Topological rigidity
ٹوپولوجی کے ریاضیاتی میدان میں، ایک کئی گنا M کو ٹپوولوجیکل طور پر سخت کہا جاتا ہے اگر ہر کئی گنا ہوموٹوپک طور پر M کے مساوی بھی M کے لیے ہومومورفک ہو۔ تحریک ٹوپولوجی میں ایک مرکزی مسئلہ اس بات کا تعین کر رہا ہے کہ کب دو خالی جگہیں ایک جیسی ہوں یعنی۔ ہومومورفک یا ڈفیومورفک۔ واضح طور پر مورفزم کی تعمیر تقریبا ہمیشہ ناقابل عمل ہوتی ہے۔ اگر ہم ایک یا دونوں خالی جگہوں (کئی گنا) پر مزید شرط لگاتے ہیں تو ہم اس اضافی ڈھانچے کا فائدہ اٹھا سکتے ہیں تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ مطلوبہ مورفزم موجود ہونا چاہیے۔ رگڈیٹی تھیوریم اس وقت کے بارے میں ہے جب دو کئی گنا کے درمیان کافی کمزور مساوات (عام طور پر ایک ہوموٹوپی مساوات) مضبوط مساوات ہومومورفزم، ڈفیومورفزم یا آئسومیٹری کے وجود کو ظاہر کرتی ہے۔ تعریف۔ ایک بند ٹپوولوجیکل کئی گنا M کو ٹپوولوجیکل سخت کہا جاتا ہے اگر کوئی ہوموٹوپی مساوات f: N → M جس میں کچھ کئی گنا N بطور ماخذ اور M بطور ہدف ہومومورفزم کے لیے ہوموٹوپک ہو۔ مثالیں 1. اگر بند 2-مینیفولڈ M اور N ہوموٹوپک طور پر مساوی ہیں تو وہ ہومومورفک ہیں۔ مزید برآں، بند سطحوں کا کوئی بھی ہوموٹوپی مساوات ہومومورفزم کی شکل اختیار کر لیتا ہے۔ مثال 2. اگر ایک بند کئی گنا Mn (n ष्ण 3) Sn کے ہوموٹوپی کے مساوی ہے تو Mn Sn کے ہومومورفک ہے۔ جیومیٹری تعریف میں سختی تھیوریم۔ فلیٹ-ریمینین مینیفولڈز کی ڈفیومورفزم کو افائن کہا جاتا ہے اگر یہ جیوڈیکس کو جیوڈیسیک تک لے جاتا ہے۔ نظریہ (Bieberbach) اگر f: M → N فلیٹ بند جڑے ہوئے ریمینیئن کئی گنا کے درمیان ہوموٹوپی مساوات ہے تو f ایک افائن ہومومورفزم کے لیے ہوموٹوپک ہے۔ موسٹو کا رگڈیٹی تھیوریم تھیوریم: M اور N کو کمپیکٹ، مقامی طور پر ہم آہنگ ریمینیئن کئی گنا ہونے دیں جس میں ہر جگہ غیر مثبت منحنی خطوط ہوتے ہیں جن میں کوئی بند ایک یا دو جہتی جیوڈیسیک سب اسپیس نہیں ہوتی ہے جو مقامی طور پر براہ راست عنصر ہوتے ہیں۔ اگر f: M → N ایک ہوموٹوپی مساوات ہے تو f ایک آئسومیٹری کے لیے ہوموٹوپک ہے۔ نظریہ (ہائپربولک n-مینیفولڈز کے لیے موسٹو کا نظریہ، n ≤ 3): اگر M اور N مکمل ہائپربولک n-مینیفولڈز ہیں، n ≤ 3 محدود حجم کے ساتھ اور f: M → N ایک ہوموٹوپی مساوات ہے تو f ایک آئسومیٹری کے لیے ہوموٹوپک ہے۔ ان نتائج کا نام جارج موسٹو کے نام پر رکھا گیا ہے۔ الجبرائی شکل فرض کریں کہ γ اور α ہائپربولک n-اسپیس H کے آئسومیٹری گروپ کے مجرد ذیلی گروہ ہیں، جہاں n ω3، جن کے حصص H/ω اور H/ω کا حجم محدود ہے۔ اگر κ اور κ مجرد گروہوں کے طور پر آئسومورفک ہیں تو وہ کنجوگیٹ ہیں۔ ریمارکس (1) دو جہتی صورت میں کم از کم دو جینس کے کسی بھی کئی گنا میں ہائپربولک ڈھانچہ ہوتا ہے۔ اس معاملے میں موسٹو کی سختی کا نظریہ لاگو نہیں ہوتا ہے۔ درحقیقت، اس طرح کے کسی بھی کئی گنا پر بہت سے ہائپربولک ڈھانچے ہوتے ہیں ؛ اس طرح کا ہر ڈھانچہ ٹیچملر اسپیس میں ایک نقطہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ (2) دوسری طرف، اگر M اور N محدود حجم کے 2-مینیفولڈ ہیں تو یہ ظاہر کرنا آسان ہے کہ وہ بالکل ہومومورفک ہیں جب ان کے بنیادی گروپ ایک جیسے ہوں۔ اطلاق ایک محدود حجم ہائپربولک n-مینی فولڈ M (n ≤ 3 کے لیے) کے آئسومیٹریز کا گروپ حتمی طور پر تیار کیا جاتا ہے اور π1 (M) کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ حوالہ جات ٹوپولوجی کئی گنا کے نقشے ہوموٹوپی تھیوری