N = 1 supersymmetric Yang–Mills theory
கோட்பாட்டு இயற்பியலில், மேலும் குறிப்பாக குவாண்டம் புலக் கோட்பாடு மற்றும் மேல்நிலைச் சமச்சீர் ஆகியவற்றில், மேல்நிலைச் சமச்சீர் யாங்-மில்ஸ், சூப்பர் யாங்-மில்ஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் சுருக்கமாக எஸ். ஒய். எம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது யாங்-மில்ஸ் கோட்பாட்டின் மேல்நிலைச் சமச்சீர் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது துகள் இயற்பியலில் விசைகளின் கணித உருவாக்கத்தில் முக்கிய பங்கு வகிக்கும் ஒரு அளவீட்டுக் கோட்பாடாகும். சூப்பர் யாங்-மில்ஸ் ஜூலியஸ் வெஸ் மற்றும் புருனோ ஜூமினோ ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது, அதில் அவர்கள் கோட்பாட்டின் சூப்பர்கேஜ்-மாறுபாட்டை நிரூபித்தனர் மற்றும் வெஸ்-ஜூமினோ மாதிரியின் செயல்பாட்டுடன் அதன் செயல்பாட்டை எழுதினர், இது மற்றொரு ஆரம்பகால சூப்பர் சமச்சீர் புலக் கோட்பாடாகும். இந்தக் கட்டுரையில் உள்ள சிகிச்சை பெரும்பாலும் சூப்பர் சிம்மெட்ரி மற்றும் டோங் பற்றிய ஃபிக்யுரோவா-ஓ 'ஃபரில்லின் விரிவுரைகளைப் பின்பற்றுகிறது. N = 4 சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடும் ஒரு சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடாக இருந்தாலும், இந்த கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்ட கோட்பாடான சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாட்டிற்கு இது மிகவும் மாறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. உயர் சமச்சீர் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடு சைபர்க் மற்றும் விட்டன் ஆகியோரால் சைபர்க்-விட்டன் கோட்பாட்டில் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. மூன்று கோட்பாடுகளும் சூப்பர் மின்காவ்ஸ்கி இடைவெளிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் செயல் ஆரம்ப சிகிச்சை ஒரு முதல் சிகிச்சையை சூப்பர்ஸ்பேஸை வரையறுக்காமல் செய்ய முடியும், அதற்கு பதிலாக சூப்பர்சிமெட்ரிக் அல்லாத குவாண்டம் புலம் கோட்பாட்டில் பழக்கமான புலங்களின் அடிப்படையில் கோட்பாட்டை வரையறுக்கலாம். இடநேரமும் பொருளின் உள்ளடக்கமும் அடிப்படை இடநேரமானது தட்டையான இடநேரமாகும் (மின்காவ்ஸ்கி இடம்). எஸ். ஒய். எம் என்பது ஒரு கேஜ் கோட்பாடு, மேலும் இந்தக் கோட்பாட்டுடன் தொடர்புடைய கேஜ் குழு உள்ளது. கேஜ் குழு லை இயற்கணிதத்துடன் தொடர்புடையது. புலத்தின் உள்ளடக்கம் பின்னர் ஒரு-மதிப்புள்ள கேஜ் புலம் ஒரு-மதிப்புள்ள மஜோரானா ஸ்பின்னர் புலம் (ஒரு இணை-மதிப்புள்ள ஸ்பின்னர்), 'காகினோ' a-மதிப்புள்ள துணை அளவிடுதல் புலம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கேஜ்-மாறுபாட்டைப் பொறுத்தவரை, கேஜ் புலம் அவசியம் வெகுஜனமற்றது. இதன் பொருள் சூப்பர் சமச்சீர் வைத்திருக்க வேண்டுமானால் அதன் சூப்பர் பார்ட்னரும் வெகுஜனமற்றது. எனவே ஒருவருக்கொருவர் இணைந்திருக்கும் இரண்டு வேய்ல் சுழல்களின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம்ஃ, மற்றும் கோட்பாட்டை அதற்கு பதிலாக வேய்ல் சுழல் புலத்தின் அடிப்படையில் வடிவமைக்கலாம். சூப்பர்சிமெட்ரிக் தூய மின்காந்தக் கோட்பாடு, கருத்தியல் சிக்கல்கள் ஓரளவு எளிதாக்கும் போது, இது ஒருவிதத்தில் எளிய அளவீட்டுக் கோட்பாடாகும். புலத்தின் உள்ளடக்கம் வெறுமனே ஒரு (இணை) திசையன் புலம், ஒரு மஜோரானா சுழல் மற்றும் ஒரு துணை உண்மையான அளவிடுதல் புலம் ஆகும். புல வலிமை டென்சர் வழக்கம் போல் வரையறுக்கப்படுகிறது. வெஸ் மற்றும் ஜூமினோ ஆகியோரால் எழுதப்பட்ட லாக்ராஞ்சியன் பின்னர் இது ஒரு இணைப்பு மாறிலி மற்றும் தீட்டா சொல், இரட்டை புலம் வலிமை டென்சர் மற்றும் மாற்று டென்சர் அல்லது முற்றிலும் சமச்சீர் எதிர்ப்பு டென்சர் ஆகியவற்றைச் சேர்க்க பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். புலத்தை நாம் வேய்ல் ஸ்பின்னருடன் மாற்றினால், ஒரு சூப்பர் சமச்சீர் செயலை இவ்வாறு எழுதலாம் இது ஒரு தூய கேஜ் கோட்பாட்டின் சூப்பர் சமச்சீர் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதப்படலாம், இது மேக்ஸ்வெல் கோட்பாடு அல்லது தூய மின்காந்தக் கோட்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடு (ஆரம்ப சிகிச்சை) முழு பொதுவான தன்மையில், நாம் குளுவான் புல வலிமை டென்சர் மற்றும் அருகிலுள்ள வேய்ல் ஸ்பின்னரின் கோவேரியன்ட் வழித்தோன்றலை வரையறுக்க வேண்டும், செயலை எழுத, ஒரு மாறாத உள் தயாரிப்பு தேவைப்படுகிறதுஃ கொலை வடிவம் அத்தகைய ஒரு உள் தயாரிப்பு, மற்றும் குறியீட்டின் ஒரு வழக்கமான துஷ்பிரயோகத்தில் நாம் வெறுமனே எழுதுகிறோம், மாறாத உள் தயாரிப்பு சில பிரதிநிதித்துவங்களில் சுவடு எழுகிறது என்ற உண்மையை பரிந்துரைக்கிறது. சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் பின்னர் சூப்பர்சிமெட்ரிக் மேக்ஸ்வெல் கோட்பாட்டிலிருந்து உடனடியாக பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு எளிய பதிப்பு என்னவென்றால், மிகவும் பொதுவான பதிப்பு சூப்பர்ஸ்பேஸ் சிகிச்சை சூப்பர்ஸ்பேஸ் மற்றும் சூப்பர்ஃபீல்ட் உள்ளடக்கத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இந்தக் கோட்பாடு வெஸ்-ஜூமினோ கேஜில் இருக்க வேண்டும் என்று நிர்ணயிக்கப்பட்ட ஒற்றை இணை-மதிப்புள்ள ரியல் சூப்பர்ஃபீல்டின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. சூப்பர்ஸ்பேஸ் பற்றிய சூப்பர்சிமெட்ரிக் மேக்ஸ்வெல் கோட்பாடு இந்தக் கோட்பாடு பின்வருவனவற்றின் மாறுபட்ட வழித்தோன்றல்களை எடுத்துக்கொள்வதிலிருந்து எழும் ஒரு சூப்பர்ஃபீல்டின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மேல்நிலைச் சமச்சீர் செயல் பின்னர் ஒரு சிக்கலான இணைப்பு மாறிலியுடன் எழுதப்படுகிறது, அங்கு எச். சி. முந்தைய வார்த்தையின் ஹெர்மிடியன் இணைப்பைக் குறிக்கிறது. சூப்பர்செமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் ஆன் சூப்பர்ஸ்பேஸ் அபெலியன் அல்லாத கேஜ் கோட்பாட்டிற்கு, அதற்கு பதிலாக மற்றும் வரையறுக்கவும். மின்காவ்ஸ்கி இடத்தில் (சூப்பர்ஸ்பேஸ் மீது அல்ல) எளிமைப்படுத்தப்பட்ட யாங்-மில்ஸ் செயலுக்கு, சூப்பர்ஸைமெட்ரி உருமாற்றங்கள் எங்கே உள்ளன. சூப்பர்ஸ்பேஸ் மீது யாங்-மில்ஸ் நடவடிக்கைக்கு, சிரல் என்பதால், அதேபோல் கட்டப்பட்ட புலங்களும் உள்ளன. பின்னர் சூப்பர்ஸ்பேஸின் பாதிக்கு மேல் ஒருங்கிணைப்பது, ஒரு சூப்பர்சிமெட்ரிக் செயலை வழங்குகிறது. ஒரு முக்கியமான அவதானிப்பு என்னவென்றால், வெஸ்-ஜூமினோ கேஜ் ஒரு சூப்பர்சிமெட்ரிக் கேஜ் அல்ல, அதாவது, அது சூப்பர்சிமெட்ரி மூலம் பாதுகாக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், வெஸ்-ஜூமினோ பாதைக்குத் திரும்புவதற்கு ஈடுசெய்யும் பாதை மாற்றத்தைச் செய்ய முடியும். பின்னர், ஒரு சூப்பர் சமச்சீர் மாற்றம் மற்றும் ஈடுசெய்யும் கேஜ் மாற்றத்திற்குப் பிறகு, சூப்பர்ஃபீல்ட்கள் கேஜ் சமச்சீராக மாறுகின்றன. விண்வெளி நேரத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஆரம்பக் கோட்பாடு வெளிப்படையாக கேஜ் மாறாதது, ஏனெனில் இது கேஜ் மாறாத சூப்பர் சமச்சீர் அல்லாத கேஜ் கோட்பாட்டில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட சொற்களிலிருந்து கட்டப்பட்டுள்ளது. சூப்பர்ஃபீல்ட் சூத்திரத்திற்கு பொதுவான கேஜ் மாற்றங்களின் கோட்பாடு தேவைப்படுகிறது. (சூப்பர்கேஜ் உருமாற்றங்கள் அல்ல, இது உள்ளூர் சூப்பர்சிமெட்ரியுடன் ஒரு கோட்பாட்டில் மாற்றங்களாக இருக்கும்). பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் கேஜ் உருமாற்றங்கள் அத்தகைய மாற்றம் ஒரு சிரல் சூப்பர்ஃபீல்டால் அளவுருவாக மாற்றப்படுகிறது, இதன் கீழ் உண்மையான சூப்பர்ஃபீல்டு குறிப்பாக, விரிவடைந்து பொருத்தமான சூப்பர்ஃபீல்ட்களாக மாறுகிறது, பின்னர் ஒரு திசையன் சூப்பர்ஃபீல்டைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் ஒரு அளவிடக்கூடிய சூப்பர்ஃபீல்டைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது செயலை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் சிரல் சூப்பர்ஃபீல்டு, கேஜ் மாறாதது. பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அபெலியன் அல்லாத கேஜ் உருமாற்றங்கள் சிரல் சூப்பர்ஃபீல்ட் அருகிலுள்ள மதிப்புடையது. இதன் மாற்றம் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, இதிலிருந்து பேக்கர்-கேம்பெல்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாற்றத்தைப் பெறலாம். சிரல் சூப்பர்ஃபீல்டு மாறாதது அல்ல, ஆனால் இணைப்பின் மூலம் மாறுகிறதுஃ, இதனால் செயலில் தடமறிதல் போது, நடவடிக்கை கேஜ்-மாறாதது. கூடுதல் கிளாசிக்கல் சமச்சீர் சூப்பர் கான்ஃபார்மல் சமச்சீர் ஒரு கிளாசிக்கல் கோட்பாடாக, சூப்பர் சிம்மெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடு ஒரு பெரிய சமச்சீர் தொகுப்பை ஏற்றுக்கொள்கிறது, இது இயற்கணித மட்டத்தில் சூப்பர் கான்ஃபார்மல் இயற்கணிதத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது. சூப்பர் பாயின்கேர் இயற்கணிதம் என்பது பாயின்கேர் இயற்கணிதத்தின் சூப்பர் சிம்மெட்ரிக் நீட்டிப்பாக இருப்பதைப் போலவே, சூப்பர் கான்ஃபார்மல் இயற்கணிதம் என்பது கான்ஃபார்மல் இயற்கணிதத்தின் சூப்பர் சிமெட்ரிக் நீட்டிப்பாகும், இதில் கான்ஃபார்மல் சூப்பர் சிமெட்ரியின் சுழல் ஜெனரேட்டரும் உள்ளது. குவாண்டம் கோட்பாட்டில் இணக்கமற்ற மாறுபாடு சுவடு மற்றும் இணக்கமற்ற முரண்பாடுகளால் உடைக்கப்படுகிறது. குவாண்டம் சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாட்டில் சூப்பர் கான்ஃபார்மல் சமச்சீர் இல்லை என்றாலும், குவாண்டம் N = 4 சூப்பர்சிமெட்ரிக் யாங்-மில்ஸ் கோட்பாடு செய்கிறது. ஆர்-சமச்சீர் சூப்பர்சிமெட்ரிக்கான ஆர்-சமச்சீர் என்பது கிளாசிக்கல் கோட்பாட்டின் சமச்சீர் ஆகும், ஆனால் ஒரு ஒழுங்கின்மை காரணமாக குவாண்டம் கோட்பாட்டின் அல்ல. அபெலியன் கேஜ் பொருளைச் சேர்ப்பது வெஸ்-ஜூமினோ மாதிரி வகை சூப்பர்ஃபீல்ட்களின் வடிவத்தில் சேர்க்கப்படலாம். ஒரு கேஜ் மாற்றத்தின் கீழ், வெஸ்-ஜூமினோ மாதிரியைப் போலவே லக்ராஞ்சியனைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, கேஜ் மாறுபாட்டிற்கு இது மாற்றப்பட வேண்டும். சுவைகளுக்கு, அதற்கு பதிலாக நம்மிடம் சூப்பர்ஃபீல்ட்கள் உள்ளன, மேலும் செயலை மறைமுகமான சுருக்கத்துடன் எழுதலாம். இருப்பினும், நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட குவாண்டம் கோட்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, மேலே வரையறுக்கப்பட்ட கோட்பாடு போன்ற ஒரு கோட்பாடு ஒரு அளவீட்டு ஒழுங்கின்மையை பாதிக்கிறது. ஒவ்வொரு சிரல் சூப்பர்ஃபீல்டிலும் (சூப்பர் பார்ட்னர்கள் மற்றும் கான்ஜுகேட் சூப்பர்ஃபீல்ட்களிலிருந்து வேறுபட்டது) ஒரு கூட்டாளரைச் சேர்க்க நாம் கடமைப்பட்டுள்ளோம், இது எதிர் கட்டணத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது செயல்பாட்டை வழங்குகிறது அபெலியன் அல்லாத கேஜ் அபெலியன் அல்லாத கேஜ், பொருள் சிரல் சூப்பர்ஃபீல்ட்கள் இப்போது கேஜ் குழுவின் பிரதிநிதித்துவத்தில் மதிப்பிடப்படுகின்றனஃ வெஸ்-ஜூமினோ இயக்கவியல் சொல் சரிசெய்யப்பட வேண்டும். பின்னர் ஒரு எளிய SQCD நடவடிக்கை அடிப்படை பிரதிநிதித்துவமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படும், மேலும் வெஸ்-ஜூமினோ வார்த்தையைச் சேர்க்கும்ஃ சூப்பர் கியூசிடி நடவடிக்கையின் பொதுவான மற்றும் விரிவான வடிவங்கள் அந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஃபாயெட்-இலியோபோலோஸ் சொல் லை இயற்கணிதத்தின் மையம் அற்பமானதாக இல்லாதபோது, ஃபாயெட்-இலியோபோலோஸ் சொல் எனப்படும் செயலில் சேர்க்கக்கூடிய ஒரு கூடுதல் சொல் உள்ளது. குறிப்புகள் சூப்பர்சிமெட்ரிக் குவாண்டம் புலம் கோட்பாடு