Container method
(ہائپر گراف) کنٹینرز کا طریقہ ایک طاقتور ٹول ہے جو مخصوص ڈھانچے کی خصوصیت میں مدد کر سکتا ہے اور/یا مقامی رکاوٹوں کے مقرر کردہ سیٹ کے ساتھ مجرد اشیاء کے خاندانوں کے بارے میں انتہائی سوالات کا جواب دے سکتا ہے۔ اس طرح کے سوالات قدرتی طور پر انتہائی گراف تھیوری، اضافی امتزاج، مجرد جیومیٹری، کوڈنگ تھیوری، اور رمسی تھیوری میں پیدا ہوتے ہیں۔ ان میں متعلقہ شعبوں کے کچھ انتہائی کلاسیکی مسائل شامل ہیں۔ ان مسائل کو مندرجہ ذیل شکل کے سوالات کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: ایج سیٹ کے ساتھ محدود ورٹیکس سیٹ پر ہائپر گراف دیا گیا ہے (یعنی۔ کچھ سائز کی رکاوٹوں کے ساتھ ذیلی سیٹوں کا مجموعہ)، ہم ان کے آزاد سیٹوں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں (یعنی۔ اس کے ان ذیلی مجموعوں میں کوئی عنصر نہیں ہے)؟ ہائپر گراف کنٹینر لیما اس طرح کے سوالات سے نمٹنے کے لیے ایک طریقہ فراہم کرتا ہے۔ تاریخ انتہائی گراف تھیوری کے بنیادی مسائل میں سے ایک، جو 1907 میں مینٹل اور 1940 کی دہائی سے ٹورن کے کام سے ملتا ہے، ان گرافوں کو نمایاں کرنے کے لیے کہتا ہے جن میں ذیلی گراف کے طور پر ممنوع کچھ فکسڈ کی کاپی نہیں ہوتی ہے۔ ایک مختلف ڈومین میں، اضافی امتزاج میں محرک سوالات میں سے ایک یہ سمجھنا ہے کہ انٹیجرز کا ایک مجموعہ کتنا بڑا ہو سکتا ہے جس میں-اصطلاح ریاضی کی ترقی شامل نہیں ہے، اس سائز پر اوپری حدود روتھ () اور زیمیرڈی (عام) کے ذریعہ دی گئی ہیں۔ کنٹینرز کا طریقہ (گراف میں) ابتدائی طور پر 1980 میں کلیٹ مین اور ونسٹن نے پیش کیا تھا، جنہوں نے 4 چکروں کے بغیر جالی اور گراف کی تعداد کو محدود کیا۔ کنٹینر طرز کے لیما کو متعدد ریاضی دانوں نے مختلف سیاق و سباق میں آزادانہ طور پر تیار کیا تھا، خاص طور پر ساپوزینکو سمیت، جنہوں نے ابتدائی طور پر اس نقطہ نظر کو 2002-2003 میں استعمال کیا تاکہ باقاعدہ گرافوں میں آزاد سیٹوں کی گنتی کی جا سکے، ابیلین گروپوں میں سم فری سیٹ، اور متعدد دیگر گنتی کے مسائل کا مطالعہ کیا جا سکے۔ ہائپر گراف کنٹینر لیما میں ان خیالات کی عمومی شکل 2015 میں سیکسٹن اور تھامسن اور بالوگ، مورس اور سموتیج نے آزادانہ طور پر وضع کی تھی، جو پچھلے متعدد متعلقہ کاموں سے متاثر تھی۔ مرکزی خیال اور غیر رسمی بیان امتزاج میں بہت سے مسائل کو گراف اور ہائپر گراف میں آزاد سیٹوں کے بارے میں سوالات کے طور پر دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ہم انٹیجرز کے ذیلی مجموعوں کو سمجھنا چاہتے ہیں، جن کی طرف ہم اشارہ کرتے ہیں کہ ان میں ریاضی کی ترقی کی کمی ہے۔ یہ سیٹ بالکل یکساں ہائپر گراف میں آزاد سیٹ ہیں، جہاں تمام مدتی ریاضی کی ترقی کا مجموعہ ہے۔ مندرجہ بالا (اور بہت سی دوسری) مثالوں میں، عام طور پر ہائپر گراف کے بارے میں درپیش مسائل کی دو قدرتی کلاسیں ہوتی ہیں: زیادہ سے زیادہ آزاد سیٹ کا سائز کیا ہے؟ زیادہ سے زیادہ سائز کے آزاد سیٹوں کا مجموعہ کیسا لگتا ہے؟ آزاد سیٹ کیسے ہو سکتے ہیں؟ ایک "عام" آزاد سیٹ کیسا لگتا ہے؟ یہ مسائل ایک سادہ مشاہدے سے جڑے ہوئے ہیں۔ فرض کریں کہ یہ سب سے بڑے آزاد سیٹ کا سائز ہے اور فرض کریں کہ اس میں آزاد سیٹ ہیں۔ پھر، جہاں نچلی حد زیادہ سے زیادہ آزاد سیٹ کے تمام ذیلی سیٹوں کو لے کر آگے بڑھتی ہے۔ یہ حدود ایک دوسرے سے نسبتا دور ہیں جب تک کہ بہت بڑی نہ ہوں، ہائپر گراف کے عمودی حصوں کی تعداد کے قریب ہوں۔ تاہم، بہت سے ہائپر گراف میں جو قدرتی طور پر مشترکہ مسائل میں پیدا ہوتے ہیں، ہمارے پاس یہ یقین کرنے کی وجہ ہے کہ نچلی حد حقیقی قدر کے قریب ہے ؛ اس طرح بنیادی مقصد اوپری حدود کو بہتر بنانا ہے۔ ہائپر گراف کنٹینر لیما ہائپر گراف میں آزاد سیٹوں کے خاندان کی ساخت اور سائز کو سمجھنے کے لیے ایک طاقتور نقطہ نظر فراہم کرتا ہے۔ اس کے بنیادی حصے میں، ہائپر گراف کنٹینر کا طریقہ ہمیں ہائپر گراف، کنٹینرز کا مجموعہ، عمودی حصوں کے ذیلی سیٹ سے نکالنے کے قابل بناتا ہے جو درج ذیل خصوصیات کو پورا کرتے ہیں: بہت زیادہ کنٹینر نہیں ہیں۔ ہر کنٹینر سب سے بڑے آزاد سیٹ سے زیادہ بڑا نہیں ہوتا ہے۔ ہر کنٹینر کے چند کنارے ہوتے ہیں۔ ہائپر گراف میں ہر آزاد سیٹ کسی نہ کسی کنٹینر میں مکمل طور پر شامل ہوتا ہے۔ نام کا کنٹینر اس آخری شرط کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ اس طرح کے کنٹینر اکثر آزاد سیٹوں (کنٹینرز کے ذیلی سیٹوں) کے خاندان کی خصوصیت اور ہائپر گراف کے آزاد سیٹوں کی گنتی (صرف کنٹینر کے تمام ممکنہ ذیلی سیٹوں پر غور کرکے) کے لیے ایک موثر نقطہ نظر فراہم کرتے ہیں۔ ہائپر گراف کنٹینر لیما مندرجہ بالا کنٹینر کو دو ٹکڑوں میں سڑتا ہے۔ یہ ایک تعیناتی فعل کی تعمیر کرتا ہے۔ پھر، یہ ایک الگورتھم فراہم کرتا ہے جو ہائپر گراف میں ہر آزاد سیٹ سے نکالتا ہے، عمودی کا ایک نسبتا چھوٹا مجموعہ، جسے فنگر پرنٹ کہا جاتا ہے، اس پراپرٹی کے ساتھ۔ پھر، کنٹینر ان سیٹوں کا مجموعہ ہوتے ہیں جو مندرجہ بالا عمل میں پیدا ہوتے ہیں، اور فنگر پرنٹس کا چھوٹا سائز ایسے کنٹینر سیٹوں کی تعداد پر اچھا کنٹرول فراہم کرتا ہے۔ گراف کنٹینر الگورتھم ہم سب سے پہلے گراف میں آزاد سیٹوں کی تعداد پر مضبوط اوپری حدود کو ظاہر کرنے کے لیے ایک طریقہ بیان کرتے ہیں۔ یہ نمائش سموتیج کے ایک سروے سے گراف کنٹینر کے طریقہ کار کے بارے میں ڈھالی گئی ہے، جسے اصل میں کلیٹ مین-ونسٹن اور ساپوزینکو نے استعمال کیا تھا۔ نوٹیشن ہم نیچے دیے گئے حصے میں درج ذیل نوٹیشن استعمال کرتے ہیں۔ عمودی پر ایک گراف ہے، جہاں عمودی سیٹ (صوابدیدی) ترتیب سے لیس ہے۔ سائز کے ساتھ آزاد سیٹوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ سائز کے آزاد سیٹوں کی تعداد ہونے دیں۔ ورٹیکس سب سیٹ کی زیادہ سے زیادہ ڈگری ترتیب انڈیوسڈ سب گراف میں ان کی ڈگری کے لحاظ سے عمودی ترتیب ہے۔ کلیٹ مین-ونسٹن الگورتھم مندرجہ ذیل الگورتھم گراف میں ہر آزاد سیٹ کے لیے ایک چھوٹا سا "فنگر پرنٹ" اور فنگر پرنٹ کا ایک فیصلہ کن فنکشن دیتا ہے تاکہ ایک بہت بڑا ذیلی سیٹ بنایا جا سکے جس میں پورا آزاد سیٹ فکس گراف، آزاد سیٹ اور مثبت عدد شامل ہو۔ شروع کریں: جانے دیں۔ اس کے لیے تکرار کریں: کم سے کم اشاریہ تلاش کریں کی زیادہ سے زیادہ ڈگری ترتیب اس طرح بنائیں کہ (یعنی۔ انڈیوسڈ سب گراف میں سب سے بڑی ڈگری کا ورٹیکس) چلو، ورٹیکس کا پڑوس کہاں ہے۔ ویکٹر اور ورٹیکس سیٹ کو آؤٹ پٹ کریں۔ تجزیہ تعمیر کے ذریعہ، مذکورہ بالا الگورتھم کی آؤٹ پٹ میں ایسی خاصیت ہوتی ہے کہ، یہ نوٹ کرتے ہوئے کہ یہ ایک ورٹیکس سب سیٹ ہے جس کا تعین مکمل طور پر ہوتا ہے اور بصورت دیگر اس کا فنکشن نہیں ہوتا ہے۔ اس پر زور دینے کے لیے ہم لکھیں گے۔ ہم یہ بھی مشاہدہ کرتے ہیں کہ ہم صرف ویکٹر سے مذکورہ بالا الگورتھم میں سیٹ کو دوبارہ تشکیل دے سکتے ہیں۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ فنگر پرنٹ کا ایک اچھا انتخاب اور کنٹینر کے لیے ایک اچھا انتخاب ہو سکتا ہے۔ مزید واضح طور پر، ہم آؤٹ پٹ ترتیبات کے مجموعے کے طور پر کسی سائز کے آزاد سیٹوں کی تعداد کو پابند کر سکتے ہیں، جہاں ہم گراف کے آزاد سیٹوں کی کل تعداد پر پابند حاصل کرنے کے لیے خلاصہ کر سکتے ہیں: اس اوپری حد کو کم کرنے کی کوشش کرتے وقت، ہم اس توازن کو چننا چاہتے ہیں/ان دونوں اصطلاحات کو کم سے کم کرنا چاہتے ہیں۔ یہ نتیجہ عمودی حصوں کو زیادہ سے زیادہ ڈگری (کم سے کم کرنے کے لیے) ترتیب دینے کی قدر کی وضاحت کرتا ہے۔ لیما مذکورہ بالا عدم مساوات اور مشاہدات کو زیادہ عمومی ترتیب میں بیان کیا جا سکتا ہے، جو ویکٹر پر ایک واضح رقم سے الگ ہے۔ لیما 1: کے ساتھ ایک گراف دیا گیا ہے اور فرض کریں کہ عدد اور حقیقی اعداد مطمئن ہیں۔ فرض کریں کہ کم از کم چوٹیوں پر ہر محرک ذیلی گراف میں کم از کم کنارے کی کثافت ہوتی ہے۔ پھر ہر عدد کے لیے، لیما 2: چلو عمودی پر ایک گراف ہو اور فرض کریں کہ ایک عدد اور حقیقی اس طرح منتخب کیے گئے ہیں۔ اگر کم از کم عمودی کے تمام ذیلی سیٹوں میں کم از کم کنارے ہوں، تو عمودی کے ذیلی سیٹوں ("فنگر پرنٹس") کا مجموعہ اور ایک تعیناتی فنکشن ہوتا ہے، تاکہ ہر آزاد سیٹ کے لیے ایسا ہو۔ ہائپر گراف کنٹینر لیما غیر رسمی طور پر، ہائپر گراف کنٹینر لیما ہمیں بتاتا ہے کہ ہم ہر آزاد سیٹ کو ایک چھوٹا فنگر پرنٹ تفویض کر سکتے ہیں، تاکہ ایک ہی فنگر پرنٹ والے تمام آزاد سیٹ ایک ہی بڑے سیٹ، متعلقہ کنٹینر سے تعلق رکھتے ہیں، جس کا سائز ہائپر گراف کے عمودی حصوں کی تعداد سے دور ہے۔ مزید برآں، یہ فنگر پرنٹس چھوٹے ہوتے ہیں (اور اس طرح کچھ کنٹینر ہوتے ہیں)، اور ہم ہائپر گراف کی کچھ آسان خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے بنیادی طور پر زیادہ سے زیادہ طریقے سے ان کے سائز کو اوپر سے باندھ سکتے ہیں۔ ہم یکساں ہائپر گراف سے وابستہ درج ذیل اشارے کو یاد کرتے ہیں۔ مثبت انٹیجرز کی وضاحت کریں، جہاں۔ کے آزاد سیٹوں کا مجموعہ ہونے دیں۔ اس طرح کے کچھ آزاد سیٹ کی نشاندہی کرے گا۔ بیان ہم بالوگ، مورس، سموتیج اور سیکسٹن کے کام میں پائے جانے والے اس لیما کے ورژن کو بیان کرتے ہیں۔ ایک یکساں ہائپر گراف ہونے دیں اور فرض کریں کہ ہر اور کچھ کے لیے، ہمارے پاس یہ ہے۔ پھر، ایک مجموعہ اور ایک فنکشن ایسا ہوتا ہے کہ ہر ایک کے لیے اور کے ساتھ موجود ہوتا ہے۔ ہر ایک کے لیے۔ مثالی ایپلی کیشنز ریگولر گراف آزاد سیٹوں کی تعداد پر اپر باؤنڈ ہم دکھائیں گے کہ ایک مطلق مستقل ہے جس سے ہر-ورٹیکس-ریگولر گراف مطمئن ہوتا ہے۔ ہم ٹریویل باؤنڈ کا استعمال کرتے ہوئے ہر سائز کے آزاد سیٹوں کی تعداد کو باندھ سکتے ہیں۔ بڑے کے لیے، ان پیرامیٹرز کے ساتھ،-ریگولر گراف لیما 1 کی شرائط کو پورا کرتا ہے اور اس طرح، تمام کا خلاصہ کرتا ہے، جو مطلوبہ نتیجہ دیتا ہے جب ہم سم فری سیٹوں کو پلگ ان کرتے ہیں۔ اگر کوئی تسلی بخش نہیں ہے تو ابیلین گروپ کے عناصر کے ایک سیٹ کو سم فری کہا جاتا ہے۔ ہم دکھائیں گے کہ زیادہ سے زیادہ رقم سے پاک ذیلی سیٹ موجود ہیں۔ یہ ایک باقاعدہ گراف میں آزاد سیٹوں کی تعداد پر ہماری اوپر کی حدود سے پیروی کرے گا۔ اسے دیکھنے کے لیے ہمیں ایک معاون گراف بنانے کی ضرورت ہوگی۔ ہم سب سے پہلے مشاہدہ کرتے ہیں کہ نچلے آرڈر کی شرائط تک، ہم اپنی توجہ کم از کم چھوٹے عناصر والے سم فری سیٹوں تک محدود رکھ سکتے ہیں (چونکہ اس کی تکمیل میں ذیلی سیٹوں کی تعداد زیادہ سے زیادہ ہے)۔ کچھ ذیلی سیٹ کو دیکھتے ہوئے، ہم ورٹیکس سیٹ اور ایج سیٹ کے ساتھ ایک معاون گراف کی وضاحت کرتے ہیں، اور مشاہدہ کرتے ہیں کہ ہمارا معاون گراف باقاعدہ ہے کیونکہ اس کا ہر عنصر اس سے چھوٹا ہے۔ پھر اگر سب سیٹ کے سب سے چھوٹے عناصر ہیں، تو سیٹ گراف میں ایک آزاد سیٹ ہے۔ پھر، ہماری پچھلی باؤنڈ کے مطابق، ہم دیکھتے ہیں کہ زیادہ سے زیادہ مثلث سے پاک گرافوں کی تعداد ہم ہائپر گراف کنٹینر لیما کے استعمال کی ایک مثال دیتے ہیں تاکہ ایک عددی سوال کا جواب دینے کے لیے عمودی مثلث سے پاک گرافوں کی تعداد پر غیر علامتی طور پر سخت اوپری باؤنڈ دے کر۔ غیر رسمی بیان چونکہ دو طرفہ گراف مثلث سے پاک ہوتے ہیں، اس لیے عمودی کے ساتھ مثلث سے پاک گراف کی تعداد کم از کم متوازن مکمل دو طرفہ گراف کے تمام ممکنہ ذیلی گرافوں کی گنتی سے حاصل کی جاتی ہے۔ ہم ورٹیکس سیٹ اور ایج سیٹ کے ساتھ ایک معاون یکساں ہائپر گراف بنا سکتے ہیں۔ یہ ہائپر گراف مثلث کو اس معنی میں "انکوڈ" کرتا ہے کہ عمودی پر مثلث سے پاک گراف کا خاندان بالکل اس ہائپر گراف کے آزاد سیٹوں کا مجموعہ ہے۔ مندرجہ بالا ہائپر گراف کی ایک اچھی ڈگری تقسیم ہے: کے ہر کنارے، اور اس طرح عمودی بالکل مثلث میں موجود ہے اور عناصر کا ہر جوڑا زیادہ سے زیادہ 1 مثلث میں موجود ہے۔ لہذا، ہائپر گراف کنٹینر لیما (بار بار) کا اطلاق کرتے ہوئے، ہم یہ ظاہر کرنے کے قابل ہیں کہ کنٹینرز کا ایک خاندان ہے جس میں ہر ایک میں چند مثلث ہوتے ہیں جن میں ہر مثلث سے پاک گراف/ہائپر گراف کا آزاد سیٹ ہوتا ہے۔ مثلث سے پاک گرافوں کی تعداد پر اوپری باؤنڈ ہم سب سے پہلے عام ہائپر گراف کنٹینر لیما کو 3-یکساں ہائپر گرافوں میں اس طرح مہارت دیتے ہیں: لیما: ہر ایک کے لیے، ایسی چیز موجود ہے جو درج ذیل کو برقرار رکھتی ہے۔ اوسط ڈگری کے ساتھ 3 یکساں ہائپر گراف ہونے دیں اور فرض کریں کہ۔ پھر زیادہ تر کنٹینرز کا ایک مجموعہ موجود ہے کہ ہر ایک کے لیے، سب کے لیے موجود ہے۔ اس لیما کو بار بار لاگو کرنے سے درج ذیل نظریہ ملے گا (جیسا کہ نیچے ثابت کیا گیا ہے): نظریہ: سب کے لیے، ایسا موجود ہے کہ مندرجہ ذیل موجود ہے۔ ہر مثبت عدد کے لیے، عمودی نقاط پر گراف کا ایک مجموعہ موجود ہوتا ہے جس میں ہر ایک میں مثلث سے کم ہوتے ہیں، عمودی نقاط پر ہر مثلث سے پاک گراف کچھ میں موجود ہوتا ہے۔ ثبوت: اوپر بیان کردہ ہائپر گراف پر غور کریں۔ جیسا کہ غیر رسمی طور پر پہلے مشاہدہ کیا گیا ہے، ہائپر گراف ہر ایک کے لیے اطمینان بخش ہوتا ہے۔ لہذا، ہم (یعنی) کے ذیلی مجموعوں کے کچھ مجموعے کو تلاش کرنے کے لیے مندرجہ بالا لیما کو ساتھ پر لاگو کر سکتے ہیں۔ عمودی نقاط پر گراف) اس طرح کہ ہر مثلث آزاد گراف کچھ کا ذیلی گراف ہے، ہر ایک کے زیادہ تر کنارے ہوتے ہیں۔ یہ اتنا مضبوط نہیں ہے جتنا نتیجہ ہم دکھانا چاہتے ہیں، لہذا ہم بار بار کنٹینر لیما کا اطلاق کریں گے۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس کچھ کنٹینر ہے جس میں کم از کم مثلث ہیں۔ ہم کنٹینر لیما کو انڈیوسڈ سب ہائپر گراف پر لگا سکتے ہیں۔ کی اوسط ڈگری کم از کم ہے، کیونکہ ہر مثلث میں ایک کنارہ ہوتا ہے، اور اس محرک ذیلی گراف میں زیادہ تر عمودی ہوتے ہیں۔ اس طرح، ہم لیما کو پیرامیٹر کے ساتھ لگا سکتے ہیں، اپنے کنٹینرز کے سیٹ سے ہٹا سکتے ہیں، اس کی جگہ کنٹینرز کے اس سیٹ، کنٹینرز کو ڈھانپ سکتے ہیں۔ ہم اس وقت تک تکرار کرتے رہ سکتے ہیں جب تک کہ ہمارے پاس کنٹینرز کا حتمی مجموعہ نہ ہو جس میں ہر ایک مثلث سے کم ہو۔ ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ یہ مجموعہ بہت بڑا نہیں ہو سکتا ؛ ہمارے تمام انڈیوسڈ سب گراف میں زیادہ سے زیادہ عمودی اور کم از کم اوسط ڈگری ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہر تکرار کے نتیجے میں زیادہ سے زیادہ نئے کنٹینر ہوتے ہیں۔ مزید برآں، کنٹینر کا سائز ہر وقت کے ایک عنصر سے سکڑ جاتا ہے، لہذا تکرار کی ایک محدود (اس پر منحصر) تعداد کے بعد، تکرار کا عمل ختم ہو جائے گا۔ یہ بھی دیکھیں آزاد سیٹ (گراف تھیوری) زیمیرڈی کا تھیوریم زیمیرڈی باقاعدگی لیما حوالہ جات ایکسٹریم گراف تھیوری ہائپر گراف اضافی امتزاج