Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
میریفی لوگرتھمورم کینونس ڈسکرپٹو (لوگرتھمز کے حیرت انگیز کینن کی تفصیل، 1614) اور میریفی لوگرتھمورم کینونس کنسٹرکٹو (لوگرتھمز کے حیرت انگیز کینن کی تعمیر، 1619) لاطینی زبان میں جان نیپیئر کی دو کتابیں ہیں جو لوگرتھمز کے طریقہ کار کی وضاحت کرتی ہیں۔ جب کہ دوسروں نے لوگرتھم کے خیال سے رابطہ کیا تھا، خاص طور پر جوسٹ برگی، یہ نیپیئر ہی تھا جس نے سب سے پہلے اس تصور کو آسانی سے استعمال ہونے والی پہلے سے استعمال شدہ ٹیبلز کے ساتھ اپنی میریفی لوگرتھمورم کینونس ڈسکرپٹو میں شائع کیا۔ لوگرتھم کے تعارف سے پہلے، اعلی درستگی والے عددی حسابات جن میں ضرب، تقسیم اور جڑ نکالنا شامل تھے، مشکل اور غلطی کا شکار تھے۔ لوگرتھم اس طرح کے حسابات کو بہت آسان بناتے ہیں۔ جیسا کہ نیپیئر نے کہا: "ساتھی ریاضی دانوں، ریاضیاتی فنون کی مشق میں اس سے زیادہ تکلیف دہ کچھ نہیں ہے کہ طویل ضرب اور تقسیم کے ٹیڈیم میں، تناسب کی تلاش میں، اور مربع اور مکعب جڑوں کو نکالنے میں بڑی تاخیر کا سامنا کرنا پڑا۔ بہت سی پھسلن غلطیاں جو arise.I نے کارروائی کو مختصر کرنے کا ایک حیرت انگیز طریقہ تلاش کیا ہے [جس میں]۔ ضرب، اور اعداد کی تقسیم سے وابستہ تمام اعداد، اور مربع اور مکعب جڑوں کو نکالنے کے طویل مشکل کاموں کے ساتھ خود ہی کام سے مسترد کر دیا جاتا ہے، اور ان کی جگہ دیگر اعداد کو تبدیل کر دیا جاتا ہے، جو اضافہ، گھٹاؤ کے ذریعے مسترد کیے گئے ان کاموں کو انجام دیتے ہیں۔ ان جدولوں نے کروی مثلثیات میں حسابات کو بہت آسان بنا دیا ہے، جو فلکیات اور آسمانی نیویگیشن کے لیے مرکزی ہیں اور جن میں عام طور پر سائنس، کوسائنز اور دیگر افعال کی مصنوعات شامل ہوتی ہیں۔ نیپیئر دوسرے استعمالوں کو بھی بیان کرتا ہے، جیسے کہ تناسب کے مسائل کو حل کرنا۔ جان نیپیئر نے میزوں کا حساب لگانے میں 20 سال گزارے۔ انہوں نے ایک علیحدہ جلد لکھی جس میں بتایا گیا کہ انہوں نے اپنی میزوں کی تعمیر کیسے کی، لیکن یہ دیکھنے کے لیے کہ ان کی پہلی کتاب کیسے موصول ہوگی، اشاعت روک دی۔ جان کا انتقال 1617 میں ہوا۔ ان کے بیٹے رابرٹ نے 1619 میں ہنری بریگز کے اضافے کے ساتھ اپنے والد کی کتاب، میریفی لوگرتھمورم کینونس کنسٹرکٹو شائع کی۔ کنسٹرکٹو میں تفصیل سے بتایا گیا ہے کہ کس طرح نیپیئر نے سائن فنکشن کے لوگرتھم کی گنتی کو آسان بنانے کے لیے ہندسی ترقی کی تین میزیں بنائیں اور استعمال کیں۔ ٹیبلز نیپیئر کے زمانے میں، اعشاریہ نوٹیشن، جیسا کہ یورپ میں استعمال ہوتا تھا، صرف انٹیجرز کی نمائندگی کرتا تھا۔ اعشاریہ نمبر کے ساتھ ایک فریکشنل حصے کو شامل کرنے کی تجویز سائمن سٹیون نے پیش کی تھی لیکن اس کا اشارہ عجیب تھا۔ اعشاریہ عدد کے عدد حصے کو فریکشنل حصے سے الگ کرنے کے لیے پیریڈ استعمال کرنے کا خیال سب سے پہلے خود نیپیئر نے اپنی کانسٹرکٹیو کتاب، سیکشن 5 میں پیش کیا تھا، "اس طرح ان کے درمیان کی مدت سے ممتاز تعداد میں، پیریڈ کے بعد جو کچھ بھی لکھا جاتا ہے وہ ایک فریکشن ہوتا ہے، جس کا ڈینومینیٹر اس کے بعد اتنے ہی سائفرز کے ساتھ اتحاد ہوتا ہے جتنا پیریڈ کے بعد کے اعداد و شمار ہوتے ہیں۔" انہوں نے اس تصور کو ٹیبلز کے زیادہ درست حساب کو آسان بنانے کے لیے استعمال کیا، لیکن خود پرنٹ شدہ ٹیبلز میں نہیں۔ اس طرح اس کی میز میں شائع ہونے والے زاویے کی سائن ویلیو ایک مکمل عدد ہے جو 10,000,000 اکائیوں کے ہائپوٹینوس کے ساتھ دائیں مثلث میں اس زاویے کے مخالف جانب کی لمبائی کی نمائندگی کرتا ہے۔ تاہم، ٹیبل میں لوگارتھم اس سائن ویلیو کا ہے جسے 10,000,000 سے تقسیم کیا گیا ہے۔ لوگارتھم کو دوبارہ ایک عدد کے طور پر پیش کیا جاتا ہے جس میں 10,000,000 کا ایک مضمر ڈینومینیٹر ہوتا ہے۔ میز سامنے والے صفحات کے 45 جوڑوں پر مشتمل ہے۔ ہر جوڑے کو 0 سے 44 ڈگری تک اور نیچے 90 سے 45 ڈگری تک زاویہ کے ساتھ لیبل کیا جاتا ہے۔ (44-45 ڈگری کا صفحہ ایک طرف ہے۔) ٹیبل کے ہر صفحے پر پہلا کالم منٹوں میں ایک زاویہ اضافہ ہے، جسے صفحہ کے اوپری حصے میں ڈگری ویلیو میں شامل کیا جائے گا۔ انتہائی دائیں کالم ہر صفحے کے نچلے حصے میں ڈگری ویلیو میں شامل کیے جانے والے منٹ ہوتے ہیں۔ یہ ترتیب ایسی ہے کہ کسی صفحہ پر ہر لائن کے لیے، کالم 7 کے ذریعے ظاہر کیا جانے والا مکمل زاویہ کالم 1 (90°-کالم 1) کا مشترکہ زاویہ ہے۔ اندر کی طرف بڑھنا، ہر زاویے کے کالم سے متصل اس زاویے کی سائن ہے، اس کے بعد اس سائن کی نیپیرین لاگ کی مطلق قیمت ہے۔ کالم 1 کے لیے لاگ کوسین آسانی سے صفحہ بھر میں کالم 5 تک پڑھ کر حاصل کی جا سکتی ہیں، اور اس کے برعکس۔ درمیانی کالم دو لاگوں کے درمیان فرق کو ظاہر کرتا ہے، جو کہ ٹینجینٹ فنکشن کا نیپیرین لاگ ہے (اگر آپ علامات کو الٹا کرتے ہیں تو کوٹینجینٹ)۔ جدولوں کو ایک سے کم مثبت اعداد کے لیے نیپیرین لوگرتھم کی میز کے طور پر بھی استعمال کیا جا سکتا ہے، جس میں سائن ویلیوز (کالم 2 اور 6) کو دلیل کے طور پر اور لاگ سائن ویلیوز (کالم 3 اور 5) کو نتیجے میں لوگرتھم کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔ طریقہ کار کو تبدیل کرنے سے اینٹی لوگرتھمز ملتے ہیں۔ نیچے دیے گئے ٹیبل میں پہلی تین قطاریں نیپیئر کے ٹیبل کے بائیں جانب 19 ڈگری والے صفحے کے عنوانات اور پہلی دو ڈیٹا قطاریں دوبارہ پیش کرتی ہیں، تصویر دیکھیں۔ ان کے بعد ایک ہی زاویے کے لیے جدید الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے اقدار کا حساب لگایا جاتا ہے۔ یہ 8 ہندسوں کی درستگی کے لیے کٹے ہوئے ہیں، جو نیپیئر کی میز کی برائے نام 7 ہندسوں کی درستگی سے ایک زیادہ ہے۔ وضاحت کے لیے کالم نمبر دکھائے جاتے ہیں۔ ڈسکرپٹو ٹیکسٹ نیپیئرز ڈسکرپٹو کو دو کتابوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ پہلا اس کی ایجاد اور کچھ ایپلی کیشنز کو بیان کرتا ہے اور اس میں میزیں شامل ہیں۔ دوسرے میں مثلثیات کے استعمال پر بحث کی گئی ہے۔ کتاب اول باب اول میں تعریفیں اور تجاویز کا ایک سلسلہ شامل ہے جو نیپیئر کے لوگرتھم کے تصور کی وضاحت کرتا ہے۔ انہوں نے حرکت کے دو نمونوں کے لحاظ سے لوگرتھم کا تصور کیا۔ پہلے میں، ایک ذرہ ایک نقطہ سے شروع ہوتا ہے اور ایک سیدھی لکیر کے ساتھ مستقل رفتار سے حرکت کرتا ہے۔ دوسرے میں، ایک ذرہ ایک سیدھی لکیر کے ساتھ چلتا ہے، جو اسی ابتدائی رفتار سے شروع ہوتا ہے، لیکن اس کی رفتار ابتدائی نقطہ سے اس کے فاصلے کے تناسب میں کم ہو جاتی ہے۔ کسی عدد کا لوگارتھم، a، تب وہ فاصلہ ہوتا ہے جو مستقل رفتار کے ماڈل میں کسی ذرہ کے ذریعے طے کیا جاتا ہے، اس وقت کے دوران جب وہ دوسرے، الٹا متناسب ماڈل میں موجود ذرہ کو a تک پہنچتا ہے۔ وہ 10,000,000 کے لوگارتھم کو صفر قرار دیتا ہے اور اس سے کم اقدار کا لوگارتھم مثبت ہوتا ہے، جبکہ زیادہ تعداد میں منفی لوگارتھم ہوتا ہے، جو جدید لوگارتھم سے علامت کا الٹ ہوتا ہے۔ (اس نشانی کی تبدیلی کا اظہار بعض اوقات یہ کہہ کر کیا جاتا ہے کہ نیپیئر نے بیس 1/ای کے ساتھ لوگرتھم استعمال کیے ہیں۔) وہ نوٹ کرتا ہے کہ اسے صفر لاگ رکھنے کے لیے کسی بھی قدر کا انتخاب کرنے کی آزادی ہے، جدید اصطلاحات میں بیس، لیکن حساب کتاب میں آسانی کے لیے 10,000,000 کا انتخاب کرتا ہے کیونکہ یہ اس کی سائن ٹیبلز میں "کل سائن" (ہائپوٹینوس) سے میل کھاتا ہے۔ نیپرین لوگرتھم دیکھیں۔ دوسرا باب لوگرتھم کی خصوصیات کو بیان کرتا ہے اور تناسب کے ساتھ کام کرنے کے لیے کچھ فارمولے (متن کی شکل میں) دیتا ہے۔ یہ ایک نوٹ کے ساتھ ختم ہوتا ہے جس میں کہا گیا ہے کہ وہ لوگرتھم کی تعمیر پر اپنے کام کی اشاعت میں اس وقت تک تاخیر کر رہا ہے جب تک کہ وہ یہ نہ دیکھ لے کہ اس کی ایجاد کیسے موصول ہوتی ہے۔ باب 3 جدولوں اور ان کے سات کالموں کی وضاحت کرتا ہے، اوپر دیکھیں۔ چوتھا باب بتاتا ہے کہ میزوں کو کس طرح استعمال کیا جائے اور سائن ٹینجینٹ اور سیکینٹ کے لیے کام کرنے والی مثالیں دیتا ہے۔ وہ یہ بھی بتاتا ہے کہ سائن ویلیوز کو بطور دلیل اور لاگ سائن ویلیوز کو نتیجہ کے طور پر اور اس کے برعکس استعمال کرکے نمبروں کے لوگرتھم کو براہ راست کیسے حاصل کیا جائے۔ وہ اس بات پر تبادلہ خیال کرتا ہے کہ دس کے مختلف ضرب سے کیسے نمٹا جائے اور ایک نوٹیشن متعارف کرایا، جو جدید سائنسی نوٹیشن کی طرح ہے جہاں وہ دہائیوں تک اصلاح کی ضرورت کی نشاندہی کرنے کے لیے کسی مقدار کے لوگارتھم کے بعد متعدد صفر جوڑتا ہے۔ وہ مختلف صورتوں میں شامل یا گھٹانے کے لیے مخصوص لوگرتھم مقداریں دیتا ہے: 23025842 + 0 یا 46051684 + 00، یا 69077527 + 000، یا 92103369 + 0000، یا 115129211 + 00000 یہ 10,000,000 * ln (10)، 10,000,000 * ln (100)، وغیرہ سے مطابقت رکھتے ہیں۔ باب 5 میں نیپیئر کے لوگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے متناسبیت اور ان کے حل میں چار مسائل پیش کیے گئے ہیں۔ وہ یہ پوچھ کر اختتام کرتا ہے کہ "ان لوگرتھم سے کتنا بڑا فائدہ ہوتا ہے: چونکہ ضرب کے لیے ان کے اضافے سے، ڈویژنل کے لیے گھٹاؤ سے، مربع جڑوں کو نکالنے کے لیے دو سے تقسیم کرنے سے، اور مکعب جڑوں کے لیے تین سے۔ حساب کے تمام بھاری کام سے گریز کیا جاتا ہے۔" کتاب دوم کتاب دوم "اس عظیم قسم کی جیومیٹری، جسے ٹرگونومیٹری کہا جاتا ہے" سے متعلق ہے۔ پہلا باب صحیح مثلث کے ساتھ طیارہ مثلثیات میں مسائل کو حل کرنے کے لیے لوگرتھم کے استعمال سے متعلق ہے اور خاص طور پر چھوٹے زاویوں کے ساتھ، جہاں اس کے مثلثیاتی لوگرتھم بڑے ہو جاتے ہیں۔ اگلا باب طیارہ ترچھا مثلثوں کا احاطہ کرتا ہے۔ بقیہ ابواب گول مثلث کا احاطہ کرتے ہیں، جو چوتھائی سے شروع ہوتے ہیں۔ وہ اپنے پینٹاگراما میریفیکم کو بھی بیان کرتا ہے، جو دائرے پر ایک پانچ نکاتی ستارہ ہے جس کے تمام زاویہ 90 ڈگری ہیں۔ میریفی لوگرتھمورم کینونس کنسٹرکٹیو [[فائل: کنسٹرکٹیو کے انگریزی ترجمہ کا حیرت انگیز کینن کی تعمیر Logarithms-0025.jpg |thumb |Title صفحہ]] نیپیئر اس نظریہ اور تفصیلات کو شائع کرنے سے گریزاں تھا کہ اس نے اپنے خیالات پر ریاضی کی برادری کی رائے کے زیر التواء لوگرتھمز کی میز کیسے بنائی، اور ڈسکریپٹو کی اشاعت کے فورا بعد ہی اس کا انتقال ہو گیا۔ ان کے بیٹے رابرٹ نے 1619 میں کنسٹرکٹو شائع کیا۔ اس جلد میں رابرٹ کی طرف سے پیش لفظ اور کئی ضمیمہ ہیں، جن میں جان نیپیئر کے گول مثلث کو زیادہ آسانی سے حل کرنے کے طریقوں پر ایک حصہ، اور ہنری بگز کا "ایک اور اور بہتر قسم کے لوگرتھم" پر ایک حصہ، یعنی بیس 10 یا عام لوگرتھم شامل ہیں۔ ولیم رائے میکڈونلڈ کا انگریزی ترجمہ، تشریحات کے ساتھ، 1889 میں شائع ہوا۔ نیپیئر مختلف رفتار پروفائلز کے تحت حرکت کرنے والے دو نکات کے درمیان خط و کتابت کے ذریعے لوگرتھمز کو بیان کرتا ہے۔ پہلا نقطہ، P، ایک محدود لائن سیگمنٹ P0 سے Q کے ساتھ چلتا ہے، جس کی ابتدائی رفتار P کے Q کے فاصلے کے متناسب کم ہوتی ہے۔ دوسرا نقطہ، ایل، ایک غیر محدود لائن سیگمنٹ کے ساتھ چلتا ہے جو ایل 0 سے شروع ہوتا ہے اور اسی ابتدائی رفتار کے ساتھ پی کے ساتھ، لیکن اس رفتار کو بغیر کسی تبدیلی کے برقرار رکھتا ہے۔ پی کی ہر ممکنہ پوزیشن کے لیے، جسے کیو سے اس کے فاصلے سے ماپا جاتا ہے، ایل کی ایک متعلقہ بیک وقت پوزیشن ہوتی ہے۔ نیپیئر نے پی سے کیو تک کے فاصلے کے لوگرتھم کو ایل 0 سے اس ایل تک کے فاصلے کے طور پر بیان کیا۔ کمپیوٹیشن اپروچ نیپیئر اپنے لوگرتھم کی ٹیبل کا حساب لگانے کے لیے کئی بصیرت پر انحصار کرتا ہے۔ اعلی درستگی حاصل کرنے کے لیے وہ 10,000,000 کی ایک بڑی بنیاد سے شروع کرتا ہے۔ لیکن اس کے بعد وہ ایک اشارے میں اعشاری حصوں کا استعمال کرکے اضافی درستگی حاصل کرتا ہے جو اس نے ایجاد کیا تھا، لیکن اب عالمی طور پر واقف ہے، یعنی اعشاری نقطہ کا استعمال کرتے ہوئے۔ وہ کچھ مثالوں کے ساتھ وضاحت کرتا ہے کہ اس کا اشارہ کیسے کام کرتا ہے۔ وہ اپنے حسابات میں ہونے والی کسی بھی غلطی کو پابند کرنے کے لیے وقفہ ریاضی کی ایک شکل بھی متعارف کراتا ہے۔ ایک اور اب واقف حقیقت جس کا وہ مشاہدہ کرتے ہیں وہ یہ ہے کہ ڈینومینیٹرز والے فریکشن جو 10 کی طاقتیں ہیں، اعشاریہ نقطہ کے نسبت نمبر کو دائیں طرف منتقل کرکے اعشاریہ نوٹیشن میں آسانی سے شمار کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ وہ کہتے ہیں: "ہم کسی عدد کے آسان حصوں کو کہتے ہیں، کسی بھی حصے کو جس کے ڈینومینیٹر اتحاد سے بنے ہوتے ہیں اور متعدد سائفرز، ایسے حصوں کو اصل عدد کے آخر میں زیادہ سے زیادہ اعداد کو مسترد کرکے حاصل کیا جاتا ہے جیسا کہ ڈینومینیٹر میں سائفرز ہوتے ہیں۔" وہ نوٹ کرتے ہیں کہ ریاضی کی پیشرفتوں کا حساب لگانا آسان ہے کیونکہ ان میں صرف اضافہ اور گھٹاؤ شامل ہوتا ہے لیکن یہ کہ ہندسی پیشرفتوں کا حساب لگانا عام طور پر مشکل ہوتا ہے کیونکہ ان میں ضرب، تقسیم اور ممکنہ طور پر جڑیں شامل ہوتی ہیں۔ تاہم وہ مشاہدہ کرتا ہے کہ ہندسی ترقی جس میں شکل کے ضرب شامل ہیں (یعنی. فارم 0.99.9 کی، m نائنز کے ساتھ) کا حساب صرف ایک شفٹ اور فی مرحلہ ایک گھٹاؤ کا استعمال کرتے ہوئے صوابدیدی درستگی کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، فارم کے ضرب (یعنی۔ 0.99.95) کو صرف ایک شفٹ کی ضرورت ہوتی ہے، مکمل درستگی کے لیے فی مرحلہ دو سے ایک تقسیم اور ایک گھٹاؤ، جسے وہ "قابل برداشت آسان" کہتے ہیں۔ نیپیئر یہ بھی مشاہدہ کرتا ہے کہ ہندسی ترقی کے لوگرتھم ہر مرحلے پر ایک مستقل قدر سے مختلف ہوتے ہیں، یعنی ضرب کا لوگرتھم۔ لہذا اگر کوئی ہندسی ترقی اور ضرب کی ابتدائی قدر کا لوگارتھم جانتا ہے، تو وہ ضرب کے لوگارتھم کو بار بار جوڑ کر ترقی کے ہر رکن کے لوگارتھم کا حساب لگا سکتا ہے۔ پہلے لوگرتھم کا حساب لگانا اپنے دو لائن ماڈل کا استعمال کرتے ہوئے، نیپیئر 0.9999999 کے لوگرتھم کے لیے نچلی اور اوپری حدود تلاش کرتا ہے۔ اس کی نچلی حد یہ فرض کرتی ہے کہ نقطہ P سست نہیں ہوتا ہے، ایسی صورت میں L 1-0.9999999 کا فاصلہ طے کرے گا۔ اس کی اوپری حد یہ فرض کرتی ہے کہ P نے 0.9999999 کی آخری رفتار سے شروعات کی تھی جس صورت میں L نے (1-0.9999999)/0.9999999 کا فاصلہ منتقل کر دیا ہوگا۔ اس کے 10,000,000 کے رداس سے اسکیل کی گئی، نچلی حد 1 ہے اور اس کی اوپری حد 1.0000001 ہے۔ وہ تجویز کرتے ہیں کہ چونکہ ان اقدار کے درمیان فرق بہت کم ہے، اس لیے ان کے درمیان کوئی بھی قدر 10 ملین میں ایک حصے سے بھی کم کی "ناقابل فہم غلطی" پیش کرے گی، لیکن وہ زیادہ وضاحت کے بغیر، وسط نقطہ، 1.00000005 کا انتخاب کرتے ہیں۔ یہ انتخاب انہیں ان کے مترجم ولیم رائے میکڈونلڈ کی حیثیت سے کہیں زیادہ درستگی فراہم کرتا ہے۔ ایک ضمیمہ میں اس بات کی نشاندہی کی گئی ہے کہ. 9999999 کے لوگارتھم کے لیے نیپیئر کی اسکیل اپ ویلیو درست ویلیو، 1.00000005 00000033333583 کے بہت قریب ہے، اور اس کے بعد کے لوگارتھم کے تمام حسابات 1.00000005 ویلیو سے اخذ کیے گئے ہیں۔ میکڈونلڈ تجویز کرتے ہیں کہ نیپیئر کے پاس مڈ پوائنٹ کو چننے کی بہتر وجہ ہونی چاہیے تھی۔ معاون میزیں نیپیئر تین میزیں بنانے کے لیے ان بصیرت کا استعمال کرتا ہے۔ پہلی میز، جدید اشارے میں، 0 سے 100 تک کے n کے لیے 10000000 * (0.9999999) n نمبروں پر مشتمل ہے۔ دوسرا 0 سے 50 تک کے n کے لیے 100000 * (0.99999) n نمبروں پر مشتمل ہے۔ اس کے بعد وہ اپنی پہلی میز میں تمام اندراجات کے لیے لوگرتھم کو پر کرنے کے لیے. 9999999 کے لاگ کے لیے اپنی قیمت کا اطلاق کرتا ہے۔ وہ. 99999 کے لاگ کا حساب لگانے کے لیے آخری اندراج کا استعمال کر سکتا ہے، کیونکہ. 9999999100.99999 کے بہت قریب ہے۔ اس کے بعد وہ اپنی دوسری میز کا استعمال کرتا ہے، جو بنیادی طور پر. 99999 کے 50 پاورز ہیں تاکہ. 9995 کے لوگرتھم کا حساب لگایا جا سکے۔ میکڈونلڈ یہ بھی بتاتے ہیں کہ نیپیئر کے دوسرے ٹیبل کے حساب میں ایک غلطی آئی ؛ نیپیئر کی پچاسویں قیمت 9995001.222927 ہے، لیکن 9995001.22480 ہونی چاہیے۔ میکڈونلڈ نے اپنے ضمیمہ میں اس غلطی کے نتائج پر تبادلہ خیال کیا ہے۔ ریڈیکل ٹیبل نیپیئر پھر 69 کالموں اور 21 قطاروں کے ساتھ تناسب کی تیسری ٹیبل بناتا ہے، جسے وہ اپنی "ریڈیکل ٹیبل" کہتے ہیں۔ 1 سے شروع ہونے والی اوپری قطاروں کے ساتھ تناسب 0.99 ہے۔ ہر کالم میں اندراجات تناسب 0.9995 میں ہیں۔ (نوٹ کریں کہ 0.9995 = 1-1/2000، آدھا کرکے، منتقل کرکے اور گھٹا کر "قابل برداشت آسان" ضرب کی اجازت دیتا ہے۔) نیپیئر. 99 کے لوگارتھم کو کمپیوٹ کرنے کے لیے پہلے کالم کا استعمال کرتا ہے، جس میں. 9995 کے لاگ کا استعمال کیا جاتا ہے، جو اس کے پاس پہلے سے موجود ہے۔ اب وہ تیسرے ٹیبل میں ہر اندراج کا لوگرتھم بھر سکتا ہے کیونکہ متناسب طور پر اندراجات کے درمیان لوگرتھم میں فرق مستقل ہے۔ تیسرا جدول اب 1,449 اقدار کے ایک سیٹ کے لیے لوگرتھم فراہم کرتا ہے جو تقریبا 5,000,000 سے 10,000,000 تک کی حد کا احاطہ کرتا ہے، جو 10,000,000 کے رداس کو فرض کرتے ہوئے 30 سے 90 ڈگری تک سائن فنکشن کی اقدار سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس کے بعد نیپیئر وضاحت کرتا ہے کہ اس حد میں لوگرتھم کے لیے باؤنڈنگ وقفہ کا حساب لگانے کے لیے میزیں کیسے استعمال کی جائیں۔ شائع شدہ ٹیبلز کی تعمیر کے بعد نیپیئر اپنی شائع شدہ ٹیبلز کو دوبارہ پیش کرنے کی ہدایات دیتا ہے، جس میں ان کے سات کالم اور ہر منٹ کے آرک کی کوریج ہوتی ہے۔ وہ خود سینوں کا حساب نہیں لگاتا، جن کی اقدار کو پہلے سے دستیاب ٹیبل سے پر کیا جانا ہے۔ "رین ہولڈ کی کامن ٹیبل آف سینز، یا کوئی اور زیادہ درست، آپ کو یہ اقدار فراہم کرے گی۔" 30 ڈگری سے 90 ڈگری تک کے زاویوں کے لیے سائن کے لوگرتھم کا حساب ریڈیکل ٹیبل اور اس کے لوگرتھم میں قریب ترین نمبر ڈھونڈ کر اور لکیری انٹرپولیشن کے ذریعے مطلوبہ سائن کے لوگرتھم کا حساب لگا کر کیا جاتا ہے۔ وہ 30 ڈگری سے کم زاویوں کے لیے لوگرتھم کی گنتی کے کئی طریقے تجویز کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کوئی بھی 0.0 سے کم سائن کو دو یا دس کی کچھ طاقت سے ضرب دے کر اسے [0.5,1] کی حد میں لا سکتا ہے۔ ریڈیکل ٹیبل میں اس لوگرتھم کو تلاش کرنے کے بعد، مطلوبہ لوگرتھم حاصل کرنے کے لیے دو یا دس کی طاقت کا لوگرتھم شامل کیا جاتا ہے (وہ ایک مختصر ٹیبل دیتا ہے)۔ نیپیئر اس بات کی طرف اشارہ کرتے ہوئے اختتام کرتا ہے کہ اس کے میز کو بڑھانے کے دو طریقے چھوٹے فرق کے ساتھ نتائج پیدا کرتے ہیں۔ وہ تجویز کرتا ہے کہ دوسرے "جن کے پاس کافی مقدار میں شاگرد اور کمپیوٹر ہوں گے" اسی طریقے سے 10,000,000,000 کے بڑے پیمانے کے عنصر کے ساتھ ایک نئی میز بناتے ہیں، لیکن صرف 35 کالموں والی ایک ریڈیکل ٹیبل کا استعمال کرتے ہوئے، جو 45 سے 90 ڈگری تک فرشتوں کو ڈھانپنے کے لیے کافی ہے۔ مادے کے بعد ایک ضمیمہ میں، نیپیئر "ایک اور اور بہتر قسم کے لوگرتھم" کی تعمیر پر بحث کرتا ہے جہاں ایک کا لوگرتھم صفر ہوتا ہے اور دس کا لوگرتھم 10,000,000,000، انڈیکس ہوتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر بڑے پیمانے کے عنصر کے ساتھ بیس 10 لوگرتھم ہے۔ وہ اس طرح کی میز کو شمار کرنے کے مختلف طریقوں پر تبادلہ خیال کرتا ہے اور 2 کے لوگرتھم کو 210,000,000 میں ہندسوں کی تعداد کے طور پر بیان کرتا ہے، جسے وہ 301029995 کے طور پر شمار کرتا ہے۔ ضمیمہ کے بعد نیپیئر کے تصورات اور بیس-10 لوگرتھم پر ہنری بریگز کے تبصرے ہوتے ہیں۔ اگلا حصہ نیپیئر کا 12 صفحات پر مشتمل مضمون ہے جس کا عنوان ہے "حیرت انگیز آسانی کے ساتھ کروی مثلثوں کے حل کے لیے کچھ بہت ہی قابل ذکر تجاویز"، جہاں وہ بیان کرتا ہے کہ انہیں دو صحیح مثلثوں میں تقسیم کیے بغیر کیسے حل کیا جائے۔ اس حصے کے بعد بریگز کا تبصرہ بھی آتا ہے۔ مترجم، میکڈونلڈ، اس موقع پر کچھ نوٹ شامل کرتے ہیں، جن میں نیپیئر کے نام کے ہجے، دوسرے حجم کی اشاعت میں تاخیر کے حوالے، اعشاریہ ریاضی کی ترقی، نیپیئر کے دوسرے جدول میں غلطی اور نیپیئر کے طریقہ کار کی درستگی، اور بیس-10 لوگرتھم کی کمپیوٹنگ کے طریقوں پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ آخری حصہ عوامی کتب خانوں میں نیپیئر کے کاموں کے میکڈونلڈ کا ایک کیٹلاگ ہے، جس میں مذہبی کام، مختلف زبانوں میں ایڈیشن شامل ہیں۔ اور جان نیپیئر اور لوگرتھمز کے کام سے متعلق دیگر کتابیں۔ استقبالیہ نیپیئر کا حساب کتاب کا نیا طریقہ برطانیہ اور بیرون ملک تیزی سے پھیل گیا۔ کیپلر نے اپنا 1620 کا ایفیریس نیپیئر کے لیے وقف کیا، ایک خط کے ساتھ جس میں اسے اس کی ایجاد اور فلکیات میں اس کے فوائد پر مبارکباد دی گئی۔ کیپلر کو چھوٹے زاویوں پر کچھ غلطیوں کے علاوہ کوئی ضروری غلطیاں نہیں ملیں۔ آسمانی نیویگیشن پر ایک اتھارٹی ایڈورڈ رائٹ نے اگلے سال 1615 میں نیپیئر کی لاطینی تفصیل کا انگریزی میں ترجمہ کیا، حالانکہ رائٹ کی موت کی وجہ سے اس کی اشاعت میں تاخیر ہوئی۔ بریگز نے اس تصور کو زیادہ آسان بیس 10، یا عام لوگرتھم تک بڑھا دیا۔ ارسنس نے نیپیئر کو "بغیر مساوی کا ریاضی دان" قرار دیا۔ تین سو سال بعد، 1914 میں، ای ڈبلیو ہوبن نے لوگرتھمز کو "دنیا کی سب سے بڑی سائنسی دریافتوں میں سے ایک" قرار دیا۔ 1620 میں ایڈمنڈ گنٹر نے لوگرتھمک پیمانے کے ساتھ ایک حکمران تیار کیا۔ تقسیم کاروں کی ایک جوڑی کے ساتھ اسے ضرب اور تقسیم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ 1622 میں، ولیم اوگرڈ نے گنٹر کے دو ہینڈ ہیلڈ اصولوں کو ملا کر ایک حساب کتاب کرنے والا آلہ بنایا جو بنیادی طور پر پہلا سلائیڈ رول تھا۔ لوگرتھم فنکشن ریاضیاتی تجزیے کا ایک اہم حصہ بن گیا، لیکن لوگرتھم کی طباعت شدہ میزیں بیسویں صدی میں میکانی کیلکولیٹرز کو ضرب دینے کے ساتھ آہستہ آہستہ اہمیت میں کم ہو گئیں اور بعد میں، الیکٹرانک کمپیوٹرز نے اعلی درستگی کے حساب کی ضروریات کو سنبھال لیا۔ 1970 کی دہائی میں ہینڈ ہیلڈ سائنسی کیلکولیٹرز کے تعارف نے سلائیڈ رولز کے دور کو ختم کر دیا۔ دی امریکن پریکٹیکل نیویگیٹر (بوڈیچ) کے موجودہ، 2002 ایڈیشن میں اب بھی مثلثی افعال کے لوگرتھم اور لوگرتھم کی میزیں موجود ہیں۔ یہ بھی دیکھیں لوگرتھمز کی تاریخ ضرب کے نشان کے حوالہ جات لوگرتھمز ریاضی کی تاریخ