Ridge detection
امیج پروسیسنگ میں، رج کا پتہ لگانے کی کوشش، سافٹ ویئر کے ذریعے، کسی تصویر میں پہاڑیوں کا پتہ لگانے کی کوشش ہے، جس کی تعریف منحنی خطوط کے طور پر کی گئی ہے جن کے نکات فنکشن کے مقامی زیادہ سے زیادہ ہوتے ہیں، جو جغرافیائی پہاڑیوں سے ملتے جلتے ہیں۔ N متغیرات کے فنکشن کے لیے، اس کی ریجز منحنی خطوط کا ایک مجموعہ ہیں جن کے نکات N−1 طول و عرض میں مقامی زیادہ سے زیادہ ہوتے ہیں۔ اس سلسلے میں، رج پوائنٹس کا تصور مقامی زیادہ سے زیادہ کے تصور کو بڑھاتا ہے۔ اسی کے مطابق، کسی فنکشن کے لیے وادیوں کے تصور کی تعریف مقامی زیادہ سے زیادہ کی شرط کو مقامی کم سے کم کی شرط سے تبدیل کر کے کی جا سکتی ہے۔ رج سیٹوں اور ویلی سیٹوں کا اتحاد، کنیکٹر سیٹ کہلانے والے متعلقہ نکات کے ساتھ مل کر، منحنی خطوط کا ایک منسلک مجموعہ بناتا ہے جو تقسیم کرتا ہے، ایک دوسرے کو کاٹتا ہے، یا فنکشن کے اہم نکات پر ملتا ہے۔ سیٹوں کے اس اتحاد کو فنکشن کا رشتہ دار تنقیدی سیٹ کہا جاتا ہے۔ رج سیٹ، ویلی سیٹ، اور رشتہ دار تنقیدی سیٹ کسی فنکشن کے لیے اندرونی اہم ہندسی معلومات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ایک طرح سے، وہ فنکشن کی اہم خصوصیات کی ایک جامع نمائندگی فراہم کرتے ہیں، لیکن فنکشن کی عالمی خصوصیات کا تعین کرنے کے لیے انہیں کس حد تک استعمال کیا جا سکتا ہے یہ ایک کھلا سوال ہے۔ رج کا پتہ لگانے اور وادی کا پتہ لگانے کے طریقہ کار کی تخلیق کا بنیادی محرک امیج تجزیہ اور کمپیوٹر وژن سے آیا ہے اور امیج ڈومین میں لمبی ہوئی اشیاء کے اندرونی حصے کو پکڑنا ہے۔ واٹرشیڈ کے لحاظ سے رج سے متعلق نمائشیں تصویر کی تقسیم کے لیے استعمال کی گئی ہیں۔ گراف پر مبنی نمائندگی کے ذریعے اشیاء کی شکلوں کو پکڑنے کی کوششیں بھی کی گئی ہیں جو امیج ڈومین میں پہاڑیوں، وادیوں اور اہم نکات کی عکاسی کرتی ہیں۔ تاہم، اگر صرف ایک پیمانے پر شمار کیا جائے تو اس طرح کی نمائشیں انتہائی شور کے لیے حساس ہو سکتی ہیں۔ چونکہ پیمانے پر خلائی نظریاتی حسابات میں گوسیائی (ہموار) دانا کے ساتھ ارتقاء شامل ہوتا ہے، اس لیے یہ امید کی جاتی ہے کہ پیمانے پر خلائی نظریہ کے تناظر میں کثیر پیمانے پر پہاڑیوں، وادیوں اور اہم نکات کے استعمال سے تصویر میں اشیاء (یا شکلوں) کی زیادہ مضبوط نمائندگی کی اجازت ملنی چاہیے۔ اس سلسلے میں، پہاڑیوں اور وادیوں کو قدرتی دلچسپی کے مقامات یا مقامی انتہائی مقامات کی تکمیل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ مناسب طور پر بیان کردہ تصورات کے ساتھ، شدت کی زمین کی تزئین میں پہاڑیوں اور وادیوں (یا شدت کی زمین کی تزئین سے حاصل کردہ کسی اور نمائندگی میں) مقامی ظاہری شکل پر مقامی رکاوٹوں کو منظم کرنے کے لیے ایک پیمانے پر غیر متغیر کنکال تشکیل دے سکتے ہیں، جس طرح سے بلم کا درمیانی محور تبدیل ہوتا ہے اس سے متعدد معیاری مماثلتوں کے ساتھ بائنری امیجز کے لیے ایک شکل کا کنکال فراہم کرتا ہے۔ عام ایپلی کیشنز میں، ریج اور ویلی ڈسکرپٹرز اکثر فضائی تصاویر میں سڑکوں کا پتہ لگانے اور ریٹنا امیجز یا تین جہتی مقناطیسی گونج امیجز میں خون کی وریدوں کا پتہ لگانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ دو جہتی تصویر میں ایک مقررہ پیمانے پر پہاڑیوں اور وادیوں کی متفرق ہندسی تعریف آئیے ایک دو جہتی فنکشن کی نشاندہی کریں، اور گوسی فنکشن کے ساتھ جوڑ کر حاصل کردہ پیمانے کی جگہ کی نمائندگی کریں۔ مزید برآں، مقامی دشاتمک مشتق آپریٹرز پر لاگو کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن (ایک گردش) کے ساتھ پیمانے کی جگہ کی نمائندگی کے ہیسیئن میٹرکس کی آئجین ویلیوز کو ظاہر کریں، جہاں p اور q گھومنے والے کوآرڈینیٹ سسٹم کے کوآرڈینیٹ ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگر ہم انتخاب کریں تو تبدیل شدہ کوآرڈینیٹ سسٹم میں مخلوط مشتق صفر ہے۔ پھر، ایک مقررہ پیمانے پر پہاڑیوں کی ایک رسمی تفریق ہندسی تعریف کو ان نکات کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو اسی طرح مطمئن کرتے ہیں، پیمانے کی وادیاں پوائنٹس کا مجموعہ ہیں۔ ایک مربوط نظام کے لحاظ سے تصویر کے میلان کے متوازی سمت کے ساتھ جہاں یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس پہاڑی اور وادی کی تعریف کو مساوی طور پر کہاں لکھا جا سکتا ہے اور اس کی علامت قطعیت کا تعین کرتی ہے۔ پہاڑیوں اور وادیوں کے لیے۔ دو جہتی تصاویر سے متغیر پیمانے کی چھتوں کا حساب اوپر پیش کردہ فکسڈ اسکیل رج کی تعریف کے ساتھ ایک اہم مسئلہ یہ ہے کہ یہ پیمانے کی سطح کے انتخاب کے لیے بہت حساس ہو سکتا ہے۔ تجربات سے پتہ چلتا ہے کہ گوسیئن پری ہموار کرنے والے دانے کے پیمانے کے پیرامیٹر کو امیج ڈومین میں رج ڈھانچے کی چوڑائی کے مطابق احتیاط سے ٹیون کیا جانا چاہیے، تاکہ رج ڈٹیکٹر بنیادی تصویری ڈھانچے کی عکاسی کرنے والا منسلک منحنی خطوط تیار کر سکے۔ پیشگی معلومات کی عدم موجودگی میں اس مسئلے سے نمٹنے کے لیے، اسکیل-اسپیس ریجز کا تصور متعارف کرایا گیا ہے، جو اسکیل پیرامیٹر کو رج کی تعریف کی ایک موروثی خاصیت کے طور پر پیش کرتا ہے اور اسکیل-اسپیس رج کے ساتھ اسکیل کی سطح کو مختلف کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مزید برآں، اسکیل اسپیس رج کا تصور اسکیل پیرامیٹر کو امیج ڈومین میں رج ڈھانچوں کی چوڑائی پر خود بخود ٹیون کرنے کی بھی اجازت دیتا ہے، درحقیقت ایک اچھی طرح بیان کردہ تعریف کے نتیجے میں۔ ادب میں، اس خیال کی بنیاد پر متعدد مختلف نقطہ نظر تجویز کیے گئے ہیں۔ آئیے ریج کی طاقت کی پیمائش کی نشاندہی کریں (ذیل میں بیان کیا جائے گا)۔ پھر، دو جہتی تصویر کے لیے، اسکیل اسپیس رج پوائنٹس کا مجموعہ ہے جو اس بات کو پورا کرتا ہے کہ اسکیل اسپیس کی نمائندگی میں اسکیل پیرامیٹر کہاں ہے۔ اسی طرح، اسکیل-اسپیس ویلی پوائنٹس کا مجموعہ ہے جو مطمئن کرتا ہے۔ اس تعریف کا فوری نتیجہ یہ ہے کہ دو جہتی تصویر کے لیے اسکیل-اسپیس ریجز کا تصور تین جہتی اسکیل-اسپیس میں ایک جہتی منحنی خطوط کے ایک سیٹ کو باہر نکالتا ہے، جہاں اسکیل-اسپیس رج (یا اسکیل-اسپیس ویلی) کے ساتھ اسکیل پیرامیٹر کو مختلف ہونے کی اجازت ہے۔ امیج ڈومین میں رج ڈسکرپٹر پھر دو جہتی امیج پلین میں اس تین جہتی منحنی خطوط کا ایک پروجیکشن ہوگا، جہاں ہر رج پوائنٹ پر ایٹریبیوٹ اسکیل کی معلومات کو اس پوائنٹ کے پڑوس میں امیج ڈومین میں رج ڈھانچے کی چوڑائی کے قدرتی تخمینے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ادب میں، چوٹی کی طاقت کے مختلف اقدامات تجویز کیے گئے ہیں۔ جب لنڈےبرگ (1996، 1998) نے اسکیل-اسپیس رج کی اصطلاح تیار کی، تو اس نے رج کی طاقت کے تین اقدامات پر غور کیا: اس کے ساتھ-نارملائزڈ مشتقات کے لحاظ سے ظاہر ہونے والی اہم بنیادی منحنیت۔ - نارملائزڈ مربع آئجین ویلیو فرق کا مربع-نارملائزڈ آئجین ویلیو فرق کا مربع-نارملائزڈ مشتقات کا تصور یہاں ضروری ہے، کیونکہ یہ رج اور ویلی ڈٹیکٹر الگورتھم کو مناسب طریقے سے انشانکن کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ ضرورت ہوتی ہے کہ دو (یا تین جہتوں) میں سرایت شدہ ایک جہتی گوسیئن ریج کے لیے پتہ لگانے کا پیمانہ ریج ڈھانچے کی چوڑائی کے برابر ہونا چاہیے جب لمبائی کی اکائیوں میں ماپا جائے (پتہ لگانے والے فلٹر کے سائز اور تصویر کے ڈھانچے کے درمیان مماثلت کی ضرورت جس کا وہ جواب دیتا ہے)، اس کے بعد کسی کو انتخاب کرنا چاہیے۔ ریج کی طاقت کے ان تین اقدامات میں سے، پہلا وجود ایک عام مقصد کی ریج کی طاقت کی پیمائش ہے جس میں خون کی شریانوں کا پتہ لگانے اور سڑک نکالنے جیسے بہت سے استعمال ہوتے ہیں۔ اس کے باوجود، اس وجود کو فنگر پرنٹ بڑھانے، ریئل ٹائم ہینڈ ٹریکنگ اور اشارے کی شناخت کے ساتھ ساتھ تصاویر اور ویڈیو میں انسانوں کا پتہ لگانے اور ان کا سراغ لگانے کے لیے مقامی تصویری اعداد و شمار کی ماڈلنگ جیسے ایپلی کیشنز میں استعمال کیا گیا ہے۔ قریب سے متعلق دیگر رج تعریفیں بھی ہیں جو کے مضمر مفروضے کے ساتھ نارملائزڈ مشتقات کا استعمال کرتی ہیں۔ ان طریقوں کو مزید تفصیل سے تیار کریں۔ تاہم، جب پہاڑیوں کا پتہ لگایا جائے تو، پتہ لگانے کا پیمانہ اس سے دوگنا بڑا ہوگا، جس کے نتیجے میں شکل کی مسخ زیادہ ہوگی اور امیج ڈومین میں قریبی مداخلت کرنے والے تصویری ڈھانچوں کے ساتھ پہاڑیوں اور وادیوں کو پکڑنے کی صلاحیت کم ہوگی۔ ڈیجیٹل تصاویر میں پہاڑیوں اور وادیوں کا تصور 1983 میں ہیرالک اور 1984 میں کرولی نے گوسیائی اہراموں کے فرق کے حوالے سے متعارف کرایا تھا۔ طبی امیج کے تجزیے میں رج ڈسکریپٹرس کے اطلاق کا بڑے پیمانے پر مطالعہ پیزر اور اس کے ساتھی کارکنوں نے کیا ہے جس کے نتیجے میں ایم-ریپس کے بارے میں ان کا تصور سامنے آیا ہے۔ رینج کا پتہ لگانے کو بھی لنڈےبرگ نے-نارملائزڈ مشتقات اور اسکیل-اسپیس ریجز کے تعارف کے ساتھ آگے بڑھایا ہے جس کی وضاحت مسافت اور زیادہ پیمانے پر ہیسیئن میٹرکس (یا رج کی طاقت کے دیگر اقدامات) کے مناسب طور پر نارملائزڈ مین پرنسپل منحنی خطوط کی مقامی زیادہ سے زیادہ تعریف سے کی گئی ہے۔ یہ تصورات بعد میں اسٹیگر اور دیگر کے ذریعہ سڑک نکالنے کے اطلاق کے ساتھ تیار کیے گئے ہیں۔ اور فرانگی اور دیگر کے ذریعہ خون کی شریانوں کی تقسیم کے لیے۔ اس کے ساتھ ساتھ ساتو اور دیگر کے ذریعہ منحنی اور نلکے دار ڈھانچوں کا پتہ لگانے کے لیے۔ اور کریسیئن اور دیگر۔ کوینڈرینک اور وین ڈورن نے ایک مقررہ پیمانے پر کلاسیکی رج کی کئی تعریفوں کا جائزہ لیا ہے جن میں ان کے درمیان تعلقات بھی شامل ہیں۔ جہاز نکالنے کی تکنیکوں کا جائزہ کرباس اور کیوک نے پیش کیا ہے۔ N طول و عرض میں پہاڑیوں اور وادیوں کی تعریف اس کے وسیع تر معنوں میں، پہاڑی کا تصور حقیقی قدر والے فنکشن کے مقامی زیادہ سے زیادہ کے خیال کو عام کرتا ہے۔ فنکشن کے ڈومین میں ایک نقطہ فنکشن کا مقامی زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے اگر اس پراپرٹی کے ساتھ کوئی فاصلہ ہو کہ اگر اس کی اکائیوں کے اندر ہو تو۔ یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ اہم نکات، جن میں سے مقامی زیادہ سے زیادہ صرف ایک قسم کے ہوتے ہیں، فنکشن کے ڈومین میں سب سے زیادہ غیر معمولی حالات (یعنی غیر معمولی معاملات) کے علاوہ الگ تھلگ نکات ہوتے ہیں۔ اس شرط کو نرم کرنے پر غور کریں کہ قدرے کے پورے محلے میں صرف اس کی ضرورت ہوتی ہے کہ یہ ایک جہتی ذیلی سیٹ پر برقرار رہے۔ ممکنہ طور پر یہ نرمی پوائنٹس کے سیٹ کی اجازت دیتی ہے جو معیار کو پورا کرتی ہے، جسے ہم رج کہیں گے، کم از کم عام صورت میں، ایک ڈگری کی آزادی حاصل کرنے کے لیے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ریج پوائنٹس کا سیٹ ایک جہتی لوکس، یا ریج وکر بنائے گا۔ نوٹ کریں کہ مذکورہ بالا کو مقامی منیما کے خیال کو عام کرنے کے لیے تبدیل کیا جا سکتا ہے اور اس کے نتیجے میں جسے 1 جہتی وادی منحنی خطوط کہا جا سکتا ہے۔ رج کی یہ مندرجہ ذیل تعریف ایبرلی کی کتاب کی پیروی کرتی ہے اور اسے اوپر بیان کردہ رج کی کچھ تعریفوں کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک کھلا سیٹ ہونے دیں، اور ہموار رہیں۔ جانے دیں۔ آئیے at کا گریڈینٹ بنیں، اور آئیے at کا ہیسیئن میٹرکس بنیں۔ آئیجین اسپیس میں ایک یونٹ آئجین ویکٹر ہونے دیں اور اس کی ترتیب شدہ آئجین ویلیوز ہونے دیں۔ (اس کے لیے، کسی کو یہ فرض کرنا چاہیے کہ تمام آئجن ویلیوز الگ ہیں۔) نقطہ 1 جہتی ریج پر ایک نقطہ ہے اگر مندرجہ ذیل شرائط برقرار ہیں:، اور کے لیے۔ یہ اس تصور کو درست بناتا ہے جو اس مخصوص جہتی ذیلی جگہ تک محدود ہے جس میں مقامی زیادہ سے زیادہ ہے۔ یہ تعریف قدرتی طور پر k-جہتی ریج کو مندرجہ ذیل طور پر عام کرتی ہے: نقطہ k-جہتی ریج پر ایک نقطہ ہے اگر مندرجہ ذیل شرائط برقرار رہیں:، اور کے لیے۔ بہت سے طریقوں سے، یہ تعریفیں قدرتی طور پر کسی فنکشن کے مقامی زیادہ سے زیادہ کو عام کرتی ہیں۔ زیادہ سے زیادہ کنویکسٹی ریجز کی خصوصیات کو ڈیمن اور ملر نے ٹھوس ریاضیاتی بنیاد پر رکھا ہے۔ ایک پیرامیٹر والے خاندانوں میں ان کی جائیدادیں کیلر نے قائم کی تھیں۔ زیادہ سے زیادہ پیمانے کی ریج مندرجہ ذیل تعریف کا سراغ فرٹش سے لگایا جا سکتا ہے جو دو جہتی گرے اسکیل امیجز میں اعداد و شمار کے بارے میں ہندسی معلومات نکالنے میں دلچسپی رکھتے تھے۔ فرٹش نے اپنی تصویر کو "میڈیالنیس" فلٹر سے فلٹر کیا جس سے اسے پیمانے کی جگہ میں "حد سے دور" کے اعداد و شمار کے مترادف معلومات ملی۔ اس تصویر کے کناروں کو، جو ایک بار اصل تصویر کے ساتھ پیش کیا گیا تھا، اصل تصویر کے شکل کے کنکال (مثال کے طور پر، بلم میڈیئل محور) کے مترادف ہونا تھا۔ اس کے بعد تین متغیرات کے فنکشن کی زیادہ سے زیادہ پیمانے کی رج کی تعریف ہے، جن میں سے ایک "پیمانے" کا پیمانہ ہے۔ ایک چیز جو ہم اس تعریف میں درست ہونا چاہتے ہیں وہ یہ ہے کہ، اگر اس ریج پر ایک نقطہ ہے، تو اس مقام پر فنکشن کی قیمت پیمانے کے طول و عرض میں زیادہ سے زیادہ ہے۔ چلو ایک ہموار تفریق پذیر فنکشن ہے۔ زیادہ سے زیادہ پیمانے کی ریج پر ایک نقطہ ہے اگر اور صرف اگر اور، اور اور۔ کنارے کا پتہ لگانے اور ریج کا پتہ لگانے کے درمیان تعلقات ریج کا پتہ لگانے کا مقصد عام طور پر کسی لمبی ہوئی شے کی ہم آہنگی کے بڑے محور کو پکڑنا ہوتا ہے، جبکہ کنارے کا پتہ لگانے کا مقصد عام طور پر شے کی حد کو پکڑنا ہوتا ہے۔ تاہم، کنارے کا پتہ لگانے سے متعلق کچھ ادب میں غلط طریقے سے کناروں کے تصور میں پہاڑیوں کا تصور شامل ہے، جو صورتحال کو الجھاتا ہے۔ تعریفوں کے لحاظ سے، ایج ڈیٹیکٹرز اور رج ڈیٹیکٹرز کے درمیان قریبی تعلق ہے۔ کینی کی طرف سے دی گئی غیر زیادہ سے زیادہ کی تشکیل کے ساتھ، یہ مانا جاتا ہے کہ کناروں کی تعریف ان نکات کے طور پر کی جاتی ہے جہاں میلان کی شدت میلان کی سمت میں مقامی زیادہ سے زیادہ فرض کرتی ہے۔ اس تعریف کو ظاہر کرنے کے تفریق ہندسی طریقے پر عمل کرتے ہوئے، ہم مذکورہ بالا مربوط نظام میں بیان کر سکتے ہیں کہ پیمانے کی جگہ کی نمائندگی کی میلان کی شدت، جو-سمت میں فرسٹ آرڈر ڈائرکشنل مشتق کے برابر ہے، کا پہلا آرڈر ڈائرکشنل مشتق-سمت میں صفر کے برابر ہونا چاہیے جبکہ-سمت میں سیکنڈ آرڈر ڈائرکشنل مشتق منفی ہونا چاہیے، یعنی۔ مقامی جزوی مشتقات کے لحاظ سے ایک واضح اظہار کے طور پر لکھی گئی، اس کنارے کی تعریف کو تفریق غیر متغیر کے صفر کراسنگ منحنی خطوط کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو مندرجہ ذیل تفریق غیر متغیر پر ایک نشانی کی شرط کو پورا کرتے ہیں (مزید معلومات کے لیے کنارے کا پتہ لگانے پر مضمون دیکھیں)۔ خاص طور پر، اس طرح سے حاصل ہونے والے کنارے میلان کی شدت کی چٹانیں ہیں۔ یہ بھی دیکھیں کہ بلب کا پتہ لگانا کمپیوٹر وژن ایج کا پتہ لگانا فیچر کا پتہ لگانا (کمپیوٹر وژن) انٹرسٹ پوائنٹ کا پتہ لگانا اسکیل اسپیس حوالہ جات فیچر کا پتہ لگانا (کمپیوٹر وژن) ملٹی ویری ایبل کیلکولس ہموار افعال سنگلریٹی تھیوری