Permutoassociahedron
ریاضی میں، پرموٹواسوسیا ہیڈرون ایک جہتی پولیٹوپ ہے جس کے عمودی حصے اصطلاحات کی ترتیبات کے بریکٹنگ سے مطابقت رکھتے ہیں اور جس کے کنارے دو بریکٹنگ کو جوڑتے ہیں جو یا تو ایسوسی ایٹیویٹی کا استعمال کرتے ہوئے بریکٹ کے جوڑے کو منتقل کرکے یا دو مسلسل اصطلاحات کو منتقل کرکے حاصل کیے جا سکتے ہیں جو بریکٹ سے الگ نہیں ہوتے ہیں۔ پرموٹواسوسیاہیڈرون کی تعریف سب سے پہلے میخائل کاپرانوف نے سی ڈبلیو کمپلیکس کے طور پر کی تھی جس نے نوٹ کیا کہ یہ ڈھانچہ میک لین کے ہم آہنگی تھیوریم میں ہم آہنگی اور چوٹی دار زمروں کے ساتھ ساتھ ولادیمر ڈرینفیلڈ کے کزنک-زمولوڈچیکوف مساوات پر کام میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔ اسے وکٹر رینر اور گنٹر ایم زیگلر نے ایک کنویکس پولیٹوپ کے طور پر تعمیر کیا تھا۔ مثالیں جب، پیرموٹواسوسیا ہیڈرون کے عمودی حصوں کی نمائندگی تین اصطلاحات کے تمام تغیرات کو بریکٹ کرکے کی جا سکتی ہے، اور۔ اس طرح کی چھ تغیرات ہیں،،،،،، اور، اور ان میں سے ہر ایک دو بریکٹنگ کو قبول کرتا ہے (ایسوسی ایٹیویٹی کے ذریعے ایک دوسرے سے حاصل کردہ)۔ مثال کے طور پر، بطور یا کے طور پر بریکٹ کیا جا سکتا ہے۔ لہذا،-جہتی permutoassociahedron عمودی،،،،،،،،، اور کے ساتھ ڈوڈیکگن ہے۔ جب، ورٹیکس پرموٹواسوسیا ہیڈرون کے بالکل تین دیگر عمودی حصوں سے متصل ہوتا ہے:،، اور۔ پہلے دو چوٹیوں تک ایسوسی ایٹیویٹی کے ذریعے اور تیسرے تک ٹرانسپوزیشن کے ذریعے پہنچا جاتا ہے۔ چوٹی چار چوٹیوں سے متصل ہے۔ ان میں سے دو، اور، ایسوسی ایٹیویٹی کے ذریعے پہنچتے ہیں، اور دیگر دو، اور، ٹرانسپوزیشن کے ذریعے۔ اس سے یہ واضح ہوتا ہے کہ طول و عرض اور اس سے اوپر پرموٹواسوسیا ہیڈرون ایک سادہ پولیٹوپ نہیں ہے۔ خصوصیات-جہتی permutoassociahedron کے عمودی حصے ہوتے ہیں۔ یہ اصطلاحات کی ترتیبات کی تعداد اور اس طرح کے کسی بھی ترتیب کے تمام ممکنہ بریکٹنگ کی تعداد کے درمیان پروڈکٹ ہے۔ سابقہ نمبر فیکٹوریئل کے برابر ہے اور بعد والا واں کاتالان نمبر ہے۔ بریکٹڈ ترتیبات کے لحاظ سے اس کی وضاحت کے مطابق، پرموٹواسوسیا ہیڈرون کا 1-کنکال ایک پلٹ گراف ہے جس میں دو مختلف قسم کے پلٹائیں (ایسوسی ایٹیویٹی اور ٹرانسپوزیشن) ہیں۔ پرموٹوہیڈرون اسوشیاہیڈرون سائکلوہیڈرون حوالہ جات پرموٹیشنز پولی ٹاپس بھی دیکھیں۔