Bayesian quadrature
بایسیئن کواڈریچر ناقابل تلافی انضمام کے مسائل کا تخمینہ لگانے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ ممکنہ عددی طریقوں کی کلاس میں آتا ہے۔ بایسیئن کواڈریچر عددی انضمام کو بایسیئن انفریشن ٹاسک کے طور پر دیکھتا ہے، جہاں فنکشن کی تشخیص اس فنکشن کے انٹیگرل کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ اس وجہ سے، اسے بعض اوقات "بایسیئن امکانی عددی انضمام" یا "بایسیئن عددی انضمام" بھی کہا جاتا ہے۔ نام "بایسیئن کیوبچر" کبھی کبھی اس وقت بھی استعمال ہوتا ہے جب انٹیگرینڈ کثیر جہتی ہوتا ہے۔ اس نقطہ نظر کا ایک ممکنہ فائدہ یہ ہے کہ یہ انٹیگرل کی قدر کے لیے ممکنہ غیر یقینی صورتحال کی مقدار فراہم کرتا ہے۔ بایسیئن کواڈریچر عددی انضمام آئیے ایک فنکشن ہو جس کی وضاحت کسی ڈومین پر کی گئی ہو (جہاں عام طور پر)۔ عددی انضمام میں، مختلف مقامات پر فنکشن کی تشخیص کا استعمال کسی پیمائش کے خلاف انٹیگرل کا اندازہ لگانے کے لیے کیا جاتا ہے: یعنی۔ وزن کو دیکھتے ہوئے، ایک کواڈریچر قاعدہ بایسیئن کواڈریچر کی شکل کا تخمینہ لگانے والا ہوتا ہے جس میں پہلے کی تقسیم کی وضاحت ہوتی ہے، پوسٹر ڈسٹری بیوشن حاصل کرنے کے لیے اسے پہلے کنڈیشنگ کیا جاتا ہے، پھر مضمر پوسٹر ڈسٹری بیوشن کا حساب لگایا جاتا ہے۔ "کواڈریچر" نام اس حقیقت سے آیا ہے کہ پوسٹر کا مطلب کبھی کبھی کواڈریچر اصول کی شکل اختیار کرتا ہے جس کے وزن کا تعین پہلے کے انتخاب سے ہوتا ہے۔ گوسی عمل کے ساتھ بایسیئن کواڈریچر کے لیے پیشگی تقسیم کا سب سے عام انتخاب ایک گوسی عمل ہے کیونکہ اس سے کنجوگیٹ انفریشن کو بند شکل کے پوسٹر ڈسٹری بیوشن حاصل کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ایک گوسیائی عمل ہے جس میں پری مین فنکشن اور کوویرینس فنکشن (یا کرنل فنکشن) ہے۔ پھر، پچھلی تقسیم ایک گوسیائی عمل ہے جس میں اوسط اور دانا: کہاں، اور کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ مزید برآں، پچھلی تقسیم ایک غیر متغیر گوسیائی تقسیم ہے جس میں اوسط اور تغیر کے ساتھ دیا گیا ہے۔ فنکشن دانا کا مطلب سرایت ہے اور دونوں آدانوں کے حوالے سے انٹیگرل کی نشاندہی کرتا ہے۔ خاص طور پر، نوٹ کریں کہ پوسٹرئر مین وزن کے ساتھ ایک چوتھائی قاعدہ ہے اور پوسٹرئر تغیر کی قیمت پر صارف کی غیر یقینی صورتحال کی مقدار فراہم کرتا ہے۔ انضمام کے زیادہ مشکل مسائل میں، جہاں پیشگی تقسیم پر علمی غیر یقینی صورتحال کی بامعنی نمائندگی کے طور پر انحصار نہیں کیا جا سکتا، یہ ضروری ہے کہ اعداد و شمار کا استعمال کرنل ہائپر پیرامیٹرز کو ترتیب دینے کے لیے کیا جائے، مثال کے طور پر، زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ۔ دانا ہائپر پیرامیٹرز کا تخمینہ بایسیئن کواڈریچر میں موافقت متعارف کراتا ہے۔ مثال ہموار اور ارتباط کی لمبائی کے میٹرون کوویرینس فنکشن سے پہلے صفر معنی والے گوسی عمل پر مبنی بیسیئن کواڈریچر اصول کا استعمال کرتے ہوئے انٹیگرل کے تخمینے پر غور کریں۔ یہ کوویرینس فنکشن ہے۔ یہ حساب لگانا سیدھا سیدھا ہے (اگرچہ تکلیف دہ ہے) کہ بایسیئن کواڈریچر پوائنٹ کے تخمینے اور پوسٹر ماس کے ارتکاز کا ارتکاز، جیسا کہ حقیقی انٹیگرل کے ارد گرد، جیسا کہ زیادہ سے زیادہ پوائنٹس پر اندازہ کیا جاتا ہے، اس کے ساتھ حرکت پذیری میں دکھایا جاتا ہے۔ فوائد اور نقصانات چونکہ بایسیئن کواڈریچر ممکنہ اعداد و شمار کی ایک مثال ہے، اس لیے اسے روایتی عددی انضمام کے طریقوں کے مقابلے میں کچھ فوائد وراثت میں ملتے ہیں: یہ عددی غلطی کے اثرات کو واضح طور پر نمونہ بنانے کے لیے اس کے بعد کے تمام حسابات کے ذریعے غیر یقینی صورتحال کی مقدار اور تشہیر کی اجازت دیتا ہے۔ یہ پیشگی تقسیم کے منصفانہ انتخاب کا استعمال کرتے ہوئے پیشگی علم کو شامل کرنے کا ایک اصولی طریقہ فراہم کرتا ہے، جو ابھی بیان کردہ معیاری گوسی عمل کے مقابلے میں زیادہ نفیس ہو سکتا ہے۔ یہ معلومات کے زیادہ موثر استعمال کی اجازت دیتا ہے، جیسے۔ دلچسپی کی متعدد متعلقہ مقداروں کا مشترکہ طور پر اندازہ لگانا یا پوائنٹس کی مطلوبہ تعداد کو کم کرنے کے لیے فعال سیکھنے کا استعمال کرنا۔ ان خوبیوں کے باوجود، بایسیئن کواڈریچر کے طریقوں میں درج ذیل حدود ہیں: اگرچہ بایسیئن پیراڈائم غیر یقینی صورتحال کی مقدار کے اصولوں پر مبنی علاج کی اجازت دیتا ہے، لیکن اس کے بعد کا تخمینہ ہمیشہ قابل عمل نہیں ہوتا ہے، اس طرح دوسرے درجے کے تخمینے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ای۔ جی۔ گاؤسی عمل کے ساتھ بایسیئن کواڈریچر کے لیے، دانا کا مطلب سرایت کرنا عام دانا اور پیمائش کے لیے کوئی بند شکل کا اظہار نہیں ہے۔ گاؤسی عمل پر مبنی بایسیئن کواڈریچر طریقوں کی کمپیوٹیشنل لاگت عام طور پر الٹا میٹرکس کی لاگت کی وجہ سے ہوتی ہے، جو بڑے پیمانے کے مسائل کے لیے ان کی ایپلی کیشنز کو مسترد کر سکتی ہے۔ الگورتھمک ڈیزائن پہلے کی تقسیم سب سے زیادہ عام طور پر پہلے کے لیے استعمال ہونے والا ایک گوسی عمل پہلے ہے۔ یہ بنیادی طور پر گاؤسی کنجوگیسی کے ذریعہ فراہم کردہ فائدے اور اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ گاؤسی عمل پیشگی کوویرینس کے محتاط انتخاب کے ذریعے ہموار، وقتا فوقتا اور اسپرسیٹی سمیت پیشگی علم کی ایک وسیع رینج کو انکوڈ کر سکتے ہیں۔ تاہم، کئی دیگر پیشگی تقسیم بھی تجویز کی گئی ہیں۔ اس میں ملٹی آؤٹ پٹ گاؤسی عمل شامل ہیں، جو خاص طور پر مفید ہوتے ہیں جب متعدد متعلقہ عددی انضمام کے کاموں کو بیک وقت یا ترتیب سے نمٹا جاتا ہے، اور درختوں پر مبنی ترجیحات جیسے کہ بایسیئن اضافی رجعت کے درخت، جو منقطع ہونے کے لیے اچھی طرح سے موزوں ہیں۔ مزید برآں، انضمام کے اقدام کے لیے ڈیرچلیٹ کے عمل کی ترجیحات بھی تجویز کی گئی ہیں۔ پوائنٹ کا انتخاب پوائنٹس کو یا تو دیا ہوا سمجھا جاتا ہے، یا منتخب کیا جا سکتا ہے تاکہ اس بات کو یقینی بنایا جا سکے کہ پوسٹر آن کنسنٹریٹس تیز رفتار سے ہو۔ ایک نقطہ نظر دوسرے کواڈریچر قوانین سے پوائنٹ سیٹوں کا استعمال کرنے پر مشتمل ہے۔ مثال کے طور پر، مونٹی کارلو کے لیے بایسیائی نقطہ نظر کو بازیافت کرنے سے آزاد اور یکساں طور پر تقسیم شدہ احساسات لینا، جبکہ کچھ تعیناتی پوائنٹ سیٹوں جیسے کہ کم تفریق کے سلسلے یا جالی کا استعمال نیم مونٹے کارلو کے لیے بایسیائی متبادل کو بازیافت کرتا ہے۔ بے شک یہ بھی ممکن ہے کہ خاص طور پر بایسیئن کواڈریچر کے لیے ڈیزائن کیے گئے پوائنٹ سیٹس کا استعمال کیا جائے۔ مثال کے طور پر دیکھیں کہ کس نے اسکیل ایبل بایسیئن کواڈریچر تخمینے حاصل کرنے کے لیے پوائنٹ سیٹس میں سمیٹریز کا استحصال کیا۔ متبادل طور پر، پوائنٹس کو فعال سیکھنے اور بایسیئن تجرباتی ڈیزائن کے اصولوں پر عمل کرتے ہوئے موافقت کے ساتھ بھی منتخب کیا جا سکتا ہے تاکہ کثیر آؤٹ پٹ گوسیئن عمل سمیت بعد کی غیر یقینی صورتحال کو براہ راست کم کیا جا سکے۔ دانا کا مطلب اور ابتدائی غلطی بایسیئن کواڈریچر کو لاگو کرتے وقت چیلنجوں میں سے ایک فنکشن اور مستقل کا اندازہ کرنے کی ضرورت ہے۔ سابقہ کو عام طور پر دانا کا مطلب کہا جاتا ہے، اور یہ ایک ایسی مقدار ہے جو دانے پر مبنی فاصلے جیسے زیادہ سے زیادہ اوسط تضاد کے حساب کی کلید ہے۔ مؤخر الذکر کو عام طور پر ابتدائی غلطی کہا جاتا ہے کیونکہ یہ کسی بھی فنکشن کی اقدار کا مشاہدہ کرنے سے پہلے انضمام کی غلطی پر اوپری حد فراہم کرتا ہے۔ بدقسمتی سے، دانا کا مطلب اور ابتدائی غلطی کا حساب صرف جوڑوں کی ایک چھوٹی سی تعداد کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ٹیبل 1 میں دیکھیں۔ نظریہ بایسیئن کواڈریچر کے لیے متعدد نظریاتی ضمانتیں حاصل کی گئی ہیں۔ ان کے لیے عام طور پر انٹیگرانڈ کی سوبولیو ہموار خصوصیات کی ضرورت ہوتی ہے، حالانکہ حالیہ کام گوسیائی دانے کے دوبارہ پیدا ہونے والے دانے ہلبرٹ کی جگہ میں انٹیگرانڈز تک بھی پھیلا ہوا ہے۔ زیادہ تر نتائج مونٹی کارلو یا ڈیٹرمینیسٹک گرڈ پوائنٹ سیٹوں کے معاملے پر لاگو ہوتے ہیں، لیکن کچھ نتائج انکولی ڈیزائنوں تک بھی پھیلتے ہیں۔ سافٹ ویئر پروبنم: ازگر میں ممکنہ عددی طریقے، بشمول بیسیئن کواڈریچر کا نفاذ۔ ایموکت: ازگر میں غیر یقینی صورتحال کے تحت ایمولیشن اور فیصلہ سازی۔ کیو ایم سی پائی: ازگر میں کیو ایم سی پوائنٹ سیٹوں کے ساتھ بایسیئن کواڈریچر۔ حوالہ جات عددی انضمام (کواڈریچر) بایسیائی تخمینہ