Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
ریاضی کی ترقی کی طاقتوں کے مجموعے کا حساب لگانے والے کثیر الجہتی متغیر میں کثیر الجہتی ہوتے ہیں جو مخصوص ریاضی کی ترقی پر منحصر ہوتے ہیں جو خلاصہ شدہ طاقتوں کی بنیاد بناتے ہیں اور مستقل ایکسپونینٹ، غیر منفی عدد، دونوں پر منحصر ہوتے ہیں۔ ان کی ڈگری ہمیشہ ایک یونٹ کے ذریعہ مستقل ایکسپونینٹ سے تجاوز کرتی ہے اور اس کی خاصیت یہ ہے کہ جب کثیر الجہتی متغیر خلاصہ شدہ اضافے کی تعداد کے ساتھ موافق ہوتا ہے تو کثیر الجہتی فنکشن کا نتیجہ بھی رقم کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ اس لیے مسئلہ تلاش کرنے پر مشتمل ہے یعنی۔ ضمیمہ کے مجموعے کا حساب لگانے کے فنکشن کے طور پر کثیر الجہتی: مثبت کے ساتھ اور انٹیجرز، ریاضی کی ترقی کی پہلی اصطلاح اور مشترکہ فرق۔ یہ دونوں پیرامیٹرز نہ صرف انٹیجرز ہو سکتے ہیں بلکہ عقلی، حقیقی اور پیچیدہ بھی ہو سکتے ہیں۔ تاریخ قدیم دور اس مسئلے کی تاریخ قدیم زمانے میں شروع ہوتی ہے اور اس کے کچھ خاص معاملات کے ساتھ موافق ہوتی ہے۔ یہ معاملہ ریاضی کی سیریز کے حساب سے مطابقت رکھتا ہے، جو ریاضی کی ترقی کی پہلی اقدار کا مجموعہ ہے۔ یہ مسئلہ کافی آسان ہے لیکن سہ رخی اعداد کے ساتھ اس کے تعلق کے لیے پایتھاگورین اسکول پہلے سے ہی جس معاملے کو جانتا ہے وہ تاریخی طور پر دلچسپ ہے: پہلی قدرتی تعداد کے مجموعے کا حساب لگانے والی کثیر الجہتی۔ ریاضی کی تاریخ میں سامنے آنے والے پہلے معاملات یہ ہیں: کثیر الجہتی ایک مربع بنانے والے پہلے مسلسل مشکلات کے مجموعے کا حساب لگانا۔ ایک ایسی خاصیت جسے شاید خود پائتھاگوری لوگ اچھی طرح جانتے تھے، جنہیں اپنے اعداد کی تعمیر میں، اگلے کامل مربع کو حاصل کرنے کے لیے ہر بار پوائنٹس کی ایک عجیب تعداد پر مشتمل گنومون کا اضافہ کرنا پڑتا تھا۔ مسلسل انٹیجرز کے مربعوں کے مجموعے کا حساب لگانے والی کثیر الجہتی۔ خاصیت جو ہمیں سرپل میں دکھائی دیتی ہے، آرکیمیڈیز کا ایک کام ؛ پولینومیل مسلسل انٹیجرز کے کیوب کے مجموعے کا حساب لگاتا ہے۔ گیراسا کے نیکوماکس کے تھیوریم کا کورلری۔ ان صورتوں کا ایل انسیم، جن سے دو سابقہ کثیر الجہتی تعلق رکھتے ہیں، یکے بعد دیگرے انٹیجرز کی طاقتوں کا کلاسیکی مسئلہ تشکیل دیتے ہیں۔ قرون وسطی کے دوران، بہت سے دوسرے ریاضی دانوں نے اس مسئلے میں دلچسپی لی اور اس کے حل میں مختلف کردار ادا کیے۔ ان میں آریہ بھٹ، الکراجی، ابن الحیاتم، تھامس ہیریئٹ، جوہان فولہیبر، پیئر ڈی فرامت اور بلیز پاسکل شامل ہیں جنہوں نے ایک شناخت پر غور کرکے یکے بعد دیگرے آنے والی طاقتوں کے مجموعے کے مسئلے کو بار بار حل کیا جس کی وجہ سے پہلے سے جانتی ہوئی ڈگری کا کثیر الجہتی حاصل کرنے کی اجازت ملی۔ 1713 میں جیکب برنولی کے خاندان نے بعد از مرگ اپنا "آرٹیس کانجیکٹینڈی" شائع کیا جہاں اس لامحدود سلسلے کے پہلے 10 کثیر الجہتی ایک عام فارمولے کے ساتھ ایک ساتھ ظاہر ہوتے ہیں جو خاص اعداد پر منحصر ہوتے ہیں جو جلد ہی ان کے نام پر رکھے گئے تھے۔ اس کے بجائے اس فارمولے کو جوہان فولہیبر سے منسوب کیا گیا تھا کیونکہ خود برنولی نے ان کی قابل شراکت کو تسلیم کیا تھا۔ یہ بھی فوری طور پر واضح ہو گیا کہ صفر سے شروع ہونے والے یکے بعد دیگرے انٹیجرز کی طاقتوں کے مجموعے کا حساب لگانے والے کثیر الجہتی ایک سے شروع ہونے والے سے بہت ملتے جلتے تھے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ یہ واضح ہے کہ اور اس وجہ سے شکل کی ڈگری کے کثیر الجہتی یک جہتی فرق کو گھٹا دیتے ہیں جو وہ بن جاتے ہیں۔ تاہم، فولہیبر کے فارمولے کا ثبوت غائب تھا، جو ایک صدی سے زیادہ عرصے بعد کارل جی جیکوبی نے دیا تھا جس نے برنولی نمبروں کو پیدا کرنے والے ایک ایکسپونینشل فنکشن کی لامحدود سیریز میں ترقی کا استعمال کرتے ہوئے ریاضیاتی تجزیہ کی پیشرفت سے فائدہ اٹھایا۔ جدید دور 1982 میں اے ڈبلیو ایف ایڈورڈز ایک مضمون شائع کرتا ہے جس میں وہ ظاہر کرتا ہے کہ پاسکل کی شناخت کا اظہار مثلث میٹرکس کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جس میں پاسکل کا مثلث ہر لائن کے آخری عنصر سے محروم ہے: مثال پانچویں آرڈر میٹرکس کے انتخاب سے محدود ہے لیکن آسانی سے اعلی آرڈرز تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: اور مساوات کے دونوں اطراف کو بائیں طرف میٹرکس A کے الٹا سے ضرب دیتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں جو براہ راست برنولی نمبروں کا استعمال کیے بغیر کثیر الجہتی گتانک پر براہ راست پہنچنے کی اجازت دیتا ہے۔ ایڈورڈز کے بعد پاور سم کے مسئلے کے مختلف پہلوؤں سے نمٹنے والے دوسرے مصنفین میٹرکس کا راستہ اختیار کرتے ہیں اور اپنے مضامین کے مفید ٹولز جیسے وینڈرمونڈے ویکٹر میں مسئلے کے پہلوؤں کا مطالعہ کرتے ہیں۔ دوسرے محققین روایتی تجزیاتی راستے کے ذریعے تلاش کرنا جاری رکھتے ہیں اور کسی بھی ہندسی ترقی کے لیے یکے بعد دیگرے انٹیجرز کے مجموعے کے مسئلے کو عام کرتے ہیں۔ کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس تکراری فارمولوں کے ذریعے پائے جاتے ہیں اور دوسرے طریقوں سے جو نمبر تھیوری کے لیے دلچسپ ہوتے ہیں جیسا کہ برنولی کثیر الجہتی کے فنکشن کے طور پر جمع کے نتیجے کا اظہار یا سٹرلنگ نمبروں اور پہلی اور دوسری قسم کے آر وٹنی نمبروں پر مشتمل فارمولے۔ آخر کار، ایڈورڈز کے میٹرکس کے نقطہ نظر کو کسی بھی ریاضی کی ترقی کے لیے بھی عام کیا گیا تھا۔ میٹرکس طریقہ کار کے ذریعے حل عام مسئلہ حال ہی میں بائنومیل میٹرکس کے استعمال کے ذریعے حل کیا گیا ہے جو بائنومیل کوفیشنٹس اور پاسکل کو جان کر آسانی سے تعمیر ہوتے ہیں۔ یہ دکھایا گیا ہے کہ، پیرامیٹرز کو منتخب کرنے کے بعد اور جو ریاضی کی ترقی اور ایک مثبت عدد کا تعین کرتے ہیں، ہمیں درج ذیل طاقتوں کے مجموعے سے مطابقت رکھنے والے کثیر الجہتی ملتے ہیں: ترتیب کے مثلث میٹرکس کی قطار کے کثیر الجہتی گتانک عناصر کے ساتھ۔ یہاں مخصوص معاملے میں حل کرنے کا فارمولا ہے جو 0 سے 3 تک کے متغیرات کے ساتھ دی گئی ریاضی کی ترقی کے کثیر الجہتی کو دیتا ہے: وہ مساوات جسے آسانی سے m (غیر منفی انٹیجرز) کی مختلف اقدار تک بڑھایا جا سکتا ہے اس کا خلاصہ اور عمومی شکل اس طرح کی جاتی ہے: یا اس کے ساتھ رکھ کر بھی۔ یہاں میٹرکس اور وینڈرمونڈے ویکٹر کی سخت تعریف ہے: اس کے نتیجے میں میٹرکس A ایڈورڈز کا ہے جو پہلے ہی دیکھا گیا ہے، ایک نچلا مثلث میٹرکس جو دوبارہ پیش کرتا ہے، غیر صفر عناصر میں، پاسکل کا مثلث ہر صف کے آخری عنصر سے محروم ہے۔ دوسری طرف کے عناصر پاور ڈویلپمنٹ کے مونومیلز ہیں۔ کالم پروڈکٹ کے لحاظ سے صف کا غیر جانبدار عنصر ہے تاکہ اس معاملے میں عمومی مساوات بن جائے: یہی وہ ہے جو ایڈورڈز نے دریافت کیا ہے۔ عمومی کو ثابت کرنے کے لیے اس مخصوص معاملے سے آنے کے لیے، مساوات کے دو ممبروں کو بائیں طرف میٹرکس سے ضرب دینا کافی ہے، مندرجہ ذیل شناخت کا تعین کرنے کے بعد یکے بعد دیگرے عجیب اعداد کی طاقتوں کا مجموعہ ہم یکے بعد دیگرے مشکلات کی طاقتوں کو شامل کرنے کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے پچھلے فارمولے کا استعمال کرتے ہیں: مشکلات پہلے عنصر کے ساتھ ریاضی کی ترقی سے مطابقت رکھتی ہیں اور اس وجہ سے ہم نے m = 4 کو پہلے پانچ کثیر الجہتی تلاش کرنے کے لیے مقرر کیا ہے جو عجیب طاقتوں کے مجموعے کا حساب لگاتے ہیں۔ حساب سے ہم حاصل کرتے ہیں: اس لیے ہمارے پاس پروڈکٹ کے لیے اور ہونے والے نقصان کے لیے عمومی مساوات ہے: آخری لائن () کا استعمال کرتے ہوئے ہم پھر حاصل کرتے ہیں اور دوسری قطاریں استعمال کرتے ہیں: 1 سے شروع ہونے والے یکے بعد دیگرے انٹیجرز کا مجموعہ منتخب اور حساب شدہ اور T (1,1) جو پاسکل کے مثلث سے مطابقت رکھتا ہے: 0 سے شروع ہونے والے یکے بعد دیگرے انٹیجرز کا مجموعہ منتخب اور حساب شدہ اور T (0,1) یونٹ میٹرکس: ترقی-1,3,7، 11,15۔ دوبارہ منتخب کیا گیا، حساب لگایا گیا، پچھلے پیراگراف اور ایسوسی ایٹیو پراپرٹی کے نتیجے کا استحصال کیا گیا: فولہیبر کے فارمولے کی عمومی کاری میٹرکس کو برنولی کثیر الجہتی کے فنکشن کے طور پر مندرجہ ذیل طریقے سے ظاہر کیا جا سکتا ہے جس کے لیے عمومی فولہیبر فارمولہ اخذ کیا گیا ہے: اور معروف خصوصی معاملات بھی: جہاں 0 میں شمار ہونے والے برنولی کثیر الجہتی برنولی نمبر ہیں اور 1 میں شمار ہونے والے اس کے تبدیل شدہ نشان کے ساتھ متغیر ہیں۔ برنولی کے کثیر الجہتی کے ترجمے کی خاصیت ہونے کی وجہ سے، عمومی فولہیبر فارمولا ادب میں دوسرے کے برعکس بہت وسیع ہو سکتا ہے۔ لہذا دو خاص معاملات بھی: حوالہ جات ریاضی کی پیش رفت بھی دیکھیں۔ فولہیبر کا فارمولا پاسکل کا مثلث بائنومیل تھیوریم برنولی کثیر الجہتی