Kinematics of the cuboctahedron
کیوبکٹی ہیڈرون کا کنکال، اس کے کناروں کو اس کے چوٹیوں پر لچکدار جوڑوں پر جڑی ہوئی سخت بیموں کے طور پر دیکھتا ہے لیکن اس کے چہروں کو چھوڑ دیتا ہے، اس میں ساختی سختی نہیں ہوتی ہے اور اس کے نتیجے میں اس کے چوٹیوں کو کناروں اور چہرے کے منحنی خطوط پر جوڑ کر (ڈائیڈرل زاویہ کو تبدیل کرکے) تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ کیوبکٹی ہیڈرون کی حرکیات اس لحاظ سے قابل ذکر ہے کہ اس کے عمودی حصوں کو باقاعدہ آئکوساہیڈرون، جیسن کے آئیکوساہیڈرون، اور باقاعدہ آکٹاہیڈرون کے عمودی مقامات پر تبدیل کیا جا سکتا ہے، جو کہ آئکوساہیڈرون کی پائریٹوہیڈرل سمیٹری کے مطابق ہے۔ سخت اور متحرک کیوبکٹیڈرا جب سخت چپٹے چہروں کے فریم ورک کے طور پر تشریح کی جاتی ہے، جو کناروں کے ساتھ قبضے سے جڑے ہوتے ہیں، تو کیوبکٹیڈرا ایک سخت ڈھانچہ ہوتا ہے، جیسا کہ کاچی کے نظریہ کے مطابق تمام کنویکس پولی ہیڈرا ہوتے ہیں۔ تاہم، جب چہروں کو ہٹا دیا جاتا ہے، اور چوٹیوں پر لچکدار جوڑوں سے جڑے صرف سخت کناروں کو چھوڑ دیا جاتا ہے، تو نتیجہ ایک سخت نظام نہیں ہوتا ہے (پولی ہیڈرا کے برعکس جس کے چہرے تمام مثلث ہوتے ہیں، جس پر غائب چہروں کے باوجود کاچی کا نظریہ لاگو ہوتا ہے)۔ ایک مرکزی ورٹیکس کا اضافہ، جو دیگر تمام عمودی حصوں سے سخت کناروں سے جڑا ہوا ہے، کیوبکٹی ہیڈرون کو مربع اہرام اور ٹیٹراہیڈرا میں تقسیم کرتا ہے، جو مرکزی ورٹیکس پر ملتا ہے۔ خود کیوبکٹی ہیڈرون کے برعکس، کناروں اور جوڑوں کا نتیجہ خیز نظام سخت ہوتا ہے، اور لامحدود آکٹٹ ٹرس ڈھانچے کا حصہ بنتا ہے۔ سائیکلکل کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلیاں کیوبکٹی ہیڈرون کو چار پولی ہیڈر کے ذریعے سائیکلکل طور پر تبدیل کیا جا سکتا ہے، جو سائیکل کو لامتناہی طور پر دہراتا ہے۔ ٹپوولوجیکل طور پر تبدیلی موبیئس لوپ کے بعد ہوتی ہے: یہ آکٹاہیڈرون کا ایک قابل سمت ڈبل کور ہے۔ ان کے مقامی تعلقات میں کیوبوکٹاہیڈرون، آئکوساہیڈرون، جیسن کا آئکوساہیڈرون، اور آکٹاہیڈرون گھونسلے جیسے روسی گڑیا اور ہیلیکل سنکچن سے متعلق ہیں۔ سنکچن کا آغاز کیوبکٹی ہیڈرون کے مربع چہروں سے ہوتا ہے جو مثلث کے جوڑے بنانے کے لیے اپنے ترازو کے ساتھ اندر کی طرف موڑتے ہیں۔ کیوبکٹی ہیڈرون سرپل کے 12 عمودی حصے اندر کی طرف (مرکز کی طرف) ہوتے ہیں اور اس وقت تک قریب ہوتے ہیں جب تک کہ وہ ان نکات تک نہ پہنچ جائیں جہاں وہ ایک باقاعدہ آئکوساہیڈرون بناتے ہیں۔ وہ اس وقت تک ایک دوسرے کے قدرے قریب ہوتے ہیں جب تک کہ وہ جیسن کا آئکوساہیڈرون نہ بن جائیں۔ اور وہ ایک دوسرے کی طرف سرپل کرتے رہتے ہیں یہاں تک کہ وہ جوڑوں میں آکٹہ ہیڈرون کے 6 عمودی حصوں کے طور پر موافق ہو جاتے ہیں۔ عام کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلی کو دو حد کے معاملات کے ساتھ خصوصی کیس کی تبدیلیوں کے تسلسل کے ساتھ پیرامیٹرائز کیا جا سکتا ہے: ایک جس میں کیوبکٹی ہیڈرون کے کنارے سخت ہوتے ہیں، اور ایک جس میں وہ لچکدار ہوتے ہیں۔ سخت کنارے والی تبدیلی سخت کنارے والی کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلی سمیٹریکل طور پر کیوبکٹی ہیڈرون کو ایک باقاعدہ آئکوساہیڈرون، ایک جیسن کے آئکوساہیڈرون، اور ایک باقاعدہ آکٹاہیڈرون میں تبدیل کر دیتی ہے، اس معنی میں کہ پولی ہیڈرون کے عمودی حصے ان پولی ہیڈرے کی عمودی پوزیشنوں کو یکے بعد دیگرے لیتے ہیں۔ کیوبکٹی ہیڈرون دراصل وہ دوسرے پولی ہیڈرون نہیں بنتے، اور وہ ایک دوسرے میں تبدیل نہیں ہو سکتے (اگر ان کے کنارے سخت ہوں)، کیونکہ کیوبکٹی ہیڈرون کے برعکس ان میں صرف سہ رخی چہرے ہونے کے نتیجے میں ساختی سختی ہوتی ہے۔ سخت کناروں والا کیوبکٹی ہیڈرون دراصل (اور اس کے ذریعے) جس چیز میں تبدیل ہو سکتا ہے وہ ایک باقاعدہ آئکوسی ہیڈرون ہے جس سے 6 کنارے غائب ہیں (ایک سیوڈوکوسی ہیڈرون)، ایک جیسن کا آئکوسی ہیڈرون جس میں 6 اضطراری کنارے غائب ہیں یا لچکدار ہیں، اور آکٹھیڈرون کا ایک ڈبل کور جس میں دو اتفاقیہ سخت کنارے ہوتے ہیں جو ہر جوڑے کے عمودی حصوں کو جوڑتے ہیں (کیوبکٹی ہیڈرون عمودی حصوں کے جوڑے بنا کر تشکیل پاتے ہیں)۔ لچکدار کنارے کی تبدیلی ایک ٹینسی گریٹی پولی ہیڈرون ہے جو قریب سے متعلق لچکدار کنارے کیوبکٹی ہیڈرون کی تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے اور نافذ کرتا ہے۔ ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون میں ایک متحرک ساختی سختی ہوتی ہے جسے انفینیٹیسیمل موبلٹی کہا جاتا ہے اور اسے صرف اس سپیکٹرم کے ساتھ ساتھ کیوبوکٹاہیڈرون سے آکٹاہیڈرون تک سمیٹریکل پولی ہیڈرا میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ اسے ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون کہا جاتا ہے کیونکہ اس کی درمیانی مستحکم شکل جیسن کا آئکوساہیڈرون ہے۔ اگرچہ اس تبدیلی کو اوپر کیوبکٹی ہیڈرون کے سکڑنے کے طور پر بیان کیا گیا ہے، تناؤ کا مستحکم توازن نقطہ جیسن کا آئکوساہیڈرون ہے۔ تناؤ کا آئکوساہیڈرون اس شکل سے خراب ہونے کا مقابلہ کرتا ہے اور اسے صرف اس حد تک توسیع یا سکڑنے پر مجبور کیا جا سکتا ہے کہ اس کے کنارے لچکدار ہوں (تناؤ کے تحت لمبا ہونے کے قابل)۔ پولی ہیڈرون کو اس کی مستحکم آرام کی شکل (دونوں سمتوں میں) سے دور کرنے میں اس کے 24 چھوٹے کناروں کو قدرے اور یکساں طور پر کھینچنا شامل ہے۔ متوازی لمبے کناروں کے کسی بھی جوڑے پر لگائی جانے والی طاقت، انہیں ایک دوسرے کے قریب یا مزید دور منتقل کرنے کے لیے، تمام چھوٹے کناروں کو یکساں طور پر پھیلانے کے لیے خود بخود منتقل ہو جاتی ہے، پولی ہیڈرون کو اس کے درمیانے سائز کے جیسن کے آئکوساہیڈرون سے چھوٹے آکٹاہیڈرون کی طرف سکڑتی ہے، یا اسے بالترتیب بڑے باقاعدہ آئیکوساہیڈرون اور اس سے بھی بڑے کیوبوکٹاہیڈرون کی طرف بڑھاتی ہے۔ قوت کو چھوڑنے سے پولی ہیڈرون اپنے جیسن کے آئکوساہیڈرون آرام کی شکل میں واپس آ جاتا ہے۔ لچکدار کنارے کی تبدیلی میں کیوبکٹی ہیڈرون کے کنارے سخت نہیں ہوتے ہیں (حالانکہ جیسن کے آئکوساہیڈرون کے 6 لمبے کنارے ہیں)۔ کیوبکٹی ہیڈرون اصل میں جس چیز میں تبدیل ہوتا ہے وہ چھوٹا رداس اور چھوٹے کنارے کی لمبائی کا ایک باقاعدہ آئکوساہیڈرون ہے، ایک جیسن کا آئکوساہیڈرون جو اب بھی چھوٹا رداس اور (کم سے کم) کنارے کی لمبائی کا ہے، اور آخر میں اب بھی چھوٹے رداس کا ایک آکٹا ہیڈرون ہے لیکن کیوبکٹی ہیڈرون کی طرح ہی (زیادہ سے زیادہ) کنارے کی لمبائی (لیکن کناروں کے مختصر ہونے اور پھر سے لمبا ہونے کے بعد، اور اتفاق سے جوڑوں میں اکٹھا ہونے کے بعد)۔ سخت کنارے اور لچکدار کنارے کی تبدیلیوں کی دوہری حیثیت سخت کنارے اور لچکدار کنارے والی کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلیاں صرف باہمی پیرامیٹرز رکھنے میں مختلف ہوتی ہیں: لچکدار کنارے کی تبدیلی میں جیسن کے آئکوساہیڈرون کے چھوٹے کنارے پھیلے ہوتے ہیں اور اس کے لمبے کنارے سخت ہوتے ہیں، اور سخت کنارے کی تبدیلی میں اس کے لمبے کنارے سکڑ جاتے ہیں اور اس کے چھوٹے کنارے سخت ہوتے ہیں۔ میٹرکس کے علاوہ اوپر بیان کردہ ہر چیز کا اطلاق تمام کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلیوں پر ہوتا ہے۔ خاص طور پر، عمودی حصے ہمیشہ مرکز کی طرف ہیلیکس میں حرکت کرتے ہیں کیونکہ کیوبکٹی ہیڈرون آکٹاہیڈرون میں تبدیل ہو جاتا ہے، اور جیسن کا آئکوساہیڈرون (90 ڈگری ڈائی ہیڈرل زاویوں کے ساتھ) ہمیشہ میڈین پوائنٹ ہوتا ہے، جو اس حد تک مستحکم ہوتا ہے کہ کھینچنے یا کمپریسنگ کے خلاف مزاحمت ہوتی ہے۔ لچکدار کنارے والے کیوبکٹی ہیڈرون کی تبدیلی کو عام طور پر ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون کی ریاضی کے طور پر دیا جاتا ہے کیونکہ یہ ماڈلنگ کے قریب آتا ہے کہ زیادہ تر حقیقی ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون ڈھانچے کس طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ تاہم، کوئی بھی یقینی طور پر ایک ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون بنا سکتا ہے جس میں چھوٹے کنارے (کیبلز) بالکل غیر لچکدار تھے، اور لمبے کنارے (اسٹرٹس) کمپریس ایبل اسپرنگس تھے۔ اس طرح کا تناؤ سخت کنارے والے کیوبکٹی ہیڈرون کی تبدیلی انجام دے گا۔ آخر میں، دونوں تبدیلیاں خالص تجریدی ہیں، کیوبکٹی ہیڈرون تبدیلیوں کے ایک لامحدود خاندان کے دو محدود معاملات جن میں دو لچک کے پیرامیٹرز ہوتے ہیں اور اس کی ضرورت نہیں ہے کہ ان میں سے ایک 0 ہو۔ نہ ہی لمٹ کیس زیادہ تر حقیقی تناؤ کے ڈھانچوں پر مکمل طور پر لاگو ہونے کے لیے موزوں ہے، جن میں عام طور پر کیبلز اور اسٹرٹس دونوں میں کچھ لچک ہوتی ہے، جس سے ان کے اصل رویے کے میٹرکس ملتے ہیں جن کا حساب لگانا غیر معمولی ہے۔ انجینئرنگ کے عمل میں، ایک اہم حد تک حرکت کی اجازت دینے کے لیے صرف تھوڑی مقدار میں لچک کی ضرورت ہوتی ہے، اس لیے زیادہ تر تناؤ کے ڈھانچے تقریبا غیر لچکدار اسٹرٹس اور کیبلز کا استعمال کرتے ہوئے "ڈرم تنگ" ہونے کے لیے بنائے جاتے ہیں۔ ایک ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون تبدیلی باہمی چھوٹے لچک کے پیرامیٹرز کے ساتھ ایک کینیمیٹک کیوبکٹیڈرون تبدیلی ہے۔ جٹر بگ تبدیلیاں ان پولی ہیڈرا کے درمیان موڑنے والی، وسیع و عریض تبدیلیوں کو بکمنسٹر فلر نے جٹر بگ تبدیلیاں کا نام دیا تھا۔ فلر نے کوئی ریاضی نہیں دی۔ اس سے پہلے کے بہت سے عظیم جیومیٹرز کی طرح (مثال کے طور پر ایلیشیا بول اسٹٹ) اس کے پاس دینے کے لیے کوئی ریاضی نہیں تھی۔ لیکن وہ سب سے پہلے تھے جنہوں نے کیوبکٹی ہیڈرون کی ریڈیل ایکویلیٹرل سمیٹری کی اہمیت پر زور دیا جسے انہوں نے ساختی طور پر (اور پیٹنٹ شدہ) آکٹٹ ٹرس کے طور پر لاگو کیا، یہ محسوس کرتے ہوئے کہ یہ نہ صرف ساختی سالمیت میں بلکہ پولی ٹاپس کے درمیان جہتی تعلقات میں بھی بنیادی کردار ادا کرتا ہے۔ انہوں نے کیوبکٹی ہیڈرون کی حرکی تبدیلی کو دریافت کیا، ٹینسی گریٹی آئکوساہیڈرون کے ساتھ اس کے تعلقات کو سمجھا، اور یہاں تک کہ سامعین کے سامنے سخت کنارے والے کیوبکٹی ہیڈرون کی تبدیلی کا مظاہرہ کیا (کمپیوٹر سے پیش کردہ حرکت پذیری سے پہلے کے دنوں میں)۔ "ویکٹر توازن" کی تفسیر کے ساتھ ان کا مظاہرہ، جیسا کہ انہوں نے کیوبکٹی ہیڈرون کہا، اب بھی اس مضمون میں موجود حرکت پذیری سے کہیں زیادہ روشن ہے۔ نوٹ حوالہ جات کتابچہ ؛ خود ویڈیو دیکھیں "دی بورومین رنگز: آئی ایم یو کے لیے ایک نیا لوگو"، بین الاقوامی ریاضیاتی یونین بیرونی روابط آرکیمیڈین ٹھوس قوسیریگولر پولی ہیڈرا تناؤ فن تعمیر