Cartier duality
ریاضی میں، کارٹیئر ڈوئلٹی مواصلاتی گروپ اسکیموں کے لیے پونٹریگین ڈوئلٹی کا ایک ینالاگ ہے۔ کے ذریعے متعارف کرایا گیا۔ حروف کا استعمال کرتے ہوئے تعریف کسی بھی محدود فلیٹ کمیونیٹیٹو گروپ اسکیم G اوور S کو دیکھتے ہوئے، اس کا کارٹیئر ڈوئل حروف کا وہ گروپ ہے، جس کی تعریف فنکٹر کے طور پر کی گئی ہے جو کسی بھی S-اسکیم T کو گروپ اسکیم ہومومورفزم کے ابیلین گروپ تک لے جاتا ہے۔ اس فنکٹر کی نمائندگی ایک محدود فلیٹ ایس-گروپ اسکیم کے ذریعے کی جا سکتی ہے، اور کارٹیئر ڈوئلٹی محدود فلیٹ کمیونیٹیٹو ایس-گروپ اسکیموں کے زمرے سے اپنے آپ میں ایک اضافی غیر متزلزل مخالف بناتی ہے۔ اگر G ایک مستقل تبادلہ گروپ اسکیم ہے، تو اس کا کارٹیئر ڈوئل اخترن گروپ D (G) ہے، اور اس کے برعکس۔ اگر S افائن ہے، تو ڈوئلٹی فنکٹر افعال کے ہوپف الجبرا کی ڈوئلٹی کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ ہوپف الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے تعریف کسی فیلڈ پر ایک محدود تبادلہ گروپ اسکیم ایک محدود جہتی تبادلہ کوکوموٹیٹو ہوپف الجبرا سے مطابقت رکھتی ہے۔ کارٹیئر ڈوئلٹی ہوپف الجبرا کے ڈوئل کو لینے، ضرب اور ضرب کا تبادلہ کرنے سے مطابقت رکھتی ہے۔ کارٹیئر ڈوئلٹی کے مزید عمومی معاملات کارٹیئر ڈوئل کی تعریف بہت زیادہ عام حالات تک مفید طور پر پھیلا ہوا ہے جہاں اسکیموں پر نتیجے میں آنے والے فنکٹر کو اب گروپ اسکیم کے طور پر پیش نہیں کیا جاتا ہے۔ عام معاملات میں ایس کے اوپر مواصلاتی گروپوں کے ایف پی پی ایف شییوز اور اس کے کمپلیکس شامل ہیں۔ یہ زیادہ عام ہندسی اشیاء مفید ہو سکتی ہیں جب کوئی ان زمروں کے ساتھ کام کرنا چاہتا ہے جن میں حد کا اچھا طرز عمل ہو۔ انٹرمیڈیٹ تجریدی معاملات ہوتے ہیں، جیسے کہ کسی فیلڈ پر مواصلاتی الجبرائی گروپ، جہاں کارٹیئر ڈوئلٹی مواصلاتی افائن رسمی گروپوں کے ساتھ ایک مخالف مساوات دیتا ہے، لہذا اگر G اضافی گروپ ہے، تو اس کا کارٹیئر ڈوئل ضرب رسمی گروپ ہے، اور اگر G ٹورس ہے، تو اس کا کارٹیئر ڈوئل ایٹیل اور ٹورسن فری ہے۔ ٹوری کے لوپ گروپوں کے لیے، کارٹیئر ڈوئلٹی مقامی جیومیٹرک کلاس فیلڈ تھیوری میں ٹام علامت کی وضاحت کرتا ہے۔ جیرارڈ لاؤمن نے 1-محرکات پر نیم مربوط ماڈیولز کے لیے ایک شیف تھیوریٹک فورئیر ٹرانسفارم متعارف کرایا جو ان میں سے بہت سے مساوات میں مہارت رکھتا ہے۔ مثال کے طور پر n ترتیب کے چکور گروہ کا کارٹیئر ڈوئل اتحاد کی n-th جڑیں ہیں۔ خصوصیت p کے میدان پر گروپ اسکیم (pth پاورز لینے سے متاثر ہونے والے اضافی گروپ کے اینڈومورفزم کا دانا) اس کا اپنا کارٹیئر ڈوئل ہے۔ حوالہ جات الجبرائی گروہ