Balanced module
خلاصہ الجبرا کے ذیلی میدان میں جسے ماڈیول تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، ایک دائیں R ماڈیول M کو متوازن ماڈیول کہا جاتا ہے (یا کہا جاتا ہے کہ اس میں ڈبل سنٹرلائزر پراپرٹی ہوتی ہے) اگر ابیلین گروپ M کا ہر اینڈومورفزم جو M کے تمام R-اینڈومورفزم کے ساتھ کام کرتا ہے اسے رنگ عنصر کے ذریعہ ضرب کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ واضح طور پر، کسی بھی اضافی اینڈومورفزم f کے لیے، اگر fg = gf ہر R اینڈومورفزم g کے لیے، تو R میں ایک r اس طرح موجود ہے کہ f (x) = xr M میں تمام x کے لیے۔ غیر متوازن ماڈیولز کی صورت میں، ایسا f ہوگا جو اس طرح سے قابل اظہار نہیں ہے۔ سنٹرلائزرز کی زبان میں، ایک متوازن ماڈیول وہ ہے جو ڈبل سنٹرلائزر تھیوریم کے نتیجے کو مطمئن کرتا ہے، یعنی، M کے تمام R اینڈومورفزمز کے ساتھ آنے جانے والے گروپ M کے واحد اینڈومورفزم وہ ہیں جو رنگ عناصر کے ذریعہ صحیح ضرب سے متاثر ہوتے ہیں۔ اگر ہر دائیں آر ماڈیول متوازن ہو تو رنگ کو متوازن کہا جاتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ متوازن ہونا رنگوں پر بائیں دائیں ہم آہنگی کی حالت ہے، اور اس لیے اسے "بائیں" یا "دائیں" سے پہلے لگانے کی ضرورت نہیں ہے۔ متوازن ماڈیولز اور بجتوں کا مطالعہ سی جے کے ذریعہ کیو ایف-1 بجتوں کے مطالعہ کا نتیجہ ہے۔ نیسبیٹ اور آر۔ ایم۔ تھرل۔ یہ مطالعہ وی۔ پی۔ کیمیلو کے مقالے میں جاری رہا، اور بعد میں یہ مکمل طور پر تیار ہو گیا۔ مقالہ بہت سی مثالوں کے ساتھ خاص طور پر وسیع نظریہ پیش کرتا ہے۔ ان حوالوں کے علاوہ، کے موریٹا اور ایچ تاچیکاوا نے بھی شائع شدہ اور غیر شائع شدہ نتائج میں حصہ ڈالا ہے۔ متوازن ماڈیولز اور رنگز کے نظریہ میں تعاون کرنے والے مصنفین کی جزوی فہرست حوالہ جات میں مل سکتی ہے۔ مثالیں اور خصوصیات نیم سادہ حلقے متوازن ہوتے ہیں۔ سادہ رنگ پر ہر نان زیرو رائٹ آئیڈیل متوازن ہوتا ہے۔ نیم فروبینیوس رنگ پر ہر وفادار ماڈیول متوازن ہوتا ہے۔ دائیں آرٹینین رنگوں کے لیے ڈبل سینٹرلائزر تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ کوئی بھی سادہ دائیں R ماڈیول متوازن ہے۔ کاغذ غیر متوازن ماڈیولز کی متعدد تعمیرات پر مشتمل ہے۔ یہ اس میں قائم کیا گیا تھا کہ یک جہتی حلقے متوازن ہوتے ہیں۔ اس کے برعکس، ایک متوازن رنگ جو اپنے مرکز کے اوپر ایک ماڈیول کے طور پر حتمی طور پر پیدا ہوتا ہے یک جہتی ہے۔ تبادلے والے آرٹینین بجتوں میں، متوازن بجتی بالکل نیم فروبینیوس بجتی ہیں۔ خصوصیات کا "متوازن" ہونا ماڈیولز کے لیے ایک درجہ بند خاصیت ہے، یعنی اسے موریٹا مساوات کے ذریعے محفوظ کیا جاتا ہے۔ واضح طور پر، اگر F (-) R ماڈیولز کے زمرے سے S ماڈیولز کے زمرے میں موریٹا مساوات ہے، اور اگر M متوازن ہے، تو F (M) متوازن ہے۔ متوازن بجتوں کی ساخت کا بھی مکمل طور پر تعین کیا جاتا ہے، اور اس میں اس کا خاکہ پیش کیا گیا ہے۔ آخری نقطہ کے پیش نظر، متوازن انگوٹی ہونے کی خاصیت موریٹا غیر متغیر خاصیت ہے۔ اس سوال کا جواب پہلے ہی دیا جا چکا ہے کہ کون سے رنگوں میں تمام حتمی طور پر تیار کردہ آر ماڈیولز متوازن ہیں۔ یہ حالت رنگ R کے متوازن ہونے کے برابر ثابت ہوتی ہے۔ نوٹ حوالہ جات ماڈیول تھیوری رنگ تھیوری