Binet equation
جیکس فلپ میری بینیٹ کی طرف سے اخذ کردہ بینیٹ مساوات، سطحی قطبی نقاط میں مداری حرکت کی شکل کو دیکھتے ہوئے ایک مرکزی قوت کی شکل فراہم کرتی ہے۔ مساوات کو کسی دیئے گئے قوت کے قانون کے لیے مدار کی شکل حاصل کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، لیکن اس میں عام طور پر دوسرے درجے کی غیر لکیری عام تفریق مساوات کا حل شامل ہوتا ہے۔ قوت کے مرکز کے ارد گرد سرکلر حرکت کی صورت میں ایک منفرد حل ناممکن ہے۔ مساوات مدار کی شکل کو اکثر زاویہ کی تقریب کے طور پر نسبتا فاصلے کے لحاظ سے آسانی سے بیان کیا جاتا ہے۔ بینیٹ مساوات کے لیے، مداری شکل کو اس کے بجائے باہمی کے ذریعے ایک فعل کے طور پر زیادہ مختصر طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ مخصوص کونیی مومنٹم کی وضاحت کریں کہ کونیی مومنٹم کہاں ہے اور کمیت کہاں ہے۔ بائنٹ مساوات، جو اگلے حصے میں اخذ کی گئی ہے، فنکشن کے لحاظ سے قوت دیتی ہے: خالص مرکزی قوت کے لیے نیوٹن کا دوسرا قانون مشتق ہے۔ کونیی مومنٹم کے تحفظ کے لیے ضروری ہے کہ وقت کے حوالے سے مشتقات کو زاویہ کے حوالے سے مشتقات کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکے: مذکورہ بالا سب کو ملا کر، ہم اس پر پہنچتے ہیں۔ عمومی حل یہ ہے کہ ذرہ کا ابتدائی ہم آہنگی کہاں ہے۔ مثال کے طور پر کیپلر کا مسئلہ کلاسیکی الٹا مربع قانون کے مدار کا حساب لگانے کے روایتی کیپلر کے مسئلے کو بینیٹ مساوات سے تفریق مساوات کے حل کے طور پر پڑھا جا سکتا ہے۔ اگر زاویے کو پیریپسس سے ماپا جاتا ہے، تو مدار کا عمومی حل (باہمی) قطبی نقاط میں ظاہر ہوتا ہے۔ مندرجہ بالا قطبی مساوات مخروطی حصوں کو بیان کرتی ہے، جس میں نیم لیٹس ریکٹم (برابر) اور مداری سنکیتا ہوتی ہے۔ Schwarzschild کوآرڈینیٹس کے لیے اخذ کردہ رشتہ دار مساوات وہ ہے جہاں روشنی کی رفتار ہے اور Schwarzschild رداس ہے۔ اور ریسنر-نورڈسٹروم میٹرک کے لیے ہم حاصل کریں گے کہ برقی چارج کہاں ہے اور ویکیوم پرمٹیویٹی کہاں ہے۔ الٹا کیپلر کا مسئلہ الٹا کیپلر کے مسئلے پر غور کریں۔ کس قسم کی قوت کا قانون ایلیپس کے فوکس کے ارد گرد ایک غیر سرکلر الپٹیکل مدار (یا زیادہ عام طور پر ایک غیر سرکلر کونک سیکشن) پیدا کرتا ہے؟ ایلیپس کے لیے مذکورہ بالا قطبی مساوات کو دو بار تفریق کرنے سے قوت کا قانون ملتا ہے جو کہ متوقع الٹا مربع قانون ہے۔ مدار کو جسمانی اقدار سے ملانا یا دوبارہ پیش کرنا بالترتیب نیوٹن کا عالمگیر کشش ثقل کا قانون یا کولمب کا قانون ہے۔ Schwarzschild کوآرڈینیٹس کے لیے موثر قوت وہ ہے جہاں دوسری اصطلاح ایک الٹا چوتھائی قوت ہے جو چوتھائی اثرات سے مطابقت رکھتی ہے جیسے کہ پیریاپسس کی کونیی شفٹ (یہ ریٹرڈ پوٹینشلز کے ذریعے بھی حاصل کی جا سکتی ہے)۔ پیرامیٹرائزڈ پوسٹ نیوٹنین فارملزم میں ہم حاصل کریں گے کہ عمومی اضافیت کے لیے اور کلاسیکی معاملے میں کہاں ہے۔ کوٹس سرپل ایک الٹا مکعب قوت قانون کی شکل ہوتی ہے الٹا مکعب قانون کے مداروں کی شکلیں کوٹس سرپل کے نام سے جانی جاتی ہیں۔ بینیٹ مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ مداروں کو مساوات کا حل ہونا چاہیے۔ تفریق مساوات کے تین قسم کے حل ہوتے ہیں، جو کیپلر کے مسئلے کے مختلف مخروطی حصوں سے مشابہت رکھتے ہیں۔ کب، حل قسط دار ہوتا ہے، بشمول سیدھی لکیر کا پیتھولوجیکل کیس جب۔ کب، حل ہائپربولک سرپل ہے۔ جب حل پوائنسوٹ کا سرپل ہو۔ غیر محور سرکلر حرکت اگرچہ بینیٹ مساوات قوت کے مرکز کے بارے میں سرکلر حرکت کے لیے ایک منفرد قوت کا قانون دینے میں ناکام رہتی ہے، لیکن یہ مساوات اس وقت قوت کا قانون فراہم کر سکتی ہے جب دائرے کا مرکز اور قوت کا مرکز موافق نہ ہوں۔ مثال کے طور پر ایک سرکلر مدار پر غور کریں جو براہ راست قوت کے مرکز سے گزرتا ہے۔ قطر کے ایسے سرکلر مدار کے لیے ایک (باہمی) قطبی مساوات دو بار تفریق کر رہی ہے اور پایتھاگورین شناخت کا استعمال کرنے سے قوت کا قانون ملتا ہے۔ اس طرح نوٹ کریں کہ عمومی الٹا مسئلہ کو حل کرنا، یعنی۔ پرکشش قوت کے قانون کے مداروں کی تعمیر، کافی زیادہ مشکل مسئلہ ہے کیونکہ یہ حل کرنے کے مساوی ہے جو کہ سیکنڈ آرڈر غیر لکیری تفریق مساوات ہے۔ کلاسیکی مرکزی قوت کا مسئلہ بھی دیکھیں عمومی اضافیت عمومی اضافیت میں دو جسم کا مسئلہ برٹرینڈ کا نظریہ حوالہ جات کلاسیکی میکانکس طبیعیات کے نامزد قوانین