Spectral shape analysis
سپیکٹرم شکل کا تجزیہ ہندسی شکلوں کا موازنہ اور تجزیہ کرنے کے لیے لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کے سپیکٹرم (آئجن ویلیوز اور/یا آئجن فنکشنز) پر انحصار کرتا ہے۔ چونکہ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کا سپیکٹرم آئسومیٹریز کے تحت غیر متغیر ہے، اس لیے یہ غیر سخت شکلوں کے تجزیے یا بازیافت کے لیے موزوں ہے، یعنی۔ موڑنے والی اشیاء جیسے انسان، جانور، پودے وغیرہ۔ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر بہت سی اہم تفریقی مساوات میں شامل ہے، جیسے حرارت کی مساوات اور لہر کی مساوات۔ اسے ریمینیئن کئی گنا پر حقیقی قدر والے فنکشن f کے میلان کے انحراف کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: اس کے سپیکٹرم اجزاء کا حساب ہیلم ہولٹز مساوات (یا لیپلاسیئن آئجین ویلیو مسئلہ) کو حل کرکے کیا جا سکتا ہے: حل آئجین فنکشنز (طریقے) اور متعلقہ آئجین ویلیوز ہیں، جو مثبت حقیقی اعداد کی متفرق ترتیب کی نمائندگی کرتے ہیں۔ بند ڈومینز کے لیے یا نیومن باؤنڈری کنڈیشن استعمال کرتے وقت پہلی آئجن ویلیو صفر ہوتی ہے۔ کچھ شکلوں کے لیے، سپیکٹرم کو تجزیاتی طور پر شمار کیا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر۔ مستطیل، فلیٹ ٹورس، سلنڈر، ڈسک یا دائرہ)۔ دائرے کے لیے، مثال کے طور پر، آئجن فنکشنز کروی ہم آہنگی ہیں۔ آئجین ویلیوز اور آئجین فنکشنز کی سب سے اہم خصوصیات یہ ہیں کہ وہ آئسومیٹری غیر متغیر ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، اگر شکل کو کھینچا نہیں گیا ہے (جیسے۔ کاغذ کی ایک شیٹ تیسری جہت میں جھکی ہوئی ہے)، سپیکٹرم کی اقدار تبدیل نہیں ہوں گی۔ موڑنے والی اشیاء، جیسے جانور، پودے اور انسان، جوڑوں پر صرف کم سے کم پھیلاؤ کے ساتھ جسم کی مختلف حالتوں میں منتقل ہو سکتے ہیں۔ نتیجے میں بننے والی شکلوں کو قریب آئسومیٹرک کہا جاتا ہے اور سپیکٹرم شکل کے تجزیے کا استعمال کرتے ہوئے ان کا موازنہ کیا جا سکتا ہے۔ تشخیصی ہندسی شکلیں اکثر 2D مڑے ہوئے سطحوں، 2D سطح کے میش (عام طور پر مثلث میش) یا 3D ٹھوس اشیاء (جیسے. ووکسیل یا ٹیٹراہیڈرا میش کا استعمال کرتے ہوئے)۔ ان تمام صورتوں کے لیے ہیلم ہولٹز مساوات کو حل کیا جا سکتا ہے۔ اگر کوئی حد موجود ہے، مثال کے طور پر۔ ایک مربع، یا کسی بھی 3D ہندسی شکل کا حجم، باؤنڈری کنڈیشنز کی وضاحت کرنے کی ضرورت ہے۔ مختلف قسم کی جیومیٹری کی نمائندگی کے لیے لیپلیس آپریٹر کی کئی ڈسکریٹائزیشنز موجود ہیں (ڈسکریٹ لیپلیس آپریٹر دیکھیں)۔ ان میں سے بہت سے آپریٹرز بنیادی مسلسل آپریٹر کو اچھی طرح سے اندازہ نہیں کرتے ہیں۔ سپیکٹرم شکل کے وضاحتیں شیپ ڈی این اے اور اس کی مختلف شکلیں شیپ ڈی این اے پہلے سپیکٹرم شکل کے وضاحتیں میں سے ایک ہے۔ یہ لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کی آئجین ویلیوز کی معمول کی ابتدائی ترتیب ہے۔ اس کے اہم فوائد سادہ نمائندگی (اعداد کا ایک ویکٹر) اور موازنہ، پیمانے کی غیر متغیر، اور اس کی سادگی کے باوجود غیر سخت شکلوں کی شکل کی بازیافت کے لیے بہت اچھی کارکردگی ہیں۔ شکل ڈی این اے کے حریفوں میں جیوڈیسیک ڈسٹنس میٹرکس (ایس ڈی-جی ڈی ایم) اور کم شدہ بی ہارمونک ڈسٹنس میٹرکس (آر-بی ایچ ڈی ایم) کی واحد اقدار شامل ہیں۔ تاہم، آئجین ویلیوز عالمی وضاحتیں ہیں، اس لیے شکل ڈی این اے اور دیگر عالمی سپیکٹرم وضاحتیں مقامی یا جزوی شکل کے تجزیے کے لیے استعمال نہیں کی جا سکتی ہیں۔ گلوبل پوائنٹ سگنیچر (GPS) ایک نقطہ پر گلوبل پوائنٹ سگنیچر لیپلیس-بیلٹرامی آپریٹر کے اسکیلڈ آئجن فنکشنز کا ایک ویکٹر ہے جس کا حساب (یعنی۔ شکل کی سپیکٹرم ایمبیڈنگ)۔ جی پی ایس اس لحاظ سے ایک عالمی خصوصیت ہے کہ اسے جزوی شکل کے ملاپ کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ ہیٹ کرنل سگنیچر (ایچ کے ایس) ہیٹ کرنل سگنیچر ہیٹ کرنل کی آئجن-ڈکمپوزیشن کا استعمال کرتا ہے: سطح پر ہر نقطہ کے لیے ہیٹ کرنل کے ڈائیگنل کا نمونہ مخصوص وقت کی اقدار پر لیا جاتا ہے اور ایک مقامی سگنیچر حاصل ہوتا ہے جسے جزوی ملاپ یا سمیٹری کا پتہ لگانے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ لہر دانا دستخط (ڈبلیو کے ایس) ڈبلیو کے ایس ایچ کے ایس سے ملتے جلتے خیال کی پیروی کرتا ہے، گرمی کی مساوات کو شروڈنگر لہر مساوات سے تبدیل کرتا ہے۔ بہتر ویو کرنل سگنیچر (آئی ڈبلیو کے ایس) آئی ڈبلیو کے ایس آئجن ویلیوز میں ایک نیا اسکیلنگ فنکشن متعارف کروا کر اور ایک نئی منحنی اصطلاح کو جمع کرکے غیر سخت شکل کی بازیافت کے لیے ڈبلیو کے ایس کو بہتر بناتا ہے۔ سپیکٹرل گراف ویولیٹ سگنیچر (ایس جی ڈبلیو ایس) ایس جی ڈبلیو ایس ایک مقامی ڈسکریپٹر ہے جو نہ صرف آئسومیٹرک غیر متغیر ہے، بلکہ کمپیکٹ بھی ہے، حساب کرنے میں آسان ہے اور بینڈ پاس اور لو پاس فلٹرز دونوں کے فوائد کو یکجا کرتا ہے۔ ایس جی ڈبلیو ایس کا ایک اہم پہلو ڈبلیو کے ایس اور ایچ کے ایس کے فوائد کو ایک ہی دستخط میں جوڑنے کی صلاحیت ہے، جبکہ شکلوں کی ملٹی ریزولوشن نمائندگی کی اجازت دیتا ہے۔ سپیکٹرم میچنگ پیچیدہ شکلوں سے وابستہ گراف لیپلاسیئن کی سپیکٹرم سڑنا (ڈسکریٹ لیپلیس آپریٹر دیکھیں) آئجن فنکشن (موڈ) فراہم کرتا ہے جو آئسومیٹریز کے لیے غیر متغیر ہوتے ہیں۔ شکل کے ہر سرے کو ہر نقطہ پر آئجین موڈل اقدار کے امتزاج کے ساتھ منفرد طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، جسے بعض اوقات سپیکٹرم کوآرڈینیٹ کہا جاتا ہے: سپیکٹرم میچنگ مختلف شکلوں پر عمودی جوڑی بنا کر نقطہ خط و کتابت قائم کرنے پر مشتمل ہوتا ہے جس میں سب سے زیادہ مماثل سپیکٹرم کوآرڈینیٹ ہوتے ہیں۔ ابتدائی کام سٹیریوسکوپی کے لیے غیر معمولی خط و کتابت پر مرکوز تھا۔ کمپیوٹیشنل کارکردگی اب مکمل میش پر گھنے خط و کتابت کو قابل بناتی ہے، مثال کے طور پر کورٹیکل سطحوں کے درمیان۔ سپیکٹرم میچنگ کو پیچیدہ غیر سخت امیج رجسٹریشن کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، جو خاص طور پر مشکل ہوتا ہے جب امیجز میں بہت بڑی خرابیاں ہوتی ہیں۔ سپیکٹرم آئجین ماڈل اقدار پر مبنی اس طرح کے امیج رجسٹریشن کے طریقے درحقیقت عالمی شکل کی خصوصیات پر قبضہ کرتے ہیں، اور روایتی غیر سخت امیج رجسٹریشن کے طریقوں سے متصادم ہوتے ہیں جو اکثر مقامی شکل کی خصوصیات (جیسے، امیج گریڈینٹس) پر مبنی ہوتے ہیں۔ حوالہ جات امیج پروسیسنگ ڈیجیٹل جیومیٹری ٹوپولوجی تفریقی جیومیٹری