Stationary set
ریاضی میں، خاص طور پر سیٹ تھیوری اور ماڈل تھیوری، ایک اسٹیشنری سیٹ ایک ایسا سیٹ ہے جو اس لحاظ سے بہت چھوٹا نہیں ہے کہ یہ تمام کلب سیٹوں کو کاٹتا ہے اور پیمائش تھیوری میں غیر صفر پیمائش کے سیٹ کے مترادف ہے۔ اسٹیشنری سیٹ کے کم از کم تین قریب سے متعلق تصورات ہیں، جو اس بات پر منحصر ہیں کہ آیا کوئی آرڈینل کے ذیلی سیٹوں، یا دی گئی کارڈینالیٹی کے کسی چیز کے ذیلی سیٹوں، یا پاور سیٹ کو دیکھ رہا ہے۔ کلاسیکی تصور اگر بے شمار کوفینیلیٹی کا ایک کارڈینل ہے، اور ہر کلب کو کاٹتا ہے تو اسے اسٹیشنری سیٹ کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی سیٹ ساکن نہیں ہے، تو اسے پتلی سیٹ کہا جاتا ہے۔ اس تصور کو نمبر تھیوری میں ایک پتلی سیٹ کے تصور کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ اگر ایک اسٹیشنری سیٹ ہے اور ایک کلب سیٹ ہے، تو ان کا چوراہا بھی اسٹیشنری ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ اگر کوئی کلب سیٹ ہے، تو یہ ایک کلب سیٹ ہے، اس طرح یہ خالی نہیں ہے۔ اس لیے اسے ساکن ہونا چاہیے۔ یہ بھی دیکھیں: فوڈور کا لیما بے شمار کوفینیلیٹی پر پابندی معمولی باتوں سے بچنے کے لیے ہے: فرض کریں کہ اس میں قابل شمار کوفینیلیٹی ہے۔ پھر اس میں مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس میں پابند ہو۔ خاص طور پر، اگر کی کوفینیلیٹی ہے، تو کسی بھی دو اسٹیشنری ذیلی سیٹوں کا اسٹیشنری انٹرسیکشن ہوتا ہے۔ یہ اب معاملہ نہیں ہے اگر کی کوفینیلیٹی ناقابل شمار ہے۔ درحقیقت، فرض کریں کہ یہ بھی باقاعدہ ہے اور ساکن ہے۔ پھر بہت سے جداگانہ اسٹیشنری سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ نتیجہ سولووے کی وجہ سے ہے۔ اگر جانشین کارڈینل ہے، تو یہ نتیجہ اولم کی وجہ سے ہے اور اسے آسانی سے عالم میٹرکس کے ذریعے دکھایا جاتا ہے۔ ایچ فریڈمین نے دکھایا ہے کہ ہر قابل شمار جانشین آرڈینل کے لیے، ہر اسٹیشنری سب سیٹ میں آرڈر ٹائپ کا ایک بند سب سیٹ ہوتا ہے۔ جیچ کا تصور ایک کارڈینل اور ایک سیٹ کے لیے اسٹیشنری سبسیٹ کا تصور بھی ہے کہ، کارڈینالیٹی کے سبسیٹس کا مجموعہ کہاں ہے: یہ تصور تھامس جیچ کی وجہ سے ہے۔ پہلے کی طرح، مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ہر کلب سے ملتا ہے، جہاں کلب کا ذیلی سیٹ ایک سیٹ ہے جس کے نیچے حد نہیں ہے اور زیادہ سے زیادہ لمبائی کی زنجیروں کے اتحاد کے تحت بند ہے۔ یہ تصورات عام طور پر مختلف ہوتے ہیں، حالانکہ کے لیے اور وہ اس معنی میں موافق ہوتے ہیں جو اس وقت اور صرف اس صورت میں مستحکم ہوتا ہے جب اس میں مستحکم ہو۔ فوڈور کے لیما کا مناسب ورژن بھی اس تصور کے لیے ہے۔ عمومی تصور ابھی تک ایک تیسرا تصور موجود ہے، ماڈل نظریاتی نوعیت کا ہے اور بعض اوقات اسے عمومی اسٹیشنریٹی کہا جاتا ہے۔ یہ تصور غالبا میگیڈور، فورمین اور شیلا کی وجہ سے ہے اور اسے ووڈن نے بھی نمایاں طور پر استعمال کیا ہے۔ اب ایک نان ایمپٹی سیٹ ہونے دیں۔ ایک سیٹ کلب (بند اور غیر محدود) ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس طرح کا کوئی فنکشن ہو۔ یہاں، کے محدود ذیلی سیٹوں کا مجموعہ ہے۔ اگر اور صرف اس صورت میں اسٹیشنری ہے جب یہ کلب کے ہر ذیلی سیٹ سے ملتا ہے۔ ماڈل تھیوری کے ساتھ تعلق کو دیکھنے کے لیے، نوٹ کریں کہ اگر ایک قابل شمار زبان میں کائنات کے ساتھ ایک ڈھانچہ ہے اور اس کے لیے ایک اسکولیم فنکشن ہے، تو ایک اسٹیشنری میں اس کی ایک ابتدائی ذیلی ساخت ہونی چاہیے۔ درحقیقت، مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس طرح کے کسی ڈھانچے کے لیے اس کا کوئی ابتدائی ذیلی ڈھانچہ ہو۔ حوالہ جات فورمین، میتھیو (2002) اسٹیشنری سیٹ، چانگ کا قیاس اور پارٹیشن تھیوری، سیٹ تھیوری (دی ہجنل کانفرنس) ڈی آئی ایم اے سی ایس سر میں۔ مجرد ریاضی۔ تھیوریٹ۔ کمپیکٹ۔ سائنس۔، 58، آمیر۔ ریاضی۔ ، پروویڈنس، آر آئی۔ پی پی۔ 73-94۔ بیرونی لنکس پر فائل سیٹ تھیوری عام اعداد