Girsanov theorem
امکان کے نظریہ میں، گرسانوف نظریہ بتاتا ہے کہ پیمائش میں ہونے والی تبدیلیوں کے تحت اسٹاکسٹک عمل کس طرح تبدیل ہوتے ہیں۔ یہ نظریہ مالیاتی ریاضی کے نظریہ میں خاص طور پر اہم ہے کیونکہ یہ بتاتا ہے کہ کس طرح جسمانی پیمائش سے تبدیل کیا جائے، جو اس امکان کو بیان کرتا ہے کہ ایک بنیادی آلہ (جیسے حصص کی قیمت یا سود کی شرح) کسی خاص قدر یا اقدار کو رسک غیر جانبدار پیمائش میں لے جائے گا جو بنیادی پر مشتقات کی قدر کا اندازہ کرنے کے لیے ایک بہت ہی مفید ذریعہ ہے۔ اس قسم کے تاریخ کے نتائج سب سے پہلے 1940 کی دہائی میں کیمرون مارٹن اور 1960 میں ایگور گرسانوف نے ثابت کیے تھے۔ بعد میں انہیں عمل کی مزید عام کلاسوں تک بڑھا دیا گیا جس کا اختتام لینگلارٹ (1977) کی عمومی شکل میں ہوا۔ اہمیت اسٹوکاسٹک عمل کے عمومی نظریہ میں گرسانوف کا نظریہ اہم ہے کیونکہ یہ کلیدی نتیجہ کو قابل بناتا ہے کہ اگر Q ایک ایسی پیمائش ہے جو P کے حوالے سے بالکل مسلسل ہے تو ہر P-سیمی مارٹنگیل ایک Q-سیمی مارٹنگیل ہے۔ نظریہ کا بیان ہم خاص معاملے کے لیے پہلے نظریہ بیان کرتے ہیں جب بنیادی سٹوچسٹک عمل ایک وینر عمل ہوتا ہے۔ یہ خاص معاملہ بلیک-شولز ماڈل میں رسک-غیر جانبدار قیمتوں کے لیے کافی ہے۔ وائنر کے امکانات کی جگہ پر ایک وائنر عمل ہونے دیں۔ وائنر کے عمل کی قدرتی فلٹریشن کے مطابق ایک قابل پیمائش عمل ہونے دیں ؛ ہم فرض کرتے ہیں کہ معمول کے حالات مطمئن ہو چکے ہیں۔ ایک موافقت شدہ عمل کو دیکھتے ہوئے اس بات کی وضاحت کریں کہ W کے حوالے سے X کا اسٹاکاسٹک ایکسپونینشل کہاں ہے، یعنی۔ اور عمل X کے کواڈریٹک تغیر کی نشاندہی کرتا ہے۔ اگر مارٹنگیل ہے تو امکان کی پیمائش Q کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے کہ ریڈون-نیکوڈیم مشتق پھر ہر t کے لیے پیمائش Q غیر بڑھا ہوا سگما فیلڈز تک محدود P کے مساوی ہے۔ مزید برآں اگر P کے تحت ایک مقامی مارٹنگیل ہے تو یہ عمل فلٹر شدہ امکان کی جگہ پر ایک Q مقامی مارٹنگیل ہے۔ اگر X ایک مسلسل عمل ہے اور W پیمائش P کے تحت براؤنین حرکت ہے تو Q کے تحت براؤنین حرکت ہے۔ یہ حقیقت جو مسلسل ہے وہ معمولی ہے ؛ گرسانوف کے نظریہ کے مطابق یہ ایک کیو لوکل مارٹنگیل ہے، اور اس کی گنتی کرنے سے لیوی کی براؤنین حرکت کی خصوصیت سے پتہ چلتا ہے کہ یہ ایک کیو براؤنین حرکت ہے۔ تبصرے بہت سی عام ایپلی کیشنز میں، عمل X کی تعریف اس شکل کے X کے لیے ایک مارٹنگیل ہونے کے لیے ایک ضروری اور کافی شرط نووکوف کی شرط ہے جس کے لیے ضروری ہے کہ اسٹاکسٹک ایکسپونینشل وہ عمل Z ہے جو اسٹاکسٹک تفریقی مساوات کو حل کرتا ہے۔ اوپر بنائی گئی پیمائش Q P کے مساوی نہیں ہے کیونکہ یہ صرف اس صورت میں ہوگا جب ریڈون-نیکوڈیم مشتق یکساں طور پر مربوط مارٹنگیل ہو، جو اوپر بیان کردہ ایکسپونینشل مارٹنگیل نہیں ہے۔ دوسری طرف جب تک نووکوف کی شرط پوری ہوتی ہے اقدامات برابر ہوتے ہیں۔ مزید برآں، پھر اس معاملے میں مذکورہ بالا مشاہدے کو یکجا کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا عمل ایک کیو براؤنین حرکت ہے۔ یہ اگور گرسانوف کی مندرجہ بالا نظریہ کی اصل تشکیل تھی۔ فنانس کے لیے اطلاق اس تھیوریم کو بلیک-شولز ماڈل میں منفرد رسک-غیر جانبدار پیمائش، یعنی ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ وہ پیمائش جس میں مشتق کی منصفانہ قیمت رعایتی متوقع قیمت ہے، ق، کی وضاحت لینجین مساوات پر اطلاق کے ذریعے کی گئی ہے۔ اس نظریہ کا ایک اور اطلاق، جو اگور گرسانوف کے اصل مقالے میں بھی دیا گیا ہے، سٹوچسٹک تفریقی مساوات کے لیے ہے۔ خاص طور پر، آئیے اس مساوات پر غور کریں جہاں براؤنین حرکت کی نشاندہی ہوتی ہے۔ یہاں اور فکسڈ ڈیٹرمینیسٹک فنکشن ہیں۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ اس مساوات کا ایک منفرد مضبوط حل ہے۔ اس صورت میں گرسانوف کا نظریہ براؤنین حرکت کے لیے متعلقہ فنکشنل کے لحاظ سے براہ راست فنکشنل کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مزید خاص طور پر، ہمارے پاس مسلسل افعال پر کسی بھی باؤنڈ فنکشنل کے لیے ہے جو اس کے بعد گرسانوف کے نظریہ، اور مذکورہ بالا مشاہدے کو مارٹنگیل عمل پر لاگو ہوتا ہے۔ خاص طور پر، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ اوپر کے اشارے کے ساتھ، یہ عمل ایک کیو براؤنین حرکت ہے۔ اسے تفریقی شکل میں دوبارہ لکھنا جیسا کہ ہم دیکھتے ہیں کہ کیو کے تحت کا قانون مساوات کی وضاحت کو حل کرتا ہے، جیسا کہ کیو براؤنین حرکت ہے۔ خاص طور پر، ہم دیکھتے ہیں کہ دائیں طرف کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، جہاں Q عمل Y کے حوالے سے لی گئی پیمائش ہے، لہذا اب نتیجہ صرف گرسانوف کے نظریہ کا بیان ہے۔ اس درخواست کی ایک زیادہ عام شکل یہ ہے کہ اگر دونوں پر منفرد مضبوط حل تسلیم کرتے ہیں، تو کسی بھی باؤنڈ فنکشنل کے لیے، ہمارے پاس یہ ہے کہ حوالہ جات بیرونی لنکس نوٹ آن اسٹوچسٹک کیلکولس بھی دیکھیں جس میں گرسانوف کے نظریہ کا ایک سادہ خاکہ ثبوت موجود ہے۔ سٹاکاسٹک عمل ریاضیاتی نظریات ریاضیاتی مالیات