Carathéodory kernel theorem
ریاضی میں، کیریتھیوڈری کرنل تھیوریم پیچیدہ تجزیہ اور جیومیٹرک فنکشن تھیوری کا نتیجہ ہے جو یونانی ریاضی دان کانسٹینٹین کیریتھیوڈری نے 1912 میں قائم کیا تھا۔ ہولومورفک غیر مساوی افعال کی ترتیب کے کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں کنورجنس، جس کی وضاحت پیچیدہ سطح میں یونٹ ڈسک پر کی گئی ہے اور 0 کو فکس کرنا، افعال کی تصاویر کے محدود رویے کے لحاظ سے خالص طور پر ہندسی طور پر وضع کیا جا سکتا ہے۔ کرنل تھیوریم کا نظریہ غیر مساوی افعال میں وسیع اطلاق ہوتا ہے اور خاص طور پر لوونر تفریق مساوات کے لیے ہندسی بنیاد فراہم کرتا ہے۔ کھلے سیٹوں کی ترتیب کا دانا C میں کھلے سیٹوں کا ایک سلسلہ ہے جس میں 0 ہے۔ Vn کو 0 پر مشتمل اندرونی حصہ کا منسلک جزو ہونے دیں۔ ترتیب کے دانے کو Vn کے اتحاد کے طور پر بیان کیا گیا ہے، بشرطیکہ یہ خالی نہ ہو ؛ بصورت دیگر اس کی وضاحت کی گئی ہے۔ اس طرح دانا یا تو ایک منسلک کھلا سیٹ ہے جس میں 0 یا ایک پوائنٹ سیٹ ہوتا ہے۔ کہا جاتا ہے کہ ترتیب ایک دانا میں بدل جاتی ہے اگر ہر تسلسل میں ایک ہی دانا ہو۔ مثال کے طور پر اگر یون 0 پر مشتمل جڑے ہوئے کھلے سیٹوں کی بڑھتی ہوئی ترتیب ہے، تو دانا صرف اتحاد ہے۔ اگر یون 0 پر مشتمل جڑے ہوئے کھلے سیٹوں کی گھٹتی ہوئی ترتیب ہے، تو، اگر 0 U1 θ U2 θ کا اندرونی نقطہ ہے، تو ترتیب 0 پر مشتمل اندرونی جزو میں بدل جاتی ہے۔ بصورت دیگر، اگر 0 اندرونی نقطہ نہیں ہے، تو ترتیب یکجا ہو جاتی ہے۔ کرنل تھیوریم فرض کریں کہ fn (z) یونٹ ڈسک D پر ہولومورفک غیر مساوی افعال کی ایک ترتیب ہے، جسے معمول بنایا گیا ہے تاکہ fn (0) = 0 اور f 'n (0)> 0 ہو۔ پھر fn D میں کمپیکٹ پر یکساں طور پر کسی فنکشن f میں یکجا ہو جاتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب Un = fn (D) اس کے دانے میں یکجا ہو جائے اور یہ دانا C نہیں ہو۔ اگر دانا ہے، تو f = 0۔ بصورت دیگر دانا ایک جڑا ہوا کھلا سیٹ U ہے، f D پر غیر مساوی ہے اور f (D) = U۔ ثبوت ہروٹز تھیوریم اور مونٹیل تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے، یہ چیک کرنا سیدھا ہے کہ اگر fn کمپیکٹا پر یکساں طور پر f کی طرف مائل ہوتا ہے تو Un کے ہر تسلسل میں دانا U = f (D) ہوتا ہے۔ اس کے برعکس اگر Un کسی ایسے دانے میں ضم ہو جاتا ہے جو C کے برابر نہیں ہے، تو کویبی کوارٹر تھیوریم کے مطابق Un مرکز 0 کے ساتھ رداس f 'n (0)/4 کی ڈسک پر مشتمل ہے۔ یہ مفروضہ کہ U ष्ण C کا مطلب ہے کہ یہ ریڈی یکساں طور پر بندھے ہوئے ہیں۔ کویبی ڈسٹورشن تھیوریم کے مطابق اس لیے ترتیب fn یکساں طور پر کمپیکٹ سیٹوں پر پابند ہے۔ اگر دو تسلسل ہولومورفک حدود f اور g میں یکجا ہوتے ہیں، تو f (0) = g (0) اور f '(0)، g' (0) ≤ 0 کے ساتھ۔ پہلے حصے اور مفروضوں کے مطابق یہ f (D) = g (D) کی پیروی کرتا ہے۔ ریمن میپنگ تھیوریم میں انفرادیت f = g کو مجبور کرتی ہے، لہذا اصل ترتیب f "n کمپیکٹ سیٹوں پر یکساں طور پر متغیر ہے۔ پیچیدہ تجزیے میں حوالہ جات کے نظریات