Exercise (mathematics)
ریاضیاتی مشق کسی بیان کردہ چیلنج کے لیے الجبرا یا دیگر ریاضی کا معمول کا اطلاق ہے۔ ریاضی کے اساتذہ اپنے طلباء کی مہارتوں کو فروغ دینے کے لیے ریاضیاتی مشقیں تفویض کرتے ہیں۔ ابتدائی مشقیں اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، اور انٹیجرز کی تقسیم سے متعلق ہیں۔ اسکول میں مشقوں کے وسیع کورسز اس طرح کے ریاضی کو عقلی اعداد تک پھیلاتے ہیں۔ جیومیٹری کے مختلف طریقوں میں زاویوں، حصوں اور مثلث کے تعلقات پر مبنی مشقیں ہوتی ہیں۔ مثلثیات کا موضوع اس کی بہت سی مشقیں مثلثیاتی شناختوں سے حاصل کرتا ہے۔ کالج میں ریاضی کی مشقیں اکثر حقیقی متغیر کے افعال یا نظریات کے اطلاق پر منحصر ہوتی ہیں۔ کیلکولس کی معیاری مشقوں میں مخصوص افعال کے مشتقات اور انٹیگرلز کو تلاش کرنا شامل ہے۔ عام طور پر انسٹرکٹر طلباء کو کام کی مثالوں کے ساتھ تیار کرتے ہیں: مشق بیان کی جاتی ہے، پھر ایک نمونہ جواب فراہم کیا جاتا ہے۔ طلباء کے اپنے طور پر مشقوں کی کوشش کرنے کے لیے تیار ہونے سے پہلے اکثر کئی عملی مثالوں کا مظاہرہ کیا جاتا ہے۔ کچھ نصوص، جیسے کہ شوم کے خاکے میں، ریاضیاتی موضوع کے نظریاتی علاج کے بجائے کام شدہ مثالوں پر توجہ مرکوز کرتے ہیں۔ جائزہ پرائمری اسکول میں طلباء واحد ہندسوں کی ریاضی کی مشقوں سے شروعات کرتے ہیں۔ بعد میں زیادہ تر مشقوں میں کم از کم دو ہندسوں شامل ہوتے ہیں۔ ابتدائی الجبرا میں ایک عام مشق کثیر الجہتی کی فیکٹرائزیشن کا مطالبہ کرتی ہے۔ ایک اور مشق مربع کو کواڈریٹک کثیر الجہتی میں مکمل کرنا ہے۔ مصنوعی طور پر تیار کردہ لفظ کا مسئلہ ورزش کی ایک صنف ہے جس کا مقصد ریاضی کو متعلقہ رکھنا ہے۔ اسٹیفن لیکاک نے اس قسم کو بیان کیا: ریاضی کا طالب علم جس نے اپنے فن کے پہلے چار اصولوں میں مہارت حاصل کی ہے اور کامیابی کے ساتھ جملوں اور حصوں کے ساتھ جدوجہد کی ہے وہ خود کو مسائل کے نام سے جانے جانے والے سوالات کے اٹوٹ پھیلاؤ کا سامنا کرتا ہے۔ یہ ایڈونچر اور انڈسٹری کی مختصر کہانیاں ہیں جن کے اختتام کو خارج کر دیا گیا ہے اور اگرچہ یہ ایک مضبوط خاندانی مماثلت کو دھوکہ دیتی ہیں، لیکن یہ رومانوی کے کسی خاص عنصر کے بغیر نہیں ہیں۔ ورزش اور ریاضیاتی مسئلے کے درمیان فرق ایلن ایچ شینفیلڈ نے کیا تھا: طلباء کو متعلقہ مضمون میں مہارت حاصل کرنی چاہیے، اور اس کے لیے مشقیں مناسب ہیں۔ لیکن اگر روٹ کی مشقیں ہی واحد قسم کے مسائل ہیں جو طلباء اپنی کلاسوں میں دیکھتے ہیں، تو ہم طلباء کو سنگین نقصان پہنچا رہے ہیں۔ انہوں نے چیلنجوں کو ترتیب دینے کی وکالت کی: "حقیقی مسائل" کے ذریعے۔ میرا مطلب ریاضیاتی کاموں سے ہے جو طالب علم کے لیے ایک ایماندارانہ چیلنج ہیں اور حل حاصل کرنے کے لیے طالب علم کو کام کرنے کی ضرورت ہے۔ اسی طرح کے جذبات کا اظہار مارون بٹنگر نے اپنی نصابی کتاب کا دوسرا ایڈیشن تیار کرتے وقت کیا تھا: صارفین کے تبصروں کے جواب میں، مصنفین نے ایسی مشقیں شامل کی ہیں جن کے لیے طالب علم کو سبق کے فوری مقاصد کی تفہیم کے علاوہ کچھ اور درکار ہوتا ہے، پھر بھی ضروری نہیں کہ وہ انتہائی چیلنجنگ ہوں۔ ہر طالب علم، یا طلباء کے گروپ کے لیے پراکسیمل ڈویلپمنٹ کا زون، مشقوں کو مشکل کی سطح پر ترتیب دیتا ہے جو انہیں چیلنج کرتا ہے لیکن مایوس نہیں کرتا ہے۔ حساب کتاب کی تمہید میں کچھ تبصرے کتاب میں مشقوں کے مرکزی مقام کو ظاہر کرتے ہیں: مشقیں متن کے تقریبا ایک چوتھائی حصے پر مشتمل ہوتی ہیں-جو ہماری رائے میں متن کا سب سے اہم حصہ ہے۔ ۔ ہر باب کے آخر میں اضافی مشقیں دوسرے ورزش کے سیٹوں کو وسعت دیتی ہیں اور مجموعی مشقیں فراہم کرتی ہیں جن کے لیے پہلے ابواب سے مہارت کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس متن میں "فنکشنز اینڈ گرافز ان ایپلی کیشنز" (Ch. 0.6) شامل ہے جو الفاظ کے مسائل کی تیاری کے چودہ صفحات ہیں۔ محدود شعبوں پر مشتمل ایک کتاب کے مصنفین نے آزادانہ طور پر اپنی مشقوں کا انتخاب کیا: اس کتاب کی کشش کو نصابی کتاب کے طور پر بڑھانے کے لیے، ہم نے متن میں مناسب نکات پر کام کی گئی مثالیں شامل کی ہیں اور 1-9 ابواب کے لیے مشقوں کی فہرستیں شامل کی ہیں۔ یہ مشقیں معمول کے مسائل سے لے کر کلیدی نظریات کے متبادل ثبوتوں تک ہوتی ہیں، لیکن متن میں جو احاطہ کیا گیا ہے اس سے آگے جانے والے مواد پر مشتمل ہوتی ہیں۔ جے سی میکسویل نے وضاحت کی کہ کس طرح ورزش ریاضی کی زبان تک رسائی کو آسان بناتی ہے: ریاضی دانوں کے طور پر ہم تعداد یا مقدار کی علامتوں پر کچھ ذہنی کارروائیاں کرتے ہیں، اور قدم بہ قدم مزید آسان سے زیادہ پیچیدہ کارروائیوں کی طرف بڑھتے ہوئے، ہم ایک ہی چیز کو بہت سی مختلف شکلوں میں ظاہر کرنے کے قابل ہوتے ہیں۔ ان مختلف شکلوں کی مساوات، اگرچہ خود واضح محوریات کا ایک ضروری نتیجہ ہے، ہمارے ذہنوں کے لیے ہمیشہ خود واضح نہیں ہوتی ؛ لیکن ریاضی دان، جس نے طویل مشق سے ان میں سے بہت سی شکلوں سے واقفیت حاصل کر لی ہے، اور ان عملوں میں ماہر بن گیا ہے جو ایک سے دوسرے کی طرف لے جاتے ہیں، اکثر ایک پریشان کن اظہار کو دوسرے میں تبدیل کر سکتا ہے جو اس کے معنی کو زیادہ قابل فہم زبان میں بیان کرتا ہے۔ مختلف کالجوں میں انفرادی انسٹرکٹر اپنے ریاضی کے کورسز کے حصے کے طور پر مشقوں کا استعمال کرتے ہیں۔ یونیورسٹیوں میں مسائل کے حل کی تحقیقات کرتے ہوئے، شین فیلڈ نے نوٹ کیا: ریاضی کی بڑی کمپنیوں کے لیے اپر ڈویژن پیشکش، جہاں زیادہ تر طلباء ان مسائل کے مجموعے پر کام کرتے تھے جو ان کے انفرادی انسٹرکٹرز نے مرتب کیے تھے۔ اس طرح کے کورسز میں مخصوص ہیورسٹکس سکھانے کی کوشش کے بغیر، کر کے سیکھنے پر زور دیا جاتا تھا: طلباء نے بہت سارے مسائل پر کام کیا کیونکہ (اس طرح کے کورسز کے پیچھے مضمر انسٹرکشنل ماڈل کے مطابق) اس طرح کوئی ریاضی میں اچھا ہوتا ہے۔ اس طرح کے ورزش کے مجموعے انسٹرکٹر اور اس کے ادارے کی ملکیت ہو سکتے ہیں۔ ورزش کے سیٹوں کی قدر کی ایک مثال کے طور پر، ٹورو کمون اور اس کے کمون طریقہ کار کی تکمیل پر غور کریں۔ اپنے پروگرام میں، ایک طالب علم ورزش کی ہر سطح پر مہارت حاصل کرنے سے پہلے آگے نہیں بڑھتا ہے۔ روسی اسکول آف میتھمیٹکس میں، طلباء پہلی جماعت سے ہی کثیر مراحل والے مسائل شروع کر دیتے ہیں، حل کی طرف بڑھنے کے لیے پچھلے نتائج پر تعمیر کرنا سیکھتے ہیں۔ 1960 کی دہائی میں، ریاضیاتی مشقوں کے مجموعوں کا روسی زبان سے ترجمہ کیا گیا اور اسے ڈبلیو ایچ فری مین اینڈ کمپنی: دی یو ایس ایس آر اولمپیاڈ پروبلم بک (1962)، پروبلمز ان ہائر الجبرا (1965)، اور پروبلمز ان ڈفریٚنشل ایکویشنز (1963) نے شائع کیا۔ چین میں، قدیم زمانے سے گنتی کی سلاخوں کو اعداد کی نمائندگی کے لیے استعمال کیا جاتا تھا، اور ریاضی کو راڈ کیلکولس اور بعد میں سوانپن کے ساتھ مکمل کیا جاتا تھا۔ نمبرز اینڈ کمپیوٹیشن کی کتاب اور ریاضیاتی فن کے نو ابواب میں ایسی مشقیں شامل ہیں جو لکیری الجبرا کی مثالیں ہیں۔ تقریبا 980 میں السیجی نے اپنے 'ویز آف میکنگ ایزی دی ڈیریویشن آف جیومیٹریکل فگرز' لکھے، جس کا ترجمہ اور اشاعت 1996 میں جان ہونڈیجک نے کی تھی۔ مشقوں کے عربی زبان کے مجموعے کا ہسپانوی ترجمہ کمپینڈیو ڈی الجبرا ڈی ابینبیڈر کے طور پر کیا گیا اور نیچر میں اس کا جائزہ لیا گیا۔ رابرٹ ریکارڈے نے پہلی بار 1543 میں دی گراؤنڈ آف آرٹس شائع کیا۔ 1900 سے پہلے یورپ میں، گرافیکل نقطہ نظر کی سائنس نے ہندسی مشقوں کو تشکیل دیا۔ مثال کے طور پر، 1719 میں بروک ٹیلر نے لکیری پرسپکٹو کے نئے اصولوں میں لکھا ہے کہ یہ اصول کتنے وسیع ہیں، ان کا مشاہدہ کرنے میں بہت زیادہ خوشی ملے گی، ان مخصوص معاملات پر ان کا اطلاق کرکے جو وہ خود وضع کریں گے، جب کہ وہ اس فن میں خود مشق کرتے ہیں۔ ٹیلر نے مزید کہا۔ کسی بھی فن کو سیکھنے کا حقیقی اور بہترین طریقہ، کسی دوسرے شخص کی طرف سے کی گئی بہت سی مثالیں دیکھنا نہیں ہے، بلکہ اس کے اصولوں میں سے پہلے خود کو حاصل کرنا ہے، اور پھر مشق میں خود کو استعمال کرکے ان سے واقف کرنا ہے۔ اسکولوں میں تحریری سلیٹ کے استعمال نے مشقوں کے لیے ایک ابتدائی شکل فراہم کی۔ تحریری امتحانات اور قلم اور کاغذ پر مبنی مطالعہ کے تعارف کے بعد ورزش کے پروگراموں میں اضافہ ہوا۔ فیلکس کلین نے ایکول پولی ٹیکنک کے داخلہ امتحان کی تیاری کو "میتھیمیٹکس اسپیشلز" کا ایک کورس قرار دیا۔ یہ ریاضیاتی تعلیم کا ایک غیر معمولی مضبوط ارتکاز ہے-ہفتے میں 16 گھنٹے تک-جس میں ابتدائی تجزیاتی جیومیٹری اور میکانکس، اور حال ہی میں لامحدود کیلکولس کا بھی اچھی طرح سے مطالعہ کیا جاتا ہے اور بہت سی مشقوں کے ذریعے ایک محفوظ مہارت حاصل کرنے والے آلے میں بنایا جاتا ہے۔ سلویسٹر لیکروکس ایک ہونہار استاد اور نمائش کنندہ تھے۔ وضاحتی جیومیٹری پر ان کی کتاب قارئین کی سمجھ کو استعمال کرنے کے لیے "مسئلہ" کے لیبل والے حصوں کا استعمال کرتی ہے۔ 1816 میں انہوں نے عام طور پر تدریس، اور خاص طور پر ریاضی کی تعلیم پر مضامین لکھے جس میں ورزش اور جانچ کی ضرورت پر زور دیا گیا: معائنہ کار، قلیل مدت میں، اپنے سوالات کو ان مضامین کا احاطہ کرنے کے لیے کافی ضرب دینے کا پابند ہے جو وہ پوچھتا ہے، پڑھائے جانے والے مواد کے زیادہ تر حصے تک، کم مکمل نہیں ہو سکتا، کیونکہ اگر وہ درخواستوں کو مختصر کرنے کے لیے، درخواستوں کو ایک طرف رکھتا ہے، تو وہ شاگردوں کی فیکلٹیز کے لیے اس طرح کچھ حاصل نہیں کرے گا۔ اینڈریو واروک نے مشقوں کے تاریخی سوال کی طرف توجہ مبذول کرائی ہے: ریاضیاتی طبیعیات کی نصابی کتابوں میں ابواب کے آخر میں مثالی مشقوں اور مسائل کو شامل کرنا اب اتنا عام ہے کہ غیر معمولی معلوم ہوتا ہے، لیکن اس بات کی تعریف کرنا ضروری ہے کہ یہ تدریسی آلہ نسبتا حالیہ اصل کا ہے اور اسے ایک مخصوص تاریخی تناظر میں متعارف کرایا گیا تھا۔ کیمبرج یونیورسٹی میں شروع کیے گئے ریاضیاتی ٹرائپوس امتحانات کی رپورٹنگ میں، وہ نوٹ کرتے ہیں کہ اس طرح کی مجموعی، مسابقتی تعلیم نجی ٹیوٹرز کے ذریعے بھی انفرادی ٹیوشن، خاص طور پر تیار کردہ مخطوطات، اور درجہ بند مثالوں اور مسائل کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ مؤثر طریقے سے حاصل کی گئی تھی، اس کے مقابلے میں کالج کے لیکچررز جو اوسط رفتار سے بڑی کلاسوں کو پڑھاتے تھے۔ امتحان اور ورزش کے تعلقات کی وضاحت کرتے ہوئے، وہ لکھتے ہیں۔ 1830 کی دہائی تک یہ نصابی کتابوں میں مشقوں کے بجائے امتحان کے کاغذات پر موجود مسائل تھے، جنہوں نے اس معیار کی وضاحت کی جس کی خواہش مند طلباء رکھتے تھے۔ [کیمبرج کے طلباء] سے نہ صرف ایک مثال کے بہترین خاکے کے ذریعے اپنا راستہ تلاش کرنے کی توقع کی جاتی تھی، بلکہ انہیں اس طرح کی مشقوں کو امتحانات میں مشکل مسائل سے نمٹنے کے لیے مفید تیاری کے طور پر سمجھنا سکھایا جاتا تھا۔ اس اصلاح نے کس طرح جڑ پکڑی اس کی وضاحت کرتے ہوئے واروک نے لکھا: کیمبرج میں یہ وسیع پیمانے پر مانا جاتا تھا کہ ریاضی کی تعلیم کا بہترین طریقہ، بشمول نئے تجزیاتی طریقے، عملی مثالوں اور مسائل کے ذریعے تھا، اور 1830 کی دہائی کے وسط تک، کالج کے نوجوان ساتھیوں کی پہلی نسل میں سے کچھ جنہیں اس طرح اعلی تجزیہ سکھایا گیا تھا، دونوں نے اپنی تحقیق شروع کرنے اور ٹرپوس معائنہ کار مقرر ہونے کا آغاز کر دیا تھا۔ واروک نے اطلاع دی ہے کہ جرمنی میں، تقریبا اسی وقت، فرانز ارنسٹ نیومن نے "درجہ بند مشقوں کا ایک مشترکہ نظام تیار کیا جس نے طالب علم کو ضروری ریاضیاتی مہارتوں اور تکنیکوں کے درجہ بندی سے متعارف کرایا، اور اس نے اپنے مسائل کے سیٹ بنانا شروع کیے جس کے ذریعے اس کے طالب علم اپنا ہنر سیکھ سکتے تھے۔" روس میں، اسٹیفن تیموشینکو نے مشقوں کے ارد گرد ہدایات میں اصلاح کی۔ 1913 میں وہ پیٹرزبرگ اسٹیٹ یونیورسٹی آف مینز آف کمیونیکیشن میں مواد کی طاقت کی تعلیم دے رہے تھے۔ جیسا کہ انہوں نے 1968 میں لکھا، انسٹی ٹیوٹ میں [عملی] مشقیں نہیں دی گئیں، اور امتحانات میں طلباء سے صرف نظریاتی سوالات اپنائی گئی نصابی کتاب سے پوچھے جاتے تھے۔ مجھے اس قسم کی تعلیم کو جلد از جلد ختم کرنا پڑا۔ طلباء نے صورتحال کو واضح طور پر سمجھا، مضمون کے بہتر انضمام کی ضرورت کو محسوس کیا، اور اپنے کام کے بوجھ میں بھاری اضافے پر اعتراض نہیں کیا۔ سب سے بڑی مشکل اساتذہ کے ساتھ تھی-یا زیادہ واضح طور پر، امتحان دہندگان کے ساتھ، جو اپنے امتحانات کو کتاب پر مبنی کرنے کے عادی تھے۔ امتحانات میں عملی مسائل ڈالنا ان کے کام کو پیچیدہ بنا دیتا ہے۔ وہ years.the میں ایسے افراد تھے جن کی واحد امید نوجوانوں کو تدریس میں لانا تھی۔ الگورتھم ورکڈ-مثالی اثر حوالہ جات بیرونی روابط تاتیانا افاناسیفا (1931) پیسیفک انسٹی ٹیوٹ برائے ریاضیاتی علوم سے تجرباتی جیومیٹری میں مشقیں بھی دیکھیں۔ ولادیمیر آرنلڈ (2004) امیجینیری پلیٹ فارم پر 5 سے 15 سال کی عمر کے طلباء کے لیے مشقیں جیمز الفریڈ ایونگ (1911) انٹرنیٹ آرکائیو سے جونیئر آفیسرز کے استعمال کے لیے ریاضی، میکینکس، نیویگیشن اور سمندری فلکیات، حرارت اور بھاپ، بجلی کی مثالیں۔ جم ہیفرون اور دیگر (2004) ریاضی کی تعلیم