Neuberg cubic
یوکلڈین جیومیٹری میں، نیوبرگ کیوبک ایک خاص کیوبک طیارہ منحنی خطوط ہے جو کئی قابل ذکر خصوصیات کے ساتھ ایک حوالہ مثلث سے وابستہ ہے۔ اس کا نام لکسمبرگ کے ریاضی دان جوزف جین بپٹسٹ نیوبرگ (30 اکتوبر 1840-22 مارچ 1926) کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1884 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں منحنی خطوط کو پہلی بار متعارف کرایا تھا۔ یہ وکر برنارڈ گلبرٹ کے کیٹلاگ آف ٹرائنگل کیوبکس میں شناختی نمبر K001 کے ساتھ پہلی آئٹم کے طور پر ظاہر ہوتا ہے جو 1200 سے زیادہ مثلث کیوبکس کے بارے میں وسیع معلومات کا مجموعہ ہے۔ تعریفیں نیوبرگ کیوبک کی تعریف بہت سے مختلف طریقوں سے لوکس کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ ایک طریقہ یہ ہے کہ اسے حوالہ مثلث کے سطح میں کسی نقطہ کے لوکس کے طور پر اس طرح بیان کیا جائے کہ، اگر مثلث کے کنارے کے عکاسی ہوتے ہیں، تو لکیریں ہم آہنگ ہوتی ہیں۔ تاہم، یہ ثابت کرنے کی ضرورت ہے کہ اس طرح بیان کردہ لوکس درحقیقت ایک کیوبک وکر ہے۔ دوسرا طریقہ یہ ہے کہ اسے نقطہ کے لوکس کے طور پر اس طرح بیان کیا جائے کہ اگر مثلث کے گردشی مرکز ہوں تو لکیریں ہم آہنگ ہوں۔ پھر بھی ایک اور طریقہ یہ ہے کہ اسے درج ذیل خاصیت کو مطمئن کرنے کے لوکس کے طور پر بیان کیا جائے جسے کواڈرینگلز انولوٹفس کہا جاتا ہے (یہ وہ طریقہ تھا جس میں نیوبرگ نے وکر کو متعارف کرایا تھا): مساوات آئیے حوالہ مثلث کی طرف کی لمبائی ہو۔ پھر بیری سینٹرک نقاط میں نیوبرگ کیوبک کی مساوات دیگر اصطلاحات ہیں: 21 نکاتی منحنی خطوط، 37 نکاتی منحنی خطوط پرانے ادب میں نیوبرگ منحنی خطوط کو عام طور پر 21 نکاتی منحنی خطوط کہا جاتا ہے۔ اصطلاحات سے مراد اس منحنی خطوط کی خاصیت ہے جسے خود نیوبرگ نے دریافت کیا تھا کہ یہ حوالہ مثلث سے وابستہ کچھ خاص 21 نکات سے گزرتا ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ حوالہ مثلث ہے، 21 نکات ذیل میں درج ہیں۔ عمودی سرے مخالف سمت میں عمودی سرے کی عکاسی آرتھو سینٹر سرکم سینٹر تین نکات جہاں جوڑنے والی لکیر میں A کی عکاسی ہوتی ہے اور جہاں اس کے ساتھ عمودی بائیسیکٹر کا چوراہا ہوتا ہے اور یہ ساتھ کے عمودی بائیسیکٹر کا چوراہا ہوتا ہے اور اسی طرح بیان کیا جاتا ہے مثلث کے اطراف میں بنائے گئے مساوی مثلث کے چھ عمودی دو آئسوگونک مراکز (مثلث مراکز کے انسائیکلوپیڈیا میں پوائنٹس X (13) اور X (14)) دو آئسوگونک پوائنٹس (مثلث مراکز کے انسائیکلوپیڈیا میں پوائنٹس X (15) اور X (16)) منسلک شکل مثلث کے نیوبرگ کیوبک کو ظاہر کرتی ہے جس میں تمام ہیں۔ 1925 میں شائع ہونے والے ایک مقالے میں، بی ایچ براؤن نے نیوبرگ کیوبک پر 16 اضافی خصوصی نکات کی دریافت کی اطلاع دی جس سے کیوبک پر اس وقت کے معروف خصوصی نکات کی کل تعداد 37 ہو گئی۔ اس کی وجہ سے نیوبرگ کیوبک کو بعض اوقات 37 نکاتی کیوبک بھی کہا جاتا ہے۔ فی الحال، نیوبرگ کیوبک پر خصوصی مقامات کی ایک بڑی تعداد پائی جاتی ہے۔ گلبرٹس کیٹلاگ کا ایک خاص صفحہ ہے جو ایسے خاص نکات کی فہرست کے لیے وقف ہے جو مثلث کے مراکز بھی ہیں۔ نیوبرگ کیوبک کی کچھ خصوصیات ایک سرکلر کیوبک کے طور پر حوالہ مثلث کے سطح میں انفینٹی پر لائن کے سہ رخی نقاط میں مساوات یہ ہے کہ اس لائن پر دو خاص نکات ہیں جنہیں انفینٹی پر سرکلر پوائنٹس کہا جاتا ہے۔ مثلث کے سطح کا ہر دائرہ ان دو نکات سے گزرتا ہے اور ان نکات سے گزرنے والا ہر مخروط ایک دائرہ ہوتا ہے۔ ان نکات کے سہ رخی نقاط کہاں ہیں۔ کوئی بھی کیوبک وکر جو دو سرکلر پوائنٹس سے انفینیٹی پر گزرتا ہے اسے سرکلر کیوبک کہا جاتا ہے۔ نیوبرگ کیوبک ایک گول کیوبک ہے۔ نیوبرگ کیوبک بطور ایک اہم آئسوگنل کیوبک مثلث کے حوالے سے کسی نقطہ کا آئسوگنل کنجوگیٹ بالترتیب زاویہ دو حصوں کے بارے میں لکیروں کے عکاسی کا نقطہ اتفاق ہے۔ کے آئسوگنل کنجوگیٹ کو بعض اوقات اس کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ کا آئسوگنل کنجوگیٹ ہے۔ سیلف آئسوگنل کیوبک ایک مثلث کیوبک ہے جو آئسوگنل کنجگیشن کے تحت غیر متغیر ہے۔ ایک اہم آئسوگنل کیوبک ایک کیوبک ہے جس میں کیوبک پر پڑے ہوئے نکات اور ان کے آئسوگنل کنجوگیٹس ایک مقررہ نقطہ کے ساتھ کالینیئر ہوتے ہیں جسے کیوبک کا محور نقطہ کہا جاتا ہے۔ نیوبرگ کیوبک ایک اہم آئسوگنل کیوبک ہے جس کا محور اویلر لائن کے چوراہے پر لائن کے ساتھ انفینیٹی پر ہے۔ کمبرلنگ کے انسائیکلوپیڈیا آف ٹرائنگل سینٹرز میں، اس نقطہ کو X (30) سے ظاہر کیا گیا ہے۔ نیوبرگ کیوبک بطور پیوٹول آرتھو کیوبک فرض کریں کہ مثلث کی سطح میں ایک نقطہ ہے۔ عمودی لکیریں بالترتیب ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں اور یہ نکات ایک لکیر پر ہوتے ہیں۔ کے سہ رخی قطب کو ہونے دیں۔ آئسوپوٹل کیوبک ایک مثلث کیوبک ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ ایک مقررہ نقطہ اس طرح ہے کہ کیوبک پر کسی بھی نقطہ M کے لیے، پوائنٹس کالینیئر ہوتے ہیں۔ فکسڈ پوائنٹ کو کیوبک کا آرتھوپوٹ کہا جاتا ہے۔ نیوبرگ کیوبک ایک آرتھوپوٹل کیوبک ہے جس میں مثلث کے دائرے پر آرتھوپوٹ ہوتا ہے۔ مزید پڑھنا Abdikadir Altintas، نیوبرگ کی کچھ خصوصیات پر کیوبک حوالہ جات مثلث جیومیٹری