Courant–Snyder parameters
ایکسلریٹر فزکس میں، کورانٹ-سنائڈر پیرامیٹرز (جنہیں اکثر ٹوئس پیرامیٹرز یا سی ایس پیرامیٹرز کہا جاتا ہے) مقداروں کا ایک مجموعہ ہے جو بیم میں موجود ذرات کی پوزیشن اور رفتار کی تقسیم کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ جب کسی بیم میں ہر ذرہ کے اس طول و عرض کے ساتھ ایک ہی طول و عرض اور رفتار (یا مومینٹا) کے ساتھ پوزیشنوں کو فیز اسپیس ڈائیگرام پر پلاٹ کیا جاتا ہے، تو ذرات کو گھیرے ہوئے ایک ایلیپس کو مساوات کے ذریعے دیا جا سکتا ہے: پوزیشن محور کہاں ہے اور رفتار محور ہے۔ اس فارمولیشن میں،، اور دیئے گئے محور کے ساتھ بیم کے لیے کورانٹ-سنائڈر پیرامیٹرز ہیں، اور اخراج ہے۔ بیم کے لیے پیرامیٹرز کے تین سیٹوں کا حساب لگایا جا سکتا ہے، ہر آرتھوگنل سمت کے لیے ایک، x، y، اور z۔ تاریخ ذرہ بیموں کے فیز اسپیس پراپرٹیز کو بیان کرنے کے لیے ان پیرامیٹرز کے استعمال کو ایکسلریٹر فزکس کمیونٹی میں ارنسٹ کورانٹ اور ہارٹ لینڈ سنائڈر نے اپنے 1953 کے مقالے، "تھیوری آف دی الٹرنیٹنگ گریڈینٹ سنکروٹرون" میں مقبول کیا تھا۔ انہیں ایکسلریٹر فزکس لٹریچر میں برطانوی ماہر فلکیات رچرڈ کیو ٹوئس کے نام پر "ٹوئس پیرامیٹرز" کے طور پر بھی بڑے پیمانے پر حوالہ دیا جاتا ہے، حالانکہ یہ واضح نہیں ہے کہ اس کا نام اس تشکیل سے کیسے وابستہ ہوا۔ فیز اسپیس ایریا کی تفصیل ایکسلریٹر یا بیم ٹرانسپورٹ لائن کے ذریعے ذرات کی حرکت کی تقلید کرتے وقت، ہر ذرہ کی حرکت کو انفرادی طور پر ٹریک کرنے کے بجائے، ذرات کے مجموعے کی مجموعی خصوصیات کو بیان کرنا اکثر مطلوب ہوتا ہے۔ لیوویل کے نظریہ سے یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ کسی پوزیشن اور مومنٹم فیز اسپیس پلاٹ پر موجود کثافت مستقل ہوتی ہے جب بیم صرف قدامت پسند قوتوں سے متاثر ہوتا ہے۔ اس پلاٹ پر بیم کے زیر قبضہ رقبے کو بیم کے اخراج کے نام سے جانا جاتا ہے، حالانکہ اس خاصیت کی صحیح ریاضیاتی تعریف کے لیے متعدد مسابقتی تعریفیں موجود ہیں۔ کوآرڈینیٹس ایکسلریٹر فزکس میں، کوآرڈینیٹ پوزیشنوں کی وضاحت عام طور پر ایک مثالی حوالہ ذرہ کے حوالے سے کی جاتی ہے، جو ایکسلریٹر کے لیے مثالی ڈیزائن کے راستے کی پیروی کرتا ہے۔ اس رفتار کے ساتھ منسلک سمت کو "z"، (بعض اوقات "s") نامزد کیا جاتا ہے اور اسے طول البلد کوآرڈینیٹ بھی کہا جاتا ہے۔ دو ٹرانسورس کوآرڈینیٹ محور، x اور y، z محور اور ایک دوسرے کے لیے عمودی طور پر بیان کیے گئے ہیں۔ x، y، اور z محوروں کے ساتھ حوالہ ذرہ سے متعلق ہر ذرہ کی پوزیشنوں کو بیان کرنے کے علاوہ، ان اقدار میں سے ہر ایک کی تبدیلی کی شرح پر غور کرنا بھی ضروری ہے۔ یہ عام طور پر وقت کے حوالے سے نہیں بلکہ طول البلد کوآرڈینیٹ (x '= dx/dz) کے حوالے سے تبدیلی کی شرح کے طور پر دیا جاتا ہے۔ زیادہ تر معاملات میں، x 'اور y' دونوں 1 سے بہت کم ہوتے ہیں، کیونکہ ذرات بیم کے راستے پر اس کے الٹے راستے سے کہیں زیادہ تیزی سے حرکت کر رہے ہوں گے۔ اس مفروضے کو دیکھتے ہوئے، x 'اور y' کو سادہ تناسب کے بجائے زاویہ کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے چھوٹے زاویے کا تخمینہ استعمال کرنا ممکن ہے۔ اس طرح، x 'اور y' کا اظہار عام طور پر ملی ریڈین میں کیا جاتا ہے۔ ایلیپس مساوات جب فیز اسپیس میں ذرہ تقسیم کے ارد گرد ایک ایلیپس کھینچا جاتا ہے، تو ایلیپس کے لیے مساوات اس طرح دی جاتی ہے: "ایریا" یہاں فیز اسپیس میں ایک رقبہ ہے، اور اس کی لمبائی * زاویہ کی اکائیاں ہیں۔ کچھ ذرائع اس علاقے کو بیم کے اخراج کے طور پر بیان کرتے ہیں، جبکہ دوسرے استعمال کرتے ہیں۔ یہ بھی ممکن ہے کہ رقبے کو بیم میں موجود ذرات کے ایک مخصوص حصے کے طور پر بیان کیا جائے جس میں 2 جہتی گوسیائی تقسیم ہو۔ دیگر تین کوفیشنٹس،،، اور، CS پیرامیٹرز ہیں۔ چونکہ یہ الپس ایکسلریٹر میں ایک مقام پر ذرات کی پوزیشن اور رفتار کا ایک فوری پلاٹ ہے، اس لیے یہ اقدار وقت کے ساتھ بدلتی رہیں گی۔ چونکہ صرف دو آزاد متغیرات ہیں، x اور x '، اور اخراج مستقل ہے، اس لیے CS پیرامیٹرز میں سے صرف دو آزاد ہیں۔ تین پیرامیٹرز کے درمیان تعلق اس طرح دیا گیا ہے: پیریڈک سسٹمز کے لیے مشتق سی ایس پیرامیٹرز کو فیز اسپیس میں ذرات کے مجموعے کی تجرباتی وضاحت کے طور پر استعمال کرنے کے علاوہ، برقی مقناطیسی شعبوں میں ذرات کی حرکت کی مساوات کی بنیاد پر انہیں اخذ کرنا ممکن ہے۔ حرکت کی مساوات ایک مضبوط فوکسنگ ایکسلریٹر میں، ٹرانسورس فوکسنگ بنیادی طور پر کواڈروپول میگنےٹس کے ذریعے فراہم کی جاتی ہے۔ مقناطیسی کے محور کے متوازی ٹرانسورس موشن کے لیے حرکت کی لکیری مساوات یہ ہے: جہاں فوکسنگ گتانک ہے، جس کی لمبائی −2 کی اکائیاں ہیں، اور کواڈروپول فیلڈ میں صرف غیر صفر ہے۔ (نوٹ کریں کہ x اس پوری وضاحت میں استعمال ہوتا ہے، لیکن y کو k کے لیے علامت کی تبدیلی کے ساتھ مساوی طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ طول البلد کوآرڈینیٹ، z، کو کچھ مختلف مشتق کی ضرورت ہوتی ہے۔) فرض کریں کہ وقتا فوقتا ہے، مثال کے طور پر، جیسا کہ ایک سرکلر ایکسلریٹر میں ہے، یہ ایک تفریق مساوات ہے جس کی شکل ہل تفریق مساوات جیسی ہے۔ اس مساوات کا حل ایک فرضی ہارمونک آسکیلیٹر ہے: جہاں A (z) ارتعاش کا طول و عرض ہے، "بیٹاٹرون فیز" ہے جو کی قدر پر منحصر ہے، اور ابتدائی فیز ہے۔ طول و عرض کو پوزیشن پر منحصر حصے اور ابتدائی قدر میں تقسیم کیا جاتا ہے، جیسے کہ: (یہ یاد رکھنا ضروری ہے کہ 'سفر کی سمت کے ساتھ پوزیشن کے حوالے سے مشتق کی نشاندہی کرتا رہتا ہے، نہ کہ وقت۔) ذرات کی تقسیم حرکت کی ان مساوات کو دیکھتے ہوئے، بیم کی پیداوار میں ذرات کی اوسط اقدار کو لیتے ہوئے: ان کو درج ذیل تعریفوں کے ساتھ آسان بنایا جا سکتا ہے: دینا: یہ سی ایس پیرامیٹرز اور ایک اور شکل میں اخراج ہیں۔ پیرامیٹرز کے درمیان تعلقات کے ساتھ مل کر، یہ صوابدیدی (ضروری نہیں کہ گاؤسی) ذرہ تقسیم کے لیے اخراج کی تعریف کی طرف بھی لے جاتا ہے: خصوصیات CS پیرامیٹرز کا استعمال کرتے ہوئے ذرہ تقسیم کو پیرامیٹرک طور پر بیان کرنے کا فائدہ یہ ہے کہ مجموعی تقسیم کے ارتقاء کا حساب میٹرکس آپٹکس کا استعمال کرتے ہوئے ہر انفرادی ذرہ کو ٹریک کرنے اور پھر ایکسلریٹر راستے کے ساتھ متعدد نکات پر مقامات کو یکجا کرنے سے زیادہ آسانی سے کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر پیرامیٹرز کے ساتھ کوئی ذرہ تقسیم، اور لمبائی L کی خالی جگہ سے گزرتا ہے، تو اقدار، اور اس جگہ کے آخر میں اس طرح دی جاتی ہیں: بیم ایمیٹنس بیٹا فنکشن (ایکسلریٹر فزکس) رے ٹرانسفر میٹرکس تجزیہ بھی دیکھیں حوالہ جات ایکسلریٹر فزکس