Gaudin model
இயற்பியலில், கவுடின் மாதிரி, சில நேரங்களில் குவாண்டம் கவுடின் மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு மாதிரி அல்லது ஒரு பெரிய வகை மாதிரிகள் ஆகும், இது புள்ளிவிவர இயக்கவியலில் மைக்கேல் கவுடினால் அதன் எளிய வழக்கில் முதன்முதலில் விவரிக்கப்பட்டது. அவை சரியாக தீர்க்கக்கூடிய மாதிரிகள், மேலும் குவாண்டம் சுழல் சங்கிலிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். எளிமையான வழக்கு முதன்முதலில் 1976 ஆம் ஆண்டில் மைக்கேல் கவுடினால் விவரிக்கப்பட்டது, அதனுடன் தொடர்புடைய லை இயற்கணிதம், இரு பரிமாண சிறப்பு நேரியல் குழுவாக கருதப்படுகிறது. கணித சூத்திரம் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் அரை எளிய லை இயற்கணிதமாக இருக்கட்டும். ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்கட்டும். சிக்கலான தளத்தில், வெவ்வேறு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். மேலாதிக்க ஒருங்கிணைந்த உறுப்புடன் தொடர்புடைய வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தால் குறிக்கவும். மேலாதிக்க ஒருங்கிணைந்த எடைகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். டென்சர் தயாரிப்பை வரையறுக்கவும். இந்த மாதிரி பின்னர் கவுடின் ஹாமில்டோனியர்கள் என்று அழைக்கப்படும் செயல்பாட்டாளர்களின் தொகுப்பால் குறிப்பிடப்படுகிறது. அவை பின்வருமாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. மாறாத அளவிடுதல் விளைபொருளால் குறிக்கவும் (இது பெரும்பாலும் கொலை வடிவமாக கருதப்படுகிறது). அளவிடுதல் தயாரிப்பு மூலம் கொடுக்கப்பட்ட இரட்டை அடிப்படையாக இருங்கள். ஒரு உறுப்பைப் பொறுத்தவரை, ஆபரேட்டரால் குறிக்கவும், இது மற்ற காரணிகளின் மீது th காரணி மற்றும் அடையாளமாக செயல்படுகிறது. பின்னர் இந்த ஆபரேட்டர்கள் பரஸ்பரம் பயணம் செய்கிறார்கள். கவுடின் மாதிரிகளின் கோட்பாட்டில் ஆர்வமுள்ள ஒரு சிக்கல் இந்த ஆபரேட்டர்களின் ஒரே நேரத்தில் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். பல கவுடின் ஹாமில்டோனியர்களுடன் பணிபுரிவதற்குப் பதிலாக, மற்றொரு ஆபரேட்டர் இருக்கிறார், சில நேரங்களில் கவுடின் ஹாமில்டோனியன் என்று குறிப்பிடப்படுகிறார். இது ஒரு சிக்கலான அளவுருவைப் பொறுத்தது, மேலும் இருபடி காசிமிர், இது உலகளாவிய உறை இயற்கணிதத்தின் ஒரு உறுப்பு, இது என வரையறுக்கப்படுகிறது இது பிரதிநிதித்துவத்தைப் பொறுத்து ஒரு எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் பிரதிநிதித்துவங்களில் செயல்படுகிறது, குறிக்கப்படுகிறது. இது சில நேரங்களில் பிரதிநிதித்துவத்தின் குறியீடு என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. கவுடின் ஹாமில்டோனியன் பின்னர் அதன் பரிமாற்றத்திலிருந்து பின்வருவனவற்றின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு பரிமாற்றவியல் வரையறுக்கப்படுகிறது. உயர் கவுடின் ஹாமில்டோனியர்கள் தரவரிசை 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது, கவுடின் ஹாமில்டோனியர்களால் பரவியுள்ள பயண இயற்கணிதம் மற்றும் அடையாளத்தை ஒரு பெரிய பயண இயற்கணிதம் வரை விரிவுபடுத்தலாம், இது கவுடின் இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹரிஷ்-சந்திரா ஐசோமார்பிசத்தைப் போலவே, இந்த பயணக் கூறுகளும் தொடர்புடைய டிகிரிகளைக் கொண்டுள்ளன, குறிப்பாக கவுடின் ஹாமில்டோனியர்கள் இயற்கணிதத்தின் டிகிரி 2 பகுதியை உருவாக்குகிறார்கள். ஏனெனில், கவுடின் ஹாமில்டோனியர்களும் அடையாளமும் கவுடின் இயற்கணிதத்தில் பரவியுள்ளன. ஃபைஜின்-ஃப்ரென்கெல் மையம் என்று அழைக்கப்படும் தளங்கள் மற்றும் எடைகளின் எந்தவொரு தேர்வுக்கும் கவுடின் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படையிலான 'உலகளாவிய' மற்றொரு பயண இயற்கணிதம் உள்ளது. இங்கே பாருங்கள். பின்னர் கவுடின் இயற்கணிதத்தின் ஐகென் வெக்டர்கள் இயற்கணிதத்தில் நேரியல் செயல்பாடுகளை வரையறுக்கின்றன. கவுடின் இயற்கணிதத்தின் ஒரு உறுப்பு மற்றும் கவுடின் இயற்கணிதத்தின் ஐகென் வெக்டர் என்றால், ஒருவர் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறார். ஸ்பெக்ட்ரல் சிக்கல், அதாவது, கவுடின் இயற்கணிதத்தின் ஐகென் மதிப்புகள் மற்றும் ஒரே நேரத்தில் ஐகென் வெக்டர்களை தீர்மானிப்பது, பின்னர் கவுடின் இயற்கணிதத்தில் எழுத்துக்களை தீர்மானிக்கும் விஷயமாக மாறும். ஒரு கவுடின் மாதிரிக்கு ஒரு தீர்வு பெரும்பாலும் கவுடின் ஹாமில்டோனியன் அல்லது கவுடின் ஹாமில்டோனியர்களின் நிறமாலையை தீர்மானிப்பதாகும். ஃபைஜின், ஃப்ரென்கெல் மற்றும் ரெஷெட்டிகின் ஆகியோரால் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தி, ஸ்கலைனின் தொடர்பு செயல்பாடுகள்/ஓபர்களால் பயன்படுத்தப்படும் மாறிகளின் கவுடின் பிரிப்பால் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கணித பெத்தே அன்சாட்ஸ் உட்பட பல தீர்வு முறைகள் உள்ளன. இயற்கணித பெத்தே அன்சாட்ஸ் sl2 க்கு, நிலையான அடிப்படையாக இருக்கட்டும். எதற்கும், ஆபரேட்டர் மதிப்புள்ள மெரோமார்பிக் செயல்பாட்டை ஒருவர் வரையறுக்கலாம் அதன் எச்சம், 'முழு' டென்சர் பிரதிநிதித்துவம். பல பயனுள்ள பண்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன, ஆனால் அவை ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்காதுஃ மூன்றாவது பண்பு பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு மூலைவிட்ட (ஆனால் சீரழிந்த) அடிப்படை அறியப்பட்டதைப் பொறுத்து மூலைவிட்டமாக்கவும் அனுமதிக்கிறது. தளங்கள் மற்றும் எடைகளால் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு கவுடின் மாதிரிக்கு, வெற்றிட திசையனை ஒவ்வொரு பிரதிநிதித்துவத்திலிருந்தும் மிக உயர்ந்த எடை நிலைகளின் டென்சர் பெருக்கலாக வரையறுக்கவும்ஃ ஒரு பெத் திசையன் (சுழல் விலகல்) என்பது வடிவத்தின் திசையன் ஆகும். பெத் திசையன்களின் வடிவத்தின் ஐகென் திசையன்களை யூகிப்பது பெத் அன்சாட்ஸ் ஆகும். சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒவ்வொன்றிற்கும் 1 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருந்தால், பெத் திசையன் என்பது கவுடின் ஹாமில்டோனியர்களின் ஐகென் வெக்டர் என்பதைக் காட்டலாம். சுழற்சி விலகலுக்கான பெத்தே அன்சாட்ஸ் சமன்பாடுகள் இவை. ஏனெனில், இது முழுமைக்கு குறைகிறது கோட்பாட்டில், கவுடின் ஹாமில்டோனியனின் ஐகென் வெக்டர்கள் மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளை வழங்க பெத்தே அன்சாட்ஸ் சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடியும். நடைமுறையில், சமன்பாடுகள் நிறமாலை சிக்கலை முழுமையாக தீர்க்க வேண்டுமானால், பெத்தே சமன்பாடுகளால் கணிக்கப்பட்ட தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையையும் சரிபார்க்க வேண்டும் தீர்வுகளின் பெருக்கம் தளங்கள் மற்றும் எடைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட உள்ளமைவுக்கு, பெத்தே அன்சாட்ஸ் அனைத்து ஐகென் வெக்டர்களையும் உருவாக்கினால், அது கவுடின் மாதிரியின் அந்த உள்ளமைவுக்கு முழுமையானது என்று கூறப்படுகிறது. முழுமையடையாத கவுடின் மாதிரிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்க முடியும். கவுடின் மாதிரிகளின் கோட்பாட்டில் ஒரு சிக்கல் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட உள்ளமைவு எப்போது முழுமையடைகிறது அல்லது இல்லை என்பதைத் தீர்மானிப்பது, அல்லது குறைந்தபட்சம் பெத்தே அன்சாட்ஸ் முழுமையடைந்த 'மாதிரிகளின் இடத்தை' வகைப்படுத்துவதாகும். பெத் அன்சாட்ஸ் சமன்பாட்டின் பொதுவான சிக்கலான எளிய ஜி ஒப்புமைகளுக்கு உயர் தரவரிசை கொண்ட லை ஆல்ஜிப்ராக்களுக்கு பெறப்படலாம். இருப்பினும், இவற்றைப் பெறுவதும் தீர்ப்பதும் வழக்கை விட மிகவும் கடினம். மேலும், 1 ஐ விட அதிகமான தரவரிசைக்கு, அதாவது மற்ற அனைவரும் தவிர, உயர்ந்த கவுடின் ஹாமில்டோனியர்கள் உள்ளனர், இதற்காக பெத்தே அன்சாட்ஸை எவ்வாறு பொதுமைப்படுத்துவது என்பது தெரியவில்லை. ODE/IM ஐசோமார்பிசம் ஒரு ODE/IM ஐசோமார்பிசம் உள்ளது கவுடின் இயற்கணிதம் (அல்லது உலகளாவிய ஃபைஜின்-ஃப்ரென்கெல் மையம்), அவை கோட்பாட்டிற்கான 'இயக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்' மற்றும் ஓபர்கள், இவை சாதாரண வேறுபாடு ஆபரேட்டர்கள், இந்த விஷயத்தில். பொதுமைப்படுத்தல்கள் கண்டிப்பாக அரை-எளிய லை இயற்கணிதமாக இருப்பதற்கான கட்டுப்பாட்டை பலவீனப்படுத்துவதால் எழும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அஃபைன் லை இயற்கணிதமாக அனுமதிக்கப்படும்போது, மாதிரி ஒரு அஃபைன் கவுடின் மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுமைப்படுத்த மற்றொரு வழி ஒரு குறிப்பிட்ட லை இயற்கணிதத்தின் விருப்பமான ஆட்டோமார்ஃபிஸத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது. தானியங்கி உருமாற்றத்தின் செயல்பாட்டின் கீழ் நன்றாக மாறும் ஹாமில்டோனியர்களை ஒருவர் வரையறுக்க முடியும். அத்தகைய மாதிரிகளில் ஒரு வகை சைக்ளோடோமிக் கவுடின் மாதிரிகள் ஆகும். கிளாசிக்கல் கவுடின் மாடல் பற்றிய கருத்தும் உள்ளது. வரலாற்று ரீதியாக, குவாண்டம் கவுடின் மாதிரி பெரும்பாலான இயற்பியல் அமைப்புகளைப் போலல்லாமல் முதலில் வரையறுக்கப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டது. சில கிளாசிக்கல் ஒருங்கிணைந்த புலக் கோட்பாடுகளை கிளாசிக்கல் டைஹெட்ரல் அஃபைன் கவுடின் மாதிரிகளாக பார்க்க முடியும். எனவே, குவாண்டம் அஃபைன் கவுடின் மாதிரிகளைப் புரிந்துகொள்வது குவாண்டம் ஒருங்கிணைந்த புலக் கோட்பாடுகளின் ஒருங்கிணைந்த கட்டமைப்பைப் புரிந்துகொள்ள உதவும். இத்தகைய பாரம்பரிய புலக் கோட்பாடுகளில் முதன்மை சிரல் மாதிரி, கொசெட் சிக்மா மாதிரிகள் மற்றும் அஃபைன் தோடா புலக் கோட்பாடு ஆகியவை அடங்கும். குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் nLab இல் Gaudin ஒருங்கிணைந்த மாதிரி (வீடியோவில் 8:40 முதல் 15:14 ஐப் பார்க்கவும்.) சுழல் மாதிரிகள் குவாண்டம் லட்டிஸ் மாதிரிகள் குவாண்டம் காந்தவியல்