Homoscedasticity and heteroscedasticity
اعداد و شمار میں، بے ترتیب متغیرات کی ایک ترتیب (یا ویکٹر) ہوموسیڈاسٹک () ہے اگر اس کے تمام بے ترتیب متغیرات میں ایک ہی محدود تغیر ہو۔ اسے تغیر کی یکسانیت بھی کہا جاتا ہے۔ تکمیلی تصور کو ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کہا جاتا ہے، جسے متغیر کی ہیٹروجینیٹی بھی کہا جاتا ہے۔ ہجے ہوموسکیڈاسٹیٹی اور ہیٹروسکیڈاسٹیٹی بھی اکثر استعمال ہوتے ہیں۔ یہ فرض کرنا کہ ایک متغیر ہوموسیڈاسٹک ہے جب حقیقت میں یہ ہیٹروسسیڈاسٹک () ہے جس کے نتیجے میں غیر جانبدار لیکن غیر موثر نقطہ تخمینے اور معیاری غلطیوں کے متعصبانہ تخمینے ہوتے ہیں، اور اس کے نتیجے میں فٹ کی اچھائی کو زیادہ سے زیادہ اندازہ لگایا جا سکتا ہے جیسا کہ پیئرسن گتانک کے ذریعہ ماپا جاتا ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کا وجود رجعت تجزیہ اور تغیر کے تجزیے میں ایک بڑی تشویش ہے، کیونکہ یہ اہمیت کے شماریاتی ٹیسٹوں کو کالعدم قرار دیتا ہے جو یہ فرض کرتے ہیں کہ ماڈلنگ کی تمام غلطیوں میں ایک ہی تغیر ہے۔ اگرچہ عام کم سے کم مربع تخمینہ لگانے والا اب بھی ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی موجودگی میں غیر جانبدار ہے، لیکن یہ غیر موثر ہے اور ہوموسکڈیڈاسٹیٹی کے مفروضے پر مبنی اندازہ گمراہ کن ہے۔ اس صورت میں، ماضی میں عمومی کم از کم مربع (جی ایل ایس) اکثر استعمال کیا جاتا تھا۔ آج کل، اکانومیٹرکس میں معیاری عمل جی ایل ایس کا استعمال کرنے کے بجائے ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیوں کو شامل کرنا ہے، کیونکہ اگر اصل سکیڈاسٹک فنکشن نامعلوم ہو تو جی ایل ایس چھوٹے نمونوں میں مضبوط تعصب کا مظاہرہ کر سکتا ہے۔ کیونکہ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی غلطیوں کے دوسرے لمحے کی توقعات سے متعلق ہے، اس کی موجودگی کو دوسرے ترتیب کی غلط وضاحت کہا جاتا ہے۔ اکانومیٹریشین رابرٹ اینگل کو ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی موجودگی میں رجعت تجزیہ پر ان کے مطالعے کے لیے معاشیات کے 2003 کے نوبل میموریل انعام سے نوازا گیا، جس کی وجہ سے وہ آٹوریگریسو کنڈیشنل ہیٹروسکیڈاسٹیٹی (اے آر سی ایچ) ماڈلنگ تکنیک کی تشکیل کا باعث بنے۔ تعریف لکیری رجعت مساوات پر غور کریں جہاں منحصر بے ترتیب متغیر تعیناتی متغیر اوقات گتانک کے علاوہ ایک بے ترتیب خلل کی اصطلاح کے برابر ہوتا ہے جس کا مطلب صفر ہوتا ہے۔ اگر کا تغیر مستقل ہے تو خلل ہوموسیڈاسٹک ہوتے ہیں ؛ بصورت دیگر، وہ ہیٹروسیڈاسٹک ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، خلل ہیٹروسکیڈاسٹک ہوتے ہیں اگر کے فرق کا انحصار اس کی قدر پر یا اس پر ہوتا ہے۔ ایک طریقہ جس سے وہ ہیٹروسسیڈاسٹک ہو سکتے ہیں وہ ہے اگر (اسکڈاسٹک فنکشن کی ایک مثال)، لہذا تغیر کی قدر کے متناسب ہے۔ زیادہ عام طور پر، اگر خلل کے متغیر-متغیر میٹرکس میں غیر مستقل اخترن ہے، تو خلل ہیٹروسسیڈاسٹک ہے۔ جب وقت کے ساتھ صرف تین مشاہدات ہوتے ہیں تو نیچے دی گئی میٹرکس کوویرینسیس ہوتے ہیں۔ میٹرکس اے میں خلل ہوموسیڈاسٹک ہے ؛ یہ سادہ معاملہ ہے جہاں او ایل ایس بہترین لکیری غیر جانبدار تخمینہ کار ہے۔ میٹرکس B اور C میں خلل ہیٹروسکیڈاسٹک ہیں۔ میٹرکس B میں، تغیر وقت کے ساتھ بدلتا رہتا ہے، وقت کے ساتھ مسلسل بڑھتا رہتا ہے ؛ میٹرکس C میں، تغیر کی قدر پر منحصر ہوتا ہے۔ میٹرکس D میں خلل ہوموسیڈاسٹک ہے کیونکہ اخترن تغیرات مستقل ہوتے ہیں، حالانکہ غیر اخترن کوویرینسز غیر صفر ہوتے ہیں اور عام کم از کم مربع ایک مختلف وجہ سے غیر موثر ہوتے ہیں: سیریل ارتباط۔ مثالیں ہیٹروسڈاسٹیٹی اکثر اس وقت ہوتی ہے جب مشاہدات کے سائز میں بڑا فرق ہوتا ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی ایک بہترین مثال آمدنی بمقابلہ کھانے پر ہونے والے اخراجات کی ہے۔ ایک امیر شخص کبھی سستا کھانا اور کبھی مہنگا کھانا کھا سکتا ہے۔ ایک غریب شخص تقریبا ہمیشہ سستا کھانا کھائے گا۔ لہذا، زیادہ آمدنی والے لوگ خوراک پر اخراجات میں زیادہ تغیر کا مظاہرہ کرتے ہیں۔ راکٹ لانچ کے وقت، ایک مبصر راکٹ کے ذریعے طے کردہ فاصلے کی پیمائش فی سیکنڈ ایک بار کرتا ہے۔ پہلے دو سیکنڈ میں، پیمائش قریب ترین سینٹی میٹر تک درست ہو سکتی ہے۔ پانچ منٹ کے بعد، پیمائش کی درستگی صرف 100 میٹر تک اچھی ہو سکتی ہے، کیونکہ فاصلے میں اضافہ، ماحولیاتی مسخ، اور مختلف دیگر عوامل کی وجہ سے۔ لہذا فاصلے کی پیمائش ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی نمائش کر سکتی ہے۔ نتائج کلاسیکی لکیری رجعت ماڈل کے مفروضوں میں سے ایک یہ ہے کہ کوئی ہیٹروسکیڈاسٹیٹی نہیں ہے۔ اس مفروضے کو توڑنے کا مطلب یہ ہے کہ گاؤس مارکوف تھیوریم لاگو نہیں ہوتا، مطلب یہ ہے کہ OLS تخمینہ لگانے والے بہترین لکیری غیر جانبدار تخمینہ لگانے والے (BLUE) نہیں ہیں اور ان کا تغیر دیگر تمام غیر جانبدار تخمینوں میں سب سے کم نہیں ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی عام کم از کم مربع گتانک کے تخمینوں کو متعصبانہ ہونے کا سبب نہیں بنتی ہے، حالانکہ یہ گتانک کے تغیر (اور اس طرح، معیاری غلطیوں) کے عام کم از کم مربع تخمینوں کو متعصبانہ ہونے کا سبب بن سکتا ہے، ممکنہ طور پر آبادی کے تغیر کے سچ سے اوپر یا نیچے۔ اس طرح، ہیٹروسکیڈاسٹک ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے رجعت تجزیہ اب بھی پیشن گوئی متغیر اور نتیجہ کے درمیان تعلقات کے لیے ایک غیر جانبدار تخمینہ فراہم کرے گا، لیکن معیاری غلطیاں اور اس وجہ سے ڈیٹا تجزیہ سے حاصل ہونے والے نتائج مشکوک ہیں۔ متعصبانہ معیاری غلطیاں متعصبانہ اندازے کا باعث بنتی ہیں، اس لیے مفروضے کے ٹیسٹ کے نتائج ممکنہ طور پر غلط ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر OLS کو ہیٹروسکیڈاسٹک ڈیٹا سیٹ پر انجام دیا جاتا ہے، جس سے متعصبانہ معیاری غلطی کا تخمینہ ملتا ہے، تو ایک محقق کسی دی گئی اہمیت کی سطح پر کالعدم مفروضے کو مسترد کرنے میں ناکام ہو سکتا ہے، جب کہ وہ کالعدم مفروضہ دراصل اصل آبادی کا غیر خصوصیت والا تھا (ٹائپ II کی غلطی کرنا)۔ بعض مفروضوں کے تحت، OLS تخمینہ لگانے والے کی عام غیر علامتی تقسیم ہوتی ہے جب اسے مناسب طریقے سے معمول پر لایا جاتا ہے اور مرکوز کیا جاتا ہے (یہاں تک کہ جب ڈیٹا معمول کی تقسیم سے نہیں آتا ہے)۔ اس نتیجے کا استعمال مفروضہ ٹیسٹ کرتے وقت عام تقسیم، یا چی مربع تقسیم (اس بات پر منحصر ہے کہ ٹیسٹ کے اعدادوشمار کا حساب کس طرح کیا جاتا ہے) کا استعمال کرتے ہوئے جواز پیش کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ یہ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کے تحت بھی برقرار رہتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی موجودگی میں OLS تخمینہ لگانے والا غیر علامتی طور پر عام ہوتا ہے، جب مناسب طریقے سے معمول اور مرکوز ہوتا ہے، جس میں تغیر-کوویرینس میٹرکس ہوتا ہے جو ہوموسکیڈاسٹیٹی کے معاملے سے مختلف ہوتا ہے۔ 1980 میں، وائٹ نے او ایل ایس تخمینہ کار کی غیر علامتی تقسیم کے تغیر کوویرینس میٹرکس کے لیے ایک مستقل تخمینہ کار کی تجویز پیش کی۔ یہ ہیٹروسکیڈاسٹیٹیٹی کے تحت او ایل ایس تخمینہ کاروں اور وائٹ کے تغیر-کوویرینس تخمینہ کار کا استعمال کرتے ہوئے مفروضے کی جانچ کے استعمال کی توثیق کرتا ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی بھی ایک بڑا عملی مسئلہ ہے جس کا سامنا این او وی اے کے مسائل میں ہوتا ہے۔ ایف ٹیسٹ اب بھی کچھ حالات میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، یہ کہا گیا ہے کہ اکانومیٹرکس کے طلبا کو ہیٹروسکیڈاسٹیٹی پر حد سے زیادہ رد عمل ظاہر نہیں کرنا چاہیے۔ ایک مصنف نے لکھا، "غیر مساوی غلطی کا تغیر صرف اس صورت میں درست کرنے کے قابل ہے جب مسئلہ شدید ہو۔" اس کے علاوہ، احتیاط کا ایک اور لفظ اس شکل میں تھا، "ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کبھی بھی کسی دوسرے اچھے ماڈل کو باہر پھینکنے کی وجہ نہیں رہی ہے"۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیوں کی آمد کے ساتھ غلطی کی اصطلاح کے مشروط دوسرے لمحے کی وضاحت کیے بغیر تخمینہ لگانے کی اجازت دیتا ہے، مشروط ہم جنس پرستی کی جانچ ماضی کی طرح اہم نہیں ہے۔ کسی بھی غیر لکیری ماڈل کے لیے (مثال کے طور پر لاجٹ اور پروبٹ ماڈل)، تاہم، ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کے زیادہ شدید نتائج ہوتے ہیں: پیرامیٹرز کے زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے (ایم ایل ای) عام طور پر متعصبانہ ہونے کے ساتھ ساتھ متضاد بھی ہوں گے (جب تک کہ امکانات کی تقریب میں ترمیم نہ کی جائے تاکہ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی عین مطابق شکل کو صحیح طریقے سے مدنظر رکھا جا سکے یا تقسیم لکیری ایکسپونینشل فیملی کا رکن ہو اور مشروط توقع کی تقریب درست طریقے سے متعین ہو)۔ پھر بھی، بائنری چوائس ماڈلز (لاجٹ یا پروبٹ) کے تناظر میں، ہیٹروسکیڈاسٹیٹی صرف غلط وضاحت شدہ ایم ایل ای (یعنی ایم ایل ای) کے غیر علامتی اوسط پر مثبت اسکیلنگ اثر کا نتیجہ ہوگی۔ وہ ماڈل جو ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کو نظر انداز کرتا ہے)۔ نتیجے کے طور پر، غلط وضاحت شدہ ایم ایل ای پر مبنی پیش گوئیاں درست رہیں گی۔ اس کے علاوہ، غلط وضاحت شدہ پروبٹ اور لاجٹ ایم ایل ای کو عام طور پر غیر علامتی طور پر تقسیم کیا جائے گا جو معمول کی اہمیت کے ٹیسٹ (مناسب تغیر-کوویرینس میٹرکس کے ساتھ) انجام دینے کی اجازت دیتا ہے۔ تاہم، عام مفروضے کی جانچ کے حوالے سے، جیسا کہ گرین نے نشاندہی کی ہے، "محض ایک مضبوط کوویرینس میٹرکس کا حساب لگانا دوسری صورت میں متضاد تخمینہ لگانے والے کے لیے اسے چھٹکارا نہیں دیتا۔ نتیجتا، اس ترتیب میں ایک مضبوط کوویرینس میٹرکس کی خوبی واضح نہیں ہے۔ "اصلاح ہیٹروسکیڈاسٹیٹیٹی کے لیے کئی عام اصلاحات ہیں۔ وہ یہ ہیں: اعداد و شمار کی مستحکم تبدیلی، مثال کے طور پر۔ لوگرتھمائزڈ ڈیٹا۔ غیر لوگرتھمائزڈ سیریز جو تیزی سے بڑھ رہی ہیں اکثر وقت کے ساتھ سیریز میں اضافے کے ساتھ بڑھتی ہوئی تغیر پذیری ظاہر ہوتی ہے۔ تاہم، فیصد کے لحاظ سے تغیر کافی مستحکم ہو سکتا ہے۔ ماڈل کے لیے مختلف تفصیلات استعمال کریں (مختلف X متغیرات، یا شاید X متغیرات کی غیر لکیری تبدیلیاں)۔ وزن والے کم سے کم مربع تخمینہ کا طریقہ استعمال کریں، جس میں X اور Y کی تبدیل شدہ یا وزن والی اقدار پر OLS کا اطلاق ہوتا ہے۔ مشاہدات کے لحاظ سے وزن مختلف ہوتے ہیں، عام طور پر غلطی کے بدلتے تغیرات پر منحصر ہوتے ہیں۔ ایک تغیر میں وزن کا براہ راست تعلق منحصر متغیر کی شدت سے ہوتا ہے، اور یہ کم از کم مربع فیصد رجعت سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیاں (ایچ سی ایس ای)، اگرچہ اب بھی متعصبانہ ہیں، لیکن او ایل ایس کے تخمینوں میں بہتری آتی ہے۔ ایچ سی ایس ای ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کے ساتھ رجعت ماڈل میں معیاری غلطیوں کا مستقل تخمینہ لگانے والا ہے۔ یہ طریقہ کوفیشنٹس کی اقدار کو تبدیل کیے بغیر ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کو درست کرتا ہے۔ یہ طریقہ باقاعدہ او ایل ایس سے بہتر ہو سکتا ہے کیونکہ اگر ہیٹروسکیڈاسٹیٹی موجود ہے تو یہ اس کے لیے درست ہوتا ہے، تاہم، اگر ڈیٹا ہوموسکیڈاسٹک ہے، تو معیاری غلطیاں او ایل ایس کے تخمینے کے مطابق روایتی معیاری غلطیوں کے برابر ہیں۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیوں کی گنتی کے سفید طریقہ کار میں کئی ترامیم اعلی محدود نمونے کی خصوصیات کے ساتھ اصلاحات کے طور پر تجویز کی گئی ہیں۔ وائلڈ بوٹ اسٹریپنگ کو ری سیمپلنگ کے طریقہ کار کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے جو غلطی کی اصطلاح کے مشروط تغیر میں فرق کا احترام کرتا ہے۔ ایک متبادل غلطیوں کے بجائے مشاہدات کا دوبارہ نمونہ ہے۔ مشاہدے کی منسلک اقدار کے احترام کے بغیر دوبارہ نمونے لینے کی غلطیوں کو نوٹ کریں ہوموسکڈاسٹیٹی کو نافذ کرتا ہے اور اس طرح غلط اندازہ ہوتا ہے۔ MINQUE یا یہاں تک کہ روایتی تخمینہ کاروں کا استعمال کریں (ہر مشاہدے کے ساتھ آزاد نمونوں کے لیے)، جن کی کارکردگی میں نقصان کافی نہیں ہوتا جب فی نمونے کے مشاہدات کی تعداد زیادہ ہوتی ہے ()، خاص طور پر آزاد نمونوں کی چھوٹی تعداد کے لیے۔ بقیہ کی جانچ کا تجربہ بروش-پیگن ٹیسٹ کا استعمال کرتے ہوئے ہم جنس پرستی کے لیے کیا جا سکتا ہے، جو آزاد متغیرات پر مربع شدہ بقیہ کا معاون رجعت انجام دیتا ہے۔ اس معاون رجعت سے، مربعوں کی وضاحت شدہ رقم کو برقرار رکھا جاتا ہے، دو سے تقسیم کیا جاتا ہے، اور پھر آزاد متغیرات کی تعداد کے برابر ڈگری آف فریڈم کے ساتھ چی مربع تقسیم کے لیے ٹیسٹ کے اعداد و شمار بن جاتے ہیں۔ اس چی مربع شدہ ٹیسٹ کا صفر مفروضہ ہوموسیڈاسٹیٹی ہے، اور متبادل مفروضہ ہیٹروسسیڈاسٹیٹی کی نشاندہی کرے گا۔ چونکہ بروش-پیگن ٹیسٹ معمول یا چھوٹے نمونے کے سائز سے روانگی کے لیے حساس ہے، اس کے بجائے عام طور پر کوینکر-باسٹ یا 'جنرلائزڈ بروش-پیگن' ٹیسٹ استعمال کیا جاتا ہے۔ معاون رجعت سے، یہ R-مربع شدہ قدر کو برقرار رکھتا ہے جسے پھر نمونے کے سائز سے ضرب دی جاتی ہے، اور پھر Chi-مربع شدہ تقسیم کے لیے ٹیسٹ کے اعداد و شمار بن جاتے ہیں (اور آزادی کی وہی ڈگری استعمال کرتے ہیں)۔ اگرچہ یہ کوینکر-باسٹ ٹیسٹ کے لیے ضروری نہیں ہے، لیکن بروش-پیگن ٹیسٹ کے لیے ضروری ہے کہ بقیہ مربع کو بھی بقیہ مربع کے مجموعے سے تقسیم کیا جائے جسے نمونے کے سائز سے تقسیم کیا جائے۔ گروپ کے لحاظ سے ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کی جانچ گولڈ فیلڈ-کوانڈٹ ٹیسٹ کے ساتھ کی جا سکتی ہے۔ ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیوں کے معیاری استعمال اور پری ٹیسٹ کے مسئلے کی وجہ سے، ماہرین اقتصادیات آج کل شاذ و نادر ہی مشروط ہیٹروسکیڈاسٹیٹی کے لیے ٹیسٹ استعمال کرتے ہیں۔ ٹیسٹوں کی فہرست اگرچہ گروپوں کے درمیان ہیٹروسکیڈاسٹیٹیٹی کے ٹیسٹ کو باضابطہ طور پر رجعت ماڈل کے اندر ٹیسٹنگ کا ایک خاص کیس سمجھا جا سکتا ہے، کچھ ٹیسٹوں میں اس کیس کے لیے مخصوص ڈھانچے ہوتے ہیں۔ رجعت لیوین کے ٹیسٹ گولڈ فیلڈ-کوانڈٹ ٹیسٹ پارک میں ٹیسٹ گلیجسر ٹیسٹ براؤن-فورسی۔ ٹیسٹ ہیریسن-میک کیب ٹیسٹ بروش-پیگن ٹیسٹ وائٹ ٹیسٹ کک-ویسبرگ ٹیسٹ گروپ شدہ ڈیٹا کے لیے F-ٹیسٹ آف ایکویلیٹی آف ویریئنسز کوچران کا C ٹیسٹ ہارٹلی کا ٹیسٹ بارٹلیٹ کا ٹیسٹ جنرلائزیشن ہوموسیڈاسٹک ڈسٹری بیوشنز دو یا زیادہ نارمل ڈسٹری بیوشنز، دونوں ہوموسیڈاسٹک ہیں اور سیریل ارتباط کا فقدان ہے اگر وہ اپنے کوویرینس میٹرکس میں ایک ہی ترچھا بانٹتے ہیں، اور ان کی غیر ترچھا اندراجات صفر ہیں۔ ہوموسیڈاسٹک تقسیم خاص طور پر شماریاتی نمونوں کی شناخت اور مشین لرننگ الگورتھم حاصل کرنے کے لیے مفید ہیں۔ ایک الگورتھم کی ایک مقبول مثال جو ہم جنس پرستی کو فرض کرتی ہے وہ فشر کا لکیری امتیازی تجزیہ ہے۔ ہم جنس پرستی کے تصور کا اطلاق شعبوں پر تقسیم پر کیا جا سکتا ہے۔ ملٹی ویریٹ ڈیٹا ہومسیڈاسٹیٹیٹی اور ہیٹروسسیڈاسٹیٹیٹی کے مطالعہ کو ملٹی ویریٹ کیس میں عام کیا گیا ہے، جو اسکیلر مشاہدات کے تغیر کے بجائے ویکٹر مشاہدات کے کوویرینسیس سے متعلق ہے۔ اس کا ایک ورژن پھیلاؤ کی کثیر متغیر پیمائش کے طور پر کوویرینس میٹرکس کا استعمال کرنا ہے۔ متعدد مصنفین نے رجعت اور گروپ شدہ ڈیٹا دونوں حالات کے لیے اس تناظر میں ٹیسٹوں پر غور کیا ہے۔ گروپ شدہ ڈیٹا کے درمیان ہیٹروسکیڈاسٹیٹیٹی کے لیے بارٹلیٹ کا ٹیسٹ، جو عام طور پر غیر متغیر کیس میں استعمال ہوتا ہے، کو بھی ملٹی ویریٹ کیس کے لیے بڑھا دیا گیا ہے، لیکن ایک ٹریک ایبل حل صرف 2 گروپوں کے لیے موجود ہے۔ دو سے زیادہ گروپوں کے لیے تخمینے موجود ہیں، اور ان دونوں کو باکس کا ایم ٹیسٹ کہا جاتا ہے۔ ہیٹروجینیٹی کروی غلطی ہیٹروسکیڈاسٹیٹی-مستقل معیاری غلطیاں حوالہ جات مزید پڑھنا زیادہ تر اعداد و شمار کی نصابی کتابوں میں کم از کم ہم جنس پرستی اور ہیٹروسکیڈاسٹیٹیٹی پر کچھ مواد شامل ہوگا۔ کچھ مثالیں یہ ہیں: مارک تھوما کے ذریعہ بیرونی روابط شماریاتی انحراف اور منتشر رجعت تجزیہ جا: اے آر سی ایچ ماڈل #分散不均一性