Tilting theory
கணிதத்தில், குறிப்பாக பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு, சாய்ந்த கோட்பாடு சாய்ந்த தொகுதிகள் மற்றும் தொடர்புடைய சாய்ந்த செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு ஆல்ஜிப்ராக்களின் தொகுதி வகைகளை தொடர்புபடுத்துவதற்கான ஒரு வழியை விவரிக்கிறது. இங்கே, இரண்டாவது இயற்கணிதம் முதல் இயற்கணிதத்தின் மீது சாய்ந்திருக்கும் தொகுதியின் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் ஆகும். சாய்வுக் கோட்பாடு பிரதிபலிப்பு செயல்பாட்டாளர்களின் அறிமுகத்தால் உந்தப்பட்டது; இந்த செயல்பாட்டாளர்கள் இரண்டு அசைவுகளின் பிரதிநிதித்துவங்களை தொடர்புபடுத்த பயன்படுத்தப்பட்டன. இந்த ஃபன்க்டர்கள் டில்டிங் ஃபன்க்டர்களை அறிமுகப்படுத்தியவர்களால் மறுசீரமைக்கப்பட்டு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டன. சாய்ந்த ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் சாய்ந்த தொகுதிகள் இதன் மேலும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. வரையறைகள் A என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஒற்றையாட்சி துணை இயற்கணிதம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்வரும் மூன்று பண்புகளைக் கொண்டிருந்தால் ஒரு இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட வலது ஏ-தொகுதி டி ஒரு சாய்ந்த தொகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ டி அதிகபட்சம் 1 இல் ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் துணை தொகுதியின் மூலம் ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதியின் ஈவு ஆகும். Ext (T, T) = 0. வலது ஏ-தொகுதி ஏ என்பது டி இன் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி கூட்டுத்தொகைகளுக்கு இடையிலான ஒரு சர்ஜெக்டிவ் மார்ஃபிஸத்தின் கர்னல் ஆகும். அத்தகைய சாய்வு தொகுதியைக் கருத்தில் கொண்டு, எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் பி = எண்ட்ஏ (டி) ஐ வரையறுக்கிறோம். இது மற்றொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இயற்கணிதம் மற்றும் டி என்பது இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இடது பி-தொகுதி ஆகும். சாய்க்கும் செயல்பாடுகள் HomA (T, −), Ext (T, −), −2BT மற்றும் Tor (−, T) ஆகியவை இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட வலது A-தொகுதிகளின் வகை மோட்-A ஐ இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட வலது B-தொகுதிகளின் வகை மோட்-B உடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. நடைமுறையில் ஒருவர் பெரும்பாலும் பரம்பரை வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஆல்ஜிப்ராக்களை ஏ என்று கருதுகிறார், ஏனெனில் அத்தகைய ஆல்ஜிப்ராக்களின் தொகுதி வகைகள் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. பரம்பரை வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இயற்கணிதத்தின் மீது சாய்ந்திருக்கும் தொகுதியின் எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதம் சாய்ந்த இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உண்மைகள் A என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இயற்கணிதம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், T என்பது A மீது சாய்ந்திருக்கும் தொகுதி, மற்றும் B = முடிவுA (T). F = HomA (T, −), F′ = Ext (T, −), G = − ′BT, மற்றும் G′ = டார் (−, T) ஆகியவற்றை எழுதுங்கள். F என்பது G க்கு அருகில் உள்ளது மற்றும் F′ என்பது G′ க்கு அருகில் உள்ளது. சாய்க்கும் ஃபங்க்டர்கள் மோட்-ஏ மற்றும் மோட்-பி ஆகியவற்றின் சில துணைப்பிரிவுகளுக்கு இடையில் சமநிலையைக் கொடுக்கின்றன என்பதைக் காட்டியது. குறிப்பாக, இரண்டு துணைப்பிரிவுகள் மற்றும் ஏ-மோட், மற்றும் இரண்டு துணைப்பிரிவுகள் மற்றும் பி-மோட் ஆகியவற்றை நாம் வரையறுத்தால், ஏ-மோட்டில் ஒரு முறுக்கு ஜோடி (அதாவது. மற்றும் பண்புடன் கூடிய அதிகபட்ச துணைப்பிரிவுகள் ஆகும்; இது A-மோடில் உள்ள ஒவ்வொரு M யும் U இன் மற்றும் V இன் உடன் இயற்கையான குறுகிய துல்லியமான வரிசையை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது) மற்றும் B-மோடில் ஒரு முறுக்கு ஜோடி ஆகும். மேலும், F மற்றும் G செயல்பாடுகளின் கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் இடையே தலைகீழ் சமன்பாடுகளைத் தருகின்றன, அதே நேரத்தில் F′ மற்றும் G′ இன் கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் இடையே தலைகீழ் சமன்பாடுகளைத் தருகின்றன. (இந்த சமன்பாடுகள் முறுக்கு ஜோடிகளின் வரிசையை மாற்றுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க மற்றும்.) சாய்ந்த கோட்பாட்டை மோரிட்டா சமநிலையின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம், இது டி ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் ஜெனரேட்டராக இருந்தால் மீட்கப்படுகிறது; அந்த விஷயத்தில் மற்றும். A வரையறுக்கப்பட்ட உலகளாவிய பரிமாணத்தைக் கொண்டிருந்தால், B வரையறுக்கப்பட்ட உலகளாவிய பரிமாணத்தையும் கொண்டுள்ளது, மேலும் F மற்றும் F இன் வேறுபாடு கிரோதெண்டிக் குழுக்கள் K0 (A) மற்றும் K0 (B) இடையே ஒரு ஐசோமெட்ரியைத் தூண்டுகிறது. ஒரு வேளை ஏ பரம்பரை (அதாவது. B என்பது ஒரு சாய்ந்த இயற்கணிதம்), B இன் உலகளாவிய பரிமாணம் அதிகபட்சம் 2 ஆகும், மேலும் சுழல் ஜோடி பிரிகிறது, அதாவது. பி-மோடில் உள்ள ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத பொருளும் உள்ளே அல்லது உள்ளே உள்ளது. மேலும் பொதுவாக ஏ மற்றும் பி ஆகியவை சமமானவை (அதாவது. பெறப்பட்ட பிரிவுகள் Db (A-மோட்) மற்றும் Db (B-மோட்) முக்கோண வகைகளுக்கு சமமானவை. பொதுமைப்படுத்தல்கள் மற்றும் நீட்டிப்புகள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இயற்கணிதத்தின் மீது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சாய்வு தொகுதி A என்பது பின்வரும் மூன்று பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு சரியான A-தொகுதி T ஆகும்ஃ T வரையறுக்கப்பட்ட திட்ட பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து i> 0 க்கும் ext (T, T) = 0. ஒரு சரியான வரிசை உள்ளது, அங்கு Ti என்பது T இன் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட நேரடி தொகையாகும். இந்த பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சாய்வு தொகுதிகள் A மற்றும் B க்கு இடையில் பெறப்பட்ட சமநிலைகளையும் வழங்குகின்றன, அங்கு B = முடிவுA (T). இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆர் மற்றும் எஸ் ஆகியவை சமமானவை என்பதை நிரூபிப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட சமநிலையின் முடிவுகளை விரிவுபடுத்தியது, எஸ் என்பது ஆர் மீது ஒரு "சாய்ந்த வளாகத்தின்" எண்டோமார்பிசம் இயற்கணிதமாக இருந்தால் மட்டுமே. சாய்ந்த வளாகங்கள் பொதுவான சாய்ந்த தொகுதிகளின் பொதுமைப்படுத்தல்களாகும். இந்த தேற்றத்தின் ஒரு பதிப்பு ஆர் மற்றும் எஸ் என்ற தன்னிச்சையான வளையங்களுக்கு செல்லுபடியாகும். பரம்பரை அபெலியன் வகைகளில் வரையறுக்கப்பட்ட சாய்ந்த பொருள்கள், இதில் அனைத்து ஹோம் மற்றும் எக்ஸ்ட்பேஸ்களும் சில இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலம் k மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக உள்ளன. இந்த சாய்ந்த பொருட்களின் எண்டோமார்ஃபிஸம் ஆல்ஜிப்ராக்கள் அரை-சாய்ந்த ஆல்ஜிப்ராக்கள், சாய்ந்த ஆல்ஜிப்ராக்களின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். k க்கு மேல் உள்ள அரை-சாய்ந்த ஆல்ஜிப்ராக்கள் துல்லியமாக உலகளாவிய பரிமாணம் ≤2 இன் k க்கு மேல் உள்ள வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும், அதாவது ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைக்க முடியாத தொகுதியும் ப்ரொஜெக்டிவ் பரிமாணம் ≤1 அல்லது இன்ஜெக்டிவ் பரிமாணம் ≤1 ஐக் கொண்டுள்ளது. மேற்கூறிய கட்டமைப்பில் தோன்றக்கூடிய பரம்பரை அபெலியன் வகைகளை வகைப்படுத்துகிறது. ஒரு தன்னிச்சையான அபெலியன் வகை சி இல் வரையறுக்கப்பட்ட சாய்ந்த பொருள்கள் டி; அவற்றின் வரையறைக்கு சி டி இன் நகல்களின் தன்னிச்சையான (சாத்தியமான எல்லையற்ற) எண்களின் நேரடி தொகைகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், எனவே இது மேலே கருதப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண சூழ்நிலையின் நேரடி பொதுமைப்படுத்தல் அல்ல. எண்டோமார்பிசம் வளையம் R கொண்ட அத்தகைய சாய்ந்த பொருளைப் பொறுத்தவரை, அவை சாய்ந்திருக்கும் செயல்பாடுகளை நிறுவுகின்றன, அவை C இல் ஒரு முறுக்கு ஜோடிக்கும் R-மோடில் ஒரு முறுக்கு ஜோடிக்கும் இடையில் சமநிலைகளை வழங்குகின்றன, இது அனைத்து R-தொகுதிகளின் வகையாகும். கிளஸ்டர் ஆல்ஜிப்ராக்களின் கோட்பாட்டிலிருந்து கிளஸ்டர் வகை (இருந்து) மற்றும் கிளஸ்டர் சாய்ந்த இயற்கணிதம் '() ஒரு பரம்பரை இயற்கணிதத்துடன் தொடர்புடைய வரையறை வந்தது. ஒரு கிளஸ்டர் சாய்ந்த இயற்கணிதம் ஒரு சாய்ந்த இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட அரை மறைமுக பெருக்கலாக எழுகிறது, மேலும் A இன் கிளஸ்டர் வகை A "இலிருந்து எழும் கிளஸ்டர் சாய்ந்த ஆல்ஜிப்ராக்களின் அனைத்து தொகுதி வகைகளையும் சுருக்கமாகக் கூறுகிறது. குறிப்புகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு