Narrow escape problem
تنگ فرار کا مسئلہ حیاتیات، بائیو فزکس اور سیلولر حیاتیات میں ایک ہر جگہ موجود مسئلہ ہے۔ ریاضیاتی تشکیل مندرجہ ذیل ہے: ایک براؤنین ذرہ (آئن، مالیکیول، یا پروٹین) ایک عکاسی کرنے والی حد کے ذریعہ ایک باؤنڈڈ ڈومین (ایک ڈبے یا سیل) تک محدود ہوتا ہے، سوائے ایک چھوٹی سی کھڑکی کے جس سے وہ بچ سکتا ہے۔ تنگ فرار کا مسئلہ اوسط فرار کے وقت کا حساب لگانا ہے۔ جیسے جیسے کھڑکی سکڑتی ہے یہ وقت مختلف ہوتا جاتا ہے، اس طرح حساب کو ایک واحد رکاوٹ کا مسئلہ بناتا ہے۔ جب فرار کی جگہ پر شدید ہندسی پابندیوں کی وجہ سے فرار اور بھی سخت ہوتا ہے، تو تنگ فرار کا مسئلہ سنگین آبنائے کا مسئلہ بن جاتا ہے۔ تنگ فرار کا مسئلہ حیاتیات اور بائیو فزکس کے تناظر میں ڈی ہولکمین اور زیڈ شس نے پیش کیا تھا، اور بعد میں A.Singer کے ساتھ اور اطلاقی ریاضی اور کمپیوٹیشنل حیاتیات میں تنگ فرار کے نظریہ کا باعث بنا۔ تشکیل کسی ذرہ کی حرکت کو لینجین مساوات کی سمولوچووسکی حد سے بیان کیا جاتا ہے: جہاں ذرہ کا پھیلاؤ گتانک ہے، وہ رگڑ گتانک فی اکائی کمیت ہے، قوت فی اکائی کمیت ہے، اور براؤنین حرکت ہے۔ مطلب پہلا گزرنے کا وقت اور فوکر-پلانک مساوات ایک عام سوال یہ ہے کہ کسی باؤنڈڈ ڈومین میں پھیلے ہوئے ذرہ کے اوسط قیام کے وقت کا اندازہ لگانا اس سے پہلے کہ وہ اپنی حدود میں ایک چھوٹی جذب کرنے والی کھڑکی سے فرار ہو جائے۔ امکان کثافت فنکشن (پی ڈی ایف) وقت پر حالت میں ذرہ کو تلاش کرنے کا امکان ہے۔ پی ڈی ایف فوکر-پلانک مساوات کو مطمئن کرتا ہے: ابتدائی حالت اور مخلوط ڈیرچلیٹ-نیومن باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ () فنکشن ابتدائی پوزیشن پر مشروط ذرہ کے اوسط قیام کے وقت کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ باؤنڈری ویلیو کے مسئلے کا حل ہے حل ڈومین کے طول و عرض پر منحصر ہے۔ دو جہتی ڈسک پر پھیلے ہوئے ذرہ کے لیے ڈومین کی سطح کہاں ہے۔ فنکشن ابتدائی پوزیشن پر منحصر نہیں ہے، سوائے جذب کرنے والی حد کے قریب ایک چھوٹی سی باؤنڈری پرت کے جس کی وجہ اسمپٹوٹک شکل ہے۔ طول و عرض 2 میں پہلی ترتیب کی اصطلاح اہمیت رکھتی ہے: رداس کی ایک سرکلر ڈسک کے لیے، مرکز میں شروع ہونے والے ذرہ کا اوسط فرار کا وقت ہے۔ ذرے کی یکساں ابتدائی تقسیم کے حوالے سے فرار کا اوسط وقت اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ چھوٹے افتتاحی کی جیومیٹری فرار کے وقت کو متاثر کر سکتی ہے: اگر جذب کرنے والی کھڑکی زاویہ کے ایک کونے پر واقع ہے، تو: مزید حیرت انگیز بات یہ ہے کہ، دو جہتی ڈومین میں ایک کسپ کے قریب، فرار کا وقت لوگرتھمک طور پر بڑھنے کے بجائے الجبرائی طور پر بڑھتا ہے: دو ٹینجینٹ حلقوں کے درمیان محصور ڈومین میں، فرار کا وقت ہے: ریڈی کا تناسب کہاں ہے۔ آخر میں، جب ڈومین ایک اینولس ہوتا ہے، تو اندرونی دائرے پر واقع ایک چھوٹے سے افتتاحی تک فرار کا وقت ایک دوسرا پیرامیٹر پر مشتمل ہوتا ہے جو اندرونی اور بیرونی ریڈی کا تناسب ہوتا ہے، فرار کا وقت، جو یکساں ابتدائی تقسیم کے حوالے سے اوسط ہوتا ہے، یہ ہے: یہ مساوات کی غیر علامتی توسیع کی دو اصطلاحات پر مشتمل ہے اور جذب کرنے والی حد کا زاویہ ہے۔ 1 کے قریب کیس کھلا رہتا ہے، اور عام ڈومینز کے لیے، فرار کے وقت کی غیر علامتی توسیع ایک کھلا مسئلہ بنی ہوئی ہے۔ تین جہتی ڈومینز میں کاسپ پوائنٹ کے قریب فرار کے وقت کا حساب لگانے کا مسئلہ بھی ایسا ہی ہے۔ قوت کے میدان میں براؤنین حرکت کے لیے سپیکٹرم میں فرق ضروری نہیں کہ پہلے اور دوسرے آئجین ویلیوز کے درمیان چھوٹا ہو، چھوٹے سوراخ کے نسبتا سائز اور قوت کی رکاوٹوں پر منحصر ہے، فرار ہونے کے لیے ذرہ کو قابو پانا پڑتا ہے۔ فرار کی ندی لازمی طور پر پوئسونیئن نہیں ہے۔ تجزیاتی نتائج ایک نظریہ جو براؤنین موشن ایسکیپ کے مسئلے کو (تعیناتی) جزوی تفریقی مساوات کے مسئلے سے جوڑتا ہے وہ درج ذیل ہے۔ اس کے علاوہ، تغیر کی اوسط کا حساب فارمولے سے لگایا جا سکتا ہے۔ نظریہ کا پہلا حصہ ایک کلاسیکی نتیجہ ہے، جبکہ اوسط تغیر کو 2011 میں کیری کیگینالپ اور زنفو چن نے ثابت کیا تھا۔ فرار کا وقت چھوٹے دروازے کو غیر علامتی طور پر چھوٹے پیرامیٹر کے طور پر استعمال کرتے ہوئے متعدد مطالعات کا موضوع رہا ہے۔ مندرجہ ذیل بند فارم کا نتیجہ ایک عین مطابق حل دیتا ہے جو ان غیر علامتی فارمولوں کی تصدیق کرتا ہے اور انہیں ان دروازوں تک پھیلاتا ہے جو ضروری نہیں کہ چھوٹے ہوں۔ نتائج کا ایک اور مجموعہ باہر نکلنے کے مقام کی امکانات کی کثافت سے متعلق ہے۔ یعنی، کسی بھی (بوریل سیٹ) کے لیے، اس بات کا امکان کہ ایک ذرہ، جو یا تو اصل سے شروع ہوتا ہے یا یکساں طور پر تقسیم ہوتا ہے، براؤنین حرکت کو ظاہر کرتا ہے، جب وہ ٹکرا جاتا ہے تو اس کی عکاسی کرتا ہے، اور ایک بار ٹکرانے کے بعد فرار ہوتا ہے، جہاں سے فرار ہوتا ہے۔ براؤنین موشن ایسکیپ کے تخروپن تخروپن میں شماریاتی نمونے لینے کے عمل کی وجہ سے بے ترتیب غلطی ہوتی ہے۔ اس غلطی کو مرکزی حد تھیوریم سے اپیل کرکے اور بڑی تعداد میں نمونوں کا استعمال کرکے محدود کیا جا سکتا ہے۔ براؤنین حرکت کا تخمینہ لگانے میں قدم کے سائز کے محدود سائز کے تخمینے کی وجہ سے ڈسکریٹائزیشن کی غلطی بھی ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی تجرباتی نتائج حاصل کر سکتا ہے کیونکہ قدم کا سائز اور دروازے کا سائز مختلف ہوتا ہے۔ دائرے کے مخصوص معاملے کے لیے اوپر بیان کردہ عین مطابق نتیجہ کا استعمال کرتے ہوئے، عددی حل کے ساتھ عین مطابق حل کا محتاط موازنہ کرنا ممکن ہے۔ یہ محدود مراحل اور مسلسل پھیلاؤ کے درمیان فرق کو روشن کرتا ہے۔ اس مسئلے کے لیے تخروپن کے ذریعے باہر نکلنے کے مقامات کی تقسیم بھی حاصل کی گئی تھی۔ حیاتیاتی ایپلی کیشنز مائیکرو ڈومینز میں اسٹاکسٹک کیمیائی رد عمل کیمیائی رد عمل کی آگے کی شرح تنگ فرار کے وقت کا باہمی ہے، جو لامحدود میڈیم میں واقع براؤنین ذرات کے لیے کلاسیکی سمولوچووسکی فارمولے کو عام کرتا ہے۔ مارکوف کی تفصیل کو سائٹس کی ایک چھوٹی سی تعداد کے پابند ہونے اور غیر پابند ہونے کا اندازہ لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط اپلائیڈ میتھمیٹکس اینڈ کمپیوٹیشنل بائیولوجی ان ایکول نارمل سپیریئر، پیرس کیری کیجینالپ کی اشاعتیں اور لیکچرز http://www.pitt.edu ~ کیریکیگ/کامپٹس رینڈس پیپر http://www.pitt.edu ~ کیریکیگ/پیپر1. پی ڈی ایف اے آر ایم اے پیپر http://www.pitt.edu ~ کیریکیگ/پیپر2. پی ڈی ایف ڈفیوژن میتھمیٹیکل اینڈ تھیوریٹیکل بائیولوجی اسٹوچسٹک پروسیسز