Arithmetic progression topologies
عام ٹوپولوجی اور نمبر تھیوری، ریاضی کی شاخوں میں، کوئی بھی انٹیجرز کے سیٹ یا مثبت انٹیجرز کے سیٹ پر مختلف ٹوپولوجیز کی وضاحت کر سکتا ہے جس کی بنیاد کے طور پر ریاضی کی ترقی، فارم کی ترتیب یا اوپن سیٹ کے مناسب مجموعہ کو لیا جا سکتا ہے۔ تین مثالیں فرسٹن برگ ٹوپولوجی آن، اور گولمب ٹوپولوجی اور کرچ ٹوپولوجی آن ہیں۔ درست تعریفیں ذیل میں دی گئی ہیں۔ ہلل فرسٹن برگ نے پہلی ٹوپولوجی متعارف کروائی تاکہ پرائمز کے سیٹ کے انفینیٹیوڈ کا "ٹوپولوجیکل" ثبوت فراہم کیا جا سکے۔ دوسری ٹوپولوجی کا مطالعہ سولومن گولمب نے کیا تھا اور یہ ایک شمار کے لحاظ سے لامحدود ہاؤزڈورف اسپیس کی مثال فراہم کرتا ہے جو جڑی ہوئی ہے۔ تیسری ٹوپولوجی، جسے اے ایم کرچ نے متعارف کرایا ہے، ایک شمار کے لحاظ سے لامحدود ہاؤس ڈورف اسپیس کی ایک مثال ہے جو جڑی ہوئی اور مقامی طور پر جڑی ہوئی ہے۔ ان ٹوپولوجیز میں دلچسپ علیحدگی اور یکسانیت کی خصوصیات بھی ہیں۔ ریاضی کی ترقی کی ٹوپولوجی کے تصور کو من مانی ڈیڈیکائنڈ ڈومینز میں عام کیا جا سکتا ہے۔ تعمیر میں دو طرفہ ریاضی کی پیش رفت اس شکل کے ذیلی مجموعے ہیں جہاں اور ایسی دو ریاضی کی پیشرفتوں کا چوراہا یا تو خالی ہے، یا ایک ہی شکل کی ایک اور ریاضی کی پیشرفت ہے: جہاں کا سب سے کم مشترکہ ضرب ہے اور اسی طرح، یک طرفہ ریاضی کی پیش رفت اور کے ساتھ شکل کے ذیلی مجموعے ہیں۔ اس طرح کی دو ریاضیاتی پیشرفتوں کا چوراہا یا تو خالی ہے، یا ایک ہی شکل کی ایک اور ریاضیاتی پیشرفت ہے: چوراہے میں سب سے چھوٹے عنصر کے برابر ہے۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ ریاضی کی ترقی کی ایک محدود تعداد کا ہر غیر خالی چوراہا پھر سے ایک ریاضی کی ترقی ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی ریاضی کی پیشرفت کے مجموعے کو منتخب کرکے، تمام عناصر کو کھلے سیٹ قرار دے کر، اور ان سے پیدا ہونے والی ٹوپولوجی کو لے کر ٹوپولوجی کی وضاحت کر سکتا ہے۔ اگر دو عناصر کا کوئی غیر خالی چوراہا دوبارہ ایک عنصر ہے، تو مجموعہ ٹوپولوجی کے لیے ایک بنیاد ہوگا۔ عام طور پر، یہ ٹوپولوجی کے لیے ایک ذیلی بنیاد ہوگی، اور تمام ریاضی کی پیشرفتوں کا مجموعہ جو عناصر کے غیر خالی محدود چوراہے ہوں گے، ٹوپولوجی کے لیے ایک بنیاد ہوگی۔ اس کے بعد تین خصوصی معاملات آتے ہیں۔ فرسٹن برگ ٹوپولوجی، یا یکساں طور پر وقفہ شدہ انٹیجر ٹوپولوجی، انٹیجرز کے سیٹ پر سب کے مجموعہ کو بیس کے طور پر لے کر حاصل کیا جاتا ہے اور مثبت انٹیجرز کے سیٹ پر گولمب ٹوپولوجی، یا نسبتا پرائم انٹیجر ٹوپولوجی کو بیس کے طور پر لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، اضافی حالت کے ساتھ اس طرح کے سیٹوں کا ذیلی مجموعہ بھی ٹوپولوجی کے لیے ایک بنیاد بناتا ہے۔ متعلقہ ٹپوولوجیکل اسپیس کو گولمب اسپیس کہا جاتا ہے۔ مثبت انٹیجرز کے سیٹ پر کرچ ٹوپولوجی، یا پرائم انٹیجر ٹوپولوجی، سب کے مجموعے کو ذیلی بیس کے طور پر لے کر حاصل کی جاتی ہے جس کے ساتھ اور پرائم مساوی طور پر تقسیم نہیں ہوتا ہے، کوئی بھی سب کے مجموعے کو ذیلی بیس کے طور پر لے سکتا ہے جس میں پرائم اور۔ ٹوپولوجی کے لیے ایک بیس نسبتا پرائم اور مربع فری (یا اضافی شرط کے ساتھ یکساں) کے ساتھ سب پر مشتمل ہوتا ہے۔ متعلقہ ٹپوولوجیکل اسپیس کو کرچ اسپیس کہا جاتا ہے۔ تینوں ٹوپولوجیز کا تعلق اس معنی میں ہے کہ کرچ ٹوپولوجی میں ہر کھلا سیٹ گولمب ٹوپولوجی میں کھلا ہے، اور گولمب ٹوپولوجی میں ہر کھلا سیٹ فرسٹن برگ ٹوپولوجی (سب اسپیس تک محدود) میں کھلا ہے۔ سیٹ پر، کرچ ٹوپولوجی گولمب ٹوپولوجی سے زیادہ موٹا ہے، جو خود فرسٹن برگ ٹوپولوجی سے زیادہ موٹا ہے۔ گولمب ٹوپولوجی اور کرچ ٹوپولوجی ہاؤزڈورف ہیں، لیکن باقاعدہ نہیں ہیں۔ فرسٹن برگ ٹوپولوجی ہاؤز ڈورف اور باقاعدہ ہے۔ یہ پیمائش کے قابل ہے، لیکن مکمل طور پر پیمائش کے قابل نہیں ہے۔ درحقیقت، یہ حقیقی لکیر سے وراثت میں ملنے والی سب اسپیس ٹوپولوجی کے ساتھ عقلی اعداد کے لیے ہومومورفک ہے۔ بروان نے دکھایا ہے کہ فرسٹن برگ ٹوپولوجی کا عقلی اعداد کی-adic تکمیل سے گہرا تعلق ہے۔ جڑے ہونے کی خصوصیات کے حوالے سے، فرسٹن برگ ٹوپولوجی مکمل طور پر منقطع ہے۔ گولمب ٹوپولوجی منسلک ہے، لیکن مقامی طور پر منسلک نہیں ہے۔ کرچ ٹوپولوجی جڑی ہوئی اور مقامی طور پر جڑی ہوئی دونوں ہے۔ فرسٹن برگ ٹوپولوجی کے ساتھ انٹیجرز ایک یکساں جگہ بناتے ہیں، کیونکہ یہ ایک ٹوپولوجیکل رنگ ہے-کچھ معنوں میں، واحد ٹوپولوجی جس پر یہ ایک رنگ ہے۔ اس کے برعکس، گولمب اسپیس اور کرچ اسپیس ٹپوولوجیکل طور پر سخت ہیں-واحد سیلف ہومومورفزم معمولی ہے۔ پرائمز کے لامحدود سے تعلق فرسٹن برگ اور گولمب دونوں ٹوپولوجیز اس بات کا ثبوت فراہم کرتی ہیں کہ لامحدود تعداد میں پرائم نمبر موجود ہیں۔ ثبوت کا ایک خاکہ اس طرح چلتا ہے: ایک پرائم کو ٹھیک کریں اور نوٹ کریں کہ (مثبت، گولمب اسپیس کیس میں) انٹیجرز محدود طور پر بہت سے بقایا کلاسوں کے ماڈیولو کا اتحاد ہیں۔ ہر بقایا کلاس ایک ریاضی کی ترقی ہے، اور اس طرح کلوپین ہے۔ ہر پرائم کے ضرب پر غور کریں۔ یہ ضرب ایک بقیہ کلاس (اس قدر بند) ہیں، اور ان سیٹوں کا اتحاد اکائیوں کے علاوہ تمام (گولمب: مثبت) عدد ہیں۔ اگر محدود طور پر بہت سے پرائمز ہیں، تو وہ اتحاد ایک بند سیٹ ہے، اور اس لیے اس کی تکمیل (}) کھلی ہے۔ لیکن ہر غیر خالی کھلا سیٹ لامحدود ہے، اس لیے} کھلا نہیں ہے۔ فرسٹن برگ ٹوپولوجی کسی گروپ پر پروفائنٹ ٹوپولوجی کا ایک خاص معاملہ ہے۔ تفصیل سے، یہ ٹوپولوجی ہے جو شمولیت سے متاثر ہوتی ہے، جہاں اس کی پروفینیٹ ٹوپولوجی کے ساتھ پروفینیٹ انٹیجر رنگ ہے۔ ریاضیاتی ترقی کا تصور صوابدیدی-ماڈیولز میں معنی رکھتا ہے، لیکن ان پر ٹوپولوجی کی تعمیر چوراہے کے نیچے بندش پر منحصر ہے۔ اس کے بجائے، درست عمومی کاری ڈیڈیکائنڈ ڈومین کے آئیڈیلز سے ایک ٹوپولوجی بناتی ہے۔ یہ طریقہ کار بڑی تعداد میں شمار کے لحاظ سے لامحدود، ہاؤس ڈورف، منسلک سیٹ تیار کرتا ہے، لیکن کیا مختلف ڈیڈیکائنڈ ڈومین ہومیومورفک ٹوپولوجیکل خالی جگہیں پیدا کر سکتے ہیں موجودہ تحقیق کا موضوع ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ٹپوولوجیکل خالی جگہیں ریاضی کی سیریز