Cyclotomic field
எண் கோட்பாட்டில், சைக்ளோடோமிக் புலம் என்பது ஒற்றுமையின் சிக்கலான மூலத்தை விகிதமுறு எண்களின் புலத்துடன் இணைப்பதன் மூலம் பெறப்படும் ஒரு எண் புலமாகும். நவீன இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் சைக்ளோடோமிக் புலங்கள் முக்கிய பங்கு வகித்தன, ஏனெனில் அவை ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்துடன் தொடர்புடையவை. இந்த புலங்களின் எண்கணிதத்தைப் பற்றிய அவரது ஆழமான ஆய்வுகளின் செயல்பாட்டிலேயே (பகா எண்ணுக்கு)-மேலும் துல்லியமாக, அவற்றின் முழு எண்களின் வளையங்களில் தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் தோல்வியடைந்ததால்-எர்ன்ஸ்ட் கும்மர் முதலில் ஒரு இலட்சிய எண் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார் மற்றும் அவரது புகழ்பெற்ற ஒற்றுமைகளை நிரூபித்தார். வரையறைஃ இது ஒற்றுமையின் பழமையான வேர். பின்னர் th சைக்ளோடோமிக் புலம் என்பது இதன் மூலம் உருவாக்கப்படும் நீட்டிப்பாகும். பண்புகள் th சைக்ளோடோமிக் பல்லுறுப்புக்கோவை பகுக்கமுடியாதது, எனவே இது குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். எனவே இன் இணைப்புகள் ஒற்றுமையின் பிற பழமையான வேர்கள்ஃ ஏனெனில். எனவே, யூலரின் டோட்டியன்ட் செயல்பாடு எங்கே? இதன் வேர்கள் இதன் சக்திகளாகும், அதேபோல் (அல்லது) இன் பிளவுபடுத்தும் புலமும் ஆகும். எனவே இது ஒரு கலோயிஸ் நீட்டிப்பாகும். கலோயிஸ் குழு இயற்கையாகவே பெருக்கக் குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது தலைகீழ் எச்சங்கள் மாடுலோவைக் கொண்டுள்ளது, அவை மற்றும் உடன் எஞ்சியுள்ளவை. ஐசோமார்பிசம் ஒவ்வொன்றையும் அனுப்புகிறது, அங்கு ஒரு முழு எண் உள்ளது. முழு எண்களின் வளையம். ஏனெனில், நீட்டிப்பின் டிஸ்க்ரிமிநென்ட் குறிப்பாக, வகுக்கப்படாத ஒவ்வொரு பிரைமுக்கும் மேலே அன்ராமிஃபை செய்யப்படுகிறது. ஒரு பிரைமின் சக்தி என்றால், அது முற்றிலும் மேலே வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு பகா எண் வகுக்கப்படாவிட்டால், ஃப்ரோபீனியஸ் உறுப்பு இன் இன் எச்சத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒற்றுமையின் வேர்களின் குழு வரிசை அல்லது சமம் அல்லது ஒற்றைப்படை என்பதைப் பொறுத்து உள்ளது. அலகுக் குழு என்பது டிரிக்லெட் அலகு தேற்றத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட வகையில் உருவாக்கப்பட்ட அபெலியன் தரவரிசைக் குழுவாகும். குறிப்பாக, இது} க்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. முறுக்கு துணைக்குழு என்பது ஒற்றுமையின் வேர்களின் குழுவாகும், இது முந்தைய உருப்படியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. சைக்ளோடோமிக் அலகுகள் ஒரு வெளிப்படையான வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. க்ரோனெக்கர்-வெபர் தேற்றம் இன் இன் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் நீட்டிப்பும் சிலவற்றில் அடங்கியுள்ளது என்று கூறுகிறது. சமமாக, அனைத்து சைக்ளோடோமிக் புலங்களின் ஒன்றிணைப்பும் அதிகபட்ச அபெலியன் நீட்டிப்பாகும். வழக்கமான பலகோணங்களுடனான தொடர்பு காஸ் சைக்ளோடோமிக் புலங்களின் கோட்பாட்டில் ஆரம்பகால ஊடுருவல்களை உருவாக்கியது, இது ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் நேரான விளிம்புடன் ஒரு வழக்கமான-கோனை உருவாக்கும் சிக்கலுடன் தொடர்புடையது. அவரது முன்னோடிகள் தப்பித்த அவரது ஆச்சரியமான முடிவு என்னவென்றால், ஒரு வழக்கமான 17-கோன் கட்டப்பட்டது. மேலும் பொதுவாக, எந்தவொரு முழு எண்ணுக்கும், பின்வருபவை சமமானவைஃ ஒரு வழக்கமான-கோன் கட்டமைக்கக்கூடியது; புலங்களின் வரிசை உள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் முந்தைய புலத்தின் இருபடி நீட்டிப்பாகும்; 2 இன் சக்தி; சில முழு எண்கள் மற்றும் ஃபெர்மாட் பகா எண்களுக்கு. (ஒரு ஃபெர்மாட் பகா எண் என்பது 2 இன் சக்தி கொண்ட ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண் ஆகும். அறியப்பட்ட ஃபெர்மாட் பகா எண்கள் 3,5,17,257,65537 ஆகும், மேலும் வேறு எதுவும் இல்லை.) சிறிய எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும்ஃ சமன்பாடுகள் மற்றும் அதைக் காட்டுகின்றன, இது ஒரு இருபடி நீட்டிப்பாகும். அதன்படி, ஒரு வழக்கமான 3-கோன் மற்றும் ஒரு வழக்கமான 6-கோன் ஆகியவை கட்டமைக்கக்கூடியவை. : இதேபோல், எனவே, மற்றும் ஒரு வழக்கமான 4-கோன் கட்டமைக்கக்கூடியது. : புலம் ஒரு இருபடி நீட்டிப்பு அல்ல, ஆனால் இது இருபடி நீட்டிப்பின் இருபடி நீட்டிப்பாகும், எனவே ஒரு வழக்கமான 5-கோன் கட்டமைக்கக்கூடியது. ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்துடன் தொடர்பு ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கான ஒரு இயற்கையான அணுகுமுறை, ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் பின்வருமாறு தோன்றும் ஒற்றைப்படை பகா எண்ணை காரணி செய்வதாகும்ஃ இங்கே மற்றும் சாதாரண முழு எண்கள், அதே நேரத்தில் காரணிகள் சைக்ளோடோமிக் புலத்தில் இயற்கணித முழு எண்கள். சைக்ளோடோமிக் முழு எண்களில் தனித்துவமான காரணிமயமாக்கல் இருந்தால், ஃபெர்மாட்டின் சமன்பாட்டிற்கு அற்பமான தீர்வுகள் இருப்பதை நிராகரிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தைக் கையாள்வதற்கான பல முயற்சிகள் இந்த வழிகளில் தொடர்ந்தன, மேலும் ஃபெர்மாட்டின் ஆதாரம் மற்றும் ஆய்லரின் ஆதாரம் ஆகிய இரண்டையும் இந்த சொற்களில் மறுசீரமைக்கலாம். 1 முதல் 22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90 வரை தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலைக் கொண்ட முழுமையான பட்டியல். தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலின் தோல்வியை சமாளிக்க கும்மர் ஒரு வழியைக் கண்டுபிடித்தார். சைக்ளோடோமிக் முழு எண்களில் உள்ள பகா எண்களுக்கு மாற்றாக ஒரு எண்ணை அவர் அறிமுகப்படுத்தினார், வர்க்க எண் மூலம் தனித்துவமான காரணிமயமாக்கலின் தோல்வியை அளந்தார், மேலும் ஒரு பகா எண்ணால் வகுக்க முடியாவிட்டால் (அவை வழக்கமான பகா எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன) ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம் அடுக்குக்கு உண்மை என்பதை நிரூபித்தார். மேலும், எந்த பகா எண்கள் வழக்கமானவை என்பதைத் தீர்மானிக்க அவர் ஒரு அளவுகோலை வழங்கினார், மேலும் ஒழுங்கற்ற பகா எண்கள் 37,59 மற்றும் 67 ஐத் தவிர, 100 க்கும் குறைவான அனைத்து பகா அடுக்குகளுக்கும் ஃபெர்மாட்டின் தேற்றத்தை நிறுவினார். சைக்ளோடோமிக் புலங்களின் வகுப்பு எண்களுக்கான ஒற்றுமைகள் குறித்த கும்மரின் பணி இருபதாம் நூற்றாண்டில் இவாசாவா கோட்பாட்டிலும், குபோட்டா மற்றும் லியோபோல்ட் ஆகியோரால் p-adic ஜீட்டா செயல்பாடுகள் பற்றிய கோட்பாட்டிலும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. சைக்ளோடோமிக் புலங்களின் வகுப்பு எண்களின் பட்டியல், அல்லது-பகுதிக்கான (பகா n க்கு) மேலும் காண்க க்ரோனெக்கர்-வெபர் தேற்றம் சைக்ளோடோமிக் பல்லுறுப்புக்கோவை குறிப்புகள் ஆதாரங்கள் பிரையன் பிர்ச், ஜே. டபிள்யூ. எஸ் இல் "சைக்ளோடோமிக் புலங்கள் மற்றும் கும்மர் நீட்டிப்புகள்". கேசல்ஸ் மற்றும் ஏ. ஃப்ரோலிச் (எடிடி), இயற்கணித எண் கோட்பாடு, அகாடமிக் பிரஸ், 1973. Chap.III, pp. 45-93 டேனியல் ஏ. மார்கஸ், நம்பர் ஃபீல்ட்ஸ், முதல் பதிப்பு, ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், 1977 செர்ஜ் லாங், சைக்ளோடோமிக் ஃபீல்ட்ஸ் I மற்றும் II, ஒருங்கிணைந்த இரண்டாவது பதிப்பு. கார்ல் ரூபின் எழுதிய பிற்சேர்க்கையுடன். கணிதத்தில் பட்டதாரி உரைகள், 121. ஸ்பிரிங்கர்-வெர்லாக், நியூயார்க், 1990. ரியல் சைக்ளோடோமிக் ஃபீல்ட்களின் முழு எண்களின் வளையத்தில் மேலும் படிக்கவும். கோஜி யமகாடா மற்றும் மசாகாசு யமகிஷிஃ ப்ரோக், ஜப்பான் அகாடமி, 92. Ser a (2016) இயற்கணித எண் கோட்பாடு