Gregory coefficients
گریگوری کوفیشنٹس، جنہیں ریسپروکل لوگرتھمک نمبرز بھی کہا جاتا ہے، دوسری قسم کے برنولی نمبرز، یا پہلی قسم کے کاچی نمبرز، وہ عقلی نمبر ہیں جو ریسپروکل لوگرتھم کے میکلورین سیریز کی توسیع میں پائے جاتے ہیں۔ گریگوری کوفیشنٹس مطلق قدر میں بدلتے اور کم ہوتے ہیں۔ ان نمبروں کا نام جیمز گریگوری کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے انہیں عددی انضمام کے تناظر میں 1670 میں متعارف کرایا تھا۔ انہیں بعد میں بہت سے ریاضی دانوں نے دوبارہ دریافت کیا اور اکثر جدید مصنفین کے کاموں میں نظر آتے ہیں، جو ہمیشہ انہیں تسلیم نہیں کرتے ہیں۔ عددی اقدار کمپیوٹیشن اور نمائندگی گریگوری کوفیشنٹس کا حساب لگانے کا سب سے آسان طریقہ یہ ہے کہ اس کے ساتھ ریکرنس فارمولا استعمال کیا جائے۔ گریگوری کوفیشنٹس کو مندرجہ ذیل تفریق یا انٹیگرل کے ذریعے بھی واضح طور پر شمار کیا جا سکتا ہے جو 0 اور 1 کے درمیان انٹیگریٹ کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے، ایک بار براہ راست اور دوسری بار پہلے بائنومیل سیریز کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے۔ اس سے مراد محدود خلاصہ فارمولا ہے جہاں پہلی قسم کے دستخط شدہ سٹرلنگ نمبر ہیں۔ اور شروڈر کا لازمی فارمولا حدود اور غیر علامتی طرز عمل گریگوری گتانک جوہان سٹیفنسن کی طرف سے دی گئی حدود کو پورا کرتے ہیں۔ ان حدود کو بعد میں مختلف مصنفین نے بہتر بنایا۔ ان کے لیے سب سے مشہور حدود بلاگچائن نے دی تھیں۔ خاص طور پر، غیر علامتی طور پر، بڑے انڈیکس پر، یہ اعداد وین وین، ڈیوس، کافی، نیمس اور بلاگچائن کے کاموں میں بڑے پیمانے پر زیادہ درست وضاحت کے طور پر کام کرتے ہیں۔ گریگوری کوفشنٹس کے ساتھ سیریز جس میں گریگوری کوفشنٹس شامل ہوتے ہیں اکثر بند شکل میں شمار کیے جا سکتے ہیں۔ ان اعداد کے ساتھ بنیادی سیریز میں شامل ہے کہ اویلر کا مستقل کہاں ہے۔ یہ نتائج بہت پرانے ہیں، اور ان کی تاریخ کا سراغ گریگوریو فونٹانا اور لورینزو ماسچیرونی کے کاموں سے لگایا جا سکتا ہے۔ گریگوری کوفشنٹس کے ساتھ زیادہ پیچیدہ سیریز کا حساب مختلف مصنفین نے لگایا تھا۔ کووالینکو، البدلموہن اور کچھ دوسرے مصنفین نے حساب لگایا کہ البدلموہن بھی کینڈلپرجر کے ساتھ یہ شناخت دیتا ہے، کوپو اور ینگ نے دکھایا کہ ہارمونک نمبر کہاں ہیں۔ Blagouchine مندرجہ ذیل شناخت فراہم کرتا ہے جہاں انٹیگرل لوگرتھم ہے اور بائنومیل گتانک ہے۔ یہ بھی معلوم ہے کہ زیٹا فنکشن، گاما فنکشن، پولی گاما فنکشن، اسٹیلٹجیس مستقل اور بہت سے دوسرے خصوصی افعال اور مستقل ان اعداد پر مشتمل لامحدود سیریز کے لحاظ سے ظاہر کیے جا سکتے ہیں۔ گریگوری کوفیشنٹس کے لیے مختلف عامیاں ممکن ہیں۔ ان میں سے بہت سے والدین پیدا کرنے والی مساوات میں ترمیم کرکے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، وان وین غور کرتے ہیں اور اس وجہ سے بعد میں کووالینکو اور روبنسٹائن نے مساوی عامیوں کی تجویز پیش کی۔ اسی طرح، گریگوری کوفیشنٹس کا تعلق عام کردہ برنولی نمبروں سے ہے، تاکہ اردن کثیر الجہتی کی وضاحت اس طرح کرتا ہے اور انہیں دوسری قسم کے برنولی کثیر الجہتی کہتے ہیں۔ اوپر سے، یہ واضح ہے۔ کارلٹز نے کثیر الجہتی کو متعارف کروا کر اردن کے کثیر الجہتی کو عام کیا اور اس لیے بلاگوچائن نے ایسی تعداد متعارف کروائی جس نے ان کی جنریٹنگ فنکشن حاصل کی اور بڑے پیمانے پر ان کے ایسمپٹوٹکس کا مطالعہ کیا۔ واضح طور پر۔ یہ اعداد سختی سے متغیر ہوتے ہیں اور زیٹا فنکشنز، یولر کے مستقل اور پولی گاما افعال کے لیے مختلف توسیعات میں شامل ہوتے ہیں۔ کومتسو کی طرف سے اسی قسم کی ایک مختلف عمومی تجویز بھی پیش کی گئی تھی تاکہ اعداد کو مصنف پولی-کاچی نمبروں کے ذریعے بلایا جائے۔ کافی کثیر الجہتی کی وضاحت کرتا ہے اور اسی وجہ سے۔ دوسری قسم کے اسٹرلنگ کثیر الجہتی برنولی کثیر الجہتی بھی دیکھیں حوالہ جات انٹیجر سیکوینس نمبر تھیوری عدم مساوات غیر علامتی تجزیہ