Inverse problem for Lagrangian mechanics
கணிதத்தில், லாக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலுக்கான தலைகீழ் சிக்கல் என்பது சில லாக்ராஞ்சியன் செயல்பாட்டிற்கான யூலர்-லாக்ராஞ்ச் சமன்பாடுகளாக சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பு எழ முடியுமா என்பதை தீர்மானிக்கும் சிக்கலாகும். 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து இந்த சிக்கலைப் பற்றிய ஆய்வில் பெரும் செயல்பாடு உள்ளது. இந்தத் துறையில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றம் அமெரிக்க கணிதவியலாளர் ஜெஸ்ஸி டக்ளஸ் எழுதிய 1941 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையாகும், அதில் அவர் ஒரு தீர்வை பெறுவதற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்கினார்; இந்த நிலைமைகள் இப்போது ஜெர்மன் இயற்பியலாளர் ஹெர்மன் வான் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸுக்குப் பிறகு ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் நிலைமைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சிக்கலின் பின்னணி மற்றும் அறிக்கை n-பரிமாண யூக்ளிடியன் விண்வெளி Rn இல் லக்ராஞ்சியன் இயக்கவியலின் வழக்கமான அமைப்பு பின்வருமாறு. ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய பாதை u ஐக் கவனியுங்கள்ஃ [0, T] → Rn. S (u) என்று குறிக்கப்படும் பாதையின் செயல், L என்பது லக்ராஞ்சியன் என்று அழைக்கப்படும் நேரம், நிலை மற்றும் திசைவேகத்தின் செயல்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. குறைந்தபட்ச செயல்பாட்டின் கொள்கை, ஒரு ஆரம்ப நிலை x0 மற்றும் Rn இல் ஒரு இறுதி நிலை x1 கொடுக்கப்பட்டால், L ஆல் தீர்மானிக்கப்படும் அமைப்பு உண்மையில் பின்தொடரும் செயல் செயல்பாட்டு S இன் மினிமைசராக இருக்க வேண்டும், இது எல்லை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது u (0) = x0, u (T) = x1. மேலும், S இன் முக்கியமான புள்ளிகள் (எனவே மினிமைசர்கள்) S க்கான ஆய்லர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்ஃ இதில் மேல் குறியீடுகள் i என்பது u = (u1,., un) இன் கூறுகளைக் குறிக்கிறது. கிளாசிக்கல் வழக்கில் யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகள் நியூட்டனின் இயக்க விதிகள் என்று அழைக்கப்படும் இரண்டாவது வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளாகும்ஃ லாக்ரேஞ்சியன் இயக்கவியலின் தலைகீழ் சிக்கல் பின்வருமாறுஃ 0 ≤ t ≤ T நேரங்களுக்கு வைத்திருக்கும் இரண்டாவது வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைக் கொடுத்தால், இந்த சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (E) யூலர்-லாக்ரேஞ்ச் சமன்பாடுகளாக இருக்கும் ஒரு லாக்ரேஞ்சியன் L: [0, T] × Rn × Rn → R உள்ளனவா? பொதுவாக, இந்த சிக்கல் யூக்ளிடியன் இடைவெளி Rn இல் அல்ல, ஆனால் ஒரு n-பரிமாண பன்மடங்கு M இல் முன்வைக்கப்படுகிறது, மேலும் லாக்ராஞ்சியன் ஒரு செயல்பாடு L: [0, T] × TM → R, இதில் TM என்பது M. டக்ளஸ் தேற்றம் மற்றும் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் நிபந்தனைகளின் தொடுகோடு மூட்டை குறிக்கிறது. (டக்ளஸ் 1941) ஒரு லக்ராஞ்சியன் L: [0, T] × TM → R உள்ளது, அதாவது சமன்பாடுகள் (E) அதன் ஆய்லர்-லக்ராஞ்ச் சமன்பாடுகளாக இருந்தால் மட்டுமே, உள்ளீடுகள் gij உடன் ஒரு ஒற்றை அல்லாத சமச்சீர் அணி g இருந்தால், u மற்றும் v இரண்டையும் பொறுத்து பின்வரும் மூன்று ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்துகிறதுஃ (ஐன்ஸ்டீன் கூட்டுத்தொகை மரபு மீண்டும் மீண்டும் குறியீடுகளுக்கு பயன்பாட்டில் உள்ளது. டக்ளஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது முதல் பார்வையில், ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் சமன்பாடுகளை (H1)-(H3) தீர்ப்பது மிகவும் கடினமான பணியாகத் தெரிகிறது. நிபந்தனை (H1) தீர்க்க எளிதானதுஃ (H1) ஐ திருப்திப்படுத்தும் ஒரு g ஐக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும், மேலும் இது மட்டுமே லக்ராஞ்சியன் ஒருமை என்பதைக் குறிக்காது. சமன்பாடு (H2) என்பது சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரு அமைப்பாகும்ஃ சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் பற்றிய வழக்கமான கோட்பாடுகள், கொள்கையளவில், (H2) தீர்க்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு கூடுதல் மாறிலிகளைத் தராது, மாறாக அமைப்பின் (E) முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தருகிறது, எனவே (E) போதுமான வெளிப்படையான முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டிருக்காவிட்டால் இந்த படி நடைமுறையில் கடினமாகிறது. சில நல்ல நடத்தை நிகழ்வுகளில் (எ. கா. ஒரு லை குழுவில் உள்ள நியமன இணைப்புக்கான புவியியல் ஓட்டம்), இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. இறுதி மற்றும் மிகவும் கடினமான படி சமன்பாட்டை (H3) தீர்ப்பதாகும், இது மூடல் நிபந்தனைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் (H3) என்பது வேறுபாடு 1-வடிவம் gi என்பது ஒவ்வொரு i க்கும் ஒரு மூடிய வடிவம் என்ற நிபந்தனையாகும். இது மிகவும் அச்சுறுத்தும் காரணம் என்னவென்றால், (H3) இணைக்கப்பட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் ஒரு பெரிய அமைப்பை உருவாக்குகிறதுஃ n டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம், (H3) 2n சுயாதீன மாறிகளில் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறது, அவை g இன் gij கூறுகளாகும், இது இருமக் குணகத்தைக் குறிக்கிறது. மிகவும் பொதுவான லாக்ராஞ்சியனை உருவாக்க, இந்த பெரிய அமைப்பை ஒருவர் தீர்க்க வேண்டும்! அதிர்ஷ்டவசமாக, ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் நிலைமைகளைத் தீர்க்க உதவும் வகையில் சில துணை நிபந்தனைகள் விதிக்கப்படலாம். முதலாவதாக, (H1) என்பது அறியப்படாத மேட்ரிக்ஸ் g இல் முற்றிலும் இயற்கணித நிபந்தனையாகும். g இல் துணை இயற்கணித நிபந்தனைகளை பின்வருமாறு கொடுக்கலாம்ஃ செயல்பாடுகளை வரையறுக்கவும். ஒரு இணையான இணைப்பின் விஷயத்தில் (ஒரு லை குழுவில் உள்ள நியமன இணைப்பு போன்றவை), உயர் வரிசை நிபந்தனைகள் எப்போதும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, எனவே (H2) மற்றும் (A) மட்டுமே ஆர்வமாக உள்ளன. (A) நிபந்தனைகளைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் (H1) நிபந்தனைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, (H1) மற்றும் (A) ஆகியவை சேர்ந்து லக்ராஞ்சியன் சார்பு ஒருமை என்பதைக் குறிக்கலாம். 2006 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, தன்னிச்சையான பரிமாணத்தில் இந்த சிரமத்தைத் தவிர்ப்பதற்கான பொதுவான தேற்றம் எதுவும் இல்லை, இருப்பினும் சில சிறப்பு நிகழ்வுகள் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. தாக்குதலுக்கான இரண்டாவது வழி, அமைப்பு (E) ஒரு குறைந்த பரிமாண அமைப்பில் ஒரு நீரில் மூழ்குவதை ஏற்றுக்கொள்கிறதா என்பதைப் பார்ப்பதும், குறைந்த பரிமாண அமைப்புக்கு ஒரு லக்ராஞ்சியனை உயர் பரிமாண அமைப்பு வரை "உயர்த்த" முயற்சிப்பதும் ஆகும். இது உண்மையில் ஹெல்ம்ஹோல்ட்ஸ் நிபந்தனைகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முயற்சி அல்ல, ஏனெனில் இது ஒரு லாக்ராஞ்சியனை உருவாக்கி அதன் யூலர்-லாக்ராஞ்ச் சமன்பாடுகள் உண்மையில் அமைப்பு (E) என்பதைக் காட்டும் முயற்சியாகும். குறிப்புகள் மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு லக்ராஞ்சியன் இயக்கவியல் தலைகீழ் சிக்கல்கள்