Riemann–Hilbert correspondence
கணிதத்தில், ரீமன்-ஹில்பர்ட் தொடர்பு என்ற சொல் இயற்கணித திசையன் மூட்டைகளில் வழக்கமான ஒருமை தட்டையான இணைப்புகள் மற்றும் அடிப்படை குழுவின் பிரதிநிதித்துவங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் பொதுவாக இதன் பல பொதுமைப்படுத்தல்களில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது. ஹில்பர்ட்டின் இருபத்தியோராவது சிக்கலில் தோன்றும் அசல் அமைப்பு ரீமன் கோளத்திற்கு இருந்தது, அங்கு அது பரிந்துரைக்கப்பட்ட மோனோட்ரோமி பிரதிநிதித்துவங்களுடன் நேரியல் வழக்கமான வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் இருப்பைப் பற்றியது. முதலில் ரீமன் கோளம் ஒரு தன்னிச்சையான ரீமன் மேற்பரப்பால் மாற்றப்படலாம், பின்னர், அதிக பரிமாணங்களில், ரீமன் மேற்பரப்புகள்> 1 பரிமாணத்தின் சிக்கலான பன்மடங்கு மூலம் மாற்றப்படுகின்றன. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் சில அமைப்புகளுக்கும் (நேரியல் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகளுக்கு மிகவும் சிறப்பு பண்புகளைக் கொண்டவை) அவற்றின் தீர்வுகளின் சாத்தியமான மோனோட்ரோமிகளுக்கும் இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது. இத்தகைய முடிவு வழக்கமான ஒருமைப்பாடுகளுடன் இயற்கணித இணைப்புகளுக்கு பியரி டெலிக்னே (1970, ரீமன் மேற்பரப்புகளின் விஷயத்தில் தற்போதுள்ள வேலையை பொதுமைப்படுத்துதல்) மற்றும் பொதுவாக வழக்கமான முழுமையான டி-தொகுதிகளுக்கு மசாகி காசிவாரா (1980,1984) மற்றும் ஸோக்மேன் மெப்கவுட் (1980,1984) ஆகியோரால் சுயாதீனமாக நிரூபிக்கப்பட்டது. நோன்பேலியன் ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் அமைப்பில், ரீமன்-ஹில்பர்ட் தொடர்பு மாடுலி இடைவெளிகளில் உள்ள மூன்று இயற்கையான இயற்கணித கட்டமைப்புகளில் இரண்டுக்கு இடையில் ஒரு சிக்கலான பகுப்பாய்வு ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது, எனவே இயற்கையாகவே டி ராம் கோஹோமோலஜி மற்றும் ஒருமை/பெட்டி கோஹோமோலஜி ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான ஒப்பீட்டு ஐசோமார்பிசத்தின் நோன்பேலியன் அனலாக் என்று கருதப்படுகிறது. X என்பது ஒரு மென்மையான சிக்கலான இயற்கணித வகை என்று வைத்துக்கொள்வோம். ரீமன்-ஹில்பர்ட் தொடர்பு (வழக்கமான ஒற்றை இணைப்புகளுக்கு): உள்ளூர் தீர்வுகள் செயல்பாட்டாளர் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயல்பாட்டாளர் சோல் உள்ளது, இது எக்ஸ் இல் உள்ள இயற்கணித திசையன் மூட்டைகளில் தட்டையான இணைப்புகளின் வகையிலிருந்து வழக்கமான ஒருமைப்பாடுகளுடன் எக்ஸ் இல் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண சிக்கலான திசையன் இடைவெளிகளின் உள்ளூர் அமைப்புகளின் வகைக்கு சமமானது. X இணைக்கப்பட்டால், உள்ளூர் அமைப்புகளின் வகை X இன் அடிப்படை குழுவின் சிக்கலான பிரதிநிதித்துவங்களின் வகைக்கு சமம். எனவே இத்தகைய இணைப்புகள் இடவியல் அடிப்படை குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களை அணுக முற்றிலும் இயற்கணித வழியை வழங்குகின்றன. வழக்கமான ஒருமைப்பாட்டின் நிபந்தனை என்னவென்றால், மூட்டையின் உள்ளூரில் நிலையான பிரிவுகள் (தட்டையான இணைப்பைப் பொறுத்தவரை) Y − X புள்ளிகளில் மிதமான வளர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளன, அங்கு Y என்பது X இன் இயற்கணித சுருக்கமாகும். குறிப்பாக, எக்ஸ் சுருக்கமாக இருக்கும்போது, வழக்கமான ஒருமைப்பாட்டின் நிலை வெற்றிடமாக இருக்கும். மேலும் பொதுவாக ரீமன்-ஹில்பர்ட் கடிதப் பரிமாற்றம் உள்ளது (வழக்கமான முழுமையான டி-தொகுதிகளுக்கு): டி ராம் செயல்பாட்டாளர் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயல்பாட்டாளர் டி. ஆர் உள்ளது, இது எக்ஸ் இல் உள்ள முழுமையான டி-தொகுதிகளின் வகையிலிருந்து ஒரு சமநிலையாகும். ஒவ்வொரு பிரிவின் பகுக்கமுடியாத கூறுகளையும் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம், இது வழக்கமான ஒருமைப்பாடுகளுடன் X இல் உள்ள பகுக்கமுடியாத முழுமையான டி-தொகுதிகளின் ஐசோமார்பிசம் வகுப்புகளுக்கும், பகுக்கமுடியாத உள்ளூர் அமைப்புகளில் உள்ள குணகங்களுடன் X இன் பகுக்கமுடியாத மூடிய துணை வகைகளின் குறுக்குவெட்டு ஒத்திசைவு வளாகங்களுக்கும் இடையே 1:1 தொடர்பை வழங்குகிறது. ஒரு டி-தொகுதி என்பது எக்ஸ் இல் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு போன்றது, மேலும் ஒரு துணை மாறுபாட்டில் உள்ள ஒரு உள்ளூர் அமைப்பு சாத்தியமான மோனோட்ரோமிகளின் விளக்கத்தைப் போன்றது, எனவே இந்த தொடர்பு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் சில அமைப்புகளை அவற்றின் தீர்வுகளின் மோனோட்ரோமிகளின் அடிப்படையில் விவரிப்பதாகக் கருதலாம். எக்ஸ் பரிமாணம் ஒன்று (ஒரு சிக்கலான இயற்கணித வளைவு) இருந்தால், மால்கிரேஞ்சில் (1991) விவரிக்கப்பட்டுள்ள ஒழுங்குமுறை அனுமானம் இல்லாத இயற்கணித இணைப்புகளுக்கு (அல்லது ஒழுங்குமுறை அனுமானம் இல்லாத முழுமையான டி-தொகுதிகளுக்கு) மிகவும் பொதுவான ரீமன்-ஹில்பர்ட் தொடர்பு உள்ளது, ரீமன்-ஹில்பர்ட்-பிர்காஃப் தொடர்பு. எடுத்துக்காட்டுகள் தேற்றம் பொருந்தும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு துளையிடப்பட்ட அஃபைன் கோடு A1 − {0} இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும் (அதாவது, பூஜ்ஜியமற்ற சிக்கலான எண்களில் C − {0}). இங்கே a என்பது ஒரு நிலையான சிக்கலான எண். இந்த சமன்பாடு ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு P1 இல் 0 மற்றும் φ இல் வழக்கமான ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளது. சமன்பாட்டின் உள்ளூர் தீர்வுகள் c மாறிலிகளுக்கான cza வடிவத்தில் உள்ளன. a ஒரு முழு எண் இல்லையென்றால், பின்னர் செயல்பாட்டை za அனைத்து C− {0} இல் நன்கு வரையறுக்க முடியாது. அதாவது சமன்பாடு அற்பமான மோனோட்ரோமியைக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாட்டின் மோனோட்ரோமி என்பது அடிப்படை குழு 1 (A1− {0}) = Z இன் 1 பரிமாண பிரதிநிதித்துவமாகும், இதில் ஜெனரேட்டர் (தோற்றத்தைச் சுற்றியுள்ள ஒரு வளையம்) e2ia ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் செயல்படுகிறது. வழக்கமான ஒருமைப்பாடுகளின் கருதுகோளின் தேவையைக் காண, அஃபைன் கோடு A1 இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் (அதாவது, சிக்கலான எண்கள் C இல்). இந்த சமன்பாடு A1 க்கு மேல் உள்ள அற்பமான இயற்கணித கோடு மூட்டையில் ஒரு தட்டையான இணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் c மாறிலிகளுக்கான CEZ வடிவத்தில் உள்ளன. இந்த தீர்வுகள் ப்ரொஜெக்டிவ் கோடு P1 இல் உள்ள புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள சில துறைகளில் பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால், சமன்பாட்டிற்கு வழக்கமான ஒற்றுமைகள் இல்லை. (இதை சமன்பாட்டை மாறியின் அடிப்படையில் மீண்டும் எழுதுவதன் மூலமும் காணலாம், அங்கு அது மாறுகிறது குணகங்களில் வரிசை 2 இன் துருவமானது ஃபுச்சின் தேற்றத்தின்படி, சமன்பாடு w = 0 இல் வழக்கமான ஒற்றுமைகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது.) CEZ செயல்பாடுகள் முழு அஃபைன் கோடு A1 இல் வரையறுக்கப்படுவதால், இந்த தட்டையான இணைப்பின் மோனோட்ரோமி அற்பமானது. ஆனால் இந்த தட்டையான இணைப்பு A1 க்கு மேல் உள்ள அற்பமான கோடு மூட்டையில் (தட்டையான இணைப்புடன் கூடிய இயற்கணித திசையன் மூட்டையாக) வெளிப்படையான தட்டையான இணைப்புக்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல, ஏனெனில் அதன் தீர்வுகள் φ இல் மிதமான வளர்ச்சியைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ரீமன்-ஹில்பர்ட் கடிதத்தில் வழக்கமான ஒற்றுமைகளுடன் தட்டையான இணைப்புகளைக் கட்டுப்படுத்த வேண்டியதன் அவசியத்தை இது காட்டுகிறது. மறுபுறம், A1 = C போன்ற சுருக்கமற்ற சிக்கலான பன்மடங்கு மீது தட்டையான இணைப்புடன் ஹோலோமார்பிக் (இயற்கணிதத்தை விட) திசையன் மூட்டைகளுடன் நாம் வேலை செய்தால், வழக்கமான ஒற்றுமைகள் பற்றிய கருத்து வரையறுக்கப்படவில்லை. ரீமன்-ஹில்பர்ட் கடிதத்தை விட மிகவும் அடிப்படை தேற்றம், ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டைகளில் தட்டையான இணைப்புகள் ஐசோமார்பிசம் வரை அவற்றின் மோனோட்ரோமியால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன என்று கூறுகிறது. சிறப்பியல்பு p இல் p> 0 இல் உள்ள திட்டங்களுக்கு, ஒரு ரீமன்-ஹில்பர்ட் கடிதத்தை நிறுவவும், இது குறிப்பாக Z/p-குணகங்களுடன் étale உறைகளின் étale ஒத்திசைவுகளை ஒத்திசைவான ஒத்திசைவில் ஃப்ரோபீனியஸ் எண்டோமார்பிசத்தின் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் கணக்கிட முடியும் என்று வலியுறுத்துகிறது. மேலும் காண்க ரீமன்-ஹில்பர்ட் சிக்கல் குறிப்புகள் (தனிமைப்படுத்தப்பட்ட ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் ஒற்றுமையின் மில்னார் ஃபைபருக்கான ரீமன்-ஹில்பர்ட் கடிதத்தின் வெளிப்படையான பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது) வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன்