Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative
مسلسل اور مجرد دونوں صورتوں کے لیے مختلف باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ دوسرے مشتق کے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کے لیے واضح فارمولے فراہم کیے جاتے ہیں۔ مجرد صورت میں، دوسرے مشتق کا معیاری مرکزی فرق تخمینہ یکساں گرڈ پر استعمال ہوتا ہے۔ یہ فارمولے متغیرات کی علیحدگی کی صورت میں لیپلاسیئن کے آئجین فنکشنز کے لیے تاثرات حاصل کرنے کے ساتھ ساتھ ایک باقاعدہ گرڈ پر کثیر جہتی مجرد لیپلاسیئن کے آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں، جسے ایک جہت میں مجرد لیپلاسیئنز کے کرونکر مجموعہ کے طور پر پیش کیا جاتا ہے۔ مسلسل کیس انڈیکس جے جے ایچ آئجین ویلیو یا آئجین ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے اور 1 سے 1 تک چلتا ہے۔ فرض کریں کہ مساوات کی وضاحت ڈومین پر کی گئی ہے، مندرجہ ذیل آئجن ویلیوز اور نارملائزڈ آئجن ویکٹر ہیں۔ آئجین ویلیوز کو نزولی ترتیب میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ پیور ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز پیور نیومن باؤنڈری کنڈیشنز پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز (یعنی: ایک سادہ آئجن ویلیو ہے اور مزید تمام آئجن ویلیوز، ہر ایک کے ذریعے ضرب 2 کے ساتھ دی جاتی ہیں)۔ مکسڈ ڈیرچلیٹ-نیومین باؤنڈری کنڈیشنز مکسڈ نیومین-ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز ڈسکرٹ کیس نوٹیشن: انڈیکس جے جے آئجین ویلیو یا آئجین ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ انڈیکس i ایک آئجین ویکٹر کے ith جزو کی نمائندگی کرتا ہے۔ i اور j دونوں 1 سے n تک جاتے ہیں، جہاں میٹرکس کا سائز n x n ہوتا ہے۔ آئجین ویکٹر کو نارمل کیا جاتا ہے۔ آئجین ویلیوز کو نزولی ترتیب میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ پیور ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز پیور نیومن باؤنڈری کنڈیشنز پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز (نوٹ کریں کہ آئجین ویلیوز کو دہرایا جاتا ہے سوائے 0 کے اور سب سے بڑا اگر n ایون ہے۔) مخلوط ڈیرچلیٹ-نیومین باؤنڈری کنڈیشن مخلوط نیومین-ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز ڈسکریٹ کیس ڈیرچلیٹ کیس میں آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز کا مشتق 1D ڈسکریٹ کیس میں ڈیرچلیٹ باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ، ہم دوبارہ ترتیب دینے والی شرائط کو حل کر رہے ہیں، اب ہمیں مل جاتا ہے۔ نیز، یہ فرض کرتے ہوئے کہ ہم کسی بھی غیر صفر اسکیلر کے ذریعے آئجین ویکٹر کو اسکیل کر سکتے ہیں، اس طرح اسکیل کریں۔ پھر ہم تکرار کو ایک غیر متعین کے طور پر دیکھتے ہوئے پاتے ہیں، جہاں دوسری قسم کا kth چیبیشیف کثیر الجہتی ہے۔ چونکہ، ہم اسے حاصل کرتے ہیں۔ یہ واضح ہے کہ ہمارے مسئلے کی آئجن ویلیوز دوسری قسم کے n ویں چیبیشیف کثیر الجہتی کے صفر ہوں گے، تعلق کے ساتھ۔ یہ صفر معروف ہیں اور یہ ہیں: ان کو فارمولے میں جوڑنا، اور آسان بنانے کے لیے ٹرگ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہم نیومن کیس تلاش کرتے ہیں۔ نیومن کیس میں، ہم حل کر رہے ہیں۔ اسٹینڈرڈ ڈسکریٹائزیشن میں، ہم متعارف کراتے ہیں اور وضاحت کرتے ہیں۔ باؤنڈری کنڈیشنز اس کے مساوی ہیں۔ اگر ہم متغیرات کی تبدیلی کرتے ہیں، تو ہم درج ذیل حاصل کر سکتے ہیں: باؤنڈری کنڈیشنز ہونے کے ساتھ۔ اندرونی گرڈ پوائنٹس اور گرڈ کے فاصلے کے ساتھ یہ قطعی طور پر ڈیرچلیٹ فارمولا ہے۔ جیسا کہ ہم نے اوپر دیکھا، فرض کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے یہ ہمیں آئجین ویلیوز دیتا ہے اور وہاں ہیں۔ اگر ہم اس مفروضے کو چھوڑ دیں کہ، ہمیں پتہ چلتا ہے کہ اس کے ساتھ ایک حل بھی ہے اور یہ آئجن ویلیو سے مطابقت رکھتا ہے۔ مندرجہ بالا فارمولے میں اشاریہ جات کو دوبارہ لیبل کرنا اور صفر آئجن ویلیو کے ساتھ مل کر، ہم حاصل کرتے ہیں، ڈیرچلیٹ-نیومن کیس ڈیرچلیٹ-نیومن کیس کے لیے، ہم حل کر رہے ہیں، جہاں ہمیں معاون متغیرات متعارف کرانے کی ضرورت ہے۔ تکرار پر غور کریں۔ نیز، ہم جانتے ہیں اور فرض کرتے ہیں، ہم پیمائش کر سکتے ہیں تاکہ ہم بھی لکھ سکیں۔ ان تینوں مساوات کے صحیح امتزاج کو لے کر، ہم حاصل کر سکتے ہیں۔ اور اس طرح ہماری نئی تکرار ہمارے آئجن ویلیو کے مسئلے کو حل کر دے گی جب حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے۔ اور ہماری نیومن باؤنڈری کنڈیشن کے ساتھ مل کر، ہمارے پاس ایک معروف فارمولا ہے جو پہلی قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی کا تعلق دوسری قسم کے کثیر الجہتی سے کرتا ہے۔ اس طرح ہماری آئجن ویلیوز اس کثیر الجہتی کے صفر کو بھی حل کرتی ہیں اور اس طرح نوٹ کریں کہ ان اقدار میں سے 2n + 1 ہیں، لیکن صرف پہلا n + 1 منفرد ہے۔ (n + 1) واں ویلیو ہمیں آئجین ویلیو 0 کے ساتھ آئجین ویکٹر کے طور پر صفر ویکٹر دیتی ہے، جو کہ معمولی ہے۔ یہ اصل تکرار پر واپس آکر دیکھا جا سکتا ہے۔ لہذا ہم ان اقدار میں سے صرف پہلے n کو ڈیرچلیٹ-نیومن مسئلہ کی n آئجن ویلیوز سمجھتے ہیں۔ حوالہ جات آپریٹر تھیوری میٹرکس تھیوری عددی تفریق مساوات محدود اختلافات