Tangent half-angle substitution
ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில், தொடுகோட்டு அரை-கோண மாற்றீடு என்பது ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் மாறிகளின் மாற்றமாகும், இது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் விகிதமுறு செயல்பாட்டை அமைப்பதன் மூலம் ஒரு சாதாரண விகிதமுறு செயல்பாடாக மாற்றுகிறது. இது உண்மையான கோட்டின் மீது கோண அளவீட்டால் அளவிடப்படும் அலகு வட்டத்தின் ஒரு பரிமாண ஸ்டீரியோகிராஃபிக் திட்டமாகும். பொதுவான உருமாற்ற சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ அரை கோணத்தின் தொடுகோடு கோள முக்கோணவியலில் முக்கியமானது மற்றும் சில நேரங்களில் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் அரை தொடுகோடு அல்லது அரை தொடுகோடு என்று அறியப்பட்டது. லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் தனது 1768 ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் பாடப்புத்தகத்தில் ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பீடு செய்ய இதைப் பயன்படுத்தினார், மேலும் அட்ரியன்-மேரி லெஜெண்ட்ரே 1817 இல் பொதுவான முறையை விவரித்தார். மாற்றீடு 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் இருந்து பெரும்பாலான ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் பாடப்புத்தகங்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, பொதுவாக எந்த சிறப்பு பெயரும் இல்லாமல். இது ரஷ்யாவில் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது அரை-தொடு மாற்று அல்லது அரை-கோண மாற்று போன்ற மாறுபட்ட பெயர்களால் அறியப்படுகிறது. இது சில நேரங்களில் வியர்ஸ்ட்ராஸ் மாற்றாக தவறாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது. மைக்கேல் ஸ்பிவாக் இதை "உலகின் ஸ்னீக்கியஸ்ட் சப்ஸ்டிட்யூஷன்" என்று அழைத்தார். மாற்றீடு ஒரு புதிய மாறி சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களை அறிமுகப்படுத்துவது பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் பின்வருவனவற்றின் பெருக்கல் மற்றும் பகுத்தறிவு செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தப்படலாம்ஃ வழித்தோன்றல் இரட்டை கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, பைத்தகோரியன் தேற்றத்திற்கு நன்றி ஒன்றுக்கு சமமான வகுத்திகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது, பின்னர் எண்கள் மற்றும் வகுத்தலை ஒன்றால் வகுக்கிறது இறுதியாக, வேறுபாடு விதிகள் குறிக்கின்றன, இதனால் கொசெகாண்டின் ஆன்டிடரிவேட்டிவ் எடுத்துக்காட்டுகள். இந்த இரண்டு பதில்களும் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் செகண்ட் ஒருங்கிணைப்பு இதேபோன்ற முறையில் மதிப்பீடு செய்யப்படலாம். ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு முதல் வரியில், ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டு வரம்புகளுக்கும் ஒருவர் வெறுமனே மாற்றாக இருக்க முடியாது. அட் இன் ஒற்றுமை (இந்த விஷயத்தில், ஒரு செங்குத்து அறிகுறியற்றது) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும். மாற்றாக, முதலில் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பீடு செய்து, பின்னர் எல்லை மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துங்கள். சமச்சீர் மூலம், இது முந்தைய பதிலைப் போன்றது. மூன்றாவது எடுத்துக்காட்டுஃ வடிவியல் இருந்தால் சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டும் x மாறுபடுவதால், புள்ளி (cos x, sin x) (0,0) இல் மையப்படுத்தப்பட்ட அலகு வட்டத்தைச் சுற்றி மீண்டும் மீண்டும் காற்று வீசுகிறது. இந்த புள்ளி வட்டத்தைச் சுற்றி ஒரு முறை மட்டுமே செல்கிறது, ஏனெனில் t − ≤ முதல் + ≤ வரை செல்கிறது, மேலும் ஒருபோதும் புள்ளியை (−1,0) அடையாது, இது t ± ≤ ஐ நெருங்கும்போது ஒரு வரம்பாக அணுகப்படுகிறது. t என்பது −1 முதல் −1 வரை செல்லும்போது, t ஆல் தீர்மானிக்கப்படும் புள்ளி மூன்றாவது நாற்கரத்தில் உள்ள வட்டத்தின் பகுதியின் வழியாக (−1,0) முதல் (0, −1) வரை செல்கிறது. t −1 முதல் 0 வரை செல்லும்போது, புள்ளி (0, −1) முதல் (1,0) வரை நான்காவது நாற்கரத்தில் வட்டத்தின் பகுதியைப் பின்தொடர்கிறது. t 0 முதல் 1 வரை செல்லும்போது, புள்ளி (1,0) முதல் (0,1) வரை முதல் நாற்கரத்தில் வட்டத்தின் பகுதியைப் பின்தொடர்கிறது. இறுதியாக, t 1 முதல் + ν வரை செல்லும்போது, புள்ளி இரண்டாவது நாற்கரத்தில் வட்டத்தின் பகுதியை (0,1) முதல் (−1,0) வரை பின்தொடர்கிறது. இங்கே மற்றொரு வடிவியல் பார்வை உள்ளது. அலகு வட்டத்தை வரையவும், பி புள்ளியாக இருக்கட்டும். P வழியாக ஒரு கோடு (செங்குத்து கோடு தவிர) அதன் சாய்வால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மேலும், ஒவ்வொரு கோடுகளும் (செங்குத்து கோடு தவிர) அலகு வட்டத்தை சரியாக இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன, அவற்றில் ஒன்று பி. இது அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளிலிருந்து சரிவுகள் வரை ஒரு செயல்பாட்டை தீர்மானிக்கிறது. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அலகு வட்டத்தில் கோணங்களிலிருந்து புள்ளிகளுக்கு ஒரு செயல்பாட்டை தீர்மானிக்கின்றன, மேலும் இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளையும் இணைப்பதன் மூலம் கோணங்களிலிருந்து சரிவுகளுக்கு ஒரு செயல்பாடு உள்ளது. கேலரி ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கும் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளுக்கும் இடையில் பகிரப்பட்ட பிற பண்புகளைப் போலவே, மாற்றீட்டின் ஒத்த வடிவத்தை உருவாக்க ஹைபர்போலிக் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்த முடியும்ஃ வடிவியல் ரீதியாக, மாறிகளின் இந்த மாற்றம் போயின்கேர் வட்டு திட்டத்தின் ஒரு பரிமாண அனலாக் ஆகும். ரேஷனல் கர்வ் ஸ்டீரியோகிராஃபிக் ப்ரொஜெக்ஷன் டான்ஜென்ட் அரை-கோண சூத்திரம் டிரிகோனோமெட்ரிக் பதிலீடு ஆய்லர் பதிலீடு மேலும் வாசிப்பு இரண்டாவது பதிப்பு 1916, pp. 52-62 குறிப்புகள் மற்றும் குறிப்புகள் PlanetMath ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் வெளிப்புற இணைப்புகள் Weierstrass மாற்று சூத்திரங்கள்