Multiplication and repeated addition
ریاضی کی تعلیم میں، اس مسئلے پر بحث ہوتی تھی کہ آیا ضرب کے عمل کو بار بار اضافے کی شکل کے طور پر پڑھایا جانا چاہیے۔ مباحثے میں شرکاء نے متعدد نقطہ نظر پیش کیے، جن میں ریاضی، تدریسی، سیکھنے اور انسٹرکشنل ڈیزائن، ریاضی کی تاریخ، ریاضی کا فلسفہ، اور کمپیوٹر پر مبنی ریاضی شامل ہیں۔ بحث کا پس منظر 1990 کی دہائی کے اوائل میں لیسلی سٹیف نے گنتی کی اسکیم کی تجویز پیش کی جو بچے ضرب کو اپنے ریاضیاتی علم میں ضم کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ جیری کنفری نے گنتی کے منصوبے کو تقسیم کے قیاس سے متصادم کیا۔ کنفری نے تجویز کیا کہ گنتی اور تقسیم دو الگ الگ، آزاد علمی ابتدائی ہیں۔ اس نے کانفرنس پریزنٹیشنز، مضامین اور کتابی ابواب کی شکل میں تعلیمی مباحثوں کو جنم دیا۔ یہ بحث نصاب کے وسیع تر پھیلاؤ کے ساتھ شروع ہوئی جس میں ابتدائی سالوں میں اسکیلنگ، زومنگ، فولڈنگ اور ریاضیاتی کاموں کی پیمائش پر زور دیا گیا۔ اس طرح کے کاموں میں ضرب کے نمونوں کی ضرورت ہوتی ہے اور ان کی حمایت ہوتی ہے جو گنتی یا بار بار اضافے پر مبنی نہیں ہوتے ہیں۔ اس سوال کے ارد گرد بحث، "کیا ضرب واقعی بار بار اضافہ ہے؟" 1990 کی دہائی کے وسط میں والدین اور اساتذہ کے مباحثے کے فورمز پر نمودار ہوا۔ کیتھ ڈیولن نے میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ کا کالم "یہ کوئی بار بار اضافہ نہیں ہے" کے عنوان سے لکھا جس کے بعد اساتذہ کے ساتھ ان کے ای میل کے تبادلے ہوئے، جب انہوں نے پہلے مضمون میں اس موضوع کا مختصر ذکر کیا تھا۔ کالم نے تعلیمی مباحثوں کو پریکٹیشنر مباحثوں سے جوڑا۔ اس نے ریسرچ اور پریکٹیشنر بلاگز اور فورمز میں متعدد مباحثوں کو جنم دیا۔ کیتھ ڈیولن نے اس موضوع پر لکھنا جاری رکھا ہے۔ عام ریاضی کے نصاب اور معیارات میں، جیسے کہ کامن کور اسٹیٹ اسٹینڈرڈز انیشی ایٹو، حقیقی اعداد کے پروڈکٹ کے معنی عام طور پر بار بار اضافے سے شروع ہونے والے تصورات کے سلسلے سے گزرتے ہیں اور بالآخر اسکیلنگ میں رہتے ہیں۔ ایک بار جب قدرتی (یا مکمل) اعداد کو شمار کے ایک ذریعہ کے طور پر بیان اور سمجھا جاتا ہے، تو بچے کو ریاضی کی بنیادی کارروائیوں سے متعارف کرایا جاتا ہے، اس ترتیب میں: اضافہ، گھٹاؤ، ضرب اور تقسیم۔ یہ کارروائیاں، اگرچہ بچے کی ریاضی کی تعلیم کے بہت ابتدائی مرحلے میں متعارف کرائی گئی ہیں، لیکن طلباء میں اعلی درجے کی عددی صلاحیتوں کے طور پر نمبر سینس کی نشوونما پر دیرپا اثر ڈالتی ہیں۔ ان نصاب میں، بار بار اضافے سے متعلق سوالات پوچھنے کے فورا بعد ضرب متعارف کرائی جاتی ہے، جیسے: "ہر ایک میں 8 سیب کے 3 تھیلے ہوتے ہیں۔ مجموعی طور پر کتنے سیب ہیں؟ ایک طالب علم کر سکتا ہے: یا متبادل کا انتخاب کر سکتا ہے۔ یہ نقطہ نظر کئی سالوں کی تدریس اور سیکھنے کے لیے معاون ہے، اور یہ تاثر قائم کرتا ہے کہ ضرب صرف اضافہ کرنے کا ایک زیادہ موثر طریقہ ہے۔ ایک بار جب 0 لایا جاتا ہے، تو یہ کسی اہم تبدیلی کو متاثر نہیں کرتا ہے کیونکہ جو کہ 0 ہے، اور مواصلاتی خاصیت ہمیں بھی اس کی وضاحت کرنے کی طرف لے جائے گی۔ اس طرح، بار بار اضافہ پورے اعداد (0، 1، 2، 3، 4،) تک پھیلا ہوا ہے۔ اس عقیدے کے لیے پہلا چیلنج کہ ضرب بار بار اضافہ ہوتا ہے اس وقت ظاہر ہوتا ہے جب طلباء فریکشن کے ساتھ کام کرنا شروع کرتے ہیں۔ ریاضیاتی نقطہ نظر سے، بار بار اضافے کے طور پر ضرب کو حصوں میں بڑھایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، لفظی طور پر "پانچ چھٹے میں سے ایک اور تین چوتھائی" کا مطالبہ کیا جاتا ہے۔ یہ بعد میں اہم ہے کیونکہ طلباء کو سکھایا جاتا ہے کہ الفاظ کے مسائل میں، لفظ "کا" عام طور پر ضرب کی نشاندہی کرتا ہے۔ تاہم، یہ توسیع بہت سے طلباء کے لیے پریشانی کا باعث ہے، جو فریکشن متعارف ہونے پر ریاضی کے ساتھ جدوجہد کرنے لگتے ہیں۔ مزید برآں، جب غیر معقول اعداد کو عمل میں لایا جائے تو بار بار اضافے کے ماڈل میں کافی حد تک ترمیم کی جانی چاہیے۔ ان مسائل کے حوالے سے، ریاضی کے اساتذہ نے اس بات پر بحث کی ہے کہ آیا ان اعداد کو متعارف کرانے سے پہلے ایک طویل عرصے تک ضرب کو بار بار اضافے کے طور پر دیکھنے سے طلباء کی مشکلات میں اضافہ ہوتا ہے، اور متعلقہ طور پر کیا ابتدائی تعلیم کے لیے سخت ریاضی میں نمایاں ترمیم کرنا قابل قبول ہے، جس کی وجہ سے بچے ان بیانات پر یقین کرنے پر مجبور ہوتے ہیں جو بعد میں غلط ثابت ہوتے ہیں۔ اسکیلنگ سے ضرب تک سیکھنے کے ضرب کا ایک نظریہ وائگوٹسکی سرکل میں روسی ریاضی کے اساتذہ کے کام سے اخذ کیا گیا ہے جو سوویت یونین میں عالمی جنگوں کے درمیان سرگرم تھا۔ ان کی شراکت کو تقسیم قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ سیکھنے کے ضرب کا ایک اور نظریہ مجسم ادراک کا مطالعہ کرنے والوں سے ماخوذ ہے، جس نے ضرب کے لیے بنیادی استعاروں کا جائزہ لیا۔ ان تحقیقات نے مل کر چھوٹے بچوں کے لیے "فطری طور پر ضرب" کے کاموں کے ساتھ نصاب کو متاثر کیا ہے۔ ان کاموں کی مثالوں میں شامل ہیں: لچکدار اسٹریچنگ، زوم، فولڈنگ، پروجیکشن شیڈوز، یا ڈراپ شیڈوز۔ یہ کام گنتی پر منحصر نہیں ہوتے، اور بار بار اضافے کے لحاظ سے آسانی سے تصور نہیں کیا جا سکتا۔ ان نصاب سے متعلق بحث کے مسائل میں شامل ہیں: کس چیز کو کئی گنا کیا جا سکتا ہے؟ ضرب کی تعریف اکثر قدرتی اعداد کے لیے کی جاتی ہے، پھر اسے مکمل اعداد، حصوں اور غیر معقول اعداد تک بڑھایا جاتا ہے۔ تاہم، تجریدی الجبرا میں ضرب کی زیادہ عمومی تعریف کچھ اشیاء پر بائنری آپریشن کے طور پر ہے جو اعداد ہو بھی سکتے ہیں اور نہیں بھی۔ خاص طور پر، کوئی بھی پیچیدہ اعداد، ویکٹرز، میٹرکس اور کواٹرنیئنز کو ضرب دے سکتا ہے۔ کچھ اساتذہ کا خیال ہے کہ ابتدائی تعلیم کے دوران ضرب کو خصوصی طور پر بار بار اضافے کے طور پر دیکھنا ضرب کے ان پہلوؤں کی بعد میں تفہیم میں مداخلت کر سکتا ہے۔ ماڈلز اور استعارے جو ضرب کی بنیاد رکھتے ہیں ریاضی کی تعلیم کے تناظر میں، ماڈلز تجریدی ریاضیاتی نظریات کی ٹھوس نمائندگی ہیں جو خیال کی کچھ یا تمام ضروری خصوصیات کی عکاسی کرتے ہیں۔ ماڈلز اکثر جسمانی یا ورچوئل ہیرا پھیری اور نصاب کے مواد کے طور پر تیار کیے جاتے ہیں جو ان کے ساتھ ہوتے ہیں۔ ضرب اور بار بار اضافے کے بارے میں بحث کا ایک حصہ مختلف ماڈلز اور ان کے نصابی مواد کا موازنہ ہے۔ مختلف ماڈلز مختلف قسم کے نمبروں کے ضرب کی حمایت کر سکتے ہیں یا نہیں بھی کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر سیٹ ماڈل جس میں نمبروں کو اشیاء کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جاتا ہے، اور ضرب کو متعدد سیٹوں کے اتحاد کے طور پر ہر ایک میں اشیاء کی ایک ہی تعداد کے ساتھ، فریکشنل یا حقیقی نمبروں کے ضرب تک نہیں بڑھایا جا سکتا۔ مختلف ماڈل ریاضی کی مخصوص ایپلی کیشنز کے لیے بھی متعلقہ ہو سکتے ہیں ؛ مثال کے طور پر، امکان اور حیاتیات میں امتزاج ماڈل سامنے آتے ہیں۔ حوالہ جات ریاضی کی تعلیم