Hadamard's maximal determinant problem
ஹாடமார்ட்டின் அதிகபட்ச தீர்மானிப்பவர் சிக்கல், ஜாக் ஹாடமார்ட்டின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது, 1 அல்லது-1 க்கு சமமான உறுப்புகளுடன் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் மிகப்பெரிய தீர்மானிப்பவரைக் கேட்கிறது. 0 அல்லது 1 க்கு சமமான கூறுகளைக் கொண்ட மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான ஒத்த கேள்வி சமமானது, ஏனெனில் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, n அளவு கொண்ட ஒரு {1, −1} மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச தீர்மானிப்பவர் 2n − 1 மடங்கு அளவு n − 1 கொண்ட ஒரு {0,1} மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச தீர்மானிப்பவர். இந்த சிக்கலை ஹடாமார்ட் 1893 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையில் முன்வைத்தார், அதில் அவர் தனது புகழ்பெற்ற தீர்மானகரமான வரம்பை முன்வைத்தார் மற்றும் பொது அளவு கொண்ட மெட்ரிக்குகளுக்கு தீர்க்கப்படாமல் உள்ளது. ஹடாமார்ட்ஸ் பௌண்ட் என்பது n அளவு கொண்ட {1, −1}-மெட்ரிக்குகள் அதிகபட்சமாக nn/2 இல் தீர்மானிப்பதைக் குறிக்கிறது. சில்வெஸ்டரின் கட்டுமானம் n என்பது 2 இன் சக்தியாக இருக்கும்போது வரம்பை அடையும் மேட்ரிக்ஸின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்குகிறது என்பதை ஹடமார்ட் கவனித்தார், மேலும் 12 மற்றும் 20 அளவுகளில் தனது சொந்த உதாரணங்களை உருவாக்கினார். n என்பது 1,2 அல்லது 4 இன் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது மட்டுமே வரம்பை அடைய முடியும் என்பதையும் அவர் காட்டினார். கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்னர் ஸ்கார்பிஸ் மற்றும் பாலே மற்றும் பின்னர் பல எழுத்தாளர்களால் கட்டப்பட்டன. இத்தகைய மேட்ரிக்ஸ்கள் இப்போது ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவர்கள் தீவிரமான படிப்பைப் பெற்றுள்ளனர். மேட்ரிக்ஸ் அளவுகள் n க்கு n ஷ்ண 1,2, அல்லது 3 (மட்டு 4) குறைந்த கவனத்தைப் பெற்றுள்ளன. ஆரம்பகால முடிவுகள் பார்பா காரணமாகும், அவர் ஹடாமார்ட்டின் n ஒற்றைப்படை வரம்பை இறுக்கப்படுத்தினார், மேலும் வில்லியம்சன், n = 3,5,6 மற்றும் 7 க்கான மிகப்பெரிய தீர்மானிப்பாளர்களைக் கண்டறிந்தார். சில முக்கியமான முடிவுகளில் பார்பா, எலிச் மற்றும் வோஜ்தாஸ் காரணமாக, n ஷ்ண 1,2, அல்லது 3 (மட்டு 4) க்கு இறுக்கமான வரம்புகள் அடங்கும், இருப்பினும், அவை எப்போதும் அடைய முடியாதவை என்று அறியப்படுகின்றன, n ஷ்ண 1 அல்லது 2 (மட்டு 4) க்கான வரம்புகளை அடையும் மேட்ரிக்ஸின் சில எல்லையற்ற வரிசைகள், குறிப்பிட்ட n ஷ்ண 1 அல்லது 2 (மட்டு 4) க்கான வரம்புகளை அடையும் பல மேட்ரிக்ஸ்கள், குறிப்பிட்ட n ஷ்ண 1 அல்லது 3 (மட்டு 4) க்கான வரம்புகளை அடையாத பல மேட்ரிக்ஸ்கள், ஆனால் அவை முழுமையான கணக்கீட்டின் மூலம் அதிகபட்ச தீர்மானிப்பைக் கொண்டுள்ளன. புள்ளிவிவரங்களில் சோதனைகளின் வடிவமைப்பு {1, −1} மேட்ரிக்ஸ்கள் X ஐப் பயன்படுத்துகிறது (சதுரம் அவசியமில்லை) இதற்கு தகவல் மேட்ரிக்ஸ் XTX அதிகபட்ச தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது. (XT என்ற குறியீடு X இன் இடமாற்றத்தைக் குறிக்கிறது.) இத்தகைய மேட்ரிக்ஸ்கள் டி-உகந்த வடிவமைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எக்ஸ் ஒரு சதுர மேட்ரிக்ஸ் என்றால், அது ஒரு நிறைவுற்ற டி-உகந்த வடிவமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு n × n ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸின் எந்த இரண்டு வரிசைகளும் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஒரு {1, −1} மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தவரை, எந்த இரண்டு வரிசைகளும் உள்ளீடுகளின் சரியாக பாதியில் வேறுபடுகின்றன, இது n ஒரு ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருக்கும்போது சாத்தியமற்றது. n ஷ்ணம் 2 (மட்டு 4) ஆக இருக்கும்போது, மூன்றாவது வரிசைக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆக இருக்கும் இரண்டு வரிசைகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஆர்த்தோகனல் ஆக இருக்க முடியாது. ஒன்றாக, இந்த அறிக்கைகள் ஒரு n × n ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் n = 1,2, அல்லது 4 இன் பெருக்கல் இருந்தால் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் நன்கு ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன, ஆனால் 4 இன் நேர்மறை பெருக்கமான ஒவ்வொரு n க்கும் ஒரு n × n ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் இருக்கிறதா என்பது தெரியவில்லை. ஒரு n × n ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் இருப்பதாக அறியப்படாத மிகச்சிறிய n என்பது 668 ஆகும். {1, −1} மேட்ரிக்ஸின் சமநிலை மற்றும் இயல்பாக்கம் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்று, ஒரு {1, −1} மேட்ரிக்ஸ் R இல் நிகழ்த்தப்படும்போது, R இன் தீர்மானகரை ஒரு கழித்தல் அடையாளத்தால் மட்டுமே மாற்றுகிறதுஃ ஒரு வரிசையின் எதிர்மறை. ஒரு நெடுவரிசையின் எதிர்மறை. இரண்டு வரிசைகளின் இடைச்செருகல். இரண்டு நெடுவரிசைகளின் இடைச்செருகல். மேலே உள்ள செயல்பாடுகளின் சில வரிசைகளால் R1 ஐ R2 ஆக மாற்ற முடிந்தால், இரண்டு {1, −1} மேட்ரிக்ஸ்கள், R1 மற்றும் R2, சமமானதாகக் கருதப்படுகின்றன. ஒரு அடையாள மாற்றத்தைத் தவிர, சமமான மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பான்கள் சமமாக இருக்கும், மேலும் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எதிர்மறைகள் மற்றும் வரிசைமாற்றங்கள் மூலம் R ஐ தரப்படுத்துவது பெரும்பாலும் வசதியானது. A {1, −1} மேட்ரிக்ஸ் அதன் முதல் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருந்தால் இயல்பாக்கப்படுகிறது. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் அளவு ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது, சில நேரங்களில் வெவ்வேறு இயல்பாக்கலைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், இதில் ஒவ்வொரு வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையிலும் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் 1 மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள்-1 உள்ளன. இந்த இயல்பாக்குதல்களில் ஒன்றை முதல் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி சாதிக்க முடியும். {1, −1} மற்றும் {0,1} மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான அதிகபட்ச தீர்மானிக்கும் சிக்கல்களின் இணைப்பு இயல்பாக்கப்பட்ட n × n {1, −1} மேட்ரிக்ஸ்களின் தொகுப்பிலிருந்து (n − 1) × (n-1) {0,1} மேட்ரிக்ஸ்களின் தொகுப்புக்கு ஒன்று முதல் ஒன்று வரைபடம் உள்ளது, இதன் கீழ் தீர்மானிப்பவரின் அளவு 21 − n காரணி மூலம் குறைக்கப்படுகிறது. இந்த வரைபடம் பின்வரும் படிகளைக் கொண்டுள்ளது. {1, −1} மேட்ரிக்ஸின் வரிசை 1 ஐ வரிசை 2 முதல் n வரை கழிக்கவும். 2 முதல் n வரையிலான வரிசைகள் மற்றும் 2 முதல் n வரையிலான நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட (n−1) × (n−1) துணை மேட்ரிக்ஸை பிரித்தெடுக்கவும். இந்த மேட்ரிக்ஸ் 0 மற்றும் −2 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. (இந்த துணை மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் அசல் மேட்ரிக்ஸைப் போலவே இருக்கிறார், படி 1 இல் பெறப்பட்ட மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசை 1 இல் ஒரு கோஃபாக்டர் விரிவாக்கத்தை செய்வதன் மூலம் காணலாம்.) {0,1} மேட்ரிக்ஸைப் பெற துணை மேட்ரிக்ஸை −2 ஆல் வகுக்கவும். (இது நிர்ணயிப்பானை (−2) 1 − n ஆல் பெருக்குகிறது.) எடுத்துக்காட்டுஃ இந்த எடுத்துக்காட்டில், அசல் மேட்ரிக்ஸ்-16 தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதன் படம் 2 =-16· (-2)-3 தீர்மானிப்பதைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு {0,1} மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் ஒரு முழு எண் என்பதால், ஒரு n × n {1, −1} மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பவர் 2n−1 இன் முழு எண் பெருக்கமாகும். அதிகபட்ச நிர்ணயிக்கும் கிராம் மேட்ரிக்ஸின் மேல் வரம்புகள் R என்பது n ஆல் n {1, −1} மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும். ஆர் இன் கிராம் மேட்ரிக்ஸ் ஜி = ஆர்ஆர்டி மேட்ரிக்ஸ் என வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த வரையறையிலிருந்து G என்பது ஒரு முழு எண் மேட்ரிக்ஸ், சமச்சீர், நேர்மறை-சமச்சீர், நிலையான மூலைவிட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதன் மதிப்பு n க்கு சமம். R இன் வரிசைகளை நிராகரிப்பது அல்லது அவற்றுக்கு ஒரு வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது G இன் வரிசைகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளுக்கு ஒரே எதிர்மறைகள் மற்றும் வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. G′ = RTR மேட்ரிக்ஸையும் நாம் வரையறுக்கலாம். மேட்ரிக்ஸ் G என்பது திசையன்களின் தொகுப்பின் வழக்கமான கிராம் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது R இன் வரிசைகளின் தொகுப்பிலிருந்து பெறப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் G′ என்பது R இன் நெடுவரிசைகளின் தொகுப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட கிராம் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு அதிகபட்ச-தீர்மானிக்கும் மேட்ரிக்ஸும் ஒரு சாதாரண மேட்ரிக்ஸுக்கு சமம், ஆனால் இது எப்போதும் அப்படியா என்பது தெரியவில்லை. ஹடாமார்டின் பிணைப்பு (அனைத்து n க்கும்) ஹடாமார்டின் பிணைப்பை |det R | = (டெட் G) 1/2 ≤ (டெட் nI) 1/2 = nn/2 என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் பெறலாம், இது nI என்ற அவதானிப்பின் விளைவாகும், இதில் I என்பது n ஐ n அடையாள மேட்ரிக்ஸ் மூலம், 1 முதல் 4 வரையிலான பண்புகளை திருப்திப்படுத்தும் மேட்ரிக்ஸ்களில் அதிகபட்ச நிர்ணயத்தின் தனித்துவமான மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். அந்த டெட் ஆர் 2n−1 இன் முழு எண் பெருக்கியாக இருக்க வேண்டும், ஹடாமார்டின் எல்லை எப்போதும் அடைய முடியாதது என்பதை மற்றொரு செயல்விளக்கத்திற்கு வழங்க பயன்படுத்தப்படலாம். n ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது, பிணைக்கப்பட்ட nn/2 என்பது முழு எண் அல்லாதது அல்லது ஒற்றைப்படை, எனவே n = 1 ஐத் தவிர அடைய முடியாது. n = 2k உடன் k ஒற்றைப்படை என்றால், ஹடாமார்டின் எல்லையை வகுக்கும் 2 இன் மிக உயர்ந்த சக்தி 2k ஆகும், இது n = 2 இல்லையென்றால் 2n−1 ஐ விட குறைவாக இருக்கும். எனவே, n = 1,2, அல்லது 4 இன் பெருக்கல் இல்லையென்றால் ஹடாமார்டின் பிணைப்பை அடைய முடியாது. n ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது, கிராம் மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான பண்பு 1 ஐ G ஆக வலுப்படுத்த முடியும், இது ஒரு ஒற்றைப்படை-முழு எண் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். இது ஒரு கூர்மையான மேல் வரியை பெற அனுமதிக்கிறதுஃ |det R | = (டெட் G) 1/2 ≤ (டெட் (n-1) I + J) 1/2 = (2n−1) 1/2 (n−1) (n−1)/2, இதில் J என்பது ஆல்-ஒன் மேட்ரிக்ஸ். இங்கே (n-1) I + J என்பது மாற்றியமைக்கப்பட்ட பண்பு 1 மற்றும் பண்பு 2-4 ஐ திருப்திப்படுத்தும் அதிகபட்ச-தீர்மானிக்கும் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். எந்தவொரு வரிசைகளின் தொகுப்பையும் அதனுடன் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளின் தொகுப்பையும்-1 ஆல் பெருக்கும் வரை இது தனித்துவமானது. 2n−1 ஒரு சரியான சதுரமாக இல்லாவிட்டால் பிணைப்பை அடைய முடியாது, எனவே n ஷ்ண 3 (மட்டு 4) இல் ஒருபோதும் அடைய முடியாது. n சமமாக இருக்கும்போது, R இன் வரிசைகளின் தொகுப்பை இரண்டு துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம். சம வகை வரிசைகளில் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் 1 மற்றும் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள்-1 உள்ளன. ஒற்றைப்படை வகை வரிசைகள் ஒற்றைப்படை எண் 1 உறுப்புகளையும், ஒற்றைப்படை எண்-1 உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளன. ஒரே வகையான இரண்டு வரிசைகளின் புள்ளி பெருக்கல் n (மட்டு 4) உடன் ஒத்திருக்கிறது; எதிர் வகை இரண்டு வரிசைகளின் புள்ளி பெருக்கல் n + 2 (மட்டு 4) உடன் ஒத்திருக்கிறது. n ஷ்ண2 (மட்டு 4) என்றால், R இன் வரிசைகளை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம், நாம் நிலையான வடிவத்தை எடுத்துக் கொள்ளலாம், இதில் A மற்றும் D சமச்சீர் முழு எண் மேட்ரிக்ஸ்கள், அவற்றின் உறுப்புகள் 2 (மட்டு 4) உடன் ஒத்திருக்கும் மற்றும் B என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ், அதன் உறுப்புகள் 0 (மட்டு 4) உடன் ஒத்திருக்கும். 1964 ஆம் ஆண்டில், எலிச் மற்றும் வோஜ்தாஸ் சுயாதீனமாக இந்த வடிவத்தின் அதிகபட்ச தீர்மானிக்கும் மேட்ரிக்ஸில், A மற்றும் D இரண்டும் அளவு n/2 மற்றும் (n−2) I + 2J க்கு சமம் என்றும், B என்பது பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸ் என்றும் காட்டினர். இந்த உகந்த வடிவம் எந்தவொரு வரிசைகளின் தொகுப்பையும் அதனுடன் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளின் தொகுப்பையும்-1 ஆல் பெருக்குவதற்கும், வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கு ஒரே நேரத்தில் வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கும் தனித்துவமானது. இது பிணைக்கப்பட்ட டெட் R ≤ (2n−2) (n−2) (n−2)/2 ஐக் குறிக்கிறது. R வரம்பை அடைந்தால், R இன் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் வரிசைப்படுத்தப்பட்டால், G = RRT மற்றும் G′ = RTR இரண்டும் நிலையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் பொருத்தமாக இயல்பாக்கப்பட்டுள்ளன, பின்னர் W, X, Y மற்றும் Z ஆகியவை (n/2) × (n/2) மேட்ரிக்ஸ்கள் மற்றும் நிலையான வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை கூட்டுத்தொகைகள் W, x, y மற்றும் z ஆகியவை z = −w, y = x, மற்றும் w2 + x2 = 2n − 2 ஐ திருப்திப்படுத்தும். எனவே 2n−2 இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தப்படாவிட்டால் எலிச்-வோஜ்தாஸ் பிணைப்பை அடைய முடியாது. n ஒற்றைப்படை ஆக இருக்கும்போது, வரிசைகளை −1 ஆல் பெருக்குவதற்கான சுதந்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், R இன் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் 1 மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகள் −1 உள்ளன என்ற நிபந்தனையை ஒருவர் விதிக்கலாம். இந்த இயல்பாக்கம் கருதப்பட்டால், G இன் பண்பு 1 ஐ G க்கு வலுப்படுத்தலாம், இது n (மட்டு 4) க்கு ஒத்த முழு எண் கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். n ஷ்ண 1 (மட்டு 4) ஆக இருக்கும்போது, பார்பாவின் உகந்த வடிவம் இந்த வலுவான பண்பை திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் n ஷ்ண 3 (மட்டு 4) ஆக இருக்கும்போது, அது இல்லை. இதன் பொருள் என்னவென்றால், பிந்தைய வழக்கில் பிணைப்பை கூர்மைப்படுத்தலாம். n ஷ்ணம் 3 (மட்டு 4) ஆக இருக்கும்போது, வலுப்படுத்தப்பட்ட பண்பு 1 என்பது G இன் அதிகபட்ச-தீர்மானிக்கும் வடிவத்தை B − J என எழுதலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது, இதில் J என்பது அனைத்து-ஒரு அணி மற்றும் B என்பது ஒரு தொகுதி-மூலைவிட்ட அணி, அதன் மூலைவிட்ட தொகுதிகள் (n-3) I + 4J வடிவத்தில் உள்ளன. மேலும், உகந்த வடிவத்தில், தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை, s, கீழே உள்ள அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி n ஐப் பொறுத்தது என்றும், ஒவ்வொரு தொகுதியும் அளவு r அல்லது அளவு r + 1 ஐக் கொண்டுள்ளது என்றும் அவர் காட்டினார், அங்கு n = 11 ஐத் தவிர இரண்டு சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன, உகந்த வடிவம் எந்தவொரு வரிசைகளின் தொகுப்பையும் அதனுடன் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளின் தொகுப்பையும் −1 ஆல் பெருக்குவதற்கும், வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளுக்கு ஒரே நேரத்தில் ஒரு வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கும் தனித்துவமானது. இந்த உகந்த வடிவம் v = n − rs என்பது r + 1 அளவு தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் u = s − v என்பது r அளவு தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை என்ற வரம்பிற்கு வழிவகுக்கிறது. கோன் வரம்பை பகுப்பாய்வு செய்து, n = 3 ஐத் தவிர, இது n = 112t2 ± 28t + 7 க்கு மட்டுமே ஒரு முழு எண் என்று தீர்மானித்தார். தமுரா ஹாஸ்-மின்காவ்ஸ்கி தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வரம்பை அடைவதற்கான கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளைப் பெற்றார். n = 21 அளவு வரையிலான {1, −1} மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச நிர்ணயிப்பான்கள் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அளவு 22 என்பது மிகச்சிறிய திறந்த வழக்கு. அட்டவணையில், D (n) என்பது 2n−1 ஆல் வகுக்கப்பட்ட அதிகபட்ச தீர்மானகரைக் குறிக்கிறது. சமமாக, டி (என்) என்பது n−1 அளவு கொண்ட ஒரு {0,1} மேட்ரிக்ஸின் அதிகபட்ச தீர்மானிப்பதைக் குறிக்கிறது. குறிப்புகள் ஒருங்கிணைந்த வடிவமைப்பு மெட்ரிக்குகள் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள்