Standard probability space
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளி, லெபெஸ்கூ-ரோக்லின் நிகழ்தகவு இடைவெளி அல்லது லெபெஸ்கூ இடைவெளி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (பிந்தைய சொல் தெளிவற்றது) 1940 இல் விளாடிமிர் ரோக்லின் அறிமுகப்படுத்திய சில அனுமானங்களை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளி ஆகும். முறைசாரா முறையில், இது ஒரு இடைவெளி மற்றும்/அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய அணுக்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்தகவு இடமாகும். நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் கோட்பாடு 1932 இல் வான் நியூமனால் தொடங்கப்பட்டது மற்றும் 1940 இல் விளாடிமிர் ரோக்லினால் வடிவமைக்கப்பட்டது. லெபெஸ்கூ அளவினால் வழங்கப்பட்ட அலகு இடைவெளி பொதுவான நிகழ்தகவு இடைவெளிகளை விட முக்கியமான நன்மைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை ரோக்லின் காட்டினார், இருப்பினும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் இவற்றில் பலவற்றிற்கு திறம்பட மாற்றப்படலாம். நோர்பர்ட் வீனருக்கு ஏற்கனவே தெளிவாக இருந்தபடி, அலகு இடைவெளியின் பரிமாணம் ஒரு தடையாக இல்லை. அவர் வீனர் செயல்முறையை (பிரவுனியன் இயக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறார்) அலகு இடைவெளியில் இருந்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இடம் வரை அளவிடக்கூடிய வரைபடத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்கினார். நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் கோட்பாடு 1932 இல் வான் நியூமனால் தொடங்கப்பட்டது மற்றும் 1940 இல் விளாடிமிர் ரோக்லினால் வடிவமைக்கப்பட்டது. நவீனமயமாக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சிகளுக்கு பார்க்கவும், மற்றும். இப்போதெல்லாம் நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் விளக்கமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பில் சிகிச்சையளிக்கப்படலாம் (மற்றும் பெரும்பாலும்), நிலையான போரெல் இடைவெளிகள் வழியாக, எடுத்துக்காட்டாக பார்க்கவும். இந்த அணுகுமுறை நிலையான போரெல் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசம் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அளவீட்டுக் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட ரோக்லினின் மாற்று அணுகுமுறை, விளக்கமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டிற்கு மாறாக, பூஜ்ய தொகுப்புகளை புறக்கணிக்கிறது. நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் எர்கோடிக் கோட்பாட்டில் வழக்கமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வரையறை தரநிலையின் பல நன்கு அறியப்பட்ட சமமான வரையறைகளில் ஒன்று சில தயாரிப்புகளுக்குப் பிறகு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அனைத்து நிகழ்தகவு இடங்களும் முழுமையானவை என்று கருதப்படுகிறது. ஐசோமார்பிசம் இரண்டு நிகழ்தகவு இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான ஒரு ஐசோமார்பிசம், இது ஒரு தலைகீழ் வரைபடமாகும், இது (அளவிடக்கூடியது மற்றும்) வரைபடங்களைப் பாதுகாக்கும் அளவீடு ஆகும். இரண்டு நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் இடையே ஒரு ஐசோமார்பிசம் இருந்தால் அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும். ஐசோமார்பிசம் மாடுலோ பூஜ்ஜியம் இரண்டு நிகழ்தகவு இடைவெளிகள், பூஜ்ய தொகுப்புகள் இருந்தால் ஐசோமார்பிக் ஆகும், அதாவது நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் ஐசோமார்பிக் ஆகும் (இயற்கையாகவே சிக்மா-புலங்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகளுடன் வழங்கப்படுகிறது). நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளி ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளி நிலையானது, அது லெபெஸ்கூ அளவீட்டுடன் ஒரு இடைவெளிக்கு ஐசோமார்பிக் என்றால், ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடிய அணுக்களின் தொகுப்பு அல்லது இரண்டின் கலவையாகும் (டிஸ்ஜோயின்ட் யூனியன்). பாருங்கள், மற்றும். மேலும் காண்க, மற்றும். அளவீட்டில் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, நிகழ்தகவு அவசியமில்லை. அணுக்களில் அனுமதிக்கப்படுவதில்லை. தரமற்ற நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஒரு அப்பாவியான வெள்ளை சத்தம் அனைத்து செயல்பாடுகளின் இடமும் உண்மையான கோட்டின் நகல்களின் தொடர்ச்சியின் விளைபொருளாக கருதப்படலாம். ஒருவர் ஒரு நிகழ்தகவு அளவீட்டை வழங்கலாம், அதாவது, நிலையான இயல்பான விநியோகம், மற்றும் செயல்பாடுகளின் இடத்தை ஒரே மாதிரியான நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் தொடர்ச்சியின் விளைபொருளாக கருதலாம். தயாரிப்பு அளவீடு என்பது ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும். அப்பாவித்தனமாக இது வெள்ளை சத்தத்தை விவரிக்கிறது என்று தோன்றலாம். இருப்பினும், 0 முதல் 1 வரையிலான ஒரு வெள்ளை இரைச்சல் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு சீரற்ற மாறி விநியோகிக்கப்பட்ட N (0,1) ஆக இருக்க வேண்டும். இதற்கு மாறாக, ஒருங்கிணைப்பு (0 முதல் 1 வரை) வரையறுக்கப்படவில்லை. f கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக அளவிடத் தவறிவிட்டது, மேலும் f அளவிடக்கூடியதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு வரையறுக்கப்படவில்லை. உண்மையில், X என்பது (0,1) இல் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்பட்ட (சொல்லுங்கள்) மற்றும் f இலிருந்து சுயாதீனமாக இருந்தால், f (X) ஒரு சீரற்ற மாறி அல்ல (அதற்கு அளவிடுதல் இல்லை). ஒரு துளையிடப்பட்ட இடைவெளி ஒரு தொகுப்பாக இருக்கட்டும், அதன் உள் லெபெஸ்கூ அளவீடு 0 க்கு சமம், ஆனால் வெளிப்புற லெபெஸ்கூ அளவீடு 1 க்கு சமம் (எனவே, அளவிட முடியாதது முதல் தீவிரமானது). ஒவ்வொரு லெபெஸ்குவுக்கும் அளவிடக்கூடிய ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு உள்ளது. (இங்கே லெபெஸ்கூ அளவீடு.) நிகழ்தகவு இடத்தில் நிகழ்வுகள் மற்றும் சீரற்ற மாறிகள் (சிகிச்சையளிக்கப்பட்டவை) நிகழ்தகவு இடத்தில் நிகழ்வுகள் மற்றும் சீரற்ற மாறிகளுடன் இயற்கையான ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்புடையவை. நிகழ்தகவு இடம் அவ்வளவு சிறந்தது என்று தோன்றலாம். எனினும், அது இல்லை. வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை அளவீடு, ஒரு ஒற்றை அணு (அட்) ஆகும், இது அடிப்படை நிகழ்தகவு இடமாகும். இருப்பினும், அதற்கு பதிலாக பயன்படுத்தப்பட்டால், நிபந்தனை அளவீடு எப்போது இருக்காது. ஒரு துளையிடப்பட்ட வட்டம் இதேபோல் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் நிகழ்வுகள் மற்றும் சீரற்ற மாறிகள் வழக்கமான வட்டத்தில் இருப்பதைப் போலவே இருக்கும். சுழற்சிகளின் குழு இயற்கையாகவே அவற்றின் மீது செயல்படுகிறது. இருப்பினும், இது துளையிடப்பட்ட வட்டத்தில் செயல்படத் தவறிவிட்டது. இதையும் பார்க்கவும். ஒரு மிதமிஞ்சிய அளவிடக்கூடிய தொகுப்பு முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே இருக்கட்டும். லெபஸ்கூ அளவிடக்கூடிய தன்னிச்சையான தொகுப்புகள் மற்றும் வடிவத்தின் தொகுப்புகள், ஒரு σ-இயற்கணிதம், இது லெபஸ்கூ σ-இயற்கணிதம் மற்றும் இந்த சூத்திரம் லெபஸ்கூ அளவை விரிவுபடுத்தும் ஒரு நிகழ்தகவு அளவின் பொதுவான வடிவத்தை வழங்குகிறது; இங்கே ஒரு அளவுரு உள்ளது. குறிப்பாகச் சொல்வதானால், லெபெஸ்கூ நடவடிக்கையின் அத்தகைய நீட்டிப்பு குறைந்தபட்சம் பாதிப்பில்லாதது என்று தோன்றலாம். இருப்பினும், இது மாறுவேடத்தில் துளையிடப்பட்ட இடைவெளி. வரைபடம் என்பது செட் மற்றும் துளையிடப்பட்ட இடைவெளிக்கு இடையிலான ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும், இது உள் லெபெஸ்கூ அளவீட்டின் மற்றொரு தொகுப்பு 0 ஆனால் வெளிப்புற லெபெஸ்கூ அளவீடு 1 ஆகும். இதையும் பார்க்கவும். தரநிலையின் ஒரு அளவுகோல் கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு இடத்தின் தரநிலையானது அளவிடக்கூடிய இடத்திலிருந்து அளவிடக்கூடிய வரைபடத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட பண்புக்கு சமம். இந்த உண்மை மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளது; கொடுக்கப்பட்ட மற்றும் அனைத்து நிகழ்வுகளையும் ஆராய வேண்டிய அவசியமில்லை என்ற விருப்பத்திற்கு ஏற்ப ஒருவர் மாற்றியமைக்கலாம். ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு சீரற்ற திசையன் ஒரு சீரற்ற வரிசை அல்லது இரண்டு மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையாகக் கருதப்படும் நிகழ்வுகளின் வரிசையை ஆராய்வது வசதியாக இருக்கலாம், இரண்டு நிபந்தனைகள் விதிக்கப்படும் (உட்செலுத்துதல் மற்றும் உருவாக்குதல்). கீழே அது கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கருதப்படுகிறது. அதன் இருப்பு பற்றிய கேள்வி பின்னர் தீர்க்கப்படும். நிகழ்தகவு இடைவெளி முழுமையானதாக கருதப்படுகிறது (இல்லையெனில் அது நிலையானதாக இருக்க முடியாது). ஒரு ஒற்றை சீரற்ற மாறி ஒரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு ஒரு முன்னோக்கி அளவைத் தூண்டுகிறது,-போரெல் செட்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு அளவீடு அதாவது. சீரற்ற மாறியின் விநியோகம். படம் எப்போதும் முழு வெளிப்புற அளவின் தொகுப்பாகும், ஆனால் அதன் உள் அளவீடு வேறுபடலாம் (துளையிடப்பட்ட இடைவெளியைப் பார்க்கவும்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முழு அளவின் தொகுப்பாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அனைத்து போரெல் தொகுப்புகளிலும் இயங்கும் தலைகீழ் படங்களின் σ-இயற்கணிதத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு உருவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எச்சரிக்கை. பின்வரும் நிபந்தனை உருவாக்குவதற்கு போதுமானதாக இல்லைஃ ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு போரெல் தொகுப்பு உள்ளது (சமச்சீர் வேறுபாடு என்று பொருள்). தேற்றம். அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு உட்செலுத்தும் மற்றும் உருவாக்கும் செயல்பாடாக இருக்கட்டும், பின்னர் பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் சமமானவைஃ உட்புற அளவும் முழு அளவைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் படம் நிறைவைப் பொறுத்தவரை அளவிடக்கூடியது); இது ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாகும். இதையும் பார்க்கவும். ஒரு சீரற்ற திசையன் அதே தேற்றம் ஏதேனும் (பதிலாக) உள்ளது. ஒரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு சீரற்ற மாறிகளின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையாக கருதப்படலாம், மேலும் ஒரு சீரற்ற வரிசையால் உருவாக்கப்பட்ட σ-இயற்கணிதத்தின் நிறைவாக இருந்தால் மட்டுமே அது உருவாக்கப்படுகிறது. ஒரு அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு சீரற்ற மாறிகளின் எல்லையற்ற வரிசையாக கருதப்படலாம் மற்றும் நிகழ்வுகளின் வரிசையால் உருவாக்கப்பட்ட σ-இயற்கணிதத்தின் நிறைவாக இருந்தால் மட்டுமே உருவாக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, சீரற்ற மாறிகள் 0 மற்றும் 1 ஆகிய இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுத்துக் கொண்டால், அளவிடக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் தொகுப்புகளின் வரிசை ஆகியவற்றைக் கையாள்வோம். ஒரு அடிப்படை முழுமையான மட்டு 0 என்று அழைக்கப்படுகிறது, முழு அளவீட்டில் இருந்தால் பார்க்கவும். அதே பிரிவில் ரோக்லின் ஒரு நிகழ்தகவு இடைவெளி சில அடிப்படைகளைப் பொறுத்தவரை முழுமையான மட்டு 0 ஆக இருந்தால், அது மற்ற ஒவ்வொரு அடிப்படையையும் பொறுத்தவரை முழுமையான மட்டு 0 என்று நிரூபித்தார், மேலும் இந்த முழுமையான பண்பு மூலம் லெபெஸ்கூ இடைவெளிகளை வரையறுக்கிறார். மேலும் பார்க்கவும். மேலே விவரிக்கப்பட்ட நான்கு நிகழ்வுகளும் பரஸ்பர சமமானவை, மேலும் அவை ஒன்றிணைக்கப்படலாம், ஏனெனில் அளவிடக்கூடிய இடைவெளிகள் மற்றும் பரஸ்பர ஐசோமார்பிக் ஆகும்; அவை அனைத்தும் நிலையான அளவிடக்கூடிய இடைவெளிகள் (வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலையான போரெல் இடைவெளிகள்). ஒரு ஊசி அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டின் இருப்பு ஒரு நிலையான அளவிடக்கூடிய இடத்திலிருந்து தேர்வு செய்வதைப் பொறுத்தது அல்ல, நாம் எண்ணற்ற முறையில் பிரிக்கப்படுவதாக நன்கு அறியப்பட்ட பண்பைப் பெறுகிறோம் (ஆனால் பிரிக்கக்கூடியதாக அழைக்கப்படுகிறது). ஒரு நிலையான அளவிடக்கூடிய இடத்திலிருந்து அளவிடக்கூடிய செயல்பாட்டை உருவாக்குவதும் தேர்வு செய்வதைப் பொறுத்தது அல்ல, கணக்கிடக்கூடிய வகையில் உருவாக்கப்படுகிறது (மாட் 0) என்று நன்கு அறியப்பட்ட பண்பைப் பெறுகிறோம், பார்க்கவும். ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடத்திலிருந்து ஒரு நிலையான அளவிடக்கூடிய இடம் வரை ஒவ்வொரு ஊசி அளவிடக்கூடிய செயல்பாடும் உருவாக்கப்படுகிறது. பார்,,. மேலே உள்ள "ஒரு மிதமிஞ்சிய அளவிடக்கூடிய தொகுப்பு" என்ற உட்பிரிவில் கையாளப்பட்ட தரமற்ற நிகழ்தகவு இடத்திற்கு இந்த பண்பு பொருந்தாது. எச்சரிக்கை. மாட் 0 ஐசோமார்பிசம்களின் கீழ் எண்ணற்ற முறையில் உருவாக்கப்படுவதன் பண்பு மாறாதது, ஆனால் எண்ணற்ற முறையில் பிரிக்கப்படுவதன் பண்பு இல்லை. உண்மையில், கார்டினாலிட்டி தொடர்ச்சியை மீறவில்லை என்றால் மட்டுமே ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடம் எண்ணற்ற முறையில் பிரிக்கப்படுகிறது (பார்க்க). ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடத்தில் எந்தவொரு கார்டினாலிட்டியின் பூஜ்ய தொகுப்பும் இருக்கலாம், எனவே, அது எண்ணற்ற வகையில் பிரிக்கப்பட வேண்டியதில்லை. இருப்பினும், இது எப்போதும் முழு அளவின் எண்ணற்ற பிரிக்கப்பட்ட துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. சமமான வரையறைகள் ஒரு முழுமையான நிகழ்தகவு இடமாக இருக்கட்டும், அதாவது கார்டினாலிட்டி தொடர்ச்சியை மீறாது (பொதுவான வழக்கு இந்த சிறப்பு வழக்குக்கு குறைக்கப்படுகிறது, மேலே உள்ள எச்சரிக்கையைப் பார்க்கவும்). முழுமையான அளவீட்டு வரையறை மூலம். இது எண்ணற்ற அளவில் பிரிக்கப்பட்டு, எண்ணற்ற அளவில் உருவாக்கப்பட்டு, முற்றிலும் அளவிடக்கூடியதாக இருந்தால் அது தரமானதாக இருக்கும். பாருங்கள் மற்றும். "முற்றிலும் அளவிடக்கூடியது" என்றால்ஃ எண்ணற்ற முறையில் பிரிக்கப்பட்ட, எண்ணற்ற முறையில் உருவாக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு இடத்தில் அளவிடக்கூடியது. முழுமையின் வரையறை மூலம். இது எண்ணற்ற அளவில் பிரிக்கப்பட்டு சரியானதாக இருந்தால் நிலையானதாக இருக்கும். பாருங்கள். "சரியானது" என்பது பட அளவீட்டில் இருந்து அளவிடக்கூடிய ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் வழக்கமானதாகும். (இங்கே போரெல் கட்டமைப்பைப் பொருட்படுத்தாமல், தலைகீழ் படங்களைச் சேர்ந்த அனைத்து தொகுப்புகளிலும் பட அளவீடு வரையறுக்கப்படுகிறது). இடவியல் வரையறை வழியாக. இடவியல் இடைவெளி அளவிடக்கூடிய வகையில் ஒரு இடவியல் இருந்தால் அது நிலையானதாகும்; (அதாவது, அனைத்து திறந்த தொகுப்புகளாலும்) உருவாக்கப்படும் σ-இயற்கணிதத்தின் நிறைவு; ஒவ்வொன்றிற்கும் பார்க்க ஒரு சிறிய தொகுப்பு உள்ளது. தரநிலையை சரிபார்ப்பது இடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு நிகழ்தகவு விநியோகமும் அதை ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாக மாற்றுகிறது. (இங்கே, நிகழ்தகவு விநியோகம் என்பது போரெல் சிக்மா-இயற்கணிதத்தில் ஆரம்பத்தில் வரையறுக்கப்பட்டு முடிக்கப்பட்ட ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும்.) ஒவ்வொரு போலிஷ் இடத்திலும் இது பொருந்தும், பார்க்கவும், மற்றும். எடுத்துக்காட்டாக, வீனர் அளவீடு போலந்து இடத்தை (உள்ளூர் சீரான ஒருங்கிணைப்பின் இடவியல் கொண்ட அனைத்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின்) ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாக மாற்றுகிறது. மற்றொரு எடுத்துக்காட்டுஃ சீரற்ற மாறிகளின் ஒவ்வொரு வரிசைக்கும், அவற்றின் கூட்டு விநியோகம் போலிஷ் இடத்தை (வரிசைகளின்; தயாரிப்பு இடவியல் வழங்கப்பட்ட) ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாக மாற்றுகிறது. (எனவே, நிலப்பரப்பு இடங்களுக்கு மிகவும் இயற்கையான பரிமாணத்தின் யோசனை, நிலையான நிகழ்தகவு இடங்களுக்கு முற்றிலும் பொருத்தமற்றது.) இரண்டு நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகளின் பெருக்கல் ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாகும். எண்ணற்ற பல இடைவெளிகளின் பெருக்கலுக்கும் இதுவே பொருந்தும், பார்க்கவும், மற்றும். ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடத்தின் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழு ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாகும். செட் ஒரு பூஜ்ய செட் அல்ல என்று கருதப்படுகிறது, மேலும் நிபந்தனை அளவீடு வழங்கப்படுகிறது. பாருங்கள் மற்றும். ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் ஒவ்வொரு நிகழ்தகவு அளவும் அதை ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடமாக மாற்றுகிறது. நிலையான வழக்கமான நிபந்தனை நிகழ்தகவுகளைப் பயன்படுத்துதல் தனித்த அமைப்பில், நிபந்தனை நிகழ்தகவு மற்றொரு நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும், மேலும் நிபந்தனை எதிர்பார்ப்பை நிபந்தனை அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை (வழக்கமான) எதிர்பார்ப்பாகக் கருதலாம், நிபந்தனை எதிர்பார்ப்பைப் பார்க்கவும். தனித்துவமற்ற அமைப்பில், நிபந்தனை பெரும்பாலும் மறைமுகமாக சிகிச்சையளிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த நிலை நிகழ்தகவு 0 ஐக் கொண்டிருக்கலாம், நிபந்தனை எதிர்பார்ப்பைப் பார்க்கவும். இதன் விளைவாக, நன்கு அறியப்பட்ட பல உண்மைகள் சிறப்பு 'நிபந்தனை' சகாக்களைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாகஃ எதிர்பார்ப்பின் நேரியல் தன்மை; ஜென்சனின் சமத்துவமின்மை (நிபந்தனை எதிர்பார்ப்பைப் பார்க்கவும்); ஹோல்டரின் சமத்துவமின்மை; மோனோடோன் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் போன்றவை. ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தில் ஒரு சீரற்ற மாறி கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு நிபந்தனை அளவீட்டை உருவாக்க முயற்சிப்பது இயற்கையானது, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை விநியோகம். பொதுவாக இது சாத்தியமற்றது (பார்க்க). இருப்பினும், ஒரு நிலையான நிகழ்தகவு இடத்தைப் பொறுத்தவரை இது சாத்தியமாகும், மேலும் இது நிபந்தனைக்குட்பட்ட நிகழ்தகவு நடவடிக்கைகள் (பார்க்க), அளவின் சிதைவு (பார்க்க) மற்றும் வழக்கமான நிபந்தனை நிகழ்தகவுகள் (பார்க்க) ஆகியவற்றிற்கு சமமான அளவீடுகளின் நியதி அமைப்பு (பார்க்க) என்று நன்கு அறியப்படுகிறது. நிபந்தனைக்குட்பட்ட ஜென்சனின் சமத்துவமின்மை என்பது நிபந்தனை நடவடிக்கைக்கு பயன்படுத்தப்படும் (வழக்கமான) ஜென்சனின் சமத்துவமின்மை மட்டுமே. மற்ற பல உண்மைகளுக்கும் இது பொருந்தும். இரண்டு நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் மற்றும் ஒரு அளவீடு பாதுகாக்கும் வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டால், படம் முழுவதையும் மறைக்க வேண்டியதில்லை, அது ஒரு பூஜ்ய தொகுப்பை தவறவிடக்கூடும். இது 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று தோன்றலாம், ஆனால் அது அப்படி இல்லை. வெளிப்புற அளவீடு 1 க்கு சமம், ஆனால் உள் அளவீடு வேறுபடலாம். இருப்பினும், நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் நிலையானவை என்றால், பார்க்கவும். ஒன்றுக்கு ஒன்று என்றால், ஒவ்வொன்றும் திருப்தி அளிக்கிறது. எனவே, அளவிடக்கூடியது (மற்றும் பாதுகாப்பை அளவிடக்கூடியது). பாருங்கள் மற்றும். இதையும் பார்க்கவும். "ஒரு அளவீட்டு இடத்தில் 0 அளவின் தொகுப்புகளை புறக்கணிக்க ஒரு ஒத்திசைவான வழி உள்ளது". பூஜ்ய தொகுப்புகளை அகற்ற முயற்சிக்கும் கணிதவியலாளர்கள் பெரும்பாலும் அளவிடக்கூடிய தொகுப்புகள் அல்லது செயல்பாடுகளின் சமநிலை வகுப்புகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தின் அளவிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களின் சமநிலை வகுப்புகள் அளவீட்டு இயற்கணிதம் (அல்லது மெட்ரிக் அமைப்பு) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட முழுமையான பூலியன் இயற்கணிதத்தை உருவாக்குகின்றன. வரைபடத்தைப் பாதுகாக்கும் ஒவ்வொரு நடவடிக்கையும் அளவீட்டு ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒரே மாதிரியான தன்மைக்கு வழிவகுக்கிறது. அளவீட்டு ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஒவ்வொரு ஹோமோமார்பிசமும் சில அளவீடுகளைப் பாதுகாக்கும் வரைபடத்துடன் ஒத்திருக்க வேண்டும் என்று தோன்றலாம், ஆனால் அது அவ்வாறு இல்லை. இருப்பினும், நிலையான நிகழ்தகவு இடைவெளிகள் ஒவ்வொன்றும் சிலவற்றுடன் ஒத்திருக்கின்றன. பார்,,. குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். ரஷ்ய மொழியிலிருந்து மொழிபெயர்க்கப்பட்டதுஃ . . . . . . . . . . . பரிசோதனை (நிகழ்தகவு கோட்பாடு) அளவீட்டுக் கோட்பாடு