Artin–Verdier duality
ریاضی میں، آرٹن-ورڈیئر دوہری نظریہ الجبرائی اعداد کے دائرے کے سپیکٹرم پر تعمیر پذیر ابیلین شیوز کے لیے ایک دوہری نظریہ ہے، جو ٹیٹ دوہری کو عام کرتا ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ، جہاں تک ایٹیل (یا فلیٹ) کوہومولوجی کا تعلق ہے، نمبر فیلڈ میں انٹیجرز کی انگوٹی 3 جہتی ریاضیاتی شے کی طرح برتاؤ کرتی ہے۔ مان لیں کہ X مکمل طور پر خیالی نمبر فیلڈ K میں انٹیجرز کی رنگ کا سپیکٹرم ہے، اور F X پر ایک قابل تعمیری ایٹیل ابیلین شیف ہے۔ پھر یونڈا جوڑی ہر عدد r کے لیے محدود ابیلین گروپوں کی ایک غیر انحطاطی جوڑی ہے۔ یہاں، Hr (X, F) اسکیم X کا r-th étale کوہومولوجی گروپ ہے جس کی اقدار F میں ہیں، اور ایکسٹرا (F, G) X پر étale ébelian شیفس کے زمرے میں étale شیف F کے ذریعے étale شیف G کے r-ایکسٹینشنز کا گروپ ہے۔ مزید برآں، جی ایم ایکس کے ڈھانچے کے ڈھیر میں اکائیوں کے ایٹیل ڈھیر کی نشاندہی کرتا ہے۔ قابل تعمیر کے لیے آرٹن-ورڈیئر دوہری ثابت ہوا، لیکن ضروری نہیں کہ ٹورسن ڈھیر ہوں۔ اس طرح کے شیف F کے لیے، مندرجہ بالا جوڑی آئسومورفزم کو جنم دیتی ہے جہاں فائنائٹ فلیٹ گروپ اسکیمیں U کو ایک نمبر فیلڈ K میں انٹیجرز کی رنگ کے سپیکٹرم کا ایک اوپن سبسکیم ہونے دیں، اور F کو U پر ایک فائنائٹ فلیٹ کمیونیٹیٹو گروپ اسکیم۔ پھر کپ پروڈکٹ تمام انٹیجرز آر کے لیے محدود ابیلین گروپوں کی غیر انحطاطی جوڑی کی وضاحت کرتا ہے۔ یہاں ایف ڈی ایف کے کارٹیئر ڈوئل کی نشاندہی کرتا ہے، جو یو پر ایک اور محدود فلیٹ کمیونیٹیٹو گروپ اسکیم ہے۔ مزید برآں، یو اسکیم کا آر-تھ فلیٹ کوہمولوجی گروپ فلیٹ ابیلین شیف ایف میں اقدار کے ساتھ ہے، اور فلیٹ ابیلین شیف ایف میں اقدار کے ساتھ یو کے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ آر-تھ فلیٹ کوہمولوجی ہے۔ کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ فلیٹ کوہمولوجی کو ایک طویل عین ترتیب کو جنم دینے کے لیے بیان کیا گیا ہے۔ مجموعہ کو کے کی تمام جگہوں پر لیا جاتا ہے، جو یو میں نہیں ہیں، بشمول آرکیمیڈین۔ مقامی شراکت Hr (Kv، F) جگہ v پر K کے ہینسلائزیشن Kv کی گالوئس کوہمولوجی ہے، جس میں ایک لا ٹیٹ میں ترمیم کی گئی ہے: یہاں نمبر تھیوری ڈوئلٹی تھیوریز میں حوالہ جات کے نظریات کی ایک علیحدہ بندش ہے۔