Extrinsic Geometric Flows
வெளிப்புற வடிவியல் ஓட்டங்கள் என்பது ஒரு மேம்பட்ட கணித பாடப்புத்தகமாகும், இது வடிவியல் ஓட்டங்களை, ஒரு வளைவு அல்லது மேற்பரப்பு சில விதிகளின்படி தொடர்ந்து நகரும் கணித சிக்கல்களை கண்ணோட்டம் செய்கிறது. இது வெளிப்புற ஓட்டங்களில் கவனம் செலுத்துகிறது, இதில் விதி ஒரு மேற்பரப்பை விண்வெளியில் உட்பொதிப்பதைப் பொறுத்தது, ரிச்சி ஓட்டம் போன்ற உள்ளார்ந்த ஓட்டங்களை விட மேற்பரப்பின் உள் வடிவவியலைப் பொறுத்தது மற்றும் உட்பொதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல் வரையறுக்க முடியும். வெளிப்புற வடிவியல் ஓட்டங்கள் பென் ஆண்ட்ரூஸ், பென்னட் சோவ், கிறிஸ்டின் குவெந்தர் மற்றும் மாட் லாங்ஃபோர்ட் ஆகியோரால் எழுதப்பட்டது, மேலும் 2020 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் புத்தகத் தொடரான கணிதத்தில் பட்டதாரி ஆய்வுகளின் தொகுதி 206 ஆக வெளியிடப்பட்டது. தலைப்புகள் இந்த புத்தகம் நான்கு அத்தியாயங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை தோராயமாக நான்கு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளனஃ 1 முதல் 4 அத்தியாயங்கள் வெப்பச் சமன்பாடு மற்றும் அதிலிருந்து வரையறுக்கப்பட்ட வளைவு-சுருக்க ஓட்டம் ஆகியவற்றைப் பற்றியது, இதில் ஒரு வளைவு யூக்ளிடியன் தளத்தில் செங்குத்தாக, அதன் வளைவுக்கு விகிதாசார வேகத்தில் நகர்கிறது. வட்டங்கள் மற்றும் கடுமையான அறுவடை வளைவு, கேஜ்-ஹாமில்டன்-கிரேசன் தேற்றம் போன்ற வளைவுகளில் அவை பாயும் போது சுயமாக ஒத்திருக்கும் பொருள் இதில் அடங்கும், இதன் படி ஒவ்வொரு எளிய மூடிய வளைவும் இறுதியில் ஒரு புள்ளியில் வீழ்ச்சியடையும் வரை ஒரு வட்டமாக இணைகிறது, எப்போதும் சுயமாக வெட்டப்படாமல், மற்றும் ஓட்டத்தின் பண்டைய தீர்வுகளின் வகைப்பாடு. அத்தியாயங்கள் 5 முதல் 14 வரை சராசரி வளைவு ஓட்டத்தைப் பற்றியது, வளைவு-சுருக்க ஓட்டத்தின் உயர் பரிமாண பொதுமைப்படுத்தல், இது ஒரு மேற்பரப்பின் சராசரி வளைவைப் பயன்படுத்தி அதன் செங்குத்தான இயக்கத்தின் வேகத்தைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களின் வடிவியல் பற்றிய ஒரு அறிமுக அத்தியாயத்திற்குப் பிறகு, "உள்ளூரில் உள்ள லிப்ஸ்கிட்ஸ் முழு வரைபடங்கள்" பற்றிய எக்கர் மற்றும் ஹுயிஸ்கெனின் முடிவுகளும், ஒரே மாதிரியான குவிந்த மேற்பரப்புகள் மென்மையாகவும் குவிந்ததாகவும் இருக்கும், அவை ஒரு புள்ளிக்கு இடிந்து விழுவதற்கு முன்பு ஒரு கோளத்தில் ஒன்றிணைகின்றன என்ற ஹுயிஸ்கெனின் தேற்றமும் இதில் அடங்கும். ஹுயிஸ்கெனின் மோனோடோனிசிட்டி சூத்திரம் மூடப்பட்டுள்ளது, அதே போல் பிரேக் மற்றும் ஒயிட்டின் வழக்கமான கோட்பாடுகளும் உள்ளன, அதன்படி ஓட்டம் கிட்டத்தட்ட எல்லா இடங்களிலும் மென்மையாக உள்ளது. இந்தப் பகுதியில் உள்ள பல அத்தியாயங்கள் இந்த ஓட்டத்தில் உருவாகக்கூடிய தனித்தன்மையையும், அவை பாயும் போது சுயமாக ஒத்திருக்கும் மேற்பரப்புகளையும் பற்றியது. அத்தியாயங்கள் 15 முதல் 17 வரை காஸ் வளைவு ஓட்டத்தைப் பற்றியது, இது சராசரி வளைவுக்கு பதிலாக காஸியன் வளைவைப் பயன்படுத்தி உயர் பரிமாணங்களுக்கு வளைவு-சுருக்க ஓட்டத்தை பொதுமைப்படுத்துவதற்கான ஒரு வித்தியாசமான வழியாகும். காஸியன் வளைவு உள்ளார்ந்ததாக இருந்தாலும், சராசரி வளைவைப் போலல்லாமல், காஸ் வளைவு ஓட்டம் வெளிப்புறமானது, ஏனெனில் இது ஒரு உட்பொதிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பின் இயக்கத்தை உள்ளடக்கியது. இங்கே, ஓட்டத்தின் மாறுபாடுகள், ஓட்டத்தின் வேகத்தை வரையறுக்க, வளைவைக் காட்டிலும் வளைவின் சக்தியைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது, மேலும் இது வரையறுக்கப்பட்ட நேர இடைவெளிகளில் ஓட்டத்தின் இருப்பு, சுய-ஒத்த தீர்வுகளின் இருப்பு மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவங்கள் குறித்து கேள்விகளை எழுப்புகிறது. வளைவின் அடுக்கு இங்கே முக்கியமானது, குவிந்த மேற்பரப்புகள் அடுக்கில் ஒரு நீள்வட்டமாகவும் (அஃபைன் வளைவு-சுருக்க ஓட்டத்தை உருவாக்குகிறது) மற்றும் பெரிய அடுக்குகளுக்கு ஒரு வட்ட கோளமாகவும் இணைகின்றன. அத்தியாயங்கள் 18-20 நேரியல் அல்லாத வடிவியல் ஓட்டங்களின் பரந்த பனோரமாவை வழங்குகின்றன. ஒவ்வொரு அத்தியாயத்திலும் உள்ள உள்ளடக்கம் அத்தியாயத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட முடிவுகளின் சான்றுகள் மற்றும் கணித இலக்கியத்தைப் பற்றிய குறிப்புகள் ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கியது; ஒவ்வொரு அத்தியாயத்தின் முடிவிலும் ஒரு வர்ணனை பிரிவில் கூடுதல் குறிப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, இது கூடுதல் உள்ளுணர்வு மற்றும் திறந்த சிக்கல்களின் விளக்கங்களையும், அதே பகுதியில் கூடுதல் முடிவுகளின் சுருக்கமான விளக்கங்களையும் வழங்குகிறது. பல நபர்களுடன் விவாதத்தில் உள்ள கணிதத்தை விளக்குவதோடு, அது குறிப்பிடும் பல கணிதவியலாளர்களின் புகைப்படங்களை வழங்குவதன் மூலம் உள்ளடக்கத்தை மனிதமயமாக்குகிறது. அத்தியாயங்களில் பயிற்சிகள் அடங்கும், இது இந்த புத்தகத்தை பட்டதாரி பாடப்புத்தகங்களாக பொருத்துகிறது. பார்வையாளர்கள் மற்றும் வரவேற்பு பாயின்கேர் அனுமானம் மற்றும் வடிவியல் அனுமானம் ஆகிய இரண்டையும் தீர்க்க கிரிகோரி பெரல்மேன் பயன்படுத்திய பிறகு கணிதத்தில் உள்ளார்ந்த ஓட்டங்கள் மிக சமீபத்திய கவனத்தை ஈர்த்திருந்தாலும், வெளிப்புற ஓட்டங்களும் கணிதத்தில் முக்கியமான பயன்பாடுகளின் நீண்ட வரலாற்றைக் கொண்டுள்ளன, இது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது. அவற்றின் பயன்பாடுகளில் உயிரியல் உயிரணுக்களின் வளர்ச்சி, உலோக படிக தானியங்கள், நுரைகளில் குமிழிகள் மற்றும் "கடற்கரையில் உருளும் கற்களின் சிதைவு" ஆகியவற்றை மாதிரியாக்குவது அடங்கும். புத்தகத்தின் சான்றுகள் பெரும்பாலும் ஆராய்ச்சி இலக்கியத்தில் உள்ள சான்றுகளின் எளிமைப்படுத்தல்களாகும், இருப்பினும் இது இன்னும் மிகவும் தொழில்நுட்பமானது, வடிவியல் பகுப்பாய்வில் பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சியாளர்களை இலக்காகக் கொண்டது. வேறுபட்ட வடிவியல் மற்றும் பகுதி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அடிப்படைகளை வாசகர்கள் நன்கு அறிந்திருப்பார்கள் என்று எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. ஒரு பாடத்திட்டத்தில் உள்ளடக்கியதை விட புத்தகத்தில் அதிகமான விஷயங்கள் உள்ளன, ஆனால் இது பல பாடத்திட்டங்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக இருக்கலாம் அல்லது அதன் சில விஷயங்களை மட்டுமே தேர்ந்தெடுக்கும் ஒரு தலைப்பு பாடத்திட்டத்தின் அடிப்படையாக இருக்கலாம். ஒரு பாடப்புத்தகமாக இருப்பதோடு, வெளிப்புற வடிவியல் ஓட்டங்கள் இப்பகுதியில் உள்ள நிபுணர்களுக்கான ஓட்டங்கள் குறித்த குறிப்பு பொருளாகவும் செயல்பட முடியும். தொடர்புடைய படைப்புகள் இது வடிவியல் ஓட்டங்கள் குறித்த முதல் புத்தகம் அல்ல. மற்றவற்றில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ வெளிப்புற வடிவியல் ஓட்டங்கள் இந்த படைப்புகளை விட மிகவும் விரிவானவை மற்றும் புதுப்பித்த நிலையில் இருந்தாலும், வளைவுகளின் அனிசோட்ரோபிக் ஓட்டங்கள், சார்பியல் கோட்பாட்டிற்கான பயன்பாடுகள் மற்றும் நிலை-தொகுப்பு முறைகள் உள்ளிட்ட அவற்றின் சில தலைப்புகளை இது தவிர்க்கிறது. குறிப்புகள் வடிவியல் ஓட்டம் கணித பாடப்புத்தகங்கள் 2020 புனைகதை அல்லாத புத்தகங்கள் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் வெளியீடுகள்