Ordinal Pareto efficiency
சாதாரண பாரெட்டோ செயல்திறன் என்பது பாரெட்டோ-செயல்திறன் என்ற கருத்தாக்கத்தின் பல தழுவல்களைக் குறிக்கிறது, இதில் முகவர்கள் பொருட்களின் மீது சாதாரண பயன்பாடுகளை மட்டுமே வெளிப்படுத்துகிறார்கள், ஆனால் மூட்டைகளுக்கு மேல் அல்ல. அதாவது, முகவர்கள் பொருட்களை சிறந்தவை முதல் மோசமானவை வரை தரவரிசைப்படுத்துகிறார்கள், ஆனால் அவை பொருட்களின் துணைக்குழுக்களை தரவரிசைப்படுத்துவதில்லை. குறிப்பாக, அவை ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் ஒரு எண் மதிப்பைக் குறிப்பிடவில்லை. இது சில ஒதுக்கீடுகள் பாரேட்டோ-திறமையானவையா இல்லையா என்பது குறித்து ஒரு தெளிவின்மையை ஏற்படுத்தக்கூடும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் தரவரிசைகளைக் கொண்ட மூன்று பொருட்கள் மற்றும் இரண்டு முகவர்களைக் கொண்ட ஒரு பொருளாதாரத்தைக் கவனியுங்கள்ஃ ஆலிஸ்ஃ x> y> z. ஜார்ஜ்ஃ x> z> y. ஒதுக்கீட்டைக் கவனியுங்கள் [ஆலிஸ்ஃ x, ஜார்ஜ்ஃ y, z]. இந்த ஒதுக்கீடு பாரேட்டோ-திறமையானதா இல்லையா என்பது முகவர்களின் எண் மதிப்பீடுகளைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாகஃ ஆலிஸ் {y, z} ஐ {x} க்கு விரும்புகிறார் மற்றும் ஜார்ஜ் {x} ஐ {y, z} க்கு விரும்புகிறார் (எடுத்துக்காட்டாகஃ x, y, z க்கான ஆலிஸின் மதிப்பீடுகள் 8,7,6 மற்றும் ஜார்ஜின் மதிப்பீடுகள் 7,1,2, எனவே பயன்பாட்டு சுயவிவரம் 8,3 ஆகும்). பின்னர் ஒதுக்கீடு பரேட்டோ-திறமையானதாக இருக்காது, ஏனெனில் ஆலிஸ் மற்றும் ஜார்ஜ் இருவரும் தங்கள் மூட்டைகளை பரிமாறிக்கொள்வதன் மூலம் சிறப்பாக இருப்பார்கள் (பயன்பாட்டு விவரக்குறிப்பு 13,7 ஆக இருக்கும்). இதற்கு மாறாக, ஆலிஸ் {x} ஐ {y, z} ஐ விடவும், ஜார்ஜ் {y, z} ஐ {x} ஐ விடவும் விரும்புகிறார் (எடுத்துக்காட்டாகஃ ஆலிஸின் மதிப்பீடுகள் 12,4,2 மற்றும் ஜார்ஜின் மதிப்பீடுகள் 6,3,4). பின்னர் ஒதுக்கீடு பாரேட்டோ-திறமையானதுஃ வேறு எந்த ஒதுக்கீட்டிலும், ஆலிஸ் இன்னும் x ஐப் பெற்றால், ஜார்ஜின் பயன்பாடு குறைவாக இருக்கும்; ஆலிஸ் x ஐப் பெறவில்லை என்றால், ஆலிஸின் பயன்பாடு குறைவாக இருக்கும். மேலும், உருப்படிகள் வகுக்கக்கூடியதாக இருந்தாலும் (அதாவது, இது பகுதியளவில் பாரேட்டோ செயல்திறன் கொண்டது) ஒதுக்கீடு பாரேட்டோ-திறமையானதுஃ ஆலிஸ் ஜார்ஜுக்கு x இன் எந்த தொகையையும் கொடுத்தால், ஜார்ஜ் தனது பயன்பாட்டை அதே மட்டத்தில் வைத்திருக்க குறைந்தபட்சம் 3r இன் y அல்லது 6r இன் z ஐ கொடுக்க வேண்டும். ஆனால் பின்னர் ஜார்ஜின் பயன்பாடு 6r-9r அல்லது 6r-24r ஆல் மாறும், இது எதிர்மறையானது. ஒரு ஒதுக்கீட்டின் பாரேட்டோ-செயல்திறன் மூட்டைகளின் தரவரிசையைப் பொறுத்தது என்பதால், பொருட்களின் தரவரிசை மட்டுமே கொடுக்கப்படும்போது ஒரு ஒதுக்கீட்டின் செயல்திறனை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. வரையறைகள் ஒரு ஒதுக்கீடு X = (X1,., Xn) பாரேட்டோ மற்றொரு ஒதுக்கீட்டை Y = (Y1,., Yn) ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, ஒவ்வொரு முகவரும் i பலவீனமாக மூட்டை xi ஐ மூட்டை yi ஐ விட விரும்புகிறார், மேலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு முகவர் j கண்டிப்பாக Xj ஐ Yj க்கு விரும்புகிறார். வேறு எந்த ஒதுக்கீடும் பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை என்றால் ஒரு ஒதுக்கீடு எக்ஸ் பாரேட்டோ-திறமையானது. சில நேரங்களில், தனித்துவமான-பாரேட்டோ-செயல்திறன் இடையே ஒரு வேறுபாடு உள்ளது, அதாவது ஒரு ஒதுக்கீடு ஒரு தனித்துவமான ஒதுக்கீட்டால் ஆதிக்கம் செலுத்துவதில்லை, மேலும் பின்ன பாரேட்டோ செயல்திறனின் வலுவான கருத்து, அதாவது ஒரு ஒதுக்கீடு ஒரு பின்ன ஒதுக்கீட்டால் கூட ஆதிக்கம் செலுத்துவதில்லை. மேற்கண்ட வரையறைகள் முகவர்களின் தொகுப்புகளின் (பொருட்களின் தொகுப்புகள்) தரவரிசையைப் பொறுத்தது. எங்கள் அமைப்பில், முகவர்கள் தங்கள் பொருட்களின் தரவரிசையை மட்டுமே தெரிவிக்கின்றனர். சிங்கிள்டன் மூட்டைகளை அவை கொண்டிருக்கும் பொருட்களின் அதே வரிசையில் தரவரிசைப்படுத்தினால், ஒரு மூட்டை தரவரிசை ஒரு உருப்படி தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகிறது என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆலிஸின் தரவரிசை இருந்தால், எந்தவொரு நிலையான மூட்டை தரவரிசையும் {w} <{x} <{y} <{z] ஐக் கொண்டிருக்க வேண்டும். பெரும்பாலும், அனுமதிக்கப்பட்ட மூட்டை தரவரிசைகளின் தொகுப்பில் ஒருவர் கூடுதல் அனுமானங்களைச் செய்கிறார், இது நிலைத்தன்மைக்கு கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு அனுமானங்கள்ஃ மோனோடோனிசிட்டிஃ ஒரு மூட்டையில் ஒரு பொருளைச் சேர்ப்பது எப்போதும் மூட்டையை மேம்படுத்துகிறது. இது அனைத்து பொருட்களும் நல்லவை என்ற அனுமானத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. எனவே, ஆலிஸின் தொகுப்பு தரவரிசை இருக்க வேண்டும் எ. கா. {y} <{y, x}. பொறுப்புணர்வுஃ ஒரு பொருளை ஒரு சிறந்த பொருளுடன் மாற்றுவது எப்போதும் மூட்டை மேம்படுத்துகிறது. எனவே, ஆலிஸின் தொகுப்பு தரவரிசை இருக்க வேண்டும் எ. கா. {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}. இது நிலைத்தன்மையை விட வலுவானது. சேர்க்கை-முகவர் ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் ஒரு மதிப்பை ஒதுக்குகிறார், மேலும் ஒவ்வொரு மூட்டையையும் அதன் உள்ளடக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையில் மதிப்பிடுகிறார். இந்த அனுமானம் பொறுப்பை விட வலுவானது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆலிஸ் {x, y} <{z} தரவரிசையில் இருந்தால், அவள் {w, x, y} <{w, z} தரவரிசையில் இருக்க வேண்டும். லெக்ஸிகோகிராஃபிக்ஃ முகவர் எப்போதும் x ஐ விட குறைவான தரவரிசையில் உள்ள உருப்படிகளை மட்டுமே கொண்ட எந்தவொரு மூட்டைக்கும் மேலே சில உருப்படி x ஐக் கொண்ட ஒரு மூட்டைக்கு தரவரிசைப்படுத்துகிறார். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஆலிஸ் {w, x, y} <{z} தரவரிசையில் இருக்க வேண்டும். முகவர்களின் உருப்படி தரவரிசைகளுடன் ஒத்துப்போகும் அனைத்து மூட்டை தரவரிசைகளுக்கும் (அவை அனைத்து மோனோடோனிக் மற்றும் பதிலளிக்கக்கூடிய மூட்டை தரவரிசைகளையும் அனுமதிக்கின்றன) அது மூட்டை தரவரிசைகளுக்கு மூட்டை செயல்திறன் கொண்டதாக இருந்தால், தேவையான மூட்டை செயல்திறன் கொண்ட பிராம்ஸ், எடெல்மேன் மற்றும் ஃபிஷ்பர்ன் ஒரு ஒதுக்கீட்டை மூட்டை உத்தரவாதம் என்று அழைக்கிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாகஃ முகவர்களின் மதிப்பீடுகள் நேர்மறையானவை என்று கருதப்பட்டால், அனைத்து பொருட்களையும் ஒரு முகவருக்கு வழங்கும் ஒவ்வொரு ஒதுக்கீடும் பாரேட்டோ-உத்தரவாதம் ஆகும். ஆலிஸின் தரவரிசை x> y ஆகவும், ஜார்ஜின் தரவரிசை y> x ஆகவும் இருந்தால், ஒதுக்கீடு [ஆலிஸ்ஃ x, ஜார்ஜ்ஃ y] பாரேட்டோ-உறுதிப்படுத்துவதாகும். ஆலிஸின் தரவரிசை x> y> z ஆகவும், ஜார்ஜின் தரவரிசை x> z> y ஆகவும் இருந்தால், ஒதுக்கீடுகள் தனித்தனியாக இருக்க வேண்டும் என்றால், ஒதுக்கீடு [ஆலிஸ்ஃ x, y; ஜார்ஜ்ஃ z] பாரேட்டோ-உறுதிப்படுத்தும். மேற்கண்ட தரவரிசையில், ஒதுக்கீடு [ஆலிஸ்ஃ x, ஜார்ஜ்ஃ y, z] பாரேட்டோ-உத்தரவாதம் அல்ல. அறிமுகத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, இது பாரேட்டோ-திறமையானது அல்ல. எ. கா. x, y, z க்கான ஆலிஸின் மதிப்பீடுகள் 8,7,6 ஆகவும், ஜார்ஜின் மதிப்பீடுகள் 7,1,2 ஆகவும் இருக்கும்போது. இந்த இரண்டு மதிப்பீடுகளும் முகவர்களின் தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. பவுரெட், எண்ட்ரிஸ் மற்றும் லாங். சமமான வரையறையைப் பயன்படுத்தவும். முகவர்களின் உருப்படி தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் சில தொகுப்பு தரவரிசைகள் இருந்தால், ஒரு ஒதுக்கீடு எக்ஸ் ஒரு ஒதுக்கீடு ஒய்-ஐ பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள், இதற்காக எக்ஸ் பாரேட்டோ ஒய்-ஐ ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. வேறு எந்த ஒதுக்கீடும்-பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை என்றால், ஒரு ஒதுக்கீடு அவசியமான-பாரேட்டோ-திறமையான (என். இ. சி. பி. இ) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு வரையறைகளும் தர்க்கரீதியாக சமமானவைஃ "எக்ஸ் என்பது பரேட்டோ-உத்தரவாதம்" என்பது "ஒவ்வொரு நிலையான மூட்டை தரவரிசைக்கும், மற்ற ஒவ்வொரு ஒதுக்கீட்டிற்கும் ஒய், ஒய் பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தாது எக்ஸ்" என்பதற்கு சமம். "X என்பது NecPE" என்பது "மற்ற ஒவ்வொரு ஒதுக்கீட்டிற்கும் Y, ஒவ்வொரு நிலையான மூட்டை தரவரிசைக்கும், Y என்பது X ஐ பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தாது" என்பதற்கு சமம். "அனைவருக்கும்" அளவீடுகளின் வரிசையை பரிமாறிக்கொள்வது தர்க்கரீதியான பொருளை மாற்றாது. அனைத்து சேர்க்கை மூட்டை தரவரிசைகளையும் நாம் அனுமதித்தாலும், அல்லது குறைந்து வரும் வேறுபாடுகளுடன் சேர்க்கை மதிப்பீடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட தரவரிசைகளை மட்டுமே அனுமதித்தாலும், NecPE நிபந்தனை அப்படியே இருக்கும். இருப்பு நெக்பிஇ என்பது மிகவும் வலுவான தேவையாகும், இது பெரும்பாலும் பூர்த்தி செய்ய முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு முகவர்கள் ஒரே உருப்படி தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளனர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அவர்களில் ஒருவர், ஆலிஸ் கூறுகிறார், குறைந்த தரவரிசை உருப்படியைப் பெறுகிறார். சீரான சேர்க்கை மூட்டை-தரவரிசைகள் உள்ளன, இதில் அலிஸ் இந்த உருப்படியை 0 ஆக மதிப்பிடுகிறது, அதே நேரத்தில் ஜார்ஜ் அதை 1 ஆக மதிப்பிடுகிறார். எனவே, அதை ஆலிஸுக்குக் கொடுப்பது பரேட்டோ-திறமையானது அல்ல. அனைத்து பொருட்களும் கண்டிப்பாக நேர்மறையான மதிப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று நாம் விரும்பினால், அனைத்து பொருட்களையும் ஒரே முகவரிடம் வழங்குவது அற்பமானது, ஆனால் அது மிகவும் நியாயமற்றது. பின்ன ஒதுக்கீடுகள் அனுமதிக்கப்பட்டால், இரு முகவர்களுக்கும் நேர்மறையான மதிப்பை வழங்கும் NecPE ஒதுக்கீடு இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆலிஸ் மற்றும் ஜார்ஜ் இருவரும் x> y தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளனர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இரண்டும் நேர்மறையான மதிப்பைப் பெற்றால், ஆலிஸ் சில x ஐப் பெறுகிறார், ஜார்ஜ் சில y ஐப் பெறுகிறார், அல்லது நேர்மாறாக. முந்தைய வழக்கில், ஆலிஸின் மதிப்பீடுகள் எ. கா. 4, 2 மற்றும் ஜார்ஜின் மதிப்பீடுகள் 8,1 ஆகும், எனவே ஆலிஸ் ஒரு சிறிய தொகை r x ஐ ஒரு சிறிய தொகை 3r y க்கு பரிமாறிக்கொள்ள முடியும். ஆலிஸ் 6r-4r ஆதாயங்கள் மற்றும் ஜார்ஜ் 8r-3r ஆதாயங்கள், எனவே இரண்டு ஆதாயங்களும் நேர்மறையானவை. பிந்தைய வழக்கில், ஒரு ஒத்த வாதம் உள்ளது. சாத்தியமான பாரேட்டோ-செயல்திறன் பிராம்ஸ், எடெல்மேன் மற்றும் ஃபிஷ்பர்ன் ஆகியோர் ஒரு ஒதுக்கீட்டை பாரேட்டோ-சாத்தியம் என்று அழைக்கிறார்கள், இது முகவர்களின் உருப்படி தரவரிசைகளுடன் ஒத்துப்போகும் சில மூட்டை தரவரிசைகளுக்கு பாரேட்டோ-திறமையானதாக இருந்தால். வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு பாரேட்டோ-உறுதிப்படுத்தும் ஒதுக்கீடும் பாரேட்டோ-சாத்தியமானது. கூடுதலாகஃ ஆலிஸின் தரவரிசை x> y> z ஆகவும், ஜார்ஜின் தரவரிசை x> z> y ஆகவும் இருந்தால், ஒதுக்கீடு [ஆலிஸ்ஃ x, ஜார்ஜ்ஃ y, z] பாரேட்டோ-சாத்தியமாகும். அறிமுகத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, இது பாரேட்டோ-திறமையானது எ. கா. x, y, z க்கான ஆலிஸின் மதிப்பீடுகள் 12,4,2 ஆகவும், ஜார்ஜின் மதிப்பீடுகள் 6,3,4 ஆகவும் இருக்கும்போது. இந்த இரண்டு மதிப்பீடுகளும் முகவர்களின் தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆலிஸின் தரவரிசை x> y ஆகவும், ஜார்ஜின் தரவரிசை y> x ஆகவும் இருந்தால், ஒதுக்கீடு [ஆலிஸ்ஃ y, ஜார்ஜ்ஃ x] பாரேட்டோ-சாத்தியமில்லை, ஏனெனில் இது எப்போதும் ஒதுக்கீட்டால் [ஆலிஸ்ஃ x, ஜார்ஜ்ஃ y] பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. பவுரெட், எண்ட்ரிஸ் மற்றும் லாங். வேறு வரையறையைப் பயன்படுத்தவும். முகவர்களின் உருப்படி தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் அனைத்து தொகுப்பு தரவரிசைகளுக்கும், எக்ஸ் பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தும் ஒய் என்றால், ஒரு ஒதுக்கீடு எக்ஸ் அவசியம் பாரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். வேறு எந்த ஒதுக்கீடும்-பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்தவில்லை என்றால், ஒரு ஒதுக்கீடு சாத்தியமான-பரேட்டோ-திறமையான (பிஓஎஸ்பிஇ) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு வரையறைகளும் தர்க்கரீதியாக சமமானவை அல்லஃ "X என்பது பாரேட்டோ-சாத்தியமானது" என்பது "ஒரு நிலையான தொகுப்பு தரவரிசை உள்ளது, இதற்கு மற்ற ஒவ்வொரு ஒதுக்கீட்டிற்கும் Y, Y X இல் ஆதிக்கம் செலுத்தாது" என்பதற்கு சமம். மற்ற அனைத்து ஒதுக்கீடுகளுக்கும் இது அதே தொகுப்பு தரவரிசையாக இருக்க வேண்டும் Y. "எக்ஸ் என்பது போஸ்பிஇ" என்பது "மற்ற ஒவ்வொரு ஒதுக்கீட்டிற்கும் ஒய், ஒரு நிலையான தொகுப்பு தரவரிசை உள்ளது, இதற்காக ஒய் எக்ஸ் மீது ஆதிக்கம் செலுத்தாது" என்பதற்கு சமம். மற்ற ஒவ்வொரு Y ஒதுக்கீட்டிற்கும் வேறுபட்ட தொகுப்பு தரவரிசை இருக்கலாம். எக்ஸ் பாரேட்டோ-சாத்தியமானதாக இருந்தால், அது போஸ்பிஇ ஆகும், ஆனால் மற்ற உட்குறிப்பு (தர்க்கரீதியாக) உண்மை அல்ல. அனைத்து சேர்க்கை மூட்டை தரவரிசைகளையும் நாம் அனுமதித்தாலும் சரி, அல்லது குறைந்து வரும் வேறுபாடுகளுடன் சேர்க்கை மதிப்பீடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட தரவரிசைகளை மட்டுமே அனுமதித்தாலும் சரி, பாரேட்டோ-சாத்தியமான நிபந்தனை அப்படியே இருக்கும். தற்செயலான-ஆதிக்கம் பரேட்டோ-செயல்திறன் போகோமோல்னியா மற்றும் மௌலின் நியாயமான சீரற்ற வேலையை அமைப்பதற்கான ஒரு செயல்திறன் கருத்தை முன்வைக்கிறார்கள் (மூட்டை தரவரிசைகள் சேர்க்கையாக இருக்கும்போது, ஒதுக்கீடுகள் பின்னமாக இருக்கும், மேலும் ஒவ்வொரு முகவருக்கும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை அதிகபட்சம் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்). இது சீரற்ற ஆதிக்கம் என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒவ்வொரு உருப்படிக்கும் i, ஒரு மூட்டை xi பலவீனமாக-அசாதாரணமாக ஒரு மூட்டை xi மீது ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது (wsd) ஒவ்வொரு உருப்படிக்கும் z, xi இல் z ஐ விட சிறந்த உருப்படிகளின் மொத்த பின்னம் குறைந்தபட்சம் yi இல் உள்ளதைப் போலவே பெரியதாக இருந்தால் (ஒதுக்கீடுகள் தனித்துவமாக இருந்தால், xi sd y என்றால் ஒவ்வொரு உருப்படிக்கும் z, xi இல் z ஐ விட சிறந்த உருப்படிகளின் எண்ணிக்கை குறைந்தபட்சம் yi இல் உள்ளதைப் போலவே பெரியது). எஸ். டி உறவு பல சமமான வரையறைகளைக் கொண்டுள்ளது; பதிலளிக்கக்கூடிய தொகுப்பு நீட்டிப்பைப் பார்க்கவும். குறிப்பாக, ஷி எஸ். டி. யி என்றால்-மற்றும்-மட்டும்-பொருள் தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் ஒவ்வொரு மூட்டை தரவரிசையிலும், ஜி குறைந்தபட்சம் யி போன்றது. ஒரு மூட்டை ஜி கண்டிப்பாக-அசாதாரணமாக ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது (எஸ். எஸ். டி) ஒரு மூட்டை யி என்றால் ஜி டபிள்யூ. எஸ். டி யி மற்றும் ஜி § யி. சமமாக, குறைந்தபட்சம் ஒரு உருப்படி z க்கு, "குறைந்தபட்சம் Yi இல் உள்ள அளவுக்கு பெரியது" "Yi இல் உள்ளதை விட கண்டிப்பாக பெரியது" ஆகிறது. எஸ்எஸ்டி உறவில் "ஜி>> யி" என்று எழுதப்பட்டுள்ளது. ஒரு ஒதுக்கீடு X = (X1,., Xn) மற்றொரு ஒதுக்கீட்டில் Y = (Y1,., Yn) ஐ ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, ஒவ்வொரு முகவருக்கும் i: xi wsd Yi, மற்றும் Y ஷ்ண X (சமமாகஃ குறைந்தபட்சம் ஒரு முகவருக்கு i, xi ssd Yi). சீரற்ற ஆதிக்கத்தில் ஒதுக்கீடுகளுக்கு இடையிலான உறவு "X>> Y" என்றும் எழுதப்படுகிறது. இது தேவையான பாரேட்டோ-டொமினேஷனுக்கு சமம். ஒரு ஒதுக்கீட்டை சீரற்ற முறையில் ஆதிக்கம் செலுத்தும் எந்த ஒதுக்கீடும் இல்லையென்றால், அது எஸ். டி-திறமையானது (பொதுவாக திறமையானது அல்லது ஓ-திறமையானது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது பிஓஎஸ்பிஇ-ஐப் போன்றது, ஆனால் மூட்டை தரவரிசைகள் சேர்க்கை பயன்பாட்டு செயல்பாடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை வலியுறுத்துகிறது, மேலும் ஒதுக்கீடுகள் பகுதியளவு இருக்கலாம். மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, பாரேட்டோ-சாத்தியமானது போஸ்பேவைக் குறிக்கிறது, ஆனால் மற்ற திசை தர்க்கரீதியாக உண்மை அல்ல. நியாயமான சீரற்ற ஒதுக்கீட்டு சிக்கலில் (கடுமையான அல்லது பலவீனமான உருப்படி தரவரிசையுடன்) அவை சமமானவை என்பதை மெக்லெனன் நிரூபிக்கிறார். குறிப்பாக, பின்வருவன சமமானவை என்பதை அவர் நிரூபிக்கிறார்ஃ (அ) எக்ஸ் என்பது எஸ். டி-திறமையானது (அதாவது, எக்ஸ் என்பது பிஓஎஸ்பிஇ); (ஆ) முகவர்களின் உருப்படி-தரவரிசைகளுடன் ஒத்துப்போகும் சேர்க்கை மூட்டை-தரவரிசைகள் உள்ளன, இதற்காக எக்ஸ் பகுதியளவில்-பரேட்டோ-திறமையானது (அதாவது, எக்ஸ் என்பது பாரேட்டோ-சாத்தியமானது); (இ) முகவர்களின் உருப்படி-தரவரிசைகளுடன் ஒத்துப்போகும் சேர்க்கை மூட்டை-தரவரிசைகள் உள்ளன, இதற்காக எக்ஸ் முகவர்களின் பயன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கிறது. தாக்கங்கள் (c) → (b) → (a) எளிதானவை; சவாலான பகுதி (a) → (c) என்பதை நிரூபிப்பதாகும். ஹைப்பர்பிளேன் தேற்றத்தைப் பிரிக்கும் பாலிஹெட்ரல் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மெக்லெனன் இதை நிரூபிக்கிறார். பொகோமோல்னியா மற்றும் மௌலின் ஆகியவை எஸ். டி-செயல்திறனின் மற்றொரு பயனுள்ள குணாதிசயத்தை நிரூபிக்கின்றன, அதே நியாயமான சீரற்ற பணி அமைப்புக்கு ஆனால் கடுமையான உருப்படி தரவரிசைகளுடன். கொடுக்கப்பட்ட பின்ன ஒதுக்கீட்டின் பரிமாற்ற வரைபடத்தை ஒரு இயக்கிய வரைபடமாக வரையறுக்கவும், அதில் முனைகள் உருப்படிகள், மேலும் ஒரு வளைவு x → y iff உள்ளது, அங்கு ஒரு முகவர் i உள்ளது, இது x ஐ விரும்புகிறது மற்றும் y இன் நேர்மறையான பின்னத்தைப் பெறுகிறது. ஒரு ஒதுக்கீட்டின் பரிமாற்ற வரைபடத்தில் திசைதிருப்பப்பட்ட சுழற்சிகள் இல்லையென்றால் அதை அசைக்ளிக் என்று வரையறுக்கவும். பின்னர், ஒரு ஒதுக்கீடு sd-திறமையான iff அது அசைக்ளிக் ஆகும். பதிலளிக்கக்கூடிய மூட்டை தரவரிசைகளுடன் தனித்துவமான மூட்டைகளின் மேலாதிக்க உறவுகளில் பின்வரும் சமநிலையை ஃபிஷ்பர்ன் நிரூபித்தார்ஃ xi>> yi (அதாவதுஃ xi § yi, மற்றும் ஒவ்வொரு உருப்படிக்கும் z, xi குறைந்தது பல உருப்படிகளைக் கொண்டிருந்தால், அவை குறைந்தபட்சம் z ஐப் போலவே சிறந்தவை), பின்னர் ஒவ்வொரு பதிலளிக்கக்கூடிய மூட்டை-தரவரிசையும் உருப்படி-தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகிறது, xi> yi. xi>> y இல்லையென்றால், உருப்படி தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பதிலளிக்கக்கூடிய மூட்டை-தரவரிசை உள்ளது, அதற்காக xi <y. எனவே, தனித்தனி ஒதுக்கீடுகளின் மேலாதிக்க உறவுகளுக்கு பின்வருவன பொருந்தும்ஃ எக்ஸ்>> ஒய் என்றால் எக்ஸ் அவசியம் பரேட்டோ-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது ஒய். பண்புகள் என்றால் xi wsd yi, பின்னர் |Xi | ≤ |Yi |, அதாவது, xi இல் உள்ள பொருட்களின் மொத்த அளவு (தனித்துவமான அல்லது பின்னமான) குறைந்தபட்சம் yi இல் உள்ள அளவுக்கு பெரியதாக இருக்க வேண்டும். ஏனென்றால், |Xi | <|Yi | என்றால், அனைத்து பொருட்களுக்கும் கிட்டத்தட்ட ஒரே மதிப்பை ஒதுக்கும் மதிப்பீட்டிற்கு, v (xi) <v (yi). இதன் பொருள் என்னவென்றால், எக்ஸ் டபிள்யூஎஸ்டி ஒய் மற்றும் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் இரண்டும் முழுமையான ஒதுக்கீடுகளாக இருந்தால் (அனைத்து பொருட்களும் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன), பின்னர் அனைத்து முகவர்களுக்கும் அவசியம் |Xi | = |Yi |. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு முழுமையான ஒதுக்கீடு X என்பது ஒரு ஒதுக்கீடு Y ஆல் மட்டுமே ஆதிக்கம் செலுத்த முடியும், இது ஒவ்வொரு முகவருக்கும் X ஐப் போலவே அதே தொகையை ஒதுக்குகிறது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், குறிப்பாக, ஒவ்வொரு முகவருக்கும் சரியாக 1 யூனிட்டைக் கொடுக்கும் அனைத்து ஒதுக்கீடுகளின் தொகுப்பிலும் எக்ஸ் எஸ். டி-திறமையானதாக இருந்தால், எக்ஸ் பொதுவாக எஸ். டி-திறமையானது. லெக்ஸிகோகிராஃபிக்-ஆதிக்கம் பரேட்டோ-செயல்திறன் சோ லெக்ஸிகோகிராஃபிக் ஆதிக்கத்தின் அடிப்படையில் நியாயமான சீரற்ற வேலையை அமைப்பதற்கான இரண்டு செயல்திறன் கருத்துக்களை வழங்குகிறது. ஒரு ஒதுக்கீடு X = (X1,., Xn) கீழ்நோக்கி-நெகிழ்வான முறையில் (dl) மற்றொரு ஒதுக்கீட்டில் Y = (Y1,., Yn) ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, ஒவ்வொரு முகவர் i க்கும், xi பலவீனமாக-dl-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது மற்றும் குறைந்தது ஒரு முகவர் j க்கு, Xj கண்டிப்பாக-dl-ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. ஒரு ஒதுக்கீட்டை டிஎல்-ஆதிக்கம் செலுத்தும் வேறு எந்த ஒதுக்கீடும் இல்லையென்றால் அது டிஎல்-திறமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல், மேல்நோக்கிய-லெக்ஸிகோகிராஃபிக் (உல்) ஆதிக்கம் என்ற கருத்தின் அடிப்படையில், அல்-ஆதிக்கம் செலுத்தும் வேறு எந்த ஒதுக்கீடும் இல்லையென்றால், ஒரு ஒதுக்கீடு உல்-திறமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, எஸ். டி-டொமினேஷன் என்பது டிஎல்-டொமினேஷன் மற்றும் உல்-டொமினேஷனைக் குறிக்கிறது. எனவே, டிஎல்-செயல்திறன் மற்றும் அல்-செயல்திறன் ஆகியவை எஸ். டி-செயல்திறனைக் குறிக்கின்றன. சமன்பாடுகள் நியாயமான சீரற்ற ஒதுக்கீட்டு அமைப்பைக் கவனியுங்கள் (மூட்டை தரவரிசைகள் சேர்க்கை, ஒதுக்கீடுகள் பின்னமாக இருக்கலாம் மற்றும் ஒவ்வொரு முகவருக்கும் வழங்கப்படும் மொத்த பின்னம் 1 ஆக இருக்க வேண்டும்), கடுமையான உருப்படி தரவரிசையுடன், முகவர்களை விட அதிகமான உருப்படிகள் இருக்கலாம் (எனவே சில உருப்படிகள் ஒதுக்கப்படாமல் இருக்கலாம்). இந்த குறிப்பிட்ட விஷயத்தில், டிஎல்-செயல்திறன் மற்றும் அல்-செயல்திறன் ஆகியவை எஸ். டி-செயல்திறனுக்கு சமம் என்பதை சோ மற்றும் டோகன் நிரூபிக்கின்றனர். குறிப்பாக, ஒரு ஒதுக்கீடு எக்ஸ் எஸ். டி/எல். டி/உல் திறமையானதாக இருந்தால், அவை நிரூபிக்கின்றனஃ எக்ஸ் இன் பரிமாற்ற வரைபடம் அசைக்ளிக் மற்றும்-எக்ஸ் வீணாகாது ("வீணானது" என்றால் ஒரு பொருள் x இன் நேர்மறையான பகுதியை பெறும் சில முகவர் i, முற்றிலும் ஒதுக்கப்படாத மற்றொரு உருப்படி y ஐ விரும்புகிறார்). விநியோகக் கட்டுப்பாடுகள் இருந்தால் சமநிலை இருக்காதுஃ sd-திறமையான ஆனால் dl-திறனற்ற ஒதுக்கீடுகள் உள்ளன. மேலும் வாசிப்பது அஜீஸ், காஸ்பர்ஸ், மெக்கென்சி மற்றும் வால்ஷ் ஆகியோர் ஒழுங்குமுறை நியாயமான கருத்துக்கள் தொடர்பான கணக்கீட்டு சிக்கல்களை ஆய்வு செய்கிறார்கள். பிரிவு 7 இல் அவர்கள் எஸ். டி-பரேட்டோ-செயல்திறனை சுருக்கமாக ஆய்வு செய்கிறார்கள். டோகன், டோகன் மற்றும் யில்டிஸ் ஆகியோர் ஒதுக்கீடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபட்ட மேலாதிக்க உறவை ஆய்வு செய்கிறார்கள்ஃ ஒரு ஒதுக்கீடு எக்ஸ் ஒரு ஒதுக்கீடு ஒய் மீது ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது, இது உருப்படி தரவரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் பெரிய தொகுப்பு-தரவரிசைகளுக்கு பரேட்டோ-திறமையானதாக இருந்தால். அப்துல்காதிரோக்லு மற்றும் சோன்மேஸ் ஆகியோர் எஸ். டி-செயல்திறன் மற்றும் முன்னாள்-பிந்தைய பரேட்டோ-செயல்திறன் (சீரற்ற பணியின் சூழலில்) இடையேயான உறவை ஆராய்கின்றனர். அவர்கள் பணிகளின் தொகுப்புகளுக்கு மேலாதிக்கம் என்ற புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறார்கள், மேலும் லாட்டரியின் ஆதரவின் ஒவ்வொரு துணைக்குழுவும் பெயரிடப்படாவிட்டால் ஒரு லாட்டரி எஸ். டி-திறமையானது என்பதைக் காட்டுகிறது. குறிப்புகள் பாரேட்டோ செயல்திறன் சீரற்ற மாறி வரிசை