Pochhammer contour
ریاضی میں، پوچھیمر کنٹور، جو اور کے ذریعہ متعارف کرایا گیا ہے، پیچیدہ سطح میں ایک کنٹور ہے جس میں دو پوائنٹس کو ہٹا دیا گیا ہے، جو کنٹور انضمام کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ اگر A اور B دونوں نکات کے ارد گرد لوپس ہیں، دونوں کسی مقررہ نقطہ P سے شروع ہوتے ہیں، تو پوچھیمر کنٹور کمیونیٹر ABA−1B−1 ہے، جہاں سپر اسکرپٹ −1 مخالف سمت میں لیے گئے راستے کی نشاندہی کرتا ہے۔ 0 اور 1 کے طور پر لیے گئے دو نکات کے ساتھ، فکسڈ بیس پوائنٹ P ان کے درمیان حقیقی محور پر ہونے کی وجہ سے، ایک مثال وہ راستہ ہے جو P سے شروع ہوتا ہے، گھڑی کی مخالف سمت میں نقطہ 1 کو گھیرے میں لیتا ہے اور P کی طرف لوٹتا ہے، پھر 0 کو گھڑی کی مخالف سمت میں گھیرے میں لیتا ہے اور P کی طرف لوٹتا ہے، اس کے بعد P پر واپس آنے سے پہلے 1 اور پھر 0 گھڑی کی سمت چکر لگاتا ہے۔ کنٹور کی کلاس ایک حقیقی کمیونیٹر ہے جب اسے بنیادی گروپ میں سمجھا جاتا ہے جس میں بیس پوائنٹ P کے ساتھ دو نکات کے پیچیدہ طیارہ (یا ریمن دائرے) میں تکمیل ہوتی ہے۔ جب کنٹور انٹیگرلز لینے کی بات آتی ہے تو بیس پوائنٹ کو P سے دوسرے انتخاب Q پر منتقل کرنے سے نتیجہ میں کوئی فرق نہیں پڑتا ہے، کیونکہ P سے Q اور پیچھے انٹیگرلز کی منسوخی ہوگی۔ ہومولوگس ٹو زیرو لیکن ہوموٹوپک ٹو زیرو نہیں۔ دوگنا پنکچر والے سطح کے اندر یہ منحنی خطوط ہومولوگس ٹو زیرو ہوتے ہیں لیکن ہوموٹوپک ٹو زیرو نہیں ہوتے۔ کسی بھی نقطہ کے بارے میں اس کا گھومنے والا نمبر 0 ہے اس حقیقت کے باوجود کہ دوگنا پنکچر والے سطح کے اندر اسے کسی ایک نقطہ تک سکڑا نہیں جا سکتا۔ ایپلی کیشنز بیٹا فنکشن یولر کے انٹیگرل کے ذریعہ دیا جاتا ہے بشرطیکہ α اور β کے حقیقی حصے مثبت ہوں، جنہیں پوچھیمر کنٹور C پر ایک انٹیگرل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے کیونکہ کنٹور انٹیگرل α اور β کی تمام اقدار کے لیے یکجا ہوتا ہے اور اس طرح بیٹا فنکشن کا تجزیاتی تسلسل فراہم کرتا ہے۔ اسی طرح کا طریقہ ہائپر جیومیٹرک فنکشن کے لیے یولر کے انٹیگرل پر لاگو کیا جا سکتا ہے تاکہ اس کا تجزیاتی تسلسل دیا جا سکے۔ نوٹس حوالہ جات خصوصی افعال