CDF-based nonparametric confidence interval
اعداد و شمار میں، مجموعی تقسیم فنکشن (سی ڈی ایف) پر مبنی غیر پیرامیٹرک اعتماد کے وقفے تقسیم کے شماریاتی افعال کے ارد گرد اعتماد کے وقفوں کی ایک عام کلاس ہیں۔ ان اعتماد کے وقفوں کا حساب لگانے کے لیے، جو کچھ درکار ہے وہ تقسیم سے آزادانہ اور یکساں طور پر تقسیم شدہ (آئی آئی ڈی) نمونہ ہے اور تقسیم کی حمایت پر معلوم حدود۔ مؤخر الذکر کی ضرورت کا سیدھا مطلب یہ ہے کہ تقسیم کے تمام غیر صفر امکانی کمیت کو کسی معروف وقفے میں ہونا چاہیے۔ وجدان سی ڈی ایف پر مبنی نقطہ نظر کے پیچھے وجدان یہ ہے کہ تقسیم کے سی ڈی ایف کی حدود کو اس تقسیم کے شماریاتی افعال کی حدود میں ترجمہ کیا جا سکتا ہے۔ سی ڈی ایف پر اوپری اور نچلی حد کو دیکھتے ہوئے، اس نقطہ نظر میں سی ڈی ایف کو حدود کے اندر تلاش کرنا شامل ہے جو دلچسپی کے شماریاتی فنکشنل کو زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم کرتا ہے۔ حدود کی خصوصیات ان طریقوں کے برعکس جو غیر علامتی مفروضے بناتے ہیں، بشمول بوٹسٹریپ کے نقطہ نظر اور وہ جو مرکزی حد تھیوریم پر انحصار کرتے ہیں، سی ڈی ایف پر مبنی حدود محدود نمونے کے سائز کے لیے درست ہیں۔ اور ہوفڈنگ اور میکڈیرمڈ کی عدم مساوات جیسی عدم مساوات پر مبنی حدود کے برعکس، سی ڈی ایف پر مبنی حدود پورے نمونے کی خصوصیات کا استعمال کرتی ہیں اور اس طرح اکثر نمایاں طور پر سخت حدود پیدا کرتی ہیں۔ سی ڈی ایف پر باؤنڈ پیدا کرتے وقت، ہمیں پوائنٹ وائز اور بیک وقت بینڈ کے درمیان فرق کرنا چاہیے۔ پوائنٹ وائز بینڈ ایک پوائنٹ وائز سی ڈی ایف باؤنڈ وہ ہے جو تجرباتی سی ڈی ایف کے کسی بھی انفرادی پوائنٹ پر صرف فیصد کے ان کے کوریج کے امکان کی ضمانت دیتا ہے۔ آرام دہ ضمانتوں کی وجہ سے، یہ وقفے بہت چھوٹے ہو سکتے ہیں۔ انہیں پیدا کرنے کا ایک طریقہ بائنومیل ڈسٹری بیوشن پر مبنی ہے۔ قدر کے سی ڈی ایف کے ایک نقطہ پر غور کرتے ہوئے، اس مقام پر تجرباتی تقسیم کو بائنومیل تقسیم کے متناسب تقسیم کیا جائے گا اور تجرباتی تقسیم میں نمونوں کی تعداد کے برابر مقرر کیا جائے گا۔ اس طرح، بائنومیل تناسب اعتماد کا وقفہ پیدا کرنے کے لیے دستیاب کسی بھی طریقے کو سی ڈی ایف باؤنڈ پیدا کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بیک وقت بینڈ سی ڈی ایف پر مبنی اعتماد کے وقفوں کے لیے اس تقسیم کے سی ڈی ایف پر ممکنہ پابند کی ضرورت ہوتی ہے جس سے نمونہ تیار کیا گیا تھا۔ تقسیم کے سی ڈی ایف کے لیے اعتماد کے وقفے پیدا کرنے کے لیے مختلف طریقے موجود ہیں، ایک آئی آئی ڈی دیا گیا ہے۔ تقسیم سے لیا گیا نمونہ۔ یہ تمام طریقے تجرباتی تقسیم فنکشن (تجرباتی سی ڈی ایف) پر مبنی ہیں۔ ایک آئی آئی ڈی دی گئی ہے۔ سائز n کا نمونہ، تجرباتی سی ڈی ایف کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ واقعہ A کا اشارے کہاں ہے۔ ڈووریٹزکی-کیفر-وولفوٹز عدم مساوات، جس کے سخت مستقل کا تعین ماسارٹ نے کیا تھا، سی ڈی ایف اور تجرباتی سی ڈی ایف کے درمیان کولموگوروف-سمرنوف کے اعدادوشمار کے ارد گرد اعتماد کا وقفہ رکھتا ہے۔ ایک آئی آئی ڈی دی گئی ہے۔ باؤنڈ اسٹیٹس سے سائز n کا نمونہ اسے ایک اعتماد کے لفافے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو تجرباتی سی ڈی ایف کے متوازی چلتا ہے، اور یکساں طور پر اوپر اور نیچے ہوتا ہے۔ تجرباتی سی ڈی ایف کے ارد گرد مساوی فاصلے پر اعتماد کا وقفہ تقسیم کی حمایت میں خلاف ورزیوں کی مختلف شرحوں کی اجازت دیتا ہے۔ خاص طور پر، سی ڈی ایف کا تقسیم کے اختتامی نکات کے قریب کے مقابلے تقسیم کے میڈین کے قریب ڈووریٹزکی-کیفر-وولفوٹز عدم مساوات کا استعمال کرتے ہوئے تخمینہ شدہ سی ڈی ایف سے باہر ہونا زیادہ عام ہے۔ اس کے برعکس، لرنڈ ملر اور ڈیسٹیفانو کی طرف سے متعارف کردہ آرڈر کے اعداد و شمار پر مبنی باؤنڈ آرڈر کے تمام اعداد و شمار میں خلاف ورزی کی مساوی شرح کی اجازت دیتا ہے۔ اس کے نتیجے میں ایک باؤنڈ بن جاتا ہے جو ڈسٹری بیوشن کے سپورٹ کے سروں کے قریب سخت ہوتا ہے اور سپورٹ کے بیچ میں ڈھیلا ہوتا ہے۔ آرڈر کے اعدادوشمار کی خلاف ورزی کی شرح کو تبدیل کرکے دیگر اقسام کی حدود پیدا کی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر سپورٹ کے اوپری حصے پر تقسیم پر سخت باؤنڈ مطلوب ہے، تو خلاف ورزی کی شرح کم ہونے کی قیمت پر سپورٹ کے اوپری حصے میں خلاف ورزی کی زیادہ شرح کی اجازت دی جا سکتی ہے، اور اس طرح سپورٹ کے نچلے حصے کے لیے ڈھیلے باؤنڈ کی اجازت دی جا سکتی ہے۔ اوسط پر پابند ایک غیر پیرامیٹرک عامیت کو کھونے کے بغیر فرض کریں کہ تقسیم کی حمایت اس میں موجود ہے۔ اس کے سی ڈی ایف کے لیے ایک اعتماد کا لفافہ دیا گیا ہے جس کے اوسط کے لیے اسی اعتماد کا وقفہ حاصل کرنا آسان ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ سی ڈی ایف جو اوسط کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے وہ ہے جو کم اعتماد والے لفافے کے ساتھ چلتا ہے، اور سی ڈی ایف جو اوسط کو کم کرتا ہے وہ ہے جو اوپری لفافے کے ساتھ چلتا ہے۔ شناخت کا استعمال کرتے ہوئے اوسط کے لیے اعتماد کے وقفے کو متغیر پر ایک غیر پیرامیٹرک پابند کے طور پر شمار کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر یہ فرض کریں کہ سود کی تقسیم کی حمایت اس میں موجود ہے۔ اعتماد کے لفافے کو دیکھتے ہوئے، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ لفافے کے اندر سی ڈی ایف جو تغیر کو کم کرتا ہے، نچلے لفافے پر شروع ہوتا ہے، اوپری لفافے پر ایک جمپ منقطع ہوتا ہے، اور پھر اوپری لفافے کے ساتھ جاری رہتا ہے۔ مزید برآں، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس تغیر کو کم کرنے والے سی ڈی ایف، ایف 'کو اس رکاوٹ کو پورا کرنا چاہیے جس پر چھلانگ کا تعطل ہوتا ہے۔ سی ڈی ایف کو زیادہ سے زیادہ کرنے والا تغیر اوپری لفافے سے شروع ہوتا ہے، افقی طور پر نچلے لفافے میں منتقل ہوتا ہے، پھر نچلے لفافے کے ساتھ جاری رہتا ہے۔ ان تغیرات کو زیادہ سے زیادہ کرنے اور سی ڈی ایف کو کم سے کم کرنے کے لیے واضح الگورتھم رومانو اور ولف نے دیے ہیں۔ دیگر شماریاتی افعال پر حدود اعتماد کے وقفے پیدا کرنے کے لیے سی ڈی ایف پر مبنی فریم ورک بہت عام ہے اور اس کا اطلاق مختلف قسم کے دیگر شماریاتی افعال پر کیا جا سکتا ہے جن میں اینٹروپی باہمی معلومات صوابدیدی فیصد بھی دیکھیں بوٹ اسٹریپنگ (شماریات) غیر پیرامیٹرک شماریات اعتماد کا وقفہ حوالہ جات غیر پیرامیٹرک شماریات تخمینہ نظریہ مضبوط اعداد و شمار تجرباتی عمل