NM-method
این ایم-طریقہ یا ناسزودی-مینڈونکا طریقہ وہ عمل ہے جس کا اطلاق اعداد و شمار، اکانومیٹرکس، معاشیات، سماجیات، اور آبادی میں کیا جا سکتا ہے تاکہ متضاد ہنگامی جدولوں کی تعمیر کی جا سکے۔ طریقہ کار میٹرکس () کو تلاش کرتا ہے جو میٹرکس کے "قریب ترین" ہے (جسے سیڈ ٹیبل کہا جاتا ہے) اس معنی میں کہ ایک ہی درجہ بندی کی گئی ہے لیکن ہدف میٹرکس کی قطار اور کالم کل کے ساتھ۔ اگرچہ قطار کے کل اور کالم کے کل معلوم ہیں، لیکن خود میٹرکس معلوم نہیں ہوسکتا ہے۔ چونکہ میٹرکس کا حل منفرد ہے، اس لیے این ایم-طریقہ ایک فنکشن ہے:، جہاں سائز کا ایک قطار ویکٹر ہے، جبکہ سائز کا کالم ویکٹر ہے۔ این ایم-طریقہ نیسزودی اور مینڈونکا (2021) کے ذریعہ تیار کیا گیا تھا (اور سب سے پہلے نیسزودی اور مینڈونکا (2019) کے ذریعہ مسائل میں میٹرکس کو حل کرنے کے لیے لاگو کیا گیا تھا، جہاں میٹرکس آبادی کا نمونہ نہیں ہے جس کی خصوصیت میٹرکس کی صف کل اور کالم کل ہے، بلکہ دوسری آبادی کی نمائندگی کرتا ہے۔ ان کی درخواست کا مقصد تعلیمی ہم جنس پرستی کی طاقت میں نسل در نسل ہونے والی تبدیلیوں کی مقدار طے کرنا اور اس طرح 1980 اور 2010 کے درمیان امریکہ میں مختلف تعلیمی گروہوں کے درمیان سماجی عدم مساوات میں تاریخی تبدیلی کی پیمائش کرنا تھا۔ عدم مساوات کا رجحان یو شکل کا پایا گیا، جو اس نظریے کی حمایت کرتا ہے کہ مناسب سماجی اور معاشی پالیسیوں سے عدم مساوات کو کم کیا جا سکتا ہے۔ میٹرکس کی درجہ بندی کی تعریف ایک ہی سائز کے دو میٹرکس کے درمیان قربت کی تعریف کئی طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ یوکلڈین فاصلہ، اور کل بیک-لیبلر انحراف دو معروف مثالیں ہیں۔ این ایم-طریقہ ایک تعریف کے مطابق ہے جو آرڈینل لیو-لو انڈیکس پر انحصار کرتا ہے جو کہ Eq کے ذریعہ بیان کردہ کولمین-انڈیکس کا قدرے ترمیم شدہ ورژن ہے۔ (15) کولمین (1958) میں۔ اس تعریف کے مطابق، میٹرکس میٹرکس کے "قریب ترین" ہے، اگر ان کی لیو-لو اقدار ایک جیسی ہوں۔ دوسرے لفظوں میں، اگر انہیں آرڈینل لیو-لو انڈیکس کے لحاظ سے یکساں درجہ دیا جائے۔ اگر 2 × 2 میٹرکس ہے، تو اس کے اسکیلر ویلیو والے لیو-لو انڈیکس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جہاں ؛ ؛ ؛ ؛۔ کولمین (1958) کے بعد، اس اشاریہ کی تشریح "زیادہ سے زیادہ مائنس کم از کم پر متوقع حقیقی مائنس" کے طور پر کی گئی ہے، جہاں بیج میٹرکس کے اندراج کی اصل قیمت ہے ؛ کیا اس کی متوقع (عدد) قیمت متضاد مفروضوں کے تحت ہے کہ متعلقہ صف کل اور کالم کل پہلے سے طے شدہ ہیں، جبکہ اس کا اندرونی حصہ بے ترتیب ہے۔ اس کے علاوہ، اس کی کم از کم قیمت ہے اگر قطار متغیر اور کالم متغیر کے درمیان تعلق غیر منفی ہے۔ آخر میں، دی گئی صف کل اور کالم کل کے لیے () کی زیادہ سے زیادہ قیمت ہے۔ سائز n × m (،) کے میٹرکس کے لیے، لیو-لو انڈیکس کو ناسزودی اور مینڈونکا (2021) نے میٹرکس ویلیوڈ انڈیکس میں عام کیا تھا۔ عام کرنے کے لیے پیشگی شرائط میں سے ایک یہ ہے کہ میٹرکس کے قطار متغیر اور کالم متغیر کو ترتیب دینا ہوگا۔ عام کردہ، میٹرکس کی قدر والے لیو-لو انڈیکس کو میٹرکس کے ساتھ مساوی کرنا ان کے ترتیب شدہ قطار متغیر اور ترتیب شدہ کالم متغیر کو صف اور کالم متغیر کی ترتیب شدہ نوعیت کو پھاڑ کر طریقوں سے دوہرانے کے مترادف ہے۔ اس کے بجائے، ڈائکوٹومیزیشن کے ساتھ حاصل کردہ 2 × 2 میٹرکس کے اصل، اسکیلر ویلیو والے لیو-لو انڈیکس کو مساوی کرنا۔ یعنی، (، اور) کے کسی بھی جوڑے کے لیے پابندی عائد کی جاتی ہے، میٹرکس اس کے سائز کے ہونے اور اس کے سائز کے ہونے کے ساتھ کہاں ہے۔ اسی طرح، میٹرکس ٹرانسپوز کے ذریعہ اس کے سائز کے ہونے اور اس کے سائز کے ہونے کے ساتھ دیا گیا ہے۔ قطار کے کل اور کالم کے کل پر رکاوٹوں کو میٹرکس کو نہ صرف بلکہ اس کی قطار کے کل اور کالم کے کل پر رکاوٹوں کے جوڑے کو بھی پورا کرنا چاہیے: اور۔ حل یہ فرض کرتے ہوئے کہ (کہاں، اور) کے تمام جوڑوں کے لیے، حل منفرد، تعیناتی ہے، اور ایک بند فارم فارمولے کے ذریعے دیا گیا ہے۔ میٹرکس اور سائز کے لیے، حل ہے۔ دیگر 3 خلیوں کا تعین منفرد طور پر قطار کے کل اور کالم کے کل سے ہوتا ہے۔ تو، اس طرح این ایم-طریقہ 2 × 2 بیج کی میزوں کے لیے کام کرتا ہے۔ سائز (،) کے میٹرکس کے لیے، حل 2 × 2 فارم کے مسائل کی تعداد کو حل کرنے سے پہلے تمام ممکنہ معنی خیز طریقوں سے ان کے ترتیب شدہ قطار متغیر اور ترتیب شدہ کالم متغیر کو دوہرا کر کے حاصل کیا جاتا ہے۔ ہر مسئلہ کی وضاحت ایک جوڑے (اور) کے ساتھ، اور ہدف کی قطار کے کل اور کالم کے کل کے لیے کی گئی ہے:، اور، بالترتیب۔ ہر مسئلے کو فارمولے کے ذریعے الگ سے حل کرنا ہے۔ حل کا مجموعہ میٹرکس کی اندراجات کی تعداد کا تعین کرتا ہے۔ اس کے بقیہ عناصر کا تعین منفرد طور پر ہدف کی قطار کے کل اور کالم کے کل سے ہوتا ہے۔ اگلا، آئیے دیکھتے ہیں کہ این ایم-طریقہ کار کیسے کام کرتا ہے اگر میٹرکس ایسا ہے جس کی دوسری پیشگی شرط پوری نہیں ہوتی ہے۔ اگر کے تمام جوڑوں کے لیے، کا حل بھی منفرد، تعیناتی ہے، اور ایک بند شکل کے فارمولے کے ذریعے دیا گیا ہے۔ تاہم، میٹرکس کی درجہ بندی کا متعلقہ تصور اوپر بیان کردہ تصور سے قدرے مختلف ہے۔ لیو اور لو (2006) نے اس کی تعریف اس طرح کی ہے، جہاں ؛ سب سے چھوٹا عدد اس سے بڑا یا اس کے برابر ہے۔ آخر میں، نہ تو این ایم-طریقہ، اور نہ ہی اس کی وضاحت کی گئی ہے کہ اگر جوڑی ایسی ہے، جبکہ دوسرے جوڑے کے لیے۔ ایک عددی مثال اس کے قطار کے کل اور کالم کے کل اور اہداف کے ساتھ تکمیل شدہ درج ذیل پر غور کریں، یعنی، اور: این ایم-طریقہ کار کے پہلے مرحلے کے طور پر، (، اور) کے ہر جوڑے کے لیے میٹرکس اور میٹرکس سے ضرب دی جاتی ہے۔ یہ ان کے ہدف قطار کل اور کالم کل کے ساتھ سائز 2 × 2 کے درج ذیل 9 میٹرکس حاصل کرتا ہے: اگلا مرحلہ 9 میٹرکس میں سے ہر ایک پر اصل اسکیلر ویلیوڈ لیو-لو انڈیکس کے فارمولے کو لاگو کرکے عمومی میٹرکس ویلیوڈ لیو-لو انڈیکس کا حساب لگانا ہے، (جہاں): بظاہر، میٹرکس مثبت ہے۔ لہذا، این ایم-طریقہ کار کی وضاحت کی گئی ہے۔ 2 × 2 فارم کے 9 مسائل میں سے ہر ایک کو حل کرنے سے میٹرکس کی 9 اندراجات حاصل ہوتی ہیں۔ اس کی دیگر 7 اندراجات کا تعین منفرد طور پر ہدف کی قطار کے کل اور کالم کے کل سے ہوتا ہے۔ اس کا حل یہ ہے: ایبٹ اور دیگر سے لی گئی ایک اور عددی مثال۔ (2019) اس کے قطار کے مجموعے اور کالم کے مجموعے اور اہداف کے ساتھ تکمیل شدہ درج ذیل پر غور کریں، یعنی، اور: این ایم-طریقہ کار کے پہلے مرحلے کے طور پر، (، اور) کے ہر جوڑے کے لیے میٹرکس اور میٹرکس سے ضرب دی جاتی ہے۔ یہ ان کے ہدف کی قطار کے کل اور کالم کے کل کے ساتھ سائز 2 × 2 کے درج ذیل 4 میٹرکس حاصل کرتا ہے: اگلا مرحلہ عام میٹرکس کی قیمت والے لیو-لو انڈیکس کا حساب لگانا ہے، (جہاں) اصل اسکیلر کی قیمت والے لیو-لو انڈیکس کے فارمولے کو 4 میٹرکس میں سے ہر ایک پر لاگو کرکے: بظاہر، میٹرکس مثبت ہے۔ لہذا، این ایم-طریقہ کار کی وضاحت کی گئی ہے۔ 2 × 2 فارم کے 4 مسائل میں سے ہر ایک کو حل کرنے سے میٹرکس کی 4 اندراجات حاصل ہوتی ہیں۔ اس کی دیگر 5 اندراجات کا تعین منفرد طور پر ہدف کی قطار کے کل اور کالم کے کل سے ہوتا ہے۔ اس کا حل یہ ہے کہ: نفاذ این ایم-طریقہ ایکسل، ویژول بیسک، آر، اور اسٹیٹا میں بھی نافذ کیا جاتا ہے۔ ایپلی کیشنز این ایم-طریقہ کار کا اطلاق مختلف مظاہر کا مطالعہ کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے جن میں الگ الگ ملاپ، سماجی نقل و حرکت کی ایک قسم کے طور پر نسل در نسل نقل و حرکت، رہائشی علیحدگی، بھرتی اور ٹیلنٹ مینجمنٹ شامل ہیں۔ ان تمام ایپلی کیشنز میں، میٹرکس، اور ایک سے ایک مماثل اداروں کی مشترکہ تقسیم کی نمائندگی کرتے ہیں (مثال کے طور پر۔ شوہروں اور بیویوں، یا پہلے پیدا ہونے والے بچوں اور ماؤں، یا رہائش گاہوں اور اہم کرایہ داروں، یا سی ای اوز اور کمپنیوں، یا شطرنج کے انسٹرکٹرز اور ان کے سب سے زیادہ باصلاحیت طلباء) یا تو ایک دوہرے درجہ بندی متغیر (جیسے. ویجیٹیرین/نان ویجیٹیرین، گرینڈ ماسٹر/یا نہیں)، یا ایک آرڈرڈ ملٹی نومیئل کیٹگریکل متغیر (مثال کے طور پر۔ حتمی تعلیمی حصول کی سطح، اسکیئرز کی صلاحیت کی سطح، آمدنی کا بریکٹ، کرایہ کی فیس کا زمرہ، کریڈٹ ریٹنگ، ایف آئی ڈی ای ٹائٹل)۔ اگرچہ این ایم-طریقہ کار میں اطلاق کی ایک وسیع رینج ہے، اس کے بعد پیش کی جانے والی تمام مثالیں تعلیمی سطح کے ساتھ ساتھ مختلف قسم کے ملاپ کے بارے میں ہیں۔ ان ایپلی کیشنز میں، دو پیشگی شرائط (تمام تعلیمی گروپوں میں ترتیب شدہ خاصیت متغیر، اور مثبت درجہ بندی کے ملاپ) کو پورا کرنے پر بحث نہیں کی جاتی ہے۔ فرض کریں کہ میٹرکس زمبابوے میں شوہروں اور بیویوں کی مشترکہ تعلیمی تقسیم کی خصوصیت رکھتا ہے، جبکہ میٹرکس یمن میں بھی اسی کی خصوصیت رکھتا ہے۔ این ایم طریقہ کار کے ساتھ تعمیر کیا جانے والا میٹرکس ہمیں بتاتا ہے کہ زمبابوے میں جوڑوں کی مشترکہ تعلیمی تقسیم کیا ہوگی، اگر شوہروں اور بیویوں کی تعلیمی تقسیم یمن کی طرح ہی ہوتی، جبکہ ہم جنس پرستی کی مجموعی خواہش (جسے معاشیات میں مجموعی ازدواجی ترجیحات بھی کہا جاتا ہے، یا ازدواجی ملاپ والے سماجی اصولوں/سماجیات میں سماجی رکاوٹیں) میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی۔ دوسری درخواست میں، دو مختلف سالوں میں ایک ہی ملک کو میٹرکس اور خصوصیت دیتے ہیں۔ میٹرکس 2040 میں امریکی نو شادی شدہ جوڑوں کی مشترکہ تعلیمی تقسیم ہے، جہاں شوہروں کا تعلق جنریشن زیڈ سے ہے اور جب مشاہدہ کیا جاتا ہے تو وہ نوجوان بالغ ہوتے ہیں۔ میٹرکس وہی ہے لیکن جنریشن Y کے لیے سال 2024 میں مشاہدہ کیا گیا۔ میٹرکس کی تعمیر سے، کوئی بھی مستقبل میں یہ مطالعہ کر سکتا ہے کہ صرف شادی شدہ امریکی نوجوان جوڑوں کے درمیان تعلیمی تقسیم کیا ہوگی اگر وہ جنریشن زیڈ میں مردوں اور ان کے شراکت داروں کی طرح شادیوں میں ترتیب دیتے ہیں، جبکہ تعلیم کی سطح وہی تھی جو جنریشن وائی میں مردوں اور ان کے شراکت داروں میں تھی۔ تیسری درخواست میں، دو مختلف سالوں میں ایک ہی ملک کو میٹرکس اور دوبارہ خصوصیت دیتے ہیں۔ اس درخواست میں، میٹرکس 2011 میں پرتگالی نوجوان جوڑوں (جہاں مرد شراکت داروں کی عمر 30 سے 34 سال کے درمیان ہے) کی مشترکہ تعلیمی تقسیم ہے۔ اور وہی ہے لیکن یہ سال 1981 میں منایا جاتا ہے۔ اس بات کا مطالعہ کرنے کے لیے کہ پرتگالی نوجوان جوڑوں کی تعلیمی تقسیم کیا ہوتی اگر انہوں نے 2011 میں اپنے ساتھیوں کی طرح شادیوں کو ترتیب دیا ہوتا، جب کہ ان کی صنفی مخصوص تعلیمی تقسیم 1981 کی طرح ہی ہوتی۔ پہلے دو ایپلی کیشنز میں سے ہر ایک میں، میٹرکس ایک متضاد مشترکہ تقسیم کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کا استعمال بعض سیٹیریس پیربس اثرات کی مقدار کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، بنیادی پیمانے پر زمبابوے اور یمن میں ازدواجی چھانٹ کی براہ راست ناقابل مشاہدہ ڈگری کے درمیان فرق کی مقدار طے کرنے کے لیے، یا جنریشن زیڈ اور جنریشن وائی میں ایک متضاد سڑنے کے ساتھ۔ سڑنے کے لیے، کاؤنٹر فیکٹو ٹیبل کا استعمال ہر ایک محرک قوتوں کی شراکت کا حساب لگانے کے لیے کیا جاتا ہے (یعنی، آبادی کی سطح پر مواقع کا تعین کرنے والی مختلف تعلیمی سطحوں کے ساتھ ممکنہ شراکت داروں کی مشاہدہ شدہ ساختی دستیابی ؛ اور ناقابل مشاہدہ غیر ساختی محرکات، مثال کے طور پر، مجموعی مماثل ترجیحات، خواہشات، معیارات، رکاوٹیں) اور ان کے تعامل کا (یعنی، ساختی دستیابی میں تبدیلیوں کی وجہ سے مجموعی ترجیحات/خواہشات/اصولوں/رکاوٹوں میں تبدیلیوں کا اثر) ایک قابل مشاہدہ بنیادی پیمانے کے اعداد و شمار (جیسے۔ تعلیمی طور پر ہم جنس پرست جوڑوں کا حصہ)۔ تیسری ایپلی کیشن کو ناسزودی اور مینڈونکا (2021) نے غیر عقل مخالف حقیقت کے لیے ایک مثال کے طور پر استعمال کیا تھا: پرتگال میں تین دہائیوں کے دوران تعلیم کی سطح اتنی تیزی سے بدل گئی ہے کہ اس مخالف حقیقت کو حاصل کرنا ناممکن ہے۔ این ایم طریقہ کار کی کچھ خصوصیات سب سے پہلے، این ایم طریقہ کار اگر اس کے اطلاق کی حد تک پہنچ جاتا ہے تو اس سے کوئی بامعنی حل نہیں نکلتا ہے۔ مثال کے طور پر، تیسری ایپلی کیشن میں، میٹرکس میں منفی اندراج کے ساتھ این ایم-طریقہ اشارہ کرتا ہے کہ متضاد ناممکن ہے (دیکھیں: AlternativeMethod_US_1980s_2010s_age3035_main.xls شیٹ PT _ A1981 _ P2011 _ Not _ अर्थपूर्ण)۔ اس سلسلے میں، این ایم-طریقہ لکیری امکانی ماڈل سے ملتا جلتا ہے جو اکائی کے وقفے سے باہر پیش گوئی شدہ امکانات کے ساتھ اسی کا اشارہ کرتا ہے۔ دوسرا، این ایم-طریقہ صف متغیر اور کالم متغیر کے پڑوسی زمروں کو ضم کرنے کے ساتھ سفر کرتا ہے:، سائز کا صف ضم کرنے والا میٹرکس کہاں ہے ؛ اور، سائز کا کالم ضم کرنے والا میٹرکس کہاں ہے۔ تیسرا، این ایم-طریقہ کام کرتا ہے یہاں تک کہ اگر میٹرکس میں صفر اندراجات ہوں۔ آئی پی ایف کے ساتھ موازنہ تکراری متناسب فٹنگ کا طریقہ کار (آئی پی ایف) بھی ایک فنکشن ہے: یہ فٹ شدہ میٹرکس () کو تلاش کرنے کا عمل ہے جو این ایم-طریقہ کار کے ساتھ بنائے گئے میٹرکس سے ملتے جلتے شرائط کے ایک سیٹ کو پورا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، میٹرکس میٹرکس کے قریب ترین ہے لیکن ٹارگٹ میٹرکس کی قطار اور کالم کل کے ساتھ۔ تاہم، آئی پی ایف اور این ایم طریقہ کار کے درمیان اختلافات ہیں۔ آئی پی ایف کراس اینٹروپی، یا کل بیک-لیبلر انحراف کے ذریعے ایک ہی سائز کے میٹرکس کی قربت کی وضاحت کرتا ہے۔ اس کے مطابق، 2 × 2 میٹرکس کے درمیان فاصلے کا آئی پی ایف مطابقت پذیر تصور اور صفر ہے، اگر ان کے کراس پروڈکٹ تناسب (جسے مشکلات کا تناسب بھی کہا جاتا ہے) ایک جیسے ہوں: یاد کرنے کے لیے، میٹرکس کی مساوی درجہ بندی کے لیے این ایم-طریقہ کی شرط ہے۔ مندرجہ ذیل عددی مثال اس بات پر روشنی ڈالتی ہے کہ آئی پی ایف اور این ایم طریقہ ایک جیسے نہیں ہیں: اس کے ساتھ اس پر غور کریں: این ایم-طریقہ مندرجہ ذیل میٹرکس حاصل کرتا ہے: جبکہ آئی پی ایف کے ساتھ حاصل کردہ میٹرکس کا حل یہ ہے: آئی پی ایف مشترکہ آبادی کی تقسیم کے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے کے مساوی ہے، جہاں میٹرکس (مشترکہ آبادی کی تقسیم کا تخمینہ) میٹرکس سے شمار کیا جاتا ہے، جو کہ میٹرکس کے قطار کل اور کالم کل کی خصوصیت والی آبادی سے لیے گئے بے ترتیب نمونے میں مشاہدہ کردہ مشترکہ تقسیم ہے۔ آئی پی ایف کے ذریعے حل کیے گئے مسئلے کے برعکس، اس مسئلے میں میٹرکس کا نمونہ اس آبادی سے نہیں لیا گیا ہے جسے حل کرنے کے لیے این ایم-طریقہ تیار کیا گیا تھا۔ در حقیقت، این ایم-مسئلہ میں، میٹرکس اور دو مختلف آبادیوں کی خصوصیت (یا تو زمبابوے اور یمن کے لیے درخواست کی طرح بیک وقت مشاہدہ کیا گیا، یا وقت کے ساتھ دو مختلف نکات میں مشاہدہ کیا گیا جیسے جنریشن زیڈ اور جنریشن وائی کی آبادیوں کے لیے اس کے اطلاق میں)۔ یہ فرق تجرباتی ایپلی کیشنز میں این ایم طریقہ کار اور آئی پی ایف کے درمیان انتخاب کو آسان بناتا ہے۔ ڈیمنگ اور اسٹیفن (1940)، آئی پی ایف کے موجد، نے اپنے طریقہ کار کے اطلاق کو ایک کلاسک زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے کے مسئلے پر واضح کیا، جہاں میٹرکس کا نمونہ آبادی سے لیا گیا تھا جس کی خصوصیت قطار کے کل اور میٹرکس کے کالم کے کل سے ہوتی ہے۔ وہ اس حقیقت سے واقف تھے کہ عام طور پر، آئی پی ایف متضاد پیش گوئیوں کے لیے موزوں نہیں ہے: انہوں نے واضح طور پر خبردار کیا کہ ان کا الگورتھم "خود پیشن گوئی کے لیے مفید نہیں ہے" (اسٹیفن اور ڈیمنگ 1940 صفحہ 444 دیکھیں)۔ اس کے علاوہ، ڈومینز مختلف ہیں جن کے لیے آئی پی ایف اور این ایم طریقہ کار حل فراہم کرتے ہیں۔ سب سے پہلے، این ایم طریقہ کار کے برعکس، آئی پی ایف صفر اندراجات والی تمام سیڈ ٹیبلز کے لیے کوئی حل فراہم نہیں کرتا ہے (Csiszár (1975) جس میں صفر اندراجات والی عام ٹیبلز کے ساتھ آئی پی ایف کو لاگو کرنے کے لیے ضروری اور کافی شرائط پائی گئیں)۔ دوسرا، آئی پی ایف کے برعکس، این ایم-طریقہ میٹرکس کے جوڑوں اور ناممکن مخالف حقائق کی وضاحت کے لیے کوئی بامعنی حل فراہم نہیں کرتا ہے۔ تیسرا، این ایم-طریقہ (یا دونوں میں سے) کی پیشگی شرط آئی پی ایف کے اطلاق کے لیے پیشگی شرط نہیں ہے۔ آخر میں، این ایم کے برعکس، آئی پی ایف قطار متغیر اور کالم متغیر کے پڑوسی زمروں کو ضم کرنے کے عمل کے ساتھ سفر نہیں کرتا ہے جیسا کہ اسے ناسزودی (2023) میں عددی مثال کے ساتھ دکھایا گیا ہے (صفحہ 10 دیکھیں)۔ اس وجہ سے، آئی پی ایف کے ساتھ حاصل کردہ تبدیل شدہ ٹیبل خاصیت کے زمروں کی تعداد کے انتخاب کے لیے حساس ہو سکتا ہے۔ کینتھ میکڈونلڈ (2023) ناسزودی (2023) کے اس نتیجے سے مطمئن ہیں کہ آئی پی ایف نمونے لینے کے اصلاح کے کاموں کے لیے موزوں ہے، لیکن متضاد چیزوں کی نسل کے لیے نہیں۔ اسی طرح ناسزودی کے لیے، میکڈونلڈ یہ بھی سوال کرتا ہے کہ آیا آئی پی ایف کی صف اور کالم متناسب تبدیلیاں ایک ہنگامی میز کے اندر ایسوسی ایشن کے ڈھانچے کو محفوظ رکھتی ہیں جو ہمیں سماجی نقل و حرکت کا مطالعہ کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ کم از کم یوکلڈین فاصلے کے نقطہ نظر کے ساتھ موازنہ کم از کم یوکلڈین فاصلے کے نقطہ نظر (ایم ای ڈی اے) (ایبٹ اور دیگر کے ذریعہ بیان کردہ، 2019 فرنانڈیز اور روگرسن کے بعد، 2001) بھی ایک فنکشن ہے: سب سے پہلے، ایم ای ڈی اے میٹرکس کو ایک اسکیلر تفویض کرتا ہے: یہ وہ وزن ہے جو یوکلڈین کے فاصلے کو کم سے کم کرکے دو انتہائی معاملات (مارجنلز کے جوڑے کے ساتھ بے ترتیب اور بالکل الگ الگ ملاپ) کے کنویکس امتزاج کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ ای۔ جی۔ یہ اسکیلر ایبٹ اور دیگر (2019) سے لی گئی عددی مثال میں ہے۔ دوسرا، کاؤنٹر فیکٹو مارجنل ڈسٹری بیوشن () کے کسی بھی جوڑے کے لیے ایم ای ڈی اے دو انتہائی معاملات (مارجنلز () کے جوڑے کے ساتھ بے ترتیب اور بالکل الگ الگ مماثلت) کے کنویکس امتزاج کی تعمیر کرتا ہے۔ این ایم اور ایم ای ڈی اے کے درمیان فرق: جب کہ این ایم عمومی میٹرکس ویلیوڈ لیو-لو انڈیکس کو فکسڈ رکھ کر درجہ بندی میں کوئی تبدیلی نہیں رکھتا، ایم ای ڈی اے اسکیلر کو فکسڈ رکھ کر بھی ایسا ہی کرتا ہے۔ سائز کے میٹرکس کے لیے دونوں طریقے ایک ہی تبدیل شدہ ٹیبل تیار کرتے ہیں بشرطیکہ ہنگامی ٹیبلز کی درجہ بندی اسکیلر ویلیوڈ لیو-لو انڈیکس کی طرح ہو۔ تاہم، 2 × 2 سے بڑے میٹرکس کے لیے، عمومی لیو-لو انڈیکس میٹرکس ویلیوڈ ہے، اس لیے یہ اسکیلر ویلیوڈ سے مختلف ہے۔ لہذا، این ایم-تبدیل شدہ ٹیبل بھی ایم ای ڈی اے-تبدیل شدہ ٹیبل سے مختلف ہے۔ مثال کے طور پر، ایبٹ اور دیگر سے لی گئی عددی مثال میں۔ (2019)، ایم ای ڈی اے کے ذریعہ تیار کردہ کاؤنٹر فیکٹو ٹیبل میٹرکس ہے: میٹرکس اور میٹرکس کے درمیان فرق نہ ہونے کے برابر نہیں ہے۔ ای۔ جی۔ ہم جنس پرست جوڑوں کا حصہ مشاہدہ شدہ میٹرکس کے مقابلے میں ایم ای ڈی اے کے بنائے ہوئے کاؤنٹر فیکٹوئل میٹرکس میں 2 فیصد پوائنٹس کم ہے، جبکہ این ایم کے بنائے ہوئے کاؤنٹر فیکٹوئل میٹرکس میں اس کے مقابلے میں 3.4 فیصد پوائنٹس کم ہے۔ کیونکہ ایبٹ کی مثال کوئی افسانوی نہیں ہے، بلکہ امریکی جوڑوں کی تجرباتی تعلیمی تقسیم پر مبنی ہے، اس لیے 2 فیصد پوائنٹس اور 3.4 فیصد پوائنٹس کے درمیان فرق کی تشریح کی جا سکتی ہے کیونکہ ایم ای ڈی اے ایک نسل سے دوسری نسل میں عدم مساوات میں ہونے والی تبدیلیوں کو این ایم کے مقابلے میں نمایاں طور پر چھوٹا قرار دیتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ تکراری متناسب فٹنگ کا طریقہ کار بیرونی لنکس جنرلائزڈ ناسزودی-مینڈونکا طریقہ (GNM-طریقہ) حوالہ جات شماریات اکانومیٹرکس