Bohemian matrices
بوہیمین میٹرکس فیملی میٹرکس کا ایک مجموعہ ہے جس کی مفت اندراجات ایک واحد مجرد، عام طور پر محدود آبادی سے آتی ہیں، جسے میٹرکس کی فہرست سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس خاص بوہیمین میٹرکس خاندان سے کسی بھی میٹرکس کا ہر ان پٹ سیٹ کا عنصر ہونا ضروری ہے۔ ان خصوصیات پر مشتمل ایسی میٹرکس کو بوہیمین میٹرکس کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ بوہیمین میٹرکس میں دیگر ڈھانچے بھی ہو سکتے ہیں، جیسے کہ ٹوپلٹز میٹرکس یا اوپری ہیسنبرگ میٹرکس۔ عام طور پر، ایک وقت میں ایک مقررہ آبادی کے ساتھ صرف ایک بوہیمین میٹرکس خاندان کا مطالعہ کیا جاتا ہے، اور اس لیے کوئی بھی کسی بھی میٹرکس کو بوہیمین کے طور پر درجہ بندی کر سکتا ہے یا بغیر کسی اہم ابہام کے۔ ایپلی کیشنز سافٹ ویئر ٹیسٹنگ بوہیمین میٹرکس کا ایک عام اطلاق لکیری الجبرا میں لاگو سافٹ ویئر کی جانچ کرنا ہے۔ بوہیمین میٹرکس (عام طور پر) کمپیوٹر پر واضح طور پر پیش کیے جاتے ہیں، اور کوئی بھی مکمل تلاش (چھوٹے طول و عرض کے لیے)، بے ترتیب نمونے لینے، یا اصلاح کی تکنیکوں کے ذریعے انتہائی رویے کی شناخت کر سکتا ہے۔ ایک نمایاں مثال سٹیون ای تھورنٹن ہے، جس نے دو ٹریلین سے زیادہ آئجن ویلیو کے مسائل حل کیے تھے۔ ایسا کرتے ہوئے، انہوں نے کچھ مشہور سافٹ ویئر سسٹمز میں کنورجنس کی ناکامی کی مثالوں کو بے نقاب کیا۔ اینی میٹرکس ایک توسیعی MATLAB میٹرکس مجموعہ ہے جو بوہیمین میٹرکس کی بہترین کلاسوں کے ایک سیٹ پر قبضہ کرتا ہے۔ میٹ لیب گیلری میں بوہیمین میٹرکس پر کلیو مولر کا بلاگ پوسٹ بھی دیکھیں۔ بہتر حدود 2018 بوہیمین میٹرکس اینڈ ایپلی کیشنز ورکشاپ میں دی گئی گفتگو میں، نک ہائیم نے وضاحت کی کہ کس طرح انہوں نے آبادی کے ساتھ بوہیمین میٹرکس پر جینیاتی الگورتھم کا استعمال کیا تاکہ روک پیوٹنگ کے لیے زیادہ سے زیادہ نمو کے عنصر پر نچلی حدود کو تیز کیا جا سکے۔ بے ترتیب میٹرکس بوہیمین میٹرکس کے دیگر شعبوں سے تعلق کا مطالعہ بے ترتیب نمونے لینے کے ذریعے کیا جا سکتا ہے ؛ جبکہ، اس طرح کے مطالعات کو بے ترتیب میٹرکس کے میدان کا حصہ سمجھا جا سکتا ہے۔ تاہم، آج تک بے ترتیب میٹرکس کے مطالعہ کی زیادہ تر توجہ حقیقی ہم آہنگی یا ہرمیٹین میٹرکس، یا میٹرکس کے مطالعہ پر رہی ہے جن کی اندراجات مسلسل تقسیم سے نکالی گئی ہیں، جیسے کہ گاؤسی اینسمبلز۔ قابل ذکر مستثنیات میں ٹیرنس تاؤ اور وان وو کا کام شامل ہے۔ برنولی اور ہڈمارڈ میٹرکس صرف اندراجات کے ساتھ میٹرکس کو بعض اوقات برنولی میٹرکس کہا جاتا ہے، جو اس لیے بوہیمین میٹرکس کی مثالیں ہیں۔ ہڈمارڈ میٹرکس ایک برنولی میٹرکس ہے جو ایک مزید خاصیت کو مطمئن کرتا ہے، یعنی کہ اس کا تعین کرنے والا زیادہ سے زیادہ ہے۔ لہذا، ہڈمارڈ میٹرکس بھی بوہیمین ہیں۔ ہڈمارڈ میٹرکس (اور درحقیقت برنولی میٹرکس) کا مطالعہ "بوہیمین میٹرکس" کے نام سے کہیں زیادہ طویل عرصے تک کیا گیا ہے۔ لیکن ہڈمارڈ میٹرکس کے بارے میں جس قسم کے سوالات پوچھے جا سکتے ہیں (اصل سوال یہ تھا کہ کون سے میٹرکس میں زیادہ سے زیادہ تعین کنندہ ہوتا ہے) دوسرے بوہیمین میٹرکس کے بارے میں بھی پوچھے جا سکتے ہیں۔ ہڈمارڈ میٹرکس کی پہلی عامیوں میں سے ایک وہ تھی جسے اب بعض اوقات بٹسن قسم کے ہڈمارڈ میٹرکس کہا جاتا ہے، جن کی اندراجات کے لیے اتحاد کی جڑیں ہیں۔ ان کو پروٹو ٹائپکل بوہیمین میٹرکس بھی سمجھا جا سکتا ہے۔ گراف تھیوری میٹرکس مجرد اندراجات کے ساتھ، خاص طور پر واقعات میٹرکس، گراف تھیوری کو سمجھنے کے لیے اہم ہیں۔ گراف تھیوری کے نتائج کو بوہیمین میٹرکس کے تجربات میں پیش آنے والے کچھ مظاہر کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کے برعکس، بوہیمین میٹرکس کے کارکنوں کی طرف سے تجویز کردہ انداز میں کیے گئے کچھ تجربات گراف کے لیے معلوماتی ہو سکتے ہیں۔ بوہیمین میٹرکس کے تحت انٹیجر سیکوینسز کے انسائیکلوپیڈیا میں درج کھلے مسائل کی ایک قابل ذکر تعداد مشترکہ نوعیت کی ہے۔ مثال کے طور پر، A306782 میں برنولی میٹرکس (یعنی آبادی کے ساتھ بوہیمین میٹرکس) کے لیے طول و عرض 5 تک اور اس پر مشتمل الگ الگ کم از کم کثیر الجہتی کی تعداد کی فہرست دی گئی ہے۔ اعلی طول و عرض کے اعداد معلوم نہیں ہیں۔ طول و عرض 6 کے برنولی میٹرکس کی تعداد ہے ؛ جب کہ اس سیٹ کو ممکنہ طور پر مکمل طور پر تلاش کیا جا سکتا ہے (یہ خوشگوار طور پر متوازی ہے)، میٹرکس کی تعداد میں زیادہ سے زیادہ تعریفی اضافہ جلد ہی بروٹ فورس کو شکست دیتا ہے۔ ایسی ہم آہنگی ہیں جن سے فائدہ اٹھایا جا سکتا ہے، جیسا کہ صفر-ایک میٹرکس کے لیے کیا جاتا ہے، لیکن ایسا لگتا ہے کہ ان کے لیے نفیس مشترکہ علم کی ضرورت ہوتی ہے۔ نمبر تھیوری کے ماہرین نے بہت طویل عرصے تک محدود کوفشنٹس والے کثیر الجہتی پر کام کیا ہے۔ مثال کے طور پر، لٹل ووڈ کے کثیر الجہتی میں گتانک ہوتے ہیں جب یک مدتی بنیاد میں ظاہر کیے جاتے ہیں۔ کرٹ ماہلر اس مسئلے سے فکر مند تھے، جیسا کہ اینڈریو اوڈلیزکو، بجر پونین اور پیٹر بوروین تھے۔ ساتھی میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے، ان میں سے ہر ایک محدود گتانک کثیر الجہتی مسائل کو بوہیمین میٹرکس کا مسئلہ سمجھا جا سکتا ہے۔ تاہم، بوہیمین میٹرکس کی خصوصیت والی کثیر الجہتی میں ایسے گتانک ہو سکتے ہیں جو طول و عرض میں تیزی سے بڑے ہوتے ہیں، اس لیے الٹا درست نہیں ہے اور مطالعہ کے یہ شعبے مساوی نہیں ہیں۔ مثال کے طور پر میجک اسکوائرز کے دوسرے کنکشن بھی ہیں۔ کیتھلین اولرنشا کی کتاب ڈی بری کے ساتھ دیکھیں۔ مندرجہ ذیل مقالہ واضح طور پر بوہیمین میٹرکس کو کواڈریٹک شکلوں سے جوڑتا ہے۔ کثیر الجہتی مساوات کا حل کثیر الجہتی جڑوں کو تلاش کرنے کے لیے عام طور پر استعمال ہونے والی تکنیک یہ ہے کہ اس کے لیے ایک ساتھی میٹرکس کی تعمیر کی جائے اور آئجن ویلیوز کو تلاش کرنے کے لیے عددی آئجن ویلیو حل کرنے والوں کا استعمال کیا جائے، جو اس کے بعد اصل کثیر الجہتی کی جڑیں ہیں۔ ایسا کرنا متضاد اور فضول معلوم ہوتا ہے، لیکن یہ کافی عملی ہو سکتا ہے۔ یہ نمپی کے کثیر الجہتی پیکیج کا ڈیفالٹ طریقہ ہے۔ یہ طریقہ اکثر عددی طور پر مستحکم ہوتا ہے، لیکن بعض اوقات اچھی طرح سے کام نہیں کرتا ہے اگر کثیر الجہتی گتانک بڑے ہوں یا کثیر الجہتی بصورت دیگر غیر مشروط ہو۔ بعض اوقات بوہیمین میٹرکس فیملی میں اس طرح کی تلاش کرکے کثیر الجہتی کے لیے کم سے کم اونچائی والا ساتھی میٹرکس ڈھونڈ کر صورتحال کو بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ تاہم، اس کے لیے کوئی موثر عام مقصد کی تکنیک معلوم نہیں ہے۔ "بوہیمین میٹرکس" نام، اس خیال کے ساتھ کہ یہ اس طرح سے مسائل کی درجہ بندی کرنے کے لیے مفید ہو سکتا ہے، آئی ایس ایس اے سی 2016 کے پرنٹ میں شائع ہوا۔ یہ نام یادگاری بونڈڈ ہائیٹ میٹرکس آف انٹیجرز (بوہیمی) سے نکلا ہے، حالانکہ اس کے بعد درجہ بندی کو دیگر مجرد آبادیوں تک بڑھا دیا گیا ہے جن میں غیر عدد آبادی (بشمول گوسیائی انٹیجرز) شامل ہیں۔ اس درجہ بندی کو بنانے کے خیال کی وسعت اور افادیت تیزی سے ظاہر ہو رہی ہے: پہلی اہم جریدے کی اشاعت اگرچہ اس سے پہلے چھوٹی اشاعتیں شائع ہوئی تھیں۔ مارچ 2022 تک، اس مضمون میں دوسری جگہوں پر مذکور اشاعتوں کے علاوہ، واضح طور پر نام کا استعمال کرنے والی اشاعتوں میں شامل ہیں اس موضوع پر پہلی ورکشاپ 2018 میں مانچسٹر یونیورسٹی میں منعقد ہوئی تھی اور اس کا عنوان بوہیمین میٹرکس اینڈ ایپلی کیشنز تھا۔ اس خیال کو جارج پولیا کے معنی میں ایک تخصص سمجھا جا سکتا ہے، اس میں کہ بوہیمین میٹرکس خاندان مخصوص اندراجات تک محدود ہیں اور اس طرح خصوصی میٹرکس ہیں۔ اس خیال کو عمومی بھی سمجھا جا سکتا ہے، کیونکہ صرف گراف کے واقع میٹرکس میں 0 یا 1 یا لٹل ووڈ کثیر الجہتی کے ساتھی میٹرکس میں-1 اور 1 اندراجات رکھنے کے بجائے، بوہیمین خاندان میں ایسی اندراجات ہوسکتی ہیں جو بصورت دیگر پابند، مجرد، یا (عام طور پر) دونوں ہوتی ہیں۔ یہ خیال کچھ حد تک سائن پیٹرن میٹرکس سے ملتا جلتا ہے، جس میں حقیقی اندراجات کے ساتھ دو میٹرکس کو مساوی سمجھا جاتا ہے اگر متعلقہ اندراجات میں ایک ہی نشان ہو، اور یہ نظریہ مشترکہ خصوصیات کی تلاش کرتا ہے۔ آبادی کے ساتھ بوہیمین میٹرکس سائن پیٹرن میٹرکس کی ایک مثال ہے، اور اس لیے اس میں اس طرح کے میٹرکس کی تمام خصوصیات ہیں، لیکن اس کی بوہیمین نوعیت کی وجہ سے اس میں خصوصی خصوصیات بھی ہو سکتی ہیں۔ حوالہ جات میٹرکس