Perles configuration
جیومیٹری میں، پیرلز ترتیب یوکلڈین سطح میں نو پوائنٹس اور نو لائنوں کا ایک نظام ہے جس کے لیے ہر مشترکہ طور پر مساوی احساس میں کم از کم ایک غیر معقول نمبر اس کے نقاط میں سے ایک کے طور پر ہوتا ہے۔ یہ ایک باقاعدہ پینٹاگون کی ڈائیگنلز اور سمیٹری لائنوں سے تعمیر کیا جا سکتا ہے، جس میں سمیٹری لائنوں میں سے ایک کو چھوڑ دیا جاتا ہے۔ بدلے میں، اس کا استعمال اعلی جہتی کنویکس پولی ٹاپس کی تعمیر کے لیے کیا جا سکتا ہے جنہیں عقلی نقاط نہیں دیا جا سکتا، جن میں کسی بھی معروف مثال کے سب سے کم عمودی ہوتے ہیں۔ پروجیکٹو طیارہ میں پیریلز ترتیب کے تمام احساسات پروجیکٹو تبدیلیوں کے تحت ایک دوسرے کے مساوی ہیں۔ تعمیر پیریلس ترتیب کی تعمیر کا ایک طریقہ باقاعدہ پینٹاگون اور اس کے پانچ ترچھوں سے شروع کرنا ہے۔ یہ ترچھے بیرونی پنٹاگون کے اندر گھونسلے والے چھوٹے اندرونی پنٹاگون کے اطراف بناتے ہیں۔ بیرونی پنٹاگون کا ہر ورٹیکس اندرونی پنٹاگون کے ورٹیکس کے مخالف سمت میں واقع ہے۔ ترتیب کے نو نکات ہر پینٹاگون کے پانچ عمودی میں سے چار اور دونوں پینٹاگون کے مشترکہ مرکز پر مشتمل ہوتے ہیں۔ دو مخالف چوٹیوں کو خارج کر دیا گیا ہے، ہر پینٹاگون سے ایک۔ ترتیب کی نو لائنیں پانچ لائنوں پر مشتمل ہوتی ہیں جو بیرونی پینٹاگون اور اندرونی پینٹاگون کے اطراف کے ترچھے ہوتے ہیں، اور چار لائنیں جو مرکز سے گزرتی ہیں اور دو پینٹاگون سے عمودی جوڑوں کے مخالف جوڑوں سے گزرتی ہیں۔ پروجیکٹو غیر متغیر اور غیر معقولیت پیریلس ترتیب کے احساس کی تعریف کسی بھی نو نکات اور نو لائنوں پر مشتمل ہوتی ہے جس میں ایک ہی چوراہے کے نمونے ہوتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک نقطہ اور لکیر احساس میں ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں، اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ باقاعدہ پینٹاگون سے تعمیر شدہ ترتیب میں کاٹتے ہیں۔ یوکلڈین سطح میں یا زیادہ عام طور پر، حقیقی پروجیکٹو سطح میں اس ترتیب کا ہر ادراک، ایک پروجیکٹو تبدیلی کے تحت، ایک باقاعدہ پینٹاگون سے اس طرح تعمیر شدہ ادراک کے مساوی ہے۔ چونکہ کراس تناسب، کسی بھی چار کالینیئر پوائنٹس سے متعین کردہ نمبر، پروجیکٹو ٹرانسفارمیشنز کے تحت تبدیل نہیں ہوتا ہے، اس لیے ہر احساس کے چار پوائنٹس ہوتے ہیں جن کا کراس تناسب وہی ہوتا ہے جو باقاعدہ پینٹاگون سے حاصل ہونے والے احساس میں چار کالینیئر پوائنٹس کا کراس تناسب ہوتا ہے۔ لیکن، ان چار نکات کا کراس تناسب ہے، جہاں سنہری تناسب، ایک غیر معقول نمبر ہے۔ عقلی نقاط والے ہر چار کالینیئر پوائنٹس کا عقلی کراس تناسب ہوتا ہے، اس لیے پیریلز کی ترتیب کو عقلی پوائنٹس سے حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ برانکو گرون بوم نے قیاس کیا ہے کہ ہر وہ ترتیب جسے غیر معقول لیکن غیر عقلی اعداد سے حاصل کیا جا سکتا ہے اس میں کم از کم نو پوائنٹس ہوتے ہیں۔ اگر ایسا ہے تو، پیرلز کی ترتیب پوائنٹس اور لائنوں کی سب سے چھوٹی ممکنہ غیر معقول ترتیب ہوگی۔ پولی ہیڈرل کمبینٹوریکس میں اطلاق پرلس نے اپنی ترتیب کو بارہ عمودی کے ساتھ ایک آٹھ جہتی کنویکس پولیٹوپ کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جسے اسی طرح حقیقی نقاط کے ساتھ محسوس کیا جا سکتا ہے لیکن عقلی نقاط کے ساتھ نہیں۔ ترتیب کے نکات، ان میں سے تین دوگنا ہو گئے اور ہر نقطہ سے وابستہ علامات کے ساتھ، پیریلس پولیٹوپ کا گیل خاکہ تشکیل دیتے ہیں۔ ارنسٹ اسٹینٹز کے اسٹینٹز تھیوریم کے ثبوت کو یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ ہر تین جہتی پولیٹوپ کو عقلی نقاط کے ساتھ حاصل کیا جا سکتا ہے، لیکن اب یہ معلوم ہو گیا ہے کہ چار جہتوں میں غیر معقول پولیٹوپس موجود ہیں۔ تاہم، پیریلس پولیٹوپ میں کسی بھی معروف غیر معقول پولیٹوپ کے سب سے کم عمودی حصے ہوتے ہیں۔ تاریخ اور متعلقہ کام دی پیرلز کنفیگریشن کو 1960 کی دہائی میں مائیکا پیرلز نے متعارف کرایا تھا۔ یہ پوائنٹس اور لائنوں کی غیر معقول ترتیب کی پہلی معروف مثال نہیں ہے۔ ایک 11 نکاتی مثال بیان کرتا ہے، جو دو کے مربع جڑ سے مطابقت رکھنے والی ترتیب کی تعمیر کے لیے وان اسٹاؤڈ کے تھرو کے الجبرا کو لاگو کرکے حاصل کی گئی ہے۔ باقاعدہ پروجیکٹو ترتیبات، پوائنٹس اور لائنوں کے محدود نظاموں کے مطالعہ کی ایک طویل تاریخ ہے جس میں ہر نقطہ یکساں طور پر کئی لائنوں کو چھوتا ہے اور ہر لائن یکساں طور پر کئی پوائنٹس کو چھوتی ہے۔ تاہم، ان ترتیبات کی طرح نام رکھے جانے کے باوجود، پیرلز کی ترتیب باقاعدہ نہیں ہے: اس کے زیادہ تر پوائنٹس تین لائنوں کو چھوتے ہیں اور اس کی زیادہ تر لائنیں تین پوائنٹس کو چھوتی ہیں، لیکن چار پوائنٹس کی ایک لائن اور چار لائنوں پر ایک پوائنٹ ہوتا ہے۔ اس سلسلے میں یہ پیپس کی ترتیب سے مختلف ہے، جس میں نو پوائنٹس اور نو لائنیں بھی ہیں، لیکن ہر لائن پر تین پوائنٹس اور ہر پوائنٹ کے ذریعے تین لائنیں ہیں۔ نوٹ حوالہ جات تشکیل (جیومیٹری) پولی ہیڈرل کمبینٹوریکس