Rayleigh–Plesset equation
سیال میکانکس میں، ریلیگ-پلیسیٹ مساوات یا بیسنٹ-ریلیگ-پلیسیٹ مساوات ایک غیر لکیری عام تفریق مساوات ہے جو غیر کمپریسبل سیال کے لامحدود جسم میں ایک کروی بلبلے کی حرکیات کو کنٹرول کرتی ہے۔ اس کی عمومی شکل عام طور پر اس طرح لکھی جاتی ہے کہ آس پاس کے مائع کی کثافت کہاں ہے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ بلبلے کا رداس آس پاس کے مائع کی متحرک چپچپا ہے، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ بلبلے-مائع انٹرفیس کا سطح کا تناؤ مستقل ہے، جس میں بلبلے کے اندر دباؤ ہے، جسے یکساں سمجھا جاتا ہے اور بیرونی دباؤ بلبلے سے لامحدود دور ہے بشرطیکہ یہ معلوم ہو اور دیا جائے، ریلیگ-پلیسیٹ مساوات کو وقت کے لحاظ سے مختلف بلبلے کے رداس کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ریلیگ-پلیسیٹ مساوات کروی ہم آہنگی کے مفروضے کے تحت نیویئر-اسٹوکس مساوات سے اخذ کی گئی ہے۔ سطح کے تناؤ اور چپچپا پن کو نظر انداز کرتے ہوئے، یہ مساوات سب سے پہلے ڈبلیو ایچ بیسنٹ نے اپنی 1859 کی کتاب میں اس مسئلے کے بیان کے ساتھ اخذ کی تھی جس میں کہا گیا تھا کہ کسی بھی قوت کے ذریعے کام کرنے والے یکساں غیر کمپریسبل سیال کی ایک لامحدود کمیت باقی نہیں رہتی ہے، اور سیال کا ایک کروی حصہ اچانک ختم ہو جاتا ہے۔ اسے کمیت کے کسی بھی مقام پر دباؤ کی فوری تبدیلی کو تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے، اور جس وقت کیویٹی بھر جائے گی، لامحدود فاصلے پر دباؤ مستقل رہتا ہے (درحقیقت، بیسنٹ اس مسئلے کو کیمبرج سینیٹ-ہاؤس کے 1847 کے مسائل سے منسوب کرتا ہے)۔ بیسنٹ نے ابتدائی رداس کی خالی گہا کو بھرنے کے لیے درکار وقت کی پیش گوئی کی کہ لارڈ ریلیگ نے توانائی کے تحفظ کی بنیاد پر اسی نتیجے کا ایک آسان مشتق پایا۔ اندر آنے والے سیال کی حرکی توانائی وہ جگہ ہے جہاں وقت پر منحصر خلا کا رداس ہے، اور وہاں سیال کی شعاعی رفتار ہے۔ انفینٹی پر دبانے والے سیال کا کام ہے، اور ان دونوں توانائیوں کو مساوی کرنے سے اور کے درمیان تعلق ملتا ہے۔ پھر، یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ متغیرات کی علیحدگی بیسنٹ کا نتیجہ دیتی ہے۔ ریلے نے گاما افعال کے لحاظ سے انٹیگرل (یولر کے بیٹا فنکشن) کا جائزہ لینے میں بیسنٹ سے آگے بڑھ کر کام کیا۔ ریلیگ نے اس نقطہ نظر کو ایک مثالی گیس (ایک بلبلے) سے بھری ہوئی گہا کے معاملے میں گیس کو کمپریس کرنے کے کام کے لیے ایک اصطلاح شامل کرکے ڈھال لیا۔ بالکل خالی خلا کی صورت میں، ریلیگ نے طے کیا کہ رداس پر سیال میں دباؤ اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ جب خلا اس کے ابتدائی حجم کا کم از کم ایک چوتھائی ہوتا ہے، تو دباؤ یک سنگی طور پر لامحدود سے صفر تک کم ہو جاتا ہے۔ جیسے جیسے خلا مزید سکڑتا جاتا ہے زیادہ سے زیادہ دباؤ، بہت تیزی سے بڑھنے اور خلا پر یکجا ہونے پر ظاہر ہونے سے زیادہ ہوتا ہے۔ اس مساوات کا اطلاق سب سے پہلے 1949 میں ملٹن ایس پلیسیٹ نے سطح کے تناؤ کے اثرات کو شامل کرکے کیوٹیشن بلبلوں کے سفر پر کیا تھا۔ ڈیریویشن ریلیگ پلیسیٹ مساوات کو مکمل طور پر پہلے اصولوں سے اخذ کیا جا سکتا ہے جس میں بلبلے کے رداس کو متحرک پیرامیٹر کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ وقت پر منحصر رداس کے ساتھ ایک گول بلبلے پر غور کریں، جہاں وقت ہے۔ فرض کریں کہ بلبلہ یکساں درجہ حرارت اور دباؤ کے ساتھ یکساں طور پر تقسیم شدہ بخارات/گیس پر مشتمل ہے۔ بلبلے کے باہر مائع کا ایک لامحدود ڈومین ہوتا ہے جس میں مستقل کثافت اور متحرک چپچپا ہوتا ہے۔ درجہ حرارت اور دباؤ کو بلبلے سے دور اور رہنے دیں۔ درجہ حرارت کو مستقل سمجھا جاتا ہے۔ بلبلے کے مرکز سے شعاعی فاصلے پر، مختلف مائع خصوصیات دباؤ، درجہ حرارت، اور شعاعی طور پر بیرونی رفتار ہیں۔ نوٹ کریں کہ یہ مائع خصوصیات صرف بلبلے کے باہر بیان کی گئی ہیں، کیونکہ۔ بڑے پیمانے پر تحفظ بڑے پیمانے پر تحفظ کے ذریعے، الٹا مربع قانون کی ضرورت ہوتی ہے کہ شعاعی طور پر بیرونی رفتار اصل (بلبلے کے مرکز) سے فاصلے کے مربع کے الٹا متناسب ہونی چاہیے۔ لہذا، وقت کا کچھ کام ہونے دیں، بلبلے کی سطح پر صفر بڑے پیمانے پر نقل و حمل کی صورت میں، انٹرفیس پر رفتار ایسی ہونی چاہیے جو یہ دیتی ہے کہ جہاں بڑے پیمانے پر نقل و حمل ہوتی ہے، بلبلے کے اندر بڑے پیمانے پر اضافے کی شرح بلبلے کے حجم کے ساتھ دی جاتی ہے۔ اگر بلبلے کے مقابلے میں مائع کی رفتار ہے، تو بلبلے میں داخل ہونے والی کمیت بلبلے کے سطحی رقبے کے ساتھ دی جاتی ہے۔ اب بڑے پیمانے پر تحفظ کے ذریعے۔ لہذا بہت سے معاملات میں، مائع کی کثافت بخارات کی کثافت سے بہت زیادہ ہوتی ہے، لہذا اس کا تخمینہ اصل صفر ماس ٹرانسفر فارم سے لگایا جا سکتا ہے، تاکہ مومنٹم کنزرویشن یہ فرض کرتے ہوئے کہ مائع ایک نیوٹنین سیال ہے، ریڈیل سمت میں حرکت کے لیے کروی نقاط میں انکمپریسیبل نیویئر-اسٹوکس مساوات، کنیمیٹک ویسکوٹی کو تبدیل کرتی ہے اور دوبارہ ترتیب دیتی ہے جس کے ذریعے بڑے پیمانے پر تحفظ کی پیداوار سے متبادل ہوتا ہے۔ نوٹ کریں کہ ویسکوس اصطلاحات متبادل کے دوران منسوخ ہو جاتی ہیں۔ متغیرات کو الگ کرنا اور بلبلے کی حد سے مربوط کرنا باؤنڈری کنڈیشنز دیتا ہے۔ آئیے مائع میں عام تناؤ ہو جو بلبلے کے مرکز سے ریڈیئل طور پر باہر کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ کروی نقاط میں، مستقل کثافت اور مستقل گاڑھاپن والے سیال کے لیے، اس لیے بلبلے کی سطح کے کچھ چھوٹے حصے پر، ٹکڑے ٹکڑے پر کام کرنے والی فی یونٹ رقبے کی خالص قوت وہ جگہ ہے جہاں سطح کا تناؤ ہوتا ہے۔ اگر حد کے پار کوئی بڑے پیمانے پر منتقلی نہیں ہوتی ہے، تو یہ قوت فی اکائی رقبہ صفر ہونی چاہیے، لہذا رفتار کے تحفظ کا نتیجہ بن جاتا ہے جس کے ذریعے دوبارہ ترتیب دینا اور جانے دینا ریلیگ-پلیسیٹ مساوات دیتا ہے۔ وقت کے حوالے سے مشتقات کی نمائندگی کرنے کے لیے ڈاٹ نوٹیشن کا استعمال کرتے ہوئے، ریلیگ-پلیسیٹ مساوات کو زیادہ مختصر طور پر حل کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ حال ہی میں، خالی اور گیس سے بھرے بلبلے دونوں کے لیے ریلیگ-پلیسیٹ مساوات کے لیے تجزیاتی بند شکل کے حل پائے گئے اور انہیں این جہتی کیس میں عام کیا گیا۔ اس صورت کا بھی مطالعہ کیا گیا جب کیپلرٹی کے اثرات کی وجہ سے سطح کا تناؤ موجود ہوتا ہے۔ نیز، اس خاص معاملے کے لیے جہاں سطح کے تناؤ اور چپچپا پن کو نظر انداز کیا جاتا ہے، اعلی درجے کے تجزیاتی تخمینے بھی معلوم ہوتے ہیں۔ جامد صورت میں، ریلیگ-پلیسیٹ مساوات آسان بناتی ہے، جس سے ینگ-لیپلیس مساوات حاصل ہوتی ہے: جب بلبلے کے رداس اور دباؤ میں صرف لامحدود دورانیے کے تغیرات پر غور کیا جاتا ہے، تو آر پی مساوات بلبلے کے ارتعاش کی قدرتی تعدد کا اظہار بھی کرتی ہے۔ حوالہ جات سیال حرکیات سیال حرکیات کی مساوات عام تفریق مساوات