Orthogonality (mathematics)
கணிதத்தில், ஆர்த்தோகொனாலிட்டி என்பது இருதரப்பு வடிவங்களின் நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கு செங்குத்தான வடிவியல் கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். இருமுனை வடிவம் B கொண்ட ஒரு திசையன் இடத்தின் இரண்டு உறுப்புகள் u மற்றும் v ஆகியவை செங்குத்தாக இருக்கும் போது. இருமுனை வடிவத்தைப் பொறுத்து, திசையன் இடத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற சுய-ஆர்த்தோகனல் திசையன்கள் இருக்கலாம். செயல்பாட்டு இடைவெளிகளின் விஷயத்தில், ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளின் குடும்பங்கள் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்க பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகள், ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் காம்பினடோரிக்ஸ் ஆகியவற்றின் சூழலில் இந்த கருத்து பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. வரையறைகள் வடிவவியலில், இரண்டு யூக்ளிடியன் திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் அவை ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது அவை ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. ஒரு உள் பெருக்கல் இடைவெளி V இல் உள்ள இரண்டு திசையன்கள் x மற்றும் y அவற்றின் உள் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த உறவு குறிக்கப்படுகிறது. ஆர்த்தோகனல் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், அதன் நெடுவரிசை திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று ஆர்த்தோனார்மல் ஆகும். ஒரு ஆர்த்தோனார்மல் அடிப்படை என்பது ஒரு அடிப்படையாகும், அதன் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இயல்பாக்கப்பட்டவை (அவை அலகு திசையன்கள்). ஒரு இணக்கமான நேரியல் மாற்றம் கோணங்கள் மற்றும் தூர விகிதங்களைப் பாதுகாக்கிறது, அதாவது ஆர்த்தோகனல் திசையன்களை அதே இணக்கமான நேரியல் மாற்றத்தால் மாற்றுவது அந்த திசையன்களை ஆர்த்தோகனல் வைத்திருக்கும். A இல் உள்ள ஒவ்வொரு திசையனும் B இல் உள்ள ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் ஆர்த்தோகனல் ஆக இருந்தால், உள் பெருக்கல் இடைவெளி V இன் இரண்டு திசையன் துணை இடங்கள் A மற்றும் B ஆர்த்தோகனல் துணை இடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கொடுக்கப்பட்ட துணைப்பகுதிக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆக இருக்கும் V இன் மிகப்பெரிய துணைப்பகுதி அதன் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு ஆகும். ஒரு தொகுதி M மற்றும் அதன் இரட்டை M ிறம் கொடுக்கப்பட்டால், M ிறமின் ஒரு உறுப்பு m′ மற்றும் M இன் ஒரு உறுப்பு m ஆகியவை அவற்றின் இயற்கையான இணைப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது, ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இரண்டு தொகுப்புகள் மற்றும் S′ இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் S இன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஆர்த்தோகனல் ஆக இருந்தால் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஒரு சொல் மறு எழுத்து அமைப்பு இடது-நேரியல் மற்றும் தெளிவற்றதாக இருந்தால் ஆர்த்தோகனல் என்று கூறப்படுகிறது. ஆர்த்தோகனல் சொல் மறு எழுத்து அமைப்புகள் ஒருங்கிணைந்தவை. ஒரு உள் தயாரிப்பு இடத்தில் உள்ள திசையன்களின் தொகுப்பு அவற்றின் ஒவ்வொரு இணைப்பும் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் ஜோடி வாரியாக ஆர்த்தோகனல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய தொகுப்பு ஆர்த்தோகனல் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில சந்தர்ப்பங்களில், இயல்பான சொல் ஆர்த்தோகனல் என்று பொருள்படும், குறிப்பாக வடிவியல் அர்த்தத்தில் ஒரு மேற்பரப்புக்கு இயல்பானதைப் போல. எடுத்துக்காட்டாக, y-அச்சு தோற்றத்தில் உள்ள வளைவுக்கு இயல்பானது. இருப்பினும், இயல்பானது ஒரு திசையனின் அளவைக் குறிக்கலாம். குறிப்பாக, ஒரு தொகுப்பு அலகு திசையன்களின் ஆர்த்தோகனல் தொகுப்பாக இருந்தால் அது ஆர்த்தோனார்மல் (ஆர்த்தோகனல் பிளஸ் நார்மல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, "ஆர்த்தோகனல்" என்று பொருள்படும் இயல்பான வார்த்தையைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்படுகிறது. "இயல்பான" என்ற வார்த்தையும் நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் வேறுபட்ட பொருளைக் கொண்டுள்ளது. இருமுனை வடிவம் கொண்ட ஒரு திசையன் இடைவெளி ஒரு உள் உற்பத்தியின் வழக்கை பொதுமைப்படுத்துகிறது. இரண்டு திசையன்களுக்கு பயன்படுத்தப்படும் இருமுனை வடிவம் பூஜ்ஜியத்தில் முடிவடையும் போது, அவை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஒரு போலி-யூக்ளிடியன் தளத்தின் வழக்கு ஹைபர்போலிக் ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்ற வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறது. வரைபடத்தில், x′ மற்றும் t′ அச்சுகள் கொடுக்கப்பட்ட எந்த φ க்கும் ஹைபர்போலிக்-ஆர்த்தோகனல் ஆகும். யூக்ளிடியன் திசையன் இடைவெளிகள் யூக்ளிடியன் இடத்தில், இரண்டு திசையன்கள் அவற்றின் புள்ளி பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது. அவை 90° (π/2 ரேடியன்கள்) கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, அல்லது திசையன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாகும். எனவே திசையன்களின் ஆர்த்தோகோனாலிட்டி என்பது எந்த பரிமாணத்தின் இடைவெளிகளுக்கும் செங்குத்தான திசையன்கள் என்ற கருத்தின் விரிவாக்கமாகும். ஒரு துணைவெளியின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு என்பது துணைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் ஆர்த்தோகனல் இருக்கும் அனைத்து திசையன்களின் இடமாகும். முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் திசையன் இடத்தில், தோற்றத்தின் வழியாக ஒரு கோட்டின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு அதன் செங்குத்தான தோற்றத்தின் வழியாக தளமாகும், மேலும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். இரண்டு தளங்கள் செங்குத்தாக இருப்பது என்ற வடிவியல் கருத்து ஆர்த்தோகனல் நிரப்புடன் ஒத்திருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் மூன்று பரிமாணங்களில் ஒரு ஜோடி திசையன்கள், ஒரு ஜோடி செங்குத்தான தளங்களில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒன்று, எந்த கோணத்திலும் சந்திக்கக்கூடும். நான்கு பரிமாண யூக்ளிடியன் இடத்தில், ஒரு கோட்டின் ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு ஒரு ஹைப்பர்பிளேன் மற்றும் நேர்மாறாகவும், ஒரு தளத்தின் நிரப்பு ஒரு தளமாகவும் இருக்கும். ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகள் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு இடைவெளியில் ஒரு எதிர்மறை அல்லாத எடை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை f மற்றும் g ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளின் உள் பெருக்கத்தை வரையறுக்க பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்துவது பொதுவானதுஃ எளிய சந்தர்ப்பங்களில், f மற்றும் g செயல்பாடுகள் அவற்றின் உள் பெருக்கல் (சமமாக, இந்த ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு) பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அவை ஆர்த்தோகனல் என்று நாம் கூறுகிறோம்ஃ ஒரு உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை இரண்டு செயல்பாடுகளின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி மற்றொரு உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனாலிட்டியைக் குறிக்காது. இந்த உள் விளைபொருளைப் பொறுத்தவரை நாம் நெறிமுறையை எழுதுகிறோம் ஒரு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பின் உறுப்பினர்கள் இடைவெளியில் w ஐப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் என்றால் அத்தகைய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பின் உறுப்பினர்கள் இடைவெளியில் w ஐப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோனார்மல் என்றால் க்ரோனெக்கர் டெல்டா எங்கே. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவற்றில் ஒவ்வொரு ஜோடியும் (ஒரு செயல்பாட்டை அதனுடன் இணைப்பதைத் தவிர) ஆர்த்தோகனல் ஆகும், மேலும் ஒவ்வொன்றின் நெறிமுறை 1 ஆகும். குறிப்பாக ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பார்க்கவும். (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) = 0, மற்றும் (1) (1) + (3) (3) (3) + (3) (−5) = 0 என்பதால் திசையன்கள் (1,3) T, (3, −0) T, (1,3, −5) T ஒருவருக்கொருவர் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். திசையன்கள் (1,0,1,0,.) T மற்றும் (0,1,0,1,.) T ஒருவருக்கொருவர் ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த திசையன்களின் புள்ளி விளைபொருள் 0 ஆகும். பின்னர் நாம் Z2n இல் உள்ள திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ள பொதுமைப்படுத்தலைச் செய்யலாம்ஃ சில நேர்மறை முழு எண் a க்கு, இந்த திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் ஆகும், எடுத்துக்காட்டாக, ஆர்த்தோகனல் ஆகும். செயல்பாடுகள் மற்றும்-1 முதல் 1 வரையிலான இடைவெளியில் ஒரு அலகு எடை செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும்ஃ செயல்பாடுகள் 1, sin (nx), cos (nx): n = 1,2,3,. இடைவெளிகளில் ரீமன் ஒருங்கிணைப்பு அல்லது 2π நீளத்தின் வேறு எந்த மூடிய இடைவெளியைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இந்த உண்மை ஃபோரியர் தொடரில் மையமாக உள்ளது. ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் கடந்த கால கணிதவியலாளர்களுக்கு பெயரிடப்பட்ட பல்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரிசைகளாகும். குறிப்பாகஃ ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பூஜ்ஜிய சராசரி மதிப்புடன் காஸியன் விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இடைவெளியில் சீரான விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அதிவேக விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். சற்றே பொதுவான லாகூர் பல்லுறுப்புக்கோவை வரிசைகள் காமா விநியோகங்களைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். முதல் வகையின் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அளவீட்டைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும் இரண்டாவது வகையின் செபிஷேவ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் விக்னர் அரை வட்ட விநியோகத்தைப் பொறுத்தவரை ஆர்த்தோகனல் ஆகும். ஒருங்கிணைப்பில், இரண்டு n × n லத்தீன் சதுரங்கள் அவற்றின் மேற்பூச்சு அனைத்து சாத்தியமான n2 சேர்க்கைகளையும் அளித்தால் அவை ஆர்த்தோகனல் என்று கூறப்படுகிறது. கற்பனையான எண் ஐசோகனல் ஐசோகனல் பாதை ஆர்த்தோகனல் நிரப்பு ஆர்த்தோகனல் குழு ஆர்த்தோகனல் அணி ஆர்த்தோகனல் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு கிராம்-ஷ்மிட் செயல்முறை ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு பான்-ஆர்த்தோகனல் அமைப்பு கோக்வட்டர்னியன்களில் நிகழ்கிறது.