Picard–Vessiot theory
வேறுபட்ட இயற்கணிதத்தில், பிகார்ட்-வெசியட் கோட்பாடு என்பது புலம் விரிவாக்கத்தின் வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழுவைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகளால் உருவாக்கப்படும் வேறுபட்ட புலம் விரிவாக்கம் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். வேறுபட்ட காலோயிஸ் குழுவின் பண்புகளின் அடிப்படையில் வகையீட்டு சமன்பாட்டை நாற்கரங்களால் எப்போது தீர்க்க முடியும் என்பதை விவரிப்பதே ஒரு முக்கிய குறிக்கோளாகும். இந்தக் கோட்பாடு 1883 முதல் 1904 வரை எமிலி பிகார்ட் மற்றும் எர்னஸ்ட் வெசியட் ஆகியோரால் தொடங்கப்பட்டது. மேலும் பிகார்ட்-வெசியட் கோட்பாட்டின் விரிவான விவரங்களை வழங்குகிறது. வரலாறு பிகார்ட்-வெசியட் கோட்பாட்டின் வரலாறு விவாதிக்கப்படுகிறது. பிகார்ட்-வெசியட் கோட்பாடு 1883 மற்றும் 1898 க்கு இடையில் பிகார்ட்டாலும், 1892 முதல் 1904 வரை வெசியட்டாலும் உருவாக்கப்பட்டது. அவர்களின் கோட்பாட்டின் முக்கிய முடிவு, ஒரு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டை அதன் வேறுபாடு காலோயிஸ் குழு இணைக்கப்பட்டு தீர்க்கக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரங்களால் தீர்க்க முடியும் என்று தோராயமாக கூறுகிறது. துரதிர்ஷ்டவசமாக அவர்கள் நிரூபித்ததை சரியாகச் சொல்வது கடினம், ஏனெனில் "நாற்கரங்களால் தீர்க்கக்கூடியது" என்ற கருத்து துல்லியமாக வரையறுக்கப்படவில்லை அல்லது அவர்களின் ஆவணங்களில் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படவில்லை. தேவையான கருத்தாக்கங்களின் துல்லியமான வரையறைகளை வழங்கினார் மற்றும் இந்த தேற்றத்தின் கடுமையான பதிப்பை நிரூபித்தார். பிகார்ட்-வெசியட் கோட்பாடு பகுதி வேறுபட்ட புலங்களுக்கு (பல பயண வழித்தோன்றல்களுடன்) நீட்டிக்கப்பட்டது. இரண்டாவது வரிசை ஒரே மாதிரியான நேரியல் சமன்பாடுகளை நாற்கரங்களால் தீர்க்க முடியுமா என்பதை தீர்மானிக்க ஒரு வழிமுறையை விவரித்தார், இது கோவாசிக்கின் வழிமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிகார்ட்-வெசியட் நீட்டிப்புகள் மற்றும் வளையங்கள் அனைத்து மாறிலிகளும் எஃப் மற்றும் கே இல் இருந்தால் வேறுபட்ட புலங்களின் ஒரு நீட்டிப்பு எஃப்-கே ஒரு பிகார்ட்-வெசியட் நீட்டிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு ஒரே மாதிரியான நேரியல் சாதாரண வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படலாம். வேறுபட்ட புலம் F மீது ஒரு பிகார்ட்-வெசியட் வளையம் R என்பது F மீது ஒரு வேறுபட்ட வளையமாகும், இது எளிமையானது (0 மற்றும் R ஐத் தவிர வேறுபட்ட இலட்சியங்கள் எதுவும் இல்லை) மற்றும் A மற்றும் 1/டெட் (A) இன் குணகங்களால் k-இயற்கணிதமாக உருவாக்கப்படுகிறது, இதில் A என்பது F மீது ஒரு தலைகீழ் அணி, அதாவது B =/A என்பது F இல் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து மாறிலிகளும் F இல் இருந்தால், வேறுபட்ட புலங்களின் F-K நீட்டிப்பு லியோவில்லியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் K ஐ வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான ஒருங்கிணைப்புகள், ஒருங்கிணைப்புகளின் அதிவேகங்கள் மற்றும் இயற்கணித செயல்பாடுகளை இணைப்பதன் மூலம் உருவாக்க முடியும். இங்கே, ஒரு தனிமத்தின் ஒருங்கிணைப்பு = a இன் எந்தவொரு தீர்வாகவும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் a இன் ஒருங்கிணைப்பின் அதிவேகமானது = ay இன் எந்தவொரு தீர்வாகவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழுவின் அடையாளக் கூறு தீர்க்கக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே பிகார்ட்-வெசியட் நீட்டிப்பு லியோவில்லியன் ஆகும் (,). மேலும் துல்லியமாக, இயற்கணித செயல்பாடுகளின் நீட்டிப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழுக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, ஒருங்கிணைப்புகளின் நீட்டிப்புகள் வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழுவின் துணைப் பகுதிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை 1-பரிமாண மற்றும் ஒற்றை ஆற்றல் கொண்டவை, மேலும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அதிவேகங்களின் நீட்டிப்புகள் வேறுபட்ட கலோயிஸ் குழுவின் துணைப் பகுதிகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அவை 1-பரிமாண மற்றும் குறைப்பு (டோரி) ஆகும். மூலங்கள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வேறுபட்ட இயற்கணிதம்