Quantum secret sharing
کوانٹم سیکرٹ شیئرنگ (کیو ایس ایس) محفوظ مواصلات کے لیے ایک کوانٹم کرپٹوگرافک اسکیم ہے جو سادہ کوانٹم کلیدی تقسیم سے آگے بڑھ جاتی ہے۔ یہ مواصلات کے لیے حتمی تحفظ حاصل کرنے کے لیے کوانٹم معلومات اور نو کلوننگ تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے کلاسیکی سیکرٹ شیئرنگ (سی ایس ایس) اسکیم میں ترمیم کرتا ہے۔ خفیہ اشتراک کا طریقہ ایک بھیجنے والے پر مشتمل ہوتا ہے جو متعدد وصول کنندگان کے ساتھ کسی راز کو اس طرح بانٹنا چاہتا ہے کہ راز صرف اس صورت میں مکمل طور پر ظاہر ہوتا ہے جب وصول کنندگان کا کافی بڑا حصہ مل کر کام کرے۔ تاہم، اگر کافی وصول کنندگان راز کو ظاہر کرنے کے لیے مل کر کام نہیں کرتے ہیں، تو راز مکمل طور پر نامعلوم رہتا ہے۔ کلاسیکی اسکیم آزادانہ طور پر آدی شمیر اور جارج بلیکلے نے 1979 میں تجویز کی تھی۔ 1998 میں، مارک ہلری، ولادمیر بوزیک، اور آندرے برتھیوم نے ایک محفوظ کلید قائم کرنے کے لیے کوانٹم ریاستوں کو استعمال کرنے کے لیے نظریہ کو بڑھایا جسے کلاسیکی ڈیٹا کے ذریعے راز منتقل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد کے سالوں میں، کریپٹوگرافک کلید کو قائم کرنے کے لیے صرف کوانٹم ریاستوں کا استعمال کرنے کے بجائے، کوانٹم کی معلومات کو راز کے طور پر منتقل کرنے کے لیے نظریہ کو بڑھانے کے لیے مزید کام کیا گیا۔ کیو ایس ایس کو کوانٹم منی کے ساتھ ساتھ مشترکہ چیکنگ اکاؤنٹس، کوانٹم نیٹ ورکنگ، اور تقسیم شدہ کوانٹم کمپیوٹنگ کے لیے استعمال کرنے کی تجویز پیش کی گئی ہے۔ پروٹوکول سب سے آسان کیس: جی ایچ زیڈ کا کہنا ہے کہ یہ مثال ہلیری اور دیگر کے ذریعہ وضع کردہ اصل اسکیم کی پیروی کرتی ہے۔ 1998 میں جو گرینبرگر-ہورن-زیلنگر (جی ایچ زیڈ) ریاستوں کا استعمال کرتا ہے۔ اس کے فورا بعد اسی طرح کی ایک اسکیم تیار کی گئی جس میں تین ذرات کی حالتوں کے بجائے دو ذرات سے جڑی ہوئی حالتوں کا استعمال کیا گیا۔ دونوں صورتوں میں، پروٹوکول بنیادی طور پر صرف ایک کے بجائے دو وصول کنندگان میں کوانٹم کلیدی تقسیم کی توسیع ہے۔ عام زبان کی پیروی کرتے ہوئے، بھیجنے والے کو ایلس اور دو وصول کنندگان کو باب اور چارلی کے طور پر ظاہر کیا جائے۔ ایلس کا مقصد ہر وصول کنندہ کو اپنی خفیہ کلید (واقعی صرف ایک کوانٹم حالت) کا "حصہ" اس طرح بھیجنا ہے کہ: نہ تو باب کے اور نہ ہی چارلی کے حصے میں ایلس کے اصل پیغام کے بارے میں کوئی معلومات موجود ہوں، اور اس لیے نہ ہی وہ خود ہی اس راز کو نکال سکتے ہیں۔ راز تب ہی نکالا جا سکتا ہے جب باب اور چارلی مل کر کام کریں، ایسی صورت میں راز مکمل طور پر سامنے آ جاتا ہے۔ راز ظاہر کیے بغیر کسی بیرونی جاسوسی کرنے والے یا بے ایمان وصول کنندہ (باب یا چارلی) کی موجودگی کا پتہ لگایا جا سکتا ہے۔ ایلس باب اور چارلی میں سے ہر ایک کے ساتھ (معیاری) زیڈ کی بنیاد پر جی ایچ زیڈ ٹرپلٹ سے ایک ذرہ بانٹ کر پروٹوکول کا آغاز کرتی ہے، خود تیسرے ذرہ کو پکڑ کر: جہاں اور ایک صوابدیدی ہلبرٹ اسپیس میں آرتھوگنل موڈ ہیں۔ ہر شریک کے X-یا Y-بنیاد (بے ترتیب طور پر منتخب) میں اپنے ذرہ کی پیمائش کرنے کے بعد، وہ (ایک کلاسیکی، عوامی چینل کے ذریعے) اشتراک کرتے ہیں کہ وہ پیمائش کرنے کے لیے کس بنیاد پر استعمال کرتے تھے، لیکن خود نتیجہ نہیں۔ اپنے پیمائش کے نتائج کو یکجا کرنے پر، باب اور چارلی اندازہ لگا سکتے ہیں کہ ایلس نے 50 فیصد وقت کیا ناپا۔ اس عمل کو کئی بار دہراتے ہوئے، اور ایک چھوٹے حصے کا استعمال کرتے ہوئے اس بات کی تصدیق کرنے کے لیے کہ کوئی بدنیتی پر مبنی اداکار موجود نہیں ہیں، تینوں شرکاء محفوظ طریقے سے بات چیت کے لیے مشترکہ کلید قائم کر سکتے ہیں۔ یہ کیسے کام کرے گا اس کی واضح مثال کے لیے درج ذیل پر غور کریں۔ آئیے x اور y آئجین اسٹیٹس کی وضاحت درج ذیل، معیاری طریقے سے کرتے ہیں: اس کے بعد GHZ حالت کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، جہاں (a، b، c) ذرات (ایلس، باب، چارلی) کی نشاندہی کرتے ہیں اور ایلس اور باب کی حالتوں کو ایکس کی بنیاد پر لکھا گیا ہے۔ اس شکل کا استعمال کرتے ہوئے، یہ واضح ہے کہ ان کا وجود ایلس اور باب کی پیمائش اور چارلی کی واحد ذرہ حالت کے درمیان ایک ارتباط ہے: اگر ایلس اور باب کے باہمی نتائج ہیں تو چارلی کی حالت ہے اور اگر ایلس اور باب کے متضاد نتائج ہیں تو چارلی کی حالت ہے۔ ان ارتباط کا خلاصہ کرنے والی میز سے یہ واضح ہے کہ ایلس اور باب کی پیمائش کی بنیاد کو جان کر، چارلی اپنے پیمائش کے نتائج کا استعمال کر کے یہ اندازہ لگا سکتا ہے کہ آیا ایلس اور باب کے نتائج ایک جیسے تھے یا مخالف۔ تاہم نوٹ کریں کہ یہ کٹوتی کرنے کے لیے، چارلی کو اپنے ذرہ کی پیمائش کے لیے درست پیمائش کی بنیاد کا انتخاب کرنا چاہیے۔ چونکہ وہ بے ترتیب طور پر دو غیر مواصلاتی اڈوں کے درمیان انتخاب کرتا ہے، اس لیے وہ صرف آدھے وقت میں ہی مفید معلومات حاصل کر سکے گا۔ دوسرے نصف وقت میں نتائج کو رد کرنا ضروری ہے۔ مزید برآں، میز سے کوئی یہ دیکھ سکتا ہے کہ چارلی کے پاس اس بات کا تعین کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے کہ کس نے کیا ناپا، صرف اس صورت میں جب ایلس اور باب کے نتائج باہمی تعلق یا متضاد تھے۔ اس طرح چارلی کے لیے ایلس کی پیمائش کا پتہ لگانے کا واحد طریقہ باب کے ساتھ مل کر کام کرنا اور اپنے نتائج شیئر کرنا ہے۔ ایسا کرنے میں، وہ ہر پیمائش کے لیے ایلس کے نتائج نکال سکتے ہیں اور اس معلومات کو ایک کرپٹوگرافک کلید بنانے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں جسے صرف وہ جانتے ہیں۔ ((کے، این)) تھریشولڈ اسکیم اوپر بیان کردہ سادہ کیس کو اسی طرح بڑھایا جا سکتا ہے جو شمیر اور بلیکلے نے سی ایس ایس میں ایک تھریشولڈنگ اسکیم کے ذریعے کیا تھا۔ دہلیز اسکیم (کوانٹم اسکیم کی نشاندہی کرنے والے ڈبل قوسین) میں، ایلس اپنی خفیہ کلید (کوانٹم اسٹیٹ) کو n حصص میں اس طرح تقسیم کرتی ہے کہ مکمل معلومات حاصل کرنے کے لیے کسی بھی k ≤ n حصص کی ضرورت ہوتی ہے لیکن k-1 یا اس سے کم حصص ایلس کی کلید کے بارے میں کوئی معلومات نہیں نکال سکتے۔ راز کو نکالنے کے لیے درکار صارفین کی تعداد پابند ہے۔ غور کریں، اگر n میں k کے دو جداگانہ سیٹوں پر ایک حد اسکیم کا اطلاق کیا جاتا ہے، تو ایلس کے راز کی دو آزاد کاپیاں دوبارہ تعمیر کی جا سکتی ہیں۔ یہ یقینا نو کلوننگ تھیوریم کی خلاف ورزی کرے گا اور اسی وجہ سے n کو 2k سے کم ہونا چاہیے۔ جب تک ایک حد کی اسکیم موجود ہے، صرف ایک حصہ ضائع کر کے ایک حد کی اسکیم بنائی جا سکتی ہے۔ یہ طریقہ k = n تک دہرایا جا سکتا ہے۔ مندرجہ ذیل میں ایک سادہ ((2,3)) حد کی اسکیم کا خاکہ پیش کیا گیا ہے، اور حصص کی تعداد بڑھا کر زیادہ پیچیدہ اسکیموں کا تصور کیا جا سکتا ہے۔ ایلس اپنی اصل حالت کو اس میں تقسیم کرتی ہے: ایلس پر غور کریں جو واحد قترت حالت سے شروع ہوتی ہے اور پھر اسے تین قترت پر نقش کرتی ہے اور 3 وصول کنندگان میں سے ہر ایک کے ساتھ ایک قترت بانٹتی ہے۔ یہ واضح ہے کہ ایک حصہ ایلس کی اصل حالت کے بارے میں کوئی معلومات نہیں دیتا، کیونکہ ہر حصہ زیادہ سے زیادہ مخلوط حالت میں ہے۔ تاہم، ایلس کی اصل حالت کی تشکیل نو کے لیے دو حصص استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ پہلے دو حصص دیے گئے ہیں۔ پہلے حصص کو دوسرے میں شامل کریں (ماڈیولو تین) اور پھر دوسرے حصص کی نئی قیمت کو پہلے میں شامل کریں۔ نتیجے میں آنے والی حالت وہ ہے جہاں پہلی قترت بالکل ایلس کی اصل حالت ہے۔ اس طریقہ کار کے ذریعے، بھیجنے والے کی اصل حالت کو وصول کنندگان کے ذرات میں سے کسی ایک پر دوبارہ تعمیر کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ بہت ضروری ہے کہ اس تعمیر نو کے عمل کے دوران کوئی پیمائش نہ کی جائے یا کوانٹم حالت کے اندر کوئی سپرپوزیشن ختم ہو جائے۔ سیکیورٹی کیو ایس ایس کی سیکیورٹی ممکنہ جاسوسی کرنے والوں کے ساتھ ساتھ بے ایمان صارفین سے بچانے کے لیے نو کلوننگ تھیوریم پر انحصار کرتی ہے۔ یہ سیکشن اوپر بیان کردہ دو ذرات کے الجھاؤ کے پروٹوکول کو اپناتا ہے۔ کیو ایس ایس کی جاسوسی کوانٹم کلیدی تقسیم کی طرح ہی جاسوسی کے خلاف تحفظ کا وعدہ کرتی ہے۔ ایک جاسوسی کرنے والے، ایو پر غور کریں، جس کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ وہ کیو ایس ایس پروٹوکول میں استعمال ہونے والی کوانٹم حالتوں کو مکمل طور پر امتیازی سلوک کرنے اور تخلیق کرنے کی صلاحیت رکھتا ہے۔ ایو کا مقصد وصول کنندگان (جیسے باب کے) حصص میں سے کسی ایک کو روکنا، اس کی پیمائش کرنا، پھر ریاست کو دوبارہ تخلیق کرنا اور اسے اس شخص کو بھیجنا ہے جس کے لیے ابتدائی طور پر حصص کا ارادہ کیا گیا تھا۔ اس طریقہ کار کے ساتھ مسئلہ یہ ہے کہ حو کو بے ترتیب طور پر پیمائش کرنے کے لیے ایک بنیاد کا انتخاب کرنے کی ضرورت ہے، اور آدھا وقت وہ غلط بنیاد کا انتخاب کرے گی۔ جب وہ صحیح بنیاد کا انتخاب کرے گی، تو وہ یقین کے ساتھ پیمائش کا صحیح نتیجہ حاصل کرے گی اور اس حالت کو دوبارہ تخلیق کر سکتی ہے جسے اس نے ناپا تھا اور اسے باب کو اس کی موجودگی کا پتہ لگائے بغیر بھیج سکتی ہے۔ تاہم، جب وہ غلط بنیاد کا انتخاب کرتی ہے، تو وہ غلط بنیاد سے دونوں میں سے ایک ریاست کو بھیجے گی۔ باب اس حالت کی پیمائش کرے گا جو اس نے اسے بھیجی تھی اور آدھے وقت میں یہ صحیح پتہ چل جائے گا، لیکن صرف اس وجہ سے کہ غلط بنیاد سے ریاست صحیح بنیاد پر دونوں ریاستوں کی مساوی سپرپوزیشن ہے۔ اس طرح، آدھا وقت جب ایوا غلط بنیاد پر پیمائش کرتی ہے اور اس وجہ سے غلط حالت بھیجتی ہے، باب غلط حالت کی پیمائش کرے گا۔ ایو کی طرف سے یہ مداخلت اضافی 25 ٪ ٹرائلز پر پروٹوکول میں غلطی کا باعث بنتی ہے۔ لہذا، کافی پیمائش کے ساتھ، نظریہ کی طرف سے پیش گوئی کردہ 50 فیصد امکان کے بجائے 75 فیصد امکان کے ساتھ ہونے والی پروٹوکول کی غلطیوں سے محروم ہونا تقریبا ناممکن ہوگا، اس طرح یہ اشارہ ہوتا ہے کہ مواصلاتی چینل کے اندر ایک جاسوسی ہے۔ انسیلا اسٹیٹس کا استعمال کرتے ہوئے زیادہ پیچیدہ جاسوسی کرنے کی حکمت عملی انجام دی جا سکتی ہے، لیکن جاسوسی کرنے والا اب بھی اسی طرح سے پتہ لگانے کے قابل ہوگا۔ بے ایمان شریک اب، اس معاملے پر غور کریں جہاں پروٹوکول کے شرکاء میں سے ایک (جیسے باب) دوسرے شرکاء کو آگاہ کیے بغیر راز حاصل کرنے کی کوشش کر کے بدنیتی پر مبنی صارف کے طور پر کام کر رہا ہے۔ امکانات کا تجزیہ کرتے ہوئے، کوئی یہ سیکھتا ہے کہ اس مناسب ترتیب کا انتخاب کرنا جس میں باب اور چارلی جاسوسی کے لیے جانچ کرتے وقت اپنی پیمائش کے اڈے اور نتائج جاری کرتے ہیں، کسی بھی دھوکہ دہی کا پتہ لگانے کا وعدہ کر سکتا ہے جو ہو سکتی ہے۔ مناسب آرڈر یہ نکلتا ہے: وصول کنندہ 1 پیمائش کے نتائج جاری کرتا ہے۔ وصول کنندہ 2 پیمائش کے نتائج جاری کرتا ہے۔ وصول کنندہ 2 پیمائش کی بنیاد جاری کرتا ہے۔ وصول کنندہ 1 پیمائش کی بنیاد جاری کرتا ہے۔ یہ آرڈر وصول کنندہ 2 کو یہ جاننے سے روکتا ہے کہ دوسرے شرکاء کو دھوکہ دینے کے لیے کون سی بنیاد شیئر کرنی ہے کیونکہ وصول کنندہ 2 کو ابھی تک یہ معلوم نہیں ہے کہ کس بنیاد پر وصول کنندہ 1 کا اعلان کرنے والا ہے۔ اسی طرح، چونکہ وصول کنندہ 1 کو پہلے اپنے نتائج جاری کرنے ہوتے ہیں، اس لیے وہ اس بات پر قابو نہیں رکھ سکتے کہ آیا استعمال شدہ اڈوں کے درست امتزاج کے لیے پیمائش کا باہمی تعلق ہونا چاہیے یا مخالف۔ اس طرح، بے ایمانانہ طور پر کام کرنے سے جاسوسی کے جانچ کے مرحلے میں غلطیاں متعارف ہوں گی چاہے بے ایمان شریک وصول کنندہ 1 ہو یا وصول کنندہ 2۔ اس طرح اعداد و شمار کو جاری کرنے کا حکم احتیاط سے منتخب کیا جانا چاہیے تاکہ کسی بھی بے ایمان صارف کو دوسرے شرکاء کی نظر میں آئے بغیر راز حاصل کرنے سے روکا جا سکے۔ تجرباتی احساس یہ سیکشن 2001 میں کیو ایس ایس کے پہلے تجرباتی مظاہرے کی پیروی کرتا ہے جسے کوانٹم آپٹکس کی تکنیکوں میں پیشرفت کے ذریعے ممکن بنایا گیا تھا۔ جی ایچ زیڈ ریاستوں کا استعمال کرتے ہوئے کیو ایس ایس کے لیے اصل خیال کو نافذ کرنا زیادہ مشکل تھا کیونکہ غیر لکیری یا تین فوٹون پوزیٹرونیم کے خاتمے کے ساتھ نیچے تبدیلی کے عمل کے ذریعے تین ذرات کے ارتباط پیدا کرنے میں دشواریوں کی وجہ سے، یہ دونوں ہی نایاب واقعات ہیں۔ اس کے بجائے، اصل تجربہ دو ذرات کی اسکیم کے ذریعے ایک معیاری بے ساختہ پیرامیٹرک ڈاؤن کنورژن (ایس پی ڈی سی) عمل کا استعمال کرتے ہوئے کیا گیا تھا جس میں تیسرا مربوط فوٹون پمپ فوٹون تھا۔ تجرباتی سیٹ اپ مندرجہ ذیل کام کرتا ہے: ایلس: وقت پر خارج ہونے والا ایک پلسڈ لیزر غیر مساوی راستے کی لمبائی والے انٹرفیرومیٹر میں اس طرح داخل ہوتا ہے کہ پمپ کو مساوی طول و عرض کے ساتھ دو الگ الگ عارضی دالوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ انٹرفیرومیٹر کے ایک بازو میں دونوں بازوؤں کے مرحلے کے فرق کو کنٹرول کرنے کے لیے ایک فیز شفٹر ہوتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ پمپ کی دالوں کو غیر لکیری کرسٹل پر مرکوز کیا جاتا ہے جہاں کچھ پمپ فوٹون ایس پی ڈی سی کے ذریعے فوٹون جوڑوں میں تبدیل ہو جاتے ہیں۔ اس کے بعد ایس پی ڈی سی کے جوڑے تقسیم ہو جاتے ہیں، جن میں سے ایک کو باب اور دوسرے کو چارلی کے پاس بھیجا جاتا ہے۔ باب اور چارلی: دونوں ریسیورز کے پاس ایلس کے استعمال کردہ انٹرفیرومیٹر جیسے ہی انٹرفیرومیٹر ہوتے ہیں کہ دونوں بازوؤں کے درمیان بالکل ایک ہی وقت کا فرق حاصل ہوتا ہے اور ہر ایک میں باب اور چارلی کے لیے ایک فیز شفٹر ہوتا ہے۔ ہر انٹرفیرومیٹر کے مختلف ممکنہ راستے تین الگ الگ وقت کے فرق کا باعث بنتے ہیں جب ایلس کے پمپ پلس کا اخراج ہوتا ہے اور جب باب اور چارلی کے ایس پی ڈی سی فوٹون کا پتہ چلتا ہے (اور، بالترتیب)، نیز باب اور چارلی کے ڈٹیکٹرز میں سے ہر ایک پر پتہ لگانے کے درمیان تین وقت کے فرق ہوتے ہیں۔ جہاں X اور Y مختصر راستے کے لیے یا تو 'S' ہیں یا طویل راستے کے لیے 'L' اور i اور j شریک کے انٹرفیرومیٹر کو لیبل کرنے کے لیے 'A'، 'B'، یا 'C' میں سے ایک ہیں، اس اشارے کا استعمال کرتے ہوئے دو شرکاء کے کسی بھی امتزاج کے لیے لیے گئے من مانی راستے کو بیان کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اور جہاں جے یا تو 'بی' یا 'سی' ہے وہ ناقابل تفرقہ عمل ہیں کیونکہ دونوں عملوں کے درمیان وقت کا فرق بالکل ایک جیسا ہے۔ یہی بات ریاضیاتی طور پر ان ناقابل تفرقہ عمل کے لیے بھی درست ہے اور ان کی وضاحت کرتی ہے، جسے "فرضی-جی ایچ زیڈ حالت" کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جہاں حقیقی جی ایچ زیڈ حالت سے فرق یہ ہے کہ تینوں فوٹون بیک وقت موجود نہیں ہیں۔ بہر حال، ٹرپل "اتفاقات" کو بالکل اسی امکانی فنکشن کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے جیسا کہ حقیقی جی ایچ زیڈ حالت کے لیے ہوتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کیو ایس ایس اس 2 ذرات کے منبع کے لیے بالکل ویسا ہی کام کرے گا۔ مراحل کو ترتیب دے کر اور یا تو 0 پر یا اسی طرح جیسے دو فوٹون بیل ٹیسٹ، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ یہ سیٹ اپ تین ذرات کے لیے بیل قسم کی عدم مساوات کی خلاف ورزی کرتا ہے، جہاں فیز شفٹر کی ترتیبات کے ساتھ اتفاق کی پیمائش کے لیے متوقع قیمت ہے۔ اس تجربے کے لیے، بیل قسم کی عدم مساوات کی خلاف ورزی کی گئی، جس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ سیٹ اپ کوانٹم غیر لوکلٹی کو ظاہر کرتا ہے۔ اس بنیادی تجربے سے پتہ چلتا ہے کہ اس سیٹ اپ سے کوانٹم ارتباط درحقیقت امکانی فنکشن کے ذریعے بیان کیے گئے ہیں۔ ایس پی ڈی سی ماخذ کی سادگی روایتی تین فوٹون الجھاؤ کے ذرائع کے مقابلے میں بہت زیادہ شرحوں پر اتفاق کی اجازت دیتی ہے، جس سے کیو ایس ایس زیادہ عملی ہو جاتا ہے۔ یہ کیو ایس ایس پروٹوکول کی فزیبلٹی کو ثابت کرنے والا پہلا تجربہ تھا۔ حوالہ جات کوانٹم کرپٹوگرافی