Partition algebra
پارٹیشن الجبرا ایک ایسوسی ایٹیو الجبرا ہے جس میں سیٹ پارٹیشن ڈائیگرام اور ضرب کی بنیاد ہوتی ہے جو ڈائیگرام کنکیٹی نیشن کے ذریعے دی جاتی ہے۔ اس کے ذیلی الجبروں میں ڈایگرام الجبرا جیسے براؤر الجبرا، ٹیمپرلی-لیب الجبرا، یا سمیٹرک گروپ کا گروپ الجبرا شامل ہیں۔ تقسیم الجبرا کی نمائشیں خاکے کے سیٹوں اور سمیٹرک گروپ کی نمائندگی سے بنائی جاتی ہیں۔ تعریف خاکے لیبل والے عناصر کی ایک تقسیم کو خاکہ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، جس میں ایک ہی ذیلی سیٹ میں عناصر کو جوڑنے والی لکیریں ہوتی ہیں۔ مندرجہ ذیل مثال میں، ذیلی سیٹ لائنوں کو جنم دیتا ہے، اور مساوی طور پر لائنوں کے ذریعہ نمائندگی کی جا سکتی ہے (مثال کے طور پر)۔ اور کے لیے، پارٹیشن الجبرا کی تعریف پارٹیشنوں سے بنے-بیس اور ڈائیگرام کنکیٹی نیشن کے ذریعے دی گئی ضرب سے کی جاتی ہے۔ مربوط خاکہ ایک عنصر کے ساتھ آتا ہے، جہاں منسلک اجزاء کی تعداد ہوتی ہے جو اوپر اور نیچے کے عناصر سے منقطع ہوتے ہیں۔ جنریٹر اور تعلقات تقسیم الجبرا اس قسم کے عناصر کے ذریعہ تیار کیا جاتا ہے۔ یہ جنریٹر ان تعلقات کی پابندی کرتے ہیں جن میں ذیلی الجبرہ پیدا کرنے کے لیے مفید دیگر عناصر شامل ہیں۔ اصل جنریٹر کے لحاظ سے، یہ عناصر خصوصیات ہیں۔ تقسیم الجبرا ایک ملحقہ الجبرا ہے۔ اس کی ایک ضرب شناخت ہے پارٹیشن الجبرا کے لیے نیم آسان ہے۔ اس سیٹ میں کسی بھی دو کے لیے، الجبراس اور آئسومورفک ہیں۔ پارٹیشن الجبرا (بیل نمبر) کے ساتھ محدود جہتی ہے۔ تقسیم الجبرا کے آٹھ ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی ذیلی کیا لکیریں خاکے میں عبور کر سکتی ہیں۔ چاہے ذیلی سیٹوں کو کسی بھی سائز، یا سائز، یا صرف سائز کی اجازت ہو۔ چاہے ہم اوپر اوپر اور نیچے نیچے کی لکیروں کی اجازت دیں، یا صرف اوپر نیچے کی لکیروں کی۔ مؤخر الذکر صورت میں، پیرامیٹر غیر حاضر ہے، یا اس کے ذریعے ختم کیا جا سکتا ہے۔ ان خصوصیات کو یکجا کرنے سے خود پارٹیشن الجبرا کے علاوہ 8 غیر معمولی ذیلی الجبراز پیدا ہوتے ہیں: سمیٹرک گروپ الجبرا سمیٹرک گروپ کا گروپ رنگ ہے۔ موٹزکن الجبرا کو بعض اوقات طبیعیات کے ادب میں ڈائلیوٹ ٹیمپرلی-لیب الجبرا کہا جاتا ہے۔ خصوصیات درج شدہ ذیلی الجبراس کے لیے نیم آسان ہیں۔ غیر پلینر الجبرا میں پلینر کی شمولیت: ذیلی سیٹ سائز کی رکاوٹوں سے شمولیت: اوپر سے اوپر اور نیچے سے نیچے کی لکیروں کو اجازت دینے سے شمولیت: ہمارے پاس آئسومورفزم ہے: مزید ذیلی الجبراس اوپر بیان کردہ آٹھ ذیلی الجبراس کے علاوہ، دیگر ذیلی الجبراس کی وضاحت کی گئی ہے: مکمل طور پر پھیلنے والی تقسیم ذیلی الجبرہ خاکے کے ذریعے تیار کی جاتی ہے جس کے تمام بلاکس پھیلتے ہیں، یعنی۔ پارٹیشنز جن کے سب سیٹ اوپر اور نیچے کے عناصر پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ خاکے دوہری ہم آہنگی الٹا مونوئڈ سے ہیں، جو اس کے ذریعہ پیدا ہوتے ہیں۔ نیم تقسیم الجبرا کم از کم دو سائز کے ذیلی مجموعوں سے پیدا ہوتا ہے۔ اس کے جنریٹر ہیں اور اس کا طول و عرض ہے۔ یکساں بلاک پرموٹیشن الجبرا ذیلی سیٹوں کے ذریعے پیدا ہوتا ہے جس میں اتنے ہی اعلی عناصر ہوتے ہیں جتنے کہ نچلے عناصر ہوتے ہیں۔ اس کے ذریعے پیدا کیا جاتا ہے۔ نصف عدد اشاریہ والے الجبرا کی تعریف عناصر کی تقسیم سے اس کی ضرورت کے ذریعے کی جاتی ہے اور وہ ایک ہی ذیلی سیٹ میں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اس طرح پیدا ہوتا ہے، اور۔ وقتا فوقتا ذیلی الجیبرا خاکے کے ذریعے تیار کیے جاتے ہیں جنہیں لائن کراسنگ کے بغیر اینولس پر کھینچا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے ذیلی الجبروں میں ترجمہ کا عنصر اس طرح شامل ہوتا ہے۔ ترجمہ کا عنصر اور اس کی طاقتیں واحد امتزاج ہیں جن کا تعلق دورانیے کے ذیلی الجبروں سے ہے۔ نمائندگی کی ساخت ایک عدد کے لیے، عناصر (نیچے) اور (اوپر) کی تقسیم کا مجموعہ اس طرح ہونا چاہیے کہ کوئی بھی دو اوپر والے عناصر ایک ہی ذیلی سیٹ میں نہ ہوں، اور کوئی بھی اوپر والا عنصر اکیلا نہ ہو۔ اس طرح کی پارٹیشنوں کی نمائندگی خاکے کے ذریعے کی جاتی ہے جس میں کوئی ٹاپ ٹاپ لائنیں نہیں ہوتی ہیں، جس میں ہر ٹاپ عنصر کے لیے کم از کم ایک لائن ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اس صورت میں: پارٹیشن ڈائیگرام نیچے سے کام کرتے ہیں، جبکہ سمیٹرک گروپ اوپر سے کام کرتا ہے۔ (اس لیے) کے کسی بھی سپیکٹ ماڈیول کے لیے، ہم اس کی نمائندگی کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس نمائندگی کا طول و عرض یہ ہے کہ جہاں دوسری قسم کا سٹرلنگ نمبر ہے، ایک بائنومیل گتانک ہے، اور ہک لمبائی کے فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ کی بنیاد کو سیٹ پارٹیشن ٹیبلو کے لحاظ سے مشترکہ طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: نوجوان ٹیبلو جن کے خانے سیٹ پارٹیشن کے بلاکس سے بھرے ہوتے ہیں۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ یہ نیم سادہ ہے، نمائندگی ناقابل تلافی ہے، اور تقسیم الجبرا کی ناقابل تلافی محدود جہتی نمائندگی کا مجموعہ ذیلی الجبراس کی نمائندگی ہے۔ غیر پلینر ذیلی الجبراس کی نمائندگی میں تقسیم الجبرا کی نمائندگی کے طور پر اسی طرح کے ڈھانچے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، براؤر الجبرا کے براؤر سپیکٹ ماڈیولز سپیکٹ ماڈیولز، اور پارٹیشنز کے کچھ سیٹوں سے بنائے گئے ہیں۔ پلانر سبالجبراس کے معاملے میں، پلانریٹی غیر معمولی تغیرات کو روکتا ہے، اور سپیکٹ ماڈیول ظاہر نہیں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ٹیمپرلی-لیب الجبرا کا ایک معیاری ماڈیول ایک انٹیجر کے ذریعے پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے، اور ایک بنیاد محض پارٹیشنوں کے ایک سیٹ کے ذریعے دی جاتی ہے۔ مندرجہ ذیل جدول میں تقسیم الجبرا اور آٹھ ذیلی الجبراس کی ناقابل تلافی نمائندگی کی فہرست دی گئی ہے۔ کی ناقابل تلافی نمائشیں پارٹیشنز کے ذریعہ انڈیکس کی جاتی ہیں جیسے کہ اور ان کے طول و عرض ہیں۔ کی ناقابل تلافی نمائشیں اس طرح کے پارٹیشن کے ذریعہ انڈیکس کی جاتی ہیں۔ کی ناقابل تلافی نمائشیں پارٹیشن کے سلسلے کے ذریعہ انڈیکس کی جاتی ہیں۔ شور-ویل دوہری تصور کریں۔ بیس کے ساتھ ایک جہتی ویکٹر اسپیس کے لیے، ویکٹر اسپیس پر پارٹیشن الجبرا کا ایک قدرتی عمل ہوتا ہے۔ اس عمل کی وضاحت اس بنیاد پر پارٹیشن کے میٹرکس عناصر کے ذریعے کی جاتی ہے: یہ میٹرکس عنصر ایک ہے اگر کسی بھی پارٹیشن سب سیٹ سے مطابقت رکھنے والے تمام انڈیکس موافق ہوں، اور بصورت دیگر صفر۔ مثال کے طور پر، ٹیمپرلی-لیب جنریٹر کا عمل پارٹیشن الجبرا اور سمیٹرک گروپ کے درمیان دوہری ہے۔ آئیے ہم سمیٹرک گروپ کی قدرتی ترتیب کی نمائندگی کو لیتے ہیں۔ یہ جہتی نمائندگی دو ناقابل تلافی نمائندگی کا مجموعہ ہے: معیاری اور معمولی نمائندگی۔ پھر پارٹیشن الجبرا ٹینسر پروڈکٹ اسپیس پر کی کارروائی کا سنٹرلائزر ہے، مزید برآں، ایک بموڈیول کے طور پر، ٹینسر پروڈکٹ اسپیس ناقابل تلافی نمائندگی میں تحلیل ہو جاتا ہے جہاں پہلی صف کو شامل کرکے بنایا گیا سائز کا ینگ خاکہ ہے، اور اس کا متعلقہ سپیکٹ ماڈیول ہے۔ سمیٹرک گروپ اور پارٹیشن الجبرا کے درمیان ڈوئلٹی عام لکیری گروپ اور سمیٹرک گروپ کے درمیان اصل شور ویل ڈوئلٹی کو عام کرتی ہے۔ دیگر عامیاں بھی ہیں۔ متعلقہ ٹینسر پروڈکٹ خالی جگہوں میں، ہم پہلے گروپ یا الجبرا کی ناقابل تلافی جہتی نمائندگی کے لیے لکھتے ہیں: حوالہ جات مزید پڑھنا نمائندگی کا نظریہ خاکہ الجبرا