Free-by-cyclic group
குழுக் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, வடிவியல் குழுக் கோட்பாட்டில், ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்களின் வகை முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகளாக ஆழமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளது. ஈவுக் குழு சுழற்சியாக இருக்கும் வகையில் ஒரு இலவச இயல்பான துணைக்குழுவைக் கொண்டிருந்தால் ஒரு குழு சுழற்சியால் சுதந்திரமாக இருக்கும் என்று கூறப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சுழற்சி குழுவால் ஒரு இலவச குழுவின் குழு நீட்டிப்பாக வெளிப்படுத்த முடிந்தால் அது இலவசமாக சுழற்சி ஆகும் (என். பி. 'மூலம்' இரண்டு மரபுகள் உள்ளன). வழக்கமாக, நாம் இறுதியாக உருவாக்கப்படுவதாகவும், ஈவு ஒரு எல்லையற்ற சுழற்சி குழு என்றும் கருதுகிறோம். சமமாக, நாம் ஒரு ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுவை ஆக்கபூர்வமாக வரையறுக்கலாம்ஃ ஒரு தானியங்கி வடிவமைப்பு என்றால், அரை-நேரடி தயாரிப்பு ஒரு ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுவாகும். ஒரு ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுவின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்பு ஒரு வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இரண்டு ஆட்டோமார்ஃபிஸம்கள் ஒரே வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸத்தைக் குறிக்கின்றன என்றால், அதாவது, சில உள் ஆட்டோமார்ஃபிஸத்திற்கு, ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்கள் மற்றும் ஐசோமார்பிக் ஆகும். எடுத்துக்காட்டுகள் ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்களின் வகை பின்வருமாறு பல்வேறு குழுக்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ இணைக்கும் வரைபடம் அடோராய்டலாக இருந்தால் மட்டுமே ஒரு ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழு ஹைபர்போலிக் ஆகும். சில ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்கள் ஃப்ரீ-அபெலியன் துணைக்குழுக்களுடன் தொடர்புடைய ஹைபர்போலிக் ஆகும். மேலும் பொதுவாக, அனைத்து ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்களும் பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியின் தானியங்கி உருமாற்றத்திற்கான ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்புடன் தொடர்புடைய ஹைபர்போலிக் ஆகும். குறிப்பிடத்தக்க வகையில், ஒரு சிஏடி அல்லாத (0) இலவச சுழற்சி குழு உள்ளது. குறிப்புகள் ஏ. மார்டினோ மற்றும் ஈ. வென்டுரா (2004), ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் குழுக்களுக்கான இணைந்த சிக்கல். சென்டர் டி ரெசெர்கா மேட்டிமெட்டிகா, பார்சிலோனா, கட்டலோனியா, ஸ்பெயினில் இருந்து முன் அச்சு. ஃபெய்ன், மார்க்; ஹேண்டல், மைக்கேல் மேப்பிங் டோரி ஆஃப் ஃப்ரீ குரூப் ஆட்டோமார்ஃபிஸம்கள் ஒத்திசைவானவை, ஆன். கணிதம்., தொகுதி 149 (1999) எண். 3 கோஷ், பி. (2023). ஃப்ரீ-பை-சைக்ளிக் நீட்டிப்புகளின் ரிலேட்டிவ் ஹைபர்போலிஸிட்டி. தொகுப்பு கணிதம், 159 (1), 153-183. எஃப். டஹ்மானி மற்றும் ஆர். லி, இலவச தயாரிப்புகள் மற்றும் இலவச குழுக்களின் தானியங்கிகளுக்கான தொடர்புடைய ஹைபர்போலிஸிட்டி, ஜர்னல் ஆஃப் டோபாலஜி அண்ட் அனாலிசிஸ் வோல். 14, இல்லை. 01, பக். 55-92 (2022) எல்லையற்ற குழு கோட்பாடு குழுக்களின் பண்புகள்