Quasicircle
ریاضی میں، کواسی سرکل پیچیدہ سطح میں ایک اردن وکر ہے جو خود پر سطح کی کواسیکونفارمل میپنگ کے نیچے ایک دائرے کی شبیہہ ہے۔ اصل میں آزادانہ طور پر متعارف کرایا گیا اور، پرانے ادب میں (جرمن میں) انہیں قوسیکونفارمل منحنی خطوط کہا جاتا تھا، ایک اصطلاح جو آرکس پر بھی لاگو ہوتی ہے۔ پیچیدہ تجزیہ اور جیومیٹرک فنکشن تھیوری میں، قوسی سرکل دائرے کے قواسیسیمیٹرک ہومیومورفزم کے ذریعے، یونیورسل ٹیکملر اسپیس کی وضاحت میں بنیادی کردار ادا کرتے ہیں۔ کواسی سرکلز پیچیدہ متحرک نظاموں میں بھی اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ تعریفیں ایک قوسی سرکل کی تعریف توسیعی پیچیدہ سطح کی قوسیکونفارمل میپنگ کے تحت دائرے کی شبیہہ کے طور پر کی گئی ہے۔ اگر کواسیکونفارمل میپنگ میں ڈلاٹیشن K ہو تو اسے K-کواسی سرکل کہا جاتا ہے۔ کواسی سرکل کی تعریف جارڈن وکر کی خصوصیت کو طیارہ کے ہومیومورفزم کے تحت دائرے کی شبیہہ کے طور پر عام کرتی ہے۔ خاص طور پر ایک قواسی سرکل اردن وکر ہے۔ کواسی سرکل کے اندرونی حصے کو کواسی ڈسک کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ اس میں دکھایا گیا ہے، جہاں پرانی اصطلاح "قوسیکونفارمل وکر" استعمال کی جاتی ہے، اگر اردن وکر منحنی خطوط کے پڑوس میں قوسیکونفارمل نقشے کے نیچے کسی دائرے کی شبیہہ ہے، تو یہ توسیعی سطح کی قوسیکونفارمل نقشہ سازی کے نیچے ایک دائرے کی شبیہہ بھی ہے اور اس طرح ایک قوسی سرکل۔ یہی بات "قوسیکونفارمل آرکس" کے لیے بھی درست ہے جس کی تعریف سرکلر آرک کی قوسیکونفارمل امیجز کے طور پر کی جا سکتی ہے یا تو کھلے سیٹ میں یا توسیعی سطح میں مساوی طور پر۔ ہندسی خصوصیات نے نیم حلقوں کی ہندسی خصوصیت ان اردن منحنی خطوط کے طور پر دی جس کے لیے چکور ترتیب میں لیے گئے کسی بھی چار نکات کے کراس تناسب کی مطلق قیمت، نیچے ایک مثبت مستقل سے منسلک ہوتی ہے۔ ایلفورس نے یہ بھی ثابت کیا کہ قوسی سرکلز کو تین پوائنٹس کے لیے الٹا مثلث عدم مساوات کے لحاظ سے نمایاں کیا جا سکتا ہے: ایک مستقل C اس طرح ہونا چاہیے کہ اگر دو پوائنٹس z1 اور z2 کو منحنی خطوط پر منتخب کیا جائے اور z3 نتیجے میں آرکس کے چھوٹے پر واقع ہو، تو اس پراپرٹی کو باؤنڈ ٹرننگ یا آرک کنڈیشن بھی کہا جاتا ہے۔ اردن کے منحنی خطوط کے لیے، جو φ سے گزرنے والے توسیعی سطح میں ہوتے ہیں، ایک سہ رخی دائرے کے لیے ایک آسان ضروری اور کافی شرط دیتے ہیں۔ ایک مستقل C> 0 اس طرح ہے کہ اگر z1، z2 منحنی خطوط پر کوئی نقطہ ہیں اور z3 ان کے درمیان کے حصے پر واقع ہے، تو ان میٹرک خصوصیات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ جب بھی کوئی آرک یا بند منحنی خطوط کسی وقفے یا دائرے کی شبیہہ کے طور پر پیدا ہوتا ہے تو وہ نیم رسمی ہوتا ہے۔ مثبت مستقلات Ci کے لیے اطمینان بخش۔ قوسی سرکلز اور قوسیسیمیٹرک ہومومورفزم اگر φ دائرے کا ایک قوسیسیمیٹرک ہومومورفزم ہے، تو پھر [z | <1 کے کنفارمل نقشے f اور |z |> 1 کے g جداگانہ علاقوں میں ایسے ہیں کہ f اور g کی تصاویر کی تکمیل اردن وکر ہے۔ نقشے f اور g مسلسل دائرے |z | = 1 تک پھیلے ہوئے ہیں اور سلائی کی مساوات برقرار ہے۔ دائرے کی تصویر ایک قواسی سرکل ہے۔ اس کے برعکس، ریمن میپنگ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، کنفارمل نقشے f اور g ایک کواسی سرکل کے باہر کی یکسانیت کو مندرجہ بالا مساوات کے ذریعے ایک کواسیسیمیٹرک ہومومورفزم کو جنم دیتے ہیں۔ موبیئس ٹرانسفارمیشنز کے ذیلی گروپ کے ذریعہ کواسیسیمیٹرک ہومومورفزمز کے گروپ کی کوشیئنٹ اسپیس یونیورسل ٹیچملر اسپیس کا ایک نمونہ فراہم کرتی ہے۔ مندرجہ بالا خط و کتابت سے پتہ چلتا ہے کہ نیم حلقوں کی جگہ کو بھی ایک نمونہ کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ اردن کے منحنی خطوط میں ایک قوسیکونوفارمل عکاسی مدت 2 کا ایک واقفیت کو تبدیل کرنے والا قوسیکونوفارمل نقشہ ہے جو منحنی خطوط پر منحنی خطوط کے اندر اور باہر کو تبدیل کرتا ہے۔ چونکہ نقشہ اکائی دائرے کے لیے اس طرح کی عکاسی فراہم کرتا ہے، اس لیے کوئی بھی قوسی سرکل قوسیکونفارمل عکاسی کو تسلیم کرتا ہے۔ ثابت کیا کہ یہ خاصیت قواسی سرکلز کی خصوصیت رکھتی ہے۔ ایہلفورز نے نوٹ کیا کہ اس نتیجہ کا اطلاق یونٹ ڈسک D پر یکساں طور پر پابند ہولومورفک غیر مساوی افعال f (z) پر کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ کیریتھیوڈوری نے اپنے بنیادی سروں کے نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا، f مسلسل اکائی دائرے تک پھیلا ہوا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب مقامی طور پر جڑا ہوا ہو، یعنی۔ من مانی طور پر چھوٹے قطر کے محدود طور پر بہت سے کمپیکٹ منسلک سیٹوں کے ذریعے ڈھکنے کو تسلیم کرتا ہے۔ دائرے کی توسیع 1-1 ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی کٹ پوائنٹ نہ ہو، یعنی۔ وہ نکات جو جب ایک منقطع سیٹ حاصل کرتے ہیں، تو ان سے نکالے جاتے ہیں۔ کیریتھیوڈوری تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ کٹ پوائنٹس کے بغیر مقامی طور پر سیٹ صرف ایک جارڈن وکر ہے اور یہ کہ عین مطابق اس صورت میں بند یونٹ ڈسک پر f کی توسیع ہومیومورفزم ہے۔ اگر f توسیعی پیچیدہ سطح کی قوسیکونفارمل نقشہ سازی تک پھیلا ہوا ہے تو تعریف کے مطابق ایک قوسی سرکل ہے۔ اس کے برعکس مشاہدہ کیا گیا ہے کہ اگر ایک قوسی سرکل ہے اور R1، کواسیکونفارمل عکاسی کو ظاہر کرتا ہے تو |z |> 1 کے لیے تفویض توسیع شدہ پیچیدہ سطح پر f کی قوسیکونفارمل توسیع کی وضاحت کرتی ہے۔ پیچیدہ متحرک نظام قواسی سرکلز عقلی نقشوں R (z) کے جولیا سیٹوں کے طور پر پیدا ہونے کے لیے جانے جاتے تھے۔ ثابت کیا کہ اگر R کے فاتو سیٹ کے دو اجزاء ہیں اور جولیا سیٹ پر R کا عمل "ہائپربولک" ہے، یعنی۔ c> 0 اور A> 1 ایسے مستقل ہوتے ہیں کہ جولیا سیٹ پر، پھر جولیا سیٹ ایک قواسی سرکل ہوتا ہے۔ بہت سی مثالیں ہیں: کواڈریٹک کثیر الجہتی R (z) = z2 + c ایک پرکشش فکسڈ پوائنٹ کے ساتھ ڈوڈی خرگوش (c =-0.122561 + 0.744862i، جہاں c3 + 2 c2 + c + 1 = 0) کواڈریٹک کثیر الجہتی z2 + λz کے ساتھ |λ۔ <1 کوچ سنوفلیک کواسی-فوچیائی گروپ کواسی-فوچیائی گروپ فوچیائی گروپوں کی قوسیکونفارمل اخترتی کے طور پر حاصل کیے جاتے ہیں۔ تعریف کے مطابق ان کے حد سیٹ قواسی سرکلز ہیں۔ فرض کریں کہ γ پہلی قسم کا فوچیائی گروپ ہے: یونٹ دائرے کو محفوظ رکھنے والے موبیئس گروپ کا ایک مجرد ذیلی گروپ۔ یونٹ ڈسک D پر مناسب طریقے سے مسلسل کام کرنا اور حد کے ساتھ یونٹ سرکل سیٹ کرنا۔ فرض کریں کہ μ (z) D پر ایک قابل پیمائش فنکشن ہے جس کے ساتھ کہ μ γ-غیر متغیر ہے، یعنی۔ ہر جی کے لیے۔ (اس طرح ریمن کی سطح D/जात پر "بیلٹرامی تفریق" ہے۔) D سے دور μ (z) = 0 ترتیب دے کر C پر کسی فنکشن تک μ کو بڑھائیں۔ بیلٹرامی مساوات موبیئس تبدیلی کے ساتھ ساخت تک کے منفرد حل کو قبول کرتی ہے۔ یہ توسیعی پیچیدہ سطح کا ایک کواسیکونفارمل ہومومورفزم ہے۔ اگر g ایک عنصر ہے، تو f (g (z)) بیلٹرامی مساوات کا ایک اور حل دیتا ہے، لہذا یہ ایک موبیئس تبدیلی ہے۔ گروپ α (γ) ایک نیم فوچیائی گروپ ہے جس کی حد مقرر کی گئی ہے جو f کے تحت اکائی دائرے کی شبیہہ کے ذریعہ دی گئی ہے۔ ہاؤزڈورف طول و عرض یہ معلوم ہے کہ ایسے قواسی سرکلز ہیں جن کے لیے کسی حصے کی لمبائی محدود نہیں ہے۔ قوسی سرکلز کے ہاؤزڈورف طول و عرض کی سب سے پہلے تحقیق کی گئی، جس نے ثابت کیا کہ یہ وقفہ [1,2] میں تمام اقدار لے سکتا ہے۔ "ہولومورفک حرکتوں" کی نئی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے کسی بھی پلانر سیٹ کے ہاؤزڈورف طول و عرض میں تبدیلی کا تخمینہ لگانا ممکن ہوا جس میں پھیلاؤ کے ساتھ کواسیکونفارمل نقشہ کے تحت سیٹ کیا گیا تھا۔ کواسی سرکلز سی کے لیے، ہاؤزڈورف طول و عرض کا ایک خام تخمینہ تھا جہاں دوسری طرف، جولیا سیٹوں کے لیے ہاؤزڈورف طول و عرض کا تخمینہ عقلی نقشوں کے تکرار کے جے سی کا تخمینہ روفس بوین اور ڈیوڈ روئل کے کام کے نتیجے میں لگایا گیا تھا، جنہوں نے یہ ظاہر کیا کہ چونکہ یہ کواسی سرکلز ہیں جو ایک پھیلاؤ سے مطابقت رکھتے ہیں جہاں اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کے چھوٹے کے لیے اسٹیف کے ساتھ کوچ سنوفلیک کے لیے درج ذیل حسابات میں بہتری آئی ہے۔ ایک نیم فوچیائی گروپ کے لیے اور ظاہر کیا کہ حد سیٹ کا ہاؤزڈورف طول و عرض d ہمیشہ 1 سے زیادہ ہوتا ہے۔ جب d <2 ہوتا ہے، تو مقدار متعلقہ ہائپربولک 3-مینی فولڈ کے لیپلاسیئن کی سب سے کم آئجن ویلیو ہوتی ہے۔ نوٹ حوالہ جات، سیکشن 13.2، کواسی سرکلز کا طول و عرض "۔ + پیچیدہ تجزیہ متحرک نظام فریکٹلز