Kasch ring
رنگ تھیوری میں، تجریدی الجبرا کا ایک ذیلی میدان، ایک دائیں کاش رنگ ایک رنگ R ہے جس کے لیے ہر سادہ دائیں R ماڈیول R کے دائیں آئیڈیل کے لیے آئسومورفک ہے۔ اسی طرح بائیں کاش رنگ کے تصور کی وضاحت کی گئی ہے، اور دونوں خصوصیات ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ کاش کے بجتوں کا نام ریاضی دان فریڈرک کاش کے اعزاز میں رکھا گیا ہے۔ کاش کو اصل میں آرٹینین رنگز کہا جاتا ہے جن کے مناسب آئیڈیلز میں نان زیرو اینہیلیٹرز ایس-رنگز ہوتے ہیں۔ نیچے دی گئی خصوصیات سے پتہ چلتا ہے کہ کاش کے بجتے ایس-رنگوں کو عام کرتے ہیں۔ تعریف مساوی تعریفیں صرف دائیں ہاتھ کے ورژن کے لیے متعارف کرائی جائیں گی، اس سمجھ کے ساتھ کہ بائیں ہاتھ کے ینالاگ بھی درست ہیں۔ کاش کنڈیشنز میں اینہیلیٹرز کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے کچھ مساوی بیانات ہیں، اور یہ مضمون اینہیلیٹر آرٹیکل میں ظاہر ہونے والے اسی اشارے کا استعمال کرتا ہے۔ تعارف میں دی گئی تعریف کے علاوہ، درج ذیل خصوصیات ایک رنگ R کے صحیح کاش ہونے کے لیے مساوی تعریفیں ہیں۔ وہ اس میں ظاہر ہوتے ہیں: ہر سادہ دائیں R ماڈیول M کے لیے، M سے R میں ایک غیر صفر ماڈیول ہومومورفزم ہوتا ہے۔ R کے زیادہ سے زیادہ دائیں آئیڈیل رنگ عناصر کے صحیح اناہیلیٹر ہوتے ہیں، یعنی ہر ایک اس شکل کا ہوتا ہے جہاں x R میں ہوتا ہے۔ R کے کسی بھی زیادہ سے زیادہ دائیں آئیڈیل T کے لیے،۔ R کے کسی بھی مناسب صحیح آئیڈیل T کے لیے،۔ R کے کسی بھی زیادہ سے زیادہ صحیح آئیڈیل T کے لیے۔ R کا کوئی ڈینس رائٹ آئیڈیل نہیں ہے سوائے R کے۔ مثالیں ذیل میں دیا گیا مواد حوالہ جات میں پایا جا سکتا ہے جیسے،،۔ R کو جیکبسن ریڈیکل J کے ساتھ ایک نیم ابتدائی رنگ ہونے دیں۔ اگر R تبادلہ ہے، یا اگر R/J ایک سادہ رنگ ہے، تو R دائیں (اور بائیں) کاش ہے۔ خاص طور پر، تبادلے والے آرٹینین کے حلقے دائیں اور بائیں کاش ہوتے ہیں۔ ڈویژن رنگ k کے لیے، k سے اندراجات کے ساتھ چار بہ چار میٹرکس رنگ کی ایک مخصوص سبرنگ R پر غور کریں۔ سبرنگ R مندرجہ ذیل شکل کے میٹرکس پر مشتمل ہے: یہ دائیں اور بائیں آرٹینین رنگ ہے جو دائیں کاش ہے، لیکن بائیں کاش نہیں ہے۔ فرض کریں کہ S دو غیر مواصلاتی متغیرات X اور Y پر ایک فیلڈ F کے کوفیشنٹس کے ساتھ پاور سیریز کا رنگ ہے۔ آئیڈیل A کو دو عناصر YX اور Y2 سے پیدا ہونے والا آئیڈیل ہونے دیں۔ حصص کی انگوٹی S/A ایک مقامی انگوٹی ہے جو دائیں کاش ہے لیکن بائیں کاش نہیں ہے۔ فرض کریں کہ R اے کے لیبل والے لامحدود بہت سے غیر صفر رنگوں کا ایک رنگ براہ راست پروڈکٹ ہے۔ اے کے کا براہ راست مجموعہ آر کا ایک مناسب آئیڈیل بناتا ہے۔ یہ آسانی سے چیک کیا جاتا ہے کہ اس آئیڈیل کے بائیں اور دائیں اناہیلیٹر صفر ہیں، اور اس لیے آر دائیں یا بائیں کاش نہیں ہے۔ دو بائی دو اوپری (یا نچلے) مثلث میٹرکس کی انگوٹی دائیں یا بائیں کاش نہیں ہے۔ دائیں ساکل صفر والی انگوٹھی (یعنی) صحیح کاش نہیں ہو سکتا، کیونکہ رنگ میں کوئی کم از کم صحیح آئیڈیل نہیں ہوتا ہے۔ لہذا، مثال کے طور پر، ڈومینز جو ڈویژن رنگ نہیں ہیں وہ دائیں یا بائیں کاش نہیں ہیں۔ حوالہ جات الجبرائی ڈھانچے رنگ تھیوری