LOBPCG
لوکللی آپٹیمل بلاک پری کنڈیشنڈ کنجوگیٹ گریڈینٹ (ایل او بی پی سی جی) پیچیدہ ہرمیٹین یا ریئل سمیٹرک میٹرکس کی دی گئی جوڑی کے لیے سب سے بڑی (یا سب سے چھوٹی) آئجین ویلیوز اور سمیٹرک جنرلائزڈ آئجین ویلیو کے مسئلے کے متعلقہ آئجین ویکٹرز کو تلاش کرنے کے لیے ایک میٹرکس سے پاک طریقہ ہے، جہاں میٹرکس کو بھی مثبت-یقینی سمجھا جاتا ہے۔ پس منظر کینٹوروویچ نے 1948 میں ایک اسکیلر پروڈکٹ میں ریلیگ کوشیئنٹ کے اسکیلڈ گریڈینٹ کی سمت کا استعمال کرتے ہوئے سب سے تیز نزول کے ذریعے ایک سمیٹرک میٹرکس کی سب سے چھوٹی آئجن ویلیو کا حساب لگانے کی تجویز پیش کی، جس میں اسٹیپ سائز کا حساب ویکٹر کے لکیری دورانیے میں ریلیگ کوشیئنٹ کو کم سے کم کرکے کیا جاتا ہے اور، یعنی۔ مقامی طور پر بہترین انداز میں۔ سموکیش نے تجویز پیش کی کہ بقایا ویکٹر پر ایک پری کنڈیشنر کا اطلاق کیا جائے تاکہ پہلے سے طے شدہ سمت پیدا کی جا سکے اور جیسا کہ آئجین ویکٹر، کنورجنس ریٹ باؤنڈ کے قریب آتا ہے، اسمیپٹوٹک اخذ کیا جا سکے۔ D 'yakonov نے سپیکٹرم کے مساوی پری کنڈیشننگ کی تجویز پیش کی اور غیر غیر علامتی کنورجنس کی شرح کی حدود حاصل کیں۔ آئجین ویلیو کے مسائل کے لیے مقامی طور پر زیادہ سے زیادہ کثیر قدم والے سیدھے نزول کو بلاک کریں میں بیان کیا گیا تھا۔ موجودہ تخمینہ، موجودہ بقایا اور پچھلے تخمینہ کے ساتھ ساتھ اس کے بلاک ورژن کے ذریعہ محیط ذیلی جگہ پر ریلیگ حصص کی مقامی تخفیف ظاہر ہوئی۔ پیشگی شرائط والے ورژن کا تجزیہ اور میں کیا گیا۔ اہم خصوصیات میٹرکس فری، یعنی۔ کوفشنٹ میٹرکس کو واضح طور پر ذخیرہ کرنے کی ضرورت نہیں ہے، لیکن میٹرکس ویکٹر مصنوعات کا جائزہ لے کر میٹرکس تک رسائی حاصل کر سکتا ہے۔ فیکٹرائزیشن فری، یعنی۔ عام آئجن ویلیو کے مسئلے کے لیے بھی کسی میٹرکس سڑنے کی ضرورت نہیں ہے۔ فی تکرار اور میموری کے استعمال کے اخراجات لینکزوس طریقہ کار کے ساتھ مسابقتی ہیں، جو ایک سمیٹرک میٹرکس کے ایک انتہائی آئجن پیئر کا حساب لگاتے ہیں۔ لکیری کنورجنس کی نظریاتی طور پر ضمانت دی جاتی ہے اور عملی طور پر مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ لینکزوس طریقہ کار کے برعکس، براہ راست پیشگی شرائط کی وجہ سے تیز کنورجنس، بشمول متغیر اور غیر ہم آہنگی کے ساتھ ساتھ فکسڈ اور مثبت قطعی پیشگی شرائط۔ پری کنڈیشننگ کے ذریعے موثر ڈومین سڑنے اور ملٹی گرڈ تکنیک کو معمولی طور پر شامل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ گرم شروع ہوتا ہے اور ہر تکرار پر آئجین ویکٹر کا تخمینہ لگاتا ہے۔ لینکزوس طریقہ کار کے مقابلے میں عددی طور پر زیادہ مستحکم، اور کم صحت سے متعلق کمپیوٹر ریاضی میں کام کر سکتا ہے۔ لاگو کرنے میں آسان، بہت سے ورژن پہلے ہی نمودار ہو چکے ہیں۔ بلاکنگ انتہائی موثر میٹرکس-میٹرکس کارروائیوں کو استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے، مثال کے طور پر، BLAS 3۔ بلاک سائز کو کنورجنس سپیڈ بمقابلہ آرتھوگنلائزیشن کے کمپیوٹر کے اخراجات اور ہر تکرار پر ریلیگ رٹز طریقہ کو متوازن کرنے کے لیے ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ الگورتھم سنگل ویکٹر ورژن ابتدائی: آئجین ویلیو کے مسائل کے لیے گریڈینٹ نزول یہ طریقہ عمومی ریلیگ حصص کی ایک تکراری زیادہ سے زیادہ (یا کم سے کم) کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے جس کے نتیجے میں سب سے بڑی (یا سب سے چھوٹی) آئجین جوڑی مل جاتی ہے۔ عام ریلیگ حصص کی سب سے تیز چڑھائی کی سمت، جو کہ گریڈینٹ ہے، مثبت طور پر ویکٹر کے متناسب ہوتی ہے جسے آئجین ویکٹر بقایا کہا جاتا ہے۔ اگر کوئی پری کنڈیشنر دستیاب ہے، تو اسے بقایا پر لگایا جاتا ہے اور ویکٹر دیتا ہے جسے پری کنڈیشنڈ بقایا کہا جاتا ہے۔ پیشگی شرائط کے بغیر، ہم سیٹ کرتے ہیں اور اسی طرح۔ ایک تکراری طریقہ یا، مختصر طور پر، پہلے سے طے شدہ تیز ترین چڑھائی (یا نزول) کے طور پر جانا جاتا ہے، جہاں اسکیلر کو قدم کا سائز کہا جاتا ہے۔ بہترین مرحلے کے سائز کا تعین ریلیگ کوشینٹ کو زیادہ سے زیادہ کرکے کیا جا سکتا ہے، یعنی (یا کم سے کم کرنے کی صورت میں)، اس صورت میں طریقہ کو مقامی طور پر بہترین کہا جاتا ہے۔ تین مدتی تکرار مقامی طور پر بہترین پہلے سے طے شدہ تیز ترین چڑھائی (یا نزول) کے ارتکاز کو ڈرامائی طور پر تیز کرنے کے لیے، دو مدتی تکرار کے تعلق میں ایک اضافی ویکٹر شامل کیا جا سکتا ہے تاکہ اسے تین مدتی بنایا جا سکے: (کم سے کم کرنے کی صورت میں استعمال کریں)۔ 3 جہتی ذیلی جگہ میں ریلیگ حصص کی زیادہ سے زیادہ/کم سے کم تعداد کو ریلیگ رٹز طریقہ کار کے ذریعے عددی طور پر انجام دیا جا سکتا ہے۔ مزید ویکٹروں کو شامل کرنا، دیکھیں، مثال کے طور پر، رچرڈسن ایکسٹریپولیشن، کے نتیجے میں نمایاں ایکسلریشن نہیں ہوتا ہے لیکن کمپیوٹیشن کے اخراجات میں اضافہ ہوتا ہے، لہذا عام طور پر اس کی سفارش نہیں کی جاتی ہے۔ عددی استحکام میں بہتری جیسے جیسے تکرار یکجا ہوتے ہیں، ویکٹر اور تقریبا لکیری طور پر منحصر ہو جاتے ہیں، جس کے نتیجے میں صحت سے متعلق نقصان ہوتا ہے اور راؤنڈ آف غلطیوں کی موجودگی میں ریلیگ رٹز طریقہ کو عددی طور پر غیر مستحکم بنا دیتا ہے۔ ویکٹر کو ایک ویکٹر کے ساتھ تبدیل کر کے درستگی کے نقصان سے بچا جا سکتا ہے، جو کہ تین جہتی ذیلی جگہ کی بنیاد پر اس سے مزید دور ہو سکتا ہے، جبکہ ذیلی جگہ کو تبدیل نہیں کیا جا سکتا اور آرتھوگنلائزیشن یا کسی اور اضافی کارروائیوں سے گریز کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، عدم مشروط آئجن ویلیو کے مسائل کے لیے استحکام اور قابل حصول درستگی کو بہتر بنانے کے لیے تین جہتی ذیلی جگہ کی بنیاد کو آرتھوگنلائز کرنے کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ کریلوف سب اسپیس اینالاگس یہ ایل او بی پی سی جی طریقہ کار کا ایک واحد ویکٹر ورژن ہے-سمیٹرک آئجن ویلیو کے مسائل کے معاملے میں پیشگی مشروط کنجوگیٹ گریڈینٹ لکیری حل کرنے والوں کی ممکنہ عمومی کاری میں سے ایک ہے۔ یہاں تک کہ معمولی صورت میں بھی اور اس کے نتیجے میں ہونے والا تخمینہ لینکزوس الگورتھم کے ذریعہ حاصل کردہ تخمینے سے مختلف ہوگا، حالانکہ دونوں تخمینے ایک ہی کریلوف سب اسپیس سے تعلق رکھتے ہوں گے۔ عملی استعمال کے منظرنامے ایل او بی پی سی جی کے سنگل ویکٹر ورژن کی انتہائی سادگی اور اعلی کارکردگی اسے سخت ہارڈ ویئر کی حدود کے تحت آئجن ویلیو سے متعلق ایپلی کیشنز کے لیے پرکشش بناتی ہے، جس میں سرایت شدہ اے ایس آئی سی یا ایف پی جی اے پر گراف پارٹیشننگ کے ذریعے سپیکٹرم کلسٹرنگ پر مبنی ریئل ٹائم بے ضابطگی کا پتہ لگانے سے لے کر ایکساسکل ٹاپ 500 سپر کمپیوٹرز پر ریکارڈ کمپیوٹنگ کی پیچیدگی کے جسمانی مظاہر کی ماڈلنگ تک شامل ہیں۔ بلاک ورژن خلاصہ اس کے بعد کے آئجن پیئرز کا حساب ایک ایک کر کے سنگل ویکٹر ایل او بی پی سی جی کے ذریعے کیا جا سکتا ہے جس کی تکمیل آرتھوگنل ڈیفلیشن کے ساتھ یا بیک وقت بلاک کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ سابقہ نقطہ نظر میں، پہلے سے شمار شدہ لگ بھگ آئجین ویکٹرز میں خامیاں بعد میں شمار شدہ آئجین ویکٹرز کی درستگی کو اضافی طور پر متاثر کرتی ہیں، اس طرح ہر نئے حساب کے ساتھ غلطی میں اضافہ ہوتا ہے۔ ایل او بی پی سی جی کے بلاک ورژن میں مقامی طور پر زیادہ سے زیادہ انداز میں ایک بلاک میں کئی لگ بھگ آئجین ویکٹروں کو ایک ساتھ دہرانا۔ یہ آئجین ویکٹروں کے تیز، درست اور مضبوط حساب کی اجازت دیتا ہے، بشمول وہ جو تقریبا متعدد آئجین ویلیوز سے مطابقت رکھتے ہیں جہاں سنگل ویکٹر ایل او بی پی سی جی سست کنورجنس کا شکار ہوتا ہے۔ بلاک سائز کو عددی استحکام بمقابلہ کنورجنس سپیڈ بمقابلہ آرتھوگنلائزیشن کے کمپیوٹر اخراجات اور ہر تکرار پر ریلیگ رٹز طریقہ کو متوازن کرنے کے لیے ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ بنیادی ڈیزائن ایل او بی پی سی جی میں بلاک اپروچ سنگل ویکٹر اور بلاک ویکٹر کی جگہ لے لیتا ہے، یعنی۔ میٹرکس اور، جہاں، مثال کے طور پر، ہر کالم کا تخمینہ آئجین ویکٹر میں سے ایک ہے۔ تمام کالموں کو بیک وقت دہرایا جاتا ہے، اور لگ بھگ آئجین ویکٹروں کے اگلے میٹرکس کا تعین سب اسپیس پر ریلی-رٹز طریقہ کار کے ذریعے کیا جاتا ہے جو میٹرکس کے تمام کالموں کے ذریعے پھیلا ہوا ہے۔ میٹرکس کے ہر کالم کے لیے پہلے سے طے شدہ بقایا کے طور پر حساب کیا جاتا ہے۔ میٹرکس کا تعین اس طرح کیا جاتا ہے کہ کالموں اور کالموں کے ذریعے پھیلی ہوئی ذیلی جگہیں ایک جیسی ہوں۔ عددی استحکام بمقابلہ کارکردگی ریلیگ رٹز طریقہ کار کا نتیجہ میٹرکس کے تمام کالموں کے ذریعہ پھیلی ہوئی ذیلی جگہ سے طے ہوتا ہے اور جہاں ذیلی جگہ کی بنیاد نظریاتی طور پر من مانی ہو سکتی ہے۔ تاہم، غیر درست کمپیوٹر ریاضی میں ریلیگ رٹز طریقہ عددی طور پر غیر مستحکم ہو جاتا ہے اگر کچھ بنیادی ویکٹر تقریبا لکیری طور پر منحصر ہوں۔ عددی عدم استحکام عام طور پر واقع ہوتے ہیں، مثال کے طور پر، اگر تکراری بلاک میں کچھ آئجین ویکٹر پہلے سے ہی کسی دی گئی کمپیوٹر کی درستگی کے لیے قابل حصول درستگی تک پہنچ جاتے ہیں اور خاص طور پر کم درستگی میں نمایاں ہوتے ہیں، مثال کے طور پر، واحد درستگی۔ ایل او بی پی سی جی کے متعدد مختلف نفاذ کا فن ذیلی جگہ کی ایک اچھی بنیاد کا انتخاب کرکے کم سے کم کمپیوٹنگ لاگت پر ریلیگ رٹز طریقہ کار کے عددی استحکام کو یقینی بنانا ہے۔ بنیادی ویکٹروں کو آرتھوگنل بنانے کا سب سے مستحکم نقطہ نظر، مثال کے طور پر، گرام-شمٹ عمل کے ذریعہ، سب سے زیادہ کمپیوٹیشنل مہنگا بھی ہے۔ مثال کے طور پر، ایل او بی پی سی جی کے نفاذ، عام میٹرکس کے غیر مستحکم لیکن موثر چولسکی سڑنے کا استعمال کرتے ہیں، جو کہ پوری ذیلی جگہ کے بجائے صرف انفرادی میٹرکس پر انجام دیا جاتا ہے۔ کمپیوٹر میموری کی مسلسل بڑھتی ہوئی مقدار آج کل رینج میں عام بلاک سائز کی اجازت دیتی ہے، جہاں کمپیوٹ وقت کا فیصد آرتھوگنلائزیشن پر خرچ ہوتا ہے اور ریلیگ رٹز طریقہ غالب ہونا شروع ہوتا ہے۔ پہلے سے کنورجڈ آئجین ویکٹرز کو لاک کرنا آئجین ویلیو کے مسائل کے لیے بلاک طریقے جو ذیلی جگہوں کو دہراتے ہیں عام طور پر کچھ تکراری آئجین ویکٹرز دوسروں کے مقابلے میں تیزی سے کنورج ہوتے ہیں جو پہلے سے کنورجڈ آئجین ویکٹرز کو لاک کرنے کی ترغیب دیتے ہیں، یعنی انہیں تکراری لوپ سے ہٹانا، تاکہ غیر ضروری کمپیوٹیشن کو ختم کیا جا سکے اور عددی استحکام کو بہتر بنایا جا سکے۔ آئجین ویکٹر کو ایک سادہ ہٹانے کے نتیجے میں ممکنہ طور پر اس کی نقل اب بھی تکرار کرنے والے ویکٹرز میں بن سکتی ہے۔ یہ حقیقت کہ سمیٹرک آئجین ویلیو کے مسائل کے آئجین ویکٹر جوڑی کے لحاظ سے آرتھوگنل ہوتے ہیں، تمام تکراری ویکٹرز کو بند ویکٹرز کے لیے آرتھوگنل رکھنے کا مشورہ دیتے ہیں۔ گنتی کے اخراجات کو کم کرتے ہوئے عددی درستگی اور استحکام کو برقرار رکھتے ہوئے لاکنگ کو مختلف طریقے سے نافذ کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایل او بی پی سی جی کے نفاذ، فالو، ہارڈ لاکنگ کو الگ کرنا، یعنی۔ پابندی کے ذریعہ ایک ڈیفلیشن، جہاں لاک شدہ آئجین ویکٹر کوڈ ان پٹ کے طور پر کام کرتے ہیں اور تبدیل نہیں ہوتے ہیں، سافٹ لاکنگ سے، جہاں لاک شدہ ویکٹر بقایا جات کی گنتی کے عام طور پر سب سے مہنگے تکراری مرحلے میں حصہ نہیں لیتے ہیں، تاہم، مکمل طور پر ریلیگ-رٹز طریقہ کار میں حصہ لیتے ہیں اور اس طرح انہیں ریلیگ-رٹز طریقہ سے تبدیل کرنے کی اجازت ہے۔ تبدیلیاں، ایل او بی پی سی جی II ایل او بی پی سی جی میں میٹرکس کے تمام کالم اور ریلیگ رٹز طریقہ کار شامل ہیں جس کے نتیجے میں ہر تکرار پر حساب کرنے کے لیے ڈاٹ پروڈکٹ تک اور حل کرنے کے لیے درکار ایک اپ-بائی-آئجن ویلیو مسئلہ ہوتا ہے، جہاں بلاک سائز-کالموں کی تعداد کی نشاندہی ہوتی ہے۔ بڑے بلاک سائز کے لیے یہ کمپیوٹ اور I/O لاگتوں پر غلبہ حاصل کرنا شروع کر دیتا ہے اور متوازی کو محدود کرتا ہے، جہاں متعدد کمپیوٹ ڈیوائسز بیک وقت چل رہے ہوتے ہیں۔ اصل ایل او بی پی سی جی کاغذ ایک ترمیم کی وضاحت کرتا ہے، جسے ایل او بی پی سی جی II کہا جاتا ہے، تاکہ ہر مطلوبہ آئجن پیئر کے لیے ایل او بی پی سی جی طریقہ کار کے سنگل ویکٹر ورژن کو چلانے والے اس طرح کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے ریلیگ رٹز طریقہ کار کے ساتھ 3-بائی-3 متوقع آئجن ویلیو کے مسائل کو حل کیا جا سکے۔ تمام آئجین پیئرز کے لیے عالمی ریلیگ رٹز طریقہ کار ہر تکرار پر ہوتا ہے لیکن صرف میٹرکس کے کالموں پر ہوتا ہے، اس طرح ضروری ڈاٹ پروڈکٹس کی تعداد اور عالمی متوقع آئجین ویلیو کے مسئلے کے سائز کو ہر تکرار پر-سے-سے-تک کم کر دیتا ہے۔ حوالہ مزید آگے جاتا ہے کہ ایل او بی پی سی جی الگورتھم کو ہر لگ بھگ آئجین ویکٹر پر الگ سے لاگو کیا جاتا ہے، یعنی، ہر مطلوبہ آئجین پیئر کے لیے ایل او بی پی سی جی طریقہ کار کے ان بلاک شدہ ورژن کو ایک مقررہ تعداد میں تکرار کے لیے چلانا۔ ان رنوں میں ریلی-رٹز کے طریقہ کار کو صرف 3 × 3 متوقع آئجن ویلیو کے مسائل کے ایک سیٹ کو حل کرنے کی ضرورت ہے۔ تمام مطلوبہ آئجین پیئرز کے لیے عالمی ریلیگ-رٹز طریقہ کار صرف وقتا فوقتا غیر مسدود ایل او بی پی سی جی تکرار کی ایک مقررہ تعداد کے اختتام پر لاگو ہوتا ہے۔ اس طرح کی تبدیلیاں اصل ایل او بی پی سی جی کے مقابلے میں کم مضبوط ہو سکتی ہیں۔ سنگل ویکٹر ایل او بی پی سی جی کی انفرادی طور پر چلنے والی شاخیں اس کے بجائے مسلسل تکراری راستوں کی پیروی نہیں کرسکتی ہیں اور اسی آئجین ویکٹر کے لیے نقل شدہ تخمینے پیدا کر سکتی ہیں۔ سنگل ویکٹر ایل او بی پی سی جی کلسٹرڈ آئجین ویلیوز کے لیے نامناسب ہو سکتا ہے، لیکن علیحدہ چھوٹے بلاک والے ایل او بی پی سی جی رنوں کے لیے تکرار کے عمل کے دوران خود بخود ان کے بلاک سائز کا تعین کرنے کی ضرورت ہوتی ہے کیونکہ آئجین ویلیوز کے کلسٹرز کی تعداد اور ان کے سائز ترجیحی طور پر نامعلوم ہو سکتے ہیں۔ کنورجنس تھیوری اور پریکٹس ایل او بی پی سی جی کی تعمیر کے ذریعے اس بات کی ضمانت دی جاتی ہے کہ ریلیگ کوشینٹ کو بلاک اسٹپیسٹ گریڈینٹ ڈیسنٹ سے سست نہیں کیا جائے گا، جس میں ایک جامع کنورجنس تھیوری ہے۔ ہر آئجین ویکٹر ریلیگ کوشیئنٹ کا ایک مستحکم نقطہ ہے، جہاں میلان غائب ہو جاتا ہے۔ اس طرح، گریڈیئنٹ کا نزول کسی بھی آئجین ویکٹر کے آس پاس سست ہو سکتا ہے، تاہم، اس بات کی ضمانت دی جاتی ہے کہ یا تو لکیری کنورجنس ریٹ کے ساتھ آئجین ویکٹر میں ضم ہو جائے گا یا، اگر یہ آئجین ویکٹر ایک سیڈل پوائنٹ ہے، تو تکراری ریلیگ کوشیئنٹ کے متعلقہ آئجین ویلیو سے نیچے گرنے اور نیچے اگلی آئجین ویلیو میں لکیری طور پر ضم ہونا شروع ہونے کا زیادہ امکان ہے۔ لکیری کنورجنس ریٹ کی بدترین قیمت کا تعین کیا گیا ہے اور اس کا انحصار آئجن ویلیو اور باقی میٹرکس سپیکٹرم کے درمیان رشتہ دار فرق اور اگر موجود ہو تو پری کنڈیشنر کے معیار پر ہوتا ہے۔ عام میٹرکس کے لیے، واضح طور پر آئجین ویکٹروں کی پیش گوئی کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے اور اس طرح ابتدائی تخمینے پیدا ہوتے ہیں جو ہمیشہ اچھی طرح سے کام کرتے ہیں۔ ایل او بی پی سی جی کی طرف سے تکراری حل ابتدائی آئجین ویکٹر کے تخمینوں کے لیے حساس ہو سکتا ہے، مثال کے طور پر، انٹرمیڈیٹ آئجین پیئرز کے گزرنے کے طور پر کم ہونے میں زیادہ وقت لگتا ہے۔ مزید برآں، نظریہ طور پر، کوئی بھی لازمی طور پر سب سے چھوٹے آئجن پیئر کے کنورجنس کی ضمانت نہیں دے سکتا، حالانکہ اس کمی کا امکان صفر ہے۔ صفر اوسط کے ساتھ ایک اچھے معیار کا بے ترتیب گوسی فنکشن عام طور پر ابتدائی تخمینے پیدا کرنے کے لیے ایل او بی پی سی جی میں ڈیفالٹ ہوتا ہے۔ ابتدائی تخمینوں کو طے کرنے کے لیے، بے ترتیب نمبر جنریٹر کے لیے ایک مقررہ بیج کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ لینکزوس طریقہ کار کے برعکس، ایل او بی پی سی جی شاذ و نادر ہی عملی طور پر غیر علامتی سپر لائنر کنورجنس ظاہر کرتا ہے۔ جزوی پرنسپل جزو تجزیہ (پی سی اے) اور سنگلر ویلیو ڈی کمپوزیشن (ایس وی ڈی) ایل او بی پی سی جی کو کئی سب سے بڑی واحد اقدار اور متعلقہ واحد ویکٹروں (جزوی ایس وی ڈی) کی گنتی کے لیے معمولی طور پر ڈھالا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر پی سی اے کی تکراری گنتی کے لیے، صفر اوسط والے ڈیٹا میٹرکس کے لیے، واضح طور پر کوویرینس میٹرکس کی گنتی کیے بغیر، یعنی۔ میٹرکس فری انداز میں۔ بنیادی حساب کوویرینس میٹرکس اور بلاک ویکٹر کے پروڈکٹ کے فنکشن کی تشخیص ہے جو بار بار مطلوبہ واحد ویکٹروں کا تخمینہ لگاتا ہے۔ پی سی اے کو کوویرینس میٹرکس کی سب سے بڑی آئجن ویلیوز کی ضرورت ہوتی ہے، جبکہ ایل او بی پی سی جی کو عام طور پر سب سے چھوٹے کا حساب لگانے کے لیے لاگو کیا جاتا ہے۔ ایک آسان کام یہ ہے کہ فنکشن کو مسترد کیا جائے، آئجین ویلیوز کی ترتیب کو تبدیل کیا جائے، کیونکہ ایل او بی پی سی جی کو اس بات کی پرواہ نہیں ہے کہ آئجین ویلیو کے مسئلے کا میٹرکس مثبت قطعی ہے یا نہیں۔ پی سی اے اور ایس وی ڈی کے لیے ایل او بی پی سی جی کو سائنس میں ترمیم 1.4.0 کے بعد سے لاگو کیا گیا ہے۔ عمومی سافٹ ویئر کے نفاذ ایل او بی پی سی جی کے موجد، اینڈریو کنیزیو نے پی ای ٹی ایس سی، ہائپر، اور متوازی درجہ بندی انکولی کثیر سطحی طریقہ (پی ایچ اے ایم ایل) کے انٹرفیس کے ساتھ بلاک لوکللی آپٹیمل پری کنڈیشنڈ آئجن ویلیو زولورز (بی ایل او پی ای ایکس) کے نام سے ایک حوالہ عمل درآمد شائع کیا۔ دیگر نفاذات دستیاب ہیں، مثال کے طور پر، گنو آکٹیو، میٹ لیب (بشمول تقسیم شدہ یا ٹائلنگ صفوں کے لیے)، جاوا، انسازی (ٹرلینوز)، ایس ایل ای پی سی، سائیپی، جولیا، میگما، پائٹورچ، رسٹ، اوپن ایم پی اور اوپن اے سی سی، کیوپی (سی یو ڈی اے کے ذریعے تیز کردہ ایک نمپی ہم آہنگ صف لائبریری)، گوگل جی اے ایکس، اور این ویڈیا اے ایم جی ایکس۔ ایل او بی پی سی جی کو ٹینسر فلو میں لاگو کیا گیا ہے، لیکن شامل نہیں کیا گیا ہے۔ ایپلی کیشنز ڈیٹا مائننگ سافٹ ویئر پیکیجز اسککیٹ لرن اور میگامن ایل او بی پی سی جی کا استعمال سپیکٹرم کلسٹرنگ کو پیمانے دینے اور لیپلاسیئن آئجن میپس کے ذریعے سیکھنے کو بڑے ڈیٹا سیٹوں تک کئی گنا بڑھانے کے لیے کرتے ہیں۔ این ویڈیا نے سی یو ڈی اے 8 میں متعارف کرائی گئی اپنی این وی جی آر اے پی ایچ لائبریری میں ایل او بی پی سی جی کو نافذ کیا ہے۔ اسفنکس، ایک ہائبرڈ تقسیم شدہ اور مشترکہ میموری سے فعال متوازی گراف پارٹیشنر-گراف پارٹیشننگ کا پہلا ٹول جو تقسیم شدہ میموری کی ترتیبات پر جی پی یو پر کام کرتا ہے-گراف پارٹیشننگ کے لیے سپیکٹرم کلسٹرنگ کا استعمال کرتا ہے، اناسازی پیکیج سے ایل او بی پی سی جی کا استعمال کرتے ہوئے گراف کے لیپلاسیئن میٹرکس پر آئجین ویکٹرز کا حساب لگاتا ہے۔ میٹریل سائنسز ایل او بی پی سی جی کو اے بی آئی این آئی ٹی (بشمول سی یو ڈی اے ورژن) اور آکٹوپس میں لاگو کیا جاتا ہے۔ اسے جاپان میں ارتھ سمیلیٹر سپر کمپیوٹر پر گورڈن بیل پرائز کے فائنلسٹوں نے ملٹی بلین سائز کے میٹرکس کے لیے استعمال کیا ہے۔ سپر کنڈکٹیویٹی کے پیچھے کے طریقہ کار کو سمجھنے کے لیے مضبوطی سے مربوط الیکٹران سسٹمز کے لیے ہبارڈ ماڈل کے کمپیوٹر اور ملٹی-جی پی یو سسٹمز پر ہیملٹنین کی زمینی حالت کا حساب لگانے کے لیے ایل او بی پی سی جی کا استعمال کرتا ہے۔ طیارہ لہر کی بنیاد کا استعمال کرتے ہوئے کوہن-شام مساوات اور کثافت فنکشنل تھیوری (ڈی ایف ٹی) کے لیے ایل او بی پی سی جی کے میٹ لیب اور جولیا ورژن موجود ہیں۔ حالیہ نفاذ میں ٹی ٹی پی وائی، پلاٹیپس-کیو ایم، ایم ایف ڈی این، اے سی ای-مالیکیول، ایل اے سی او این آئی سی شامل ہیں۔ بلوپیکس سے میکینکس اور فلوئڈز ایل او بی پی سی جی کا استعمال ملٹی لیول بیلنسنگ ڈومین ڈی کمپوزیشن بائی کنسٹرینٹس (بی ڈی ڈی سی) سولور لائبریری بی ڈی ڈی سی ایم ایل میں پری کنڈیشنر سیٹ اپ کے لیے کیا جاتا ہے، جسے اوپن ایف ٹی ایل (اوپن فائنائٹ عنصر ٹیمپلیٹ لائبریری) میں شامل کیا گیا ہے اور ٹوٹے ہوئے سوراخ دار میڈیا میں زیر زمین پانی کے بہاؤ، سولیوٹ اور حرارت کی نقل و حمل کے فلو 123 ڈی سمیلیٹر کو شامل کیا گیا ہے۔ ایل او بی پی سی جی کو ایل ایس-ڈی وائی این اے میں نافذ کیا گیا ہے۔ میکس ویل کی مساوات ایل او بی پی سی جی پی وائی ایف ای میکس اور اعلی کارکردگی والے ملٹی فزکس محدود عنصر سافٹ ویئر نیٹجن/این جی سولیو میں بنیادی آئجن ویلیو حل کرنے والوں میں سے ایک ہے۔ ہائپر سے ایل او بی پی سی جی کو محدود عنصر کے طریقوں ایم ایف ای ایم کے لیے اوپن سورس لائٹ ویٹ اسکیل ایبل سی + + لائبریری میں شامل کیا گیا ہے، جو بہت سے منصوبوں میں استعمال ہوتا ہے، بشمول BLAST، XBriade، VisIt، xSDK، سائنس میں فاسٹ میتھ انسٹی ٹیوٹ، اور ایکساسکل کمپیوٹنگ پروجیکٹ میں کو-ڈیزائن سینٹر فار ایفیشینٹ ایکساسکل ڈسکریٹائزیشنز (سی ای ای ڈی)۔ ڈینوائزنگ آئیٹریٹو ایل او بی پی سی جی پر مبنی لگ بھگ لو پاس فلٹر کو ڈینوائزنگ کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ دیکھیں، مثال کے طور پر، کل تغیر کو تیز کرنے کے لیے۔ سپیکٹرم کلسٹرنگ کے ذریعے امیج سیگمنٹشن پکسلز کے درمیان ایک وابستگی میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے کم طول و عرض کی سرایت انجام دیتا ہے، اس کے بعد کم جہتی جگہ میں آئجین ویکٹرز کے اجزاء کی کلسٹرنگ، مثال کے طور پر، دو طرفہ فلٹر کے لیے گراف لیپلاسیئن کا استعمال کرتے ہوئے۔ ملٹی گرڈ پری کنڈیشننگ کے ساتھ ایل او بی پی سی جی کے ذریعے سپیکٹرم گراف پارٹیشننگ کے ذریعے امیج سیگمنٹشن کی تجویز سب سے پہلے اور اصل میں اور میں کی گئی ہے۔ مؤخر الذکر نقطہ نظر کو بعد میں ازگر اسککیٹ لرن میں نافذ کیا گیا ہے جو گراف لیپلاسیئن کے لیے آئجین ویلیو کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے الجبرائی ملٹی گرڈ پری کنڈیشننگ کے ساتھ سائنس سے ایل او بی پی سی جی کا استعمال کرتا ہے۔ حوالہ جات بیرونی روابط آکٹیو میں میٹلاب میں ایل او بی پی سی جی میں ایل او بی پی سی جی جاوا میں سائنس میں ایل او بی پی سی جی میں گوگل کوڈ ایل او بی پی سی جی میں بلاک لوکللی آپٹیمل پری کنڈیشنڈ آئجن ویلیو زولورز (بی ایل او پی ای ایکس) گٹ ہب میں اور گوگل کوڈ عددی لکیری الجبرا سائنسی تخروپن سافٹ ویئر میں محفوظ کیا گیا