Mathematical chess problem
ஒரு கணித சதுரங்க சிக்கல் என்பது ஒரு கணித சிக்கலாகும், இது ஒரு சதுரங்கப் பலகை மற்றும் சதுரங்கத் துண்டுகளைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படுகிறது. இந்த சிக்கல்கள் பொழுதுபோக்கு கணிதத்தைச் சேர்ந்தவை. இந்த வகையான மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட சிக்கல்கள் எட்டு ராணிகளின் புதிர் மற்றும் குதிரையின் சுற்றுப்பயண சிக்கல் ஆகும், அவை வரைபடக் கோட்பாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்புடன் தொடர்புடையவை. பல புகழ்பெற்ற கணிதவியலாளர்கள் தாபிட், யூலர், லெஜெண்டர் மற்றும் காஸ் போன்ற கணித சதுரங்க சிக்கல்களை ஆய்வு செய்தனர். ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதைத் தவிர, கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக சாத்தியமான தீர்வுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையை எண்ணுவதிலும், சில பண்புகளுடன் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதிலும், அதே போல் N × N அல்லது M × N பலகைகளுக்கு சிக்கல்களை பொதுமைப்படுத்துவதிலும் ஆர்வமாக உள்ளனர். சுதந்திரப் பிரச்சினை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சதுரங்கத் துண்டு (ராணி, ரூக், பிஷப், குதிரை அல்லது ராஜா) கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் வைக்கக்கூடிய அதிகபட்ச எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இதனால் துண்டுகள் எதுவும் ஒருவருக்கொருவர் தாக்காது. இந்த அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான துண்டுகளுக்கான உண்மையான ஏற்பாடு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். இந்த வகையின் மிகவும் பிரபலமான சிக்கல் எட்டு ராணிகளின் புதிர் ஆகும். எத்தனை சாத்தியமான தீர்வுகள் உள்ளன என்று கேட்பதன் மூலம் பிரச்சினைகள் மேலும் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. மேலும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் NxN பலகைகளுக்கு சிக்கலைப் பயன்படுத்துகின்றன. ஒரு 8 × 8 சதுரங்கப் பலகையில் 16 சுயாதீன மன்னர்கள், 8 சுயாதீன ராணிகள், 8 சுயாதீன ரூக்குகள், 14 சுயாதீன ஆயர்கள் அல்லது 32 சுயாதீன மாவீரர்கள் இருக்கலாம். மன்னர்கள், ஆயர்கள், ராணிகள் மற்றும் மாவீரர்களுக்கான தீர்வுகள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. 8 சுயாதீன ரூக்குகளைப் பெறுவதற்கு அவற்றை முக்கிய மூலைவிட்டங்களில் ஒன்றில் வைக்க போதுமானது. ஆதிக்க சிக்கல்கள் ஒரு ஆதிக்கம் (அல்லது மறைத்தல்) சிக்கல் ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் வைக்க கொடுக்கப்பட்ட வகையின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடிப்பதை உள்ளடக்கியது, அதாவது காலியாக உள்ள அனைத்து சதுரங்களும் குறைந்தது ஒரு முறையாவது தாக்கப்படுகின்றன. இது வெர்டெக்ஸ் கவர் சிக்கலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ஆதிக்கம் செலுத்தும் மன்னர்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கை 9, ராணிகள் 5, ரூக்குகள் 8, ஆயர்கள் 8, மற்றும் மாவீரர்கள் 12 ஆகும். 8 ஆதிக்கம் செலுத்தும் ரூக்குகளைப் பெற, ஒவ்வொரு கோப்பிலும் ஒன்றை வைப்பது போதுமானது. மற்ற துண்டுகளுக்கான தீர்வுகள் கீழே உள்ள வரைபடங்களில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. ஆதிக்க சிக்கல்கள் சில நேரங்களில் போர்டில் உள்ள அனைத்து சதுரங்களையும் தாக்கத் தேவையான குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான துண்டுகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஆக்கிரமிக்கப்பட்டவை உட்பட. ரூக்குகளுக்கு, எட்டு தேவைப்படுகின்றன; தீர்வு அவை அனைத்தையும் ஒரே கோப்பு அல்லது தரவரிசையில் வைப்பதாகும். மற்ற துண்டுகளுக்கான தீர்வுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. எந்த அளவிலான சதுரங்கப் பலகையின் பிரதான மூலைவிட்டத்திலும் ராணிகளின் ஆதிக்கம் சேலம்-ஸ்பென்சர் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எண் கோட்பாட்டில் உள்ள ஒரு சிக்கலுக்கு சமமாக காட்டப்படலாம், இது எண்களின் தொகுப்பாகும், இதில் எண்களில் எதுவும் மற்ற இரண்டின் சராசரியாக இல்லை. ராணிகளின் உகந்த இடம் அனைத்தும் ஒரே சமநிலையைக் கொண்ட சதுரங்களின் தொகுப்பை காலியாக விட்டுச் செல்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது (அனைத்தும் சமமான நிலைகளில் உள்ளன அல்லது அனைத்தும் மூலைவிட்டத்தில் ஒற்றைப்படை நிலைகளில் உள்ளன) மற்றும் அவை சேலம்-ஸ்பென்சர் தொகுப்பை உருவாக்குகின்றன. பீஸ் டூர் சிக்கல்கள் இந்த வகையான சிக்கல்கள் ஒரு சதுரங்க பலகையில் உள்ள அனைத்து சதுரங்களுக்கும் செல்லும் சில சதுரங்கத் துண்டுகளின் சுற்றுப்பயணத்தைக் கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கிறது. இந்த வகையான மிகவும் அறியப்பட்ட சிக்கல் நைட்ஸ் டூர் ஆகும். குதிரை வீரரைத் தவிர, ராஜா, ராணி மற்றும் குதிரை வீரர்களுக்கும் இத்தகைய சுற்றுப்பயணங்கள் உள்ளன. ஆயர்கள் பலகையில் உள்ள ஒவ்வொரு சதுரத்தையும் அடைய முடியாது, எனவே அவர்களுக்கான சிக்கல் ஒரு நிறத்தின் அனைத்து சதுரங்களையும் அடைய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. சதுரங்க இடமாற்ற சிக்கல்கள் சதுரங்க இடமாற்ற சிக்கல்களில், வெள்ளை துண்டுகள் கருப்பு துண்டுகளுடன் மாறுகின்றன. இது ஒரு விளையாட்டின் போது துண்டுகளின் சாதாரண சட்ட நகர்வுகளுடன் செய்யப்படுகிறது, ஆனால் மாறி மாறி திருப்பங்கள் தேவையில்லை. உதாரணமாக, ஒரு வெள்ளை குதிரை ஒரு வரிசையில் இரண்டு முறை நகர முடியும். துண்டுகளைப் பிடிக்க அனுமதி இல்லை. அத்தகைய இரண்டு சிக்கல்கள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. முதலாவதாக, வெள்ளை மற்றும் கருப்பு மாவீரர்களின் நிலைகளை பரிமாறிக்கொள்வதே குறிக்கோள். இரண்டாவதாக, ஆயர்களின் பதவிகள் ஒரு கூடுதல் வரம்புடன் பரிமாறிக்கொள்ளப்பட வேண்டும், எதிரி துண்டுகள் ஒருவருக்கொருவர் தாக்காது. செஸ் புதிர் குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் (ஜெர்மன் மொழியில்) பார்க்கவும். புத்தகத்தின் சில அத்தியாயங்கள் ஆன்லைனில் கிடைக்கின்றனஃ εvgéníy γικ "ஷ்ஹ்மாத்திஸ் மற்றும் மெட்டேமாத்திகா" மற்றும் DJVU கோப்பாக (ரஷ்ய மொழியில்). வெளிப்புற இணைப்புகள் செஸ் வெயிஸ்ஸ்டீன், எரிக் டபிள்யூ. மாத்வேர்ல்டில் இருந்து. ஜார்ஜ் ஜெல்லிஸ் எழுதிய சதுரங்க-துண்டு ஏற்பாடு சிக்கல்கள் (தி கேம்ஸ் அண்ட் பஜில்ஸ் ஜர்னலில் இருந்து). எட் பெக் ஜூனியர் எழுதிய சதுரங்கப் பலகை பணிகள்