Hyperfunction
ریاضی میں، ہائپر فنکشن افعال کی عمومی کاری ہیں، بطور 'جمپ' ایک حد پر ایک ہولومورفک فنکشن سے دوسرے میں، اور غیر رسمی طور پر لامحدود ترتیب کی تقسیم کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ ہائپر فنکشنز کو میکیو ساتو نے 1958 میں جاپانی زبان میں متعارف کرایا تھا، (1959، 1960 انگریزی میں)، جو لارنٹ شوارٹز، گروتھینڈیک اور دیگر کے پہلے کام پر مبنی تھا۔ فارمولیشن حقیقی لائن پر ایک ہائپر فنکشن کو اوپری نصف سطح پر بیان کردہ ایک ہولومورفک فنکشن اور نچلے نصف سطح پر بیان کردہ دوسرے کے درمیان 'فرق' کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، ایک ہائپر فنکشن ایک جوڑے (f، g) کے ذریعہ متعین کیا جاتا ہے، جہاں f اوپری نصف سطح پر ایک ہولومورفک فنکشن ہے اور g نچلے نصف سطح پر ایک ہولومورفک فنکشن ہے۔ غیر رسمی طور پر، ہائپر فنکشن وہی ہے جو فرق حقیقی لائن پر ہی ہوگا۔ یہ فرق f اور g دونوں میں ایک ہی ہولومورفک فنکشن کو شامل کرنے سے متاثر نہیں ہوتا ہے، لہذا اگر h پورے پیچیدہ سطح پر ہولومورفک فنکشن ہے، تو ہائپر فنکشنز (f، g) اور (f + h، g + h) کو مساوی قرار دیا جاتا ہے۔ ایک جہت میں تعریف محرک کو شیف کوہمولوجی کے خیالات کا استعمال کرتے ہوئے ٹھوس طور پر نافذ کیا جا سکتا ہے۔ اصلی لائن پر ہائپر فنکشنز کو پہلے مقامی کوہمولوجی گروپ کے طور پر بیان کریں: ٹھوس طور پر، بالترتیب اوپری نصف طیارہ اور نچلے نصف طیارہ ہونے دیں۔ چونکہ کسی بھی شیف کا زیروتھ کوہومولوجی گروپ محض اس شیف کے عالمی حصے ہوتے ہیں، اس لیے ہم دیکھتے ہیں کہ ہائپر فنکشن ہولومورفک افعال کا ایک جوڑا ہے جو اوپری اور نچلے پیچیدہ ہافپلین ماڈیولو پورے ہولومورفک افعال پر ایک ایک ہوتا ہے۔ زیادہ عام طور پر کوئی بھی کسی بھی کھلے سیٹ کے لیے حصص کے طور پر تعریف کر سکتا ہے جہاں کوئی کھلا سیٹ ہے۔ کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ تعریف ہائپر فنکشنز کو ہولومورفک افعال کی "باؤنڈری ویلیوز" کے طور پر سوچنے کی ایک اور وجہ دینے کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ مثال کے طور پر اگر f پورے پیچیدہ سطح پر کوئی ہولومورفک فنکشن ہے، تو حقیقی محور پر f کی پابندی ایک ہائپر فنکشن ہے، جس کی نمائندگی (f, 0) یا (0, −f) سے ہوتی ہے۔ ہیویسائڈ اسٹیپ فنکشن کی نمائندگی اس طرح کی جا سکتی ہے کہ اس کے پیچیدہ لوگارتھم کی اصل قیمت کہاں ہے۔ ڈیراک ڈیلٹا "فنکشن" کی نمائندگی اس کے ذریعے کی جاتی ہے۔ یہ واقعی کاچی کے انٹیگرل فارمولے کا دوبارہ بیان ہے۔ اس کی تصدیق کے لیے کوئی حقیقی لکیر کے بالکل نیچے f کے انضمام کا حساب لگا سکتا ہے، اور حقیقی لکیر کے بالکل اوپر g کے انضمام کو گھٹا سکتا ہے-دونوں بائیں سے دائیں۔ نوٹ کریں کہ ہائپر فنکشن غیر معمولی ہو سکتا ہے، چاہے اجزاء ایک ہی فنکشن کے تجزیاتی تسلسل ہوں۔ اس کے علاوہ ہیویسائیڈ فنکشن میں فرق کرکے اس کی آسانی سے جانچ کی جا سکتی ہے۔ اگر g ایک مسلسل فنکشن ہے (یا زیادہ عام طور پر ایک تقسیم) حقیقی لائن پر ایک باؤنڈڈ وقفہ I میں موجود سپورٹ کے ساتھ، تو g ہائپر فنکشن (f، −f) سے مطابقت رکھتا ہے، جہاں f ایک ہولومورفک فنکشن ہے جس کی تکمیل پر I کی طرف سے تعریف کی گئی ہے۔ یہ فنکشن f نقطہ x پر حقیقی محور کو عبور کرتے وقت قیمت میں g (x) سے چھلانگ لگاتا ہے۔ f کا فارمولا پچھلی مثال کی پیروی کرتا ہے جس میں g کو ڈیراک ڈیلٹا فنکشن کے ساتھ خود کے ارتقاء کے طور پر لکھا گیا ہے۔ اتحاد کی تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے کوئی بھی مسلسل فنکشن (تقسیم) کو کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ مقامی طور پر محدود افعال (تقسیم) کے طور پر لکھ سکتا ہے۔ اگر f کوئی بھی فنکشن ہے جو ہر جگہ ہولومورفک ہے سوائے 0 پر ایک لازمی انفرادیت کے (مثال کے طور پر، e1/z)، تو سپورٹ 0 کے ساتھ ایک ہائپر فنکشن ہے جو تقسیم نہیں ہے۔ اگر f میں 0 پر محدود ترتیب کا قطب ہے تو یہ ایک تقسیم ہے، لہذا جب f میں ایک لازمی انفرادیت ہوتی ہے تو 0 پر "لامحدود ترتیب کی تقسیم" کی طرح لگتا ہے۔ (نوٹ کریں کہ تقسیم ہمیشہ کسی بھی مقام پر محدود ترتیب رکھتی ہے۔) ہائپر فنکشنز پر آپریشنز کوئی بھی اوپن سب سیٹ ہونے دیں۔ تعریف کے مطابق ایک ویکٹر اسپیس ایسی ہے کہ پیچیدہ نمبروں کے ساتھ اضافہ اور ضرب اچھی طرح سے متعین ہیں۔ واضح طور پر: واضح پابندی کے نقشے ایک ڈھیر میں بدل جاتے ہیں (جو حقیقت میں دھندلا ہوتا ہے)۔ حقیقی تجزیاتی افعال اور تفریق کے ساتھ ضرب کی اچھی طرح سے وضاحت کی گئی ہے: ان تعریفوں کے ساتھ ڈی-ماڈیول بن جاتا ہے اور سرایت ڈی-ماڈیولز کی مورفزم ہے۔ اگر دو ہولومورفک پوائنٹس ہیں، تو انضمام اچھی طرح سے متعین ہے: جہاں صوابدیدی منحنی خطوط ہیں ان منحنی خطوط کے انتخاب سے آزاد ہیں کیونکہ اوپری اور نچلے نصف طیارہ آسانی سے جڑے ہوئے ہیں۔ آئیے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ ہائپر فنکشن کی جگہ بنیں۔ دو لکیری شکل کے ذریعے ہر ہائپر فنکشن سے کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ ایک مسلسل لکیری فنکشن منسلک ہوتا ہے۔ یہ دوہری جگہ کی شناخت کو جنم دیتا ہے، جس میں ایک خاص معاملہ پر غور کرنے کے قابل ہے کہ کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ مسلسل افعال یا تقسیم کا معاملہ ہے: اگر کوئی (یا) کو مندرجہ بالا سرایت کے ذریعے کے ذیلی سیٹ کے طور پر سمجھتا ہے، تو یہ بالکل روایتی لیبسیگ انٹیگرل کا حساب لگاتا ہے۔ مزید برآں: اگر کمپیکٹ سپورٹ کے ساتھ تقسیم ہے، تو یہ ایک حقیقی تجزیاتی فنکشن ہے، اور پھر اس طرح انضمام کا یہ تصور رسمی تاثرات کو عین معنی دیتا ہے جیسے کہ معمول کے معنوں میں غیر واضح ہیں۔ مزید برآں: کیونکہ حقیقی تجزیاتی افعال گھنے ہوتے ہیں اس کی ذیلی جگہ ہے۔ یہ اسی سرایت کی ایک متبادل وضاحت ہے۔ اگر کے کھلے سیٹوں کے درمیان ایک حقیقی تجزیاتی نقشہ ہے، تو کے ساتھ کمپوزیشن ایک اچھی طرح سے متعین آپریٹر ہے: الجبرائی تجزیہ عمومی فنکشن ڈسٹری بیوشن (ریاضی) مائکرو لوکل تجزیہ فرضی تفریقی آپریٹر شیف کوہمولوجی حوالہ جات بھی دیکھیں۔ ۔ ۔ ۔ - اسے ایس کے کے کہا جاتا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ بیرونی روابط الجبرائی تجزیہ پیچیدہ تجزیہ عمومی افعال شیف تھیوری