Weak equivalence (homotopy theory)
ریاضی میں، کمزور مساوات ہوموٹوپی تھیوری کا ایک تصور ہے جو کچھ معنوں میں ایسی اشیاء کی شناخت کرتا ہے جن کی "شکل" ایک جیسی ہوتی ہے۔ اس تصور کو ماڈل کیٹیگری کی محوری تعریف میں رسمی شکل دی گئی ہے۔ ماڈل زمرہ ایک زمرہ ہے جس میں مورفزم کی کلاسیں ہوتی ہیں جنہیں کمزور مساوات، ریشے اور ہم آہنگی کہا جاتا ہے، جو کئی محوریوں کو مطمئن کرتا ہے۔ ماڈل کے زمرے سے وابستہ ہوموٹوپی زمرے میں ایک جیسی اشیاء ہوتی ہیں، لیکن مورفزم کو تبدیل کیا جاتا ہے تاکہ کمزور مساوات کو آئسومورفزم میں تبدیل کیا جا سکے۔ یہ ایک مفید مشاہدہ ہے کہ متعلقہ ہوموٹوپی زمرہ صرف کمزور مساوات پر منحصر ہے، نہ کہ ریشوں اور ہم آہنگی پر۔ ٹوپوولوجیکل اسپیس ماڈل کیٹیگریز کو کویلن نے ہوموٹوپی تھیوری کے محوریت کے طور پر بیان کیا تھا جو ٹوپوولوجیکل اسپیس پر لاگو ہوتا ہے، بلکہ الجبرا اور جیومیٹری کے بہت سے دوسرے زمروں پر بھی لاگو ہوتا ہے۔ جس مثال نے اس موضوع کو شروع کیا وہ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا زمرہ ہے جس میں سیر فائبرشن فائبرشن کے طور پر اور کمزور ہوموٹوپی مساوات کمزور مساوات کے طور پر ہیں (اس ماڈل کے ڈھانچے کے لیے کوفبریشن کو رشتہ دار سیل کمپلیکس X′Y کے پیچھے ہٹنے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے)۔ تعریف کے مطابق، خالی جگہوں کی مسلسل نقشہ سازی f: X → Y کو کمزور ہوموٹوپی مساوات کہا جاتا ہے اگر راستے کے اجزاء کے سیٹوں پر انڈیوسڈ فنکشن بائیجیکٹو ہے، اور X میں ہر نقطہ x اور ہر n ≤ 1 کے لیے، ہوموٹوپی گروپوں پر انڈیوسڈ ہومومورفزم بائیجیکٹو ہے۔ (X اور Y راستے سے منسلک ہونے کے لیے، پہلی شرط خودکار ہے، اور یہ X میں ایک نقطہ x کے لیے دوسری شرط بیان کرنے کے لیے کافی ہے۔) صرف جڑی ہوئی ٹوپولوجیکل خالی جگہوں X اور Y کے لیے، نقشہ f: X → Y ایک کمزور ہوموٹوپی مساوات ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب واحد ہومیولوجی گروپوں پر حوصلہ افزائی شدہ ہومومورفزم f *: Hn (X, Z) → Hn (Y, Z) تمام n کے لیے بجنوی ہو۔ اسی طرح، صرف جڑی ہوئی خالی جگہوں X اور Y کے لیے، ایک نقشہ f: X → Y ایک کمزور ہوموٹوپی مساوات ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب واحد کوہمولوجی پر پل بیک ہومومورفزم f *: Hn (Y, Z) → Hn (X, Z) تمام n کے لیے بجنوی ہو۔ مثال: فرض کریں کہ X قدرتی اعداد کا مجموعہ ہو۔ مثبت عدد n کے لیے 0 سے 0 اور n سے 1/n کا نقشہ بنا کر f: X → Y کی وضاحت کریں۔ پھر f مسلسل ہے، اور حقیقت میں ایک کمزور ہوموٹوپی مساوات ہے، لیکن یہ ہوموٹوپی مساوات نہیں ہے۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کا ہوموٹوپی زمرہ (کمزور ہوموٹوپی مساوات کو الٹ کر حاصل کیا گیا) ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے کو بہت آسان بناتا ہے۔ درحقیقت، یہ ہوموٹوپی زمرہ سی ڈبلیو کمپلیکس کے زمرے کے مساوی ہے جس میں مورفزم مسلسل نقشوں کی ہوموٹوپی کلاسیں ہیں۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہوں کے زمرے میں بہت سے دوسرے ماڈل ڈھانچوں پر بھی غور کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر اسٹروم ماڈل ڈھانچے میں، ریشے ہوریوکس ریشے ہیں اور کمزور مساوات ہوموٹوپی مساوات ہیں۔ سلسلہ کمپلیکس ماڈل کے کچھ دیگر اہم زمروں میں سلسلہ کمپلیکس شامل ہیں۔ A کو گروتھینڈیک ابیلین زمرہ ہونے دیں، مثال کے طور پر کسی رنگ پر ماڈیولز کا زمرہ یا ٹوپولوجیکل اسپیس پر ابیلین گروپوں کے شیوز کا زمرہ۔ زمرہ C (A) کی وضاحت کریں جس میں اشیاء کے کمپلیکس A میں موجود ہیں، اور زنجیر کے نقشوں کو مورفزم کریں۔ (یہ A کی اشیاء کے "کوچین کمپلیکس" پر غور کرنے کے مساوی ہے، جہاں نمبرنگ کو صرف xi = x−i کی وضاحت کرتے ہوئے لکھا جاتا ہے۔) زمرہ سی (اے) میں ایک ماڈل ڈھانچہ ہے جس میں کوفبریشنز مونومورفزم ہیں اور کمزور مساوات نیم آئسومورفزم ہیں۔ تعریف کے مطابق، ایک سلسلہ نقشہ f: X → Y ایک نیم آئسومورفزم ہے اگر ہومیولوجی پر حوصلہ افزائی شدہ ہومومورفزم تمام انٹیجرز n کے لیے ایک آئسومورفزم ہے۔ (یہاں Hn (X) A کا آبجیکٹ ہے جس کی تعریف Xn کے دانا کے طور پر کی گئی ہے۔ نتیجے میں ہونے والی ہوموٹوپی کیٹیگری کو مشتق کیٹیگری D (A) کہا جاتا ہے۔ ٹریوئل فائبرشن اور ٹریوئل کوفیبریشن کسی بھی ماڈل کے زمرے میں، ایک فائبرشن جو ایک کمزور مساوات بھی ہے اسے ٹریوئل (یا ایسائکلک) فائبرشن کہا جاتا ہے۔ ایک کوفیبریشن جو ایک کمزور مساوات بھی ہے اسے ٹریوئل (یا ایسائکلک) کوفیبریشن کہا جاتا ہے۔ حوالہ جات ہوموٹوپی تھیوری ہومیولوجیکل الجبرا مساوات (ریاضی)