Boussinesq approximation (water waves)
திரவ இயக்கவியலில், நீர் அலைகளுக்கான பௌசின்ஸ்க் தோராயமானது பலவீனமான நேரியல் அல்லாத மற்றும் மிகவும் நீண்ட அலைகளுக்கு செல்லுபடியாகும் தோராயமாகும். ஜான் ஸ்காட் ரஸ்ஸல் மொழிபெயர்ப்பு அலை (தனி அலை அல்லது சாலிடான் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) பற்றிய அவதானிப்புக்கு பதிலளிக்கும் வகையில் அவற்றை முதன்முதலில் பெற்ற ஜோசப் பௌசினெஸ்கின் பெயரால் இந்த தோராயமான பெயர் சூட்டப்பட்டுள்ளது. 1872 ஆம் ஆண்டின் பௌசினெஸ்கின் ஆய்வுக் கட்டுரை இப்போது பௌசினெஸ்கின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துகிறது. நீர் அலைகளுக்கான பௌசின்ஸ்க் தோராயமானது கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து ஓட்ட வேகத்தின் செங்குத்து கட்டமைப்பை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. இதன் விளைவாக பௌசினெக்-வகை சமன்பாடுகள் எனப்படும் நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன, அவை அதிர்வெண் சிதறலை உள்ளடக்கியது (அதிர்வெண்-சிதறல் இல்லாத ஆழமற்ற நீர் சமன்பாடுகளுக்கு நேர்மாறாக). கடலோர பொறியியலில், ஆழமற்ற கடல்கள் மற்றும் துறைமுகங்களில் நீர் அலைகளின் உருவகப்படுத்துதலுக்காக கணினி மாதிரிகளில் பவுசின்ஸ்க் வகை சமன்பாடுகள் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பவுசின்ஸ்க் தோராயமானது மிகவும் நீண்ட அலைகளுக்குப் பொருந்தும்-அதாவது, நீர் ஆழத்துடன் ஒப்பிடும்போது அலைநீளம் பெரியதாக இருக்கும்போது-ஸ்டோக்ஸ் விரிவாக்கம் குறுகிய அலைகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது (அலைநீளம் நீர் ஆழத்தின் அதே வரிசையில் இருக்கும்போது, அல்லது குறுகியதாக இருக்கும்போது). பவுசின்ஸ்க் தோராயமானது பவுசின்ஸ்க் தோராயத்தில் அத்தியாவசியமான யோசனை ஓட்டம் சமன்பாடுகளிலிருந்து செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பை அகற்றுவதாகும், அதே நேரத்தில் நீர் அலைகளின் கீழ் ஓட்டத்தின் செங்குத்து கட்டமைப்பின் சில தாக்கங்களைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது. இது பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அலைகள் கிடைமட்ட தளத்தில் பரவுகின்றன மற்றும் செங்குத்து திசையில் வேறுபட்ட (அலை போன்றது அல்ல) நடத்தையைக் கொண்டுள்ளன. பெரும்பாலும், பௌசினெஸ்கின் விஷயத்தைப் போலவே, ஆர்வம் முதன்மையாக அலை பரப்புதலில் உள்ளது. செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பின் இந்த நீக்கம் முதன்முதலில் 1871 ஆம் ஆண்டில் ஜோசப் பவுசினெஸ்கால் செய்யப்பட்டது, இது தனிமையான அலைக்கு (அல்லது மொழிபெயர்ப்பின் அலை) தோராயமான தீர்வை உருவாக்குகிறது. அதைத் தொடர்ந்து, 1872 ஆம் ஆண்டில், பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் தற்போது பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் சமன்பாடுகளைப் பெற்றது. பவுசின்ஸ்க் தோராயத்தின் படிகள் பின்வருமாறுஃ ஒரு டெய்லர் விரிவாக்கம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட உயரத்தைச் சுற்றியுள்ள கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து ஓட்ட திசைவேகத்தால் (அல்லது திசைவேக ஆற்றல்) ஆனது, இந்த டெய்லர் விரிவாக்கம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களாக வெட்டப்படுகிறது, சுருக்க முடியாத ஓட்டத்திற்கான வெகுஜன பாதுகாப்பு (தொடர்ச்சியான சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும்) மற்றும் சுழற்சியற்ற ஓட்டத்திற்கான பூஜ்ஜிய-சுருள் நிபந்தனை பயன்படுத்தப்படுகின்றன, டெய்லர் விரிவாக்கத்தில் உள்ள அளவுகளின் செங்குத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களை கிடைமட்ட பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் மாற்றுவதற்கு. அதன்பிறகு, செங்குத்து ஒருங்கிணைப்பைச் சார்ந்திருப்பதை அகற்றுவதற்காக, மீதமுள்ள ஓட்டச் சமன்பாடுகளுக்கு பௌசின்ஸ்க் தோராயமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, இதன் விளைவாக வரும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் கிடைமட்ட ஆயத்தொகுதிகளின் (மற்றும் நேரம்) செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து ஒருங்கிணைப்புடன், தளத்தில் ஒரு கிடைமட்ட படுக்கையின் மீது சாத்தியமான ஓட்டத்தைக் கவனியுங்கள். படுக்கை அமைந்துள்ளது, சராசரி நீர் ஆழம் எங்கே. ஒரு டெய்லர் விரிவாக்கம் படுக்கை மட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள திசைவேக ஆற்றலால் செய்யப்படுகிறதுஃ படுக்கையில் உள்ள திசைவேக ஆற்றல் எங்கே. மட்டுப்படுத்த முடியாத ஓட்டத்திற்கு செல்லுபடியாகும் லாப்லேஸின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது பின்வருமாறு கொடுக்கிறதுஃ செங்குத்து திசைவேகம்-ஊடுருவ முடியாத-கிடைமட்ட படுக்கையில் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால். இந்த தொடர் பின்னர் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களாக துண்டிக்கப்படலாம். அசல் பௌசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் பெறுதல் ஒரு அமுக்க முடியாத திரவத்தின் மீது நீர் அலைகள் மற்றும் விமானத்தில் சுழற்சி ஓட்டத்திற்கு, இலவச மேற்பரப்பு உயரத்தில் எல்லை நிபந்தனைகள்ஃ எங்கேஃ கிடைமட்ட ஓட்ட வேகக் கூறுஃ, செங்குத்து ஓட்ட வேகக் கூறுஃ, ஈர்ப்பு விசை மூலம் முடுக்கம் ஆகும். இப்போது மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி, திசைவேக ஆற்றலுக்கான பௌசின்ஸ்க் தோராயமானது இந்த எல்லை நிலைமைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மேலும், இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளில் மற்றும் ஆகியவற்றைப் பொறுத்து நேரியல் மற்றும் இருபடி சொற்கள் மட்டுமே தக்கவைக்கப்படுகின்றன (படுக்கையில் கிடைமட்ட வேகத்துடன்). கன மற்றும் உயர் வரிசை சொற்கள் மிகக் குறைவாகவே கருதப்படுகின்றன. பின்னர், பின்வரும் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் பெறப்படுகின்றனஃ தொகுப்பு A-Boussinesq (1872), சமன்பாடு (25) இந்த சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட படுக்கைக்கு பெறப்பட்டுள்ளது, அதாவது. சராசரி ஆழம் என்பது நிலையிலிருந்து சுயாதீனமான ஒரு நிலையாகும். மேற்கண்ட சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்கள் பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்படும்போது, அவை ஆழமற்ற நீர் சமன்பாடுகளுக்கு குறைகின்றன. சில கூடுதல் தோராயங்களின் கீழ், ஆனால் அதே துல்லியமான வரிசையில், மேலே உள்ள தொகுப்பு A ஐ இலவச மேற்பரப்பு உயரத்திற்கான ஒற்றை பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகக் குறைக்கலாம்ஃ தொகுப்பு B-Boussinesq (1872), சமன்பாடு (26) அடைப்புக்குறிக்கு இடையிலான சொற்களிலிருந்து, சமன்பாட்டின் நேரியல் அல்லாத முக்கியத்துவத்தை உர்செல் எண்ணின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். பரிமாணமற்ற அளவுகளில், பரிமாணமற்ற தன்மைக்கு நீர் ஆழம் மற்றும் ஈர்ப்பு முடுக்கம் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாடு இயல்பாக்கப்பட்ட பிறகு பின்வருமாறு கூறுகிறதுஃ நேரியல் அதிர்வெண் சிதறல் வெவ்வேறு அலை நீளங்களின் நீர் அலைகள் வெவ்வேறு கட்ட வேகங்களுடன் பயணிக்கின்றன, இது அதிர்வெண் சிதறல் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு நிகழ்வு. எல்லையற்ற அலை வீச்சு விஷயத்தில், சொல் நேரியல் அதிர்வெண் சிதறல் ஆகும். ஒரு பௌசினெக்-வகை சமன்பாட்டின் அதிர்வெண் சிதறல் பண்புகள் அலை நீளங்களின் வரம்பைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படலாம், இதற்கு இது ஒரு சரியான தோராயமாகும். மேலே உள்ள சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு A க்கான நேரியல் அதிர்வெண் சிதறல் பண்புகள் பின்வருமாறுஃ கட்ட வேகம், அலை எண் (, அலை நீளத்துடன்). நீர் அலைகளின் நேரியல் கோட்பாட்டுடன் ஒப்பிடுகையில், தொகுப்பு A இன் கட்ட வேகத்தில் உள்ள ஒப்பீட்டு பிழை, ஒரு ஒப்பீட்டு அலை எண்ணுக்கு 4 சதவீதத்திற்கும் குறைவாக உள்ளது. எனவே, பொறியியல் பயன்பாடுகளில், நீர் ஆழத்தை விட 4 மடங்கு பெரிய அலைநீளங்களுக்கு செட் ஏ செல்லுபடியாகும். B சமன்பாட்டின் நேரியல் அதிர்வெண் சிதறல் பண்புகள் பின்வருமாறுஃ B சமன்பாட்டிற்கான கட்ட வேகத்தில் உள்ள ஒப்பீட்டு பிழை 4 சதவீதத்திற்கும் குறைவாக உள்ளது, இது நீரின் ஆழத்தை விட 7 மடங்கு நீளமுள்ள அலை நீளங்களுக்கு சமம், இது மிகவும் நீண்ட அலைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. B சமன்பாட்டைக் கொண்ட குறுகிய அலைகளுக்கு இயற்பியல் ரீதியாக அர்த்தமற்றதாகிவிடும், ஏனெனில் கட்ட வேகத்தின் உண்மையான மதிப்புள்ள தீர்வுகள் இனி இல்லை. இரண்டு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அசல் தொகுப்பு (பௌசினெக், 1872, சமன்பாடு 25, மேலே உள்ள தொகுப்பு A ஐப் பார்க்கவும்) இந்த குறைபாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஆழமற்ற நீர் சமன்பாடுகள் கட்ட வேகத்தில் 4 சதவீதத்திற்கும் குறைவான ஒப்பீட்டு பிழையைக் கொண்டுள்ளன, அலை நீளம் 13 மடங்கு நீர் ஆழத்திற்கு மேல் உள்ளது. பவுசின்ஸ்க் வகை சமன்பாடுகள் மற்றும் நீட்டிப்புகள் ஏராளமான கணித மாதிரிகள் உள்ளன, அவை பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. இது எளிதில் குழப்பத்திற்கு வழிவகுக்கும், ஏனெனில் பெரும்பாலும் அவை பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் என்று தளர்வாக குறிப்பிடப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் உண்மையில் அதன் மாறுபாடு கருதப்படுகிறது. எனவே அவற்றை பௌசினெக்-வகை சமன்பாடுகள் என்று அழைப்பது மிகவும் பொருத்தமானது. கண்டிப்பாகச் சொல்வதானால், பௌசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் மேற்கூறிய தொகுப்பு B ஆகும், ஏனெனில் இது அவரது 1872 ஆய்வறிக்கையின் எஞ்சிய பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் நீட்டிக்கப்பட்ட சில திசைகள்ஃ மாறுபட்ட குளியல் அளவீடு, மேம்பட்ட அதிர்வெண் சிதறல், மேம்பட்ட நேரியல் அல்லாத நடத்தை, வெவ்வேறு செங்குத்து உயரங்களைச் சுற்றி டெய்லர் விரிவாக்கத்தை உருவாக்குதல், திரவ களத்தை அடுக்குகளாகப் பிரிப்பது மற்றும் ஒவ்வொரு அடுக்கிலும் பவுசின்ஸ்க் தோராயத்தைப் பயன்படுத்துதல், அலை உடைப்பு சேர்ப்பது, மேற்பரப்பு பதற்றத்தை சேர்ப்பது, வெவ்வேறு வெகுஜன அடர்த்தியின் திரவ களங்களுக்கு இடையிலான இடைமுகத்தில் உள் அலைகளின் நீட்டிப்பு, மாறுபட்ட கொள்கையிலிருந்து பெறப்பட்டது. ஒரு வழி அலை பரப்புதலுக்கான மேலும் தோராயங்கள் பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் அலைகளை ஒரே நேரத்தில் எதிர் திசைகளில் பயணிக்க அனுமதிக்கும் அதே வேளையில், அலைகள் ஒரு திசையில் பயணிப்பதை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வது பெரும்பாலும் சாதகமானது. சிறிய கூடுதல் அனுமானங்களின் கீழ், பவுசின்ஸ்க் சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு குறைகின்றனஃ ஒரு கிடைமட்ட பரிமாணத்தில் அலை பரப்புதலுக்கான கோர்ட்வெக்-டி வ்ரீஸ் சமன்பாடு, இரண்டு கிடைமட்ட பரிமாணங்களில் (ஒரு திசைக்கு அருகில்) அலை பரப்புதலுக்கான கடோம்ட்சேவ்-பெட்வியாஷ்விலி சமன்பாடு, குறுகிய அலைவரிசை அலைகளின் (மெதுவாக மாற்றியமைக்கப்பட்ட அலைகள்) சிக்கலான மதிப்புள்ள வீச்சுக்கான நேரியல் அல்லாத ஷ்ரோடிங்கர் சமன்பாடு (என்எல்எஸ் சமன்பாடு). தனி அலைத் தீர்வுகளைத் தவிர, கார்டெவெக்-டி வ்ரீஸ் சமன்பாடு நொய்டல் அலைகள் என்று அழைக்கப்படும் குறிப்பிட்ட மற்றும் துல்லியமான தீர்வுகளையும் கொண்டுள்ளது. இவை பௌசின்ஸ்க் சமன்பாட்டின் தோராயமான தீர்வுகளாகும். எண்ணியல் மாதிரிகள் கடற்கரைகள் மற்றும் துறைமுகங்களுக்கு அருகிலுள்ள அலை இயக்கத்தின் உருவகப்படுத்துதலுக்காக, வணிக மற்றும் கல்வி ரீதியான எண்ணியல் மாதிரிகள்-பவுசின்ஸ்க் வகை சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. சில வணிக உதாரணங்கள் மைக் 21 மற்றும் எஸ்எம்எஸ் இல் உள்ள பௌசினெக்-வகை அலை தொகுதிகள் ஆகும். சில இலவச பவுசின்ஸ்க் மாதிரிகள் செலெரிஸ், கூல்வேவ் மற்றும் ஃபன்வேவ் ஆகும். பெரும்பாலான எண் மாதிரிகள் மாதிரி சமன்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கு வரையறுக்கப்பட்ட-வேறுபாடு, வரையறுக்கப்பட்ட-தொகுதி அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன. பல பௌசினெக் வகை சமன்பாடுகளின் அறிவியல் மதிப்புரைகள் மற்றும் ஒன்றோடொன்று ஒப்பீடுகள், அவற்றின் எண் தோராயமும் செயல்திறனும் எ. கா. , மற்றும். குறிப்புகள் குறிப்புகள் பகுதி 2, அத்தியாயம் 5 ஐப் பார்க்கவும். திரவ இயக்கவியல் நீர் அலைகள் திரவ இயக்கவியல் சமன்பாடுகள்