Polynomial root-finding algorithms
பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது ஒரு நீண்டகால பிரச்சினையாகும், இது வரலாறு முழுவதும் அதிக ஆராய்ச்சிக்கு உட்பட்டுள்ளது. இதற்கு ஒரு சான்று என்னவென்றால், 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை, இயற்கணிதம் என்பது அடிப்படையில் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டைக் குறிக்கிறது. கோட்பாடுகள் ஒரு நேரியல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் (டிகிரி ஒன்று) மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிதானது மற்றும் ஒரே ஒரு பிரிவு மட்டுமே தேவைப்படுகிறதுஃ பொதுவான சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு உள்ளது இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு (டிகிரி இரண்டு), இருபடி சூத்திரம் ஒரு தீர்வை உருவாக்குகிறது, ஆனால் அதன் எண் மதிப்பீட்டிற்கு எண் ஸ்திரத்தன்மையை உறுதிப்படுத்த சில கவனிப்பு தேவைப்படலாம். டிகிரி மூன்று மற்றும் நான்குக்கு, ரேடிக்கல்களின் அடிப்படையில் மூடிய வடிவ தீர்வுகள் உள்ளன, அவை பொதுவாக எண் மதிப்பீட்டிற்கு வசதியானவை அல்ல, அவை மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் பல வேர்களின் கணக்கீட்டை உள்ளடக்கியது, அவற்றின் கணக்கீடு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களின் நேரடி கணக்கீட்டை விட எளிதானது அல்ல (எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கன பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களின் வெளிப்பாடு உண்மையான கனசதுர வேர்களை உள்ளடக்கியிருக்கலாம்). டிகிரி ஐந்து அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஆபெல்-ருஃபினி தேற்றத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, பொதுவாக, வேர்களின் தீவிர வெளிப்பாடு இல்லை என்று வலியுறுத்துகிறது. எனவே, மிகக் குறைந்த டிகிரிகளைத் தவிர, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர் கண்டுபிடிப்பு என்பது வேர்களின் தோராயங்களைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கோட்பாட்டின் படி, டிகிரியின் பல்லுறுப்புக்கோவை சரியாக உண்மையான அல்லது சிக்கலான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான வேர் கண்டுபிடிப்பு சிக்கல் மூன்று வெவ்வேறு துணை சிக்கல்களாக பிரிக்கப்படலாம் என்பதை இது பின்பற்றுகிறது; ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது சிக்கலான தளத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் வேர்களைக் கண்டறிதல், பொதுவாக உண்மையான வேர்கள் அல்லது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் உண்மையான வேர்கள் (எடுத்துக்காட்டாக, வேர்கள் ஒரு இயற்பியல் அளவைக் குறிக்கும் போது, உண்மையான நேர்மறையானவை மட்டுமே சுவாரஸ்யமானவை). ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு, நியூட்டனின் முறை மற்றும் பிற பொதுவான மறு செய்கை முறைகள் பொதுவாக நன்றாக வேலை செய்கின்றன. அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கு, விவாதிக்கக்கூடிய வகையில் மிகவும் நம்பகமான முறை பிரான்சிஸ் க்யூஆர் அல்காரிதம் ஆகும், இது பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் தொடர்புடைய கம்பானியன் மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறது, இது MATLAB இல் நிலையான முறையாக செயல்படுத்தப்படுகிறது. அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கான மிகப் பழமையான முறை ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தொடங்குவதாகும். ஒரு வேர் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது, அதை இருமலைப் பிரிப்பதன் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து அகற்றலாம். இதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவை மீதமுள்ள வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இந்த செயல்முறையை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் அவற்றைக் காணலாம். இருப்பினும், குறைந்த டிகிரிகளைத் தவிர, எண் உறுதியற்ற தன்மை காரணமாக இது சரியாக வேலை செய்யாதுஃ வில்கின்சனின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு குணகத்தின் மிகச் சிறிய மாற்றம் வேர்களின் மதிப்பை மட்டுமல்ல, அவற்றின் இயல்பையும் (உண்மையான அல்லது சிக்கலான) வியத்தகு முறையில் மாற்றக்கூடும் என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும், ஒரு நல்ல தோராயத்துடன் கூட, ஒருவர் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை தோராயமான மூலத்தில் மதிப்பிடும்போது, பூஜ்ஜியத்திற்கு மிக அருகில் இருக்கும் முடிவைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, டிகிரி 20 (வில்கின்சனின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் டிகிரி) ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை 10 க்கு அருகில் ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருந்தால், மூலத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் வழித்தோன்றல் இதன் வரிசையில் இருக்கலாம், இது மூலத்தின் மதிப்பில் ஒரு பிழை தோராயமான மூலத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பை உருவாக்கக்கூடும் என்பதைக் குறிக்கிறது. தற்போது மிகவும் திறமையான முறை அபெர்த் முறையாகும். எம். பி. சோல்வ் என்ற பெயரில் ஒரு இலவச செயல்படுத்தல் கிடைக்கிறது. இது ஒரு குறிப்பு செயல்படுத்தலாகும், இது 1,000 க்கும் மேற்பட்ட குறிப்பிடத்தக்க தசம இலக்கங்களைக் கொண்ட 1,000 க்கும் அதிகமான டிகிரி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களை வழக்கமாக கண்டறிய முடியும். அனைத்து வேர்களையும் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் உண்மையான வேர்களைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், ஒரு சிறிய கற்பனை பகுதியைக் கொண்ட ஒரு வேர் உண்மையானதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிப்பது கடினமாக இருக்கலாம். மேலும், உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கை, சராசரியாக, டிகிரியின் மடக்கை என்பதால், ஒருவர் உண்மையான வேர்களில் ஆர்வமாக இருக்கும்போது உண்மையான வேர்களை கணக்கிடுவது கணினி வளங்களை வீணடிப்பதாகும். உண்மையான வேர்களின் எண்ணிக்கையையும், ஒரு இடைவெளியில் வேர்களின் எண்ணிக்கையையும் கணக்கிடுவதற்கான மிகப் பழமையான முறை ஸ்டர்மின் தேற்றத்தின் விளைவாகும், ஆனால் டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதி மற்றும் அதன் நீட்டிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முறைகள்-புடான் மற்றும் வின்சென்ட்டின் கோட்பாடுகள்-பொதுவாக மிகவும் திறமையானவை. வேர் கண்டுபிடிப்புக்கு, பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒரு வேர் கொண்ட இடைவெளிகளைப் பெறும் வரை வேர்கள் தேடப்படும் இடைவெளிகளின் அளவைக் குறைப்பதன் மூலம் அனைவரும் முன்னேறுகிறார்கள். பின்னர் நியூட்டனின் முறையின் இருபடி ஒருங்கிணைப்பை தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வேர்களுடன் பெறுவதற்கு ஒரு மூலத்தைக் கொண்ட இடைவெளிகள் மேலும் குறைக்கப்படலாம். முக்கிய கணினி இயற்கணித அமைப்புகள் (மேப்பிள், கணிதம், சேஜ்மேத், பாரி/ஜிபி) ஒவ்வொன்றும் இந்த முறையின் மாறுபாட்டை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களுக்கான இயல்புநிலை வழிமுறையாக கொண்டுள்ளன. முறைகளின் வகுப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலை பல்லுறுப்புக்கோவை துணை மேட்ரிக்ஸின் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலாக மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, கொள்கையளவில், பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டறிய எந்த ஐகென் மதிப்பு வழிமுறையையும் பயன்படுத்தலாம். இருப்பினும், செயல்திறன் காரணங்களுக்காக மேட்ரிக்ஸின் கட்டமைப்பைப் பயன்படுத்தும் முறைகளை ஒருவர் விரும்புகிறார், அதாவது மேட்ரிக்ஸ் இல்லாத வடிவத்தில் செயல்படுத்தப்படலாம். இந்த முறைகளில் சக்தி முறை அடங்கும், அதன் துணை மேட்ரிக்ஸின் இடமாற்றத்திற்கான பயன்பாடு கிரேட்டஸ்ட் மாடுலஸின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான கிளாசிக்கல் பெர்னோலியின் முறையாகும். மாற்றங்களுடன் கூடிய தலைகீழ் சக்தி முறை, முதலில் சில மிகச்சிறிய மூலத்தைக் கண்டறிகிறது, இது ஜென்கின்ஸ்-ட்ராப் வழிமுறையின் சிக்கலான (சிபோலி) மாறுபாட்டை இயக்குகிறது மற்றும் அதற்கு அதன் எண் ஸ்திரத்தன்மையை அளிக்கிறது. கூடுதலாக, இது கிளஸ்டர் வேர்களின் முன்னிலையில் கூட வரிசையுடன் (தங்க விகிதம் எங்கே) விரைவான ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வேகமான ஒருங்கிணைப்பு ஒரு படிநிலைக்கு மூன்று பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பீடுகளின் செலவுடன் வருகிறது, இதன் விளைவாக எஞ்சியிருக்கும், இது நியூட்டனின் முறையின் மூன்று படிநிலைகளை விட மெதுவான ஒருங்கிணைப்பாகும். ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பது ஒரு மூலத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறை நியூட்டனின் முறையாகும், இது நன்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து தொடங்கி கணக்கீட்டின் மறு செய்கைகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒருங்கிணைப்பு பொதுவாக இருபடி என்றாலும், அது மிகவும் மெதுவாக ஒன்றிணைக்கப்படலாம் அல்லது ஒன்றிணைக்கப்படாமல் போகலாம். குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு உண்மையான வேர் இல்லையென்றால், அது உண்மையானதாக இருந்தால், நியூட்டனின் முறை ஒன்றிணைக்க முடியாது. இருப்பினும், பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது அதன் வழித்தோன்றலின் பெரிய உண்மையான மூலத்தை விட பெரியதாக இருந்தால், நியூட்டனின் முறை இந்த பெரிய மூலத்தை விட பெரியதாக இருந்தால் இந்த மிகப்பெரிய மூலத்துடன் நாற்கரமாக இணைகிறது (வேர்களின் மேல் வரம்பைக் கணக்கிட எளிதான வழிகள் உள்ளன, பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களின் பண்புகளைப் பார்க்கவும்). வேர்களை கணக்கிடுவதற்கான ஹார்னர் முறையின் தொடக்க புள்ளியாக இது உள்ளது. ஒரு வேர் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது, பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து காரணியை அகற்ற யூக்ளிடியன் பிரிவைப் பயன்படுத்தலாம். இதன் விளைவாக வரும் விகிதத்தின் மூலத்தை கணக்கிடுவதும், செயல்முறையை மீண்டும் செய்வதும், கொள்கையளவில், அனைத்து வேர்களையும் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழியை வழங்குகிறது. இருப்பினும், இந்த மறு செய்கை திட்டம் எண்ணியல் ரீதியாக நிலையற்றது; தோராயமான பிழைகள் அடுத்தடுத்த காரணிமயமாக்கல்களின் போது குவிகின்றன, இதனால் கடைசி வேர்கள் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு காரணியிலிருந்து பரவலாக விலகும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இந்த பிழையைக் குறைக்க, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும், நியூட்டனின் முறையை அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையுடன் மறுதொடக்கம் செய்யலாம், மேலும் இந்த தோராயமான மூலத்தை தொடக்க மதிப்பாகக் கொள்ளலாம். இருப்பினும், இது அனைத்து வேர்களையும் கண்டறிய அனுமதிக்கும் என்பதற்கு எந்த உத்தரவாதமும் இல்லை. உண்மையில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களை அதன் குணகங்களிலிருந்து கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் மிகவும் மோசமான நிலையில் இருக்கலாம். இது வில்கின்சனின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் விளக்கப்படுகிறதுஃ டிகிரி 20 இன் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் 20 முதல் நேர்மறை முழு எண்கள்; அதன் குணகங்களில் ஒன்றின் 32-பிட் பிரதிநிதித்துவத்தின் கடைசி பிட்டை மாற்றுவது (-210 க்கு சமம்) 10 உண்மையான வேர்கள் மற்றும் 10 சிக்கலான வேர்கள் மட்டுமே கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை உருவாக்குகிறது. நியூட்டனின் முறையுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை ஹாலியின் முறை மற்றும் லாகூரின் முறை ஆகும். இரண்டும் ஒரு கன ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்ட ஒரு மறு செய்கை செயல்முறைக்கு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் அதன் இரண்டு முதல் வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்துகின்றன. இந்த முறைகளின் தொடர்ச்சியான இரண்டு படிகளை ஒரே சோதனையாக இணைத்தால், 6 பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பீடுகளின் செலவில் (ஹார்னர் விதியுடன்) 9 ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தைப் பெறுகிறது. மறுபுறம், நியூட்டனின் முறையின் மூன்று படிகளை இணைப்பது அதே எண்ணிக்கையிலான பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்பீட்டின் செலவில் 8 இன் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்தை அளிக்கிறது. இது இந்த முறைகளுக்கு ஒரு சிறிய நன்மையை அளிக்கிறது (லாகூரின் முறைக்கு குறைவான தெளிவானது, ஏனெனில் ஒவ்வொரு படியிலும் ஒரு சதுர வேர் கணக்கிடப்பட வேண்டும்). உண்மையான குணகங்கள் மற்றும் உண்மையான தொடக்க புள்ளிகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தும்போது, நியூட்டனின் மற்றும் ஹாலியின் முறை உண்மையான எண் கோட்டிற்குள் இருக்கும். சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறிய ஒருவர் சிக்கலான தொடக்க புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இதற்கு மாறாக, அதன் மதிப்பீட்டில் ஒரு சதுர மூலத்துடன் லாகூர் முறை அதன் சொந்த ஒப்புதலின் உண்மையான அச்சை விட்டுச்செல்லும். கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை உண்மையான குணகங்களை மட்டுமே கொண்டிருந்தால், சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்க ஒருவர் விரும்பலாம். இதன் விளைவாக, இணைக்கப்பட்ட சிக்கலான வேர்களின் ஜோடிக்கு இருபடி காரணிகளைக் கண்டறிய வேண்டும். இந்த பணிக்கு பன்முக நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்துவது பேர்ஸ்டோவின் முறையை விளைவிக்கிறது. ஜென்கின்ஸ்-ட்ராப் வழிமுறையின் உண்மையான மாறுபாடு இந்த முறையின் முன்னேற்றமாகும். ஒரே நேரத்தில் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறிதல் எளிய டுராண்ட்-கெர்னர் மற்றும் சற்று சிக்கலான அபெர்த் முறை ஒரே நேரத்தில் எளிய சிக்கலான எண் எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிக்கின்றன. வேகமான ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் போன்ற பல-புள்ளி மதிப்பீடு மற்றும் இடைக்கணிப்புக்கான துரிதப்படுத்தப்பட்ட வழிமுறைகள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெரிய அளவுகளுக்கு அவற்றை விரைவுபடுத்த உதவும். சமச்சீரற்ற, ஆனால் சமமாக விநியோகிக்கப்பட்ட ஆரம்ப புள்ளிகளின் தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது நல்லது. இலவச மென்பொருள் எம். பி. சோல்வில் இந்த முறையை செயல்படுத்துவது அதன் செயல்திறன் மற்றும் அதன் துல்லியத்திற்கான ஒரு குறிப்பு ஆகும். இந்த பாணியைக் கொண்ட மற்றொரு முறை டான்டெலின்-கிராஃப் முறை (சில நேரங்களில் லோபாச்சேவ்ஸ்கிக்கும் வழங்கப்படுகிறது), இது பல்லுறுப்புக்கோவை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் மறைமுகமாக வேர்களை சதுரமாக்குகிறது. இது வேர்களில் உள்ள மாறுபாடுகளை பெரிதும் பெரிதாக்குகிறது. வைட்டின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வேர்களின் மாடுலஸுக்கு எளிதான தோராயங்களைப் பெறுகிறது, மேலும் வேர்களுக்கு இன்னும் சில முயற்சிகளுடன். விலக்கு மற்றும் அடைப்பு முறைகள் பல விரைவான சோதனைகள் உள்ளன, அவை உண்மையான கோட்டின் ஒரு பகுதியிலோ அல்லது சிக்கலான தளத்தின் ஒரு பகுதியிலோ வேர்கள் இல்லையா என்பதைக் கூறுகின்றன. வேர்களின் மாடுலஸை பிணைப்பதன் மூலமும், இந்த எல்லைகளால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆரம்ப பகுதியை மீண்டும் மீண்டும் பிரிப்பதன் மூலமும், வேர்களைக் கொண்ட சிறிய பகுதிகளை தனிமைப்படுத்தலாம், பின்னர் அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க பிற முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். இந்த முறைகள் அனைத்தும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மாற்றப்பட்ட மற்றும் அளவிடப்பட்ட பதிப்புகளின் குணகங்களைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்கியது. பெரிய அளவுகளுக்கு, எஃப்எஃப்டி அடிப்படையிலான துரிதப்படுத்தப்பட்ட முறைகள் சாத்தியமானவை. உண்மையான வேர்களுக்கு, அடுத்த பகுதிகளைப் பார்க்கவும். லெஹ்மர்-ஷூர் வழிமுறை வட்டங்களுக்கு ஷுர்-கோன் சோதனையைப் பயன்படுத்துகிறது; ஒரு மாறுபாடு, வில்ஃப்பின் உலகளாவிய இருபிரிவு வழிமுறை சிக்கலான தளத்தில் செவ்வக பகுதிகளுக்கு ஒரு முறுக்கு எண் கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. பிளவு வட்டம் முறை வேர்களின் கொத்துக்களுடன் தொடர்புடைய பெரிய அளவிலான காரணிகளைக் கண்டறிய எஃப்எஃப்டி அடிப்படையிலான பல்லுறுப்புக்கோவை மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துகிறது. நியூட்டன் வகை மறு செய்கையைப் பயன்படுத்தி காரணிமயமாக்கலின் துல்லியம் அதிகரிக்கப்படுகிறது. இந்த முறை உயர் டிகிரி முதல் தன்னிச்சையான துல்லியம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களைக் கண்டறிய பயனுள்ளதாக இருக்கும்; இந்த அமைப்பில் இது கிட்டத்தட்ட உகந்த சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது. ரியல்-ரூட் தனிமைப்படுத்தல் என்பது உண்மையான குணகங்களுடன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறிவது என்பது 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலிருந்து அதிக கவனத்தைப் பெற்ற ஒரு பிரச்சினையாகும், மேலும் இது இன்னும் ஆராய்ச்சியின் செயலில் உள்ள களமாகும். பெரும்பாலான வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறைகள் சில உண்மையான வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியும், ஆனால் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடித்ததாக சான்றளிக்க முடியாது. அபெர்த் முறை போன்ற அனைத்து சிக்கலான வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகள் உண்மையான வேர்களை வழங்க முடியும். இருப்பினும், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண் உறுதியற்ற தன்மை காரணமாக (வில்கின்சனின் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பார்க்கவும்), எந்த வேர்கள் உண்மையானவை என்பதை தீர்மானிக்க அவர்களுக்கு தன்னிச்சையான-துல்லியமான எண்கணிதம் தேவைப்படலாம். மேலும், சில மட்டுமே உண்மையானதாக இருக்கும்போது அவை அனைத்து சிக்கலான வேர்களையும் கணக்கிடுகின்றன. உண்மையான வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நிலையான வழி, தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படும் முதல் வேறுபட்ட இடைவெளிகளைக் கணக்கிடுவதாகும், அதாவது ஒவ்வொன்றும் சரியாக ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை அனைத்தும் அனைத்து வேர்களையும் கொண்டுள்ளன. இந்த கணக்கீடு உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. தனிமைப்படுத்தப்பட்ட இடைவெளி இருப்பதால், முடிவின் துல்லியத்தை மேம்படுத்த நியூட்டனின் முறை போன்ற விரைவான எண் முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையான வேர் தனிமைப்படுத்தலுக்கான மிகப் பழமையான முழுமையான வழிமுறை ஸ்டர்மின் தேற்றத்தின் விளைவாகும். இருப்பினும், டெஸ்கார்ட்டின் அறிகுறிகளின் விதி மற்றும் வின்சென்ட்டின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட முறைகளை விட இது மிகவும் குறைவான செயல்திறன் கொண்டதாகத் தெரிகிறது. இந்த முறைகள் இரண்டு முக்கிய வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, ஒன்று தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பயன்படுத்துகிறது, மற்றொன்று இரு பிரிவுகளைப் பயன்படுத்துகிறது. 21 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலிருந்து இரண்டு முறைகளும் வியத்தகு முறையில் மேம்படுத்தப்பட்டுள்ளன. இந்த மேம்பாடுகளுடன் அவை ஒரு கணக்கீட்டு சிக்கலை அடைகின்றன, இது அனைத்து வேர்களையும் கணக்கிடுவதற்கான சிறந்த வழிமுறைகளைப் போன்றது (அனைத்து வேர்களும் உண்மையானவை என்றாலும் கூட). இந்த வழிமுறைகள் செயல்படுத்தப்பட்டு கணிதம் (தொடர்ச்சியான பின்னம் முறை) மற்றும் மேப்பிள் (இரு பிரிவுகள் முறை) ஆகியவற்றில் கிடைக்கின்றன. இரண்டு செயல்பாடுகளும் வழக்கமாக 1,000 க்கும் அதிகமான டிகிரி கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறிய முடியும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பல வேர்களைக் கண்டறிதல் பல வேர்களின் எண் கணக்கீடு பல வேர்கள் மிகவும் உணர்திறன் கொண்டவை, அவை பொதுவாக எண் கணக்கீட்டில் தவறான நிபந்தனை மற்றும் துல்லியமற்றவை என்று அறியப்படுகிறது. MATLAB தொகுப்பாக செயல்படுத்தப்பட்ட ஜாங்காங் ஜெங் (2004) இன் ஒரு முறை, குணகங்கள் துல்லியமாக இல்லாவிட்டாலும் கூட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பல வேர்கள் மற்றும் தொடர்புடைய பெருக்கங்களை துல்லியமாக கணக்கிடுகிறது. முறையை இரண்டு படிகளில் சுருக்கமாகக் கூறலாம். கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கட்டும். முதல் படி ஒரு எண்ணியல் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி வழிமுறை மூலம் சதுரம் இல்லாத காரணிமயமாக்கலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெருக்கல் கட்டமைப்பை தீர்மானிக்கிறது. தனித்துவமான வேர்களின் பெருக்கங்கள் எங்கே என்று எழுத இது அனுமதிக்கிறது. இந்த சமன்பாடு (முன்னணி குணகம் ஒரு மாறி அல்ல) உடன் பொருந்தக்கூடிய சமன்பாடுகளில் மாறிகளைக் கொண்டிருப்பதற்கான மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பாகும். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் குறைந்தபட்ச சதுர கரைசல் இனி மோசமான நிலையில் இல்லை. இரண்டாவது படி தனித்துவமான வேர்களுக்கான மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பைத் தீர்க்க காஸ்-நியூட்டன் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துகிறது. வில்லியம் கஹான் (1972) கண்டுபிடித்த பல வேர்களின் வடிவியல் பண்பு காரணமாக பல வேர்களின் உணர்திறன் முறைப்படுத்தப்படலாம் மற்றும் மிகைப்படுத்தப்பட்ட அமைப்பு மாதிரி பெருக்கங்களை பராமரிக்கிறது. ஸ்கொயர்-ஃப்ரீ ஃபாக்டரைசேஷன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு அதன் குணகங்கள் சரியாக முழு எண்கள் அல்லது விகிதமுறு எண்களாக கொடுக்கப்படுகின்றன, அவற்றை எளிய வேர்களைக் கொண்ட காரணிகளாக காரணிப்படுத்த ஒரு திறமையான முறை உள்ளது மற்றும் அதன் குணகங்களும் சரியாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. சதுரம் இல்லாத காரணிமயமாக்கல் என்று அழைக்கப்படும் இந்த முறை, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பல வேர்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது பல்லுறுப்புக்கோவையின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தியின் வேர்கள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் ஆகும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை p இன் சதுரம் இல்லாத காரணிமயமாக்கல் என்பது ஒரு காரணிமயமாக்கலாகும், இதில் ஒவ்வொன்றும் 1 அல்லது பல வேர்கள் இல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, மேலும் இரண்டு வெவ்வேறு பொதுவான வேர் இல்லை. இந்த காரணியாக்கத்தை கணக்கிட ஒரு திறமையான முறை யூனின் வழிமுறை ஆகும். குறிப்புகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வேர்-கண்டுபிடிப்பு வழிமுறைகள்