Patterns in nature
فطرت میں نمونے قدرتی دنیا میں پائی جانے والی شکل کی نظر آنے والی باقاعدگی ہیں۔ یہ نمونے مختلف سیاق و سباق میں دہرائے جاتے ہیں اور بعض اوقات ریاضیاتی طور پر نمونے بنائے جا سکتے ہیں۔ قدرتی نمونوں میں ہم آہنگی، درخت، سرپل، مینڈر، لہریں، جھاگ، ٹیسلیشن، دراڑیں اور پٹیاں شامل ہیں۔ ابتدائی یونانی فلسفیوں نے پیٹرن کا مطالعہ کیا، افلاطون، پایتھاگورس اور ایمپیڈوکلس نے فطرت میں ترتیب کی وضاحت کرنے کی کوشش کی۔ نظر آنے والے نمونوں کی جدید تفہیم وقت کے ساتھ آہستہ آہستہ ترقی کرتی گئی۔ 19 ویں صدی میں، بیلجیئم کے طبیعیات دان جوزف پلیٹو نے صابن کی فلموں کا جائزہ لیا، جس کی وجہ سے وہ کم سے کم سطح کا تصور وضع کرنے پر مجبور ہوئے۔ جرمن ماہر حیاتیات اور فنکار ارنسٹ ہیکل نے سینکڑوں سمندری حیاتیات کو ان کی ہم آہنگی پر زور دینے کے لیے پینٹ کیا۔ سکاٹش ماہر حیاتیات ڈی آرسی تھامسن نے پودوں اور جانوروں دونوں میں نشوونما کے نمونوں کے مطالعے کا آغاز کیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سادہ مساوات سرپل کی نشوونما کی وضاحت کر سکتی ہیں۔ 20 ویں صدی میں، برطانوی ریاضی دان ایلن ٹورنگ نے مورفوجینیسیس کے طریقہ کار کی پیش گوئی کی جو دھبوں اور دھاریوں کے نمونوں کو جنم دیتے ہیں۔ ہنگری کے ماہر حیاتیات ارسطو لنڈنمایر اور فرانسیسی امریکی ریاضی دان بینوئٹ مینڈلبروٹ نے دکھایا کہ کس طرح فریکٹلز کی ریاضی پودوں کی نشوونما کے نمونے پیدا کر سکتی ہے۔ ریاضی، طبیعیات اور کیمسٹری مختلف سطحوں اور پیمانوں پر فطرت کے نمونوں کی وضاحت کر سکتے ہیں۔ زندہ چیزوں میں نمونوں کی وضاحت قدرتی انتخاب اور جنسی انتخاب کے حیاتیاتی عمل سے کی جاتی ہے۔ پیٹرن کی تشکیل کے مطالعے میں کمپیوٹر ماڈلز کا استعمال پیٹرن کی ایک وسیع رینج کی تقلید کے لیے کیا جاتا ہے۔ ابتدائی یونانی فلسفیوں نے جدید تصورات کی پیش گوئی کرتے ہوئے فطرت میں ترتیب کی وضاحت کرنے کی کوشش کی۔ پایتھاگورس (570-سی۔ 495 قبل مسیح) نے فطرت میں نمونوں کی وضاحت کی جیسے موسیقی کی ہم آہنگی جو تعداد سے پیدا ہوتی ہے، جسے انہوں نے وجود کا بنیادی جزو سمجھا۔ ایمپیڈوکلس (494-سی۔ 434 قبل مسیح) نے ایک حد تک حیاتیات کے ڈھانچے کے لیے ڈارون کی ارتقائی وضاحت کی پیش گوئی کی تھی۔ افلاطون (427-سی۔ 347 قبل مسیح) نے قدرتی عالموں کے وجود کے لیے دلیل دی۔ انہوں نے ان کو مثالی شکلوں (ایڈوس: "شکل") پر مشتمل سمجھا جن میں جسمانی اشیاء کبھی بھی نامکمل نقلوں سے زیادہ نہیں ہوتی ہیں۔ اس طرح، ایک پھول تقریبا گول ہو سکتا ہے، لیکن یہ کبھی بھی کامل دائرہ نہیں ہوتا ہے۔ تھیوفراسٹس (c. 372-c. 287 قبل مسیح) نے نوٹ کیا کہ "جن پودوں میں چپٹے پتے ہوتے ہیں وہ باقاعدہ سلسلے میں ہوتے ہیں" ؛ پلینی دی ایلڈر (23-79 AD) نے ان کے نمونوں والے سرکلر ترتیب کو نوٹ کیا۔ صدیوں بعد، لیونارڈو ڈا ونچی (1452-1519) نے پتوں کے نمونوں کی سرپل ترتیب کو نوٹ کیا، کہ درخت کی چھڑیاں عمر کے ساتھ ساتھ یکے بعد دیگرے حلقے حاصل کرتی ہیں، اور ایک ایسا اصول تجویز کیا جو درخت کی شاخوں کے کراس سیکشنل علاقوں سے مطمئن ہوتا ہے۔ 1202 میں لیونارڈو فبونیکی نے اپنی کتاب کے ساتھ فبونیکی کے سلسلے کو مغربی دنیا میں متعارف کرایا۔ فبونیکی نے ایک مثالی خرگوش کی آبادی کی ترقی پر ایک نظریاتی تجربہ پیش کیا۔ جوہانس کیپلر (1571-1630) نے فطرت میں فبونیکی ترتیب کی موجودگی کی طرف اشارہ کیا، اس کا استعمال کچھ پھولوں کی پنٹاگونل شکل کی وضاحت کے لیے کیا۔ 1658 میں، انگریزی معالج اور فلسفی سر تھامس براؤن نے دی گارڈن آف سائرس میں "کس طرح نیچر جیومیٹریزتھ" پر تبادلہ خیال کیا، جس میں نمبر 5 پر مشتمل پائیتھاگورین عددیات، اور کوئنکنکس پیٹرن کی پلاٹونک شکل کا حوالہ دیا گیا۔ گفتگو کے مرکزی باب میں نباتات میں کوئنکنکس کی مثالیں اور مشاہدات پیش کیے گئے ہیں۔ 1754 میں، چارلس بونٹ نے مشاہدہ کیا کہ پودوں کے سرپل فائیلوٹیکسس کا اظہار اکثر گھڑی کی سمت اور گھڑی کے مخالف گولڈن ریشو سیریز دونوں میں کیا جاتا ہے۔ فائیلوٹیکسس کے ریاضیاتی مشاہدات کے بعد بالترتیب کارل فریڈرک شمپر اور ان کے دوست الیگزینڈر براؤن کا 1830 اور 1830 کا کام آیا۔ آگسٹ براویس اور ان کے بھائی لوئس نے فائیلوٹیکسس کے تناسب کو 1837 میں فبونیکی ترتیب سے جوڑا، اور انناس اور انناس میں اس کی ظاہری شکل کو بھی نوٹ کیا۔ اپنی 1854 کی کتاب میں، جرمن ماہر نفسیات ایڈولف زیزنگ نے پودوں کے حصوں، جانوروں کے کنکال اور ان کی رگوں اور اعصاب کے شاخوں کے نمونوں کے ساتھ ساتھ کرسٹل میں ظاہر ہونے والے سنہری تناسب کی کھوج کی۔ 19 ویں صدی میں، بیلجیئم کے طبیعیات دان جوزف پلیٹو (1801-1883) نے ایک دی گئی حد کے ساتھ کم سے کم سطح کے وجود کا ریاضیاتی مسئلہ وضع کیا، جس کا نام اب ان کے نام پر رکھا گیا ہے۔ انہوں نے صابن کی فلموں کا گہرائی سے مطالعہ کیا، سطح مرتفع کے قوانین وضع کیے جو جھاگوں میں فلموں سے بننے والے ڈھانچوں کو بیان کرتے ہیں۔ لارڈ کیلون نے 1887 میں مساوی حجم کے خلیوں کو جھاگ کے طور پر پیک کرنے کے سب سے موثر طریقے کے مسئلے کی نشاندہی کی۔ اس کے حل میں سطح مرتفع کے قوانین پر پورا اترنے کے لیے صرف ایک ٹھوس، بہت قدرے مڑے ہوئے چہروں کے ساتھ کٹرونکیٹڈ کیوبک ہنی کومب کا استعمال کیا گیا ہے۔ 1993 تک کوئی بہتر حل نہیں ملا جب ڈینس ویئر اور رابرٹ فیلان نے ویئر-فیلان ڈھانچے کی تجویز پیش کی۔ بیجنگ نیشنل ایکواٹکس سینٹر نے 2008 کے سمر اولمپکس میں اپنی بیرونی دیوار کے لیے اس ڈھانچے کو ڈھال لیا۔ ارنسٹ ہیکل (1834-1919) نے سمندری حیاتیات، خاص طور پر ریڈیولیریا کی خوبصورت عکاسی کی، جس میں ارتقاء کے اپنے غلط-ڈارون نظریات کی حمایت کرنے کے لیے ان کی ہم آہنگی پر زور دیا گیا۔ امریکی فوٹوگرافر ولسن بینٹلے نے 1885 میں برف کے ٹکڑے کا پہلا مائیکرو گراف لیا۔ 20 ویں صدی میں، اے ایچ چرچ نے اپنی 1904 کی کتاب میں فائیلوٹیکسس کے نمونوں کا مطالعہ کیا۔ 1917 میں، ڈی آرسی وینٹورتھ تھامسن نے آن گروتھ اینڈ فارم شائع کیا۔ فائیلوٹیکسس اور فبونیکی ترتیب کی ان کی تفصیل، پودوں کے سرپل نمو کے نمونوں میں ریاضیاتی تعلقات سے پتہ چلتا ہے کہ سادہ مساوات جانوروں کے سینگوں اور مولسک خولوں کے سرپل نمو کے نمونوں کو بیان کر سکتی ہیں۔ 1952 میں، کمپیوٹر سائنسدان ایلن ٹورنگ (1912-1954) نے دی کیمیکل بیس آف مورفوجینیسیس لکھی، جو زندہ حیاتیات میں نمونے بنانے کے لیے درکار میکانزم کا تجزیہ ہے، اس عمل میں جسے مورفوجینیسیس کہا جاتا ہے۔ انہوں نے ارتعاش کرنے والے کیمیائی رد عمل کی پیش گوئی کی، خاص طور پر بیلوسوو-زابوتنسکی رد عمل کی۔ ٹورنگ نے تجویز کیا کہ یہ ایکٹیویٹر-انفیکٹر میکانزم جانوروں میں دھبوں اور دھبوں کے نمونے (جسے "ٹورنگ پیٹرن" کہا جاتا ہے) پیدا کر سکتے ہیں، اور پودوں کے فائیلوٹیکسس میں نظر آنے والے سرپل پیٹرن میں حصہ ڈال سکتے ہیں۔ 1968 میں، ہنگری کے نظریاتی ماہر حیاتیات ارسطو لنڈنمایر (1925-1989) نے ایل-سسٹم تیار کیا، جو ایک رسمی گرائمر ہے جسے فریکٹلز کے انداز میں پودوں کی نشوونما کے نمونوں کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایل-سسٹمز میں علامتوں کا ایک حروف تہجی ہوتا ہے جسے علامتوں کے بڑے تار بنانے کے لیے پروڈکشن قوانین کا استعمال کرتے ہوئے جوڑا جا سکتا ہے، اور پیدا شدہ تاروں کو ہندسی ڈھانچوں میں ترجمہ کرنے کا ایک طریقہ کار۔ 1975 میں، گوٹ فرائیڈ لیبنز، جارج کینٹر، ہیلج وان کوچ، واکلاو سیرپینسکی اور دیگر کے نمونوں کی ریاضی کی صدیوں کی سست ترقی کے بعد، بینوئٹ مینڈلبروٹ نے ایک مشہور مقالہ لکھا، برطانیہ کا ساحل کتنا لمبا ہے؟ شماریاتی خود مماثلت اور فریکشنل طول و عرض، ریاضیاتی سوچ کو فریکٹل کے تصور میں کرسٹلائز کرنا۔ آرکڈ، ہمنگ برڈز اور مور کی دم جیسی زندہ چیزوں میں شکل، نمونے اور رنگ کی خوبصورتی کے ساتھ تجریدی ڈیزائن ہوتے ہیں جن کا مقابلہ کرنے کے لیے فنکار جدوجہد کرتے ہیں۔ لوگ فطرت میں جو خوبصورتی محسوس کرتے ہیں اس کی مختلف سطحوں پر وجوہات ہوتی ہیں، خاص طور پر ریاضی میں جو اس بات کو کنٹرول کرتی ہے کہ جسمانی طور پر کون سے نمونے بن سکتے ہیں، اور قدرتی انتخاب کے اثرات میں زندہ چیزوں میں، جو نمونوں کے ارتقا کو کنٹرول کرتے ہیں۔ ریاضی ہر قسم کے تجریدی نمونوں یا باقاعدگی کو دریافت کرنے اور اس کی وضاحت کرنے کی کوشش کرتی ہے۔ فطرت میں بصری نمونوں کی وضاحت افراتفری کے نظریہ، فریکٹلز، لوگرتھمک سرپل، ٹوپولوجی اور دیگر ریاضیاتی نمونوں میں ملتی ہے۔ مثال کے طور پر، ایل-نظام درخت کی نشوونما کے مختلف نمونوں کے قابل اعتماد نمونے بناتے ہیں۔ طبیعیات کے قوانین ریاضی کی تجریدوں کو حقیقی دنیا پر لاگو کرتے ہیں، اکثر گویا یہ کامل ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک کرسٹل کامل ہوتا ہے جب اس میں کوئی ساختی نقائص جیسے بے ترتیبی نہ ہو اور مکمل طور پر ہم آہنگ ہو۔ درست ریاضیاتی کمال صرف حقیقی اشیاء کا تخمینہ لگا سکتا ہے۔ فطرت میں نظر آنے والے نمونوں کو جسمانی قوانین کے ذریعے کنٹرول کیا جاتا ہے ؛ مثال کے طور پر، میینڈرز کو سیال حرکیات کا استعمال کرتے ہوئے سمجھایا جا سکتا ہے۔ حیاتیات میں، قدرتی انتخاب کئی وجوہات کی بناء پر زندہ چیزوں میں نمونوں کی نشوونما کا سبب بن سکتا ہے، بشمول چھیدنا، جنسی انتخاب، اور مختلف قسم کے اشارے، بشمول نقالی اور صفائی سمبیوسس۔ پودوں میں، کیڑے مکوڑوں جیسے پھولوں کی شکلیں، رنگ اور نمونے مکھیوں جیسے کیڑوں کو اپنی طرف متوجہ کرنے کے لیے تیار ہوئے ہیں۔ رنگوں اور دھاریوں کے شعاعی نمونے، جن میں سے کچھ صرف بالائے بنفشی روشنی میں نظر آتے ہیں، امرت گائیڈ کے طور پر کام کرتے ہیں جنہیں فاصلے پر دیکھا جا سکتا ہے۔ نمونوں کی اقسام ہم آہنگی زندہ چیزوں میں وسیع ہے۔ جانوروں میں بنیادی طور پر دو طرفہ یا آئینے کی ہم آہنگی ہوتی ہے، جیسا کہ پودوں کے پتے اور کچھ پھول جیسے آرکڈ ہوتے ہیں۔ پودوں میں اکثر شعاعی یا گردشی ہم آہنگی ہوتی ہے، جیسا کہ بہت سے پھول اور جانوروں کے کچھ گروہ جیسے سمندری انیمون ہوتے ہیں۔ پانچ گنا توازن ایکینوڈرمز میں پایا جاتا ہے، وہ گروپ جس میں اسٹار فش، سمندری ارچن اور سمندری للی شامل ہیں۔ غیر زندہ چیزوں میں، برف کے ٹکڑوں میں چھ گنا ہم آہنگی ہوتی ہے۔ ہر ٹکڑے کی ساخت اس کے کرسٹلائزیشن کے دوران مختلف حالات کا ریکارڈ بناتی ہے، جس کے چھ بازوؤں میں سے ہر ایک پر نشوونما کا تقریبا ایک ہی نمونہ ہوتا ہے۔ عام طور پر کرسٹل میں مختلف قسم کی ہم آہنگی اور کرسٹل کی عادات ہوتی ہیں۔ وہ کیوبک یا آکٹاڈرل ہو سکتے ہیں، لیکن حقیقی کرسٹل میں پانچ گنا ہم آہنگی نہیں ہو سکتی (کواسی کرسٹل کے برعکس)۔ غیر زندہ چیزوں کے درمیان گردش کی ہم آہنگی مختلف پیمانوں پر پائی جاتی ہے، بشمول تاج کی شکل کا سپلیش پیٹرن جب ایک قطرہ تالاب میں گرتا ہے، اور سیٹرن جیسے سیارے کی کروی شکل اور حلقے دونوں۔ ہم آہنگی کی مختلف وجوہات ہیں۔ ریڈیل سمیٹری سمندری انیمون جیسے حیاتیات کے لیے موزوں ہے جن کے بالغ حرکت نہیں کرتے: خوراک اور خطرات کسی بھی سمت سے آسکتے ہیں۔ لیکن جو جانور ایک سمت میں حرکت کرتے ہیں ان کے اوپری اور نچلے حصے، سر اور دم کے سرے ہوتے ہیں، اور اس لیے بائیں اور دائیں ہوتے ہیں۔ سر منہ اور حواس (سیفیلائزیشن) کے ساتھ مخصوص ہو جاتا ہے، اور جسم دو طرفہ طور پر ہم آہنگ ہو جاتا ہے (حالانکہ اندرونی اعضاء کی ضرورت نہیں ہے)۔ ایکینوڈرمز کی پانچ گنا (پینٹاراڈیٹ) ہم آہنگی کی وجہ زیادہ پریشان کن ہے۔ ابتدائی ایچینوڈرمز دو طرفہ طور پر ہم آہنگ تھے، جیسا کہ ان کے لاروا اب بھی ہیں۔ سمرل اور رے کا استدلال ہے کہ پرانی ہم آہنگی کے نقصان کی نشوونما اور ماحولیاتی دونوں وجوہات تھیں۔ درخت، فریکٹلز درختوں کی شاخوں کے نمونے کو اطالوی نشاۃ ثانیہ میں لیونارڈو ڈا ونچی نے بیان کیا تھا۔ پینٹنگ پر ایک مقالے میں انہوں نے کہا کہ: ایک درخت کی تمام شاخیں جب اس کی اونچائی کے ہر مرحلے پر ایک ساتھ رکھی جاتی ہیں تو موٹائی میں اس کے تنے (ان کے نیچے) کے برابر ہوتی ہیں۔ ایک زیادہ عمومی ورژن میں کہا گیا ہے کہ جب ایک پیرنٹ برانچ دو یا زیادہ چائلڈ برانچوں میں تقسیم ہوتی ہے، تو چائلڈ برانچوں کے سطحی علاقے پیرنٹ برانچ کے برابر ہوتے ہیں۔ ایک مساوی تشکیل یہ ہے کہ اگر ایک پیرنٹ برانچ دو چائلڈ برانچوں میں تقسیم ہو جاتی ہے، تو پیرنٹ اور دو چائلڈ برانچوں کا کراس سیکشنل قطر دائیں زاویے والا مثلث بناتا ہے۔ ایک وضاحت یہ ہے کہ اس سے درخت تیز ہواؤں کا بہتر مقابلہ کر سکتے ہیں۔ بائیو مکینیکل ماڈلز کے تخروپن اصول سے متفق ہیں۔ فریکٹلز لامحدود طور پر خود سے ملتے جلتے ہوتے ہیں، فریکٹل طول و عرض والی ریاضیاتی تعمیرات کو دہرایا جاتا ہے۔ فطرت میں لامحدود تکرار ممکن نہیں ہے اس لیے تمام 'فریکٹل' پیٹرن صرف لگ بھگ ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، فرن اور امبیلیفرس (اپیاسی) کی پتیاں 2، 3 یا 4 سطحوں تک صرف خود سے ملتی جلتی (پینیٹ) ہوتی ہیں۔ فرن جیسی نشوونما کے نمونے پودوں اور جانوروں میں پائے جاتے ہیں جن میں برایوزوا، مرجان، ہائیڈروزوا جیسے ایئر فرن، سیرٹولریا ارجنٹیا، اور غیر زندہ چیزوں میں، خاص طور پر برقی اخراج شامل ہیں۔ لنڈن میئر سسٹم فریکٹلز شاخوں کے زاویے، نوڈس یا برانچ پوائنٹس کے درمیان فاصلہ (انٹرنوڈ لمبائی)، اور فی برانچ پوائنٹ شاخوں کی تعداد سمیت پیرامیٹرز کی ایک چھوٹی سی تعداد کو تبدیل کرکے درخت کی نشوونما کے مختلف نمونوں کا نمونہ بنا سکتے ہیں۔ فریکٹل جیسے نمونے فطرت میں وسیع پیمانے پر پائے جاتے ہیں، جیسے کہ بادل، دریا کے نیٹ ورک، ارضیاتی فالٹ لائنز، پہاڑ، ساحلی پٹی، جانوروں کا رنگ، برف کے ٹکڑے، کرسٹل، خون کی شریانوں کی شاخیں، پرکنجے خلیات، ایکٹین سائٹوسکیلیٹن اور سمندری لہریں۔ سرپل پودوں اور کچھ جانوروں میں عام ہیں، خاص طور پر مولسک۔ مثال کے طور پر، نوٹیلس میں، ایک سیفالوپوڈ مولسک، اس کے خول کا ہر چیمبر اگلے کی ایک لگ بھگ نقل ہے، جسے ایک مستقل عنصر کے ذریعہ اسکیل کیا جاتا ہے اور لوگرتھمک سرپل میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ فریکٹلز کی جدید تفہیم کو دیکھتے ہوئے، گروتھ سرپل کو خود مماثلت کے ایک خاص معاملے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ پودوں کے سرپل فائیلوٹیکسس میں دیکھے جا سکتے ہیں، ایک تنے پر پتوں کی ترتیب، اور دوسرے حصوں کے ترتیب (پیراسٹیچی) میں جیسے کہ جامع پھولوں کے سروں اور بیج کے سروں جیسے سورج مکھی یا پھلوں کے ڈھانچے جیسے انناس اور سانپ کے پھل کے ساتھ ساتھ پائن شنک میں ترازو کے نمونے میں، جہاں متعدد سرپل گھڑی کی سمت اور گھڑی کی مخالف سمت میں چلتے ہیں۔ ان انتظامات کی مختلف سطحوں پر وضاحتیں ہیں-ریاضی، طبیعیات، کیمسٹری، حیاتیات-ہر ایک انفرادی طور پر درست ہے، لیکن یہ سب ایک ساتھ ضروری ہیں۔ فائیلوٹیکسس سرپل فائیبونیکی تناسب سے پیدا کیے جا سکتے ہیں: فائیبونیکی ترتیب 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13 چلتی ہے۔ (ہر بعد والا نمبر پچھلے دو نمبروں کا مجموعہ ہے)۔ مثال کے طور پر، جب پتے ایک تنے کو بدلتے ہیں، تو سرپل کی ایک گردش دو پتوں کو چھوتی ہے، لہذا نمونہ یا تناسب 1/2 ہوتا ہے۔ ہیزل میں تناسب 1/3 ہے ؛ خوبانی میں یہ 2/5 ہے ؛ ناشپاتی میں یہ 3/8 ہے ؛ بادام میں یہ 5/13 ہے۔ ڈسک فائیلوٹیکسس میں جیسا کہ سورج مکھی اور ڈیزی میں، پھولوں کو فرمیٹ کے سرپل کے ساتھ ترتیب دیا جاتا ہے، لیکن یہ بھیس بدل جاتا ہے کیونکہ یکے بعد دیگرے پھول بہت دور ہوتے ہیں، سنہری زاویے سے، 137.508 ° (دائرے کو سنہری تناسب میں تقسیم کرتے ہوئے) ؛ جب پھول کا سر پختہ ہوتا ہے تو تمام عناصر ایک ہی سائز کے ہوتے ہیں، یہ فاصلہ زیادہ واضح سرپل کا فبونیکی نمبر بناتا ہے۔ طبیعیات کے نقطہ نظر سے، سرپل سب سے کم توانائی کی ترتیبات ہیں جو متحرک نظاموں میں خود کو منظم کرنے کے عمل کے ذریعے بے ساختہ ابھرتی ہیں۔ کیمسٹری کے نقطہ نظر سے، ایک سرپل رد عمل کے پھیلاؤ کے عمل سے پیدا کیا جا سکتا ہے، جس میں ایکٹیویشن اور روک تھام دونوں شامل ہیں۔ فائیلوٹیکسس کو پروٹین کے ذریعے کنٹرول کیا جاتا ہے جو پودے کے ہارمون آکسین کے ارتکاز میں ہیرا پھیری کرتا ہے، جو اسٹیم کے ارد گرد کلیوں کے متعلقہ زاویے کو کنٹرول کرنے کے لیے دیگر میکانزم کے ساتھ ساتھ میریسٹم کی نشوونما کو متحرک کرتا ہے۔ حیاتیاتی نقطہ نظر سے، کسی بھی جگہ میں پتوں کو زیادہ سے زیادہ فاصلے پر ترتیب دینا قدرتی انتخاب کی طرف سے پسند کیا جاتا ہے کیونکہ یہ وسائل، خاص طور پر فوٹو سنتھیسز کے لیے سورج کی روشنی تک زیادہ سے زیادہ رسائی فراہم کرتا ہے۔ ریاضی میں، ایک متحرک نظام افراتفری کا شکار ہوتا ہے اگر وہ ابتدائی حالات (نام نہاد "تیتلی اثر") کے لیے (انتہائی) حساس ہو، جس کے لیے ٹپوولوجیکل اختلاط اور گھنے دورانیے کے مدار کی ریاضیاتی خصوصیات کی ضرورت ہوتی ہے۔ فریکٹلز کے ساتھ ساتھ، افراتفری کا نظریہ فطرت میں نمونوں پر بنیادی طور پر عالمگیر اثر کے طور پر درجہ بندی کرتا ہے۔ افراتفری اور فریکٹلز کے درمیان ایک تعلق ہے-افراتفری کے نظام میں عجیب کشش کا ایک فریکٹل طول و عرض ہوتا ہے۔ کچھ سیلولر آٹومیٹا، ریاضیاتی اصولوں کے سادہ سیٹ جو نمونے پیدا کرتے ہیں، میں افراتفری کا طرز عمل ہوتا ہے، خاص طور پر اسٹیفن وولفرم کا قاعدہ 30۔ بھنور سڑکیں گھومنے والے بھنوروں کے زگ زگ کرنے والے نمونے ہیں جو کسی سیال کے بہاؤ کی غیر مستحکم علیحدگی سے پیدا ہوتے ہیں، اکثر ہوا یا پانی، رکاوٹ پیدا کرنے والی اشیاء پر۔ ہموار (لیمینار) بہاؤ اس وقت ٹوٹنا شروع ہو جاتا ہے جب رکاوٹ کا سائز یا بہاؤ کی رفتار سیال کی چپچپا کے مقابلے میں کافی بڑی ہو جاتی ہے۔ مینڈرز دریاؤں یا دیگر چینلز میں گندا موڑ ہوتے ہیں، جو ایک سیال کے طور پر بنتے ہیں، اکثر پانی، موڑ کے ارد گرد بہتا ہے۔ جیسے ہی راستہ قدرے مڑا ہوتا ہے، ہر لوپ کا سائز اور منحنی پن بڑھ جاتا ہے کیونکہ ہیلیکل بہاؤ ریت اور بجری جیسے مواد کو دریا کے پار موڑ کے اندر تک کھینچتا ہے۔ لوپ کے باہر کو صاف اور غیر محفوظ چھوڑ دیا جاتا ہے، اس لیے کٹاؤ تیز ہو جاتا ہے، جس سے ایک طاقتور مثبت فیڈ بیک لوپ میں گھومنے پھرنے میں مزید اضافہ ہوتا ہے۔ لہریں، ٹیلے لہریں خلل پیدا کرنے والی لہریں ہیں جو حرکت کرتے وقت توانائی لے جاتی ہیں۔ مکینیکل لہریں درمیانی ہوا یا پانی کے ذریعے پھیلتی ہیں، جس سے وہ گزرتے ہوئے ارتعاش کرتی ہیں۔ ہوا کی لہریں سمندر کی سطح کی لہریں ہیں جو پانی کے کسی بھی بڑے جسم کی خصوصیت کا افراتفری کا نمونہ بناتی ہیں، حالانکہ ان کے شماریاتی رویے کی پیش گوئی ہوا کی لہر کے نمونوں سے کی جا سکتی ہے۔ جیسے ہی پانی یا ہوا میں لہریں ریت کے اوپر سے گزرتی ہیں، وہ لہروں کے نمونے بناتی ہیں۔ جب ہوائیں ریت کے بڑے ذخائر پر چلتی ہیں، تو وہ ٹیلے بناتی ہیں، بعض اوقات وسیع ٹیلے کے کھیتوں میں جیسے تکلامکان صحرا میں۔ ڈیونز متعدد نمونوں کی تشکیل کر سکتے ہیں جن میں ہلال، بہت لمبی سیدھی لکیریں، ستارے، گنبد، پیرابولس، اور طول البلد یا سیف ('تلوار') شکلیں شامل ہیں۔ بارچن یا کریسنٹ ٹیلے صحرا کی ریت پر چلنے والی ہوا سے پیدا ہوتے ہیں۔ کریسنٹ کے دو سینگ اور سلپ فیس ہوا کے نیچے کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔ ریت اوپر کی ہوا کے چہرے پر چلتی ہے، جو افقی سے تقریبا 15 ڈگری پر کھڑی ہوتی ہے، اور پھسلن والے چہرے پر گرتی ہے، جہاں یہ ریت کے آرام کے زاویے تک جمع ہوتی ہے، جو تقریبا 35 ڈگری ہے۔ جب پھسلن کا رخ آرام کے زاویے سے تجاوز کرتا ہے، تو ریت کا برفانی تودہ، جو کہ ایک غیر لکیری طرز عمل ہے: ریت کی بہت سی چھوٹی مقدار کا اضافہ زیادہ کچھ نہیں ہوتا ہے، لیکن پھر مزید چھوٹی مقدار کا اضافہ اچانک بڑی مقدار میں برفانی تودے کا سبب بنتا ہے۔ اس غیر لکیری کے علاوہ، بارچن تنہا لہروں کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ بلبلے، جھاگ ایک صابن کا بلبلہ ایک دائرہ بناتا ہے، ایک ایسی سطح جس کا رقبہ کم سے کم (کم سے کم سطح) ہوتا ہے-بند حجم کے لیے سب سے چھوٹا ممکنہ سطح کا رقبہ۔ دو بلبلے مل کر ایک زیادہ پیچیدہ شکل بناتے ہیں: دونوں بلبلوں کی بیرونی سطحیں کروی ہوتی ہیں۔ ان سطحوں کو تیسری کروی سطح سے جوڑا جاتا ہے کیونکہ چھوٹا بلبلہ قدرے بڑے میں پھٹ جاتا ہے۔ جھاگ بلبلوں کا ایک مجموعہ ہے ؛ مختلف مواد کے جھاگ فطرت میں پائے جاتے ہیں۔ صابن کی فلموں پر مشتمل جھاگ سطح مرتفع کے قوانین کی پابندی کرتے ہیں، جس کے لیے صابن کی تین فلمیں 120 ڈگری پر ہر کنارے پر ملنے کی ضرورت ہوتی ہے اور صابن کے چار کناروں کو تقریبا 109.5 ڈگری کے ٹیٹراہیڈرل زاویے پر ہر سرے پر ملنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ سطح مرتفع کے قوانین میں مزید کہا گیا ہے کہ فلمیں ہموار اور مسلسل ہوں، اور ہر مقام پر مستقل اوسط منحنی ہو۔ مثال کے طور پر، ایک فلم ایک سمت میں اوپر مڑ کر (جیسے، بائیں سے دائیں) اور دوسری سمت میں نیچے مڑ کر (جیسے، سامنے سے پیچھے) اوسطا تقریبا چپٹی رہ سکتی ہے۔ کم سے کم سطحوں والی ساختوں کو خیموں کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ زندہ خلیوں کے پیمانے پر، جھاگ کے نمونے عام ہیں۔ ریڈیولیرینز، سپنج اسپائکلز، سلیکوفلیجیلیٹ ایکساسکیلیٹن اور سمندری ارچن کا کیلکائٹ کنکال، سیڈرس روگوسا، سبھی سطح مرتفع جھاگ کی حدود کے معدنی کاسٹ سے ملتے جلتے ہیں۔ ریڈیولیرین کا کنکال، اولونیا ہیکساگونا، جو کہ ارنسٹ ہیکل کی تیار کردہ ایک خوبصورت سمندری شکل ہے، ایسا لگتا ہے جیسے یہ مکمل طور پر ہیکساگون پر مشتمل ایک دائرہ ہے، لیکن یہ ریاضیاتی طور پر ناممکن ہے۔ اویلر کی خصوصیت بتاتی ہے کہ کسی بھی کنویکس پولی ہیڈرون کے لیے، چہروں کی تعداد اور عمودی (کونوں) کی تعداد کناروں کی تعداد جمع دو کے برابر ہوتی ہے۔ اس فارمولے کا نتیجہ یہ ہے کہ ہیکساگون کے کسی بھی بند پولی ہیڈرون میں بالکل 12 پینٹاگون شامل ہوتے ہیں، جیسے کہ ساکر بال، بکمنسٹر فلر جیوڈیسیک گنبد، یا فلرین مالیکیول۔ اس کا تصور یہ نوٹ کر کے کیا جا سکتا ہے کہ ہیکساگون کا ایک جال چکن کے تار کی شیٹ کی طرح چپٹا ہوتا ہے، لیکن ہر پینٹاگون جو شامل کیا جاتا ہے وہ میش کو موڑنے پر مجبور کرتا ہے (وہاں کم کونے ہوتے ہیں، اس لیے میش کو کھینچ لیا جاتا ہے)۔ ٹیسلیشنز ٹیسلیشنز وہ نمونے ہیں جو ایک ہموار سطح پر ٹائلوں کو دہرانے سے بنتے ہیں۔ ٹائلنگ کے 17 وال پیپر گروپ ہیں۔ اگرچہ آرٹ اور ڈیزائن میں عام ہے، لیکن زندہ چیزوں میں بالکل بار بار ٹائلنگ تلاش کرنا کم آسان ہے۔ کاغذی گھونسلوں میں موجود خلیات سماجی بھینسوں کے، اور شہد کی مکھیوں کے ذریعے بنائے گئے شہد کی مکھیوں میں موم کے خلیات معروف مثالیں ہیں۔ جانوروں میں، ہڈی والی مچھلی، رینگنے والے جانور یا پینگولن، یا سلک جیسے پھل اوور لیپنگ اسکیلز یا آسٹیوڈرمز سے محفوظ ہوتے ہیں، یہ کم و بیش بالکل دہرانے والی اکائیاں بناتے ہیں، حالانکہ حقیقت میں اکثر اسکیلز سائز میں مسلسل مختلف ہوتے ہیں۔ پھولوں میں، سانپ کا سر فریٹیلری، فریٹیلریا میلیگرس، ان کی پنکھڑیوں پر ایک ٹیسلیٹیڈ چیکر بورڈ پیٹرن رکھتا ہے۔ معدنیات کے ڈھانچے تین جہتی صفوں کو باقاعدگی سے دہرانے کی اچھی مثالیں فراہم کرتے ہیں۔ سیکڑوں ہزاروں معروف معدنیات کے باوجود، کرسٹل میں ایٹموں کی ترتیب کی ممکنہ اقسام بہت کم ہیں، جن کی وضاحت کرسٹل ڈھانچہ، کرسٹل سسٹم اور پوائنٹ گروپ سے ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، تین جہتی خلا میں 7 جالی نظاموں کے لیے بالکل 14 براویس جالیں ہیں۔ دراڑیں لکیری افتتاحی ہیں جو تناؤ کو دور کرنے کے لیے مواد میں بنتی ہیں۔ جب کوئی لچکدار مواد یکساں طور پر پھیلا ہوا یا سکڑتا ہے، تو یہ بالآخر اپنی توڑنے کی طاقت تک پہنچ جاتا ہے اور پھر اچانک تمام سمتوں میں ناکام ہو جاتا ہے، جس سے 120 ڈگری کے جوڑوں کے ساتھ دراڑیں پیدا ہوتی ہیں، لہذا تین دراڑیں ایک نوڈ پر ملتی ہیں۔ اس کے برعکس، جب کوئی غیر لچکدار مواد ناکام ہوجاتا ہے، تو تناؤ کو دور کرنے کے لیے سیدھی دراڑیں بن جاتی ہیں۔ اسی سمت میں مزید دباؤ صرف موجودہ دراڑوں کو کھول دے گا ؛ صحیح زاویوں پر دباؤ پرانی دراڑوں کے 90 ڈگری پر نئی دراڑیں پیدا کر سکتا ہے۔ اس طرح دراڑوں کا نمونہ اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ مواد لچکدار ہے یا نہیں۔ بلوط کے درخت کی چھال جیسے سخت ریشے دار مادے میں، ہمیشہ کی طرح تناؤ کو دور کرنے کے لیے دراڑیں بن جاتی ہیں، لیکن وہ زیادہ دیر تک نہیں بڑھتی ہیں کیونکہ مضبوط لچکدار ریشوں کے بنڈلوں سے ان کی نشوونما میں خلل پڑتا ہے۔ چونکہ درخت کی ہر نوع کی خلیے اور مالیکیول کی سطح پر اپنی ساخت ہوتی ہے، اس لیے ہر ایک کی چھال میں تقسیم ہونے کا اپنا نمونہ ہوتا ہے۔ دھبے، دھاریاں، تیندوے اور لیڈی برڈز نظر آتے ہیں ؛ انجلفش اور زیبرا دھاری دار ہوتے ہیں۔ ان نمونوں کی ایک ارتقائی وضاحت ہوتی ہے: ان کے افعال ہوتے ہیں جو اس امکان کو بڑھاتے ہیں کہ نمونوں والے جانور کی اولاد دوبارہ پیدا کرنے کے لیے زندہ رہے گی۔ جانوروں کے نمونوں کا ایک کام چھیدنا ہے ؛ مثال کے طور پر، ایک تیندوا جسے دیکھنا مشکل ہوتا ہے زیادہ شکار پکڑتا ہے۔ ایک اور فنکشن سگنلنگ ہے-مثال کے طور پر، ایک لیڈی برڈ پر شکاری پرندوں کے حملے کا امکان کم ہوتا ہے جو نظر سے شکار کرتے ہیں، اگر اس میں جرات مندانہ انتباہی رنگ ہیں، اور یہ بھی ناگوار طور پر تلخ یا زہریلا ہے، یا دوسرے ناگوار کیڑوں کی نقل کرتا ہے۔ ایک نوجوان پرندہ لیڈی برڈ جیسے انتباہی طرز کے کیڑے کو دیکھ سکتا ہے اور اسے کھانے کی کوشش کر سکتا ہے، لیکن یہ صرف ایک بار ایسا کرے گا۔ بہت جلد یہ تلخ کیڑے کو تھوک دے گا ؛ اس علاقے کے دوسرے لیڈی برڈ بے چین رہیں گے۔ نوجوان چیتے اور لیڈی برڈز، وراثت میں ایسے جین حاصل کرتے ہیں جو کسی نہ کسی طرح دھبہ دار پن پیدا کرتے ہیں، زندہ رہتے ہیں۔ لیکن اگرچہ یہ ارتقائی اور عملی دلائل اس بات کی وضاحت کرتے ہیں کہ ان جانوروں کو ان کے نمونوں کی ضرورت کیوں ہے، لیکن وہ یہ نہیں بتاتے کہ نمونوں کی تشکیل کیسے ہوتی ہے۔ پیٹرن کی تشکیل ایلن ٹورنگ، اور بعد میں ریاضیاتی ماہر حیاتیات جیمز مرے نے ایک ایسا طریقہ کار بیان کیا جو بے ساختہ دھبے دار یا دھاری دار نمونے پیدا کرتا ہے: ایک رد عمل کے پھیلاؤ کا نظام۔ ایک نوجوان جاندار کے خلیوں میں ایسے جین ہوتے ہیں جنہیں کیمیائی سگنل، ایک مورفوجن کے ذریعے آن کیا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک مخصوص قسم کی ساخت کی نشوونما ہوتی ہے، جلد کا ایک گہرا روغن والا پیچ کہتے ہیں۔ اگر مورفوجن ہر جگہ موجود ہے، تو نتیجہ ایک یکساں روغن ہے، جیسا کہ سیاہ تیندوے میں ہوتا ہے۔ لیکن اگر یہ غیر مساوی طور پر تقسیم ہو تو اس کے نتیجے میں دھبے یا دھاریاں پڑ سکتی ہیں۔ ٹورنگ نے تجویز کیا کہ خود مورفوجن کی پیداوار پر فیڈ بیک کنٹرول ہو سکتا ہے۔ یہ مورفوجن کی مقدار میں مسلسل اتار چڑھاؤ کا سبب بن سکتا ہے کیونکہ یہ جسم کے ارد گرد پھیلتا ہے۔ اسٹینڈنگ ویو پیٹرن بنانے کے لیے ایک دوسرے میکانزم کی ضرورت ہوتی ہے (جس کے نتیجے میں دھبے یا دھاریاں پڑیں): ایک انفیکٹر کیمیکل جو مورفوجن کی پیداوار کو بند کر دیتا ہے، اور جو خود جسم میں مورفوجن سے زیادہ تیزی سے پھیلتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک ایکٹیویٹر-انفیکٹر اسکیم بنتی ہے۔ بیلوسوو-زابوتنسکی رد عمل اس قسم کی اسکیم کی ایک غیر حیاتیاتی مثال ہے، ایک کیمیائی آکسیلیٹر۔ بعد کی تحقیق زیبرا سٹرپس، جراف کے دھبوں، جگوار کے دھبوں (گہرے ٹوٹے ہوئے رنگوں سے گھرا ہوا درمیانی سیاہ پیچ) اور لیڈی برڈ کے خول کے نمونوں (دھبوں اور دھاریوں کے مختلف ہندسی ترتیب، عکاسی دیکھیں) جیسے متنوع نمونوں کے قابل اعتماد ماڈل بنانے میں کامیاب رہی ہے۔ ٹورنگ کے کام سے تیار کردہ رچرڈ پرم کے ایکٹیویشن-انفیکشن ماڈل، پنکھوں کے اندر کے نو بنیادی روغن نمونوں کی مشاہدہ کردہ رینج کے حساب سے چھ متغیرات کا استعمال کرتے ہیں، سب سے آسان، ایک مرکزی روغن پیچ، متمرکز پیچ، سلاخوں، شیورون، آنکھ کے دھبے، مرکزی دھبوں کی جوڑی، جوڑے ہوئے دھبوں کی قطاریں اور نقطوں کی ایک صف کے ذریعے۔ مزید وسیع ماڈل گنیفول نیومیڈا میلیگرس میں پنکھوں کے پیچیدہ نمونوں کی تقلید کرتے ہیں جس میں انفرادی پنکھوں کی بنیاد پر سلاخوں سے دور (دور) سرے پر نقطوں کی صف میں منتقلی کی خصوصیت ہوتی ہے۔ ان کے لیے جگہ اور وقت دونوں میں تعاملات کے ساتھ دو روک تھام والے اشاروں کے ذریعے پیدا ہونے والے ارتعاش کی ضرورت ہوتی ہے۔ ٹائیگر بش اور فر لہروں کے نباتاتی مناظر میں دیگر وجوہات کی بناء پر نمونے بن سکتے ہیں۔ ٹائیگر بش سٹرپس بنجر ڈھلوانوں پر پائے جاتے ہیں جہاں پودوں کی نشوونما بارش سے محدود ہوتی ہے۔ پودوں کی ہر تقریبا افقی پٹی مؤثر طریقے سے بارش کے پانی کو اپنے اوپر کے ننگے زون سے جمع کرتی ہے۔ پہاڑی ڈھلوانوں پر جنگلات میں ہوا کی خلل کے بعد، تخلیق نو کے دوران فیر لہریں آتی ہیں۔ جب درخت گرتے ہیں، تو جن درختوں کو انہوں نے پناہ دی تھی وہ بے نقاب ہو جاتے ہیں اور بدلے میں ان کے خراب ہونے کا امکان زیادہ ہوتا ہے، اس لیے خلا ہوا کے نیچے پھیل جاتے ہیں۔ دریں اثنا، ہوا کی طرف، چھوٹے درخت اگتے ہیں، جو باقی لمبے درختوں کے ہوا کے سائے سے محفوظ ہوتے ہیں۔ قدرتی نمونے بعض اوقات جانوروں کے ذریعہ تشکیل پاتے ہیں، جیسا کہ شمال مغربی ریاستہائے متحدہ کے میما ٹیلوں اور کچھ دوسرے علاقوں میں، جو بظاہر کئی سالوں میں پاکٹ گوفرز کی سوراخ کرنے کی سرگرمیوں سے پیدا ہوتے دکھائی دیتے ہیں، جبکہ نمیبیا کے نام نہاد پریوں کے حلقے ریت کے دیمک کے مسابقتی گروہوں کے تعامل کے ساتھ ساتھ صحرا کے پودوں کے درمیان پانی کے مقابلے سے پیدا ہوتے دکھائی دیتے ہیں۔ سالانہ منجمد اور پگھلنے کے تابع ایک فعال اوپری پرت والی پیرما فراسٹ مٹی میں، نمونوں والی زمین بن سکتی ہے، جس سے حلقے، جال، آئس ویج پولیگن، سیڑھیاں اور پٹیاں بن سکتی ہیں۔ تھرمل سنکچن سکڑنے والی دراڑیں بننے کا سبب بنتا ہے۔ پگھلنے میں، پانی دراڑوں کو بھر دیتا ہے، اگلے منجمد ہونے پر برف بنانے کے لیے پھیلتا ہے، اور دراڑوں کو پٹریوں میں چوڑا کرتا ہے۔ یہ دراڑیں مل کر کثیر الاضحی اور دیگر شکلیں بن سکتی ہیں۔ ریڑھ کی ہڈی والے دماغوں پر تیار ہونے والا بکھرا ہوا نمونہ دو ہندسی پیرامیٹرز پر منحصر محدود توسیع کے جسمانی عمل کی وجہ سے ہوتا ہے: رشتہ دار ٹینجینشیل کورٹیکل توسیع اور پرانتستا کی رشتہ دار موٹائی۔ گیری (چوٹیوں) اور سلکی (گرت) کے اسی طرح کے نمونوں کا مظاہرہ دماغ کے نمونوں میں ہموار، پرتوں والے جیل سے شروع ہوتا ہے، جس میں ایک سالوینٹ کے اضافے کے بعد بیرونی پرت (پرانتستا کی نمائندگی کرنے والی) کی توسیع کے نتیجے میں کمپریسیو مکینیکل قوتوں کی وجہ سے نمونوں کا مظاہرہ کیا گیا ہے۔ کمپیوٹر کے تخروپن میں عددی ماڈل قدرتی اور تجرباتی مشاہدات کی حمایت کرتے ہیں کہ بڑے دماغوں میں سطح کے فولڈنگ کے نمونوں میں اضافہ ہوتا ہے۔ ترقیاتی حیاتیات ابھرتی ہوئی پودوں کی ارتقاء کی تاریخ ریاضی اور آرٹ مورفوجینیسیس پیٹرن کی تشکیل ویڈمینسٹاٹن پیٹرن حوالہ جات فوٹنوٹس حوالہ جات کتابیات کے علمبردار مصنفین فبونیکی، لیونارڈو بھی دیکھیں۔ لبیر اباچی، 1202۔ سگلر، لارنس ای فبونیکی کی لبیر اباچی نے ترجمہ کیا۔ سپرنگر، 2002۔ ہیکل، ارنسٹ۔ کنسٹفارمین ڈیر نیچور (آرٹ فارمز ان نیچر)، 1899-1904۔ تھامسن، ڈی آرسی وینٹ ورتھ۔ ترقی اور شکل پر۔ کیمبرج، 1917۔ جنرل کتابیں ایڈم، جان اے۔ فطرت میں ریاضی: قدرتی دنیا میں نمونوں کی ماڈلنگ۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس، 2006۔ بال، فلپ۔ فطرت میں نمونے۔ شکاگو، 2016۔ مرفی، پیٹ اور نیل، ولیم۔ فطرت کے ڈیزائن کے مطابق۔ کرانیکل بکس، 1993۔ فطرت کے نمونے (بطور فن) ایڈمیئر، برنارڈ۔ زمین کے نمونے۔ فائیڈن پریس، 2007۔ میکناب، میگی۔ فطرت کے ذریعہ ڈیزائن: ڈیزائن میں عالمگیر شکلوں اور اصولوں کا استعمال۔ نیو رائیڈرز، 2012۔ ناکامورا، شگیکی۔ پیٹرن سورس بک: 250 پیٹرن فطرت سے متاثر۔ کتابیں 1 اور 2۔ راکپورٹ، 2009۔ او نیل، پولی۔ سطحیں اور بناوٹ: ایک بصری ماخذ کتاب۔ بلیک، 2008۔ پورٹر، ایلیٹ، اور گلک، جیمز۔ قدرت کی افراتفری۔ وائکنگ پینگوئن، 1990۔ بیرونی روابط فبونیکی نمبرز اور گولڈن سیکشن فائیلوٹیکسس: پلانٹ پیٹرن فارمیشن کے ریاضیاتی مطالعہ کے لیے ایک انٹرایکٹو سائٹ اطلاقی ریاضی سائنس کی تاریخ فطرت پیٹرن فارمیشن پیٹرن تفریحی ریاضی