Kähler identities
சிக்கலான வடிவவியலில், காலர் அடையாளங்கள் என்பது டால்பீல்ட் இயக்கிகள் மற்றும் அவற்றின் அருகிலுள்ள, காலர் வடிவத்தின் சுருக்கம் மற்றும் வெட்ஜ் ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் காலர் மெட்ரிக் லாப்லாசியன்கள் தொடர்பான காலர் பன்மடங்கு இயக்கிகளுக்கு இடையிலான அடையாளங்களின் தொகுப்பாகும். லெஃப்ஷெட்ஸ் ஹைப்பர்பிளேன் தேற்றம், கடினமான லெஃப்ஷெட்ஸ் தேற்றம், ஹோட்ஜ்-ரீமன் இருமுனை உறவுகள் மற்றும் ஹோட்ஜ் குறியீட்டு தேற்றம் போன்ற சிறிய கோஹ்லர் பன்மடங்கு டி ராம் மற்றும் டால்பீல்ட் கோஹோமோலஜியில் பல உறவுகளை உருவாக்க கோஹ்லர் அடையாளங்கள் ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் முடிவுகளுடன் இணைகின்றன. அவை மீண்டும் ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது-லெம்மா, நாகானோ ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் கோடெய்ரா மறைந்துபோகும் தேற்றம் போன்ற காலர் பன்மடங்கு அடிப்படை பகுப்பாய்வு முடிவுகளை நிரூபிப்பதில் முக்கியமானது. காலர் அடையாளங்கள் முதன்முதலில் டபிள்யூ. வி. டி. ஹோட்ஜ் என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டன, இது 1941 இல் ஹார்மோனிக் ஒருங்கிணைப்புகள் குறித்த அவரது புத்தகத்தில் தோன்றியது. கோஹ்லர் வடிவியல் பற்றிய முதல் பாடப்புத்தகமான இன்ட்ரோடெக்ஷன் ஏ எல் 'எடூட் டெஸ் வேரியேட்ஸ் கோஹ்லேரியென்ஸ் இல் ஆண்ட்ரே வெயில் என்பவரால் நவீன குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இயக்கிகள் ஏ காலர் பன்மடங்கு அதன் இயற்கணிதத்தில் மென்மையான அமைப்பு (எஸ்), சிக்கலான அமைப்பு (சி) மற்றும் ரீமானியன் அமைப்பு (ஆர்) ஆகியவற்றிலிருந்து கட்டப்பட்ட சிக்கலான வேறுபட்ட வடிவங்களின் அதிக எண்ணிக்கையிலான இயக்கிகளை ஒப்புக்கொள்கிறது. இந்த இயக்கிகளின் கட்டுமானம் சிக்கலான வேறுபட்ட வடிவவியலில் இலக்கியத்தில் தரமானதாக உள்ளது. பின்வருவனவற்றில் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள தடித்த எழுத்துக்கள் ஆபரேட்டரை வரையறுக்க எந்த கட்டமைப்புகள் தேவை என்பதைக் குறிக்கின்றன. வேறுபட்ட இயக்கிகள் பின்வரும் இயக்கிகள் வேறுபட்ட இயக்கிகள் மற்றும் மென்மையான மற்றும் சிக்கலான கட்டமைப்பிலிருந்து எழுகின்றனஃ, வெளிப்புற வழித்தோன்றல். (எஸ்),-டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர். (சி),-டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர். (சி) டால்பீல்ட் இயக்கிகள் சூத்திரத்தின் மூலம் வெளிப்புற வழித்தோன்றலுடன் நேரடியாக தொடர்புடையவை. வெளிப்புற வழித்தோன்றலின் சிறப்பியல்பு பண்பு பின்னர் மற்றும் குறிக்கிறது. சில ஆதாரங்கள் கோஹ்லர் அடையாளங்களை சொற்றொடருக்கு பின்வரும் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துகின்றன. . (சி) இந்த ஆபரேட்டர் பயனுள்ளதாக இருப்பதால், கோஹ்லர் அடையாளங்களை இரு பிரிவுகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் மிகவும் சுருக்கமாக சொற்களஞ்சியப்படுத்தப்பட்ட அடையாளங்களிலிருந்து யூகிக்க முடியும். அந்த சொத்துக்கும் இது பயனுள்ளதாக இருக்கும். டென்சோரியல் ஆபரேட்டர்கள் என்ற சூத்திரத்தால் சிக்கலான கட்டமைப்பின் அடிப்படையில் இதை வரையறுக்க முடியும் பின்வரும் ஆபரேட்டர்கள் இயற்கையில் டென்சோரியல் ஆகும், அதாவது அவை ஒரு புள்ளியில் சிக்கலான வேறுபாடு வடிவத்தின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும் ஆபரேட்டர்கள். குறிப்பாக அவை ஒவ்வொன்றும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தனித்தனியாக வடிவங்களின் திசையன் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான இயக்கிகளாக வரையறுக்கப்படலாம். , சிக்கலான கான்ஜுகேட் ஆபரேட்டர். (சி), லெஃப்ஷெட்ஸ் ஆபரேட்டர் கோஹ்லர் வடிவம் எங்கே என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. (சி. ஆர்), ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டர். (ஆர்) சிக்கலான வேறுபட்ட வடிவங்களின் நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவு இருதரப்பு (பி, க்யூ) வடிவங்களாக மாறுவது பல ப்ரொஜெக்ஷன் ஆபரேட்டர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. , டிகிரி k. (S) இன் பகுதியில் உள்ள திட்டம், பைடெக்ரிக் (p, q) இன் பகுதியில் உள்ள திட்டம். (சி), எண்ணும் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. (எஸ்), சிக்கலான திசையன் இடத்தில் சிக்கலான கட்டமைப்பு ஆபரேட்டர். (சி) கடைசி ஆபரேட்டர் என்பது காலர் பன்மடங்கு கிட்டத்தட்ட சிக்கலான கட்டமைப்பின் நீட்டிப்பாகும் என்பதைக் கவனியுங்கள், அங்கு ஒரு-வடிவத்திற்கும் ஒரு-வடிவத்திற்கும், ஒரு-வடிவத்தில் காரணியுடன் செயல்படுகிறது என்பதை ஒருவர் நினைவுபடுத்துகிறார். இணைப்புகள் ரீமானியன் மெட்ரிக் ஆன், அதே போல் சிக்கலான கட்டமைப்பிலிருந்து எழும் அதன் இயற்கையான நோக்குநிலை மேற்கூறிய வேறுபாடு மற்றும் இழுவிசை இயக்கிகளின் முறையான இணைப்புகளை வரையறுக்க பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த இணைப்புகள் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் அல்லது ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் மூலம் வரையறுக்கப்படலாம். ஒருங்கிணைப்பு மூலம் அருகிலுள்ளவற்றை வரையறுக்க, ரீமானியன் மெட்ரிக் ஆன், ரீமானியன் மெட்ரிக் மூலம் தூண்டப்பட்ட கோட்டாஞ்சென்ட் இடத்தின் வெளிப்புற தயாரிப்புகளில் உள் தயாரிப்பு இருக்கும் சூத்திரத்தின் படி ஒரு-இன்னர் உற்பத்தியை வரையறுக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த-இன்னர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி, மேலே உள்ள எந்த ஆபரேட்டர்களின் முறையான இணைப்புகளையும் (குறிக்கப்படுகிறது) இந்த சூத்திரத்தால் வரையறுக்க முடியும் கோஹ்லர் பன்மடங்கு கச்சிதமாக இல்லாதபோது,-இன்னர் தயாரிப்பு முறையான அர்த்தத்தை அளிக்கிறது, குறைந்தபட்சம் ஒன்று கச்சிதமாக ஆதரிக்கப்படும் வேறுபட்ட வடிவங்கள். குறிப்பாக ஒருவர் மேலே உள்ள வேறுபட்ட மற்றும் இழுவிசை இயக்கிகளின் பின்வரும் முறையான இணை இயக்கிகளைப் பெறுகிறார். ஹோட்ஜ் ஸ்டார் ஆபரேட்டரின் அடிப்படையில் இந்த இணைப்புகளுக்கான வெளிப்படையான சூத்திரங்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. வெளிப்படையாக வழங்கியவர். (எஸ்ஆர்) வெளிப்படையாக வழங்கப்பட்டது. (சி. ஆர்) வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. (சி. ஆர்) வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. (சி. ஆர்) வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. (சி. ஆர்) கடைசி ஆபரேட்டர், லெஃப்ஷெட்ஸ் ஆபரேட்டரின் இணை, கோஹ்லர் வடிவத்துடன் சுருக்க ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறார், மேலும் இது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது ஆபரேட்டர்கள் மற்றும் அவற்றின் முறையான இணைப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட லாப்லாசியன்கள் மற்றும்ஃ உடன் தொடர்புடைய பல லாப்லேஸ் ஆபரேட்டர்கள், இல்லையெனில் லாப்லேஸ்-டி ராம் ஆபரேட்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறார்கள். (எஸ்ஆர்). (சி. ஆர்). (சி. ஆர்) மேலே உள்ள லாப்லாசியன்கள் ஒவ்வொன்றும் சுய-இணை ஆபரேட்டர்கள். உண்மையான மற்றும் சிக்கலான ஆபரேட்டர்கள் மேலே உள்ள ஆபரேட்டர்களை வரையறுக்க சிக்கலான அமைப்பு (சி) தேவைப்பட்டாலும், அவை உண்மையான வேறுபட்ட வடிவங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படலாம். இதன் விளைவாக வரும் படிவம் உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும்போது, ஆபரேட்டர் ஒரு உண்மையான ஆபரேட்டர் என்று கூறப்படுகிறது. இதை மேலும் இரண்டு வழிகளில் வகைப்படுத்தலாம்ஃ இயக்கியின் சிக்கலான இணைவு தானாக இருந்தால், அல்லது இயக்குபவர் சிக்கலான வேறுபட்ட வடிவங்களில் செயல்படும் கிட்டத்தட்ட சிக்கலான கட்டமைப்புடன் பயணம் செய்தால். இரண்டு உண்மையான ஆபரேட்டர்களின் கலவை உண்மையானது. மேற்கண்ட இயக்கிகளின் சிக்கலான இணைப்புகள் பின்வருமாறுஃ மற்றும். மற்றும் இதேபோல் மற்றும். மற்றும். . . மற்றும். . . . எனவே அனைவரும் உண்மையான ஆபரேட்டர்கள். குறிப்பாக இந்த ஆபரேட்டர்களில் யாராவது குறிக்கப்பட்டால், கம்யூட்டேட்டர் மேலே உள்ள சிக்கலான கட்டமைப்பு ஆபரேட்டர். கோஹ்லர் அடையாளங்கள் என்பது மேலே உள்ள ஆபரேட்டர்களுக்கு இடையிலான கம்யூட்டேட்டர் உறவுகளின் பட்டியல் ஆகும். மேலே உள்ள ஆபரேட்டர்களின் கலவை மூலம் பெறப்பட்ட ஆபரேட்டரால் பல்வேறு அளவுகளில் வெளிப்படையாக குறிக்கிறோம். காலர் அடையாளங்கள் அடிப்படையில் காலர் பன்மடங்கு உள்ள உள்ளூர் அடையாளங்களாகும், மேலும் சுருக்கமற்ற வழக்கில் கூட வைத்திருக்கின்றன. உண்மையில் அவை ஒரு காலர் அளவீட்டின் மாதிரி வழக்கில் நிரூபிக்கப்பட்டு, காலர் நிபந்தனை என்பது காலர் மெட்ரிக் நிலையான வடிவத்தை இரண்டாவது வரிசை வரை எடுத்துக்கொள்கிறது என்பதைக் குறிக்கும் முக்கிய பண்பைப் பயன்படுத்தி எந்த காலர் பன்மடங்கு மாற்றப்படலாம். கோஹ்லர் அடையாளங்கள் கோஹ்லர் அளவீட்டில் முதல் வரிசை அடையாளங்கள் என்பதால், அதனுடன் தொடர்புடைய பரிமாற்ற உறவுகள் எந்த கோஹ்லர் பன்மடங்கு உள்ளூரில் கோஹ்லர் அடையாளங்களைக் குறிக்கின்றன. காலர் பன்மடங்கு சுருக்கமாக இருக்கும்போது, அடையாளங்களை ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டுடன் இணைத்து பன்மடங்கு ஒத்திசைவைப் பற்றிய பல முடிவுகளை முடிவுக்குக் கொண்டுவர முடியும். வேறுபட்ட இயக்கிகள் ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டையில் ஒரு செர்ன் இணைப்புடன் இணைக்கப்படும் விஷயத்தில் மேலே உள்ள காலர் அடையாளங்களை மேம்படுத்தலாம். ஒரு ஹெர்மிடியன் மெட்ரிக் இயக்கத்தில் இருந்தால், அதன் ஹோலோமார்பிக் கட்டமைப்பை வரையறுக்கும் ஒரு டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர் என்றால், தனித்துவமான இணக்கமான செர்ன் இணைப்பும் அதன் பகுதியும் திருப்தி அளிக்கின்றன. செர்ன் இணைப்பின் வளைவு வடிவத்தை குறிக்கவும். முறையான இணைப்புகள் ஒரு-இன்னர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ளதைப் போலவே வரையறுக்கப்படலாம், அங்கு ஹெர்மிடியன் மெட்ரிக் வடிவங்களில் உள்ள உள் தயாரிப்புடன் இணைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் அனைத்து காலர் அடையாளங்களும், சில நேரங்களில் நாகானோ அடையாளங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, பின்வருவனவற்றைத் தவிர, எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் உள்ளனஃ . . இது போச்னர்-கொடைரா-நாகானோ அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக செர்ன் இணைப்பு ஒரு தட்டையான இணைப்பாக இருக்கும்போது, வளைவு, ஒருவர் இன்னும் அந்த உறவைப் பெறுகிறார் என்பதைக் கவனியுங்கள். காலர் அடையாளங்களில் உள்ள பரிமாற்ற உறவுகளுக்கு கூடுதலாக, மேற்கூறிய சில இயக்கிகள் பிற சுவாரஸ்யமான பரிமாற்ற உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. குறிப்பாக லெஃப்ஷெட்ஸ் ஆபரேட்டர், சுருக்க ஆபரேட்டர் மற்றும் மேலே உள்ள எண்ணும் ஆபரேட்டரை நினைவுகூருங்கள். பின்னர் ஒருவர் பின்வரும் பரிமாற்ற உறவுகளைக் காட்டலாம்ஃ . . லை இயற்கணிதத்துடன் ஒப்பிடுகையில், அது ஒரு sl2-முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது, எனவே ஒரு கோஹ்லர் பன்மடங்கு மீது சிக்கலான வேறுபாடு வடிவங்களின் இயற்கணிதம் ஒரு பிரதிநிதித்துவமாக மாறுகிறது. கோஹ்லர் அடையாளங்கள் ஆபரேட்டர்கள் அனைவரும் பயணிப்பதைக் குறிக்கின்றன, எனவே ஹார்மோனிக் வடிவங்களை உள்ளே பாதுகாக்கின்றன. குறிப்பாக கோஹ்லர் பன்மடங்கு கச்சிதமாக இருக்கும்போது, ஹோட்ஜ் சிதைவைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் மூன்று இயக்கிகள் கீழே இறங்கி எக்ஸ் இன் டி ராம் கோஹோமோலஜியில் ஒரு எஸ்எல் 2-மூன்று கொடுக்கின்றன. பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டின் மொழியில், ஆபரேட்டர் என்பது உயர்த்தும் ஆபரேட்டர் மற்றும் குறைக்கும் ஆபரேட்டர் ஆகும். சுருக்கமாக இருக்கும்போது, கோஹோமோலஜி குழுக்கள் வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தில் உள்ளன என்பது ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். எனவே கோஹோமோலஜி ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகை சிதைவை பகுக்கமுடியாத வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண பிரதிநிதித்துவங்களாக அனுமதிக்கிறது. அத்தகைய பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவம் ஒரு பழமையான உறுப்புடன் வருகிறது, இது ஒரு உறுப்பு. பழங்கால கோஹோமோலஜி ஒரு நேரடி கூட்டுத்தொகையைப் பிரிப்பதையும் ஒப்புக்கொள்கிறது கடினமான லெஃப்ஷெட்ஸ் சிதைவு அதன் பழமையான உறுப்பின் அடிப்படையில் முற்றிலும் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவத்தை விவரிக்கிறது. பூஜ்ஜியமற்ற பழமையான உறுப்பு என்றால், வேறுபட்ட வடிவங்கள் பரிமாணத்திற்கு மேலே மறைந்துவிடுவதால், சங்கிலி இறுதியில் பல சக்திகளுக்குப் பிறகு முடிவடைகிறது. இது முக்கோணத்திலிருந்து தூண்டப்பட்ட ஒரு-செயலைக் கொண்ட ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தை வரையறுக்கிறது. இது தொடர்புடைய பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவமாகும். ஒவ்வொரு பழங்கால கோஹோமோலஜி குழுவிற்கும் ஒரே நேரத்தில் இதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், கோஹோமோலஜியை அதன் பகுக்கமுடியாத பிரதிநிதித்துவங்களாகப் பிரிப்பது சிறிய காலர் பன்மடங்கு கடினமான லெஃப்ஷெட்ஸ் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டையுடன் இணைக்கப்பட்ட காலர் அடையாளங்கள் மூலம், ஹோலோமார்பிக் மூட்டை தட்டையாக இருந்தால், ஹோட்ஜ் சிதைவு முறுக்கப்பட்ட டி ராம் கோஹோமோலஜி குழுக்கள் மற்றும் டால்பியோல்ட் கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கு விரிவடைகிறது. முக்கோணம் இன்னும் மூட்டை-மதிப்புள்ள கோஹோமோலஜியில் ஒரு எஸ்எல் 2-முக்கோணமாக செயல்படுகிறது, மேலும் ஹார்ட் லெஃப்ஷெட்ஸ் சிதைவின் ஒரு பதிப்பு இந்த விஷயத்தில் உள்ளது. நாகானோ ஏற்றத்தாழ்வுகள் நாகானோ ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்பது ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு மீது ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டையில் ஒரு செர்ன் இணைப்பின் வளைவுடன் ஹார்மோனிக் வேறுபட்ட வடிவங்களின் உள் தயாரிப்புகளுடன் தொடர்புடைய ஒரு ஜோடி ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஆகும். குறிப்பாக ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு மீது ஒரு ஹெர்மிடியன் ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டை இருக்கட்டும், மேலும் தொடர்புடைய செர்ன் இணைப்பின் வளைவைக் குறிக்கலாம். நகானோ ஏற்றத்தாழ்வுகள் இணக்கமாக இருந்தால், அதாவது, பின்னர், மற்றும் என்று கூறுகின்றன. மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி ஒரு ஹோலோமார்பிக் திசையன் மூட்டையுடன் கோஹ்லர் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் நிரூபிக்கப்படலாம். ஒரு போதுமான வரி மூட்டை இருந்தால், செர்ன் வளைவு ஒரு காலர் மெட்ரிக் ஆகும். இந்த வழக்கில் நகானோ ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்துவது கச்சிதமான காலர் பன்மடங்கு கோடெய்ரா-நாகானோ மறைந்துபோகும் தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் சிக்கலானது பன்மடங்கு வேறுபட்ட வடிவியல்