Twin-width
திசைதிருப்பப்படாத வரைபடத்தின் இரட்டை அகலம் என்பது வரைபடத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு இயற்கையான எண் ஆகும், இது வரைபட வழிமுறைகளின் அளவுரு சிக்கலைப் படிக்கப் பயன்படுகிறது. உள்ளுணர்வாக, இது ஒரு வரைபடத்துடன் வரைபடம் எவ்வளவு ஒத்திருக்கிறது என்பதை அளவிடுகிறது, இது ஒரு வகை வரைபடமாகும், இது ஒரே அண்டை நாடுகளைக் கொண்ட இரட்டையர்கள், செங்குத்துகளை மீண்டும் மீண்டும் இணைப்பதன் மூலம் ஒற்றை உச்சியாகக் குறைக்கப்படலாம். இரட்டை அகலம் என்பது மீண்டும் மீண்டும் இணைப்புகளின் வரிசையிலிருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது, அங்கு செங்குத்துகள் இரட்டையர்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் கிட்டத்தட்ட சமமான அண்டை நாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. வரையறை இரட்டை அகலம் என்பது வரையறுக்கப்பட்ட எளிய திசைதிருப்பப்படாத வரைபடங்களுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. இவை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட செங்குத்துகளின் தொகுப்பையும், வரிசைப்படுத்தப்படாத ஜோடி செங்குத்துகளாக இருக்கும் விளிம்புகளின் தொகுப்பையும் கொண்டுள்ளன. எந்தவொரு உச்சியின் திறந்த சுற்றுப்புறமும் வரைபடத்தின் விளிம்புகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ள பிற செங்குத்துகளின் தொகுப்பாகும்; மூடிய சுற்றுப்புறம் திறந்த சுற்றுப்புறத்திலிருந்து உச்சியை சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாகிறது. இரண்டு செங்குத்துகள் ஒரே மூடிய சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது உண்மையான இரட்டையர்கள், அதே திறந்த சுற்றுப்புறத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது தவறான இரட்டையர்கள்; மேலும் பொதுவாக, உண்மையான இரட்டையர்கள் மற்றும் தவறான இரட்டையர்கள் ஆகிய இருவரையும் தகுதி இல்லாமல் இரட்டையர்கள் என்று அழைக்கலாம். வரைபடங்கள் பல சமமான வரையறைகளைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் அவற்றில் ஒன்று என்னவென்றால், எந்தவொரு இரண்டு இரட்டை செங்குத்துகளையும் மீண்டும் மீண்டும் கண்டுபிடித்து அவற்றை ஒரே உச்சியில் இணைக்கும் செயல்முறையின் மூலம் ஒற்றை உச்சியாகக் குறைக்கக்கூடிய வரைபடங்கள் இவை. ஒரு வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, இந்த குறைப்பு செயல்முறை எப்போதும் வெற்றிகரமாக இருக்கும், ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் எந்த இரட்டையர்கள் ஒன்றிணைக்கப்பட வேண்டும் என்பதைத் தேர்ந்தெடுத்தாலும் பரவாயில்லை. ஒரு வரைபடம் அல்லாத ஒரு வரைபடத்திற்கு, அது எப்போதும் இரட்டையர்கள் இல்லாத இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு துணை வரைபடத்தில் சிக்கிக் கொள்ளும். இரட்டை அகலத்தின் வரையறை இந்த குறைப்பு செயல்முறையைப் பிரதிபலிக்கிறது. ஒரு சுருக்க வரிசை, இந்த சூழலில், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் தொடங்கி, படிகளின் வரிசையாகும், இதில் ஒவ்வொரு படியும் ஒரு ஜோடி செங்குத்துகளை ஒற்றை உச்சியால் மாற்றுகிறது. இது சிவப்பு மற்றும் கருப்பு நிற விளிம்புகளுடன் வரைபடங்களின் வரிசையை உருவாக்குகிறது; கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் கருப்பு நிறமாக கருதப்படுகின்றன. இரண்டு உச்சிகள் ஒற்றை உச்சியால் மாற்றப்படும்போது, புதிய உச்சியின் சுற்றுப்புறம் என்பது மாற்றப்பட்ட உச்சிகளின் சுற்றுப்புறங்களின் ஒன்றிணைப்பாகும். இந்த புதிய சுற்றுப்புறத்தில், இரண்டு செங்குத்துகளின் சுற்றுப்புறங்களில் கருப்பு விளிம்புகளிலிருந்து வரும் ஒரு விளிம்பு கருப்பு நிறத்தில் உள்ளது; மற்ற அனைத்து விளிம்புகளும் சிவப்பு நிறத்தில் உள்ளன. ஒரு சுருக்கம் வரிசை ஒரு-வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது, வரிசை முழுவதும், ஒவ்வொரு உச்சியும் அதிகபட்ச சிவப்பு விளிம்புகளைத் தொட்டால். ஒரு வரைபடத்தின் இரட்டை அகலம் என்பது அதன்-வரிசை கொண்ட மிகச்சிறிய மதிப்பாகும். ஒரு அடர்த்தியான வரைபடம் இன்னும் பிணைக்கப்பட்ட இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டிருக்கலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடங்கள் அனைத்து முழுமையான வரைபடங்களையும் உள்ளடக்கியது. இரட்டை அகலத்தின் மாறுபாடு, குறைவான இரட்டை அகலம், தனிப்பட்ட வரைபடங்களைக் காட்டிலும் வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்கு பொருந்தும். தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடங்களை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் மூடப்பட்ட மற்றும் இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்ட வரைபடங்களின் குடும்பத்திற்கு, பின்வரும் பண்புகள் சமமானவைஃ குடும்பத்தில் உள்ள வரைபடங்கள் குறைவாகவே உள்ளன, அதாவது அவை அவற்றின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையின் நேரியல் செயல்பாட்டால் வரம்புக்குட்பட்ட பல விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இந்த குடும்பம் அனைத்து முழுமையான இருதரப்பு வரைபடங்களையும் சேர்க்கவில்லை. கொடுக்கப்பட்ட குடும்பத்தில் உள்ள அனைத்து துணை வரைபடங்களின் குடும்பமும் இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டது. குடும்பம் எல்லைக்குட்பட்ட விரிவாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது அதன் ஆழமற்ற மைனர்கள் அனைவரும் குறைவாகவே உள்ளனர். அத்தகைய குடும்பம் குறுகிய இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டதாக கூறப்படுகிறது. இரட்டை அகலம் என்ற கருத்தை வரைபடங்களிலிருந்து பல்வேறு முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்புகள் வரை பொதுமைப்படுத்தலாம் (அவற்றின் செங்குத்துகளில் மொத்த வரிசையுடன் பொருத்தப்பட்ட வரைபடங்கள் உட்பட), மேலும் வரிசைப்படுத்தப்படாத வரைபடங்களை விட வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்புகளுக்கு பல வழிகளில் எளிதானது. வரம்புக்குட்பட்ட அளவைக் கொண்டிருப்பதை விட வெவ்வேறு தேவைகளைக் கொண்ட சுருக்க வரிசைகளைப் பயன்படுத்தி வரைபட அகலத்தின் பிற கருத்துக்களுக்கு சமமான வரையறைகளை உருவாக்கவும் முடியும். வரையறுக்கப்பட்ட இரட்டை அகல வரைபடங்களின் வரைபடங்கள் இரட்டை அகல பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளன. குறிகாட்டிகளுக்கான குறைப்பு செயல்பாட்டில், சிவப்பு விளிம்புகள் இருக்காதுஃ இரண்டு செங்குத்துகள் இணைக்கப்படும்போது, அவற்றின் சுற்றுப்புறங்கள் சமமாக இருக்கும், எனவே சிவப்பு நிறமாக இருக்க இரண்டு சுற்றுப்புறங்களில் ஒன்றிலிருந்து மட்டுமே வரும் விளிம்புகள் இல்லை. வேறு எந்த வரைபடத்திலும், எந்தவொரு சுருக்க வரிசையும் சில சிவப்பு விளிம்புகளை உருவாக்கும், மேலும் இரட்டை அகலம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். அதிகபட்சம் மூன்று செங்குத்துகளைக் கொண்ட பாதை வரைபடங்கள் வரைபடங்களாகும், ஆனால் ஒவ்வொரு பெரிய பாதை வரைபடமும் இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டுள்ளது. பாதையின் கடைசி இரண்டு விளிம்புகளை மீண்டும் மீண்டும் இணைக்கும் ஒரு சுருக்க வரிசைக்கு, ஒற்றை இணைக்கப்பட்ட உச்சியின் விளிம்பு நிகழ்வு மட்டுமே சிவப்பு நிறமாக இருக்கும், எனவே இது 1-வரிசை. மரங்கள் அதிகபட்சம் இரண்டு அகலங்களைக் கொண்டுள்ளன, சில மரங்களுக்கு இது இறுக்கமாக உள்ளது. எந்தவொரு மரத்திற்கும் ஒரு 2-சுருக்க வரிசையை ஒரு வேரைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் காணலாம், பின்னர் ஒரே பெற்றோரைக் கொண்ட இரண்டு இலைகளை மீண்டும் மீண்டும் இணைக்கலாம் அல்லது இது முடியாவிட்டால், ஆழமான இலையை அதன் பெற்றோருடன் இணைக்கலாம். சிவப்பு விளிம்புகள் மட்டுமே இலைகளை அவற்றின் பெற்றோருடன் இணைக்கின்றன, மேலும் ஒரே பெற்றோரில் இரண்டு இருக்கும்போது அவை ஒன்றிணைக்கப்படலாம், சிவப்பு டிகிரியை அதிகபட்சம் இரண்டாக வைத்திருக்கும். மேலும் பொதுவாக, பின்வரும் வகை வரைபடங்கள் இரட்டை-அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டுள்ளன, மேலும் அவை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட அகலத்தின் சுருக்க வரிசையைக் காணலாம்ஃ வரம்புக்குட்பட்ட கிளைக்-அகலம் அல்லது வரம்புக்குட்பட்ட தரவரிசை-அகலத்தின் ஒவ்வொரு வரைபடமும் இரட்டை-அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டது. இரட்டை-அகலம் என்பது கிளைக்-அகலத்தில் அதிகபட்ச அதிவேகமாகவும், தரவரிசை-அகலத்தில் அதிகபட்சமாக இரு மடங்கு அதிவேகமாகவும் உள்ளது. இந்த வரைபடங்களில், எடுத்துக்காட்டாக, தூர-பரம்பரை வரைபடங்கள், வரம்புக்குட்பட்ட மதிப்புகளுக்கான-இலை சக்திகள் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட மூன்று அகலத்தின் வரைபடங்கள் ஆகியவை அடங்கும். அலட்சிய வரைபடங்கள் (சமமாக, அலகு இடைவெளி வரைபடங்கள் அல்லது சரியான இடைவெளி வரைபடங்கள்) அதிகபட்சம் இரண்டில் இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டுள்ளன. அலகு வட்டு வரைபடங்கள் அலகு வட்டுகளின் தொகுப்புகளிலிருந்து வரையறுக்கப்படுகின்றன, அவை தளத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் வரம்புக்குட்பட்ட எண்ணிக்கையிலான முறை இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டுள்ளன. உயர் பரிமாணங்களில் உள்ள அலகு பந்து வரைபடங்களுக்கும் இது பொருந்தும். தடைசெய்யப்பட்ட வரிசைமாற்ற வடிவத்துடன் வரிசைமாற்றங்களிலிருந்து வரும் வரிசைமாற்ற வரைபடங்கள் இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டுள்ளன. இது தடைசெய்யப்பட்ட வடிவங்களுடன் வரிசைமாற்றங்களில் வழிமுறை சிக்கல்களுக்கு இரட்டை அகலத்தைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. தடைசெய்யப்பட்ட சிறார்களால் வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்களின் ஒவ்வொரு குடும்பமும் இரட்டை அகலத்தை வரையறுத்துள்ளன. உதாரணமாக, வாக்னரின் தேற்றத்தின்படி, பிளானர் வரைபடங்களுக்கான தடைசெய்யப்பட்ட மைனர்கள் இரண்டு வரைபடங்களாகும், எனவே பிளானர் வரைபடங்கள் இரட்டை அகலத்தை வரையறுக்கின்றன. வரம்புக்குட்பட்ட அடுக்கு எண் அல்லது வரம்புக்குட்பட்ட வரிசை எண்ணின் ஒவ்வொரு வரைபடமும் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டுள்ளது. வரம்புக்குட்பட்ட குறுகிய இரட்டை அகலம் கொண்ட வரைபடங்களின் குடும்பங்கள் உள்ளன, அவை வரம்புக்குட்பட்ட அடுக்கு எண்ணைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் வரிசை எண்ணுக்கான தொடர்புடைய கேள்வி திறந்திருக்கும். வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் எந்த இரண்டு வரைபடங்களின் வலுவான பெருக்கல், அவற்றில் ஒன்று வரம்புக்குட்பட்ட டிகிரியைக் கொண்டுள்ளது, மீண்டும் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டுள்ளது. - பிளானர் வரைபடங்கள் போன்ற பாதைகள் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட-அகல வரைபடங்களின் வலுவான தயாரிப்புகளாக சிதைவுகளைக் கொண்ட வரைபடங்களின் வகுப்புகளின் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தை நிரூபிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம். வரைபடங்களின் அகராதியியல் உற்பத்தியைப் பொறுத்தவரை, இரட்டை அகலம் என்பது இரண்டு காரணி வரைபடங்களின் அகலங்களின் அதிகபட்சமாகும். இரட்டை அகலம் பல நிலையான வரைபட தயாரிப்புகளின் கீழ் நன்றாக செயல்படுகிறது, ஆனால் வரைபடங்களின் மட்டு தயாரிப்பு அல்ல. வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலம் கொண்ட வரைபடங்களின் ஒவ்வொரு பரம்பரை குடும்பத்திலும், அதன் வரைபடங்களின் செங்குத்துகளுக்கான மொத்த வரிசைகளின் குடும்பத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடியும், இதனால் ஒரு தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடத்தில் மரபுவழி வரிசைப்படுத்தலும் குடும்பத்தில் ஒரு வரிசையாக இருக்கும், இதனால் குடும்பம் இந்த வரிசைகளைப் பொறுத்தவரை சிறியது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், செங்குத்துகளில் உள்ள மொத்த வரிசைக்கு, அந்த வரிசையுடன் ஒத்துப்போகும் குடும்பத்தில் உள்ள வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக ஒற்றை அதிவேகத்தில் உள்ளது. மாறாக, இந்த அர்த்தத்தில் சிறியதாக இருக்கும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வரைபடங்களின் ஒவ்வொரு பரம்பரை குடும்பமும் இரட்டை அகலத்தை வரையறுக்கிறது. சிறியதாக பெயரிடப்பட்ட வரைபடங்களின் ஒவ்வொரு பரம்பரைக் குடும்பமும், வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை அதிகபட்சமாக ஒரு தனித்துவமான அதிவேகக் காரணி நேரங்கள் என்ற பொருளில், இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டது என்று முதலில் ஊகிக்கப்பட்டது. இருப்பினும், இந்த அனுமானம் எல்லையற்ற கெய்லி வரைபடத்தின் தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடங்களின் குடும்பத்தைப் பயன்படுத்தி நிராகரிக்கப்பட்டது, அவை பெயரிடப்பட்ட வரைபடங்களாக சிறியவை, ஆனால் பிணைக்கப்பட்ட இரட்டை அகலத்தைக் கொண்டிருக்கவில்லை. பின்வரும் வரைபடங்களின் குடும்பங்களுக்குள் வரம்பற்ற இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்கள் உள்ளனஃ வரம்புக்குட்பட்ட டிகிரியின் வரைபடங்கள். இடைவெளி வரைபடங்கள். அலகு வட்டு வரைபடங்கள். இந்த ஒவ்வொரு நிகழ்விலும், முடிவு ஒரு எண்ணும் வாதத்தால் பின்பற்றப்படுகிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட வகையின் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களை விட அதிகமான வரைபடங்கள் உள்ளன. பண்புகள் ஒரு வரைபடம் இரட்டை அகலத்தை வரம்புக்குட்பட்டிருந்தால், சுருக்கங்களின் பல்துறை மரத்தைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். இது சுருக்க வரிசைகளின் ஒரு பெரிய குடும்பமாகும், இவை அனைத்தும் சில (பெரிய) வரம்புக்குட்பட்ட அகலம் கொண்டவை, இதனால் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் நேரியல் ரீதியாக பல வேறுபட்ட ஜோடி செங்குத்துகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றும் வரிசையின் அடுத்த கட்டத்தில் சுருங்க முடியும். இதிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட செங்குத்துகளின் எந்தவொரு தொகுப்பிலும் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு ஒற்றை அதிவேக காரணியை விட பெரியது, வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்கள் ஒரு உச்சிக்கு ஒரு மடக்கை எண்ணிக்கையிலான பிட்களை மட்டுமே கொண்ட ஒரு அருகாமை பெயரிடல் திட்டத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் அவை பல்லுறுப்புக்கோவை அளவின் உலகளாவிய வரைபடங்களைக் கொண்டுள்ளன, இதில் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் ஒவ்வொரு-வெர்டெக்ஸ் வரைபடத்தையும் தூண்டப்பட்ட துணை வரைபடமாகக் காணலாம். வழிமுறைகள் இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களை அதிகபட்சம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் அடையாளம் காணலாம். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்ட வரைபடத்தில் அதிகபட்சம் நான்கு இரட்டை அகலம் உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிப்பது NP-முழுமையானது, மேலும் 5/4 ஐ விட சிறந்த தோராய விகிதத்துடன் இரட்டை அகலத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுவது NP-கடினம். அதிவேக நேரக் கருதுகோளின் கீழ், இரட்டை அகலத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு-வெர்டெக்ஸ் வரைபடங்களில் குறைந்தபட்சம் அதிவேக நேரம் தேவைப்படுகிறது. நடைமுறையில், SAT தீர்வுகளைப் பயன்படுத்தி மிதமான அளவிலான வரைபடங்களின் இரட்டை அகலத்தை கணக்கிட முடியும். வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலம் கொண்ட வரைபடங்களின் அறியப்பட்ட பெரும்பாலான குடும்பங்களுக்கு, பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் வரம்புக்குட்பட்ட அகலத்தின் சுருக்க வரிசையை உருவாக்க முடியும். ஒரு சுருக்க வரிசை கொடுக்கப்பட்ட அல்லது கட்டமைக்கப்பட்டவுடன், பல வேறுபட்ட வழிமுறை சிக்கல்களை அதைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும், பல சந்தர்ப்பங்களில் பிணைக்கப்பட்ட இரட்டை அகலம் இல்லாத வரைபடங்களுக்கு சாத்தியமானதை விட மிகவும் திறமையாக. கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, இவற்றில் NP-கடினமான சிக்கல்களுக்கான சரியான அளவுருக்கள் கொண்ட வழிமுறைகள் மற்றும் தோராயமான வழிமுறைகள் அடங்கும், அதே போல் கிளாசிக்கல் பல்லுறுப்புக்கோவை நேர வழிமுறைகளைக் கொண்ட சில சிக்கல்களும் உள்ளன, இருப்பினும் அவை வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் அனுமானத்தைப் பயன்படுத்தி விரைவுபடுத்தப்படலாம். அளவுருக்கள் கொண்ட வழிமுறைகள் ஒரு தொடர்புடைய அளவுருவைக் கொண்ட வரைபடங்களில் ஒரு வழிமுறை சிக்கல் நிலையான அளவுரு டிராக்டபிள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு வழிமுறை இருந்தால், செங்குத்துகள் மற்றும் அளவுரு மதிப்பு கொண்ட வரைபடங்களில், சில நிலையான மற்றும் கணக்கிடக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கு நேரத்தில் இயங்குகிறது. உதாரணமாக, ஒரு இயங்கும் நேரம் இந்த அர்த்தத்தில் நிலையான-அளவுரு டிராக்டபிள் இருக்கும். இந்த பகுப்பாய்வு பாணி பொதுவாக அறியப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறை இல்லாத சிக்கல்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இல்லையெனில் நிலையான-அளவுரு டிராக்டபிலிட்டி அற்பமானதாக இருக்கும். அத்தகைய பல சிக்கல்கள் உள்ளீட்டின் ஒரு பகுதியாக வரம்புக்குட்பட்ட அகலத்தின் சுருக்க வரிசை கொடுக்கப்படும்போது, இரட்டை அகலத்தை ஒரு அளவுருவாகக் கொண்டு நிலையான-அளவுரு டிராக்டபிள் என்று காட்டப்பட்டுள்ளன. இது குறிப்பாக, மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபட குடும்பங்களுக்கு பொருந்தும், இதற்காக ஒரு சுருக்க வரிசையை திறம்பட உருவாக்க முடியும். இருப்பினும், வரைபடத்தில் வேறு எந்த கட்டமைப்பும் அறியப்படாத நிலையில், குறைந்த இரட்டை அகலத்தின் தன்னிச்சையான வரைபடத்திற்கு ஒரு நல்ல சுருக்க வரிசையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது தெரியவில்லை. கொடுக்கப்பட்ட சுருக்க வரிசைகளுடன் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களுக்கான நிலையான-அளவுரு கையாளக்கூடிய சிக்கல்கள் பின்வருமாறுஃ கொடுக்கப்பட்ட வரைபடம் வரைபடங்களின் முதல் வரிசை தர்க்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட பண்புகளில் ஏதேனும் உள்ளதா என்பதை சோதிக்கிறது. இங்கே, இரட்டை அகலம் மற்றும் சொத்தின் விளக்க நீளம் இரண்டும் பகுப்பாய்வின் அளவுருக்கள் ஆகும். இந்த வகையின் சிக்கல்களில் வரம்புக்குட்பட்ட அளவிலான துணை வரைபடங்களுக்கான துணை வரைபட ஐசோமார்பிசம் மற்றும் வரம்புக்குட்பட்ட அளவின் அட்டைகள் அல்லது ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்புகளுக்கான உச்சி உறை மற்றும் ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பு சிக்கல்கள் ஆகியவை அடங்கும். பண்புகளை விவரிக்கும் தர்க்கரீதியான சூத்திரத்தின் நீளத்தின் மீது இந்த பொதுவான முறைகளின் சார்பு டெட்ரேஷனல் ஆகும், ஆனால் சுயாதீன தொகுப்பு, ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பு மற்றும் தொடர்புடைய சிக்கல்களுக்கு இது சுயாதீனமான அல்லது ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பின் அளவில் அதிவேகமாக குறைக்கப்படலாம், மேலும் துணை வரைபட ஐசோமார்பிசத்திற்கு இது துணை வரைபடத்தின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கையில் காரணியாக குறைக்கப்படலாம். உதாரணமாக, கொடுக்கப்பட்ட-வரிசை கொண்ட-வெர்டெக்ஸ் வரைபடத்திற்கு ஒரு-வெர்டெக்ஸ் சுயாதீன தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நேரம், ஒரு மாறும் நிரலாக்க வழிமுறையால், சுருக்க வரிசையின் முன்னோக்கி திசையில் சிவப்பு வரைபடங்களின் சிறிய இணைக்கப்பட்ட துணை வரைபடங்களைக் கருத்தில் கொள்கிறது. இந்த கால வரம்புகள் அதிவேக நேரக் கருதுகோளின் கீழ், அடுக்கில் உள்ள மடக்கைக் காரணிகள் வரை உகந்தவை. வரைபடங்களின் முதல்-வரிசை தர்க்கத்தை முற்றிலும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செங்குத்துகளுடன் வரைபடங்களுக்கு விரிவாக்குவதற்கும், இந்த வரிசையை சோதிக்கக்கூடிய தர்க்கரீதியான கணிப்புகளுக்கு, மாதிரி சரிபார்ப்பு இன்னும் வரையறுக்கப்பட்ட இரட்டை-அகலத்தின் பரம்பரை வரைபட குடும்பங்களுக்கு நிலையான-அளவுரு பாதையாக உள்ளது, ஆனால் வரம்பற்ற இரட்டை-அகலத்தின் பரம்பரை குடும்பங்களுக்கு (நிலையான சிக்கலான-கோட்பாட்டு அனுமானங்களின் கீழ்) அல்ல. பிணைக்கப்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வண்ண வரைபடங்கள், அவற்றின் இரட்டை அகலம் மற்றும் அவற்றின் மிகப்பெரிய கிளிக்கின் அளவு ஆகியவற்றின் செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட பல வண்ணங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன. உதாரணமாக, இரட்டை அகலத்தின் முக்கோணம் இல்லாத வரைபடங்கள் ஒரு பேராசை வண்ணமயமாக்கல் வழிமுறையால்-வண்ணமயமாக்கப்படலாம், அவை சுருக்கப்பட்ட வரிசையின் தலைகீழ் நிற செங்குத்துகளில் வண்ணமயமாக்கப்படுகின்றன. வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்கள் χ-வரம்புக்குட்பட்டவை என்பதை இந்த முடிவு காட்டுகிறது. வரம்புக்குட்பட்ட குறுகிய இரட்டை அகலம் கொண்ட வரைபட குடும்பங்களுக்கு, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வண்ண எண்கள் வரம்புக்குட்பட்டவை. இங்கே, செங்குத்துகளை நேரியல் முறையில் வரிசைப்படுத்த முடிந்தால், ஒவ்வொரு உச்சியும் வரிசையில் முந்தைய செங்குத்துகளில், வரிசையில் பிற்கால செங்குத்துகள் வழியாக நீளத்தின் பாதைகள் வழியாக அடைய முடியும். கிளாசிக்கல் வழிமுறைகளின் வேகம் வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலம் கொண்ட வரைபடங்களில், செங்குத்துகளுடன் கூடிய வரைபடத்தில், காலப்போக்கில், வரைபடம் அடர்த்தியாக இருக்கும்போது மற்றும் இந்த நேர வரம்பை விட அதிக விளிம்புகளைக் கொண்டிருந்தாலும் கூட, அகலம்-முதல் தேடலைச் செய்ய முடியும். தோராயமான வழிமுறைகள் இரட்டை அகலமும் தோராயமான வழிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பாக, வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களில், வரம்புக்குட்பட்ட தோராய விகிதத்துடன் குறைந்தபட்ச ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்புக்கான தோராயத்தைக் கண்டறிய முடியும். இது மிகவும் பொதுவான வரைபடங்களுக்கு மாறாக உள்ளது, இதற்கு மடக்கை விட சிறந்த தோராய விகிதத்தைப் பெறுவது NP-கடினம். அதிகபட்ச சுயாதீன செட் மற்றும் கிராஃப் வண்ணமயமாக்கல் சிக்கல்களை எல்லைக்குட்பட்ட இரட்டை அகலத்தின் வரைபடங்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில், ஒவ்வொன்றிற்கும் தோராயமான விகிதத்திற்குள் தோராயமாக மதிப்பிடலாம். இதற்கு மாறாக, வரம்புக்குட்பட்ட இரட்டை அகலம் என்ற அனுமானம் இல்லாமல், இந்த வடிவத்தின் எந்த தோராய விகிதத்தையும் அடைய NP-கடினமாக உள்ளது. குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு வரைபட மாறிலிகள்