Eilenberg–Ganea theorem
ریاضی میں، خاص طور پر ہومیولوجیکل الجبرا اور الجبرائی ٹوپولوجی میں، ایلن برگ-گانیہ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ہر حتمی طور پر تیار کردہ گروپ G کے لیے اس کے ہم آہنگی طول و عرض (یعنی) پر کچھ شرائط کے ساتھ، کوئی بھی طول و عرض n کا ایک ایسفریکل سی ڈبلیو کمپلیکس X تشکیل دے سکتا ہے جس کا بنیادی گروپ G ہے۔ تھیوریم کا نام پولینڈ کے ریاضی دان سیموئل ایلن برگ اور رومانیہ کے ریاضی دان ٹیوڈر گانیہ کے نام پر رکھا گیا ہے۔ یہ نظریہ پہلی بار 1957 میں اینلز آف میتھمیٹکس میں ایک مختصر مقالے میں شائع ہوا تھا۔ تعریف گروپ کوہمولوجی: آئیے ایک گروپ بنیں اور آئیلین برگ-میک لین کی متعلقہ جگہ بنیں۔ پھر ہمارے پاس مندرجہ ذیل واحد سلسلہ کمپلیکس ہے جو گروپ رنگ کے اوپر کا ایک آزاد ریزولوشن ہے (جہاں ایک ٹریوئل-ماڈیول ہے): جہاں کا عالمگیر احاطہ ہے اور واحد-زنجیروں سے پیدا ہونے والا آزاد ابیلین گروپ ہے۔ - ماڈیول میں گتانک کے ساتھ گروپ کی گروپ کوہمولوجی اس سلسلہ کمپلیکس کی کوہمولوجی ہے جس میں گتانک ہوتے ہیں، اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ کوہومولوجیکل طول و عرض: اگر حقیقت: اگر زیادہ سے زیادہ لمبائی کا پروجیکٹو ریزولوشن ہے، یعنی، معمولی ماڈیول کے طور پر لمبائی کا پروجیکٹو ریزولوشن زیادہ سے زیادہ اگر اور صرف اگر تمام-ماڈیولز اور سب کے لیے ہو۔ لہذا، ہمارے پاس کوہمولوجیکل طول و عرض کی ایک متبادل تعریف مندرجہ ذیل ہے، گ کا کوہمولوجیکل طول و عرض سب سے چھوٹا n (ممکنہ طور پر انفینیٹی) ہے جس میں G کی لمبائی n کی پروجیکٹو ریزولوشن ہوتی ہے، یعنی، لمبائی n کی پروجیکٹو ریزولوشن ایک معمولی ماڈیول کے طور پر ہوتی ہے۔ ایلین برگ-گینیا تھیوریم آئیے ایک حتمی طور پر پیش کردہ گروپ بنیں اور ایک عدد بنیں۔ فرض کریں کہ کوفشنٹس کے ساتھ کا کوہمولوجیکل طول و عرض زیادہ سے زیادہ ہے، یعنی۔ پھر ایک جہتی ایسفیریکل سی ڈبلیو کمپلیکس موجود ہے جس کا بنیادی گروپ ہے، یعنی۔ اس تھیوریم کا کنورس کنورس سیلولر ہومیولوجی کا نتیجہ ہے، اور یہ حقیقت کہ ہر فری ماڈیول پروجیکٹو ہے۔ نظریہ: فرض کریں کہ X ایک ایسفریکل n جہتی CW کمپلیکس ہے جس میں π1 (X) = G ہے، پھر cdZ (G) ≤ n۔ متعلقہ نتائج اور قیاس آرائیاں n = 1 کے لیے نتیجہ گروپوں کے سروں کے بارے میں اسٹالنگز تھیوریم کے نتائج میں سے ایک ہے۔ نظریہ: کوہمولوجیکل طول و عرض کا ہر حتمی طور پر تیار کردہ گروپ آزاد ہے۔ اس بیان کو ایلین برگ-گنی قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایلنبرگ-گینیا قیاس: اگر کسی گروپ G کی ہم آہنگی جہت 2 ہے تو اس کے ساتھ ایک 2 جہتی ایسفیریکل سی ڈبلیو کمپلیکس X ہے۔ یہ معلوم ہے کہ گروپ G کے ساتھ، ایک 3 جہتی ایسفیریکل سی ڈبلیو کمپلیکس X موجود ہے۔ گروپوں کے سروں کے بارے میں ایلین برگ-گینیا قیاس گروپ کوہمولوجی کوہمولوجیکل طول و عرض اسٹالنگز تھیوریم بھی دیکھیں۔ کینتھ ایس براؤن، کوہومولوجی آف گروپس، 1982 کے اصل، گریجویٹ ٹیکسٹس ان میتھمیٹکس، 87، سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1994 کا درست ری پرنٹ۔ الجبرائی ٹوپولوجی میں ہومیولوجیکل الجبرا تھیوریمز