Subcountability
ஆக்கபூர்வமான கணிதத்தில், ஒரு தொகுப்பு இயற்கையான எண்களிலிருந்து ஒரு பகுதி உட்செலுத்தல் இருந்தால் அது துணை எண்ணக்கூடியது. இது a இல் இருந்து ஒரு சர்ஜெக்டிவ் செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் இடத்தில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். சர்ஜெக்ஷன் ஒரு உறுப்பினர் மற்றும் இங்கே துணைப்பிரிவு ஒரு தொகுப்பாக இருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு துணை எண்ணக்கூடிய சேகரிப்பின் அனைத்து கூறுகளும் எண்ணும் எண்களின் குறியீட்டு தொகுப்பின் படத்தில் செயல்படுகின்றன, இதனால் தொகுப்பு எண்ணக்கூடிய தொகுப்பால் ஆதிக்கம் செலுத்துவதாக புரிந்து கொள்ள முடியும். விவாதம் பெயரிடல் எண்ணும் திறன் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட பண்புகளின் பெயரிடல் கணிசமாக வேறுபடுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்-ஏனெனில் அவற்றில் பல விலக்கப்பட்ட நடுத்தரமாக கருதும்போது ஒத்துப்போகின்றன. மீண்டும் வலியுறுத்துவதற்கு, இங்குள்ள விவாதம் வகைப்படுத்தப்படும் செட்டில் சர்ஜெக்ஷன்களின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட பண்பு பற்றியது. இங்குள்ள மொழி ஆக்கபூர்வமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டு நூல்களில் பொதுவானது, ஆனால் வகைப்படுத்தப்படும் தொகுப்பிலிருந்து ஊசி போடுவதன் அடிப்படையில் பண்புகளுக்கும் துணை எண்ணக்கூடிய பெயர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறையில் உள்ள தொகுப்பு சுருக்கமாகவும் இருக்கலாம், மேலும் பொதுவான கருத்தைப் பொறுத்தவரை ஒரு உட்பிரிவு என்று அழைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டு முக்கியமான நிகழ்வுகள் கணக்கீட்டு கோட்பாட்டில் ஆய்வு செய்யப்பட்டபடி கேள்விக்குரிய தொகுப்பு ஒரு பெரிய வகை செயல்பாடுகளின் சில துணைப்பிரிவாகும். மொத்த கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பிலிருந்து கணக்கிடக்கூடிய சர்ஜெக்ஷன் இருக்க முடியாது, இது மூலைவிட்ட கட்டமைப்பிலிருந்து செயல்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒருபோதும் அத்தகைய சர்ஜெக்ஷன் படத்தில் இருக்க முடியாது. இருப்பினும், முடிவடையாத நிரல்களை அனுமதிக்கும் சாத்தியமான அனைத்து பகுதி கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாடுகளின் குறியீடுகள் மூலம், மொத்த செயல்பாடுகள் போன்ற செயல்பாடுகளின் துணைக்குழுக்கள், துணை எண்ணக்கூடிய தொகுப்புகளாகக் காணப்படுகின்றனஃ மொத்த செயல்பாடுகள் இயற்கையான எண்களின் சில கடுமையான துணைக்குழுவின் வரம்பாகும். கணக்கிட முடியாத, எனவே ஆக்கபூர்வமாக கணக்கிட முடியாத, எண்களின் தொகுப்பால் ஆதிக்கம் செலுத்தப்படுவதால், துணை எண்ணக்கூடிய பெயர் ஆக்கபூர்வமாக கணக்கிட முடியாத தொகுப்பை விட பெரியது அல்ல என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. அனைத்து எண்ணும் எண்களுக்கும் வரம்பற்ற மற்றும் வரம்பற்ற குறியீட்டு தொகுப்புக்கும் இடையில் எந்த பயனுள்ள வரைபடமும் இங்கே வலியுறுத்தப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, வெறும் துணைக்குழு உறவு. மொத்தமாக இருப்பது பிரபலமாக ஒரு தீர்க்கமான சொத்து அல்ல. குறியீட்டு தொகுப்புகளில் ரைஸின் தேற்றத்தின்படி, குறியீடுகளின் பெரும்பாலான களங்கள் உண்மையில் கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்புகள் அல்ல. துணை எண்ணக்கூடிய ஆர்ப்பாட்டம் இது பாரம்பரியமாக (கட்டமைக்கப்படாத) முறையாக கணக்கிடக்கூடியது என்பதையும் குறிக்கிறது, ஆனால் இது எந்த பயனுள்ள எண்ணிக்கையையும் பிரதிபலிக்கவில்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அனைத்து மொத்த செயல்பாடுகளையும் வரிசையில் பட்டியலிடும் ஒரு வழிமுறையை குறியிட முடியாது என்ற உண்மை செட் மற்றும் செயல்பாட்டு இருப்பு தொடர்பான கிளாசிக்கல் கோட்பாடுகளால் கைப்பற்றப்படவில்லை. ஒரு கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளைப் பொறுத்து, எண்ணிக்கையை விட துணை எண்ணிக்கையை நிரூபிக்க அதிக வாய்ப்புள்ளது என்பதை நாம் காண்கிறோம். விலக்கப்பட்ட நடுத்தரத்துடன் உறவு ஆக்கபூர்வமான தர்க்கங்கள் மற்றும் தொகுப்புக் கோட்பாடுகள் எல்லையற்ற (எல்லையற்ற) தொகுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு செயல்பாட்டின் இருப்பை தீர்மானிப்புத்திறன் மற்றும் சாத்தியமான செயல்திறன் பற்றிய கேள்விகளுடன் இணைக்கின்றன. அங்கு, சப் கவுண்டபிலிட்டி ப்ராபர்ட்டி கவுண்டபிலிட்டியிலிருந்து பிரிகிறது, எனவே இது ஒரு தேவையற்ற கருத்து அல்ல. இயற்கையான எண்களின் குறியீட்டு தொகுப்பு இருக்கலாம், எ. கா. பிரிப்பு கோட்பாடு திட்டம் போன்ற தொகுப்பு கோட்பாட்டு கோட்பாடுகள் வழியாக ஒரு துணைக்குழுவாக. பின்னர் வரையறையின்படி, ஆனால் இந்த தொகுப்பு இன்னும் பிரிக்கக்கூடியதாக இருக்கத் தவறிவிடலாம், அதாவது அதை ஒரு கோட்பாடாக கருதாமல் நிரூபிக்க முடியாது. இந்த காரணத்திற்காக, குறியீட்டு தொகுப்பில் எண்ணும் எண்களை வரைபடமாக்கத் தவறினால், ஒருவர் கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பை திறம்பட கணக்கிடத் தவறிவிடலாம். கணக்கிடக்கூடியதாக இருப்பது என்பது கணக்கிட முடியாததாக இருப்பதைக் குறிக்கிறது. மார்கோவின் கொள்கையுடன் பொருத்தமான சூழலில், நேர்மாறானது விலக்கப்பட்ட நடுத்தர சட்டத்திற்கு சமம், அதாவது. அது அனைத்து முன்மொழிவுக்கும் பொருந்தும். குறிப்பாக, ஆக்கபூர்வமாக இந்த எதிர் திசை பொதுவாக பிடிப்பதில்லை. கிளாசிக்கல் கணிதத்தில், கிளாசிக்கல் லாஜிக்கின் அனைத்து விதிகளையும் வலியுறுத்துவது, மேலே விவாதிக்கப்பட்டவற்றின் வேறுபட்ட பண்பு உண்மையில் அனைத்து தொகுப்புகளுக்கும் பொருந்தும். பின்னர், காலியாக இல்லாததைப் பொறுத்தவரை, எண்ணற்ற பண்புகள் (இங்கே உட்செலுத்தப்படுவதைக் குறிக்கும்), எண்ணக்கூடியவை (அதன் வரம்பைக் கொண்டுள்ளன), துணை எண்ணக்கூடியவை (மேற்பரப்புகளின் துணைக்குழு) மற்றும் உற்பத்தி செய்யாதவை (அடிப்படையில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு எண்ணக்கூடிய பண்பு) அனைத்தும் சமமானவை மற்றும் ஒரு தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணற்ற எல்லையற்றது என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. கிளாசிக்கல் அல்லாத கூற்றுக்கள் விலக்கப்பட்ட நடுத்தரத்தின் சட்டம் இல்லாமல், கிளாசிக்கலாக (அதாவது. கட்டமைக்கப்படாத வகையில்) இயற்கையான எண்களின் கார்டினாலிட்டியை விட அதிகமாக உள்ளது. ஒரு ஆக்கபூர்வமான அமைப்பில், முழு தொகுப்பிலிருந்து செயல்பாட்டு இடத்தைப் பற்றிய ஒரு எண்ணும் உரிமை கோரல், உள்ளதைப் போல, நிரூபிக்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆனால் திறம்பட பிரிக்க முடியாத ஒரு தொகுப்பால் கணக்கிட முடியாத தொகுப்பின் துணை எண்ணிக்கை அனுமதிக்கப்படலாம். கணக்கிட முடியாதது மற்றும் கிளாசிக்கலாக நிரூபிக்க முடியாதது போல, அதன் பெரிய செயல்பாட்டு இடத்துடன் கூடிய கிளாசிக்கல் கட்டமைப்பானது ரஷ்ய ஆக்கபூர்வவாதத்தின் கோட்பாடான ஆக்கபூர்வமான தேவாலயத்தின் ஆய்வறிக்கையுடன் பொருந்தாது. துணை எண்ணக்கூடிய மற்றும் ω-உற்பத்தி பரஸ்பர பிரத்தியேகமானவை ஒரு தொகுப்பு-உற்பத்தி என்று அழைக்கப்படும், அதன் துணைக்குழுக்களில் ஏதேனும் ஒரு பகுதி செயல்பாட்டின் வரம்பாக இருக்கும்போதெல்லாம், அந்த வரம்பின் நிரப்பு நிலையில் எப்போதும் ஒரு உறுப்பு இருக்கும். சிலவற்றில் ஏதேனும் சர்ஜெக்ஷன் இருந்தால், விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி அதனுடன் தொடர்புடைய காம்ப்ளிமெண்ட் வெற்று தொகுப்புக்கு சமமாக இருக்கும், எனவே ஒரு துணை எண்ணக்கூடிய தொகுப்பு ஒருபோதும் உற்பத்தி செய்யாது. மேலே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி,-உற்பத்தித்திறன் என்ற பண்பு எந்தவொரு பகுதி செயல்பாட்டின் வரம்பையும் செயல்பாட்டு வரம்பில் இல்லாத ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்புடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. இந்த வழியில், ஒரு தொகுப்பு-உற்பத்தி என்பது அதன் அனைத்து கூறுகளையும் உருவாக்குவது எவ்வளவு கடினம் என்பதைப் பேசுகிறதுஃ அவை ஒரே செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இயற்கையிலிருந்து உருவாக்க முடியாது. உற்பத்தித்திறன் பண்பு என்பது துணை எண்ணிக்கையை அடைவதற்கு ஒரு தடையாக உள்ளது. இது எண்ணற்ற தன்மையைக் குறிக்கிறது என்பதால், முக்கோண வாதங்கள் பெரும்பாலும் இந்த கருத்தை உள்ளடக்கியது, வெளிப்படையாக எழுபதுகளின் பிற்பகுதியில் இருந்து. கணக்கிடக்கூடிய கணக்கிடக்கூடிய துணைக்குழுக்களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் கணக்கிடக்கூடிய கணக்கீட்டின் சாத்தியமற்ற தன்மையை ஒருவர் நிறுவலாம், மேலும் அனைத்து இடையூறுகளின் தொகுப்பும் மொத்த மறுசுழற்சி என்று அழைக்கப்படும் உற்பத்தி செயல்பாட்டின் உருவமாக இருக்க வேண்டும். தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், பகுதி செயல்பாடுகள் ஜோடிகளின் தொகுப்பாக மாதிரியாக இருக்கும்போது, கொடுக்கப்பட்ட இடம் அனைத்து பகுதி செயல்பாடுகளையும் சரியாக வைத்திருக்கிறது, அவற்றின் வரம்பாக, அவற்றின் துணைக்குழுக்கள் மட்டுமே உள்ளன. ஒரு-உற்பத்தித் தொகுப்புக்கு ஒருவர் ஆக்கப்பூர்வமாக வாசிப்பதைக் காண்கிறார், இது எந்தவொரு பகுதி செயல்பாட்டையும் அந்த செயல்பாட்டு வரம்பில் இல்லாத ஒரு உறுப்புடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. இந்த பண்பு எந்தவொரு சர்ஜெக்டிவ் (ஒருவேளை பகுதி) செயல்பாட்டுடனும் ஒரு-உற்பத்தி தொகுப்பின் பொருந்தாத தன்மையை வலியுறுத்துகிறது. கீழே இது துணை எண்ணும் அனுமானங்களின் ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இயற்கையின் துணைக்குழுக்களில் கான்டோரியன் வாதங்களை அமைக்கவும் குறிப்புக் கோட்பாட்டின் படி நாம் ஆக்கபூர்வமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டைப் பார்க்கிறோம் CZF, இது மாற்று, எல்லைக்குட்பட்ட பிரிப்பு, வலுவான முடிவிலி ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது, இது சக்தி தொகுப்புகளின் இருப்பைப் பற்றிய அறியாமை, ஆனால் எந்தவொரு செயல்பாட்டு இடமும் அமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று வலியுறுத்தும் கோட்பாட்டை உள்ளடக்கியது, கொடுக்கப்பட்டவையும் தொகுப்புகள். இந்தக் கோட்பாட்டில், ஒவ்வொரு தொகுப்பும் துணை எண்ணக்கூடியது என்று வலியுறுத்துவது மேலும் நிலையானது. எண்ணற்ற எண்ணும் எண்களின் தொகுப்பில் சாத்தியமான சர்ஜெக்ஷன்களின் மூலம் பல்வேறு கூடுதல் கோட்பாடுகளின் பொருந்தக்கூடிய தன்மை இந்த பிரிவில் விவாதிக்கப்படுகிறது. இங்கே நிலையான இயற்கை எண்களின் மாதிரியைக் குறிக்கும். செயல்பாடுகளுக்கு, மொத்த செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி, களத்தில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரு தனித்துவமான வருவாய் மதிப்பு உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் ஒரு துணை எண்ணக்கூடிய தொகுப்புக்கு, சர்ஜெக்ஷன் இன்னும் ஒரு துணைக்குழுவில் மொத்தமாக உள்ளது. ஆக்கப்பூர்வமாக, அத்தகைய இருத்தலியல் உரிமைகோரல்கள் பாரம்பரியமாக நிரூபிக்கப்படுவதை விட குறைவாகவே இருக்கும். கீழே விவாதிக்கப்பட்டுள்ள சூழ்நிலைகள்-பவர் கிளாஸ்கள் மற்றும் செயல்பாட்டு இடைவெளிகள் மீது-ஒருவருக்கொருவர் வேறுபட்டவைஃ கணிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் உண்மை மதிப்புகளை வரையறுக்கும் பொதுவான துணைப்பிரிவுக்கு எதிரானது (உண்மை மற்றும் பொய் என்று நிரூபிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை), ஒரு செயல்பாடு (நிரலாக்க சொற்களில் முடிவடைகிறது) அதன் அனைத்து துணை டொமைன்களுக்கான (துணைக்குழுக்கள்) தரவைப் பற்றிய தகவல்களை அணுகுகிறது. அவற்றின் துணைக்குழுக்களுக்கான சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளாக, செயல்பாடுகள், அவற்றின் திரும்ப மதிப்புகள் மூலம், துணைக்குழு உறுப்பினர்களைத் தீர்மானிக்கின்றன. பொதுவாக வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உறுப்பினர் என்பது தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதால், (மொத்த) செயல்பாடுகள் தானாகவே அனைத்து துணைக்குழுக்களுடனும் இணைக்கப்படுவதில்லை. எனவே ஆக்கபூர்வமாக, துணைக்குழுக்கள் சிறப்பியல்பு செயல்பாடுகளை விட மிகவும் விரிவான கருத்தாகும். உண்மையில், CZF இன் மேல் சில கிளாசிக்கல் அல்லாத கோட்பாடுகளின் சூழலில், ஒரு சிங்கிள்டனின் சக்தி வகுப்பு கூட, எ. கா. அனைத்து துணைக்குழுக்களின் வகுப்பும் ஒரு சரியான வகுப்பாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. கீழ் உள்ள அதிகார வகுப்புகளுக்கு, எதிர்மறை அறிமுகச் சட்டத்தின் சிறப்பு வழக்கு முரண்பாட்டைக் குறிக்கிறது என்ற உண்மை பயன்படுத்தப்படுகிறது. வாதத்தை எளிமையாகப் பொறுத்தவரை, இது ஒரு தொகுப்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு துணைக்குழு மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். மேலும், பவர் செட்களைப் பற்றிய கான்டரின் தேற்றத்தைப் போலவே, எங்கு வரையறுக்கப்படுகிறது, இது சார்பு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு துணைப்பிரிவு மற்றும் அதை எழுதலாம் இது பிரிப்பு வழியாக துணைக்குழுவாக உள்ளது. இப்போது முரண்பாட்டைக் குறிக்கும் ஒரு எண் இருப்பதாகக் கருதினால், ஒரு தொகுப்பாக, எந்தவொரு சர்ஜெக்ஷனுக்கும் ஒரு தடையை நாம் வரையறுக்க முடியும். CZF இல் மாற்றுவதன் மூலம் ஒரு சர்ஜெக்ஷனின் இருப்பு தானாகவே ஒரு தொகுப்பாக மாறும் என்பதையும் நினைவில் கொள்க, எனவே இந்த செயல்பாட்டு இருப்பு நிபந்தனையின்றி சாத்தியமற்றது. அனைத்து தொகுப்புகளும் துணை எண்ணக்கூடியவை என்று வலியுறுத்தும் துணை எண்ணிக்கையின் கோட்பாடு, ஒரு தொகுப்பாக இருப்பதற்கு பொருந்தாது என்று நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம், எ. கா. சக்தி செட் கோட்பாட்டின் மூலம். மேற்கண்ட சான்றுகளைப் பின்பற்றுவது இரண்டையும் நாம் வரைபடமாக்க முடியாது என்பதை தெளிவுபடுத்துகிறது. எல்லைக்குட்பட்ட பிரிப்பு உண்மையில் எந்த தொகுப்பும் வரைபடத்தில் இல்லை என்பதைக் குறிக்கிறது. தொடர்புடைய வகையில், எந்தவொரு செயல்பாட்டிற்கும், அதன் வரம்பின் துணைக்குழுவைப் பயன்படுத்தி இதேபோன்ற பகுப்பாய்வு ஒரு ஊசியாக இருக்க முடியாது என்பதைக் காட்டுகிறது. செயல்பாட்டு இடங்களுக்கு நிலைமை மிகவும் சிக்கலானது. பவர்செட் அல்லது அதற்கு சமமானவை இல்லாத கிளாசிக்கல் ZFC இல், செட்களாக இருக்கும் யதார்த்தங்களின் அனைத்து துணைப்பிரிவுகளும் துணை எண்ணக்கூடியவை என்பதும் சீராக உள்ளது. அந்த சூழலில், இது அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்புகளும் கணக்கிடக்கூடியவை என்ற கூற்றுக்கு மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. நிச்சயமாக, அந்தக் கோட்பாட்டில் செயல்பாட்டு இடைவெளி தொகுப்பு இல்லை. செயல்பாட்டு இடைவெளிகளின் வரையறையின்படி, தொகுப்பு தொகுப்பின் அந்த துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை நிரூபிக்கக்கூடிய மொத்த மற்றும் செயல்பாட்டு. அனைத்து செட்களின் அனுமதிக்கப்பட்ட துணை எண்ணிக்கையை வலியுறுத்துவது, குறிப்பாக, ஒரு துணை எண்ணக்கூடிய தொகுப்பாக மாறுகிறது. எனவே இங்கே நாம் ஒரு சர்ஜெக்டிவ் செயல்பாடு மற்றும் பிரிக்கப்பட்ட துணைக்குழுவை மூலைவிட்ட கணிப்புடன் கருதுகிறோம், இது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, இது எதிர்மறைகள் இல்லாமல் சொற்றொடர்களாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இந்த தொகுப்பு பாரம்பரியமாக நிரூபிக்கக்கூடிய ஒரு செயல்பாடாகும், இது குறிப்பிட்ட உள்ளீடுகளுக்கான மதிப்பை எடுக்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் இது ஒரு சர்ஜெக்ஷனாக இருப்பது உண்மையில் முரண்பாடாக இருக்கிறது என்பதை நிரூபிக்க பாரம்பரியமாக பயன்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், ஆக்கப்பூர்வமாக, அதன் வரையறையில் உள்ள முன்மொழிவு தீர்மானிக்கக்கூடியதாக இல்லாவிட்டால், செட் உண்மையில் ஒரு செயல்பாட்டு ஒதுக்கீட்டை வரையறுக்கிறது, இந்த தொகுப்பை செயல்பாட்டு இடத்தின் உறுப்பினராக நிரூபிக்க முடியாது. எனவே நாம் கிளாசிக்கல் முடிவை எடுக்க முடியாது. இந்த பாணியில், இன் துணை எண்ணிக்கை அனுமதிக்கப்படுகிறது, உண்மையில் கோட்பாட்டின் மாதிரிகள் உள்ளன. ஆயினும்கூட, CZF இன் விஷயத்திலும், களத்துடன் ஒரு முழு சர்ஜெக்ஷன் இருப்பது உண்மையில் முரண்பாடாக இருக்கிறது. தீர்மானிக்கக்கூடிய உறுப்பினர் என்பது தொகுப்பையும் கணக்கிட முடியாததாக ஆக்குகிறது, அதாவது. அளவிட முடியாதது. இந்த அவதானிப்புகளுக்கு அப்பால், பூஜ்ஜியமற்ற எந்த எண்ணுக்கும், சர்ஜெக்ஷனை உள்ளடக்கிய செயல்பாடுகளை இதேபோன்ற முரண்பாடு வாதத்தால் அனைவருக்கும் நீட்டிக்க முடியாது என்பதையும் நினைவில் கொள்க. முழு செயல்பாடுகளுக்கு நீட்டிக்க முடியாத பகுதி செயல்பாடுகள் உள்ளன என்று இதை வெளிப்படுத்தலாம். a கொடுக்கப்படும்போது, ஒருவர் தீர்மானிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே ஒரு சாத்தியமான செயல்பாட்டு நீட்டிப்பின் மதிப்பு முன்பு வகைப்படுத்தப்பட்ட சர்ஜெக்ஷனுக்கு ஏற்கனவே தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை கூட ஒருவர் தீர்மானிக்க முடியாது. அனைத்து தொகுப்புகளும் துணை எண்ணக்கூடியவை என்று வலியுறுத்தும் துணை எண்ணும் கோட்பாடு, எல். இ. எம் உட்பட கணக்கிடக்கூடிய எந்தவொரு புதிய கோட்பாட்டிற்கும் பொருந்தாது. மாதிரிகள் மேற்கண்ட பகுப்பாய்வு குறியீடுகளின் முறையான பண்புகளை பாதிக்கிறது. CZF கோட்பாட்டின் கிளாசிக்கல் அல்லாத விரிவாக்கத்திற்கான மாதிரிகள் துணை எண்ணிக்கையின் அனுமானங்கள் மூலம் கட்டப்பட்டுள்ளன. இத்தகைய ஆக்கபூர்வமற்ற கோட்பாடுகளை தேர்வுக் கொள்கைகளாகக் காணலாம், இருப்பினும், அவை கோட்பாடுகளின் ஆதார-கோட்பாட்டு பலத்தை அதிகம் அதிகரிக்க முனைவதில்லை. IZF இன் மாதிரிகள் உள்ளன, இதில் தனித்தன்மை உறவுகளுடன் கூடிய அனைத்து செட்களும் துணை எண்ணக்கூடியவை. CZF ஒரு மாதிரியைக் கொண்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, மார்ட்டின்-லோஃப் வகை கோட்பாடு. பாரம்பரியமாக கணக்கிட முடியாத செயல்பாட்டு இடங்களைக் கொண்ட இந்த ஆக்கபூர்வமான தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், ஒவ்வொரு தொகுப்பும் கணக்கிடக்கூடியது என்று கூறி, துணை எண்ணிக்கையின் கோட்பாட்டை வலியுறுத்துவது உண்மையில் ஒத்துப்போகிறது. விவாதிக்கப்பட்டபடி, இதன் விளைவாக வரும் கோட்பாடு சக்தி தொகுப்பின் கோட்பாட்டிற்கும் விலக்கப்பட்ட நடுத்தரத்தின் சட்டத்திற்கும் முரணானது. இன்னும் வலுவாக, கிரிப்கே-பிளாடெக் செட் கோட்பாட்டின் சில மாதிரிகள், செயல்பாட்டு இடம் இல்லாத ஒரு கோட்பாடு, அனைத்து செட்களும் எண்ணக்கூடியவை என்பதை கூட உறுதிப்படுத்துகின்றன. சிறிய அளவிலான தீர்ப்பாக அளவு துணை எண்ணிக்கையின் கருத்து கான்டரால் வரையறுக்கப்பட்டபடி கார்டினாலிட்டி உறவுகளின் நிலையான கணித வரையறையுடன் இணைக்கப்படாது, சிறிய கார்டினாலிட்டி ஊசி மற்றும் கார்டினாலிட்டிகளின் சமத்துவம் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஆக்கப்பூர்வமாக, செட்களின் வகுப்பில் "முன்கூட்டிய ஆர்டர்" தீர்மானிக்கக்கூடியதாகவும் சமச்சீரற்றதாகவும் இருக்கத் தவறிவிட்டது. ஒரு மிதமான பணக்கார தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் செயல்பாட்டு இடம் (மற்றும்) எப்போதும் கான்டரின் மூலைவிட்ட வாதத்தால் வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது பைஜெக்ஷனில் இருக்கவோ இல்லை. இது கணக்கிட முடியாதது என்று அர்த்தம். ஆனால் அந்த தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி ஒருவிதத்தில் இயற்கையான எண்களை விட அதிகமாக இருக்கும் என்ற வாதம் கிளாசிக்கல் அளவு கருத்தாக்கம் மற்றும் கார்டினாலிட்டி மூலம் செட்டுகளின் தூண்டப்பட்ட வரிசைக்கு ஒரு கட்டுப்பாட்டை நம்பியுள்ளது. கணக்கீட்டு கோட்பாட்டில் கருதப்படும் செயல்பாட்டு இடத்தின் எடுத்துக்காட்டில் காணப்படுவது போல், ஒவ்வொரு எல்லையற்ற துணைக்குழுவும் ஆக்கபூர்வமான பைஜெக்ஷனில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, இதனால் ஆக்கபூர்வமான சூழல்களில் கணக்கிட முடியாத தொகுப்புகளுக்கு இடையில் மிகவும் சுத்திகரிக்கப்பட்ட வேறுபாட்டிற்கு இடமளிக்கிறது. மேற்கண்ட பிரிவுகளால் உந்தப்பட்டு, எல்லையற்ற தொகுப்பு வகுப்பை விட "சிறியது" என்று கருதப்படலாம். தொடர்புடைய பண்புகள் ஒரு துணை எண்ணக்கூடிய தொகுப்பு மாற்றாக துணை எண்ணக்கூடிய குறியீடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒத்த கருத்து உள்ளது, இதில் வரையறையில் "" சில வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் துணைக்குழுவாக இருக்கும் ஒரு தொகுப்பின் இருப்பு மூலம் மாற்றப்படுகிறது. இந்த பண்பு பல்வேறு வகையில் சப்ஃபைனைட்டிலி இன்டெக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வகைக் கோட்பாட்டில் இந்த கருத்துக்கள் அனைத்தும் உட்பிரிவுகள் ஆகும். கான்டரின் மூலைவிட்ட வாதமான கணக்கீட்டுச் செயல்பாட்டைக் காண்க ஆக்கபூர்வமான தொகுப்புக் கோட்பாடு ஷ்ரோடர்-பெர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் உட்பொருள் மொத்த வரிசை குறிப்புகள் ஆக்கபூர்வவாதம் (கணிதம்)