Murnaghan equation of state
حالت کی مرناگھان مساوات کسی شے کے حجم اور اس دباؤ کے درمیان تعلق ہے جس کے تابع ہے۔ یہ بہت سی ریاستی مساوات میں سے ایک ہے جو ارتھ سائنسز اور شاک فزکس میں ہائی پریشر کے حالات میں مادے کے رویے کا نمونہ بنانے کے لیے استعمال ہوتی رہی ہے۔ اس کا نام فرانسس ڈی مرناگان کے نام پر ہے جس نے 1944 میں ایک تجرباتی طور پر قائم حقیقت کی عکاسی کرنے کے لیے دباؤ کی حد کے تحت مادی رویے کی عکاسی کرنے کے لیے اس کی تجویز پیش کی تھی: ایک ٹھوس کو جتنا زیادہ کمپریس کیا جاتا ہے، اسے مزید کمپریس کرنا اتنا ہی مشکل ہوتا ہے۔ مرناگھن مساوات، بعض مفروضوں کے تحت، تسلسل میکانکس کی مساوات سے اخذ کی گئی ہے۔ اس میں دو سایڈست پیرامیٹرز شامل ہیں: انکمپریسیبلٹی K0 کا ماڈیولس اور دباؤ کے حوالے سے اس کا پہلا مشتق، K′0، دونوں کو ماحول کے دباؤ پر ماپا جاتا ہے۔ عام طور پر، ان کوفیشنٹس کا تعین دباؤ P کے فنکشن کے طور پر حجم V کی تجرباتی طور پر حاصل کردہ اقدار پر رجعت کے ذریعے کیا جاتا ہے۔ یہ تجرباتی ڈیٹا ایکس رے ڈفریکشن یا شاک ٹیسٹ کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اب ابتداء اور سالماتی حرکیات کے حساب سے حاصل کردہ حجم کے فنکشن کے طور پر توانائی کی اقدار پر بھی رجعت انجام دی جا سکتی ہے۔ حالت کی مرناگھن مساوات کو عام طور پر اس طرح ظاہر کیا جاتا ہے: اگر کمپریشن کے تحت حجم میں کمی کم ہے، یعنی، V/V0 کے لیے تقریبا 90 فیصد سے زیادہ، تو مرناگھن مساوات تسلی بخش درستگی کے ساتھ تجرباتی ڈیٹا کا نمونہ بنا سکتی ہے۔ مزید برآں، حالت کی بہت سی مجوزہ مساوات کے برعکس، یہ دباؤ V (P) کی تقریب کے طور پر حجم کا ایک واضح اظہار دیتا ہے۔ لیکن اس کی صداقت کی حد محدود ہے اور جسمانی تشریح ناکافی ہے۔ تاہم، حالت کی یہ مساوات ٹھوس دھماکہ خیز مواد کے نمونوں میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی رہتی ہے۔ حالت کی زیادہ تفصیلی مساوات میں، ارتھ فزکس میں سب سے زیادہ استعمال ہونے والی حالت کی برچ-مرناگن مساوات ہے۔ دھاتوں اور مرکب دھاتوں کی شاک فزکس میں، حالت کی ایک اور وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والی مساوات می-گرونیسن مساوات ہے۔ پس منظر سیارے کی اندرونی تہوں کے اجزاء کی مکینیکل خصوصیات کے علم کے ذریعے زمین کی اندرونی ساخت کا مطالعہ انتہائی حالات پر مشتمل ہوتا ہے۔ دباؤ کو سینکڑوں گیگاپاسکل اور درجہ حرارت کو ہزاروں ڈگریوں میں شمار کیا جا سکتا ہے۔ ان حالات میں مادے کی خصوصیات کا مطالعہ تجرباتی طور پر جامد دباؤ کے لیے ڈائمنڈ اینویل سیل جیسے آلات کے ذریعے، یا مواد کو شاک لہروں کے تابع کر کے کیا جا سکتا ہے۔ اس نے حالت کی مساوات کا تعین کرنے کے لیے نظریاتی کام کو بھی جنم دیا، یعنی مختلف پیرامیٹرز کے درمیان تعلقات جو اس معاملے میں مادے کی حالت کی وضاحت کرتے ہیں: حجم (یا کثافت)، درجہ حرارت اور دباؤ۔ دو نقطہ نظر ہیں: بین جوہری صلاحیتوں سے اخذ شدہ ریاستی مساوات، یا ممکنہ طور پر اب ابتدائی حساب ؛ ریاستی مساوات میکانکس اور تھرموڈینامکس کے عمومی تعلقات سے اخذ کردہ۔ مرناگھان مساوات کا تعلق اس دوسرے زمرے سے ہے۔ مختلف مصنفین کی طرف سے درجنوں مساوات تجویز کی گئی ہیں۔ یہ تجرباتی تعلقات ہیں، معیار اور مطابقت اس کے استعمال پر منحصر ہے اور اس کا اندازہ مختلف معیارات سے کیا جا سکتا ہے: آزاد پیرامیٹرز کی تعداد جو شامل ہیں، جسمانی معنی جو ان پیرامیٹرز کو تفویض کیا جا سکتا ہے، تجرباتی ڈیٹا کا معیار، اور نظریاتی مفروضوں کی مستقل مزاجی جو اعلی کمپریشن پر ٹھوس مادوں کے رویے کو ایکسٹریپولیٹ کرنے کی ان کی صلاحیت پر مبنی ہے۔ حالت کی مساوات کے لیے تاثرات عام طور پر، مستقل درجہ حرارت پر، بلک ماڈیولس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: P اور V کو جوڑنے والی حالت کی مساوات حاصل کرنے کا سب سے آسان طریقہ یہ فرض کرنا ہے کہ K مستقل ہے، یعنی ٹھوس کے دباؤ اور اخترتی سے آزاد ہے، پھر ہم صرف ہک کا قانون تلاش کرتے ہیں۔ اس صورت میں، دباؤ کے ساتھ حجم تیزی سے کم ہوتا ہے۔ یہ ایک تسلی بخش نتیجہ نہیں ہے کیونکہ یہ تجرباتی طور پر قائم کیا گیا ہے کہ جیسے جیسے ٹھوس کو کمپریس کیا جاتا ہے، اسے کمپریس کرنا زیادہ مشکل ہو جاتا ہے۔ مزید آگے جانے کے لیے، ہمیں کمپریشن کے ساتھ ٹھوس کی لچکدار خصوصیات کی تغیرات کو مدنظر رکھنا چاہیے۔ یہ فرض کرنا ہے کہ مورناگن بلک ماڈیولس دباؤ کا ایک لکیری فنکشن ہے: مورناگن مساوات تفریق مساوات کے انضمام کا نتیجہ ہے: ہم دباؤ کے لحاظ سے حجم کا اظہار بھی کر سکتے ہیں: تاہم پوائر نے اس آسان پیش کش کو سختی کی کمی قرار دیتے ہوئے تنقید کا نشانہ بنایا ہے۔ ایک ہی تعلق کو اس حقیقت سے مختلف انداز میں دکھایا جا سکتا ہے کہ ماڈیولس اور تھرمل توسیعی گتانک کے پروڈکٹ کی غیر کمپریسبلٹی کسی دیئے گئے مواد کے دباؤ پر منحصر نہیں ہے۔ حالت کی یہ مساوات پرانے پولی ٹروپ تعلق کا بھی ایک عمومی معاملہ ہے جس کا مستقل طاقت کا تعلق بھی ہے۔ کچھ حالات میں، خاص طور پر اب ابتدائی حساب کے سلسلے میں، حجم کے فنکشن کے طور پر توانائی کے اظہار کو ترجیح دی جائے گی، جو تعلقات کے مطابق مندرجہ بالا مساوات کو مربوط کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اسے 3 سے مختلف K′0 پر لکھا جا سکتا ہے، فوائد اور حدود اس کی سادگی کے باوجود، مرناگن مساوات K0/2 کی ترتیب پر کافی بڑے دباؤ کے لیے تجرباتی ڈیٹا کو دوبارہ پیش کرنے کے قابل ہے۔ یہ بھی تسلی بخش ہے کیونکہ V/V0 کا تناسب تقریبا 90 فیصد سے اوپر رہتا ہے۔ اس حد میں، اگر کوئی حجم کو دباؤ کے فعل کے طور پر ظاہر کرنا چاہتا ہے تو مراگھن مساوات کو حالت کی دیگر مساوات کے مقابلے میں فائدہ ہے۔ اس کے باوجود، دیگر مساوات بہتر نتائج فراہم کر سکتی ہیں اور کئی نظریاتی اور تجرباتی مطالعات سے پتہ چلتا ہے کہ مرناگن مساوات بہت سے مسائل کے لیے غیر تسلی بخش ہے۔ اس طرح، اس حد تک کہ تناسب V/V0 بہت کم ہو جاتا ہے، نظریہ پیش گوئی کرتا ہے کہ K′ 5/3 تک جاتا ہے، جو کہ تھامس-فرمی کی حد ہے۔ تاہم، مرناگھن مساوات میں، K′ مستقل ہے اور اپنی ابتدائی قدر پر مقرر ہے۔ خاص طور پر، قدر K′0 = 5/3 کچھ حالات میں نظریہ کے ساتھ متضاد ہو جاتی ہے۔ در حقیقت، جب خلاصہ کیا جاتا ہے، تو مرناگن مساوات کے ذریعہ پیش گوئی کردہ طرز عمل کا بہت جلد امکان نہیں ہوتا ہے۔ اس نظریاتی دلیل سے قطع نظر، تجربہ واضح طور پر ظاہر کرتا ہے کہ K′ دباؤ کے ساتھ کم ہوتا ہے، یا دوسرے الفاظ میں یہ کہ انکمپریسیبلٹی ماڈیولس K′′ کا دوسرا مشتق سختی سے منفی ہے۔ اسی اصول پر مبنی سیکنڈ آرڈر تھیوری (اگلا سیکشن دیکھیں) اس مشاہدے کا سبب بن سکتا ہے، لیکن یہ نقطہ نظر اب بھی غیر تسلی بخش ہے۔ درحقیقت، یہ اس حد میں ایک منفی بلک ماڈیولس کی طرف جاتا ہے جہاں دباؤ لامحدود کی طرف جاتا ہے۔ در حقیقت، یہ ایک ناگزیر تضاد ہے جو بھی کثیر الجہتی توسیع کا انتخاب کیا جاتا ہے کیونکہ ہمیشہ ایک غالب اصطلاح ہوگی جو انفینٹی کی طرف موڑ جاتی ہے۔ ان اہم حدود کی وجہ سے مرناگن مساوات کو ترک کر دیا گیا ہے، جسے ڈبلیو ہولزافیل "بغیر کسی جسمانی جواز کے ایک مفید ریاضیاتی شکل" کہتے ہیں۔ عملی طور پر، کمپریشن ڈیٹا کا تجزیہ حالت کی زیادہ نفیس مساوات کا استعمال کرکے کیا جاتا ہے۔ سائنس برادری میں سب سے زیادہ استعمال ہونے والی برچ-مرناگن مساوات ہے، جو جمع کردہ اعداد و شمار کے معیار میں دوسرے یا تیسرے درجے کی ہوتی ہے۔ آخر میں، اس قسم کی حالت کی مساوات کی ایک بہت ہی عام حد یہ ہے کہ وہ پگھلنے کے دباؤ اور درجہ حرارت سے پیدا ہونے والے مرحلے کی منتقلی کو مدنظر رکھنے میں ناکام ہیں، بلکہ متعدد ٹھوس ٹھوس منتقلی بھی ہیں جو کثافت اور بلک ماڈیولس میں اچانک تبدیلیوں کا سبب بن سکتی ہیں۔ دباؤ پر مبنی۔ مثالیں عملی طور پر، مرناگن مساوات کو ڈیٹا سیٹ پر رجعت انجام دینے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جہاں کوفیشنٹس K0 اور K′0 کی اقدار ملتی ہیں۔ یہ کوفشنٹس حاصل کیے جاتے ہیں، اور حجم کی قدر اور ماحول کے حالات کو جانتے ہوئے، پھر ہم اصولی طور پر کسی بھی دباؤ کے لیے حجم، کثافت اور بلک ماڈیولس کا حساب لگانے کے قابل ہوتے ہیں۔ ڈیٹا سیٹ زیادہ تر اطلاق شدہ دباؤ کی مختلف اقدار کے لیے حجم کی پیمائش کا ایک سلسلہ ہے، جو زیادہ تر ایکس رے ڈفریکشن کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے۔ نظریاتی اعداد و شمار پر کام کرنا بھی ممکن ہے، اب ابتدائی طریقوں سے حجم کی مختلف اقدار کے لیے توانائی کا حساب لگانا، اور پھر ان نتائج کو واپس کرنا۔ یہ لچک کے ماڈیولس کی نظریاتی قدر دیتا ہے جس کا تجرباتی نتائج سے موازنہ کیا جا سکتا ہے۔ درج ذیل جدول میں مختلف مواد کے کچھ نتائج کی فہرست دی گئی ہے، جس کا واحد مقصد کچھ عددی تجزیوں کی وضاحت کرنا ہے جو حاصل کردہ ماڈلز کے معیار پر تعصب کے بغیر، مرناگن مساوات کا استعمال کرتے ہوئے کیے گئے ہیں۔ مراگھن مساوات کے جسمانی معنی پر پچھلے حصے میں کی گئی تنقید کو دیکھتے ہوئے، ان نتائج پر احتیاط کے ساتھ غور کیا جانا چاہیے۔ ماڈلز کو بہتر بنانے یا اوپر بیان کردہ تنقید سے بچنے کے لیے، مرناگن مساوات کی کئی عمومی تجاویز پیش کی گئی ہیں۔ وہ عام طور پر ایک آسان مفروضہ چھوڑنے اور ایک اور سایڈست پیرامیٹر شامل کرنے پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ اصلاح کی خصوصیات کو بہتر بنا سکتا ہے، لیکن پیچیدہ تاثرات کا باعث بھی بن سکتا ہے۔ ان اضافی پیرامیٹرز کے جسمانی معنی کا سوال بھی اٹھایا جاتا ہے۔ ایک ممکنہ حکمت عملی یہ ہے کہ پچھلی ترقی میں ایک اضافی اصطلاح P2 کو شامل کیا جائے، جس کی ضرورت ہے۔ اس تفریقی مساوات کو حل کرنے سے دوسرے درجے کے مرناگھن کی مساوات ملتی ہے: جہاں۔ قدرتی طور پر فرسٹ آرڈر مساوات لینے میں پایا جاتا ہے۔ 2 سے زیادہ آرڈر میں ترقی اصولی طور پر ممکن ہے، لیکن ہر اصطلاح کے لیے ایک سایڈست پیرامیٹر شامل کرنے کی قیمت پر۔ دیگر عامیوں کا حوالہ دیا جا سکتا ہے: کماری اور داس نے K = 0 کی شرط کو ترک کرتے ہوئے ایک عام کرنے کی تجویز پیش کی ہے لیکن دباؤ سے آزاد K/K′ رپورٹ کو فرض کرتے ہوئے ؛ کمار نے حجم کی تقریب کے طور پر اینڈرسن پیرامیٹر کے انحصار کو مدنظر رکھتے ہوئے ایک عام کرنے کی تجویز پیش کی۔ بعد میں یہ دکھایا گیا کہ یہ عمومی مساوات نئی نہیں تھی، بلکہ ٹائٹ مساوات کے لیے قابل تخفیف تھی۔ نوٹوں اور حوالوں کی کتابچہ نگاری بھی دیکھیں ریاستی بیرچ-مرناگھن مساوات کی حالت پولی ٹروپ بیرونی لنکس EosFit، تجرباتی اعداد و شمار کی اصلاح کے لیے ایک پروگرام اور ریاست کی مختلف مساوات کے لیے حساب کے تعلقات P (V)، بشمول مرناگھن مساوات۔ کنٹینم میکانکس طبیعیات کی نام نہاد مساوات حالت کی مساوات