Standard conjectures on algebraic cycles
கணிதத்தில், இயற்கணித சுழற்சிகளைப் பற்றிய நிலையான அனுமானங்கள் இயற்கணித சுழற்சிகள் மற்றும் வெயில் கோஹோமோலஜி கோட்பாடுகளின் உறவை விவரிக்கும் பல அனுமானங்கள் ஆகும். இந்த அனுமானங்களின் அசல் பயன்பாடுகளில் ஒன்று, அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டீக்கால் திட்டமிடப்பட்டது, அவரது தூய நோக்கங்களின் கட்டுமானம் அரை எளிமையான ஒரு அபெலியன் வகையைக் கொடுத்தது என்பதை நிரூபிப்பதாகும். மேலும், அவர் சுட்டிக்காட்டியபடி, நிலையான அனுமானங்கள் வெயில் அனுமானங்களின் கடினமான பகுதியையும் குறிக்கின்றன, அதாவது 1960 களின் இறுதியில் திறந்த நிலையில் இருந்த "ரீமன் கருதுகோள்" அனுமானம் பின்னர் பியர் டெலிக்னேவால் நிரூபிக்கப்பட்டது; வெயில் மற்றும் நிலையான அனுமானங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பு குறித்த விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும். நிலையான அனுமானங்கள் திறந்த சிக்கல்களாக இருக்கின்றன, எனவே அவற்றின் பயன்பாடு முடிவுகளின் நிபந்தனை சான்றுகளை மட்டுமே வழங்குகிறது. வெயில் அனுமானங்கள் உட்பட பல சந்தர்ப்பங்களில், அத்தகைய முடிவுகளை நிபந்தனையின்றி நிரூபிக்க பிற முறைகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. நிலையான அனுமானங்களின் பாரம்பரிய சூத்திரங்கள் ஒரு நிலையான வெயில் கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது. அனைத்து அனுமானங்களும் "இயற்கணித" ஒத்திசைவியல் வகுப்புகளைக் கையாள்கின்றன, அதாவது சுழற்சி வகுப்பு வரைபடத்தின் மூலம் உற்பத்தியில் உள்ள பகுத்தறிவு குணகங்களுடன் ஒரு இயற்கணித சுழற்சியால் தூண்டப்பட்ட ஒரு மென்மையான திட்டவட்டமான வகையின் ஒத்திசைவில் ஒரு உருவகம், இது ஒரு வெயில் ஒத்திசைவியல் கோட்பாட்டின் கட்டமைப்பின் ஒரு பகுதியாகும். அனுமானம் ஏ என்பது அனுமானம் பி க்கு சமமானது (பார்க்க, பக்கம் 196), எனவே பட்டியலிடப்படவில்லை. லெஃப்ஷெட்ஸ் வகை நிலையான அனுமானம் (அனுமானம் B) ஒரு வெயில் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளில் ஒன்று கடினமான லெஃப்ஷெட்ஸ் தேற்றம் (அல்லது கோட்பாடு) என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ ஒரு நிலையான மென்மையான ஹைப்பர்பிளேன் பிரிவுடன் தொடங்குங்கள், அங்கு சுற்றுப்புற ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகை மற்றும் ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் ஆகும். பின்னர், லெஃப்ஷெட்ஸ் ஆபரேட்டர், இது கோஹோமோலஜி வகுப்புகளை வெட்டுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை அளிக்கிறது. இப்போது, வரையறுக்கஃ லெஃப்ஷெட்ஸ் ஆபரேட்டர் () ஒரு இயற்கணித சுழற்சியால் தூண்டப்படுகிறது என்று அனுமானம் கூறுகிறது. குனெத் வகை நிலையான அனுமானம் (அனுமானம் சி) ப்ரொஜெக்டர்கள் இயற்கணிதமானவை என்று அனுமானிக்கப்படுகிறது, அதாவது. பகுத்தறிவு குணகங்களுடன் ஒரு சுழற்சியால் தூண்டப்படுகிறது. எந்தவொரு மென்மையான திட்டவட்டமான வகையின் நோக்கமும் (மேலும் பொதுவாக, ஒவ்வொரு தூய நோக்கமும்) நோக்கங்களாக சிதைகிறது மற்றும் எப்போதும் நேரடி கூட்டுத்தொகைகளாக பிரிக்கப்படலாம் என்பதை இது குறிக்கிறது. எனவே இந்த அனுமானம் உடனடியாக வளைவுகளுக்கு பொருந்தும். இது மேற்பரப்புகளுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டது. வரையறுக்கப்பட்ட புலங்களில் வரையறுக்கப்பட்ட இயற்கணித வகைகளுக்கான அனுமானத்தை தன்னிச்சையான பரிமாணத்தில் காட்ட வெயில் அனுமானங்களைப் பயன்படுத்தியுள்ளனர். அபெலியன் வகைகள் A க்கான குன்னெத் சிதைவை நிரூபித்தது. A இன் சோவ் நோக்கத்தின் செயல்பாட்டு குன்னெத் சிதைவை வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் இந்த முடிவைச் செம்மைப்படுத்தியது, இதனால் அபெலியன் வகையின் n-பெருக்கம் i-th கூட்டுத்தொகையைப் போலவே செயல்படுகிறது. ஒரு மென்மையான மேற்பரப்பில் புள்ளிகளின் ஹில்பர்ட் திட்டத்திற்கான குனெத் சிதைவை நிரூபித்தது. அனுமானம் டி (எண் சமநிலை மற்றும் ஹோமோலாஜிக்கல் சமநிலை) அனுமானம் டி எண் மற்றும் ஹோமோலாஜிக்கல் சமநிலை ஒப்புக்கொள்கிறது என்று கூறுகிறது. (இது குறிப்பாக பிந்தையது வெயில் கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டின் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது). இந்த அனுமானம் லெஃப்ஷெட்ஸ் அனுமானத்தை குறிக்கிறது. ஹோட்ஜ் நிலையான அனுமானம் இருந்தால், லெஃப்ஷெட்ஸ் அனுமானம் மற்றும் அனுமானம் டி ஆகியவை சமமானவை. இந்த அனுமானத்தை லீபர்மேன் அதிகபட்சம் 4 பரிமாண வகைகளுக்கும், அபெலியன் வகைகளுக்கும் காட்டினார். ஹோட்ஜ் நிலையான அனுமானம் ஹோட்ஜ் குறியீட்டு தேற்றத்தின் மாதிரியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இது பழங்கால இயற்கணித கோஹோமோலஜி வகுப்புகளில் கப் தயாரிப்பு இணைப்பின் உறுதியை (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை, பரிமாணத்திற்கு ஏற்ப) குறிப்பிடுகிறது. அது இருந்தால், லெஃப்ஷெட்ஸ் அனுமானம் அனுமானம் டி ஐக் குறிக்கிறது. பண்பு பூஜ்ஜியத்தில் ஹோட்ஜ் நிலையான அனுமானம் உள்ளது, இது ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். நேர்மறை பண்புகளில் ஹோட்ஜ் நிலையான அனுமானம் மேற்பரப்புகள் () மற்றும் பரிமாணம் 4 () இன் அபெலியன் வகைகளுக்கு அறியப்படுகிறது. ஹோட்ஜ் நிலையான அனுமானத்தை ஹோட்ஜ் அனுமானத்துடன் குழப்பக்கூடாது, இது மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் வகைகளுக்கு, ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு-வகுப்பும் இயற்கணிதமானது என்று கூறுகிறது. ஹோட்ஜ் அனுமானம் லெஃப்ஷெட்ஸ் மற்றும் குன்னெத் அனுமானங்களையும், குணாதிசய பூஜ்ஜிய புலங்களின் மீது உள்ள வகைகளுக்கான டி அனுமானத்தையும் குறிக்கிறது. டேட் அனுமானம் அனைத்து துறைகளிலும் எல்-அடிக் கோஹோமோலஜிக்கு லெஃப்ஷெட்ஸ், குனெத் மற்றும் அனுமானம் டி ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. நிலையான அனுமானங்களின் நிரந்தர பண்புகள் X மற்றும் Y ஆகிய இரண்டு இயற்கணித வகைகளுக்கு, Y என்பது X ஆல் உந்தப்படுகிறது என்ற நிபந்தனையை அறிமுகப்படுத்தியுள்ளது. துல்லியமான நிபந்தனை என்னவென்றால், Y இன் நோக்கம் (ஆண்ட்ரேவின் நோக்கங்களின் பிரிவில்) X இன் நோக்கத்திலிருந்து தொடங்கி தொகைகள், கூட்டுத்தொகை மற்றும் தயாரிப்புகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சர்ஜெக்டிவ் மார்ஃபிசம் இருந்தால் Y உந்தப்படுகிறது. Y இந்த பிரிவில் காணப்படவில்லை என்றால், அந்த சூழலில் அது ஊக்கமளிக்கப்படாது. மென்மையான திட்டவட்டமான சிக்கலான இயற்கணித வகைகளான X மற்றும் Y க்கு, Y X ஆல் உந்தப்படுகிறது, நிலையான அனுமானங்கள் D (ஒரே மாதிரியான சமநிலை எண் சமம்), B (லெஃப்ஷெட்ஸ்), ஹோட்ஜ் அனுமானம் மற்றும் X இன் அனைத்து சக்திகளையும் வைத்திருந்தால் Y க்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஹோட்ஜ் அனுமானம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இயற்கணித மேற்பரப்பில் உள்ள புள்ளிகளின் ஹில்பர்ட் திட்டத்திற்கான லெஃப்ஷெட்ஸ் அனுமானத்தைக் காட்ட இந்த உண்மையைப் பயன்படுத்தலாம். பிற அனுமானங்களுடனான உறவு, முக்கோண வகை நோக்கங்களில் ஊக்கமளிக்கும் டி-அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுபவை (அனுமான) இருப்பது லெஃப்ஷெட்ஸ் மற்றும் குனெத் நிலையான அனுமானங்கள் பி மற்றும் சி. குறிப்புகளைக் குறிக்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. . . வெளிப்புற இணைப்புகள் இயற்கணித சுழற்சிகளில் நிலையான அனுமானங்களில் முன்னேற்றம் அனலாக்ஸ் கெலேரியன்ஸ் டி செரிஸ் கன்ஜெக்சர்ஸ் டி வெயில். ஜே. பி. செர்ரே (எக்ஸ்ட்ரைட் டி யுனே லெட்ரே ஏ. வெயில், 9 நவம்பர் 1959) இயற்கணித வடிவவியலை ஸ்கேன் செய்கிறார் வடிவவியலில் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களை அனுமானிக்கிறார்