Feuerbach hyperbola
جیومیٹری میں، فیورباخ ہائپربولا ایک آئتاکار ہائپربولا ہے جو اہم مثلث مراکز جیسے آرتھوسینٹر، جرگون پوائنٹ، ناگیل پوائنٹ اور شفلر پوائنٹ سے گزرتا ہے۔ ہائپربولا کا مرکز فیورباخ پوائنٹ ہے، جو اندرونی دائرے اور نو نکاتی دائرے کی ٹینجینسی کا نقطہ ہے۔ مساوات اس میں سہ رخی مساوات ہے (یہاں متعلقہ عمودی پر زاویہ ہیں اور بیری سینٹرک کوآرڈینیٹ ہے)۔ دیگر آئتاکار ہائپربولاس کی طرح، منحنی خطوط پر کسی بھی تین نکات کا آرتھو سینٹر ہائپربولاس پر ہوتا ہے۔ تو، مثلث کا آرتھو سینٹر منحنی خطوط پر واقع ہے۔ یہ لکیر اس ہائپربولا پر ٹینجینٹ ہے۔ او آئی کا آئسوگنل کنجوگیٹ ہائپربولا کا آئسوگنل کنجوگیٹ ہے، وہ لکیر جو سرکم سینٹر اور انسینٹر کو جوڑتی ہے۔ یہ حقیقت چند دلچسپ خصوصیات کی طرف لے جاتی ہے۔ خاص طور پر لائن پر پڑے تمام پوائنٹس کے آئسوگنل کنجوگیٹس ہائپربولا پر پڑے ہوتے ہیں۔ ناگیل پوائنٹ منحنی خطوط پر واقع ہے کیونکہ اس کا آئسوگنل کنجوگیٹ عمودی اور مخالف مکسٹیلینر انسرکل ٹچ پوائنٹس میں شامل ہونے والی لکیروں کا ہم آہنگی کا نقطہ ہے، جو اندرونی دائرے اور دائرہ کی مماثلت بھی ہے۔ اسی طرح، جرگون پوائنٹ منحنی خطوط پر واقع ہے کیونکہ اس کا آئسوگنل کنجوگیٹ اندرونی دائرے اور دائرے کی سابقہ مماثلت ہے۔ ہائپربولا پر کسی بھی نقطہ کا پیڈل دائرہ ہائپربولا کے مرکز، فیورباخ پوائنٹ سے گزرتا ہے۔ کریا کا نظریہ ایک مثلث کو دیکھتے ہوئے، مثلث کے اطراف بالترتیب عمودی کے مخالف کے ساتھ اندرونی دائرے کے ٹچ پوائنٹ ہونے دیں۔ لائنوں پر پڑے ہوئے پوائنٹس کو اس طرح ہونے دیں۔ پھر، لائنیں فیورباخ ہائپربولا پر واقع ایک نقطہ پر ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ کریا کے نظریہ کی ایک طویل تاریخ ہے۔ اسے آگسٹ بوٹن اور وی نے آزادانہ طور پر ثابت کیا۔ ریٹالی۔، لیکن یہ کریا کے اخبار کے بعد ہی مشہور ہوا۔ اس وقت کے آس پاس، اس نتیجے کی بہت سی عمومی شکلیں دی گئیں۔ کریا تھیوریم کو فیورباخ ہائپربولا کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ لیموائن تھیوریم اور کریا تھیوریم دونوں جیکوبی تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہیں۔ دیگر آئتاکار ہائپربولس کیپرٹ ہائپربولا، منفرد کونک جو مثلث کے تین عمودی حصوں، اس کے مرکز، اور اس کے آرتھوسینٹر جیریبک ہائپربولا سے گزرتا ہے، ایک آئتاکار ہائپربولا جو مثلث کے نو نکاتی دائرے پر مرکوز ہے اور مثلث کے تین عمودی حصوں کے ساتھ ساتھ اس کے گردشی مرکز، آرتھوسینٹر، اور مختلف دیگر قابل ذکر مراکز سے گزرتا ہے۔