Quasitoric manifold
கணிதத்தில், குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு என்பது இயற்கணித வடிவவியலின் நான்ச்சிங்குலர் ப்ரொஜெக்டிவ் டாரிக் வகையின் இடவியல் அனலாக் ஆகும். ஒரு மென்மையான பரிமாண பன்மடங்கு என்பது ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும், இது ஒரு பரிமாண டோரஸின் மென்மையான, உள்ளூரில் நிலையான செயலை ஏற்றுக்கொண்டால், சுற்றுப்பாதை இடம் ஒரு பரிமாண எளிய குவிந்த பாலிடோப்புடன். குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு 1991 ஆம் ஆண்டில் எம். டேவிஸ் மற்றும் டி. ஜானுஸ்கிவிக்ஸ் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அவர்கள் அவற்றை "டாரிக் பன்மடங்கு" என்று அழைத்தனர். இருப்பினும், "குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு" என்ற சொல் இறுதியில் சிறிய மென்மையான டாரிக் வகைகளின் வகுப்புடன் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது, அவை இயற்கணித வடிவவியல்களுக்கு டாரிக் பன்மடங்கு என்று அறியப்படுகின்றன. குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு சிக்கலான கோபோர்டிஸம் கோட்பாடு மற்றும் பிற சார்ந்த கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகள் போன்ற இயற்கணித இடவியலில் பல்வேறு சூழல்களில் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. வரையறைகள்-டோரஸின்-வது துணை வட்டத்தை இவ்வாறு குறிக்கின்றன. பின்னர் ஒருங்கிணைப்பு வாரியாக பெருக்குவது நிலையான பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளேயும் உள்ளேயும் திறந்த தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவை செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும், ஒரு-செயல் நிலையான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு உள்ளூரில் ஐசோமார்பிக் என்று வரையறுக்கப்படுகிறது, அனைவருக்கும், உள்ளேயும், எங்கே ஒரு ஹோமியோமார்பிசம், மற்றும் ஒரு ஆட்டோமார்ஃபிஸம். அம்சங்களைக் கொண்ட ஒரு எளிய குவிந்த பாலிடோப்பைப் பொறுத்தவரை, ஒரு-மேனிஃபோல்ட் என்பது ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும்,-செயல் நிலையான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு உள்ளூரில் ஐசோமார்பிக் என்றால், ஒவ்வொரு பரிமாண சுற்றுப்பாதையையும் ஒரு பரிமாண முகத்தின் உட்புறத்தில் ஒரு புள்ளிக்கு வரைபடமாக்கும் ஒரு திட்டம் உள்ளது. வரையறை என்பது-செயலின் கீழ் உள்ள நிலையான புள்ளிகள் by இன் செங்குத்துகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் செயல்பாடு இலவசமாக இருக்கும் புள்ளிகள் பாலிடோப்பின் உட்புறத்திற்கு திட்டமிடப்படுகின்றன. இரு பண்புக்கூறு செயல்பாடு ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஒரு இரு பண்புக்கூறு செயல்பாடு மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய இரு பண்புக்கூறு மேட்ரிக்ஸ் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் விவரிக்கப்படலாம். இந்த அமைப்பில், இதன் அம்சங்கள் வரிசைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்று கருதுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், இதனால் குறுக்குவெட்டு ஒரு முனையாக இருக்கும், இது ஆரம்ப முனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு டைக்கராக்டரிஸ்டிக் செயல்பாடு என்பது ஒரு ஹோமோமார்பிசம் ஆகும், இது ஒரு கோடிமென்ஷன்-ஃபேஸ் என்றால், உட்பிரிவுக்கு கட்டுப்பாடு குறித்த மோனோமார்பிசம் ஆகும். ஆரம்ப உச்சியுடன் தொடர்புடைய உட்பிரிவுக்கு λ இன் கட்டுப்பாடு ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும், எனவே இதன் லை இயற்கணிதத்திற்கு ஒரு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். λ உடன் தொடர்புடைய லை ஆல்ஜிப்ராக்களின் எபிமார்பிசம் ஒரு நேரியல் மாற்றமாக விவரிக்கப்படலாம், இது கொடுக்கப்பட்ட டைக்கராக்டரிஸ்டிக் மேட்ரிக்ஸால் குறிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு முக திசையனும் பழமையானது என்பதால், முகங்கள் ஒரு உச்சியில் சந்திக்கும் போதெல்லாம், தொடர்புடைய நெடுவரிசைகள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன, தீர்மானிப்பவர் சமமாக உள்ளது. ஒவ்வொரு அம்சத்துடனும் தொடர்புடைய ஐசோட்ரோபி துணைக்குழு சிலரால் விவரிக்கப்படுகிறது. குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு பற்றிய அவர்களின் அசல் சிகிச்சையில், டேவிஸ் மற்றும் ஜானுஸ்கீவிக்ஸ் ஆகியோர் பாலிடோப்பின் ஒவ்வொரு அம்சத்தையும் ஒரு திசையனுக்கு வரைபடமாக்கிய ஒரு சிறப்பியல்பு செயல்பாட்டின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினர், இது பக்கத்தின் ஐசோட்ரோபி துணைக்குழுவை தீர்மானிக்கிறது, ஆனால் இது அடையாளம் வரை மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு பற்றிய சமீபத்திய ஆய்வுகளில், இந்த தெளிவின்மை இருதரப்பு செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தியதன் மூலமும், ஒவ்வொரு வட்டமும் நோக்குநிலை கொண்டதாக இருக்க வேண்டும் என்ற அதன் வலியுறுத்தல் மூலமும் அகற்றப்பட்டுள்ளது, இது ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் ஒரு அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க கட்டாயப்படுத்துகிறது. சிக்கலான கோபோர்டிஸம் கோட்பாட்டில் குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வுக்கு உதவுவதற்காக இரு பண்புக்கூறு செயல்பாட்டின் கருத்து முதலில் வி. புக்ஸ்டாபர் மற்றும் என். ரே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஆரம்ப உச்சியை வரையறுக்க பாலிடோப்பின் அம்சங்களின் வரிசையை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இது மேலும் சுத்திகரிக்கப்பட்டது, இது இறுதியில் இரு பண்புக்கூறு மேட்ரிக்ஸின் மேலே உள்ள நேர்த்தியான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, இது அடையாள மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் ஒரு துணை மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். மொமெண்ட்-ஆங்கிள் காம்ப்ளக்ஸுடன் தொடர்பு டைக்கராக்டரிஸ்டிக் செயல்பாட்டின் கர்னல் மொமெண்ட் ஆங்கிள் காம்ப்ளக்ஸில் சுதந்திரமாக செயல்படுகிறது, எனவே இதன் விளைவாக வரும் ஈவு இடத்தின் மீது ஒரு முதன்மை-மூட்டை வரையறுக்கிறது. சிலருக்கு, புள்ளியைக் கொண்டிருப்பதன் தனித்துவமான முகத்துடன் ஒத்திருக்கும் சப்டோரஸுக்கு கட்டுப்பாடு என்ற உருவத்தில் இருந்தால் மட்டுமே இந்த ஈவு இடத்தை, ஜோடிகள் அடையாளம் காணப்படுகின்றன என்று பார்க்க முடியும். மேலே உள்ள ஈவு இடத்தின் வடிவத்தின் குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு சமமாக வேறுபடுகிறது என்பதைக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டுகள்-பரிமாண சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் என்பது-சிம்ப்ளக்ஸ் மீது ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும். தோற்றம் ஆரம்ப முனையாக இருக்கும் வகையில் உட்பொதிக்கப்பட்டிருந்தால், ஒரு இரு பண்புக்கூறு செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம், இதனால் தொடர்புடைய இரு பண்புக்கூறு அணி-கோளம், கர்னல் மூலைவிட்ட துணைக்குழு, எனவே செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள ஈவு ஆகும். ஒரு பாட்டில் கோபுரத்தில் நிலைகளை உருவாக்கும் பாட்டில் பன்மடங்கு-கியூப்களுக்கு மேல் குவாசடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும். - கனசதுரம் உட்பொதிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் தோற்றம் ஆரம்ப முனையாக இருக்கும், மேலும் ஒரு இரு பண்புக்கூறு செயல்பாடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது, இதனால் தொடர்புடைய இரு பண்புக்கூறு அணி முழு எண்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. மொமெண்ட் ஆங்கிள் காம்ப்ளக்ஸ் என்பது உட்பொதிக்கப்பட்ட 3-கோளத்தின் நகல்களின் பெருக்கமாகும், இதனால் கர்னல் வழங்கப்படுகிறது, இதனால் செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள அளவு ஒரு பாட்டில் கோபுரத்தின்-வது கட்டமாகும். முழு எண் மதிப்புகள் என்பது வரி மூட்டைகளின் இழுவிசை சக்திகளாகும், அதன் தயாரிப்பு பாட்டில் கோபுரத்தின் மறுசுழற்சி செய்யப்பட்ட கோள-மூட்டை கட்டுமானத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு கனோனிக்கல் சிக்கலான கோடு மூட்டைகளின் கோஹோமோலஜி வளையம், உட்பொதிக்கப்பட்ட-வது துணை வட்டத்தின் கட்டுப்பாட்டால், ஒவ்வொரு அம்சத்துடனும் தொடர்புபடுத்தப்படலாம், ஏனெனில், எங்கு செயல்படுகிறது. இந்த மூட்டைகள் குவாஸிடோரிக் பன்மடங்கு தொடர்புடைய முக மூட்டைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரையறையின்படி, ஒரு முகத்தின் முன் உருவம் ஒரு பரிமாண குவாசிடோரிக் முக சப்மேனிஃபோல்ட் ஆகும், அதன் ஐசோட்ரோபி துணைக்குழு என்பது அதன் துணை வட்டத்தின் கட்டுப்பாடு ஆகும். இன் கட்டுப்பாடு உட்பொதிப்பின் சாதாரண 2-பிளேன் மூட்டையை வழங்குகிறது. முதல் செர்ன் வகுப்பைக் குறிக்கலாம். ஒருங்கிணைந்த கோஹோமோலஜி வளையம் இரண்டு செட் உறவுகளுக்கு உட்பட்டு, உருவாக்கப்படுகிறது. முதலாவது ஸ்டான்லி-ரெய்ஸ்னர் இலட்சியத்தால் உருவாக்கப்பட்ட உறவுகள்; டைக்கராக்டர்ஸ்டிக் செயல்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படும் நேரியல் உறவுகள் இரண்டாவது தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளனஃ எனவே பெருக்கமாக மட்டுமே உருவாக்க வேண்டும். டாரிக் பன்மடங்கு கொண்ட ஒப்பீடு எந்தவொரு ப்ரொஜெக்டிவ் டாரிக் பன்மடங்கு ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும், மேலும் சில சந்தர்ப்பங்களில் புரோஜெக்டிவ் அல்லாத டாரிக் பன்மடங்கு கூட குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு ஆகும். அனைத்து குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு டோரிக் பன்மடங்கு அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, இணைக்கப்பட்ட தொகையை ஒரு குவாசிடோரிக் பன்மடங்கு என கட்டமைக்க முடியும், ஆனால் அது ஒரு டாரிக் பன்மடங்கு அல்ல. குறிப்புகள் குறிப்புகள் இயற்கணித இடவியல் இடவியல் உருவகம்