Biological applications of bifurcation theory
بفرکیشن تھیوری کے حیاتیاتی استعمال متحرک نظاموں کے طور پر بنائے گئے حیاتیاتی نیٹ ورکس کے رویے کو سمجھنے کے لیے ایک فریم ورک فراہم کرتے ہیں۔ حیاتیاتی نظام کے تناظر میں، بفرکیشن تھیوری بیان کرتی ہے کہ کس طرح ان پٹ پیرامیٹر میں چھوٹی تبدیلیاں نظام کے رویے میں بفرکیشن یا کوالٹی تبدیلی کا سبب بن سکتی ہیں۔ نظام کی پیداوار میں ڈرامائی تبدیلی لانے کی صلاحیت اکثر حیاتیات کے کام کے لیے ضروری ہوتی ہے، اور اس لیے حیاتیاتی نیٹ ورکس جیسے سیل سائیکل کے سوئچ میں بفرکیشن ہر جگہ ہوتے ہیں۔ حیاتیاتی نیٹ ورک اور متحرک نظام حیاتیاتی نیٹ ورک ارتقاء سے پیدا ہوتے ہیں اور اس وجہ سے انسانوں کے ذریعہ ڈیزائن کردہ نیٹ ورک جیسے برقی نیٹ ورک کے مقابلے میں کم معیاری اجزاء اور ممکنہ طور پر زیادہ پیچیدہ تعاملات ہوتے ہیں۔ سیلولر سطح پر، نیٹ ورک کے اجزاء میں پروٹین کی ایک بڑی قسم شامل ہو سکتی ہے، جن میں سے بہت سے حیاتیات کے درمیان مختلف ہوتے ہیں۔ نیٹ ورک تعاملات اس وقت ہوتے ہیں جب ایک یا زیادہ پروٹین نقل، ترجمہ، ٹرانسلوکیشن، فاسفوریلیشن، یا دیگر میکانزم کے ذریعے دوسرے کے فنکشن کو متاثر کرتے ہیں۔ یہ تعاملات یا تو ہدف پروٹین کے عمل کو کسی طرح سے متحرک یا روکتے ہیں۔ جب کہ انسان سادگی اور نظم و ضبط کی فکر کے ساتھ نیٹ ورک بناتے ہیں، حیاتیاتی نیٹ ورک ارتقاء کے دوران بے کار پن اور پیچیدگی حاصل کرتے ہیں۔ لہذا، اس کی تنظیم کے علم سے حیاتیاتی نیٹ ورک کے مقداری رویے کی پیش گوئی کرنا ناممکن ہو سکتا ہے۔ اسی طرح، اس کی تنظیم کو خالصتا اس کے رویے سے بیان کرنا ناممکن ہے، حالانکہ طرز عمل کچھ نیٹ ورک موفٹس کی موجودگی کی نشاندہی کر سکتا ہے۔ تاہم، نیٹ ورک کے تعاملات کے علم اور پروٹین اور پروٹین کے تعاملات کے لیے پیرامیٹرز کے ایک سیٹ (عام طور پر تجرباتی تحقیق کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے) کے ساتھ، متحرک نظام کے طور پر نیٹ ورک کے ماڈل کی تعمیر اکثر ممکن ہوتی ہے۔ عام طور پر، n پروٹین کے لیے، متحرک نظام مندرجہ ذیل شکل اختیار کرتا ہے جہاں x عام طور پر پروٹین کا ارتکاز ہوتا ہے: ان نظاموں کو حل کرنا اکثر بہت مشکل ہوتا ہے، اس لیے لکیری متحرک نظام کے طور پر نیٹ ورک کی ماڈلنگ آسان ہوتی ہے۔ لکیری نظام xs کے درمیان کوئی پروڈکٹ نہیں رکھتے اور ہمیشہ قابل حل ہوتے ہیں۔ ان کی تمام i کے لیے درج ذیل شکل ہے: بدقسمتی سے، حیاتیاتی نظام اکثر غیر لکیری ہوتے ہیں اور اس لیے انہیں غیر لکیری نمونوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان پٹ/آؤٹ پٹ موفٹس حیاتیاتی نیٹ ورکس کی بڑی ممکنہ پیچیدگی اور تنوع کے باوجود، تمام فرسٹ آرڈر نیٹ ورک کا طرز عمل چار ممکنہ ان پٹ آؤٹ پٹ موفٹس میں سے کسی ایک کو عام بناتا ہے: ہائپربولک یا مائیکلس مینٹن، انتہائی حساس، بسٹ ایبل، اور بسٹ ایبل ناقابل واپسی (ایک ایسی بسٹبلٹی جہاں منفی اور اس وجہ سے حیاتیاتی طور پر ناممکن ان پٹ کی ضرورت ہوتی ہے تاکہ اعلی آؤٹ پٹ کی حالت سے واپس آسکے)۔ حیاتیاتی سیاق و سباق میں ہر ایک کی مثالیں ان کے متعلقہ صفحات پر مل سکتی ہیں۔ الٹرا حساس، بسٹ ایبل، اور ناقابل واپسی بسٹ ایبل نیٹ ورک سبھی کچھ پیرامیٹر اقدار کے ارد گرد نیٹ ورک کے رویے میں معیاری تبدیلی ظاہر کرتے ہیں-یہ ان کے تقسیم کے نکات ہیں۔ غلطی کی موجودگی میں بنیادی تقسیم غیر لکیری متحرک نظاموں کو ایک جہتی مثال کے نظام سے سب سے زیادہ آسانی سے سمجھا جا سکتا ہے جہاں کچھ مقدار x میں تبدیلی (مثال کے طور پر۔ پروٹین کے ارتکاز) کی کثرت صرف خود پر منحصر ہے: نظام کو تجزیاتی طور پر حل کرنے کے بجائے، جو کہ بہت سے افعال کے لیے مشکل یا ناممکن ہو سکتا ہے، جیومیٹرک نقطہ نظر اختیار کرنا اور فیز پورٹریٹ کھینچنا اکثر تیز ترین اور سب سے زیادہ معلوماتی ہوتا ہے۔ فیز پورٹریٹ تفریق مساوات کے رویے کا ایک معیاری خاکہ ہے جو توازن کے حل یا فکسڈ پوائنٹس اور حقیقی لائن پر ویکٹر فیلڈ کو ظاہر کرتا ہے۔ بفرکیشنز نظام کی تبدیلیوں میں کنٹرول پیرامیٹر کے طور پر فکسڈ پوائنٹس کے استحکام یا وجود میں ہونے والی تبدیلیوں کو بیان کرتی ہیں۔ متحرک نظام میں تقسیم کی ایک بہت ہی آسان وضاحت کے طور پر، عمودی بیم کے اوپر متوازن چیز پر غور کریں۔ آبجیکٹ کی کمیت کو کنٹرول پیرامیٹر r کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، اور عمودی محور سے بیم کا انحراف متحرک متغیر، x ہے۔ جیسے جیسے r بڑھتا ہے، x نسبتا مستحکم رہتا ہے۔ لیکن جب کمیت ایک خاص نقطہ تک پہنچ جاتی ہے-بفرکیشن پوائنٹ-بیم اچانک ایک سمت میں جکڑ جائے گا، جو سیٹ اپ میں معمولی خامیوں پر منحصر ہے۔ یہ پچفورک کی تقسیم کی ایک مثال ہے۔ کنٹرول پیرامیٹر میں ہونے والی تبدیلیوں نے بالآخر نظام کے معیاری رویے کو تبدیل کر دیا۔ سیڈل-نوڈ کی تقسیم مزید سخت مثال کے لیے، شکل 2 میں دکھائے گئے متحرک نظام پر غور کریں، جسے درج ذیل مساوات کے ذریعے بیان کیا گیا ہے: جہاں r ایک بار پھر کنٹرول پیرامیٹر ہے (شکل 2 میں ε لیبل کیا گیا ہے)۔ نظام کے فکسڈ پوائنٹس کی نمائندگی اس جگہ سے کی جاتی ہے جہاں فیز پورٹریٹ وکر ایکس محور کو عبور کرتا ہے۔ کسی دیئے گئے مقررہ نقطہ کے استحکام کا تعین ایکس محور پر بہاؤ کی سمت سے کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، شکل 2 میں، سبز نقطہ غیر مستحکم (متفرق بہاؤ) ہے، اور سرخ نقطہ مستحکم (متغیر بہاؤ) ہے۔ سب سے پہلے، جب r 0 سے بڑا ہوتا ہے، تو نظام میں ایک مستحکم فکسڈ پوائنٹ اور ایک غیر مستحکم فکسڈ پوائنٹ ہوتا ہے۔ جیسے جیسے r کم ہوتا جاتا ہے فکسڈ پوائنٹس ایک ساتھ حرکت کرتے ہیں، مختصر طور پر r = 0 پر نیم مستحکم فکسڈ پوائنٹ سے ٹکرا جاتے ہیں، اور پھر r <0 ہونے پر اس کا وجود ختم ہو جاتا ہے۔ اس صورت میں، کیونکہ جب کنٹرول پیرامیٹر r 0 ہوتا ہے تو نظام کا طرز عمل نمایاں طور پر بدل جاتا ہے، 0 ایک بفرکیشن پوائنٹ ہوتا ہے۔ شکل 2 میں فکسڈ پوائنٹس کی پوزیشن کا سراغ لگا کر جیسا کہ r مختلف ہوتا ہے، کوئی بھی شکل 3 میں دکھایا گیا بفرکیشن خاکہ تیار کرنے کے قابل ہوتا ہے۔ متحرک نظاموں میں دیگر اقسام کی تقسیم بھی اہم ہیں، لیکن سیڈل نوڈ کی تقسیم حیاتیات میں سب سے زیادہ اہم ہوتی ہے۔ حقیقی حیاتیاتی نظام چھوٹے اسٹاکسٹک تغیرات کے تابع ہوتے ہیں جو متحرک مساوات میں غلطی کی اصطلاحات متعارف کراتے ہیں، اور یہ عام طور پر زیادہ پیچیدہ تقسیم کا باعث بنتا ہے جو الگ الگ سیڈل نوڈس اور فکسڈ پوائنٹس میں آسان ہو جاتا ہے۔ "نامکمل" تقسیم کی ایسی دو مثالیں جو حیاتیات میں ظاہر ہو سکتی ہیں ذیل میں زیر بحث ہیں۔ نوٹ کریں کہ غلطی کی موجودگی میں سیڈل نوڈ خود ہی x-r طیارہ میں ترجمہ کرتا ہے، جس میں کوالٹی رویے میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ یہ اسی تجزیے کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے جیسا کہ ذیل میں پیش کیا گیا ہے۔ نامکمل ٹرانسکریٹیکل بفرکیشن ایک عام سادہ بفرکیشن ٹرانسکریٹیکل بفرکیشن ہے، جو شکل 4 (سیاہ منحنی خطوط) میں بفرکیشن ڈایگرام کے ذریعے دی گئی ہے۔ مرحلے کے خاکے شکل 5 میں دکھائے گئے ہیں۔ فیز ڈایگرام میں x-انٹرسیپٹس کو ٹریک کرتے ہوئے جیسے جیسے r تبدیل ہوتا ہے، دو فکسڈ پوائنٹ ٹریجیکٹوریز ہوتے ہیں جو اصل پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ یہ بفرکیشن پوائنٹ ہے (بدیہی طور پر، جب فیز پورٹریٹ میں x-انٹرسیپٹس کی تعداد بدل جاتی ہے)۔ بائیں فکسڈ پوائنٹ ہمیشہ غیر مستحکم ہوتا ہے، اور دائیں پوائنٹ مستحکم ہوتا ہے۔ اب غلطی کی اصطلاح h کے اضافے پر غور کریں، جہاں 0 <h <<1 ہے۔ یعنی غلطی کی اصطلاح تمام فیز پورٹریٹ کا عمودی طور پر ترجمہ کرتی ہے، اگر ایچ مثبت ہے تو نیچے کی طرف۔ شکل 6 (x <0) کے بائیں نصف حصے میں، سیاہ، سرخ اور سبز فکسڈ پوائنٹس بالترتیب سیمی اسٹیبل، غیر مستحکم اور مستحکم ہیں۔ اس کی عکاسی دائیں نصف (x> 0) پر میجینٹا، سیاہ اور نیلے رنگ کے نکات سے ہوتی ہے۔ اس طرح ان حصوں میں سے ہر ایک سیڈل نوڈ کی تقسیم کی طرح برتاؤ کرتا ہے ؛ دوسرے لفظوں میں، نامکمل ٹرانسکریٹیکل تقسیم کا تخمینہ دو سیڈل نوڈ کی تقسیم سے لگایا جا سکتا ہے جب کہ اہم نکات کے قریب ہو، جیسا کہ شکل 4 کے سرخ منحنی خطوط میں واضح ہے۔ لکیری استحکام کا تجزیہ مرحلے کے خاکے میں بہاؤ کا مشاہدہ کرنے کے علاوہ، لکیری استحکام کے تجزیے کا استعمال کرتے ہوئے مختلف فکسڈ پوائنٹس کے استحکام کا مظاہرہ کرنا بھی ممکن ہے۔ سب سے پہلے، بفرکیشن مساوات کو 0 پر سیٹ کرکے فیز پورٹریٹ میں فکسڈ پوائنٹس تلاش کریں: فکسڈ پوائنٹس x * کو تلاش کرنے کے لیے کواڈریٹک فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے: جہاں آخری مرحلے میں تخمینہ 4h <<r2 استعمال کیا گیا ہے، جو فکسڈ پوائنٹس کا مطالعہ کرنے کے لیے معقول ہے، جیسے کہ شکل 6 میں ہلکے نیلے اور سبز منحنی خطوط۔ مزید آسان بناتے ہوئے، اگلا، اس بات کا تعین کریں کہ آیا فیز پورٹریٹ وکر مقررہ نکات پر بڑھ رہا ہے یا کم ہو رہا ہے، جس کا اندازہ x * کو تقسیم مساوات کے پہلے مشتق میں جوڑ کر کیا جا سکتا ہے۔ نتائج اس حقیقت سے پیچیدہ ہوتے ہیں کہ r مثبت اور منفی دونوں ہو سکتا ہے ؛ اس کے باوجود، ہر مقررہ نقطہ کے استحکام کے حوالے سے نتائج پہلے کی طرح ہی ہیں۔ یہ کوئی تعجب کی بات نہیں ہے، کیونکہ پہلے مشتق میں وہی معلومات ہوتی ہے جو فیز ڈائیگرام کے بہاؤ کے تجزیے میں ہوتی ہے۔ مندرجہ بالا محلول کے رنگ شکل 6 میں موجود تیروں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ نامکمل پچفورک بفرکیشن پہلے سے بکلنگ بیم کی مثال پچفورک بفرکیشن کی ایک مثال ہے (شاید زیادہ مناسب طور پر "ٹرائیفورکیشن" کہا جاتا ہے)۔ "مثالی" پچفورک شکل 7 کے بائیں طرف دکھایا گیا ہے، جس کے ذریعہ دیا گیا ہے اور r = 0 وہ جگہ ہے جہاں تقسیم ہوتی ہے، جس کی نمائندگی شکل 8 کے اصل میں سیاہ نقطے سے ہوتی ہے۔ جیسے جیسے r 0 سے آگے بڑھتا ہے، بلیک ڈاٹ تین راستوں میں تقسیم ہو جاتا ہے: نیلا مستحکم فکسڈ پوائنٹ جو دائیں طرف حرکت کرتا ہے، سرخ مستحکم پوائنٹ جو بائیں طرف حرکت کرتا ہے، اور تیسرا غیر مستحکم پوائنٹ جو اصل پر رہتا ہے۔ شکل 7 (بائیں) میں نیلی اور سرخ ٹھوس لکیریں ہیں، جبکہ سیاہ غیر مستحکم رفتار مثبت ایکس محور کے ساتھ بکھرے ہوئے حصے ہیں۔ پہلے کی طرح، ایک غلطی کی اصطلاح h پر غور کریں، جہاں 0 <h <<1، یعنی۔ ایک بار پھر، فیز پورٹریٹ کا ترجمہ ایک لامحدود مقدار میں اوپر کی طرف کیا جاتا ہے، جیسا کہ شکل 9.Tracking میں دکھایا گیا ہے کہ فیز ڈائیگرام میں x-انٹرسیپٹس کے طور پر r تبدیلیاں مقررہ پوائنٹس حاصل کرتی ہیں، جو شکل 7 (دائیں) سے کوالٹیٹو نتیجہ کو دوبارہ مرتب کرتی ہیں۔ مزید خاص طور پر، شکل 9 کا نیلا فکسڈ پوائنٹ شکل 7 (دائیں) میں اوپری ٹریجیکٹوری سے مطابقت رکھتا ہے۔ سبز فکسڈ پوائنٹ ڈاٹڈ ٹریجیکٹوری ہے اور سرخ فکسڈ پوائنٹ سب سے نیچے کا ٹریجیکٹوری ہے۔ اس طرح، نامکمل صورت (ایچ ष्ण 0) میں، پچفورک کی تقسیم ایک واحد مستحکم فکسڈ پوائنٹ میں آسان ہو جاتی ہے جس کے ساتھ سیڈل-نوڈ کی تقسیم ہوتی ہے۔ لکیری استحکام کا تجزیہ بھی یہاں کیا جا سکتا ہے، سوائے کواڈریٹک کے بجائے کیوبک مساوات کے لیے عمومی حل کا استعمال کرنے کے۔ عمل ایک ہی ہے: 1) تفریق مساوات کو صفر پر سیٹ کریں اور فکسڈ پوائنٹس x * کی تجزیاتی شکل تلاش کریں، 2) ہر x * کو پہلے مشتق میں پلگ کریں، پھر 3) مثبت یا منفی کی بنیاد پر استحکام کا اندازہ کریں۔ کسی نظام میں ملٹی اسٹیبلٹی مشترکہ سیڈل نوڈ کی تقسیم ملٹی اسٹیبلٹی پیدا کر سکتی ہے۔ بسٹ ایبلٹی (کثیر استحکام کا ایک خاص معاملہ) بہت سے حیاتیاتی نظاموں میں ایک اہم خاصیت ہے، اکثر نیٹ ورک فن تعمیر کا نتیجہ جس میں مثبت فیڈ بیک تعاملات اور انتہائی حساس عناصر کا مرکب ہوتا ہے۔ بسٹبل نظام ہسٹیریٹک ہوتے ہیں، یعنی۔ نظام کی حالت کا انحصار ان پٹ کی تاریخ پر ہوتا ہے، جو سیلولر عمل کے سوئچ جیسے کنٹرول کے لیے اہم ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ان سیاق و سباق میں اہم ہے جہاں ایک خلیہ یہ فیصلہ کرتا ہے کہ آیا کسی خاص راستے پر عمل کرنا ہے یا نہیں۔ ایک غیر ہسٹیریٹک ردعمل نظام کو تیزی سے آن اور آف کر سکتا ہے جب ایکٹیویشن کی حد کے قریب بے ترتیب تھرمل اتار چڑھاؤ کے تابع ہو، جو وسائل سے غیر موثر ہو سکتا ہے۔ حیاتیات کے نیٹ ورکس میں مخصوص مثالیں ان کی حرکیات میں تقسیم کے ساتھ سیل سائیکل میں بہت سے اہم منتقلی کو کنٹرول کرتی ہیں۔ جی 1/ایس، جی 2/ایم، اور میٹا فیز-انافیز ٹرانزیشن سبھی سیل سائیکل میں بائیو کیمیکل سوئچ کے طور پر کام کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، زینوپس لیوس کے انڈے کے نکات کو سائکلین پر منحصر کینیز، سی ڈی سی 2 کے فاسفوریلیشن میں مثبت فیڈ بیک کے ذریعے ناقابل واپسی طور پر مائٹوسس کے اندر اور باہر چلایا جاتا ہے۔ آبادی کے ماحولیات میں، فوڈ ویب انٹرایکشن نیٹ ورک کی حرکیات ہوپف کی تقسیم کو ظاہر کر سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک بنیادی پروڈیوسر، ایک معدنی وسائل، اور ایک سبزی خور پر مشتمل آبی نظام میں، محققین نے پایا کہ توازن، سائیکلنگ، اور آبادیوں کے معدومیت کے نمونوں کو ہوپف بائیفرکیشن کے ساتھ ایک سادہ غیر لکیری ماڈل کے ساتھ معیاری طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ابھرتے ہوئے خمیر (S. cerevisiae) میں گیلیکٹوز کے استعمال کی پیمائش GFP اظہار کے ذریعے کی جا سکتی ہے جو کہ GAL پروموٹر کے ذریعے گیلیکٹوز کے ارتکاز کو تبدیل کرنے کے کام کے طور پر کیا جاتا ہے۔ یہ نظام انڈیوسڈ اور غیر انڈیوسڈ ریاستوں کے درمیان بسٹ ایبل سوئچنگ کو ظاہر کرتا ہے۔ اسی طرح، ای کولی میں لییکٹوز کا استعمال تھیو-میتھائل گیلیکٹوسائڈ (ایک لییکٹوز اینالاگ) کے ارتکاز کی تقریب کے طور پر جی ایف پی کو ظاہر کرنے والے لاکھ پروموٹر کے ذریعہ ماپا جاتا ہے جو بسٹایبلٹی اور ہسٹیریسیس کو ظاہر کرتا ہے (شکل 10، بالترتیب بائیں اور دائیں)۔ سیل سائیکل میں بائیو کیمیکل سوئچ بھی دیکھیں متحرک نظام متحرک نظام نظریہ بفرکیشن تھیوری سیل سائیکل نظریاتی حیاتیات کمپیوٹیشنل حیاتیات نظام حیاتیات سیلولر ماڈل ریکارڈو کیون حوالہ جات بفرکیشن تھیوری