Cerf theory
கணிதத்தில், ஒற்றுமை கோட்பாடு மற்றும் வேறுபட்ட இடவியல் சந்திப்பில், செர்ஃப் கோட்பாடு என்பது ஒரு மென்மையான பன்மடங்கு மீது மென்மையான உண்மையான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் குடும்பங்களைப் பற்றிய ஆய்வு ஆகும், அவற்றின் பொதுவான ஒருமைப்பாடுகள் மற்றும் துணை இடங்களின் இடவியல் இந்த ஒருமைப்பாடுகள் செயல்பாட்டு இடத்தின் துணை இடங்களாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்தக் கோட்பாடு 1960 களின் பிற்பகுதியில் இதைத் தொடங்கிய ஜீன் செர்ப்பின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. மார்ஸ்டன் மோர்ஸ் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, சுருக்கமாக வழங்கப்பட்டால், எந்தவொரு மென்மையான செயல்பாட்டையும் மோர்ஸ் செயல்பாட்டால் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்பதை நிரூபித்தது. எனவே, பல நோக்கங்களுக்காக, ஒருவர் தன்னிச்சையான செயல்பாடுகளை மோர்ஸ் செயல்பாடுகளால் மாற்றலாம். அடுத்த கட்டமாக, ஒருவர் கேட்கலாம், 'மோர்ஸ் செயல்பாடுகளில் தொடங்கி முடிவடையும் செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பம் உங்களிடம் இருந்தால், முழு குடும்பமும் மோர்ஸ் என்று நீங்கள் கருத முடியுமா?' பொதுவாக, பதில் இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்தைக் கவனியுங்கள் நேரத்தில், அதற்கு எந்த முக்கியமான புள்ளிகளும் இல்லை, ஆனால் நேரத்தில், இது இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு மோர்ஸ் செயல்பாடாகும். இரண்டு மோர்ஸ் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்தை மோர்ஸ் என்ற ஒன்றால் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று செர்ஃப் காட்டினார், ஆனால் இறுதியாக பல சீரழிந்த நேரங்கள். சீரழிவுகள் முக்கியமான புள்ளிகளின் பிறப்பு/இறப்பு மாற்றத்தை உள்ளடக்கியது, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஒரு குறியீடு 0 மற்றும் குறியீடு 1 முக்கியமான புள்ளி அதிகரிக்கும் போது உருவாக்கப்படுகின்றன. எல்லையற்ற பரிமாண இடைவெளியின் அடுக்குப்படுத்தல் ஒரு சிறிய பன்மடங்கு இருக்கும் பொதுவான வழக்கிற்குத் திரும்புவது, மோர்ஸ் செயல்பாடுகளின் இடத்தையும், உண்மையான மதிப்புள்ள மென்மையான செயல்பாடுகளின் இடத்தையும் குறிக்கலாம். இடவியலில் இது ஒரு திறந்த மற்றும் அடர்த்தியான துணைக்குழு என்பதை மோர்ஸ் நிரூபித்தார். உள்ளுணர்வின் நோக்கங்களுக்காக, இங்கே ஒரு ஒப்புமை உள்ளது. மோர்ஸ் செயல்பாடுகளை ஒரு அடுக்கு அமைப்பில் மேல் பரிமாண திறந்த அடுக்கு என்று நினைத்துப் பாருங்கள் (அத்தகைய அடுக்கு உள்ளது என்று நாங்கள் கூறவில்லை, ஆனால் ஒருவர் செய்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம்). அடுக்குப்படுத்தப்பட்ட இடங்களில், இணை பரிமாணம் 0 திறந்த அடுக்கு திறந்த மற்றும் அடர்த்தியானது என்பதைக் கவனியுங்கள். குறியீட்டு நோக்கங்களுக்காக, ஒரு அடுக்கு இடத்தில் அடுக்குகளை அட்டவணைப்படுத்துவதற்கான மரபுகளை மாற்றியமைக்கவும், திறந்த அடுக்குகளை அவற்றின் பரிமாணத்தால் அல்ல, ஆனால் அவற்றின் இணை பரிமாணத்தால் குறியிடவும். இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு இல்லையென்றால் எல்லையற்ற பரிமாணமாக இருப்பதால் இது வசதியானது. அனுமானத்தின் படி, திறந்த இணை பரிமாணம் 0 அடுக்கு, அதாவது. :. ஒரு அடுக்கு இடத்தில், அடிக்கடி துண்டிக்கப்படுகிறது. இணை பரிமாணம் 1 அடுக்கின் அத்தியாவசிய பண்பு என்னவென்றால், தொடங்கும் மற்றும் முடிவடையும் எந்தப் பாதையும் ஒரு பாதையால் தோராயமாக குறுக்கிடப்படலாம், இது இறுதியாக பல புள்ளிகளில் குறுக்கிடுகிறது, மேலும் எதற்கும் வெட்டுவதில்லை. எனவே செர்ஃப் கோட்பாடு என்பது நேர்மறை இணை பரிமாண அடுக்குகளைப் பற்றிய ஆய்வு ஆகும், அதாவது. : பொருட்டு. வழக்கில், ஃபார் மட்டுமே செயல்பாடு மோர்ஸ் அல்ல, மற்றும் பிறப்பு/இறப்பு மாற்றத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு கன சிதைவு முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு ஒற்றை நேர அளவுரு, தேற்றத்தின் அறிக்கை மோர்ஸ் தேற்றம் ஒரு மோர்ஸ் செயல்பாடு என்றால், ஒரு முக்கியமான புள்ளிக்கு அருகில் அது வடிவத்தின் செயல்பாட்டுடன் இணைக்கப்படுகிறது என்று வலியுறுத்துகிறது. செர்ஃப்பின் ஒரு அளவுரு தேற்றம் இணை பரிமாண ஒரு அடுக்கின் அத்தியாவசிய பண்புகளை வலியுறுத்துகிறது. துல்லியமாக, உடன் மற்றும் மோர்ஸ் ஆகியவற்றில் மென்மையான செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பம் இருந்தால், பின்னர் ஒரு மென்மையான ஒரு அளவுரு குடும்பம் உள்ளது, இது செயல்பாடுகளில்-டோபோலஜியில் ஒரே மாதிரியாக நெருக்கமாக உள்ளது. மேலும், மோர்ஸ் அனைத்து ஆனால் இறுதியாக பல முறை. மோர்ஸ் அல்லாத நேரத்தில் செயல்பாடு ஒரே ஒரு சீரழிந்த முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அந்த கட்டத்திற்கு அருகில் குடும்பம் குடும்பத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இது செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பமாக இருந்தால், அங்கு இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகள் உருவாக்கப்படுகின்றன (அதிகரிக்கும் போது), மேலும் இது இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகள் அழிக்கப்படும் செயல்பாடுகளின் ஒரு அளவுரு குடும்பமாகும். பிஎல்-ஷோயன்ஃப்ளைஸ் சிக்கல் 1924 இல் ஜே. டபிள்யூ அலெக்சாண்டரால் தீர்க்கப்பட்டது. அவரது ஆதாரம் மோர்ஸ் மற்றும் எமிலியோ பயாடா ஆகியோரால் சுமூகமான வழக்குக்கு ஏற்றது. ஸ்கொன்ஃப்ளைஸ் தேற்றத்தின் ஒரு அளவுரு நீட்டிப்பாகக் கருதப்படும் ஒவ்வொரு நோக்குநிலையைப் பாதுகாக்கும் டிஃபியோமார்பிசமும் அடையாளத்திற்கு ஐசோடோபிக் என்பதை நிரூபிக்க அத்தியாவசிய பண்பை செர்ஃப் பயன்படுத்தினார். அந்த நேரத்தில் விளைவு வேறுபட்ட இடவியலில் பரந்த தாக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. அத்தியாவசிய பண்பு பின்னர் செர்ஃப் உயர் பரிமாண எளிய-இணைக்கப்பட்ட பன்மடங்கு போலி-ஐசோடோபி தேற்றத்தை நிரூபிக்க பயன்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆதாரம் ஸ்டீபன் ஸ்மேலின் எச்-கோபோர்டிஸம் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் ஒரு அளவுரு விரிவாக்கமாகும் (ஸ்மேலின் ஆதாரத்தை செயல்பாட்டு கட்டமைப்பில் மீண்டும் எழுதுவது மோர்ஸ் மற்றும் ஜான் மில்னர் மற்றும் செர்ஃப், ஆண்ட்ரே கிராமைன் மற்றும் பெர்னார்ட் மோரின் ஆகியோரால் ரெனே தாம் பரிந்துரைத்ததைத் தொடர்ந்து செய்யப்பட்டது). செர்ப்பின் ஆதாரம் தாம் மற்றும் ஜான் மேத்தரின் படைப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அந்தக் காலத்திலிருந்து தாம் மற்றும் மேத்தரின் படைப்புகளின் ஒரு பயனுள்ள நவீன சுருக்கம் மார்டி கோலுபிட்ஸ்கி மற்றும் விக்டர் கில்லெமின் ஆகியோரின் புத்தகமாகும். மேற்கூறிய பயன்பாடுகளைத் தவிர, ராபியன் கிர்பி கிர்பி கால்குலஸை நியாயப்படுத்துவதில் செர்ஃப் கோட்பாட்டை ஒரு முக்கிய படியாகப் பயன்படுத்தினார். பொதுமைப்படுத்தல் மென்மையான வரைபடங்களின் இடத்தின் எல்லையற்ற இணை பரிமாண துணை இடத்தின் நிரப்பு அடுக்குப்படுத்தல் இறுதியில் பிரான்சிஸ் செர்ஜெரர்ட் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது. எழுபதுகளின் போது, எளிமையாக இணைக்கப்படாத பன்மடங்கு போலி-ஐசோடோபிகளுக்கான வகைப்பாட்டு சிக்கலை ஆலன் ஹாட்சர் மற்றும் ஜான் வேகனர் ஆகியோர் தீர்த்தனர், () மற்றும் () இல் இயற்கணித-தடைகளை கண்டுபிடித்தனர் மற்றும் கியோஷி இகுசா, () இல் ஒத்த இயற்கையின் தடைகளை கண்டுபிடித்தார். குறிப்புகள் வேறுபட்ட இடவியல் ஒற்றுமை கோட்பாடு