکنگ کے مقابلے میں)۔ گولوں کو مؤثر طریقے سے پیک کرنے کے لیے، یہ پوچھا جا سکتا ہے کہ کس پیکنگ میں سب سے زیادہ ممکنہ کثافت ہے۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ اس طرح کی پیکنگ میں یہ خاصیت ہونی چاہیے کہ دائرے ایک دوسرے کے ساتھ ہوں، یعنی ہر دائرے کو سطح پر دوسرے کو چھونا چاہیے۔ ایک زیادہ درست فقرہ ایک گراف بنانا ہے جو ہر دائرے کے لیے ایک ورٹیکس تفویض کرتا ہے اور عمودی حصوں کو کناروں سے جوڑتا ہے جب بھی متعلقہ دائرے اگر ان کی سطحوں کو چھوتے ہیں۔ پھر سب سے زیادہ کثافت والی پیکنگ کو اس خاصیت کو پورا کرنا چاہیے کہ متعلقہ گراف منسلک ہے۔ ساسیج کی تباہی تین یا چار شعبوں کے ساتھ، ساسیج کی پیکنگ بہترین ہوتی ہے۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ یہ کسی بھی شخص کے لیے درست ہے۔ اور کے لیے، ایک کلسٹر پیکنگ موجود ہے جو ساسیج پیکنگ سے زیادہ موثر ہے، جیسا کہ 1992 میں جورگ ولز اور پیئر ماریو گانڈینی نے دکھایا تھا۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ یہ سب سے زیادہ موثر کلسٹر پیکنگ کیسی نظر آتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اس معاملے میں، یہ معلوم ہے کہ بہترین پیکنگ توپ کی گیندوں کی کلاسیکی پیکنگ کی طرح ٹیٹراہیڈرل پیکنگ نہیں ہے، بلکہ ممکنہ طور پر کسی قسم کی آکٹاڈرل شکل ہے۔ بہترین پیکنگ کی شکل میں اچانک منتقلی کو کچھ ریاضی دان مذاق میں ساسیج تباہی (ولز، 1985) کے نام سے جانتے ہیں۔ عہدہ کی تباہی اس حقیقت سے آتی ہے کہ زیادہ سے زیادہ پیکنگ کی شکل اچانک منظم ساسیج پیکنگ سے نسبتا غیر منظم کلسٹر پیکنگ کی طرف منتقل ہو جاتی ہے اور اس کے برعکس جب کوئی ایک نمبر سے دوسرے نمبر پر جاتا ہے، بغیر کسی تسلی بخش وضاحت کے کہ ایسا کیوں ہوتا ہے۔ اس کے باوجود، تین جہتوں میں منتقلی نسبتا کم ہے ؛ جہتوں میں اچانک منتقلی تقریبا 377000 شعبوں میں ہونے کا قیاس کیا جاتا ہے۔ طول و عرض کے لیے، بہترین پیکنگ ہمیشہ یا تو ساسیج یا کلسٹر ہوتی ہے، اور کبھی پیزا نہیں۔ یہ ایک کھلا مسئلہ ہے کہ آیا یہ تمام جہتوں کے لیے درست ہے۔ یہ نتیجہ صرف دائرے سے متعلق ہے نہ کہ دیگر کنویکس اجسام سے ؛ درحقیقت گرٹزمین اور آرہلگر نے مشاہدہ کیا کہ کسی بھی جہت کے لیے ایک کنویکس شکل موجود ہے جس کے لیے قریب ترین پیکنگ پیزا ہے۔ ساسیج پیکنگ کے غیر بہتر ہونے کی مثال مندرجہ ذیل حصے میں یہ دکھایا گیا ہے کہ 455 شعبوں کے لیے ساسیج پیکنگ غیر بہتر ہے، اور اس کے بجائے ایک خاص کلسٹر پیکنگ موجود ہے جو کم حجم پر قبضہ کرتی ہے۔ رداس کے دائرے کے ساتھ ساسیج پیکنگ کے کنویکس ہل کا حجم ابتدائی جیومیٹری کے ساتھ قابل حساب ہے۔ ہل کا درمیانی حصہ لمبائی کے ساتھ ایک سلنڈر ہوتا ہے جبکہ آخر میں ٹوپیاں رداس کے ساتھ نصف دائرے ہوتے ہیں۔ اس لیے کل حجم اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اسی طرح، ٹیٹراہیڈرل پیکنگ کے کنویکس ہل کا حجم تلاش کرنا ممکن ہے، جس میں دائرے ترتیب دیے جاتے ہیں تاکہ وہ ایک ٹیٹراہیڈرل شکل بن جائیں، جو صرف مخصوص تعداد کے شعبوں کے لیے مکمل طور پر بھرے ہوئے ٹیٹراہیڈرا کی طرف لے جاتا ہے۔ اگر ٹیٹرا ہیڈرون کے ایک کنارے کے ساتھ دائرے ہیں، تو دائروں کی کل تعداد اس کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ اب سائیڈ لمبائی کے ساتھ ٹیٹراہیڈرل کا انریڈیئس ہے۔ اس سے ہمارے پاس ہے۔ ٹیٹرا ہیڈرون کا حجم پھر فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ٹیٹرا ہیڈرون کے اندر بہت سے دائرے ترتیب دیے جانے کی صورت میں، ایک کنارے کی لمبائی ہر نئی پرت کے لیے دائرے کے رداس سے دوگنا بڑھ جاتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ تہوں کے لیے طرف کی لمبائی ہو جاتی ہے۔ اس قدر کو ٹیٹرا ہیڈرون کے حجم کے فارمولے میں تبدیل کرتے ہوئے، ہم جانتے ہیں کہ کنویکس ہل کا حجم خود ٹیٹرا ہیڈرون سے چھوٹا ہونا چاہیے، تاکہ۔ تہوں کے ٹیٹرا ہیڈرون میں دائرے کی تعداد کو لیتے ہوئے اور اسی تعداد میں دائرے کے ساتھ ساسیج پیکنگ کے کنویکس ہل کا حجم حاصل کرنے کے لیے پہلے کے اظہار میں تبدیل کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے۔ کے لیے، جس کا ترجمہ شعبوں میں ہوتا ہے، اس کے سامنے کا گتانک ٹیٹراہیڈرل پیکنگ کے لیے تقریبا 2845 اور ساسیج پیکنگ کے لیے 2856 ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس تعداد کے شعبوں کے لیے ٹیٹراہیڈرون زیادہ قریب سے پیک کیا گیا ہے۔ یہ کچھ اور کوششوں سے بھی ممکن ہے کہ ٹیٹراہیڈرل کنویکس ہل کے حجم کا صحیح فارمولا اخذ کیا جائے، جس میں ٹیٹراہیڈرون کے کونوں اور کناروں پر اضافی حجم کو گھٹانا شامل ہوگا۔ یہ ساسیج پیکنگ کو اور اس وجہ سے چھوٹی اقدار کے لیے غیر بہترین ثابت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ ساسیج کا قیاس ساسیج کی اصطلاح ریاضی دان لاسزلو فیجز ٹاتھ سے آئی ہے، جس نے 1975 میں ساسیج کا قیاس پیش کیا، جس کا تعلق دائرے، کنویکس ہلز اور اعلی جہتوں میں حجم کے مسئلے کے عمومی ورژن سے ہے۔ طول و عرض میں ایک عمومی دائرہ ایک جہتی باڈی ہے جس میں ہر باؤنڈری پوائنٹ مڈ پوائنٹ سے یکساں طور پر دور ہوتا ہے۔ فیجز ٹاتھ کا ساسیج قیاس اس کے بعد بیان کرتا ہے کہ اوپر کی طرف سے گولوں کو سیدھی لکیر کے ساتھ ترتیب دینا ہمیشہ بہتر ہوتا ہے۔ یعنی ایک بار جب ہم 4 جہتوں سے اوپر جاتے ہیں تو ساسیج کی تباہی نہیں ہوتی ہے۔ مجموعی قیاس آرائی کھلی رہتی ہے۔ اب تک کے بہترین نتائج الریچ بیٹکے اینڈ مارٹن ہینک کے ہیں، جنہوں نے 42 اور اس سے اوپر کے طول و عرض کے لیے قیاس کو ثابت کیا۔ پیرامیٹرک کثافت اور متعلقہ طریقے اگرچہ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ ساسیج پیکنگ 56 شعبوں کے لیے بہترین نہیں ہے، اور یہ کہ کوئی اور پیکنگ ہونی چاہیے جو بہترین ہو، یہ معلوم نہیں ہے کہ بہترین پیکنگ کیسی نظر آتی ہے۔ بہترین پیکنگ تلاش کرنا مشکل ہے کیونکہ من مانی شکل کے کلسٹر کے حجم کے لیے کوئی "سادہ" فارمولا نہیں ہے۔ زیادہ سے زیادہ (اور غیر زیادہ سے زیادہ) حجم کے مناسب تخمینوں کے ذریعے دکھایا جاتا ہے، کنویکس جیومیٹری کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے، جیسے کہ برن-منکوسکی عدم مساوات، مخلوط منکوسکی حجم اور اسٹینر کا فارمولا۔ محدود اور لامحدود دونوں (جالی اور غیر جالی) دائرے کی پیکنگ کے متحد نظریہ کی طرف ایک اہم قدم 1992 میں جورگ ولز کے ذریعہ پیرامیٹرک کثافت کا تعارف تھا۔ پیرامیٹرک کثافت پیکنگ کے کناروں کے اثر کو مدنظر رکھتی ہے۔ پہلے استعمال ہونے والی کثافت کی تعریف شعبوں (یا کنویکس باڈیز) کے کنویکس ہل کے حجم سے متعلق ہے: جہاں شعبوں کے وسط نکات کا کنویکس ہل ہے (دائرے کے بجائے، ہم ایک صوابدیدی کنویکس باڈی بھی لے سکتے ہیں)۔ لکیری ترتیب (ساسیج) کے لیے، کنویکس ہل دائرے کے تمام درمیانی نکات سے گزرنے والی لکیر کا حصہ ہے۔ فارمولے میں پلس سائن سیٹ کے منکووسکی کے اضافے سے مراد ہے، لہذا اس سے مراد شعبوں کے کنویکس ہل کا حجم ہے۔ یہ تعریف دو جہتوں میں کام کرتی ہے، جہاں لاسلو فیجز-ٹوتھ، کلاڈ راجرز اور دیگر نے اسے محدود اور لامحدود پیکنگ کا ایک متحد نظریہ وضع کرنے کے لیے استعمال کیا۔ تین جہتوں میں، ولز ایک سادہ سی دلیل دیتے ہیں کہ اس تعریف کی بنیاد پر اس طرح کا متحد نظریہ ممکن نہیں ہے: تین جہتوں میں سکوں کی سب سے گھنے محدود ترتیب ساسیج کے ساتھ ہے۔ تاہم، زیادہ سے زیادہ لامحدود ترتیب ایک ہیکساگونل ترتیب ہے، لہذا لامحدود قدر کو محدود اقدار کی حد کے طور پر حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، ولز ایک مثبت پیرامیٹر شامل کر کے تعریف میں ترمیم متعارف کراتا ہے: کناروں کے اثر پر غور کرنے کی اجازت دیتا ہے (کنویکس ہل کو ایک خاص موٹائی دیتا ہے)۔ اس کے بعد اسے ہرمن منکووسکی کے مخلوط حجم کے نظریہ اور اعداد کی جیومیٹری کے طریقوں کے ساتھ جوڑا جاتا ہے۔ ہر جہت کے لیے پیرامیٹر ویلیوز ہوتی ہیں اور اس طرح کہ ساسیج کے لیے ڈینسینسٹ پیکنگ (تمام انٹیجرز کے لیے) ہوتی ہے، جبکہ کافی بڑے کے لیے کلسٹر سب سے گھنے ہوتے ہیں۔ یہ پیرامیٹرز طول و عرض کے لحاظ سے مخصوص ہیں۔ دو جہتوں میں، تاکہ ساسیج سے کلسٹرز میں منتقلی ہو (ساسیج تباہی)۔ ایک عدم مساوات ہے: جہاں طول و عرض میں یونٹ بال کا حجم ہے۔ کیونکہ، ہمارے پاس ہے اور یہ پیش گوئی کی گئی ہے کہ یہ تمام جہتوں کے لیے موزوں ہے، اس صورت میں کی قیمت سے مل سکتی ہے۔ حوالہ جات یوکلڈین ٹھوس جیومیٹری