Semifield
கணிதத்தில், ஒரு அரைப்பகுதி என்பது இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகள், கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு இயற்கணித கட்டமைப்பாகும், இது ஒரு புலத்தைப் போன்றது, ஆனால் சில கோட்பாடுகள் தளர்த்தப்படுகின்றன. அரையிறுதி என்ற சொல் இரண்டு முரண்பட்ட அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது, இவை இரண்டும் புலங்களை ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக உள்ளடக்கியது. திட்ட வடிவியல் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவவியலில் (எம்எஸ்சி 51ஏ, 51இ, 12கே10), அரைப்பகுதி என்பது பெருக்கல் அடையாள உறுப்புடன் கூடிய ஒரு தொடர்பற்ற பிரிவு வளையமாகும். இன்னும் துல்லியமாக, இது ஒரு தொடர்பற்ற வளையமாகும், அதன் பூஜ்ஜியமற்ற கூறுகள் பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு வளையத்தை உருவாக்குகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு அரைப்பகுதி என்பது இரண்டு செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பு S ஆகும் + (கூட்டல்) மற்றும் · (பெருக்கம்), அதாவது (S, +) ஒரு அபெலியன் குழு, பெருக்கம் இடது மற்றும் வலது இரண்டிலும் விநியோகிக்கப்படுகிறது, ஒரு பெருக்க அடையாள உறுப்பு உள்ளது, மற்றும் பிரிவு எப்போதும் சாத்தியமாகும்ஃ S இல் உள்ள ஒவ்வொரு a மற்றும் ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற b க்கும், S இல் தனித்துவமான x மற்றும் y உள்ளன, இதற்காக b·x = a மற்றும் y·b = a. பெருக்கம் என்பது பரிமாற்ற அல்லது இணைப்பாக கருதப்படுவதில்லை என்பதை குறிப்பாகக் கவனியுங்கள். இணைக்கப்பட்ட அரைப்பகுதி ஒரு பிரிவு வளையமாகும், மேலும் இணைக்கப்பட்ட மற்றும் பரிமாற்றப்பட்ட ஒன்று ஒரு புலமாகும். இந்த வரையறையின்படி ஒரு அரைப்பகுதி என்பது ஒரு குவாசிஃபீல்டின் சிறப்பு வழக்கு ஆகும். S வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால், மேலே உள்ள வரையறையில் உள்ள கடைசி கோட்பாட்டை பூஜ்ஜிய வகுத்திகள் இல்லை என்ற அனுமானத்துடன் மாற்றலாம், இதனால் a·b = 0 என்பது a = 0 அல்லது b = 0 என்பதைக் குறிக்கிறது. பொதுவாக புலங்கள் மற்றும் பிரிவு வளையங்களின் வரையறைகளில் காணப்படுவது போல், அசோசியேட்டிவிட்டி இல்லாததால், கடைசி கோட்பாடு ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புக்கும் பெருக்கல் தலைகீழ் உள்ளது என்ற அனுமானத்திற்கு சமமானதல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. வளையக் கோட்பாடு, ஒருங்கிணைப்பு, செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வு மற்றும் கோட்பாட்டு கணினி அறிவியல் (எம். எஸ். சி 16 ஒய் 60) ஆகியவற்றில், ஒரு அரைப்பகுதி என்பது ஒரு செமிரிங் (எஸ், +, ·) ஆகும், இதில் அனைத்து பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளும் பெருக்க தலைகீழாக உள்ளன. இந்த பொருள்கள் முறையான அரைப்புள்ளிகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த வரையறையின் மாறுபாடு S இல் பெருக்க அலகு e இலிருந்து வேறுபட்ட உறிஞ்சும் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டிருந்தால், பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகள் தலைகீழாக இருக்க வேண்டும், மேலும் a·0 = 0·a = 0. பெருக்கம் என்பது இணைப்பானது என்பதால், அரைப்புலத்தின் (பூஜ்ஜியமற்ற) கூறுகள் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன. இருப்பினும், இந்த ஜோடி (எஸ், +) ஒரு அரைகுறை மட்டுமே, அதாவது. சேர்க்கை தலைகீழ் இருக்க வேண்டியதில்லை, அல்லது, பேச்சுவழக்கில், 'கழித்தல் இல்லை'. சில நேரங்களில், பெருக்கம் துணை என்று கருதப்படுவதில்லை. அரையிறுதி A அரையிறுதி D இன் முதன்மையானது வலது (ரெஸ்ப்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இடது) டி * இன் பூஜ்ஜியமற்ற உறுப்புகளின் தொகுப்பு அனைத்து வலது (ரெஸ்ப்) தொகுப்புக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு உறுப்பு டபிள்யூ இருந்தால் பழமையானது. இடது) டபிள்யூ இன் முக்கிய சக்திகள். எடுத்துக்காட்டுகள் இரண்டாவது அர்த்தத்தில் அரைகுறைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை மட்டுமே நாங்கள் வழங்குகிறோம், அதாவது. விநியோக பெருக்கத்துடன் கூடிய கூட்டல் அரைக்குழுக்கள். மேலும், கூட்டல் என்பது பரிமாற்றமாகும் மற்றும் பெருக்கம் என்பது நமது எடுத்துக்காட்டுகளில் இணைப்பாகும். வழக்கமான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் நேர்மறை விகிதமுறு எண்கள் ஒரு பரிமாற்ற அரைப்புலத்தை உருவாக்குகின்றன. இதை 0 உறிஞ்சுவதன் மூலம் நீட்டிக்க முடியும். வழக்கமான கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்துடன் நேர்மறை உண்மையான எண்கள் ஒரு பரிமாற்ற அரைப்புலத்தை உருவாக்குகின்றன. இது ஒரு உறிஞ்சும் 0 மூலம் நீட்டிக்கப்படலாம், இது நிகழ்தகவு செமிரிங்கை உருவாக்குகிறது, இது பதிவு செமிரிங்கிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். f/g வடிவத்தின் விகிதமுறு செயல்பாடுகள், இதில் f மற்றும் g நேர்மறை குணகங்களுடன் ஒரு மாறியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள், ஒரு பரிமாற்ற அரைப்புலத்தை உருவாக்குகின்றன. இதை 0 ஐ சேர்க்க நீட்டிக்க முடியும். உண்மையான எண்கள் R ஐ ஒரு அரைப்புள்ளியாகக் காணலாம், அங்கு இரண்டு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் அதிகபட்சம் மற்றும் பெருக்கல் அவற்றின் சாதாரண கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது; இந்த அரைப்பகுதி மிகவும் சுருக்கமாக குறிக்கப்படுகிறது (R, அதிகபட்சம், +). இதேபோல் (ஆர், குறைந்தபட்சம், +) ஒரு அரைப்பகுதி ஆகும். இவை வெப்பமண்டல செமிரிங் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இதை − ν (ஒரு உறிஞ்சும் 0) ஆல் நீட்டிக்க முடியும்; இது அடித்தளம் முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது பதிவு செமிரிங்கின் வரம்பு (வெப்பமண்டலமயமாக்கல்) ஆகும். முந்தைய உதாரணத்தை பொதுமைப்படுத்தினால், (A, ·, ≤) ஒரு லட்டிஸ்-ஆர்டர் செய்யப்பட்ட குழுவாக இருந்தால், (A, +, ·) என்பது இரண்டு உறுப்புகளின் மேலாதிக்கமாக வரையறுக்கப்பட்ட அரை விளைச்சல் கூட்டுத்தொகையுடன் கூடிய ஒரு சேர்க்கப்பட்ட தனித்துவமான அரை விளைச்சல் ஆகும். இதற்கு நேர்மாறாக, எந்தவொரு சேர்க்கை தனித்துவமான அரைப்பகுதி (A, +, ·) ஒரு லட்டிஸ்-ஆர்டர் செய்யப்பட்ட குழுவை (A, ·, ≤) வரையறுக்கிறது, அங்கு a ≤ b என்றால் மற்றும் a + b = b என்றால் மட்டுமே. பூலியன் அரைப்பகுதி B = {0,1} கூட்டல் தர்க்கரீதியான அல்லது, மற்றும் பெருக்கல் தர்க்கரீதியான மற்றும் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் காண்க பிளானர் முப்பரிமாண வளையம் (முதல் உணர்வு) குறிப்புகள் இயற்கணித கட்டமைப்புகள் வளையக் கோட்பாடு