Schläfli double six
جیومیٹری میں، شلافلی ڈبل سکس تین جہتی یوکلڈین اسپیس میں 30 پوائنٹس اور 12 لائنوں کی تشکیل ہے، جسے 1858 میں لڈوگ شلافلی نے متعارف کرایا تھا۔ ترتیب کی لکیروں کو چھ لائنوں کے دو ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: ہر لائن چھ لائنوں کے اپنے ذیلی سیٹ میں لائنوں سے جدا ہوتی ہے، اور چھ لائنوں کے دوسرے ذیلی سیٹ میں لائنوں میں سے ایک کے علاوہ سب کو کاٹتی ہے۔ ترتیب کی 12 لائنوں میں سے ہر ایک پانچ انٹرسیکشن پوائنٹس پر مشتمل ہے، اور ان 30 انٹرسیکشن پوائنٹس میں سے ہر ایک بالکل دو لائنوں سے تعلق رکھتا ہے، ہر سب سیٹ سے ایک، لہذا ترتیبات کے اشارے میں شلافلی ڈبل سکس کو 302125 لکھا جاتا ہے۔ تعمیر جیسا کہ شلافلی نے دکھایا، ڈبل چھ کو کسی بھی پانچ لائنوں a1، a2، a3، a4، a5 سے بنایا جا سکتا ہے، جو سبھی ایک مشترکہ لائن b6 سے ٹکرا جاتی ہیں، لیکن بصورت دیگر عام پوزیشن میں ہیں (خاص طور پر، ہر دو لائنیں ai اور aj منحنی ہونی چاہئیں، اور چار لائنیں ai کو مشترکہ حکمرانی والی سطح پر نہیں ہونا چاہیے)۔ پانچ لائنوں میں سے ہر ایک کے لیے، پانچ لائنوں میں سے چار کے تکمیلی سیٹ میں دو کواڈریسکینٹ ہوتے ہیں: b6 اور دوسری لائن b. اس طرح سے بننے والی پانچ لائنیں b1، b2، b3، b4، اور b5 بدلے میں ایک اور لائن، a6 سے ٹکرا جاتی ہیں۔ بارہ لائنیں آئی اور بی ایک ڈبل چھ بناتی ہیں: ہر لائن آئی کا ایک انٹرسیکشن پوائنٹ ہوتا ہے جس میں پانچ دوسری لائنیں ہوتی ہیں، وہ لائنیں بی جے جن کے لیے آئی ष्णور جے، اور اس کے برعکس۔ ایک متبادل تعمیر، جو مثال میں دکھائی گئی ہے، یہ ہے کہ مکعب کے چھ چہرے کے مراکز کے ذریعے بارہ لکیریں رکھی جائیں، ہر ایک اس کے چہرے کے سطح میں اور مکعب کے کناروں کے حوالے سے سب ایک جیسے زاویے بنائیں۔ ایک بار ان میں سے کسی بھی طریقے سے تعمیر ہونے کے بعد، ڈبل سکس کو ہوائی جہاز میں پیش کیا جا سکتا ہے، جس سے ایک ہی واقعہ پیٹرن کے ساتھ پوائنٹس اور لائنوں کا دو جہتی نظام تشکیل پاتا ہے۔ متعلقہ اشیاء ایک عام کیوبک سطح 27 لائنوں پر مشتمل ہوتی ہے، جن میں 36 ڈبل چھ ترتیبات پائی جا سکتی ہیں۔ ان تمام لائنوں کی نمائندگی کرنے کے لیے پیچیدہ نمبر کوآرڈینیٹس کا استعمال کرنا ضروری ہو سکتا ہے۔ کیوبک سطحوں پر حقیقی نمبروں پر 27 سے کم لائنیں ہو سکتی ہیں۔ 27 لائنوں کے اس طرح کے کسی بھی سیٹ میں، 15 لائنیں جو ڈبل سکس کی تکمیل کرتی ہیں، ان لائنوں کے ٹرپل کے ذریعے 15 ٹینجینٹ طیاروں کے ساتھ مل کر، ایک اور ترتیب، کریمونا-رچمنڈ ترتیب کے واقعات کا نمونہ رکھتی ہیں۔ ڈبل سکس ترتیب کی بارہ لائنوں کا انٹرسیکشن گراف بارہ ورٹیکس کراؤن گراف ہے، ایک دو طرفہ گراف جس میں ہر ورٹیکس مخالف رنگ کے چھ عمودی میں سے پانچ سے متصل ہے۔ ڈبل سکس کا لیوی گراف تاج گراف کے ہر کنارے کو دو کنارے والے راستے سے تبدیل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ کیوبک سطح پر 27 لائنوں کے پورے سیٹ کا انٹرسیکشن گراف شلافلی گراف کی تکمیل ہے۔ نوٹ حوالہ جات بیرونی روابط تشکیل (جیومیٹری)