Differentially closed field
கணிதத்தில், K ஐ விரிவுபடுத்தும் சில வேறுபட்ட புலத்தில் ஒரு தீர்வைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பும் ஏற்கனவே K இல் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருந்தால், ஒரு வேறுபட்ட புலம் K வேறுபட்ட முறையில் மூடப்படுகிறது. வேறுபட்ட மூடிய புலங்கள் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளுக்கான இயற்கணித மூடிய புலங்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான ஒப்புமைகளாகும். வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் கோட்பாடு ஒரு வேறுபட்ட புலம் என்பது ஒரு வழித்தோன்றல் ஆபரேட்டருடன் பொருத்தப்பட்ட ஒரு புலம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். K என்பது வழித்தோன்றல் ஆபரேட்டர் ஷ்ணுவுடன் ஒரு வேறுபட்ட புலமாக இருக்கட்டும். x இல் உள்ள ஒரு வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது முறையான வெளிப்பாடுகளில் x, ஷ்ணல் x, ஷ்ணல் 2x இல் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். K இல் குணகங்களுடன். x இல் பூஜ்ஜியமற்ற வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவின் வரிசை மிகப்பெரிய n ஆகும், அதாவது ஷ்ணல் x அதில் நிகழ்கிறது, அல்லது வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு மாறிலியாக இருந்தால்-1. n ≤ 0 வரிசையின் வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் பிரிப்பு Sf என்பது றென்க்ஸைப் பொறுத்தவரை f இன் வழித்தோன்றலாகும். K இன் மாறிலிகளின் புலம் என்பது a தனிமங்களின் துணைப்புலமாகும், இதில் ஷ்ணுவம் = 0 உள்ளது. பூஜ்ஜியமற்ற பண்பு p இன் வேறுபட்ட புலம் K இல், அனைத்து pth சக்திகளும் மாறிலிகளாகும். இது பின்வருமாறு, K அல்லது அதன் மாறிலிகளின் புலம் இரண்டும் சரியானவை அல்ல, ஷ்ணுவம் அற்பமானதாக இல்லாவிட்டால். ஒரு வேறுபட்ட மூடிய புலம் என்பது வேறுபட்ட முறையில் சரியான வேறுபாடு புலம் K ஆகும், அதாவது f மற்றும் g வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், அதாவது Sf ிறகு 0 மற்றும் g ிறகு 0 மற்றும் f என்பது g ஐ விட பெரிய வரிசையைக் கொண்டிருந்தால், K இல் f (x) = 0 மற்றும் g (x) ிறகு 0 உடன் சில x உள்ளது. (சில எழுத்தாளர்கள் K க்கு பண்பு 0 உள்ளது என்ற நிபந்தனையைச் சேர்க்கின்றனர், இந்த விஷயத்தில் Sf தானாகவே பூஜ்ஜியமற்றது, மேலும் K தானாகவே சரியானது.) டி. சி. எஃப். பி என்பது பண்புக்கூறு p இன் வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் கோட்பாடாகும் (இங்கு p என்பது 0 அல்லது ஒரு பகா எண்). g = 1 மற்றும் f ஐ எடுத்துக்கொள்வது எந்தவொரு சாதாரணமாக பிரிக்கக்கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை வேறுபட்ட முறையில் மூடப்பட்ட புலம் தனித்தனியாக மூடப்பட்டிருப்பதைக் காட்டுகிறது. பண்பு 0 இல் இது இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருப்பதைக் குறிக்கிறது, ஆனால் பண்பு p> 0 வேறுபட்ட முறையில் மூடப்பட்ட புலங்கள் ஒருபோதும் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்படவில்லை. இயற்கணித மூடிய புலங்களின் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கலான எண்களைப் போலல்லாமல், வேறுபட்ட மூடிய புலத்திற்கு இயற்கையான உதாரணம் இல்லை. எந்தவொரு வேறுபட்ட சரியான புலம் K ஒரு வேறுபட்ட மூடல், ஒரு முதன்மை மாதிரி நீட்டிப்பு, வேறுபட்ட மூடப்பட்டிருக்கும். ஷெலா வேறுபட்ட மூடல் கே. ஷெலா மீது ஐசோமார்பிசம் வரை தனித்துவமானது என்பதைக் காட்டினார், மேலும் சிறப்பியல்பு 0 இன் முதன்மை வேறுபட்ட மூடிய புலம் (விகிதமுறுப்புகளின் வேறுபட்ட மூடல்) குறைந்தபட்சம் அல்ல என்பதையும் காட்டினார்; இது ஒரு ஆச்சரியமான விளைவாகும், ஏனெனில் இது இயற்கணித மூடிய புலங்களுடன் ஒப்புமையால் ஒருவர் எதிர்பார்ப்பது அல்ல. டிசிஎஃப்பி கோட்பாடு முழுமையானது மற்றும் மாதிரி முழுமையானது (p = 0 க்கு இது ராபின்சனால் காட்டப்பட்டது, மற்றும் p> 0 க்கு). டிசிஎஃப்பி கோட்பாடு சிறப்பியல்பு p இன் வேறுபட்ட புலங்களின் கோட்பாட்டின் மாதிரி துணை ஆகும். இது p> 0 ஆக இருக்கும்போது மாறிலிகளின் pth மூலத்தைக் கொடுக்கும் ஒரு சின்னத்தை மொழியில் ஒருவர் சேர்த்தால் சிறப்பியல்பு p இன் வேறுபட்ட சரியான புலங்களின் கோட்பாட்டின் மாதிரி நிறைவு ஆகும். சிறப்பியல்பு p> 0 இன் வேறுபட்ட புலங்களின் கோட்பாடு ஒரு மாதிரி நிறைவைக் கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் சிறப்பியல்பு p = 0 வேறுபட்ட சரியான புலங்களின் கோட்பாட்டைப் போன்றது, எனவே டி. சி. எஃப் 0 அதன் மாதிரி நிறைவாக உள்ளது. சில எல்லையற்ற கார்டினாலிட்டி κ இன் வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் எண்ணிக்கை 2κ ஆகும்; κ கணக்கிட முடியாததற்கு இது நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் κ க்கு ஹ்ருஷோவ்ஸ்கி மற்றும் சோகோலோவிக் ஆகியோரால் கணக்கிடப்பட்டது. K இன் மீது உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் தீர்வுகளின் தொகுப்புகளை m மாறிகளில் அடிப்படை மூடிய தொகுப்புகளாக எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் K m இல் உள்ள கோல்சின் இடவியல் வரையறுக்கப்படுகிறது. சரிஸ்கி இடவியல் போலவே, கோல்சின் இடவியல் நொய்தேரியன் ஆகும். டி-கட்டமைக்கக்கூடிய தொகுப்பு என்பது கோல்சின் இடவியலில் மூடிய மற்றும் திறந்த தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்றிணைப்பாகும். சமமாக, ஒரு டி-கட்டமைக்கக்கூடிய தொகுப்பு என்பது அளவீடு இல்லாத அல்லது அணு சூத்திரத்திற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பாகும், இது கே. அளவீட்டு நீக்கத்தில் அளவுருக்களுடன் உள்ளது. இயற்கணித மூடிய புலங்களின் கோட்பாட்டைப் போலவே, வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் டி. சி. எஃப் 0 கோட்பாடு பண்பு 0 அளவீடுகளை நீக்குகிறது. இந்த அறிக்கையின் வடிவியல் உள்ளடக்கம் என்னவென்றால், ஒரு டி-கட்டமைக்கக்கூடிய தொகுப்பின் திட்டம் டி-கட்டமைக்கக்கூடியது. இது கற்பனைகளை நீக்குகிறது, முழுமையானது மற்றும் மாதிரி முழுமையானது. பண்பு p> 0 இல், டி. சி. எஃப். பி கோட்பாடு வேறுபட்ட புலங்களின் மொழியில் அளவீடுகளை நீக்குகிறது, இது ஒரு யூனரி செயல்பாடு r உடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, இது அனைத்து மாறிலிகளின் pth மூலமாகும், மேலும் நிலையானதாக இல்லாத உறுப்புகளில் 0 ஆகும். வேறுபட்ட நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸ் வேறுபட்ட நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸ் என்பது ஹில்பர்ட்டின் நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸின் வேறுபட்ட இயற்கணிதத்தில் உள்ள அனலாக் ஆகும். ஒரு டிஃபரென்ஷனல் ஐடியல் அல்லது ஷ்ணல்-ஐடியல் என்பது ஷ்ணலின் கீழ் மூடப்பட்ட ஒரு ஐடியல் ஆகும். ஒரு இலட்சியம் அதன் உறுப்புகளின் அனைத்து வேர்களையும் கொண்டிருந்தால் அது ரேடிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. K என்பது 0 என்ற பண்பு கொண்ட வேறுபட்ட மூடிய புலம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் சீடென்பெர்க்கின் வேறுபட்ட நல்ஸ்டெல்லென்சாட்ஸ், n மாறிகளில் உள்ள வேறுபட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையத்தில் உள்ள ரேடிக்கல் வேறுபட்ட இலட்சியங்களுக்கும், Kn இன் su-மூடிய துணைக்குழுக்களுக்கும் இடையே ஒரு பைஜெக்ஷன் இருப்பதாகக் கூறுகிறது. இந்த கடிதப் பரிமாற்றமானது, அதன் மீது மறைந்துபோகும் தனிமங்களின் இலட்சியத்திற்கு ஒரு முடுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவை வரைபடமாக்குகிறது, மேலும் அதன் பூஜ்ஜியங்களின் தொகுப்புக்கு ஒரு இலட்சியத்தை வரைபடமாக்குகிறது. ஒமேகா நிலைத்தன்மை பண்பு 0 இல் பிளம் வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் கோட்பாடு ω-நிலையானது மற்றும் மோர்லி தரவரிசை ω ஐக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. பூஜ்ஜியமற்ற பண்புகளில் வேறுபட்ட மூடிய புலங்களின் கோட்பாடு ω-நிலையானது அல்ல என்பதைக் காட்டியது, மேலும் அது நிலையானது ஆனால் மேலோட்டமானது அல்ல என்பதை இன்னும் துல்லியமாகக் காட்டியது. வரையறுக்கக்கூடிய தொகுப்புகளின் அமைப்புஃ ஜில்பரின் ட்ரைகோடோமி டெசிடபிலிட்டி சிக்கல்கள் மானின் கர்னல் பயன்பாடுகள் மேலும் காண்க வேறுபட்ட கலோயிஸ் கோட்பாடு குறிப்புகள் வேறுபட்ட இயற்கணித மாதிரி கோட்பாடு