Boundary particle method
اطلاقی ریاضی میں، باؤنڈری پارٹیکل میتھڈ (بی پی ایم) ایک باؤنڈری-اونلی میش لیس (میش فری) کولیکیشن تکنیک ہے، اس معنی میں کہ غیر یکساں جزوی تفریقی مساوات کے عددی حل میں اندرونی نوڈس میں سے کسی کی ضرورت نہیں ہے۔ عددی تجربات سے پتہ چلتا ہے کہ بی پی ایم میں سپیکٹرم کنورجنس ہے۔ اس کا انٹرپولیشن میٹرکس سمیٹرک ہو سکتا ہے۔ تاریخ اور حالیہ پیش رفت حالیہ دہائیوں میں، دوہری باہمی طریقہ (ڈی آر ایم) اور ایک سے زیادہ باہمی طریقہ (ایم آر ایم) باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن تکنیک، جیسے باؤنڈری عنصر طریقہ (بی ای ایم) کے ساتھ مل کر غیر یکساں جزوی تفریقی مساوات کے مخصوص حل کا اندازہ کرنے کے لیے امید افزا تکنیکوں کے طور پر ابھر رہے ہیں۔ مثال کے طور پر، نام نہاد ڈی آر-بی ای ایم اور ایم آر-بی ای ایم غیر یکساں مسائل کے عددی حل میں مقبول بی ای ایم تکنیک ہیں۔ ڈی آر ایم مخصوص حل کا اندازہ کرنے کا ایک عام طریقہ بن گیا ہے۔ تاہم، ڈی آر ایم کو کنورجنس اور استحکام کی ضمانت کے لیے اندرونی نوڈس کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایم آر ایم کا ڈی آر ایم پر ایک فائدہ ہے کہ اسے غیر یکساں مسائل کے لیے اندرونی نوڈس کے استعمال کی ضرورت نہیں ہے۔ ڈی آر ایم کے مقابلے میں، ایم آر ایم انٹرپولیشن میٹرکس کی تعمیر میں کمپیوٹیشنل طور پر زیادہ مہنگا ہے اور خاتمے کے عمل میں ہائی آرڈر لیپلاسیئن آپریٹرز کے روایتی استعمال کی وجہ سے عام غیر یکساں مسائل پر اس کا اطلاق محدود ہے۔ مذکورہ بالا مسائل پر قابو پانے کے لیے ریکرسو کمپوزٹ ملٹی پل ریسیکروپیٹی طریقہ (آر سی-ایم آر ایم) تجویز کیا گیا تھا۔ آر سی-ایم آر ایم کا کلیدی خیال یہ ہے کہ گورننگ مساوات میں متعدد غیر یکساں اصطلاحات کو ختم کرنے کے لیے ہائی آرڈر لیپلاسیئن آپریٹرز کے بجائے ہائی آرڈر کمپوزٹ ڈفریٚنشل آپریٹرز کو ملازمت دی جائے۔ آر سی-ایم آر ایم کمپیوٹیشنل لاگت کو کم کرنے کے لیے ایم آر ایم انٹرپولیشن میٹرکس کے تکراری ڈھانچے کا استعمال کرتا ہے۔ باؤنڈری پارٹیکل میتھڈ (بی پی ایم) آر سی-ایم آر ایم کو مضبوط شکل کے میش لیس باؤنڈری کولاکیشن ڈسکریٹائزیشن اسکیموں، جیسے کہ بنیادی حل کا طریقہ (ایم ایف ایس)، باؤنڈری ناٹ میتھڈ (بی کے ایم)، ریگولرائزڈ میش لیس میتھڈ (آر ایم ایم)، سنگل باؤنڈری میتھڈ (ایس بی ایم)، اور ٹریفٹز میتھڈ (ٹی ایم) کے ساتھ جوڑ کر ایک غیر یکساں جزوی تفریقی مساوات کی صرف باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن ہے۔ بی پی ایم کا اطلاق غیر یکساں ہیلم ہولٹز مساوات اور کنویکشن-ڈفیوژن مساوات جیسے مسائل پر کیا گیا ہے۔ بی پی ایم انٹرپولیشن کی نمائندگی ویولیٹ سیریز کی ہوتی ہے۔ ہیلم ہولٹز، پوسن اور پلیٹ موڑنے کے مسائل پر بی پی ایم کے اطلاق کے لیے، ہائی آرڈر بنیادی حل یا عمومی حل، ہارمونک فنکشن یا ٹریفٹز فنکشن (ٹی مکمل افعال) اکثر استعمال کیے جاتے ہیں، مثال کے طور پر، برجر، ونکلر، اور کمپن والی پتلی پلیٹ کی مساوات۔ یہ طریقہ پوسن اور غیر یکساں ہیلم ہولٹز مساوات سے وابستہ الٹا کاچی مسئلہ پر لاگو کیا گیا ہے۔ مزید تبصرے بی پی ایم کو پیچیدہ ماخذ افعال والے مسائل کے حل میں دشواری کا سامنا کرنا پڑ سکتا ہے، جیسے کہ غیر ہموار، بڑے میلان والے افعال، یا مجرد پیمائش شدہ ڈیٹا کا ایک مجموعہ۔ اس طرح کے مسائل کے حل میں شامل ہیں: (1) پیچیدہ افعال یا مجرد پیمائش شدہ ڈیٹا کے ایک سیٹ کو کثیر یا مثلثی فنکشن سیریز کے مجموعے سے انٹرپولیٹ کیا جا سکتا ہے۔ پھر، آر سی-ایم آر ایم غیر یکساں مساوات کو ہائی آرڈر یکساں مساوات میں کم کر سکتا ہے، اور بی پی ایم کو صرف باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن کے ساتھ ان مسائل کو حل کرنے کے لیے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ (2) ڈومین سڑنا بی پی ایم باؤنڈری میں صرف بڑے گریڈینٹ سورس افعال کے مسائل کے حل کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ میش فری طریقہ ریڈیل بیس فنکشن باؤنڈری عنصر طریقہ ٹریفٹز طریقہ بنیادی حل کا طریقہ باؤنڈری ناٹ طریقہ سنگلر باؤنڈری طریقہ حوالہ جات بیرونی روابط باؤنڈری پارٹیکل طریقہ مفت سافٹ ویئر اور میٹ لیب کوڈز ونکر پلیٹ موڑنے کا تجزیہ بی پی ایم ٹول باکس الٹا کاچی مسائل کے لیے عددی تجزیہ عددی تفریق مساوات