Bounded type (mathematics)
கணிதத்தில், சிக்கலான தளத்தின் ஒரு பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு, அந்த பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அது வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தது என்று கூறப்படுகிறது. ஆனால் மிகவும் பொதுவாக, ஒரு செயல்பாடு ஒரு பிராந்தியத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தது, அது பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டால் மற்றும் எங்கு ஒரு ஹார்மோனிக் பிரதானத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே. இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் விகிதமாக இருப்பது ஒரு செயல்பாடு வரம்புக்குட்பட்ட வகையாக இருக்க போதுமான நிபந்தனையாகும் (ஒரு ஹார்மோனிக் பிரதானத்தின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது), மேலும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டிருந்தால் நிபந்தனையும் அவசியம். அத்தகைய அனைத்தின் வகுப்பும் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் சில நேரங்களில் நெவன்லின்னா வகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நெவன்லின்னா வகுப்பில் அனைத்து ஹார்டி வகுப்புகளும் அடங்கும். வரம்புக்குட்பட்ட வகைகளின் செயல்பாடுகள் வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் அவை வரம்புக்குட்பட்ட "வகை" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பண்பையும் கொண்டிருக்கவில்லை. இந்த பெயருக்கான காரணம், ஒரு வட்டில் வரையறுக்கப்படும்போது, நெவன்லின்னா பண்பு (வட்டின் மையத்திலிருந்து தூரத்தின் செயல்பாடு) வரம்புக்குட்பட்டதாக இருக்கலாம். தெளிவாக, ஒரு செயல்பாடு இரண்டு வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளின் விகிதமாக இருந்தால், அதை 1 ஆல் வரம்புக்குட்பட்ட இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதமாக வெளிப்படுத்தலாம்ஃ மடக்கை மற்றும் மடக்கை பிராந்தியத்தில் எதிர்மறையாக இல்லை, எனவே பிந்தையது ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் உண்மையான பகுதியாகும், எனவே இது ஹார்மோனிக் ஆகும், இது ஒரு ஹார்மோனிக் பிரதானத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட பிராந்தியத்திற்கு, வரம்புக்குட்பட்ட வகையின் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடுகள் மற்றும் விளைபொருள்கள் வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை, அதே போல் வகுத்தல் ஒரே மாதிரியாக பூஜ்ஜியமாக இல்லாத வரை அத்தகைய இரண்டு செயல்பாடுகளின் ஈவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எந்த எல்லைக்குட்பட்ட பகுதியிலும் எல்லைக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை. அவை மேல் அரை தளத்திலும் (யுஎச்பி) வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை, ஏனென்றால் டிகிரி n இன் பல்லுறுப்புக்கோவையை யுஎச்பியில் வரம்புக்குட்பட்ட இரண்டு பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளின் விகிதமாக வெளிப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தலைகீழ் ஒரு பிராந்தியத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட வகையாகும், எந்தவொரு விகிதமுறு செயல்பாட்டையும் போலவே. a யதார்த்தமாக இருந்தால் மட்டுமே UHP இல் செயல்பாடு வரம்புக்குட்பட்ட வகையாக இருக்கும். a நேர்மறையாக இருந்தால் செயல்பாடு UHP இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (எனவே நாம் பயன்படுத்தலாம்), மற்றும் a எதிர்மறையாக இருந்தால் செயல்பாடு 1/Q (z) உடன் சமம். சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவை யுஹெச்பியில் வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை. உண்மையில், இவை இரண்டும் யுஹெச்பியில் வரம்புக்குட்பட்டவை. மேலே உள்ள அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் வெவ்வேறு பி மற்றும் கியூ செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கீழ் அரை தளத்திலும் வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் "எல்லைக்குட்பட்ட வகை" என்ற வார்த்தையின் வரையறையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பகுதி செயல்பாடு நிலையானதாக இல்லாவிட்டால் முழு சிக்கலான தளமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் ஒருவர் முழு பிராந்தியத்திலும் ஒரே P மற்றும் Q ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் முழு செயல்பாடுகளும் (அதாவது, முழு சிக்கலான தளத்திலும் பகுப்பாய்வு) மட்டுமே எல்லைக்குட்பட்டவை, லியோவில்லின் தேற்றத்தால் மாறிலிகள். மேல் அரை தளத்தின் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு "நெவன்லின்னா செயல்பாடு" ஆகும், அதாவது, மூடிய யுஎச்பி உடன் யுஎச்பி வரைபடமாக்கும் ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு. f (z) இந்த வகையைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், P மற்றும் Q ஆகியவை வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளாக இருந்தால்ஃ (இது வெளிப்படையாக, UHP இல் உண்மையான பகுதி எதிர்மறையாக இல்லாத ஒரு செயல்பாட்டிற்கும் பொருந்தும்.) பண்புகள் கொடுக்கப்பட்ட பிராந்தியத்திற்கு, வரம்புக்குட்பட்ட வகையின் இரண்டு (பூஜ்யம் அல்லாத) செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை, பெருக்கல் அல்லது ஈவு ஆகியவையும் வரம்புக்குட்பட்ட வகையைச் சேர்ந்தவை. வரையறுக்கப்பட்ட வகையின் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு சிக்கலான எண்களின் மீது ஒரு இயற்கணிதம் மற்றும் உண்மையில் ஒரு புலம். மேல் அரை-தளத்தின் வரம்புக்குட்பட்ட வகையின் எந்தவொரு செயல்பாடும் (0 இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வேர்களுடன்) ஒரு பிளாஷ்கே தயாரிப்பு (ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு, பிராந்தியத்தில் வரம்புக்குட்பட்டது, இது பூஜ்ஜியங்களை காரணியாக்குகிறது) என வெளிப்படுத்தப்படலாம். யுஹெச்பியில் எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான பகுதியைக் கொண்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் எங்கே மற்றும் எங்கே என்பதை இந்த விகிதத்தை ஒருவர் வெளிப்படுத்தலாம். இவை ஒவ்வொன்றையும் பாய்சான் பிரதிநிதித்துவத்தால் வெளிப்படுத்தலாம் (நெவன்லின்னா செயல்பாடுகளைப் பார்க்கவும்): இங்கு c மற்றும் d கற்பனை மாறிலிகள், p மற்றும் q எதிர்மறை அல்லாத உண்மையான மாறிலிகள், மற்றும் μ மற்றும் ν ஒரு உண்மையான மாறியின் குறைக்கப்படாத செயல்பாடுகள் (நன்கு நடந்து கொண்டதால் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒன்றிணைகின்றன). q − p என்ற வேறுபாட்டிற்கு லூயிஸ் டி ப்ராஞ்சஸ் என்பவரால் "சராசரி வகை" என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளது மேலும் கற்பனை அச்சில் செயல்பாட்டின் வளர்ச்சி அல்லது சிதைவை விவரிக்கிறதுஃ மேல் அரை தளத்தின் சராசரி வகை என்பது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தூரத்தால் வகுக்கப்படும் செயல்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பின் மடக்கை ஒரு எடையுள்ள சராசரியின் வரம்பாகும், இதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கும் வகையில் இயல்பாக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு முழு செயல்பாடும் மேல் மற்றும் கீழ் அரை தளம் இரண்டிலும் வரம்புக்குட்பட்ட வகையாக இருந்தால், அது அந்தந்த இரண்டு "சராசரி வகைகளில்" உயர்ந்ததற்கு சமமான அதிவேக வகையாகும் (மேலும் உயர்ந்தது எதிர்மறையாக இருக்காது). 1 ஐ விட பெரிய வரிசையின் முழு செயல்பாடும் (அதாவது ஒரு திசையில் அது அதிவேக வகையின் செயல்பாட்டை விட வேகமாக வளர்கிறது) எந்த அரை தளத்திலும் வரம்புக்குட்பட்ட வகையாக இருக்க முடியாது. இவ்வாறு நாம் z இன் பொருத்தமான அதிர்வெண் மற்றும் தன்னிச்சையான நெவன்லின்னா செயல்பாடுகளின் அதிர்வெண்களை i ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் வரம்புக்குட்பட்ட வகையின் செயல்பாட்டை உருவாக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாகஃ மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பொறுத்தவரை, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சராசரி வகை அல்லது அவற்றின் தலைகீழ்கள் பூஜ்ஜியமாகும். மேல் அரை தளத்தின் சராசரி வகை −a ஆகும், அதே நேரத்தில் கீழ் அரை தளத்தின் சராசரி வகை a ஆகும். இரண்டு அரை விமானங்களிலும் சராசரி வகை 1 ஆகும். நேர்மறை அல்லாத சராசரி வகையுடன் மேல் அரை விமானத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட வகையின் செயல்பாடுகள் மற்றும் உண்மையான அச்சுக்கு தொடர்ச்சியான, சதுர-ஒருங்கிணைந்த நீட்டிப்பைக் கொண்டிருப்பது சுவாரஸ்யமான பண்பைக் கொண்டுள்ளன (பயன்பாடுகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும்) ஒருங்கிணைப்பு (உண்மையான அச்சுடன்) சமம் என்றால் z மேல் அரை விமானத்தில் இருந்தால் மற்றும் z கீழ் அரை விமானத்தில் இருந்தால் பூஜ்ஜியம். இது மேல் அரை தளத்திற்கான காச்சி சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படலாம். மேலும் காண்க டி ப்ராஞ்சஸ் இடம் ரோல்ஃப் நெவன்லின்னா குறிப்புகள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு சிறப்பு செயல்பாடுகள் செயல்பாடுகளின் வகைகள்