Spectral element method
பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் எண் தீர்வில், கணிதத்தில் ஒரு தலைப்பு, நிறமாலை உறுப்பு முறை (SEM) என்பது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையின் (FEM) ஒரு சூத்திரமாகும், இது உயர் டிகிரி துண்டு வாரியான பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அடிப்படை செயல்பாடுகளாகப் பயன்படுத்துகிறது. நிறமாலை உறுப்பு முறை 1984 ஆம் ஆண்டு ஏ. டி. படேரா எழுதிய ஆய்வறிக்கையில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த முறையின் வளர்ச்சிக்கு பாடெரா பெருமை பெற்றிருந்தாலும், அவரது பணி ஏற்கனவே இருந்த முறையை மீண்டும் கண்டுபிடிப்பதாகும் (மேம்பாட்டு வரலாற்றைப் பார்க்கவும்) விவாதம் நிறமாலை முறை முக்கோணவியல் தொடரில் தீர்வை விரிவுபடுத்துகிறது, இதன் விளைவாக வரும் முறை மிக உயர்ந்த வரிசையில் உள்ளது என்பது ஒரு முக்கிய நன்மை. இந்த அணுகுமுறை முக்கோணவியல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படையாகும் என்ற உண்மையை நம்பியுள்ளது. ஸ்பெக்ட்ரல் உறுப்பு முறை அதற்கு பதிலாக உயர் டிகிரி துண்டு வாரியான பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படை செயல்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, மேலும் மிக உயர்ந்த துல்லியத்தை அடைகிறது. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பொதுவாக ஆர்த்தோகனல் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது சீரான இடைவெளி இல்லாத முனைகளில் மிக உயர்ந்த வரிசை லாக்ரேஞ்ச் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். SEM இல் கணக்கீட்டு பிழை தோராயமாக பல்லுறுப்புக்கோவை அதிகரிக்கும் வரிசையில் அதிவேகமாகக் குறைகிறது, எனவே FEM உடன் ஒப்பிடுகையில் கட்டமைப்பின் குறைவான அளவிலான சுதந்திரத்துடன் சரியான தீர்வுக்கான தீர்வின் விரைவான ஒருங்கிணைப்பு உணரப்படுகிறது. கட்டமைப்பு சுகாதார கண்காணிப்பில், ஒரு கட்டமைப்பில் பெரிய குறைபாடுகளைக் கண்டறிய FEM ஐப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் குறைபாட்டின் அளவு குறைக்கப்படுவதால் அதிக அதிர்வெண் அலைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. உயர் அதிர்வெண் அலைகளின் பரப்புதலை உருவகப்படுத்துவதற்காக, தேவைப்படும் FEM கண்ணி மிகவும் நன்றாக உள்ளது, இதன் விளைவாக கணக்கீட்டு நேரம் அதிகரிக்கிறது. மறுபுறம், SEM குறைந்த அளவிலான சுதந்திரத்துடன் நல்ல துல்லியத்தை வழங்குகிறது. முனைகளின் சீரான தன்மை இல்லாதது வெகுஜன மேட்ரிக்ஸ் மூலைவிட்டத்தை உருவாக்க உதவுகிறது, இது நேரத்தையும் நினைவகத்தையும் மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் மைய வேறுபாடு முறையை (சி. டி. எம்) பின்பற்றுவதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். FEM இன் நெகிழ்வுத்தன்மையுடன் ஒப்பிடும்போது, சிக்கலான வடிவவியலை மாதிரியாக்குவதில் சிரமம் SEM இன் குறைபாடுகளில் அடங்கும். இந்த முறையை ஒரு மாதிரி துண்டு துண்டாக ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படையில் பயன்படுத்தலாம் என்றாலும், இது பெரும்பாலும் ஒரு நோடல் டென்சர் தயாரிப்பு லாக்ரேஞ்ச் அடிப்படையில் செயல்படுத்தப்படுகிறது. நோடல் புள்ளிகளை லெஜெண்ட்ரே-காஸ்-லோபாட்டோ (எல்ஜிஎல்) புள்ளிகளில் வைப்பதன் மூலமும், அதே முனைகளைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்பட்ட காஸ்-லோபாட்டோ நாற்கரத்துடன் கேலர்கின் முறை ஒருங்கிணைப்புகளைச் செய்வதன் மூலமும் இந்த முறை அதன் செயல்திறனைப் பெறுகிறது. இந்த கலவையின் மூலம், எளிமைப்படுத்தல்கள் அனைத்து முனைகளிலும் வெகுஜன லம்பிங் ஏற்படுகின்றன மற்றும் உட்புற புள்ளிகளில் ஒரு மோதல் செயல்முறை முடிவடைகிறது. இந்த முறையின் மிகவும் பிரபலமான பயன்பாடுகள் கணக்கீட்டு திரவ இயக்கவியல் மற்றும் நில அதிர்வு அலை பரவலின் மாதிரியாக்கம் ஆகும். கேலர்கின் முறைகள் மற்றும் சியாவின் லெம்மாவின் உன்னதமான பகுப்பாய்வு இங்கே உள்ளது, மேலும் பலவீனமான சமன்பாட்டின் தீர்வு என்றால், தோராயமான தீர்வு மற்றும்ஃ களத்தின் தனித்துவத்துடன் தொடர்புடையது (அதாவது. உறுப்பு நீளம்), இலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது, மேலும் துண்டு வாரியான பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படையின் அளவை விட பெரியது அல்ல. வலுவான இடவியலில் பிழையை பிணைக்க இதே போன்ற முடிவுகளைப் பெறலாம். நாம் அதிகரிக்கும் போது, அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அளவையும் அதிகரிக்கலாம். இந்த வழக்கில், ஒரு பகுப்பாய்வு செயல்பாடு என்றால்ஃ எங்கே மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. ஹைப்ரிட்-கொலோகேஷன்-கேலர்கின் சில சூப்பர் கன்வெர்ஜென்ஸ் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. SEM இன் எல்ஜிஎல் வடிவம் சமமானது, எனவே இது அதே சூப்பர் கன்வெர்ஜென்ஸ் பண்புகளை அடைகிறது. இந்த முறையின் மிகவும் பிரபலமான எல்ஜிஎல் வடிவத்தின் வளர்ச்சி பொதுவாக மேடே மற்றும் படேராவுக்குக் காரணம். இருப்பினும், இது ஒரு தசாப்தத்திற்கு முன்பே உருவாக்கப்பட்டது. முதலாவதாக, ஹைப்ரிட்-கொலோகேஷன்-கேலர்கின் முறை (எச். சி. ஜி. எம்) உள்ளது, இது உட்புற லோபாட்டோ புள்ளிகளில் இணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் உறுப்பு இடைமுகங்களில் கேலர்கின் போன்ற ஒருங்கிணைந்த நடைமுறையைப் பயன்படுத்துகிறது. யங் விவரித்த லோபாட்டோ-கேலர்கின் முறை SEM க்கு ஒத்ததாகும், அதே நேரத்தில் HCGM இந்த முறைகளுக்கு சமமானது. இந்த முந்தைய படைப்பு நிறமாலை இலக்கியத்தில் புறக்கணிக்கப்படுகிறது. தொடர்புடைய முறைகள் ஜி-என்ஐ அல்லது எஸ்இஎம்-என்ஐ மிகவும் பயன்படுத்தப்படும் நிறமாலை முறைகள் ஆகும். முறையே ஜி-என்ஐ அல்லது எஸ்இஎம்-என்ஐக்கான நிறமாலை முறைகள் அல்லது நிறமாலை உறுப்பு முறைகளின் கேலர்கின் உருவாக்கம் மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் இருதரப்பு வடிவத்தின் வரையறை மற்றும் செயல்பாட்டில் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு பதிலாக காஸ்-லோபாட்டோ ஒருங்கிணைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு ஸ்ட்ராங்கின் லெம்மாவின் விளைவாகும். SEM என்பது கேலர்கின் அடிப்படையிலான FEM (வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை) ஆகும், இது லாக்ரேஞ்ச் அடிப்படை (வடிவம்) செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதே முனைகளைப் பயன்படுத்தி லோபாட்டோ நாற்கரத்தால் எண் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்கிறது. போலி ஸ்பெக்ட்ரல் முறை, ஆர்த்தோகனல் கொளோகேஷன், வேறுபட்ட நாற்கர முறை மற்றும் ஜி-என்ஐ ஆகியவை ஒரே முறைக்கு வெவ்வேறு பெயர்கள். இந்த முறைகள் துண்டு துண்டாக பல்லுறுப்புக்கோவை அடிப்படையிலான செயல்பாடுகளை விட உலகளாவிய பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. ஒரு துண்டுப்பிரசுரமான FEM அல்லது SEM அடிப்படைக்கு நீட்டிப்பு கிட்டத்தட்ட அற்பமானது. ஸ்பெக்ட்ரல் உறுப்பு முறை காஸ்-லோபாட்டோ புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய நோடல் அடிப்படை செயல்பாடுகளால் பரவியுள்ள ஒரு டென்சர் தயாரிப்பு இடத்தை பயன்படுத்துகிறது. இதற்கு மாறாக, p-பதிப்பு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை உயர் வரிசை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் இடைவெளியை முடிச்சற்ற அடிப்படை செயல்பாடுகளால் பரப்புகிறது, இது எண் ஸ்திரத்தன்மைக்கு தோராயமாக ஆர்த்தோகனல் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அனைத்து உட்புற அடிப்படை செயல்பாடுகளும் இருக்க வேண்டியதில்லை என்பதால், p-பதிப்பு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு வரை அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் குறைவான அளவு சுதந்திரத்துடன் கொண்ட ஒரு இடத்தை உருவாக்க முடியும். இருப்பினும், அவற்றின் டென்சர்-தயாரிப்பு தன்மை காரணமாக நிறமாலை முறைகளில் சாத்தியமான சில வேகப்படுத்தும் நுட்பங்கள் இனி கிடைக்கவில்லை. p-பதிப்பு என்ற பெயரின் பொருள் என்னவென்றால், மெஷ் அளவைக் குறைப்பதை விட தோராயமாக பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரிசையை அதிகரிப்பதன் மூலம் துல்லியம் அதிகரிக்கப்படுகிறது, h. hp வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை (hp-FEM) அதிவேக ஒருங்கிணைப்பு விகிதங்களைப் பெறுவதற்கு h மற்றும் p சுத்திகரிப்புகளின் நன்மைகளை ஒருங்கிணைக்கிறது. குறிப்புகள் எண் வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் கணக்கீட்டு திரவ இயக்கவியல் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை