Monoidal t-norm logic
கணித தர்க்கத்தில், மோனாய்டல் டி-நார்ம் அடிப்படையிலான லாஜிக் (அல்லது விரைவில் எம். டி. எல்), இடது-தொடர்ச்சியான டி-நார்ம்களின் லாஜிக், டி-நார்ம் தெளிவற்ற லாஜிக்குகளில் ஒன்றாகும். இது அடிமட்ட தர்க்கங்களின் பரந்த வகுப்பைச் சேர்ந்தது, அல்லது எஞ்சிய ஜாலங்களின் தர்க்கங்கள்; இது பரிமாற்ற வரம்புக்குட்பட்ட ஒருங்கிணைந்த எஞ்சிய ஜாலங்களின் தர்க்கத்தை (ஹோஹ்லியின் மோனாய்டல் லாஜிக், ஓனோவின் ஃப்ளூ, அல்லது சுருக்கமில்லாத உள்ளுணர்வு தர்க்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) முன்கூட்டிய கோட்பாட்டின் கோட்பாட்டால் விரிவுபடுத்துகிறது. தெளிவற்ற தர்க்கத்தில், அறிக்கைகள் உண்மை அல்லது பொய் என்று கருதுவதை விட, ஒவ்வொரு அறிக்கையையும் அந்த அறிக்கையில் எண்ணியல் நம்பிக்கையுடன் தொடர்புபடுத்துகிறோம். மரபுப்படி, நம்பகத்தன்மை அலகு இடைவெளியில் வரம்புக்குட்பட்டது, அங்கு அதிகபட்ச நம்பிக்கை உண்மை என்ற பாரம்பரிய கருத்துடன் ஒத்திருக்கிறது மற்றும் குறைந்தபட்ச நம்பிக்கை தவறான பாரம்பரிய கருத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. டி-நெறிமுறைகள் என்பது உண்மையான அலகு இடைவெளி [0,1] இல் உள்ள பைனரி செயல்பாடுகளாகும், அவை தெளிவற்ற தர்க்கத்தில் பெரும்பாலும் ஒரு இணைப்பு இணைப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன; அறிக்கைகளுக்கு நாம் குறிப்பிடும் நம்பிக்கைகள் முறையே இருந்தால், 'மற்றும்' கூட்டு அறிக்கைக்குக் கூறப்படும் நம்பிக்கையைக் கணக்கிட ஒருவர் டி-நெறிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறார். ஒரு டி-விதிமுறை பரிமாற்றத்தன்மை, கூட்டுறவு, மோனோடோனிசிட்டி ஆகியவற்றின் பண்புகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்-என்றால் மற்றும் பின்னர், மற்றும் 1 ஐ அடையாள உறுப்பாகக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இந்த பட்டியலில் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் இல்லாதது தனித்துவத்தின் பண்பு; மிக நெருக்கமான ஒன்று அது. நியாயமானதை விட 'மற்றும்' மீது குறைவான நம்பிக்கை இருப்பது விசித்திரமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் நாம் பொதுவாக ஒரு ஒருங்கிணைந்த நம்பிக்கையை அனுமதிக்க விரும்புகிறோம் 'மற்றும்' நம்பிக்கை மற்றும் நம்பிக்கை இரண்டையும் விட குறைவாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் மோனோடோனிசிட்டி மூலம் வரிசைப்படுத்த வேண்டும். இதைச் சொல்வதற்கான மற்றொரு வழி என்னவென்றால், டி-நார்ம் நம்பகத்தன்மையை எண்களாக மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள முடியும், அந்த நம்பகத்தன்மையைக் குறிப்பிடுவதற்கான காரணங்கள் அல்ல; எனவே அது 'மற்றும்' வேறுபட்டதாக 'கருத முடியாது, மேலும் இரண்டிலும் நாம் சமமாக நம்பிக்கை கொண்டுள்ளோம். லட்டிஸ் கோட்பாட்டில் அதன் பயன்பாட்டின் மூலம் சின்னம் ஐடிம்போட்டன்ஸ் பண்புடன் மிகவும் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதால், ஐடிம்போட்டன்ட் அவசியமில்லாத இணைப்புக்கு வேறு சின்னத்திற்கு மாறுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். தெளிவற்ற தர்க்க பாரம்பரியத்தில் ஒருவர் சில நேரங்களில் இந்த "வலுவான" இணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறார், ஆனால் இந்த கட்டுரை வலுவான இணைப்பைப் பயன்படுத்துவதற்கான அடித்தள தர்க்க பாரம்பரியத்தைப் பின்பற்றுகிறது; எனவே அறிக்கைக்கு நாம் கொடுக்கும் நம்பிக்கையாகும் (இன்னும் 'மற்றும்', ஒருவேளை 'மற்றும்' இன் தகுதியாக 'வலுவான' அல்லது 'பெருக்கத்துடன்). முறையான இணைப்பைக் கொண்டிருப்பதால், ஒருவர் மற்ற இணைப்புகளுடன் தொடர விரும்புகிறார். அதைச் செய்வதற்கான ஒரு அணுகுமுறை எதிர்மறையை ஒரு வரிசை-தலைகீழ் வரைபடமாக அறிமுகப்படுத்துவதாகும், பின்னர் டி மோர்கனின் சட்டங்கள், பொருள் உட்குறிப்பு மற்றும் அது போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தி மீதமுள்ள இணைப்புகளை வரையறுப்பது. அவ்வாறு செய்வதில் ஒரு சிக்கல் என்னவென்றால், இதன் விளைவாக வரும் தர்க்கங்கள் விரும்பத்தகாத பண்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம்ஃ அவை கிளாசிக்கல் தர்க்கத்திற்கு மிக நெருக்கமாக இருக்கலாம் அல்லது மாறாக எதிர்பார்க்கப்படும் அனுமான விதிகளை ஆதரிக்கவில்லை என்றால். வெவ்வேறு தேர்வுகளின் விளைவுகளை மேலும் கணிக்கக்கூடிய ஒரு மாற்று, அதற்கு பதிலாக இரண்டாவது இணைப்பாக உட்குறிப்புடன் தொடர்வதாகும்ஃ இது தர்க்கத்தின் கோட்பாட்டில் ஒட்டுமொத்தமாக மிகவும் பொதுவான இணைப்பாகும், மேலும் இது மற்ற இணைப்புகளை விட தர்க்கத்தின் விலக்கு அம்சங்களுடன் நெருக்கமான உறவுகளைக் கொண்டுள்ளது. உட்குறிப்பு இணைப்பின் ஒரு நம்பிக்கை எதிர்ப்பை உண்மையில் டி-நெறிமுறையின் எச்சமாக நேரடியாக வரையறுக்கலாம். இணைப்புக்கும் உட்பொருளுக்கும் இடையிலான தர்க்கரீதியான இணைப்பு அனுமான விதி மோடஸ் போனன்ஸ் போன்ற அடிப்படையான ஒன்றால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இருந்து மற்றும் பின்பற்றுகிறது. தெளிவற்ற தர்க்க வழக்கில் இது மிகவும் கடுமையாக எழுதப்பட்டுள்ளது, ஏனென்றால் இங்குள்ள முன்மாதிரி (களுக்கான) நமது நம்பிக்கை, தனித்தனியாக அல்ல என்பதை இது தெளிவுபடுத்துகிறது. எனவே முறையே நமது நம்பிக்கைகள் இருந்தால், அது விரும்பப்படும் நம்பிக்கையும், ஒருங்கிணைந்த நம்பிக்கையும் ஆகும். தர்க்கரீதியாக பின்தொடரும் அறிக்கையின் மீதான நமது நம்பிக்கையை விட நமது நம்பிக்கை குறைவாக இருக்கக்கூடாது என்பதால் நாங்கள் கோருகிறோம். இது விரும்பிய நம்பிக்கையை கட்டுப்படுத்துகிறது, மேலும் ஒரு பைனரி செயல்பாடாக மாறுவதற்கான ஒரு அணுகுமுறை இந்த வரம்பை மதிக்கும் அதே வேளையில் அதை முடிந்தவரை பெரியதாக மாற்றுவதாகும்ஃ எடுத்துக்கொள்வது கொடுக்கிறது, எனவே மேல்நிலை எப்போதும் ஒரு காலியாக இல்லாத வரம்புக்குட்பட்ட தொகுப்பாகும், இதனால் நன்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு பொதுவான டி-நெறிமுறையைப் பொறுத்தவரை, ஒரு ஜம்ப் இடைநிறுத்தத்தைக் கொண்டிருக்க வாய்ப்பு உள்ளது, இந்த விஷயத்தில் s இன் குறைந்தபட்ச மேல் வரம்பு திருப்திகரமாக வரையறுக்கப்பட்டாலும் அதை விட கண்டிப்பாக பெரியதாக வெளிவரலாம்; அதைத் தடுக்கவும், எதிர்பார்த்தபடி கட்டுமானப் பணிகளைச் செய்யவும், டி-விதிமுறை இடது-தொடர்ச்சியானதாக இருக்க வேண்டும். இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறையின் எஞ்சியிருப்பதை பலவீனமான செயல்பாடாக வகைப்படுத்தலாம், இது தெளிவற்ற மோடஸ் போனன்களை செல்லுபடியாகும், இது தெளிவற்ற தர்க்கத்தில் உட்படுத்துவதற்கு பொருத்தமான உண்மை செயல்பாடாக அமைகிறது. மேலும் இயற்கணித ரீதியாக, ஒரு செயல்பாடு என்பது டி-நெறிமுறையின் எஞ்சிய பகுதி என்று நாம் கூறுகிறோம், மேலும் அது இருந்தால் மட்டுமே திருப்தி அடையும். எண்ணியல் ஒப்பீடுகளின் இந்த சமநிலை, அது இருந்தால் மட்டுமே உட்பொருள்களின் சமநிலையை பிரதிபலிக்கிறது, ஏனெனில் முன்மாதிரியிலிருந்து எந்தவொரு ஆதாரமும் ஒரு கூடுதல் உட்பொருள் அறிமுக படியைச் செய்வதன் மூலம் முன்மாதிரியிலிருந்து ஒரு ஆதாரமாக மாற்றப்படலாம், இதற்கு நேர்மாறாக முன்மாதிரியிலிருந்து எந்த ஆதாரமும் கூடுதல் உட்பொருள் நீக்குதல் படியைச் செய்வதன் மூலம் முன்மாதிரியிலிருந்து ஒரு ஆதாரமாக மாற்றப்படலாம். டி-நெறிமுறையின் இடது-தொடர்ச்சியானது டி-நெறிமுறை இணைப்புக்கும் அதன் எஞ்சிய உட்குறிப்புக்கும் இடையிலான இந்த உறவுக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனையாகும். மேலும் முன்மொழிவு இணைப்புகளின் உண்மை செயல்பாடுகளை டி-விதிமுறை மற்றும் அதன் எஞ்சியவற்றின் மூலம் வரையறுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக எஞ்சிய எதிர்மறை இந்த வழியில், இடது-தொடர்ச்சியான டி-விதிமுறை, அதன் எஞ்சியவை மற்றும் கூடுதல் முன்மொழிவு இணைப்புகளின் உண்மை செயல்பாடுகள் (கீழே உள்ள நிலையான சொற்பொருள் பிரிவைப் பார்க்கவும்) சிக்கலான முன்மொழிவு சூத்திரங்களின் உண்மை மதிப்புகளை தீர்மானிக்கின்றன [0,1]. எப்போதும் 1 க்கு மதிப்பீடு செய்யும் சூத்திரங்கள் பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட இடது-தொடர்ச்சியான டி-நார்ம் அல்லது டாட்டாலஜிகளைப் பொறுத்தவரை டாட்டாலஜிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அணு சூத்திரங்களின் உண்மை டிகிரிகளைப் பொருட்படுத்தாமல் (டிகிரி 1 வரை) வைத்திருக்கும் தெளிவற்ற தர்க்கத்தின் விதிகளை (டி-நெறிமுறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது) இந்த சூத்திரங்கள் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதால் அனைத்து டாட்டாலஜிகளின் தொகுப்பும் டி-நெறிமுறையின் தர்க்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில சூத்திரங்கள் அனைத்து இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறைகளைப் பொறுத்தவரை டாட்டாலஜிகள் ஆகும்ஃ அவை ஒரு குறிப்பிட்ட இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறையைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் இருந்து சுயாதீனமான முன்மொழிவு தெளிவற்ற தர்க்கத்தின் பொதுவான விதிகளைக் குறிக்கின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் எம்டிஎல் என்ற தர்க்கத்தை உருவாக்குகின்றன, எனவே இது இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறைகளின் தர்க்கமாக வகைப்படுத்தப்படலாம். சொற்றொடர் மொழி முன்மொழிவு தர்க்கத்தின் மொழி எம். டி. எல் எண்ணற்ற பல முன்மொழிவு மாறிகள் மற்றும் பின்வரும் பழமையான தர்க்கரீதியான இணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ உட்பொருள் (பைனரி) வலுவான இணைப்பு (பைனரி). அடையாளம் & என்பது தெளிவற்ற தர்க்கத்தின் இலக்கியத்தில் வலுவான இணைப்புக்கான மிகவும் பாரம்பரிய குறியீடாகும், அதே நேரத்தில் குறியீடு அடிமட்ட தர்க்கங்களின் பாரம்பரியத்தைப் பின்பற்றுகிறது. பலவீனமான இணைப்பு (பைனரி), லட்டிஸ் இணைப்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (இது எப்போதும் இயற்கணித சொற்பொருள்களில் சந்திப்பின் லட்டிஸ் செயல்பாட்டால் உணரப்படுகிறது). பிஎல் மற்றும் வலுவான தெளிவற்ற தர்க்கங்களைப் போலல்லாமல், பலவீனமான இணைப்பு எம்டிஎல்லில் வரையறுக்கப்படவில்லை மற்றும் பழமையான இணைப்புகளில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். கீழே (பூஜ்யம்-ஒரு முன்மொழிவு மாறிலி; அல்லது பொதுவான மாற்று டோக்கன்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியம் முன்மொழிவு மாறிலிக்கான பொதுவான மாற்று பெயர் (அடி மூலக்கூறு தர்க்கங்களின் மாறிலிகள் கீழே மற்றும் பூஜ்ஜியம் எம். டி. எல் உடன் ஒத்துப்போகின்றன). பின்வருவன மிகவும் பொதுவான வரையறுக்கப்பட்ட தர்க்கரீதியான இணைப்புகள் ஆகும்ஃ எதிர்மறை (யூனரி), சமன்பாடு (பைனரி) என வரையறுக்கப்படுகிறது. எம். டி. எல். இல், வரையறை (பலவீனமான) விலகல் (பைனரி) க்கு சமமானது, இது லட்டிஸ் விலகல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (இது எப்போதும் இயற்கணித சொற்பொருள்களில் இணைவதன் லட்டிஸ் செயல்பாட்டால் உணரப்படுகிறது), இது மேல் (பூஜ்யம்) என்றும் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒன்று என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அல்லது (எம். டி. எல். இல் அடிப்பகுதி தர்க்கங்களின் மேல் மற்றும் பூஜ்ஜிய மாறிலிகள் ஒத்துப்போகின்றன) குறிக்கப்படுகிறது, இது நன்கு உருவாக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள் என வரையறுக்கப்படுகிறது. அடைப்புக்குறிகளைச் சேமிப்பதற்காக, பின்வரும் முன்னுரிமை வரிசையைப் பயன்படுத்துவது பொதுவானதுஃ உட்பொருள்கள் மற்றும் சமநிலை தாக்கங்கள் மற்றும் சமநிலை (மிகவும் தளர்வாக பிணைத்தல்) கோட்பாடுகள் தவிர யூனரி இணைப்புகள் (மிகவும் நெருக்கமாக பிணைக்கப்படுகின்றன) பைனரி இணைப்புகள் எம்டிஎல்லுக்கான ஹில்பர்ட் பாணி விலக்கு அமைப்பு எஸ்டேவா மற்றும் கோடோ (2001) ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அதன் ஒற்றை வழித்தோன்றல் விதி மோடஸ் போனன்ஸ்ஃ இருந்து மற்றும் பெறுதல் பின்வருபவை அதன் கோட்பாட்டு திட்டமாகும்ஃ இடது நெடுவரிசையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோட்பாட்டு கோட்பாட்டின் பாரம்பரிய எண், ஹாஜெக்கின் அடிப்படை தெளிவற்ற தர்க்க பி. எல் இன் கோட்பாட்டு கோட்பாட்டின் எண்ணிக்கையிலிருந்து பெறப்படுகிறது. கோட்பாடுகள் (எம். டி. எல் 4 ஏ)-(எம். டி. எல் 4 சி) பி. எல் இன் வகுத்தல் கோட்பாட்டின் (பி. எல் 4) கோட்பாட்டை மாற்றுகின்றன. கோட்பாடுகள் (எம். டி. எல் 5 ஏ) மற்றும் (எம். டி. எல் 5 பி) எஞ்சியிருக்கும் விதியை வெளிப்படுத்துகின்றன மற்றும் கோட்பாடு (எம். டி. எல் 6) முன்கணிப்பு நிபந்தனைக்கு ஒத்திருக்கிறது. அசல் கோட்பாட்டு அமைப்பின் கோட்பாடுகள் (எம். டி. எல் 2) மற்றும் (எம். டி. எல் 3) தேவையற்றவை என்று காட்டப்பட்டன (சவாலோவ்ஸ்கி, 2012) மற்றும் (சின்டுலா, 2005). மற்ற அனைத்து கோட்பாடுகளும் சுயாதீனமானவை என்று காட்டப்பட்டன (சவாலோவ்ஸ்கி, 2012). சொற்பொருளியல் மற்ற முன்மொழிவு டி-நெறிமுறை தெளிவற்ற தர்க்கங்களைப் போலவே, இயற்கணித சொற்பொருளியல் முக்கியமாக எம். டி. எல். க்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, தர்க்கம் முழுமையடையும் மூன்று முக்கிய வகை ஆல்ஜிப்ராக்களுடன்ஃ பொது சொற்பொருள், அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களாலும் உருவாக்கப்பட்டது-அதாவது, தர்க்கம் ஒலி நேரியல் சொற்பொருள்களாக இருக்கும் அனைத்து ஆல்ஜிப்ராக்களும், அனைத்து நேரியல் எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களாலும் உருவாக்கப்பட்டது-அதாவது, அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களும், அவற்றின் லட்டிஸ் வரிசை நேரியல் நிலையான சொற்பொருள்களால் ஆனது, அனைத்து நிலையான எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களாலும் உருவாக்கப்பட்டது-அதாவது, அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களும் அவற்றின் லட்டிஸ் குறைப்பு உண்மையான அலகு இடைவெளி [0,1] அவற்றை ப்ரீலீனியர் கம்யூட்டேடிவ் பௌண்டட் இன்டெக்ரல் ரெசிடுயேட்டட் லாட்டிஸ்கள் என்று வகைப்படுத்தலாம். மேலும் விரிவாக, ஒரு இயற்கணித அமைப்பு என்பது ஒரு எம். டி. எல்-அல்ஜிப்ரா ஆகும், இது மேல் உறுப்பு 0 மற்றும் கீழ் உறுப்பு 1 உடன் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட லட்டிஸாக இருந்தால், ஒரு பரிமாற்ற மோனாய்டு மற்றும் ஒரு இணை ஜோடியை உருவாக்குகிறது, அதாவது, அனைத்து x, y மற்றும் z இன் லட்டிஸ் வரிசை எங்கே, (எஞ்சிய நிலை) எல் இல் உள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும் வைத்திருந்தால் மட்டுமே (முன்கூட்டிய நிலை) எம். டி. எல் ஆல்ஜிப்ராக்களின் முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகள் உண்மையான அலகு இடைவெளியில் நிலையான எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்கள் [0,1]. மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளில் அனைத்து பூலியன் ஆல்ஜிப்ராக்கள், அனைத்து நேரியல் ஹெய்டிங் ஆல்ஜிப்ராக்கள் (இரண்டும்), அனைத்து எம். வி-ஆல்ஜிப்ராக்கள், அனைத்து பி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்கள் போன்றவை அடங்கும். எஞ்சியிருக்கும் நிலையை அடையாளங்களால் சமமாக வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதால், எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்கள் பல்வேறு வகைகளை உருவாக்குகின்றன. எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ராக்களில் எம்டிஎல் தர்க்கத்தின் விளக்கம் எம்டிஎல்லின் இணைப்புகள் எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ராக்களில் பின்வருமாறு விளக்கப்பட்டுள்ளனஃ மோனாய்டல் செயல்பாட்டின் மூலம் வலுவான இணைப்பு செயல்பாட்டின் மூலம் தாக்கத்தை ஏற்படுத்துகிறது (இது ரெசிடியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது) பலவீனமான இணைப்பு மற்றும் லட்டிஸ் செயல்பாடுகளால் பலவீனமான விலகல் மற்றும் முறையே (பொதுவாக இணைப்புகளின் அதே சின்னங்களால் குறிக்கப்படுகிறது, எந்த குழப்பமும் ஏற்படவில்லை என்றால்) உண்மை மாறிலிகள் 0 மற்றும் 1 மாறிலிகளால் பூஜ்ஜியம் (மேல்) மற்றும் ஒன்று (கீழ்) சமமான இணைப்பு என வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டால் விளக்கப்படுகிறது. எனவே e (A) = 1 என்றால் ஒரு மதிப்பீடு e இன் கீழ் ஒரு சூத்திரம் முழுமையாக உண்மை என்று கருதப்படுகிறது. எல் இல் உள்ள அனைத்து மதிப்பீடுகளின் கீழும், அதாவது எல் இல் உள்ள அனைத்து மதிப்பீடுகளுக்கும் ஈ (ஏ) = 1 என்றால், ஒரு எம். டி. எல்-அல்ஜிப்ரா எல் இல் ஒரு சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் என்று கூறப்படுகிறது, சில சூத்திரங்கள் (எடுத்துக்காட்டாக, பி → பி) எந்த எம். டி. எல்-அல்ஜிப்ரா-லும் செல்லுபடியாகும்; இவை எம். டி. எல்-இன் டாட்டாலஜிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. உலகளாவிய உட்பிரிவு (அல்லதுஃ உலகளாவிய விளைவு) என்ற கருத்து எம். டி. எல். க்கு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு சூத்திரத்தின் தொகுப்பு ஏ ஒரு சூத்திரத்தை உள்ளடக்கியது (அல்லதுஃ ஏ என்பது ஒரு உலகளாவிய விளைவு ஆகும்), குறியீடுகளில் ஏதேனும் மதிப்பீடு என்றால் ஈ எந்த எம். டி. எல்-இயற்கணிதத்திலும், e (B) = 1 அனைத்து சூத்திரங்களுக்கும் B இல், பின்னர் e (A) = 1. முறைசாரா முறையில், உலகளாவிய விளைவு உறவு என்பது உண்மை மதிப்புகளின் எந்த எம்டிஎல்-இயற்கணிதத்திலும் முழு உண்மையின் பரிமாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. பொது ஒலி மற்றும் முழுமை கோட்பாடுகள் அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகுப்பைப் பொறுத்தவரை தர்க்கம் எம். டி. எல் ஒலி மற்றும் முழுமையானது (எஸ்டேவா & கோடோ, 2001): ஒரு சூத்திரம் அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களிலும் செல்லுபடியாகும் என்றால் மட்டுமே எம். டி. எல் இல் நிரூபிக்கப்படுகிறது. எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ரா என்ற கருத்து உண்மையில் வரையறுக்கப்படுவதால், எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ராக்கள் அனைத்து ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகுப்பை உருவாக்குகின்றன, இதற்கு எம்டிஎல் தர்க்கம் ஒலிக்கிறது. மேலும், வலுவான முழுமைக் கோட்பாடு பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ ஒரு சூத்திரம் ஏ என்பது எம். டி. எல். இல் ஒரு சூத்திரங்களின் தொகுப்பின் எம். டி. எல். இல் ஒரு உலகளாவிய விளைவு ஆகும். நேரியல் சொற்பொருளியல் மற்ற தெளிவற்ற தர்க்கங்களுக்கான ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே, எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களும் பின்வரும் நேரியல் துணை நேரடி சிதைவு பண்புகளை அனுபவிக்கின்றனஃ ஒவ்வொரு எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ரா நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் துணை நேரடி தயாரிப்பு ஆகும். (ஒரு துணை நேரடி தயாரிப்பு என்பது நேரடி உற்பத்தியின் துணை இயற்கணிதமாகும், அதாவது அனைத்து திட்ட வரைபடங்களும் சர்ஜெக்டிவ் ஆகும். ஒரு எம்டிஎல்-இயற்கணிதம் அதன் லட்டிஸ் வரிசை நேரியல் என்றால் நேரியல் வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது.) அனைத்து எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களின் நேரியல் துணை நேரடி சிதைவு பண்பின் விளைவாக, நேரியல் எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை முழுமையான தேற்றம் (எஸ்டேவா & கோடோ, 2001) பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ ஒரு சூத்திரம் அனைத்து நேரியல் எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களிலும் செல்லுபடியாகும் என்றால் மட்டுமே எம். டி. எல் இல் நிரூபிக்க முடியும். அனைத்து நேரியல் எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களிலும் ஏ ஒரு உலகளாவிய விளைவாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு சூத்திரம் எம். டி. எல் இல் ஒரு சூத்திரத்தின் தொகுப்பிலிருந்து பெறப்படுகிறது. நிலையான சொற்பொருள் தரநிலைகள் எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ராக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் லட்டிஸ் குறைப்பு உண்மையான அலகு இடைவெளி [0,1] ஆகும். வலுவான இணைப்பை விளக்கும் உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாட்டால் அவை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இது எந்த இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறையாகவும் இருக்கலாம். ஒரு இடது-தொடர்ச்சியான டி-நெறிமுறையால் தீர்மானிக்கப்படும் நிலையான எம். டி. எல்-இயற்கணிதம் பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது உட்பொருளில் பலவீனமான இணைப்பு மற்றும் விலகல் ஆகியவற்றின் எச்சங்கள் முறையே குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் உண்மை நிலையான பூஜ்ஜியம் மற்றும் ஒன்று முறையே 0 மற்றும் 1 உண்மையான எண்களால் குறிக்கப்படுகிறது. நிலையான எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை எம்டிஎல் தர்க்கம் முழுமையானது; இந்த உண்மை நிலையான முழுமை தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (ஜெனீ & மோன்டாக்னா, 2002): ஒரு சூத்திரம் அனைத்து நிலையான எம்டிஎல்-ஆல்ஜிப்ராக்களிலும் செல்லுபடியாகும் என்றால் மட்டுமே எம்டிஎல் இல் நிரூபிக்கப்படுகிறது. எம். டி. எல் நிலையான எம். டி. எல்-ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை முழுமையானது என்பதால், அவை இடது-தொடர்ச்சியான டி-விதிமுறைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, எம். டி. எல் பெரும்பாலும் இடது-தொடர்ச்சியான டி-விதிமுறைகளின் தர்க்கம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது (இதேபோல் பி. எல் என்பது தொடர்ச்சியான டி-விதிமுறைகளின் தர்க்கம்). நூலியல் ஹேஜெக் பி., 1998, மெடாமெத்தமேட்டிக்ஸ் ஆஃப் ஃபஸ்ஸி லாஜிக். டோர்ட்ரெக்ட்ஃ க்ளூவர். எஸ்டேவா எஃப். & கோடோ எல்., 2001, "மோனாய்டல் டி-நார்ம் அடிப்படையிலான தர்க்கம்ஃ இடது-தொடர்ச்சியான டி-நார்ம்களின் தர்க்கத்தை நோக்கி". தெளிவற்ற அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள் 124:271-288. ஜெனீ எஸ். & மொன்டாக்னா எஃப்., 2002, "எஸ்டேவா மற்றும் கோடோவின் மோனாய்டல் லாஜிக் எம்டிஎல்லின் நிலையான முழுமையின் ஆதாரம்". ஸ்டுடியா லாஜிகா 70:184-192. ஓனோ, எச்., 2003, "உட்பிரிவு தர்க்கங்கள் மற்றும் எஞ்சிய ஜாலங்கள்-ஒரு அறிமுகம்". எஃப். வி. யில் ஹென்ட்ரிக்ஸ், ஜே. மாலினோவ்ஸ்கி (பதிப்புகள். ): தர்க்கத்தின் போக்குகள்ஃ ஸ்டுடியா லாஜிக்காவின் 50 ஆண்டுகள், தர்க்கத்தின் போக்குகள் 20:177-212. சின்டுலா பி., 2005, "குறுகிய குறிப்புஃ பிஎல் மற்றும் எம்டிஎல்லில் கோட்பாட்டின் (ஏ 3) பணிநீக்கம் குறித்து". மென்மையான கணிப்பு 9:942. சின்டுலா பி., 2006, "பலவீனமான உட்பொருள் (தெளிவற்ற) தர்க்கவியல் I: அடிப்படை பண்புகள்". கணித தர்க்கத்திற்கான காப்பகம் 45:673-704. சவாலோவ்ஸ்கி கே., 2012, "ஆன் தி இன்டிபென்டன்ஸ் ஆஃப் ஆக்ஸியம்ஸ் இன் பிஎல் அண்ட் எம்டிஎல்". தெளிவற்ற அமைப்புகள் மற்றும் அமைப்புகள் 197:123-129,. குறிப்புகள் தெளிவற்ற தர்க்கம்