Shimura variety
எண் கோட்பாட்டில், ஷிமுரா வகை என்பது ஒரு மட்டு வளைவின் உயர் பரிமாண அனலாக் ஆகும், இது ஒரு ஹெர்மிடியன் சமச்சீர் இடத்தின் ஈவு வகையாக எழுகிறது, இது கியூ மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குறைப்பு இயற்கணிதக் குழுவின் ஒற்றுமை துணைக்குழுவால் எழுகிறது. ஷிமுரா வகைகள் இயற்கணித வகைகள் அல்ல, ஆனால் இயற்கணித வகைகளின் குடும்பங்கள். ஷிமுரா வளைவுகள் என்பது ஒரு பரிமாண ஷிமுரா வகைகள் ஆகும். ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள் மற்றும் சீகல் மாடுலர் வகைகள் ஷிமுரா வகைகளின் நன்கு அறியப்பட்ட வகைகளில் ஒன்றாகும். ஷிமுரா வகைகளின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் முதலில் கோரோ ஷிமுராவால் சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலின் போது அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஆரம்பத்தில் பகுப்பாய்வு ரீதியாக வரையறுக்கப்பட்டாலும், அவை எண்கணித பொருள்கள் என்று ஷிமுரா காட்டினார், அதாவது அவை ஷிமுரா வகையின் பிரதிபலிப்பு புலமான எண் புலத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரிகளை ஏற்றுக்கொள்கின்றன. 1970 களில், பியர் டிலிக்னே ஷிமுராவின் பணிக்கு ஒரு தன்னியக்க கட்டமைப்பை உருவாக்கினார். 1979 ஆம் ஆண்டில், ராபர்ட் லாங்லேண்ட்ஸ், ஷிமுரா வகைகள் இயற்கையான எடுத்துக்காட்டுகளின் மண்டலத்தை உருவாக்குகின்றன என்று குறிப்பிட்டார், இதற்காக லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில் முன்வைக்கப்பட்ட உந்துதல் மற்றும் தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான சமநிலையை சோதிக்க முடியும். ஷிமுரா வகையின் கோஹோமோலஜியில் உணரப்பட்ட ஆட்டோமார்ஃபிக் வடிவங்கள் பொதுவான ஆட்டோமார்ஃபிக் வடிவங்களை விட ஆய்வு செய்ய மிகவும் பொருத்தமானவை; குறிப்பாக, அவற்றுடன் கலோயிஸ் பிரதிநிதித்துவங்களை இணைக்கும் ஒரு கட்டுமானம் உள்ளது. வரையறை ஷிமுரா டேட்டம் S = ResC/R Gm என்பது சிக்கலான எண்களிலிருந்து உண்மையான எண்களுக்கு பெருக்கக் குழுவின் வெயில் கட்டுப்பாட்டாக இருக்கட்டும். இது ஒரு உண்மையான இயற்கணிதக் குழுவாகும், அதன் ஆர்-புள்ளிகளின் குழு, எஸ் (ஆர்), சி * மற்றும் சி-புள்ளிகளின் குழு சி * × சி * ஆகும். ஷிமுரா டேட்டம் என்பது ஒரு ஜோடி (ஜி, எக்ஸ்) ஆகும், இது விகிதமுறு எண்களின் க்யூ புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட (இணைக்கப்பட்ட) குறைப்பு இயற்கணித குழு ஜி மற்றும் ஹோமோமார்பிசங்களின் ஜி (ஆர்)-இணைவு வகுப்பு எக்ஸ் பின்வரும் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ எக்ஸ் இல் உள்ள எந்த எச்க்கும், எடைகள் (0,0), (1, −1), (−1,1) மட்டுமே ஜி. சி. யில் நிகழலாம், அதாவது. G இன் சிக்கலான லை இயற்கணிதம் ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகையாக சிதைகிறது, அங்கு எந்த z ω S க்கும், h (z) முதல் கூட்டுத்தொகையில் அற்பமாகவும், இரண்டாவது (முறையே, மூன்றாவது) கூட்டுத்தொகையில் (முறையே,) வழியாகவும் செயல்படுகிறது. h (i) இன் அருகிலுள்ள செயல் GR இன் அருகிலுள்ள குழுவில் ஒரு கார்டன் ஈடுபாட்டைத் தூண்டுகிறது. GR இன் அட்ஜாயின்ட் குரூப், H மீது H இன் ப்ரொஜெக்ஷன் அற்பமானதாக இருக்கும் வகையில் Q மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு காரணி H ஐ அனுமதிக்காது. இந்த கோட்பாடுகளிலிருந்து X ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு (ஒருவேளை, துண்டிக்கப்பட்டிருக்கலாம்) ஒரு தனித்துவமான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு பிரதிநிதித்துவத்திற்கும் ρ: GR → GL (V), குடும்பம் (V, ρ ⋅h) என்பது ஹோட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் ஒரு ஹோலோமார்பிக் குடும்பமாகும்; மேலும், இது ஹோட்ஜ் கட்டமைப்பின் மாறுபாட்டை உருவாக்குகிறது, மேலும் X என்பது ஹெர்மிடியன் சமச்சீர் களங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட டிஸ்ஜோயின்ட் தொழிற்சங்கமாகும். ஷிமுரா வகை Aff என்பது Q இன் வரையறுக்கப்பட்ட அடில்களின் வளையமாக இருக்கட்டும். ஜி (ஏஎஃப்) இன் போதுமான சிறிய சிறிய திறந்த துணைக்குழு K க்கு, இரட்டை கோஸெட் இடைவெளி என்பது வடிவத்தின் உள்ளூரில் சமச்சீர் வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட ஒன்றிணைப்பாகும், அங்கு பிளஸ் சூப்பர்ஸ்கிரிப்ட் இணைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் குறிக்கிறது. ஷ்கே (ஜி, எக்ஸ்) வகைகள் சிக்கலான இயற்கணித வகைகள் மற்றும் அவை போதுமான சிறிய சிறிய திறந்த துணைக்குழுக்கள் கே மீது ஒரு தலைகீழ் அமைப்பை உருவாக்குகின்றன. இந்த தலைகீழ் அமைப்பு ஜி (ஏஎஃப்) இன் இயற்கையான சரியான செயலை ஏற்றுக்கொள்கிறது. இது ஷிமுரா தாட்டம் (ஜி, எக்ஸ்) உடன் தொடர்புடைய ஷிமுரா வகை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எஸ். எச் (ஜி, எக்ஸ்) என்று குறிக்கப்படுகிறது. ஹெர்மிடியன் சமச்சீர் களங்கள் மற்றும் ஒற்றுமை துணைக்குழுக்களின் சிறப்பு வகைகளுக்கு, 1960 களில் கோரோ ஷிமுராவின் தொடர்ச்சியான ஆய்வறிக்கைகளில் γ\X = ShK (G, X) வடிவத்தின் இயற்கணித வகைகள் மற்றும் அவற்றின் சுருக்கங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. ஷிமுராவின் அணுகுமுறை, பின்னர் அவரது மோனோகிராஃபில் வழங்கப்பட்டது, பெரும்பாலும் நிகழ்வியல் ரீதியாக இருந்தது, சிக்கலான பெருக்கக் கோட்பாட்டின் பரஸ்பர சட்ட உருவாக்கத்தின் பரந்த பொதுமைப்படுத்தல்களைப் பின்தொடர்ந்தது. பின்னோக்கிப் பார்த்தால், "ஷிமுரா வகை" என்ற பெயர் டிலிக்னேவால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, அவர் ஷிமுராவின் கோட்பாட்டில் ஒரு பங்கைக் கொண்டிருந்த சுருக்க அம்சங்களை தனிமைப்படுத்தத் தொடங்கினார். டிலிக்னேயின் சூத்திரத்தில், ஷிமுரா வகைகள் சில வகையான ஹாட்ஜ் கட்டமைப்புகளின் அளவுரு இடங்களாகும். இவ்வாறு அவை நிலையான கட்டமைப்பைக் கொண்ட நீள்வட்ட வளைவுகளின் மாடுலி இடங்களாகக் கருதப்படும் மாடுலர் வளைவுகளின் இயற்கையான உயர் பரிமாண பொதுமைப்படுத்தலை உருவாக்குகின்றன. பல சந்தர்ப்பங்களில், ஷிமுரா வகைகள் தீர்வாக இருக்கும் மாடுலி சிக்கல்களும் இதேபோல் அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகள் F என்பது முற்றிலும் உண்மையான எண் புலமாகவும், D என்பது F மீது ஒரு குவாட்டர்னியன் பிரிவு இயற்கணிதமாகவும் இருக்கட்டும். பெருக்கல் குழு D × ஒரு நியதி ஷிமுரா வகையை உருவாக்குகிறது. அதன் பரிமாணம் d என்பது டி பிரியும் எல்லையற்ற இடங்களின் எண்ணிக்கை. குறிப்பாக, d = 1 என்றால் (எடுத்துக்காட்டாக, F = Q மற்றும் D = R (R) என்றால்), D × இன் போதுமான சிறிய எண்கணித துணைக்குழுவை சரிசெய்தால், ஒருவர் ஷிமுரா வளைவைப் பெறுகிறார், மேலும் இந்த கட்டமைப்பிலிருந்து எழும் வளைவுகள் ஏற்கனவே கச்சிதமாக உள்ளன (அதாவது. திட்டவட்டமான). வெளிப்படையாக அறியப்பட்ட சமன்பாடுகளுடன் ஷிமுரா வளைவுகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் குறைந்த இனத்தின் ஹர்விட்ஸ் வளைவுகளால் வழங்கப்படுகின்றனஃ க்ளீன் குவார்டிக் (பேரினம் 3) மேக்பீத் மேற்பரப்பு (பேரினம் 7) முதல் ஹர்விட்ஸ் மும்மடங்கு (பேரினம் 14) மற்றும் டிகிரி 7 இன் ஃபெர்மாட் வளைவு. ஷிமுரா வகைகளின் பிற எடுத்துக்காட்டுகளில் பிகார்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள் மற்றும் ஹில்பர்ட் மாடுலர் மேற்பரப்புகள் அடங்கும், அவை ஹில்பர்ட்-ப்ளுமெண்டல் வகைகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. நியதி மாதிரிகள் மற்றும் சிறப்பு புள்ளிகள் ஒவ்வொரு ஷிமுரா வகையையும் ரிஃப்ளெக்ஸ் புலம் எனப்படும் நியதி எண் புலம் E இல் வரையறுக்கலாம். ஷிமுரா காரணமாக ஏற்பட்ட இந்த முக்கியமான முடிவு, சிக்கலான பன்மடங்கு மட்டுமே முன்னுரிமை கொண்ட ஷிமுரா வகைகள், வரையறையின் இயற்கணித புலத்தைக் கொண்டுள்ளன, எனவே எண்கணித முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்டுகிறது. இது அவரது பரஸ்பர விதியை உருவாக்குவதில் தொடக்க புள்ளியை உருவாக்குகிறது, அங்கு சில எண்கணித ரீதியாக வரையறுக்கப்பட்ட சிறப்பு புள்ளிகளால் முக்கிய பங்கு வகிக்கப்படுகிறது. ஷிமுரா வகையின் சிறப்பு புள்ளிகளின் தொகுப்புகளின் சரிஸ்கி மூடலின் தரமான தன்மை ஆண்ட்ரே-ஓர்ட் அனுமானத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது. இந்த அனுமானத்தின் மீது நிபந்தனை முடிவுகள் பெறப்பட்டுள்ளன, இது ஒரு பொதுவான ரீமன் கருதுகோள் என்று கருதப்படுகிறது. லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில் ஷிமுரா வகைகள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. முன்மாதிரி தேற்றம், ஐச்லர்-ஷிமுரா ஒற்றுமை உறவு, ஒரு மாடுலர் வளைவின் ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா செயல்பாடு என்பது எடை 2 இன் வெளிப்படையாக தீர்மானிக்கப்பட்ட மாடுலர் வடிவங்களுடன் தொடர்புடைய எல்-செயல்பாடுகளின் பெருக்கமாகும் என்பதைக் குறிக்கிறது. உண்மையில், இந்த தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தும் செயல்பாட்டில்தான் கோரோ ஷிமுரா தனது வகைகளை அறிமுகப்படுத்தி தனது பரஸ்பர சட்டத்தை நிரூபித்தார். பிற எண் புலங்கள் மற்றும் அதன் உள் வடிவங்கள் மீது GL2 குழுவுடன் தொடர்புடைய ஷிமுரா வகைகளின் ஜீட்டா செயல்பாடுகள் (அதாவது. குவாட்டர்னியன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் பெருக்கக் குழுக்கள்) ஐச்லர், ஷிமுரா, குகா, சாட்டோ மற்றும் இஹாரா ஆகியோரால் ஆய்வு செய்யப்பட்டன. அவற்றின் முடிவுகளின் அடிப்படையில், ராபர்ட் லாங்லேண்ட்ஸ் ஒரு கணிப்பைச் செய்தார், ஒரு எண் புலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எந்த இயற்கணித வகை W இன் ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா செயல்பாடு தானியங்கி எல்-செயல்பாடுகளின் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை சக்திகளின் பெருக்கலாக இருக்கும், அதாவது. இது தானியங்கி பிரதிநிதித்துவங்களின் தொகுப்பிலிருந்து எழ வேண்டும். தத்துவ ரீதியாக அத்தகைய விளக்கத்தை எதிர்பார்ப்பது இயல்பானதாக இருந்தாலும், W என்பது ஷிமுரா வகையாக இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த வகை அறிக்கைகள் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. லாங்லேண்ட்ஸின் வார்த்தைகளில்ஃ குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஜேம்ஸ் ஆர்தர், டேவிட் எல்வூட் மற்றும் ராபர்ட் கோட்ட்விட்ஸ் (பதிப்பு) ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு, ட்ரேஸ் ஃபார்முலா மற்றும் ஷிமுரா வகைகள், களிமண் கணித நடவடிக்கைகள், தொகுதி 4, ஏஎம்எஸ், 2005 பியர் டெலிக்னே, டிராவாக்ஸ் டி ஷிமுரா. செமினேர் போர்பாகி, 23ème annee (1970/71), எக்ஸ்ப். இல்லை. 389, pp. 123-165. கணிதத்தில் விரிவுரை குறிப்புகள், தொகுதி. 244, ஸ்ப்ரிங்கர், பெர்லின், 1971., Numdam Pierre Deligne, Variétés de Shimura: Interprétation ماڊلியர், மற்றும் நுட்பங்கள் டி கன்ஸ்ட்ரக்ஷன் டி மாடல்ஸ் கனோனிக்குகள், தானியங்கி வடிவங்களில், பிரதிநிதித்துவங்கள் மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள், புரோக். கருத்தரங்குகள். தூய கணிதம்., XXXIII (கொர்வாலிஸ், OR, 1977), பகுதி 2, பக்கங்கள். 247-289, ஆமேர். கணிதம். சொ., பிராவிடன்ஸ், ஆர். ஐ., 1979. பியர் டிலிக்னே, ஜேம்ஸ் எஸ். மில்னே, ஆர்தர் ஓகஸ், குவாங்-யென் ஷி, ஹோட்ஜ் சுழற்சிகள், நோக்கங்கள் மற்றும் ஷிமுரா வகைகள். கணிதத்தில் விரிவுரை குறிப்புகள், 900. ஸ்ப்ரிங்கர்-வெர்லாக், பெர்லின்-நியூயார்க், 1982. II + 414 pp. ஜே. மில்னே, ஷிமுரா வகைகள் மற்றும் நோக்கங்கள், யு. ஜான்சன், எஸ். க்ளீமான். ஜே. பி. செர்ரே (பதிப்பு. ), உந்துதல்கள், புரோக். சிம்ப். தூய கணிதம், 55:2, ஆமேர். கணிதம். சொ. (1994), பக். 447-523 ஜே. எஸ். மில்னே, ஆர்தர், எல்வூட் மற்றும் கோட்ட்விட்ஸ் (2005) இல் ஷிமுரா வகைகளின் அறிமுகம், ஹாரி ரெய்மான், குவாட்டர்னியோனிக் ஷிமுரா வகைகளின் அரை எளிய ஜீட்டா செயல்பாடு, கணிதத்தில் சொற்பொழிவு குறிப்புகள், 1657, ஸ்ப்ரிங்கர், 1997 கோரோ ஷிமுரா, கோரோ ஷிமுராவின் சேகரிக்கப்பட்ட படைப்புகள் (2003), தொகுதி 1-5 கோரோ ஷிமுரா தன்னியக்க செயல்பாடுகளின் எண்கணிதக் கோட்பாட்டின் அறிமுகம் இயற்கணித வடிவியல் ஜீட்டா மற்றும் எல்-செயல்பாடுகள் தன்னியக்க வடிவியல் வடிவங்கள்