Functional renormalization group
نظریاتی طبیعیات میں، فنکشنل ری نارملائزیشن گروپ (ایف آر جی) ری نارملائزیشن گروپ (آر جی) تصور کا نفاذ ہے جو کوانٹم اور شماریاتی فیلڈ تھیوری میں استعمال ہوتا ہے، خاص طور پر جب مضبوطی سے تعامل کرنے والے نظاموں سے نمٹا جائے۔ یہ طریقہ کوانٹم فیلڈ تھیوری کے فنکشنل طریقوں کو کینتھ جی ولسن کے بدیہی ری نارملائزیشن گروپ آئیڈیا کے ساتھ جوڑتا ہے۔ یہ تکنیک معلوم خوردبین قوانین اور جسمانی نظاموں میں پیچیدہ میکروسکوپک مظاہر کے درمیان آسانی سے انٹرپولیٹ کرنے کی اجازت دیتی ہے۔ اس لحاظ سے، یہ مائیکرو فزکس کی سادگی سے میکرو فزکس کی پیچیدگی کی طرف منتقلی کو ختم کرتا ہے۔ علامتی طور پر، ایف آر جی متغیر ریزولوشن کے ساتھ خوردبین کے طور پر کام کرتا ہے۔ ایک معروف مائیکرو فزیکل قوانین کی اعلی ریزولوشن والی تصویر سے شروع ہوتا ہے اور اس کے بعد میکروسکوپک اجتماعی مظاہر کی موٹے دانوں والی تصویر حاصل کرنے کے لیے ریزولوشن کو کم کرتا ہے۔ یہ طریقہ غیر متغیر ہے، جس کا مطلب ہے کہ یہ ایک چھوٹے سے جوڑے کے مستقل میں توسیع پر انحصار نہیں کرتا ہے۔ ریاضیاتی طور پر، ایف آر جی پیمانے پر منحصر موثر عمل کے لیے ایک عین مطابق فنکشنل تفریق مساوات پر مبنی ہے۔ مؤثر عمل کے لیے بہاؤ کی مساوات کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، موثر عمل کلاسیکی ایکشن فنکشنل کا ایک ینالاگ ہے اور کسی دیئے گئے نظریہ کے شعبوں پر منحصر ہے۔ اس میں تمام کوانٹم اور تھرمل اتار چڑھاؤ شامل ہیں۔ پیداوار میں تغیر درست کوانٹم فیلڈ مساوات، مثال کے طور پر کاسمولوجی یا سپر کنڈکٹرز کے الیکٹروڈائنامکس کے لیے۔ ریاضیاتی طور پر، ایک ذرہ کے ناقابل کٹوتی فائن مین خاکے کا پیدا کرنے والا فنکشنل ہے۔ دلچسپ طبیعیات، بطور پروپیگیٹر اور تعاملات کے لیے موثر جوڑے، اس سے سیدھے طور پر نکالا جا سکتا ہے۔ تاہم، ایک عام انٹرایکٹنگ فیلڈ تھیوری میں موثر عمل حاصل کرنا مشکل ہے۔ ایف آر جی ری نارملائزیشن گروپ کے تصور کو استعمال کرتے ہوئے حساب لگانے کے لیے ایک عملی ٹول فراہم کرتا ہے۔ ایف آر جی میں مرکزی آبجیکٹ ایک پیمانے پر منحصر موثر ایکشن فنکشنل ہے جسے اکثر اوسط ایکشن یا فلوئنگ ایکشن کہا جاتا ہے۔ آر جی سلائڈنگ پیمانے پر انحصار کو مکمل الٹا پروپیگیٹر میں ریگولیٹر (انفراریڈ کٹ آف) شامل کرکے متعارف کرایا جاتا ہے۔ موٹے طور پر، ریگولیٹر مومینٹا کے ساتھ سست طریقوں کو ایک بڑا ماس دے کر ڈیکپل کرتا ہے، جبکہ ہائی مومنٹم طریقے متاثر نہیں ہوتے ہیں۔ اس طرح، مومینٹا کے ساتھ تمام کوانٹم اور شماریاتی اتار چڑھاؤ شامل ہیں۔ بہتا ہوا عمل 1993 میں کرسٹوف ویٹٹریچ اور ٹم آر مورس کے ذریعہ اخذ کردہ عین مطابق فعال بہاؤ کے مساوات کی پابندی کرتا ہے۔ یہاں فیلڈز کی مقررہ اقدار پر آر جی پیمانے کے حوالے سے مشتق کی نشاندہی ہوتی ہے۔ مزید برآں، مساوات کے ٹینسر ڈھانچے کی وجہ سے بالترتیب بائیں ہاتھ کی طرف اور دائیں ہاتھ کی طرف سے فنکشنل مشتق کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس خصوصیت کو اکثر موثر عمل کے دوسرے مشتق کے ذریعے آسان بنایا جاتا ہے۔ کے لیے فنکشنل تفریق مساوات کو ابتدائی حالت کے ساتھ مکمل کیا جانا چاہیے، جہاں "کلاسیکی عمل" خوردبین بالائے بنفشی پیمانے پر طبیعیات کو بیان کرتا ہے۔ اہم بات یہ ہے کہ اورکت کی حد میں مکمل موثر عمل حاصل کیا جاتا ہے۔ ویٹٹریچ مساوات میں ایک سپر ٹریس کی نشاندہی کی جاتی ہے جو مومینٹا، فریکوئنسیز، اندرونی انڈیکس، اور فیلڈز (پلس کے ساتھ بوسون اور مائنس سائن کے ساتھ فرمینز لینا) کا مجموعہ ہے۔ کے لیے عین مطابق بہاؤ کی مساوات میں ایک لوپ ڈھانچہ ہوتا ہے۔ یہ پرٹربیشن تھیوری کے مقابلے میں ایک اہم آسان کاری ہے، جہاں ملٹی لوپ ڈایگرام شامل کیے جانے چاہئیں۔ دوسرا فنکشنل مشتق مکمل الٹا فیلڈ پروپیگیٹر ہے جو ریگولیٹر کی موجودگی سے تبدیل ہوتا ہے۔ ری نارملائزیشن گروپ ارتقاء کو تھیوری اسپیس میں واضح کیا جا سکتا ہے، جو کہ تمام ممکنہ چل رہے جوڑوں کی ایک کثیر جہتی جگہ ہے جس کی اجازت مسئلہ کی ہم آہنگی کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ جیسا کہ شکل میں خاکہ میں دکھایا گیا ہے، خوردبین بالائے بنفشی پیمانے پر ابتدائی حالت سے شروع ہوتا ہے۔ جیسے جیسے سلائڈنگ اسکیل کو کم کیا جاتا ہے، بہتا ہوا عمل فنکشنل فلو مساوات کے مطابق تھیوری اسپیس میں تیار ہوتا ہے۔ ریگولیٹر کا انتخاب منفرد نہیں ہے، جو ری نارملائزیشن گروپ کے بہاؤ میں کچھ اسکیم کا انحصار متعارف کراتا ہے۔ اس وجہ سے، ریگولیٹر کے مختلف انتخاب اعداد و شمار کے مختلف راستوں سے مطابقت رکھتے ہیں۔ تاہم، اورکت پیمانے پر، کٹ آف کے ہر انتخاب کے لیے مکمل موثر عمل بازیافت کیا جاتا ہے، اور تمام راستے تھیوری اسپیس میں ایک ہی مقام پر ملتے ہیں۔ دلچسپی کے زیادہ تر معاملات میں ویٹٹریچ مساوات کو صرف تقریبا حل کیا جا سکتا ہے۔ عام طور پر کسی قسم کی توسیع کی جاتی ہے، جسے پھر محدود ترتیب میں کاٹ دیا جاتا ہے جس کے نتیجے میں عام تفریقی مساوات کا ایک محدود نظام بنتا ہے۔ مختلف منظم توسیعی اسکیمیں (جیسے مشتق توسیعی، ورٹیکس توسیعی وغیرہ) تیار کیا گیا۔ مناسب اسکیم کا انتخاب جسمانی طور پر حوصلہ افزا ہونا چاہیے اور اس کا انحصار کسی دیئے گئے مسئلے پر ہونا چاہیے۔ توسیع میں لازمی طور پر ایک چھوٹا پیرامیٹر شامل نہیں ہوتا ہے (جیسے ایک تعامل جوڑی مستقل) اور اس طرح وہ عام طور پر غیر متغیر نوعیت کے ہوتے ہیں۔ تاہم، نوٹ کریں کہ (پری فیکٹر-) کنونشنوں کے حوالے سے متعدد انتخاب اور موثر عمل کی ٹھوس تعریف کی وجہ سے، ادب میں ویٹٹریچ مساوات کے دوسرے (مساوی) ورژن مل سکتے ہیں۔ فنکشنل ری نارملائزیشن کے پہلو ویٹٹریچ فلو مساوات ایک عین مطابق مساوات ہے۔ تاہم، عملی طور پر، فنکشنل تفریق مساوات کو کاٹنا ضروری ہے، یعنی۔ اسے چند متغیرات کے افعال یا یہاں تک کہ کسی محدود جہتی ذیلی نظریہ کی جگہ پر پیش کیا جانا چاہیے۔ جیسا کہ ہر غیر متغیر طریقہ کار میں، فنکشنل ری نارملائزیشن میں غلطی کے تخمینے کا سوال غیر معمولی ہے۔ ایف آر جی میں غلطی کا اندازہ لگانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ مسلسل مراحل میں کٹوتی کو بہتر بنایا جائے، یعنی۔ زیادہ سے زیادہ چل رہے جوڑوں کو شامل کرکے ذیلی نظریہ کی جگہ کو بڑھانا۔ مختلف تراشوں کے بہاؤ میں فرق غلطی کا ایک اچھا تخمینہ دیتا ہے۔ متبادل طور پر، کوئی بھی دی گئی (فکسڈ) کٹوتی میں مختلف ریگولیٹر افعال کا استعمال کر سکتا ہے اور متعلقہ ریگولیٹر کے انتخاب کے لیے انفراریڈ میں آر جی کے بہاؤ کے فرق کا تعین کر سکتا ہے۔ اگر بوسونائزیشن کا استعمال کیا جاتا ہے، تو کوئی بھی بوسونائزیشن کے مختلف طریقہ کار کے حوالے سے حتمی نتائج کی بے حسی کی جانچ کر سکتا ہے۔ ایف آر جی میں، تمام آر جی طریقوں کی طرح، کسی جسمانی نظام کے بارے میں بہت زیادہ بصیرت آر جی بہاؤ کی ٹوپولوجی سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ خاص طور پر، ری نارملائزیشن گروپ ارتقاء کے مقررہ نکات کی شناخت بہت اہمیت کی حامل ہے۔ فکسڈ پوائنٹس کے قریب رننگ جوڑے کا بہاؤ مؤثر طریقے سے رک جاتا ہے اور آر جی فنکشنز صفر تک پہنچ جاتے ہیں۔ (جزوی طور پر) مستحکم اورکت فکسڈ پوائنٹس کی موجودگی عالمگیریت کے تصور سے قریب سے جڑی ہوئی ہے۔ عالمگیریت خود کو اس مشاہدے میں ظاہر کرتی ہے کہ کچھ بہت ہی الگ جسمانی نظاموں کا ایک ہی تنقیدی طرز عمل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اچھی درستگی کے لیے، پانی میں مائع گیس کے مرحلے کی منتقلی اور مقناطیس میں فیرومیگنیٹک مرحلے کی منتقلی کے اہم اجزاء ایک جیسے ہوتے ہیں۔ ری نارملائزیشن گروپ زبان میں، ایک ہی عالمگیریت کلاس سے مختلف نظام ایک ہی (جزوی طور پر) مستحکم اورکت فکسڈ پوائنٹ کی طرف بہتے ہیں۔ اس طرح میکرو فزکس مخصوص فزیکل ماڈل کی خوردبین تفصیلات سے آزاد ہو جاتی ہے۔ پرٹربیشن تھیوری کے مقابلے میں، فنکشنل ری نارملائزیشن ری نارمل ایبل اور نان نارمل ایبل جوڑوں کے درمیان سخت فرق نہیں کرتی ہے۔ تمام چل رہے جوڑے جو مسئلہ کی ہم آہنگی کے ذریعہ اجازت دیتے ہیں وہ ایف آر جی کے بہاؤ کے دوران پیدا ہوتے ہیں۔ تاہم، غیر معمولی جوڑے اورکت کی طرف ارتقاء کے دوران جزوی فکسڈ پوائنٹس تک بہت تیزی سے پہنچ جاتے ہیں، اور اس طرح یہ بہاؤ مؤثر طریقے سے طول و عرض کی ہائپر سرفیس پر گر جاتا ہے جو کہ دوبارہ غیر معمولی جوڑوں کی تعداد سے دیا جاتا ہے۔ غیر معمولی جوڑوں کو مدنظر رکھنا غیر عالمگیر خصوصیات کا مطالعہ کرنے کی اجازت دیتا ہے جو خوردبین عمل کے ٹھوس انتخاب اور محدود بالائے بنفشی کٹ آف کے لیے حساس ہیں۔ ویٹٹریچ مساوات پولچنسکی فنکشنل مساوات کی لیجنڈری تبدیلی سے حاصل کی جا سکتی ہے، جو 1984 میں جوزف پولچنسکی نے اخذ کی تھی۔ ایف آر جی میں استعمال ہونے والے موثر اوسط عمل کا تصور، تاہم، پولچنسکی مساوات میں بہتے ہوئے ننگے عمل سے زیادہ بدیہی ہے۔ اس کے علاوہ، ایف آر جی طریقہ عملی حساب کے لیے زیادہ موزوں ثابت ہوا۔ عام طور پر، مضبوطی سے تعامل کرنے والے نظاموں کی کم توانائی والی طبیعیات کو میکروسکوپک ڈگری آف فریڈم (یعنی۔ ذرہ محرکات) جو مائکروسکوپک ہائی انرجی ڈگری آف فریڈم سے بہت مختلف ہیں۔ مثال کے طور پر، کوانٹم کروموڈینامکس انٹرایکٹنگ کوارک اور گلوون کا ایک فیلڈ تھیوری ہے۔ تاہم، کم توانائیوں پر، آزادی کی مناسب ڈگریوں میں بیریون اور میسون ہوتے ہیں۔ ایک اور مثال گھنے مادے کی طبیعیات میں بی ای سی/بی سی ایس کراس اوور کا مسئلہ ہے۔ اگرچہ خوردبین نظریہ کی تعریف دو اجزاء کے غیر رشتہ دار فرمین کے لحاظ سے کی گئی ہے، لیکن کم توانائیوں پر ایک جامع (ذرہ-ذرہ) ڈائمر ایک اضافی ڈگری آف فریڈم بن جاتا ہے، اور اسے واضح طور پر ماڈل میں شامل کرنے کا مشورہ دیا جاتا ہے۔ آزادی کی کم توانائی کی جامع ڈگریوں کو جزوی بوسونائزیشن (ہبارڈ-اسٹراٹونوویچ ٹرانسفارمیشن) کے طریقہ کار کے ذریعے تفصیل میں متعارف کرایا جا سکتا ہے۔ تاہم، یہ تبدیلی یو وی پیمانے پر ایک بار اور ہمیشہ کے لیے کی جاتی ہے۔ ایف آر جی میں میکروسکوپک ڈگری آف فریڈم کو شامل کرنے کا ایک زیادہ موثر طریقہ متعارف کرایا گیا، جسے فلوئنگ بوسونائزیشن یا ریبوسونائزیشن کے نام سے جانا جاتا ہے۔ پیمانے پر منحصر فیلڈ ٹرانسفارمیشن کی مدد سے، یہ تمام آر جی پیمانوں پر مسلسل ہبارڈ-اسٹراٹونوویچ ٹرانسفارمیشن انجام دینے کی اجازت دیتا ہے۔ مؤثر عمل کے لیے بہاؤ کی مساوات کے برعکس، یہ اسکیم موثر تعامل کے لیے تیار کی گئی ہے جو این-پارٹیکل انٹرایکشن عمودی پیدا کرتی ہے، جسے ننگے پروپیگیٹرز کے ذریعے کاٹا جاتا ہے ؛ این-پارٹیکل گرین افعال کے لیے فعال پیدا کرنے والا "معیاری" ہے۔ گرین فنکشن کے حوالے سے موثر تعامل کی وک ترتیب کی تعریف اس طرح کی جا سکتی ہے۔ فیلڈ اسپیس میں لیپلاسیئن کہاں ہے۔ یہ عمل نارمل آرڈر سے ملتا جلتا ہے اور تعامل سے تمام ممکنہ اصطلاحات کو خارج کرتا ہے، جو متعلقہ گرین فنکشن ڈی کے ساتھ ماخذ فیلڈز کے ارتقاء سے تشکیل پاتے ہیں۔ کچھ کٹ آف متعارف کرانا پولچنسی مساوات وک آرڈرڈ مساوات کی شکل اختیار کرتی ہے جہاں ایپلی کیشنز طریقہ کار کا اطلاق طبیعیات میں متعدد مسائل پر کیا گیا تھا، جیسے۔ : شماریاتی فیلڈ تھیوری میں، ایف آر جی نے مختلف جہتوں میں کلاسیکی لکیری-سمیٹرک اسکیلر تھیوریوں میں فیز ٹرانزیشن کی ایک متحد تصویر فراہم کی، جس میں بیریزنسکی-کوسٹرلٹز-تھولس فیز ٹرانزیشن شامل ہیں۔ گیج کوانٹم فیلڈ تھیوری میں، مثال کے طور پر، ایف آر جی کا استعمال کیو سی ڈی کی چیرل مرحلے کی منتقلی اور اورکت خصوصیات اور اس کے بڑے ذائقے کی توسیع کی تحقیقات کے لیے کیا گیا تھا۔ گاڑھا مادے کی طبیعیات میں، یہ طریقہ جالی کے نمونوں کے علاج میں کامیاب ثابت ہوا (مثال کے طور پر۔ ہبارڈ ماڈل یا مایوس مقناطیسی نظام)، پسپا بوس گیس، دو اجزاء والی فرمی گیس کے لیے بی ای سی/بی سی ایس کراس اوور، کونڈو اثر، بے ترتیب نظام اور غیر مستحکم مظاہر۔ کشش ثقل پر ایف آر جی کے اطلاق نے چار خلائی طول و عرض میں کوانٹم کشش ثقل کی غیر غیر معمولی بحالی کے حق میں دلائل فراہم کیے، جسے غیر علامتی حفاظتی منظر نامے کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ریاضیاتی طبیعیات میں ایف آر جی کا استعمال مختلف فیلڈ تھیوریز کی ری نارملائزیشن کو ثابت کرنے کے لیے کیا جاتا تھا۔ یہ بھی دیکھیں کہ ری نارملائزیشن گروپ ری نارملائزیشن تنقیدی مظاہر اسکیل انویرینس کوانٹم کشش ثقل میں غیر علامتی حفاظت حوالہ جات پیپرز تدریسی جائزے شماریاتی میکانکس ری نارملائزیشن گروپ اسکیلنگ سمیٹریز فکسڈ پوائنٹس (ریاضی)