The Geometry of the Octonions
آکٹونیوں کی جیومیٹری آکٹونیوں پر ریاضی کی ایک کتاب ہے، جو پیچیدہ اعداد اور کواٹرونیوں کو عام کرنے والے اعداد کا ایک نظام ہے، جو اپنے مواد کو انڈرگریجویٹ ریاضی کے طلباء کے لیے موزوں سطح پر پیش کرتا ہے۔ اسے ٹیوین ڈری اور کورین منوگ نے لکھا تھا، اور اسے 2015 میں ورلڈ سائنٹفک نے شائع کیا تھا۔ میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ کی بیسک لائبریری لسٹ کمیٹی نے اسے انڈرگریجویٹ ریاضی کی لائبریریوں میں شامل کرنے کی تجویز دی ہے۔ موضوعات کتاب کو تین حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے، جس کا دوسرا حصہ سب سے اہم ہے۔ اس کے مندرجات اس شعبے میں ماضی کے کام کے سروے اور اس کے مصنفین کی اپنی زیادہ تر تحقیقات دونوں کو یکجا کرتے ہیں۔ پہلا حصہ کیلی ڈکسن کی تعمیر کی وضاحت کرتا ہے، جو حقیقی اعداد سے پیچیدہ اعداد، پیچیدہ اعداد سے کواٹرنیئنز، اور کواٹرنیئنز سے آکٹونیئنز کی تشکیل کرتا ہے۔ متعلقہ الجبرا پر بھی تبادلہ خیال کیا جاتا ہے، بشمول سیڈینین (ایک 16 جہتی حقیقی الجبرا جو آکٹونین سے ایک اور قدم آگے بڑھ کر اسی طرح تشکیل پاتا ہے) اور اسپلٹ ریئل یونٹل کمپوزیشن الجبرا (جسے ہروٹز الجبرا بھی کہا جاتا ہے)۔ یہاں ایک خاص توجہ ان الجبروں کے ضرب کے عمل کو ہندسی انداز میں سمجھنے پر مرکوز ہے۔ مبصر ڈینیل بریزوف مایوسی کے ساتھ نوٹ کرتے ہیں کہ کلفورڈ الجبرا، اگرچہ اس مواد سے بہت متعلقہ ہیں، لیکن ان کا احاطہ نہیں کیا گیا ہے۔ کتاب کا دوسرا حصہ ہندسی ہم آہنگی کے لائ گروپوں کی ٹھوس وضاحت فراہم کرنے کے لیے اس سے وابستہ آکٹونین اور دیگر ڈویژن الجبرا کا استعمال کرتا ہے۔ ان میں گردش گروپ، اسپن گروپ، سمپلیکٹک گروپ، اور غیر معمولی لائ گروپ شامل ہیں، جن کی کتاب کلاسیکی لائ گروپوں کے آکٹونیونک متغیرات کے طور پر تشریح کرتی ہے۔ تیسرا حصہ ہندسی تعمیرات میں آکٹونیوں کا اطلاق کرتا ہے جس میں ہوپف فائبرشن اور اس کی عمومی کاری، کیلی طیارہ، اور E8 جالی شامل ہیں۔ یہ انہیں طبیعیات کے مسائل سے بھی جوڑتا ہے جس میں چار جہتی ڈیراک مساوات، رشتہ دار فرمینز کے کوانٹم میکانکس، اسپنرز، اور اردن الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے کوانٹم میکانکس کی تشکیل شامل ہے۔ اس میں آکٹونیونک نمبر تھیوری پر مواد بھی شامل ہے، اور فرائیڈنتھل جادوئی مربع اور متعلقہ تعمیرات پر ایک باب کے ساتھ اختتام پذیر ہوتا ہے۔ سامعین اور استقبال اگرچہ انڈرگریجویٹ سطح پر پیش کیا جاتا ہے، لیکن دی جیومیٹری آف دی آکٹونینس کوئی نصابی کتاب نہیں ہے: اس کا مواد ممکنہ طور پر انڈرگریجویٹ کورس کے لیے بہت خاص ہے، اور اس میں مشقوں یا اسی طرح کے مواد کا فقدان ہے جس کی اسے نصابی کتاب کے طور پر استعمال کرنے کے لیے ضرورت ہوگی۔ قارئین کو لکیری الجبرا سے واقف ہونا چاہیے، اور لائ گروپوں کے ساتھ کچھ تجربہ بھی مددگار ثابت ہوگا۔ طبیعیات میں ایپلی کیشنز کے بعد کے ابواب بھاری ہوتے ہیں، اور کوانٹم میکانکس سے واقفیت کی ضرورت ہوتی ہے۔ کتاب ریاضیاتی تحریر کے ثبوت سے بھرپور رسمی انداز سے گریز کرتی ہے، اتنا کہ جائزہ لینے والے ڈینیل بریزوف لکھتے ہیں کہ نکات پر ایسا لگتا ہے کہ اس میں ریاضیاتی سختی کی کمی ہے۔ متعلقہ پڑھنا متعدد مبصرین تجویز کرتے ہیں کہ یہ کام آکٹونیوں کا ایک اچھا تعارف بنائے گا، اسی موضوع پر دیگر کاموں میں پیش کردہ زیادہ جدید مواد کے لیے ایک قدم کے طور پر۔ ان کی تجاویز میں درج ذیل شامل ہیں: حوالہ جات ریاضی کی کتابیں 2015 غیر افسانوی کتابیں آکٹونینس