Parabolic geometry (differential geometry)
வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் லை குழுக்களின் ஆய்வில், ஒரு பரவளைய வடிவியல் என்பது ஒரு ஒரே மாதிரியான இடைவெளி ஜி/பி ஆகும், இது ஒரு பரவளைய துணைக்குழு பி மூலம் அரை எளிய லை குழு ஜி இன் ஈவு ஆகும். மேலும் பொதுவாக, இந்த அர்த்தத்தில் ஒரு பரவளைய வடிவவியலின் வளைந்த ஒப்புமைகள் ஒரு பரவளைய வடிவியல் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றனஃ கார்டன் இணைப்பின் மூலம் அத்தகைய இடத்தில் வடிவமைக்கப்பட்ட எந்த வடிவவியலும். எடுத்துக்காட்டுகள் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் பி. என் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இது ஒரே மாதிரியான இடைவெளி பிஜிஎல் (என் + 1)/எச் ஆகும், அங்கு எச் என்பது ஒரு கோட்டின் ஐசோட்ரோபி குழுவாகும். இந்த வடிவியல் இடத்தில், ஒரு நேர் கோடு பற்றிய கருத்து அர்த்தமுள்ளது, ஆனால் கோடுகளில் விருப்பமான ("அஃபைன்") அளவுரு இல்லை. ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் வளைந்த அனலாக் என்பது ஒரு பன்மடங்கு ஆகும், இதில் ஒரு ஜியோடெசிக் கருத்து அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது, ஆனால் அதற்காக அந்த ஜியோடெசிக்ஸில் விருப்பமான அளவுருக்கள் எதுவும் இல்லை. ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் இணைப்பு என்பது பொருத்தமான கார்டன் இணைப்பாகும், இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவவியலை விவரிப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறது, இது ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தின் நகல்களை அடித்தள பன்மடங்கு தொடுகோடு இடைவெளிகளுக்கு இணைப்பதன் மூலம். பரவலாகப் பார்த்தால், ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல் என்பது இந்த வகையான இணைப்புடன் பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வைக் குறிக்கிறது. மற்றொரு உதாரணம் இணக்கமான கோளம். இடவியல் ரீதியாக, இது n-கோளம், ஆனால் வளைவுகளுக்கு இடையிலான கோணம் மட்டுமே, அதில் வரையறுக்கப்பட்ட நீளம் பற்றிய கருத்து இல்லை. சமமாக, இந்த வடிவியல் கோளத்தில் ரீமானியன் அளவீடுகளின் சமநிலை வகுப்பாக விவரிக்கப்படுகிறது (ஒரு இணக்கமான வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது). கோளத்தின் கோணங்களைப் பாதுகாக்கும் உருமாற்றங்களின் குழு லோரென்ட்ஸ் குழு O (n + 1,1) ஆகும், எனவே Sn = O (n + 1,1)/P. முறையான வடிவியல் என்பது, இன்னும் பரவலாக, ரீமானியன் அளவீடுகளின் இணக்கமான சமநிலை வகுப்பைக் கொண்ட பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வு, அதாவது, இணக்கமான கோளத்தின் மாதிரியில் வடிவமைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு. இங்கே தொடர்புடைய கார்டன் இணைப்பு இணக்கமான இணைப்பாகும். பிற எடுத்துக்காட்டுகளில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ சி. ஆர் வடிவியல், ஒரு உண்மையான ஹைப்பர்குவாட்ரிக் மாதிரியில் வடிவமைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வு, ஒரு ஐசோட்ரோபிக் கோட்டின் நிலைப்படுத்துபவர் எங்கே (சி. ஆர் பன்மடங்கு பார்க்கவும்) தொடர்பு ப்ரொஜெக்டிவ் வடிவியல், பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வு, குறிப்புகள் ஸ்லோவாக், ஜே. பரவளைய வடிவவியல்கள், ஆராய்ச்சி சொற்பொழிவு குறிப்புகள், டாக்டர் எஸ்சி-சிதறலின் ஒரு பகுதி, மஸாரிக் பல்கலைக்கழகம், 1997,70 பிபி, ஐஜிஏ முன் அச்சு (அடிலெய்ட் பல்கலைக்கழகம்) வேறுபட்ட வடிவியல் ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகள்