Auslander–Reiten theory
இயற்கணிதத்தில், ஆஸ்லேண்டர்-ரெய்டன் கோட்பாடு ஆர்ட்டினிய வளையங்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டை ஆஸ்லேண்டர்-ரெய்டன் வரிசைகள் (கிட்டத்தட்ட பிளவு வரிசைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் ஆஸ்லேண்டர்-ரெய்டன் சுழல்கள் போன்ற நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்கிறது. அவுஸ்லாண்டர்-ரெய்டன் கோட்பாடு அவர்களால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு பல அடுத்தடுத்த ஆவணங்களில் உருவாக்கப்பட்டது. ஆஸ்லேண்டர்-ரெய்டன் கோட்பாடு பற்றிய ஆய்வுக் கட்டுரைகளுக்கு,, மற்றும் புத்தகத்தைப் பார்க்கவும். ஆஸ்லேண்டர்-ரெய்டன் கோட்பாடு குறித்த பல அசல் ஆவணங்கள் மீண்டும் அச்சிடப்பட்டுள்ளன. கிட்டத்தட்ட-பிளவு வரிசைகள் R ஒரு ஆர்ட்டின் இயற்கணிதம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருந்தால், R மீது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இடது தொகுதிகளின் ஒரு வரிசை 0 → A → B → C → 0 கிட்டத்தட்ட-பிளவு வரிசை (அல்லது ஆஸ்லேண்டர்-ரைட்டன் வரிசை) என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ வரிசை C ஐப் பிரிக்கவில்லை என்றால் அது ஒருங்கிணைக்க முடியாதது மற்றும் B மூலம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் காரணிகள் அல்லாத ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதியிலிருந்து C க்கு எந்த ஒத்த உருவமும் இல்லை. A என்பது ஒருங்கிணைக்க முடியாதது மற்றும் A இலிருந்து பி வழியாக ஒரு ஐசோமார்பிசம் காரணிகள் அல்லாத ஒரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிக்கு எந்த ஒத்த உருவமும் உள்ளது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இடது தொகுதி சி-க்கு, இது ஒருங்கிணைக்க முடியாதது, ஆனால் ப்ரொஜெக்டிவ் அல்ல, மேலே உள்ளபடி கிட்டத்தட்ட பிளவு வரிசை உள்ளது, இது ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது. இதேபோல், இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இடது தொகுதி A க்கு, இது ஒருங்கிணைக்க முடியாதது, ஆனால் உட்செலுத்தப்படாதது, மேலே உள்ளபடி கிட்டத்தட்ட பிளவு வரிசை உள்ளது, இது ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது. ஏறக்குறைய பிளவு வரிசையில் உள்ள தொகுதி A என்பது D Tr C க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், இது C இன் இடமாற்றத்தின் இரட்டை ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, R என்பது ஒரு புலம் k மற்றும் ஒரு முழு எண் n ≤ 1 க்கான வளையம் k [x]/(xn) என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிகள் 1 ≤ m ≤ n க்கு k [x]/(xm) இல் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், மேலும் ஒரே ப்ரொஜெக்டிவ் m = n ஐக் கொண்டுள்ளது. கிட்டத்தட்ட பிளவுபட்ட வரிசைகள் 1 ≤ m <n க்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். முதல் உருவகம் a ஐ (xa, a) ஆகவும், இரண்டாவது (b, c) ஐ b − xc ஆகவும் எடுக்கும். ஒரு ஆர்ட்டின் இயற்கணிதத்தின் ஆஸ்லேண்டர்-ரைட்டன் விறைப்பு ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதிக்கும் ஒரு உச்சியையும், தொடர்புடைய தொகுதிகளுக்கு இடையில் பகுக்கமுடியாத உருவகம் இருந்தால் செங்குத்துகளுக்கு இடையில் ஒரு அம்பையும் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு வரைபடம் τ = D Tr ஐக் கொண்டுள்ளது, இது திட்டமற்ற செங்குத்துகளிலிருந்து ஊசி அல்லாத செங்குத்துகளுக்கு மொழிபெயர்ப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் D என்பது இரட்டை மற்றும் Tr என்பது இடமாற்றமாகும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு