Coxeter complex
ریاضی میں، کاکسٹر کمپلیکس، جس کا نام ایچ ایس ایم کاکسٹر کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک جیومیٹریکل ڈھانچہ (ایک آسان کمپلیکس) ہے جو کاکسٹر گروپ سے وابستہ ہے۔ کاکسٹر کمپلیکس وہ بنیادی اشیاء ہیں جو عمارتوں کی تعمیر کی اجازت دیتی ہیں۔ وہ عمارت کے اپارٹمنٹس بناتے ہیں۔ تعمیر کینونکل لکیری نمائندگی کاکسٹر سسٹم سے وابستہ کاکسٹر کمپلیکس کی تعمیر میں پہلا جزو ایک خاص نمائندگی ہے، جسے کینونکل نمائندگی کہا جاتا ہے۔ کوکسیٹر میٹرکس کے ساتھ ایک کوکسیٹر سسٹم ہونے دیں۔ کینونکل نمائندگی ایک ویکٹر اسپیس کے ذریعہ رسمی علامتوں کی بنیاد کے ساتھ دی جاتی ہے، جو سمیٹرک دو لکیری شکل سے لیس ہوتی ہے۔ خاص طور پر۔ اس کے بعد آن کی کارروائی کی طرف سے دی جاتی ہے۔ کاکسٹر گروپوں کے نظریہ میں اس نمائندگی کی کئی بنیادی خصوصیات ہیں ؛ مثال کے طور پر، مثبت قطعی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ محدود ہو۔ یہ ایک وفادار نمائندگی ہے۔ چیمبرز اور ٹٹس شنک یہ نمائندگی ایک عکاسی گروپ کے طور پر بیان کرتی ہے، جس میں انتباہ مثبت قطعی نہیں ہو سکتا ہے۔ اس کے بعد نمائندگی کو اس کے دوہرے سے الگ کرنا اہم ہو جاتا ہے۔ ویکٹر موجود ہوتے ہیں اور ان کے مطابق دوہری ویکٹر ہوتے ہیں جہاں زاویہ دار بریکٹ اور کے درمیان قدرتی جوڑی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ اب عمل جاری ہے اور عمل کے لیے اور کسی کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ پھر ہائپرپلین میں ایک عکاسی ہوتی ہے۔ ایک کے پاس بنیادی کمرہ ہے ؛ اس کے چہرے نام نہاد دیواریں ہیں۔ دوسرے چیمبرز کو ترجمہ کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے: وہ اس کے لیے ہیں۔ ٹیٹس کون ہے۔ یہ سب کچھ ہونا ضروری نہیں ہے۔ اہم اہمیت اس حقیقت کی ہے جو کنویکس ہے۔ بند کرنا آن کے عمل کے لیے ایک بنیادی ڈومین ہے۔ کاکسٹر کمپلیکس کا کاکسٹر کمپلیکس اس کے حوالے سے ہے، جہاں مثبت حقیقتوں کا ضرب گروپ ہے۔ مثالیں فائنائٹ ڈائیڈرل گروپس ڈائیڈرل گروپس (آرڈر 2n کے) کاکسٹر گروپس ہیں، جو اسی قسم کے ہیں۔ ان کے پاس پریزنٹیشن ہے۔ کی کینونکل لکیری نمائندگی ڈائیڈرل گروپ کی معمول کی عکاسی کی نمائندگی ہے، جیسا کہ طیارہ میں-گون پر کام کرتا ہے (اس صورت میں)۔ مثال کے طور پر، اس صورت میں ہمیں طیارہ میں مساوی مثلث پر عمل کرتے ہوئے کاکسٹر قسم کا گروپ ملتا ہے۔ ہر عکاسی میں دوہری ویکٹر کی جگہ میں ایک وابستہ ہائپرپلین ہوتا ہے (جس کی شناخت بذات خود ویکٹر کی جگہ سے دو لکیری شکل کا استعمال کرتے ہوئے کی جا سکتی ہے، جو اس معاملے میں ایک اندرونی پروڈکٹ ہے جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے) ؛ یہ دیواریں ہیں۔ انہوں نے چیمبروں کو کاٹ دیا، جیسا کہ ذیل میں دیکھا گیا ہے: کاکسٹر کمپلیکس پھر متعلقہ-گون ہے، جیسا کہ اوپر کی تصویر میں ہے۔ یہ طول و عرض 1 کا ایک آسان کمپلیکس ہے، اور اسے قسم کے لحاظ سے رنگا جا سکتا ہے۔ لامحدود ڈائیڈرل گروپ ایک اور محرک مثال لامحدود ڈائیڈرل گروپ ہے۔ اسے حقیقی لکیر کی ہم آہنگی کے گروپ کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے جو انٹیجر کوآرڈینیٹس کے ساتھ پوائنٹس کے سیٹ کو محفوظ رکھتا ہے۔ یہ اور میں عکاسی سے پیدا ہوتا ہے۔ اس گروپ میں کاکسٹر پریزنٹیشن ہے۔ اس صورت میں، اب اس کی دوہری جگہ کے ساتھ شناخت کرنا ممکن نہیں ہے، جیسا کہ انحطاط ہے۔ اس کے بعد صرف اس کے ساتھ کام کرنا بہتر ہے، جہاں ہائپرپلین کی وضاحت کی گئی ہے۔ اس کے بعد یہ مندرجہ ذیل تصویر دیتا ہے: اس صورت میں، ٹٹس شنک پورا طیارہ نہیں ہے، بلکہ صرف اوپری نصف طیارہ ہے۔ حصص کو مثبت حقیقی سے لے کر پھر حقیقی لکیر کی ایک اور کاپی حاصل ہوتی ہے، جس میں انٹیجرز پر نشان زدہ پوائنٹس ہوتے ہیں۔ یہ لامحدود ڈائیڈرل گروپ کا کاکسٹر کمپلیکس ہے۔ کاکسٹر کمپلیکس کی متبادل تعمیر کاکسٹر کمپلیکس کی ایک اور تفصیل کاکسٹر گروپ کے معیاری کوسیٹ کا استعمال کرتی ہے۔ ایک معیاری کوسیٹ فارم کا ایک کوسیٹ ہے، جہاں کے کچھ مناسب ذیلی سیٹ کے لیے۔ مثال کے طور پر اور۔ کاکسٹر کمپلیکس اس کے بعد معیاری کوسیٹس کا پوزیٹ ہے، جو ریورس شمولیت کے ذریعہ ترتیب دیا گیا ہے۔ اس میں ایک سادہ کمپلیکس کا کینونکل ڈھانچہ ہے، جیسا کہ تمام پوسیٹس جو مطمئن کرتے ہیں: کسی بھی دو عناصر کی سب سے بڑی نچلی حد ہوتی ہے۔ کسی دیئے گئے عنصر سے کم یا اس کے برابر عناصر کا پوزیٹ کچھ عدد n کے ذیلی سیٹوں کے پوزیٹ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ خصوصیات کاکسٹر کمپلیکس سے وابستہ طول و عرض ہوتا ہے۔ یہ a-دائرے کے لیے ہومومورفک ہے اگر W محدود ہے اور اگر W لامحدود ہے تو سکڑ سکتا ہے۔ گول چوہوں کی عمارت کا ہر اپارٹمنٹ ایک کاکسٹر کمپلیکس ہے۔ یہ بھی دیکھیں بلڈنگز ویل گروپ روٹ سسٹم حوالہ جات ذرائع پیٹر ابرامینکو اور کینتھ ایس براؤن، بلڈنگز، تھیوری اینڈ ایپلی کیشنز۔ سپرنگر، 2008۔ گروپ تھیوری الجبرائی امتزاج ہندسی گروپ تھیوری ریاضیاتی ڈھانچے