Constant-mean-curvature surface
تفریق جیومیٹری میں، مستقل-مطلب-منحنی (سی ایم سی) سطحیں مستقل اوسط منحنی سطح والی سطحیں ہوتی ہیں۔ اس میں ذیلی سیٹ کے طور پر کم سے کم سطحیں شامل ہیں، لیکن عام طور پر انہیں خصوصی کیس کے طور پر مانا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ سطحیں عام طور پر مسلسل گاؤسی منحنی سطحوں سے مختلف ہوتی ہیں، سوائے دائرے کے اہم استثناء کے۔ تاریخ 1841 میں ڈیلونے نے ثابت کیا کہ مسلسل اوسط منحنیت کے ساتھ انقلاب کی واحد سطحیں کونکس کے رولیٹس کو گھمانے سے حاصل ہونے والی سطحیں تھیں۔ یہ ہیں طیارہ، سلنڈر، دائرہ، کیٹینائڈ، انڈولائڈ اور نوڈائڈ۔ 1853 میں جے ایچ جیلیٹ نے دکھایا کہ اگر ایک کمپیکٹ اسٹار کی شکل کی سطح ہے جس میں مستقل اوسط منحنیت ہے، تو یہ معیاری دائرہ ہے۔ اس کے بعد، اے ڈی الیگزینڈرف نے ثابت کیا کہ مستقل اوسط منحنیت کے ساتھ ایک کمپیکٹ سرایت شدہ سطح ایک دائرہ ہونا ضروری ہے۔ اس کی بنیاد پر ایچ۔ ہاپف نے 1956 میں قیاس کیا کہ کوئی بھی ڈوبا ہوا کمپیکٹ اورینٹیبل مستقل اوسط منحنی سطح ایک معیاری سرایت شدہ دائرہ ہونا چاہیے۔ اس قیاس آرائی کو 1982 میں وو یی سیانگ نے ایک جوابی مثال کا استعمال کرتے ہوئے غلط ثابت کیا تھا۔ 1984 میں ہنری سی وینٹے نے وینٹے ٹورس کی تعمیر کی، جو مستقل اوسط منحنیت کے ساتھ ٹورس میں ڈوبا ہوا ہے۔ اس مقام تک ایسا لگتا تھا کہ سی ایم سی کی سطحیں نایاب تھیں ؛ نئی تکنیکوں نے بہت سی مثالیں پیش کیں۔ خاص طور پر گلوئنگ کے طریقے سی ایم سی کی سطحوں کو کافی من مانی طور پر یکجا کرنے کی اجازت دیتے دکھائی دیتے ہیں۔ ڈیلونی کی سطحوں کو ان کی سی ایم سی خصوصیات کو برقرار رکھتے ہوئے، ڈوبے ہوئے "بلبلوں" کے ساتھ بھی جوڑا جا سکتا ہے۔ میکس نے دکھایا کہ صرف ایک سرے کے ساتھ کوئی سرایت شدہ سی ایم سی سطحیں نہیں ہیں۔ کوریوار، کسنر اور سولومن نے ثابت کیا کہ ایک مکمل سرایت شدہ سی ایم سی سطح کے سرے انڈیولائڈز کے لیے غیر علامتی ہوں گے۔ ہر سرے پر انڈولائڈ کے غیر علامتی محور کے ساتھ ایک "قوت" ہوتی ہے (جہاں n گردنوں کا دائرہ ہے)، جس کا مجموعہ سطح کے وجود کے لیے متوازن ہونا ضروری ہے۔ موجودہ کام میں سرایت شدہ سی ایم سی سطحوں کے خاندانوں کی ان کے ماڈیولی خالی جگہوں کے لحاظ سے درجہ بندی شامل ہے۔ خاص طور پر، جینس 0 کے کوپلانار کے-انڈولائڈز کے لیے عجیب k کے لیے مطمئن، اور یکساں k کے لیے۔ زیادہ سے زیادہ k−2 سرے بیلناکار ہو سکتے ہیں۔ جنریشن کے طریقے نمائندگی کا فارمولا کم سے کم سطحوں کی طرح، ہارمونک افعال کا ایک قریبی تعلق موجود ہے۔ ایک پر مبنی سطح میں مستقل اوسط منحنیت ہوتی ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا گاؤس نقشہ ہم آہنگ نقشہ ہو۔ کینموتسو کا نمائندگی فارمولا کم سے کم سطحوں کے ویئراسٹراس-اینپر پیرامیٹرائزیشن کا ہم منصب ہے: آئیے ایک کھلا سیدھا جڑا ہوا ذیلی سیٹ بنیں اور ایک صوابدیدی غیر صفر حقیقی مستقل بنیں۔ فرض کریں کہ ریمن دائرے میں ایک ہارمونک فنکشن ہے۔ اگر اس کے بعد کے ساتھ تعریف کی گئی ہے تو ایک باقاعدہ سطح ہے جس میں گاؤس کا نقشہ اور اوسط منحنیت ہے۔ کے لیے اور اس سے دائرہ پیدا ہوتا ہے۔ اور ایک سلنڈر دیتا ہے جہاں۔ کنجوگیٹ کزن طریقہ لاسن نے 1970 میں دکھایا کہ ہر سی ایم سی کی سطح میں ایک آئسومیٹرک "کزن" کم سے کم سطح ہوتی ہے۔ یہ جیوڈیسیک کثیر الاضلاعات سے شروع ہونے والی تعمیرات کی اجازت دیتا ہے، جو کم سے کم پیچ کے ذریعے پھیلے ہوتے ہیں جنہیں عکاسی کے ذریعے مکمل سطح تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور پھر سی ایم سی کی سطح میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ سی ایم سی ٹوری ہچن، پنکال، سٹرلنگ اور بوبینکو نے دکھایا کہ خلائی شکلوں میں 2-ٹورس کے تمام مستقل اوسط منحنی پن کو خلا کی شکلوں میں ڈبو دیا جاتا ہے اور اسے خالص الجبرو جیومیٹرک ڈیٹا میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ اسے طیارہ کے سی ایم سی وسرجن کے ذیلی سیٹ تک بڑھایا جا سکتا ہے جو محدود قسم کے ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر اور کے سی ایم سی وسرجن کے درمیان ایک واضح بائیجیکشن ہے، اور اس شکل کے سپیکٹرم ڈیٹا جہاں ایک ہائپرلیپٹک وکر ہے جسے سپیکٹرم وکر کہا جاتا ہے، ایک مورومورفک فنکشن ہے، اور اس پر پوائنٹس ہیں، یہ ایک اینٹی ہولومورفک انوولیوشن ہے اور بعض شرائط کی پابندی کرنے پر ایک لائن بنڈل ہے۔ متفرق عددی طریقے متفرق تفریقی جیومیٹری کو سی ایم سی کی سطحوں (یا متفرق ہم منصبوں) کے قریب تخمینہ پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، عام طور پر ایک مناسب توانائی فنکشنل کو کم سے کم کرکے۔ ایپلی کیشنز سی ایم سی کی سطحیں صابن کے بلبلوں کی نمائندگی کے لیے قدرتی ہیں، کیونکہ ان میں غیر صفر دباؤ کے فرق کے مطابق منحنی پن ہوتا ہے۔ میکروسکوپک بلبلے کی سطحوں کے علاوہ سی ایم سی کی سطحیں سپر ہائیڈروفوبک سطح پر گیس مائع انٹرفیس کی شکل کے لیے متعلقہ ہیں۔ سہ رخی کم سے کم سطحوں کی طرح وقفے وقفے سے سی ایم سی سطحوں میں بلاک کوپولیمر کے ماڈل کے طور پر دلچسپی رہی ہے جہاں مختلف اجزاء میں غیر صفر انٹرفیسیل توانائی یا تناؤ ہوتا ہے۔ وقتا فوقتا کم سے کم سطحوں کے لیے سی ایم سی اینالاگس بنائے گئے ہیں، جو خلا کی غیر مساوی تقسیم پیدا کرتے ہیں۔ اے بی سی ٹرائبلک کوپولیمرز میں سی ایم سی ڈھانچے کا مشاہدہ کیا گیا ہے۔ فن تعمیر میں سی ایم سی کی سطحیں ہوا سے چلنے والے ڈھانچوں جیسے انفلاٹیبل گنبد اور باڑوں کے ساتھ ساتھ بہتی ہوئی نامیاتی شکلوں کے ذرائع کے لیے بھی متعلقہ ہیں۔ یہ بھی دیکھیں ڈبل بلبلے کی قیاس آرائی آزاد سطح کم سے کم سطح کے حوالہ جات بیرونی روابط سائنسی گرافکس پروجیکٹ جیومیٹری ورکسٹاٹ سطح گیلری میں سی ایم سی کی سطحیں سی ایم سی کی سطحوں کی گانگ گیلری نوئڈ، این-نوئڈ سی ایم سی سطحوں کی کمپیوٹنگ کے لیے سافٹ ویئر سطحوں کی متفرق جیومیٹری