Scallop theorem
طبیعیات میں، اسکیلپ تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک تیراک جو باہمی حرکت انجام دیتا ہے وہ کم رینولڈ نمبر والے نیوٹنین سیال ماحول میں خالص نقل مکانی حاصل نہیں کر سکتا، یعنی۔ ایک ایسا سیال جو انتہائی چپچپا ہو۔ اس طرح کا تیراک حرکتوں کے سلسلے کے ذریعے اپنے جسم کو ایک خاص شکل میں بدل دیتا ہے اور پھر الٹا ترتیب سے گزر کر اصل شکل میں لوٹ جاتا ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ تیراک ترتیب کو کتنی تیزی سے یا آہستہ انجام دیتا ہے۔ کم رینالڈز نمبر پر، وقت یا جمود عمل میں نہیں آتی ہے، اور تیراکی کی حرکت کا تعین خالصتا شکلوں کی ترتیب سے ہوتا ہے جو تیراک فرض کرتا ہے۔ ایڈورڈ ملز پرسیل نے یہ نظریہ اپنے 1977 کے مقالے لائف ایٹ لو رینالڈز نمبر میں بیان کیا ہے جس میں آبی نقل و حرکت کے جسمانی اصولوں کی وضاحت کی گئی ہے۔ تھیوریم کا نام اسکیلپ کی حرکت کے لیے رکھا گیا ہے جو ایک مدت کے دوران ایک سادہ قبضہ کھولتا اور بند کرتا ہے۔ اس طرح کی حرکت کم رینالڈز نمبروں پر نقل مکانی پیدا کرنے کے لیے کافی نہیں ہے۔ سکیلپ حرکت کے لیے استعمال کرنے کی ایک ڈگری کی آزادی کے ساتھ جسم کی ایک مثال ہے۔ ایک ہی درجے کی آزادی والے اجسام باہمی انداز میں خراب ہو جاتے ہیں اور اس کے بعد، ایک درجے کی آزادی والے اجسام انتہائی چپچپا ماحول میں حرکت حاصل نہیں کرتے ہیں۔ پس منظر اسکیلپ تھیوریم حیاتیات پر لاگو ہونے والی بعد کی قوتوں کا نتیجہ ہے جب وہ آس پاس کے سیال سے تیرتا ہے۔ کثافت اور متحرک چپچپا کے ساتھ ایک غیر کمپریسبل نیوٹنین سیال کے لیے، بہاؤ نیویئر-اسٹوکس مساوات کو مطمئن کرتا ہے:، جہاں سیال کی رفتار کو ظاہر کرتا ہے۔ تاہم، رینالڈز نمبر کی کم حد پر، بائیں ہاتھ کی طرف نیویئر-اسٹاک مساوات کی جمود اصطلاحات صفر ہوتی ہیں۔ یہ نیویئر-اسٹوکس مساوات کو غیر جہتی بنا کر زیادہ واضح کیا جاتا ہے۔ خصوصیت کی رفتار اور لمبائی کی وضاحت کرکے، اور، ہم اپنے متغیرات کو بے جہتی شکل میں ڈال سکتے ہیں: جہاں طول و عرض کے بغیر دباؤ کو اہم چپچپا اثرات کے ساتھ بہاؤ کے لیے مناسب طریقے سے ماپا جاتا ہے۔ ان مقداروں کو نیویئر-اسٹوکس مساوات میں جوڑنے سے ہمیں ملتا ہے: اور اصطلاحات کو دوبارہ ترتیب دے کر، ہم ایک بے جہتی شکل پر پہنچتے ہیں:، رینالڈز نمبر کہاں ہے۔ کم رینالڈز نمبر کی حد (AS) میں، LHS صفر کی طرف جاتا ہے اور ہم اسٹوکس مساوات کی بے جہتی شکل پر پہنچ جاتے ہیں۔ پیداوار کو دوبارہ جہتی بنانا: بیان کم رینالڈز نمبر پر کوئی جمود اصطلاحات نہ ہونے کے نتائج یہ ہیں: ایک نتیجہ کا مطلب یہ ہے کہ تیراک عملی طور پر کوئی خالص قوت یا ٹارک کا تجربہ نہیں کرتا ہے۔ دوسرا نتیجہ ہمیں بتاتا ہے کہ رفتار قوت کے لکیری متناسب ہے (کونیی رفتار اور ٹارک کے بارے میں بھی یہی کہا جا سکتا ہے)۔ اسٹوکس کی مساوات لکیری اور وقت سے آزاد ہو جاتی ہیں۔ خاص طور پر، کم رینالڈز نمبر کے نظام میں حرکت کرنے والے تیراک کے لیے، اس کی حرکت مطمئن ہوتی ہے: وقت سے آزاد: اسی حرکت کو تیز یا سست کیا جا سکتا ہے، اور یہ اسٹوکس کے مساوات کو مطمئن کرے گا۔ زیادہ ہندسی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ کم رینالڈز نمبر کے نظام میں تیراک کی حرکت کا تعین خالصتا ترتیب کی جگہ میں اس کی رفتار کی شکل سے ہوتا ہے۔ کینیمیٹک ریورسیبلٹی: ایک ہی حرکت کو الٹا کیا جا سکتا ہے۔ جسم پر عمل کرنے والی قوتوں کا کوئی بھی فوری الٹ اس کے ارد گرد سیال کے بہاؤ کی نوعیت کو تبدیل نہیں کرے گا، صرف بہاؤ کی سمت۔ یہ قوتیں حرکت پیدا کرنے کے لیے ذمہ دار ہیں۔ جب کسی جسم میں صرف ایک درجے کی آزادی ہوتی ہے، تو قوتوں کا الٹ جانا جسم کو باہمی انداز میں خراب کرنے کا سبب بنتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس کے قبضے کو کھولنے والا اسکیلپ اسے صرف بند کر دے گا تاکہ پروپلشن حاصل کرنے کی کوشش کی جا سکے۔ چونکہ قوتوں کا الٹ جانا بہاؤ کی نوعیت کو تبدیل نہیں کرتا ہے، اس لیے جسم بالکل اسی انداز میں الٹی سمت میں حرکت کرے گا، جس کی وجہ سے کوئی خالص نقل مکانی نہیں ہوگی۔ اس طرح ہم اسکیلپ تھیوریم کے نتائج پر پہنچتے ہیں۔ اسکیلنگ کے ذریعے ثبوت یہ روح میں پرسیل کے ذریعہ دیئے گئے ثبوت کے خاکے کے قریب ہے۔ کلیدی نتیجہ یہ ظاہر کرنا ہے کہ اسٹوکس سیال میں تیراک وقت پر منحصر نہیں ہوتا ہے۔ یعنی، کوئی یہ پتہ نہیں لگا سکتا کہ تیراک کی حرکت کی فلم سست ہو گئی ہے، تیز ہو گئی ہے، یا الٹ گئی ہے۔ اس کے بعد دوسرے نتائج سادہ نتائج ہوتے ہیں۔ سیال کا تناؤ ٹینسر ہے۔ ایک غیر صفر حقیقی مستقل ہونے دیں۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس تیراکی کی حرکت ہے، تو ہم مندرجہ ذیل اسکیلنگ کر سکتے ہیں: اور اسٹوکس مساوات کا ایک اور حل حاصل کر سکتے ہیں۔ یعنی، اگر ہم ہائیڈروسٹیٹک دباؤ، بہاؤ کی رفتار، اور تناؤ ٹینسر کو ہر طرح سے پیمائش کرتے ہیں، تب بھی ہم اسٹوکس مساوات کا حل حاصل کرتے ہیں۔ چونکہ حرکت کم رینالڈز نمبر کے نظام میں ہوتی ہے، اس لیے جمود قوتیں نہ ہونے کے برابر ہوتی ہیں، اور تیراک پر فوری کل قوت اور ٹارک دونوں کو صفر پر متوازن ہونا چاہیے۔ چونکہ تیراک پر فوری کل قوت اور ٹارک کا حساب اس کی سطح پر اسٹریس ٹینسر کو مربوط کرکے کیا جاتا ہے، اس لیے فوری کل قوت اور ٹارک میں بھی اضافہ ہوتا ہے، جو اب بھی صفر ہیں۔ اس طرح، تیراک کی حرکت اور آس پاس کے سیال ترازو کی حرکت دونوں کو ایک ہی عنصر سے اسکیل کرتے ہوئے، ہم اب بھی ایک ایسی حرکت حاصل کرتے ہیں جو اسٹوکس مساوات کا احترام کرتی ہے۔ ویکٹر کیلکولس کے ذریعہ ثبوت اسکیلپ تھیوریم کے ثبوت کو ریاضیاتی طور پر خوبصورت انداز میں پیش کیا جا سکتا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، ہمیں پہلے اسٹوکس مساوات کی لکیریٹی کے ریاضیاتی نتائج کو سمجھنا چاہیے۔ خلاصہ کے طور پر، اسٹوکس مساوات کی لکیریٹی ہمیں تیراک کی تیراکی کی رفتار کو اس کی سطح کے ارد گرد سیال کی رفتار کے میدان سے جوڑنے کے لیے باہمی نظریہ استعمال کرنے کی اجازت دیتی ہے (جسے تیراکی کی چال کہا جاتا ہے)، جو اس کی نمائش کردہ وقتا فوقتا حرکت کے مطابق تبدیل ہوتا ہے۔ یہ تعلق ہمیں یہ نتیجہ اخذ کرنے کی اجازت دیتا ہے کہ لوکوموشن تیراکی کی شرح سے آزاد ہے۔ اس کے بعد، یہ اس دریافت کی طرف لے جاتا ہے کہ وقتا فوقتا حرکت کا الٹنا ہم آہنگی کی وجہ سے آگے کی حرکت سے ملتا جلتا ہے، جس سے ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ کوئی خالص نقل مکانی نہیں ہو سکتی۔ شرح-آزادی باہمی نظریہ ایک ہی جیومیٹری میں دو اسٹوکس بہاؤ کے درمیان تعلقات کو بیان کرتا ہے جہاں چپچپا اثرات کے مقابلے میں جمود کے اثرات غیر اہم ہوتے ہیں۔ ایک سیال سے بھرے ہوئے علاقے پر غور کریں جو سطح سے گھرا ہوا ہے جس میں ایک یونٹ نارمل ہے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس ڈومین میں اسٹوکس مساوات کے حل ہیں جو رفتار کے شعبوں کی شکل رکھتے ہیں اور۔ رفتار کے میدان بالترتیب متعلقہ تناؤ کے میدانوں کو پناہ دیتے ہیں۔ پھر درج ذیل مساوات ہوتی ہے: باہمی نظریہ ہمیں دوسرے بہاؤ سے معلومات کا استعمال کرکے کسی خاص بہاؤ کے بارے میں معلومات حاصل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ اسٹوکس مساوات کو حل کرنے سے بہتر ہے، جو کہ باؤنڈری کنڈیشن نہ ہونے کی وجہ سے مشکل ہے۔ یہ خاص طور پر مفید ہے اگر کوئی ایک ہی جیومیٹری میں ایک آسان مسئلہ کے بہاؤ کا مطالعہ کرکے کسی پیچیدہ مسئلے سے بہاؤ کو سمجھنا چاہتا ہے۔ تیراک کی رفتار کو اس کی تیراکی کی چال سے منسلک کرنے کے لیے باہمی تھیوریم کا استعمال کیا جا سکتا ہے: اب جب کہ ہم نے یہ ثابت کر دیا ہے کہ جسم پر عمل کرنے والی قوت کی سمت میں فوری تیراکی کی رفتار اور اس کی تیراکی کی چال کے درمیان تعلق عمومی شکل کی پیروی کرتا ہے، جہاں اور تیراک کی سطح پر پوائنٹس کی پوزیشنوں کی نشاندہی کرتے ہیں، ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ لوکوموشن شرح سے آزاد ہے۔ ایک ایسے تیراک پر غور کریں جو وقت اور وقت کے درمیان حرکتوں کے سلسلے کے ذریعے وقتا فوقتا شکل اختیار کرتا ہے۔ تیراک کی خالص نقل مکانی ہے۔ اب تیراک کو اسی انداز میں لیکن مختلف شرح سے بگاڑنے پر غور کریں۔ ہم اسے نقشہ سازی کے ساتھ بیان کرتے ہیں۔ اس نقشہ سازی کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اسے دیکھتے ہیں۔ اس نتیجے کا مطلب یہ ہے کہ تیراک کے ذریعے طے شدہ خالص فاصلہ اس شرح پر منحصر نہیں ہوتا ہے جس پر اسے خراب کیا جا رہا ہے، بلکہ صرف شکل کی ہندسی ترتیب پر منحصر ہوتا ہے۔ یہ پہلا کلیدی نتیجہ ہے۔ آگے اور پیچھے کی حرکت کی ہم آہنگی اگر کوئی تیراک وقتا فوقتا ایسے انداز میں حرکت کر رہا ہے جو وقت کے لحاظ سے غیر متغیر ہے، تو ہم جانتے ہیں کہ ایک مدت کے دوران اوسط نقل مکانی صفر ہونی چاہیے۔ ثبوت کی وضاحت کے لیے، آئیے ایک تیراک کے ایک مدت کے دوران بگاڑنے پر غور کریں جو کبھی شروع ہوتا ہے اور کبھی ختم ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ شروع اور آخر میں اس کی شکل ایک جیسی ہے، یعنی۔ ۔ اگلا، ہم پہلی حرکت کی ٹائم ریورسل سمیٹری سے حاصل ہونے والی حرکت پر غور کرتے ہیں جو وقت اور وقت پر شروع ہونے اور ختم ہونے کی مدت کے دوران ہوتی ہے۔ پچھلے حصے کی طرح اسی طرح کی نقشہ سازی کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ریورس موشن میں شکل کی وضاحت اور وضاحت کرتے ہیں کہ آگے کی حرکت میں شکل کی طرح ہو۔ اب ہم ان دو صورتوں میں خالص نقل مکانی کے درمیان تعلق تلاش کرتے ہیں: یہ دوسرا اہم نتیجہ ہے۔ پچھلے حصے سے ہمارے پہلے کلیدی نتیجہ کے ساتھ مل کر، ہم اسے دیکھتے ہیں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ ایک تیراک جو اپنی شکل کی تبدیلیوں کے سلسلے کو الٹ کر اپنی حرکت کو الٹ دیتا ہے وہ طے شدہ مخالف فاصلے کی طرف لے جاتا ہے۔ اس کے علاوہ، چونکہ تیراک باہمی جسم کی اخترتی کا مظاہرہ کرتا ہے، اس لیے حرکت کی ترتیب اور اور کے درمیان یکساں ہوتی ہے۔ اس طرح، طے شدہ فاصلہ وقت کی سمت سے آزادانہ طور پر یکساں ہونا چاہیے، جس کا مطلب ہے کہ کم رینالڈز نمبر والے ماحول میں خالص حرکت کے لیے باہمی حرکت کا استعمال نہیں کیا جا سکتا۔ مستثنیات اسکیلپ تھیوریم کا انعقاد اس صورت میں ہوتا ہے جب ہم یہ فرض کریں کہ ایک تیراک جمود اور بیرونی جسمانی قوتوں کی عدم موجودگی میں لامحدود پرسکون نیوٹنین سیال میں باہمی حرکت سے گزرتا ہے۔ تاہم، ایسی مثالیں موجود ہیں جہاں اسکیلپ تھیوریم کے مفروضوں کی خلاف ورزی کی جاتی ہے۔ ایک صورت میں، چپچپا ماحول میں کامیاب تیراکوں کو غیر باہمی جسمانی حرکیات کا مظاہرہ کرنا چاہیے۔ ایک اور صورت میں، اگر کوئی تیراک غیر نیوٹونی سیال میں ہے، تو لوکوموشن بھی حاصل کیا جا سکتا ہے۔ غیر باہمی حرکت کی اقسام اپنے اصل مقالے میں، پرسیل نے غیر باہمی جسم کی اخترتی کی ایک سادہ مثال پیش کی، جسے اب عام طور پر پرسیل تیراک کے نام سے جانا جاتا ہے۔ یہ سادہ تیراک حرکت کے لیے دو درجے کی آزادی رکھتا ہے: ایک دو انگوٹھے والا جسم جو تین سخت لنکس پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک دوسرے کے ساتھ مرحلے سے باہر گھومتا ہے۔ تاہم، کوئی بھی جسم جس میں ایک سے زیادہ درجے کی حرکت کی آزادی ہو وہ حرکت بھی حاصل کر سکتا ہے۔ عام طور پر، بیکٹیریا جیسے خوردبین حیاتیات نے غیر باہمی حرکت انجام دینے کے لیے مختلف میکانزم تیار کیے ہیں: فلیگیلم کا استعمال، جو گھومتا ہے، میڈیم کو پیچھے کی طرف-اور سیل کو آگے کی طرف-بالکل اسی طرح جس طرح جہاز کا سکرو جہاز کو حرکت دیتا ہے۔ اس طرح کچھ بیکٹیریا حرکت کرتے ہیں ؛ فلیجیلم بیکٹیریل سیل کی سطح میں سختی سے رکھی گئی ایک پیچیدہ گھومنے والی موٹر سے ایک سرے پر منسلک ہوتا ہے۔ لچکدار بازو کا استعمال: یہ بہت سے مختلف طریقوں سے کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ممالیہ کے سپرم میں ایک فلیگیلم ہوتا ہے جو، کوڑے کی طرح، خلیے کے آخر میں گھومتا ہے، خلیے کو آگے دھکیلتا ہے۔ سیلیا ڈھانچے ممالیہ فلیجیلا سے بالکل ملتے جلتے ہیں۔ وہ ایک پیچیدہ حرکت کے ذریعے پیرامیشیم جیسے خلیے کو آگے بڑھا سکتے ہیں جو بریسٹ اسٹروک سے مختلف نہیں ہے۔ ہندسی طور پر، گھومنے والا فلیگیلم ایک جہتی تیراک ہے، اور یہ کام کرتا ہے کیونکہ اس کی حرکت دائرے کی شکل کی ترتیب کی جگہ کے گرد گھوم رہی ہے، اور ایک دائرہ باہمی حرکت نہیں ہے۔ لچکدار بازو ایک کثیر جہتی تیراک ہے، اور یہ کام کرتا ہے کیونکہ اس کی حرکت مربع شکل کی ترتیب کی جگہ میں ایک دائرے کے گرد گھوم رہی ہے۔ نوٹ کریں کہ پہلی قسم کی حرکت میں غیر معمولی ہوموٹوپی ہوتی ہے، لیکن دوسری قسم میں معمولی ہوموٹوپی ہوتی ہے۔ غیر نیوٹونی سیال نیوٹونی سیال کا مفروضہ ضروری ہے کیونکہ اسٹوکس مساوات ایسے ماحول میں لکیری اور وقت سے آزاد نہیں رہیں گی جس میں پیچیدہ مکینیکل اور ریوولوجیکل خصوصیات ہوں۔ یہ بھی عام علم ہے کہ بہت سے زندہ مائکروجنزم پیچیدہ غیر نیوٹونی سیالوں میں رہتے ہیں، جو حیاتیاتی طور پر متعلقہ ماحول میں عام ہیں۔ مثال کے طور پر، رینگنے والے خلیات اکثر لچکدار پولیمرک سیالوں میں منتقل ہوتے ہیں۔ غیر نیوٹونی سیالوں میں کئی خصوصیات ہوتی ہیں جن میں چھوٹے پیمانے پر حرکت پیدا کرنے کے لیے ہیرا پھیری کی جا سکتی ہے۔ سب سے پہلے، اس طرح کی ایک قابل استحصال خاصیت عام تناؤ کے فرق ہیں۔ یہ اختلافات تیراک کے بہاؤ کے ذریعے سیال کے پھیلنے سے پیدا ہوں گے۔ ایک اور قابل استحصال خاصیت تناؤ میں نرمی ہے۔ اس طرح کے تناؤ کے اس طرح کے وقت کے ارتقاء میں ایک یادداشت کی اصطلاح ہوتی ہے، حالانکہ جس حد تک اس کا استعمال کیا جاسکتا ہے وہ بڑی حد تک غیر دریافت شدہ ہے۔ آخر میں، غیر نیوٹونی سیالوں میں وہسکوٹیز ہوتی ہیں جو شیر کی شرح پر منحصر ہوتی ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، ایک تیراک اس کی حرکت کی شرح کو تبدیل کرکے ایک مختلف رینالڈز نمبر ماحول کا تجربہ کرے گا۔ بہت سے حیاتیاتی طور پر متعلقہ سیال شیر پتلے ہونے کی نمائش کرتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ شیر کی شرح کے ساتھ چپچپا کم ہوتا ہے۔ ایسے ماحول میں، وہ شرح جس پر تیراک باہمی حرکت کا مظاہرہ کرتا ہے اہم ہوگی کیونکہ یہ اب وقت میں غیر متغیر نہیں رہے گا۔ یہ اس کے بالکل برعکس ہے جو ہم نے قائم کیا ہے جہاں ایک تیراک جس رفتار سے حرکت کرتا ہے وہ لوکوموشن قائم کرنے کے لیے غیر متعلقہ ہے۔ اس طرح، ایک باہمی تیراک کو غیر نیوٹونی سیال میں ڈیزائن کیا جا سکتا ہے۔ کیو اور دیگر۔ (2014) غیر نیوٹنین سیال میں مائیکرو اسکیلپ ڈیزائن کرنے میں کامیاب رہے۔ بیکٹیریل موٹیلٹی مائکروسوائمر پروٹسٹ لوکوموشن حوالہ جات بیرونی لنکس ای ایم پرسیل بھی دیکھیں۔ لائف ایٹ لو رینالڈز نمبر، امریکن جرنل آف فزکس جلد 45، p. 3-11 (1977) کینیمیٹک ریورسیبلٹی اینڈ دی اسکیلپ تھیوریم ویڈیو آف ایک تیراکی روبوٹ سکیلپ تھیوریم فزکس تھیوریمز فلوئڈ ڈائنامکس ریاضیاتی اور نظریاتی حیاتیات کی وجہ سے چپچپا سیال میں آگے بڑھنے سے قاصر ہے۔