Bicrossed product of Hopf algebra
کوانٹم گروپ اور ہاپف الجبرا میں، بائیکراسڈ پروڈکٹ دیئے گئے افراد میں سے نئے ہاپف الجبرا بنانے کا ایک عمل ہے۔ یہ گروپوں کے زپا-زیپ پروڈکٹ سے متاثر ہے۔ اس پر پہلی بار 1981 میں ایم ٹیکوچی نے تبادلہ خیال کیا تھا، اور اب یہ ڈرین فیلڈ کوانٹم ڈبل کی تعمیر کے لیے ایک عام ٹول ہے۔ بائی کراسڈ پروڈکٹ دو بائلجبراس پر غور کریں اور، اگر کوئی لکیری نقشے موجود ہیں جو ایک ماڈیول کوئلے الجبرا کو تبدیل کرتے ہیں، اور ایک دائیں ماڈیول کوئلے الجبرا میں تبدیل ہوتے ہیں۔ اگر ہم سیٹ کرتے ہیں اور مندرجہ ذیل شرائط سب کے لیے مطمئن ہیں تو ہم انہیں مماثل بائلجبراس کا جوڑا کہتے ہیں۔ یہاں ہوپف الجبرا کے شریک پروڈکٹ کا سویڈلر کا اشارہ استعمال کیا گیا ہے۔ ہوپف الجبرا کی مماثل جوڑی کے لیے اور، ایک منفرد ہوپف الجبرا موجود ہے، جس کے نتیجے میں ہونے والے ہوپف الجبرا کو بائیکراسڈ پروڈکٹ کہا جاتا ہے اور اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے، یونٹ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے ؛ ضرب اس کے ذریعے دی جاتی ہے ؛ کاؤنٹ ہے ؛ شریک پروڈکٹ ہے ؛ اینٹیپوڈ ہے۔ ڈرین فیلڈ کوانٹم ڈبل کسی دیئے گئے ہوپف الجبرا کے لیے، اس کی دوہری جگہ میں ایک کینونکل ہوپف الجبرا ڈھانچہ ہوتا ہے اور یہ مماثل جوڑے ہوتے ہیں۔ اس صورت میں، ان کے بائیکراسڈ پروڈکٹ کو ڈرین فیلڈ کوانٹم ڈبل کہا جاتا ہے۔ حوالہ جات ہوپف الجبرا