Kansa method
کنسا طریقہ ایک کمپیوٹر طریقہ ہے جو جزوی تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اس کا بنیادی فائدہ یہ ہے کہ اسے کمپیوٹر پر سمجھنا اور پروگرام کرنا بہت آسان ہے۔ یہ محدود عنصر کے طریقہ کار سے بہت کم پیچیدہ ہے۔ ایک اور فائدہ یہ ہے کہ یہ کثیر متغیر مسائل پر اچھی طرح سے کام کرتا ہے۔ 3 سے زیادہ خلائی متغیرات اور وقت کے ساتھ کام کرتے وقت محدود عنصر کا طریقہ پیچیدہ ہوتا ہے۔ کنسا طریقہ کار کی وضاحت باسکٹ بال کورٹ سے مشابہت کے ذریعے کی جا سکتی ہے جس میں بہت سے لائٹ بلب چھت کے پار لٹکے ہوتے ہیں۔ آپ ہر بلب کی چمک کے لیے حل کرتے ہیں تاکہ ہر بلب کے نیچے باسکٹ بال کورٹ کے فرش پر براہ راست مطلوبہ روشنی کی شدت اس مقام پر تفریقی مساوات کو حل کرے۔ لہذا اگر باسکٹ بال کورٹ کے اوپر 100 بلب لٹکے ہوئے ہیں۔ باسکٹ بال کورٹ کے فرش پر کسی بھی مقام پر روشنی کی شدت ہلکی شدت تک پہنچ جاتی ہے جو باسکٹ بال کورٹ کے فرش پر کسی بھی مقام پر تفریق مساوات کو تقریبا حل کرتی ہے۔ ایک سادہ کمپیوٹر پروگرام ہر بلب کی چمک کے لیے تکرار کے ذریعے حل کر سکتا ہے، جس سے اس طریقہ کو پروگرام کرنا آسان ہو جاتا ہے۔ اس طریقہ کار کے لیے وزنی بقایا (گیلرکن)، انضمام، یا اعلی درجے کی ریاضی کی ضرورت نہیں ہے۔ 1990 کی دہائی کے اوائل میں ای جے کنسا نے ریڈیل بیس فنکشن (آر بی ایف) کو بڑھانے کی پہلی کوشش کی، جو اس وقت بکھرے ہوئے ڈیٹا پروسیسنگ اور فنکشن کے تخمینے میں کافی مقبول تھا، تاکہ مضبوط شکل کے کولاکیشن فارمولیشن میں جزوی تفریقی مساوات کے حل تک پہنچ سکے۔ ان کا آر بی ایف کولاکیشن نقطہ نظر فطری طور پر بغیر جالی کے، پروگرام میں آسان، اور ریاضیاتی طور پر سیکھنا بہت آسان ہے۔ جلد ہی، یہ طریقہ تعلیمی برادری میں کنس طریقہ کے نام سے جانا جانے لگا۔ چونکہ آر بی ایف جہت سے قطع نظر یک جہتی یوکلڈین فاصلہ متغیر کا استعمال کرتا ہے، اس لیے کنسا طریقہ جہت اور دلچسپی کے مسائل کی ہندسی پیچیدگی سے آزاد ہے۔ یہ طریقہ ایک ڈومین قسم کی عددی تکنیک ہے اس معنی میں کہ مسئلہ کو نہ صرف حد کے حالات کو پورا کرنے کے لیے بلکہ انتظامی مساوات کو پورا کرنے کے لیے ڈومین کے اندر بھی الگ کیا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، آر بی ایف عددی طریقوں کی ایک اور قسم ہے، جسے باؤنڈری ٹائپ آر بی ایف کولاکیشن طریقہ کہا جاتا ہے، جیسے کہ بنیادی حل کا طریقہ، باؤنڈری ناٹ کا طریقہ، واحد باؤنڈری طریقہ، باؤنڈری پارٹیکل طریقہ، اور ریگولیرائزڈ میش لیس طریقہ، جس میں بیس افعال، جسے کرنل فنکشن بھی کہا جاتا ہے، گورننگ مساوات کو پورا کرتے ہیں اور اکثر بنیادی حل یا گورننگ مساوات کا عمومی حل ہوتے ہیں۔ نتیجتا، صرف باؤنڈری ڈسکریٹائزیشن کی ضرورت ہے۔ چونکہ کنسا طریقہ کار میں آر بی ایف لازمی طور پر گورننگ مساوات کو مطمئن نہیں کرتا ہے، اس لیے کسی کو آر بی ایف کا انتخاب کرنے کی زیادہ آزادی ہے۔ کنسا طریقہ کار میں سب سے زیادہ مقبول آر بی ایف ملٹیکواڈریک (ایم کیو) ہے، جو عام طور پر سپیکٹرم کی درستگی کو ظاہر کرتا ہے اگر مناسب شکل کے پیرامیٹر کا انتخاب کیا جائے۔ کنسا طریقہ، جسے ترمیم شدہ ایم کیو اسکیم یا ایم کیو کولیکیشن طریقہ بھی کہا جاتا ہے، معروف ایم کیو انٹرپولیشن سے شروع ہوا۔ اس طریقہ کار کی کارکردگی اور اطلاق کی وسیع پیمانے پر مسائل میں تصدیق کی گئی ہے۔ باؤنڈری ٹائپ آر بی ایف کولاکیشن طریقوں کے مقابلے میں، کنسا طریقہ ان مسائل کے لیے وسیع تر قابل اطلاق ہے جن کے بنیادی اور عمومی حل دستیاب نہیں ہیں، مثال کے طور پر، مختلف گتانک اور غیر لکیری مسائل۔ فارمولیشن ڈی جہتی فزیکل ڈومین کو دیکھتے ہیں اور مندرجہ ذیل باؤنڈری ویلیو پروبلم (بی وی پی) پر غور کرتے ہیں جہاں ایل ایک تفریق آپریٹر کی نمائندگی کرتا ہے اور ڈی مسئلہ کی جہت ہے، بالترتیب ڈیرچلیٹ اور نیومن حدود کی نشاندہی کرتا ہے، اور۔ کنسا طریقہ اس شکل میں آر بی ایف کے لکیری امتزاج کے ذریعے مطلوبہ فنکشن کا تخمینہ لگاتا ہے: جہاں کوفیشنٹس کا تعین کیا جانا ہے، آر بی ایف کو ظاہر کرتا ہے جیسے کہ ایم کیو۔ حل کی انفرادیت کی ضمانت کے لیے، ایک کثیر الجہتی اصطلاح کو مندرجہ ذیل طور پر شامل کیا جا سکتا ہے: کثیر الجہتی کہاں ہے۔ آر بی ایف انٹرپولیشن (4) اور (5) دونوں اکثر عملی طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ ریاضی دان مؤخر الذکر کو اس کی سخت اور ٹھوس نظریاتی بنیاد کے لیے ترجیح دیتے ہیں، جبکہ انجینئرنگ کے صارفین اکثر سابقہ کو استعمال کرتے ہیں کیونکہ یہ آسان اور آسان ہے اور زیادہ تر معاملات میں درست نتائج پیدا کرتا ہے۔ Eq کو تبدیل کرنا۔ (4) یا (5) Eqs میں۔ (1-3) نتیجے میں الجبرائی مساوات کا نظام حاصل ہوتا ہے: جہاں توسیعی گتانک کا اندازہ کرنے کے بعد، مطلوبہ فنکشن کا حساب Eq سے لگایا جا سکتا ہے۔ (4) یا (5)۔ تاریخ اور حالیہ پیش رفت پی ڈی ایز کے عددی حل عام طور پر محدود فرق طریقہ (ایف ڈی ایم)، محدود عنصر طریقہ (ایف ای ایم) یا باؤنڈری عنصر طریقہ (بی ای ایم) کے ذریعے حاصل کیے جاتے ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ ایف ڈی ایم کو بے قاعدہ ڈومین ماڈل بنانا اس وجہ سے مشکل ہے کہ اسے عام طور پر آئتاکار گرڈ سسٹم کی ضرورت ہوتی ہے۔ اگرچہ ایف ای ایم زیادہ لچکدار فریم ورک کو ایڈجسٹ کر سکتا ہے، لیکن میشنگ اور ریمشنگ معمولی نہیں ہیں۔ انجینئرنگ کے کچھ مسائل میں بی ای ایم ایک متبادل طریقہ ہے، جیسے الٹا، غیر محدود ڈومین، اور پتلی دیواروں والی ساخت کے مسائل۔ تاہم، اس کے اطلاق بڑی حد تک گورننگ مساوات کے بنیادی حل کی دستیابی کی وجہ سے محدود ہیں۔ حالیہ کئی دہائیوں میں، "میش لیس" یا "عنصر سے پاک" طریقے بہت زیادہ توجہ مبذول کراتے ہیں۔ منظر کے پیچھے محرک قوت یہ ہے کہ میش پر مبنی طریقوں جیسے کہ معیاری ایف ای ایم اور بی ای ایم کو اعلی جہتی، حرکت پذیر، اور پیچیدہ شکل کے حدود کے مسائل کو سنبھالنے میں ممنوعہ کمپیوٹیشنل کوشش کی ضرورت ہوتی ہے۔ کنسا طریقہ آر بی ایف، خاص طور پر ایم کیو، کو بغیر کسی میش یا عناصر کی ضرورت کے نوڈس پر براہ راست جوڑتا ہے اور اس لیے یہ فطری طور پر حقیقی طور پر میش لیس طریقہ ہے۔ بڑی کوششوں کے باوجود، کنس طریقہ کار کی حل پذیری کا سخت ریاضیاتی ثبوت اب بھی غائب ہے۔ اس کے علاوہ، مخلوط باؤنڈری کے حالات اس کے انٹرپولیشن میٹرکس کی ہم آہنگی کو بھی تباہ کرتے ہیں۔ حوالہ جات۔ حل پذیری کے ٹھوس ریاضیاتی تجزیے کے ساتھ ہم آہنگ ہرمائیٹ آر بی ایف کولاکیشن اسکیم کی تجویز کریں۔ تاہم، کنسا طریقہ کار اور ہم آہنگ ہرمائیٹ طریقہ کار میں ایک عام مسئلہ یہ ہے کہ حد سے ملحقہ نوڈس پر عددی حل وسطی خطے کے مقابلے میں شدت کے ایک سے دو ترتیبات سے خراب ہو جاتے ہیں۔ پی ڈی ای کولاکیشن آن دی باؤنڈری (پی ڈی ای سی بی) مؤثر طریقے سے اس کمی کو دور کرتا ہے۔ تاہم، اس حکمت عملی کے لیے حدود سے متصل ڈومین کے اندر یا باہر نوڈس کے ایک اضافی سیٹ کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان اضافی نوڈس کی صوابدیدی پوزیشننگ پیچیدہ اور ضرب سے منسلک ڈومین کے مسائل کے تخروپن میں پریشان کن مسائل کو جنم دیتی ہے۔ پی ڈی ای سی بی میں بھی واضح نظریاتی توثیق کا فقدان ہے۔ درحقیقت، اسی طرح کی حکمت عملی بھی تجویز کی گئی ہے، جو ایک ہی باؤنڈری نوڈس پر گورننگ اور باؤنڈری مساوات دونوں کو جوڑتی ہے۔ تاہم، یہ طریقہ غیر متناسب ہے اور اب بھی واضح نظریاتی بنیاد کا فقدان ہے۔ سبز دوسری شناخت کا استعمال کرتے ہوئے، ترمیم شدہ کنس طریقہ مذکورہ بالا تمام کمزوریوں کو دور کرنے کے لیے وضع کیا گیا ہے۔ ایم کیو کے لیے، اس کی شکل کا پیمانہ بڑی حد تک اس کی انٹرپولیشن غلطی کا تعین کرتا ہے۔ ملٹیکواڈریک ریڈیل بیس افعال کے خاندان سے متعلق متعدد ریاضیاتی نظریات موجود ہیں اور شکل کے پیرامیٹر کے انتخاب پر کچھ تجاویز فراہم کرتے ہیں۔ کانسا طریقہ کار کا استعمال کمپیوٹیشنل سائنسز میں بڑے پیمانے پر کیا جاتا ہے۔ میں، کانسا طریقہ پیرابولک، ہائپربولک اور ایلیپٹک جزوی تفریق مساوات کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ کنسا طریقہ کار کو حال ہی میں مختلف عام اور پی ڈی ایز تک بڑھایا گیا ہے جن میں ٹشو انجینئرنگ کے مسائل کے دو فاسیک اور ٹرائی فیسیک مرکب ماڈل، شاک ویو کے ساتھ 1 ڈی غیر لکیری برگر کی مساوات، جوار اور موجودہ تخروپن کے لیے اتلی پانی کی مساوات، حرارت کی منتقلی کے مسائل، آزاد حد کے مسائل، اور فریکشنل ڈفیوژن مساوات شامل ہیں۔ ریڈیل بیس فنکشن بنیادی حلوں کا طریقہ باؤنڈری ناٹ طریقہ باؤنڈری پارٹیکل طریقہ سنگلر باؤنڈری طریقہ بیرونی روابط ترمیم شدہ کنسا طریقہ حوالہ جات جزوی تفریق مساوات