Mean line segment length
جیومیٹری میں، اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی ایک لائن سیگمنٹ کی اوسط لمبائی ہے جو کسی دی گئی شکل میں بے ترتیب طور پر یکساں طور پر منتخب کردہ دو پوائنٹس کو جوڑتی ہے۔ دوسرے لفظوں میں، یہ دو بے ترتیب پوائنٹس کے درمیان متوقع یوکلڈین فاصلہ ہے، جہاں شکل میں ہر پوائنٹ کے منتخب ہونے کا یکساں امکان ہوتا ہے۔ یہاں تک کہ مربع یا مثلث جیسی سادہ شکلوں کے لیے بھی، ان کی اوسط لکیر کے حصے کی لمبائی کی صحیح قیمت کو حل کرنا مشکل ہو سکتا ہے کیونکہ ان کے بند شکل کے تاثرات کافی پیچیدہ ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل سوال پر غور کریں: ایک مربع کے اندر بے ترتیب طور پر منتخب کردہ دو پوائنٹس کے درمیان اوسط فاصلہ کیا ہے جس کی طرف کی لمبائی 1 ہے؟ اگرچہ سوال سادہ لگ سکتا ہے، لیکن اس کا جواب کافی پیچیدہ ہے ؛ اس کی صحیح قیمت ہے۔ رسمی تعریف ایک n-جہتی شکل S کے لیے اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی کو باضابطہ طور پر دو بے ترتیب پوائنٹس x اور y کے درمیان متوقع یوکلڈین فاصلے | | | کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جہاں λ n-جہتی لیبسگیو پیمائش ہے۔ دو جہتی معاملے کے لیے، اس کی تعریف دو پوائنٹس (x1، y1) اور (x2، y2) کے لیے فاصلاتی فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے۔ تخمینہ کے طریقے چونکہ اوسط لائن کے حصے کی لمبائی کی گنتی میں کثیر جہتی انٹیگرلز کا حساب لگانا شامل ہوتا ہے، اس لیے عددی انضمام کے مختلف طریقوں کو کسی بھی شکل کے لیے اس قدر کا تخمینہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایسا ہی ایک طریقہ مونٹی کارلو طریقہ ہے۔ کسی دی گئی شکل کے اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی کا تخمینہ لگانے کے لیے، اس کے اندرونی حصے میں بے ترتیب طور پر دو پوائنٹس کا انتخاب کیا جاتا ہے اور فاصلے کی پیمائش کی جاتی ہے۔ ان مراحل کی کئی بار تکرار کے بعد، ان فاصلوں کی اوسط بالآخر حقیقی قدر میں بدل جائے گی۔ یہ طریقے صرف ایک تخمینہ دے سکتے ہیں ؛ انہیں اس کی صحیح قیمت کا تعین کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ فارمولا لائن سیگمنٹ لمبائی کے ایک لائن سیگمنٹ کے لیے، دو پوائنٹس کے درمیان اوسط فاصلہ ہے۔ مثلث طرف کی لمبائی والے مثلث کے لیے، اور، اس کے اندرونی حصے میں دو نکات کے درمیان اوسط فاصلہ اس فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں سیمی پیری میٹر ہے، اور اس کی نشاندہی کرتا ہے۔ طرف کی لمبائی a کے ساتھ ایک مساوی مثلث کے لیے، یہ مربع اور مستطیل کے برابر ہے۔ طرف کی لمبائی s کے ساتھ مربع کے اندر دو نکات کے درمیان اوسط فاصلہ زیادہ عام طور پر، طرف کی لمبائی l اور w کے ساتھ ایک مستطیل کی اوسط لکیر کے حصے کی لمبائی ہے جہاں مستطیل کے اخترن کی لمبائی ہے۔ اگر اس کے بجائے دو پوائنٹس کو مربع کے مختلف اطراف کے لیے منتخب کیا جاتا ہے، تو اوسط فاصلہ کیوب اور ہائپر کیوب کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ایک n-جہتی یونٹ ہائپر کیوب کے اندر پوائنٹس کے درمیان اوسط فاصلے کو اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے، اور اس کے طور پر دیا جاتا ہے۔ پہلی دو اقدار، اور، بالترتیب یونٹ لائن سیگمنٹ اور یونٹ اسکوائر کا حوالہ دیں۔ تین جہتی کیس کے لیے، یونٹ کیوب کے اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی کو رابنز مستقل کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، جس کا نام ڈیوڈ پی رابنز کے نام پر رکھا گیا ہے۔ اس مستقل کی ایک بند شکل ہے، اس کی عددی قدر تقریبا اینڈرسن ایٹ ہے۔ ال۔ (1976) نے دکھایا کہ حدود کو پورا کرتا ہے یونٹ کیوب کے دو مختلف چہروں سے پوائنٹس کا انتخاب بھی ایک بند شکل کے ساتھ نتیجہ دیتا ہے، جو دائرے اور دائرے کے ذریعے دیا گیا ہے۔ رداس r کے دائرے کے دائرے پر پوائنٹس کے درمیان اوسط کورڈ لمبائی ہے اور رداس r والے دائرے کی سطح پر پوائنٹس کو چننا ڈسک ہے۔ رداس r کی ڈسک کے اندر پوائنٹس کے درمیان اوسط فاصلہ ہے۔ نصف ڈسک اور چوتھائی ڈسک کی اقدار بھی معلوم ہیں۔ رداس 1 کی نصف ڈسک کے لیے: رداس 1 کی چوتھائی ڈسک کے لیے: گیندیں تین جہتی گیند کے لیے، یہ ہے زیادہ عام طور پر، ایک این-بال کی اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی جہاں کی برابری پر منحصر ہوتی ہے، جنرل باؤنڈز برگسٹلر اور پیلیچشممر (2008) نے دکھایا کہ قطر 1 کے ساتھ این-جہتی یوکلیڈین اسپیس کے کمپیکٹ سب سیٹ کے لیے، اس کی اوسط لائن سیگمنٹ کی لمبائی ایل مطمئن ہوتی ہے جہاں گاما فنکشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ n = 2 کے لیے، ایک مضبوط باؤنڈ موجود ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط جیومیٹری