Kummer configuration
جیومیٹری میں، کمر ترتیب، جسے ارنسٹ کمر کا نام دیا گیا ہے، 16 پوائنٹس اور 16 طیاروں کی ایک ہندسی ترتیب ہے جس میں ہر نقطہ 6 طیاروں پر ہوتا ہے اور ہر طیارہ 6 پوائنٹس پر مشتمل ہوتا ہے۔ مزید برآں، پوائنٹس کا ہر جوڑا بالکل دو طیاروں کے ساتھ واقع ہوتا ہے، اور ہر دو طیارے بالکل دو پوائنٹس میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ اس لیے ترتیب ایک بائیپلین ہے، خاص طور پر، ایک 2− (16,6,2) ڈیزائن۔ کمر کی سطح کے 16 نوڈس اور 16 ٹراپس کمر کی تشکیل کرتے ہیں۔ مندرجہ بالا خصوصیات کو مطمئن کرنے والے 16 عناصر میں سے 16 مختلف 6 سیٹوں کو منتخب کرنے کے تین مختلف غیر آئسومورفک طریقے ہیں، یعنی بائیپلین بنانا۔ تینوں میں سب سے زیادہ ہم آہنگ کمر ترتیب ہے، جسے 16 نکات پر "بہترین بائیپلین" بھی کہا جاتا ہے۔ تعمیر اردن (1869) کے طریقہ کار کے مطابق، لیکن اسمس اور سارڈی (1981) بھی دیکھیں، 16 پوائنٹس (جیسے نمبر 1 سے 16) کو 4x4 گرڈ میں ترتیب دیں۔ بدلے میں ہر عنصر کے لیے، ایک ہی قطار میں 3 دوسرے پوائنٹس اور ایک ہی کالم میں 3 دوسرے پوائنٹس لیں، اور انہیں 6 سیٹ میں جوڑیں۔ یہ ہر پوائنٹ کے لیے ایک 6 عنصر بلاک بناتا ہے۔ ایک ہی قطار یا کالم پر دو نکات پر غور کریں۔ اس صف یا کالم میں دو اور نکات ہیں جو دونوں ابتدائی نکات کے لیے بلاکس میں ظاہر ہوتے ہیں، اس لیے وہ بلاکس دو نکات میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ اب دو نکات پر غور کریں جو ایک ہی صف یا کالم میں نہیں ہیں۔ ان کے متعلقہ بلاکس دو نکات میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں جو دو ابتدائی نکات کے ساتھ ایک مستطیل بناتے ہیں۔ اس طرح تمام بلاکس دو نکات میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ ان انٹرسیکشن پوائنٹس سے مطابقت رکھنے والے بلاکس کی جانچ پڑتال سے، کوئی بھی دیکھتا ہے کہ کوئی بھی دو ابتدائی پوائنٹس دو بلاکس میں موجود ہیں۔ آٹومورفزم 16 پوائنٹس کے بالکل 11520 تغیرات ہیں جو وہی بلاکس واپس دیتے ہیں۔ مزید برآں، پوائنٹ لیبلز کے ساتھ بلاک لیبلز کا تبادلہ سائز 2 کی ایک اور آٹومورفزم پیدا کرتا ہے، جس کے نتیجے میں 23040 آٹومورفزم ہوتے ہیں۔ کلین کنفیگریشن حوالہ جات (جیومیٹری) الجبرائی جیومیٹری بھی دیکھیں۔