Ideal lattice
தனித்த கணிதத்தில், சிறந்த லட்டிஸ்கள் என்பது ஒரு சிறப்பு வகை லட்டிஸ்கள் மற்றும் சுழற்சி லட்டிஸ்களின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். சிறந்த ஜன்னல்கள் இயற்கையாகவே எண் கோட்பாட்டின் பல பகுதிகளில் நிகழ்கின்றன, ஆனால் பிற பகுதிகளிலும் நிகழ்கின்றன. குறிப்பாக, அவை குறியாக்கவியலில் குறிப்பிடத்தக்க இடத்தைக் கொண்டுள்ளன. மிக்சியன்சியோ சுழற்சி லட்டிஸ்களின் பொதுமைப்படுத்தலை சிறந்த லட்டிஸ்கள் என்று வரையறுத்தார். ஒரு லட்டிஸை விவரிக்கத் தேவையான அளவுருக்களின் எண்ணிக்கையை ஒரு சதுர மூலத்தால் குறைக்க அவை குறியாக்க அமைப்புகளில் பயன்படுத்தப்படலாம், இதனால் அவை மிகவும் திறமையானவை. சிறந்த லட்டிஸ் ஒரு புதிய கருத்தாகும், ஆனால் இதே போன்ற லட்டிஸ் வகுப்புகள் நீண்ட காலமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சுழற்சி லட்டிஸ்கள், சிறந்த லட்டிஸ்களின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, என். டி. ஆர். யு. என் கிரிப்ட் மற்றும் என். டி. ஆர். யூ. எஸ். ஐனில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பிழைகளுடன் கூடிய வளைய கற்றலை அடிப்படையாகக் கொண்ட குவாண்டம் கணினி தாக்குதல் எதிர்ப்பு குறியாக்கவியலுக்கும் சிறந்த லட்டிஸ்கள் அடிப்படையாக அமைகின்றன. குறுகிய திசையன் சிக்கல் (எஸ். வி. பி) இந்த சிறந்த லட்டிஸ்களில் கடினமாக உள்ளது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் இந்த குறியாக்க அமைப்புகள் நிரூபிக்கக்கூடிய வகையில் பாதுகாப்பானவை. பொதுவாக, ஐடியல் லாட்டிஸ்கள் என்பது டிகிரியின் சில பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான வடிவத்தின் வளையங்களில் உள்ள ஐடியல்களுடன் தொடர்புடைய லாட்டிஸ்கள் ஆகும். முந்தைய வேலையிலிருந்து இலட்சிய லட்டிஸ்களின் வரையறைகள் அனைத்தும் பின்வரும் பொதுவான கருத்தின் நிகழ்வுகளாகும்ஃ ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும், அதன் சேர்க்கைக் குழு ஐசோமார்பிக் ஆகும் (அதாவது, இது தரவரிசையின் ஒரு இலவச-தொகுதி), மேலும் ஒரு பரிமாண உண்மையான திசையன் இடத்தில் (எ. கா.,) சில லட்டிஸுக்கு ஒரு சேர்க்கை ஐசோமார்பிசம் மேப்பிங் ஆக இருக்கட்டும். உட்பொதிப்பின் கீழ் உள்ள வளையத்திற்கான சிறந்த லட்டிஸ்களின் குடும்பம் அனைத்து லட்டிஸ்களின் தொகுப்பாகும், வரையறைக் குறியீட்டில் ஒரு ஐடியல் உள்ளது டிகிரியின் மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும், மேலும் ஈவு வளையத்தைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். பிரதிநிதிகளின் நிலையான தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி, மற்றும் திசையன்களுடன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அடையாளம் கண்டு, ஈவு வளையம் முழு எண் ஜாலகத்திற்கு ஐசோமார்பிக் (ஒரு சேர்க்கைக் குழுவாக) ஆகும், மேலும் எந்தவொரு இலட்சியமும் அதனுடன் தொடர்புடைய முழு எண் துணை அடுக்கை வரையறுக்கிறது. ஒரு சிறந்த லட்டிஸ் என்பது ஒரு முழு எண் லட்டிஸ் ஆகும், இது டிகிரி மற்றும் ஐடியலின் சில மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு. தொடர்புடைய பண்புகள் இதன் விளைவாக ஏற்படும் செயல்பாடு மோதல் எதிர்ப்பாக இருப்பதற்கான தொடர்புடைய பண்புகள் பின்வருமாறுஃ பகுக்கமுடியாததாக இருக்க வேண்டும். வளைய நெறிமுறை ஒரு அளவு அர்த்தத்தில், எந்த பல்லுறுப்புக்கோவை விட பெரியதாக இல்லை. முதல் பண்பு வளையத்தின் ஒவ்வொரு இலட்சியமும் ஒரு முழு தரவரிசை ஜன்னலை வரையறுக்கிறது மற்றும் சான்றுகளில் ஒரு அடிப்படை பாத்திரத்தை வகிக்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. லெம்மாஃ ஒவ்வொரு சீர்மமும், டிகிரியின் மோனிக், பகுக்கமுடியாத முழு எண் பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரு முழு தரவரிசை லட்டிஸுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். டிங் மற்றும் லிண்ட்னர் ஆகியோர் பொதுவானவற்றிலிருந்து சிறந்த லட்டிஸ்களை வேறுபடுத்துவது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் செய்யப்படலாம் என்பதற்கான ஆதாரங்களை வழங்கினர், மேலும் நடைமுறையில் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட லட்டிஸ்கள் ஒருபோதும் சிறந்தவை அல்ல என்பதைக் காட்டினர். ஜன்னல் முழு தரவரிசையைக் கொண்ட வழக்கை மட்டுமே அவர்கள் கருத்தில் கொண்டனர், அதாவது. அடிப்படையானது நேரியல் சுயாதீன திசையன்களைக் கொண்டுள்ளது. இது ஒரு அடிப்படை கட்டுப்பாடு அல்ல, ஏனெனில் லூபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோ ஆகியோர் பகுக்கமுடியாத மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பொறுத்தவரை ஒரு லட்டிஸ் சிறந்ததாக இருந்தால், மேலே உள்ள லெம்மாவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி அது முழு தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டியுள்ளனர். வழிமுறைஃ முழு தரவரிசை அடிப்படைகளுடன் சிறந்த லட்டிஸ்களை அடையாளம் காண்பது தரவுஃ ஒரு முழு தரவரிசை அடிப்படையிலான முடிவுஃ உண்மை மற்றும், ஒரு சிறந்த லட்டிஸைப் பொறுத்தவரை பரவியிருந்தால், இல்லையெனில் தவறானது. எச்என்எஃப் கணக்கீடாக மாற்றவும், பி இன் கடைசி நெடுவரிசை மட்டுமே பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால் விளைபொருளைக் கணக்கிடவும், பின்னர் இந்த நெடுவரிசையை சமமாக அமைக்கவும், இல்லையெனில் சி. ஆர். டி. யைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும், இல்லையெனில் பொய்யாகத் திரும்பவும், பின்னர் உண்மையாகத் திரும்பினால், இல்லையெனில் பொய்யாகத் திரும்பவும் இந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி, பல லட்டிஸ்கள் சிறந்த லட்டிஸ்கள் அல்ல என்பதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, லெட் அண்ட், பின்னர் சிறந்தது, ஆனால் இல்லை. லூபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிச்சியான்சியோ ஆகியோரால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு எடுத்துக்காட்டு இது. அதில் வழிமுறையைச் செய்து, அடிப்படையை பி என்று குறிப்பிடுவது, மேட்ரிக்ஸ் பி ஏற்கனவே ஹெர்மைட் இயல்பான வடிவத்தில் உள்ளது, எனவே முதல் படி தேவையில்லை. தீர்மானிப்பவர், அட்ஜுகேட் மேட்ரிக்ஸ் மற்றும் இறுதியாக, தயாரிப்பு இந்த கட்டத்தில் அல்காரிதம் நிறுத்தப்படுகிறது, ஏனென்றால் ஒரு சிறந்த லட்டிஸ் பரவியிருந்தால் கடைசி நெடுவரிசையைத் தவிர மற்ற அனைத்தும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும். குறியாக்கவியலில் பயன்படுத்தப்படும் மைக்கியான்சியோ கட்டமைக்கப்பட்ட சுழற்சி ஜாலங்களின் வகுப்பை அறிமுகப்படுத்தினார், அவை பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களில் உள்ள இலட்சியங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, மேலும் சுழற்சி ஜாலங்களுக்கு பாலி (என்)-எஸ். வி. பி. யின் கட்டுப்பாட்டின் மோசமான-வழக்கு கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் முதல் நிரூபிக்கக்கூடிய பாதுகாப்பான ஒரு வழி செயல்பாட்டை வழங்கினார். (சிக்கல் γ-SVP என்பது கொடுக்கப்பட்ட லட்டிஸின் பூஜ்ஜியமற்ற திசையனை கணக்கிடுவதில் உள்ளது, அதன் நெறிமுறை ஒரு குறுகிய பூஜ்ஜியமற்ற லட்டிஸ் திசையனின் நெறிமுறையை விட γ மடங்கு பெரியது அல்ல. அதே நேரத்தில், அதன் இயற்கணித கட்டமைப்புக்கு நன்றி, இந்த ஒரு வழி செயல்பாடு என். டி. ஆர். யு திட்ட மதிப்பீட்டு நேரம் மற்றும் சேமிப்பு செலவுடன் ஒப்பிடக்கூடிய அதிக செயல்திறனை அனுபவிக்கிறது). அதைத் தொடர்ந்து, லியுபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோ மற்றும் சுயாதீனமாக பீக்கர்ட் மற்றும் ரோசன் ஆகியோர் மிக்சியன்சியோவின் செயல்பாட்டை ஒரு திறமையான மற்றும் நிரூபிக்கக்கூடிய பாதுகாப்பான மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாட்டை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதைக் காட்டினர். இதற்காக, அவர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்களில் உள்ள இலட்சியங்களுடன் ஒத்திருக்கும் சிறந்த லட்டிஸ்களின் பொதுவான வகுப்பை அறிமுகப்படுத்தினர். மோதல் எதிர்ப்பு பாலி (என்)-எஸ். வி. பி இன் கட்டுப்பாட்டின் கடினத்தன்மையை நம்பியுள்ளது (பாலி (என்)-ஐடியல்-எஸ். வி. பி என்று அழைக்கப்படுகிறது). சராசரி-வழக்கு மோதல்-கண்டுபிடிப்பு சிக்கல் என்பது ஐடியல்-எஸ். ஐ. எஸ் எனப்படும் இயற்கையான கணக்கீட்டு சிக்கலாகும், இது ஐடியல்-எஸ். வி. பி இன் மோசமான நிகழ்வுகளைப் போலவே கடினமாக இருப்பதாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. சிறந்த ஜன்னல்களிலிருந்து பாதுகாப்பான திறமையான கையொப்பத் திட்டங்களும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன, ஆனால் சிறந்த ஜன்னல்களிலிருந்து திறமையான நிரூபிக்கக்கூடிய பாதுகாப்பான பொது விசை குறியாக்கத்தை உருவாக்குவது ஒரு சுவாரஸ்யமான திறந்த சிக்கலாக இருந்தது. முக்கிய பரிமாற்றத்திற்கு LWE மற்றும் ரிங் LWE ஐப் பயன்படுத்துவதற்கான அடிப்படை யோசனை 2011 ஆம் ஆண்டில் சின்சினாட்டி பல்கலைக்கழகத்தில் ஜின்டாய் டிங்கால் முன்மொழியப்பட்டு தாக்கல் செய்யப்பட்டது, மேலும் ரிங் LWE ஐப் பயன்படுத்தி குவாண்டம் எதிர்ப்பு விசை பரிமாற்றத்தின் அதிநவீன விளக்கத்தை வழங்கியது. 2012 ஆம் ஆண்டில் ஒரு தற்காலிக காப்புரிமை விண்ணப்பம் தாக்கல் செய்யப்பட்ட பின்னர் இந்த காகிதம் 2012 இல் தோன்றியது. 2014 ஆம் ஆண்டில், டிங்கின் அதே அடிப்படை யோசனையைப் பின்பற்றி பீக்கர்ட் ஒரு முக்கிய போக்குவரத்துத் திட்டத்தை முன்வைத்தார், அங்கு டிங்கின் கட்டுமானத்தில் வட்டமிடுவதற்கு கூடுதல் சமிக்ஞையை அனுப்புவதற்கான புதிய யோசனையும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதே கருத்துகளைப் பயன்படுத்தி டிஜிட்டல் கையொப்பம் பல ஆண்டுகளுக்கு முன்பு வாடிம் லுபஷேவ்ஸ்கியால் "ட்ராப்டோர்ஸ் இல்லாத லாட்டிஸ் கையொப்பங்கள்" என்ற புத்தகத்தில் செய்யப்பட்டது. பீக்கர்ட் மற்றும் லூபாஷேவ்ஸ்கியின் பணி ஒன்றாக, அதே பாதுகாப்பு குறைப்புகளுடன் ரிங்-எல். டபிள்யூ. இ அடிப்படையிலான குவாண்டம் தாக்குதல் எதிர்ப்பு வழிமுறைகளின் தொகுப்பை வழங்குகிறது. திறமையான மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகள் கிரிப்டோகிராஃபியில் சிறந்த லாட்டிஸ்களின் முக்கிய பயன்பாடு, அத்தகைய லாட்டிஸ்களில் தோராயமாக குறுகிய திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் மிகவும் திறமையான மற்றும் நடைமுறை மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகளை உருவாக்க முடியும் என்பதிலிருந்து உருவாகிறது. பீக்கர்ட் மற்றும் ரோசன், லூபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோ ஆகியோரால் சுயாதீனமாக கட்டப்பட்ட மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகள், சிறந்த லட்டிஸ்களை (சுழற்சி லட்டிஸ்களின் பொதுமைப்படுத்தல்) அடிப்படையாகக் கொண்டவை, மேலும் விரைவான மற்றும் நடைமுறை செயல்படுத்தலை வழங்கின. இந்த முடிவுகள் அடையாளத் திட்டங்கள் மற்றும் கையொப்பங்கள் உள்ளிட்ட பிற திறமையான கிரிப்டோகிராஃபிக் கட்டுமானங்களுக்கு வழி வகுத்தன. லியுபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோ ஆகியோர் திறமையான மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகளின் கட்டுமானங்களை வழங்கினர், அவை சிறந்த லட்டிஸ்களுக்கான குறுகிய திசையன் சிக்கலின் மோசமான வழக்கு கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் பாதுகாப்பாக நிரூபிக்கப்படலாம். அவர்கள் ஹாஷ் செயல்பாட்டு குடும்பங்களை பின்வருமாறு வரையறுத்தனர்ஃ ஒரு வளையத்தைக் கொடுத்தால், அங்கு ஒரு மோனிக், டிகிரியின் பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் தோராயமாக வரிசையின் முழு எண், சீரற்ற கூறுகளை உருவாக்குகிறது, அங்கு ஒரு மாறிலி. ஆர்டர் செய்யப்பட்ட-டப்பிள் ஹாஷ் செயல்பாட்டை தீர்மானிக்கிறது. இது மூலோபாய ரீதியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவில் உள்ள கூறுகளை வரைபடமாக்கும். ஒரு உறுப்புக்கு, ஹாஷ் ஆகும். இங்கே விசையின் அளவு (ஹாஷ் செயல்பாடு), மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பொருத்தமான தேர்வுக்கு ஃபாஸ்ட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (எஃப்எஃப்டி) ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செயல்பாட்டை சரியான நேரத்தில் செய்ய முடியும். இது ஒரு மாறிலி என்பதால், ஹாஷிங்கிற்கு நேரம் தேவைப்படுகிறது. சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஹாஷ் செயல்பாட்டிற்கு, "குறுகிய திசையன் சிக்கல்" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கல் வளையத்தின் ஒவ்வொரு இலட்சியத்திற்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் தீர்க்கக்கூடியது என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதில் புறக்கணிக்க முடியாத நிகழ்தகவுடன் வெற்றி பெறும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறை இருந்தால், ஹாஷ் செயல்பாட்டு குடும்பம் மோதல் எதிர்ப்பு என்பதை அவர்கள் நிரூபித்தனர். 2006 ஆம் ஆண்டில் லூபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோவின் பணியின் அடிப்படையில், மிக்சியன்சியோ மற்றும் ரெகேவ் ஆகியோர் சிறந்த லட்டிஸ்களின் அடிப்படையில் ஹாஷ் செயல்பாடுகளின் பின்வரும் வழிமுறையை வரையறுத்தனர்ஃ அளவுருக்கள்ஃ ஒருங்கிணைப்புகள், மற்றும் திசையன் f. விசைஃ திசையன்கள் சீரற்ற முறையில் சுயாதீனமாகவும் ஒரே மாதிரியாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. ஹாஷ் செயல்பாடுஃ மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இங்கே அளவுருக்கள் உள்ளன, f என்பது ஒரு திசையன் மற்றும் கட்டமைக்கப்பட்ட தொகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதி-மேட்ரிக்ஸ் ஆகும். சராசரியாக குறுகிய திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்பது (வெறும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை நிகழ்தகவுடன் கூட) பல்வேறு லட்டீஸ் சிக்கல்களை (தோராயமான எஸ். வி. பி மற்றும் எஸ். ஐ. வி. பி போன்றவை) தீர்ப்பது கடினம், சிறந்த லட்டீஸ்களை விட மோசமான நிலையில், திசையன் எஃப் பின்வரும் இரண்டு பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ எந்த இரண்டு அலகு திசையன்களுக்கும் u, v, திசையன் [F iru] v சிறியதாக உள்ளது (சொல்லுங்கள், பல்லுறுப்புக்கோவை, பொதுவாக நெறிமுறை. பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண்களின் மீது பகுக்கமுடியாதது, அதாவது, இது சிறிய அளவிலான முழு எண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கலுக்கு காரணியாக இருக்காது. முதல் பண்பு சுழற்சி மேட்ரிக்ஸ்களுடன் தொடர்புடைய திசையனால் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் [F ≤u] v இன் அனைத்து ஆயத்தொகுதிகளும் 1 ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே. இருப்பினும், அதனுடன் தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவை பகுக்கமுடியாதது, ஏனெனில் அது காரணியாக உள்ளது, இதனால்தான் மோதல்களை திறம்பட கண்டறிய முடியும். எனவே, மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகளைப் பெற இது ஒரு நல்ல தேர்வு அல்ல, ஆனால் வேறு பல தேர்வுகள் சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பண்புகளும் திருப்தி அடையும் f இன் சில தேர்வுகள் (எனவே, மோசமான பாதுகாப்பு உத்தரவாதங்களுடன் மோதல் எதிர்ப்பு ஹாஷ் செயல்பாடுகளை விளைவிக்கின்றன) பகா எண் மற்றும் 2 இன் சக்திக்கு சமம். டிஜிட்டல் கையொப்பங்கள் டிஜிட்டல் கையொப்பத் திட்டங்கள் மிக முக்கியமான கிரிப்டோகிராஃபிக் முன்மாதிரிகளில் ஒன்றாகும். ஜன்னல் சிக்கல்களின் மோசமான-வழக்கு கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் ஒரு வழி செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அவற்றைப் பெறலாம். இருப்பினும், அவை நடைமுறைக்கு சாத்தியமற்றவை. பிழைகளுடன் கற்றல், பிழைகளுடன் வளையக் கற்றல் மற்றும் ட்ராப்டோர் லாட்டிஸ்கள் ஆகியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்ட பல புதிய டிஜிட்டல் கையொப்பத் திட்டங்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் பிழைகளுடன் கற்றல் சிக்கல் ஒரு குறியாக்க சூழலில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இலட்சியத்தில் (எ. கா., சுழற்சி) குறுகிய திசையனை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான சிக்கலின் அடிப்படையில் டிஜிட்டல் கையொப்பங்களின் நேரடி கட்டுமானம். லியுபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் மிக்சியன்சியோவின் திட்டம் சிறந்த லட்டிஸ்களின் அடிப்படையில் மோசமான பாதுகாப்பு உத்தரவாதங்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது இன்றுவரை அறியப்பட்ட மிகவும் அறிகுறியற்ற திறமையான கட்டுமானமாகும், இது கையொப்பம் உருவாக்கம் மற்றும் சரிபார்ப்பு வழிமுறைகளை கிட்டத்தட்ட நேரியல் நேரத்தில் இயக்குகிறது. அவர்களின் வேலையால் எழுப்பப்பட்ட முக்கிய திறந்த சிக்கல்களில் ஒன்று, இதேபோன்ற செயல்திறனுடன் ஒரு முறை கையொப்பத்தை உருவாக்குவது, ஆனால் பலவீனமான கடினத்தன்மை அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. உதாரணமாக, குறுகிய வெக்டர் சிக்கலை (எஸ். வி. பி) (சிறந்த லட்டிஸ்களில்) ஒரு காரணிக்குள் தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் பாதுகாப்புடன் ஒரு முறை கையொப்பத்தை வழங்குவது சிறந்தது. அவற்றின் கட்டுமானம் ஒரு முறை கையொப்பங்களிலிருந்து நிலையான மாற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது (அதாவது. ஒரு செய்தியை பாதுகாப்பாக கையொப்பமிட அனுமதிக்கும் கையொப்பங்கள்) பொது கையொப்பத் திட்டங்களுக்கு, ஒரு லட்டிஸ் அடிப்படையிலான ஒரு முறை கையொப்பத்தின் புதுமையான கட்டுமானத்துடன், அதன் பாதுகாப்பு இறுதியில் எந்தவொரு பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவையின் வளையத்தில் உள்ள இலட்சியங்களுடன் தொடர்புடைய அனைத்து லட்டிஸ்களிலும் குறுகிய திசையனை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான மோசமான வழக்கு கடினத்தன்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. விசை-தலைமுறை வழிமுறைஃ உள்ளீடுஃ, டிகிரியின் பகுக்கமுடியாத பல்லுறுப்புக்கோவை. அமைக்கவும், அனைத்து நேர்மறைக்கும், செட்களை பின்வருமாறு வரையறுக்கவும்ஃ ஒரே மாதிரியாக சீரற்ற சரத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள் பின்னர் வேறு அமைக்கவும் சரம் முடிவில் முதல் 1 இன் நிலைக்கு அமைக்கவும் சுயாதீனமாக மற்றும் சீரற்ற முறையில் முறையே கையொப்பமிடும் விசையிலிருந்து தேர்ந்தெடுத்தால்ஃ சரிபார்ப்பு விசைஃ அல்காரிதம் கையொப்பமிடுதல்ஃ உள்ளீடுஃ கையொப்பமிடும் விசை அவுட்புட்ஃ சரிபார்ப்பு அல்காரிதம்ஃ உள்ளீடுஃ செய்தி; கையொப்பம்; சரிபார்ப்பு விசை அவுட்புட்ஃ "ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள்", என்றால் மற்றும் "நிராகரிக்கவும்", இல்லையெனில். ஸ்விஃப்ட் ஹாஷ் செயல்பாடு ஹாஷ் செயல்பாடு மிகவும் திறமையானது மற்றும் சிக்கலான எண்களுக்கு மேல் ஃபாஸ்ட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (எஃப்எஃப்டி) ஐப் பயன்படுத்தி அறிகுறியற்ற முறையில் கணக்கிட முடியும். இருப்பினும், நடைமுறையில், இது கணிசமான மேல்நிலையைக் கொண்டுள்ளது. மிசியன்சியோ மற்றும் ரெகேவ் ஆகியோரால் வரையறுக்கப்பட்ட ஹாஷ் செயல்பாடுகளின் ஸ்விஃப்ட் குடும்பம் அடிப்படையில் (எஃப்எஃப்டி) இன் பயன்படுத்தி மேலே உள்ள ஹாஷ் செயல்பாட்டின் மிகவும் உகந்த மாறுபாடு ஆகும். திசையன் f என்பது 2 இன் சக்திக்கு சமமாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் தொடர்புடைய பல்லுறுப்புக்கோவை பகுக்கமுடியாதது. வகுக்கும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கட்டும், பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டிய ஒரு தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும். எஸ். டபிள்யூ. ஐ. எஃப். எஃப். டி ஹாஷ் செயல்பாடு ஒரே மாதிரியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட திசையன்களைக் கொண்ட ஒரு விசையை வரைபடமாக்குகிறது மற்றும் முன்பு இருந்ததைப் போலவே உள்ளீடு செய்கிறது. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ் மூலம் பெருக்குதல் சீரான முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரைபடத்திற்கு சீரான முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரைபடம். மேலும், இருந்தால் மட்டுமே. இந்த இரண்டு உண்மைகளும் சேர்ந்து, எஸ். டபிள்யூ. ஐ. எஃப். எஃப். டி இல் மோதல்களைக் கண்டுபிடிப்பது அடிப்படை இலட்சிய லட்டிஸ் செயல்பாட்டில் மோதல்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சமம் என்பதை நிறுவுகிறது, மேலும் எஸ். டபிள்யூ. ஐ. எஃப். எஃப். டி இன் மோதல் எதிர்ப்பு பண்பு இலட்சிய லட்டிஸ்களில் மோசமான வழக்கு லட்டிஸ் சிக்கல்களுக்கான இணைப்பால் ஆதரிக்கப்படுகிறது. எஸ். டபிள்யூ. ஐ. எஃப். எஃப். டி ஹாஷ் செயல்பாட்டின் வழிமுறை பின்வருமாறுஃ அளவுருக்கள்ஃ 2 இன் சக்தி, பகா எண், மற்றும் போன்ற முழு எண்கள். விசைஃ திசையன்கள் சீரற்ற முறையில் சுயாதீனமாகவும் ஒரே மாதிரியாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. உள்ளீடுஃ திசையன்கள். வெளியீடுஃ திசையன், கூறு வாரியான திசையன் தயாரிப்பு எங்கே. பிழைகளுடன் கற்றல் (எல். டபிள்யூ. இ) ரிங்-எல். டபிள்யூ. இ பிழைகளுடன் கற்றல் (எல். டபிள்யூ. இ) சிக்கல் மோசமான-வழக்கு லட்டிஸ் சிக்கல்களைப் போலவே கடினமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் பல குறியாக்க பயன்பாடுகளுக்கு அடித்தளமாக பணியாற்றியுள்ளது. இருப்பினும், எல். டபிள்யூ. இ பயன்பாட்டில் உள்ளார்ந்த இருபடி மேல்நிலை காரணமாக இந்த பயன்பாடுகள் திறமையற்றவை. உண்மையான திறமையான எல். டபிள்யூ. இ பயன்பாடுகளைப் பெற, லூபாஷேவ்ஸ்கி, பீக்கர்ட் மற்றும் ரெகேவ் ஆகியோர் எல். டபிள்யூ. இ சிக்கலின் பொருத்தமான பதிப்பை பரந்த அளவிலான வளையங்களில் வரையறுத்தனர், மேலும் இந்த வளையங்களில் உள்ள சிறந்த லட்டிஸ்களில் மோசமான வழக்கு அனுமானங்களின் கீழ் அதன் கடினத்தன்மையை நிரூபித்தனர். அவர்கள் தங்கள் எல். டபிள்யூ. இ பதிப்பை ரிங்-எல். டபிள்யூ. இ என்று அழைத்தனர். பாதுகாப்பு அளவுரு 2 இன் சக்தியாக இருக்கும்போது, பகுத்தறிவுகளின் மீது பகுக்கமுடியாததாக இருக்கும். (இந்த குறிப்பிட்டது சைக்ளோடோமிக் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் குடும்பத்திலிருந்து வருகிறது, அவை இந்த வேலையில் சிறப்பு பங்கு வகிக்கின்றன). முழு எண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாடுலோ வளையமாக இருக்கட்டும். (அதாவது, ரெசிடியூஸ் மாடுலோ) இன் கூறுகள் பொதுவாக அதை விட குறைவான டிகிரி கொண்ட முழு எண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. போதுமான அளவு பெரிய பொது பிரைம் மாடுலஸ் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது) ஆக இருக்கட்டும், மேலும் முழு எண் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மாடுலோவின் வளையமாக இருக்கட்டும். இதன் கூறுகள்-அதன் குணகங்கள் எங்கிருந்து வருகின்றன என்பதை விட குறைவான டிகிரி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் குறிப்பிடப்படலாம். மேலே விவரிக்கப்பட்ட வளையத்தில், ஆர்-எல். டபிள்யூ. இ சிக்கலை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். ஒரே சீரான சீரற்ற வளைய உறுப்பாக இருக்கட்டும், இது ரகசியமாக வைக்கப்படுகிறது. நிலையான LWE ஐப் போலவே, தாக்குபவரின் குறிக்கோள் தன்னிச்சையாக பல (சுயாதீனமான) 'சீரற்ற சத்தம் வளைய சமன்பாடுகளை' உண்மையான சீரானவற்றிலிருந்து வேறுபடுத்துவதாகும். மேலும் குறிப்பாக, சத்தம் சமன்பாடுகள் வடிவத்தில் உள்ளன, அங்கு a ஒரே மாதிரியாக சீரற்றது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட விநியோகத்திலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சில 'சிறிய' சீரற்ற பிழை சொல்லால் பெருக்கல் குழப்பமடைகிறது. அவர்கள் ரிங்-எல். டபிள்யூ. இ இன் தேடல் பதிப்பில் சிறந்த லட்டிஸ்களில் தோராயமான எஸ். வி. பி (மோசமான நிலையில்) இருந்து குவாண்டம் குறைப்பை வழங்கினர், அங்கு குறிக்கோள் தன்னிச்சையாக பல சத்தமான தயாரிப்புகளிலிருந்து ரகசியத்தை (அதிக நிகழ்தகவுடன், எதற்கும்) மீட்டெடுப்பதாகும். இந்த முடிவு பொது லட்டிஸ்களுக்கான ரெகேவின் மறு செய்கை குவாண்டம் குறைப்பின் பொதுவான வெளிப்பாட்டைப் பின்பற்றுகிறது, ஆனால் சிறந்த லட்டிஸ்கள் குறைப்பின் 'இயற்கணித' மற்றும் 'வடிவியல்' கூறுகளில் பல புதிய தொழில்நுட்ப தடைகளை அறிமுகப்படுத்துகின்றன. அவர்கள் இயற்கணித எண் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தினர், குறிப்பாக, ஒரு எண் புலத்தின் நியதி உட்பொதிப்பு மற்றும் சீன எஞ்சிய தேற்றம் இந்த தடைகளை கடக்க. அவர்கள் பின்வரும் தேற்றத்தைப் பெற்றனர்ஃ தேற்றம் ஒரு தன்னிச்சையான எண் புலமாக இருக்கட்டும். தன்னிச்சையாக இருக்கட்டும், மேலும் (விகிதமுறு) முழு எண் மாடுலஸ் அப்படி இருக்கட்டும். ஒரு நிகழ்தகவு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர குவாண்டம் குறைப்பு-முதல்-, எங்கிருந்து உள்ளது. 2013 ஆம் ஆண்டில், குனேசு, லியுபாஷேவ்ஸ்கி மற்றும் பாப்பிள்மேன் ஆகியோர் பிழைகளுடன் வளைய கற்றல் சிக்கலை அடிப்படையாகக் கொண்ட டிஜிட்டல் கையொப்பத் திட்டத்தை முன்மொழிந்தனர். 2014 ஆம் ஆண்டில், பீக்கர்ட் "இணையத்திற்கான லேட்டிஸ் கிரிப்டோகிராஃபி" என்ற தனது ஆய்வறிக்கையில் பிழைகள் முக்கிய பரிமாற்றத்துடன் வளைய கற்றல் (ஆர். எல். டபிள்யூ. இ-கே. இ. எக்ஸ்) ஒன்றை வழங்கினார். இது சிங்கின் பணிகளால் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்டது. ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ ஸ்டெஹ்லே, ஸ்டெய்ன்ஃபெல்ட், தனாகா மற்றும் சாகாவா ஆகியோர் எல். டபிள்யூ. இ சிக்கலின் (ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ) ஒரு கட்டமைக்கப்பட்ட மாறுபாட்டை வரையறுத்தனர், இது சிறந்த லட்டிஸ்களில் தோராயமான எஸ். வி. பி இன் மோசமான நிலை கடினத்தன்மையின் அடிப்படையில் ஒரு திறமையான பொது விசை குறியாக்க திட்டத்தை விவரிக்கிறது. இது முதல் சிபிஏ-பாதுகாப்பான பொது விசை குறியாக்க திட்டமாகும், இதன் பாதுகாப்பு சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் குவாண்டம் தாக்குதல்களுக்கு எதிராக-ஐடியல்-எஸ்விபி இன் மோசமான நிகழ்வுகளின் கடினத்தன்மையை நம்பியுள்ளது. இது அறிகுறியற்ற உகந்த செயல்திறனை அடைகிறதுஃ பொது/தனியார் விசை நீளம் பிட்கள் மற்றும் கடனுதவி செய்யப்பட்ட குறியாக்கம்/டிக்ரிப்ஷன் செலவு ஒரு செய்தி பிடுக்கு பிட் செயல்பாடுகள் (ஒரே நேரத்தில் பிட்களை குறியாக்கம் செய்வது, ஒரு செலவில்). இங்குள்ள பாதுகாப்பு அனுமானம் என்னவென்றால்,-ஐடியல்-எஸ். வி. பி எந்த சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் டைம் குவாண்டம் அல்காரிதம் மூலமும் தீர்க்கப்பட முடியாது. இது நிலையான பொது விசை குறியாக்கவியல் பாதுகாப்பு அனுமானங்களை விட வலுவானது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. மறுபுறம், பெரும்பாலான பொது கீ கிரிப்டோகிராஃபிக்கு மாறாக, லட்டிஸ் அடிப்படையிலான கிரிப்டோகிராஃபி சப்எக்ஸ்போனென்ஷியல் குவாண்டம் தாக்குதல்களுக்கு எதிராக பாதுகாப்பை அனுமதிக்கிறது. பொது லட்டிஸ்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட பெரும்பாலான குறியாக்க அமைப்புகள் பிழைகளுடன் கற்றலின் சராசரி-வழக்கு கடினத்தன்மையை (எல். டபிள்யூ. இ) நம்பியுள்ளன. அவர்களின் திட்டம் எல். டபிள்யூ. இ இன் கட்டமைக்கப்பட்ட மாறுபாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதை அவர்கள் ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ என்று அழைக்கிறார்கள். சிறந்த ஜன்னல்களின் கட்டுப்பாட்டிலிருந்து எழும் இரண்டு முக்கிய சிக்கல்களைத் தவிர்க்க அவர்கள் சில நுட்பங்களை அறிமுகப்படுத்த வேண்டியிருந்தது. முதலாவதாக, கட்டமைக்கப்படாத ஜன்னல்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட முந்தைய குறியாக்க அமைப்புகள் அனைத்தும் ரெகேவின் மோசமான-வழக்கு முதல் சராசரி-வழக்கு கிளாசிக்கல் குறைப்பை எல்லைக்குட்பட்ட தூர டிகோடிங் சிக்கல் (பி. டி. டி) முதல் எல். டபிள்யூ. இ வரை பயன்படுத்துகின்றன (இது எஸ். வி. பி முதல் எல். டபிள்யூ. இ வரை குவாண்டம் குறைப்பின் கிளாசிக்கல் படியாகும்). இந்த குறைப்பு கருதப்படும் ஜன்னல்களின் கட்டமைக்கப்படாத தன்மையைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் இது ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ. யில் சம்பந்தப்பட்ட கட்டமைக்கப்பட்ட ஜன்னல்களுக்கு எடுத்துச் செல்வதாகத் தெரியவில்லை. குறிப்பாக, LWE மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் நிகழ்தகவு சுதந்திரம் ஒரு வரிசையைக் கருத்தில் கொள்ள அனுமதிக்கிறது. இரண்டாவதாக, முந்தைய குறியாக்க அமைப்புகளில் பயன்படுத்தப்பட்ட மற்ற மூலப்பொருள், அதாவது எல். டபிள்யூ. இ. யின் கணக்கீட்டு மாறுபாட்டிலிருந்து அதன் முடிவெடுக்கும் மாறுபாட்டிற்கு ரெகேவின் குறைப்பு, ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ. க்கு தோல்வியடைவதாகத் தெரிகிறதுஃ இது எல். டபிள்யூ. இ மெட்ரிக்குகளின் நெடுவரிசைகளின் நிகழ்தகவு சுதந்திரத்தை நம்பியுள்ளது. இந்த சிரமங்களை சமாளிக்க, அவர்கள் குறைப்பின் பாரம்பரிய நடவடிக்கையைத் தவிர்த்தனர். அதற்கு பதிலாக, அவர்கள் குவாண்டம் படியைப் பயன்படுத்தி SIS (சராசரி-வழக்கு மோதல்-கண்டுபிடிப்பு சிக்கல்) இலிருந்து LWE க்கு ஒரு புதிய குவாண்டம் சராசரி-வழக்கு குறைப்பை உருவாக்கினர். இது ஐடியல்-எஸ். ஐ. எஸ் முதல் ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ வரை வேலை செய்கிறது. மோசமான-வழக்கு ஐடியல்-எஸ். வி. பி. யில் இருந்து சராசரி-வழக்கு ஐடியல்-எஸ். ஐ. எஸ். ஆகக் குறைக்கப்பட்டதோடு, அவர்கள் ஐடியல்-எஸ். வி. பி. யில் இருந்து ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ. க்கு குவாண்டம் குறைப்பைப் பெற்றனர். இது ஐடியல்-எல். டபிள்யூ. இ இன் கணக்கீட்டு மாறுபாட்டின் கடினத்தன்மையைக் காட்டுகிறது. முடிவெடுக்கும் மாறுபாட்டின் கடினத்தன்மையை அவர்கள் பெறாததால், குறியாக்கத்திற்கான சூடோரேண்டம் பிட்களைப் பெற அவர்கள் ஒரு பொதுவான ஹார்ட்கோர் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தினர். இதனால்தான் அவர்கள் எஸ். வி. பி. யின் அதிவேக கடினத்தன்மையை ஏற்க வேண்டியிருந்தது. முழுமையாக ஒரே மாதிரியான குறியாக்கம் ஒரு முழுமையான ஒரே மாதிரியான குறியாக்கம் (எஃப். எச். இ) திட்டம் என்பது குறியாக்கம் செய்யப்பட்ட தரவுகளின் மீது கணக்கிட அனுமதிக்கிறது, முதலில் குறியாக்கம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. ஒரு முழுமையான ஹோமோமார்பிக் குறியாக்க திட்டத்தை உருவாக்குவதற்கான சிக்கல் முதன்முதலில் 1978 ஆம் ஆண்டில் ரிவெஸ்ட், அடில்மேன் மற்றும் டெர்டூசோஸ் ஆகியோரால் முன்வைக்கப்பட்டது, ரிவெஸ்ட், அடில்மேன் மற்றும் ஷமீர் ஆகியோரால் ஆர்எஸ்ஏ கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சிறிது நேரத்திலேயே. ஒரு குறியாக்க திட்டம் என்பது எந்தவொரு சுற்றுக்கும் வழங்கப்பட்டால், அதில் உள்ள சுற்றுகளுக்கு ஒத்த வடிவமாகும், மேலும், அது அதை வைத்திருக்கிறது. திட்டத்தின் பாதுகாப்பு அளவுரு இருக்கும் அனைத்து அளவிலான சுற்றுகளுக்கும் இது ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அது முற்றிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். 2009 ஆம் ஆண்டில், ஜென்ட்ரி ஒரு முழுமையான ஹோமோமார்பிக் குறியாக்க திட்டத்தை உருவாக்கும் சிக்கலுக்கான முதல் தீர்வை முன்மொழிந்தார். அவரது திட்டம் சிறந்த ஜன்னல்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது. மேலும் காண்கஃ லேட்டிஸ் அடிப்படையிலான குறியாக்கவியல் ஹோமோமார்பிக் குறியாக்க வளைய கற்றல் பிழைகளுடன் முக்கிய பரிமாற்றம் போஸ்ட்-குவாண்டம் குறியாக்கவியல் குறுகிய முழு எண் தீர்வு சிக்கல் குறிப்புகள் எண் கோட்பாடு லேட்டிஸ் அடிப்படையிலான குறியாக்கவியல் போஸ்ட்-குவாண்டம் குறியாக்கவியல்