Gauss's lemma (number theory)
نمبر تھیوری میں گاؤس کا لیما ایک انٹیجر کے لیے کواڈریٹک ریسیڈیو ہونے کی شرط دیتا ہے۔ اگرچہ یہ کمپیوٹیشنل طور پر مفید نہیں ہے، لیکن اس کی نظریاتی اہمیت ہے، جو کہ کواڈریٹک باہمی تعاون کے کچھ ثبوتوں میں شامل ہے۔ اس کا پہلا ظہور کارل فریڈرک گاؤس کے کواڈریٹک باہمی تعاون کے تیسرے ثبوت (1808) میں ہوا اور اس نے اسے اپنے پانچویں ثبوت (1818) میں دوبارہ ثابت کیا۔ لیما کا بیان کسی بھی عجیب پرائم کے لیے ایک انٹیجر ہونا چاہیے جو کوپرائم ہو۔ انٹیجرز اور ان کے سب سے کم مثبت باقیات ماڈیولو پر غور کریں۔ یہ باقیات سب الگ الگ ہیں، اس لیے (ان میں سے) موجود ہیں۔ فرض کریں کہ ان باقیات کی تعداد اس سے زیادہ ہے۔ پھر لیجنڈری کی علامت کہاں ہے۔ مثال = 11 اور = 7 لیتے ہوئے، انٹیجرز کی متعلقہ ترتیب 7، 14، 21، 28، 35 ہے۔ تخفیف ماڈیولو 11 کے بعد، یہ ترتیب 7، 3، 10، 6، 2 ہو جاتی ہے۔ ان میں سے تین عدد 11/2 (یعنی 6، 7 اور 10) سے بڑے ہیں، تو = 3۔ اسی کے مطابق گاؤس کا لیما پیش گوئی کرتا ہے کہ یہ واقعی درست ہے، کیونکہ 7 کواڈریٹک ریسیڈیو ماڈیولو 11 نہیں ہے۔ بقیہ 7، 3، 10، 6، 2 کی مندرجہ بالا ترتیب کو −4، 3، −1، −5، 2 بھی لکھا جا سکتا ہے۔ اس شکل میں، 11/2 سے بڑے عدد منفی اعداد کے طور پر ظاہر ہوتے ہیں۔ یہ بھی واضح ہے کہ بقیہ کی مطلق اقدار بقیہ 1، 2، 3، 4، 5 کی ترتیب ہیں۔ ثبوت ایک کافی آسان ثبوت، جو فرمیٹ کے چھوٹے نظریہ کے آسان ترین ثبوتوں میں سے ایک کی یاد دلاتا ہے، دو مختلف طریقوں سے پروڈکٹ ماڈیولو پی کا جائزہ لے کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ ایک طرف یہ برابر ہے دوسری طرف تشخیص میں زیادہ محنت درکار ہوتی ہے۔ چونکہ ان ضربوں کو شمار کرتا ہے جو مؤخر الذکر کی حد میں ہیں، اور چونکہ ان ضربوں کے لیے، پہلی حد میں ہے، اس لیے ہم نے اب مشاہدہ کیا ہے کہ اقدار کے لیے الگ ہیں۔ درحقیقت، ہمارے پاس ہے کیونکہ اس کے ساتھ ہم آہنگ ہے۔ یہ دیتا ہے =، چونکہ اور مثبت کم سے کم باقیات ہیں۔ لیکن بالکل ان میں سے کچھ ہیں، لہذا ان کی اقدار انٹیجرز کی دوبارہ ترتیب ہیں۔ لہذا، اپنی پہلی تشخیص سے موازنہ کرتے ہوئے، ہم غیر صفر عنصر کو منسوخ کر سکتے ہیں اور ہمارے پاس یہ مطلوبہ نتیجہ رہ جاتا ہے، کیونکہ اویلر کے معیار کے مطابق بائیں ہاتھ کی طرف لیجنڈری علامت کے لیے صرف ایک متبادل اظہار ہے۔ جنرلائزیشن کسی بھی عجیب پرائم کے لیے ایک انٹیجر ہونا چاہیے جو کاپرائم ہے۔ ایک ایسا مجموعہ بننے دیں جو اور کا جداگانہ اتحاد ہو۔ پھر کہاں۔ اصل بیان میں، ثبوت تقریبا ایک ہی ہے۔ ایپلی کیشنز گاؤس کا لیما بہت سے میں استعمال ہوتا ہے، لیکن کسی بھی طرح سے نہیں، کواڈریٹک باہمی تعاون کے معروف ثبوت۔ مثال کے طور پر، گوتھولڈ آئزنسٹین نے یہ ثابت کرنے کے لیے گاؤس کے لیما کا استعمال کیا کہ اگر ایک عجیب پرائم ہے تو اس فارمولے کو کواڈریٹک ریسیکروٹی ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا۔ سرکلر افعال کے بجائے ایلیپٹک کا استعمال کرتے ہوئے، اس نے کیوبک اور کوارٹک باہمی قوانین کو ثابت کیا۔ لیوپولڈ کرونکر نے یہ ظاہر کرنے کے لیے لیما کا استعمال کیا کہ سوئچنگ اور فوری طور پر کواڈریٹک باہمی تعاون دیتا ہے۔ یہ ان چیزوں میں بھی استعمال ہوتا ہے جو شاید "دوسرے ضمیمہ قانون" کے سب سے آسان ثبوت ہیں۔ اعلی طاقتوں کا استعمال اعلی طاقت کے باقیات کی علامتوں کا حساب لگانے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ بائیکاڈریٹک ریسیکروپیٹی پر اپنے دوسرے مونوگراف میں، گاؤس نے چوتھی طاقت والے لیما کا استعمال کیا تاکہ ان کے بائیکاڈریٹک کردار کے فارمولے کو حاصل کیا جا سکے، جو کہ گاؤسی انٹیجرز کی انگوٹی ہے۔ اس کے بعد، آئزنسٹین نے کیوبک اور کوارٹک باہمی تعاون کو ثابت کرنے کے لیے تھرڈ اور فورتھ پاور ورژن کا استعمال کیا۔ nth پاور ریسیڈیو کی علامت k کو انٹیجرز کی رنگ کے ساتھ ایک الجبرائی نمبر فیلڈ ہونے دیں اور ایک پرائم آئیڈیل ہونے دیں۔ کے مثالی معیار کو بقیہ کلاس کی انگوٹی کی بنیادی حیثیت کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ چونکہ پرائم ہے اس لیے یہ ایک محدود فیلڈ ہے، اس لیے مثالی معیار ہے۔ فرض کریں کہ اتحاد کی ایک ابتدائی جڑ اور وہ اور مشترکہ ہیں (یعنی۔ )۔ پھر اتحاد کی کوئی بھی دو الگ الگ جڑیں ہم آہنگ ماڈیولو نہیں ہو سکتی ہیں۔ یہ تضاد سے ثابت کیا جا سکتا ہے، اس موڈ کو فرض کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ اس طرح کے موڈ، اور. اتحاد کی جڑوں کی تعریف سے، اور تقسیم کرنے سے لیٹنگ اور لے جانے والے باقیات کا موڈ ملتا ہے، چونکہ اور کوپرائم، موڈ ہیں لیکن مفروضے کے تحت، دائیں طرف کے عوامل میں سے ایک صفر ہونا چاہیے۔ لہذا، یہ مفروضہ کہ دو الگ الگ جڑیں ہم آہنگ ہیں غلط ہے۔ اس طرح کی طاقتوں پر مشتمل بقیہ کلاسیں اس کے (ضرب) اکائیوں کے گروپ کی ترتیب کا ایک ذیلی گروہ ہیں، لہذا، کی ترتیب کا ایک ضرب ہے، اور اس میں فرمیٹ کے نظریہ کا ایک ینالاگ ہے۔ اگر کے لیے، تب اور موڈ کے بعد سے، اچھی طرح سے متعین ہے اور اتحاد کے ایک منفرد th جڑ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اتحاد کی اس جڑ کو تھ-پاور ریسیڈیو علامت کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی ایسا موڈ موجود ہو۔ 1/n نظاموں کو اتحاد کے th جڑوں کا ضرب گروپ ہونے دیں، اور کوسٹس کے نمائندے ہونے دیں۔ پھر اسے سسٹم موڈ کہا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، سیٹ میں نمبر ہوتے ہیں اور یہ سیٹ لیما کے اصل ورژن میں استعمال ہونے والے نمبروں کے لیے ایک نمائندہ سیٹ تشکیل دیتا ہے۔ نظام کی تعمیر سیدھی سی بات ہے: کسی کو چننے کے لیے نمائندہ سیٹ ہونے دیں اور ان نمبروں کو ہٹا دیں جو ان سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ان نمبروں میں سے چن لیں اور ختم ہونے تک دہرانے کے لیے ہم آہنگ نمبروں کو ہٹا دیں۔ اس کے بعد ایک سسٹم موڈ ہے۔ nth پاورز کے لیے لیما، گاؤس کے لیما کو درج ذیل طور پر th پاور ریسیڈیو علامت تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ آئیے اتحاد کی ایک ابتدائی جڑ، ایک بنیادی آئیڈیل، (یعنی۔ پھر ہر ایک کے لیے، انٹیجرز، منفرد (موڈ)، اور منفرد (موڈ) ہوتے ہیں، جیسے کہ اور th-پاور کے باقیات کی علامت فارمولے کے ذریعے دی جاتی ہے۔ کواڈریٹک لیجنڈر علامت کے لیے کلاسیکی لیما خاص صورت ہے،، اگر، اگر۔ ثبوت تھ-پاور لیما کا ثبوت وہی نظریات استعمال کرتا ہے جو کواڈریٹک لیما کے ثبوت میں استعمال کیے گئے تھے۔ انٹیجرز اور، اور ان کی انفرادیت (موڈ) اور (موڈ) کا وجود، بالترتیب، اس حقیقت سے آتا ہے جو ایک نمائندہ سیٹ ہے۔ فرض کریں کہ = =، یعنی۔ اور پھر کیونکہ اور ہیں دونوں اطراف کو تقسیم کیا جا سکتا ہے، جس سے، چونکہ یہ ایک نظام ہے، اس کا مطلب ہے اور یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ سیٹ کی ترتیب ہے۔ پھر ایک طرف، طاقت کے باقیات کی علامت کی تعریف کے مطابق، اور دوسری طرف، چونکہ ایک ترتیب ہے، لہذا اور چونکہ سب کے لیے، اور ہم آہنگ ہیں، ہم آہنگی کے دونوں اطراف سے منسوخ کیا جا سکتا ہے، اور نظریہ اس حقیقت سے پیروی کرتا ہے کہ اتحاد کی کوئی بھی دو الگ تھرو جڑیں ہم آہنگ (موڈ) نہیں ہو سکتی ہیں۔ گروپ تھیوری میں منتقلی سے تعلق آئیے غیر صفر بقیہ کلاسوں کا ضرب گروپ بنیں، اور ذیلی گروپ {+ 1, −1} بنیں۔ کے درج ذیل کوسیٹ نمائندوں پر غور کریں، کوسیٹ نمائندوں کے اس مجموعے میں منتقلی کی مشینری کو لاگو کرتے ہوئے، ہم ٹرانسفر ہومومورفزم حاصل کرتے ہیں جو نقشہ بن جاتا ہے جو لیما کے بیان میں بھیجتا ہے، کہاں اور ہے۔ اس کے بعد گاؤس کے لیما کو ایک حساب کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو واضح طور پر اس ہومومورفزم کی شناخت کواڈریٹک ریسیڈیو کردار کے طور پر کرتا ہے۔ زولوتریف کے لیما حوالہ جات بھی دیکھیں نمبر تھیوری میں ثبوتوں پر مشتمل مضامین نمبر تھیوری میں ماڈیولر ریاضی کواڈریٹک باقیات مربع نمبر تھیوری میں