Preissmann's theorem
ریاضیات کے ایک شعبے، ریمینیئن جیومیٹری میں، پریسمین تھیوریم ایک ایسا بیان ہے جو منفی مڑے ہوئے کمپیکٹ ریمینیئن کئی گنا کی ممکنہ ٹوپولوجی کو محدود کرتا ہے۔ اس کا نام الیگزینڈر پریسمین کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1943 میں ایک ثبوت شائع کیا تھا۔ پریسمین تھیوریم منفی سیکشنل منحنی خطوط کے ریمینیائی میٹرک کے ساتھ ایک بند کئی گنا پر غور کریں۔ پریسمین تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ بنیادی گروپ کے ہر غیر معمولی ابیلین ذیلی گروپ کو انٹیجرز کے اضافی گروپ کے لیے آئسومورفک ہونا چاہیے۔ اس کی ڈھیلی تشریح یہ کہتے ہوئے کی جا سکتی ہے کہ اس طرح کے کئی گنا کا بنیادی گروہ انتہائی غیر ایبلین ہونا چاہیے۔ مزید برآں، بنیادی گروہ خود ابیلین نہیں ہو سکتا۔ مثال کے طور پر، پریس مین کے نظریہ سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ-جہتی ٹورس سختی سے منفی سیکشنل منحنیت کے کسی بھی ریمینیائی میٹرک کو قبول نہیں کرتا ہے (جب تک کہ دو نہ ہو)۔ زیادہ عام طور پر، مثبت جہتوں کے دو بند کئی گنا کا پروڈکٹ سختی سے منفی سیکشنل منحنی خطوط کے ریمینیائی میٹرک کو تسلیم نہیں کرتا ہے۔ پریسمین تھیوریم کا معیاری ثبوت ان رکاوٹوں سے متعلق ہے جو جیوڈیسکس کی لمبائی اور زاویوں پر منفی منحنی خطوط بناتی ہیں۔ تاہم، یہ جزوی تفریقی مساوات کی تکنیکوں کے ذریعے بھی ثابت کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ ہارمونک نقشوں پر جیمز ایلز اور جوزف سیمپسن کے بنیادی نظریہ کا براہ راست نتیجہ ہے۔ فلیٹ ٹورس تھیوریم پریس مین تھیوریم کو ڈیٹلف گرومول اور جوزف وولف کے ذریعہ حاصل کردہ زیادہ طاقتور فلیٹ ٹورس تھیوریم کے ایک خاص کیس کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، اور آزادانہ طور پر بلیین لاسن اور شنگ تنگ یاؤ کے ذریعہ۔ اس سے یہ ثابت ہوتا ہے کہ، سیکشنل منحنی خطوط کی غیر مثبتیت کے تحت، بنیادی گروپ کے ابیلین ذیلی گروپوں کی نمائندگی ہندسی طور پر خصوصی ذیلی مینیفولڈز کے ذریعے کی جاتی ہے: ایک فلیٹ ٹورس کے مکمل طور پر جیوڈیسیک آئسومیٹرک وسرجن۔ الیگزینڈرف خالی جگہوں کا ایک اچھی طرح سے تیار شدہ نظریہ ہے جو سیکشنل منحنی خطوط پر اوپری حدود کے نظریہ کو میٹرک خالی جگہوں کے سیاق و سباق تک پھیلاتا ہے۔ فلیٹ ٹورس تھیوریم، پریس مین تھیوریم کے خصوصی کیس کے ساتھ، اس وسیع تر سیاق و سباق میں رکھا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات کی کتابیں۔ ریمانین جیومیٹری میں نظریات