Sum of four cubes problem
چار کیوب کا مجموعہ مسئلہ پوچھتا ہے کہ کیا ہر عدد انٹیجرز کے چار کیوب کا مجموعہ ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ جواب مثبت ہے، لیکن یہ قیاس نہ تو ثابت ہوا ہے اور نہ ہی اس کی تردید کی گئی ہے۔ کیوب کے مجموعے پر وارنگ کے مسئلے کے برعکس، کچھ کیوب منفی نمبر ہو سکتے ہیں، جہاں ان کا مثبت ہونا ضروری ہے۔ متبادل، اور شناخت میں اس شناخت کی طرف لے جاتے ہیں جو ظاہر کرتا ہے کہ 6 کا ہر عدد ضرب چار کیوب کا مجموعہ ہے۔ (زیادہ عام طور پر، ایک ہی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ ہر رنگ میں 6 کا ہر ضرب چار کیوب کا مجموعہ ہے۔) چونکہ ہر عدد اپنے کیوب ماڈیولو 6 سے مطابقت رکھتا ہے، اس لیے اس کے مطابق ہر عقلی عدد انٹیجرز کے پانچ کیوب کا مجموعہ ہے۔ 1966 میں، ثابت کیا گیا کہ کوئی بھی عدد جو نہ تو 4 اور نہ ہی −4 ماڈیولو 9 سے ہم آہنگ ہے، انٹیجرز کے چار کیوب کا مجموعہ ہے۔ اس کے لیے، اس نے درج ذیل شناختوں کا استعمال کیا: اور یہ شناخت (اور جو مخالف سے گزر کر ان سے اخذ کی گئی ہیں) فوری طور پر ظاہر کرتی ہیں کہ کوئی بھی عدد جو نہ تو 4 سے ہم آہنگ ہے اور نہ ہی −4 ماڈیولو 9 سے اور نہ ہی 2 سے ہم آہنگ ہے اور نہ ہی −2 ماڈیولو 18 عقلی عددوں کے چار کیوب کا مجموعہ ہے۔ مزید باریک استدلال کا استعمال کرتے ہوئے، ڈیمجینکو نے ثابت کیا کہ 2 یا −2 ماڈیولو 18 سے ہم آہنگ عدد بھی عدد کے چار کیوب کے مجموعے ہیں۔ اس لیے مسئلہ صرف انٹیجرز کے لیے پیدا ہوتا ہے جو 4 یا −4 ماڈیولو 9 سے ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ ایک مثال ہے لیکن یہ معلوم نہیں ہے کہ اس طرح کے ہر عدد کو چار کیوب کے مجموعے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے یا نہیں۔ 18x ± 2 کیس ہنری کوہن کے ڈیمجینکو کے مقالے کے ترجمہ کے مطابق، یہ شناخت اپنی تکمیلی شناختوں کے ساتھ مل کر 108x ± 38 کیس کو چھوڑ دیتی ہیں، جس سے یہ تجویز ثابت ہوتی ہے۔ وہ اپنے مقالے میں 108x±38 کیس بھی ثابت کرتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں تین کیوب کے مجموعے نوٹ اور حوالہ جات ڈیوفنٹائن مساوات ریاضی میں حل نہ ہونے والے مسائل