Grothendieck category
ریاضی میں، گروتھینڈیک زمرہ ایک خاص قسم کا ابیلین زمرہ ہے، جسے الیگزینڈر گروتھینڈیک کے 1957 کے توہوکو پیپر میں متعارف کرایا گیا تھا تاکہ ماڈیولز اور شیوز کے لیے یکساں طریقے سے ہومیولوجیکل الجبرا کی مشینری تیار کی جا سکے۔ ان زمروں کا نظریہ 1962 میں پیئر گیبریل کے بنیادی مقالے میں مزید تیار کیا گیا تھا۔ ہر الجبرائی قسم سے کوئی بھی گروتھینڈیک زمرے کو منسلک کر سکتا ہے، جو نیم مربوط شیوز پر مشتمل ہوتا ہے۔ یہ زمرہ تمام متعلقہ ہندسی معلومات کو انکوڈ کرتا ہے، اور (گیبریل-روزنبرگ تعمیر نو تھیوریم) سے بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ یہ مثال غیر متغیر الجبرائی جیومیٹری کے لیے ایک نقطہ نظر کو جنم دیتی ہے: "غیر متغیر اقسام" کا مطالعہ پھر (کچھ) گروتھینڈک زمروں کے مطالعہ کے سوا کچھ نہیں ہے۔ تعریف تعریف کے مطابق، گروتھینڈیک زمرہ ایک جنریٹر کے ساتھ اے بی 5 زمرہ ہے۔ ہجے کے مطابق، اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ایک ابیلین زمرہ ہے۔ اشیاء کے ہر (ممکنہ طور پر لامحدود) خاندان میں ایک مشترکہ پیداوار (جسے براہ راست مجموعہ بھی کہا جاتا ہے) ہے۔ مختصر عین ترتیب کی براہ راست حدود درست ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر مختصر عین ترتیب کا براہ راست نظام دیا گیا ہے، تو براہ راست حدود کی محرک ترتیب بھی ایک مختصر عین ترتیب ہے۔ (براہ راست حدود ہمیشہ صحیح ہوتی ہیں۔ یہاں اہم بات یہ ہے کہ ہم ان کو بھی بائیں درست ہونے کی ضرورت ہے۔) جنریٹر رکھتا ہے، یعنی۔ اس طرح میں ایک ایسی چیز ہے جو سیٹوں کے زمرے سے ایک وفادار فنکٹر ہے۔ (ہماری صورت حال میں، یہ کہنے کے مترادف ہے کہ کا ہر آبجیکٹ ایک ایپیمورفزم کو تسلیم کرتا ہے، جہاں (ممکنہ طور پر لامحدود) سیٹ کے ہر عنصر کے لیے ایک کی نقلوں کا براہ راست مجموعہ ظاہر ہوتا ہے۔) "گروتھینڈیک زمرہ" نام نہ تو گروتھینڈیک کے توہوکو مقالے میں اور نہ ہی گیبریل کے مقالے میں شائع ہوا۔ یہ 1960 کی دہائی کے دوسرے نصف میں کئی مصنفین کے کام میں استعمال ہوا، جن میں جان ایرک روس، بو اسٹینسٹروم، الریچ اوبرسٹ، اور بوڈو پیریگس شامل ہیں۔ (کچھ مصنفین ایک مختلف تعریف استعمال کرتے ہیں کہ انہیں جنریٹر کے وجود کی ضرورت نہیں ہے۔) مثالیں گروتھینڈیک زمرے کی مثالی مثال ابیلین گروپوں کا زمرہ ہے۔ انٹیجرز کا ابیلین گروپ جنریٹر کے طور پر کام کر سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی رنگ (ایسوسی ایٹیو، کے ساتھ، لیکن ضروری نہیں کہ تبادلہ) کو دیکھتے ہوئے، تمام دائیں (یا متبادل طور پر: بائیں) ماڈیولز کا زمرہ ایک گروتھینڈیک زمرہ ہے ؛ خود ایک جنریٹر کے طور پر کام کر سکتا ہے۔ ٹپوولوجیکل جگہ کو دیکھتے ہوئے، ابیلین گروپوں کے تمام شییوز کا زمرہ گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ (زیادہ عام طور پر: دائیں-ماڈیولز کے تمام شیوز کا زمرہ کسی بھی رنگ کے لیے گروتھینڈیک زمرہ ہے۔) رنگڈ اسپیس کو دیکھتے ہوئے، او ایکس-ماڈیولز کے شییوز کا زمرہ گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ ایک (افائن یا پروجیکٹو) الجبرائی قسم (یا زیادہ عام طور پر: کوئی بھی اسکیم) کو دیکھتے ہوئے، نیم مربوط شیوز کا زمرہ گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ ایک چھوٹی سی سائٹ (سی، جے) دی گئی ہے (یعنی۔ گروتھینڈیک ٹوپولوجی جے) کے ساتھ ایک چھوٹا زمرہ سی، سائٹ پر موجود ابیلین گروپوں کے تمام شیوز کا زمرہ گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ گروتھینڈیک کے مزید زمروں کی تعمیر کوئی بھی زمرہ جو گروتھینڈیک کے زمرے کے مساوی ہے، خود ایک گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ گروتھینڈک کیٹیگریز کو دیکھتے ہوئے، پروڈکٹ کیٹیگری گروتھینڈک کیٹیگری ہے۔ ایک چھوٹے زمرے اور گروتھینڈیک زمرے کو دیکھتے ہوئے، فنکٹر زمرہ، جو تمام کوویرینٹ فنکٹروں پر مشتمل ہے، ایک گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ ایک چھوٹے سے اضافی زمرے اور گروتھینڈیک زمرے کو دیکھتے ہوئے، تمام اضافی کوویرینٹ فنکٹروں کا فنکٹر زمرہ گروتھینڈیک زمرہ ہے۔ اگر گروتھینڈیک زمرہ ہے اور اس کا مقامی ذیلی زمرہ ہے، تو دونوں اور سیر کوشیئنٹ زمرہ گروتھینڈیک زمرے ہیں۔ خصوصیات اور نظریات ہر گروتھینڈک زمرے میں ایک انجیکشن کوجینریٹر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ابیلین گروپوں کے زمرے کا ایک انجیکشن کوجینریٹر کوشینٹ گروپ ہے۔ گروتھینڈیک زمرے میں ہر شے میں ایک انجیکشن ہول ہوتا ہے۔ یہ انجیکشن ریزولوشن بنانے کی اجازت دیتا ہے اور اس طرح حاصل شدہ فنکٹرز کی وضاحت کے لیے ہومیولوجیکل الجبرا کے ٹولز کا استعمال کرتا ہے۔ (نوٹ کریں کہ تمام گروتھینڈیک زمرے تمام اشیاء کے لیے پروجیکٹو ریزولوشن کی اجازت نہیں دیتے ہیں۔ مثالیں بہت سے ٹپوولوجیکل خالی جگہوں پر ابیلین گروپوں کے شییوز کے زمرے ہیں، جیسے کہ حقیقی اعداد کی جگہ پر۔) گروتھینڈیک زمرے میں، کسی دی گئی شے کے ذیلی اشیاء کے کسی بھی خاندان میں ایک بالادستی (یا "مجموعہ") کے ساتھ ساتھ ایک لامحدود (یا "چوراہا") بھی ہوتا ہے، یہ دونوں دوبارہ اس کے ذیلی اشیاء ہیں۔ مزید، اگر خاندان کو ہدایت دی جاتی ہے (یعنی۔ خاندان میں کسی بھی دو اشیاء کے لیے، خاندان میں ایک تیسرا آبجیکٹ ہوتا ہے جس میں دونوں شامل ہوتے ہیں)، اور یہ ایک اور ذیلی آبجیکٹ ہے، ہمارے پاس گروتھینڈیک کیٹیگریز اچھی طاقت سے چلتی ہیں (بعض اوقات مقامی طور پر چھوٹی کہلاتی ہیں، حالانکہ یہ اصطلاح ایک مختلف تصور کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے)، یعنی۔ کسی بھی دی گئی شے کے ذیلی اشیاء کا مجموعہ ایک سیٹ بناتا ہے (مناسب کلاس کے بجائے)۔ یہ ایک گہرا نتیجہ ہے کہ ہر گروتھینڈیک زمرہ مکمل ہے، یعنی۔ کہ صوابدیدی حدود (اور خاص طور پر مصنوعات میں) موجود ہیں۔ اس کے برعکس، یہ براہ راست اس تعریف کی پیروی کرتا ہے جو مشترکہ ہے، یعنی۔ کہ صوابدیدی کولیمیٹس اور شریک پروڈکٹس (براہ راست رقم) موجود ہیں۔ گروتھینڈیک زمرے میں شریک مصنوعات درست ہیں (یعنی۔ مختصر عین مطابق ترتیب کے خاندان کی مشترکہ پیداوار ایک مختصر عین مطابق ترتیب ہے)، لیکن مصنوعات کو درست ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ گروتھینڈیک زمرے سے صوابدیدی زمرے میں ایک فنکٹر کا بائیں طرف کا ملحقہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ تمام حدود کے ساتھ سفر کرتا ہے، اور اس کا دائیں طرف کا ملحقہ ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ تمام کولیمٹس کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ یہ پیٹر جے فریڈ کے خصوصی ملحقہ فنکٹر تھیوریم اور اس کے دوہرے سے ملتا ہے۔ گیبریل-پوپیسکو تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ کوئی بھی گروتھینڈیک زمرہ کسی یونیٹل رنگ پر دائیں ماڈیولز کے زمرے کی مکمل ذیلی زمرہ کے مساوی ہے (جسے جنریٹر کی اینڈومورفزم رنگ سمجھا جا سکتا ہے)، اور کچھ مقامی ذیلی زمرہ کے ذریعے گیبریل حصص کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ گیبریل-پوپیسکو کے نتیجے میں، کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ ہر گروتھینڈیک زمرہ مقامی طور پر پیش کرنے کے قابل ہے۔ مزید برآں، گیبریل-پوپیسکو کو یہ دیکھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ہر گروتھینڈیک زمرہ مکمل ہے، جو کچھ لوگوں کے لیے مکمل زمرے کا عکاس ذیلی زمرہ ہے۔ ہر چھوٹے ابیلین زمرے کو درج ذیل انداز میں گروتھینڈیک زمرے میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ لیفٹ ایکزیکٹ ایڈیٹیو (کوویرینٹ) فنکٹروں کا زمرہ (جہاں ابیلین گروپوں کے زمرے کی نشاندہی کرتا ہے) ایک گروتھینڈیک زمرہ ہے، اور فنکٹر، ساتھ، مکمل، وفادار اور درست ہے۔ ایک جنریٹر سب کے شریک پروڈکٹ کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ زمرہ انڈ آبجیکٹ کے زمرے کے مساوی ہے اور سرایت قدرتی سرایت سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس لیے ہم اس کی مشترکہ تکمیل کے طور پر دیکھ سکتے ہیں۔ خاص قسم کی اشیاء اور گروتھینڈیک کے زمرے گروتھینڈیک کے زمرے میں ایک شے کو حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے اگر، جب بھی ذیلی اشیاء کے خاندان کے مجموعے کے طور پر لکھا جائے، تو یہ پہلے سے ہی ایک محدود ذیلی خاندان کا مجموعہ ہے۔ (ماڈیول کیٹیگریز کے معاملے میں، یہ تصور حتمی طور پر تیار کردہ ماڈیولز کے واقف تصور کے مساوی ہے۔) حتمی طور پر پیدا شدہ اشیاء کی ایپیمورفک تصاویر ایک بار پھر حتمی طور پر تیار کی جاتی ہیں۔ اگر اور دونوں اور حتمی طور پر تیار کیے گئے ہیں، تو ایسا ہی ہے۔ آبجیکٹ حتمی طور پر اس صورت میں پیدا ہوتا ہے جب، اور صرف اس صورت میں جب، کسی بھی ہدایت شدہ نظام کے لیے جس میں ہر مورفزم ایک مونومورفزم ہے، قدرتی مورفزم ایک آئسومورفزم ہے۔ گروتھینڈیک زمرے میں کسی بھی غیر صفر سے حتمی طور پر تیار کردہ اشیاء کی ضرورت نہیں ہوتی ہے۔ گروتھینڈیک زمرے کو مقامی طور پر حتمی طور پر تیار کردہ کہا جاتا ہے اگر اس میں حتمی طور پر تیار کردہ جنریٹرز کا مجموعہ ہو (یعنی۔ اگر محدود طور پر پیدا شدہ اشیاء کا ایک خاندان موجود ہے جیسے کہ ہر شے کے لیے موجود ہے اور ایک غیر صفر مورفزم ؛ مساوی طور پر:) کی نقلوں کے براہ راست مجموعہ کی ایپیمورفک شبیہہ ہے۔ اس طرح کے زمرے میں، ہر شے اس کے حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی اشیاء کا مجموعہ ہے۔ ہر زمرہ مقامی طور پر حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ گروتھینڈیک زمرے میں کسی شے کو حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے اگر وہ حتمی طور پر تیار کیا گیا ہو اور اگر حتمی طور پر تیار کردہ ڈومین کے ساتھ ہر ایپیمورفزم میں حتمی طور پر تیار کردہ دانا ہو۔ ایک بار پھر، یہ حتمی طور پر پیش کردہ ماڈیولز کے تصور کو عام کرتا ہے۔ اگر اور دونوں اور حتمی طور پر پیش کیے گئے ہیں، تو ایسا ہی ہے۔ مقامی طور پر حتمی طور پر تیار کردہ گروتھینڈیک زمرے میں، حتمی طور پر پیش کردہ اشیاء کو مندرجہ ذیل طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے: ان کو حتمی طور پر پیش کیا جاتا ہے اگر، اور صرف اس صورت میں جب، ہر ہدایت شدہ نظام کے لیے، قدرتی مورفزم ایک آئسومورفزم ہو۔ گروتھینڈیک زمرے میں کسی شے کو مربوط کہا جاتا ہے اگر اسے حتمی طور پر پیش کیا جائے اور اگر اس کے ہر ایک حتمی طور پر تیار کردہ ذیلی اشیاء کو بھی حتمی طور پر پیش کیا جائے۔ (یہ ایک رنگڈ اسپیس پر مربوط شیوز کے تصور کو عام کرتا ہے۔) تمام مربوط اشیاء کا مکمل ذیلی زمرہ ابیلین ہے اور انکلیوژن فنکٹر درست ہے۔ گروتھینڈیک زمرے میں کسی شے کو نویتھیرین کہا جاتا ہے اگر اس کے ذیلی اشیاء کا مجموعہ چڑھتے ہوئے سلسلہ کی حالت کو پورا کرتا ہے، یعنی۔ اگر سب آبجیکٹ کی ہر ترتیب بالآخر مستحکم ہو جائے۔ یہ تب ہوتا ہے جب اور صرف اس صورت میں جب X کا ہر ذیلی آبجیکٹ حتمی طور پر تیار کیا جائے۔ (اس معاملے میں، یہ تصور نویتھیرین ماڈیولز کے واقف تصور کے مساوی ہے۔) گروتھینڈیک زمرے کو مقامی طور پر نویتھیرین کہا جاتا ہے اگر اس میں نویتھیرین جنریٹرز کا ایک سیٹ ہو۔ اس کی ایک مثال بائیں نویتھیرین رنگ پر بائیں ماڈیولز کا زمرہ ہے۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط ابیلین زمرہ جات، ڈینیل مرفیٹ کے نوٹ۔ سیکشن 2.3 گروتھینڈیک کیٹیگریز کا احاطہ کرتا ہے۔ زمرہ تھیوری اضافی زمرہ جات ہومیولوجیکل الجبرا