Orbit modeling
آربٹ ماڈلنگ ایک بڑے جسم کی حرکت کی تقلید کے لیے ریاضیاتی ماڈل بنانے کا عمل ہے کیونکہ یہ کشش ثقل کی وجہ سے کسی دوسرے بڑے جسم کے گرد مدار میں حرکت کرتا ہے۔ دیگر قوتیں جیسے کہ ترتیری اجسام سے کشش ثقل کی کشش، ہوا کی مزاحمت، شمسی دباؤ، یا پروپلشن سسٹم سے زور کو عام طور پر ثانوی اثرات کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ براہ راست مدار کی ماڈلنگ مشین کی درستگی کی حدود کو آگے بڑھا سکتی ہے کیونکہ چھوٹی پریشانیوں کو بہت بڑے مداروں میں ماڈل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس کی وجہ سے، بہتر درستگی حاصل کرنے کے لیے مدار کا نمونہ بنانے کے لیے اکثر خلل ڈالنے کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔ پس منظر مدار کی حرکت اور مداروں کے ریاضیاتی ماڈلنگ کا مطالعہ آسمان میں سیاروں کی حرکت کی پیش گوئی کرنے کی پہلی کوششوں سے شروع ہوا، حالانکہ قدیم زمانے میں وجوہات ایک معمہ بنی ہوئی تھیں۔ نیوٹن، جس وقت انہوں نے حرکت اور کشش ثقل کے اپنے قوانین وضع کیے تھے، ان کا اطلاق ان کے حساب کی پیچیدہ مشکلات کو تسلیم کرتے ہوئے، خلل کے پہلے تجزیے پر کیا۔ اس کے بعد سے بہت سے عظیم ریاضی دانوں نے اس میں شامل مختلف مسائل پر توجہ دی ہے۔ 18 ویں اور 19 ویں صدی کے دوران سمندر میں نیویگیشن کے مقاصد کے لیے چاند اور سیاروں کی پوزیشن کے درست جدولوں کی مانگ تھی۔ مداروں کی پیچیدہ حرکات کو توڑا جا سکتا ہے۔ جسم صرف ایک دوسرے جسم کے کشش ثقل کے اثر کے تحت جس فرضی حرکت کی پیروی کرتا ہے وہ عام طور پر ایک مخروطی حصہ ہوتا ہے، اور اسے آسانی سے جیومیٹری کے طریقوں سے نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ اسے دو اجسام کا مسئلہ، یا غیر متزلزل کیپلرین مدار کہا جاتا ہے۔ کیپلرین مدار اور جسم کی اصل حرکت کے درمیان فرق خلل کی وجہ سے ہوتے ہیں۔ یہ خلل بنیادی اور ثانوی جسم کے درمیان کشش ثقل کے اثر کے علاوہ دیگر قوتوں کی وجہ سے ہوتے ہیں اور مدار کا درست تخروپن بنانے کے لیے ان کا نمونہ بنانا ضروری ہے۔ زیادہ تر مدار ماڈلنگ کے نقطہ نظر دو جسم کے مسئلے کا نمونہ بناتے ہیں اور پھر ان پریشان کن قوتوں کے ماڈل شامل کرتے ہیں اور وقت کے ساتھ ان ماڈلز کی تقلید کرتے ہیں۔ خلل ڈالنے والی قوتوں میں بنیادی، شمسی ہوا، ڈریگ، مقناطیسی میدان، اور پروپلسو قوتوں کے علاوہ دیگر اجسام سے کشش ثقل شامل ہو سکتی ہے۔ سادہ دو جسم اور تین جسم کے مسائل کے لیے تجزیاتی حل (مستقبل کے کسی بھی وقت پوزیشن اور حرکت کی پیش گوئی کے لیے ریاضیاتی تاثرات) موجود ہیں۔ کچھ خاص معاملات کے علاوہ این جسم کے مسئلے کے لیے کوئی نہیں ملا ہے۔ یہاں تک کہ دو جسموں کا مسئلہ بھی اگھلنشیل ہو جاتا ہے اگر کسی ایک جسم کی شکل بے ترتیب ہو۔ دلچسپی کے زیادہ تر مسائل کے تجزیاتی حل تلاش کرنے میں دشواری کی وجہ سے، کمپیوٹر ماڈلنگ اور تخروپن عام طور پر مداری حرکت کا تجزیہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ خلائی جہاز کے مداروں اور راستوں کی تقلید کے لیے مختلف قسم کے سافٹ ویئر دستیاب ہیں۔ کیپلرین آربیٹ ماڈل اپنی آسان ترین شکل میں، ایک آربیٹ ماڈل یہ فرض کر کے بنایا جا سکتا ہے کہ صرف دو اجسام شامل ہیں، دونوں کروی نقطہ کے طور پر برتاؤ کرتے ہیں، اور یہ کہ اجسام پر کوئی دوسری قوتیں عمل نہیں کرتی ہیں۔ اس معاملے کے لیے ماڈل کو کیپلر کے مدار میں آسان بنایا گیا ہے۔ کیپلریائی مدار مخروطی حصوں کی پیروی کرتے ہیں۔ مدار کا ریاضیاتی نمونہ جو مرکزی جسم اور مدار میں چکر لگانے والے جسم کے درمیان فاصلہ دیتا ہے اس کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں: فاصلہ نیم بڑا محور ہے، جو مدار کے سائز کی وضاحت کرتا ہے وہ سنکیتا ہے، جو مدار کی شکل کی وضاحت کرتا ہے وہ حقیقی بے ضابطگی ہے، جو مدار میں چکر لگانے والی شے کی موجودہ پوزیشن اور اس کے مدار میں مرکزی جسم کے قریب ترین مقام کے درمیان کا زاویہ ہے (جسے پیریپسس کہا جاتا ہے) متبادل طور پر، مساوات کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے: جہاں منحنی خطوط کا سیمی لیٹس ریکٹم کہا جاتا ہے۔ مساوات کی یہ شکل خاص طور پر مفید ہوتی ہے جب پیرابولک ٹریجیکٹوریز سے نمٹا جائے، جس کے لیے نیم بڑا محور لامحدود ہوتا ہے۔ ایک متبادل نقطہ نظر آئزک نیوٹن کے عالمگیر کشش ثقل کے قانون کو استعمال کرتا ہے جیسا کہ ذیل میں بیان کیا گیا ہے: جہاں: دو نکاتی کمیتوں کے درمیان کشش ثقل کی قوت کی شدت کشش ثقل کا مستقل ہے جو کہ پہلے نکاتی کمیت کی کمیت ہے جو کہ دوسرے نکاتی کمیت کی کمیت ہے جو کہ دو نکاتی کمیتوں کے درمیان فاصلہ ہے۔ ایک اضافی مفروضہ بناتے ہوئے کہ بنیادی شے کی کمیت ثانوی شے کی کمیت سے بہت زیادہ ہے اور نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون میں اس کی جگہ لینے سے درج ذیل تفریقی مساوات کا نتیجہ نکلتا ہے۔ اس تفریقی مساوات کو حل کرنے سے مدار کے لیے کیپلرین حرکت کا نتیجہ نکلتا ہے۔ عملی طور پر، کیپلرین مدار عام طور پر صرف فرسٹ آرڈر کے تخمینوں، خصوصی معاملات، یا خلل زدہ مدار کے لیے بنیادی ماڈل کے طور پر مفید ہوتے ہیں۔ آربٹ تخروپن کے طریقے آربٹ ماڈل عام طور پر وقت اور جگہ میں خصوصی پرٹربیشن طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے پھیلائے جاتے ہیں۔ یہ سب سے پہلے مدار کو کیپلرین مدار کے طور پر ماڈلنگ کرکے انجام دیا جاتا ہے۔ پھر مدار کو متاثر کرنے والی مختلف پریشانیوں کا حساب لگانے کے لیے ماڈل میں خلل شامل کیے جاتے ہیں۔ آسمانی میکانکس میں کسی بھی مسئلے پر خصوصی خلل کا اطلاق کیا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ ان صورتوں تک محدود نہیں ہے جہاں خلل ڈالنے والی قوتیں کم ہوں۔ خلل ڈالنے کے خصوصی طریقے سب سے درست مشین سے پیدا ہونے والے سیاروں کے ایفیمیرائڈز کی بنیاد ہیں۔ دیکھیں، مثال کے طور پر، جیٹ پروپلشن لیبارٹری ڈویلپمنٹ ایفیمیرس کوول کا طریقہ ایک خاص رکاوٹ کا طریقہ ہے۔ ریاضیاتی طور پر، باہمی تعامل کرنے والے اجسام کے لیے، دیگر اجسام سے جسم پر نیوٹنین قوتوں کا خلاصہ اس طرح کیا جاتا ہے، جہاں جسم کا ایکسلریشن ویکٹر کشش ثقل کا مستقل ہے جو جسم کی کمیت ہے اور اشیاء کے پوزیشن ویکٹر ہیں اور یہ شے سے شے کا فاصلہ ہے جس میں تمام ویکٹر کو نظام کے بیری سینٹر میں بھیجا جاتا ہے۔ اس مساوات کو اجزاء میں حل کیا جاتا ہے، اور یہ نئی رفتار اور پوزیشن ویکٹر بنانے کے لیے عددی طور پر مربوط ہوتے ہیں کیونکہ تخروپن وقت کے ساتھ آگے بڑھتا ہے۔ کوویل کے طریقہ کار کا فائدہ اطلاق اور پروگرامنگ میں آسانی ہے۔ ایک نقصان یہ ہے کہ جب خلل شدت میں بڑا ہو جاتا ہے (جیسے کہ جب کوئی چیز دوسرے کے قریب پہنچتی ہے) تو طریقہ کار کی غلطیاں بھی بڑی ہو جاتی ہیں۔ ایک اور نقصان یہ ہے کہ غالب مرکزی جسم والے نظاموں میں، جیسے سورج، مرکزی جسم اور پریشان کن اجسام کی قوتوں میں بڑے فرق کی وجہ سے ریاضی میں بہت سے اہم ہندسوں کو لے جانا ضروری ہے۔ اینک کا طریقہ اینک کا طریقہ ایک حوالہ کے طور پر ارتعاش مدار سے شروع ہوتا ہے اور وقت کی تقریب کے طور پر حوالہ سے تغیر کو حل کرنے کے لیے عددی طور پر مربوط ہوتا ہے۔ اس کے فوائد یہ ہیں کہ خلل عام طور پر شدت میں چھوٹے ہوتے ہیں، لہذا انضمام بڑے مراحل میں آگے بڑھ سکتا ہے (جس کے نتیجے میں کم غلطیاں ہوتی ہیں)، اور یہ طریقہ کوول کے طریقہ کار کے مقابلے میں انتہائی خلل سے بہت کم متاثر ہوتا ہے۔ اس کا نقصان پیچیدگی ہے ؛ اسے کبھی کبھار ارتعاش کے مدار کو اپ ڈیٹ کیے بغیر اور وہاں سے جاری رکھے بغیر غیر معینہ مدت تک استعمال نہیں کیا جا سکتا، یہ عمل اصلاح کے نام سے جانا جاتا ہے۔ آسکولیٹنگ مدار کا ریڈیئس ویکٹر، پرچر مدار کا ریڈیئس ویکٹر، اور پرچر مدار سے تغیر، اور صرف اور کی حرکت کی مساوات ہیں، جہاں کشش ثقل کا پیمانہ اور مرکزی جسم اور پرچر جسم کی کمیت ہے، پرچربنگ ایکسلریشن ہے، اور اور اور کے طول و عرض ہیں۔ مساوات () اور () کو مساوات () میں تبدیل کرنا، جسے نظریہ طور پر تلاش کرنے کے لیے دو بار مربوط کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ ارتعاش کرنے والے مدار کا حساب آسانی سے دو اجسام کے طریقوں سے لگایا جاتا ہے، اور اس کا حساب لگایا جاتا ہے اور اسے حل کیا جا سکتا ہے۔ عملی طور پر، بریکٹ میں مقدار، دو تقریبا مساوی ویکٹروں کا فرق ہے، اور اضافی اہم ہندسوں کی ضرورت سے بچنے کے لیے مزید ہیرا پھیری ضروری ہے۔ 1991 میں وکٹر آر بانڈ اور مائیکل ایف فریئٹا نے دو جسموں کے پریشان کن مسئلے کو حل کرنے کے لیے ایک موثر اور انتہائی درست طریقہ تیار کیا۔ یہ طریقہ ہنس سپرلنگ کی طرف سے اخذ کردہ حرکت کی لکیری اور باقاعدہ تفریق مساوات اور سی اے کی طرف سے تیار کردہ ان مساوات پر مبنی ایک پرٹربیشن تھیوری کا استعمال کرتا ہے۔ 1864 میں برڈیٹ۔ 1973 میں، بانڈ اور ہینسن نے برڈیٹ کے تفریقی مساوات کے سیٹ کو دو اجسام کی توانائی کے بجائے پرٹربڈ سسٹم کی کل توانائی کو بطور پیرامیٹر استعمال کرکے اور عناصر کی تعداد کو 13 تک کم کرکے بہتر بنایا۔ 1989 میں بانڈ اور گوٹلیب نے جیکوبین انٹیگرل کو سرایت کیا، جو کہ ایک مستقل ہے جب پوٹینشل فنکشن واضح طور پر وقت کے ساتھ ساتھ نیوٹنین مساوات میں پوزیشن پر بھی منحصر ہوتا ہے۔ جیکوبین مستقل کو حرکت کی تفریقی مساوات کی اصلاح میں کل توانائی کو تبدیل کرنے کے لیے ایک عنصر کے طور پر استعمال کیا گیا تھا۔ اس عمل میں، ایک اور عنصر متعارف کرایا جاتا ہے جو کونیی مومنٹم کے جزو کے متناسب ہوتا ہے۔ اس سے عناصر کی کل تعداد 14 ہو گئی۔ 1991 میں، بانڈ اور فریئٹا نے لیپلیس ویکٹر کو ایک اور ویکٹر انٹیگرل کے ساتھ ساتھ ایک اور اسکیلر انٹیگرل کے ساتھ تبدیل کرکے مزید ترمیم کی جس نے چھوٹی سیکولر اصطلاحات کو ہٹا دیا جو کچھ عناصر کے لیے تفریقی مساوات میں ظاہر ہوئیں۔ سپرلنگ-برڈیٹ طریقہ کار کو 5 مراحل کے عمل میں مندرجہ ذیل طریقے سے انجام دیا جاتا ہے: مرحلہ 1: ابتدائی پوزیشن، ابتدائی رفتار، اور ابتدائی وقت کو دیکھتے ہوئے، درج ذیل متغیرات کو شروع کیا جاتا ہے: پریشان کن کمیتوں کی وجہ سے ہونے والی خلل، جس کی تعریف اور کے طور پر کی گئی ہے، کا اندازہ دوسرے ایکسلریشن کی وجہ سے کیا جاتا ہے، جس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے، مرحلہ 2: عناصر کو کوآرڈینیٹس میں تبدیل کریں جہاں اسٹمپف فنکشن ہیں مرحلہ 3: عناصر کے لیے تفریقی مساوات کا اندازہ کریں مرحلہ 4: انضمام یہاں تفریقی مساوات کو مرحلہ 5 پر عنصر کی قیمت حاصل کرنے کے لیے ایک مدت کے دوران مربوط کیا جاتا ہے: ایڈوانس سیٹ اور مرحلہ 2 پر واپس آتے ہیں جب تک کہ تخروپن روکنے کے حالات پورے نہ ہو جائیں۔ خلل پیدا کرنے والی قوتیں مداروں کو ایک کامل کیپلرین مدار سے پریشان کرنے کا سبب بنتی ہیں۔ ان میں سے ہر ایک قوت کے نمونے مدار کے تخروپن کے دوران بنائے اور انجام دیے جاتے ہیں تاکہ مدار پر ان کے اثرات کا تعین کیا جا سکے۔ غیر کروی کشش ثقل زمین ایک کامل دائرہ نہیں ہے اور نہ ہی زمین کے اندر مساوی طور پر تقسیم ہے۔ اس کے نتیجے میں پوائنٹ ماس کشش ثقل کا ماڈل زمین کے ارد گرد کے مداروں، خاص طور پر کم زمین کے مداروں کے لیے غلط ہے۔ زمین کی سطح کے ارد گرد کشش ثقل کی صلاحیت میں تغیرات کو مدنظر رکھتے ہوئے، زمین کے کشش ثقل کے میدان کو کروی ہم آہنگی کے ساتھ نمونہ بنایا گیا ہے جس کا اظہار مساوات کے ذریعے کیا جاتا ہے: جہاں کشش ثقل کے پیرامیٹر کو G، عالمگیر کشش ثقل کے مستقل، اور بنیادی جسم کی کمیت کے پروڈکٹ کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یونٹ ویکٹر ہے جو بنیادی اور ثانوی اجسام کے درمیان فاصلے کی وضاحت کرتا ہے، جس میں فاصلے کی شدت ہوتی ہے۔ ڈگری n اور آرڈر m کے کروی ہارمونک کی شراکت کی نمائندگی کرتا ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں: بنیادی جسم کا اوسط استوائی رداس ہے۔ بنیادی جسم کے مرکز سے ثانوی جسم کے مرکز تک پوزیشن ویکٹر کی شدت ہے۔ اور ڈگری n اور آرڈر m کے کشش ثقل کے گتانک ہیں۔ یہ عام طور پر کشش ثقل کی پیمائش کے ذریعے پائے جاتے ہیں۔ یونٹ ویکٹر بنیادی باڈی پر طے شدہ کوآرڈینیٹ سسٹم کی وضاحت کرتے ہیں۔ زمین کے لیے، استوائی سطح زمین کے ہندسی مرکز اور گرین وچ مریدین کو کاٹتی ہوئی لکیر کے متوازی میں واقع ہے، جو شمالی قطبی محور کی سمت میں اشارہ کرتا ہے، اور اسے ڈگری n اور آرڈر m کا ماخوذ لیجنڈری کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ انہیں تکرار کے تعلق کے ذریعے حل کیا جاتا ہے: ثانوی جسم کے جغرافیائی عرض البلد کا سائن ہے، جو ہے۔ ان کی تعریف درج ذیل تکرار کے تعلق اور ابتدائی حالات کے ساتھ کی گئی ہے: جب کسی بنیادی جسم کے ارد گرد مدار کے خلل کو ماڈلنگ کرتے ہیں تو صرف اصطلاحات کا مجموعہ خلل میں شامل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ پوائنٹ ماس کشش ثقل ماڈل کو تیسرے جسم کے خلل کی اصطلاح میں شمار کیا جاتا ہے۔ تیسرے جسم سے کشش ثقل قوتیں مدار میں خلل پیدا کر سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، سورج اور چاند زمین کے گرد مداروں میں خلل پیدا کرتے ہیں۔ ان قوتوں کو اسی طرح بنایا گیا ہے جس طرح کشش ثقل کو براہ راست کشش ثقل این-باڈی تخروپن کے ذریعے بنیادی جسم کے لیے بنایا گیا ہے۔ عام طور پر، ان تیسرے اجسام سے ہونے والے اثرات کے ماڈلنگ کے لیے صرف ایک کروی پوائنٹ ماس کشش ثقل کا ماڈل استعمال کیا جاتا ہے۔ تیسرے جسم کے خلل کے کچھ خاص معاملات میں تقریبا تجزیاتی حل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، چڑھتے ہوئے نوڈ کے دائیں چڑھائی کے لیے خلل اور سرکلر ارتھ آربٹ کے لیے پیریجی کی دلیل یہ ہیں: کہاں: چڑھتے ہوئے نوڈ کے دائیں چڑھائی میں فی دن ڈگری میں تبدیلی ہے۔ فی دن ڈگریوں میں پیریجی کی دلیل میں تبدیلی ہے۔ یہ مداری جھکاؤ ہے۔ فی دن مداری انقلابات کی تعداد ہے۔ شمسی تابکاری شمسی تابکاری کا دباؤ مداروں میں خلل کا سبب بنتا ہے۔ یہ زمین کے مدار میں خلائی جہاز کو جو ایکسلریشن دیتا ہے اس کی شدت کو نیچے دی گئی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ماڈل کیا گیا ہے: جہاں: میٹر فی سیکنڈ مربع میں ایکسلریشن کی شدت ہے۔ میٹر مربع میں سورج کے سامنے کراس سیکشنل ایریا ہے۔ خلائی جہاز کی کمیت کلوگرام میں ہے۔ عکاسی عنصر ہے جو مادی خصوصیات پر منحصر ہے۔ جذب کے لیے، قیاس آرائی پر مبنی عکاسی کے لیے، اور پھیلی ہوئی عکاسی کے لیے۔ زمین کے گرد مداروں کے لیے، شمسی تابکاری کا دباؤ 800 کلومیٹر اونچائی سے اوپر گھسیٹنے سے زیادہ مضبوط قوت بن جاتا ہے۔ پروپلشن خلائی جہاز کے پروپلشن کی بہت سی مختلف قسمیں ہیں۔ راکٹ انجن سب سے زیادہ استعمال ہونے والے انجنوں میں سے ایک ہیں۔ راکٹ انجن کی قوت کو اس مساوات کے ذریعے ماڈیول کیا جاتا ہے: {| بارڈر = "0" سیل پیڈنگ = "2" |-|align = right|where: |-! صف بندی = دائیں۔ |align = بائیں۔ = اخراج گیس ماس فلو |-! صف بندی = دائیں۔ |align = بائیں۔ = موثر اخراج کی رفتار |-! صف بندی = دائیں۔ |align = بائیں۔ = نوز سے باہر نکلنے والے ہوائی جہاز پر حقیقی جیٹ کی رفتار |-! صف بندی = دائیں۔ |align = بائیں۔ = بائیں۔ = نوز سے باہر نکلنے والے ہوائی جہاز پر بہاؤ کا علاقہ (یا وہ ہوائی جہاز جہاں جیٹ نوز سے الگ ہونے پر نکلتا ہے) |-! صف بندی = دائیں۔ |align = بائیں۔ = نوزل پر جامد دباؤ شمسی جہاز مطلوبہ محرک قوت حاصل کرنے کے لیے تابکاری کے دباؤ کا استعمال کرتے ہیں۔ شمسی ہوا کی وجہ سے ہونے والے پرٹربیشن ماڈل کو شمسی سیل سے آنے والی پروپلسو فورس کے ماڈل کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ زمین کے نچلے مدار میں سیٹلائٹس پر کام کرنے والی بنیادی غیر کشش ثقل قوت ماحولیاتی ڈریگ ہے۔ ڈریگ رفتار کی سمت کے خلاف کام کرے گا اور مدار سے توانائی کو ہٹا دے گا۔ ڈریگ کی وجہ سے ہونے والی قوت کو مندرجہ ذیل مساوات کے ذریعہ نمونہ بنایا جاتا ہے: جہاں ڈریگ کی قوت ہے، سیال کی کثافت ہے، سیال سے متعلق شے کی رفتار ہے، ڈریگ گتانک ہے (ایک طول و عرض کے بغیر پیرامیٹر، مثال کے طور پر۔ زیادہ تر سیٹلائٹس کے لیے 2 سے 4) حوالہ علاقہ ہے۔ 120 کلومیٹر سے کم اونچائی والے مداروں میں عام طور پر اتنا اونچا ڈریگ ہوتا ہے کہ مدار اتنی تیزی سے ختم ہو جاتے ہیں کہ کسی سیٹلائٹ کو کسی بھی عملی مشن کو پورا کرنے کے لیے کافی عمر مل جاتی ہے۔ دوسری طرف، 600 کلومیٹر سے زیادہ اونچائی والے مداروں میں نسبتا چھوٹا ڈریگ ہوتا ہے تاکہ مدار اتنا سست ہو جائے کہ اس کا سیٹلائٹ پر اس کی مفید زندگی پر کوئی حقیقی اثر نہ پڑے۔ ہوا کی کثافت تھرموسفیر میں نمایاں طور پر مختلف ہو سکتی ہے جہاں زمین کے گرد چکر لگانے والے سب سے کم سیٹلائٹ رہتے ہیں۔ یہ تغیر بنیادی طور پر شمسی سرگرمی کی وجہ سے ہے، اور اس طرح شمسی سرگرمی خلائی جہاز پر ڈریگ کی قوت کو بہت زیادہ متاثر کر سکتی ہے اور طویل مدتی مدار کے تخروپن کو پیچیدہ بنا سکتی ہے۔ مقناطیسی میدان مقناطیسی میدان مدار میں خلل کے ذریعہ کے طور پر اہم کردار ادا کر سکتے ہیں جیسا کہ لانگ ڈوریشن ایکسپوزر فیسیلٹی میں دیکھا گیا تھا۔ کشش ثقل کی طرح، زمین کے مقناطیسی میدان کا اظہار کروی ہم آہنگی کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے: زمین کی سطح کے اوپر ایک نقطہ پر مقناطیسی میدان ویکٹر کہاں ہے۔ ڈگری n اور آرڈر m کے کروی ہارمونک کی شراکت کی نمائندگی کرتا ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں: بنیادی جسم کا اوسط استوائی رداس ہے۔ بنیادی جسم کے مرکز سے ثانوی جسم کے مرکز تک پوزیشن ویکٹر کی شدت ہے۔ ثانوی باڈی کی سمت میں ایک یونٹ ویکٹر ہے جس کی ابتدا بنیادی باڈی کے مرکز میں ہوتی ہے۔ اور ڈگری n اور آرڈر m کے گاؤس کوفیشنٹس ہیں۔ یہ عام طور پر مقناطیسی میدان کی پیمائش کے ذریعے پائے جاتے ہیں۔ یونٹ ویکٹر بنیادی باڈی پر طے شدہ کوآرڈینیٹ سسٹم کی وضاحت کرتے ہیں۔ زمین کے لیے، استوائی سطح زمین کے ہندسی مرکز اور گرین وچ مریدین کو کاٹتی ہوئی لکیر کے متوازی میں واقع ہے، جو شمالی قطبی محور کی سمت میں اشارہ کرتا ہے، اور اسے ڈگری n اور آرڈر m کا ماخوذ لیجنڈری کثیر الجہتی کہا جاتا ہے۔ ان کو تکرار کے رشتے کے ذریعے حل کیا جاتا ہے: اس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے: 1 اگر m = 0، کے لیے، اور کے لیے اور ثانوی جسم کے جغرافیائی عرض البلد کا سائن ہے، جو ہے۔ ان کی تعریف درج ذیل تکرار کے تعلق اور ابتدائی حالات کے ساتھ کی گئی ہے: یہ بھی دیکھیں کہ این-باڈی کا مسئلہ آربیٹل ریزونینس آسکولیٹنگ آربیٹ پرٹربیشن (فلکیات) اثر کا دائرہ (ایسٹرو ڈائنامکس) دو باڈی کا مسئلہ نوٹ اور حوالہ جات بیرونی روابط کشش ثقل کے نقشے زمین آربیٹل پرٹربیشنز ڈائنامکل سسٹمز ڈائنامکس آف دی سولر سسٹم