Gauss's lemma (polynomials)
الجبرا میں، گاؤس لیما، جس کا نام کارل فریڈرک گاؤس کے نام پر رکھا گیا ہے، انٹیجرز پر کثیر الجہتی کے بارے میں ایک بیان ہے، یا، زیادہ عام طور پر، ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین پر (یعنی، ایک رنگ جس میں ریاضی کے بنیادی نظریہ کی طرح ایک منفرد فیکٹرائزیشن پراپرٹی ہے)۔ گاؤس کا لیما فیکٹرائزیشن کے تمام نظریہ اور اس طرح کے کثیر الجہتی کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کاروں کی بنیاد رکھتا ہے۔ گاؤس لیما اس بات پر زور دیتا ہے کہ دو ابتدائی کثیر الجہتی کا پروڈکٹ ابتدائی ہے (انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی ابتدائی ہے اگر اس کے کوفشنٹس کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے طور پر 1 ہو)۔ گاؤس کے لیما کا ایک نتیجہ، جسے بعض اوقات گاؤس کا لیما بھی کہا جاتا ہے، یہ ہے کہ ایک ابتدائی کثیر الجہتی عدد پر تب اور صرف اس صورت میں ناقابل کٹوتی ہے جب وہ عقلی اعداد پر ناقابل کٹوتی ہو۔ زیادہ عام طور پر، ایک ابتدائی کثیر الجہتی میں انٹیجرز اور عقلی نمبروں پر یکساں مکمل فیکٹرائزیشن ہوتی ہے۔ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین میں کوفشنٹس کے معاملے میں، "عقلی اعداد" کو "کے فریکشنز کے فیلڈ" سے تبدیل کیا جانا چاہیے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، اگر یا تو ایک فیلڈ، انٹیجرز کی رنگ، یا ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے، تو ہر کثیر الجہتی رنگ (ایک یا کئی غیر متعین میں) ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے۔ ایک اور نتیجہ یہ ہے کہ انٹیجرز یا عقلی کوفشنٹس کے ساتھ کثیر الجہتی کے فیکٹرائزیشن اور سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کے حساب کو انٹیجرز اور ابتدائی کثیر الجہتی پر اسی طرح کے حسابات میں کم کیا جاسکتا ہے۔ یہ تمام نافذ کردہ الگورتھم میں منظم طریقے سے (واضح طور پر یا مضمر طور پر) استعمال ہوتا ہے (دیکھیں کثیر الجہتی سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ اور کثیر الجہتی کی فیکٹرائزیشن)۔ گاؤس لیما، اور اس کے تمام نتائج جن میں مکمل فیکٹرائزیشن کا وجود شامل نہیں ہے، کسی بھی جی سی ڈی ڈومین (ایک لازمی ڈومین جس پر سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار موجود ہیں) پر درست رہتے ہیں۔ خاص طور پر، جی سی ڈی ڈومین پر ایک کثیر الجہتی رنگ بھی ایک جی سی ڈی ڈومین ہے۔ اگر کوئی ابتدائی کثیر الجہتی کو اس طرح کہتا ہے کہ کوفیشنٹس یونٹ آئیڈیل پیدا کرتے ہیں، تو گاوس کا لیما ہر مواصلاتی رنگ پر درست ہوتا ہے۔ تاہم، ابتدائی کی اس تعریف کو استعمال کرتے وقت کچھ خیال رکھنا ضروری ہے، کیونکہ، ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین پر جو ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین نہیں ہے، ایسے کثیر الجہتی ہیں جو مذکورہ بالا معنوں میں قدیم ہیں اور اس نئے معنوں میں قدیم نہیں ہیں۔ انٹیجرز پر لیما اگر انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی ہے، تو اسے ابتدائی کہا جاتا ہے اگر تمام کوفشنٹس کا سب سے بڑا مشترکہ تقسیم کنندہ 1 ہو ؛ دوسرے الفاظ میں، کوئی بھی پرائم نمبر تمام کوفشنٹس کو تقسیم نہیں کرتا ہے۔ ثبوت: واضح طور پر دو ابتدائی کثیر الجہتی کے پروڈکٹ f (x) g (x) میں انٹیجر کوفیشنٹس ہوتے ہیں۔ لہذا، اگر یہ ابتدائی نہیں ہے، تو ایک پرائم p ہونا چاہیے جو اس کے تمام کوفشنٹس کا مشترکہ تقسیم کنندہ ہے۔ لیکن p f (x) یا g (x) کے تمام کوفشنٹس کو تقسیم نہیں کر سکتا (بصورت دیگر وہ ابتدائی نہیں ہوتے)۔ فرض کریں کہ arxr f (x) کی پہلی اصطلاح ہے جو p سے قابل تقسیم نہیں ہے اور bsxs کو g (x) کی پہلی اصطلاح ہے جو p سے قابل تقسیم نہیں ہے۔ اب پروڈکٹ میں xr + s کی اصطلاح پر غور کریں، جس کا گتانک ہے۔ اصطلاح arbs p سے قابل تقسیم نہیں ہے (کیونکہ p پرائم ہے)، پھر بھی باقی تمام ہیں، لہذا پورا مجموعہ p سے قابل تقسیم نہیں ہو سکتا۔ اس مفروضے کے مطابق پروڈکٹ میں موجود تمام گتانک p سے قابل تقسیم ہیں، جس سے تضاد پیدا ہوتا ہے۔ لہذا، پروڈکٹ کے کوفیشنٹس کا کوئی مشترکہ تقسیم کار نہیں ہو سکتا اور اس طرح وہ ابتدائی ہوتے ہیں۔ مزید عمومی کیس کے لیے ثبوت ذیل میں دیا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ Z (ایک پرائم نمبر) کا ایک ناقابل کٹوتی عنصر اب بھی ناقابل کٹوتی ہے جب Z [X] میں مستقل کثیر الجہتی کے طور پر دیکھا جائے۔ یہ بیان میں "غیر مستقل" کی ضرورت کی وضاحت کرتا ہے۔ منفرد فیکٹرائزیشن ڈومینز کے بیانات گاؤس کا لیما عام طور پر صوابدیدی منفرد فیکٹرائزیشن ڈومینز پر زیادہ ہوتا ہے۔ وہاں کثیر الجہتی کے مواد کو کوفیشنٹس کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے (جی سی ڈی کی طرح، مواد دراصل ایسوسی ایٹ عناصر کا ایک مجموعہ ہے)۔ یو ایف ڈی میں کوفشنٹس کے ساتھ ایک کثیر الجہتی کو پھر ابتدائی کہا جاتا ہے اگر اس کے صرف عناصر جو ایک ہی وقت میں تمام کوفشنٹس کو تقسیم کرتے ہیں وہ الٹ عناصر ہیں۔ یعنی، کوفشنٹس کا جی سی ڈی ایک ہے۔ ابتدائی بیان: اگر یو ایف ڈی ہے، تو ابتدائی کثیر الجہتی کا مجموعہ ضرب کے تحت بند ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کثیر الجہتی کے پروڈکٹ کا مواد ان کے انفرادی مواد کا پروڈکٹ ہوتا ہے۔ ناقابل تخفیف بیان: آئیے ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین اور اس کے فریکشنز کا میدان بنیں۔ ایک غیر مستقل کثیر الجہتی میں اگر اور صرف اس صورت میں ناقابل کٹوتی ہے جب یہ میں ناقابل کٹوتی اور ابتدائی دونوں ہو۔ (ثبوت کے لیے، نیچے #General ورژن دیکھیں۔) فریکشن کے فیلڈ کے ساتھ ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین بننے دیں۔ اگر ایک کثیر الجہتی اوور ہے تو کچھ کے لیے ان میں کوفیشنٹس ہوتے ہیں، اور اس طرح-کوفیشنٹس کے جی سی ڈی کو فیکٹر کرتے ہوئے-ہم کچھ ابتدائی کثیر الجہتی کے لیے لکھ سکتے ہیں۔ جیسا کہ کوئی چیک کر سکتا ہے، یہ کثیر الجہتی اکائی کے ضرب تک منفرد ہے اور اسے کا ابتدائی حصہ (یا ابتدائی نمائندہ) کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ طریقہ کار پروڈکٹ کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے: اس ساخت کو بیان کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: یو ایف ڈی کے اوپر ایک کثیر الجہتی رنگ ایک یو ایف ڈی ہے۔ درحقیقت، انڈکشن کے ذریعے، یہ ظاہر کرنا کافی ہے کہ جب یو ایف ڈی ہے تو یو ایف ڈی ہے۔ فرض کریں کہ یہ غیر صفر کثیر الجہتی ہے۔ اب، ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے (چونکہ یہ ایک پرنسپل آئیڈیل ڈومین ہے) اور اس لیے، ایک کثیر الجہتی کے طور پر، فیکٹرائز کیا جا سکتا ہے: جہاں کے ناقابل تلافی کثیر الجہتی ہیں۔ اب، ہم کے کوفشنٹس کے جی سی ڈی کے لیے لکھتے ہیں (اور یہ ابتدائی حصہ ہے) اور پھر: اب، کے پرائم عناصر کا پروڈکٹ ہے (چونکہ یہ ایک یو ایف ڈی ہے) اور کا ایک پرائم عنصر ایک پرائم عنصر ہے، جیسا کہ ایک انٹیگرل ڈومین ہے۔ لہذا، ایک پرائم فیکٹرائزیشن (یا ایک منفرد فیکٹرائزیشن کو ناقابل تلافی میں تسلیم کرتا ہے)۔ اگلا، مشاہدہ کریں کہ یہ ناقابل کٹوتی عناصر میں ایک منفرد فیکٹرائزیشن ہے، کیونکہ (1) ہر ایک ناقابل کٹوتی بیان کے ذریعہ ناقابل کٹوتی ہے اور (2) یہ منفرد ہے کیونکہ کی فیکٹرائزیشن کو فیکٹرائزیشن کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے اور وہاں فیکٹرائزیشن منفرد ہے۔ چونکہ اور منفرد طور پر یونٹ عناصر کے ذریعہ طے کیا جاتا ہے، اس لیے مندرجہ بالا فیکٹرائزیشن ناقابل تلافی عناصر میں ایک منفرد فیکٹرائزیشن ہے۔ یہ شرط کہ "R ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے" غیر ضروری نہیں ہے کیونکہ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس رنگ کا ہر ناقابل کٹوتی عنصر بھی ایک بنیادی عنصر ہے، جس کے نتیجے میں یہ ظاہر ہوتا ہے کہ R کے ہر غیر صفر عنصر میں زیادہ سے زیادہ ایک فیکٹرائزیشن ہوتی ہے جو کہ ناقابل کٹوتی عناصر کے پروڈکٹ میں ہوتی ہے اور ایک یونٹ آرڈر اور ایسوسی ایٹ ریلیشن تک ہوتا ہے۔ ایک رنگ میں جہاں فیکٹرائزیشن منفرد نہیں ہے، پی اور کیو کے ناقابل تلافی عناصر کے ساتھ کہیں جو دوسری طرف کسی بھی عنصر کو تقسیم نہیں کرتے ہیں، پروڈکٹ ابتدائی بیان کی ناکامی کو ظاہر کرتا ہے۔ ایک ٹھوس مثال کے لیے،،،، لیا جا سکتا ہے۔ اس مثال میں کثیر الجہتی (دائیں ہاتھ کی طرف کو تقسیم کرکے حاصل کیا گیا) ناقابل کٹوتی کے بیان کی ناکامی کی ایک مثال فراہم کرتا ہے (یہ R پر ناقابل کٹوتی ہے، لیکن اس کے حصوں کے میدان پر قابل کٹوتی ہے)۔ ایک اور معروف مثال کثیر الجہتی ہے، جس کی جڑیں سنہری تناسب ہیں اور اس کا کنجوگیٹ یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ فیلڈ پر کم کرنے کے قابل ہے، حالانکہ یہ غیر یو ایف ڈی پر ناقابل تلافی ہے جس میں فریکشن کا فیلڈ ہوتا ہے۔ مؤخر الذکر مثال میں رنگ کو (ڈیرچلیٹ انٹیجرز کی رنگ) میں انٹیگرل کلوزر لے کر یو ایف ڈی میں بنایا جا سکتا ہے، جس پر ریڈوسیبل ہو جاتا ہے، لیکن سابقہ مثال میں R پہلے ہی انٹیگرل طور پر بند ہے۔ عام ورژن ایک مواصلاتی رنگ ہونے دیں۔ اگر ایک کثیر الجہتی ہے، تو ہم کے تمام کوفیشنٹس کے ذریعہ تیار کردہ آئیڈیل کے لیے لکھتے ہیں ؛ اسے کا مواد کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ہر ایک کے لیے۔ اگلی تجویز میں ایک زیادہ اہم جائیداد بیان کی گئی ہے۔ اگر اکائی آئیڈیل ہو تو کثیر الجہتی کو ابتدائی کہا جاتا ہے۔ جب (یا زیادہ عام طور پر جب بیز آؤٹ ڈومین ہوتا ہے)، یہ ایک ابتدائی کثیر الجہتی کی معمول کی تعریف سے اتفاق کرتا ہے۔ (لیکن اگر صرف ایک یو ایف ڈی ہے، تو یہ تعریف منفرد فیکٹرائزیشن ڈومینز کے لیے #Statements میں پرائمیٹیویٹی کی تعریف سے مطابقت نہیں رکھتی ہے۔) ثبوت: یہ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے آسان ہے جس کا مطلب ہے ثبوت: () پہلے نوٹ کریں کہ کے کوفشنٹس کی جی سی ڈی 1 ہے کیونکہ، بصورت دیگر، ہم لکھنے کے کوفشنٹس میں سے کچھ عنصر کو عنصر بنا سکتے ہیں، جو کی ناقابل کٹوتی سے متصادم ہے۔ اگلا، فرض کریں کہ کچھ غیر مستقل کثیر الجہتی کے لیے۔ پھر، کچھ کے لیے، کثیر الجہتی میں کوفیشنٹس ہوتے ہیں اور اس لیے، کوفیشنٹس کے جی سی ڈی کو فیکٹر کرکے، ہم لکھتے ہیں۔ ایسا ہی کریں اور ہم کچھ کے لیے لکھ سکتے ہیں۔ اب، کچھ کے لیے چھوڑ دیں۔ پھر۔ اس سے، تجویز کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے: یعنی تقسیم کرتا ہے۔ اس طرح، اور پھر فیکٹرائزیشن کی ناقابل کٹوتی کے لیے ایک تضاد تشکیل دیتی ہے۔ () اگر ایرڈیوسیبل اوور ہے، تو یا تو یہ ایرڈیوسیبل اوور ہے یا اس میں ایک عنصر کے طور پر مستقل کثیر الجہتی موجود ہے، دوسرے امکان کو مفروضے سے مسترد کر دیا جاتا ہے۔ تجویز کا ثبوت: واضح طور پر۔ اگر ایک پرائم آئیڈیل پر مشتمل ہے، تو ماڈیولو۔ چونکہ یہ ایک انٹیگرل ڈومین پر ایک کثیر الجہتی رنگ ہے اور اس طرح یہ ایک انٹیگرل ڈومین ہے، اس کا مطلب یا تو ماڈیولو ہے۔ لہذا، یا تو یا اس میں شامل ہے۔ چونکہ ان تمام پرائم آئیڈیلز کا انٹرسیکشن ہے جن پر مشتمل ہے اور کا انتخاب من مانی تھا،۔ اب ہم "مزید" حصہ ثابت کرتے ہیں۔ گتانک سے جی سی ڈی کو نکالیں، ہم لکھ سکتے ہیں اور جہاں گتانک کے جی سی ڈی دونوں 1 ہیں۔ واضح طور پر، اس دعوے کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے جب اس کی جگہ لے لی جائے۔ اس طرح، ہم فرض کرتے ہیں کہ دونوں کے کوفیشنٹس کی جی سی ڈی 1 ہیں۔ باقی ثبوت آسان اور شفاف ہے اگر ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے ؛ اس طرح ہم اس معاملے میں ثبوت یہاں دیتے ہیں (اور جی سی ڈی کیس کے ثبوت کے لیے دیکھیں)۔ اگر، تو پھر ثابت کرنے کے لیے کچھ نہیں ہے۔ تو، دوسری صورت میں فرض کریں ؛ پھر ایک غیر یونٹ عنصر ہے جو کے کوفیشنٹس کو تقسیم کرتا ہے۔ اس عنصر کو بنیادی عناصر کے پروڈکٹ میں فیکٹرائز کرتے ہوئے، ہم اس عنصر کو ایک بنیادی عنصر کے طور پر لے سکتے ہیں۔ اب، ہمارے پاس: اس طرح، یا تو پر مشتمل ہے یا ؛ کے کوفیشنٹس کے جی سی ڈی کو متضاد کرنا دونوں 1 ہیں۔ تبصرہ: جی سی ڈی ڈومین پر (مثال کے طور پر، ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین)، کثیر الجہتی کے تمام کوفیشنٹس کی جی سی ڈی، جو یونٹ عناصر تک منفرد ہوتی ہے، کو بھی کا مواد کہا جاتا ہے۔ ایپلی کیشنز یہ گاؤس کے لیما سے ملتا ہے کہ ہر منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین کے لیے، کثیر الجہتی رنگ بھی ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین ہے (منفرد فیکٹرائزیشن ڈومینز کے لیے #Statements دیکھیں)۔ گاوس لیما کو آئزنسٹین کی ناقابل کٹوتی کے معیار کو ظاہر کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ آخر میں، اس کا استعمال یہ ظاہر کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ سائکلوٹومک کثیر الجہتی (انٹیجر کوفیشنٹس والی یکطرفہ اکائیاں) ناقابل تلافی ہیں۔ گاؤس کا لیما مندرجہ ذیل بیان کا اشارہ کرتا ہے: اگر ایک متغیر میں ایک منفرد فیکٹرائزیشن ڈومین (یا زیادہ عام طور پر ایک جی سی ڈی ڈومین) میں کوفیشنٹس کے ساتھ ایک مونیک کثیر الجہتی ہے، تو اس کی جڑ کے فریکشن کے میدان میں ہے۔ اگر، تو یہ کہتا ہے کہ انٹیجرز پر ایک مونیک کثیر کا عقلی جڑ ایک انٹیجر ہے (cf. عقلی جڑ تھیوریم)۔ بیان کو دیکھنے کے لیے، آئیے اس کی جڑ بنیں اور فرض کریں کہ وہ نسبتا پرائم ہیں۔ میں ہم کچھ کے ساتھ لکھ سکتے ہیں۔ پھر ایک فیکٹرائزیشن ہے۔ لیکن یہ ابتدائی ہے (یو ایف ڈی کے لحاظ سے) اور اس طرح گاوس کے لیما کے کوفیشنٹس کو تقسیم کرتا ہے، اور اسی طرح ان کے ساتھ۔ چونکہ مونیک ہے، یہ تب ہی ممکن ہے جب ایک اکائی ہو۔ اسی طرح کی دلیل سے پتہ چلتا ہے: آئیے فریکشن اور فیلڈ کے ساتھ ایک جی سی ڈی ڈومین بنیں۔ اگر کچھ کثیر الجہتی کے لیے جو UFD معنوں میں ابتدائی ہے اور، تو۔ ناقابل کٹوتی بیان سے یہ بھی ظاہر ہوتا ہے کہ الجبرائی عدد کے عقلی اعداد پر کم از کم کثیر الجہتی میں عدد گتانک ہوتے ہیں۔ نوٹوں حوالہ جات کثیر الجہتی کے بارے میں تھیوریمز الجبرہ میں رنگ تھیوری لیما میں تھیوریمز