Eigenvalue perturbation
கணிதத்தில், அறியப்பட்ட ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகள் கொண்ட ஒன்றிலிருந்து தொந்தரவு செய்யப்படும் ஒரு அமைப்பின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது ஒரு ஐகென் மதிப்பு இடையூறு சிக்கலாகும். அசல் அமைப்பின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகள் அமைப்பில் ஏற்படும் மாற்றங்களுக்கு எவ்வளவு உணர்திறன் கொண்டவை என்பதைப் படிக்க இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த வகை பகுப்பாய்வு லார்ட் ரேலேயால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது, சிறிய ஒத்திசைவற்ற தன்மைகளால் தொந்தரவு செய்யப்பட்ட ஒரு சரத்தின் ஹார்மோனிக் அதிர்வுகள் பற்றிய அவரது விசாரணையில். இந்தக் கட்டுரையில் உள்ள வழித்தோன்றல்கள் அடிப்படையில் தன்னிறைவு பெற்றவை மற்றும் எண் நேரியல் இயற்கணிதம் அல்லது எண் செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு குறித்த பல நூல்களில் காணப்படுகின்றன. இந்தக் கட்டுரை ஒரு எளிய ஐகென் மதிப்பின் குழப்பத்தின் விஷயத்தில் கவனம் செலுத்துகிறது (ஐகென் மதிப்புகளின் பெருக்கத்தில் பார்க்கவும்). பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்புகள் ஏன்? ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களின் நுழைவு பயன்பாடுகளில் தீர்வுகளைப் பெற ஐகென் மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படும் ஏராளமான அறிவியல் துறைகளைக் காண்கிறோம். பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்கள் குறைவான பரவலானவை, ஆனால் அதிர்வுகள் பற்றிய ஆய்வில் ஒரு முக்கிய அம்சமாகும். சரங்கள் மற்றும் தட்டுகள் போன்ற கட்டமைப்புகளின் அதிர்வுகளை மாதிரியாக்கும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தோராயமான தீர்வுகளைக் கண்டறிய கேலர்கின் முறை அல்லது ரேலே-ரிட்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தும்போது அவை பயனுள்ளதாக இருக்கும்; கோரண்ட் (1943) காகிதம் அடிப்படையானது. ஃபைனைட் எலிமெண்ட் முறை ஒரு பரவலான குறிப்பிட்ட வழக்கு. கிளாசிக்கல் மெக்கானிக்ஸில், சமநிலைக்கு நெருக்கமான பல டிகிரி சுதந்திர அமைப்புகளின் அதிர்வுகளை நாம் பார்க்கும்போது பொதுவான ஐகென் மதிப்புகளைக் காணலாம்; இயக்க ஆற்றல் வெகுஜன மேட்ரிக்ஸை வழங்குகிறது, சாத்தியமான திரிபு ஆற்றல் விறைப்பு மேட்ரிக்ஸை வழங்குகிறது. விவரங்களைப் பெற, எடுத்துக்காட்டாக, வெய்ன்ஸ்டீனின் இந்த கட்டுரையின் முதல் பகுதியைப் பார்க்கவும் (1941, பிரெஞ்சு மொழியில்) இரண்டு முறைகளுடனும், வெகுஜன அணி, டாம்பிங் அணி மற்றும் விறைப்பு அணி ஆகியவற்றுடன் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் அல்லது மேட்ரிக்ஸ் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். டாம்பிங் விளைவை நாம் புறக்கணித்தால், நாம் பின்வரும் வடிவத்தின் தீர்வைத் தேடலாம்; நாம் அதைப் பெறுகிறோம் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலின் தீர்வாகும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலுக்கான குழப்பத்தை அமைத்தல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐகென் மதிப்பு சிக்கலுக்கு நம்மிடம் தீர்வுகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது, ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களை நாம் அறிவோம். ஐகென் மதிப்புகள் தனித்துவமானவையாகவும் இருக்க வேண்டும். இப்போது நாம் மெட்ரிக்குகளை ஒரு சிறிய அளவு மாற்ற விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது, இடையூறுகள் மற்றும் முறையே மிகவும் சிறிய இடத்தின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களை நாம் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறோம். பின்னர் புதிய ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்கள் அசல் மற்றும் சிறிய சிதைவுகளைப் போலவே இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கிறோம்ஃ படிகள் மேட்ரிக்ஸ்கள் சமச்சீர் மற்றும் நேர்மறை திட்டவட்டமானவை என்று நாம் கருதுகிறோம், மேலும் க்ரோனெக்கர் டெல்டா இருக்கும் இடத்தைப் போன்ற ஐகென் வெக்டர்களை அளவிட்டோம் என்று கருதுகிறோம். இப்போது நாம் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க விரும்புகிறோம் இந்த கட்டுரையில் முதல் வரிசை இடையூறுக்கு ஆய்வை கட்டுப்படுத்துகிறோம். சமன்பாட்டின் முதல் வரிசை விரிவாக்கம் (1) இல் மாற்றுவது, இது (0) () இலிருந்து ரத்துசெய்ய விரிவடைகிறது உயர் வரிசை சொற்களை அகற்றுவது, இது எளிதாக்குகிறது. மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீர் என்பதால், இடையூறு இல்லாத ஈஜென்வெக்டர்கள் ஆர்த்தோகனல் ஆகும், எனவே அவற்றை இடையூறு ஏற்பட்ட ஈஜென்வெக்டர்களுக்கு ஒரு அடிப்படையாகப் பயன்படுத்துகிறோம். அதாவது, நாம் கட்டமைக்க விரும்புகிறோம், அங்கு சிறிய மாறிலிகள் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். அதே வழியில், (2) இல் பதிலீடு செய்து, உயர் வரிசை விதிமுறைகளை அகற்றி, நாம் பெறுகிறோம். முதல் முட்கரண்டிஃ முதல் ஐகென் மதிப்பு இடையூறு பெறவும் ஐகென் மதிப்பு இடையூறு நாம் தொடங்குவது (3) நாம் பெருக்கி பயன்படுத்த (2) மற்றும் அதன் முதல் வரிசை மாறுபாடு (5); நாம் பெறுகிறோம் அல்லது இது நிலையான பொதுவான ரேலே ஈவு விகிதத்தின் முதல் வரிசை இடையூறு என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம்ஃ மேலும், இந்த சூத்திரத்தை பாயர்-ஃபைக் தேற்றத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும், இது ஐகென் மதிப்பு இடையூறு ஒரு வரம்பை வழங்குகிறது. ஈஜென்வெக்டர் பெர்டர்பரேஷன் நாம் (3) ஐ for உடன் பெருக்கி, நாம் பயன்படுத்துவதைப் பெறுகிறோம். அல்லது ஐகென் மதிப்புகள் எளிமையானவை என்று கருதப்படுவதால், மேலும் (5) ((2) இன் முதல் வரிசை மாறுபாடு) விளைச்சலின் அனைத்து கூறுகளையும் நாம் பெற்றுள்ளோம். இரண்டாவது ஃபோர்க்ஃ நேரடியான கையாளுதல்கள் (4) ஐ (3) ஆக மாற்றுவது மற்றும் மறுசீரமைப்பது கொடுக்கிறது ஏனெனில் ஈஜென்வெக்டர்கள் நேர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்கும்போது-ஆர்த்தோகனல் என்பதால், நாம் கூட்டுத்தொகைகளை இடது-பெருக்குவதன் மூலம் அகற்றலாம்ஃ சமன்பாடு (1) ஐ மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலம்ஃ கொண்ட இரண்டு சொற்களும் சமம், ஏனெனில் இடது-பெருக்குதல் (1) மூலம் அந்த சொற்களை (6) இல் ரத்துசெய்வது மறுசீரமைப்பை வழங்குகிறது ஆனால் (2) மூலம், இந்த வகுத்தல் 1 க்கு சமம். எனவே, (அனுமானம் எளிய ஐகென் மதிப்புகள்) சமன்பாட்டை (5) மூலம் இடது பெருக்குவதன் மூலம்ஃ அல்லது குறியீடுகளின் பெயரை மாற்றுவதன் மூலம்ஃ கண்டுபிடிக்க, பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்தவும்ஃ முதல் வரிசை இடையூறு முடிவின் சுருக்கம் அனைத்து மேட்ரிக்ஸ்களும் ஹெர்மிடியன் நேர்மறை திட்டவட்டமாகவும், அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளும் தனித்துவமாகவும் இருந்தால், எல்லையற்ற மற்றும் ((3) இல் உள்ள உயர் வரிசை சொற்கள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன). இதுவரை, இந்த உயர் வரிசை விதிமுறைகள் புறக்கணிக்கப்படலாம் என்பதை நாங்கள் நிரூபிக்கவில்லை. இந்த புள்ளி மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பெறப்படலாம்; அடுத்த பிரிவில், முதல் வரிசை விரிவாக்கத்தை பெறுவதற்காக இந்த தேற்றத்தின் பயன்பாட்டை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம். ஒரு உள்ளார்ந்த செயல்பாட்டின் கோட்பாட்டு வழித்தோன்றல் இடையூறு. அடுத்த பத்தியில், நாம் மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (தேற்றத்தின் அறிக்கை); ஒரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கு, ஒரு தலைகீழ் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸுடன், ஒரு புள்ளி தீர்விலிருந்து, ஒரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு இருக்கும் வடிவத்தில் நெருக்கமாக உள்ள தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம்; மேலும் ஜாகோபியன் மேரிக்ஸ் நேரியல் அமைப்பால் வழங்கப்படுகிறது. தேற்றத்தின் கருதுகோள் திருப்தி அடைந்தவுடன், அதன் ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் முதல் வரிசை விரிவாக்கத்துடன் கணக்கிடப்படலாம், இது சமன்பாட்டிற்கு சமம். ஐகென் மதிப்பு இடையூறுஃ ஒரு கோட்பாட்டு அடிப்படை. முந்தைய பத்தியை (ஒரு மறைமுக செயல்பாட்டின் இடையூறு) ஐகென் மதிப்பு இடையூறுக்கு பொருத்தமான சற்றே மாறுபட்ட குறியீடுகளுடன் பயன்படுத்துகிறோம்; உடன் அறிமுகப்படுத்துகிறோம். மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்காக, ஜாகோபியனின் தலைகீழ் தன்மையைப் படிக்கிறோம். உண்மையில், இன் தீர்வு விரிவாக்கத்தின் வழித்தோன்றலைப் போன்ற கணக்கீடுகளுடன் பெறப்படலாம். ஒரு எளிய ஐகென் மதிப்பு எப்போது, ஐகென் வெக்டர்கள் ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையை உருவாக்குவதால், எந்த வலது பக்கத்திற்கும், நாம் ஒரு தீர்வை பெற்றோம், எனவே ஜாகோபியன் தலைகீழாக உள்ளது. மறைமுக செயல்பாட்டு தேற்றம் தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டை வழங்குகிறது, எனவே சிறிய o குறியீட்டுடன் விரிவாக்கம்ஃ இது குழப்பமான ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களின் முதல் வரிசை விரிவாக்கமாகும். இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மேட்ரிக்ஸின் உள்ளீடுகள் தொடர்பாக உணர்திறன் பகுப்பாய்வின் முடிவுகள் முடிவுகள் இதன் பொருள் மேட்ரிக்ஸின் உள்ளீடுகளில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் செயல்பாடாக உணர்திறன் பகுப்பாய்வை திறம்பட செய்ய முடியும் என்பதாகும். (மேட்ரிக்ஸ்கள் சமச்சீர் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், எனவே மாறுவதும் மாறும், எனவே சொல்.) இதேபோல் ஐகென் மதிப்பு உணர்திறன், ஒரு சிறிய எடுத்துக்காட்டு ஒரு எளிய வழக்கு; இருப்பினும் நீங்கள் ஆன்லைன் கருவிகளின் உதவியுடன் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென் வெக்டர்களை கணக்கிடலாம் (விக்கிப்பீடியா WIMS இல் அறிமுகத்தைப் பார்க்கவும்) அல்லது சேஜ் சேஜ்மாத்தைப் பயன்படுத்தலாம். நீங்கள் மிகச்சிறிய ஐகென் மதிப்பு மற்றும் ஒரு வெளிப்படையான கணக்கீட்டைப் பெறுகிறீர்கள்; மேலும், ஒரு தொடர்புடைய ஐகென் வெக்டர்; இது ஒரு யூனிட்டரி வெக்டர் அல்ல; எனவே; நாம் பெறுகிறோம் மற்றும்; எனவே; இந்த எடுத்துக்காட்டுக்கு, நாம் அதை சரிபார்த்தோம் அல்லது. ஐஜென்வெக்டர்களின் இருப்பு மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில், இடையூறு இல்லாத மற்றும் இடையூறு இல்லாத அமைப்புகள் இரண்டும் சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸ்களை உள்ளடக்கியது என்று நாங்கள் கருதினோம், இது நேரியல் சுயாதீனமான ஐஜென்வெக்டர்களின் இருப்பை உறுதி செய்கிறது. சமச்சீர் அல்லாத மேட்ரிக்ஸ்களை உள்ளடக்கிய ஒரு ஐகென் மதிப்பு சிக்கல் நேரியல் சுயாதீனமான ஐகென் வெக்டர்களைக் கொண்டிருப்பதற்கான உத்தரவாதம் இல்லை, இருப்பினும் போதுமான நிபந்தனை அது மற்றும் ஒரே நேரத்தில் மூலைவிட்டமாக இருக்க வேண்டும். தொடர்ச்சியான ஐகென் மதிப்புகளின் வழக்கு ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களின் இடையூறுக்கான ரெல்லிச்சின் தொழில்நுட்ப அறிக்கை பல எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. அடிப்படை உதாரணங்கள் அத்தியாயம் 2 இல் உள்ளன. அறிக்கையை archive.org இலிருந்து பதிவிறக்கம் செய்யலாம். ஐகென் வெக்டர்கள் மோசமான நடத்தையைக் கொண்ட ஒரு உதாரணத்தை நாம் வரைகிறோம். எடுத்துக்காட்டு 1 பின்வரும் மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸில் ஐகென் மதிப்புகளைச் சேர்ந்த ஐகென் வெக்டர்கள் உள்ளன. முறையே ஏதேனும் இயல்பாக்கப்பட்ட ஐகென் வெக்டர்கள் இருந்தால், அவை எங்கு உண்மையானவை என்பதை வரையறுப்பது வெளிப்படையாக சாத்தியமற்றது, ஒரு வரம்பிற்குச் செல்லும் வகையில் சொல்லுங்கள், ஏனெனில் இந்த எடுத்துக்காட்டில் குறிப்புக்கு வரம்பு இல்லை, இது தொடர்ச்சியானது மட்டுமல்ல, அனைத்து ஆர்டர்களின் தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டுள்ளது. ரெல்லிச் பின்வரும் முக்கியமான விளைவை வரைகிறார். <<பொதுவாக தனிப்பட்ட ஐகென் வெக்டர்கள் ஆபரேட்டர் செய்தாலும், தொடர்ந்து பெர்டர்பேஷன் அளவுருவைச் சார்ந்து இல்லை என்பதால், ஒரு ஐகென் வெக்டருடன் அல்ல, மாறாக ஒரே ஐகென் மதிப்பைச் சேர்ந்த அனைத்து ஐகென் வெக்டர்களாலும் பரவியிருக்கும் இடத்துடன் வேலை செய்வது அவசியம். >> எடுத்துக்காட்டு 2 இந்த உதாரணம் முந்தைய உதாரணத்தை விட குறைவான மோசமானதாக இருக்கிறது. 2x2 அடையாள அணி என்று வைத்துக்கொள்வோம், எந்த திசையனும் ஒரு ஐகென் வெக்டர்; பின்னர் ஒரு சாத்தியமான ஐகென் வெக்டர். ஆனால் ஒருவர் ஒரு சிறிய இடையூறுகளை ஏற்படுத்தினால், அதாவது ஐஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் அவை நிலையானவை, எனவே அவை நிலையானவை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லாது. பெர்டர்பஷன் கோட்பாடு (குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ்) பாயர்-ஃபைக் தேற்றம் குறிப்புகள் ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். மேலும் புத்தகங்களைப் படியுங்கள். பாட்டியா, ஆர். (1987). மேட்ரிக்ஸ் ஐகென் மதிப்புகளுக்கான இடையூறு வரம்புகள். சியாம். அறிக்கை இதழ் ஆவணங்கள் சைமன், பி. (1982). பெரிய வரிசைகள் மற்றும் ஐகென் மதிப்பு இடையூறு கோட்பாட்டின் சுருக்கம்ஃ ஒரு கணித கண்ணோட்டம். குவாண்டம் வேதியியலின் சர்வதேச இதழ், 21 (1), 3-25. கிராண்டல், எம். ஜி., & ராபினோவிட்ஸ், பி. எச். (1973). இருமுனைப்பு, எளிய ஐகென் மதிப்புகளின் இடையூறு மற்றும் நேரியல் நிலைத்தன்மை. பகுத்தறிவு இயக்கவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வுக்கான காப்பகம், 52 (2), 161-180. ஸ்டீவர்ட், ஜி. டபிள்யூ. (1973). சில ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களுடன் தொடர்புடைய துணை இடங்களுக்கான பிழை மற்றும் இடையூறு வரம்புகள். SIAM மதிப்பாய்வு, 15 (4), 727-764. லோடின், பி. ஓ. 1962). இடையூறு கோட்பாட்டில் ஆய்வுகள். IV. ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர் ஃபார்மலிசம் மூலம் ஐகென் மதிப்பு சிக்கலின் தீர்வு. கணித இயற்பியல் இதழ், 3 (5), 969-982. இடையூறு கோட்பாடு வேறுபட்ட கால்குலஸ் பல்வகையான கால்குலஸ் நேரியல் இயற்கணிதம் எண் நேரியல் இயற்கணிதம்