Domino tiling
வடிவவியலில், யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள ஒரு பிராந்தியத்தின் டோமினோ டைலிங் என்பது டோமினோக்கள் மூலம் பிராந்தியத்தின் ஒரு டெஸ்லேஷன் ஆகும், இது இரண்டு அலகு சதுரங்கள் விளிம்பிலிருந்து விளிம்பில் சந்திப்பதன் மூலம் உருவாகும் வடிவங்கள். சமமாக, பிராந்தியத்தின் ஒவ்வொரு சதுரத்தின் மையத்திலும் ஒரு உச்சியை வைப்பதன் மூலமும், அருகிலுள்ள சதுரங்களுடன் ஒத்திருக்கும் போது இரண்டு செங்குத்துகளை இணைப்பதன் மூலமும் உருவாக்கப்பட்ட கட்ட வரைபடத்தில் இது ஒரு சரியான பொருத்தமாகும். உயர செயல்பாடுகள் இரண்டு பரிமாணங்களில் ஒரு வழக்கமான கட்டத்தில் சில வகை சாய்வுகளுக்கு, கட்டத்தின் செங்குத்துகளுடன் ஒரு முழு எண்ணை இணைக்கும் உயர செயல்பாட்டை வரையறுக்க முடியும். உதாரணமாக, ஒரு சதுரங்கப் பலகையை வரையவும், 0 உயரத்துடன் ஒரு முனையை சரிசெய்யவும், பின்னர் எந்த முனையிலும் அதிலிருந்து ஒரு பாதை உள்ளது. இந்த வழியில் ஒவ்வொரு முனையின் உயரத்தையும் வரையறுக்கவும் (அதாவது. சதுரங்களின் மூலைகள்) பாதையின் வலதுபுறத்தில் உள்ள சதுரம் கருப்பு நிறமாகவும், இல்லையெனில் கழித்தல் ஒன்றாகவும் இருந்தால் முந்தைய முனையின் உயரம் கூட்டல் ஒன்றாகவும் இருக்கும். மேலும் விவரங்களை இங்கு காணலாம். தரையில் அலகு சதுரங்களின் சங்கமமாக உருவாக்கப்பட்ட ஒரு எளிய-இணைக்கப்பட்ட பகுதி, ஒரு டோமினோ ஓடுகளைக் கொண்டிருக்கிறதா என்பதை தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு சோதனையை தர்ஸ்டனின் உயர நிலை விவரிக்கிறது. முப்பரிமாண முழு எண் ஜாலகத்தில் உள்ள புள்ளிகளை (x, y, z) அதன் செங்குத்துகளாகக் கொண்ட ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தை அவர் உருவாக்குகிறார், அங்கு அத்தகைய ஒவ்வொரு புள்ளியும் நான்கு அண்டை நாடுகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ x + y சமமாக இருந்தால், (x, y, z) (x + 1, y, z + 1), (x, y + 1, z-1), மற்றும் (x, y-1, z-1) உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் x + y ஒற்றைப்படை என்றால், (x, y, z) (x + 1, y, z-1), (x − 1, y, z − 1), (x, y, z − 1) உடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. பிராந்தியத்தின் எல்லை, (x, y) தளத்தில் உள்ள முழு எண் புள்ளிகளின் வரிசையாக பார்க்கப்படுகிறது, இந்த முப்பரிமாண வரைபடத்தில் ஒரு பாதைக்கு தனித்துவமாக (ஒரு தொடக்க உயரம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவுடன்) உயர்த்துகிறது. மூன்று பரிமாணங்களில் ஒரு எளிய மூடிய வளைவை உருவாக்க இந்த பாதை மூடப்பட வேண்டும், இருப்பினும், இந்த நிபந்தனை போதுமானதாக இல்லை. எல்லைப் பாதையை மிகவும் கவனமாக பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம், போதுமான மற்றும் அவசியமான ஒரு பிராந்தியத்தின் ஓடுதலுக்கான அளவுகோலை தர்ஸ்டன் வழங்கினார். பகுதிகளின் சாய்வுகளை எண்ணுதல் ஒரு செவ்வகத்தை டோமினோக்களால் மூடுவதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை, சுயாதீனமாக கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும், மூலம் வழங்கப்படுகிறது m மற்றும் n இரண்டும் ஒற்றைப்படை என்றால், சூத்திரம் சரியாக பூஜ்ஜிய சாத்தியமான டோமினோ சாய்வுகளாக குறைகிறது. செவ்வகத்தை n டோமினோக்களுடன் டைலிங் செய்யும் போது ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஏற்படுகிறதுஃ வரிசை ஃபிபோனாச்சி வரிசைக்கு குறைகிறது. m = n = 0,2,4,6,8,10,12, கொண்ட வர்க்கங்களுக்கு மற்றொரு சிறப்பு வழக்கு நிகழ்கிறது. இந்த எண்களை ஒரு வளைவு-சமச்சீர் மேட்ரிக்ஸின் ஃபாஃபியன் என்று எழுதுவதன் மூலம் காணலாம், அதன் ஐகென் மதிப்புகளை வெளிப்படையாகக் காணலாம். இந்த நுட்பம் பல கணிதம் தொடர்பான பாடங்களில் பயன்படுத்தப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிவிவர இயக்கவியலில் டைமர்-டைமர் தொடர்புபடுத்தும் செயல்பாட்டின் கிளாசிக்கல், இரு பரிமாண கணக்கீட்டில். ஒரு பிராந்தியத்தின் சாய்வுகளின் எண்ணிக்கை எல்லை நிலைமைகளுக்கு மிகவும் உணர்திறன் கொண்டது, மேலும் பிராந்தியத்தின் வடிவத்தில் வெளிப்படையாக முக்கியமற்ற மாற்றங்களுடன் வியத்தகு முறையில் மாறக்கூடும். இது n வரிசையில் உள்ள ஒரு ஆஸ்டெக் வைரத்தின் சாய்வுகளின் எண்ணிக்கையால் விளக்கப்படுகிறது, அங்கு சாய்வுகளின் எண்ணிக்கை 2 (n + 1) n/2 ஆகும். 2க்கு பதிலாக நடுவில் 3 நீண்ட வரிசைகளுடன் n வரிசையின் "ஆக்மென்டட் ஆஸ்டெக் வைரத்தால்" இது மாற்றப்பட்டால், சாய்வுகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் சிறிய எண் D (n, n) க்கு குறைகிறது, இது ஒரு டெலன்னாய் எண், இது n இல் சூப்பர்-எக்ஸ்பொனென்ஷியல் வளர்ச்சியைக் காட்டிலும் எக்ஸ்பொனென்ஷியலை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. ஒரு நீண்ட நடுத்தர வரிசையுடன் n வரிசையின் "குறைக்கப்பட்ட ஆஸ்டெக் வைரத்திற்கு", ஒரே ஒரு டைலிங் மட்டுமே உள்ளது. டாடாமி டாடாமி என்பது டோமினோ (1x2 செவ்வகம்) வடிவத்தில் ஜப்பானிய தரை பாய்கள் ஆகும். அவை அறைகளை டைல் செய்யப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் அவை எவ்வாறு வைக்கப்படலாம் என்பது பற்றிய கூடுதல் விதிகளுடன். குறிப்பாக, பொதுவாக, மூன்று டாடாமிகள் சந்திக்கும் சந்திப்புகள் நல்லதாகக் கருதப்படுகின்றன, அதே நேரத்தில் நான்கு சந்திக்கும் சந்திப்புகள் நல்லதல்ல, எனவே ஒரு சரியான டாடாமி டைலிங் என்பது எந்த மூலையிலும் மூன்று டாடாமிகள் மட்டுமே சந்திக்கும் இடமாகும். ஒரு ஒழுங்கற்ற அறையை மூன்று மூலையில் சந்திக்கும் டாடாமியால் ஓடுகள் போடுவதில் உள்ள சிக்கல் NP-முழுமையானது. புள்ளியியல் இயற்பியலில் பயன்பாடுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட கால டோமினோ டைலிங் மற்றும் இரு பரிமாண கால லட்டிஸில் முழு ஃப்ரஸ்ட்ரேட்டட் ஐசிங் மாதிரியின் தரை நிலை உள்ளமைவுக்கு இடையே ஒருவருக்கொருவர் தொடர்பு உள்ளது. அதைக் காண, தரை நிலையில், சுழல் மாதிரியின் ஒவ்வொரு பிளேக்கெட்டிலும் சரியாக ஒரு விரக்தியான தொடர்பு இருக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எனவே, இரட்டை லட்டிஸிலிருந்து பார்க்கும்போது, விரக்தியடைந்த ஒவ்வொரு விளிம்பும் 1x2 செவ்வகத்தால் "மூடப்பட்டிருக்க வேண்டும்", அதாவது செவ்வகங்கள் முழு லட்டிஸையும் பரப்புகின்றன மற்றும் ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லை, அல்லது இரட்டை லட்டிஸின் டோமினோ டைலிங். காஸியன் ஃப்ரீ ஃபீல்டையும் பார்க்கவும், பொதுவான சூழ்நிலையில் உயர செயல்பாட்டின் அளவீட்டு வரம்பு (எ. கா., ஒரு பெரிய அஸ்டெக் வைரத்தின் பொறிக்கப்பட்ட வட்டுக்குள்) சிதைந்த சதுரங்கப் பலகை சிக்கல், ஒரு நிலையான 8 × 8 சதுரங்கப் பலகையின் (அல்லது செக்கர்போர்டு) 62 சதுரப் பகுதியின் டோமினோ டைலிங் தொடர்பான ஒரு புதிர் புள்ளிவிவர இயக்கவியல் குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு காம்பினடோரிக்ஸ் சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள் லாட்டிஸ் மாதிரிகள் பொருத்தம் (வரைபடக் கோட்பாடு) புள்ளிவிவர இயக்கவியல் டைலிங் புதிர்கள்