Kunerth's algorithm
کنیرتھ کا الگورتھم ایک عدد کے ماڈیولر مربع جڑ کا تعین کرنے کے لیے ایک الگورتھم ہے۔ الگورتھم کو ماڈیولس کی فیکٹرائزیشن کی ضرورت نہیں ہے، اور اس میں صرف ایک ماڈیولر آپریشن ہوتا ہے جو اکثر آسان ہوتا ہے اگر سائفر پرائم ہو۔ تلاش کرنے کے لیے درج ذیل مراحل کریں 1) اس کا ماڈیولر مربع جڑ تلاش کریں یہ مرحلہ کافی آسان ہے، چاہے اصل ماڈیولس کتنا ہی بڑا کیوں نہ ہو، اگر پرائم ہو۔ 2) کے ماڈیولر مربع جڑ سے وابستہ کواڈریٹک مساوات کو حل کریں۔ کنیرتھ کی اپنے اصل مقالے میں زیادہ تر مثالیں C کو قدرتی مربع بنا کر اس مساوات کو حل کرتی ہیں اور اس طرح z کو صفر پر ترتیب دیتی ہیں۔ کواڈریٹک حاصل کرنے کے لیے درج ذیل مساوات کو وسعت دیں اگر تب آپ ہمیشہ اس بات کو یقینی بنا سکتے ہیں کہ کواڈریٹک کو مندرجہ بالا مساوات میں N اصطلاح (ماڈیولس) کو ایڈجسٹ کر کے حل کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح اس بات کو یقینی بنائے گا کہ آپ پھر F کو ایڈجسٹ کر سکتے ہیں تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ C + F ایک مربع ہے۔ کافی بڑا ماڈیولا، جیسے کہ اس طریقہ کار کے ذریعے ان کی مربع جڑیں تیزی سے لی جا سکتی ہیں۔ کثیر الجہتی توسیع کے پیرامیٹرز کافی سیال ہیں، مثال کے طور پر، اس میں کیا جا سکتا ہے۔ X اور Y سیٹ کرنا بہت آسان ہے تاکہ یہ ایک مربع ہو۔ کے ماڈیولر مربع جڑ کو اس طرح سے لیا جا سکتا ہے۔ 3) متعلقہ کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے کے بعد اب ہمارے پاس متغیرات ڈبلیو اور سیٹ v = r ہیں (اگر کواڈریٹک میں C ایک قدرتی مربع ہے)۔ 4) دو مزید متغیرات، الفا اور بیٹا کو مندرجہ ذیل مساوات الفا = = ڈبلیو (وی + ڈبلیو بیٹا) کے ذریعے حل کریں۔ یہ ماڈیولر آپریشن نہیں ہے اور الفا اور بیٹا میں بہت سے جوڑے دار جوابات ہو سکتے ہیں۔ 5) مندرجہ ذیل کثیر الجہتی کی فیکٹرائزیشن کے ذریعے X کے لیے قدر حاصل کریں۔ جواب حاصل کرنا جیسے (-37 + 9 x) (1 + 25 x) 6) مساوات کے ذریعے ماڈیولر مربع جڑ حاصل کریں۔ X سیٹ کرنا یاد رکھیں تاکہ اوپر کی اصطلاح صفر ہو۔ اس طرح X 37/9 یا-1/25 ہوگا۔ مثال پہلے حاصل کرنے کے لیے پھر مندرجہ ذیل کثیر الجہتی کو وسعت دیں جو کہ ہے۔ چونکہ، اس صورت میں کواڈریٹک میں C اصطلاح ایک قدرتی مربع ہے تو سیٹ کریں اور (اگر z کی قدر ہوتی تو سیٹ کریں) مندرجہ ذیل مساوات میں الفا اور بیٹا کے لیے حل کریں جس میں W اور V الفا = = W (V + W * بیٹا) شامل ہیں جس کا جواب الفا = 15 اور بیٹا =-2 ملتا ہے۔ (اس مساوات کے بہت سے جوڑے دار جوابات ہو سکتے ہیں) پھر درج ذیل کثیر الجہتی حاصل کرنے کو عنصر بنائیں پھر تصدیق کے ذریعے ماڈیولر مربع جڑ حاصل کریں کہ اس صورت میں جس کا کوئی جواب نہیں ہے اس کے بجائے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اسکوائر روٹس کی کمپیوٹنگ کے طریقے ایڈولف کنرتھ، "سیٹجنگسبریختے" بھی دیکھیں۔ اکیڈمی ڈیر وسینشافٹن "جلد 75، II، 1877، پی پی۔ 7-58 ایڈولف کنرتھ، "سیٹزونگسبریختے۔ اکیڈمی ڈیر وسینشافٹن "جلد 82، II، 1880، پی پی۔ 342-375 حوالہ جات ریاضی کے مضامین جن پر ماہر توجہ کی ضرورت ہے الگورتھم کرپٹوگرافک الگورتھم