Index group
இயக்கக் கோட்பாட்டில், கணிதத்தின் ஒரு கிளை, ஒவ்வொரு பானாச் இயற்கணிதத்தையும் அதன் சுருக்க குறியீட்டு குழு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு குழுவுடன் தொடர்புபடுத்தலாம். வரையறை A ஒரு பானாச் இயற்கணிதமாகவும், G என்பது A இல் உள்ள தலைகீழ் உறுப்புகளின் குழுவாகவும் இருக்கட்டும். தொகுப்பு ஜி திறந்த மற்றும் ஒரு இடவியல் குழு. அடையாளக் கூறு G0 ஐக் கவனியுங்கள், அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், A இன் அடையாளம் 1 ஐக் கொண்ட இணைக்கப்பட்ட கூறு; G0 என்பது G இன் இயல்பான துணைக்குழுவாகும். G0, ஒரு திறந்த தொகுப்பின் அங்கமாக இருப்பதால், G இல் திறந்த மற்றும் மூடப்பட்ட இரண்டும் இருப்பதால், குறியீட்டு குழு ஒரு தனித்துவமான குழுவாகும். எடுத்துக்காட்டுகள் எல் (எச்) ஒரு ஹில்பர்ட் இடத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட இயக்கிகளின் பானாச் இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். எல் (எச்) இல் உள்ள தலைகீழ் உறுப்புகளின் தொகுப்பு பாதை இணைக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, λL (H) என்பது அற்பமான குழு. சிக்கலான தளத்தில் உள்ள அலகு வட்டத்தை T குறிக்கட்டும். டி முதல் சிக்கலான எண்கள் வரையிலான தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதம் சி (டி) ஒரு பானாச் இயற்கணிதம் ஆகும், இது சீரான ஒருங்கிணைப்பின் இடவியல் ஆகும். சி (டி) இல் உள்ள ஒரு செயல்பாடு டி இன் எந்த உறுப்பையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு வரைபடமாக்காவிட்டால் தலைகீழாக இருக்கும் (அதாவது அது ஒரு புள்ளி வாரியாக பெருக்க தலைகீழ் உள்ளது, இது ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு அல்ல). G0 குழுவானது, நிலையான செயல்பாடு 1, G இல் உள்ள அடையாளத்திற்கு, G இல் உள்ள ஹோமோடோபிக் உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒருவரால் fn (z) = zn செயல்பாடுகளை G இல் உள்ள T → T வரைபடங்களின் தனித்துவமான ஒரே மாதிரியான வகுப்புகளின் பிரதிநிதிகளாக தேர்வு செய்யலாம். எனவே குறியீட்டு குழு λC (T) என்பது ஹோமோடாபி வகுப்புகளின் தொகுப்பாகும், இது அதன் உறுப்பினர்களின் முறுக்கு எண்ணால் குறியிடப்படுகிறது. எனவே λC (T) என்பது T இன் அடிப்படை குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். இது ஒரு எண்ணக்கூடிய தனித்துவமான குழுவாகும். கால்கின் இயற்கணிதம் K என்பது சுருக்கமான இயக்கிகளைப் பொறுத்தவரை L (H) இன் C *-இயற்கணிதம் ஆகும். π என்பது ஈவு வரைபடம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அட்கின்சனின் தேற்றத்தின்படி, K இல் உள்ள ஒரு தலைகீழ் உறுப்புகள் π (T) வடிவத்தில் உள்ளன, இதில் T என்பது ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்கள் ஆகும். குறியீட்டு குழு λK மீண்டும் ஒரு எண்ணக்கூடிய தனித்துவமான குழுவாகும். உண்மையில், ஃப்ரெட்ஹோம் குறியீட்டின் வழியாக Z முழு எண்களின் சேர்க்கைக் குழுவிற்கு λK ஐசோமார்பிக் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஃப்ரெட்ஹோம் ஆபரேட்டர்களைப் பொறுத்தவரை, குறியீட்டின் இரண்டு கருத்துக்களும் ஒத்துப்போகின்றன. குறிப்புகள் ஜு, கெஹே (1993). ஆபரேட்டர் ஆல்ஜிப்ராஸ், சி. ஆர். சி பிரஸ், போகா ரேட்டன், எல். ஏ., ஆபரேட்டர் கோட்பாடு பானாச் ஆல்ஜிப்ராஸ் டிஸ்கிரீட் குழுக்களுக்கு ஒரு அறிமுகம்