Flat topology
கணிதத்தில், தட்டையான இடவியல் என்பது இயற்கணித வடிவவியலில் பயன்படுத்தப்படும் கிரோதெண்டிக் இடவியல் ஆகும். தட்டையான கோஹோமோலஜி கோட்பாட்டை வரையறுக்க இது பயன்படுத்தப்படுகிறது; இது வம்சாவளி கோட்பாட்டில் (விசுவாசமாக தட்டையான வம்சாவளி) ஒரு அடிப்படை பாத்திரத்தை வகிக்கிறது. இங்குள்ள பிளாட் என்ற சொல் பிளாட் தொகுதிகளிலிருந்து வருகிறது. பல சற்றே மாறுபட்ட தட்டையான இடவியல் உள்ளன, அவற்றில் மிகவும் பொதுவானவை எஃப். பி. பி. எஃப் இடவியல் மற்றும் எஃப். பி. க்யூ. சி இடவியல் ஆகும். எஃப். பி. பி. எஃப் என்பது குறிக்கிறது, மேலும் இந்த இடவியலில், அஃபைன் திட்டங்களின் உருவகப்படுத்துதல் என்பது விசுவாசமாக தட்டையாகவும் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சியாகவும் இருந்தால் அது ஒரு மூடுபனி உருவகமாகும். எஃப். பி. கியூ. சி என்பது குறிக்கிறது, மேலும் இந்த இடவியலில், அஃபைன் திட்டங்களின் உருவகப்படுத்துதல் என்பது விசுவாசமாக தட்டையாக இருந்தால் ஒரு மூடும் உருவகப்படுத்துதலாகும். இரண்டு பிரிவுகளிலும், ஒரு மூடுபனி குடும்பம் என்பது ஒரு குடும்பமாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஜாரிஸ்கி திறந்த துணைக்குழுக்களில் ஒரு மறைப்பாகும். எஃப். பி. கியூ. சி இடவியலில், எந்தவொரு விசுவாசமான தட்டையான மற்றும் அரை-கச்சிதமான உருமாற்றமும் ஒரு மறைப்பாகும். இந்த நிலப்பரப்புகள் வம்சாவளியுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை. அரை சுருக்கத்தன்மை அல்லது வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சி போன்ற மேலும் வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகள் இல்லாமல் "தூய்மையான" விசுவாசமான தட்டையான இடவியல் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை, ஏனெனில் இது சப் கனானிக்கல் அல்ல; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் செயல்பாடுகள் உறைகளாக இருக்க வேண்டியதில்லை. துரதிர்ஷ்டவசமாக தட்டையான இடவியல் சொற்கள் தரப்படுத்தப்படவில்லை. சில எழுத்தாளர்கள் "இடவியல்" என்ற வார்த்தையை ஒரு முன்தொகுதிக்கு பயன்படுத்துகின்றனர், மேலும் சில நேரங்களில் எஃப். பி. பி. எஃப் அல்லது எஃப். பி. க்யூ. சி (முன்) இடவியல் என்று அழைக்கப்படும் பல சற்றே மாறுபட்ட முன்தொகுதி உள்ளன, அவை சில நேரங்களில் ஒரே இடவியலைக் கொடுக்கின்றன. பிளாட் கோஹோமோலஜி சுமார் 1960 இல் கிரோதெண்டிக் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பெரிய மற்றும் சிறிய எஃப். பி. பி. எஃப் தளங்கள் எக்ஸ் ஒரு இணைப்பு திட்டமாக இருக்கட்டும். X இன் ஒரு fppf அட்டையை ஒவ்வொரு Xa அஃபைன் மற்றும் ஒவ்வொரு φa பிளாட், இறுதியாக வழங்கப்பட்ட மோர்பிஸம்களின் (φa: Xa → X) ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் கூட்டாக சர்ஜெக்டிவ் குடும்பமாக வரையறுக்கிறோம். இது ஒரு ப்ரீடோபாலஜியை உருவாக்குகிறதுஃ எக்ஸ் தன்னிச்சையாக, எக்ஸ் இன் எஃப். பி. பி. எஃப் அட்டையை ஒரு குடும்பமாக (φa: Xa → X) வரையறுக்கிறோம், இது எக்ஸ் இன் திறந்த அஃபைன் சப்ஷீமுக்கு தளம் மாறிய பிறகு ஒரு எஃப். பி. பி. எஃப் அட்டையாகும். இந்த முன்கூட்டிய இடவியல் எஃப். பி. பி. எஃப் இடவியல் எனப்படும் ஒரு இடவியலை உருவாக்குகிறது. (இது நாம் தன்னிச்சையான X மற்றும் Xa உடன் தொடங்கி, உள்ளடக்கிய குடும்பங்களை தட்டையான, இறுதியாக வழங்கப்பட்ட உருவங்களின் கூட்டாக சர்ஜெக்டிவ் குடும்பங்களாக எடுத்துக் கொண்டால் நாம் பெறும் இடவியல் போன்றது அல்ல.) எஃப். பி. பி. எஃப் இடவியல் கொண்ட திட்டங்களின் வகைக்கு எஃப். பி. பி. எஃப் எழுதுகிறோம். எக்ஸ் இன் சிறிய எஃப். பி. பி. எஃப் தளம் வகை ஓ (எக்ஸ். எஃப். பி. பி. எஃப்) ஆகும், அதன் பொருள்கள் யு திட்டங்களாகும், இது ஒரு நிலையான உருவகம் யு → எக்ஸ் ஆகும், இது சில உள்ளடக்கிய குடும்பத்தின் ஒரு பகுதியாகும். (இது உருவகம் தட்டையானது, இறுதியாக முன்வைக்கப்படுகிறது என்பதைக் குறிக்கவில்லை.) உருவகங்கள் என்பது X க்கு நிலையான வரைபடங்களுடன் இணக்கமான திட்டங்களின் உருவகங்கள் ஆகும். X இன் பெரிய fppf தளம் வகை Fppf/X ஆகும், அதாவது, X க்கு ஒரு நிலையான வரைபடத்துடன் கூடிய திட்டங்களின் வகை, இது fppf இடவியலுடன் கருதப்படுகிறது. "எஃப். பி. பி. எஃப்" என்பது "ஃபிடெலெமென்ட் பிளேட் டி ப்ரெசென்டேஷன் ஃபைனி" என்பதன் சுருக்கமாகும், அதாவது, "விசுவாசமாக தட்டையானது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட விளக்கக்காட்சி". தட்டையான மற்றும் இறுதியாக வழங்கப்பட்ட உருவங்களின் ஒவ்வொரு சர்ஜெக்டிவ் குடும்பமும் இந்த இடவியல் ஒரு மூடுபனி குடும்பமாகும், எனவே இந்த பெயர். எஃப். பி. பி. எஃப் ப்ரீடோபாலஜியின் வரையறையை ஒரு கூடுதல் அரை-இறுதி நிபந்தனையுடன் கொடுக்கலாம்; இது ஈ. ஜி. ஏ IV4 இல் உள்ள கரோலரி 17.16.2 இலிருந்து பின்பற்றுகிறது, இது அதே இடவியலை வழங்குகிறது. பெரிய மற்றும் சிறிய எஃப். பி. க்யூ. சி தளங்கள் எக்ஸ் ஒரு அஃபைன் திட்டமாக இருக்கட்டும். X இன் ஒரு fpqc அட்டையை ஒவ்வொரு Xα அஃபைன் மற்றும் ஒவ்வொரு uα பிளாட்டுடன் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் கூட்டாக சர்ஜெக்டிவ் குடும்பமாக வரையறுக்கிறோம். இது ஒரு ப்ரீடோபாலஜியை உருவாக்குகிறதுஃ X தன்னிச்சையாக, X இன் ஒரு fpqc அட்டையை ஒரு குடும்பமாக வரையறுக்கிறோம் {uα: Xα → X} இது X இன் திறந்த அஃபைன் சப்ஷீமுக்கு அடித்தளத்தை மாற்றிய பிறகு ஒரு fpqc அட்டையாகும். இந்த முன்கூட்டிய இடவியல் எஃப். பி. க்யூ. சி இடவியல் எனப்படும் இடவியலை உருவாக்குகிறது. (இது நாம் தன்னிச்சையான X மற்றும் Xα உடன் தொடங்கி, உள்ளடக்கிய குடும்பங்களை தட்டையான உருவங்களின் கூட்டு சர்ஜெக்டிவ் குடும்பங்களாக எடுத்துக் கொண்டால் நாம் பெறும் இடவியல் போன்றது அல்ல.) எஃப். பி. க்யூ. சி இடவியல் கொண்ட திட்டங்களின் வகைக்கு எஃப். பி. க்யூ. சி எழுதுகிறோம். X இன் சிறிய fpqc தளம் வகை O (Xfpqc) ஆகும், அதன் பொருள்கள் ஒரு நிலையான உருவகத்துடன் U திட்டங்களாகும், இது சில உள்ளடக்கிய குடும்பத்தின் ஒரு பகுதியாகும். உருவகங்கள் என்பது X க்கு நிலையான வரைபடங்களுடன் இணக்கமான திட்டங்களின் உருவகங்கள் ஆகும். X இன் பெரிய fpqc தளம் வகை Fpqc/X ஆகும், அதாவது, Fpqc இடவியலுடன் கருதப்படும் X க்கு ஒரு நிலையான வரைபடத்துடன் கூடிய திட்டங்களின் வகை. "Fpqc" என்பது "ஃபிடெலெமென்ட் பிளேட் குவாசி-காம்பாக்ட்" என்பதன் சுருக்கமாகும், அதாவது, "விசுவாசமாக தட்டையானது மற்றும் குவாசி-காம்பாக்ட்". தட்டையான மற்றும் குவாசி-காம்பாக்ட் மார்ஃபிஸம்களின் ஒவ்வொரு சர்ஜெக்டிவ் குடும்பமும் இந்த இடவியல் ஒரு மூடுபனி குடும்பமாகும், எனவே இந்த பெயர். பிளாட் கோஹோமோலஜி கோஹோமோலஜி குழுக்களை வரையறுப்பதற்கான நடைமுறை நிலையான ஒன்றாகும்ஃ கோஹோமோலஜி என்பது அபெலியன் குழுக்களின் உறையின் பிரிவுகளை எடுக்கும் செயல்பாட்டாளரின் பெறப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரிசையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இத்தகைய குழுக்கள் பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை பொதுவாக கணக்கிட எளிதானது அல்ல, அவை மற்ற கோட்பாடுகளுக்குக் குறைக்கப்படும் சந்தர்ப்பங்களைத் தவிர, எடேல் கோஹோமோலஜி போன்றவை. எடுத்துக்காட்டு பின்வரும் உதாரணம் எந்த வரையறுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளும் இல்லாமல் "விசுவாசமாக தட்டையான இடவியல்" ஏன் நன்றாக செயல்படாது என்பதைக் காட்டுகிறது. X என்பது இயற்கணித ரீதியாக மூடிய புலம் k இன் மீது உள்ள அஃபைன் கோடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். X இன் ஒவ்வொரு மூடிய புள்ளி x க்கும் இந்த கட்டத்தில் உள்ளூர் வளையம் Rx ஐ நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம், இது ஒரு தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையமாகும், அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் ஒரு மூடிய புள்ளி மற்றும் ஒரு திறந்த (பொதுவான) புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு திட்டம் Y ஐப் பெறுவதற்கு அவற்றின் திறந்த புள்ளிகளை அடையாளம் காண்பதன் மூலம் இந்த நிறமாலைகளை ஒன்றாக இணைக்கிறோம். Y முதல் X வரை ஒரு இயற்கை வரைபடம் உள்ளது. அஃபைன் கோடு எக்ஸ் செட் ஸ்பெக் (ஆர்எக்ஸ்) ஆல் மூடப்பட்டுள்ளது, அவை விசுவாசமாக தட்டையான இடவியலில் திறந்திருக்கும், மேலும் இந்த செட் ஒவ்வொன்றும் ஒய் க்கு இயற்கையான வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த வரைபடங்கள் குறுக்குவெட்டுகளில் ஒரே மாதிரியானவை. இருப்பினும், X முதல் Y வரையிலான வரைபடத்தை வழங்க அவற்றை இணைக்க முடியாது, ஏனெனில் X மற்றும் Y இன் அடிப்படை இடைவெளிகள் வெவ்வேறு இடவமைப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. மேலும் காண்கஃ fpqc மார்பிசம் குறிப்புகள் குறிப்புகள் எலிமென்ட்ஸ் டி ஜியோமெட்ரி அல்கெப்ரிக், தொகுதி. IV. 2 மில்னே, ஜேம்ஸ் எஸ். (1980), எட்டேல் கோஹோமோலஜி, பிரின்ஸ்டன் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், மைக்கேல் ஆர்ட்டின் மற்றும் ஜே. எஸ். மில்னே, "வளைவுகளின் தட்டையான கோஹோமோலஜியில் டூயலிட்டி", கண்டுபிடிப்புகள் கணிதம், தொகுதி 35, எண் 1,1976 டிசம்பர், வெளிப்புற இணைப்புகள் ஜேம்ஸ் மில்னே எழுதிய ஆன்லைன் புத்தகமான எண்கணித டூயலிட்டி கோட்பாடுகள் (பி. டி. எஃப்), கலோயிஸ் கோஹோமோலஜியின் டேட்-போய்டூ டூயலிட்டியில் தோன்றிய தட்டையான கோஹோமோலஜி டூயலிட்டி கோட்பாடுகளின் மட்டத்தில் விளக்குகிறது.