Roberts's triangle theorem
ராபர்ட்ஸின் முக்கோணக் கோட்பாடு, தனித்துவமான வடிவவியலின் விளைவாக, கோடுகளின் ஒவ்வொரு எளிய ஏற்பாடும் குறைந்தபட்சம் முக்கோண முகங்களைக் கொண்டுள்ளன என்று கூறுகிறது. எனவே, மூன்று கோடுகள் ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, நான்கு கோடுகள் குறைந்தது இரண்டு முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, ஐந்து கோடுகள் குறைந்தது மூன்று முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. 1889 ஆம் ஆண்டில் இதை வெளியிட்ட பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர் சாமுவேல் ராபர்ட்ஸ் என்பவரின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. கூற்று மற்றும் எடுத்துக்காட்டு யூக்ளிடியன் தளத்தில் உள்ள கோடுகளின் ஒவ்வொரு எளிய ஏற்பாடும் குறைந்தபட்சம் முக்கோண முகங்களைக் கொண்டுள்ளன என்று தேற்றம் கூறுகிறது. இங்கே, ஒரே புள்ளியில் இரண்டு இணையான கோடுகள் மற்றும் மூன்று கோடுகள் இல்லாதபோது ஒரு ஏற்பாடு எளிதானது. சரியாக முக்கோண முகங்களைக் கொண்ட கோடுகளின் ஏற்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழி, அரை வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்கும் கோடுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பது. இந்த வழியில் அமைக்கப்பட்ட கோடுகளுக்கு, தொடர்ச்சியான தொடுகோடு புள்ளிகளுடன் மூன்று கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணங்கள் மட்டுமே உள்ளன. கோடுகள் தொடர்ச்சியான முக்கோணங்களைக் கொண்டிருப்பதால், அவை முக்கோணங்களையும் கொண்டுள்ளன. ராபர்ட்ஸின் அசல் கட்டுரையில் "நம்பமுடியாதது" என்பதற்கான ஆதாரத்தை ப்ரூஃப் பிராங்கோ கிரன்பாம் கண்டறிந்தார், மேலும் ராபர்ட்ஸின் தேற்றத்தின் முதல் சரியான ஆதாரத்தை 1979 இல் ராபர்ட் டபிள்யூ. ஷானனுக்கு பாராட்டினார். அதற்கு பதிலாக அவர் பின்வரும் அடிப்படை வாதத்தை முன்வைக்கிறார், இது முதலில் ரஷ்ய மொழியில் அலெக்ஸி பெலோவ் வெளியிட்டது. இது ஒரே தேற்றத்தின் எளிமையான பதிப்பைப் பொறுத்தது, அதன்படி மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகளின் ஒவ்வொரு எளிய ஏற்பாடும் குறைந்தது ஒரு முக்கோண முகத்தையாவது கொண்டுள்ளது. ஒரு ஏற்பாட்டில் ஒரு கோட்டைச் சேர்ப்பது முக்கோண முகங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்க முடியாது என்ற உண்மையிலிருந்து தூண்டுவதன் மூலம் இது எளிதில் பின்பற்றப்படுகிறதுஃ கோடு ஏற்கனவே உள்ள முக்கோணத்தை வெட்டினால், இதன் விளைவாக வரும் இரண்டு துண்டுகளில் ஒன்று மீண்டும் ஒரு முக்கோணமாகும். மறுபுறம், ராபர்ட்ஸ் தேற்றத்தின் எல்லை ஒவ்வொரு சேர்க்கப்பட்ட கோட்டிலும் அதிகரித்தாலும், எந்தவொரு குறிப்பிட்ட ஏற்பாட்டிலும் முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை சில நேரங்களில் மாறாமல் இருக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் அனைத்தும் அவற்றின் சரிவுகளை மாற்றாமல் நகர்த்தப்பட்டால், அவற்றின் புதிய நிலைகளை உண்மையான எண்களின் அமைப்பு மூலம் விவரிக்க முடியும், ஒவ்வொரு வரியின் ஆஃப்செட்டுகளும் அதன் அசல் நிலையில் இருந்து. ஒவ்வொரு முக்கோண முகத்திற்கும், அதன் மூன்று கோடுகளின் ஆஃப்செட்களில் ஒரு நேரியல் சமன்பாடு உள்ளது, இது திருப்தி அடைந்தால், முகம் அதன் அசல் பகுதியை தக்க வைத்துக் கொள்ள காரணமாகிறது. முக்கோணங்களை விட குறைவாக இருக்க முடிந்தால், (அவற்றைக் கட்டுப்படுத்தும் சமன்பாடுகளை விட அதிக மாறிகள் இருப்பதால்) இரண்டு கோடுகளை அந்த இடத்தில் சரிசெய்து, மீதமுள்ள அனைத்து கோடுகளின் ஒரே நேரத்தில் நேரியல் இயக்கத்தைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் சரிவுகளை நிலைநிறுத்தி, முக்கோணப் பகுதிகள் அனைத்தையும் பாதுகாக்கும். அத்தகைய இயக்கம் எளிமையான ஏற்பாடுகளைக் கடந்து செல்ல வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, நகரும் கோடுகளில் ஒன்று இரண்டு நிலையான கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும்போது. நகரும் கோடுகள் முதலில் ஒரு எளிய அமைப்பை உருவாக்கும் நேரத்தில், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. இந்த கோடுகள் சந்திப்பதற்கு சற்று முன்பு, இந்த கோடுகளின் துணைக்குழு ஒரு முக்கோண முகத்தைக் கொண்டிருக்கும் (அசல் ஏற்பாட்டில் உள்ளது) அதன் பரப்பளவு பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது. ஆனால் இது முகப் பகுதிகளின் மாறாத தன்மைக்கு முரணானது. முக்கோணங்களை விட குறைவானவை உள்ளன என்ற அனுமானம் உண்மையாக இருக்க முடியாது என்பதை முரண்பாடு காட்டுகிறது. ராபர்ட்ஸின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான கோடுகளால் செய்யப்பட்ட மிகக் குறைந்த முக்கோணங்களைப் பற்றியது என்றாலும், தொடர்புடைய கோபான் முக்கோண சிக்கல் சாத்தியமான மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையைப் பற்றியது. இரண்டு சிக்கல்களும் ஏற்கனவே வேறுபடுகின்றன, அங்கு ராபர்ட்ஸின் தேற்றம் மூன்று முக்கோணங்கள் இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கிறது, ஆனால் கோபான் முக்கோண சிக்கலுக்கான தீர்வு ஐந்து முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. ராபர்ட்ஸின் தேற்றத்தை எளிய கோடு ஏற்பாடுகளிலிருந்து சில எளிமையற்ற ஏற்பாடுகள் வரை, யூக்ளிடியன் தளத்தைக் காட்டிலும் ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தில் உள்ள ஏற்பாடுகள் மற்றும் உயர் பரிமாண இடைவெளிகளில் ஹைப்பர்பிளேன்களின் ஏற்பாடுகள் வரை பொதுமைப்படுத்தலாம். கோடு ஏற்பாடுகளுக்கு அப்பால், ராபர்ட்ஸின் தேற்றம் போலி அமைப்புகளின் ஏற்பாடுகளுக்கு அதே வரம்பைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்புகள் தனித்தனி வடிவியல் முக்கோணங்கள்