U-rank
ماڈل تھیوری میں، ریاضیاتی منطق کی ایک شاخ، یو-رینک مستحکم نظریات کے تناظر میں، (مکمل) قسم کی پیچیدگی کی ایک پیمائش ہے۔ ہمیشہ کی طرح، اعلی U-رینک کم پابندی کی نشاندہی کرتا ہے، اور تمام سیٹوں پر تمام اقسام کے لیے U-رینک کا وجود ایک اہم ماڈل-نظریاتی حالت کے برابر ہے: اس معاملے میں، سپرٹیبلٹی۔ تعریف U-رینک کو انڈکٹو طور پر بیان کیا گیا ہے، جیسا کہ کسی بھی سیٹ A پر کسی بھی (مکمل) n-ٹائپ p کے لیے: U (p) ≤ 0 اگر δ ایک حد آرڈینل ہے، تو U (p) ≤ δ عین اس وقت جب U (p) ≤ α تمام α کے لیے δ سے کم ہو۔ کسی بھی α = β + 1 کے لیے، U (p) ≤ α عین اس وقت جب U (q) ≤ β کے ساتھ p کی توسیع q ہوتی ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ U (p) = α جب U (p) ≤ α ہوتا ہے لیکن U (p) ≤ α + 1 نہیں ہوتا ہے۔ اگر تمام آرڈینلز α کے لیے U (p) ≤ α ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ U-رینک غیر محدود ہے، یا U (p) = ≤ ہے۔ نوٹ: U-رینک کو باضابطہ طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں p واقعی p (x) ہے، اور x لمبائی n کے متغیرات کا ایک ٹپل ہے۔ اس سبسکرپٹ کو عام طور پر اس وقت خارج کر دیا جاتا ہے جب کوئی الجھن پیدا نہ ہو۔ درجہ بندی کے نظریات U-رینک اپنے ڈومین میں مونوٹون ہے۔ یعنی، فرض کریں کہ p A پر ایک مکمل قسم ہے اور B A کا ذیلی مجموعہ ہے۔ پھر q کے لیے p سے B کی پابندی، U (q) ≤ U (p)۔ اگر ہم B (اوپر) کو خالی سمجھتے ہیں، تو ہمیں درج ذیل ملتا ہے: اگر n قسم کا p ہے، پیرامیٹرز کے کچھ سیٹ پر، کم از کم α رینک کے ساتھ، تو رینک کے خالی سیٹ پر کم از کم α ٹائپ ہے۔ اس طرح، ہم ایک مکمل (مستحکم) نظریہ T کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ اس کے بعد ہمیں سپرٹیبلٹی کی ایک جامع خصوصیت ملتی ہے۔ ایک مستحکم نظریہ T صرف اس صورت میں سپرٹیبل ہوتا ہے جب اور ہر n کے لیے۔ جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، U-رینک اس کے ڈومین میں مونوٹون ہے۔ اگر p میں U-رینک α ہے، تو کسی بھی β <α کے لیے، U-رینک β کے ساتھ p کی ایک فورکنگ ایکسٹینشن q ہوتی ہے۔ اگر p، b کی قسم A پر ہے، تو کچھ سیٹ B ہے جو A کو بڑھاتا ہے، جس میں q، b کی قسم B پر ہے۔ اگر p غیر درجہ بند ہے (یعنی، p کا U-رینک φ ہے)، تو p کی ایک فورکنگ ایکسٹینشن q ہے جو بھی غیر درجہ بند ہے۔ یہاں تک کہ سپرٹیبلٹی کی عدم موجودگی میں بھی، ایک آرڈینل β ہوتا ہے جو تمام درجہ بند اقسام کا زیادہ سے زیادہ درجہ ہوتا ہے، اور کسی بھی α <β کے لیے، درجہ α کی ایک قسم p ہوتی ہے، اور اگر p کا درجہ β سے زیادہ ہے، تو اسے φ ہونا چاہیے۔ مثالیں U (p)> 0 عین اس وقت جب p غیر الجبرائی ہو۔ اگر T الجبرائی طور پر بند فیلڈز کا نظریہ ہے (کسی بھی مقررہ خصوصیت کا) تو۔ مزید برآں، اگر A پیرامیٹرز کا کوئی مجموعہ ہے اور K A کے ذریعہ تیار کردہ فیلڈ ہے، تو A پر 1 قسم کے p کا درجہ 1 ہے اگر (تمام احساسات) p K پر ماورائے الہی ہیں، اور بصورت دیگر 0 ہے۔ زیادہ عام طور پر، A پر ایک n-قسم p میں U-رینک k ہوتا ہے، جو اس کے کسی بھی احساس کی ماورائی ڈگری (K پر) ہے۔ حوالہ جات ماڈل تھیوری