Elliptical distribution
امکان اور اعداد و شمار میں، ایک الپٹیکل تقسیم امکان کی تقسیم کے ایک وسیع خاندان کا کوئی بھی رکن ہے جو ملٹی ویریٹ نارمل تقسیم کو عام کرتا ہے۔ بدیہی طور پر، آسان دو اور تین جہتی صورت میں، مشترکہ تقسیم آئسو ڈینسٹی پلاٹس میں بالترتیب ایک ایلیپس اور ایک ایلیپسائڈ بناتی ہے۔ اعداد و شمار میں، نارمل ڈسٹری بیوشن کلاسیکی ملٹی ویریٹ تجزیہ میں استعمال ہوتا ہے، جبکہ ایلیپٹیکل ڈسٹری بیوشن عام ملٹی ویریٹ تجزیہ میں استعمال ہوتے ہیں، بھاری دموں کے ساتھ سمیٹرک ڈسٹری بیوشن کے مطالعہ کے لیے، جیسے ملٹی ویریٹ ٹی-ڈسٹری بیوشن، یا ہلکی (نارمل ڈسٹری بیوشن کے مقابلے میں)۔ کچھ شماریاتی طریقے جو اصل میں عام تقسیم کے مطالعہ سے متاثر تھے، عام انڈاکار تقسیم (محدود تغیر کے ساتھ) کے لیے اچھی کارکردگی رکھتے ہیں، خاص طور پر کروی تقسیم کے لیے (جن کی وضاحت ذیل میں کی گئی ہے)۔ مجوزہ ملٹی ویریٹ-شماریاتی طریقہ کار کا اندازہ کرنے کے لیے مضبوط اعداد و شمار میں ایلیپٹیکل ڈسٹری بیوشن کا بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ تعریف الپٹیکل ڈسٹری بیوشن کی تعریف امکانی نظریہ کی خصوصیت فنکشن کے لحاظ سے کی گئی ہے۔ یوکلڈین اسپیس پر ایک بے ترتیب ویکٹر کی ایک الپٹیکل تقسیم ہوتی ہے اگر اس کی خصوصیت فنکشن کسی لوکیشن پیرامیٹر، کچھ غیر منفی-ڈیفائنٹ میٹرکس اور کچھ اسکیلر فنکشن کے لیے درج ذیل فنکشنل مساوات (ہر کالم-ویکٹر کے لیے) کو مطمئن کرتی ہے۔ حقیقی بے ترتیب ویکٹرز کے لیے انڈاکار تقسیم کی تعریف کو پیچیدہ اعداد کے میدان میں یوکلڈین خالی جگہوں میں بے ترتیب ویکٹرز کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے بڑھایا گیا ہے، تاکہ ٹائم سیریز تجزیہ میں ایپلی کیشنز کو آسان بنایا جا سکے۔ مثال کے طور پر مونٹی کارلو تخروپن میں استعمال کے لیے، الپٹیکل تقسیم سے فرضی بے ترتیب ویکٹر پیدا کرنے کے لیے کمپیوٹیشنل طریقے دستیاب ہیں۔ کچھ الپٹیکل تقسیموں کو متبادل طور پر ان کی کثافت کے افعال کے لحاظ سے بیان کیا جاتا ہے۔ کثافت فنکشن f کے ساتھ ایک الپٹیکل تقسیم کی شکل ہوتی ہے: جہاں معمول کا مستقل ہے، میڈین ویکٹر کے ساتھ ایک جہتی بے ترتیب ویکٹر ہے (جو کہ اوسط ویکٹر بھی ہے اگر مؤخر الذکر موجود ہے)، اور ایک مثبت قطعی میٹرکس ہے جو متناسب ہے۔ اگر مؤخر الذکر موجود ہے تو کوویرینس میٹرکس۔ مثالوں میں درج ذیل ملٹی ویریٹ امکانی تقسیم شامل ہیں: ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن ملٹی ویریٹ ٹی-ڈسٹری بیوشن سمیٹرک ملٹی ویریٹ اسٹیبل ڈسٹری بیوشن سمیٹرک ملٹی ویریٹ لیپلیس ڈسٹری بیوشن ملٹی ویریٹ لاجسٹک ڈسٹری بیوشن ملٹی ویریٹ سمیٹرک جنرل ہائپربولک ڈسٹری بیوشن پراپرٹیز۔ زیادہ عام طور پر، صوابدیدی n کے لیے، آئسو ڈینسٹی لوکی ایلیپسائڈز کے اتحاد ہیں۔ ان تمام ایلیپسائڈز یا ایلیپسس کا مشترکہ مرکز ہے اور یہ ایک دوسرے کی سکیلڈ کاپیاں (ہوموتھیٹس) ہیں۔ ملٹی ویریٹ نارمل ڈسٹری بیوشن وہ خاص معاملہ ہے جس میں۔ اگرچہ ملٹی ویریٹ نارمل لامحدود ہے (کا ہر عنصر غیر صفر امکان کے ساتھ من مانی طور پر بڑی مثبت یا منفی اقدار کو لے سکتا ہے، کیونکہ تمام غیر منفی کے لیے)، عام طور پر الپٹیکل تقسیم کو پابند یا غیر محدود کیا جا سکتا ہے-اس طرح کی تقسیم پابند ہے اگر کسی قدر سے زیادہ ہو۔ ایسی ایلیپٹیکل ڈسٹری بیوشنز موجود ہیں جن کا مطلب غیر متعین ہے، جیسے کاچی ڈسٹری بیوشن (یہاں تک کہ غیر متغیر صورت میں بھی)۔ چونکہ متغیر x کثافت فنکشن میں چوتھائی طور پر داخل ہوتا ہے، اس لیے تمام الپٹیکل تقسیم تقریبا ہم آہنگ ہوتے ہیں۔ اگر مشترکہ طور پر الپٹیکل بے ترتیب ویکٹر کے دو ذیلی سیٹ غیر مربوط ہیں، تو اگر ان کے ذرائع موجود ہیں تو وہ ایک دوسرے سے آزاد ہوتے ہیں (دوسرے سب ویکٹر کی قیمت پر مشروط ہر سب ویکٹر کا اوسط غیر مشروط اوسط کے برابر ہوتا ہے)۔ اگر بے ترتیب ویکٹر X کو الپٹک طور پر تقسیم کیا جاتا ہے، تو اسی طرح مکمل صف کے درجہ کے ساتھ کسی بھی میٹرکس D کے لیے DX ہے۔ اس طرح X کے اجزاء کا کوئی بھی لکیری مجموعہ انڈاشی ہے (اگرچہ ضروری نہیں کہ ایک ہی انڈاشی تقسیم کے ساتھ ہو)، اور X کا کوئی بھی ذیلی سیٹ انڈاشی ہے۔ الپٹیکل ڈسٹری بیوشن کا استعمال اعداد و شمار اور معاشیات میں کیا جاتا ہے۔ ریاضیاتی معاشیات میں، ریاضیاتی مالیات میں محکموں کو بیان کرنے کے لیے انڈاکار تقسیم کا استعمال کیا گیا ہے۔ شماریات: عمومی کثیر متغیر تجزیہ اعداد و شمار میں، کثیر متغیر معمول کی تقسیم (گاؤس کی) کلاسیکی کثیر متغیر تجزیہ میں استعمال ہوتی ہے، جس میں تخمینہ اور مفروضے کی جانچ کے زیادہ تر طریقے معمول کی تقسیم کے لیے متحرک ہوتے ہیں۔ کلاسیکی ملٹی ویریٹ تجزیہ کے برعکس، عمومی ملٹی ویریٹ تجزیہ سے مراد معمول کی پابندی کے بغیر انڈاکار تقسیم پر تحقیق ہے۔ موزوں الپٹیکل تقسیم کے لیے، کچھ کلاسیکی طریقوں میں اچھی خصوصیات برقرار ہیں۔ محدود تغیرات کے مفروضوں کے تحت، کوچران کے نظریہ (کواڈریٹک شکلوں کی تقسیم پر) کی توسیع ہوتی ہے۔ گول تقسیم صفر اوسط اور اس شکل میں تغیر کے ساتھ ایک انڈاکار تقسیم جہاں شناخت میٹرکس ہے اسے گول تقسیم کہا جاتا ہے۔ کروی تقسیم کے لیے، پیرامیٹر-تخمینہ اور مفروضہ-جانچ ہولڈ پر کلاسیکی نتائج کو بڑھا دیا گیا ہے۔ اسی طرح کے نتائج لکیری ماڈلز کے لیے ہوتے ہیں، اور درحقیقت پیچیدہ ماڈلز کے لیے بھی (خاص طور پر گروتھ وکر ماڈل کے لیے)۔ ملٹی ویریٹ ماڈلز کا تجزیہ ملٹی لینیر الجبرا (خاص طور پر کرونکر پروڈکٹس اور ویکٹرائزیشن) اور میٹرکس کیلکولس کا استعمال کرتا ہے۔ مضبوط اعداد و شمار: غیر علامتی تقسیم کا ایک اور استعمال مضبوط اعداد و شمار میں ہے، جس میں محققین اس بات کی جانچ کرتے ہیں کہ اعداد و شمار کے طریقہ کار انڈاکار تقسیم کی کلاس پر کس طرح کارکردگی کا مظاہرہ کرتے ہیں، تاکہ اس سے بھی زیادہ عام مسائل پر طریقہ کار کی کارکردگی کے بارے میں بصیرت حاصل کی جا سکے، مثال کے طور پر اعداد و شمار کے محدود نظریہ ("غیر علامتی") کا استعمال کرتے ہوئے۔ پورٹ فولیو تھیوری میں معاشیات اور مالیات ایلیپٹیکل ڈسٹری بیوشن اہم ہیں کیونکہ، اگر پورٹ فولیو کی تشکیل کے لیے دستیاب تمام اثاثوں پر ریٹرن مشترکہ طور پر ایلیپٹک طور پر تقسیم کیے جاتے ہیں، تو تمام پورٹ فولیو کو ان کے مقام اور پیمانے سے مکمل طور پر نمایاں کیا جا سکتا ہے-یعنی، پورٹ فولیو ریٹرن کے یکساں مقام اور پیمانے والے کسی بھی دو پورٹ فولیو میں پورٹ فولیو ریٹرن کی یکساں تقسیم ہوتی ہے۔ پورٹ فولیو تجزیہ کی مختلف خصوصیات، بشمول میوچل فنڈ علیحدگی تھیوریمز اور کیپٹل ایسیٹ پرائسنگ ماڈل، تمام الپٹیکل ڈسٹری بیوشن کے لیے موزوں ہیں۔ نوٹس حوالہ جات اصل میں مزید پڑھنا کاغذات کا مجموعہ۔ امکانات کی تقسیم کی اقسام لوکیشن اسکیل فیملی امکانات کی تقسیم ملٹی ویریٹ اعدادوشمار عام تقسیم