Mimetic interpolation
ریاضی میں، نقالی انٹرپولیشن تفریق شکلوں کو انٹرپولیٹ کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ انٹرپولیشن کے دیگر طریقوں کے برعکس، جو پڑوسی پوائنٹس پر اس کی اقدار کو دیکھتے ہوئے کسی مقام پر فیلڈ کا تخمینہ لگاتے ہیں، ممیٹک انٹرپولیشن پڑوسی گرڈ عناصر پر فیلڈ کے پروجیکشن کو دیکھتے ہوئے فیلڈ کی شکل کا تخمینہ لگاتا ہے۔ گرڈ کے عناصر گرڈ پوائنٹس کے ساتھ ساتھ سیل کے کنارے یا چہرے بھی ہو سکتے ہیں۔ ممیٹک انٹرپولیشن خاص طور پر ویکٹر اور سیوڈو ویکٹر فیلڈز کے تناظر میں متعلقہ ہے کیونکہ یہ طریقہ بالترتیب لائن انٹیگرلز اور فلکس کو محفوظ رکھتا ہے۔ مربوط شکلوں کی انٹرپولیشن ایک تفریقی شکل ہے، پھر نقالی انٹرپولیشن لکیری امتزاج ہے جہاں انٹرپولیشن ہے، اور کوفیشنٹس گرڈ عنصر پر فیلڈ کی طاقت کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس پر منحصر ہے، یہ نوڈ ()، سیل ایج ()، سیل فیس () یا سیل والیوم () ہو سکتا ہے۔ مذکورہ بالا میں، انٹرپولیٹنگ شکلیں ہیں، جو خیمے کے افعال کی طرح مرکوز ہیں اور ان سے دور ہو جاتی ہیں۔ طول و عرض میں سادہ میش کے لیے وٹنی کی شکلیں اس کی مثالیں ہیں۔ دیگر انٹرپولیشن طریقوں کے مقابلے میں نقالی انٹرپولیشن کا ایک اہم فائدہ یہ ہے کہ فیلڈ کی طاقت اسکیلر ہوتی ہے اور اس طرح نظام کو مربوط کرتی ہے۔ انٹرپولیٹنگ فارم بہت سے معاملات میں انٹرپولیٹنگ فارموں کے لیے یہ مطلوب ہے کہ وہ دوسرے کی مداخلت کے بغیر مخصوص گرڈ عناصر پر فیلڈ کی طاقت کا انتخاب کریں۔ یہ کسی کو مخصوص گرڈ عناصر کو فیلڈ ویلیوز تفویض کرنے کی اجازت دیتا ہے، جسے پھر درمیان میں انٹرپولیٹ کیا جا سکتا ہے۔ ایک عام معاملہ لکیری انٹرپولیشن ہے جس کے لیے انٹرپولیٹنگ فنکشن (-فارم) تمام نوڈس پر صفر ہوتے ہیں سوائے ایک کے، جہاں انٹرپولیٹنگ فنکشن ایک ہوتا ہے۔ اسی طرح کی تعمیر کا اطلاق نقالی انٹرپولیشن پر کیا جا سکتا ہے یعنی تمام سیل عناصر پر انٹیگرل صفر ہے، سوائے اس کے کہ جہاں انٹیگرل ایک واپس کرتا ہے۔ اس کے لیے رقم یہ ہے کہ گرڈ پوائنٹ کہاں ہے۔ انٹیگرل کے لیے کناروں پر ہے اور اس لیے انٹیگرل کنارے پر صفر متوقع ہے۔ انٹیگرل کے لیے چہروں کے اوپر اور سیل کے حجم سے زیادہ ہے۔ تحفظ کی خصوصیات ممیٹک انٹرپولیشن تفریق شکلوں کی خصوصیات کا احترام کرتی ہے۔ خاص طور پر، اسٹوکس تھیوریم کی انٹرپولیشن کو ظاہر کرنے سے مطمئن ہے۔ یہاں، بیرونی مشتق ہے، جہت کا کوئی بھی کئی گنا ہے اور اس کی حد ہے۔ یہ نقالی انٹرپولیشن تحفظ کی خصوصیات کو عطا کرتا ہے، جو عام طور پر دوسرے انٹرپولیشن طریقوں کے ذریعہ مشترکہ نہیں ہوتے ہیں۔ انٹرپولیشن آپریٹر اور بیرونی مشتق کے درمیان تبادلہ نقل کرنے کے لیے، انٹرپولیشن کو مطمئن کرنا چاہیے کہ-فارم کا انٹرپولیشن آپریٹر کہاں ہے، یعنی۔ ۔ دوسرے لفظوں میں، انٹرپولیشن آپریٹرز اور بیرونی مشتقات نقل و حمل کرتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ ہر قسم کے فارم () کے لیے مختلف انٹرپولیشن طریقوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ انٹرپولیٹڈ فارم کے لیے اسٹوکس تھیوریم کو مطمئن کرنے کے لیے مذکورہ مساوات کی ضرورت ہے۔ دیگر کیلکولس خصوصیات انٹرپولیشن اور انٹرپولیشن کے درمیان کمیونیٹی ویٹی سے حاصل ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، آخری مرحلہ صفر دیتا ہے جب سے باؤنڈری پر انٹیگریٹ کیا جاتا ہے۔ پروجیکشن انٹرپولیٹڈ کو اکثر ہدف، جہتی، مبنی کئی گنا پر پیش کیا جاتا ہے، کیونکہ ہدف ایک نقطہ ہے، کیونکہ یہ ایک لکیر ہے، کسی علاقے کے لیے، وغیرہ۔ ایپلی کیشنز بہت سے فزیکل فیلڈز کو-فارم کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ عددی ماڈلنگ میں فیلڈز کو ڈسکریٹائز کرتے وقت، ہر قسم کی-فارم اکثر عددی استحکام کی ضروریات کے مطابق اپنی خود کی حیرت انگیز شکل حاصل کرتی ہے، جیسے۔ چیکر بورڈ کے عدم استحکام کو روکنے کی ضرورت۔ اس کی وجہ سے بیرونی محدود عنصر اور مجرد بیرونی کیلکولس کے طریقوں کی ترقی ہوئی، یہ دونوں فیلڈ ڈسکریٹائزیشن پر انحصار کرتے ہیں جو فیلڈ کی قسم کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ نیچے دیے گئے جدول میں فزیکل فیلڈز کی کچھ مثالیں، ان کی قسم، ان کی متعلقہ شکل اور انٹرپولیشن کے طریقہ کار کے ساتھ ساتھ ایسے سافٹ ویئر کی فہرست دی گئی ہے جن سے فیلڈ کو انٹرپولیٹ، ری میپ یا ریگریڈ کرنے کے لیے فائدہ اٹھایا جا سکتا ہے: مثال کے طور پر چوطرفہ خلیوں کو دو جہتوں میں ان کے نوڈ کے ساتھ گھڑی کی مخالف سمت میں انڈیکس کریں۔ مزید، ہر سیل () کے پیرامیٹرک کوآرڈینیٹ ہونے دیں۔ پھر یونٹ مربع () میں دو لکیری انٹرپولیٹنگ شکلیں ہیں۔ متعلقہ کنارے کی انٹرپولیٹنگ شکلیں یہ ہیں کہ ہم نے یہ فرض کیا کہ کناروں کو گھڑی کی مخالف سمت میں اور کناروں کے ساتھ مشرق اور شمال کی طرف اشارہ کیا گیا ہے۔ سب سے کم ترتیب پر، صرف ایک انٹرپولیٹنگ فارم ہے، جہاں پچر پروڈکٹ ہے۔ ہم اس بات کی تصدیق کر سکتے ہیں کہ مذکورہ بالا انٹرپولیٹنگ فارم نقالی کے حالات کو پورا کرتے ہیں اور۔ مثال کے طور پر، جہاں، اور یونٹ مربع کی جگہ میں کواڈریلیٹرل کے کونوں پر فیلڈ ویلیوز کا جائزہ لیا جاتا ہے۔ اسی طرح، ہمارے پاس، 1 شکل ہونے کی وجہ سے کنارے پر پیش کیا گیا ہے۔ نوٹ کریں جسے پل بیک بھی کہا جاتا ہے۔ اگر نقشہ ہے جو کنارے کو پیرامیٹرائز کرتا ہے،، تو جہاں خلا میں انضمام انجام دیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر کنارے پر غور کریں، پھر آغاز اور پوائنٹس کے ساتھ اور اس کی نشاندہی کریں۔ عام 1 فارم کے لیے، ایک مل جاتا ہے۔ حوالہ جات انٹرپولیشن تفریقی شکلیں