Cremona–Richmond configuration
ریاضی میں، کریمونا-رچمنڈ ترتیب 15 لائنوں اور 15 پوائنٹس کی ترتیب ہے، جس میں ہر لائن پر 3 پوائنٹس اور ہر پوائنٹ کے ذریعے 3 لائنیں ہوتی ہیں، اور اس میں کوئی مثلث نہیں ہوتا ہے۔ اس کا مطالعہ اور نے کیا تھا۔ یہ پیرامیٹرز (2,2) کے ساتھ ایک عمومی کواڈرینگل ہے۔ اس کا لیوی گراف ٹوٹے کوکسیٹر گراف ہے۔ سمیٹری کریمونا-رچمنڈ ترتیب کے نکات کی شناخت چھ عناصر کے سیٹ کے عناصر کے غیر ترتیب شدہ جوڑوں سے کی جا سکتی ہے۔ ان جوڑوں کو ڈوڈس کہا جاتا ہے۔ اسی طرح، ترتیب کی لکیروں کی شناخت ان ہی چھ عناصر کو تین جوڑوں میں تقسیم کرنے کے 15 طریقوں سے کی جا سکتی ہے۔ ان پارٹیشنوں کو سنتھم کہا جاتا ہے۔ اس طرح سے شناخت شدہ، ترتیب کا ایک نقطہ ترتیب کی لکیر سے منسلک ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب نقطہ سے مطابقت رکھنے والا ڈوڈ لائن سے مطابقت رکھنے والے سنتھیم کے تین جوڑوں میں سے ایک ہو۔ ڈوڈس اور سنتھیمز کے اس نظام میں موجود چھ عناصر کی تمام تغیرات کا سمیٹرک گروپ کریمونا-رچمنڈ ترتیب کے سمیٹری گروپ کے طور پر کام کرتا ہے، اور ترتیب کا آٹومورفزم گروپ دیتا ہے۔ ترتیب کے ہر جھنڈے (ایک واقع پوائنٹ لائن جوڑی) کو اس گروپ میں ہم آہنگی کے ذریعے ہر دوسرے جھنڈے پر لے جایا جا سکتا ہے۔ کریمونا-رچمنڈ ترتیب خود دوہری ہے: ترتیب کے تمام واقعات کو محفوظ رکھتے ہوئے لائنوں کے لیے پوائنٹس کا تبادلہ ممکن ہے۔ یہ دوہری پن ٹوٹے-کوکسٹر گراف کو کریمونا-رچمنڈ ترتیب سے آگے اضافی ہم آہنگی فراہم کرتا ہے، جو اس کی دو طرفہ تقسیم کے دونوں اطراف کو تبدیل کرتا ہے۔ یہ ہم آہنگی چھ عناصر پر ہم آہنگی گروپ کے بیرونی آٹومورفزم سے مطابقت رکھتی ہیں۔ احساس چار جہتی خلا میں عمومی پوزیشن میں کوئی بھی چھ نکات 15 نکات کا تعین کرتے ہیں جہاں دو نکات میں سے ایک لکیر ہائپرپلین کو دوسرے چار نکات سے کاٹتی ہے۔ اس طرح، چھ نکات کے ڈوڈس ان 15 اخذ شدہ نکات کے ساتھ ایک ایک سے مطابقت رکھتے ہیں۔ کوئی بھی تین ڈواڈ جو مل کر ایک سنتھم بناتے ہیں ایک لکیر کا تعین کرتے ہیں، تین ہائپرپلین کی چوراہے کی لکیر جس میں سنتھم میں تین میں سے دو ڈواڈ ہوتے ہیں، اور یہ لکیر اس کے تین ڈواڈ سے حاصل کردہ ہر ایک پوائنٹ پر مشتمل ہوتی ہے۔ اس طرح، تجریدی ترتیب کے ڈوڈس اور سنتھیمز واقعات کو محفوظ رکھنے کے انداز میں، اصل چھ نکات سے اخذ کردہ ان 15 نکات اور 15 لائنوں کے ساتھ، ایک ایک کے لیے مطابقت رکھتے ہیں، جو ترتیب کا احساس بناتے ہیں۔ اسی احساس کو یوکلڈین خلا یا یوکلڈین سطح میں پیش کیا جا سکتا ہے۔ کریمونا-رچمنڈ ترتیب میں ترتیب پانچ چکور ہم آہنگی کے ساتھ سطح میں احساسات کا ایک پیرامیٹر خاندان بھی ہے۔ تاریخ نے کیوبک سطحوں کو پایا جس میں 15 حقیقی لائنوں کے سیٹ (کیوبک پر تمام 27 لائنوں کے سیٹ میں شلافلی ڈبل سکس کی تکمیل) اور 15 ٹینجینٹ طیارے ہیں، جن میں ہر طیارے میں تین لائنیں اور ہر لائن کے ذریعے تین طیارے ہیں۔ ان لائنوں اور طیاروں کو دوسرے طیارہ سے الگ کرنے کے نتیجے میں 153153 کی تشکیل ہوتی ہے۔ شلافلی کی لکیروں اور طیاروں کے مخصوص واقعات کے نمونے کو بعد میں شلافلی نے شائع کیا۔ یہ مشاہدہ کہ نتیجے میں تشکیل میں کوئی مثلث نہیں ہے، کے ذریعہ بنایا گیا تھا، اور اسی ترتیب کے کام میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ خود درج شدہ کثیر الاضحی کے طور پر ترتیب کی تفصیل ملی۔ ایچ ایف بیکر نے اس ترتیب کے چار جہتی احساس کو اپنی 1922-1925 نصابی کتاب، اصول ہندسہ کے دو جلدوں کے لیے فرنٹ پیس کے طور پر استعمال کیا۔ اسی ترتیب کو دوبارہ دریافت کیا، اور آرڈر فائیو سائیکلک سمیٹری کے ساتھ اس کا احساس پایا۔ ترتیب کا نام اس کے مطالعے سے آتا ہے اور ؛ شاید اس کے کام میں کچھ غلطیوں کی وجہ سے، مارٹینیٹی کی ہم عصر شراکت مبہم ہو گئی۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ ۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ جیسا کہ حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ بیرونی روابط امیج آف کریمونا-رچمنڈ کنفیگریشن امیج آف کریمونا-رچمنڈ کنفیگریشن کنفیگریشن (جیومیٹری)