Real hyperelliptic curve
இரண்டு வகையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகள் உள்ளன, இயற்கணித வளைவுகளின் ஒரு வகைஃ உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகள் மற்றும் கற்பனை ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகள், அவை முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையால் வேறுபடுகின்றன. ஒவ்வொரு இனத்திற்கும் ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகள் உள்ளன. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலத்தின் மீது ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவின் பொதுவான சூத்திரம் சில நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது. இந்தப் பக்கத்தில், உண்மையான நீள்வட்ட வளைவுகளைப் பற்றி மேலும் விவரிக்கிறோம், இவை முடிவிலியில் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட வளைவுகள், அதே நேரத்தில் கற்பனையான நீள்வட்ட வளைவுகள் முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. வரையறை K க்கு மேல் உள்ள g பேரினத்தின் உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு, g + 1 ஐ விட பெரிய டிகிரி இல்லாத வடிவத்தின் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் 2g + 1 அல்லது 2g + 2 டிகிரி இருக்க வேண்டும். இந்த வளைவு ஒரு ஒற்றை அல்லாத வளைவாகும், அங்கு இயற்கணித மூடுதலில் எந்த புள்ளியும் வளைவு சமன்பாடு மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல் சமன்பாடுகள் இரண்டையும் திருப்திப்படுத்தாதுஃ மற்றும். C இல் உள்ள (வரையறுக்கப்பட்ட) விகிதமுறு புள்ளிகளின் தொகுப்பு முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. உண்மையான நீள்வட்ட வளைவுகளுக்கு, முடிவிலியில் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன, மற்றும். எந்தவொரு புள்ளிக்கும், எதிர் புள்ளி வழங்கப்படுகிறது; இது x-ஒருங்கிணைப்பு a உடன் உள்ள மற்ற புள்ளியாகும், இது வளைவில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டு எங்கே போகட்டும். இது டிகிரி 6 ஐக் கொண்டிருப்பதால், இது ஜி = 2 பேரினத்தின் வளைவு ஆகும். வளைவு சமன்பாட்டின் ஒரே மாதிரியான பதிப்பு இது (0:1:0) ஆல் கொடுக்கப்பட்ட முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் இந்த புள்ளி ஒருமை. இன் ப்ளூப் முடிவிலியில் 2 வெவ்வேறு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது, இதை நாம் குறிக்கிறோம் மற்றும். எனவே இந்த வளைவு ஒரு உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பொதுவாக, f சம டிகிரியைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு வளைவும் முடிவிலியில் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இது ஒரு உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவாகும், அதே நேரத்தில் f ஒற்றைப்படை டிகிரியைக் கொண்ட இடங்களில் (0:1:0) ஒரு புள்ளியை மட்டுமே கொண்டுள்ளன, எனவே அவை கற்பனையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகளாகும். இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் இது வளைவின் அஃபைன் பகுதி ஒற்றை அல்லாதது என்று கருதுகிறது (மேலே உள்ள வழித்தோன்றல்களில் உள்ள நிபந்தனைகளைப் பார்க்கவும்) உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவில் எண்கணிதம் உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவில், கூட்டல் இனி நீள்வட்ட வளைவுகளில் உள்ள புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் வகுத்திகள் மற்றும் ஜாகோபியன் மீது வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட புலம் K மீது ஜி இனத்தின் ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவாக இருக்கட்டும். ஒரு வகுத்தி என்பது முறையான வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். நாம் எங்கு, கிட்டத்தட்ட அனைவருக்காகவும் எழுதுகிறோம். σ இன் அளவு வரையறுக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து தானியங்கி உருமாற்றங்களுக்கும் σ க்கு மேல் வரையறுக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட ஓவர் வகுத்திகளின் தொகுப்பு கூட்டல் விதியின் கீழ் ஒரு சேர்க்கை அபெலியன் குழுவை உருவாக்குகிறது வரையறுக்கப்பட்ட ஓவர் அனைத்து டிகிரி பூஜ்ஜிய வகுத்திகளின் தொகுப்பும் ஒரு துணைக்குழுவாகும். நாம் ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்ஃ மற்றும். நாம் அவற்றைச் சேர்த்தால். இன் டிகிரி மற்றும் இன் டிகிரி. பின்னர், பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பொறுத்தவரை, இன் வகுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் ஒரு துருவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது மறைந்துபோகும் வரிசையாகும். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்; விகிதமுறு செயல்பாட்டின் வகுத்தி ஒரு முதன்மை வகுத்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் வரையறுக்கப்படுகிறது. முதன்மை வகுத்திகளின் குழுவை நாம் குறிக்கிறோம், அதாவது. ஜாகோபியன் ஆஃப் ஓவர் வரையறுக்கப்படுகிறது. காரணி குழு வகுத்தி வகுப்பு குழு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட கூறுகள் குழுவை உருவாக்குகின்றன. நாம் இன் வகுப்பினால் குறிக்கிறோம். இரண்டு புள்ளிகள் முடிவிலியைக் கொண்ட உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுகளுக்கு வகுத்தி வகுப்புகளைக் குறிக்க இரண்டு நியதி வழிகள் உள்ளன. முதல் ஒன்று ஒரு டிகிரி பூஜ்ஜிய வகுத்தியைக் குறிக்க வேண்டும், அதாவது, எங்கே, மற்றும் அதன் பிரதிநிதி அரை குறைக்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது. கூடுதல் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால், பிரதிநிதி குறைக்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறார். சிலருக்கு அனுமதிக்கப்படுவதைக் கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு டிகிரி 0 வகுத்தி வகுப்பும் ஒரு தனித்துவமான பிரதிநிதியைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு வகுத்தி மற்றும், மற்றும் இரண்டிற்கும் இணையாக உள்ளது. மற்ற பிரதிநிதித்துவம் முடிவிலியில் சமநிலையில் உள்ளது. புள்ளிகள் மற்றும் சுயாதீனமாக இல்லாவிட்டாலும் இந்த வகுத்தி-பகுத்தறிவுடையது என்பதை நினைவில் கொள்க. வகுப்பின் பிரதிநிதியை இவ்வாறு எழுதுங்கள், அங்கு அது அஃபைன் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் மற்றும், மற்றும் லெட் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கவில்லை. சமமாக இருந்தால் ஒற்றைப்படை என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு வகுத்திகளின் அஃபைன் பகுதிகளை கொடுக்கட்டும், பின்னர் சமநிலையான வகுத்திகள் மற்றும் உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவிலிருந்து கற்பனை ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவுக்கு மாற்றம் ஒரு புலத்தின் மீது ஒரு உண்மையான இருபடி வளைவாக இருக்கட்டும். டிகிரி 1 இன் ரேமிஃபைட் பிரைம் வகுத்தி இருந்தால், கற்பனையான இருபடி வளைவுக்கு ஒரு பைரேஷனல் மாற்றத்தை செய்ய முடியும். ஒரு (வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற) புள்ளி அதன் சொந்த எதிர்ப்பகுதிக்கு சமமாக இருந்தால் அது வரிசைப்படுத்தப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. இதன் பொருள், அதாவது. என்று. ரேமிஃபை செய்யப்பட்டால் அது ஒரு ரேமிஃபை செய்யப்பட்ட பகா வகுத்தி ஆகும். ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட-பகுத்தறிவு வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கொண்ட இனத்தின் உண்மையான ஹைப்பர்லிப்டிக் வளைவு இருதரப்பு அடிப்படையில் இனத்தின் கற்பனை மாதிரிக்கு சமம், அதாவது. மற்றும் செயல்பாட்டு புலங்கள் சமமாக உள்ளன. இங்கேஃ நமது எடுத்துக்காட்டில், h (x) என்பது 0 க்கு சமம். எந்தவொரு புள்ளிக்கும், 0 க்கு சமம், எனவே P விரிவுபடுத்தப்பட வேண்டிய தேவை ஆகிறது. மாற்றீடு மற்றும், நாம் பெறுவது, எங்கே, அதாவது,. () இலிருந்து, நாம் பெறுவது மற்றும். g = 2 க்கு, நம்மிடம் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பின்னர் மற்றும், நாம் பெறுவோம் வகுப்புகளை அகற்ற இந்த வெளிப்பாடு பெருக்கப்படுகிறது, பின்னர்ஃ ஒரு கற்பனையான இருபடி வளைவு இருக்கும் இடத்தில் வளைவைக் கொடுப்பது டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புகள் இயற்கணித வளைவுகள்