Hyperfinite equivalence relation
وضاحتی سیٹ تھیوری اور ریاضی کے متعلقہ شعبوں میں، ایک معیاری بوریل اسپیس X پر ایک ہائپرفائنٹ مساوات کا رشتہ قابل شمار کلاسوں کے ساتھ ایک بوریل مساوات کا رشتہ E ہے، جس کا تخمینہ ایک خاص معنوں میں، بوریل مساوات کے تعلقات سے لگایا جا سکتا ہے جن کی کلاسیں محدود ہوتی ہیں۔ تعریف 1. X کو ایک معیاری بوریل اسپیس مان لیں، یعنی یہ ایک قابل پیمائش اسپیس ہے جو پولینڈ کی اسپیس X کو اس کے σ-الجبرا آف بوریل سبسیٹس (اور ٹوپولوجی کو بھول کر) سے لیس کرنے سے پیدا ہوتی ہے۔ فرض کریں کہ E، X پر ایک مساوات کا تعلق ہے۔ ہم کہیں گے کہ E بوریل ہے اگر E اپنے ساتھ X کے کارٹیشین پروڈکٹ کا ایک بوریل سب سیٹ ہے، جب پروڈکٹ σ-الجبرا سے لیس ہو۔ ہم کہیں گے کہ E محدود ہے (بالترتیب، قابل گنتی) اگر E میں محدود (بالترتیب قابل گنتی) کلاسیں ہوں۔ مندرجہ بالا نام گمراہ کن ہو سکتے ہیں، کیونکہ اگر X ایک بے شمار معیاری بوریل جگہ ہے، تو مساوات کا تعلق بے شمار ہوگا جب اسے X سے ترتیب شدہ جوڑوں کا مجموعہ سمجھا جائے۔ تعریف 2. فرض کریں کہ E ایک معیاری بوریل اسپیس X پر قابل شمار بوریل مساوات کا تعلق ہے۔ ہم کہیں گے کہ E ہائپرفائنٹ ہے اگر، جہاں X پر محدود بوریل مساوات کے تعلقات کی بڑھتی ہوئی ترتیب ہے۔ بدیہی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ X پر ایک ترتیب محدود مساوات کے تعلقات ہیں، ہر ایک اپنے پیشروؤں سے بہتر ہے، جو من مانی طور پر E کا تخمینہ لگاتا ہے۔ بحث وضاحتی سیٹ تھیوری میں تحقیق کا ایک بڑا شعبہ بوریل مساوات کے تعلقات کی درجہ بندی ہے، اور خاص طور پر وہ جو قابل شمار ہیں۔ ان میں سے، محدود مساوات کے تعلقات کو سب سے آسان سمجھا جاتا ہے (مثال کے طور پر، وہ بوریل ٹرانسورسل کو تسلیم کرتے ہیں)۔ لہذا، یہ پوچھنا فطری ہے کہ کیا کچھ مساوات کے تعلقات، جو ضروری طور پر محدود نہیں ہیں، کا تخمینہ محدود مساوات کے تعلقات سے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ ایک ایسا تصور ثابت ہوتا ہے جو ریاضی میں ظاہر ہونے والے بہت سے قدرتی مساوات کے تعلقات کو سمیٹنے کے لیے کافی امیر ہے، پھر بھی گہرے نظریات کو تیار کرنے کی اجازت دینے کے لیے کافی پابند ہے۔ یہ بات بھی قابل غور ہے کہ کسی بھی قابل شمار مساوات کے تعلق E کو محدود مساوات کے تعلقات کے بڑھتے ہوئے اتحاد کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ، مثال کے طور پر، ہر کلاس کی تقسیم کو سائز دو کی کلاسوں میں لے کر، پھر نئے مساوات کے رشتے میں دو کلاسوں میں شامل ہو کر کیا جا سکتا ہے جو سائز چار کی کلاسوں کے ساتھ تقسیم بنانے کے لیے ایک ہی ای کلاس کے اندر ہیں، اور اسی طرح۔ کلیدی مشاہدہ یہ ہے کہ اس عمل کے لیے عام طور پر پسند کے محور کی ضرورت ہوتی ہے، اور اس لیے یہ واضح نہیں ہے کہ یہ عمل بوریل کے تخمینے پیدا کرتا ہے۔ درحقیقت، قابل شمار بوریل مساوات کے تعلقات ہیں جو ہائپرفائنٹ نہیں ہیں، اور اس لیے خاص طور پر اوپر بیان کردہ عمل بڑے مساوات کے تعلق کے قریب بوریل مساوات کے تعلقات پیدا کرنے میں ناکام رہے گا۔ مثالیں اور غیر مثالیں کوئی بھی محدود بوریل مساوات کا تعلق ہائپر فائنائٹ ہے۔ درحقیقت، یہ خود کا ایک محدود تخمینہ ہے۔ ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلق کا ذیلی مساوات کا تعلق ہائپرفائنٹ ہے۔ فرض کریں کہ G ایک مقامی طور پر محدود گروپ ہے جو ایک معیاری بوریل اسپیس X پر بوریل پیمائش کے ساتھ کام کر رہا ہے۔ پھر محدود ذیلی گروپوں میں فلٹریشن قدرتی طور پر X پر G کے عمل کے مدار کے مساوات کے تعلق کو محدود بوریل مساوات کے تعلقات میں فلٹریشن کو جنم دیتی ہے، جس سے اس کی ہائپر فائنٹنیس ثابت ہوتی ہے۔ اگر E ایک قابل شمار مساوات کا رشتہ ہے اور ہائپرفائنٹ اور محدود انڈیکس کا ہے (یعنی کہ ہر E-کلاس میں محدود طور پر بہت سے E "-کلاسز ہوتے ہیں)، تو E ہائپرفائنٹ ہے۔ کوئی بھی قابل شمار بوریل مساوات کا تعلق جو بوریل ٹرانسورسل کو تسلیم کرتا ہے وہ ہائپرفائنٹ ہے۔ اسے فیلڈ مین-مور تھیوریم کے سادہ اطلاق سے دکھایا جا سکتا ہے۔ ایک معیاری بوریل خلا پر انٹیجرز کا کوئی بھی بوریل عمل ایک ہائپرفائنٹ مدار مساوات کا تعلق پیدا کرتا ہے (یاد رکھیں کہ ایک معیاری بوریل خلا X پر ایک قابل شمار گروپ G کا بوریل عمل ایک بوریل پیمائش عمل ہے، جہاں G اپنے تمام ذیلی سیٹوں کے σ-الجبرا سے لیس ہے)۔ مزید برآں، یہ پتہ چلتا ہے کہ کوئی بھی ہائپر فائنائٹ مساوات کا تعلق انٹیجرز کے کچھ بوریل ایکشن سے پیدا ہونے والے مدار کے مساوات کے تعلق کے برابر ہے، جس سے یہ ہائپر فائنٹنیس کے مساوی تعریف بن جاتی ہے جو اکثر زیادہ قابل رسائی ہوتی ہے۔ زیادہ عام طور پر، ایک معیاری بوریل خلا پر ایک قابل شمار ابیلین گروپ کا کوئی بھی بوریل عمل ہائپرفائنٹ مدار کے مساوات کے تعلق کو جنم دیتا ہے۔ اگر F ایک معیاری بوریل اسپیس X پر قابل شمار بوریل مساوات کا رشتہ ہے، تو E ایک معیاری بوریل اسپیس Y پر ایک ہائپرفائنٹ مساوات کا رشتہ ہے اور F سے E کی بوریل کمی ہے، تو F ہائپرفائنٹ ہے (یاد رکھیں کہ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے وہ ایک بوریل کمی ہے جب بھی یہ مطمئن ہو)۔ نوٹ کریں کہ اگر ہم F کے قابل شمار ہونے کے مفروضے کو ہٹا دیں تو مذکورہ بالا درست نہیں ہے۔ ہر دو نکات کی شناخت کرنے والی حقیقی لکیر پر مساوات کا تعلق بوریل ہے اور اسے کسی دوسرے بوریل مساوات کے رشتے میں کم کیا جا سکتا ہے، اور خاص طور پر کسی بھی ہائپرفائنٹ بوریل مساوات کے رشتے میں، لیکن اس کی ایک بے شمار کلاس ہے، لہذا یہ ہائپرفائنٹ نہیں ہو سکتا۔ ایک معیاری بوریل خلا پر کثیر الجہتی نمو کے ساتھ ایک محدود طور پر پیدا شدہ گروپ کا کوئی بھی بوریل عمل ہائپرفائنٹ مدار کے مساوات کے تعلق کو جنم دیتا ہے۔ اس کی گروموف حد پر ایک محدود طور پر پیدا شدہ ہائپربولک گروپ کا عمل ہائپرفائنٹ ہے۔ کوئی بھی قابل شمار بوریل مساوات کا تعلق ایک کمگر سیٹ تک محدود ہو سکتا ہے جس پر یہ ہائپر فائنائٹ ہو۔ واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ کوئی مساوی کلاسوں کے مجموعے کو ہٹا سکتا ہے جو کہ معمولی ہے، اور یہ حاصل کر سکتا ہے کہ مساوی تعلق باقی جگہ پر ہائپرفائنٹ ہے۔ کوئی بھی گروپ جو قابل قبول نہیں ہے وہ ایک معیاری بوریل اسپیس پر بوریل ایکشن کو تسلیم کرتا ہے جو ایک مساوات کے رشتے کو جنم دیتا ہے جو ہائپرفائنٹ نہیں ہے۔ شفٹ نقشوں کے ذریعہ خلا پر دو جنریٹرز پر آزاد گروپ کا عمل ہائپر فائنائٹ نہیں ہے۔ اس حقیقت کو اکثر بناچ-ترسکی پیراڈوکس کی ایک مشترکہ شکل سمجھا جاتا ہے۔ کھلے مسائل ویس کا قیاس مندرجہ بالا مثالیں اس بات کی نشاندہی کرتی دکھائی دیتی ہیں کہ قابل گنتی گروپوں کے بوریل کے اقدامات ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلقات کو جنم دیتے ہیں۔ ویس نے قیاس کیا کہ ایک معیاری بوریل خلا پر قابل شمار گروپ کا کوئی بھی بوریل عمل ہائپرفائنٹ مدار کے مساوات کے تعلق کو جنم دیتا ہے۔ اگرچہ یہ اب بھی ایک کھلا مسئلہ ہے، کچھ جزوی نتائج معلوم ہیں۔ اتحاد کا مسئلہ اس علاقے میں ایک اور کھلا مسئلہ یہ ہے کہ آیا ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلقات کا قابل شمار بڑھتا ہوا اتحاد ہائپرفائنٹ ہے۔ اسے اکثر یونین کا مسئلہ کہا جاتا ہے۔ بعض حالات کے تحت، یہ معلوم ہوتا ہے کہ ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلقات کا قابل شمار بڑھتا ہوا اتحاد ہائپرفائنٹ ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مساوات کے تعلقات کے اتحاد میں کوئی خاصیت ہے جسے "بوریل-باؤنڈنیس" کہا جاتا ہے (جس کا تقریبا مطلب یہ ہے کہ خلا پر نکات پر افعال کی کسی بھی بوریل تفویض کو اس طرح کے بوریل تفویض سے "بالآخر پابند" کیا جا سکتا ہے جو مساوات کی کلاسوں پر مستقل ہے)، تو یہ ہائپرفائنٹ ہے۔ تاہم، یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا اس طرح کا ہر اتحاد اس پراپرٹی کو مطمئن کرتا ہے۔ پیمائش-نظریاتی نتائج اس مفروضے کے تحت کہ بنیادی خلا X ایک بوریل امکانات کی پیمائش سے لیس ہے اور یہ کہ کوئی پیمائش صفر کے سیٹوں کو ہٹانے کے لیے تیار ہے، نظریہ کو بہت بہتر سمجھا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر مساوات کا تعلق ایک قابل شمار گروپ کے بوریل عمل سے پیدا ہوتا ہے، تو اس کے نتیجے میں مدار کے مساوات کا تعلق "μ-ہائپرفائنٹ" ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ مکمل پیمائش کی جگہ کے ذیلی سیٹ پر ہائپرفائنٹ ہے (یہ نوٹ کرنا قابل قدر ہے کہ عمل کو پیمائش کے تحفظ، یا یہاں تک کہ نیم پیمائش کے تحفظ کی ضرورت نہیں ہے)۔ چونکہ ایک معیاری غیر جوہری بوریل امکانی جگہ (X،) پر ہر قابل شمار بوریل مساوات کا تعلق E جو ایک بوریل ٹرانسورسل کو تسلیم کرتا ہے وہ مکمل پیمائش کے ذیلی سیٹ پر ایک محدود مساوات کا تعلق ہے (یہ بنیادی طور پر فیلڈ مین-مور ہے، وٹالی کی دلیل کے ساتھ مل کر اس کے کلاسیکی ثبوت میں حقیقی لکیر کے تمام ذیلی سیٹوں کے-الجبرا پر غیر معمولی غیر متغیر پیمائش کے عدم وجود کے ساتھ)، مندرجہ بالا ہمیں ظاہر کرتا ہے کہ مساوات کے تعلقات کے برعکس جو ٹرانسورسل کو تسلیم کرتے ہیں، گروپ کے اعمال کی بہت سی مثالیں جو ایرگوڈک تھیوری میں قدرتی طور پر ظاہر ہوتی ہیں ہائپرفائنٹ مدار مساوات کے تعلقات کو جنم دیتی ہیں (خاص طور پر جب بھی بنیادی جگہ ایک معیاری بوریل اسپیس ہوتی ہے)۔ اسی طرح، اس طرح کی جگہ پر ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلقات کا قابل شمار بڑھتا ہوا اتحاد بھی μ "-ہائپرفائنٹ ہے۔ ہائپرفائنٹ ٹائپ II فیکٹر بوریل مساوات کا تعلق بھی دیکھیں نوٹ حوالہ جات وضاحتی سیٹ تھیوری مساوات (ریاضی)