Thales's theorem
جیومیٹری میں، تھیلز تھیوریم بیان کرتا ہے کہ اگر،، اور ایک دائرے پر الگ الگ نکات ہیں جہاں لکیر قطر ہے، تو زاویہ ایک صحیح زاویہ ہے۔ تھیلز تھیوریم کندہ شدہ زاویہ تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے اور یوکلڈ کے عناصر کی تیسری کتاب میں 31 ویں تجویز کے حصے کے طور پر اس کا ذکر اور ثابت کیا گیا ہے۔ اسے عام طور پر تھیلز آف میلیٹس سے منسوب کیا جاتا ہے، لیکن بعض اوقات اسے پایتھاگورس سے منسوب کیا جاتا ہے۔ تاریخ بابل کے ریاضی دان اسے یونانی ریاضی دانوں کے ثابت کرنے سے پہلے ہی خاص معاملات کے لیے جانتے تھے۔ تھیلز آف میلیٹس (ابتدائی چھٹی صدی قبل مسیح) کو روایتی طور پر اس نظریہ کو ثابت کرنے کا سہرا دیا جاتا ہے۔ تاہم، یہاں تک کہ 5 ویں صدی قبل مسیح تک بھی تھیلز کی تحریر کا کچھ بھی موجود نہیں تھا، اور ایجادات اور نظریات کو بعد کے ڈاکسگرافروں نے افواہوں اور قیاس آرائیوں کی بنیاد پر تھیلز اور پائیتھاگورس جیسے عقلمند افراد سے منسوب کیا۔ تھیلز کا حوالہ پروکولس (5 ویں صدی عیسوی) نے دیا تھا، اور ڈیوجینس لایرٹیئس (تیسری صدی عیسوی) نے پامفلا کے (پہلی صدی عیسوی) بیان کو دستاویزی شکل دیتے ہوئے کہا تھا کہ تھیلز "ایک دائرے میں دائیں زاویہ مثلث کو تحریر کرنے والے پہلے شخص تھے"۔ تھیلز کے بارے میں دعوی کیا گیا تھا کہ انہوں نے مصر اور بابل کا سفر کیا تھا، جہاں ان کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ انہوں نے جیومیٹری اور فلکیات کے بارے میں سیکھا اور وہاں سے ان کے علم کو یونانیوں تک پہنچایا، ساتھ ہی ساتھ جیومیٹرک ثبوت کے تصور کو ایجاد کیا اور مختلف جیومیٹرک نظریات کو ثابت کیا۔ تاہم، ان دعووں میں سے کسی کے لیے کوئی براہ راست ثبوت موجود نہیں ہے، اور وہ غالبا قیاس آرائی پر مبنی استدلال ایجاد کیے گئے تھے۔ جدید اسکالرز کا خیال ہے کہ یونانی کٹوتی جیومیٹری جیسا کہ یوکلڈ کے عناصر میں پایا جاتا ہے چوتھی صدی قبل مسیح تک تیار نہیں ہوا تھا، اور تھالس کا کوئی بھی ہندسی علم مشاہداتی ہو سکتا ہے۔ تھیوریم یوکلڈ کے عناصر () کی کتاب دوم میں تجویز 31 کے طور پر ظاہر ہوتا ہے: "ایک دائرے میں سیمی سرکل کا زاویہ درست ہے، کہ ایک بڑے حصے میں دائیں زاویہ سے کم ہے، اور یہ کہ دائیں زاویہ سے کم حصے میں ؛ مزید بڑے حصے کا زاویہ دائیں زاویہ سے زیادہ ہے، اور چھوٹے حصے کا زاویہ دائیں زاویہ سے کم ہے۔" ڈینٹے کا پیراڈیسو (کینٹو 13، لائنیں 101-102) ایک تقریر کے دوران تھیلز کے نظریہ سے مراد ہے۔ ثبوت پہلا ثبوت درج ذیل حقائق استعمال کیے جاتے ہیں: مثلث میں زاویوں کا مجموعہ 180° کے برابر ہوتا ہے اور آئسوسلز مثلث کے بنیادی زاویہ برابر ہوتے ہیں۔ چونکہ، اور آاسوسیلیس مثلث ہیں، اور آاسوسیلیس مثلث کے بنیادی زاویوں کی مساوات سے، اور۔ لیٹ اینڈ۔ مثلث کے تین اندرونی زاویے ہیں، اور۔ چونکہ مثلث کے زاویوں کا مجموعہ 180° کے برابر ہے، اس لیے ہمارے پاس ق. ای. ڈی ہے۔ دوسرا ثبوت تھیوریم کو مثلثی کا استعمال کرتے ہوئے بھی ثابت کیا جا سکتا ہے: چلو، اور۔ پھر اکائی دائرے پر ایک نقطہ ہے۔ ہم یہ ثابت کر کے دکھائیں گے کہ یہ سیدھا زاویہ بناتا ہے اور عمودی ہے-یعنی ان کی ڈھلوانوں کا پروڈکٹ −1 کے برابر ہے۔ ہم اور کے لیے ڈھلوانوں کا حساب لگاتے ہیں: پھر ہم دکھاتے ہیں کہ ان کا پروڈکٹ −1 کے برابر ہے: پایتھاگورین ٹرگونومیٹرک شناخت کے استعمال کو نوٹ کریں تیسرا ثبوت آئیے ایک دائرے میں ایک مثلث ہو جہاں اس دائرے میں قطر ہو۔ پھر لکیر کے اوپر عکس بنا کر ایک نیا مثلث بنائیں اور پھر اسے دوبارہ اس لکیر کے اوپر عکس بنا کر جو دائرے کے مرکز سے گزرتی ہے۔ چونکہ لکیریں اور متوازی ہیں، اسی طرح اور کے لیے، کواڈریلیٹرل ایک متوازی ہندسہ ہے۔ چونکہ لکیریں اور متوازی ہندسے کے اخترن، دونوں دائرے کے قطر ہیں اور اس لیے ان کی لمبائی برابر ہے، اس لیے متوازی ہندسہ ایک مستطیل ہونا چاہیے۔ ایک مستطیل میں تمام زاویے صحیح زاویے پر ہوتے ہیں۔ کسی بھی مثلث کے لیے، اور، خاص طور پر، کسی بھی دائیں مثلث کے لیے، مثلث کے تینوں عمودی حصوں پر مشتمل بالکل ایک دائرہ ہوتا ہے۔ (ثبوت کا خاکہ۔ دو دیئے گئے پوائنٹس سے مساوی فاصلے پر پوائنٹس کا لوکس ایک سیدھی لکیر ہے جسے پوائنٹس کو جوڑنے والے لائن سیگمنٹ کا پرپینڈکولر بائیسیکٹر کہا جاتا ہے۔ مثلث کے کسی بھی دو اطراف کے عمودی دو حصوں بالکل ایک نقطہ میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ یہ نقطہ مثلث کے عمودی حصوں سے مساوی فاصلے پر ہونا چاہیے۔) اس دائرے کو مثلث کا دائرہ کہا جاتا ہے۔ تھیلز تھیوریم کی تشکیل کا ایک طریقہ یہ ہے کہ: اگر مثلث کے گردشی دائرے کا مرکز مثلث پر واقع ہے تو مثلث صحیح ہے، اور اس کے گردشی دائرے کا مرکز اس کے ہائپوٹینوس پر واقع ہے۔ تھیلز تھیوریم کا الٹا یہ ہے کہ: دائیں مثلث کے گردشی دائرے کا مرکز اس کے ہائپوٹینوس پر ہوتا ہے۔ (مساوی طور پر، ایک دائیں مثلث کا ہائپوٹینوس اس کے دائرے کا قطر ہوتا ہے۔) جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے الٹا کا ثبوت یہ ثبوت دائیں مثلث کو ایک مستطیل بنانے کے لیے 'مکمل' کرنے پر مشتمل ہوتا ہے اور یہ دیکھتا ہے کہ اس مستطیل کا مرکز عمودی سے مساوی فاصلے پر ہے اور اسی طرح اصل مثلث کے گردشی دائرے کا مرکز بھی ہے، یہ دو حقائق کا استعمال کرتا ہے: متوازی ہندسے میں ملحقہ زاویہ اضافی ہوتے ہیں (180° میں شامل کریں) اور، ایک مستطیل کے اخترن برابر ہوتے ہیں اور اپنے درمیانی نقطہ میں ایک دوسرے کو عبور کرتے ہیں۔ ایک سیدھا زاویہ، گزرنے کے متوازی ایک لکیر، اور گزرنے کے متوازی ایک لکیر ہونے دیں۔ لائنوں اور کے انٹرسیکشن کا نقطہ ہونے دیں۔ (یہ ثابت نہیں ہوا ہے کہ دائرہ پر ہے۔) کواڈریلیٹرل تعمیر کے ذریعے ایک متوازی شکل بناتا ہے (کیونکہ مخالف اطراف متوازی ہوتے ہیں)۔ چونکہ متوازی ہندسے میں ملحقہ زاویہ ضمیمہ ہوتے ہیں (180° میں اضافہ کریں) اور ایک صحیح زاویہ (90°) ہوتا ہے تو زاویہ بھی درست ہوتے ہیں (90°) ؛ نتیجتا یہ ایک مستطیل ہوتا ہے۔ ڈائیگنلز اور کے انٹرسیکشن کا نقطہ ہونے دیں۔ پھر نقطہ، اوپر دی گئی دوسری حقیقت کے مطابق،، اور سے مساوی فاصلہ رکھتا ہے۔ اور اسی طرح گردشی دائرے کا مرکز ہے، اور مثلث () کا ہائپوٹینوس دائرے کا قطر ہے۔ جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے متغیر کا متبادل ثبوت ہائپوٹینوس کے ساتھ ایک دائیں مثلث کو دیکھتے ہوئے، ایک دائرہ بنائیں جس کا قطر ہے۔ اس کا مرکز بنیں۔ آئیے اور رے کا انٹرسیکشن بنیں۔ تھیلز تھیوریم کے مطابق، درست ہے۔ لیکن پھر برابر ہونا چاہیے۔ (اگر اندر پڑا ہے، تو گھٹیا ہوگا، اور اگر باہر پڑا ہے، تو شدید ہوگا۔) لکیری الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے الٹا کا ثبوت یہ ثبوت دو حقائق کا استعمال کرتا ہے: دو لائنیں ایک صحیح زاویہ بناتی ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کے دشاتمک ویکٹروں کا ڈاٹ پروڈکٹ صفر ہو، اور ویکٹر کی لمبائی کا مربع ویکٹر کے ڈاٹ پروڈکٹ کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ ایک سیدھا زاویہ اور قطر کے ساتھ دائرہ ہونے دیں۔ آسان حساب کے لیے M کے مرکز کو اصل پر پڑا رہنے دیں۔ پھر ہم جانتے ہیں، کیونکہ اصل پر مرکوز دائرے کا قطر ہوتا ہے، اور، کیونکہ یہ ایک صحیح زاویہ ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اور اصل سے مساوی فاصلے پر ہیں، یعنی۔ مرکز سے۔ چونکہ اس پر واقع ہے، اسی طرح ہوتا ہے، اور اس لیے دائرہ مثلث کا دائرہ ہے۔ مندرجہ بالا حسابات درحقیقت یہ ثابت کرتے ہیں کہ تھیلز تھیوریم کی دونوں سمتیں کسی بھی اندرونی پروڈکٹ اسپیس میں درست ہیں۔ عمومی اور متعلقہ نتائج تھیلز تھیوریم مندرجہ ذیل تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے: تین پوائنٹس دیئے گئے ہیں، اور مرکز کے ساتھ ایک دائرے پر، زاویہ زاویہ سے دوگنا بڑا ہے۔ کندہ شدہ زاویہ دیکھیں، اس نظریہ کا ثبوت اوپر دیے گئے تھیلز کے نظریہ کے ثبوت سے بالکل ملتا جلتا ہے۔ تھیلز تھیوریم سے متعلق نتیجہ مندرجہ ذیل ہے: اگر دائرے کا قطر ہے، تو: اگر دائرے کے اندر ہے، تو اگر دائرے پر ہے، تو اگر دائرے سے باہر ہے، تو۔ ایپلیکیشن تھیلز تھیوریم کو کسی دیئے گئے دائرے میں ٹینجینٹ کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کسی دیئے گئے نقطہ سے گزرتا ہے۔ دائیں طرف کی شکل میں، مرکز کے ساتھ دیا گیا دائرہ اور باہر کا نقطہ، مرکز کے ساتھ دائرے کے دائرے کو دو حصوں میں تقسیم کریں اور کھینچیں۔ اس دائرے کا قطر ہے، لہذا او پی کو پوائنٹس سے جوڑنے والے مثلث اور جہاں دائرے ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، دونوں صحیح مثلث ہیں۔ تھیلز تھیوریم کو کسی دائرے کے مرکز کو تلاش کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جس میں کسی صحیح زاویہ والی چیز کا استعمال کیا جاتا ہے، جیسے کہ دائرے سے بڑا کاغذ کا سیٹ مربع یا آئتاکار شیٹ۔ زاویہ اس کے دائرے پر کہیں بھی رکھا جاتا ہے (شکل 1)۔ دائرے کے ساتھ دونوں اطراف کے چوراہے قطر کی وضاحت کرتے ہیں (شکل 2)۔ چوراہوں کے مختلف سیٹ کے ساتھ اسے دہرانے سے ایک اور قطر حاصل ہوتا ہے (شکل 3)۔ مرکز قطر کے چوراہے پر ہے۔ یہ بھی دیکھیں مصنوعی جیومیٹری الٹا پائیتھاگورین تھیوریم نوٹس بیرونی روابط منچنگ آن انسکرائبڈ اینگلز تھیلز تھیوریم کی وضاحت، انٹرایکٹو اینیمیشن ڈیموس آف تھیلز تھیوریم مائیکل شریبر، دی وولفرم ڈیمنسٹریشن پروجیکٹ کے ساتھ۔ یوکلیڈین طیارہ جیومیٹری ثبوت پر مشتمل مضامین صحیح مثلث کے بارے میں نظریات مثلث اور حلقوں کے بارے میں نظریات: ٹیوریما ڈی Tales#Segundo ٹیوریما وہ: мсφτ талс #המשפט асни