Elliptic boundary value problem
கணிதத்தில், நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல் என்பது ஒரு சிறப்பு வகையான எல்லை மதிப்பு சிக்கலாகும், இது ஒரு பரிணாம சிக்கலின் நிலையான நிலையாக கருதப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, லாப்லாசியனுக்கான டிரிக்லெட் சிக்கல், வெப்பம் இயக்கப்பட்ட பல மணி நேரங்களுக்குப் பிறகு ஒரு அறையில் வெப்பத்தின் இறுதியில் விநியோகத்தை அளிக்கிறது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் ஒரு பெரிய வகை இயற்கை நிகழ்வுகளை விவரிக்கின்றன, (எடுத்துக்காட்டாக) ஒரு உலோகத் தட்டில் வெப்பத்தின் பரிணாமத்தை விவரிக்கும் வெப்ப சமன்பாடு முதல், திரவங்களின் இயக்கத்தை விவரிக்கும் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு வரை, இயற்பியல் பிரபஞ்சத்தை ஒரு சார்பியல் வழியில் விவரிக்கும் ஐன்ஸ்டீனின் சமன்பாடுகள் உட்பட. இந்த சமன்பாடுகள் அனைத்தும் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள் என்றாலும், அவை மேலும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு வகையும் வெவ்வேறு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால் இது அவசியம். தற்போதைய கட்டுரை நேரியல் நீள்வட்ட சிக்கல்கள் எனப்படும் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களின் வகையைக் கையாள்கிறது. எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள் மற்றும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் குறிப்பிடுகின்றன. உதாரணமாக, வெப்பச் சமன்பாட்டில், ஒரு புள்ளியில் வெப்பநிலை மாற்றத்தின் விகிதம் அந்த புள்ளிக்கும் அருகிலுள்ள புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான வெப்பநிலை வேறுபாட்டுடன் தொடர்புடையது, இதனால் காலப்போக்கில், வெப்பம் வெப்பமான புள்ளிகளிலிருந்து குளிரான புள்ளிகளுக்கு பாய்கிறது. எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள் இடம், நேரம் மற்றும் வெப்பநிலை, திசைவேகம், அழுத்தம், காந்தப்புலம் போன்ற பிற அளவுகளை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். சில பிரச்சினைகள் நேரத்தை உள்ளடக்குவதில்லை. உதாரணமாக, ஒருவர் வீட்டிற்கும் ஒரு மரத்திற்கும் இடையில் ஒரு துணி வரிசையை தொங்கவிட்டால், காற்று இல்லாத நிலையில், துணி வரிசை நகராது, மேலும் கேடனரி எனப்படும் மென்மையான தொங்கும் வளைந்த வடிவத்தை ஏற்றுக்கொள்வார். இந்த வளைந்த வடிவத்தை நிலை, பதற்றம், கோணம் மற்றும் ஈர்ப்பு தொடர்பான வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வாக கணக்கிட முடியும், ஆனால் வடிவம் காலப்போக்கில் மாறாததால், நேர மாறுபாடு இல்லை. நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள் என்பது நேர மாறியை உள்ளடக்காத ஒரு வகை சிக்கல்கள், அதற்கு பதிலாக இடைவெளி மாறிகளை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. முக்கிய உதாரணம் இரண்டு பரிமாணங்களில், ஆயத்தொலைவுகளாக இருக்கட்டும். முதல் மற்றும் இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கான குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம், மற்றும் இதே போன்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். சின்னங்களையும், மற்றும் பகுதியளவு வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்களையும் பயன்படுத்துவோம். இரண்டாவது பகுதி வழித்தோன்றல்கள் குறிக்கப்படும் மற்றும். சாய்வு, லாப்லேஸ் ஆபரேட்டர் மற்றும் வேறுபாடு ஆகியவற்றையும் நாம் வரையறுக்கிறோம். வரையறைகளிலிருந்து அதைக் கவனியுங்கள். எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களுக்கு முக்கிய எடுத்துக்காட்டு லாப்லேஸ் ஆபரேட்டர் ஆகும், இது விமானத்தில் ஒரு பகுதி மற்றும் அந்த பிராந்தியத்தின் எல்லையாகும். செயல்பாடு அறியப்பட்ட தரவு மற்றும் தீர்வு கணக்கிடப்பட வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டு மற்ற அனைத்து நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களையும் போலவே அத்தியாவசிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த உலோகத் தட்டு பனிக்கட்டிக்கு அருகில் அதன் எல்லையைக் கொண்டிருந்தால் (இது பூஜ்ஜிய டிகிரியில் வைக்கப்படுகிறது, இதனால் டிரிக்லெட் எல்லை நிலை) போன்ற வடிவத்தில் ஒரு உலோகத் தட்டில் வெப்பத்தின் நிலையான அல்லது வரம்பு விநியோகம் என்று கரைசலை விளக்கலாம். செயல்பாடு தட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வெப்ப உற்பத்தியின் தீவிரத்தைக் குறிக்கிறது (ஒருவேளை உலோகத் தட்டில் ஒரு மின்சார ஹீட்டர் ஓய்வெடுக்கிறது, இது விகிதத்தில் தட்டில் வெப்பத்தை செலுத்துகிறது, இது காலப்போக்கில் மாறுபடாது, ஆனால் இடத்தில் சீரானதாக இருக்காது உலோகத் தட்டில்.) நீண்ட நேரம் காத்திருந்த பிறகு, உலோகத் தட்டில் வெப்பநிலை விநியோகம் நெருங்கும். பெயரிடல் எங்கே மற்றும் அவை மாறிலிகள். இது இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் முறைப்படி வழித்தோன்றல்களை மற்றும் மூலம் மாற்றினால், நாம் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த வெளிப்பாட்டை நாம் சில மாறிலிகளுக்கு சமமாக அமைத்தால், நாம் ஒரு நீள்வட்டத்தைப் பெறுகிறோம் (அனைத்தும் ஒரே அடையாளமாக இருந்தால்) அல்லது ஒரு ஹைப்பர்போலா (எதிர் அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால்). அந்த காரணத்திற்காக, நீள்வட்டமாக இருக்கும் போது மற்றும் ஹைபர்போலிக் என்றால் என்று கூறப்படுகிறது. இதேபோல், ஆபரேட்டர் ஒரு பரவளையத்திற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே இது பரவளைய என்று கூறப்படுகிறது. நீள்வட்டத்தின் கருத்தை இப்போது பொதுமைப்படுத்துகிறோம். நமது பொதுமைப்படுத்தல் சரியானது என்பது வெளிப்படையாகத் தெரியவில்லை என்றாலும், பகுப்பாய்வு நோக்கத்திற்காக தேவையான பெரும்பாலான பண்புகளை இது பாதுகாக்கிறது என்று மாறிவிடும். இரண்டாவது டிகிரியின் பொதுவான நேரியல் நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள் இடைவெளி மாறிகளாக இருக்கட்டும். உண்மையான மதிப்புமிக்க செயல்பாடுகளாக இருக்கட்டும். இரண்டாவது டிகிரி லீனியர் ஆபரேட்டராக இருக்கட்டும். அதாவது, (வேறுபாடு வடிவம்). (வேறுபடாத வடிவம்) இடைவெளி மாறியைப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றலைக் குறிக்க சந்தாவைப் பயன்படுத்தியுள்ளோம். இரண்டு சூத்திரங்களும் சமமானவை, அவ்வாறு இருந்தால். மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில், நாம் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் மதிப்புள்ள செயல்பாடாக இருக்க அனுமதிக்கலாம் மற்றும் ஒரு பரிமாண நெடுவரிசை திசையன் மதிப்புள்ள செயல்பாடாக இருக்கலாம், பின்னர் நாம் எழுதலாம் (வேறுபாடு வடிவம்). பொதுவான தன்மையை இழக்காமல், மேட்ரிக்ஸ் சமச்சீர் (அதாவது, அனைவருக்கும்,) என்று ஒருவர் கருதலாம். இந்தக் கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதியில் அந்த அனுமானத்தை நாங்கள் செய்கிறோம். சில மாறிலிகளுக்கு, பின்வரும் சமமான நிபந்தனைகளில் ஏதேனும் இருந்தால் ஆபரேட்டர் நீள்வட்டமானது என்று நாங்கள் கூறுகிறோம்ஃ (ஐகென் மதிப்பைப் பார்க்கவும்). . . ஒரு நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல் பின்னர் (PDE) மற்றும் (எல்லை மதிப்பு) போன்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பாகும். இந்த குறிப்பிட்ட உதாரணம் டிரிக்லெட் சிக்கல். நியூமன் சிக்கல் மற்றும் வெளிப்புறமாக சுட்டிக்காட்டும் இயல்பான திசையில் வழித்தோன்றல் எங்கே. பொதுவாக, ஏதேனும் ட்ரேஸ் ஆபரேட்டர் என்றால், ஒருவர் எல்லை மதிப்பு சிக்கலை உருவாக்க முடியும் மற்றும். இந்தக் கட்டுரையின் எஞ்சிய பகுதியில், அது நீள்வட்டமானது என்றும், எல்லை நிபந்தனை டிரிக்லெட் நிபந்தனை என்றும் கருதுகிறோம். நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களின் பகுப்பாய்விற்கு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் சில அதிநவீன கருவிகள் தேவைப்படுகின்றன. நமக்கு "ஒருமுறை வேறுபடுத்தக்கூடிய" செயல்பாடுகளின் சோபோலேவ் இடைவெளி தேவைப்படுகிறது, அதாவது செயல்பாடு மற்றும் அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் சதுர ஒருங்கிணைந்தவை. இங்கே ஒரு நுணுக்கம் உள்ளது, அதில் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் "பலவீனமான அர்த்தத்தில்" வரையறுக்கப்பட வேண்டும் (விவரங்களுக்கு சோபோலேவ் இடங்கள் குறித்த கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.) இந்த இடம் ஒரு ஹில்பர்ட் இடமாகும், இது இந்த சிக்கல்கள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படும் மிக எளிதாக உள்ளது. சோபோலேவ் இடங்களின் விவரங்களில் விவாதம் இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது, ஆனால் தேவையான முடிவுகள் எழும்போது அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவோம். வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால், இந்த கட்டுரையில் உள்ள அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் பலவீனமான, சோபோலேவ் அர்த்தத்தில் விளக்கப்பட வேண்டும். கால்குலஸின் கிளாசிக்கல் வழித்தோன்றலைக் குறிக்க "வலுவான வழித்தோன்றல்" என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இடைவெளிகள், நேரங்கள் வலுவாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதையும், th வழித்தோன்றல் தொடர்ச்சியானது என்பதையும் நாம் குறிப்பிடுகிறோம். பலவீனமான அல்லது மாறுபட்ட சூத்திரம் சோபோலேவ் இடைவெளிகளின் மொழியைப் போலவே எல்லை மதிப்பு சிக்கலை முன்வைப்பதற்கான முதல் படி அதை அதன் பலவீனமான வடிவத்தில் மறுபரிசீலனை செய்வதாகும். லாப்லேஸ் சிக்கலைக் கவனியுங்கள். சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ஒரு "சோதனை செயல்பாடு" மூலம் பெருக்கி, பச்சை தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கவும். நாம் டிரிக்லெட் சிக்கலைத் தீர்ப்போம், அதனால். தொழில்நுட்ப காரணங்களுக்காக, அது அதே செயல்பாடுகளின் இடத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாக கருதுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், எனவே நாமும் அதை கருதுகிறோம். இது (*) எங்கே மற்றும் என்ற சொல்லை நீக்குகிறது. ஒரு பொதுவான நீள்வட்ட ஆபரேட்டர் என்றால், அதே பகுத்தறிவு இருமுனை வடிவத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. நியூமன் சிக்கலைப் பற்றி நாம் விவாதிக்கவில்லை, ஆனால் அது இதேபோல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். தொடர்ச்சியான மற்றும் வற்புறுத்தும் இருமுனை வடிவங்கள் வரைபடம் சோபோலேவ் செயல்பாடுகளின் இடத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது, அவை ஒரு காலத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியவை மற்றும் எல்லையில் பூஜ்ஜியமாக உள்ளன, நாம் மற்றும் மீது சில நிபந்தனைகளை விதித்தால். பல சாத்தியமான தேர்வுகள் உள்ளன, ஆனால் இந்த கட்டுரையின் நோக்கத்திற்காக, தொடர்ந்து வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று கருதுவோம், ஏனெனில் தொடர்ச்சியானது தொடர்ச்சியானது மற்றும் வரம்புக்குட்பட்டது. வரைபடம் மேலும் இருமுனை மற்றும் தொடர்ச்சியானது என்பதையும், வரைபடம் நேரியல் மற்றும் (எடுத்துக்காட்டாக) சதுர ஒருங்கிணைப்பாக இருந்தால் தொடர்ச்சியானது என்பதையும் வாசகர் சரிபார்க்கலாம். அனைவருக்காகவும் இருந்தால் வரைபடம் வற்புறுத்துவதாக இருக்கும் என்று நாம் கூறுகிறோம், இது லாப்லாசியனுக்கு (உடன்) அற்பமான உண்மை மற்றும் நாம் கருதினால் ஒரு நீள்வட்ட ஆபரேட்டருக்கும் இது பொருந்தும். (நீள்வட்டமாக இருக்கும்போது அதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.) பலவீனமான தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் லக்ஷ்-மில்கிராம் லெம்மாவின் மூலம், வற்புறுத்தும் மற்றும் தொடர்ச்சியான போதெல்லாம், பலவீனமான பிரச்சினைக்கு (*) ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது என்பதை ஒருவர் காட்டலாம். மேலும் சமச்சீர் (அதாவது,) என்றால், அதற்கு பதிலாக ரீஸ் பிரதிநிதித்துவ தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதே முடிவைக் காட்டலாம். இது ஒரு உள் விளைபொருளை உருவாக்கும் உண்மையை நம்பியுள்ளது, இது போயின்கேரின் சமத்துவமின்மையைப் பொறுத்தது. வலுவான தீர்வுகள் பலவீனமான அமைப்பைத் தீர்க்கும் ஒரு அமைப்பு உள்ளது என்பதை நாங்கள் காட்டியுள்ளோம், ஆனால் இது வலுவான அமைப்பைத் தீர்க்கிறதா என்று எங்களுக்குத் தெரியாது. நிலைமையை சரிசெய்ய பல வழிகள் உள்ளன, அவற்றில் முக்கியமானது ஒழுங்குமுறை. இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கலுக்கான ஒரு ஒழுங்குமுறை தேற்றம் தேற்றம் வடிவத்தை எடுக்கிறது (சில நிபந்தனைகள்) என்றால், தீர்வு, "இரண்டு முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய" செயல்பாடுகளின் இடத்தில் உள்ளது, அதன் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் சதுர ஒருங்கிணைந்தவை. தேற்றத்தின் முடிவுக்கு அவசியமான மற்றும் போதுமான எளிய நிபந்தனை எதுவும் இல்லை, ஆனால் பின்வரும் நிபந்தனைகள் போதுமானவை என்று அறியப்படுகிறதுஃ இன் எல்லை, அல்லது குவிந்தது. துண்டு துண்டாக இருந்தால் அது உண்மையில் உள்ளது, ஆனால் துரதிர்ஷ்டவசமாக அது தவறானது என்று ஊகிக்க தூண்டப்படலாம். கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் தீர்வுகள் பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகின்றன, அந்த விஷயத்தில் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும். வலுவான தீர்வுகள் எல்லை ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு மற்றும் வலுவான அர்த்தத்தில் எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், வலுவான அர்த்தத்தில் எல்லையற்ற வேறுபடுத்தக்கூடியது என்பதை ஒருவர் மேலும் நிரூபிக்கலாம். இந்த விஷயத்தில், வழித்தோன்றலின் வலுவான வரையறையுடன். இதன் ஆதாரம் ஒரு மேம்பட்ட ஒழுங்குமுறை தேற்றத்தை நம்பியுள்ளது, இது என்றால் மற்றும், பின்னர், ஒரு சோபோலேவ் உட்பொதிக்கும் தேற்றத்துடன் இணைந்து செயல்பாடுகள் எப்போது வேண்டுமானாலும் உள்ளன என்று கூறுகிறது. எண் தீர்வுகள் விதிவிலக்கான சூழ்நிலைகளில், நீள்வட்ட சிக்கல்களை வெளிப்படையாக தீர்க்க முடியும் என்றாலும், பொதுவாக இது ஒரு சாத்தியமற்ற பணியாகும். நீள்வட்ட சிக்கலை எளிமையான ஒன்றைக் கொண்டு தோராயமாக மதிப்பிடுவதும், இந்த எளிய சிக்கலை கணினியில் தீர்ப்பதும் இயற்கையான தீர்வாகும். நாம் கணக்கிடப்பட்ட நல்ல பண்புகள் காரணமாக (அதே போல் நம்மிடம் இல்லாத பல), நேரியல் நீள்வட்ட எல்லை மதிப்பு சிக்கல்களுக்கு மிகவும் திறமையான எண் தீர்வுகள் உள்ளன (எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை, வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு முறை மற்றும் நிறமாலை முறையைப் பார்க்கவும்). ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஐகென்சோல்யூஷன்கள் மற்றொரு சோபோலேவ் உட்பொதிக்கும் தேற்றம் சேர்ப்பது ஒரு சிறிய நேரியல் வரைபடம் என்று கூறுகிறது. சிறிய நேரியல் இயக்கிகளுக்கான நிறமாலை தேற்றத்துடன் பொருத்தப்பட்ட ஒருவர் பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறார். கோட்பாடு வற்புறுத்தும், தொடர்ச்சியான மற்றும் சமச்சீர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதல் வரை உள்ள வரைபடம் ஒரு சிறிய நேரியல் வரைபடமாகும். இது ஈஜென்வெக்டர்கள் மற்றும் பொருந்தக்கூடிய ஈஜென்வெல்யூக்களின் அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, எப்போது, எல்லா தொடர் தீர்வுகளுக்கும், ஈஜென்சோல்யூஷன்களின் முக்கியத்துவமும் ஒருவர் ஈஜென்வெல்யூக்கள் மற்றும் ஈஜென்வெக்டர்களைக் கணக்கிட்டிருந்தால், அதன் "வெளிப்படையான" தீர்வை, இங்கே உள்ள சூத்திரத்தின் மூலம் காணலாம் (ஃபோரியர் தொடரைப் பார்க்கவும்). தொடர் ஒருங்கிணைக்கிறது. எண்ணியல் தோராயங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு கணினியில் செயல்படுத்தப்படுகிறது, இது நிறமாலை முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு எடுத்துக்காட்டு (டிரிக்லெட் நிபந்தனைகள்) சிக்கலைக் கவனியுங்கள். ஐஜென்வெக்டர்கள் சரியாக உள்ளனவா என்பதை வாசகர் சரிபார்க்கலாம், ஐஜென் மதிப்புகளுடன் ஃபோரியர் குணகங்கள் ஒரு அட்டவணையில் மேலே பார்க்கப்படலாம், பெறலாம். எனவே, அதிகபட்சக் கொள்கையின் தீர்வை வழங்குவது அதிகபட்சக் கொள்கையின் பல மாறுபாடுகள் உள்ளன. நாம் ஒரு எளிய ஒன்றைக் கொடுக்கிறோம். தேற்றம். (பலவீனமான அதிகபட்ச கொள்கை.) விடுங்கள், அதை அனுமானியுங்கள். அதை உள்ளே சொல்லுங்கள். பிறகு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அதிகபட்சம் எல்லையில் அடையப்படுகிறது. ஒரு வலுவான அதிகபட்ச கொள்கை நிலையானதாக இல்லாவிட்டால் அனைவருக்கும் என்று முடிவு செய்யும். குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு கணித பகுப்பாய்வு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எல்லை மதிப்பு சிக்கல்கள்