Paradoxes of set theory
இந்தக் கட்டுரையில் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் முரண்பாடுகள் பற்றிய விவாதம் உள்ளது. பெரும்பாலான கணித முரண்பாடுகளைப் போலவே, அவை பொதுவாக நவீன தன்னியக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டிற்குள் உண்மையான தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகளைக் காட்டிலும் ஆச்சரியமான மற்றும் எதிர்-உள்ளுணர்வு கணித முடிவுகளை வெளிப்படுத்துகின்றன. கார்டினல் எண்களின் அடிப்படைகள் ஜார்ஜ் கான்டரால் கருதப்பட்ட செட் கோட்பாடு எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் இருப்பைக் கருதுகிறது. இந்த அனுமானத்தை முதல் கோட்பாடுகளிலிருந்து நிரூபிக்க முடியாது என்பதால், இது இயற்கையான எண்களின் தொகுப்பு N இன் இருப்பை வலியுறுத்தும் முடிவிலியின் கோட்பாட்டால் தன்னியக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இயற்கையான எண்களால் கணக்கிடக்கூடிய ஒவ்வொரு எல்லையற்ற தொகுப்பும் N இன் அதே அளவு (கார்டினாலிட்டி) ஆகும், மேலும் இது கணக்கிடக்கூடியது என்று கூறப்படுகிறது. எண்ணற்ற எண்ணற்ற தொகுப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இயல்பான எண்கள், சம எண்கள், பகா எண்கள் மற்றும் அனைத்து விகிதமுறு எண்களும், அதாவது பின்னங்களும் ஆகும். இந்த தொகுப்புகளில் பொதுவான கார்டினல் எண் |N | = (அலெஃப்-நாட்) உள்ளது, இது ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணையும் விட பெரிய எண். கார்டினல் எண்களை பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம். ஒரே அளவைக் கொண்டிருக்க இரண்டு செட்களை வரையறுக்கவும்ஃ இரண்டு செட்களுக்கு இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளது (உறுப்புகளுக்கு இடையில் ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பு). பின்னர் ஒரு கார்டினல் எண், வரையறையின்படி, ஒரே அளவிலான அனைத்து தொகுப்புகளையும் கொண்ட ஒரு வகுப்பாகும். ஒரே அளவைக் கொண்டிருப்பது ஒரு சமநிலை உறவு, மற்றும் கார்டினல் எண்கள் சமநிலை வகுப்புகள். வரிசை எண்கள் ஒரு தொகுப்பின் அளவை விவரிக்கும் கார்டினாலிட்டியைத் தவிர, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒரு பொருளை உருவாக்குகின்றன. தேர்வு கோட்பாடு ஒவ்வொரு தொகுப்பையும் நன்கு வரிசைப்படுத்த முடியும் என்பதற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, அதாவது ஒவ்வொரு காலியாக இல்லாத துணைக்குழுவும் அந்த வரிசையைப் பொறுத்தவரை முதல் உறுப்பைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் அதன் கூறுகளுக்கு மொத்த வரிசையை விதிக்க முடியும். நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பின் வரிசை ஒரு வரிசை எண்ணால் விவரிக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, 3 என்பது வழக்கமான வரிசை 0 <1 <2 உடன் {0,1,2} தொகுப்பின் வரிசை எண் மற்றும் ω என்பது வழக்கமான வழியில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் வரிசை எண் ஆகும். வரிசையை புறக்கணித்து, நம்மிடம் கார்டினல் எண் |N | = |ω | = உள்ளது. கார்டினல் எண்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் அதே முறையைப் பயன்படுத்தி ஆர்டினல் எண்களை வரையறுக்கலாம். ஒரே வரிசை வகையைக் கொண்டிருக்க இரண்டு நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளை வரையறுக்கவும்ஃ வரிசையைப் பொறுத்து இரண்டு தொகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் உள்ளதுஃ சிறிய கூறுகள் சிறிய கூறுகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. பின்னர் ஒரு வரிசை எண், வரையறையின்படி, ஒரே வரிசை வகையின் அனைத்து நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளையும் கொண்ட ஒரு வகுப்பாகும். ஒரே வரிசை வகையைக் கொண்டிருப்பது நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளின் வகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவாகும், மேலும் வரிசை எண்கள் சமநிலை வகுப்புகளாகும். ஒரே வரிசை வகையின் இரண்டு தொகுப்புகள் ஒரே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளன. இதற்கு நேர்மாறானது எல்லையற்ற தொகுப்புகளுக்கு பொதுவாக உண்மையல்லஃ வெவ்வேறு வரிசை எண்களுக்கு வழிவகுக்கும் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் வெவ்வேறு நன்கு வரிசைகளை விதிக்க முடியும். ஆர்டினல்களில் ஒரு இயற்கையான வரிசை உள்ளது, இது ஒரு நல்ல ஆர்டர் ஆகும். எந்தவொரு வரிசை α ஐப் பொறுத்தவரை, α ஐ விட குறைவான அனைத்து வரிசைப்படுத்தல்களின் தொகுப்பையும் ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம். இந்த தொகுப்பில் வரிசை எண் α உள்ளது. இந்த அவதானிப்பு ஆர்டினல்களை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான ஒரு வித்தியாசமான வழியில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் ஒரு ஆர்டினல் அனைத்து சிறிய ஆர்டினல்களின் தொகுப்புடன் சமன் செய்யப்படுகிறது. வரிசை எண்ணின் இந்த வடிவம் முந்தைய வடிவமான சமநிலை வகுப்பின் நியமன பிரதிநிதியாகும். ஒரு தொகுப்பு S இன் அனைத்து துணைக்குழுக்களையும் உருவாக்குவதன் மூலம் (அதன் உறுப்புகளின் அனைத்து சாத்தியமான தேர்வுகளும்), நாம் சக்தி தொகுப்பு P (S) ஐப் பெறுகிறோம். பவர் செட் எப்போதும் செட்டை விட பெரியது என்பதை ஜார்ஜ் கேன்டர் நிரூபித்தார், அதாவது, |P (S) |> |S |. கான்டரின் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு R ஐ இயற்கை எண்களால் கணக்கிட முடியாது என்பதை நிரூபிக்கிறது. R என்பது கணக்கிட முடியாததுஃ |R |> |N |. எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் முரண்பாடுகள் "பெரிதாக்க முடியாதது" அல்லது "பிணைப்பு இல்லாமல் அதிகரிப்பது" போன்ற தெளிவற்ற விளக்கங்களை நம்புவதற்குப் பதிலாக, தொகுப்புக் கோட்பாடு எல்லையற்ற தொகுப்பு என்ற சொல்லுக்கான வரையறைகளை வழங்குகிறது, இது "அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பும் எல்லையற்றது" போன்ற சொற்றொடர்களுக்கு ஒரு தெளிவான பொருளைக் கொடுக்கிறது. வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளைப் போலவே, கோட்பாடும் மேலும் வரையறைகளை உருவாக்குகிறது, இது ஒரு தொகுப்பு மற்றொன்றை விட "பெரியதா", "சிறியதா" அல்லது "அதே அளவு" என்பதைப் பொறுத்தவரை இரண்டு எல்லையற்ற தொகுப்புகளை தொடர்ந்து ஒப்பிட அனுமதிக்கிறது. ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் அளவு தொடர்பான ஒவ்வொரு உள்ளுணர்வும் எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் அளவிற்கு பொருந்தாது, இது கணக்கீடு, அளவு, அளவீடு மற்றும் வரிசை குறித்து பல்வேறு வெளிப்படையான முரண்பாடான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. கணக்கீட்டின் முரண்பாடுகள் தொகுப்புக் கோட்பாடு அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு, ஒரு தொகுப்பின் அளவு பற்றிய கருத்து சிக்கலாக இருந்தது. இது கலிலியோ கலிலி மற்றும் பெர்னார்ட் போல்சானோ ஆகியோரால் விவாதிக்கப்பட்டது. கணக்கீட்டு முறையால் அளவிடப்படும் போது இயற்கையான எண்களின் வர்க்கங்களுக்கு சமமான பல இயற்கை எண்கள் உள்ளனவா? பதில் ஆம், ஏனென்றால் ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் ஒரு சதுர எண் n2 உள்ளது, அதேபோல் மறுபுறமும் உள்ளது. பதில் இல்லை, ஏனென்றால் வர்க்கங்கள் இயற்கைகளின் சரியான துணைக்குழுவாகும்ஃ ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு இயற்கை எண், ஆனால் 2 போன்ற இயற்கை எண்கள் உள்ளன, அவை இயற்கை எண்களின் வர்க்கங்கள் அல்ல. ஒரு தொகுப்பின் அளவு பற்றிய கருத்தை அதன் கார்டினாலிட்டி அடிப்படையில் வரையறுப்பதன் மூலம், சிக்கலை தீர்க்க முடியும். சம்பந்தப்பட்ட இரண்டு செட்களுக்கு இடையில் ஒரு பைஜெக்ஷன் இருப்பதால், இது உண்மையில் ஒரு செட்டின் கார்டினாலிட்டி வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறது. கணக்கீட்டின் முரண்பாடுகளைப் பற்றி மேலும் அறிய கிராண்ட் ஹோட்டலின் ஹில்பர்ட்டின் முரண்பாட்டைப் பார்க்கவும். ஒரு சதுரத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பு சதுரத்தின் ஒரு விளிம்பில் உள்ள புள்ளிகளின் அதே கார்டினாலிட்டியைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நிரூபித்த பிறகு கேன்டர் ரிச்சர்ட் டெடெகிண்டிற்கு எழுதினார்ஃ தொடர்ச்சியின் கார்டினாலிட்டி. கார்டினாலிட்டியால் வரையறுக்கப்பட்ட செட்டுகளின் "அளவு" மட்டுமே செட்டுகளை ஒப்பிடுவதற்கான ஒரே பயனுள்ள வழி அல்ல என்பதை இது நிரூபிக்கிறது. அளவீட்டுக் கோட்பாடு அளவின் மிகவும் நுணுக்கமான கோட்பாட்டை வழங்குகிறது, இது நீளமும் பரப்பளவு அளவின் பொருந்தாத அளவீடுகள் என்ற நமது உள்ளுணர்வுக்கு இணங்குகிறது. கேன்டர் முடிவிலேயே மிகவும் நம்பிக்கையுடன் இருந்தார் என்றும், டெடெகிண்டிடம் அவர் கூறிய கருத்து, அதற்கு பதிலாக அவரது ஆதாரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மை குறித்த அவரது அப்போதைய நிலையான கவலைகளைக் குறிக்கிறது என்றும் சான்றுகள் வலுவாகக் கூறுகின்றன. ஆயினும்கூட, கான்டரின் கருத்து அவருக்குப் பிறகு பல கணிதவியலாளர்கள் மிகவும் எதிர்மறையான ஒரு முடிவை முதன்முதலில் எதிர்கொண்டதில் அனுபவித்த ஆச்சரியத்தை வெளிப்படுத்தவும் நன்றாக உதவும். 1904 ஆம் ஆண்டில் எர்ன்ஸ்ட் ஜெர்மெலோ ஒவ்வொரு தொகுப்பையும் நன்கு வரிசைப்படுத்த முடியும் என்பதை விருப்பத்தின் கோட்பாட்டின் மூலம் (இந்த காரணத்திற்காக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது) நிரூபித்தார். 1963 ஆம் ஆண்டில் பால் ஜே. கோஹன் ஜெர்மெலோ-ஃப்ரான்கெல் தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் தேர்வுக் கோட்பாடு இல்லாமல் உண்மையான எண்களின் நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்டிருப்பதை நிரூபிக்க முடியாது என்பதைக் காட்டினார். இருப்பினும், எந்தவொரு தொகுப்பையும் நன்கு வரிசைப்படுத்தும் திறன் முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படும் சில கட்டுமானங்களைச் செய்ய அனுமதிக்கிறது. ஒரு உதாரணம் பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாடு, இது பரவலாக உள்ளுணர்வற்றதாக கருதப்படும் ஒரு தேற்றம். ஒரு நிலையான ஆரம் கொண்ட பந்தை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான துண்டுகளாக சிதைத்து, பின்னர் அந்த துண்டுகளை சாதாரண மொழிபெயர்ப்புகள் மற்றும் சுழற்சிகள் மூலம் (அளவிடுதல் இல்லாமல்) ஒரு அசல் நகலிலிருந்து இரண்டு பிரதிகளைப் பெற முடியும் என்று அது கூறுகிறது. இந்த துண்டுகளின் கட்டுமானத்திற்கு விருப்பத்தின் கோட்பாடு தேவைப்படுகிறது; துண்டுகள் பந்தின் எளிய பகுதிகள் அல்ல, ஆனால் சிக்கலான துணைக்குழுக்கள். தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், "ஒரு உறுப்பைச் சேர்ப்பது" போன்ற சில கணித செயல்முறைகளால் ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்பு உருவாக்கப்படுவதாகக் கருதப்படுவதில்லை, பின்னர் அது "எண்ணற்ற முறை" மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அதற்கு பதிலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லையற்ற தொகுப்பு (அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு போன்றவை) ஏற்கனவே இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது, ஃபியட் மூலம், ஒரு அனுமானம் அல்லது ஒரு கோட்பாடாக. இந்த எல்லையற்ற தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, பிற எல்லையற்ற தொகுப்புகளும் ஒரு தர்க்கரீதியான விளைவாக நிரூபிக்கப்படுகின்றன. ஆனால் எண்ணற்ற தனித்துவமான படிகளுக்குப் பிறகு உண்மையில் நிறைவடையும் சில இயற்பியல் செயல்களைப் பற்றி சிந்திப்பது இன்னும் இயற்கையான தத்துவ கேள்வியாகும்; மேலும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இந்த கேள்வியின் விளக்கம் சூப்பர் டாஸ்க்கின் முரண்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. லாரன்ஸ் ஸ்டெர்ன் எழுதிய நாவலின் கதாநாயகனான ட்ரிஸ்ட்ராம் ஷாண்டி ட்ரிஸ்ட்ராம் ஷாண்டியின் நாட்குறிப்பு, அவரது சுயசரிதையை மிகவும் மனசாட்சியுடன் எழுதுகிறது, ஒரு நாள் நிகழ்வுகளை விவரிக்க அவருக்கு ஒரு வருடம் ஆகும். அவர் மரணமடைந்தால் அவர் ஒருபோதும் பணிநீக்கம் செய்ய முடியாது; ஆனால் அவர் என்றென்றும் வாழ்ந்திருந்தால் அவரது நாட்குறிப்பின் எந்தப் பகுதியும் எழுதப்படாமல் இருக்கும், ஏனெனில் அவரது வாழ்க்கையின் ஒவ்வொரு நாளுக்கும் அந்த நாளின் விளக்கத்திற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு ஆண்டு ஒத்திருக்கும். ரோஸ்-லிட்டில்வுட் முரண்பாடு இந்த வகை முரண்பாட்டின் அதிகரித்த பதிப்பு எல்லையற்ற தொலைதூர பூச்சு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட நேரத்திற்கு மாற்றுகிறது. 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களால் கணக்கிடப்பட்ட பந்துகளால் ஒரு பெரிய நீர்த்தேக்கத்தை நிரப்பவும், பந்து எண் 1 ஐ எடுக்கவும். பின்னர் 11 முதல் 20 வரை எண்களால் கணக்கிடப்பட்ட பந்துகளைச் சேர்த்து, எண் 2 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 10n-9 முதல் 10n வரையிலான எண்களால் கணக்கிடப்பட்ட பந்துகளை தொடர்ந்து சேர்க்கவும், n = 3,4,5 ஆகிய அனைத்து இயல்பான எண்களுக்கும் பந்து எண் n ஐ அகற்றவும். முதல் பரிவர்த்தனை அரை மணி நேரம் நீடிக்கும், இரண்டாவது பரிவர்த்தனை கால் மணி நேரம் நீடிக்கும், மற்றும் பல, இதனால் அனைத்து பரிவர்த்தனைகளும் ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு முடிக்கப்படும். நீர்த்தேக்கத்தில் உள்ள பந்துகளின் தொகுப்பு வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு நீர்த்தேக்கம் காலியாக உள்ளது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு பந்துக்கும் அகற்றுவதற்கான நேரம் அறியப்படுகிறது. அகற்றுதல் வரிசையின் முக்கியத்துவத்தால் முரண்பாடு மேலும் அதிகரிக்கிறது. பந்துகள் 1,2,3 என்ற வரிசையில் அகற்றப்படாவிட்டால், ஆனால் 1,11,21 என்ற வரிசையில், ஒரு மணி நேரத்திற்குப் பிறகு எண்ணற்ற பல பந்துகள் நீர்த்தேக்கத்தை உருவாக்குகின்றன, இருப்பினும் முன்பு இருந்த அதே அளவு பொருள் நகர்த்தப்பட்டுள்ளது. ஆதாரம் மற்றும் வரையறையின் முரண்பாடுகள் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் தொடர்பான கேள்விகளைத் தீர்ப்பதில் அதன் அனைத்து பயனுக்கும், அப்பாவித்தனமான தொகுப்புக் கோட்பாடு சில அபாயகரமான குறைபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, இது ரஸ்ஸலின் முரண்பாடுகளால் அம்பலப்படுத்தப்பட்ட தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகளுக்கு இரையாகும். இந்த முரண்பாடுகளின் கண்டுபிடிப்பு, அப்பாவித்தனமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மொழியில் விவரிக்கக்கூடிய அனைத்து தொகுப்புகளும் உண்மையில் ஒரு முரண்பாட்டை உருவாக்காமல் இருப்பதாகக் கூற முடியாது என்பதை வெளிப்படுத்தியது. 20 ஆம் நூற்றாண்டு இந்த முரண்பாடுகளுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டது, இன்று பொதுவான பயன்பாட்டில் உள்ள இசட்எஃப்சி மற்றும் என்பிஜி போன்ற தொகுப்புக் கோட்பாடுகளின் பல்வேறு கோட்பாடுகளின் வளர்ச்சியில். இருப்பினும், இந்தக் கோட்பாடுகளின் மிகவும் முறைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் குறியீட்டு மொழிக்கும், கணித மொழியின் நமது வழக்கமான முறைசாரா பயன்பாட்டிற்கும் இடையிலான இடைவெளி பல்வேறு முரண்பாடான சூழ்நிலைகளில் விளைகிறது, அதே போல் அத்தகைய முறையான அமைப்புகள் உண்மையில் எதைப் பற்றி பேச முன்மொழிகின்றன என்பதற்கான தத்துவ கேள்வி. ஆரம்பகால முரண்பாடுகள்ஃ அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பு 1897 ஆம் ஆண்டில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் செசரே புராலி-ஃபோர்டி அனைத்து வரிசை எண்களையும் கொண்ட தொகுப்பு இல்லை என்பதைக் கண்டுபிடித்தார். ஒவ்வொரு வரிசை எண்ணும் சிறிய வரிசை எண்களின் தொகுப்பால் வரையறுக்கப்படுவதால், அனைத்து வரிசை எண்களின் நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பு (அது இருந்தால்) வரையறைக்கு பொருந்துகிறது மற்றும் அதுவே ஒரு வரிசை. மறுபுறம், எந்த வரிசை எண்ணும் தன்னைக் கொண்டிருக்க முடியாது, எனவே ω ஒரு வரிசை எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே, அனைத்து வரிசை எண்களின் தொகுப்பும் இருக்க முடியாது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் அனைத்து கார்டினல் எண்களின் தொகுப்பும் அனைத்து வரிசை எண்களின் தொகுப்பும் இல்லாததை கேன்டர் அறிந்திருந்தார். டேவிட் ஹில்பர்ட் மற்றும் ரிச்சர்ட் டெடெகிண்ட் ஆகியோருக்கு எழுதிய கடிதங்களில் அவர் சீரற்ற தொகுப்புகளைப் பற்றி எழுதினார், அவற்றின் கூறுகள் அனைத்தும் ஒன்றாக இருப்பதாகக் கருத முடியாது, மேலும் ஒவ்வொரு நிலையான தொகுப்புக்கும் ஒரு கார்டினல் எண் இருப்பதை நிரூபிக்க இந்த முடிவைப் பயன்படுத்தினார். இவை அனைத்திற்கும் பிறகு, 1903 ஆம் ஆண்டில் பெர்ட்ராண்ட் ரஸ்ஸல் உருவாக்கிய "அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பு" முரண்பாட்டின் பதிப்பு தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் கடுமையான நெருக்கடிக்கு வழிவகுத்தது. x = x என்ற கூற்று ஒவ்வொரு தொகுப்புக்கும் உண்மை என்பதை ரஸ்ஸல் அங்கீகரித்தார், எனவே அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பும் {x | x = x} ஆல் வரையறுக்கப்படுகிறது. 1906 ஆம் ஆண்டில் அவர் பல முரண்பட்ட தொகுப்புகளை உருவாக்கினார், அவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை தங்களைக் கொண்டிருக்காத அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பாகும். ரஸ்ஸல் இந்த சுருக்கமான யோசனையை சில உறுதியான படங்கள் மூலம் விளக்கினார். முடிதிருத்தும் முரண்பாடு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு உதாரணம் இவ்வாறு கூறுகிறதுஃ "க்ஷௌரம் செய்யாத ஆண்களெல்லாரையும் க்ஷௌரம் செய்யும் ஆண் க்ஷௌரர், தன்னைத்தானே க்ஷௌரம் செய்யாவிட்டால் மட்டுமே தன்னைத்தானே க்ஷௌரம் செய்ய வேண்டும்." செட் கோட்பாட்டில் ரஸ்ஸலின் முரண்பாடு மற்றும் கிரெல்லிங்-நெல்சன் முரண்பாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையே நெருக்கமான ஒற்றுமைகள் உள்ளன, இது இயற்கை மொழியில் ஒரு முரண்பாட்டை நிரூபிக்கிறது. 1905 ஆம் ஆண்டில், ஹங்கேரிய கணிதவியலாளர் ஜூலியஸ் கோனிக், எண்ணற்ற பல வரையறைகள் மட்டுமே உள்ளன என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் ஒரு முரண்பாட்டை வெளியிட்டார். உண்மையான எண்களை நன்கு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பாக நாம் கற்பனை செய்தால், இறுதியாக வரையறுக்கக்கூடிய அந்த உண்மையான எண்கள் ஒரு துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன. எனவே இந்த நல்ல வரிசையில் இறுதியாக வரையறுக்க முடியாத முதல் உண்மையான எண் இருக்க வேண்டும். இது முரண்பாடாக இருக்கிறது, ஏனென்றால் இந்த உண்மையான எண் கடைசி வாக்கியத்தால் இறுதியாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது அப்பாவித்தனமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த முரண்பாடு தன்னியக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் தவிர்க்கப்படுகிறது. ஒரு தொகுப்பைப் பற்றிய ஒரு முன்மொழிவை ஒரு தொகுப்பாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும் என்றாலும், கோடல் எண்கள் எனப்படும் குறியீடுகளின் அமைப்பு மூலம், தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் மொழியில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை, இது ஒரு தொகுப்பைப் பற்றிய வரையறுக்கப்பட்ட முன்மொழிவுக்கான குறியீடாக இருக்கும் போது, ஒரு தொகுப்பு, மற்றும் வைத்திருக்கிறது. இந்த முடிவு டார்ஸ்கியின் வரையறையற்ற தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் பொதுவாக ஆய்வு செய்யப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளும் உட்பட பரந்த அளவிலான முறையான அமைப்புகளுக்கு பொருந்தும். அதே ஆண்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜூல்ஸ் ரிச்சர்ட் கான்டரின் மூலைவிட்ட முறையின் மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி அப்பாவித்தனமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் மற்றொரு முரண்பாட்டைப் பெற்றார். அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட சொற்களின் தொகுப்பு A ஐக் கவனியுங்கள். உண்மையான எண்களின் அனைத்து வரையறுக்கப்பட்ட வரையறைகளின் தொகுப்பு E என்பது A இன் துணைக்குழுவாகும். தொகுப்பு E ஆல் வரையறுக்கப்பட்ட n வது உண்மையான எண்ணின் n வது தசமமாக p இருக்கட்டும்; ஒருங்கிணைந்த பகுதிக்கு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்ட N எண்ணையும், p 8 அல்லது 9 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் n வது தசமத்திற்கு p + 1 ஐயும், p 8 அல்லது 9 க்கு சமமாக இருந்தால் ஒற்றுமையையும் உருவாக்குகிறோம். இந்த எண் N தொகுப்பு E ஆல் வரையறுக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் இது எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்ணிலிருந்தும் வேறுபடுகிறது, அதாவது n வது எண்ணிலிருந்து n வது இலக்கத்தால் வேறுபடுகிறது. ஆனால் இந்த பத்தியில் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்களால் N வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே இது E தொகுப்பில் இருக்க வேண்டும். அது ஒரு முரண்பாடு. கோனிக்கின் முரண்பாட்டைப் போலவே, இந்த முரண்பாட்டை தன்னியக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் முறைப்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் இதற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்புக்கு ஒரு விளக்கம் பொருந்துமா என்பதைக் கூறுவதற்கான திறன் தேவைப்படுகிறது (அல்லது, சமமாக, ஒரு சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு தொகுப்பின் வரையறையா என்பதைக் கூறுவதற்கு). ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் லியோபோல்ட் லோவென்ஹெய்மின் (1915) பணியை அடிப்படையாகக் கொண்டு நோர்வேயின் தர்க்கவாதி தோரால்ஃப் ஸ்கோலெம் 1922 ஆம் ஆண்டில் செட் கோட்பாடு போன்ற முதல்-வரிசை முன்கணிப்பு கால்குலஸின் ஒவ்வொரு நிலையான கோட்பாடும் மிகவும் கணக்கிடக்கூடிய மாதிரியைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்டினார். இருப்பினும், கான்டரின் தேற்றம் கணக்கிட முடியாத தொகுப்புகள் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கிறது. இந்த முரண்பாட்டின் வேர் என்னவென்றால், ஒரு தொகுப்பின் எண்ணிக்கை அல்லது எண்ணிக்கையற்ற தன்மை எப்போதும் முழுமையானது அல்ல, ஆனால் கார்டினாலிட்டி அளவிடப்படும் மாதிரியைப் பொறுத்தது. தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் ஒரு மாதிரியில் ஒரு தொகுப்பு கணக்கிட முடியாதது, ஆனால் ஒரு பெரிய மாதிரியில் கணக்கிடக்கூடியது (ஏனெனில் கணக்கிடுதலை நிறுவும் பைஜெக்சன்கள் பெரிய மாதிரியில் உள்ளன, ஆனால் சிறியவற்றில் இல்லை). மேலும் காண்க சாத்தியமற்ற தன்மைக்கான ஆதாரம் பெர்ரி முரண்பாடு குறிப்புகள் குறிப்புகள் ஜி. கேன்டர்ஃ கெசாமெல்டே அபாண்ட்லுங்கென் கணிதவியல் மற்றும் தத்துவஞானி இன்ஹால்ட்ஸ், ஈ. ஜெர்மெலோ (எட். ), ஓல்ம்ஸ், ஹில்டெஷீம் 1966. எச். மெஷ்கோவ்ஸ்கி, டபிள்யூ. நில்சன்ஃ ஜார்ஜ் கேன்டர்-பிரிஃப், ஸ்பிரிங்கர், பெர்லின் 1991. ஏ. ஃப்ரான்கெல்ஃ ஐன்லீடங் இன் டை மெங்கன்லெஹ்ரே, ஸ்பிரிங்கர், பெர்லின் 1923. ஏ. ஏ. ஃப்ரான்கெல், ஏ. லெவிஃ சுருக்க தொகுப்புக் கோட்பாடு, வடக்கு ஹாலந்து, ஆம்ஸ்டர்டாம் 1976. எஃப். ஹவுஸ்டோர்ஃப்ஃ கிரண்ட்ஸுஜ் டெர் மெங்கன்லெஹ்ரே, செல்சியா, நியூயார்க் 1965. பி. ரஸ்ஸல்ஃ கணிதத்தின் கொள்கைகள் I, கேம்பிரிட்ஜ் 1903. பி. ரஸ்ஸல்ஃ எல்லையற்ற எண்கள் மற்றும் வரிசை வகைகளின் கோட்பாட்டில் உள்ள சில சிக்கல்கள் குறித்து, புரோக். லண்டன் கணிதம். சொ. (2) 4 (1907) 29-53. பி. ஜே. கோஹன்ஃ செட் தியரி அண்ட் தி காண்டினியம் ஹைபோதீசிஸ், பெஞ்சமின், நியூயார்க் 1966. எஸ். வேகன்ஃ தி பானாச்-டார்ஸ்கி பேராடாக்ஸ், கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ் 1985. ஏ. என். வைட்ஹெட், பி. ரஸ்ஸல்ஃ பிரின்சிபியா கணிதவியல் I, கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழகம். பிரஸ், கேம்பிரிட்ஜ் 1910, பக்கம் 64. ஈ. ஜெர்மெலோஃ நியூயர் பெவிஸ் ஃபர் டை மெகிளிக் கீட் ஈனர் வொஹ்லார்டுனுங், கணிதம். ஆன். 65 (1908) p. 107-128. வெளிப்புற இணைப்புகள் திமோதி கோவர்ஸின் பிரின்சிபியா கணித வரையறை முரண்பாடுகள் செட் கோட்பாடு செட் கோட்பாடு