Ptolemy's table of chords
கிபி 2ஆம் நூற்றாண்டில் எகிப்தில் கிரேக்க வானியலாளர், புவியியலாளர் மற்றும் புவியியலாளர் டோலெமியால் உருவாக்கப்பட்ட வளையங்களின் அட்டவணை, டோலெமியின் அல்மாஜெஸ்ட் புத்தகத்தின் 11ஆம் அத்தியாயத்தில் உள்ள முக்கோணவியல் அட்டவணை ஆகும், இது கணித வானியல் பற்றிய ஒரு நூலாகும். இது அடிப்படையில் சைன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் அட்டவணைக்கு சமம். இது வானியல் உட்பட பல நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக போதுமான விரிவான ஆரம்பகால முக்கோணவியல் அட்டவணையாகும் (ஹிப்பார்சஸின் முந்தைய வளைய அட்டவணை வளையங்களுக்கு மட்டுமே வளையங்களைக் கொடுத்தது). 8 மற்றும் 9 ஆம் நூற்றாண்டுகளிலிருந்து, சைன் மற்றும் பிற முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இஸ்லாமிய கணிதம் மற்றும் வானியலில் பயன்படுத்தப்பட்டு, சைன் அட்டவணைகளின் உற்பத்தியை சீர்திருத்துகின்றன. குவாரிஸ்மி மற்றும் ஹபாஷ் அல்-ஹசிப் ஆகியோர் பின்னர் முக்கோணவியல் அட்டவணைகளின் தொகுப்பை உருவாக்கினர். கார்டு செயல்பாடு மற்றும் அட்டவணை ஒரு வட்டத்தின் ஒரு கார்டு என்பது ஒரு கோடு பிரிவு, அதன் இறுதிப் புள்ளிகள் வட்டத்தில் உள்ளன. டோலமி 120 பாகங்கள் விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தினார். அவர் ஒரு நாணலின் நீளத்தை அட்டவணைப்படுத்தினார், அதன் இறுதிப் புள்ளிகள் n டிகிரி வளைவால் பிரிக்கப்படுகின்றன, n க்கு 180 வரை அதிகரிப்புகள் மூலம். நவீன குறியீட்டில், θ டிகிரி வளைவுடன் தொடர்புடைய வளையத்தின் நீளம் θ 0 முதல் 180 வரை செல்லும்போது, ஒரு θ டிகிரி வளைவின் வளையம் 0 முதல் 120 வரை செல்கிறது. சிறிய வளைவுகளுக்கு, நாண் 3 டிகிரிகளில் வளைவு கோணத்திற்கு உள்ளது, அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, θ ஐ போதுமான அளவு சிறியதாக மாற்றுவதன் மூலம் விகிதத்தை விரும்பிய அளவுக்கு நெருக்கமாக செய்ய முடியும். எனவே, வளைவின், நாண் நீளம் டிகிரிகளில் வளைவு கோணத்தை விட சற்று அதிகமாக உள்ளது. வளைவு அதிகரிக்கும் போது, வளையத்திற்கும் வளைவுக்கும் உள்ள விகிதம் குறைகிறது. வளைவு அடையும் போது, நாண் நீளம் சரியாக வளைவில் உள்ள டிகிரிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. நாணல் 60° = 60. 60 டிகிரிக்கு மேல் உள்ள வளைவுகளுக்கு, 180 டிகிரி வளைவை அடையும் வரை, கார்டு 120 மட்டுமே இருக்கும் வரை, கார்டு வளைவை விட குறைவாக இருக்கும். நாணல் நீளங்களின் பின்னப் பகுதிகள் செக்ஸாஜிமல் (அடிப்படை 60) எண்களில் வெளிப்படுத்தப்பட்டன. எடுத்துக்காட்டாக, 112 டிகிரி வளைவால் உட்படுத்தப்பட்ட ஒரு நாணலின் நீளம் 99.29.5 என்று தெரிவிக்கப்பட்டால், அது அருகிலுள்ள வட்டமான நீளத்தைக் கொண்டுள்ளது. வளைவு மற்றும் நாணல் நெடுவரிசைகளுக்குப் பிறகு, மூன்றாவது நெடுவரிசை "அறுபதாவது" என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளது. θ டிகிரி வளைவுக்கு, "அறுபதாம்" நெடுவரிசையில் உள்ள நுழைவு இது ஒரு அலகின் அறுபதாம் சராசரி எண்ணிக்கையாகும், இது ஒவ்வொரு முறையும் கோணம் ஒரு நிமிட வளைவால் அதிகரிக்கும் போது, θ டிகிரி நுழைவிற்கும் (θ +) டிகிரிக்கும் இடையில் கார்டில் (θ டிகிரி) சேர்க்கப்பட வேண்டும். எனவே, இது நேரியல் இடைக்கணிப்புக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. "அறுபதாம்" நெடுவரிசையில் காணப்படும் துல்லியத்தின் அளவை அடைய டோலமி ஐந்து செக்ஸிஜெசிமல் இடங்களுக்கு வளையங்களைக் கணக்கிட்டிருக்க வேண்டும் என்பதை க்ளோவாட்ஸ்கி மற்றும் கோட்ஷ் ஆகியோர் காட்டினர். ஆல்மாஜெஸ்ட் புத்தகத்தின் முதல் அத்தியாயத்தின் 10ஆம் அத்தியாயம், கார்டுகளை கணக்கிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் வடிவியல் கோட்பாடுகளை வழங்குகிறது. யூக்ளிடின் கூறுகளின் பதின்மூன்றாம் புத்தகத்தின் முன்மொழிவு 10 இன் அடிப்படையில் 72° மற்றும் 36° வளையங்களைக் கண்டறிய டோலமி வடிவியல் பகுத்தறிவைப் பயன்படுத்தினார். ஒரு சமபக்க ஐங்கோணம் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், ஐங்கோணத்தின் பக்கத்தில் உள்ள சதுரத்தின் பரப்பளவு அறுகோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ள சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கும் அதே வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட தசகோணத்திற்கும் சமம் என்று அந்த முன்மொழிவு கூறுகிறது. அரை வளைவின் நாணல், இரண்டு வளைவுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நாணல் மற்றும் இரண்டு வளைவுகளின் வேறுபாட்டின் நாணல் ஆகியவற்றிற்கான சூத்திரங்களைப் பெற ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்கள் குறித்த டோலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினார். ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு நாற்கரத்திற்கு, மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்கல் எதிர் பக்கங்களின் இரண்டு ஜோடி நீளங்களின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று தேற்றம் கூறுகிறது. முக்கோணவியல் அடையாளங்களின் வழித்தோன்றல்கள் ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தை நம்பியுள்ளன, இதில் ஒரு பக்கம் வட்டத்தின் விட்டம். 1° மற்றும் ° வளைவுகளின் வளையங்களைக் கண்டறிய அவர் அரிஸ்டார்சஸின் சமத்துவமின்மையின் அடிப்படையில் தோராயங்களைப் பயன்படுத்தினார். சமத்துவமின்மை α மற்றும் β வளைவுகளுக்கு, 0 <β <α <90° என்றால், 1° மற்றும் ° வளைவுகளுக்கு, தோராயங்கள் முழு எண் பகுதிக்குப் பிறகு முதல் இரண்டு செக்ஸாஜிமல் இடங்களை சரியாக வழங்குகின்றன என்பதை டோலமி காட்டினார். எண் அமைப்பு மற்றும் மொழிபெயர்க்கப்படாத அட்டவணையின் தோற்றம் வட்டத்தின் வளைவுகளின் நீளம், டிகிரிகளில், மற்றும் நாண் நீளங்களின் முழு எண் பகுதிகள், ஒரு அடிப்படை 10 எண் அமைப்பில் வெளிப்படுத்தப்பட்டன, இது கிரேக்க எழுத்துக்களின் 21 எழுத்துக்களை பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்ட அர்த்தங்களுடன் பயன்படுத்தியது, மேலும் ஒரு சின்னம், "άν", அதாவது ஒரு வெற்று இடத்தை நிரப்புகிறது (திறம்பட பூஜ்ஜியத்தைக் குறிக்கும்). கீழே உள்ள அட்டவணையில் "பழமையானது" என்று பெயரிடப்பட்ட மூன்று எழுத்துக்கள், அல்மாஜெஸ்ட் எழுதப்படுவதற்கு சில நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு கிரேக்க மொழியில் பயன்படுத்தப்படவில்லை, ஆனால் இன்னும் எண்கள் மற்றும் இசைக் குறிப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, ° இன் வளைவு ρμγ anth′ என வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. (அட்டவணை 180 டிகிரியை மட்டுமே எட்டுவதால், 200 மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட கிரேக்க எண்கள் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.) நாணல் நீளங்களின் பின்னப் பகுதிகள் மிகவும் துல்லியமாக தேவைப்பட்டன, மேலும் அவை அட்டவணையில் இரண்டு நெடுவரிசைகளில் கொடுக்கப்பட்டனஃ முதல் நெடுவரிசை ஒரு முழு எண் பெருக்கத்தைக் கொடுக்கிறது, வரம்பில் 0-59, இரண்டாவது ஒரு முழு எண் பெருக்கம் =, வரம்பிலும் 0-59. இவ்வாறு 48-63 பக்கங்களில் உள்ள வளையங்களின் அட்டவணையுடன் கூடிய அல்மாஜெஸ்டின் ஹெய்பெர்க்கின் பதிப்பில், அட்டவணையின் தொடக்கம், வளைவுகளுடன் தொடர்புடையது முதல் இது போல் தெரிகிறதுஃ பின்னர் அட்டவணையில், வளைவின் முழு எண் பகுதிகளையும் நாணல் நீளத்தையும் வெளிப்படுத்தும் எண்களின் அடிப்படை-10 தன்மையைக் காணலாம். எனவே 85 டிகிரி வளைவு πε (80 க்கு π மற்றும் 5 க்கு ε) என்று எழுதப்படுகிறது மற்றும் 60 + 25 ஆக பிரிக்கப்படவில்லை. தொடர்புடைய நாணல் நீளம் 81 கூட்டல் ஒரு பகுதியாகும். முழு எண் பகுதி πα உடன் தொடங்குகிறது, அதேபோல் 60 + 21 ஆக பிரிக்கப்படவில்லை. ஆனால் பின்னப் பகுதி, +, நெடுவரிசையில் 4 க்கு δ என்றும், அதைத் தொடர்ந்து நெடுவரிசையில் 15 க்கு ιε என்றும் எழுதப்பட்டுள்ளது. இந்த அட்டவணையில் மொத்தம் 360 வரிகள் கொண்ட எட்டு பக்கங்களில் ஒவ்வொன்றிலும் 45 வரிகள் உள்ளன. 1500 களின் பிற்பகுதியில் கிரேக்க கணிதத்தில் மாதவாவின் சைன் அட்டவணையில் வெளியிடப்பட்ட சைன்களின் துல்லியமான கணக்கீட்டிற்கான ஒரு வழிமுறையை அமைக்கும் ஒரு புத்தகமான ஆரியபதாவின் சைன் அட்டவணை எக்ஸ்சென்ட் ஃபண்டமெண்டம் அஸ்ட்ரோனோமியா, வெர்சைன் குறிப்புகள் ஓலாஃப் பெடெர்சன் (1974) அல்மாஜெஸ்டின் ஒரு கணக்கெடுப்பு, ஓடென்ஸ் பல்கலைக்கழக பத்திரிகை வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜே. எல். ஹைபர்க் அல்மாஜெஸ்ட், பக்கங்களில் உள்ள வளையங்களின் அட்டவணை 48-63. கிளென் எலர்ட் டோலெமியின் அட்டவணை வளையங்கள்ஃ கிரேக்க மற்றும் பிரெஞ்சு மொழிகளில் இரண்டாம் நூற்றாண்டில் முக்கோணவியல், இணைய காப்பகத்தில். முக்கோணவியல் முக்கோணவியல் வானியல் வரலாறு தொடக்க சிறப்பு செயல்பாடுகள் டோலமி கணித அட்டவணைகள்