List of uniform polyhedra by Schwarz triangle
وردی پولی ہیڈرا کے درمیان بہت سے تعلقات ہیں۔ وائتھوف کی تعمیر تیز اور مضطرب شوارز مثلثوں سے تقریبا تمام یکساں پولی ہیڈرا کی تعمیر کرنے کے قابل ہے۔ وہ اعداد جو غیر ڈائیڈرل ایکیوٹ یا اوبیٹیوز شوارز مثلث کے اطراف کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں جو ضروری نہیں کہ صرف انحطاط پذیر یکساں پولی ہیڈرا کا باعث بنے، وہ ہیں 2، 3، 3/2، 4، 4/3، 5، 5/2، 5/3، اور 5/4 (لیکن عددی 4 اور عددی 5 والے نمبر ایک ساتھ نہیں ہو سکتے)۔ (4/2 بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن صرف یکساں پولی ہیڈرا کو خراب کرنے کا باعث بنتا ہے کیونکہ 4 اور 2 کا ایک مشترکہ عنصر ہوتا ہے۔) اس طرح کے 44 شوارز مثلث ہیں (5 ٹیٹراہیڈرل سمیٹری کے ساتھ، 7 آکٹاڈرل سمیٹری کے ساتھ اور 32 آئکوساہڈرل سمیٹری کے ساتھ)، جو ڈائیڈرل شوارز مثلث کے لامحدود خاندان کے ساتھ مل کر تقریبا تمام غیر انحطاط پذیر یکساں پولی ہیڈرا تشکیل دے سکتے ہیں۔ بہت سے انحطاط شدہ یکساں پولی ہیڈرا، مکمل طور پر اتفاقیہ عمودی، کناروں یا چہروں کے ساتھ، وائتھوف کی تعمیر سے بھی پیدا ہو سکتے ہیں، اور وہ جو شوارز مثلث سے پیدا ہوتے ہیں جو 4/2 کا استعمال نہیں کرتے ہیں وہ بھی ان کے غیر انحطاط پذیر ہم منصبوں کے ساتھ نیچے دیے گئے جدولوں میں دیے گئے ہیں۔ ریفلیکس شوارز مثلث کو شامل نہیں کیا گیا ہے، کیونکہ وہ محض نقلیں یا انحطاط پیدا کرتے ہیں۔ تاہم، کچھ کا ذکر میزوں کے باہر ان کے تین سنب پولی ہیڈرا پر اطلاق کی وجہ سے کیا گیا ہے۔ کچھ غیر ویتھوفین وردی پولی ہیڈرا ہیں، جو کوئی شوارز مثلث پیدا نہیں کر سکتا ؛ تاہم، ان میں سے زیادہ تر کو ویتھوف کی تعمیر کو ڈبل کور کے طور پر استعمال کرتے ہوئے تیار کیا جا سکتا ہے (غیر ویتھوفین پولی ہیڈرون ایک بار کے بجائے دو بار ڈھکا ہوا ہے) یا کئی اضافی موافق چہروں کے ساتھ جنہیں ہر کنارے پر دو سے زیادہ چہروں کو نہ چھوڑنے کے لیے ضائع کیا جانا چاہیے (دیکھیں آمنیٹرونکیٹڈ polyhedron#Other یکساں رخا نان کنویکس پولی ہیڈرا)۔ اس طرح کے پولی ہیڈرا کو اس فہرست میں ستارے سے نشان زد کیا گیا ہے۔ واحد یکساں پولی ہیڈرا جو اب بھی وائتھوف کی تعمیر سے پیدا ہونے میں ناکام ہے وہ گریٹ ڈیرہومبیکوسیڈوڈیکاہڈرون اور گریٹ ڈسنب ڈیرہومبیڈوڈیکاہڈرون ہیں۔ کسی دائرے پر شوارز مثلث کی ہر ٹائلنگ صرف ایک بار دائرے کا احاطہ کر سکتی ہے، یا یہ اس کے بجائے دائرے کے گرد کئی بار گھوم سکتی ہے، اس عمل میں خود کو عبور کر سکتی ہے۔ دائرے کے ارد گرد ٹائلنگ ہواؤں کی تعداد ٹائلنگ کی کثافت ہے، اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ پولی ہیڈرا کے لیے جوناتھن بوورز کے مختصر نام، جنہیں بوورز مخففات کے نام سے جانا جاتا ہے، جگہ بچانے کے لیے پولی ہیڈرا کے مکمل ناموں کے بجائے استعمال کیے جاتے ہیں۔ مایڈر انڈیکس بھی دیا گیا ہے۔ ڈائی ہیڈرل شوارز مثلثوں کے علاوہ، شوارز مثلثوں کو ان کی کثافت کے مطابق ترتیب دیا جاتا ہے۔ یوکلڈین ٹائلنگ کے مماثل معاملات بھی درج ہیں، اور ہائپربولک ٹائلنگ کے معاملات پر مختصر اور نامکمل طور پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ موبیئس اور شوارز مثلث 4 کروی مثلث ہیں جن کے زاویہ π/p، π/q، π/r ہیں، جہاں (pqr) عدد ہیں: (کاکسٹر، "یونیفارم پولی ہیڈرا"، 1954) (2 2 r)-ڈائیڈرل (2 3 3)-ٹیٹرا ہیڈرل (2 3 4)-آکٹاڈرل (2 3 5)-آئکوساہیڈرل ان کو موبیئس مثلث کہا جاتا ہے۔ اس کے علاوہ شوارز مثلث (p q r) پر غور کرتے ہیں جو کہ عقلی اعداد ہیں۔ ان میں سے ہر ایک کو اوپر دیے گئے 4 سیٹوں میں سے کسی ایک میں درجہ بند کیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ ایک پولی ہیڈرون میں عام طور پر وہی کثافت ہوتی ہے جو شوارز مثلث سے پیدا ہوتی ہے، لیکن ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا ہے۔ سب سے پہلے، پولی ہیڈرا جس کے چہرے ماڈل کے مرکز سے گزرتے ہیں (بشمول ہیمی پولی ہیڈرا، گریٹ ڈیرہومبیکوسیڈوڈیکاہڈرون، اور گریٹ ڈسنب ڈیرہومبیڈوڈیکاہڈرون) میں اچھی طرح سے متعین کثافت نہیں ہوتی ہے۔ دوسرا، ایک کروی پولی ہیڈرون کو اس کے پلینر ہم منصب میں تبدیل کرتے وقت یکسانیت کی بازیابی کے لیے ضروری مسخ چہرے کو پولی ہیڈرون کے مرکز سے دھکیل سکتی ہے اور کثافت کو تبدیل کرتے ہوئے دوسری طرف سے پیچھے ہٹ سکتی ہے۔ یہ مندرجہ ذیل صورتوں میں ہوتا ہے: عظیم کٹا ہوا کیوبکٹیڈرون، 2 3 4/3۔ جبکہ شوارز مثلث (2 3 4/3) کی کثافت 7 ہے، یکسانیت کی بازیابی آٹھ ہیکساگون کو مرکز کے ذریعے دھکیلتی ہے، جس سے کثافت |7 −8 | = 1 حاصل ہوتی ہے، جو کہ کالونر شوارز مثلث (2 3 4) کی طرح ہے جو ایک ہی عظیم دائرے کا اشتراک کرتا ہے۔ کٹا ہوا ڈوڈیکاڈیکاہڈرون، 2 5/3 5۔ جبکہ شوارز مثلث (2,5/3,5) کی کثافت 9 ہے، یکسانیت کی بازیابی بارہ ڈیکگنوں کو مرکز کے ذریعے دھکیلتی ہے، جس سے کثافت |9 −12 | = 3 حاصل ہوتی ہے، جو کہ کالونر شوارز مثلث (2,5/2,5) کے برابر ہے جو ایک ہی عظیم دائرے کا اشتراک کرتا ہے۔ تھری سنب پولی ہیڈرا: گریٹ آئکوساہیڈرون۔ 2 3/2 3/2، چھوٹا ریٹروسنب آئیکوسیکوسیڈوڈیکاہیڈرون۔ 3/2 3/2 5/2، اور گریٹ ریٹروسنب آئیکوسیڈوڈیکاہیڈرون۔ 2 3/2 5/3۔ یہاں ورٹیکس کے اعداد و شمار کو پینٹاگون یا ہیکساگون کے بجائے پینٹاگرام یا ہیکساگرم میں مسخ کیا گیا ہے، جس سے تمام سنب مثلثوں کو مرکز کے ذریعے دھکیل دیا جاتا ہے اور بالترتیب |5 −12 | = 7، |22 −60 | = 38، اور |23 −60 | = 37 کی کثافت حاصل ہوتی ہے۔ یہ کثافتاں کالونار اضطراری زاویے والے شوارز مثلثوں جیسی ہیں جو اوپر شامل نہیں ہیں۔ اس طرح عظیم آئکوساہیڈرون (2/3 3 3) یا (2 3 3/4)، چھوٹے ریٹروسنب آئیکوسیکوسیڈوڈیکاہیڈرون (3 3 5/8) یا (3 3/4 5/3)، اور عظیم ریٹروسنب آئیکوسیڈوڈیکاہیڈرون (2/3 3 5/2)، (2/3/4 5/3)، یا (2 3 5/7) سے آتا ہے۔ (کاکسٹر، "یونیفارم پولی ہیڈرا"، 1954) خلاصہ ٹیبل p، q، r (اور چند خاص شکلوں) کے ہر سیٹ کے ساتھ سات جنریٹر پوائنٹس ہیں: چار خاص معاملات ہیں: p q-یہ p q r اور p q s کا مرکب ہے۔ دونوں علامتیں p q r اور p q s کچھ اضافی چہروں کے ساتھ ایک مشترکہ بیس پولی ہیڈرون پیدا کرتی ہیں۔ نوٹیشن p q پھر بیس پولی ہیڈرون کی نمائندگی کرتا ہے، جو p q r اور p q s دونوں کے مشترکہ چہروں سے بنا ہوتا ہے۔ p q r-سنب فارم (متبادل) کو یہ دوسری صورت میں غیر استعمال شدہ علامت دی جاتی ہے۔ p q r s-U75 کے لیے ایک منفرد اسنب فارم جو مثلث بنیادی ڈومینز کا استعمال کرتے ہوئے وائتھوف-تشکیل پذیر نہیں ہے۔ اس وائتھوف علامت میں چار اعداد شامل ہیں کیونکہ اس پولی ہیڈرون میں ایک ٹیٹراگونل کروی بنیادی ڈومین ہے۔ (p) q (r) s-اسکلنگ کے اعداد و شمار کے لیے ایک منفرد اسنب فارم جو وائتھوف-تشکیل پذیر نہیں ہے۔ وائتھوف علامت سے ورٹیکس ترتیب میں یہ تبدیلی کی میز اوپر درج غیر معمولی پانچ پولی ہیڈرا کے لیے ناکام ہو جاتی ہے جن کی کثافت ان کے پیدا ہونے والے شوارز مثلث ٹیسلیشنز کی کثافت سے میل نہیں کھاتی ہے۔ ان صورتوں میں چپٹے چہروں کے ساتھ یکسانیت حاصل کرنے کے لیے عمودی شکل کو انتہائی مسخ کیا جاتا ہے: پہلے دو صورتوں میں یہ ایک تیز مثلث کے بجائے ایک موٹا مثلث ہوتا ہے، اور آخری تین میں یہ پینٹاگون یا ہیکساگون کے بجائے پینٹاگرام یا ہیکساگرم ہوتا ہے، جو مرکز کے گرد دو بار گھومتا ہے۔ اس کے نتیجے میں کچھ چہروں کو پولی ہیڈرون کے ذریعے سیدھا دھکیل دیا جاتا ہے جب اس کا موازنہ ٹوپولوجیکل طور پر مساوی شکلوں کے ساتھ کیا جاتا ہے جس میں ورٹیکس فگر مسخ نہیں ہوتا ہے اور دوسری طرف پیچھے ہٹ جاتا ہے۔ نیچے دیے گئے جدولوں میں، سرخ پس منظر ڈیجینریٹ پولی ہیڈرا کو نشان زد کرتے ہیں۔ سبز پس منظر کنویکس وردی پولی ہیڈرا کو نشان زد کرتا ہے۔ ڈائیڈرل (پریسمٹک) ڈائیڈرل شوارز مثلثوں میں، دو اعداد 2 ہیں، اور تیسرا کوئی بھی عقلی عدد ہو سکتا ہے جو سختی سے 1 سے بڑا ہو۔ (2 2 این/ڈی)-اگر جی سی ڈی (این، ڈی)> 1 ہو تو انحطاط ہوتا ہے۔ ڈائی ہیڈرل سمیٹری والے بہت سے پولی ہیڈرا میں ڈیگن چہرے ہوتے ہیں جو انہیں انحطاط پذیر پولی ہیڈرا بناتے ہیں (مثال کے طور پر۔ دیہیڈرا اور ہوشیڈرا)۔ میز کے کالم جو صرف انحطاط شدہ یکساں پولی ہیڈرا دیتے ہیں شامل نہیں ہیں: خصوصی انحطاط شدہ معاملات (صرف (2 2 2) شوارز مثلث میں) ایک بڑے کراس کے ساتھ نشان زد ہوتے ہیں۔ بیس {p} کے ساتھ یکساں کراس شدہ اینٹی پریزم جہاں p <3/2 موجود نہیں ہو سکتا کیونکہ ان کے ورٹیکس کے اعداد مثلث عدم مساوات کی خلاف ورزی کریں گے۔ ان کو ایک بڑے کراس کے ساتھ بھی نشان زد کیا جاتا ہے۔ 3/2 کراس شدہ اینٹی پریزم (ٹرپ) انحطاط پذیر ہے، جو یوکلڈین جگہ میں چپٹا ہے، اور اسے ایک بڑے کراس سے بھی نشان زد کیا گیا ہے۔ شوارز مثلث (2 2 این/ڈی) یہاں صرف اس وقت درج کیے گئے ہیں جب جی سی ڈی (این، ڈی) = 1 ہو، کیونکہ بصورت دیگر ان کے نتیجے میں صرف انحطاط پذیر یکساں پولی ہیڈرا ہوتا ہے۔ نیچے دی گئی فہرست میں تمام ممکنہ معاملات بتائے گئے ہیں جہاں n ≤ 6 ہے۔ ٹیٹراہیڈرل شوارز مثلثوں میں، اجازت شدہ زیادہ سے زیادہ عدد 3 ہے۔ آکٹاہیڈرل آکٹاہیڈرل شوارز مثلثوں میں، اجازت شدہ زیادہ سے زیادہ عدد 4 ہے۔ آکٹاڈرل شوارز مثلث بھی موجود ہیں جو 4/2 کو بطور عدد استعمال کرتے ہیں، لیکن یہ صرف یکساں پولی ہیڈرا کو انحطاط کا باعث بنتے ہیں کیونکہ 4 اور 2 کا ایک مشترکہ عنصر ہوتا ہے۔ آئکوساہیڈرل شوارز مثلثوں میں، اجازت شدہ زیادہ سے زیادہ عدد 5 ہے۔ مزید برآں، عدد 4 کو آئکوساہڈرل شوارز مثلث میں بالکل استعمال نہیں کیا جا سکتا، حالانکہ عدد 2 اور 3 کی اجازت ہے۔ (اگر 4 اور 5 کسی شوارز مثلث میں ایک ساتھ پائے جا سکتے ہیں، تو انہیں کسی موبیئس مثلث میں بھی ایسا کرنا پڑے گا ؛ لیکن یہ ناممکن ہے کیونکہ (2 4 5) ایک ہائپربولک مثلث ہے، نہ کہ کروی مثلث۔) غیر ویتھوفین ہیمی شکلیں آکٹاہیمیوتھیڈرون کے علاوہ، ویتھوف کی تعمیر سے ہیمی پولی ہیڈرا ڈبل کورنگ کے طور پر پیدا ہوتا ہے۔ کم شدہ شکلیں یہ پولی ہیڈرا وائتھوف کی تعمیر سے اضافی چہروں کے ساتھ پیدا ہوتے ہیں۔ ٹیٹراہیمی ہیکساہیڈرون (تھا، یو 4) بھی {3/2}-کوپولا (ریٹروگریڈ مثلث کوپولا، ریٹریکو) کا {6/2} کا ایک کم شدہ ورژن ہے۔ اس طرح اسے کراسڈ ٹرائنگولر کپلوئڈ بھی کہا جا سکتا ہے۔ مندرجہ بالا بہت سے معاملات انحطاط شدہ ہمہ گیر پولی ہیڈرا پی کیو آر سے اخذ کیے گئے ہیں۔ ان صورتوں میں، ایک ہی p اور q سے دو الگ الگ انحطاطی معاملات p q r اور p q s پیدا کیے جا سکتے ہیں ؛ نتیجہ میں بالترتیب {2p} s، {2q} s کے چہرے ہوتے ہیں، اور {2r} s یا {2s} s کے موافق ہوتے ہیں۔ یہ دونوں ایک ہی غیر پیدا شدہ وردی پولی ہیڈرا پیدا کرتے ہیں جب موافق چہروں کو پھینک دیا جاتا ہے، جس کی علامت کاکسٹر پی کیو ہے۔ ان صورتوں کو ذیل میں درج کیا گیا ہے: چھوٹے اور بڑے رومبی ہیکساہیڈرا میں، سب سے کم اصطلاحات میں نہ ہونے کے باوجود حصہ 4/2 استعمال کیا جاتا ہے۔ جبکہ 2 4 2 اور 2 4/3 2 بالترتیب ایک آکٹگنل یا آکٹگرامک پریزم کی نمائندگی کرتے ہیں، 2 4 4/2 اور 2 4/3 4/2 ایسے تین پریزموں کی نمائندگی کرتے ہیں، جو اپنے کچھ مربع چہروں کو مشترک کرتے ہیں (عین مطابق وہ جو {8/2} کے پیدا کرنے کے لیے دوگنا ہوتے ہیں)۔ یہ {8/2} دو گنا گردش سمیٹری کے بجائے چار گنا کے ساتھ ظاہر ہوتے ہیں، جو 2 کے بجائے 4/2 کے استعمال کو جواز پیش کرتے ہیں۔ دیگر شکلیں یہ دو یکساں پولی ہیڈرا وائتھوف کی تعمیر سے بالکل پیدا نہیں ہو سکتے۔ یہ یکساں پولی ہیڈرا کا مجموعہ ہے جسے عام طور پر "غیر ویتھوفینس" کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ وائتھوفین وردی پولی ہیڈرا کے سہ رخی بنیادی ڈومینز کے بجائے، ان دونوں پولی ہیڈرا میں ٹیٹراگونل بنیادی ڈومینز ہیں۔ ہنر مندی کے اعداد و شمار کو مایڈر کی فہرست میں انڈیکس نہیں دیا گیا ہے کیونکہ یہ ایک غیر ملکی وردی پولی ہیڈرون ہے، جس میں ریجز (تھری ڈی کیس میں کنارے) مکمل طور پر موافق ہیں۔ یہ مندرجہ بالا فہرست میں شامل کچھ انحطاط شدہ پولی ہیڈرون کے بارے میں بھی درست ہے، جیسے کہ چھوٹے پیچیدہ آئکوسیڈوڈیکی ہیڈرون۔ کناروں کے اتفاقیہ ہونے کی یہ تشریح ان اعداد و شمار کو ہر کنارے پر دو چہرے رکھنے کی اجازت دیتی ہے: کناروں کو دوگنا نہ کرنے سے انہیں 4، 6، 8، 10 یا 12 چہرے ملیں گے جو ایک کنارے پر ملتے ہیں، وہ اعداد و شمار جنہیں عام طور پر یکساں پولی ہیڈرا کے طور پر خارج کیا جاتا ہے۔ اسکلنگ کی شکل کے 4 چہرے ہیں جو کچھ کناروں پر ملتے ہیں۔ یہ دونوں خاص پولی ہیڈرا عظیم سنب ڈوڈیسیکوسیڈوڈیکاہڈرون، 3 5/3 5/2 (U64) سے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ یہ ایک چیرل سنب پولی ہیڈرون ہے، لیکن اس کے پینٹاگرام کوپلانار جوڑوں میں ظاہر ہوتے ہیں۔ اس پولی ہیڈرون کی ایک کاپی کو اس کے اینانٹیومورف کے ساتھ ملا کر، پینٹاگرام موافق ہوتے ہیں اور انہیں ہٹا دیا جا سکتا ہے۔ چونکہ اس پولی ہیڈرون کے عمودی شکل کے کناروں میں مربع کے تین رخ شامل ہیں، چوتھے رخ میں اس کے اینانٹیومورف کا حصہ ہے، اس لیے ہم دیکھتے ہیں کہ اس کے نتیجے میں بننے والا پولی ہیڈرون درحقیقت بیس آکٹھیڈرا کا مرکب ہے۔ ان آکٹھیڈرا میں سے ہر ایک متوازی چہروں کی ایک جوڑی پر مشتمل ہے جو 3,5/3,5/2 کے مکمل ہم آہنگ مثلث سے نکلتا ہے، جبکہ دیگر تین اصل 3,5/3,5/2 کے سنب مثلث سے آتے ہیں۔ مزید برآں، ہر آکٹاہیڈرون کو ایک ہی کناروں اور عمودی حصوں کے ساتھ ٹیٹراہیمیہیکساہیڈرون سے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ آکٹاہیڈرا میں مکمل طور پر ہم آہنگ مثلثوں کو لیتے ہوئے، عظیم سنب ڈوڈیسیکوسیڈوڈیکاہیڈرا میں اصل موافق پینٹاگرام، اور ٹیٹراہیمیہیکساہیڈرا کے استوائی مربع مل کر عظیم ڈیرہومبیکوسیڈوڈیکاہیڈرون (ملر کا راکشس) پیدا کرتے ہیں۔ اس کے بجائے آکٹاہیڈرا کے سنب مثلثوں کو لینے سے عظیم ڈسنب ڈیرہومبیڈوڈیکاہیڈرون (ہنر کی شکل) حاصل ہوتی ہے۔ یوکلڈین ٹائلنگ واحد طیارہ مثلث جو سطح کو ایک بار ٹائل کرتے ہیں وہ ہیں (3 3 3 3)، (4 2 4)، اور (3 2 6): وہ بالترتیب مساوی مثلث، 45-45-90 دائیں آاسوسیلیس مثلث، اور 30-60-90 دائیں مثلث ہیں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ ہوائی جہاز کو متعدد بار ٹائل کرنے والے کسی بھی ہوائی مثلث کو ان میں سے کسی ایک کی متعدد کاپیوں سے بنایا جانا چاہیے۔ واحد امکان یہ ہے کہ 30-30-120 متزلزل آئسوسلز مثلث (3/2 6 6) = (6 2 3) + (2 6 3) طیارہ کو دو بار ٹائل کرتا ہے۔ ہر مثلث مخالف سمتوں کے ساتھ دو بار شمار ہوتا ہے، جس میں 120° عمودی پر ایک شاخ نقطہ ہوتا ہے۔ دو ایپیئروگنوں سے بنی ٹائلنگ (2) قبول نہیں کی جاتی ہے، کیونکہ اس کے چہرے ایک سے زیادہ کناروں پر ملتے ہیں۔ یہاں ν 'ν کے پسماندہ ہم منصب کی نشاندہی کرتا ہے۔ انحطاطی نام کی شکلیں یہ ہیں: چیٹ: 3 ہیکساگونل ٹائلنگز کا مرکب + مثلث ٹائلنگ چٹا: 3 ہیکساگونل ٹائلنگز کا مرکب + مثلث ٹائلنگ + تمام کنارے کے ترتیبات کے ساتھ ایپیروگنز کے ڈبل کور چا: 3 ہیکساگونل ٹائلنگز کا مرکب + تمام کنارے کے ترتیبات کے ساتھ ایپیروگنز کے ڈبل کور۔ کوسا: مربع ٹائلنگ + تمام کنارے کے ترتیبات کے ساتھ ایپیروگنز کے ڈبل کور۔ ٹائلنگ 6 6/5 | φ ویتھوف کی تعمیر سے ڈبل کور کے طور پر پیدا ہوتی ہے۔ اس کے علاوہ مخلوط علامت p q | کے ساتھ کچھ ٹائلنگ بھی ہیں: کچھ غیر ویتھوفین ٹائلنگ بھی ہیں: ہوائی جہاز کے یکساں ٹائلنگ کا سیٹ مکمل ثابت نہیں ہوتا ہے، اس کے برعکس۔ مندرجہ بالا ٹائلنگ ان سب کی نمائندگی کرتے ہیں جو کاکسٹر، لونگوئٹ-ہیگنس، اور ملر نے اپنے 1954 کے کاغذ میں یونیفارم پولی ہیڈرا پر پائے تھے۔ انہوں نے قیاس کیا کہ فہرستیں مکمل تھیں: یہ سوپوف نے 1970 میں یکساں پولی ہیڈرا کے لیے ثابت کیا تھا، لیکن یکساں ٹائلنگ کے لیے ثابت نہیں ہوا ہے۔ درحقیقت برانکو گرون بوم، جے سی پی ملر، اور جی سی شیفرڈ کھوکھلی ٹائلوں (1981) کے ساتھ یکساں ٹائلنگ میں پندرہ مزید غیر ویتھوفین یکساں ٹائلنگ کی فہرست دیتے ہیں: عمودی اعداد و شمار کے لیے دو دو ٹائلنگ ہیں۔ ان دو عمودی شکل میں سے ہر ایک کے لیے ایک تیسری ٹائلنگ بھی موجود ہے جو صرف چھدم یکساں ہے (تمام عمودی ایک جیسے نظر آتے ہیں، لیکن وہ دو ہم آہنگی کے مدار میں آتے ہیں)۔ لہذا، یوکلڈین ٹائلنگ کے لیے، ورٹیکس کی ترتیب ٹائلنگ کا منفرد تعین نہیں کرتی ہے۔ نیچے دی گئی تصاویر میں، افقی اور عمودی کناروں کے ساتھ شامل مربعوں کو مرکزی نقطے سے نشان زد کیا گیا ہے۔ ایک واحد مربع میں کناروں کو نمایاں کیا جاتا ہے۔ گرون بوم، ملر، اور شیفرڈ بھی زگ زیگز (سکیو ایپیروگنز) کو چہروں کے طور پر استعمال کرتے ہوئے 33 یکساں ٹائلنگز کی فہرست دیتے ہیں، جن میں سے دس ایسے خاندان ہیں جن میں ایک آزاد پیرامیٹر (زگ زیگ کا زاویہ) ہوتا ہے۔ آٹھ صورتوں میں یہ پیرامیٹر مسلسل ہے ؛ دو میں، یہ مجرد ہے۔ ہائپربولک ٹائلنگ ہائپربولک پلین کو ٹائل کرنے والے مثلثوں کا مجموعہ لامحدود ہے۔ مزید برآں ہائپربولک اسپیس میں بنیادی ڈومین کا سمپلیکس ہونا ضروری نہیں ہے۔ اس کے نتیجے میں ہائپربولک سطح کے یکساں جھکاؤ کی مکمل فہرست نہیں دی جا سکتی۔ یہاں تک کہ جب کنویکس ٹائلوں تک محدود ہو، تو ایک ہی ورٹیکس ترتیب کے ساتھ متعدد ٹائلنگ تلاش کرنا ممکن ہے: مثال کے طور پر سنیب آرڈر-6 مربع tiling#Related پولی ہیڈرا اور ٹائلنگ دیکھیں۔ چند چھوٹے کنویکس کیس (جن میں مثالی چہرے یا عمودی حصے شامل نہیں ہیں) ذیل میں دیے گئے ہیں: حوالہ جات رچرڈ کلٹزنگ: پوائنٹ گروپ سمیٹری کی پیچیدگی کے لحاظ سے پولی ہیڈرا شوارز مثلث حصہ 1، حصہ 2 یوکلڈین ٹیسلیشنز اور ہنی کامب ہائپربولک ٹیسلیشنز اور ہنی کامب میزیں کلٹزنگ کی طرف سے ان کی سائٹ پر پیش کردہ میزوں پر مبنی ہیں۔ بیرونی روابط جم میک نیل: طیارے کے ٹیسلیشنز زوی ہار ایل: یکساں پولی ہیڈرا ہیرونوری ساکاموٹو کے لیے یکساں حل: یوکلڈ طیارے پر یکساں ٹیسلیشنز یکساں پولی ہیڈرا یکساں ٹائلنگ