Phase space crystals
فیز اسپیس کرسٹل ایک جسمانی نظام کی حالت ہے جو حقیقی جگہ کے بجائے فیز اسپیس میں مجرد ہم آہنگی ظاہر کرتی ہے۔ سنگل پارٹیکل سسٹم کے لیے، فیز اسپیس کرسٹل اسٹیٹ سے مراد ایک بند کوانٹم سسٹم کے لیے ہیملٹنین کی آئجین اسٹیٹ یا اوپن کوانٹم سسٹم کے لیے لیوویلین کا آئجین آپریٹر ہے۔ متعدد جسم والے نظام کے لیے، فیز اسپیس کرسٹل فیز اسپیس میں ٹھوس جیسی کرسٹل لائن حالت ہے۔ فیز اسپیس کرسٹل کا عمومی فریم ورک سالڈ اسٹیٹ فزکس اور کنڈینسڈ میٹر فزکس کے مطالعہ کو متحرک نظاموں کے فیز اسپیس میں بڑھانا ہے۔ جبکہ حقیقی خلا میں یوکلڈین جیومیٹری ہوتی ہے، فیز اسپیس کلاسیکی سمپلیکٹک جیومیٹری یا کوانٹم نان کمیونیٹیٹو جیومیٹری کے ساتھ سرایت شدہ ہوتی ہے۔ اپنی مشہور کتاب میتھمیٹیکل فاؤنڈیشنز آف کوانٹم میکینکس میں، جان وان نیومن نے بالترتیب پوزیشن اور مومنٹم کی سمتوں کے ساتھ دو مواصلاتی ابتدائی نقل مکانی آپریٹرز کے ذریعہ ایک فیز اسپیس لیٹس کی تعمیر کی، جسے آج کل وان نیومن لیٹس بھی کہا جاتا ہے۔ اگر فیز اسپیس کو فریکوئنسی ٹائم پلین سے تبدیل کیا جاتا ہے، تو وان نیومن لیٹس کو گابر لیٹس کہا جاتا ہے اور سگنل پروسیسنگ کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔ فیز اسپیس لیٹس بنیادی طور پر ریئل اسپیس لیٹس سے مختلف ہوتی ہے کیونکہ فیز اسپیس کے دو نقاط کوانٹم میکانکس میں غیر متغیر ہوتے ہیں۔ نتیجے کے طور پر، فیز اسپیس میں بند راستے پر چلنے والی ایک مربوط حالت ایک اضافی فیز فیکٹر حاصل کرتی ہے، جو مقناطیسی میدان میں حرکت کرنے والے چارج شدہ ذرہ کے احرونوف-بوہم اثر سے ملتا جلتا ہے۔ فیز اسپیس اور مقناطیسی میدان کے درمیان ایک گہرا تعلق ہے۔ در حقیقت، حرکت کی کینونکل مساوات کو لورینز-فورس کی شکل میں بھی دوبارہ لکھا جا سکتا ہے جو کلاسیکی فیز اسپیس کی سمپلیکٹک جیومیٹری کی عکاسی کرتا ہے۔ متحرک نظاموں کے فیز اسپیس میں، مستحکم پوائنٹس اپنے پڑوسی علاقوں کے ساتھ مل کر افراتفری والے سمندر میں نام نہاد پوئنکیئر-برخوف جزائر بناتے ہیں جو فیز اسپیس میں ایک سلسلہ یا کچھ باقاعدہ دو جہتی جالی کے ڈھانچے تشکیل دے سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کک ہارمونک آسکیلیٹر (کے ایچ او) کا موثر ہیملٹنین، کک نمبر کے تناسب کے لحاظ سے فیز اسپیس میں مربع جالی، مثلث جالی اور یہاں تک کہ نیم کرسٹل ڈھانچے کا حامل ہو سکتا ہے۔ در حقیقت، کسی بھی صوابدیدی فیز اسپیس لیٹس کو کے ایچ او فیز اسپیس کرسٹل (پی ایس سی) کے لیے مناسب کک سیکوینس کا انتخاب کرکے تیار کیا جا سکتا ہے۔ فیز اسپیس کرسٹل کا تصور گو اور دیگر افراد نے تجویز کیا تھا اور اصل میں وقتا فوقتا چلنے والے (فلوکیٹ) متحرک نظام کے موثر ہیملٹنین کی آئجین اسٹیٹ سے مراد ہے۔ اس بات پر منحصر ہے کہ آیا تعامل کا اثر شامل ہے، فیز اسپیس کرسٹل کو سنگل پارٹیکل پی ایس سی اور ملٹی باڈی پی ایس سی میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ سنگل پارٹیکل فیز اسپیس کرسٹل فیز اسپیس میں ہم آہنگی پر منحصر ہے، فیز اسپیس کرسٹل ایک جہتی (1D) حالت ہو سکتی ہے جس میں فیز اسپیس میں-فولڈ گردش کی ہم آہنگی ہو یا دو جہتی (2D) جالی کی حالت پوری فیز اسپیس میں پھیل سکتی ہے۔ بند نظام کے لیے فیز اسپیس کرسٹل کے تصور کو اوپن کوانٹم سسٹمز میں بڑھایا گیا ہے اور اسے ڈسپیٹو فیز اسپیس کرسٹل کا نام دیا گیا ہے۔ Zn PSC فیز اسپیس حقیقی جگہ سے بنیادی طور پر مختلف ہے کیونکہ فیز اسپیس کے دو نقاط منتقل نہیں ہوتے ہیں، یعنی طول و عرض کے بغیر پلانک مستقل کہاں ہے۔ سیڑھی آپریٹر کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ جسمانی نظام کا ہیملٹنین سیڑھی آپریٹرز کے فنکشن میں بھی لکھا جا سکتا ہے۔ فیز اسپیس میں گردشی آپریٹر کی وضاحت کرتے ہوئے جہاں ایک مثبت عدد کے ساتھ، نظام میں-فولڈ گردشی ہم آہنگی یا ہم آہنگی ہوتی ہے اگر ہیملٹنین گردش آپریٹر کے ساتھ تبادلہ کرتا ہے، یعنی، اس صورت میں، کوئی بلاچ تھیوریم کو-فولڈ ہم آہنگی ہیملٹنین پر لاگو کر سکتا ہے اور بینڈ کی ساخت کا حساب لگا سکتا ہے۔ ہیملٹنین کے مجرد گردش سمیٹرک ڈھانچے کو فیز اسپیس لیٹس کہا جاتا ہے اور متعلقہ آئجین اسٹیٹس کو فیز اسپیس کرسٹل کہا جاتا ہے۔ جالی پی ایس سی مجرد گردش کی ہم آہنگی کو پورے مرحلے کی جگہ میں مجرد ترجمہ کی ہم آہنگی تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس طرح کے مقصد کے لیے، فیز اسپیس میں ڈسپلیسمنٹ آپریٹر کی تعریف کی جاتی ہے جس کی خاصیت ہوتی ہے، جہاں فیز اسپیس میں ڈسپلیسمنٹ ویکٹر سے مطابقت رکھنے والا ایک پیچیدہ نمبر ہوتا ہے۔ اگر ہیملٹنین ٹرانسلیشنل آپریٹر کے ساتھ تبادلہ کرتا ہے تو اس نظام میں مجرد ٹرانسلیشنل سمیٹری ہوتی ہے، یعنی، اگر دو ابتدائی نقل مکانی موجود ہیں اور جو بیک وقت مذکورہ بالا شرط کو پورا کرتی ہیں، تو فیز اسپیس ہیملٹنین فیز اسپیس میں 2 ڈی لیٹس سمیٹری رکھتی ہے۔ تاہم، دو نقل مکانی آپریٹر عام طور پر تبادلہ نہیں کرتے ہیں۔ غیر متغیر مرحلے کی جگہ میں، "نقطہ" کا تصور بے معنی ہے۔ اس کے بجائے، ایک مربوط حالت کو کم کرنے والے آپریٹر کی آئجن اسٹیٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ نقل مکانی کرنے والا آپریٹر مربوط حالت کو ایک اضافی مرحلے، یعنی، کے ساتھ بے دخل کرتا ہے۔ ایک مربوط حالت جو ایک بند راستے پر منتقل ہوتی ہے، مثال کے طور پر، ایک مثلث جس کے تین کناروں کو فیز اسپیس میں دیا جاتا ہے، ایک ہندسی فیز فیکٹر حاصل کرتا ہے جہاں منسلک رقبہ ہوتا ہے۔ یہ ہندسی مرحلہ مقناطیسی میدان میں چارج شدہ ذرہ کے احرونوف-بوہم مرحلے کے مترادف ہے۔ اگر مقناطیسی اکائی خلیہ اور جالی اکائی خلیہ قابل موازنہ ہیں، یعنی، دو عدد موجود ہیں اور اس طرح کہ، کوئی 2 ڈی برلوئن میں بیان کردہ بینڈ ڈھانچے کا حساب لگا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مربع مرحلے کی خلائی جالی ہیملٹنین کا سپیکٹرم ہوفسٹاڈر کے تیتلی بینڈ ڈھانچے کو ظاہر کرتا ہے جو مقناطیسی میدان میں تنگ بائنڈنگ جالی سائٹس کے درمیان چارج شدہ ذرات کے اچھلنے کو بیان کرتا ہے۔ اس صورت میں، آئجین اسٹیٹس کو 2 ڈی لیٹیس فیز اسپیس کرسٹل کہا جاتا ہے۔ ڈسیپیٹو پی ایس سی بند کوانٹم سسٹم کے لیے فیز اسپیس کرسٹل کے تصور کو اوپن کوانٹم سسٹم تک بڑھا دیا گیا ہے۔ سرکٹ کیو ای ڈی سسٹمز میں، مائکروویو ریزونیٹر کو جوزفسن جنکشنز کے ساتھ مل کر اور-فوٹون ریزونیینس کے تحت وولٹیج بائیس کو اوپر بیان کردہ فیز اسپیس سمیٹری کے ساتھ گھومنے والی لہر کے تخمینے (آر ڈبلیو اے) ہیملٹنین کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ جب سنگل فوٹون نقصان غالب ہوتا ہے، تو ریزونیٹر کی ڈسپیٹیو ڈائنامکس کو درج ذیل ماسٹر مساوات (لنڈبلڈ مساوات) کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے جہاں نقصان کی شرح ہے اور سپر آپریٹر کو لیوویلین کہا جاتا ہے۔ نظام کے لیوویلین کے ایجین سپیکٹرم اور متعلقہ ایجین آپریٹرز کا حساب لگایا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ نہ صرف ہیملٹنین بلکہ لیوویلین بھی-فولڈ گردش عمل کے تحت غیر متغیر ہیں، یعنی، اور کے ساتھ۔ یہ ہم آہنگی فیز اسپیس کرسٹل کے تصور کو اوپن کوانٹم سسٹم تک بڑھانے میں اہم کردار ادا کرتی ہے۔ نتیجے کے طور پر، لیوویلین آئجین آپریٹرز میں فیز اسپیس میں بلاچ موڈ ڈھانچہ ہوتا ہے، جسے ڈسپیٹیو فیز اسپیس کرسٹل کہا جاتا ہے۔ کئی جسم والے فیز خلائی کرسٹل فیز خلائی کرسٹل کے تصور کو تعامل کرنے والے ذرات کے نظام تک بڑھایا جا سکتا ہے جہاں اس سے مراد کئی جسم والی حالت ہوتی ہے جس میں فیز اسپیس میں ٹھوس جیسی کرسٹل ساخت ہوتی ہے۔ اس صورت میں، ذرات کا تعامل ایک اہم کردار ادا کرتا ہے۔ حقیقی خلا میں، متعدد جسم والا ہیملٹنین جو ایک پرٹربیٹو پیریڈک ڈرائیو (مدت کے ساتھ) کا شکار ہوتا ہے، اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ عام طور پر، تعامل کی صلاحیت حقیقی خلا میں دو ذرات کے فاصلے کا ایک فعل ہے۔ ڈرائیونگ فریکوئنسی کے ساتھ گھومنے والے فریم میں تبدیل ہونے اور گھومنے والی لہر کے تخمینے (آر ڈبلیو اے) کو اپنانے سے، کوئی بھی مؤثر ہیملٹنین حاصل کر سکتا ہے۔ فیز اسپیس میں کرسٹل ڈھانچہ رکھنے کے لیے، فیز اسپیس میں موثر تعامل کو فیز اسپیس میں مجرد گردش یا ٹرانسلیشنل کارروائیوں کے تحت غیر متغیر ہونا ضروری ہے۔ فیز اسپیس تعاملات کلاسیکی حرکیات میں، معروف ترتیب میں، فیز اسپیس میں موثر تعامل کی صلاحیت ایک ڈرائیونگ پیریڈ میں وقت کی اوسط حقیقی اسپیس انٹرایکشن ہے۔ یہاں، ڈرائیونگ فیلڈ کی عدم موجودگی میں-th ذرہ کی رفتار کی نمائندگی کرتا ہے۔ انٹیجرز اور نصف انٹیجرز کے ساتھ ماڈل پاور لا انٹرایکشن پوٹینشل کے لیے، مذکورہ بالا وقت اوسط فارمولے کے ذریعہ دیا گیا براہ راست انٹیگرل مختلف ہے، یعنی، انحراف کو دور کرنے کے لیے ایک ری نارملائزیشن طریقہ کار متعارف کرایا گیا تھا اور درست فیز اسپیس انٹرایکشن طیارہ میں فیز اسپیس ڈسٹنس کا ایک فنکشن ہے۔ کولمب پوٹینشل کے لیے، نتیجہ اب بھی کولمب کے قانون کی شکل کو لوگرتھمک ری نارملائزڈ "چارج" تک برقرار رکھتا ہے، جہاں یولر کا نمبر ہے۔ کیونکہ، ری نارملائزڈ فیز اسپیس انٹرایکشن پوٹینشل وہ جگہ ہے جہاں تصادم کا عنصر ہے۔ کے خاص معاملے کے لیے، فیز اسپیس میں کوئی موثر تعامل نہیں ہے کیونکہ فیز اسپیس کے فاصلے کے حوالے سے مستقل ہے۔ عام طور پر اس صورت میں، فیز اسپیس انٹرایکشن فیز اسپیس کے فاصلے کے ساتھ بڑھتا ہے۔ ہارڈ سپیئر انٹرایکشن () کے لیے، فیز اسپیس انٹرایکشن کوانٹم کروموڈینامکس (کیو سی ڈی) میں کوارک کے درمیان کنفینمنٹ انٹرایکشن کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ مذکورہ بالا فیز اسپیس انٹرایکشن فیز اسپیس میں مجرد گردش یا ٹرانسلیشنل کارروائیوں کے تحت درحقیقت غیر متغیر ہے۔ ڈرائیونگ سے فیز اسپیس لیٹس پوٹینشل کے ساتھ مل کر، ایک مستحکم نظام موجود ہے جہاں ذرات وقتا فوقتا فیز اسپیس میں خود کو ترتیب دیتے ہیں جس سے کئی باڈی فیز اسپیس کرسٹل پیدا ہوتے ہیں۔ کوانٹم میکانکس میں، پوائنٹ پارٹیکل کو کوانٹم ویو پیکٹ سے تبدیل کیا جاتا ہے اور انحراف کے مسئلے سے قدرتی طور پر بچا جاتا ہے۔ فلوکیٹ نظام کے لیے سب سے نچلے درجے کے میگنس کی توسیع کے لیے، دو ذرات کا کوانٹم فیز اسپیس تعامل وقتا فوقتا دو جسم والی کوانٹم حالت پر وقت کی اوسط حقیقی خلائی تعامل ہے جو مندرجہ ذیل ہے۔ مربوط حالت کی نمائندگی میں، کوانٹم فیز اسپیس تعامل طویل فاصلے کی حد میں کلاسیکی فیز اسپیس تعامل تک پہنچتا ہے۔ بوسونک الٹراکولڈ ایٹموں کے لیے جو مخالف رابطے کے تعامل کے ساتھ آسلٹنگ آئینے پر اچھلتے ہیں، فیز اسپیس لیٹس میں موٹ انسولیٹر جیسی حالت بنانا ممکن ہے۔ اس صورت میں، ہر ممکنہ جگہ میں ذرات کی ایک اچھی طرح سے متعین تعداد ہوتی ہے جسے 1 ڈی ملٹی باڈی فیز اسپیس کرسٹل کی مثال کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اگر دو ناقابل شناخت ذرات میں گھماؤ ہوتے ہیں، تو کل فیز اسپیس انٹرایکشن کو براہ راست تعامل اور تبادلے کے تعامل کے مجموعے میں لکھا جا سکتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ دو ذرات کے تصادم کے دوران تبادلے کا اثر ایک موثر اسپن اسپن تعامل کو جنم دے سکتا ہے۔ فیز اسپیس کرسٹل کمپن ٹھوس کرسٹل کی تعریف حقیقی خلا میں ایٹموں کے وقتا فوقتا ترتیب سے کی جاتی ہے، وقتا فوقتا ڈرائیو کے تابع ایٹم بھی کرسٹل تشکیل دے سکتے ہیں۔ فیز اسپیس میں۔ ان ایٹموں کے درمیان تعاملات ٹھوس کرسٹل میں فونون کی طرح اجتماعی کمپن کے طریقوں کو جنم دیتے ہیں۔ ہنی کامب فیز اسپیس کرسٹل خاص طور پر دلچسپ ہے کیونکہ کمپن بینڈ کے ڈھانچے میں دو ذیلی جالی بینڈ ہوتے ہیں جن میں غیر معمولی ٹپوولوجیکل فزکس ہو سکتی ہے۔ کسی بھی دو ایٹموں کے کمپن اندرونی طور پر پیچیدہ جوڑوں کے ساتھ جوڑی کے تعامل کے ذریعے جڑے ہوتے ہیں۔ ان کے پیچیدہ مراحل کی ایک سادہ ہندسی تشریح ہوتی ہے اور اسے گیج کی تبدیلی سے ختم نہیں کیا جا سکتا، جس کی وجہ سے فیز اسپیس میں غیر معمولی چرن نمبروں اور چیرل ایج اسٹیٹس کے ساتھ ایک کمپن بینڈ ڈھانچہ بن جاتا ہے۔ حقیقی خلا میں تمام ٹپوولوجیکل نقل و حمل کے منظرناموں کے برعکس، فیز اسپیس فونون کے لیے چیرل ٹرانسپورٹ فزیکل ٹائم ریورسل سمیٹری کو توڑے بغیر پیدا ہو سکتی ہے۔ ٹائم کرسٹل سے تعلق ٹائم کرسٹل اور فیز اسپیس کرسٹل قریب سے متعلق ہیں لیکن مختلف تصورات ہیں۔ وہ دونوں ذیلی ہارمونک طریقوں کا مطالعہ کرتے ہیں جو وقتا فوقتا چلنے والے نظاموں میں ابھرتے ہیں۔ ٹائم کرسٹل مجرد ٹائم ٹرانسلیشنل سمیٹری (ڈی ٹی ٹی ایس) کے بے ساختہ سمیٹری توڑنے کے عمل اور کوانٹم ملٹی باڈی سسٹمز میں سب ہارمونک طریقوں کے حفاظتی طریقہ کار پر توجہ مرکوز کرتے ہیں۔ اس کے برعکس، فیز اسپیس کرسٹل کا مطالعہ فیز اسپیس میں مجرد ہم آہنگی پر مرکوز ہے۔ فیز اسپیس کرسٹل کی تعمیر کرنے والے بنیادی طریقے ضروری نہیں کہ ایک سے زیادہ جسم والی حالت ہوں، اور ڈی ٹی ٹی ایس کو توڑنے کی ضرورت نہیں ہے جیسا کہ سنگل پارٹیکل فیز اسپیس کرسٹل کے لیے ہے۔ بہت سے جسم کے نظاموں کے لیے، فیز اسپیس کرسٹل ممکنہ ذیلی ہارمونک طریقوں کے باہمی عمل کا مطالعہ کرتے ہیں جو فیز اسپیس میں وقتا فوقتا ترتیب دیے جاتے ہیں۔ ایک سے زیادہ وقت کے کرسٹل کے باہمی عمل کا مطالعہ کرنے کا رجحان ہے جسے وقت کے کرسٹل میں گاڑھا مادے کی طبیعیات کے طور پر تیار کیا گیا ہے۔ حوالہ جات طبیعیات میں تصورات ہیملٹنین میکانکس جہتی تجزیہ متحرک نظام کوانٹم میکانکس