Netto's theorem
ریاضیاتی تجزیے میں، نیٹو کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ ہموار کئی گنا کے مسلسل بائیجیکشن طول و عرض کو محفوظ رکھتے ہیں۔ یعنی، مختلف جہتوں کے دو ہموار کئی گنا کے درمیان مسلسل بائیجیکشن موجود نہیں ہے۔ اس کا نام یوجین نیٹو کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اعلی جہتی کئی گنا سے ایک جہتی کئی گنا تک کے نقشوں کا معاملہ 1878 میں جیکب لورتھ نے انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ ٹپوولوجیکل دائرے پر مشتمل کسی بھی کئی گنا کو حقیقی لکیر سے مسلسل اور دو طرفہ طور پر نقشہ نہیں بنایا جا سکتا ہے۔ 1878 میں نیٹو اور 1879 میں جارج کینٹر دونوں نے عمومی نظریہ کے ناقص ثبوت دیے۔ غلطیوں کو بعد میں پہچانا گیا اور درست کیا گیا۔ اس تھیوریم کا ایک اہم خاص معاملہ یک جہتی خالی جگہوں، جیسے کہ حقیقی لکیر یا یونٹ وقفہ، سے دو جہتی خالی جگہوں، جیسے کہ یوکلڈین طیارہ یا یونٹ مربع تک مسلسل بائیجیکشن کے عدم وجود سے متعلق ہے۔ نظریہ کی شرائط کو ایک جہتی خالی جگہوں سے دو جہتی خالی جگہوں تک افعال کی دلچسپ کلاسیں حاصل کرنے کے لیے مختلف طریقوں سے نرم کیا جا سکتا ہے: خلائی بھرنے والے منحنی خطوط ایک جہتی خالی جگہوں سے دو جہتی خالی جگہوں تک سرجیکٹو مسلسل افعال ہیں۔ وہ ایک لکیر یا اکائی وقفہ کی تصویر کے ذریعے سطح کے ہر نقطہ، یا اکائی مربع کا احاطہ کرتے ہیں۔ مثالوں میں پیانو وکر اور ہلبرٹ وکر شامل ہیں۔ ان میں سے کسی بھی مثال میں کوئی سیلف کراسنگ نہیں ہے، لیکن نیٹو کے نظریہ کے مطابق مربع کے بہت سے نکات ہیں جو ان منحنی خطوط سے متعدد بار ڈھکے ہوئے ہیں۔ اوسگوڈ منحنی خطوط ایک جہتی خالی جگہوں سے لے کر ہوائی جہاز کے ذیلی سیٹوں تک مسلسل بائیجیکشن ہوتے ہیں جن کا رقبہ غیر صفر ہوتا ہے۔ وہ ہوائی جہاز میں اردن کے منحنی خطوط بناتے ہیں۔ تاہم، نیٹو کے نظریہ کے مطابق، وہ پورے طیارہ، اکائی مربع، یا کسی دوسرے دو جہتی خطے کا احاطہ نہیں کر سکتے۔ اگر کوئی تسلسل کی ضرورت کو کم کرتا ہے، تو باؤنڈڈ طول و عرض کے تمام ہموار کئی گنا برابر کارڈینالیٹی، تسلسل کی کارڈینالیٹی ہے۔ لہذا، ان میں سے کسی بھی دو کے درمیان متضاد بائیجیکشن موجود ہیں، جیسا کہ جارج کینٹر نے 1878 میں دکھایا تھا۔ کینٹر کا نتیجہ بہت سے ریاضی دانوں کے لیے حیرت کا باعث بنا اور اس نے تحقیق کے سلسلے کو ختم کر دیا جس کی وجہ سے خلا کو بھرنے والے منحنی خطوط، اوسگوڈ منحنی خطوط، اور نیٹو کا نظریہ سامنے آیا۔ اکائی مربع سے اکائی وقفے تک قریب قریب انحراف مربع میں نقاط کے کارٹیشین نقاط کی اعشاری نمائندگی کے ہندسوں کو آپس میں جوڑ کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اعشاریہ کی ابہام، جس کی مثال 1 = 0.999 کی دو اعشاریہ نمائندگی سے ملتی ہے، اس کی وجہ سے یہ بائیجیکشن کے بجائے انجکشن ہے، لیکن اس مسئلے کی مرمت شروڈر-برنسٹین تھیوریم کا استعمال کرکے کی جا سکتی ہے۔ حوالہ جات طول و عرض کا نظریہ ٹوپولوجی میں نظریات