Hardy Cross method
ہارڈی کراس طریقہ پائپ نیٹ ورک کے نظام میں بہاؤ کا تعین کرنے کے لیے ایک تکراری طریقہ ہے جہاں ان پٹ اور آؤٹ پٹ معلوم ہوتے ہیں، لیکن نیٹ ورک کے اندر کا بہاؤ نامعلوم ہے۔ یہ طریقہ پہلی بار نومبر 1936 میں اس کے ہم نام، ہارڈی کراس نے شائع کیا تھا، جو اربانا شیمپین میں الینوائے یونیورسٹی میں ساختی انجینئرنگ کے پروفیسر تھے۔ ہارڈی کراس طریقہ مومنٹ ڈسٹری بیوشن طریقہ کار کی موافقت ہے، جسے ہارڈی کراس نے بھی مستحکم طور پر غیر متعین ڈھانچوں میں قوتوں کا تعین کرنے کے طریقے کے طور پر تیار کیا تھا۔ پائپ کے بہاؤ کے نیٹ ورک کا تجزیہ کرنے کے لیے ہارڈی کراس طریقہ کار کے تعارف نے میونسپل پانی کی فراہمی کے ڈیزائن میں انقلاب برپا کر دیا۔ طریقہ کار متعارف ہونے سے پہلے، سر کے گرنے اور بہاؤ کے درمیان غیر لکیری تعلق کی وجہ سے تقسیم کے لیے پیچیدہ پائپ کے نظام کو حل کرنا انتہائی مشکل تھا۔ اس طریقہ کو بعد میں کمپیوٹر حل کرنے والے الگورتھم کے ذریعے نیوٹن-رافسن طریقہ کار یا دیگر عددی طریقوں کو استعمال کرتے ہوئے متروک کر دیا گیا جو ہاتھ سے مساوات کے غیر لکیری نظام کو حل کرنے کی ضرورت کو ختم کرتے ہیں۔ 1930 میں، ہارڈی کراس نے "اینالیسس آف کنٹینیوئس فریمز بائی ڈسٹری بیوٹنگ فکسڈ اینڈ مومنٹ" کے نام سے ایک مقالہ شائع کیا جس میں انہوں نے مومنٹ ڈسٹری بیوشن کے طریقہ کار کو بیان کیا، جو اس میدان میں انجینئروں کے ساختی تجزیہ کرنے کے طریقے کو تبدیل کر دے گا۔ لمحات کی تقسیم کا طریقہ مستحکم طور پر غیر متعین ڈھانچوں میں قوتوں کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا گیا تھا اور انجینئروں کو 1930 کی دہائی سے 1960 کی دہائی تک کمپیوٹر پر مبنی طریقوں کی ترقی تک ڈھانچے کو محفوظ طریقے سے ڈیزائن کرنے کی اجازت دی گئی تھی۔ نومبر 1936 میں، کراس نے پائپ نیٹ ورک کے بہاؤ کی تقسیم کے مسائل کو حل کرنے کے لیے وہی ہندسی طریقہ استعمال کیا، اور "نالیوں یا کنڈکٹرز کے نیٹ ورک میں بہاؤ کا تجزیہ" کے نام سے ایک مقالہ شائع کیا۔ مشتق ہارڈی کراس طریقہ پائپ نیٹ ورک میں بہاؤ کے لیے بار بار حل کرنے کے لیے بہاؤ کے تسلسل اور صلاحیت کے تسلسل کا ایک اطلاق ہے۔ پائپ کے بہاؤ کے معاملے میں، بہاؤ کے تحفظ کا مطلب ہے کہ اندر کا بہاؤ پائپ کے ہر جنکشن پر بہاؤ کے برابر ہے۔ پوٹینشل کے تحفظ کا مطلب یہ ہے کہ نظام میں کسی بھی لوپ کے ساتھ کل دشاتمک سر کا نقصان صفر ہے (یہ فرض کرتے ہوئے کہ بہاؤ کے خلاف شمار کردہ سر کا نقصان دراصل ایک سر کا فائدہ ہے)۔ ہارڈی کراس نے فلو نیٹ ورک کو حل کرنے کے لیے دو طریقے تیار کیے۔ ہر طریقہ یا تو بہاؤ یا صلاحیت کے تسلسل کو برقرار رکھنے سے شروع ہوتا ہے، اور پھر دوسرے کے لیے بار بار حل ہوتا ہے۔ مفروضے ہارڈی کراس کا طریقہ یہ فرض کرتا ہے کہ نظام کے اندر اور باہر جانے والا بہاؤ معلوم ہے اور یہ کہ پائپ کی لمبائی، قطر، کھردری اور دیگر اہم خصوصیات بھی معلوم ہیں یا فرض کی جا سکتی ہیں۔ طریقہ یہ بھی فرض کرتا ہے کہ بہاؤ کی شرح اور سر کے نقصان کے درمیان تعلق معلوم ہے، لیکن طریقہ کار کو استعمال کرنے کے لیے کسی خاص تعلق کی ضرورت نہیں ہے۔ پائپوں کے ذریعے پانی کے بہاؤ کے معاملے میں، سر کے گرنے اور بہاؤ کے درمیان تعلق کا تعین کرنے کے لیے کئی طریقے تیار کیے گئے ہیں۔ ہارڈی کراس طریقہ ان میں سے کسی بھی رشتے کو استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ سر کے نقصان اور بہاؤ کے درمیان عمومی تعلق یہ ہے: جہاں k فی یونٹ بہاؤ میں سر کا نقصان ہے اور n بہاؤ کا ایکسپونینٹ ہے۔ زیادہ تر ڈیزائن کے حالات میں k کو بنانے والی اقدار، جیسے پائپ کی لمبائی، قطر، اور کھردری، کو جانا یا فرض کیا جاتا ہے اور اس طرح نیٹ ورک میں ہر پائپ کے لیے k کی قیمت کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ وہ اقدار جو k بناتی ہیں اور n کی قدر تبدیل ہوتی ہے جو سر کے نقصان کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہونے والے تعلق پر منحصر ہوتی ہے۔ تاہم، تمام تعلقات ہارڈی کراس طریقہ کار کے ساتھ مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ بات بھی قابل غور ہے کہ ہارڈی کراس کا طریقہ سادہ سرکٹس اور دیگر بہاؤ جیسے حالات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ سادہ سرکٹس کے معاملے میں، کے مساوی ہے۔ گتانک k سے K، بہاؤ کی شرح Q سے I اور ایکسپونینٹ n سے 1 ترتیب دے کر، ہارڈی کراس طریقہ کار کو ایک سادہ سرکٹ کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، چونکہ وولٹیج ڈراپ اور کرنٹ کے درمیان تعلق لکیری ہے، اس لیے ہارڈی کراس طریقہ ضروری نہیں ہے اور سرکٹ کو غیر تکراری طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ سروں کو متوازن کرنے کا طریقہ سروں کو متوازن کرنے کا طریقہ ایک ابتدائی اندازے کا استعمال کرتا ہے جو ہر جنکشن پر بہاؤ کے تسلسل کو مطمئن کرتا ہے اور پھر بہاؤ کو متوازن کرتا ہے جب تک کہ نظام میں ہر لوپ پر صلاحیت کا تسلسل بھی حاصل نہ ہو جائے۔ ثبوت (r اشارہ کرتا ہے k) مندرجہ ذیل ثبوت ہارڈی کراس کے مقالے، "کنڈکٹس یا کنڈکٹرز کے نیٹ ورکس میں بہاؤ کا تجزیہ" سے لیا گیا ہے، اور اس کی تصدیق نیشنل پروگرام آن ٹیکنالوجی اینہانسڈ لرننگ واٹر اینڈ ویسٹ واٹر انجینئرنگ پیج، اور رابرٹ جے ہیوٹلن کے فنڈامینٹلز آف ہائیڈرولک انجینئرنگ سسٹمز کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ اگر ہر پائپ میں بہاؤ کی شرح کا ابتدائی اندازہ درست ہے، تو نظام میں لوپ کے اوپر سر میں تبدیلی، صفر کے برابر ہوگی۔ تاہم، اگر ابتدائی اندازہ درست نہیں ہے، تو سر میں تبدیلی غیر صفر ہوگی اور بہاؤ میں تبدیلی کا اطلاق کرنا ضروری ہے۔ نئی بہاؤ کی شرح، پرانی بہاؤ کی شرح اور بہاؤ کی شرح میں کچھ تبدیلی کا مجموعہ ہے جیسے کہ لوپ کے اوپر سر میں تبدیلی صفر ہو۔ اس کے بعد نئے لوپ پر سر میں تبدیلی کا مجموعہ ہوگا۔ کی قیمت کا تخمینہ ٹیلر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جا سکتا ہے۔ اضافی اصطلاحات کے مقابلے میں چھوٹے کے لیے غائب ہو جاتا ہے، چھوڑنا: اور کے لیے حل کرنا بہاؤ میں تبدیلی جو سر کو لوپ پر متوازن کرے گی اس کا تخمینہ اس کے ذریعے لگایا جاتا ہے۔ تاہم، یہ صرف ان شرائط کی وجہ سے ایک تخمینہ ہے جنہیں ٹیلر کی توسیع سے نظر انداز کیا گیا تھا۔ ہو سکتا ہے کہ لوپ پر سر میں تبدیلی صفر نہ ہو، لیکن یہ ابتدائی اندازے سے کم ہوگی۔ نیا تلاش کرنے کے متعدد تکرار درست حل کے قریب ہوں گے۔ عمل کا طریقہ مندرجہ ذیل ہے: ہر پائپ میں بہاؤ کا اندازہ لگائیں، اس بات کو یقینی بنائیں کہ بہاؤ میں کل ہر جنکشن پر کل بہاؤ کے برابر ہے۔ (اندازہ اچھا ہونا ضروری نہیں ہے، لیکن ایک اچھا اندازہ حل تلاش کرنے میں لگنے والے وقت کو کم کر دے گا۔) سسٹم میں ہر بند لوپ کا تعین کریں۔ ہر لوپ کے لیے، گھڑی کی سمت میں سر کے نقصانات اور گھڑی کی مخالف سمت میں سر کے نقصانات کا تعین کریں۔ ہر پائپ میں سر کے نقصان کا حساب اس کا استعمال کرتے ہوئے لگایا جاتا ہے۔ گھڑی کی سمت میں سر کا نقصان گھڑی کی سمت میں بہاؤ سے ہوتا ہے اور اسی طرح گھڑی کی مخالف سمت میں ہوتا ہے۔ گھڑی کی سمت میں سر کے نقصان سے گھڑی کی سمت میں سر کے نقصان کو گھٹا کر، ہر لوپ میں سر کے کل نقصان کا تعین کریں۔ ہر لوپ کے لیے، سمت کے حوالے کے بغیر تلاش کریں (تمام اقدار مثبت ہونی چاہئیں)۔ بہاؤ میں تبدیلی برابر ہے۔ اگر بہاؤ میں تبدیلی مثبت ہے، تو اسے گھڑی کی مخالف سمت میں لوپ کے تمام پائپوں پر لگائیں۔ اگر بہاؤ میں تبدیلی منفی ہے، تو اسے گھڑی کی سمت میں لوپ کے تمام پائپوں پر لگائیں۔ مرحلہ 3 سے جاری رکھیں جب تک کہ بہاؤ میں تبدیلی تسلی بخش حد میں نہ ہو۔ بہاؤ کو متوازن کرنے کا طریقہ (حصہ نامکمل) بہاؤ کو متوازن کرنے کا طریقہ ایک ابتدائی اندازے کا استعمال کرتا ہے جو ہر لوپ پر صلاحیت کے تسلسل کو مطمئن کرتا ہے اور پھر بہاؤ کو متوازن کرتا ہے جب تک کہ ہر جنکشن پر بہاؤ کا تسلسل بھی حاصل نہ ہو جائے۔ ہارڈی کراس طریقہ کار کے فوائد سادہ ریاضی ہارڈی کراس طریقہ کار مفید ہے کیونکہ یہ مساوات کے نظام کو حل کرنے کی ضرورت کو نظر انداز کرتے ہوئے صرف سادہ ریاضی پر انحصار کرتا ہے۔ ہارڈی کراس کے طریقوں کے بغیر، انجینئروں کو متغیر متغیرات کے ساتھ مساوات کے پیچیدہ نظاموں کو حل کرنا ہوگا جنہیں آسانی سے ہاتھ سے حل نہیں کیا جا سکتا۔ خود کو درست کرنا ہارڈی کراس کا طریقہ مسئلہ کو حل کرنے کے لیے استعمال ہونے والے ابتدائی اندازے میں غلطیوں کو بار بار درست کرتا ہے۔ حساب میں آنے والی غلطیوں کو بھی بار بار درست کیا جاتا ہے۔ اگر طریقہ کار کی صحیح طریقے سے پیروی کی جائے تو، ہر پائپ میں مناسب بہاؤ تب بھی پایا جا سکتا ہے اگر اس عمل میں چھوٹی چھوٹی ریاضیاتی غلطیاں مستقل طور پر کی جائیں۔ جب تک آخری چند تکرار تفصیل پر توجہ کے ساتھ کیے جاتے ہیں، تب بھی حل درست رہے گا۔ درحقیقت، حساب کو تیزی سے چلانے کے لیے طریقہ کار کے ابتدائی تکرار میں جان بوجھ کر اعشاریہ کو چھوڑنا ممکن ہے۔ مثال ہارڈی کراس کا طریقہ پائپ نیٹ ورک میں بہاؤ کی تقسیم کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ دائیں طرف دکھائے گئے سادہ پائپ فلو نیٹ ورک کی مثال پر غور کریں۔ اس مثال کے لیے، اندر اور باہر کا بہاؤ 10 لیٹر فی سیکنڈ ہوگا۔ ہم n کو 2 سمجھیں گے، اور ہیڈ لاس فی یونٹ فلو r، اور ہر پائپ کے لیے ابتدائی فلو کا اندازہ مندرجہ ذیل ہے: ہم نیٹ ورک کو بیلنسنگ ہیڈز کے طریقہ کار کے ذریعے حل کرتے ہیں، اوپر طریقہ کار کے عمل میں بیان کردہ مراحل پر عمل کرتے ہوئے۔ 1. ابتدائی اندازے لگائے جاتے ہیں تاکہ نیٹ ورک کے ہر جنکشن پر بہاؤ کا تسلسل برقرار رہے۔ 2. سسٹم کے لوپس کی شناخت لوپ 1-2-3 اور لوپ 2-3-4 کے طور پر کی جاتی ہے۔ 3. ہر پائپ میں سر کے نقصانات کا تعین کیا جاتا ہے۔ لوپ 1-2-3 کے لیے، گھڑی کی سمت میں سر کے نقصانات کا مجموعہ 25 ہے اور گھڑی کی مخالف سمت میں سر کے نقصانات کا مجموعہ 125 ہے۔ لوپ 2-3-4 کے لیے، گھڑی کی سمت میں سر کے نقصانات کا مجموعہ 125 ہے اور گھڑی کی مخالف سمت میں سر کے نقصانات کا مجموعہ 25 ہے۔ 4. لوپ 1-2-3 میں کل گھڑی کی سمت سر کا نقصان ہے۔ لوپ 2-3-4 میں کل گھڑی کی سمت سر کا نقصان ہے۔ 5. کی قیمت ہر لوپ کے لیے متعین کی جاتی ہے۔ یہ دونوں لوپس میں 60 پایا جاتا ہے (ہم آہنگی کی وجہ سے)، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ 6. مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ہر لوپ کے لیے بہاؤ میں تبدیلی پائی جاتی ہے۔ لوپ 1-2-3 کے لیے، بہاؤ میں تبدیلی برابر ہے اور لوپ 2-3-4 کے لیے بہاؤ میں تبدیلی برابر ہے۔ 7. بہاؤ میں تبدیلی لوپس پر لاگو ہوتی ہے۔ لوپ 1-2-3 کے لیے، بہاؤ میں تبدیلی منفی ہوتی ہے اس لیے اس کی مطلق قدر گھڑی کی سمت میں لاگو ہوتی ہے۔ لوپ 2-3-4 کے لیے، بہاؤ میں تبدیلی مثبت ہوتی ہے اس لیے اس کی مطلق قدر گھڑی کی مخالف سمت میں لاگو ہوتی ہے۔ پائپ 2-3 کے لیے، جو دونوں لوپس میں ہے، بہاؤ میں تبدیلیاں مجموعی ہوتی ہیں۔ اس کے بعد یہ عمل مرحلہ 3 سے اس وقت تک دہرایا جاتا ہے جب تک کہ بہاؤ میں تبدیلی کافی کم نہ ہو جائے یا صفر نہ ہو جائے۔ 3. لوپ 1-2-3 میں سر کا کل نقصان یہ ہے کہ نوٹ کریں کہ گھڑی کی سمت سر کا نقصان گھڑی کی سمت سر کے نقصان کے برابر ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس لوپ میں بہاؤ متوازن ہے اور بہاؤ کی شرح درست ہے۔ لوپ 2-3-4 میں کل سر کا نقصان بھی متوازن ہوگا (دوبارہ ہم آہنگی کی وجہ سے)۔ اس صورت میں، طریقہ کار نے ایک تکرار میں صحیح حل پایا۔ دوسرے نیٹ ورکس کے لیے، اس میں متعدد تکرار لگ سکتے ہیں جب تک کہ پائپوں میں بہاؤ درست یا تقریبا درست نہ ہو۔ پائپ نیٹ ورک تجزیہ مومنٹ ڈسٹری بیوشن طریقہ حوالہ جات ہائیڈرولک انجینئرنگ بھی دیکھیں۔