Orthodiagonal quadrilateral
யூக்ளிடிய வடிவவியலில், ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரமானது ஒரு நாற்கரமாகும், இதில் மூலைவிட்டங்கள் சரியான கோணங்களில் கடக்கின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது நான்கு பக்க உருவமாகும், இதில் அருகிலுள்ள செங்குத்துகளுக்கு இடையிலான கோடு பிரிவுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக (செங்குத்தாக) இருக்கும். சிறப்பு நிகழ்வுகள் ஒரு காத்தாடி என்பது ஒரு செங்குத்தான நாற்கரமாகும், இதில் ஒரு மூலைவிட்டமானது சமச்சீர் கோடு ஆகும். காத்தாடிகள் சரியாக ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரங்கள் ஆகும், அவை அவற்றின் நான்கு பக்கங்களுக்கும் ஒரு வட்ட தொடுகோடு கொண்டுள்ளன; அதாவது, காத்தாடிகள் தொடுகோடு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரங்கள். ஒரு ரோம்பஸ் என்பது இரண்டு ஜோடி இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரமாகும் (அதாவது, ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரமானது ஒரு இணையான வடிவமாகும்). ஒரு சதுரம் என்பது காத்தாடி மற்றும் ரோம்பஸ் ஆகிய இரண்டிற்கும் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கு. ஆர்த்தோடியாகனல் ஈக்விடியாகனல் நாற்கரங்கள், இதில் மூலைவிட்டங்கள் குறைந்தபட்சம் நாற்கரத்தின் அனைத்து பக்கங்களும் அனைத்து நாற்கரங்களிலும் அவற்றின் விட்டத்திற்கு அதிகபட்ச பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளன, இது மிகப்பெரிய சிறிய பலகோணப் பிரச்சினையின் n = 4 வழக்கைத் தீர்க்கிறது. சதுரம் அத்தகைய ஒரு நாற்கரமாகும், ஆனால் எண்ணற்ற பல உள்ளன. சமசதுரமாக இருக்கும் ஒரு செங்குத்தான நாற்கரமானது ஒரு நடுத்தர சதுர நாற்கரமாகும், ஏனெனில் அதன் வரிக்னான் இணையான சதுரம் ஒரு சதுரமாகும். அதன் பரப்பளவை அதன் பக்கங்களின் அடிப்படையில் மட்டுமே வெளிப்படுத்த முடியும். எந்தவொரு செங்குத்தான நாற்கரத்திற்கும், இரண்டு எதிர் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்ற இரண்டு எதிர் பக்கங்களுக்கு சமம்ஃ அடுத்தடுத்த பக்கங்களுக்கு a, b, c மற்றும் d, நம்மிடம் உள்ளது இது பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இதன் மூலம் இரண்டு வர்க்கங்களின் இந்த இரண்டு கூட்டுத்தொகைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நாற்கரத்தின் செங்குத்துகளிலிருந்து நான்கு வர்க்க தூரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக விரிவுபடுத்தலாம். மாறாக, எந்த நாற்கரத்திலும் a2 + c2 = b2 + d2 செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். கொசைன்களின் விதி, திசையன்கள், மறைமுக ஆதாரம் மற்றும் சிக்கலான எண்களைப் பயன்படுத்துவது உட்பட பல வழிகளில் இதை நிரூபிக்க முடியும். இரண்டு பைமெடியன்களும் சம நீளத்தைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே குவிந்த நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும். மற்றொரு குணாதிசயத்தின்படி, ஒரு குவிந்த நாற்கர ABCD இன் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும், P என்பது மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருந்தால் மட்டுமே. இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து, நாற்கரத்தின் பக்கங்களில் உள்ள மூலைவிட்ட குறுக்குவெட்டின் கணிப்புகள் ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் செங்குத்துகளாக இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும் என்பது கிட்டத்தட்ட உடனடியாக பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது அதன் வரிக்னான் இணையான செவ்வகம் (அதன் செங்குத்துகள் அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளாக இருந்தால்) ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால் மட்டுமே செங்குத்தாக இருக்கும். பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் நான்கு மால்டிட்யூட்களின் கால்கள் எட்டு கான்ஸைக்ளிக் புள்ளிகளாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது செங்குத்தாக இருக்கும் என்று ஒரு தொடர்புடைய தன்மை கூறுகிறது; எட்டு புள்ளி வட்டம். இந்த வட்டத்தின் மையம் நாற்கரத்தின் மையக்கருவாகும். மால்டிட்யூட்களின் கால்களால் உருவாக்கப்பட்ட நாற்கரமானது முதன்மை ஆர்த்திக் நாற்கரமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. முக்கோண குறுக்குவெட்டு வழியாக ஒரு குவிந்த நாற்கர ABCD இன் பக்கங்களில் உள்ள இயல்புகள் R, S, T, U, மற்றும் K, L, M, N இல் எதிர் பக்கங்களை வெட்டுகின்றன என்றால், K, L, M, N, R, S, T மற்றும் U ஆகிய எட்டு புள்ளிகள் சுழற்சியாக இருந்தால் மட்டுமே ABCD ஆர்த்தோடியாகனல் ஆகும்; இரண்டாவது எட்டு புள்ளி வட்டம். RSTU ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், அதன் பக்கங்கள் ABCD இன் மூலைவிட்டங்களுக்கு இணையாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது செங்குத்தாக இருக்கும் என்று ஒரு தொடர்புடைய தன்மை கூறுகிறது. மூலைவிட்ட குறுக்குவெட்டு P மற்றும் குவிந்த நாற்கர ABCD இன் செங்குத்துகளால் உருவாக்கப்பட்ட நான்கு முக்கோணங்கள் குறித்து பல மெட்ரிக் குணாதிசயங்கள் உள்ளன. ABP, BCP, CDP, DAP முக்கோணங்களில் உள்ள நடுத்தரங்களை m1, m2, m3, m4 ஆல் குறிக்கவும். R1, R2, R3, R4 மற்றும் h1, h2, h3, h4 ஆகியவை முறையே இந்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவு மற்றும் உயரங்களின் ஆரங்களைக் குறிக்கின்றன என்றால், பின்வரும் சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்று இருந்தால் மட்டுமே நாற்கர ABCD ஆர்த்தோடியாகனல் ஆகும்ஃ மேலும், முக்கோணங்களின் ABP, BCP, CDP மற்றும் DAP முக்கோணங்களின் சுற்றளவு மையங்கள் நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடு புள்ளிகளாக இருந்தால் மட்டுமே மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு P உடன் ஒரு நாற்கர ABCD ஆர்த்தோடியாகனல் ஆகும். ஒரு தொடுகோட்டு நாற்கரத்துடன் ஒப்பீடு தொடுகோட்டு நாற்கரங்கள் மற்றும் செங்குத்தான நாற்கரங்களின் சில மெட்ரிக் குணாதிசயங்கள் இந்த அட்டவணையில் காணப்படுவது போல் தோற்றத்தில் மிகவும் ஒத்திருக்கின்றன. பக்கங்களில் உள்ள குறியீடுகள் a, b, c, d, சுற்றளவு R1, R2, R3, R4, மற்றும் உயரங்கள் h1, h2, h3, h4 ஆகியவை இரு வகையான நாற்கரங்களிலும் மேலே உள்ளதைப் போலவே உள்ளன. பரப்பளவு ஒரு செங்குத்தான நாற்கரத்தின் பரப்பளவு K என்பது p மற்றும் q மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்கலின் பாதிக்கு சமம்ஃ இதற்கு நேர்மாறாக, இந்த சூத்திரத்துடன் பரப்பளவைக் கணக்கிடக்கூடிய எந்த குவிந்த நாற்கரமும் செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரமானது கொடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டங்களுடன் அனைத்து குவிந்த நாற்கரங்களின் மிகப்பெரிய பரப்பளவைக் கொண்டுள்ளது. பிற பண்புகள் ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரங்கள் மட்டுமே நாற்கரங்கள், இதற்காக பக்கங்களும் மூலைவிட்டங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணமும் தனித்தனியாக பரப்பளவை தீர்மானிக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு ரோம்பிகளும் பொதுவான பக்க a ஐக் கொண்டுள்ளன (மேலும், அனைத்து ரோம்பிகளையும் பொறுத்தவரை, இரண்டும் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையில் ஒரு சரியான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன), ஆனால் ஒன்று மற்றொன்றை விட சிறிய கூர்மையான கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது, வெவ்வேறு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது (கடுமையான கோணம் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது முந்தைய பூஜ்ஜியத்தின் பரப்பளவு). சதுரங்கள் ஏதேனும் நாற்கரத்தின் (குவிந்த, குழிவான அல்லது குறுக்கப்பட்ட) பக்கங்களில் வெளிப்புறமாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால், அவற்றின் மையங்கள் (சென்ட்ராய்டுகள்) ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தின் செங்குத்துகளாகும், அவை சமமானவை (அதாவது, சம நீளமுள்ள மூலைவிட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன). இது வான் ஆபலின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் பாஸ்கல் புள்ளிகள் வட்டத்துடன் குறைந்தது ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு சுழற்சி ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்திற்கு (ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கக்கூடிய ஒன்று), மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு ஒரு மூலைவிட்டத்தை p1 மற்றும் p2 நீளங்களின் பிரிவுகளாகப் பிரித்து மற்ற மூலைவிட்டத்தை q1 மற்றும் q2 நீளங்களின் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் (முதல் சமத்துவம் ஆர்க்கிமிடீஸின் புக் ஆஃப் லெம்மாஸில் உள்ள முன்மொழிவு 11 ஆகும்) இதில் டி என்பது சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம். மூலைவிட்டங்கள் ஒரு வட்டத்தின் செங்குத்தான வளையங்கள் என்பதால் இது பொருந்தும். எனவே, யூலரின் நாற்கரக் கோட்பாட்டின்படி, சுற்றளவு p மற்றும் q மூலைவிட்டங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம், மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் x ஐ ஒரு சுழற்சி ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தின் பரப்பளவு K க்கான ஒரு சூத்திரமாக நான்கு பக்கங்களின் அடிப்படையில் டோலெமியின் தேற்றம் மற்றும் ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை இணைக்கும்போது நேரடியாகப் பெறப்படுகிறது. இதன் விளைவு மற்ற பண்புகள் ஒரு சுழற்சி ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தில், எதிர் மையம் மூலைவிட்டங்கள் சந்திக்கும் புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது. பிரம்மகுப்தரின் தேற்றம் ஒரு சுழற்சி ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்திற்கு, எந்த பக்கத்திலிருந்தும் செங்குத்தாக மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி வழியாக எதிர் பக்கத்தை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது என்று கூறுகிறது. ஒரு ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரமும் சுழற்சியாக இருந்தால், சுற்றளவு மையத்திலிருந்து (சுற்றளவு வட்டத்தின் மையம்) எந்த பக்கத்திற்கும் உள்ள தூரம் எதிர் பக்கத்தின் பாதி நீளத்திற்கு சமம். ஒரு சுழற்சி ஆர்த்தோடியாகனல் நாற்கரத்தில், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் சுற்றளவு மையத்திற்கும் மூலைவிட்டங்கள் சந்திக்கும் புள்ளிக்கும் இடையிலான தூரத்திற்கு சமம். பொறிக்கப்பட்ட செவ்வகங்களின் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் ஒவ்வொரு செங்குத்தான நாற்கரத்திற்கும், நாம் இரண்டு எல்லையற்ற செவ்வகங்களின் தொகுப்புகளை எழுதலாம்ஃ (i) நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இணையாக பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களின் தொகுப்பு (ii) பாஸ்கல்-புள்ளிகள் வட்டங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட செவ்வகங்களின் தொகுப்பு. குறிப்புகள் நாற்கரங்களின் வகைகள்