Pompeiu derivative
ریاضیاتی تجزیے میں، پومپیو مشتق ایک حقیقی متغیر کا حقیقی قدر والا فعل ہے جو ہر جگہ تفریق پذیر فعل کا مشتق ہے اور جو گھنے سیٹ میں غائب ہو جاتا ہے۔ خاص طور پر، ایک پومپیو مشتق ہر نقطہ پر متضاد ہے جہاں یہ 0 نہیں ہے۔ آیا غیر یکساں طور پر صفر اس طرح کے افعال موجود ہو سکتے ہیں، یہ ایک مسئلہ تھا جو 1900 کی دہائی کے اوائل میں فنکشنل تفریق اور انضمام پر تحقیق کے تناظر میں پیدا ہوا تھا۔ اس سوال کا مثبت جواب دمتری پومپیو نے ایک واضح مثال بنا کر دیا تھا ؛ اس لیے ان افعال کا نام ان کے نام پر رکھا گیا ہے۔ پومپیو کی تعمیر پومپیو کی تعمیر یہاں بیان کی گئی ہے۔ آئیے حقیقی عدد کے حقیقی مکعب جڑ کو ظاہر کرتے ہیں۔ اکائی وقفہ میں عقلی اعداد کی گنتی ہونے دیں۔ اس کے ساتھ مثبت حقیقی اعداد ہونے دیں۔ ہر ایک کے لیے، سیریز کی ہر اصطلاح مطلق قدر سے کم یا برابر ہوتی ہے، لہذا سیریز یکساں طور پر ویئراسٹراس ٹیسٹ کے ذریعے ایک مسلسل، سختی سے بڑھتے ہوئے فنکشن میں بدل جاتی ہے۔ مزید برآں، یہ پتہ چلتا ہے کہ فنکشن تفریق پذیر ہے، ہر نقطہ پر جہاں مجموعہ محدود ہے ؛ نیز، دوسرے تمام نکات پر، خاص طور پر، ہر ایک پر، ایک ہے۔ چونکہ کی تصویر ایک بند پابند وقفہ ہے جس کے انتخاب تک بائیں اختتامی نقطہ کے ساتھ، ہم فرض کر سکتے ہیں اور ایک ضرب عنصر کے انتخاب تک ہم فرض کر سکتے ہیں کہ وقفہ خود پر نقش کرتا ہے۔ چونکہ یہ سختی سے بڑھ رہا ہے اس لیے یہ انجیکشن ہے، اور اس لیے ایک ہومومورفزم ہے ؛ اور الٹا فنکشن کی تفریق کے نظریہ کے مطابق، اس کے الٹا ہر نقطہ پر ایک محدود مشتق ہے، جو کم از کم ان نکات پر غائب ہو جاتا ہے۔ یہ ایک گھنے ذیلی سیٹ کی تشکیل کرتے ہیں (دراصل، یہ بہت سے دوسرے نکات میں غائب ہو جاتا ہے ؛ نیچے دیکھیں)۔ یہ معلوم ہے کہ ہر جگہ تفریق پذیر فنکشن (اور زیادہ عام طور پر، کسی بھی بائر کلاس ون فنکشن کا) کے مشتق کا صفر سیٹ حقیقی لائن کا ایک ذیلی سیٹ ہے۔ تعریف کے مطابق، کسی بھی پومپیو فنکشن کے لیے، یہ سیٹ ایک گھنے سیٹ ہے ؛ اس لیے یہ ایک بقایا سیٹ ہے۔ خاص طور پر، اس میں بے شمار پوائنٹس ہوتے ہیں۔ پومپیو افعال کا ایک لکیری مجموعہ ایک مشتق ہے، اور سیٹ پر غائب ہو جاتا ہے، جو بائر زمرہ تھیوریم کا ایک گھنے سیٹ ہے۔ اس طرح، پومپیو افعال افعال کی ایک ویکٹر جگہ بناتے ہیں۔ پومپیو مشتقات کی یکساں طور پر متغیر ترتیب کا ایک محدود فعل ایک پومپیو مشتق ہے۔ درحقیقت، یہ مشتق کی علامت کے تحت حد کے نظریہ کی وجہ سے مشتق ہے۔ مزید برآں، یہ ترتیب کے افعال کے صفر سیٹوں کے چوراہے میں غائب ہو جاتا ہے: چونکہ یہ گھنے سیٹ ہیں، اس لیے حد فنکشن کا صفر سیٹ بھی گھنے ہوتے ہیں۔ نتیجے کے طور پر، ایک وقفے پر تمام باؤنڈڈ پومپیو مشتقات کی کلاس یکساں فاصلے کے تحت تمام باؤنڈڈ افعال کی بناچ اسپیس کی ایک بند لکیری ذیلی جگہ ہے (لہذا، یہ ایک بناچ اسپیس ہے)۔ پومپیو کی مثبت فنکشن کی مذکورہ بالا تعمیر پومپیو کے فنکشن کی ایک عجیب مثال ہے: ویل کا ایک نظریہ بیان کرتا ہے کہ عام طور پر ایک پومپیو مشتق گھنے سیٹوں میں مثبت اور منفی دونوں اقدار کو فرض کرتا ہے، عین معنی میں کہ اس طرح کے افعال بناچ اسپیس کے بقایا سیٹ کی تشکیل کرتے ہیں۔ حوالہ جات اینڈریو ایم بروکنر، "حقیقی افعال کی تفریق" ؛ سی آر ایم مونوگراف سیریز، مونٹریال (1994)۔ حقیقی تجزیہ