Cluster prime
نمبر تھیوری میں، ایک کلسٹر پرائم ایک پرائم نمبر ہے جس میں ہر یکساں مثبت عدد k ≤ p−3 کو دو پرائم نمبروں کے درمیان فرق کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جو () سے زیادہ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، نمبر 23 ایک کلسٹر پرائم ہے کیونکہ 23−3 = 20، اور 2 سے 20 تک کا ہر یکساں عدد، بشمول، پرائم نمبروں کے کم از کم ایک جوڑے کا فرق ہے جو 23 سے زیادہ نہ ہو: 5−3 = 27−3 = 411−5 = 611−3 = 813−3 = 1017−5 = 1217−3 = 1419−3 = 1623−5 = 1823−3 = 20 دوسری طرف، 149 کلسٹر پرائم نہیں ہے کیونکہ 140 <146، اور 140 کو دو پرائم کے فرق کے طور پر لکھنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے جو 149 سے کم یا برابر ہیں۔ روایت کے مطابق، 2 کو کلسٹر پرائم نہیں سمجھا جاتا ہے۔ پہلے 23 عجیب پرائم (89 تک) تمام کلسٹر پرائم ہوتے ہیں۔ پہلے چند عجیب پرائمز جو کلسٹر پرائمز نہیں ہیں وہ 97، 127، 149، 191، 211، 223، 227، 229، ہیں۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ لامحدود تعداد میں کلسٹر پرائم موجود ہیں یا نہیں۔ خصوصیات کلسٹر پرائم سے پہلے کا پرائم گیپ ہمیشہ چھ یا اس سے کم ہوتا ہے۔ کسی بھی دیئے گئے پرائم نمبر کے لیے، n-th پرائم نمبر کو ظاہر کریں۔ اگر 8، تو −9 کو دو پرائمز کے فرق کے طور پر ظاہر نہیں کیا جا سکتا جو زیادہ نہ ہوں۔ اس طرح، کلسٹر پرائم نہیں ہے۔ اس کے برعکس درست نہیں ہے: سب سے چھوٹا غیر کلسٹر پرائم جو کہ چھ یا اس سے کم کے وقفے کے جوڑے میں سے بڑا ہے وہ 227 ہے، 223 اور 227 کے درمیان صرف چار کا فرق ہے۔ 229 پہلا غیر کلسٹر پرائم ہے جو جڑواں پرائم جوڑے میں سب سے بڑا ہے۔ کلسٹر پرائمز کا سیٹ ایک چھوٹا سیٹ ہے۔ 1999 میں، رچرڈ بلیکسمتھ نے ثابت کیا کہ کلسٹر پرائمز کے باہمی کا مجموعہ محدود ہے۔ بلیکسمتھ نے C (x) پر ایک واضح اوپری باؤنڈ بھی ثابت کیا، کلسٹر پرائمز کی تعداد x سے کم یا اس کے برابر ہے۔ خاص طور پر، کسی بھی مثبت عدد کے لیے: تمام کافی بڑے x کے لیے۔ اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ تقریبا تمام پرائم نمبرز کلسٹر پرائمز کے سیٹ سے غیر حاضر ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط بنیادی اعداد کی کلاسیں