Synge's world function
عمومی اضافیت میں، سنج کا عالمی فعل ہموار لورینٹزیئن میٹرک کے ساتھ ہموار خلائی وقت میں پوائنٹس کے جوڑوں کا ایک ہموار مقامی طور پر متعین فعل ہے۔ خلائی وقت میں دو نکات ہونے دیں، اور فرض کریں کہ ان کا تعلق ایک کنویکس نارمل پڑوس سے ہے (جس سے وابستہ لیوی-سیویتا کنکشن کا حوالہ دیا گیا ہے) تاکہ افائن پیرامیٹر تک شامل ہونے کے لیے ایک منفرد جیوڈیسیک موجود ہو۔ فرض کریں اور۔ پھر سنج کے ورلڈ فنکشن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں افینیلی پیرامیٹریزڈ جیوڈیسیک کا ٹینجینٹ ویکٹر ہے۔ یعنی، دستخط شدہ جیوڈیسی لمبائی کا آدھا مربع ہے جو منفرد جیوڈیسی حصے کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے، میں، دونوں نکات کو جوڑتا ہے۔ سنج کا عالمی فعل اچھی طرح سے متعین ہے، کیونکہ اوپر کا انٹیگرل ریپارامیٹرائزیشن کے تحت غیر متغیر ہے۔ خاص طور پر، منکوسکی اسپیس ٹائم کے لیے، سنج کا ورلڈ فنکشن دو پوائنٹس کے درمیان اسپیس ٹائم وقفے کے نصف تک آسان ہو جاتا ہے: یہ عالمی سطح پر بیان کیا گیا ہے اور یہ اس شکل میں آتا ہے ظاہر ہے کہ سنج کے فنکشن کی تعریف ریمینیئن مینیفولڈز میں بھی کی جا سکتی ہے اور اس صورت میں اس کی غیر منفی علامت ہوتی ہے۔ عام طور پر، سنج کا فنکشن صرف مقامی طور پر بیان کیا جاتا ہے اور کنویکس عام محلوں سے بڑے ڈومینز کی توسیع کی وضاحت کرنے کی کوشش عام طور پر ایک کثیر قدر والے فنکشن کا باعث بنتی ہے کیونکہ اسپیس ٹائم میں کئی جیوڈیسیک حصے پوائنٹس کے جوڑے میں شامل ہو سکتے ہیں۔ تاہم کے اخترن کے پڑوس میں اس کی وضاحت کرنا ممکن ہے، حالانکہ اس تعریف کے لیے کچھ من مانی انتخاب کی ضرورت ہوتی ہے۔ سنج کا عالمی فعل (اس کی اخترن کے پڑوس تک توسیع بھی) خاص طور پر مڑے ہوئے خلائی وقت میں کوانٹم فیلڈ تھیوری کی متعدد نظریاتی تعمیرات میں ظاہر ہوتا ہے۔ یہ ایک اہم شے ہے جو عالمی سطح پر ہائپربولک کئی گنا میں اور ہڈمارڈ گاؤسی ریاستوں کی تعریف میں لورینٹزیئن گرین ہائپربولک سیکنڈ آرڈر جزوی تفریق مساوات کے گرین کے افعال کے پیرامیٹریکس کی تعمیر کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ حوالہ جات عمومی اضافیت