Bapat–Beg theorem
நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், பாபட்-பெக் தேற்றம் சீரற்ற மாறிகளின் ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் சுயாதீனமான ஆனால் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் வரிசை புள்ளிவிவரங்களின் கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகத்தை வழங்குகிறது. ரவீந்திர பாபட் மற்றும் பேக் ஆகியோர் 1989 ஆம் ஆண்டில் தேற்றத்தை வெளியிட்டனர், இருப்பினும் அவர்கள் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கவில்லை. 1994 ஆம் ஆண்டில் ஹேண்டே ஒரு எளிய ஆதாரத்தை வழங்கினார். பெரும்பாலும், மாதிரியின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரே மக்கள்தொகையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன, எனவே ஒரே நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன. பாபட்-பெக் தேற்றம் மாதிரியின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் வெவ்வேறு புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையிலிருந்து பெறப்படும் போது வரிசை புள்ளிவிவரங்களை விவரிக்கிறது, எனவே அதன் சொந்த நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. கூற்று முறையே ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுகளுடன் சுயாதீனமான உண்மையான மதிப்புள்ள சீரற்ற மாறிகளாக இருக்கட்டும். ஆர்டர் புள்ளிவிவரங்களுக்கு எழுதுங்கள். பின்னர் வரிசை புள்ளிவிவரங்களின் கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகம் (மற்றும் உடன்) கொடுக்கப்பட்ட தொகுதி மேட்ரிக்ஸின் நிரந்தரமானது. (பிரேஸ்களின் கீழ் உள்ள புள்ளிவிவரங்கள் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டுகின்றன.) சுயாதீனமாக ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்பட்ட வழக்கு மாறிகள் சுயாதீனமாக இருக்கும்போது மற்றும் அனைத்து i க்கான ஒட்டுமொத்த நிகழ்தகவு விநியோக செயல்பாட்டுடன் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும்போது, தேற்றம் குறிப்புகளுக்கு குறைகிறது ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடுகளின் தொடர்ச்சியின் அனுமானம் தேவையில்லை. ஏற்றத்தாழ்வுகள் x1 <x2 <. <xk திணிக்கப்படாவிட்டால், சில ஏற்றத்தாழ்வுகள் "தேவையற்றதாக இருக்கலாம் மற்றும் தேவையான குறைப்பைச் செய்த பிறகு நிகழ்தகவை மதிப்பீடு செய்யலாம்". சிக்கலானது க்ளூக் மற்றும் பலர். பாபட்-பேக் சூத்திரம் கணக்கீட்டு ரீதியாக கடினமானது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் இது சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணிக்கையின் அளவின் நிரந்தரங்களின் அதிவேக எண்ணிக்கையை உள்ளடக்கியது. இருப்பினும், சீரற்ற மாறிகள் இரண்டு சாத்தியமான விநியோகங்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்போது, சிக்கலை குறைக்கலாம். எனவே, இரண்டு மக்கள்தொகை விஷயத்தில், எந்தவொரு நிலையான எண்ணிக்கையிலான புள்ளிவிவரங்களுக்கும் சிக்கலானது பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். குறிப்புகள் நிகழ்தகவு கோட்பாடுகள் புள்ளியியல் கோட்பாடுகள்