Rectangular potential barrier
کوانٹم میکانکس میں، آئتاکار (یا، بعض اوقات، مربع) ممکنہ رکاوٹ ایک معیاری یک جہتی مسئلہ ہے جو لہر-مکینیکل ٹنلنگ (جسے "کوانٹم ٹنلنگ" بھی کہا جاتا ہے) اور لہر-مکینیکل عکاسی کے مظاہر کو ظاہر کرتا ہے۔ یہ مسئلہ ایک آئتاکار ممکنہ توانائی کی رکاوٹ کا سامنا کرنے والے ذرہ کے لیے ایک جہتی وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات کو حل کرنے پر مشتمل ہے۔ یہ عام طور پر فرض کیا جاتا ہے، جیسا کہ یہاں، کہ ایک آزاد ذرہ بائیں طرف سے رکاوٹ پر اثر انداز ہوتا ہے۔ اگرچہ کلاسیکی طور پر ایک نقطہ کمیت کے طور پر برتاؤ کرنے والا ذرہ اس صورت میں جھلکتا ہے جب اس کی توانایٔی کسی ذرہ سے کم ہو جو حقیقت میں مادے کی لہر کے طور پر برتاؤ کر رہا ہو، اس میں رکاوٹ میں گھسنے اور دوسری طرف لہر کے طور پر اپنا سفر جاری رکھنے کا غیر صفر امکان ہوتا ہے۔ کلاسیکی لہر طبیعیات میں، اس اثر کو ایوینسینٹ ویو جوڑی کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اس بات کا امکان کہ ذرہ رکاوٹ سے گزرے گا ٹرانسمیشن گتانک کے ذریعہ دیا جاتا ہے، جبکہ اس کی عکاسی ہونے کا امکان عکاسی گتانک کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ شروڈنگر کی لہر مساوات ان کوفیشنٹس کا حساب لگانے کی اجازت دیتی ہے۔ حساب لہر فنکشن کے لیے وقت سے آزاد شروڈنگر مساوات پڑھتی ہے کہ ہیملٹنین کہاں ہے، (کم شدہ) پلانک مستقل ہے، کمیت ہے، ذرہ کی توانائی ہے اور اونچائی اور چوڑائی کے ساتھ رکاوٹ کی صلاحیت ہے۔ ہیوی سائیڈ سٹیپ فنکشن ہے، یعنی رکاوٹ اور کے درمیان رکھی جاتی ہے۔ رکاوٹوں کو نتائج کو تبدیل کیے بغیر کسی بھی مقام پر منتقل کیا جا سکتا ہے۔ ہیملٹنین میں پہلی اصطلاح، حرکی توانائی ہے۔ رکاوٹ جگہ کو تین حصوں () میں تقسیم کرتی ہے۔ ان میں سے کسی بھی حصے میں، پوٹینشل مستقل ہے، جس کا مطلب ہے کہ ذرہ نیم آزاد ہے، اور شروڈنگر مساوات کے حل کو بائیں اور دائیں حرکت پذیر لہروں کی سپرپوزیشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (آزاد ذرہ دیکھیں)۔ اگر جہاں لہر کے اعداد کا تعلق کوفشنٹس پر انڈیکس کے ذریعے توانائی سے ہے اور رفتار ویکٹر کی سمت کی نشاندہی کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ، اگر ذرہ کی توانایٔی رکاوٹ کی اونچائی سے نیچے ہے، تو وہ خیالی ہو جاتی ہے اور لہر کا فعل رکاوٹ کے اندر تیزی سے ختم ہو رہا ہوتا ہے۔ اس کے باوجود، ہم اشارے کو برقرار رکھتے ہیں حالانکہ اس معاملے میں لہریں اب پھیل نہیں رہی ہیں۔ یہاں ہم نے فرض کیا۔ اس کیس کا علاج ذیل میں کیا گیا ہے۔ کوفیشنٹس کو ویو فنکشن کے باؤنڈری کنڈیشنز سے اور پر تلاش کرنا ہوتا ہے۔ لہر فنکشن اور اس کے مشتق کو ہر جگہ مسلسل ہونا پڑتا ہے، لہذا لہر کے افعال کو داخل کرتے ہوئے، باؤنڈری کنڈیشنز کوفیشنٹس ٹرانسمیشن اور ریفلیکشن پر درج ذیل پابندیاں دیتی ہیں۔ اس مقام پر، صورتحال کا کلاسیکی کیس سے موازنہ کرنا سبق آموز ہے۔ دونوں صورتوں میں، ذرہ رکاوٹ کے علاقے سے باہر ایک آزاد ذرہ کے طور پر برتاؤ کرتا ہے۔ رکاوٹ کی اونچائی سے بڑی توانائی والا کلاسیکی ذرہ ہمیشہ رکاوٹ کو عبور کرتا ہے، اور رکاوٹ پر واقع ہونے والا کلاسیکی ذرہ ہمیشہ جھلکتا ہے۔ کوانٹم کیس کا مطالعہ کرنے کے لیے، مندرجہ ذیل صورتحال پر غور کریں: بائیں طرف سے رکاوٹ پر ایک ذرہ واقعہ اس کی عکاسی یا ترسیل ہو سکتی ہے۔ بائیں طرف سے واقع کے لیے عکاسی اور ترسیل کے طول و عرض کو تلاش کرنے کے لیے، ہم مندرجہ بالا مساوات (آنے والا ذرہ)، (عکاسی)، (دائیں طرف سے کوئی آنے والا ذرہ نہیں)، اور (ترسیل) ڈالتے ہیں۔ اس کے بعد ہم مساوات سے کوفشنٹس کو ختم کرتے ہیں اور اس کے لیے حل کرتے ہیں اور نتیجہ یہ ہوتا ہے: ماڈل کی آئینے کی ہم آہنگی کی وجہ سے، دائیں طرف سے ہونے والے واقعات کے طول و عرض بائیں طرف کے طول و عرض کے برابر ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ تاثرات کسی بھی توانائی کے لیے ہوتے ہیں اگر تو ان دونوں تاثرات میں یکسانیت ہے۔ حاصل شدہ تاثرات کا تجزیہ E <V0 حیرت انگیز نتیجہ یہ ہے کہ رکاوٹ کی اونچائی سے کم توانائیوں کے لیے، رکاوٹ کے ذریعے ذرہ کے منتقل ہونے کا غیر صفر امکان ہوتا ہے، اس اثر کے ساتھ، جو کلاسیکی صورت سے مختلف ہے، کوانٹم ٹنلنگ کہا جاتا ہے۔ ٹرانسمیشن کو رکاوٹ کی چوڑائی کے ساتھ تیزی سے دبایا جاتا ہے، جسے لہر فنکشن کی فعال شکل سے سمجھا جا سکتا ہے: رکاوٹ سے باہر یہ لہر ویکٹر کے ساتھ ارتعاش کرتا ہے جبکہ رکاوٹ کے اندر یہ تیزی سے فاصلے پر ڈمپ ہوتا ہے۔ اگر رکاوٹ اس انحطاط کی لمبائی سے بہت زیادہ وسیع ہے، تو بائیں اور دائیں حصہ عملی طور پر آزاد ہیں اور اس کے نتیجے میں سرنگ کو دبا دیا جاتا ہے۔ E> V0 اس صورت میں جہاں اتنی ہی حیرت انگیز بات یہ ہے کہ رکاوٹ کی اونچائی سے بڑی توانائیوں کے لیے، ذرہ غیر صفر امکان کے ساتھ رکاوٹ سے جھلک سکتا ہے۔ بغیر کسی عکاسی کے کامل ترسیل کا کلاسیکی نتیجہ (،) نہ صرف اعلی توانائی کی حد میں دوبارہ پیش کیا جاتا ہے بلکہ اس وقت بھی جب توانائی اور رکاوٹ کی چوڑائی مطمئن ہوتی ہے، جہاں (اوپر کے اعداد و شمار میں قریب اور 1.8 چوٹیاں دیکھیں)۔ نوٹ کریں کہ امکانات اور طول و عرض جیسا کہ لکھا گیا ہے کسی بھی توانائی (اوپر/نیچے) رکاوٹ کی اونچائی کے لیے ہیں۔ E = V0 پر ترسیل کا امکان ہے یہ اظہار دیگر صورتوں کے لیے اوپر بیان کردہ مستقلات سے ترسیل کے گتانک کا حساب لگا کر یا نقطہ نظر کے طور پر کی حد لے کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس مقصد کے لیے تناسب کی وضاحت کی گئی ہے، جو فنکشن میں استعمال ہوتا ہے: آخری مساوات میں اس کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے: یہ تعریفیں اس اظہار میں داخل کی جا سکتی ہیں جس کے لیے کیس حاصل کیا گیا تھا۔ اب، جب x کے 1 تک پہنچنے کی حد کا حساب لگایا جاتا ہے (ایل ہوپیٹل کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے)، تو جیسا کہ 1 تک پہنچتا ہے اس کی حد بھی حاصل کی جا سکتی ہے: حد کے لیے تشخیص شدہ قیمت کے لیے مذکورہ بالا اظہار کو جوڑ کر، T کے لیے مذکورہ بالا اظہار کو کامیابی کے ساتھ دوبارہ پیش کیا جاتا ہے۔ تبصرے اور اطلاقات اوپر پیش کردہ حساب شروع میں غیر حقیقی اور شاید ہی مفید لگ سکتا ہے۔ تاہم یہ مختلف قسم کے حقیقی زندگی کے نظاموں کے لیے ایک مناسب نمونہ ثابت ہوا ہے۔ ایسی ہی ایک مثال دو محرک مواد کے درمیان انٹرفیس ہیں۔ زیادہ تر مادوں میں، الیکٹرانوں کی حرکت نیم آزاد ہوتی ہے اور اسے ایک موثر کمیت کے ساتھ مندرجہ بالا ہیملٹنین میں حرکی اصطلاح کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ اکثر اس طرح کے مواد کی سطحیں آکسائڈ کی تہوں سے ڈھکی ہوتی ہیں یا دوسری وجوہات کی بناء پر مثالی نہیں ہوتی ہیں۔ اس پتلی، غیر موصل پرت کو پھر اوپر کی طرح رکاوٹ کی صلاحیت کے مطابق بنایا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد الیکٹران ایک مادے سے دوسرے مادے تک سرنگ بنا سکتے ہیں جس سے کرنٹ پیدا ہوتا ہے۔ اسکیننگ ٹنلنگ خوردبین (ایس ٹی ایم) کا عمل اس ٹنلنگ اثر پر منحصر ہے۔ اس صورت میں، رکاوٹ ایس ٹی ایم کی نوک اور بنیادی شے کے درمیان فرق کی وجہ سے ہے۔ چونکہ سرنگ کا کرنٹ رکاوٹ کی چوڑائی پر تیزی سے منحصر ہوتا ہے، اس لیے یہ آلہ جانچ شدہ نمونے پر اونچائی کے تغیرات کے لیے انتہائی حساس ہے۔ مندرجہ بالا ماڈل یک جہتی ہے، جبکہ خلا سہ جہتی ہے۔ شروڈنگر مساوات کو تین جہتوں میں حل کرنا چاہیے۔ دوسری طرف، بہت سے نظام صرف ایک مربوط سمت کے ساتھ بدلتے ہیں اور دوسروں کے ساتھ ترجمہ کے لحاظ سے غیر متغیر ہوتے ہیں۔ وہ الگ ہوتے ہیں۔ اس کے بعد شروڈنگر مساوات کو اس صورت میں کم کیا جا سکتا ہے جس پر یہاں اس قسم کے ویو فنکشن کے لیے این سیٹز کے ذریعے غور کیا گیا ہے: رکاوٹ کے دوسرے، متعلقہ ماڈل کے لیے، ڈیلٹا ممکنہ رکاوٹ (کیو ایم) دیکھیں، جسے محدود ممکنہ رکاوٹ کا ایک خاص معاملہ سمجھا جا سکتا ہے۔ اس مضمون کے تمام نتائج مستقل رہتے ہوئے حدود اختیار کر کے ڈیلٹا ممکنہ رکاوٹ پر فوری طور پر لاگو ہوتے ہیں۔ مورس/لانگ رینج پوٹینشل سٹیپ پوٹینشل فائنائٹ حوالہ جات کوانٹم ماڈل بکھرنے کا نظریہ شروڈنگر مساوات کوانٹم مکینیکل پوٹینشیلز بھی دیکھیں۔