K-stability of Fano varieties
ریاضی میں، اور خاص طور پر الجبرائی جیومیٹری میں، K-استحکام پروجیکٹو الجبرائی اقسام اور پیچیدہ کئی گنا کے لیے ایک الجبرو-جیومیٹرک استحکام کی حالت ہے۔ فینو اقسام کے معاملے میں کے-استحکام خاص اہمیت کا حامل ہے، جہاں یہ ماڈیولی خالی جگہوں کی تشکیل کی اجازت دینے کے لیے صحیح استحکام کی حالت ہے، اور جہاں یہ قطعی طور پر کیلر آئن سٹائن میٹرکس کے وجود کی خصوصیت رکھتا ہے۔ 1997 میں گینگ تیان نے پہلی بار فانو کئی گنا کے لیے کے-استحکام کی تعریف 1993 سے شنگ تنگ یاؤ کے ایک قیاس کے جواب میں کی تھی کہ ایک استحکام کی حالت موجود ہونی چاہیے جو فانو کئی گنا پر کیلر آئن سٹائن میٹرک کے وجود کی خصوصیت رکھتی ہے۔ اس کی تعریف کے-انرجی فنکشنل کے حوالے سے کی گئی تھی جسے پہلے توشیکی مابوچی نے متعارف کرایا تھا۔ تیان کی کے-استحکام کی تعریف کو سائمن ڈونلڈسن نے 2001 میں خالص الجبرو جیومیٹرک انداز میں اصلاح کیا تھا۔ فانو اقسام کے مطالعہ اور درجہ بندی میں کے-استحکام ایک اہم تصور بن گیا ہے۔ 2012 میں ژیکسیونگ چن، ڈونلڈسن، اور سونگ سن اور آزادانہ طور پر گینگ تیان نے ثابت کیا کہ ایک ہموار فینو کئی گنا K-پولی اسٹیبل ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ کیلر آئن سٹائن میٹرک کو تسلیم کرے۔ برمن-بوکسم-جونسن اور دیگر کے کام کی وجہ سے اسے بعد میں واحد کے-پولی اسٹیبل فینو اقسام میں عام کیا گیا۔ فانو اقسام کے ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر میں کے-استحکام اہم ہے، جہاں جیومیٹرک غیر متغیر نظریہ کی اصل ترقی پر واپس جانے والے مشاہدات سے پتہ چلتا ہے کہ اچھے ماڈیولی بنانے کے لیے مستحکم اشیاء کی ایک کلاس تک محدود رہنا ضروری ہے۔ اب یہ چین یانگ شو اور دیگر کے کام کے ذریعے معلوم ہوتا ہے کہ محدود قسم کی کے-پولی اسٹیبل فینو اقسام کی ایک پروجیکٹو موٹے ماڈیولی جگہ موجود ہے۔ یہ کام کاچر برکر کے فانو اقسام کی حد بندی کے ثبوت پر مبنی ہے، جس کے لیے انہیں 2018 کا فیلڈز میڈل دیا گیا تھا۔ فوجیٹا-لی اور اوداکا کے ذریعہ کے-استحکام کی حالت کی اصلاح کی وجہ سے، فینو کی اقسام کے کے-استحکام کا عملی طور پر واضح طور پر حساب لگایا جا سکتا ہے۔ فینو کی کون سی اقسام کے-مستحکم ہیں جو طول و عرض ایک، دو اور تین میں اچھی طرح سے سمجھی جاتی ہیں۔ تعریف اور خصوصیات فانو کئی گنا کے لیے K-استحکام کے تصور کی وضاحت اصل میں تیان کی طرف سے تفریقی جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی تھی، جس نے ویکٹر فیلڈ کے فوٹاکی غیر متغیر کے خالص تجزیاتی تصور کو مداری یکسانیت کے ساتھ کچھ عام اقسام کے معاملے تک بڑھایا۔ اسے بعد میں ڈونلڈسن نے خالص الجبرو جیومیٹرک شکل میں دوبارہ تشکیل دیا، لیکن اس عمومی تعریف نے فینو کی اقسام کی جیومیٹری سے براہ راست تعلق کھو دیا، اس کے بجائے تمام پروجیکٹو اقسام کے وسیع تر طبقے کے لیے سمجھدار بنا۔ تیان کے کام سے پتہ چلتا ہے کہ ٹیسٹ کی ترتیب کے مرکزی ریشے پر-ایکشن کے وزن کی وضاحت کرنے والے ڈونلڈسن-فوٹاکی غیر متغیر کا حساب بعض چوراہے کے نمبروں کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے (نام نہاد سی ایم لائن بنڈل پر عمل کے وزن کے مطابق)۔ فانو کے معاملے میں یہ انٹرسیکشن نمبرز، جن میں مختلف قسم کا اینٹی کینونکل ڈیوائزر اور اس کی ٹیسٹ کنفیگریشن شامل ہوتی ہے، کو فانو قسم کی الجبرائی اور بائریشنل جیومیٹری کے لحاظ سے طاقتور متبادل خصوصیات دی جا سکتی ہیں۔ اس طرح فینو اقسام کے معاملے میں، کے-استحکام کی بہت سی مختلف لیکن مساوی خصوصیات ہیں، اور ان میں سے کچھ خصوصیات خود کو واضح حساب کتاب یا نتائج کے آسان ثبوت فراہم کرتی ہیں۔ اس حصے میں تمام تعریفیں ایک-فینو قسم کی عامیت میں بیان کی گئی ہیں، جو کہ ایک فینو قسم ہے جس میں کافی-کارٹیئر اینٹی کینونکل ڈیوائزر اور بدترین کاواماتا لاگ ٹرمینل (کے ایل ٹی) یکسانیت ہے۔ کے-استحکام کی تعریفیں کسی بھی-گورینسٹین فینو قسم کے لیے بنائی جا سکتی ہیں (یعنی، کوئی بھی فینو قسم جہاں اینٹی کینونکل ڈیوائزر-کارٹیئر ہے)، تاہم یہ اوداکا کے ذریعے ثابت کیا گیا تھا کہ ہر کے-سمسٹبل فینو قسم میں بدترین کلٹ انفرادیت ہوتی ہے، لہذا کے-استحکام کا مطالعہ کرنے کے مقصد کے لیے یہ بدترین کلٹ انفرادیت پر فرض کرنے کے لیے کافی ہے۔ ہر تعریف کو سیدھے سیدھے طریقے سے-لاگ فینو جوڑوں تک بڑھایا جا سکتا ہے، جو کہ کے ایل ٹی قسم ایکس اور کے ایل ٹی ڈیوائزر کا ایک جوڑا ہے جو کافی اور-کارٹیئر ہے۔ روایتی تعریف ایک فینو کئی گنا، یا زیادہ عام طور پر ایک-فینو قسم کے لیے کے-استحکام کی تعریف کئی شکلوں میں دی جا سکتی ہے۔ ٹیسٹ کی ترتیب کے لحاظ سے K-استحکام کی عمومی تعریف (مزید تفصیلات کے لیے K-استحکام دیکھیں) کو آسان بنایا جا سکتا ہے اگر ٹیسٹ کی ترتیب کی قسم کو آسان بنایا جا سکے۔ مثال کے طور پر، ٹورک اقسام کے معاملے میں، کوئی بھی ہمیشہ ٹیسٹ کنفیگریشن لے سکتا ہے جو ٹورک بھی ہوتے ہیں، اور اس سے ٹورک قسم کے مومنٹ پولیٹوپ پر کنویکس افعال کے لحاظ سے کے-استحکام کی دوبارہ خصوصیت پیدا ہوتی ہے، جیسا کہ ڈونلڈسن نے کے-استحکام پر اپنے پہلے مقالے میں مشاہدہ کیا تھا۔ فینو مینیفولڈز کے معاملے میں، تیان کے کام میں یہ پہلے سے ہی مضمر تھا کہ کوئی ایک آسان مرکزی فائبر کے ساتھ ترتیبات کی جانچ کرنے تک محدود رہ سکتا ہے، اس صورت میں جہاں مرکزی فائبر ایک عام قسم ہے۔ اس صورت میں ایک عام ٹیسٹ کی ترتیب کے ڈونلڈسن-فوٹاکی غیر متغیر کے لیے ایک انٹرسیکشن تھیوریٹک فارمولا موجود ہے۔ واضح طور پر، ٹیسٹ کی ترتیب کو پیچیدہ پروجیکٹو لائن پر ٹیسٹ کی ترتیب تک بڑھایا جاتا ہے، اس نقطہ پر معمولی طور پر، کسی کا ایک فارمولا ہوتا ہے۔ اس غیر متغیر کے حوالے سے، اگر-فینو قسم ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ اگر کسی عام ٹیسٹ کی ترتیب کے لیے K-سمسٹیبل ہے۔ K-مستحکم اگر کسی بھی عام ٹیسٹ ترتیب کے لیے جو کوڈیمینشن 2 کے سیٹ سے باہر ٹریوئل ٹیسٹ ترتیب کے لیے آئسومورفک نہیں ہے۔ یکساں طور پر K-مستحکم اگر کسی بھی نارمل ٹیسٹ کنفیگریشن کے لیے، جہاں ٹیسٹ کنفیگریشن کا کم از کم معیار ہے اور صرف اس پر منحصر ایک یکساں مستقل ہے۔ K-غیر مستحکم اگر K-یکساں نہیں ہے۔ مندرجہ بالا تعریفوں کے مطابق، یکساں طور پر کے-مستحکم کے-مستحکم کے-یکساں مضمرات ہیں۔ مندرجہ بالا تعریفیں اس صورت حال کے لیے مناسب نہیں ہیں جہاں فانو قسم میں آٹومورفزم ہوتے ہیں۔ جب آٹومورفزم کی جگہ مثبت جہتی ہوتی ہے، تو اکیٹو فوٹاکی نے مشاہدہ کیا کہ آٹومورفزم سے تیار کردہ کچھ ٹیسٹ کنفیگریشن موجود ہیں جن میں سے K-استحکام کی جانچ کے نقطہ نظر کے لیے "معمولی" ہیں۔ اس صورت میں کسی کو ان ٹیسٹ کی ترتیبات تک محدود رہنا چاہیے جو زیادہ سے زیادہ ٹورس کے عمل کے حوالے سے مساوی ہیں، اور اس سے K-پولیسٹیبلٹی یا کم K-استحکام کا تصور پیدا ہوتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ اگر کسی بھی ٹیسٹ کی ترتیب اور مساوات کے لیے کوڈیمینشن 2 کے سیٹ کے باہر آئسومورفک ہو تو یہ K-پولی اسٹیبل ہے۔ یکساں طور پر K-مستحکم کو کم کیا جاتا ہے اگر ٹیسٹ کی ترتیب کا کم معیار کہاں ہے۔ جہاں تک اس معاملے کا تعلق ہے جہاں آٹومورفزم گروپ مثبت جہتی نہیں ہے، ہمارے مضمرات یکساں طور پر K-مستحکم K-پولی اسٹیبل K-یکساں ہیں۔ یکساں استحکام کی حالت استحکام سے زیادہ ترجیحی طور پر مضبوط ہے، کیونکہ یہ ٹیسٹ کی ترتیب کے ڈونلڈسن-فوٹاکی غیر متغیر کے لیے صفر سے اوپر کی یکساں پابند فرض کرتی ہے۔ تاہم یہ پتہ چلتا ہے کہ-فینو اقسام کے معاملے میں یکساں استحکام دراصل استحکام کے مساوی ہے۔ یکساں K-استحکام کے لیے بہت سے نتائج زیادہ آسانی سے ثابت کیے جا سکتے ہیں کیونکہ یکساں باؤنڈ غیر یکساں باؤنڈ سے زیادہ مضبوط ہوتا ہے، اس لیے اکثر روایتی K-(پولی) استحکام کے برخلاف اس تعریف کے ساتھ کام کرتا ہے۔ کے-استحکام سے متعلق مضمون میں زیر غور پولرائزڈ قسم کے زیادہ عام معاملے میں یہ اب بھی ایک کھلا اور اہم مسئلہ ہے کہ کس طرح (کم شدہ) یکساں کے-استحکام کا تعلق کے-(پولی) استحکام سے ہے۔ خصوصی ٹیسٹ کی ترتیبات جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، بعض اوقات ٹیسٹ کی ترتیب کی قسم پر غور کیا جا سکتا ہے۔ فینو اقسام کے معاملے میں، ایک خصوصی ٹیسٹ کنفیگریشن ایک ٹیسٹ کنفیگریشن ہے جس میں ہمارے پاس کچھ کے لیے ڈیوائزرز کی عقلی مساوات ہوتی ہے، اور مرکزی فائبر بھی ایک-فینو قسم ہے۔ کوئی بھی یہ ثابت کر سکتا ہے کہ کسی بھی ٹیسٹ کی ترتیب کو دیکھتے ہوئے، ایک خاص ٹیسٹ کی ترتیب موجود ہے جیسے کہ اس کا مطلب یہ ہے کہ کے-استحکام کی جانچ کے مقاصد کے لیے، یہ صرف خصوصی ٹیسٹ کی ترتیبات کے لیے کے-استحکام کی مذکورہ بالا تعریفوں کو دیکھنے تک محدود ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ کوئی یہ فرض کر سکتا ہے کہ ٹیسٹ کی ترتیب کا مرکزی فائبر بھی فینو ہے جو بائریشنل جیومیٹری اور کم سے کم ماڈل پروگرام کے ساتھ مضبوط روابط کی طرف لے جاتا ہے، جو مندرجہ ذیل حصوں میں بیان کردہ K-استحکام کی متعدد متبادل خصوصیات فراہم کرتا ہے۔ اہم متبادل خصوصیت ڈنگ استحکام کے ایک مختلف تصور کے لحاظ سے ہے، جو ڈنگ غیر متغیر کے لیے کے-استحکام کی حالت کا ایک تغیر ہے جہاں کوئی ٹیسٹ کی ترتیب کے لاگ کینونکل حد پر اضافہ کرتا ہے۔ ڈنگ غیر متغیر کی تعریف صرف فانو اقسام کی ترتیب میں کی جا سکتی ہے۔ اس کے بجائے اس نئے غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی بھی ڈنگ استحکام کے ہر تصور کی وضاحت بالکل اوپر کی طرح کر سکتا ہے، جس سے ڈنگ (نیم/پولی) استحکام اور یکساں ورژن سامنے آتے ہیں۔ ڈنگ غیر متغیر میں الجبرائی جیومیٹری کے حوالے سے ڈونلڈسن-فوٹاکی غیر متغیر سے بہتر رسمی خصوصیات ہیں۔ یہ معلوم ہوتا ہے کہ جب ٹیسٹ کی ترتیب خاص ہوتی ہے، تو ڈنگ غیر متغیر ایک مستقل عنصر تک ڈونلڈسن-فوٹاکی غیر متغیر سے متفق ہوتا ہے، اور اس لیے فانو اقسام کے لیے ڈنگ استحکام کے-استحکام کے برابر ہوتا ہے۔ الفا غیر متغیر K-استحکام کی جانچ کے لیے پہلا معروف موثر معیار تیان نے تیار کیا تھا۔ اصل میں تیان کے کام کو فینو کئی گنا پر کیلر آئن سٹائن میٹرک کے وجود کے لیے براہ راست ایک معیار فراہم کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا تھا، اور بعد کے کام سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ ہر کیلر آئن سٹائن فینو کئی گنا K-پولی اسٹیبل ہے۔ تیان کی الفا غیر متغیر کی اصل تعریف تجزیاتی نوعیت کی تھی، لیکن اسے عملی طور پر کیلر آئن سٹائن میٹرک کے وجود کی تصدیق کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تیان کے الفا غیر متغیر کی تعریف آٹومورفزم کے ایک گروپ سے متعلق کی جا سکتی ہے، اور الفا غیر متغیر اوپر کے کم شدہ K-استحکام یا K-کثیر استحکام کے تصور سے مطابقت رکھتا ہے۔ ایک فینو کئی گنا پر ایک غیر متغیر کیلر میٹرک طے کریں۔ اس غیر متغیر کی اہمیت مندرجہ ذیل ہے: بعد میں اوداکا-سانو نے مشاہدہ کیا کہ الفا غیر متغیر کو اندر موجود تمام غیر متغیر لکیری نظاموں پر لاگ کینونکل حد کے لامحدود کے لحاظ سے خالص الجبرو-جیومیٹرک تعریف دی جا سکتی ہے۔ واضح طور پر، ڈیمیللی نے دکھایا کہ یہ کیلر آئن سٹائن میٹرکس کے وجود کے خالص الجبرو جیومیٹرک ثبوتوں کی اجازت دیتا ہے۔ بیٹا غیر متغیر بیٹا غیر متغیر برائشنل جیومیٹری کے ساتھ قریبی رابطہ بناتا ہے۔ یہ غیر متغیر فوجیٹا اور لی نے فانو قسم کے تقسیم کاروں یا تشخیص کے لحاظ سے کے-استحکام کی خصوصیت کو دریافت کرنے کی کوشش میں تیار کیا تھا۔ یہ کام راس تھامس کے پہلے خیالات سے متاثر تھا جس نے مختلف قسم کے ذیلی اقسام سے نکلنے والے الجبرائی غیر متغیرات کے لحاظ سے کے-استحکام کو بیان کرنے کی کوشش کی۔ اگرچہ یہ ظاہر کرنا ممکن نہیں ہے کہ یہ "ڈھلوان" K-استحکام K-استحکام کے مساوی ہے، نہ صرف اندر کے تقسیم کاروں بلکہ کسی بھی برائشنل ماڈل کے اندر تقسیم کاروں کو منتقل کرنے سے، کوئی بھی K-استحکام کی درست جانچ کے لیے "کافی" اشیاء حاصل کرتا ہے۔ خاص طور پر فوجیٹا نے محسوس کیا کہ راس تھامس کا ڈھلوان کے-استحکام کا تصور صرف سبسیم کے شیشادری مستقل تک ضم ہونے سے محدود تھا، جہاں بلو اپ پر قدرتی تقسیم کافی ہو جاتا ہے۔ معاہدہ کے ذریعے-غیر متغیر سڈو ایفیکٹو حد تک ضم ہوتا ہے جہاں قدرتی تقسیم کنندہ کا مثبت حجم ہوتا ہے (چونکہ ہر کافی تقسیم کنندہ کا مثبت حجم ہوتا ہے، اس لیے سڈو ایفیکٹو حد شیشادری مستقل سے باہر جاتی ہے)۔ یہ اضافی معلومات فوجیٹا اور لی کے قابل قدر معیار کو K-استحکام کی مکمل خصوصیت کے لیے کافی معلومات فراہم کرتی ہے۔ فرض کریں کہ-کارٹیئر کینونکل ڈیوائزر کے ساتھ ایک عام قسم ہے۔ ایک کا کہنا ہے کہ ایک تقسیم کنندہ ہے اگر کوئی تقسیم کنندہ کسی عام قسم کے اندر موجود ہو جیسے کہ ایک مناسب بائریشنل مورفزم موجود ہو (مثال کے طور پر بلو اپ کے ذریعہ دیا گیا ہے)۔ ایک تقسیم کار کی لاگ تضاد کی وضاحت اس طرح کرتا ہے کہ بائریشنل جیومیٹری کے معنی میں تقسیم کار کی تضاد کہاں ہے (کینونکل سنگلٹی دیکھیں)۔ تقسیم کنندہ کی تضاد کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ بائریشنل مورفزم کے غیر معمولی لوکس سے دور، کینونکل تقسیم کنندگان اور متفق ہیں۔ لہذا، ان کا فرق کے غیر معمولی لوکس میں موجود پرائم ڈیوائزرز کے کچھ مجموعے سے دیا جاتا ہے۔ یہ ہے، کہاں۔ تعریف کے مطابق اور کب غیر معمولی لوکس میں پرائم ڈیوائزرز میں سے ایک نہیں ہے۔ لاگ کی تضاد فینو قسم کی انفرادیت کی پیمائش کرتی ہے۔ خاص طور پر X کاواماتا لاگ ٹرمینل ہے اگر اور صرف اگر کسی اوور کے لیے ہو۔ بیٹا غیر متغیر کی وضاحت کے لیے، حجم کی اصطلاح کی بھی ضرورت ہوتی ہے۔ تقسیم کار کے لیے، وضاحت کریں یہاں تقسیم کار کا حجم اس شرح کی پیمائش کرتا ہے جس پر اس کے حصوں کی جگہ متوقع طول و عرض کے مقابلے میں بڑھتی ہے۔ یعنی، کہاں۔ آخر میں، بیٹا غیر متغیر کی تعریف فوجیٹا اور لی نے اس طرح کی تھی کہ پیچیدہ تعریف کے باوجود، بائریشنل جیومیٹری کے طاقتور ٹولز کی وجہ سے، اس غیر متغیر کو فانو اقسام کی بہت سی کلاسوں کے لیے عملی طور پر واضح طور پر شمار کیا جا سکتا ہے جہاں ان کے بائریشنل ماڈلز میں تقسیم کاروں کی ساخت معلوم ہے۔ یہ اکثر کمپیوٹیشنل الجبرائی جیومیٹری یا ہاتھ سے حساب کے استعمال سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ غیر متغیر کی مطابقت کے-استحکام کی درج ذیل خصوصیت میں ہے جس کا مشاہدہ سب سے پہلے فوجیٹا اور لی نے آزادانہ طور پر (ایک سمت میں) کیا تھا۔ ڈیلٹا غیر متغیر ڈیلٹا غیر متغیر کو "اضافی" بیٹا غیر متغیر کے "ضرب" ورژن کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد کے ڈیلٹا غیر متغیر کو تمام تقسیم کاروں کے ڈیلٹا غیر متغیرات کی یکساں پیمائش کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ تقسیم کار کا ڈیلٹا غیر متغیر تصوراتی طور پر بیٹا غیر متغیر سے ملتا جلتا ہے، تاہم فوجیٹا-اوداکا نے مشاہدہ کیا کہ کوئی ڈیلٹا غیر متغیر کو "مقداری" ڈیلٹا غیر متغیرات کی حد کے طور پر شمار کر سکتا ہے۔ مقداری ڈیلٹا غیر متغیرات کا حساب m-بیس قسم کے تقسیم کاروں کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے جو مقررہ محدود جہتی ویکٹر کی جگہ میں اڈوں کے انتخاب کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔ اس طرح ڈیلٹا غیر متغیر عام طور پر اپنے پیشروؤں کے مقابلے میں زیادہ کمپیوٹیبل اور نظریاتی طور پر زیادہ طاقتور ہوتا ہے، اور فینو اقسام کے لیے کے-استحکام کے واضح حسابات پر بہت پیش رفت ہوتی ہے، اور فینو اقسام کے ماڈیولی کے نظریہ میں اس کے تعارف کے بعد سے ہوا ہے۔ کے-استحکام کے نظریہ کے لیے اس کی ابتدائی اہمیت کو درج ذیل خصوصیت میں دکھایا گیا ہے۔ الجبرائی-غیر متغیر کیلر آئن سٹائن میٹرکس کی واضح تجزیاتی خصوصیات کے ساتھ رابطہ قائم کر سکتا ہے۔ خاص طور پر، سب سے بڑی رچی کی نچلی حد کو اس طرح کی بالادستی کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے کہ ایک کیلر میٹرک موجود ہے۔ یہ اس بات کی حد ہے کہ کوئی کیلر آئن سٹائن مساوات کو حل کرنے کے لیے قدرتی تسلسل کے طریقہ کار کو کتنی دور تک عبور کر سکتا ہے۔ اگر سب سے بڑا رچی زیریں باؤنڈ قدر لیتا ہے تو کوئی بھی کیلر آئن سٹائن میٹرک کے وجود کو حاصل کرنے کے لیے تسلسل کا طریقہ مکمل کر سکتا ہے۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ آپ اس تسلسل کے طریقہ کار کے ساتھ کتنی دور جا سکتے ہیں، سب سے بڑی رچی نچلی حد، بالکل-غیر متغیر کے ذریعہ دی گئی ہے۔ یعنی، ٹورک فانو کے معاملے میں کئی گنا ڈیلٹا غیر متغیر کی اس سے بھی زیادہ ہندسی تشریح لی کے ذریعہ اخذ کی گئی تھی۔ اس طرح کے ٹورک فینو کے لیے، اصل ہمیشہ مومنٹ پولیٹوپ کے اندرونی حصے میں موجود ہوتی ہے۔ اگر پولیٹوپ کے بیری سینٹر کی نشاندہی کرتا ہے اور رے کو کاٹتے ہوئے پولیٹوپ کی حدود پر موجود نقطہ کی نشاندہی کرتا ہے، تو لی نے دکھایا کہ سب سے بڑا رچی نچلی حد تناسب سے دی گئی ہے۔ خاص طور پر ٹورک فانو میں اگر اور صرف اس صورت میں ہوتا ہے جب اس کا بیری سینٹر اصل ہو۔ ڈیلٹا غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے تشریح کی گئی (اور درحقیقت پہلے کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے)، کوئی یہ نتیجہ اخذ کرتا ہے کہ ایک ٹورک فینو کئی گنا K-مستحکم ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے پولیٹوپ کا بیری سینٹر اصل ہو۔ کیلر-آئن سٹائن میٹرکس کا وجود اس کے ابتدائی تعارف سے، کے-استحکام کے تصور کو فینو مینیفولڈز پر کیلر-آئن سٹائن میٹرکس کے وجود سے گہرا تعلق دیا گیا ہے۔ اب بہت سے نظریات موجود ہیں جو کچھ K-استحکام کے مفروضوں کو حل کے وجود سے جوڑتے ہیں۔ یہ قیاس آرائیاں بڑے پیمانے پر یو-تیان-ڈونلڈسن قیاس آرائی کے عنوان کے تحت آتی ہیں۔ فینو کی اقسام کے معاملے میں یہ قیاس اس بات پر زور دیتا ہے: فینو کئی گنا کے لیے یہ قیاس اصل میں یاؤ اور تیان نے پیش کیا تھا، اور ایک زیادہ عام شکل ڈونلڈسن نے بیان کی تھی جو صرف فینو کئی گنا کے معاملے سے آگے بڑھ جاتی ہے۔ اس کے باوجود، فینوس کے معاملے میں بھی یہ قیاس یو-تیان-ڈونلڈسن قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ عمومی قیاس آرائی پر مزید بحث کے لیے K-استحکام دیکھیں۔ فینو مینیفولڈز کے معاملے میں، وائی ٹی ڈی قیاس عام اقسام کے معاملے سے بالاتر عام فہمیوں کو تسلیم کرتا ہے اور قیاس کی شکلیں اب واحد فینوس اور لاگ فینوس کے لیے جانی جاتی ہیں۔ ہموار فینو کی اقسام قیاس کی آگے کی سمت، کہ کیلر آئن سٹائن میٹرک کے ساتھ ایک فینو کئی گنا K-پولی اسٹیبل ہے، کو تیان نے اپنے اصل مقالے میں ثابت کیا تھا جب فینو کئی گنا میں ایک مجرد آٹومورفزم گروپ ہوتا ہے، یعنی۔ یہ سمت مکمل طور پر ثابت ہوئی، اس مفروضے کو دور کرتے ہوئے کہ آٹومورفزم گروپ مجرد تھا، برمن کے ذریعہ۔ یاؤ-تیان-ڈونلڈسن قیاس کی الٹی سمت کو سب سے پہلے ہموار صورت میں حل کیا گیا جیسا کہ اوپر چن-ڈونلڈسن-سن نے بیان کیا ہے، اور اسی وقت تیان نے بھی۔ چن، ڈونلڈسن اور سن نے الزام لگایا ہے کہ ثبوت کے لیے تیان کا مساوی ترجیح کا دعوی غلط ہے، اور انہوں نے اس پر تعلیمی بدانتظامی کا الزام لگایا ہے۔ تیان نے ان کے دعووں سے اختلاف کیا ہے۔ چن، ڈونلڈسن اور سن کو امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے باوقار 2019 ویبلن پرائز نے اس قیاس کو حل کرنے کے طور پر تسلیم کیا تھا۔ بریک تھرو پرائز نے ڈونلڈسن کو ریاضی میں بریک تھرو پرائز اور سن کو نیو ہورائزنز بریک تھرو پرائز سے نوازا ہے، جزوی طور پر چن-ڈونلڈسن-سن اور تیان کے conjecture.The ثبوتوں پر چن کے ساتھ ان کے کام کی بنیاد رچی منحنی حدود کے ساتھ فانو کئی گنا کی گروموف-ہاؤزڈورف حدود کے نازک مطالعہ پر مبنی تھی۔ حال ہی میں، "کلاسیکی" تسلسل کے طریقہ کار پر مبنی ثبوت وید داتار اور گابر زیکلیہیدی نے فراہم کیا، اس کے بعد چن، سن اور بنگ وانگ نے کیلر-ریکی بہاؤ کا استعمال کرتے ہوئے ثبوت فراہم کیا۔ رابرٹ برمن، سیبسٹین بوکسم، اور میٹیاس جونسن نے بھی ایک نئے تغیراتی نقطہ نظر سے ثبوت فراہم کیا، جو غیر آرکیمیڈین جیومیٹری کے لحاظ سے K-استحکام کی تشریح کرتا ہے۔ خاص دلچسپی کی بات یہ ہے کہ برمن-بوکسم-جانسن کا ثبوت ہموار لاگ فینو جوڑی کے معاملے پر بھی لاگو ہوتا ہے، اور یہ کے-پولیسٹیبلٹی کے تصور کو استعمال نہیں کرتا بلکہ یکساں کے-استحکام کا استعمال کرتا ہے جیسا کہ ڈروان اور بوکسم-ہساموٹو-جانسن نے متعارف کرایا تھا۔ اب یہ معلوم ہوا ہے کہ یکساں کے-استحکام کے-استحکام کے مساوی ہے اور اس لیے بی بی جے کا ثبوت مکمل وائی ٹی ڈی قیاس آرائی کا ایک نیا ثبوت فراہم کرتا ہے۔ متغیر تکنیکوں برمن-بوکسم-جونسن اور فجیٹا-اوداکا کے نام نہاد مقداری ڈیلٹا غیر متغیرات کی بنیاد پر، ژانگ نے ہموار فانو کئی گنا کے لیے وائی ٹی ڈی قیاس آرائی کا ایک مختصر مقدار پر مبنی ثبوت تیار کیا۔ مکمل طور پر دیگر تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے، برمن نے یکساں گبز استحکام نامی تھرموڈینامک نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے وائی ٹی ڈی قسم کے قیاس کا ثبوت بھی تیار کیا ہے، جہاں ایک بے ترتیب نقطہ عمل کے ذریعے کیلر آئن سٹائن میٹرک بنایا جاتا ہے۔ سنگل فینو کی اقسام اور کمزور کیلر آئن سٹائن میٹرکس برمن-بوکسم-جانسن کے یو-تیان-ڈونلڈسن قیاس کے نئے ثبوت نے تغیراتی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے واحد فینو کی اقسام کے لیے کے-استحکام اور کیلر-آئن سٹائن میٹرکس کے ممکنہ مطالعہ کو کھول دیا۔ استعمال کی جانے والی متغیر تکنیکیں یکساں K-استحکام پر انحصار کرتی ہیں جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے۔ برمن کا یہ نتیجہ کہ ایک فانو کئی گنا جو کہ کیلر-آئن سٹائن میٹرک کو تسلیم کرتا ہے، K-پولی اسٹیبل ہے، ایک-لاگ فانو جوڑی کی مکمل عامیت میں ثابت ہوا، جس میں ایک کمزور کیلر-آئن سٹائن میٹرک کو تسلیم کیا گیا۔ ایک-فینو قسم پر ایک کمزور کیلر-آئن سٹائن میٹرک ایک مثبت-کرنٹ ہے جو کی ہموار لوکس پر ایک ہموار کیلر-آئن سٹائن میٹرک دینے تک محدود ہے۔ تقسیم کار کے ساتھ مطابقت کی ضرورت سے، اس تعریف کو ایک جوڑے پر کمزور کیلر آئن سٹائن میٹرک تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ اس عام طور پر، وائی ٹی ڈی قیاس آرائی کی الٹی سمت لی-تیان-وانگ نے اس معاملے میں ثابت کی تھی جہاں آٹومورفزم گروپ مجرد ہے، اور مکمل عام طور پر Li.By کے ذریعے لیو-زو-زوانگ کے محدود نسل کے قیاس آرائی کے حل سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ کم شدہ یکساں K-استحکام K-پولی اسٹیبلٹی کے مساوی ہے، لہذا برمن کے نتیجے کے ساتھ مل کر یاؤ-تیان-ڈونلڈسن قیاس واحد فانو اقسام کے لیے مکمل عام طور پر درست ہے۔ K-مستحکم فینو اقسام کی ماڈیولی خالی جگہیں الجبرائی جیومیٹری میں ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر ایک مرکزی مسئلہ ہے۔ الجبرائی منحنی خطوط کے ماڈیولی کی تعمیر نے ہندسی غیر متغیر نظریہ، اسٹیکس، اور الجبرائی سطحوں کی درجہ بندی کی ترقی کو فروغ دیا ہے جس نے الجبرائی جیومیٹری میں نتائج کو متحرک کیا ہے۔ کینونکل پولرائزڈ اقسام کے ماڈیولی خالی جگہوں کا معاملہ کولر-شیفرڈ-بیرن کے ذریعہ کم سے کم ماڈل پروگرام سے پیدا ہونے والی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے طے کیا گیا تھا جو کہ عام قسم کی اقسام کے نام نہاد کے ایس بی ماڈیولی خالی جگہوں کی طرف جاتا ہے۔ عام قسم کی اقسام کی ایک کلیدی خاصیت جو ماڈیولی کی تعمیر کی اجازت دیتی ہے اس طرح کی اقسام کی آٹومورفزم کی کمی ہے۔ یہ فانو کی اقسام کے لیے موزوں نہیں ہے، جن میں اکثر بہت بڑے آٹومورفزم گروپ ہو سکتے ہیں، اس لیے کم سے کم ماڈل پروگرام کو فانو کی اقسام کے ماڈیولی کی تعمیر کے لیے براہ راست ایپلی کیشنز نہیں ملیں، اور یہ واضح ہو گیا کہ کے-استحکام صحیح الجبرو-جیومیٹرک تصور تھا جو اس معاملے میں ماڈیولی کی تشکیل کی اجازت دیتا ہے۔ کے-مستحکم اقسام کے ماڈیولی خالی جگہوں کو کے-ماڈیولی کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ہموار کیس ہموار فینو کئی گنا کی صورت میں، کوئی بھی تجزیاتی طور پر ماڈیولی اسپیس کی تعمیر کے لیے یو-تیان-ڈونلڈسن قیاس سے پیدا ہونے والی تکنیکوں کا استعمال کر سکتا ہے۔ اوداکا اور ڈونلڈسن کے خاص طور پر YTD قیاس کے ثبوت میں استعمال ہونے والے کیلر آئن سٹائن فینوس کے گروموف کمپیکٹنس کے نظریات پر مبنی کام سے مجرد آٹومورفزم گروپوں کے ساتھ ہموار فینو کیلر آئن سٹائن کئی گنا کے ماڈیولی خالی جگہوں کا وجود ظاہر ہوتا ہے۔ یہ ماڈیولی خالی جگہیں ہاؤز ڈورف ہیں اور ان میں سب سے خراب حصص کی انفرادیت ہوتی ہے۔ وائی ٹی ڈی قیاس کے مطابق یہ متفرق آٹومورفزم گروپوں کے ساتھ ہموار کے-پالسٹیبل فینو اقسام کی متبادل طور پر ماڈیولی خالی جگہیں ہیں۔ تاہم، ہموار فینو کیلر-آئن سٹائن کئی گنا کی گروموف-ہاؤسڈورف حد ایک واحد-فینو قسم کا باعث بن سکتی ہے، اس لیے اوداکا اور ڈونلڈسن کی طرف سے بیان کردہ ماڈیولی خالی جگہیں کمپیکٹ نہیں ہیں، یہ ایک معیار ہے جو ماڈیولی خالی جگہوں کی تشکیل میں اکثر مطلوب ہوتا ہے۔ ہموار کے-پالسٹیبل فینوس کے ماڈیولی اسپیس کو کمپیکٹ کرنے کا ایک طریقہ واحد کے-پالسٹیبل فینوس کے ماڈیولی اسپیس میں منتقل کرنا ہے، اور اس کی پروجیکٹوٹی کو ثابت کرنے کے لیے الجبرائی جیومیٹری کا استعمال کرنا ہے۔ واحد فینو اقسام کے لیے یاؤ-تیان-ڈونلڈسن کا قیاس اس کمپیکٹفیکیشن کو ایک متبادل نقطہ نظر دے گا جیسا کہ کمزور کیلر-آئن سٹائن میٹرکس کے ساتھ واحد فینو اقسام پر مشتمل ہے۔ عام صورت ماڈیولی خالی جگہوں کی تعمیر کے لیے معیاری الجبرائی تکنیک ہندسی غیر متغیر نظریہ کا استعمال کرتی ہے۔ عام طور پر ماڈیولی کی تعمیر کے لیے ممفورڈ کے ہندسی غیر متغیر نظریہ کو لاگو کرنے کے لیے، کسی کو ایک مقررہ محدود جہتی پروجیکٹو اسپیس کے اندر اقسام کے ایک خاندان کو سرایت کرنا چاہیے۔ اس طرح کا خاندان پھر پروجیکٹو اسپیس کی متعلقہ ہلبرٹ اسکیم میں پوائنٹس کے لوکس کی وضاحت کرتا ہے، جو کہ ایک پروجیکٹو اسکیم ہے جس پر پروجیکٹو آٹومورفزم کا گروپ کام کرتا ہے۔ اس لکیریائزیشن کے حوالے سے جی آئی ٹی استحکام کو ہلبرٹ استحکام کہا جاتا ہے۔ اگر یہ لوکس ایک کھلا سیٹ بناتا ہے، تو جی آئی ٹی کو ایک حصص کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو ان اشیاء کو پیرامیٹرائز کرتا ہے۔ اچھے حالات میں یہ حصّہ مناسب اور پروجیکٹو ہو سکتا ہے۔ کسی مقررہ پروجیکٹو اسپیس کے اندر اقسام کے خاندان کو سرایت کرنا ہمیشہ ممکن نہیں ہوتا ہے اور اس لیے ان کے ماڈیولی کو ہندسی غیر متغیر نظریہ کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے، اور اس خاص خاصیت کو باؤنڈنیس کہا جاتا ہے۔ فینو اقسام کی ایک بنیادی خاصیت یہ ہے کہ وہ پابند ہونے میں ناکام رہتے ہیں، اور اس طرح ان کے استحکام کو کسی محدود جہتی ہندسی غیر متغیر نظریہ کے ذریعے معقول طور پر حاصل نہیں کیا جا سکتا۔ یہ وضاحت کرتا ہے کہ کیوں کے-استحکام کے لیے کسی کو ٹیسٹ کی ترتیبات پر غور کرنے کی ضرورت ہوتی ہے جس کے لیے نسبتا کافی لائن بنڈل من مانی طور پر بڑے کے لیے کچھ طاقت کے مطابق ہو سکتا ہے۔ تاہم، کاچر برکر کے نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ فینو اقسام کے کچھ خاندان جن کا حجم نیچے سے محدود ہے، پابند خاندانوں کی تشکیل کرتے ہیں، جس سے پتہ چلتا ہے کہ ماڈیولی خالی جگہیں بنانے کے لیے فینو اقسام کے حجم سے منسلک خاندانوں کے استحکام کا مطالعہ کرنا ممکن ہو سکتا ہے۔ اس کام کے لیے برکر کو 2018 میں فیلڈز میڈل سے نوازا گیا۔ یہ جیانگ کی طرف سے ثابت کیا گیا تھا کہ کے-سمسٹیبل-فینو اقسام جن کا حجم نیچے سے محدود ہے ایک باؤنڈڈ فیملی تشکیل دیتی ہیں۔ اس طرح کسی دیئے گئے حجم کے لیے ایک یکساں عدد موجود ہوتا ہے کہ ہر K-سمسٹبل-فینو جس میں اینٹی کینونکل حجم مقررہ پروجیکٹو اسپیس کے اندر ایک سرایت کو قبول کرنے کے برابر یا اس سے بڑا ہوتا ہے۔ کے-سمسٹیبل فینوس کے اس لوکس کی کشادگی کو بلوم-لیو-زو اور زو نے ثابت کیا۔ اس سے مراد محدود قسم کے آرٹن اسٹیک کا وجود ہے جس کی نشاندہی پیرامیٹرائزنگ کے-سیمیسٹ ایبل-فینو اقسام کے ساتھ حجم نیچے سے منسلک ہے۔ ایک حقیقی ماڈیولی جگہ کو پروجیکٹو قسم یا اسکیم کے طور پر تلاش کرنے کے لیے، اسٹیک کے اندر کے-سمسٹ ایبل فینوس کی ایس-تکمیل اور-ریڈکٹیویٹی کے بارے میں کچھ خصوصیات کو ثابت کرنا ضروری ہے۔ کے-پولی اسٹیبلٹی کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے، ماڈیولی اسٹیک کی یہ خصوصیات درست ہیں اور اسٹیک کے لیے ایک موٹے ماڈیولی کی جگہ موجود ہے جو کے-پولی اسٹیبل-فینو اقسام کو پیرامیٹرائز کرتی ہے جس کا حجم نیچے سے منسلک ہوتا ہے۔ یہ ثابت ہوا کہ یہ مناسب ہے اور یہ کہ سی ایم لائن بنڈل کافی ہے، یعنی موٹے ماڈیولی کی جگہ بھی پروجیکٹو ہے۔ کے-ماڈیولی کے وجود کے نتائج کا خلاصہ مندرجہ ذیل theorem.The میں کیا جا سکتا ہے جس میں کے-پالسٹیبل فینوس کے ماڈیولی اسپیس کی تعمیر کو لاگ فینو اقسام کی ترتیب میں عام کیا جا سکتا ہے۔ واحد-فینو اقسام کا معاملہ جو ہموار ہیں (یعنی وہ ہموار کے-پولی اسٹیبل فینو مینیفولڈز کے الجبرائی خاندانوں کی حدود ہیں) کو پہلے لی-وانگ-شو نے تجزیاتی تکنیکوں کے امتزاج کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا تھا، جو اوداکا، ڈونلڈسن اور کوڈوگنی-پاٹکفلوی کے ابتدائی کام پر بھی انحصار کرتا ہے۔ وہاں موٹے ماڈیولی کی جگہ کو ایک اسکیم کے طور پر دکھایا گیا ہے، لیکن عام طور پر کے-ماڈیولی کے وجود کے نتائج صرف الجبرائی جگہ کے وجود کی ضمانت دیتے ہیں۔ فانو اقسام کا واضح K-استحکام K-مستحکم فانو اقسام کا واضح مطالعہ K-استحکام کے الجبرائی تصور سے پہلے ہوتا ہے، اور کم جہتوں میں خالصتا کیلر آئن سٹائن کئی گنا کے مطالعہ کی وجہ سے دلچسپی کا باعث تھا۔ مثال کے طور پر، یا تو واضح تعمیر یا تیان کے الفا غیر متغیر کے استعمال سے، طول و عرض 1 اور 2 کے تمام ہموار کیلر آئن سٹائن کئی گنا K-استحکام کی تعریف متعارف ہونے سے پہلے ہی معلوم تھے۔ جہت 3 میں اور کیلر آئن سٹائن میٹرکس کی اعلی واضح تعمیرات زیادہ مشکل ہو جاتی ہیں، لیکن K-استحکام کے الجبرائی مطالعہ سے پیدا ہونے والی پیشرفتوں نے K-پولی اسٹیبل فینو تھری فولڈز اور اعلی جہتی اقسام کے کچھ خاندانوں کی واضح گنتی کو قابل بنایا ہے، اور اس کے بعد نئے کیلر آئن سٹائن مینیفولڈز کی دریافت ہوئی ہے۔ طول و عرض 1 طول و عرض 1 میں ایک منفرد ہموار فینو قسم ہے، جو پیچیدہ پروجیکٹو لائن ہے۔ اس قسم کو فوبانی-اسٹڈی میٹرک کے وجود کی وجہ سے آسانی سے کے-مستحکم سمجھا جاتا ہے، جو کہ کیلر-آئن سٹائن میٹرک ہے، جس کا مطلب ہے کے-پولی اسٹیبلٹی۔ ہموار ریمن سطحوں کے K-استحکام کا خالص الجبرو-جیومیٹرک ثبوت راس تھامس کے ڈھلوان K-استحکام پر کام سے ملتا ہے، جو طول و عرض ایک میں K-استحکام کے برابر ہے۔ اس صورت میں کوئی وکر پر پوائنٹس کے مجموعے سے ٹیسٹ کی ترتیبات بنا سکتا ہے، اور جب وکر ہموار ہوتی ہے تو کوئی پوائنٹ غیر مستحکم نہیں ہوتا ہے۔ طول و عرض 2 طول و عرض دو میں وہ خالی جگہیں جو کیلر آئن سٹائن میٹرکس کو تسلیم کرتی ہیں، کی درجہ بندی تیان نے کی تھی۔ طول و عرض دو میں ہموار فینو اقسام کے 10 اخترتی والے خاندان ہیں، ڈیل پیزو سطحیں۔ الفا غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے، تیان نے دکھایا کہ ایک ہموار فینو کی سطح ایک کیلر آئن سٹائن میٹرک کو قبول کرتی ہے اور صرف اس صورت میں اور صرف اس صورت میں کے-پولی اسٹیبل ہے جب یہ ایک یا دو نکات میں پیچیدہ پروجیکٹو طیارہ کا پھٹنا نہیں ہے۔ اس طرح ان 10 میں سے 8 کلاسیں کے-پالسٹیبل فینو سطحوں پر مشتمل ہیں۔ فینو کی سطحوں کے کے-ماڈیولی کا مطالعہ تیان اور مابوچی-مکائی نے واضح مثالوں میں کیا۔ کیلر-آئن سٹائن فینو سطحوں کے کمپیکٹ ماڈیولی خالی جگہوں کی واضح تعمیرات اوداکا-اسپوٹی-سن کے ذریعہ حاصل کی گئیں۔ ان خالی جگہوں کو گروموف-ہاؤسڈورف کمپیکٹفیکیشن کے طور پر تعمیر کیا گیا تھا لیکن ان کی شناخت لاگ فینو کی سطحوں کے واضح الجبرائی خالی جگہوں سے کی گئی تھی۔ مثال کے طور پر، یہ اوداکا-اسپوٹی-سن کی طرف سے ثابت کیا گیا ہے کہ چوتھے درجے کی ہموار کیلر-آئن سٹائن سطحوں کی کمپیکٹ ماڈیولی جگہ کو لوکس کے مطابق چوتھے درجے کی ہموار کیلر-آئن سٹائن سطحوں کے ساتھ وزن والے پروجیکٹو اسپیس کے ذریعے دیا جاتا ہے جہاں مساوات کو مطمئن کرنے والے ان نکات پر مشتمل ایک کافی تقسیم ہوتا ہے۔ طول و عرض 3 میں خالص الجبری تکنیکوں کو K-مستحکم فینو اقسام کی مثالیں تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کہ کیلر آئن سٹائن میٹرکس کو تسلیم کرنے کے لیے معروف نہیں ہیں۔ ہموار فینو تھری فولڈز کی اسکووسکخ-موری-مکائی درجہ بندی کے-مستحکم فینو تھری فولڈز کو اس کے اجزاء میں مطالعہ کرنے کے مسئلے کو توڑنے کا ایک قدرتی طریقہ فراہم کرتی ہے۔ یہ معلوم ہے کہ ہموار فینو تھری فولڈز کے 105 اخترتی والے خاندان ہیں، اور فوجیٹا-لی کے بیٹا غیر متغیر اور فوجیٹا-اوداکا کے ڈیلٹا غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے واضح حسابات کا استعمال اس بات کا تعین کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ کون سے اخترتی والے خاندانوں میں کے-مستحکم نمائندے ہوتے ہیں۔ ہر بگاڑ والے خاندان کے لیے یہ معلوم ہوتا ہے کہ خاندان کا عام عنصر K-(پولی) مستحکم ہے یا نہیں۔ خاص طور پر یہ معلوم ہے کہ 105 میں سے 78 خاندانوں میں ان کی اخترتی کی کلاس میں کے-پولی اسٹیبل نمائندہ ہوتا ہے۔ 105 میں سے 71 خاندانوں کے لیے، یہ ڈیفارمیشن کلاس کے ہر ایک رکن کے لیے جانا جاتا ہے چاہے وہ کے-پولی اسٹیبل ہو یا نہ ہو۔ 105 اخترتی والے خاندانوں کی بہت سی مثالوں کے لیے، نمائندہ تین فولڈوں کے کے-استحکام کی تشریح ایک قدرتی جی آئی ٹی مسئلے کے لحاظ سے کی جا سکتی ہے جو اس خاندان کو بیان کرتا ہے، اور اس لیے فینو تین فولڈوں کے کے-ماڈیولی کی واضح مثالیں بھی جی آئی ٹی کوٹینٹس کے طور پر مل سکتی ہیں۔ فینو تھری فولڈ کی کچھ کلاسوں کے لیے درجہ بندی کا مسئلہ کھلا رہتا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ معلوم ہے کہ اخترتی کی کلاس میں مکائی-امیمورا تین گنا ایک کیلر-آئن سٹائن میٹرک کو قبول کرتا ہے اور اس لیے ڈونلڈسن کے کام سے کے-پولیسٹیبل ہے، جس نے واضح طور پر اوپر کے معیار کا استعمال کرتے ہوئے تیان کے الفا غیر متغیر کا حساب لگایا۔ اس کئی گنا میں غیر مجرد آٹومورفزم گروپ ہے اور کون سی قریبی شکلیں بھی K-پولی اسٹیبل ہیں یہ معلوم نہیں ہے۔ یہ قیاس کیا جاتا ہے کہ ورسل ڈیفارمیشن اسپیس کے اندر جی آئی ٹی-پولی اسٹیبل پوائنٹس سے متعلق خرابیاں قریبی کے-پولی اسٹیبل اقسام سے مطابقت رکھتی ہیں۔ اعلی جہتیں کسی بھی جہت میں کے-پولی اسٹیبل فینو کئی گنا کی پہلی اور آسان ترین مثال پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس ہے، جو ہمیشہ فوبینی-اسٹڈی میٹرک کو قبول کرتی ہے جو کہ کسی بھی جہت میں کیلر-آئن سٹائن ہے اور اس لیے تمام پروجیکٹو اسپیس کے-پولی اسٹیبل ہیں۔ عام طور پر اعلی جہتوں میں اس طرح کے بہت سے "واضح" کیلر آئن سٹائن میٹرکس نہیں ہیں، اور مثالوں کو تلاش کرنے کے لیے استحکام کی حالیہ تکنیکوں کا استعمال کرنا چاہیے۔ فانو اقسام کے بعض خاندانوں کے لیے، K-استحکام کو اعلی جہتوں میں الفا غیر متغیر کے ذریعے تجزیاتی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے یا بیٹا یا ڈیلٹا غیر متغیر کے ساتھ خالص الجبرو جیومیٹرک تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ ایک مثال کے طور پر، ایک فرمیٹ ہائپر سرفیس مختلف قسم کی شکل ہے۔ یہ ہائپر سرفیس ہموار فینو کئی گنا ہیں جن کے لیے مجرد آٹومورفزم گروپ ہے، اور یہ تیان نے الفا غیر متغیر کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا تھا جس کا مطلب ہے کہ وہ کیلر آئن سٹائن کو تسلیم کرتا ہے، اور مزید تفصیلی دلائل کا استعمال کرتے ہوئے تیان نے کیلر آئن سٹائن میٹرک کے وجود کو ثابت کیا۔ دوسری طرف، ڈیلٹا غیر متغیر زہوانگ کا استعمال کرتے ہوئے ایک مکمل الجبرائی ثبوت دیا جو کہ کے-مستحکم ہے اور اس لیے ان صورتوں میں کیلر آئن سٹائن میٹرک کو قبول کرتا ہے۔ یکساں کے-استحکام اور کے-توازن کے لیے کھلے پن کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، اس سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ ڈگری کے اندر کی عام ہموار ہائپر سرفیس کے-مستحکم ہے۔ بعض صورتوں میں یہ حقیقت میں معلوم ہے کہ تمام ڈگری ہائپر سرفیس K-مستحکم ہیں، جیسے کہ تمام ہموار ہائپر سرفیس۔ فانو کی مخصوص اقسام کے مطالعہ کے علاوہ، بعض ترتیبات میں کے-ماڈیولی کو واضح طور پر اعلی جہتوں میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، جب K-ماڈیولی ایک "واضح" GIT تشریح کو تسلیم کرتا ہے، تو بیٹا یا ڈیلٹا غیر متغیرات کے الجبرائی ٹولز کو اس بات کی تصدیق کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ GIT استحکام اس مخصوص مسئلے کے لیے K-استحکام کے برابر ہے۔ مثال کے طور پر، لیو نے دکھایا کہ کیوبک فور فولڈ ہائپر سرفیس کے لیے، (ممکنہ طور پر واحد) کیوبک فور فولڈ کی جی آئی ٹی ماڈیولی اسپیس کے-ماڈیولی اسپیس کے لیے آئسومورفک ہے، اور اس طرح کوئی بھی کے-اسٹیبل، کے-پولی اسٹیبل، اور کے-سیمیسٹبل کیوبک فور فولڈ کی واضح وضاحت ان کے جی آئی ٹی استحکام اور انفرادیت کی ساخت کے لحاظ سے حاصل کرتا ہے۔ خاص طور پر ہر ہموار کیوبک چار گنا K-مستحکم ہوتا ہے۔ حوالہ جات نوٹ الجبرائی جیومیٹری