Schwarzschild coordinates
லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு கோட்பாட்டில், கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரங்கள் உள்ளமைக்கப்பட்ட வட்ட கோளங்களின் குடும்பத்தை ஒப்புக்கொள்கின்றன. அத்தகைய இடநேரத்தில், குறிப்பாக முக்கியமான ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படம் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படம் ஆகும், இது ஒரு நிலையான மற்றும் கோள சமச்சீர் இடநேரத்தில் ஒரு வகையான துருவ கோள ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படமாகும், இது இந்த உள்ளமைக்கப்பட்ட வட்ட கோளங்களுக்கு ஏற்றது. ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு என்னவென்றால், ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு மேற்பரப்பு பரப்பளவு மற்றும் ஒவ்வொரு கோளத்தின் காஸியன் வளைவு ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் இயற்கையான வடிவியல் விளக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், ரேடியல் தூரங்கள் மற்றும் கோணங்கள் துல்லியமாக குறிப்பிடப்படவில்லை. இந்த விளக்கப்படங்கள் பொது சார்பியல் போன்ற ஈர்ப்பு அளவீட்டுக் கோட்பாடுகளில் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. அவை பெரும்பாலும் நிலையான கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பொது சார்பியல் விஷயத்தில், ஐன்ஸ்டீன் புலம் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட கோள சமச்சீர் வெற்றிடம் அல்லது மின்காந்த தீர்வு நிலையானது என்று பிர்காஃப்பின் தேற்றம் கூறுகிறது, ஆனால் இது நிச்சயமாக சரியான திரவங்களுக்கு உண்மையல்ல. ஒரு கோள சமச்சீர் கருந்துளையின் நிகழ்வு அடிவானத்திற்குள் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் வெற்றிட கரைசலின் வெளிப்புறப் பகுதியின் விரிவாக்கம் அடிவானத்திற்குள் நிலையானதாக இல்லை, மேலும் (விண்வெளி போன்ற) கூட்டுக் கோளங்களின் குடும்பத்தை அடிவானத்திற்குள் நீட்டிக்க முடியாது, எனவே இந்த தீர்வுக்கான ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படம் அடிவானத்தில் உடைகிறது. வரையறை ஒரு மெட்ரிக் டென்சரைக் குறிப்பிடுவது எந்தவொரு லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு வரையறையின் ஒரு பகுதியாகும். இந்த டென்சரை வரையறுப்பதற்கான எளிய வழி, இணக்கமான உள்ளூர் ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படங்களில் அதை வரையறுத்து, விளக்கப்படங்களின் களங்களின் ஒன்றுடன் ஒன்று அதே டென்சர் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை சரிபார்க்க வேண்டும். இந்தக் கட்டுரையில், ஒரு விளக்கப்படத்தின் களத்தில் மெட்ரிக் டென்சரை மட்டுமே வரையறுக்க முயற்சிப்போம். ஒரு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தில் (நிலையான கோள சமச்சீர் இடநேரத்தில்), கோடு உறுப்பு வடிவத்தை எடுக்கிறது நிலையான கோள ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அலகு 2-கோளத்தில் நிலையான மெட்ரிக் ஆகும். இந்த வெளிப்பாட்டின் விரிவான வழித்தோன்றலுக்கு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் தீர்வை பெறுவதைப் பார்க்கவும். சூழலைப் பொறுத்து, a மற்றும் b ஐ ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பின் தீர்மானிக்கப்படாத செயல்பாடுகளாகக் கருதுவது பொருத்தமானதாக இருக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, ஐன்ஸ்டீன் புலம் சமன்பாட்டின் துல்லியமான நிலையான கோள சமச்சீர் தீர்வை பெறுவதில்). மாற்றாக, ஒரு குறிப்பிட்ட லோரெண்ட்சியன் இடநேரத்தில் ஒரு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படத்தைப் பெற குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை (சில அளவுருக்களைப் பொறுத்து) செருகலாம். இது ஒரு அழுத்த-ஆற்றல் இழுவிசையை ஏற்றுக்கொண்டால், அதன் விளைவாக வரும் மாதிரி ஐன்ஸ்டீன் புல சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (அதாவது, பொருத்தமான ஆற்றல் நிலைமைகள் மற்றும் நியாயமான சரியான திரவத்திலிருந்து எதிர்பார்க்கப்படும் பிற பண்புகளுக்குக் கீழ்ப்படும் ஒரு நிலையான கோள சமச்சீர் சரியான திரவத்திற்கு), பின்னர், பொருத்தமான இழுவிசை புலங்கள் பொருள் மற்றும் வேக அடர்த்தி போன்ற இயற்பியல் அளவுகளைக் குறிக்கின்றன, நம்மிடம் ஒரு பெரிய விண்வெளி நேரத்தின் ஒரு துண்டு உள்ளது; இது ஐன்ஸ்டீன் புல சமன்பாட்டின் உள்ளூர் தீர்வாகக் கருதப்படலாம். கில்லிங் வெக்டர் ஃபீல்ட்கள் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு விளக்கப்படத்தைப் பொறுத்தவரை, கில்லிங் வெக்டர் ஃபீல்ட்களின் லை அல்ஜிப்ரா நேரத்தைப் போன்ற இர்ரோட்டேஷனல் கில்லிங் வெக்டர் ஃபீல்ட் மற்றும் மூன்று ஸ்பேசெலிக் கில்லிங் வெக்டர் ஃபீல்ட்களால் உருவாக்கப்படுகிறது. நமது விண்வெளி நேரம் ஒரு சுழற்சி நேரத்தைப் போன்ற கில்லிங் வெக்டர் புலத்தை ஒப்புக்கொள்கிறது என்பது உண்மையில் ஒரு நிலையான விண்வெளி நேரத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு. ஒரு உடனடி விளைவு என்னவென்றால், நிலையான நேர ஒருங்கிணைப்பு மேற்பரப்புகள் (ஐசோமெட்ரிக்) இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்சிலிக்ஸின் குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன. (உதாரணமாக, கெர் வெற்றிடத்தின் வெளிப்புறப் பகுதிக்கான பாயர்-லிண்ட்குவிஸ்ட் விளக்கப்படத்தில் இது உண்மையல்ல, அங்கு நேரத்தைப் போன்ற ஒருங்கிணைப்பு திசையன் ஹைப்பர்சர்பேஸ் ஆர்த்தோகனல் அல்ல.) ஒருங்கிணைப்பு மாற்றத்தின் கீழ், கடைசி இரண்டு புலங்கள் ஒன்றின் மற்றொன்றின் சுழற்சிகள் என்பதைக் கவனியுங்கள். வெக்டர் புலங்களைக் கொல்வது பற்றிய கட்டுரை மூன்று இடம் போன்ற புலங்களின் விரிவான வழித்தோன்றல் மற்றும் விவாதத்தை வழங்குகிறது. நிலையான உள்ளமைக்கப்பட்ட கோளங்களின் குடும்பம் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு விளக்கப்படத்தில், மேற்பரப்புகள் வட்ட கோளங்களாகத் தோன்றுகின்றன (துருவ கோள பாணியில் இருப்பிடத்தை நாம் திட்டமிடும்போது), அதன் வடிவத்திலிருந்து, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு மெட்ரிக் இந்த மேற்பரப்புகளில் ஏதேனும் ஒன்றிற்கு கட்டுப்படுத்தப்பட்டிருப்பது நேர்மறை திட்டவட்டமானது மற்றும் அலகு ஆரம் 2-கோளத்தில் நிலையான ரீமானியன் மெட்ரிக் எங்கே என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அதாவது, இந்த உள்ளமைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த கோளங்கள் உண்மையில் மேற்பரப்பு பரப்பளவு காஸியன் வளைவுடன் வடிவியல் கோளங்களைக் குறிக்கின்றன குறிப்பாக, அவை வடிவியல் வட்ட கோளங்கள். மேலும், கோண ஆயத்தொலைவுகள் வழக்கமான துருவ கோள கோண ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும்ஃ இது சில நேரங்களில் அட்சரேகை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பொதுவாக தீர்க்கரேகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது அடிப்படையில் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் அம்சமாகும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட நான்கு கில்லிங் புலங்கள், நமது லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு சுருக்க திசையன் புலங்களாகக் கருதப்படுகின்றன, ஒரு நிலையான கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரத்தின் இரு சமச்சீர்களின் உண்மையான வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்கின்றன, அதே நேரத்தில் அவை நமது விளக்கப்படத்தில் எடுக்கும் குறிப்பிட்ட முக்கோணவியல் வடிவம் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படம் என்ற வார்த்தையின் அர்த்தத்தின் உண்மையான வெளிப்பாடாகும். குறிப்பாக, மூன்று இடஞ்சார்ந்த கொல்லும் திசையன் புலங்கள் E3 இல் ஒரு கோள சமச்சீர் விளக்கப்படத்தில் மூன்று மொழிபெயர்ப்பு அல்லாத கொல்லும் திசையன் புலங்களின் அதே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன; அதாவது, அவை தோற்றம் அல்லது கோள சமச்சீர் பற்றிய தன்னிச்சையான யூக்ளிடியன் சுழற்சி என்ற கருத்தை வெளிப்படுத்துகின்றன. இருப்பினும், நன்கு கவனிக்கவும்ஃ பொதுவாக, ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு ரேடியல் தூரங்களை துல்லியமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது, அதாவது. ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளாக எழும் புவியியல் ஒற்றுமையுடன் எடுக்கப்பட்ட தூரங்கள். மாறாக, நமது இரண்டு உள்ளமைக்கப்பட்ட கோளங்களுக்கு இடையிலான 'இடஞ்சார்ந்த தூரம்' பற்றிய பொருத்தமான கருத்தைக் கண்டறிய, நாம் தோற்றத்திலிருந்து சில ஒருங்கிணைந்த கதிர்களுடன் ஒருங்கிணைக்க வேண்டும்ஃ இதேபோல், ஒவ்வொரு கோளத்தையும் இலட்சியப்படுத்தப்பட்ட பார்வையாளர்களின் கோள மேகத்தின் இருப்பிடமாக நாம் கருதலாம், அவர்கள் (பொதுவாக) ராக்கெட் என்ஜின்களைப் பயன்படுத்தி கதிரியக்கமாக வெளிப்புறமாக முடுக்கிவிட வேண்டும். இவை நிலையான பார்வையாளர்கள், மேலும் அவை உலக வடிவக் கோடுகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை நிச்சயமாக ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தில் செங்குத்து ஒருங்கிணைப்புக் கோடுகளின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன. இந்த பார்வையாளர்களில் ஒருவரின் உலகக் கோட்டில் உள்ள இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான சரியான நேர இடைவெளியைக் கணக்கிட, நாம் பொருத்தமான ஒருங்கிணைப்புக் கோட்டில் ஒருங்கிணைக்க வேண்டும்ஃ ஒருங்கிணைந்த ஒருமைப்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கவும் மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளைத் திரும்பிப் பார்க்கும்போது, ஒருங்கிணைந்த ஒருமைப்பாடு நமது நிலையான கூட்டுக் கோளங்களில் ஒன்றின் வட துருவத்தின் இருப்பிடத்தைக் குறிக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், அதே நேரத்தில் தென் துருவத்தின் இருப்பிடத்தைக் குறிக்கிறது. E3 இல் உள்ள ஒரு சாதாரண துருவ கோள வரைபடத்தைப் போலவே, இடவியல் காரணங்களுக்காக முழு கோளத்திலும் தொடர்ச்சியான ஆயத்தொகுதிகளை நாம் பெற முடியாது; முதன்மை மெரிடியனாக செயல்பட சில தீர்க்கரேகையை (ஒரு பெரிய வட்டம்) நாம் தேர்வு செய்து இதை விளக்கப்படத்திலிருந்து வெட்ட வேண்டும். இதன் விளைவாக, அந்த அச்சிலிருந்து நீட்டிக்கப்பட்டுள்ள அச்சு மற்றும் அரை தளம் உட்பட ஒவ்வொரு இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்ஸ்லைஸிலிருந்தும் ஒரு மூடிய அரை தளத்தை நாம் வெட்டிக்கொள்கிறோம். இது ஒரு கில்லிங் வெக்டர் ஃபீல்ட் என்று நாம் மேலே சொன்னபோது, ஒரு சுழற்சி ஒருங்கிணைப்பாக நாம் நினைக்கும் பீடண்டிக் ஆனால் முக்கியமான தகுதியைத் தவிர்த்தோம், மேலும் உண்மையில் நமது மூன்று விண்வெளி போன்ற கில்லிங் திசையன்கள் வட்ட கோளங்களில் செயல்படுவதாக நினைத்தேன். ஒருவேளை, நிச்சயமாக, அல்லது, இந்த விஷயத்தில் நாம் சில பந்துக்கு வெளியே அல்லது சில பந்துக்குள் உள்ள பகுதியையும் நமது விளக்கப்படத்தின் களத்திலிருந்து விலக்க வேண்டும். ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு ரேடியல் ஆயத்தின் ஏதேனும் ஒரு மதிப்பில் f அல்லது g வெடிக்கும் போதெல்லாம் இது நிகழ்கிறது r. நிலையான ஹைப்பர்ஸ்லிக்ஸ்களைக் காட்சிப்படுத்துவது ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு ரேடியல் ஆயத்தின் முக்கியத்துவத்தை நன்கு புரிந்துகொள்ள, ஒரு தட்டையான யூக்ளிடியன் இடத்தில் இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்ஸ்லிக்ஸ்களில் ஒன்றை (அவை அனைத்தும் ஒருவருக்கொருவர் ஐசோமெட்ரிக்) உட்பொதிக்க இது உதவக்கூடும். நான்கு பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தை காட்சிப்படுத்துவது கடினம் என்று கருதும் மக்கள், ஒரு ஒருங்கிணைப்பை அடக்குவதற்கு கோள சமச்சீர்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம் என்பதைக் கண்டு மகிழ்ச்சியடைவார்கள். அமைப்பதன் மூலம் இதை வசதியாக அடையலாம். இப்போது எங்களிடம் ஒரு உள்ளூர் ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு விளக்கப்படத்துடன் இரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு உள்ளது, இந்த மேற்பரப்பை (அல்லது ஒரு வருடாந்திர வளையத்தில்) E3 இல் உட்பொதிக்க, E3 இல் ஒரு சட்டக புலத்தை ஏற்றுக்கொள்கிறோம், இது ஒரு அளவுரு மேற்பரப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது விரும்பிய அளவீட்டைப் பெறும் உட்பொதிக்கும் இடத்திலிருந்து, நமது ரேடியல் விளக்கப்படத்திற்கு ஏற்றது, தீர்மானிக்கப்படாத செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இந்த மேற்பரப்பில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த திசையன் புலங்கள் E3 இல் உள்ள யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் ஐ நமது அளவுரு செய்யப்பட்ட மேற்பரப்பில் கட்டுப்படுத்தும்போது பெறப்பட்ட தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக் இது. இரண்டு கதிரியக்கமாக பிரிக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு இடையிலான உண்மையான தூரங்கள் அவற்றின் கதிரியக்க ஆயத்தொகுதிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை விட பெரியதாக இருக்கும் மேற்பரப்புகளுக்கு இது வேலை செய்கிறது. உண்மையான தூரங்கள் சிறியதாக இருந்தால், அதற்கு பதிலாக E1,2 இல் நமது ரீமானியன் பன்மடங்கு ஒரு விண்வெளி போன்ற மேற்பரப்பாக உட்பொதிக்க வேண்டும். உதாரணமாக, நம்மிடம் இருக்கலாம். சில நேரங்களில் நமக்கு வருடாந்திர வளையங்களின் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உள்ளூர் உட்பொதிகள் தேவைப்படலாம் (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை காஸியன் வளைவு பகுதிகளுக்கு). பொதுவாக, எந்த ஒரு தட்டையான இடத்திலும் (மறைந்துபோன ரீமன் டென்சருடன்) உலகளாவிய உட்பொதிப்பைப் பெறுவோம் என்று நாம் எதிர்பார்க்கக்கூடாது. புள்ளி என்னவென்றால், ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் விளக்கத்தின் அடிப்படையில் ஒரு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தின் வரையறுக்கும் பண்பு என்னவென்றால், (கொள்கையளவில்) இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்ஸ்லைஸ்களின் இந்த வகையான கோள சமச்சீர் உட்பொதிப்பை நாம் மேற்கொள்ள வேண்டும். ஒரு மெட்ரிக் அன்சாட்ஸ் மேலே கொடுக்கப்பட்ட கோடு உறுப்பு, f, g உடன் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு r இன் தீர்மானிக்கப்படாத செயல்பாடுகளாகக் கருதப்படுகிறது, பொது சார்பியலில் (அல்லது ஈர்ப்பு விசையின் பிற மெட்ரிக் கோட்பாடுகள்) நிலையான கோள சமச்சீர் தீர்வுகளைப் பெறுவதில் பெரும்பாலும் மெட்ரிக் அன்சாட்ஸாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, கார்டனின் வெளிப்புற கால்குலஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி இணைப்பு மற்றும் வளைவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைக் குறிப்பிடுவோம். முதலாவதாக, கோஃப்ரேம் ஃபீல்டில் உள்ள லைன் எலிமென்ட்டை நாம் படிக்கிறோம், அங்கு இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத மென்மையான செயல்பாடுகள் என்று நாம் கருதுகிறோம். (நமது விண்வெளி நேரம் இந்த குறிப்பிட்ட முக்கோண வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு சட்டகத்தை ஒப்புக்கொள்கிறது என்பது ஒரு நிலையான, கோள சமச்சீர் லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு ஒரு ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தின் கருத்தின் மற்றொரு சமமான வெளிப்பாடாகும்). இரண்டாவதாக, இந்த கோபாஸிஸ் ஒரு வடிவங்களின் வெளிப்புற வழித்தோன்றல்களை நாம் கணக்கிடுகிறோம்ஃ கார்டனின் முதல் கட்டமைப்பு சமன்பாட்டுடன் (அல்லது அதன் ஒருங்கிணைப்பு நிலை) ஒப்பிடுகையில், இணைப்பு ஒரு வடிவங்களுக்கான வெளிப்பாடுகளை நாங்கள் யூகிக்கிறோம். (தொப்பிகள் என்பது குறியீடுகள் நமது கோபாசிஸ் ஒரு வடிவத்தைக் குறிக்கின்றன, ஒருங்கிணைந்த ஒரு வடிவங்களைக் குறிக்கவில்லை என்பதை நினைவூட்டுவதற்கான ஒரு குறியீட்டு சாதனம் மட்டுமே.) எந்த ஜோடி குறியீடுகள் சமச்சீர் (இடைவெளி-நேரம்) மற்றும் அவை சமச்சீரற்ற (இடைவெளி-இடைவெளி) என்பதை நாம் நினைவு கூர்ந்தால், ஆறு இணைப்பு ஒரு வடிவங்கள் என்பதை நாம் உறுதிப்படுத்த முடியும் (இந்த எடுத்துக்காட்டில், ஆறில் நான்கு மட்டுமே மறைந்துவிடாதவை.) இந்த ஒரு வடிவங்களை நாம் ஒரு வடிவங்களின் மேட்ரிக்ஸாக சேகரிக்கலாம், அல்லது ஒரு SO (1,3) மதிப்புள்ள ஒரு வடிவத்தை இன்னும் சிறப்பாக சேகரிக்கலாம். ஒரு-வடிவங்களின் விளைவாக வரும் அணி ஒரு SO (4)-மதிப்புள்ள ஒரு-வடிவத்தைப் போல சமச்சீரற்றதாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க; அதற்கு பதிலாக லோரெண்ட்சியன் இணைப்பிலிருந்து எழும் இடமாற்றத்தின் கருத்தை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும். மூன்றாவதாக, இணைப்பின் ஒரு வடிவங்களின் வெளிப்புற வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுகிறோம், மேலும் கார்டனின் இரண்டாவது கட்டமைப்பு சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வளைவு இரண்டு வடிவங்களைக் கணக்கிடுகிறோம். நான்காவதாக, பாக் பார்கள் ஆறு அதிகரித்து வரும் ஜோடி குறியீடுகளை (i, j) மட்டுமே கூட்ட வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எங்கள் கோஃப்ரேம் மற்றும் அதன் இரட்டை பிரேம் புலத்தைப் பொறுத்தவரை ரீமன் டென்சரின் நேரியல் சுயாதீனமான கூறுகளை நாம் படிக்க முடியும். நாம் பெறுவதுஃ ஐந்தாவதாக, குறியீடுகளைக் குறைத்து, கூறுகளை ஒரு மேட்ரிக்ஸில் ஒழுங்கமைக்கலாம், அங்கு E, L சமச்சீர் (பொதுவாக ஆறு நேரியல் சுயாதீன கூறுகள்) மற்றும் B தடமற்றது (பொதுவாக எட்டு நேரியல் சுயாதீன கூறுகள்), இது இரண்டு வடிவங்களின் ஆறு பரிமாண திசையன் இடத்தில் (ஒவ்வொரு நிகழ்விலும்) ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரைக் குறிக்கிறது என்று நாம் நினைக்கிறோம். இதிலிருந்து டைம்லைக் யூனிட் வெக்டர் புலத்தைப் பொறுத்தவரை பெல் சிதைவை நாம் படிக்கலாம். எலக்ட்ரா கிராவிடிக் டென்சர் காந்த கிராவிடிக் டென்சர் ஒரே மாதிரியாக மறைந்துவிடும், மேலும் டோபோகிராவிடிக் டென்சர், இதிலிருந்து (இர்ரோட்டேஷனல் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி) இடஞ்சார்ந்த ஹைப்பர்சிலிக்ஸின் முப்பரிமாண ரீமன் டென்சரை நாம் தீர்மானிக்க முடியும், இது எந்தவொரு லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு செல்லுபடியாகும், ஆனால் பொது சார்பியலில், எலக்ட்ரோகிராவிடிக் டென்சர் சிறிய பொருட்களின் மீது அலை அழுத்தங்களைக் கட்டுப்படுத்துகிறது, இது நமது சட்டகத்துடன் தொடர்புடைய பார்வையாளர்களால் அளவிடப்படுகிறது, மேலும் காந்த கிராவிடிக் டென்சர் சுழலும் பொருட்களின் மீது எந்த சுழல்-சுழல் சக்திகளையும் கட்டுப்படுத்துகிறது, இது நமது சட்டகத்துடன் தொடர்புடைய பார்வையாளர்களால் அளவிடப்படுகிறது. காரணி இங்கே மூன்று ஆர்த்தோனார்மல் ஸ்பேசெலிக் திசையன் புலங்களில் முதல் பகுதியை மட்டுமே பெருக்குகிறது என்பதன் பொருள் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படங்கள் இடஞ்சார்ந்த ஐசோட்ரோபிக் அல்ல (உள்ளூரில் தட்டையான இடநேரத்தின் அற்பமான விஷயத்தில் தவிர); மாறாக, ஒளி கூம்புகள் தோன்றும் (ரேடியல் தட்டையானது) அல்லது (ரேடியல் நீளமானது). ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படங்கள் ஒவ்வொரு உள்ளமைக்கப்பட்ட வட்ட கோளத்திற்குள் உள்ள தூரங்களை சரியாகக் குறிக்கின்றன, ஆனால் ரேடியல் ஒருங்கிணைப்பு ரேடியல் சரியான தூரத்தை உண்மையுடன் குறிக்கவில்லை என்று சொல்வதற்கான மற்றொரு வழி இது. ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு விளக்கப்படங்களை அங்கீகரிக்கும் சில துல்லியமான தீர்வுகள் இந்த வழியில் பெறக்கூடிய துல்லியமான தீர்வுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ரெய்ஸ்னர்-நார்ட்ஸ்ட்ரோம் மின்காந்தத்திற்கான ஸ்வார்ஸ்ஷைல்டு வெற்றிடத்தின் வெளிப்புறப் பகுதி, டிட்டோ, இது ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக முந்தைய உதாரணத்தை உள்ளடக்கியது, டிட்டோ, ரெய்ஸ்னர்-நார்ட்ஸ்ட்ரோம்-டி சிட்டர் எலக்ட்ரோலாம்ப்டவாகுமிற்கானது, இது ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக முந்தைய உதாரணத்தை உள்ளடக்கியது, ஜானிஸ்-நியூமேன்-வினாகோர் தீர்வு (இது ஒரு நிலையான கோள சமச்சீர் பொருளின் வெளிப்புறத்தை மாதிரியாக்குகிறது, இது வெகுஜனமற்ற குறைந்தபட்ச இணைக்கப்பட்ட அளவிடுதல் புலத்துடன் வழங்கப்படுகிறது), ஒரு நிலையான கோள சமச்சீர் கொண்ட உட்புறப் பகுதியுடன் பொருந்துவதன் மூலம் பெறப்பட்ட நட்சத்திர மாதிரிகள். பொதுமைப்படுத்தல்கள் நிலையான ஆனால் கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரங்களைக் கருத்தில் கொள்வது இயல்பானது, இதில் மெட்ரிக் மற்றொரு திசையில் பொதுமைப்படுத்தல் வடிவத்தை எடுக்கும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்துடன், நமது சுற்று இரண்டு கோளங்களில் பிற ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ஸ்டீரியோகிராஃபிக் ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் விளக்கப்படத்தைப் பெறலாம், இது சில நேரங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ நிலையான இடைவெளி நேரத்தையும் பார்க்கவும், கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரம், நிலையான கோள சமச்சீர் சரியான திரவங்கள், ஐசோட்ரோபிக் ஆயத்தங்கள், நிலையான கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரங்களுக்கான மற்றொரு பிரபலமான விளக்கப்படம், காஸியன் துருவ ஆயத்தொலைவுகள், நிலையான கோள சமச்சீர் இடைவெளி நேரங்களுக்கான குறைவான பொதுவான மாற்று விளக்கப்படம், குல்ஸ்ட்ராண்ட்-பெய்ன்லேவ் ஆயத்தொலைவுகள், ஒரு பொது சார்பியலில் உள்ள பிரேம் புலங்கள், பிரேம் புலங்கள் மற்றும் கோஃப்ரேம் புலங்களைப் பற்றி மேலும் அறிய, ரீமன் டென்சரின் பெல் சிதைவு, ஒற்றுமை (பொது சார்பியல்), மேலே உள்ளதைப் போன்ற ஒற்றுமைகளைப் பற்றி மேலும் அறிய, க்ரூஸ்கல்-செகர்ஸ் ஆயத்தொலைவுகள், அதிகபட்சமாக நீட்டிக்கப்பட்ட ஸ்வார்ஸ்ஷைல்ட் தீர்வின் முழு இடநேர பன்மடங்கு உள்ளடக்கிய ஒரு விளக்கப்படம் மற்றும் இயற்பியல் ஒருமைப்பாட்டிற்கு வெளியே எல்லா இடங்களிலும் நன்கு நடந்து கொள்கின்றன, எடிங்டன்-ஃபின்கெல்ஸ்டைன் ஆயத்தொலைவுகள், நிலையான கோள சமச்சீர் இடைவெளிக்கான மாற்று விளக்கப்படம், லெமைட்டர் ஆயத்தொலைவுகள், நிகழ்வு அடிவானத்தில் வழக்கமான ஆரம்ப விளக்கப்படம். குறிப்புகள் பொது சார்பியலில் ஒருங்கிணைந்த விளக்கப்படங்கள் லோரெண்ட்சியன் பன்மடங்கு