Sobolev mapping
ریاضی میں، سوبولیو نقشہ سازی کئی گنا کے درمیان ایک نقشہ سازی ہے جس میں کسی نہ کسی لحاظ سے نرمی ہوتی ہے۔ سوبولیو نقشے قدرتی طور پر تغیرات اور جزوی تفریق مساوات کے حساب میں کئی گنا محدود مسائل میں ظاہر ہوتے ہیں، بشمول ہارمونک نقشوں کا نظریہ۔ تعریف دی گئی ریمینیئن کئی گنا اور، جسے عامیت کے نقصان کے بغیر نیش کے ہموار سرایت تھیوریم کے ذریعہ فرض کیا جاتا ہے کہ اسے آئسومیٹرک طور پر فرسٹ آرڈر () کے طور پر سرایت کیا جائے۔ سوبولیو نقشوں کو میٹرک خالی جگہوں کے تناظر میں بھی بیان کیا جا سکتا ہے۔ تخمینہ مضبوط تخمینہ کا مسئلہ اس بات کا تعین کرنے پر مشتمل ہے کہ آیا عام ٹوپولوجی کے حوالے سے ہموار نقشہ سازی گھنے ہیں یا نہیں۔ کب، موری کی عدم مساوات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ سوبولیو کی نقشہ سازی مسلسل ہے اور اس طرح ہموار نقشوں کے ذریعے اس کا مضبوطی سے تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ جب، سوبولیو نقشوں میں اوسط ارتعاش غائب ہو جاتا ہے اور اس طرح ہموار نقشوں کے ذریعے اس کا تخمینہ لگایا جا سکتا ہے۔ کب، کثافت کا سوال رکاوٹ کے نظریہ سے متعلق ہے: اگر اور صرف اس صورت میں گھنے ہیں جب ایک جہتی مثلث سے ایک پر ہر مسلسل نقشہ سازی ایک مسلسل نقشے کی پابندی ہے۔ نقشوں کے کمزور تخمینے کی ترتیب تلاش کرنے کا مسئلہ مضبوط تخمینے کے برابر ہوتا ہے جب وہ عدد نہیں ہوتا ہے۔ ایک عدد کب ہوتا ہے، ایک ضروری شرط یہ ہے کہ ایک جہتی مثلث سے ہر مسلسل نقشہ سازی کے ایک جہتی مثلث کی پابندی ایک مسلسل نقشے کی پابندی سے مطابقت رکھتی ہے۔ جب، یہ شرط کافی ہے کیونکہ، یہ شرط کافی نہیں ہے۔ ہوموٹوپی ہوموٹوپی کا مسئلہ معیاری ٹوپولوجی سے مالا مال جگہ کے راستے سے منسلک اجزاء کی وضاحت اور درجہ بندی پر مشتمل ہے۔ کب اور، پھر راستے سے جڑے ہوئے اجزاء بنیادی طور پر راستے سے جڑے ہوئے اجزاء کی طرح ہوتے ہیں: دو نقشے ایک راستے سے جڑے ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب وہ کسی راستے سے جڑے ہوں، کسی بھی راستے سے جڑے ہوئے جزو اور کسی بھی راستے سے جڑے ہوئے جزو کا غیر معمولی طور پر کاٹتا ہے۔ جب، دو نقشے ایک مسلسل راستے سے جڑے ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب عام جہتی مثلث پر ان کی پابندیاں ہوموٹوپک ہوں۔ نشانات کی توسیع کلاسیکی ٹریس تھیوری میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی سوبولیو نقشے میں ایک نشان ہوتا ہے اور یہ کہ ٹریس آپریٹر کب ہوتا ہے۔ سرجیکٹیویٹی کا ثبوت اوسط دلیل پر مبنی ہونے کی وجہ سے، نتیجہ آسانی سے سوبولیو میپنگ تک نہیں بڑھتا ہے۔ ٹریس آپریٹر کو جانا جاتا ہے کہ کب اور کب، محدود ہے اور۔ ٹریس آپریٹر کی سرجیکٹیویٹی ناکام ہو جاتی ہے اگر یا اگر کچھ کے لیے لامحدود ہو۔ لفٹنگ کورنگ میپ کو دیکھتے ہوئے، لفٹنگ کا مسئلہ پوچھتا ہے کہ کیا کوئی نقشہ کچھ کے لیے لکھا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ مسلسل یا ہموار کے لیے ہوتا ہے اور کلاسیکی لفٹنگ تھیوری میں کب آسانی سے منسلک ہوتا ہے۔ اگر ڈومین محض جڑا ہوا ہے، تو کسی بھی نقشے کو کچھ لوگوں کے لیے لکھا جا سکتا ہے کہ کب، کب اور کب کمپیکٹ ہے، اور۔ لفٹنگ میں ٹپوولوجیکل رکاوٹ کب اور تجزیاتی رکاوٹ کب ہوتی ہے۔ حوالہ جات مزید پڑھنا https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds کئی گنا کے نقشے کو ظاہر کرتا ہے سوبولیو اسپیس ہوموٹوپی تھیوری