Budan's theorem
ریاضی میں، بوڈن تھیوریم ایک وقفے میں کثیر الجہتی کے حقیقی جڑوں کی تعداد کو پابند کرنے اور اس نمبر کی برابری کا حساب لگانے کے لیے ایک تھیوریم ہے۔ اسے 1807 میں فرانکوئس بوڈن ڈی بوئسلاورنٹ نے شائع کیا تھا۔ اسی طرح کا نظریہ جوزف فورئیر نے 1820 میں آزادانہ طور پر شائع کیا تھا۔ ان میں سے ہر ایک نظریہ دوسرے کا نتیجہ ہے۔ فورئیر کا بیان 19 ویں صدی کے ادب میں زیادہ کثرت سے ظاہر ہوتا ہے اور اسے فورئیر، بوڈن-فورئیر، فورئیر-بوڈن کہا جاتا ہے، اور یہاں تک کہ بوڈن کے نظریہ بوڈن کی اصل تشکیل کو کثیر الجہتی کی حقیقی جڑ کی علیحدگی کے لیے تیز جدید الگورتھم میں استعمال کیا جاتا ہے۔ علامت کی تغیرات حقیقی اعداد کی ایک محدود ترتیب ہونے دیں۔ اشارے کی تبدیلی یا ترتیب میں اشارے کی تبدیلی اشاریہ جات کا ایک جوڑا ہے جیسے کہ یا تو یا اس طرح کے تمام اشارے کے لیے۔ دوسرے لفظوں میں، صفر کو نظر انداز کرتے وقت، ہر جگہ پر جہاں نشانات بدلتے ہیں، ترتیب میں ایک نشان کی تبدیلی واقع ہوتی ہے۔ کثیر الجہتی کے حقیقی جڑوں کا مطالعہ کرنے کے لیے، کئی ترتیبات کے اشاروں کے تغیرات کی تعداد استعمال کی جا سکتی ہے۔ بوڈن کے نظریہ کے لیے، یہ کوفیشنٹس کی ترتیب ہے۔ فوریر تھیوریم کے لیے، یہ ایک نقطہ پر یکے بعد دیگرے مشتقات کی اقدار کی ترتیب ہے۔ اسٹرم تھیوریم کے لیے یہ اسٹرم ترتیب کے ایک مقام پر اقدار کی ترتیب ہے۔ ڈیکارٹس کی علامات کی حکمرانی اس مضمون میں بیان کردہ تمام نتائج ڈیکارٹس کی علامات کی حکمرانی پر مبنی ہیں۔ اگر حقیقی کوفشنٹس کے ساتھ ایک غیر متغیر کثیر الجہتی ہے، تو آئیے ہم اس کے مثبت حقیقی جڑوں کی تعداد، ان کی کثرت کے ساتھ شمار، اور اس کے کوفشنٹس کی ترتیب میں علامت کے تغیرات کی تعداد سے ظاہر کرتے ہیں۔ ڈیکارٹس کی علامتوں کی حکمرانی اس بات پر زور دیتی ہے کہ یہ ایک غیر منفی یکساں عدد ہے۔ خاص طور پر، اگر، تو ایک ہے۔ بوڈن کا بیان حقیقی گتانک کے ساتھ ایک غیر متغیر کثیر الجہتی کو دیکھتے ہوئے، آئیے ہم حقیقی جڑوں کی تعداد سے، ان کی ضرب کے ساتھ، نصف کھلے وقفے (حقیقی اعداد کے ساتھ) سے ظاہر کرتے ہیں۔ آئیے ہم کثیر الجہتی کے کوفشنٹس کی ترتیب میں اشاروں کے تغیرات کی تعداد سے بھی ظاہر کرتے ہیں۔ خاص طور پر، پچھلے حصے کے اشارے کے ساتھ ہے۔ بوڈن کا نظریہ مندرجہ ذیل ہے: ایک غیر منفی یکساں عدد ہے۔ جیسا کہ غیر منفی ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ یہ ڈیکارٹس کی علامتوں کی حکمرانی کی عمومی شکل ہے، جیسا کہ، اگر کوئی کافی بڑا انتخاب کرتا ہے، تو یہ تمام حقیقی جڑوں سے بڑا ہے، اور کے تمام گتانک مثبت ہیں، یعنی اس طرح اور جو ڈیکارٹس کی علامتوں کی حکمرانی کو بوڈن کے نظریہ کا ایک خاص معاملہ بناتا ہے۔ جہاں تک ڈیکارٹس کے علامات کے اصول کا تعلق ہے، اگر کسی کے پاس اس کا مطلب ہے کہ، اگر کسی کے پاس "صفر جڑ کا ٹیسٹ" اور "ایک جڑ کا ٹیسٹ" ہے۔ مثالیں 1. کثیر الجہتی اور کھلے وقفے کو دیکھتے ہوئے، ایک کے پاس اس طرح ہے، اور بوڈن کا نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ کثیر الجہتی کے کھلے وقفے 2 میں یا تو دو یا صفر حقیقی جڑیں ہیں۔ اسی کثیر الجہتی کے ساتھ اس طرح ہے، اور بوڈن کا نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ کھلے وقفے میں کثیر الجہتی کا کوئی حقیقی جڑ نہیں ہے۔ یہ بوڈن کے نظریہ کو صفر جڑ ٹیسٹ کے طور پر استعمال کرنے کی ایک مثال ہے۔ کثیر الجہتی حقیقی جڑوں پر فورئیر کا نظریہ، جسے فورئیر-بوڈن تھیوریم یا بوڈن-فورئیر تھیوریم بھی کہا جاتا ہے (بعض اوقات صرف بوڈن کا نظریہ) بالکل بوڈن کے نظریہ جیسا ہی ہے، سوائے اس کے کہ، اور کے کوفیشنٹس کی ترتیب کو ایٹ کے مشتقات کی ترتیب سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ ہر تھیوریم دوسرے کا نتیجہ ہے۔ یہ کثیر الجہتی کی ٹیلر توسیع کا نتیجہ ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ان کا گتانک ایک مثبت نمبر کا حصص ہے۔ اس طرح فوریر تھیوریم اور بوڈن تھیوریم میں جن ترتیبات پر غور کیا گیا ہے ان میں اشاروں کی تغیرات کی تعداد یکساں ہے۔ دونوں نظریات کے درمیان یہ مضبوط تعلق 19 ویں صدی میں پیش آنے والے ترجیحی تنازعہ اور ایک ہی نظریہ کے لیے کئی ناموں کے استعمال کی وضاحت کر سکتا ہے۔ جدید استعمال میں، کمپیوٹر کمپیوٹیشن کے لیے، بوڈن کے تھیوریم کو عام طور پر ترجیح دی جاتی ہے کیونکہ فوریئر کے تھیوریم میں فوڈر کے مقابلے میں ترتیبات میں فیکٹوریئل فیکٹر کی وجہ سے بہت زیادہ کوفیشنٹس ہوتے ہیں۔ ثبوت چونکہ ہر نظریہ دوسرے کا نتیجہ ہے، اس لیے یہ فورئیر کے نظریہ کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے۔ ثبوت: اس کی ڈگری ہونے دیں، تاکہ وہ غیر مستقل کثیر الجہتی ہوں، ایک غیر صفر مستقل ہوں، اور سبھی یکساں طور پر صفر ہوں۔ علامت کی تغیر کی تقریب کے طور پر صرف کم از کم ایک کی جڑ پر مختلف ہو سکتا ہے اگر مختلف ہوتا ہے، تو کچھ کے لیے، ایک جڑ ہوتی ہے، اور ہر ایک کی کوئی جڑ نہیں ہوتی ہے۔ اگر، تو کچھ کے لیے اور کچھ کثیر الجہتی جو مطمئن کرتا ہے۔ ایک چھوٹے پر اور اس کے لیے واضح طور پر کمپیوٹنگ کرنے سے، ہمارے پاس ہے۔ اس مساوات میں، اصطلاح ایک سے دوسرے میں تبدیل ہونے کی علامتوں کی وجہ سے ہے۔ یہ اصطلاح اعلی مشتق علامات کے ممکنہ طور پر صفر ہونے کی وجہ سے ہے۔ اگر، پھر چونکہ کچھ مشتقات صفر ہوتے ہیں، لیکن دونوں اور غیر صفر رہتے ہیں، ہم صرف اشاروں کی تبدیلیوں کی ایک یکساں تعداد کھو دیتے ہیں: اگر مختلف ہوتا ہے، تو اسی طرح بحث کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ دونوں صورتوں کے لیے، ہم ایک چھوٹا سا اس طرح لے سکتے ہیں۔ تاریخ کثیر الجہتی کی اصل جڑوں کو گننے اور ان کا پتہ لگانے کے مسئلے کا منظم طریقے سے مطالعہ صرف 19 ویں صدی کے آغاز میں ہی شروع ہوا۔ 1807 میں، فرانکوئس بوڈن ڈی بوئسلاورنٹ نے ڈیکارٹس کی علامتوں کی حکمرانی کو-وقفے کے لیے درست-کسی بھی وقفے تک بڑھانے کا ایک طریقہ دریافت کیا۔ جوزف فورئیر نے 1820 میں اسی طرح کا نظریہ شائع کیا، جس پر انہوں نے بیس سال سے زیادہ عرصے تک کام کیا۔ دونوں نظریات کے درمیان مماثلت کی وجہ سے، ایک ترجیحی تنازعہ پیدا ہوا، اس حقیقت کے باوجود کہ دونوں نظریات کو آزادانہ طور پر دریافت کیا گیا تھا۔ یہ عام طور پر فورئیر کی تشکیل اور ثبوت تھا جو 19 ویں صدی کے دوران، نظریہ مساوات پر نصابی کتابوں میں استعمال کیا گیا تھا۔ 19 ویں صدی میں بوڈن اور فوریر کے نظریات کو جلد ہی بہت اہمیت کا حامل سمجھا گیا، حالانکہ وہ وقفے میں کثیر الجہتی کے حقیقی جڑوں کی تعداد کو گننے کے مسئلے کو مکمل طور پر حل نہیں کرتے ہیں۔ اس مسئلے کو 1827 میں اسٹرم نے مکمل طور پر حل کیا تھا۔ اگرچہ اسٹرم کا نظریہ ڈیکارٹس کی علامتوں کی حکمرانی پر مبنی نہیں ہے، لیکن اسٹرم اور فورئیر کے نظریات کا تعلق نہ صرف اعداد کی ترتیب کے اشاروں کے تغیرات کی تعداد کے استعمال سے ہے، بلکہ مسئلہ کے اسی طرح کے نقطہ نظر سے بھی ہے۔ خود سٹرم نے تسلیم کیا کہ وہ فوریر کے طریقوں سے متاثر ہوا ہے: "یہ ایک پوزیشن ہے، اور اس کی نقل کرتا ہے، یہ ایک نئی حکمت عملی ہے۔ "جس کا ترجمہ ہے" یہ ان اصولوں پر بھروسہ کرنے سے ہے جو انہوں نے مرتب کیے ہیں اور ان کے ثبوتوں کی نقل کرنے سے مجھے وہ نئے نظریات مل گئے ہیں جو میں پیش کرنے والا ہوں۔ اس کی وجہ سے، 19 ویں صدی کے دوران، فورئیر اور اسٹرم کے نظریات مساوات کے نظریہ پر تقریبا تمام کتابوں میں ایک ساتھ نمودار ہوئے۔ فوریر اور بوڈن نے وقفوں کے سائز کو کم کرنے کے مسئلے کو کھلا چھوڑ دیا جس میں جڑوں کو اس طرح سے تلاش کیا جاتا ہے کہ، آخر کار، علامت کے تغیرات کی تعداد کے درمیان فرق زیادہ سے زیادہ ایک ہو، جس سے یہ تصدیق کی جا سکے کہ حتمی وقفوں میں زیادہ سے زیادہ ایک جڑ ہوتی ہے۔ اس مسئلے کو 1834 میں الیگزینڈر جوزف ہڈلف ونسنٹ نے حل کیا تھا۔ موٹے طور پر، ونسنٹ کا نظریہ موبیئس تبدیلیوں کے ذریعے بوڈن کی متغیر کی لکیری تبدیلیوں کو تبدیل کرنے کے لیے مسلسل حصوں کا استعمال کرنے پر مشتمل ہے۔ بوڈن، فورئیر اور ونسنٹ تھیوریم 19 ویں صدی کے آخر میں فراموش ہو گئے۔ 20 ویں صدی کے دوسرے نصف سے پہلے ان نظریات کا ذکر کرنے والے آخری مصنف جوزف الفریڈ سیرٹ ہیں۔ انہیں 1976 میں کولنز اور آکریتاس نے دوبارہ متعارف کرایا تھا، تاکہ کمپیوٹر الجبرا میں کمپیوٹر پر حقیقی جڑوں کی علیحدگی کے لیے ایک موثر الگورتھم فراہم کیا جا سکے۔ یہ بھی دیکھیں کثیر الجہتی جڑوں کی خصوصیات جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم حوالہ جات بیرونی روابط ریاضیاتی تھیوریمز جڑ تلاش کرنے والے الگورتھم حقیقی الجبرائی جیومیٹری