Viviani's theorem
வின்சென்சோ விவியானியின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட விவியானியின் தேற்றம், எந்தவொரு உள் புள்ளியிலிருந்தும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை முக்கோணத்தின் உயரத்தின் நீளத்திற்கு சமம் என்று கூறுகிறது. இது பல்வேறு கணிதப் போட்டிகள், இடைநிலைப் பள்ளி கணிதத் தேர்வுகளில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு தேற்றமாகும், மேலும் இது நிஜ உலகில் உள்ள பல சிக்கல்களுக்கு பரவலாகப் பொருந்தும். சான்று இந்த சான்று ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் அடிப்பகுதி மடங்கு அதன் உயரம்-அதாவது, அந்த பக்கத்திலிருந்து உயரத்துடன் ஒரு பக்கத்தின் பாதி பெருக்கல் என்று உடனடியாக நிரூபிக்கப்பட்ட கருத்தை சார்ந்துள்ளது. ஏபிசி ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கட்டும், அதன் உயரம் h மற்றும் அதன் பக்கம் a ஆகும். முக்கோணத்திற்குள் உள்ள எந்த புள்ளியும் P ஆகவும், பக்கங்களிலிருந்து P இன் தூரம் u, s, t ஆகவும் இருக்கட்டும். PAB, PBC மற்றும் PCA ஆகிய மூன்று முக்கோணங்களை உருவாக்கி, A, B மற்றும் C ஒவ்வொன்றிற்கும் P இலிருந்து ஒரு கோட்டை வரையவும். இப்போது, இந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவு, மற்றும் ஆகும். அவை சரியாக மூடிய முக்கோணத்தை நிரப்புகின்றன, எனவே இந்த பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மூடிய முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு சமம். எனவே நாம் எழுதலாம்ஃ எனவே Q. E. D. ஒரு முக்கோணத்தின் உள் புள்ளியில் இருந்து பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருந்தால், முக்கோணம் சமபக்கமாக இருக்கும். பயன்பாடுகள் விவியானியின் தேற்றம் என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இணையான கோடுகள் எரியக்கூடிய வரைபடங்கள் போன்ற முப்பரிமாண அடுக்குகளை உருவாக்குவதற்கான ஆயத்தங்களை வழங்குகின்றன என்பதாகும். மேலும் பொதுவாக, அவை ஒரு வழக்கமான சிம்ப்ளக்ஸில் ஒருங்கிணைப்புகளை அதே வழியில் கொடுக்க அனுமதிக்கின்றன. நீட்டிப்புகள் இணையான வரைபடம் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எந்த உள் புள்ளியிலிருந்தும் பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இதற்கு நேர்மாறாகஃ ஒரு நாற்கரத்தின் உட்புறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருந்தால், நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாகும். இதன் விளைவாக எதிர் பக்கங்கள் இணையாக இருக்கும் எந்த 2n-கோனுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. எதிர் இணையான பக்கங்களின் எந்த ஜோடிக்கும் இடையிலான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை நிலையானது என்பதால், இணையான பக்கங்களின் ஜோடிக்கு இடையிலான அனைத்து ஜோடி வாரியான தொகைகளின் கூட்டுத்தொகையும் நிலையானது. பொதுவாக எதிர் உண்மை அல்ல, ஏனெனில் இதன் விளைவாக ஒரு சமபக்க அறுகோணத்திற்கு பொருந்தும், இது எதிர் பக்கங்களுக்கு இணையாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. வழக்கமான பலகோணம் ஒரு பலகோணம் வழக்கமானதாக இருந்தால் (சமவெளி மற்றும் சமபக்க இரண்டும்), ஒரு உள் புள்ளியில் இருந்து பக்கங்களுக்கான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்திலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும். குறிப்பாக, இது n மடங்கு அபோதெமுக்கு சமம், இங்கு n என்பது பக்கங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அபோதெம் என்பது மையத்திலிருந்து ஒரு பக்கத்திற்கு உள்ள தூரம். இருப்பினும், எதிர் வைத்திருக்கவில்லை; சதுரம் அல்லாத இணையான வரைபடம் ஒரு எதிர் எடுத்துக்காட்டு. ஈக்வியங்குலர் பலகோணம் ஒரு ஈக்வியங்குலர் பலகோணத்தின் உட்புற புள்ளியில் இருந்து பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்தைப் பொறுத்தது அல்ல. ஒரு குவிந்த பலகோணம் எந்த உள் புள்ளியிலிருந்தும் பக்கங்களுக்கு ஒரு நிலையான கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டிருக்கத் தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், சமமான தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் மூன்று இணைப்பிதழ் அல்லாத உட்புற புள்ளிகள் உள்ளன. வழக்கமான பாலிஹெட்ரான் ஒரு வழக்கமான பாலிஹெட்ரானின் உட்புறத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியிலிருந்தும் பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகை புள்ளியின் இருப்பிடத்திலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இருப்பினும், எதிர் பொருத்தம் பிடிக்கவில்லை, டெட்ராஹெட்ராவுக்கு கூட இல்லை. மேற்கோள்கள் மேலும் வாசிப்பு வெளிப்புற இணைப்புகள் லி ஜோ, விவியானி பாலிடோப்ஸ் மற்றும் கட் தி முடிச்சில் ஃபெர்மாட் பாயிண்ட்ஸ். வொல்ப்ராம் ஆர்ப்பாட்டங்கள் திட்டம். டைனமிக் ஜியோமெட்ரி ஸ்கெட்ச்ஸ், ஒரு ஊடாடும் டைனமிக் வடிவியல் ஸ்கெட்ச். சமபக்க முக்கோணங்கள் பற்றிய கோட்பாடுகள் சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்