Triangulated category
ریاضی میں، مثلث زمرہ ایک زمرہ ہے جس میں "ترجمہ فنکٹر" کی اضافی ساخت اور "عین مثلث" کی کلاس ہوتی ہے۔ نمایاں مثالیں ابیلین زمرے سے ماخوذ زمرہ کے ساتھ ساتھ مستحکم ہوموٹوپی زمرہ بھی ہیں۔ عین مطابق مثلث ابیلین زمرے میں مختصر عین مطابق ترتیبات کے ساتھ ساتھ ٹوپولوجی میں فائبر کے ترتیبات اور کوفائبر کے ترتیبات کو عام کرتے ہیں۔ زیادہ تر ہومیولوجیکل الجبرا کی وضاحت اور توسیع مثلث والے زمروں کی زبان کے ذریعے کی جاتی ہے، جس کی ایک اہم مثال شیف کوہمولوجی کا نظریہ ہے۔ 1960 کی دہائی میں، مثلث والے زمروں کا ایک عام استعمال خلا X پر شییوز کی خصوصیات کو شییوز کے کمپلیکس تک بڑھانا تھا، جسے X پر شییوز کے مشتق زمرے کی اشیاء کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ حال ہی میں، مثلث والے زمرے اپنے طور پر دلچسپی کا باعث بن چکے ہیں۔ مختلف ماخذ کے مثلث والے زمروں کے درمیان بہت سے مساوات ثابت یا قیاس کیے گئے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہومیولوجیکل آئینے کی ہم آہنگی کا قیاس پیش گوئی کرتا ہے کہ کالابی-یو کئی گنا کا ماخوذ زمرہ اس کے "آئینے" سمپلیکٹک کئی گنا کے فوکایا زمرے کے برابر ہے۔ شفٹ آپریٹر مثلث زمرے کا ایک درجہ بند ینالاگ ہے۔ تاریخ کے مثلث والے زمروں کو ڈایٹر پپی (1962) اور جین لوئس ورڈیئر (1963) نے آزادانہ طور پر متعارف کرایا تھا، حالانکہ پپی کے محوریات کم مکمل تھے (آکٹاڈرل محوری (ٹی آر 4) کا فقدان)۔ کٹھ پتلی مستحکم ہوموٹوپی زمرے سے متاثر تھی۔ ورڈیئر کی کلیدی مثال ایک ابیلین زمرے کا ماخوذ زمرہ تھا، جس کی انہوں نے وضاحت بھی کی، جس سے الیگزینڈر گروتھینڈیک کے خیالات کو فروغ ملا۔ اخذ شدہ زمروں کی ابتدائی ایپلی کیشنز میں مربوط دوہری اور ورڈیئر دوہری شامل ہیں، جو پوائنکیری دوہری کو واحد خالی جگہوں تک پھیلاتی ہیں۔ تعریف زمرہ D پر شفٹ یا ترجمہ فنکٹر D سے D تک ایک اضافی آٹومورفزم (یا کچھ مصنفین کے لیے، ایک آٹو مساوات) ہے۔ انٹیجرز n کے لیے لکھنا عام ہے۔ ایک مثلث (X، Y، Z، u، v، w) تین اشیاء X، Y، اور Z پر مشتمل ہوتا ہے، جس کے ساتھ مورفزم، اور۔ مثلث عام طور پر غیر واضح شکل میں لکھے جاتے ہیں: یا مختصر طور پر۔ مثلث زمرہ ایک اضافی زمرہ D ہے جس میں ترجمہ فنکٹر اور مثلثوں کی ایک کلاس ہوتی ہے، جسے عین مثلث (یا ممتاز مثلث) کہا جاتا ہے، جو درج ذیل خصوصیات (TR 1)، (TR 2)، (TR 3) اور (TR 4) کو مطمئن کرتا ہے۔ (یہ محوریات مکمل طور پر آزاد نہیں ہیں، کیونکہ (ٹی آر 3) دوسروں سے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔) TR1 ہر شے X کے لیے، مندرجہ ذیل مثلث بالکل درست ہے: ہر مورفزم کے لیے، ایک شے Z ہوتی ہے (جسے شنک یا مورفزم u کا کوفائبر کہا جاتا ہے) جو ایک عین مثلث میں فٹ ہوتی ہے۔ "شنک" نام زنجیر کمپلیکس کے نقشے کے شنک سے آتا ہے، جو بدلے میں ٹوپولوجی میں نقشہ سازی شنک سے متاثر تھا۔ یہ دوسرے محوریوں سے ملتا ہے کہ ایک عین مثلث (اور خاص طور پر آبجیکٹ Z) کا تعین آئسومورفزم تک مورفزم کے ذریعے کیا جاتا ہے، حالانکہ ہمیشہ ایک منفرد آئسومورفزم تک نہیں ہوتا ہے۔ ایک عین مثلث کے لیے ہر مثلث آئسومورفک درست ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر ایک عین مثلث ہے، اور،، اور آئسومورفزم ہیں، تو یہ بھی ایک عین مثلث ہے۔ TR2 اگر ایک عین مثلث ہے، تو پھر دو گھمایا ہوا مثلث بھی ہیں اور آخری مثلث کے پیش نظر، آبجیکٹ Z [−1] کو مورفزم کا فائبر کہا جاتا ہے۔ دوسرے گھمایا ہوا مثلث کی ایک زیادہ پیچیدہ شکل ہوتی ہے جب اور وہ آئسومورفزم نہیں ہوتے ہیں بلکہ صرف زمروں کے باہمی الٹا مساوات ہوتے ہیں، کیونکہ یہ سے ایک مورفزم ہے، اور کسی کے لیے مورفزم حاصل کرنے کے لیے قدرتی تبدیلی کے ساتھ تشکیل کرنا ضروری ہے۔ اس سے ممکنہ محوریات کے بارے میں پیچیدہ سوالات پیدا ہوتے ہیں جنہیں کسی کو قدرتی تبدیلیوں پر اور الٹا مساوات کے جوڑے میں مسلط کرنا پڑتا ہے۔ اس مسئلے کی وجہ سے، یہ مفروضہ کہ اور باہمی طور پر الٹا آئسومورفزم ہیں، مثلث والے زمرے کی تعریف میں معمول کا انتخاب ہے۔ ٹی آر 3 دو عین مثلثوں اور ہر مثلث میں پہلے مورفزم کے درمیان ایک نقشے کو دیکھتے ہوئے، دونوں مثلثوں میں سے ہر ایک میں تیسری اشیاء کے درمیان ایک مورفزم موجود ہے جو ہر چیز کو نقل و حرکت کرتا ہے۔ یعنی، مندرجہ ذیل خاکہ میں (جہاں دو قطاریں عین مثلث ہیں اور f اور g اس طرح کے مورفزم ہیں کہ gu = u′f)، ایک نقشہ h موجود ہے (ضروری نہیں کہ منفرد ہو) جو تمام مربعوں کو منتقل کرتا ہے: TR 4: آکٹاڈرل محور آئیے مورفزم بنیں، اور تشکیل شدہ مورفزم پر غور کریں۔ ٹی آر 1 کے مطابق ان تینوں مورفزموں میں سے ہر ایک کے لیے درست مثلث بنائیں۔ آکٹاڈرل محور (تقریبا) بیان کرتا ہے کہ تین نقشہ سازی شنک کو ایک عین مثلث کے عمودی حصوں میں بنایا جا سکتا ہے تاکہ "سب کچھ حرکت کرے"۔ مزید رسمی طور پر، عین مثلث کو دیکھتے ہوئے، ایک عین مثلث موجود ہے کہ اس محور کو "آکٹاڈرل محور" کہا جاتا ہے کیونکہ تمام اشیاء اور مورفزم کو کھینچنے سے ایک آکٹاہیڈرون کا کنکال ملتا ہے، جس کے چار چہرے عین مثلث ہوتے ہیں۔ یہاں کی پیشکش ورڈیئر کی اپنی ہے، اور اس میں آکٹاڈرل خاکہ کے ساتھ مکمل دکھائی دیتی ہے۔ مندرجہ ذیل خاکہ میں، u اور v دیئے گئے مورفزم ہیں، اور ابتدائی حروف مختلف نقشوں کے شنک ہیں (اس طرح منتخب کیے گئے ہیں کہ ہر عین مثلث میں ایک X، ایک Y، اور ایک Z حرف ہو)۔ مختلف تیروں کو [1] کے ساتھ نشان زد کیا گیا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ وہ "ڈگری 1" کے ہیں۔ Z′ سے X تک کا نقشہ درحقیقت Z′ سے X [1] تک ہے۔ آکٹاڈرل محور پھر نقشوں f اور g کے وجود پر زور دیتا ہے جو ایک عین مثلث بناتا ہے، اور اس طرح کہ f اور g دوسرے چہروں میں مواصلاتی مثلث تشکیل دیتے ہیں جو ان پر مشتمل ہوتے ہیں: دو مختلف تصاویر ظاہر ہوتی ہیں (پہلی بھی پیش کرتی ہیں)۔ پہلا اوپری آکٹھیڈرون کے اوپری اور نچلے اہرام کو پیش کرتا ہے اور اس بات پر زور دیتا ہے کہ نچلے اہرام کو دیکھتے ہوئے، کوئی بھی اوپری اہرام کو بھر سکتا ہے تاکہ Y سے Y′ اور Y′ سے Y′ تک کے دو راستے برابر ہوں (یہ شرط ہارٹشورن کی پیشکش سے، شاید غلطی سے چھوڑی گئی ہے)۔ + کے نشان والے مثلث متغیر ہوتے ہیں اور جن پر "d" کا نشان ہوتا ہے وہ درست ہوتے ہیں: دوسرا خاکہ ایک زیادہ اختراعی پیشکش ہے۔ درست مثلثوں کو لکیری طور پر پیش کیا جاتا ہے، اور خاکہ اس حقیقت پر زور دیتا ہے کہ "آکٹا ہیڈرون" میں چار مثلث مثلثوں کے نقشوں کے ایک سلسلے سے جڑے ہوئے ہیں، جہاں تین مثلث (یعنی، جو X سے Y تک، Y سے Z تک، اور X سے Z تک مورفزم کو مکمل کرتے ہیں) دیے جاتے ہیں اور چوتھے کے وجود کا دعوی کیا جاتا ہے۔ ایک پہلے دو کے درمیان X کے ارد گرد "پیوٹنگ" کر کے، تیسرے میں Z کے ارد گرد پیوٹنگ کر کے، اور چوتھے میں X′ کے ارد گرد پیوٹنگ کر کے گزرتا ہے۔ اس خاکہ میں موجود تمام باڑے متغیر ہیں (مثلث اور مربع دونوں) لیکن دوسرا متغیر مربع، جو Y′ سے Y تک دو راستوں کی مساوات کا اظہار کرتا ہے، واضح نہیں ہے۔ "کنارے سے دور" کی طرف اشارہ کرنے والے تمام تیر ڈگری 1 ہیں: یہ آخری خاکہ آکٹاڈرل محور کی ایک مفید بدیہی تشریح کی بھی وضاحت کرتا ہے۔ مثلث والے زمروں میں، مثلث عین ترتیب کا کردار ادا کرتے ہیں، اور اس لیے ان اشیاء کو "کوٹینٹس" کے طور پر سوچنا تجویز ہے، اور۔ ان اصطلاحات میں، آخری مثلث کا وجود ایک طرف (مثلث کو دیکھتے ہوئے)، اور (مثلث کو دیکھتے ہوئے) ظاہر ہوتا ہے۔ ان کو ایک ساتھ رکھتے ہوئے، آکٹاڈرل محور "تھرڈ آئسومورفزم تھیوریم" پر زور دیتا ہے: اگر مثلث زمرہ ایک ابیلین زمرہ A کا ماخوذ زمرہ D (A) ہے، اور X، Y، Z A کی اشیاء ہیں جنہیں 0 ڈگری میں مرتکز کمپلیکس کے طور پر دیکھا جاتا ہے، اور نقشے اور A میں مونومورفزم ہیں، تو D (A) میں ان مورفزموں کے شنک دراصل A میں اوپر کے کوٹینٹس کے لیے آئسومورفک ہیں۔ آخر میں، 4 قطاریں اور 4 کالموں کے ساتھ دو جہتی مواصلاتی خاکہ کا استعمال کرتے ہوئے آکٹاڈرل محور کی تشکیل کرتا ہے۔ آکٹاڈرل محوری کی عمومی شکلیں بھی دیتے ہیں۔ خصوصیات یہاں مثلث والے زمرہ D کے محوریات کے کچھ آسان نتائج ہیں۔ D میں ایک عین مثلث کو دیکھتے ہوئے، کسی بھی دو یکے بعد دیگرے مورفزم کی ساخت صفر ہے۔ یعنی، وو = 0، ڈبلیو وی = 0، یو [1] ڈبلیو = 0، اور اسی طرح۔ مورفزم کو دیکھتے ہوئے، TR 1 ایک عین مثلث کو مکمل کرنے والے شنک Z کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔ یو کے کوئی بھی دو شنک آئسومورفک ہوتے ہیں، لیکن آئسومورفزم کا تعین ہمیشہ منفرد طور پر نہیں ہوتا ہے۔ D میں ہر مونومورفزم ایک براہ راست خلاصہ کی شمولیت ہے، اور ہر ایپیمورفزم ایک پروجیکشن ہے۔ ایک متعلقہ نقطہ یہ ہے کہ کسی کو مثلث زمرے میں مورفزم کے لیے "انجیکشن" یا "سرجیکٹیویٹی" کے بارے میں بات نہیں کرنی چاہیے۔ ہر مورفزم جو آئسومورفزم نہیں ہے اس میں ایک نان زیرو "کوکنل" Z ہوتا ہے (جس کا مطلب ہے کہ ایک عین مثلث موجود ہے) اور ایک نان زیرو "کرنل" بھی ہوتا ہے، یعنی Z [−1]۔ شنک کی تعمیر کی غیر فعالیت مثلث والے زمروں کے ساتھ تکنیکی پیچیدگیوں میں سے ایک حقیقت یہ ہے کہ شنک کی تعمیر فعال نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، ایک انگوٹی اور ممتاز مثلث کے جزوی نقشے کو دیکھتے ہوئے، دو نقشے ہیں جو اس خاکہ کو مکمل کرتے ہیں۔ یہ شناخت کا نقشہ ہو سکتا ہے، یا صفر کا نقشہ ہو سکتا ہے، جن میں سے دونوں متغیر ہیں۔ حقیقت یہ ہے کہ دو نقشے موجود ہیں اس حقیقت کا سایہ ہے کہ مثلث زمرہ ایک ایسا آلہ ہے جو ہوموٹوپی حدود اور کولیمیٹ کو انکوڈ کرتا ہے۔ اس مسئلے کا ایک حل گروتھینڈیک نے تجویز کیا تھا جہاں نہ صرف ماخوذ زمرے پر غور کیا جاتا ہے، بلکہ اس زمرے کے خاکے کے ماخوذ زمرے پر بھی غور کیا جاتا ہے۔ اس طرح کی چیز کو ڈیریویٹر کہا جاتا ہے۔ مثالیں کیا اس سے بہتر محوریات ہیں؟ کچھ ماہرین شک کرتے ہیں پی جی 190 (مثال کے طور پر دیکھیں) کہ مثلث والے زمرے واقعی "درست" تصور نہیں ہیں۔ بنیادی وجہ یہ ہے کہ مورفزم کا شنک صرف غیر منفرد آئسومورفزم تک منفرد ہوتا ہے۔ خاص طور پر، مورفزم کا شنک عام طور پر فنکٹوری طور پر مورفزم پر منحصر نہیں ہوتا ہے (مثال کے طور پر محور (ٹی آر 3) میں غیر انفرادیت کو نوٹ کریں)۔ یہ غیر انفرادیت غلطیوں کا ایک ممکنہ ذریعہ ہے۔ تاہم، محوریات عملی طور پر مناسب طریقے سے کام کرتے ہیں، اور ان کے مطالعہ کے لیے بہت زیادہ ادب وقف ہے۔ مشتقات ایک متبادل تجویز مشتقات کا نظریہ ہے جو 80 ایس پی جی 191 میں گروتھینڈیک کے ذریعہ پرسوئنگ اسٹیکس میں تجویز کیا گیا تھا، اور بعد میں 90 کی دہائی میں اس موضوع پر اپنے نسخے میں تیار کیا گیا۔ بنیادی طور پر، یہ ہوموٹوپی کیٹیگریز کا ایک نظام ہے جو ڈائیگرام کیٹیگریز کے ذریعے کمزور مساوات والے زمرے کے لیے دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد ان زمروں کا تعلق خاکے کے مورفزم سے ہوتا ہے۔ اس رسمی نظام کو ہوموٹوپی کی حدود اور کولیمٹس کو بازیافت کرنے کے قابل ہونے کا فائدہ ہے، جو شنک کی تعمیر کی جگہ لے لیتا ہے۔ مستحکم-زمرہ جات ایک اور متبادل تعمیر شدہ مستحکم-زمرہ جات کا نظریہ ہے۔ مستحکم ν-زمرہ کا ہوموٹوپی زمرہ کینونکل طور پر مثلث ہے، اور اس کے علاوہ نقشہ سازی کے شنک بنیادی طور پر منفرد ہو جاتے ہیں (عین مطابق ہوموٹوپیکل معنوں میں)۔ مزید برآں، ایک مستحکم-زمرہ قدرتی طور پر اپنے ہوموٹوپی زمرے کے لیے مطابقت کے پورے درجہ بندی کو انکوڈ کرتا ہے، جس کے نچلے حصے میں آکٹاڈرل محور ہوتا ہے۔ اس طرح، مستحکم ν-زمرہ کا ڈیٹا دینا اس کے ہوموٹوپی زمرے کے مثلث کا ڈیٹا دینے سے زیادہ سختی سے مضبوط ہے۔ عملی طور پر پیدا ہونے والے تقریبا تمام مثلث والے زمرے مستحکم ν-زمروں سے آتے ہیں۔ مثلث والے زمروں کی اسی طرح کی (لیکن زیادہ خاص) افزودگی ڈی جی زمرہ کا تصور ہے۔ کچھ طریقوں سے، مستحکم ν-زمرہ جات یا ڈی جی-زمرہ جات مثلث والے زمرہ جات سے بہتر کام کرتے ہیں۔ ایک مثال مثلث والے زمروں کے درمیان ایک عین مطابق فنکٹر کا تصور ہے، جس پر ذیل میں بحث کی گئی ہے۔ فیلڈ k پر ہموار پروجیکٹو قسم X کے لیے، مربوط شیوز کا باؤنڈڈ ڈراویڈ زمرہ قدرتی طریقے سے ڈی جی زمرہ سے آتا ہے۔ ایکس اور وائی اقسام کے لیے، ایکس کے ڈی جی زمرے سے لے کر وائی تک کا ہر فنکٹر فورئیر-مکائی ٹرانسفارم کے ذریعے ڈھالوں کے ایک کمپلیکس سے آتا ہے۔ اس کے برعکس، ایک عین مطابق فنکٹر کی ایک مثال ہے جس سے وہ شیوز کے کمپلیکس سے نہیں آتا ہے۔ اس مثال کے پیش نظر، مثلث والے زمروں کے درمیان مورفزم کا "صحیح" تصور ایسا لگتا ہے جو بنیادی ڈی جی-زمرہ جات (یا مستحکم φ-زمرہ جات) کے مورفزم سے آتا ہے۔ مثلث والے زمروں پر مستحکم φ-زمرہ جات یا dg-زمرہ جات کا ایک اور فائدہ الجبرائی K-تھیوری میں ظاہر ہوتا ہے۔ کوئی بھی مستحکم φ-زمرہ یا dg-زمرہ C کے الجبرائی K-نظریہ کی وضاحت کر سکتا ہے، جس سے انٹیجرز i کے لیے ابیلین گروپوں کی ترتیب ملتی ہے۔ گروپ میں سی سے وابستہ مثلث زمرے کے لحاظ سے ایک سادہ وضاحت ہے۔ لیکن ایک مثال سے پتہ چلتا ہے کہ ڈی جی زمرے کے اعلی کے گروپوں کا تعین ہمیشہ متعلقہ مثلث زمرے سے نہیں ہوتا ہے۔ اس طرح ایک مثلث والے زمرے میں ایک اچھی طرح سے متعین گروپ ہوتا ہے، لیکن عام طور پر اعلی K-گروپ نہیں ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، مثلث کیٹیگریز کا نظریہ مستحکم ν-کیٹیگریز یا ڈی جی-کیٹیگریز کے نظریہ سے زیادہ آسان ہے، اور بہت سی ایپلی کیشنز میں مثلث کی ساخت کافی ہے۔ ایک مثال بلوچ-کاٹو قیاس کا ثبوت ہے، جہاں بہت سے حسابات مثلث والے زمروں کی سطح پر کیے گئے تھے، اور φ-زمرہ جات یا dg-زمرہ جات کی اضافی ساخت کی ضرورت نہیں تھی۔ مثلث والے زمروں میں کوہمولوجی مثلث والے زمرے کوہمولوجی کے تصور کو تسلیم کرتے ہیں، اور ہر مثلث والے زمرے میں کوہمولوجیکل فنکٹرز کی ایک بڑی فراہمی ہوتی ہے۔ مثلث زمرے D سے ابیلین زمرے A تک کا ایک کوہمولوجیکل فنکٹر F ایک ایسا فنکٹر ہے کہ ہر عین مثلث کے لیے A میں ترتیب درست ہے۔ چونکہ ایک عین مطابق مثلث دونوں سمتوں میں عین مثلث کی لامحدود ترتیب کا تعین کرتا ہے، اس لیے ایک کوہمولوجیکل فنکٹر F دراصل ابیلین زمرہ A میں ایک طویل عین مطابق ترتیب دیتا ہے: ایک اہم مثال یہ ہے کہ: مثلث زمرہ D میں ہر شے B کے لیے، فنکٹر اور کوہمولوجیکل ہوتے ہیں، جن کی اقدار ابیلین گروپوں کے زمرے میں ہوتی ہیں۔ (عین مطابق ہونے کے لیے، مؤخر الذکر ایک متضاد فنکٹر ہے، جسے D کے مخالف زمرے پر ایک فنکٹر سمجھا جا سکتا ہے۔) یعنی، ایک عین مثلث ابیلین گروپوں کے دو طویل عین ترتیبات کا تعین کرتا ہے: اور مخصوص مثلث والے زمروں کے لیے، یہ عین ترتیبات شیف کوہمولوجی، گروپ کوہمولوجی، اور ریاضی کے دیگر شعبوں میں بہت سے اہم عین ترتیبات حاصل کرتے ہیں۔ ایک ابیلین زمرے میں ایکسٹ فنکٹر کو عام کرتے ہوئے، انٹیجرز i کے لیے نوٹیشن بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس اشارے میں، اوپر کی پہلی درست ترتیب لکھی جائے گی: ایک ابیلین زمرہ A کے لیے، اخذ شدہ زمرہ D (A) پر ایک کوہمولوجیکل فنکٹر کی ایک اور بنیادی مثال A میں موجود شے کو ایک پیچیدہ X بھیجتی ہے۔ یعنی، D (A) میں ایک عین مثلث A میں ایک طویل عین ترتیب کا تعین کرتا ہے: اس کا استعمال کرتے ہوئے۔ ایک عین مطابق فنکٹر (جسے مثلث فنکٹر بھی کہا جاتا ہے) مثلث زمرہ D سے مثلث زمرہ E تک ایک اضافی فنکٹر ہے جو، ڈھیلے الفاظ میں، ترجمہ کے ساتھ سفر کرتا ہے اور عین مثلث کو عین مثلث پر بھیجتا ہے۔ مزید تفصیل سے، ایک عین مطابق فنکٹر ایک قدرتی آئسومورفزم کے ساتھ آتا ہے (جہاں پہلا D کے ٹرانسلیشن فنکٹر کی نشاندہی کرتا ہے اور دوسرا E کے ٹرانسلیشن فنکٹر کی نشاندہی کرتا ہے)، اس طرح کہ جب بھی D میں ایک عین مثلث ہوتا ہے، تو E میں ایک عین مثلث ہوتا ہے۔ مثلث والے زمروں کی مساوات ایک عین مطابق فنکٹر ہے جو زمروں کی مساوات بھی ہے۔ اس صورت میں، ایک عین مطابق فنکٹر ایسا ہوتا ہے کہ ایف جی اور جی ایف قدرتی طور پر متعلقہ شناختی فنکٹرز کے لیے آئسومورفک ہوتے ہیں۔ کمپیکٹ طور پر تیار کردہ مثلث والے زمرے D کو ایک مثلث والا زمرہ ہونے دیں تاکہ ایک صوابدیدی سیٹ (ضروری نہیں کہ محدود) کے ذریعہ انڈیکس شدہ براہ راست رقم D میں موجود ہو۔ D میں ایک آبجیکٹ X کو کمپیکٹ کہا جاتا ہے اگر فنکٹر براہ راست رقم کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ واضح طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ D میں موجود اشیاء کے ہر خاندان کے لیے جو ایک سیٹ S کے ذریعے انڈیکس کیا گیا ہے، ابیلین گروپوں کی قدرتی ہومومورفزم ایک آئسومورفزم ہے۔ یہ زمرہ نظریہ میں ایک کمپیکٹ آبجیکٹ کے عمومی تصور سے مختلف ہے، جس میں صرف شریک پروڈکٹس کے بجائے تمام کولیمیٹس شامل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مستحکم ہوموٹوپی زمرے میں ایک کمپیکٹ آبجیکٹ ایک محدود سپیکٹرم ہے۔ رنگ کے ماخوذ زمرے میں یا کسی اسکیم کے نیم مربوط ماخوذ زمرے میں ایک کمپیکٹ آبجیکٹ ایک کامل کمپلیکس ہے۔ کسی فیلڈ پر ہموار پروجیکٹو قسم X کے معاملے میں، کامل کمپلیکس کے زمرے پرف (X) کو مربوط شیوز کے باؤنڈڈ ڈراویڈ زمرے کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک مثلث زمرہ D کو کمپیکٹ طور پر تیار کیا جاتا ہے اگر D کے من مانی (ضروری نہیں کہ محدود) براہ راست مجموعے ہوں۔ D میں کمپیکٹ اشیاء کا ایک سیٹ S ہے کہ D میں ہر غیر صفر آبجیکٹ X کے لیے، S میں ایک آبجیکٹ Y ہوتا ہے جس میں کچھ انٹیجر n کے لیے غیر صفر نقشہ ہوتا ہے۔ بہت سے قدرتی طور پر پائے جانے والے "بڑے" مثلث زمرے کمپیکٹ طور پر تیار کیے جاتے ہیں: رنگ R پر ماڈیولز کا مشتق زمرہ کمپیکٹ طور پر ایک آبجیکٹ، R-ماڈیول R کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ ایک نیم کمپیکٹ نیم علیحدہ اسکیم کا نیم مربوط مشتق زمرہ کمپیکٹ طور پر ایک آبجیکٹ کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ مستحکم ہوموٹوپی زمرہ ایک شے، دائرے کے سپیکٹرم کے ذریعہ کمپیکٹ طور پر تیار کیا جاتا ہے۔ ایمنون نیمن نے براؤن ریپریزنٹیبلٹی تھیوریم کو کسی بھی کمپیکٹ طور پر تیار کردہ مثلث زمرے میں عام کیا، جیسا کہ مندرجہ ذیل ہے۔ ڈی کو ایک کمپیکٹ طور پر تیار کردہ مثلث والا زمرہ ہونے دیں، جو ایک کوہمولوجیکل فنکٹر ہے جو مشترکہ مصنوعات کو مصنوعات تک لے جاتا ہے۔ پھر H قابل نمائندگی ہے۔ (یعنی، D کا ایک آبجیکٹ W ایسا ہے کہ تمام X کے لیے۔) ایک اور ورژن کے لیے، فرض کریں کہ D ایک کمپیکٹ طور پر تیار کردہ مثلث زمرہ ہے، T کوئی مثلث زمرہ ہے۔ اگر کوئی عین مطابق فنکٹر شریک پروڈکٹس کو شریک پروڈکٹس بھیجتا ہے، تو F کا صحیح ملحقہ ہوتا ہے۔ براؤن ریپریزنٹیبلٹی تھیوریم کو مثلث والے زمروں کے درمیان مختلف فنکٹروں کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، نیمن نے اس کا استعمال اسکیموں کے مورفزم f کے لیے غیر معمولی الٹا امیج فنکٹر کی تعمیر کو آسان اور عام کرنے کے لیے کیا، جو مربوط دوہری نظریہ کی مرکزی خصوصیت ہے۔ ٹی-ڈھانچے ہر ابیلین زمرہ اے کے لیے، ماخوذ زمرہ ڈی (اے) ایک مثلث زمرہ ہے، جس میں اے ایک مکمل ذیلی زمرہ کے طور پر ہوتا ہے (کمپلیکس ڈگری صفر میں مرکوز ہوتے ہیں)۔ مختلف ابیلین زمروں میں مساوی اخذ شدہ زمرے ہو سکتے ہیں، تاکہ D (A) سے A کو مثلث والے زمرے کے طور پر دوبارہ تشکیل دینا ہمیشہ ممکن نہ ہو۔ الیگزینڈر بیلینسن، جوزف برنسٹین اور پیئر ڈیلیگن نے اس صورتحال کو مثلث زمرہ ڈی پر ٹی ساخت کے تصور سے بیان کیا۔ ڈی پر اے ٹی ساخت ڈی کے اندر ایک ابیلین زمرے کا تعین کرتی ہے، اور ڈی پر مختلف ٹی ڈھانچے مختلف ابیلین زمرے پیدا کر سکتے ہیں۔ لوکلائزنگ اور موٹی ذیلی زمرہ جات D کو من مانی براہ راست رقم کے ساتھ ایک مثلث زمرہ ہونے دیں۔ ڈی کا لوکلائزنگ ذیلی زمرہ ایک سختی سے مکمل مثلث والا ذیلی زمرہ ہے جو من مانی براہ راست رقوم کے تحت بند ہوتا ہے۔ نام کی وضاحت کے لیے: اگر ایک کمپیکٹ طور پر تیار کردہ مثلث زمرہ D کا لوکلائزنگ ذیلی زمرہ S اشیاء کے ایک سیٹ کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے، تو کرنل S کے ساتھ ایک بوس فیلڈ لوکلائزیشن فنکٹر ہوتا ہے۔ (یعنی، D میں ہر شے X کے لیے S میں Y اور دائیں آرتھوگنل میں LX کے ساتھ ایک عین مثلث ہوتا ہے۔) مثال کے طور پر، اس تعمیر میں ایک پرائم نمبر پر سپیکٹرم کی لوکلائزیشن، یا کسی جگہ پر شیوز کے کمپلیکس سے کھلے سب سیٹ تک کی پابندی شامل ہے۔ ایک متوازی تصور "چھوٹے" مثلث والے زمروں کے لیے زیادہ متعلقہ ہے: مثلث والے زمرے C کا ایک موٹا ذیلی زمرہ ایک سختی سے مکمل مثلث والا ذیلی زمرہ ہے جو براہ راست خلاصہ کے تحت بند ہوتا ہے۔ (اگر سی آئیڈیمپوٹینٹ مکمل ہے، تو ایک ذیلی زمرہ موٹا ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ آئیڈیمپوٹینٹ مکمل بھی ہو۔) لوکلائزنگ ذیلی زمرہ موٹا ہوتا ہے۔ لہذا اگر S مثلث والے زمرہ D کا مقامی ذیلی زمرہ ہے، تو کمپیکٹ آبجیکٹ کے ذیلی زمرے کے ساتھ S کا چوراہا ایک موٹی ذیلی زمرہ ہے۔ مثال کے طور پر، ڈیوینٹز-ہاپکنز-سمتھ نے موراوا کے تھیوری کے لحاظ سے محدود سپیکٹرا کے مثلث والے زمرے کے تمام موٹے ذیلی زمروں کو بیان کیا۔ پورے مستحکم ہوموٹوپی زمرے کے مقامی ذیلی زمروں کی درجہ بندی نہیں کی گئی ہے۔ مزید دیکھیں فورئیر-مکائی ٹرانسفارم سکس آپریشنز پرورس شیف ڈی-ماڈیول بییلنسن-برنسٹین لوکلائزیشن ماڈیول سپیکٹرم سیمی آرتھوگنل ڈکمپزیشن برج لینڈ اسٹیبلٹی کنڈیشن نوٹس حوالہ جات مثلث والے زمروں کے لیے کچھ نصابی کتابوں کا تعارف یہ ہیں: ایپلی کیشنز کے ساتھ ایک مختصر خلاصہ یہ ہے: کچھ مزید جدید حوالہ جات یہ ہیں: بیرونی روابط جے۔ پیٹر مئی، مثلث والے زمروں کے لیے محوریات ہومیولوجیکل الجبرا