Complex hyperbolic space
ریاضی میں، ہائپربولک کمپلیکس اسپیس ایک ہرمیٹین کئی گنا ہے جو پیچیدہ کئی گنا کے تناظر میں حقیقی ہائپربولک اسپیس کے مساوی ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس ایک کیلر مینیفولڈ ہے، اور اس کی خصوصیت یہ ہے کہ یہ واحد سیدھا جڑا ہوا کیلر مینیفولڈ ہے جس کا ہولومورفک سیکشنل منحنی خطوط مستقل-1 کے برابر ہے۔ اس کے بنیادی ریمینیئن کئی گنا میں غیر مستقل منفی منحنی پن ہوتا ہے، جو-1 اور-1/4 (یا-4 اور-1، میٹرک کے معمول کے انتخاب کے مطابق) کے درمیان ہوتا ہے: خاص طور پر، یہ ایک سی اے ٹی (-1/4) جگہ ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک خالی جگہیں بھی لائ گروپوں سے وابستہ سمیٹرک خالی جگہیں ہیں۔ وہ غیر کمپیکٹ قسم کے رینک ون سمیٹرک خالی جگہوں کے تین خاندانوں میں سے ایک تشکیل دیتے ہیں، ساتھ ہی حقیقی اور کواٹرنیئنک ہائپربولک خالی جگہوں کے ساتھ، درجہ بندی جس میں ایک غیر معمولی جگہ شامل کی جانی چاہیے، کیلی طیارہ۔ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس پروجیکٹو ماڈل کی تعمیر پیچیدہ ویکٹر اسپیس میں دستخط کی ایک فرضی ہرمیٹین شکل ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کا پروجیکٹو ماڈل اس شکل کے لیے تمام منفی ویکٹروں کی پروجیکٹوائزڈ اسپیس ہے: پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کے ایک کھلے سیٹ کے طور پر، یہ جگہ ایک پیچیدہ کئی گنا کی ساخت سے مالا مال ہے۔ یہ یونٹ بال کے لیے بائیو ہولومورفک ہے، جیسا کہ کوئی یہ نوٹ کر کے دیکھ سکتا ہے کہ ایک منفی ویکٹر میں غیر صفر پہلا کوآرڈینیٹ ہونا چاہیے، اور پروجیکٹو اسپیس میں 1 کے برابر پہلے کوآرڈینیٹ کے ساتھ ایک منفرد نمائندہ ہونا چاہیے۔ حالت جب کے مساوی ہے۔ یونٹ بال کے نقطہ کو پروجیکٹو اسپیس کے نقطہ پر بھیجنے والا نقشہ اس طرح مطلوبہ بائیو ہولومورفزم کی وضاحت کرتا ہے۔ یہ ماڈل پوئن کیری ڈسک ماڈل کے مساوی ہے۔ حقیقی ہائپربولک اسپیس کے برعکس، پیچیدہ پروجیکٹو اسپیس کو ہائپربولائڈ کی شیٹ کے طور پر بیان نہیں کیا جا سکتا، کیونکہ پروجیکٹو ماڈل پر اس ہائپربولائڈ کے پروجیکشن نے فائبر کو منسلک کیا ہے (فائبر حقیقی صورت میں ہے)۔ ہرمیٹین میٹرک کی تعریف مندرجہ ذیل طریقے سے کی گئی ہے: اگر شنک سے تعلق رکھتا ہے، تو آرتھوگنل اسپیس پر پابندی اس جگہ پر ایک قطعی مثبت ہرمیٹین پروڈکٹ کی وضاحت کرتی ہے، اور چونکہ نقطہ کی ٹینجینٹ اسپیس کو قدرتی طور پر شناخت کیا جاسکتا ہے، اس سے ہرمیٹین اندرونی پروڈکٹ کی وضاحت ہوتی ہے۔ جیسا کہ حساب سے دیکھا جا سکتا ہے، یہ اندرونی پروڈکٹ نمائندہ کے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔ ہولومورفک سیکشنل منحنی خطوط کو-1 کے برابر اور-4 کے برابر نہ رکھنے کے لیے، اس میٹرک کو ایک عنصر کے ذریعے دوبارہ عام کرنے کی ضرورت ہے۔ یہ میٹرک ایک کیلر میٹرک ہے۔ سیگل ماڈل پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کا سیگل ماڈل اس طرح کا ذیلی سیٹ ہے کہ یہ یونٹ بال کے لیے بے ہولومورفک ہے بذریعہ کیلی ٹرانسفارم باؤنڈری ایٹ انفینیٹی پروجیکٹو ماڈل میں، پیچیدہ ہائپربولک اسپیس طول و عرض کی پیچیدہ یونٹ بال کے ساتھ شناخت کرتا ہے، اور اس کی حد کو گیند کی حد کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جو حقیقی طول و عرض کے دائرے سے مختلف ہے۔ یہ تعریف کرنے کے مساوی ہے: ایک سی اے ٹی (0) جگہ کے طور پر، پیچیدہ ہائپربولک جگہ کی بھی لامحدود پر ایک حد ہوتی ہے۔ یہ حد صرف بیان کردہ حد کے ساتھ موافق ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کی حد قدرتی طور پر ایک سی آر ڈھانچہ رکھتی ہے۔ یہ ڈھانچہ (عجیب جہتی) دائرے پر معیاری رابطہ ڈھانچہ بھی ہے۔ ہولومورفک آئسومیٹریز اور سمیٹرک اسپیس کا گروپ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کے ہولومورفک آئسومیٹریز کا گروپ لائ گروپ ہے۔ یہ گروپ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس پر عارضی طور پر کام کرتا ہے، اور کسی نقطہ کا اسٹیبلائزر یکطرفہ گروپ کے لیے آئسومورفک ہوتا ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک جگہ اس طرح یکساں جگہ کے لیے ہومومورفک ہے۔ اسٹیبلائزر کا زیادہ سے زیادہ کمپیکٹ ذیلی گروپ ہے۔ نتیجے کے طور پر، پیچیدہ ہائپربولک اسپیس ریمینیئن سمیٹرک اسپیس ہے، جہاں سڈو یونٹری گروپ ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کے ہولومورفک آئسومیٹریز کا گروپ بھی اس اسپیس کی حدود پر کام کرتا ہے، اور اس طرح بند ڈسک پر ہومیومورفزم کے ذریعے کام کرتا ہے۔ بروور کے فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کے مطابق، پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کے کسی بھی ہولومورفک آئسومیٹری کو کم از کم ایک نقطہ طے کرنا چاہیے۔ آئسومیٹریز کی درجہ بندی تین اقسام میں کی جاتی ہے: ایک آئسومیٹری کو الپٹک کہا جاتا ہے اگر وہ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس میں کسی نقطہ کو طے کرے۔ ایک آئسومیٹری کو پیرابولک کہا جاتا ہے اگر یہ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس میں کسی نقطہ کو طے نہیں کرتا ہے اور حد میں ایک منفرد نقطہ طے کرتا ہے۔ ایک آئسومیٹری کو ہائپربولک (یا لوکسوڈرومک) کہا جاتا ہے اگر یہ پیچیدہ ہائپربولک اسپیس میں کسی نقطہ کو طے نہیں کرتا ہے اور حدود میں بالکل دو نکات طے کرتا ہے۔ کا ایواساوا سڑنا سڑنا ہے، جہاں یکطرفہ گروپ ہے، حقیقی اعداد کا اضافی گروپ ہے اور حقیقی جہت کا ہائزن برگ گروپ ہے۔ اس طرح کی سڑنا ان کے انتخاب پر منحصر ہے: پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کی حدود میں ایک نقطہ (پھر فکسنگ کے یک طاقت پیرابولک عناصر کا گروپ ہے) ایک مبنی جیوڈیسیک لائن جو انفینیٹی پر جا رہی ہے (پھر اس جیوڈیسیک کے ساتھ ساتھ ترجمہ کے طور پر کام کرنے والے ہائپربولک عناصر کا گروپ ہے اور اس کے ارد گرد کوئی گردش کا حصہ نہیں ہے) اس کے لیے اصل کا انتخاب، یعنی۔ ایک یونٹ سپیڈ پیرامیٹریزیشن جس کی شبیہہ ہے (پھر فکسنگ کے ایلیپٹک عناصر کا گروپ ہے) اس طرح کے کسی بھی سڑنے کے لیے، ذیلی گروپ کا عمل آزاد اور عارضی ہوتا ہے، اس لیے ایک ڈفیومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ اس ڈفیومورفزم کو سیگل ماڈل کی عمومی شکل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ ہولومورفک آئسومیٹریز کا گروپ ہائپربولک کمپلیکس اسپیس کی ٹینجینٹ کمپلیکس لائنوں پر عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ یہی وجہ ہے کہ اس جگہ میں مستقل ہولومورفک سیکشنل منحنیت ہوتی ہے، جس کا حساب-4 کے برابر کیا جا سکتا ہے (میٹرک کی مذکورہ بالا معمول کے ساتھ)۔ یہ خاصیت ہائپربولک کمپلیکس اسپیس کی خصوصیت رکھتی ہے: آئسومیٹرک بائیولومورفزم تک، دی گئی مستقل ہولومورفک سیکشنل منحنی خطوط کا صرف ایک ہی سیدھا جڑا ہوا مکمل کیلر کئی گنا ہے۔ مزید برآں، جب ہرمیٹین مینیفولڈ میں مستقل ہولومورفک سیکشنل منحنی خطوط برابر ہوتے ہیں، تو ہر حقیقی ٹینجینٹ پلین کی سیکشنل منحنی خطوط کا تعین مکمل طور پر اس فارمولے سے ہوتا ہے: جہاں اور کے درمیان کا زاویہ ہے، یعنی ویکٹر اور ویکٹر کے درمیان کے زاویوں کا لامحدود۔ یہ زاویہ 0 کے برابر ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ایک پیچیدہ لکیر ہو، اور صرف اس صورت میں برابر ہوتا ہے جب مکمل طور پر حقیقی ہو۔ اس طرح پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کی سیکشنل منحنیت-4 (پیچیدہ لائنوں کے لیے) سے-1 (مکمل طور پر حقیقی طیاروں کے لیے) تک مختلف ہوتی ہے۔ پیچیدہ طول و عرض 1 میں، ٹینجینٹ اسپیس میں ہر حقیقی طیارہ ایک پیچیدہ لکیر ہے: اس طرح طول و عرض 1 کی ہائپربولک کمپلیکس اسپیس میں مستقل منحنی پن-1 کے برابر ہوتا ہے، اور یونیفارمائزیشن تھیوریم کے مطابق، یہ حقیقی ہائپربولک پلین کے لیے آئسومیٹرک ہوتا ہے۔ ہائپربولک پیچیدہ خالی جگہوں کو اس طرح ہائپربولک طیارہ کی ایک اور اعلی جہتی عمومی کاری کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جو حقیقی ہائپربولک خالی جگہوں سے کم معیاری ہے۔ تیسری ممکنہ عمومی کاری یکساں جگہ ہے، جو ایک بار پھر ہائپربولک پلین کے ساتھ موافق ہوتی ہے، لیکن جب 1 سے زیادہ رینک کی سمیٹرک جگہ بن جاتی ہے۔ مکمل طور پر جیوڈیسیک سب اسپیس طول و عرض n کی پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کا ہر مکمل طور پر جیوڈیسیک سب مینی فولڈ درج ذیل میں سے ایک ہے: چھوٹے طول و عرض کی پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کی ایک کاپی اس سے چھوٹے حقیقی طول و عرض کی حقیقی ہائپربولک اسپیس کی ایک کاپی۔ خاص طور پر، پیچیدہ ہائپربولک اسپیس کا کوئی کوڈیمینشن 1 مکمل طور پر جیوڈیسیک سب اسپیس نہیں ہے۔ گیند پر موجود دیگر میٹرکس کے ساتھ لنک یونٹ بال پر پیچیدہ ہائپربولک میٹرک، کچھ اسکیلر ری نارملائزیشن تک، برگمین میٹرک کے ساتھ موافق ہوتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ گیند کا ہر بائیو ہولومورفزم دراصل پیچیدہ ہائپربولک میٹرک کا ایک آئسومیٹری ہے۔ پیچیدہ ہائپربولک میٹرک بھی کوبیاشی میٹرک کے ساتھ موافق ہے۔ ری نارملائزیشن تک، پیچیدہ ہائپربولک میٹرک کیلر آئن سٹائن ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کی رچی منحنیت میٹرک کا ایک ضرب ہے۔ ہائپربولک اسپیس کواٹرنیئنک ہائپربولک اسپیس حوالہ جات متفرق جیومیٹری ریمینین جیومیٹری لائ گروپس یکساں خالی جگہیں بھی دیکھیں۔