Dehn invariant
جیومیٹری میں، ڈیہن غیر متغیر ایک قدر ہے جو اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے کہ آیا ایک پولی ہیڈرون کو ٹکڑوں میں کاٹا جا سکتا ہے اور دوسرے میں دوبارہ جوڑ دیا جا سکتا ہے ("منقطع")، اور کیا پولی ہیڈرون یا اس کے ٹکڑے ٹکڑے جگہ کو ٹائل کر سکتے ہیں۔ اس کا نام میکس ڈہن کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ہلبرٹ کے تیسرے مسئلے کو حل کرنے کے لیے یہ ثابت کرتے ہوئے استعمال کیا کہ مساوی حجم والے تمام پولی ہیڈرا کو ایک دوسرے میں الگ نہیں کیا جا سکتا۔ دو پولی ہیڈرا میں پولی ہیڈرل ٹکڑوں میں ایک ٹکڑا ہوتا ہے جسے دونوں میں سے کسی ایک میں دوبارہ جمع کیا جا سکتا ہے، اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے حجم اور ڈیہن غیر متغیر برابر ہوں۔ ڈیہن غیر متغیر صفر کا ہونا جگہ بھرنے والے پولی ہیڈرون ہونے کے لیے ایک ضروری (لیکن کافی نہیں) شرط ہے، اور ایک پولی ہیڈرون کو کاٹ کر جگہ بھرنے والے پولی ہیڈرون میں دوبارہ جوڑ دیا جا سکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا ڈیہن غیر متغیر صفر ہو۔ سیلف-انٹرسیکشن فری لچکدار پولی ہیڈرون کا ڈیہن غیر متغیر غیر متغیر ہوتا ہے کیونکہ یہ لچکدار ہوتا ہے۔ ڈیہن غیر متغیر بھی اعلی جہتوں میں ڈسیکشن کے لیے ایک غیر متغیر ہیں، اور (حجم کے ساتھ) چار جہتوں میں مکمل غیر متغیر ہیں۔ ڈیہن غیر متغیر مکعب کے لیے صفر ہے لیکن دیگر پلاٹونک ٹھوسوں کے لیے غیر صفر ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ دیگر ٹھوس جگہ کو ٹائل نہیں کر سکتے اور انہیں مکعب میں الگ نہیں کیا جا سکتا۔ تمام آرکیمیڈین ٹھوسوں میں ڈیہن غیر متغیر ہوتے ہیں جو پلاٹونک ٹھوسوں کے لیے غیر متغیرات کے عقلی امتزاج ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، کٹا ہوا آکٹا ہیڈرون بھی جگہ کو ٹائل کرتا ہے اور مکعب کی طرح ڈیہن غیر متغیر صفر رکھتا ہے۔ پولی ہیڈرا کے دین غیر متغیر اعداد نہیں ہیں۔ اس کے بجائے، وہ ایک لامحدود جہتی ٹینسر اسپیس کے عناصر ہیں۔ یہ جگہ، جسے ابیلین گروپ کے طور پر دیکھا جاتا ہے، ایک عین ترتیب کا حصہ ہے جس میں گروپ ہومیولوجی شامل ہے۔ اسی طرح کے غیر متغیرات کو کچھ دیگر ڈسیکشن پہیلیوں کے لیے بھی بیان کیا جا سکتا ہے، بشمول محور متوازی کٹوتیوں اور ترجمے کے ذریعے ایک دوسرے میں مستطیل کثیر الاضحی کو الگ کرنے کا مسئلہ۔ پس منظر اور تاریخ دو جہتوں میں، 19 ویں صدی کے اوائل سے والیس-بولائی-گیرویئن تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ مساوی رقبے کے کسی بھی دو کثیر الاضحی کو کثیر الاضحی ٹکڑوں میں کاٹا جا سکتا ہے اور ایک دوسرے میں دوبارہ ملایا جا سکتا ہے۔ 19 ویں صدی کے آخر میں، ڈیوڈ ہلبرٹ اس نتیجے میں دلچسپی لینے لگے۔ انہوں نے اسے یوکلڈین جیومیٹری کے لیے ہلبرٹ کے محوریات کے سلسلے میں، دو جہتی کثیر الاضحی کے رقبے کو محوری بنانے کے طریقے کے طور پر استعمال کیا۔ یہ جیومیٹری کی بنیادوں کو مزید سخت بنانے کے پروگرام کا حصہ تھا، جس میں اس علاقے جیسے واضح تصورات کا علاج کیا گیا تھا جسے یوکلڈ کے عناصر نے زیادہ بدیہی طور پر سنبھالا تھا۔ قدرتی طور پر، اس نے یہ سوال اٹھایا کہ کیا اسی طرح کے محوری علاج کو ٹھوس جیومیٹری تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ 1900 میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں، ہلبرٹ نے ہلبرٹ کے مسائل کو وضع کیا، جو مسائل کا ایک مجموعہ ہے جو 20 ویں صدی کے ریاضی میں بہت بااثر ہوا۔ ان میں سے ایک، ہلبرٹ کا تیسرا مسئلہ، ٹھوس حجم کی محوریت پر اس سوال کو حل کرتا ہے۔ ہلبرٹ کے تیسرے مسئلے میں مزید خاص طور پر پوچھا گیا کہ کیا مساوی حجم کے ہر دو پولی ہیڈرا کو ہمیشہ پولی ہیڈرل ٹکڑوں میں کاٹا جا سکتا ہے اور ایک دوسرے میں دوبارہ ملایا جا سکتا ہے۔ اگر ایسا ہوتا، تو کسی بھی پولی ہیڈرون کے حجم کو محوری طور پر، ایک مساوی مکعب کے حجم کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس میں اسے دوبارہ جمع کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، جواب منفی نکلا: تمام پولی ہیڈرا کو کیوب میں نہیں تراشا جا سکتا۔ ہلبرٹ کے کچھ دوسرے مسائل کے برعکس، تیسرے مسئلے کا جواب بہت جلد مل گیا۔ در حقیقت، راؤل بریکارڈ نے پہلے ہی 1896 میں اسے ایک نظریہ کے طور پر دعوی کیا تھا، لیکن ایک ثبوت کے ساتھ جو نامکمل ثابت ہوا۔ ہلبرٹ کے طالب علم میکس ڈہن نے اپنے 1900 کے رہائش کے مقالے میں اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے ڈہن غیر متغیر ایجاد کیا۔ ڈیہن نے ثابت کیا کہ، ایک دوسرے میں دوبارہ جمع ہونے کے لیے، مساوی حجم کے دو پولی ہیڈرا میں بھی مساوی ڈیہن غیر متغیر ہونا چاہیے، لیکن اس نے مساوی حجم کے دو ٹیٹرا ہیڈرا پائے جن کے ڈیہن غیر متغیرات مختلف تھے۔ اس نے مسئلے کا ایک منفی حل فراہم کیا۔ اگرچہ ڈیہن نے اپنے غیر متغیر کو مختلف طریقے سے وضع کیا، لیکن ڈیہن کے غیر متغیر کے لیے جدید نقطہ نظر یہ ہے کہ اسے ٹینسر پروڈکٹ میں ایک قدر کے طور پر بیان کیا جائے۔ آسان حساب کی مثالیں ڈیہن غیر متغیر کی تعریف اس طرح سے کرنا جو بیک وقت تمام پولی ہیڈرا پر لاگو ہو سکتا ہے اس میں لامحدود جہتی ویکٹر خالی جگہیں شامل ہیں (نیچے دیکھیں)۔ تاہم، جب محدود طور پر بہت سے پولی ہیڈرا پر مشتمل کسی خاص مثال تک محدود ہو، جیسے کہ پلاٹونک ٹھوس، تو اس کی تعریف آسان طریقے سے کی جا سکتی ہے، جس میں صرف ایک محدود تعداد میں جہتیں شامل ہیں، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے: تمام پولی ہیڈرا کے کنارے کی لمبائی اور ڈائی ہیڈرل زاویوں (ایک کنارے کے ساتھ ملنے والے دو چہروں کے درمیان کا زاویہ) کا تعین کریں۔ زاویوں کا ایک ذیلی مجموعہ تلاش کریں جو عقلی بنیاد بناتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر ڈائیڈرل زاویے کو بنیادی عناصر کے لکیری امتزاج کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، جس میں عقلی نمبر کوفیشنٹس ہوتے ہیں۔ مزید برآں، بنیادی عناصر کا کوئی عقلی لکیری مجموعہ صفر کا مجموعہ نہیں ہو سکتا۔ اس بنیاد میں (یا ایک عقلی ضرب) شامل کریں۔ پولی ہیڈرون کے ہر کنارے کے لیے، اس کے ڈائی ہیڈرل زاویے کو بنیاد سے زاویوں کے عقلی امتزاج کے طور پر پیش کریں۔ اس امتزاج میں کے عقلی ضرب کے لیے گتانک کو خارج کر دیں۔ بقیہ کوفشنٹس کی تشریح ویکٹر کے نقاط کے طور پر کریں جس کے طول و عرض بنیادی زاویوں کی نمائندگی کرتے ہیں، اور اس ویکٹر کو کنارے کی لمبائی سے پیمائش کریں۔ پولی ہیڈرون کے تمام کناروں کے ویکٹروں کا مجموعہ کریں تاکہ اس کا ڈیہن غیر متغیر پیدا ہو۔ اگرچہ اس طریقہ کار میں بنیادی عناصر کے من مانی انتخاب شامل ہیں، لیکن یہ انتخاب صرف ان گتانک کو متاثر کرتے ہیں جن کے ذریعے ڈیہن غیر متغیرات کی نمائندگی کی جاتی ہے۔ تجریدی ویکٹر اسپیس کے عناصر کے طور پر، وہ بنیاد کے انتخاب سے متاثر نہیں ہوتے ہیں۔ پولی ہیڈرا کے کسی بھی محدود سیٹ کے ڈیہن غیر متغیرات کے ذریعہ پھیلا ہوا ویکٹر اسپیس لامحدود جہتی ویکٹر اسپیس کی ایک محدود جہتی ذیلی جگہ بناتا ہے جس میں تمام پولی ہیڈرا کے ڈیہن غیر متغیرات کی وضاحت کی جاتی ہے۔ یہ سوال کہ ڈائی ہیڈرل زاویوں کے کون سے امتزاج عقلی لکیری امتزاج سے متعلق ہیں ہمیشہ سیدھا نہیں ہوتا ہے، اور اس میں نمبر تھیوری سے غیر معمولی طریقے شامل ہو سکتے ہیں۔ پلاٹونک ٹھوس پانچ پلاٹونک ٹھوسوں کے لیے، ڈائی ہیڈرل زاویہ یہ ہیں: ٹیٹرا ہیڈرون کے لیے۔ مکعب کے لیے ایک صحیح زاویہ۔ آکٹاہیڈرون کے لیے۔ ڈوڈیکاہڈرون کے لیے، سنہری تناسب کہاں ہے۔ آئکوساہڈرون کے لیے۔ مکعب کا ڈائیڈرل زاویہ ایک عقلی ضرب ہے، لیکن باقی نہیں ہیں۔ باقاعدہ ٹیٹرا ہیڈرون اور باقاعدہ آکٹا ہیڈرون کے ڈائی ہیڈرل زاویے اضافی زاویے ہیں: ان پانچ زاویے سے ٹیٹرا ہیڈرون یا آکٹا ہیڈرون کو چھوڑنے سے ایک عقلی بنیاد پیدا ہوتی ہے: ان زاویے کے درمیان کوئی اور عقلی تعلقات نہیں ہیں۔ اگر، مثال کے طور پر، جس بنیاد کو خارج کیا جاتا ہے اسے استعمال کیا جاتا ہے، اور اسے بنیادی عنصر کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے لیکن پھر ڈیہن غیر متغیر حساب سے (کے عقلی ضرب کے طور پر) خارج کر دیا جاتا ہے، تو بقیہ زاویہ کی بنیاد پر عناصر ہیں، اور۔ نتیجے میں ڈیہن غیر متغیرات میں ہر بنیادی عنصر کے لیے ایک جہت ہوگی۔ اس بنیاد کے ساتھ، کنارے کی لمبائی والے پلاٹونک ٹھوسوں کے لیے، ڈیہن غیر متغیر ہیں: ٹیٹرا ہیڈرون کے لیے۔ اس کی لمبائی کے چھ کنارے ہیں، جن میں ٹیٹراہیڈرل ڈائیڈرل زاویہ ہیں۔ کیوب کے لیے۔ اس کے کناروں میں ڈائیڈرل زاویہ ہوتے ہیں جن کا اظہار صرف ڈیہن غیر متغیر کے لحاظ سے کیا جاتا ہے۔ آکٹاہیڈرون کے لیے۔ اس کے بارہ کناروں پر ڈھیڈرل ہیں۔ اس امتزاج میں، کے لیے گتانک کو خارج کر دیا جاتا ہے، جس سے ڈوڈیکاہیڈرون کے لیے صرف ایک گتانک رہ جاتا ہے۔ اس کے 30 کنارے ہیں جن میں ڈوڈیکاہڈرل ڈائیڈرل زاویہ ہیں۔ آئکوساہڈرون کے لیے۔ اس کے 30 کنارے ہیں جن میں آئکوساہڈرل ڈائیڈرل زاویہ ہیں۔ مکعب ان میں سے واحد ہے جس کا ڈیہن غیر متغیر صفر ہے۔ دیگر چار پلاٹونک ٹھوسوں میں سے ہر ایک کے ڈیہن غیر متغیر غیر مساوی اور غیر صفر ہوتے ہیں۔ آکٹاہیڈرون کا ڈیہن غیر متغیر ایک ہی کنارے کی لمبائی کے ٹیٹراہیڈرون کا ڈیہن غیر متغیر ہے۔ متعلقہ پولی ہیڈرا کسی بھی متوازی پائپڈ کا ڈیہن غیر متغیر صفر ہوتا ہے، بالکل اسی طرح جیسے مکعب کے لیے ہوتا ہے۔ متوازی پائپ میں چار متوازی کناروں کے ہر سیٹ کی لمبائی ایک جیسی ہوتی ہے اور اس میں ڈائیڈرل زاویہ ہوتے ہیں، لہذا ڈیہن غیر متغیر میں ان کی شراکت صفر پر منسوخ ہو جاتی ہے۔ دیگر آرکیمیڈین ٹھوسوں کے ڈیہن غیر متغیرات کو پلاٹونک ٹھوسوں کے غیر متغیرات کے عقلی امتزاج کے طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ پہلے کی طرح اسی بنیاد کے لحاظ سے، اسی مفروضے کے ساتھ کہ ان شکلوں کے کنارے کی لمبائی ہے، ڈیہن غیر متغیر ہیں: کٹے ہوئے ٹیٹراہیڈرون کے لیے۔ کٹے ہوئے کیوب، رومبیکوبوکٹاہیڈرون، اور کیوبکٹیہیڈرون کے لیے۔ کٹے ہوئے آکٹاہیڈرون کے لیے، جو بٹرونکیٹڈ کیوبک ہنی کامب کے طور پر جگہ کو ٹائل کرتا ہے۔ کٹے ہوئے ڈوڈیکاہڈرون کے لیے۔ کٹے ہوئے آئکوساہڈرون کے لیے۔ آئکوسیڈوڈیکاہڈرون کے لیے۔ رومبیکوسیڈوڈیکاہڈرون کے لیے۔ کٹے ہوئے آئکوسیڈوڈیکاہڈرون کے لیے۔ یہ براہ راست جگہ کو ٹائل نہیں کرتا ہے، لیکن ایک زونوہڈرون کے طور پر اسے متوازی پائپوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، جو ایسا کرتے ہیں۔ ایپلی کیشنز جیسا کہ مشاہدہ کیا گیا ہے، ڈیہن غیر متغیر پولی ہیڈرا کے ٹکڑے کرنے کے لیے ایک غیر متغیر ہے، اس معنی میں کہ پولی ہیڈرن کو چھوٹے پولی ہیڈرل ٹکڑوں میں کاٹنا اور پھر انہیں ایک مختلف پولی ہیڈرن میں دوبارہ جوڑنا نتیجہ کے ڈیہن غیر متغیر کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ اگر اس کاٹنے کے عمل میں ایک نیا کنارہ متعارف کرایا جاتا ہے، تو یا تو یہ پولی ہیڈرون کے اندرونی حصے میں ہوتا ہے، اور کل ڈائی ہیڈرل زاویوں سے گھرا ہوا ہوتا ہے، یا پولی ہیڈرون کے چہرے پر، اور کل ڈائی ہیڈرلز سے گھرا ہوا ہوتا ہے۔ دونوں صورتوں میں یہ عقلی ضرب ڈیہن غیر متغیر میں حصہ نہیں ڈالتی ہے۔ اسی طرح کے تجزیے سے پتہ چلتا ہے کہ ڈیہن غیر متغیر میں بھی کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے جب موجودہ پولی ہیڈرون کا کنارہ پولی ہیڈرون کو کاٹتے وقت بنائے گئے نئے چہرے کی حد ہوتی ہے۔ اس کنارے پر نئے ڈائیڈرل زاویہ ایک ہی رقم کے ساتھ جمع ہوتے ہیں، اور ڈیہن غیر متغیر میں وہی شراکت، جو ان کے پاس پہلے تھی۔ ڈسیکشن کا ایک اور غیر متغیر پولی ہیڈرون کا حجم ہے: اسے پولی ہیڈرل ٹکڑوں میں کاٹنا اور ٹکڑوں کو دوبارہ جوڑنا کل حجم کو تبدیل نہیں کر سکتا۔ لہذا، اگر ایک پولی ہیڈرون کا دوسرے پولی ہیڈرون میں ڈسیکشن ہوتا ہے، تو دونوں میں ایک ہی ڈیہن غیر متغیر کے ساتھ ساتھ ایک ہی حجم بھی ہونا چاہیے۔ اس نتیجے کو یہ ثابت کرتے ہوئے بڑھایا کہ حجم اور ڈیہن غیر متغیر اس مسئلے کے لیے واحد غیر متغیر ہیں۔ اگر اور دونوں میں ایک ہی حجم اور ایک ہی ڈیہن غیر متغیر ہے، تو ایک کو دوسرے میں الگ کرنا ہمیشہ ممکن ہے۔ ڈیہن غیر متغیر ایک پولی ہیڈرون کی ٹائل کی جگہ کی صلاحیت کو بھی محدود کرتا ہے۔ خلا کو بھرنے والے ہر ٹائل میں مکعب کی طرح ڈیہن غیر متغیر صفر ہوتا ہے۔ پولی ہیڈرا کے لیے کہ ٹائل کی جگہ وقتا فوقتا اس کے بعد ٹائل کی وقتا فوقتا کاٹنے اور ٹائل کو اسی وقتا فوقتا متوازی طور پر ترتیب دینے کے لیے استعمال کیا جائے گا، لیکن یہ نتیجہ شمٹ-کون وے-ڈینزر بائیپریزم جیسے ایپریوڈک ٹائلوں کے لیے بھی درست ہے۔ اس کا الٹا سچ نہیں ہے-ڈیہن غیر متغیر صفر کے ساتھ پولی ہیڈرا موجود ہے جو جگہ کو ٹائل نہیں کرتا ہے۔ تاہم، انہیں ہمیشہ ایک اور شکل (مکعب) میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جو ٹائل کی جگہ بناتا ہے۔ کٹا ہوا آئکوسیڈوڈیکاہڈرون ایک مثال ہے۔ ڈیہن کا نتیجہ کروی جیومیٹری اور ہائپربولک جیومیٹری کے لیے درست ہے۔ ان دونوں جیومیٹریز میں، دو پولی ہیڈرا جن کو کاٹا جا سکتا ہے اور ایک دوسرے میں دوبارہ جوڑ دیا جا سکتا ہے، ان میں ایک ہی ڈیہن غیر متغیر ہونا چاہیے۔ تاہم، جیسا کہ جیسن نے مشاہدہ کیا، سائڈلر کے نتیجے کی کروی یا ہائپربولک جیومیٹری تک توسیع کھلی رہتی ہے: یہ معلوم نہیں ہے کہ آیا ایک ہی حجم اور ایک ہی ڈیہن غیر متغیر کے ساتھ دو کروی یا ہائپربولک پولی ہیڈرا کو ہمیشہ کاٹا اور ایک دوسرے میں دوبارہ ملایا جا سکتا ہے۔ محدود حجم کے ساتھ ہر ہائپربولک کئی گنا جیوڈیسیک سطحوں کے ساتھ ایک ہائپربولک پولی ہیڈرون (کئی گنا کے بنیادی گروپ کے لیے ایک بنیادی ڈومین) میں کاٹا جا سکتا ہے، جو کئی گنا کے عالمگیر احاطے کو ٹائل کرتا ہے اور اس لیے ضروری ہے کہ اس میں صفر ڈیہن غیر متغیر ہو۔ زیادہ عام طور پر، اگر پولی ہیڈرا کا کچھ مجموعہ مشترکہ طور پر جگہ کو ٹائل کرتا ہے، تو ان کے ڈیہن غیر متغیرات کا مجموعہ (اسی تناسب میں لیا گیا) صفر ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، ٹیٹراہیڈرل-آکٹاہیڈرل ہنی کومب ٹیٹراہیڈرا اور آکٹاہیڈرا کے ذریعہ خلا کی ٹائلنگ ہے (آکٹاہیڈرا سے دوگنا زیادہ ٹیٹراہیڈرا کے ساتھ)، اس حقیقت سے مطابقت رکھتا ہے کہ ایک آکٹاہیڈرون اور دو ٹیٹراہیڈرا (ایک ہی طرف کی لمبائی کے ساتھ) کے ڈیہن غیر متغیرات کا مجموعہ صفر ہے۔ مکمل تعریف ایک ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر ڈیہن غیر متغیر کی تعریف کے لیے ایک پولی ہیڈرون کے تصور کی ضرورت ہوتی ہے جس کے لیے کناروں کی لمبائی اور ڈائیڈرل زاویہ اچھی طرح سے بیان کیے جاتے ہیں۔ زیادہ تر عام طور پر، یہ پولی ہیڈرا پر لاگو ہوتا ہے جس کی حدود ٹکڑے ٹکڑے لکیری کئی گنا ہوتی ہیں، جو یوکلڈین اسپیس میں طیاروں کی ایک محدود تعداد پر سرایت ہوتی ہیں۔ تاہم، ڈیہن غیر متغیر کو کروی جیومیٹری یا ہائپربولک اسپیس میں پولی ہیڈرا کے لیے، اور یوکلڈین اسپیس میں کچھ سیلف کراسنگ پولی ہیڈرا کے لیے بھی سمجھا گیا ہے۔ ڈیہن غیر متغیر کی اقدار کا تعلق ایک ابیلین گروپ سے ہے جس کی تعریف ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر کی گئی ہے۔ اس ٹینسر پروڈکٹ کا بایاں عنصر حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے (اس معاملے میں پولی ہیڈرا کے کناروں کی لمبائی کی نمائندگی کرتا ہے) اور دائیں عنصر ریڈینس میں ڈائیڈرل زاویوں کی نمائندگی کرتا ہے، جو 2 کے اعداد ماڈیولو عقلی ضرب کے طور پر دیا گیا ہے۔ (کچھ ذرائع زاویوں کو ماڈیولو کے بجائے لیتے ہیں یا زاویوں کو تقسیم کرتے ہیں اور جگہ جگہ استعمال کرتے ہیں لیکن اس سے نتیجے میں ٹینسر پروڈکٹ پر کوئی فرق نہیں پڑتا ہے، کیونکہ صحیح عنصر کا کوئی بھی عقلی ضرب پروڈکٹ میں صفر ہو جاتا ہے۔) کنارے کی لمبائی اور کنارے کے ڈائیڈرل زاویوں کے ساتھ پولی ہیڈرون کا ڈیہن غیر متغیر مجموعہ ہے۔ ایک ٹینسر کے طور پر اس کی ساخت ڈیہن غیر متغیر اضافی خصوصیات دیتی ہے جو ہندسی طور پر معنی خیز ہیں۔ خاص طور پر، اس میں ایک ٹینسر رینک ہوتا ہے، جو اس طرح کی اصطلاحات کے مجموعے کے طور پر کسی بھی اظہار میں اصطلاحات کی کم از کم تعداد ہوتی ہے۔ چونکہ ڈیہن غیر متغیر کا اظہار ایک پولی ہیڈرون کے کناروں کے مجموعے کے طور پر بالکل اسی شکل میں ہوتا ہے، اس لیے ڈیہن غیر متغیر کا درجہ کسی بھی پولی ہیڈرون کے لیے کم از کم ممکنہ کناروں کی تعداد پر کم حد دیتا ہے جو کسی دیئے گئے پولی ہیڈرون کے ٹکڑے ٹکڑے کے نتیجے میں ہوتا ہے۔ ہیمل بنیاد کا استعمال دین غیر متغیر کی ایک متبادل لیکن مساوی وضاحت میں ہیمل بنیاد کا انتخاب شامل ہے، جو حقیقی اعداد کا ایک لامحدود ذیلی مجموعہ ہے جس میں ہر حقیقی نمبر کو عناصر کے محدود طور پر بہت سے عقلی ضرب کے مجموعے کے طور پر منفرد طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، ایک اضافی گروپ کے طور پر، اس کے ہر عنصر کے لیے ایک خلاصہ کے ساتھ نقلوں کا براہ راست مجموعہ آئسومورفک ہے۔ اگر (یا اس کا عقلی ضرب) اس کے عناصر میں سے ایک ہے، اور اس عنصر کے ساتھ باقی بنیاد کو خارج کر دیا گیا ہے، تو ٹینسر پروڈکٹ کو (لامحدود جہتی) حقیقی ویکٹر اسپیس کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ ڈیہن غیر متغیر کا اظہار ہر ڈائیڈرل زاویے کو بنیادی عناصر کے ایک محدود مجموعے میں سڑ کر کیا جا سکتا ہے جہاں عقلی ہے، ہیمل کی بنیاد پر حقیقی اعداد میں سے ایک ہے، اور ان بنیادی عناصر کو نمبر دیا جاتا ہے تاکہ اس کا عقلی ضرب اس سے تعلق رکھتا ہے لیکن نہیں۔ اس سڑنے کے ساتھ، ڈیہن غیر متغیر وہ جگہ ہے جہاں ہر ایک بنیادی عنصر کے مطابق معیاری یونٹ ویکٹر ہے۔ یہاں کا مجموعہ شروع ہوتا ہے، اس کے عقلی ضرب سے متعلق اصطلاح کو چھوڑنے کے لیے۔ یہ متبادل تشکیل ظاہر کرتی ہے کہ ڈیہن غیر متغیر کی اقدار کو حقیقی ویکٹر اسپیس کی اضافی ساخت دی جا سکتی ہے۔ اگرچہ، عام طور پر، ہیمل اڈوں کی تعمیر میں پسند کا محور شامل ہوتا ہے، لیکن پولی ہیڈرا کے ڈائیڈرل زاویوں سے پیدا ہونے والی محدود جہتی ویکٹر کی جگہ پر توجہ کو محدود کرکے (پولی ہیڈرا کے کسی بھی مخصوص محدود سیٹ پر غور کرتے وقت) اس سے بچا جا سکتا ہے۔ لامحدود کنارے کی لمبائی کے ساتھ ہائپربولک پولی ہیڈر ہائپربولک اسپیس میں ایک مثالی پولی ہیڈرون کے لیے، کنارے کی لمبائی لامحدود ہوتی ہے، جس سے ڈیہن غیر متغیر کی معمول کی تعریف لاگو نہیں ہوتی ہے۔ اس کے باوجود، ڈیہن غیر متغیر کو ان کے عمودی حصوں کو کاٹنے کے لیے ہاروسفیئرز کا استعمال کرکے، اور اس کے نتیجے میں کٹی ہوئی شکل کے لیے معمول کے مطابق ڈیہن غیر متغیر کا حساب لگا کر، اس کٹوتی کے عمل سے پیدا ہونے والے اضافی مڑے ہوئے کناروں کو نظر انداز کر کے ان پولی ہیڈرا تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ نتیجہ کا انحصار کٹائی کے لیے کناروں کے انتخاب پر نہیں ہے، جب تک کہ ہر ایک دیئے گئے پولی ہیڈرون کے صرف ایک سرے کو کاٹ دے۔ ادراکیت اگرچہ ڈیہن غیر متغیر اس جگہ کے تمام عناصر میں اقدار نہیں لیتا ہے لیکن اسے پولی ہیڈرا کے ڈیہن غیر متغیر کے طور پر محسوس کیا جا سکتا ہے۔ یوکلیڈین پولی ہیڈرا کے ڈیہن غیر متغیرات ایک حقیقی لکیری ذیلی جگہ تشکیل دیتے ہیں: کوئی بھی پولی ہیڈرا کے جداگانہ اتحاد کو لے کر (یا انہیں چہرے پر ایک ساتھ جوڑ کر) پولی ہیڈرا کے ڈیہن غیر متغیرات کو شامل کر سکتا ہے، پولی ہیڈرن کی شکل میں سوراخوں کو بڑے کیوب میں بنا کر ڈیہن غیر متغیرات کو مسترد کر سکتا ہے، اور اسی نمبر سے پولی ہیڈرن کو اسکیل کرکے ڈیہن غیر متغیر کو کسی بھی مثبت حقیقی اسکیلر سے ضرب دے سکتا ہے۔ ڈوپونٹ اور ساہ کے کام سے اس سوال کی وضاحت کی گئی کہ کون سے عناصر قابل حصول ہیں، جنہوں نے گروپ ہومیولوجی پر مشتمل ابیلین گروپوں (ویکٹر خالی جگہوں پر نہیں) کی درج ذیل عین ترتیب کے وجود کو ظاہر کیا: یہاں، اشارے یوکلڈین پولی ہیڈرا ماڈیولو پر آزاد ابیلین گروپ کی نمائندگی کرتے ہیں جو پولی ہیڈرا کے جوڑوں سے اخذ کردہ کچھ تعلقات ہیں جنہیں ایک دوسرے میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ یہ سہ رخی پریزموں کے ذریعہ اس گروپ میں پیدا ہونے والا ذیلی گروپ ہے، اور یہاں حجم کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتا ہے (کیونکہ ہر حقیقی نمبر اس گروپ کے بالکل ایک عنصر کا حجم ہے)۔ پولی ہیڈرا کے گروپ کا نقشہ ڈیہن غیر متغیر ہے۔ یوکلڈین پوائنٹ گردش گروپ ہے، اور گروپ ہومیولوجی ہے۔ سیڈلر کا نظریہ کہ حجم اور دین غیر متغیر یوکلڈین ڈسیکشن کے لیے واحد غیر متغیر ہیں، یکساں طور پر اس بیان کے ذریعے پیش کیا جاتا ہے کہ اس ترتیب میں ظاہر ہونے والا گروپ معمولی گروپ ہے (اشارہ 0 کے ذریعے ترتیب میں کہیں اور پیش کیا گیا ہے)۔ اگر یہ غیر معمولی ہوتا، تو پولی ہیڈرا کے گروپ میں اس کی شبیہہ پولی ہیڈرا کا ایک خاندان دیتی جو ایک ہی حجم کے مکعب سے جدا نہیں ہوتا ہے لیکن جس میں صفر ڈیہن غیر متغیر ہوتا ہے۔ سیڈلر کے نظریہ کے مطابق، اس طرح کا پولی ہیڈرا موجود نہیں ہے۔ عین مطابق ترتیب کی دائیں طرف ظاہر ہونے والا گروپ کیلر تفریق کے گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، اور لمبائی اور زاویوں کے ٹینسر پروڈکٹ سے لے کر کیلر تفریق تک کا نقشہ اس کے ذریعے دیا گیا ہے جہاں کی عالمگیر مشتق ہے۔ یہ گروپ ادراک میں رکاوٹ ہے: اس کے غیر صفر عناصر ان عناصر سے آتے ہیں جن کا ادراک ڈیہن غیر متغیر کے طور پر نہیں کیا جا سکتا۔ ہائپربولک یا کروی جگہ میں، قابل حصول ڈیہن غیر متغیرات لازمی طور پر ویکٹر کی جگہ نہیں بناتے ہیں، کیونکہ اسکیلر ضرب اب ممکن نہیں ہے۔ تاہم، وہ اب بھی ٹینسر پروڈکٹ کا ایک ذیلی گروپ بناتے ہیں جس میں وہ عناصر ہوتے ہیں۔ اسی طرح، ڈوپونٹ اور ساہ عین مطابق ترتیبات کے وجود کو ثابت کرتے ہیں اور یہاں خصوصی لکیری گروپ کی نشاندہی ہوتی ہے، اور یہ موبیئس تبدیلیوں کا گروپ ہے۔ سپر اسکرپٹ مائنس سائن پیچیدہ کنجگیشن سے متاثر ہونے والے ارتقاء کے لیے (−1)-آئجین اسپیس کی نشاندہی کرتا ہے۔ خصوصی یک جہتی گروہ کی نشاندہی کرتا ہے۔ ذیلی گروپ وہ گروپ ہے جو پورے دائرے سے پیدا ہوتا ہے۔ ایک بار پھر، ان ترتیبات میں سب سے دائیں غیر صفر گروپ ڈیہن غیر متغیر کے طور پر کسی قدر کے ادراک میں رکاوٹ ہے۔ ڈیہن غیر متغیر کے اس الجبرائی نقطہ نظر کو اعلی جہتوں تک بڑھایا جا سکتا ہے، جہاں اس کی ایک محرک تشریح ہے جس میں الجبرائی K-تھیوری شامل ہے۔ چار جہتوں میں، پولی ہیڈرا ماڈیولو ڈسیکشنز کا گروپ تین جہتی گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ ہر چار جہتی پولیٹوپ کو تین جہتی پولیٹوپ پر ایک پرنزم میں الگ کیا جا سکتا ہے، اور دو چار جہتی پولیٹوپس کو ایک دوسرے سے الگ کیا جا سکتا ہے جب ان کے حجم اور ڈیہن غیر متغیر برابر ہوں۔ چار سے زیادہ طول و عرض میں، یہ کھلا رہتا ہے کہ آیا ڈسیکشن کا وجود مکمل طور پر حجم اور ڈیہن غیر متغیرات کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے، یا اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ آیا ڈسیکشن موجود ہے یا نہیں، کسی اور معلومات کی ضرورت ہے۔ متعلقہ نتائج ڈیہن غیر متغیر سے بہت ملتا جلتا نقطہ نظر اس بات کا تعین کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا دو مستطیل کثیر الاضلاعات کو صرف محور متوازی کٹوتیوں اور ترجمے (صوابدیدی زاویوں اور گردشوں پر کٹوتیوں کے بجائے) کا استعمال کرتے ہوئے ایک دوسرے میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ اس قسم کے ڈسیکشن کے لیے ایک غیر متغیر ٹینسر پروڈکٹ کا استعمال کرتا ہے جہاں پروڈکٹ میں بائیں اور دائیں اصطلاحات آئتاکار کی اونچائی اور چوڑائی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ کسی بھی کثیر الاضحی کے لیے غیر متغیر کا حساب کثیر الاضحی کو مستطیلوں میں کاٹ کر، ہر مستطیل کی اونچائی اور چوڑائی کے ٹینسر پروڈکٹ کو لے کر، اور نتائج کو جوڑ کر کیا جاتا ہے۔ ڈسیکشن اس صورت میں ممکن ہے جب اور صرف اس صورت میں جب دو کثیر الاضحی ایک ہی غیر متغیر ہوں، جس کا مطلب ہے کہ ان کے رقبے بھی برابر ہوں۔ اس غیر متغیر کو 1903 سے ڈیہن کے ایک اور نتیجہ کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: ایک ہی رقبے کے دو مستطیلوں کو ایک دوسرے میں تب اور تب ہی تقسیم کیا جا سکتا ہے جب ان کے پہلو کا تناسب ایک دوسرے کے عقلی ضرب ہوں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ مربعوں کے اتحاد سے بننے والے پولیمینو کو اس طرح سے صرف اس وقت مربع میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جب مربع نمبر ہو۔ ڈیہن غیر متغیر کے اس ورژن کے لیے، ٹینسر رینک مستطیلوں کی کم از کم تعداد کے برابر ہے جس میں ایک کثیر الاضحی کو الگ کیا جا سکتا ہے۔ لچکدار پولی ہیڈرا پولی ہیڈرا کی ایک کلاس ہے جو مسلسل حرکت سے گزر سکتی ہے جو ان کے چہروں کی شکل کو محفوظ رکھتی ہے۔ کاچی کے رگڈیٹی تھیوریم کے مطابق، وہ غیر کنویکس ہونے چاہئیں، اور یہ معلوم ہے ("بیلوز تھیوریم") کہ پولی ہیڈرون کا حجم اس حرکت کے دوران مستقل رہنا چاہیے۔ اس تھیوریم کے ایک مضبوط ورژن میں کہا گیا ہے کہ اس طرح کے پولی ہیڈرون کا ڈیہن غیر متغیر بھی کسی بھی مسلسل حرکت کے دوران غیر متغیر رہنا چاہیے۔ اس نتیجے کو "مضبوط گھنٹی تھیوریم" کہا جاتا ہے۔ یہ تمام غیر خود کو چھیدنے والے لچکدار پولی ہیڈرا کے لیے ثابت ہوا ہے۔ تاہم، سیلف انٹرسیکشن کے ساتھ زیادہ پیچیدہ لچکدار پولی ہیڈرا کے لیے ڈیہن غیر متغیر مسلسل تبدیل ہو سکتا ہے جیسا کہ پولی ہیڈرون فلیکس ہوتا ہے۔ ہموار سطح کی کل اوسط منحنیت کو ڈیہن غیر متغیر سے ملتی جلتی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے پولی ہیڈرل سطحوں پر عام کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ کنارے کی لمبائی کے کناروں پر جمع کو بیرونی ڈائیڈرل زاویوں سے ضرب دی جاتی ہے۔ یہ کسی بھی لچکدار پولی ہیڈرون کے لیے مستقل رہنے کے لیے بھی ثابت ہوا ہے۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط نمبر فائل جیومیٹرک ڈسیکشن پولی ہیڈرا پر ڈیہن غیر متغیرات کے بارے میں ویڈیو