Dynamic rectangle
ایک متحرک مستطیل ایک دائیں زاویہ والی، چار رخا شکل (ایک مستطیل) ہے جس میں متحرک ہم آہنگی ہے جس کا مطلب ہے کہ پہلو تناسب (چوڑائی کو اونچائی سے تقسیم کرنا) متحرک ہم آہنگی میں ایک ممتاز قدر ہے، ایک متناسب نظام اور قدرتی ڈیزائن کا طریقہ کار جو جے ہیمبیج کی کتابوں میں بیان کیا گیا ہے۔ یہ متحرک مستطیل ایک مربع سے شروع ہوتے ہیں، جسے مطلوبہ شکل بنانے کے لیے بڑھایا جاتا ہے (آرکس اور کراس پوائنٹس کی ایک سیریز کا استعمال کرتے ہوئے)، جو کہ سنہری مستطیل (1:1.618.)، 2:3 مستطیل، ڈبل مربع (1:2)، یا جڑ مستطیل (1:، 1:، 1:، وغیرہ) ہو سکتا ہے۔ جڑ کے آئتاکار ایک آئتاکار ہے جس میں لمبی طرف اور چھوٹی طرف کا تناسب کسی عدد کا مربع جڑ ہوتا ہے، جیسے،، وغیرہ۔ جڑ-2 مستطیل (شکل میں ACDK۔ 10) مربع کے دو مخالف اطراف کو مربع کے اخترن کی لمبائی تک بڑھا کر تعمیر کیا جاتا ہے۔ جڑ-3 آئتاکار کی تعمیر جڑ-2 آئتاکار کے دو لمبے اطراف کو جڑ-2 آئتاکار کے اخترن کی لمبائی تک بڑھا کر کی جاتی ہے۔ ہر یکے بعد دیگرے جڑ کا مستطیل جڑ کے مستطیل کی لمبائی کے برابر کرنے کے لیے جڑ کے مستطیل کے لمبے اطراف کو بڑھا کر تیار کیا جاتا ہے۔ خصوصیات جب جڑ-N مستطیل کو طویل کنارے کو N حصوں میں تقسیم کرکے N ہم آہنگ مستطیلوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، تو اس کے نتیجے میں آنے والے اعداد و شمار جڑ-N کا تناسب رکھتے ہیں (جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے)۔ جڑ-3 مستطیل کو چھ ٹن بھی کہا جاتا ہے، اور اس کے چھوٹے اور لمبے پہلو متناسب طور پر مسدس کے پہلو اور قطر کے برابر ہوتے ہیں۔ چونکہ 2 4 کا مربع جڑ ہے، اس لیے جڑ-4 آئتاکار کا تناسب 1:2 ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ شانہ بہ شانہ دو مربع کے برابر ہے۔ جڑ-5 مستطیل کا تعلق سنہری تناسب (φ) سے ہے۔ لمبی طرف ایک جمع دو گنا 1/φ (0.618.) کے برابر ہے۔ جڑ-φ مستطیل جڑ-φ مستطیل ایک متحرک مستطیل ہے لیکن جڑ مستطیل نہیں ہے۔ اس کا اخترن چھوٹی طرف کی لمبائی کے φ گنا کے برابر ہے۔ اگر جڑ-φ مستطیل کو اخترن سے تقسیم کیا جائے تو نتیجہ دو ہم آہنگ کیپلر مثلث ہوتے ہیں۔ جے ہیمبیج، متحرک ہم آہنگی کے اپنے نظریہ کے ایک حصے کے طور پر، جڑ کے مستطیلوں کو شامل کرتا ہے جسے وہ متحرک مستطیل کہتے ہیں، جن میں تناسب کے طور پر غیر معقول اور ہندسی حصے ہوتے ہیں، جیسے کہ سنہری تناسب یا مربع جڑیں۔ ہیمبیج ان کو عقلی تناسب والے مستطیلوں سے ممتاز کرتا ہے، جسے وہ جامد مستطیل کہتے ہیں۔ ان کے مطابق، جڑ-2، 3، 4 اور 5 مستطیل اکثر گوتھک اور کلاسیکی یونانی اور رومن آرٹ، اشیاء اور فن تعمیر میں پائے جاتے ہیں، جبکہ جڑ-5 سے زیادہ پہلو تناسب والے مستطیل انسانی ڈیزائن میں شاذ و نادر ہی پائے جاتے ہیں۔ مٹلا گھائکا کے مطابق، ہیمبیج کا متحرک مستطیل ورسن کے 12 آرتھوگنز کو وولف گینگ وان ورسن کی دی بک آف ریکٹینگلز، اسپاٹیل لا اینڈ گیسچرز آف دی آرتھوگنز ڈسکریبڈ (1956) کے مطابق، 12 خصوصی آرتھوگنز کا ایک مجموعہ (جی آر سے) بناتا ہے۔ ορθος، آرتھوس، "سیدھا" اور γονια، گونیا، "زاویہ" ؛ "ایک دائیں زاویہ والی شخصیت"، جو، نتیجے کے طور پر، آئتاکار اور ٹیٹراگونل ہے) تاریخی طور پر فنکاروں، معماروں اور کالیگرافروں کے ذریعہ کسی ڈیزائن میں عناصر کی جگہ اور تعامل کی رہنمائی کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ یہ آرتھوگنز ہیں: مربع (1:1 یا 1:) ڈائیگن (1:) ہیکٹن یا چھ ٹن (1:) ڈوپلکواڈراٹ (1:2 یا 1:) ہیمیولیئن (2:3) اورون (سنہری مستطیل، 1: φ) ہیمیڈیگن (1:1⁄2) پینٹن (1:) ٹرائن (1:2⁄3) کواڈریگن (1: (1 +)/2) بیاورون (1:2φ) بائیپینٹن (1:2) وولف گینگ وان ورسن کی کتاب میں سال 1558 (نشاۃ ثانیہ) کے متن کی ایک غیر معمولی نقل شامل ہے، جس میں 12 آرتھوگنز میں سے سات کے خاکے ہیں اور تمام 12 آرتھوگن، جب ایک ساتھ بنتے ہیں، تو ایک پوری اکائی بناتے ہیں: ایک مربع جو ڈبل مربع میں تیار ہوتا ہے۔ شاید آرٹوگنوں میں سب سے زیادہ مقبول اورون یا سنہری مستطیل ہے، جو اس اخترن کو پیش کرکے تیار کیا جاتا ہے جو مربع کی ایک طرف کے درمیانی نقطہ سے مخالف سرکس میں سے کسی ایک تک جاتا ہے، یہاں تک کہ یہ درمیانی نقطہ کے ساتھ سیدھا ہو جاتا ہے۔ ان میں سے چار آرتھوگن ہارمونک آئتاکار ہیں: اخترن یا جڑ-2 مستطیل مربع کے اخترن کو پیش کرکے تیار کیا جاتا ہے۔ چھ ٹن، ہیکٹن یا جڑ-3 مستطیل ایک اخترن کے اخترن کو پیش کرکے تیار کیا جاتا ہے۔ ڈبل مربع یا جڑ-4 مستطیل ایک ہیکٹن کے اخترن کو پیش کرکے تیار کیا جاتا ہے۔ جڑ-5 مستطیل دوہرے مربع کے اخترن کو پیش کرکے تیار کیا جاتا ہے (یا 180° دونوں اخترن کو پیش کرکے جو مربع کے ایک طرف کے درمیانی نقطہ سے مخالف سرے پر جاتے ہیں)۔ ان اعداد و شمار میں سے دو سب سے زیادہ پیچیدہ ہیں ؛ پینٹن، تناسب 1 کے ساتھ: سنہری اہرام کے حصے سے متعلق ہے، بائیپینٹن کا لمبا پہلو تین کے مربع جڑ کے دو تہائی سے چھوٹا ضرب کے برابر ہے، بیاورون کا لمبا پہلو-1 یا 2 ٹی ٹی گنا چھوٹا ہے۔ کواڈریگن کا تعلق ڈائیگن سے اس معنی میں ہے کہ اس کی لمبی طرف مربع کے ایک چوتھائی کے ڈائیگنل کو پیش کرکے پیدا ہوتی ہے۔ سہ رخی میں مساوی مثلث کی اونچائی اور پہلو کی چوڑائی ہوتی ہے۔ ہیمیڈیگن (1:1⁄2) لمبا رخ جڑ-5 آئتاکار میں سے ایک کا نصف ہے اور آدھا مربع کے اخترن کو پیش کرکے اس وقت تک تیار کیا جاتا ہے جب تک کہ یہ اصل کے ساتھ عمودی نہ ہو۔ مربع اور دوہرے مربع کے علاوہ، فہرست میں شامل واحد دوسرا جامد مستطیل ہیمیولیئن ہے، جو مربع کے 90° یا 180° آدھے حصے کو پیش کر کے تیار ہوتا ہے۔ آرتھوگن کی تعمیر آرتھوگن کے طول و عرض ایک دوسرے سے اور مجموعی طور پر آرتھوگن سے متعلق ہیں۔ اس وجہ سے، آرتھوگنز کا ٹیمپلیٹ یا زیر ساخت کے طور پر استعمال فنکاروں، معماروں اور ڈیزائنرز کے لیے دلچسپی کا باعث ہے۔ آرتھوگن ہمیشہ ایک مربع، کسی بھی مربع سے شروع ہوتے ہیں۔ ایک بار انفرادی آرتھوگن کی تعمیر کے بعد، اضافی متعلقہ پیمائش کا تعین کیا جاتا ہے (چھوٹے، درمیانے، بڑے)۔ ان پیمائشوں کو پھر ڈیزائن (پینٹنگ، فن تعمیر، مٹی کے برتن، فرنیچر، خطاطی، آٹو، وغیرہ) کی رہنمائی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تمام بارہ آرتھوگنوں کے لیے خاکے دستیاب ہیں۔ ورسن کی کتاب میں انفرادی آرتھوگن بنانے کے لیے بہت تفصیلی وضاحتیں ہیں۔ اس کے بعد حاصل کردہ پیمائش کو ڈیزائن میں لاگو کیا جاتا ہے۔ جارجیو مورانڈی کا آرٹ ورک اس بات کی مثال دیتا ہے کہ کس طرح مختلف سائز کی پیمائش (آرتھوگن سے ماخوذ) بصری ہم آہنگی پیدا کر سکتی ہے۔ آرتھوگن اور ڈیزائن آرتھوگن سے متعلق طول و عرض کا زیر ساخت نظام (یا ڈیزائن کے لیے ٹیمپلیٹ) کے طور پر استعمال اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ مختلف حصے مجموعی طور پر ڈیزائن سے متعلق ہوں گے۔ مارکس وٹرویوس پولیو نے "ڈی آرکیٹیکچورا" (جسے فی الحال "دی ٹین بکس آف آرکیٹیکچر" کے نام سے جانا جاتا ہے) کی کتاب تھری میں وضاحت کی ہے: "لہذا، چونکہ فطرت نے انسانی جسم کو اس طرح ڈیزائن کیا ہے کہ اس کے اراکین مجموعی طور پر فریم کے مطابق ہوں، ایسا معلوم ہوتا ہے کہ قدیم لوگوں کے پاس ان کی حکمرانی کی اچھی وجہ تھی، کہ کامل عمارتوں میں مختلف اراکین کو پوری عمومی اسکیم کے بالکل ہم آہنگ تعلقات میں ہونا چاہیے۔ لہذا، ہمیں ہر قسم کی عمارتوں کے مناسب انتظامات فراہم کرتے ہوئے، وہ خاص طور پر دیوتاؤں کے مندروں کے معاملے میں ایسا کرنے میں محتاط تھے، ایسی عمارتیں جن میں خوبیاں اور خامیاں عام طور پر ہمیشہ رہتی ہیں۔ " لیونارڈو کی وٹرووین مین کی ڈرائنگ مجموعی طور پر کام سے متعلق حصوں کے تصور کی ایک مثال ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنے کے لیے ہیمن وے، پریا ؛ ڈیوائن پروپوژن، فائی ان آرٹ، نیچر اینڈ سائنس ؛ 2005، سٹرلنگ پبلشنگ کمپنی، انکارپوریٹڈ، NY، NY۔ کواڈریلیٹرلز کی اقسام