Spectral submanifold
متحرک نظاموں میں، سپیکٹرم سب منی فولڈ (ایس ایس ایم) منفرد سب سے ہموار غیر متغیر کئی گنا ہے جو غیر لکیری کے اضافے کے تحت لکیری متحرک نظام کے سپیکٹرم سب اسپیس کی غیر لکیری توسیع کے طور پر کام کرتا ہے۔ ایس ایس ایم تھیوری ایسے حالات فراہم کرتی ہے جب لکیری متحرک نظام کی آئجین اسپیس کی غیر متغیر خصوصیات کو غیر لکیری نظام تک بڑھایا جا سکتا ہے، اور اس وجہ سے غیر لکیری جہت میں کمی میں ایس ایس ایم کے استعمال کی ترغیب دیتا ہے۔ تعریف فارم کی غیر لکیری عام تفریق مساوات پر غور کریں جس میں مستقل میٹرکس اور ہموار فنکشن میں موجود غیر لکیریتیں ہوں۔ فرض کریں کہ تمام آئجین ویلیوز کے لیے، یعنی اصل ایک غیر علامتی طور پر مستحکم فکسڈ پوائنٹ ہے۔ اب کے آئجین ویکٹروں کا ایک دورانیہ منتخب کریں۔ پھر، آئجین اسپیس لکیری نظام کی ایک غیر متغیر ذیلی جگہ ہے۔ لکیری نظام میں غیر لکیری کے اضافے کے تحت، عام طور پر لامحدود طور پر بہت سے غیر متغیر کئی گنا میں گھس جاتا ہے۔ ان غیر متغیر کئی گنا میں، منفرد سب سے ہموار کو سپیکٹرم سب منی فولڈ کہا جاتا ہے۔ غیر مستحکم ایس ایس ایم کے لیے ایک مساوی نتیجہ برقرار رہتا ہے۔ وجود اصل میں سپیکٹرم سب مینفولڈ ٹینجینٹ کے وجود کی ضمانت دی جاتی ہے بشرطیکہ کچھ غیر گونج حالات کے سپیکٹرم میں آئجن ویلیوز سے مطمئن ہوں۔ خاص طور پر، سپیکٹرم سب اسپیس سے باہر کے آئجن ویلیوز میں سے کسی ایک کے برابر کا کوئی لکیری مجموعہ نہیں ہو سکتا۔ اگر اس طرح کی بیرونی گونج ہے، تو کوئی گونج موڈ کو شامل کر سکتا ہے اور تجزیہ کو توسیعی سپیکٹرم سب اسپیس سے متعلق اعلی جہتی ایس ایس ایم تک بڑھا سکتا ہے۔ غیر خود مختار توسیع سپیکٹرم سب مینفولڈز پر نظریہ ایک نیم مدتی مجبور اصطلاح کے ساتھ شکل کے غیر لکیری غیر خود مختار نظاموں تک پھیلا ہوا ہے۔ اہمیت سپیکٹرم ذیلی مینی فولڈ متحرک نظاموں میں سخت غیر لکیری جہت میں کمی کے لیے مفید ہیں۔ اعلی جہتی مرحلے کی جگہ کو کم جہتی کئی گنا تک کم کرنا نظام کے اہم غیر علامتی رویے کی درست وضاحت کی اجازت دے کر بڑی آسانیوں کا باعث بن سکتا ہے۔ ایک معروف متحرک نظام کے لیے، ایس ایس ایم کو غیر متغیر مساوات کو حل کرکے تجزیاتی طور پر شمار کیا جا سکتا ہے، اور ایس ایس ایم پر کم ماڈل کو مجبور کرنے کے ردعمل کی پیش گوئی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں ان کئی گنا کو مشین لرننگ الگورتھم کے استعمال سے متحرک نظام کے ٹریجیکٹوری ڈیٹا سے بھی براہ راست نکالا جا سکتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ غیر متغیر کئی گنا غیر لکیری جہت میں کمی لگرینجین مربوط ڈھانچہ حوالہ جات بیرونی لنکس ٹول برائے خودکار ایس ایس ایم کمپیوٹیشن متحرک نظام