Convergence proof techniques
ஒருங்கிணைப்பு ஆதார நுட்பங்கள் என்பது வாதம் முடிவிலிக்குச் செல்லும்போது வரிசைகள் அல்லது செயல்பாடுகள் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பிற்கு ஒன்றிணைகின்றன என்பதற்கான கணித ஆதாரங்களின் நியதி கூறுகளாகும். வெவ்வேறு நுட்பங்கள் தேவைப்படும் பல வகையான தொடர்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் உள்ளன. மிகவும் பொதுவான சில எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன. இந்த கட்டுரை பயிற்சியாளர்கள் பொருத்தமான நுட்பங்களை ஆராய உதவுவதை நோக்கமாகக் கொண்ட ஒரு அறிமுகமாக கருதப்படுகிறது. கீழேயுள்ள இணைப்புகள் மேலும் சுருக்கமான அமைப்புகளுக்கு தேவையான நிபந்தனைகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் பற்றிய விவரங்களை வழங்குகின்றன. தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு ஏற்கனவே ஒருங்கிணைப்பு சோதனைகள் குறித்த கட்டுரையில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது. Rn இல் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு வரிசை அல்லது செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை நிரூபிக்க விரும்புவது பொதுவானது, அங்கு இயற்கை எண்கள் மற்றும் உண்மையான எண்களைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பு யூக்ளிடியன் நெறிமுறையைப் பொறுத்தது. இதற்கு பயனுள்ள அணுகுமுறைகள் பின்வருமாறு. முதல் கொள்கைகள் ஒரு வரம்பிற்கு ஒருங்கிணைவதற்கான பகுப்பாய்வு வரையறை என்னவென்றால், அனைவருக்கும் இது போன்ற ஒரு வரையறை உள்ளது. மிகவும் அடிப்படை ஆதார நுட்பம் அத்தகைய ஒரு கண்டுபிடிக்க மற்றும் தேவையான சமத்துவமின்மை நிரூபிக்க உள்ளது. இதன் மதிப்பு முன்கூட்டியே தெரியவில்லை என்றால், கீழே உள்ள நுட்பங்கள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சுருக்க வரைபடங்கள் பல சந்தர்ப்பங்களில், ஒருங்கிணைப்பு ஆர்வமாக இருக்கும் செயல்பாடு சில மாற்றங்களுக்கான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, சில இணக்கமான மேட்ரிக்ஸுக்கு வரைபடமாக்கலாம். மாற்றாக, ஒவ்வொரு தனிமத்தையும் அதன் அளவின் வர்க்கமூலத்தால் மாற்றுவது போன்ற ஒரு உறுப்பு வாரியான செயல்பாடாக இருக்கலாம். அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில், சிக்கல் பானாச் நிலையான-புள்ளி தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் (களம் ஒரு காலியாக இல்லாத முழுமையான மெட்ரிக் இடைவெளி) பின்னர் அனைவருக்கும் நிலையான சில மாறிலிகளுக்கு அதை நிரூபிக்க போதுமானது மற்றும். அத்தகைய ஒரு சுருக்க வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு இந்த அணுகுமுறையின் பயன்பாட்டின் பிரபலமான எடுத்துக்காட்டு சில மெட்ரிக்குகளுக்கான வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதன் அனைத்து ஐகென் மதிப்புகளின் அளவும் 1 க்கும் குறைவாக இருந்தால் ஒருங்கிணைப்பு ஏற்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சிகள் ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட வரிசையும் போல்சானோ-வியர்ஸ்ட்ராஸ் தேற்றத்தின் படி ஒரு ஒருங்கிணைந்த தொடர்ச்சியைக் கொண்டுள்ளது. இவை அனைத்தும் ஒரே வரம்பைக் கொண்டிருந்தால், அசல் வரிசை அந்த வரம்பிற்கு ஒருங்கிணைக்கிறது. மாற்றத்தின் ஒரு தனித்துவமான நிலையான புள்ளி இருப்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம், அனைத்து தொடர்ச்சிகளும் ஒரே வரம்பைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் காட்ட முடிந்தால், ஆரம்ப வரிசையும் அந்த வரம்பிற்கு ஒன்றிணைய வேண்டும். மோனோடோனிசிட்டி (லியாபுனோவ் செயல்பாடுகள்) ஒவ்வொரு வரம்புக்குட்பட்ட மோனோடோனிக் வரிசையும் ஒரு வரம்பிற்கு ஒருங்கிணைக்கிறது. இந்த அணுகுமுறை மோனோடோனிக் அல்லாத வரிசைகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். அதற்கு பதிலாக, மோனோடோனிக் போன்ற ஒரு செயல்பாட்டை வரையறுக்க முடியும். ஒரு லியாபுனோவ் செயல்பாடாக இருக்க நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால், அது ஒருங்கிணைந்ததாகும். லியாபுனோவின் தேற்றம் பொதுவாக சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு குறிப்பிடப்படுகிறது, ஆனால் தனித்துவமான வேறுபாடுகளுடன் வழித்தோன்றல்களை மாற்றுவதன் மூலம் மறு செய்கைகளின் வரிசைகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். அடிப்படை தேவைகள் என்னவென்றால், அனைவருக்கும் மற்றும் (அல்லது) மற்றும் "கதிரியக்க வரம்பற்றதாக" இருக்க வேண்டும், எனவே அது முடிவிலிக்குச் செல்லும் எந்தவொரு வரிசைக்கும் முடிவிலிக்குச் செல்கிறது. பல சந்தர்ப்பங்களில், வடிவத்தின் லியாபுனோவ் செயல்பாட்டைக் காணலாம், இருப்பினும் மிகவும் சிக்கலான வடிவங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தாமத வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு, இதேபோன்ற அணுகுமுறை லியாபுனோவ் செயல்பாடுகளுக்கு பதிலாக லியாபுனோவ்-கிராஸோவ்ஸ்கி செயல்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படும் லியாபுனோவ் செயல்பாடுகளுக்கு பொருந்தும். நிபந்தனை 1 இல் உள்ள சமத்துவமின்மை பலவீனமாக இருந்தால், லாசல்லின் மாறாத கொள்கையைப் பயன்படுத்தலாம். செயல்பாடுகளின் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளின் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்ள, யூக்ளிடியன் நெறிமுறையை மாற்றுவதற்கு செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை வரையறுப்பது அவசியம். இவை பெரும்பாலும் நெறிமுறையில் ஒருங்கிணைப்பை உள்ளடக்கியது (வலுவான ஒருங்கிணைப்பு)-வரையறுக்கப்பட்டதைப் போன்ற ஒரு செயல்பாட்டு நெறிமுறை, மற்றும் இருந்தால் ஒருங்கிணைப்பு ஏற்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், மேலே உள்ள அனைத்து நுட்பங்களையும் இந்த செயல்பாட்டு நெறிமுறையுடன் பயன்படுத்தலாம். புள்ளிவழி ஒருங்கிணைப்பு-- ஒவ்வொன்றுக்கும் இருந்தால் ஒருங்கிணைப்பு ஏற்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், மேலே உள்ள நுட்பங்களை ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் பொருத்தமான நெறிமுறையுடன் பயன்படுத்தலாம். சீரான ஒருங்கிணைப்பு-புள்ளிவழி ஒருங்கிணைப்பில், சில (திறந்த) பகுதிகள் தன்னிச்சையாக மெதுவாக ஒருங்கிணைக்க முடியும். சீரான ஒருங்கிணைப்புடன், ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு விகிதம் உள்ளது, அதாவது அனைத்து புள்ளிகளும் குறைந்தபட்சம் அந்த வேகத்தில் ஒன்றிணைகின்றன. முறைப்படி, ஒவ்வொன்றின் களமும் எங்கே? மேலும் காண்க ஃபோரியர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு சீரற்ற மாறிகளின் ஒருங்கிணைப்பு சீரற்ற மாறிகள் எளிய கூறுகளை விட மிகவும் சிக்கலானவை. (முறைப்படி, ஒரு சீரற்ற மாறி என்பது ஒரு நிகழ்வு இடத்திலிருந்து ஒரு மதிப்பு இடத்திற்கு ஒரு வரைபடமாகும். மதிப்பு இடம் ஒரு பகடை சுருள் போன்றதாக இருக்கலாம், மேலும் அத்தகைய சீரற்ற மாறி பெரும்பாலும் முறைசாரா முறையில் இருப்பது போல் பேசப்படுகிறது, ஆனால் சீரற்ற மாறிகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகளின் வரிசையின் ஒருங்கிணைப்பு அல்லது விநியோகங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது, மாறாக மதிப்புகளின் வரிசை.) செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான தூரம் எவ்வாறு அளவிடப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து பல வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. விநியோகத்தில் ஒருங்கிணைப்பு-சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகளின் புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு நிகழ்தகவில் ஒருங்கிணைப்பு கிட்டத்தட்ட உறுதியான ஒருங்கிணைப்பு-வரம்பிற்கு வரைபடங்களின் புள்ளி வாரியாக ஒருங்கிணைப்பு, வரம்பில் அளவீடு 0 உடன் ஒரு தொகுப்பில் தவிர. சராசரியில் ஒருங்கிணைப்பு ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த ஆதார நுட்பங்களைக் கொண்டுள்ளன, அவை இந்த கட்டுரையின் தற்போதைய எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டவை. L2 செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடரின் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் ஒருங்கிணைப்பை நிறுவும் மேலாதிக்க ஒருங்கிணைப்பு கார்ல்சனின் தேற்றத்தையும் பார்க்கவும் டூபின் மார்டிங்கேல் ஒருங்கிணைப்பு கோட்பாடுகள் மோனோடோன் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றத்தின் ஒரு சீரற்ற மாறி அனலாக் இடவியல் ஒருங்கிணைப்பு மேற்கூறிய அனைத்து நுட்பங்களுக்கும், மேலே உள்ள ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பகுப்பாய்வு வரையறையை சில வடிவங்கள் பயன்படுத்துகின்றன. இருப்பினும், இடவியல் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய அதன் சொந்த வரையறையைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஹவுஸ்டோர்ஃப் அல்லாத இடத்தில், ஒரு வரிசை பல வேறுபட்ட வரம்புகளுக்கு ஒன்றிணைவது சாத்தியமாகும். குறிப்புகள் கணித பகுப்பாய்வு