Hochschild homology
கணிதத்தில், ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜி (மற்றும் கோஹோமோலஜி) என்பது வளையங்களுக்கு மேல் உள்ள துணை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கான ஒரு ஹோமோலஜி கோட்பாடு ஆகும். சில செயல்பாடுகளின் ஹோக்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜிக்கு ஒரு கோட்பாடும் உள்ளது. ஹோக்ச்சைல்ட் கோஹோமோலஜி ஒரு புலத்தின் மீது ஆல்ஜிப்ராக்களுக்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் ஆல்ஜிப்ராக்கள் வரை மேலும் பொதுவான வளையங்களில் விரிவுபடுத்தப்பட்டது. ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியின் வரையறை k ஒரு புலமாகவும், A ஒரு துணை k-ஆல்ஜிப்ரா மற்றும் M ஒரு A-பைமடூலாகவும் இருக்கட்டும். A இன் மூடப்பட்ட இயற்கணிதம் என்பது எதிர் இயற்கணிதத்துடன் A இன் டென்சர் பெருக்கல் ஆகும். A க்கு மேல் உள்ள இருமுனைகள் அடிப்படையில் A இன் மூடப்பட்ட இயற்கணிதத்தின் மீது உள்ள தொகுதிகளைப் போலவே இருக்கும், எனவே குறிப்பாக A மற்றும் M ஐ Ae-தொகுதிகளாக கருதலாம். ஹோச்ஸ்சைல்டு காம்ப்ளக்ஸ் மூலம் டோர் ஃபங்க்டர் மற்றும் எக்ஸ்ட் ஃபங்க்டரின் அடிப்படையில் M இல் உள்ள குணகங்களுடன் A இன் ஹோச்ஸ்சைல்டு ஹோமோலஜி மற்றும் கோஹோமோலஜி குழுவை வரையறுத்தது k ஒரு வளையமாக இருக்கட்டும், A ஒரு துணை k-அல்ஜிப்ரா ஆகும், இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் k-தொகுதி, மற்றும் M ஒரு A-பைமடுல். A ஓவர் k இன் n-மடங்கு டென்சர் பெருக்கலுக்கு நாம் எழுதுவோம். ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜிக்கு வழிவகுக்கும் சங்கிலி வளாகம் எல்லைக்கு A இல் எங்கு உள்ளது என்பதன் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லை ஆபரேட்டருடன் வழங்கப்படுகிறது. நாம் அனுமதித்தால், ஹோச்ஸ்சைல்ட் காம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சங்கிலி வளாகமும், அதன் ஹோமோலஜி எம் இல் உள்ள குணகங்களுடன் ஏ இன் ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜியும் ஆகும். இனிமேல், நாம் எளிமையாக எழுதுவோம். குறிப்பு வரைபடங்கள் என்பது முக வரைபடங்கள் ஆகும், இது தொகுதிகளின் குடும்பத்தை கே-தொகுதிகளின் பிரிவில் ஒரு எளிமையான பொருளாக ஆக்குகிறது, அதாவது, ஒரு செயல்பாட்டாளர் கே-மோட், இதில் கே என்பது சிம்ப்ளக்ஸ் வகை மற்றும் கே-மோட் என்பது கே-தொகுதிகளின் வகை. இங்கே α என்பது α இன் எதிர் வகை. சீரழிவு வரைபடங்கள் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியால் வரையறுக்கப்படுகின்றன, இது இந்த எளிமையான தொகுதியின் ஹோமோலஜி ஆகும். பார் வளாகத்துடன் தொடர்பு பார் வளாகம் என்று அழைக்கப்படும் ஒத்த தோற்றமுடைய வளாகம் உள்ளது, இது முறையாக ஹோச்ஸ்சைல்ட் வளாகத்துடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில், ஹோக்ச்சைல்ட் வளாகத்தை பார் வளாகத்திலிருந்து மீட்டெடுக்க முடியும், இது ஒரு வெளிப்படையான ஐசோமார்பிசத்தை அளிக்கிறது. ஒரு பெறப்பட்ட சுய-குறுக்குவெட்டாக, பரிமாற்ற வளையங்களின் விஷயத்தில் ஹோக்ச்சைல்ட் வளாகத்தின் மற்றொரு பயனுள்ள விளக்கம் உள்ளது, மேலும் பொதுவாக, பரிமாற்ற வளையங்களின் உறைகளுக்குஃ இது ஒரு திட்டத்தின் பெறப்பட்ட சுய-குறுக்குவெட்டிலிருந்து (அல்லது பெறப்பட்ட திட்டத்திலிருந்து கூட) சில அடிப்படை திட்டத்தின் மீது கட்டப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பெறப்பட்ட வளையங்களின் உறையைக் கொண்ட பெறப்பட்ட நார் உற்பத்தியை நாம் உருவாக்கலாம். பின்னர், மூலைவிட்ட வரைபடத்துடன் உட்பொதிக்கப்பட்டால், மூலைவிட்ட தயாரிப்பு திட்டத்தில் மூலைவிட்டத்தின் பெறப்பட்ட சுய குறுக்குவெட்டின் இழுப்பாக ஹோச்ஸ்சைல்ட் வளாகம் கட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த விளக்கத்திலிருந்து, ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜி கோஹ்லர் வேறுபாடுகளுடன் சில உறவைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பது தெளிவாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் கோஹ்லர் வேறுபாடுகளை மூலைவிட்டத்திலிருந்து சுய-குறுக்குவெட்டைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்க முடியும், அல்லது பொதுவாக, கோட்டாஞ்சென்ட் வளாகம் இது கோஹ்லர் வேறுபாடுகளுக்கு பெறப்பட்ட மாற்றாகும். ஒரு பரிமாற்ற-இயற்கணிதத்தின் ஹோச்ஸ்சைல்ட் வளாகத்தின் அசல் வரையறையை அமைப்பதன் மூலம் நாம் மீட்டெடுக்க முடியும், பின்னர், ஹோச்ஸ்சைல்ட் வளாகம் அரை-ஐசோமார்பிக் ஆகும். செயல்பாட்டாளர்களின் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜி எளிமையான வட்டம் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தொகுப்புகளின் பிரிவில் ஒரு எளிமையான பொருளாகும், அதாவது ஒரு செயல்பாட்டாளர் எனவே, எஃப் ஒரு செயல்பாட்டாளராக இருந்தால், எஃப் உடன் இசையமைப்பதன் மூலம் ஒரு எளிமையான தொகுதியைப் பெறுகிறோம். இந்த எளிமையான தொகுதியின் ஒத்திசைவு ஃபங்க்டர் எஃப் இன் ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஒத்திசைவு ஆகும். கம்யூட்டேடிவ் ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஒத்திசைவின் மேலே உள்ள வரையறை எஃப் லோடே ஃபங்க்டராக இருக்கும் சிறப்பு வழக்கு ஆகும். லோடே ஃபன்க்டர் வரையறுக்கப்பட்ட கூர்மையான தொகுப்புகளின் வகைக்கான ஒரு எலும்புக்கூடு 0 என்பது அடிப்படை புள்ளியாக இருக்கும் பொருட்களால் வழங்கப்படுகிறது, மேலும் உருவங்கள் அடிப்படை புள்ளியைப் பாதுகாக்கும் தொகுப்பு வரைபடங்களாகும். A ஒரு பரிமாற்ற k-இயற்கணிதமாகவும், M ஒரு சமச்சீர் A-இரு மடங்காகவும் இருக்கட்டும். லோடே ஃபங்க்டர் ஒரு உருவவியல் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட உருவகத்திற்கு அனுப்பப்படுகிறது, அங்கு ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஹோக்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜி பற்றிய மற்றொரு விளக்கம் ஒரு சமச்சீர் ஏ-பைமோடுல் எம் இல் உள்ள குணகங்களுடன் ஒரு பரிமாற்ற இயற்கணிதத்தின் ஹோக்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜி என்பது கலவையுடன் தொடர்புடைய ஹோமோலஜி ஆகும், மேலும் இந்த வரையறை மேலே உள்ளவற்றுடன் உடன்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜி கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் ஹோமோலஜி குழுக்களின் கட்டமைப்பை விவரிக்கும் மிகவும் பொதுவான கோட்பாடுகளுடன் பல தனித்துவமான நிகழ்வுகளாக அடுக்கி வைக்கப்படலாம் மற்றும் ஒரு துணை இயற்கணிதத்திற்கான ஹோமோலஜி வளையம். கம்யூட்டேடிவ் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை, பண்புக்கூறு 0 மீது கணக்கீடுகளை விவரிக்கும் பல கோட்பாடுகள் உள்ளன, இது ஹோமாலஜி மற்றும் கோஹோமோலஜி கணக்கிடுவதைப் பற்றிய நேரடியான புரிதலை அளிக்கிறது. கம்யூட்டேட்டிவ் பண்பு 0 வழக்கு கம்யூட்டேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பொறுத்தவரை, ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜி மென்மையான ஆல்ஜிப்ராக்களைப் பற்றிய இரண்டு முக்கிய கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் பொதுவான பிளாட் அல்லாத ஆல்ஜிப்ராக்கள்; ஆனால், இரண்டாவது முதல் ஒரு நேரடி பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். மென்மையான வழக்கில், அதாவது. ஒரு மென்மையான இயற்கணிதத்திற்கு, ஹோக்ச்சைல்ட்-கோஸ்டன்ட்-ரோசன்பெர்க் கோட்பாடு 43-44 ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு ஐசோமார்பிசம் இருப்பதாகக் கூறுகிறது. இந்த ஐசோமார்பிசத்தை சமச்சீர் எதிர்ப்பு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படையாக விவரிக்க முடியும். அதாவது, ஒரு வேறுபட்ட வடிவம் வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளது இயற்கணிதம் மென்மையாகவோ அல்லது தட்டையாகவோ இல்லாவிட்டால், கோட்டாஞ்சென்ட் காம்ப்ளக்ஸைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஒத்த தேற்றம் உள்ளது. ஒரு எளிமையான தீர்மானத்திற்கு, நாம் அமைக்கிறோம். பின்னர், ஒரு இறங்கு-வடிகட்டுதல் உள்ளது, அதன் தரப்படுத்தப்பட்ட துண்டுகள் ஐசோமார்பிக் ஆகும், இந்த தேற்றம் மென்மையான ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு மட்டுமல்ல, உள்ளூர் முழுமையான குறுக்குவெட்டு ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கும் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியை கணக்கிடுவதை அணுகுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு விளக்கக்காட்சியைக் கொடுத்தால், கோட்டாஞ்சென்ட் காம்ப்ளக்ஸ் இரண்டு கால காம்ப்ளக்ஸ் ஆகும். பகுத்தறிவுகளின் மீது பல்லுறுப்புக்கோவை வளையங்கள் ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு-ஜெனரேட்டர்களுடன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியை கணக்கிடுவதாகும். எச். கே. ஆர் தேற்றம் ஐசோமார்பிசத்தை வழங்குகிறது, அங்கு இயற்கணிதம் இன்-ஜெனரேட்டர்கள் மீது இலவச ஆண்ட்சிம்மெட்ரிக் இயற்கணிதம் ஆகும். அதன் தயாரிப்பு அமைப்பு திசையன்களின் ஆப்பு தயாரிப்பால் வழங்கப்படுகிறது, எனவே. பண்புக்கூறு p வழக்கில், ஹோச்ஸ்சைல்ட்-கோஸ்டன்ட்-ரோசன்பெர்க் தேற்றத்திற்கு ஒரு பயனுள்ள எதிர் எடுத்துக்காட்டு உள்ளது, இது ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜியை வரையறுப்பதற்கு எளிமையான ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு அப்பால் ஒரு கோட்பாட்டின் தேவையை தெளிவுபடுத்துகிறது. - இயற்கணிதத்தைக் கவனியுங்கள். பெறப்பட்ட குறுக்குவெட்டை வழங்கும் இலவச வேறுபாடு தரப்படுத்தப்பட்ட ஆல்ஜிப்ராஸ் என்ற தீர்மானத்தை நாம் கணக்கிடலாம் மற்றும் வேறுபாடு பூஜ்ஜிய வரைபடமாகும். ஏனென்றால், மேலே உள்ள காம்ப்ளக்ஸை நாம் வெறுமனே டென்சர் செய்கிறோம், இது ஒரு முறையான காம்ப்ளக்ஸை ஒரு ஜெனரேட்டருடன் டிகிரியில் வர்க்கமாகக் கொடுக்கிறது. இதைக் கணக்கிட, நாம் ஒரு-இயற்கணிதமாக தீர்க்க வேண்டும். இயற்கணித அமைப்பு சக்திகள் என்பதைக் கவனியுங்கள். இது வளாகத்தின் டிகிரி பூஜ்ஜிய காலத்தை வழங்குகிறது. பின்னர், நாம் கர்னலைத் தீர்க்க வேண்டியிருப்பதால், டிகிரியில் மாற்றப்பட்ட ஒரு நகலை எடுத்து அதை வரைபடமாக்கலாம், கர்னலுடன் டிகிரியில் நாம் இதை மீண்டும் மீண்டும் செய்ய முடியும், வகுக்கப்பட்ட சக்தி ஆல்ஜிப்ராவித்தின் அடிப்படை தொகுதியையும் அதன் டிகிரியையும் பெறலாம், அதாவது. இந்த இயற்கணிதத்தை அதிகப்படியான கொடுக்கல் வாங்கலுடன் டென்சர் செய்வது எந்த உறுப்புடனும் பெருக்கப்படுவது பூஜ்ஜியமாகும். இயற்கணித அமைப்பு பிரிக்கப்பட்ட சக்தி ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் வேறுபட்ட தரப்படுத்தப்பட்ட ஆல்ஜிப்ராக்கள் பற்றிய பொதுவான கோட்பாட்டிலிருந்து வருகிறது. வளையம் சரியாக நடத்தப்படாததால் இந்த கணக்கீடு ஒரு தொழில்நுட்ப கலைப்பொருளாகக் கருதப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. உதாரணமாக,. இந்த சிக்கலுக்கான ஒரு தொழில்நுட்ப பதில் டோபோலாஜிக்கல் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமாலஜி மூலம் உள்ளது, அங்கு அடிப்படை வளையம் கோள நிறமாலையால் மாற்றப்படுகிறது. டோபோலாஜிக்கல் ஹோச்ஸ்சைல்ட் ஹோமாலஜி ஹோச்ஸ்சைல்ட் வளாகத்தின் மேற்கண்ட கட்டுமானத்தை மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலைகளுக்கு ஏற்ப மாற்றியமைக்கலாம், அதாவது (வளாகங்களின்) தொகுதிகளின் வகையை ஒரு ν-வகை (ஒரு டென்சர் தயாரிப்பு பொருத்தப்பட்டிருக்கும்) மற்றும் இந்த பிரிவில் ஒரு துணை இயற்கணிதத்தால் மாற்றுவதன் மூலம். ஸ்பெக்ட்ராவின் வகைக்கு இதைப் பயன்படுத்துவதும், ஒரு சாதாரண வளையத்துடன் தொடர்புடைய எய்லன்பெர்க்-மேக்லேன் ஸ்பெக்ட்ரமாக இருப்பதும் இடவியல் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியை அளிக்கிறது, இது குறிக்கப்படுகிறது. மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட (இடவியல் அல்லாத) ஹோக்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜியை இந்த வழிகளில் மறுபரிசீலனை செய்யலாம்,-தொகுதிகளின் பெறப்பட்ட வகையை (φ-வகையாக) எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம். கோள நிறமாலையின் மீது டென்சர் தயாரிப்புகளை டென்சர் தயாரிப்புகளால் (அல்லது எய்லன்பெர்க்-மேக்லேன்-ஸ்பெக்ட்ரம்) மாற்றுவது இயற்கையான ஒப்பீட்டு வரைபடத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. இது 0,1 மற்றும் 2 டிகிரிகளில் ஹோமோடோபி குழுக்களில் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது. இருப்பினும், பொதுவாக, அவை வேறுபட்டவை, மேலும் HH ஐ விட எளிமையான குழுக்களை வழங்க முனைகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாறியில் பிரிக்கப்பட்ட சக்திகளின் வளையத்துடன் ஒப்பிடும்போது, பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம் (டிகிரி 2 இல் x உடன்) ஆகும். ஒரு மென்மையான சரியான வகையின் ஹாஸ்-வெயில் ஜீட்டா செயல்பாட்டை இடவியல் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜியை உள்ளடக்கிய ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட தீர்மானிப்பாளர்களைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டியது. சுழற்சி ஒத்தவியல் குறிப்புகள் ஜீன்-லூயிஸ் லோடே, சுழற்சி ஒத்தவியல், கிரண்ட்லெஹ்ரென் டெர் கணிதவியலாளர் விஸ்ஸென்ஷாஃப்டன் தொகுதி ஆகியவற்றையும் பார்க்கவும். 301, ஸ்பிரிங்கர் (1998) ரிச்சர்ட் எஸ். பியர்ஸ், அசோசியேட்டிவ் ஆல்ஜிப்ராஸ், கணிதத்தில் பட்டதாரி உரைகள் (88), ஸ்பிரிங்கர், 1982. வெளி இணைப்புகள் அறிமுகக் கட்டுரைகள் டிலான் ஜி. எல். அலைக்ரெட்டி, பரிமாற்றமற்ற இடங்களில் வேறுபட்ட வடிவங்கள். பரிமாற்றமற்ற வடிவவியலுக்கான ஒரு அடிப்படை அறிமுகம், இது வேறுபட்ட வடிவங்களை பொதுமைப்படுத்த ஹோக்ஸ்சைல்ட் ஹோமோலஜியைப் பயன்படுத்துகிறது). எண்கணித வடிவவியலில் இடவியல் ஹோக்ச்சைல்ட் ஹோமோலஜி பரிமாற்ற வழக்கு அல்லாத பரிமாற்ற வழக்கு வளையக் கோட்பாடு ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜிப்ரா