Harmonic tensors
இந்தக் கட்டுரையில் கோள செயல்பாடுகள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளால் மாற்றப்படுகின்றன, அவை மேக்ஸ்வெல்லின் காலத்திலிருந்தே நிலைமின்னியலில் நன்கு அறியப்பட்டவை மற்றும் பல துருவ தருணங்களுடன் தொடர்புடையவை. இயற்பியலில், இருமுனை மற்றும் நாற்கர தருணங்கள் பொதுவாக தோன்றுகின்றன, ஏனெனில் இயற்பியலின் அடிப்படை கருத்துக்கள் அவற்றுடன் துல்லியமாக தொடர்புடையவை. இருமுனை மற்றும் நாற்கர தருணங்கள்ஃ, இங்கு மின்னூட்டங்களின் அடர்த்தி (அல்லது பிற அளவு) ஆகும். ஆக்டுபோல் தருணம் மிகவும் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு விதியாக, உயர் தரவரிசை தருணங்கள் கோள செயல்பாடுகளின் உதவியுடன் கணக்கிடப்படுகின்றன. சிதறல் சிக்கல்களில் கோள செயல்பாடுகள் வசதியானவை. வேறுபட்ட இயக்கிகளுடன் கணக்கீடுகளில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் விரும்பத்தக்கவை. இங்கே, உயர் தரவரிசை தருணங்கள் உட்பட டென்சர்களின் பண்புகள், திடமான கோள செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் அம்சங்களை மீண்டும் செய்வதாகக் கருதப்படுகின்றன, ஆனால் அவற்றின் சொந்த பிரத்தியேகங்களைக் கொண்டுள்ளன. பல சமீபத்திய ஆய்வுகளில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளில் மாறாத பல்லுறுப்புக்கோவை டென்சர்களைப் பயன்படுத்துவது விரும்பத்தக்கது மற்றும் கணக்கீடுகளின் அடிப்படை திட்டத்தை எளிதாக்குகிறது. கோள ஆயத்தொலைவுகள் இங்கு சம்பந்தப்பட்டிருக்கவில்லை. ஹார்மோனிக் சமச்சீர் டென்சர்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான விதிகள் அவற்றின் பண்புகளிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன. இந்த விதிகள் இயற்கையாகவே சிறப்பு செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் பிரதிபலிக்கின்றன, ஆனால் குழு பண்புகள் பொதுவானவை என்றாலும் அவை எப்போதும் வெளிப்படையானவை அல்ல. எப்படியிருந்தாலும், ஹார்மோனிக் டென்சர்களின் முக்கிய பண்பை நினைவுபடுத்துவோம்ஃ எந்த ஜோடி குறியீடுகளின் மீதும் உள்ள சுவடு மறைந்துவிடும். இங்கே, டென்சர்களின் அந்த பண்புகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, அவை பகுப்பாய்வுக் கணக்கீடுகளை மிகவும் கச்சிதமாக்குவதோடு மட்டுமல்லாமல், 'காரணிகளின் எண்ணிக்கையையும்' குறைக்கின்றன, ஆனால் கோட்பாட்டு இயற்பியலின் சில அடிப்படை கேள்விகளை சரியாக உருவாக்க அனுமதிக்கின்றன. பொது பண்புகள் சமச்சீர் இழுவிசையின் நான்கு பண்புகள் இயற்பியலில் அதன் பயன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கின்றன. ஏ. டென்சர் என்பது ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்ஃ குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை, அதாவது, டென்சர் தரவரிசை; பி. டென்சர் குறியீடுகளைப் பொறுத்தவரை சமச்சீர்; சி. டென்சர் ஹார்மோனிக், அதாவது, இது லாப்லேஸ் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்ஃ டி. ஏதேனும் இரண்டு குறியீடுகளின் மீது தடமறிதல் மறைந்துவிடும்ஃ, இங்கு குறியீடு சமன் செய்த பிறகு மீதமுள்ள குறியீடுகளைக் குறிக்கிறது. டென்சரின் கூறுகள் திடமான கோள செயல்பாடுகள் ஆகும். கோள செயல்பாடுகளின் வடிவத்தில் கூறுகளைப் பெற டென்சரை காரணி மூலம் பிரிக்கலாம். நிலைமின்னியலில் பலமுனை இழுவிசைகள் ஒரு புள்ளி மின்னூட்டத்தின் ஆற்றல் ஆரம் திசையனின் ('மேக்ஸ்வெல் துருவங்கள்') ஆயத்தொகுதிகளின் சக்திகளில் விரிவுபடுத்தப்படும்போது பலமுனை ஆற்றல்கள் எழுகின்றன. ஆற்றலுக்கு, நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரம் உள்ளதுஃ, இதில் பின்வரும் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆரம் திசையனின் th இழுவிசை சக்திக்கு, மற்றும் தரவரிசையின் சமச்சீர் ஹார்மோனிக் இழுவிசைக்கு,. டென்சர் என்பது பொதுவான பண்புகள் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு ஒரே மாதிரியான ஹார்மோனிக் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். ஏதேனும் இரண்டு குறியீடுகளின் மீதான சுருக்கம் (இரண்டு சாய்வுகளும் இயக்குபவையாக மாறும்போது) பூஜ்யமாகும். டென்சர் வகுக்கப்பட்டால், ஒரு பல துருவ ஹார்மோனிக் டென்சர் எழுகிறது, இது ஒரே மாதிரியான ஹார்மோனிக் செயல்பாடாகும். ஆற்றலுக்கான சூத்திரத்திலிருந்து அதைப் பின்பற்றுகிறது, இது ஒரு ஏணி ஆபரேட்டரை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. நிலைமின்னியலில் சக்தி-விதி சமமான தருணங்கள் பற்றிய தேற்றம் சுருக்கத்தின் ஒரு வெளிப்படையான பண்பு உள்ளது, இது கோட்பாட்டு இயற்பியலில் தருணங்களின் கணக்கீட்டை எளிதாக்கும் ஒரு தேற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. தேற்றம் என்பது மின்னூட்டத்தின் விநியோகமாக இருக்கட்டும். ஒரு பலமுனை ஆற்றலைக் கணக்கிடும் போது, ஹார்மோனிக் டென்சர்களுக்கு பதிலாக (அல்லது கோள செயல்பாடுகளுக்கு பதிலாக) சக்தி-விதி தருணங்களைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ கோள செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதோடு ஒப்பிடுவதில் இது ஒரு நன்மை. உதாரணம் 1. நாற்கர தருணத்திற்கு, ஒருங்கிணைப்புக்கு பதிலாக, ஒருவர் 'குறுகிய' ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தலாம். தருணங்கள் வேறுபட்டவை, ஆனால் ஆற்றல்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை. டென்சருக்கான ஹார்மோனிக் டென்சர் சூத்திரத்திற்கான சூத்திரம் ஏணி ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துவதில் பரிசீலிக்கப்பட்டது. இது லாப்லேஸ் ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி பெறப்படலாம். இதேபோன்ற அணுகுமுறை சிறப்பு செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் அறியப்படுகிறது. சூத்திரத்தில் முதல் சொல், ஒரு புள்ளி சார்ஜ் ஆற்றலின் விரிவாக்கத்திலிருந்து எளிதில் பார்க்க முடியும், இது சமம். மீதமுள்ள சொற்களை லாப்லேஸ் ஆபரேட்டரை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், மாடுலஸின் சம சக்தியால் பெருக்குவதன் மூலமும் பெறலாம். லாப்லேஸ் சமன்பாட்டில் விரிவாக்கத்தை மாற்றுவதன் மூலம் குணகங்களை எளிதில் தீர்மானிக்க முடியும். இதன் விளைவாக, பின்வரும் சூத்திரம் உள்ளதுஃ குவாண்டம் இயக்கவியல் மற்றும் நிலைமின்னியல் ஆகியவற்றின் வேறுபட்ட இயக்கிகளைப் பயன்படுத்த இந்த வடிவம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். வேறுபாடு க்ரோனெக்கர் சின்னங்களின் உற்பத்தியை உருவாக்குகிறது. உதாரணம் 2,. சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கடைசி தரத்தை சரிபார்க்க முடியும். சமச்சீர் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில் வேறுபாடு சூத்திரத்தை எழுதுவது வசதியானது. குறியீடுகளின் அனைத்து சுயாதீன வரிசைமாற்றங்களுக்கும் மேல் எடுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொகையின் உதவியுடன், அதற்கு ஒரு சின்னம் முன்மொழியப்பட்டதுஃ இதன் விளைவாக, பின்வரும் சூத்திரம் பெறப்படுகிறதுஃ, இதில் க்ரோனெக்கர் சின்னத்தின் டென்சர் சக்திக்கு சின்னம் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் வழக்கமான சின்னம் [.] சமச்சீரின் கீழ் மாற்றப்படும் இரண்டு சந்தாக்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. பின்வருவன டென்சர் மற்றும் திட கோள செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவைக் கண்டறியலாம். இரண்டு அலகு திசையன்கள் தேவைப்படுகின்றனஃ திசையன்-அச்சு மற்றும் சிக்கலான திசையன் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. அவற்றின் சக்திகளுடனான சுருக்கம் தேவையான உறவை அளிக்கிறது, அங்கு ஒரு லெஜெண்டர் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. சிறப்புச் சுருக்கங்கள் இடையூறு கோட்பாட்டில், கோளச் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் மூலத்தை விரிவுபடுத்துவது அவசியம். ஆதாரம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்டார்க் விளைவைக் கணக்கிடும்போது, ஒருங்கிணைப்புகள் நிலையானவை, ஆனால் சிக்கலானவை. மாறாத டென்சர்களின் உதவியுடன் கணக்கிடும்போது, விரிவாக்க குணகங்கள் எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, பின்னர் ஒருங்கிணைப்புகள் தேவையில்லை. இதில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, பரிசீலனையில் உள்ள டென்சர்களின் தரத்தை குறைக்கும் சுருக்கங்களைக் கணக்கிட இது போதுமானது. ஒருங்கிணைப்புகளுக்குப் பதிலாக, இரண்டு குறியீடுகளுக்கு மேல் ஒரு டென்சரின் சுவடுகளைக் கணக்கிடும் செயல்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. பின்வரும் தரவரிசை குறைப்பு சூத்திரம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்ஃ இங்கு குறியீடு [m] அனைத்து இடது (l-2) குறியீடுகளையும் குறிக்கிறது. பிராக்கெட்டுகளில் க்ரோனெக்கர் டெல்டாவுடன் பல காரணிகள் இருந்தால், பின்வரும் உறவு சூத்திரம் பின்வருமாறுஃ தடத்தைக் கணக்கிடுவது க்ரோனெக்கர் சின்னங்களின் எண்ணிக்கையை ஒன்றால் குறைக்கிறது, மேலும் சமன்பாட்டின் வலது புறத்தில் உள்ள ஹார்மோனிக் டென்சரின் தரவரிசை இரண்டால் குறைகிறது. ட்ரேஸ் k நேரங்களின் கணக்கீட்டை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது அனைத்து க்ரோனெக்கர் சின்னங்களையும் நீக்குகிறதுஃ ஹார்மோனிக் 4டி டென்சர்கள் நான்கு பரிமாண 4டி இடத்தில் லாப்லேஸ் சமன்பாடு அதன் சொந்த பிரத்தியேகங்களைக் கொண்டுள்ளது. 4டி இடத்தில் ஒரு புள்ளி மின்னூட்டத்தின் ஆற்றல் இதற்கு சமம். சக்திகளைப் பொறுத்தவரை புள்ளி-சார்ஜ் ஆற்றலின் விரிவாக்கத்திலிருந்து பல துருவ 4D ஆற்றல் எழுகிறதுஃ எண் குறியீட்டில் உள்ள ஹார்மோனிக் டென்சர் 3டி ஹார்மோனிக் டென்சரைப் போன்ற ஒரு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஏதேனும் இரண்டு குறியீடுகளைப் பொறுத்தவரை அதன் சுருக்கம் மறைந்துவிட வேண்டும். இருமுனை மற்றும் நான்கு மடங்கு 4-டி டென்சர்கள், இங்கிருந்து பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, விரிவாக்கத்தின் முன்னணி சொல், காணக்கூடியது போல, சமம் 3 டி டென்சருக்கு விவரிக்கப்பட்ட முறை, உறவுகளை அளிக்கிறது,. முப்பரிமாண டென்சர்களை விட நான்கு பரிமாண டென்சர்கள் கட்டமைப்பு ரீதியாக எளிமையானவை. ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிதைவு சுருக்க விதிகளைப் பயன்படுத்துவது ஹார்மோனிக் செயல்பாடுகளைப் பொறுத்தவரை டென்சரை சிதைக்க அனுமதிக்கிறது. இடையூறு கோட்பாட்டில், மூன்றாவது தோராயமானது கூட பெரும்பாலும் நல்லதாகக் கருதப்படுகிறது. இங்கே, தரவரிசை l = 6 வரை டென்சர் சக்தியின் சிதைவு வழங்கப்படுகிறதுஃ,,,,,,,:. சூத்திரங்களைப் பெற, இரண்டு குறியீடுகளைப் பொறுத்து சுருக்கத்தைக் கணக்கிடுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும், அதாவது, சுவடு. அதற்கான சூத்திரம் அதற்கான சூத்திரத்தைக் குறிக்கிறது. தடத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், முந்தைய பிரிவின் விதிகளைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. குறிப்பாக, சம மதிப்புகளுக்கான உறவுகளின் கடைசி சொல் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து குறியீடுகளிலும் அடிக்கடி நிகழும் சுருக்கமும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், இது நிலைகளை இயல்பாக்கும் போது எழுகிறது. 4டி இடத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிதைவு ஒரு திசையனின் இழுவிசை சக்திகளின் சிதைவு நான்கு பரிமாணங்களில் சுருக்கமாக உள்ளதுஃ,,,,,,,:. அழுத்தப்பட்ட குறியீடுகளுடன் டென்சர் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, கடைசி சமத்துவம், ஆகிறது. இரண்டு குறியீடுகளின் மீது சுருக்கங்களைப் பயன்படுத்தி உயர் சக்திகளை சிதைப்பது மிகவும் கடினம் அல்ல. ஏணி இயக்குபவர் ஏணி இயக்கிகள் ஈஜென் செயல்பாடுகளை ஒரு சிறிய வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த பயனுள்ளதாக இருக்கும். அவை ஒத்திசைவான நிலைகளை உருவாக்குவதற்கான அடிப்படையாகும். இங்கே கருதப்படும் ஆபரேட்டர்கள், மணி விஷயங்களில் ஒரு ஆஸிலேட்டரின் 'உருவாக்கம்' மற்றும் 'அழிவு' ஆபரேட்டர்களுக்கு நெருக்கமாக உள்ளனர். தரவரிசையின் மதிப்பை ஒன்றால் அதிகரிக்கும் எஃபிமோவின் ஆபரேட்டர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது புள்ளி-சார்ஜ் ஆற்றலின் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படலாம்ஃ சமன்பாட்டின் இடது புறத்தில் நேரடியான வேறுபாடு ஒரு ஹார்மோனிக் டென்சரில் செயல்படும் ஒரு திசையன் ஆபரேட்டரை வழங்குகிறதுஃ, இதில் ஆபரேட்டர் ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரே மாதிரியான அளவால் பெருக்குகிறது. குறிப்பாக,. ஒற்றுமைக்கு ஒரு-மடிப்பு பயன்பாட்டின் விளைவாக, ஹார்மோனிக் டென்சர் எழுகிறதுஃ, இங்கே வெவ்வேறு வடிவங்களில் எழுதப்பட்டுள்ளது. இந்த இழுவிசைக்கும் கோண உந்த இயக்கிக்கும் உள்ள உறவு பின்வருமாறுஃ திசையன் வடிவில் ஆபரேட்டரின் சில பயனுள்ள பண்புகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அளவுகோல் தயாரிப்பு எந்த இரண்டு குறியீடுகளிலும் மறைந்து போகும் தடத்தை அளிக்கிறது. திசையன்களின் அளவிடக்கூடிய பெருக்கல் மற்றும், எனவே, திசையனுடன் டென்சரின் சுருக்கத்தை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம், அங்கு ஒரு எண். கோளத்தில் உள்ள அளவிடக்கூடிய உற்பத்தியில் உள்ள கம்யூட்டேட்டர் ஒற்றுமைக்கு சமம்ஃ ஒரு டென்சரின் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட, ஒரு பயனுள்ள சூத்திரம், எங்கிருந்து (வலது புறத்தில் ஒரு எண்). நான்கு பரிமாண ஏணி இயக்குபவர் 4டி இடத்தில் உயர்த்தும் இயக்குபவர் பெரும்பாலும் ஒத்த பண்புகளைக் கொண்டுள்ளார். இதற்கான முக்கிய சூத்திரம் ஒரு 4D திசையன்,,, மற்றும் ஆபரேட்டர் ஒரு ஒரே மாதிரியான பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் டிகிரியால் பெருக்குகிறது. மாறியைப் பிரிப்பது உடல் சிக்கல்களுக்கு வசதியானதுஃ குறிப்பாக,. லேடர் ஆபரேட்டரின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு மற்றும் 3D இடத்தைப் போலவே எளிமையானதுஃ மற்றும் இன் அளவிடுதல் பெருக்கல் ஆகும். லேடர் ஆபரேட்டர் இப்போது கோண வேக ஆபரேட்டர் மற்றும் 4D இடத்தில் சுழற்சிகளின் கூடுதல் ஆபரேட்டருடன் தொடர்புடையது. அவை லை இயற்கணிதத்தை கோண உந்தம் மற்றும் லாப்லேஸ்-ரஞ்ச்-லென்ஸ் ஆபரேட்டர்களாக செய்கின்றன. ஆபரேட்டர் எளிய வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. தனித்தனியாக 3D-கூறு மற்றும் உயர்த்தும் ஆபரேட்டரின் நான்காவது ஒருங்கிணைப்புக்கு, சூத்திரங்கள்,. மேலும் காண்க டென்சர் கோள ஹார்மோனிக்ஸ் ஆபரேட்டர் (இயற்பியல்) லாப்லேஸ்-ரன்ஜ்-லென்ஸ் திசையன் கோண உந்தம் ஆபரேட்டர் ஏணி ஆபரேட்டர் பல துருவ பரிமாற்ற தொடர்பு குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு சுழற்சி சமச்சீர் குவாண்டம் இயக்கவியல் ஆபரேட்டர் கோட்பாடு கோட்பாட்டு இயற்பியல்