Microcontinuity
غیر معیاری تجزیے میں، کلاسیکی ریاضی کے اندر ایک نظم و ضبط، ایک نقطہ a پر اندرونی فعل f کی مائیکرو کنٹینیوٹی (یا S-تسلسل) کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: a کے لامحدود قریب تمام x کے لیے، f (x) کی قدر لامحدود طور پر f (a) کے قریب ہے۔ یہاں x f کے ڈومین سے گزرتا ہے۔ فارمولوں میں، اس کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: اگر تب۔ کسی فنکشن f کے لیے، تعریف کو ہالو کے لحاظ سے مندرجہ ذیل طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: f مائیکرو کانٹینیوس ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب، جہاں f کی ہائپرریلز تک قدرتی توسیع کو اب بھی f سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ متبادل طور پر، c پر مائیکرو کانٹینیوٹی کی خاصیت کا اظہار یہ کہہ کر کیا جا سکتا ہے کہ ساخت c کے ہالو پر مستقل ہے، جہاں "st" معیاری حصہ فنکشن ہے۔ فنکشن کے تسلسل کی جدید خاصیت کی تعریف سب سے پہلے بولزانو نے 1817 میں کی تھی۔ تاہم، بولزانو کے کام کو بڑی ریاضیاتی برادری نے 1860 کی دہائی میں ہائن میں اس کی دوبارہ دریافت ہونے تک نہیں دیکھا تھا۔ دریں اثنا، کاچی کی نصابی کتاب کورس ڈی اینالیس نے 1821 میں اوپر کے طور پر لامحدود کا استعمال کرتے ہوئے تسلسل کی وضاحت کی۔ تسلسل اور یکساں تسلسل مائیکرو کنٹینیوٹی کی خاصیت عام طور پر ایک حقیقی فنکشن f کی قدرتی توسیع f * پر لاگو ہوتی ہے۔ اس طرح، f کی تعریف ایک حقیقی وقفہ I پر ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f * I کے ہر نقطہ پر مائیکرو کنٹینیوئس ہو۔ دریں اثنا، f، I پر یکساں طور پر مسلسل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب f * اپنے ڈومین I کے قدرتی توسیعی I * کے ہر نقطہ (معیاری اور غیر معیاری) پر مائکرو مسلسل ہو (ڈیوس، 1977، صفحہ 96 دیکھیں)۔ مثال 1 کھلے وقفے (0,1) پر حقیقی فنکشن یکساں طور پر مسلسل نہیں ہے کیونکہ f کی قدرتی توسیع f * ایک لامحدود پر مائیکرو کانٹینیوس ہونے میں ناکام رہتی ہے۔ درحقیقت، اس طرح کے a کے لیے، اقدار a اور 2a لامحدود قریب ہیں، لیکن f * کی اقدار، یعنی اور لامحدود قریب نہیں ہیں۔ مثال 2 فنکشن آن یکساں طور پر مسلسل نہیں ہے کیونکہ f * لامحدود نقطہ پر مائیکرو کنٹینیوئس ہونے میں ناکام رہتا ہے۔ یعنی ترتیب اور K = H + e، کوئی آسانی سے دیکھ سکتا ہے کہ H اور K لامحدود قریب ہیں لیکن f * (H) اور f * (K) لامحدود قریب نہیں ہیں۔ یکساں کنورجنس یکساں کنورجنس اسی طرح ہائپرریئل ترتیب میں ایک آسان تعریف کو تسلیم کرتا ہے۔ اس طرح، ایک ترتیب یکساں طور پر f میں بدل جاتی ہے اگر f * کے ڈومین میں تمام x اور تمام لامحدود n کے لیے، لامحدود قریب ہو۔ اسٹینڈرڈ پارٹ فنکشن ببلیوگرافی مارٹن ڈیوس (1977) اپلائیڈ غیر معیاری تجزیہ بھی دیکھیں۔ خالص اور اطلاقی ریاضی۔ ولی-انٹرسائنس [جان ولی اینڈ سنز]، نیویارک-لندن-سڈنی۔ xii + 181 پی پی۔ گورڈن، ای۔ آئی۔ ؛ کسرائیو، اے۔ جی۔ ؛ کوٹاٹیلڈزے، ایس۔ ایس۔: لامحدود تجزیہ۔ 2001 کے روسی اصل کا تازہ ترین اور نظر ثانی شدہ ترجمہ۔ ترجمہ کوٹاٹیلڈزے نے کیا ہے۔ ریاضی اور اس کے اطلاقات، 544۔ کلوور اکیڈمک پبلشرز، ڈورڈرچٹ، 2002۔ حوالہ جات غیر معیاری تجزیہ