Permutationally invariant quantum state tomography
பர்ம்யூட்டேஷனல் மாறாத குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபி (பிஐ குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபி) என்பது பல துணை அமைப்புகளைக் கொண்ட குவாண்டம் அமைப்பின் நிலையை ஓரளவு தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு முறையாகும். பொதுவாக, துணை அமைப்புகளைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பின் குவாண்டம் இயந்திர நிலையை விவரிக்கத் தேவையான அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை அதிவேகமாக அதிகரித்து வருகிறது க்யூபிட்களைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பைப் பொறுத்தவரை, இது மிகவும் பொருத்தமான நிகழ்வாக இருக்கலாம், ஒரு தூய நிலையின் நிலை திசையனை விவரிக்க உண்மையான அளவுருக்கள் தேவைப்படுகின்றன, அல்லது கலப்பு நிலையின் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸை விவரிக்க உண்மையான அளவுருக்கள் தேவைப்படுகின்றன. குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபி என்பது பல சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியாக தயாரிக்கப்பட்ட அமைப்புகளில் தொடர்ச்சியான அளவீடுகளிலிருந்து இந்த அளவுருக்கள் அனைத்தையும் தீர்மானிக்கும் ஒரு முறையாகும். எனவே, முழு குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபியைப் பொறுத்தவரை, துகள்கள் அல்லது கியூபிட்களின் எண்ணிக்கையுடன் அதிவேகமாக அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை தேவைப்படுகிறது. பெரிய அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, முழு குவாண்டம் நிலையையும் தீர்மானிப்பது நடைமுறையில் இனி சாத்தியமில்லை, மேலும் நிலை பற்றிய முக்கியமான தகவல்களைக் கொண்ட குவாண்டம் நிலையை வகைப்படுத்த தேவையான அளவுருக்களின் துணைக்குழுவை மட்டுமே தீர்மானிக்கும் முறைகளில் ஒருவர் ஆர்வமாக உள்ளார். பெர்ம்யூட்டேஷனல் மாறாத குவாண்டம் டோமோகிராஃபி என்பது ஸ்டேட் டோமோகிராஃபியை விட குறைவான அளவீடுகள் தேவைப்படும் ஒரு முறையாகும். பிஐ குவாண்டம் டோமோகிராஃபி அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் வரிசைமாற்ற மாறாத பகுதியை மட்டுமே அளவிடுகிறது. செயல்முறைக்கு, துணை அமைப்புகளில் உள்ளூர் அளவீடுகளை மேற்கொள்வது போதுமானது. நிலை பல நடைமுறை சூழ்நிலைகளில் இருக்கும்படி, வரிசைமாற்றத்தில் மாறாத நிலைக்கு நெருக்கமாக இருந்தால், அது அமைப்பின் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸுக்கு நெருக்கமாக இருக்கும். நிலை நிரந்தரமாக மாறாததாக இல்லாவிட்டாலும், சிக்கலைக் கண்டறிவதற்கும் தொடர்புடைய ஆபரேட்டர் எதிர்பார்ப்புகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். எனவே, இந்த செயல்முறை குவாண்டம் நிலையின் வரிசைமாற்ற மாறுபாட்டைக் கருதவில்லை. கியூபிட்களுக்கான சுயாதீன உண்மையான அளவுருக்களின் எண்ணிக்கை உள்ளூர் அளவீட்டு அமைப்புகளின் எண்ணிக்கையை அளவிடுகிறது எனவே, வரிசைமாற்றத்தில் மாறாத குவாண்டம் டோமோகிராஃபி பெரியவற்றிற்கும் கூட நிர்வகிக்கக்கூடியதாக கருதப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசைமாற்றத்தில் மாறாத குவாண்டம் டோமோகிராஃபி அளவிடக்கூடியதாக கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 10 க்கும் மேற்பட்ட துகள்களைக் கொண்ட அமைப்புகளின் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ்களை மறுசீரமைக்க, ஃபோட்டோனிக் அமைப்புகளுக்கு, சிக்கிய குளிர் அயனிகளுக்கு அல்லது குளிர் அணுக்களில் உள்ள அமைப்புகளுக்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம். அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் பிஐ நிலை டோமோகிராஃபியின் வரிசைமாற்ற மாறாத பகுதி அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் வரிசைமாற்ற மாறாத பகுதியை மறுகட்டமைக்கிறது, இது k வது வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும் அனைத்து சாத்தியமான வழிகளிலும் துகள்களை வரிசைப்படுத்திய பிறகு பெறப்பட்ட குவாண்டம் நிலைகளின் சம கலவையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, நம்மிடம் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இரண்டு துகள்களின் வரிசையையும் மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறது. இரண்டு துகள்களையும் பரிமாறிக் கொள்கிறது. பொதுவாக, துகள்களுக்கு, நமக்கு வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. துகள்களின் வரிசையை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாவிட்டால் பெறப்படும் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் என்று பார்ப்பது எளிது. இது ஒரு பெரிய குழுமத்திலிருந்து தோராயமாக துகள்களின் துணைக்குழு தேர்ந்தெடுக்கப்படும் ஒரு பரிசோதனைக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த சிறிய குழுவின் நிலை நிச்சயமாக வரிசைமுறை மாறாதது. துகள்களின் எண்ணிக்கையுடன் பல்லுறுப்புக்கோவை அளவுகளின் சுதந்திரத்தின் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கை. கியூபிட்களின் அமைப்புக்கு (சுழல்-துகள்கள்) உண்மையான டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் எண்ணிக்கை அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸின் வரிசைமாற்ற மாறாத பகுதியை தீர்மானிக்க தேவையான அளவீடுகள் இந்த டிகிரி ஆஃப் ஃப்ரீடம் தீர்மானிக்க, உள்ளூர் அளவீட்டு அமைப்புகள் தேவைப்படுகின்றன. இங்கே, ஒரு உள்ளூர் அளவீட்டு அமைப்புகள் என்பது ஒவ்வொரு துகளிலும் ஆபரேட்டர் அளவிடப்பட வேண்டும் என்பதாகும். அளவீட்டை மீண்டும் மீண்டும் செய்வதன் மூலமும், போதுமான தரவுகளைச் சேகரிப்பதன் மூலமும், அனைத்து இரண்டு-புள்ளி, மூன்று-புள்ளி மற்றும் உயர் வரிசை தொடர்புகளையும் தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு இயற்பியல் நிலையின் திறமையான நிர்ணயம் அளவீடுகளின் எண்ணிக்கை கியூபிட்களின் எண்ணிக்கையுடன் பல்லுறுப்புக்கோவை அளவிடுகிறது என்று இதுவரை விவாதித்தோம். முழு டோமோகிராஃபிக் செயல்முறையும் அளவிடக்கூடியதாக இருக்க, கணினியில் நிலையை அளவிடக்கூடிய வகையில் சேமிக்க வேண்டும். அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸில்-குவிட் நிலையை சேமிப்பதற்கான நேரடியான வழி அளவிடக்கூடியது அல்ல என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், அதன் வரிசைமாற்ற மாறுபாட்டின் காரணமாக ஒரு பிளாக்டியாக்னல் மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இதனால் அதை மிகவும் திறமையாக சேமிக்க முடியும். மேலும், புள்ளிவிவர ஏற்ற இறக்கங்கள் மற்றும் முறையான பிழைகள் காரணமாக நேரியல் தலைகீழ் மூலம் அளவிடப்பட்ட நிலையிலிருந்து பெறப்பட்ட அடர்த்தி அணி நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்படாதது மற்றும் சில எதிர்மறை ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. ஒரு வழக்கமான டோமோகிராஃபியில் ஒரு முக்கியமான படி டோமோகிராஃபிக் தரவுகளில் ஒரு இயற்பியல், அதாவது நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸைப் பொருத்துவதாகும். இந்த படி பெரும்பாலும் முழு நிலை டோமோகிராஃபியில் ஒட்டுமொத்த செயல்பாட்டில் ஒரு தடையாக உள்ளது. இருப்பினும், பிஐ டோமோகிராஃபி, நாம் இப்போது விவாதித்தபடி, அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸை மிகவும் திறமையாக சேமிக்க அனுமதிக்கிறது, இது குவிந்த உகப்பாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி திறமையான பொருத்துதலையும் அனுமதிக்கிறது. இது முழு செயல்முறையையும் அளவிடக்கூடியதாக ஆக்குகிறது. மேலும், குவிந்த உகப்பாக்கம் தீர்வு உலகளாவிய உகந்ததாக இருப்பதை உறுதி செய்கிறது. பிஐ டோமோகிராஃபி முறையின் சிறப்பியல்புகள் பொதுவாக வரிசைமாற்ற மாறாத நிலைகளை உள்ளடக்கிய சோதனைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பிஐ டோமோகிராஃபியால் பெறப்பட்ட அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸ் சிக்கிக் கொண்டால், அமைப்பின் அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸும் சிக்கிக் கொள்ளும். இந்த காரணத்திற்காக, சிக்கல் சாட்சிகள் அல்லது பெரெஸ்-ஹொரோடெக்கி அளவுகோல் போன்ற சிக்கல் சரிபார்ப்புக்கான வழக்கமான முறைகள் பயன்படுத்தப்படலாம். குறிப்பிடத்தக்க வகையில், இந்த வழியில் மேற்கொள்ளப்படும் சிக்கல் கண்டறிதல் குவாண்டம் அமைப்பு தானாகவே வரிசைமுறை மாறாதது என்று கருதவில்லை. மேலும், கிரீன்பெர்கர்-ஹார்ன்-ஜீலிங்கர் நிலை, டபிள்யூ நிலை மற்றும் சமச்சீர் டிக்கி நிலைகள் போன்ற சமச்சீர் நிலைகளுக்கு ப்ரொஜெக்டர்கள் போன்ற அத்தகைய ஆபரேட்டர்களின் மிகவும் பொருத்தமான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு எந்தவொரு பெர்முட்டையனலி மாறாத ஆபரேட்டரின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். எனவே, மேற்கூறிய குவாண்டம் நிலைகளைப் பொறுத்தவரை நாம் நம்பகத்தன்மையைப் பெறலாம், மாநிலத்தில் தொடர்புடைய ப்ரொஜெக்டர்களின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு மற்ற அணுகுமுறைகளுக்கான இணைப்புகள் முழு குவாண்டம் நிலை டோமோகிராஃபியை விட குறைவான அளவீடுகள் தேவைப்படும் டோமோகிராஃபிக்கு பிற அணுகுமுறைகள் உள்ளன. நாம் விவாதித்தபடி, பிஐ டோமோகிராஃபி பொதுவாக குவாண்டம் நிலைகளுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், அவை பெர்ம்யூஷனலி மாறாதவை. சுருக்கப்பட்ட உணர்தல் குறிப்பாக குறைந்த தரவரிசை நிலைகளுக்கு ஏற்றது. மேட்ரிக்ஸ் தயாரிப்பு நிலை டோமோகிராஃபி மிகவும் பொருத்தமானது, எ. கா., கொத்து நிலைகள் மற்றும் சுழல் மாதிரிகளின் தரை நிலைகள். பெர்ம்யூட்டேஷனல் மாறாத டோமோகிராஃபியை சுருக்கப்பட்ட உணர்வுடன் இணைக்கலாம். இந்த வழக்கில், தேவையான உள்ளூர் அளவீட்டு அமைப்புகளின் எண்ணிக்கை வரிசைமாற்ற மாறாத டோமோகிராஃபியை விட சிறியதாக இருக்கலாம். நான்கு-குவிட் சமச்சீர் டிக்கி நிலைக்கும், ஃபோட்டான்களில் ஆறு-குவிட் சமச்சீர் டிக்கிற்கும் சோதனை ரீதியாக சோதனை செய்யப்பட்டுள்ளது, மேலும் இது முழு நிலை டோமோகிராஃபி மற்றும் சுருக்கப்பட்ட உணர்வுடன் ஒப்பிடப்பட்டுள்ளது. அளவிடப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து 20 கியூபிட்களின் நேர்மறை அரை வரையறுக்கப்படாத அடர்த்தி மேட்ரிக்ஸை மறுசீரமைப்பது ஒரு நிலையான கணினியில் சில நிமிடங்களில் சாத்தியமாகும் என்பதை பெர்ம்யூட்டேஷனல் மாறாத டோமோகிராஃபியின் உருவகப்படுத்துதல் காட்டுகிறது. பெர்ம்யூட்டேஷனல் மாறாத டோமோகிராஃபி மற்றும் சுருக்கப்பட்ட உணர்தல் ஆகியவற்றை இணைக்கும் கலப்பின முறையும் சோதிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்புகள் குவாண்டம் மெக்கானிக்ஸ் டோமோகிராஃபி