Nevanlinna's criterion
ریاضی میں، پیچیدہ تجزیے میں نیوانلننا کا معیار، جسے 1920 میں فن لینڈ کے ریاضی دان رالف نیوانلننا نے ثابت کیا، یونٹ ڈسک پر ہولومورفک غیر مساوی افعال کی خصوصیت رکھتا ہے جو ستاروں کی طرح ہوتے ہیں۔ نیوانلننا نے اس معیار کو اسٹار نما غیر مساوی افعال کے لیے بیبرباخ کے قیاس کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ معیار کا بیان یونٹ ڈسک پر ایک غیر مساوی فنکشن ایچ جو ایچ (0) = 0 اور ایچ (0) = 1 کو مطمئن کرتا ہے اسٹار نما ہے، یعنی۔ [0,1] میں حقیقی اعداد سے ضرب کے تحت امیج غیر متغیر ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب |z | <1 کے لیے مثبت حقیقی حصہ ہو اور 0 پر ویلیو 1 لے۔ نوٹ کریں کہ نتیجہ کو a·h (rz) پر لاگو کرنے سے، معیار کسی بھی ڈسک |z | <r پر صرف اس ضرورت کے ساتھ لاگو ہوتا ہے کہ f (0) = 0 اور f "(0)  ऒत्त 0۔ معیار کا ثبوت فرض کریں کہ h (z) |z | <1 پر h (0) = 0 اور h (0) = 1 کے ساتھ ستارے کی طرح غیر مساوی فنکشن ہے۔ t <0 کے لیے، D کے ہولومورفک نقشوں کے ایک سیمی گروپ کی وضاحت کریں جو خود ہی 0 طے کرتا ہے۔ مزید برآں ایچ سیمی گروپ فٹ کے لیے کوینگس فنکشن ہے۔ شوارز لیما کے مطابق، |ft (z) | ٹی کے بڑھنے کے ساتھ کم ہوتا جاتا ہے۔ لہذا، اس طرح، |w |2 سے تقسیم کرنا، ریسیکروکل لینا اور t کو 0 پر جانے دینا تمام |z | <1 کے لیے دیتا ہے۔ چونکہ بائیں ہاتھ کی طرف ایک ہم آہنگ فعل ہے، اس لیے زیادہ سے زیادہ اصول کا مطلب ہے کہ عدم مساوات سخت ہے۔ اس کے برعکس اگر مثبت حقیقی حصہ اور g (0) = 1 ہے، تو h صرف 0 پر غائب ہو سکتا ہے، جہاں اس کا سادہ صفر ہونا ضروری ہے۔ اب اس طرح جیسے جیسے z دائرے کا سراغ لگاتا ہے، تصویر کی دلیل سختی سے بڑھ جاتی ہے۔ دلیل کے اصول کے مطابق، چونکہ 0 پر ایک سادہ صفر ہے، یہ صرف ایک بار اصل کے گرد چکر لگاتا ہے۔ اس خطے کا اندرونی حصہ جس منحنی خطوط سے گھرا ہوا ہے اس لیے ستاروں جیسا ہے۔ اگر a اندرونی حصے میں ایک نقطہ ہے تو حل کی تعداد N (a) کے h (z) = a کے ساتھ |z | <r کی طرف سے دی جاتی ہے۔ لہذا ہر ڈسک |z | <r میں اور اس وجہ سے ہر جگہ h غیر مساوی اور ستاروں کی طرح ہے۔ بیبرباخ قیاس آرائی پر اطلاق کاراتھیوڈوری کے لیما کانسٹینٹین کاراتھیوڈوری نے 1907 میں ثابت کیا کہ اگر مثبت حقیقی حصے کے ساتھ یونٹ ڈسک D پر ہولومورفک فنکشن ہے، تو درحقیقت یہ کسی بھی r <1 کے لیے g کی جگہ g (z) = g (rz) کے ساتھ نتیجہ دکھانے کے لیے کافی ہے اور پھر حد r = 1 پر منتقل ہوتا ہے۔ اس صورت میں g مثبت حقیقی حصے کے ساتھ بند ڈسک پر ایک مسلسل فنکشن تک پھیلا ہوا ہے اور شوارز فارمولے کے ذریعہ شناخت کا استعمال کرتے ہوئے اس کی پیروی کرتے ہوئے، اس طرح ایک امکانات کی پیمائش کی وضاحت کرتا ہے، اور اس لیے ستاروں جیسے افعال کے لیے ثبوت آئیے |z | <1 میں ایک غیر مساوی ستاروں جیسے فنکشن ہوں۔ ثابت کیا کہ حقیقت میں نیوانلننا کے معیار کے مطابق |z | <1 کے لیے مثبت حقیقی حصہ ہے۔ تو دوسری طرف کیریتھیوڈوری کے لیما سے تکرار کا تعلق ملتا ہے جہاں a "1 = 1 ہے۔ اس طرح یہ انڈکشن کے بعد ہوتا ہے کہ حوالہ جات تجزیاتی افعال کو نوٹ کرتا ہے