Petr–Douglas–Neumann theorem
جیومیٹری میں، پیٹر-ڈگلس-نیومن تھیوریم (یا پی ڈی این تھیوریم) صوابدیدی طیارہ کثیر الاضلاعات سے متعلق ایک نتیجہ ہے۔ نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ ایک مخصوص طریقہ کار جب کسی صوابدیدی کثیر الاضحی پر لاگو ہوتا ہے تو ہمیشہ ایک باقاعدہ کثیر الاضحی پیدا ہوتا ہے جس کے اطراف کی تعداد ابتدائی کثیر الاضحی کے برابر ہوتی ہے۔ یہ نظریہ سب سے پہلے 1908 میں پراگ کے کیرل پیٹر (1868-1950) نے شائع کیا تھا۔ اس نظریہ کو 1940 میں جیسی ڈگلس (1897-1965) اور 1941 میں بی ایچ نیومن (1909-2002) نے آزادانہ طور پر دوبارہ دریافت کیا تھا۔ تھیوریم کا نام پیٹر-ڈگلس-نیومن تھیوریم، یا مختصر طور پر پی ڈی این تھیوریم کے طور پر، اسٹیفن بی گرے کی وجہ سے ہے۔ اس تھیوریم کو ڈگلس تھیوریم، ڈگلس-نیومن تھیوریم، نپولین-ڈگلس-نیومن تھیوریم اور پیٹر تھیوریم بھی کہا جاتا ہے۔ پی ڈی این تھیوریم نپولین کے تھیوریم کی عمومی شکل ہے جس کا تعلق صوابدیدی مثلث اور وین اوبل کے تھیوریم سے ہے جو صوابدیدی کواڈری لیٹرلز سے متعلق ہے۔ نظریہ کا بیان پیٹر-ڈگلس-نیومن نظریہ درج ذیل پر زور دیتا ہے۔ اگر 2kπ/n چوٹی کے زاویوں والے آئسوسلز مثلثوں کو صوابدیدی n-gon A0 کے اطراف میں کھڑا کیا جاتا ہے، اور اگر اس عمل کو مثلثوں کے آزاد apices کے ذریعہ تشکیل شدہ n-gon کے ساتھ دہرایا جاتا ہے، لیکن k کی مختلف قیمت کے ساتھ، اور اسی طرح جب تک کہ تمام اقدار 1 ≤ k ≤ n − 2 استعمال نہیں کی جاتی ہیں (صوابدیدی ترتیب میں)، تب ایک باقاعدہ n-gon An − 2 تشکیل پاتا ہے جس کا مرکز A0 کے مرکز کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ مثلثوں کے لیے تخصص مثلثوں کے معاملے میں، n کی قیمت 3 ہے اور n−2 کی قیمت 1 ہے۔ لہذا k کے لیے صرف ایک ممکنہ قدر ہے، یعنی 1۔ مثلثوں کے نظریہ کی تخصص اس بات پر زور دیتی ہے کہ مثلث A1 ایک باقاعدہ 3-گون ہے، یعنی ایک مساوی مثلث۔ A1 مثلث A0 کے اطراف پر کھڑا کردہ چوٹی کے زاویے 2π/3 کے ساتھ آئسوسیلز مثلث کے پہلوؤں سے بنتا ہے۔ A1 کے سرے مثلث A0 کے اطراف پر کھڑے مساوی مثلث کے مراکز ہیں۔ اس طرح مثلث کے لیے پی ڈی این تھیوریم کی تخصص کو اس طرح وضع کیا جا سکتا ہے: اگر مساوی مثلث کسی مثلث کے اطراف پر کھڑے کیے جاتے ہیں، تو تین مساوی مثلث کے مراکز سے بننے والا مثلث مساوی ہوتا ہے۔ آخری بیان نپولین کے نظریہ کا دعوی ہے۔ کواڈری لیٹرلز کے لیے تخصص کواڈری لیٹرلز کے معاملے میں، n کی قیمت 4 ہے اور n−2 کی قیمت 2 ہے۔ k کے لیے دو ممکنہ اقدار ہیں، یعنی 1 اور 2، اور اس لیے دو ممکنہ چوٹی کے زاویہ، یعنی: (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 کے مطابق) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 کے مطابق)۔ پی ڈی این تھیوریم کے مطابق کواڈریلیٹرل اے 2 ایک باقاعدہ 4-گون ہے، یعنی مربع۔ مربع A2 حاصل کرنے والے دو مراحل کے عمل کو دو مختلف طریقوں سے انجام دیا جا سکتا ہے۔ (ایک آئسوسلز مثلث کا اوپکس ز، جس کا اوپکس اینگل π ایک لائن سیگمنٹ XY پر کھڑا ہوتا ہے، لائن سیگمنٹ XY کا وسط نقطہ ہے۔) اپیکس اینگل π/2 کا استعمال کرتے ہوئے A1 بنائیں اور پھر اپیکس اینگل π کے ساتھ A2 بنائیں۔ اس صورت میں A1 کی چوٹیاں آئسوسلز مثلثوں کی آزاد چوٹیاں ہیں جن کے چوٹی کے زاویہ π/2 کو چوطرفہ A0 کے اطراف پر کھڑا کیا گیا ہے۔ کواڈریلیٹرل A2 کے عمودی حصے کواڈریلیٹرل A1 کے اطراف کے درمیانی نکات ہیں۔ پی ڈی این تھیوریم کے مطابق، A2 ایک مربع ہے۔ کواڈریلیٹرل A1 کے عمودی حصے کواڈریلیٹرل A0 کے اطراف پر بنائے گئے مربعوں کے مراکز ہیں۔ یہ دعوی کہ کواڈریلیٹرل A2 ایک مربع ہے اس دعوے کے برابر ہے کہ A1 کے ڈائیگنلز ایک دوسرے کے برابر اور عمودی ہیں۔ مؤخر الذکر دعوی وین اوبل کے نظریہ کا مواد ہے۔ اس طرح وین اوبل کا نظریہ پی ڈی این نظریہ کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اپیکس اینگل π کا استعمال کرتے ہوئے A1 بنائیں اور پھر اپیکس اینگل π/2 کے ساتھ A2 بنائیں۔ اس صورت میں A1 کے عمودی حصے کواڈریلیٹرل A0 کے اطراف کے مڈ پوائنٹ ہوتے ہیں اور A2 کے عمودی حصے مثلث کے متوازی ہوتے ہیں جن کے اوپری زاویہ π/2 A1 کے اطراف پر کھڑے ہوتے ہیں۔ پی ڈی این نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ اس معاملے میں بھی A2 ایک مربع ہے۔ پینٹاگونز کے لیے تخصص کواڈریلیٹرلز پر تھیوریم کے اطلاق کی عکاسی کرنے والی تصاویر۔ پینٹاگونز کے معاملے میں، ہمارے پاس n = 5 اور n − 2 = 3 ہیں۔ تو k کے لیے تین ممکنہ اقدار ہیں، یعنی 1، 2 اور 3، اور اس لیے آئسوسلز مثلثوں کے لیے تین ممکنہ چوٹی کے زاویے ہیں: (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° پی ڈی این تھیوریم کے مطابق، A3 ایک باقاعدہ پینٹاگون ہے۔ باقاعدہ پینٹاگون A3 کی تعمیر کی طرف لے جانے والا تین مراحل کا عمل چھ مختلف طریقوں سے انجام دیا جا سکتا ہے جس کا انحصار اس ترتیب پر ہوتا ہے جس میں آئسوسیلز مثلث کی تعمیر کے لیے چوٹی کے زاویوں کا انتخاب کیا جاتا ہے۔ نظریہ کا ثبوت نظریہ کو لکیری الجبرا کے کچھ ابتدائی تصورات کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ ثبوت n-گون کے عمودی حصوں کی نمائندگی کرنے والے پیچیدہ نمبروں کی فہرست کے ذریعے n-گون کو انکوڈنگ کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ اس فہرست کو n-جہتی پیچیدہ لکیری جگہ Cn میں ایک ویکٹر کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ ایک n-gon A لیں اور اسے پیچیدہ ویکٹر A = (a1, a2,.., an) سے ظاہر ہونے دیں۔ کثیر الاضحی B کو A کے اطراف میں بنائے گئے اسی طرح کے مثلثوں کے آزاد عمودی حصوں سے تشکیل دیا جائے اور اس کی نمائندگی پیچیدہ ویکٹر B = (b1, b2,., bn) سے کی جائے۔ پھر ہمارے پاس α (ar−br) = ar + 1−br ہے، جہاں α = exp (iθ) کسی θ کے لیے (یہاں i −1 کا مربع جڑ ہے)۔ اس سے بر کا حساب لگانے کے لیے درج ذیل اظہار ملتا ہے: بر = (1 − α) −1 (آر + 1 − αar)۔ لکیری آپریٹر S: Cn → Cn کے لحاظ سے جو چکور طور پر نقاط کو ایک جگہ پر منتقل کرتا ہے، ہمارے پاس B = (1 − α) −1 (S − αI) A ہے، جہاں I شناختی میٹرکس ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کثیر الاضحی an−2 جو ہمیں دکھانے کی ضرورت ہے وہ باقاعدہ ہے جو A0 سے درج ذیل آپریٹرز کی ساخت کو لاگو کرکے حاصل کیا جاتا ہے: (1−ωk) −1 (S−ωkI) k = 1,2,., n−2 کے لیے، جہاں ω = exp (2πi/n)۔ ایک کثیر الاضحی P = (p1, p2,., pn) ایک باقاعدہ n-گون ہے اگر P کا ہر پہلو 2π/n کے زاویے سے گھوم کر اگلے سے حاصل کیا جائے، یعنی اگر p + 1 − p = ω (p + 2 − p + 1)۔ اس شرط کو S کے لحاظ سے اس طرح وضع کیا جا سکتا ہے: (S−I) (I−ωS) P = 0۔ یا مساوی طور پر (S−I) (S−ωn−1I) P = 0، چونکہ ωn = 1 ہے۔ پیٹر-ڈگلس-نیومن تھیوریم اب درج ذیل حسابات سے پیروی کرتا ہے۔ (S−I) (S−ωn−1I) an−2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I). (S−ωn−1I) A0 = (1−ωn−1)