List of Mersenne primes and perfect numbers
مرسین پرائمز اور پرفیکٹ نمبرز نمبر تھیوری میں قدرتی اعداد کی دو گہری جڑی ہوئی اقسام ہیں۔ مرسین پرائمز، جن کا نام فریر مارین مرسین کے نام پر رکھا گیا ہے، وہ پرائم نمبر ہیں جن کا اظہار کچھ مثبت عدد کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مرسین پرائم ہے کیونکہ یہ ایک پرائم نمبر ہے اور اس کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ مرسین پرائمز سے مطابقت رکھنے والے اعداد خود پرائم ہونے چاہئیں، حالانکہ تمام پرائمز مرسین پرائمز کی طرف نہیں لے جاتے-مثال کے طور پر،۔ دریں اثنا، کامل اعداد قدرتی اعداد ہوتے ہیں جو ان کے مثبت مناسب تقسیم کاروں کے مجموعے کے برابر ہوتے ہیں، جو خود تعداد کو چھوڑ کر تقسیم کار ہوتے ہیں۔ تو، ایک کامل عدد ہے کیونکہ کے مناسب تقسیم کار ہیں، اور، اور۔ مرسین پرائمز اور ایوین پرفیکٹ نمبروں کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت ہے۔ یہ یوکلڈ-اویلر تھیوریم کی وجہ سے ہے، جسے جزوی طور پر یوکلڈ نے ثابت کیا اور لیون ہارڈ اویلر نے مکمل کیا: یکساں اعداد کامل ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کا اظہار اس شکل میں کیا جا سکے، جہاں مرسین پرائم ہے۔ دوسرے لفظوں میں، وہ تمام اعداد جو اس اظہار میں فٹ ہوتے ہیں کامل ہوتے ہیں، جبکہ تمام یکساں کامل اعداد اس شکل میں فٹ ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کے معاملے میں، پرائم ہے، اور کامل ہے۔ یہ فی الحال ایک کھلا مسئلہ ہے کہ آیا مرسین پرائمز کی لامحدود تعداد اور حتی کہ کامل اعداد بھی موجود ہیں۔ مرسین پرائمز کی فریکوئنسی لینسٹرا-پومیرنس-واگسٹاف قیاس کا موضوع ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ مرسین پرائمز کی متوقع تعداد کچھ دی گئی تعداد سے کم ہے، جہاں یولر کا نمبر ہے، یولر کا مستقل ہے، اور قدرتی لوگرتھم ہے۔ یہ بھی معلوم نہیں ہے کہ آیا کوئی طاق کامل اعداد موجود ہیں۔ ممکنہ طاق کامل اعداد پر مختلف شرائط ثابت ہوئی ہیں، بشمول کی نچلی حد۔ ذیل میں تمام موجودہ مرسین پرائمز اور کامل اعداد کی فہرست ان کے متعلقہ متغیرات کے ساتھ ہے۔ ، 51 معروف مرسین پرائمز (اور اس وجہ سے کامل اعداد) ہیں، جن میں سے سب سے بڑے 17 کو تقسیم شدہ کمپیوٹنگ پروجیکٹ گریٹ انٹرنیٹ مرسین پرائم سرچ، یا جی آئی ایم پی ایس نے دریافت کیا ہے۔ نئے مرسین پرائمز لوکاس لیمر ٹیسٹ (ایل ایل ٹی) کا استعمال کرتے ہوئے پائے جاتے ہیں، جو مرسین پرائمز کے لیے ایک ابتدائی ٹیسٹ ہے جو بائنری کمپیوٹرز کے لیے موثر ہے۔ دکھائے گئے رینک فی الحال معلوم انڈیکس میں سے ہیں ؛ اگرچہ امکان نہیں ہے، اگر چھوٹے پائے جاتے ہیں تو رینک تبدیل ہو سکتے ہیں۔ جی آئی ایم پی ایس کے مطابق، 48 ویں ورکنگ ایکسپوینٹ سے کم تمام امکانات کی جانچ پڑتال اور تصدیق کی گئی ہے۔ دریافت کا سال اور دریافت کرنے والا مرسین پرائم کا ہے، کیونکہ کامل نمبر فوری طور پر یوکلڈ-اویلر تھیوریم کے بعد آتا ہے۔ "جی آئی ایم پی ایس/نام" کے طور پر نشان زد دریافت کنندگان اس شخص کے استعمال کردہ ہارڈ ویئر کے ساتھ جی آئی ایم پی ایس دریافتوں کا حوالہ دیتے ہیں۔ بعد کی اندراجات انتہائی لمبی ہوتی ہیں، اس لیے ہر نمبر کے صرف پہلے اور آخری چھ ہندسوں کو دکھایا جاتا ہے۔ تاریخی طور پر، سب سے بڑا معلوم پرائم نمبر اکثر مرسین پرائم رہا ہے۔ نوٹ حوالہ جات جی آئی ایم پی ایس پر بیرونی روابط کی فہرست، بڑی تعداد کی مکمل اقدار کے ساتھ مرسین نمبروں کی تاریخ پر ایک تکنیکی رپورٹ، گائی ہاورتھ ریاضیاتی میزیں ریاضی سے متعلق فہرستیں فہرست