Cauchy–Rassias stability
செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் ஸ்டானிஸ்லா உலாமின் ஒரு பாரம்பரிய சிக்கல் பின்வருமாறுஃ ஒரு செயல்பாட்டு சமன்பாடு E ஐ தோராயமாக திருப்திப்படுத்தும் ஒரு செயல்பாடு E இன் சரியான தீர்வுக்கு நெருக்கமாக இருக்க வேண்டும் என்பது எப்போது உண்மை? 1941 ஆம் ஆண்டில், டொனால்ட் எச். ஹையர்ஸ் இந்த கேள்விக்கு பானாச் இடங்களின் சூழலில் ஒரு பகுதியளவு உறுதியான பதிலை வழங்கினார். இது முதல் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றம் மற்றும் இந்த ஆராய்ச்சித் துறையில் கூடுதல் ஆய்வுகளை நோக்கிய ஒரு படியாகும். அப்போதிருந்து, உலாமின் சிக்கல் மற்றும் ஹையர்ஸ் தேற்றம் ஆகியவற்றின் பல்வேறு பொதுமைப்படுத்தல்கள் தொடர்பாக ஏராளமான ஆவணங்கள் வெளியிடப்பட்டுள்ளன. 1978 ஆம் ஆண்டில், தெமிஸ்டோக்கிள்ஸ் எம். ராசியாஸ் ஒரு வரம்பற்ற காச்சி வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு ஹையர்ஸ் தேற்றத்தை விரிவுபடுத்துவதில் வெற்றி பெற்றார். பானாச் இடங்களில் நேரியல் வரைபடத்தின் ஸ்திரத்தன்மையை முதன்முதலில் நிரூபித்தவர் இவர்தான். 1950 ஆம் ஆண்டில், டி. அயோகி கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு சேர்க்கை இருக்கும்போது ரஸ்ஸியாக்களின் முடிவின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஆதாரத்தை வழங்கியிருந்தார். உலாமின் சிக்கலின் பின்னணியில் செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் ஸ்திரத்தன்மை பற்றிய விரிவான விளக்கத்திற்கு, ஆர்வமுள்ள வாசகர் எஸ். எம். ஜங்கின் சமீபத்திய புத்தகத்தை குறிப்பிடுகிறார், இது ஸ்பிரிங்கர், நியூயார்க், 2011 ஆல் வெளியிடப்பட்டது (கீழே உள்ள குறிப்புகளைப் பார்க்கவும்). த. எம். ரசியாஸின் தேற்றம் பல கணிதவியலாளர்களை ஈர்த்தது, அவர்கள் செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் நிலைத்தன்மை கோட்பாட்டில் ஆராய்ச்சி செய்ய தூண்டப்பட்டனர். எஸ். எம். உலம், டி. எச். ஹையர்ஸ் மற்றும் டி. எச். ஆகியோரின் பெரும் செல்வாக்கைப் பற்றி. எம். ரசியாஸ் செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் நிலைத்தன்மை சிக்கல்களைப் பற்றிய ஆய்வில், இந்த கருத்து ஹையர்ஸ்-உலம்-ராசியாஸ் நிலைத்தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறப்பு வழக்கில் உலாமின் சிக்கல் காச்சியின் செயல்பாட்டு சமன்பாடு f (x + y) = f (x) + f (y) க்கு ஒரு தீர்வை ஏற்றுக்கொள்ளும்போது, E சமன்பாடு காச்சி-ராசியாவின் நிலைத்தன்மையை திருப்திப்படுத்துவதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த பெயர் அகஸ்டின்-லூயிஸ் காச்சி மற்றும் தெமிஸ்டோக்கிள்ஸ் எம். ராசியாஸ் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. குறிப்புகள் பி. எம். பர்தலோஸ், பி. ஜி. ஜார்ஜியேவ் மற்றும் எச். எம். ஸ்ரீவஸ்தவா (பதிப்புகள். ), நேரியல் அல்லாத பகுப்பாய்வு. நிலைத்தன்மை, தோராயமான மதிப்பீடு மற்றும் சமத்துவமின்மை. தெமிஸ்டோக்கிள்ஸ் எம். ரஸ்ஸியஸின் 60 வது பிறந்தநாளை முன்னிட்டு, ஸ்ப்ரிங்கர், நியூயார்க், 2012. டி. எச். ஹையர்ஸ், நேரியல் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்து, புரோக். நடால். அகாடமி. அறிவியல். அமெரிக்கா, 27 (1941), 222-224. த. எம். ராசியாஸ், பானாச் இடங்களில் நேரியல் வரைபடத்தின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்து, அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் நடவடிக்கைகள் 72 (1978), 297-300. [சீன மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு வெளியிடப்பட்டதுஃ மொழிபெயர்ப்பில் கணித முன்னேற்றம், சீன அறிவியல் அகாடமி 4 (2009), 382-384.] த. எம். ராசியாஸ், செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் ஸ்திரத்தன்மை மற்றும் உலாமின் ஒரு சிக்கல் குறித்து, ஆக்டா அப்ளிகேண்டே கணிதம், 62 (1) (2000), 23-130. எஸ். எம். ஜங், ஹையர்ஸ்-உலாம்-ராசியாஸ் நிலைத்தன்மை செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் நேரியல் அல்லாத பகுப்பாய்வு, ஸ்பிரிங்கர், நியூயார்க், 2011. டி. அயோகி, பானாச் இடைவெளிகளில் நேரியல் மாற்றத்தின் ஸ்திரத்தன்மை குறித்து, ஜே. கணிதம். சொ. Jpn., 2 (1950), 64-66. சி. ஜி. பார்க், பல மாறிகளில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இருபடி வரைபடங்கள், நான்லீனியர் அனல்., 57 (2004), 713-722. ஜே. ஆர். லீ மற்றும் டி. ஒய். ஷின், ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சேர்க்கை செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் காச்சி-ராசியாஸ் ஸ்திரத்தன்மை குறித்து, ஜே. கணிதம். அனல். ஆப்பிள். 339 (1) (2008), 372-383. சி. பாக், காச்சி-பானாச் இடங்களில் காச்சி-ஜென்சன் சேர்க்கை வரைபடங்களின் ரஸ்ஸியாவின் நிலைத்தன்மை, ஆக்டா மடம். சினிகா (ஆங்கிலத் தொடர்), 15 (1) (1999), 1-11. சி. ஜி. பார்க், லை ஜேசி *-ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் காச்சி-லை ஜேசி *-ஆல்ஜிப்ரா வழித்தோன்றல்களின் ராசியாஸ் நிலைத்தன்மைக்கு இடையிலான ஹோமோமார்பிசம்கள், ஜே. பொய் கோட்பாடு, 15 (2005), 393-414. ஜே. ஆர். லீ, டி. ஒய். ஷின், சி *-ஆல்ஜிப்ராக்களில் உள்ள ட்ரிஃப் செயல்பாட்டு சமன்பாட்டின் காச்சி-ராசியாஸ் நிலைத்தன்மை குறித்து. ஜே. கணிதம். அனல். ஆப்பிள். 296 (1) (2004), 351-363. சி. பாக், எச். ஒய். சூ மற்றும் எம். எஸ். மொஸ்லேஹியன், காச்சி-ராசியாவின் சமத்துவமின்மை மற்றும் நேரியல் என்-இன்னர் தயாரிப்பு பாதுகாக்கும் வரைபடங்கள், கணிதம். சமத்துவமின்மை. ஆப்பிள். 9 (3) (2006), 453-464. சி. ஜி. பார்க், எம். ஈஷாகி கோர்ட்ஜி மற்றும் எச். கோடாய், காச்சி-ராசியாவின் நிலைத்தன்மைக்கான ஒரு நிலையான புள்ளி அணுகுமுறை பொது ஜென்சன் வகை இருபடி-சதுர வரைபடங்கள், புல். கொரிய கணிதம். சொ. 47 (2010), இல்லை. 5, 987-996 A. நஜதி, பெக்சிடெரைஸ் செய்யப்பட்ட காச்சி-ஜென்சன் வகை செயல்பாட்டு சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய ஹோமோமார்பிசங்களின் காச்சி-ராசியாவின் நிலைத்தன்மை, J. கணிதம். சமத்துவமின்மை. 3 (2) (2009), 257-265. சி. ஜி. பார்க் மற்றும் எஸ். ஒய். ஜாங், பானாச் தொகுதிகளில் செஸ்குலினியர் என்-குவாட்ராடிக் வரைபடங்களின் காச்சி-ரஸ்ஸியாவின் நிலைத்தன்மை, ராக்கி மவுண்டன் ஜே. கணிதம். 39 (6) (2009), 2015-2027. பி. எல். கண்ணப்பன், செயல்பாட்டு சமன்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகளுடன் சமத்துவமின்மை, ஸ்பிரிங்கர், நியூயார்க், 2009. பி. கே. சாஹூ மற்றும் பி. கண்ணப்பன், செயல்பாட்டு சமன்பாடுகளின் அறிமுகம், சி. ஆர். சி பிரஸ், சாப்மேன் & ஹால் புக், புளோரிடா, 2011. த. எம். ராசியாஸ் மற்றும் ஜே. பிரஸ்டெக் (பதிப்புகள். ), கணித பகுப்பாய்வில் செயல்பாட்டு சமன்பாடுகள், ஸ்பிரிங்கர், நியூயார்க், 2012,. கணித பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டு சமன்பாடுகள்