Kardar–Parisi–Zhang equation
கணிதத்தில், கர்தார்-பாரிசி-ஜாங் (கே. பி. இசட்) சமன்பாடு என்பது நேரியல் அல்லாத தற்செயலான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும், இது மெக்ரான் கர்தார், ஜியோர்ஜியோ பாரிசி மற்றும் யி-செங் ஜாங் ஆகியோரால் 1986 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது இடஞ்சார்ந்த ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் நேர ஒருங்கிணைப்புடன் ஒரு உயர புலத்தின் தற்காலிக மாற்றத்தை விவரிக்கிறதுஃ இங்கே, சராசரி மற்றும் இரண்டாவது தருணத்துடன் வெள்ளை காஸியன் சத்தம், மற்றும் மாதிரியின் அளவுருக்கள் மற்றும் பரிமாணமாகும். ஒரு இடஞ்சார்ந்த பரிமாணத்தில், கேபிஇசட் சமன்பாடு மாற்றீடு வழியாக புலத்துடன் பர்கர்ஸ் சமன்பாட்டின் சீரற்ற பதிப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது. மறுசீரமைப்புக் குழுவின் மூலம், கே. பி. இசட் சமன்பாடு ஈடன் மாதிரி, பாலிஸ்டிக் படிவு மற்றும் திட செயல்முறை (எஸ். ஓ. எஸ்) மாதிரியில் பலவீனமான சமச்சீரற்ற ஒற்றை படி திண்மம் போன்ற பல மேற்பரப்பு வளர்ச்சி மாதிரிகளின் களக் கோட்பாடாக கருதப்படுகிறது. எஸ்ஓஎஸ் மாதிரியின் விஷயத்தில் பெர்டினி மற்றும் கியாக்கோமின் ஒரு கடுமையான ஆதாரத்தை வழங்கியுள்ளனர். முற்றிலும் சமச்சீரற்ற எளிய விலக்கு செயல்முறை போன்ற பல ஊடாடும் துகள் அமைப்புகள், கே. பி. இசட் உலகளாவிய வகுப்பில் உள்ளன. இந்த வகுப்பு ஒரு இடஞ்சார்ந்த பரிமாணத்தில் (1 + 1 பரிமாணம்) பின்வரும் முக்கியமான அடுக்குகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறதுஃ கடினத்தன்மை முனை, வளர்ச்சி முனை மற்றும் மாறும் முனை. ஒரு வளர்ச்சி மாதிரி கே. பி. இசட் வகுப்பிற்குள் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க, மேற்பரப்பின் அகலத்தை ஒருவர் கணக்கிடலாம்ஃ அந்த நேரத்தில் சராசரி மேற்பரப்பு உயரம் எங்கே மற்றும் அமைப்பின் அளவு எங்கே. கே. பி. இசட் வகுப்பிற்குள் உள்ள மாதிரிகளைப் பொறுத்தவரை, மேற்பரப்பின் முக்கிய பண்புகள் திருப்திகரமான அளவீட்டு செயல்பாட்டுடன் கடினத்தன்மையின் குடும்ப-விட்செக் அளவீட்டு உறவால் வகைப்படுத்தப்படலாம் 2014 ஆம் ஆண்டில், ஹேரர் மற்றும் குவாஸ்டெல் பொதுவாக, பின்வரும் கே. பி. இசட் போன்ற சமன்பாடுகள் கே. பி. இசட் உலகளாவிய வகுப்பிற்குள் உள்ளன என்பதைக் காட்டினர்ஃ எந்த சம-டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவை எங்கே. (1 + 1) கே. பி. இசட் உலகளாவிய வகுப்பில் உலகளாவிய வரம்புகளாகக் கருதப்படும் மற்றும் நீண்ட கால ஏற்ற இறக்கங்களை நிர்வகிக்கும் செயல்முறைகளின் குடும்பம் ஏர் செயல்முறைகள் ஆகும். KPZ சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது சமன்பாட்டில் உள்ள நேரியல் அல்லாத தன்மை மற்றும் விண்வெளி நேர வெள்ளை சத்தம் இருப்பதால், KPZ சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் மென்மையானவை அல்லது வழக்கமானவை அல்ல, மாறாக 'ஃப்ராக்டல்' அல்லது 'தோராயமானவை' என்று அறியப்படுகிறது. நேரியல் அல்லாத சொல் இல்லாவிட்டாலும் கூட, சமன்பாடு சீரற்ற வெப்ப சமன்பாட்டிற்கு குறைகிறது, அதன் தீர்வு இடைவெளி மாறியில் வேறுபடுத்த முடியாதது, ஆனால் 1/2 க்கும் குறைவான அடுக்குடன் ஒரு ஹோல்டர் நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது. எனவே, நேரியல் அல்லாத சொல் ஒரு பாரம்பரிய அர்த்தத்தில் சரியாக வரையறுக்கப்படவில்லை. 2013 ஆம் ஆண்டில், மார்ட்டின் ஹேரர் கோல்-ஹாப் மாற்றத்தின் விரிவாக்கம் மற்றும் ஃபேய்ன்மேன் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி தோராயங்களை உருவாக்குவதன் மூலம் கே. பி. இசட் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் ஒரு திருப்புமுனையை ஏற்படுத்தினார். 2014 ஆம் ஆண்டில், கே. பி. இசட் சமன்பாடு குறித்த இந்த பணிக்காக, தோராயமான பாதைகள் கோட்பாடு மற்றும் வழக்கமான கட்டமைப்புகளுடன் அவருக்கு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டது. இயற்பியல் வழித்தோன்றல் இந்த வழித்தோன்றல் மற்றும் இருந்து வருகிறது. ஒரு மேற்பரப்பு வளர்ச்சியை சில பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்க விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நிலை மற்றும் நேரத்தில் மேற்பரப்பின் உயரத்தைக் குறிக்கலாம். அவர்களின் மதிப்புகள் தொடர்ச்சியானவை. ஒரு வகையான மென்மையாக்கும் பொறிமுறை இருக்கும் என்று நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம். மேற்பரப்பு வளர்ச்சிக்கான எளிய சமன்பாட்டை பரவல் சமன்பாடாக எடுத்துக் கொள்ளலாம், ஆனால் இது ஒரு தீர்மானகரமான சமன்பாடு, இது மேற்பரப்பில் சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்கள் இல்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. ஏற்ற இறக்கங்களைச் சேர்ப்பதற்கான எளிய வழி ஒரு சத்தம் சொல்லைச் சேர்ப்பதாகும். பின்னர் சராசரி பூஜ்ஜியம் மற்றும் கோவேரியன்ஸுடன் காஸியன் வெள்ளை சத்தமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இது எட்வர்ட்ஸ்-வில்கின்சன் (EW) சமன்பாடு அல்லது சேர்க்கை சத்தத்துடன் சீரற்ற வெப்ப சமன்பாடு (SHE) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்பதால், ஃபோரியர் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி அதை சரியாக தீர்க்க முடியும். ஆனால் சத்தம் காஸியன் மற்றும் சமன்பாடு நேரியல் என்பதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு காணப்படும் ஏற்ற இறக்கங்கள் இன்னும் காஸியன் ஆகும். இதன் பொருள் ஈ. டபிள்யூ சமன்பாடு வட்டியின் மேற்பரப்பு வளர்ச்சியை விவரிக்க போதுமானதாக இல்லை, எனவே வளர்ச்சிக்கு ஒரு நேரியல் அல்லாத செயல்பாட்டை நாம் சேர்க்க வேண்டும். எனவே, காலப்போக்கில் மேற்பரப்பு வளர்ச்சி மாற்றம் மூன்று பங்களிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. முதல் மாதிரிகள் வடிவத்தின் நேரியல் அல்லாத செயல்பாடாக பக்கவாட்டு வளர்ச்சியை உருவாக்குகின்றன. இரண்டாவது ஒரு தளர்வு, அல்லது ஒழுங்குபடுத்தல், பரவல் சொல் மூலம், மற்றும் மூன்றாவது வெள்ளை சத்தம் கட்டாயப்படுத்துதல் ஆகும். எனவே, முக்கிய சொல், வளர்ச்சியின் தீர்மானகரமான பகுதி, சாய்வின் செயல்பாடு மட்டுமே என்றும், ஒரு சமச்சீர் செயல்பாடு என்றும் கருதப்படுகிறது. கர்தார், பாரிசி மற்றும் ஜாங் (கே. பி. இசட்) ஆகியோரின் ஒரு பெரிய அவதானிப்பு என்னவென்றால், ஒரு மேற்பரப்பு ஒரு சாதாரண திசையில் (மேற்பரப்பில்) வளரும் போது, நாம் உயர அச்சில் உயரத்தை அளவிடுகிறோம், இது விண்வெளி அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே இந்த எளிய வடிவியல் விளைவிலிருந்து வரும் ஒரு நேரியல் அல்லாத தன்மை இருக்க வேண்டும். மேற்பரப்பு சாய்வு சிறியதாக இருக்கும்போது, விளைவு வடிவத்தை எடுக்கிறது, ஆனால் இது ஒரு கடினமான சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த சிக்கலைத் தவிர்க்க, ஒருவர் ஒரு பொதுவானதை எடுத்து டெய்லர் தொடராக விரிவாக்கலாம், முதல் சொல் ஒரு நேர மாற்றத்தால் சமன்பாட்டிலிருந்து அகற்றப்படலாம், ஏனெனில் கே. பி. இசட் சமன்பாட்டைத் தீர்த்தால், பின்னர் தீர்க்கிறது இரண்டாவது சமச்சீர் காரணமாக மறைந்துவிட வேண்டும், ஆனால் எப்படியும் ஆயத்தொகுதிகளின் நிலையான திசைவேக மாற்றத்தால் சமன்பாட்டிலிருந்து அகற்றப்பட்டிருக்கலாம், ஏனெனில் கே. பி. இசட் சமன்பாட்டைத் தீர்த்தால், பின்னர் தீர்க்கிறது. மேலும் காண்க ஃபோக்கர்-பிளாங்க் சமன்பாடு ஃப்ராக்டல் குவாண்டம் ஃபீல்ட் கோட்பாடு மறுசீரமைப்பு குழு தோராயமான பாதை சீரற்ற பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு மேற்பரப்பு வளர்ச்சி ட்ரேசி-விடோம் விநியோகம் உலகளாவிய (இயக்கவியல் அமைப்புகள்) ஆதாரங்கள் குறிப்புகள் புள்ளிவிவர இயக்கவியல் சீரற்ற வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்