Telephone number (mathematics)
ریاضی میں، ٹیلی فون نمبر یا انوولیوشن نمبر انٹیجرز کا ایک سلسلہ بناتے ہیں جو ان طریقوں کو شمار کرتے ہیں جن سے لوگوں کو شخص سے شخص ٹیلی فون کالز کے ذریعے جوڑا جا سکتا ہے۔ یہ اعداد عمودی حصوں پر ایک مکمل گراف کے ملاپ کی تعداد (ہوسویا انڈیکس)، ان عناصر پر تغیرات کی تعداد جو ارتقاء ہیں، ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کی مطلق اقدار کا مجموعہ، خلیوں کے ساتھ معیاری نوجوان جھانکیوں کی تعداد، اور سمیٹرک گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی کی ڈگریوں کا مجموعہ بھی بیان کرتے ہیں۔ انوولیوشن نمبروں کا سب سے پہلے 1800 میں ہینرچ اگست روتھی نے مطالعہ کیا، جس نے ایک تکراری مساوات دی جس کے ذریعے ان کا حساب لگایا جا سکتا ہے، اقدار دیتے ہوئے (سے شروع کرتے ہوئے) ایپلی کیشنز جان ریورڈن ان نمبروں کے لیے درج ذیل وضاحت فراہم کرتے ہیں: فرض کریں کہ لوگ ٹیلی فون سروس کو سبسکرائب کرتے ہیں جو ان میں سے کسی بھی دو کو کال کے ذریعے جوڑ سکتا ہے، لیکن دو سے زیادہ لوگوں کو جوڑنے والی ایک بھی کال نہیں کر سکتا۔ کنکشن کے کتنے مختلف نمونے ممکن ہیں؟ مثال کے طور پر، تین صارفین کے ساتھ، ایک ٹیلی فون کال بنانے کے تین طریقے ہیں، اور ایک اضافی نمونہ جس میں کوئی کال نہیں کی جا رہی ہے، کل چار نمونوں کے لیے۔ اس وجہ سے، کتنے نمونے ممکن ہیں اس کی گنتی کرنے والے نمبروں کو بعض اوقات ٹیلی فون نمبر کہا جاتا ہے۔ لوگوں کے درمیان جوڑی کے لحاظ سے رابطوں کا ہر نمونہ ایک ارتقاء کی وضاحت کرتا ہے، لوگوں کی ایک ترتیب جو اس کا اپنا الٹا ہے۔ اس ترتیب میں، ایک دوسرے کو کال کرنے والے ہر دو افراد کا تبادلہ کیا جاتا ہے، اور کال میں شامل نہ ہونے والے لوگ اپنی جگہ پر فکسڈ رہتے ہیں۔ اس کے برعکس، ہر ممکنہ ارتقاء میں اس قسم کے جوڑی وار تبادلوں کے ایک سیٹ کی شکل ہوتی ہے۔ لہذا، ٹیلی فون نمبر بھی ارتقاء کو شمار کرتے ہیں۔ ارتقاء کی گنتی کا مسئلہ اصل مشترکہ گنتی کا مسئلہ تھا جس کا مطالعہ روتھے نے 1800 میں کیا تھا اور ان نمبروں کو ارتقاء نمبر بھی کہا جاتا ہے۔ گراف تھیوری میں، گراف کے کناروں کا ایک ذیلی سیٹ جو ہر سرے کو زیادہ سے زیادہ ایک بار چھوتا ہے اسے مماثلت کہا جاتا ہے۔ کیمیائی گراف تھیوری میں دیئے گئے گراف کے ملاپ کی گنتی کرنا اہم ہے، جہاں گراف ماڈل مالیکیولز اور ملاپ کی تعداد ہوسویا انڈیکس ہے۔ - ورٹیکس گراف کا سب سے بڑا ممکنہ ہوسویا انڈیکس مکمل گرافوں کے ذریعے دیا جاتا ہے، جس کے لیے جوڑی کے لحاظ سے رابطوں کا کوئی بھی نمونہ ممکن ہے ؛ اس طرح، عمودی خطوط پر مکمل گراف کا ہوسویا انڈیکس ویں ٹیلی فون نمبر کے برابر ہوتا ہے۔ فیررس خاکہ ایک ہندسی شکل ہے جو ہوائی جہاز میں مربعوں کے مجموعے سے بنتی ہے، جسے ایک پولیومینو میں افقی اوپری کنارے، عمودی بائیں کنارے، اور اوپر دائیں سے نیچے بائیں طرف کناروں کی واحد یک سنگی زنجیر کے ساتھ گروپ کیا جاتا ہے۔ ایک معیاری نوجوان جھانکی 1 سے 1 تک کے نمبروں کو ان مربعوں میں اس طرح رکھ کر بنائی جاتی ہے کہ پوری جھانکی میں تعداد بائیں سے دائیں اور اوپر سے نیچے تک بڑھ جائے۔ رابنسن-شینسٹڈ خط و کتابت کے مطابق، ترتیبات معیاری نوجوان جھانکیوں کے ترتیب شدہ جوڑوں کے ساتھ ایک ایک سے مطابقت رکھتی ہیں۔ کسی ترتیب کو الٹنا دونوں جھانکیوں کو تبدیل کرنے سے مطابقت رکھتا ہے، اور اس لیے خود الٹا ترتیبات واحد جھانکیوں سے مطابقت رکھتی ہیں، جو خود اپنے ساتھ جوڑی بناتی ہیں۔ اس طرح، ٹیلی فون نمبر بھی مربع کے ساتھ نوجوان جھانکیوں کی تعداد کو شمار کرتے ہیں۔ نمائندگی کے نظریہ میں، فیررس ڈایگرام ترتیب کے سمیٹرک گروپ کی ناقابل تلافی نمائندگی سے مطابقت رکھتے ہیں، اور دی گئی شکل کے ساتھ نوجوان ٹیبلو اس شکل کے ساتھ ناقابل تلافی نمائندگی کی بنیاد بناتے ہیں۔ لہذا، ٹیلی فون نمبر ناقابل تلافی نمائندگی کی ڈگریوں کا مجموعہ دیتے ہیں۔ شطرنج کی ریاضی میں، ٹیلی فون نمبر شطرنج کے تختے پر رکوں کو رکھنے کے طریقوں کی تعداد کو اس طرح شمار کرتے ہیں کہ کوئی دو روک ایک دوسرے پر حملہ نہ کریں (نام نہاد آٹھ روک پزل)، اور اس طرح سے کہ رکوں کی ترتیب بورڈ کے اخترن عکاسی کے تحت ہم آہنگ ہو۔ پولیا گنتی تھیوریم کے ذریعے، یہ اعداد باہمی طور پر غیر حملہ آور رکوں کی "بنیادی طور پر مختلف" ترتیبات کی مجموعی تعداد کے لیے فارمولے کے کلیدی اجزاء میں سے ایک بناتے ہیں، جہاں دو ترتیبات کو بنیادی طور پر مختلف شمار کیا جاتا ہے اگر بورڈ کی کوئی ہم آہنگی نہ ہو جو ایک کو دوسرے میں لے جائے۔ ریاضیاتی خصوصیات تکرار ٹیلی فون نمبر اس تکرار کے تعلق کو پورا کرتے ہیں جو پہلی بار 1800 میں ہینرک اگست روتھی نے شائع کیا تھا، جس کے ذریعے ان کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ اس تکرار کی وضاحت کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ٹیلی فون سسٹم میں صارفین کے کنکشن کے نمونوں کو ان نمونوں میں تقسیم کیا جائے جن میں پہلا شخص کسی اور کو کال نہیں کر رہا ہے، اور وہ نمونے جن میں پہلا شخص کال کر رہا ہے۔ کنکشن کے ایسے نمونے ہیں جن میں پہلا شخص منقطع ہو جاتا ہے، جو تکرار کی پہلی اصطلاح کی وضاحت کرتا ہے۔ اگر پہلا شخص کسی سے جڑا ہوا ہے، تو اس شخص کے لیے انتخاب ہیں، اور باقی لوگوں کے لیے رابطے کے نمونے ہیں، جو تکرار کی دوسری مدت کی وضاحت کرتے ہیں۔ خلاصہ فارمولا اور تخمینہ ٹیلی فون نمبروں کا اظہار بالکل خلاصہ کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ پہلی رقم کی ہر اصطلاح میں، مماثل جوڑوں کی تعداد دی جاتی ہے، بائنومیل گتانک مماثل ہونے والے عناصر کو منتخب کرنے کے طریقوں کی تعداد شمار کرتا ہے، اور ڈبل فیکٹوریئل اس کی دلیل تک عجیب عددوں کی پیداوار ہے اور منتخب عناصر سے مکمل طور پر مماثل ہونے کے طریقوں کی تعداد شمار کرتا ہے۔ یہ خلاصہ فارمولہ اور سٹرلنگ کے تخمینے سے ملتا ہے کہ، غیر علامتی طور پر، جنریٹنگ فنکشن ٹیلی فون نمبروں کا ایکسپونینشل جنریٹنگ فنکشن ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ٹیلی فون نمبروں کو ٹیلر سیریز کے کوفیشنٹس کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے، اور واں ٹیلی فون نمبر اس فنکشن کے ویں مشتق کے صفر پر ویلیو ہے۔ یہ فنکشن ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے ایکسپونینشل جنریٹنگ فنکشن سے قریب سے متعلق ہے، جو مکمل گراف کے مماثل کثیر الجہتی ہیں۔ th (ممکنہ) ہرمائیٹ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس کی مطلق اقدار کا مجموعہ th ٹیلی فون نمبر ہے، اور ٹیلی فون نمبروں کو ہرمائیٹ کثیر الجہتی کی کچھ خاص اقدار کے طور پر بھی محسوس کیا جاسکتا ہے: پرائم فیکٹر کی بڑی اقدار کے لیے، th ٹیلی فون نمبر دو کی بڑی طاقت سے تقسیم ہوتا ہے،۔ مزید واضح طور پر، کی اور کی 2-ایڈک ترتیب (پرائم فیکٹرائزیشن میں دو کے عوامل کی تعداد) ہے ؛ اس کے لیے ہے، اور اس کے لیے ہے۔ کسی بھی پرائم نمبر کے لیے، کوئی یہ جانچ سکتا ہے کہ آیا کوئی ٹیلی فون نمبر موجود ہے جو ٹیلی فون نمبروں کی ترتیب، ماڈیولو کے لیے تکرار کا حساب لگا کر تقسیم کیا جا سکتا ہے، جب تک کہ وہ صفر تک نہ پہنچ جائے یا کسی سائیکل کا پتہ نہ لگ جائے۔ کم از کم ایک ٹیلی فون نمبر کو تقسیم کرنے والے پرائمز ہیں۔ اس ترتیب میں عجیب پرائمز کو غیر موثر کہا جاتا ہے۔ ان میں سے ہر ایک لامحدود تعداد میں ٹیلی فون نمبروں کو تقسیم کرتا ہے۔ حوالہ جات عدد ترتیب عددی امتزاج فیکٹوریل اور بائنومیئل موضوعات ملاپ (گراف تھیوری) ترتیبات