Niven's theorem
ریاضی میں، نیوین تھیوریم، جسے آئیون نیوین کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، بیان کرتا ہے کہ 0° ≤ θ ≤ 90° کے وقفے میں θ کی واحد عقلی اقدار جن کے لیے θ ڈگریوں کا سائن بھی ایک عقلی نمبر ہے: ریڈیئنز میں، کسی کو 0 ≤ x ≤/2 کی ضرورت ہوگی، کہ x/عقلی ہو، اور یہ کہ sinx عقلی ہو۔ اس کے بعد نتیجہ یہ نکلتا ہے کہ صرف ایسی اقدار sin 0 = 0، sin/6 = 1/2، اور sin/2 = 1 ہیں۔ یہ نظریہ غیر معقول اعداد پر نیوین کی کتاب میں 2.12 کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ یہ نظریہ دیگر مثلثی افعال تک بھی پھیلا ہوا ہے۔ θ کی عقلی اقدار کے لیے، سائن یا کوسین کی واحد عقلی اقدار 0، ± 1/2، اور ± 1 ہیں۔ سیکینٹ یا کوسیکینٹ کی واحد عقلی اقدار ± 1 اور ± 2 ہیں ؛ اور ٹینجینٹ یا کوٹینجینٹ کی واحد عقلی اقدار 0 اور ± 1 ہیں۔ ان کے نظریہ کا تاریخ نوین کا ثبوت ان کی کتاب غیر معقول اعداد میں ظاہر ہوتا ہے۔ اس سے پہلے، نظریہ کو ڈی ایچ لیمر اور جے ایم ایچ اولمسٹڈ نے ثابت کیا تھا۔ اپنے 1933 کے مقالے میں، لہمر نے زیادہ عمومی نتیجہ ثابت کرکے کوسین کے نظریہ کو ثابت کیا۔ یعنی، لہمر نے دکھایا کہ نسبتا پرائم انٹیجرز کے لیے اور اس کے ساتھ، نمبر ڈگری کا الجبرائی نمبر ہے، جہاں یولر کے ٹوٹینٹ فنکشن کو ظاہر کرتا ہے۔ چونکہ عقلی اعداد کی ڈگری 1 ہوتی ہے، اس لیے ہمارے پاس ہونا چاہیے اور اس لیے صرف امکانات 1، 2، 3، 4، یا 6 ہیں۔ اس کے بعد، اس نے مثلثی شناخت کا استعمال کرتے ہوئے سائن کے لیے ایک متعلقہ نتیجہ ثابت کیا۔ 1956 میں، نیوین نے لہمر کے نتیجے کو دیگر مثلثی افعال تک بڑھایا۔ دوسرے ریاضی دانوں نے آنے والے سالوں میں نئے ثبوت دیے ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ پائیتھاگورین ٹرپل صحیح مثلث بناتے ہیں جہاں ٹرگونومیٹرک افعال ہمیشہ عقلی اقدار لیتے ہیں، حالانکہ شدید زاویہ عقلی ٹرگونومیٹرک افعال نہیں ہوتے ہیں ٹرگونومیٹرک نمبر حوالہ جات مزید پڑھنا جیومیٹری میں عقلی اعداد ٹرگونومیٹری تھیوریمز الجبرہ میں تھیوریمز