Lagrange multipliers on Banach spaces
கணிதத்தில் உள்ள மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் துறையில், பானாச் இடைவெளிகளில் உள்ள லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் முறை சில எல்லையற்ற பரிமாண கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உகப்பாக்கம் சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த முறை என்பது லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் பாரம்பரிய முறையின் பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது இறுதியாக பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது. பானாச் இடைவெளிகளுக்கான லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி தேற்றம் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் ஆகியவை உண்மையான பானாச் இடைவெளிகளாக இருக்கட்டும். U என்பது X இன் திறந்த துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும் மற்றும் f: U → R ஒரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும். g: U → Y மற்றொரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருக்கட்டும், கட்டுப்பாடுஃ g பூஜ்ஜியம் என்ற கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்பட்டு f இன் உச்ச புள்ளிகளைக் (அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம்) கண்டுபிடிப்பதே நோக்கம். u0 என்பது f இன் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உச்சநிலை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. f இன் உச்சநிலை f இல் உள்ள fréchet வழித்தோன்றல் Dg (u0): U0 இல் உள்ள g இன் X → Y ஒரு புறநிலை நேரியல் வரைபடம் என்றும் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி λ: Y → R உள்ளது, இது Y க்கு இரட்டை இடைவெளி, அதாவது Df (u0) என்பது இரட்டை இடைவெளி X ≤ இன் ஒரு உறுப்பு என்பதால், சமன்பாடு (L) ஐ (Dg (u0)) ≤ (λ) என்பது λ இன் புல்பேக் மூலம் Dg (u0), அதாவது. X மற்றும் Y இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணங்கள் (அதாவது. சில இயற்கையான எண்களுக்கு Rm மற்றும் Rn க்கு நேரியல் ஐசோமார்பிக் m மற்றும் n) பின்னர் சமன்பாட்டை (L) மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவது λ என்பது வழக்கமான லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி திசையன் என்பதைக் காட்டுகிறது; n = 1 வழக்கில், λ என்பது வழக்கமான லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி, ஒரு உண்மையான எண். பயன்பாடு பல உகப்பாக்கம் சிக்கல்களில், பானாச் இடம் போன்ற எல்லையற்ற பரிமாண இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டைக் குறைக்க ஒருவர் முயல்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, சோபோலேவ் இடைவெளி மற்றும் எந்த தடையும் இல்லாமல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், f இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 0 ஆக இருக்கும், இது −1 மற்றும் + 1 க்கு இடையிலான அனைத்து x க்கும் u0 (x) = 0 ஆல் அடையப்படும். கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உகப்பாக்கம் சிக்கலையும் ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம், u இன் சராசரி மதிப்பு + 1 ஆக இருக்கும் வகையில் அந்த u ω X அனைவரிடமும் f ஐக் குறைக்க. மேற்கண்ட தேற்றத்தைப் பொறுத்தவரை, கட்டுப்பாடு g ஆல் வழங்கப்படும், இருப்பினும் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி ஒரு அளவிடுதல் மட்டுமே என்பதால் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வழக்கைப் போலவே இந்த சிக்கலையும் தீர்க்க முடியும். பொண்ட்ரியாகினின் குறைந்தபட்ச கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும், மாறுபாடுகளின் குறிப்புகளின் கால்குலஸில் ஹாமில்டோனியன் முறை (பிரிவு 4.14, pp.270-271 ஐப் பார்க்கவும்.) மாறுபாடுகளின் கணக்கீடு