Hesse pencil
ریاضی میں، سیزیجیٹک پنسل یا ہیس پنسل، جسے اوٹو ہیس کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ میں کیوبک طیارہ الپٹک منحنی خطوط کی ایک پنسل (ایک جہتی خاندان) ہے، جس کی تعریف مساوات سے ہوتی ہے۔ خاندان میں ہر منحنی خطوط کا تعین پیرامیٹر اقدار () (دونوں صفر نہیں) کے جوڑے سے ہوتا ہے اور یہ طیارہ کے ان نکات پر مشتمل ہوتا ہے جن کے یکساں نقاط ان پیرامیٹرز کے مساوات کو پورا کرتے ہیں۔ دونوں کو اور ایک ہی اسکیلر سے ضرب دینے سے منحنی خطوط میں کوئی تبدیلی نہیں آتی، اس لیے پنسل سے منحنی خطوط کو منتخب کرنے میں صرف ایک ڈگری کی آزادی ہوتی ہے، لیکن اوپر دی گئی دو پیرامیٹر کی شکل کسی ایک یا (لیکن دونوں نہیں) کو صفر پر سیٹ کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ پنسل میں ہر منحنی خطوط پیچیدہ پروجیکٹو سطح کے نو نکات سے گزرتا ہے جس کے یکساں نقاط 0،-1 کے کچھ تغیر اور اتحاد کا مکعب جڑ ہوتے ہیں۔ اتحاد کی تین جڑیں ہیں، اور فی جڑ چھ تغیرات ہیں، جو ہر نقطہ کے یکساں نقاط کے لیے 18 انتخاب دیتے ہیں، لیکن وہ جوڑوں میں مساوی ہوتے ہیں جو صرف نو پوائنٹس دیتے ہیں۔ ان نو نکات کے ذریعے کیوبک کا خاندان ہیس پنسل بناتا ہے۔ زیادہ عام طور پر، کوئی بھی پیچیدہ اعداد کو کسی بھی فیلڈ سے تبدیل کر سکتا ہے جس میں اتحاد کی مکعب جڑ ہوتی ہے اور ان نو نکات کے ذریعے اس فیلڈ پر ہیس پنسل کو مکعب کے خاندان کے طور پر بیان کر سکتا ہے۔ ہیس پنسل کے نو عام نکات پنسل میں موجود ہر کیوبک کے انفلیکشن پوائنٹس ہیں۔ کوئی بھی لکیر جو ان نو پوائنٹس میں سے کم از کم دو سے گزرتی ہے ان میں سے بالکل تین سے گزرتی ہے۔ نو پوائنٹس اور بارہ لائنیں تین پوائنٹس کے ذریعے ہیس کی تشکیل کرتی ہیں۔ ہر الپٹک منحنی خطوط پیدائشی طور پر ہیسے پنسل کے منحنی خطوط کے مساوی ہوتے ہیں۔ یہ ایک الپٹک منحنی خطوط کی ہیسیائی شکل ہے۔ تاہم، ہیسی شکل کے پیرامیٹرز () کا تعلق اصل منحنی خطوط کی تعریف کے میدان کے توسیعی میدان سے ہو سکتا ہے۔ حوالہ جات الپٹک منحنی خطوط