Construction of an irreducible Markov chain in the Ising model
آئزنگ ماڈل میں ایک ناقابل تلافی مارکوف سلسلہ کی تعمیر نتائج کو ثابت کرنے کا ایک ریاضیاتی طریقہ ہے۔ اطلاقی ریاضی میں، آئزنگ ماڈل میں ایک ناقابل تلافی مارکوف چین کی تعمیر ایک کمپیوٹیشنل رکاوٹ پر قابو پانے کی طرف پہلا قدم ہے جس کا سامنا اس وقت ہوتا ہے جب مارکوف چین مونٹی کارلو طریقہ کار کو محدود آئزنگ ماڈل کے لیے عین مطابق اچھائی کی جانچ حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ آئزنگ ماڈل مقناطیسی مرحلے کی منتقلی کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے اور یہ تعامل کے نظام کے نمونوں میں سے ایک ہے۔ مارکوف ہر انٹیجر ویکٹر کو بیس کرتا ہے، جسے منفرد طور پر لکھا جا سکتا ہے، جہاں اور غیر منفی ویکٹر ہیں۔ آئزنگ ماڈل کے لیے مارکوف بیس انٹیجر ویکٹرز کا ایک مجموعہ ہے جس میں کہا گیا ہے: (i) سب کے لیے، اور ہونا چاہیے۔ (ii) کسی بھی اور کسی کے لیے، ہمیشہ اطمینان موجود رہتا ہے اور l = 1،..، k کے لیے۔ پھر، میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ایک اپیروڈک، ریورسیبل، اور ناقابل تلافی مارکوف چین حاصل کر سکتے ہیں۔ 1998 میں پرسی ڈیاکونس اور برنڈ سٹرم فیلس کی طرف سے شائع کردہ مقالہ 'مشروط تقسیم سے نمونے لینے کے لیے الجبرائی الگورتھم' سے پتہ چلتا ہے کہ مارکوف کی بنیاد کو الجبرائی طور پر آئزنگ ماڈل کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ کاغذ کے مطابق، آئیڈیل کے لیے کوئی بھی جنریٹنگ سیٹ آئزنگ ماڈل کے لیے مارکوف کی بنیاد ہے۔ کاغذ میں مذکور الگورتھم میں ترمیم کیے بغیر، یکساں نمونے حاصل کرنا ناممکن ہے، بصورت دیگر غلط پی-ویلیوز کا باعث بنتا ہے۔ ایک سادہ تبادلہ کی تعریف فارم کے طور پر کی گئی ہے، جہاں کا کینونکل بیس ویکٹر ہے۔ سادہ تبادلے y میں دو جالی پوائنٹس کی حالتوں کو تبدیل کرتے ہیں۔ Z نمونے کے تبادلے کے سیٹ کو ظاہر کرتا ہے۔ پھر دو ترتیبات Z سے جڑی ہوتی ہیں، اگر سادہ تبادلوں کے درمیان اور ان پر مشتمل کوئی راستہ موجود ہو، جس کا مطلب ہے کہ ایسا موجود ہے کہ l = 1,., k کے لیے الگورتھم کو اب اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے: (i) ترتیب میں مارکوف چین سے شروع کریں (ii) بے ترتیب طور پر یکساں طور پر منتخب کریں اور جانے دیں۔ (iii) اگر قبول کریں ؛ بصورت دیگر y میں رہیں۔ اگرچہ نتیجے میں مارکوف چین ممکنہ طور پر ابتدائی حالت کو نہیں چھوڑ سکتا، لیکن 1 جہتی آئزنگ ماڈل کے لیے مسئلہ پیدا نہیں ہوتا ہے۔ اعلی جہتوں میں، ہم 1 جہتی آئزنگ ماڈل میں سب سے چھوٹی توسیعی نمونے کی جگہ میں میٹروپولیس-ہیسٹنگز الگورتھم کا استعمال کرکے اس مسئلے پر قابو پا سکتے ہیں۔ 1 جہتی آئزنگ ماڈل میں ناقابل کٹوتی کے ثبوت کے لیے دو لیما کی ضرورت ہوتی ہے۔ لیما 1:1 جہتی آئزنگ ماڈل کے لیے میکس-سنگلٹن ترتیب منفرد ہے (اس کے منسلک اجزاء کے مقام تک) اور سنگلٹن اور سائز کے ایک منسلک اجزاء پر مشتمل ہے۔ لیما 2: اور کے لیے، آئیے منفرد میکس-سنگلٹن ترتیب کو ظاہر کرتے ہیں۔ ایک ترتیب موجود ہے کہ: اور l = 1،.، k کے لیے چونکہ سب سے چھوٹی توسیعی نمونہ جگہ ہے جس پر مشتمل ہے، اس میں موجود کسی بھی دو ترتیبات کو بغیر چھوڑے سادہ سویپس Z کے ذریعے جوڑا جا سکتا ہے۔ یہ لیما 2 سے ثابت ہوتا ہے، لہذا ہم 1 جہتی آئزنگ ماڈل کے لیے سادہ تبادلوں کی بنیاد پر مارکوف چین کی ناقابل کٹوتی حاصل کرتے ہیں۔ مندرجہ بالا مراحل کے ذریعے طول و عرض 2 یا اس سے زیادہ آئزنگ ماڈل کے لیے بھی یہی نتیجہ اخذ کرنا ممکن ہے۔ حوالہ جات لیٹیس ماڈل مارکوف چین مونٹی کارلو