Reversible cellular automaton
ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் என்பது ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமாகும், இதில் ஒவ்வொரு உள்ளமைவும் ஒரு தனித்துவமான முன்னோடியைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது, இது செல்களின் வழக்கமான கட்டமாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நிலைகளின் தொகுப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு நிலையைக் கொண்டுள்ளன, அனைத்து செல்களையும் அவற்றின் அண்டை நிலைகளின் அடிப்படையில் ஒரே நேரத்தில் புதுப்பிப்பதற்கான ஒரு விதியுடன், ஒரு புதுப்பிப்புக்கு முன் எந்த செல்லின் முந்தைய நிலையும் அனைத்து செல்களின் புதுப்பிக்கப்பட்ட நிலைகளிலிருந்து தனித்தனியாக தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தின் நேர-தலைகீழ் இயக்கவியலை எப்போதும் மற்றொரு செல்லுலார் தானியங்கி விதியால் விவரிக்க முடியும், ஒருவேளை மிகப் பெரிய சுற்றுப்புறத்தில். செல்லுலார் தானியங்கி விதிகளை மாற்றியமைக்க பல முறைகள் அறியப்படுகின்றன; இதில் தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி முறை அடங்கும், இதில் ஒவ்வொரு புதுப்பிப்பும் செல்களை தொகுதிகளாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் தனித்தனியாக ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இரண்டாவது வரிசை செல்லுலார் தானியங்கி முறை, இதில் புதுப்பிப்பு விதி தானியங்கியின் முந்தைய இரண்டு படிகளிலிருந்து நிலைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. ஒரு தானியங்கி இயந்திரம் இந்த முறைகளில் ஒன்றால் வரையறுக்கப்படாமல், அதற்கு பதிலாக ஒரு விதி அட்டவணையாக கொடுக்கப்படும்போது, அது மீளக்கூடியதா என்பதைச் சோதிக்கும் சிக்கல் தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி மற்றும் ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கி ஆகியவற்றிற்கு தீர்க்கக்கூடியது, ஆனால் மற்ற வகைகளுக்கு தீர்மானிக்க முடியாதது செல்லுலார் தானியங்கி. மாற்றியமைக்கக்கூடிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா என்பது மாற்றியமைக்கக்கூடிய கணினியின் இயற்கையான மாதிரியை உருவாக்குகிறது, இது அல்ட்ரா-லோ-பவர் கம்ப்யூட்டிங் சாதனங்களுக்கு வழிவகுக்கும் தொழில்நுட்பமாகும். குவாண்டம் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா, குவாண்டம் இயக்கவியலின் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான ஒரு வழி, பெரும்பாலும் மீளக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும். கூடுதலாக, ஒரு சிறந்த வாயுவில் உள்ள துகள்களின் இயக்கம் அல்லது காந்த கட்டணங்களின் சீரமைப்பின் ஐசிங் மாதிரி போன்ற இயற்பியல் மாதிரியில் உள்ள பல சிக்கல்கள் இயற்கையாகவே மாற்றியமைக்கக்கூடியவை மற்றும் மீளக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி மூலம் உருவகப்படுத்தப்படலாம். அவற்றின் முழு உள்ளமைவு இடத்திலும் தலைகீழாக மாற்ற முடியாத செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவைப் படிக்க தலைகீழாக மாற்றுவது தொடர்பான பண்புகள் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் அவை உள்ளமைவு இடத்தின் துணைக்குழுவை ஒரு கவர்ச்சியாகக் கொண்டுள்ளன, அவை ஆரம்பத்தில் சீரற்ற உள்ளமைவுகள் அனைத்தும் ஒன்றிணைகின்றன. ஸ்டீபன் வொல்ப்ராம் எழுதுவது போல், "ஒரு முறை ஒரு கவர்ச்சிகரமான நிலையில், எந்தவொரு அமைப்பும்-அதற்கு மாற்றியமைக்கக்கூடிய அடிப்படை விதிகள் இல்லாவிட்டாலும்-ஏதோ ஒரு வகையில் தோராயமான தலைகீழ் தன்மையைக் காட்ட வேண்டும்". எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு பரிமாண தானியங்கி ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் அதன் செல்கள் (பெரும்பாலும் ஒரு அல்லது இரு பரிமாண வரிசை), ஒவ்வொரு செல்லிலும் செல்லக்கூடிய வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகள் அல்லது நிலைகள், ஒவ்வொரு செல்லையும் அருகிலுள்ள செல்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புடன் இணைக்கும் ஒரு சுற்றுப்புறம் மற்றும் அனைத்து செல்களின் மதிப்புகளும் ஒரே நேரத்தில், அவற்றின் அண்டை செல்களின் மதிப்புகளின் செயல்பாடாக புதுப்பிக்கப்படும் ஒரு புதுப்பிப்பு விதி ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது. எளிமையான சாத்தியமான செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா ஒரு பரிமாண செல்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பைனரி மதிப்பை (0 அல்லது 1) வைத்திருக்க முடியும், ஒவ்வொரு செல்லும் அதை மட்டுமே கொண்ட ஒரு சுற்றுப்புறத்தையும், இருபுறமும் அதன் இரண்டு அருகிலுள்ள செல்களையும் கொண்டுள்ளன; இவை அடிப்படை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய தானியங்கி இயந்திரத்திற்கான புதுப்பிப்பு விதி ஒவ்வொரு கலமும் எப்போதும் ஒரே நிலையில் இருக்க காரணமாக இருந்தால், தானியங்கி இயந்திரம் தலைகீழாக மாறும்ஃ அனைத்து கலங்களின் முந்தைய நிலையையும் அவற்றின் தற்போதைய நிலைகளிலிருந்து மீட்டெடுக்க முடியும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு கலத்திற்கும் முந்தைய மற்றும் தற்போதைய நிலைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இதேபோல், புதுப்பிப்பு விதி ஒவ்வொரு கலத்தையும் அதன் நிலையை 0 முதல் 1 ஆகவும், நேர்மாறாகவும் மாற்றுகிறது என்றால், அல்லது ஒரு செல் ஒரு நிலையான அண்டை கலத்திலிருந்து நிலையை நகலெடுக்க காரணமாக இருந்தால், அல்லது அது ஒரு நிலையை நகலெடுத்து அதன் மதிப்பை மாற்றியமைக்க காரணமாக இருந்தால், அது அவசியம் தலைகீழாக மாறும். இந்த வகையான தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவை அழைக்கவும், இதில் ஒவ்வொரு கலத்தின் நிலையும் ஒரு அண்டை கலத்தின் முந்தைய நிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, "அற்பமானது". அதன் எளிமை இருந்தபோதிலும், ஒவ்வொரு கலமும் அண்டை கலத்தின் நிலையை நகலெடுக்கும் புதுப்பிப்பு விதி குறியீட்டு இயக்கவியல் கோட்பாட்டில் முக்கியமானது, அங்கு இது ஷிப்ட் மேப் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சற்று குறைவாக, செல்கள் மீண்டும் ஒரு பரிமாண வரிசையை உருவாக்குகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் ஒவ்வொரு நிலையும் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி (l, r) ஆகும், இதில் இடது பகுதி l மற்றும் வலது பகுதி r ஆகியவை உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் சாத்தியமான மதிப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து பெறப்படுகின்றன. ஒரு கலத்தின் இடது பகுதியை அதன் இடது பக்கத்து இடமாகவும், ஒரு கலத்தின் வலது பகுதியை அதன் வலது பக்கத்து வலது பகுதியாகவும் அமைக்கும் ஒரு மாற்றம் செயல்பாட்டை வரையறுக்கவும். அதாவது, இடது பக்கத்து நிலையும் வலது பக்கத்து நிலையும் இருந்தால், ஒரு கலத்தின் புதிய நிலை என்பது சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஜோடி வாரியான செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இந்த நிலைகளை இணைப்பதன் விளைவாகும். இந்த கட்டுமானத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு விளக்கப்படத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் இடது பகுதி வரைபடமாக ஒரு வடிவமாகவும், வலது பகுதி ஒரு நிறமாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது; இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஒவ்வொரு கலமும் அதன் இடது பக்கத்து வடிவம் மற்றும் அதன் வலது பக்கத்து நிறத்துடன் புதுப்பிக்கப்படுகிறது. பின்னர் இந்த தானியங்கி இயந்திரம் மாற்றியமைக்கக்கூடியதுஃ ஒவ்வொரு ஜோடியின் இடது பக்கத்தில் உள்ள மதிப்புகள் வலதுபுறம் இடம்பெயர்கின்றன, வலது பக்கத்தில் உள்ள மதிப்புகள் இடதுபுறம் இடம்பெயர்கின்றன, எனவே ஒவ்வொரு கலத்தின் முந்தைய நிலையையும் அண்டை செல்களில் இந்த மதிப்புகளைத் தேடுவதன் மூலம் மீட்டெடுக்க முடியும். இந்த தானியங்கி இயந்திரத்தில் ஜோடி நிலைகளை இணைக்கப் பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாடு செவ்வக பட்டை எனப்படும் இயற்கணித கட்டமைப்பை உருவாக்குகிறது. தசம எண்களை இரண்டு அல்லது ஐந்து ஆல் பெருக்குவது ஒரு செல்லின் பத்து நிலைகளுடன் (பத்து தசம இலக்கங்கள்) ஒரு பரிமாண மீளக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி மூலம் செய்யப்படலாம். தயாரிப்பின் ஒவ்வொரு இலக்கமும் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணில் உள்ள இரண்டு இலக்கங்களின் சுற்றுப்புறத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளதுஃ அதே நிலையில் உள்ள இலக்கமும் வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு இலக்கமும். மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு ரேடிக்ஸிலும் இரட்டிப்பு எல்லையற்ற இலக்க வரிசைகளின் பெருக்கம் அல்லது பிரிவு, ஒரு பெருக்கி அல்லது வகுப்பி மூலம், அதன் அனைத்து முக்கிய காரணிகளும் முக்கிய காரணிகளாகும், இது ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனை உருவாக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும், ஏனெனில் இது அருகிலுள்ள இலக்கங்களின் வரம்புக்குட்பட்ட எண்ணிக்கையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மேலும் பெருக்க தலைகீழ்கள் இருப்பதால் அதை மாற்றியமைக்க முடியும். பிற மதிப்புகளால் பெருக்கப்படுதல் (எடுத்துக்காட்டாக, தசம எண்களை மூன்றால் பெருக்குதல்) மாற்றத்தக்கதாகவே உள்ளது, ஆனால் ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தை வரையறுக்கவில்லை, ஏனெனில் ஒரு ஒற்றை இலக்கத்தைத் தீர்மானிக்கத் தேவையான ஆரம்ப மதிப்பில் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையில் நிலையான வரம்பு இல்லை. அற்பமான மீளக்கூடிய அடிப்படை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா எதுவும் இல்லை. இருப்பினும், பிரத்தியேக அல்லது செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் விதி 90 மற்றும் பிற அடிப்படை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவால் ஒரு நியர்-மிஸ் வழங்கப்படுகிறது. விதி 90 இல், ஒவ்வொரு கலத்தின் நிலையும் அதன் இரண்டு அண்டை நாடுகளின் பிரத்தியேக அல்லது முந்தைய நிலைகளாகும். பிரத்தியேகத்தின் இந்த பயன்பாடு அல்லது இடைநிலை விதியை உள்ளூரில் தலைகீழாக ஆக்குகிறது, அதாவது மாநிலங்களின் எந்தவொரு தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியும் இந்த விதியால் உருவாக்கப்படலாம். விதி 90 ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி விதி அல்ல, ஏனென்றால் விதி 90 இல் செல்களின் முழுமையான வரிசைக்கு நிலைகளின் ஒவ்வொரு ஒதுக்கீடும் சரியாக நான்கு சாத்தியமான முன்னோடிகளைக் கொண்டுள்ளது, அதேசமயம் தலைகீழ் விதிகள் ஒரு கட்டமைப்பிற்கு சரியாக ஒரு முன்னோடியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். கிரிட்டர்ஸ் விதி கான்வேயின் கேம் ஆஃப் லைஃப், மிகவும் பிரபலமான செல்லுலார் தானியங்கி விதிகளில் ஒன்றாகும், இது மாற்றியமைக்க முடியாததுஃ எடுத்துக்காட்டாக, இது முற்றிலும் அழிந்துபோகும் பல வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே அனைத்து செல்களும் இறந்திருக்கும் உள்ளமைவு பல முன்னோடிகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது கார்டன் ஆஃப் ஈடன் வடிவங்களையும் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், அதன் கண்டுபிடிப்பாளர்களான டொமாசோ டோஃபோலி மற்றும் நார்மன் மார்கோலஸ் ஆகியோரால் "கிரிட்டர்ஸ்" என்று அழைக்கப்படும் மற்றொரு விதி மாற்றியமைக்கக்கூடியது மற்றும் வாழ்க்கைக்கு ஒத்த மாறும் நடத்தையைக் கொண்டுள்ளது. கிரிட்டர்ஸ் விதி என்பது ஒரு தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமாகும், இதில் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், தானியங்கி இயந்திரத்தின் செல்கள் 2 × 2 தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு தொகுதியும் மற்ற தொகுதிகளிலிருந்து சுயாதீனமாக புதுப்பிக்கப்படுகின்றன. அதன் மாற்றம் செயல்பாடு சரியாக இரண்டு உயிரணுக்களைக் கொண்டிராத ஒரு தொகுதியின் ஒவ்வொரு உயிரணுவின் நிலையையும் புரட்டுகிறது, மேலும் 180 டிகிரி தொகுதிகளால் சரியாக மூன்று உயிரணுக்களுடன் சுழல்கிறது. இந்த செயல்பாடு தலைகீழாக இருப்பதால், இந்த விதிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட தானியங்கி ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி ஆகும். இறந்த உயிரணுக்களின் ஒரு பெரிய பகுதியை மையமாகக் கொண்ட சீரற்ற உயிரணுக்களின் ஒரு சிறிய புலத்துடன் தொடங்கும்போது, லைஃப் கிளைடரைப் போன்ற பல சிறிய வடிவங்கள் மைய சீரற்ற பகுதியிலிருந்து தப்பித்து ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு கொள்கின்றன. கிரிட்டர்ஸ் விதி மாறுபட்ட வேகங்களின் மிகவும் சிக்கலான விண்கலங்களையும், எண்ணற்ற பல வெவ்வேறு காலகட்டங்களைக் கொண்ட ஊசலாட்டங்களையும் ஆதரிக்க முடியும். கட்டமைப்புகள் தானாகவே மாற்றியமைக்கக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி விதிகளை உருவாக்குவதற்கு பல பொதுவான முறைகள் அறியப்படுகின்றன. பிளாக் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் என்பது ஒரு தானியங்கி இயந்திரமாகும், இதில் ஒவ்வொரு நேர நடவடிக்கையிலும், தானியங்கி இயந்திரத்தின் செல்கள் ஒத்த துணைக்குழுக்களாக (தொகுதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) பிரிக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு தொகுதியிலும் அதே மாற்றம் சுயாதீனமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாக, அத்தகைய தானியங்கி இயந்திரம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகிர்வுகளை தொகுதிகளாகப் பயன்படுத்தும், மேலும் கணினியின் வெவ்வேறு நேர படிகளில் இந்த பகிர்வுகளுக்கு இடையில் சுழலும். மார்கோலஸ் சுற்றுப்புறம் என்று அழைக்கப்படும் இந்த வடிவமைப்பின் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் வடிவத்தில், தானியங்கி இயந்திரத்தின் செல்கள் ஒரு சதுர கட்டத்தை உருவாக்குகின்றன, மேலும் அவை ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் பெரிய 2 × 2 சதுர தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு கட்டத்தில் ஒரு தொகுதியின் மையம் அடுத்த கட்டத்தில் நான்கு தொகுதிகளின் மூலையாக மாறுகிறது, மற்றும் நேர்மாறாகவும்; இந்த வழியில், ஒவ்வொரு 2 × 2 இல் உள்ள நான்கு செல்கள் முந்தைய பகிர்வின் நான்கு வெவ்வேறு 2 × 2 சதுரங்களைச் சேர்ந்தவை. மேலே விவாதிக்கப்பட்ட கிரிட்டர்ஸ் விதி இந்த வகை தானியங்கி இயந்திரத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பிளாக் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவிற்கான தலைகீழ் மாற்றக்கூடிய விதிகளை வடிவமைத்தல் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட விதி தலைகீழ் மாற்றத்தக்கதா என்பதை தீர்மானிப்பது எளிதானதுஃ ஒரு பிளாக் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் தலைகீழ் மாற்றக்கூடியதாக இருக்க, தானியங்கியின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் தனிப்பட்ட தொகுதிகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் மாற்றம் தானாகவே தலைகீழ் மாற்றத்தக்கது. ஒரு தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் தலைகீழாக மாறும் போது, அதன் இயக்கவியலின் நேர-தலைகீழ் பதிப்பை அதே தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொண்ட ஒரு தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமாகவும் விவரிக்கலாம், செல்களின் பகிர்வுகளின் நேர-தலைகீழ் வரிசையை தொகுதிகளாகப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு தொகுதியின் மாற்ற செயல்பாடும் அசல் விதியின் தலைகீழ் செயல்பாடாகும். மாற்ற முடியாத தானியங்கி உருவகப்படுத்துதல் எந்தவொரு மாற்ற முடியாத பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கி விதியையும் ஒரு மாற்றக்கூடிய பரிமாண விதியில் எவ்வாறு உட்பொதிப்பது என்பதைக் காட்டியது. புதிய தலைகீழ் விதியின் ஒவ்வொரு பரிமாண துண்டும் அசல் விதியின் ஒற்றை நேர படிநிலையை உருவகப்படுத்துகிறது. இந்த வழியில், தன்னிச்சையான டூரிங் இயந்திரங்களை உருவகப்படுத்தும் திறன் போன்ற மீளமுடியாத செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவின் பல அம்சங்களை மாற்றியமைக்கக்கூடிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவிற்கும் நீட்டிக்க முடியும் என்பதை டோஃபோலி காட்டினார். டோஃபோலி யூகித்து நிரூபித்தபடி, டோஃபோலியின் முறையால் ஏற்படும் பரிமாணத்தின் அதிகரிப்பு அதன் பொதுவான தன்மைக்கு அவசியமான கட்டணமாகும்ஃ லேசான அனுமானங்களின் கீழ் (உட்பொதிப்பின் மொழிபெயர்ப்பு-மாறுபாடு போன்றவை), ஈடன் தோட்டத்தைக் கொண்ட செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனின் எந்தவொரு உட்பொதிப்பும் ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனில் பரிமாணத்தை அதிகரிக்க வேண்டும். ஹெர்ட்லிங்கின் அனுமானங்களுக்குக் கீழ்ப்படியாத மற்றும் பரிமாணத்தை மாற்றாத மற்றொரு வகை உருவகப்படுத்துதலை விவரிக்கிறது. மோரிடாவின் முறை எந்தவொரு மீளமுடியாத தானியங்கியின் வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளமைவுகளையும் உருவகப்படுத்த முடியும், அதில் ஒரு "அமைதியான" அல்லது "இறந்த" நிலை உள்ளது, அதாவது ஒரு கலமும் அதன் அண்டை நாடுகளும் அமைதியாக இருந்தால், அடுத்த கட்டத்தில் கலம் அமைதியாக இருக்கும். உருவகப்படுத்துதல் அசல் மாற்ற முடியாத தானியங்கியின் அதே பரிமாணத்தின் தலைகீழ் தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கியைப் பயன்படுத்துகிறது. உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி இயந்திரத்தின் மாற்ற முடியாத படிகளால் அழிக்கப்படும் தகவல்கள் அதற்கு பதிலாக உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி இயந்திரத்தின் எல்லையற்ற அமைதியான பகுதிக்கு உள்ளமைவிலிருந்து அனுப்பப்படுகின்றன. இந்த உருவகப்படுத்துதல் ஒரே நேரத்தில் உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி இயந்திரத்தின் அனைத்து செல்களையும் புதுப்பிக்காது; மாறாக, ஒரு படிநிலையை உருவகப்படுத்துவதற்கான நேரம் உருவகப்படுத்தப்படும் உள்ளமைவின் அளவிற்கு விகிதாசாரமாகும். இருப்பினும், உருவகப்படுத்துதல் உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கியின் நடத்தையை துல்லியமாக பாதுகாக்கிறது, அதன் அனைத்து செல்களும் ஒரே நேரத்தில் புதுப்பிக்கப்படுவதைப் போல. இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பரிமாண மீளக்கூடிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா கூட உலகளாவிய கணக்கீட்டின் திறன் கொண்டது என்பதைக் காட்ட முடியும். இரண்டாம் வரிசை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா இரண்டாம் வரிசை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் நுட்பம் என்பது எந்தவொரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனையும் ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனாக மாற்றும் ஒரு முறையாகும், இது எட்வர்ட் ஃப்ரெட்கின் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு 1984 இல் பல எழுத்தாளர்களால் முதன்முதலில் வெளியிடப்பட்டது. இந்த நுட்பத்தில், தானியங்கி இயந்திரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கலத்தின் நிலையும் ஒரு நேரத்தில் அதன் அண்டை மற்றும் நேரத்தில் அதன் சொந்த நிலை ஆகிய இரண்டின் செயல்பாடாகும். குறிப்பாக, தானியங்கி இயந்திரத்தின் மாற்றம் செயல்பாடு ஒவ்வொரு சுற்றுப்புறத்தையும் நிலைகளின் தொகுப்பில் ஒரு வரிசைமாற்றத்திற்கு ஒரு நேரத்தில் வரைபடமாக்குகிறது, பின்னர் அந்த வரிசைமாற்றத்தை அந்த நேரத்தில் மாநிலத்திற்கு பயன்படுத்துகிறது. தானியங்கி இயந்திரத்தின் தலைகீழ் இயக்கவியல் ஒவ்வொரு சுற்றுப்புறத்தையும் தலைகீழ் வரிசைமாற்றத்திற்கு வரைபடமாக்குவதன் மூலமும் அதே வழியில் தொடர்வதன் மூலமும் கணக்கிடப்படலாம். பைனரி-மதிப்புள்ள நிலைகளுடன் (பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்று) தானியங்கியைப் பொறுத்தவரை, நிலைகளில் இரண்டு சாத்தியமான வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன (அடையாள வரிசைமாற்றமும் இரண்டு நிலைகளை மாற்றும் வரிசைமாற்றமும்), அவை பிரத்தியேகமாகவோ அல்லது பைனரி மதிப்புடன் ஒரு நிலையாகவோ குறிப்பிடப்படலாம். இந்த வழியில், எந்தவொரு வழக்கமான இரண்டு மதிப்புள்ள செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமும் இரண்டாவது வரிசை செல்லுலார் தானியங்கி விதியாக மாற்றப்படலாம், வழக்கமான தானியங்கி இயந்திரத்தின் மாற்றம் செயல்பாட்டை அந்த நேரத்தில் நிலைகளில் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பின்னர் பிரத்தியேக அல்லது இந்த நிலைகளின் நிலைகளை அந்த நேரத்தில் நிலைகளுடன் கணக்கிடுவதன் மூலம் நிலைகளை தீர்மானிக்க முடியும். இருப்பினும், இந்த வழியில் தீர்மானிக்கப்படும் தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனின் நடத்தை அது வரையறுக்கப்பட்ட செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனின் நடத்தைக்கு எந்த ஒற்றுமையையும் கொண்டிருக்காது. எந்த இரண்டாவது வரிசை தானியங்கி இயந்திரமும் ஒரு வழக்கமான செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமாக மாற்றப்படலாம், இதில் மாற்றம் செயல்பாடு முந்தைய நேர படிநிலையை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, இரண்டாவது வரிசை தானியங்கி இயந்திரத்தின் தொடர்ச்சியான நேர படிநிலைகளிலிருந்து ஜோடி நிலைகளை ஒரு வழக்கமான செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தின் ஒற்றை நிலைகளாக இணைப்பதன் மூலம். பாதுகாக்கப்பட்ட நிலப்பரப்பு ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் நான்கு தொடர்ச்சியான செல்களைக் கொண்ட ஒரு சுற்றுப்புறத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இந்த தானியங்கி இயந்திரத்தில், ஒரு செல் "?" ஐ ஆக்கிரமித்த போதெல்லாம் அதன் நிலையை புரட்டுகிறது. "0? 10" வடிவத்தில் நிலை. அத்தகைய இரண்டு வடிவங்கள் ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்க முடியாது, எனவே புரட்டப்பட்ட கலத்தைச் சுற்றியுள்ள அதே "நிலப்பரப்பு" மாற்றத்திற்குப் பிறகு தொடர்ந்து உள்ளது. அடுத்த கட்டத்தில், செல் அதே "?" நிலை மீண்டும் அதன் அசல் நிலைக்குத் திரும்பும். எனவே, இந்த தானியங்கி இயந்திரம் அதன் சொந்த தலைகீழ், மற்றும் மீளக்கூடியது. பாட் சிறிய சுற்றுப்புறங்களுடன் அனைத்து இரு-நிலை ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கிகளின் முரட்டுத்தனமான சக்தித் தேடலைச் செய்தார்; இந்த தேடல் இந்த தானியங்கியைக் கண்டுபிடிக்க வழிவகுத்தது, மேலும் இது எளிமையான ஒரு பரிமாண இரு-நிலை தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி என்று காட்டுகிறது. மூன்று-செல் சுற்றுப்புறங்களுடன் அற்பமான தலைகீழ் இரண்டு-நிலை தானியங்கி இல்லை, மேலும் நான்கு-செல் சுற்றுப்புறங்களுடன் கூடிய இரண்டு-நிலை தலைகீழ் தானியங்கி அனைத்தும் பாட்டின் தானியங்கி இயந்திரத்தில் எளிய வகைகளாகும். பாட்டின் தானியங்கி இயந்திரத்தை பின்னோக்கிப் பார்த்தால், தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவை வடிவமைப்பதற்கான "பாதுகாக்கப்பட்ட நிலப்பரப்பு" நுட்பத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்று கருதலாம். இந்த நுட்பத்தில், ஒரு உயிரணுவின் நிலைக்கு ஒரு மாற்றம் அண்டை நாடுகளிடையே ஒரு வடிவத்தால் தூண்டப்படுகிறது, அவை நிலைகளை மாற்றாது. இந்த வழியில், அதே வடிவத்தின் இருப்பு தானியங்கி இயந்திரத்தின் நேர-தலைகீழ் இயக்கவியலில் தலைகீழ் மாற்றத்தைத் தூண்டுவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம். பாட்டின் தானியங்கி இயந்திரம் மிகவும் எளிமையான இயக்கவியலைக் கொண்டுள்ளது (உள்ளமைவுகளின் அனைத்து சுழற்சி வரிசைகளும் நீளம் இரண்டைக் கொண்டுள்ளன), ஆனால் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தூண்டுதல் வடிவத்துடன் ஒரே பாதுகாக்கப்பட்ட நிலப்பரப்பு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தும் தானியங்கி இயந்திரங்கள் மிகவும் சிக்கலான நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்பாக அவை எந்த இரண்டாவது வரிசை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனையும் உருவகப்படுத்த முடியும். SALT மாதிரி பாதுகாக்கப்பட்ட நிலப்பரப்பு நுட்பத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இந்த மாதிரியில், ஒரு முழு எண் கட்டத்தின் செல்கள் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை துணைக்குழுக்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு நேர நடவடிக்கையிலும் ஒரு சமநிலையின் சில ஜோடி செல்கள் மாற்றப்படுகின்றன, மற்ற சமநிலையின் அருகிலுள்ள செல்களின் கட்டமைப்பின் அடிப்படையில். இந்த மாதிரியைப் பயன்படுத்தும் விதிகள் பில்லியர்ட் பந்து கணினியை உருவகப்படுத்தலாம் அல்லது பல்வேறு வேகங்களில் நகரக்கூடிய அல்லது பல்வேறு அதிர்வெண்களில் அதிர்வுறும் நேரடி செல்களின் நீண்ட சரங்களை ஆதரிக்கலாம். கோட்பாடு ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் செல்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சாத்தியமான நிலைகளைக் கொண்டுள்ளன, அதோடு அண்டை செல்களின் நிலைகளின் அடிப்படையில் மட்டுமே அனைத்து செல்களையும் ஒரே நேரத்தில் புதுப்பிப்பதற்கான விதியும் உள்ளது. ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தின் உள்ளமைவு என்பது தானியங்கி இயந்திரத்தின் ஒவ்வொரு கலத்திற்கும் ஒரு நிலையின் ஒரு பணியாகும்; ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தின் புதுப்பிப்பு விதி உள்ளமைவுகள் முதல் உள்ளமைவுகள் வரை ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறது, எந்தவொரு கலத்தின் புதுப்பிக்கப்பட்ட மதிப்பும் கலத்தின் சில வரையறுக்கப்பட்ட சுற்றுப்புறத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, மேலும் உள்ளீட்டு வரிசையின் மொழிபெயர்ப்புகளின் கீழ் செயல்பாடு மாறாதது. இந்த வரையறைகளுடன், ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை திருப்திப்படுத்தும் போது தலைகீழாக மாற்றப்படுகிறது, இவை அனைத்தும் கணித ரீதியாக ஒருவருக்கொருவர் சமமானவைஃ தானியங்கி இயந்திரத்தின் ஒவ்வொரு உள்ளமைவும் ஒரு தனித்துவமான முன்னோடியைக் கொண்டுள்ளது, இது புதுப்பிப்பு விதியால் வரைபடமாக்கப்படுகிறது. தானியங்கி இயந்திரத்தின் புதுப்பிப்பு விதி ஒரு பைஜெக்ஷன் ஆகும்; அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்று மற்றும் அதற்கு மேல் இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு. புதுப்பிப்பு விதி ஒரு ஊசி செயல்பாடு, அதாவது, இரண்டு உள்ளமைவுகளும் ஒரே பொதுவான உள்ளமைவுக்கு வரைபடம் இல்லை. புதுப்பிப்பு விதி ஒரு பைஜெக்ஷன் என்ற அனுமானத்தால் இந்த நிபந்தனை வெளிப்படையாக குறிக்கப்படுகிறது. மறுபுறம், செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவுக்கான கார்டன் ஆஃப் ஈடன் தேற்றம் ஒவ்வொரு உட்செலுத்தும் புதுப்பித்தல் விதியும் புறநிலை என்று குறிக்கிறது. தானியங்கி இயந்திரத்தின் நேரத்தை மாற்றியமைத்த இயக்கவியலை மற்றொரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தால் விவரிக்க முடியும். தெளிவாக, இது சாத்தியமாக இருக்க, புதுப்பிப்பு விதி புறநிலை இருக்க வேண்டும். மறுபுறம், புதுப்பிப்பு விதி புறநிலை என்றால், அது ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, அது புறநிலை ஆகும். இந்த தலைகீழ் செயல்பாடு ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி விதியாக இருக்க வேண்டும். இந்த உண்மையின் ஆதாரம் கர்டிஸ்-ஹெட்லண்ட்-லிண்டன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது, இது செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா விதிகளின் இடவியல் வகைப்பாட்டை மொழிபெயர்ப்பு-மாறுபட்ட செயல்பாடுகளாகப் பயன்படுத்துகிறது, அவை உள்ளமைவுகளின் இடத்தில் கேன்டர் இடவியல் தொடர்பாக தொடர்ச்சியானவை. தானியங்கி இயந்திரத்தின் புதுப்பித்தல் விதி என்பது நிலை இடைவெளி மற்றும் செல்களின் லட்டிஸின் மொழிபெயர்ப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஷிப்ட் டைனமிகல் அமைப்பின் தானியங்கி வடிவமாகும். அதாவது, கர்டிஸ்-ஹெட்லண்ட்-லிண்டன் தேற்றம் குறிப்பிடுவது போல், இது ஷிப்ட் வரைபடத்துடன் பரிமாற்றப்படும் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவுக்கான தலைகீழ் மாற்றத்திற்கான பல மாற்று வரையறைகளை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள். இவற்றில் பெரும்பாலானவை உட்செலுத்துதல் அல்லது தானியங்கி இயந்திரத்தின் மாற்றம் செயல்பாட்டின் உட்செலுத்துதலுக்கு சமமாக மாறும்; இருப்பினும், இந்த இரண்டு வரையறைகளிலும் பொருந்தாத மற்றொரு மாற்று உள்ளது. இது அமைதியான அல்லது இறந்த நிலையில் உள்ள கேம் ஆஃப் லைஃப் போன்ற தானியங்கிகளுக்கு பொருந்தும். அத்தகைய ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்தில், ஒரு உள்ளமைவை "வரையறுக்கப்பட்ட" என்று வரையறுக்க முடியும், அது இறுதியாக பல அமைதியற்ற செல்களை மட்டுமே கொண்டிருந்தால், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளமைவுக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முன்னோடியைக் கொண்ட தானியங்கி வகுப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். இந்த வகுப்பு சர்ஜெக்டிவ் மற்றும் இன்ஜெக்டிவ் ஆட்டோமேட்டா இரண்டிலிருந்தும் வேறுபட்டது, மேலும் சில அடுத்தடுத்த ஆராய்ச்சிகளில், இந்த பண்பு கொண்ட ஆட்டோமேட்டா இன்வெர்ட்டிபிள் ஃபைனைட் ஆட்டோமேட்டா என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தின் தலைகீழ் மாற்றத்தை சோதிக்கும் சிக்கல் ஒரு வழிமுறை தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்று முதலில் காட்டப்பட்டது. தானியங்கி கோட்பாடு மற்றும் டி ப்ரூய்ன் வரைபடங்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட மாற்று வழிமுறைகள் முறையே மற்றும் மூலம் வழங்கப்பட்டன. ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் ஒரு ஊசி மாற்ற செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது என்ற அவதானிப்புடன் குலிக் தொடங்குகிறது, மாற்றம் செயல்பாடு காலமுறை உள்ளமைவுகளின் துணைக்குழுக்களில் ஊசி போடப்பட்டால் மட்டுமே (ஒரே அடி மூலக்கூறை எல்லையற்ற முறையில் இரு திசைகளிலும் மீண்டும் மீண்டும் செய்கிறது). அவர் ஒரு வரையறுக்கப்படாத வரையறுக்கப்படாத-நிலை டிரான்ஸ்யூசரை வரையறுக்கிறார், இது காலமுறை சரங்களில் தானியங்கி இயந்திரத்தின் மாற்றம் விதியை செய்கிறது. சரத்தின் தொடக்கத்தில் தானியங்கி இயந்திரத்தின் சுற்றுப்புறத்தை நினைவில் வைத்திருப்பதன் மூலமும், உள்ளீட்டின் முடிவில் இணைக்கப்பட்ட அந்த சுற்றுப்புறம் அதன் தீர்மானிக்கப்படாத தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாற்றங்களை சரியானதாக மாற்றும் போது ஏற்றுக்கொள்ளும் நிலைக்குள் நுழைவதன் மூலமும் இந்த டிரான்ஸ்யூசர் செயல்படுகிறது. குலிக் பின்னர் டிரான்ஸ்யூசரின் உள்ளீடு மற்றும் வெளியீட்டை மாற்றிக்கொள்கிறார். இந்த இடமாற்றத்தின் விளைவாக ஏற்படும் டிரான்ஸ்யூசர் கொடுக்கப்பட்ட தானியங்கியின் தலைகீழ் இயக்கவியலை உருவகப்படுத்துகிறது. இறுதியாக, இதன் விளைவாக மாற்றப்பட்ட டிரான்ஸ்யூசர் ஒவ்வொரு உள்ளீட்டையும் ஒற்றை வெளியீட்டிற்கு வரைபடமாக்குகிறதா என்பதை சோதிக்க முன்பு அறியப்பட்ட வழிமுறைகளை குலிக் பயன்படுத்துகிறார். சுட்னர் ஒரு வழிநடத்தப்பட்ட வரைபடத்தை (டி ப்ரூய்ன் வரைபடத்தின் ஒரு வகை) வரையறுக்கிறார், இதில் ஒவ்வொரு முனையும் செல்களின் தொடர்ச்சியான வரிசையில் செல்களுக்கான நிலைகளின் ஒரு ஜோடி ஒதுக்கீட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த வரிசையின் நீளம் தானியங்கி இயந்திரத்தின் சுற்றுப்புற அளவை விட குறைவாக இருக்க தேர்வு செய்யப்படுகிறது. சுட்னரின் வரைபடத்தில் உள்ள ஒரு விளிம்பு ஒரு ஜோடி செல்களின் வரிசைகளைக் குறிக்கிறது, அவை ஒரு கலத்தைத் தவிர மற்ற அனைத்திலும் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைகின்றன, இதனால் வரிசைகளின் ஒன்றிணைப்பு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனில் ஒரு முழு சுற்றுப்புறமாக இருக்கும். அத்தகைய ஒவ்வொரு விளிம்பும் இடதுபுறத்தில் ஒன்றுடன் ஒன்று அடுத்தடுத்து இருந்து வலதுபுறத்தில் அடுத்தடுத்து இயக்கப்படுகிறது. விளிம்புகள் அவற்றின் செல் வரிசைகளின் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளில் இணக்கமான நிலை ஒதுக்கீடுகளைக் குறிக்கும் போது மட்டுமே வரைபடத்தில் சேர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் தானியங்கி விதி (சாத்தியமான விளிம்பால் தீர்மானிக்கப்படும் சுற்றுப்புறத்திற்கு பயன்படுத்தப்படும்) நிலைகளின் இரண்டு ஒதுக்கீடுகளுக்கும் ஒரே முடிவுகளைக் கொடுக்கும். இந்த வரைபடத்தின் நேரியல்-நேர வலுவான இணைப்பு பகுப்பாய்வைச் செய்வதன் மூலம், அதன் செங்குத்துகளில் எது சுழற்சிகளைச் சேர்ந்தது என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியும். இந்த வரைபடத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு உச்சியில் இரண்டு வெவ்வேறு நிலை ஒதுக்கீடுகளைக் கொண்ட ஒரு இயக்க சுழற்சியைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே மாற்றம் விதி ஊசி அல்ல. இந்த முறைகள் உள்ளீட்டு தானியங்கியின் நிலை மாற்றம் அட்டவணையின் அளவின் சதுரத்திற்கு விகிதாசாரமாக பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தை எடுத்துக்கொள்கின்றன. குறிப்பிட்ட கால எல்லை நிலைமைகளைக் கொண்ட செல்களின் வரையறுக்கப்பட்ட-நீளம் வரிசைகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும்போது கொடுக்கப்பட்ட விதி சர்ஜெக்டிவ் ஆக இருக்கிறதா என்பதை ஒரு தொடர்புடைய வழிமுறை தீர்மானிக்கிறது, அப்படியானால், எந்த நீளத்திற்கு. ஒரு தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தைப் பொறுத்தவரை, சோதனை தலைகீழ் மாற்றமும் எளிதானதுஃ தானியங்கி இயந்திரத்தின் தொகுதிகளில் உள்ள மாற்றம் செயல்பாடு தலைகீழாக இருந்தால் மட்டுமே தானியங்கி இயந்திரம் தலைகீழாக மாறும், மேலும் இந்த விஷயத்தில் தலைகீழ் தானியங்கி இயந்திரம் தலைகீழ் மாற்றம் செயல்பாட்டுடன் அதே தொகுதி கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில் உள்ள பிற சுற்றுப்புறங்களுடன் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவைப் பொறுத்தவரை, சோதனை மாற்றுத்திறனின் சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது, அதாவது எப்போதும் நிறுத்தி, எப்போதும் சிக்கலுக்கு சரியாக பதிலளிக்கும் ஒரு வழிமுறை இருக்க முடியாது. இந்த உண்மையின் ஆதாரம் வாங் ஓடுகள் மூலம் விமானத்தை ஓடுகள் போடுவதில் முன்னர் அறியப்பட்ட நிச்சயமற்ற தன்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, சதுர ஓடுகளின் தொகுப்புகள் அவற்றின் விளிம்புகளில் அடையாளங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை எந்த ஜோடி ஓடுகள் விளிம்பிலிருந்து விளிம்பிற்கு பொருந்தும் என்பதைக் கட்டுப்படுத்துகின்றன. காரி ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனை வாங் ஓடுகளின் தொகுப்பிலிருந்து வரையறுக்கிறார், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட ஓடு தொகுப்பு முழு விமானத்தையும் ஓடு செய்ய முடிந்தால் மட்டுமே ஆட்டோமேட்டன் ஊசி போடத் தவறிவிடும். அவரது கட்டுமானம் வான் நியூமன் சுற்றுப்புறத்தையும், அதிக எண்ணிக்கையிலான மாநிலங்களைக் கொண்ட அறைகளையும் பயன்படுத்துகிறது. அதே ஆய்வறிக்கையில், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களைக் கொண்ட கொடுக்கப்பட்ட செல்லுலார் தானியங்கி விதி சர்ஜெக்டிவ் (அதாவது, அதற்கு ஈடன் தோட்டம் உள்ளதா) என்பதை சோதிப்பது தீர்மானிக்க முடியாதது என்றும் காரி காட்டினார். தலைகீழ் சுற்றுப்புற அளவு ஒரு செல்லின் நிலைகளுடன் கூடிய ஒரு பரிமாண தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தில், இதில் ஒரு செல்லின் சுற்றுப்புறம் செல்களின் இடைவெளியாகும், தலைகீழ் இயக்கவியலைக் குறிக்கும் தானியங்கி இயந்திரம் பெரும்பாலான செல்களைக் கொண்ட சுற்றுப்புறங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த எல்லை இறுக்கமாக இருப்பதாக அறியப்படுகிறதுஃ இரண்டு செல் சுற்றுப்புறங்களுடன்-ஸ்டேட் ரிவர்சிபிள் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா உள்ளது, அதன் நேர-தலைகீழ் இயக்கவியல் அருகிலுள்ள அளவுடன் ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனை உருவாக்குகிறது. எந்தவொரு முழு எண்ணுக்கும் வான் நியூமன் சுற்றுப்புறத்துடன் இறுதியாக பல இரு பரிமாண மீளக்கூடிய-நிலை செல்லுலார் தானியங்கிகள் மட்டுமே உள்ளன. எனவே, ஒரு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு உள்ளது, அதாவது வான் நியூமன் சுற்றுப்புறத்துடன்-நிலை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவின் அனைத்து தலைகீழ்களும் அதிகபட்ச ஆரம் கொண்ட ஒரு சுற்றுப்புறத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனஃ வெறுமனே அதிகபட்சமாக இருக்கட்டும், இறுதியாக பல தலைகீழ்-நிலை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவில், அருகிலுள்ள அளவு தானியங்கியின் நேர-தலைகீழ் இயக்கவியலைக் குறிக்கத் தேவை. இருப்பினும், காரியின் தீர்மானிக்க முடியாத முடிவு காரணமாக, கணினிக்கு எந்த வழிமுறையும் இல்லை, மேலும் இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் எந்தவொரு கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாட்டையும் விட மிக விரைவாக வளர வேண்டும். வொல்ஃப்ராமின் வகைப்பாடு ஸ்டீபன் வொல்ஃப்ராம் எழுதிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவின் நன்கு அறியப்பட்ட வகைப்பாடு சீரற்ற ஆரம்ப நிலைமைகளில் அவற்றின் நடத்தையை ஆய்வு செய்கிறது. ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கியைப் பொறுத்தவரை, ஆரம்ப உள்ளமைவு அனைத்து சாத்தியமான உள்ளமைவுகளுக்கும் இடையில் சீரற்ற முறையில் ஒரே மாதிரியாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், அதே சீரான சீரற்ற தன்மை அடுத்தடுத்த அனைத்து நிலைகளுக்கும் தொடர்ந்து உள்ளது. எனவே பெரும்பாலான தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாக்கள் வொல்ஃப்ராமின் கிளாஸ் 3: ஆட்டோமேட்டாவைச் சேர்ந்தவை என்று தோன்றுகிறது, இதில் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஆரம்ப உள்ளமைவுகளும் போலி-சீரற்ற அல்லது குழப்பமாக உருவாகின்றன. இருப்பினும், தானியங்கி இயந்திரத்தின் நடத்தையில் உள்ளூர் இடையூறுகளின் விளைவை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் வெவ்வேறு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கிகளை வேறுபடுத்துவது இன்னும் சாத்தியமாகும். ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கியின் ஆரம்ப நிலைக்கு ஒரு மாற்றத்தை ஏற்படுத்துவது பிற்கால நிலைகளில் மாற்றங்கள் ஒரு எல்லைக்குட்பட்ட பகுதிக்குள் மட்டுமே இருக்கக்கூடும், ஒழுங்கற்ற ஆனால் வரம்பற்ற முறையில் பரப்பப்படலாம் அல்லது விரைவாக பரவக்கூடும், மேலும் இந்த மூன்று வகையான நடத்தைகளையும் வெளிப்படுத்தும் ஒரு பரிமாண தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி விதிகளை பட்டியலிடுகிறது. வொல்ஃப்ராமின் பிற்கால ஆய்வுகள் ஒரு பரிமாண விதி 37 ஆர் தானியங்கி இயந்திரம் இந்த விஷயத்தில் குறிப்பாக சுவாரஸ்யமானது என்று அடையாளம் காட்டுகிறது. ஒரு பெரிய வெற்று சுற்றுப்புறத்தை மையமாகக் கொண்ட சீரற்ற செல்களின் ஒரு சிறிய விதையிலிருந்து தொடங்கி, குறிப்பிட்ட கால எல்லை நிலைமைகளைக் கொண்ட செல்களின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில் இயங்கும்போது, அது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் குழப்பமான நிலைகளுக்கு இடையில் ஏற்ற இறக்கமாக இருக்கும். இருப்பினும், வரம்பற்ற செல்களின் தொகுப்பில் அதே ஆரம்ப நிபந்தனைகளுடன் அதன் உள்ளமைவுகள் தங்களை பல வகையான எளிய நகரும் துகள்களாக ஒழுங்கமைக்க முனைகின்றன. சுருக்க இயற்கணிதம் தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கியை முறைப்படுத்துவதற்கான மற்றொரு வழி சுருக்க இயற்கணிதத்தை உள்ளடக்கியது, மேலும் இந்த முறைப்படுத்தல் தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி விதிகளுக்கான கணினிமயமாக்கப்பட்ட தேடல்களை உருவாக்குவதில் பயனுள்ளதாக உள்ளது. ஒரு அரை மைய பெரிய குழுவை ஒரு இயற்கணித கட்டமைப்பாக வரையறுக்கிறது, இது உறுப்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் இரண்டு செயல்பாடுகள் மற்றும் உறுப்புகளின் ஜோடிகள் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இது இரண்டு சமன்பாட்டு கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ அனைத்து உறுப்புகளுக்கும், மற்றும், மற்றும் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும், மற்றும்,. உதாரணமாக, இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கும் இது பொருந்தும், இதில் செயல்பாடு அதன் வலது வாதத்தைத் திருப்புகிறது மற்றும் செயல்பாடு அதன் இடது வாதத்தைத் திருப்புகிறது. பாய்கெட் வாதிடுவது போல், எந்தவொரு ஒரு பரிமாண மீளக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமும் செவ்வக வடிவத்தில் ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்திற்கு சமம், இதில் செல்கள் ஒவ்வொரு நேர நடவடிக்கையிலும் ஒரு அரை அலகு ஈடுசெய்யப்படுகின்றன, மேலும் இதில் தானியங்கி இயந்திரத்தின் முன்னோக்கி மற்றும் தலைகீழ் பரிணாமம் இரண்டும் இரண்டு செல்களைக் கொண்ட சுற்றுப்புறங்களைக் கொண்டுள்ளன, செல்கள் ஒவ்வொரு திசையிலும் அரை அலகு தொலைவில் உள்ளன. ஒரு தலைகீழ் தானியங்கி இயந்திரம் இரண்டு செல்களை விட பெரிய சுற்றுப்புறங்களைக் கொண்டிருந்தால், அதை ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறங்கள் மற்றும் ஒரு செல்லுக்கு அதிக நிலைகளைக் கொண்ட ஒரு தலைகீழ் தானியங்கி இயந்திரம் மூலம் உருவகப்படுத்தலாம், இதில் உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி இயந்திரத்தின் ஒவ்வொரு உயிரணுவும் உருவகப்படுத்தப்பட்ட தானியங்கி இயந்திரத்தில் செல்களின் தொடர்ச்சியான தொகுதியை உருவகப்படுத்துகிறது. ஒரு அரை மைய பெரிய குழுவின் இரண்டு கோட்பாடுகள் இந்த இரண்டு செல் சுற்றுப்புறங்களின் முன்னோக்கி மற்றும் தலைகீழ் மாற்றம் செயல்பாடுகளில் ஒருவருக்கொருவர் தலைகீழாக இருக்கத் தேவையான நிபந்தனைகளாகும். அதாவது, ஒவ்வொரு அரை மைய பெரிய குழுவும் செவ்வக வடிவத்தில் ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கியை வரையறுக்கிறது, இதில் தானியங்கியின் மாற்றம் செயல்பாடு அதன் சுற்றுப்புறத்தின் இரண்டு செல்களை இணைக்க செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இதில் செயல்பாடு இதேபோல் தானியங்கியின் தலைகீழ் இயக்கவியலை வரையறுக்கிறது. ஒவ்வொரு ஒரு பரிமாண மீளக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமும் இந்த வடிவத்தில் உள்ள ஒன்றுக்கு சமம். பாய்கெட் இந்த இயற்கணித சூத்திரத்தை வழிமுறைகளுக்கான அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தினார், இது சாத்தியமான அனைத்து சமத்துவமற்ற தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கிகளையும் முழுமையாக பட்டியலிடுகிறது. இயற்பியல் அமைப்புகளை உருவகப்படுத்துவதற்காக ஆராய்ச்சியாளர்கள் தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டாவை வடிவமைக்கும்போது, அவை பொதுவாக அமைப்பின் பாதுகாப்பு விதிகளை வடிவமைப்பில் இணைக்கின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சிறந்த வாயுவை உருவகப்படுத்தும் ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் வாயு துகள்களின் எண்ணிக்கையையும் அவற்றின் மொத்த வேகத்தையும் பாதுகாக்க வேண்டும், இல்லையெனில் அது துல்லியமான உருவகப்படுத்துதலை வழங்காது. இருப்பினும், எந்தவொரு வேண்டுமென்றே வடிவமைக்கப்பட்ட வடிவமைப்பிலிருந்தும் சுயாதீனமாக, மாற்றியமைக்கக்கூடிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா இருக்கக்கூடிய பாதுகாப்புச் சட்டங்கள் குறித்தும் சில ஆராய்ச்சிகள் நடந்துள்ளன. இந்த ஆய்வுகளில் அளவிடப்படும் பாதுகாக்கப்பட்ட அளவின் வழக்கமான வகை, ஒவ்வொரு துணைக்குழுவிலும் உள்ள உயிரணுக்களின் நிலைகளின் சில எண்ணியல் செயல்பாட்டின், தானியங்கியின் உயிரணுக்களின் அனைத்து தொடர்ச்சியான துணைக்குழுக்களிலும், ஒரு கூட்டுத்தொகையின் வடிவத்தை எடுக்கிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பை எடுக்கும் போதெல்லாம், அந்த மதிப்பு தானியங்கி இயந்திரத்தின் ஒவ்வொரு நேர படியிலும் தானாகவே மாறாமல் இருந்தால், அத்தகைய அளவு பாதுகாக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த விஷயத்தில் இது தானியங்கி இயந்திரத்தின் th-வரிசை மாறாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, செவ்வக பட்டையிலிருந்து ஒரு எடுத்துக்காட்டாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தை நினைவுகூருங்கள், இதில் செல் நிலைகள் செட்கள் மற்றும் இடது மதிப்புகள் மற்றும் வலது மதிப்புகளிலிருந்து வரையப்பட்ட மதிப்புகளின் ஜோடிகள் (l, r), ஒவ்வொரு செல்லின் இடது மதிப்பு ஒவ்வொரு நேர படியிலும் வலதுபுறம் நகர்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு செல்லின் வலது மதிப்பு இடதுபுறம் நகர்கிறது. இந்த விஷயத்தில், பேண்டின் ஒவ்வொரு இடது அல்லது வலது மதிப்பிற்கும், ஒருவர் ஒரு பாதுகாக்கப்பட்ட அளவை வரையறுக்கலாம், அந்த மதிப்பைக் கொண்ட செல்களின் மொத்த எண்ணிக்கை. இடது மதிப்புகள் மற்றும் சரியான மதிப்புகள் இருந்தால், சுயாதீனமான முதல்-வரிசை-மாறுபாடுகள் உள்ளன, மேலும் எந்தவொரு முதல்-வரிசை மாறுபாடும் இந்த அடிப்படைவற்றின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படலாம். இடது மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகள் ஒரு நிலையான விகிதத்தில் வலதுபுறம் ஒரே மாதிரியாக பாய்கின்றனஃ அதாவது, கோட்டின் சில பகுதிக்குள் சமமான இடது மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை எடுத்தால், அது மாற்றப்பட்ட பகுதிக்கு அதே மதிப்பை எடுக்கும். இதேபோல், சரியான மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகள் இடதுபுறத்தில் ஒரே மாதிரியாக பாய்கின்றன. எந்தவொரு ஒரு பரிமாண மீளக்கூடிய செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமும் செவ்வக வடிவத்தில் வைக்கப்படலாம், அதன் பிறகு அதன் மாற்றம் விதி ஒரு தனித்துவமான அரை மைய பெரிய குழுவின் செயல்பாட்டிற்கு காரணியாக இருக்கலாம் (ஒரு ஒற்றை நிலை மதிப்பு கொண்ட செல்களின் பகுதிகள் அவற்றின் எல்லைகளில் மட்டுமே மாறும் ஒரு மீளக்கூடிய விதி) நிலைகளின் தொகுப்பில் ஒரு வரிசைமாற்றத்துடன். தானியங்கி விதியின் தனித்துவமான தூக்குதலுக்கான முதல் வரிசை மாறிலிகள் (வரிசைமாற்றத்தைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட மாற்றியமைக்கப்பட்ட விதி) ஒரு செவ்வகப் பட்டையைப் போலவே செயல்பட வேண்டும்ஃ அவை இடப்புறம் அல்லது வலதுபுறம் பாயும் மாறிலிகளின் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன. ஒட்டுமொத்த தானியங்கி இயந்திரத்திற்கான முதல்-வரிசை மாறிலிகள் பின்னர் ஒழுங்கற்ற தூக்குதலுக்கான மாறிலிகளாகும், அவை வரிசைமாற்றத்தின் ஒரே சுற்றுப்பாதையைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு ஜோடி நிலைகளுக்கும் சமமான எடையைக் கொடுக்கின்றன. இருப்பினும், விதியில் உள்ள நிலைகளின் வரிசைமாற்றத்தால் இந்த மாறிலிகள் தனித்துவமான தூக்குதலில் இருந்து வித்தியாசமாக நடந்து கொள்ளக்கூடும், இது ஒரே மாதிரியாக மற்றும் தொடர்புகளுடன் பாய்கிறது. இயற்பியல் அமைப்புகளில், நோய்தரின் தேற்றம் பாதுகாப்பு விதிகள் மற்றும் அமைப்பின் சமச்சீர் ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு சமநிலையை வழங்குகிறது. இருப்பினும், செல்லுலார் ஆட்டோமெட்டாவைப் பொறுத்தவரை இந்த தேற்றம் நேரடியாகப் பொருந்தாது, ஏனென்றால் அமைப்பின் ஆற்றலால் நிர்வகிக்கப்படுவதற்குப் பதிலாக ஆட்டோமெட்டனின் நடத்தை அதன் விதிகளில் குறியிடப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஆட்டோமெட்டன் சில சமச்சீர்மைகளுக்குக் கீழ்ப்படிவதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது (இடத்திலும் நேரத்திலும் மொழிபெயர்ப்பு மாறுபாடு) அது கீழ்ப்படியக்கூடிய எந்தவொரு பாதுகாப்புச் சட்டங்களையும் பொருட்படுத்தாமல். ஆயினும்கூட, சில மீளக்கூடிய அமைப்புகளின் பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகள் சில விஷயங்களில் ஆற்றலைப் போலவே செயல்படுகின்றன. உதாரணமாக, தானியங்கி இயந்திரத்தின் வெவ்வேறு பகுதிகள் சில பாதுகாக்கப்பட்ட அளவின் வெவ்வேறு சராசரி மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தால், தானியங்கி இயந்திரத்தின் விதிகள் இந்த அளவைக் குறைக்கக்கூடும், இதனால் அளவின் விநியோகம் பிற்கால நிலைகளில் மிகவும் சீராக இருக்கும். இந்த பாதுகாக்கப்பட்ட அளவுகளை அமைப்பின் ஆற்றலுக்கான ஒரு நிலைப்பாடாகப் பயன்படுத்துவது பாரம்பரிய இயற்பியலின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு செய்ய அனுமதிக்கும். பயன்பாடுகள் லட்டிஸ் கேஸ் ஆட்டோமேட்டா ஒரு லட்டிஸ் கேஸ் ஆட்டோமேட்டன் என்பது ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் ஆகும், இது ஒரு திரவம் அல்லது ஒரு சிறந்த வாயுவில் உள்ள துகள்களின் இயக்கத்தை உருவகப்படுத்த வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தகைய அமைப்பில், வாயுத் துகள்கள் மற்ற துகள்களுடன் நெகிழ்வான மோதலுக்கு உட்படும் வரை நிலையான வேகத்தில் நேர் கோடுகளில் நகர்கின்றன. நிலையான எண்ணிக்கையிலான வேகங்களை (பொதுவாக, ஒரே ஒரு வேகம் மற்றும் நான்கு அல்லது ஆறு இயக்க திசைகள்) மட்டுமே அனுமதிப்பதன் மூலமும், சாத்தியமான மோதல் வகைகளை எளிமைப்படுத்துவதன் மூலமும் லட்டிஸ் கேஸ் ஆட்டோமேட்டா இந்த மாதிரிகளை எளிதாக்குகிறது. குறிப்பாக, எச். பி. பி லட்டிஸ் வாயு மாதிரியில் நான்கு அச்சு-இணையான திசைகளில் அலகு வேகத்தில் நகரும் துகள்கள் உள்ளன. இரண்டு துகள்கள் ஒரே கோட்டில் எதிர் திசைகளில் சந்திக்கும் போது, அவை மோதி, செங்குத்தான கோட்டில் மோதல் புள்ளியில் இருந்து வெளிப்புறமாக அனுப்பப்படுகின்றன. இந்த அமைப்பு இயற்பியல் வாயுக்களின் பாதுகாப்பு விதிகளுக்குக் கீழ்ப்படிந்து, இயற்பியல் வாயுக்களின் நடத்தையை ஒத்த உருவகப்படுத்துதல்களை உருவாக்குகிறது. இருப்பினும், இது நம்பத்தகாத கூடுதல் பாதுகாப்புச் சட்டங்களுக்குக் கீழ்ப்படிவது கண்டறியப்பட்டது. உதாரணமாக, எந்தவொரு ஒற்றைக் கோட்டிலும் உள்ள மொத்த வேகம் பாதுகாக்கப்படுகிறது. மேலும், இந்த மாதிரியில் (அதன் அனிசோட்ரோபி) அச்சு-இணையான மற்றும் அச்சு-இணையற்ற திசைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் விரும்பத்தகாத அளவிற்கு அதிகமாக உள்ளன. எஃப்எச்பி லட்டிஸ் வாயு மாதிரி நான்கு திசைகளுக்கு பதிலாக, ஒருவருக்கொருவர் 60 டிகிரி கோணங்களில் ஆறு வெவ்வேறு திசைகளில் நகரும் துகள்களைக் கொண்டிருப்பதன் மூலம் எச். பி. பி மாதிரியை மேம்படுத்துகிறது. எந்தவொரு நேருக்கு நேர் மோதலிலும், வெளியேறும் இரண்டு துகள்களும் உள்வரும் இரண்டு துகள்களிலிருந்து 60 டிகிரி கோணங்களில் திசைதிருப்பப்படுகின்றன. எஃப்எச்பி மாதிரியில் மூன்று வழி மோதல்களும் சாத்தியமாகும், மேலும் இவை இரண்டும் மொத்த வேகத்தைப் பாதுகாக்கும் விதத்திலும், எச். பி. பி மாதிரியின் இயற்பியல் சேர்க்கப்படாத பாதுகாப்புச் சட்டங்களைத் தவிர்க்கும் விதத்திலும் கையாளப்படுகின்றன. இந்த அமைப்புகளில் உள்ள துகள்களின் இயக்கம் தலைகீழாக இருப்பதால், அவை பொதுவாக தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி மூலம் செயல்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பாக, எச். பி. பி மற்றும் எஃப். எச். பி லட்டிஸ் கேஸ் ஆட்டோமேட்டா இரண்டையும் மார்கோலஸ் சுற்றுப்புறத்தைப் பயன்படுத்தி இரு மாநில தொகுதி செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனுடன் செயல்படுத்தலாம். ஐசிங் மாதிரி காந்த அமைப்புகளின் நடத்தையை மாதிரியாக்க ஐசிங் மாதிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது செல்களின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றின் நிலையும் மேலே அல்லது கீழே ஒரு சுழற்சியைக் குறிக்கிறது. அமைப்பின் ஆற்றல் ஒருவருக்கொருவர் ஒரே சுழற்சியைக் கொண்ட அண்டை ஜோடி செல்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து ஒரு செயல்பாட்டால் அளவிடப்படுகிறது. எனவே, ஒரு செல் இரண்டு நிலைகளிலும் சம எண்ணிக்கையிலான அண்டை நாடுகளைக் கொண்டிருந்தால், அது மொத்த ஆற்றலை மாற்றாமல் அதன் சொந்த நிலையை புரட்டலாம். இருப்பினும், இரண்டு அருகிலுள்ள செல்கள் ஒரே நேரத்தில் புரட்டாவிட்டால் மட்டுமே அத்தகைய ஃபிளிப் ஆற்றல் சேமிப்பாகும். இந்த அமைப்பின் செல்லுலார் தானியங்கி மாதிரிகள் சதுர லட்டிஸை இரண்டு மாற்று துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கின்றன, மேலும் இரண்டு துணைக்குழுக்களில் ஒன்றில் ஒரு நேரத்தில் புதுப்பிப்புகளைச் செய்கின்றன. ஒவ்வொரு புதுப்பிப்பிலும், புரட்டக்கூடிய ஒவ்வொரு கலமும் அவ்வாறு செய்கிறது. இது ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தை வரையறுக்கிறது, இது ஐசிங் மாதிரியை ஆராய பயன்படுத்தப்படலாம். பில்லியர்ட்-பந்து கணக்கீடு மற்றும் குறைந்த-சக்தி கணக்கீடு ஆகியவை பில்லியர்ட்-பந்து கணினியை தலைகீழ் கணினி பற்றிய தங்கள் விசாரணைகளின் ஒரு பகுதியாக முன்மொழிந்தன. ஒரு பில்லியர்ட்-பந்து கணினி ஒத்திசைக்கப்பட்ட துகள்களின் (பில்லியர்ட் பந்துகள்) அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இது தடங்களில் நகர்கிறது மற்றும் ஒரு நிலையான தடைகளால் வழிநடத்தப்படுகிறது. துகள்கள் ஒன்றோடொன்று அல்லது தடைகளுடன் மோதும்போது, அவை உண்மையான பில்லியர்ட் பந்துகளைப் போலவே நெகிழ்வான மோதலுக்கு உட்படுகின்றன. கணினியின் உள்ளீடு சில உள்ளீட்டு தடங்களில் துகள்கள் இருப்பது அல்லது இல்லாததைப் பயன்படுத்தி குறியிடப்படுகிறது, மேலும் அதன் வெளியீடு வெளியீட்டு தடங்களில் துகள்கள் இருப்பது அல்லது இல்லாததைப் பயன்படுத்தி இதேபோல் குறியிடப்படுகிறது. தடங்கள் கம்பிகளாகவும், துகள்கள் அந்த கம்பிகளில் கொண்டு செல்லப்படும் பூலியன் சமிக்ஞைகளாகவும் கருதப்படலாம். ஒரு துகள் ஒரு தடையைத் தாக்கும்போது, அது அதிலிருந்து பிரதிபலிக்கிறது. இந்த பிரதிபலிப்பு துகள் பின்பற்றும் கம்பியின் திசையில் ஏற்படும் மாற்றமாக விளக்கப்படலாம். வெவ்வேறு தடங்களில் உள்ள இரண்டு துகள்கள் மோதி, அவற்றின் மோதல் புள்ளியில் ஒரு லாஜிக் கேட்டை உருவாக்கலாம். காட்டியபடி, பில்லியர்ட்-பந்து கணினிகள் மார்கோலஸ் சுற்றுப்புறத்துடன் இரண்டு-நிலை தலைகீழ் தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கியைப் பயன்படுத்தி உருவகப்படுத்தப்படலாம். இந்த தானியங்கி புதுப்பிப்பு விதியில், சரியாக ஒரு உயிரணுவைக் கொண்ட தொகுதிகள் 180 டிகிரி சுழல்கின்றன, இரண்டு மூலைவிட்டமாக எதிர் உயிரணுக்களைக் கொண்ட தொகுதிகள் 90 டிகிரி சுழல்கின்றன, மற்ற அனைத்து தொகுதிகளும் மாறாமல் இருக்கும். இந்த விதிகள் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட உயிரணுக்களை பில்லியர்ட் பந்துகளைப் போல நடந்து, மூலைவிட்டப் பாதைகளில் நகர்த்துகின்றன. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நேரடி கலங்களின் இணைக்கப்பட்ட குழுக்கள் அதற்கு பதிலாக பில்லியர்ட்-பந்து கணினியின் நிலையான தடைகளைப் போல செயல்படுகின்றன. ஒரு பிற்சேர்க்கையில், மார்கோலஸ் இரு பரிமாண மூர் சுற்றுப்புறத்தைப் பயன்படுத்தும் மூன்று-நிலை இரண்டாவது-வரிசை செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் பில்லியர்ட்-பந்து கணினிகளை உருவகப்படுத்த முடியும் என்பதையும் காட்டினார். பில்லியர்ட்-பந்து மாதிரி போன்ற கணக்கீட்டின் தலைகீழ் உலகளாவிய மாதிரிகளைப் படிப்பதற்கான ஒரு காரணம் என்னவென்றால், அவை கோட்பாட்டளவில் மிகக் குறைந்த அளவு ஆற்றலைப் பயன்படுத்தும் உண்மையான கணினி அமைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கும். லாண்டாவரின் கொள்கையின்படி, மாற்ற முடியாத கணக்கீட்டு படிகளுக்கு ஒரு படிநிலைக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஆற்றல் தேவைப்படுகிறது, ஆனால் திரும்பக்கூடிய படிநிலைகளை ஒரு படிநிலைக்கு தன்னிச்சையாக பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமான ஆற்றலுடன் செய்ய முடியும். இருப்பினும், லாண்டாவரின் பிணைப்பை விட குறைந்த ஆற்றலைப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டைச் செய்ய, ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனுக்கு உலகளவில் தலைகீழாக மாற்றக்கூடிய ஒரு மாற்றம் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருப்பது போதுமானதாக இல்லைஃ தேவை என்னவென்றால், மாற்றம் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் கணக்கீடும் ஒரு தலைகீழ் வழியில் செய்யப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, தலைகீழ் தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி எப்போதும் உள்ளூரில் தலைகீழாக மாற்றக்கூடியதுஃ ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட தொகுதியின் நடத்தையும் இறுதியாக பல உள்ளீடுகள் மற்றும் வெளியீடுகளுடன் ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது. ஒவ்வொரு தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமெட்டனுக்கும் உள்ளூரில் தலைகீழ் புதுப்பிப்பு விதி உள்ளதா என்று முதலில் கேட்டவர்கள் இவர்கள். ஒரு மற்றும் இரு பரிமாண தானியங்கிக்கு பதில் நேர்மறையானது என்பதைக் காட்டியது, மேலும் எந்தவொரு தலைகீழ் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனையும் உள்ளூரில் தலைகீழாக மாற்றக்கூடிய செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனால் (ஒருவேளை வேறுபட்ட) உருவகப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டியது. இருப்பினும், ஒவ்வொரு தலைகீழ் மாற்ற செயல்பாடும் உள்ளூரில் தலைகீழாக மாற்றப்படுகிறதா என்ற கேள்வி இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கு திறந்திருக்கும். ஒத்திசைவு டோஃபோலி மற்றும் மார்கோலஸின் "ட்ரான்" விதி என்பது மார்கோலஸ் சுற்றுப்புறத்துடன் ஒரு தலைகீழ் தொகுதி செல்லுலார் விதி ஆகும். ஒரு 2 × 2 தொகுதி செல்கள் அனைத்தும் ஒரே நிலையைக் கொண்டிருக்கும்போது, தொகுதியின் அனைத்து செல்களும் நிலை மாறுகின்றன; மற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும், தொகுதியின் செல்கள் மாறாமல் இருக்கும். டோஃபோலி மற்றும் மார்கோலஸ் வாதிடுவது போல், இந்த விதியால் உருவாக்கப்பட்ட வடிவங்களின் பரிணாமம் மார்கோலஸ் சுற்றுப்புறத்தில் வேறு எந்த விதியையும் ஒத்திசைக்க ஒரு கடிகாரமாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த வழியில் ஒத்திசைக்கப்பட்ட ஒரு செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டன் ஒரு ஒத்திசைவற்ற செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டனில் இயங்கும் போது நிலையான மார்கோலஸ்-நெய்பர்ஹுட் விதியின் அதே இயக்கவியலுக்கு கீழ்ப்படிகிறது. குறியாக்கம் ஒரு குறியாக்க அமைப்பாக பன்முக தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கியைப் பயன்படுத்தி முன்மொழியப்பட்டது. காரியின் முன்மொழிவில், செல்லுலார் தானியங்கி விதி குறியாக்க விசையாக இருக்கும். விதியை ஒரு படி முன்னோக்கி இயக்குவதன் மூலம் குறியாக்கம் செய்யப்படும், மேலும் அதை ஒரு படி பின்னோக்கி இயக்குவதன் மூலம் குறியாக்கம் செய்யப்படும். இது போன்ற ஒரு அமைப்பு பொது-விசை குறியாக்க அமைப்பாகப் பயன்படுத்தப்படலாம் என்று கரி பரிந்துரைக்கிறார். கொள்கையளவில், ஒரு தாக்குபவரால் கொடுக்கப்பட்ட குறியாக்க விசையிலிருந்து (முன்னோக்கி விதி) மறைகுறியாக்க விசையை (தலைகீழ் விதி) வழிமுறை ரீதியாக தீர்மானிக்க முடியவில்லை, ஏனெனில் சோதனை மீள்திறனின் உறுதியற்ற தன்மை காரணமாக, எனவே கணினியின் பாதுகாப்பை சமரசம் செய்யாமல் முன்னோக்கி விதியை பகிரங்கப்படுத்த முடியும். இருப்பினும், அத்தகைய அமைப்புக்கு எந்த வகையான தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதை கரி குறிப்பிடவில்லை, அல்லது இந்த அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தும் ஒரு குறியாக்க அமைப்பு எவ்வாறு குறியாக்கம்/மறைகுறியாக்க விசை ஜோடிகளை உருவாக்க முடியும் என்பதைக் காட்டவில்லை. ஒரு மாற்று குறியாக்க அமைப்பை முன்மொழிந்துள்ளனர். அவற்றின் அமைப்பில், குறியாக்க விசை ஒரு பரிமாண செல்லுலார் தானியங்கியின் ஒவ்வொரு செல்லுக்கும் உள்ளூர் விதியை தீர்மானிக்கிறது. அந்த விதியை அடிப்படையாகக் கொண்ட இரண்டாவது வரிசை தானியங்கி இயந்திரம் ஒரு உள்ளீட்டில் பல சுற்றுகளுக்கு இயக்கப்பட்டு அதை ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட வெளியீடாக மாற்றுகிறது. எந்த மறைகுறியாக்கப்பட்ட செய்தியையும் அதே அமைப்பை தலைகீழாக இயக்குவதன் மூலம் குறியாக்கம் செய்ய முடியும் என்பதை தானியங்கி இயந்திரத்தின் தலைகீழ் பண்பு உறுதி செய்கிறது. இந்த அமைப்பில், விசைகள் ரகசியமாக வைக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் அதே விசை குறியாக்கம் மற்றும் மறைகுறியாக்கம் ஆகிய இரண்டிற்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவாண்டம் கம்ப்யூட்டிங் குவாண்டம் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா என்பது ஆட்டோமேட்டாவின் வரிசைகளாகும், அதன் நிலைகளும் நிலை மாற்றங்களும் குவாண்டம் இயக்கவியலின் விதிகளுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன. குவாண்டம் செல்லுலார் ஆட்டோமேட்டா கணக்கீட்டு மாதிரியாக பரிந்துரைக்கப்பட்டது மற்றும் முதலில் முறைப்படுத்தப்பட்டது இந்த தானியங்கிகளைப் பற்றிய பல போட்டியிடும் கருத்துக்கள் ஆராய்ச்சியின் கீழ் உள்ளன, அவற்றில் பல இந்த வழியில் கட்டப்பட்ட தானியங்கியை மாற்றியமைக்க வேண்டும். ஒரு செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரம் இயற்பியல் ரீதியாக உலகளாவியதாக இருக்க முடியுமா என்று இயற்பியல் உலகளாவிய தன்மை கேட்டது, அதாவது, தானியங்கி இயந்திரத்தின் உயிரணுக்களின் எந்த எல்லைக்குட்பட்ட பகுதிக்கும், அந்த பகுதியை பொருத்தமான ஆதரவு சாரக்கட்டு உருவாக்கும் உயிரணுக்களால் சுற்றி வர முடியும், இதனால் தானியங்கி இயந்திரம் பிராந்தியத்திற்குள் உள்ள நிலைகளின் தொகுப்புகளில் எந்தவொரு தன்னிச்சையான மாற்றத்தையும் செயல்படுத்துகிறது. அத்தகைய தானியங்கி இயந்திரம் மாற்றக்கூடியதாகவோ அல்லது குறைந்தபட்சம் உள்ளூரில் உட்செலுத்தக்கூடியதாகவோ இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இந்த பண்பு இல்லாத தானியங்கி இயந்திரம் கார்டன் ஆஃப் ஈடன் வடிவங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் கார்டன் ஆஃப் ஈடன் உருவாக்கும் ஒரு மாற்றத்தை செயல்படுத்த முடியாது. இந்த அர்த்தத்தில் இயற்பியல் ரீதியாக உலகளாவிய ஒரு தலைகீழ் செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரத்தை உருவாக்கியது. ஷேஃபரின் தானியங்கி இயந்திரம் என்பது இரண்டு மாநிலங்கள் மற்றும் மார்கோலிஸ் சுற்றுப்புறங்களைக் கொண்ட ஒரு தொகுதி செல்லுலார் தானியங்கி இயந்திரமாகும், இது பில்லியர்ட் பந்து மாதிரி மற்றும் எச். பி. பி லட்டிஸ் வாயுவுக்கான தானியங்கிகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. இருப்பினும், பில்லியர்ட் பந்து மாதிரி இயற்பியல் ரீதியாக உலகளாவியது அல்ல, ஏனெனில் இது சில பிராந்தியத்திற்குள் மாநிலத்தை படிக்கவும் மாற்றவும் தடுக்கும் வகையில் ஊடுருவ முடியாத சுவர்களை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படலாம். ஷேஃபரின் மாதிரியில், ஒவ்வொரு வடிவமும் இறுதியில் நான்கு திசைகளில் குறுக்காக நகரும் துகள்களாக சிதைகிறது. எனவே, அவரது தானியங்கி டூரிங் முழுமையடையவில்லை. இருப்பினும், ஸ்கேஃபர் எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட உள்ளமைவையும் அதை விட மெதுவாக சிதைந்திருக்கும் சாரக்கட்டு மூலம் சுற்றி வர முடியும் என்பதைக் காட்டினார். கட்டமைப்பு துகள்களாக சிதைந்த பிறகு, சாரக்கட்டு அந்த துகள்களை இடைமறித்து, சாரக்கட்டு உள்ளே கட்டப்பட்ட பூலியன் சுற்றுகளின் அமைப்புக்கு உள்ளீடாகப் பயன்படுத்துகிறது. ஆரம்ப கட்டமைப்பின் தன்னிச்சையான செயல்பாடுகளைக் கணக்கிட இந்த சுற்றுகள் பயன்படுத்தப்படலாம். சாரக்கட்டு பின்னர் சுற்றுகளின் வெளியீட்டை மீண்டும் நகரும் துகள்களின் அமைப்பாக மாற்றுகிறது, அவை ஆரம்ப பகுதியில் ஒன்றிணைந்து ஒருவருக்கொருவர் மோதி மாற்றப்பட்ட நிலையின் நகலை உருவாக்குகின்றன. இந்த வழியில், ஷேஃப்பரின் அமைப்பு மாநில இடத்தின் எந்த எல்லைக்குட்பட்ட பகுதிக்கும் எந்தவொரு செயல்பாட்டையும் பயன்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம், இது இந்த தானியங்கி விதி உடல் ரீதியாக உலகளாவியது என்பதைக் காட்டுகிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள். . . . . . . . . . . . . . . மீண்டும் அச்சிடப்பட்டது. . . . . . . . . . . . . உள்ளேயும் உள்ளேயும் மீண்டும் அச்சிடப்பட்டது. . . . . . . . . . மீண்டும் அச்சிடப்பட்டது. . . மற்றும் மேற்கோள் காட்டியபடி. . . . . . . . . . . . . . . . செல்லுலார் தானியங்கி மாற்றியமைக்கக்கூடிய கம்ப்யூட்டிங்