Ambit field
ریاضی میں، ایک ایمبیٹ فیلڈ ایک ڈی جہتی بے ترتیب فیلڈ ہے جو کسی دیئے گئے نظام کی غیر معمولی خصوصیات کو بیان کرتا ہے۔ ان پٹ عام طور پر ایک ڈی جہتی ویکٹر ہے (مثال کے طور پر۔ d-جہتی جگہ یا (1-جہتی) وقت اور (d−1)-جہتی جگہ) میدان میں ہر ایک نقطہ کو حقیقی قدر تفویض کرتی ہے۔ اس کی سب سے عام شکل میں، ایمبیٹ فیلڈ کی تعریف ایک مستقل اور ایک سٹوچسٹک انٹیگرل کے ذریعے کی جاتی ہے، جہاں انضمام ایک لیوی بنیاد کے حوالے سے کیا جاتا ہے، اس کے علاوہ ایک ہموار اصطلاح جو ایک عام لیبسگ انٹیگرل کے ذریعے دی جاتی ہے۔ انضمام نام نہاد ایمبیٹ سیٹوں پر کیے جاتے ہیں، جو اثر کے دائرے کو نمونہ بنانے کے لیے استعمال ہوتے ہیں (اس لیے نام، ایمبیٹ، لاطینی میں "اثر کے دائرے" یا "حد" کے لیے) جو کسی دیئے گئے نقطہ کو متاثر کرتے ہیں۔ ایمبیٹ فیلڈز کا استعمال اور ترقی ہنگامہ آرائی اور استعمال کے لیے بجلی کی قیمتوں کے ارتقاء کو بیان کرنے کے لیے لچکدار سٹوچسٹک ماڈلز کی ضرورت سے متاثر ہے۔ رسک مینجمنٹ اور مشتق قیمتوں کا تعین۔ اس کا آغاز اولے ای برنڈورف نیلسن اور جورجن شمیگل نے ہنگامہ آرائی اور ٹیومر کی نشوونما کے ماڈل کے لیے کیا تھا۔ نوٹ کریں، کہ یہ مضمون اشارے کا استعمال کرے گا جس میں وقت کو ایک جہت کے طور پر شامل کیا گیا ہے، یعنی۔ ہم (d−1)-جہتی خلا کو 1 جہتی وقت کے ساتھ مل کر دیکھتے ہیں۔ نظریہ اور اشارے آسانی سے ڈی جہتی جگہ (بشمول ٹائم ہیرائن یا کسی ایسی ترتیب میں جس میں کوئی وقت شامل نہ ہو) تک پہنچ جاتے ہیں۔ وجدان اور محرک اسٹوکاسٹک تجزیہ میں، بے ترتیب عمل، یا فیلڈ کو ماڈل بنانے کا معمول کا طریقہ، اسٹوکاسٹک (جزوی) تفریق مساوات (ایس پی ڈی ای) کے ذریعے عمل کی حرکیات کی وضاحت کرکے کیا جاتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ (جزوی) تفریقی مساوات کے حل بعض صورتوں میں کسی دوسرے فعل کے ساتھ مربوط گرین فنکشن کے لازمی حصے کے طور پر دیے جا سکتے ہیں-اگر تفریقی مساوات غیر متناسب ہے، یعنی۔ بے ترتیب شور سے آلودہ (جیسے۔ سفید شور) متعلقہ حل گرین فنکشن کا ایک اسٹاکسٹک انٹیگرل ہوگا۔ یہ حقیقت دلچسپی کے شعبے کو براہ راست ایک سٹوچسٹک انٹیگرل کے ذریعے ماڈلنگ کرنے کی وجہ کو متحرک کرتی ہے، پہلے ایس پی ڈی ای کی وضاحت کرنے اور پھر اس کا حل تلاش کرنے کی کوشش کرنے کے بجائے گرین فنکشن کے ذریعے حل کے طور پر اسی طرح کی شکل اختیار کرتی ہے۔ یہ مختلف مظاہر کی ماڈلنگ کے لیے ایک بہت ہی لچکدار اور عمومی فریم ورک فراہم کرتا ہے۔ تعریفیں ایک ٹیمپو-اسپاٹیل ایمبیٹ فیلڈ، سپیس ٹائم میں ایک بے ترتیب فیلڈ ہے جس میں اقدار لی جاتی ہیں۔ آئیے تعیناتی دانا افعال، ایک سٹوکاسٹک فنکشن، ایک سٹوکاسٹک فیلڈ (جسے ہنگامہ آرائی میں توانائی کی کھپت کا میدان اور مالیات میں اتار چڑھاؤ کہا جاتا ہے) اور لیوی کی بنیاد میں ایمبیٹ سیٹ ہوں۔ اب، ایمبیٹ فیلڈ ایمبیٹ سیٹ ہے۔ مندرجہ بالا میں، ایمبیٹ سیٹ کرتا ہے اور خلائی وقت میں کسی دیئے گئے نقطہ کے لیے اثر کے دائرے کو بیان کرتا ہے۔ I. e. کسی دیئے گئے نقطہ پر، سیٹ اور اسپیس ٹائم میں وہ پوائنٹس ہیں جو ایمبیٹ فیلڈ کی قدر کو متاثر کرتے ہیں۔ جب وقت کو جہتوں میں سے ایک سمجھا جاتا ہے، تو سیٹوں کو اکثر صرف وقت کے ہم آہنگی کو شامل کرنے کے لیے لیا جاتا ہے جو موجودہ وقت، t پر یا اس سے پہلے ہوتے ہیں، تاکہ میدان کی وجہ کو محفوظ رکھا جا سکے (یعنی۔ خلائی وقت میں ایک دیا ہوا نقطہ صرف ان واقعات سے متاثر ہو سکتا ہے جو وقت سے پہلے پیش آئے اور اس طرح مستقبل سے متاثر نہیں ہو سکتا)۔ ایمبیٹ سیٹ مختلف شکلوں کے ہو سکتے ہیں اور ماڈلنگ کے مقاصد کے لیے ایمبیٹ فیلڈز کا استعمال کرتے وقت ایمبیٹ سیٹ کا انتخاب اس انداز میں کیا جانا چاہیے جو مطلوبہ خصوصیات کو حاصل کرے (جیسے۔ نظام کے اسٹائلائزڈ حقائق) کو بہترین ممکنہ طریقے سے سمجھا جاتا ہے۔ اس لحاظ سے، سیٹوں کو کسی خاص ماڈل کو ڈیٹا کو زیادہ سے زیادہ قریب سے فٹ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے اور اس طرح ماڈل کی وضاحت کرنے کا ایک بہت ہی لچکدار لیکن عمومی طریقہ فراہم کرتا ہے۔ ایمبیٹ عمل اکثر، دلچسپی کا مقصد خود ایمبیٹ فیلڈ نہیں ہوتا ہے، بلکہ اس کے بجائے فیلڈ کے ذریعے ایک خاص راستہ اختیار کرنے والا عمل ہوتا ہے۔ اس طرح کے عمل کو امبیٹ عمل کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر اس طرح کا عمل کسی خاص مالیاتی مقصد کی قیمت کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ ایک مخصوص وقت کے لیے فارورڈ کنٹریکٹ کی قیمت اور جگہ میں پوائنٹ، جگہ جو چیزوں کی نمائندگی کرتی ہے جیسے ڈیلیوری کا وقت، اسپاٹ پرائس، ڈیلیوری کی مدت وغیرہ۔ یہ مندرجہ ذیل تعریف کی حوصلہ افزائی کرتا ہے: ایمبیٹ فیلڈ، Y، کو اوپر کے طور پر دیا جائے اور خلائی وقت میں ایک منحنی خطوط پر غور کریں۔ ایک ایمبیٹ عمل کو منحنی خطوط کے ساتھ فیلڈ کی قدر کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، یعنی۔ اسٹاکسٹک انٹرمیٹنسی/اتار چڑھاؤ توانائی کی کھپت کا میدان/اتار چڑھاؤ، عام طور پر، اسٹاکسٹک ہے (جسے ہنگامہ آرائی کے تناظر میں انٹرمیٹنسی کہا جاتا ہے)، اور اسے اسٹاکسٹک متغیر یا میدان کے طور پر ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ خاص طور پر، یہ خود ایک اور ایمبیٹ فیلڈ، یعنی ماڈل کیا جا سکتا ہے۔ غیر منفی لیوی کی بنیاد کہاں ہے۔ لیوی بنیاد کے حوالے سے انضمام اسٹاکسٹک انٹیگرل، دائرے کے عمل کی تعریف میں لیوی بنیاد (انٹیگریٹر) پر اسٹاکسٹک فیلڈ (انٹیگرینڈ) کا ایک لازمی جزو ہے، اور اس طرح معمول کے اسٹاکسٹک آئٹو انٹیگرل سے زیادہ پیچیدہ ہے۔ انضمام کا ایک نیا نظریہ والش (1987) نے فراہم کیا تھا جہاں انضمام بے ترتیب شعبوں کے حوالے سے کیا جاتا ہے اور اس نظریہ کو نام نہاد لیوی اڈوں کے حوالے سے انضمام تک بڑھایا جا سکتا ہے، جو دائرے کے میدان کا بنیادی تعمیراتی بلاک ہے۔ لیوی کی بنیاد کی تعریف بے ترتیب ویکٹروں کے ایک خاندان کو لیوی کی بنیاد کہا جاتا ہے اگر: 1۔ کا قانون سب کے لیے لامحدود تقسیم ہے۔ 2. اگر جداگانہ ہیں، تو آزاد ہیں۔ 3. اگر اس کے ساتھ اختلاف ہے، تو، اے ایس۔ جہاں 3 کے دائیں ہاتھ کی طرف کنورجنس اے ایس ہے۔ نوٹ کریں کہ خصوصیات 2. اور 3. آزادانہ طور پر بکھرے ہوئے بے ترتیب پیمائش کی وضاحت کرتے ہیں۔ ایک مستحکم مثال کچھ اعداد و شمار میں (مثال کے طور پر. اجناس کی قیمتیں) اکثر ایک مستحکم جزو پایا جاتا ہے، جسے ایک اچھے ماڈل کو پکڑنے کے قابل ہونا چاہیے۔ ایمبیٹ فیلڈ کو سیدھے طریقے سے ساکن بنایا جا سکتا ہے۔ ایمبیٹ فیلڈ پر غور کریں، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے جہاں ایمبیٹ سیٹ، اس شکل کے ہوتے ہیں جہاں کے ٹائم کوآرڈینیٹ منفی ہوتے ہیں (کے لیے یکساں)۔ مزید برآں، ہم اس کے لیے لیتے ہیں اور یہ بھی اسٹیشنری بے ترتیب متغیرات/فیلڈز ہیں۔ خاص طور پر، ہم خود ایک اسٹیشنری ایمبیٹ فیلڈ کے طور پر لے سکتے ہیں: جہاں ایک غیر منفی لیوی کی بنیاد ہے اور یہ ایک مثبت فعل ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط بے ترتیب متغیرات کے یونیورسٹی آف آرہوس الجبرا میں ایمبیٹ پروسیسز