Classical orthogonal polynomials
ریاضی میں، کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی سب سے زیادہ وسیع پیمانے پر استعمال ہونے والے آرتھوگنل کثیر الجہتی ہیں: ہرمیٹ کثیر الجہتی، لاگویر کثیر الجہتی، جیکوبی کثیر الجہتی (بشمول ایک خاص صورت کے طور پر جیگن باؤر کثیر الجہتی، چیبیشیف کثیر الجہتی، اور لیجنڈری کثیر الجہتی)۔ ان کے ریاضیاتی طبیعیات (خاص طور پر، بے ترتیب میٹرکس کا نظریہ)، تخمینہ نظریہ، عددی تجزیہ، اور بہت سے دوسرے شعبوں میں بہت سے اہم استعمال ہیں۔ کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی 19 ویں صدی کے اوائل میں ایڈرین میری لیجنڈری کے کاموں میں نمودار ہوئے، جنہوں نے لیجنڈری کثیر الجہتی کو متعارف کرایا۔ 19 ویں صدی کے آخر میں، پی ایل چیبیشیف اور پھر اے اے مارکوف اور ٹی جے اسٹیلٹجز کے ذریعہ لمحات کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے مسلسل حصوں کا مطالعہ آرتھوگنل کثیر الجہتی کے عمومی تصور کا باعث بنا۔ دی گئی کثیر الجہتی اور کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کو طے شدہ مستقل کے ساتھ تفریق مساوات کے حل ہونے کی خصوصیت حاصل ہے۔ آرتھوگنل کلاسیکی کثیر الجہتی کی کئی اور عمومی تعریفیں ہیں۔ مثال کے طور پر، اسکی اسکیم میں تمام کثیر الجہتی کے لیے اصطلاح استعمال کریں۔ تعریف عام طور پر، وزن کے حوالے سے آرتھوگنل کثیر الجہتی مطمئن کرتے ہیں۔ اوپر دیے گئے تعلقات ایک عدد کے ضرب تک کی وضاحت کرتے ہیں۔ مستقل کو ٹھیک کرنے کے لیے مختلف معمول کا استعمال کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر۔ کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی وزن کے درج ذیل تین خاندانوں سے مطابقت رکھتے ہیں: معیاری معمول (جسے معیاری بھی کہا جاتا ہے) ذیل میں تفصیل سے بیان کیا گیا ہے۔ جیکوبی کثیر الاضلاعات کے لیے جیکوبی کثیر الاضلاعات کو فارمولے کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ وہ آرتھوگونالیٹی کی حالت کو پورا کرتے ہیں۔ جیکوبی کثیر الاضلاعات تفریق مساوات کا حل ہیں۔ اہم خصوصی معاملات کے ساتھ جیکوبی کثیر الاضلاعات کو گیگن باؤر کثیر الاضلاعات (پیرامیٹر کے ساتھ) کہا جاتا ہے۔ کیونکہ، ان کو لیجنڈری کثیر الاضلاعات کہا جاتا ہے (جس کے لیے آرتھوگونالیٹی کا وقفہ [−1,1] ہے اور وزن کا فعل صرف 1 ہے): کیونکہ، ایک شخص چیبیشیف کثیر الاضلاعات (بالترتیب دوسری اور پہلی قسم کے) حاصل کرتا ہے۔ ہرمیٹ کثیر الجہتی ہرمیٹ کثیر الجہتی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ وہ آرتھوگونالیٹی کی حالت اور تفریق مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ عام شدہ لیگوری کثیر الجہتی کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے (کلاسیکی لیگوری کثیر الجہتی سے مطابقت رکھتے ہیں۔) کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی اس شکل کی تفریقی مساوات سے پیدا ہوتے ہیں جہاں Q ایک دی گئی کواڈریٹک (زیادہ سے زیادہ) کثیر الجہتی ہے، اور L ایک دی گئی لکیری کثیر الجہتی ہے۔ فنکشن f، اور مستقل λ، ملنا ہے۔ (نوٹ کریں کہ اس طرح کی مساوات کا کثیر الجہتی حل ہونا سمجھ میں آتا ہے۔ مساوات میں ہر اصطلاح ایک کثیر الجہتی ہے، اور ڈگریاں مستقل ہیں۔) یہ ایک اسٹرم-لیوویل قسم کی مساوات ہے۔ اس طرح کی مساوات میں عام طور پر ان کے حل افعال f میں انفرادیت ہوتی ہے سوائے λ کی مخصوص اقدار کے۔ انہیں آئجین ویوکٹر/آئجین ویلیو کے مسائل کے طور پر سوچا جا سکتا ہے: D کو تفریقی آپریٹر ہونے دینا، اور λ کی علامت کو تبدیل کرنا، مسئلہ آئجین ویوکٹر (آئجین فنکشن) f، اور متعلقہ آئجین ویلیوز λ کو تلاش کرنا ہے، جیسے کہ f میں انفرادیت نہ ہو اور D (f) = λf۔ اس تفریقی مساوات کے حلوں میں انفرادیت ہوتی ہے جب تک کہ λ مخصوص اقدار کو قبول نہ کرے۔ اعداد λ0، λ1، λ2 کا ایک سلسلہ ہے۔ جس کی وجہ سے کثیر الجہتی حل P0، P1، P2 کا ایک سلسلہ شروع ہوتا ہے۔ اگر مندرجہ ذیل شرائط میں سے کسی ایک سیٹ کو پورا کیا جائے تو: Q دراصل کواڈریٹک ہے، L لکیری ہے، Q کی دو الگ الگ حقیقی جڑیں ہیں، L کی جڑ سختی سے Q کی جڑوں کے درمیان واقع ہے، اور Q اور L کی اہم اصطلاحات کا ایک ہی نشان ہے۔ ق اصل میں مربع نہیں ہے، لیکن لکیری ہے، ایل لکیری ہے، ق اور ایل کی جڑیں مختلف ہیں، اور ق اور ایل کی اہم اصطلاحات کی علامت ایک ہی ہے اگر ایل کی جڑ ق کی جڑ سے کم ہے، یا اس کے برعکس۔ ق صرف ایک غیر صفر مستقل ہے، ایل لکیری ہے، اور ایل کی اہم اصطلاح میں ق کی مخالف علامت ہے۔ یہ تینوں معاملات بالترتیب جیکوبی نما، لاگویر نما، اور ہرمائیٹ نما کثیر الجہتی کا باعث بنتے ہیں۔ ان تینوں صورتوں میں سے ہر ایک میں، ہمارے پاس درج ذیل ہیں: حل کثیر الجہتی P0، P1، P2 کا ایک سلسلہ ہے، ہر Pn کی ڈگری n ہے، اور ایک نمبر λn سے مطابقت رکھتا ہے۔ آرتھوگونالیٹی کا وقفہ ق کی جو بھی جڑیں ہیں ان سے منسلک ہوتا ہے۔ L کی جڑ آرتھوگونالیٹی کے وقفے کے اندر ہے۔ فرض کریں، کثیر الجہتی وزن کی تقریب W (x) کے تحت آرتھوگنل ہوتے ہیں وقفے کے اندر کوئی صفر یا لامحدود نہیں ہوتے ہیں، حالانکہ اس کے آخری نکات پر صفر یا لامحدود ہو سکتے ہیں۔ W (x) کسی بھی کثیر الجہتی کو ایک محدود اندرونی پروڈکٹ دیتا ہے۔ وقفہ میں W (x) کو 0 سے بڑا بنایا جا سکتا ہے۔ (اگر ضروری ہو تو پوری تفریق مساوات کو نیگیٹ کریں تاکہ وقفہ کے اندر Q (x)> 0 ہو۔) انضمام کے مستقل کی وجہ سے، مقدار R (x) کا تعین صرف ایک صوابدیدی مثبت ضرب مستقل تک ہوتا ہے۔ یہ صرف یکساں تفریقی مساوات میں استعمال کیا جائے گا (جہاں اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا) اور وزن کی تقریب کی تعریف میں (جو غیر متعین بھی ہو سکتا ہے)۔ نیچے دیے گئے جدول R (x) اور W (x) کی "سرکاری" اقدار دیں گے۔ روڈریگز کا فارمولا پچھلے حصے کے مفروضوں کے تحت، Pn (x) متناسب ہے۔ اسے اولینڈے روڈریگز کے بعد روڈریگز کا فارمولا کہا جاتا ہے۔ یہ اکثر لکھا جاتا ہے جہاں اعداد کا انحصار معیاری کاری پر ہوتا ہے۔ این کی معیاری اقدار نیچے دیے گئے جدولوں میں دی جائیں گی۔ اعداد λn پچھلے حصے کے مفروضوں کے تحت، ہمارے پاس ہیں (چونکہ Q کواڈریٹک ہے اور L لکیری ہے، اور مستقل ہیں، لہذا یہ صرف اعداد ہیں۔) تفریق مساوات کے لیے دوسری شکل اب تفریق مساوات کو R/Q سے ضرب دیں، حاصل کریں یا یہ مساوات کے لیے معیاری اسٹرم-لیوویل شکل ہے۔ تفریق مساوات کے لیے تیسری شکل آئیے پھر اب تفریق مساوات کو S/Q سے ضرب دیں، حاصل کریں یا حاصل کریں۔ (ہم ایکسپوینٹ کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے "r" کو بریکٹ میں ڈالتے ہیں۔) P ڈگری n − r کا کثیر الجہتی ہے۔ پھر ہمارے پاس درج ذیل ہیں: (آرتھوگونالیٹی) فکسڈ r کے لیے، کثیر الجہتی ترتیب P، P، P، آرتھوگونل ہیں، جن کا وزن اس سے ہوتا ہے۔ (عمومی روڈریگز فارمولا) P متناسب ہے (تفریقی مساوات) P کا حل ہے، جہاں λr وہی فنکشن ہے جو λn ہے، یعنی (تفریقی مساوات، دوسری شکل) P کا حل ہے۔ ان میں سے ہر ایک میں، اعداد a، b، اور c کا انحصار n اور r پر ہے، اور مختلف فارمولوں میں ان کا کوئی تعلق نہیں ہے۔ دیگر فارمولوں کی ایک بہت بڑی تعداد موجود ہے جس میں مختلف طریقوں سے آرتھوگنل کثیر الجہتی شامل ہیں۔ یہاں ان کا ایک چھوٹا سا نمونہ ہے، جو چیبیشیف، متعلقہ لیگوری اور ہرمیٹ کثیر الجہتی سے متعلق ہے: آرتھوگونالیٹی کسی خاص λ کے لیے تفریق مساوات لکھی جا سکتی ہے (x پر واضح انحصار کو چھوڑ کر) پیداوار سے ضرب دے کر اور سبسکرپٹس کو الٹ کر پیداوار کو گھٹا کر اور انٹیگریٹ کیا جا سکتا ہے: لیکن یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ: اگر کثیر الجہتی f ایسے ہیں کہ بائیں طرف کی اصطلاح صفر ہے، اور اس کے لیے، تو آرتھوگونالیٹی کا رشتہ برقرار رہے گا: کیونکہ۔ تفریق مساوات سے ماخوذ مندرجہ بالا تفریق مساوات سے پیدا ہونے والے تمام کثیر الجہتی سلسلے مساوی ہیں، ڈومین کی اسکیلنگ اور/یا منتقلی کے تحت، اور کثیر الجہتی کو زیادہ محدود کلاسوں میں معیاری بنانا۔ وہ محدود کلاسیں بالکل "کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی" ہیں۔ ہر جیکوبی جیسی کثیر الجہتی ترتیب میں اس کا ڈومین منتقل اور/یا اسکیل کیا جا سکتا ہے تاکہ اس کی آرتھوگونالیٹی کا وقفہ [−1,1] ہو، اور اس میں Q = 1 − x2 ہو۔ اس کے بعد انہیں جیکوبی کثیر الجہتی میں معیاری بنایا جا سکتا ہے۔ ان میں سے کئی اہم ذیلی کلاسیں ہیں: گیگن باؤر، لیجنڈر، اور چیبیشیف کی دو اقسام۔ ہر لیگوری جیسی کثیر الجہتی ترتیب میں اس کا ڈومین منتقل، پیمانہ، اور/یا عکاسی ہو سکتی ہے تاکہ اس کی آرتھوگونالیٹی کا وقفہ ہو، اور اس میں Q = x ہو۔ اس کے بعد انہیں ایسوسی ایٹڈ لیگوری کثیر الجہتی میں معیاری بنایا جا سکتا ہے۔ سادہ Laguerre کثیر الجہتی ان میں سے ایک ذیلی کلاس ہیں۔ ہرمائیٹ جیسی کثیر الجہتی ترتیب کا اپنا ڈومین منتقل اور/یا پیمانہ ہو سکتا ہے تاکہ اس کی آرتھوگونالیٹی کا وقفہ ہو، اور اس میں ق = 1 اور ایل (0) = 0 ہو۔ اس کے بعد انہیں ہرمائیٹ کثیر الجہتی میں معیاری بنایا جا سکتا ہے۔ چونکہ اوپر بیان کردہ انداز میں تفریقی مساوات سے پیدا ہونے والے تمام کثیر الجہتی سلسلے معمولی طور پر کلاسیکی کثیر الجہتی کے مساوی ہوتے ہیں، اس لیے حقیقی کلاسیکی کثیر الجہتی ہمیشہ استعمال ہوتے ہیں۔ جیکوبی کثیر الجہتی جیکوبی جیسی کثیر الجہتی، ایک بار جب ان کا ڈومین منتقل ہو جاتا ہے اور اسکیل کیا جاتا ہے تاکہ آرتھوگونالیٹی کا وقفہ [−1,1] ہو، تب بھی دو پیرامیٹرز کا تعین کرنا باقی ہے۔ وہ ہیں اور جیکوبی کثیر الجہتی میں لکھے گئے ہیں۔ ہمارے پاس اور ہے۔ دونوں کا −1 سے بڑا ہونا ضروری ہے۔ (یہ ایل کی جڑ کو آرتھوگونالیٹی کے وقفے کے اندر رکھتا ہے۔) جب اور برابر نہیں ہوتے ہیں، تو یہ کثیر الجہتی x = 0 کے بارے میں متناسب نہیں ہوتے ہیں۔ تفریق مساوات جیکوبی کی مساوات ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے، جیکوبی کثیر الجہتی دیکھیں۔ جب کوئی پیرامیٹرز سیٹ کرتا ہے اور جیکوبی کثیرالجہتی میں ایک دوسرے کے برابر ہوتا ہے، تو کوئی جیگن باؤر یا الٹراسفیرکل کثیرالجہتی حاصل کرتا ہے۔ وہ لکھے ہوئے ہیں، اور اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جیسے ہمارے پاس ہے اور۔ پیرامیٹر کا −1/2 سے بڑا ہونا ضروری ہے۔ (اتفاق سے، نیچے دیے گئے جدول میں دی گئی معیاری کاری کا α = 0 اور n ष्ण 0 کے لیے کوئی مطلب نہیں ہوگا، کیونکہ یہ کثیر الجہتی کو صفر پر سیٹ کرے گا۔ اس صورت میں، میز میں دی گئی قیمت کے بجائے قبول شدہ معیاری سیٹ۔) مندرجہ بالا تحفظات کو نظر انداز کرتے ہوئے، پیرامیٹر کا تعلق: یا، زیادہ عام طور پر: دیگر تمام کلاسیکی جیکوبی جیسے کثیر الجہتی (لیجنڈر، وغیرہ) کے مشتقات سے ہے۔ گیگن باؤر کثیر الجہتی کے خصوصی معاملات ہیں، جو ایک قدر کا انتخاب کرکے اور معیاری کاری کا انتخاب کرکے حاصل کیے جاتے ہیں۔ مزید تفصیلات کے لیے، گیگن باؤر کثیر الجہتی دیکھیں۔ لیجنڈری کثیر الجہتی تفریقی مساوات یہ لیجنڈری کی مساوات ہے۔ تفریق مساوات کی دوسری شکل یہ ہے: تکرار کا تعلق ایک مخلوط تکرار روڈریگس کا فارمولا ہے مزید تفصیلات کے لیے، لیجنڈری کثیر الجہتی دیکھیں۔ ایسوسی ایٹڈ لیجنڈری کثیر الجہتی ایسوسی ایٹڈ لیجنڈری کثیر الجہتی، جہاں سے ظاہر ہوتا ہے اور انٹیجر ہیں، کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ قوسین میں m (ایک ایکسپوینٹ کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے) ایک پیرامیٹر ہے۔ بریکٹ میں m لیجنڈری کثیر الجہتی کے m-th مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ ان "کثیر الجہتی" کو غلط نام دیا گیا ہے-جب m عجیب ہو تو وہ کثیر الجہتی نہیں ہوتے ہیں۔ ان کا تکرار کا تعلق ہے: مقررہ m کے لیے، ترتیب [−1,1] پر آرتھوگنل ہوتی ہے، جس کا وزن 1 ہوتا ہے۔ دیے گئے m کے لیے، چیبیشیف کثیر الجہتی کے حل ہیں تفریقی مساوات یہ چیبیشیف کی مساوات ہے۔ تکرار کا تعلق روڈریگز کا فارمولا ہے۔ ان کثیر الجہتی کی خاصیت یہ ہے کہ، آرتھوگونالیٹی کے وقفے میں، (اسے ثابت کرنے کے لیے، تکرار کا فارمولا استعمال کریں۔) اس کا مطلب یہ ہے کہ ان کے تمام مقامی منیما اور میکسیما کی اقدار −1 اور + 1 ہیں، یعنی کثیر الجہتی "سطح" ہیں۔ اس کی وجہ سے، چیبیشیف کثیر الجہتی کے لحاظ سے افعال کی توسیع بعض اوقات کمپیوٹر ریاضی کی لائبریریوں میں کثیر الجہتی تخمینوں کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ کچھ مصنفین ان کثیر الجہتی کے ورژن استعمال کرتے ہیں جنہیں منتقل کیا گیا ہے تاکہ آرتھوگونالیٹی کا وقفہ [0، 1] یا [−2، 2] ہو۔ دوسری قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی بھی ہیں، جن کی نشاندہی ہمارے پاس ہے: مزید تفصیلات کے لیے، بشمول پہلے چند کثیر الجہتی کے تاثرات کے لیے، چیبیشیف کثیر الجہتی دیکھیں۔ ڈومین کو منتقل کرنے اور اسکیل کرنے کے بعد سب سے زیادہ عام لیگوری جیسی کثیر الجہتی، ایسوسی ایٹڈ لیگوری کثیر الجہتی ہیں (جنہیں عمومی لیگوری کثیر الجہتی بھی کہا جاتا ہے)، جن کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ ایک پیرامیٹر ہے، جو کوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتا ہے جو سختی سے −1 سے بڑا ہو۔ ایکسپوینٹ کے ساتھ الجھن سے بچنے کے لیے پیرامیٹر کو قوسین میں رکھا جاتا ہے۔ سادہ Laguerre کثیر الجہتی محض ان کا ورژن ہیں: تفریق مساوات یہ Laguerre کی مساوات ہے۔ تفریق مساوات کی دوسری شکل ہے۔ تکرار کا تعلق روڈریگز کا فارمولا ہے۔ پیرامیٹر کا مشتقات سے گہرا تعلق ہے: یا، زیادہ عام طور پر: لاگویر کی مساوات کو ایسی شکل میں ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے جو ایپلی کیشنز میں زیادہ مفید ہو: اس کا حل ہے۔ اس میں مزید ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے۔ ایک عدد کب ہے، اور: کا حل ہے حل کا اظہار اکثر متعلقہ لیگوری کثیر الجہتی کے بجائے مشتقات کے لحاظ سے کیا جاتا ہے: یہ مساوات کوانٹم میکانکس میں، ایک الیکٹران ایٹم کے لیے شروڈنگر مساوات کے حل کے شعاعی حصے میں پیدا ہوتی ہے۔ طبیعیات دان اکثر Laguerre کثیر الجہتی کے لیے ایک تعریف استعمال کرتے ہیں جو یہاں استعمال ہونے والی تعریف سے، عنصر کے لحاظ سے، بڑی ہوتی ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے، بشمول پہلے چند کثیر الجہتی کے تاثرات کے لیے، دیکھیں Laguerre کثیر الجہتی۔ ہرمیٹ کثیر الجہتی تفریقی مساوات یہ ہرمیٹ کی مساوات ہے۔ تفریق مساوات کی دوسری شکل ہے تیسری شکل یہ ہے کہ تکرار کا تعلق روڈریگز کا فارمولا ہے۔ پہلے چند ہرمیٹ کثیر الجہتی ہیں۔ ایک منسلک ہرمیٹ افعال کی وضاحت کر سکتا ہے کیونکہ ضرب وزن کی تقریب کے مربع جڑ کے متناسب ہے، یہ افعال بغیر وزن کے فعل کے آرتھوگنل ہیں۔ مندرجہ بالا تفریقی مساوات کی تیسری شکل، منسلک ہرمائیٹ افعال کے لیے، ہے متعلقہ ہرمائیٹ افعال ریاضی اور طبیعیات کے بہت سے شعبوں میں پیدا ہوتے ہیں۔ کوانٹم میکانکس میں، وہ ہارمونک آسکیلیٹر کے لیے شروڈنگر کی مساوات کے حل ہیں۔ وہ مسلسل فورئیر تبدیلی کے آئجین فنکشن بھی ہیں (آئجین ویلیو (−in) کے ساتھ۔ بہت سے مصنفین، خاص طور پر امکانی ماہرین، ہرمیٹ کثیر الجہتی کی ایک متبادل تعریف استعمال کرتے ہیں، جس کے بجائے وزن کی تقریب ہوتی ہے۔ اگر اشارے وہ ان ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے لیے استعمال ہوتا ہے، اور H ان کے لیے جو اوپر ہیں، تو ان کی خصوصیت ہو سکتی ہے۔ مزید تفصیلات کے لیے، ہرمائیٹ کثیر الجہتی دیکھیں۔ کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کی خصوصیات کئی ایسے حالات ہیں جو کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کو دوسروں سے الگ کرتے ہیں۔ پہلی شرط سونائن (اور بعد میں ہان) نے پائی، جس نے ظاہر کیا کہ (متغیر کی لکیری تبدیلیوں تک) کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی صرف اس طرح کے ہوتے ہیں کہ ان کے مشتق بھی آرتھوگنل کثیر الجہتی ہوتے ہیں۔ بوچنر نے کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کو ان کے تکرار کے تعلقات کے لحاظ سے نمایاں کیا۔ ٹریکومی نے کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کو ان کے طور پر نمایاں کیا جو روڈریگس فارمولے کا ایک خاص ینالاگ رکھتے ہیں۔ کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کی جدول درج ذیل جدول کلاسیکی آرتھوگنل کثیر الجہتی کی خصوصیات کا خلاصہ پیش کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ ایپل سیکوینس ہائپر جیومیٹرک آرتھوگنل کثیر الجہتی کی کلیدی اسکیم بائنومیل ٹائپ بائیو آرتھوگنل کثیر الجہتی عمومی فورئیر سیریز ثانوی پیمائش شیفر سیکوینس امبرل کیلکولس نوٹ حوالہ جات ثبوت پر مشتمل مضامین آرتھوگنل کثیر الجہتی خصوصی ہائپر جیومیٹرک افعال