From Zero to Infinity
ஃப்ரம் ஜீரோ டு இன்ஃபினிட்டிஃ வாட் மேக்ஸ் நம்பர்ஸ் இன்டெரெஸ்டிங் என்பது கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் எழுதிய பிரபலமான கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாட்டில் ஒரு புத்தகமாகும். இது முதலில் 1955 ஆம் ஆண்டில் தாமஸ் ஒய் க்ரோவெல் நிறுவனத்தால் வெளியிடப்பட்டது. நான்காவது பதிப்பு 1992 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்காவின் கணித சங்கத்தால் அவர்களின் எம்ஏஏ ஸ்பெக்ட்ரம் தொடரில் வெளியிடப்பட்டது. ஏ. கே. பீட்டர்ஸ் 2006 ஆம் ஆண்டில் ஐந்தாவது "ஐம்பதாவது ஆண்டு பதிப்பை" வெளியிட்டார். ரீட் ஒரு தொழில்முறை கணிதவியலாளர் அல்ல, ஆனால் அவரது சகோதரி ஜூலியா ராபின்சன் மற்றும் மைத்துனர் ரபேல் எம். ராபின்சன் ஆகியோரை உள்ளடக்கிய ஒரு கணிதக் குடும்பத்திலிருந்து வந்தார். அவர் ஒரு பள்ளி ஆசிரியராக பணிபுரிந்தார், ஆனால் ஃப்ரம் ஜீரோ டு இன்ஃபினிட்டி வெளியீட்டின் போது அவர் ஒரு "இல்லத்தரசி மற்றும் ஃப்ரீ-லன்ஸ் எழுத்தாளர்". பிரபலமான பார்வையாளர்களை இலக்காகக் கொண்ட கணிதம் மற்றும் கணிதவியலாளர்களைப் பற்றிய பல புத்தகங்களுக்காக அவர் அறியப்பட்டார், அவற்றில் இதுவே முதல். எண் கோட்பாட்டில் ரீடின் ஆர்வம் அவரது சகோதரி மெர்சென் பகா எண்களைக் கண்டறிய கணினிகளைப் பயன்படுத்தியதால் தூண்டப்பட்டது. 1953 ஆம் ஆண்டில் சயின்டிபிக் அமெரிக்கனில் நெருங்கிய தொடர்புடைய தலைப்பு, சரியான எண்கள் குறித்து ஒரு கட்டுரையை வெளியிட்டார், அதன்பிறகு விரைவில் இந்த புத்தகத்தை எழுதினார். அவரது நோக்கமான தலைப்பு என்ன எண்களை சுவாரஸ்யமாக்குகிறது; பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு என்ற தலைப்பு வெளியீட்டாளரால் செய்யப்பட்ட மாற்றமாகும். தலைப்புகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலி வரையிலான பன்னிரண்டு அத்தியாயங்கள் பத்து தசம இலக்கங்களால் எண்ணப்படுகின்றன, (ஆய்லரின் எண், தோராயமாக 2.71828), மற்றும், மிகச்சிறிய எல்லையற்ற கார்டினல் எண். ஒவ்வொரு அத்தியாயத்தின் தலைப்பும் ஏதோ ஒரு வகையில் அதன் அத்தியாயம் எண்ணுடன் தொடர்புடையது, புத்தகம் முன்னேறும்போது பொதுவாக அதிகரித்து வரும் நுட்பத்துடன்ஃ அத்தியாயம் 0 எண் அமைப்புகளின் வரலாறு, நிலைக் குறியீட்டின் வளர்ச்சி மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கான இடப்பெயர்ச்சி சின்னத்தின் தேவை மற்றும் பூஜ்ஜியத்தை ஒரு எண்ணாக மிகவும் பின்னர் புரிந்துகொள்வது பற்றி விவாதிக்கிறது. இது மற்ற அனைத்து எண்களிலும் பூஜ்ஜியத்தால் வகிக்கப்படும் சிறப்பு பண்புகளையும், பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படுவதால் எழும் நிச்சயமற்ற வடிவங்களின் கருத்தையும் விவாதிக்கிறது. அத்தியாயம் 1 விஷயங்களை கணக்கிட எண்களின் பயன்பாடு, எண்கணிதம் மற்றும் பகா எண்கள் மற்றும் முழு எண் காரணிமயமாக்கலின் கருத்துக்கள் ஆகியவற்றைப் பற்றியது. அத்தியாயம் 2 இன் தலைப்புகளில் பைனரி பிரதிநிதித்துவம், விவசாயிகளின் பெருக்கம் மற்றும் நவீன கணினி எண்கணிதத்தில் அதன் பண்டைய பயன்பாடு மற்றும் கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் ஒரு எண் அமைப்பாக அதன் முறைப்படுத்தல் ஆகியவை அடங்கும். மேலும் பொதுவாக, இது வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட எண் அமைப்புகள் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் உள்ளிட்ட குறிப்பிட்ட தளங்களின் யோசனையை விவாதிக்கிறது. அத்தியாயம் 3 பகா எண்களை உருவாக்குவதற்கான எரடோஸ்டெனிஸின் சல்லடை மற்றும் நவீன முதன்மை சோதனைகள் உட்பட பகா எண்களுக்குத் திரும்புகிறது. அத்தியாயம் 4 சதுர எண்களைப் பற்றியது, சதுரங்கள் எண்ணும் எண்களுடன் சமமானவை என்ற கலிலியோவின் அவதானிப்பு, பித்தகோரியன் தேற்றம், ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம் மற்றும் டியோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகள் பொதுவாக. அத்தியாயம் 5 இந்த இரண்டு கருத்துகளையும் இணைக்கும் உருவ எண்கள், முழு எண் பகிர்வுகள் மற்றும் உருவாக்கும் செயல்பாடுகள் மற்றும் ஐங்கோண எண் தேற்றம் பற்றி விவாதிக்கிறது. 6ஆம் அத்தியாயத்தில், ரீட் தனது முந்தைய கட்டுரையிலிருந்து சரியான எண்கள் (அவற்றில் 6 மிகச்சிறிய அற்பமான எடுத்துக்காட்டு), மெர்சென் பகா எண்களுடனான அவற்றின் தொடர்பு, பெரிய பகா எண்களுக்கான தேடல் மற்றும் ரீடின் உறவினர்களின் புதிய மெர்சென் பகா எண்களின் கண்டுபிடிப்பு பற்றிய உள்ளடக்கத்தை கொண்டு வருகிறார். மெர்சென் பகா எண்கள் என்பது ஒரு அலகு இரண்டு சக்தியை விட குறைவான பகா எண்கள் ஆகும். அதற்கு பதிலாக அத்தியாயம் 7, இரண்டின் சக்தியை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் பகா எண்கள், ஃபெர்மாட் பகா எண்கள் மற்றும் கட்டமைக்கக்கூடிய பலகோணங்களுடன் அவற்றின் நெருங்கிய தொடர்பு ஆகியவற்றைப் பற்றியது. ஏழு பக்கங்களைக் கொண்ட எப்டாகன், கட்டமைக்க முடியாத மிகச்சிறிய பலகோணமாகும், ஏனெனில் இது ஃபெர்மாட் பகா எண்களின் பெருக்கல் அல்ல. அத்தியாயம் 8 கனசதுரங்கள் மற்றும் முழு எண்களை கனசதுரங்கள் அல்லது பிற சக்திகளின் கூட்டுத்தொகையாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதில் வாரிங்கின் சிக்கலைப் பற்றியது. அத்தியாயம் 9 இன் தலைப்பு மாடுலர் எண்கணிதம், வகுத்தல் மற்றும் நிலைக் குறியீட்டிற்கான அவற்றின் தொடர்புகள் ஆகும், இதில் ஒன்பது ஆல் வகுக்கப்படுவதைத் தீர்மானிக்க ஒன்பது ஐ வெளியேற்றுவது உட்பட. அத்தியாயத்தில், பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு முழு எண்களிலிருந்து பகுத்தறிவற்ற எண்கள், சிக்கலான எண்கள், மடக்கை மற்றும் ஆய்லரின் சூத்திரத்திற்கு மாறுகிறது. இது தொடர்ச்சியான பின்னங்களின் கோட்பாடு மற்றும் பகா எண் தேற்றம் மூலம் இந்த தலைப்புகளை மீண்டும் முழு எண்களுடன் இணைக்கிறது. இறுதி அத்தியாயம், அத்தியாயம், அலெஃப் எண்கள் மற்றும் எண்ணற்ற எண்ணற்ற தொகுப்புகளின் இருப்புக்கான கான்டரின் மூலைவிட்ட வாதம் உட்பட எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் கோட்பாட்டிற்கான ஒரு அடிப்படை அறிமுகத்தை வழங்குகிறது. முதல் பதிப்பில் 0 முதல் 9 அத்தியாயங்கள் மட்டுமே இருந்தன. இரண்டாவது பதிப்பில் எல்லையற்ற தொகுப்புகள் பற்றிய அத்தியாயம் சேர்க்கப்பட்டது, இது சுவாரஸ்யமான எண் முரண்பாடு குறித்த ஒரு பிரிவுக்கு பதிலாக மாற்றப்பட்டது. புத்தகத்தின் பிற்கால பதிப்புகள் ரீட் என்பவரால் "முழுமையாக புதுப்பிக்கப்பட்டன"; குறிப்பாக, ஐந்தாவது பதிப்பில் மெர்சென் பகா எண்களுக்கான தேடல் மற்றும் ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றத்தின் ஆதாரம் பற்றிய புதுப்பிப்புகள் அடங்கும், மேலும் முந்தைய பதிப்புகளிலிருந்து கைவிடப்பட்ட ஒரு குறியீட்டை மீட்டெடுக்கிறது. பார்வையாளர்கள் மற்றும் வரவேற்பு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலி வரை மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் அல்லாத பெரியவர்கள் இருவருக்கும் அணுகக்கூடிய வகையில் எழுதப்பட்டுள்ளது, இதற்கு உயர்நிலைப் பள்ளி அளவிலான கணிதம் மட்டுமே பின்னணியாக தேவைப்படுகிறது. இறுதி அத்தியாயத்தில் உள்ள "வினாடி வினா கேள்விகளின்" குறுகிய தொகுப்புகள் வகுப்பறை விவாதங்களைத் தூண்டுவதற்கு உதவியாக இருக்கும், இது இடைநிலைப் பள்ளி கணிதப் படிப்புகளுக்கு துணைப் பொருளாக பயனுள்ளதாக இருக்கும். நான்காவது பதிப்பை மதிப்பாய்வு செய்யும் போது, கணிதவியலாளர் டேவிட் சிங்மாஸ்டர் இதை "அதன் ஆரம்ப தோற்றத்திலிருந்து கணித பிரபலப்படுத்தலின் உன்னதமான படைப்புகளில் ஒன்று" என்றும் "கணிதம் என்றால் என்ன என்பதற்கான மகிழ்ச்சியான அறிமுகம்" என்றும் விவரிக்கிறார். விமர்சகர் லின் கோட்ஷால் இதை "எண்களின் மிகவும் படிக்கக்கூடிய வரலாறு" என்று அழைக்கிறார், இது "கல்வியாளர்களாலும் அவர்களின் மாணவர்களாலும் எளிதில் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது". முர்ரே சீகல் இதை "ஒவ்வொரு கணித ஆசிரியரின் நூலகம் மற்றும் கணிதத்தை கற்பிக்க மாணவர்களைத் தயார்படுத்தும் பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்களுக்கு" அவசியம் இருக்க வேண்டும் என்று விவரிக்கிறார். புத்தகத்தில் உள்ள கணிதத்தின் இரண்டு பகுதிகளைப் பற்றி மட்டுமே சிங்மாஸ்டர் புகார் செய்கிறார்ஃ 4ஆம் அத்தியாயத்தில் எகிப்தியர்கள் வலது முக்கோணத்தை நன்கு அறிந்திருந்தனர் (இன்னும் கணிசமான அறிவார்ந்த விவாதத்தின் பொருள்) மற்றும் கட்டமைக்கக்கூடிய பலகோணங்களை ஏன் வகைப்படுத்துவது என்பது பற்றிய எந்தவொரு விவாதத்தின் 7ஆம் அத்தியாயத்திலிருந்தும் விலக்கப்பட்டது. இயற்கணிதக் காரணியாக்கம் பற்றிய மற்றொரு சிறிய பிழையை சீகல் சுட்டிக்காட்டுகிறார், ஆனால் அதைக் கண்டுபிடிப்பது மாணவர்களுக்கு மற்றொரு பயனுள்ள பயிற்சியாக இருக்கும் என்று கூறுகிறார். குறிப்புகள் பிரபலமான கணித புத்தகங்கள் 1955 புனைகதை அல்லாத புத்தகங்கள் தொடக்க எண் கோட்பாடு