Klein–Kramers equation
طبیعیات اور ریاضی میں، کلین-کریمرز مساوات یا بعض اوقات کریمرز-چندرشیکھر مساوات کے طور پر جانا جاتا ہے ایک جزوی تفریقی مساوات ہے جو فیز اسپیس میں براؤنین ذرہ کی امکانی کثافت کی تقریب کو بیان کرتی ہے۔ یہ فوکر-پلانک مساوات کا ایک خاص معاملہ ہے۔ ایک مقامی طول و عرض میں، تین آزاد متغیرات کا ایک فعل ہے: اسکیلرز، اور۔ اس صورت میں، کلین-کریمرز مساوات وہ ہے جہاں بیرونی صلاحیت ہے، ذرہ کمیت ہے، رگڑ (ڈریگ) گتانک ہے، درجہ حرارت ہے، اور بولٹزمین مستقل ہے۔ مقامی جہتوں میں، مساوات یہاں ہے اور اور کے حوالے سے گریڈینٹ آپریٹر ہے، اور کے حوالے سے لیپلاسیئن ہے۔ فریکشنل کلین-کریمرز مساوات ایک عمومی شکل ہے جس میں فریکشنل کیلکولس کے ذریعے بے ضابطہ پھیلاؤ شامل ہوتا ہے۔ جسمانی بنیاد کلین-کریمرز مساوات کا بنیادی جسمانی نمونہ ایک زیر ڈمپ براؤنین ذرہ کا ہے۔ معیاری براؤنین حرکت کے برعکس، جو کہ اوور ڈیمپڈ ہے، انڈر ڈیمپڈ براؤنین حرکت رگڑ کو محدود سمجھتی ہے، ایسی صورت میں مومنٹم ایک آزاد ڈگری آف فریڈم رہتی ہے۔ ریاضیاتی طور پر، کسی ذرہ کی حالت کو اس کی پوزیشن اور رفتار سے بیان کیا جاتا ہے، جو لینجین مساوات کے مطابق وقت کے ساتھ تیار ہوتا ہے۔ یہ مساوات نیوٹن کے حرکت کے دوسرے قانون سے مشابہت رکھتی ہیں، لیکن شور کی وجہ سے اصطلاح تعیین کے بجائے غیر معمولی ("بے ترتیب") ہوتی ہیں۔ حرکیات کو امکانی کثافت فنکشن کے لحاظ سے بھی بیان کیا جا سکتا ہے، جو وقت کے ساتھ، پوزیشن پر اور رفتار کے ساتھ کسی ذرہ کو تلاش کرنے کا امکان دیتا ہے۔ لینجین مساوات سے سٹاکاسٹک ٹریجیکٹوریز پر اوسط سے، کلین-کریمرز مساوات کی اطاعت کرتے ہوئے دکھایا جا سکتا ہے۔ آزاد جگہ میں حل-جہتی آزاد جگہ کا مسئلہ قوت کو صفر کے برابر مقرر کرتا ہے، اور اس انحطاط پر حل کو لامحدود پر 0، یعنی اس کے طور پر سمجھتا ہے۔ پوائنٹ سورس ابتدائی حالت کے ساتھ 1 ڈی فری اسپیس کے مسئلے کے لیے، وہ حل جو ایک دو متغیر گوسیئن ہے اور جسے 1943 میں سبرامنیم چندر شیکھر نے حل کیا تھا (جس نے پوٹینشل کی موجودگی میں مسائل کو حل کرنے کے لیے ایک عمومی طریقہ کار بھی وضع کیا تھا): جہاں اس خاص حل کو گرین فنکشن کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، اور اسے عمومی حل کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یعنی، عام ابتدائی حالات کا حل: اسی طرح، پوائنٹ سورس ابتدائی حالت کے ساتھ 3 ڈی فری اسپیس کے مسئلے کا حل، اور اس کی تعریف 1 ڈی حل کے طور پر کی گئی ہے۔ غیر علامتی طرز عمل بعض حالات کے تحت، فری اسپیس کلین-کریمرز مساوات کا حل غیر علامتی طور پر پھیلاؤ کے عمل کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر تب کثافت مطمئن ہوتی ہے کہ پھیلاؤ مساوات کے لیے فری اسپیس گرین کا فنکشن کہاں ہے۔ حدوں کے قریب حل کلین-کریمرز مساوات کا 1D، وقت سے آزاد، قوت سے پاک () ورژن متغیرات کی علیحدگی کے ذریعے نیم لامحدود یا پابند ڈومین پر حل کیا جا سکتا ہے۔ حل عام طور پر ایک باؤنڈری پرت تیار کرتا ہے جو خلا میں تیزی سے مختلف ہوتی ہے اور باؤنڈری پر ہی غیر تجزیاتی ہوتی ہے۔ ایک اچھی طرح سے پیش کردہ مسئلہ ڈومین کے صرف آدھے حصے پر باؤنڈری ڈیٹا تجویز کرتا ہے: بائیں باؤنڈری پر مثبت نصف () اور دائیں طرف منفی نصف ()۔ نیم لامحدود مسئلے کے لیے، باؤنڈری کنڈیشنز کو اس طرح دیا جا سکتا ہے: کسی فنکشن کے لیے۔ پوائنٹ سورس باؤنڈری کنڈیشن کے لیے، حل کا ایک درست اظہار لامحدود رقم اور مصنوعات کے لحاظ سے ہوتا ہے: یہاں، نتیجہ کلین کریمرز مساوات کے غیر جہتی ورژن کے لیے بیان کیا گیا ہے: اس نمائندگی میں، لمبائی اور وقت کو اور کی اکائیوں میں ماپا جاتا ہے، اس طرح کہ اور دونوں بے جہتی ہیں۔ اگر باؤنڈری کنڈیشن ہے، کہاں، تو حل یہ ہے کہ یہ نتیجہ وینر-ہاپ طریقہ کار کے ذریعے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، اظہار کا عملی استعمال سیریز کے سست ارتکاز سے محدود ہے، خاص طور پر 0 کے قریب کی اقدار کے لیے۔ فوکر-پلانک مساوات آرنسٹین-یولین بیک عمل وینر عمل لکیری نقل و حمل نظریہ نیوٹرون نقل و حمل حوالہ جات جزوی تفریق مساوات بھی دیکھیں۔