Erdős distinct distances problem
தனித்துவமான வடிவவியலில், ஏர்டோஸின் தனித்துவமான தூரங்கள் சிக்கல், விமானத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிகளின் தொகுப்பும் கிட்டத்தட்ட நேரியல் எண்ணிக்கையிலான தனித்துவமான தூரங்களைக் கொண்டுள்ளன என்று கூறுகிறது. இது 1946 ஆம் ஆண்டில் பால் எர்டாஸால் முன்வைக்கப்பட்டது மற்றும் 2015 ஆம் ஆண்டில் லாரி குத் மற்றும் நெட்ஸ் காட்ஸ் ஆகியோரால் கிட்டத்தட்ட நிரூபிக்கப்பட்டது. அனுமானம் பின்வருவனவற்றில் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தனித்துவமான தூரங்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையைக் குறிக்கலாம், அல்லது அவற்றின் தூரத் தொகுப்பின் மிகச்சிறிய சாத்தியமான கார்டினாலிட்டியை சமமாக குறிக்கலாம். தனது 1946 கட்டுரையில், எர்டாஸ் சில நிலையான மதிப்பீடுகளை நிரூபித்தார். கீழ் எல்லை ஒரு எளிதான வாதத்தால் வழங்கப்பட்டது. மேல் எல்லை ஒரு சதுர கட்டத்தால் வழங்கப்படுகிறது. அத்தகைய கட்டத்திற்கு, n க்கு கீழே உள்ள எண்கள் உள்ளன, அவை இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், அவை பெரிய O குறியீட்டில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன; லாண்டாவ்-ராமானுஜன் மாறிலியைப் பார்க்கவும். எர்டாஸ் மேல் எல்லை g (n) இன் உண்மையான மதிப்புக்கு நெருக்கமாக இருப்பதாகவும், குறிப்பாக (பெரிய ஒமேகா குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி) ஒவ்வொருவருக்கும் பொருந்தும் என்றும் ஊகித்தார். பால் எர்டாஸின் 1946 ஆம் ஆண்டின் கீழ் எல்லை தொடர்ச்சியாக மேம்படுத்தப்பட்டதுஃ 1952 இல் லியோ மோசர், 1984 இல் ஃபேன் சுங், ஃபேன் சுங், எண்ட்ரே ஸ்ஸெமெரெடி மற்றும் 1992 இல் வில்லியம் டி. ட்ராட்டர், 1993 இல் லாஸ்லோ ஏ. ஸ்ஸெக்லி, 2001 இல் ஜோசெஃப் சோலிமோசி மற்றும் சபா டி. டோத், 2003 இல் கபோர் டார்டோஸ், 2004 இல் நெட்ஸ் காட்ஸ் மற்றும் கபோர் டார்டோஸ், 2015 இல் லாரி குத் மற்றும் நெட்ஸ் காட்ஸ். உயர் பரிமாணங்கள் எர்டாஸ் சிக்கலின் உயர் பரிமாண மாறுபாட்டையும் கருதினார்ஃ ஏனெனில்-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் புள்ளிகளுக்கு இடையில் வேறுபட்ட தூரங்களின் குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையைக் குறிக்கலாம். அவர் அதை நிரூபித்து, மேல் எல்லை உண்மையில் கூர்மையானது, அதாவது, என்று ஊகித்தார். ஜோசெஃப் சோலிமோசி மற்றும் வான் எச். வு ஆகியோர் 2008 ஆம் ஆண்டில் கீழ் எல்லையைப் பெற்றனர். ஃபால்கோனரின் அனுமானம் எர்டாஸின் அலகு தூர சிக்கல் குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வில்லியம் காஸார்சின் பக்கம் சிக்கல் பற்றிய அனுமானங்கள் பால் எர்டாஸின் தனித்துவமான வடிவியல்