Hirsch conjecture
கணித நிரலாக்கம் மற்றும் பாலிஹெட்ரல் ஒருங்கிணைப்பில், டி-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு என்-ஃபேசெட் பாலிடோப்பின் விளிம்பு-வெர்டெக்ஸ் வரைபடம் n-d க்கு மேல் விட்டம் கொண்டிருக்கவில்லை என்று ஹிர்ஷ் அனுமானம் கூறுகிறது. அதாவது, பாலிடோப்பின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் அதிகபட்சமாக n-d நீளத்தின் பாதையால் ஒருவருக்கொருவர் இணைக்கப்பட வேண்டும். இந்த அனுமானம் முதன்முதலில் 1957 இல் ஜார்ஜ் பி. டான்ட்ஸிக்கிற்கு ஒரு கடிதத்தில் முன்வைக்கப்பட்டது மற்றும் நேரியல் நிரலாக்கத்தில் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையின் பகுப்பாய்வால் உந்தப்பட்டது, ஏனெனில் ஒரு பாலிடோப்பின் விட்டம் சிம்ப்ளக்ஸ் முறைக்கு தேவையான படிகளின் எண்ணிக்கையில் குறைந்த வரம்பை வழங்குகிறது. இந்த அனுமானம் இப்போது பொதுவாக தவறானது என்று அறியப்படுகிறது. ஹிர்ஷ் அனுமானம் d <4 மற்றும் பல்வேறு சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டது, அதே நேரத்தில் விட்டத்தில் நன்கு அறியப்பட்ட மேல் வரம்புகள் n மற்றும் d இல் மட்டுமே துணை-வெளிப்படையானவை. ஐம்பது ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக, கான்டாப்ரியா பல்கலைக்கழகத்தைச் சேர்ந்த பிரான்சிஸ்கோ சாண்டோஸ் லீல் மே 2010 இல் ஒரு எதிர் உதாரணத்தை அறிவித்தார். இதன் விளைவாக சியாட்டிலில் நடந்த 100 ஆண்டுகள் மாநாட்டில் வழங்கப்பட்டதுஃ க்ளீ மற்றும் கிரன்பாமின் கணிதம் மற்றும் கணிதத்தின் அன்னல்ஸில் தோன்றியது. குறிப்பாக, இந்த ஆய்வறிக்கை 43 க்கும் மேற்பட்ட விட்டம் கொண்ட 86 அம்சங்களைக் கொண்ட 43 பரிமாண பாலிடோப்பை வழங்கியது. எதிர் உதாரணம் சிம்ப்ளக்ஸ் முறையின் பகுப்பாய்விற்கு நேரடி விளைவுகளை ஏற்படுத்தாது, ஏனெனில் இது ஒரு பெரிய ஆனால் இன்னும் நேரியல் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவை படிகளின் எண்ணிக்கையின் சாத்தியத்தை நிராகரிக்கவில்லை. டி-படி அனுமானம் போன்ற சிக்கலின் பல்வேறு சமமான சூத்திரங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, இது டி-பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில் எந்த 2 டி-ஃபேசெட் பாலிடோப்பின் விட்டம் டி ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்று கூறுகிறது; சாண்டோஸ் லீலின் எதிர் உதாரணமும் இந்த அனுமானத்தை நிராகரிக்கிறது. அனுமானத்தின் கூற்று ஒரு குவிந்த பாலிடோப்பின் வரைபடம் என்பது எந்தவொரு வரைபடமாகும், அதன் செங்குத்துகளும் செங்குத்துகளுடன் பைஜெக்ஷனில் இருக்கும் வகையில், வரைபடத்தின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் பாலிடோப்பின் விளிம்பால் இணைக்கப்பட்டால் மட்டுமே ஒரு விளிம்பால் இணைக்கப்படும். அதன் விட்டம், குறிக்கப்படுகிறது, அதன் வரைபடங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் விட்டம். ஒரே பாலிடோப்பின் எந்த இரண்டு வரைபடங்களும் வரைபடங்களைப் போலவே ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதால் இந்த வரையறைகள் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. பின்னர் நாம் ஹிர்ஷ் அனுமானத்தை பின்வருமாறு கூறலாம்ஃ அனுமானம் n அம்சங்களைக் கொண்ட ஒரு d-பரிமாண குவிந்த பாலிடோப்பாக இருக்கட்டும். பிறகு. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பரிமாணங்களில் ஒரு கனசதுரம் ஆறு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஹிர்ஷ் அனுமானம் இந்த கனசதுரத்தின் விட்டம் மூன்றுக்கு மேல் இருக்க முடியாது என்பதைக் குறிக்கிறது. அனுமானத்தை ஏற்றுக்கொள்வது, கனசதுரத்தின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் உச்சியிலிருந்து உச்சிக்கு ஒரு பாதை மூலம் அதிகபட்சம் மூன்று படிகளைப் பயன்படுத்தி இணைக்கப்படலாம் என்பதைக் குறிக்கும். குறைந்தபட்சம் 8 பரிமாணம் கொண்ட அனைத்து பாலிடோப்புகளுக்கும், இந்த பிணைப்பு உண்மையில் உகந்ததாகும்; பரிமாணத்தின் எந்த பாலிடோப்பும் n-d ஐ விட குறைவான விட்டம் கொண்டிருக்கவில்லை, n என்பது அதன் அம்சங்களின் எண்ணிக்கை, முன்பு போலவே. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கிட்டத்தட்ட அனைத்து நிகழ்வுகளுக்கும், ஒரு பாலிடோப்பின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளையும் அதன் விளிம்புகளில் ஒரு பாதையில் இணைக்க தேவையான குறைந்தபட்ச படிகளின் எண்ணிக்கையை அனுமானம் வழங்குகிறது. சிம்ப்ளக்ஸ் முறை அடிப்படையில் சாத்தியமான பிராந்தியத்தின் சில முனையிலிருந்து உகந்த புள்ளிக்கு ஒரு பாதையை உருவாக்குவதன் மூலம் செயல்படுவதால், ஹிர்ஷ் அனுமானம் சிம்ப்ளக்ஸ் முறை மோசமான சூழ்நிலையில் முடிவடைவதற்குத் தேவையான குறைந்த வரம்பை வழங்கும். ஹிர்ஷ் அனுமானம் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை ஹிர்ஷ் அனுமானத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இது அனைத்து பாலிடோப்புகளுக்கும் சில நேர்மறை முழு எண் k இருப்பதாகக் கூறுகிறது, இதில் n என்பது P இன் அம்சங்களின் எண்ணிக்கை. முன்னேற்றம் மற்றும் இடைநிலை முடிவுகள் ஹிர்ஷ் அனுமானம் பல நிகழ்வுகளுக்கு உண்மை என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, பரிமாணம் 3 அல்லது அதற்கும் குறைவான எந்த பாலிடோப்பும் அனுமானத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது. n அம்சங்களைக் கொண்ட எந்தவொரு டி-பரிமாண பாலிடோப்பும் அனுமானத்தையும் திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த அனுமானத்தைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முயற்சிகள் ஒரு வித்தியாசமான சிக்கலை உருவாக்குவதற்கான விருப்பத்திலிருந்து வெளிப்பட்டன, அதன் தீர்வு ஹிர்ஷ் அனுமானத்தைக் குறிக்கும். குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒரு எடுத்துக்காட்டு டி-படி அனுமானம் ஆகும், இது ஹிர்ஷ் அனுமானத்தின் தளர்வு, இது உண்மையில் அதற்கு சமமானதாக காட்டப்பட்டுள்ளது. தேற்றம் பின்வரும் கூற்றுகள் சமமானவைஃ n அம்சங்களைக் கொண்ட அனைத்து d-பரிமாண பாலிட்டோப்புகளுக்கும். 2 டி அம்சங்களைக் கொண்ட அனைத்து டி-பரிமாண பாலிடோப்புகளுக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஹிர்ஷ் அனுமானத்தை நிரூபிக்க அல்லது நிரூபிக்க, ஒருவர் அதன் பரிமாணத்தை விட சரியாக இரண்டு மடங்கு பல அம்சங்களைக் கொண்ட பாலிடோப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். மற்றொரு குறிப்பிடத்தக்க தளர்வு என்னவென்றால், ஹிர்ஷ் அனுமானம் அனைத்து எளிய பாலிடோப்புகளுக்கும் பொருந்தினால் மட்டுமே அனைத்து பாலிடோப்புகளுக்கும் பொருந்தும். எதிர் உதாரணம் துரதிர்ஷ்டவசமாக, 2011 இல் பிரான்சிஸ்கோ சாண்டோஸ் காட்டியபடி, ஹிர்ஷ் அனுமானம் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் உண்மையாக இல்லை. ஒரு எதிர் உதாரணத்தின் சான்டோஸின் வெளிப்படையான கட்டுமானம், எளிய பாலிடோப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள ஊகம் தளர்த்தப்படலாம் என்பதிலிருந்தும், ஹிர்ஷ் மற்றும் டி-படி யூகங்களுக்கு இடையிலான சமநிலையிலிருந்தும் வருகிறது. குறிப்பாக, சாண்டோஸ் ஸ்பிண்டில்ஸ் எனப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை பாலிடோப்புகளை ஆய்வு செய்வதன் மூலம் தனது எதிர் உதாரணத்தை உருவாக்குகிறார். வரையறை ஒரு டி-சுழல் என்பது ஒரு டி-பரிமாண பாலிடோப் ஆகும், இதற்கு ஒரு ஜோடி தனித்துவமான செங்குத்துகள் உள்ளன, அதாவது ஒவ்வொரு அம்சமும் இந்த இரண்டு செங்குத்துகளில் ஒன்றை சரியாக கொண்டுள்ளது. இந்த இரண்டு செங்குத்துகளுக்கும் இடையிலான குறுகிய பாதையின் நீளம் சுழற்சியின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹிர்ஷ் அனுமானத்தின் மறுப்பு பின்வரும் தேற்றத்தை நம்பியுள்ளது, இது சுழல்களுக்கான வலுவான டி-படி தேற்றம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. தேற்றம் (சாண்டோஸ்) ஒரு டி-சுழற்சியாக இருக்கட்டும். n என்பது அதன் அம்சங்களின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும், l என்பது அதன் நீளமாக இருக்கட்டும். பின்னர் ஒரு-சுழல் உள்ளது, முகங்கள் மற்றும் கீழே ஒரு நீளம் உள்ளது. குறிப்பாக, என்றால், டி-படி அனுமானத்தை மீறுகிறது. சாண்டோஸ் பின்னர் 6 நீளம் கொண்ட 5 பரிமாண சுழற்சியை உருவாக்கத் தொடங்குகிறார், எனவே ஹிர்ஷ் யூகத்திற்கு ஒரு எதிர் எடுத்துக்காட்டாக செயல்படும் மற்றொரு சுழற்சி இருப்பதை நிரூபிக்கிறது. இந்த இரண்டு சுழல்களில் முதல் 48 அம்சங்கள் மற்றும் 322 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, அதே நேரத்தில் உண்மையில் அனுமானத்தை நிரூபிக்கும் சுழல் 86 அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் 43 பரிமாணங்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த எதிர் உதாரணம் பல்லுறுப்புக்கோவை ஹிர்ஷ் அனுமானத்தை நிரூபிக்கவில்லை, இது ஒரு திறந்த சிக்கலாக உள்ளது. குறிப்புகள் குறிப்புகள். கணிதத்தில் பிரின்ஸ்டன் லேண்ட்மார்க்ஸ் என்ற தொடரில் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது, பிரின்ஸ்டன் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், 1998. . . . . பாலிஹெட்ரல் காம்பினடோரிக்ஸ் அனுமானங்கள் நிரூபிக்கப்படாத அனுமானங்கள் நேரியல் நிரலாக்கம்