Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
جیا، کوٹی جیا اور اتکرم جیا تین مثلثی افعال ہیں جنہیں ہندوستانی ریاضی دانوں اور ماہرین فلکیات نے متعارف کرایا ہے۔ ان افعال کے حوالے پر مشتمل سب سے قدیم ہندوستانی مقالہ سوریہ سدھانت ہے۔ یہ حلقوں کے آرکس کے افعال ہیں نہ کہ زاویوں کے افعال۔ جیا اور کوٹی جیا کا سائن اور کوسین کے جدید مثلثی افعال سے گہرا تعلق ہے۔ درحقیقت، "سائن" اور "کوسین" کی جدید اصطلاحات کی ابتدا سنسکرت کے الفاظ جیا اور کوٹی جیا سے ہوئی ہے۔ تعریف 'آرک اے بی' ایک ایسے آرک کی نشاندہی کرتا ہے جس کے دو سرے مرکز او کے ساتھ دائرے کے اے اور بی ہیں۔ اگر کسی عمودی بی ایم کو بی سے او اے میں گرایا جائے تو: آرک اے بی کا جیا = آرک اے بی کا بی ایم کوٹی جیا = آرک اے بی کا او ایم اتکرما جیا = ایم اے اگر دائرے کا رداس آر ہے اور آرک اے بی کی لمبائی ایس ہے، تو آرک اے بی کے ذریعے ریڈینس میں ماپا جانے والا زاویہ θ = s/R ہے۔ تین ہندوستانی افعال جدید مثلثی افعال سے درج ذیل تعلق رکھتے ہیں: جیا (آرک اے بی) = آر سن (ایس/آر) کوٹی جیا (آرک اے بی) = آر کوس (ایس/آر) اتکرما جیا (آرک اے بی) = آر (1-کوس (ایس/آر) دائرے کے آرک کے دو سروں کو جوڑنے والی سیدھی لکیر کمان کے تار کی طرح ہوتی ہے اور یہ لکیر دائرے کی ایک تار ہوتی ہے۔ اس تانے بانے کو جیا کہا جاتا ہے جس کا سنسکرت میں مطلب "کمان کی تار" ہے، غالبا اسی معنی کے ساتھ ہپارکس کا ترجمہ کرتا ہے۔ جیومیٹریکل ادب میں لفظ جیو کو جیا کے مترادف کے طور پر بھی استعمال کیا جاتا ہے۔ کسی وقت، ہندوستانی ماہرین فلکیات اور ریاضی دانوں نے محسوس کیا کہ گنتی زیادہ آسان ہوگی اگر کوئی مکمل کورڈز کے بجائے کورڈز کے آدھے حصے کا استعمال کرے اور نصف کورڈز کو آرکس کے آدھے حصوں سے منسلک کرے۔ نصف راگوں کو اردھ-جیاس یا جیا-اردھ کہا جاتا تھا۔ ان اصطلاحات کو کوالیفائر اردھا کو چھوڑ کر ایک بار پھر مختصر کر کے جیا کر دیا گیا جس کا مطلب "آدھا" ہے۔ سنسکرت لفظ کوٹی کے معنی "نقطہ، چوٹی"، اور خاص طور پر "کمان کا مڑے ہوئے سرے" کے ہیں۔ مثلثیات میں، یہ "90° پر ایک آرک کی تکمیل" کو ظاہر کرنے کے لیے آیا۔ اس طرح کوٹی جیا "تکمیلی آرک کا جیا" ہے۔ ہندوستانی مقالہ جات میں، خاص طور پر تبصروں میں، کوٹی جیا کو اکثر کوجیہ کے طور پر مختصر کیا جاتا ہے۔ کوٹی کی اصطلاح "دائیں زاویہ والے مثلث کی طرف" کو بھی ظاہر کرتی ہے۔ اس طرح کوٹی جیا کا مطلب دائیں مثلث کا دوسرا کیتھیٹس بھی ہو سکتا ہے، پہلا کیتھیٹس جیا ہے۔ اتکرما کا مطلب ہے "الٹا"، اس طرح اتکرما جیا کا مطلب ہے "الٹا تان"۔ اتکرم جیا کی ٹیبلولر اقدار کو ریڈیئس سے عناصر کو الٹی ترتیب میں گھٹا کر جیا کی ٹیبلولر اقدار سے اخذ کیا جاتا ہے۔ یہ واقعی کمان اور کمان کے تار کے درمیان تیر ہے اور اس لیے اسے بان، اسو یا شرا بھی کہا جاتا ہے جس کا مطلب "تیر" ہے۔ دائرے کا ایک آرک جو مرکز میں 90° کے زاویے کو نیچے کرتا ہے اسے ورت پاڈا (دائرے کا چوتھائی حصہ) کہا جاتا ہے۔ ہر رقم کی علامت 30° کے آرک کی وضاحت کرتی ہے اور لگاتار تین رقم کی علامتیں ورت پاڈا کی وضاحت کرتی ہیں۔ ورت پاڈا کا جیا دائرے کا رداس ہوتا ہے۔ ہندوستانی ماہرین فلکیات نے بنیادی دائرے کے رداس کو ظاہر کرنے کے لیے تری جیا کی اصطلاح تیار کی، تری جیا کی اصطلاح "تین علامتوں کے جیا" کی نشاندہی کرتی ہے۔ رداس کو ویاسردھا، وشکمبھاردھا، وستراردھا وغیرہ بھی کہا جاتا ہے، ان سب کا مطلب "نیم قطر" ہے۔ ایک روایت کے مطابق، جیا اور کوٹی جیا افعال کو بالترتیب "رسین" اور "آرکوس" سے ظاہر کیا جاتا ہے جسے واحد الفاظ کے طور پر مانا جاتا ہے۔ دوسرے جئے اور کوٹی جئے کو بالترتیب "سن" اور "کوس" سے ظاہر کرتے ہیں (پہلے حروف عام سائن اور کوسین افعال میں چھوٹے حروف ہونے کے برخلاف بڑے حروف ہوتے ہیں)۔ جیا سے سائن تک جدید اصطلاح سائن کی ابتدا سنسکرت لفظ، یا زیادہ خاص طور پر اس کے مترادف سے ہوئی ہے۔ یہ اصطلاح قرون وسطی کے اسلامی ریاضی میں اپنائی گئی تھی، جس کا عربی میں ترجمہ (جبل) کیا گیا تھا۔ چونکہ عربی مختصر سروں کے بغیر لکھی جاتی ہے-اور ایک ادھار کے طور پر طویل سر کو یہاں یا کے ساتھ ظاہر کیا گیا ہے-اس کی تشریح ہوموگراف، (جائب) کے طور پر کی گئی تھی، جس کا مطلب ہے "چھاتی"۔ متن کے 12 ویں صدی کے لاطینی مترجم نے "بوسوم"، سینوس کے لیے لاطینی مساوی استعمال کیا۔ جب یہ بن گیا، تو یہ تجویز کیا گیا ہے کہ مشابہت سے کو-سینس بن گیا۔ تاہم، قرون وسطی کی ابتدائی تحریروں میں، کوسائن کو "تکمیل کا سائن" کہا جاتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ اس سے مماثلت اتفاق ہے۔ یہ بھی دیکھیں ورسین حوالہ جات مثلثی افعال ہندوستانی ریاضی سنسکرت الفاظ اور فقرے ہندو فلکیات کیرالہ فلکیات اور ریاضی کا اسکول ریاضی کی تاریخ