Optimal facility location
வசதி இருப்பிட சிக்கல்கள் பற்றிய ஆய்வு (எஃப். எல். பி), இருப்பிட பகுப்பாய்வு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி மற்றும் கணக்கீட்டு வடிவவியலின் ஒரு கிளையாகும், இது போக்குவரத்து செலவுகளைக் குறைக்க வசதிகளை உகந்த முறையில் வைப்பதில் அக்கறை கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் வீட்டுவசதி மற்றும் போட்டியாளர்களின் வசதிகளுக்கு அருகில் அபாயகரமான பொருட்களை வைப்பதைத் தவிர்ப்பது போன்ற காரணிகளைக் கருத்தில் கொள்கிறது. இந்த நுட்பங்கள் கிளஸ்டர் பகுப்பாய்விற்கும் பொருந்தும். குறைந்தபட்ச வசதி இருப்பிடம் ஒரு எளிய வசதி இருப்பிட சிக்கல் வெபர் சிக்கலாகும், இதில் ஒரு வசதி வைக்கப்பட வேண்டும், ஒரே உகப்பாக்கம் அளவுகோல் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி தளங்களின் தொகுப்பிலிருந்து தூரங்களின் எடையுள்ள கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதாகும். இந்த துறையில் பரிசீலிக்கப்படும் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில் பல வசதிகளை அமைத்தல், வசதிகளின் இருப்பிடங்களில் கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் மிகவும் சிக்கலான உகப்பாக்கம் அளவுகோல்கள் ஆகியவை அடங்கும். ஒரு அடிப்படை சூத்திரத்தில், வசதி இருப்பிட சிக்கல் என்பது ஒரு வசதியைத் திறக்கக்கூடிய சாத்தியமான வசதி தளங்கள் எல் மற்றும் சேவை செய்யப்பட வேண்டிய கோரிக்கை புள்ளிகள் டி ஆகியவற்றின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு கோரிக்கை புள்ளியிலிருந்தும் அதன் அருகிலுள்ள வசதிக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையையும், வசதிகளின் தொடக்க செலவுகளின் கூட்டுத்தொகையையும் குறைக்க, திறப்பதற்கான வசதிகளின் ஒரு துணை F ஐத் தேர்ந்தெடுப்பது குறிக்கோளாகும். பொதுவான வரைபடங்களில் உள்ள வசதி இருப்பிட சிக்கல், செட் கவர் சிக்கலில் இருந்து (எடுத்துக்காட்டாக) குறைப்பதன் மூலம் உகந்த முறையில் தீர்க்க NP-கடினமாக உள்ளது. வசதி இருப்பிட சிக்கல் மற்றும் அதன் பல வகைகளுக்கு பல தோராயமான வழிமுறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. வாடிக்கையாளர்களுக்கும் தளங்களுக்கும் இடையிலான தூரங்களின் தொகுப்பில் அனுமானங்கள் இல்லாமல் (குறிப்பாக, தூரங்கள் முக்கோண சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன என்று கருதாமல்), சிக்கல் மெட்ரிக் அல்லாத வசதி இருப்பிடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் ஒரு காரணி O (பதிவு n) க்குள் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம். செட் கவர் சிக்கலில் இருந்து தோராயமாக பாதுகாக்கும் குறைப்பு மூலம் இந்த காரணி இறுக்கமாக உள்ளது. வாடிக்கையாளர்களுக்கும் தளங்களுக்கும் இடையிலான தூரங்கள் திசைதிருப்பப்படவில்லை என்று நாம் கருதி, முக்கோண சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், நாம் ஒரு மெட்ரிக் வசதி இருப்பிடம் (எம். எஃப். எல்) சிக்கலைப் பற்றி பேசுகிறோம். எம். எஃப். எல் இன்னும் NP-கடினமானது மற்றும் 1.463 ஐ விட காரணிக்குள் தோராயமாக மதிப்பிடுவது கடினம். தற்போது நன்கு அறியப்பட்ட தோராய வழிமுறை 1.488 இன் தோராய விகிதத்தை அடைகிறது. மினிமக்ஸ் வசதி இருப்பிடம் மினிமக்ஸ் வசதி இருப்பிட சிக்கல் தளங்களுக்கு அதிகபட்ச தூரத்தை குறைக்கும் ஒரு இருப்பிடத்தை நாடுகிறது, அங்கு ஒரு புள்ளியில் இருந்து தளங்களுக்கு உள்ள தூரம் புள்ளியில் இருந்து அதன் அருகிலுள்ள தளத்திற்கு உள்ள தூரமாகும். ஒரு முறையான வரையறை பின்வருமாறுஃ ஒரு புள்ளி தொகுப்பு P′Rd கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு புள்ளி தொகுப்பு S′Rd, |S | = k ஐக் கண்டறியவும், இதனால் அதிகபட்சம் ωP (மின்கூ ωS (d (p, q))) குறைக்கப்படுகிறது. k = 1 க்கான யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் விஷயத்தில், இது மிகச்சிறிய அடைக்கப்பட்ட கோள சிக்கல் அல்லது 1-மைய சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் ஆய்வு குறைந்தது 1860 ஆம் ஆண்டு வரை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. மேலும் விவரங்களுக்கு மிகச்சிறிய மூடப்பட்ட வட்டம் மற்றும் எல்லை கோளத்தைப் பார்க்கவும். NP கடினத்தன்மை K-மையப் பிரச்சினையின் சரியான தீர்வு NP கடினமானது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. பிழை சிறியதாக இருக்கும்போது சிக்கலுக்கான தோராயமும் NP கடினமாக இருப்பது கண்டறியப்பட்டது. தோராயமான வழிமுறையில் உள்ள பிழை நிலை ஒரு தோராயமான காரணியாக அளவிடப்படுகிறது, இது தோராயத்திற்கும் உகந்ததற்கும் இடையிலான விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. தோராயக் காரணி 1.822 (பரிமாணம் = 2) அல்லது 2 (பரிமாணம்> 2) ஐ விட குறைவாக இருக்கும்போது k-மைய சிக்கல் தோராயமானது NP கடினமானது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. வழிமுறைகள் துல்லியமான தீர்வு இந்த சிக்கலுக்கு துல்லியமான தீர்வுகளை உருவாக்க வழிமுறைகள் உள்ளன. ஒரு துல்லியமான தீர்வு சரியான நேரத்தில் இயங்குகிறது. 1 + ε தோராயமாக 1 + ε தோராயமாக 1 + ε ஐ விட அதிகமாக இல்லாத தோராயமான காரணி கொண்ட ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இந்த தோராயமானது NP கடினமானது, ஏனெனில் ε தன்னிச்சையானது. கோரெசெட் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு அணுகுமுறை செயல்படுத்தும் சிக்கலுடன் முன்மொழியப்படுகிறது. ஒரு மாற்றாக, கோர் செட்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட மற்றொரு வழிமுறையும் கிடைக்கிறது. அது உள்ளே ஓடுகிறது. மோசமான நிலையை விட இயங்கும் நேரம் மிகவும் குறைவாக இருப்பதாகவும், எனவே k சிறியதாக இருக்கும்போது சில சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியும் என்றும் ஆசிரியர் கூறுகிறார் (k <5 என்று சொல்லுங்கள்). தொலைதூர-புள்ளி கிளஸ்டரிங் சிக்கலின் கடினத்தன்மைக்கு, ஒரு சரியான தீர்வு அல்லது துல்லியமான தோராயத்தைப் பெறுவது நடைமுறையில் இல்லை. அதற்கு பதிலாக, காரணி = 2 கொண்ட தோராயமானது பெரிய k நிகழ்வுகளுக்கு பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தோராயமானது தொலைதூர-புள்ளி கிளஸ்டரிங் (எஃப். பி. சி) வழிமுறை அல்லது தொலைதூர-முதல் டிராவர்சல் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. வழிமுறை மிகவும் எளிதானதுஃ தொகுப்பிலிருந்து எந்த புள்ளியையும் ஒரு மையமாக தேர்வு செய்யுங்கள்; மற்றொரு மையமாக மீதமுள்ள தொகுப்பிலிருந்து தொலைதூர புள்ளியைத் தேடுங்கள்; k மையங்கள் காணப்படும் வரை செயல்முறையை மீண்டும் செய்யவும். இந்த வழிமுறை நேரியல் நேரத்தில் இயங்குகிறது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. 2 க்கும் குறைவான காரணி கொண்ட தோராயமானது NP கடினமானது என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளதால், ஒருவர் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய சிறந்த தோராயமாக FPC கருதப்பட்டது. செயல்பாட்டின் செயல்திறனின் படி, நேர சிக்கலானது பின்னர் பெட்டி சிதைவு நுட்பத்துடன் O (n log k) ஆக மேம்படுத்தப்படுகிறது. அதிகபட்ச வசதி இருப்பிடம் அதிகபட்ச வசதி இருப்பிடம் அல்லது அருவருப்பான வசதி இருப்பிட சிக்கல் தளங்களுக்கு குறைந்தபட்ச தூரத்தை அதிகரிக்கும் ஒரு இருப்பிடத்தை நாடுகிறது. யூக்ளிடிய மெட்ரிக் விஷயத்தில், இது மிகப்பெரிய வெற்று கோளப் பிரச்சினை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிளானர் கேஸ் (மிகப்பெரிய வெற்று வட்டம் சிக்கல்) உகந்த நேரத்தில் தீர்க்கப்படலாம் (n log n). முழு எண் நிரலாக்க சூத்திரங்கள் வசதி இருப்பிட சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் முழு எண் நிரல்களாக தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த சூழலில், வசதி இருப்பிட சிக்கல்கள் பெரும்பாலும் பின்வருமாறு முன்வைக்கப்படுகின்றனஃ வசதிகள் மற்றும் வாடிக்கையாளர்கள் உள்ளனர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். குறைந்தபட்ச செலவில் சில நிலையான தேவைகளை பூர்த்தி செய்வதற்காக, (1) எந்த வசதிகளைத் திறக்க வேண்டும், (2) வாடிக்கையாளர்களுக்கு வழங்க எந்த (திறந்த) வசதிகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை நாங்கள் தேர்வு செய்ய விரும்புகிறோம். பின்வரும் குறியீட்டை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்ஃ திறப்பு வசதியின் (நிலையான) செலவைக் குறிக்கலாம். ஒரு பொருளை வசதியிலிருந்து வாடிக்கையாளருக்கு அனுப்புவதற்கான செலவைக் குறிக்கலாம். வாடிக்கையாளரின் கோரிக்கையைக் குறிக்கலாம். மேலும் ஒவ்வொரு வசதியும் அதிகபட்ச வெளியீட்டைக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வசதியின் மூலம் உற்பத்தி செய்யக்கூடிய உற்பத்தியின் அதிகபட்ச அளவைக் குறிக்கலாம், அதாவது வசதியின் திறனைக் குறிக்கலாம். இந்த பிரிவின் எஞ்சிய பகுதி கெபாசிட்டட் வசதி இருப்பிடத்தைப் பின்பற்றுகிறது எங்கள் ஆரம்ப சூத்திரத்தில், ஒரு பைனரி மாறியை அறிமுகப்படுத்தவும், வசதி திறந்திருந்தால், இல்லையெனில். மேலும் வசதி மூலம் நிரப்பப்பட்ட தேவையின் பகுதியைக் குறிக்கும் மாறியை அறிமுகப்படுத்தவும். கெப்பாசிட்டட் வசதி இருப்பிட சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுபவை, இரண்டாவது செட் கட்டுப்பாடுகள், வசதி திறந்திருக்கவில்லை என்றால், அனைவருக்கும், அதாவது எந்தவொரு வாடிக்கையாளருக்கும் எந்த கோரிக்கையும் வசதியிலிருந்து நிரப்ப முடியாது என்பதை உறுதி செய்கிறது. மேலே உள்ள கெப்பாசிட்டட் வசதி இருப்பிட சிக்கலின் பொதுவான வழக்கு அனைவருக்கும் இருக்கும் போது நிகழ்கிறது. இந்த விஷயத்தில், அருகிலுள்ள திறந்த வசதியிலிருந்து வாடிக்கையாளரின் அனைத்து கோரிக்கைகளையும் பூர்த்தி செய்வது எப்போதும் உகந்ததாக இருக்கும். இதன் காரணமாக, மேலே இருந்து தொடர்ச்சியான மாறிகளை பைனரி மாறிகளுடன் மாற்றலாம், அங்கு வாடிக்கையாளர் வசதி மூலம் வழங்கப்பட்டால், இல்லையெனில். அசைக்க முடியாத வசதி இருப்பிட சிக்கல் பின்னர் பொருத்தமான பெரியதாக இருக்க தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு மாறிலி மூலம் வழங்கப்படுகிறது. தேர்வு கணக்கீட்டு முடிவுகளை பாதிக்கலாம்-இந்த நிகழ்வில் சிறந்த தேர்வு வெளிப்படையாக உள்ளதுஃ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். பின்னர், இருந்தால், எந்தவொரு தேர்வும் இரண்டாவது கட்டுப்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும். திறனற்ற வசதி இருப்பிடப் பிரச்சினைக்கு மற்றொரு உருவாக்கம் சாத்தியம் திறன் கட்டுப்பாடுகளை (பெரிய-கட்டுப்பாடுகள்) பிரிக்க வேண்டும். அதாவது, கட்டுப்பாடுகளை கட்டுப்பாடுகளுடன் மாற்றவும் நடைமுறையில், இந்த புதிய சூத்திரம் கணிசமாக சிறப்பாக செயல்படுகிறது, அதாவது இது முதல் சூத்திரத்தை விட இறுக்கமான நேரியல் நிரலாக்க தளர்வைக் கொண்டுள்ளது. புதிய கட்டுப்பாடுகளை ஒன்றாகச் சேர்ப்பது அசல் பெரிய கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். கொள்ளளவு வழக்கில், இந்த சூத்திரங்கள் சமமானவை அல்ல. "தனித்துவமான இருப்பிடக் கோட்பாட்டின்" அத்தியாயம் 3-ல் அமைக்கப்படாத வசதி இருப்பிடப் பிரச்சினை பற்றிய கூடுதல் தகவல்களைக் காணலாம். பயன்பாடுகள் சுகாதாரம் சுகாதாரத்தில், தவறான வசதி இருப்பிட முடிவுகள் எளிய செலவு மற்றும் சேவை அளவீடுகளுக்கு அப்பால் சமூகத்தில் கடுமையான தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, அணுக கடினமான சுகாதார வசதிகள் அதிகரித்த நோயுற்ற தன்மை மற்றும் இறப்புடன் தொடர்புடையதாக இருக்கலாம். இந்த கண்ணோட்டத்தில், சுகாதாரத்திற்கான வசதி இருப்பிட மாடலிங் மற்ற பகுதிகளுக்கு ஒத்த மாடலிங் விட மிகவும் முக்கியமானது. திடக்கழிவு மேலாண்மை அதிகரித்து வரும் கழிவு உற்பத்தி மற்றும் கழிவு மேலாண்மையுடன் தொடர்புடைய அதிக செலவுகள் காரணமாக நகர்ப்புற திடக்கழிவு மேலாண்மை இன்னும் வளரும் நாடுகளுக்கு ஒரு சவாலாக உள்ளது. ஒரு வசதி இருப்பிடப் பிரச்சினையை உருவாக்குவது மற்றும் துல்லியமாக தீர்ப்பது மூலம், கழிவுகளை அகற்றுவதற்கான நிலப்பரப்புகளின் இருப்பிடத்தை உகந்ததாக்க முடியும். கிளஸ்டரிங் கிளஸ்டர் பகுப்பாய்வு சிக்கல்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட துணைக்குழுவை வசதி இருப்பிட சிக்கல்களாகக் காணலாம். ஒரு சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலில், நோக்கம் தரவு புள்ளிகளை (ஒரு பொதுவான மெட்ரிக் இடத்தின் கூறுகள்) சமநிலை வகுப்புகளாகப் பிரிப்பதாகும்-பெரும்பாலும் வண்ணங்கள் என்று அழைக்கப்படுகிறது-அதாவது ஒரே நிறத்தின் புள்ளிகள் ஒன்றுக்கொன்று நெருக்கமாக இருக்கும் (சமமாக, வெவ்வேறு வண்ணங்களின் புள்ளிகள் ஒருவருக்கொருவர் வெகு தொலைவில் இருக்கும்). ஒரு சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலை (மெட்ரிக்) வசதி இருப்பிட சிக்கலாக ஒருவர் எவ்வாறு பார்க்க முடியும் (படிக்க "உருமாற்றம்" அல்லது "குறை") என்பதைப் பார்க்க, முந்தைய ஒவ்வொரு தரவு புள்ளியையும் பிந்தையவற்றில் ஒரு கோரிக்கை புள்ளியாகப் பார்க்கவும். தொகுக்கப்பட வேண்டிய தரவுகள் ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் கூறுகள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (எ. கா. சில நிலையானவற்றுக்கு-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடமாக இருக்கட்டும்). நாம் உருவாக்கும் வசதி இருப்பிட சிக்கலில், இந்த மெட்ரிக் இடத்திற்குள் எந்த நேரத்திலும் வசதிகளை வைக்க அனுமதிக்கிறோம்; இது அனுமதிக்கப்பட்ட வசதி இருப்பிடங்களின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது. இருப்பிட-தேவை புள்ளி ஜோடிகளுக்கு இடையிலான ஜோடி வாரியான தூரங்களாக செலவுகளை வரையறுக்கிறோம் (எ. கா., மெட்ரிக் கே-மையத்தைப் பார்க்கவும்). சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலில், ஒன்று தரவை சமநிலை வகுப்புகளாகப் பிரிக்கிறது (அதாவது. நிறங்கள்) ஒவ்வொன்றும் ஒரு மையக்கருவைக் கொண்டுள்ளன. நமது கட்டமைக்கப்பட்ட வசதி இருப்பிட சிக்கலுக்கான தீர்வும் அத்தகைய பகிர்வை எவ்வாறு அடைகிறது என்பதைப் பார்ப்போம். ஒரு சாத்தியமான தீர்வு காலியாக இல்லாத இடங்களின் துணைக்குழுவாகும். எங்கள் வசதி இருப்பிட சிக்கலில் உள்ள இந்த இடங்கள் எங்கள் சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலில் சென்ட்ராய்டுகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளன. இப்போது, ஒவ்வொரு கோரிக்கை புள்ளியையும் அதன் சர்வீசிங்-செலவைக் குறைக்கும் இடத்திற்கு ஒதுக்குங்கள்; அதாவது, தரவு புள்ளியை சென்ட்ராய்டுக்கு ஒதுக்குங்கள் (உறவுகளை தன்னிச்சையாக உடைக்கவும்). வசதி இருப்பிட சிக்கலின் செலவுகள் சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலின் தொலைதூர செயல்பாட்டின் படங்களாக வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் இது பகிர்வை அடைகிறது. பிரபலமான வழிமுறைகள் பாடப்புத்தக அல்காரிதம் டிசைன் தொடர்புடைய சிக்கல்-விளக்கம் மற்றும் தோராயமான வழிமுறையை வழங்குகிறது. மெட்ரிக் வசதி இருப்பிட சிக்கலை ஆசிரியர்கள் குறிப்பிடுகின்றனர் (அதாவது. சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கல் அல்லது மெட்ரிக்-சென்டர் சிக்கல்) மையத் தேர்வு சிக்கலாக, இதன் மூலம் ஒத்த சொற்களின் பட்டியலை வளர்க்கிறது. மேலும், வசதி இருப்பிட சிக்கலின் மேலே உள்ள வரையறையில் புறநிலை செயல்பாடு பொதுவானது என்பதைப் பார்க்கவும். வசதி இருப்பிட சிக்கலின் வெவ்வேறு வகைகளை விளைவிக்கும் குறிப்பிட்ட தேர்வுகள், எனவே சென்ட்ராய்டு அடிப்படையிலான கிளஸ்டரிங் சிக்கலின் வெவ்வேறு வகைகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு இடத்திலிருந்தும் அதன் ஒதுக்கப்பட்ட கோரிக்கை புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைக்க ஒருவர் தேர்வு செய்யலாம் (எ லா வெபர் சிக்கல்), அல்லது அத்தகைய அனைத்து தூரங்களையும் அதிகபட்சமாகக் குறைக்க ஒருவர் தேர்வு செய்யலாம் (எ லா 1-மைய சிக்கல்). கிராஃப் சென்டர் குவாட்ரடிக் அசைன்மென்ட் சிக்கல் இருப்பிடம்-ஒதுக்கீடு டிஜ்க்ஸ்டிராவின் வழிமுறை இடஞ்சார்ந்த பகுப்பாய்வு மென்பொருளின் பட்டியல் போட்டி வசதி இருப்பிட விளையாட்டு வெர்டெக்ஸ் கே-சென்டர் சிக்கல் வடிவியல் சராசரி குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் EWGLA EURO வேலைக் குழு இருப்பிட பகுப்பாய்வு. இருப்பிட பகுப்பாய்வு குறித்த தகவல் பிரிவு, வசதி இருப்பிடத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு தொழில்முறை சமூகம். 3400 க்கும் மேற்பட்ட கட்டுரைகளைக் கொண்ட ட்ரெவர் ஹேலால் சேகரிக்கப்பட்ட வசதி இருப்பிடம் குறித்த நூலியல். இருப்பிட வழிமுறைகளின் நூலகம் வலை அடிப்படையிலான வசதி இருப்பிட பயன்பாடு (ஒற்றை வசதி) வசதி இருப்பிட ஆப்டிமைசர், வசதி இருப்பிட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான MATLAB அடிப்படையிலான கருவி. வணிகத்தில் கணித உகப்பாக்கம் வரைபடக் கோட்பாட்டில் கணக்கீட்டு சிக்கல்கள் வசதி இருப்பிடம்