Invariant decomposition
غیر متغیر سڑنا گروپوں کے عناصر کا آرتھوگنل آنے جانے والے عناصر میں سڑنا ہے۔ یہ ان کے ذیلی گروپوں میں بھی درست ہے، مثلا۔ آرتھوگنل، چھدم-یوکلڈین، کنفارمل، اور کلاسیکی گروہ۔ چونکہ پن گروپوں کے عناصر مبنی عکاسی کی ساخت ہیں، اس لیے غیر متغیر سڑنے کا نظریہ پڑھتا ہے۔ ہر عکاسی کو نقل و حمل کے عوامل میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ اسے غیر متغیر سڑنا کہا جاتا ہے کیونکہ یہ عوامل-عکاسی کے غیر متغیر ہیں۔ ایک معروف خاص معاملہ چیسلز تھیوریم ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ جسم کی کسی بھی سخت حرکت کو ایک ہی لائن کے ارد گرد، اس کے بعد یا اس سے پہلے گردش میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ گردش اور ترجمہ دونوں دو لائنیں غیر متغیر چھوڑتے ہیں: گردش کا محور اور ترجمہ کا آرتھوگنل محور۔ چونکہ گردش اور ترجمے دونوں بائریفلیکشنز ہیں، اس لیے تھیوریم کا ایک زیادہ تجریدی بیان پڑھتا ہے کہ "ہر کواڈریفلیکشن کو کمیوٹنگ بائریفلیکشنز میں تقسیم کیا جا سکتا ہے"۔ اس شکل میں بیان مثال کے طور پر بھی درست ہے۔ اسپیس ٹائم الجبرا، جہاں کسی بھی لورینٹز تبدیلی کو نقل و حرکت کی گردش اور فروغ میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ بائیوکٹر سڑنا کل جہت کے ہندسی الجبرا میں کسی بھی بائیوکٹر کو آرتھوگنل کمیوٹنگ سادہ بائیوکٹرز میں سڑ دیا جا سکتا ہے جو مطمئن کرتے ہیں۔ تعریف، ان کی خصوصیات کا خلاصہ (کوئی مجموعہ نہیں) کے طور پر کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد خصوصیت والی کثیر الجہتی تعریف کے حل کے طور پر پائے جاتے ہیں اور، حل اس کے ذریعہ دیئے جاتے ہیں۔ کی اقدار بعد میں اس اظہار کو مربع کرکے اور دوبارہ ترتیب دے کر پائی جاتی ہیں، جس سے کثیر الجہتی حاصل ہوتا ہے۔ کے لیے پیچیدہ اقدار کی اجازت دینے سے، مارسل ریز کی جوابی مثال حقیقت میں حل کی جا سکتی ہے۔ غیر متغیر سڑنے کے لیے یہ بند فارم حل صرف 1 کی الجبرائی ضرب کے ساتھ آئجین ویلیوز کے لیے درست ہے۔ انحطاط کے لیے غیر متغیر سڑنا اب بھی موجود ہے، لیکن بند فارم حل کا استعمال کرتے ہوئے نہیں پایا جا سکتا۔ ایکسپونینشیل نقشہ A-عکاسی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے کہ جہاں ایک بائی ویکٹر ہے، اور اس طرح ایک فیکٹرائزیشن کی اجازت دیتا ہے۔ اس لیے غیر متغیر سڑنا ایکسپونینشیلز کے لیے ایک بند فارم فارمولا دیتا ہے، کیونکہ ہر مربع ایک اسکیلر پر ہوتا ہے اور اس طرح اویلر کے فارمولے کی پیروی کرتا ہے: حد کا احتیاط سے جائزہ لینا دیتا ہے اور اس طرح ترجمے بھی شامل ہوتے ہیں۔ روٹر فیکٹرائزیشن ایک عکاسی کو دیکھتے ہوئے ہم فیکٹرائزیشن کو تلاش کرنا چاہیں گے۔ سادہ بائی ویکٹر کی وضاحت کہاں کی جائے۔ یہ بائی ویکٹرز براہ راست بائی ویکٹرز کے لیے مندرجہ بالا حل کا استعمال کرتے ہوئے پایا جا سکتا ہے جہاں سے گریڈ کا حصہ منتخب ہوتا ہے۔ بیویکٹرز ملنے کے بعد، سیدھے سیدھے پرنسپل لوگرتھم کے طور پر پایا جاتا ہے انٹو کے سڑنے کے بعد، ہر سادہ روٹر کا پرنسپل لوگرتھم اس کے ذریعہ دیا جاتا ہے اور اس طرح کا لوگرتھم جنرل پن گروپ عناصر کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ اب تک ہم نے صرف عناصر پر غور کیا ہے، جو کہ-عکاسی ہیں۔ غیر متغیر سڑنے کو a-عکاسی تک بڑھانے کے لیے، ہم استعمال کرتے ہیں کہ ویکٹر حصہ ایک عکاسی ہے جو پہلے سے ہی-عکاسی کے ساتھ منتقل ہوتا ہے، اور اس کے لیے آرتھوگنل ہے۔ اس کے بعد مسئلہ کم ہو کر اوپر بیان کردہ طریقہ استعمال کرنے کے سڑنے کو تلاش کرنے تک کم ہو جاتا ہے۔ غیر متغیر بائویکٹرز بائویکٹرز متعلقہ کے غیر متغیر ہیں کیونکہ وہ اس کے ساتھ سفر کرتے ہیں، اور اس طرح گروپ کنجگیشن کے تحت چیسلز تھیوریم کی مثال پر واپس جاتے ہوئے جیسا کہ تعارف میں دیا گیا ہے، 3D میں سکرو موشن دو لائنوں کو غیر متغیر چھوڑ دیتا ہے اور، جو گردش کے محور اور افق پر ترجمہ کے آرتھوگنل محور سے مطابقت رکھتا ہے۔ جب کہ پوری جگہ سکرو حرکت سے گزرتی ہے، یہ دونوں محور اس کے ذریعے تبدیل نہیں ہوتے ہیں۔ تاریخ غیر متغیر سڑنے کی جڑیں مارسل ریز کے بائی ویکٹرز کے بارے میں کیے گئے ایک بیان میں ملتی ہیں: کیا کسی بھی بائی ویکٹر کو باہمی آرتھوگنل سادہ بائی ویکٹرز کے براہ راست مجموعے میں تحلیل کیا جا سکتا ہے؟ ریاضیاتی طور پر، اس کا مطلب یہ ہوگا کہ جہتی ہندسی الجبرا میں دیئے گئے بائی ویکٹر کے لیے، زیادہ سے زیادہ بائی ویکٹر تلاش کرنا ممکن ہونا چاہیے، جیسے کہ، جہاں مطمئن ہو اور اسکوائر سے اسکیلر ہونا چاہیے۔ مارسل ریز نے کچھ مثالیں دیں جو اس قیاس آرائی کی طرف لے جاتی ہیں، لیکن ایک (بظاہر) جوابی مثال بھی۔ جیومیٹرک الجبرا میں قیاس آرائی کا پہلا اور عمومی حل ڈیوڈ ہیسٹینس اور گیریٹ سوبزک نے دیا تھا۔ تاہم، یہ حل خالص طور پر یوکلڈین خالی جگہوں تک محدود تھا۔ 2011 میں (3 ڈی سی جی اے) میں حل لیو ڈورسٹ اور رابرٹ جان والکن برگ نے شائع کیا تھا، اور یہ لورینٹزیائی دستخط میں پہلا حل تھا۔ نیز 2011 میں، چارلس گن ڈیجینریٹ میٹرک میں حل دینے والے پہلے شخص تھے۔ اس نے پہلی جھلک پیش کی کہ اصول میٹرک سے آزاد ہو سکتا ہے۔ پھر، 2021 میں، مکمل میٹرک اور طول و عرض آزاد بند فارم حل مارٹن رویلفس نے اپنے پی ایچ ڈی مقالے میں دیا تھا۔ اور چونکہ جیومیٹرک الجبرا میں بائی ویکٹرز لائ الجبرا کی تشکیل کرتے ہیں، اس لیے اس مقالے کا استعمال سب سے پہلے گروپوں کے عناصر کو آرتھوگنل آمد و رفت کے عوامل میں تحلیل کرنے کے لیے کیا گیا تھا جو ہر ایک اویلر کے فارمولے کی پیروی کرتا ہے، اور ان گروپوں کے لیے بند شکل کے ایکسپونینشل اور لوگرتھمک افعال پیش کرنے کے لیے۔ اس کے بعد مارٹن رویلفس اور اسٹیون ڈی کینک کے ایک مقالے میں غیر متغیر سڑنے کو نہ صرف عناصر کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا گیا تھا، اور اس سے گزرے بغیر عناصر کی براہ راست سڑنا پایا گیا۔ حوالہ جات گروپ تھیوری