Sylvester–Gallai configuration
جیومیٹری میں، سلویسٹر-گلائی ترتیب ایک پروجیکٹو اسپیس کے نکات کے ایک محدود ذیلی سیٹ پر مشتمل ہوتی ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ ذیلی سیٹ میں کسی بھی دو نکات سے گزرنے والی لکیر بھی ذیلی سیٹ کے کم از کم ایک دوسرے نقطہ سے گزرتی ہے۔ سلویسٹر-گلائی ترتیبات کو پروجیکٹو اسپیس کے پوائنٹس کے ذیلی سیٹ کے طور پر بیان کرنے کے بجائے، انہیں پوائنٹس اور لائنوں کے تجریدی واقعات کے ڈھانچے کے طور پر بیان کیا جاسکتا ہے، جو ان خصوصیات کو مطمئن کرتا ہے کہ، ہر جوڑے کے پوائنٹس کے لیے، ڈھانچے میں بالکل ایک لائن شامل ہوتی ہے جس میں جوڑا ہوتا ہے اور یہ کہ ہر لائن میں کم از کم تین پوائنٹس ہوتے ہیں۔ اس زیادہ عام شکل میں انہیں سلویسٹر-گلائی ڈیزائن بھی کہا جاتا ہے۔ ایک قریب سے متعلق تصور سلویسٹر میٹرائڈ ہے، ایک میٹرائڈ جس کی وہی خاصیت ہے جو سلویسٹر-گلائی ترتیب کی ہے جس میں دو نکاتی لائنیں نہیں ہیں۔ حقیقی اور پیچیدہ سرایت یوکلڈین سطح میں، حقیقی پروجیکٹو طیارہ، اعلی جہتی یوکلڈین خالی جگہیں یا حقیقی پروجیکٹو خالی جگہیں، یا کسی ترتیب شدہ میدان میں نقاط والی خالی جگہیں، سلویسٹر-گلائی تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ واحد ممکنہ سلویسٹر-گلائی ترتیبات ایک جہتی ہیں: وہ تین یا زیادہ کالینیئر پوائنٹس پر مشتمل ہوتے ہیں۔ اس حقیقت سے اور ہیس ترتیب کی مثال سے یہ پوچھنے کے لیے متاثر کیا گیا تھا کہ کیا پیچیدہ تعداد کے نقاط والی جگہوں میں، ہر سلویسٹر-گلائی ترتیب زیادہ سے زیادہ دو جہتی ہے۔ سوال دہرایا۔ سیرے کے سوال کا مثبت جواب دیا۔ کیلی کے ثبوت کو آسان بنایا، اور اسی طرح ثابت کیا کہ کواٹرنیئن کوآرڈینیٹس والی جگہوں میں، تمام سلویسٹر-گلائی ترتیبات کو تین جہتی ذیلی جگہ کے اندر ہونا چاہیے۔ پروجیکٹو کنفیگریشن نے پروجیکٹو کنفیگریشن کا مطالعہ کیا جو سلویسٹر-گلائی کنفیگریشن بھی ہیں۔ ایک پروجیکٹو کنفیگریشن میں اضافی ضرورت ہوتی ہے کہ ہر دو پوائنٹس کے ذریعے لائنوں کی تعداد مساوی ہو اور ہر دو لائنوں میں پوائنٹس کی تعداد مساوی ہو۔ سلویسٹر-گلائی ترتیبات میں، مثال کے طور پر، محدود فیلڈز پر بیان کردہ کسی بھی جہت کی افائن اور پروجیکٹو خالی جگہیں شامل ہیں، اور یہ سب بھی پروجیکٹو ترتیبات ہیں۔ ہر پروجیکٹو ترتیب کو ایک اشارہ (پی اے ایل بی) دیا جا سکتا ہے، جہاں پی پوائنٹس کی تعداد، ایل لائنوں کی تعداد، فی پوائنٹ لائنوں کی تعداد، اور بی فی لائن پوائنٹس کی تعداد ہے، جو مساوات پی اے = ایل بی کو مطمئن کرتی ہے۔ موٹزکن نے مشاہدہ کیا کہ، ان پیرامیٹرز کے لیے سلویسٹر-گلائی ڈیزائن کی وضاحت کرنے کے لیے، یہ ضروری ہے کہ b> 2، وہ p <l (پروجیکٹو اسپیس میں غیر کالینیئر پوائنٹس کے کسی بھی سیٹ کے لیے کم از کم اتنی ہی لائنوں کا تعین کرتا ہے جتنی پوائنٹس) اور یہ کہ وہ اضافی مساوات کی بھی پابندی کرتے ہیں۔ سلویسٹر-گلائی کے ڈیزائن جو پروجیکٹو کنفیگریشن بھی ہیں، وہی ہیں جو ایس ٹی (2، بی، پی) پیرامیٹرز والے اسٹینر سسٹم کے ہیں۔ موٹزکن نے اس قسم کی چھوٹی ترتیبات کی کئی مثالیں درج کیں: 7373، فانو طیارہ کے پیرامیٹرز، دو عناصر کے میدان پر پروجیکٹو طیارہ۔ 94123، ہیس کی ترتیب کے پیرامیٹرز۔ یہ تین عناصر کے میدان پر افائن طیارہ ہے، اور پیچیدہ تعداد کے نقاط کے ساتھ بھی محسوس کیا جا سکتا ہے، جو کہ ایک انلیپٹک وکر کے انفلیکشن پوائنٹس کے سیٹ کے طور پر ہے۔ 134134، تین عناصر کے میدان پر پروجیکٹو طیارہ کے پیرامیٹرز۔ 136263، دو 13-عنصر اسٹینر ٹرپل سسٹمز کے پیرامیٹرز۔ 157353، دو عنصر والے فیلڈ پر تین جہتی پروجیکٹو اسپیس کے پیرامیٹرز اور 79 دیگر اسٹینر ٹرپل سسٹمز 165204، چار عنصر والے فیلڈ پر افائن پلین کے پیرامیٹرز۔ 215215، چار عناصر کے میدان پر پروجیکٹو طیارہ کے پیرامیٹرز۔ 256305، پانچ عناصر کے میدان پر افائن طیارہ کے پیرامیٹرز۔ اور سلویسٹر-گلائی ڈیزائنوں کی متبادل ہندسی نمائندگی کا مطالعہ کیا، جس میں ڈیزائن کے نکات کو چار جہتی جگہ میں سکیو لائنوں کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے اور ڈیزائن کی ہر لائن کو ہائپرپلین کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ سات نکاتی اور 13 نکاتی پروجیکٹو طیاروں دونوں میں اس قسم کی نمائندگی ہوتی ہے۔ دیگر مثالوں میں عام طور پر زیادہ سے زیادہ 14 نکات پر تمام غیر کالینیئر سلویسٹر-گلائی ترتیبات اور سلویسٹر-گلائی ڈیزائن کی درجہ بندی کی گئی ہے۔ ان میں دس پوائنٹس کے ساتھ ایک منفرد ڈیزائن شامل ہے۔ اس میں، کچھ پوائنٹس تین چار نکاتی لائنوں میں موجود ہیں جبکہ دیگر پوائنٹس تین تین نکاتی لائنوں اور ایک چار نکاتی لائن سے تعلق رکھتے ہیں۔ ایک منفرد 11 نکاتی سلویسٹر-گلائی ڈیزائن، دو مختلف 12 نکاتی ڈیزائن، اور چار بے قاعدہ 13 نکاتی ڈیزائن بھی ہیں۔ 14 پوائنٹس کے لیے، انہوں نے پایا کہ ایک بار پھر صرف ایک ممکنہ سلویسٹر-گلائی ڈیزائن تھا۔ حوالہ جات۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ترتیبات (جیومیٹری)