Kiepert conics
مثلث جیومیٹری میں، کیپرٹ کونکس حوالہ مثلث سے وابستہ دو خاص کونکس ہیں۔ ان میں سے ایک ہائپربولا ہے، جسے کیپرٹ ہائپربولا کہا جاتا ہے اور دوسرا ایک پیرابولہ ہے، جسے کیپرٹ پیرابولہ کہا جاتا ہے۔ کیپرٹ کونکس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: اگر تین مثلث، اور، جو کسی مثلث کے اطراف بیس کے طور پر بنائے گئے ہیں، ایک جیسے ہیں، آئسوسیلز ہیں اور اسی طرح واقع ہیں، تو مثلث اور نقطہ نظر میں ہیں۔ چونکہ آئسوسیلز مثلثوں کا بنیادی زاویہ اور کے درمیان مختلف ہوتا ہے، مثلثوں کے نقطہ نظر کے مرکز کا لوکس اور ایک ہائپربولا ہے جسے کیپرٹ ہائپربولا کہا جاتا ہے اور ان کے نقطہ نظر کے محور کا لفافہ ایک پیرابولہ ہے جسے کیپرٹ پیرابولہ کہا جاتا ہے۔ یہ ثابت ہو چکا ہے کہ کیپرٹ ہائپربولا عمودی، سنٹرائڈ اور حوالہ مثلث کا آرتھو سینٹر سے گزرنے والا ہائپربولا ہے اور کیپرٹ پیرابولہ حوالہ مثلث میں کندہ شدہ پیرابولہ ہے جس میں یولر لائن ڈائریکٹریکس اور مثلث کا مرکز X110 فوکس کے طور پر ہے۔ آر۔ ایچ۔ ایڈی اور آر۔ فرٹش کے ایک مقالے سے درج ذیل اقتباس مثلث جیومیٹری کے مطالعہ میں کیپرٹ کونکس کی اہمیت کو قائم کرنے کے لیے کافی گواہی ہے: "اگر مریخ سے آنے والا کوئی شخص مثلث کی جیومیٹری سیکھنا چاہتا ہے لیکن زمین کے نسبتا گھنے ماحول میں صرف ایک سبق کے لیے کافی دیر تک رہ سکتا ہے، تو اس میں کوئی شک نہیں کہ زمینی ریاضی دان اس درخواست کو پورا کرنے کے لیے سخت دباؤ کا شکار ہوں گے۔ اس مقالے میں، ہمیں یقین ہے کہ ہمارے پاس مسئلے کا بہترین حل ہے۔ کیپرٹ کونکس۔ کیپرٹ ہائپربولا کیپرٹ ہائپربولا کو لڈویگ کیپرٹ نے 1868 میں ایمیل لیموائن کے تجویز کردہ مندرجہ ذیل مسئلے کے حل کی تحقیقات کے دوران دریافت کیا تھا: "اطراف میں بنائے گئے مساوی مثلث کی چوٹیوں کو دیکھتے ہوئے ایک مثلث کی تعمیر کریں۔" اس مسئلے کا حل 1869 میں لڈویگ کیپرٹ نے شائع کیا تھا اور اس حل میں ایک تبصرہ تھا جس میں مؤثر طریقے سے کیپرٹ ہائپربولا کی لوکس تعریف بیان کی گئی تھی جس کی طرف پہلے اشارہ کیا گیا تھا۔ بنیادی حقائق حوالہ مثلث کے اطراف کی لمبائی اور عمودی زاویہ ہونے دیں۔ مساوات بیری سینٹرک کوآرڈینیٹس میں کیپرٹ ہائپربولا کی مساوات سینٹر ہے، ایسمپٹوٹس کیپرٹ ہائپربولا کا مرکز مثلث کا مرکز X (115) ہے۔ مرکز کے باریسینٹرک نقاط ہیں۔ کیپرٹ ہائپربولا کے ایسمپٹوٹس دائرے کے ساتھ بروکارڈ محور کے چوراہوں کی سمسن لائنیں ہیں۔ کیپرٹ ہائپربولا ایک آئتاکار ہائپربولا ہے اور اسی وجہ سے اس کی سنکیتا ہے۔ خصوصیات کیپرٹ ہائپربولا کا مرکز نو نکاتی دائرے پر واقع ہے۔ مرکز مثلث کے آئسوگونک مراکز میں شامل ہونے والے لکیر کے حصے کا وسط نقطہ ہے جو مثلث مراکز ایکس (13) اور ایکس (14) کے دائرے میں مثلث مراکز ہیں۔ آئسوگنل تبدیلی کے تحت کیپرٹ ہائپربولا کی شبیہہ مثلث کا بروکارڈ محور ہے جو سممیڈین پوائنٹ اور سرکم سینٹر کو جوڑنے والی لکیر ہے۔ ایک غیر قطبی مثلث کے سطح میں ایک نقطہ ہونے دیں اور اس کے حوالے سے سہ رخی قطبی ہونے دیں۔ ان نکات کا لوکس جو یولر لائن کے لیے عمودی ہے، کیپرٹ ہائپربولا ہے۔ کیپرٹ پیرابولہ کا مطالعہ پہلی بار 1888 میں ایک جرمن ریاضی کے استاد اگستس آرٹزٹ نے "اسکول پروگرام" میں کیا تھا۔ بنیادی حقائق بیری سینٹرک کوآرڈینیٹس میں کیپرٹ پیرابولہ کی مساوات کہاں ہے۔ کیپرٹ پیرابولہ کا مرکز مثلث کا مرکز X (110) ہے۔ فوکس کے باریسینٹرک نقاط ہیں۔ کیپرٹ پیرابولہ کا ڈائریکٹریکس مثلث کی یولر لائن ہے۔ تصاویر یہ بھی دیکھیں مثلث مخروطی جدید مثلث جیومیٹری بیرونی روابط حوالہ جات مثلث جیومیٹری