Plane-based Geometric Algebra
விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் என்பது விமானங்கள், கோடுகள், புள்ளிகள் மற்றும் கடினமான மாற்றங்களை மாதிரியாக்குவதற்கு கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடாகும். பொதுவாக இது இந்த கூறுகள் மற்றும் அவற்றின் குறுக்குவெட்டுகள், கணிப்புகள் மற்றும் 3D இடத்தில் ஒருவருக்கொருவர் கோணம் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய பொறியியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் குறிக்கோளுடன் உள்ளது. முதலில் சுழல் குழுக்கள் பற்றிய ஆராய்ச்சியில் இருந்து வளர்ந்து, ரோபாட்டிக்ஸ் பயன்பாடுகளை மனதில் கொண்டு உருவாக்கப்பட்டது. இது இயந்திர கற்றல், கடினமான உடல் இயக்கவியல் மற்றும் கணினி அறிவியல், குறிப்பாக கணினி கிராபிக்ஸ் ஆகியவற்றிற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பொதுவாக "ப்ரொஜெக்டிவ் ஜியோமெட்ரிக் ஆல்ஜீப்ரா" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அமைப்பில் இரட்டை செயல்பாட்டுடன் இணைக்கப்படுகிறது, கீழே காண்க. விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் சமதள பிரதிபலிப்புகளை அடிப்படை கூறுகளாக எடுத்து, மற்ற அனைத்து மாற்றங்களையும் அவற்றிலிருந்து வடிவியல் பொருள்களையும் உருவாக்குகிறது. தொழில்நுட்ப மொழியில்ஃ இது ஒரு கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் தரம்-1 கூறுகளுடன் சமதள பிரதிபலிப்புகளை அடையாளம் காட்டுகிறது, அதாவது, "" போன்ற ஒற்றை சந்தாவுடன் எழுதப்பட்ட கூறுகள். கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள சில அரிய விதிவிலக்குகளுடன், இயற்கணிதம் கிட்டத்தட்ட எப்போதும் இருக்கும், அதாவது இது மூன்று அடிப்படை தரம்-1 உறுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதன் வர்க்கம் மற்றும் ஒரு ஒற்றை அடிப்படை உறுப்பு அதன் வர்க்கம். சுழற்சிகளின் அச்சு-கோண பிரதிநிதித்துவம், சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகளின் குவாட்டர்னியன் மற்றும் இரட்டை குவாட்டர்னியன் பிரதிநிதித்துவங்கள், கோடுகளின் பிளக்கர் பிரதிநிதித்துவம், விமானங்களின் புள்ளி இயல்பான பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் புள்ளிகளின் ஒரே மாதிரியான பிரதிநிதித்துவம் உள்ளிட்ட பொறியியலில் பயன்படுத்தப்படும் ஏராளமான இயற்கணித கட்டமைப்புகளை விமான அடிப்படையிலான GA உட்படுத்துகிறது. இரட்டை குவாட்டர்னியன்கள் பின்னர் பாரம்பரிய இயக்கவியலின் திருகு, திருப்பம் மற்றும் அகழி மாதிரியை உருவாக்க அனுமதிக்கின்றன. வடிவவியலுக்கான தள அடிப்படையிலான அணுகுமுறை குறுக்கு விளைபொருளைப் பயன்படுத்தும் அணுகுமுறையுடன் முரண்படலாம், இதில் புள்ளிகள், மொழிபெயர்ப்புகள், சுழற்சி அச்சுகள் மற்றும் தள இயல்புகள் அனைத்தும் "திசையன்களாக" வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. இருப்பினும், மேம்பட்ட பொறியியல் சிக்கல்களில் திசையன்களின் பயன்பாட்டிற்கு பெரும்பாலும் கிப்ஸ் திசையன்கள், சூடோவெக்டர்கள் மற்றும் மாறுபட்ட திசையன்கள் உள்ளிட்ட பல்வேறு வகையான திசையன்களுக்கு இடையிலான நுட்பமான வேறுபாடுகள் தேவைப்படுகின்றன. இந்த இரண்டில் பிந்தையது, தள அடிப்படையிலான GA இல், "சுழற்சி அச்சு" மற்றும் "புள்ளி" ஆகியவற்றின் கருத்தாக்கங்களை வரைபடமாக்குகிறது, அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடு குறியீட்டின் மூலம் தெளிவுபடுத்தப்படுகிறதுஃ (இரண்டு குறைந்த குறியீடுகள்) போன்ற சுழற்சி அச்சுகள் எப்போதும் (மூன்று குறைந்த குறியீடுகள்) போன்ற புள்ளிகளை விட வித்தியாசமாக குறிப்பிடப்படுகின்றன. கீழே கருதப்படும் அனைத்து பொருட்களும் அவை திசையன் இடைவெளிகளின் கூறுகள் என்ற தொழில்நுட்ப அர்த்தத்தில் இன்னும் "திசையன்கள்"; இருப்பினும் அவை (பொதுவாக) திசையன்கள் அல்ல, அதாவது ஒருவர் அவற்றின் குறுக்கு விளைபொருளை அர்த்தமுள்ள வகையில் எடுக்க முடியும்-எனவே அவற்றை அம்புகளாகக் காட்சிப்படுத்துவது தகவலறிந்ததல்ல. 'திசையன்' என்ற வார்த்தையிலிருந்து வரும் வெவ்வேறு இயற்கணித மற்றும் காட்சி அர்த்தங்கள் குறித்த மோதலைத் தவிர்க்க, இந்த கட்டுரை வார்த்தையின் பயன்பாட்டைத் தவிர்க்கும். கட்டுமான விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் விமானங்களுடன் தொடங்கி பின்னர் விமானங்களின் குறுக்குவெட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் கோடுகள் மற்றும் புள்ளிகளை உருவாக்குகிறது. அதன் நியமன அடிப்படையானது பெயரிடப்பட்ட தளம், பெயரிடப்பட்ட தளம், பெயரிடப்பட்ட தளம் மற்றும் தளம் ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. மற்ற விமானங்கள் அடிப்படை விமானங்களின் எடையுள்ள தொகைகளாக பெறப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, y-மற்றும் z-தளத்திற்கு இடையில் உள்ள தளமாக இருக்கும். பொதுவாக, விமான அடிப்படையிலான GA இல் இரண்டு வடிவியல் பொருட்களை இணைப்பது எப்போதும் அவற்றின் எடையுள்ள சராசரியாக இருக்கும்-புள்ளிகளை இணைப்பது அவற்றுக்கிடையே ஒரு புள்ளியைக் கொடுக்கும், கோடுகள் மற்றும் உண்மையில் சுழற்சிகளை இணைக்கும். எந்தவொரு ஜோடி உறுப்புகளுக்கும், அவற்றின் வடிவியல் பெருக்கல் என்பது மாற்றத்தைத் தொடர்ந்து வரும் மாற்றமாகும். இதன் விளைவாக பொதுவாக அதே வகை மற்றும்-ஆனால் அது இன்னும் தள அடிப்படையிலான GA க்குள் ஒரு பொருளாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாகஃ இந்த சமன்பாட்டை வடிவியல் ரீதியாக நாம் எடுத்துக் கொண்டால் (இது விமானத்தில் ஒரு சமதள பிரதிபலிப்பு) மற்றும் (இது x-அச்சைச் சுற்றி 180 டிகிரி சுழற்சி), மற்றும் அவற்றின் வடிவியல் பெருக்கலை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம், இது தோற்றத்தில் ஒரு புள்ளி பிரதிபலிப்பாகும். உருமாற்ற கலவை-வடிவியல் தயாரிப்பு-சாண்ட்விச் தயாரிப்புடன் செயல்படுத்தப்படும் உருமாற்ற பயன்பாட்டுடன் குழப்பமடையக்கூடாது, கீழே காண்க. இந்த வடிவியல் விளக்கம் பொதுவாக பின்வரும் கூற்றுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ முதல் மூன்று வரையறுக்கும் சமன்பாடுகளின் வடிவியல் விளக்கம் என்னவென்றால், ஒரே பிளானர் பிரதிபலிப்பை இரண்டு முறை செய்தால், நாம் தொடங்கிய இடத்திற்குத் திரும்புவோம்; எ. கா. ஒரு தரம்-1 உறுப்பு (தளம்) தானாகவே பெருக்கப்பட்டால் அடையாள செயல்பாடு விளைகிறது, ". அந்த அறிக்கை மிகவும் நுட்பமானது. முடிவிலியில் உள்ள தனிமங்கள் இயற்கணித உறுப்பு முடிவிலியில் உள்ள தளத்தைக் குறிக்கிறது. இது வேறு எந்த தளத்திலிருந்தும் வித்தியாசமாக செயல்படுகிறது-உள்ளுணர்வாக, அதை "அணுகலாம், ஆனால் ஒருபோதும் அடைய முடியாது". 3 பரிமாணங்களில், வானமாக காட்சிப்படுத்தலாம். அதில் உள்ள புள்ளிகள் "மறைந்துபோகும் புள்ளிகள்" அல்லது மாற்றாக "சிறந்த புள்ளிகள்" அல்லது "முடிவிலியில் உள்ள புள்ளிகள்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அத்தகைய புள்ளிகளில் இணையான கோடுகள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கின்றன. முடிவிலியில் உள்ள கோடுகளும் உள்ளன; அடிவானக் கோடு அத்தகைய கோட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு விமானத்தில் நிற்கும் ஒரு பார்வையாளருக்கு, அவை நிற்கும் தளத்திற்கு இணையாக உள்ள அனைத்து விமானங்களும் அடிவானக் கோட்டில் ஒன்றையொன்று சந்திக்கின்றன. இயற்கணித ரீதியாக, நாம் தரையாக எடுத்துக் கொண்டால், தரைக்கு இணையாக ஒரு தளமாக இருக்கும். இந்த இரண்டு இணையான விமானங்களும் முடிவிலியில் ஒருவருக்கொருவர் சந்திக்கின்றன. பெரும்பாலான கோடுகள், எடுத்துக்காட்டாக, சுழற்சிகளுக்கான அச்சுகளாக செயல்பட முடியும்; உண்மையில் அவை கற்பனையான குவாட்டர்னியன்களாக கருதப்படலாம். ஆனால் கோடு போன்ற முடிவிலியின் தளத்தில் இருக்கும் கோடுகள், ஒரு "சுழற்சிக்கு" அச்சுகளாக செயல்பட முடியாது. அதற்கு பதிலாக, இவை மொழிபெயர்ப்புகளுக்கான அச்சுகளாகும், மேலும் சிக்கலான எண்கள் அல்லது குவாட்டர்னியன்களை ஒத்த இயற்கணிதத்தைக் கொண்டிருப்பதற்குப் பதிலாக, அவற்றின் இயற்கணித நடத்தை இரட்டை எண்களைப் போலவே இருக்கும், ஏனெனில் அவை 0 க்கு சதுரமாக இருக்கும். மூன்று அடிப்படைக் கோடுகள்-மூலம்-தோற்றம்,,, இது சதுரமானது, முடிவிலியில் மூன்று அடிப்படைக் கோடுகளுடன், இரட்டை குவாட்டர்னியன்களுக்கு தேவையான கூறுகளை வழங்குகிறது. வடிவியல் தயாரிப்பிலிருந்து பிற செயல்பாடுகளைப் பெறுதல் வடிவியல் தயாரிப்பிலிருந்து பிரித்தெடுக்கக்கூடிய பல பயனுள்ள தயாரிப்புகள் உள்ளன, இது குவாட்டர்னியன் தயாரிப்பிலிருந்து புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் குறுக்கு தயாரிப்பு எவ்வாறு பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்பதைப் போன்றது. இவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ நோக்கி இருந்து மாற்றம், மீண்டும் புள்ளிகள், கோடுகள் அல்லது தளங்களாக உள்ளது; இங்கே, தலைகீழ் (அடிப்படையில் தலைகீழ்). மாற்றம் மற்றும் இடையே உள்ள கோணம் அல்லது தூரத்தை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருக்கும்; சரியான தூரம் அல்லது கோணத்தால் ஒரு மாற்றம் தேவைப்பட்டால், அதை இரட்டை குவாட்டர்னியன் அதிவேக மற்றும் மடக்கை மூலம் பெறலாம். பொருளின் குறுக்குவெட்டுகளை எடுக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும் மீட் (அல்லது "வெட்ஜ் தயாரிப்பு"); எடுத்துக்காட்டாக, கோடு கொண்ட தளத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி. உள் தயாரிப்பு, மற்ற பொருட்களின் மீது பொருட்களின் கணிப்புகளை எடுக்க பயனுள்ளதாக இருக்கும்; மீது உள்ள கணிப்பு-இந்த சூத்திரம் பொருள்கள் புள்ளிகள், கோடுகள் அல்லது விமானங்கள் என்பதைக் கொண்டுள்ளது. இது புள்ளி உற்பத்தியின் பொதுமைப்படுத்தல் ஆகும். இன் நெறிமுறை மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலான பொருட்களுக்கு இடையில் கோணங்களை எடுக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ மற்றும் இடையே உள்ள கோணம், அவை கோடுகள் அல்லது விமானங்களாக இருந்தாலும் சரி. இது இரண்டிற்கும் நெறிமுறை உள்ளது என்று கருதுகிறது, எ. கா. புள்ளிகள், கோடுகள், தளங்கள் மற்றும் உண்மையில் பிற கடினமான மாற்றங்கள் உட்பட எந்தவொரு பொருளுக்கும் எந்தவொரு கடினமான மாற்றம் (இரட்டை குவாட்டர்னியன்) அல்லது பிரதிபலிப்பின் பயன்பாடு, மாற்றப்பட வேண்டிய பொருள் எங்கே; இது "சாண்ட்விச் தயாரிப்பு" ஆகும். வரிகளுக்காக வரையறுக்கப்பட்ட கம்யூட்டேட்டர் தயாரிப்பு, இரண்டிற்கும் ஆர்த்தோகனல் என்ற தனித்துவமான கோட்டைக் கொடுக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, அது ஒரு தளம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். அவற்றின் வடிவியல் தயாரிப்பு அவற்றின் "பிரதிபலிப்பு கலவை"-ஒரு பிரதிபலிப்பைத் தொடர்ந்து ஒரு பிரதிபலிப்பு, இதன் விளைவாக இரட்டை குவாட்டர்னியன் ஏற்படுகிறது. ஆனால் இது விரும்பியதை விட அதிகமாக இருக்கலாம்; இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு கோட்டை மட்டுமே நாம் எடுக்க விரும்பினால், இந்த முடிவின் "தரம்-2 பகுதியை" மட்டுமே நாம் பார்க்க வேண்டும், எ. கா. இரண்டு குறைந்த குறியீடுகளைக் கொண்ட பகுதி. குறுக்குவெட்டு கோடு இரண்டு விமானங்களின் உருமாற்ற கலவையின் உள்ளே உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடத் தேவையான தகவல்கள், ஏனெனில் ஒரு ஜோடி விமானங்களில் ஒரு பிரதிபலிப்பு அவற்றின் குறுக்குவெட்டு கோட்டைச் சுற்றி ஒரு சுழற்சியை ஏற்படுத்தும். பிரதிபலிப்புகளின் இயற்கணிதமாக விளக்கம் 3D இல் உள்ள அனைத்து தூரத்தைப் பாதுகாக்கும் மாற்றங்களின் (அடிப்படையில், கடினமான மாற்றங்கள் மற்றும் பிரதிபலிப்புகள்) இயற்கணிதம் யூக்ளிடியன் குழு என்று அழைக்கப்படுகிறது. கார்டன்-டையுடோன் தேற்றத்தின் படி, அதன் எந்த உறுப்பும் விமானங்களில் தொடர்ச்சியான பிரதிபலிப்புகளாக எழுதப்படலாம். விமான அடிப்படையிலான GA இல், அடிப்படையில் அனைத்து வடிவியல் பொருட்களும் ஒரு மாற்றமாக கருதப்படலாம். பிளானர் பிரதிபலிப்புகள் போன்ற விமானங்கள், புள்ளி பிரதிபலிப்புகள் போன்ற புள்ளிகள் மற்றும் கோடு பிரதிபலிப்புகள் போன்ற கோடுகள்-3D இல் 180 டிகிரி சுழற்சிகளைப் போலவே இருக்கும். அடையாள மாற்றம் என்பது பூஜ்ஜிய பிரதிபலிப்புகளிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட தனித்துவமான பொருளாகும். இவை அனைத்தும் இதன் உட்பொருள்களாகும். சில கூறுகள், எடுத்துக்காட்டாக, 180 டிகிரி அல்லாத எந்த கோணத்திலும் சுழற்சிகள், அவற்றைக் காட்சிப்படுத்தப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் பொருளைக் கொண்டிருக்கவில்லை; இருப்பினும், அவை எப்போதும் பிரதிபலிப்புகளால் ஆனவை என்று கருதப்படலாம், மேலும் எப்போதும் விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பொருட்களின் சில கூறுகளின் நேரியல் கலவையாக குறிப்பிடப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, அச்சில் ஒரு சிறிய சுழற்சி ஆகும், மேலும் இது ஒரு வடிவியல் பெருக்கல் (ஒரு உருமாற்ற கலவை) மற்றும் என எழுதப்படலாம், இவை இரண்டும் கோட்டில் வெட்டப்படும் சமதள பிரதிபலிப்புகளாகும். உண்மையில், எந்தவொரு சுழற்சியையும் அதன் அச்சு வழியாகச் செல்லும் இரண்டு சமதள பிரதிபலிப்புகளின் கலவையாக எழுதலாம்; எனவே அதை 2-பிரதிபலிப்பு என்று அழைக்கலாம். சுழற்சி பிரதிபலிப்புகள், கிளைடு பிரதிபலிப்புகள் மற்றும் புள்ளி பிரதிபலிப்புகள் எப்போதும் 3 சமதள பிரதிபலிப்புகளின் கலவைகளாக எழுதப்படலாம், எனவே அவை 3-பிரதிபலிப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. 3டிக்கான இதன் மேல் வரம்பு ஒரு திருகு இயக்கம், இது 4-பிரதிபலிப்பாகும். இந்த காரணத்திற்காக, திருகு இயக்கங்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, 3D விமான அடிப்படையிலான GA இன் தரம்-4 உறுப்பைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், இது மிக உயர்ந்த தர உறுப்பு ஆகும். வடிவியல் உற்பத்தியின் வடிவியல் விளக்கம் "ரத்துசெய்தல்" பிரதிபலிப்புகள் ஒரு தளத்தில் ஒரு பிரதிபலிப்பு அதைத் தொடர்ந்து அதே தளத்தில் ஒரு பிரதிபலிப்பு எந்த மாற்றத்தையும் ஏற்படுத்தாது. இந்த வடிவவியலுக்கான இயற்கணித விளக்கம் சதுரம் போன்ற தரம்-1 கூறுகள் ஆகும். "கண்ணாடிகளை ரத்துசெய்வதன்" மூலம் வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் ஒரு சாதனமாக வடிவியல் உற்பத்தியின் பொதுவான நடத்தைக்கான வடிவியல் விளக்கத்தை வழங்க இந்த எளிய உண்மையைப் பயன்படுத்தலாம். இதன் பயனைப் பற்றி ஒரு எடுத்துக்காட்டு கொடுக்க, 3D இல் ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டிற்கு ஒரு சமதள ஆர்த்தோகனல் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைக் கடந்து செல்ல விரும்புகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு 2-பிரதிபலிப்பு மற்றும் 3-பிரதிபலிப்பு ஆகும், எனவே அவற்றின் வடிவியல் பெருக்கத்தை ஏதோ ஒரு வகையில் எடுத்துக்கொள்வது 5-பிரதிபலிப்பை உருவாக்குகிறது; இருப்பினும், கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளதைப் போல, இந்த பிரதிபலிப்புகளில் இரண்டு ரத்து செய்யப்பட்டு, 3-பிரதிபலிப்பை விட்டு விடுகின்றன (சில நேரங்களில் சுழற்சி பிரதிபலிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது). தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதக் குறியீட்டில், இந்த சுழற்சி பிரதிபலிப்பை ஒரு புள்ளி பிரதிபலிப்பில் "சேர்க்கப்பட்ட" ஒரு சமதள பிரதிபலிப்பாகக் கருதலாம். இந்த சுழற்சி பிரதிபலிப்பின் தளப் பகுதி என்பது கோடு மற்றும் அசல் புள்ளிக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இதேபோன்ற செயல்முறை ஒரு தளத்திற்கு ஆர்த்தோகனல் கோடு மற்றும் ஒரு புள்ளி வழியாக செல்வதைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படலாம், அல்லது ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு தளத்தின் குறுக்கீடு அல்லது மற்றொரு தளத்துடன் ஒரு தளத்தின் குறுக்குவெட்டு கோடு. சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் கூட துணை இயற்கணித சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் ஆகியவை தூரங்களையும் கைத்திறனையும் (சிராலிட்டி) பாதுகாக்கும் மாற்றங்களாகும், எ. கா. அவை பொருட்களின் தொகுப்புகளில் பயன்படுத்தப்படும்போது, அந்த பொருட்களுக்கு இடையிலான ஒப்பீட்டு தூரம் மாறாது; அவற்றின் கைத்திறனும் மாறாது, அதாவது வலது கை கையுறை இடது கை கையுறையாக மாறாது. 3டி யூக்ளிடியன் தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள அனைத்து மாற்றங்களும் தூரங்களைப் பாதுகாக்கின்றன, ஆனால் பிரதிபலிப்புகள், சுழற்சி பிரதிபலிப்புகள் மற்றும் பரிமாற்றங்கள் கைகளைப் பாதுகாக்காது. சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் கைகளைப் பாதுகாக்கின்றன, இது 3D விமான அடிப்படையிலான GA இல் அவை சம எண்ணிக்கையிலான பிரதிபலிப்புகளின் கலவையாக எழுதப்படலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு சுழற்சியை ஒரு தளத்தின் பிரதிபலிப்பாகக் கருதலாம், அதைத் தொடர்ந்து மற்றொரு தளத்தின் பிரதிபலிப்பு முதல் தளத்திற்கு இணையாக இல்லை (மேலே உள்ள பிஜிஏ சூழலில் அமைக்கப்பட்டுள்ள குவாட்டர்னியன்கள்). விமானங்கள் இணையாக இருந்தால், அவற்றின் பிரதிபலிப்புகளை இயக்குவது ஒரு மொழிபெயர்ப்பைக் கொடுக்கும். சுழற்சிகள் மற்றும் மொழிபெயர்ப்புகள் இரண்டும் திருகு இயக்கங்களின் சிறப்பு நிகழ்வுகளாகும், எ. கா. விண்வெளியில் ஒரு கோட்டைச் சுற்றி ஒரு சுழற்சி, அதைத் தொடர்ந்து அதே கோட்டில் ஒரு மொழிபெயர்ப்பு. இந்த குழு பொதுவாக எஸ்இ (3) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது 3 பரிமாணங்களில் சிறப்பு (கை-பாதுகாப்பு) யூக்ளிடியன் (தூர-பாதுகாப்பு) மாற்றங்களின் குழு ஆகும். இந்த குழுவில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் இரண்டு பிரதிநிதித்துவங்கள் உள்ளன, அவை இயற்கணிதம் மற்றும் கணக்கீட்டில் பயன்படுத்த அனுமதிக்கின்றன, ஒன்று உண்மையான எண்களின் 4 × 4 மேட்ரிக்ஸ்கள், மற்றொன்று இரட்டை குவாட்டர்னியன்கள். இரட்டை குவாட்டர்னியன் பிரதிநிதித்துவம் (வழக்கமான குவாட்டர்னியன்ஸைப் போலவே) உண்மையில் SE (3) இன் இரட்டை மறைப்பாகும். இரட்டை குவாட்டர்னியன்கள் இயற்கணித ரீதியாக மூடப்பட்டிருப்பதால், அவை சம எண்ணிக்கையிலான அடிப்படை உறுப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்படுவதால், அவை 3டி யூக்ளிடியன் தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் சமமான துணை இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த துணை இயற்கணிதத்தை விவரிக்க 'ஸ்பினார்' என்ற சொல் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. விமானங்களைப் பயன்படுத்தி கடுமையான மாற்றங்களை விவரிப்பது காமில் ஜோர்டானின் பணிகளில் ஒரு முக்கிய குறிக்கோளாக இருந்தது. மற்றும் மைக்கேல் சாஸ்லெஸ், ஏனெனில் இது சிகிச்சையை பரிமாண-சுயாதீனமாக இருக்க அனுமதிக்கிறது. பொதுமைப்படுத்தல்கள் தலைகீழ் வடிவியல் தலைகீழ் வடிவியல் என்பது வட்டங்கள் மற்றும் கோளங்களில் உள்ள தலைகீழ்களால் உருவாக்கப்படும் வடிவியல் பொருள்கள் மற்றும் நடத்தைகள் பற்றிய ஆய்வு ஆகும். தளங்களில் உள்ள பிரதிபலிப்புகள் கோளங்களில் உள்ள தலைகீழ்களின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, ஏனெனில் ஒரு தளம் எல்லையற்ற ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளமாகும். தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் பிரதிபலிப்புகளின் கலவையால் உருவாக்கப்படுவதால், இது தலைகீழ் வடிவவியலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. தலைகீழ் வடிவவியலை முறைசாரா வடிவியல் இயற்கணிதம் (சிஜிஏ) எனப்படும் பெரிய அமைப்புடன் நிகழ்த்தலாம், இதில் விமான அடிப்படையிலான ஜிஏ ஒரு துணை இயற்கணிதம் ஆகும். சிஜிஏ பொதுவாக 3டி இடத்திலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் பொது கோளங்கள், வட்டங்கள் மற்றும் இணக்கமான (கோணத்தைப் பாதுகாக்கும்) மாற்றங்களை மாதிரியாகக் கொண்டிருக்க முடியும், இதில் பாயின்கேர் வட்டில் காணப்படும் மாற்றங்களும் அடங்கும். பிஜிஏ மற்றும் சிஜிஏ இடையேயான தொடர்பைக் காண்பது கடினமாக இருக்கலாம், ஏனெனில் சிஜிஏ பெரும்பாலும் "புள்ளி அடிப்படையிலானது", இருப்பினும் சில ஆசிரியர்கள் சிஜிஏக்கு ஒரு விமான அடிப்படையிலான அணுகுமுறையை எடுத்துக்கொள்கிறார்கள், இது விமான அடிப்படையிலான ஜிஏ மற்றும் சிஜிஏக்கான குறியீடுகளை ஒரே மாதிரியாக ஆக்குகிறது. திட்டவட்டமான வடிவியல் இயற்கணிதம் விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் அனைத்து யூக்ளிடியன் மாற்றங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும், ஆனால் நடைமுறையில் இது எப்போதும் ஒருவித இரட்டை செயல்பாட்டுடன் இணைக்கப்பட்டு "திட்டவட்டமான வடிவியல் இயற்கணிதம்", பிஜிஏ எனப்படும் பெரிய அமைப்பை உருவாக்குகிறது. மற்ற கிளிஃபோர்ட் மற்றும் கிராஸ்மேன் ஆல்ஜிப்ராக்களைப் போலவே, இரட்டைத்தன்மை, பின்னடைவு உற்பத்தியின் வரையறையை அனுமதிக்கிறது. பொறியியல் பயன்பாடுகளுக்கு இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்-விமான அடிப்படையிலான GA இல், பின்னடைவு தயாரிப்பு ஒரு புள்ளியை மற்றொரு புள்ளியில் இணைத்து ஒரு கோட்டைப் பெறலாம், மேலும் ஒரு புள்ளியையும் ஒரு கோட்டையும் இணைத்து ஒரு தளத்தைப் பெறலாம். ஏதேனும் இரண்டு கூறுகள் (புள்ளிகள், கோடுகள் அல்லது தளங்கள்) நெறிமுறைக்கு (மேலே பார்க்கவும்) சமமாக இருந்தால், அவற்றின் பின்னடைவு உற்பத்தியின் நெறிமுறை அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்திற்கு சமமாக இருக்கும் என்பது மேலும் வசதியைக் கொண்டுள்ளது. பல புள்ளிகளின் இணைப்பு அவற்றின் அஃபைன் ஹல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இரட்டைத்தன்மை மற்றும் சொற்களின் மாறுபாடுகள் பிஜிஏவில் பின்னடைவு தயாரிப்பை வரையறுக்கப் பயன்படுத்தப்படும் இரட்டைக்கு கொடுக்கப்பட்ட துல்லியமான வரையறை குறித்து ஆசிரியர்களிடையே மாறுபாடு உள்ளது. எந்த வரையறை கொடுக்கப்பட்டாலும், பின்னடைவு தயாரிப்பு முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான வெளியீடுகளைக் கொடுக்கும்; இந்த காரணத்திற்காக, இரட்டை பற்றிய துல்லியமான விவாதம் பொதுவாக திட்ட வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் அறிமுகப் பொருளில் சேர்க்கப்படுவதில்லை. குறிப்பிடத்தக்க கருத்தியல் மற்றும் தத்துவ வேறுபாடுகள் உள்ளனஃ ஹோட்ஜ் இரட்டை தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் கூறுகளை தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தின் பிற கூறுகளுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது (எ. கா., பிற யூக்ளிடியன் மாற்றங்கள்); எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமதள பிரதிபலிப்பின் ஹோட்ஜ் இரட்டை ஒரு புள்ளி பிரதிபலிப்பாகும். பிஜிஏ முதலில் ஹோட்ஜ் டூயலைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்டது. ப்ரொஜெக்டிவ் டூயல் புள்ளிகளுக்கு விமானங்களை வரைபடமாக்குகிறது, ஆனால் இரண்டும் பிரதிபலிப்புகள் அல்ல; அதற்கு பதிலாக, விமான அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதம் செயல்படும் இடத்திற்கும் வேறுபட்ட, யூக்ளிடியன் அல்லாத இடத்திற்கும் இடையில் ப்ரொஜெக்டிவ் டூயல் மாறுகிறது, இரட்டை இடத்தை பார்க்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, சமதள பிரதிபலிப்புகளைச் செய்யும் தள அடிப்படையிலான வடிவியல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள தளங்கள், இணைப்புகளில் ஈடுபடும் இரட்டை இடத்தில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு வரைபடமாக்கப்படுகின்றன. பல்வேறு எழுத்தாளர்கள் பிஜிஏவின் விமான அடிப்படையிலான ஜிஏ பகுதியை "யூக்ளிடியன் ஸ்பேஸ்" மற்றும் "ஆன்டிஸ்பேஸ்" என்று அழைத்துள்ளனர். இரட்டைத்தன்மையின் இந்த வடிவம், வடிவியல் பொருள்கள் ஒரே மாதிரியாக குறிப்பிடப்படுகின்றன என்ற உண்மையுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது (அதாவது அளவீடுகளால் பெருக்கப்படுவது அவற்றை மாற்றாது), இந்த அமைப்பு "ப்ரொஜெக்டிவ்" வடிவியல் இயற்கணிதம் என்று அழைக்கப்படுவதற்கான காரணம் (இது முழு திட்டக் குழுவைக் கொண்ட கான்ஃபார்மல் வடிவியல் இயற்கணிதம் போலல்லாமல், முழு திட்டக் குழுவைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றாலும்). மாற்றாக, இணக்கமான வடிவியல் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (பிஜிஏ என்பது சிஜிஏ-வின் துணை இயற்கணிதம் என்பதால்), ஆனால் அதற்குள் பிஜிஏ பின்னடைவு விளைபொருளை வரையறுப்பது சிக்கலானது, ஏனெனில் சிஜிஏ-க்கு அதன் சொந்த பின்னடைவு விளைபொருளைக் கொண்டுள்ளது, இது வேறுபட்ட விளைபொருளாகும், முறைசாரா முறையில் சிஜிஏ-வில் மூன்று புள்ளிகளை இணைப்பது ஒரு வட்டம், அதேசமயம் பிஜிஏ-வில் இது ஒரு தளம். மற்றொரு சிக்கல் என்னவென்றால், பிஜிஏ "புள்ளிகள்" சிஜிஏ புள்ளிகளை விட அடிப்படையில் வேறுபட்ட இயற்கணித பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளன; இரண்டு ஆல்ஜிப்ராக்களை ஒப்பிட, பிஜிஏ புள்ளிகள் சிஜிஏ புள்ளி ஜோடிகளாக அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும், அங்கு புள்ளி ஜோடி முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது. இந்த சிக்கலைச் சமாளிக்க, சில ஆசிரியர்கள் சிஜிஏவில் உள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் டூயலை இரண்டு வெவ்வேறு பிஜிஏ-ஐசோமார்பிக் சபால்ஜெப்ராக்களின் பரிமாற்றமாக வரையறுக்கிறார்கள்; சிஜிஏக்குள் ஹோட்ஜ் டூயலை வரையறுக்கவும் முடியும், ஆனால் சிஜிஏ உறுப்பைப் பயன்படுத்தி, இது பிஜிஏ சூடோஸ்கேலார் ஆகும். யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்கள் மற்றும் 3 பரிமாணங்களில் கிளாசிக்கல் லை குழுக்களின் திட்டவட்டமான வடிவியல் இயற்கணிதம் முதல் தோராயத்திற்கு, இயற்பியல் உலகம் யூக்ளிடியன் ஆகும், அதாவது. பெரும்பாலான உருமாற்றங்கள் கடினமானவை; எனவே திட்டவட்டமான வடிவியல் இயற்கணிதம் பொதுவாக அடிப்படையாகக் கொண்டது, ஏனெனில் இந்த இயற்கணிதத்தில் கடினமான மாற்றங்களை மாதிரியாகக் கொண்டிருக்கலாம். இருப்பினும், இயற்கணிதத்தை சற்று மாற்றுவதன் மூலம் மற்ற இடைவெளிகளை மாதிரியாக்க முடியும். இந்த அமைப்புகளில், புள்ளிகள், விமானங்கள் மற்றும் கோடுகள் அவை விமான அடிப்படையிலான GA இல் உள்ள அதே ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் சுழற்சிகள் மற்றும் பிரதிபலிப்புகள் போன்ற மாற்றங்கள் வடிவவியலில் மிகவும் மாறுபட்ட விளைவுகளை ஏற்படுத்தும். கீழே உள்ள அனைத்து நிகழ்வுகளிலும், இயற்கணிதம் என்பது இடத்தில் உள்ள பிரதிபலிப்புகள், சுழற்சிகள் மற்றும் சுழற்சி பிரதிபலிப்புகளின் குழுவின் இரட்டை மறைப்பாகும். யூக்ளிடியன் வழக்கில் இருந்து அனைத்து சூத்திரங்களும் இந்த மற்ற வடிவவியல்களுக்கு எடுத்துச் செல்கின்றன-பொருளின் குறுக்குவெட்டை எடுக்கும் ஒரு வழியாக சந்திப்பு இன்னும் செயல்படுகிறது; வடிவியல் தயாரிப்பு இன்னும் மாற்றங்களை உருவாக்கும் ஒரு வழியாக செயல்படுகிறது; மற்றும் ஹைபர்போலிக் வழக்கில் உள் தயாரிப்பு ஹைபர்போலிக் கோணத்தை அளவிட முடியும். மூன்று சமமான சபால்ஜெப்ராக்களும் கிளாசிக்கல் லை குழுக்கள் (அளவீடுகளால் ஈவு எடுத்த பிறகு). ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் தொடர்புடைய லை இயற்கணிதம் கிளிஃபோர்ட் இயற்கணிதத்தின் இருமுனைவிகளாகும், அளவீடுகளால் ஈவு எடுக்கப்படுவதில்லை. குறிப்புகள் வடிவியல் இயற்கணிதம்