Cavalieri's quadrature formula
கால்குலஸில், 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் பொனாவென்டுரா கவலியேரியின் பெயரிடப்பட்ட கவலியேரியின் நாற்கர சூத்திரம், அதன் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் ஆகும். இது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த வடிவம்; காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த வடிவம் பின்வருமாறுஃ கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள கூடுதல் வடிவங்கள் உள்ளன. ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் தன்மையுடன் சேர்ந்து, இந்த சூத்திரம் அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒருங்கிணைப்புகளையும் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. "நாற்கர" என்ற சொல் பரப்பளவைக் குறிக்கும் ஒரு பாரம்பரியச் சொல்லாகும்; ஒருங்கிணைப்பு என்பது y = xn வளைவின் கீழ் உள்ள பரப்பளவு என்று வடிவியல் ரீதியாக விளக்கப்படுகிறது. பாரம்பரியமாக முக்கியமான நிகழ்வுகள் y = x2, பழங்காலத்தில் அறியப்பட்ட பரவளையத்தின் நாற்கரமும், y = 1/x, ஹைபர்போலாவின் நாற்கரமும், அதன் மதிப்பு ஒரு மடக்கை ஆகும். எதிர்மறை n வடிவங்கள் n இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு (x இன் எதிர்மறை சக்திகள்), x = 0 இல் ஒரு ஒற்றுமை உள்ளது, எனவே திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு 0 ஐ விட 1 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது பின்வருமாறுஃ மேலும், n இன் எதிர்மறை பின்ன (முழு எண் அல்லாத) மதிப்புகளுக்கு, சக்தி xn நன்கு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு நேர்மறை x க்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், n ஒரு எதிர்மறை முழு எண்ணுக்கு xn சக்தி பூஜ்ஜியமற்ற x அனைத்திற்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு சமச்சீர் வாதத்தின் மூலம் கணக்கிடப்படலாம், x ஐ −x ஆல் மாற்றலாம், மேலும் எதிர்மறை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை −1 இல் அடிப்படையாகக் கொள்ளலாம். சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை (n மற்றும் x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு) விளிம்பு ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வரையறுக்க முடியும், ஆனால் பின்னர் பாதையின் தேர்வைப் பொறுத்தது, குறிப்பாக முறுக்கு எண்-வடிவியல் சிக்கல் என்னவென்றால், செயல்பாடு 0 இல் ஒரு ஒற்றுமையுடன் ஒரு மூடும் இடத்தை வரையறுக்கிறது. அடிப்படை e = 2.71828.) க்கு மடக்கை. முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு பெரும்பாலும் வழக்கமான தேர்வு மூலம் x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறதுஃ காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் முழுமையான மதிப்பின் பயன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்; இது ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒரு ஒருங்கிணைந்த வடிவத்தை வழங்குவதாகும், மேலும் இந்த ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சமமான செயல்பாடாகும், இருப்பினும் மடக்கை நேர்மறை உள்ளீடுகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது, உண்மையில், C இன் வெவ்வேறு மாறிலி மதிப்புகள் 0 இன் இருபுறமும் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம், ஏனெனில் இவை வழித்தோன்றலை மாற்றாது. மிகவும் பொதுவான வடிவம் பின்வருமாறுஃ சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் 1/x க்கு உலகளாவிய ஆன்டிடெரிவேடிவ் இல்லை, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு ஒரு அற்பமான மூடுபனி இடத்தை வரையறுக்கிறது; இந்த வடிவம் உண்மையான எண்களுக்கு சிறப்பு வாய்ந்தது. 1 முதல் தொடங்கும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு a இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் இது ஒரு ஒற்றுமை வழியாக செல்கிறது, இருப்பினும் 1/x ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு என்பதால், எதிர்மறை சக்திகளுக்கான திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை-1 இல் அடிப்படையாகக் கொள்ளலாம். ஒருவர் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தவும், காச்சி முதன்மை மதிப்பைக் கணக்கிடவும் விரும்பினால், ஒருவர் சமச்சீர் மூலமாகவும் வாதிட முடியும் (மடக்கை ஒற்றைப்படை என்பதால்), எனவே திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு 1 அல்லது-1 ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டிருந்தால் அது எந்த வித்தியாசத்தையும் ஏற்படுத்தாது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைப் போலவே, இது உண்மையான எண்களுக்கு சிறப்பு வாய்ந்தது, மேலும் இது சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் நீட்டிக்கப்படுவதில்லை. மாற்று வடிவங்கள் ஒருங்கிணைப்பை குறியீடுகள் மாற்றப்பட்டும் எழுதலாம், இது முடிவை எளிதாக்குகிறது மற்றும் n-பரிமாண வேறுபாடு மற்றும் n-கனசதுரத்துடனான உறவை தெளிவுபடுத்துகிறதுஃ மேலும் பொதுவாக, இந்த சூத்திரங்களை பின்வருமாறு கொடுக்கலாம்ஃ மேலும் பொதுவாகஃ ஆதாரம் நவீன ஆதாரம் ஒரு எதிர்மறையான பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாகும்ஃ xn இன் வழித்தோன்றல் nxn−1 ஆகக் காட்டப்படுகிறது-எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்களுக்கு. இது பைனாமியல் சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து காட்டப்படுகிறது-எனவே கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தால் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒருங்கிணைந்ததாகும். பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படுவதால் வரையறுக்கப்படாத கேண்டிடேட் ஆன்டிடரிவேட்டிவ் என்பதால் இந்த முறை தோல்வியடைகிறது. 1/x இன் உண்மையான எதிர்மறையான மடக்கைச் செயல்பாடு தனித்தனியாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு ஆராயப்பட வேண்டும். நேர்மறை முழு எண்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த ஆதாரம் வடிவியல் ரீதியாக இருக்கலாம்ஃ xn அளவை n-கனசதுரத்தின் அளவு (n பரிமாணங்களில் ஹைபர்கியூப்) என்று ஒருவர் கருதினால், பக்க நீளம் மாற்றப்படுவதால் அளவின் மாற்றம் வழித்தோன்றல் ஆகும்-இது xn−1 ஆகும், இது n முகங்களின் பரப்பளவு என்று விளக்கப்படலாம், ஒவ்வொன்றும் பரிமாணம் n−1 (தோற்றத்தில் ஒரு உச்சியை நிர்ணயித்தல், இவை உச்சியைத் தொடாத n முகங்கள்), இந்த முகங்களின் திசையில் வளர்வதன் மூலம் கனசதுரத்தின் அளவு அதிகரிப்பதோடு தொடர்புடையது-3 பரிமாண வழக்கில், 3 எல்லையற்ற மெல்லிய சதுரங்களைச் சேர்த்து, இந்த முகங்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒன்று. மாறாக, கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தை வடிவியல் ரீதியாகப் பயன்படுத்தி, இந்த எல்லையற்ற (n−1) க்யூப்ஸை அடுக்கி வைத்தால் ஒரு (ஹைப்பர்)-பிரமிடு கிடைக்கும், மேலும் இந்த பிரமிடுகளில் n என்பது n-கியூபை உருவாக்குகிறது, இது சூத்திரத்தை அளிக்கிறது. மேலும், இந்த பிரமிடுகளைச் சுற்றி n-கனசதுரத்தின் n-மடங்கு சுழற்சி சமச்சீர் உள்ளது (இதற்காக ஒரு பிரமிடு ஒரு அடிப்படை களமாகும்). கனசதுரத்தைப் பொறுத்தவரை (3-கனசதுரம்), ஒரு பிரமிடின் அளவு முதலில் கடுமையாக நிறுவப்பட்டதுஃ கனசதுரம் 3 மடங்கு சமச்சீர்மையைக் கொண்டுள்ளது, அடிப்படை களம் ஒரு பிரமிடுகளுடன், கனசதுரத்தை 3 பிரமிடுகளாகப் பிரிக்கிறது, இது ஒரு பிரமிடின் அளவு அடிப்பகுதி மடங்கு உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு என்ற உண்மையுடன் தொடர்புடையது. இது பரவளையத்தின் நாற்கரத்திற்கும் ஒரு பிரமிடின் அளவிற்கும் இடையிலான சமன்பாட்டை வடிவியல் ரீதியாக விளக்குகிறது, அவை வெவ்வேறு வழிகளில் பாரம்பரியமாக கணக்கிடப்பட்டன. மாற்று சான்றுகள் உள்ளன-எடுத்துக்காட்டாக, ஃபெர்மாட் களத்தை சமமற்ற நீளத்தின் சில இடைவெளிகளாகப் பிரிப்பதற்கான ஒரு இயற்கணித தந்திரத்தின் மூலம் பகுதியை கணக்கிட்டார்; மாற்றாக, y = xn வரைபடத்தின் சமச்சீர்மையை ஒரே மாதிரியான விரிவடைதலின் கீழ் (x திசையில் d மற்றும் y திசையில் dn, y திசையின் n பரிமாணங்களை இயற்கணிதமாக்குதல்), அல்லது n = −1 க்கான முடிவை விரிவுபடுத்துவதன் மூலமும், குணகங்களை ஒப்பிடுவதன் மூலமும் அனைத்து முழு எண் மதிப்புகளுக்கான சூத்திரத்தையும் பெறுவதன் மூலம் இதை நிரூபிக்க முடியும். வரலாறு பற்றிய விரிவான விவாதம், அசல் ஆதாரங்களுடன், இதில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது; மேலும் காண்க கால்குலஸின் வரலாறு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரலாறு. பரவளையத்தின் வழக்கு பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் ஆர்க்கிமிடீஸ் தனது தி குவாட்ரச்சர் ஆஃப் தி பரவளையத்தில் (கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டு), சோர்வு முறை மூலம் பழங்காலத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது. குறிப்பிடத்தக்க விஷயம் என்னவென்றால், ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு பரவளையத்திற்குள் உள்ள பகுதியை கணக்கிடுகிறார்-இது ஒரு "பரவளையப் பிரிவு" என்று அழைக்கப்படுகிறது-y = x2 வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதியை விட, இது கார்ட்டீசியன் வடிவவியலின் முன்னோக்கு ஆகும். இவை சமமான கணக்கீடுகள், ஆனால் முன்னோக்கில் உள்ள வேறுபாட்டை பிரதிபலிக்கின்றன. பண்டைய கிரேக்கர்கள், மற்றவர்களுடன், ஒரு பிரமிடு அல்லது கூம்பின் அளவைக் கணக்கிட்டனர், இது கணித ரீதியாக சமமானது. 11 ஆம் நூற்றாண்டில், இஸ்லாமிய கணிதவியலாளர் இப்னு அல்-ஹைதம் (ஐரோப்பாவில் அல்ஹாசன் என்று அழைக்கப்படுகிறார்) தனது ஒளியியல் புத்தகத்தில், கணிதத் தூண்டல் மூலம் கனசதுரங்கள் மற்றும் குவார்டிக்ஸ் (டிகிரி மூன்று மற்றும் நான்கு) ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட்டார். உயர் முழு எண்களின் வழக்கு காவலீரியால் n முதல் 9 வரை கணக்கிடப்பட்டது, அவரது பிரிக்க முடியாத முறைகளைப் பயன்படுத்தி (காவலீரியின் கொள்கை). உயர் பரிமாண பொருள்கள் இன்னும் அறிமுகமில்லாதவை என்பதால், முறைசாரா முறையில் மட்டுமே இருந்தாலும், உயர் பரிமாண தொகுதிகளைக் கணக்கிடுவது என இவற்றை உயர் ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அவர் விளக்கினார். இந்த நாற்கர முறை பின்னர் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் எவாஞ்சலிஸ்டா டோரிசெல்லியால் சைக்ளோயிட் போன்ற பிற வளைவுகளுக்கு விரிவுபடுத்தப்பட்டது, பின்னர் இந்த சூத்திரம் ஆங்கில கணிதவியலாளர் ஜான் வாலிஸால் பின்ன மற்றும் எதிர்மறை சக்திகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது, அவரது அரித்மெடிகா இன்ஃபினிடோரம் (1656) இல், இது பகுத்தறிவு சக்திகளின் கருத்தையும் குறியீட்டையும் தரப்படுத்தியது-இருப்பினும் வாலிஸ் விதிவிலக்கான வழக்கு n = −1 (ஹைபர்போலாவின் நாற்கர)-இறுதியாக ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் வளர்ச்சியுடன் கடுமையான தரத்தில் வைக்கப்படுவதற்கு முன்பு. வாலிஸின் பின்ன மற்றும் எதிர்மறை சக்திகளை முறைப்படுத்துவதற்கு முன்பு, இந்த வளைவுகள் வெளிப்படையான செயல்பாடுகளை அனுமதித்தன, சமன்பாடுகள் மற்றும் (p மற்றும் q எப்போதும் நேர்மறை முழு எண்கள்) வழியாக மறைமுகமாக கையாளப்பட்டன, மேலும் அவை முறையே உயர் பரவளையங்கள் மற்றும் உயர் ஹைபர்போல்கள் (அல்லது "உயர் பரவளையங்கள்" மற்றும் "உயர் ஹைபர்போலாஸ்") என்று குறிப்பிடப்பட்டன. பியரி டி ஃபெர்மாட் இந்த பகுதிகளை (-1 இன் விதிவிலக்கான வழக்கைத் தவிர) ஒரு இயற்கணித தந்திரத்தால் கணக்கிட்டார்-அவர் கோட்டை சம இடைவெளிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் உயர் ஹைபர்போலாவின் நாற்கரத்தை கணக்கிட்டார், பின்னர் உயர் பரவளையத்தின் நாற்கரத்தை ஒரு சமமற்ற இடைவெளிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலம் கணக்கிட்டார், அநேகமாக அவர் ஹைபர்போலாவுக்கு பயன்படுத்திய பிரிவுகளை தலைகீழாக மாற்றுவதன் மூலம். இருப்பினும், அவரது மற்ற படைப்புகளைப் போலவே, ஃபெர்மாட்டின் நுட்பங்கள் முறையான சிகிச்சைகளை விட தற்காலிக தந்திரங்களாக இருந்தன, மேலும் கால்குலஸின் அடுத்தடுத்த வளர்ச்சியில் அவர் குறிப்பிடத்தக்க பங்கைக் கொண்டிருந்ததாக கருதப்படவில்லை. கவேலியேரி பகுதிகளை பகுதிகளுடன் மற்றும் தொகுதிகளை தொகுதிகளுடன் மட்டுமே ஒப்பிட்டார் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது-இவை எப்போதும் பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் ஒரு பகுதியை பரப்பளவு அலகுகளைக் கொண்டதாகக் கருதும் கருத்து (ஒரு நிலையான அலகுடன் ஒப்பிடுகையில்), எனவே அலகு இல்லாதது, வாலிஸிலிருந்து தோன்றியதாகத் தெரிகிறது; வாலிஸ் பின்ன மற்றும் எதிர்மறை சக்திகளைப் படித்தார், மேலும் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்புகளை அலகு இல்லாத எண்களாக கருதுவதற்கான மாற்று என்பது பின்ன மற்றும் எதிர்மறை பரிமாணங்களை விளக்குவதாகும். - 1 இன் விதிவிலக்கான வழக்கு (நிலையான ஹைப்பர்போலா) முதன்முதலில் கிரேகோயர் டி செயிண்ட்-வின்சென்ட் தனது ஓபஸ் வடிவியல் நாற்கர சுற்று மற்றும் பிரிவு கோனி (1647) இல் வெற்றிகரமாக சிகிச்சையளித்தார், இருப்பினும் இயற்கையான மடக்கை வளர்ச்சிக்கு ஒரு முறையான சிகிச்சை காத்திருக்க வேண்டியிருந்தது, இது நிக்கோலஸ் மெர்கேட்டரால் அவரது மடக்கை தொழில்நுட்பத்தில் (1668) நிறைவேற்றப்பட்டது. குறிப்புகள் வரலாறு (pbk). - வாலஸை முதன்மையாக விவாதிக்கிறது ஆதாரங்கள் இறுதியில் அச்சில் தோன்றுகிறதுஃ மாலிக், எம். ஏ. (1984) "ஏ நோட் ஆன் காவலீரி ஒருங்கிணைப்பு", கணித இதழ் 57 (3): 154-6 வி. ஃப்ரெடெரிக் ரிக்கி (2011) ஃபெர்மாட்டின் அதிகாரங்களின் ஒருங்கிணைப்பு, கால்குலஸ் ஆசிரியர்களுக்கான வரலாற்றுக் குறிப்புகளில் வெளிப்புற இணைப்புகள் காவலீரி ஒருங்கிணைப்பு எண்ணற்ற கால்குலஸ், கணித ஒருங்கிணைப்புகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கலைக்களஞ்சியம்