Tensors in curvilinear coordinates
منحنی خطوط کو ٹینسر کیلکولس میں وضع کیا جا سکتا ہے، جس کی طبیعیات اور انجینئرنگ میں اہم ایپلی کیشنز ہیں، خاص طور پر سیال میکانکس اور تسلسل میکانکس میں جسمانی مقدار کی نقل و حمل اور مادے کی اخترتی کو بیان کرنے کے لیے۔ ویکٹر اور ٹینسر الجبرا تین جہتی منحنی خطوط میں ابتدائی ویکٹر اور ٹینسر الجبرا منحنی خطوط میں میکانکس اور طبیعیات کے کچھ پرانے سائنسی ادب میں استعمال ہوتا ہے اور 1900 کی دہائی کے اوائل اور وسط سے کام کو سمجھنے کے لیے ناگزیر ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر گرین اور زرنا کا متن۔ ویکٹروں کے الجبرا میں کچھ مفید تعلقات اور منحنی خطوط میں دوسرے درجے کے ٹینسر اس حصے میں دیے گئے ہیں۔ اشارے اور مندرجات بنیادی طور پر اوگڈن، ناگدی، سائمنڈز، گرین اور زرنا، بسر اور ویچرٹ، اور سیارلیٹ سے ہیں۔ مربوط تبدیلیاں مربوط متغیرات کے ساتھ دو مربوط نظاموں پر غور کریں اور، جن کی ہم مختصر طور پر منصفانہ اور بالترتیب نمائندگی کریں گے اور ہمیشہ فرض کریں گے کہ ہمارا اشاریہ 1 سے 3 تک چلتا ہے۔ ہم فرض کریں گے کہ یہ نقاط کے نظام تین جہتی یوکلڈین خلا میں سرایت کر چکے ہیں۔ کوآرڈینیٹس اور ایک دوسرے کی وضاحت کے لیے استعمال کیے جا سکتے ہیں، کیونکہ جب ہم ایک کوآرڈینیٹ سسٹم میں کوآرڈینیٹ لائن کے ساتھ چلتے ہیں تو ہم دوسری کو اپنی پوزیشن بیان کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ اس طرح کوآرڈینیٹس اور ایک دوسرے کے افعال ہیں جن کے لیے لکھا جا سکتا ہے کہ ان تینوں مساوات کو مل کر کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن بھی کہا جاتا ہے۔ آئیے اس تبدیلی کو اس کے ذریعے ظاہر کرتے ہیں۔ لہذا ہم کوآرڈینیٹ متغیر کے ساتھ کوآرڈینیٹ سسٹم سے کوآرڈینیٹ سسٹم میں تبدیلی کی نمائندگی کریں گے: اسی طرح ہم مندرجہ ذیل فنکشن کے طور پر نمائندگی کر سکتے ہیں: اسی طرح ہم آزاد مساوات کو زیادہ کمپیکٹ طور پر لکھ سکتے ہیں جیسا کہ ان تینوں مساوات کو مل کر کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن بھی کہا جاتا ہے۔ آئیے اس تبدیلی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ ہم کوآرڈینیٹ متغیرات کے ساتھ کوآرڈینیٹ سسٹم سے کوآرڈینیٹ سسٹم میں تبدیلی کی نمائندگی کریں گے: اگر تبدیلی بجیکٹو ہے تو ہم تبدیلی کی شبیہہ کو کہتے ہیں، یعنی قابل قبول کوآرڈینیٹس کا ایک مجموعہ۔ اگر لکیری ہے تو کوآرڈینیٹ سسٹم کو افائن کوآرڈینیٹ سسٹم کہا جائے گا، بصورت دیگر اسے کرولینیئر کوآرڈینیٹ سسٹم کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ اب ہم دیکھتے ہیں کہ کوآرڈینیٹ اور ایک دوسرے کے افعال ہیں، ہم کوآرڈینیٹ متغیر کے حوالے سے کوآرڈینیٹ متغیر کا مشتق لے سکتے ہیں، ان مشتقات کو میٹرکس میں ترتیب دیا جا سکتا ہے، جیسے کہ، جس میں-th قطار اور-th کالم میں عنصر ہے۔ نتیجے میں میٹرکس کو جیکوبین میٹرکس کہا جاتا ہے۔ منحنی نقاط میں ویکٹر (b1، b2، b3) تین جہتی یوکلڈین خلا کے لیے ایک صوابدیدی بنیاد ہیں۔ عام طور پر، بیس ویکٹر نہ تو یونٹ ویکٹر ہوتے ہیں اور نہ ہی باہمی طور پر آرتھوگنل۔ تاہم، انہیں لکیری طور پر آزاد ہونا ضروری ہے۔ پھر ایک ویکٹر v کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ اجزاء vk ویکٹر v کے متضاد اجزاء ہیں۔ باہمی بنیاد (b1، b2، b3) کی تعریف اس رشتے سے کی جاتی ہے جہاں δij کرونکر ڈیلٹا ہے۔ ویکٹر v کا اظہار باہمی بنیاد کے لحاظ سے بھی کیا جا سکتا ہے: اجزاء vk ویکٹر کے متغیر اجزاء ہیں۔ منحنی خطوط میں دوسرے درجے کے ٹینسرز ایک دوسرے درجے کے ٹینسر کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے کہ اجزاء سیج کو متضاد اجزاء، سی جے کو مخلوط دائیں-متغیر اجزاء، سی جے کو مخلوط بائیں-متغیر اجزاء، اور سیج کو دوسرے درجے کے ٹینسر کے متغیر اجزاء کہا جاتا ہے۔ میٹرک ٹینسر اور اجزاء کے درمیان تعلقات کو اس طرح بیان کیا گیا ہے کہ ہمارے پاس مندرجہ بالا مساوات سے مقدار gij، gij ہیں۔ ویکٹر کے اجزاء کا تعلق اس طرح ہے۔ نیز، دوسرے درجے کے ٹینسر کے اجزاء کا تعلق الٹرنیٹنگ ٹینسر سے ہے۔ ایک آرتھونورمل دائیں ہاتھ کی بنیاد پر، تیسرے درجے کے الٹرنیٹنگ ٹینسر کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ عام منحنی خطوط کی بنیاد پر ایک ہی ٹینسر کا اظہار اس طرح کیا جاسکتا ہے کہ اب، اسی طرح، ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ ویکٹر آپریشنز شناخت کا نقشہ شناخت کا نقشہ میں نے جس شناخت کے نقشے کی وضاحت کی ہے اسے اس طرح دکھایا جا سکتا ہے: اسکیلر (ڈاٹ) پروڈکٹ منحنی خطوط میں دو ویکٹرز کا اسکیلر پروڈکٹ ویکٹر (کراس) پروڈکٹ دو کا کراس پروڈکٹ ہے۔ منحنی خطوط میں، مساوی اظہار یہ ہے: جہاں تیسرا آرڈر الٹرنیٹنگ ٹینسر ہے۔ دو ویکٹروں کا کراس پروڈکٹ اس طرح دیا جاتا ہے: جہاں εijk تعدد کی علامت ہے اور کارٹیشین بیس ویکٹر ہے۔ لہذا، اور اس لیے، ویکٹر پروڈکٹ کی طرف لوٹنا اور تعلقات کا استعمال کرنا: ہمیں دیتا ہے: ٹینسر آپریشنز شناخت کا نقشہ شناخت کا نقشہ جس کے ذریعے بیان کیا گیا ہے اسے ویکٹر پر دوسرے درجے کے ٹینسر کا عمل دکھایا جا سکتا ہے۔ اس عمل کا اظہار دو دوسرے درجے کے ٹینسرز کے اندرونی پروڈکٹ کے طور پر منحنی خطوط میں کیا جا سکتا ہے۔ دو دوسرے درجے کے ٹینسرز کے اندرونی پروڈکٹ کا اظہار منحنی خطوط میں متبادل طور پر، دوسرے درجے کے ٹینسر کا تعین کرنے والے کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ اگر دوسرا آرڈر ٹینسر ہے، تو پھر تعین کرنے والے کی تعریف اس تعلق سے کی جاتی ہے جہاں صوابدیدی ویکٹر ہوتے ہیں اور منحنی خطوط اور کارٹیشین بیس ویکٹرز کے درمیان تعلقات ہوتے ہیں۔ پھر، اس تعلق سے ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ آئیے تبدیلی کے جیکوبین بنیں۔ پھر، تعین کنندہ کی تعریف سے، چونکہ ہمارے پاس متعدد دلچسپ نتائج ہیں، مذکورہ بالا تعلقات کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ پہلے، غور کریں پھر اسی طرح، ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ، ایک اور دلچسپ تعلق ذیل میں اخذ کیا گیا ہے۔ یاد رکھیں کہ جہاں A a ہے، لیکن غیر متعین، مستقل ہے۔ پھر یہ مشاہدہ انڈیکس نوٹیشن میں تعلقات کی طرف لے جاتا ہے، جہاں معمول کی ترتیب کی علامت ہے۔ ہم نے ٹرانسفارمیشن ٹینسر F کے لیے ایک واضح اظہار کی نشاندہی نہیں کی ہے کیونکہ منحنی خطوط اور کارٹیشین اڈوں کے درمیان نقشہ سازی کی ایک متبادل شکل زیادہ مفید ہے۔ نقشہ سازی میں کافی حد تک نرمی (اور اشارے کا تھوڑا سا غلط استعمال) فرض کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے۔ اسی طرح، ان نتائج سے ہمارے پاس تین جہتی منحنی خطوط میں ویکٹر اور ٹینسر کیلکولس ہیں۔ سائمنڈز، ٹینسر تجزیہ پر اپنی کتاب میں، البرٹ آئن سٹائن کا حوالہ دیتے ہوئے کہتے ہیں کہ ویکٹر اور ٹینسر کیلکولس عام طور پر منحنی خطوط میں ٹینسر تجزیہ میں عام اضافیت میں چار جہتی منحنی خطوط پر، مڑے ہوئے خولوں کے میکانکس میں، میکسویل کی مساوات کی غیر متغیر خصوصیات کا جائزہ لینے میں استعمال ہوتا ہے جو میٹا میٹریلز اور بہت سے دوسرے شعبوں میں دلچسپی کا باعث رہا ہے۔ ویکٹروں کے کیلکولس میں کچھ مفید تعلقات اور منحنی خطوط میں دوسرے درجے کے ٹینسر اس حصے میں دیئے گئے ہیں۔ اشارے اور مندرجات بنیادی طور پر اوگڈن، سائمنڈز، گرین اور زرنا، بسر اور ویچرٹ، اور سیارلیٹ سے ہیں۔ بنیادی تعریفیں خلا میں کسی نقطہ کی پوزیشن کو تین مربوط متغیرات کی طرف سے نمایاں کیا جائے۔ کوآرڈینیٹ وکر q1 ایک منحنی خطوط کی نمائندگی کرتا ہے جس پر q2، q3 مستقل ہیں۔ فرض کریں کہ x کسی اصل سے متعلق نقطہ کا پوزیشن ویکٹر ہے۔ پھر، یہ فرض کرتے ہوئے کہ اس طرح کی نقشہ سازی اور اس کا الٹا موجود ہے اور مسلسل ہے، ہم لکھ سکتے ہیں۔ فیلڈز sii (x) کو منحنی خطوط کے کوآرڈینیٹ سسٹم si (x) = φ−1 (x) کے منحنی خطوط کے کوآرڈینیٹ افعال کہا جاتا ہے۔ qi کوآرڈینیٹ منحنی خطوط کی تعریف افعال کے ایک پیرامیٹر خاندان کے ذریعہ کی جاتی ہے جو qj، qk فکسڈ کے ساتھ دی جاتی ہے۔ منحنی خطوط کو مربوط کرنے کے لیے ٹینجینٹ ویکٹر نقطہ xi (α) (یا نقطہ x پر کوآرڈینیٹ وکر qi) پر وکر xi کے لیے ٹینجینٹ ویکٹر گریڈینٹ اسکیلر فیلڈ ہے۔ فرض کریں کہ f (x) خلا میں ایک اسکیلر فیلڈ ہے۔ پھر فیلڈ f کے میلان کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جہاں c ایک صوابدیدی مستقل ویکٹر ہے۔ اگر ہم c کے اجزاء ci کو اس طرح بیان کرتے ہیں کہ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں، تو ہمارے پاس ویکٹر c کے متضاد جزو کو نکالنے کا ایک ذریعہ فراہم کرتا ہے۔ اگر b ایک نقطہ پر متغیر (یا قدرتی) بنیاد ہے، اور اگر b اس مقام پر متضاد (یا باہمی) بنیاد ہے، تو اس بنیاد کے انتخاب کے لیے ایک مختصر استدلال اگلے حصے میں دیا گیا ہے۔ ویکٹر فیلڈ ایک ویکٹر فیلڈ f (x) کے میلان تک پہنچنے کے لیے اسی طرح کا عمل استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہم پوزیشن ویکٹر فیلڈ r (x) = x کے میلان پر غور کرتے ہیں، تو ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ ویکٹر فیلڈ b qi کوآرڈینیٹ وکر سے متصل ہے اور منحنی خطوط پر ہر نقطہ پر ایک قدرتی بنیاد بناتا ہے۔ یہ بنیاد، جیسا کہ اس مضمون کے آغاز میں زیر بحث ہے، کوویرینٹ کرولینئر بیس بھی کہا جاتا ہے۔ ہم ایک باہمی بنیاد، یا متضاد منحنی بنیاد، بی کی بھی وضاحت کر سکتے ہیں۔ بیس ویکٹروں کے درمیان تمام الجبرائی تعلقات، جیسا کہ ٹینسر الجبرا کے سیکشن میں بحث کی گئی ہے، قدرتی بنیاد اور ہر نقطہ x پر اس کے باہمی کے لیے لاگو ہوتے ہیں۔ چونکہ c صوابدیدی ہے، اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں نوٹ کریں کہ متضاد بیس ویکٹر b مستقل sii کی سطح پر عمودی ہے اور اسے پہلی قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کے ذریعے دیا گیا ہے۔ پہلی قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ gij کے لحاظ سے γijk کا اظہار کرنے کے لیے ہم نوٹ کرتے ہیں کہ چونکہ b, j = bj، i ہمارے پاس γijk = γik ہے۔ مندرجہ بالا تعلقات کو دوبارہ ترتیب دینے کے لیے ان کا استعمال کرنے سے دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتیں ملتی ہیں۔ دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامتوں کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے جس میں اس کا مطلب یہ ہے کہ اس کے بعد آنے والے دیگر تعلقات ایک اور خاص طور پر مفید تعلق ہیں، جو ظاہر کرتا ہے کہ کرسٹوفیل علامت صرف میٹرک ٹینسر اور اس کے مشتقات پر منحصر ہے، ویکٹر فیلڈ کے میلان کے لیے واضح اظہار ہے۔ منحنی خطوط میں ویکٹر فیلڈ کے میلان کے لیے درج ذیل تاثرات کافی مفید ہیں۔ فزیکل ویکٹر فیلڈ کی نمائندگی ویکٹر فیلڈ v کی نمائندگی اس طرح کی جا سکتی ہے کہ فیلڈ کے کوویرینٹ اجزاء کہاں ہیں، فزیکل اجزاء ہیں، اور (کوئی خلاصہ نہیں) نارملائزڈ متضاد بیس ویکٹر ہے۔ سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کے میلان کو اسی طرح میلان کے لیے واضح تاثرات کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اگر ہم ٹینسر کے اظہار کو متضاد بنیاد کے لحاظ سے دیکھتے ہیں، تو ہم فزیکل سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کی نمائندگی بھی لکھ سکتے ہیں۔ سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کے فزیکل اجزاء کو نارملائزڈ متضاد بنیاد کا استعمال کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے، یعنی، جہاں ہیٹیڈ بیس ویکٹر کو نارمل کیا گیا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ (دوبارہ کوئی خلاصہ نہیں) ڈائیورجنس ویکٹر فیلڈ ویکٹر فیلڈ () کے ڈائیورجنس کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے۔ ایک منحنی بنیاد کے حوالے سے اجزاء کے لحاظ سے ویکٹر فیلڈ کے ڈائیورجنس کے لیے ایک متبادل مساوات اکثر استعمال کی جاتی ہے۔ اس تعلق کو حاصل کرنے کے لیے یاد رکھیں کہ اب، اس بات کو نوٹ کرتے ہوئے کہ، کی ہم آہنگی کی وجہ سے، ہمیں یاد ہے کہ اگر [gij] وہ میٹرکس ہے جس کے اجزاء gij ہیں، تو میٹرکس کا الٹا ہے۔ میٹرکس کا الٹا اس طرح دیا جاتا ہے جہاں AIJ اجزاء gij کا کوفیکٹر میٹرکس ہے۔ میٹرکس الجبرا سے ہمارے پاس ہے لہذا، اس رشتے کو انحراف کے اظہار میں جوڑنے سے تھوڑا سا ہیرا پھیری زیادہ کمپیکٹ شکل کی طرف لے جاتا ہے سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کے انحراف کی تعریف اس کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے جہاں a ایک صوابدیدی مستقل ویکٹر ہے۔ منحنی خطوط میں، لیپلاسیئن اسکیلر فیلڈ اسکیلر فیلڈ φ (x) کے لیپلاسیئن کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ ویکٹر فیلڈ کے انحراف کے لیے متبادل اظہار کا استعمال ہمیں دیتا ہے اب لہذا، ویکٹر فیلڈ کا کرل کوویرینٹ منحنی خطوط میں ویکٹر فیلڈ v کے کرل کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے جہاں آرتھوگنل منحنی خطوط فرض کریں، اس حصے کے مقاصد کے لیے، کہ منحنی خطوط کا نظام آرتھوگنل ہے، یعنی، یا مساوی طور پر، جہاں۔ پہلے کی طرح، کوویرینٹ بیس ویکٹر ہیں اور بی، بی جے متضاد بیس ویکٹر ہیں۔ نیز، (e1، e2، e3) کو ایک پس منظر، فکسڈ، کارٹیشین بنیاد ہونے دیں۔ آرتھوگنل منحنی خطوط کی فہرست ذیل میں دی گئی ہے۔ آرتھوگنل کرولینیئر کوآرڈینیٹس میں میٹرک ٹینسر کوآرڈینیٹ سسٹم کی ابتدا کے حوالے سے نقطہ x کا پوزیشن ویکٹر ہونے دیں۔ اشارے کو یہ نوٹ کر کے آسان بنایا جا سکتا ہے کہ x = r (x)۔ ہر نقطہ پر ہم ایک چھوٹے لائن عنصر dx کی تعمیر کر سکتے ہیں۔ لائن عنصر کی لمبائی کا مربع اسکیلر پروڈکٹ dx • dx ہے اور اسے خلا کا میٹرک کہا جاتا ہے۔ یاد رکھیں کہ جب ہم منحنی نقاط کی بات کرتے ہیں تو دلچسپی کی جگہ کو یوکلڈین سمجھا جاتا ہے۔ آئیے پوزیشن ویکٹر کو پس منظر، فکسڈ، کارٹیسیئن بیس کے لحاظ سے ظاہر کرتے ہیں، یعنی، زنجیر کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے، پھر ہم تین جہتی آرتھوگنل منحنی خطوط (q1، q2، q3) کے لحاظ سے dx کا اظہار کر سکتے ہیں۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ جہاں ہیج لامے کوفیشنٹس ہیں۔ اگر ہم پیمانے کے عوامل کی وضاحت کرتے ہیں، ہیلو، استعمال کرتے ہوئے ہمیں بنیادی ٹینسر اور لیم کوفیشنٹس کے درمیان تعلق ملتا ہے۔ مثال: قطبی نقاط اگر ہم R2 کے قطبی نقاط پر غور کریں، تو نوٹ کریں کہ (r، θ) منحنی نقاط ہیں، اور تبدیلی کا جیکوبین تعین کنندہ (r، θ) → (r cos θ، r sin θ) r ہے۔ آرتھوگنل بیس ویکٹر ہیں۔ نارملائزڈ بیس ویکٹر er = (cos θ، sin θ)، eθ = (− sin θ، cos θ) ہیں اور پیمانے کے عوامل hr = 1 اور hθ = r ہیں۔ بنیادی ٹینسر g11 = 1، g22 = r2، g12 = g21 = 0 ہے۔ لائن اور سرفیس انٹیگرلز اگر ہم ویکٹر کیلکولس کے حساب کے لیے منحنی خطوط کا استعمال کرنا چاہتے ہیں، تو لائن، سرفیس اور والیوم انٹیگرلز کے حساب میں ایڈجسٹمنٹ کرنے کی ضرورت ہے۔ سادگی کے لیے، ہم دوبارہ بحث کو تین جہتوں اور آرتھوگنل منحنی خطوط تک محدود رکھتے ہیں۔ تاہم، وہی دلائل-جہتی مسائل کے لیے لاگو ہوتے ہیں حالانکہ تاثرات میں کچھ اضافی اصطلاحات ہوتی ہیں جب کوآرڈینیٹ سسٹم آرتھوگنل نہیں ہوتا ہے۔ لائن انٹیگرلز عام طور پر لائن انٹیگرلز کے حساب میں ہم حساب لگانے میں دلچسپی رکھتے ہیں جہاں x (t) کارٹیشین کوآرڈینیٹس میں C کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ منحنی خطوط میں، اصطلاح بذریعہ سلسلہ اصول۔ اور لیم کوفیشنٹس کی تعریف سے، اور اس طرح اب، کب سے، ہمارے پاس ہے اور ہم عام طور پر آگے بڑھ سکتے ہیں۔ سرفیس انٹیگرلز اسی طرح، اگر ہم سرفیس انٹیگرل میں دلچسپی رکھتے ہیں، تو کارٹیسیئن کوآرڈینیٹس میں سطح کی پیرامیٹرائزیشن کے ساتھ متعلقہ حساب یہ ہے: ایک بار پھر، منحنی خطوط میں، ہمارے پاس ہے اور ہم منحنی خطوط کی تعریف کو دوبارہ حاصل کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ تعین کی شکل میں، کراس پروڈکٹ منحنی خطوط کے لحاظ سے ہوگا: گرڈ، کرل، ڈیو، لیپلاسیئن 3 جہتوں کے آرتھوگنل منحنی خطوط میں، جہاں کوئی اسکیلر یا ویکٹر فیلڈ کے میلان کو اس طرح ظاہر کر سکتا ہے۔ آرتھوگنل بنیاد کے لیے ویکٹر فیلڈ کے انحراف کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے، لہذا، ہم لیپلاسیئن کے لیے بھی اسی طرح ایک اظہار حاصل کر سکتے ہیں۔ ویکٹر فیلڈ کا کرل اس طرح دیا جاتا ہے جہاں εijk لیوی-سیویتا کی علامت ہے۔ مثال: سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس سلنڈریکل کوآرڈینیٹس کے لیے ہمارے پاس ہے اور جہاں تب کوویرینٹ اور متضاد بیس ویکٹر ہیں جہاں سمتوں میں یونٹ ویکٹر ہیں۔ نوٹ کریں کہ میٹرک ٹینسر کے اجزاء ایسے ہیں جو ظاہر کرتے ہیں کہ بنیاد آرتھوگنل ہے۔ دوسری قسم کی کرسٹوفیل علامت کے غیر صفر اجزاء ایک فزیکل ویکٹر فیلڈ کی نمائندگی کر رہے ہیں سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس میں عام متضاد بیس ویکٹر ہیں اور ویکٹر v کے فزیکل اجزاء اسکیلر فیلڈ کے گریڈینٹ ہیں۔ ایک اسکیلر فیلڈ کے گریڈینٹ، f (x)، سلنڈریکل کوآرڈینیٹس میں اب عام اظہار سے منحنی خطوط میں شمار کیا جا سکتا ہے اور ویکٹر فیلڈ کے گریڈینٹ کی شکل رکھتا ہے۔ اسی طرح، ایک ویکٹر فیلڈ کے گریڈینٹ، v (x)، سلنڈریکل کوآرڈینیٹس میں ویکٹر فیلڈ کے انحراف کے لیے مساوات کا استعمال کرتے ہوئے ویکٹر فیلڈ کے انحراف کو دکھایا جا سکتا ہے۔ سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس میں لہذا، فزیکل سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کی نمائندگی سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کے فزیکل اجزاء وہ ہوتے ہیں جو اس وقت حاصل ہوتے ہیں جب ٹینسر کو نارملائزڈ متضاد بنیاد کے لحاظ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس میں یہ اجزاء یہ ہیں: سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کا گریڈیئنٹ مندرجہ بالا تعریفوں کا استعمال کرتے ہوئے ہم یہ ظاہر کر سکتے ہیں کہ سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس میں سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کا گریڈیئنٹ سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کے ڈائیورجنس کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ سلنڈریکل پولر کوآرڈینیٹس میں سیکنڈ آرڈر ٹینسر فیلڈ کا ڈائیورجنس اصطلاحات کو جمع کرکے گریڈیئنٹ کے اظہار سے حاصل کیا جا سکتا ہے جہاں ڈائیڈک پروڈکٹ میں دو بیرونی ویکٹرز کا اسکیلر پروڈکٹ غیر صفر ہے۔ لہذا، کوویرینس اور کنٹراویرینس بھی دیکھیں مڑے ہوئے اسپیس ٹائم آرتھوگنل کوآرڈینیٹس کی ریاضی کا بنیادی تعارف فرینیٹ-سیرٹ فارمولے کوویرینٹ مشتق ٹینسر مشتق (تسلسل میکانکس) کرولینئر نقطہ نظر ڈیل سلنڈریکل اور کروی کوآرڈینیٹس میں حوالہ جات مزید پڑھنے بیرونی لنکس کرولینئر کوآرڈینیٹس میں یونٹ ویکٹرز کا مشتق ریاضی ورلڈ کا صفحہ کرولینئر کوآرڈینیٹس پر پروفیسر آر برینن کی کرولینئر کوآرڈینیٹس کوآرڈینیٹ سسٹمز پر ای بک 3