Mathematics of the Incas
انکاس (یا توانتنسویو) کی ریاضی عددی اور ہندسی علم اور آلات کا مجموعہ تھا جو ہسپانویوں کی آمد سے پہلے انکاس کی قوم میں تیار اور استعمال کیا گیا تھا۔ اس کی خصوصیت بنیادی طور پر اقتصادی میدان میں اس کی افادیت سے کی جا سکتی ہے۔ کوئپس اور یوپنا انکا ریاستی انتظامیہ میں ریاضی کی اہمیت کا ثبوت ہیں۔ یہ اعشاریہ عددی نظام پر مبنی اکاؤنٹنگ کے مقاصد کے لیے ایک سادہ لیکن موثر ریاضی میں مجسم تھا۔ ان میں بھی صفر کا تصور تھا، اور اس میں اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم میں مہارت حاصل تھی۔ انکاس کی ریاضی کا انتظام، شماریات اور پیمائش کے کاموں کے لیے ایک خاص طور پر قابل اطلاق کردار تھا جو کہ ایک کٹوتی کارپس کے طور پر ریاضی کے یوکلیڈین خاکہ سے بہت دور تھا، کیونکہ یہ ایک مرکزی انتظامیہ کی ضروریات کے لیے موزوں اور مفید تھا۔ دوسری طرف، سڑکوں، نہروں اور یادگاروں کی تعمیر کے ساتھ ساتھ شہروں اور قلعوں کی ترتیب کے لیے عملی جیومیٹری کی ترقی کی ضرورت تھی، جو تعمیراتی ڈیزائن کے علاوہ لمبائی اور سطحوں کی پیمائش کے لیے ناگزیر تھی۔ ایک ہی وقت میں، انہوں نے لمبائی اور حجم کے لیے اہم پیمائش کے نظام تیار کیے، جن میں انسانی جسم کے حصوں کو حوالہ کے طور پر لیا گیا۔ اس کے علاوہ، انہوں نے مناسب اشیاء یا اعمال کا استعمال کیا جس سے نتیجہ کو دوسرے طریقے سے تعریف کرنے کی اجازت ملی، لیکن متعلقہ اور موثر۔ انکا عددی نظام موجودہ عددی نظام بیس دس تھا۔ اس کی تصدیق کرنے والے اہم حوالوں میں سے ایک وہ تواریخ ہے جو منظم حکام کی درجہ بندی پیش کرتی ہے، جس میں اعشاریہ عددی نظام کو اس کے ریاضی میٹر: کوئپو کے ساتھ استعمال کیا جاتا ہے۔ کوپس کی تشریح کے ذریعے انکا نظام میں اعشاریہ نظام کے استعمال کی تصدیق کرنا بھی ممکن ہے، جو اس طرح سے منظم ہوتے ہیں کہ گانٹھ-ان کے مقام کے مطابق-نمائندگی کر سکتے ہیں: اکائیاں، دسیاں، سینکڑوں، وغیرہ۔ تاہم، اس نظام کے استعمال کی بنیادی تصدیق کیچوا میں اعداد کے فرق میں ظاہر کی گئی ہے، جس میں اعداد اعشاری شکل میں تیار کیے جاتے ہیں۔ اس کی تعریف مندرجہ ذیل جدول میں کی جا سکتی ہے: اکاؤنٹنگ سسٹم کوئپس کوئپس ایک یادگاری نظام تشکیل دیتا ہے جو ہر قسم کی مقداری یا معیاری معلومات کو ریکارڈ کرنے کے لیے استعمال ہونے والے گٹھری دار تاروں پر مبنی ہوتا ہے۔ اگر وہ ریاضیاتی کارروائیوں کے نتائج سے نمٹ رہے تھے، تو صرف وہی جو پہلے "انکا اباکس" یا یوپنا پر انجام دیے گئے تھے منسوخ کر دیے گئے تھے۔ اگرچہ اس کے افعال میں سے ایک کا تعلق ریاضی سے ہے-کیونکہ یہ حساب کتاب کرنے کے قابل ایک آلہ تھا-اس کا استعمال مردم شماری، مصنوعات کی رقم اور ریاستی گوداموں میں رکھی گئی خوراک سے متعلق معلومات کو ذخیرہ کرنے کے لیے بھی کیا جاتا تھا۔ کوئپس کا ذکر ان آلات کے طور پر بھی کیا جاتا ہے جو انکا اپنی روایات اور تاریخ کو تحریری طور پر ریکارڈ کرنے کے لیے استعمال کرتے تھے۔ کئی مورخین تاریخی خبروں کو ذخیرہ کرنے کے لیے کوئپس کے استعمال کا بھی ذکر کرتے ہیں۔ تاہم ابھی تک یہ معلوم نہیں ہوسکا ہے کہ یہ نظام کیسے کام کرتا ہے۔ تاہوانتنسویو میں، یہ خصوصی اہلکار تھے جو تاروں کو سنبھالتے تھے۔ انہیں کوئپوکامایوک کے نام سے جانا جاتا تھا اور وہ پورے خطے یا سویو کے تاروں کے انچارج ہو سکتے تھے۔ اگرچہ یہ روایت ختم ہو رہی ہے، کچھ مقامی دیہاتوں میں کوئپس کو یادگاری آلات کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے جہاں وہ فصلوں اور برادریوں کے جانوروں کی پیداوار کو ریکارڈ کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ جیسوئٹ مورخ برنابے کوبو کے مطابق، انکاز نے اکاؤنٹنگ سے متعلق کاموں کو بعض ماہرین کے لیے نامزد کیا۔ ان ماہرین کو کوئپو کیمایوس کہا جاتا تھا، جن پر انکازوں نے اپنا پورا بھروسہ رکھا۔ کوئپو نمونے وی اے 42527 (میوزیم فر والکرکنڈے، برلن) کے اپنے مطالعے میں، سیئز روڈریگز نے نوٹ کیا کہ، چکروں کی اکاؤنٹنگ کتابوں کو بند کرنے کے لیے، زرعی کیلنڈر میں ان کی قیمت کے مطابق کچھ نمبروں کا آرڈر دیا گیا تھا، جس کے لیے خپوکمایک-اناج خانہ کے ساتھ تفویض کردہ اکاؤنٹنٹ-براہ راست انچارج تھا۔ عددی معلومات کے معاملے میں، ریاضیاتی کارروائیاں پہلے اباکس یا یوپنوں پر کی جاتی تھیں۔ یہ کھدی ہوئی پتھر یا مٹی سے بنائے جا سکتے تھے، ان میں ڈبے یا ڈبے ہوتے تھے جو اعشاریہ اکائیوں سے مطابقت رکھتے تھے، اور انہیں چھوٹے پتھروں یا مکئی یا کوئنوا کے دانوں کی مدد سے شمار یا نشان زد کیا جاتا تھا۔ اکائیاں، دسیاں، سینکڑوں، وغیرہ۔ اس کے مطابق اشارہ کیا جا سکتا ہے کہ آیا وہ ہر آپریشن میں مضمر تھے۔ یوپنوں کے بارے میں حالیہ تحقیق سے پتہ چلتا ہے کہ انہوں نے ممکنہ طور پر غیر اعشاریہ نظام کی بنیاد پر کافی تعداد کا حساب لگانے کی اجازت دی، لیکن تعداد 40 کے سلسلے میں۔ اگر سچ ہے تو، یوپنا میں حاصل کردہ ہندسی ترقی اور موجودہ پروسیسنگ سسٹم کے درمیان اتفاق کو نوٹ کرنا متجسس ہے ؛ دوسری طرف، یہ بھی متضاد ہے کہ انہوں نے اپنے اکاؤنٹنگ سسٹم کو نمبر 40 پر مبنی کیا۔ اگر تحقیقات جاری رہیں اور اس حقیقت کی تصدیق ہو جائے تو اس کے استعمال کا اعشاریہ نظام سے موازنہ کرنا ضروری ہوگا، جو تاریخی روایت اور پچھلی تحقیقات کے مطابق انکاؤں نے استعمال کیا تھا۔ اکتوبر 2010 میں، پیرو کے محقق آندرے چیرنوس نے ہسپانوی ایجنسی برائے بین الاقوامی ترقیاتی تعاون (ہسپانوی میں، ایجینشیا ایسپانولا ڈی کوآپریشین انٹرنیشنل پیرا ایل ڈیسرولو، اے ای سی آئی ڈی) کے تعاون سے، مقامی مورخ گومان پوما ڈی ایالا کی ڈرائنگ اور قدیم وضاحتوں کا جائزہ لیا اور آخر میں یوپانا کے پہیلی کو سمجھ لیا-جسے وہ "پری-ہسپانوی کیلکولیٹر" کہتے ہیں-جو کہ شامل کرنے، گھٹانے، ضرب دینے اور تقسیم کرنے کے قابل ہے۔ اس سے وہ بالآخر یہ دریافت کرنے کے لیے پر امید ہو گیا کہ کوئپس بھی کیسے کام کرتا ہے۔ پیمائش کی اکائیاں قبل از ہسپانوی زمانے میں طول و عرض کے لیے پیمائش کی مختلف اکائیاں تھیں جیسے لمبائی اور حجم۔ اینڈین لوگ، دنیا کے بہت سے دوسرے مقامات کی طرح، پیمائش کی اپنی اکائیاں قائم کرنے کے لیے انسانی جسم کے حصوں کو ایک حوالہ کے طور پر لیتے تھے۔ اینڈین دنیا بھر میں لازمی اور یکساں استعمال کی اکائیوں کا ایک بھی نظام نہیں تھا۔ بہت سے دستاویزات اور تواریخ نے مقامی اصل کے مختلف نظاموں کو درج کیا ہے جو 16 ویں صدی تک استعمال میں رہے۔ لمبائی کی پیمائش کی اکائیوں میں، ریکرا (فاتھم) تھا، جو انسان کے انگوٹھوں کے درمیان ماپا جانے والا فاصلہ ہے جس کے بازو افقی طور پر بڑھے ہوئے ہیں۔ کوکوچو ٹوپو (کوکش ٹوپو) ہسپانوی کوڈو (کیوبٹ) کے برابر تھا اور یہ کہنی سے ہاتھ کی انگلیوں کے آخر تک کا فاصلہ تھا۔ کیپا (اسپان) بھی تھا، اور سب سے چھوٹا یوکو یا جیمی تھا، جو کہ انگلی اور انگوٹھے کے درمیان کی لمبائی تھی، جو ایک کو دوسرے سے زیادہ سے زیادہ الگ کرتی تھی۔ دو دیہاتوں کے درمیان فاصلے کا اندازہ ایک کام کو ایک گاؤں سے دوسرے گاؤں لے جانے کے لیے درکار چاسکی کی تعداد سے کیا جاتا۔ انہوں نے بھیڑ خانہ کے دائرے اور چکرا پارٹیشن کی تعداد کے درمیان براہ راست متناسبیت کا استعمال کیا ہوگا۔ سطح ٹوپو سطح کے رقبے کی پیمائش کی اکائی تھی۔ عام طور پر اس کی تعریف بغیر اولاد کے شادی شدہ جوڑے کی دیکھ بھال کے لیے درکار زمین کے پلاٹ کے طور پر کی گئی تھی۔ ہر ہاتون رانا یا "عام آدمی" کو شادی کے بعد زمین کا ایک پلاٹ ملتا تھا اور اس کی پیداوار کو میاں بیوی کی خوراک اور تجارت کی بنیادی ضروریات کو پورا کرنا ہوتا تھا۔ یہ کسی درست پیمائش سے مطابقت نہیں رکھتا تھا، کیونکہ اس کے طول و عرض ہر زمین کے حالات اور ایک نسلی گروہ سے دوسرے میں مختلف ہوتے تھے۔ مٹی کے معیار کو مدنظر رکھا گیا اور اس کے مطابق ضروری آرام کے وقت کا حساب لگایا گیا، جس پر ایک مخصوص تعداد میں زرعی مہمات کے بعد غور کرنا پڑا۔ اس وقت کے بعد، یہ جوڑا اپنے کریکا سے ایک نئے ٹوپو کا دعوی کر سکتا تھا۔ صلاحیت کی پیمائش کی اکائیوں میں پوکچا ہے، جو نصف فنیگا یا 27.7 لیٹر کے برابر تھا۔ کچھ فصلیں جیسے مکئی کو کنٹینروں میں ناپا جاتا تھا ؛ مائع کو مختلف قسم کے گھڑے اور جار میں ناپا جاتا تھا۔ مختلف قسم کے کینٹاروس اور تیناجوں کے خانے تھے، اور تنکے یا سرنی کے خانے جن میں اشیاء رکھی جاتی تھیں۔ ان خانوں کو گوداموں میں نازک یا شاندار مصنوعات، جیسے خشک میوہ جات کو ذخیرہ کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جاتا تھا۔ کوکا کے پتوں کو رنکو یا بڑی ٹوکریوں میں ناپا جاتا تھا۔ دیگر ٹوکریاں یسنگا کے نام سے جانی جاتی تھیں۔ صلاحیت کی ان پیمائشوں میں پوکٹائے یا پورش (الموزادا) ہے، جو اناج یا آٹے کے اس حصے کے برابر ہے جسے ہاتھوں کے ساتھ مل کر بنے کنکاویٹی میں رکھا جا سکتا ہے۔ اینڈیز کے قدیم باشندے طشتریوں اور جالوں کے ترازو کے ساتھ ساتھ ہوائپ کو بھی جانتے تھے، جو اسٹیلارڈ سے ملتا جلتا آلہ ہے۔ بظاہر، اس کی موجودگی زیورات اور دھات کاری کے کاموں سے وابستہ ہے، وہ تجارت جس میں مرکب دھاتوں کے صحیح تناسب کو استعمال کرنے کے لیے صحیح وزن جاننا ضروری ہے۔ حجم خاص طور پر ان کے کولکاس (ٹروجا) اور ان کے تمبو (ریاستی گودام، جو قفق نان کے اہم مقامات پر واقع ہیں) کا حجم۔ انہوں نے رنکو (رونگوس: گانٹھ)، پورٹیبل کنٹینر یا اشانکا (ٹوکریاں) یا چکرا کی گنجائش کا استعمال کیا۔ انہوں نے بنیاد کو تبدیل کیے بغیر اپنی اونچائیوں کے حوالے سے پریزم کے حجم کی متناسبیت کو سنبھالا ہوگا۔ وقت کی پیمائش کے لیے، انہوں نے دن (کام کا دن) استعمال کیا، جس میں ایک صبح، یہاں تک کہ ایک دوپہر بھی شامل ہو سکتی تھی۔ بالواسطہ طور پر، دو شہروں کے درمیان فاصلے کو سمجھنے کے لیے بھی وقت مفید تھا ؛ مثال کے طور پر، کاجامارکا سے کوسکو تک 20 دن وقت کی پیمائش تھی۔ مہینوں، سالوں اور چاند کے مراحل-بوائی، اپورک اور کٹائی اور نیویگیشن کے کاموں کے لیے بہت زیادہ مشورہ کیا جاتا تھا-کو بھی دنوں میں ماپا جاتا تھا۔ انکا سلطنت کی تاریخ انکاس کی تاریخ پیرو ریاضی کے نوٹ حوالہ جات انکا سلطنت انکا ریاضی انکا ثقافت قبل کولمبیا کی ثقافت پیرو عددی نظام کی تاریخ