Thomas–Yau conjecture
ریاضی میں، اور خاص طور پر سمپلیکٹک جیومیٹری میں، تھامس-یو قیاس ایک استحکام کی حالت کے وجود کا مطالبہ کرتا ہے، جیسا کہ الجبرائی جیومیٹری میں ظاہر ہوتا ہے، جو ہیملٹنین آئسوٹوپی کلاس کے اندر خصوصی لگرینجین مساوات کے حل کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ خاص طور پر قیاس آرائی میں دو مشکلات شامل ہیں: پہلا یہ پوچھتا ہے کہ استحکام کی مناسب حالت کیا ہو سکتی ہے، اور دوسرا اگر کوئی آئسوٹوپی کلاس کا استحکام ثابت کر سکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں کوئی خاص لاگرانجین نمائندہ ہو۔ تھامس-یو قیاس آرائی 2001 میں رچرڈ تھامس اور شنگ-تنگ یاؤ نے پیش کی تھی، اور یہ الجبرائی جیومیٹری میں جیومیٹرک جزوی تفریق مساوات اور استحکام کے حالات کے حل کے وجود سے متعلق اسی طرح کے نظریات سے متاثر تھا، خاص طور پر کوبیاشی-ہچن خط و کتابت جو ڈھلوان مستحکم ویکٹر بنڈلوں سے متعلق ہے۔ ہرمیٹین یانگ-ملز میٹرکس۔ قیاس آرائی کا آئینے کی ہم آہنگی سے گہرا تعلق ہے، جو کہ سٹرنگ تھیوری اور ریاضیاتی طبیعیات میں ایک قیاس ہے جو اس آئینے کی پیش گوئی کرتا ہے کہ ایک سمپلیکٹک کئی گنا (جو کہ کالابی-یو کئی گنا ہے) ایک اور کالابی-یو کئی گنا ہونا چاہیے جس کے لیے سمپلیکٹک ڈھانچہ پیچیدہ ڈھانچے کے ساتھ بدل جاتا ہے۔ خاص طور پر آئینے کی ہم آہنگی میں پیش گوئی کی گئی ہے کہ خصوصی لگرینجینز، جو کہ بی پی ایس ڈی-برینز کا ٹائپ IIA سٹرنگ تھیوری ماڈل ہیں، کو ٹائپ IIB ماڈل میں انہی ڈھانچوں کے ساتھ تبدیل کیا جانا چاہیے، جو یا تو مستحکم ویکٹر بنڈلز یا ویکٹر بنڈلز کے ذریعے دیے جاتے ہیں جو ہرمیٹین یانگ-ملز کو تسلیم کرتے ہیں یا ممکنہ طور پر ہرمیٹین یانگ-ملز میٹرکس کو خراب کرتے ہیں۔ اس سے متاثر ہو کر، ڈومینک جوائس نے 2014 میں تھامس-یو قیاس آرائی کو دوبارہ بیان کیا، اور پیش گوئی کی کہ استحکام کی حالت کو کالابی-یو کئی گنا کے فوکایا زمرے پر بیان کردہ برج لینڈ استحکام کے حالات کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے سمجھا جا سکتا ہے، جو کہ کونٹسیویچ کے ہومولوجیکل آئینے کی ہم آہنگی کے قیاس آرائی میں ظاہر ہونے والا ایک مثلث زمرہ ہے۔ تھامس-یو قیاس آرائی کا بیان مکمل طور پر درست نہیں ہے، کیونکہ استحکام کی مخصوص حالت ابھی تک معلوم نہیں ہے۔ تھامس اور تھامس-یو کے کام میں، استحکام کی شرط لگرینجین کے ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاس کے اندر لگرینجین اوسط منحنی بہاؤ کے لحاظ سے دی گئی تھی، لیکن جوائس کی قیاس آرائی کی دوبارہ تشریح پیش گوئی کرتی ہے کہ اس استحکام کی حالت کو برج لینڈ استحکام کے حالات کے لحاظ سے ایک درجہ بند یا الجبرائی شکل دی جا سکتی ہے۔ خصوصی لگرینجین ذیلی نقاط پیچیدہ جہت کے کالابی-یو کئی گنا پر غور کریں، جو خاص طور پر جہت کا ایک حقیقی سمپلیکٹک کئی گنا ہے۔ پھر ایک لگرینجین سب مینفولڈ ایک حقیقی جہتی سب مینفولڈ ہے جیسے کہ سمپلیکٹک شکل یکساں طور پر صفر ہوتی ہے جب اس تک محدود ہوتی ہے، یعنی۔ ہولومورفک حجم کی شکل، جب ایک لاگرانجین ذیلی منی فولڈ تک محدود ہو جاتی ہے، تو یہ ایک اعلی درجے کی تفریق کی شکل بن جاتی ہے۔ اگر لاگرانجین پر مبنی ہے، تو پھر حجم کی ایک شکل موجود ہے اور کوئی اس حجم کی شکل کا موازنہ ہولومورفک حجم کی شکل کی پابندی سے کر سکتا ہے: کسی پیچیدہ قدر والے فنکشن کے لیے۔ وہ شرط جو کالابی-یو کئی گنا ہے اس کا مطلب ہے کہ فنکشن کا معیار 1 ہے، لہذا ہمارے پاس فنکشن کا فیز اینگل کہاں ہے۔ اصولی طور پر یہ فیز فنکشن صرف مقامی طور پر مسلسل ہے، اور اس کی قیمت بڑھ سکتی ہے۔ ایک درجہ بند لاگرانجین ایک لاگرانجین ہے جس میں فیز اینگل کو اوپر اٹھایا جاتا ہے، جو ہر جگہ پر مطمئن ہوتا ہے۔ اگر فیز اینگل فنکشن مستقل ہو تو ایک مبنی، درجہ بند لاگرانجین کو ایک خاص لاگرانجین سب مینفولڈ کہا جاتا ہے۔ اس فنکشن کی اوسط قیمت، جس کی نشاندہی کی گئی ہے، حجم کی شکل کا استعمال کرتے ہوئے شمار کی جا سکتی ہے اور اس کا انحصار صرف ہیملٹنین آئسوٹوپی کلاس پر ہوتا ہے۔ اس اوسط قدر کا استعمال کرتے ہوئے، جو حالت مستقل ہے اسے درج ذیل شکل میں لکھا جا سکتا ہے، جو عام طور پر ادب میں پایا جاتا ہے۔ یہ ایک خاص لاگرانجین ذیلی منی فولڈ کی تعریف ہے: ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاسیں ایک خاص لاگرانجین ہونے کی شرط تمام لاگرانجینوں کے لیے مطمئن نہیں ہے، لیکن سٹرنگ تھیوری میں لاگرانجین ذیلی منی فولڈ کی ہندسی اور خاص طور پر جسمانی خصوصیات کا انحصار صرف لاگرانجین ذیلی منی فولڈ کے ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاس پر ہے۔ ایک آئسوٹوپی ایک وسیع کئی گنا کے اندر ایک ذیلی منی فولڈ کی تبدیلی ہے جو سرایتوں کے ذریعہ ایک ہوموٹوپی ہے۔ سمپلیکٹک کئی گنا پر، سمپلیکٹک آاسوٹوپی کے لیے ضروری ہے کہ یہ سرایت سمپلیکٹومورفزم کے ذریعے ہوں، اور ہیملٹنین آاسوٹوپی ایک سمپلیکٹک آاسوٹوپی ہے جس کے لیے سمپلیکٹومورفزم ہیملٹنین افعال کے ذریعے پیدا ہوتے ہیں۔ ایک لگرینجین سب مینفولڈ کو دیکھتے ہوئے، لگرینجین ہونے کی حالت ہیملٹنین (درحقیقت سمپلیکٹک) آئسوٹوپیز کے تحت محفوظ ہے، اور تمام لگرینجین سب مینفولڈز کا مجموعہ جو ہیملٹنین آئسوٹوپک ہیں، کی نشاندہی کی جاتی ہے، جسے ہیملٹنین آئسوٹوپی کلاس کہا جاتا ہے۔ لگرینجین کا مطلب منحنی بہاؤ اور استحکام کی حالت ایک ریمینیئن کئی گنا اور ایک سب منی فولڈ کو دیکھتے ہوئے، اوسط منحنی بہاؤ ایک تفریقی مساوات ہے جو سرایت کے ایک پیرامیٹر کے خاندان کے لیے مطمئن ہے جس کی وضاحت کچھ وقفے میں تصاویر کے ساتھ کی گئی ہے، جہاں۔ یعنی، خاندان اوسط منحنی بہاؤ کو مطمئن کرتا ہے اگر سب منی فولڈ کی اوسط منحنیت کہاں ہے۔ یہ بہاؤ ریمینیئن مینیفولڈ کے ذیلی مینیفولڈ پر فعال حجم کا میلان بہاؤ ہے، اور کسی دیئے گئے ذیلی مینیفولڈ سے شروع ہونے والے حلوں کا قلیل وقت کا وجود ہمیشہ موجود رہتا ہے۔ کالابی-یو کئی گنا پر، اگر ایک لاگرانجین ہے، تو کالابی-یو میٹرک کے حوالے سے اوسط منحنی بہاؤ کا مطالعہ کرتے وقت لاگرانجین ہونے کی حالت کو محفوظ رکھا جاتا ہے۔ اس لیے اسے لاگرانجین اوسط منحنی بہاؤ (ایل ایم سی ایف) کہا جاتا ہے۔ مزید برآں، ایک درجہ بند لگرینجین کے لیے، ایل ایم سی ایف ہیملٹنین آئسوٹوپی کلاس کو محفوظ رکھتا ہے، لہذا ان سب کے لیے جہاں ایل ایم سی ایف کی وضاحت کی گئی ہے۔ تھامس نے ایک قیاس آرائی پر مبنی استحکام کی حالت متعارف کرائی جس کی وضاحت گریڈنگ کے لحاظ سے کی گئی جب وہ لگرینجین منسلک رقوم میں تقسیم ہوتا ہے۔ یعنی ایک درجہ بند لاگرانجین کو مستحکم کہا جاتا ہے اگر جب بھی اسے درجہ بند لاگرانجین منسلک مجموعہ کے طور پر لکھا جائے تو اوسط مراحل عدم مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ جوائس کی بعد کی زبان میں برج لینڈ استحکام کی حالت کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے، اس کی مزید وضاحت اس طرح کی گئی۔ ایک تقریبا کیلیبریٹڈ لاگرانجین (جس کا مطلب ہے کہ اٹھایا ہوا مرحلہ وقفہ یا اس وقفے کی کچھ انٹیجر شفٹ میں پڑا ہوا ہے) جو تقریبا کیلیبریٹڈ لاگرانجین کے درجہ بند منسلک مجموعہ کے طور پر تقسیم ہوتا ہے، فوکایا زمرے میں ایک ممتاز مثلث سے مطابقت رکھتا ہے۔ اگر اس طرح کے کسی ممتاز مثلث کے لیے، اوپر کے زاویے کی عدم مساوات برقرار رہے تو لاگرانجین مستحکم ہے۔ قیاس کا بیان جیسا کہ تھامس نے اصل میں تجویز کیا ہے: قیاس: ایک مبنی، درجہ بند، تقریبا کیلیبریٹڈ لگرینجین اپنے ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاس میں ایک خاص لگرینجین نمائندے کو تسلیم کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ مندرجہ بالا sense.Following میں مستحکم ہو، تو تھامس-یو کے کام میں، لگرینجین اوسط منحنی بہاؤ کا طرز عمل بھی predicted.Conjecture (تھامس-یو) تھا: اگر ایک مبنی، درجہ بند، تقریبا کیلیبریٹڈ لگرینجین مستحکم ہے، تو لگرینجین اوسط منحنی بہاؤ ہر وقت موجود رہتا ہے اور ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاس میں ایک خصوصی لگرینجین نمائندے میں ضم ہوجاتا ہے۔ یہ قیاس خاص طور پر جوائس نے محدود وقت کی یکسانیت کی تشکیل کی اقسام کو بیان کیا جن کی توقع لگرینجین اوسط منحنی بہاؤ میں ہونے کی ہے، اور انہوں نے واحد یا ڈوبے ہوئے لگرینجین ذیلی مینیفولڈز کو شامل کرنے کے لیے مطالعہ کیے گئے لگرینجین کی کلاس کو بڑھانے کی تجویز پیش کی، جو کالابی-یو کے مکمل فوکایا زمرے میں ظاہر ہونے چاہئیں۔ قیاس (تھامس-یو-جوائس): ایک مبنی، درجہ بند، تقریبا کیلیبریٹڈ لاگرانجین خصوصی لاگرانجین ذیلی مینیفولڈز کے درجہ بند لاگرانجین منسلک مجموعہ کے طور پر تقسیم ہوتا ہے جس میں مرحلے کے زاویوں کے ساتھ لاگرانجین کے اوسط منحنی بہاؤ کے کنورجنس کے ذریعے دیا جاتا ہے تاکہ محدود اوقات کی ترتیب میں انفرادیت کو دور کیا جا سکے۔ ان جراحی کے مقامات پر، لگرینجین اپنی ہیملٹنین آاسوٹوپی کلاس کو تبدیل کر سکتا ہے لیکن جوائس کی قیاس آرائی کی تشکیل کی زبان فوکایا category.In میں اپنی کلاس کو محفوظ رکھتا ہے، سڑنا ایک ویکٹر بنڈل کے ہارڈر-نرسمہن فلٹریشن کا ایک سمپلیکٹک ینالاگ ہے، اور برج لینڈ استحکام کی حالت کے حوالے سے فوکایا زمرے میں قیاس آرائی کی جوائس کی تشریح کا استعمال کرتے ہوئے، مرکزی چارج اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے، استحکام کی حالت کی وضاحت کرنے والے ٹی ڈھانچے کا دل فوکایا زمرے میں ان لگرینجینوں کے ذریعے مرحلے کے ساتھ دیا جاتا ہے، اور تھامس-یو-جوائس قیاس پیش گوئی کرتا ہے کہ لگرینجین کا مطلب ہے۔ حوالہ جات علامتی جیومیٹری قیاس