Atkinson's theorem
ஆபரேட்டர் கோட்பாட்டில், அட்கின்சனின் தேற்றம் (ஃப்ரெடெரிக் வாலண்டைன் அட்கின்சன் பெயரிடப்பட்டது) ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்களின் குணாதிசயத்தை வழங்குகிறது. பின்வருவன ஃப்ரெட்ஹோம் இயக்கியின் பாரம்பரிய வரையறையாகும்ஃ கர்னல் கெர் (டி) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகவும், கெர் (டி *) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகவும் இருந்தால் (டி * என்பது டி இன் இணைப்பைக் குறிக்கிறது), மற்றும் ரேன் (டி) வரம்பு மூடப்பட்டிருக்கும். அட்கின்சனின் தேற்றம் கூறுகிறதுஃ T என்பது தலைகீழ் மாடுலோ காம்பாக்ட் பெர்டர்பரேஷன் என்றால், அதாவது T என்பது ஒரு ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர். டிஎஸ் = ஐ + சி 1 மற்றும் எஸ்டி = ஐ + சி 2 சில வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டர் எஸ் மற்றும் காம்பாக்ட் ஆபரேட்டர்கள் சி 1 மற்றும் சி 2. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கால்கின் இயற்கணிதத்தில் அதன் ப்ரொஜெக்ஷன் தலைகீழாக இருந்தால் மட்டுமே, கிளாசிக்கல் அர்த்தத்தில், ஒரு ஆபரேட்டர் டி. எல். எல் (எச்) ஃப்ரெட்ஹோம் ஆகும். ஆதாரத்தின் வரைபடம் ஒரு ஆதாரத்தின் அவுட்லைன் பின்வருமாறு. இந்த கட்டுப்பாடு டிஃ கெர் (டி) டிடிஎன்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்என்எ இந்த இன்வெர்ஸ் ஐ 0 ஆல் நீட்டிக்கவும் ரன் (டி) டிடி = கெர் (டி *) இல் ஒரு ஆபரேட்டர் எஸ் க்கு எச் முழுவதும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர் ஐ-டிஎஸ் என்பது கெர் (டி *) மீது வரையறுக்கப்பட்ட-தரவரிசை திட்டமாகும், மேலும் ஐ-எஸ்டி என்பது கெர் (டி) மீது திட்டமாகும். இது தேற்றத்தின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே நிரூபிக்கிறது. இதற்கு நேர்மாறாக, இப்போது சில சிறிய ஆபரேட்டர் C2 க்கு ST = I + C2 என்று வைத்துக்கொள்வோம். x bul கெர் (T) என்றால், STx = x + C2x = 0 ஆகும். எனவே கெர் (டி) சி 2 இன் ஐகென்ஸ்பேஸ் இல் உள்ளது, இது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும் (காம்பாக்ட் ஆபரேட்டர்களின் ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும்). எனவே, கெர் (டி) என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும். அதே வாதம் கெர் (டி *) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும் என்பதைக் காட்டுகிறது. ரன் (டி) மூடப்பட்டுள்ளது என்பதை நிரூபிக்க, தோராயமான பண்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ எஃப் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும், அதாவது | |F −சி2 | | <ஆர். பின்னர் கெர் (எஃப்) இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், | |S | | | |Tx | | | |S டிஎக்ஸ் | = | |x + சி2எக்ஸ் | = | |x + எஃப்எக்ஸ் + சி2எக்ஸ் −எஃப்எக்ஸ் | ≤ | |x | | | − |C2 −எஃப் | | | | | |x | | | | (1−ஆர்) | |x | | | | இவ்வாறு T என்பது கெர் (F) இல் கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது T (கெர் (F)) மூடப்பட்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது. மறுபுறம், டி (கெர் (எஃப்) டிடி) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும், ஏனெனில் கெர் (எஃப்) டிடி = ரான் (எஃப் *) வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாகும். எனவே, ரன் (டி) = டி (கெர் (எஃப்)) + டி (கெர் (எஃப்) டி) மூடப்பட்டுள்ளது, இது தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. அட்கின்சனின் தேற்றத்தின் ஒரு முழுமையான சிகிச்சை அர்வெசனின் குறிப்பில் உள்ளதுஃ பி ஒரு பானாச் இடமாக இருந்தால், ஒரு ஆபரேட்டர் ஃப்ரெட்ஹோம் என்றால் அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை ஆபரேட்டராக இருந்தால் (மற்றும் பிந்தையது ஒரு சிறிய ஆபரேட்டராக மாற்றக்கூடிய மாடுலோவாக இருப்பதற்கு சமம், இது என்ஃப்ளோவின் தனித்துவமான, பிரதிபலிப்பு பானாச் இடத்தை வரையறுக்கப்பட்ட தரவரிசை ஆபரேட்டர்களின் நெறிமுறை வரம்புகள் இல்லாத சிறிய ஆபரேட்டர்களுடன் எடுத்துக்காட்டுவதைக் கருத்தில் கொண்டு குறிப்பிடத்தக்கது). பானாச் இடைவெளிகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண கர்னல் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட கோடிமென்ஷன் வரம்பைக் கொண்ட ஒன்றாகும் (அதன் அருகிலுள்ள கர்னல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணமாக இருப்பதற்கு சமம்). ரன் (டி) மூடப்பட்டுள்ளது என்ற கருதுகோள் தேவையற்றது என்பதைக் கவனியுங்கள், ஏனெனில் வரையறுக்கப்பட்ட கோடிமென்ஷன் இடைவெளி, இது ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரின் வரம்பாகும், இது எப்போதும் மூடப்பட்டிருக்கும் (கீழே உள்ள ஆர்வ்சன் குறிப்பைப் பார்க்கவும்); இது திறந்த-வரைபடக் கோட்பாட்டின் விளைவாகும் (மேலும் இடைவெளி ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட ஆபரேட்டரின் வரம்பாக இல்லாவிட்டால் இது உண்மையல்ல, எடுத்துக்காட்டாக தொடர்ச்சியற்ற நேரியல் செயல்பாட்டின் கர்னல்). ஆர்வேசன், வில்லியம் பி., ஸ்பெக்ட்ரல் கோட்பாடு குறித்த ஒரு குறுகிய பாடநெறி, கணிதத்தில் ஸ்ப்ரிங்கர் பட்டதாரி உரைகள், தொகுதி 209,2002, செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் ஃப்ரெட்ஹோம் கோட்பாடு கோட்பாடுகள்