Convex cap
کنویکس ٹوپی، جسے کنویکس فلوٹنگ باڈی یا صرف فلوٹنگ باڈی کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، ریاضی میں ایک اچھی طرح سے متعین ڈھانچہ ہے جو عام طور پر کنویکس شکلوں کے تخمینے کے لیے کنویکس تجزیہ میں استعمال ہوتا ہے۔ عام طور پر اسے نصف جگہ کے ساتھ کنویکس پولیٹوپ کے چوراہے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ تعریف ایک ٹوپی، کو کنویکس سیٹ کے ساتھ نصف جگہ کے چوراہے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ٹوپی کو کسی بھی جہتی جگہ میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ a دیا گیا ہے، اس کی تعریف اس ٹوپی کے طور پر کی جا سکتی ہے جو اصل کے مقابلے میں چوڑائی کے گنا زیادہ کے متوازی نصف جگہ پر مشتمل ہے۔ ٹوپی کی تعریف کو ایک نقطہ کی ٹوپی کی وضاحت کے لیے بھی بڑھایا جا سکتا ہے جہاں ٹوپی کو نصف جگہ پر مشتمل کنویکس سیٹ کے چوراہے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ کسی پوائنٹ کی کم سے کم ٹوپی ساتھ کی ٹوپی ہوتی ہے۔ فلوٹنگ باڈیز اور کیپس ہم مندرجہ ذیل عمل کا استعمال کرتے ہوئے کنویکس شکل کے فلوٹنگ باڈی کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ تیرتا ہوا جسم بھی کنویکس ہے۔ 2 جہتی کنویکس کمپیکٹ شکل کے معاملے میں، کچھ ایسی جگہ دی گئی ہے جہاں چھوٹی ہے۔ اس دو جہتی شکل کا تیرتا ہوا جسم اصل جسم سے رقبے کے تمام دو جہتی کیپس کو ہٹا کر دیا جاتا ہے۔ نتیجے میں بننے والی شکل ہماری کنویکس فلوٹنگ باڈی ہوگی۔ ہم اس تعریف کو n جہتوں میں ایک n جہتی کنویکس شکل سے شروع کر کے اور اسی جہت میں کیپس کو ہٹا کر عام کرتے ہیں۔ سطح کے رقبے سے تعلق جیسا کہ، تیرتا ہوا جسم زیادہ قریب سے قریب آتا ہے۔ یہ معلومات ہمیں افائن سطح کے رقبے کے بارے میں بتا سکتی ہے جس کی پیمائش اس صورت حال میں حد کس طرح برتاؤ کرتی ہے۔ اگر ہم کنویکس فلوٹنگ باڈی کو کسی شکل میں لیتے ہیں، تو ہم دیکھتے ہیں کہ فلوٹنگ باڈی کی حد سے کنویکس شکل کی حد تک کا فاصلہ کنویکس شکل کے منحنی پن سے متعلق ہے۔ خاص طور پر، زیادہ منحنی شکل والی کنویکس شکلیں دونوں حدود کے درمیان زیادہ فاصلہ رکھتی ہیں۔ اصل جسم اور تیرتے ہوئے جسم کے علاقوں میں فرق پر ایک نظر ڈالنا۔ منحنی خطوط اور فاصلے کے درمیان تعلق کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ بھی منحنی خطوط پر منحصر ہے۔ اس طرح۔ اس فارمولے میں، کی منحنیت ہے اور منحنی خطوط کی لمبائی ہے۔ ہم ہاؤس ڈورف پیمائش کا استعمال کرتے ہوئے n طول و عرض کے لیے فاصلہ، رقبہ اور حجم کو عام کر سکتے ہیں۔ یہ تعریف، پھر سب کے لیے کام کرتی ہے۔ نیز، کی طاقت کا تعلق اس کے الٹا سے ہے جہاں طول و عرض کی تعداد ہے۔ تو، ایک n-جہتی کنویکس شکل کے لیے افائن سطح کا رقبہ ہے جہاں-جہتی ہاؤز ڈورف پیمائش ہے۔ کنویکس باڈی کا گیلے حصہ کنویکس باڈی کے گیلے حصے کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ کوئی حقیقی عدد کہاں ہے جو گیلے حصے کے زیادہ سے زیادہ حجم کو بیان کرتا ہے اور۔ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ غیر انحطاطی لکیری تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے (جس کا میٹرکس الٹا ہے) اس کی کسی بھی خاصیت کو محفوظ رکھتا ہے۔ لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ اس قسم کی تبدیلیوں کے تحت مساوی ہے۔ اس اشارے کا استعمال کرتے ہوئے،۔ نوٹ کریں کہ یہ غیر انحطاطی لکیری تبدیلیوں کے تحت بھی مساوی ہے۔ تخمینہ کے لیے کیپس تصادفی طور پر، آزادانہ طور پر اور یکساں تقسیم کے مطابق فرض کریں اور انتخاب کریں۔ پھر، ایک بے ترتیب پولیٹوپ ہے۔ بدیہی طور پر، یہ واضح ہے کہ جیسے جیسے قریب آتا ہے۔ ہم اس بات کا تعین کر سکتے ہیں کہ تخمینہ کے مختلف اقدامات میں کتنی اچھی طرح سے تخمینہ لگایا جاتا ہے، لیکن ہم بنیادی طور پر حجم پر توجہ دیتے ہیں۔ لہذا، ہم وضاحت کرتے ہیں، جب متوقع قیمت سے مراد ہے۔ ہم کے گیلے حصے کے طور پر اور کے تیرتے ہوئے جسم کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔ مندرجہ ذیل نظریہ بیان کرتا ہے کہ گورننگ کا عمومی اصول اسی ترتیب کا ہے جس کے ساتھ گیلے حصے کے حجم کی شدت ہے۔ نظریہ کے لیے اور،۔ اس تھیوریم کا ثبوت ایم-ریجنز اور کیپ کورنگ کی تکنیک پر مبنی ہے۔ ہم کم سے کم ٹوپی استعمال کر سکتے ہیں جو ایک ٹوپی پر مشتمل اور اطمینان بخش ہوتی ہے۔ اگرچہ کم سے کم کیپ منفرد نہیں ہے، لیکن اس کا نظریہ کے ثبوت پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے۔ لیما آئی ایف اور، پھر ہر کم سے کم ٹوپی کے لیے۔ چونکہ، یہ لیما ایم-خطوں کی مساوات اور ایک کم سے کم ٹوپی کو قائم کرتا ہے: کنٹینٹس کی ایک بلوون اپ کاپی اور کنٹینٹس کی ایک بلوون اپ کاپی۔ اس طرح، تخمینوں میں مستقل عنصر سے زیادہ کھونے کے بغیر، ایم-ریجنز اور کم سے کم کیپس کو آزادانہ طور پر تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ ایک کیپ کورنگ کو کیپ کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جو مکمل طور پر کچھ حدود کا احاطہ کرتا ہے۔ ہر ٹوپی کے سائز کو کم سے کم کرکے، ہم ٹوپی کے سیٹ کے سائز کو کم سے کم کر سکتے ہیں اور ایک نیا سیٹ بنا سکتے ہیں۔ کم سے کم حجم والی ٹوپیوں کے اس سیٹ کو اکنامک کیپ کورنگ کہا جاتا ہے اور اسے واضح طور پر کچھ حدود کا احاطہ کرنے والے ٹوپیوں کے سیٹ کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جہاں ہر ایک کی کچھ کم سے کم چوڑائی ہوتی ہے اور اس ٹوپیاں کا کل حجم ′ ′ ہوتا ہے۔ حوالہ جات میٹرک جیومیٹری کنویکس تجزیہ کمپیوٹیشنل جیومیٹری