Weak Hopf algebra
ریاضی میں، کمزور بائلجبراس بائلجبراس کی عمومی شکل ہے جو کہ الجیبراس اور کولجبراس دونوں ہیں لیکن جس کے لیے دونوں ڈھانچوں کے درمیان مطابقت کے حالات کو "کمزور" کر دیا گیا ہے۔ اسی جذبے میں، کمزور ہوپف الجبرا کمزور بائلجبرا ہوتے ہیں جو ایک لکیری نقشہ S کے ساتھ مل کر مخصوص شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ وہ ہوپف الجبرا کی عمومی شکلیں ہیں۔ ان اشیاء کو بوہم، نیل اور زلاچانی نے متعارف کرایا تھا۔ ان کا مطالعہ کرنے کے لیے سب سے پہلے محرکات کوانٹم فیلڈ تھیوری اور آپریٹر الجبرا سے آئے۔ کمزور ہوپف الجبرا کا کافی دلچسپ نمائندگی کا نظریہ ہے۔ خاص طور پر ایک نیم سادہ محدود کمزور ہوپف الجبرا پر ماڈیولز ایک فیوژن زمرہ ہے (جو اضافی خصوصیات کے ساتھ ایک مونوڈیل زمرہ ہے)۔ ایٹنگوف، نکشیچ اور آسٹرک نے یہ بھی دکھایا کہ کوئی بھی فیوژن زمرہ کمزور ہوپف الجبرا پر ماڈیولز کے زمرے کے برابر ہے۔ تعریف کسی فیلڈ پر ایک کمزور بائل الجبرا ایک ویکٹر اسپیس ہے جو ضرب اور اکائی کے ساتھ ایک ملحقہ الجبرا بناتا ہے، ضرب اور کاؤنٹ کے ساتھ ایک ہم آہنگ کوئلہ الجبرا بناتا ہے، جس کے لیے درج ذیل مطابقت کے حالات ہوتے ہیں: ضرب کی ضرب:، کونسل کی کمزور ضرب:، یونٹ کی کمزور ضرب:، جہاں دو ٹینسر عوامل پلٹ جاتے ہیں۔ مزید برآں یہ الٹا ضرب ہے اور الٹا ضرب ہے۔ نوٹ کریں کہ ہم ویکٹر خالی جگہوں کے مونوئڈل زمرے کے لیے میک لین کی ہم آہنگی تھیوریم کو بھی واضح طور پر استعمال کرتے ہیں، شناخت کے ساتھ ساتھ۔ یہ تعریف بائل الجبرا کے الجبرا اور کول الجبرا ڈھانچوں کے درمیان مطابقت کو کمزور کرتی ہے۔ مزید خاص طور پر، یونٹ اور کاؤنٹ کمزور ہو جاتے ہیں۔ یہ کمزور ہوپف الجبرا کے محوری اصولوں میں درست ہے۔ ایک کمزور ہوپف الجبرا ایک کمزور بائل الجبرا ہے جس میں لکیری نقشہ ہوتا ہے، جسے اینٹی پوڈ کہا جاتا ہے، جو مطمئن کرتا ہے:،،۔ ہوپف الجبرا کی مثالیں۔ یقینا کوئی بھی ہوپف الجبرا ایک کمزور ہوپف الجبرا ہے۔ گروپائڈ الجبرا۔ فرض کریں کہ یہ ایک گروپائڈ ہے اور اسے گروپائڈ الجبرا ہونے دیں، دوسرے لفظوں میں، مورفزم سے پیدا ہونے والا الجبرا۔ اگر ہم وضاحت کریں تو یہ ایک کمزور ہوپف الجبرا بن جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ دوسری مثال ایک کمزور ہوپف الجبرا ہے لیکن ہوپف الجبرا نہیں۔ نمائندگی کا نظریہ H کو ایک نیم سادہ محدود کمزور ہوپف الجبرا ہونے دیں، پھر H پر ماڈیول ایک نیم سادہ سخت مونوئڈل زمرہ بناتے ہیں جس میں محدود طور پر بہت سی سادہ اشیاء ہوتی ہیں۔ مزید برآں ہومومورفزم خالی جگہیں محدود جہتی ویکٹر خالی جگہیں ہیں اور سادہ اشیاء کی اینڈومورفزم خالی جگہیں ایک جہتی ہیں۔ آخر میں، مونوئڈل اکائی ایک سادہ شے ہے۔ اس طرح کے زمرے کو فیوژن زمرہ کہا جاتا ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کچھ مونوئڈل زمرہ ہوپف الجبرا پر ماڈیول نہیں ہیں۔ فیوژن کیٹیگریز کے معاملے میں (جو کہ اضافی شرائط کے ساتھ صرف مونوئڈل کیٹیگریز ہیں)، ایٹنگوف، نکشیچ اور آسٹرک نے یہ ثابت کیا کہ کوئی بھی فیوژن کیٹیگری کمزور ہوپف الجبرا پر ماڈیولز کے زمرے کے برابر ہے۔ نوٹس حوالہ جات ہوپف الجبرا