Arthur J. Baroody
ஆர்தர் "ஆர்ட்" ஜே. பாருடி (பிறப்புஃ ஆகஸ்ட் 15,1947) ஒரு கல்வி உளவியலாளர், கல்வியாளர் மற்றும் கணித கல்வி ஆராய்ச்சியில் நிபுணர் ஆவார். அவர் அர்பானா-சாம்பேனில் உள்ள இல்லினாய்ஸ் பல்கலைக்கழகத்தில் பாடத்திட்டம் மற்றும் அறிவுறுத்தல் பேராசிரியராகவும், டென்வர் பல்கலைக்கழகத்தில் மோர்கிரிட்ஜ் கல்விக் கல்லூரியில் (சி. ஓ. இ) மூத்த ஆராய்ச்சி சக ஊழியராகவும் உள்ளார். கல்வி பரூடி கார்னெல் பல்கலைக்கழகத்தில் பயின்று பி. எஸ். பட்டம் பெற்றார். 1969 இல் அறிவியல் கல்வியில் முனைவர் பட்டமும், 1979 இல் கல்வி மற்றும் மேம்பாட்டு உளவியலில் முனைவர் பட்டமும் பெற்றார். பிந்தைய பட்டத்திற்காக, அவருக்கு ஹெர்பர்ட் பி. கின்ஸ்பர்க் வழிகாட்டினார். பரூடி 1978 ஆம் ஆண்டில் கியூகா கல்லூரியில் மேம்பாட்டு உளவியல் உதவி பேராசிரியராக தனது கல்வி வாழ்க்கையைத் தொடங்கினார். 1980 ஆம் ஆண்டில் ரோசெஸ்டர் பல்கலைக்கழகத்தின் பட்டதாரி கல்வி மற்றும் மனித மேம்பாட்டுப் பள்ளியில் எச். பி. கின்ஸ்பர்க்கின் என்ஐஇ ஆராய்ச்சி மானியத்திற்கான ஆராய்ச்சி உதவியாளராக சேர்ந்தார்ஃ "கணிதக் கற்றல் சிரமங்களுக்கான அறிவாற்றல் மேம்பாட்டு அணுகுமுறை". 1983 முதல் 1986 வரை, என்ஐஎச் ஆராய்ச்சி மானியத்திற்கான முதன்மை ஆய்வாளராக பணியாற்றினார்ஃ "டிஎம்ஆர் மற்றும் இஎம்ஆர் குழந்தைகளில் அடிப்படை கணிதக் கற்றல்". அவரது அடுத்த நியமனம் இல்லினாய்ஸ் அர்பானா-சாம்பெயின் பல்கலைக்கழகத்தில் தொடக்க மற்றும் ஆரம்பக் குழந்தைப் பருவக் கல்வியின் உதவி பேராசிரியராக (1986-1989) இருந்தது. 1989 ஆம் ஆண்டில் பாடத்திட்டம் மற்றும் அறிவுறுத்தலின் இணை பேராசிரியராகவும், 1994 ஆம் ஆண்டில் பாடத்திட்டம் மற்றும் அறிவுறுத்தல் பேராசிரியராகவும் பதவி உயர்வு பெற்றார். இந்த காலகட்டத்தில், அவர் 1987 முதல் 1990 வரையிலும், பின்னர் 1999 முதல் 2001 வரையிலும் கல்வி ஆராய்ச்சி பணியகத்தில் ஒரே நேரத்தில் நியமிக்கப்பட்டார். அவர் 2009 இல் ஓய்வு பெற்றார் மற்றும் பாடத்திட்டம் மற்றும் அறிவுறுத்தலின் எமிரிட்டஸ் பேராசிரியராக நியமிக்கப்பட்டார். 2013 முதல், டென்வர் பல்கலைக்கழகத்தில் மோர்கிரிட்ஜ் கல்விக் கல்லூரியின் மூத்த ஆராய்ச்சி சக ஊழியராகவும் பணியாற்றி வருகிறார். 2000 ஆம் ஆண்டு முதல், தேசிய அறிவியல் அறக்கட்டளை, கல்வி அறிவியல் நிறுவனம், ஸ்பென்சர் அறக்கட்டளை, தேசிய சுகாதார நிறுவனங்கள் மற்றும் தேசிய ஆளுநர்கள் சங்கத்தின் 12 மானியங்களில் முதன்மை புலனாய்வாளர் அல்லது இணை-பி. ஐ. யாக பரூடி இருந்து வருகிறார். ஆராய்ச்சி பாரூடியின் ஆரம்பகால ஆராய்ச்சி குழந்தைப் பருவத்தில் உள்ள குழந்தைகள் மற்றும் கற்றல் சிரமங்களைக் கொண்டவர்களின் முறைசாரா கணித அறிவின் வளர்ச்சியில் கவனம் செலுத்தியது. முன்பு அங்கீகரிக்கப்படாத எண்ணும் அடிப்படையிலான மன-சேர்க்கை மூலோபாயத்தை அவர் கண்டுபிடித்தார், அதாவது ஃபெலிசியாவின் எண்ணும் மூலோபாயம்-அனைத்தையும் பெரிய சேர்க்கையிலிருந்து (தீர்ப்பது, எ. கா., 2,3,4,5 ஐ எண்ணுவதன் மூலம் 2 + 5; 6 [மேலும் ஒன்று], 7 [மேலும் இரண்டு]). ஃபெலிசியாவின் மூலோபாயம் மிகவும் அடிப்படை முறைசாரா கூட்டல் உத்திகளுக்கும் பெரிய சேர்க்கையிலிருந்து எண்ணும் மேம்பட்ட மூலோபாயத்திற்கும் இடையிலான முதன்மை மாற்றமாகும் என்பதை அடுத்தடுத்த ஆராய்ச்சி உறுதிப்படுத்தியது-சில நேரங்களில் MIN மூலோபாயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் சிறிய சேர்க்கப்பட்டதற்கு சமமான பல முறை எண்ணுவதன் மூலம் எண்ணிக்கை குறைக்கப்படுகிறது. குழந்தைகளின் முறைசாரா கணித அறிவைப் பற்றிய சமநிலையான பார்வைக்கு அதன் பலம் மற்றும் வரம்புகள் இரண்டையும் ஆராய்வதன் மூலம் பரூடி பங்களித்தார். ஒரு சேகரிப்பை பெரியதாக மாற்றுவது பற்றிய குழந்தைகளின் முறைசாரா பார்வை, செயல்பாட்டின் பரிமாற்றச் சொத்தை அவர்கள் அங்கீகரிப்பதற்கு ஒரு தடையாக உள்ளது என்பதை அவர் கண்டறிந்தார்-இரண்டு சேர்க்கைகள் சேர்க்கப்படும் வரிசை ஒரு பொருட்டல்ல. சேர்க்கை வரிசையை (அதாவது ஃபெலிசியா மற்றும் MIN உத்திகள்) புறக்கணிக்கும் உத்திகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சேர்க்கை பரிமாற்றத்தைப் பற்றிய புரிதல் தேவையில்லை என்றும் அவரது ஆய்வுகள் சுட்டிக்காட்டின. குழந்தைகள் அடிப்படை எண்கணித உண்மைகளைக் கற்றுக்கொள்வதற்கும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்கும் தொடர்புடைய அறிவைப் பயன்படுத்தலாம் என்று வாதிடுவதன் மூலம் பரூடி அந்த நேரத்தில் உளவியலில் வழக்கமான ஞானத்தை சவால் செய்தார். ஒரு மழலையர் பள்ளி ஆசிரியரின் கருத்தை அவர் கேள்விப்பட்டார்ஃ சிக்ஸ் மற்றும் இன்னும் ஒன்று "எளிதானது, ஏனென்றால் இது ஆறுக்கு அடுத்த எண் மட்டுமே". அதாவது, சேர்க்கை-1 தொகைகளைத் தீர்மானிக்க எண்ணும் வரிசையைப் பற்றிய தனது தற்போதைய அறிவைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் குழந்தை உணர்ந்தது-ஆறு போன்ற எண்ணுடன் ஒன்றைச் சேர்ப்பது எண்ணிக்கை வரிசையில் அடுத்த எண்ணுக்கு சமமான தொகையாக விளைந்ததுஃ ஏழு (ஒன்றைச் சேர்ப்பதற்கான எண்ணுக்கு அடுத்த விதி). கூட்டல்-1 தொகைகள் மற்றும் இரட்டையர்-பிளஸ்-1 பகுத்தறிவு மூலோபாயத்துடன் சரளமாக செயல்படுவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுவதோடு மட்டுமல்லாமல், பெரிய (MIN) இலிருந்து எண்ணும் முறையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அடிப்படையாக எண்-பின் விதி செயல்படுவதாகத் தெரிகிறது. முக்கிய கல்வி உட்குறிப்பு என்னவென்றால், அடிப்படை உண்மைகளை அர்த்தமுள்ள மனப்பாடம் செய்வதில் அறிவுறுத்தல் கவனம் செலுத்த வேண்டும்-வடிவங்கள் மற்றும் உறவுகளைக் கண்டறிய குழந்தைகளுக்கு உதவுதல் மற்றும் பகுத்தறிவு உத்திகளைக் கண்டுபிடிக்க இந்த எண்கணித ஒழுங்குமுறைகளைப் பயன்படுத்துதல், பயிற்சி மற்றும் பயிற்சி மூலம் ரோடு மூலம் அடிப்படை உண்மைகளை மனப்பாடம் செய்வது அல்ல. ஒரு தத்துவார்த்த உட்குறிப்பு என்னவென்றால், மன-எண்கணித வல்லுநர்கள் தானாக மாறும் பல உத்திகளை நம்பியிருக்கலாம். அந்த நேரத்தில் வழக்கமான ஞானத்திற்கு மாறாக, கற்றலின் பொதுவான அறிவாற்றல் கோட்பாடு மதிக்கப்பட்டால், கடுமையான கற்றல் சிரமங்களைக் கொண்ட குழந்தைகள் முறையான கணித அறிவுறுத்தலிலிருந்து பயனடைய முடியும் என்று பரூடி கண்டறிந்தார். 75 அல்லது 50 க்கும் குறைவான IQ கொண்ட குழந்தைகள், எண்ணும் பிழைகளை சுயமாக சரிசெய்ய முடியும்; எந்த எண் பெரியது என்பதை தீர்மானிக்க கற்றுக்கொள்ள முடியும்; தொகைகளைத் தீர்மானிக்க மிகவும் திறமையான எண்ணும் உத்திகளைக் கண்டுபிடிக்கலாம்; மற்றும் சேர்க்கை பரிமாற்றவியல், ஒன்றைச் சேர்ப்பதற்கான எண்-பின் விதி மற்றும் பூஜ்ஜிய விதி போன்ற அடிப்படை எண்கணித ஒழுங்குமுறைகளைக் கண்டறியலாம். வளர்ச்சி நிலை அல்லது தயார்நிலை, ஐ. க்யூ அல்ல, கற்றல் வெற்றியை முன்னறிவிப்பதாக அவர் கண்டறிந்தார். திறன்கள்-முதல் பார்வையின் ஆதரவாளர்கள், பள்ளிக்கு முந்தைய மாணவர்களால் உட்படுத்துதல், வாய்மொழி எண்ணுதல் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் எண்ணுதல் ஆகியவை அர்த்தமுள்ளவை அல்ல, ஆனால் வெறுமனே ரோட் மூலம் கற்றுக்கொண்ட திறன்கள் என்று வாதிட்டனர். இதற்கு நேர்மாறாக, பூர்வீகவாதிகள் ஒரு சில கருத்துகளை முன்மொழிந்தனர்-அடிபணிதல் இல்லை என்றும், வாய்மொழி அடிப்படையிலான எண்ணும் அறிவின் கற்றலுக்கு உள்ளார்ந்த எண்ணும் கருத்துக்கள் வழிநடத்துகின்றன என்றும். பரூடி கருத்தியல் மற்றும் நடைமுறை மேம்பாட்டுக் கண்ணோட்டத்தின் ஒரு மறுசீரமைப்புக் கண்ணோட்டத்தை முன்மொழிந்தார்-திறன்கள்-முதல் பார்வை மற்றும் சில கருத்துக்கள்-முதல் பார்வை ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு நடுத்தரக் கண்ணோட்டம். தொடர்ச்சியான பார்வையின்படி, குழந்தைகள் படிப்படியாக சிறிய எண்களைப் பற்றிய புரிதலை உருவாக்குகிறார்கள், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் வார்த்தையுடன் பெயரிடப்பட்ட ஒரு எண்ணின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பிற எண் சொற்களால் பெயரிடப்பட்ட எண்ணின் எடுத்துக்காட்டுகள் இல்லை. சிறிய எண்ணிக்கையிலான கருத்துக்கள் சிறிய எண்களை உட்படுத்தும் திறனுக்கு ஒரு அர்த்தமுள்ள அடிப்படையை வழங்குகின்றன. அடிபணிதல், இதையொட்டி, எண், எண்ணிக்கை மற்றும் எண்கணித வளர்ச்சியை ஊக்குவிக்க உதவுகிறது. உதாரணமாக, வழக்கமான ஞானத்திற்கு மாறாக, சிறிய எண்களின் உட்பிரிவு அடிப்படையிலான எண் அங்கீகாரம் இதற்கு முன்பு வளர்ச்சியடைந்து சிறிய தொகுப்புகளை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுவதாகத் தெரிகிறது. கருத்தியல் மற்றும் நடைமுறை அறிவின் ஒன்றோடொன்று சார்ந்திருப்பதைப் பற்றிய பாரூடியின் பார்வை சில முக்கிய விஷயங்களில் மற்றவர்களிடமிருந்து வேறுபடுகிறது. ஒன்று, ஒப்பீட்டளவில் மேலோட்டமான நடைமுறை மற்றும் கருத்தியல் அறிவு சுயாதீனமாக இருந்தாலும், ஒப்பீட்டளவில் ஆழமான நடைமுறை அறிவு ஒப்பீட்டளவில் ஆழமான கருத்தியல் அறிவு இல்லாமல் அல்லது நேர்மாறாக இல்லாமல் இருக்க முடியாது. அறிவின் ஆழம் மற்ற அறிவுகளுடனான அதன் தொடர்புகளின் எண்ணிக்கை, துல்லியம், அமைப்பின் அளவு மற்றும் பொதுத்தன்மை அல்லது அகலம் ஆகியவற்றைப் பொறுத்தது. மற்ற கருத்துக்களுடன் மற்றொரு வேறுபாடு என்னவென்றால், பெரிய யோசனை-பல கருத்துக்கள், நடைமுறைகள் அல்லது களங்கள் அல்லது தலைப்புகளுக்குள் அல்லது அதற்கு அப்பால் உள்ள சிக்கல்களை இணைக்கும் பரந்த கருத்துக்கள்-ஆழமான கருத்தியல் மற்றும் நடைமுறை அறிவு இரண்டையும் உருவாக்க உதவுகிறது. கருத்தியல் மற்றும் நடைமுறை அறிவு இரண்டையும் வளர்ப்பதன் மூலம் அறிவுறுத்தல் எவ்வாறு அர்த்தமுள்ள எண், எண்ணிக்கை மற்றும் எண்கணித கற்றலை ஊக்குவிக்க முடியும் என்பதில் பிற்கால ஆராய்ச்சி முயற்சிகள் கவனம் செலுத்தின. எண்ணிக்கையின் வளர்ச்சியைப் பொறுத்தவரை, குழந்தைகள் ஆரம்பத்தில் சேகரிப்புகளை ஒன்றுக்கு ஒன்று என்ற முறையில் கணக்கிட கற்றுக்கொள்கிறார்கள், ஆனால் ஒரு சேகரிப்பின் மொத்த (கார்டினல் மதிப்பு) தீர்மானிக்க இது பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை புரிந்து கொள்ளவில்லை. ஒரு குழந்தை ஐந்து தொகுதிகளை துல்லியமாக எண்ணலாம், ஆனால் எத்தனை தொகுதிகள் உள்ளன என்று கேட்கும்போது, தவறாக யூகிக்கவும் அல்லது சேகரிப்பை மறுபரிசீலனை செய்யவும். அடிப்படையில், அத்தகைய குழந்தைகள் கார்டினாலிட்டி கொள்கையை புரிந்து கொள்ளவில்லை-ஒன்று முதல் ஒன்று எண்ணிக்கையில் பயன்படுத்தப்படும் கடைசி எண் சொல் சிறப்பு அர்த்தத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அது மொத்தத்தைக் குறிக்கிறது. கார்டினல் கொள்கையை சிறிய உட்படுத்தக்கூடிய சேகரிப்புகளுடன் மாதிரியாக்குவது குழந்தைகளுக்கு ஒன்றுக்கு ஒன்று எண்ணும் செயல்பாட்டில் கடைசி எண் சொல் மொத்தமானது என்பதைக் காணவும் கொள்கையைக் கண்டறியவும் உதவும். தொடர்ச்சியான சோதனைகளில், எண்கணித உறவுகளைக் கண்டுபிடிப்பதை ஊக்குவிப்பது பல்வேறு எண்கணித பகுத்தறிவு உத்திகள் மற்றும் அடிப்படை தொகைகள் மற்றும் வேறுபாடுகளுடன் சரளமாக கண்டுபிடிப்பதை ஊக்குவிக்கும் என்று பாருடி கண்டறிந்தார். இந்த அணுகுமுறை பயிற்சி செய்யப்பட்ட உண்மைகளுடன் சரளமாக ஊக்குவிப்பதில் அதே அளவு துரப்பணம் மற்றும் நடைமுறையைப் போலவே பயனுள்ளதாக இருந்தது, மேலும் பயிற்சி செய்யப்படாத ஆனால் தொடர்புடைய உண்மைகளுக்கு மாற்றுவதை ஊக்குவிப்பதில் துரப்பணம் மற்றும் நடைமுறையை விட கணிசமாக மிகவும் வெற்றிகரமாக இருந்தது. அறிவுறுத்தலை மேம்படுத்துவதில் கற்றல் முன்னேற்றத்தை ஒரு முக்கியமான கருவியாகப் பயன்படுத்துவது குறித்த முதல் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சோதனைகளை வழங்கவும் அவர் உதவினார். வடிவமைப்பு போன்ற சில களங்களில், கற்றல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க மேலும் வேலை தேவைப்படுகிறது அல்லது ஒரு முன்னேற்றத்தில் குறைந்த நிலைகள் உயர் நிலைகளை (தேவையான முன்நிபந்தனைகளை விட) எளிதாக்க மட்டுமே உதவுகின்றன என்பதையும் இந்த ஆராய்ச்சி சுட்டிக்காட்டியது. 1983 ஆம் ஆண்டில், குழந்தைகளின் முறைசாரா மற்றும் அவர்களின் முறையான, கணித அறிவை மதிப்பிடும் ஒரு புதுமையான ஆரம்பகால கணித சாதனை சோதனையை உருவாக்க கின்ஸ்பர்க்கிற்கு பரூடி உதவினார், அதாவது ஆரம்பகால கணித சாதனை சோதனை (டிஇஎம்ஏ). 2003 ஆம் ஆண்டில், புதிய பணிகள் அல்லது சூழ்நிலைகள் மற்றும் பழக்கமானவற்றிற்கு பயன்படுத்தக்கூடிய கருத்தியல் அடிப்படையிலான அறிவு-தகவமைப்பு நிபுணத்துவம் குறித்த ஒரு புத்தகத்தைத் திருத்த பரூடி உதவினார். புத்தகத்திற்கான பங்களிப்புகள் வழக்கமான நிபுணத்துவத்திற்கு மாறாக தகவமைப்பு நிபுணத்துவத்தை வளர்ப்பதன் நன்மைகளை அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுகின்றனஃ ரோட் மனப்பாடம் மூலம் கற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நடைமுறைகள், இது பொதுவாக பழக்கமான பணிகள் அல்லது சூழ்நிலைகளுக்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்படலாம். ஒரு முக்கிய கல்வி உட்பொருள் என்னவென்றால், பரிமாற்றம் உட்பட அறிவின் பொருத்தமான பயன்பாட்டை ஊக்குவிப்பதில் அர்த்தமுள்ள கற்றலை ஊக்குவிப்பது மிகவும் சக்திவாய்ந்ததாகும். கணிதக் கல்வியில் ஆராய்ச்சிக்கான தேசிய கணித ஆசிரியர்களின் குழுவின் 2017 அத்தியாயத்தில், பரூடி குழந்தைப் பருவத்தில் முழு எண்ணிக்கையிலான செயல்பாடுகள் குறித்த ஆராய்ச்சியை மதிப்பாய்வு செய்தார். களத்தில் ஆரம்ப (முறைசாரா) கற்றல் பள்ளி (முறையான) கற்றலுக்கு ஒரு அடித்தளத்தை எவ்வாறு வழங்குகிறது என்பது உட்பட, கற்றலின் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டிருந்தது கருப்பொருளாக இருந்தது. ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, அடிப்படை எண்-உண்மை கற்றல் பற்றிய எண்ணியல் பார்வையை அவர் கோடிட்டுக் காட்டினார்-அடிப்படை தொகைகள் மற்றும் முதன்மை தரங்களில் உள்ள வேறுபாடுகளுடன் சரளமாக இருப்பது எவ்வாறு பாலர் பள்ளியின் வளர்ச்சியைப் பொறுத்தது. பாலுடி 30க்கும் மேற்பட்ட பயிற்சியாளர் சார்ந்த புத்தகங்கள், அத்தியாயங்கள் மற்றும் பாலர் பள்ளி, ஆரம்ப மற்றும் சிறப்பு கல்வி குழந்தைகளுக்கு கணிதத்தை கற்பிப்பது குறித்த கட்டுரைகளை எழுதியுள்ளார். கையாளுதல்களைப் பயன்படுத்துவது அர்த்தமுள்ள கற்றலுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்காது என்ற ஆரம்பகால ஆதரவாளராக அவர் இருந்தார். கையாளுதலின் பயனுள்ள பயன்பாடு ஒரு கற்றல் இலக்கு, ஒரு குழந்தையின் வளர்ச்சி நிலை மற்றும் கையாளுதல்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை கவனமாக பரிசீலிப்பதைப் பொறுத்தது. கல்வி அறிவியல் நிறுவனத்தின் ஆரம்பகால எண் பயிற்சி வழிகாட்டியின் இணை ஆசிரியராக பரூடி பணியாற்றினார். இந்த வெளியீடு சான்றுகளை மறுஆய்வு செய்வதற்கும், குழந்தைப் பருவ கணிதக் கல்வி தொடர்பான சிறந்த நடைமுறைகளைப் பரிந்துரைப்பதற்கும் ஒரு முயற்சியைக் குறிக்கிறது. வளர்ச்சி முன்னேற்றங்கள் மற்றும் முன்னேற்றக் கண்காணிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் தெரிந்ததை கணிதப் பயிற்சி உருவாக்குகிறது மற்றும் ஒவ்வொரு நாளும் கணிதத்தை கற்பிப்பதற்கும், பள்ளி நாள் முழுவதும் அத்தகைய அறிவுறுத்தல்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கும் நேரத்தை ஒதுக்குகிறது. விருதுகள் மற்றும் கவுரவங்கள் 1990-யுஐயுசி கல்விக் கல்லூரி அறிஞர் விருது 1997-98-யுஐயுசி கல்விக் கல்லூரி புகழ்பெற்ற மூத்த அறிஞர் 1987-1990 & 1999-2001-யுஐயுசி கல்விக் கல்லூரி ஆசிரிய உதவித்தொகை (கல்வி ஆராய்ச்சி பணியகத்திற்கு நியமனம்) 2011-ஏ. இ. ஆர். ஜே-டி. எச். எல். டி சிறந்த விமர்சகர் 2020-ஜே. ஆர். எம். இ சிறந்த விமர்சகர் புத்தகங்கள் குழந்தைகள் கணித சிந்தனைஃ பாலர் பள்ளி, தொடக்க மற்றும் சிறப்புக் கல்வி ஆசிரியர்களுக்கான மேம்பாட்டு கட்டமைப்பு (1987) ஐ. எஸ். பி. என் 97807728376 எல் பென்சமிஎன்டோ மேட்டிமெட்டிகோ டி லாஸ் நினோஸ். (குழந்தைகள் கணித சிந்தனையின் ஸ்பானிஷ் மொழிபெயர்ப்பு.) (1988) தொடக்க கணித செயல்பாடுகள்ஃ ஒரு ஆசிரியர் வழிகாட்டி புத்தகம் (1989) ISBN 9780205118311 சிக்கலைத் தீர்ப்பது, பகுத்தறிவது மற்றும் தொடர்புகொள்வது, K முதல் 8 வரையிலான தரங்கள்ஃ குழந்தைகளுக்கு கணித ரீதியாக சிந்திக்க உதவுதல் (1992) ISBN 9780023064883 குழந்தைகளின் கணித சக்தியை வளர்ப்பதுஃ K-8 கணித அறிவுறுத்தலுக்கான ஒரு புலனாய்வு அணுகுமுறை (1998) ISBN 978-0805831054 குழந்தைகளின் கணித சிந்தனைஃ பாலர் பள்ளி, ஆரம்ப மற்றும் சிறப்பு கல்வி ஆசிரியர்களுக்கான ஒரு மேம்பாட்டு கட்டமைப்பு. (குழந்தைகள் கணித சிந்தனையின் சீன பதிப்பு) (2000) எண்கணித கருத்துக்கள் மற்றும் திறன்களின் வளர்ச்சிஃ தகவமைப்பு நிபுணத்துவத்தை உருவாக்குதல். (2003) ISBN 0-8058-3155-X IES பயிற்சி வழிகாட்டிஃ இளம் குழந்தைகளுக்கு கணிதம் கற்பித்தல். (2013) NCEE 2014-4005 தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கட்டுரைகள் பாலிவால், வி., & பாருடி, ஏ. ஜே. (2020). கார்டினலிட்டி கொள்கை புரிதல்ஃ அடிபணியும் திறனில் கவனம் செலுத்துவதன் பங்கு. ZDM கணிதக் கல்வி, 52 (4) 649-661. பரூடி, ஏ. ஜே., யில்மாஸ், என்., கிளெமென்ட்ஸ், டி. எச்., மற்றும் சரமா, ஜே. (2021). கற்றல் பாதைகளின் அடிப்படை அனுமானத்தை மதிப்பீடு செய்தல்ஃ ஆரம்பகால வடிவமைப்பு கற்றல் வழக்கு. ஜே. கணிதம். கல்வி, 13,8-32. பரூடி, ஏ. ஜே., கிளெமென்ட்ஸ், டி. எச்., மற்றும் சரமா, ஜே. (2022). கற்பனையான கற்றல் பாதைகளின் செயல்திறன் மற்றும் அனுமானங்களை சோதித்த 10 சோதனைகளிலிருந்து கற்றுக்கொண்ட பாடங்கள். கல்வி அறிவியல், 12 (3), 195. பாருடி, ஏ. ஜே., & லாய், எம். (2022). எண்ணும் அடிப்படையிலான கார்டினல் எண் கருத்தாக்கங்களின் வளர்ச்சி மற்றும் மதிப்பீடு. கணிதத்தில் கல்வி ஆய்வுகள், 1-21. பாருடி, ஏ. ஜே., மிக்ஸ், கே., கர்தால், ஜி., & லாய், எம்-எல். (2023). ஆரம்பகால கார்டினல் எண் கருத்தாக்கங்களின் வளர்ச்சி மற்றும் மதிப்பீடு. ஜர்னல் ஆஃப் நியூமெரிக்கல் காக்னிஷன், 9 (1). குறிப்புகள் 1947 பிறப்புகள் அமெரிக்க கல்வி உளவியலாளர்கள் அமெரிக்க கல்வியாளர்கள் கார்னெல் பல்கலைக்கழக முன்னாள் மாணவர்கள் வாழும் மக்கள் டென்வர் பல்கலைக்கழகம் இல்லினாய்ஸ் அர்பானா-சாம்பெயின் பல்கலைக்கழகம் ஆசிரியப் பிரிவு