Probabilistic numerics
ممکنہ اعداد و شمار اطلاقی ریاضی، شماریات، اور مشین لرننگ کے چوراہے پر مطالعہ کا ایک فعال میدان ہے جو کمپیوٹیشن میں غیر یقینی کے تصور پر مرکوز ہے۔ امکانی اعداد و شمار میں، عددی تجزیہ میں کاموں جیسے انضمام کے لیے عددی حل تلاش کرنا، لکیری الجبرا، اصلاح اور تخروپن اور تفریقی مساوات کو شماریاتی، امکانی، یا بایسیئن تخمینے کے مسائل کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ عددی طریقہ ایک الگورتھم ہے جو ریاضیاتی مسئلے کے حل کا تخمینہ لگاتا ہے (نیچے دی گئی مثالوں میں مساوات کے لکیری نظام کا حل، انٹیگرل کی قدر، تفریقی مساوات کا حل، کم از کم ملٹی ویریٹ فنکشن شامل ہیں)۔ ممکنہ عددی الگورتھم میں، تخمینہ کے اس عمل کو تخمینہ، تخمینہ یا سیکھنے کے مسئلے کے طور پر سمجھا جاتا ہے اور ممکنہ تخمینہ کے فریم ورک میں محسوس کیا جاتا ہے (اکثر، لیکن ہمیشہ نہیں، بایسیئن تخمینہ)۔ رسمی طور پر، اس کا مطلب ہے کہ پہلے سے تقسیم کے لحاظ سے کمپیوٹیشنل مسئلے کے سیٹ اپ کو کاسٹ کرنا، کمپیوٹر کے ذریعہ مرتب کردہ نمبروں کے درمیان تعلق تشکیل دینا (جیسے۔ لکیری الجبرا میں میٹرکس ویکٹر ضرب، اصلاح میں میلان، انٹیگرینڈ کی اقدار یا ایک تفریق مساوات کی وضاحت کرنے والے ویکٹر فیلڈ) اور زیر بحث مقدار (لکیری مسئلے کا حل، کم از کم، انٹیگرل، حل وکر) ایک امکان فنکشن میں، اور آؤٹ پٹ کے طور پر پوسٹر ڈسٹری بیوشن کو واپس کرنا۔ زیادہ تر معاملات میں، عددی الگورتھم اندرونی انکولی فیصلے بھی لیتے ہیں کہ کن نمبروں کا حساب لگانا ہے، جو سیکھنے کا ایک فعال مسئلہ بناتا ہے۔ بہت سے مقبول ترین کلاسیکی عددی الگورتھم کی ممکنہ فریم ورک میں دوبارہ تشریح کی جا سکتی ہے۔ اس میں کنجوگیٹ گریڈینٹس کا طریقہ، نورڈسیک کے طریقے، گوسیئن کواڈریچر کے اصول، اور نیم نیوٹن کے طریقے شامل ہیں۔ ان تمام صورتوں میں، کلاسیکی طریقہ ایک باقاعدہ کم سے کم مربع تخمینے پر مبنی ہوتا ہے جو ایک گوسیائی پیشگی اور امکان سے پیدا ہونے والے پوسٹرئر اوسط سے منسلک ہو سکتا ہے۔ ایسے معاملات میں، گوسی پوسٹرئیر کا تغیر پھر مربع شدہ غلطی کے بدترین صورت کے تخمینے سے منسلک ہوتا ہے۔ ممکنہ عددی طریقے کلاسیکی، پوائنٹ تخمینہ پر مبنی تخمینہ تکنیک کے مقابلے میں کئی تصوراتی فوائد کا وعدہ کرتے ہیں: وہ ساختی غلطی کے تخمینے واپس کرتے ہیں (خاص طور پر، مشترکہ پوسٹر نمونے واپس کرنے کی صلاحیت، یعنی۔ مسئلے کے حقیقی نامعلوم حل کے لیے متعدد حقیقت پسندانہ مفروضے) ہر پیرامیٹر کے لیے نئے طریقوں کو دوبارہ ایجاد کرنے کے بجائے، اس طرح کے طریقوں میں اندرونی ہائپر پیرامیٹرز کو عام انداز میں ترتیب دینے اور کنٹرول کرنے کے لیے درجہ بند بایسیئن تخمینہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ وہ کمپیوٹڈ نمبروں اور ہدف کی مقدار کے درمیان تعلق کو بیان کرنے والے واضح امکان کا استعمال کرتے ہیں اور اس کی اجازت دیتے ہیں، اس لیے ممکنہ عددی طریقے انتہائی غیر واضح، متعصبانہ اور غیر معمولی حسابات کے نتائج بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے برعکس، ممکنہ عددی طریقے ان کمپیوٹیشن میں بھی امکان فراہم کر سکتے ہیں جنہیں اکثر کہیں اور "امکان سے پاک" سمجھا جاتا ہے کیونکہ تمام ممکنہ عددی طریقے بنیادی طور پر ایک ہی ڈیٹا ٹائپ-امکان کے اقدامات کا استعمال کرتے ہیں-ان پٹ اور آؤٹ پٹ دونوں پر غیر یقینی صورتحال کی مقدار کے لیے انہیں بڑے پیمانے پر، جامع کمپیوٹیشن میں غیر یقینی صورتحال کو پھیلانے کے لیے ایک ساتھ جکڑے جا سکتے ہیں۔ الجبرائی، تفریقی مساوات کی شکل کے بارے میں میکانکی علم، اور جسمانی دنیا میں جمع کردہ نظام کی رفتار کے مشاہدات) کو قدرتی طور پر اور الگورتھم کے اندرونی لوپ کے اندر جوڑا جا سکتا ہے، جس سے کمپیوٹیشن میں بصورت دیگر ضروری نیسٹڈ لوپس کو ہٹا دیا جا سکتا ہے، جیسے۔ الٹا مسائل۔ یہ فوائد بنیادی طور پر اسی طرح کے فنکشنل فوائد کے مساوی ہیں جو باسیائی طریقے مشین لرننگ میں پوائنٹ کے تخمینوں سے زیادہ لطف اندوز ہوتے ہیں، لاگو ہوتے ہیں یا کمپیوٹیشنل ڈومین میں منتقل ہوتے ہیں۔ عددی ٹاسک انٹیگریشن عددی انضمام کے مسئلے کے لیے ممکنہ عددی طریقے تیار کیے گئے ہیں، جن میں سب سے مقبول طریقہ جسے بایسیئن کواڈریچر کہا جاتا ہے۔ عددی انضمام میں، متعدد نکات پر فنکشن کی تشخیص کا استعمال کسی پیمائش کے خلاف فنکشن کے انٹیگرل کا اندازہ لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔ بایسیئن کواڈریچر ایک پیشگی تقسیم کی وضاحت پر مشتمل ہوتا ہے اور اس سے پہلے پوسٹریر ڈسٹری بیوشن حاصل کرنے کے لیے کنڈیشنگ پر مشتمل ہوتا ہے، پھر اس پر مضمر پوسٹریر ڈسٹری بیوشن کا حساب لگاتا ہے۔ پہلے کا سب سے عام انتخاب ایک گاؤسی عمل ہے کیونکہ اس سے ہمیں انٹیگرل پر ایک بند شکل کی پچھلی تقسیم حاصل کرنے کی اجازت ملتی ہے جو کہ ایک غیر متغیر گاؤسی تقسیم ہے۔ بایسیئن کواڈریچر خاص طور پر مفید ہوتا ہے جب فنکشن کا اندازہ لگانا مہنگا ہوتا ہے اور ڈیٹا کا طول و عرض چھوٹا سے اعتدال پسند ہوتا ہے۔ ریاضیاتی اصلاح کے لیے ممکنہ اعداد کا بھی مطالعہ کیا گیا ہے، جو پوائنٹس کے ایک سیٹ پر اس فنکشن کی (ممکنہ طور پر شور یا بالواسطہ) تشخیص کی گئی کسی معروضی فنکشن کی کم سے کم یا زیادہ سے زیادہ تلاش کرنے پر مشتمل ہوتا ہے۔ شاید اس سمت میں سب سے قابل ذکر کوشش بایسیائی اصلاح ہے، جو بایسیائی تخمینے پر مبنی اصلاح کے لیے ایک عمومی نقطہ نظر ہے۔ بایسیئن آپٹیمائزیشن الگورتھم آپٹیمائزیشن کے پورے طریقہ کار کے بارے میں ایک ممکنہ عقیدے کو برقرار رکھتے ہوئے کام کرتے ہیں۔ یہ اکثر مشاہدات پر پہلے سے مشروط گاؤسی عمل کی شکل اختیار کرتا ہے۔ یہ عقیدہ پھر مشاہدوں کو حاصل کرنے میں الگورتھم کی رہنمائی کرتا ہے جس سے اصلاح کے عمل کو آگے بڑھانے کا امکان ہوتا ہے۔ بایسیائی اصلاح کی پالیسیاں عام طور پر معروضی فنکشن پوسٹر کو ایک سستے، تفریق کے قابل حصول فنکشن میں تبدیل کرکے محسوس کی جاتی ہیں جو ہر مسلسل مشاہدے کے مقام کو منتخب کرنے کے لیے زیادہ سے زیادہ ہوتی ہیں۔ ایک نمایاں نقطہ نظر یہ ہے کہ بایسیئن سیکوینشیل تجرباتی ڈیزائن کے ذریعے ماڈل آپٹیمائزیشن کی جائے، جس میں مشاہدات کا ایک سلسلہ حاصل کرنے کی کوشش کی جائے جس سے ایک مناسب یوٹیلیٹی فنکشن کے ذریعے تشخیص کردہ سب سے زیادہ اصلاح کی پیش رفت حاصل ہو۔ اس نقطہ نظر کا ایک خوش آئند ضمنی اثر یہ ہے کہ معروضی فنکشن میں غیر یقینی صورتحال، جیسا کہ بنیادی ممکنہ عقیدے سے ماپا جاتا ہے، کلاسیکی ایکسپلوریشن بمقابلہ استحصال کی تجارت سے نمٹنے میں اصلاح کی پالیسی کی رہنمائی کر سکتی ہے۔ لوکل آپٹیمائزیشن ممکنہ عددی طریقے گہری سیکھنے کے لیے اسٹاکسٹک آپٹیمائزیشن کے تناظر میں تیار کیے گئے ہیں، خاص طور پر سیکھنے کی شرح ٹیوننگ اور لائن سرچز، بیچ سائز کا انتخاب، جلدی رکنا، کٹائی، اور پہلے اور دوسرے درجے کی تلاش کی ہدایات جیسے اہم مسائل کو حل کرنے کے لیے۔ اس ترتیب میں، اصلاح کا مقصد اکثر ڈیٹا سیٹ کے ذریعہ بیان کردہ فارم کا ایک تجرباتی خطرہ ہوتا ہے، اور ایک نقصان جو اس بات کی مقدار طے کرتا ہے کہ ایک پیشن گوئی کرنے والا ماڈل اپنے متعلقہ ان پٹ سے ہدف کی پیش گوئی کرنے پر کتنی اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے۔ وبائی غیر یقینی صورتحال اس وقت پیدا ہوتی ہے جب ڈیٹا سیٹ کا سائز بڑا ہوتا ہے اور اس پر ایک ساتھ کارروائی نہیں کی جا سکتی ہے جس کا مطلب ہے کہ مقامی مقدار (کچھ دی گئی ہے) جیسے کہ خود نقصان کی تقریب یا اس کے میلان کا معقول وقت میں حساب نہیں لگایا جا سکتا۔ لہذا، عام طور پر منی بیچنگ کا استعمال اعداد و شمار کے بے ترتیب ذیلی سیٹ پر ان مقداروں کے تخمینے لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔ ممکنہ عددی طریقے اس غیر یقینی صورتحال کو واضح طور پر نمونے بناتے ہیں اور خودکار فیصلوں اور پیرامیٹر ٹیوننگ کی اجازت دیتے ہیں۔ لکیری الجبرا کے لیے ممکنہ عددی طریقوں نے بنیادی طور پر فارم کی لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے اور تعین کاروں کی گنتی پر توجہ مرکوز کی ہے۔ طریقوں کا ایک بڑا طبقہ تکراری نوعیت کا ہوتا ہے اور مختلف ویکٹروں کے ساتھ سسٹم میٹرکس کے ساتھ بار بار میٹرکس-ویکٹر ضرب کے ذریعے حل کیے جانے والے لکیری نظام کے بارے میں معلومات جمع کرتا ہے۔ اس طرح کے طریقوں کو تقریبا حل اور میٹرکس پر مبنی نقطہ نظر میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، اس پر منحصر ہے کہ آیا یقین کا اظہار لکیری نظام کے حل پر کیا جاتا ہے یا میٹرکس کے (چھدم-) الٹا۔ عقیدے کی تازہ کاری اس بات کا استعمال کرتی ہے کہ قیاس شدہ شے میٹرکس ضرب سے یا اور کے ذریعے منسلک ہے۔ طریقہ کار عام طور پر مسئلہ کے لکیری مشاہدات کے تحت اس کی بندش کی وجہ سے گاؤسی تقسیم کو فرض کرتے ہیں۔ اگرچہ تصوراتی طور پر مختلف ہیں، یہ دونوں نظریات کمپیوٹیشنل طور پر مساوی ہیں اور فطری طور پر دائیں طرف سے جڑے ہوئے ہیں۔ ممکنہ عددی لکیری الجبرا کے معمولات کو گوسیائی عمل کو بڑے ڈیٹا سیٹوں تک پیمانے دینے کے لیے کامیابی سے لاگو کیا گیا ہے۔ خاص طور پر، وہ ایک مشترکہ گاؤسی عمل پوسٹر میں تخمینہ کی غلطی کے درست پھیلاؤ کو قابل بناتے ہیں، جو مشاہدہ کردہ اعداد و شمار کی محدود تعداد اور خرچ شدہ حساب کی محدود مقدار دونوں سے پیدا ہونے والی غیر یقینی صورتحال کی مقدار طے کرتا ہے۔ ابتدائی اور باؤنڈری ویلیو کے مسائل کے لیے عام تفریقی مساوات، عام تفریقی مساوات کے لیے ممکنہ عددی طریقے تیار کیے گئے ہیں۔ عام تفریقی مساوات کے لیے ڈیزائن کیے گئے بہت سے مختلف ممکنہ عددی طریقے تجویز کیے گئے ہیں، اور ان کو وسیع پیمانے پر درج ذیل دو زمروں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے: بے ترتیب پر مبنی طریقوں کی تعریف عام تفریقی مساوات کے لیے معیاری تعیناتی عددی طریقوں کے بے ترتیب خلل کے ذریعے کی جاتی ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ون اسٹیپ انٹیگریٹرز کے حل پر گوسیائی پریشانیوں کو شامل کرکے یا ان کے ٹائم اسٹیپ کو بے ترتیب طور پر پریشان کرکے حاصل کیا گیا ہے۔ یہ تفریق مساوات کے حل پر امکان کی پیمائش کی وضاحت کرتا ہے جس کا نمونہ لیا جا سکتا ہے۔ گوسی عمل رجعت کے طریقے اس بات پر مبنی ہیں کہ ہاتھ میں موجود تفریقی مساوات کو حل کرنے کے مسئلے کو گوسی عمل رجعت کے مسئلے کے طور پر پیش کیا جائے، دائیں ہاتھ کی طرف کی تشخیص کو مشتق پر ڈیٹا کے طور پر تعبیر کیا جائے۔ یہ تکنیکیں بایسیئن کیوبچر سے ملتی جلتی ہیں، لیکن مختلف اور اکثر غیر لکیری مشاہداتی نمونوں کو استعمال کرتی ہیں۔ اپنے بچپن میں، طریقوں کی یہ کلاس بے وقوف گوسی عمل رجعت پر مبنی تھی۔ اس میں بعد میں بہتری لائی گئی (موثر حساب کے لحاظ سے) گوس مارکوف پریورس کے حق میں جو اسٹوکاسٹک تفریق مساوات کے ذریعے وضع کیا گیا تھا، جہاں ایک جہتی ویکٹر ماڈلنگ ہے جس کے پہلے مشتقات ہیں، اور جہاں ایک جہتی براؤنین حرکت ہے۔ اس طرح کالمان فلٹرینگ پر مبنی طریقوں سے قیاس کو مؤثر طریقے سے نافذ کیا جا سکتا ہے۔ ان دونوں زمروں کے درمیان حد تیز نہیں ہے، درحقیقت بے ترتیب ڈیٹا پر مبنی ایک گوسی عمل رجعت نقطہ نظر بھی تیار کیا گیا تھا۔ ان طریقوں کا اطلاق کمپیوٹیشنل ریمینیئن جیومیٹری، الٹا مسائل، پوشیدہ قوت کے نمونوں، اور ہندسی ڈھانچے کے ساتھ تفریقی مساوات جیسے سمپلیکٹٹی میں مسائل پر کیا گیا ہے۔ جزوی تفریقی مساوات جزوی تفریقی مساوات کے لیے متعدد ممکنہ عددی طریقے بھی تجویز کیے گئے ہیں۔ عام تفریقی مساوات کی طرح، نقطہ نظر کو وسیع پیمانے پر بے ترتیب کی بنیاد پر ان میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، عام طور پر کچھ بنیادی محدود عنصر کے جال اور جو گوسیائی عمل کی رجعت پر مبنی ہوتے ہیں۔ گوسی عمل رجعت پر مبنی ممکنہ عددی پی ڈی ای حل کرنے والے بعض ترجیحات کے لیے لکیری پی ڈی ای پر کلاسیکی طریقوں کو بازیافت کرتے ہیں، خاص طور پر اوسط وزن والے بقایا طریقوں میں، جن میں گیلرکن کے طریقے، محدود عنصر کے طریقے، نیز سپیکٹرم کے طریقے شامل ہیں۔ تاریخ اور متعلقہ شعبے عددی تجزیہ اور امکان کے درمیان باہمی تعامل کو ریاضی کے متعدد دیگر شعبوں سے متاثر کیا جاتا ہے، جن میں عددی طریقوں کا اوسط کیس تجزیہ، معلومات پر مبنی پیچیدگی، گیم تھیوری، اور شماریاتی فیصلہ نظریہ شامل ہیں۔ جسے اب "ممکنہ اعداد" کہا جا رہا ہے، اس کے پیش رو 19 ویں صدی کے آخر اور 20 ویں صدی کے اوائل میں مل سکتے ہیں۔ ممکنہ اعداد و شمار کی ابتداء کا سراغ ہنری پوئنکیر کی اپنی کتاب کیلکول ڈیس پروبیبلائٹس میں کثیر الجہتی انٹرپولیشن کے ممکنہ نقطہ نظر کی بحث سے لگایا جا سکتا ہے۔ جدید اصطلاحات میں، پوئن کیری نے کسی فنکشن پر گوسیائی پیشگی تقسیم پر غور کیا، جس کا اظہار بے ترتیب گتانک کے ساتھ ایک رسمی پاور سیریز کے طور پر کیا گیا، اور اس کے پیشگی اور مشاہدات کے پیش نظر "ممکنہ اقدار" کے بارے میں پوچھا۔ عددی تجزیہ اور امکان کے باہمی تعامل میں بعد میں ایک بنیادی شراکت البرٹ سلڈن نے غیر متغیر کواڈریچر کے تناظر میں فراہم کی تھی۔ سلڈن کے ذریعہ زیر غور شماریاتی مسئلہ کسی فنکشن کے قطعی انٹیگرل کا تخمینہ تھا، اس سے پہلے براؤنین موشن کے تحت، نوڈس پر پوائنٹ وائز تشخیص تک رسائی دی گئی تھی۔ سلڈن نے دکھایا کہ، دیئے گئے کواڈریچر نوڈس کے لیے، کم سے کم اوسط مربع غلطی کے ساتھ کواڈریچر قاعدہ ٹریپیزائڈل قاعدہ ہے ؛ مزید برآں، یہ کم سے کم غلطی انٹر نوڈ وقفوں کے کیوب کے مجموعے کے متناسب ہے۔ نتیجے کے طور پر، کوئی بھی مساوی فاصلے والے نوڈس کے ساتھ ٹریپیزائڈل اصول کو کسی لحاظ سے شماریاتی طور پر بہترین کے طور پر دیکھ سکتا ہے-عددی طریقہ کار کے اوسط کیس تجزیہ کی ابتدائی مثال۔ سلدین کے نقطہ نظر کو بعد میں مائیک لارکن نے بڑھایا۔ نوٹ کریں کہ انضمام سے پہلے سلڈن کی براؤنین حرکت ایک گوسیائی پیمائش ہے اور انضمام اور نقطہ وار تشخیص کی کارروائیاں دونوں لکیری نقشے ہیں۔ اس طرح، قطعی انٹیگرل ایک حقیقی قدر والا گوسیئن بے ترتیب متغیر ہے۔ خاص طور پر، کے مشاہدہ شدہ نقطہ وار اقدار پر کنڈیشنگ کے بعد، یہ ایک عام تقسیم کی پیروی کرتا ہے جس کا مطلب ٹریپیزائڈل اصول کے برابر ہوتا ہے اور تغیر کے برابر ہوتا ہے۔ یہ نقطہ نظر بایسیئن کواڈریچر کے بہت قریب ہے، جو ایک کواڈریچر طریقہ کار کی پیداوار کو نہ صرف ایک نقطہ تخمینہ کے طور پر بلکہ اپنے آپ میں امکان کی تقسیم کے طور پر دیکھتا ہے۔ جیسا کہ ہومن اوہادی اور ساتھیوں نے نوٹ کیا ہے، عددی تخمینہ اور شماریاتی تخمینہ کے درمیان تعامل کا سراغ پالستی اور رینی، سارڈ، کیملڈورف اور واہبا (بایسی تخمینہ اور اسپلین ہموار/انٹرپولیشن کے درمیان خط و کتابت پر) اور لارکن (گوسی عمل کی رجعت اور عددی تخمینہ کے درمیان خط و کتابت پر) سے بھی لگایا جا سکتا ہے۔ اگرچہ بے ترتیب عمل سے نمونے کے طور پر ایک مکمل طور پر معروف فنکشن کو ماڈلنگ کرنے کا نقطہ نظر متضاد لگ سکتا ہے، لیکن اسے سمجھنے کے لیے ایک قدرتی فریم ورک معلومات پر مبنی پیچیدگی (آئی بی سی) میں پایا جا سکتا ہے، جو کمپیوٹیشنل پیچیدگی کی شاخ ہے جو اس مشاہدے پر مبنی ہے کہ عددی نفاذ کے لیے جزوی معلومات اور محدود وسائل کے ساتھ کمپیوٹیشن کی ضرورت ہوتی ہے۔ آئی بی سی میں، نامکمل معلومات پر کام کرنے والے الگورتھم کی کارکردگی کا تجزیہ گمشدہ معلومات کے حوالے سے بدترین صورت یا اوسط صورت (بے ترتیب) ترتیب میں کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، جیسا کہ پیکل نے مشاہدہ کیا، اوسط کیس کی ترتیب کو ایک مخالف کھیل میں ایک مخلوط حکمت عملی کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو ایک (بدترین صورت) من میکس مسئلے کو مخلوط (بے ترتیب) حکمت عملیوں پر من میکس مسئلے پر اٹھا کر حاصل کیا جاتا ہے۔ یہ مشاہدہ عددی تخمینہ اور والڈ کے فیصلہ کے نظریہ کے درمیان ایک فطری تعلق کی طرف لے جاتا ہے، جو واضح طور پر وان نیومن کے کھیل کے نظریہ سے متاثر ہے۔ اس تعلق کو بیان کرنے کے لیے مشیللی اور ریولن کی زیادہ سے زیادہ بازیابی کی ترتیب پر غور کریں جس میں کوئی شخص اس فنکشن پر لکیری پیمائش کی ایک محدود تعداد سے کسی نامعلوم فنکشن کا تخمینہ لگانے کی کوشش کرتا ہے۔ اس زیادہ سے زیادہ بازیابی کے مسئلے کو صفر رقم والے کھیل کے طور پر تشریح کرتے ہوئے جہاں پلیئر I نامعلوم فنکشن کا انتخاب کرتا ہے اور پلیئر II اس کے تخمینے کا انتخاب کرتا ہے، اور نقصانات کی وضاحت کے لیے کواڈریٹک معیار میں متعلقہ غلطیوں کا استعمال کرتے ہوئے، گوسیئن ترجیحات اس طرح کے کھیلوں کے لیے زیادہ سے زیادہ مخلوط حکمت عملیوں کے طور پر ابھرتی ہیں، اور زیادہ سے زیادہ گوسیئن پہلے کے کوویرینس آپریٹر کا تعین کواڈریٹک معیار کے ذریعے کیا جاتا ہے جو بازیابی کی متعلقہ غلطی کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ سافٹ ویئر پروبنم: ازگر میں ممکنہ اعداد۔ ProbNumDiffEq.jl: جولیا میں لاگو فلٹرنگ پر مبنی ممکنہ عددی ODE حل کرنے والے۔ ایموکٹ: غیر یقینی صورتحال میں فیصلہ سازی کے لیے موافقت پذیر ازگر ٹول باکس۔ بیک پیک: پائ ٹورچ کے اوپر بنایا گیا۔ یہ میلان کے علاوہ دیگر مقداروں کا مؤثر طریقے سے حساب لگاتا ہے۔ اوسط کیس تجزیہ معلومات پر مبنی پیچیدگی غیر یقینی مقدار حوالہ جات اطلاقی شماریات مشین لرننگ اطلاقی ریاضی بھی دیکھیں۔