Pontryagin product
ریاضی میں، پونٹریگین پروڈکٹ، جس کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے، ٹپوولوجیکل اسپیس کی ہومیولوجی پر ایک پروڈکٹ ہے جو ٹپوولوجیکل اسپیس پر کسی پروڈکٹ سے متاثر ہوتا ہے۔ خاص معاملات میں ابیلین گروپ کی ہومیولوجی پر پونٹریگین پروڈکٹ، ایچ-اسپیس پر پونٹریگین پروڈکٹ، اور لوپ اسپیس پر پونٹریگین پروڈکٹ شامل ہیں۔ کراس پروڈکٹ پونٹریگین پروڈکٹ کی وضاحت کے لیے ہمیں پہلے ایک نقشے کی ضرورت ہوتی ہے جو m-th اور n-th ہومیولوجی گروپ کے براہ راست پروڈکٹ کو خلا کے (m + n)-th ہومیولوجی گروپ کو بھیجتا ہے۔ اس لیے ہم واحد زنجیروں کی سطح سے شروع کرتے ہوئے کراس پروڈکٹ کی وضاحت کرتے ہیں۔ دو ٹپوولوجیکل خالی جگہوں X اور Y اور دو واحد آسانیوں کو دیکھتے ہوئے اور ہم پروڈکٹ کے نقشے کی وضاحت کر سکتے ہیں، صرف مشکل یہ ہے کہ یہ ایک واحد (m + n)-سمپلیکس کی وضاحت کرتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے (m + n)-آسانیوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ دکھانا آسان ہے کہ یہ نقشہ فارم کی ہم آہنگی پر ایک نقشہ پیش کرتا ہے یہ ثابت کرتے ہوئے کہ اگر اور سائیکل ہیں تو ایسا ہی ہے اور اگر یا تو حد ہے تو پروڈکٹ بھی ایسا ہی ہے۔ تعریف ضرب کے ساتھ ایک H-اسپیس کو دیکھتے ہوئے ہم ہومیولوجی پر پونٹریگین پروڈکٹ کی وضاحت نقشوں کی مندرجہ ذیل ساخت سے کرتے ہیں جہاں پہلا نقشہ اوپر بیان کردہ کراس پروڈکٹ ہے اور دوسرا نقشہ H-اسپیس کے ضرب کے ذریعے دیا گیا ہے جس کے بعد ہومیولوجی فنکٹر کا اطلاق ہومیولوجی کی سطح پر ہومومورفزم حاصل کرنے کے لیے ہوتا ہے۔ پھر۔ حوالہ جات ہومیولوجی تھیوری گروپ تھیوری