Nonlinear tides
غیر لکیری جوار جوار کے ہائیڈرو ڈائنامک مسخ سے پیدا ہوتے ہیں۔ سمندری لہر کو غیر لکیری کہا جاتا ہے جب اس کی شکل خالص سینوسائڈل لہر سے ہٹ جاتی ہے۔ ریاضیاتی لحاظ سے، گورننگ مساوات میں غیر لکیری ایڈویکشن اور فریکشنل اصطلاحات کی وجہ سے لہر اپنی غیر لکیری کا مقروض ہے۔ یہ اتلی پانی کے علاقوں جیسے دریاؤں میں زیادہ اہم ہو جاتے ہیں۔ غیر لکیری جوار کا مطالعہ ساحلی مورفوڈینامکس، ساحلی انجینئرنگ اور فزیکل اوشیانوگرافی کے شعبوں میں کیا جاتا ہے۔ جوار کی غیر لکیری تلچھٹ کی نقل و حمل کے لیے اہم مضمرات رکھتی ہے۔ ریاضیاتی نقطہ نظر سے، جوار کی غیر لکیریتا نیویئر-اسٹوکس مساوات میں موجود غیر لکیری اصطلاحات سے نکلتی ہے۔ جوار کا تجزیہ کرنے کے لیے، گہرائی کی اوسط اتلی پانی کی مساوات پر غور کرنا زیادہ عملی ہے: یہاں، اور بالترتیب زونل () اور میریڈینل () بہاؤ کی رفتار ہیں، کشش ثقل کی تیز رفتار ہے، کثافت ہے، اور بالترتیب-اور-سمت میں نچلے ڈریگ کے اجزاء ہیں، پانی کی اوسط گہرائی ہے اور پانی کی سطح کی اوسط سطح کے حوالے سے پانی کی سطح کی بلندی ہے۔ تینوں مساوات میں سے سابقہ کو تسلسل مساوات کہا جاتا ہے جبکہ دیگر بالترتیب-اور-سمت میں رفتار کے توازن کی نمائندگی کرتے ہیں۔ یہ مساوات ان مفروضوں کی پیروی کرتی ہیں کہ پانی غیر کمپریسبل ہے، کہ پانی نیچے یا سطح کو پار نہیں کرتا ہے اور سطح کے اوپر دباؤ کے تغیرات نہ ہونے کے برابر ہیں۔ مؤخر الذکر معیاری نیویئر-اسٹوکس مساوات میں دباؤ میلان کی اصطلاحات کو میلان سے تبدیل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مزید برآں، کوریولیس اور سالماتی اختلاط کی اصطلاحات کو مندرجہ بالا مساوات میں خارج کر دیا گیا ہے کیونکہ وہ اتلی پانیوں میں جوار کے عارضی اور مقامی پیمانے پر نسبتا چھوٹے ہیں۔ تدریسی مقاصد کے لیے، اس مضمون کا بقیہ حصہ صرف ایک جہتی بہاؤ پر غور کرتا ہے جس میں مثبت-direction.This میں پھیلی ہوئی سمندری لہر کا مطلب ہے کہ صفر اور تمام کوٹیٹیز-سمت میں یکساں ہیں۔ لہذا، تمام اصطلاحات صفر کے برابر ہیں اور مندرجہ بالا مساوات میں سے مؤخر الذکر من مانی ہے۔ غیر لکیری شراکتیں اس ایک جہتی معاملے میں، غیر لکیری لہریں تین غیر لکیری اصطلاحات سے متاثر ہوتی ہیں۔ یعنی ڈائیورجنس ٹرم، ایڈویکشن ٹرم، اور فریکشنل ٹرم۔ مؤخر الذکر دو طریقوں سے غیر لکیری ہے۔ سب سے پہلے، کیونکہ (تقریبا) کواڈریٹک ہے۔ دوسرا، ڈینومینیٹر میں ہونے کی وجہ سے۔ ایڈویکشن اور ڈائیورجنس ٹرم اور فریکشنل ٹرم کے اثر کا الگ سے تجزیہ کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، بیسن ٹوپوگرافی کے غیر لکیری اثرات، جیسے انٹرٹائڈل ایریا اور بہاؤ کی منحنیت مخصوص قسم کی غیر لکیری کو جنم دے سکتی ہے۔ مزید برآں، اوسط بہاؤ، مثال کے طور پر دریا کے اخراج سے، جوار کی اخترتی کے عمل کے اثرات کو تبدیل کر سکتا ہے۔ ہم آہنگی کا تجزیہ سمندری لہر کو اکثر ہم آہنگی والی لہروں کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اصل جوار (پہلا ہم آہنگ) سے مراد وہ لہر ہے جو جوار کی قوت سے پیدا ہوتی ہے، مثال کے طور پر روزانہ یا نیم روزانہ جوار۔ مؤخر الذکر کو اکثر جوار کہا جاتا ہے اور اس مضمون کے بقیہ حصے میں اسے بنیادی جوار کے طور پر استعمال کیا جائے گا۔ سمندری اشارے میں اعلی ہم آہنگی غیر لکیری اثرات سے پیدا ہوتی ہے۔ اس طرح، ہارمونک تجزیہ کو غیر لکیری اخترتی کے اثر کو سمجھنے کے لیے ایک آلے کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ کوئی یہ کہہ سکتا ہے کہ یہ بگاڑ اصل لہر سے توانائی کو اس کی اعلی ہم آہنگی کی طرف لے جاتا ہے۔ مستقل مزاجی کی خاطر، اعلی ہارمونکس جس کی تعدد بنیادی لہر کی یکساں یا عجیب ضرب ہوتی ہے، کو بالترتیب یکساں یا عجیب اعلی ہارمونکس کہا جا سکتا ہے۔ ڈائیورجنس اور ایڈویکشن ڈائیورجنس کی اصطلاح سے پیدا ہونے والی غیر لکیری کو سمجھنے کے لیے، کوئی بھی اتلی پانی کی لہر کے پھیلاؤ کی رفتار پر غور کر سکتا ہے۔ رگڑ کو نظر انداز کرتے ہوئے، لہر کی رفتار کو اس طرح دیا جاتا ہے: کم پانی (ایل ڈبلیو) کا موازنہ ہائی واٹر (ایچ ڈبلیو) کی سطح () سے کرتے ہوئے، اتلی پانی کی لہر کا تھرو (ایل ڈبلیو) کرسٹ (ایچ ڈبلیو) سے آہستہ سفر کرتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، کرسٹ گرت کے ساتھ "پکڑ لیتا ہے" اور ایک سمندری لہر غیر متناسب ہو جاتی ہے۔ ایڈویکشن کی اصطلاح سے پیدا ہونے والی غیر لکیری کو سمجھنے کے لیے، کوئی بھی سمندری کرنٹ کے طول و عرض پر غور کر سکتا ہے۔ رگڑ کو نظر انداز کرتے ہوئے، سمندری کرنٹ کا طول و عرض اس طرح دیا جاتا ہے: جب پانی کی گہرائی کے مقابلے میں سمندری حد کم نہ ہو، یعنی۔ اہم ہے، بہاؤ کی رفتار کے حوالے سے نہ ہونے کے برابر نہیں ہے۔ اس طرح، چوٹی پر لہر کے پھیلاؤ کی رفتار ہوتی ہے جبکہ گرت پر لہر کی رفتار ہوتی ہے۔ انحراف کی اصطلاح سے پیدا ہونے والی اخترتی کی طرح، اس کے نتیجے میں گرت کے ساتھ ایک چوٹی "پکڑنے" کا باعث بنتی ہے جس سے سمندری لہر غیر متناسب ہو جاتی ہے۔ غیر لکیری انحراف اور ایڈویکشن اصطلاح دونوں کے لیے، اخترتی غیر متناسب ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اس سے بھی زیادہ ہم آہنگی پیدا ہوتی ہے، جو اصل لہر کے نوڈ کے ارد گرد غیر متناسب ہوتی ہے۔ ریاضیاتی تجزیہ لکیریائزڈ اتلی پانی کی مساوات اس مفروضے پر مبنی ہیں کہ سطح سمندر کے تغیرات کا طول و عرض مجموعی گہرائی سے بہت کم ہے۔ یہ مفروضہ ضروری نہیں کہ اتلی پانی کے علاقوں میں ہو۔ رگڑ کو نظر انداز کرتے وقت، غیر لکیری یک جہتی اتلی پانی کی مساوات پڑھتی ہیں: یہاں پانی کی غیر متزلزل گہرائی ہے، جسے مستقل سمجھا جاتا ہے۔ یہ مساوات تین غیر لکیری اصطلاحات پر مشتمل ہیں، جن میں سے دو تسلسل مساوات میں بڑے پیمانے پر بہاؤ سے نکلتے ہیں (سبسکرپٹ کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے)، اور ایک مومنٹم مساوات میں شامل ایڈویکشن سے نکلتا ہے (سبسکرپٹ کے ساتھ ظاہر ہوتا ہے)۔ غیر لکیری جزوی تفریق مساوات کے اس سیٹ کا تجزیہ کرنے کے لیے، گورننگ مساوات کو غیر جہتی شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ یہ اس مفروضے کی بنیاد پر کیا جاتا ہے کہ اور ایک پھیلتی ہوئی پانی کی لہر کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جس میں پانی کی سطح کا طول و عرض، ریڈین فریکوئنسی اور ویوین نمبر ہوتا ہے۔ اس کی بنیاد پر، مندرجہ ذیل تبدیلی کے اصولوں کا اطلاق ہوتا ہے: غیر جہتی متغیرات، جنہیں ٹائلڈز سے ظاہر کیا جاتا ہے، کو جہتی متغیر کی مناسب لمبائی، وقت یا رفتار کے پیمانے سے ضرب دی جاتی ہے۔ غیر جہتی متغیرات کو جوڑتے ہوئے، گورننگ مساوات پڑھتی ہیں: غیر جہتی سے پتہ چلتا ہے کہ غیر لکیری اصطلاحات بہت چھوٹی ہیں اگر پانی کی اوسط گہرائی پانی کی سطح کے تغیرات سے بہت زیادہ ہو، یعنی۔ چھوٹا ہے۔ اس صورت میں، مساوات کے اس سیٹ کا مزید تجزیہ کرنے کے لیے لکیری پرٹربیشن تجزیہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ یہ تجزیہ ایک اوسط حالت کے ارد گرد چھوٹی پریشانیوں کو فرض کرتا ہے: یہاں. غیر جہتی گورننگ مساوات میں اس لکیری سیریز کو داخل کرتے وقت، صفر آرڈر کی اصطلاحات اس کے زیر انتظام ہوتی ہیں: یہ ایک لکیری لہر مساوات ہے جس کا سادہ حل ہے: اصطلاحات کو جمع کرنا اور پیداوار سے تقسیم کرنا: تین غیر لکیری اصطلاحات باقی ہیں۔ تاہم، غیر لکیری اصطلاحات میں صرف اصطلاحات شامل ہوتی ہیں، جن کے حل معلوم ہوتے ہیں۔ اس لیے ان پر کام کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد، اوپری کے-مشتق کو لے کر اور نچلی مساوات کے-مشتق کو گھٹانے سے ایک واحد لہر مساوات حاصل ہوتی ہے: یہ لکیری غیر یکساں جزوی تفریق مساوات، مندرجہ ذیل ذرات کے حل کی اطاعت کرتی ہے: سمندر کی سطح کی بلندی کے لیے جہتی حل کی طرف لوٹنا: یہ حل فرسٹ آرڈر پرٹربیشن کے لیے درست ہے۔ غیر لکیری اصطلاحات اصل لہر کی دوگنی تعدد کے ساتھ ایک اعلی ہارمونک سگنل بنانے کے لیے ذمہ دار ہیں۔ مزید برآں، اعلی ہارمونک اصطلاح پیمانے کے ساتھ، اور۔ لہذا، لہر کی شکل اپنی اصل شکل سے زیادہ سے زیادہ انحراف کرے گی جب-سمت میں پھیلتی ہے، نسبتا بڑی سمندری حدود کے لیے اور چھوٹی طول موج کے لیے۔ جب ایک مشترکہ اصل لہر پر غور کیا جاتا ہے، تو مساوات میں غیر لکیری اصطلاحات ہارمونک کی نسل کا باعث بنتی ہیں۔ اعلی درجے کی اصطلاحات پر غور کرتے وقت، اعلی ہم آہنگی بھی مل سکتی ہے۔ رگڑ اتلی پانی کی مساوات میں رگڑ اصطلاح، رفتار اور پانی کی گہرائی دونوں میں غیر لکیری ہے۔ مؤخر الذکر کو سمجھنے کے لیے، اس اصطلاح سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے کہ پانی کی نچلی سطح کے لیے رگڑ سب سے زیادہ مضبوط ہے۔ لہذا، کرسٹ گرت کے ساتھ "پکڑ لیتا ہے" کیونکہ اسے سست کرنے کے لیے کم رگڑ کا تجربہ ہوتا ہے۔ انحراف اور ایڈویکشن کی اصطلاح سے پیدا ہونے والی غیر لکیری کی طرح، یہ ایک غیر متناسب سمندری لہر کا سبب بنتا ہے۔ رفتار کے غیر لکیری اثر کو سمجھنے کے لیے، کسی کو اس بات پر غور کرنا چاہیے کہ نیچے کے دباؤ کو اکثر چار گنا پیرامیٹرائز کیا جاتا ہے: یہاں ڈریگ گتانک ہے، جسے اکثر مستقل () سمجھا جاتا ہے۔ دو بار فی سمندری چکر، چوٹی کے سیلاب اور چوٹی کے زوال پر، زیادہ سے زیادہ تک پہنچ جاتا ہے۔ تاہم، ان دو لمحات کے لیے علامت مخالف ہے۔ وجہ سے، بہاؤ لہر نوڈ کے ارد گرد متناسب تبدیل ہوتا ہے۔ یہ اس نتیجے پر پہنچتا ہے کہ اس غیر لکیری کے نتیجے میں عجیب اعلی ہم آہنگی پیدا ہوتی ہے، جو اصل لہر کے نوڈ کے ارد گرد ہم آہنگ ہوتی ہے۔ ریاضیاتی تجزیہ رفتار میں غیر لکیریتا کے پیرامیٹریزیشن میں رفتار ویکٹر کا پروڈکٹ اس کی شدت کے ساتھ ہوتا ہے۔ ایک مقررہ مقام پر، ایک بنیادی لہر کو بہاؤ کی رفتار کے ساتھ سمجھا جاتا ہے: یہاں، بہاؤ کی رفتار کا طول و عرض ہے اور کونیی تعدد ہے۔ رفتار پر نچلے رگڑ کے اثر کی تحقیقات کے لیے، رگڑ کے پیرامیٹرائزیشن کو فورئیر سیریز میں تیار کیا جا سکتا ہے: اس سے پتہ چلتا ہے کہ اسے فورئیر سیریز کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے جس میں فریکوئنسی کے ساتھ پرنسپل ٹائیڈ کے صرف عجیب ضرب ہوتے ہیں۔ لہذا، رگڑ قوت اعلی ہم آہنگی کی طرف اصل لہر کی توانائی کی کھپت کا سبب بنتی ہے۔ دو جہتی صورت میں، ہم آہنگی بھی ممکن ہے۔ کے لیے مذکورہ مساوات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ رگڑ کی شدت رفتار کے طول و عرض کے متناسب ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ مضبوط دھارے زیادہ رگڑ کا تجربہ کرتے ہیں اور اس طرح زیادہ جوار کی اخترتی ہوتی ہے۔ اتلی پانیوں میں، سمندر کی سطح کی بلندی میں تبدیلی کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے زیادہ دھاروں کی ضرورت ہوتی ہے، جس کی وجہ سے زیادہ توانائی ضائع ہو کر اصل جوار کی اعلی ہم آہنگی پیدا ہو جاتی ہے۔ پانی کی گہرائی میں غیر لکیری اگرچہ بہت درست نہیں ہے، لیکن نیچے کے تناؤ کی لکیری پیرامیٹرائزیشن کا استعمال کیا جا سکتا ہے: یہاں ایک رگڑ عنصر ہے جو زیادہ درست کواڈریٹیکل پیرامیٹرائزیشن کے پہلے فورئیر جزو کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایڈویکشنل اصطلاح کو نظر انداز کرتے ہوئے اور رگڑ کی اصطلاح میں لکیری پیرامیٹرائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے، غیر جہتی گورننگ مساوات پڑھتی ہیں: نچلے تناؤ کی لکیری پیرامیٹرائزیشن کے باوجود، رگڑ کی اصطلاح غیر لکیری رہتی ہے۔ یہ اس کے ڈینومینیٹر میں وقت پر منحصر پانی کی گہرائی کی وجہ سے ہے۔ غیر لکیری ایڈویکشن اصطلاح کے تجزیے کی طرح، رگڑ غیر لکیری کا تجزیہ کرنے کے لیے لکیری پرٹربیشن تجزیہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مساوات اس طرح دی گئی ہیں: اوپری مساوات کے-مشتق کو لے کر اور نچلی مساوات کے-مشتق کو گھٹاتے ہوئے، اصطلاحات کو ختم کیا جا سکتا ہے۔ کالنگ، اس سے ایک سیکنڈ آرڈر جزوی تفریق مساوات حاصل ہوتی ہے: اس کو حل کرنے کے لیے، باؤنڈری کنڈیشنز کی ضرورت ہوتی ہے۔ باؤنڈری کنڈیشنز کو لمبائی کے ساتھ ڈومین میں داخل ہونے والی خالص کوسائن لہر کی بنیاد پر وضع کیا جاتا ہے۔ اس ڈومین کی حد () پانی کے لیے ناقابل تسخیر ہے۔ جزوی تفریقی مساوات کو حل کرنے کے لیے متغیر کی علیحدگی کا طریقہ استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ایسا فرض کیا جاتا ہے۔ ایک حل جو جزوی تفریق مساوات اور حدود کی شرائط کی پابندی کرتا ہے، پڑھتا ہے: یہاں،۔ اسی طرح، مساوات کا تعین کیا جا سکتا ہے: یہاں رگڑ کی اصطلاح کو ٹیلر سیریز میں تیار کیا گیا تھا، جس کے نتیجے میں دو رگڑ کی اصطلاحات پیدا ہوئیں، جن میں سے ایک غیر لکیری ہے۔ غیر لکیری رگڑ کی اصطلاح دو اصطلاحات کے ضرب پر مشتمل ہے، جو لہر جیسے رویے کو ظاہر کرتی ہے۔ اور کے حقیقی حصے اس طرح دیئے گئے ہیں: یہاں ایک پیچیدہ کنجوگیٹ کی نشاندہی کرتا ہے۔ ان شناختوں کو غیر لکیری رگڑ کی اصطلاح میں داخل کرنا، یہ بن جاتا ہے: مندرجہ بالا مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ پہلی ترتیب کی اصطلاحات کا ذرہ حل وقت سے آزاد بقایا بہاؤ (سبسکرپٹ کے ساتھ ظاہر کردہ مقدار) کے ساتھ ایک ذرہ حل کی پابندی کرتا ہے اور ایک اعلی ہارمونک جس کی فریکوئنسی دوگنی ہوتی ہے۔ اصل لہر، مثال کے طور پر۔ اگر اصل لہر کی تعدد ہوتی ہے، تو رگڑ میں دوہری لکیری ایک جزو پیدا کرے گی۔ بقایا بہاؤ کا جزو اسٹوکس کے بہاؤ کی نمائندگی کرتا ہے۔ رگڑ پانی کی اونچی لہر میں کم پانی کے مقابلے میں زیادہ بہاؤ کی رفتار کا سبب بنتی ہے، اس لیے پانی کے پارسل لہر کے پھیلاؤ کی سمت میں حرکت کرتے ہیں۔ جب پرٹربیشن تجزیہ میں اعلی ترتیب کی اصطلاحات پر غور کیا جائے گا، تو اس سے بھی زیادہ ہم آہنگی پیدا ہوگی۔ انٹرٹائڈل ایریا ایک اتلی صحن میں، غیر لکیری اصطلاحات ایک اہم کردار ادا کرتی ہیں اور سمندری عدم توازن کا سبب بن سکتی ہیں۔ یہ بدیہی طور پر سمجھا جا سکتا ہے جب اس بات پر غور کیا جائے کہ اگر پانی کی گہرائی کم ہے تو رگڑ سمندری لہر کو مزید سست کر دیتی ہے۔ چھوٹے انٹرٹائڈل ایریا (کیس I) والے صحن کے لیے، پانی کی اوسط گہرائی عام طور پر بڑھتی ہوئی لہر کے دوران بڑھ جاتی ہے۔ لہذا، سمندری لہر کی چوٹی کو سست کرنے کے لیے کم رگڑ کا تجربہ ہوتا ہے اور یہ گرت کو پکڑ لیتا ہے۔ یہ نسبتا تیزی سے بڑھتی ہوئی لہر کے ساتھ سمندری عدم توازن کا سبب بنتا ہے۔ زیادہ انٹرٹائڈل ایریا (کیس II) والے صحن کے لیے، مرکزی چینل میں پانی کی گہرائی بھی بڑھتی ہوئی لہر کے دوران بڑھ جاتی ہے۔ تاہم، بین سمندری علاقے کی وجہ سے، چوڑائی کی اوسط پانی کی گہرائی عام طور پر ختم ہو جاتی ہے۔ لہذا، سمندری لہر کی گرت نسبتا کم رگڑ کا تجربہ کرتی ہے جو اسے سست کرتی ہے اور یہ چوٹی پر پہنچ جاتی ہے۔ یہ نسبتا آہستہ بڑھتی ہوئی لہر کے ساتھ سمندری عدم توازن کا سبب بنتا ہے۔ رگڑ کے غلبہ والے صحن کے لیے، سیلاب کا مرحلہ بڑھتی ہوئی لہر سے مطابقت رکھتا ہے اور زوال کا مرحلہ گرتی ہوئی لہر سے مطابقت رکھتا ہے۔ لہذا، صورت (i) اور (ii) بالترتیب سیلاب اور غلبے والی لہر سے مطابقت رکھتے ہیں۔ دہانے میں عدم توازن کی قسم کو تلاش کرنے کے لیے ریاضیاتی اظہار تلاش کرنے کے لیے لہر کی رفتار پر غور کیا جانا چاہیے۔ غیر لکیری خلل کے تجزیے کے بعد، ایک متغیر صحن کے لیے وقت پر منحصر لہر کی رفتار اس طرح دی گئی ہے: چینل کی گہرائی، صحن کی چوڑائی، اور دائیں طرف ان مقداروں کی ان کے سمندری اوسط میں صرف ایک سڑنا (اس سے ظاہر ہوتا ہے) اور اس سے ان کا انحراف۔ فرسٹ آرڈر ٹیلر کی توسیع کا استعمال کرتے ہوئے، اسے آسان بنایا جا سکتا ہے: یہاں: یہ پیرامیٹر جوار کی عدم توازن کی نمائندگی کرتا ہے۔ زیر بحث مقدمہ (i)، یعنی۔ تیزی سے بڑھتی ہوئی لہر، سے مطابقت رکھتی ہے، جبکہ کیس (ii)، یعنی۔ آہستہ بڑھتی ہوئی لہر، سے مطابقت رکھتی ہے۔ فریڈرکس اور آبری کے غیر لکیری عددی تخروپن کے لیے اسی طرح کا تعلق دوبارہ پیش کرتے ہیں۔ بہاؤ کی منحنیت ایکس سمت میں جیسے کہ شکل میں جوار کی قوت سے پیدا ہونے والے جوار کے بہاؤ پر غور کریں۔ ساحل سے بہت دور، بہاؤ صرف ایکس سمت میں ہوگا۔ چونکہ ساحل پر پانی ساحل کے پار نہیں بہہ سکتا، اس لیے ندی کی لکیریں ساحل کے متوازی ہوتی ہیں۔ لہذا، بہاؤ ساحل کے ارد گرد مڑ جاتا ہے۔ مومنٹم بجٹ میں اس تبدیلی کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے سنٹرل فورس ایک اسٹریم لائن کے لیے پرپینڈکولر پریشر گریڈینٹ ہے۔ یہ سطح سمندر کی اونچائی میں ایک میلان کی وجہ سے ہوتا ہے۔ کشش ثقل کی قوت سے مشابہت جو سیاروں کو اپنے مدار میں رکھتی ہے، رداس کے ساتھ ہموار منحنی خطوط کے لیے سطح سمندر کی اونچائی میں میلان اس طرح دیا گیا ہے: کنویکس ساحل کے لیے، یہ ساحل کے قریب پہنچنے پر پانی کی سطح کی اونچائی میں کمی سے مطابقت رکھتا ہے۔ کنکیو ساحل کے لیے یہ اس کے برعکس ہے، اس طرح کہ ساحل کے قریب پہنچنے پر سطح سمندر کی اونچائی بڑھ جاتی ہے۔ جب لہر کرنٹ کو الٹ دیتی ہے تو یہ نمونہ ایک جیسا ہوتا ہے۔ لہذا، یہ پایا جاتا ہے کہ بہاؤ کا منحنی پن پانی کی سطح کی اونچائی کو فی سمندری چکر میں دو بار کم یا بڑھاتا ہے۔ لہذا یہ بنیادی جزو سے دوگنا تعدد کے ساتھ ایک سمندری جزو کا اضافہ کرتا ہے۔ یہ اعلی ہارمونک غیر لکیری کی نشاندہی کرتا ہے، لیکن یہ مندرجہ بالا اظہار میں کواڈریٹک اصطلاح کے ذریعہ بھی مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ اوسط بہاؤ ایک اوسط بہاؤ، جیسے۔ دریا کا بہاؤ، غیر لکیری اثرات کو تبدیل کر سکتا ہے۔ دہانے میں دریا کے بہاؤ کو مدنظر رکھتے ہوئے، دریا کا بہاؤ سیلاب کے بہاؤ کی رفتار میں کمی کا سبب بنے گا، جبکہ بہاؤ کی رفتار میں اضافہ ہوگا۔ چونکہ رگڑ بہاؤ کی رفتار کے ساتھ چوتھائی پیمانے پر ہوتی ہے، اس لیے رگڑ میں اضافہ بہاؤ کی رفتار کے لیے سیلاب کے بہاؤ کی رفتار میں کمی سے زیادہ ہوتا ہے۔ لہذا، اصل لہر کی دوگنی تعدد کے ساتھ ایک اعلی ہارمونک پیدا ہوتا ہے۔ جب اوسط بہاؤ سمندری کرنٹ کے طول و عرض سے بڑا ہوتا ہے، تو اس سے بہاؤ کی سمت میں کوئی تبدیلی نہیں ہوگی۔ اس طرح، رگڑ میں غیر لکیری کی طرف سے عجیب اعلی ہارمونکس کی نسل کم ہو جائے گی۔ مزید برآں، اوسط بہاؤ کے اخراج میں اضافہ اوسط پانی کی گہرائی میں اضافے کا سبب بن سکتا ہے اور اس وجہ سے غیر لکیری اخترتی کی نسبتا اہمیت کو کم کر سکتا ہے۔ مثال: سیورن ایسٹوری سیورن ایسٹوری نسبتا اتلی ہے اور اس کی سمندری حد نسبتا بڑی ہے۔ لہذا، اس صحن میں غیر لکیری سمندری اخترتی قابل ذکر ہے۔ ایونموتھ کے قریب پیمائش اسٹیشن پر پانی کی سطح کی اونچائی کے جی ای ایس ایل اے ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے، غیر لکیری جوار کی موجودگی کی تصدیق کی جا سکتی ہے۔ 25 گھنٹے کی موونگ ٹائم ونڈو کے ساتھ ایک سادہ ہارمونک فٹنگ الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے، مختلف سمندری اجزاء کے پانی کی سطح کا طول و عرض پایا جا سکتا ہے۔ 2011 کے لیے، یہ، اور حلقوں کے لیے کیا گیا ہے۔ شکل میں، پانی کی سطح کا طول و عرض اور ہارمونکس، اور بالترتیب، اصل لہر کے پانی کی سطح کے طول و عرض کے خلاف پلاٹ کیے گئے ہیں۔ یہ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ اعلی ہم آہنگی، غیر لکیری سے پیدا ہونے کی وجہ سے، اصل لہر کے حوالے سے اہم ہیں۔ اور کے درمیان ارتباط کچھ حد تک چوتھائی لگتا ہے۔ اس کواڈریٹک انحصار کی توقع اس مضمون کے ریاضیاتی تجزیے سے کی جا سکتی ہے۔ سب سے پہلے، انحراف اور ایڈویکشن کے تجزیے کے نتیجے میں ایک ایسا اظہار ہوتا ہے جس سے، ایک فکسڈ کے لیے، یہ ظاہر ہوتا ہے: دوسرا، پانی کی گہرائی میں رگڑ کی غیر لکیری کا تجزیہ دوسرا زیادہ ہم آہنگی پیدا کرتا ہے۔ ریاضیاتی تجزیے کے لیے، نچلے تناؤ کی لکیری پیرامیٹرائزیشن فرض کی گئی تھی۔ تاہم، نچلے درجے کا دباؤ دراصل بہاؤ کی رفتار کے ساتھ تقریبا چوتھائی پیمانے پر ہوتا ہے۔ یہ اور کے درمیان کواڈریٹک تعلق میں ظاہر ہوتا ہے۔ گراف میں، ایک چھوٹی سمندری حد کے لیے، اور کے درمیان ارتباط تقریبا براہ راست متناسب ہوتا ہے۔ اصل لہر اور اس کے تیسرے ہارمونک کے درمیان یہ تعلق رفتار میں رگڑ کی غیر لکیری سے ہوتا ہے، جو اخذ شدہ اظہار میں ظاہر ہوتا ہے۔ جوار کی بڑی حدود کے لیے، کم ہونا شروع کریں۔ یہ طرز عمل اس مضمون میں شامل نظریہ کے ذریعہ حل نہیں ہوا ہے۔ تلچھٹ کی نقل و حمل جوار کی اخترتی تلچھٹ کی نقل و حمل میں اہم اہمیت کی حامل ہو سکتی ہے۔ اس کا تجزیہ کرنے کے لیے، سپینڈڈ تلچھٹ اور بیڈ لوڈ تلچھٹ کی حرکیات کے درمیان فرق کرنا واضح ہے۔ معطل تلچھٹ کی نقل و حمل (ایک جہت میں) کو عام طور پر اس طرح شمار کیا جا سکتا ہے: یہاں گہرائی مربوط تلچھٹ کا بہاؤ ہے، تلچھٹ کا ارتکاز ہے، افقی بازی کا گتانک ہے اور سطح کے اوپر حوالہ اونچائی ہے۔ بیڈ لوڈ ٹرانسپورٹ کا اندازہ مندرجہ ذیل ہیورسٹک تعریف سے لگایا جا سکتا ہے: یہاں ایک کٹاؤ گتانک ہے۔ زونل بہاؤ کی رفتار کو کٹے ہوئے فورئیر سیریز کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ جب صرف اور اجزاء پر مشتمل سمندری بہاؤ پر غور کیا جائے تو، ایک مخصوص مقام پر کرنٹ اس طرح دیا جاتا ہے: ٹائڈلی اوسط معطل تلچھٹ کے بہاؤ کے لیے اظہار حاصل کرنے کے لیے معطل تلچھٹ کے ارتکاز کے مقامی ارتقاء کی تفصیل درکار ہوتی ہے۔ گہرائی کے مربوط معطل تلچھٹ کے ارتکاز () کی مقامی تبدیلی اس کے زیر انتظام ہے: یہاں زوال کی رفتار ہے، عمودی بازی کا گتانک ہے اور یہ کٹاؤ کا گتانک ہے۔ اس ماڈل میں ایڈویکشن کو نظر انداز کیا گیا ہے۔ اور کی تعریف پر غور کرتے ہوئے، سمندری اوسط بستر اور معطل بوجھ کی نقل و حمل کے لیے ایک اظہار حاصل کیا جا سکتا ہے: یہاں، سمندری وقت کے پیمانے پر آباد ہونے والے وقت کے پیمانے کا تناسب۔ اور کی تعریفوں کا استعمال کرتے ہوئے دو اہم میکانزم کی شناخت کی جا سکتی ہے۔ ان دونوں نقل و حمل کے طریقہ کار پر جلد ہی تبادلہ خیال کیا جائے گا۔ رفتار کی غیر متناسبیت رفتار کی غیر متناسبیت کا طریقہ کار چوٹی کے اتار چڑھاؤ اور سیلاب کے درمیان زیادہ سے زیادہ بہاؤ کی رفتار میں فرق پر منحصر ہے۔ اس میکانزم کی مقدار کو اصطلاح سے منسلک کیا جاتا ہے۔ اس اصطلاح کے مضمرات کا خلاصہ نیچے دیئے گئے جدول میں کیا گیا ہے: لہذا، رفتار کی غیر متناسبیت کا طریقہ کار خالص ای بی بی ہدایت شدہ نقل و حمل کا سبب بنتا ہے اگر رشتہ دار مرحلے کے فرق کی مطلق قیمت ہو، جبکہ یہ خالص سیلاب کی ہدایت شدہ نقل و حمل کا سبب بنتا ہے اگر۔ مؤخر الذکر صورت میں، سیلاب کا سب سے زیادہ بہاؤ سب سے زیادہ بہاؤ سے زیادہ ہوگا۔ لہذا، تلچھٹ کو سیلاب کی سمت میں بڑے فاصلے پر منتقل کیا جائے گا، اور بنایا جائے گا۔ اس کے برعکس لاگو ہوتا ہے۔ دورانیے کی غیر متناسبیت دورانیے کی غیر متناسبیت کا طریقہ کار بھی سمندری اوسط معطل بوجھ کی نقل و حمل کا سبب بن سکتا ہے۔ یہ طریقہ کار صرف سمندری اوسط معطل تلچھٹ کے بہاؤ کی اجازت دیتا ہے۔ اس میکانزم کی مقدار کو اصطلاح سے منسلک کیا جاتا ہے، جو مساوات میں موجود نہیں ہے۔ اس اصطلاح کے مضمرات کا خلاصہ نیچے دیے گئے جدول میں کیا گیا ہے: کب، سب سے زیادہ سیلاب سے لے کر سب سے زیادہ سیلاب تک کا وقت سب سے زیادہ سیلاب سے لے کر سب سے زیادہ سیلاب تک کے وقت سے زیادہ ہوتا ہے۔ اس سے زیادہ تلچھٹ چوٹی کے سیلاب سے چوٹی کے زوال تک کے عرصے کے دوران آباد ہو سکتی ہے، اس لیے چوٹی کے خاتمے پر کم تلچھٹ معطل ہو جائے گی اور سیلاب کی سمت میں خالص نقل و حمل ہوگی۔ اسی طرح کی، لیکن اس کے برعکس وضاحت موجود ہے۔ بیڈ لوڈ ٹرانسپورٹ اس میکانزم سے متاثر نہیں ہوتا ہے کیونکہ میکانزم میں ذرات کے آباد ہونے کے وقفے کی ضرورت ہوتی ہے، یعنی۔ ذرات کو آباد ہونے میں وقت لگنا چاہیے اور ارتکاز آہستہ آہستہ بہاؤ کی رفتار کے مطابق ڈھل جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھیں ٹائڈل گونج ٹائڈل بور لہر غیر لکیری جوار معمولی سمندروں میں تلچھٹ نقل و حمل حوالہ جات جوار جسمانی سمندر نگاری