Sufficient dimension reduction
புள்ளிவிவரங்களில், போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு (எஸ். டி. ஆர்) என்பது தரவை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான ஒரு முன்னுதாரணமாகும், இது பரிமாணக் குறைப்பின் கருத்துக்களை போதுமான கருத்துடன் ஒருங்கிணைக்கிறது. பரிமாணக் குறைப்பு நீண்ட காலமாக பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் முதன்மை இலக்காக இருந்து வருகிறது. ஒரு பதில் மாறி y மற்றும் ஒரு p-பரிமாண முன்கணிப்பு திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், பின்னடைவு பகுப்பாய்வு கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை விநியோகத்தின் விநியோகத்தை ஆய்வு செய்வதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிமாணக் குறைப்பு என்பது k <p இன் துணைக்குழுவிற்கு வரைபடமாக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும், இதன் மூலம் அதன் பரிமாணத்தைக் குறைக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நேரியல் சேர்க்கைகள் இருக்கலாம். அதன் விநியோகம் அதே அளவில் இருந்தால் ஒரு பரிமாணக் குறைப்பு போதுமானது என்று கூறப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், குறைப்பு போதுமானதாக இருந்தால் பரிமாணத்தைக் குறைப்பதில் பின்னடைவு பற்றிய எந்த தகவலும் இழக்கப்படுவதில்லை. வரைகலை உந்துதல் ஒரு பின்னடைவு அமைப்பில், வரைகலை விநியோகத்தை சுருக்கமாகக் கூறுவது பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். உதாரணமாக, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முன்கணிப்பாளர்களுக்கு எதிராக சிதறல் சதித்திட்டத்தை ஒருவர் பரிசீலிக்கலாம். கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து பின்னடைவு தகவல்களையும் கொண்ட ஒரு சிதறல் பிளாட் போதுமான சுருக்கம் பிளாட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உயர் பரிமாணம் எப்போது, குறிப்பாக, தரவைக் குறைக்காமல் போதுமான சுருக்க அடுக்குகளை உருவாக்குவதும் பார்வைக்கு விளக்குவதும் பெருகிய முறையில் சவாலானது. முப்பரிமாண சிதறல் அடுக்குகள் கூட ஒரு கணினி நிரல் வழியாக பார்க்கப்பட வேண்டும், மேலும் மூன்றாவது பரிமாணத்தை ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளை சுழற்றுவதன் மூலம் மட்டுமே காட்சிப்படுத்த முடியும். இருப்பினும், போதுமான அளவு சிறிய பரிமாணத்துடன் போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு இருந்தால், வெர்சஸின் போதுமான சுருக்கம் பிளாட் கட்டமைக்கப்படலாம் மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் எளிதாக பார்வைக்கு விளக்கப்படலாம். எனவே போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு விநியோகம் பற்றிய வரைகலை உள்ளுணர்வுக்கு அனுமதிக்கிறது, இது உயர் பரிமாண தரவுகளுக்கு கிடைக்காமல் இருந்திருக்கலாம். பெரும்பாலான வரைகலை முறை முதன்மையாக நேரியல் சேர்க்கைகளை உள்ளடக்கிய பரிமாணக் குறைப்பில் கவனம் செலுத்துகிறது. இந்தக் கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதி அத்தகைய குறைப்புகளை மட்டுமே கையாள்கிறது. பரிமாணக் குறைப்பு துணைப்பகுதி போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு தரவரிசையுடன் ஒரு அணி உள்ளது. பின்னர் பின்னடைவு தகவலை விநியோகம் படிப்பதன் மூலம் ஊகிக்க முடியும், மற்றும் எதிராக சதி ஒரு போதுமான சுருக்கம் சதி உள்ளது. பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், தேவையின் நெடுவரிசைகளால் பரவியிருக்கும் இடத்தை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். நெடுவரிசை இடத்திற்கான ஒரு அடிப்படையாக இருக்கட்டும், மேலும் இதன் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தை குறிக்கட்டும். இது போதுமான பரிமாணக் குறைப்பின் வரையறையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது பொருத்தமான விநியோக செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த பண்பை வெளிப்படுத்த மற்றொரு வழி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது அல்லது நிபந்தனையுடன் சுயாதீனமாக உள்ளது. பின்னர் சப்ஸ்பேஸ் ஒரு பரிமாண குறைப்பு சப்ஸ்பேஸ் (டி. ஆர். எஸ்) என வரையறுக்கப்படுகிறது. கட்டமைப்பு பரிமாணம் ஒரு பின்னடைவுக்கு, கட்டமைப்பு பரிமாணம் என்பது நிபந்தனை விநியோகத்தைப் பாதுகாக்க தேவையான தனித்துவமான நேரியல் சேர்க்கைகளின் மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மிகச்சிறிய பரிமாணக் குறைப்பு இன்னும் ஒரு துணைக்குழுவிற்கு போதுமான வரைபடமாகும். தொடர்புடைய டி. ஆர். எஸ். டி-பரிமாணமாக இருக்கும். குறைந்தபட்ச பரிமாண குறைப்பு சப்ஸ்பேஸ் ஒரு சப்ஸ்பேஸ் குறைந்தபட்ச டி. ஆர். எஸ் என்று கூறப்படுகிறது, இது ஒரு டி. ஆர். எஸ் மற்றும் அதன் பரிமாணம் மற்ற அனைத்து டி. ஆர். எஸ். களையும் விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால். குறைந்தபட்ச டி. ஆர். எஸ் தனித்துவமானது அல்ல, ஆனால் அதன் பரிமாணம் வரையறையின்படி கட்டமைப்பு பரிமாணத்திற்கு சமம். அடிப்படை மற்றும் குறைந்தபட்ச டி. ஆர். எஸ் இருந்தால், y க்கு எதிராக ஒரு பிளாட் குறைந்தபட்ச போதுமான சுருக்க பிளாட் ஆகும், மேலும் இது (d + 1)-பரிமாணமாகும். ஒரு துணைப்பகுதி ஒரு டி. ஆர். எஸ் ஆக இருந்தால், மற்ற அனைத்து டி. ஆர். எஸ்ஸ்களுக்கும் இருந்தால், அது ஒரு மைய பரிமாண குறைப்பு துணைப்பகுதி, அல்லது வெறுமனே ஒரு மைய துணைப்பகுதி, மேலும் இது குறிக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைத்து பரிமாணக் குறைப்பு துணை இடங்களின் குறுக்குவெட்டும் ஒரு பரிமாணக் குறைப்பு துணை இடமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு மைய துணை இடம் இருக்கும், மேலும் அந்த குறுக்குவெட்டு மைய துணை இடமாகும். குறுக்குவெட்டு ஒரு டி. ஆர். எஸ் அல்ல என்பதால் மைய துணைப்பகுதி அவசியம் இல்லை. இருப்பினும், அது இருந்தால், அது தனித்துவமான குறைந்தபட்ச பரிமாண குறைப்பு துணை இடமாகும். மத்திய உட்பகுதியின் இருப்பு ஒவ்வொரு பின்னடைவு சூழ்நிலையிலும் மைய உட்பகுதியின் இருப்பு உத்தரவாதம் அளிக்கப்படவில்லை என்றாலும், அதன் இருப்பு நேரடியாகப் பின்பற்றப்படும் சில பரந்த நிபந்தனைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, குக் (1998) இன் பின்வரும் முன்மொழிவைக் கவனியுங்கள்ஃ பரிமாணக் குறைப்பு துணை இடங்களாக இருக்கட்டும். அனைத்திற்கும் மற்றும் எல்லா இடங்களுக்கும் அடர்த்தி இருந்தால், குவிந்த இடத்தில், குறுக்குவெட்டு ஒரு பரிமாண குறைப்பு துணை இடமாகும். அத்தகையவர்களுக்கு மைய துணைப்பகுதி உள்ளது என்ற இந்த முன்மொழிவிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. பரிமாணக் குறைப்புக்கான முறைகள் வரைகலை மற்றும் எண் இரண்டிலும் பரிமாணக் குறைப்புக்கான பல முறைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, துண்டுகளாக்கப்பட்ட தலைகீழ் பின்னடைவு (எஸ். ஐ. ஆர்) மற்றும் துண்டுகளாக்கப்பட்ட சராசரி மாறுபாடு மதிப்பீடு (சேவ்) 1990 களில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன, மேலும் அவை தொடர்ந்து பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எஸ். ஐ. ஆர் முதலில் ஒரு பயனுள்ள பரிமாணத்தை குறைக்கும் துணை இடத்தை மதிப்பிடுவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டிருந்தாலும், இது மத்திய துணை இடத்தை மட்டுமே மதிப்பிடுகிறது என்பது இப்போது புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது பொதுவாக வேறுபட்டது. பரிமாணக் குறைப்புக்கான சமீபத்திய முறைகளில் நிகழ்தகவு அடிப்படையிலான போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு, தலைகீழ் மூன்றாவது தருணத்தின் (அல்லது kth தருணம்) அடிப்படையில் மைய துணை இடத்தை மதிப்பிடுதல், மையத் தீர்வு இடம், வரைகலை பின்னடைவு, உறை மாதிரி மற்றும் முதன்மை ஆதரவு திசையன் இயந்திரத்தை மதிப்பிடுதல் ஆகியவை அடங்கும். இவை மற்றும் பிற முறைகள் பற்றிய கூடுதல் விவரங்களுக்கு, புள்ளிவிவர இலக்கியத்தை அணுகவும். முதன்மை கூறுகள் பகுப்பாய்வு (பிசிஏ) மற்றும் பரிமாணக் குறைப்புக்கான ஒத்த முறைகள் போதுமான கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டுஃ நேரியல் பின்னடைவு பின்னடைவு மாதிரியைக் கவனியுங்கள். எனவே, இன் இடைவெளி ஒரு பரிமாண குறைப்பு துணைப்பகுதி ஆகும். மேலும், 1 பரிமாணம் (தவிர), எனவே இந்த பின்னடைவின் கட்டமைப்பு பரிமாணம். OLS மதிப்பீடு நிலையானது, எனவே கால அளவு ஒரு நிலையான மதிப்பீட்டாளர். இந்த பின்னடைவுக்கு எதிராக உள்ள பிளாட் போதுமான சுருக்க பிளாட் ஆகும். மேலும் காண்க பரிமாண குறைப்பு வெட்டப்பட்ட தலைகீழ் பின்னடைவு முதன்மை கூறு பகுப்பாய்வு நேரியல் பாகுபாடு பகுப்பாய்வு பரிமாணத்தின் சாபம் பன்முக துணைவெளி கற்றல் குறிப்புகள் குறிப்புகள் குக், ஆர். டி. (1998) பின்னடைவு கிராபிக்ஸ்ஃ கிராபிக்ஸ் மூலம் பின்னடைவுகளைப் படிப்பதற்கான யோசனைகள், நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் வில்லி தொடர். பின்னடைவு வரைபடங்கள். குக், ஆர். டி. மற்றும் அட்ராகினி, கே. பி. (2009) "போதுமான பரிமாணக் குறைப்பு மற்றும் பின்னடைவில் கணிப்பு", ராயல் சொசைட்டியின் தத்துவ பரிவர்த்தனைகள் A: கணித, இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் அறிவியல், 367 (1906), 4385-4405. முழு உரை குக், ஆர். டி. மற்றும் வெய்ஸ்பெர்க், எஸ். (1991) "பரிமாணக் குறைப்புக்கான வெட்டப்பட்ட தலைகீழ் பின்னடைவுஃ கருத்து", அமெரிக்க புள்ளியியல் சங்கத்தின் இதழ், 86 (414), 328-332. Jstor Li, K-C. (1991) "பரிமாணக் குறைப்புக்கான வெட்டப்பட்ட தலைகீழ் பின்னடைவு", அமெரிக்க புள்ளியியல் சங்கத்தின் இதழ், 86 (414), 316-327. Jstor வெளிப்புற இணைப்புகள் போதுமான பரிமாண குறைப்பு பரிமாண குறைப்பு