Ddbar lemma
சிக்கலான வடிவவியலில், லெம்மா (டிடிபார் லெம்மா என்று உச்சரிக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு சிக்கலான வேறுபட்ட வடிவத்தின் டி ராம் கோஹோமோலஜி வகுப்பைப் பற்றிய கணித லெம்மா ஆகும். - லெம்மா என்பது ஹோட்ஜ் கோட்பாடு மற்றும் ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு மீது காலர் அடையாளங்களின் விளைவாகும். சில நேரங்களில் இது-லெம்மா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தொடர்புடைய ஆபரேட்டரின் பயன்பாட்டின் காரணமாக, இரண்டு ஆபரேட்டர்களுக்கும் இடையிலான உறவு மற்றும் பல. அறிக்கை லெம்மா ஒரு கச்சிதமான காலர் பன்மடங்கு மற்றும் டி ராம் கோஹோமோலஜியில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருதரப்பு (p, q) (உடன்) ஒரு சிக்கலான வேறுபாடு வடிவமாக இருந்தால், பின்னர் இருதரப்பு (p-1, q-1) ஒரு வடிவம் உள்ளது, அதாவது சிக்கலான பன்மடங்கு டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர்கள் எங்கே மற்றும் எங்கே. ddbar ஆற்றல் வடிவம்-திறன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. காரணியை சேர்ப்பது அது ஒரு உண்மையான வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் என்பதை உறுதி செய்கிறது, அதாவது உண்மையான குணகங்களுடன் ஒரு வேறுபட்ட வடிவமாக இருந்தால், அப்படித்தான். இந்த லெம்மாவை டி ராம் கோஹோமோலஜியில் ஒரு சரியான வேறுபட்ட வடிவத்தின் கருத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும். குறிப்பாக டி ராம் கோஹோமோலஜியில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் ஒரு மூடிய வேறுபாடு கே-வடிவம் (எந்த மென்மையான பன்மடங்கு) என்றால், பின்னர் சில வேறுபாடு (கே-1)-வடிவத்திற்கு-ஆற்றல் (அல்லது வெறும் ஆற்றல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது, வெளிப்புற வழித்தோன்றல் எங்கே. உண்மையில், டால்பீல்ட் ஆபரேட்டர்கள் பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்க வெளிப்புற வழித்தோன்றல் மற்றும் சதுரத்தைக் கொடுப்பதால்,-லெம்மா என்பது சுருக்கமான காலர் பன்மடங்கு அமைப்பில்-ஆற்றலுக்கு-ஆற்றலைச் செம்மைப்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. ஆதாரம்-லெம்மா என்பது ஹோட்ஜ் கோட்பாட்டின் விளைவாகும், இது ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு நீள்வட்ட வளாகத்திற்கான ஹோட்ஜ் தேற்றம் எந்தவொரு இயக்கிகளுக்கும் முறையே அவற்றின் லாப்லேஸ் இயக்கிகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். இந்த இயக்குபவர்களுக்கு கர்னல்கள் வழங்கிய ஹார்மோனிக் வேறுபட்ட வடிவங்களின் இடைவெளிகளை வரையறுக்க முடியும்ஃ ஹோட்ஜ் சிதைவு தேற்றம் ஹார்மோனிக் வடிவங்களின் இந்த இடைவெளிகளுடன் தொடர்புடைய மூன்று ஆர்த்தோகனல் சிதைவுகள் உள்ளன என்று வலியுறுத்துகிறது, இது முறையே கோஹ்லர் பன்மடங்கு ரீமானியன் மெட்ரிக் தொடர்பாக முறையான இணைப்புகள் எங்கு உள்ளன என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த சிதைவுகள் எந்தவொரு சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு தனித்தனியாக உள்ளன. கோஹ்லர் பன்மடங்கு இருப்பதன் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், மேலே உள்ள ஆர்த்தோகனல் சிதைவுகளின் லாப்லாசியன்கள் மற்றும் எனவே இடையே ஒரு உறவு உள்ளது. குறிப்பாக ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு, இது ஒரு ஆர்த்தோகனல் சிதைவைக் குறிக்கிறது, அங்கு இடைவெளிகள் மற்றும்-ஹார்மோனிக் வடிவங்கள் தொடர்பான மேலும் உறவுகள் உள்ளன. மேற்கண்ட சிதைவுகளின் விளைவாக, பின்வரும் லெம்மாவை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும். ஆதாரம் பின்வருமாறு. ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு மீது ஒரு மூடிய (p, q)-வடிவமாக இருக்கட்டும். (d) என்பது (a), (b), மற்றும் (c) ஆகியவற்றைக் குறிக்கிறது. மேலும், மேலே உள்ள ஆர்த்தோகனல் சிதைவுகள் (a), (b), அல்லது (c) ஆகியவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று (e) ஐக் குறிக்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, (e) என்பது (d) ஐ குறிக்கிறது என்பதைக் காண்பிப்பதே முக்கிய சிரமம். அந்த முடிவுக்கு, அது சப்ஸ்பேஸிற்கு ஆர்த்தோகனல் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு. ஏனெனில்-மூடப்பட்டுள்ளது மற்றும், இதுவும்-மூடப்பட்டுள்ளது (அதாவது). இந்த தொகை ரீமேனியன் மெட்ரிக் மூலம் தூண்டப்பட்ட உள் பெருக்கல் தொடர்பாக ஒரு ஆர்த்தோகனல் சிதைவிலிருந்து வருவதால், அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால் மற்றும். எனவே, அப்படித் தான் உள்ளது. இது சில வேறுபட்ட வடிவத்திற்கு எழுத அனுமதிக்கிறது. ஹாட்ஜ் சிதைவைப் பயன்படுத்துவது, எங்கே-ஹார்மோனிக், மற்றும். சமத்துவம் என்பது-ஹார்மோனிக் மற்றும் எனவே என்பதைக் குறிக்கிறது. இவ்வாறு. இருப்பினும், இது மூடப்பட்டிருப்பதால், இதுவும் மூடப்பட்டுள்ளது. பின்னர் மேலே உள்ள அதே தந்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, கோஹ்லர் அடையாளத்தையும் பயன்படுத்தவும். இவ்வாறு அமைப்பும்-ஆற்றலை உருவாக்குகிறது. உள்ளூர் பதிப்பு-லெம்மாவின் உள்ளூர் பதிப்பு ஹோட்ஜ் சிதைவு தேற்றத்திற்கு முறையீடு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லாமல் நிரூபிக்கப்படலாம். இது ஆபரேட்டருக்கான போயின்கேர் லெம்மா அல்லது டால்பியோல்ட்-கிரோதெண்டிக் லெம்மாவின் அனலாக் ஆகும். மேற்கூறிய லெம்மாக்கள் வைத்திருக்கும் எந்தவொரு களத்தையும் உள்ளூர்-லெம்மா வைத்திருக்கிறது. மேற்கூறிய லெம்மாவிலிருந்து ஆதாரம் விரைவாகப் பின்தொடர்கிறது. முதலாவதாக, சிலருக்கு உள்ளூர் வடிவத்தில் இருந்தால், ஏனெனில், மற்றும். மறுபுறம்,-மூடப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் போயின்கரே லெம்மாவால் எந்த புள்ளிக்கும் ஒரு திறந்த சுற்றுப்புறம் மற்றும் அது போன்ற ஒரு வடிவம் உள்ளது. இப்போது எழுதுவது மற்றும் படிவங்களின் பைடெக்ரிகளை ஒப்பிடுவது அது மற்றும் அதை குறிக்கிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். திறந்த சுற்றுப்புறத்தின் அளவு சுருங்கிய பிறகு, டால்பியோல்ட்-கிரோதெண்டிக் லெம்மா மற்றும் (பிந்தையது ஏனெனில்) போன்ற உள்ளூர் வடிவங்களைப் பெற பயன்படுத்தப்படலாம். இது ஆதாரத்தை எங்கே முடிக்கிறது என்பதைக் குறிப்பிடுகிறது. பாட்-செர்ன் கோஹோமோலஜி என்பது சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு கோஹோமோலஜி கோட்பாடாகும், இது ஆபரேட்டர்கள் மற்றும்-லெம்மா எந்த அளவிற்கு பிடிக்கத் தவறிவிட்டது என்பதை அளவிடுகிறது. குறிப்பாக ஒரு சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு ஒரு காலர் பன்மடங்கு இருக்கும்போது, பாட்-செர்ன் கோஹோமோலஜி டால்பியோல்ட் கோஹோமோலஜிக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், ஆனால் பொதுவாக இது கூடுதல் தகவல்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு பாட்டில்-செர்ன் கோஹோமோலஜி குழுக்கள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒரு வேறுபட்ட வடிவம் மற்றும்-மூடியது-மூடியது என்பதால், பாட்டில்-செர்ன் கோஹோமோலஜி குழுக்களிலிருந்து டி ராம் கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கு ஒரு இயற்கை வரைபடம் உள்ளது. மற்றும் டால்பியோல்ட் கோஹோமோலஜி குழுக்களுக்கான வரைபடங்களும் உள்ளன. பன்மடங்கு-லெம்மாவை திருப்திப்படுத்தும் போது, எடுத்துக்காட்டாக, இது ஒரு சிறிய காலர் பன்மடங்கு என்றால், பாட்-செர்ன் கோஹோமோலஜி முதல் டால்பியோல்ட் கோஹோமோலஜி வரை மேலே உள்ள வரைபடங்கள் ஐசோமார்பிசங்களாகும், மேலும் பாட்-செர்ன் கோஹோமோலஜி முதல் டி ராம் கோஹோமோலஜி வரையிலான வரைபடம் உட்செலுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக,-லெம்மாவை திருப்திப்படுத்தும் போதெல்லாம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் உள்ளது. இந்த வழியில், மேலே உள்ள வரைபடங்களின் கர்னல் லெம்மாவை திருப்திப்படுத்துவதில் பன்மடங்கு தோல்வியை அளவிடுகிறது, மேலும் குறிப்பாக ஒரு காலர் பன்மடங்கு தோல்வியை அளவிடுகிறது. இருதரப்பு விளைவுகள் (1,1) சிக்கலான வேறுபாடு வடிவம் இருதரப்பு (1,1) கொண்டிருக்கும்போது-லெம்மாவின் மிக முக்கியமான விளைவு ஏற்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில் ஒரு சரியான வேறுபாடு வடிவம் ஒரு மென்மையான செயல்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு-ஆற்றலைக் கொண்டுள்ளது என்று லெம்மா கூறுகிறதுஃ குறிப்பாக இது ஒரு கோஹ்லர் வடிவம் ஒரு கோஹ்லர் பன்மடங்கு ஒரு சிறிய திறந்த துணைக்குழுவிற்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட விஷயத்தில் நிகழ்கிறது (இந்த வழக்கு லெம்மாவின் உள்ளூர் பதிப்பைப் பின்பற்றுகிறது), அங்கு மேற்கூறிய போயின்கரே லெம்மா அது ஒரு சரியான வேறுபாடு வடிவம் என்பதை உறுதி செய்கிறது. இது ஒரு காலர் ஆற்றல் என்ற கருத்துக்கு வழிவகுக்கிறது, இது ஒரு உள்ளூரில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு, இது காலர் வடிவத்தை முழுமையாக குறிப்பிடுகிறது. மற்றொரு முக்கியமான வழக்கு என்னவென்றால், ஒரே டி ராம் கோஹோமோலஜி வகுப்பில் உள்ள இரண்டு காலர் வடிவங்களின் வேறுபாடு. இந்த விஷயத்தில் டி ராம் கோஹோமோலஜியில்-லெம்மா பொருந்தும். கோஹ்லர் வடிவங்களை ஒரு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முழுமையாக விவரிக்க அனுமதிப்பதன் மூலம், இது தானாகவே ஒரு ப்ளூரிசுபார்மோனிக் செயல்பாடாகும், காம்பாக்ட் கோஹ்லர் பன்மடங்கு பற்றிய ஆய்வு ப்ளூரிபோடென்ஷியல் கோட்பாட்டின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படலாம், இதற்காக பல பகுப்பாய்வு கருவிகள் கிடைக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, காலர்-ஐன்ஸ்டீன் சமன்பாட்டை ஆற்றலின் அடிப்படையில் மறுபரிசீலனை செய்ய-லெம்மா பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது காலர் ஆற்றலுக்கான சிக்கலான மோங்கே-ஆம்பியர் சமன்பாடாக மாற்றுகிறது. டிடிபார் பன்மடங்கு சிக்கலான பன்மடங்கு, அவை காலர் அவசியமில்லை, ஆனால்-லெம்மாவை திருப்திப்படுத்த இன்னும் நிகழ்கின்றன, அவை-மேனிஃபோல்ட்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ஃபுஜிகி வகுப்பு சி ஆக இருக்கும் சிறிய சிக்கலான பன்மடங்கு-லெம்மாவை திருப்திப்படுத்துகிறது, ஆனால் அவை காலர் அல்ல. மேலும் காண்கஃ பாயின்கேர் லெம்மா டால்பீல்ட்-கிரோதெண்டிக் லெம்மா குறிப்புகள் வெளிப்புற இணைப்புகள் ஹோட்ஜ் கோட்பாடு காம்ப்ளக்ஸ் பன்மடங்கு