Plateau's problem
ریاضی میں، سطح مرتفع کا مسئلہ ایک دی گئی حد کے ساتھ کم سے کم سطح کے وجود کو ظاہر کرنا ہے، یہ مسئلہ 1760 میں جوزف لوئس لاگرانج نے اٹھایا تھا۔ تاہم، اس کا نام جوزف پلیٹو کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے صابن کی فلموں کے ساتھ تجربہ کیا۔ اس مسئلے کو تغیرات کے حساب کا حصہ سمجھا جاتا ہے۔ وجود اور باقاعدگی کے مسائل ہندسی پیمائش کے نظریہ کا حصہ ہیں۔ اس مسئلے کی مختلف مخصوص شکلیں حل کی گئیں، لیکن یہ صرف 1930 میں ہی تھا کہ جیسی ڈگلس اور ٹیبور راڈو نے آزادانہ طور پر نقشہ سازی (وسرجن) کے تناظر میں عمومی حل تلاش کیے۔ ان کے طریقے بالکل مختلف تھے ؛ ریڈو کا کام رینے گارنیئر کے پچھلے کام پر بنایا گیا تھا اور صرف قابل اصلاح سادہ بند منحنی خطوط کے لیے منعقد کیا گیا تھا، جبکہ ڈگلس نے ایک من مانی سادہ بند منحنی خطوط کے لیے اپنے نتیجہ ہولڈنگ کے ساتھ مکمل طور پر نئے خیالات کا استعمال کیا۔ دونوں نے کم سے کم مسائل کو ترتیب دینے پر انحصار کیا۔ ڈگلس نے اب نام دیے گئے ڈگلس انٹیگرل کو کم سے کم کیا جبکہ ریڈو نے "توانائی" کو کم سے کم کیا۔ ڈگلس کو ان کی کوششوں کے لیے 1936 میں فیلڈز میڈل سے نوازا گیا۔ اعلی جہتوں میں مسئلہ کی اعلی جہتوں تک توسیع (یعنی جہتی خلا میں جہتی سطحوں کے لیے) کا مطالعہ کرنا بہت زیادہ مشکل ثابت ہوتا ہے۔ مزید برآں، اگرچہ اصل مسئلے کے حل ہمیشہ باقاعدہ ہوتے ہیں، لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ توسیعی مسئلے کے حل میں انفرادیت ہو سکتی ہے۔ ہائپر سرفیس کے معاملے میں جہاں، انفرادیت صرف اس کے لیے ہوتی ہے۔ سطح مرتفع کے مسئلے کے اس طرح کے واحد حل کی ایک مثال سائمنز شنک ہے، جس میں ایک شنک ہے جسے سب سے پہلے جم سائمنز نے بیان کیا تھا اور اسے بومبیری، ڈی جیورگی اور گیوستی نے ایریا منیائزر دکھایا تھا۔ کچھ خاص معاملات میں توسیعی مسئلے کو حل کرنے کے لیے، کوڈیمینشن 1 کے لیے پیریمیٹرز کا نظریہ (ڈی جیورگی) اور اعلی کوڈیمینشن کے لیے قابل اصلاح کرنٹس کا نظریہ (فیڈرر اور فلیمنگ) تیار کیا گیا ہے۔ نظریہ کوڈیمینشن 1 حلوں کے وجود کی ضمانت دیتا ہے جو ہاؤزڈورف طول و عرض کے بند سیٹ سے ہموار ہیں۔ اعلی کوڈیمینشن کے معاملے میں المیگرین نے اپنے ریگولرٹی تھیوریم میں زیادہ سے زیادہ طول و عرض کے واحد سیٹ کے ساتھ حل کے وجود کو ثابت کیا۔ الماگرین کے ایک طالب علم ایس ایکس چانگ نے الماگرین کے کام پر یہ ظاہر کرنے کے لیے تعمیر کیا کہ دو جہتی رقبے کی انفرادیت جو انٹیگرل کرنٹس کو کم سے کم کرتی ہے (صوابدیدی کوڈیمینشن میں) ایک محدود مجرد سیٹ بناتی ہے۔ جینی ہیریسن اور ہیریسن پگ کا محوری نقطہ نظر مختلف قسم کے خصوصی معاملات کا علاج کرتا ہے۔ خاص طور پر، وہ عام ہومیولوجیکل، کوہمولوجیکل یا ہوموٹوپیکل پھیلاؤ کے حالات کے امتزاج کو مطمئن کرنے والے قابل اصلاح سیٹوں کے کسی بھی مجموعہ کے لیے صوابدیدی طول و عرض اور کوڈیمینشن میں انیسوٹروپک سطح مرتفع کے مسئلے کو حل کرتے ہیں۔ ہیریسن پگ کے نتائج کا ایک مختلف ثبوت کیمیلو ڈی لیلیس، فرانسیسکو گھیرالڈن اور فرانسیسکو میگی نے حاصل کیا۔ فزیکل ایپلی کیشنز فزیکل صابن فلمیں زیادہ درست طریقے سے فریڈرک المیگرین کے کم سے کم سیٹوں کے ذریعہ تیار کی جاتی ہیں، لیکن کمپیکٹنس تھیوریم کی کمی سے ایریا منیائزر کے وجود کو ثابت کرنا مشکل ہوجاتا ہے۔ اس تناظر میں، ایک مستقل کھلا سوال ایک کم سے کم ایریا والی صابن فلم کا وجود رہا ہے۔ ارنسٹ رابرٹ ریفین برگ نے ایسی حدود کے لیے "عالمگیر سطح مرتفع کا مسئلہ" حل کیا جو واحد سرایت شدہ شعبوں کے لیے ہومومورفک ہیں۔ ڈبل ببل قیاس آرائی ڈیرچلیٹ اصول سطح مرتفع کے قوانین پھیلا ہوا گرڈ طریقہ برنسٹین کا مسئلہ حوالہ جات مختلف حالتوں کا حساب کم از کم سطحیں ریاضیاتی مسائل