Ramanujan's master theorem
ریاضی میں، رامانوجن کا ماسٹر تھیوریم، جس کا نام سری نواس رامانوجن کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک ایسی تکنیک ہے جو تجزیاتی فعل کی میلن تبدیلی کے لیے ایک تجزیاتی اظہار فراہم کرتی ہے۔ نتیجہ اس طرح بیان کیا گیا ہے: اگر کسی پیچیدہ قدر والے فنکشن کی شکل میں توسیع ہوتی ہے تو اس کا میلن ٹرانسفارم گاما فنکشن کہاں ہے اس سے دیا جاتا ہے۔ اسے رامانوجن نے قطعی انٹیگرلز اور لامحدود سیریز کا حساب لگانے کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال کیا تھا۔ اس تھیوریم کے اعلی جہتی ورژن کوانٹم فزکس میں بھی ظاہر ہوتے ہیں (فین مین خاکے کے ذریعے)۔ اسی طرح کا نتیجہ گلیشر نے بھی حاصل کیا۔ متبادل فارملزم رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم کی ایک متبادل تشکیل مندرجہ ذیل ہے: جو گاما فنکشن کے لیے فنکشنل مساوات کو تبدیل کرنے اور استعمال کرنے کے بعد مندرجہ بالا شکل میں تبدیل ہو جاتی ہے۔ اوپر کا انٹیگرل ترقی کے حالات کے تابع کنورجنٹ ہے۔ ثبوت رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم کے "قدرتی" مفروضوں (اگرچہ کمزور ترین ضروری شرائط نہیں) کے تابع ثبوت جی ایچ ہارڈی (باب 11) نے بقایا تھیوریم اور معروف میلن الٹ تھیوریم کو استعمال کرتے ہوئے فراہم کیا تھا۔ برنولی کثیرالجہتی کا اطلاق برنولی کثیرالجہتی کا جنریٹنگ فنکشن اس طرح دیا گیا ہے: یہ کثیرالجہتی ہروٹز زیٹا فنکشن کے لحاظ سے دیئے گئے ہیں: by for۔ رامانوجن ماسٹر تھیوریم اور برنولی کثیر الجہتی کی جنریٹنگ فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل انٹیگرل نمائندگی ہوتی ہے: جو اس کے لیے درست ہے۔ گاما فنکشن پر اطلاق ویئراسٹراس کی گاما فنکشن کی تعریف اظہار کے مساوی ہے جہاں ریمن زیٹا فنکشن ہے۔ پھر رامانوجن ماسٹر تھیوریم کو لاگو کرتے ہوئے ہمارے پاس: کے لیے درست ہے۔ رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم کے مطابق، گاما فنکشن اور دوبارہ ترتیب دینے کے لیے کچھ شناختوں کے ساتھ، ہم انٹیگرل کا اندازہ لگا سکتے ہیں جس کے لیے درست ہے۔ اسی طرح، اگر کروی بیسیل فنکشن کو ترجیح دی جاتی ہے، تو فارمولا اس کے لیے درست ہو جاتا ہے۔ حل اس لحاظ سے قابل ذکر ہے کہ یہ گاما فنکشن کے لیے اہم شناختوں میں انٹرپولیٹ کرنے کے قابل ہے۔ خاص طور پر، کا انتخاب گاما فنکشن کا مربع دیتا ہے، نقل کا فارمولا دیتا ہے، عکاسی کا فارمولا دیتا ہے، اور قابل قدر کو فکس کرتا ہے یا عکاسی اور اسکیلنگ تک گاما فنکشن کو خود ہی دیتا ہے۔ بریکٹ انضمام کا طریقہ بریکٹ انضمام کا طریقہ (بریکٹ کا طریقہ) رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم کو انٹیگرلز کی ایک وسیع رینج پر لاگو کرتا ہے۔ بریکٹ انضمام کا طریقہ سیریز کی توسیع کا ایک لازمی حصہ پیدا کرتا ہے، آسان اشارے متعارف کراتا ہے، لکیری مساوات کو حل کرتا ہے، اور رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم سے پیدا ہونے والے فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے انضمام کو مکمل کرتا ہے۔ سیریز کی توسیع کا ایک انٹیگرل بنائیں یہ طریقہ انٹیگرل کو سیریز کی توسیع کے ایک انٹیگرل میں تبدیل کرتا ہے جس میں M متغیرات،،، اور S سمیشن پیرامیٹرز شامل ہوتے ہیں۔ ایک ملٹی ویریٹ انٹیگرل اس شکل کو اختیار کر سکتا ہے۔ خاص نوٹیشن کا اطلاق کریں بریکٹ ()، انڈیکیٹر ()، اور مونومیل پاور نوٹیشن سیریز کی توسیع میں اصطلاحات کی جگہ لے لیتے ہیں۔ ان اشاروں کا اطلاق انٹیگرل کو بی بریکٹ پر مشتمل بریکٹ سیریز میں تبدیل کر دیتا ہے۔ ہر بریکٹ سیریز میں ایک انڈیکس ہوتا ہے جس کی تعریف انڈیکس = رقم کی تعداد-بریکٹ کی تعداد کے طور پر کی جاتی ہے۔ انٹیگرل کی تمام بریکٹ سیریز کی نمائندگی میں، کم سے کم انڈیکس والی نمائندگی کو ترجیح دی جاتی ہے۔ لکیری مساوات کو حل کریں لکیری مساوات کے درج ذیل سیٹ کو حل کرنے کے لیے کوفشنٹس کی صف میں زیادہ سے زیادہ رینک، لکیری طور پر آزاد لیڈنگ کالم ہونے چاہئیں۔ اگر انڈیکس غیر منفی ہے، تو ہر ایک کے لیے اس مساوات کو حل کریں۔ اصطلاحات کے لکیری افعال ہو سکتے ہیں۔ اگر انڈیکس صفر ہے، تو مساوات () ہر ایک کے لیے مقرر کردہ اس مساوات کو حل کرنے میں آسان بناتی ہے۔ اگر انڈیکس منفی ہے، تو انٹیگرل کا تعین نہیں کیا جا سکتا۔ فارمولوں کا اطلاق کریں اگر انڈیکس غیر منفی ہے، تو انٹیگرل کا فارمولا یہ فارم ہے۔ یہ اصول لاگو ہوتے ہیں۔ مفت خلاصہ پیرامیٹرز کے ہر انتخاب کے لیے ایک سیریز تیار کی جاتی ہے۔ ایک مشترکہ علاقے میں کنورجنگ سیریز شامل کی جاتی ہیں۔ اگر کوئی انتخاب ایک متفرق سیریز یا کالعدم سیریز (صفر قابل قدر شرائط والی سیریز) پیدا کرتا ہے، تو سیریز کو مسترد کر دیا جاتا ہے۔ منفی اشاریہ کی ایک بریکٹ سیریز کو کوئی قدر تفویض نہیں کی جاتی ہے۔ اگر تمام سیریز کو مسترد کر دیا جائے تو طریقہ کار کا اطلاق نہیں کیا جا سکتا۔ اگر انڈیکس صفر ہے، تو فارمولا اس فارمولے کو آسان بناتا ہے اور کوئی رقم نہیں ہوتی ہے۔ ریاضیاتی بنیاد اس متغیر تبدیلی کو عمومی انٹیگرل فارم () پر لاگو کریں۔ ۔ یہ تبدیل شدہ انٹیگرل () ہے اور رامانوجن کے ماسٹر تھیوریم () کو لاگو کرنے کا نتیجہ ہے۔ بریکٹ کی تعداد (B) انٹیگرلز کی تعداد (M) () کے برابر ہے۔ الگورتھم کے فارمولے (،) تیار کرنے کے علاوہ، متغیر تبدیلی الگورتھم کی لکیری مساوات (،) بھی پیدا کرتی ہے۔ مثال بریکٹ انضمام کا طریقہ اس انٹیگرل پر لاگو ہوتا ہے۔ سیریز کی توسیع () کا انٹیگرل بنائیں۔ خصوصی اشارے (،) کا اطلاق کریں۔ لکیری مساوات () کو حل کریں۔ فارمولہ () کا اطلاق کریں۔ حوالہ جات بیرونی روابط سری نواس رامانوجن نظریات تجزیاتی نمبر تھیوری میں