Madhava's correction term
مادھو کی اصلاح کی اصطلاح ایک ریاضیاتی اظہار ہے جو کیرالہ اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس کے بانی، سنگمگرام کے مادھو (c. 1340-c. 1425) سے منسوب ہے، جسے ریاضیاتی مستقل (پائی) کی قدر کا بہتر تخمینہ دینے کے لیے مادھو-لیبنز لامحدود سیریز کو کاٹنے سے حاصل ہونے والے جزوی مجموعہ کے تخمینے سے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مادھو-لیبنز انفنائٹ سیریز کے لیے پہلی اصطلاحات کا جزوی مجموعہ لیتے ہوئے ہمارے پاس مندرجہ ذیل تخمینہ ہے: مادھو اصلاح کی اصطلاح کی نشاندہی کرتے ہوئے، ہمارے پاس مندرجہ ذیل بہتر تخمینہ ہے: مادھو کو ممکنہ اقدار کے طور پر تین مختلف تاثرات سے منسوب کیا گیا ہے، یعنی، کیرالہ اسکول کے ریاضی دانوں کی موجودہ تحریروں میں اصلاح کی اصطلاحات اور حاصل کیے جانے کے بارے میں کچھ اشارے موجود ہیں، لیکن اس بات کے کوئی اشارے نہیں ہیں کہ اظہار کیسے حاصل کیا گیا ہے۔ اس سے بہت سارے قیاس آرائیوں پر کام ہوا ہے کہ فارمولے کیسے اخذ کیے گئے ہوں گے۔ اصلاح کی اصطلاحات جیسا کہ کیرالہ کے متن میں دی گئی ہیں یوکتی بھاشا کے لیے اور اس کے لیے تاثرات واضح طور پر دیے گئے ہیں، جو ریاضی اور فلکیات پر ایک بڑا مقالہ ہے جسے کیرالہ اسکول آف میتھمیٹکس کے ہندوستانی ماہر فلکیات جیستادیوا نے 1530 کے آس پاس تحریر کیا تھا، لیکن یہ صرف اس دلیل میں ایک قدم کے طور پر ظاہر ہوتا ہے جس کی طرف اشارہ ہوتا ہے۔ کیرالہ کے فلکیات اور ریاضی کے مکتب سے تعلق رکھنے والے ماہر فلکیات/ریاضی دان نیلکنتھا سومایاجی کے لکھے ہوئے اور 1501 میں مکمل ہونے والے ایک مقالے تنترسانگرہ کی یوکٹیڈیپکا-لگھوورتھی تفسیر، مندرجہ ذیل آیات میں دوسری اصلاح کی اصطلاح پیش کرتی ہے (باب 2: آیات 271-274): آیات کا انگریزی ترجمہ: "قطر کو 4 سے ضرب دینے کے لیے متبادل طور پر قطر کو 4 سے ضرب دینے اور عجیب تعداد 3، 5، وغیرہ سے الگ الگ تقسیم کرنے کی ترتیب میں شامل اور گھٹائیں۔ وہ طاق عدد جس پر یہ عمل ختم ہوتا ہے، قطر کا چار گنا اگلے یکساں عدد سے ضرب کیا جانا چاہیے، آدھا کیا جانا چاہیے اور [پھر] اس [یکساں] عدد مربع میں ایک سے تقسیم کیا جانا چاہیے۔ نتیجہ کو اس کے مطابق شامل یا گھٹایا جانا ہے کیونکہ آخری اصطلاح کو گھٹا یا شامل کیا گیا تھا۔ یہ اس عمل کو جاری رکھنے سے حاصل ہونے والے دائرے کو زیادہ درست طریقے سے ظاہر کرتا ہے۔ " جدید اشارے میں یہ مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (دائرے کا قطر کہاں ہے): دائرہ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں تو، مندرجہ بالا مساوات کے دائیں ہاتھ کی طرف آخری اصطلاح کم ہو جاتی ہے۔ اسی تفسیر میں درج ذیل آیات میں اصلاح کی اصطلاح بھی دی گئی ہے (باب 2: آیات 295-296): آیات کا انگریزی ترجمہ: "ایک لطیف طریقہ، ایک اور اصلاح کے ساتھ۔ [برقرار رکھیں] پہلا طریقہ کار جس میں قطر کو چار گنا عجیب اعداد، 3، 5، وغیرہ سے تقسیم کرنا شامل ہے۔ [لیکن] پھر اسے [قطر کا چار گنا] ایک سے ضرب دے کر اگلے یکساں عدد میں آدھا اور مربع کر دیا جائے، اور ایک سے تقسیم کر کے پچھلے ضرب کے چار گنا میں جوڑ دیا جائے [اس کے ساتھ] برابر عدد سے ضرب کر کے آدھا کر دیا جائے۔ " جدید اشارے میں، یہ مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: جہاں "ضرب" اگر ہم سیٹ کرتے ہیں، تو مندرجہ بالا مساوات کے دائیں ہاتھ کی طرف آخری اصطلاح کم ہو جاتی ہے۔ اصلاح کی شرائط کی درستگی لیٹ۔ پھر، لکھنے میں، غلطیوں کی درج ذیل حدود ہوتی ہیں: حساب کتاب میں غلطیوں کی عددی اقدار ان تخمینوں کو استعمال کرنے میں غلطیاں ان کی قدر کا حساب لگانے میں غلطیاں ہیں۔ درج ذیل جدول ان غلطیوں کی اقدار کو ان کی چند منتخب اقدار کے لیے دیتا ہے۔ اصلاح کی اصطلاحات کے لیے مسلسل فریکشن کے تاثرات یہ نوٹ کیا گیا ہے کہ اصلاح کی اصطلاحات مندرجہ ذیل مسلسل فریکشن کے تاثرات کے پہلے تین کنورجنٹ ہیں: وہ فنکشن جو مساوات کو درست بناتا ہے اس کا اظہار درج ذیل شکل میں کیا جا سکتا ہے: اس لامحدود مسلسل فریکشن کے پہلے تین کنورجنٹ قطعی طور پر مادھو کی اصلاح کی اصطلاحات ہیں۔ نیز، اس فنکشن کی درج ذیل خاصیت ہے: حیاشی اور دیگر کے ذریعہ قیاس آرائی سے ماخوذ۔ 1990 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں، تین جاپانی محققین کے ایک گروپ نے ایک ذہین طریقہ تجویز کیا جس کے ذریعے مادھو نے تین اصلاحی اصطلاحات حاصل کی ہوں گی۔ ان کی تجویز دو مفروضوں پر مبنی تھی: مادھو کو قدر کے طور پر استعمال کیا گیا اور اس نے تقسیم کے لیے یوکلڈین الگورتھم کا استعمال کیا۔ اقدار کو لکھنا اور گننا انہیں 1 کے ساتھ ایک فریکشن کے طور پر ظاہر کرتا ہے، اور آخر میں تخمینہ حاصل کرنے کے لیے ڈینومینیٹر میں فریکشنل حصوں کو نظر انداز کر دیتا ہے: اس سے درج ذیل پہلا تخمینہ ظاہر ہوتا ہے جس کے بارے میں پہلے بات کی گئی تھی۔ جن حصوں کو نظر انداز کیا گیا تھا ان کا اظہار 1 کے ساتھ عددی کے طور پر کیا جا سکتا ہے، جس میں اگلے تخمینے کو حاصل کرنے کے لیے ڈینومینیٹرز کے فریکشنل حصوں کو نظر انداز کیا جاتا ہے۔ اس طرح کے دو مراحل یہ ہیں: اس سے اگلے دو تخمینے بالکل اسی طرح ملتے ہیں جیسے اصلاح کی شرائط اور مادھو سے منسوب ہیں۔ مزید دیکھیں مادھو سیریز مادھو کی سائن ٹیبل حوالہ جات ایڈیشنل ریڈنگ پائی ہسٹری آف کیلکولس کیرالہ اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹیکل سیریز