Monodromy theorem
சிக்கலான பகுப்பாய்வில், மோனோட்ரோமி தேற்றம் ஒரு பெரிய தொகுப்புக்கு ஒரு சிக்கலான-பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியைப் பற்றிய ஒரு முக்கியமான விளைவாகும். யோசனை என்னவென்றால், ஒரு சிக்கலான-பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டை (இங்கிருந்து வெறுமனே பகுப்பாய்வு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது) செயல்பாட்டின் அசல் களத்தில் தொடங்கி பெரிய தொகுப்பில் முடிவடையும் வளைவுகளுடன் நீட்டிக்க முடியும். ஒரு வளைவு மூலோபாயத்துடன் இந்த பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் சாத்தியமான சிக்கல் என்னவென்றால், பொதுவாக பல வளைவுகள் உள்ளன, அவை பெரிய தொகுப்பில் ஒரே புள்ளியில் முடிவடைகின்றன. மோனோட்ரோமி தேற்றம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அதே மதிப்பைக் கொடுக்க பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிக்கு போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்குகிறது, அங்கு பெற பயன்படுத்தப்படும் வளைவைப் பொருட்படுத்தாமல், இதன் விளைவாக நீட்டிக்கப்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்டு ஒற்றை மதிப்புடையதாக இருக்கும். இந்த தேற்றத்தைக் குறிப்பிடுவதற்கு முன், ஒரு வளைவில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியை வரையறுத்து அதன் பண்புகளை ஆய்வு செய்வது அவசியம். ஒரு வளைவில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி ஒரு வளைவில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் வரையறை சற்று தொழில்நுட்பமானது, ஆனால் அடிப்படை யோசனை என்னவென்றால், ஒருவர் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டுடன் தொடங்குகிறார், மேலும் அந்த வளைவை உள்ளடக்கிய சிறிய ஒன்றுடன் ஒன்று வட்டுகளில் வரையறுக்கப்பட்ட பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகள் வழியாக ஒரு வளைவில் அந்த செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்துகிறார். முறைப்படி, ஒரு வளைவைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் (ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு) ஒரு திறந்த வட்டில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒன்று உள்ளது, அது (இது ஒரு வெற்று குறுக்குவெட்டைக் குறிக்கிறது) மற்றும் செயல்பாடுகள் மற்றும் குறுக்குவெட்டில் ஒத்துப்போகின்றன ஒரு வளைவில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியின் பண்புகள் ஒரு வளைவில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி அடிப்படையில் தனித்துவமானது, அதாவது இரண்டு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளுடன் மற்றும் முறைசாரா முறையில் ஒத்துப்போகின்றன, இது எந்த இரண்டு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகளும் ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் ஒரே மதிப்புகளுடன் முடிவடையும் என்று கூறுகிறது வளைவு மூடப்பட்டிருந்தால் (அதாவது,), ஒருவர் ஒரு சுற்றுப்புறத்தில் சமமாக இருக்க வேண்டியதில்லை எடுத்துக்காட்டாக, ஒருவர் ஒரு புள்ளியில் தொடங்கினால் மற்றும் இந்த புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சிக்கலான மடக்கை இருந்தால், ஒன்று தோற்றத்தை மையமாகக் கொண்ட ஆரம் வட்டமாக இருக்கட்டும் (பயணித்த எதிர் கடிகாரம்) மோனோட்ரோமி தேற்றம் முன்பு குறிப்பிட்டபடி, ஒரே வளைவில் இரண்டு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகள் வளைவின் இறுதிப் புள்ளியில் ஒரே முடிவை அளிக்கின்றன. இருப்பினும், ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட அதே புள்ளியில் இருந்து பிரியும் இரண்டு வெவ்வேறு வளைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால், வளைவுகள் இறுதியில் மீண்டும் இணைக்கப்படுவதால், இரண்டு வளைவுகளுடன் அந்த செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகள் அவற்றின் பொதுவான இறுதிப் புள்ளியில் ஒரே மதிப்பைத் தரும் என்பது பொதுவாக உண்மையல்ல. உண்மையில், முந்தைய பகுதியைப் போலவே, ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சிக்கலான மடக்கை மற்றும் தோற்றம் மற்றும் ஆரம் மையமாகக் கொண்ட வட்டம் ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். எவ்வாறாயினும், தொடக்க புள்ளிகள் மற்றும் இறுதி புள்ளிகளை நிலையாக வைத்திருக்கும்போது ஒருவர் ஒரு வளைவை மற்றொன்றாக தொடர்ந்து சிதைக்க முடியும், மேலும் ஒவ்வொரு இடைநிலை வளைவுகளிலும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி சாத்தியமாகும், பின்னர் இரண்டு வளைவுகளிலும் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகள் அவற்றின் பொதுவான இறுதிப் புள்ளியில் ஒரே முடிவுகளைத் தரும். இது மோனோட்ரோமி தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதன் அறிக்கை கீழே துல்லியமாக செய்யப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட சிக்கலான தளத்தில் ஒரு திறந்த வட்டு இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடாக இருக்கட்டும். சிக்கலான தளத்தில் மற்றொரு புள்ளியாக இருக்கட்டும். அனைத்து செயல்பாடுகளுக்கும் தொடர்ச்சியான வளைவுகளின் குடும்பம் இருந்தால், ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியைச் செய்ய முடியும், பின்னர் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சிகள் மற்றும் அதே மதிப்புகளைக் கொடுக்கும் மோனோட்ரோமி தேற்றம் செயல்பாட்டின் அசல் களத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியை பெரிய தொகுப்பில் உள்ள புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் வளைவுகள் வழியாக ஒரு பெரிய தொகுப்புக்கு ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டை நீட்டிக்க உதவுகிறது. கீழே உள்ள தேற்றம் மோனோட்ரோமி தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட சிக்கலான தளத்தில் ஒரு திறந்த வட்டு இருக்கட்டும் மற்றும் ஒரு சிக்கலான பகுப்பாய்வு செயல்பாடாக இருக்கட்டும். எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட ஒரு திறந்த தொகுப்பு இருந்தால், அதில் தொடங்கும் எந்த வளைவிலும் ஒரு பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியைச் செய்ய முடியும் என்றால், ஒரு சிக்கலான-பகுப்பாய்வு செயல்பாடு உள்ளது என்பதற்கான நேரடி பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சியை ஒப்புக்கொள்கிறது, அதன் கட்டுப்பாடு சிக்கலான பகுப்பாய்வில் கணித தேற்றங்களின் கலைக்களஞ்சியத்தில் கணித உலக மோனோட்ரோமி தேற்றத்தில் மோனோட்ரோமி தேற்றத்தை இணைக்கிறது.