Jordan curve theorem
ٹوپولوجی میں، اردن وکر تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ ہر اردن وکر (ایک طیارہ سادہ بند وکر) سطح کو ایک "اندرونی" خطے میں تقسیم کرتا ہے جو منحنی خطوط سے گھرا ہوا ہے اور ایک "بیرونی" خطہ جس میں تمام قریبی اور دور کے بیرونی نکات ہوتے ہیں۔ ایک خطے کے ایک نقطہ کو دوسرے کے ایک نقطہ سے جوڑنے والا ہر مسلسل راستہ منحنی خطوط سے کہیں ٹکرا جاتا ہے۔ اگرچہ نظریہ بدیہی طور پر واضح معلوم ہوتا ہے، لیکن اسے ابتدائی ذرائع سے ثابت کرنے کے لیے کچھ ذہانت درکار ہوتی ہے۔ "اگرچہ جے سی ٹی سب سے مشہور ٹپوولوجیکل تھیوریمز میں سے ایک ہے، لیکن بہت سے ایسے ہیں، یہاں تک کہ پیشہ ور ریاضی دانوں میں بھی، جنہوں نے کبھی اس کا ثبوت نہیں پڑھا۔" ()۔ زیادہ شفاف ثبوت الجبرائی ٹوپولوجی کی ریاضیاتی مشینری پر انحصار کرتے ہیں، اور یہ اعلی جہتی خالی جگہوں پر عام ہونے کا باعث بنتے ہیں۔ اردن وکر تھیوریم کا نام ریاضی دان کیملی جورڈن (1838-1922) کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اس کا پہلا ثبوت پایا۔ کئی دہائیوں تک، ریاضی دانوں کا عام طور پر خیال تھا کہ یہ ثبوت ناقص ہے اور یہ کہ پہلا سخت ثبوت اوسوالڈ ویبلن نے کیا تھا۔ تاہم، اس تصور کو تھامس سی ہیلز اور دیگر نے الٹ دیا ہے۔ تعریف اور اردن تھیوریم کا بیان A اردن وکر یا طیارہ R2 میں ایک سادہ بند وکر طیارہ میں ایک دائرے کے انجیکشن مسلسل نقشے کی شبیہہ C ہے، φ: S1 → R2۔ ہوائی جہاز میں اردن آرک ہوائی جہاز میں بند اور پابند وقفے کے انجیکشن مسلسل نقشے کی تصویر ہے۔ یہ ایک طیارہ وکر ہے جو ضروری نہیں کہ ہموار ہو اور نہ ہی الجبرائی ہو۔ متبادل طور پر، اردن وکر ایک مسلسل نقشے کی شبیہہ ہے φ: [0,1] → R2 اس طرح کہ φ (0) = φ (1) اور φ سے [0,1) کی پابندی انجکشن ہے۔ پہلی دو شرائط کا کہنا ہے کہ C ایک مسلسل لوپ ہے، جبکہ آخری شرط یہ طے کرتی ہے کہ C کا کوئی سیلف انٹرسیکشن پوائنٹ نہیں ہے۔ ان تعریفوں کے ساتھ، اردن وکر تھیوریم کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے: اس کے برعکس، طیارہ میں اردن آرک کی تکمیل جڑی ہوئی ہے۔ ثبوت اور عمومییاں جارڈن وکر تھیوریم کو 1911 میں ایچ لیبسگ اور ایل ای جے بروور نے آزادانہ طور پر اعلی جہتوں کے لیے عام کیا تھا، جس کے نتیجے میں جارڈن-بروور علیحدگی تھیوریم وجود میں آیا۔ ثبوت ہومیولوجی تھیوری کا استعمال کرتا ہے۔ سب سے پہلے یہ ثابت کیا جاتا ہے کہ، زیادہ عام طور پر، اگر X k-دائرے کے لیے ہومومورفک ہے، تو Y = Rn + 1\X کے کم شدہ انٹیگرل ہومیولوجی گروپس مندرجہ ذیل ہیں: یہ میئر-ویتورس ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے k میں انڈکشن کے ذریعے ثابت ہوتا ہے۔ جب n = k، Y کی صفر کم شدہ ہومیولوجی کا درجہ 1 ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ Y کے 2 جڑے ہوئے اجزاء ہیں (جو اس کے علاوہ، راستہ جڑے ہوئے ہیں)، اور تھوڑا سا اضافی کام کے ساتھ، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ان کی مشترکہ حد X ہے۔ جے ڈبلیو الیگزینڈر نے مزید عمومی شکل پائی، جس نے آر این + 1 کے کمپیکٹ سب سیٹ ایکس کی کم شدہ ہم آہنگی اور اس کی تکمیل کی کم شدہ ہم آہنگی کے درمیان الیگزینڈر دوہری حیثیت قائم کی۔ اگر X بغیر حد کے Rn + 1 (یا Sn + 1) کا ایک n-جہتی کمپیکٹ منسلک ذیلی منی فولڈ ہے، تو اس کی تکمیل میں 2 منسلک اجزاء ہوتے ہیں۔ اردن وکر تھیوریم کی مضبوطی ہے، جسے اردن-شونفلیز تھیوریم کہا جاتا ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ R2 میں اردن وکر کے ذریعہ طے شدہ اندرونی اور بیرونی طیارہ والے علاقے یونٹ ڈسک کے اندرونی اور بیرونی حصے میں ہومومورفک ہیں۔ خاص طور پر، اندرونی علاقے میں کسی بھی نقطہ P اور اردن کے منحنی خطوط پر ایک نقطہ A کے لیے، ایک اردن آرک موجود ہے جو P کو A سے جوڑتا ہے اور، اختتامی نقطہ A کے استثناء کے ساتھ، مکمل طور پر اندرونی علاقے میں واقع ہے۔ اردن-شونفلیز تھیوریم کی ایک متبادل اور مساوی تشکیل اس بات پر زور دیتی ہے کہ کوئی بھی اردن وکر φ: S1 → R2، جہاں S1 کو طیارہ میں اکائی دائرے کے طور پر دیکھا جاتا ہے، کو ہومیومورفزم تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ لیبسگیو اور بروور کی جارڈن وکر تھیوریم کی عمومی شکل کے برعکس، یہ بیان اعلی جہتوں میں غلط ہو جاتا ہے: جبکہ R3 میں یونٹ بال کا بیرونی حصہ صرف جڑا ہوا ہے، کیونکہ یہ یونٹ کے دائرے پر پیچھے ہٹ جاتا ہے، الیگزینڈر سینگ والا دائرہ R3 ہومومورفک کا ایک ذیلی سیٹ ہے جو ایک دائرے میں ہے، لیکن خلا میں اتنا مڑا ہوا ہے کہ R3 میں اس کی تکمیل کا غیر محدود جزو محض جڑا ہوا نہیں ہے، اور اس وجہ سے یونٹ بال کے بیرونی حصے سے ہومومورفک نہیں ہے۔ مجرد ورژن جارڈن وکر تھیوریم کو بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم (2 جہتوں میں) سے ثابت کیا جا سکتا ہے، اور بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کو ہیکس تھیوریم سے ثابت کیا جا سکتا ہے: "ہیکس کے ہر کھیل میں کم از کم ایک فاتح ہوتا ہے"، جس سے ہم منطقی مضمرات حاصل کرتے ہیں: ہیکس تھیوریم سے مراد بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم ہے، جس سے جارڈن وکر تھیوریم ظاہر ہوتا ہے۔ یہ واضح ہے کہ اردن وکر تھیوریم "مضبوط ہیکس تھیوریم" سے مراد ہے: "ہیکس کا ہر کھیل بالکل ایک فاتح کے ساتھ ختم ہوتا ہے، جس میں دونوں فریقوں کے ہارنے یا دونوں فریقوں کے جیتنے کا کوئی امکان نہیں ہوتا ہے"، اس طرح اردن وکر تھیوریم مضبوط ہیکس تھیوریم کے مساوی ہے، جو کہ خالصتا ایک مجرد تھیوریم ہے۔ بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم، دو مساوی تھیوریمز کے درمیان سینڈوچ ہونے کی وجہ سے بھی دونوں کے مساوی ہے۔ الٹا ریاضی، اور کمپیوٹر رسمی ریاضی میں، جارڈن وکر تھیوریم کو عام طور پر پہلے مضبوط ہیکس تھیوریم کی طرح مساوی مجرد ورژن میں تبدیل کرکے، پھر مجرد ورژن کو ثابت کرکے ثابت کیا جاتا ہے۔ امیج پروسیسنگ کے لیے اطلاق امیج پروسیسنگ میں، بائنری پکچر 0 اور 1 کا ایک مجرد مربع گرڈ ہے، یا اس کے مساوی، امیج پروسیسنگ کا ایک کمپیکٹ ذیلی سیٹ ہے۔ ٹوپولوجیکل غیر متغیرات، جیسے اجزاء کی تعداد، اگر مناسب طور پر بیان کردہ گراف ڈھانچہ نہ ہو تو اس کی اچھی طرح سے وضاحت کرنے میں ناکام ہو سکتے ہیں۔ گراف کے دو واضح ڈھانچے ہیں: "4-پڑوسی مربع گرڈ"، جہاں ہر سرے سے جڑا ہوا ہے۔ "8-پڑوسی مربع گرڈ"، جہاں ہر ورٹیکس آئی ایف ایف کے ساتھ جڑا ہوا ہے، اور۔ دونوں گراف ڈھانچے مضبوط ہیکس تھیوریم کو مطمئن کرنے میں ناکام رہتے ہیں۔ 4-پڑوسی مربع گرڈ کوئی فاتح صورتحال کی اجازت دیتا ہے، اور 8-پڑوسی مربع گرڈ دو فاتح صورتحال کی اجازت دیتا ہے۔ نتیجتا، جڑے ہوئے خصوصیات، جیسے اردن وکر تھیوریم، کسی بھی گراف ڈھانچے کے تحت عام نہیں ہوتے ہیں۔ اگر "6-پڑوسی مربع گرڈ" ڈھانچہ اس پر عائد کیا جاتا ہے، تو یہ ہیکساگونل گرڈ ہے، اور اس طرح مضبوط ہیکس تھیوریم کو مطمئن کرتا ہے، جس سے اردن وکر تھیوریم کو عام کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ اس وجہ سے، بائنری امیج میں منسلک اجزاء کی کمپیوٹنگ کرتے وقت، 6 پڑوسی مربع گرڈ عام طور پر استعمال ہوتا ہے۔ اسٹین ہاؤس شطرنج بورڈ تھیوریم کچھ معنوں میں اسٹین ہاؤس شطرنج بورڈ تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ 4-پڑوسی گرڈ اور 8-پڑوسی گرڈ "ایک ساتھ" اردن وکر تھیوریم کو ظاہر کرتا ہے، اور 6-پڑوسی گرڈ ان کے درمیان ایک عین مطابق انٹرپولیشن ہے۔ نظریہ میں کہا گیا ہے کہ: فرض کریں کہ آپ شطرنج کے تختے پر کچھ چوکوں پر بم ڈالتے ہیں، تاکہ کوئی بادشاہ بم پر قدم رکھے بغیر نیچے سے اوپر کی طرف نہ جا سکے، تب ایک کشتی بائیں طرف سے دائیں طرف صرف بموں پر قدم رکھ کر چل سکتی ہے۔ تاریخ اور مزید ثبوت اردن وکر تھیوریم کا بیان شروع میں واضح لگ سکتا ہے، لیکن اسے ثابت کرنا ایک مشکل نظریہ ہے۔ برنارڈ بولزانو نے سب سے پہلے ایک درست قیاس آرائی تیار کی، یہ مشاہدہ کرتے ہوئے کہ یہ خود واضح بیان نہیں تھا، بلکہ اس کے لیے ثبوت کی ضرورت تھی۔ کثیر الاضلاعات کے لیے اس نتیجے کو قائم کرنا آسان ہے، لیکن مسئلہ اسے ہر قسم کے بری طرح سے برتاؤ کرنے والے منحنی خطوط پر عام کرنے میں آیا، جس میں کہیں بھی تفریق کے قابل منحنی خطوط شامل نہیں ہیں، جیسے کہ کوچ سنوفلیک اور دیگر فریکٹل منحنی خطوط، یا یہاں تک کہ مثبت علاقے کا اردن وکر بھی شامل ہے۔ اس نظریہ کا پہلا ثبوت کیملی جورڈن نے حقیقی تجزیہ پر اپنے لیکچرز میں دیا تھا، اور یہ ان کی کتاب کورس ڈی اینالیس ڈی ایل ایکول پولی ٹیکنک میں شائع ہوا تھا۔ اس بارے میں کچھ تنازعہ ہے کہ آیا اردن کا ثبوت مکمل تھا: اس پر تبصرہ کرنے والوں کی اکثریت نے دعوی کیا ہے کہ پہلا مکمل ثبوت بعد میں اوسوالڈ ویبلن نے دیا تھا، جس نے اردن کے ثبوت کے بارے میں درج ذیل کہا: تاہم، اس کا ثبوت بہت سے ریاضی دانوں کے لیے غیر تسلی بخش ہے۔ یہ ایک سادہ کثیر الاضحی کے اہم خصوصی معاملے میں ثبوت کے بغیر نظریہ کو فرض کرتا ہے، اور اس نقطہ سے ہونے والی دلیل کے بارے میں، کم از کم یہ تسلیم کرنا چاہیے کہ تمام تفصیلات نہیں دی گئی ہیں۔ تاہم، تھامس سی ہیلز نے لکھا: تقریبا ہر جدید حوالہ جو مجھے ملا ہے اس بات سے اتفاق کرتا ہے کہ پہلا درست ثبوت ویبلن کی وجہ سے ہے۔ اردن کے ثبوت پر شدید تنقید کے پیش نظر، میں حیران رہ گیا جب میں اس کے ثبوت کو پڑھنے بیٹھا تو مجھے اس میں کچھ بھی قابل اعتراض نہیں ملا۔ تب سے، میں نے متعدد مصنفین سے رابطہ کیا ہے جنہوں نے اردن پر تنقید کی ہے، اور ہر معاملے میں مصنف نے اعتراف کیا ہے کہ اسے اردن کے ثبوت میں کسی غلطی کا براہ راست علم نہیں ہے۔ ہیلز نے یہ بھی نشاندہی کی کہ سادہ کثیر الاضحی کا خاص معاملہ نہ صرف ایک آسان مشق ہے، بلکہ اسے واقعی اردن نے ویسے بھی استعمال نہیں کیا تھا، اور مائیکل ریکن کے حوالے سے کہا: اردن کا ثبوت بنیادی طور پر درست ہے۔ اردن کا ثبوت تفصیلات کو تسلی بخش انداز میں پیش نہیں کرتا ہے۔ لیکن خیال درست ہے، اور کچھ پالش کے ساتھ ثبوت بے عیب ہوگا۔ اس سے پہلے، اردن کا ثبوت اور چارلس جین ڈی لا ویلی پوسن کا ایک اور ابتدائی ثبوت پہلے ہی شونفلیز (1924) کے ذریعہ تنقیدی تجزیہ اور مکمل کیا جا چکا تھا۔ کم جہتی ٹوپولوجی اور پیچیدہ تجزیے میں اردن وکر تھیوریم کی اہمیت کی وجہ سے، اس نے 20 ویں صدی کے پہلے نصف کے ممتاز ریاضی دانوں کی طرف سے بہت توجہ حاصل کی۔ نظریہ اور اس کی عمومی شکلوں کے مختلف ثبوت جے ڈبلیو الیگزینڈر، لوئس انٹون، لڈوگ بیبرباخ، لیوٹزن بروور، آرنوڈ ڈینجوئے، فریڈرک ہارٹگس، بیلا کیریکجرٹو، الفریڈ پرنگشیم، اور آرتھر مورٹز شینفلیز نے تیار کیے تھے۔ اردن وکر تھیوریم کے نئے ابتدائی ثبوتوں کے ساتھ ساتھ پہلے کے ثبوتوں کو آسان بنانا جاری ہے۔ بنیادی ثبوت اور کے ذریعے پیش کیے گئے۔ غیر معیاری تجزیہ کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت۔ تعمیری ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت۔ بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت۔ مکمل دو طرفہ گراف K3,3 کی غیر واضحیت کا استعمال کرتے ہوئے ایک ثبوت دیا گیا تھا۔ مشکل کی جڑ کو اس طرح بیان کیا گیا ہے۔ یہ ثابت کرنا نسبتا آسان ہے کہ اردن وکر تھیوریم ہر اردن کثیر الاضحی (لیما 1) کے لیے ہے، اور ہر اردن وکر کو اردن کثیر الاضحی (لیما 2) کے ذریعے من مانی طور پر اچھی طرح سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ اردن کثیر الاضحی ایک کثیر الاضحی سلسلہ ہے، جو ایک منسلک کھلے سیٹ کی حد ہے، اسے کھلا کثیر الاضحی کہتے ہیں، اور اس کی بندش، بند کثیر الاضحی۔ بند کثیر الاضحی میں موجود سب سے بڑی ڈسک کے قطر پر غور کریں۔ ظاہر ہے، مثبت ہے۔ اردن کے کثیر الاضلاعات کی ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے (جو دیئے گئے اردن کے منحنی خطوط میں یکجا ہوتے ہیں) ہمارے پاس ایک ترتیب ہے جو ممکنہ طور پر ایک مثبت نمبر میں تبدیل ہوتی ہے، جو اردن کے منحنی خطوط سے منسلک بند علاقے میں موجود سب سے بڑی ڈسک کا قطر ہے۔ تاہم، ہمیں یہ ثابت کرنا ہوگا کہ ترتیب صفر پر یکجا نہیں ہوتی، صرف دی گئی اردن وکر کا استعمال کرتے ہوئے، نہ کہ ممکنہ طور پر منحنی خطوط سے گھرا ہوا خطہ۔ یہ ٹوربرگ کی لیما 3 کا نقطہ ہے۔ تقریبا، بند کثیر الاضلاعات کو ہر جگہ پتلی سے صفر نہیں ہونا چاہیے۔ مزید برآں، انہیں کہیں بھی صفر سے پتلا نہیں ہونا چاہیے، جو کہ ٹوربرگ کے لیما 4 کا نقطہ ہے۔ اردن وکر تھیوریم کا پہلا رسمی ثبوت جنوری 2005 میں ایچ او ایل لائٹ سسٹم میں بنایا گیا تھا، اور اس میں تقریبا 60,000 لائنیں تھیں۔ 2005 میں میزر نظام کا استعمال کرتے ہوئے ریاضی دانوں کی ایک بین الاقوامی ٹیم نے 6,500 لائنوں کا ایک اور سخت رسمی ثبوت پیش کیا۔ میزر اور ایچ او ایل لائٹ پروف دونوں پہلے ثابت شدہ نظریات کی کتب خانوں پر انحصار کرتے ہیں، اس لیے یہ دونوں سائز موازنہ نہیں کر سکتے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ الٹا ریاضی میں جارڈن وکر تھیوریم نظام پر کمزور کینیگ کے لیما کے برابر ہے۔ کمپیوٹیشنل جیومیٹری میں، جارڈن وکر تھیوریم کو یہ جانچنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ آیا کوئی نقطہ سادہ کثیر الاضحی کے اندر ہے یا باہر۔ کسی دیئے گئے نقطہ سے، ایک ایسی کرن کا سراغ لگائیں جو کثیر الاضحی کے کسی بھی سرے سے نہیں گزرتی ہے (تمام کرنیں لیکن ایک محدود تعداد آسان ہے)۔ پھر، کثیر الاضحی کے کنارے کے ساتھ شعاع کے چوراہوں کی تعداد کا حساب لگائیں۔ اردن وکر تھیوریم ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ نقطہ کثیر الاضحی کے اندر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب عجیب ہو۔ کمپیوٹیشنل پہلو ایڈلر، ڈسکلاکس اور ڈیمین ثابت کرتے ہیں کہ اردن کے نظریہ کا ایک کمپیوٹیشنل ورژن پی پی اے ڈی مکمل ہے۔ نتیجہ کے طور پر، وہ ظاہر کرتے ہیں کہ اردن کا نظریہ بروور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم سے مراد ہے۔ یہ میہرا کے ابتدائی نتیجہ کی تکمیل کرتا ہے، کہ بروور کا فکسڈ پوائنٹ تھیوریم اردن کے تھیوریم کو ظاہر کرتا ہے۔ ڈینجوئے-ریز تھیوریم بھی دیکھیں، جو طیارہ میں پوائنٹس کے کچھ سیٹوں کی تفصیل ہے جو اردن کے منحنی خطوط کے ذیلی سیٹ ہو سکتے ہیں۔ ایک ریاضیاتی گروپ جو اردن کے منحنی خطوط کے حوالہ جات کو محفوظ رکھتا ہے۔ مصنف کی سائٹ بیرونی روابط میزر میں اردن کے وکر تھیوریم کا مکمل 6,500 لائن رسمی ثبوت۔ اینڈریو رانیکی کے ہوم پیج پر اردن وکر تھیوریم کے ثبوتوں کا مجموعہ جارڈن وکر تھیوریم (پی ڈی ایف) کا ایک سادہ ثبوت بذریعہ ڈیوڈ بی گالڈ تھیوریمز ان ٹوپولوجی منحنی خطوط