Posterior predictive distribution
بایسیائی اعداد و شمار میں، پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم مشاہدہ شدہ اقدار پر مشروط ممکنہ غیر مشاہدہ شدہ اقدار کی تقسیم ہے۔ این آئی آئی ڈی کا ایک سیٹ دیا گیا ہے۔ مشاہدات، ایک ایسی تقسیم سے ایک نئی قدر نکالی جائے گی جو ایک پیرامیٹر پر منحصر ہے، جہاں پیرامیٹر کی جگہ ہے۔ یہ ایک بہترین تخمینہ لگانے کے لیے پرکشش لگ سکتا ہے، لیکن اس سے اس بارے میں غیر یقینی صورتحال کو نظر انداز کیا جاتا ہے، اور چونکہ غیر یقینی صورتحال کے منبع کو نظر انداز کیا جاتا ہے، پیش گوئی کی تقسیم بہت تنگ ہوگی۔ دوسرے الفاظ میں، کی انتہائی اقدار کی پیش گوئیوں کا امکان اس سے کم ہوگا اگر ان کے بعد کی تقسیم کے ذریعہ دیئے گئے پیرامیٹرز میں غیر یقینی صورتحال کا حساب لگایا جائے۔ ایک پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم کے بارے میں غیر یقینی صورتحال کا سبب بنتی ہے۔ ممکنہ اقدار کی پچھلی تقسیم کا انحصار اس پر ہوتا ہے: اور دی گئی کی پچھلی پیش گوئی کی تقسیم کا حساب دی گئی کی پچھلی تقسیم پر دی گئی تقسیم کو حاشیے پر ڈال کر کیا جاتا ہے: کیونکہ اس کے بارے میں غیر یقینی صورتحال پیدا ہوتی ہے، پس منظر کی پیش گوئی کی تقسیم عام طور پر ایک پیش گوئی کی تقسیم سے زیادہ وسیع ہوگی جس کے لیے ایک بہترین تخمینہ لگایا جاتا ہے۔ پیشگی بمقابلہ پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم، بیسیائی سیاق و سباق میں، ڈیٹا پوائنٹ کی تقسیم ہے جو اس کی سابقہ تقسیم پر پسماندہ ہے۔ یعنی، اگر اور، تو پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم متعلقہ تقسیم ہے، جہاں یہ پچھلی پیشن گوئی کی تقسیم سے ملتی جلتی ہے سوائے اس کے کہ پسماندگی (یا مساوی طور پر، توقع) کو پچھلی تقسیم کے بجائے پیشگی تقسیم کے حوالے سے لیا جاتا ہے۔ مزید برآں، اگر پیشگی تقسیم پہلے سے ایک کنجوگیٹ ہے، تو بعد کی پیشن گوئی کی تقسیم کا تعلق تقسیم کے اسی خاندان سے ہوگا جیسا کہ پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم۔ یہ دیکھنے میں آسان ہے۔ اگر پیشگی تقسیم کنجوگیٹ ہے، تو یعنی۔ پوسٹرئر ڈسٹری بیوشن بھی اصل پیرامیٹر کے بجائے صرف ایک مختلف پیرامیٹر کے ساتھ تعلق رکھتی ہے۔ پھر، پوسٹرئر پیشن گوئی کی تقسیم اسی تقسیم H کی پیروی کرتی ہے جو پہلے پیش گوئی کی تقسیم کے طور پر ہوتی ہے، لیکن ہائپر پیرامیٹرز کی پوسٹرئر اقدار کے ساتھ جو پہلے والے کے لیے متبادل ہوتی ہیں۔ پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم مرکب کی تقسیم کی شکل میں ہوتی ہے، اور حقیقت میں اکثر مرکب کی تقسیم کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہے، کیونکہ کسی بھی پیچیدہ عوامل کی کمی جیسے اعداد و شمار پر انحصار اور ازدواجی کا مسئلہ۔ مثال کے طور پر، طالب علم کی ٹی-تقسیم کو عام تقسیم کی پیشگی پیش گوئی کی تقسیم کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس میں معروف اوسط μ لیکن نامعلوم تغیر σx2 ہے، جس میں ہائپر پیرامیٹرز ν اور σ2 کے ساتھ σx2 پر ایک کنجوگیٹ پری اسکیلڈ-انورس-چی-اسکوائرڈ تقسیم رکھی گئی ہے۔ نتیجے میں مرکب کی تقسیم درحقیقت ایک غیر معیاری طالب علم کی ٹی-تقسیم ہے، اور اس تقسیم کے دو سب سے عام پیرامیٹرز میں سے ایک کی پیروی کرتی ہے۔ پھر، متعلقہ پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم ایک بار پھر اسٹوڈنٹس ٹی ہوگی، جس میں اپ ڈیٹ شدہ ہائپر پیرامیٹرز جو پوسٹر ڈسٹری بیوشن میں ظاہر ہوتے ہیں وہ پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم میں بھی براہ راست ظاہر ہوتے ہیں۔ کچھ معاملات میں مناسب مرکب کی تقسیم کی وضاحت اس سے مختلف پیرامیٹرائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے کی جاتی ہے جو موجودہ مسئلے میں پیش گوئی کی تقسیم کے لیے سب سے زیادہ فطری ہوگی۔ اکثر اس کا نتیجہ یہ ہوتا ہے کہ مرکب کی تقسیم کی وضاحت کے لیے استعمال ہونے والی پیشگی تقسیم موجودہ مسئلے میں استعمال ہونے والی تقسیم سے مختلف ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، جیسا کہ اوپر اشارہ کیا گیا ہے، طالب علم کی ٹی-تقسیم کو تغیر پر رکھی گئی اسکیلڈ-الٹا-چی-مربع تقسیم کے لحاظ سے بیان کیا گیا تھا۔ تاہم، اس صورت حال میں پہلے کنجوگیٹ کے طور پر الٹا گاما تقسیم کا استعمال کرنا زیادہ عام ہے۔ دونوں حقیقت میں پیرامیٹرائزیشن کے علاوہ مساوی ہیں۔ لہذا، طالب علم کی ٹی-ڈسٹری بیوشن کو اب بھی پیش گوئی کی تقسیم کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن ہائپر پیرامیٹرز کو پلگ ان کرنے سے پہلے دوبارہ پیرامیٹرائز کیا جانا چاہیے۔ متغیر خاندانوں میں زیادہ تر، لیکن سبھی نہیں، تقسیم کے عام خاندان متغیر خاندان ہوتے ہیں۔ ایکسپونینشیل خاندانوں میں بڑی تعداد میں مفید خصوصیات ہوتی ہیں۔ ان میں سے ایک یہ ہے کہ تمام اراکین کے پاس کنجوگیٹ پری ڈسٹری بیوشنز ہوتی ہیں-جبکہ بہت کم دیگر ڈسٹری بیوشنز میں کنجوگیٹ پریورس ہوتے ہیں۔ ایک اور مفید خاصیت یہ ہے کہ مرکب کی تقسیم کی امکانی کثافت فنکشن کا تعین تجزیاتی طور پر کیا جا سکتا ہے جو کہ ایک متغیر خاندانی تقسیم کی پیشگی پیش گوئی کی تقسیم سے مطابقت رکھتی ہے جو اس کی مشترکہ پیشگی تقسیم پر پسماندہ ہے۔ فرض کریں کہ وہ ایکسپونینشیل فیملی کا ایک ممبر ہے جس کے پیرامیٹر کو قدرتی پیرامیٹر کے مطابق پیرامیٹرائز کیا گیا ہے، اور اسے اس طرح تقسیم کیا گیا ہے جیسے پہلے مناسب کنجوگیٹ ہے، اس طرح تقسیم کیا گیا ہے۔ پھر پیشگی پیشن گوئی کی تقسیم (اس کے ساتھ مرکب کا نتیجہ) ہے۔ آخری سطر پچھلے سے اس بات کو تسلیم کرتے ہوئے پیروی کرتی ہے کہ انٹیگرل کے اندر فنکشن ایک بے ترتیب متغیر کی کثافت فنکشن ہے جسے عام کرنے والے فنکشن کو چھوڑ کر تقسیم کیا گیا ہے۔ لہذا انضمام کا نتیجہ نارملائزنگ فنکشن کا باہمی ہوگا۔ مندرجہ بالا نتیجہ پیرامیٹریزیشن کے انتخاب سے آزاد ہے، جیسا کہ کوئی نہیں، اور ظاہر ہوتا ہے۔ (پیرامیٹر کا ایک فنکشن ہے اور اس لیے پیرامیٹریزیشن کے انتخاب کے لحاظ سے مختلف شکلیں اختیار کرے گا۔) اور کے معیاری انتخاب کے لیے، قدرتی پیرامیٹرز کے لحاظ سے دوبارہ لکھنے کے بجائے معمول کے پیرامیٹرز کے ساتھ براہ راست کام کرنا اکثر آسان ہوتا ہے۔ انٹیگرل ٹریک ایبل ہونے کی وجہ یہ ہے کہ اس میں پہلے سے تقسیم اور امکان کے پروڈکٹ کے ذریعہ بیان کردہ کثافت کے نارملائزیشن مستقل کا حساب لگانا شامل ہے۔ جب دونوں کنجوگیٹ ہوتے ہیں، تو پروڈکٹ ایک پوسٹر ڈسٹری بیوشن ہوتا ہے، اور مفروضے کے مطابق، اس ڈسٹری بیوشن کا نارملائزیشن مستقل معلوم ہوتا ہے۔ جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے، مرکب کی تقسیم کا کثافت فنکشن ایک خاص شکل کی پیروی کرتا ہے، جو اس فنکشن کے پروڈکٹ پر مشتمل ہوتا ہے جو کثافت فنکشن کا حصہ بنتا ہے، جس کے لیے نارملائزیشن "مستقل" کی دو شکلوں کے حصص کے ساتھ، ایک پہلے کی تقسیم سے ماخوذ ہے اور دوسرا پچھلی تقسیم سے۔ بیٹا-بائنومیل تقسیم اس بات کی ایک اچھی مثال ہے کہ یہ عمل کیسے کام کرتا ہے۔ اس طرح کی تقسیم کی تجزیاتی ٹریکٹیبلٹی کے باوجود، وہ اپنے آپ میں عام طور پر ایکسپونینشیل فیملی کے ممبر نہیں ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، تین پیرامیٹر والے طالب علم کی ٹی ڈسٹری بیوشن، بیٹا-بائنومیل ڈسٹری بیوشن اور ڈیرچلیٹ-ملٹی نومیل ڈسٹری بیوشن، یہ سب ایکسپونینشیل-فیملی ڈسٹری بیوشن (بالترتیب نارمل ڈسٹری بیوشن، بائنومیل ڈسٹری بیوشن اور ملٹی نومیل ڈسٹری بیوشن) کی پیش گوئی کرنے والی تقسیم ہیں، لیکن کوئی بھی ایکسپونینشیل فیملی کے ممبر نہیں ہیں۔ اس پر فعال انحصار کی موجودگی کی وجہ سے اوپر دیکھا جا سکتا ہے۔ ایک ایکسپونینشیل فیملی ڈسٹری بیوشن میں، پورے ڈینسٹی فنکشن کو تین اقسام کے ضرب عوامل میں الگ کرنا ممکن ہونا چاہیے: (1) صرف متغیر پر مشتمل عوامل، (2) صرف پیرامیٹرز پر مشتمل عوامل، اور (3) وہ عوامل جن کا لوگرتھم متغیرات اور پیرامیٹرز کے درمیان فیکٹرائز ہوتا ہے۔ کی موجودگی اس کو ناممکن بنا دیتی ہے جب تک کہ "نارملائزنگ" فنکشن یا تو متعلقہ دلیل کو مکمل طور پر نظر انداز نہ کرے یا اسے صرف ایکسپریشن کے ایکسپونینٹ میں استعمال نہ کرے۔ ایکسپونینشیل خاندانوں میں پوسٹریئر پیشن گوئی کی تقسیم جب ایک کنجوگیٹ پریور استعمال کیا جا رہا ہے، تو پوسٹریئر پیشن گوئی کی تقسیم اسی خاندان سے تعلق رکھتی ہے جو پہلے پیشن گوئی کی تقسیم ہے، اور اس کا تعین صرف پیرامیٹر (ز) کی پوسٹریئر تقسیم کے لیے اپ ڈیٹ شدہ ہائپر پیرامیٹرز کو پلگ کرکے کیا جاتا ہے۔ ایکسپونینشیل-فیملی ڈسٹری بیوشن کے لیے پوسٹرئیر اپ ڈیٹ مساوات کی عمومی شکل کا استعمال کرتے ہوئے (ایکسپونینشیل فیملی آرٹیکل میں مناسب سیکشن دیکھیں)، ہم پوسٹرئیر پیشن گوئی کی تقسیم کے لیے ایک واضح فارمولا لکھ سکتے ہیں: جہاں اس سے پتہ چلتا ہے کہ مشاہدات کی ایک سیریز کی پوسٹرئیر پیشن گوئی کی تقسیم، اس صورت میں جہاں مشاہدات پہلے سے مناسب کنجوگیٹ کے ساتھ ایک ایکسپونینشیل فیملی کی پیروی کرتے ہیں، کمپاؤنڈ ڈسٹری بیوشن کی طرح امکانات کی کثافت رکھتے ہیں، جیسا کہ اوپر بیان کردہ پیرامیٹرز کے ساتھ۔ مشاہدات خود صرف اس شکل میں داخل ہوتے ہیں۔ اسے مشاہدات کا کافی اعدادوشمار کہا جاتا ہے، کیونکہ یہ ہمیں مشاہدات کے بارے میں وہ سب کچھ بتاتا ہے جو ہمیں جاننے کی ضرورت ہے تاکہ ان کی بنیاد پر پوسٹر یا پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم کا حساب لگایا جا سکے (یا، اس معاملے کے لیے، مشاہدات کے امکان پر مبنی کچھ اور، جیسے کہ مارجنل امکان)۔ مشترکہ پیشن گوئی کی تقسیم، معمولی امکان مشترکہ پیرامیٹر پر پیشگی تقسیم کے ساتھ آزاد یکساں طور پر تقسیم شدہ نمونوں کی ایک مقررہ تعداد پر مشترکہ تقسیم کو مرکب کرنے کے نتیجے پر غور کرنا بھی ممکن ہے۔ بایسیائی ترتیب میں، یہ مختلف سیاق و سباق میں سامنے آتا ہے: متعدد نئے مشاہدات کی پہلے یا بعد میں پیش گوئی کی تقسیم کا حساب لگانا، اور مشاہدہ شدہ ڈیٹا (بایئز کے قانون میں ڈینومینیٹر) کے معمولی امکان کا حساب لگانا۔ جب نمونوں کی تقسیم ایکسپونینشیل فیملی سے ہوتی ہے اور پہلے کی تقسیم کنجوگیٹ ہوتی ہے، تو اس کے نتیجے میں مرکب کی تقسیم قابل عمل ہوگی اور اوپر کے اظہار کی طرح ہی ہوگی۔ درحقیقت، یہ ظاہر کرنا آسان ہے کہ مشاہدات کے لیے کسی سیٹ کی مشترکہ مرکب تقسیم یہ نتیجہ ہے اور ایک واحد مرکب کی تقسیم کے لیے مذکورہ نتیجہ ویکٹر ویلیوڈ مشاہدے پر تقسیم کے معاملے میں معمولی طور پر پھیلا ہوا ہے، جیسے کہ ملٹی ویریٹ گوسیئن ڈسٹری بیوشن۔ گبز کے نمونے لینے سے تعلق گبز کے نمونے لینے والے میں ایک نوڈ کو باہر نکالنا مرکب کے برابر ہے۔ نتیجے کے طور پر، جب آزاد کا ایک مجموعہ یکساں طور پر تقسیم کیا جاتا ہے (یعنی) تمام نوڈس ایک ہی سابقہ نوڈ پر منحصر ہوتے ہیں، اور وہ نوڈ ختم ہو جاتا ہے، جس کے نتیجے میں ایک نوڈ کا مشروط امکان دوسروں کے ساتھ ساتھ ٹوٹے ہوئے نوڈ کے والدین کو بھی دیا جاتا ہے (لیکن کسی دوسرے نوڈس پر کنڈیشنگ نہیں، جیسے۔ کوئی بھی چائلڈ نوڈس) باقی تمام یعنی ڈی کی پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم کے برابر ہے۔ نوڈس (یا زیادہ درست طریقے سے، پہلے یعنی۔ نوڈس، چونکہ ٹوٹنا نوڈس کے درمیان انحصار متعارف کراتا ہے)۔ یعنی، عام طور پر نوڈ کے تمام والدین کو براہ راست تمام بچوں سے جوڑ کر، اور ہر بچے سے وابستہ سابقہ مشروط امکان کی تقسیم کو اس کے والدین پر مشروط بچے کے لیے متعلقہ پوسٹر پیشن گوئی کی تقسیم کے ساتھ تبدیل کر کے نوڈ سے باہر نکلنا نافذ کرنا ممکن ہے۔ نوڈس جو ہٹائے گئے نوڈ کے بچے بھی تھے۔ مثال کے طور پر، مزید مخصوص بحث کے لیے اور بعض مشکل مسائل کے بارے میں کچھ احتیاط کے لیے، ڈیرچلیٹ-ملٹینومیل ڈسٹری بیوشن آرٹیکل دیکھیں۔ کریڈیبلٹی تھیوری کمپاؤنڈ پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشن فارکاسٹنگ مارجنل پروبیبلٹی حوالہ جات مزید پڑھنے کا تھیوری آف پروبیبلٹی ڈسٹری بیوشنز بایسیئن شماریات دیکھیں۔