Chapman–Kolmogorov equation
ریاضی میں، خاص طور پر امکانی نظریہ میں مارکووین اسٹاکسٹک عمل کے نظریہ میں، چیپمین-کولموگوروف مساوات (سی کے ای) ایک شناخت ہے جو اسٹاکسٹک عمل پر نقاط کے مختلف سیٹوں کی مشترکہ امکان کی تقسیم سے متعلق ہے۔ یہ مساوات برطانوی ریاضی دان سڈنی چیپ مین اور روسی ریاضی دان آندرے کولموگوروف دونوں نے آزادانہ طور پر اخذ کی تھی۔ حالیہ متغیر بایسیائی طریقوں میں سی کے ای نمایاں طور پر استعمال ہوتا ہے۔ ریاضیاتی تفصیل فرض کریں کہ {فائی} بے ترتیب متغیرات کا ایک اشاریہ بند مجموعہ ہے، یعنی ایک غیر معمولی عمل۔ آئیے بے ترتیب متغیرات f1 سے fn کی اقدار کا مشترکہ امکان کثافت فنکشن ہے۔ پھر، چیپمین-کولموگوروف مساوات یعنی ہے۔ پریشان کن متغیر پر سیدھا سیدھا پسماندگی۔ (نوٹ کریں کہ بے ترتیب متغیرات کی عارضی (یا کسی اور) ترتیب کے بارے میں ابھی تک کچھ نہیں فرض کیا گیا ہے-مندرجہ بالا مساوات ان میں سے کسی کی پسماندگی پر یکساں طور پر لاگو ہوتی ہے۔) وقت کے پھیلاؤ والے مارکوف زنجیروں پر اطلاق جب زیر غور سٹوچسٹک عمل مارکووین ہوتا ہے، تو چیپمین-کولموگوروف مساوات منتقلی کی کثافت پر شناخت کے برابر ہوتی ہے۔ مارکوف چین کی ترتیب میں، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ i1 <. <in۔ پھر، مارکوف پراپرٹی کی وجہ سے، جہاں مشروط امکان اوقات کے درمیان منتقلی کا امکان ہے۔ لہذا، چیپمین-کولموگوروف مساوات غیر رسمی طور پر شکل اختیار کرتی ہے، اس میں کہا گیا ہے کہ حالت 1 سے حالت 3 پر جانے کا امکان 1 سے انٹرمیڈیٹ اسٹیٹ 2 اور پھر 2 سے 3 تک جانے کے امکانات سے پایا جا سکتا ہے، تمام ممکنہ انٹرمیڈیٹ اسٹیٹس 2 کو جوڑ کر۔ جب مارکوف سلسلہ کی ریاستی جگہ پر امکان کی تقسیم مجرد ہوتی ہے اور مارکوف سلسلہ یکساں ہوتا ہے، تو چیپ مین-کولموگوروف مساوات کو (ممکنہ طور پر لامحدود جہتی) میٹرکس ضرب کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے، اس طرح: جہاں P (t) جمپ t کا ٹرانزیشن میٹرکس ہے، یعنی، P (t) میٹرکس اس طرح ہے کہ اندراج (i، j) میں سلسلہ کے t مراحل میں حالت i سے حالت j میں منتقل ہونے کا امکان ہوتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، یہ اس طرح ہے کہ جمپ t کے ٹرانزیشن میٹرکس کا حساب لگانے کے لیے، جمپ ون کے ٹرانزیشن میٹرکس کو t کی طاقت تک بڑھانا کافی ہے، یعنی چیپ مین-کولموگوروف مساوات کی تفریقی شکل کو ماسٹر مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مزید دیکھیں فوکر-پلانک مساوات (جسے کولموگوروف فارورڈ مساوات بھی کہا جاتا ہے) کولموگوروف بیکورڈ مساوات مارکوف زنجیروں کی مثالیں مزید پڑھنا بیرونی روابط مساوات مارکوف اسٹاکسٹک کیلکولس پر عمل کرتا ہے