Countable Borel relation
விளக்க செட் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக மாறாத விளக்க செட் கோட்பாட்டில், கணக்கிடக்கூடிய போரெல் உறவுகள் என்பது நிலையான போரெல் இடத்திற்கு இடையிலான உறவுகளின் ஒரு வகுப்பாகும், அவை குறிப்பாக நன்கு நடத்தப்படுகின்றன. இந்த கருத்து ஒரு ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவு போன்ற பல்வேறு குறிப்பிட்ட கருத்துக்களை உள்ளடக்கியது, ஆனால் அதில் ஆர்வமாக உள்ளது. உந்துதல் மாறாத விளக்க தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் ஆய்வின் முக்கிய பகுதி சமநிலை உறவுகளின் ஒப்பீட்டு சிக்கலானது ஆகும். ஒரு தொகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவு ஒரு தொகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவை விட மிகவும் சிக்கலானதாகக் கருதப்படுகிறது, ஒருவர் "பயன்படுத்தி கணக்கிட" முடிந்தால்-முறையாக, ஏதோ ஒரு அர்த்தத்தில் நன்கு நடந்து கொள்ளும் ஒரு செயல்பாடு இருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒருவருக்கு பெரும்பாலும் அது தேவைப்படுகிறது போரெல் அளவிடக்கூடியது). அத்தகைய செயல்பாடு இது இரு திசைகளிலும் இருந்தால், ஒருவர் "பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்" மற்றும் "பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்", பின்னர் அதே அளவிலான சிக்கலைக் கொண்டிருக்கலாம். போரெல் சமநிலை உறவுகளைப் பற்றி ஒருவர் பேசும்போது, போரெல் அளவிடக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும், இது பெரும்பாலும் குறிக்கப்படுகிறது. எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவுகள் மற்றும் மேலே விவரிக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் ஒத்த சிக்கலான உறவுகள் கணிதத்தில் பல்வேறு இடங்களில் காணப்படுகின்றன (கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும், மேலும் பார்க்கவும்). குறிப்பாக, கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள ஃபெல்ட்மேன்-மூர் தேற்றம் சில வான் நியூமன் ஆல்ஜிப்ராக்களின் ஆய்வில் பயனுள்ளதாக இருந்தது (பார்க்க). வரையறை நிலையான போரெல் இடங்களாக இருக்கட்டும். மற்றும் இடையே ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவு என்பது கார்ட்டீசியன் உற்பத்தியின் துணைக்குழுவாகும், இது ஒரு போரெல் தொகுப்பாகும் (தயாரிப்பு இடவியலில் ஒரு துணைக்குழுவாக) மற்றும் எந்தவொரு தொகுப்புக்கும், கணக்கிடக்கூடியது என்பதை திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த வரையறை மற்றும் இல் சமச்சீர் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க, எனவே ஒரு உறவு மற்றும் இடையே ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாக இருக்கலாம், ஆனால் எதிர் உறவு மற்றும் இடையே ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவு அல்ல. எடுத்துக்காட்டுகள் எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவுகளின் எண்ணக்கூடிய ஒன்றிணைப்பும் ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். எந்தவொரு போரெல் துணைக்குழுவுடனும் எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவின் குறுக்குவெட்டு ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். நிலையான போரெல் இடைவெளிகள் இடையே ஒரு செயல்பாடு இருந்தால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் போரெல் அளவிடக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே மற்றும் இடையே ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும் (இது லுசின்-சுஸ்லின் தேற்றத்தின் விளைவாகும்). போரெல் அளவிடக்கூடியதாகவும், எண்ணக்கூடிய இழைகளைக் கொண்டதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே, வரைபடத்தின் எதிர் உறவு, ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். ஒரு சமநிலை உறவாக இருந்தால், அது ஒரு போரெல் தொகுப்பாக இருந்தால் மற்றும் அனைத்து சமநிலை வகுப்புகளும் எண்ணக்கூடியதாக இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். குறிப்பாக ஹைப்பர்ஃபைனைட் சமநிலை உறவுகள் எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவுகள் ஆகும். எண்ணக்கூடிய குழுவின் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டால் தூண்டப்படும் சமநிலை உறவு ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். ஒரு உறுதியான எடுத்துக்காட்டாக, தரவரிசை 2 இன் இலவச குழுவின் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும், வடிவத்தின் அடிப்படை திறந்த தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட இடவியல் மற்றும் சிலருக்கு (இது தயாரிப்பு இடவியல்). சமன்பாடு உறவு பின்னர் ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவாகும். இயற்கையின் துணைக்குழுக்களின் இடமாக இருக்கட்டும், மீண்டும் தயாரிப்பு இடவியல் (ஒரு அடிப்படை திறந்த தொகுப்பு வடிவம் அல்லது)-இது கேன்டர் இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. டூரிங் சமநிலையின் சமநிலை உறவு ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவு ஆகும். பல்வேறு வகை மாதிரிகளுக்கு இடையிலான ஐசோமார்பிசம் சமநிலை உறவு, எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவுகளாக இல்லாவிட்டாலும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட அர்த்தத்தில் போரெல் சமநிலை உறவுக்கு ஒத்த சிக்கலானது. எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ஒவ்வொரு உச்சியின் அளவும் வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் எண்ணக்கூடிய வரைபடங்களின் வகை. பகுத்தறிவுகளின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மிகைப்படுத்தல் டிகிரியின் வகுப்பு புலம் நீட்டிப்புகள். லூசின்-நோவிகோவ் தேற்றம் நிகோலாய் லூசின் மற்றும் அவரது முனைவர் மாணவர் பியோட்டர் நோவிகோவ் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட இந்த தேற்றம், பயன்படுத்தப்படும் ஒரு முக்கியமான விளைவாகும், இது எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவுகள் பற்றிய பல சான்றுகள் ஆகும். தேற்றம். மற்றும் நிலையான போரெல் இடைவெளிகள் மற்றும் மற்றும் இடையே ஒரு எண்ணக்கூடிய போரெல் உறவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் தொகுப்பு ஒரு போரெல் துணைக்குழுவாகும். மேலும், ஒரு போரெல் செயல்பாடு உள்ளது (போரெல் சீருடை என்று அழைக்கப்படுகிறது) அதாவது வரைபடம் ஒரு துணைக்குழுவாகும். இறுதியாக, போரெல் துணைக்குழுக்கள் மற்றும் போரெல் செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது வரைபடங்களின் ஒன்றிணைப்பு, அதாவது. இது இரண்டு எளிதான விளைவுகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ எண்ணக்கூடிய இழைகளுடன் ஒரு போரெல் அளவிடக்கூடிய செயல்பாடாக இருந்தால், அதன் படம் ஒரு போரெல் துணைக்குழுவாகும் (படம் சரியாக இருக்கும் இடத்தில் வரைபடத்தின் எதிர் உறவு இருப்பதால்). எண்ணக்கூடிய சமநிலை வகுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் ஒரு போரெல் சமநிலை உறவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு போரெல் துணைக்குழு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு போரெல் துணைக்குழுவும் உள்ளது (இது துல்லியமாக எங்கே, மற்றும் ஒரு போரெல் தொகுப்பு என்பதால்). எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவுகள் குறித்து லூசின்-நோவிகோவ் நோவிகோவ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கக்கூடிய மேலும் இரண்டு முடிவுகள் கீழே உள்ளனஃ ஃபெல்ட்மேன்-மூர் தேற்றம் ஜேக்கப் ஃபெல்ட்மேன் மற்றும் கால்வின் சி. மூர் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட ஃபெல்ட்மேன்-மூர் தேற்றம் கூறுகிறதுஃ தேற்றம். எண்ணக்கூடிய சமநிலை வகுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் ஒரு போரெல் சமநிலை உறவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு கணக்கிடக்கூடிய குழு மற்றும் செயல்பாடு உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிற்கும் போரெல் அளவிடக்கூடியது, மேலும் எந்தவொரு, சமன்பாட்டு வகுப்பும் சரியாக செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள சுற்றுப்பாதையாகும். அதாவது, எண்ணக்கூடிய போரெல் சமநிலை உறவுகள் சரியாக எண்ணக்கூடிய குழுக்களால் போரெல் செயல்களால் உருவாக்கப்படுகின்றன. மார்கர் லெம்மா இந்த லெம்மா தியோடர் ஸ்லாமன் மற்றும் ஜான் ஆர். ஸ்டீல் காரணமாகும், மேலும் ஃபெல்ட்மேன்-மூர் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க முடியும்ஃ லெம்மா. எண்ணக்கூடிய சமநிலை வகுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு நிலையான போரெல் இடத்தில் ஒரு போரெல் சமநிலை உறவு என்று வைத்துக்கொள்வோம். விடுங்கள். பின்னர் அனைவருக்கும் மற்றும் போன்ற ஒரு குறைந்து வரும் வரிசை உள்ளது. குறைவான முறைப்படி, எல்லையற்ற சமநிலை வகுப்புகளை "தன்னிச்சையாக சிறிய" தொகுப்பால் தோராயமாக மதிப்பிட முடியும் என்று லெம்மா கூறுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, லெம்மாவில் ஒரு போரெல் நிகழ்தகவு அளவீடு இருந்தால் அளவின் தொடர்ச்சியைக் குறிக்கிறது). குறிப்புகள் விளக்க தொகுப்புக் கோட்பாடு பைனரி உறவுகள்