Cycle graph (algebra)
گروپ تھیوری میں، تجریدی الجبرا کا ایک ذیلی میدان، ایک گروپ سائیکل گراف ایک گروپ کے مختلف چکروں کی وضاحت کرتا ہے اور خاص طور پر چھوٹے محدود گروپوں کی ساخت کو دیکھنے میں مفید ہے۔ ایک سائیکل کسی دیئے گئے گروپ عنصر a کی طاقتوں کا مجموعہ ہے، جہاں a، کسی عنصر a کی n-th طاقت کو خود سے n گنا ضرب کے پروڈکٹ کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ عنصر a کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ سائیکل پیدا کرتا ہے۔ ایک محدود گروپ میں، a کی کچھ غیر صفر طاقت گروپ کی شناخت ہونی چاہیے، e ؛ اس طرح کی سب سے کم طاقت سائیکل کی ترتیب ہے، جو اس میں موجود الگ الگ عناصر کی تعداد ہے۔ سائیکل گراف میں، سائیکل کو ایک کثیر الاضحی کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، جس کے عمودی حصے گروپ کے عناصر کی نمائندگی کرتے ہیں، اور منسلک لائنیں اس بات کی نشاندہی کرتی ہیں کہ اس کثیر الاضحی کے تمام عناصر ایک ہی سائیکل کے ممبر ہیں۔ سائیکل اوورلیپ ہو سکتے ہیں، یا ان میں شناخت کے علاوہ کوئی عنصر مشترک نہیں ہو سکتا۔ سائیکل گراف ہر دلچسپ سائیکل کو کثیر الاضحی کے طور پر ظاہر کرتا ہے۔ اگر a ترتیب 6 کا چکر پیدا کرتا ہے (یا، زیادہ جلد، ترتیب 6 رکھتا ہے)، تو a6 = e۔ پھر a2، {a2, a4, e} کی طاقتوں کا مجموعہ ایک چکر ہے، لیکن یہ واقعی کوئی نئی معلومات نہیں ہے۔ اسی طرح، a5 وہی سائیکل پیدا کرتا ہے جو a خود پیدا کرتا ہے۔ لہذا، صرف ابتدائی چکروں پر غور کرنے کی ضرورت ہے، یعنی وہ جو کسی دوسرے چکر کے ذیلی سیٹ نہیں ہیں۔ ان میں سے ہر ایک کسی ابتدائی عنصر، a سے پیدا ہوتا ہے۔ اصل گروپ کے ہر عنصر کے لیے ایک پوائنٹ لیں۔ ہر ابتدائی عنصر کے لیے، e کو a سے، a کو a2 سے،.، an-1 کو an، وغیرہ سے جوڑیں، جب تک کہ e تک نہ پہنچ جائے۔ نتیجہ سائیکل گراف ہے۔ جب a2 = e، a کا آرڈر 2 ہوتا ہے (یہ ایک انوولیوشن ہے)، اور یہ e سے دو کناروں سے جڑا ہوتا ہے۔ سوائے اس کے کہ جب ارادہ سائیکل کے دو کناروں پر زور دینا ہو، تو اسے عام طور پر دونوں عناصر کے درمیان ایک ہی لکیر کے طور پر کھینچا جاتا ہے۔ خصوصیات گروپ سائیکل گراف کی ایک مثال کے طور پر، ڈائی ہیڈرل گروپ ڈیہ 4 پر غور کریں۔ اس گروپ کے لیے ضرب کی میز بائیں طرف دکھائی گئی ہے، اور سائیکل گراف دائیں طرف دکھایا گیا ہے جس میں ای شناخت عنصر کی وضاحت کرتا ہے۔ ضرب کی میز میں سائیکل {e, a, a2, a3} پر غور کریں، جس میں a4 = e ہے۔ الٹا a−1 = a3 بھی اس سائیکل کا ایک جنریٹر ہے: (،، اور۔ اسی طرح، کسی بھی گروپ میں کسی بھی سائیکل میں کم از کم دو جنریٹر ہوتے ہیں، اور اسے کسی بھی سمت میں عبور کیا جا سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، n عناصر والے سائیکل کے جنریٹرز کی تعداد n کے یولر φ فنکشن کے ذریعے دی جاتی ہے، اور ان میں سے کسی بھی جنریٹر کو سائیکل میں پہلے نوڈ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے (شناخت e کے آگے) ؛ یا زیادہ عام طور پر نوڈس کو غیر نشان زدہ چھوڑ دیا جاتا ہے۔ دو الگ الگ چکر ایک جنریٹر میں ایک دوسرے کو نہیں کاٹ سکتے۔ جن چکروں میں عناصر کی غیر بنیادی تعداد ہوتی ہے ان میں چکور ذیلی گروہ ہوتے ہیں جو گراف میں نہیں دکھائے جاتے ہیں۔ اوپر دیے گئے گروپ ڈیہ 4 کے لیے، ہم a2 اور e کے درمیان ایک لکیر کھینچ سکتے ہیں، لیکن چونکہ a2 ایک بڑے سائیکل کا حصہ ہے، اس لیے یہ سائیکل گراف کا کنارے نہیں ہے۔ جب دو سائیکل غیر شناخت عنصر کا اشتراک کرتے ہیں تو ابہام ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 8 عنصر والے کواٹرنیئن گروپ کا سائیکل گراف دائیں طرف دکھایا گیا ہے۔ درمیانی صف کے عناصر میں سے ہر ایک کو جب خود سے ضرب دی جاتی ہے تو −1 ملتا ہے (جہاں 1 شناختی عنصر ہے)۔ اس صورت میں ہم چکروں پر نظر رکھنے کے لیے مختلف رنگ استعمال کر سکتے ہیں، حالانکہ ہم آہنگی کے تحفظات بھی کام کریں گے۔ جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، 2-عنصر سائیکل کے دو کناروں کو عام طور پر ایک ہی لائن کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ کسی عنصر کا الٹا اس کے چکر میں اس کے لیے نوڈ سمیٹرک ہوتا ہے، اس عکاسی کے حوالے سے جو شناخت کو طے کرتا ہے۔ ہسٹری سائیکل گراف کی تحقیق نمبر تھیوریسٹ ڈینیئل شینکس نے 1950 کی دہائی کے اوائل میں بقیہ کلاسوں کے ضرب گروپوں کا مطالعہ کرنے کے لیے ایک آلے کے طور پر کی تھی۔ شینکس نے یہ خیال سب سے پہلے 1962 میں اپنی کتاب سالویڈ اینڈ انسولیوڈ پروبلمز ان نمبر تھیوری کے پہلے ایڈیشن میں شائع کیا۔ کتاب میں، شینکس اس بات کی تحقیقات کرتے ہیں کہ کن گروپوں میں آئسومورفک سائیکل گراف ہوتے ہیں اور سائیکل گراف کب پلانر ہوتا ہے۔ 1978 کے دوسرے ایڈیشن میں، شینکس کلاس گروپوں پر اپنی تحقیق اور بیبی سٹیپ جائنٹ سٹیپ طریقہ کار کی ترقی کی عکاسی کرتے ہیں: سائیکل گراف کو ناتھن کارٹر کی 2009 کی تعارفی نصابی کتاب ویژول گروپ تھیوری میں تدریسی آلے کے طور پر استعمال کیا گیا ہے۔ مخصوص گروپ کے خاندانوں کی گراف کی خصوصیات بعض گروپ کی اقسام عام گراف دیتی ہیں: چکور گروپ Zn، آرڈر n، ایک واحد سائیکل ہے جسے صرف عمودی عناصر کے ساتھ n رخا کثیر الاضحی کے طور پر گراف کیا جاتا ہے: جب n ایک پرائم نمبر ہوتا ہے، تو فارم (Zn) m کے گروپوں میں n عنصر سائیکل ہوں گے جو شناختی عنصر کا اشتراک کرتے ہیں: ڈیہڈرل گروپ ڈہن، آرڈر 2n ایک n عنصر سائیکل اور n 2 عنصر سائیکل پر مشتمل ہوتا ہے: ڈائی سائیکلک گروپ، Dicn = Q4n، آرڈر 4n: دیگر براہ راست مصنوعات: سمیٹرک گروپ-سمیٹرک گروپ Sn پر مشتمل ہوتا ہے، آرڈر n کے کسی بھی گروپ کے لیے، اس گروپ کا ایک ذیلی گروپ آئسومورفک ہوتا ہے۔ اس طرح ترتیب n کے ہر گروپ کا سائیکل گراف Sn کے سائیکل گراف میں پایا جائے گا۔ مثال دیکھیں: S4 کے ذیلی گروہ مثال: مکمل آکٹاڈرل گروپ کے ذیلی گروپ مکمل آکٹاڈرل گروپ سمیٹرک گروپ S4 اور سائکلک گروپ Z2 کا براہ راست پروڈکٹ ہے۔ اس کی ترتیب 48 ہے، اور اس میں ہر ترتیب کے ذیلی گروہ ہیں جو 48 کو تقسیم کرتے ہیں۔ نیچے دی گئی مثالوں میں نوڈس جو ایک دوسرے سے متعلق ہیں ایک دوسرے کے ساتھ رکھے گئے ہیں، لہذا یہ ان گروپوں کے لیے آسان ترین ممکنہ سائیکل گراف نہیں ہیں (جیسے دائیں طرف والے)۔ تمام گرافوں کی طرح ایک سائیکل گراف کو مختلف خصوصیات پر زور دینے کے لیے مختلف طریقوں سے پیش کیا جا سکتا ہے۔ S4 کے سائیکل گراف کی دو نمائشیں اس کی ایک مثال ہیں۔ چھوٹے گروپوں کی فہرست بھی دیکھیں کیلی گراف بیرونی روابط حوالہ جات اسکینا، ایس۔ (1990)۔ سائیکل، ستارے اور پہیے۔ مجرد ریاضی کو نافذ کرنا: ریاضی کے ساتھ امتزاج اور گراف تھیوری (پی پی۔ 144-147)۔ پیممارجو، ایس۔، اور اسکینا، ایس۔ (2003)۔ سائیکل، ستارے اور پہیے۔ کمپیوٹیشنل مجرد ریاضی: ریاضی کے ساتھ امتزاج اور گراف تھیوری (پی پی۔ 248-249)۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس۔ خلاصہ الجبرا گروپ تھیوری اطلاق مخصوص گراف