Singular boundary method
عددی تجزیے میں، سنگل باؤنڈری میتھڈ (ایس بی ایم) کا تعلق میش لیس باؤنڈری کولیکیشن تکنیک کے ایک خاندان سے ہے جس میں بنیادی حل کا طریقہ (ایم ایف ایس)، باؤنڈری ناٹ میتھڈ (بی کے ایم)، ریگولرائزڈ میش لیس میتھڈ (آر ایم ایم)، باؤنڈری پارٹیکل میتھڈ (بی پی ایم)، ترمیم شدہ ایم ایف ایس وغیرہ شامل ہیں۔ مضبوط شکل کے کولاکیشن طریقوں کا یہ خاندان باؤنڈری نوڈس کے ساتھ باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے عددی حل میں روایتی باؤنڈری عنصر طریقہ (بی ای ایم) میں واحد عددی انضمام اور میش نسل سے بچنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے، جس میں گورننگ مساوات کا ایک بنیادی حل واضح طور پر جانا جاتا ہے۔ ایس بی ایم کی خاص خصوصیت بنیادی حل کے طریقہ کار میں فرضی حد پر قابو پانا ہے، جبکہ مؤخر الذکر کی تمام خوبیوں کو برقرار رکھنا ہے۔ یہ طریقہ کلاسیکی ڈومین یا باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن کے طریقوں پر کئی فوائد پیش کرتا ہے، جن میں سے یہ ہیں: بغیر میش کے۔ اس طریقہ کار کے لیے نہ تو ڈومین اور نہ ہی باؤنڈری میشنگ کی ضرورت ہوتی ہے بلکہ صرف باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن پوائنٹس کی ضرورت ہوتی ہے ؛ انضمام سے پاک۔ واحد یا تقریبا واحد دانے کا عددی انضمام بصورت دیگر پریشان کن، مہنگا اور پیچیدہ ہو سکتا ہے، جیسا کہ اس معاملے میں، مثال کے طور پر، باؤنڈری عنصر کا طریقہ ؛ یکساں مسائل کے لیے صرف باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن۔ ایس بی ایم بنیادی حل کے طریقہ کار میں پیچیدہ فرضی حد پر قابو پانے کے لیے ڈومین ڈسکریٹائزیشن کے طریقوں جیسے کہ محدود عنصر یا محدود فرق کے طریقوں پر بی ای ایم کے تمام فوائد کا اشتراک کرتا ہے (فگس دیکھیں۔ 1 اور 2)، اصل شدت عنصر کے تصور کے تعارف کی بدولت، جو بنیادی حلوں کی انفرادیت کو الگ کرتا ہے۔ ایس بی ایم خاص طور پر لامحدود ڈومین، لہر، پتلی دیواروں والے ڈھانچے، اور الٹا مسائل کے لیے مقبول باؤنڈری ٹائپ طریقوں جیسے بی ای ایم اور ایم ایف ایس کا ایک اہم اور امید افزا متبادل فراہم کرتا ہے۔ واحد باؤنڈری طریقہ کار کی تاریخ ایس بی ایم کا طریقہ کار سب سے پہلے 2009 میں چن اور ان کے ساتھیوں نے تجویز کیا تھا۔ بنیادی خیال یہ ہے کہ بنیادی حلوں کی انفرادیت کو الگ کرنے کے لیے اصل شدت کے عنصر کا تصور متعارف کرایا جائے تاکہ ماخذ کے نکات کو براہ راست حقیقی حد پر رکھا جا سکے۔ اس کے مقابلے میں، بنیادی حل کے طریقہ کار کے لیے بنیادی حل کی یکسانیت سے بچنے کے لیے ماخذ نکات کو رکھنے کے لیے ایک فرضی حد کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس کے بعد سے ایس بی ایم کو مختلف قسم کے جسمانی مسائل پر کامیابی کے ساتھ لاگو کیا گیا ہے، جیسے کہ ممکنہ مسائل، لامحدود ڈومین کا مسئلہ، ہیلم ہولٹز کا مسئلہ، اور طیارہ لچک کا مسئلہ۔ اصل شدت کے عنصر کا اندازہ کرنے کے لیے دو تکنیکیں ہیں۔ پہلا طریقہ یہ ہے کہ مسئلہ ڈومین کے اندر نمونے کے نوڈس کا ایک مجموعہ رکھا جائے اور الجبرائی مساوات کا حساب لگایا جائے۔ یہ حکمت عملی اضافی کمپیوٹیشنل لاگت کی طرف لے جاتی ہے اور طریقہ کار کو ایم ایف ایس کے مقابلے میں توقع کے مطابق موثر نہیں بناتی ہے۔ دوسرا نقطہ نظر یہ ہے کہ بنیادی حل اور اس کے مشتقات کی انفرادیت کو منسوخ کرنے کے لیے باقاعدگی کی تکنیک کو استعمال کیا جائے۔ نتیجتا، اصل کی شدت کے عوامل کا تعین کسی بھی نمونے کے نوڈس کا استعمال کیے بغیر براہ راست کیا جا سکتا ہے۔ یہ اسکیم طریقہ کار کو زیادہ مستحکم، درست، موثر بناتی ہے، اور اس کے اطلاق کو بڑھاتی ہے۔ حالیہ پیش رفت باؤنڈری لیئر ایفیکٹ کے مسائل دیگر تمام باؤنڈری قسم کے عددی طریقوں کی طرح، یہ بھی مشاہدہ کیا گیا ہے کہ ایس بی ایم کو قریبی حدود کے علاقے میں حل کی درستگی میں ڈرامائی کمی کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔ اصل میں یکسانیت کے برعکس، قریب سرحدی علاقوں میں بنیادی حل محدود رہتا ہے۔ تاہم، فلیٹ فنکشن ہونے کے بجائے، انٹرپولیشن فنکشن ایک تیز چوٹی تیار کرتا ہے جیسے جیسے فیلڈ پوائنٹ باؤنڈری کے قریب پہنچتا ہے۔ نتیجتا، دانے "تقریبا واحد" ہو جاتے ہیں اور ان کا درست حساب نہیں لگایا جا سکتا۔ یہ نام نہاد باؤنڈری لیئر اثر سے ملتا جلتا ہے جس کا سامنا بی ای ایم پر مبنی طریقوں میں ہوتا ہے۔ ایک غیر لکیری تبدیلی، جو سن فنکشن پر مبنی ہے، کو تقریبا واحد دانے کی تیز رفتار تغیرات کو دور کرنے یا کم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، ایس بی ایم میں پریشان کن باؤنڈری لیئر اثر کو کامیابی کے ساتھ دور کیا گیا ہے۔ اس تبدیلی کا نفاذ سیدھا ہے اور اسے موجودہ ایس بی ایم پروگراموں میں آسانی سے شامل کیا جا سکتا ہے۔ مطالعہ شدہ ٹیسٹ کے مسائل کے لیے، بہت امید افزا نتائج اس وقت بھی حاصل ہوتے ہیں جب فیلڈ پوائنٹ اور باؤنڈری کے درمیان فاصلہ 1 جتنا چھوٹا ہو۔ بڑے پیمانے کے مسائل جیسے کہ ایم ایف ایس اور بی ای ایم، ایس بی ایم گھنے گتانک میٹرکس تیار کرے گا، جن کے عمل کی گنتی اور میٹرکس مساوات کی تعمیر کے لیے میموری کی ضروریات او (این 2) کی ترتیب کی ہوتی ہیں جو کہ بڑے پیمانے کے مسائل کو نقل کرنے کے لیے کمپیوٹیشنل طور پر بہت مہنگی ہوتی ہیں۔ فاسٹ ملٹی پول میتھڈ (ایف ایم ایم) سی پی یو ٹائم اور میموری کی ضرورت دونوں کو او (این 2) سے او (این) یا او (این ایل او این) تک کم کر سکتا ہے۔ ایف ایم ایم کی مدد سے ایس بی ایم ڈیسک ٹاپ پر کئی ملین نامعلوم افراد کے بڑے پیمانے کے مسئلے کو حل کرنے کی مکمل صلاحیت رکھتا ہے۔ یہ تیز رفتار الگورتھم ڈرامائی طور پر ایس بی ایم کے قابل اطلاق علاقے کو اس سے کہیں زیادہ بڑے مسائل تک پھیلا دیتا ہے جو پہلے ممکن تھا۔ میش فری طریقے ریڈیل بیس فنکشن ٹریفٹز طریقہ حوالہ جات بیرونی روابط دانا فاصلہ افعال اور ریڈیل بیس افعال سنگل باؤنڈری طریقہ عددی تجزیہ عددی تفریق مساوات