Randolph diagram
رینڈولف خاکہ (آر-خاکہ) منطقی تاثرات اور سیٹوں کے امتزاج کو دیکھنے کا ایک آسان طریقہ ہے۔ رینڈولف خاکے ریاضی دان جان ایف رینڈولف نے 1965 میں اس وقت بنائے تھے جب وہ یونیورسٹی آف آرکنساس میں پڑھا رہے تھے۔ خلاصہ رینڈولف خاکے کی تشریح سب سے آسانی سے ہر لائن کو ایک منطقی بیان یا سیٹ سے تعلق رکھنے یا اس سے متعلق قرار دے کر کی جا سکتی ہے۔ لکیر کے اوپر کوئی بھی نقطہ سچائی یا شمولیت کی نشاندہی کرتا ہے اور لکیر کے نیچے جھوٹ یا اخراج کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس نظام کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی انٹرسیکٹنگ لائنوں کا استعمال کرتے ہوئے سیٹوں یا منطقی بیانات کے کسی بھی امتزاج کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ اگرچہ وین خاکے عام طور پر سیٹوں کے امتزاج کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتے ہیں، لیکن رینڈولف خاکے 3 سے زیادہ سیٹوں کے امتزاج کو صاف طور پر پیش کرنے کے قابل ہونے کا فائدہ رکھتے ہیں۔ وین خاکے کے لیے یا تو اعلی مقامی جہتوں میں توسیع یا زیادہ پیچیدہ شکلوں کے استعمال کی ضرورت ہوتی ہے جبکہ رینڈولف خاکے ہر اضافی سیٹ کے لیے یکساں طور پر ذیلی تقسیم ہوتے ہیں۔ یہاں منطقی بیانات کے 5 سیٹوں کے لیے وین خاکہ اور آر-خاکہ کے درمیان موازنہ کیا گیا ہے: تاریخ اس موضوع پر اپنے تعارفی مقالے، کراس ایگزامیننگ پروپوزیشنل کیلکولس اینڈ سیٹ آپریشنز میں، رینڈولف نے ذکر کیا ہے کہ منطقی تعلقات کی نمائندگی کے لیے کراس اور ڈاٹس کا پہلا استعمال ڈبلیو ایس میک کلوچ، ایک نیورو فزیولوجسٹ اور رینڈولف کے ہم عصر نے متعارف کرایا تھا۔ رینڈولف نے میک کلوچ کے نظام کو دو سے زیادہ منطقی بیانات یا سیٹوں کے امتزاج اور تعلقات کی نمائندگی کرنے کے ایک نئے طریقے کے ساتھ تبدیل کیا، یعنی R-خاکہ کے ہر حصے کو ہر نئے عنصر کے لیے ایک نئی اخترن لکیر کے ساتھ ذیلی تقسیم کیا۔ رینڈولف کے مقالے سے پتہ چلتا ہے کہ اس کا اصل تصور منطقی تعلقات کی نمائندگی کے لیے آر-خاکے کا استعمال کرنا تھا، اور پھر اس خیال کو وسعت دی جس کا اطلاق سیٹ تھیوری پر بھی کیا جائے۔ پورے کاغذ میں، آر-خاکے عام منطقی اور سیٹ بائنری آپریشن علامتوں کے ساتھ مل کر استعمال کیے جاتے ہیں۔ منطق تھیوری پر اطلاق آر-خاکے کو منطق تھیوری پر لاگو کرتے وقت، منطقی بیانات p، q، اور r ہر ایک لائن یا متعدد لائنیں بن سکتے ہیں تاکہ ہر عنصر کی صداقت کو بڑے بیان میں بصری طور پر ظاہر کیا جا سکے۔ عام طور پر، خیال کیا جاتا ہے کہ p کی نمائندگی اوپر کی طرف ڈھلواں لکیر (/) کرتی ہے جبکہ q کی نمائندگی نیچے کی طرف ڈھلواں لکیر (\) کرتی ہے۔ جھکی ہوئی لکیر کے اوپر کے خاکہ میں ایک ڈاٹ اس بیان کی سچائی کی نشاندہی کرتا ہے ؛ اسی طرح، نیچے ایک ڈاٹ جھوٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ p اور q کے لیے R-خاکے بالترتیب ذیل میں دکھائے گئے ہیں: دو سے زیادہ بیانات کے لیے، p اور q لائنوں کے چوراہے سے بننے والی چار خالی جگہوں کو مزید لائنوں میں تقسیم کیا جانا چاہیے۔ r کے معاملے میں، چار جگہوں میں سے ہر ایک میں ایک اوپر کی طرف ڈھلواں لکیر (/) شامل کی جاتی ہے۔ r کے لیے R-خاکہ ذیل میں دکھایا گیا ہے: اس طریقہ کو سچائی اقدار کی کسی بھی تعداد کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے:، وغیرہ۔ آر-خاکے بنیادی طور پر منطقی تاثرات کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ منطقی تجویز کو دیکھتے ہوئے، آر-خاکے ہر عنصر کے ہر ممکنہ صحیح/غلط تغیر کے نتائج کو ظاہر کرنے کے قابل ہوتے ہیں، جس سے سچائی کی میز کی نمائندگی کرنے کا ایک متبادل طریقہ پیدا ہوتا ہے۔ تمام بنیادی منطقی کارروائیوں، یا رابطوں کا اظہار آر-خاکے کا استعمال کرتے ہوئے ٹروتھ ٹیبل کے زیادہ آسانی سے پڑھنے کے قابل متبادل کے طور پر کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ نیچے دیے گئے جدول میں دکھایا گیا ہے: منطقی تاثرات آر-خاکے کو آسان بنانے کے لیے پیچیدہ منطقی تاثرات کو آسانی سے آسان بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، مرحلہ وار عمل کا استعمال کرتے ہوئے۔ کارروائیوں کی ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے، منطقی آپریٹرز کو مناسب ترتیب میں آر-خاکے پر لاگو کیا جاتا ہے۔ آخر میں، نتیجہ ایک آر-خاکہ ہے جسے ایک آسان منطقی اظہار میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل اظہار کو لیں: اسے آر-خاکے کا استعمال کرتے ہوئے آسان بنایا جا سکتا ہے: جو اس کے برابر ہے: منطقی دلائل کو ثابت کرنا اسی طرح، منطقی دلائل کو ثابت یا غلط ثابت کرنے کے لیے آر-خاکے استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، معروف آرگمینٹ موڈس پونینس کو لیں، جسے امپلیکیشن ایلیمینیشن بھی کہا جاتا ہے: اسے ٹاٹولوجیکل منطقی اظہار میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، جسے پھر آر-ڈائیگرام کا استعمال کرتے ہوئے آسان بنایا جا سکتا ہے: نتیجہ ایک آر-ڈائیگرام ہے جس میں ہر جگہ کا ایک ڈاٹ ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ دلیل ایک ٹاٹولوجی ہے ؛ یہ تمام معاملات میں درست ہے۔ ایک آر-خاکہ جس میں کسی بھی جگہ پر ڈاٹ نہیں ہوتا ہے وہ ایک تضاد ہے، ایک ایسا بیان جو کبھی درست نہیں ہوتا ہے۔ سیٹ تھیوری کے لیے اطلاق آر-خاکے سیٹ تھیوری میں بھی وین خاکے کے متبادل کے طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ سیٹ تھیوری میں، ہر لائن منطقی بیان کے بجائے ایک سیٹ کی نمائندگی کرتی ہے۔ A، p کی جگہ لے لیتا ہے اور B، q کی جگہ لے لیتا ہے۔ جب سیٹوں کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، تو لائن کے اوپر ایک ڈاٹ شمولیت کی نمائندگی کرتا ہے، جہاں نیچے ایک ڈاٹ اخراج کی نمائندگی کرتا ہے۔ جیسا کہ منطق میں، بنیادی سیٹ آپریشنز کو آر-خاکے کا استعمال کرتے ہوئے بصری طور پر پیش کیا جا سکتا ہے: آر-خاکے سیٹ کے نظریاتی اور منطقی تصورات کے درمیان مساوات کی وضاحت کرتے ہیں: سیٹ تھیوری میں انٹرسیکشن منطق میں امتزاج کے برابر ہے، اور سیٹ تھیوری کا اتحاد منطقی اختلاط کے برابر ہے۔ سیٹ تھیوری خاکے میں حوالہ جات گرافیکل تصورات