Mixtilinear incircles of a triangle
طیارہ جیومیٹری میں، مثلث کا مرکب لکیری اندرونی دائرہ ایک ایسا دائرہ ہے جو اس کے دو اطراف سے متصل ہوتا ہے اور اندرونی طور پر اس کے دائرے سے متصل ہوتا ہے۔ دونوں اطراف پر مشتمل ایک مثلث ٹینجینٹ کے مکس ٹائلینیئر انسرکل کو-مکس ٹائلینیئر انسرکل کہا جاتا ہے۔ ہر مثلث میں تین منفرد مرکب لکیری اندرونی دائرے ہوتے ہیں، جن میں سے ایک ہر سرے سے مطابقت رکھتا ہے۔ وجود اور انفرادیت کا ثبوت مثلث کا دائرہ منفرد ہے۔ آئیے ایک تبدیلی ہو جس کی وضاحت ایک الٹ کی ساخت سے ہوتی ہے جس کا مرکز رداس کے ساتھ ہوتا ہے اور زاویہ بائیسیکٹر کے حوالے سے عکاسی ہوتی ہے۔ چونکہ الٹا اور عکاسی دو طرفہ ہوتے ہیں اور چھونے والے نکات کو محفوظ رکھتے ہیں، اس لیے یہ بھی ہوتا ہے۔ پھر، نیچے کے دائرے کی شبیہہ ایک دائرہ ہے جو اندرونی طور پر اطراف سے متصل ہے اور اس کا دائرہ، یعنی-مرکب اندرونی دائرہ ہے۔ لہذا،-mixtilinear انسرکل موجود ہے اور منفرد ہے، اور اسی طرح کی دلیل اور کے مطابق مکسٹلینیر انسرکلز کے لیے بھی یہی ثابت کر سکتی ہے۔ تعمیر مکسٹلینیئر انسرکل کو درج ذیل مراحل کے ساتھ بنایا جا سکتا ہے۔ دو حصوں والے زاویے کو کاٹ کر انسینٹر کھینچیں۔ لکیر کو لمبا کرتے ہوئے، لکیروں کو چھوتے ہوئے اور بالترتیب پوائنٹس پر ایک لکیر کھینچیں۔ یہ مکس ٹائلینیئر دائرے کے ٹینجینٹ پوائنٹس ہیں۔ پوائنٹس پر اور ان کے ذریعے بالترتیب عمودی کھینچیں، اور انہیں آپس میں کاٹ لیں۔ دائرے کا مرکز ہے، لہذا مرکز اور رداس والا دائرہ مکس ٹیلینئر انسرکل ہے۔ یہ تعمیر مندرجہ ذیل حقیقت کی وجہ سے ممکن ہے: لیما انسینٹر دونوں اطراف کے مکس ٹیلینئر انسرکل کے چھونے والے نکات کا وسط نقطہ ہے۔ ثبوت مثلث کا دائرہ ہونے دیں اور-mixtilinear incircle اور کا ٹینجینسی پوائنٹ ہونے دیں۔ چلو کے ساتھ لائن کا انٹرسیکشن ہو اور کے ساتھ لائن کا انٹرسیکشن ہو۔ درمیان میں مرکز کے ساتھ ہم جنس پرستی اور اس کا مطلب یہ ہے کہ وہ بالترتیب آرکس کے مڈ پوائنٹ ہیں۔ کندہ شدہ زاویہ تھیوریم کا مطلب ہے کہ اور کالینیئر پوائنٹس کے تین گنا ہیں۔ ہیکساگون پر پاسکل کے نظریہ کا مطلب ہے کہ وہ کالینیئر ہیں۔ چونکہ زاویے اور مساوی ہیں، اس لیے اس کے بعد حصے کا وسط نقطہ آتا ہے۔ دیگر خصوصیات رداس درج ذیل فارمولا اندرونی دائرے کے رداس اور مثلث کے-مخلوط اندرونی دائرے کے رداس سے متعلق ہے: جہاں زاویہ کی شدت ہے۔ دائرے پر پوائنٹس کے ساتھ تعلق آرک کا درمیانی نقطہ جس میں پوائنٹ ہوتا ہے لائن پر ہوتا ہے۔ کواڈریلیٹرل ہارمونک ہے، جس کا مطلب ہے کہ مثلث پر ایک سممیڈین ہے۔ سرکلر کے ساتھ ٹینجینسی پوائنٹ سے متعلق دائرے اور چکور کواڈلیٹرل ہوتے ہیں۔ سرپل مماثلت ایک سرپل مماثلت کا مرکز ہے جو بالترتیب نقشہ بناتی ہے۔ تین مکس ٹائلینیئر انسرکلز کے درمیان تعلق عمودی اور مکس ٹائلینیئر ٹینجینسی پوائنٹس کو جوڑنے والی لائنیں تین لائنیں جو دائرے کے رابطے کے مقام تک ایک عمودی سے منسلک ہوتی ہیں اسی مکس ٹائلینیئر انسرکل کے ساتھ اندرونی اور دائرہ کے مماثلت کے بیرونی مرکز میں ملتی ہیں۔ مثلث مراکز کا آن لائن انسائیکلوپیڈیا اس نقطہ کو X (56) کے طور پر درج کرتا ہے۔ اس کی تعریف سہ رخی نقاط اور باریسینٹرک نقاط ریڈیکل سینٹر سے کی جاتی ہے۔ تین مکس ٹیلینئر انسرکلز کا ریڈیکل سینٹر وہ نقطہ ہے جو اس تناسب میں تقسیم ہوتا ہے جہاں بالترتیب انسینٹر، انریڈیئس، سرکم سینٹر اور سرکم ریڈیئس ہوتے ہیں۔ حوالہ جات یوکلڈین طیارہ جیومیٹری