Simplicial complex recognition problem
எளிமையான சிக்கலான அங்கீகார சிக்கல் என்பது இயற்கணித இடவியலில் ஒரு கணக்கீட்டு சிக்கலாகும். ஒரு எளிமையான காம்ப்ளக்ஸ் கொடுக்கப்பட்டால், அது மற்றொரு நிலையான எளிமையான காம்ப்ளக்ஸ்க்கு ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிப்பதே பிரச்சனை. பரிமாணம் 5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வளாகங்களுக்கு சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது. பின்னணி ஒரு சுருக்கமான எளிமையான வளாகம் (ஏ. எஸ். சி) என்பது துணைக்குழுக்களை எடுத்துக்கொள்வதன் கீழ் மூடப்பட்டிருக்கும் தொகுப்புகளின் குடும்பமாகும் (குடும்பத்தில் ஒரு தொகுப்பின் துணைக்குழுவும் குடும்பத்தில் ஒரு தொகுப்பாகும்). ஒவ்வொரு சுருக்கமான எளிமையான வளாகமும் ஒரு யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஒரு வடிவியல் எளிமையான வளாகமாக (ஜி. எஸ். சி) ஒரு தனித்துவமான வடிவியல் உணர்தலைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு ஏ. எஸ். சி. யில் கே கூறுகளைக் கொண்ட ஒவ்வொரு தொகுப்பும் ஜி. எஸ். சி. யில் ஒரு (கே-1) பரிமாண சிம்ப்ளக்ஸுடன் வரைபடமாக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு ஏஎஸ்சி ஒரு வடிவியல் பொருளின் வரையறுக்கப்பட்ட பிரதிநிதித்துவத்தை வழங்குகிறது. ஒரு ஏஎஸ்சி கொடுக்கப்பட்டால், அது பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் ஜிஎஸ்சியின் இடவியல் குறித்து ஒருவர் பல கேள்விகளைக் கேட்கலாம். ஹோமியோமார்பிசம் சிக்கல் ஹோமியோமார்பிசம் சிக்கல்ஃ மென்மையான பன்மடங்கு குறிக்கும் இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட எளிய வளாகங்கள் கொடுக்கப்பட்டால், அவை ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிக்கவும். வளாகங்கள் அதிகபட்சம் 3 பரிமாணத்தில் இருந்தால், சிக்கல் தீர்க்கக்கூடியதாக இருக்கும். இது வடிவியல் அனுமானத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒவ்வொரு d ≤ 4 க்கும், d-பரிமாண எளிய சிக்கல்களுக்கான ஹோமியோமார்பிசம் சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது. "ஹோமியோமார்பிக்" என்பது "பீஸ்வைஸ்-லீனியர் ஹோமியோமார்பிக்" என்று மாற்றப்பட்டால் இது பொருந்தும். அங்கீகார சிக்கல் என்பது ஹோமியோமார்பிசம் சிக்கலின் துணை சிக்கலாகும், இதில் ஒரு எளிய சிக்கலானது ஒரு நிலையான அளவுருவாக வழங்கப்படுகிறது. ஒரு உள்ளீடாக மற்றொரு எளிமையான காம்ப்ளக்ஸ் கொடுக்கப்பட்டால், கொடுக்கப்பட்ட நிலையான காம்ப்ளக்ஸுக்கு இது ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிப்பதே சிக்கல். 3 பரிமாண கோளத்திற்கு அங்கீகார சிக்கல் தீர்மானிக்கக்கூடியது. அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட எளிய சிக்கலானது 4 பரிமாண பந்தின் எல்லைக்கு ஹோமியோமார்பிக் என்பதை தீர்மானிக்கக்கூடிய ஒரு வழிமுறை உள்ளது. எந்தவொரு d ≤ 5 க்கும் d-பரிமாண கோளத்திற்கு அங்கீகார சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது. குழுக்களுக்கான சொல் சிக்கலைக் குறைப்பதன் மூலம் சான்றாகும். இதிலிருந்து, d ≤5 உடன் எந்தவொரு நிலையான சிறிய d-பரிமாண பன்மடங்குக்கும் அங்கீகார சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது என்பதை நிரூபிக்க முடியும். 2014 ஆம் ஆண்டு நிலவரப்படி, 4 பரிமாண கோளத்திற்கு அங்கீகார சிக்கல் தீர்மானிக்கப்படுகிறதா என்பது திறந்திருக்கும். பன்மடங்கு சிக்கல்ஃ ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எளிமையான சிக்கலான கொடுக்கப்பட்டால், அது ஒரு பன்மடங்கு ஹோமியோமார்பிக்? சிக்கல் தீர்மானிக்க முடியாதது; குழுக்களுக்கான சிக்கல் என்ற வார்த்தையிலிருந்து குறைப்பதன் மூலம் ஆதாரம் உள்ளது. குறிப்புகள் தீர்மானிக்க முடியாத சிக்கல்கள் எளிய தொகுப்புகள்