Napoleon points
جیومیٹری میں، نپولین پوائنٹس ایک طیارہ مثلث سے وابستہ خصوصی پوائنٹس کا ایک جوڑا ہے۔ عام طور پر یہ خیال کیا جاتا ہے کہ ان نکات کا وجود 1804 سے 1815 تک فرانسیسیوں کے شہنشاہ نپولین بوناپارٹ نے دریافت کیا تھا، لیکن بہت سے لوگوں نے اس عقیدے پر سوال اٹھایا ہے۔ نپولین پوائنٹس مثلث کے مراکز ہیں اور انہیں کلارک کمبرلنگ کے انسائیکلوپیڈیا آف ٹرائنگل سینٹرز میں پوائنٹس X (17) اور X (18) کے طور پر درج کیا گیا ہے۔ "نپولین پوائنٹس" کا نام مثلث مراکز کی ایک مختلف جوڑی پر بھی لاگو کیا گیا ہے، جسے آئسوڈینامک پوائنٹس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ پوائنٹس کی تعریف پہلا نپولین پوائنٹ کوئی بھی طیارہ مثلث ہونا چاہیے۔ مثلث کے اطراف میں بالترتیب بیرونی طور پر تیار کردہ مساوی مثلث بنائیں۔ ان مثلثوں کے مرکز کو بالترتیب ہونے دیں۔ پھر لکیریں ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ اتفاق کا نقطہ مثلث کا پہلا نپولین نقطہ، یا بیرونی نپولین نقطہ ہے۔ مثلث کو بیرونی نپولین مثلث کہا جاتا ہے۔ نپولین کا نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ یہ مثلث ایک مساوی مثلث ہے۔ کلارک کمبرلنگ کے انسائیکلوپیڈیا آف ٹرائنگل سینٹرز میں، پہلے نپولین پوائنٹ کو X (17) سے ظاہر کیا گیا ہے۔ کے سہ رخی نقاط: کے بیری سینٹرک نقاط: دوسرا نپولین پوائنٹ کوئی بھی طیارہ مثلث ہونے دیں۔ مثلث کے اطراف میں، بالترتیب اندرونی طور پر تیار کردہ مساوی مثلث بنائیں۔ ان مثلثوں کے مرکز کو بالترتیب ہونے دیں۔ پھر لکیریں ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ اتفاق کا نقطہ دوسرا نپولین پوائنٹ، یا اندرونی نپولین پوائنٹ ہے۔ مثلث کو اندرونی نپولین مثلث کہا جاتا ہے۔ نپولین کا نظریہ اس بات پر زور دیتا ہے کہ یہ مثلث ایک مساوی مثلث ہے۔ کلارک کمبرلنگ کے انسائیکلوپیڈیا آف ٹرائنگل سینٹرز میں، دوسرے نپولین پوائنٹ کو X (18) سے ظاہر کیا گیا ہے۔ کے سہ رخی نقاط: کے باریسینٹرک نقاط: نپولین پوائنٹس سے قریب سے متعلق دو پوائنٹس فرمیٹ-ٹوریسیلی پوائنٹس ہیں (ای ٹی سی کا ایکس (13) اور ایکس (14))۔ اگر مساوی مثلث کے مرکز کو متعلقہ عمودی سے جوڑنے والی لکیریں بنانے کے بجائے اب کوئی مساوی مثلث کے محور کو مثلث کے متعلقہ عمودی سے جوڑنے والی لکیریں بناتا ہے، تو اس طرح بنائی گئی تین لکیریں دوبارہ ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ اتفاق کے نکات کو فرمیٹ-ٹوریسیلی پوائنٹس کہا جاتا ہے، بعض اوقات اور۔ فرمیٹ لائن کا چوراہا (یعنی وہ لکیر جو دو فرمیٹ-ٹوریسیلی پوائنٹس کو جوڑتی ہے) اور نپولین لائن (یعنی وہ لکیر جو دو نپولین پوائنٹس کو جوڑتی ہے) مثلث کا سممیڈین پوائنٹ (ای ٹی سی کا ایکس (6)) ہے۔ عمومییاں نپولین کے نکات کے وجود سے متعلق نتائج کو مختلف طریقوں سے عام کیا جا سکتا ہے۔ نپولین پوائنٹس کی وضاحت میں ہم اطراف میں تیار کردہ مساوی مثلث سے شروع کرتے ہیں اور پھر ان مثلثوں کے مراکز پر غور کرتے ہیں۔ ان مراکز کو مثلث ABC کے اطراف میں کھڑے آئسوسلز مثلث کے عمودی طور پر سمجھا جا سکتا ہے جس کے بنیادی زاویہ/6 (30 ڈگری) کے برابر ہوتے ہیں۔ عامیاں دوسرے مثلثوں کا تعین کرنے کی کوشش کرتی ہیں، جو جب ان کے اطراف پر کھڑے ہوتے ہیں، تو ان کے بیرونی چوٹیوں اور ان کے چوٹیوں کو جوڑنے والی ہم آہنگ لکیریں ہوتی ہیں۔ آئسوسلز مثلث یہ عمومی شکل مندرجہ ذیل پر زور دیتی ہے: اگر تین مثلث، جو دیئے گئے مثلث کے اطراف بیس کے طور پر بنائے گئے ہیں، ایک جیسے، آئسوسلز ہیں اور اسی طرح واقع ہیں، تو لکیریں ایک نقطہ پر متفق ہوتی ہیں۔ اگر مشترکہ بیس اینگل ہے، تو تین مثلثوں کے عمودی حصوں میں درج ذیل سہ رخی نقاط ہوتے ہیں۔ کے سہ رخی نقاط ہیں۔ کچھ خاص معاملات دلچسپ ہیں۔ {| کلاس = "ویکیٹیبل" |-! کی قدر! ! ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ یہ ہائپربولا منفرد کونک ہے جو پانچ نکات سے گزرتا ہے۔ مثلث کے اطراف پر کھڑے کیے گئے تین مثلثوں کو تین لکیروں کے ہم آہنگ ہونے کے لیے آئسوسیلز ہونے کی ضرورت نہیں ہے۔ اگر کسی مثلث کے اطراف میں اسی طرح کے مثلث بیرونی طور پر بنائے جاتے ہیں تو لکیریں ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ صوابدیدی مثلث لکیروں کی ہم آہنگی بہت آرام دہ حالات میں بھی برقرار رہتی ہے۔ مندرجہ ذیل نتیجہ لائنوں کے ہم آہنگی کے لیے سب سے عام شرائط میں سے ایک بیان کرتا ہے۔ اگر مثلث کسی مثلث کے اطراف میں بیرونی طور پر اس طرح بنائے جاتے ہیں کہ تب لکیریں ہم آہنگ ہوں۔ ہم آہنگی کے نقطہ کو جیکوبی نقطہ کہا جاتا ہے۔ تاریخ کاکسٹر اور گریٹزر نپولین تھیوریم کو اس طرح بیان کرتے ہیں: اگر مساوی مثلث کسی مثلث کے اطراف میں بیرونی طور پر کھڑے کیے جاتے ہیں، تو ان کے مراکز ایک مساوی مثلث بناتے ہیں۔ وہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ نپولین بوناپارٹ تھوڑا سا ریاضی دان تھا جسے جیومیٹری میں بہت دلچسپی تھی۔ تاہم، انہیں شک ہے کہ آیا نپولین اس سے منسوب نظریہ کو دریافت کرنے کے لیے کافی جیومیٹری جانتا تھا۔ نپولین کے نظریہ میں شامل نتیجہ کا سب سے قدیم ریکارڈ شدہ ظہور 1825 میں شائع ہونے والی دی لیڈیز ڈائری کے ایک مضمون میں ہے۔ لیڈیز ڈائری ایک سالانہ جریدہ تھا جو لندن میں 1704 سے 1841 تک گردش میں تھا۔ نتیجہ ڈبلیو ردرفورڈ، ووڈبرن کے ذریعہ پوچھے گئے سوال کے ایک حصے کے طور پر ظاہر ہوا۔ VII. استفسار۔ (1439) ؛ بذریعہ مسٹر ڈبلیو ردرفورڈ، ووڈبرن۔ کسی بھی مثلث اے بی سی کے تینوں اطراف پر مساوی مثلثوں (تمام عمودی یا تمام اندرونی) کی وضاحت کریں: پھر وہ لکیریں جو ان تین مساوی مثلثوں کے کشش ثقل کے مراکز میں شامل ہوتی ہیں وہ ایک مساوی مثلث تشکیل دیں گی۔ ایک مظاہرے کی ضرورت تھی۔ " تاہم، اس سوال میں نام نہاد نپولین پوائنٹس کے وجود کا کوئی حوالہ نہیں ہے۔ ریاضی کے ایک جرمن مورخ کرسٹوف جے سکریبا نے ہسٹوریا میتھمیٹکا کے ایک مقالے میں نپولین کے نکات کو نپولین سے منسوب کرنے کے مسئلے کا مطالعہ کیا ہے۔ مثلث مرکز مثلث مخروطی نپولین کا نظریہ نپولین کا مسئلہ وان اوبل کا نظریہ فرمیٹ پوائنٹ حوالہ جات مزید پڑھنے کے مثلث مراکز دیکھیں۔