Earth–Moon problem
பூமி-சந்திரன் பிரச்சினை என்பது கணிதத்தில் வரைபட வண்ணமயமாக்கலில் தீர்க்கப்படாத சிக்கலாகும். இது பிளானர் வரைபட வண்ணமயமாக்கல் சிக்கலின் விரிவாக்கமாகும் (நான்கு வண்ணத் தேற்றத்தால் தீர்க்கப்பட்டது), இது 1959 இல் கெர்ஹார்ட் ரிங்கெல் என்பவரால் முன்வைக்கப்பட்டது. கணித அடிப்படையில், இது இருதரப்பு வரைபடங்களின் நிற எண்ணிக்கையைத் தேடுகிறது. இந்த எண் குறைந்தது 9 மற்றும் அதிகபட்சம் 12 என்று அறியப்படுகிறது. வரைபட வண்ணமயமாக்கல் சிக்கலில், யூக்ளிடியன் தளத்தில் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட பகுதிகளின் தொகுப்பு அல்லது பூமியின் மேற்பரப்பில் உள்ள நாடுகள் போன்ற இடவியல் ரீதியாக சமமான இடம், வண்ணமயமாக்கப்பட வேண்டும், இதனால் இரண்டு பிராந்தியங்கள் பூஜ்ஜியமற்ற நீள எல்லையைக் கொண்டிருக்கும்போது, அவை வெவ்வேறு வண்ணங்களைக் கொண்டிருக்கும். ஒவ்வொரு பிராந்தியத்திற்கும் ஒரு உச்சியையும், ஒவ்வொரு இரண்டு அண்டை பிராந்தியங்களுக்கும் ஒரு விளிம்பையும் உருவாக்குவதன் மூலம் இதை ஒரு வரைபட வண்ணமயமாக்கல் சிக்கலாக மாற்றலாம், இது ஒரு சமதள வரைபடத்தை உருவாக்குகிறது, அதன் உச்சிகள் வண்ணமயமாக இருக்க வேண்டும். நான்கு வண்ணத் தேற்றத்தின்படி, எத்தனை பகுதிகள் கொடுக்கப்பட்டாலும், அதிகபட்சம் நான்கு வெவ்வேறு வண்ணங்களைப் பயன்படுத்தி அவ்வாறு செய்ய முடியும். அதற்கு பதிலாக, பூமி-சந்திரன் பிரச்சினையில், பூமியில் உள்ள ஒவ்வொரு நாட்டிற்கும் சந்திரனின் மேற்பரப்பில் தொடர்புடைய காலனி உள்ளது, அதற்கு ஒரே நிறம் கொடுக்கப்பட வேண்டும். இந்த காலனிகள் பூமியில் உள்ள எல்லைகளின் ஏற்பாட்டிலிருந்து முற்றிலும் மாறுபட்ட எல்லைகளைக் கொண்டிருக்கலாம். நாடுகள் வண்ணமயமாக இருக்க வேண்டும், ஒவ்வொரு நாட்டிற்கும் அதன் காலனிக்கும் ஒரே நிறத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், இதனால் இரண்டு நாடுகளும் பூமியிலோ அல்லது சந்திரனிலோ ஒரு எல்லையைப் பகிர்ந்து கொள்ளும்போது அவர்களுக்கு வெவ்வேறு நிறங்கள் வழங்கப்படும். ரிங்கலின் பிரச்சனை கேட்கிறதுஃ நாடுகள் அனைத்தும் வண்ணமயமாக இருக்க முடியும் என்பதை உறுதிப்படுத்த எத்தனை வண்ணங்கள் தேவை, அவற்றின் எல்லைகள் எவ்வாறு ஏற்பாடு செய்யப்பட்டிருந்தாலும்? மீண்டும், ஒரு நாடு மற்றும் அதன் காலனியின் ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் ஒரு உச்சி மற்றும் நாடுகள் அல்லது காலனிகளுக்கு இடையிலான ஒவ்வொரு அருகாமைக்கும் ஒரு விளிம்புடன், வரைபடக் கோட்பாட்டில் உள்ள ஒன்றுக்கு சமமாக அதே கேள்வியை ஒருவர் சொற்றொடரலாம். சிக்கலின் இந்த பதிப்பை விளைவிக்கும் வரைபடங்கள் இருதரப்பு வரைபடங்கள் அல்லது அதற்கு சமமான தடிமன் கொண்ட இரண்டு வரைபடங்கள்ஃ அவற்றின் விளிம்புகளை இரண்டு துணைக்குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம் (பூமியின் அருகாமைகள் மற்றும் சந்திரனின் அருகாமைகள்) அதாவது தொடர்புடைய இரண்டு துணை வரைபடங்களும் சமதளமாக இருக்கும். கணித சொற்களில், ரிங்கலின் சிக்கல் அதிகபட்ச குரோமாடிக் எண்ணிக்கையிலான பைபிளானார் வரைபடங்களைக் கேட்கிறது. எல்லைகள் உச்சிகளில் ஒரு இருதரப்பு வரைபடம் பெரும்பாலான விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது (ஒரு சமதள வரைபடம் கொண்டிருக்கக்கூடிய எண்ணிக்கையை விட இரண்டு மடங்கு), இதிலிருந்து குறைந்தது ஒரு உச்சியில் 11 அண்டை நாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது. இந்த உச்சியை அகற்றுவது, மீதமுள்ள வரைபடத்தை மீண்டும் மீண்டும் வண்ணமயமாக்குவது, பின்னர் அகற்றப்பட்ட உச்சிக்கு பயன்படுத்தப்படாத மிகச்சிறிய எண்ணைப் பயன்படுத்துவது அதிகபட்சம் 12 வண்ணங்களைக் கொண்ட வண்ணத்திற்கு வழிவகுக்கிறது; இது வரைபடத்தின் சீரழிவு வரிசைப்படுத்தலுக்கான பேராசை நிறமாகும். எனவே, இருதரப்பு வரைபடங்களுக்கு அதிகபட்சம் 12 வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன. 9 வண்ணங்கள் தேவைப்படும் பைபிளானார் வரைபடத்தின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு 6-வெர்டெக்ஸ் முழுமையான வரைபடம் மற்றும் 5-வெர்டெக்ஸ் சுழற்சி வரைபடத்தின் இணைப்பாக கட்டமைக்கப்படலாம். இதன் பொருள் என்னவென்றால், இந்த இரண்டு துணை வரைபடங்களும் ஒரு துணை வரைபடத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு சாத்தியமான அனைத்து விளிம்புகளாலும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இதன் விளைவாக வரும் வரைபடம் 11 செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் முழுமையான துணை வரைபடத்திற்கு 6 வண்ணங்களும் சுழற்சி துணை வரைபடத்திற்கு 3 வண்ணங்களும் தேவைப்படுகின்றன, இது ஒட்டுமொத்தமாக 9 வண்ணங்களைக் கொடுக்கிறது. 1974 ஆம் ஆண்டில் தாம் சுலங்கே எழுதிய இந்த கட்டுமானம், 8 வண்ணங்கள் எப்போதும் போதுமானதாக இருக்கும் என்ற ரிங்கலின் அனுமானத்தை மறுத்தது. அதைத் தொடர்ந்து, பைபிளானர் 9-முக்கியமான வரைபடங்களின் (ஒன்பது வண்ணங்கள் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச வரைபடங்கள்) எண்ணற்ற பல எடுத்துக்காட்டுகள் கட்டப்பட்டுள்ளன. சிக்கலில் மேலும் முன்னேற்றம் இல்லாத போதிலும், 2018 இல் எலன் கெத்னர் இந்த சிக்கலுக்கான சரியான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கை 11 என்று ஊகித்தார். ஒரு கிளிக்குடன் ஒரு சுழற்சி வரைபடத்தின் வலுவான தயாரிப்பாகப் பெறப்பட்ட வரைபடம் மற்றும் எந்தவொரு உச்சியையும் அகற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட வரைபடம் உட்பட 10-வண்ண இரு பிளானர் வரைபடங்களுக்கு பல வேட்பாளர்களை அவர் பரிந்துரைக்கிறார். இந்த வரைபடங்களுக்கு 10 வண்ணங்கள் தேவைப்படுவதைக் காட்டலாம், ஏனென்றால் அவை குறைவான வண்ணங்களைக் கொண்ட வண்ணத்தில் மிகப்பெரிய வண்ண வகுப்பாக இருக்கும் அளவுக்கு பெரிய சுயாதீனமான தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை. கூடுதலாக, அவை ஒரு இருதரப்பு வரைபடம் கொண்டிருக்கக்கூடிய விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையின் வரம்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன. இருப்பினும், அவற்றை இருதரப்பு வரைபடங்களாக (அல்லது பூமி-சந்திர வரைபடங்கள்) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது மழுப்பலாகவே உள்ளது. பயன்பாடு இருதரப்பு வரைபடங்களின் வண்ணமயமாக்கலின் ஒரு பயன்பாடு குறுகிய சுற்றுகளுக்கான அச்சிடப்பட்ட சுற்று பலகைகளை சோதிப்பதை உள்ளடக்கியது. இந்த பலகைகளுக்குள் உள்ள மின் கடத்திகள் குறுக்குவெட்டுகளை உள்ளடக்கியது, ஆனால் அவற்றின் அருகாமைகள் ஒரு இருதரப்பு வரைபடத்தை உருவாக்குகின்றன என்று கருதலாம். இந்த வரைபடத்திற்கு வண்ணம் பூசிய பிறகு, ஒரே வண்ணங்களைக் கொண்ட அனைத்து கடத்திகளையும் ஒன்றோடொன்று இணைக்க கூடுதல் சுற்றுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், வெவ்வேறு வண்ணங்களின் ஜோடிகளுக்கு இடையிலான இணைப்புகளைச் சோதிப்பதன் மூலமும் அருகிலுள்ள கடத்திகளுக்கு இடையிலான குறுகிய சுற்றுகளைக் கண்டறிய முடியும். சிறிது கவனத்துடன், ஒரு சுற்றுக்குத் தேவையான சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை நான்காகக் குறைக்க இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்தலாம். பொதுமைப்படுத்தல்கள் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கிரகங்கள் அல்லது ஒரு கிரகத்திற்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பிராந்தியங்களைக் கொண்ட நாடுகளைக் கொண்ட பிரச்சினையின் பதிப்புகள் உட்பட சிக்கலின் பல்வேறு பொதுமைப்படுத்தல்களும் பரிசீலிக்கப்பட்டுள்ளன. குறிப்பாக, தடிமன் வரைபடங்கள் (இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கிரகங்களைக் கொண்ட வரைபடங்களைக் குறிக்கின்றன, ஆனால் ஒரு கிரகத்திற்கு ஒரு பகுதி மட்டுமே), மிகவும் துல்லியமான (இன்னும் முழுமையடையவில்லை என்றாலும்) முடிவுகள் அறியப்படுகின்றன. இந்த வரைபடங்களைப் பொறுத்தவரை, பூமி-சந்திரன் சிக்கலில் பயன்படுத்தப்படும் அதே சீரழிவு வாதத்தால் வண்ண எண் அதிகபட்சமாக உள்ளது. மேலும், செங்குத்துகளுடன் ஒரு முழுமையான வரைபடம் தடிமன் கொண்டது, இந்த வரைபடங்களில் சிலவற்றிற்கு வண்ணங்கள் தேவை என்பதைக் காட்டுகிறது. எனவே, இந்த விஷயத்தில், மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகள் ஒருவருக்கொருவர் இரண்டு வண்ணங்களுக்குள் உள்ளன. குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் வரைபட வண்ணம்