Degrees of freedom (physics and chemistry)
طبیعیات اور کیمسٹری میں، جسمانی نظام کی حالت کی رسمی وضاحت میں ڈگری آف فریڈم ایک آزاد جسمانی پیمانہ ہے۔ کسی نظام کی تمام حالتوں کے سیٹ کو نظام کے فیز اسپیس کے نام سے جانا جاتا ہے، اور نظام کی ڈگری آف فریڈم فیز اسپیس کے طول و عرض ہیں۔ تین جہتی خلا میں کسی ذرہ کے مقام کے لیے تین پوزیشن کوآرڈینیٹس کی ضرورت ہوتی ہے۔ اسی طرح، وہ سمت اور رفتار جس پر ایک ذرہ حرکت کرتا ہے اسے تین رفتار اجزاء کے لحاظ سے بیان کیا جا سکتا ہے، ہر ایک خلا کے تین جہتوں کے حوالے سے۔ لہذا، اگر نظام کا وقت کا ارتقاء متعین ہے (جہاں ایک لمحے میں ریاست وقت کی تقریب کے طور پر اپنے ماضی اور مستقبل کی پوزیشن اور رفتار کا منفرد طور پر تعین کرتی ہے)، تو اس طرح کے نظام میں چھ درجے کی آزادی ہوتی ہے۔ اگر ذرہ کی حرکت کم جہتوں تک محدود ہے-مثال کے طور پر، ذرہ کو تار کے ساتھ یا کسی مقررہ سطح پر حرکت کرنی چاہیے-تو نظام میں چھ ڈگری سے بھی کم آزادی ہوتی ہے۔ دوسری طرف، ایک توسیع شدہ آبجیکٹ والا نظام جو گھوم سکتا ہے یا کمپن کر سکتا ہے اس میں چھ ڈگری سے زیادہ آزادی ہو سکتی ہے۔ کلاسیکی میکانکس میں، کسی بھی وقت ایک نقطہ ذرہ کی حالت کو اکثر لاگرانجین رسم الخط میں پوزیشن اور رفتار کے نقاط کے ساتھ، یا ہیملٹنین رسم الخط میں پوزیشن اور رفتار کے نقاط کے ساتھ بیان کیا جاتا ہے۔ شماریاتی میکانکس میں، ڈگری آف فریڈم ایک واحد اسکیلر نمبر ہے جو کسی نظام کے مائیکرو اسٹیٹ کو بیان کرتا ہے۔ کسی نظام کے تمام مائیکرو اسٹیٹس کی وضاحت نظام کے مرحلے کی جگہ کا ایک نقطہ ہے۔ کیمسٹری میں تھری ڈی آئیڈیل چین ماڈل میں، ہر مونومر کی واقفیت کو بیان کرنے کے لیے دو زاویے ضروری ہیں۔ آزادی کی کواڈریٹک ڈگریوں کی وضاحت کرنا اکثر مفید ہوتا ہے۔ یہ آزادی کی ڈگریاں ہیں جو نظام کی توانائی میں کواڈریٹک فنکشن میں حصہ ڈالتی ہیں۔ اس بات پر منحصر ہے کہ کون کونسا شمار کر رہا ہے، کئی مختلف طریقے ہیں جن سے ڈگری آف فریڈم کی تعریف کی جا سکتی ہے، ہر ایک کی قدر مختلف ہے۔ گیسوں کے لیے تھرموڈینامک ڈگری آف فریڈم مساوات کے نظریہ کے مطابق، گیس کے فی مول اندرونی توانائی برابر ہوتی ہے، جہاں مطلق درجہ حرارت ہوتا ہے اور مستقل حجم پر مخصوص حرارت cv = (f) (R/2) ہوتی ہے۔ R = 8.314 J/(K mol) عالمگیر گیس مستقل ہے، اور "f" تھرموڈینامک (کواڈریٹک) ڈگری آف فریڈم کی تعداد ہے، جس میں ان طریقوں کی تعداد شمار کی جاتی ہے جن میں توانائی واقع ہو سکتی ہے۔ کسی بھی ایٹم یا مالیکیول میں آزادی کی تین ڈگریاں ہوتی ہیں جو x، y، اور z محوروں کے حوالے سے کمیت کے مرکز کی ٹرانسلیشنل حرکت (حرکی توانائی) سے وابستہ ہوتی ہیں۔ یہ مونو ایٹومک پرجاتیوں کے لیے آزادی کی واحد ڈگریاں ہیں، جیسے کہ نوبل گیس ایٹم۔ دو یا زیادہ ایٹموں پر مشتمل ڈھانچے کے لیے، پورے ڈھانچے میں گردشی حرکی توانائی بھی ہوتی ہے، جہاں پوری ساخت ایک محور کے گرد گھومتی ہے۔ ایک لکیری مالیکیول، جہاں تمام ایٹم ایک ہی محور کے ساتھ ہوتے ہیں، جیسے کہ کوئی ڈائیٹومک مالیکیول اور کچھ دوسرے مالیکیول جیسے کاربن ڈائی آکسائیڈ (CO2)، میں دو گردشی ڈگری آف فریڈم ہوتی ہے، کیونکہ یہ سالماتی محور پر عمودی طور پر دو محوروں میں سے کسی ایک کے گرد گھوم سکتا ہے۔ ایک غیر لکیری مالیکیول، جہاں ایٹم پانی (H2O) کی طرح ایک محور کے ساتھ نہیں ہوتے ہیں، اس میں تین گردش کی ڈگری آف فریڈم ہوتی ہے، کیونکہ یہ تین عمودی محوروں میں سے کسی کے گرد گھوم سکتا ہے۔ خاص صورتوں میں، جیسے کہ جذب شدہ بڑے مالیکیول، آزادی کی گردش کی ڈگری صرف ایک تک محدود ہو سکتی ہے۔ دو یا دو سے زیادہ ایٹموں پر مشتمل ساخت میں بھی کمپن توانائی ہوتی ہے، جہاں انفرادی ایٹم ایک دوسرے کے حوالے سے حرکت کرتے ہیں۔ ایک ڈائیٹومک مالیکیول میں ایک سالماتی کمپن موڈ ہوتا ہے: دونوں ایٹم ان کے درمیان کیمیائی بندھن کے ساتھ آگے پیچھے ارتعاش کرتے ہیں جو اسپرنگ کے طور پر کام کرتے ہیں۔ ایٹم والے مالیکیول میں مالیکیولر کمپن کے زیادہ پیچیدہ طریقے ہوتے ہیں، جن میں لکیری مالیکیول کے لیے کمپن کے طریقے اور غیر لکیری مالیکیول کے لیے طریقے ہوتے ہیں۔ مخصوص مثالوں کے طور پر، لکیری CO2 مالیکیول میں ارتعاش کے 4 طریقے ہوتے ہیں، اور غیر لکیری پانی کے مالیکیول میں ارتعاش کے 3 طریقے ہوتے ہیں۔ ہر کمپن موڈ میں توانائی کی دو اصطلاحات ہوتی ہیں: حرکت پذیر ایٹموں کی حرکی توانائی اور بہار جیسے کیمیائی بند کی ممکنہ توانائی۔ لہذا، کمپن توانائی کی اصطلاحات کی تعداد لکیری مالیکیول کے لیے طریقے ہیں اور غیر لکیری مالیکیول کے لیے طریقے ہیں۔ گردش اور کمپن دونوں طریقوں کی مقدار مقرر کی جاتی ہے، جس میں کم سے کم درجہ حرارت کو چالو کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ آزادی کی گردش کی ڈگریوں کو چالو کرنے کے لیے "گردش کا درجہ حرارت" بہت سی گیسوں کے لیے 100 K سے کم ہوتا ہے۔ N2 اور O2 کے لیے، یہ 3 K سے کم ہے۔ کافی کمپن کے لیے ضروری "کمپن درجہ حرارت" 103 K اور 104 K کے درمیان، N2 کے لیے 3521 K اور O2 کے لیے 2156 K ہے۔ عام ماحولیاتی درجہ حرارت N2 اور O2 میں کمپن کو چالو کرنے کے لیے اتنے زیادہ نہیں ہوتے، جو زیادہ تر ماحول پر مشتمل ہوتے ہیں۔ (اگلا اعداد و شمار دیکھیں۔) تاہم، بہت کم وافر مقدار میں موجود گرین ہاؤس گیسیں زمین کی سطح سے اورکت کو جذب کرکے ٹراپوسفیر کو گرم رکھتی ہیں، جو ان کے کمپن کے طریقوں کو پرجوش کرتی ہیں۔ اس توانائی کا زیادہ تر حصہ "گرین ہاؤس اثر" کے ذریعے اورکت میں سطح پر واپس منتقل کیا جاتا ہے۔ چونکہ کمرے کا درجہ حرارت (≈ 298 K) عام گردش کے درجہ حرارت سے زیادہ ہے لیکن عام کمپن کے درجہ حرارت سے کم ہے، اس لیے صرف ٹرانسلیشنل اور گردش کی ڈگری آف فریڈم ہی گرمی کی صلاحیت کے تناسب میں مساوی مقدار میں حصہ ڈالتی ہیں۔ یہی وجہ ہے کہ کمرے کے درجہ حرارت پر مونوٹومک گیسوں کے لیے ≈ اور ڈائیٹومک گیسوں کے لیے ≈۔ چونکہ ہوا پر ڈائیٹومک گیسوں کا غلبہ ہے (نائٹروجن اور آکسیجن کا حصہ تقریبا 99 ٪ ہے)، اس کی مولر اندرونی توانائی = (5/2) کے قریب ہے، جس کا تعین ڈائیٹومک گیسوں کے ذریعے ظاہر ہونے والی 5 ڈگری آف فریڈم سے ہوتا ہے۔ دائیں طرف کا گراف دیکھیں۔ 140 K <380 K کے لیے، cv (5/2) d سے 1 فیصد سے کم مختلف ہے۔ صرف ٹراپوسفیئر اور اسٹریٹوسفیئر میں درجہ حرارت سے زیادہ درجہ حرارت پر کچھ مالیکیولز میں اتنی توانائی ہوتی ہے کہ وہ N2 اور O2 کے کمپن کے طریقوں کو چالو کر سکتے ہیں۔ جیسے جیسے درجہ حرارت T = 400 K سے اوپر بڑھتا ہے، مستقل حجم، cv پر مخصوص حرارت آہستہ آہستہ (7/2) کی طرف بڑھتی ہے، جہاں cv 1.3 ٪ (5/2) d = 717.5 J/(K کلوگرام) سے اوپر ہے۔ پوزیشن کی وضاحت کے لیے کوآرڈینیٹس کی کم از کم تعداد شمار کرنا کوئی بھی پوزیشن کی وضاحت کے لیے درکار کم از کم تعداد کا استعمال کرتے ہوئے ڈگری آف فریڈم بھی شمار کر سکتا ہے۔ یہ مندرجہ ذیل طریقے سے کیا جاتا ہے: ایک واحد ذرہ کے لیے ہمیں اس کی پوزیشن کی وضاحت کے لیے 2-D طیارہ میں 2 نقاط اور 3-D جگہ میں 3 نقاط کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح 3-D جگہ میں اس کی آزادی کی ڈگری 3 ہے۔ 2 ذرات پر مشتمل جسم کے لیے (مثلا۔ ایک ڈائیٹومک مالیکیول) 3-D جگہ میں ان کے درمیان مستقل فاصلے کے ساتھ (فرض کریں کہ d) ہم (نیچے) اس کی ڈگری آف فریڈم کو 5 دکھا سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ اس جسم میں ایک ذرہ کوآرڈینیٹ ہے اور دوسرے کا نامعلوم کے ساتھ کوآرڈینیٹ ہے۔ دو نقاط کے درمیان فاصلے کے لیے فارمولے کا اطلاق ایک نامعلوم کے ساتھ ایک مساوات میں ہوتا ہے، جس میں ہم حل کر سکتے ہیں۔ ان میں سے ایک،،،، یا نامعلوم ہو سکتا ہے۔ کلاسیکی مساوات تھیوریم کے برعکس، کمرے کے درجہ حرارت پر، مالیکیولز کی کمپن حرکت عام طور پر حرارت کی صلاحیت میں نہ ہونے کے برابر حصہ ڈالتی ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ آزادی کی یہ ڈگریاں منجمد ہوتی ہیں کیونکہ توانائی آئجین ویلیوز کے درمیان فاصلہ ماحول کے درجہ حرارت () کے مطابق توانائی سے زیادہ ہوتا ہے۔ آزاد ڈگری آف فریڈم کسی نظام کی ڈگری آف فریڈم کا مجموعہ آزاد ہوتا ہے اگر سیٹ سے وابستہ توانائی کو درج ذیل شکل میں لکھا جا سکتا ہے: جہاں واحد متغیر کا فنکشن ہے۔ مثال: اگر اور آزادی کے دو درجے ہیں، اور اس سے وابستہ توانائی ہے: اگر، تو آزادی کے دو درجے آزاد ہیں۔ اگر، تو پھر آزادی کے دو درجے آزاد نہیں ہیں۔ اور کی پیداوار پر مشتمل اصطلاح ایک جوڑی کی اصطلاح ہے جو آزادی کی دو ڈگریوں کے درمیان تعامل کو بیان کرتی ہے۔ 1 سے لے کر، آزادی کی ویں ڈگری کی قیمت بولٹزمین کی تقسیم کے مطابق تقسیم کی جاتی ہے۔ اس کی امکانی کثافت فنکشن درج ذیل ہے:، اس حصے میں، اور پورے مضمون میں بریکٹ اس مقدار کے اوسط کی نشاندہی کرتے ہیں جو وہ منسلک کرتے ہیں۔ نظام کی اندرونی توانائی آزادی کی ڈگریوں میں سے ہر ایک سے وابستہ اوسط توانائیوں کا مجموعہ ہے: آزادی کی کواڈریٹک ڈگری ایک ڈگری آف فریڈم کواڈریٹک ہے اگر اس ڈگری آف فریڈم سے وابستہ توانائی کی اصطلاحات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے، جہاں آزادی کی دیگر کواڈریٹک ڈگریوں کا لکیری مجموعہ ہے۔ مثال: اگر اور آزادی کے دو درجے ہیں، اور اس سے وابستہ توانائی ہے: اگر، تو آزادی کے دو درجے آزاد اور غیر مربع نہیں ہیں۔ اگر، تو آزادی کے دو درجے آزاد اور غیر مربع ہیں۔ اگر، تو پھر آزادی کے دو درجے آزاد نہیں ہیں بلکہ کواڈریٹک ہیں۔ اگر، تو آزادی کے دو درجے آزاد اور چوتھائی ہیں۔ مثال کے طور پر، نیوٹنین میکانکس میں، کواڈریٹک ڈگری آف فریڈم کے نظام کی حرکیات کو مستقل گتانک کے ساتھ یکساں لکیری تفریق مساوات کے ایک سیٹ کے ذریعے کنٹرول کیا جاتا ہے۔ کواڈریٹک اور آزاد ڈگری آف فریڈم کواڈریٹک اور آزاد ڈگری آف فریڈم کہتے ہیں اگر نظام کے مائیکرو اسٹیٹ سے وابستہ توانائی کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے: مساوات تھیوریم شماریاتی میکانکس کی کلاسیکی حد میں، تھرموڈینامک توازن میں، کواڈریٹک اور آزاد ڈگری آف فریڈم کے نظام کی اندرونی توانائی یہ ہے: یہاں، ڈگری آف فریڈم سے وابستہ اوسط توانائی یہ ہے: چونکہ ڈگری آف فریڈم آزاد ہیں، اس لیے نظام کی اندرونی توانائی ہر ڈگری آف فریڈم سے وابستہ اوسط توانائی کے مجموعے کے برابر ہے، جو نتیجہ کو ظاہر کرتی ہے۔ کسی نظام کی حالت کی وضاحت اس کے مرحلے کی جگہ میں ایک نقطہ کے طور پر، اگرچہ ریاضیاتی طور پر آسان ہے، بنیادی طور پر غلط سمجھی جاتی ہے۔ کوانٹم میکانکس میں، تحریک کی ڈگری آف فریڈم کو ویو فنکشن کے تصور کے ساتھ ختم کر دیا جاتا ہے، اور آپریٹرز جو آزادی کی دیگر ڈگریوں سے مطابقت رکھتے ہیں ان میں مجرد سپیکٹر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، کسی الیکٹران یا فوٹون کے لیے اندرونی کونیی مومنٹم آپریٹر (جو گردش کی آزادی سے مطابقت رکھتا ہے) کی صرف دو آئجین ویلیوز ہوتی ہیں۔ یہ تضاد اس وقت ظاہر ہوتا ہے جب عمل میں پلانک مستقل کی شدت کی ترتیب ہوتی ہے، اور انفرادی ڈگری آف فریڈم کو الگ کیا جا سکتا ہے۔ حوالہ جات جسمانی مقدار طول و عرض