Absorbing Markov chain
امکان کے ریاضیاتی نظریہ میں، ایک جذب کرنے والا مارکوف سلسلہ ایک مارکوف سلسلہ ہے جس میں ہر حالت جذب کرنے والی حالت تک پہنچ سکتی ہے۔ جذب کرنے والی حالت وہ حالت ہے جس میں ایک بار داخل ہونے کے بعد اسے چھوڑا نہیں جا سکتا۔ عام مارکوف زنجیروں کی طرح، ایک لامحدود ریاستی جگہ کے ساتھ مسلسل وقت جذب کرنے والی مارکوف زنجیر ہو سکتی ہیں۔ تاہم، یہ مضمون ڈسکریٹ ٹائم ڈسکریٹ اسٹیٹ اسپیس کیس پر مرکوز ہے۔ رسمی تعریف مارکوف سلسلہ ایک جذب کرنے والا سلسلہ ہے اگر کم از کم ایک جذب کرنے والی حالت ہو اور کسی بھی ریاست سے کم از کم ایک جذب کرنے والی حالت میں محدود تعداد میں مراحل میں جانا ممکن ہو۔ جذب کرنے والی مارکوف زنجیر میں، ایک ایسی حالت جو جذب نہیں کر رہی ہے اسے عارضی کہا جاتا ہے۔ کینونکل فارم ٹرانزیشن میٹرکس P کے ساتھ ایک جذب کرنے والی مارکوف چین میں t عارضی حالتیں اور r جذب کرنے والی حالتیں ہوتی ہیں۔ ایک عام ٹرانزیشن میٹرکس کے برعکس، P کی قطاریں ذرائع کی نمائندگی کرتی ہیں، جبکہ کالم منزلوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ پھر جہاں Q ایک t-by-t میٹرکس ہے، R ایک غیر صفر t-by-r میٹرکس ہے، 0 ایک r-by-t صفر میٹرکس ہے، اور IR r-by-r شناختی میٹرکس ہے۔ اس طرح، ق کسی عارضی حالت سے دوسری عارضی حالت میں منتقلی کے امکان کو بیان کرتا ہے جبکہ R کسی عارضی حالت سے کسی جذب کرنے والی حالت میں منتقلی کے امکان کو بیان کرتا ہے۔ بالکل k مراحل میں i سے j میں منتقلی کا امکان Pk کا (i، j)-اندراج ہے، جس کی مزید گنتی ذیل میں کی گئی ہے۔ جب صرف عارضی حالتوں پر غور کیا جاتا ہے، تو امکان پی کے کے اوپری بائیں طرف پایا جاتا ہے، کیو کے کا (i، j)-اندراج۔ بنیادی میٹرکس عارضی حالت کے دوروں کی متوقع تعداد ایک جذب شدہ مارکوف سلسلہ کے بارے میں ایک بنیادی خاصیت ایک عارضی حالت کے دوروں کی متوقع تعداد ہے جو عارضی حالت i (جذب ہونے سے پہلے) سے شروع ہوتی ہے۔ اسے نام نہاد بنیادی میٹرکس N کے (i, j) اندراج کے ذریعے دیا جا سکتا ہے، جو تمام k (0 سے φ تک) کے لیے Qk کا خلاصہ کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ یہ ٹی-بائی-ٹی شناختی میٹرکس ہے۔ اس فارمولے کا حساب میٹرکس اسکیلرز کی ہندسی سیریز کے مساوی ہے۔ ہاتھ میں میٹرکس N کے ساتھ، مارکوف چین کی دیگر خصوصیات بھی حاصل کرنا آسان ہے۔ جذب ہونے سے پہلے مراحل کی متوقع تعداد کسی بھی جذب کرنے والی حالت میں جذب ہونے سے پہلے مراحل کی متوقع تعداد، جب عارضی حالت میں شروع ہوتا ہے تو i کو عارضی حالتوں کے مجموعے کے ذریعے شمار کیا جا سکتا ہے۔ قدر ویکٹر کے ith اندراج کے ذریعے دی جاتی ہے جہاں 1 لمبائی-t کالم ویکٹر ہے جس کی تمام اندراجات 1 ہیں۔ جذب کرنے کے امکانات انڈکشن کے ذریعے، عارضی حالت i سے شروع کرتے وقت بالآخر جذب کرنے والی حالت j میں جذب ہونے کا امکان میٹرکس کے (i، j)-اندراج کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اس میٹرکس کے کالموں کی تعداد جذب کرنے والی حالتوں کی تعداد r کے برابر ہوتی ہے۔ ان امکانات کا تخمینہ براہ راست (i, j)-اندراج سے بھی حاصل کیا جا سکتا ہے جو کہ k کی کافی بڑی قدر کے لیے ہے، جب i ایک عارضی کا اشاریہ ہے، اور j ایک جذب کرنے والی حالت کا اشاریہ ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے۔ عارضی دورہ کے امکانات عارضی حالت i سے شروع کرتے وقت عارضی حالت j کا دورہ کرنے کا امکان میٹرکس کا (i, j)-اندراج ہے جہاں Ndg ایک ہی اخترن کے ساتھ اخترن میٹرکس ہے جس میں N ہے۔ عارضی دوروں کی تعداد پر تغیر ایک عارضی حالت j کے دوروں کی تعداد پر تغیر ایک عارضی حالت i سے شروع ہوتا ہے (جذب ہونے سے پہلے) میٹرکس کا (i, j)-اندراج ہے جہاں Nsq اپنے ساتھ N کا ہڈمارڈ پروڈکٹ ہے (یعنی۔ N کی ہر اندراج مربع شدہ ہے)۔ مراحل کی تعداد پر تغیر عارضی حالت i میں شروع کرتے وقت جذب ہونے سے پہلے مراحل کی تعداد پر تغیر ویکٹر کا ith اندراج ہے جہاں tsq خود کے ساتھ t کا ہڈمارڈ پروڈکٹ ہے (یعنی، جیسا کہ Nsq کے ساتھ، t کا ہر اندراج مربع ہے)۔ سٹرنگ جنریشن کی مثالیں ایک منصفانہ سکے کو بار بار پلٹانے کے عمل پر غور کریں جب تک کہ ترتیب (سر، دم، سر) ظاہر نہ ہو جائے۔ یہ عمل ٹرانزیشن میٹرکس کے ساتھ ایک جذب کرنے والی مارکوف چین کے ذریعے وضع کیا گیا ہے۔ پہلی حالت خالی تار کی نمائندگی کرتی ہے، دوسری حالت "H" تار کی، تیسری حالت "HT" تار کی، اور چوتھی حالت "HTH" تار کی۔ اگرچہ حقیقت میں، سٹرنگ "ایچ ٹی ایچ" پیدا ہونے کے بعد سکہ پلٹنا بند ہو جاتا ہے، جذب کرنے والے مارکوف سلسلہ کا نقطہ نظر یہ ہے کہ یہ عمل "ایچ ٹی ایچ" سٹرنگ کی نمائندگی کرنے والی جذب کرنے والی حالت میں منتقل ہو گیا ہے اور اس وجہ سے چھوڑ نہیں سکتا۔ اس جذب کرنے والی مارکوف زنجیر کے لیے، بنیادی میٹرکس ہے۔ ہر عارضی حالت سے شروع ہونے والے مراحل کی متوقع تعداد ہے۔ لہذا، ترتیب (سر، دم، سر) کا مشاہدہ کرنے سے پہلے سکے کے پلٹنے کی متوقع تعداد 10 ہے، خالی تار کی نمائندگی کرنے والی ریاست کے لیے اندراج۔ گیم آف چانس مکمل طور پر موقع پر مبنی گیمز کو ایک جذب کرنے والی مارکوف چین کے ذریعے ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ اس کی ایک بہترین مثال قدیم ہندوستانی بورڈ گیم سانپ اور سیڑھی ہے۔ بائیں طرف کا گراف امکان کی کمیت کو تنہا جذب کرنے والی حالت میں پلاٹ کرتا ہے جو حتمی مربع کی نمائندگی کرتا ہے کیونکہ منتقلی میٹرکس کو بڑی اور بڑی طاقتوں تک بڑھایا جاتا ہے۔ کھیل کو مکمل کرنے کے لیے موڑ کی متوقع تعداد کا تعین کرنے کے لیے، ویکٹر ٹی کا حساب لگائیں جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے اور ٹی اسٹارٹ کا جائزہ لیں، جو تقریبا 39.2 ہے۔ متعدی بیماریوں کی جانچ، یا تو خون کی مصنوعات کی یا طبی کلینکوں میں، اکثر جذب کرنے والی مارکوف زنجیر کی مثال کے طور پر سکھائی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایچ آئی وی اور ہیپاٹائٹس بی کے لیے عوامی یو ایس سینٹرز فار ڈیزیز کنٹرول اینڈ پریوینشن (سی ڈی سی) ماڈل، اس خاصیت کی وضاحت کرتا ہے کہ مارکوف زنجیروں کو جذب کرنے سے بیماری کا پتہ لگ سکتا ہے، بمقابلہ دوسرے ذرائع سے پتہ لگانے میں کمی۔ معیاری سی ڈی سی ماڈل میں، مارکوف سلسلہ کی پانچ ریاستیں ہیں، ایک ایسی ریاست جس میں فرد غیر متعدی ہے، پھر ایک ایسی ریاست جس میں متاثرہ لیکن ناقابل شناخت وائرس ہے، ایک ایسی ریاست جس میں پتہ لگانے کے قابل وائرس ہے، اور کلینک چھوڑنے/کھو جانے کی حالتوں کو جذب کرتی ہے، یا پتہ چلا ہے (مقصد)۔ مارکوف ریاستوں کے درمیان منتقلی کی عام شرحوں میں وائرس سے متاثر ہونے کے فی یونٹ وقت کا امکان p، ونڈو پیریڈ ہٹانے کی شرح کے لیے w (وائرس کا پتہ لگانے کے قابل ہونے تک کا وقت)، نظام سے باہر نکلنے/نقصان کی شرح کے لیے q، اور پتہ لگانے کے لیے d، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک عام شرح جس پر صحت کا نظام خون کی مصنوعات یا زیر بحث مریضوں کے ٹیسٹ کا انتظام کرتا ہے۔ اس کے بعد ہم ماڈل کی ہر اگلی حالت میں منتقلی کے امکانات کو ضرب دے کر، کسی شخص کا پتہ لگانے کے مجموعی امکان کی نشاندہی کرنے کے لیے مارکوف ماڈل کے ساتھ ساتھ چل سکتے ہیں: اس کے بعد غلط منفی ٹیسٹوں کی کل مطلق تعداد-بنیادی سی ڈی سی تشویش-اس کے بعد ٹیسٹوں کی شرح ہوگی، جو متاثرہ لیکن ناقابل شناخت حالت تک پہنچنے کے امکان سے ضرب دی جائے گی، متاثرہ ناقابل شناخت حالت میں رہنے کی مدت کا گنا: مزید دیکھیں مجرد مرحلے کی قسم کی تقسیم جذب کرنے والا سیٹ (بے ترتیب متحرک نظام) حوالہ جات بیرونی روابط وولفرم مظاہرے کا منصوبہ: مارکوف چین کی اجارہ داری کو مارکوف چین کے طور پر جذب کرنا مارکوف ماڈل پر کارروائی کرتا ہے۔