Synthetic geometry
مصنوعی جیومیٹری (جسے بعض اوقات محوری جیومیٹری یا یہاں تک کہ خالص جیومیٹری بھی کہا جاتا ہے) نقاط کے استعمال کے بغیر جیومیٹری ہے۔ یہ چند بنیادی خصوصیات سے تمام نتائج کو ثابت کرنے کے لیے محوری طریقہ پر انحصار کرتا ہے جسے ابتدائی طور پر مفروضہ کہا جاتا ہے، اور فی الحال محوریات کہا جاتا ہے۔ "مصنوعی جیومیٹری" کی اصطلاح 17 ویں صدی کے بعد ہی تیار کی گئی تھی، اور کوآرڈینیٹ طریقہ کار کا تعارف رینے ڈیکارٹس نے کیا تھا، جسے تجزیاتی جیومیٹری کہا جاتا تھا۔ لہذا "مصنوعی جیومیٹری" کی اصطلاح پرانے طریقوں کی طرف اشارہ کرنے کے لیے متعارف کرائی گئی تھی جو ڈیکارٹس سے پہلے صرف معروف تھے۔ فیلکس کلین کے مطابق مصنوعی جیومیٹری وہ ہے جو فارمولوں کا سہارا لیے بغیر اعداد و شمار کا مطالعہ کرتی ہے، جبکہ تجزیاتی جیومیٹری مستقل طور پر ایسے فارمولوں کا استعمال کرتی ہے جو نقاط کے مناسب نظام کو اپنانے کے بعد لکھے جا سکتے ہیں۔ مصنوعی جیومیٹری کے لیے پہلا منظم نقطہ نظر یوکلڈ کے عناصر ہیں۔ تاہم، 19 ویں صدی کے آخر میں یہ ظاہر ہوا کہ یوکلڈ کے مفروضے جیومیٹری کی خصوصیت کے لیے کافی نہیں تھے۔ جیومیٹری کے لیے پہلا مکمل محوری نظام صرف 19 ویں صدی کے آخر میں ڈیوڈ ہلبرٹ نے دیا تھا۔ ایک ہی وقت میں، یہ ظاہر ہوا کہ جیومیٹری بنانے کے لیے مصنوعی طریقے اور تجزیاتی طریقے دونوں استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ یہ حقیقت کہ دونوں منظوریاں مساوی ہیں، ایمل آرٹن نے اپنی کتاب جیومیٹرک الجبرا میں ثابت کی ہے۔ اس مساوات کی وجہ سے، مصنوعی اور تجزیاتی جیومیٹری کے درمیان فرق اب استعمال میں نہیں ہے، سوائے ابتدائی سطح پر، یا ان جیومیٹریز کے لیے جو کسی بھی قسم کی تعداد سے متعلق نہیں ہیں، جیسے کہ کچھ محدود جیومیٹریز اور غیر ڈیزرگویسی جیومیٹری۔ منطقی ترکیب منطقی ترکیب کا عمل کسی من مانی لیکن قطعی نقطہ آغاز سے شروع ہوتا ہے۔ یہ نقطہ آغاز ان پرائمیٹوز کے بارے میں ابتدائی تصورات یا پرائمیٹوز اور محوروں کا تعارف ہے: پرائمیٹوز سب سے بنیادی خیالات ہیں۔ عام طور پر ان میں اشیاء اور رشتے دونوں شامل ہوتے ہیں۔ جیومیٹری میں، آبجیکٹ پوائنٹس، لائنیں اور طیاروں جیسی چیزیں ہیں، جبکہ ایک بنیادی تعلق واقعات کا ہے-ایک آبجیکٹ کا ملنے یا دوسرے کے ساتھ شامل ہونے کا۔ اصطلاحات خود غیر متعین ہیں۔ ہلبرٹ نے ایک بار تبصرہ کیا تھا کہ پوائنٹس، لائنوں اور طیاروں کے بجائے میزوں، کرسیوں اور بیئر کے پیگوں کے بارے میں بھی بات کی جا سکتی ہے، نقطہ یہ ہے کہ قدیم اصطلاحات صرف خالی پلیس ہولڈر ہیں اور ان کی کوئی اندرونی خصوصیات نہیں ہیں۔ محوریات ان ابتدائی کے بارے میں بیانات ہیں ؛ مثال کے طور پر، کوئی بھی دو نکات ایک ساتھ صرف ایک لائن کے ساتھ واقع ہوتے ہیں (یعنی۔ کہ کسی بھی دو پوائنٹس کے لیے، صرف ایک لکیر ہوتی ہے جو ان دونوں سے گزرتی ہے)۔ محوریات کو سچ سمجھا جاتا ہے، اور ثابت نہیں کیا جاتا ہے۔ وہ ہندسی تصورات کے تعمیراتی بلاکس ہیں، کیونکہ وہ ان خصوصیات کی وضاحت کرتے ہیں جو ابتدائی ہیں۔ محوریات کے دیئے گئے سیٹ سے، ترکیب احتیاط سے تعمیر شدہ منطقی دلیل کے طور پر آگے بڑھتی ہے۔ جب کوئی اہم نتیجہ سختی سے ثابت ہوتا ہے، تو یہ ایک نظریہ بن جاتا ہے۔ محوری سیٹوں کی خصوصیات جیومیٹری کے لیے کوئی مقررہ محوری سیٹ نہیں ہے، کیونکہ ایک سے زیادہ مستقل سیٹوں کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح کا ہر سیٹ ایک مختلف جیومیٹری کا باعث بن سکتا ہے، جبکہ ایک ہی جیومیٹری دینے والے مختلف سیٹوں کی مثالیں بھی موجود ہیں۔ امکانات کی اس کثرت کے ساتھ، اب واحد میں "جیومیٹری" کی بات کرنا مناسب نہیں ہے۔ تاریخی طور پر، یوکلڈ کا متوازی مفروضہ دیگر محوریوں سے آزاد ثابت ہوا ہے۔ بس اسے ضائع کرنے سے مطلق جیومیٹری ملتی ہے، جبکہ اس کی نفی کرنے سے ہائپربولک جیومیٹری حاصل ہوتی ہے۔ دیگر مستقل محوری سیٹ دیگر ہندسیں پیدا کر سکتے ہیں، جیسے پروجیکٹو، ایلیپٹک، کروی یا افائن جیومیٹری۔ تسلسل اور "بیچینی" کے محرکات بھی اختیاری ہیں، مثال کے طور پر، مجرد جیومیٹریز کو مسترد کر کے یا ان میں ترمیم کر کے بنایا جا سکتا ہے۔ کلین کے ایرلینجن پروگرام کے بعد، کسی بھی دی گئی جیومیٹری کی نوعیت کو ترقی کے انداز کے بجائے ہم آہنگی اور تجاویز کے مواد کے درمیان تعلق کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ یوکلڈ کا اصل علاج دو ہزار سال سے زیادہ عرصے تک غیر چیلنج رہا، یہاں تک کہ 19 ویں صدی میں گاؤس، بولائی، لوباچوسکی اور ریمن کی طرف سے غیر یوکلڈین جیومیٹریز کی بیک وقت دریافتوں نے ریاضی دانوں کو یوکلڈ کے بنیادی مفروضوں پر سوال اٹھانے پر مجبور کیا۔ ابتدائی فرانسیسی تجزیہ کاروں میں سے ایک نے مصنوعی جیومیٹری کا خلاصہ اس طرح کیا: یوکلڈ کے عناصر کا علاج مصنوعی طریقہ سے کیا جاتا ہے۔ اس مصنف نے محوریات کو پیش کرنے اور ضروریات کو تشکیل دینے کے بعد، ان تجاویز کو قائم کیا جن کی وہ مسلسل حمایت کرتا ہوا ثابت کرتا ہے جو پہلے تھا، ہمیشہ سادہ سے مرکب کی طرف بڑھتا ہے، جو ترکیب کا لازمی کردار ہے۔ مصنوعی جیومیٹری کا عروج 19 ویں صدی سمجھا جا سکتا ہے، جب نقاط اور کیلکولس پر مبنی تجزیاتی طریقوں کو جیکب اسٹینر جیسے کچھ جیومیٹرز نے پروجیکٹو جیومیٹری کی خالصتا مصنوعی ترقی کے حق میں نظر انداز کر دیا تھا۔ مثال کے طور پر، واقعات کے محوریوں سے شروع ہونے والے پروجیکٹو پلین کا علاج دراصل ایک وسیع تر نظریہ (زیادہ ماڈلز کے ساتھ) ہے جو طول و عرض تین کے ویکٹر اسپیس سے شروع ہونے سے پایا جاتا ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹری درحقیقت کسی بھی جیومیٹری کا سب سے آسان اور خوبصورت مصنوعی اظہار ہے۔ اپنے ایرلینجن پروگرام میں، فیلکس کلین نے مصنوعی اور تجزیاتی طریقوں کے درمیان تناؤ کو کم کیا: جدید جیومیٹری میں مصنوعی اور تجزیاتی طریقہ کے درمیان تضاد پر: جدید ترکیب اور جدید تجزیاتی جیومیٹری کے درمیان فرق کو اب ضروری نہیں سمجھا جانا چاہیے، کیونکہ موضوع اور استدلال کے دونوں طریقوں نے آہستہ آہستہ دونوں میں ایک جیسی شکل اختیار کر لی ہے۔ لہذا ہم متن میں ان دونوں کے مشترکہ عہدہ کے طور پر پروجیکٹو جیومیٹری کی اصطلاح کا انتخاب کرتے ہیں۔ اگرچہ مصنوعی طریقہ کا خلا کے ادراک سے زیادہ تعلق ہے اور اس طرح اس کی پہلی سادہ پیش رفت کو ایک نایاب دلکشی فراہم کرتا ہے، اس کے باوجود خلا کے ادراک کا دائرہ تجزیاتی طریقہ کے قریب نہیں ہے، اور تجزیاتی جیومیٹری کے فارمولوں کو ہندسی تعلقات کے عین مطابق اور واضح بیان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ دوسری طرف، ایک اچھی طرح سے وضع کردہ تجزیے کی اصل تحقیق کے فائدے کو کم نہیں سمجھنا چاہیے، جو کہ سوچ سے پہلے اس کی حرکت پذیری کی وجہ سے ایک فائدہ ہے۔ لیکن اس بات پر ہمیشہ اصرار کیا جانا چاہیے کہ کسی ریاضیاتی مضمون کو اس وقت تک ختم نہیں سمجھا جانا چاہیے جب تک کہ وہ بدیہی طور پر واضح نہ ہو جائے، اور تجزیہ کی مدد سے ہونے والی پیش رفت صرف پہلا قدم ہے، حالانکہ یہ ایک بہت اہم قدم ہے۔ یوکلیڈین جیومیٹری کا قریبی محوری مطالعہ لیمبرٹ کواڈری لیٹرل اور ساچری کواڈری لیٹرل کی تعمیر کا باعث بنا۔ ان ڈھانچوں نے غیر یوکلڈین جیومیٹری کا میدان متعارف کرایا جہاں یوکلڈ کے متوازی محور کی تردید کی گئی ہے۔ گاؤس، بولائی اور لوباچوسکی نے آزادانہ طور پر ہائپربولک جیومیٹری کی تعمیر کی، جہاں متوازی لکیروں میں متوازی کا زاویہ ہوتا ہے جو ان کی علیحدگی پر منحصر ہوتا ہے۔ یہ مطالعہ پوئن کیئر ڈسک ماڈل کے ذریعے وسیع پیمانے پر قابل رسائی بن گیا جہاں موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے حرکتیں دی جاتی ہیں۔ اسی طرح، گاؤس کے ایک طالب علم، ریمن نے ریمینین جیومیٹری کی تعمیر کی، جس میں الپٹک جیومیٹری ایک خاص معاملہ ہے۔ ایک اور مثال الٹا جیومیٹری سے متعلق ہے جیسا کہ لڈوگ ایمانوئل میگنس نے پیش کیا ہے، جسے روح میں مصنوعی سمجھا جا سکتا ہے۔ باہمی تعامل کا قریب سے متعلق عمل طیارہ کے تجزیے کا اظہار کرتا ہے۔ کارل وان سٹاؤڈ نے دکھایا کہ الجبرائی محوریات، جیسے کہ تبادلہ اور اضافہ اور ضرب کی ایسوسی ایٹیویٹی، درحقیقت ہندسی ترتیبات میں لکیروں کے واقعات کے نتائج تھے۔ ڈیوڈ ہلبرٹ نے دکھایا کہ ڈیسرگس کی ترتیب نے ایک خاص کردار ادا کیا۔ مزید کام روتھ موفانگ اور ان کے شاگردوں نے کیا۔ تصورات واقعات کی جیومیٹری کے محرکات میں سے ایک رہے ہیں۔ جب متوازی لکیروں کو بنیادی طور پر لیا جاتا ہے، تو ترکیب افائن جیومیٹری پیدا کرتی ہے۔ اگرچہ یوکلڈین جیومیٹری ایک افائن اور میٹرک جیومیٹری دونوں ہے، لیکن عام طور پر افائن خالی جگہوں میں میٹرک کی کمی ہو سکتی ہے۔ اس طرح فراہم کی جانے والی اضافی لچک ایفیئن جیومیٹری کو خلائی وقت کے مطالعہ کے لیے موزوں بناتی ہے، جیسا کہ ایفیئن جیومیٹری کی تاریخ میں بحث کی گئی ہے۔ 1955 میں ہربرٹ بوسیمن اور پال جے کیلی نے مصنوعی جیومیٹری کے لیے ایک پرانی یاد کا اظہار کیا: اگرچہ ہچکچاتے ہوئے، جیومیٹرز کو یہ تسلیم کرنا چاہیے کہ مصنوعی جیومیٹری کی خوبصورتی نئی نسل کے لیے اپنی اپیل کھو چکی ہے۔ وجوہات واضح ہیں: اتنے عرصہ پہلے مصنوعی جیومیٹری واحد میدان تھا جس میں استدلال سختی سے محوریوں سے آگے بڑھا تھا، جبکہ یہ اپیل-جو ریاضی میں دلچسپی رکھنے والے بہت سے لوگوں کے لیے اتنی بنیادی ہے-اب بہت سے دوسرے شعبوں کی طرف سے کی گئی ہے۔ مثال کے طور پر، کالج کے مطالعے میں اب لکیری الجبرا، ٹوپولوجی، اور گراف تھیوری شامل ہیں جہاں مضمون کو پہلے اصولوں سے تیار کیا جاتا ہے، اور تجاویز کو ابتدائی ثبوتوں سے اخذ کیا جاتا ہے۔ تجزیاتی جیومیٹری کے ساتھ مصنوعی کو تبدیل کرنے کی توقع جیومیٹرک مواد کے نقصان کا باعث بنتی ہے۔ جیومیٹری کے آج کے طالب علم کے پاس یوکلڈ کے دستیاب محوریات کے علاوہ دیگر محوریات ہیں: ہلبرٹ کے محوریات اور ترسکی کے محوریات دیکھیں۔ ارنسٹ کوٹر نے 1901 میں "مونگے سے اسٹاؤڈ (1847) تک مصنوعی جیومیٹری کی ترقی" پر ایک (جرمن) رپورٹ شائع کی۔ جیومیٹرک تھیوریمز کے مصنوعی جیومیٹری مصنوعی ثبوتوں کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت معاون تعمیرات (جیسے ہیلپنگ لائنز) اور تصورات جیسے اطراف یا زاویوں کی مساوات اور مثلث کی مماثلت اور ہم آہنگی کا استعمال کرتے ہیں۔ اس طرح کے ثبوتوں کی مثالیں بٹر فلائی تھیوریم، اینگل بائیسیکٹر تھیوریم، اپولونیئس تھیوریم، برٹش فلیگ تھیوریم، سیوا تھیوریم، ایکول انسرکلز تھیوریم، جیومیٹرک مین تھیوریم، ہیرون کا فارمولا، آئسوسیلیس ٹرائنگل تھیوریم، کوسینز کا قانون، اور دیگر مضامین میں مل سکتی ہیں جو یہاں سے منسلک ہیں۔ کمپیوٹیشنل مصنوعی جیومیٹری کمپیوٹیشنل جیومیٹری کے ساتھ مل کر، ایک کمپیوٹیشنل مصنوعی جیومیٹری کی بنیاد رکھی گئی ہے، جس کا قریبی تعلق ہے، مثال کے طور پر، میٹرائڈ تھیوری کے ساتھ۔ مصنوعی تفریق جیومیٹری تفریق کے قابل کئی گنا نظریہ کی بنیادوں پر ٹوپوس تھیوری کا اطلاق ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ جیومیٹری کی بنیادیں واقع جیومیٹری مصنوعی تفریق جیومیٹری نوٹس حوالہ جات ہالسٹڈ، جی بی۔ (1896) ایلیمنٹری سنتھٹک جیومیٹری بذریعہ انٹرنیٹ آرکائیو ہالسٹڈ، جارج بروس (1906) سنتھٹک پروجیکٹو جیومیٹری، بذریعہ انٹرنیٹ آرکائیو۔ ہلبرٹ اور کوہن ووسن، جیومیٹری اور تخیل۔ جیومیٹری کے میدان