Cubic equations of state
حالت کی کیوبک مساوات تھرموڈینامک ماڈلز کی ایک مخصوص کلاس ہیں جو گیس کے دباؤ کو درجہ حرارت اور کثافت کی تقریب کے طور پر ماڈلنگ کرنے کے لیے ہوتی ہیں اور جنہیں مولر حجم کے کیوبک فنکشن کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔ حالت کی مساوات کا اطلاق عام طور پر فزیکل کیمسٹری اور کیمیائی انجینئرنگ کے شعبوں میں کیا جاتا ہے، خاص طور پر بخارات-مائع توازن اور کیمیائی انجینئرنگ کے عمل کے ڈیزائن کے ماڈلنگ میں۔ وان ڈیر والس کی حالت کی مساوات وان ڈیر والس کی حالت کی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ مطلق درجہ حرارت کہاں ہے، دباؤ ہے، مولر حجم ہے اور عالمگیر گیس مستقل ہے۔ نوٹ کریں کہ، حجم کہاں ہے، اور، مولز کی تعداد کہاں ہے، ذرات کی تعداد ہے، اور ایوگاڈرو مستقل ہے۔ یہ تعریفیں نیچے دی گئی حالت کی تمام مساوات پر بھی لاگو ہوتی ہیں۔ مادہ کے مخصوص مستقلات اور کا حساب تنقیدی خصوصیات سے کیا جا سکتا ہے اور (یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ نازک نقطہ پر مولر کا حجم ہے اور نازک دباؤ ہے) جیسا کہ: افعال کے طور پر لکھے جانے کے لیے تاثرات بھی حاصل کیے جا سکتے ہیں اور اکثر مساوات کو پیرامیٹرائز کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں کیونکہ نازک درجہ حرارت اور دباؤ تجربے کے لیے آسانی سے قابل رسائی ہوتے ہیں۔ وہ 1873 میں تجویز کیے گئے ہیں، ریاست کی وین ڈیر والز مساوات مثالی گیس کے قانون سے نمایاں طور پر بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرنے والی پہلی چیزوں میں سے ایک تھی۔ اس تاریخی مساوات میں کشش پیرامیٹر اور پسپائی پیرامیٹر یا موثر سالماتی حجم کہا جاتا ہے۔ اگرچہ مساوات یقینی طور پر مثالی گیس کے قانون سے بہتر ہے اور مائع مرحلے کی تشکیل کی پیش گوئی کرتی ہے، تجرباتی اعداد و شمار کے ساتھ معاہدہ ان حالات کے لیے محدود ہے جہاں مائع بنتا ہے۔ اگرچہ وین ڈیر والس مساوات کا حوالہ عام طور پر تاریخی وجوہات کی بناء پر نصابی کتابوں اور کاغذات میں دیا جاتا ہے، لیکن اب یہ متروک ہے۔ صرف قدرے زیادہ پیچیدگی کی دیگر جدید مساوات بہت زیادہ درست ہیں۔ وین ڈیر والز مساوات کو مثالی گیس کے قانون کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جو مساوات میں دو غیر مثالی شراکتوں کو شامل کرنے کی وجہ سے "بہتر" ہے۔ مثالی گیس مساوات کے مقابلے میں وین ڈیر والز مساوات پر غور کریں۔ وین ڈیر والز مساوات کی شکل کو مندرجہ ذیل طریقے سے متحرک کیا جا سکتا ہے: مالیکیولز کو ایسے ذرات کے طور پر سمجھا جاتا ہے جو ایک محدود حجم پر قابض ہوتے ہیں۔ اس طرح جسمانی حجم کسی بھی لمحے تمام مالیکیولز کے لیے قابل رسائی نہیں ہوتا ہے، جو پوائنٹ پارٹیکلز کے لیے متوقع دباؤ کے مقابلے میں دباؤ کو قدرے بڑھاتا ہے۔ اس طرح ()، ایک "موثر" مولر حجم، پہلی اصطلاح کے بجائے استعمال کیا جاتا ہے۔ اگرچہ مثالی گیس کے مالیکیول تعامل نہیں کرتے ہیں، لیکن حقیقی مالیکیول پرکشش وین ڈیر والس قوتوں کی نمائش کریں گے اگر وہ کافی حد تک ایک دوسرے کے قریب ہوں۔ کشش قوتیں، جو کثافت کے متناسب ہوتی ہیں، کنٹینر کی دیواروں کے ساتھ مالیکیولز کے تصادم کو روکتی ہیں اور دباؤ کو کم کرتی ہیں۔ اس طرح متاثر ہونے والے تصادم کی تعداد بھی کثافت کے متناسب ہوتی ہے۔ اس طرح، دباؤ کو مربع مولر حجم کے متناسب، یا الٹا متناسب مقدار سے کم کیا جاتا ہے۔ کم شدہ ریاستی متغیرات کے ساتھ، یعنی۔ ، اور، وین ڈیر والز مساوات کی کم شدہ شکل کو وضع کیا جا سکتا ہے: اس شکل کا فائدہ یہ ہے کہ دی گئی اور، مائع اور گیس کے کم شدہ حجم کا حساب براہ راست کارڈانو کے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے کم شدہ مکعب شکل کے لیے کیا جا سکتا ہے: اور کے لیے، نظام بخارات-مائع توازن کی حالت میں ہے۔ اس صورت حال میں، حالت کی کم شدہ کیوبک مساوات سے 3 حل نکلتے ہیں۔ سب سے بڑا اور سب سے کم حل گیس اور مائع کا کم حجم ہے۔ اس صورت حال میں، میکسویل کی تعمیر کو بعض اوقات مولر حجم کے فنکشن کے طور پر دباؤ کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ کمپریسبلٹی فیکٹر اکثر غیر مثالی رویے کی خصوصیت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ کم شدہ شکل میں وین ڈیر والز مساوات کے لیے، یہ اہم نقطہ پر بن جاتا ہے۔ ریاست کی ریڈلیچ-کوونگ مساوات 1949 میں متعارف کرائی گئی، ریاست کی ریڈلیچ-کوونگ مساوات کو وین ڈیر والز مساوات میں ایک قابل ذکر بہتری سمجھا جاتا تھا۔ یہ اب بھی بنیادی طور پر اپنی نسبتا سادہ شکل کی وجہ سے دلچسپی کا باعث ہے۔ اگرچہ کچھ معاملات میں وین ڈیر والز مساوات سے بہتر ہے، لیکن یہ مائع مرحلے کے حوالے سے ناقص کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے اور اس طرح بخارات-مائع توازن کا درست حساب لگانے کے لیے استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ تاہم، اسے اس مقصد کے لیے علیحدہ مائع مرحلے کے ارتباط کے ساتھ مل کر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مساوات ذیل میں دی گئی ہے، جیسا کہ اس کے پیرامیٹرز اور تنقیدی مستقلات کے درمیان تعلقات ہیں: ریڈلیچ-کوونگ مساوات کی ایک اور مساوی شکل ماڈل کے کمپریسبلٹی فیکٹر کا اظہار ہے: ریڈلیچ-کوونگ مساوات گیس مرحلے کی خصوصیات کے حساب کے لیے کافی ہے جب کم دباؤ (پچھلے حصے میں بیان کیا گیا ہے) کم درجہ حرارت کے تناسب کے تقریبا نصف سے کم ہوتا ہے، ریڈلیچ-کوونگ مساوات متعلقہ ریاستوں کے نظریہ سے مطابقت رکھتی ہے۔ جب مساوات کا اظہار کم شدہ شکل میں کیا جاتا ہے، تو تمام گیسوں کے لیے ایک جیسی مساوات حاصل کی جاتی ہے: جہاں: اس کے علاوہ، اہم نقطہ پر کمپریسبلٹی فیکٹر ہر مادہ کے لیے یکساں ہوتا ہے: یہ اہم کمپریسبلٹی فیکٹر کی وین ڈیر والز مساوات کی پیش گوئی میں بہتری ہے، جو کہ ہے۔ عام تجرباتی اقدار (کاربن ڈائی آکسائیڈ)، (پانی)، اور (نائٹروجن) ہیں۔ ریڈلیچ-کوونگ کی سووی ترمیم ریڈلیچ-کوونگ مساوات کی ایک ترمیم شدہ شکل سووی نے تجویز کی تھی۔ یہ وہ شکل اختیار کرتا ہے جہاں پرجاتیوں کے لیے ω ایکسینٹرک عنصر ہے۔ مندرجہ بالا کی تشکیل دراصل گرابوسکی اور ڈوبرٹ کی وجہ سے ہے۔ سووی سے اصل تشکیل یہ ہے: ہائیڈروجن کے لیے: کم شدہ شکل میں متغیرات اور نازک نقطہ پر کمپریسبلٹی فیکٹر کو تبدیل کرنے سے ہم اس طرح حاصل کرتے ہیں جو اس کی طرف لے جاتا ہے۔ اس طرح، کم شدہ شکل میں سووی-ریڈلیچ-کوونگ مساوات کا انحصار صرف ω اور مادہ پر ہوتا ہے، جو کہ VdW اور RK مساوات دونوں کے برعکس ہے جو متعلقہ حالتوں کے نظریہ سے مطابقت رکھتے ہیں اور کم شدہ شکل تمام مادوں کے لیے ایک ہے: ہم اسے کثیر الجہتی شکل میں بھی لکھ سکتے ہیں، جس کے ساتھ: کمپریسبلٹی فیکٹر کے لحاظ سے، ہمارے پاس: اس مساوات کی تین جڑیں ہو سکتی ہیں۔ کیوبک مساوات کی زیادہ سے زیادہ جڑ عام طور پر بخارات کی حالت سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ کم سے کم جڑ مائع حالت کے لیے ہوتی ہے۔ حساب میں کیوبک مساوات کا استعمال کرتے وقت اسے ذہن میں رکھنا چاہیے، مثال کے طور پر بخارات-مائع توازن کی۔ 1972 میں جی۔ سووی نے ریڈلیچ-کوونگ مساوات کی اصطلاح کو ایک فنکشن α (T، ω) سے تبدیل کر دیا جس میں درجہ حرارت اور ایکسینٹرک عنصر شامل ہے (اس کے نتیجے میں بننے والی مساوات کو سووی-ریڈلیچ-کوونگ مساوات آف اسٹیٹ ؛ ایس آر کے ای او ایس کے نام سے بھی جانا جاتا ہے)۔ α فنکشن ہائیڈرو کاربن کے بخارات کے دباؤ کے اعداد و شمار کو فٹ کرنے کے لیے وضع کیا گیا تھا اور مساوات ان مادوں کے لیے کافی اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتی ہے۔ خاص طور پر نوٹ کریں کہ یہ تبدیلی قدرے کی تعریف کو تبدیل کرتی ہے، جیسا کہ اب دوسری طاقت پر ہے۔ پینیلوکس اور دیگر کا حجم ترجمہ۔ (1982) ایس آر کے ای او ایس کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ ایس آر کے ای او ایس سیکشن میں ایس آر کے ای او ایس کے کہاں اور دیگر حصوں کی وضاحت کی گئی ہے۔ ایس آر کے ای او ایس، اور دیگر کیوبک ای او ایس کا ایک منفی پہلو یہ ہے کہ مائع مولر کا حجم گیس مولر کے حجم سے نمایاں طور پر کم درست ہے۔ Peneloux et alios (1982) نے حجم کا ترجمہ متعارف کروا کر اس کے لیے ایک سادہ اصلاح کی تجویز پیش کی جہاں ایک اضافی سیال جزو پیرامیٹر ہے جو مولر حجم کا قدرے ترجمہ کرتا ہے۔ ای او ایس کی مائع شاخ پر، مولر کے حجم میں ایک چھوٹی سی تبدیلی دباؤ میں بڑی تبدیلی سے مطابقت رکھتی ہے۔ ای او ایس کی گیس شاخ پر، مولر کے حجم میں ایک چھوٹی سی تبدیلی مائع شاخ کے مقابلے میں دباؤ میں بہت کم تبدیلی سے مطابقت رکھتی ہے۔ اس طرح مولر گیس کے حجم میں خلل کم ہوتا ہے۔ بدقسمتی سے، سائنس اور صنعت میں دو ورژن پائے جاتے ہیں۔ پہلے ورژن میں صرف ترجمہ کیا جاتا ہے، اور ای او ایس دوسرے ورژن میں بن جاتا ہے اور دونوں کا ترجمہ کیا جاتا ہے، یا ترجمہ کے بعد جامع پیرامیٹر کا نام تبدیل کیا جاتا ہے۔ یہ دیتا ہے سیال کے مرکب کے سی-پیرامیٹر کا حساب پٹرولیم گیس اور تیل میں انفرادی سیال اجزاء کے سی-پیرامیٹر کا تخمینہ اس ارتباط سے لگایا جا سکتا ہے جہاں ریکٹ کمپریسبلٹی فیکٹر کا تخمینہ پینیلوکس اور دیگر کے حجم ترجمہ کے طریقہ کار کے ساتھ ایک اچھی خصوصیت سے لگایا جا سکتا ہے۔ (1982) یہ ہے کہ یہ بخارات-مائع توازن کے حساب کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ حجم ترجمہ کا یہ طریقہ دیگر کیوبک ای او ایس پر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے اگر سی-پیرامیٹر ارتباط کو منتخب ای او ایس سے ملنے کے لیے ایڈجسٹ کیا جائے۔ ریاست کی پینگ رابنسن مساوات ریاست کی پینگ رابنسن مساوات (پی آر ای او ایس) 1976 میں البرٹا یونیورسٹی میں ڈنگ یو پینگ اور ڈونلڈ رابنسن نے مندرجہ ذیل اہداف کو پورا کرنے کے لیے تیار کی تھی: اہم خصوصیات اور تیز عنصر کے لحاظ سے پیرامیٹرز کا اظہار ہونا چاہیے۔ ماڈل کو اہم نقطہ کے قریب معقول درستگی فراہم کرنی چاہیے، خاص طور پر کمپریسبلٹی فیکٹر اور مائع کثافت کے حساب کے لیے۔ اختلاط کے قوانین میں ایک سے زیادہ بائنری تعامل پیرامیٹر کا استعمال نہیں ہونا چاہیے، جو درجہ حرارت، دباؤ اور ساخت سے آزاد ہونا چاہیے۔ یہ مساوات قدرتی گیس کے عمل میں تمام سیال خصوصیات کے تمام حسابات پر لاگو ہونی چاہیے۔ مساوات اس طرح دی گئی ہے: کثیر الجہتی شکل میں: زیادہ تر حصے کے لیے پینگ-رابنسن مساوات سووی مساوات کی طرح کارکردگی کا مظاہرہ کرتی ہے، حالانکہ یہ عام طور پر بہت سے مادوں، خاص طور پر غیر قطبی مادوں کی مائع کثافت کی پیش گوئی کرنے میں بہتر ہے۔ پینگ-رابنسن مساوات کے روانگی کے افعال ایک علیحدہ مضمون پر دیئے گئے ہیں۔ اس کی خصوصیت کے مستقلات کی تجزیاتی اقدار یہ ہیں: حالت پی آر ایس وی 1 کی پینگ-رابنسن-اسٹریجیک-ویرا مساوات 1986 میں اسٹریجیک اور ویرا (پی آر ایس وی) کے ذریعہ شائع کردہ حالت کی پینگ-رابنسن مساوات میں کشش کی اصطلاح میں ترمیم نے ایک سایڈست خالص جزو پیرامیٹر متعارف کروا کر اور ایسینٹرک فیکٹر کے کثیر الجہتی فٹ میں ترمیم کرکے ماڈل کی درستگی کو نمایاں طور پر بہتر بنایا۔ ترمیم یہ ہے: جہاں ایک سایڈست خالص جزو پیرامیٹر ہے۔ اسٹریجیک اور ویرا نے اپنے اصل جریدے کے مضمون میں صنعتی دلچسپی کے بہت سے مرکبات کے لیے خالص اجزاء کے پیرامیٹرز شائع کیے۔ 0. 7 سے اوپر کے کم درجہ حرارت پر، وہ سیٹ کرنے اور صرف استعمال کرنے کی سفارش کرتے ہیں۔ الکحل اور پانی کے لیے کی قدر کو نازک درجہ حرارت تک استعمال کیا جا سکتا ہے اور زیادہ درجہ حرارت پر صفر مقرر کیا جا سکتا ہے۔ پی آر ایس وی 2 1986 میں شائع ہونے والی ایک بعد کی ترمیم (پی آر ایس وی 2) نے پچھلی کشش کی اصطلاح میں ترمیم کے لیے دو اضافی خالص اجزاء کے پیرامیٹرز متعارف کروا کر ماڈل کی درستگی کو مزید بہتر بنایا۔ ترمیم یہ ہے: کہاں،، اور سایڈست خالص اجزاء کے پیرامیٹرز ہیں۔ پی آر ایس وی 2 خاص طور پر وی ایل ای حساب کے لیے فائدہ مند ہے۔ اگرچہ پی آر ایس وی 1 تھرموڈینامک رویے کو بیان کرنے کے لیے پینگ-رابنسن ماڈل کے مقابلے میں ایک فائدہ پیش کرتا ہے، لیکن یہ اب بھی عام طور پر مرحلے کے توازن کے حسابات کے لیے کافی درست نہیں ہے۔ مرحلے کے توازن کے حساب کے طریقوں کا انتہائی غیر لکیری طرز عمل اس کو بڑھاتا ہے جو بصورت دیگر قابل قبول چھوٹی غلطیاں ہوں گی۔ لہذا یہ سفارش کی جاتی ہے کہ پی آر ایس وی 2 کو توازن کے حساب کے لیے استعمال کیا جائے جب ان ماڈلز کو کسی ڈیزائن پر لاگو کیا جائے۔ تاہم، ایک بار توازن کی حالت کا تعین ہو جانے کے بعد، توازن میں مرحلے کی مخصوص تھرموڈینامک اقدار کا تعین معقول حد تک درستگی کے ساتھ کئی آسان ماڈلز میں سے کسی ایک کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ ایک بات قابل توجہ ہے کہ پی آر ایس وی مساوات میں، پیرامیٹر فٹ ایک مخصوص درجہ حرارت کی حد میں کیا جاتا ہے جو عام طور پر اہم درجہ حرارت سے نیچے ہوتا ہے۔ نازک درجہ حرارت سے اوپر، پی آر ایس وی الفا فنکشن 0 کی طرف جھکاؤ کے بجائے الگ ہو جاتا ہے اور من مانی طور پر بڑا ہو جاتا ہے۔ اس کی وجہ سے، الفا کے لیے متبادل مساوات کو اہم نقطہ سے اوپر استعمال کیا جانا چاہیے۔ یہ ہائیڈروجن پر مشتمل نظاموں کے لیے خاص طور پر اہم ہے جو اکثر اپنے اہم مقام سے بہت زیادہ درجہ حرارت پر پایا جاتا ہے۔ کئی متبادل فارمولیشنز تجویز کی گئی ہیں۔ کچھ معروف توو اور دیگر کے ہیں۔ اور میتھیاس اور کوپی مین کی طرف سے۔ حالت کی پینگ-رابنسن-بابالولا مساوات (پی آر بی) بابالولا نے حالت کی پینگ-رابنسن مساوات کو اس طرح تبدیل کیا: پرکشش قوت پیرامیٹر 'a' کو حالت کی پینگ-رابنسن مساوات میں دباؤ کے حوالے سے مستقل سمجھا جاتا تھا۔ ترمیم، جس میں پیرامیٹر 'اے' کو ملٹی کمپونینٹ ملٹی فیز ہائی ڈینسٹی ریزروائر سسٹم کے دباؤ کے حوالے سے متغیر کے طور پر سمجھا گیا تھا، پی وی ٹی ماڈلنگ کے لیے پیچیدہ ریزروائر سیالوں کی خصوصیات کی پیش گوئی میں درستگی کو بہتر بنانا تھا۔ تغیر کو ایک لکیری مساوات کے ساتھ پیش کیا گیا جہاں a1 اور a2 سیدھی لکیر کی بالترتیب ڈھلوان اور مداخلت کی نمائندگی کرتے ہیں جب پیرامیٹر 'a' کی اقدار کو دباؤ کے خلاف پلاٹ کیا جاتا ہے۔ یہ ترمیم خاص طور پر ہائی پریشر کی حدود (> 30 ایم پی اے) پر بھاری سیالوں کے لیے حالت کی پینگ-رابنسن مساوات کی درستگی میں اضافہ کرتی ہے اور حالت کی اصل پینگ-رابنسن مساوات کو ٹیون کرنے کی ضرورت کو ختم کرتی ہے۔ ایلیٹ-سریش-ڈونوہو مساوات ریاست کی ایلیٹ-سریش-ڈونوہو (ای ایس ڈی) مساوات 1990 میں تجویز کی گئی تھی۔ یہ مساوات پینگ-رابنسن ای او ایس میں ایک خامی کو درست کرنے کی کوشش کرتی ہے جس میں وین ڈیر والس کی ناگوار اصطلاح میں غلطی تھی۔ ای او ایس کسی بھی مالیکیول کی شکل کے اثر کا سبب بنتا ہے اور اسے اہم خصوصیات (جیسا کہ یہاں دکھایا گیا ہے) کا استعمال کرنے کے بجائے سالوبلٹی پیرامیٹر اور مائع حجم کے لحاظ سے نمایاں مالیکیولر پیرامیٹرز والے پولیمر تک براہ راست بڑھایا جا سکتا ہے۔ ای او ایس خود کمپیوٹر سیمولیشن کے ساتھ موازنہ کے ذریعے تیار کیا گیا تھا اور اسے سائز، شکل اور ہائیڈروجن بانڈنگ کی ضروری طبیعیات پر قبضہ کرنا چاہیے۔ جہاں: اور ایک "شکل عنصر" ہے، گول مالیکیولز کے لیے۔ غیر کروی مالیکیولز کے لیے، شکل کے عنصر اور سنکی عنصر کے درمیان درج ذیل تعلق تجویز کیا جاتا ہے: کم شدہ تعداد کی کثافت کی تعریف اس طرح کی گئی ہے، جہاں خصوصیت سائز کا پیرامیٹر [cm3/mol] ہے، اور مولر کثافت [mol/cm3] ہے۔ خصوصیت کے سائز کے پیرامیٹر کا تعلق اس جگہ سے ہے جہاں شکل کے پیرامیٹر کشش کی اصطلاح میں ظاہر ہوتے ہیں اور اصطلاح اس کے ذریعہ دی جاتی ہے (اور اس وجہ سے گول مالیکیولز کے لیے 1 کے برابر بھی ہے)۔ جہاں مربع کنویں کی صلاحیت کی گہرائی ہے اور اس کے ذریعہ دی گئی ہے، اور حالت کی مساوات میں مستقل ہیں: کروی مالیکیولز کے لیے (c = 1) کروی مالیکیولز کے لیے (c = 1) کروی مالیکیولز کے لیے (c = 1) ماڈل کو اجزاء اور مرکب کو غیر منسلک اجزاء کے ساتھ جوڑنے تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ تفصیلات جے آر ایلیٹ، جونیئر اور دیگر کے مقالے میں ہیں۔ (1990)۔ اس بات کو نوٹ کرتے ہوئے کہ = 1.900، کو SAFT شکل میں دوبارہ لکھا جا سکتا ہے: اگر ترجیح دی جائے تو "q" کو SAFT اشارے میں "m" سے تبدیل کیا جا سکتا ہے اور ESD EOS لکھا جا سکتا ہے: اس شکل میں، SAFT کا سیگمنٹل نقطہ نظر واضح ہے اور مائیکل ورتھیم کے تمام نتائج براہ راست قابل اطلاق اور نسبتا مختصر ہیں۔ ایس اے ایف ٹی کے سیگمنٹل نقطہ نظر میں، ہر مالیکیول کا تصور اس طرح کیا جاتا ہے کہ وہ اپنے کروی تعاملات کے ساتھ خلا میں تیرتے ہوئے ایم کروی حصوں پر مشتمل ہوتا ہے، لیکن پھر (ایم-1) اصطلاح کے ذریعے ٹینجینٹ سپیئر چین میں بندھن کے لیے درست کیا جاتا ہے۔ جب m ایک عدد نہیں ہوتا ہے، تو اسے محض ٹینجینٹ دائرے کے حصوں کی "موثر" تعداد سمجھا جاتا ہے۔ ورتھیم کے نظریہ میں مساوات کو حل کرنا پیچیدہ ہو سکتا ہے، لیکن آسانیاں ان کے نفاذ کو کم مشکل بنا سکتی ہیں۔ مختصرا، دی گئی کثافت اور درجہ حرارت کا حساب لگانے کے لیے چند اضافی مراحل درکار ہیں۔ مثال کے طور پر، جب ہائیڈروجن بانڈنگ ڈونرز کی تعداد قبولیت کاروں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے، تو ای ایس ڈی مساوات بن جاتی ہے: جہاں: ایوگاڈرو مستقل ہے، اور ذخیرہ شدہ ان پٹ پیرامیٹرز ہیں جو ہائیڈروجن بانڈنگ کے حجم اور توانائی کی نمائندگی کرتے ہیں۔ عام طور پر، اور ذخیرہ کیے جاتے ہیں۔ قبول کرنے والوں کی تعداد ہے (اس مثال کے لیے عطیہ دہندگان کی تعداد کے برابر)۔ مثال کے طور پر، میتھانول اور ایتھنول جیسے الکحل کے لیے = 1۔ = 2 پانی کے لیے۔ = پولی وینیلفینول کے لیے پولیمرائزیشن کی ڈگری۔ لہذا آپ گنتی کے لیے کثافت اور درجہ حرارت کا استعمال کرتے ہیں پھر دیگر مقداروں کا حساب لگانے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ تکنیکی طور پر، ای ایس ڈی مساوات اب کیوبک نہیں ہے جب ایسوسی ایشن کی اصطلاح شامل کی جاتی ہے، لیکن کوئی نمونے متعارف نہیں کیے جاتے ہیں لہذا کثافت میں صرف تین جڑیں ہیں۔ کیوبک-پلس-ایسوسی ایشن ریاست کی کیوبک-پلس-ایسوسی ایشن (سی پی اے) مساوات سووی-ریڈلیچ-کوونگ مساوات کو ایس اے ایف ٹی سے ایسوسی ایشن کی اصطلاح کے ساتھ جوڑتی ہے جو چیپ مین کی توسیع اور مائیکل ورتھیم کی وجہ سے مالیکیولز کو جوڑنے کے نظریہ کی آسانیوں پر مبنی ہے۔ مساوات کی ترقی 1995 میں ایک تحقیقی منصوبے کے طور پر شروع ہوئی جس کی مالی اعانت شیل نے کی تھی، اور 1996 میں شائع ہوئی تھی۔ ایسوسی ایشن کی اصطلاح میں مالیکیولز کا مول فریکشن ہوتا ہے جو سائٹ اے پر بند نہیں ہوتا ہے۔ حالت کی کیوبک-پلس-چین مساوات ریاست کی کیوبک-پلس-چین (سی پی سی) مساوات ریاست کی کلاسیکی کیوبک مساوات کو ایس اے ایف ٹی چین اصطلاح کے ساتھ ہائبرڈائز کرتی ہے۔ زنجیر اصطلاح کا اضافہ ماڈل کو الکین سے لے کر پولیمر تک کے شارٹ چین اور لانگ چین غیر وابستہ اجزاء دونوں کی طبیعیات پر قبضہ کرنے کے قابل بناتا ہے۔ سی پی سی مونومر اصطلاح ایک کلاسیکی کیوبک ای او ایس فارم تک محدود نہیں ہے، اس کے بجائے بہت سی شکلیں ایک ہی فریم ورک کے اندر استعمال کی جا سکتی ہیں۔ ریاست کی کیوبک پلس چین (سی پی سی) مساوات کو کم شدہ بقایا ہیلم ہولٹز توانائی (ایف سی پی سی) کے لحاظ سے لکھا جاتا ہے: جہاں اے آر بقایا ہیلم ہولٹز توانائی ہے، ایم زنجیر کی لمبائی ہے، ریپ اور اے ٹی بالترتیب ریاست کی کیوبک مساوات کی مونومر پسپا اور پرکشش شراکت ہیں۔ سلسلہ کی اصطلاح حالت کی ایس اے ایف ٹی مساوات سے مونومر موتیوں کے بندھن کی شراکت کا سبب بنتی ہے۔ مونومر اصطلاح کے لیے ریڈلیچ-کوونگ (آر کے) کا استعمال کرتے ہوئے، سی پی سی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں اے سالماتی تعامل توانائی کا پیمانہ ہے، بی مشترکہ حجم کا پیمانہ ہے، مول اوسط زنجیر کی لمبائی ہے، جی (β) ریڈیل ڈسٹری بیوشن فنکشن (آر ڈی ایف) ہے جس کا رابطہ میں جائزہ لیا جاتا ہے، اور β کم شدہ حجم ہے۔ پولیمر ماڈل کے لیے استعمال ہونے والے دیگر پیچیدہ ماڈلز کے مقابلے میں سی پی سی ماڈل سادگی اور رفتار کو یکجا کرتا ہے۔ سسکو اور دیگر۔ مختلف اچھی طرح سے متعین اور پولیمر مرکب کو ماڈل کرنے کے لیے حالت کی سی پی سی مساوات کا اطلاق کیا۔ انہوں نے مختلف عوامل کا تجزیہ کیا جن میں بلند دباؤ، درجہ حرارت، سالوینٹ کی اقسام، پولی ڈسپرسٹی وغیرہ شامل ہیں۔ سی پی سی ماڈل تجرباتی ڈیٹا کے ساتھ نتائج کی جانچ کرکے مختلف نظاموں کی ماڈلنگ کرنے کے قابل ثابت ہوا۔ Alajmi et al. بخارات کے دباؤ اور مائع کی کثافت کی پیش گوئیوں کو بڑھانے کے لیے سی پی سی فریم ورک میں مختصر فاصلے تک نرم پسپائی کو شامل کریں۔ انہوں نے مختلف کیمیائی خاندانوں کے 50 سے زیادہ اجزاء کے لیے ایک ڈیٹا بیس فراہم کیا، جن میں این-الکینز، الکینز، برانچڈ الکینز، سائکلو الکینز، بینزین مشتقات، گیسیں وغیرہ شامل ہیں۔ یہ سی پی سی ورژن مالیکیولز کے درمیان مختصر فاصلے تک نرم پسپائی کو بیان کرنے کے لیے پرٹربیشن تھیوری پر مبنی درجہ حرارت پر منحصر شریک حجم پیرامیٹر کا استعمال کرتا ہے۔ ریاست کے حوالہ جات کے مساوات