Lill's method
ریاضی میں، للی کا طریقہ کسی بھی ڈگری کے غیر متغیر کثیر الجہتی کے حقیقی جڑوں کو تلاش کرنے کا ایک بصری طریقہ ہے۔ اسے 1867 میں آسٹریا کے انجینئر ایڈورڈ للی نے تیار کیا تھا۔ للی کے بعد کے ایک مقالے میں پیچیدہ جڑوں کے مسئلے پر روشنی ڈالی گئی۔ للی کے طریقہ کار میں سیدھی لکیر کے حصوں کا راستہ کھینچنا شامل ہے جس سے صحیح زاویہ بنتے ہیں، جس کی لمبائی کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کے برابر ہوتی ہے۔ کثیر الجہتی کی جڑیں پھر دوسرے دائیں زاویہ والے راستوں کی ڈھلوانوں کے طور پر پائی جا سکتی ہیں، جو شروع کو ٹرمینس سے بھی جوڑتی ہیں، لیکن پہلے راستے کی لکیروں پر عمودی طور پر۔ طریقہ کار کی تفصیل طریقہ کار کو استعمال کرنے کے لیے اصل سے شروع کرتے ہوئے ایک خاکہ تیار کیا جاتا ہے۔ ایک لکیر کا حصہ پہلے گتانک (سب سے زیادہ طاقت کی اصطلاح کا گتانک) کی شدت سے دائیں طرف کھینچا جاتا ہے (تاکہ منفی گتانک کے ساتھ حصہ اصل کے بائیں طرف ختم ہو جائے)۔ پہلے حصے کے آخر سے دوسرا حصہ دوسرے گتانک کی شدت سے اوپر کی طرف کھینچا جاتا ہے، پھر تیسرے کی شدت سے چھوڑا جاتا ہے، اور چوتھے کی شدت سے نیچے، اور اسی طرح۔ سمتوں کی ترتیب (موڑ نہیں) ہمیشہ دائیں، اوپر، بائیں، نیچے کی طرف ہوتی ہے، پھر خود کو دہراتی ہے۔ اس طرح ہر موڑ گھڑی کی مخالف سمت میں ہوتا ہے۔ یہ عمل کثیر الجہتی کے ہر گتانک کے لیے جاری رہتا ہے بشمول صفر، منفی گتانک کے ساتھ "پیچھے کی طرف چلنا"۔ مساوات کی مستقل اصطلاح سے مطابقت رکھنے والے حصے کے آخر میں جو حتمی نقطہ پہنچتا ہے، وہ ٹرمینس ہے۔ اس کے بعد اصل سے کسی زاویے پر ایک لکیر چھوڑی جاتی ہے، جو ہر لکیر کے حصے سے سیدھے زاویے پر جھلکتی ہے (ضروری نہیں کہ عکاسی کا "قدرتی" زاویے)، اور جب زاویے والا راستہ اس لکیر کے حصے سے نہ ٹکرائے تو ہر حصے کے ذریعے لکیر کے ذریعے سیدھے زاویے پر جھلکتی ہے (بشمول صفر کوفیشنٹس کے لیے ایک لکیر)۔ عمودی اور افقی لکیریں مندرجہ ذیل ترتیب میں جھلکتی یا ریفریکٹ ہوتی ہیں: وہ لکیر جس میں اس کے بعد کے گتانک وغیرہ کے مطابق حصہ ہوتا ہے۔ اس طرح انتخاب کرنا کہ راستہ ٹرمینس پر اترے، کے ٹینجینٹ کا منفی اس کثیر الجہتی کا جڑ ہے۔ کثیر الجہتی کے ہر حقیقی صفر کے لیے ایک منفرد ابتدائی زاویہ اور راستہ ہوگا جو ٹرمینس پر اترے گا۔ مثال کے طور پر، دو حقیقی جڑوں کے ساتھ ایک کواڈریٹک کے بالکل دو زاویے ہوں گے جو مندرجہ بالا شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ پیچیدہ جڑوں کے لیے، کسی کو بھی اسی طرح کے مثلثوں کا ایک سلسلہ تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن جڑ کے خیالی حصے کے برابر فاصلے سے کثیر الجہتی راستے سے جڑ کے راستے کے عمودی حصوں کے ساتھ۔ اس صورت میں جڑ کا راستہ آئتاکار نہیں ہوگا۔ وضاحت عملی طور پر تعمیر ہورنر کے طریقہ کار کے مطابق کثیر الجہتی کا اندازہ کرتی ہے۔ کثیر الجہتی کے لیے،، کی اقدار بالترتیب کثیر الجہتی اور جڑ کے راستوں کے عمودی حصوں کے درمیان فاصلے کے طور پر پیدا ہوتی ہیں۔ کثیر الجہتی کے جڑ کے لیے حتمی قدر صفر ہوتی ہے، اس لیے آخری ورٹیکس کثیر الجہتی پاتھ ٹرمینس کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ اضافی خصوصیات جڑ دینے والی ایک حل لائن کثیر الجہتی کے لیے للی کی تعمیر سے ملتی جلتی ہے جس کی جڑ کو ہٹا دیا گیا ہے، کیونکہ بصری تعمیر لکیری (جڑ) مونیک (رفینی کا قاعدہ) کے ذریعے کثیر الجہتی کی مصنوعی تقسیم کے مترادف ہے۔ خاکہ کی ہم آہنگی سے، یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ الٹا کثیر الجہتی کی جڑیں اصل جڑوں کے باہمی ہیں۔ تعمیر گھڑی کی سمت موڑ کے بجائے گھڑی کی سمت موڑ کا استعمال کرتے ہوئے بھی کی جا سکتی ہے۔ جب کسی راستے کی تشریح دوسری روایت کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے، تو یہ آئینہ دار کثیر الجہتی (ہر عجیب گتانک کی علامت تبدیل شدہ) سے مطابقت رکھتا ہے اور جڑ کو مسترد کر دیا جاتا ہے۔ جب دائیں زاویہ کا راستہ دوسری سمت میں گزرتا ہے لیکن ایک ہی سمت کا رواج ہوتا ہے، تو یہ الٹا آئینہ دار کثیر الجہتی سے مطابقت رکھتا ہے اور جڑیں اصل جڑوں کے منفی باہمی ہوتے ہیں۔ تھیلز تھیوریم للی کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے کواڈریٹک جڑوں کی تلاش کو تھیلز تھیوریم کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے تاکہ کواڈریٹک کثیر الجہتی کی حقیقی جڑیں تلاش کی جا سکیں۔ اس مثال میں 3x2 + 5x−2 کے ساتھ، کثیر الجہتی لائن کے حصے پہلے سیاہ رنگ میں تیار کیے جاتے ہیں، جیسا کہ اوپر بتایا گیا ہے۔ ایک دائرہ کھینچا جاتا ہے جس میں سیدھی لکیر کا حصہ شروع اور آخر کے نکات کو جوڑ کر قطر بناتا ہے۔ تھیلز تھیوریم کے مطابق، ان نکات اور دائرے پر موجود کسی بھی دوسرے نقطہ پر مشتمل مثلث ایک صحیح مثلث ہے۔ للی کے طریقہ کار کے درمیانی حصے کے ساتھ اس دائرے کے انٹرسیکٹس، ضرورت پڑنے پر توسیع شدہ، اس طرح للی کے طریقہ کار میں دو زاویہ دار راستوں کی وضاحت کرتے ہیں، رنگین نیلے اور سرخ۔ ان کے پہلے حصوں کے گریڈینٹس کا منفی، m، حقیقی جڑیں 1/3 اور-2 پیدا کرتا ہے۔ کاغذ کے فولڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے جڑوں کی تلاش 1936 میں مارگریٹا پیازولا بیلوچ نے دکھایا کہ کاغذ کے فولڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے کیوبک مساوات کو حل کرنے کے لیے للی کے طریقہ کار کو کس طرح ڈھالا جا سکتا ہے۔ اگر بیک وقت فولڈز کی اجازت ہے تو حقیقی جڑ کے ساتھ کسی بھی nth ڈگری مساوات کو بیک وقت فولڈز کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا جا سکتا ہے۔ اس مثال میں 3x3 + 2x2 − 7x + 2 کے ساتھ، کثیر الجہتی لائن کے حصوں کو پہلے کاغذ کی شیٹ (سیاہ) پر کھینچا جاتا ہے۔ دوسرے اور تیسرے حصوں میں شروع اور اختتامی نکات کی عکاسی سے گزرنے والی لکیریں، بالترتیب (دھندلا دائرہ اور مربع)، اور ان کے متوازی (سرمئی لکیریں) کھینچی جاتی ہیں۔ ہر جڑ کے لیے، کاغذ کو اس وقت تک جوڑ دیا جاتا ہے جب تک کہ نقطہ آغاز (سیاہ دائرہ) اور اختتامی نقطہ (سیاہ مربع) ان لکیروں پر ظاہر نہ ہو جائے۔ عکاسی کا محور (ڈیش ڈاٹ لائن) جڑ (نیلے، جامنی اور سرخ) سے مطابقت رکھنے والے زاویہ والے راستے کی وضاحت کرتا ہے۔ ان کے پہلے حصوں کے گریڈینٹس کا منفی، m، حقیقی جڑیں 1/3، 1 اور-2 حاصل کرتا ہے۔ کارلائل سرکل بھی دیکھیں، جو ایک معیاری کواڈریٹک کے لیے للی کے طریقہ کار کے قدرے ترمیم شدہ ورژن پر مبنی ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط اینیمیشن برائے للی کا طریقہ ریاضی دان ویڈیو: "لیزرز کے ساتھ کچھووں کو گولی مار کر مساوات کو حل کرنا" جیومیٹری پیپر فولڈنگ کثیر الجہتی