Lift (mathematics)
வகைக் கோட்பாட்டில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஒரு உருவகம் f: X → Y மற்றும் ஒரு உருவகம் g: Z → Y கொடுக்கப்பட்டால், f ஐ Z க்கு உயர்த்துவது அல்லது உயர்த்துவது என்பது ஒரு உருவகம் h: X → Z ஆகும். h மூலம் f காரணிகள் என்று நாம் கூறுகிறோம். இடவியல் ஒரு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு ஒரு இடவியல் இடத்தில் ஒரு பாதையை ஒரு மூடும் இடத்தில் ஒரு பாதைக்கு உயர்த்துவதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோளத்தில் எதிர் புள்ளிகளை ஒரே புள்ளிக்கு வரைபடமாக்குவதைக் கவனியுங்கள், இது ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனை உள்ளடக்கிய கோளத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடமாகும். ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் உள்ள ஒரு பாதை அலகு இடைவெளியில் [0,1] இருந்து ஒரு தொடர்ச்சியான வரைபடமாகும். பாதையின் முதல் புள்ளிக்கு வரைபடமாக்கப்பட்ட இரண்டு கோள புள்ளிகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் கோளத்திற்கு அத்தகைய பாதையை நாம் உயர்த்தலாம், பின்னர் தொடர்ச்சியைப் பராமரிக்கலாம். இந்த வழக்கில், இரண்டு தொடக்க புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும் கோளத்தில் ஒரு தனித்துவமான பாதையை கட்டாயப்படுத்துகின்றன, இது ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேனில் பாதையின் லிப்ட் ஆகும். எனவே தொடர்ச்சியான வரைபடங்களைக் கொண்ட இடவியல் இடைவெளிகளின் பிரிவில், லிஃப்ட்கள் எங்கும் உள்ளன; எடுத்துக்காட்டாக, ஃபைப்ரேஷன்களின் வரையறை (ஹோமோடோபி லிஃப்டிங் ப்ராபர்ட்டியைப் பார்க்கவும்) மற்றும் திட்டங்களின் பிரிக்கப்பட்ட மற்றும் சரியான வரைபடங்களின் மதிப்புமிக்க அளவுகோல்கள் இருப்பு மற்றும் (கடைசி வழக்கில்) சில லிஃப்ட்களின் தனித்துவத்தின் அடிப்படையில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. இயற்கணித இடவியல் மற்றும் ஹோமோலாஜிக்கல் இயற்கணிதத்தில், டென்சர் பெருக்கல் மற்றும் ஹோம் ஃபங்க்டர் ஆகியவை அருகருகே உள்ளன; இருப்பினும், அவை எப்போதும் ஒரு சரியான வரிசைக்கு உயர்த்தப்படாமல் போகலாம். இது எக்ஸ்டின் ஃபன்க்டர் மற்றும் டோர் ஃபன்க்டரின் வரையறைக்கு வழிவகுக்கிறது. இயற்கணித தர்க்கம் முதல்-வரிசை முன்கணிப்பு தர்க்கத்தின் குறியீடுகள் அளவீடுகள் நிறுவப்பட்ட களங்கள் மற்றும் பைனரி உறவுகளின் வரம்புகளுக்கு தரமிறக்கப்படும்போது நெறிப்படுத்தப்படுகின்றன. குந்தர் ஷ்மிட் மற்றும் மைக்கேல் விண்டர் ஆகியோர் தங்கள் புத்தகமான ரிலேஷனல் டோபாலஜியில் உறவுகளின் கால்குலஸுக்கு இடவியலின் பாரம்பரிய தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடுகளை உயர்த்தும் முறையை விளக்கியுள்ளனர். அவை "கருத்துகளை ஒரு தொடர்புடைய நிலைக்கு உயர்த்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன, அவை புள்ளிகள் சுதந்திரமாகவும் அளவீட்டு சுதந்திரமாகவும் இருக்கும், இதனால் அவை முதல் வரிசை முன்கணிப்பு தர்க்கத்தின் பாணியிலிருந்து விடுவிக்கப்பட்டு இயற்கணித பகுத்தறிவின் தெளிவை அணுகுகின்றன". எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகுதியளவு செயல்பாடு எம் என்பது எம் வரம்பில் உள்ள அடையாள உறவைக் குறிக்கும் சேர்க்கைக்கு ஒத்திருக்கிறது. "அளவீட்டிற்கான குறியீடு மறைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் தொடர்புடைய செயல்பாடுகள் (இங்கே இடமாற்றம் மற்றும் கலவை) மற்றும் அவற்றின் விதிகளின் தட்டச்சு செய்வதில் ஆழமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது". வட்ட வரைபடங்கள் ஒரு வட்டத்தின் வரைபடங்களுக்கு, உண்மையான கோட்டிற்கு ஒரு லிப்ட் வரையறை சற்று வித்தியாசமானது (ஒரு பொதுவான பயன்பாடு சுழற்சி எண்ணைக் கணக்கிடுவதாகும்). ஒரு வட்டத்தில் ஒரு வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, ஒரு லிப்ட், என்பது உண்மையான கோட்டில் உள்ள எந்த வரைபடத்தையும் குறிக்கிறது, இதற்காக ஒரு திட்டம் (அல்லது, உள்ளடக்கிய வரைபடம்) உள்ளது. கவரிங் ஸ்பேஸ் ப்ரொஜெக்டிவ் தொகுதியையும் பார்க்கவும் முறைப்படி மென்மையான வரைபடம் ஒரு மிகச்சிறிய லிஃப்டிங் சொத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. மான்ஸ்கி-வாஷ்னிட்ஸர் கோஹோமோலஜி வகைகளில் லிஃப்டிங் ப்ராபர்ட்டி பி-அடிக் வகைகளை பண்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு உயர்த்துகிறது. எஸ். பி. ஐ வளையம் ஜேகப்சன் ரேடிக்கலுக்கு மேலே ஐடெம்போட்டன்ட்களை உயர்த்த அனுமதிக்கிறது. ஐகேடா லிப்ட் மியாவாகி லிப்ட் சீகல் மாடுலர் வடிவங்களின் சைட்டோ-குரோகாவா லிப்ட் மாடுலர் வடிவங்களின் சுழற்சி எண் வட்டத்தின் ஹோமியோமார்பிசத்தை உண்மையான கோட்டிற்கு உயர்த்துவதைப் பயன்படுத்துகிறது. எண்கணித வடிவியல்ஃ ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் (1995) மாடுலாரிட்டி லிஃப்டிங் ஹென்சலின் லெம்மா மோனாட் (செயல்பாட்டு நிரலாக்கம்) எளிய ஆபரேட்டர்களை மோனடிக் வடிவத்திற்கு உயர்த்த வரைபட செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. குறிப்புகள் வகைக் கோட்பாடு