Multidimensional sampling
ڈیجیٹل سگنل پروسیسنگ میں، کثیر جہتی نمونے لینا ایک کثیر جہتی متغیر کے فنکشن کو پوائنٹس کے مجرد سیٹ پر ماپا جانے والے فنکشن کی اقدار کے مجرد مجموعہ میں تبدیل کرنے کا عمل ہے۔ یہ مضمون پیٹرسن اور مڈلٹن کی وجہ سے بنیادی نتیجہ پیش کرتا ہے جس میں طول و عرض کے محدود فنکشن کو اس کی پیمائش سے نکات کی مجرد جالی پر مکمل طور پر دوبارہ تعمیر کرنے کے شرائط پر پیش کیا گیا ہے۔ یہ نتیجہ، جسے پیٹرسن-مڈلٹن تھیوریم بھی کہا جاتا ہے، اعلی جہتی یوکلڈین خالی جگہوں پر ایک جہتی بینڈ-محدود افعال کے نمونے لینے کے لیے نائکوسٹ-شینن سیمپلنگ تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ مختصرا، پیٹرسن-مڈلٹن تھیوریم سے پتہ چلتا ہے کہ طول البلد محدود فنکشن کو اس کی اقدار سے پوائنٹس کی لامحدود جالی پر مکمل طور پر دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ جالی کافی ٹھیک ہو۔ نظریہ جالی پر شرائط فراہم کرتا ہے جس کے تحت کامل تعمیر نو ممکن ہے۔ جیسا کہ نائکوسٹ-شینن سیمپلنگ تھیوریم کے ساتھ ہے، یہ تھیوریم کسی بھی حقیقی دنیا کی صورتحال کا مثالی تصور بھی کرتا ہے، کیونکہ یہ صرف ان افعال پر لاگو ہوتا ہے جو پوائنٹس کی لامحدود حد پر نمونے لیتے ہیں۔ مثالی ماڈل کے لیے ریاضیاتی طور پر کامل تعمیر نو ممکن ہے لیکن حقیقی دنیا کے افعال اور نمونے لینے کی تکنیکوں کے لیے صرف ایک تخمینہ ہے، حالانکہ عملی طور پر اکثر بہت اچھا ہوتا ہے۔ ابتدائی ایک جہت میں بینڈ لمیٹڈ فنکشن کے تصور کو اعلی جہتوں میں لہر نمبر محدود فنکشن کے تصور کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ یاد رکھیں کہ n-جہتی یوکلڈین اسپیس پر ایک انٹیگریبل فنکشن کے فورئیر ٹرانسفارم کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: جہاں x اور x n-جہتی ویکٹر ہیں، اور ویکٹرز کا اندرونی پروڈکٹ ہے۔ فنکشن کو ایک سیٹ تک محدود ویوین نمبر کہا جاتا ہے اگر فورئیر ٹرانسفارم مطمئن ہو۔ اسی طرح، ایک جہت میں یکساں فاصلے والے نمونے لینے والے نکات کی ترتیب کو اعلی جہتوں میں جالی میں عام کیا جا سکتا ہے۔ جالی اس شکل کے نکات کا مجموعہ ہے جہاں {v1,., vn} ایک بنیاد ہے۔ اس سے مطابقت رکھنے والی باہمی جالی کی وضاحت اس بات سے کی جاتی ہے کہ ویکٹرز کو کہاں مطمئن کرنے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ یعنی، اگر ویکٹر میٹرکس کے کالم اور میٹرکس کے کالم بناتے ہیں، تو۔ دو جہتی جگہ میں نمونے لینے والی جالی کی ایک مثال شکل 1 میں دکھایا گیا ایک ہیکساگونل جالی ہے۔ متعلقہ باہمی جالی شکل 2 میں دکھائی گئی ہے۔ دو جہتوں میں مربع جالی کا باہمی جالی ایک اور مربع جالی ہے۔ تین جہتی جگہ میں چہرے پر مرکوز کیوبک (ایف سی سی) جالی کا باہمی جالی ایک باڈی سینٹرڈ کیوبک (بی سی سی) جالی ہے۔ تھیوریم میں ایک جالی اور متعلقہ باہمی جالی کی نشاندہی کرتے ہیں۔ پیٹرسن اور مڈلٹن کے نظریہ میں کہا گیا ہے کہ ایک فنکشن جو لہر کی تعداد کسی سیٹ تک محدود ہے اسے اس کی پیمائش سے بالکل دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے بشرطیکہ سیٹ اس کے کسی بھی منتقل شدہ ورژن کے ساتھ اوورلیپ نہ ہو جہاں شفٹ x باہمی جالی کا کوئی غیر صفر عنصر ہو۔ دوسرے لفظوں میں، اس کی پیمائش سے بالکل دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے بشرطیکہ یہ سب کے لیے ہو۔ تعمیر نو اعلی جہتوں کے لیے پوئسون سمیشن فارمولے کی عمومی کاری کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ جالی پر فنکشن کے نمونے، فنکشن کا وقتا فوقتا خلاصہ بنانے کے لیے کافی ہیں۔ نتیجہ یہ ہے کہ: جہاں ویکٹروں {v1,., vn} کے ذریعہ تشکیل شدہ متوازی پائپ کے حجم کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس پیریڈک فنکشن کو اکثر سیمپلڈ سپیکٹرم کہا جاتا ہے اور اس کی تشریح اعلی جہتوں میں ڈسکرٹ ٹائم فورئیر ٹرانسفارم (ڈی ٹی ایف ٹی) کے اینالاگ کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ اگر اصل ویوینمبر-محدود سپیکٹرم سیٹ پر سپورٹ کیا جاتا ہے تو فنکشن کو باہمی جالی پر پوائنٹس کے ذریعے منتقل ہونے کی وقتا فوقتا تکرار پر سپورٹ کیا جاتا ہے۔ اگر پیٹرسن مڈلٹن تھیوریم کی شرائط پوری ہو جائیں تو فنکشن سب کے لیے برابر ہے، اور اس لیے نمونوں سے اصل فیلڈ کو بالکل دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں دوبارہ تعمیر شدہ فیلڈ اصل فیلڈ سے میل کھاتا ہے اور نمونوں کے لحاظ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے جہاں سیٹ کی خصوصیت فنکشن کا الٹا فورئیر ٹرانسفارم ہے۔ یہ انٹرپولیشن فارمولا وٹیکر-شینن انٹرپولیشن فارمولے کے اعلی جہتی مساوی ہے۔ مثال کے طور پر فرض کریں کہ یہ ایک سرکلر ڈسک ہے۔ شکل 3 اس بات کی حمایت کی وضاحت کرتی ہے کہ پیٹرسن-مڈلٹن تھیوریم کی شرائط کب پوری ہوتی ہیں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ سپیکٹرم کی تکرار اوورلیپ نہیں ہوتی ہے اور اس لیے اصل سپیکٹرم کو بالکل بازیافت کیا جا سکتا ہے۔ اثرات الگ تھیوریم نمونے کی کامل تعمیر نو کے لیے نمونے لینے والی جالی پر شرائط فراہم کرتا ہے۔ اگر پیٹرسن-مڈلٹن کی حالت کو پورا کرنے کے لیے جالی کافی ٹھیک نہیں ہیں، تو عام طور پر نمونوں سے میدان کو بالکل دوبارہ تعمیر نہیں کیا جا سکتا۔ اس صورت میں ہم کہتے ہیں کہ نمونوں کو الگ کیا جا سکتا ہے۔ ایک بار پھر اس مثال پر غور کریں جس میں ایک سرکلر ڈسک ہے۔ اگر پیٹرسن-مڈلٹن کے حالات برقرار نہیں رہتے ہیں، تو نمونے والے سپیکٹرم کی حمایت شکل 4 میں دکھائی گئی ہوگی۔ اس صورت میں سپیکٹرم کی تکرار اوورلیپ ہوتی ہے جس کی وجہ سے تعمیر نو میں الیازنگ ہوتا ہے۔ کم ریزولوشن والی تصاویر کا مطالعہ کرکے عرفیت کی ایک سادہ مثال حاصل کی جا سکتی ہے۔ گرے اسکیل امیج کی تشریح دو جہتی جگہ میں فنکشن کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ عرفیت کی ایک مثال شکل 5 میں اینٹوں کے نمونوں کی تصاویر میں دکھائی گئی ہے۔ جب سیمپلنگ تھیوریم کی حالت مطمئن نہیں ہوتی ہے تو تصویر الیازنگ کے اثرات کو ظاہر کرتی ہے۔ اگر پکسلز کی جالی منظر کے لیے کافی ٹھیک نہیں ہے، تو الیازنگ ہوتی ہے جیسا کہ حاصل کردہ تصویر میں موائر پیٹرن کی ظاہری شکل سے ظاہر ہوتا ہے۔ شکل 6 میں تصویر اس وقت حاصل کی جاتی ہے جب اسی جالی کے ساتھ منظر کے ہموار ورژن کا نمونہ لیا جاتا ہے۔ اس صورت میں تھیوریم کی شرائط پوری ہو جاتی ہیں اور کوئی عرفیت نہیں ہوتا ہے۔ بہترین نمونے لینے والی جالیں ویوین نمبر محدود فیلڈز کے لیے نمونے لینے کی اسکیم کو ڈیزائن کرنے میں دلچسپی کا ایک مقصد ان پوائنٹس کی تشکیل کی نشاندہی کرنا ہے جو نمونے لینے کی کم سے کم کثافت کی طرف لے جاتے ہیں، یعنی نمونے لینے والے پوائنٹس کی کثافت فی یونٹ مقامی حجم میں۔ عام طور پر پیمائش لینے اور ذخیرہ کرنے کی لاگت نمونے لینے کی کثافت کے متناسب ہوتی ہے۔ اکثر عملی طور پر، دو جہتی شعبوں کا نمونہ لینے کا فطری طریقہ یہ ہے کہ اسے آئتاکار جالی پر نکات پر نمونہ بنایا جائے۔ تاہم، نمونے لینے کی کثافت کے لحاظ سے یہ ہمیشہ مثالی انتخاب نہیں ہوتا ہے۔ پیٹرسن اور مڈلٹن کا نظریہ نمونے لینے والے شعبوں کے لیے بہترین جالی کی شناخت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کسی دیئے گئے سیٹ تک محدود ہیں۔ مثال کے طور پر، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ نکات کی کم از کم مقامی کثافت کے ساتھ وہ جالی جو دائرے کی مکمل تعمیر نو کو تسلیم کرتی ہے جو ایک سرکلر ڈسک تک محدود ہوتی ہے وہ ہیکساگونل جالی ہے۔ نتیجے کے طور پر، آئسوٹروپک فیلڈز کے نمونے لینے کے لیے ہیکساگونل لیٹیسز کو ترجیح دی جاتی ہے۔ بہترین نمونے لینے والی جالی کا مطالعہ اعلی جہتوں میں کیا گیا ہے۔ عام طور پر، زیادہ سے زیادہ دائرے کی پیکنگ کی جالیں ہموار سٹوچسٹک عمل کے نمونے لینے کے لیے مثالی ہوتی ہیں جبکہ زیادہ سے زیادہ دائرے کو ڈھانپنے والی جالیں کھردرے سٹوچسٹک عمل کے نمونے لینے کے لیے مثالی ہوتی ہیں۔ چونکہ زیادہ سے زیادہ جالیں، عام طور پر، غیر الگ کرنے کے قابل ہوتی ہیں، اس لیے انٹرپولیشن اور تعمیر نو کے فلٹرز کو ڈیزائن کرنے کے لیے غیر ٹینسر پروڈکٹ (یعنی غیر الگ کرنے کے قابل) فلٹر ڈیزائن میکانزم کی ضرورت ہوتی ہے۔ باکس اسپلینز اس طرح کے غیر علیحدہ تعمیر نو ایف آئی آر فلٹرز کو ڈیزائن کرنے کے لیے ایک لچکدار فریم ورک فراہم کرتی ہیں جنہیں ہر جالی کے لیے ہندسی طور پر تیار کیا جا سکتا ہے۔ ہیکس-اسپلائنز 2-D ہیکساگونل لیٹیسیس کے لیے B-اسپلائنز کی عمومی کاری ہیں۔ اسی طرح، 3-D اور اعلی طول و عرض میں، ورونوئی اسپلائنز بی-اسپلائنز کی عمومی شکل فراہم کرتی ہیں جن کا استعمال غیر علیحدہ ایف آئی آر فلٹرز کو ڈیزائن کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے جو ہندسی طور پر کسی بھی جالی کے لیے موزوں ہوتے ہیں، بشمول زیادہ سے زیادہ جالی۔ مثالی لو پاس فلٹرز (یعنی سنک فنکشنز) کی واضح تعمیر جو عام طور پر زیادہ سے زیادہ جالی کے لیے عام کی گئی ہے، ان جالی کے (جو زونوٹوپس ہیں) برلوئن زونز (یعنی اوپر) کی ہندسی خصوصیات کا مطالعہ کرکے ممکن ہے۔ یہ نقطہ نظر عام جالی کے لیے ایک بند شکل کی واضح نمائندگی فراہم کرتا ہے، بشمول زیادہ سے زیادہ نمونے لینے والی جالی۔ یہ تعمیر زیادہ سے زیادہ جالی کے لیے کثیر جہتی ترتیب کے لیے 1-D میں لینکزوس فلٹر کی عمومی شکل فراہم کرتی ہے۔ ایپلی کیشنز پیٹرسن-مڈلٹن تھیوریم مقامی مظاہر کی پیمائش جیسے زلزلے کے سروے، ماحولیاتی نگرانی اور مقامی آڈیو فیلڈ کی پیمائش پر مشتمل ایپلی کیشنز میں موثر سینسر پلیسمنٹ حکمت عملیوں کو ڈیزائن کرنے میں مفید ہے۔ ڈیجیٹل سگنل پروسیسنگ کثیر جہتی سگنل پروسیسنگ فورئیر تجزیہ میں نظریات